ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ФЕРМЫ
*
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА, ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Допущено Наркомпросом РСФСР
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ
ДЛЯ ВЫСШИХ ТЕХНИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
19	3	1
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА * ЛЕНИНГРАД
ПЕЧАТНЫЕ ТРУДЫ ПРОФ. И. С. ПОДОЛЬСКОГО.
, 1. Расчет железобетонного бака для воды. Инженерное дело,
Тифлис 1901, № 1. •
2,'Железобетонные сооружения, их, расчет и конструк-
ция. Тифлис 1901.
3.	Новейшие применения железобетона. Инженерное дело,
Тифлис 1902, № 1.
4.	Расчет железобетонных колонн. Инженерное дело, Тифлис
1902, № 2.
5.	Заметки о железобетонных сооружениях. Инженерное
дело, Тифлис 1902, №2.
6.	Железобетонн ьге сооружения систе мы Б у с си р он а. Ин-
женерное дело, Тифлис 1902, № 4.
7.	Новые применения железобетона. Доклад, прочитанный в
1903 г. в Русском техническом обществе в Петербурге на съезде для выработки
мероприятий к распространению железа в России. Напечатано в трудах съезда.
Петербург 1903.
8.	Железобетонны е шпалы разных систем. В журнале Известия
собрания инженеров путей сообщения, Пет рбург 1905, № 1.
9.	Железобетонные мосты и виадуки. Конструкция, производство
работ и расчет мостов. I том, 476 стр. с 304 чертежами в тексте, Москва 1905.
10.	О б и с п ы та н и и решетчатой мостовой фермы. Труды 26-го
совещательного съезда инженеров службы пути русских железных дорог, Петер-
бург 1908.
11.	Безраскосные фермы, их расчет и применение к металлическим и
железобетонным сооружениям. (Мосты, стропила и балки.) I том, 270 стр. с 140
чертежами в тексте, Москва 1909. (Теоретическая часть этой книги переведена
на немецкий язык и помещена в известной энциклопедии доктора Э м п е р ге р а:
„Handbuch fur Eisenbetonbau“, III Band. Briickenbau. Zweite Auflage, 1912; а также
ежегодно помещается в немецком справочнике: 9Beton Kale nd er* начиная с
1914 г.)
12.	К расчету железобетонных балок. Журнал Министерства
путей сообщения, Петербург 1909, № 3.
13.	Theorie du calcul des pourtes sans diagonales. 9Le Ciment arme*, Paris
1909, №№ 5—10.	’	.
14.	Бетонная мостовая для городски хули ц. Известия собрания
инженеров путей сообщения, Петербург 1909, № 5.
15.	Бетонная мостовая (новые американские данные). Железобетон*
Москва 1909, № 5.	'
16.	Дозировка бетона. Железобетон, Москва 1909, № 8.
17.	В защиту моей книги: Безраскосные фермы (ответ на ре-
цензии Передерия и Белзецкого). Известия собрания инженеров путей сооб-
щения, Петербург 1909,'№№9 и 10.
18.	Расчет хомутов в железобетонных балках. Известия со-
брания инженеров путей сообщения, Петербург 1910, № 1.
19.	Усиление железных мостов. Журнал министерства путей со-
общения, 1911, №№ 4—8. Отдельный оттиск в 280 стр. с 44 чертежами в текс е,
ОТПЕЧАТА НО
в 1-й Образцовой типографии
Гиза. Москва, Валовая, 26.
Главлит А-67016. Н.60. Гиз 39043.
Зак. 881. Тир. 10 000 экз. 22 п. л.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Пространственные фермы применяются для устройства купольных
и шатровых покрытий в разных общественных зданиях крупных разме-
ров, например: банки, цирки, выставочные павильоны, машинные здания,
фабричные и заводские корпуса, а также в мостах, кранах, газгольдерах,
башнях, маяках, кессонах и павильонах.
Летательные аппараты — аэропланы и дирижабли — тоже представляют
пространственные стержневые системы или фермы. Сюда же относятся
радиомачты и причальные мачты для дирижаблей.
Главная цель устройства какой-либо пространственной фермы заклю-
чается в том, чтобы получить конструкцию, свободную от внутренних
стержней, а также чтобы придать всему сооружению легкую, изящную
и рациональную форму.
В некоторых случаях, например в купольном покрытии, требуется еще
устройство верхнего освещения (световой фонарь).
Но чтобы суметь выбрать или спроектировать наиболее рациональную
в конструктивном отношении какую-либо пространственную ферму, чтобы
получить систему жесткую, геометрически-неизменяемую и в то же время
статически определимую, а также чтобы избежать излишней затраты ма-
териала и получить конструкцию наименьшего веса, — для всего этого
необходимо знать основные условия устройства пространственных ферм
и приемы расчета их, т. е. определение усилий во всех элементах про-
странственной системы.
Для того чтобы приобрести некоторый навык в расчете простран-
ственных ферм, необходима также и практическая работа, заключающаяся
в решении разного рода задач и в выполнении разных упражнений, на-
чиная с самых простых, элементарных, и переходя затем к более сложным.
Изучение пространственных ферм кроме практической цели имеет
также большое образовательное значение для каждого инженера, так как
дает понятие о распределении усилий в стержнях, расположенных не
в плоскости, а в пространстве, а также позволяет ознакомиться с при-
менением законов статики к равновесию сил, расположенных в простран-
стве, и тем способствует развитию образного мышления о пространствен-
ных конструкциях, выражаемых всегда чертежами на плоскости.
Эта способность умозрительного представления „пространства* до-
стигается также не сразу, а только после многих упражнений по расчету
пространственных ферм.
Для этой цели в курсе приведено достаточное количество (всего
около 200) примеров и задач с соответствующими подробными решениями.
6	ПРЕДИСЛОВИЕ
Все эти примеры могут служить материалом для самостоятельной или
лабораторно-групповой проработки курса. Однако некоторые, так назы-
ваемые „контрольные задачи", приведены в курсе без соответствующих
решений, чтобы дать возможность учащимся самостоятельно попробовать
свои силы и доказать свое знакомство с курсом. Трудность решения
этих контрольных задач не более трудности подобных задач с приведен-
ными решениями их.
Теория расчета пространственных ферм изложена в курсе с доста-
точной полнотой, причем, так как настоящий курс служит учебным
руководством в Военной воздушной академии, то заключительная глава
курса посвящена расчету пространственных ферм аэропланов.
Оригинальную часть настоящего труда представляет расчет сетчатых
гиперболоидов (§ 26).
Проф. И. Подольский.
Москва, 1930 г.
I. ТЕОРИЯ РАСЧЕТА
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ.
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ.
§ 1. Общие понятия о пространственных фермах.
Когда все нагрузки лежат в одной плоскости, то для уравновешива-
ния внешних сил требуются плоские фермы или стержневые соединения
двух измерений.
В общем случае, когда нагрузки, не лежат все в одной плоскости,
плоские фермы не годятся, и здесь необходимо устраивать так на-
зываемые пространственные фермы или системы трех изме-
рений.
Тогда можно достигнуть уравновешивания нагрузок растянутыми и сжа-
тыми стержнями фермы, не
вводя при этом вовсе изгиба
или скручивания этих частей.
Ознакомимся сперва в
общих чертах с конструкци-
ями пространственных стерж-
невых сочленений, и для .
этого рассмотрим несколько
примеров разных систем.	Черт. 1.
Пространственные фермы
применяются главным образом при устройстве мостов, покрытий, кранов,
ангаров, газгольдеров, пилонов, кессонов, аэропланов и дирижаблей, а
также и для некоторых других конструкций.
I. Мостовые фермы. Примером пространственных ферм могут служить
фермы железнодорожных мостов, на которые кроме вертикальной на-
грузки действует еще горизонтальное давление ветра (черт. 1).
Такие фермы составляются из двух плоских вертикальных ферм АВ
и CD, поставленных параллельно друг другу и связанных между собой
вверху и внизу так называемыми поперечными или „ветровыми связями“
в виде распорок и диагоналей.
В результате получается как бы прямоугольная полая внутри призма,
грани которой имеют вид. треугольных или раскосных плоских систем.
При езде по низу поезда проходят внутри такой полой фермы,
причем в плоскостях АС и BD устраиваются солидные жесткие рамы,
обеспечивающие поперечную устойчивость мостовой фермы, а при езде
по верху для увеличения жесткости фермы вместо опорных рам ставят
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ .
дополнительные раскосы АС и BD, которые показаны на чертеже пун-
ктирными линиями. Такие же раскосы ставят в плоскости каждой пары
стоек ad> be и cf.
Пространственные мостовые фермы имеют самые разнообразные
очертания.
II. Купольные, пирамидальные и шатровые покрытия. Для устройства
крыши над каким-либо помещением больших размеров, например цирка,
театра, выставочного павильона, оранжереи, круглого железнодорожного
депо или ангара, а также разных общественных зданий, покрытие устра-
ивается в виде пространственной фермы, которая по своей внешней форме
называется купольным, шатровым или пирамидальным покрытием.
На черт. 2 показано в двух проекциях купольное покрытие системы
Шведлера, которое имеет внизу опорное кольцо, а сверху световой
фонарь. По этой системе например устроено
перекрытие зала заседаний германского рейхс-
тага в Берлине.
Система эта имеет следующие характер-
Г	ные конструктивные части:
/ / \	1’ ?ебРа> которые лежат в вертикаль-
Шных меРиДиональных плоскостях и проходят
от нижних опорных точек до вершины купола
I	I или до веРхнег0 кольца, поддерживающего
i /	/К i световой фснарь. Последний, собственно го-
! /	\	/ \ ' воря, не принадлежит к конструкции купола,
\L<	\/ \ а является добавочной, самостоятельной над-
\	—Tv стройкой.
\ /ХмхбАч L/I 2. Кольца> которые лежат в горизон-
\ / ХХЛ /	тальных плоскостях, представляют ряд па-
раллельных правильных многоугольников и
служат для взаимной связи ребер, причем
нижнее опорное кольцо можно и не устра-
Черт. 2.	ивать при соответствующем закреплении опор.
3. Диагонали или раскосы в трапецеи-
дальных панелях поверхности купола.
Инженер Шведлер, впервые применивший эту систему к куполь-
ным стропилам, устраивал в каждой панели по два перекрестных рас-
коса, которые работают как контр-диагонали, и притом только на рас-
тяжение. Поэтому эти стержни делались раньше ’из круглого или поло-
сового железа.
Но такое устройство в настоящее время считается нерациональным,
так как при полной нагрузке всего купола, когда все его ребра сжи-
маются, оба раскоса каждой панели укорачиваются, причем плоские
контр-диагонали ослабляются и провисают.
При односторонней затем нагрузке купола (давление ветра или снега)
одна из диагоналей каждого четырехугольника должна вытягиваться,
но вследствие ее ослабления от указанного выше провисания четырех-
угольник будет беспрепятственно перекашиваться до тех пор, пока эта
диагональ не напряжена, причем конечно происходит удар и ряд ко-
лебаний.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ £
Черт. 3.
Черт. 4.
Это вредное явление не может иметь места при жестких раскосах,,
способных сопротивляться как растяжению, так и сжатию. Поэтому
в новейших конструкциях системы Шведлера устраиваются только оди-
ночные раскосы, но жесткого сечения, т. е. из уголков.
На черт. 3 показано пирамидальное покрытие, ко-
торое обыкновенно устраивается на башнях.
На черт. 4 показано шатровое покрытие над зданием
прямоугольного вида в плане. Здесь уже исчезают ме-
ридиональные ребра, и все по-
крытие приобретает характер
сетчатой системы.
III. Крановые фермы. Про-
стейшим типом пространствен-
ной крановой фермы является
тренога, служащая для подъема
каких-либо тяжестей. Такие
треноги постоянно употреб-
ляются при сборке металличе-
ских конструкций.
Но бывают и более слож-
ные крановые фермы. Так на-
пример на черт. 5 показана
крана системы Фёппля (Foppl)
ферма катучего
ших грузов.
На черт. 6 показана другая пространственная
ного крана. Такие краны устраиваются подъемной
для подъема боль-
ферма для неполвиж-
силы до 50 т и более.
С
[Г
Черт. 5.
Черт. 6.
Черт. 7.
IV. Призматические фермы. На черт. 7 показана пространственная
призматическая ферма для газгольдера. По этой же схеме устраиваются
пальмарии (оранжереи для пальм), диорамы, выставочные павильоны, ме-
таллические башни, строительные леса и другие сооружения. На черт. 8-
показана схема пространственной фермы аэромаяка высотой J0 м для
освещения аэродрома во время ночных полетов аэропланов.
10
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
-------6uf------
диагональных раскосов
поставлены полураскосы
этого пилона взаимно
затяжками и основаны
состоит в том,
взаимно-пересека-
здесь в широких
в виде буквы К-
Черт. 9.
Черт. 8.
Средняя часть дирижабля также имеет вид многогранной призмати-
ческой фермы.
V. Фермы пилонов. Пилоном называется металлическая опора приз-
матической или пирамидальной формы.
На черт. 9 показан один из пилонов многопролетного балочного
моста в Бирне (Индокитай). Высота этих пилонов достигает 95 м.
В виде пилонов устраиваются также береговые опоры висячих или
щепных мостов.
По этому же типу устраиваются высокие металлические башни. На-
пример Эйфелева башня в Париже высотой 300 м, а также причальные
мачты для дирижаблей.
На черт. 10 показан в перспективе металлйческий
пилон оригинальной инструкции для фуникулера
Cortina d’Ampezzo (в итальянском Тироле). Высота
пилона равна 40 м.
Особенность этой конструкции
что вместо обычно устраиваемых
юшихся
панелях
Опоры
связаны
на солидных железобетонных
столбах.
На черт. 11 показана схема
сетчатой башни системы инже-
нера В. Шухова. Она обра-
зуется из двух жестких колец —
нижнего АВ, верхнего ab и
прямых стержней 1 — 1, 2—2
ит. д., идущих по двум вза-
имно пересекающимся направ-
лениям, причем как кольца, так
и стержни устраиваются из
прокатного железа уголкового профиля. По высоте башни стержни усили-
ваются рядом промежуточных колец для придания, всей системе боль-
шей жесткости. Эта сетчатая конструкция представляет собой гипер-
болоид вращения, так как в меридиональном сечении имеет форму
гиперболы (Ла), и поэтому называется гиперболоидальной башней. Отно-
шение между нижним (DJ диаметром кольца и верхним (D2) диаметром
изменяется в пределах от 1,6 до 4.
Характерная особенность этой конструкции по внешнему виду заклю-
чается в небольшом суженном перехвате между крайними кольцами
^жесткости.
Преимущество этой конструкции состоит в легкости ее сборки, не тре-
бующей устройства дорогих подмостей и лесов. Для сборки необходимы
только простые козла.
Впервые башня системы Шухова была построена в 1896 г. для
водоснабжения на Всероссийской выставке в Нижнем-Новгороде. Высота
этой башни 25,60 м, диаметр нижнего основания 11 м, а диаметр верх-
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 11
него опорного кольца 4,30 м. Затем эта система применялась при постройке
двух маяков: в Херсонском морском канале (Станиславский — высотой 30 м
и Аджигиольский— высотой 68 м), а также в качестве водонапорных ба-
шень в разных городах (Ярославль. Николаев, Евпатория, Грозный и др.).
Эта же сетчатая система, только в более вытянутой форме
применяется в настоящее время для устройства смотровых башень на аме-
риканских военных кораблях (дредноутах), а в более сжатой форме,
применяется для устройства каркаса железобетонных конструкций, например
Черт. 10.
при устройстве рефрижераторов
(холодильных башень) для охлаж-
дения в них отработанного пара.
Такие железобетонные башни
гиперболоидальной формы пост-
Черт. 11.
роены в Англии и в Голландии с диаметром нижнего основания до
32 л и высотой до 38 м.
Подобные же сетчатые конструкции применяются для сводчатых и ку-
польных покрытий, например система Zolliger и система Jucho. Первая
применяется главным образом в деревянных конструкциях, а вторая —
в металлических.
Обе эти системы довольно широко распространены в Германии, при-
чем система Zolliger в последние годы стала применяться также и в Аме-
рике (краткое описание этой системы приведено далее, в § 23).
12
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
* VI. Фермы высоких мачт. Сюда относятся главным образом радио-
мачты и мачты для подвески электрических проводов высокого на-
пряжения.
На черт. 12 показана деревянная конструкция радиомачты высотой
#0 ж, построенная в Кенигсберге в 1927 г. Размеры ее в плане
14X14 ж. (Пунктиром показано расположение
антенны.) Для статического расчета этой мачты
принято было натяжение антенны в 1 000 кг и
давление ветра в 300 кг на 1 л/2, действующие в
том же направлении. Допу-
скаемые напряжения для де-
рева принимались: на растя-
жение—100 кг)см2 и на
сжатие — 60 кг)см2. Вес этой
мачты равен 42 т.
Подобная же мачта вы-
сотой 72 ж была построена
в Мюнхене в 1926 г.
На черт. 13 показана в.
схематическом виде Шабо-
ловская металлическая радио-
мачта (в Москве) высотой
125 ж. Она состоит из не-
скольких сильно вытянутых
сетчатых пилонов системы
Шухова, поставленных один
на другой, вследствие чего
получилось четыре узких пе-
рехвата и три узловых утол-
щения.
Благодаря этим промежу-
точным узловатостям башня
имеет довольно некрасивый
вид, но достоинство ее за-
ключается в легкости сборки
без подмостей, что значи-
Черт. 12.
тельно удешевляет стоимость
работ.
Подобные же радиомачты
высотой от 40 до 150 ж
были построены недавно в
разных городах СССР.
Черт. 13.
VII. Фермы аэропланов.
Фермы аэропланов также
представляют пространственные стержневые системы, как это видно из
черт. 14, где показана левая половина фермы биплана, считая от оси
симметрии ОО, проходящей через ось фюзеляжа.
Такие фермы обыкновенно являются статически неопределимыми
благодаря присутствию лишних стержней и контр-диагоналей или обрат-
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 13
ных раскосов с предварительным натяжением их (на черт. 14, чтобы
не затемнять его большим числом “линий, обратные раскосы не по-
казаны). На черт. 15 показана
схематически пространственная
ферма моноплана.
Точно также фермы фюзе-
ляжей представляют простран-
ственные системы. На черт. 16
показана в двух проекциях
ферма фюзеляжа аэроплана.
VIII. Фермы дирижаблей.
Наконец наиболее сложной про-
• странственной системой является
ферма дирижабля, которая схе-
матически показана на черт. 17. Кроме наружной сетчатой оболочки,
имеется ряд поперечных плоских сеток с жесткими кольцами по пери-
метру, как это видно
из поперечного разреза,
показанного на чер-
теже справа.
Черт. 15.
Черт. 16.
Всякая простран-
ственная ферма, в за-
висимости от ее наз-
начения, прикрепляется
к земле или к стенам
здания, или к каменному фундаменту, или ’к специальной платформе.
Всякое твердое тело, к которому прикрепляется ферма, называется ос-
нованием.
, Некоторые фермы, будучи
сняты с своего основания, со-
храняют св. ю геометрическую
форму при всяком положении
в пространстве. Сюда относится
-прежде всего ферма дирижабля,
которая не имеет «основания".
Мостовая ферма, снятая с
опор (черт. 1), также сохраняет
свою форму без изменения. По-
этому мостовые фермы небольших пролетов изготовляются на заводе,
затем в собранном виде доставляются на место работ на специальных плат-
формах, поднимаются кранами и ставятся на заранее приготовленные опоры.
14
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Ферму купола с опорным кольцом (черт. 2), также можно снять
со стен здания, и она будет сохранять свою форму при любом положе-
нии в пространстве.
Все такие системы, которые могут сохранять свою Лометрическую
форму в пространстве, независимо от основания, называются свобод-
ными фермами.
Но есть другого рода системы, которые могут сохранять свою геоме-
трическую форму только при условии прикрепления их к соответствую-
щему основанию.
Например если крановую ферму, показанную на черт. 5, снять с ее
платформы, то она потеряет свою первоначальную форму, так как опор-
ные стержни будут, свободно поворачиваться в воздухе в зависимости
от того или другого положения всей системы
в пространстве.
~Купольная ферма без опорного кольца,
/ \/	показанная на черт. 18 и прикрепленная к
д*-дТ	а# стенам здания двумя стержнями в каждой опор-
з	3 ной точке, также не может сохранять свою гео-
метрическую форму, если ее снять с своего
/	\\	основания и подвесить в пространстве.
/// V^vz/W \ Все такие системы, которые не могут сохра-
\ ' нять без изменения свою геометрическую форму
Зд\	Jp3 в пространстве, т. е. независимо от своего ос-
\\\ 1/^КХ//: нования, называются несвободными или при-
'д\С	крепленными фермами.
Например ферма аэроплана (черт. 14) яв-
ляется прикрепленной фермой, так как она
Черт. 18. может сохранять свою форму только при усло-
вии прикрепления ее к фюзеляжу, который
в данном случае и является ее „основанием", но ферма самого фюзеляжа
(черт. 16) есть свободная система, так как она способна сохранять свою
форму без изменения при любом положении в пространстве.
В зависимости от того — будет ли ферма свободная или прикреплен-
ная, изменяются условия устройства и расчета их опорных частей.
§ 2.	Образование простейших пространственных ферм.
Для того чтобы не было изгиба и кручения в стержнях простран-
ственных ферм и чтобы сопротивление их приводилось только к рас-
тяжению и сжатию, необходимо соблюдение следующих четырех условий.
1.	Внешняя нагрузка должна быть приложена только в узлах фермы.
2.	Отдельные стержни должны иметь в узлах шарнирное соединение,
позволяющее им свободно поворачиваться во все стороны.
3.	Стержни должны быть прямолинейные.
4.	Усилия в стержнях должны действовать центрально, т. е. по на-
правлению геометрической оси стержня.
Для определения усилий в элементах пространственной фермы надо
выделять узлы фермы один за другим и составлять уравнения равнове-
сия сил, сходящихся в каждом узле.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 15
Таких уравнений получится три для каждого узла фермы, соответ-
ственно трем основным уравнениям статического равновесия сил в про-
странстве
2X^0, SK=0 и SZ=0,
выражающим, что сумма проекций на каждую из трех координатных:
осей всех сил (т. е. внешних и внутренних), действующих на узел фер-
мы, должна равняться нулю, если эти силы находятся в равновесии.
Выясним теперь, в каких случаях этим путем можно решить задачу^,
т. е. найти усилия во всех стержнях пространственной системы.
Это определяется прежде всего числом и расположением элементов
или стержней, образующих пространственную ферму.
При недостаточном числе стержней получается система, которая не-
обладает свойством жесткости или геометрической неизменяемости, и ее
форма будет иметь возможность изменяться без изменения длины стерж-
ней, что имеет место в механизмах.
Такая система не представляет сопротивления изменению формы №
не может заменить сплошное твердое тело, т. е. не может уравновеши-
вать все те совокупности нагрузок, которые уравновешиваются на твер-
дом теле. Но добавив недостающие стержни, можно получить вполне
жесткую систему.
Таким образом для придания пространственной ферме свойства же-
сткости или геометрической,, неизменяемости необходимо, чтобы эта си-
стема имела вполне определенное число стержней.
Все стержни, прибавленные сверх этих необходимых, будут уже лиш-
ними, понимая этот термин в том смысле, как и для плоских ферм,,
т. е., что число таких элементов превышает число имеющихся уравнений;
статики.
Хотя для равновесия системы нет необходимости в присутствии таких.
лишних стержней, но они тем не менее не бесполезны для всей кон-
струкции, так как уменьшают напряжение некоторых частей системы и
способствуют другому, более выгодному распределению усилий во всех:
элементах фермы. Ввиду этого не редко ставят эти лишние стержни^
например применяют обратные раскосы, которые называются также контр-
диагоналями.
Если в системе нет лишних стержней, а имеется только необходи-
мое число их, вполне достаточное для придания всей системе свойства
жесткости или геометрической неизменяемости, то усилия в этих -стерж-
нях могут быть определены по данным нагрузкам из условия равно-
весия.
Для этого требуется иметь только геометрический чертеж фермыг
т. е. должны быть заданы только длины и направления осей стержней.
Задание размеров площади поперечных сечений и рода материалов
отдельных элементов фермы не требуется для расчета, так как распре-
деление усилий в стержнях системы от этих данных вовсе не зависит^
Такая жесткая пространственная система без лишних стержней будет
статически определима, т. е. все усилия в ее элементах могут быть опре-
делены из одних уравнений статики.
16
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Переходим теперь к выяснению условий жесткости или геометриче-
ской неизменяемости пространственной системы, и будем исходить из
определенного способа образования пространственных ферм.
Составляем сперва неизменяемую плоскую элементарную ферму в виде
трех стержней, шарнирно соединенных друг с другом и образующих
треугольник АВС (черт. 19).
Если к этому треугольнику присоединить новый узел D при помощи
одного стержня ДО, не лежащего в плоскости треугольника АВС, то
узел D будет иметь возможность перемещаться во все стороны по ша-
ровой поверхности, образуемой радиусом AD.
Если узел О прикрепить двумя стержнями AD и BD (черт. 20), то
он будет иметь возможность перемещаться только по окружности ра-
диуса Di, вращаясь около оси АВ.
И, наконец, если узел D прикрепить к основанию АВС тремя стерж-
нями AD, BD и CD, не лежащими в одной плоскости, то он
^удет закреплен неподвижно (черт. 21). Очевидно, что если все три
стержня будут лежать в одной плоскости,
Черт. 19. Черт. 20. Черт. 21.
например стержни AD, dD
и BD (черт. 20), то узел D
будет подвижным.
Итак для неподвижного
прикрепления узла в про-
странстве необходимо и до-
статочно три стержня, не
лежащих в одной плоскости
и не совпадающих с плос-
костью основания. Такой
узел будем называть в даль-
нейшем изложении для краткости элементарным жестким узлом
в пространстве в отличие от сложных узлов, где сходится более
трех стержней.
Полученная таким образом система стержней в виде трехгранной пи-
рамиды с треугольным основанием (черт. 21) будет геометрически неизме-
няемой и является элементарной пространственной фермой.
Присоединяя к этой элементарной системе пятый, шестой и после-
дующие узлы, каждый тремя стержнями, не лежащими в одной плоско-
сти, получим геометрически неизменяемую пространственную систему
с любым числом узлов.
Пространственные фермы, составленные таким способом, называются
простейшими системами.
Например на черт. 22 показана простейшая система, составленная
мз четырех трехгранных пирамид следующим образом. К основанию
в виде треугольника 1, 2, 3 прикреплен узел 4 тремя стержнями 4—1,
4 2 и 4—3, причем получается первая трехгранная пирамида 4, 1,2,3.
Затем прикрепляется узел 5 также при псмоши трех стержней 5—4,
*5 2 и 5—3, причем получается вторая трекгранная пирамида 5, 4, 2, 3
< треугольным основанием 2, 3, 4.
После этого прикрепляется узел 6 тремя стержнями 6—2, 6—4 и
—5, причем получается трехгранная пирамида с треугольным основа-
нием 2, 4, 5.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 17
И наконец прикрепляется узел 7 также при помощи трех стержней
7—4, 7—5 и 7—6, причем получается четвертая трехгранная пирамида
7, 4, 5, 6 с треугольным основанием 4, 5, G.
Основание в виде одного треугольника вовсе не является необходи-
мым условием образования простейшей пространственной системы. Можно
взять за основание
любую правильную
или неправильную
геометрическую фи-
гуру, затем разбить
ее на ряд отдель-
ных треугольников,
и к этому основа-
нию прикрепить це-
лый ряд узлов, ле-
жащих в простран-
стве, при условии,
чтобы каждый узел
был прикреплен
только тремя стерж-
нями, не лежащими в
Черт. 22.	Черт. 23.
одной плоскости, и чтобы совокупность всех стер-
жней представляла замкнутую пространственную фигуру.
Например на черт. 23 показана^лростейшая система с основанием
в виде четырехугольника 1, 2, 3, 4, разделенного диагональю 1—3 на
два треугольника.
Затем прикреплен узел 5 при помощи трех стержней 5—1, 5—2 и
5—3. После этого прикреплен узел 6 также тремя стержнями 6—1,
6—4 и 6—3.
После этого прикреплен узел 7 тремя стержнями 7—1, 7—5 и 7—6,
и наконец прикреплен узел 8 тремя стержнями 8—3, 8—5 и 8—6 и
Верхний четырехугольник 5, 7, 6, 8 также может быть разделен на два
треугольника диагональю 5—6.
Из этих простых примеров видно, что каждый новый узел должен
прикрепляться тремя стержнями к другим неподвижным или закре-
пленным узлам. Например при образовании простейшей фермы, показанной
на черт. 22, после закрепления узла 4 нельзя переходить непосредствен-
но к закреплению узла 6 показанными на чертеже стержнями 6—2, 6—4 и
6—5, так как узел 5 еще не закреплен неподвижно, и только после
закрепления этого узла можно закрепить и узел 6 соответствующими
стержнями, причем стержень 6—5 будет уже прикрепляться к заведомо
неподвижному узлу 5.
Точно также из черт. 23 видно, что к закреплению узла 7 или узла 8
указанными выше стержнями можно переходить только тогда, когда
будут закреплены неподвижно узлы 5 и 6.
На черт. 24 показано купольное покрытие также простейшей систе-
мы, причем за основание взят правильный шестиугольник ABCDEF, ко-
торый разделен тремя диагоналями АЕ> AD и АС на четыре треуголь-
ника, как это показано отдельно справа на дополнительном чертеже,
чтобы не затемнять основной чертеж фермы.
2 Подольский, И. С.
18	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Взяв за основание этот шестиугольник, можно вести дальнейшее по-
строение фермы в порядке нумерации узлов, показанной на чертеже,
прикрепляя каждый новый узел тремя стержнями к другим, ранее закре-
пленным узлам.
После образования верхнего кольца в виде малого шестиугольника
разбивают его тремя диагоналями на четыре треугольника. Следует иметь
в виду, что эти диаго-
нали, показанные на
чертеже пунктиром,
вводятся после всего.
Из этого примера
видно, что простейшая
пространственная фер-
ма, составленная только
из треугольников, мо-
д жет иметь часть этих
треугольников лежа-
щими в одной плос-
кости.
В дальнейшем из-
В	с	в	ь ложении будет указано,
Черт. 24.	при каких условиях
можно удалить стержни
в плоском основании простейшей фермы, чтобы получить внутреннее
пространство под куполом свободное от этих стержней, не нарушая гео-
метрической неизменяемости системы. *	#
Выясним теперь зависимость между числом стержней и числом узлов,
необходимых для образования пространственной геометрически неизме-
няемой фермы.
Обозначим через т— число стержней и через п — число узлов. Для
соединения в неизменяемую систему первых трех узлов, как указано было
выше, требуются три стержня. Для прикрепления каждого из остальных
(п — 3) узлов необходимо также по три стержня.
Следовательно общее число стержней будет равно
или
/п = 3 4-3-(л —3)
т — Зя — 6,
(1)
т. е. в жесткой, геометрически неизменяемой простран-
ственной с и с f:м е число стержней (т) должно равняться
утроенному, числу уздов без шести (Зп — 6).
Это есть первое, необходимое условие для образования
пространственной фермы, т. е. для ее геометрической опреде-
лимости. Необходимо одндко заметить, что первое условие, выражае-
мое формулой (1), относится не только к простейшим фермам, но
является общим условием для всяких пространственных ферм (т. е.
для сложных и преобразованных), статически определимых в отношении
внутренних усилий в элементах фермы.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 19
Для подсчета стержней и узлов формулу (1) удобнее иногда пред-
ставлять в таком виде:
т — (З-л — 6) = 0.	(2)
Например в купольном покрытии, показанном на черт. 24, имеется:
/м — 48 стержней и я =18 узлов. Подставляя эти числовые данные
в формулу (2), получим тождество:
48 —(3 X 18 - 6) = 48 —48 = 0.
Таким образом данная ферма удовлетворяет первому условию (форму-
ла 1) геометрической неизменяемости системы.
Все простейшие фермы всегда будут удовлетворять этому условию и
всегда будут геометрически неизменяемыми системами, так как они со-
ставляются из жестких трехгранных пирамид, как это было указано выше
при рассмотрении черт. 22 и 23.
Однако другие системы пространственных ферм, удовлетворяя пер-
вому условию, могут оказаться геометрически измеряемыми системами,
что будет доказано далее.
Следовательно первое условие, выраженное формулой (1), является не-
обходимым, но ещё не достаточным условием для окончательного су-
ждения о том, будет ли данная пространственная система жесткой фер-
мой или же геометрически изменяемой системой стержней вроде ме-
ханизма.
§ 3. Преобразование простейших ферм. Сложные системы.
Из простейших пространственных ферм могут быть получены другие
виды ферм путем преобразования ц^рвых. Самый общий способ преобра-
зования фермы состоит в замене одних стержней другими стержнями,
когда удаляют какой-либо стержень, соединяющий два узла, и вместо
него вставляют другой стержень между двумя другими узлами.
При этом общее число стержней фермы не изменяется, и следова-
тельно преобразованная пространственная ферма, полученная из простей-
шей системы, также будет удовлетворять первому условию статической
определимости, выражаемому формулой (1). Но при удалении какого-
либо стержня пространственная система становится подвижной, и отно-
сительное расположение узлов получает возможность изменяться. *
Поэтому чтобы и после преобразования пространственная ферма была
жесткой, геометрически неизменяемой, необходимо вместо удаляемого
стержня вставить новый, заменяющий стержень между двумя такими
узлами, расстояние между которыми получило возможность изменяться
после удаления какого-либо стержня из системы.
Только при соблюдении этого условия новая система, полученная
путем преобразования из простейшей системы, будет также иметь жест-
кую, геометрически неизменяемую форму.
Рассмотрим несколько примеров преобразования простейших систем.
Первый пример. Если в простейшей ферме, изображенной на
черт. 22, выбросить стержень (диагональ) 2—4, а вместо него вста-
вить стержень 1—6, в виде обратной диагонали той же плоской
2*
20
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
грани 1, 2, 6, 4, то получим преобразованную ферму, показанную на
черт. 25, где удаленный стержень 2—4 намечен пунктирной линией.
Рассматривая эту ферму, нетрудно заметить, что образование ее уже
не подчиняется общему правилу построения простейших систем, путем
прикрепления каждого нового узла тремя стержнями к трем ранее за
закреп-
1, 2, .3
переходим
к
2
Черт. 26.
крепленным узлам. Например после образования неиз-
меняемого треугольника
лению узла 4 и видим,
что из трех стержней,
сходящихся в этом уз-
ле, только один стер-
жень	4—1 прикреп-
ляется к закрепленному
узлу 1, а два других
стержня 4—5 и 4—6
прикреплены соответ-
ственно к узлам 5 и 2
6 в пространстве, ко-
торые еще не закре-
плены.
То же самое найдем, если начнем сперва рассматривать узел 5 или узел 6.
Кроме того эта преобразованная ферма не расчленяется на отдельные
трехгранные пирамиды, тогда как
соответствующая ей простейшая си-
стема, показанная на черт. 22, раз-
бивается на четыре трехгранных пи-
рамиды.
Второй пример. Если в про-
стейшей ферме, изображенной на
черт. 23, выбросить стержни 1—5
и 3—6 и вместо них вставить заме-
няющие стержни 2—7 и 4—8 в виде
обратных диагоналей в соответству-
ющих плоских гранях, то получим
дважды преобразованную ферму, по-
казанную на черт. 26, где удаленные
стержни 1—5 и 3—6 показаны пун-
ктирными линиями.
Эту преобразованную ферму также
не удастся составить путем после-
довательного прикрепления каждого
нового узла тремя стержнями к трем
ранее закрепленным узлам, а также
нельзя ее и разбить на отдельные
трехгранные пирамиды, тогда как со-
ответствующая ей простейшая си-
стема, показанная на черт. 23, легко
разбивается на четыре трехгранных пирамиды.
Третий пример. Простейшая купольная ферма, изображенная
на черт. 24, также может быть преобразована путем замены шести диа-
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 21
гоналей одного направления шестью заменяющими диагоналями обрат-
ного направления в тех же плоских гранях покрытия.
На черт. 27 показана та же купольная ферма в преобразованном виде,
причем первоначальное направление стержней намечено пунктирными
линиями.
Из сравнения черт. 24 и 27 нетрудно заметить, что в простейшей
ферме (черт. 24) имеется несколько элементарных узлов, в которых схо-
дятся только по три стержня. Сюда относятся узлы А, С и Е.
Если отбросить диагонали верхнего кольца, заменив их соответствен-
но добавочными опорными реакциями, о чем подрЪбно будет указано
далее, то получим еще три элементарных узла: 10, 11 и 12, где схо-
дятся также только по три стержня. В преобразованной ферме (черт. 25)
нет ни’одного узла, где сходилось бы только три стержня.
Во всех трех рассмотренных примерах заменяющие стержни и вы-
брасываемые стержни, находятся в тех же плоских гранях фермы. Такая
замена стержней называется плоским преобразованием, так как
здесь каждое преобразование производится в одной плоскости и не
распространяется на другие части фермы.
Но можно применить и пространственное преобразова-
ние, когда удаляемый и заменяющий стержни лежат в разных плоскостях.
Например простейшую ферму, показанную на черт. 23, можно пре-
образовать, выбросив стержень 5—6, расположенный в плоскости верх-
ней грани параллелепипеда, и вставив вместо него стержень 2—6,
представляющий диагональ параллелепипеда.
Как видно из приведенных выше примеров сложной или пре-
образованной фермой называется такая система стержней, кото-
рая не может быть получена непосредственно последовательным закреп-
лением каждого нового узла тремя стержнями с неподвижными узлами,
но образуется производно из простейшей фермы путём замены стержней.
При этом, если заменяется несколько стержней, то такая система назы-
вается многократно преобразованной.
Заметим при этом, что если преобразованная система получена из
простейшей путем плоского преобразования, т. е. путем замены раскоса
одного направления раскосом другого направления в той же панели, то
такая преобразованная система также будет жесткой геометрически не-
изменяемой фермой. При пространственном преобразовании такого за-
ключения в категорической форме сделать нельзя, так как иногда оно
будет ошибочным.
Чтобы узнат^ будет ли данная пространственная система простей-
шей или сложной, преобразованной из простейшей, применяется следую-
щий простой способ. Надо попытаться мысленно разобрать или разру-
шить1) данную ферму, начиная это разрушение с того узла, где сходятся
<) Это разрушение стержневой системы на чертеже производится следующим
образом. Сперва рисуют пером заданную ферму в аксонометрических или орто-
гональных проекциях, и затем все удаляемые стержни прочерчиваются цветным
карандашом, отчего рисунок сохраняет отчетливую ясность в процессе всей ра-
боты по разрушению фермы. Применяют также перечеркивание отбрасываемых
стержней, но этот способ не обладает такой наглядностью, как прочерчивание
удаляемых стержней по всей их длине цветным карандашом.
22
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
только три стержня, не лежащие в одной плоскости, и затем переходя
последовательно от узла к узлу, разрушать те из них, в которых схо-
дятся только по три стержня, не лежащие в одной плоскости.
Узлы, где сходится более трех стержней, разрушать нельзя до тех
пор, пока из них не выпадут некоторые стержни при возможном разру-
шении соседних узлов.
Если после такого последовательного разрушения всех элементарных
узлов придем к плоскому основанию, составленному из треугольников
или из одного треугольника, то такая ферма будет простейшая.
Если же такого ’разрушения нельзя выполнить, то следовательно фер-
ма будет преобразованной или сложной. Это правило легко проследить
на рассмотренных выше примерах.
Например разрушая пространственную ферму, показанную на черт. 22
в последовательном порядке, обратно порядку ее образования, т. е. начиная
с узла 7, и затем последовательно переходя к узлам 6, 5 и 4, каждый
раз будем находить узел, в котором сходятся только три стержня, не лежа-
щие в одной плоскости, и наконец придем к треугольному основанию 1, 2, 3.
Следовательно эта пространственная ферма есть простейшая система.
Но если попытаться разрушить преобразованную ферму, показанную на
черт. 25, то после разрушения верхнего узла 7 нельзя уже будет про-
изводить дальнейшее разрушение по указанному выше правилу, так как
в каждом из остальных узлов 4, 5 и 6 сходятся по четыре стержня.
Следовательно эта ферма (черт. 25) является уже сложной или пре-
образованной системой.
Точно также легко разрушить ферму, показанную на черт. 23, начи-
ная с элементарных узлов 7 и 8, в которых сходятся по три стержня, не
лежащих в одной, плоскости, затем переходя к элементарному узлу 4,
после этого разрушаем узел 6, в котором, за исключением отброшенных
стержней, остается только три стержня 6—1, 6—5 и 6—3, наконец
разрушаем узел 5 и приходим к треугольнику 1, 2, 3. Следовательно
эта ферма (черт. 23) есть простейшая система.
Но если попытаться разрушить фе^му, показанную на черт. 26,
то здесь сразу обнаруживается невозможность такого разрушения, так
как в этой ферме нет ни одного элементарного узла, где сходилось бы
только три стержня, не лежащих в одной плоскости, а следовательно
нет такого узла, с которого можно было бы начать разрушение по ука-
занному выше правилу. Следовательно эта ферма (черт. 26) будет пре-
образованной системой. ,
Точно также купольное покрытие, показанное на черт. 24 — после
замены стержней (диагоналей), расположенных в плоскости нижнего
опорного кольца и в плоскости верхнего кольца, соответствующими
опорными реакциями, — легко разрушить, начиная с верхних узлов: 12,
11 и 10, в которых сходятся только потри стержня, не лежащих водной
плоскости, и откуда можно было бы начать разрушение этой фермы.
Следовательно эта ферма будет простейшая.
Но если попытаться разрушить купольную ферму, показанную на
черт. 27, то здесь не найдем ни одного узла, в котором сходилось бы
только три стержня, не лежащих в одной плоскости, и откуда можно
было бы начать разрушение этой фермы.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 23
Следовательно эта купольная ферма (черт. 27) представляет сложную
преобразованную систему.
Подобно тому как из простейшей фермы получается сложная или
преобразованная ферма, точно также из преобразованной фермы можно
получить Яфостейшую систему при помощи того же метода замены
стержней.
Обратное преобразование сложной фермы в простейшую произво-
дится более или менее просто в зависимости от выбора заменяемых
стержней.
Чтобы получить наиболее простое решение этой задачи, следует уда-
лять стержни из тех узлов сложной фермы, где имеется наименьшее
число стержней (но не менее четырех), тогда будет наименьшее число
замен и получится наименьшее число заменяющих стержней.
Руководствуясь этими соображениями, ищем на чертеже простран-
ственной фермы узел с наименьшим числом стержней и удаляем из него
все стержни кроме трех, не лежащих в одной плоскости, а взамен
отброшенных стержней вставляем столько * же новых или заменяющих
стержней между другими узлами.
Но обращая сложную или преобразованную ферму в простей-
шую, надо иметь в виду, что не всякие узлы пригодны для поме-
щения заменяющего стержня для того, чтобы ферма осталась жесткой
системой.
При неудачном выборе заменяющего стержня вместо жесткой фермы
может получиться подвижная или геометрически изменяемая система. По-
этому заменяющий стержень следует вводить только между теми узлами,
которые могут взаимно перемещаться, или, другими словами, расстоя-
ние между которыми может изменяться после удаления выбрасываемого
стержня.
Если эти узлы связать заменяющим стержнем, то свобода перемеще-
ния их будет уничтожена, узлы займут определенное положение, а вме-
сте с тем займут определенное положение и все другие узлы, связан-
ные с ними.
Чтобы найти те узлы, между которыми надо поместить заменяющий
стержень, обращающий подвижную систему в простейшую ферму, по-
ступают следующим образом.
После отбрасывания намеченного стержня удаляют из системы (путем
зачеркивания) все те узлы, которые прикреплены только тремя стер-
жнями, не лежащими в одной плоскости, так как положение каждого
из этих узлов вполне определяется тремя стержнями. Произведя это
разрушение системы, получают исходную систему с недостающим
стержнем.
Эта система будет так проста, взаимное перемещение стержней так
очевидно, что положение заменяющего стержня определяется само со-
бой, его надо расположить так, чтобы уничтожить подвижность остав-
шейся системы из нескольких стержней.
Поясним это соответствующими примерами.
Первый пример. Возьмем пространственную геометрическую фи-
гуру в виде октаэдра или восьмигранника и расположим по ребрам этой
фигуры стержни, тогда получим систему, показанную на черт. 28.
24
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Эта система имеет т = 12 стержней и л = 6 узлов, и следовательно
удовлетворяет первому условию геометрической неизменяемости, выра-
жаемому формулой (2):
т — (3-/г — 6) = 0.
В самом деле, подставляя сюда соответствующие числовые данные,
получим тождество:
12 —(3 х 6 —6) = 0.
Данная система представляет сложную или преобразованную ферму,
так как в каждом узле сходятся по четыре стержня, и нет ни одного
узла с тремя стержнями.
Чтобы превратить эту сложную систему в простейшую, отбрасываем
стержень eb, тогда получим два элемен-
любой из стержней, нащ
тарных узла е и Ь, в каж-
дом из которых сходятся
только по три стержня,
не лежащих в одной пло-
скости. Разрушая
I
эти
один
3
>
Черт. 29.
элементарный • узел d, а разрушив и этот
последний узел, получим подвижную систему, состоящую только из двух
стержней af и г/, соединенных шарниром в узле /, причем узлы а и с
имеют возможность перемещаться при вращении этих стержней вокруг
их общего узла /. Чтобы воспрепятствовать этому перемещению, надо
вставить заменяющий стержень ас по диагонали квадрата abed, как это
показано на черт. 28 пунктирной линией. Такая система, без стержня
eb, но с заменяющим его стержнем ас, будет простейшей фермой.
Второй пример. Дана пространственная призматическая фёрмаг
показанная на черт. 29, имеющая т = 30 стержней и я =12 узлов и
удовлетворяющая первому условию геометрической неизменяемости, вы-
ражаемому формулой (2):
т— (3-и —6) = 0.
В самом деле, подставляя сюда соответствующие цифровые значения
получим тождество:
30 —(3 X 12 — 6) = 30 — 30 = 0.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 25
Разрушая элементарные узлы 1 и 2, где сходятся только по три
стержня, не лежащих в одной плоскости, находим, что в каждом из
остальных узлов сходится более трех стержней, и следовательно разру-
шить эту ферму по общему правилу нельзя.
Поэтому данная ферма является сложной или преобразованной. Чтобы
найти простейшую ферму, из которой была получена эта преобразован-
ная ферма, рассматриваем остальные узлы и ищем такие, где сходилось
бы не более четырех стержней. Такими узлами оказываются узлы 3 и 4,
а также узлы 10 и 12. Останавливаемся на первых двух узлах и вы-
брасываем стержень (3—4)1). Тогда все узлы фермы получат некоторую
подвижность, и чтобы восстановить первоначальную жесткость системы,
надо ввести заменяющий стержень.
Но для этого стержня надо найти соответствующее место. Выбросив
стержень 3—4 получим элементарные узлы 3 и 4, в которых сходятся
только по три стержня. Удалив эти стержни, продолжаем дальнейшее
разрушение фермы, переходя от узла к узлу в порядке нумерации узлов,
показанной на черт. 29.
Наконец получаем систему, состоящую из двух стержней 9—11 и
12—И, имеющих общий узел 11 (эти стержни на черт. 29 отмечены более
толстыми линиями, чем остальные стержни, чтобы рельефнее выделить их).
При этом узлы 9 и 12 имеют возможность перемещаться при вра-
щении стержней 9—11 и 12—11 вокруг их общего узла 11.	-
Чтобы воспрепятствовать этому перемещению узлов 9 и 12, надо
вставить между ними заменяющий стержень 9—12, показанный на
черт. 29 пунктиром.
Такая ферма, полученная из сложной преобразованной фермы, будет
простейшей фермой и следовательно жесткой, геометрически неизменяе-
мой, ибо это свойство присуще всем простейшим системам.
§ 4. Сетчатые системы.
Если взять какой-нибудь правильный многогранник с треугольны-
ми гранями, и расположить по ребрам этого многогранника стержни,
а в вершинах расположить узлы, то получится жесткая пространственная
ферма, которая называется сетчатой системой. Сетчатыми фермами
обыкновенно пользуются при устройстве купольных и цилиндрических
покрытий.
Обозначим число стержней такой системы через /л, число узлов через
л, а число граней через g, тогда зависимость между этими тремя величи-
нами выражается следующей формулой Эйлера, известной из геометрии:
m = n-\-g — 2,	(3)
т. е. число ребер (т) равняется сумме узлов (л) и граней (g) без
двух. Не трудно доказать эту теорему на основании простых умозритель-
ных заключений.
<) Рекомендуется заменяемый стержень прочерчивать на схеме красным ка-
рандашом, а все остальные постепенно отбрасываемые стержни прочерчивать
синим карандашом, тогда весь Процесс разрушения фермы получает ясную от-
четливую форму.
26
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Возьмем сперва какую-либо грань многогранника. Для образования
этой грани в виде треугольника требуются три стержня и три узла. Для
присоединения к выбранной грани многогранника каждой новой грани
требуются только два стержня и* один узел. Это сохраняется в силе до
тех пор, пока не дойдем до последней грани, замыкающей многогранник.
Присоединение этой последней грани не прибавляет ни новых узлов,
ни новых ребер, а только заполняет площадь треугольника между суще-
ствующими уже стержнями.
Таким образом исключая первую и последнюю грани, получим число
остальных граней (g—2).
Следовательно число стержней или ребер, затраченных на образова-
ние всего многогранника, будет равно
m = 3-|-2(g — 2),	(а)
Подставляя это значение
а уисло узлов, затраченных на обра-
зование всех граней, будет равно
« = 3 + lte-2).	(b)
Вычитая второе уравнение из
первого, получим:
т — n=g— 2.
Из последнего уравнения имеем:
tn — п-\- g— 2,
что и выражает указанную выше
формулу Эйлера (3).
Так как каждая грань ограничена
тремя ребрами или стержнями, и
так как один стержень принадлежит
двум смежным граням, то между
числом граней (^) и числом ребер
(т) получается такая зависимость
в формулу (3), найдем, что
т = 3,7— 6,
(4)
т. е. в жесткой, геометрически неизменяемой сетчатой системе с тре-
угольными гранями, число стержней (/п) должно равняться утроенному
числу узлов без шести (3/г — 6).
Как указано было выше в § 2, такая же зависимость между числом
стержней (т) и числом узлов (п) существует и в простейших про-
странственных фермах (формула 1).
Рассмотрим теперь несколько примеров сетчатых покрытий.
На черт. 30 показано сетчатое купольное покрытие, предложенное
немецким профессором Фёпплем .в 1891 г. Эта система называется
также „звездчатым покрытием
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 27
Существенное отличие этой системы покрытия от куполов Швед-
лера заключается в том, что в ней отсутствуют меридиональные ребра,
а все пространство между горизонтальными кольцами заполняется тре-
угольной решеткой. Затем, нигде нет обратных раскосов или контр-диа-
гоналей, и каждый треугольник совершенно независим от соседних.
Главные . части сетчатого купола составляют: кольца, лежащие
в горизонтальных плоскостях, и сеть стержней, лежащих на поверх-
ности купола. Таким образом это сетчатое покрытие представляет
многогранник, по ребрам которого расположены стержни системы.
Из черт. 30 легко усматри-
вается также, что узлы каждого
кольца передвигаются относи-
тельно узлов смежного кольца
Черт. 31.
стороне опорного многоуголь-
половину угла, соответствующего одной
ника и равного
360°
я =,
п
где п — число сторон многоугольника.
На черт. 31 показан другой тип сетчатого покрытия системы Цим-
мермана. Здесь горизонтальные кольца купола имеют неодинаковое
число сторон, а именно: нижнее кольцо имеет стержней в два раза больше,
чем верхнее кольцо.
На черт. 32 показана жесткая, геометрически неизменяемая система
Гертвцга. Стержни каждой четверти этого купола расположены таким
образом, что после поворота его на 90° вокруг вертикальной оси сов-
падают со стержнями соседней четверти.
28
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
В этом сетчатом покрытий уже явным образом намечаются меридио-
нальные ребра, и поэтому теряется существенное отличие его от реб-
ристых покрытий системы Швеллера.
Поэтому все пространственные системы, включая сюда и звездчатые
купола и купола Швеллера, у которых стержни расположены только
по наружной поверхности, можно отнести к одному классу «сетчатых"
систем.
Таким образом всякая сетчатая система свободна от внутренних про-
странственных поперечных или диагональных связей.
В этом отношении и пространственная мостовая ферма с ездою по
низу, т. е. внутри самой фермы, может быть отнесена к классу сетчатых
систем, но та же мостовая ферма с ездою по верху, имеющая внутрен-
ние поперечные связи в виде диагональных крестов между стойками,
уже не может быть отнесена к типу сетчатых систем.
Точно также ферма дирижабля, как одна целая конструкция, не может
быть отнесена к типу сетчатых систем, так как она имеет целый ряд
внутренних поперечных связей, но в промежутках между двумя отсеками
конечно и ферма дирижабля является сетчатой системой.
Таким образом во многих случаях пространственные фермы сетчатой
системы являются преобладающим типом.
Но есть и такие пространственные фермы, которые никоим образом
нельзя отнести к типу сетчатых систем. Сюда например относятся ба-
лочно-сферические покрытия, которые будут рассмотрены в следующем
параграфе.
§ 5. Балочно-сферические покрытия.
Старейшая форма купольного покрытия имеет вид отдельных балоч-
ных ферм с криволинейным верхним
поясом и прямолинейным нижним
поясом. Эти фермы устанавлива-
ются на стены здания, причем
пояса ферм пересекаются на сред-
ней вертикальной оси (черт. 33).
В случае небольших покрытий
все сходящиеся половины ферм
соединяются вместе в общих узлах
О и К при помощи специальных
узловых накладок.
В случае больших купольных
покрытий фермы примыкают к об-
щему центральному барабану, на
котором обыкновенно устанавли-
вается еще световой фонарь. По-
этому этот опорный барабан на-
зывается «световым" кольцом
(черт. 34).
Это кольцо состоит из верх-
него сжатого и нижнего растя-
нутого пояса, причем оба они соединяются между собой решеткой и
представляют таким образом жесткое сочленение.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 29
Сжатый и вытян’утый пояса светового фонаря должны быть настолько
прочны, чтобы они могли воспринимать приложенные по сторонам кольца
усилия, передающиеся от поясов ферм, и при неравномерной нагрузке
выдерживать срезыва-
ющие усилия.
Опоры ферм дела-
ются на одной стороне
диаметра окружности
неподвижными, а на
другой стороне диа-
метра подвижными, что
является общим усло-
вием для ' свободных
балочных покрытий.
Ветровые связи в
виде диагоналей при-
крепляются к двум
смежным фермам через
один интервал, соеди-
няя их в одну пару, как
это показано в плане
на черт. 33 и 34, так
как соединять между
собой все фермы ветро-
выми связями нет ни-
какой необходимости.
Прогоны обрешетки
укладываются свободно на верхних
ферм и перпендикулярно к средней
Черт. 34.
радиальных поясах стропильных
линии между ними, причем эти
прогоны воспринимают усилия только от внешней нагрузки.
Такая конструкция балочно-сферического покрытия пригодна только
в том случае, если пространство под куполом не должно быть исполь-
зовано. Нижние прямолинейные пояса ферм в этом случае служат для
прикрепления к ним потолка здания.
Следует еще заметить, что такая конструкция не имеет распора.
Балочно-сферическая система представляет большие конструктивные
удобства также для перекрытия прямоугольного или восьмиугольного
в плане помещения, причем фермы располагают так, как это показано
в плане на черт. 35. Здесь ACDB и A'CD1 В— главные фермы, а а С,
ЬС, cD и dD — второстепенные полуфермы, примыкающие к главным
фермам. Точно также и пирамидальная верхняя часть OCDD'C является
второстепенной частью конструкции крыши. Такую систему можно наз-
вать пространственными стропилами.
Но возможно и другое расположение балочных ферм, а именно по
диагоналям АВ и CD прямоугольной площади в плане (черт. 36).
В этом случае второстепенные фермы будут расположены по ребрам
ab, cd и ef, gh, а также по ребрам kb, fm и lc, gn.
При большом пролете и при большом подъеме балочно-сферического
покрытия может быть использована даже часть пространства под куполь-
30	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
ным покрытием, как это показано на черт. 37, где балочные серповидные
фермы имеют в своей верхней части почти параллельные пояса.
Черт. 36.
Такие фермы дают уже горизонтальный распор, и для уничтожения
его необходимо или устраивать нижнее опорное кольцо, которое вос-
Черт. 37.
принимало бы распор, или
же устраивать все опоры
закрепленными.
Заметим между про-
чим, что такое купольное
покрытие было устроено
для выставочного здания
в Лионе (в 1894 г.) диа-
метром 110 м и высотой
55 м, причем опоры ферм
располагались на уровне
земли, как это показано
на черт. 37.
Продольными непре-
рывными связями между
отдельными фермами яв-
ляются обрешетины, ко-
торые впрочем работают
только, как таковые и
не представляют собой
части конструкции прост-
ранственного сочленения,
подвергаются только изгибу. В этом последнем
а поэтому не испытывают
продольных усилий, но
и заключается существенное
отличие балочно-сферических покрытий от описанных выше сетчатых систем.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 31
Расчет балочно-сферического покрытия производится на основании
тех же принципов, как и расчет балочных плоских ферм, причем сперва
расчитываются все второстепенные части и выясняется расчетом, какая
нагрузка передается от них на узлы главных ферм, а затем уже расчи-
тываются и главные фермы, как плоские системы, за исключением сред-
него" опорного или светового кольца, которое расчитывается как про-
странственная ферма.
§ 6. Классификация пространственных ферм.
Ввиду-большого разнообразия пространственных ферм разных типов
является невозможным дать одну общую классификацию для всех этих
ферм. Поэтому существует несколько классификаций в зависимости от
тех или других внешних признаков ферм.
Рассмотрим в кратких чертах все эти характеристики.
I.	Классификация ферм по роду сооружений.
В этом отношении все пространственные фермы могут быть разделены
на следующие виды.
1.	Мостовые фермы.
2.	Купольные, пирамидальные и шатровые покрытия.
3.	Крановые фермы.
4.	Призматические фермы.
5.	Фермы пилонов.
6.	Фермы аэропланов.
7.	Фермы дирижаблей и другие.
Все эти типы в кратких чертах были описаны в § 1 с указанием на
соответствующих чертежах их конструкции и поэтому здесь можно огра-
ничиться этим простым перечнем пространственных ферм разных типов.
II.	Классификация ферм по роду опор.
1.	Свободные фермы.
2.	Прикрепленные фермы.
Свободными фермами называются такие, которые не изменяют своего
геометрического вида при любом положении в пространстве, независимо
от опор.
Прикрепленными фермами называются такие, которые сохраняют свою
геометрическую неизменяемость только при условии соответствующего
прикрепления их к какому-либо жесткому „основанию “ или к твердому
телу. Лишенные своего основания, такие системы становятся подвижными
или геометрически изменяемыми.
III.	Классификация ферм по способу их. образования.
1.	Простейшие фермы.
2.	Сложные фермы, преобразованные из простейших систем.
3.	Ребристые системы (например купольное покрытие Швеллера),
которые в частном случае могут быть и простейшими.
4.	Сетчатые системы (например звездчатый купол), которые также
могут быть и простейшими фермами в частном случае.
32
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
5.	Балочно-сферические покрытия и пространственные стропильные
фермы (например сетчатое цилиндрическое покрытие).
Что касается простейших ферм, то таковые, как это указано было
• в § 2, составляются из элементарного тетраэдра при помощи прикре-
пления к нему каждого нового узла только тремя стержнями, не лежащими
в одной плоскости. Очевидно, что простейшие фермы могут иметь вну-
тренние поперечные пространственные стержни (один или несколько), как
это показано например на черт. 29.
Кроме того простейшие фермы в первоначальном своем виде, т. е.
как свободные фермы, всегда имеют внутреннее замкнутое пространство,
как бы заключенное в наружную оболочку со всех сторон.
Сложные, преобразованные фермы (подробно описанные в § 3) также
могут иметь внутренние пространственные связи, но в отличие от про-
стейших систем преобразованные системы могут быть открытыми сверху
и снизу взамен устройства дополнительных опорных закреплений, на-
пример купол, показанный на черт. 27, у которого удалены диагональ-
ные связи в плоскости верхнего кольца и в плоскости опорного кольца
(соответствующая ей первоначальная простейшая система показана на
черт. 24).
Ребристые пространственные системы и сетчатые покрытия, хотя и
имеют некоторые отличительные признаки, свойственные каждому типу
в отдельности, но эти признаки иногда утрачиваются в промежуточных
или переходных типах. Например шатровое ребристое покрытие (черт. 4)
приобретает характер сетчатого покрытия, и наоборот сетчатое покрытие
Гертвига (черт. 32), благодаря явно выраженным меридиональным
ребрам, может быть отнесено также и к ребристым системам.
Поэтому трудно сделать строгое разграничение между ребристыми
системами и сетчатыми покрытиями разных типов, так как некоторые из
них имеют те или другие характерные отличия, а другие типы не имеют
этих отличий в явно выраженной форме или же утрачивают их. Поэтому
иногда ребристые конструкции также относят к сетчатым системам.
В ребристых и сетчатых системах все части конструкции лежат на
внешней поверхности системы, а внутреннее пространство остается со-
вершенно свободным от каких-либо частей конструкции. Поэтому все
такие покрытия представляют подобие сферы или опрокинутой чаши.
Цилиндрические или призматические сетчатые системы (черт. 7) также яв-
ляются полыми внутри, т. е. свободными от всяких пространственных связей.
В этом отношении все эти системы существенно отличаются от ба-
лочно сферических покрытий, в которых все внутреннее пространство
заполнено элементами плоских ферм.
Балочно-сферические покрытия (черт. 33—37) по своей конструкции
приближаются уже к плоским системам, хотя и имеют форму простран-
ственных сочленений.
Покрытия в виде ряда плоских стропильных ферм, образующих шат-
ровую кровлю, также могут быть отнесены к балочно-пространственным
системам.
Точно также цилиндрическое сетчатое покрытие системы Фёппля и
зубчатые стропила системы Ф. Ясинского (черт. 146) могут быть отне-
сены к пространственным стропильным фермам.
ОСНОВНЫЕ Условия УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ &
IV.	Классификация ферм по числу стержней.
Наконец по числу стержней пространственные фермы могут быть
разделены на два рода.
1.	Системы статически определимые или изостатические (isostatiques).
2.	Системы статически неопределимые или гиперстатические (hyper-
statiques).
К статически определимым системам относятся такие, которые имеют
лишь необходимое и достаточное число стержней для обеспечения гео-
метрической неизменяемости, причем число стержней вполне соответствует
числу имеющихся свободных уравнений статики.
К статически неопределимым системам относятся такие, которые имеют
так называемые „лишние* стержни, причем общее число всех стержней
превышает число имеющихся свободных уравнений статики и поэтому
для расчета таких систем требуется составить столько уравнений
деформации, сколько имеется лишних стержней.
Системы с недостаточным числом стержней исключаются из рассмо-
трения, так как они геометрически изменяемы, подвижны, и поэтому
непригодны для образования пространственных ферм, или жестких
стержневых систем.
§ 7.	Устройство опор пространственных ферм.
В пространственных фермах могут быть три рода опорных точек,
а именно:
1.	Точки, имеющие возможность передвигаться во все стороны по
некоторой плоскости.
2.	Точки, имеющие возможность передвигаться только цо некоторой
определенной линии.
3.	Точки закрепленные или неподвижные.
Соответственно этому все опоры пространственной фермы разделяются
на три типа: опоры первого рода, опоры второго рода и опоры третьего
рода.	'
Реакция опоры первого рода направлена нормально к плоскости ее
скольжения, и следовательно вполне определяется одним параметром,
а именно величиной реактивной силы или проекцией ее на одну из
координатных осей, например на вертикальную ось OY.
Реакция опоры второго £ од а лежит в плоскости, нормальной
к линии возможного перемещения. Для определения этой реактивной
силы необходимо иметь два параметра, а именно величину реакции и
угол, образуемый направлением этой силы с линией перемещения в нор-
мальной плоскости, иди же две проекции на координатные оси ОХ
и OY.
Наконец реакция опоры третьего рода, проходя через закреплен-
ную точку, может иметь любое направление в пространстве. Поэтому
для полного определения реактивной силы необходимо знать три пара-
метра, а именно: величину реакции И два угла, образуемые направлением
этой силы с горизонтом в двух нормальных плоскостях, или же три
проекции силы на координатные оси OX, OZ и О Y.
3 Подольский, И. С.
34	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХФЕРМ
Опоры йервого рода препятствуют поступательному передвижению
всего сочленения как целого тела в одном направлении, а именно, по
нормали к площадке скольжения. Другими словами, опоры первого рода
лишены одной степени свободы (не могут подниматься).
Опоры второго рода препятствуют поступательному передвижению
всего сочленения в двух взаимно перпендикулярных направлениях, обра-
зующих плоскость,
Разрез по тт
нормальную к линии свободного скольжения, и сле-
довательно лишены двух степеней сво-
боды.
Наконец опоры третьего рода не
допускают никаких поступательных пе-
редвижений сочленения в трех каких-
либо взаимно перпендикулярных направ-
лениях, и следовательно лишены всех
степеней свободы.
Сообразно с этим опоры первого,.
второго И третьего рода будем назы-
вать соответственно опорами с одним,
с двумя и с тремя степенями закреп-
ления.
В зависимости от этого опоры про-
цент. 38.	странственных ферм должны иметь со-
ответствующую конструкцию.
После этих общих указаний переходим теперь к описанию конструк-
ции опор каждого рода.
I. Опора первого рода. Конструкция этой опоры в. схематическом
виде заключается в следующем. Стальной шар А помещается между
двумя металлическими опорными подушками (ab) и * (cd), из которых
верхняя подушка (ab) прикрепляется к опорному узлу фермы, а нижняя
подущка (cd) йрикрепляется к основанию (фундамент или стена здания,
или специальная плат-
форма) (черг. ЗГ).
Из чертежа конструк-
ции -опоры видно, что
такая опора имеет воз-
можность свободно пере-
двигаться во все стороны
О
1
d
е
по плоскости нижней	х • Черт. 39.
опорной подушки.
При этом реактивная сила все время будет направлена нормально
к плоскости перемещения опоры, потому что, если бы эта сила имела
какое-либо другое направление, то опора передвигалась бы в сторону
горизонтальней составляющей этой силы до тех пор, пока эта горизон-
тальна* составляющая не обратится в нуль, т. е. пока реактивная сила
не примет вертикального положения.
Вместо шара возможно устроить верхнюю сферическую подушку,
которая будет скользить по нижней плоской подушке (черт. 38,а).
На чертежах пространственных ферм опора первого рода изобра-
жается следующими условными значками (черт. 39);
✓ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 35
а)	В виде белого треугольника с цифрой 1 в середине, которая по-
казывает, что эта опора имеет одну неизвестную опорную реакцию, или
одно опорное закрепление (черт.
39,а). Удобно так же обозначение
в виде черного треугольника с
цифрой 1 под ним (черт. 39,е).
Ь)	В виде качающегося опор-
ного стержня, так как в этом
случае верхняя точка его может
перемещаться во все стороны по
шаровой поверхности (черт. 39,Ь).
с)	В виде двух пар взаимно
пересекающихся параллельных ли-
ний с кружочком посредине^
потому что, если этот кружочек
имеет возможность одновременно
передвигаться по двум взаимно
Черт» 40.
перпендикулярным направлениям,
то следовательно он получает возможность передвигаться по любому
направлению н4 плоскости (черт. 39,с).
d)	В виде белого кружочка (черт. 39, d).
Продал разрез
Попер, разрез
II. Онора второго рода. Кон-
струкция опоры второго рода со-
стоит в том, что между верхней
и нижней опорными подушками
помещается цилиндрический каток.
Чтобы воспрепятствовать боковому
перемещению цилиндрического кат-
ка, обе подушки снабжены неболь-
шими ребордами, как это показано
_ схематически на черт. 40.
Чтобы опора была более устой-
чива в продольном направлении
и чтобы давление передавалось на
основание более равномерно, уст-
раивают иногда два или три цилин-
дрических/ катка.
Вместо цилиндрического катка возможен и шаровой каток, который
должен передвигаться по цилиндрическим желобкам, устраиваемым в обе-
их опорных подушках. Возможно устройство и скользящей опоры вто-
рого рода, как это показано •________________________________•
на черт. 41.
На чертежах простран-
ственных ферм опоры рто-
рого рода изображаются
следующими условными зна- -
ками (черт. 42):	a b С d в
а)	В виде белого треу- Ц--------——-------------------------------
голышка с цифрой. 2 в_се-	Черт. 42.
а b с d е
Черт. 42.
з
36
- ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
редине, которая показывает, что эта опора имеет две неизвестные опор-
ные реакции, или два опорных закрепления. Для изображения направ-
ления возможного перемещения опоры, иногда под треугольником ставят
соответствующие стрелки (черт. 42,а). Удобно также обозначение в виде
черного треугольника с цифрой 2 под ним (черт. 42,е).
Ь)	. В виде дву* опорных шарнирцых стержней, соединенных между собой
также шарниром, так как в этом
случае верхняя опорная точка
может перемещаться по дуге
круга при вращении обои*
стержней относительно оси,
проходящей через их нижние
шарнирно-закрепленные ко.нцы
(черт. 42,Ь).
с)	В виде двух параллель-
ных линий с цилиндриком между
ними, причем направление па-
раллельных линий должно сов-
падать с возможным пере-
мещением самой опоры (черт.
42, с).
d)	В виде двух параллель-
ных линий по направлению
возможного перемещения опоры
с белым кружочком посредине
(черт. 42,d).
Ш. Опора третьего рода. Конструкция опоры третьего рода состоит
в том, что стальной шар закладывается между двумя опорными подуш-
ками-— верхней и нижней — с соответствующими сферическими углубле-
ниями в них (черт. 43).
Из схематического чертежа конструкции этой опоры видно, что такая
опора не имеет возможности перемещаться по какому-либо направлению,
и поэтому является за-
крепленной или непо-
движной опорой.
На чертежах про-
странственных ферм
опоры третьего рода
изображаются следую-
щими условными знач-
ками (черт. 44):
а) В виде белого
треугольника с цифрой
3 в середине, которая показывает, что эта опора имеет три неизвест-
ных ^опорных реакции или трл опорных закрепления (черт. 44,а).
-Ь) В виде трех опорных стержней, не лежащих в одной плоскости,
шарнирно-закрепленных своими нижними концами, и шарнирно связан-
ных верхними концами, так как такое устройство вполне закрепляет
верхнюю опорную точку (черт. 44,Ь). Однако такое условное изобра-
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 37
жецие неподвижной опоры пригодно только для чертежей, выполняемых
в аксонометрических проекциях.
с) В виде черного кружочка в рамке или без рамки (черт.; 44,с)\
d) В виде черного* треугольника с- цифрой 3 под ним (черт. 44,d).
Наиболее удобным и поэтому наиболее употребительнным является пер-
вое условное изображение опор пространственной фермы в виде тре-
угольника с указанием в них числа неизвестных опорных реакций. Впро-
чем эти же числа можно писать и под треугольниками, Условное
обозначение опор в виде отдельных опорных стержней (схема b на
черт. 39, 42 и 44) неудобно, ибо заставляет искать еще новые неиз-
вестные опорные реакции в нижних закрепленных концах этих стержней,
как в шарнирных опорах; это вызывает большую путаницу.
. Поэтому этими условными обозначениями не рекомендуется пользо-
ваться. Впрочем они иногда могут оказаться уместными, например при
схематическом изображении пространственной фермы в аксонометриче-
ских проекциях (параллельная перспектива).
Условное обозначение опор второго рода двумя параллельными ли-
ниями весьма удобно и поэтому также часто применяется.
Из изложенного выше видно, что подсчет всех опорных реакций
пространственной фермы следует производить следующим образом. Пред-
положим, что пространственная ферма имеет:
— число опор первого рода,
s2 — число опор второго рода и
s3 — число опор третьего рода,
тогда число ($) всех опорных реакций определится по формуле:
5 = ^1-|-2s2-|-3s3.	(5)
Этой формулой и будем пользоваться в дальнейшем изложении при
подсчете неизвестных опорных реакций пространственной фермы и при
определении их величин. При этом следует иметь в виду, что для опре-
деления опорной реакции в опоре первого рода требуется одйо уравне-
ние .статики (2 = 0), Для определения опорной реакции в опоре
второго рода требуются два уравнения статики (2 У = О и 2 Х= 0)» и
для определения опорной реакции в опоре третьего рода требуются три
уравнения статики (2^=0, 2^=0 й ^Z = 6).
Таким образом для определения всех ($) опорных реакций,’ выражае-
мых формулой (5), нано иметь столько же уравнений статики.
§ 8. Условия статической определимости пространственных ферм.
I. Первое условие.
При произвольном расположении сил в пространстве статика дает
шесть уравнений равновесия следующего вида:
£к=о и S^=o. I	(А)
38	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Первые три уравнения выражают, что сумма проекций всех сил, рас-
положенных в пространстве, на каждую из трех координатных осей, должна
равняться нулю, если силы находятся в равновесии.
Вторые три уравнения выражают, что моменты тех же сил относи- *
тельно каждой из трех координатаых осей должны равняться нулю, если
эти силы находятся в равновесии.
А так как опорные реакции при расчете ферм также относят к внеш-
ним силам, то из этих шести уравнений можно определить шесть неиз-
вестных опорных реакций, если остальные силы заданы.
Если выделить круговым сечением какой-либо узел пространственной
фермы с соответствующей нагрузкой или реактивной силой и заменить
внутренние усилия в стержнях соответствующими силами, идущими по
направлению осей рассеченных стержней, то для этой системы сил, рас-
положенных в пространстве и сходящихся в одной точке, можно на-
писать три уравнения равновесия, выражаемые условно следующим об-
разом:
о, £г=о и Sz=o.	(В)
Поэтому, если ферма имеет (л) узлов, то следовательно можно со-
ставить всего (3*л) линейных уравнений и из них определить (3-л) не-
известных усилий.
В эти уравнения войдут как внешние силы, включая сюда и опорные
реакции, так и неизвестные усилия в стержнях системы. '
Но внешние силы, действующие на систему, не могут быть выбраны
произвольно, они должны удовлетворять указанным выше шести уравне-
ниям (группа А) всей системы, рассматриваемой как твердое тело. Прй
этом первые три уравнения этой группы указывают на невозможность
линейного перемещения всей системы в пространстве, а последние три
уравнения указывают на невозможность вращения всей системы вокруг,
какой-либо оси в пространстве.
- Кроме того этими шестью уравнениями можно воспользоваться для
определения зависимости между заданными нагрузками и возникающими
от них реакциями и отсюда определить величины реакций, ио этими
шестью уравнениями нельзя уже будет воспользоваться вторично для
определения внутренних усилий в элементах пространственной фермы.
Заметим кстати, что число неизвестных опорных параметров ($)
всегда должно быть равно шести или больше шести (т. е. $	6). Дей-
ствительно каково бы ни было число стержней (/и) системы, все внеш-
ние приложенные к сочленению активные и пассивные силы должны
прежде всего удовлетворить шесть уравнений (группа А) статического рав-
новесия всего сочленения, рассматриваемого как одно целое твердое тело.
Уравнения эти (группа А) не заключают в себе усилий в стержнях
и должны быть удовлетворены при всевозможных значениях активных
сил, а это возможно только тогда, когда число заключающихся в них
неизвестных параметров, от которых зависят пассивные силы, не менее
шести, т. е. когда s 6, что и требовалось доказать.
Очевидно, что если каждый отдельный узел системы находится
в равновесии, то тем самым и вся система, рассматриваемая как одно
целое, должна находиться в равновесии.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 39
Таким образом шесть уравнений равновесия (группа А) всей системы
суть простые следствия (3 • п) уравнений (группа В) относительно (п)
узлов системы, и могут быть получены из этих последних уравнений
путем исключения неизвестных усилий в стержнях, каково бы ни было
их число (лл).
Следовательно при определении внутренних усилий в стержнях сво-
бодной фермы шесть уравнений равновесия исключаются и остается
всего (3*л— 6) независимых уравнений, из которых и могут быть
определены (3 • п — 6) неизвестных усилий в стержнях системы.
Поэтому свободная пространственная ферма будет статически
определимой в отношении внутренних усилий в элементах фермы только
в том случае, если число стержней (лг) будет равно числу имеющихся
свободных уравнений статики за вычетом шести уравнений, уже исполь-
зованных для определения шести опорных реакций.
Это условие статической определимости может быть выражено сле-
дующей формулой:
т = 3 • п — 6.	(6)
Точно такая же формула (1), выведенная выше (в § 2), выражает
условие геометрической неизменяемости пространственной системы.
Таким образом эта формула служит одновременно условием геометри-
ческой определимости и условием статической определимости свобод-
ной пространственной фермы.
Если число стержней системы будет больше числа имеющихся
свободных уравнений статики, т. е. при условии
т > 3 • п — 6,	"	(7)
то пространственная ферма будет статически неопределима в отношении
внутренних усилий в элементах фермы.
Если же число стержней системы будет менее числа имеющихся
свободных уравнений статики, т. е. при условии
т < 3«л — 6,	(8)
и следовательно не все уравнения статики будут использованы, то этими
свободными уравнениями можно воспользоваться для выражения некото-
рых дополнительных условий, которым должны удовлетворять внешние
силы (главным образом опорные реакции), чтобы была обеспечена воз-
можность равновесия системы и ее геометрическая неизменяемость.
Если рассматривать совместно внутренние усилия в элементах закреп-
ленной фермы и ее опорные реакции, то' для определения всех этих
величин при (л) узлах фермы имеем всего (3-л) уравнения статики.
Поэтому, обозначая через (s) — число неизвестных опорных реакций,
и через (т) — число неизвестных внутренних усилий в элементах фермы,
можно написать следующее уравнение:
т -]-$ = 3 -л,	(9)
которому должна удовлетворять статически определимая ’з а к р е п л е н-
ыая ферма, т. е. число стержней (т) плюс число опорных реакций
($) должно равняться устроенному числу увлов (л).
40	- ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Это же уравнение можно переписать и в таком виде:
т = 3-п— s	(10)
или
т — {З-я — $) = 0,	(11)
т.*е. число стержней в закрепленной статически определимой ферме
должно равняться утроенному числу узлов за вычетом числа неизве-
стных опорных реакций.
Из сравнения формул (6) и (10) видно, что если число опорных
реакций более шести (т. е. 5 >6), то для того чтобы простран-
ственная ферма была жесткой и статически определимой как в отно-
шении опорных реакций, так и в отношении внутренних усилий в эле-
ментах фермы, надо из фермы удалить ($— 6) стержней и добавить
столько же опорных реакций.
Это условие обобщает изложенный выше способ замены стерж-
ней, которым пользуются для образования сложных пространственных
ферм. Удаляя какой-либо стержень из системы с необходимым числом
элементов, превращаем эту систему в подвижную.
Для. восстановления геометрической неизменяемости можно выбро-
шенный стержень системы заменить дополнительным опорным стержнем
или же дополнительной опорной реакцией. Таким путем вместо жесткой
системы, заключавшей в себе (Зп — 6) стержней и имевшей 6 опорных
реакций, получим новую пространственную систему, в которой число
стержней вместе с опорными реакциями останется без изменения и рав-
ным (3-л), но число опорных реакций увеличится за счет 1 уменьшения
числа стержней системы.
‘ Новая система, вообще говоря, будет геометрически неизменяемой
и статически определимой, так как число уравнений равновесия (3*/г — 5),
которые можно составить, будет равняться числу неизвестных усилий (т)
в стержнях системы.
Например, если пространственную ферму, показанную на черт. 24,
снять с опор, и сделать ее свободной системой, то она будет удовле-
творять условию геометрической неизменяемости и статической определи-
мости внутренних усилий в элементах фермы, выражаемому формулой:
т — (3-п — 6) = 0.	(а)
В самом деле эта ферма имеет т = 48 стержней, и п =18 узлов. ~
Подставляя эти числовые значения в формулу (а), получим тождество:
48 —(ЗХ 18 —6) = 0.
Для того чтобы эта система, поставленная на свои опоры, была
статически определима и в отношении опорных реакций, необходимо
в опорных узлах поставить по одной опоре первого рода. Тогда для
определения 6 неизвестных опорных реакций будем иметь шесть уравне-
ний статики.
Но так как опоры первого рода могут свободно передвигаться во все
стороны по плоскости/ то при таком: устройстве всех опор сильный
ветер может сдвинуть ферму со стен здания и опрокинуть ее на землю.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 41
Поэтому вместо шести опор первого рода можно устроить'три опоры
второго рода в узлах фермы Д, С и Е (черт. 24). Каждая опора второго
рода дает две неизвестных опорных реакции. Следовательно и в этом
случае число всех неизвестных опорных реакций будет равно числу
имеющихся уравнений статики для определения этих величин. Но при
таком расположении опор промежуточные узловые точки В, D и Е под
влиянием значительной внешней нагрузки, будут давать большое прови-
сание или прогиб.
Чтобы уничтожить этот прогиб, следует и в этих узлах также поста-
вить опоры второго рода, но тогда число всех опорных реакций будет
равно 2X6 = 12, и поэтому шести уравнений статики, имеющихся
в нашем распоряжении, будет недостаточно для определения этих неиз-
вестных величин:
Поэтому, чтобы сделать данную ферму статически определимой
в отношении опорных реакций, удаляем из нее три диагонали в пло-
скости нижнего кольца и три диагонали в плоскости верхнего кольца,
а всего удаляем шесть стержней, но чтобы ферма не сделалась подвиж-
ной, заменяем эти стержни шестью добавочными опорными реакциями.
В этом последнем случае будем иметь: т = 48 — 6 = 42 стержня,
п =18 узлов и = 6 + 6 = 12 опорных реакций или опорных закреп-
лений.
Подставляя эти числовые значения в формулу (11):
т — (3 • п — s) = О,
получим тождество:
42 —(ЗХ 18 — 12) = 0.
Такая измененная ферма из свободной превращается в закреп-
ленную систему, т. е. может сохранять свою геометрическую неизме-
няемость только при условии соответствующего закрепления опорных
узлов, но зато эта измененная система .становится статически определи-
мой как в отношении опорных реакций, так и в отношении внутренних
усилий в элементах фермы.
Можно пойти и еще дальше по пути преобразования той же фермы
и удалить все шесть стержней, образующих нижнее опорное кольцо,
как это показано на черт. 18, но тогда для обеспечения геометрической
неизменяемости и статической определимости всей системы необходимо
добавить еще шесть оперных закреплений, сделав все опоры третьего
рода, т. е. неподвижно закрепленными.
В этом последнем случае по сравнению с предыдущим случаем
будем иметь т = 42 — 6 = 36 стержней, п =18 узлов и s=12—
—р-6 = 18 опорных реакций.
Подставляя эти числовые значения в формулу (11):
т— (3-я—s) = 0,
получим опять тождество:
36 —(3 X 18 — 18) = 0.
Следовательно и такая видоизмененная ферма будет статически
определима как в отношении опорных реакций, так и в отношении
42
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
внутренних усилий в элементах фермы, и сама ферма останется также
жесткой, геометрически неизменяемой системой*
Однако такая ферма без опорного кольца будет передавать на стены
здания большой горизонтальный распор, и поэтому потребуется значи-
тельное увеличение толщины стен здания, чтобы обеспечить их устой-
чивость и прочность. А это невыгодно в экономическом отношении.
Поэтому купольное покрытие всегда должно иметь нижнее опорное
кольцо, уничтожающее распор и позволяющее ставить ферму на сравни-
тельно тонкие и высокие каменные стены здания.
конечные значения, а это будет
детерминант линейных канони-
и 2Z = O
II. Второе условие.
Указанное выше условие геометрической неизменяемости и статической
определимости, выражаемое общей формулой (10):
т = 3 • п — st
является необходимым, но еще недостаточным условием, ибо могут
быть такие пространственные системы, которые удовлетворяют первому
условию и все-таки обладают свойством геометрической изменяемости
или же являются статически неопределимыми.
Прэтому нужно еще и второе или дополнительное условие, чтобы
усилия во всех элементах фермы имели
иметь место только в том случае, если
ческих уравнений статики общего вида:
2х=о, 2
не равняется нулю, т. е. если £>^0.
Только совместно первое и второе условия дают уже верный признак,
что рассматриваемая система стержней действительно будет статически
и геометрически определимой.
Если же детерминант указанных выше линейных уравнений статики
будет равен нулю, то решение этих уравнений получает неопределенный
характер вида
Dk Dk .	Dk 0
Х D 0—°°ИЛИХ £>	0’
т. е. усилия в элементах системы или будут равны бесконечности
(х = оо), и следовательно задача будет неразрешима, или же можно
подобрать такое значение действующих сил, что они сами себя уравно-
весят, и тогда будет мгновенно? равновесие ^при х = т. е. при
неопределенной величине усилия в стержне.
В обоих этих случаях задача статически неопределима, а усилие
в каком-либо элементе, получаемое равным бесконечности, служит уже
явным указанием, что данная система стержней геометрически изменяема,
т. е. обладает свойством механизма и поэтому для фермы непригодна.
Рассмотрим несколько примеров для доказательства того, что одного
условия, выражаемого формулой (10):
/к=?(3-я— 5),
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 43
еще недостаточно для окончательного суждения о том, что данная
система будет жесткой, геометрически неизменяемой, т. е. „фермой"^
Первый пример. На черт. 45 показано сетчатое покрытие счет-
ным числом сторон в опорном кольце, все опоры которого
второго рода, т. е. имеют по два закрепления или по две опор-
ных реакции. Эта система имеет /п = 32 стержня, п = 16 узлов и
s = 2X8 = 16 опорных реакций. Подставляя эти числовые данные
в уравнение (11):
т — (3-л— $) = 0,
получим тождество:
32 —(ЗХ 16—16) = 0.
Таким образом данная пространст-
венная система удовлетворяет первому
услозию геометрической и статической
определимости, а между тем она геомет-
рически изменяема и поэтому для дела
не годится, так как не является „фермой"
в точном смысле этого слова (ferme —
твердый, жесткий).
Рассматривая черт. 45, нетрудно за-
метить, что точки (а) ц (г) лежат на
линии, параллельной стороне АВ, точно
так же точки (Ь) и (d) лежат на линии,
параллельной стороне ВС, и так далее,
причем можно приподнять все узлы верх-
него пояса через один, т. е. узлы: а,
с, е, д и опустить остальные узлы: Ь,
d, f, h. При этом верхнее плоское
кольцо получит вид зубчатой короны,
как это показано на чертеже пунктиром,
а узлы: а, с, е, д — будут .вращаться
соответственно вокруг осей АН, ВС,
DE и FG. Точно так же узлы b, d, f,
h будут вращаться соответственно во-
круг осей АВ, CD, EF и GH.
Помимо чисто умозрительного закл
также и наглядным способом, если сделать из проволоки модель подоб-
ного пространственного сочленения. Тогда, придавив в каком-либо узле,
например в точке (а), заметим, что модель начнет деформироваться,
и верхнее плоское кольцо примет зубчатую форму. Если же решить
(3-л) линейных уравнений для данной системы, то найдем, что детерми-
нант их равен нулю, т. е. D = 0. А это служит доказательством, что
данная система геометрически изменяема.
В том случае, когда число сторон опорного кольца будет нечетное,
такое последовательное перемещение узлов и стержней системы невоз-
можно, и такая ферма будет жесткой, геометрически неизменяемой.
В этом последнем случае и детерминант (3-л) линейных уравнений
статики не будет равен нулю.
44	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Второй пример. На черт. 46 показано купольное покрытие
системы Швеллера, которое имеет /и = 42 стержня, я = 18 узлов
и $ = 2X6=12 опорных реакций.
Подставляя эти числовые значения в формулу (11)
т — (3 • /г — s) = О,
получим тождество
42—(3X18—12) = 0.
Следовательно первое условие гео-
метрической неизменяемости и стати-
ческой определимости удовлетворено,
а между тем эта система геометрически
изменяема, а в части ВЬсС—статически
неопределима.
Решение (3*я) линейных уравнений
для данной системы показывает, что
детерминант их равен нулю, что и ука-
зывает на геометрическую изменяемость
данной системы.
Геометрическая изменяемость про-
странственной .системы происходит также
вследствие неправильного устройства или
расположения опор, не обеспечивающих
неподвижность опорных узлов.
Хотя усилия, действующие на опор-
ные узлы, не горизонтальны, но их
можно разложить на горизонтальные и вертикальные составляющие.
Вертикальные составляющие целиком передаются через опоры на стены
здания, а горизонтальные составляющие вызывают усилия в стержнях
опорного кольца и горизонтальные опорные реакции, направление кото-
рых известно и определяется
устройством опорных частей;
Таким образом определение
усилий в стержнях опорного
кольца пространственной
фермы приводит к задаче на
плоскости.
Поэтому, не рассматри-
вая всей пространственной
системы, ограничимся только
ее опорным кольцом в виде
число сторон,
правильного многоугольника.
Если опорное кольцо будет иметь четное
и опоры второго рода будут расположены по биссектрисам, то такая
плоская система будет подвижная, следовательно и вся пространствен-
ная ферма также будет геометрически изменяема.
Действительно в этом случае возможно одновременное передвижение
опорных узлов по биссектрисам через одну в наружную сторону, а про-
ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ УСТРОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 45
межуточных узлов во внутрь, без изменения длины стержней, как это
показано на черт. 47 для квадрата и на черт. 48 для шестиугольника.
Такие фермы будут удовлетворять первому условию геометрической
неизменяемости и статической определимости, выражаемому уравнением
(10) вида:
т = 3 • п — s.
Между тем аналитическое исследование показывает, что в этих слу-
чаях детерминант (3 •«) линейных уравнений равновесия равен нулю,
что и служит верным признаком геометрической изменяемости простран-
ственной системы. Отсюда вытекает заключение, что, устраивая опорное
кольцо купольного или шатрового покрытия в виде плоского правиль-
ного многоугольника с четным числом сторон и с опорами второго
рода, необходимо располагать эти опоры таким образом, чтобы направ-
ления возможного движения катков опоры
не совпадали с биссектрисами углов опор-
ного кольца.
Лучше всего направления возможного
перемещения катков устраивать перпен-
дикулярно к сторонам опорного кольца
в порядке определенной последователь-
ности, как это показано например на
черт. 49 парными параллельными ли-
ниями.
Точно так же не следует допускать
движения катков второго рода по ка-
сательным к кругу, описанному вокруг
опор нижнего кольца, так как в этом
случае весь купол может получить не-
которое вращательное движение около
средней вертикальной оси.
Ограничимся пока этими краткими
вопрос о рациональном расположении цилиндрических катков в опорах
фермы будет рассмотрен далее в параграфе о расчете опорного кольца.
Черт. 49.
замечаниями, так как подробно
ГЛАВА ВТОРАЯ.
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 9. Сложение и разложение сил в пространстве.
Прежде чем перейти к рассмотрению расчета пространственных ферм,
необходимо указать на основные понятия из графостатики и из начер-
тательной геометрии о сложении и разложении сил в пространстве.
Силы, произвольно расположенные в пространстве, всегда можно
привести к равнодействующей силе и к равнодействующей паре в самом
общем случае, если эти силы не уравновешены между собой.
В частном случае равнодействующая пара может оказаться равной
нулю, и тогда все силы, расположенные в пространстве, приводятся
к одной силе.
Графическое нахождение этих равнодействующих, при произвольном
. ра. положении сил, довольно затруднительно и не имеет большого
практического значения, так как большое число вспомогательных по-
строений делает чертеж пестрым и лишает, его ясности или наглядности.
При расчёте пространственны? ферм чаще всего встречаются случаи,
когда силы сходятся только в одной точке.
Иногда также приходится иметь дело с параллельными силами.
При таком расположении сил в пространстве графические построения
несколько упрощаются и этим построением иногда пользуются для
нахождения величины каждой из этих сил.
В общем случае расположения сил в пространстве аналитический
метод является более простым, чем графический метод, и поэтому при
расчете пространственных ферм пользуются н еимущественно аналити-
ческим методом, который и будет служить основным методом при даль-
нейшем изложении расчета пространственных ферм.
При сложении сил, расположенных в пространстве и пересекающихся
в 'одйой точке, пользуются общим методом параллелограма сил. По
з кону параллелограма сил слагают две какие-либо силы в простран-
стве (Pj и Р2), получают частную равнодействующую (Р2) этих двух
с <л. Эту, силу (PJ складывают, пользуясь параллелограмом сил,
с третьей заданной силой (Р3). Вновь полученную частную равнодей-
ствующую (Т?2) складывают таким же способом с четвертой силой (Р4)
и так далее.
г В конечном итоге этих последовательных геометрических сложений
двух сил пслучим равнодействующую (/?) всех пространственных сил,
сходящихся в одной точке.	*
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ '	47
Точно так же, как и в случае сил, расположенных в одной плоскости,
последовательное построение параллелограмов может быть заменено
построением многоугольника сил, который легко получается, если все
силы отложить одну за другой соответственно их величине и их направ-
лению. Причем, конечно, такой многоугольник сил будет не плоский,
а пространственный.
Замыкающая линия такого пространственного многоугольника сил,
идущая от начала первой силы к концу последней силы, и будег представ-
лять искомую равнодействующую заданных сил, сходящихся в одной точке.
Если в пространственном многоугольнике сил конец последней будет
совпадать с началом первой силы, и таким образом получится замкнутый
многоугольник сил, то следовательно данная система сил находится
в равновесии.
Так как многоугольник сил является пространственным, то при реше-
нии этой задачи графическим путем приходится пользоваться двумя
проекциями: горизонтальной И вертикальной, а иногда, для ясности
построения, приходится пользоваться и
тремя проекциями, причем, в случае зам-
кнутого пространственного многоугольника
сил, проекции его на горизонтальную и
вертикальную плоскости также будут замк-
нутыми многоугольниками, образованными
горизонтальными и вертикальными проек-
циями данных сил.
- Процесс сложения сил, расположенных
в пространстве, можно наглядным образом
проследить на следующем простом примере.
Предположим, что имеются три силы
Р2 и Р3, расположенных в простран-
стве и пересекающихся в одной точке А
(черт. 50), причем эти силы выражаются
соответственно отрезками AD, АВ и АО
. Суммируя при помощи па-
раллелограма сил силы и Р2, расположенные в плоскости ABCD,
получим частную равнодействующую (/?!)> выражаемую диагональю АС
параллелограма сил ABCD.
Затем суммируя эту частную равнодействующую (PJ с третьей задан-
ной силой Р3, причем обе эти силы расположены в плоскости AOFC,
получим их равнодействующую /?, выражаемую диагональю AF паралле-
лограма сил AOFC.
Но ту же самую равнодействующую всех заданных сил можно полу-
чить и при помощи многоугольника сил ADCF) откладывая в последо-
вательном порядке по направлению и по величине силы AD = PV
DC=P2 и CF=P3. Замыкающая сторона AF этого пространственного
многоугольника сил и будет выражать по величине и по направлению
искомую равнодействующую R заданных сил: Р19 Р2 и Р3, расположен-
ных в пространстве и пересекающихся в одной точке.
Построение пространственного силового многоугольника, показанное
на черт. 50 в аксонометрических проекциях, также легко может быть
выполнено и в ортогональных проекциях, имея в виду, что проекция
4й	Теория расчета пространственных ферм
параллелепипеда на любую плоскость представляет сочетание параллело-
грамов, стороны и диагонали которых равны проекциям сторон и диаго-
налей данного параллелепипеда на ту же плоскость. Предположим, что
надо найти равнодействующую (/?) трех сил Рр Р2 и Р3, заданных по
величине и по направлению в двух ортогональных проекциях (черт. 51)
и пересекающихся в точке А.	-
Строим на вертикальной плоскости проекции на направлениях Р' и
р* параллелограм A2C2F2B2> и на направлениях Р'2 и Р3 параллело-
Трам A2C2H2D2. Затем на сторонах C2F2 и С2Н2 строим параллелограм
C2F2G2H2. Линия Л2О2, соединяющая два противоположных угла верти-
Черт. 51.
калькой проекции параллелепипеда, и будет про кций (/?") искомой
равнодействующей силы (7?).
Точно такое же построение производим и на горизонтальной плоско-
сти проекций, причем получаем проекцию (/?') искомой равнодействую-
щей в виде отрезка
Вместо этого несколько сложного построения те же проекции (/?')
и (Р!*) искомой равнодействующей (/?) трех заданных сил гораздо
проще получить при помощи силового многоугольника, показанного на
черт. 51,а.
Проводя линии а262, Ь2с2 и c2d2 параллельно заданным направлениям
сил Р3, Р'2 и Р[ и откладывая на них отрезки, равные заданным проек-
циям этих сил, проводим замыкающую a2d2> которая и будет выражать
проекцию 7?" равнодействующей 7? на вертикальную плоскость.
Точно такое же построение производится и на горизонтальной пло-
скости проекций. Зная величины проекций /?' и /?", не трудно уже найти
действительное значение искомой равнодействующей трех заданных сил.
Величина проекции равнодействующей /?*не зависит от порядка
сложения данных сил. Например можно провести линии а2Ь21 Ь2с2 и
Щ2 в порядке направления составляющих сил Р”, Р' и Р, как это
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ 49
показано на черт. 51£, причем получим такую же по величине и по
направлению проекцию (/?") равнодействующей (/?), как и при первом
♦построении.
Из этих примеров видно, чго сложение сил, действующих в про-
странстве в разных направлениях, но пересекающихся в одной точке,
сводится к сложению их проекций, и равнодействующая этих сил опре-
деляйся из построения силовых многоугольников в двух проекциях.
Обратная задача заключается в разложении заданной силы на.
несколько направлений, пересекающихся с направлением данной силы
в одной точке. Здесь приходится определять только величины составляю-
щих сил, уравновешивающих данную силу.
Задача эта может быть решена аналитически при помощи уравнений
статики, или путем графических построений в двух и трех взаимно-
перпендикулярных плоскостях.
При произвольном расположении сил в пространстве статика дает
шесть уравнений равновесия сил в следующем общем виде:
2^ = 0,’ 2г=0	и Sz = °;	(а)
2^=0, 2^=о и 2^=0,	(ь)
значение которых было объяснено выше (в §8).
' Следовательно в общем случае данную силу можно разложить на
6 составляющих, расположенных в пространстве, так как для определе-
ния их имеется 6 уравнений статики.
Но если все составляющие силы сходятся в одной точке, то послед-
ние три уравнения (группа Ь) не дают никакой зависимости Между
силами, так как левые части этих уравнений будут обращаться в нуль.
Точно так же, для параллельных сил левые части двух уравнений
проекций (группа а) и одно ’уравнение моментов (из группы Ь) обра-
щаются в нуль.
В обоих этих случаях остаются только три уравнения статики и сле-
довательно могут быть определены только три неизвестных составляю-
щих силы при заданных направлениях их.	«
Последнего рода задачи довольно часто встречаются при . расчете
пространственных ферм.
Например по заданной силе или нагрузке, расположенной в каком
либо узле пространственной фермы, требуется определить усилия во всех
стержнях, сходящихся в этом узле.
Причем усилия эти, при условии соединения прямолинейных стержней
идеальными шаровыми шарнирами (без трения) и при расположении
нагрузок только в узлах фермы, будут направлены по осям стержней
и будут уравновешивать нагрузку, приложенную в узле фермы.
Таким образом эта задача сводится к исследованию равновесия сил,
приложенных в одной точке.
Так как статикд для этого случая дает только три уравнения равно-
весия сил (группа а), то зазача о разложении данной силы будет иметь
вполне определенное решение только в том частном случае, если имеется
не более трех заданных направлений, пересекающихся с заданной силой
в одной точке.
4 Подольский, И. С.
50	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Если число заданных направлений, пересекающихся с заданной силой
в одной точке, будет более трех, то задача о разложении силы по этим
направлениям становится неопределенной, так как число неизвестных
усилий будет больше числа уравнений статики.
В дом случае, если все три направления, пересекающиеся с данной
силой, лежат в одной плоскости, задача о разложении этой силы стано-
вится неопределенной, если направление данной силы совпадает с той же
плоскостью. Если же такого совпадения нет, то уравновешивание сил
становится вообще невозможным, и
Черт. 52.
вместо осевых усилий в стержнях
фермы появятся изгибающие мо-
менты.
Если число заданных направлений
будет менее трех, то уравновеши-
вание сил возможно . только при
некоторых определенных условиях.
Например при двух направлениях
заданная сила должна лежать в пло-
скости этих направлений. При одном
направлении сила должна совпадать
с этим направлением.
Задача о разложении силы на три
направления тесно связана с вопро-
сом о закреплении узла наименьшим количеством стержней. Как указано
было в § 2, прикрепление какого-либо узла только двумя стержнями
(черт. 20) не обеспечивает его неподвижности, так как этот узел будет
иметь возможность перемещаться, вращаясь вместе с треугольником ADB
относительно стороны АВ, при условии идеальных шаровых шарниров,
допускающих вращения стержней в любЬм направлении. Одно из воз-
можных положений данной подвижной си-
стемы стержней показано на черт. 20 пунк-
тирными линиями.
Установив третий стержень DC (черт.
21), не» лежащий в плоскости грани ADB,
получим полное закрепление узла D, и
такая элементарная система стержней бу-
дет вполне жесткой, геометрически неиз-
меняемой.
Если все три стержня: AD, BD и CD
будут лежать в одной плоскости и сле-
довательно все опорные шарниры А, В, С будут
Черт. 53.
лежать на одной пря-
мой, как это показано на черт. 52, то получится не жесткая, а гео-
метрически изменяемая система, так как все стержни будут иметь
возможность вращаться вокруг оси АВС, и на черт. 52 пунктирными
линиями показано одно из возможных положений этой подвижной
системы..
Если все три стержня будут расположены в одной плоскости, как
это показано на черт. 53, то данная система также будет нежесткая,
геометрически изменяемая, так как малым изменениям длины этих стерж-
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
51
ней будут соответствовать значительные перемещения узла D в направ-
лении £>3£>2» перпендикулярном к плоскости MN. Эти возможные пере-
мещения стержней вместе с узлом D показаны справа на черт. 53
пунктирными линиями. Такие случаи в дальнейшем изложении будем
называть исключительными случаями.
Переходя теперь к детальному изучению вопроса о разложении сил
в пространстве, рассмотрим сперва более простую задачу о разложении
данной силы на три направления, а затем уже перейдем к более слож-
ной задаче о разложении силы на шесть направлений.
§ 10. Разложение силы на три направления в пространстве.
Разложение силы на три направления или на три составляющие,
имеющие общую точку с данной силой, производится или графическим
путем, или аналитическим расчетом.
Если заменить данную силу уравновешивающей' составляющих сил,
причем эта уравновешивающая должна лежать на прямой с направлением
заданной силы, но по направлению будет противоположна ей, то полу-
чим четыре уравновешенных силы, которые должны образовать замкну-
тый четырехугольник сил в пространстве. Проекции сто; он этого замкну-
того четырехугольника сил'на горизонтальную и вертикальную плоскости
также должны представлять замкнутые четырехугольники. Таким образом
графическое решение задачи заключается в построении двух замкнутых
проекций некоторого четырехугольника сил в пространстве.
Предположим, например, что требуется разложить силу /?, выражае-
мую отрезком A F (черт. 50), на три заданных направления: АВ, AD и АО.
В данном случае следует поступать обратно тому, что было сделано
выше при нахождении равнодействующей Z? для трех заданных сил:
Pv Р2 и Р3, а именно сначала разлагаем данную силу R = AF по
закону па; аллелограма на две составляющие Р3 = АО и Ry = AC,
причем сила Р3 идет по заданному направлению АО, а сила нахо-
дится в плоскости параллелограма ABCD, где лежат и два других
заданных направления.
Затем силу также разлагаем по закону параллелограма на силы
Ру и Р2, идущие по заданным направлениям АВ и AD.
Иногда является более удобным вести построение в каком-либо
другом порядке, например через конечную точку (F) равнодействующей
/? Проводят линию FE параллельно заданному направлению силы Р2 =AD
и продолжают эту линию до пересечения ее с плоскостью ОАВЕ,
в которой расположены два других заданных направления АВ и* АО.
Отрезок FE будет выражать искомую силу Рг После этого остается
только разложить силу Rv выражающую диагональ АЕ параллелограма
АВЕО) на два заданных направления АВ и АО, причем получаем
остальные две искомые величины Р2 и Р3.
( Все эти построения приходится вести в двух проекциях: горизон-
тальной и вертикальной, а иногда и в трех проекциях, а именно в плане
И в двух других взаимно перпендикулярных плоскостях.
На черт. 51 легко проследить решение обратной задачи о разложе-
нии данной силы /? на три заданных направления при помощи соответ-
ствующего разложения сил в дбух проекциях.
4*
52	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ '
В данном примере графическое решение задачи оказывается несколько
проще, чем аналитическое решение.
Однако при расчете пространственных ферм графический метод опре-
деления усилий в стержнях далеко не всегда является на более простым,
и часто выгоднее пользоваться аналитическим расчетом.
В частности, при разложении силы на три направления можно исхо-
дить из основных уравнений статики и можно составить эти уравнения
так, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное усилие.
При этом можно пользоваться как способом проекций, так и способом
произвольных сечений, выбирая за моментную точку определенный узел
пространственной системы подобно тому, как это делают при расчете
плоских ферм.
При составлении моментов сил, расположенных в пространстве, отно-
сительно какой-либо оси следует иметь в- виду нижеследующие указания.
Из статики известно, что момент какой-либо силы Р, расположен-
ной в пространстве относительно выбранной оси, например ОХ, равен
произведению двух величин:
1) проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к выбранной
оси ОХ, т. е. на плоскость ZO К, и
2) кратчайшего расстояния (г) от оси ОХ до проекции данной силы,,
причем это кратчайшее расстояние определяется перпендикуляром, опу-
щенным из точки на оси ОХ на проекцию силы в той же перпендику-
лярной плоскости ZOY.
Поэтому если сила Р, выраженная отрезком ЛВ, будет расположена
перпёндикулярно к выбранной оси ОХ (черт. 54), то проекция ее на
перпендикулярную плоскость ZOY выразится в неискаженном виде
отрезком
А^ = Р.
Поэтому момент этой силы относительно оси ОХ будет равен
М = Р-г,
где (г) — есть длина перпендикуляра О А, опущенного из точки О на
проекцию A-JB) в плоскости ZOY.
Если сила Р, выражаемая отрезком АВ, будет идти параллельно за-
данной оси ОХ (черт. 55), то проекция ' ее на перпендикулярную плос-
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ	53
кость ZOY будет выражаться точкой Л, т. е. будет равняться нулю.
Поэтому момент силы Р, параллельной оси ОХ, также будет равен нулю.
Если сила Р, выражаемая отрезком АВ и расположенная как-либо
в пространстве, будет пересекать данную ось ОХ (черт, 56), то момент
этой силы относительно оси ОХ также будет равен нулю, ибо в данном
случае плечо момента, т. е. кратчайшее расстояние от оси до проекции
силы в перпендикулярной плоскости, будет равно нулю.
В общем случае, когда сила Р, выражаемая отрезком АВ, будет рас-
положена под каким-либо углом (а) к перпендикулярной плоскости ZOY
(черт. 57), то проекция этой силы на перпендикулярную плоскость ZOY
будет выражаться отрезком равным
XB2 = P-cosa,
а кратчайшее расстояние от оси ОХ до этой проекции силы будет выра-
жаться перпендикуляром ОС в плоскости ZOY.
Поэтому момент силы Р относительно оси ОХ в данном случае бу-
дет равен
М — (Р-cos а) г.	(а)
Это же выражение момента можно получить и другим путем, а именно
если разложить данную силу Р на два взаимно-перпендикулярных на-
правления:
BB2 = P-sina и 4B2 = P-cosa,
из которых первое будет параллельно данной оси ОХ, а ъторое будет
перпендикулярно к этому направлению. Тогда первое направление ВВ2
из уравнения моментов исчезает, так как проекция его на перпенди-
кулярную плоскость ZOY выражается в виде точки В2, а для второго
* направления АВ2 уравнение моментов получит выражение, определяемое
формулой (а).
Все разобранные выше случаи являются, в'сущности говоря, только
частными случаями, вытекающими из последнего общего случая.
54
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
В самом деле: 1) если сила Р будет расположена в плоскости, перпен-
дикулярной к данной оси ОХ, то угол а = 0. Следовательно из общей
формулы (а) в этом случае будем иметь момент, равный
M = P-rcosa = P-rcosO = P-r.
2) Если сила Р будет находиться в плоскости, параллельной данной
оси ОХ, то угол а = 90°, и поэтому на основании общей формулы (а)
момент будет равен
М = P*r-cosa = P*r-cos 90° = 0.
3) Если сила Р будет пересекать данную ось ОХ, то следовательно
плечо силы г —0, и тогда из той же общей формулы (а) получим
момент:
М = P-r-cosa = 0.
Однако разобранные выше частные случаи с соответствующими
чертежами дают более ясное представление о законе составления момен-
тов пространственных сил. А ясность представления всех этих положений
является необходимой для расчета пространственных ферм.
После этих общих указаний переходим к рассмотрению примеров
разложения силы на три направления по способу проекций и по способу
моментов.
I. Определение усилий по способу проекций.
Первый пример. Предположим, что имеется консольная простран-
ственная ферма, состоящая из трех стержней, как это показано в двух
каль С2У, перпендикулярную к плоскости
Составляя сумму этих проекций, получим
ортогональных проекциях
(а именно,. в профильной
плоскости и в плане) на
черт. 58, причем в узле
С приложен вертикальный
груз Р. Обозначим иско-
мые усилия в стержнях
АС, ВС и DC соответ-
ственно через Nv N2 и
N3. Обозначим через а
угол	в плане и
через р угол, образуемый
наклонным стержнем D2C2
с плоскостью горизон-
тальных стержней А2С2 и
В2С2. Выделяем узел С
круговым сечением и про-
ектируем все силы, сходя-
щиеся в узле С, на» верти
горизонтальных стержней.*
2 У= — P+W3-sin^ = 0, '
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
55
причем неизвестные усилия и Af2 в горизонтальных стержнях пропа-
дают, так как они перпендикулярны к выбранной оси проекций.
Из этого уравнения определяем растягивающее усилие в наклонном
стержне £>С, который проектируется на профильную плоскость без
искажения:
_P-s
3 sin р h
Точно так же проектируя все силы на ось ТТ1У перпендикулярную
к наклонному стержню D2CV и составляя сумму проекций этих сил, по-
лучим другое уравнение равновесия, имея в виду, что усилия и N2
в горизонтальных стержнях АС и ВС равны между собой в силу
симметрии:
— Р* cos —.2^ • cos • sin (J = 0.
Л
Откуда определяем сжимающие усилия в горизонтальных стержнях
n.=n2-^----—----:
1 i	„CL
2 tg р • cos -
&
Р-V 4-/2-|-а2
4-А
где
. о h	а а
tg? = T	» 'Ву = 2—.
2-1
/442_^а2'
При решении этой задачи можно было бы применить и общий спо-
соб, а именно составить суммы проекций всех сил, сходящихся .в узле С,
на три взаимно-перпендикулярные оси, для получения трех уравнений
статики:
5^=0, 2^=о и 2Z=O> ’
и из этих линейных уравнений определить три неизвестных усилия NVN2
и N3 в стержнях кронштейна. Хотя эти уравнения и будут представлять
довольно простые алгебраические выражения, однако такой путь опреде-
ления неизвестных усилий является часто довольно сложным и во многих
случаях с успехом может быть заменен другими, более упрощенными
способами.. К числу этих последних относится способ произвольных се-
чений, или способ моментов.
II. Определение усилий по способу моментов.
Второй пример. Определить усилия в стержнях консоли ABCD,
показанной на черт. 59 в аксонометрических проекциях и на черт. 60
в трех ортогональных проекциях, при расположении вертикального грузд
и узле С.	* *
56
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Выделим узел С произвольным круговым сечением /пл, и в местах
разреза приложим обнаруженные внутренние усилия Nv N2 и 2V3, напра-
вив их во внешнюю сторону от разреза, считая это направление соответ-
ствующим растяжению.
Принимаем линию АВ, проходящую через опоры А и В, за
ось моментов, тогда моменты усилий и N2 соответственно в стержнях
АС и ВС относительно этой оси будут равны нулю, так как эти силы
пересекают выбранную ось. Остается усилие N3 в нижнем наклонном
стержне DC и заданная узловая
нагрузка Р, причем обе эти силы
не пересекают выбранную ось АВ
и не параллельны ей.
Составляя уравнение моментов
этих сил относительно оси АВ и
Черт. 60.
обозначая через (г3) кратчайшее расстояние от оси АВ до направления
стержня DC, получим

откуда определяем сжимающее усилие в стержне CD:
	3	r3	h
где	плечо момента □ l-h
	r3 = /-sing=-p-
Точно так же принимая ось AD, соединяющую опорные точки А и D,
за ось моментов, замечаем, что моменты усилий и N3 соответственно
в стержнях АС и CD относительно этой оси будут равны нулю, так как
направления этих усилий пересекают данную ось АВ.
Остаются две силы, а именно усилие N2 в стержне ВС и заданная
сила Р, расположенная в вертикальной плоскости, составляющей угол у
с перпендикуляром на ось AD.
Поэтому разлагаем силу Р на две составляющие по направлению
параллельно оси AD и перпендикулярно к ней, причем момент от первой
составляющей, параллельной оси AD, будет равен нулю. Составляя те-
перь уравнение моментов остальных сил относительно оси AD и обозначая
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
57
расстояние от составляющей силы Р до оси AD через (р), а расстояние
от усилия N2 до оси AD через (г2), получим:
2 Mad = COS Y)-P — N2 • ra ~ 0,
откуда определяем растягивающее усилие в стержне
(Р-cos у)-р
2
r2
Усилие в стержне АС будет равно усилию в стержне ВС, т. е.
A/j == в силу симметрии расположения этих стержней относительно
вертикальной плоскости, в которой находится и заданная нагрузка.
Если бы нагрузка Р была
расположена не вертикально,
д наклонно, то усилия во всех
стержнях конечно были бы
различны, и для их определения
потребовалось бы составить три
уравнения моментов последова-
тельно для трех осей АВ, BD
и AD, проходящих через опор-
ные точки.
Из этих трех уравнений мо-
ментов, причем в каждое из них
входила бы только одна неиз-
вестная сила, определяются ис-
комые усилия Nv N2 и AZ3 в
трех стержнях консоли.
Третий пример. Осо-
бенно удобно пользоваться ме-
тодом моментов в том случае,
когда нижние концы всех трех
стержней, сходящихся в одном
узле, лежат в горизонтальной
плоскости. Возьмем треножник
его С приложена сила Р произвольного направления
определения усилия A/j в ребре АС выбираем линию BD за ось момен-
тов. Искомое усилие A/j в ребре АС переносим в опорную точку А,
расположенную на горизонтальной плоскости, и здесь разлагаем на'две
составляющие: горизонтальную Нг и вертикальную V, = А/^. cos а, где (а)
есть угол, образуемый наклонным стержнем АС с вертикальной осью С,С2.
• Первая слагаемая не даст момента, так как она будет пересекать вы-
бранную ось моментов BD. Остается вторая составляющая располо-
женная на расстоянии (г2) от оси BD.
Точно так же данную силу Р, действующую в верхнем узле фермы С,
переносим по ее направлению в точку К пересечения направления этой
силы с горизонтальной плоскостью, и здесь эту силу разлагаем на две
составляющие: горизонтальную Н4 и вертикальную V4 = P-cos<p, где (<р)
есть угол, образуемый направлением силы Р с вертикальной осью тре-
ножника CjCa.
Черт. 61.
CABD
и предположим,
что
(черт. 61). Для
в вершине
58	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Черт. 62.
Первая составляющая сила не даст момента, так как она пересекает
выбранную ось BD. Остается вторая сила V4, расположенная на рас-
стоянии (г4) от оси BD.
Составляя теперь сумму моментов этих сил относительно оси BD,
получим следующее уравнение
%мьа=-Уг-г} + V4-r4 = 0.	(а)
Обозначим высоту треноги, т. е. расстояние верхнего узла С от гори-
зонтальной плоскости, через h, а длину ребер ДС, ВС и DC соответ-
ственно через 5^ и $3. Точно так же обозначим через $4 расстояние
от точки С приложения силы Р до пересечения на-
правления этой силы с горизонтальной . плоскостью
в точке К.
Тогда получим следующие выражения:
--- N2. cos а —	,
h
V^— P-CQS^ — P-------
Подставляя эти значения в уравнение (а), получим:
откуда, сокращая на общий множитель Л, опре-
деляем усилие N\ в стержне АС:
(Ь)
Точно таким же способом определяются усилия
. N2 и N3 в остальных двух стержнях ВС и DC.
Применим теперь общую формулу к частному случаю. Предположим,
что основание треножника представляет правильный треугольник со сто-
ронами а = 2 м, а высота треножника Л = 4 м. Сила Р = 2 т, прило-
женная в верхнем узле С, направлена вертикально (черт. 62).
*В этом частном случае s4 = h, а
Подставляя все эти значения,в формулу (Ь), получим:
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
59
И подставляя сюда соответствующие числовые значения, получим:
/	22
2000-1/ 42 Ч----	----
..	V Г з 2000. |/ 17,83	...
==-------^74-------=--------12-----= 693 кг-
3X4
Усилия в остальных двух стержнях ввиду симметрии будут такие же,
как усилие в стержне АС.
Из предыдущего изложения видно, что в случае трех стержней, схо-
дящихся в одном узле и не лежащих в одной плоскости, всегда возможно
найти усилия, вызываемые в этих стержнях какой-либо нагрузкой Р,
приложенной в том же узле, применив для этого графический способ
непосредственного разложения силы, способ построения пространствен-
ного многоугольника сил в его двух проекциях, или же составляя урав-
нение проекций и уравнения моментов.
§ 11.	Нулевая нагрузка и нулевые усилия.
В том случае, если в узле пространственной фермы не будет ника-
кой нагрузки, или, другими словами, если нагрузка будет равна нулю,, то
такая нагрузка называется нулевой нагруз-
кой, которая в свою очередь вызывает нуле-
вые усилия в стержнях фермы.
Этими двумя понятиями: „нулевая нагрузка* и
„нулевые усилия* — обыкновенно пользуются при
расчете пространственных ферм, особенно для вы-
яснения вопроса о том, какие стержни фермы не
будут работать при заданной нагрузке, а также
для выяснения основного вопроса о геометрической в
неизменяемости и статической определимости про-
странственной фермы.
Поэтому исследуем здесь те условия, при ко-
торых в стержнях будут нулевые усилия, и укажем
прежде всего на следующие положения, которыми z
постоянно приходится пользоваться при расчете
пространственных ферм.
Первое положение.
Если в каком-либо узле пространственной фермы все стержни
кроме одного лежат в одной плоскости, и имеется узловая нагрузка,
то усилие в отдельно стоящем стержне может быть найдено даже
в том случае, если число стержней будет более трех.
В самом деле, проектируя все силы на’ ось СХ, перпендикулярную
к плоскости где лежат все стержни, кроме одного СЕ (черт. 63),
получим:
♦ ^Х= Р-со$(Р>х)^	—	~ (а)
откуда и определяется усилие Ne в отдельно стоящем стержне СЕ.
Черт. 6 3J
60
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Второе пол о ж е н и е.
Если в каком-либо узле пространственной фермы все стержни,
кроме одного, лежат в одной плоскости, и не имеется узловой на-
грузки (или же, если и узловая нагрузка лежит в той же плос-
кости), то усилие в отдельно стоящем стержне будет равно нулю.
Это заключение вытекает из предыдущего положения и является
частным случаем предыдущего. В самом деле, полагая в уравнении (а)
величину узловой нагрузки Р=0, получим, что и усилие в отдельно-
стоящем стержне также будет равно нулю, т. е. Ne— 0.
Третье положение.
Если в каком-либо узле пространственной фермы сходятся три
стержня, не лежащих в одной плоскости, и не имеется узловой на-
грузки, то усилие в' каждом из этих трех стержней порознь будет
равно нулю.
Это заключение вытекает из второго положения, так как принимая
два каких-либо стержня (из трех) лежащими в одной плоскости, всегда
будем иметь третий стержень, не лежащий
в этой плоскости, т. е. стоящий отдельно,
усилие в котором будет равно нулю при
отсутствии узловой нагрузки. Таким образом
яотдельно стоящим стержнем" может быть
каждый из трех стержней, сходящихся в рас-
В сматриваемом узле, и не лежащий-в одной
ZX---------------------ZX плоскости с двумя другими стержнями.
Ц]	кЦ Следовательно при нулевой нагруз-
ке в узле как отдельно стоящий стержень,
п так и все три стержня элементарного узла
У будут иметь нулевые усилия, т. е. не
будут находиться в напряженном состоянии,
или, другими словами, не будут работать при
данном расположении нагрузки на ферме.
При расчете пространственных ферм этими
тремя положениями очень удобно пользо-
ваться, так как они дают возможность найти
, сразу те стержни фермы, в которых усилия
равны нулю.
Устраняя эти стержни с нулевыми уси-
' лиями из общей системы пространственных
стержневых сочленений, можно значительно
упростить весь расчет этой системы.
Рассмотрим соответствующие примеры.
Первый пример. Возьмем купольное покрытие с квадратным осно-
ванием (черт. 64) и предположим, что на него действует лишь одна
сила ТР, расположенная в промежуточном узле фермы (т).*
Рассматриваем прежде всего верхний узел (£), где сходятся только
три стержня: ba, Ъс и Ьп, не лежащие в одной плоскости. < Так как
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ 61
9 этом узле не имеется никакой нагрузки, или, другими словами, приложена ну-
левая нагрузка (Рь = 0), то на основании третьего положения заключаем, что
усилия во всех стержнях, сходящихся в этом узле, также будут равны нулю.
Рассматривая затем другой ненагруженный верхний узел (d), где тоже
сходятся только три стержня da, de и dq, не лежащие в одной плос-
кости, приходим к заключению, что4 и в этих трех стержнях усилия
также будут равны нулю.
Разрушая узлы (Ь) и (d) и отбрасывая все стержни с нулевыми уси-
лиями, переходим к рассмотрению узла (а), где сходятся три оставшихся
стержня: ат, ап и aq. Так как этот узел имеет нулевую нагрузку, то следо-
вательно и усилия в указанных трех стержнях также будут нулевые.
То же самое можно сказать и относительно трех оставшихся стержней
сп, ср и cq, сходящихся в ненагруженном узле с. Отбрасываем эти
стержни с нулевыми усилиями.
Таким образом все стержни верхнего яруса купола не работают при
действии одной силы Р в узле (т).
Удалив все стержни верхнего яруса с нулевыми усилиями, переходим
затем к рассмотрению ненагруженных узлов
п, р и q второго яруса
данной фермы, и, на основании подобных же
усилия в стержнях, сходящихся в каждом
из этих ненагруженных узлов, будут равны
нулю, и следовательно эти стержни также
не будут работать при заданной нагрузке.
Отбрасывая эти стержни с нулевыми
усилиями, приходим наконец к рассмот-
рению узла (/и), где сходятся три эле-
мента mA, тВ и mD, которые будут
напряжены под влиянием нагрузки Р,
приложенной в этом узле.
Эти работающие стержни на черт. 64
отмечены d плане толстыми линиями, а все
стержни с нулевыми усилиями показаны
тонкими линиями.
Соответствующие усилия в трех ребрах
mA, тВ и mD легко можно определить
исследований найдем, что
по одному из указанных выше способов, разлагая данную силу Р по
направлению этих стержней.
Второй пример. Рассмотрим призматическую ферму, показанную
на черт. 65, и предположим, что к верхнему узлу (а) приложена сила Р,
имеющая произвольное направление.
Рассматривая верхний узел (Ь), видим, что три стержня Ьа, ЬА
и ЬВ, сходящиеся в этом узле, лежат в одной плоскости, а именно
в плоскости грани аЬВА, а четвертый стержень Ьс не лежит в этой
плоскости. И так как в узле (Ь) нет никакой нагрузки, то на основании
второго положения заключаем, что усилие в этом, -отдельно стоящем
стержне будет равно нулю.
Точно так же рассматривая верхние ненагруженные узлы с, d, е и f,
найдем, что усилия в отдельно стоящих стержнях cd, de, ef и fa также
будут равны нулю на основании второго положения.
62
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями, как не работающие
при заданной нагрузке, найдем, что в узлах с, d, е и /останется только
па два стержня, и так как нагрузки в этих узлах не имеется, то усилия
во всех этих стержнях также будут равны нулю.
Можно несколько иначе вести исследование, а именно, найдя, что
усилие в отдельно стоящем стержне (Ьс) равно нулю, отбрасываем этот
стержень и переходим к рассмотрению следующего узла (с), где оста-
нутся только три стержня. А так как в этом узле не имеется внешней на-
грузки, то следовательно на основании третьего положения усилия во всех
Трех стержйях этого узла также будут равны нулю.
Отбрасывая эти неработающие стержни и переходя последовательно
к рассмотрению узлов d, е и /, замечаем, что они находятся в таких же
условиях, как и узел с. -Следовательно на основании того же третьего
положения усилия во всех стержнях, сходящихся в этих узлах, также
будут равны нулю.	ч
Отбросив все эти стержни с нулевыми усилиями, переходим к рас-
смотрению узла (а). Так как в этом узле приложена внешняя нагрузка
Р, то она будет вызывать определенные усилия в стержнях а/7, аЛ
и ab. Усилие в четвертом стержне а/, согласно предыдущему исследо-
ванию, равно нулю.
Усилие в стержне ab, действуя на узел (Ь), в свою очередь будет
вызывать усилия в двух других стержнях ЬА и ЬВ.
Усилие в стержне be, как указано было выше, равно нулю.
Все работающие стержни на черт. 65 отмечены толстыми линиями,
а стержни с нулевыми усилиями показаны тонкими линиями.
Как видно из этих двух примеров, способ нулевых нагрузок дает
возможность легко и быстро обнаружить все стержни в пространственной
ферме, которые будут иметь нулевые усилия, т. е. не будут работать при
заданной нагрузке, а удаление этих нерабочих стержней значительно
упрощает весь расчет пространственной фермы.
§ 12. Разложение силы на шесть направлений в пространстве.
Как указано было выше (в § 1), при произвольном расположении
сил в пространстве статика дает шесть уравнений равновесия сил сле-
дующего вида:
5х=о, 2Г=° и Sz=°
2aix=o, 2^=0 и 2ч=°-
При этом каждое из последних трех уравнений моментов может быть
заменено уравнением проекций относительно произвольной оси. Точно
так же каждое из первых трех уравнений проекций может быть заменено
уравнением моментов относительно произвольно выбранной оси.
Таким образом в общем случае, когда направления сил в простран-
стве не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу,
данную силу Р можно разложить на шесть произвольных направлений и
при помощи шести уравнений статики определить величину каждой из
этих шести составляющих сил.
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ	63
' Если число направлений будет более шести, to задача становится
неопределенной. Если же число направлений будут менее шести, то
уравновешивание заданных сил будет возможно только при выполнении
некоторых дополнительных условий. Задача о разложении данной силы
на шесть составляющих по заданным направлениям может быть решена
как графическим путем, так и аналитическим, однако аналитическое ре-
шение во многих случаях бывает значительно проще графического ре-
шения.
Эта задача постоянно встречается при определении усилий в стержнях
пространственной фермы и имеет такое же важное ’значение, как задача
о разложении силы на три направления в плоскости при расчете плос-
ких ферм.
Для решения этой задачи пользуются способом моментов или спосо-
бом проекций.
Если соответствующим образом выбрать ось моментов или ось
проекций, то определение неизвестного усилия в каком-либо элементе
пространственной фермы часто можно свести к решению одного уравне-
ния с одним неизвестным или к решению двух линейных уравнений
с двумя неизвестными.
И хотя такое простое решение задачи не всегда возможно при про-
извольном расположении направлений искомых сил, однако при рас-
чете пространственных ферм произвольное расположение направлений не
встречается, и это обстоятельство несколько упрощает задачу.
Так как вопрос о разложении силы на шесть направлений в про-
странстве имеет здесь чисто практическое значение, а именно служит
для определения усилий в стержнях пространственной фермы, то ограни-
чимся рассмотрением только тех случаев, которыми приходится пользо-
ваться при расчете пространственных ферм и которые позволяют упростить
и облегчить этот расчет. Рассмотрим здесь совместно оба способа, т. е.
и способ моментов, и способ проекций.
Предположим, что требуется разложить данную силу Р произвольного
направления в пространстве на шесть заданных направлений и опреде-
лить величину (N) каждой составляющей силы, или, другими словами,
определить усилие (А/) в каждом из шести стержней пространственной
фермы. Здесь может быть несколько случаев расположения стержней
пространственной фермы, и эти случаи лучше всего разобрать в качестве
отдельных элементарных примеров, пользуясь формой параллелепипеда,
изображенного в аксонометрических проекциях, и обозначая заданные
направления как буквами, так и номерами.
Параллелепипед в данном случае взят как простейшая, наглядная
геометрическая форма, но вместо этой формы можно взять и всякую
Другую простую геометрическую пространственную форму, например ка-
кую-нибудь призму с основанием в виде неправильного многоугольника
или же усеченную пирамиду.
Способ доказательства будет один и тот же, независимо от той или
Другой геометрической пространственной формы.
Первый пример. Имеется шесть направлений, из которых четыре
лежат в двух плоскостях. Например направления (1) и (2) лежат в одной
плоскости (ADFB), и направления (3) и (4) лежат в другой плоскости
64	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
(BFHC), поэтому эти четыре направления будут пересекаться с линией
(BFK) пересечения обеих плоскостей (черт. 66).
Если составить уравнение моментов относительно этой оси (BF), то
в него войдут кроме внешней силы Р только два усилия и дей-
ствующие соответственно по направлениям (5) и (6), так как моменты
остальных усилий относительно оси ВК будут разйы нулю, потому что
эти силы пересекаются с осью
BFK в точках В и К.
Таким образом получим
уравнение только с двумя
неизвестными, выраженное в
виде функции (/) от этих
неизвестных, т. е.
(I) ^Mbk=fx(P, ЧЛ6)=0.
Далее из чертежа видно,
что направления (1) и (2)
пересекаются в точке Е, а
направления (3) и (4) пере-
секаются в точке (G). По-
этому если выбрать линию
EG, соединяющую эти точки,
за ось моментов, то в урав-
нение моментов относительно
Черт. 66.
этой оси войдут, кроме внешней силы Р, только два усилия Nb и
14^ так как * остальные усилия ЛГр ДГа, N3 и N4 пересекаются с этой
линией в точках Е и О и следовательно моменгы их относительно этой
оси ЕС будут равны нулю.
Тогда получим второе уравнение с’ теми же двумя неизвестными
усилиями и N*:
(2)	2^=Л(₽ЛД)=о.
Из этих двух уравнений определяем искомые неизвестные усилия
и соответственно в стержнях JA и JC.
Далее составляем уравнение моментов относительно оси ВС, пересе-
кающей четыре направления 2, 3, 4 и 5, поэтому в уравнение момен-
тов войдут кроме внешней силы Р только два усилия и JV6.
Но так как усилие W6 является уже известным, то получим сле-
дующее уравнение с одной неизвестной величиной:
(3)	2^=/3(р,^,^)=о,
откуда определяем неизвестное усилие в стержне АЕ.
Точно так же составляя уравнение моментов относительно оси АВ> пе-
ресекающей'четыре направления 1, 2, 3 и 6, получим выражение, в ко-
торое войдет кроме внешней силы Р и известного уже усилия Nb> толь-
ко одно неизвестное усилие Nv т. е. получим уравнение с одной. неиз-
вестной величиной:
(4)	2Х»=А(А Nit AQ = 0,
откуда и определяем неизвестное усилие в стержне CG.
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ 65
Составляя уравнение моментов относительно оси EI, пересекающей
четыре направления: 1, 2, 5 и 6, получим уравнение, куда войдет, кроме
внешней силы Р и известного уже усилия Nv только одно неизвестное
усилие N3, и таким образом получим уравнение с одной неизвестной
величиной:
(5.)	2^=Л(Р, N3, JV4) = 0,
откуда и определяем неизвестное усилие N3 в стержне BG.
Наконец составляя уравнение моментов относительно оси JG, пере-
секающей четыре направления 3, 4, 5 и 6, получим уравнение, в кото-
рое войдет, кроме внешней силы Р и известного уже усилия Nv только
одно неизвестное усилие N2, и таким образом получим уравнение с од-
ной неизвестной величиной:
(6) =	^) = 0,
откуда определяем неизвестное усилие N2 в стержне BE. Таким обра-
зом в данном случае все шесть неизвестных составляющих равнодейст-
вующей силы Р определены по способу моментов, причем первые три
уравнения составлены для осей АВ, ВС и BF (черт. 66), которые мо-
гут быть приняты за координатные оси, если начало координат перене-
сти в точку В, а последние три уравнения составлены для сторон тре-
угольника EGJ, соединяющего вершины Е, G и J попарно пересекаю-
щихся направлений.
Но последние три неизвестные величины: Nv N2 и А/* можно опре-
делить и по способу проекций, составляя три уравнения проекций отно-
сительно трех координатных осей OX, OY и OZ, тогда получим сле-
дующие выражения:
2х=Д(Р, ДГр N2, AZs)= O,	(а)
2у=/5(Р, А/р Nv N3, Ns, AQ = 0,	.(Ь)
=	W3. Nv ЛГ6) = 0,	(с)
откуда можно определить искомые неизвестные величины: Nv N2 и N±.
Однако этот способ нахождения неизвестных был бы несколько слож-
нее, чем изложенный выше способ моментов. Поэтому способом момен-
тов в данном случае следует пользоваться по преимуществу, так как он
оказывается более простым.
Заметим кстати, что уравнение (Ь) может служить для поверки пра-
вильности определения усилий в стержнях системы по способу моментов.
Второй пример. Линия пересечения двух плоскостей, в которых
лежат попарно четыре направления, параллельна пятому направлению.
Например плоскость направлений (1) и (2) пересекается плоскостью
направлений (3) и (4) по линии BF, которая параллельна направлению
(5), выражаемому стержнем ОН (черт. 67).
При составлении уравнения моментов относительно оси BF в него
войдет, кроме заданной силы Р, только одно неизвестное усилие Н3,
идущее по направлению АН, так как все остальные направления пересе-
5 Подольский, И. С.
66
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
каются с данной осью BF или же ей параллельны (т. е. также пересе-
каются, но только в бесконечно удаленной точке) и следовательно да-
дут нулевые моменты.
Поэтому из уравнения мо-
ментов
(1)2^/=Л (Л л^6)=о
можно определить неизвест-
ную величину усилия N6 в
стержне АН.
После этого из уравне-
ния моментов относительно
оси EG
(2)S^=/2(P,N5,4) = 0
можно определить неизвест-
ное усилие в стержне ОН.
Затем из уравнения мо-
ментов относительно оси ВС:
(3)	2^=/3 (рлл5л,)=о
можно определить неизвестное усилие в стержне АЕ.
1 Из уравнения моментов (или проекций) относительно оси GH
(<)	(лм, ^)=о
можно чопределить неизвестное усилие Н2 в стержне BE.
Усилие ЛГ3 в стержне В6 может быть найдено из уравнения проек-
ций на ось ВС:
(5)	2вс=/6(ЛЧ, Ч)=о.
И наконец усилие в стержне СО может быть найдено из урав-
нения моментов относительно оси ЕН:
(6)
Таким образом данная сила Р разлагается на шесть заданных на-
правлений, и из указанных несколько выше шести уравнений опреде-
ляются все шесть составляющих, соответствующих искомым усилиям
в стержнях системы.
Третий пример. Когда пять заданных направлений находятся
в двух смежных плоскостях, пересекающихся по линии BE (черт. 6&),
причем три направления: 2, 3 и 4 пересекаются в точке Е, а два на-
правления: 5 и 6 пересекаются в точке Л
Составляя уравнение моментов относительно оси EF, проходящей че-
рез точки пересечения пяти направлений, куда войдут только сила Р и
одно неизвестное усилие в стержне AD
можно определить из него усилие Nr
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ	67
Составляя затем уравнение моментов относительно ребра BE пересе-
чения двух смежных плоскостей, замечаем, что усилия в стержнях 2 и 4
не войдут в это уравнение, так как они пересекают выбранную ось мо-
ментов, усилия 1, 3 и 5 также не войдут в это уравнение, так как они
имеют направления, параллельные выбранной оси. Следовательно в урав-
нение моментов относительно
ребра BE войдет только одно
усилие Nq в стержне OF и
из этого уравнения моментов
с одной неизвестной величиной
определяется искомая сила JV6.
Затем из уравнения момен-
тов относительно оси EG можно
определить усилие Nb в стержне
CF, а из уравнения моментов
относительно оси ВС можно
определить усилие ДГ2 в стержне
АЕ. И наконец из двух урав-
нений проекций относительно
осей АВ и ВС определяются
R
Черт. 68.
СЕ.
два усилия N3 и N4 соответственно в стержнях BE и
Четвертый пример. Для определения неизвестных усилий-, урав-
новешивающих данную силу, применяют преимущественно уравнения мо-
ментов, а уравнениями проекций пользуются только в том случае, если
они составляются в простой форме. При этом так выбирают оси проекций,
чтобы в уравнение вошла одна неизвест-
ная сила.
На черт. 69 приведен пример такого
расположения стержней системы, когда
плоскости, в которых расположены пять
из шести стержней, параллельны между
собой, при этом сила Р9 приложен-
ная в точке £>, действует вдоль реб-
ра AD.
Составляя уравнение проекций на
ось ВС, найдем, что в нее войдет только
одно усилие в стержне ЕС, так как
все остальные стержни и сила Р нахо-
дятся в двух плоскостях ABED и OCFG,
перпендикулярных к выбранной оси ВС.
Тогда получим уравнение такЬго
вида:
2 ВС = ДГ4 • cos р = о,
откуда находим, что при заданном расположении вертикальной силы Р
в точке D усилие N4 в стержне ЕС равно нулю.
б*
68
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Точно таким же образом, составляя сумму проекций всех сил на фсь
АВ, получим на том же основании следующее уравнение:
2 АВ = N2 • cos а = О,
откуда находим, что в стержне BD усилие
Таким же образом находим нулевые усилия в стержнях 3, 5 и 6.
Усилие в стержне 1 будет равно Nx =— Р.
1 Исключительные случаи.
Рассмотрим теперь такие случаи, когда разложение силы на шесть
заданных направлений не дает определенного решения. Такие случаи на-
зываются исключительными, и они имеют место, когда детерминант
линейных4 уравнений статики обращается в нуль.
И
Черт. 70.	Черт. 71.
А это в свою очередь бывает тогда, когда все шесть
заданных направлений можно пересечь одной прямой
линией, или когда проекции всех стержней на какую-либо otb равны
нулю. Такого расположения стержней на практике следует избегать.
Рассмотрим здесь несколько простых признаков, когда можно сразу
сказать, что здесь будет исключительный случай, не дающий определен-
ного решения.
Первый случай.
Когда шесть направлений расположены так, что пе-
ресекаются по три в двух точках D и F (черт. 70), то это
будет исключительный случай, не дающий определенного решения. В са-
мом деле, соединяя точки D и F прямой линией DF и составляя урав-
нение моментов всех сил относительно этой оси, замечаем, что момент
от каждой составляющей будет равен нулю, так как каждая составляю-
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
69
щая пересекает данную ось, и уравнение моментов в этом случае будет
иметь такой вид:
^Md/=P-r = 0.
Но так как заданная сила Р не равна нулю, то следовательно для
удовлетворения этого уравнения должны иметь г=0, т. е. равновесие
сил возможно будет только в том частном случае, когда заданная сила Р
будет пересекать ось DF
Второй случай.
Когда четыре направления параллельны между со-
бой, а остальные двя направления пересекаются с од-
ним из параллельных стержней, то это гбудет исключительный
случай. Предположим, что три стержня 2, 3 и 4 пересекаются в точке
Е (черт. 71), а остальные три стержня 14 5 и 6 параллельны стержню 3.
Предполагая, что параллельные линии пересекаются в бесконечности,
в данном случае будем иметь линию BE, которая и будет осью, пересе-
кающей все шесть направлений, причем первая "	"
вторая точка пересечения будет
расположена в бесконечности.
Очевидно, что это будет только
частный случай первого, более об-
щего случая.
Третий случай.
Когда имеется по три
стержня, расположенных
в двух параллельных пло-
скостях, то это будет исклю-
чительный случай.
Предположим, что плоскость
AOGD, в которой расположено
по три стержня .1, 6 и 5, парал-
лельна плоскости BCFE, в которой
также • расположено три стержня
2, 3 и 4 (черт. 72).
В этом случае проекция каждого усилия
дет равна нулю, и равновесие возможно лишь в том случае, если и
внешняя сила Р даст на ту же ось проекцию, равную нулю, т. е. если
эта сила будет лежать в одной из указанных выше параллельных пло-
скостей.
точка будет узел а
Черт. 72.
в
стержнях
на
ось АВ бу-
Четвертый случай.
Когда в одной плоскости лежит более трех стерж-
ней, то это будет исключительный случай.
В самом деле, предположим, что в плоскости ABED лежат четыре
стержня 1, 2, 3 и 4 (черт. 73).
70
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Найдем точки т и п пересечения этой плоскости с направлениями
5 и 6, тогда линия тп, соединяющая эти точки, будет пересекать все
шесть направлений и следовательно момент каждого из усилий в этих
Если выбрать за ось моментов линию BE, то момент усилий во всех
шести стержнях относительно этой оси будет равен нулю, так как три
' направления 2, 3*и 4 пересекаются с этой осью, а три остальных на-
правления 1, 5 и 6 параллельны этой оси, т. е. пересекаются с ней
в бесконечности.
Таким образом оказывается,
что ось BE пересекает все шесть
направлений, и равновесЬе будет
возможно только при соблюдении
некоторых дополнительных усло-
вий относительно внешних, сил,
действующих на пространственную
ферму.	*
*
Шестой случай.
Когда все стержни ра-
сположены в двух взаимно
пересекающихся плоско-
стях, то это также будет исклю-
чительный случай, потому что
здесь линия пересечения обеих плоскостей и будет той линией, которая
пересекает все шесть направлений.
стержнях относительно оси тп
будет равен нулю.
Пятый случай.
Когда пять из шести
направлений находятся
в двух плоскостях, и ли-
ния пересечения этих
плоскостей параллель-
на шестому направле-
нию, то это будет исключи-
тельный случай.
Предположим, что стержни
1, 2 и 3 расположены в плос-
кости ABED, а стержни 4 и 5
расположены в плоскости BCFE,
причем линия BE пересечения
этих плоскостей параллельна
шестому направлению (черт. 74).
Черт. 74.
Кроме указанных здесь возможны и некоторые другие исключитель-
ные случаи, например когда все шесть стержней пересекаются в одной
точке (пирамида).
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ	71
Избегая на практике этих неудобных исключительных случаев распо-
ложения стержней, всегда можно найти такую систему, при которой по-
лучается вполне определенное решение задачи о разложении данной
силы на шесть направлений.
Такой статической определенности задачи будет соответствовать
также >и геометрическая определенность, указывающая на жесткость и
геометрическую неизменяемость данной пространственной системы.
§ 13. Исследование геометрической неизменяемости
пространственных систем.
Выше было указано, что геометрическая неизменяемость пространст-
венной фермы определяется следующими двумя условиями.
Первое условие, чтобы число стержней равнялось утроенному числу
узлов, за вычетом числа опорных реакций, т. е.
т = 3 • п — $,
и второе условие, чтобы детерминант линейных уравнений статики не
равнялся нулю (2)^0), т. е. чтобы усилия в стержнях системы имели
конечные значения.
Однако вычисление детерминанта в случае большого числа линейных
уравнений представляет большое затруднение и отнимает много времени.
Поэтому на практике, для выяснения вопроса о
геометрической неизменяемости данной системы,
пользуются другими, более упрощенными ме-
тодами, которые и рассмотрим здесь.
Прежде всего следует иметь в виду,* что
всякая простейшая пространственная система,
т. е. составленная при помощи закрепления
каждого нового узла только тремя стержнями,
не лежащими в одной плоскости, заведомо будет
геометрически неизменяемой фермой.
Но нельзя утверждать обратное,
а именно, что данная преобразованная система
будет также геометрически неизменяемой только
потому, что она получена из простейшей системы
путем замены стержней, или потому, что ее
можно превратить в простейшую систему путем
замены стержней.
Для stoto необходимо еще соблюдение не-
которых других условий.
Поясним эго положение соответавующим
показана закрепленная сетчатая система, имеющая [т= 16 стержней,
п = 8 узлов и s = 8 опорных реакций.
Эта система удовлетворяет первому условию, выражаемому формулой
(11) следующего вида.
Черт. 75.
примером. На черт. 75
т — (3-zz — $) = 0.
72	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
В самом деле, подставляя сюда соответствующие числовые значения,
получим тождество:
16 — (3 X 8 — 8) = 0.
Затем эту систему легко можно превратить в простейшую ферму при
помощи замены одного стержня.
Например выбрасывая стержень ab, получим элементарный узел (6),
состоящий только из трех стержней. Разрушая этот узел, получим эле-
ментарный узел (с), затем получим такой же узел (d). По разрушении
этого последнего уз та найдем, что узет (а) прикреплен только дьумя
стержнями аА и aD и поэтому будет подвижным. .Чтсбы сделать этот
узел неподвижным надо вз мем выброшенного стержня ай поставить за-
меняющий стержень аВ, показанный на черт. 75 пуню ирной линией.
Разрушая затем и этот элементарный узел, составленный только из трех
стержней, придем к ква ратному основанию ABCD.
Такая система с заменой одного стержня являе:ся простейшей фер-
мой и следовательно будет геометрически неизменяема.
Но данная система, преобразо анная из простейшей, путем замены
стержня аВ заменяющим сгерж ем ab, будет геометрически изменяемой,
т. е. будет механизмом, но не фермой, потому что постановка заменяю-
щего стержня (ab) нисколько не будет препятствовать передвижению
узлов после удаления стержня аВ.
Заметим кстати, что в данном примере была применена так назы-
ваемая „пре странственная замена стержней", так как заменяемый стер-
жень аВ не находится в плоскости грани заменяющего стержня ab.
Таким образом преобразованная из простейшей система будет жест-
кой только в том единственном случае, когда заменяющий стержень бу-
дет препятствовать перемещению узлов, а этого в данном случае нет.
В частном случае, когда преобразованная система подучается из про-
стейшей при помощи плоской замены стержней, т. е. путем замены рас-
косов (или диагоналей) одною направления обратными раскосами (или
контр-диагоналями) в плоскости той же грани, то лакая преобразованная
система остается жесткой, геометрически неизменяемой фермой.
Итак возможность получения преобразованной системы из простей-
шей, или возможность обратного преобразования данной системы в про-
стейшую, не может служить верным признаком, указывающим на гео-
метрическую неизменяемость данной системы.
Поэтому для выяснения геометрической неизменяемости какой-либо
пространственной, системы приходится пользоваться другими способами.
Сода относятся: способ нулевой нагрузки и способ замены стержней.
Рассмотрим каждый из этих способов отдельно.
1. Способ нулевой нагрузки. Определяют усилия во всех стержнях
системы для одного кзкого-либо случая нагрузки.
Если при этом возможно будет доказать, что все эти усилия имеют
вполне определенны? значении, то это будет показывать, что детерми-
нант соответствующих уравнений статики не: равен нулф, и следова-
тельно данная система является геометрически неизменяемой. Проще
всего предположить, что в узлах системы не имеется никакой нагрузки,
т. е. нагрузка равна нулю.
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ	73
Если затем возможно будет доказать, что при этой нулевой нагрузке
усилия во всех стержнях также будут равны нулю, то это и будет слу-
жить признаком, что данная пространственная система геометрически
неизменяема.
Применим этот способ исследования к системе, показанной на черт. 75.
Рагсматривая стержни ab, be, в Дй, ЬВ, сходящиеся в верхнем узле
(Ь), заме »аем, что они попарно расположены в двух плоскостях или
в дтух гранях АЬВ и abed, коюрые пергсекаются между собой по ли-
нии тт. Эта линий тт является внешней биссектрисой, т. е,
линией, делящей пополам внешний угол, образуемый стержнем ab и
продолженным во внешнюю сторону стержнем be.
Равнодействующая усилий И N2 соответственно в стержнях
ab (1) и be (2), будет лежать в горизонтальной плоскости грани abed,
а равнодействующая /?2 усилий N* и соответственно в стержнях АЬ
(5) и ЬВ (6) будет лежать в плоскости грани АЬВ, и так как внешней
нагрузки в узле (Ь) нет, то геометрическая сумма этих частных равно-
действующих должна равняться* нулю, т. е.
^4.^=0
(черта сверху есть условное обозначение геометрической суммы, т. е
сложение двух сторон параллелограма сил).
Это условие показывает, что честные равнодействующие 7?3 и /?2
равны го величине, но противоположны по знаку, а это возможно только
в том единственном случае, когда эти равнодействующие будут лежать
на одной прямой.
Но так как частная равнодействующая 7?3 усилий и N2 в стерж-
нях (1) и (2) лежит в одной плоскости (abed), а частная равнодейству-
юща» /?2 усилий ТУ5 и в стержнях (5) и (6) лежит в другой плоско-
сти (АЬВ), то очевидно, ч*го они будут лежать на одной прямой только
в т< м случае, если они - будут совпадать с линией	'
(тт) перес чения этих плоскостей.	ъ
Но сила 7?! есть равнодействующая усилий *<’"*’^4^7
и N2 в стержнях (1J и (2), т. е.
4 = 4 + 4-	S X
То же самое имеем: <	4	В
4=4 + 4-	Черт. 76.
Рассматривая отдельно треугольник АЬВ и замечая, что ось тт па-
раллельна основанию АВ, находим, что эта ось (тт) есть внешняя бис-
сектриса угла АЬВ и угла abc (черт. 75).
' С другой стороны равнодействующая R2 двух сил Nb и NQ, сходя-
щихся под углом, только в том случае будет направлена по внешней
биссектрисе (Ьт), если составляющие силы равны по величине, но про-
тивоположны по знаку, т. е. если одна сила действует по направлению
к узлу (сжатие), а другая сила действует по направлению от узла (рас-
тяжение), как это показано в виде параллелограма сил на черт. 76.
Поэтому имеем:
М = — М.
6	о
74	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Точно также, рассматривая треугольник abc, для
тт является внешней биссектрис й, находим, что
которого линия
N^-Nv
Так как все остальные усилия в стержнях ве; хнего кольца abed на-
ходятся в таких же условиях, как и для узла (£), то следовательно и
для каждого из остальных узлов (а, с, d) имеем, ч:о усилия в стерж-
нях, попарно сходящихся в узлах верхнего кольца, равны по величине,
но противоположны по знаку.
Поэ ому, если усилие в стержне (1) будет положительное то
усилие в стержне (2) будет отрицательное —N2, усилие в стержне (3)
будет опять положительное N3, а усилие в стержне (4) будег отри-
цательное — N4. Таким образом находим, что
стержни (1) и (4), сходящиеся в узле (а),
имеют усилия равные по величине, но проти-
воположные по знаку.
Выше было доказано, что равнодействующая
их должна лежать на биссектрисе пп (черт. 75).
В данном случае это вполне возможно
всяком значении усилий и
Таким образом доказано, что силы и
а следовательно и все. остальные усилия (N2
и N3) в стержнях верхнего кольца (abed) не
равны нулю при нулевой нагрузке в узлах: а,
Ь, с, d.
Следовательно данная система будет ге-
о етрически изменяемой. В самом деле, мож-
но одновр:менно поднять противоположные
узлы (а) и (с) и опустить два других узла
(Ь) и (d) без изменения длины стержней, как
77.
при.
это показано на черт.
Такой результат будет получаться всегда, если усилие в последнем
стержне (ad) будет иметь знак обратный зн ку усилия в первом стерж-
не (ab), а это зависит от числа сторон кольца. Так как знаки усилий
в смеж ых стержнях кольца чередуются, то при четном числе сторон
в кольце всегда будем иметь одинаковое усилия в первом и последнем
стержнях кольца с разными знаками, и при сложении их равнодействую-
щая (7?я) не будет равняться нулю. На черт. 45 (стр. 43) показан был
другой пример геометрически изменяемого звездчатого покрытия.
Таким образом сетчатое покрытие при четном числе сторон верх-
него кольца всегда будет геометрически изменяемой системой, а при
нечетном числе сторон верхнего кольца будет жесткой, гео етрически
неизменяемой системой, т. е. фермой в то ;ном смысле этого слова
(ferme — жесткий, твердый, неизменяемый).
Чтобы сделать подвижную систему, показанную на черт. 75, жесткой
фермой, следует ввести еще один стержень (лс), но тогда такая система
будет статически неопределимой.
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ	75
2. Способ замены стержней. Изложенный выше способ нулевой
на.рузки применим для исследования только таких систем, усилия
в элементах которых легко могут быть определены изложенными
выше приемами расчета (разложение силы на три и на шесть направ-
лений).
В общем случае, когда эти методы расчета не применимы, прихо-
дится пользоваться другим способом, а именно способом замены стерж-
ней, который будет подробно описан в следующей главе (см. § 17).
Поэтому здесь ограничимся пока только одним указанием на этот
более общ* й способ.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛЙМЫХ '
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ.
§ 14.	Общие основания расчета ферм.
Расчет пространственных ферм состоит в определении внутренних
усйлий в стержнях системы, уравновешивающих данную нагрузку.
Как бы ни была расположена нагрузка на ферме, в нескольких пло-
скостях или в одной плоскости, она может вызвать усилия в стержнях,
расположенных в различных'плоскостях пространственной фермы.
Следовательно при расчете пространственной фермы приходится
иметь дело с усилиями, расположенными в пространстве и уравновеши-
вающими данную нагрузку или внешнюю силу.
Так как все силы, действующие на ферму, т. е. нагрузка, опорные
реакции и внутренние усилия в элементах фермы, должны находиться
в равновесии, то здесь могут быть применены те же* приемы расчета,
которыми обыкновенно пользуются и при расчете , плоских ферм, а
именно: применяют способ выделения узлов, способ произвольного сече-
ния, способ замены стержней и так называемый кинематический способ,
изображающий, возможное перемещение узлов.
I.	Метод выделения узлоц. Применяя этот метод, рассматривают рав-
новесие. внешней нагрузки, приложенной в каждом выделенном узле, и
внутренних усилий в рассеченных элементах фермы, сходящихся в том
же узле.
Из условий равновесия всех этих сил, действующих на выделенный
узел, и определяют искомые внутренние усилия в элементах фермы. При
этом приходится находить усилия, имеющие определенные направления,
а именно идущие по осям рассеченных стержней фермы и сходящиеся
в одной точке, т. е. в рассматриваемом узле, при условии, что эти уси-
лия уравновешивают данную внешнюю нагрузку, или силу, приложенную
в том же узле. Эта задача решается аналитически или графически толь-
ко в том случае,, если в одной точке сходится не более трех неизвест-
ных усилий, и решение задачи заключается в разложении равнодейству-
ющей данных сил на три составляющие силы в пространстве, что уже
было рассмотрено выше, в § 10.
Поэтому, применяя метод выделения узлов, расчет пространственной
фермы надо начинать с выделения таких узлов, где сходится не более
трех стержней, и затем последовательно переходить к таким узлам, в
состав которых входит не более трех стержней с неизвестными уси-
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 77 '
лиями. Усилия же в остальных стержнях, сходящихся в том же узле,
должны быть известны, или должны быть определены предварительно
каким-либо другим путем. Продолжая расчет таким образом, находят
усилия во всех стержнях фермы.
Отсюда видно, что расчет по методу последовательного выделения
узлов можно применять только к таким пространственным фермам, у
которых имеется один или несколько элементарных узлов, состагленных
только из трех стержней, не лежащих в одной плоскости.
Если же в данной ферме нет ни одного такого узла, то надо осталь-
ные (сверх трех) усилия в рассматриваемом узле определить каким-либо
другим путем, о чем подробно будет сказано далее.
II.	Метод произвольного сечения. Этот метод заключается в том, что
выделяют часть фермы, или определенную группу узлов, рассекая стерж-
ни, которые не сходятся в одной точке.
При равновесии всей фермы всякая часть ее, рассматриваемая от-
дельно с соответствующими силами или нагрузками, также должна нахо-
диться в равновесии. Поэтому можно выделить любую часть фермы сквоз-
ным сечением, приложить в местах разреза элементов силы, заменяющие
действие отброшенной части фермы, и рассматривать равновесие этих
обнаруженных внутренних усилий совместно с данными нагрузками, дей-
ствующими на ту же часть фермы. При этом можно выделить как плос-
кую часть фермы, например несколько граней, лежащих в одной плос-
кости, так и пространственную часть фермы.
Что касается направления неизвестных усилий в рассеченных элемен-
тах пространственной фермы, то здесь каждое усилие считается направ-
ленным во внешнюю сторону от разреза, т. е. каждое усилие считается
положительным или растягивающим.
Если же из дальнейшего расчета обнаружится, что какое-либо из
этих усилий имеет отрицательный знак, т. е. направлено в обратную
сторону, то следовательно это будет сжимающее усилие.
При пользовании методом* произвольного сечения приходится решать
Задачу о разложении равнодействующей силы (7?) на несколько заданных
направлений, не йересекающихся в одной точке. Задача эта может быть
решена только в том случае, если имеется не более шести неизвестных
усилий, так как статика дает только шесть уравнений равновесия сил,
расположенных ,в пространстве.
Эта задача была рассмотрена выше, в § 12.
Поэтому применяя метод произвольного сечения, следует выделять
каждый раз такую пространственную часть фермы, чтобы было пересе-
чено не более шести стержней (с неизвестными усилиями), не пересека-
ющихся в одной точке и не параллельных друг другу. Усилия же
в остальных пересеченных стержнях (сверх шести) должны быть изве-
стны, или должны быть определены предварительно каким-либо другим
пут ем.
При выделении сквозным сечением плоской части фермы, например
одной грани, в общем случае будем иметь нагрузки и усилия, которые
также не лежат в одной плоскости, но должны на ней уравновеши-
ваться. Если все силы выделенной грани не лежат в ее плоскости, не
сходятся в одной точке и не параллельны между собой, то здесь также
78	Теория расчета пространственных ферм
может быть найдено шесть неизвестных усилий из шести уравнений
статики.	,
Если все силы пересекаются в одной точке (или параллельны),
ио не лежат в одной плоскости, то может быть найдено только три не-
известных усилия.
Если же все силы лежат в плоскости выделенной грани, то задача
будет соответствовать расчету плоских ферм, т. е. из уравнений статики
может быть определено только три неизвестных усилия, если они не пе-
ресекаются в одной точке, и только два неизвестных усилия, если они
пересекаются в одной точке или же параллельны друг другу.
III.	Метод замены стержней является самым общим методом расчета
пространственных ферм, но благодаря своей сложности он применяется
только в том случае, когда нельзя применить более простой метод вы-
деления узлов или метод произвольного сечения. Метод замены стерж-
ней будет изложен подробно далее в § 17.
IV.	Кинематический метод расчета пространственных ферм является
в настоящее время наименее разработанным и наиболее сложным. По-
этому в дальнейшем вовсе не будем касаться этого несовершенного ме-
тода, ограничиваясь здесь только одним указанием на его существо-
вание г).
При расчете пространственных ферм следует одновременно пользо-
ваться как методом выделения отдельных узлов, так и методом произ-
вольного сечения, смотря по тому, какой из этих методов* или приемов
расчета дает более простое решёние и скорее ведет к цели при опреде-
лении усилия в том или другом стержне пространственной системы.
Ввиду большого разнообразия пространственных ферм и сравнитель-
ной сложности их расчета, нет возможности указать, в каком случае
следует применять тот или другой прием расчета, чтобы получить
наиболее простое решение.
Можно указать лишь несколько общих положений, которые облег-
чаю^ расчет пространственных ферм. Прежде чем приступить к расчету
какой-либо фермы, ее следует внимательно рассмотреть с внешней сто-
роны, изучая расположение узлов и граней, чтобы выяснить вопрос о
том, нельзя ли из простых соображений определить усилия хотя бы
в некоторых стержнях фермы.
Если можно найти эти усилия, то ими пользуются уже как извест-
ными величинами при последующих сечениях фермы.
При этой подготовительной работе иногда обнаруживается, что
в случае заданной односторонней нагрузки (например давление ветра
или снега) многие стержни фермы имеют нулевые усилия, т. е. оказы-
ваются ненапряженными.
Иногда выясняется, что расчет пространственной фермы можно свести
к расчету плоских ферм, ее составляющих.
Следует также иметь в виду, что если удастся определить уси-
лия во всехэлементах фермы от одного груза, распо-
0 В. Mayor. Statique graphique des systejnes de 1’espace. Losanne, 1927.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ЙРфСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 79
ложе нн ого в каком-либо узле фермы, то тем самым решается
задача и в случае расположения нагрузки во всех узлах фермы.
Для этого надо только последовательно перемещать одиночный груз
из одного узла фермы в другой и затем просуммировать усилия в соот-
ветствующих стержнях, найденные при всех положениях одиночного груза.
Поэтому в дальнейшем изложении для упрощения общих выводов
при расчете разных пространственных ферм будем ограничиваться рас-
смотрением действия единичной узловой нагрузки, приложенной только
в одном каком-либо узле фермы.
Напомним здесь также несколько общих положений, которые были
указаны выше в разных параграфах и которые могут служить для об-
легчения или упрощения расчета пространственных ферм.
Первое положение.
Если в каком-либо узле пространственной фермы все стержни,
кроме одного, лежат в одной плоскости, и имеется узловая нагрузка,
то усилие в отдельно стоящем стержне может быть найдено из
условия равновесия всех сил в данном узле даже в том случае, если
общее число стержней будет более трех.
Для этого стоит только составить уравнение проекций всех сил на
ось, перпендикулярную к плоскости остальных стержней (черт. 63).
Второе положение.
Если в каком-либо узле пространственной фермы все стержни,
кроме одного, лежат в одной плоскости, и не имеется узловой на-
грузки (или же, если узловая нагрузка лежит в той же плоскости),
то усилие в отдельно стоящем стержне равно нулю.
Это заключение вытекает из первого положения и представляет
в сущности частный, случай его.
Третье положение.
Если в каком-либо узле пространственной фермы сходятся только
три стержня, не лежащие в одной плоскости, и не имеется узловой
нагрузки, то усилие в каждом из этих трех стержней будет равно
нулю.
Это заключение вытекает из второго положения, так как, принимая
два каких-либо стержня (из трех) лежащими в одной плоскости, всегда
будем иметь третий стержень стоящим отдельно, усилие в котором будет
равно нулю при отсутствии нагрузки в узле.
Таким образом „отдельно стоящим стержнем" может быть каждый
из трех стержней, сходящихся в узле и не лежащих в одной плоскости*
Четвертое положение.
Если в каком-либо узле пространственной фермы все стержни,
кроме двух, расположены в одной плоскости, а два отдельно стоящих
стержня находятся по одну сторону от этой плоскости и распо-
ложены симметрично (т. е. имеют одинаковый наклон к плоскости
остальных стержней), и если не имеется узловой нагрузки (или же,
80	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
если эта нагрузка лежит в плоскости остальных стержней), то
усилия в этих двух отдельно стоящих стержнях равны по величине,
но противоположны по знаку.
Это заключение также вытекает из первого положения.
В самом деле предположим, что стержни ОЛ, ОВ и ОС, сходящиеся
в узле О, лежат в плоскости I, а два отдельно стоящих стержня OD и
ОЕ находятся по одну сторону от этой
плоскости и наклонены к ней под оди-
£	| Q	наковыми углами (чер’т. 78).
Составляя сумму проекций всех сил на
ось ОК, перпендикулярную к плоскости
I, получим: -
2r=^.cos(Afp
4-tf2.cos(/V2,F)
Но из условия симметричного расположе-
ния стержней имеем, что
ЧеРт- 78-	cos(/Vj, Г) = cos (/V2, F).
Поэтому из уравнения (а) имеем:
4-^ = 0
или
т. е. усилия в отдельно стоящих и симметрично расположенных парных
стержнях, при нулевой нагрузке в узле (или же, если эта нагрузка рас-
положена в плоскости остальных стержней), равны по величине, но про-
тивоположны по знаку. Следовательно, если
один стержень будет растянутым, то другой
стержень будет сжатым. Если удастся до-
казать, что усилие в одном из этих стерж-
ней будет равно нулю, то усилие в другом
стержне также будет равно нулю.
Пятое положение.
Если все стержни, сходящиеся в каком-
либо узле пространственной фермы (а
также и узловая нагрузка), расположены в
двух плоскостях, то равнодействующая сил,
лежащих в одной плоскости, будет равна и противоположна по
знаку равнодействующей сил, лежащих в другой плоскости, и будет
совпадать с линией пересечения этих плоскостей.
Это положение доказывается следующим образом:
Пусть в плоскости I лежат два стержня (или две силы) О А и ОВ,
а в плоскости И лежат три стержня: ОС, OD и ОЕ (черт. 79). Обозна-
чим равнодействующую двух левых оил через /?р а равнодействующую
трех правых сил — через Rr
Расчет Статически определимых пространственных ферМ si
Равновесие узла О возможно будет только в том случае, если част-
ные равнодействующие каждой из двух групп сил равны и противопо-
ложны по знаку (/?2 = — /?а), т. е. если они будут расположены на
одной прямой. Но равнодействующая двух сил ОА и ОВ лежит
в плоскости этих сил, т. е. в плоскости I, а равнодействующая R2 трех
сил ОС, OD и ОЕ лежит в плоскости II. Если при этом обе частные
равнодействующие и R2, лежащие в разных плоскостях, должны быть
расположены на одной прямой, то следовательно они будут лежать на
линии {тп) пересечения этих плоскостей.
Но если на той же линии {тп) пересечения двух плоскостей I и II
случайно окажутся лежащими еще два стержня OF и ОК, то на
основании последнего положения нельзя сделать заключения о том, что
усилия в этих двух стержнях также будут равны и противоположны.
Такое заключение было бы явно ошибочным, ибо эти две силы следует
отнести либо к группе сил, лежащих в плдскости I, либо к группе сил,
лежащих в плоскости II.
Точно также, если на линии {тп) пересечения двух плоскостей I и
II будет случайно лежать только один стержень OF (или ОК), то нельзя
сделать' заключения, что усилие в нем равно нулю. Такое заключение
было бы явно ошибочным на основании изложенного выше.
Шестое положение.	•
Если на плоскую грань, выделенную из пространственной фермы,
будут действовать только три силы, лежащие в той же плоскости,
но не пересекающиеся в одной точке, то равновесие возможно только
в том случае, если каждая из этих сил будет равна нулю.
Эго положение непосредственно вытекает из основного положения,
которым постоянно пользуются при определении опорных реакций на
плоскости: если три силы находятся в равновесии, то они обязательно
должны пересекаться в одной точке, или должны быть параллельны
между собой. В этом последнем случае точка пересечения их удаляется
в бесконечность.
Если, пользуясь предыдущим положением и общими приемами рас-
чета, найдем какую-либо систему' сил, направленных по стержням рас-
сматриваемой грани пространственной фермы и уравновешивающих дан-
ную нагрузку, то эти силы будут искомыми усилиями в соответствующих
стержнях фермы. Поэтому усилия в элементах данной фермы, найденные
каким-либо образом, и будут искомыми усилиями, если только они со-
вместно уравновешивают данную нагрузку фермы.
Оледует иметь в виду, что статически определимая ферма допускает
только одно решение, так как уравнения равновесия суть линейные ура-
внения, т. е. уравнения первой степени относительно неизвестных усилий.
Поэтому если найдено одно решение, то это решение и будэт един-
ственным возможным решением уравнения равновесия.
Это положение дает свободный выбор того или другого способа рас-
чета. Поэтому можно пользоваться всякими искусственными способами
для того, чтобы обойти то место фермы, которое затрудняет дальнейший
расчет.
15 Подольск!!. и. с.
62	Теория Расчета пространственных 4>кРМ
Простота расчета пространственной фермы заеисит от удачного выбо-
ра способа или приема расчета, от соответственного преобразования фермы,
иногда от замены целых плоских фермочек отдельными стержнями,
а также зависит от искусства и навыка в производстве этих расчетов,
что приобретается упражнениями и решением разнообразных задач По
расчету пространственных ферм.
В дальнейшем изложении остановимся только на главнейших приемах,
которыми обычно пользуются при расчете пространственных ферм. Сюда
относятся: 1) способ непосредственного разложения узловой нагрузки,
2) способ разложения пространственной системы на плоские фермы и
3) способ замены стержней,
§ 15. Расчет пространственных ферм по способу непосредствен-
ного разложения узловой нагрузки.
Способ определения усилий — путем непосредственного разложения
узловой нагрузки — особенно удобен в случае расчета пространственных
ферм простейшего типа.
В этих системах, как указано было выше (в § 2)* каждый новый
узел образуется путем закрепления его только тремя стержнями, не ле-
жащими в одной плоскости! Поэтому последний присоединенный узел
также *будет иметь только три стержня, и если к этому узлу приложена
какая-либо внешняя нагрузка, то усилия в этих трех стержнях могут
быть найдены путем разложения силы на три заданных направления,
пересекающихся в одной точке.
Эта задача была рассмотрена подробно в § 10.
Определив усилия в.этих стержнях, мысленно разрушают рассмотрен-
ный узел, а действие трех отброшенных стержней заменяют тремя со-
ответствующими силами, приложенными в трех узлах, к которым были
прикреплены отброшенные стержни. После этого переходят к рассмотре-
нию того узла, который был присоединен к системе предпоследним.
После отбрасывания стержней последнего узла в предпоследнем узле
остаются всего три стержня, усилия в которых могут быть найдены путем
разложения данной силы на три направления.
- Таким образом, рассматривая равновесие узлов в порядке, обратном
порядку их присоединения, при образовании данной пространственной
системы приводят весь расчет фермы к решению ряда однообразных
элементарных задач о разложении силы на три заданных направления,
причем эти задачи можно решать как аналитически, так и графическим
путем.
Рассмотрим теперь несколько соответствующих примеров, ограничи-
ваясь при этом только указанием общей схемы расчета.
Первый пример. Возьмем простейшую пространственную систему,
. показанную на черт. 80.
Определение усилий начинаем с верхнего узла О, где сходятся только
три стержня Оа, ОЬ и Ос, не лежащие в одной плоскости. Выделяем
этот узел произвольным сечением, пересекающим все три стержня, и
разлагаем данную узловую нагрузку (например равнодействующую от
собственного веса и от давления ветра) на три составляющие пр на-
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 83
правлениям
лия N2
в
стержней Оа, ОЬ и Ос. Из этого разложения находим уси-
и N3
2
Черт. 80.
этих стержнях.
Затем мысленно отбрасывая этот узел, пере-
ходим к узлу а, где также сходятся только три
стержня ab, ас и а4, не лежащие в одной плоскости.*
Определяем равнодействующую Ra узловой на-
грузки Р2 и найденного уси/ия Ny в стержне аО,
и разлагаем эту силу на три заданных направ-
: ления, а именно по осям стержней, сходящихся в
узле а, причем находим усилия N4, и со-
ответственно в стержнях ab, ас и аА.
Отбрасывая эти стержни, переходим к рас-
смотрению узла Ь, где также остается три стержня:
Ьс, ЬА и ЬВ. Определив равнодействующую от
данной узловой нагрузки Р3 и от усилий N2 и
в стержнях ЬО и Ьа, разлагают ее на три со-
ставляющих по направлениям стержней, сходящихся
в узле Ь, и находят усилия в этих стержнях: Л/?,
и N9.
Отбросив затем стержни, сходящиеся в узле
Ь, переходят к рассмотрению Следующего узла с,
стержня сВ, сС и сА, усилия в которых определяются
направления.
где, остается три
по тому же способу непосредственного разложения равнодействующей
/?с найденных ранее усилий N3, и N7 .на три заданных
Таким образом при расчете этой про-
стейшей пространственной системы в каждом
из ее узлов приходится разлагать опреде-
ленную силу на три заданных направления.
Способы разложения данной силы на три
направления подробно были описаны в § 10
и иллюстрированы были там многими при-
мерами и задачами, поэтому здесь ограничи-
ваемся только общими указаниями о порядке
расчета.
Второй пример. На черт. 81 показан
в аксонометрических проекциях кран Шлинка.
Данная пространственная ферма есть же-
сткая, геометрически неизменяемая и стати-
чески определимая система Определение
усилий начинаем с верхнего узла О, в ко-
тором сходятся три стержня: Оа, ОЬ и Ос
и имеется узловая нагрузка Р. Разлагая эту
силу на три составляющие по направлениям	Черт. 81.
указанных стержней, находим усилия в них,
соответственно равные N2 и N^. Отбрасывая эти стержни, переходим
к рассмотрению узла а, где сходятся четыре стержня ab, ас, ad и af,
из которых три последних стержня лежат в одной плоскости, а именно
в плоскости задней грани acfd, а четвертый стержень abстоит отдельно.
Поэтому проектируя найденное усилие в стержне аО на ось, пер-
84
. ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
пендикулярную к плоскости acfd, находим усилие N4 в отдельно стоящем
стержне ab.
Переходим затем к узлу Ь и, определив равнодействующую Rb усилий
/V и N4 в стержнях ЬО и Ьау разлагаем эту силу по направлениям трех
стержней Ъс> be и bd> не лежащих в одной плоскости, и находим со-
ответствующие усилия в этих стержнях N3, и N7, Таким же образом
определяются усилия JV8, N9 и 7V]0 в трех стержнях са, cf и се, схо-
дящихся в узле с и не лежащих в одной плоскости, а именно находят
равнодействующую Rc известных уже усилий N3 и Nb соответственно
в стержнях сО и cb и разлагают эту равнодействующую на три сос-
тавляющие по направлениям указанных выше стержней, сходящихся
в узле с.
Зная усилия Nv N4 и N3 соответственно в стержнях аОу ab и ас,
сходящихся в узле а, и найдя их равнодействующую Ra, нетрудно уже
будет определить усилия в стержнях ad и а/, сходящихся в том же узле.
Определение усилий в стержнях нижних ярусов представляет повто-
рение расчета верхнего яруса.
Третий пример. Рассмотрим еще расчет купольного покрытия
системы Шведлера. Возьмем сперва частный случай, когда во всех
узлах каждого кольца приложены одинаковые вертикальные силы. При
такой симметричной нагрузке усилия во всех стержнях купола опреде-
лятся до.ольно легко графическим способом при помоши построения
диаграммы Кремона.
Для этого достаточно рассмотреть узлы фермы, расположенные по
одному кдкому-либо меридиану (черт. 82).
Прежде всего-из условия геометрической симметрии и симметричной
нагрузки заключаем, что усилия в диагоналях будут равны нулю. В са-
мом деле, при расположении груза Р в узле а, диагональ ае будет ис-
пытывать сжатие, а при расположений такого же груза в узле е, та же
диагональ буд:т испытывать растяжение. Следовательно действие одной
силы уничтожается противодействием другой силы, и поэтому в диаго-
нали ае не будет ни сжатия, ни растяжения.
Отбрасывая поэтому все диагонали, не работающие при нагрузке во
всех узлах фермы, начнем определение усилий с верхнего узла какого-
либо меридианального ребра аА.
Сила приложенная в верхнем узле а, разлагается на две соста-
вляющие: горизонтальную Нг и наклонную Nv идущую по направлению
ребра ab. Эта последняя сила передается в узел b и там совместно
с узловой нагрузкой Р2 дает равнодействующую, которая в свою оче-
редь разлагается на горизонтальную Н2 и наклонную N2, идущую по
направлению ребра Ьс.
Подобным же образом в. узле с равнодействующая сил Р3 и N2 раз-
лагается на горизонтальную Н3 и наклонную N3, направленную по
ребру с А. Усилие N3 в свою очередь передается в опорный узел Д,
где разлагается на горизонтальную силу Н4 и вертикальную опорную
реакцию Va.
Что касается нагрузки приложенной в узле Д, то она передается
непосредственно на опору, не оказывая никакого влияния на усилия
в элементах фермы.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 85
Величины усилий в стержнях Nv N2 и N3 и горизонтальных со-
ставляющих Hv Н2 и Н3 легко определяются из диаграммы Кремона,
показанной на чертеже 82,a.	„
Каждая горизонтальная сила Н в свою очередь разлагается - на две
равные силы 5,5, идущие по направлениям кольцевых ребер. Величины
этих усилий также легко определяются или путем непосредственного
разложения, как это показано в пла-
не на черт. 82, или из диаграммы
Кремона (верхняя часть -диаграммы
на черт. 82,а).
Черт. 82.
Как видно из черт. 82, горизонтальная сила Hv приложенная в верх-
нем узле а, направлена во внутрь купола, и поэтому ее составляющие
5Г 52 производят сжатие верхнего кольца. И наоборот, горизонталь-
ные силы Н2 и Н3, приложенные соответственно в узлах Ь и с, напра-
влены во внешнюю сторону, и поэгому их составляющие 52, 52 и 53, 53,
направленные по ребрам соответствующего кольца, производят рас-
тяжение этого кольца.
Таким образом в данном случае нагрузки верхнее кольцо подвер-
гается сжатию, а остальные кольца подвергаются растяжению. Мери-
дианальные ребра всегда сжаты, а диагонали вовсе не работают. Нб про-
86	ТЕОРИЙ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
межуточные кольца купола могут иногда работать и на сжатие, в зави-
симости от кривизны меридйанальных ребер. Нижнее же кольцо всегда
бывает растянуто, а верхнее кольцо всегда бывает сжато.
Рассматривая какой-либо узел К купольного покрытия (черт. 83), за-
мечаем, что приложенная к нему вне пня л сила Pk разлагается на две
Черт. 83.
Отсюда вытекают следующие
1, Для получения н а и б о л
стержне меридианального ребра,
составляющ .е: Nk — сжимающую ниж-
ний стержень меридианального ребра,
и горизонтальную силу Hk — сжи-
мающую стержни кольца, приле-
гающие к этому узлу (черт. 83,а).
Передающееся на тот же узел К
усилие 1 вышележащего стержня
(черт. 83, Ь) разлагается на составляю-
щие Nk и H’k, из которых первая сжимает
нисходящий стержень, а вторая растя-
гивает горизонтальные стержни кольца,
заключения.
ьшего сжимающего усилия в
нисходящего из данного узла (А), сле-
дует располагать временную нагрузку
во всех вышележащих узлах, включая
и рассматриваемый узел (АГ).
2. Для получения наибольших
растягивающих усилий в стерж-
нях горизонтального пояса, проходящего
через рассматриваемый узел (К), надо
нагрузить все вышележащие узлы, кроме
данного узл1 (К).
3. Для получения наибольших
сжимающих усилий в стержнях
того же горизонтального пояса следует
расположить временную нагрузку только
в даннгм узле (К).
Конечно все эти заключения от-
носятся только к рассматриваемому
здесь случаю симметричного загружения
купольнрго покрытия, что имеет место
только при постоянной нагрузке (соб-
ственный вес конструкции, и в частном
случае ир.т симметричном расположении
снега на куполе).
' Вообще же нагрузка от снега и от
давления ветра не симметрична отно-
сительно в ртикальной оси купола. Кроме того давление ве*ра действует
не вертикально, а под разными углами к разным плоским граням купола.
Определение усилий в стержнях купольного покрытия системы
Шведл ра можно выполнить при любой нагрузке, если сумеем определить
усилия в случае расположения груза только в одном каком-либо узле.
Этот последний расчет производится следующим образом.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 87
Предположим, что груз Р расположен в узле а купольного покрытия
(черт. 84).
Прежде всего надо выяснить при помощи нулевой нагрузки все
стержни с нулевыми усилиями и мысленно отбросить их (что было де-
тально описано в § 11).
После этого останутся только рабочие стержни, отмеченные на
черт. 84 толстыми линиями. Усилия в этих стержнях можно определить
путем последовательного разложения данной силы Р на три направления.
Начиная расчет с узла а, замечаем, что здесь' сходятся три рабочих
стержня: ab, aet ас, не лежащие в одной плоскости. Следовательно, раз-
лагая силу Р по этим трем направлениям, находим усил. я в этих стер-
жнях. Затем, переходя от узла к узлу, в порядке у лов br с, е, d и /,
каждый раз будем встречаться с задачей о разложении силы на три на-
правления, не лежащие ,в одной плоскости, или же с задачей о разложе-
нии силы на два направления, лежащие в одной плоскости с разлагаемой
силой (например узлы b, с, f).
Из этого примера видно, что при той или другой нагрузке купола далеко
не все стержни воспринимают усилия, а только некоторые из них, причем
сила, приложенная в каком-либо узле промежуточного пояса, не вызывает
никаких усилий в стержнях, расположенных в вышележащих ярусах купола.
Усилия во всех стержнях того кольца, в одном из узлов которого
расположена нагрузка, также равны нулю, за исключением одного эле-
мента, примыкающего к нагруженному узЛу.
В рассмотренных купольных покрытиях предполагали лишь одиноч-
ные диагонали в каждой плоской грани. Но иногда в каждой грани тра-
пецеидальной формы располагаются две взаимно перекрещивающиеся диаго-
нали. Такая система будет статически неопределимой, и степень этой
статической неопределимости будет равна числу обратных диагоналей'.
При расчете такой пространственной фермы обыкновенно уприщают
задачу, исходя из предположения, что диагонали обладают лишь неболь-
шой жесткостью и поэтому не могут воспринимать значительных сжи-
мающих усилий. Пренебрегая этим сжатием в диагоналях, сохраняют при
расчете лишь ту систему диагоналей, которой соответствуют только рас-
тягивающие усилия. При таком предположении пространственная система
становится статически определимой.
Впрочем обратные диагонали или, как их называют, контр-диагонали,
представляют нерациональную конструкцию, на что уже было указано в § 1 с
объяснением недостатков такой конструкции. Заметим кстати, что диагонали
не работают от собственного веса конструкции и от постоянной нагрузки,
распределенной по всей поверхности купольного покрытия, но начинают
работаib при односторонней нагрузке покрытия от снега или от действия
ветра. При этом наибольшие усилия обнаруживаются в тех диагоналях,
которые соединяют нагруженную часть купола с ненагруженной частью.
Если обозначить через N усилие в любом стержне ребра купола от дей-
ствия ветра и от давления снега, и через а—угол наклонения диагонали к
этому ребру, то усилие в диагонали рассматриваемой панели будет равно
CQSG
88'	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
$ 16. Расчет пространственных систем путем разложения их
на плоские фермы.
Первый случай. Все плоские грани — неподвижные системы. Если
пространственная система составлена из ряда плоских статически опре-
делимых и геометрически неизменяемых ферм, узлы которых расположены
по ребрам этой системы и являются общими для двух смежных ферм,
то такая система легко может быть расчитана путе$( разложения ее на
плоские фермы.
Рассмотрим сперва тот частный случай, когда внешние действующие
силы расположены в плоскости какой-либо грани пространственной фермы.
Возьмем,- например, призматическую ферму газгольдера и предпо-
ложим, что
нем узле Ь
горизонтальная сила W (давление ветра) приложена в верх-
и находится в плоскости передней грани ЬсСВ (черт. 85).
е	В этом случае эта нагрузка будет вос-
8	С
Черт. 85.
приниматься стержнями, расположенными
только в одной вертикальной >рани. В самом
деле, из рассмотрения ненагруженного узла с находим, что усилие в отдельно
стоящем стержне cd будет равно нулю. Точно также из последователь-
ного рассмотрения других верхних узлов d, е и а найдем, что усилия
в отдельно стоящих стержнях de, еа и аЬ будут равны нулю. Таким же
образом находим все остальные стержни с нулевыми усилиями. (Вопрос
этот был выяснен в решении задачи № 31.)
Удалив все эти стержни с нулевыми усилиями, получаем плоскую
грань ЬсСВ, показанную на черт. 85 толстыми линиями.
Представляем эту грань отдельно в виде плоской раскосной фермы,
закрепленной в опорных точках В и С и нагруженной сосредоточенной
силой W в верхнем узле Ь (черт. 86). Рассматривая равновесие узла Ь,
находим, что сжимающее усилие в верхней распорке Ьс будет равно
данной силе, т. е. Л/^ = — 1Г, а усилие в стойке ЬЬг будет равно нулю.
Точно также усилия во всех остальных элементах этой плоской раекос-
ной фермы определяются или аналитически или графически при помощи,
построения диаграммы Кремона, показанной справа на том же черт. 86,а
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ. 89
Переходим теперь к тому случаю, когда силы действуют нормально
к какому-либо ребру пространственной фермы, но не лежат ни в одной
из ее плоских граней.
Такой случай представлен на черт. 87, где силы и 1Г2 (давление
ветра) приложены в узлах а и аг и направлены перпендикулярно к ре-
бру аагА, смежному для двух плоских граней аЬВА и аеЕА.
Разлагаем каждую из этих сил на две составляющие R и Г, идущие
по направлениям смежных горизонтальных стержней ab и ае, а также
и axev как это показано в плане на черт. 87.
стержни, расположенные только в этой грани, а составляющие 1\ и Г2,
расположенные в плоскости грани аеЕА, будут действовать только на
стержни этой грани.
Таким образом пространственная задача распадается на две плоские
задачи, которые решаются подобно тому, как это было изложено в пре-
дыдущем примере.
Выделяя каждую из указанных двух плоских граней с соответствую-
щими силами (черт. 88 и 89), расчитывают эти плоские фермы аналити-
чески или графически при помощи построения диаграммы Кремона.
На черт. 88 и 89 внизу показаны соответствующие диаграммы уси-
лий для двух плоских ферм I и II.
Так как стержни аах и агА входят одновременно в обе плоские
фермы (I и II}, то очевидно, что для получения окончательного резуль-
90	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
тата наДо сложить найденные усилия в этих стержнях. Тогда получим
усилие в стержне аа3, равное Vi— W-f- Vi, и усилие в стержне Я]Д,
равное Уз=Уз4-Уз> причем эти слагаемое должны быть взяты из
диаграммы усилий с соответствующими знаками.
а
Р
S'
Ох
Черт. 90.
Наконец возьмем самый ‘общий случай,
когда заданная сила Р\ приложенная к ка-
кому-либо узлу пространственной фермы,
имеет произвольное направление в простран-
стве, как это показано на черт. 90.
В этом случае заданную силу Р можно
разложить на три направления /?, Т и 5,
а именно, по направлениям горизонтальных
стержней ab и ае и по направлению -вер-
тикального ребра ааг Вертикальная со-
ставляющая 5 будет передаваться по ребру
аагА на опору А и не будет оказывать
никакого влияния на остальные стержни си-
стемы. А горизонтальные составляющие R и
Г, действуя соответственно в плоскостях
граней аЬВА и аеЕА, будут вызывать уси-
лия только в стержнях этих граней, не ока-
зывая никакого влияния на другие стержни
пространственной системы.
Следовательно в данном общем случае
пространственная задача распадается на три
плоских задачи, причем сперва определяют усилия в стержнях аа2 и
от действия вертикальной составляющей силы S, затем следует оп-
ределить усилия во всех стержнях плоской грани аЬВА от действия го-
ризонтальной составляющей силы R и
наконец следует определить усилия во всех
стержнях смежной плоской грани аеЕА.
После этого остается только сложить
полученные частные усилия в тех стерж-
нях, которые одновременно входят в рас-
сматриваемые плоские фермы, т. е. усилия
в стержнях ребра аагА.
В частном случае, когда все нагрузки
лежат в плоскости одной грани простран-
ственной фермы, они всецело воспри-
нимаются только соответствующей плоской
фермой, и не влияют на другие грани
пространственной фермы.
Черт. 91.
Отсюда следует, что при действии
произвольно расположенной
вертикальной нагрузки, мостовую пространственную ферму с вер-
тикальными гранями в виде плоских ферм (черт. 91) можно расчи-
тывать, как совокупность плоских ферм, что и делают всегда на
практике. •
В самом деле, нагрузка моста посредством поперечных балок пере-
дается на вертикальные грани моста в виде вертикальных грузов Р,
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 91
изображенных на черт. 91 стрелками. Эти грузы лежат в плоскости верти-
кальной грани моста adDA и вызывают усилия только в этой грани.
Эти усилия могут быть найдены из рассмотрения плоской раскосной
фермы adDA) нагруженной вертикальной узловой нагрузкой и опираю-
щейся на одну неподвижную опору А и на другую подвижную опору D.
Такая же вертикальная нагрузка будет передаваться и на другую
вертикальную грань ЬсСВ в виде плоской фермы. Но чтобы не затем-
нять чертежа большим числом линий,- эта нагрузка на черт. 91 не по-
казана.
Рассмотрим еще несколько простых примеров, выясняя попутно и
другие простые приемы разложения заданной силы на три составляющих,
применяемые при расчете пространственных ферм. Более сложные при-
емы расчета отнесены к задачам и
упражнениям, помещенным в конце
курса.
Первый пример. Имеется
пирамидальная опора (черт. 92). Оп-
ределить усилия в стержнях си-
стемы при расположении силы Р
в верхнем узле а.
Данная система имеет т = 40
стержней, п =16 узлов и $ = 8
опорных закреплений. Подставляя эти
числовые данные в формулу (11)
т — (3 • zz— $) = 0,
выражающую первое условие стати-
ческой и геометрической определи-
мости, получим тождество:
40 —(3X16 —8) = 0.
Черт. 92.
Разлагаем данную силу Р на три составляющие /?, Т и 5, идущие
соответственно по ребрам: ab, ad и ааг
Сила S будет вызывать сжимающее усилие в ребре аА, не оказывая
никакого действия на стержни смежных плоских граней.
Силы Р и Т, расположенные в плоских гранях аЬВА и adDA> будут
вызывать усилия только в стержнях этих граней.
Стержни остальных граней будут иметь нулевые усилия.
Таким образом данная система распадается на две плоские трапецеи-
дальные фермы АаЬВ и AadD, находящиеся под действием горизонталь-
ных сил R и Т.
Такие фермы легко расчитать аналитически или графически путем
построения соответствующих диаграмм Кремона. Для получения окон-
чательных усилий в стержнях ребра а А остается только сложить усилия
в этих стержнях, полученные при расчете смежных плоских ферм, и при-
бавить к ним усилие 5, идущее по оси ребра аА.
Второй пример. Имеется призматическая пространственная ферма
с купольным покрытием системы Шведлера. Определить усилия в стер-
92
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
с нулевым усилием
польного покрытия
жнях Этой фермы при расположении груза Р в узле а верхнего пояса
(черт. 93).
Система -эта по числу стержней и опорных закреплений статически
определима и геометрически неизменяема.
Разлагаем силу Р на три составляющие, а именно: по направлению
ребра aav распорки ab и раскоса afv При этом заметим, что из рас-
смотрения равновесия узла / обнаруживается, что отдельно стоящий
стержень fa будет иметь нулевое усилие.
Поэтому при разложении силы Р на составляющие стержень af
э отбрасывается. Таким образом расчет ку-
гтся на два расчета плоских ферм abbyat
и aa^fj, так как составляющие силы бу-
дут расположены в плоскости этих граней.
Определив усилия во всех стержнях
этих плоских ферм, переходят к опреде-
лению усилий в стержнях призматической
системы, разлагая ее также на плоские
Ci фермы, как это было указано выше.
Например усилия в стержнях ага и
ахЬ дадут некоторую равнодействующую,
приложенную в узле аг Эта равнодей-
ствующая является внешней силой, или
узловой нагрузкой для нижней части фермы,
и поэтому дальнейший расчет ведется по
той же схеме, которая была изложена
выше, при описании расчета фермы, по-
6 казанной на черт. 90.
Третий пример. К узлам конька
двускатной крыши приложены горизонталь-
ные силы W от действия ветра. Опреде-
лить усилия во всех стержнях системы
(черт. 94).
Прежде всего исследуем статическую определимость и геометрическую
неизменяемость этой системы.
Данная ферма имеет w = 32 стержня, л = 15 узлов и s—13 опор-
ных закреплений.
Подставляя эти числовые данные в уравнение (И)
т — (Зл— s) — 0,
выражающее первое условие статической и геометрической определимо-
сти, получим тождество:
. . 32-(ЗХ 15—13) = 0.
Следовательно данная система имеет достаточное и необходимое
число стержней для образования жесткой фермы.
Каждую из данных горизонтальных сил (IP) разлагают на две соста-
вляющие W' и IF, лежащие в боковых скатах покрытия (черт. 94,а),
и затем каждый скат, например скат ВаеС, рассматривают как плоскую
раскосную ферму (черт. 94,6), и строят для нее соответствующую дна-
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ* ФЕРМ 93
грамму усилий. Так например на черт. 94,с показана диаграмма усилий
для переднего ската ВаеС. Точно также строится диаграмма усилий и
для другого ската.
TJ стержнях конька ае, принадлежащих обеим фермам, усилия будут
равны сумме усилий, соответствующих одному и тому же стержню и
полученных из двух диаграмм.
В опорах промежуточных узлов усилия будут равны нулю, потому
что каждую опору первого рода можно представить в виде отдельно
стоящего стержня (см. условные обозначения опор на черт. 39),
а так как промежуточные опоры не имеют внешней нагрузки, то сле-
довательно усилия в этих отдельно стоящих стержнях будут равны нулю.
Черт. 94.
Опорную реакцию	в неподвижно закрепленной точке Д
(черт. 94, а) следует разложить на три направления: 1) вертикальное,
2) горизонтальное, параллельное стержню АВ, и 3) горизонтальное, па-
раллельное ребру AD.
Построение этого пространственного многоугольника сил может быть
выполнено на плоскости, как это показано на черт. 94, а, в виде мно-
гоугольника AmrtnA.
(1 \
-5- У W' ) раз-
лагается на вертикальную Vb и горизонтальную Нь. Последняя сила бу-
дет выражать усилие в затяжке АВ.
&4 /теория расчета пространственных фрем
Точно также расчитывается четырехскатное покрытие при действии
горизонтальных сил U7, приложенных в узлах конька крыши ab
(черт. 95), причем каждая сила W разлагается на две составляющие по
направлениям ребер: а А и аВ, а также bD и ЬС, и затем расчитываются
две плоские фермы AabD и ВаЬС., Определив усилия в стержнях а А и аВ>
можно будет определить усилие и в стержне аЕ.
Второй случай. Некоторые плоские грани — подвижные системы.
Выше были рассмотрены такие пространственные системы, которые
при разложении их на плоские системы
давали жесткие, геометри-
чески неизменяемые плоские
фермы.
Но некоторые грани про-
странственных ферм сами по
себе могут представлять пло-
ские подвижные системы.
Если такая .грань есть
плоская подвижная/ или
геометрически изменяемая
стержневая система, то оче-
видно, что на ней не урав-
новешивается заданная на-
грузка. Это основное свой-
ство всех подвижных си-
стем.
Однако такая подвижная грань, входящая в состав пространственной
фермы, находится в равновесии и, будучи связана с неподвижными уз-
лами пространственной фермы, теряет свою подвижность и способна
передавать нагрузки другим граням системы.
Такая плоская подвижная система служит для передачи нагрузки дру-
гим плоским фермам, и поэтому нагрузки, лежащие в этой плоской грани,
оказывают влияние и на другие грани.
В этом заключается существенное отличие рассматриваемых здесь
пространственных ферм от ферм первого случая, рассмотренных выше.
В первом случае, разложив данную нагрузку на направления стержней
смежных граней, рассматривают затем каждую грань независимо как пло-
скую ферму.
Во втором случае необходимо плоскую ферму расчитывать не только
на ту нагрузку, которая лежит в ее плоскости, но еще и на силы,, кото-
рые передаются ей от других смежных плоских систем,
Таким образом расчет пространственных ферм в этом последнем
случае сводится к расчету плоских ферм в следующем порядке: разла-
гают узловую нагрузку на составляющие вдоль стержней плоских граней,
затем исследуют плоские грани, представляющие подвижные системы, и
находят те силы, которые передаются ими другим плоским системам и
опорам, причем расчет ведут в плоскости каждой из этих систем.
Наконец определяют усилия в остальных плоских фермах, нагружен-
ных: 1) составляющими данной нагрузки и 2) теми из найденных сил
подвижной системы, которые лежат в плоскости рассматриваемой плоской
жесткой фермы.
РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 05
Для пояснения этого случая расчега рассмотрим следующий пример
расчета мостовой фермы, показанной на черт. 96, при действии сил
ветра (W) на верхний пояс одной из плоских вертикальных граней фермы.
Здесь горизонтальная нагрузка лежит в плоскости верхней грани abed
и поэтому целиком воспринимается этой гранью, но эта грань (abed)
представляет плоскую подви иную
ie в панели kief.
Однако эта пло-
ская подвижная си-
стема, будучи связана
с двумя жесткими вер-
тикальными гранями ц/
AadD и ВЬсС, а также 1
с двумя поперечными
жесткими гранями АаЬВ
й CcdD, теряет свою
подвижность и поэтому
имеет возможность пе-
редать нагрузку верти-
кальным фермам.
Вся пространствен-
ная система является
жесткой, геометрически неизменяемой фермой. Она имеет /и = 52 стержня,
я = 20 узлов и 5 = 8 опорных закреплений и удовлетворяет первому
условию Статической и геометрической определимости, выражаемому фор^
мулов (И?	m-(3.»-sl = 0.'
В самом деле, подставляя сюда соответствующие числовые данные,
получим тождество:
52 —(3 X 20 —8) = 0.
Таким образом число стержней вполне достаточно для образования
жесткой пространственной системы.
Нетрудно также доказать по методу нулевых нагрузок и второе
условие статической и геометрической определимости, а именно, что уси-
лия во всех стержнях данной системы имеют конечные значения. Расчет
данной пространственной фермы производится следующим образом.
.Найдем прежде всего нагрузки, передающиеся на вертикальные пло-
ские фермы. Из условия равновесия верхнего узла k находим, что усилие
в поперечном стержне ke ——W, где знак минус (—) обозначает сжатие.
Из условия равновесия
, W
ае = -4- — •
1 sin а
Из рассмотрения узла
W
узле, и по усилию в
систему,
так
как в ней
и/
?
h
нет
раскоса
d
2
Черт. 96.
верхнего узла е находим усилие в раскосе
W
а находим по силе —, приложенной в этом
раскосе ае усилие в распорке:
A	W Г	1 - Ту/
ab =-----. sma = —1,о • IT.
2 sm а
66
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Рассматривая зйтем в последовательном порядке равновесие узлов i,
t, h, g и d, найдем следующие усилия в стержнях:
Ц/	*
if=— Ц7 = +	, hg = — 2 Г,
1 sina 6	’
. 21Г
— и de-— —2 5- IT.
1 sin а
Усилия в стержнях ab и cd лежат в
плоских поперечных фермах АаЬВ и CcdD
и поэтому воспринимаются стержнями этих
систем. Нетрудно определить эти усилия.
Рассмотрим например переднюю грань АаЬВ,
показанную отдельно на черт. 97. При этом в
данной плоской фермех лолучим следующие усилия:
ab — — 1,5 1Г, аД = 0.
•	, 1,5-1Г
COS р COS р ’
, ЬВ = аЬЛ^ = — 1,5-WMg [J = — 1,5-IF.y,
1 5«UZ
АВ = Л^-cos 8 = ——-«cos[J =— 1,5- IT.
r cos p r
Горизонтальная составляющая левой опорной реакции будет равна
Ha — AB = \,5-W.
Вертикальная составляющая левой опорной реакции определится
из уравнения моментов относительно правой опоры В и будет равна
Va — ~ 1,5-Г.у.
Для второй поперечной фермы CcdD, у которой имеется одна опора
(£)) второго рода, а другая опора (С) первого рода, будем иметь сле-
дующие усилия:
dc = ~ 2,5« flZ, dD = 0, DC=0,
de , 2,5- W „ de
cD ——-q = 4----V и cC = r-Q— —
cosp 1 cosp	fgp
tgp	b
Исследуем еще влияние нижней горизонтальной грани ABCD на уси-
лия в стержнях боковых вертикальных граней. В нижнем узле К имеется
отдельно стоящий стержень КЕ, и так как в узле К не имеется внешней
нагрузки, то следовательно усилие в этом отдельно стоящем стержне
будет равно нулю, т. е. КЕ = 0.
Отбрасывая атот стержень с нулевым усилием, переходим к рассмо-
трению узла Е и на том же основании заключаем, что усилие в от-
дельно стоящем стержне' ЕА тоже будет равно нулю, так как в узле
Е не имеется внешней нагрузки.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 97
Точно также, рассматривая в последовательном порядке узлы 7, F, Н иС
и отбрасывая каждый раз стержень с нулевым усилием, найдем, что усилия
в отдельно стоящих стержнях 7F, /77, 77G и GD будут равны нулю.
Таким образом оказывается, что нижняя горизонтальная система стер-
жней, расположенных в плоскости ABCD, не влияет на усилия в стер-
жнях вертикальных граней AadD и ВЬсС.
Итак все силы, действующие на вертикальные плоские фермы,
найдены, и поэтому можно перейти к расчету этих последних ферм. Рас-
смотрим какую-либо одну из этих ферм, например переднюю ферму
Черт. 98.
ВЬсС, показанную отдельно на черт. 98, с соответствующими силами
действующими на эту плоскую систему.
На эту ферму действует ряд горизонтальных сил, приложенных в уз-
лах е, f и g. Равнодействующая этих сил лежит в плоскости фермы и
направлена вдоль верхнего пояса be.
Находим узловые нагрузки из уравнений проекций на направление
верхнего пояса Ьс для всех нагрузок данного узла, причем получим сле-
дующие величины их.
Сила, приложенная в узле ё и направленная влево, равна:
= еа • cos а
Mucosa
sin а
_Z = -U7.A
tga	b
Сила, приложенная в узле / и направленная вправо, равна:
/?2 =fh • cos а — -f
UZ-cosa U7 , h_
sin а tg a ' b
7 Подольский, И. С.
$8	. ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Сила, приложенная в узле g и направленная вправо, равна:
R3=gd-cos 2
, 21F	2 IF
= + “-----cosa = -—
1 sin a	tga
2 IF-A
b
Эти силы действуют по оси верхнего пояса Ьс, но на черт. 98, для
ясности, эти силы как внешние нагрузки показаны стрелками, помещен-
ными выше линии пояса Ьс.
Опорные реакции В и С определяются из двух уравнений Моментов,
составляемых относительно опорных точек С и» В.
2Я=5./+(₽2+л-^) а=о. .
SAfb = -C.Z + (/?2 + 7?3-/?1).A — 0.
Откуда находим
в = _ (/?2 + ^з~Х) .h =
I	• Ь*1
с . I +	I 2Ц/-^ .
'	/	~“Г А-/
Горизонтальная опорная реакция в точке В будет равна:
= - № + Я, -	
Для определения внутренних усилий в элементах плоской фермы ВЬсС
построим диаграмму Кремона. Для этого от некоторой точки а
на горизонтальной прямой (черт. 98, а) откладываем влево силу ab =
— —-Hb=-\-R3.	-
Затем от точки b откладываем по вертикали вниз отрезок Ьс = В
и соединяем точки а и с прямой линией. Эта линия ас будет выражать
по величине и по направлению реакцию в левой опорной точке В.
Разлагаем эту реакцию на две составляющие, идущие по осям стержней ВЬ
и BE фермы, что на диаграмме усилий выразится треугольником сил
л, Ay 1, у которого отрезок а — 1 выражает усилие Ц в стойке Bbt
а отрезок с — 1 выражает усилие Uy в элементе нижнего пояса BE.
Выделяя затем узел Ь фермы, разлагаем усилие Vj в стойке ВЬ на
две составляющие по направлению стержней ЬЕ и Ье^ что на диаграмме
Кремона выразится треугольником сил л, 1, 2, где отрезок а—2 вы-
ражает усилие Оу стержня be верхнего пояса, а отрезок 1—2 выражает
усилие Dy в раскосе ЬЕ.	z
Дальнейшее построение диаграммы Кремона понятно из чертежа
98, а. Получив полюс (1), можно вести это построение автоматически,
проводя зигзаг4 1, 2, 3, 4, 5, 6, состоящий из отрезков, параллель-
ных элементам решетки. Усилие в средней стойке JF равно нулю
(^з = 0)> усилие в элементе GC нижнего пояса также будет равно нулю
Таким же способом определяются усилия в задней плоской ферме
AadD (черт. 96).
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 90
Для определения усилий в крайних стойках Аа, ВЬ> Се и Dd надо
сложить соответствующие усилия из диаграмм усилий для продольных
вертикальных ферм и для поперечных вертикальных ферм АаЬВ и
CcdD> так как эти стойки являются общими стержнями для двух сме-
жных плоских ферм.
Второй пример жесткой пространственной фермы, у которой некото-
рые грани—плоские подвижные системы, разобран подробно в решении
задачи № 99.
Третий случай. В пространственных фермах имеются внутренние по-
перечные стержни. Если в пространственной ферме кроме стержней,
расположенных по* граням наружной оболочки, имеются еще и внутрен-
ние поперечные стержни, не совпадающие с плоскими гранями, то уси-
лие в каждом таком стержне будет служить общей нагрузкой для двух
смёМсйЫх плоских ферм, образующих двугранный угол пространственной
системы.
Отсюда вытекает заключение, что расчет такой системы надо начи-
нать с определения усилий во всех внутренних поперечных стержнях.
Когда усилия во всех
внутренних стержнях будут
определены, то разлагая их
на составляющие по осям
стержней смежных граней,
можно найти затем усилия
во всех стержнях" каждой
плоской грани, руководству-
ясь при этом одним из рас-
смотренных выше случаев.
Для пояснения этого ме-
тода расчета рассмотрим про-
Черт. 99.
странственную ферму с вну-
тренними поперечными стерж-
нями во всех панелях, подверженную действию горизонтальных сил IF,
приложенных к верхнему поясу боковой грани (черт. 99). .
Как видно из этого чертежа, в трех промежуточных поперечных пря-
моугольниках KkeE, lifF и HhgG> имеются внутренние диагонали
Ke, If и Hg} но зато выброшены все раскосы в панелях верхней грани abed.
" Ферма эта имеет т = 52 стержня, /1 = 20 узлов и $ = 8 опорных
закреплений и удовлетворяет первому условию статической и геометри-
ческой определимости, выражаемому формулой (11):
m — (3-я— s) = 0. -
В самом деле, подставляя сюда указанные выше числовые значения
получим тождество:
52 — (3 X 20 — 8) = 0.
Следовательно число стержней достаточно для образования жесткой
пространственной фермы.
Как видно из черт. 99, верхняя и нижняя плоские грани abed и ABCD
представляют подвижные системы, которые однако не влияют на геоме-
7*
100	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
трическую неизменяемость данной пространственной фермы. Определим
прежде всего усилия во внутренних стержнях.
Усилия в распорках верхней грани очевидно будут равны узловым
нагрузкам, т. е.
г	IF
v ; ab = cd = — к- ke = if=hg=—W.
Из рассмотрения равновесия узлов b и с находим усилия в диагона-
лях АЬ и De:
г. ab	W
Ab = Dc = —x = + --------q. .
cos p .	1 2 cos p
Точно также из рассмотрения 0 узлов е, f и g находим усилия во
внутренних диагоналях:
_ _	„	_ _ ke , IF
eK=fI=gH=-------= Н-------q •
cosp 1 cosp
Разлагая эти усилия на горизонтальные и вертикальные составляющие,
Найдем нагрузку на верхний пояс передней плоской фермы ВЬсС.
1) в крайних узлах b и с:
' ла • в uz’sin? w + й w'h
f	и . 2 cos fl 2 s ‘ , 2b
2)	в промежуточных узлах e, f и g: '
v zz • 0	^F . 0 TV/ X ft	IF* A
Y2-^.9np = -—?.sin? = -IVtgP =------------y-.
Отрица>ельные знаки показывают, что нагрузки эти, приложенные
в указанных узлах, будут направлены сверху вниз.
Переходя к рассмотрению узда К. находим, что растягивающее уси-
лие в диагонали Ке дает составляющие: вертикальную
Y' = -lZ^
2	1 ь
и горизонтальную
IF
KE = Ke-cosi =--------о *cos 8 =— IF.
г cos р
Это усилие передается в узел Е, где в свою очередь разлагается по
направлению раскоса ЕА и по направлению стержня ЕВ нижнего пояса.
Последняя составляющая будет равна:
Q =	КЕ =	117 —	W'a
1	tg а ~	tg а ~ b '
Из равновесия узла В находим, что усилие в отдельно стоящем
стержне ZL4*=0.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 101
Усилие в раскосе ЕА. передаваясь в узел А, дает здесь горизон-
тальную составляющую AB=W\ и кроме того от внешней нагрузки
W	'
—, приложенной в верхнем узле а, передается через стержни ab и ЬА
W
сила равная —.
будет равна
Поэтому горизонтальная опорная
реакция в точке а
/7а= 1,5-VT.
Таким же образом находим следующие усилия в стержнях правой
части фермы
, W	2W
JF=~W\	HG = 2W, GD=-— и DC=0.
1 sin a	sin a
Горизонтальная опорная реакция в узле D будет равна
Я,-2,5 W.
102	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Усилие в стержне FH дает горизонтальную составляющую, идущую
по оси стержня fg и равную
-	' X	IF-cos a W IF-а
/?9 = Ч- FH-CQS2 ——--------= -—=—Z— .
2	‘	sin а tg а b
: Эта сила, приложенная в узле F, будет направлена вправо.
Горизонтальная составляющая усилия в диагонали GD будет равна
„	2IF-cosa	2W-a'
/?, = GD-cos 2 —--------= —з— .
3	sina b
Эта сила, приложенная в узле Ст, будет направлена также вправо.
Если выделить теперь каким-либо плоским сечением переднюю грань
ВЬсС и приложить к ее узлам найденные усилия, которые в данном
случае будут уже служить внешними силами по отношению к плоской"
ферме ВЬсС, то получим следующую схему нагрузок (черт. 100).
Такую плоскую ферму при заданной нагрузке уже нетрудно расчи-
тать аналитически или графически.
На черт. 100, а показана диаграмма Кремона для данной нагрузки
на плоскую ферму ВЬсС.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 103
Таким же образом производится расчет задней вертикальной фермы
AadD. Соответствующая нагрузка на эту ферму показана на черт, 101,
а диаграмма усилий — на черт. 101, а.
§17. Расчет пространственных ферм по способу замены
стержней.
Когда в пространственной ферме не имеется узлов, в которых схо-
дилось бы только три стержня, или не имеется таких узлов, в которых
один стержень выступал бы из плоскости, заключающей в себе все
остальные стержни, то расчет такой пространственной фермы нельзя про-
изводить по методу непосредственного разложения внешней нагрузки на
три направления.
Если ту же ферму нельзя рассечь каким-либо плоским сечением так,
чтобы пересечено было не более шести элементов, не пересекаклцихся
в одной точке и не параллельных между собой и в то же время не ле-
жащих в одной плоскости, то такая ферма вообще не поддается расчету
путем непосредственного разложения сил.
В этом случае пользуются более общим методом расчета по способу
замены стержней, который был предложен Геннебергом (Неп-
neberg) в 1886 г. и помещен в его курсе „Графическая статика*.
Для этого данную пространственную сложную систему преобразовы-
вают в простейшую систему, расчет которой легко производится по ме-
тоду непосредственного разложения сил. Такое преобразование сложной
пространственной фермы в простейшую систему описано было выше
(в конце § 3). Предположим, что это ‘ преобразование данной системы
в простейшую производится при помощи замены только одного стержня,
Затем рассматривают следующие два состояния простейшей фёрмы:
Первое состояние. К системе приложена заданная внешняя нагрузка Д,
причем определяют усилия № во всех оставшихся элементах данной
фермы и усилие N° в заменяющем стержне.
Второе состояние. Удаляют заданную нагрузку Р, а к узлам выбро-
шенного стержня (1) прикладывают две равные и взаимно противополож-
ные силы, равные единице (nt = 1), направленные по оси этого стержня,
после чего определяют усилия (п) во всех остальных элементах простей-
шей фермы, и усилие (па) в заменяющем стержне.
ПоСле этого возвращаются к рассмотрению заданной сложной или
преобразованной системы. Обозначим через X усилие в выброшенном
стержне. Тогда усилие во всяком стержне данной системы опреде-
лится по следующей общей формуле:
W=/V<4-n.X	(12)
Применяя эту же формулу к заменяющему стержню и принимая во
внимание, что в данной системе этого стержня нет, и что следовательно
соответствующее усилие в этом фиктивном стержне должно равняться
нулю, получим следующее условие:
(ГЗ)
104	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
откуда находим искомое усилие в выброшенном стержне данной си-
стемы:
Йз последней формулы видно, что если усилие (ла) обращается в
нуль (т. е. —0), то величина X будет равна бесконечности, и уси-
лия в стержнях, определяемые по общей формуле (12), получают неопре-
деленные или бесконечные значения. Это служит указанием, что данная
система геометрически изменяема.
Если же величина («Д не обращается в нуль, а усилие /V° = 0, то
в этом частном случае величина X, определяемая по формуле (14), полу-
чит вполне определенное конечное значение (Х=0), и данная система
будет геометрически неизменяема, так же как и в том случае, когда ве-
личина X будет отлична от нуля, то есть когда Л'S0.
Путем замены стержней можно решать и более, сложные задачи, когда
приходится делать две или более замены стержней для преобразования
данной системы в простейшую.
Предположим* например, что в данной пространственной системе не-
обходимо сделать три замены стержней, чтобы преобразовать ее в про-
стейшую. Выбрасывают эти три стержня 1, 2 и 3 и заменяют их тремя
заменяющими стержнями (а, Ь, г), вставленными между теми узлами,
котррме получили возможность перемещаться. После этого рассматривают
следующие четыре состояния простейшей фермы.
Первое состояние. К системе приложены заданные внешние силы:
Pv Р2 и т. д., причем определяются усилия № во всех оставшихся
элементах данной фермы и усилия N°a, N° и №с, в трех заменяющих
стержнях. После этого отбрасывают данную нагрузку.#
• Второе состояние. К узлам первого (1) выброшенного стержня при-
кладывают две равные и прямо противоположные силы, равные единице
(Hj = Г), направленные по оси этого стержня, и определяют усилия (п)
во всех оставшихся элементах данной фермы и усилия па> пь и пс
в трех заменяющих - стержнях. После этого отбрасывают силы /га=±=1.
Третье состояние. К узлам второго (2) выброшенного стержня при-
кладывают две равные и прямо противоположные силы равные единице
(т2 = 1), направленные по оси этого стержня, и определяют усилия (т)
во всех оставшихся элементах данной фермы и усилия та> ть и тс в
трех заменяющих стержнях. После этого отбрасывают силы т2.= 1.
Четвертое состояние. К узлам третьего (3) выброшенного стер-
жня прикладывают две равные и прямо противоположные силы, равные
единице ($3 = 1), направленные по оси этого стержня, и определяют
усилия ($) во всех оставшихся элементах данной фермы и усилия sa,
sb Н в тРех заменяющих стержнях. Затем переходят к рассмотрению
заданной сложной или преобразованной системы.
Обозначим соответственно через Z, У и Z искомые усилия в трех
выброшенных стержнях (1, 2 и 3) данной системы, тогда усилие в лю-
бом стержне этой системы определится по общей формуле:
N—N° +n*X+m-Y+s-Z.	(а)
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 105
Усилия X, Y и Z находятся из условия, что в заменяющих стержнях,
которых в данной системе не имеется, усилия должны быть равны нулю.
Это условие выражается следующими тремя уравнениями:
W + п -Х+т - Г4 s • Z = 0, \
а а 1 a L а 1 а	’I
v	.^+/w..r+s..Z = 0,	(b)
N = N° -J- п -Х4- т  Г4-s> Z = О,
С С ' . С I С I с	’	'
откуда могут быть найдены усилия X, Y и Z, после чего усилия во всех
стержнях данной системы определятся по общей формуле (а).
Общее решение системы уравнений (Ь) может быть представлено
в виде
7
И Z^-,
(С)
где детерминант этих линейных уравнений составляется из коэфициентов
при неизвестных и будет равен
пь. ть,
пс> <пс,
Sa
Sb
Sc
Если этот детерминант
ственная система стержней
если же детерминант будет
не будет равен нулю, то данная простран-
будет геометрически неизменяемой фермой,
равен нулю, то усилия в стержнях данной
системы, определяемые по общей формуле (а), будут иметь или неопре-
деленный вид, или будут равны бесконечности, а это служит указанием,
что данная система геометрически изменяема.
Отсюда вытекает следующее правило для исследования вопроса о гео-
метрической неизменяемости данной пространственной фермы: надо пре-
образовать ее в простейшую п7тем замены стержней, затем определить
усилия в заменяющих стержнях от единичных нагрузок, приложенных
в узлах выброшенных стержней, и составить из этих усилий детер-
минант.
Если этот детерминант не будет равен нулю, то данная система бу-
дет жесткой, геометрически неизменяемой системой, то есть фермой.
Если же этот детерминант будет равен нулю, то следовательно данная
система будет геометрически изменяемой или подвижной.
Таким образом способом замены стержней пользуются не только для
расчета сложных или преобразованных систем, но и для исследования
вопроса о геометрической неизменяемости их. Рассмотрим сперва вопрос
об исследовании геометрической неизменяемости по методу замены стер-
жней, в дополнение к § 13, а затем перейдем к рассмотрению примеров
расчета пространственных ферм по этому метолу.
Способ исследования геометрической неизменяемости системы при по-
мощи замены стержней заключается в следующем.
Прежде всего надо выяснить, какие стержни должны быть удалены
для преобразования данной сложной системы в простейшую. Для этого
мысленно отбрасывают в данной системе все узлы с тремя стержнями,
106	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
не лежащими в одной плоскости, если такие узлы имеются. Соответству-
ющие отбрасываемым стержням усилия могут быть найдены при помощи
непосредственного разложения I. * * 4 узловой нагрузки. Эти усилия следует
затем рассматривать как внешние силы, приложенные к узлам осталь-
ной части фермы. Обращаясь затем к оставшейся части фермы, выби-
раем в ней один из узлов с четырьмя стержнями, или, если такого узла
не имеется, то выбираем один из узлов с пятью неизвестными и по
удалении соответственно одного или двух стержней, получаем узел с
тремя стержнями.
Мысленно разрушаем этот узел, а также и все те узлы, в которых
при последовательном удалении стержней будет оставаться лишь по три
стержня, не лежащих в одной плоскости.
Если в. результате этого разрушения снова получим систему, в кото-
рой не будет ни одного узла, составленного из трех стержней, то снова'
'удаляем один или дза стержня в каком-либо узле, где имеется четыре
или пять стержней, и поступаем так до тех пор, пока получим подвиж-
ную систему. В эту систему вводим заменяемые стержни так, чтобы по-
лучить геометрически неприемлемую систему простейшего вида. Конечно
число заменяющих стержней должно быть равно числу отброшенных
стержней. Все, что было сказано здесь относительно порядка удаления
одного или двух стержней замены их другими, относится также и к
более общему случаю — замены нескольких стержней. После этих общих
указаний и теоретических положений переходим к рассмотрению некото-
рых примеров для наглядного пояснения вышеизложенного.
I. Определение геометрической неизменяемости системы.
Первый пример. Рассмотрим сетчатую систему с четным чи-
слом сторон в каждом поясе (черт. 102).
Выбрасывая стержень ab, получаем элементарный узел д, составлен-
ный из трех стержней, не лежащих в одной плоскости. Разрушив этот
узел, получим элементарный узел с, затем получим такой, же узел d, а
разрушив эти узлы, найдем, что узел а будет прикреплен к неподвиж-
ным точкам А и D только двумя стержнями. Следовательно этот узел
будет. подвижным. Чтобы сделать его неподвижным, взодим еще заменя-
ющий стержень аК, прикрепленный к какой-либо неподвижной точке К
(например к стене здания). Заметим при этом, что данную замену стер-
жня следует считать пространственной заменой, а не плоской,
так как заменяющий стержень (аК) лежи г вне плоскости грани abed,
заключающей в себе удаленный стержень ab.
Приложим в узлах а и b выброшенного стержня две .равные и про-
тивоположные силы =51 т (или 1 кг), направленные по оси выбро-
шенного стержня ab, причем сила nv приложенная в узле Ь, удержи-
вает его в равновесии, а сила Приложенная в узле а, $вляется реак-
тивной силой.
Разлагаем силу пг в узле b на две составляющие; по направлению
внешней биссектрисы тт и по направлению стержня Ьс^ Последняя со-
ставляющая, как это видно из разложения силы пг = 1 в плане на
черт. 102, будет равна лг = — 1 т.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 107
Переносим эту силу в узел с и снова разлагаем ее на две составляю-
щие: по направлению внешней биссектрисы пп и по направлению стер-
ж я cd. причем последняя составляющая будет равна = т-
Переносим эту силу в узел
d. где и разлап ем ее на две
составляющие: по направлению
внешней биссектрисы рр и по
направлению стержня cd. при-
чем последняя составляющая
будет равна п4—— 1 т. ,
Переносим эту силу в узел а.
Равнодействующая двух сил
пг = -\-\ т и /г4 = — 1 т
пойдет по внешней биссектрисе
qq и будет вызывать равные,
но противоположные по знаку
усилия в стержнях а А и aD.
Составляя сумму проекций
всех сил на направление го-
ризонтального заменяющего
стержня аК получим.
2x=«e=o,
т. е. усилие в заменяющем
стержне аК равно нулю.
Следовательно усилие X в
выброшенном стержне ab. оп-
Черт. 102.
ределяемое по формуле (14), будет равно:
а также будут равны бесконечности усилия и во всех остальных стер-
жнях системы, определяемые по общей формуле (12):
N=№ ^п-Х.
Это служи! указанием, что данная сист-ма геометрически изменяема
или подвижна. Заметим при этом, что в § 13 было приведено другое
доказательство геометрической изменяемости данной системы по -методу
нулевых нагрузок (см. стр. 71).
Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что положе-
ние заменяющего стержня не имеет в данном случае никакого значения
и не влияет на результат расчета В самом деле, если вместо указанной
замены стержня взять другую пространственную замену, найример егли
заменяющий стержень поставить по направлению аВ, то усилие в нем
также будет равно нулю. Ибэ в данном случае все рассматриваемые
силы, приложенные в узле а, будут находиться в одной плоскости, а
именно в плоскости грани AaD. поэтому усилие в отдельно стоящем
заменяющем стержне аВ будет равно нулю.
108	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Черт. 103.
Второйпример. Рассмотрим такое же сетчатое покрытие, как и в
предыдущем примере, но с н ечетн ым числом сторон в каждом поясе,
верхнем и нижнем (черт. .103).
Так как в этой системе нет ни одного узла, где сходилось бы только
три стержня, то выбрасываем стержень aby тогда получим элементарный
узел by составленный из трех
стержней, не лежащих в од-
ной плоскости.
Разрушив этот узел и
переходя последовательно к
разрушению других элемен-
тарных узлов Су d и е> пе-
рейдем наконец к узлу а,
который бу ет прикреплен
к основанию только двумя
стержнями аА и аЕ и ко-
торый поэтому будет под-
вижным.
Чтобы сделать этот узел
неподвижным, вводим заме-
няющий стержень аКу не ле-
жащий в плоскости АаЕ
двух остальных стержней.
Прикладываем к узам а и
b выброшенного стержня ab
две равные и взаимнопроти-
воположные силы = 1 т
(или 1 кг)у направленные го
оси этого стержня.
Разлагая силу ла = 1,
приложенную в узле 6, на
две составляющие: по направлению внешней биссектрисы тт и по направ-
лению стержня Ьс, получим усилие в этом последнем, равное п2 — — 1 т.
Точно таким же образом получим усилия: в стержне cd равное
л3 = 4“1 в стержне de равное п^ = —1 т, и в стержне cd равное
п5 = +1я.
Равнодействующая усилий = т и = -|- 1 т, * действующих
на узел а, будет равна:
где
Z? = пг • cos а 4- пь • cos а = 2 • cos а,
.	360 QCO
“=2>Г5 = 36 '
Так как усилия в стержнях Аа и Еа равны по величине, но проти-
воположны по знаку согласно положению пятому (доказанному в § 14),
то проектируя все силы, сходящиеся в узле а, на ось заменяющего го-
ризонтального стержня aKt получим:
2*=Яв+/?=о,
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 109
откуда определяем усилие в заменяющем стержне:
па — — 7? = — 2 • cos а.
Так как это усилие отлично от нуля, то следовательно величина X,
определяемая по формуле (14), также будет иметь конечное значение, а
следовательно и усилия во всех стержнях данной системы, определяемые
по общей формуле (12), тоже будут иметь конечные значения.
Поэтому данная сетчатая система (черт. 103) с нечетным числом сто-
рон в каждом поясе будет жесткой, геометрически неизменяемой фермой.
В решении задачи № 52 приведён
другой способ доказательства (по методу
нулевых нагрузок) геометрической неиз-
меняемости такой же сетчатой системы.
Третий пример. Док жем по
методу замены стержней, что простран-
ственная система, показанная на черт.
104, будет жесткой, геометрически неиз-
меняемой фермой.
Заметим при этом, что на черт. 104
наверху данная система представлена
в аксонометрических- проекциях, при-
чем опорные закрепления выражены в
виде опорных стержней (см. условные
обозначения b на черт. 39, 42 и 44).
Внизу на том же черт. 104 показана
эта система в плане в ортогональных
проекциях.'
Данная система имеет т = 24
стержня, л=12 узлоз и $=12 опор-
ных закреплений. Подставляя эти чи-
слозые значения в формулу (11)
т— (3-/г — $) = 0,	(а)
получим тождество:
1	24 — (3 X 12 — 12) = 0.
Следовательно первое условие статической и геометрической опреде-
лимости, выражаемое формулой (а), в данном случае выполнено.
Теперь надо доказать второе условие, а именно, что усилия в стер-
жнях данной системы будут иметь конечные значения.
Так как данная система сложная и не имеет ни одного элементар^
ного узла, составленного только из трех ст ржней, не лежащих в одной
плоскости, то отбрасываем четыре стержня ab, be, cd и da верхнего
пояса. Тогда получим четыре элементарных узла at b, с, dt где сходятся
только по три стержня.
Мысленно разрушив эти узлы, найдем четыре других элементарных
узла bv q и dr Разрушив и эти узлы, найдем четыре под ижных
узла	и hv каждый из которых будет прикреплен к основанию
только двумя стержнями, например узел еу будет прикреплен стержнями
е^Е и е^А и т. д.
110
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Чтобы сделать эти узлы неподвижными, вводим четыре заменяющих
стержня егКу gyM. и h^N (как это показано на черт. 105), при-
крепленных к неподвижным точкам КУ L, М и /V (например к стенам
здания). Обозначим эти заменяющие стержни для краткости через а, А,
с и d.
Таким образом данная система при помощи замены четырех стержней
превращается в простейшую систему, которую уже легко расчитать.
Имея эту простейшую систему (черт. 105), прикладываем к узлам а и b
к
Черт. 105.
выброшенного стержня ab две рав-
ные и взаимно противоположные
силы »! = 1 т (или 1 кг) по на-
правлению оси этого стержня.
Так как остальные два узла
с и d не имеют внешней нагрузки,
то усилия во всех стержнях, схо-
дящихся в этих элементарных уз-
лах, будут равны нулю.
Удалив эти стержни с нуле-
выми усилиями, найдем два дру-
гих элементарных узла q и dv
где также сходятся по три стержня.
А так как внешней нагрузки в этих
узлах нет, то следовательно уси-
лия в стержнях, образующих эти
узлы, будут равны нулю. Уда-
ляем эти стержни. После этого
найдем, что усилия в трех стерж-
нях, сходящихся в узле g19 также
будут~равны нулю. Следовательно
усилие в заменяющем стержне
gxM будет равно нулю, т. е. пс — 0.
Переходя к рассмотрению узла
а, находим, что сила пг — -|- 1 т
действует в плоскости стержней
ааг и аёГ Следовательно усилие
в отдельно стоящем стержне ahy
, = 4-1 т
н .bbv усилие в от-
будет равно нулю. На том же основании при действии силы п
в узле b и расположенной в плоскости стержней Ьег
дельно стоящем стержне bfx будет равно , нулю.
Отбрасываем эти стержни (ahy и bf^ с нулевыми усилиями. Тогда в .
узлах Aj и /j останется по три стержня, и так к^к в этих узлах не
имеется внешней нагрузки, то усилия в стержнях, сходящихся в этих
узлах, будут равны нулю. Следовательно заменяющие стержни fyL и
имеют нулевые усилия, т. е. = 0 и //d4=0.
Нагрузка	/и, приложенная в узле а, уравновешивается
усилиями в двух стержнях аау и aelf из которых первый стержень
будет растянут, а второй — сжат-, что нетрудно обнаружить при по-
мощи непосредственного разложения силы = 1 по направлениям этих
стержней.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ Ill
Точно, так же нагрузка пг = 4-1 /и, приложенная в узле Ь, уравно-
вешивается усилиями в двух стержнях ЬЬг и bev из 'которых первый
стержень будет растянут, а’ второй — сжат. Равнодействующая сжимаю-
щих усилий — л7 и —//8 в стержнях ае1 (7) и Ье2 (8) будет направ-
лена по биссектрисе угла ае2Ь и будет лежать в плоскости этого угла.
Составляя сумму проекций на направление заменяющего стержня
получим, что усилие па в этом стержне будет р вно проекции равнодей-
ствующей усилий в стержнях аег и Ье^ т< е. будет иметь вполне опре-
деленную величину, не равную нулю. Обозначим это усилие через Rv
т. е. «О = /?1Ч
Таким образом при действии двух равных сил л, = -|- 1 прило-
женных в узлах а и b и направленных по оси выброшенного стержня
ab, будем иметь следующие усилия в заменяющих стержнях:
Ио==Яр «* = 0, ис = 0 и /zd=0.	(1)
Отбрасываем эти единичные силы и прикладываем силы т2 = 4" 1 тонне
в узлах b и с по 4направлению оси выброшенного стержня Ьс. Тогда,
подобно предыдущему расчету, найдем следующие усилия в заменяющих
стержнях:
/ла = 0, mb = R2, тс = 0 и md—0.	(II)
Точно так же при расположении единичных сил г3 = 4~1 т в узлах
end по направлению оси отброшенного стержня cd получим следующие
усилия в заменяющих стержнях:
= гь = 0, г, = /?8 и rd=0.	(Ill)
И наконец, при расположении единичных сил = 4~ 1 w в узлах d и
а, по направлению оси отброшенного стержня 5а, получим следующие
усилия в заменяющих стержнях:
5а = °> 5* = °,	= ° и 4ав/?4*
(IV)
Определяя детерминант этих линейных уравнений, находим:
D =
О,
О, /?2,
о, о,
о, о,
о, о
о, о
*3.0
0,/?4

Так как данная система имеет квадратное очертание в плане, то оче*
видно, что в данном случае = Rt = R3 =	== /?. Таким образом
детерминант не* равен нулю.- Следовательно данная система, показанная
на черт. 104, есть жесткая, геометрически неизменяемая ферма.
При исследовании вопроса о геометрической неизменяемости слож-
ной пространственной системы посредством замены стержней следует
стремиться к возможно меньшему числу замен. При этом число заменяю-
щих стержней будет меньше, а следовательно легче будет определить
все усилия в этих стержнях, и проще определится детерминант при мень-
шем числе входящих в него членов. Поэтому прежде всего надо попы-
таться произвести исследование при помощи замены одного стержня и
112	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
переходить к замене двух стержней только в; том случае, если будет
затруднительно определить усилие в заменяющем стержне после одной
замены. Впрочем при симметрично расположенных стержнях нет необхо-
димости стремиться к наименьшему числу замен стержней. Здесь можно
значительно упростить расчет усилий, если удалить симметрично заме-
няемые стержни и расположить заменяющие стержни также симмет-
рично.
При этом, найдя усилие в заменяющем стержне от единичных сил,
приложенных к узлам выброшенного стержня, легко можно найти, уси-
лия и от действия единичных сил, приложенных к узлам каждого из
остальных выброшенных стержней. Для этого достаточно будет сравнить
расположение стержней, или повернуть систему вокруг вертикальной оси
на некоторый угол так, чтобы в новом положении системы второй рас-
сматриваемый стержень совпадал с тем положением первого стержпя, для
которого был произведен предыдущий расчет.
Например: так как ферма, показанная на черт. 104, имеет квадратное
очертание в плане, то повернув ее вокруг вертикальной оси на 90°,
получили бы второе рассматриваемое положение (силы т2 = т|-1 т в
узлах b и г), вполне совпадающее с рассмотренным ранее первым
положением (силы п]=-|-1/и в узлах а и Ь\ показанным на
черт. 105.
При этом достаточно было бы найти одно неизвестное усилие в
заменяющем стержне а усилия в остальных заменяющих стержнях
легко можно было бы получить путем круговой перестановки величин
первой группы уравнений (I) в остальных трех группах подобных же
уравнений (И, III и IV).
Таким образом здесь, при замене четырех стержней, пришлось бы
ограничиться определением только одного неизвестного усилия в одном
из заменяющих стержней.
II. Определение усилий в стержнях фермы.
Переходим теперь к определению усилий в элементах , пространствен-
ных ферм по методу Замены стержней, причем ограничимся рассмотре-
нием здесь только одного примера расчета, так как далее в отделе задач
и упражнений будет разобрано еще несколько примеров расчета ферм по
тому же методу. Положим, что требуется определить усилия во всех
стержнях покрытия при действии горизонтальной сиЛы IT, приложен-
ной в верхнем узле О, направленной перпендикулярно к наветренной
грани AadD (черт. 106).
Данная пространственная система имеет /и =19 стержней, л = 9
узлов и $='8 опорных реакций. Подставляя эти числовые данные в
уравнение (11)
т— (3-л —$) = 0,	(а)
получим тождество:
19 — (3 X 9 — 8) = 0.
Следовательно эта система удовлетворяет первому условию статиче-
ской и геометрической определимости, выражаемому формулой (а). Так
Расчет статически определимых пространственных ферм из
как в данной системе нет ни одного узла с тремя стержнями, то отбра-
сываем стержень аО9 тогда в узле О останутся только три стержня.
Удалив эти стержни, разрушаем в последовательном порядке элемен-
тарные узлы: Ь, Су dy в которых будут оставаться только по три стер-
жня, и наконец, приходим к узлу а, который будет прикреплен только
двумя'стержнями а А и aD и который поэтому будет подвижным.
Чтобы сделать этот узел неподвижным, прикрепляем его третьим
стержнем аВу не лежащим в плоскости двух других стержней, как это
показано на черт. 107. Стержень аВ и будет заменяющим стержнем
вместо выброшенного ранее стержня аО. Таким образом данная система
при помощи пространственной замены одного стержня превращается в про-
стейшую систему, а следовательно — в геометрическую неизменяемую
ферму (черт. 107).
Такая ферма как известно может быть расчитана путем непосред-
ственного разложения силы на три заданных направления. Действительно
горизонтальная сила W, приложенная в верхнем узле О,. разлагается на
три направления по осям стержней 2, 3 и 4, и определяются усилия
N°2 №3 и №4 в этих стержнях.
Усилие N°, передающееся в узел Ь9 разлагается здесь на три направ-
ления по осям стержней: 5, 6 и 9 и определяются усилия: 7V°, №Q и
в этих стержнях.
Равнодействующая Rc усилий N°3 и , действующих на узел с, раз-
лагается здесь на три направления по осям стержней 7, 10 и И, и
определяются усилия N°Q и N°r в этих стержнях. Равнодействующая
Rd усилий и №v действующих на узел dy разлагается в этом узле
на три составляющие: 8, 12 и 13, и определяются усилия N°2 и
N°3 в этих стержнях. Наконец в узле а равнодействующая Ra усилий
и №3 разлагается на три составляющие по осям стержней 14, 15
и а (заменяющий стержень), причем определяются усилия	и
№а — в этих стержнях.
Но в действительности на данную ферму, кроме горизонтальной внеш-
ней силы UZ, приложенной в узле О, действует еще усилие в отброшен-
ном стержне аО. Обозначим это усилие через X и рассмотрим его дей-
8 Подольский, И. С.
114	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
ствие отдельно от силы IF. Не зная пока величины, усилия Л’, предположим,
что она равна единице, т. е. /^ = -{-1 т.
Прикладываем в узлах а и О две равные и взаимно противоположные
силы /^=1 по направлению оси выброшенного стержня аО (черт. 108)
и определяем усилия (л) во всех элементах этой фермы, переходя от
одного узла к другому в том же порядке узлов, как и выше, т. е.
в порядке узлов О, b, с. d и а, причем находим попутно и усилие па
в заменяющем стержне аВ.
Так как действительное усилие в выброшенном стержне равно не
1 донне, а’ АГ тоннам, то очевидно, что действительное усилие в заменяю-
щем стержне аВ будет также в X раз больше, т. е. будет равно
N^X.
При одновременном действии обеих внешних сил W и X усилия во
всех стержнях, на основании закона независимости действия слагаемых
сил, будут равны сумме усилий, вызываемых каждой из этих сил. Следо-
вательно и усилие в заменяющем стержне будет равно сумме усилий от
двух частных нагрузок, т. е. будет равно
ЛЛ=ЛГ 4-л •А'.	(а)
Но при одновременном действии сил W и X стержень аВ не рабо-
тает, так как его нет в данной системе (черт. 106). Следовательно это
усилие должно быть равно нулю, т. е.
•	(ь)
откуда определяется усилие в выброшенном стержне дО, равное
Заметим кстати, что здесь отрицательный знак (—) в правой части
формулы еще ничего не указывает, так как окончательный знак искомой
величины X зависит от знаков усилий № и п°а, а знак каждого из этих
усилий может быть как положительным, так и отрицательным.
Когда будет найдено усилие X в стержне аО, то усилие в каждом из
остальных стержней будет равно сумме усилий, вызываемых отдельно
двумя силами W и АГ, т. е. определится по формуле:
Л^Л^ + л-А;	(d)
где № есть усилие в рассматриваемом стержне от одной силы W, а
п есть усилие в том же стержне от действия двух сил /^ = -[-1/#,
приложенных к узлам а и О' выброшенного стержня. Усилия во всех
элементах фермы от данной силы IF и от силы = -р 1 можно опре-
делить как аналитическим путем, так и графическим.
Покажем здесь графический метод определения этих усилий. Рассма-
триваем сперва первое состояние системы.
Из мссмотрения этой фермы в аксонометрических проекциях (черт. 107)
видно, тго горизонтальная сила IF, приложенная в узле О, лежит в плос-
костй грани dOc, следовательно усилие в отдельно стоящем стержне ЬО
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 115
будет равно нулю. Переходя к рассмотрению узла Ъ, в котором не имеется
нагрузки, также заключаем, что усилия в трех стержнях' Ьа, ЬВ и Ьс,
сходящихся в этом узле, также равны нулю.
Точно так же из рассмотрения узла а, где нет внешней нагрузки,
находим, что усилие в отдельно стоящем (заменяющем) стержне аВ то-
же равно нулю, т. е. Д/° = 0.
Поэтому мысленно отбрасывая все эти стержни с нулевыми усилиями,
приступаем к построению диаграммы Кремона для определения усилий
в остальных стержнях системы. Для этого вычерчиваем сперва данную
ферму в трех ортогональных проекциях (черт. 109).
Разлагаем внешнюю силу W на два направления Od и Ос, что вы-
ражается на проекциях двумя силовыми треугольниками 1, 2, 3 и 1, 2, 3.
Затем так как два искомых усилия в узлах d и с лежат в профильной
(т. е. вертикальной) плоскости, то все дальнейшее построение ведется
только в этой плоскости.
Разлагаем усилие N°z на три направления cd, сС'н сВ, имея в виду,
что усилие в четвертом стержне cb равно нулю, как это было доказано
выше, и поэтому этот стержень считается отброшенным. Это разложение
на диаграмме выражается пространственным многоугольником сил 1, 3,
4, 5, 6, 1, развернутым на профильной плоскости, причем отрезок 3—4
будет выражать усилие N° в стержне de (7), и отрезок 5—6 будет вы-
ражать усилие N°t в стержне сС (11), и отрезок 6—Г будет выражать
усилие в стержне сВ (10). Затем, переходя к узлу d, находим равно-
действующую /?47 усилий №4 и 2V7, выражаемую на профильной пло-
скости отрезком 2—4, и разлагаем эту силу на три направления: da,
dD иdC, что выражается пространственным многоугольником сил 2, 4, 7,
8, 9, 2, развернутым ца профильной плоскости, причем отрезки 4—7,
8’
116	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
8—9 и 9—2 будут выражать усилия:	N°3 и А/£ соответственно в
стержнях dC (12), dD (13) и da (8).
Остается теперь силу действующую на узел а, разложить на два
направления aD (14) и аА (15), так как выше было доказано, что усилие
в третьем стержне аВ равно нулю. Это разложение на диаграмме усилий вы-
ражается треугольником сил 2, 9, 10, в котором отрезки 9—10 и 2—10 вы-
ражают усилия N°4 и Л^°5 соответственно в стержнях aD (14) и аА (15).
Переходим теперь к рассмотрению второго состояния фермы (черт.
108), когда внешняя сила W отброшена, а к узлам а и О удаленного
стержня аО приложены две равные и взаимно противоположные силы
л2 = +1 т> направленные по оси этого стержня.
Это второе состояние фермы показано в трех ортогональных про-
екциях на черт. ПО.
1)	Расчет начинаем с верхнего узла О и разлагаем силу л2 = 1 /и,
приложенную в этом узле, на три направления: ОЬ (2), Ос (3) и Od (4).
Это разложение выражается на диаграмме усилий пространственным си-
ловым многоугольником 1,2, 4, 3, развернутым на профильной плоскости,
причем отрезки 1—3, 2—4 и 3—4 соответственно выражают усилия
л3 и п4 в стержнях 06(2), Ос(3) и Orf (4).
2)	Найденное усилие п3 в стержне ОЬ (2), действующее на узел 6,
разлагаем в этом узле на три направления: 6а, ЬВ и 6с, что на диаграмме
• усилий выражается пространственным многоугольником сил 1, 5, 6, 7, 3, 1,
развернутым на профильной плоскости, причем отрезки 1—5, 3—7
И 6—7 соответственно выражают усилия и nQ в стержнях Ьа (5),
6с(6) и 6В(9).
3)	Н9кодим равнодействующую /?36 усилий п3 и пе в стержнях сО
и сб, которая на диаграмме выразится" отрезком 4—7', и эту силу, дей-
• РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 117
ствующую на узел с, разлагаем на три направления сВ (10), сС(11)
и cd (7), что на диаграмме выражается пространственным силовым много-
угольником 4, Т, 8, 9, 10, 4, развернутым на профильной плоскости, при-
чем отрезки 4—10, 8—9 и 9—10 соответственно выражают усилия zz7,
я10 и пп в стеРжнях erf (7), еВ(10) и сС(11).
4)	Находим равнодействующую /?47 усилий л4 и л7 в стержнях dO
и rfr, что на диаграмме выражается отрезком 3—10, и эту силу, дей-
ствующую на узел rf, разлагаем на три направления: da (8), rf£)(13)
и dC (12). На диаграмме усилий это разложение силы /?4 7 выражается
пространственным многоугольником сил 3, 10, 9, 3, развернутым на про-
фильной плоскости, где отрезок 9—10 выражает усилие л13 в стержне
dD, отрезок 3—9 выражает усилие л12 в раскосе rfC, а отрезок 5—3
в плане или равный ему отрезок 4—10 на профиле выражает усилие л8
в стержне da.
5)	Переходим к узлу а, где имеем усилия /г6, л8 и силу пг = \.
Равнодействующая этих усилий /?15 8 выражается на диаграмме отрез-
ком 2—5. Разлагаем эту силу на три направления: а£)(14), а4(15)
и аВ (заменяющий стержень), что на диаграмме выражается разверну-
тым на плоскости пространственным многоугольником сил 2, 5,11,2, при-
чем отрезок 2—1Г будет выражать усилие я35 в стойке аА (15), а отре-
зок 5—11 будет выражать усилие в стержне aD и усилие па в за-
меняющем. стержне аВ.
Как видно из диаграммы, усилие в заменяющем стержне аВ равно
па = — 1,5 пг,
поэтому на основании формулы (с) определяем усилие в стержне аО
и следовательно усилие в каждом элементе фермы, определяемое
по формуле (d), будет равно 7V=7V°,t. е, первая диаграмма (черт. 109)
дает окончательные усилия.
Такой результат получился при заданном горизонтальном расположе-
нии внешней силы W, приложенной в верхнем узле О. Для такого слу-
чая, как это показывает приведенный выше расчет, надобность в по-
строении второй диаграммы для силы 1 m отпадает.
Но в общем случае величина X не равна нулю, и поэтому прихо-
дится всегда рассматривать два состояния фермы и пользоваться двумя
диаграммами усилий.
Заметим кстати, что при заданном расположении силы W расчет
данной фермы (черт. 106) можно произвести проще посредством разло-
жения на плоские системы.
§18. Заключения о способах расчета пространственных ферм.
Из изложенных выше трех способов расчета пространственных
ферм не все способы имеют общее значение. Самый общий из них есть
способ расчета посредством замены стержней, так как по этому способу
можно определить усилия в элементах всякой статически определимой
118	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ «ФЕРМ
пространственной системы, будет ли эта система простейшая или слож-
ная, преобразованная из простейшей.
Остальные два способа применимы только для расчета определенных
пространственных ферм. Так например способом выделения отдельных
узлов можно пользоваться только в том случае, если имеется узел, со-
держащий не более трех стержней, не лежащих в одной плоскости,
или же если имеется узел, один стержень которого не лежит в плос-
кости остальных стержней (что соответствует второму положению § 14).
Сквозным сечением фермы можно пользоваться только тогда, когда
это сечение пересекает не более шести стержней, не параллельных между
собой и не пересекающихся в одной точке*
Способ разложения пространственной фермы на плоские системы
применим только в тех случаях, которые были рассмотрены выше в§ 16.
Но несмотря на эти ограничивающие условия, частные способы расчета
пространственных ферм имеют большое практическое значение.
Во-первых, все частные способы расчета значительно проще, чем
общий способ расчета посредством замены стержней, и поэтому скорее
дают искомые результаты.
Во-вторых, пользуясь частными способами расчета, можно произво-
дить расчет многих известных пространственных ферм.
Такие же фермы, расчет которых требует применения общего метода
замены стержней, на практике встречаются очень редко.
Вот почему частные способы расчета пространственных ферм имеют
преобладающее практическое значение, и ими следует всегда пользо-
ваться преимущественно перед общим способом замены стержней.
Поэтому каждую данную пространственную ферму следует прежде всего
попытаться расчитать по одному из частных способов, и только в том слу-
чае, если ни один из частных способов расчета не может быть применен
к расчету данной фермы, следует воспользоваться общим способом замены
стержней. Затем, пользуясь общим способом расчета, следует ограничиться
наименьшим возможным числом замены стержней, имея в виду, что замена
каждого стержня вызывает отдельный расчет всей системы при действии
двух одиночных грузов, приложенных в узлах выброшенного стержня,
кроме основного расчета от действия заданной внешней нагрузки.
Следовательно, замена только одного стержня требует уже два само-
стоятельных расчета.
Замена (а) стержней потребует (я-]-1) самостоятельных расчетов
системы, что конечно значительно усложняет дело и требует затраты
большого, количества труда и времени.
В этом отношении частные способы расчета являются более простыми
и более короткими.
§ 19. Расчет опорного кольца и условия правильного
расположения подвижных опор.
Всякая несвободная пространственная система прикрепляется к своему
»основанию• при помощи неподвижно закрепленных опор третьего рода,
причем в ^честве „основания" могут служить земля, фундамент, стены
здания, специальная платформа или какое-либо другое твердое тело.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 119
Например, купольное покрытие Швеллера прикрепляется к стенам
здания при помощи неподвижных шарнирных опор: Д, В, С, D, Е и F
(черт. 111). •
Точно также пирамидальный пилон прикре-
пляется к фундаменту четырьмя неподвижными
шарнирными опорами: Д, В9 С9 D (черт. 112).
Опорная реакция каждой такой опоры, как
известно, может быть разложена на три соста-
вляющие: одну вертикальную (У) и две гори-
зонтальные (X и Z).
Вертикальная опорная реакция передается
на основание (например на стену здания или
на фундамент сооружения) в виде опреде-
ленного давления, а горизонтальные составля-
ющие опорной реакции дают распор, который
требует соответствующего увеличения тол-
щины стен здания или увеличения попереч-
ных размеров- фундаментных столбов под
каждой опорой сооружения, что во многих
отношениях, является неудобным и экономи-
чески невыгодным. Поэтому для уничтожения
горизонтального распора обыкновенно уст-
Черт. 111.
раивают в нижней части пространственной системы так называемое „ опор-
ное кольцо". Например для купола Шведлера опорное кольцо будет иметь
вид правильного многоугольника ABCDEF (черт. 111), а для пилона опор-
ное кольцо будет иметь вид прямоугольника ABCD (черт. 112).
Но чтобы всякая несвободная система с опорным
кольцом и с опорными реакциями оставалась стати-
чески определимой и не имела лишних - стержней,
необходимо взамен определенного числа добавочных
стержней, составляющий опорное кольцо, выбросить
такое же число закреплений в опорных шарнирах.
Что такая замена возможна, это видно из об-
щей формулы (10):
т = 3-п — s9
выражающей первое условие статической опре-
делимости и геометрической неизменяемости при-
С крепленной системы. Эту формулу удобнее в данном
случае представить в таком виде:
А
3
(а)
Черт. 112.	т. е. утроенное число узлов (/i) должно быть
равно числу стержней (тп) плюс число опорных
реакций или опорных закреплений (<$) данной системы.
Если удалить г опорных реакций и взамен этого вставить г стержней
опорного кольца, то выражение (а) при такой замене получит следующий вид:
3 • п = (т	г) -|- (s — г) = т' -|- ?.
Таким образом основное условие (а) от такой замены не изменяется, изме-
няются только слагаемые т и 5, но сумма их остается постоянной, равной Зя,
120	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Обращаясь теперь к частному случаю, а именно рассматривая ку-
польное покрытие Швеллера (черт. 111), можно каждую из шести
неподвижных опор третьего рода сделать подвижной опорой второго
рода, т. е. неподвижную опору заменить цилиндрической опорой, кото-
рая, как известно, имеет только два опорных закрепления и следова-
тельно две опорных реакции.
Поэтому указанная выше замена ведет к уничтожению шести опор-*
ных реакций, взамен которых в систему вводится опорное кольцо, со-
стоящее из шести стержней.
Но это не есть единственное решение, так как возможны и другие
решения. Например можно три опоры: Д, С и Е оставить неподвиж-
ными закрепленными, а остальные три опоры В, D и F сделать шар-
нирными подвижными опорами первого рода.
Преобразование каждой неподвижной опоры третьего рода в подвиж-
ную опору первого рода освобождает две опорных реакции.
Следовательно от замены трех неподвижных опор тремя шаровыми
/подвижными опорами осзобождается шесть опорных закреплений, кото-
рые и могут быть заменены шестью стержнями опорного кольца.
Очевидно, что вследствие замены опорных закреплений таким же
числом стержней опорного кольца не нарушается первое условие стати-
ческой определимости и геометрической неизменяемости, выражаемое
общей формулой (а).
Точно также в случае пирамидального пилона (черт. 112) можно все
четыре закрепленных опоры заменить четырьмя цилиндрическими опорами
и поставить опорное кольцо, состоящее из четырех добавочных'стер-
жней. Но можно одну опору (Д) оставить закрепленной, две опоры
(В и С) сделать цилиндрическими, и одну опору (D) сделать шаровой
подвижной. В этом последнем случае освободятся 1-{-1.-]-2 = 4 опор-
ных закрепления, взамен которых вводятся 4 стержня опорного кольца,
и общая формула[ (а) в случае той или другой замены не нарушается.
Таким образом выясняется возможность замены
неподвижных опор подвижными при условии устрой-
Ц—_ ства опорного кольца, уничтожающего распор прост-
а	с ранственной фермы.
Ч	Переходим теперь к выяснению вопроса о том,
\	как следует располагать подвижные цилиндри-
___ческие опоры, чтобы вся система оставалась непод-
* и4	явижной.
Первое условие. Катки следует укладывать вдоль
Черт. ИЗ. сторон опорного кольца и притом так, чтобы
оси катков служили продолжением сторон кольца
в одну сторону, например по ходу часовой стрелки.
Например на черт. 113 изображено опорное кольцо пирамидального
пилона, причем линии Да, ВЬ, Сс и Dd изображают направление осей
Цилиндрических катков, а двойные перпендикулярные к ним короткие ли-
нии обозначают возможное перемещение этих опор. Таким образом катки
могут перемещаться только по перпендикулярам к соответствующим стер-»
жням кольца.	г
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 121
Как видно из этого чертежа, все оси цилиндрических катков служат
продолжением стержней кольца жесткости в одну сторону, а именно
по ходу часовой стрелки.
Точно также на черт. 114 линии Ла, ВЬ, Сс и т. д. показывают воз-
можное расположение осей цилиндрических катков.
Благодаря такому расположению катков стены здания не испытывают
распора, так как опорные реакции (Ла, ВЬ и т. д.) будут лежать в плос-
кости стен, например реакция опоры Л (черт.
113) находится в вертикальной плоскости стены ^4— Ц
АВ, реакция опоры В лежит в плоскости стен /
ВС и так далее. Такое направление опорных ре- /	\
акций дает большую экономию в кладке стен, I
особенно при больших пролетах и при малых I у	/\
подъемах купольных или шатровых покрытий. \	/ с
Докажем теперь, что при таком расположе-	а_\£ ______5Z
нии подвижных опор пространственная ферма	"	/
с опорным кольцом представляет жесткую, гео-	Черт
метрически неизменяемую систему.
Если пространственная ферма без опорного кольца, но с неподвижно
закрепленными опорами, как это показано на черт. 111 и 112, будет
жесткой, неподвижной системой, то та же ферма с опорным кольцом
на цилиндрических катках будет геометрически неизменяемой системой
только в том случае, если опорные точки Л, В, С и т. д. будут непод-
вижны. Следовательно неподвижность всей пространственной системы
с опорным кольцом зависит от неподвижности узловых точек опорного
кольца, находящихся на цилиндрических катках. Конечно, пространствен-
ная система будет жесткой фермой не только при указанном выше рас-
положении катков, но и при всяком другом расположении катков, если
только при этом будет обеспечена неподвижность узлов >4, В, С и т. д.
или, другими словами, если опорное кольцо будет представлять плоскую
прикрепленную ферму.
Следовательно цилиндрические катки можно располагать как угодно,
можно даже не все опоры делать цилиндрическими, а устраивать одно-
временно неподзижные, подвижные цилиндрические и шаровые опоры.
Надо только расположить эти опоры так, чтобы опорное кольцо было
жесткой плоской фермой.
Чтобы убедиться, дает ли принятое расположение опор действитель-
ное закрепление узлов опорного кольца, можно ограничиться рассмо-
трением сил, действующих только в одной горизонтальной плоскости.
Хотя силы, передающиеся от фермы на шарнирные опоры, не гори-
зонтальны, но их всегда можно разложить на вертикальные и горизон-
тальные составляющие.
Вертикальные составляющие передаются на. основание через опоры,
а горизонтальные составляющие вызывают усилия в стержнях опорного
кольца и горизонтальные опорные реакции, направление которых зависит
от рода опор.
Таким образом при определении усилий в стержнях опорного кольца
приходим к задаче на плоскости, и поэтому исследование это можно
вести также в одной плоскости, а именно в плоскости опорного кольца.
122	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Если удастся доказать, что усилия в стержнях опорного кольца при
действии каких-либо горизонтальных сил будут иметь вполне определен-
ные конечные значения, то это, как известно, и будет служить указа-
нием на геометрическую неизменяемость плоской системы.
В этом отношении метод нулевых нагрузок является наиболее про-
стым и наиболее удобным.
Положим, что имеется опорное кольцо в виде квадрата ABCD
(черт. 115). ;
Линии Ла, ВЬ, Се и Dd обозначают направление осей цилиндриче-
ских опор, а перпендикулярные к этим направлениям пунктирные линии
п^,п2, п3 и п4 указывают направления возможных перемещений узлов Л,
В, С и D квадратного опорного кольца.
Предположим, что на это опорное кольцо никакие внешние силы не
действуют. Если при этом условии возможно будет доказать, что уси-
лия во всех стержнях опорного кольца
равны нулю, то это будет служить
признаком геометрической неизме-
няемости этой плоской системы.
Допустим, что в стержне АВ действует растягивающее усилие
тогда, перенрся эту силу в узел В, разлагаем ее на две составляющие
по направлению сторон ВС и по направлению опорной реакция ВЬ.
Это разложение на диаграмме усилий (черт. 116) выражается тре-
угольником сил отр, причем усилие в стержне ВС будет равно отрезку
ср, т. е. N2 — op, а-величина горизонтальной опорной реакции в узле Q
будет равна отрезку тр, т. е. R^ = тр.
Перенося найденное усилие N2 в узел С и разлагая его здесь на две
составляющие по направлению стержня CD и по направлению опорной
реакции Сс, получим усилие N3 в стержне CD, выражаемое на диаграмме
отрезком oq, и величину опорной реакции Т?2, выражаемую отрезком pq.
Точно также, перенося усилие Н2 в узел D и разлагая здесь эту
силу на две составляющие по направлению стержня DA и по направле-
нию опорной реакции Dd, получим из диаграммы усилие в стержне DA,
равное N± = or, и опорную реакцию R3 = rq.
Если произвольно взятое усилие N2 в стержне АВ изменится в ка-
ком-либо отношении, то в том же отношении изменятся также усилия Nv
и ^4 в остальных стержнях опорного кольца.
Следовательно полученной диаграммой усилий (черт. 116) можно
пользоваться при всяком значении силы Ы2, надо только соответствую*
щим образом изменить масштаб чертежа;
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 123
Обращаемся теперь к рассмотрению узла А.
Хотя усилие взято было произвольно, но соотношение между уси-
лиями и N4 будет вполне точное, и ими определяется для узла А
направление равнодействующей этих сил, выражаемое на диаграмме
отрезком тг.
Если это направление будет совпадать с направлением опорной ре-
акции Ла, то равнодействующая усилий и N4 будет уравновеши-
вать опорную реакцию, и следовательно в опорном кольце возможно
будет усилие, отличное от нуля, при внешних нулевых нагрузках. Это
будет указывать на геометрическую изменяемость опорного кольца, т. е.
(с.
Черт. 117.
на наличность исключительного случая расположения цилиндрических опор.
Все такие исключительные случаи будут указаны далее.
. Кроме указанного выше метода, можно применять и другой метод для
исследования вопроса о геометрической неизменяемости опорного кольца.
Предположим, что имеется шестиугольное
опорное кольцо (черт. 117), у которого в
узлах В, Е и D оси цилиндрических кат-
ков совпадают с направлениями стержней СВ,
FE и ED и служат их продолжением в
одну сторону (в данном случае по ходу ча-
совой стрелки), ось цилиндрического катка
в узле А совпадает со стержнем FA, про-
долженным в обратную сторону (против хода
часовой стрелки), ось цилиндрического катка
в узле F совпадает с направлением внешней
биссектрисы //, а ось катка в узле С совпа-е
дает с направлением внутренней биссектрисы.
Таким образом оси катков данного опорного
кольца имеют самые разнообразные направления. Докажем, что при таком
расположении катков опорное кольцо будет представлять геометрически
изменяемую систему.
Пусть в узле А действует какая-либо внешняя сила Р произвольного
направления. Рассматривая узел В, находим, что усилие в отдельно
стоящем стержне ВА будет равно нулю. В этом нетрудно убедиться,
спроектировав все силы, действующие в узле В,.на ось, перпендикулярную
к направлению стержня ВС. Отбрасываем стержень ВА с нулевым усилием.
Возвращаясь теперь к узлу А, находим, что здесь будут действовать
три силы, а именно данная сила Р, усилие в стержне AF и опорная
реакция /?д, имеющая направление по оси Аа. Так как две силы и Ra
лежат на одной прямой, а третья сила Р не совпадает с ними, то сле-
довательно равновесие этого узла невозможно. Равновесие было бы
возможно только в частном случае, если сила Р=0.
При нулевых нагрузках в узлах D и Е получим нулевые усилия
в огдельно стоящих стержнях DC и ED. Отбрасывая эти стержни с ну-
левыми усилиями, находим, что усилие в одиночном стержне Dd также
будет равно нулю. Усилия в двух стернях Сс и СВ, сходящихся в
ненагруженном узле, также будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями, находим, что и уси-
лие в одиночном стержне ВЪ тоже будет равно нулю при отсутствии
124	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ ________________
внешней нагрузки в узле В. Но в стержнях Аа и ДГ, сходящихся в
узле Я, могут быть произвольные усилия, которые в свою очередь мо-
гут вызвать соответствующие усилия в стержнях Ff, FE и Ее.
Таким образом при произвольной нагрузке одного узла опорного
кольца равновесие системы невозможно, а при нулевой нагрузке полу-
чается неопределенное решение.
Следовательно данная система будет геометрически изменяемой. И на-
оборот, то же самое опорное кольцо будет жесткой, геометрически не-
изменяемой системой, если оси катков, совпадающие с стержнями, будут
служить продолжением их в одну сторону, например по ходу часовой
стрелки. Эта геометрическая неизменяемость системы сохраняется и в том
случае, если оси некоторых катков (например через один каток) будут
расположены по внешней или внутренней биссектрисе опорного узла, так
как в,таких опорах получается вполне определенное разложение силы.
Поэтому чтобы данное опорное кольцо, показанное на черт. 117,
сделать геометрически неизменяемым, стоит только изменить направление
оси одного катка в узле Д, а именно вместо направления Аа взять на-
правление Aav совпадающее с продолжением стороны В А в левую сто-
рону (по ходу часовой стрелки), как это показано на черт. 117 пунк-
тирной линией.
Второе условие. Цилиндрические катки следует укладывать так,
чтобы их оси не были параллельны между собой. Это условие оче-
видно и наглядно поясняется черт. 118, где оси всех цилиндрических
катков параллельны друг другу. При таком расположении опор’вся си-
стема может быть сдвинута в одну
или друфю сторону, как это по-
казано двойной стрелкой внутри
опорной рамы. Такой случай ра-
сположения катков будет исклю-
чительным;
Третье условие. Опорные
катки следует располагать так,
чтобы их оси не пересекались в
одной точке. Рассмотрим, на-
пример» пятиугольное опорное Черт. 119.
кольцо ABCDE, у которого оси
ях катков пересекаются в одной точке, а именно в
центре О круга, описанного около данного пятиугольника (черт. 119).
В этом сЛучае реакции опорного кольца как силы, совпадающие с осями
катков, также будут пересекаться в этом центре. При этом, каковы
бы ни были величины этих реакций, момент их будет равен нулю.
Это показывает, что равновесие возможно только при отсутствии
внешней нагрузки. Но даже при самом малом произвольном грузе равно-
весие невозможно, так как груз дает момент, не равный нулю, т. е. не бу-
дет уравновешиваться опорными реакциями, момент которых равен нулю.
Следовательно такая система будет подвижной.
Это видно также из черт. 119, так как при указанных направлениях
осей катков, направления возможного перемещения катков будут совпа-
дать с касательными к кругу, описанному около пятиугольника.
всех
£АсЧет СтатиЧеСКи ОПреДеЛиМыХ ЙРбсТРАЙсГВЕИНых ФёрМ 125
Такой случай расположения катков будет исключительным.
Поэтому опорное кольцо может повернуться в ту или другую сто-
рону вокруг центра О, как это показано на чертеже двойной стрелкой.
Четвертое условие. В опорных кольцах с четным числом стерж-
ней катки следует располагать так, чтобы возможные перемещения
их не пересекались в одной точке, или другими -словами, чтобы оси
катков не совпадали с биссектрисами внешних углов опорного кольца.
При нарушении этого условия опорное кольцо в виде правильного много-
угольника с четным числом сторон может изменять свою форму без изме-
нения длины стержней, и такой случай расположения катков будет исклю-
чительным.
Возможные деформаций опорного кольца при таком исключительном
случае показаны пунктирными линиями на чертежах 120 и 121.
Опоры приближаются к центру О через одну, а другие удаляются
от того же центра многоугольника, при этом длина стержней остается
без изменения.
При нечетном числе сторон опорного кольца, если линии перемеще-
ния катков будут пересекаться в одной точке, перемещение опорных
Черт. 120.	Черт. 121.	Черт. 122.
узлов невозможно. Докажем эти положения. Для этого рассмотрим сперва
опорное кольцо с нечетным числом сторон.
Возьмем, например, правильный пятиугольник и предположим, что
оси всех катков расположены по внешним биссектрисам пп, а линии
возможных перемещений катков, перпендикулярные к этим осям, пересе-
каются в одной точке О (черт. 122).
Если предположить, что в катке А действует по его оси какая-либо
сила + /?д. то разложив эту силу на две составляющие по направлениям
стержней АВ и АЕ, получим в первом стержне (АВ) сжимающее уси-
лие — Xj и во втором стержне (АЕ)— растягивающее усилие
Если затем последовательно рассмотреть равновесие узлов В, С, D
и Е, то получим из соответствующих разложений сил следующие уси-
лия: 4~^2 в стеР>кне ВС, —7V3 в стержне CD, в стержне DE
и —в' стержне ЕА, т. е. получим для последнего стержня усилие
другого знака. Это показывает, что стержень АЕ не может быть в равно-
весии при действии реактивной силы в узле А.
Но если предположить, что реактивная сила /?д = 0, то усилия
во всех стержнях опорного кольца будут иметь вполне определенные
величины, все они также будут равны нулю.
126	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Таким образом данная система стержней не может быть в равновесии
при произвольных усилиях в стержнях, а только при определенном зна-
чении их. G другой стороны, статическая определимость указывает и на
геометрическую неизменяемость той же системы. Поэтому опорное кольцо
с нечетным числом стержней (черт. 122) будет
геометрически неизменяемой системой.
4	Возьмем теперь опорное кольцо с четным чи-
Z \	/ X слом сторон, например правильный шестиугольник
г \/	\/ф	(черт. 123), и предположим, что оси всех кат-
Пу	уГ^ков расположены по биссектрисам внешних углов,
\б / \ 2/ п А9 В9 С, D9 Е9 F9 а перпендикулярные к ним ли-
X/ ।	нии возможных перемещений пересекаются водной
точке °-
° п	Допустим, что в узле А действует по на-
Черт. 123. правлению оси катка Ап какая-либо произвольная
сила Ra.
j Разложив эту силу на две составляющие по направлениям стержней
АВ и AF9 найдем сжимающее усилие —в стержне АВ и растяги-
вающее усилие 4-ЛГв в стержне AF.
Из разложения силы —Л/^ в узле В и из последующего рассмотре-
ния остальных узлов находим следующие усилия в стержнях опорного
кольца:
ВС= + ^, CD=i — N3>	=	EF= — N& и FA = ^N^9
чт. е. получили в последнем стержне усилие того же знака, как и при
разложении реактивной силы Ra.
Эго доказывает, что все стержни опорного кольца могут быть в ра-
вновесий при произвольной величине реактивной силы Ra.
Следовательно и при величине этой силы, равной нулю (7?Л = 0) уси-
лия в стержнях системы не будут равны нулю.
Такая неопределенность усилий в стержнях системы при отсутствии
внешней нагрузки указывает на геометрическую изменяемость этой си-
стемы, которая подобно механизму может принять какое-либо другое
положение без изменения длины стержней, как это показано пунктир-
ными линиями на черт. 121.
Замена неподвижных опор пространственной системы цилиндрическими
катками и. опорным кольцом не оказывает никакого влияния на усилия
в стержнях самой пространственной системы.
Это видно из того, что опорное кольцо на катках само по себе
представляет плоскую ферму, и что вышележащую пространственную си-
стему можно рассматривать как другую ферму, шарнирно прикреплен-
ную к узловым точкам опорного кольца, т. е. как бы к неподвижным
точкам своего основания.
Это следует также из способа расчета усилий в стержнях простран-
ственной системы: расчет ведется по ярусам, начиная с верхнего яруса,
причем усилия в стержнях какого-либо промежуточного яруса опреде-
ляются из разложения усилий в стержнях и нагрузок в узлах вышеле-
жащего яруса и совершенно не зависят от усилий в стержнях нижних яру-
сов, а следовательно не зависят и от усилий в стержнях опорного кольца.
Расчет4 статически определимых пространственных ферм 127
На этом основании расчет пространственной системы с опорным
кольцом производится точно так же, как и расчет пространственной
фермы с неподвижно закрепленными опорами, в предположении, что
опорного кольца нет. При этом получаются усилия во всех стержнях
нижнего яруса системы. Геометрически слагая два усилия в каждом опор-
ном узле, передаваемые в эту точку двумя опорными стержнями, получим
одну равнодействующую, которая и является внешней узловой нагрузкой
для опорного кольца.
Так как опорное кольцо на катках представляет плоскую статически
определимую ферму, и узловые нагрузки его известны, то расчет опор-
ного кольца не представляет никаких затруднений и производится по
общим правилам расчета плоских ферм. Смотря по расположению опор,
в этом случае можно применить или метод узловых сечений, или метод
замены одного стержня.
Простое решение получается, если все узловые нагрузки опорного
кольца разложить на горизонтальные и вертикальные составляющие. Пос-
ледние передаются непосредственно на основание, а первые вызывают
усилия только в стержнях опорного кольца и дают горизонтальные опор-
ные реакции. Как те, так и другие легко определяются путем разложения
сил в одной плоскости.
При проектировании расположения цилиндрических опор следует ру-
ководствоваться изложенными выше условиями и избегать указанных
исключительных случаев, чтобы обеспечить геометрическую неизменяе-
мость опорного кольца, а следовательно и жесткость всей простран-
ственной системы.
§ 20. Элементы расчета пространственных покрытий.
Приступая к расчету какого-либо пространственного покрытия, надо
прежде всего определить величину нагрузки на каждый из его узлов.
Для этого рассмотрим одну часть
покрытия ABCD, ограниченную двумя
смежными меридиональными ребрами
AD и ВС и двумя параллельными реб-
рами горизонтальных колец АВ и CD
(черт. 124).
Эта часть представляет плоскую
грань покрытия. Способ передачи узлам
4, Bt С и D нагрузки, равномерно
распределенной на площади ABCD, за-
висит от конструкции настила, пред-
ставляющего кровлю. Настил этот обыкновенно устраивается из досок,
расположенных по параллелям, как это показано на черт. 124 тонкими
линиями.
Эти доски передают равномерно распределенную нагрузку на ребра AD
и ВС, а так как длина досок увеличивается от размера АВ = а, до раз-
мера CD = b, то нагрузка на ребро распределяется неравномерно вдоль
его длины, а увеличивается от опорной точки А к опорной точке
D пропорционально длине досок.
Черт. 124.
‘Теория РАСЧЕТА пРострАйстёеННы^ фёРм	128
То же самое относится и к другому ребру ВС. Очевидно, что равно-
действующая всей нагрузки на ребро AD проходит через точку К, на-
ходящуюся на параллели /СО, проходящей через центр тяжести О всей
площади трапеции ABCD = ®.
Следовательно давление на узлы А и D, в сумме равное половине
нагрузки на всю площадь <о трапеции ABCD, распределяется между
этими узлами обратно пропорционально отрезкам АК и /СО, или, что
все равно, обратно пропорционально отрезкам ЕО = с2 и OF=c1.
Из Строительной механики 2) известно, что
_ h (2a + b\
3 \а-Н / ’
_ h la-\-2b\
Сг~ 3 \ а-\-Ь ) •
(а)
(Ь)
Обозначая через Е и F давления на те же точки, через р — интен-
сивность нагрузки, т. е. давление на один квадратный сантиметр, и со-
ставляя уравнение моментов нагрузок относительно точки F, получим:
E-h — (!)-р-с3 = 0,
(С)
откуда находим давление в точке Е:
р „ „ ci (0 (2а4-6)-р
Б = ^.Р~=  3(a+S) ...
А так как нагрузка передается поровну на точки А и В, то следова-
тельно давление в точке А от нагрузки, расположенной на площади
трапеции ABCD, будет равно:
(2д + б)-/>
2 ' 3-(a-|-Z>) ‘
Точно так же, составляя уравнение моментов нагрузок относительно
Iерхней точки В, получим:
F-h—	=
отхуда находим давление на точку F:
п с2 (а-]-2Ь)
F=(&*P' — =ito • -—:---- • р .
Следовательно давление на точку О, равное половине этой величины,
будет иметь следующее выражение:
(а-\-2Ь)
2	Ъ(а-\-Ь)Р'
Полное давление на каждый узел пространственной фермы получится
если сложить давления, передазаемые от каждой из четырех прилегаю!
9 Подольский, И. С. Строительная механика. Часть!. Сопротивление
материалов, стр. 44.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ^ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 129
------------------------------------------------------
тих к этому узлу площадок, как это показано на черт. 125, где четыре
заштрихованных площадки АОг, ДО2, АО3 и АО± принадлежат четы-
рем смежным трапецеидальным граням простра ктвенной фермы.
Таким образом определяются узловые нагрузки от веса настила кровли,
а также от снега, и давление ветра для покрытие, параллельные пояса
которого представляют многоуголь-
ники с малым числом сторон (менее
восьми).
Давление ветра. В этом случае
на каждую площадку или грань по-
крытия давление ветра принимается за
нормальное и равное в килограммах:
W= 180- со* cos2 ср,
нагрузок от давления ветра.
Черт. 126.
где (о — площадь, соответствующая	Черт 125.
сумме четырех трапецеидальных пло-
щадок, прилегающих к рассматриваемому узлу А (черт. 125), ср — угол
между направлением ветра W и нормалью к рассматриваемой площадке.
Для пространственного покрытия, парал ельные пояса которого пред-
ставляют многоугольники с большим числом сторон (восемь и более),
можно применять следующий приближенный способ определения узловых
Принимая купольное покрыт».е за тело вра-
щения, полагают приблизительно, что дав-
ление ветра на каждый узел нормально
к поверхности купола в узловой точке и
равно по предыдущему в килограммах:
W= 180* со • cos2 ср.
Здесь уже через ср обозначают угол
между направлением ветра (IF) и нормалью
(п) к поверхности вращения в узле Л, а
(о есть площадь, равная сумме четырех
площадок, прилегающих к рассматри-
ваемому узлу А и передающих давление
на этот узел (черт. 125). Величины этих
площадок определяются по способу, изло-
женному несколько выше.
Если желательно вычислить действи-
тельное давление ветра, то необходимо
определить величины и наклонение к горизонту поверхностей покрытия,
относящихся к данному узлу по обеим его сторонам, и таким путем вы-
числить узловые нагрузки о г давления ветра.
При этом является возможным без большой ошибки принять, во-
первых, направление действия ветра горизонтальным, во вторых, предпо-
ложить, что одна из сторон купольного покрытия в плане нормальна
к направлению ветра (черт. 126).
Тогда давление ветра на квадратную единицу каждой другой поверх-
ности, составляющей некоторый угол с первой поверхностью, перпенди-
кулярной к направлению ветра, уменьшается пропорционально косинусу
9 Подольский, И. С.
130	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
этого угла, и доходит до нуля при направлении стороны купола па-
раллельно направлению ветра.
Положим, например, что давление ветра на один квадратный метр
грани ДОВ, воспринимающей наибольшее давление, равно 1Г0 (черт. 126).
Тогда давление на один квадратный метр грани ВОС будет равно
UZ1= IF0-cosa,
давление на один квадратный метр грани COD будет равно
IT2=lT0-cos 2а,
и давление на один квадратный метр грани DOE будет равно:
W3 = U70-cos3a= lT0-cos 90° = 0.
Если же считать, что ветер действует под углом в 10° к горизонту»
то при угле р между двумя плоскостями, подверженными действию ветра
и наклоненными к горизонту под углом <р, давление ветра на один квад-
ратный метр поверхности кровли в килограммах определяется по фор-
муле:
W= 180-(sin 10°• cos 4- cos 10°-sin <p*cos [}).	(15)
Из предыдущего изложения следует, что в к»ждом узле простран-
ственной фермы данной зоны купола от давления ветра должна быть при-
ложено по две силы, которые дают одну равнодействующую.
При определении узловых нагрузок от давления ветра необходимо
обратить внимание на то, что во всех узлах, кроме крайних, эти нагрузки
состоят из четырех составляющих, а в крайних узлах — из двух соста-
вляющих, определяемых указанным выше способом для каждой зоны
отдельно.
В том случае, когда купольное покрытие имеет сверху световой фо-
нарь, следует принимать в расчет также давление ветра на боковую
поверхность этото фонаря.
Размеры светового фонаря обыкновенно принимаются следующие:
диаметр фонаря:
высота стен фонаря:
высота кровли фонаря:
где D — диаметр купольного покрытия.
Собственный вес конструкции. При определении узловых нагрузок
принимается также в расчет и собственный вес купола.
По данным, выведенным из расчета разных купольных конструкций
диаметром от 10 до 60 м, собственный вес металлической конструкции,
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ 131
отнесенный на один квадратный метр горизонтальной проекции покры-
тия и выраженный в килограммах, можно определять по формуле:
р = 0,25 £>4-19,50,
(16)
где D — диаметр купола, выраженный в метрах.
Далее, вгс кровли, обычно устраиваемой из плоских железных, цин-
ковых или медных листов и толя, со включением обрешетины и настила,
можно принять в 35,50 кг на 1 кв. м горизонтальной проекции кровли.
Следовательно полный вес купольного покрытия определяется по
формуле:
Р = 0,25-£> + 55
(17)
килограммов на 1 кв. м плана покрытия, причем диаметр купола D юл-
жен быть выражен в метрах.
Давление снега. При определении давления снега следует иметь в ви-
ду, что снег может лежать на всем куполе или только на части его,
ограниченной двумя какими-либо меридиональными сечениями и парал-
лельными поясами.
При этом следует принимать во внимание, что на гранях пове, хно-
сти купола, наклоненных к горизонту noi углом в 45° и более, снег
держаться на кровле не может. Поэтому на нижних ярусах купола,
обычно имеющих уклон более 45°, нагрузка от снега не принимается
в расчет. Давление снега принимается обыкновенно в 100 де на 1 кв. м
горизонтальной проекции кровли.
Усилия во всех стержнях купольного покрытия следует определять при
невыгоднейшем для каждого из них загружении указанным здесь способом.
Загружение снегом только некоторых участков купола вперемежку
хотя и могло бы оказаться более Невыгодным для некоторых стержней,
однако не принимается в расчет как мало вероятное.
Поэтому обыкновенно рассматривают только одностороннее загруже-
ние снегом, а именно следует загрузить ту часть купола, которая дает
наибольшее усилие в рассматриваемом стержне.
Эта задача решается следующим образом.
Определяют усилия во всех стержнях данной пространственной си-
стемы от груза Р=\т, приложенного в каком-либо узле купола.
Это дает возможность путем круговой перестановки полученных чи-
сел определить усилия при действии груза Р= 1 т во всех других узлах
того же кольцевого пояса и следовательно получить усилие в каком-
либо одном рассматриваемом стержне при различных положениях груза
Р= 1 т в узлах одного кольца.
Затем надо приложить груз Р=1/и в каком-либо узле другого
кольца и таким же путем найти усилия во всех стержнях купола, и из
них определить усилия в рассматриваемом стержне при различных поло-
жениях груза на данном кольце. Таким путем можно найти усилия в
рассматриваемом стержне при различных положениях груза Р= 1 т.
Если затем все эти усилия сгруппировать в одну общую таблицу, то
из нее видно будет, при загруженности каких узлов давление снега вы-
зывает в данном стержне усилия одного знака.
Суммируя все эти усилия одного знака, можно определить наиболь-
шие усилия, вызванные при одностороннем расположении снега.
132
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Так как узловая нагрузка от снега при этом принималась условно равной
единице (Р= 1 /и), то для получения действительной узловой нагрузки надо
эту единичную силу заменить соответствующей нагрузкой от веса снега.
Конечно, имея такую таблицу, легко определить усилия во всех стер-
жнях системы и от постоянной нагрузки купола, надо только сложить все
усилия (обоих знаков), соответствующие каждому стержню, и умножить эту
суммарную силу на величину узловой нагрузки от собственного веса.
После определения наибольших усилий во всех элементах купольного
покрытия как от собственного веса конструкции, так и от временной
нагрузки (давление ветра и снега) можно будет приступить к определе-
нию необходимой площади поперечного сечения каждого элемента про-
странственной фермы. При этом расчетная площадь сечения каждого
растянутого элемента получается делением найденного усилия (AZ) в этом
элементе на основное допускаемое напряжение т: е. определяется
по формуле:
F —
netto Ro
А при определении площади поперечного сечения сжатого или сжато-
вытянутого элемента следует еще принимать во внимание влияние про-
дольного изгиба, которое учитывается уменьшением основного допускае-
мого напряжения на сжатие.
Поэтому необходимая площадь сечения сжатого элемента опреде-
ляется по формуле:
F —
netto ср .
где ср представляет коэфициент уменьшения, определяемый в свою оче-
редь по формуле Навье:
здесь / есть расчетная длина рассматриваемого стержня, ар — наимень-
ший радиус инерции поперечного сечения стержня, т. е.
Так как все стержни пространственной системы имеют упруго закре-
пленные концы, то за расчетную длину стержня можно принимать 3/4
от всей ее длины (Zo), считая между теоретическими узлами фермы, или
же принимать длину стержня только между концами фасонных накладок.
Коэфициент а для железа принимается равным 0,0001. Имея расчет-
ные площади сечения (F tt ) и определив количество заклепок, необхо-
димых для прикрепления к узлам фермы концов каждого стержня, не*
трудно уже будет определить действительные площади сечения (fbrutto)
каждого элемента и по ним разработать все необходимые детали данной
конструкции, чем и заканчивается расчет и конструкция всякой про-
странственной фермы.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ,
§ 21. Расчет балочно-сферического покрытия.
I. Определение опорных реакций. Некоторые пространственные фер-
мы по своему образованию представляют совокупность плоских ферм.
В таком случае и расчет их легче всего производить путем расчленения
всей системы на отдельные плоские фермы. Краткое описание этих кон-
струкций приведено было выше в § 5.
Такую систему можно назвать „балочно-сферической", потому что,
имея сферическую или вообще пространственную форму, она составляется
из отдельных плоских ферм.
К числу таких пространственных
ферм между прочим относится балочно-
сферическое покрытие, показанное на
черт. 127.
Вся,эта система составлена из отдель-
ных плоских ферм, расположенных в ме-
ридиональных плоскостях и опирающихся
одним концом на наружное опорное кольцо
ABCD, а другим концом — на внутрен-
нее опорное кольцо abed светового фо-
наря или же на внутренний центральный
стержень (см. черт. 33). Все эти плоские
фермы связываются между собой верхними
связями (распорками и диагоналями) через
один сектор, так как соединять между со-
бой под ряд все фермы поперечными связями нет никакой необходимости.
Поперечные непрерывные связи между” отдельными фермами в виде
обрешетин работают только как таковые и, не представляя собой части
конструкции пространственного сочленения, не воспринимают продоль-
ных усилий.
Расчет балочно-сферической системы производится на основании тех
же принципов, как и расчет балочных ферм, причем сперва расчиты-
ваются все второстепенные части и выясняется расчетом, какая нагрузка
передается от них на узлы главных ферм, после чего расчитываются
главные фермы.
Вертикально действующие силы вызываются или собственным весом
конструкции или нагрузкой снега, т. е. нагрузками, которые распростра-
131	ТЕОРИЯ РАСЧЁТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
няются или равномерно по всей поверхности покрытия, или же, как
например от снега, только на половину ее.
Поэтому можно рассматривать все плоские фермы, образующие ку-
пол, как одинаково нагруженные, так что при этой нагрузке прогиб по
оси купола будет для всех плоских ферм одинаковым, и каждую ферму
можно рассматривать независимо одну от другой.
Площадь нагрузки, относящуюся к каждому узлу, можно определить
по плану покрытия. При этом вместо сферических секторов и кольцевых
площадей обыкновенно принимают плоские треугольники и трапеции.
Давление ветра распределяется на плоские фермы неодинаково, при-
чем фермы тем меньше будут нагружены, чем ближе находятся к диа-
метру, перпендикулярному к направлению ветра.
Но так как направление ветра бывает различно, и так как каждая
ферма может испытывать наибольшую нагрузку, то необходимо каждую
плоскую ферму расчитывать на эту наибольшую нагрузку. При этом
в данном случае площади нагрузок, относящиеся к отдельным узлам,
также можно принимать за треугольники и трапеции. Отдельная узловая
нагрузка 1F, будучи приложена в рассматриваемом узле К (черт. 128),
есть равнодействующая четырех давлений ветра: IFj, 1Г2, 1Г3 и 1Г4,
действующих на части купола, прилегающие к рассматриваемому узлу.
На черт. 128 эти четыре площадки, прилегающие к узлу К> заштри-
хованы. Будучи приложена в
Черт. 128.
узле К фермы в вертикальной плоскости
ребра, эта равнодействующая W разлагается
на две составляющие силы — вертикальную
Р и горизонтальную Q.
Если в состав покрытия входят раз-
личные по пролету и по конструкции
балочные фермы, как это показано было
на черт. 35 и 36, то приходится такое
покрытие разлагать на отдельные фермы
и вести расчет последних приближенным
способом, рассматривая купольное покры-
тие как систему простых балочных ферм,
выделяя главные фермы, перекрывающие
пролет, и второстепенные фермы, опи-
рающиеся одним концом на главные фермы,
а другим концом на стены перекрываемого
помещения.
Таким образом радиально расположен-
ные фермы представляют собой балочные
системы. Если они прикреплены в середине к одной вертикальной оси
тп (черт. 128), то опорные давления от сосредоточенного груза Р бу-
дут статически неопределимы, но могут быть вычислены из условия,
чтобы при нагрузке, распределенной по всей ферме, прогиб всех пло-
ских ферм по середине был одинаков. Поэтому для всех ферм, не на-
груженных непосредственно, опорные давления будут одинаковы.
Однако в главных случаях, при равномерно распределенной верти-
кальной нагрузке на всю поверхность купола или на половину его по-
верхности, все балочные фермы будут равномерно нагружены и все они,
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ
135
при одинаковой конструкции и при одинаковой длине, имеют одинако-
вый прогиб и следовательно могут быть расчитываемы как отдельные,
независимые друг от друга плоские фермы.
Если перекрываемое помещение — не круглое в плане и не предста-
вляет правильный многоугольник, и следовательно фермы имеют разную
длину, то опорные давления статически неопределимы для половинной и
для полной нагрузки купола.
В том случае, когда радиально расположенные балочные фермы пре-
рываются вблизи середины купола и прикрепляются к кольцевой балке
светового фонаря (черт. 127), то такая про-
странственная система может быть статически
определима только в том случае, если каждая
балочная ферма имеет* одну опору непод-
вижную, а другую подвижную, и кроме того,
если все фермы, в том числе и кольцевые
балки (барабан фонаря) не имеют лишних
стержней, т. е. если они образованы из
простых треугольников.
Рассмотрим простейшую задачу, а именно
выясним, как определить опорное давление
в куполе рассматриваемой здесь системы,
вызываембе сосредоточенным грузом Р, при-
ложенным в какой-либо точке К на ребре
Dd (черт. 129).
Положим, что этот груз Р вызывает в противоположной меридиональ-
ной опоре А опорное давление А, а в точке а светового фонаря вызы-
вает некоторую перерезывающую силу . Обе эти силы должны быть
в равновесии, так как между ними нет никакой другой силы.
Разложим поперечную силу Q, приложенную в точке а, на две со-
стазляющих и , лежащие в вертикальных плоскостях, проходящих
через стержни ab и а/. Эти силы должны лежать в одной плоскости с
опорной реакцией Д, т. е. должны лежать на одной прямой	так
как эти три параллельные силы могут уравновешиваться лишь в том
случае, если они лежат в одной плоскости.
Заметим кстати, что для упрощения обозначений точки приложения
сил и самые силы обозначены на черт. 129 одинаковыми буквами.
Вследствие симметрии силы и Q' лежат на линии, нормальной
к оси фермы AD и проходящей через точку А.
На основании этого искомые точки приложения сил и будут
находиться на пересечении вертикали QXAQ'X с линиями baQ1 и faQ'{ ,
а самые силы будут равны:
2 •
Подобным же образом на часть фермы ВЬ в ее точке b действует
некоторая поперечная сила, а в точке В — опорное давление, вызывае-
мое силой Р, приложенной в рассматриваемой точке К на ребре Dd.
136
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Одна часть поперечной силы в плоскости ab определяется по вели-
чине и положению силы Qj , а другая часть той же поперечной силы
в плоскости Ьс в силу существования равновесия должна пройти через
точку Q2, лежащую на пересечении линий BQ1 и cbQ2, причем в пло-
скости будет лежать сила Q2, уравновешивающая силы Q1 и В.
-Эта сила Q2 и будет составляющей поперечной силы в точке Ь.
Точно также находится положение симметричной поперечной силы
Q', лежащей на пересечении двух линий FQ' и efQ'2.
Подобным же образом для плоскости кольца cd определяется точка
приложения силы Q3 на пересечении двух линий CQ2 и dcQ3 и точка
приложения симметричной ей силы Q3. .
Равнодействующая двух одинаковых сил Q3 и Q3 очевидно будет ле-
жать в средней точке на линии Q3Q3-
При этом заметим, что линия Q3Q3 не проходит через центр купола
О, и поэтому расстояние QJD = s не равно радиусу купола OD = r.
Принимая указанные на черт. 129 обозначения плеч сил и идя те-
перь от части балки Dd в обратном порядке, будем определять величины
отдельных поперечных сил и опорных реакций, которые можно выразить
следующими формулами:
Определив по этим формулам все опорные реакции, можно найти
усилия в отдельных стержнях каждой из трех ферм AD, BE и CF ана-
литическим путем по методу произвольных сечений или по методу
выделения узлов или же графическим путем при помощи диаграммы
Кремона.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ
137
Если положить, что груз Р= \ щ последовательно приложен в ка-
ждом из узлов части фермы Dd, то можно определить соответствующие
усилия в отдельных стержнях ферм и по ним вычертить инфлюентные
линии для всех стержней.
Далее, если будет нагружена смежная ферма Сс, то, очевидно, что
чертеж распределения сил придется только повернуть на угол DOC.
При этом каждое усилие в ферме Dd, которая раньше была только
одна нагружена, должно увеличиться на величину, которая получилась
первоначально в ферме Ее.
Подобным же 'образом усилия в ферме Сс превзойдут ранее полу-
ченные (в случае нагрузки только одной фермы Dd) на величину уси-
лий, полученных ранее для фермы Dd, и т. д.
Для обычных случаев нагрузки от собственного веса соору-
жения и от полной и половинной нагрузки снегом скорее всего можно
найти усилия, если определить опорные давления указанным спосо-
бом сперва от частичной нагрузки, а затем от полной нагрузки или по-
ловинной.
Для пояснения изложенного выше рассмотрим здесь небольшой чи-
сленный пример.
Пример расчета купола. Возьмем шестигранный купол
(черт. 129). Плечи <9, t, и, v и w суть постоянные величины, зависящие от
радиуса купола г. Если положить, что радиус купола г=1, то получим
следующие значения постоянных коэфициентов:
$=1,065-6 / = 0,65-г, м = 0,67*г,
х/= 0,67-г и 1Г=1,56-г.
Определяя опорные реакции по приведенным выше формулам 1, 2, 3
и 4, получим следующие значения:
1)	D = p(\ — —
\ S
2)	С=Е — Р-0,254 — ,
5
3)	B = F=P- 0,172 — ,
4)	А = Р- 0,148 — .
5
Нагрузку от собственного веса купола, приходящуюся на часть
фермы, обозначим через G и будем считать ее приложенной в центре
тяжести кругового сектора топ (черт. 129) на расстоянии х = 0,3634-г
,от точки D.
Так как радиус г=1, то отношение:
138	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Подставляя это значение отношения I — ) в предыдущие формулы,
\ 5 J
получим следующие числовые значения опорных реакций:
D = 0,660 G,
С = Е = 0,086 G,
B = F=0,059 G,
А-= 0,050 G.
Для поверки расчета имеем:
+ В +	= (0,660 + 2 х 0,086 + 2 X 0,059 4> 0,050) G
или
D + C-|-B + B4-/:’+4 = G.
Следовательно опорные реакции определены правильно. Положим те-
перь, что правая половина купола MEDCN загружена снегом, причем
давление его на один сектор купола (например COD) обозначим через 5.
Эта нагрузка будет передаваться на ребра Cct Dd и Ее, при этом
опора D будет испытывать давление, которое равно сумме давлений,
проявляющихся в точках О, С и Е при загружении только одного се-
ктора, соответствующего ферме Dd.
Следовательно:
D' = (0,660 + 0,086 4- 0,086) -5=0,832- 5.
Дaлeei в точке В опорное давление Вг от снега будет равно сумме
давлений А, В и С, полученных при нагрузке одной только фермы Dd,
так как при половинной нагрузке купола фермы Сс и Dd нагружены,
а ферма Аа не нагружена.
Следовательно:
В’ = (0,086	0,059 + 0,050) -5=0,195-5.
Точно также давление от снега в точке С будет равно:
С = (0,086 + 0,660 4- 0,059) - 5 = 0,805 • 5.
Далее, согласно предыдущим рассуждениям, давление от снега в точке
А будет равно:
А'= А 4- В 4 F=(0,050 4- 0,059 4» 0,059) - 5 = 0,168 - 5.
По симметричности нагрузки и конструкции следует, что:
Г = В'= 0,195-5,
Z* = С* = 0,805 • 5.
Правильность расчета проверяется из условия, чтобы сумма опорных
давлений от снега равнялась самой нагрузке на три сектора, составля-
ющих правую половину купола, т. е. чтобы:
А ’ 4- В ' 4- С 4- О 4- е 4- F' = 3 - 5.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ 139
Подставляя сюда найденные выше значения опорных реакций, полу-
чим тождество:
д'4-в' + а п'+е'+г=
= (0,168 4- 0,195 4- 0,805 4» 0,832 4~ 0,805 4- 0,195).5= 3 5.
Следовательно определение опорных реакций от снега произведено
правильно.
Если приходится иметь дело с полной нагрузкой купола от соб-
ственного веса или от давления снега, то при этом не является никаких
затруднений в случае симметричной конструкции купола, так как все
опорные реакции равны между собой, и каждая реакция отдельно равна
величине G или S.
В самом деле, в этом случае получим:
д'4~в'4-с'4-/У 4-Г4-г=д4-в4-с4-£4-в4-/=’=
= (0,050 4- 0,059 4- 0,086 4- 0,660 4- 0,086 4- 0,059) G = 1,00 • G
или соответственно — 1,00- S для снега.
Распределение давления ветра не может подлежать точному подсчету,
так как верхнее кольцо купола способствует передаче давления на все
фермы. Но в пользу прочности сооружения следует каждую ферму так
конструировать, чтобы она могла выдержать наибольшее приходящееся
на нее давление ветра.
При этом все * нагрузки от ветра можно разлагать на вертикальные
и горизонтальные составляющие и для вертикальных составляющих при-
менять изложенный несколько выше точный способ расчета, а для гори-
зонтальных составляющих вести отдельно расчет, выяснив сперва соот-
ветствующие величины опорных реакций, причем должно быть принято
во внимание" устройство опор.
С одной стороны концы фермы закрепляются на неподвижных опо-
рах, а с противоположной стороны ставятся на скользящих опорах.
В этом случае направление опорных реакций может быть определено
лишь приблизительно./ Но если подвижные опоры устроены на цилин-
дрических катках, то опорные реакции определяются совершенно точно.
На основании этих опорных реакций определяются усилия в стерж-
нях как для одной половины фермы с подвижной опорой, так и для
другой половины фермы с неподвижной опорой и выбираются для под-
бора сечений те части, которые дают наибольшие усилия от собствен-
ного веса и от снега вместе.
Усилия в отдельных частях верхнего кольца зависят от положения
и величины действующих на него сил.
Примыкающее к верхним поясам ферм центральное кольцо всегда
сжато, а примыкающее к нижним концам ферм центральное кольцо всегда
растянуто.
Зная усилия в прилегающих элементах фермы, нетрудно определить
усилия п в самом кольце, лричем следует иметь в виду, что в -балоч-
ных сферических покрытиях центральное кольцо состоит из .двух частей
или из двух поясов: верхнего и нижнего, связанных между собой стой-
ками и раскосами.
J40	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
II. Внешнее очертание купольного покрытия. Приступая к расчету
купола, надо прежде всего выяснить характер теоретической кривой или
образующей поверхности вращения купольного покрытия. Производящей
кривой купола обыкновенно бывает квадратная или кубическая парабола,
уравнение которой имеет следующий вид.
а) Для квадратной параболы:
Л-х2 0,72-х2
Ь) Для кубической параболы:
_Л-х’_ 1,60.x’
v~ г2 ~ D2 ’
где Л —есть вся высота купола, т. е.
высота параболического сегмента,
г — радиус купола, равный полухорде параболического сегмента,
D — диаметр купола.
Координаты х и у относятся к координатным осям, проходящим че-
рез вершину О купола (черт. 130).
Кубическая парабола имеет то преимущество, что при равномерно
распределенной нагрузке по всему куполу промежуточные кольца не на-
пряжены, а усилия в ребрах приблизительно одинаковы. Наиболее ра-
циональная и красивая форма купола получается при сочетании обеих
парабол: кубической и квадратной, причем нижняя часть купола обра-
Черт. 131.
зуется из кубической параболы, а верхняя часть — из квадратной пара-
болы, как это показано на черт. 131.
Таким образом от каждой кривой заимствуются ее характерные свой-
ства. Кубическая парабола имеет более выпуклые или более крутые бока,
а квадратная парабола имеет более' выпуклую вершину. Таким образом
при сочетании этих двух кривых получается приподнятый купол с вы-
пуклыми боками, тогда как применение одной квадратной параболы дает
слишком плоскую, как бы приплюснутую фигуру купола.
На том же чертеже показаны наиболее рациональные соотношения
между различными частями купола, причем все размеры выражены в виде
функций от диаметра купола D.
Заметим при этом, что между смежными узлами все элементы фермы
должны иметь прямолинейное направление, так же как и в плоских ба-
РАСЧЕТ4 ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ
141
лочных фермах, ибо и весь расчет их основан на прямолинейности от-
дельных стержней рассматриваемой геометрической фигуры.
Указанные здесь основные размеры внешнего очертания купола от-
носятся одинаково как к балочно-сферическим покрытиям, так и к ку-
польным покрытиям системы Шведлера, когда все элементы распола-
гаются только на поверхности купола.
Выяснив очертания формы купола и возможнее узловые нагрузки,
приступают затем к определению усилий во всех частях пространствен-
ной или купольной фермы.
§ 22. Расчет пирамидальных покрытий.
Пирамидальные балочные покрытия в главных своих частях очень
похожи на купольные системы, описанные подробно в предыдущем па-
раграфе, поэтому укажем здесь только на некоторые особенности пира-
мидальных покрытий.
Главное отличие рассматриваемых здесь систем от купольных покры-
тий— чисто внешнее и состоит в том, что ребра пирамидальных стро-
пил прямолинейны, тогда как в купольных покрытиях они представляют
ломаные линии с расположением узлов по параболе. Пирамидальные по-
крытия подобно купольным покрытиям или составляются из плоских
балочных ферм или же являются вполне пространственными системами
без внутренних стержней.
В первом случае обыкновенно имеется одна главная ферма, которая
располагается в плане нередко прямоугольном — по диагонали, тогда как
другие фермы бывают разделены на две части и подходят к первым
в притык по оси пирамидальной крыши (черт. 35 и 36).
При этом каждая из плоских ферм имеет одну, подвижную опору,
а другую неподвижную.
Расчет всех ферм ведется в предположении невыгоднейшего распо-
ложения нагрузки,
Внутреннее пространство при стропилах такой системы оказывается
не вполне свободным от конструктивных частей.
Собственно пространственные пирамидальные крыши, т. е. такие, все
части конструкции которых находятся на поверхности системы и имею-
щие совершенно свободную внутреннюю полость, разделяются по кру-
тизне ребра на пологие и подъемистые пирамидальные или шатровые
покрытия.
Ребра пологих покрытий имеют ^малый наклон к горизонту, а ребра
подъемистых покрытий имеют большой угол наклона к горизонту.
Границей между этими двумя покрытиями может служить приблизив
тельно уклон ребер в 45°, т. е. такой наклон кровли, при котором снег уже
не может оставаться на ней, а скатывается вниз под действием своей тяжести*
В то время как для пологих пирамидальных покрытий наиболее опас-
ным является случай нагрузки собственным весом и снегом, нагрузка
же от действия ветра бывает незначительной, напротив для крутых
покрытий наибольшие усилия в стержнях появляются при совместном
действии собственного веса и давления ветра, причем последняя величина
весьма значительна*
142	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Для приблизительного подсчета веса металлической конструкции пло-
ских пирамидальных покрытий можно пользоваться приведенными выше
формулами для купольных покрытий на том основании, что обе эти
конструкции йо своему характеру почти одинаковы за исключением очер-
Черт. 132.
тания их поверхности.
Действительно, рассматриваемые здесь пи-
рамидальные системы также состоят из ребер,
являющихся главными фермами конструкции,
из горизонтальных колец и диагоналей или
распорок, служащих для приведения в неиз-
меняемую систему четырехугольников, лежа-
щих на поверхности покрытия (черт. 132).
Если все опорные точки прикреплены не-
подвижно к кладке стен, то нижнее опорное
кольцо является ненужным. При этом система,
снабженная диагоналями, оказывается много-
кратно статически неопределимой.
В самом деле из черт. 132, не считая
стержней опорного кольца, имеем:
/« = 12X7 = 84 стержня,
п = 12 X 3 -|- 1 = 37 узлов,
5=12X3 = 36 опорных закреплений.
Подставляя эти числовые данные в основное уравнение статической
и геометрической определимости пространственной фермы (И):
т — (3 • п — $) = О,
получим:
84 — (3 X 37 — 36) = 9 > 0.
Следовательно данная система статически неопределима, и степень
ее неопределимости равна 9.
Если ввести опорное кольцо, имеющее 12 стержней, а неподвижные
Опоры (третьего рода) заменить цилиндрическими опорами (второго рода),
т. е. с двумя степенями закрепления, то такая система будет иметь ту
Же степень статической неопределимости, ибо удаляя 12 опорных закре-
плений, в то же самое время вводим 12 добавочных стержней, и поэтому
в новой системе ничего не изменится в отношении степени статической
Определимости.
Но рассматриваемую пирамидальную систему с. опорным кольцом
Можно сделать статически определимой, если устроить только три опоры
(например опоры Л, В и С) второго рода, т. е. на цилиндрических
катках, а все остальные 9 опор сделать подвижными первого рода (ша-
ровыми), т> е. скользящими по плоскости и имеющими только одну сте-
пень закрепления. Тогда будем иметь:
/п= 12 X 8 = 96 ребер,
Я = 12 X 3 -р* 1 =37 узлов,
$ = ЗХ2-|-9Х 1 = 15 опорных закреплений.
. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ
143
Подставляя эти числовые значения в основное уравнение:
т — (3-л — $) = 0,
получим тождество:
96—(3 X 37 — 15) = 0.
В случае статической неопределимости расчет пирамидальных покры-
тий является до некоторой степени затруднительным и может быть вы-
полнен на основании общей теории расчета статически неопределимых
пространственных систем, которая будет изложена в шестой главе.
Но на практике обыкновенно довольствуются приближенными мето-
дами расчета, и это отчасти допустимо, имея в виду, что построенные до
сего времени и расчитанные лишь приближенно такие покрытия благо-
получно существуют. Однако доказательство пригодности приближенного
метода расчета, основанного на том, что сооружение благополучно
существует, — является недостаточным, так как неизвестно, как велик
запас прочности сооружения, расчитанного таким приближенным методом.
Все нагрузки при расчете (как-то: собственный вес, давление снега
и ветра) следует относить на один квадратный метр перекрываемого по-
мещения в плане, и при определении усилий принимается в расчет только
полная нагрузка всей крыши или же нагрузка кольцевых зон.
Усилия определяются или аналитически по методу выделения узлов
или же графически при помощи построения диаграммы Кремона в двух
проекциях.
При этом оказывается, что усилия в ребрах достигают наибольшего
значения при полной нагрузке, и притом эти усилия всегда сжи-
мающие.
Далее, во всех промежуточных горизонтальных кольцах появляется
сжатие от собственного веса и от соответствующей временной нагрузки.
Наибольшие усилия в кольцах бывают также при полной нагрузке
всего покрытия.
В нижнем опорном кольце пирамидальной фермы, так же как и в ку-
полах, при нагрузке целых зон появляются растягивающие усилия,
которые достигают наибольшей величины при полной нагрузке, так как
они зависят от наибольших опорных реакций.
Это обстоятельство значительно упрощает расчет, так как расчет
фермы при полной нагрузке производится скорее, чем при частичной
нагрузке с выяснением условий наиболее невыгодного частичного за-
гружения.
Способ расчета и род усилий в диагоналях такие же, как и в ку-
польнык покрытиях, и в этом отношении особых затруднений для пира-
мидальных покрытий не встречается.
Подъемистые пирамидальные покрытия с круто поставленными ре-
брами или так называемые башенные крыши применяются только над
зданиями, имеющими в плане вид круга, квадрата или правильного вось-
миугольника, и составляют соответственно плану конус, четырехгранную
или восьмигранную пирамиду.
Вес высоких башенных ферм для металлических конструкций можно
принять равным от 25 до 35 кг на 1 М3 перекрываемого простран-
ства, т. е. на единицу объема пирамиды.
144
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
При этом меньший предел берется для более высоких покрытий,
а больший предел берется для низких покрытий.
В указанный вес конструкции включается также вес кровли с метал-
лическими обрешетинами, а также с деревянными обрешетинами и на-
стилом. Наибольшие напряжения в башенных покрытиях вызываются от
действия ветра. Поэтому, во-первых, все стержни покрытия должны быть
достаточно прочны, чтобы воспринять эти силы и передать их на
каменную кладку башни. Во-вторых, все башенное покрытие должно быть
W*c
устойчиво при действии ветра, т. е. должно быть
обеспечено от сдвига и опрокидывания.
Если обозначить через W горизонтальное дав-
ление ветра, через Р — вес всего покрытия (черт.
133), то для устойчивости конструкции необхо-
димо существование следующих двух неравенств:
а
“2 ’
№<у.Р,
где р—коэфициент трения при скольжении металла
по каменной поверхности, который можно принять
равным 0,50.
Если эти неравенства имеют место одновре-
менно, то можно не опасаться опрокидывания или
сдвига башенного пирамидального покрытия.
Если же произведение Р*^г будет равным опрокидывающему мо-
менту UZ’Cot действия ветра или даже меньше этого момента, то является
необходимость в устройстве анкерного закрепления опорных точек.
В этом случае усилие Na в анкерной связи для квадратной пирамиды
определяется из уравнения равновесия:
ч	lF-c = P.-^4-2Afe-a.
&
Для величины Na следует принять полуторный или даже двойной
коэфициент прочности, т. е. связать анкерную штангу с объемом кладки
стены, превосходящим по весу в 1,5 или в 2 раза величину Nar опре-
деляемую по расчету из предыдущего уравнения.
При определении величины давления ветра W следует принимать
в расчет плоскость симметрии покрытия, перпендикулярную к направле-
нию ветра, как площадь, подверженную его действию, при этом для бе-
зопасности следует принимать в расчет давление в 200 кг на квадрат-
ный метр.
Так как ветер может действовать со всех сторон, то естественно, что
и покрытие со всех сторон должно быть снабжено одинаково прочными
анкерными Связями.
Четырехгранное башенное покрытие, в случае отсутствия опорного
кольца, соединяется во всех опорных точках непосредственно с каменной
кладкой.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ 145
В этом случае пространственное сочленение — статически неопредели-
мое в первой степени.
В самом деле, эго покрытие (черт. 134) имеет: т—16 стержней,
л = 9 узлов и $=12 опорных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в уравнение (И):
т — (3 • п — $) = О,
получим:
16 —(3 X 9— 12)= 1.
Следовательно система будет однажды статически неопределимой, и
поэтойу, чтобы сделать ее статически определимой, можно выбросить
одну из диагоналей, например раскос АЬ.
Точно так же, если пирамидальное покрытие бу-
дет иметь опорное кольцо (черт. 135) и если все
четыре опоры будут устроены второго рода, т. е.
с двумя степенями закрепления, причем катки
будут иметь возможность передвигаться по направ-
лениям, показанным на чертеже двумя параллель-
ными черточками, то система эта также будет ста-
тически неопределимой в первой
В самом деле, в данной системе
будет т = 20 стержней, п = 9
узлов и $ = 2 X 4 =± 8 опорных
закреплений.
Подставляя эти числовые зна-
чения в основное уравнение (11):
т — (3-п— $) = 0,
в
Черт. 134.
степени.
Черт. 135.
получим:
20 —(3X9J— 8)=1.
Чтобы сделать данную систему статически определимой, здесь также
надо отбросить одну диагональ.
Подобные заключения могут быть сделаны и в отношении башенного
покрытия над правильным восьмиугольником в плане.
Точное определение усилий в пирамидальном покрытии выполнимо
только при помощи метода расчета статически неопределимых простран-
ственных систем. Но для большинства случаев, встречающихся на прак-
тике, для четырехгранных и восьмигранных башенных покрытий можно
применять приближенный способ расчета. При этом вертикальная на-
грузка может быть вызвана только собственным весом сооружения, так
как снег, вследствие большой крутизны кровли, не может на ней лежать.
Нагрузка от собственного веса распределяется равномерно на все
ребра, поэтому каждое ребро можно рассматривать отдельно под дей-
ствием приходящейся на него нагрузки.
Для определения усилия от действия ветра принимается во внимание
только нормальная к поверхности крыши составляющая давления ветра, по-
лагая направление ветра под углом в 10° к горизонту и по величине равное
200 кг на 1 л2, плоскости перпендикулярной к направлению ветра.
10. Подольский, И. С.}
146
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРЙ •'
Таким образом нормальное к поверхности крыши давление ветра>
выражаемое на 1 л2, будет равно:
I^=200*cos2 (а 4-10°),
где а — угол наклона грани крыши к горизонту, как это показано на
черт. 133.
Вычислив все узловые нагрузки и все опорные реакции, можно опре-
делить усилия в стержнях системы при помощи последовательного раз-
ложения силы на три направления, начиная с того узла, в котором схо-
дятся всего три стержня, или же по методу замены стержней.
Принимая во внимание, что стены башни сами по себе обыкновенно
бывают высоки и поэтому чувствительны к -горизонтальному сдвигу от
действия ретра, нельзя допускать в стенах растягивающих напряжений
от распора пирамидального покрытия, которые могли бы увеличить и без
того значительное давление ветра на стены здания.
Поэтому, наоборот, следует скрепить нижние части фермы между
собой опорным кольцом, а для возможного расширения от изменения
температуры оставлять лишь минимальные возможные движения, которые
при крутых наклонах граней имеют значения лишь для покрытия с боль-
шой площадью основания.
В отношении горизонтальных колец следует иметь в вицу, что в ша-
тровых и пирамидальных системах только одно опорное кольцо под-
вержено растяжению, а все остальные кольца промежуточных ярусов
работают на сжатие, тогда как в купольных покрытиях промежуточные
кольца могут быть или сжатыми или вытянутыми в зависимости от кру-
тизны наклона ребер покрытия.
§ 23. Расчет цилиндрического сетчатого покрытия.
I. Система Фёппля (Foppl). Цилиндрическое сетчатое покрытие си-
стемы Фёппля представляет пространственное статически определимое
сочленение стержней, расположенных
по граням призмы, вписанной в цилин-
дрическую поверхность крыши.
Это покрытие в аксонометрических
проекциях показано на черт. 136. В
плане та же система представлена на
черт. 137. Опоры помещаются как на
продольных стенах, так и на попереч-
ных или торцевых стенах.
Если здание имеет большую длину,
то вместо промежуточных поперечных
стен ставятся заменяющие их сооруже-
ния в виде поддерживающих ферм или
колонн.
Все стержни этого покрытия ле-
жат на внешней поверхности его, представляя как бы сетку, так что
все пространство под этим покрытием совершенно свободно от всяких
сочленений.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ 147
Отдельная плоская система, имеющая вид шарнирной арки в попе-
речном разрезе (черт. 137 и 137>£), сама по себе геометрически изменяема,
и только в связи с продольными обрешетинами, являющимися продоль-
ными связями, и с
покрытия, вся система
становится вполне ус-
тойчивой и геометри-
чески неизменяемой.
Следовательно рас-*
косы и обрешетины
принадлежат к прост-
ранственному сочлене-
нию и представляют
необходимые части его.
Расположение и ус-
тройство опор показано
на черт. 137 в плане,
откуда видно, что на
торцевой стене AG
имеются три непо-
раскосами, также лежащими на поверхности
движно закрепленных опоры: Л, D и G (причем каждая из этих опор
имеет три степени закрепления, что и отмечено на чертеже цифрой 3
возле каждой опоры). Остальные две опоры С и Е— шаровые подвиж-
ные (т. е. с одной степенью закрепления). В узлах В и F опор нет, что
отмечено на чертеже цифрой 0.
На противоположной торцевой стене ОН имеются три опоры: О, L
и Н второго рода, а остальные две опоры М и К — шаровые или первого
рода. В узлах Ми/ опор нет. На продольных стенах все опоры —второго
рода, допускающие перемещение цилиндрических катков вдоль стены,
но не допускающие перемещения в поперечном направлении, и поэтому
в этих опорах появляется горизонтальный распор.
Если желательно избежать этого распора, то крайние грани покры-
тия ABNO и FGHJ надо делать вертикальными.
При указанном на чертеже расположении стержней и опор рассма-
триваемое здесь цилиндрическое сетчатое покрытие имеет т = 108
стержней, п = 49 узлов и я=3 X 3-|-13 X 2-{-4 X 1 =39 опорных
закреплений. Подставляя эти числовые значения в основное уравнение
статической и геометрической определимости (И):
получим тождество:
т — (3 • п — $) = 0,
108 —(3 X 49 — 39) = 0.
Следовательно число стержней достаточно для образования жесткой
пространственной фермы.
Но необходимо еще соблюдение второго условия геометрической
неизменяемости системы, а именно, чтобы усилия во всех стержнях ее
имели конечные значения.
Этр второе условие легко доказать при помощи нулевой нагрузки.
В самом деле, рассматривая узел N, замечаем, что в нем сходятся всего
10*
148	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
три стержня, не лежащие л в одной плоскости, и так как внешней на-
грузки не имеется, то усилия во всех стержнях этого узла равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, переходим к узлу Л4, где имеется шаровая
опора.
Так? как внешней нагрузки цет, то и реакция в этой опоре будет
равна нулю. Поэтому и усилия в трех стержнях, сходящихся в этом
узле, также будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни и переходя к рассмотрению узла а, где
остаются только три стержня, не лежащие в одной плоскости, находим,
что усилия в этих стержнях равны нулю.
Таким образом, переходя от узла к узлу и удаляя по три стержня
с обнаруженными нулевыми усилиями, найдем, что усилия во всех стерж-
нях системы при нулевой нагрузке в узлах будут иметь нулевые, т. е.
вполне определенные, конечные значения. Следовательно данная система
будет геометрически неизменяемой.
Расчет сетчатого цилиндрического покрытия производится по способу
разложения пространственной системы на плоские фермы.
Рассмотрим сперва действие одной вертикальной силы Р, приложен-
ной в каком-либо промежуточном узле с (черт. 137).
Разлагаем эту силу на две составляющие R и Q, по направлению
стержней сг и cq, лежащих в плоскостях ферм CDLM и BCMN(черт. 137,6).
Таким образом задача сводится к расчету двух плоских раскосных ферм.
Плоская ферма CDLM будет подвергаться действию силы 7?, причем эта
сила передается в опорные точки D и А, и поэтому опорные реакции в
7?
этих узлах, действующие в плоскости фермы, будут равны —.
Плоская ферма BCMN будет подвергаться действию силы Q, Соответ-
ствующие опорные давления отчасти передадутся на опоры С и 7И, а
отчасти, при посредстве стержней CD и AfZ, передадутся на опоры
D и L.
Для получения усилий в стержнях пояса СМ, являющегося общим
для обеих смежных ферм, следует суммировать усилия, полученные при
расчете каждой фермы отдельно.
Указанный здесь ход расчета применим и в том случае, если сила Р
не вертикальна, но находится в вертикальной плоскости, перпендику-
лярной к продольным ребрам покрытия.
При произвольном направлении силы Р, приложенной в узле с, fee
следует разложить на три составляющие: по направлению поперечных
ребер cr, cq и по направлению продольного ребра cd. Усилия в стерж-
нях покрытия от первых двух составляющих могут быть найдены ука-
занным выше способом.
Поэтому остается рассмотреть действие только продольной силы,
направленной по ребру СМ (черт. 137).
. Эта сила будет передаваться неподвижно закрепленной опоре D
поэтому она будет вызывать соответствующие усилия в стержнях между
точкой си точкой D, но не будет вызывать никаких усилий в стержнях
другой части сМ того же ребра.
При действии продозьной силы по ребру СМ усилия появятся лишь
в плоской ферме CDLM и легко могут быть определены из диаграммы
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ 149
Кремона. Наконец при действии продольной силы по ребру BN воз-
никнут усилия в двух смежных плоских фермах BCMN и CDLM вслед-
ствие указанного выше устройства опор в точках C,D,Af,L, и принимая
во внимание отсутствие опор в точках В и N.
Если обозначить через Т продольную силу, приложенную в узле с,
а через а—угол наклонения раскосов к продольным ребрам, то усилия
во всех раскосах фермы BCMN будут равны по абсолютному значению:
Т
6*cos а
Эту величину легко определить, если принять во внимание, что в
данном случае усилие в отдельно стоящем стержне cq равно нулю, а
усилия в симметрично расположенных стержнях dq и bq, на основании
положения четвертого § 14, равны по величине, но противоположны по
знаку.	•
Поэтому если усилие в раскосе dq обозначить через N, то усилие
в раскосе bq будет —N.
На основании рассмотрения других узлов фермы BCMN заключаем,
что во всех раскосах одной половины фермы BCcq должно быть одно
и то же усилие М а во всех раскосах другой половины фермы CqNM
должно быть одно и то же усилие —N,
Отсюда легко притти к заключению, что продольная сила Т воспри-
нимается равномерно всеми шестью раскосами, и поэтому усилие в
каждом раскосе фермы BCMN по абсолютной величине будет равно:
Т	»
6-cos а*
При этом если сила Т будет иметь направление от В до М,_то в
части BCcq раскосы будут растянуты, а в части cqNM раскосы будут
сжаты. Имея усилия в раскосах, легко уже найти усилия в остальных стерж-
нях фермы BCMN.
После этого можно будет расчитать смежную ферму CDLM, для
которой внешними силами явятся уже найденные усилия, передаваемые
стержнями фермы BCMN.
Из предыдущего изложения видно, что всякая сила любого напра-
вления, приложенная в каком-либо узле сетчатого цилиндрического по-
крытия, может передаться на опоры вполне определенно и точно.
Для определения же усилий 'в элементах этого покрытия оно разла-
гается на определенное число плоских ферм с параллельными поясами,
и расчет ведется обычным порядком.
При этом принимаются в расчет только грузы, лежащие в вертикаль-
ных плоскостях, т. е. нагрузка от собственного веса, снега и ветра, при-
чем снегом могут быть нагружены только средние панели покрытия, так
как в крайних сильно наклоненных гранях покрытия снег не может дер-
жаться и скатывается вниз.
Далее, каждое ребро, например СМ (черт. 137), является верхним
поясом для нижележащей фермы BCMN й нижним поясом для вышеле-
жащей фермы CDLM. Вследствие этого нагрузки вызывают в продольных
150	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
стержнях усилия частью противоположных знаков, что является до-
стоинством данной системы с точки зрения экономии материала.
Это выгодное свойство покрытия увеличивается еще тем обстоятель-
ством, что составляющие нагрузок, действующие в разных плоскостях
покрытия, вызывают иногда в однбм и том же стержне усилия противо-
положных знаков, и что на фермы с параллельными поясами действует
только разность этих сил, вызванных собственным весом и снегом, с
одной стороны, и давлением ветра — с другой стороны.
Конструкция опор сетчатого цилиндрического покрытия должна быть
такова, чтобы была обеспечена статическая определимость простран-
ственного, покрытия. Прн этом необходимо заметить, что с одной сто-
роны опоры ферм должны быть способны воспринимать горизонтальный
распор в случае отсутствия раскосов в крайних панелях и поэтому
должны быть подвижными только вдоль стен здания и неподвижными в
поперечном направлении.	л
С другой стороны подобное же требование ставится в отношении
прикрепления концов продольных ребер к одной из поперечных или
фронтовых стен.	/
Рассматриваемое здесь покрытие может представить значительные
выгоды только в том случае, если это покрытие устраивается над зда-
нием, которое в плане по длине не слишком велико по сравнению с его
шириной, и во всяком случае отношение длины покрытия к его ширине
должно быть не более двух, так как иначе пролет ферм с параллель-
ными поясами будет слишком велик по сравнению с их высотой, а по-
этому они будут тяжелы.	<
Фёппль указывает, что наивыгоднейшее отношение длины здания
к его ширине равно от 1,30 до 1,60, и не советует переходить предел,
равный 2.
Если план здания не удовлетворяет этому условию, то его можно
.разделить на части промежуточными поперечными стенами или парными
балочными металлическими стропилами, заменяющими эти стены.
Относительно подъема сетчатого покрытия рекомендуется брать не
слишком пологое покрытие, так как малый двухгранный угол между
продольными плоскими фермами будет слишком невыгодно отражаться
на величине усилий в стержнях.
Рекомендуется принимать отношение высоты (А) к пролету (L)
равным
Л:£=1:5
й придавать поперечному сечению покрытия вид многоугольника, с рас-
положением узлов по параболе или по дуге круга.
Что касается числа сторон этого многоугольника, то обычно прини-
мают от 6 до 10, чтобы угол был не слишком велик, что вле-
чет за собой и увеличение усилий в элементах ферм с параллельными
поясами.
В настоящее время нет еще достаточного количества опытных дан-
ных, чтобы можно было судить о весе такой конструкции, т. е. о
потребном количестве материала для цилиндрических сетчатых покрытий»
а также и об их прочности.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ
151
В заключение заметим, что сетчатое цилиндрическое покрытие си-
стемы Фёппля не удовлетворяет условию сохранений подобия при равно-
мерном нагревании его. В продольном направлении удлинения возможны,
но в поперечном направлении жест-
кость узлов может вызвать дополни-
тельные напряжения при изменении тем-
пературы.
II. Система Юнкерса (Junkers). В
последнее время в Германии стали при-
менять новую систему цилиндрического
сетчатого покрытия, предложенную Юн-
керсом. Эта оригинальная конструкция,
несмотря на свою легкость, позволяет
перекрывать большие помещения, в том
числе и ангары для аэропланов.
Покрытие Юнкерса составляется из
большого числа отдельных коротких
железных стержней штампованного типа,
которые в стыках соединяются болтами.
Это покрытие в схематическом виде
показано на черт. 138. Как видно из этого
чертежа, железные стержни располагаются по
Черт. 138.
двум косым направлениям
а—а и b—Ь, взаимно пересекающимся приблизительно под углом в 37°.
В поперечном сечении каждый стер-
жень имеет зетообразный профиль для
увеличения жесткости. Высота стержня
равна 30 см.
На черт. 139 показан отдельно
стержень в несколько увеличенном мас-
штабе по сравнению с масштабоом пре-
дыдущего чертежа. Эти стержни в стыках
соединяются с продольными ребрами т и
п желобчатого профиля при помощи спе-
циальных парных накладок k и болтов.
На черт. 140 показана деталь устройства стыка.
Сверху этой пространственной системы устраивается кровля, которая
может быть из разных материалов. Чаще всего устраивается железобе-
тонная плита ее толщиной
от 5 до 6 см, причем концы
арматуры этой плиты за-
делываются в виде крюч-
ков в верхнем продоль-
ном ребре корытного
профиля. Затем эти стыки
между плитами залива-
ются бетоном.
Такая железобетонная кровля имеет весьма незначительный вес. Воз-
можно также устройство в кровле в некоторых местах световых
фонарей.
152	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Покрытие tfo системе Юнкерса собирается довольно быстро, легко
и почти без устройства подмостей, так как укладка на место стержней
производится сразу по всей длине здания'с обеих сторон, причем опо-
рами для вновь укладываемых стержней служат
Черт. 141.
свободные концы прежде уложенных стержней.
Расчет покрытия системы Юнкерса произ-
водится по тому же способу, как и расчет
цилиндрического сетчатого покрытия Фёппля
или как расчет двухшарнирных арок. »
(Более подробные сведения об этой кон-
струкции можно иайти в немецких журналах
„Deutsche Bauzeitung" от 4 сентября 1926 г.
и „Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure* от 9 октября 1926 г.).
Ill. Система Цоллигера (Zolliger). Эта брусчатая система также должна
быть отнесена к пространственным сетчатым покрытиям. Она устраивается
из отдельны^ деревянных брусков одинакового размера с нижними пря-
молинейными ребрами, с
верхним криволинейным реб-
ром, и скошенных на кон-
цах под острым углом, как
это показано на черт. 141.
При этом различают
правые и левые бруски в
зависимости от направления
скосов концов в ту или дру-
гую сторону. Из таких брус-
ков составляется сетчатое
цилиндрическое покрытие,
как это показано в плане
на черт. 142.
Соединение концов бру-
сков при помощи болта по-	Черт. 142.
казано на черт. 143.
По этому типу устроено например покрытие аудитории на 20 000
человек в городе Гаустоне (Houston, штат Техас, С. Америка). Это здание
имеет в длину 100 м, в ширину 82 м и по
высоте 17 м.
Все пеРекРытие состоит из трех сводов:
среднего, пролетом 36 м, при стреле подъема
в 5 зо м, и боковых с пролетами по 23 м\
Черт. 143. при стреле подъема в 3,75 м.
Эти сводчатые покрытия опираются на про-
дольные брусья поперечных размеров 56 X 36 см, которые в свою оче-
редь опираются ца стойки того же сечения, расположенные на взаимном
расстоянии 12,50 м.
Бруски для среднего сводчатого покрытия имеют размеры 8 X 36 см
в поперечном сечении и длиною 3,66 л, причем было употреблено
2 060 штук.
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ 153
Бруски для каждого из крайних перекрытий имеют размеры 5X25 см
и длиною 2,75 Mi причем было употреблено 1860 штук.
Благодаря легкости и портативности отдельной части конструкции,
сборка всего покрытия была исполнена в 9 дней при помощи легких
передвижных козел. Бруски были заготовлены заранее на заводе.
Арки имеют затяжки из железных прутьев диаметром в 4 см для
среднего пролета и в 3 см для каждого из крайних пролетов.
По этому же типу были построены в 1927 г. в Малой Азии покры-
тия для 11 гаражей, причем отдельные части конструкции доставлялись
на место постройки небольшими тюками на мулах, и сборка производи-
лась на месте работ без помощи подъемного крана и других подъемных
приспособлений. При этом 10 рабочих свободно .собирали в один день
до 200 мг такого покрытия. Эта же конструкция применима и к полу-
циркульным аркам без затяжек, с соответствующим закреплением концов
арок на столбах, на стенах здания или на специальном фундаменте
Точный расчет деревянного покрытия этой системы представляет
весьма трудную задачу, так как это покрытие является многократно ста-
тически неопределимой пространственной стержневой системой.
Поэтому на практике применяют следующий приближенный способ
расчета. Выделяют полосу покрытия нормальную к его продольной оси,
равную одной зоне наклона стержней, и рассматривают эту полосу как
статически определимую трехшарнирную арку или как статически не-
определимую двухшарнирную арку, или как арку с закрепленными
пятами.
Опыты показали, что разложение сил в одном непрерывном напра-
влении досок нецелесообразно.
Необходимо также иметь в виду, что вблизи фронтонов, вследствие
жесткости и «еупругости опорных узлов сетчатой системы, напряжения и
деформации будут другие, чем в середине покрытия.
Затем определяют соответствующие нагрузки, приходящиеся на каж-
дый узел рассматриваемой полосы покрытия.
Изгибающие моменты. Для прочности конструкции решающее зна-
чение имеют напряжения от изгиба. На основании опытов, произве-
денных над этими покрытиями в 1922 г. в Берлине, Дрездене и Ган-
новере, было найдено, что напряжение от изгиба составляет от 90% до
95% полного напряжения. При этом в каждой одиночной зоне выделен-
ной полосы работающей считается только одна доска, так как другая
доска в узле имеет стык. Таким образом расчет ведется сперва как
для жесткого многоугольника с сечением, равным одной доске.
Косое положение планок относительно плоскости действия сил учиты-
вается делением расчетного момента MQ на косинус половины угла а,
составленного двумя наклонами, т. е.
(а)
1 Некоторые детальные чертежи описанной здесь конструкции помещены
в журнале Engineering News Record, № 21 от 24 мая 1928 г., стр. 816.
154	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Продольные силы. Продольная сжимающая сила N в выделенной
полосе распределяется на обе доски, и поэтому раскос сжимается
усилием, передающимся на одну доску, расположенную под углом (а)
к оси рассматриваемой зоны. Это усилие будет равно:
=(Ь)
2-СО5(д)
В сечении, где действует наибольший момент, напряжение от про-
дольной силы составляет в среднем от 5 до 10%.
Поперечные силы. Опыты, произведенные в Дрездене и Ганновере
с деревянными сетчатыми покрытиями, показали, что обыкновенные
узлы, сконструированные на основании простого разложения сил,
не подвергаются разрушению даже при нагрузках, вызывающих излом
досок от действия изгибающих моментов. Вследствие этого влияние
поперечных сил следует учитывать только в исключительных случаях,
в наиболее сжатых сечениях и главным образом в опорах.
Опыты показывают, что выполненные по этому простому расчету
сетчатые покрытия "обладают достаточным коэфициентом прочности,
немного большим теоретического коэфиниента прочности, что зависит
от пространственной жесткости всей этой системы.
В присутствии жестких фронтонов прочность данной конструкции
несколько больше, чем в конструкциях без фронтонов.
§ 24. Зубчатые пространственные стропила.
К числу пространственных систем относятся также зубчатые или
пилообразные стропила, которые часто применяются при устройстве
разного рода мастерских, требующих большого освещения дневным
светом. Такие покрытия называются также шедовыми (от английского
слова shed — мастерская).
На Черт. 144 показана схема зубчатых стропил в аксонометрических
проекциях, а на черт. 145 показана та же система стропил в ортого-
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ/ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ----к»
нальных проекциях. При этом более крутые наклонные грани АаЬВ й
HmnF закрываются стеклами, а более наклонные грани покрываются
железом.
Данная система имеет /« = 59 стержней, « = 25 узлов, 5=16 опор-
ных реакций и поэтому удовлетворяет условию (11):
т — (3 •« — $) = О,
обращая его в тождество:
59 —(3 х 25— 16)±=0.
по линиям АВ или CD, не
з
Черт. 146.
Такая система будет статически определима и геометрически неизме-
няема, если узлы фермы, расположенные
лежат на стенах здания,
т. е. во всех промежу-
точных стропильных 0
фермах необходимо'
еще устройство нижних
продольных затяжек,
заменяющих опоры.
В Америке для при-
дания большей жест-
кости всей системы
устраивают еще верх-
ние затяжки (««/), по-
казанные на черт. 145
пунктиром.
Иногда остекленные грани
устраиваются вертикально. Недостаток
этих стропил заключается в затруднительном отводе воды, которая
может застаиваться в желобе по ребру FH.
Для исправления этого недостатка проф. Ф. С. Ясинский несколько
видоизменил обычную схему зубчатых стропил, устраивая крышу с двумя
подъемами: продольным и поперечным.
Очертание покрытия системы Ясинского показано на черт. 146. Си-
стема эта впервые была применена для вагонных мастерских бывшей
Николаевской железной дороги в быв. Петербурге в 1897 г. Покрытие
это поддерживается пространственным статически определимым стержневым
сочленением, состоящим из ряда вертикальных плоских ферм раскосной
системы ABCD, EFGH и т. д., соединенных наклонными плоскими фер-
мами DENK, KNFC с раскосами в каждой панели.
Эти наклонные плоские фермы закрепляются между верхними поясами
DK и КС одной вертикальной фермы и нижними поясами EN и NF
другой вертикальной фермы, причем в этих наклонных фермах выпущено
по одному раскосу, так как они являются лишними.
Средние вертикальные фермы соединены между собой такими же
наклонными фермами, расположенными в плоскостях их верхних поясов,
как это видно из схематического продольного разреза всего покрытия,
показанного на черт. 147.
Нижние узлы вертикальных плоских ’ферм соединены между собой
продольными горизонтальными стержнями BF, FL, тп, пр и т. д.
156	ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Промежуточные соединительные стержни показаны на чертеже пунк-
тиром.	'
На одной рз продольных стен помещена одна неподвижная опора
(т. е. опора третьего рода) и ряд подвижных опор второго -рода, допус-
кающих свободное перемещение системы параллельно оси здания. На
противоположной стене помещается одна опора второго рода, допускаю-
щая свободное' перемещение в горизонтальном направлении, перпенди-
кулярном к продольной оси здания, и ряд опор первого рода (т. е. шаро-
Черт. 147.
вых), дающих только вертикальные реакции и могущих перемещаться по
плоскости во все стороны. Все сочленение при этом условии статически
определимо.
В самом деле, отрезок покрытия, показанного на черт. 146, имеет
/и = 94 стержня, л = 35 узлов и $=11 опорных закреплений. Под-
ставляя эти числовые значения в уравнение (И):
т — (3‘Л—$) = 0,
получим тождество:
94 —(3 X 35— 11) = 0.
Следовательно данная система удовлетворяет условию статической и
геометрической определимости.
Расчет какого покрытия производится обычным методом при помощи
разложения всей пространственной системы на ряд плоских раскос-
ных ферм.
Распорки или стойки наклонных ферм служат обрешетинами для
поддержания настила кровли, поэтому эти части, кроме продольных уси-
лий, подвергаются еще поперечному изгибу от местной нагрузки, и по-
этому должны иметь соответствующее жесткое сечение.
Расчет вертикальных раскосных ферм производится по известным
внешним силам и не представляет никаких затруднений. Усилия в стерж-
нях поясов очевидно равны сумме усилий, появляющихся в них как в
поясах вертикальных ферм, так и в поясах наклонных ферм.
Раёчет производится особо от собственного веса и снега и особо от
действия ветра, направленного 1) параллельно продольной оси ферм и
2) перпендикулярно к этой оси. Заметим кстати, что все вертикальные
силы, приложенные в узлах системы, всецело будут передаваться только
вертикальным фермам, не оказывая никакого влияния на наклонные
фермы. Наклонные же силы ветра действуют как на вертикальные, так
и на наклонные фермы, разлагаясь по обоим направлениям.
Одно из важных преимуществ этой системы заключается в том, что
все сочленение при равномерном изменении температуры может расши-
ряться с сохранением подобия, и поэтому изменения температуры не
" РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРОПИЛЬНЫХ СИСТЕМ 157
вызывают в системе никаких дополнительных напряжений, несмотря на
жесткость узлов.
Благодаря сложности своей конструкции система Ясинского не по-
лучила широкого распространения. К тому же эта система имеет один
крупный недостаток, свойственный вообще зубчатым покрытиям, а имен-
но— трудность отвода воды и завал снегом световых плоскостей. По-
этому такие покрытия во время дождя или таяния снега дают большую
течь, несмотря на самые тщательные приспособления для отвода воды.
Черт. 148.
В этом отношении система зубчатых стропил, предложенная француз-
ским инж. Буало, является более рациональной. Эта система состоит
из ряда выступающих или приподнятых ферм над коньком крыши для
возможности устройства верхнего освещения (черт. 148).
Расчет таких систем состоит из расчета плоских раскосных ферм и
поперечных связей между ними.
Недостаток вертикальных раскосных ферм в зубчатых стропилах
заключается в том, что раскосы значительно стесняют световое простран-
ство и затрудняют устройство рам для остекления.
В этом отношении гораздо удобнее безраскос-
ные фермы (черт. 149). Отсутствие в них раскосов
увеличивает световое пространство и значительно
облегчает устройство рам в каждой панели между
поясами и стойками для остекления вертикальной Черт. 149.
поверхности светового фонаря.
К тому же расчет раскосных ферм с параллельными поясами не
представляет никаких затруднений, и ввиду неподвижной нагрузки на
стропильные фермы можно ограничиться одним элементарным или прибли-
женным расчетом, не прибегая к более сложному точному расчету, кото-
рый является необходимым только при подвижной нагрузке.
ГЛАВА ПЯТАЯ.	'
РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАШЕН.
§ 25. Пилоны раскосной системы.
Черт. 150.
Металлические пилоны или башни
применяются главным образом для мо-
стов, водонапорных башен, маяков,
радиомачт, а также в некоторых других
сооружениях.
В настоящей главе рассматривается
расчет пилонов для водонапорных башен,
так как эта последняя' конструкция
встречается чаще всего на практике.
Расчет других подобных конструк-
ций носит аналогичный характер.
Металлические водонапорные башни
или пилоны могут быть разделены на
два типа, а именно: 1) пилоны рас-
косной системы, состоящие из ребер,
горизонтальных колец и раскосов между
ними, 2) пилоны сетчатой системы или
гиперболоиды, состоящие только из
наклонных, взаимно пересекающихся
стержней, образующих решётку, и го-
ризонтальных колец, служащих для уве-
личения жесткости всей пространствен-
ной системы данного типа.
Рассмотрим прежде всего расчет
пилонов раскосной системы.
Да черт. 150 показана в схематиче-
ском* виде такая конструкция.
Для большей ясности изложения
теории расчета данной пространствен-
ной стержневой системы будем сопро-
вождать эту теорию численным примером.
И так предположим, что простран-
ственная ферма пилона, поддерживаю-
щая цилиндрический резервуар для во-
ды, имеет высоту Н= 25,5 м и состоит
ПИЛОНЫ РАСКОСНОЙ СИСТЕМЫ
159
яз восьми ребер. По высоте этот пилон разделяется горизонтальными
кольцами жесткости на семь ярусов.
Диаметр круга, описанного вокруг нижнего опорного шестиуголь-
ника £>, = 12 м. диаметр кольца перехвата, т. е. в наиболее суженном
месте, Ъ7=6,40 м} а диаметр верхнего опорного кольца £>8 = 10,5 м.
Диаме'тр резервуара £>8 = 10,50 м> высота его Л9 = 8 м, а высота
конической крыши Л]0 = 2,20 м.
Объем воды в резервуаре V — 660 м3. Вес резервуара с водой
Ро = 690 т.
Высота опорного кольца резервуара Л8 = 0,30 м.
Боковое давление ветра принимаем равным ^=180 кг на 1 м2 по-
верхности, перпендикулярной к направлению действия ветра.
Резервуар опирается на восьмигранное верхнее кольцо башни в 32
точках, которые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.
При эгом 16 опорных точек поддерживаются ребрами башни и дополни-
тельными подкосами, а в остальных 16 опорных точках не имеется под-
держивающих' стержней, и следовательно верхнее опорное кольцо будет
подвергаться изгибу от сосредоточенных нагрузок, расположенных
в каждом пролете кольца между его опорами.
Определим прежде всего положение центра давления ветра на резер-
вуар и момент от действия ветра относительно верхнего опорного кольца
•башни (кольцо 8—8 на черт. 150).
Расстояние z0 от центра тяжести вертикальной проекции диаметраль-
ного сечения резервуара до верхнего опорного кольца башни опреде-
ляется по формуле:
где -есть сумма статических моментов площадей,
a "LF—сумма этих площадей.
Этот расчет удобнее всего вести в виде таблицы следующим образом.
, Таблица I.
II № ^Горизонт.		Высота h м	Площадь верти- кального сечения F м*	Частное расстояние от центра тяжести З'о м	Ордината У =Уо + 5 h м	Стати- ческий момент/ площади Ms = F-y м3
сече- ния ’	’ размер I D ' м					
ю i	10,50	2,20	11,55	0,73	9,03	104,30 -
9 !	10,50	8,00	84,03	4,00	4,30	361,20
8 i	10,50	0 30	3,15	0,15	0,15	0.47
		2>=	98,70 л<2	| =		465,97 м3
160	РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАШЕН
Расстояние от центра тяжести площади поперечного сечения рёзер-
вуарь до верхнего кольца башни (кольцо № 8), определяемое по фор*
муле (18), будет равно:
SAL 465,97 _ л
~ 98,70	’ 1 2.М'
Давление ветра на боковую цилиндрическую поверхность определяется
по формуле
о
Q = - q.^F.
О
(19)
Подставляя сюда соответствующие числовые значения, получим:
о
Q=—X 180 X 98,70=11 844 кг.
о
Момент от действия ветра относительно верхнего опорного кольца
башни (кольцо 8 —8) будет равен:
Л40= Q0-zo = 11 844 X 4,72 = 55 904 кг-м.
От горизонтального давления ветра на резервуар и на башню полу-
чается перегрузка в стержнях башни. Для определения этой перегрузки
необходимо сперва найти моменты от действия ветра для каждого про-
межуточного сечения в плоскости горизонтального кольца.
Весь пилон можно рассматривать как балку переменного сечения,
закрепленную в нижнем конце и подверженную действию отдельных го-
ризонтальных сосредоточенных грузов Q, приложенных в центре тяжести
вертикальной проекции каждого яруса пилона.
Тогда изгибающий момент в плоскости какого-либо горизонтального
кольца при нумерации колец, идущей снизу вверх (черт. 150), опреде-
лится по следующей формуле:
4=4+, + (00 + ^)-ft. + Q.^...	<2<>)
где Afn+1—-момент всех вышележащих сил относительно верхнего
кольца рассматриваемого яруса пилона,
SQ— сумма горизонтальных давлений ветра на все вышележащие
ярусы пилона,
0^—горизонтальное давление ветра на рассматриваемый ярус
пилона,
yQn — расстояние от центра тяжести вертикальной проекции рас-
сматриваемого яруса" пилона до нижнего кольца этого же
яруса.,
’ Это расстояние для площади трапеции определится по формуле:
_ hn /2Ря+1-4-Рп\
у°’п з ^d„+j + dJ-
(21)
1 Подольский И. С., Строительная механика. Часть I. Сопротивление
материалов, стр. 219, формула 205.
ПИЛОНЫ РАСКОСНОЙ СИСТЕМЫ	161
При этом, так как пилон представляет собой сквозную ферму, то
в расчет принимается только 5О°/о или половина от всей площади верти-
кальной проекции, причем расчетная площадь вертикальной проекции
каждого яруса будет равна:
^ = 4,А" (Пп^2+ Р") = ~4	+D”>’	(22)
где D — диаметр описанного круга соответствующего кольца жесткости.
Все вычисления моментов по формуле (20) сгруппированы для удоб-
ства и компактности во II таблице (стр. 162).
После этих подготовительных действий переходим теперь к расчету
пилона как пространственной фермы.
1. Расчет верхнего яруса, а) Опорное кольцо. Напряжение в каком-
либо ребре пилона определится по общей формуле изгиба:
r-md
(23)
Так как опоры резервуара в количестве 32 штук расположены по
кругу диаметра £>8, то для приблизительного расчета можно принять,
что момент инерции горизонтальных сечений этих опор относительно
оси ZZ, перпендикулярной к направлению действия ветра Q, будет равен
половине полярного* момента инерции Л, т. е.
,1,1 f( d\1 2— f'D2
г 2 р 2	\ 2 /	8
(24)
где F есть площадь всех п = 32 опор.
Подставляя это значение момента инерции в формулу (23), получим:
R
4-Л4
F-D ’
(25)
Следовательно перегрузка от действия ветра в одной опорной точке
будет равна:
„ F 4-M-F М
р —R' n~F-D-32~8-D'
(26)
Полное давление на одну опору от веса резервуара и от горизон-
тального действия ветра определится по формуле:
р ДА
р^+p''^+if-d-	(27)
1 Доказательство этого положения можно найти в книге Подольского,
Расчет железобетонных конструкций. Сборник примеров расчета. Задача № 8,
стр. 12, или в курсе: Железобетонные конструкции^- часть 1, стр. 128. Москва,.
1930 г.
И. Подольский, И. С.
Таблица П.
№ кольца	Диаметр 1	D |	м	Высота яруса h м	Площадь вертикаль- ного сечения яруса F м2	Расстояние от центра тяжести Уо я	Давление ветра о <3 = 4 q-F О кг	Q-Уо кг	<?о+£0 кг	(Qo + SO* кгм	Момент М кг-м'
1	2 i	3	4 f	5	6 1	7	8 1	9 1	10
8	10,5	—			—	—	—	—	55 904
7	6,4	2,10	16,48	1,14	1978	2 255	13 822	29 026	87185
6	7,0	3,90	13,07	1,97	1 568	3 089	15 390	60 021	150 295
5	7,6 '	3,90	14,24	1,97	1 709	3 367	17 099	66 636	220 348
4	8,2	3,90	15,41	1,97	1 849	3 643	18 948	73 897	297 888
3	I	9,2	3,90	16,97	1,98	2 036	4 031	20984	81 838 *	383 757
2	10,2	3,99	18,92	1,98	2 270	4 495	23254	90691	478943
1 1	12,0	3,90	21,65	1,90	2 598	4 936	25 852	100 823	584 702
9-й г]	! П р и м е ч а 1 раф Л прибав.	1 и е. Числа л гением момен	1есятой верти [та 7И0 = 55 9(	калькой гра4 )4 кг^м, что	)ы получаютс вполне соотвс	я путем посл< гтствует общ*	едовательного ш формуле (2	суммирования ’ Ю).	чисел 7-й й
162 z РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАШЕН
-ПИЛОНЫ РАСКОСНОЙ СИСТЕМЫ
163
Подставляя сюда соответствующие числовые значения, получим для
верхнего опорного кольца:
690 X ЮОО
Р~ 32
55 904
8 X Ю,5
= 22 230 кг.
Так как верхнее восьмигранное кольцо в свою очередь поддержи-
вается 8 ребрами башни и. 8 парными, подкосами (как это видно на
черт. 150), а всего в 16 точках, то следовательно в сечении верхнего
опорного, кольца, где также имеется опора резервуара между двумя
смежными поддерживающими стержнями, будет действовать изгибающий
момент от сосредоточенного груза Р, определяемый по формуле:
1 СЬл Р* Лл
=	=	(28)
где аг есть сторона восьмигранника, т. е.
a. =ZD-sin ~ = 10,5-sin ^^-= 4,02 м.
2	1о
Подставляя соответствующее числовое значение в формулу (28), получим:
лл 22 230X4,02	„
М—-------—------ =11 170 кг-м.
о
Кроме изгиба в этом элементе кольца
появляется еще растягивающее усилие,
вызываемое наклонным расположением
ребер и парных подкосов верхнего яруса.
На узел верхнего кольца (черт. 151)
передается нагрузка:
Р1=Р4-2 (-1 р) = 2Р= 2 X 22 230 =
= 44 460 кг.
Эта сила разлагается на две составля-
ющие, а именно на горизонтальную силу
Т, расположенную в плоскости верхнего
кольца, и на силу N, направленную по
реи ребра bbx, эти силы определяются по
следующим формулам:
7=^,
tga
Черт. 151.
Катет (с) будет равен
D8— D7 10,5 — 6,4
с =  8 2	7 = о = 2,05
м.
2
и*
164	РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАЦ1ЕН
Длина ребра верхнего (седьмого) яруса
/т = / с3 —А2 = /(2,05)2-1- (2, Ю)« - 2,93 м.
sina“ ‘“адз"0,717'
Подставляя эти значения в предыдущие формулы, получим следую-
щие силы:
44 460
7=T024 ^4340° -
= 62030 кг’
Угол (0) равен половине угла восьмиугольника, т. е.
?=^°=22°30'
Разлагая горизонтальную силу Т в плоскости верхнего кольца на две
составляющие 5,5, идущие по направлениям стержней восьмигранного
«кольца (как это показано в плане на черт. 151), получим величину этой
силы по формуле:
о Т	42 340
'	2-cos/- 2 • cos22°30' “22920 кг-
(29)
Наибольшее напряжение в стержне верхнего кольца от изгиба и от
«непосредственного растяжения определится по известной формуле „Строи-
тельной механикии для сложного сопроти-
вления:
(з0)
Составляем верхнее опорное кольцо
из двух двутавровых балок № 30 по рус-
скому нормальному сортаменту (черт. 152).
Расстояние между парными балками равно
20 см.
Пользуясь таблицами русского нормаль-
ного сортамента, находим для выбранного
сечения следующие расчетные данные.
Площадь поперечного сечения кольца:
F=2 \ 63,61 = 127,22 cjw2.
Момент сопротивления относительно горизонтальной оси ZZ.
1Г=2 X 592=1184 слг2.
ПИЛОНЫ РАСКОСНОЙ СИСТЕМЫ
165
Подставляя эги числовые значения в формулу (30), получим наиболь-
шее напряжение в верхнем опорном кольце:
₽ =	+	.80+943= И23
IZf,44	11
что меньше основного допускаемого напряжения для железа:
/?° = 1200 кг/см*
b) Главные ребра. Главные ребра башни в верхних ярусах состав-
лены из двух швеллерных балок № 18 по русскому нормальному сорта-
менту, расположенных на расстоянии 20 см
друг от друга (черт. 153) и соединенных ме-
жду собой зигзагообразной решёткой.
Из нормального сортамента имеем сле-
дующие данные для этого сечения.
Площадь поперечного сечения ребра:
Черт. 153.
F= 2 X 29,26 = 58,52 см*.
Наименьший момент инерции относительно горизонтальной осн ZZ
проходящей через центр тяжести сечения:
min /г= 2 X 1433 = 2866 см*.
Радиус инерции:
_ / min Л . / 2866
Л	58,52-=7 “
Длина ребра верхнего яруса согласно предыдущему расчету равна
1. = 2,93 м.
Коэфициент Навье:
------1 /293\2 = 0>88-
14-0,000081—)
Допускаемое напряжение при продольном изгибе ребра:
limit /? = tp./?° =0,88 X 1200= 1056 kzIcm*.
Расчетное напряжение будет равно:
п N 62030	.
= У =	^ICM’
что лишь немного превышает предельное напряжение 1056 кг)см*.
с) Дополнительные парные подкосы (mbvmax и nbv псу на чёрт. 151).
В данном случае силу М=62 030 кг надо разложить на две составляю-
щие, идущие по направлениям парных подкосов.
166	РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОб И БАШЕН
Сторона агЬу седьмого промежуточного кольца (черт. 154) при диа-
метре Z>7 — 6,40 м будет равна:
а, = £>,• sin-^-==6,40 «sin ^^-=6,40 X 0,383 = 2,45 м.
*	1	2	1о
Длина подкоса:
М’ = У7 (2’’3,! -	V4 ..
Обозначим через у угол наклона подкоса, тогда:
Черт. 154.
1
9 а2
<8Т=Д-
2,45
2 X 2,74
0,447.
cos у = -	* -= =	1 -----= 0,913.
/1 F tg2 Y /1 + (0,447)2
Разлагая силу А/ на две составляющие S,, Sj (черт. 154), получим:
5=-А_
1	2•cos у
62 030
2X0,913
= 33 980 кг.
Сечение каждого подкоса составлено из четырех равнобоких угол-
ков размером 80 X 80 X 8 мм с зазором в 8 мм (черт. 155).ч
Площадь поперечного сечения подкоса по нормальному сортаменту:
F=4.FO = 4 X 12,27 = 49,08 еж2.
Момент инерции поперечного сечения:
4 = 4(P + c2.fo) = 4[72,5 + (2,35 + 0,4)2 X 12,27] = 634,40 см*.
Радиус инерции:	>
634,40	„
Ws-=3'6"“-
Коэфициент Навье:
V	/ 274\2 = 0’62-
1+а(т") 1 +0,00008 (4^)
•ПИЛОНЫ РАСКОСНОЙ СИСТЕМЫ
167
Допускаемое напряжение при продольном изгибе:
limit/? = <р./?° =0,61 X 1200 = 732 кг/см2.
Действительное или расчетное напряжение:
S 33 980
R = ~= 4Q = 535 кг/см2 <732 кг/см2 (допускаемое).
Подобным же образом производится расчет и остальных элементов
башни. Поэтому рассмотрим расчет только нижнего яруса, как наиболее
нагруженного.
II. Расчет нижнего яруса, а) Ребра. Из последовательного расчета
всех вышележащих ярусов находим веса отдельных частей конструкции,
а также вес каждого яруса.
Предположим, что вес всех вышележащих ярусов башни равен:
Р = 46 т.
Тогда все давление в рассматриваемом горизонтальном-сечении в плос-
кости второго кольца (черт. 150) будет равно:
2 Р= Ро + Рг = 690 -4- 46 = 736 т.
При и = 8 ребрах башни давление на одно ребро будет равно:
SP 736 Q_
Р = — = —— = 92 т.
п 8
Изгибающий момент от действия ветра, определяемый по таблице II,
будет равен для рассматриваемого сечения (2—2):
Л42 = 478 943 кг>м.
Наибольшее давление, передающееся на одно ребро башни и опреде-
ляемое по общей формуле (27), будет равно:
+А- = 9200Р0 + 8ОТ='15480 К!-
Угол наклона ребра нижнего яруса к горизонтали определится сле-
дующим образом:
.	(D, — DA ,
hi= ( 1 2 -btga,
откуда имеем:
tga
sin а =
2/г,
D.-D,
tga
2X3,90 _оо
12 — 10,20	4,33‘
4,33
,_________= 0,974.
/н-(4,33)2
168
РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАШЕН
Поэтому усилие в ребре нижнего яруса от вертикальной силы
приложенной в узле, будет равно:
! 18 600
sin а 0,974
Длина ребра первого яруса:
,	3,90	.
I, =	Аг, л= 4,00 м,
1 sin а 0,974
Сечение ребра составлено из двух швеллеров № 28 по русскому
нормальному сортаменту, расположенных на расстоянии 20 см друг от
друга (черт. 153) и соединенных между собой зигзагообразной ре-
шёткой.
Пользуясь таблицами русского нормального сортамента, находим сле-
дующие расчетные данные.
Площадь поперечного сечения ребра:
р= 2X55,96= 111,92 см*.
Момент инерции относительно горизонтальной оси ZZ:
min/г = 2 X 6 472=12 944 см*.
Радиус инерции:
.. / min /_	_ / 12 944 _е
р=|/ —=-^ = 1/ .	1075 см.
? у F у 111,92
1
= 0,88.
Ч>
Коэфициент Навье:
1
?)	1 + °’00008 ( WJ5 )
Допускаемое напряжение при продольном изгибе:
limit R = ср • R° = 0,88 X 1200 = 1057 кг{см*.
Действительное или расчетное напряжение на сжатие в ребре нижнего
яруса башни:
D JV 118 600	.
/?=У=ТГй92 ==1059 кг/см'
что лишь незначительно превосходит допускаемое или предельное напря-
жение.
Заметим кстати, что при определении коэфициента Навье расчетная
длина сжатого стержня была принята равной действительной длине. Но
принимая во внимание, что в плоскости каждого кольца стержень упруго
закреплен, можно за расчетную длину принять 3/4 от действительной длины,
и тогда допускаемое напряжение несколько повысится.
Ь)	Раскосы. Для определения усилий, в раскосах нижнего яруса де-
лают горизонтальное сечение, этого яруса и определяют момент от дей-
ПИЛОНЫ РАСКОСНОЙ СИСТЕМЫ
169
ствия ветра относительно оси, проходящей* через точку пересечения
ребер этого яруса и перпендикулярной к направлению ветра. В запас
прочности предполагают, что будут работать раскосы, расположенные
только в плоскостях, параллельных действию ветра.
Сторона нижнего или первого восьмиугольного кольца равна:
<Zj =Drsin -£- = -Dj: sin	= Dj sin • 22°30' = 12 X 0,383 = 4,6 m.
Сторона второго восьмиугольного кольца равна:
a2 = D2sin-£= 10,20X0,383 = 3,91 м.
4
Расстояние (j) от первого кольца до точки взаимного пересечения
смежных ребер определится из соотношения сторон подобных треуголь-
ников:
и будет равно:
^2
Момент от действия ветра на башню с резервуаром относительно
горизонтальной оси, проходящей через точку пересечения смежных ре-
бер, определяется подобно предыдущему и будет равен:
/И = — 133 000 кг-м.
Этот момент передается на два раскоса, расположенные в двух
взаимно противоположных гранях, параллельных направлению ветра.
Плечо усилия в раскосе: г =18,70 м. Усилие в раскосе обозначим
через 5.
Уравнение моментов внешних и внутренних сил:
2Л1 = —Ж + 2.5.г = 0.
Откуда находим растягивающее усилие в раскосе;
Возьмем уголок поперечного сечения: 60 X 40 X 8 мм.
Площадь сечения его, определяемая по таблице русского нормального
сортамента, будет равна при диаметре заклепки d = 2 см:
netto F= 7,41—2X0,8 = 5,81 см*.
Напряжение на растяжение в раскосе:
п S 3500	п
R = — = -, Q t = 602 кг см*.
F 5,81	'
170
РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ Й БАШЕН
В остальных раскосах усилия определяются подобным же образом.
с)	Горизонтальное кольцо. Зная усилие в раскосе и угол ([}) накло-
нения раскоса к горизонтали, не трудно определить усилие в горизон-
тальной распорке в каждом промежуточном кольце 'по формуле:
V = S- ccs	(32)
d)	Напряжение грунта. Для определения напряжения грунта нахо-
дим сперва перегрузку от наибольшего момента от действия ветра в плос-
кости первого (опорного) кольца по формуле:
& * J	1 &
(33)
Давление на грунт от веса резервуара с водой и веса металлического
пилона:
746 т,
или на одну опору
4 ЪР 746 о
>2 = — = —— = 93,3 т.
2 п 8
Вес фундамента под одной опорой:
Р3=17 т.
Площадь основания опоры:
о) = 1,9ОХ 1,90 = 3,61 л*2.
Наибольшее напряжение на грунт:
_Р1 + ^ + Р3__243604-93300+17000
** ш	3,61 X ЮО2	d’74	'	’
е) Коэфициент устойчивости башни. Коэфициент устойчивости
башни определяется при пустом резервуаре.
Вес пустого резервуара Р2 = 21 т
Вес крыши и тамбура ' Р2= 6 „
Вес башни	Р3 = 56 „
2^ = 83 т.
Давление на одну опору:
р=?₽=83
п 8
Момент от веса конструкции, противодействующий опрокидыванию
башни, согласно черт. 156, определяется по формуле:
М1 = 2Р>(а-\-Ь-\-с)	(34)
и будет равен
= 2 X 10,4.(3,25 + 7,85+ 11,10) = 460,72 т-м.
ПИЛОНЫ РАСКОСНОЙ СИСТЕМЫ
171
Опрокидывающий момент от действия ветра, определяемый по таб-
лице II (стр. 162), будет равен для нижнего кольца:
М2 — 584 702 кг-м.
Коэфициент устойчивости на опрокидывание:
Л42
460,72 X ЮР
584 702
— 0,78<
1.
Следовательно нижнее опорное кольцо
башни должно быть скреплено с бетонным
основанием анкерными болтами, которые мог-
ли бы воспринимать на себя растягивающие
усилия при изгибе башни под действием
ветра.
Предположим, что каждая опора при-
креплена к своему основанию двумя анкер-
ными болтами диаметром d = 30 мм и дли-
ной 1,50 м.
* Неуравновешенный момент будет равен:
Д7И = М2 — Afj = 584 702 — 460 720 =
= 123 982 кг*м.
Черт. 156.
Площадь поперечного сечения двух болтов:
4	4
Растягивающее напряжение в болте:
„ ДАТ 123 980
7с —ч" ь ла— 970 kzicm2<Z I 200 кг!см2 (допускаемое).
D^F 12X14,14	'	/ к / у
Точно так же определяется коэфициент устойчивости башни при на-
полненном резервуаре, причем в этом последнем случае коэфициент бу-
дет более единицы, и следовательно анкерные болты не булут ра'отать.
172	РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАШЕН
Вместо раскосов в плоскости каждой панели между ребрами и коль-
цами, как это показано на черт. 150, возможно также расположение
раскосов только в некоторых панелях по высоте башни и по поясам.
Такая конструкция" башни показана на черт. 157.
§ 26. Пилоны сетчатой системы (гиперболоиды).
Общее описание пилонов сетчатой с стемы, или гиперболоидов (си-
стема Шухова), было приведено,
•Z
в начале первой главы.
Поэтому здесь рассмотрим толтко
теорию расчета этих пространственных
сочленений, сопровождая для ясности
этот расчет численным примером.
Предположим, что металлическая
сетчатая башня в виде гиперболоида
высотой //=20 м поддерживает желез-
ный резсрвуср системы Инце (Intze)
объемом У=410/п3 (черт. 158). Диа-
метр нижнего кольца башни /)1=12 м,
а диаметр верхнего кольца />9 = 6,20^.
По высоте башня разбивается гори-
зонтальными колы ами на восемь яру-
сов, причем высота каждого яруса
Л = 2,50 .и.
Вес пустого резервуара Р3 = 13/и,
а вес резервуара с водой Р0 = 423 /п.
Остов башни представляет 1ипербо-
лоид вращения, поверхность которого
состоит из 32 наклонных ребер или
стержней, представляющих касательные
к горизонтальным кольцам.
Стержни и кольца устраиваются i з
одиночных уголков. Прежде всего опре-
делим положение центра давления ветра
на резервуар и к омент от действия
ветра относительно верхнего опорного
кольца башни (кольцо 9—9 на черт.
158), пользуясь методом расчета, изло-
женным в начале предыдущего пара-
графа.
Черт. 158.	Все эти вычисления для удобства
расчета сгруппированы в таблице 111.
Расстояние от центра тяжести площади поперечного сечения резер-
вуара до верхнего кольца башни (кольцо № 9), определяемое по фор-
муле (18), будет равно:
*0	__
ио, / О
ПИЛОНЫ СЕТЧАТОЙ СИСГЕМЫ (ГИПЕРБОЛОИДЫ)	173
Таблица III.
№ сече- ния	Диаметр D м	Высота секции h м	Площадь верти- кальной проек- ции F м2	Частное расстояние от центра тяжести Уо м	Ордината У=У. + 2 л м	Стати- ческий момент площади Ms = F-y м»
13	5,55						
12	5,55	0,30	1,67	0,15	6,25	10,44
11	10,40	0,90	7,18	0,40	5,60	40,21
10	10,40	3,20	33, V8	1,60	3,60	’ 119,81
9	6,20	2,00	16,60	1,07	1,03	17,93
			53,73 м*	2Х=		188,39 м*
Давление ветра на боковую цилиндрическую поверхность резервуара,
определяемое по формуле (19), будет равно при интенсивности давления
q — 180 кг на 1 м-:
о '	о
Qo = q • У х 180 х 58,73 = 7048 кг.
О	О
Момент от действия ветра относительно верхнего кольца башни (№ 9>
будет равен:
Л40 = Qq • zQ = 1 048 X 3,21 = 22624,08 кг. м.
Определим теперь моменты от действия ветра относительно каждого
горизонтального кольца башни по общей формуле (20) следующего
вида:
мп = мп +, + (Qo + 2 Q) • hn + Qn .уо п,	(20)
причем номерация колец идет снизу вверх, как это показано на черт. (158)..
По этой формуле для кольца девятого будем иметь:
Ч = Ч-
Для восьмого кольца будем иметь:
Л<8=Af9 + «?0 4- <?s) • й8+ Q8. 8.
Для седьмого кольца будем иметь:
Af7 = 448 + (Q0 + Q8 + Q7)^7+ Qfyor
и т. д.
Все вычисления по формуле (20) группируем для удобства расчета
в таблицу IV (стр. 174), аналогичную таблице II, приведенной в преды-
дущем параграфе.	/
Таблица IV.
№ кольца |	Диаметр D м	Высота яруса h м	Площадь вертикаль- ного; сечения яруса F м2	Расстояние от центра тяжести З'о м	Давление ветра Q=^4-F кг	Q-yo кг-м	Qo + 2 кг	(<?о+ 2 Q)h кг.м	Момент М кг*м
1	1 2	3	4	5	6	1	i	I		.	10
	6,20	—	—	—	—	—	—	—	30150
•	6,10	2,50	7,69	1,26	923	1 168	7 971	19 938	51 256
7	6,70	2,50	8,00	1,23	960	1 181	8 931	22 328	74 765
6	7,30	2,50	8,75	1,23	1050	1 297	9 981	24 952	101014
5	8,00	2,50	9,57	1,23	1 148	1412	11 129	27 825	130 251
4	8,70	2,50	10,44	1,23	1 253	1541	12 332	30 955	162 747t
3	9,70	2,50	11.50	1,23	1380	1 697	13 762	34 405	198 849
2	10,60	2.50	12,69	1,23	1523	1 873	15 285	38 212	238 934
1	12,0	2,50	14,13	1,23	1 695	2 085	16 980	42 450	283 469
Пр	имечания	, 1. Четвертая вертикальная графа вычисляется по формуле (22).							
		2. Пятая вертикальная графа вычисляется по формуле (21).							
		3. Числа десятой вертикальной графы получаются путем последовательной						$ суммирования чисел 7-й й	
		•9-й вертикальных граф, с прибавлением момента Л4О = 30 150 кг-м, что						вполне соответствует общей	
		формуле (20).							
РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАШЕН
Таблица V.
№ кольца	Расстояние У м	Диаметр кольца D м	Из таблицы IV М кгм	р» — п кг	1 кг	Р'”=Р-У кг	Вся нагрузка Р = Р'4-Р" + р"'
1	2	3	4			5	;	6 |		7	8
						..			*
9	0	6,20	30 150	13 220	608	-	13 828
8	2,5	6,10	51256	13 220	'	1051	103	14 374
7	5,0	6,70	।	74 765	13 220	1395	205	14 820
6	7,5	7,30	101 014	13 220	1730	308	15 258
о	10,0	8,00 г	130251	13 220	2 036	410	15 666
4	12,5	8,70	162 747	13220	2 338	513	16 071
3	15,0	9,70	198 849	13 220	2 562	615	16 397
2	17,5	10,60	238 934	13 220	2 818	718	16 756
1	20,0	12,00	283 469	13 220	2 953	820	16 993
ПИЛОНЫ СЕТЧАТОЙ СИСТЕМЫ (ГИПЕРБОЛОИДЫ)	175
176	РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И БАШЕН
Вертикальное давление от. веса резервуара с водой, передаваемое на
-какой-либо узел фермы пилона, при п = 32 узла будет равно:
5l=423 X 100==
п 32
Перегрузка от действия ветра в каком-либо узле фермы пилона опре-
деляется по общей формуле (26) следующего вида при л = 32 стержня:
М
8D'
Вес самой башни, включая лестницу и шатер для закрытия резерву-
ара можно принять равным Р2 = 26 т, что дает вертикальное давление
в одном узле фермы:
Р =
Рг
п-Н
26000
32 X 20
кг
на 1 м по высоте пилона.
Тогда наибольшее вертикальное давление в каждом узле фермы опре-
Проводим через этот
делится по формуле:
+	+	(35)
Все вычисления, произведенные по
этой формуле, сгруппированы в таблице V
(стр. 175).
Зная вертикальные нагрузки в каждом
узле фермы пилона, можно определить
усилие в каждом стержне и сделать по-
верку на продольный изгиб.
В верхней половине башни, т. е. до
пятого горизонтального кольца, косые
стержни устраиваются .из одиночных угол-
ков 100 X ЮО X 12 мм, а в нижней поло-
вине башни из,уголков 120 X 120 X 12 мм.
Переходим теперь.к определению уси-
лий в стержнях фермы причем, так как
расчет стержней каждого яруса башни
носит однообразный характер, то рассмот-
рим ход расчета стержней только для од-
ного нижнего яруса, как наиболее напря-
женного.
Пусть АВ будет один ,из косых стержней
гиперболоида, касающийся в точке К како-
го-либо промежуточного кольца (черт. 159).
стержень вертикальную плоскость, причем след этой
плоскости в основании гиперболоида выразится линией АС.
Обозначим угол наклона стержня АВ к горизонту через а, т. е.
угол ВАС=а., и определим величину этого угла для заданной фермы.
ПИЛОНЫ СЕТЧАТОЙ СИСТЕМЫ (ГИПЕРБОЛОИДЫ)
177
Нижняя точка А передвинута по отношению к верхней точке В на
2,5 деления при делении круга на л =16 частей (это видно из плана
на черт. 158).
Следовательно длина дуги АЕ будет равна:
2>5 п
Обозначим в треугольнике ДОС углы через:
/ДОС=₽, £ОАС=ч и £АСО = Ь.
Стороны этого треугольника:
=	=	и .СО = А = ^. = 3>2л.
Этот треугольник показан на черт. (159а) в неискаженном .виде.
Центральный угол:
АОС= 0 = ?-60° X 2,5 = 56°15’.
Сумма двух других углов:
5 4- у = 180° — £ = 180° — 56°15' == 123°45'.
Для косоугольного треугольника АОС имеем следующую формулу
из курса тригонометрии:
,	^9	\
2	2	\
^L4 g
2 “ 2 /

или
f
tg
5,962.
Подставляя сюда соответствующие числовые значения, получим:
12 —6,20 \	123°45'
12 + 6,20/“	2
По данному тангенсу из таблицы логарифмов находим, что
Izil = 30°48'.
Таким образом имеем:
S-f- 123°45’,
8 —у = 61°37'.
Решая эти два уравнения, находим, что
5 = 92°40'
в
и
Y = 31°5'.
12. Подольский И. С.
178
РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОЬ И БАШЕН
Для контроля и правильности вычисления имеем:
Y + 4 = 56°15' + 92°40'_+ 31°5' = 180°.
Следовательно углы-треугольника АОС определены правильно.
Сторона АС косоугольного треугольника определяется по следующей
формуле, известной из курса тригонометрии:
-	~2"зт$ , 12-sin56°15'
АС=
• %	~~~~ а лпо a -----5,00 At»
smo ,	2sin92°40	’
Следовательно вся длина косого стержня АВ будет равна:
АВ=]/ВС2 + Л С2 == j/20«4-52 = 20,62 м.
А так' как горизонтальные кольца располагаются на одинаковом рас-
стоянии по высоте башни, то длина ребра между двумя смежными коль-
цами будет равна:
, АВ 20,62 ► пго
, /=--=-Л—= 2,58 ж.
п 8
АВС на две
по горизонтали
Угол наклона косого стержня АВ определится из уравнения:
х Н 20	, ЛЛ
*а = ЛС^^ = 4’00-
Следовательно а = 75°58'.
Силу 16 756 кг (взятую из таблицы V), приложенную в точке К
второго кольца, разлагаем в вертикальной плоскости
составляющие N по направлению стержня КА и 5
KI (черт. 159), причем получим:
Р 16756
^sin а “* sin 75°58' ~17 276 **
S=	с- 4189 кг.
tga tg75°58
. Так как стержни нижних четырех ярусов устроены
уголков, размером 120 X 120 X 12 мм, то для этого уголка из таблиц,
русского нормального сортамента имеем следующие данные:
Площадь поперечного сечения:
27,54 см\
Наименьший момент инерции:
min/= 150,4 см\
из одиночных
Радиус инерции:
Р =
^=3,62 с.
ПИЛОНЫ СЕТЧАТОЙ СИСТЕМЫ (ГИПЕРБОЛОИДЫ)	179
Коэфициент Навье будет равен:
1+а(уУ 1 + 0’00008(S)2
Допускаемое напряжение на сжатие:
limit /? = ср • /?<> = 0,72 X 1200 = 864 кг) см*.
Действительное или расчетное напряжение:
TV	17 276
= ёТ' =628 кг/см2 <364 кг/см2 (допускаемое).
Расчет кольца. Определенную выше горизонтальную силу 5= 4189 кг
и расположенную в плоскости рассматриваемого (второго) кольца в
свою очередь разлагаем на две силы; а именно на силу V, направлен-
ную по радиусу и на силу Г, направленную по касательной к коль-
цу KF (черт. 159).
Так как треугольники GKI и О АС подобны между собой, то угол
ОК1=ОАС = ч- Поэтому имеем
V= S-cos у = 4189 • cos 31°5' = 3588 кг.
T=S.sinY = 4189-sin 31°5' = 2162 кг.
И так как данная сетчатая ферма гиперболоида образована из п = 32
стержней, то следовательно сумма радиальных сил будет равна:
V-п = 3588 X 32=114 816 кг.
Эквивалентное равномерное давление на кольцо будет равно:
2Х 114 816
^=^^3,14X 10,6X100 = 34‘48“ ™ 1	“•
Кольцо устроено из уголка 100 X 100 X 12 мм. площадь попереч-
ного сечения которого по русскому нормальному сортаменту равна:
F = 22,73 см*.
Напряжение на сжатие кольца радиальными силами V определяется
по известной формуле к
. *=££ (36)
и будет равно
* Подольскими. С., Строительная механика. Часть I. Сопротивление
материалов, стр. 158. Формула (151), в которой цлощадь поперечного сечения при
ширине в 1 см и при толщине ее равной е, будет равна F=l«e.
12*
180	РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПИЛОНОВ И ВАШЕЙ
--__--—1--------------—------------ •• ;--------
Что касается касательных сил Г, то таковые будут производить по-
переменно растяжение и сжатие кольца на разных его участках. В самом
деле предположим, что сетчатая ферма имеет только две пары стержней,
причем в двух диаметрально противоположных
точках а и b (черт. 160) стержни имеют пра-
вый наклон, вследствие чего от узловых на-
грузок в этих точках появляются касательные
силы Т, направленные в сторону наклона
стержней (на черт. 160 —вверх и вниз).
В двух других точках с и d стержни
имеют левый наклон, и поэтому касательные
силы Т будут направлены в противополож-
Т ную сторону (на черт. 160 — влево и вправо).
Эти касательные силы будут вызывать
сжатие на участках кольца ас. и bd9 и будут
вызывать растяжение на участках кольца
ad и Ьс.
То, что-сказано относительно двух пар стержней, может быть от-
несено к 16 парам стержней, причем участки сжатия и растяжения будут
значительно короче, а именно, будут равны:
2X16
3,14 X Ю,6
32
1,041 м.
Дополнительное напряжение на сжатие, вызываемое в кольце каса-
тельной силой Г, будет равно:'
Т 2162	, 9
/?2 = Tr = 22J3 =95^W-
Полное напряжение на -сжатие кольца:
R =	+ Р2 = 804 + 95 = 899 кг[см\
Нижнее опорное кольцо. Нижние кольца
стоек пилона должны быть ^прикреплены к опор-
ному фундаментному кольцу, состоящему из
горизонтальной железной полосы шириной
250 мм и толщиной 10 мм и наклонной желез-
ной полосы _ 400 X 1-0 ** (черт. 161). Эти
полосы взаимно скреплены при помощи пар-
ных уголков 100 X ЮО X Ю мм.
Вес такого кольца Р3 =? 4000 кг.
Коэфициент устойчивости башни. Определим
еще коэфициент устойчивости башни при пус-
том резервуаре.
Вес пустого резервуара и лестницы . . Р1 = 13 000л:г
Вес металлической башни...............Р2	= 26 000 я
Вес опорного кольца.................  Р3	= 4 000 п
Общий вес Р = 43 000 кг.
ПИЛОТЫ СЕТЧАТОЙ СИСТЕМЫ (ГИПЕРБОЛОИДЫ)181
Момент от этого веса, противодействующий опрокидыванию:
Afj = Р--Q- = 43 000 X 5Г = 258 000 кг • м.
1 А	л
Опрокидывающий момент от действия ветра на основании таблицы IV
будет равен:
ЛТ2 = 283 469 кг • м.
Коэфициент устойчивости башни:
1.
*=^ = 1ш^==0’90
М2 283 469
Следовательно нижнее опорное кольцо башни должно быть скреп-
лено с бетонным основанием анкерными болтами, которые могли бы вос-
принимать на себя растягивающие усилия при изгибе башни под дейст-
вием ветра.
Предположим, что каждый стержень фермы прикреплен к бетонному
основанию одним анкерным болтом диаметром й = 30лм< и длиной 1,5м.
Неуравновешенный момент будет равен:
Ш = М2 — Мг = 283 469 — 258 ООО = 25 469 кг • м.
' Площадь поперечного сечейия одного болта:
г==п^=ЗД4(3)1== л2
4	4
Растягивающее напряжение в болте:
,	„._М_ 25 469X 100 _ 9В
—12ХЮ0Х7,0?-'	'
В заключение о расчете металлических водонапорных башен следует
указать еще на термическую деформацию этих ферм.
Если предположить, что амплитуда колебания температуры равна
Д/ = 40° С, то получим следующее линейное изменение высоты башни
при ее высоте /7=20л<:
к =	Д/= 0,000012 X 20X40 = 0,0096 л 1 см.
А так как вертикальная водопроводная труба покрыта изолирующим
слоем, состоящим из войлока и пробковой массы, обшитой досками, то
температура трубы будет лишь весьма незначительно изменяться в зимнее
и летнее время. Самый же остов башни будет иметь линейную дефор-
мацию ЧЧ 1 СМ.
Поэтому вертикальная подающая труба должна быть снабжена ком-
пенсатором с сальником, позволяющим несколько изменять длину трубы
в зависимости от изменения высоты башни в разное время года.
Без устройства такого компенсатора в растянутых стыках водопро-
водной трубы будет появляться течь.
Глава шестая.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ.
§ 27. Общие основания расчета статически неопределимых
пространственных ферм.
Если в пространственной ферме число стержней т букет больше
утроенного числа п узлов за вычетом $ опорных' реакций, т. е. если
существует неравенство:
/п>3*л— $,
или
т — (3*л— 5)>0,
то в таком случае число 3«л — 5 имеющихся свободных уравнений ста-
тики будет меньше числа т неизвестных усилий N в стержнях данной
системы. Поэтому такая система стержней называется статически неопре-
делимой или гиперстатической (hyperstatique), причем степень статиче-
ской неопределимости выражается числом k лишних стержней/
k = m — (3*п— s).
Здесь выражение „лишние стержни" следует понимать не в том бук-
вальном смысле слова, что эти стержни не нужные (никчемные), а в том
переносном смысле, что для этих стержней недостает соответствующего
числа уравнений статики.
Однако эти лишние стержни являются существенно необходимыми
в данной пространственной ферме, так как они вызывают совершенно
Иное й часто более выгодное перераспределение усилий во всех стерж-
нях-системы, чем в случае такой же системы, но без лишних стержней,
разгружая одни элементы и нагружая другие элементы.
' ' Так как в статически неопределимой пространственной ферме не до-
стает некоторого числа уравнений статики, то для расчета такой системы
в дополнение к имеющимся 3-п — $ свободным уравнениям статики надо
добавить еще k = m— (3*л — s) уравнений деформации, и
тогда усилия во всех стержнях системы свободно могут быть опреде-
лены яз общего числа уравнений:
т -=(3*п— 5)-{-
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ	183
Для составления недостающих уравнений .деформации пользуются
обыкновенно теми же методами, как и при расчете плоских статически
неопределимых ферм.
Для этого удобнее всего пользоваться принципом возможных или
виртуальных перемещений. Закон этот, как известно из курса «Устойчив
вости сооружений* выражается следующим образом:
Сумма элементарных работ всех сил на пути совместно возмож-
ных перемещений'равняется нулю, если система находится в равно-
весии.
При этом под «силами* вообще подразумеваются уравновешенные
внешние силы и вызываемые ими внутренние усилия во всех элементах
системы, а под «соответственно возможными перемещениями* подразу-'
меваются те перемещения, которые не нарушают условий связи между
всеми узлами системы, т. е. не нарушают закона упругих деформаций и
которые вызываются системой сил, отличной от первой системы, но
также уравновешенной.
Уравнение деформации, составленное на основании закона виртуаль-
ных перемещений, имеет следующий общий вид:
2«-« = 0,	(37)
где п — усилие в каком-либо элементе фермы, вызываемое единичной на-
грузкой (одно состояние системы).
3— деформация того же элемента при данной внешней нагрузке (дру-
гое состояние системы).
(л *3)—г элементарная работа стержня, равная произведению силы
одного состояния на соответствующую деформацию другого состояния.
§ 28. Расчет статически неопределимой пространственной
фермы с одним лишним стержнем.
Переходя.от статически определимых пространственных систем к си-
стемам однажды статически неопределимым, т. е. с одним лишним стерж-
нем, отбрасываем этот стержень и заменяем его действие на остальные
стержни двумя равными и взаимно-противоположными силами X, прило-
женными в узлах отброшенного стержня, и направленными по оси этого
стержня. Причем за «лишний стержень* принимается тот, удаление кото-
рого не нарушает .геометрической неизменяемости системы, т. е. не дает
возможности узлам перемещаться без изменения длины стержней.
Затем рассматриваем два состояния равновесия данной пространствен-
ной фермы с выброшенным" лишним стержнем, которую будем называть
«основной системой*.
Первое состояние. Система с выброшенным лишним стержнем под-
вергается действию данной узловой нагрузки и действию неизвестных
пока двух сил X, приложенных к узлам выброшенного стержня. Так
как такая система без лишнего стержня является уже статически опреде-
лимой, то определяют усилия № во всех стержнях основной системы от
заданной внешней нагрузки.
184 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Второе состояние той же системы без лишнего стержня. Отбрасы-
вают все данные внешние нагрузки и прилагают к узлам отброшенного
стержня две равные и взаимно противоположные силы п = 1 тонне (или
1 кг), направленные по оси выброшенного стержня, после чего опреде-
ляют усилия п во всех стержнях системы.
. Так как в действительности усилие в выброшенном стержне равно
не единице (^ = 1), а неизвестной пока величине X, то очевидно, что
действительные усилия во всех остальных элементах фермы, вызываемые
этой силой, будут в X раз больше, т. е. будут равны п*Х.
Пользуясь законом независимости действия слагаемых сил, суммируем
усилия, определенные в каждом элементе под действием сил двух отдель-
ных состояний, и таким образом определяем искомое усилие в каждом
стержне данной системы по общей формуле:
^=^<’ + л.Ar.	(38)
Применяя эту же формулу к лишнему стержню и имея в виду, что
для этого стержня усилие Д^ = 0, так как этого стержня нет в статиче-
ски определимой системе, получим для него искомое усилие:
Рассматривая совместно те же два состояния системы: первое и вто-
рое и обозначая через S упругую деформацию стержня (т. е. растя-
жение или сжатие его) под действием сил первого состояния, напишем
ма основании закона виртуальных перемещений (формула 37) следующее
уравнение упругой деформации:
=о,	(39)
причем для составления элементарной работы /г-5 каждого стержня от
первого состояния берут деформации S, а от второго состояния берут
силы п (можно и обратно поступать).
Подставляем в это уравнение значения упругой линеййой деформа-
ции$ определяемой по формуле Гука для всех стержней системы кроме
лишнего стержня:
N4
E-F
и то же для лишнего стержня:
1 Е-Ег
где / — длина стержня рассматриваемой системы.
/j — длина выброшенного стержня.
F-—площадь сечения стержня системы.
7^ —площадь сечения выброшенного стержня.
Тогда получим следующее выражение: .
у N-n-l .N^n^
Е-F "г Е Е. ..
, (40)
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ	185
Подставляя сюда указанные выше значения N и усилий в стер»
нях, а также значение пг = 1 тонне, получим следующее уравнение:
п(№ + п'Х)4 l-X-l, =
Е-F ' E-F,
или
№-п.1
EF
(а)
Так как во второй части этого уравнения усилие п соответствует
случаю, когда ферма нагружена одной силой яй=1 т, т. е. когда уси-
лие в лишнем элементе равно единице, то знак суммы 2 можно распро-
странить на все элементы фермы, включая сюда и лишний .стержень,
как во второй, так и в первой части уравнения, где для лишнего эле-
мента усилие от первого состояния равно нулю (Д^ = 0).
Поэтому, распространяя знак суммы 2 на все элементы фермы без
исключения, можно переписать предыдущее уравнение в следующем виде:
А №-п-1	, у, лМ
L e.F 'ZfE-F'
(b)
Откуда определяем искомое усилие в лишнем
чески неопределимой фермы:
№-п-1
E-F
п*-1 '
E-F
элементе стати-
(41)
Так как величина коэфициента нормальной упругости Е выражается
. ' * / 1 \
большим числом,^ обратная величина его I — ) будет очень малой ве-
\ Е )
личиной, то для удобства вычислений по формуле (41) введем следую-
щую подстановку:
/-10*
К~~Ё7Ё *
(42)
тогда формула (41) получит следующий упрощенный вид:
„	^№-п.К
. J	«г—•	•
(43)
Усилие в каждом из остальных стержней фермы определится по об-
щей формуле (38).
В том случае, когда ферма устраивается из однородного материала,
например в металлических конструкциях, коэфициент нормальной упру-
гости f, входящий в числитель и знаменатель последней формулы во
все члены алгебраической суммы, можно вынести из-под знака суммы
в качестве общего множителя и затем сократить.

186 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Тогда расчетная формула (41) получит следующий несколько упро-
щенный вид:
№-п-1
Г
По общим формулам (38 и 41) определяются усилия в стержнях
статически неопределимой пространственной_ фермы с одним лишним
стержнем.
§ 29. Расчет статически неопределимых пространственных ферм
со многими лишними стержнями.
Рассмотрим теперь расчет статически неопределимой пространствен-
ной фермы с несколькими лишними элементами, например с тремя
лишними стержнями, имея в виду,, что статически неопределимые си-
стемы степени выше третьей не применяются на практике ввиду боль-
шой трудности расчета, требующей затраты большого количества
времени. -
Удаляем из фермы все лишние стержни, причем за лишние стержни
принимаются такие, после удаления которых система все-таки сохраняет
свою геометрическую неизменяемость, или жесткость, и узлы не подучают
возможности перемещаться без изменений длины стержней.
Поэтому удалив все лишние стержни, обязательно надо исследовать
систему в отношении жесткости (см. § 13).
Заменяем действие на ферму отброшенных стержней двойными рав-
ными и прямо противоположными силами X. У, Z, приложенными к уз-
лам этих отброшенных стержней, направленными по их осям и выражаю-
щими неизвестные пока усилия в этих элементах.
Затем рассматриваем следующие состояния' фермы без лишних
стержней, т. е. основной системы.
Первое состояние. Ферма подвержена действию данной внешней уз-
ловой нагрузки и неизвестных пока сил X, У, Z, приложенных к узлам
выброшенных стержней. Определяем усилия № во всех элементах фермы
от заданной нагрузки, причем очевидно, что в выброшенных стержнях
усилия будут равны нулю, так как этих стержней нет в рассматриваемой
здесь статически определимой основной системе. После этого внешняя
нагрузка удаляется.
Второе состояние. Ферма подвергается действию двух равных и прямо
противоположных сил пх = 1 тонне (или 1 кг). приложенных к узлам
п е р в о г о»выброшенного стержня и направленных по оси его.
Определяем усилия п во всех элементах фермы. Но так как в дей-
ствительности усилие в первом выброшенном стержне равно не единице,
а неизвестной ч пока величине X. то очевидно, что усилие в каждом
из остальных стержней системы будет в X раз больше, т. е. будет
равно п-Х.
После этого сила пъ = 1 т удаляется.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
187
Третье состояние. Ферма подвергается действию двух равных и
прямо противоположных сил /я8 = 1 тонне (или 1 ягг), приложенных
к узлам второго выброшенного стержня и направленных по оси его.
Определяем усилия т во всех элементах фермы. Но так как в дей-
ствительности усилие во втором выброшенном стержне равно не единице,
а неизвестной пока величине У9 то очевидно, что усилие в каждом из
остальных элементов фермы будет в У раз больше, т. е. будет равно
т • У.
После этого сила т2 = 1 удаляется.
Четвертое состояние. Ферма подвергается действию двух равных
прямо противоположных сил 53 = 1 т (или 1 кг)9 приложенных к узлам
третьего выброшенного стержня и направленных по оси его.
Определяют усилия s во всех элементах фермы.
Но так как в действительности усилие в третьем выброшенном стер-
жне равно не единице, а неизвестной пока величине Z, то очевидно,
что усилие в каждом из остальных элементов фермы будет равно s*Z.
Тогда усилие в каждом стержне данной фермы на основании закона
независимости действия слагаемых сил определится по общей формуле:
N=N° + n'X-\-m-Y+s-Z.	(45)
Затем на основании закона виртуальных перемещений (формула 37)
можно написать следующие уравнения деформации, принимая за первое
состояние данную нагрузку на ферму.
1.	Для первого и второго состояний совместно.
Уравнение деформации будет иметь следующий вид:
2«-4 + /|Д=?0,	(а)
причем на основании закона Гука, имеем следующие выражения дефор-
мации:	♦
здесь — есть длина первого выброшенного стержня, Fj— площадь
поперечного сечения этого стержня и усилие ^=‘1.
Подставляя эти значения в уравнение (а), получим:
yN-n-i, x.i,:
E F “f-Fj
А подставляя сюда значение усилия N из формулы (45), получим сле-
дующее уравнение:
(1)	(46)
2.	Для первого и третьего состояний совместно уравнение деформа-
ции будет иметь следующий вид:
2/и^4-т2’г, = 0,	(Ь)
18а РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
где
к Nd > m^Y-L
)=-TF " ’> = ±7^
причем lt — длина второго выброшенного стержня, а Г, — площадь
поперечного сечения этого стержня и усилие w2=l.
.Подставляя эти значения в уравнение (Ь), будем иметь
- E-F T E-F,
А подставляя сюда значение усилий N из формулы (45), получим
следующее уравнение:
(2) ’	(47)
3.	Для первого и четвертого состояний совместно урав-
нение деформации будет иметь следующий вид:
25-$+5зЛ=о»	(с)
где
причем /3— длина третьего выброшенного стержня, a F3— площадь
поперечного сечения этого стержня и усилие $3 = 1.
Подставляя эти значения в уравнение (с), будем иметь:’
V S I Z‘Z3 _ л
О
А подставляя сюда значение усилия N из формулы (45), получим
следующее уравнение:
(3)
-	-»	о
(48)
Из этих трех уравнений (имеющих порядковую нумерацию слева)
с тремя неизвестными X, К и Z можно определить эти последние ве-
личины.
Тогда усилие W в каком-либо элементе фермы определится по общей
формуле (45).
Усилие в первом выброшенном стержне, определяемое по той же
общей формуле, будет равно:
=
ибо в данном случае
ATJ = 0, пг = 1, т = 0 и $! = ()<
Примеры расчета статически Неопределимых ферм t 18й
Усилие во втором выброшенном стержне, определяемое по той же
общей формуле (45), будет равно:
w2=r,
ибо в этом случае
А/£ = 0, п2 — 0, т2 = \ и $2 = 0.
Усилие в третьем выброшенном стержне, определяемое по той же
общей формуле (45), будет равно:
Af3 = Z,
ибо в этом последнем случае
Д? = 0, /ц = 0, /пч = 0 и $ч = 1.
Из этого изложения видно, что расчет- статически неопределимых
пространственных ферм значительно усложняется в зависимости от числа
лишних элементов фермы.
Поэтому, для упрощения расчета следует выбирать всегда такую си-
стему фермы, чтобы она имела только одну степень статической неопре-
делимости или в крайнем случае не более двух степеней.
Наиболее рациональные современные конструкции пространственных
ферм вполне удовлетворяют этому условию, и поэтому расчет их на
основании изложенной выше теории не представляет особых затруднений.
§ 30. Примеры расчета статически неопределимых простран-
ственных ферм.
Для пояснения теории расчета статически неопределимых простран-
ственных ферм, изложенной в предыдущих параграфах, рассмотрим не-
сколько простых примеров, имея
в виду, что более сложные при-
меры потребовали бы слишком
много и места и времени.
Первый пример. Найти уси-
лия в четырех стержнях кронштей-
на при действии силы Р= 3 тонны,
приложенной в узле К (черт. 162).
Размеры кронштейна показаны
на чертеже 162.
Для упрощения расчета пред-
положим, что все стержни имеют
одно и то же поперечное сечение
F и одну и ту же длину I = 5 м,
как это видно из чертежа.	Черт. 162.
Данная система имеет /и = 4
стержня, л = 5 узлов и $=3X4 = 12 опорных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в уравнение (11):
т — (3-п — $) = 0,
190 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
выражающее первое условие статической и геометрической определи-
мости прикрепленной системы, получим:
4 — (3X5 — 12)= 1,
т. е. данная система имеет один лишний стержень и поэтому будет одна-
жды статически неопределимой.
Отбрасываем лишний стержень DK-
За лишний стержень в данном случае можно принять любой из че-
тырех стержней кронтшейна, так
2
Черт. 163.
как остальные три стержня, не лежащие
в одной.плоскости, всегда будут
сохранять геометрическую неизме-
няемость системы.
Далее рассматриваем два со-
стояния основной системы.
Первое состояние. Система из
оставшихся трех стержней подвер-
жена действию силы Р=3 /п,
приложенной в узле К (черт. 163).
Разлагаем сперва силу Р на две
составляющие по направлению
стержня КС и по направлению
биссектрисы КЕ угла АКБ в
плоскости стержней АК и ВК,
причем находим растягивающее
усилие в стержне СК, равное:
где
Р	3X5
sin а 3
|-5 т,
ЕС 3
slna==^c=T
и сжимающую равйодействующую Rv идущую по направлению биссек-
трисы КЕ;
tga
3X4
где
, ЕС 3
tga— ЕК~ 4 '
Эту равнодействующую Rx разлагаем в плоскости АКВ на две со-
ставляющие по направлениям симметрично расположенных стержней.КА и
КВ, причем получим сжимающие усилия в этих стержнях
4X5
5—Ц=——— = — 2,50 т,
2	3 2-cos^ 2X4
где
COSp =
EK
АК
/V*
4
4
5 ‘
ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ 191
Второе состояние. Отбрасываем данную нагрузку Р и приклады
ваем к узлам К и D две равные и прямо противоположные силы
пг = 1 т, направленные по оси отброшенного стержня KD (черт. 164).
Ра&лагаем по предыдущему силу л* в 1 /я, приложенную в узле
К на две составляющие по направлению ребра КС и по направлению
биссектрисы КЁ угла А КВ, причем получим усилие в стержне КС.
п4 = пг —	1 ту
и равнодействующую, направленную по биссектрисе КЕ,
п	2X1X4	, м
г= — 2• ‘Cosа =------——g------= — 1,60 т,
Разлагая эту равнодействующую на две составляющие по направле-
ниям симметрично расположенных стержней КА и КВ, найдем сжи-
мающие усилия в этих стержнях:
г	1,60X5
Л2 =7Z3 = "п---Г — ~	л~ —----1 т-
2	3 ч2 • cos р 2X4
Усилие в лишнем стержне KD определяется по формуле (44), кото-
рая ;в данном случае (при равных сечениях всех стержней и равной
длине их) принимает следующий упрощенный вид:
Для определения величины X по этой формуле составляем сводную
таблицу VI найденных выше усилий (стр. 192).
Подставляя найденные из таблицы числовые значения суммарных
коэфициёнтов в формулу (а) получим усилие в лишнем стержне DK>
v 10,00 л z
X —------- = — 2,50 т (сжатие).
192 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Таблица VI.
№ стержня	Наименование стержня	№ тонны	п тонны	№-п	«2	N = N° + n-X
1	2	3	4 ,	5	6	7
1	DK	0	+ 1 ,	0	1	— 2,50
2	АК	— 2,50	— 1,00	2,50	1	0
3	ВК	— 2,50	— 1,00	2,50	1	0
4	СК	+ 5,00	+ 1,00	5,00	1	+ 2,50
	•	✓	2=	10,00	4,00	
Усилия в остальных стержнях,' определяемые по общей-формуле (38)
вида:

помещены в последней вертикальной графе сводной таблицы VI.
Сравнивая между собой числа третьей и седьмой вертикальных коло-
нок этой таблицы, замечаем, что при постановке четвертого стержня DK все
стержни конструкции получают совершенно иное распределение усилий,
чем в случае статически определимой системы, состоящей из трех стержней.
При этом в статически неопределимой
системе горизонтальные стержни АК и ВК
оказались ненапряженными^ тогда как в ста-
тически определимой системе эти стержни
работают. При ином (не вертикальном) распо-
ложении внешней силы Р конечно будут рабо-
тать и горизонтальные стержни данной системы.
Этот пример между прочим служит до-
казательством общего положения, что если
внешняя сила Р расположена в плоскости
каких-либо стержней, то усилия во всех дру-
гих стержнях, не лежащих в этой плоскости,
будут равны нулю от этого груза. На этом
положении основан способ расчета простран-
ственных ферм при помощи разложения их
на плоские системы.
Второй пример. Рассмотрим двухярусную
диагоналями в плоскости каждого пояса и
стержнях этой системы, при действии горизон-
тальной силы W= 2 m, приложенной в верхнем узле а (черт. 165).
Данная система имеет т = 26 стержней, «=12 узлов и$ = 4ХЗ = 12
опорных закреплений.
Черт. 165.
призматическую ферму с
определим усилия во всех
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ 133
_______________________________а_________________
Подставляя эти числовые данные в уравнение (11):
т — (3-п — sJ = O,
выражающее первое условие статической и геометрической определимости
прикрепленной системы, получим:
; 26 — (ЗХ 12 — 12) = 2,-
т. е. данная система будет иметь два лишних стержня, и поэтому будет
дважды* статически неопределимой.
Для расчета этой системы принимаем за лишние стержни две диаго-
нали ас и акс1 в плоскостях верхнего и среднего поясов и, отбрасывая
эти два стержня, получаем статически определимую и геометрически не из- -
меняемую пространственную систему без лишних стержней, которая назы-
вается „основн^р системой".
Второе условие геометрической неизменяемости легко может быть до-
казано при помощи нулевой нагрузки (см. § 11).
Далее рассматриваем три состояния системы без лишних стержней.
Первое состояние. На ферму действует внешняя горизонтальная сила
IF=2 /и, приложенная в верхнем узле а.
Так как эта сила расположена в плоскости передней грани АаЬВ, то,
расчленяя пространственную систему на плоские
усилия в стержнях передней плоской фермы АаЬВ,
остальных плоских систем будут равны нулю.
Заметим кстати, что это заключение может быт
отсутствии диагоналей ас и агсг В присутствии
внешняя сила W будет находиться не только в
плоскости боковой грани АаЬВ, но и в плоскости
верхней грани abed, т. е., другими словами, сила
>
«и конечно в этом’ случае данную систему с лиш-
ними стержнями нельзя уже разложить на плоские
фермы, Определив усилия во всех стержнях рас-
сматриваемой системы от действия заданной на-
грузки’ IF, сгруппируем их в третьей вертикальной
графе таблицы VII (стр. 194).
Второе состояние. Удаляем внешнюю силу W
и прикладываем к узлам а и с основной системы
две равные и прямо противоположные силы = 1 т,
направленные по оси первого выброшенного стер-
жня ас (черт. 166).
Определяем усилия п во всех элементах рас-
сматриваемой системы от действия двух сил пг = 1 т, приложенных в
узлах а и с.
При этом прежде всего рассматриваем ненагруженный узел Ь. Усилие
в отдельно стоящем стержне Ьс будет равно нулю на основании второго
положения (см, стр. 79). Точно так же, рассматривая ненагруженный
узел d, замечаем, что усилие в отдельно стоящем стержне da также
будет равно нулю на основании того же положения.
Bde эти вычисления -группируем в четвертой вертикальной графе таб-
лицы уЦ (стр. 194).	•
13. Подольский, И С.
системы, определяем
Усилия в стержнях
> сделано только при
же этих диагоналей
w действует по ребру ab двух смежных граней
194 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Таблица VU.
№ стержня	Наиме- нование стержня	№	n	m	№-n	№-m	ri*		n-m
1	2	3	4	5	6	7„	8	9	| TO
1	ас.	0	1	0	0	0	1	0	0
2		0	0	1	0 r> '	0	O'	1 •	0
3 .	ab	— 2	1 —7*	0	2 7?	0	1 T	0	0
4	be	0	0	0	0	0	0	0	0
5	cd	0	“7*	0	0	0	1 T »	0	0
6	dd	0	0	0	0	0	0	0	0
7 /	aak	0	1 j/2	0	0	0<	i 2	0	0
8	ba{	2-j/2	1	0	2- j/2	0	1	0	0
9	bbi	— 2	1 “/2	0	2 j/2	0	1 2	0	0
10		0	— 1	0	0	0	1	0	0
11	CCl	0	1 V*	0	0	0	1 : 2	0	0
12	det	0	1	0	0	0	i	0	0
13	ddt	b	”7^	0	0	0	i 2	0	0
14	ad{	0	— 1	0	0	0	1	0	0
15		— 2	1 ~/2	1 ~ P2	2 /2	2 ^2	1 * 2	1 2	•1 2
16 .		0	p?	, 0	0	0	1 T	0	0 '
17		0	1 ~/2	1	0	0	1 2	1 2	2
18		0	1 w -	0	0	0	1 2"	0	0.
19	a^A	2	3	1 j/2	6 ]/2	2	9 2	1 2	3 2
20	b{A	2-1/2	1	1	2- j/2	2. j/2.	1	1	1
21	M	- 4	3	1 -J/?	12 ^2	4 - /2	9 2	1 2	3 2
22		0	— i	— 1	0	0	1	1	1
23	с^С	XL	3 |/2	1 	0	0	9 2	1 2	3 2
24	d£	0	1	1	0	0	1	1	1
’Г			3	1 *			9	4	3
25	dj)	0	~V2	- ~~ j/T	0	0	Д	2	>. 2
26	aj) ।	0	— 1	— 1	0	*0	1	1	1
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА' СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ 105
Так как в действительности усилие в первом выброшенном стержне ас
равно не единице, а неизвестной' пока величине X, то следовательно
усилия во всех стержнях основной системы будут в X * раз больше,
т. е. будут равны п*Х.
Третье состояние. Удаляем силы пх = 1 т и прикладываем к узлам
а2 и q среднего пояса две равные и прямо про-
тивоположные, силы т2 = 1 тонне, направленные
по оси второго выброшенного стержня (черт. 167).
Определяем усилия во всех элементах фер-
мы от действия двух сил /«2 = 1 тонне прило-
женных в узлах а2 и сг Здесь также, рассма-
тривая недогруженные узлы Ьх и d19 находим,
что усилия в отдельно стоящих стержнгх
и ^а2 порознь равны нулю.
Все расчетные данные помещены в пятой вер-
тикальной графе таблицы VII.
Так как усилие во втором выброшенном
стержне равно не единице, а неизвестной пока
величине F, то, следовательно усилия во всех
стержнях основной системы будут в Y раз больше,
т. е/будут равны m*Y.
Усилие в каждом стержне данной системы
формуле:
V=^-|-«-Ar-[-/«• У,
(а)
где неизвестные усилия X и Y в лишних стержнях ас и а/г определя-
ются из следующих двух уравнений:

(Ь)
(с)
x’li ...
О
и
Два последние уравнения получаются из общих формул (46) и (47),
если в них положить Z = 0, так как третьего лишнего стержня в рас-
сматриваемой здесь системе не имеется.
Для упрощения дальнейшего расчета полагаем, что все стержни сде-
ланы из одного материала и, имеют одинаковую площадь поперечного
сечецдо F.
Тогда, сокращая в уравнениях (Ь) и (с) одинаковые множители, и
раскрывая скобки, получим следующие выражения
2 № • п  14- X-2 «8 'I + Y' 2 •т • п -14- X- = О,
К4,==о.
Последние члены в этих двух уравнениях можно представить в таком виде;
м Г1М2
13%
196 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Включая под знак суммы 2л2 / и член 1Ц, а под знак суммы
2 т21 член 1М2, получим следующие два уравнения в окончательной форме:
2^°-л^ + ^-2л2’/+ У^т^п-1 = 0	(d)
Х-^п-K.JJm2 / —0.	(е)
Пользуясь данными таблицы VII определяем множители- №% №-т,
п2, т? и п*тг входящие в уравнения (с) и (d), и помещаем их также
в таблицу VII (стр. 194).
Для дальнейшего расчета необходимо задаться длиной стержней.
Предположим^ что длина стоек и горизонтальных раскосов равна еди-
нице, т. е. 1= 1 м, тогда длина каждого раскоса будет равна d = l*V2 —
= У2 м.
Составляем вторую сводную таблицу VIII, куда вносим все расчетные
величины, необходимые для составления суммарных коэфициентов урав-
нений (d) и (е).
Заметим при этом, что таблицу VII можно было бы несколько со-
кратить, выбросив вертикальные графы от 6-й до 10-й и соединить ее с та-
блицей VIII в одну, и если эти таблицы показаны здесь раздельно, то это
вызвано только недостаточными размерами книжной страницы и желанием
дать наиболее упрощенный прием последовательного расчета при
помощи только одних табличных данных, не прибегая к побочным вы-
числениям.
Пользуясь суммарными коэфициентами, показанными в последней
горизонтальной строке сводной таблицы VIII, и подставляя эти величины
в уравнения (d) и (е) получим следующие выражения:
35,69-Х-р 12,64- Г4-24,92 = 0,
12,64.АГ + 8,64* Г-f- 9,64 = 0.
Решая эти уравнения, находим искомые усилия в лишних стержнях ас
и axcx данной системы (черт. 165):
9,64 X 12,64 —24,92 X 8,64 _ —93,46
35,69 X 8,64 — 12,64 X 12,64“	148,59“ °,Ь
24,92 X 12,64 — 9,64 X 35,69	—29,06
35,69 X 8,64— 12,64 X 12,64 ~	148,59“ ’ т'
Подставляя эти числовые значения в общую формулу (а), найдем уси-
лия во всех стержнях данной системы с двумя лишними стержнями.
Величины этих усилий, вычисленные по формуле (а), помещены в по-
следней вертикальной графе сводной таблицы VIII.
Сравнивая эти .числа с числами третьей вертикальной графы таблицы VII,
не трудно заметить, что в статически неопределимой ферме благодаря
присутствию двух лишних диагоналей ас и ахсх, происходит совершенно
иное распределение усилий,, чем в статически определимой ферме без
лишних стержней, причем стержни передней грани АаЬВ несколько раз-
гружаются, а. за счет этого разгружения начинают работать стержни
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ 197
Таблица VIII.
№ стержня	Наиме- нование стержня	Длина стер- жня /		№-m-l	«4	/nM	m>n>l	Усилие N. в тоннах
1	2	з	4	5	6	7	8	9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 111 12 13 И| 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26	ас ab Ьс cd da aai ba{ bb< cbi ddt ad{ d{at a{A b{A b{B c{B diC dfi a{D	/2 /2 1 1 1 1 1 j/2" 1 j/2 1 У2 1 /2 1 1 . 1 1 1 |/2 1 p/2 1 /2 1 V'2	0 0 2 |Д 0 0 0 0 4 2 Vz2 0 0 0 0 0 2 |/2 0 0 0' 6 j/2- 4 12 )/2 0 0 0 • . 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 * j/2 0 0 0 2 J/2 4 4 /2 0 0 0 0 0	j/2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1/2 1 2 /2 1 2 /2 1 2 >/2 1 2 1 2 1 . 2 1 2 9 2 |/2 9 2 >/2 9 2 . I/2 9 2 1/2	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2' 0 1 2 0 1 2 1/2 1 2 /2' 1 2 • 1/2 1 2 j/2	0 0 0 0 0 0 0 o' 0 6 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 3 2 3 2 1/2 3 2 1/2 3 2 ^2	-0,63 — 0,20 — 1,56 0 0,44 0 — 0,44 2,19 - 1,56 0,63 — 0,44 — 0,63 0,44 0,63 — 1,42 — 0,44 — 0,58 — 0,44 ,	0,54 2,24 — 2,54 0,83 — 1,46 — 0,83 -1,46 — 0,83
	।	1 2	1 24,92 I	| 9,64	35,69	|	8,64	12,64	
198 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
остальных* трех плоских граней, которые в статически определимой си-
стеме при заданной нагрузке совсем не работают.
Таким образом постановка двух диагоналей ас и в плоскостях
обоих поясов пространственной фермы (черт. 165) дает возможность бо-
лее рациональным образом утилизировать материал или же более выгод-
ным образом распределить количество материала между всеми частями
данной конструкции.
В этом очевидное преимущество статически неопределимых систем
с лишними стержнями, и только некоторая сложность расчета гиперста-
тйческих систем заставляет инженеров применять простейшие изостати-
ческие системы как плоские, так и пространственные.
§ 31. Влияние температуры на усилия в пространственных
фермах.
Изложив основные методы расчета пространственных ферм, пере-
ходим теперь к исследованию влияния температуры на усилия в стержнях
и на опорные реакции в пространственных стержневых сочленениях.
Не трудно доказать, что в статически определимой (или изостатиче-
ской) пространственной ферме не будут появляться добавочные усилия от
изменения температуры, или другими словами — усилия от термических
сил во всех стержнях системы будут равны нулю.
. В самом деле допустим, что от изменения температуры воздуха по-
явились соответствующие реакции в опорах и термические усилия во
всех стержнях пространственной фермы.
Для определения этих усилий имеем 3-п линейных уравнений равно-
весия всех узлов (где п—число узлов), причем эти уравнения заключают
в себе 3-п неизвестных усилий в стержнях и опорных параметрах.
Напишем ряд канонических линейных уравнений:
аГ^1+	+	•••
В этих уравнениях коэфициенты а, Ь,	— зависят только от
размеров стержней фермы, а величины 5n 52, 53,..., 5П суть однородные
линейные функции внешних активных сил, т. е. их проекции на коорди-
натные оси и моменты относительно тех же координатных Ьсей.
В данном случае, при действии только одной температуры все ве-
личины 5=0, так как никаких внешних сил к системе не приложено.
Следовательно все неизвестные усилия X, определяемые на основа-
нии теории детерминантов по формуле вида:
будут равны нулю, так как одна из строк детерминанта будет состоять
из нулей (5 = 0), поэтому и все числители Dk = Q при детерминанте
(D^O), не равном нулю.
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА УСИЛИЯ В ПРОСТРАНСТВ. ФЕРМАХ 199
Необходимо однако заметить, что вследствие изменения температуры
несколько изменяются размеры стержней, а в зависимости от этого из-
менятся и коэфициенты: а, Ь, с ,. .. указанных выше линейных канониче-
ских уравнений.
Поэтому если к пространственной ферме приложены ещё и внешние
силы, то вызываемые ими усилия в стержнях и опорные реакции не-
сколько изменятся, вследствие изменения длины стержней под действием
температуры, но изменения эти весьма незначительны и относятся к ве-
личинам „пренебрегаемым в теории упругости*. Если в статически опре-
делимой ферме при действии температуры и детерминант будет равен
нулю (0 = 0), т. е. в случае мгновенного изменения длины стержней,
то температурные усилия получаются не нулевыми, а неопределенными.
Если пространственная ферма статически неопределима, то при дей-
ствии только одной температуры усилия не будут равны нулю.
Указанное здесь свойство статически определимых пространственных
систем составляет их большое преимущество перед статически неопреде-
лимыми системами.
Статическая определимость стержневых сочленений обусловливается
между прочим тем, что в узлах предполагаются идеальные . шаровые
шарниры, допускающие свободное вращение стержней во все стороны.
Между тем в металлических сооружениях стержни склепываются
между собой в узлах заклепками непосредственно или с помощью осо-
бых накладок, и поэтому углы между осями стержней становятся почти
неизменяемыми. t
Это обстоятельство, строго говоря, совершенно уничтожает статиче-
скую определимость пространственных стержневых сочленений.
Вследствие жесткости узлов стержни при деформации системы
будут подвергаться изгибу и скручиванию, причем, наибольшие напряже-
ния превзойдут те средние, которые получаются делением усилия, рас-
считанного в предположении шарнирных узлов, на площадь поперечного,
сечения стержня:
Разность между действительным напряжением и рассчитанным указан-
ным способом средним напряжением называется дополнительным
напряжением. '
Вообще при жестких узлах дополнительные напряжения неизбежны,
но величина их зависит от очертания и размеров сочленения, и отчасти
мо нет быть уменьшена рациональным проектированием конструкции.
Не входя в подробное рассмотрение довольно сложного вопроса о
дополнительных напряжениях: вообще, остановимся лишь на выяснении
дополнительных напряжений, вызываемых в пространственной системе
при равномерном изменении температуры во всех ее стержнях.
Вследствие жесткости узлов сочленения равномерное изменение тем-
пературы вообще вызывает в нем дополнительные напряжения.
Если однако опоры сочленения при условии т — (3*л— 5) = 0 уст-
роены так, что при одинаковом относительном изменении длины стержней
сочленение может принять форму, подобную первоначальной, то допол-
200 РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
нительные напряжения, появляющиеся цри равномерном изменении темпе-
ратуры и Зависящие от жесткости узлов, равны нулю.
Действительно в этом случае возможно пропорциональное изменение
длины всех стержней без изменения углов в узлах системы.
Следовательно неизменяемость углов не имеет никакого влияния на
изменение формы от равномерного нагревания или охлаждения.
Если же опоры пространственного сочленения не допускают измене-
ния его очертания с сохранением подобия, то от равномерного измене-
ния температуры явится стремление изменить углы в узлах фермы, а при
жесткости этих узлов появятся изгиб и скручивание стержней.
Так например тетраэдр (черт. 168) может сохранить подобие при
тирными линиями,
равномерном удлинении стержней, как это показано на чертеже пунк-
а треножник с закрепленными опорами (черт. 169) не
может сохранить подобия в
обоих случаях при условии же-
сткости узлов.
Поэтому при изменении тем-
пературы в тетраэдре не будет
дополнительных напряжений от
жесткости узлов, а при наг-
ревании треножника все стер-
жни его вследствие жесткости
верхнего узла
это показано •
чертеже 169.
изогнутся,
пунктиром
как
на
На том же основании ку-
польное покрытие с опорным кольцом и с опорами
второго рода, т. е.
на цилиндрических катках, не получает дополнительных напряжений от
жесткости углов при изменении температуры, если только опоры допу-
скают сохранение подобия опорного кольца (черт. 49 на стр. 45).
Если же купол не имеет опорного кольца (черт. 18 на стр. 14)
или хотя и имеет, но опоры не допускают сохранения подобия опорного
кольца, то при равномерном нагревании стержней жесткие узлы могут
вызвать дополнительные напряжения в элементах фермы.
На основании этого, если пространственная система с жесткими
узлами может подвергаться значительным изменениям температуры, то
желательно совершенно избежать хотя бы тех'дополнительных напря-
жений, которые возбуждаются при равномерном нагревании или охлаж-
дений стержней.
Поэтому в этих случаях следует отдавать предпочтение таким простран-
ственным фермам, опоры которых допускают сохранение подобия всего
сочленения (например фермы, показанные на черт. 24, 27, 30).
Это исследование может служить полезным указанием при’ выборе
й проектировании пространственных ферм с жесткими узлами.
Для того чтобы все стержни данной пространственной системы имели
возможность свободно изменять свою длину в зависимости от изменения
температуры, опоры должны быть расположены*соответствующим образом.
Так например на черт. 170 показано правильное расположение опор
пространственной мостовой фермы, причем в точке А расположена не-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ОТ ДЕЙСТВИЯ ТЕМПЕРАТУРЬ^ ’	201
подвижная или закрепленная опора (третьего рода), в точке В распо-
ложена подвижная (цилиндрическая) опора* второго рода, позволяющая
стержню АВ удлиняться или укорачиваться.
В точке D также имеется подвижная опора второго рода, позволяю-
щая стержню AD удлиняться или укорачиваться, и наконец в точке С
должна быть шаровая опора, прзволяющая л	#
этой точке перемещаться во все стороны
на плоскости.
Поэтому при повышении температуры
ферма ABCD свободно может принять по-
ложение	как это показано на
чертеже пунктиром.' Точно так же, при в\ м---   	.	;
понижении температуры ферма ABCD мо- -------------------------
жет занять новое положение AB2C2D2 ‘ церь
внутри первоначального контура, причем
указанное выше устройство опор не будет препятствовать такому измене-
нию длины стержней фермы.
Как видно из чертежа, такая ферма должна иметь
$;=3-|-2-|-24-1 = 8
опорных закреплений и 4 степени свободы.
Указанные в § 19 условия правильного расположения подвижных
опор пространственных ферм находятся в тесной связи с вопросом о
свободном изменении всей системы под действием термических сил при
сохранении ее жесткости.
Поэтому выполнение этих условий является существенно необходи-
мым при проектировании всякой пространственной фермы.
§ 32. Определение усилий от действия температуры в стати-
чески неопределимых пространственных фермах.
Как указано было в предыдущем параграфе, изменение температуры
не вызывает никаких дополнительных, усилий в статически определимой
пространственной ферме при условии шарнирного соединения стержней
во всех узлах. И, наоборот, изменение от температуры длины одного
элемента статически неопределимой фермы вызывает так называемые тер-
мические усилия во всех остальных элементах этой фермы.
Покажем здесь, как определяются эти термические усилия, и для
примера возьмем пространственную ферму с одним лишним стержнем и
следовательно однажды статически Определимую.
Предположим, что температура окружающего воздуха повысилась на
/° С и вызвала в лишнем стержне (а) термическое усилие Xt> при этом
длина одного элемента увеличилась на величину
(49)
от непосредственного действия температуры на данный элемент и увели-
чилась еще на основании закона Гука на величину
»:=^	(«о
от действия термического усилия Xt .
202 РАСЧЕТ.СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
В этих формулах /о обозначает длину стержня (a), Fa — площадь
его поперечного сечения, Е— коэфициент нормальной упругости дан-
ного материала и k — коэфициент линейного расширения.
Следовательно общее удлинение лишнего стержня (а) будет равно:
<51>
Отбрасываем теперь лишний стержень (а) и заменяем его действие на
остальные стержни фермы двумя равными и взаимно противополож-
ными термическими силами Xt, приложенными к узлам отброшенного
стержня и направленными по оси этого стержня. Приэтом за лишний
стержень принимается тот элемент фермы, удаление которого не нару-
шает геометрической неизменяемости данной системы, т. е. не дает
возможности узлам перемещаться без изменения длины стержней.
Кроме того с удалением этого лишнего стержня рассматриваемая си-
стема становится статически • определимой фермой. В дальнейшем изло-
жении такую ферму без лишнего стержня будем называть основной си-
стемой в отличие от заданной системы с лишним стержнем.
Рассматривая затем эту основную систему, прикладываем к узлам
отброшенного лишнего стержня (а) две равные и прямо противополож-
ные силы па=1, направленные по оси этого стержня, и определяем
усилия (п) во всех элементах этой основной системы.
Но так как в действительности термическое усилие в лишнем стер-
жне (а) равно не единице (па = 1), а Xt, то следовательно термиче-
ское усилие в каждом из остальных стержней фермы будет равно не л,
а в Xt раз больше, т. е. будет определяться общим выражением:
Nt = n-Xt;	(52)
Под влиянием этого термического усилия изменение длины каждого
элемента основной системы на основании закона Гука, будет равно:
. Nt-l n-Xrl
$ = —t— = 1—,
E-F E-F
(53)
На основании закона виртуальных перемещений, изложенного выше
в § 27 (формула 37), можно написать следующее уравнение возможного
перемещения:
+	=	(54)
которое' выражает сумму произведений деформаций первого состояния
равновесия на соответствующие силы второго состояния равновесия.
Подставляя в последнее уравнение указанные выше значения дефор-
маций (8) и (Ja), а также значение лв=1, получим такое выражение:
S 1 • [* •'° •	=0 •	<55)
Это уравнение можно представить в следующем виде:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ОТ ДЕЙСТВИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 203
В этом уравнении знак суммы (2) распространяется на всё элементы
пространственной фермы кроме рассматриваемого лишнего элемента (а),
а второй член, стоящий в скобках, относится к этому последнему эле-
менту, усилие которого па=19 или п? = I2. Поэтому, распространяя
знак суммы (2) на все элементы данной фермы, включая и лишни !
стержень (а), можно представить предыдущую формулу, в следующем не-
сколько упрощенном виде:
<57)
откуда определяем искомое термическое усилие в рассматриваемом лиш-
нем элементе данной однажды статически неопределимой пространствен-
ной фермы, которое будет равно:
Е<Г
В случае понижения температуры произойдет отрицательное прира-
щение длины рассматриваемого лишнего стержня фермы, и величина
термического усилия получится с обратным предыдущему знаком.
Определив термическое усилие (Xz) в лишнем элементе фермы, легко
можно будет определить термическое усилие в каждом из остальных
элементов данной фермы по общей формуле (52), приведенной выше.
Из этого примера видно, что определение термических усилий в про-
странственной ферме с одним лишним стержнем, т. е. однажды стати-
чески неопределимой, сводится к расчету усилий (л) в стержнях основ-
ной системы (г. е. без лишнего стержня) для двух равных нагрузок
ла = 1, приложенных к узлам выброшенного лишнего стержня, взаимно
противоположных и направленных по оси этого элемента.
Указанный здесь способ определения термических усилий легко мо-
жет быть распространен на пространственные фермы с несколькими
лишними стержнями, независимо от того, будут ли эти элементы пред-
ставлять собой опорные стержни или стержни фермы.
В качестве второго примера рассмотрим определение термических
усилий в пространственной ферме дважды статически неопре-
делимой, т. е. имеющей два лишних стержня (а) и (Ь).
Обозначим термическое усилие в лишнем элементе (а) через X,, а
термическое усилие в лишнем элементе (Ь) — через Yt.
Затем отбросив эти лишние стержни, приложим к узлам первого вы-
брошенного стержня (а) две равные и противоположные силы ла = 1,
направленные по оси этого стержня, и определим соответствующие уси-
лия (л) во всех элементах основной системы без лишних стержней.
Очевидно, что при этом усилие во втором выброшенном стержне (Ь)
будет равно нулю (л^ = 0), так как этого стержня нет.
Точно так же, рассматривая основную систему без лишних стержней,
приложим к узлам второго выброшенного стержня (6) две равные и
противоположные силы /и^=1, направленные по оси этого стержня, и
204 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
определим соответствующие усилия (т) во всех элементах основной
системы без лишних стержней. Очевидно, что при этом усилие в первом
выброшенном стержне (а) будет равно нулю (/яо = 0), так как этого
стержня нет.
Но так как в действительности термические усилия в двух лишних
стержнях равны не единице (ла=1 и mb= 1), a Xt и Yt, то следова-
тельно термическое усилие в каждом стержне основной системы опреде-
лится по общей формуле:
(59)
Тогда удлинение первого лишнего стержня (а) от непосредственного
действия температуры (/°) и от действия термического усилия (Xt) в
этом элементе на основании выведенной выше формулы. (51) будет равно:
+ f^.	(60)
где 1а — длина первого лишнего стержня (а), и Ра — площадь его по-
перечного сечения.
Точно так же удлинение второго лишнего стержня (/>) от непосред-
ственного действия температуры (/°) и от действия термического усилия
(Yt) в этом элементе будет иметь аналогичное выражение:
=	(61)
где 1Ь — длина второго лишнего стержня (Ь), и Fb— площадь его попе-
речного сечения.
Удлинение каждого стержня основной системы (т. е. за исключе-
нием двух лишних стержней) будет равно на основании закона незави-
симости действия сил и согласно формуле (53):
°- Е-Г	E-F '
Далее на основании закона виртуальных перемещений (формула 37)
можно написать следующие два уравнения возможных перемещений.
1) Для первого (основного) и второго состояний фермы:
2«-S-+«o-8o = 0.	(63)
2) Для первого (основного) и третьего состояний фермы:
+	(64)
Подставляя сюда указанные, выше значения деформаций (S), (3fl) и (8 &)
а также значения ла=1 и ть — \> получим следующие выражения:
р(65)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ОТ ДЕЙСТВИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 235
Эги два уравнения можно приставить в следующем виде:
+ r' <67>
<68>
Распространяя знак суммы (2) в обоих этих уравнениях на все
элементы данной фермы, включая и оба лишних стержня, а также имея
в виду, что /га=1 и т^=1, и следовательно л2=12 и т2 = 12, по-
лучим следующие два уравнения в окончательном виде
= <69)
И
СО)
Решая совместно эти два уравнения, найдем Искомые неизвестные тер-
мические усилия Xt и Y\ в двух лишних стержнях пространственной ста-
тически неопределимой фермы.
Когда будут найдены эти усилия, то термическое усилие в каждом
из остальных стержней данной пространственной фермы определится по
общей формуле (59).
Точно так же производится расчет* термических усилий в Статически
неопределимых пространственных фермах и в случае нескольких лишних
стержней. Но обыкновенно на практике применяют только такие про-
странственные фермы, которые имеют не более двух лишних стержней,
т. е. статическая неопределимость которых не выше второй степени,
имея в виду, что расчет многократно статически неопределимых ферм
является весьма» затруднительным как в определении усилий от заданной
нагрузки, так и в определении термических усилий, вызываемых измене-
нием температуры.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. г
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ.
§ 33. Общйе схемы пространственных ферм аэропланов.
Ознакомимся сперва с общими схемами пространственных ферм аэро-
планов, наиболее часто встречающимися на практике, причем условимся
все узлы передней грани аэропланной фермы обозначать большими бук-
вами, а соответствующие им узлы задней грани будем обозначать та-
кими же малыми буквам^.
Кроме того будем рассматривать только одну (левую или правую)
половину аэропланной фермы по отношению к ее средней вертикальной
плоскости симметрии, за исклю-
чат. 171.
зеляжу (или к гондоле) CDEFcdef,
аэроплана, в точках С и с.
Над фюзеляжем имеется пирамида
баномк
чением тех случаев, когда не-
. обходимо будет рассмотреть всю
ферму аэроплана в целом виде.
I. Фермы моноплана. На черт.
171 показана схема простран-
ственной консольной фермы мо-
ноплана. Здесь лонжероны,
или продольные неразрезные бал-
ки ABCD и abed, несущие на
себе крылья, прикреплены к фю-
составляющему центральную Насть
KCDdc, которая называется ка-
К верхней точке К этой пирамиды прикрепляются тросами КА, КВ,
Ка и КЬ узлы лонжеронов А, В, а, Ь.
Назначение этих тросов — поддерживать лонжероны в горизонтальном
положении, во время стоянки аэроплана. Те же узлы А, В, а, Ь при-
крепляются нижними тросами АЕ, BE, ае, be к узлам Е и е фюзеляжа.
Эти последние тросы работают только во время полета аэроплана
и не работают во время стоянки его.
Если принять ’ фюзеляж вместе с пирамидой, как жесткое, геометри-
чески неизменяемое тело, за „основание*, к которому прикрепляется
1 Кабан — от французского слова la cabane, — что в буквальном смысле зна-
чит „палатка*, так как эта пирамида по своей форме напоминает палатку.
ОБЩИЕ СХЕМЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ АЭРОПЛАНОВ 2J7
ферма аэроплана, то рассматриваемая пространственная ферма моноплана
будет статически определима как при соответствующей аэродинамической
нагрузке (давление воздуха) во время полета,, так и при действии соб-
ственного веса во время стоянки.
В самом деле, рассматривая первый случай, когда аэроплан находится
в полете и когда следовательно верхние тросы не работают, будем
иметь дл$Г данной системы: /и = 12 стержней, л = 8 пространственных
узлов (которые на чертеже обозначены кружочками) и 5 = 4X3 = 12
опорных закреплений.	\
Подставляя эти числовые значения в основную формулу (1 ^ вы-
ражающую первое условие статической и геометрической определимости
прикрепленной системы
т —(3*л —$)—•(),	(а)
получим тождество:
12 —(3X8 — 12) = 0.
л Переходя ко второму случаю, когда аэроплан находится на старте,
и когда следовательно нижние тросы не работают, будем иметь для
этого случая т=12 стержней, 7 узлов и $ = 3X3 = 9 опорных
закреплений.
Подставляя эти числовые значения в основную формулу (а) статиче-
ской и геометрической определимости,
также получим тождество:
12 —(3X7 —9) = 0.
Из современных аэропланов по ти-
пу черт. 171 устраиваются аппараты
Моран-Сольнье (Morane-Saulnier).
Иногда кабан вместо пирамиды
имеет форму трехгранной призмы, как
это показано на черт. 172.
Здесь имеются добавочные диаго-
Черт. 172.J
нали №, Kd и AC, AD, которые придают всей конструкции кабана
ббльшую жесткость, чем в первом случае.
В последнее время крылья моноплана делают настолько жесткими,
что они в состоянии выдержать свой собственный вес во время стоянки,
и поэтому кабан не устраивается в таких фермах.
Черт. 173.
II. Фермы биплан?. На черт. 173 показана консольная ферма би-
плана с двумя панелями. Число панелей обыкновенно бывает от одного
208	. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
до трех, но в больших аэропланах (с двумя моторами) число панелей
может быть и‘более трех.
Здесь имеются две плоские фермы: передняя ABCFED и задняя
abcfed, которые соединены между собой верхними поперечными рас-
порками Аа, ВЬ, нижними поперечными, распорками Dd, Ее и попереч-
ными Диагоналями Ad, Da, Be и Eb.
Так как все раскосы или диагонали в аэропланных фермах устраи-
ваются из тросов, которые благодаря своей гибкости не могут вос-
принимать сжимающих усилий, то во время полета работают только
нисходящие раскосы АЕ, BF, т. е. те раскосы, которые, будучи про-
долженными, пересекают вертикальную плоскость симметрии ниже центра
тяжести аэроплана. Во время стоянки аэроплана, а также во время по-
лета на спине, наоборот, будут работать восходящие раскосы DB и ЕС
(на чертеже не показаны), а нисходящие раскосы будут выходить из
строя.
Принимая во внимание этэ обстоятельство и поэтому считая в каж-
дой плоской панели только один раскос, будем иметь для данной системы:
/и = 26 стержней; п—12 узлов и 5 = 4X3 = 12 опорных закреп-
лений.
Подставляя эти числовые данные в формулу (11), выражающую первое
условие статической и геометрической определимости прикрепленной
системы
т—(3-я — 5) = 0,
получим:
26 —(3 X 12 —12) = 2.
Таким образом данная система имеет два лишних стержня и поэтому
будет дважды статически неопределимой.
При расчете таких ферм за лишние стержни принимают обыкновенно
внутренние поперечные раскосы Ad и Вс (или
Da и ЕЬ) в зависимости от того, какая пара из
этих раскосов будет работать при той или дру-
гой нагрузке на передние и задние лонжероны
каждого крыла.
Вопрос о том, какие внутренние поперечные
раскосы будут работать'на растяжение, зависит
от перегрузки передней или задней плоской
фермы аэроплана.
Несущая поверхность крыла прикрепляется
к лонжеронам при помощи поперечных балок
мт и пп, которые называются нервюрами
(черт. 174), причем лонжероны А, а (или D, d)
располагаются таким сбразом по ширине крыла,
чтобы во время нормального (т. е. горизонталь-
ного) полета равнодействующая 2 ? аэродина-
мической нагрузки проходила приблизительно
по середине между лонжеронами.
При этом условии на каждый из лонжеронов А и а будет переда-
ваться более или менее одинаковое давление.
ОБЩИЕ гСХЕМЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ АЭРОПЛАНОВ 209
Заметим кстати, что аэродинамическая нагрузка на крыло (давление
воздуха) выражается прямоугольным треугольником xyz, с наибольшей
ординатой р — ху у переднего ребра крыла.
При изменении угла аттаки а равнодействующая давлений 2 Р может
передвигаться или в сторону переднего лонжерона Д, занимая положение (I),
или в сторону заднего лонжерона а, занимая положение (II), как это
указано на черт. 174 стрелками.
К
Е	F С
Черт. 175.
В первом случае получается
вызывает растяжение раскоса Ad,
грузка заднего лонжерона, что
коса Da.
перегрузка переднего лонжерона, что
а во втором случае получается пере*
вызывает растяжение обратного рас**
Иногда аэропланная ферма биплана имеет в верхнем плане на одну
панель больше, чем в нижнем плане.
Так например на черт. 175 показана ферма биплана, у которого
в плоскости верхнего крыла имеются две панели, а в плоскости нижнего
крыла имеется одна панель. Такие аэропланы называются полуторапла-
нами, или сескипланамиЧ
В этом случае для поддержания концевой части АВЬа верхнего крыла
устраивается пирамидальный ка-
бан КВСсЬ с поддерживающими
тросами КА и Ка.
По этому типу устраиваются
например гидропланы Фармана
(Farman), а также двухмоторные
аэропланы Handley Page. Вместо
кабана устраивают иногда же-
сткие трубчатые распорки АЕ
и ае, которые одинаково хоро-
шо могут работать на растяжение во время полета аэроплана и на
сжатие, если аэроплан находится на старте.
Некоторые аэропланы имеют в верхнем крыле два лонжерона, а в ниж-
нем крыле один лонжерон.
Так например на черт. 176 показана схема аэроплана Ньюпора
(Nieuport, 28). Здесь верхний план имеет два лонжерона А2А3 и С2С3,
* От французского слова sesquialtfcre—полуторный.
14. Подольский, И. С.
210	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
Черт. 177.
а нижний план имеет один лонжерон В2В3. Парные вертикальные стойки
в виде буквы V укрепляются тросами AjBa и С2В2.
На черт. 177 показана схема аэроплана Avro Spider (1918 г.), у ко-
торого верхнее крыло также имеет два лонжерона, а нижнее крыло
имеет один лонжерон, причем верхние и нижние лонжероны соеди-
няются . между собой жесткими
трубчатыми раскосами
ВХА2 и A2Bv а также C^BV
В]С2 и В2С2.
" III. Фермы рамной конструк-
ции. В некоторых бипланах
фермы устраиваются по типу
рамных конструкций, без тро-
сов, т. е. со свободно несу-
щими поверхностями.
Сюда относятся аэропланы типа Фоккера, показанного схематически
на черт. 178.
Здесь верхние и нижние лонжероны соединены между собой на кон-
цах общей стойкой в виде буквы N (тип I) или в виде буквы V (тип II),
или в виде буквы X (тип III). Сущность рамной конструкции заклю-
чается в том, что в них нет раскосов или диагоналей (несущие тросы)
в плоскости верхнего и нижнего лонжеронов.
Поэтому каждая плоская ферма ABCD представляет раму, жестко
закрепленную в опорах С и D, и имеющую шарнирное соединение со
стойкой в узлах А и В. И так как верхний задний лонжерон (а) соеди-
нен с передним нижним лонжероном (В) при помощи наклонной стойки,
ю вся система стержней работает совместно, причем аэродинамическая
Черт. 178.
нагрузка распределяется более или менее равномерно между всеми лон-
жеронами. Все такие пространственные фермы являются* статически не-
определимыми.
На черт. 179 показана в перспективе сх-ема английского аэроплана
рамной конструкции типа S. Е. 5, причем здесь введены еще оттяжки МВ
и Nb. Эта пространственная система трижды статически неопределима.
Отличие аэропланов рамной конструкции или так называемых „бес-
тросовых аэропланов" от аэропланов с несущими тросами заключается
в следующем.
В аэропланах с несущими тросами фермы представляют собой
жесткие пространственные системы, которые по числу стержней должны
удовлетворять основному условию, выражаемому формулой т = 3 • п — st
при чем стержни этой системы подвергаются только растяжению или
ОБЩИЕ СХЕМЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ^ФЕРМ АЭРОПЛАНОВ 211
сжатию, но не испытывают изгиба. В рамных конструкциях аэропланных
ферм некоторые стержни (лонжероны) подвергаются действию не только
продольной или осевой силы, но и поперечному изгибу. Поэтому лон-
жероны должны иметь здесь значительную жесткость. Фермы рамной
конструкции по числу стержней и узлов не удовлетворяют условию, вы-
ражаемому формулой:
т = 3 • п — s.
Черт. 179.
Поэтому этой последней формулой нельзя пользоваться для определе-
ния числа статически неизвестных величин в рамной конструкции, так
как здесь не только нет „лишних стержней", но даже недостает несущих
тросов.
Жесткость рамной конструкции достигается устройством хорошо за-
крепленных опор лонжеронов сильного поперечного сечения.
IV. Фермы толстых крыльев. Некоторые монопланы вовсе не имеют
наружных ферм, т. е. не имеют наружных отличительных признаков
фермы: поясов, стоек, раскосов, ибо вся конструкция ферм скрыта
Черт. 180.
Черт. 181.
в толще крыла. К таким системам относятся крылья металлических аэро-
планов типа Юнкерса.
На черт. 180 показана общая схема аэроплана этого типа, а на
черт. 181 изображен поперечный разрез крыла. Покрышка крыла со-
стоит из тонких листов дюралюминия, причем нижняя поверхность
крыла гладкая, а верхняя — волнистая, при расположении волн поперек
крыла. Если снять эту покрышку, то обнаружится пространственная стерж-
невая система крыла, показанная частично на черт. 182.
212
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ фермы аэропланов
Как видно из этого чертежа, стержневой скелет крыла аэроплана типа
Юнкерса представляет пространственную ферму, устроенную из труб-
Черт. 182.
чатых лонжеронов,
стоек и раскосов.
Имеются и попереч-
ные верхние и нижние
связи или распорки.
Но чтобы не затемнять
чертежа большим чис-
лом линий, эти распор-
ки показаны пунктир-
ными линиями ab и cd
только в одном попе-
4 речном сечении.
Такая система является многократно статически неопределимой. Так
например если крыло 'Юнкерса имеет /и = 229 стержней, л = 72 узла
ФЛ6Х4
и $ = 9X3=27 опорных закре-
плений, то в этом случае будем
иметь: т — (3 • л — s) == 229 —
(3 X 72 — 27) = 40 лишних стер-
жней. Следовательно эта система
будет статически неопределима в
сороковой степени, что предста-
вляет большие трудности для рас-
чета. Поэтому для облегчения
расчета такой сложной фермы вво-
т
Черт. 183.
b
дят некоторые ограничивающие
условия и предположения или упро-
щения, о которых будет указано
далее в параграфе о расчете про-
странственных ферм аэропланов.
V. Пространственные фермы
фюзеляжей. Пространственная фер-
ма фюзеляжа или гондолы пред*
ставляет наиболее сложную часть
конструкции аэроплана.
В первой главе на черт. 16
была показана ферма фюзеляжа в
двух ортогональных проекциях.
Здесь на черт. 183, 184 и 185
показаны три основных типа фю-
зеляжей, обычно употребляемых
при постройке аэропланов.
В первом типе (черт. 183)
имеется только одна вертикальная
плоскость симметрии. Верхние лон-
жероны горизонтальные, а нижние
идут по ломаной линии. Двойными
Черт. 185.
крепления стоек и лонжеронов для крыльев.
линиями на чертежах показаны места
НЕОБХОДИМОСТЬ РАСЧЕТА АЭРОПЛАННОЙ ФЕРМЫ	213
Во втором типе (черт. 184) имеются две плоскости симметрии: верти-
кальная и горизонтальная, причем как верхние, так и нижние лонжероны
имеют переломы.
В третьем типе (черт. 185) имеется одна продольная ось симметрии,
но все лонжероны идут по ломаным линиям.
В каждом типе фюзеляжа все распорки скрепляются тросами, взаимно
пересекающимися. В том месте, где устраивается сидение для пилота,
отмеченное на чертежах в плане рамками, верхних распорок и тросов
не имеется.
Как общее правило, фюзеляж должен иметь на конце вертикальное
ребро тп, к которому прикрепляется руль поворота.
Кроме того на конце фюзеляжа устраивается шпора или костыль
ab для поддержки аэроплана в определенном положении во время его
стоянки и для торможения во время посадки.
§ 34. Необходимость расчета аэропланной фермы как
пространственной системы.
Расчет аэропланной фермы как пространственной системы является
существенно необходимым для выяснения степени прочности всех эле-,
ментов, входящих в данную конструкцию, подверженную действию самой
разнообразной нагрузки.
В этом отношении никакое другое сооружение в виде пространствен-
ной системы не нуждается в столь тщательном исследовании влияния
внутренних поперечных связей, как аэропланные фермы.
Возьмем например воп-
рос о частичном поврежде-
нии аэроплана при обстреле
его шрапнелью во время его
полета. Исследование этого
вопроса во всей полноте
возможно только в том слу-
чае, если будет рассматри-
ваться пространственная си-
С	D D)	С.
Черт. 186.
стема.
Возьмем ферму биплана с одной панелью в каждой половине
(черт. 186) и с одним лишним стержнем Ас (или А&).
Чтобы не затемнять чертеж, обратные раскосы СВ и cb, не рабо-
тающие во время нормального полета, не показаны. Предположим, что
рабочий трос AD разорван, тогда все давление в узле А. будет вос-
принято поперечной диагональю Ас, которая и передаст нагрузку с пе-
редней фермы на заднюю ферму, и последняя будет несколько пере-
гружена. Это первый результат разрыва раскоса AD.
Второй результат заключается в том, что как только начнет работать
поперечный раскос Ас, он будет передавать нагрузку на поперечные
связи, расположенные в плоскости верхнего плана АВЬа и нижнего плана
CDdc.
Третий результат разрыва, раскоса AD будет заключаться в том, что
левый конец лонжерона АВ будет исключен из работы. Но на другой
214	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
половине аэроплана однако будет находиться симметричней ему стер-
жень А1В1 в рабочем состоянии.
В нормальных условиях работы оба эти стержня напряжены оди-
наково, причем работа их взаимно уравновешивается. В тот момент,
когда раскос AD разрывается и перестает работать, усилие, вызываемое
им в стержне АВ, делается равным нулю, а усилие в симметричном ему
стержне А1В1 передается частью на поперечную диагональ А^, частью
на диагональ ВЕГ
Передача нагрузки с узла А на узел а повлечет за собой увеличе-
ние натяжения в раскосе ad и соответствующее увеличение сжатия
в заднем верхнем лонжероне ab, а эта измененная нагрузка в свою
очередь будет восприниматься частью тросом а частью тросом
а1^г
Все это касается верхнего плана, но подобное уравновешивание на-
грузки будет иметь, место и в нижнем плане. Например усилие в стержне
DjD, зависящее от усилия в раскосе AtDv уравновешивает усилие
в раскосе' AD. Когда этот последний раскос разрывается, усилие будет
восприниматься поперечными связями нижнего плана.
Таким образом разрыв раскоса AD может повлечь за собой следую-
щие явления.
1.	Верхний передний лонжерон будет иметь стремление пере-
мещаться в направлении от Аг к Л; этому перемещению будут противо-
действовать поперечные связи и раскос ВЕ1.
2.	Верхний задний лонжерон ааг будет иметь стремление переме-
щаться в обратном направлении от а к аг\ этому перемещению будут
противодействовать раскосы Ьге и а^г.
3.	Нижний передний лонжерон С€\ будет иметь стремление пере-
мещаться в направлении от С к С2; этому перемещению будут противо-
действовать поперечные связи и центральные связи, расположенные
в пределах фюзеляжа.
4.	Нижний задний лонжерон ссг будет иметь стремление перемещаться
в обратном направлении от сг к с\ этому перемещению будут противо-
действовать нижние поперечные связи и раскос axdy.
5.	Верхний план АаЬВ будет иметь стрёмление перевернуться назад,
а нижний план CcdD будет иметь стремление перевернуться вперед;
этому вращению крыльев будут противодействовать раскосы аС, ЬЕ и
симметричные им раскосы правой половйны фермы.
6.	Увеличится растяжение в раскосе ad и увеличится сжатие
в стойке ас.
Подобные же явления произойдут в случае разрыва раскоса ad зад-
ней вертикальной плоской фермы, но только все движения будут иметь
направления, обратные прежним.
Точно так же можно исследовать влияние на пространственную ферму
разрыва какой-либо стойки аэроплана или скручивание крыла.
Из рассмотренного примера видно, как важно вообще подобное
исследование прочности боевого аэроплана , как пространственной фермы.
При этом следует иметь в виду следующее основное свойство про-
странственных ферм.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНА 215
В пространственную ферму могут входить плоские геометрически
.изменяемые системы, которые однако не нарушают геометрической не-
изменяемости всей пространственной системы. Этот вопрос подробно был
рассмотрен выше в § 16 (статья 2 на стр. 94).
Поэтому при конструирований пространственной фермы аэроплана
не следует избегать систем с лишними стержнями, а, наоборот, надо
вводить эти лишние стержни сверх того минимума, который определяется
условием:
т = 3 • п — $,
ибо при некоторых условиях работы аэроплана эти добавочные стержни
окажутся далеко не лишними в обычном значении этого слова, так как
они способствуют более равномерному распределению усилий между раз-
личными частями конструкции, особенно в том случае, если некоторые
стержни системы окажутся поврежденными во время боевой работы, и
плоские фермы общей системы утратят свою неподвижность.
В этом последнем случае лишние стержни будут вполне обеспечивать
жесткость или геометрическую неизменяемость всей пространственной
системы.
Переходя теперь к изложению расчета пространственных аэропланных
ферм, заметим только, что в данном случае не будем выделять отдельно
расчет статически определимых (или изостатических) и расчет статически
неопределимых (или гиперстатических) систем, так как почти все аэро-
планные фермы представляют пространственные системы с лишними стерж-
нями и следовательно являются гиперстатическими.
Но расчет всякой статически неопределимой пространственной систе-
мы, как уже известно из шестой главы, заключается в удалении лишних
стержней и в рассмотрении разных состояний статически определимой
жесткой системы, причем за первое состояние принимается работа фермы,
подверженной данной внешней нагрузке, а каждое из остальных состоя-
ний заключается в рассмотрении действия двух одинаковых и взаимно
противоположных сил, равных единице, приложенных к узлам одного из
выброшенных лишних стержней и направленных по оси этого стержня.
Итак будем рассматривать совместно расчет изостатических и гипёр-
статических пространственных аэропланных ферм и ограничимся несколь-
кими характерными примерами, наиболее часто встречающимися в прак-
тике при расчете аэропланов на прочность.
§ 35. Расчет статически неопределимой пространственной
фермы аэроплана.
Рассмотрим пример расчета пространственной фермы аэроплана с лиш-
ними стержнями.
На черт. 187 показана правая половина фермы биплана с несущими
и обратными тросами и с поперечными связями в плоскости каждого
крыла.
Предположим, что из аэродинамического расчета получены следующие
узловые нагрузки.
Рд = 950#г, Рд = 750#г, Р(, = 590 и Pd—77Q кг.
216	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ <$ЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
Прежде чем приступать к расчету даннсй пространственной фермы,
необходимо освободить ее от тех стержней, которые не будут работать
при заданной нагрузке, имея в виду, что все раскосы в аэропланных
фермах устраиваются из тросов или из проволоки, и поэтому могут
воспринимать только растягивающие усилия, но не могут воспринимать
сжимающих усилий.
Так как нагрузка в узлах и Вг передней тоской фермы более
нагрузки в узлах и задней плоской фермы» то в поперечном се-
чении вся система получит перекос, причем стойка А1В1 передвинется
вверх относительно стойки CXD^, как это показано пунктиром на
черт. 188. Вследствие такого перемещения стоек диагональ удли-
нится, а обратная диагональ B1D1 укоротится. Поэтому тросовый раскос
AjCj будет работать на растяжение, а обратный сжатый тросовый
раскос BjDj прогнется и поэтому не будет работать.
Следовательно из двух взаимно-пересекающихся раскосов, располо-
женных в плоскости грани	следует принять во внимание только
растянутый раскос XjQ, а обратный ему раскос следует выпустить.
На том же основании в плоскости передней грани А^А4В4Вг слыуъч
принять во внимание только растянутый раскос АгВ4У а в плоскости
задней грани C1C4D4D1 следует принять во внимание растянутый раскос
ОгС4. Обратные же раскосы ВгА4 и C\D4 выбрасываются как не рабо-
тающие при заданной нагрузке.
Все промежуточные распорки и диагональные связи между лонжеро-
нами, расположенные в плоскости каждого крыла, также можно выбро-
сить из пространственной фермы, так как они служат только для усиле-
ния поперечной жесткости в плоскости каждого крыла, и поэтому про-
межуточные узлы не являются узлами пространственной фермы. Но при
удалении всех промежуточных поперечных связей необходимо заменить
их фиктивными одиночными раскосами.
Поэтому принимаем за фиктивные раскосы для верхнего плана диа-
гональ AxD4, а для нижнего плана диагональ ВгС4.
При некотором навыке в расчете пространственных ферм на основа-
нии одних только умозрительных заключений, всегда можно правильно
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНА 217
выбрать те фиктивные диагонали, при наличии которых лишний стер-
жень (трос) Аг€\ действительно будет работать на растяжение.
Если же из дальнейшего расчета обнаружится, что в раскосе
получается сжимающее усилие, то необходимо принять во внимание
обратное расположение одной или обеих фиктивных диагоналей в пло-
скости каждого крыла и повторить весь расчет сначала при другом на-
правлении фиктивных диагоналей.
Заметим кстати, что в фиктивных раскосах могут быть и сжимающие
усилия, что имеет место и в настоящем расчете.
Итак, отбрасывая все стержни, не работающие при заданной нагрузке,
получив следующую простую
(черт. 189).
Необходимые для расчета
размеры всех стержней этой
фермы, т. е. их длины и пло-
щади поперечных сечений, по-
казаны в сводной таблице IX
на стр. 221 (вертикальные
графы 4-я и 5-я). Эта сводная
таблица.заполняется постепенно
по мере хода расчета, куда и
сносятся в соответствующие
графы все результаты расчета.
Прежде всего необходимо
выяснить, будет ли данная
схему пространственной фермы биплана
Черт. 189,
пространственная система ста-
тически определима и геометрически неизменяема.
В этой системе имеется т = 13 стержней, п=8 узлов и $=4 Х3 = 12
• опорных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в основную формулу (11), выра-
жающую первое условие статической и геометрической определимости
закрепленной системы, получим:
т -(3-/г — s) = 13 — (3 X 8 — 12) =1,
т. е. данная система имеет один лишний стержень и поэтому будет ста-
тически неопределима в первой степени.
Принимая за лишний стержень поперечный раскос и выбрасывая
его, получаем элементарный узел Ср в котором сходятся только три
стержня, не лежащие в одной плоскости. При нулевой нагрузке в узле
Q усилия во всех стержнях, схрдящихся в этом узле, будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, находим два других элементарных узла Вг
и Dv в которых сходятся также по три стержня, не считая ранее
отброшенных стержней. Разрушая эти узлы, находим элементарный узел 4j,
также составленный из трех стержней, не лежащих в одной плоскости.
Таким образом рассматриваемая система без лишнего стержня А1С1
(черт. 189) есть простейшая ферма, полученная путем прикрепления
каждого нового узла тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости.
Поэтому эта ферма без лишнего стержня, т. е. основная система, будет
жесткой, геометрически неизменяемой и статически определимой системой.
218
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
Та же ферма с лишним стержнем АгСг конечно сохраняет свою
жесткость, но становится уже гиперстатической.
Переходя теперь к определению усилий в данной ферме, определим
прежде всего тригонометрические значения углов, образуемых раскосами
с продольными и поперечными стержнями.
а)	Для угла а = Д1С1В1 имеем:
sin а = — =	= 0,892,
s5 157
h 140
tg а = - = — = 2,00.
g b 70
b)	Для угла ^ = АгВ4В1 = имеем:
. 0	h	140	_ . А_
' '
А Q	h	140
tg р = 1= 280 = °’500-
с)	Для угла —A1D^D1=ByC4Cy имеем:
b 70
S1"’;=s,= 289=<’'242'
*«= 7 = 280 = °’250'
Здесь $5 = Л1С1, $1 = Д1В4 и s3 = A1D^.
После этого рассматриваем два состояния фермы без лишнего
стержня.
Первое состояние. Ферма подвергается действию вертикальной узло-
вой нагрузки:
Ра = 950 кг, Рь = 750 кг, Рс=№0 кг н Pd=77Q кг,
приложенной соответственно в узлах	и направленной
снизу вверх.
Так как силы Ра и Рь расположены в плоскости передней грани
то они будут вызывать усилия только в стержнях этой грани
и не будут оказывать никакого влияния на усилия в других стержнях.
Точно так же силы Рс и Pd, расположенные в плоскости задней грани
DyD4C4Cly будут вызывать усилия только в стержнях этой грани.
Поэтому усилия в фиктивных раскосах и В3С4 и в распорках
A1D1 и В3С3 будут равны нулю, т. е.
N°(a3df4) = 0 и ^(^с4) = 0
ЛГо(а3й?3) = 0 и ^(^1с1) = 0.
Стойка АХВХ будет сжата усилием, равным:
= Рь = — 750 кг.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНА 219
Переходя к рассмотрению узла А19 разлагаем силу
Ра + Рь = 950	750 =1700 кг
на две составляющие по направлению стержней А2А4 и А2В4 и получим
следующие усилия в них:
р । р 1700
------g й ь = —	= — 3400 кг (сжатие),
lg р	v,0U
р Д_ р	17ПП
^°(а164) = Н—', = +й447==: + 3803 кг (растяжение).
Olli р	/
Точно так же найдем следующие усилия во всех стержнях задней
грани CyC4D4D4 от действия силы:
Рс + Pd = 590 + 770 = 1360 кг,
приложенной в узле Dy
№(сгс4) = 0	№{cxdy) Рс= — 590 кг

ЯШ) = +
Pc + Pd= 1360
tg Р	0,50
+ । 1360
sin p 0,447
- 2720 кг (сжатие),
f- 3042 кг (растяжение).
Все эти расчетные величины помещены в 8-й вертикальной графе
сводной таблицы IX (стр. 221).
Второе состояние. Отбрасываем заданные нагрузки Ра, Рь, Рс и Pd
и прикладываем к узлам А2 и С2 две равные и прямо противоположные
силыл=1л:г, направленные по оси выброшенного лишнего стержня
A2Cj (черт. 190).
Разлагаем единичную силу п=\ кг на две составляющие у и z в пло-
скости грани A^B-fi^D^ как это показано на черт. 170, а, и тогда
получим:
у = — I • sin а = — 0,892 кг
z = — 1 • cos а — — 0,446 кг.
Горизонтальная слагающая сила z9 приложенная в узле Л^не может
передаваться в узел D19 так как из рассмотрения равновесия сил в этом
220
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
узле находим, что усилие в Отдельно стоящем стержне XjDj будет равно
нулю, т. е. л(а1^1) = 0 на основании второго положения (см. стр. 79).
Поэтому сила z в узле разложится на две составляющие по на-
правлениям стержней и A1D4.
При этом получим следующие усилия в этих стержнях:
z 0 446
= + £250 = +1,784 KZ <Растяжение)>
z 0 446
п(аЛЛ = — = —	= — 1,842 кг (сжатие).
414 siny 0,242	'
Из рассмотрения равновесия сил в ненагруженном узле Вт находим,
что усилие в отдельно стоящем- стержне В}Аг будет равно'нулю, т. е.
= 0.
Поэтому вертикальная составляющая у, приложенная в узле AJf разло-
жится в плоскости передней грани А2А4В4В2 на две составляющие по
направлениям стержней А2А4 и A2B4f причем получим следующие усилия
в этих стержнях:
у 0 892
= + 1,784 кг (растяжение),
V 0,892
п<а=----------~ = — тг—г; = — 1,996 кг (сжатие).
1 4 sinp 0,447	4	7
Полное усилие в лонжероне АгА4 от действия двух сил у и г, при-
ложенных в узле А1, будет равно:
п(ага4) = п'(а2а4) 4-л"(а1а4)=-|-1,784	1,784 = -|— 3,568 кг.
Рассматривая подобным же образом действие силы п = 1 кг, прило-
женной в узле Ср и разлагая ее на две составляющие у h.z, получим
следующие усилия в соответствующих стержнях системы.
а)	От силы у:
п(сг(1^ — — у = — 0,892 кг,
= + й? - + 44 = + '996
Ь)	От силы z:
п^с^) = — z = — 0,446 кг,
»<^=+й-т=+:4?2-+,-и2“’
n(Cje4) = 0. .
Таблица IX.
• Сводная таблица расчетных результатов.
| № стержня |	Наимено- вание стержня	Обозначение длины	Длина стержня L 	CM	'	иощадь по- чечного ce- ния стержня см*		Коэфициент нормальной упругости Е кг!см*	Коэфициент	2	kl	1	Усилие № кг	Усилие п , кг	1	е« С	S	'е	X . с*» е *	Расчетное 1	усилие N=N^+n-X кг
				С	S S4												
1	2	3	4	5		6'	7		’ 8	9	10	11	12	13	| 14	15	
1	А» А»		280		15	1,10 х 10’	17		— 3400	3,568	—12 131	12,73	-206 227	216	664		-2 736
2	₽. в«	h	280		17	п	15		0	—1,768	0	3,18	0	48	— 332		- 332
3	С, С,	1з	280		13	я	19,6		0	0	0	0	0	0	0		0
4	D, D.	h	280		14		18,2		— 2 720	— 1,768	4 852	3,18	88306	58	-332		-3 052
5	А, В,	hi	140		2,7	2,1 X10»	2,5		— 750	0	0	0	0	0	0		- 750
6	С, D,	h2	140		2,7		2,5		— 590	— 0,892	526	0,80	1315	0	-166		- 756
7	А. В*	s*	313		'0,3		49,7		+ 3803	— 1,996	— 7 591	3,98	— 377 273	198	— 371		3 432
3	D, С.	s2	313		0,3	п	49,7		+ 3042	+ 1,996	+ 6072	3,98	301 778	198	371		3413
9	A, D»	S3	289		0,3		45,9		0	— 1,842	0	3,39	0	156	— 343		- 343
10	в. С»	s4	289		0,3		45,9		0	+ 1,842	0	3,39	0	156	343		343
11	A, D,		70		8	1,10 х 10’	8		0	0	0	0	0	0	0		0
12	В, С,	b2	70		8		8		0	— 0,446	0	0,20	0	1,6	— 83		- 83
13	А, С,	S5	157		0,3	2,10 X 10®	2,5	1	0	+ 1,000	0	1,00	0	2,5	186		186
												2=	—192 100	1036			
расчет Статически неопределимой фермы/аэроплана 221
222
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
Все эти расчетные данные вносим в 9-ю вертикальную графу свод-
ной таблицы IX.
Дальнейший расчет пространственной фермы производится уже на
основании этой таблицы и принимая во внимание теорию расчета стати-
чески неопределимых пространственных ферм, изложенную выше в § 28.
* Из этой теории расчета имеем следующую формулу (41) для опре-
деления искомого усилия в лишнем стержне:
Af0 • п • L
р.р
Х=-^Г‘	(а)
Ъе-f
Так как величина коэфициёнта нормальной упругости Е выражается
большим числом (для стали ^=2,10ХЮ6~ и для дерева Eh =
у	см2
= 1,10 X 105 I, то множитель — I будет иметь очень малую вели-
]	\Е* F )
чину, неудобную для вычисления. Поэтому умножаем эту группу величин
на 105 и обозначаем ее одной буквой:
К~ E-F '
А так как этот множитель (К) входит в числитель и знаменатель
формулы (а), то результат расчета останется без. изменения, и предыду-
щая формула получит следующий простой вид:
^№-п-К
^п2-К
(Ь)
Для определения искомого усилия в лишней стержне АуСг по этой
формуле определяем величины, входящие в числитель и знаменатель этой
формулы, что легко может быть ' сделано при помощи той же сводной
таблицы, где в последней горизонтальной строке показаны суммарные
величины, входящие в формулу (Ь).
Подставляя эти числовые значения в формулу (Ь), найдем усилие
в лишнем стержне А^:
(-192100)
Х =---------------= 4-186^2.
Имея эту величину, определяем усилия во всех остальных стержнях
данной системы по общей формуле (38):
М=д^4-Л.Х,	(с)
причем все вычисления сгруппированы в 14-й и 15-й вертикальных
графах сводной таблицы IX.
Чтобы найти усилия в распорках и раскосах в плоскости каждого
крыла (черт. 190), можно воспользоваться найденными усилиями в фик-
тивных раскосах ATD4 и В2С4.
Таблица X.
Сводная таблица.
Верхнее крыло					Нижнее крыло				
№ стержня’	Наименование стержня	Основное усилие кг	Дополни- тельное усилие V кг	Полное усилие 2 аг кг	№ стержня	Наименование стержня	Основное усилие N кг	Дополни- тельное усилие кг	Полное усилие 2" кг
_ к		— 2 736	215	— 2 521	1	В{В2	— 332	— 333	— 665
2	^2^3	— 2 736	157	— 2579	2	I	^2^3	— 332	1 ' — 201	— 533
3	Л3Л4	— 2 736	84	— 2 652	3	В3В4	— 332	— 69	— 401
41	1 ад	— 3 052	0	— 3 052	• 4 1	1 ад	0	— 118	— 118
5	Z)2Z)3	— 3 052	132	— 2 920	5		0	j —236	— 236
6		— 3 052	264	— 2 788	6	^3^4	|	! 0	— 299	-299
7	ад	0	0	0	у	В4С4	-83	)	1 ' — 83	— 166
8	HjD2	0	161	161	8	1 ад	0	161	161
9	Л2£)2 j	0	— 83	— 83	9	|	-^2^*2	’	0	— 83	— 83
10	-^2^3	0	161	161	10	с*2в2	1 0	161	161
11	Л3П3	0	— 83	— 83	11	ЗА	0	— 83	— 83
12	A9D,	0	1 126	126	12	Сзв‘	°	126	|	126
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНА
.224
пространственные фермы аэропланов
Для этого поступаем следующим образом: отбрасываем фиктивные
раскосы и вместо них прикладываем к соответствующим узлам найденные
усилия:
= — 343 кг и	= + 343 кг.
как это показано на черт. 191 и 192.
Принимая эти усилия за внешние силы, определяем усилия во всех
элементах каждой плоской фермы, выбрав при этом такие раскосы, ко-
торые будут работать -на растяжение.
Очевидно, что для плоской фермы верхнего крыла (черт. 191) это
будут' восходящие раскосы, а для плоской фермы нижнего крыла
(черт. 192) это будут нисходящие раскосы.
Не приводя здесь подробного расчета по определению усилий во всех
элементах этих плоских ферм, лак как расчет этот довольно простой,
приводим только результаты этого расчета в сводной таблице X, где по-
мещены также окончательные значения усилий в лонжеронах рассматри-
ваемой пространственной фермы биплана.
Здесь рассмотрен случай-нормального полета аэроплана. При других
случаях, например при планировании, получится другое более невыгод-
ное распределение усилий в стержнях фермы от соответствующей аэро-
динамической нагрузки. Но схема расчета фермы остается такой же.
§ 36. Расчет пространственной фермы аэроплана рамной
конструкции (без тросов).
Рассмотрим расчет пространственной фермы аэроплана рамной кон-
струкции (бестросовый аэроплан типа Фоккер).
Если снять покрышку крыльев аэроплана и удалить промежуточные
нервюры, то получим стержневую систему, показанную в аксонометриче-
ских проекциях на черт. 193.
Эта система составлена из трех рам ABCD. ABGH и EFQH. при-
чем в узлах В. С. О, F имеются шарнирные соединения, а опорные
узлы Л, D. Е, Н закреплены неподвижно на фюзеляже.
Каждая такая рама, как плоская система будет однажды статически
неопределимой, потому что она имеет шесть опорных закреплений и два
промежуточных шарнира, которые дают два добавочных уравнения
статики.
Следовательно в данном случае имеется всего 3 —2 = 5 уравнений
статики, и поэтому недостает еще одного уравнения статики для опре-
деления шести опорных реакций»
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФЕРМЫ^АЭРОПЛАНА 225
Поэтому данная пространственная система, заключающая в себе три
плоских рамы, будет трижды статически неопределимой.
За три неизвестные величины удобнее всего принять неизвестные
усилия в трех стержнях опорной стойки ВС, BG и FG.
Обыкновенно в аэропланах типа Фоккера верхнее крыло устраи-
вается с выносом вперед приблизительно на одну треть ширины крыла,
как это показано на черт. 194, и тогда стойка вместо очертания в виде М
принимает очертание в виде буквы И.
Обозначим узлы В, С, F и G соответственно через 1, 2, 3 и 4.
Стойки ВС, CF и FG обозначим через а, b и с, а неизвестные усилия
в этих стойках будем обозначать через Ха. Хь и Хс.
Черт. 193.
Кроме того углы, образуемые стойками с вертикалью, обозначим че-
рез а, р и у (черт. 194).
Прежде чем приступить к расчету данной пространственной системы,
напомним некоторые основные положения из курса „Строительной меха-
ники*, относищиеся к определению деформации балок.
Прогцб консольной балки переменного сечения, находящейся под дей-
ствием сплошной неравномерной нагрузки, определяется на основании
теоремы Кастильяно по формуле
(71)
где М— момент в произвольном сечении балки,
Pf—фиктивная сила, приложенная на свободном конце консоли и
принимаемая в конечном итоге равной нулю.
Если к свободному концу консоли, не имеющей никакой нагрузки,
приложить груз Ро = 1, то момент в любом сечении балки будет равен
т = Ро*х= \-х = х.
Производная от этого момента по силе Ро будет равна:
dm
dPo
= х~т.
1 Подольский И. С., Строительная механика, часть I, Сопротивление
материалов, стр. 950, формула (а).
15. П)дольский, И. С.
226	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
Подставляя эти значения в общую формулу (71), получим выражение
„удельного прогиба", т. е. прогиба от груза равного единице, прило-
женного на конце консоли:
Г т / dm\ Cm2-dx	- '
<72>
Если же на свободном конце консоли будет приложена не единичная
сила (Ро = 1), а некоторая сила Д’, то действительный прогиб будет
в X раз больше, т. е. будет равен:
f=X-f.	(73)
Подставляя в это уравнение найденные выше значения /и/1? получим:
m2-dx
откуда можно определить неизвестную силу X по найденному про-
гибу / и по удельному прогибу
(74)
Это и есть та общая формула, по которой определяются искомые
усилия в стойках рассматриваемой здесь системы пространственных аэро-
планных ферм рамной конструкции.
Если на раму ABCD будет действовать некоторая аэродинамическая
нагрузка (давление воздуха), направленная снизу вверх (черт. 195), и если
удалить связывающую шарнирную стойку ВС, то каждый из лонжеронов
получит самостоятельный прогиб.
Обозначим перемещение узла (1) через /р а перемещение узла (2)
через /2. Тогда из чертежа получим расстояние между перемещенными
узлами (Г) и (2'):
Л1 = А+Л—Л’
откуда находим следующее общее выражение перемещения обоих узлов
— АЛ —	h —.
(75)
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНА 227
Если удалить из рамы ABCD связывающую шарнирную стойку ВС
и приложить на концах лонжеронов две равные и прямо противополож-
ные единичные силы (Ро=1), направленные по оси отброшенной стойки
(черт. 196), и если обозначить прогиб верхнего лонжерона через f'v а обрат-
ный прогиб нижнего лонжерона через то из черт. 196а найдем:

Черт. 196.
откуда получаем общее выражение Для перемещения узлов (1) и (2) под
действием единичных нагрузок, направленных друг к другу:
/=дл=л1-л=-(/;+/;).	(76)
Этой формулой будем пользоваться в дальнейшем для определения
общего прогиба рассматриваемой рамы под действием единичных нагру-
зок, приложенных в шарнирных узлах на конце рамы.
. После этих необходимых предварительных указаний переходим к рас-
чету данной пространственной фермы аэроплана типа Фоккера
(черт. 193).
Отбрасываем все три стойки и заменяем
их соответствующими неизвестными пока уси-
лиями Ха, Хъ и Хе, как это показано на
черт. 197.
Далее рассматриваем следующие системы.
1.	Первая плоская рама ABCD (черт. 193),
заключающая в себе левую стойку а или стер-
жень (1—2) (черт. 197).
Усилие в этой стойке, определяемое по
общей формуле (74), будет равно:
где /в — перемещение стойки (а) по ее направлению от заданной на-
грузки, а
f— перемещение той же стойки (а) также по ее направлению от
двух единичных сил (Ро=1), приложенных на конце рамы в ее шар-
нирных узлах и направленных по оси стойки.
Перемещение узлов (1) и (2) по вертикальному направле-
нию от заданной'нагрузки, определяемое по общей формуле
15*
Пространственные фермы аэропланов
(75), учитывая также влияние силы Хъ> приложенной в узле (2), будет
равно:
/:=л-/2-ад-
Перемещение узлов (1) и (2) по вертикальному направле-
нию от двух единичных сил Po-cos а= 1 «cos а, приложенных
в узлах (1) и (2), определяемое по формуле (76) будет равно:
= — « -H^-cosa.
Поэтому перемещения узлов (1) и (2) по направлению оси
стойки (а), т. е. под углом а к вертикали, будут равны проекциям их
вертикальных перемещений на эту ось, т. е.:
4=/2-cos a — /2)-cosa — *6-cosa72	(78)
И
C = (/er-COS « =	cos 2a	(79)
Эти выражения и следует подставить в формулу (77).
Для первого приближенного расчета влиянием силы Хь, приложенной
в узле (2),. можно пренебречь, и тогда последний член в формуле (78)
отпадет.
2.	Вторая плоская рама EFGH (черт. 193), заключающая в себе пра-
вую стойку (с) или стержень (3—4). Усилие в этой стойке, опреде-
ляемое по общей формуле (74), будет равно:
Х = 4.	(80)
/с
Перемещение правой стойки (с) по ее направлению от заданной
нагрузки, определяемое по общей формуле (75), и, принимая во внима-
ние вывод формулы (78), будет равно:
/4)-cosY + ^b,cosY7.	(81)
Перемещение правой стойки (б) по ее направлению от двух
единичных сил Ро • cos у = 1 • cos у, приложенных в узлах (3) и (4), опре-
деляемое по общей формуле (76), и, принимая во внимание вывод фор-
мулы (79), будет равно:
<=-(/з+/4)-СО52Т-	(82)
Эти выражения и следует подставить в формулу (80).
Для первого приближенного расчета влиянием силы Хь, приложен-
ной в узле (3), можно пренебречь, и тогда последний член в формуле
(81) отпадает.
3.	Третья плоская рама, заключающая в себе верхний, задний, лон-
жерон EF, нижний, передний, лонжерон CD и промежуточную стойку (Ь)
или стержень 2—3 (черт. 193). Усилие в промежуточной стойке с,
определяемое по общей формуле (74), будет равно:
*ь=4.	(83)
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНА
229
где перемещение стойки b по ее направлению от заданной на-
грузки, определяемое по формуле (75), но с учетом влияния силы Ха,
приложенной в нижнем узле (2), и силы Хо, приложенной в Верхнем
узле (3), будет равно:
Л=<4 + Ха • cos’a 4) cos ₽ — (-4 + Х° •cos Y ’Л)cos • ?.	(84)
ИЛИ
А = <4 — ZP • C0S ? + (Ха •008 a -fa — Хс • C0SI • 4) C0S ₽•	(85)
А перемещение средней стойки b по ее направлению от двух
единичных сил Ро-cos f = 1 *cos приложенных в узлах (2) и (3),
определяемое по общей формуле (76), будет равно:
/>-(4+A)-COS2₽.
Определив величины усилий Ха и Хс соответственно по формулам
(77) и (80) без учета влияния усилия Хь, т. е.
отбрасывая последние члены в формулах (78)
и (81), содержащие эту величину, и подставив
затем эти усилия в формулы (85) и (86), мож-
но будет определить величину усилия Хь в
средней стойке.
Затем, учитывая влияния усилия в средней
стойке на усилие в обеих крайних стойках,
снова определяют величины Ха и Х9 по фор-
мулам (77) и (80),’вставляя в выражение (78)
и (81) найденное выше значение усилия Хъ.
После этого по формуле (83) определяется
более точным образом и величина усилия Хь в
промежуточной стойке.
Зная величины усилий Ха, Хь и Хв в стой-
ках, можно будет затем определить узловые на-
грузки Рр Р2, Р3 и Р4 приложенные соответственно в узлах фермы 1,
2, 3 и 4 (черт. 198) по следующим формулам:
P1 = Aa-cosa,
P2 = Ara‘Cosa-PXb-cos
Р3 ==.¥(,-cos £ +'VcosY-
Р4 = ^с-созу.
Горизонтальная составляющая сила будет равна:
Т= Ха • sin а — Хъ • sin [J	*sin Y-
Зная величину узловой нагрузки, можно определить изгибающие мо-
менты в любом сечении лонжерона, как от данной сплошной неравно-
мерной нагрузки, так и от узловой нагрузки, вызванной совместной ра-
ботой всех лонжеронов при неодинаковой нагрузке на каждый лонжерон
в отдельности.
Заметим при этом, что при пользовании выведенными выше форму-
лами надо вносить *в них значения усилий (X) со своими знаками, так
230	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ, АЭРОПЛАНОВ
как все формулы выведены в предположении, что усилия во всех трех
стойках — растягивающие.
Здесь рассмотрен расчет пространственных ферм аэропланов рамной
конструкции только при расположении соединительных стоек в верти-
кальной поперечной плоскости, перпендикулярной к осям лонжеронов.
Если же стойки эти будут расположены в наклонной поперечной пло-
скости, составляющей некоторый угол (ср) с осями лонжеронов, то метод
расчета остается тот же самый, но расчет несколько усложняется, так
как при определении прогибов (/) узловых точек, расположенных в раз-
ных поперечных плоскостях, следует принять во внимание величину угла (ср).
§ 37. Метод расчета пространственной фермы крыла
аэроплана.
Рассмотрим метод расчета пространственной фермы крыла моноплана
типа Юнкерса (черт. 199).
Для того чтобы определить усилия в стержнях такой многократно
статически неопределимой конструкции, необходимо сделать некоторые
упрощения и выделить прежде
всего статически определимую
часть ее, отбросив все лишние
стержни. За таковые следует при-
нять те стержни, удаление кото-
рых не нарушит жесткости основ-
ной конструкции фермы.*
В данном случае удобнее всего
Г	принять за лишние стержни неко-
Аг	торые поперечное распорки. От-
Чеот 199	бросив их, получим жесткую ста-
рт’	тически определимую пространст-
венную систему.
Такая система представлена (частично) на черт. 199. Это есть про-
стейшая пространственная система, так как она образована путем по-
следовательного присоединения каждого нового узла тремя стержнями,
не лежащими в одной плоскости, что вполне обеспечивает ее геометри-
ческую неизменяемость.
Что данная система будет действительно статически определима и
геометрически неизменяема, это можно проверить также при помощи
метода нулевых нагрузок (см. § 11).
Начав разрушение фермы с узла а, замечаем, что в этом узле схо-
дятся только три стержня: ab, ас, ad, не лежащие в одной плоскости.
И так как узел а не имеет внешней нагрузки, то следовательно уси-
лия во всех трех стержнях, сходящихся в этом узле, будут равны нулю.
Отбрасываем эти стержни.
Переходя к узлу Ь, в котором сходятся четыре стержня: bd, be, be
и bf, находим, что при отсутствии внешней нагрузки в этом узле уси-
лие в отдельно стоящем'стержне bd будет равно нулю.
Отбрасывая этот стержень с нулевым усилием, переходим к узлу d,
где остаются три стержня: de, df и dk. не лежащие в одной плоскости.
МЕТОД РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФЕРМЫ КРЫЛА
231
Следовательно при нулевой нагрузке в этом узле усилия во всех трех
стержнях, сходящихся в этом узле, также будут равны нулю.
Переходя затем к узлу с, где сходятся три оставшихся стержня, не
лежащих в одной плоскости, находим, что усилия в них также будут
равны нулю.
Таким образом переходя от узла к узлу и отбрасывая все стержни
с нулевыми усилиями, каждый раз будем находить новые узлы, образо-
ванные тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости, усилия в ко-
торых также будут равны нулю при отсутствии внешней узловой на-
грузки.
Следовательно усилия во всех стержнях данной системы при нулевой
нагрузке имеют нулевые, т. е. конечные значения, что служит призна-
ком статической определимости и геометрической неизменяемости про-
странственной системы.
Полученная таким образом ферма легко может быть рассчитана по
способу непосредственного разложения данной узловой нагрузки на три
составляющие по направлениям осей стержней (первое состояние).
Разложение внешней нагрузки, приложенной к нижним узлам рассма-
триваемой пространственной фермы, производится аналитически или гра-
фически, вычерчивая каждый узел в трех проекциях.
Причем это разложение надо начинать с того узла, где имеется не
более трех стержней, не лежащих в одной плоскости и переходить к та-
кому узлу, где имеется не более трех неизвестных усилий в стержнях,
сходящихся в этом узле.
Из этого расчета статически определимой системы найдем, что усилия
в трубчатых лонжеронах будут изменяться по параболическому закону,
а усилия в раскосах — по линейному закону.
> Для того чтобы перейти от расчета статически определимой системы
без лишних стержней к расчету статически неопределимой фермы, не-
обходимо выяснить влияние лишних стержней.
Ввииу большого числа лишних стержней (40 штук) в качестве пер-
вого приближения к данной системе можно выбрать только часть их,
например пять лишних стержней, и найти усилия во всех стержнях
системы.
В качестве лишних стержней надо выбрать наиболее типичные стержни,
например поперечные распорки, которые связывают верхние и нижние
пояса в каком-либо среднем поперечном сечении крыла. На черт. 182
эти стержни показаны пунктирными линиями. Как видно из этого чер-
тежа, всего имеется семь поперечных распорок. Но две из них входят
в состав статически определимой системы (черт. 199), и следова-
тельно лишних стержней будет только пять.
Для расчета усилий в этих лишних стержнях: поступают следующим
образом.
Прикладывают к узлам первого намеченного лишнего стержня две
равные и прямо противоположные силы ж,»!, направленные по оси
этого выброшенного стержня, и определяют усилия во всех элементах
рассматриваемой системы от действия только этой единичной нагрузки
(второе состояние),	г;
232	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
Затем то же самое проделывают в последовательном порядке при еди-
ничных нагрузках:
*3=1’ w4=1 и V=1’
приложенных к узлам второго, третьего, четвертого и пятого выброшен-
ных стержней, и рассчитывают каждый раз систему под действием только
одной из этих единичных нагрузок (третье состояние, четвертое состоя-
ние и т. д.).
Обозначим через № усилие в каждом стержне статически определи-
мой системы без лишних стержней, под действием данной внешней на-
грузки, а через /г, р, q и г усилия в каждом стержне системы от
действия единичных сил, приложенных к узлам учитываемых лишних
стержней.
Обозначим также через X, Y, Z, U, V — неизвестные усилия в рас-
сматриваемых лишних стержнях.
Тогда на основании закона виртуальных перемещений (формула 37)
можно написать следующие пять уравнений:
у N-m-l
Е-F + Е-Ег ~°
yN.n.l 1-Г-/
Е-F “Г E-F2
yN-P’l ।	_0
" E-F “* E-F3 ~ -
yN.q.l
E-F I" E.F4
уЛЧЧ
Хй E.F т E'F*
где суммарное усилие в каждом стержне выражается общей формулой:
^=^o4-m.^4-л.F^-p.Z4-^.L/ + r• V.
Решая эти пять уравнений с пятью неизвестными, находим усилия
X, Y, Z, U и V в выбранных пяти лишних стержнях.
Из этого приближенного расчета выясняется закон распределения
усилий в трубчатых лонжеронах в присутствии лишних стержней, причем
закон параболической зависимости остается, но изменяются величины
самих усилий в лонжеронах.
При этом усилия в одних лонжеронах будут уменьшаться^ а усилия
в других лонжеронах будут увеличиваться.
Это объясняется тем, что с введением лишних стержней увеличи-
вается общая жесткость всей системы, и нагрузка распределяется более
равномерно к ежду всеми лонжеронами, подобно тому как это бывает
при изгибе балок, где волокна или фибры, одинаково удаленные от ней-
трально’! оси, оказываются и одинаково напряженными.
Точно такой же расчет можно проделать с учетом всех лишних
стержней для любой нагрузки, так как по Существу метод расчета не,
РАСЧЕТ ‘ФЕРМЫ ФЮЗЕЛЯЖА НА КРУЧЕНИЕ
233
изменяется, а только расчет значительно усложняется и потребует за-
траты большого количества времени.
Более простой метод расчета пространственного крыла заключается
в следующем.
Рассматривают данную пространственную систему как консольную
балку. Находят главные моменты инерции пеперечноог сечения крыла
и углы наклона их осей к горизонту и определяют усилия в лонжеронах по
принципу расчета балок, подвергающихся косому изгибу, т. е. разлагая
данную нагрузку на направления главных осей инерции, и рассматривая
каждую из этих двух составляющих нагрузок отдельно, а затем сумми-
руя полученные результаты.
Зная усилия в лонжеронах, не трудно уже будет определить усилия
и во всех раскосах, разлагая в каждом узле известное уже усилие в лон-
жероне на направления по осям раскосов и обходя все узлы фермы
в таком порядке, чтобы в каждом узле было не более трех неизвестных
усилий в раскосах.
Впрочем усилия в раскосах можно определить и по поперечным силам.
Этот приближенный метод расчета дает довольно удовлетворительные
результаты.
§ 38. Расчет фермы фюзеляжа на кручение.
Рассмотрим еще одну очень интересную задачу, которая постоянно
встречается при расчете аэропланов, а именно расчет пространственной
фермы фюзеляжа на круче-
ние. Предположим, что на
свэбодйый конец призмати-
ческой фермы фюзеляжа в
плоскости боковой грани
ABCD действует некоторый
скручивающий момент
вызываемый давлением воз-
духа на стабилизатор и руль
поворота (черт. 200).
Этот момент можно пред-
Черт. 200.
ставить в виде двух i ap P*b и Q-Л, связанных между собою уравнением:
M^P-b^Q-b
(87)
причем силы Р действуют в вертикальных плоских гранях, а силы Q
действуют в горизонтальных плоских гранях призматической фермы.
Ь и h — размеры контура ABCD.
Дальнейшая задача заключается в определении неизвестных сил Р и Q
при следующих условиях:
1.	Закрепление фюзеляжа в плоскости IKMN абсолютно жесткое.
2.	Боковые грани представляют плоские фермы.
3.	Всякое поперечное сечение фюзеляжа прямоугольное.
4.	Тросы (раскосы) не имеют начального натяжения.
В работе фюзеляжа при его скручивании принимают участие все
стержни, т. е. лонжероны или пояса, стойки, распорки, растянутые
диагонали, и толькб сжатые^диагонали (тросы) не участвуют в работе.
234	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРрПЛАНОВ
В плоскости каждой пары стоек имеются еще внутренние взаимно
пересекающиеся диагонали (на чертеже не показаны).
Точное аналитическое исследование показывает, что влияние этих
внутренних поперечных диагоналей на величины сил Р и Q крайне не-
значительно, и поэтому работой этих стержней (тросов) можно пре-
небречь.
Работа деревянных стержней также оказывает малое влияние на ве-
личины сил Р и Q, и поэтому работой этих элементов при предвари-
тельном расчете тоже можно пренебречь. Но при окончательном расчете
работу деревянных стержней (лонжеронов, стоек и распорок) обязательно
следует принять во внимание.
Итак ограничимся здесь приближенным расчетом и примем во внима-
ние только работу раскосов или тросов, расположенных в боковых
плоских гранях фюзеляжа.
Рассмотрим сперва переднюю вертикальную грань фюзеляжа, пред-
ставляющую плоскую раскосную ферму. Эта система находится под дей-
ствием силы Р, приложенной на конце фермы в узле Д, причем во всех
раскосах вызываются некоторые усилия N.
Эти усилия можно выразить в виде функции от силы Р, т. е.
принять:
^=^.p,
причем коэфициент kA можно определить, если рассчитать ферму при
действии единичной силы (Ро—1), приложенной на конце фермы в том
же узле Д, тогда будем иметь:
п = kx • Ро = kx • 1 = Аг
Обозначим через d длину раскоса, а через Рг — площадь его попе-
речного сечения.
Работа упругой деформации каждого раскоса выражается следующей
формулой, известной из курса „Строительной механики*:
1 №-rf 1 Aj2.p2.rf 1 р2
tl~2'E-F1~2 E-F1~2"E'Xv
где
Jfe?.rf
Работа упругой деформации всех раскосов передней грани будет
равна на основании выражения (88):
(90)
Для задней вертикальной плоской грани, также представляющей ра-
скосную ферму, нрй соответствующих величинах А„, и х2 получим по-
добное же выражение упругой деформации:
2 *	(91)
(88)
(89)
РАСЧЕТ ФЕРМЫ ФЮЗЕЛЯЖА НА КРУЧЕНИЕ
235
Точно такие же выражения работы упругой деформации получим для
верхней и нижней плоских граней под действием силы Q, приложенной на
конце фермы:
?2 = ~2 ~Е	*8’	(92)
^4 =	(93)
Работа всех раскосов будет равна:
Подставляя сюда найденные выше значения, получим следующее вы-
ражение работы:
Р2	О2
Т=2Е ^*1	2Е (^хз + ^х^'	(94)
Подставляя сюда значение силы Q, определяемой из уравнения (87):
получим:
г= 5+ s*=’+(Lv«+<96)
Эта работа упругой деформации должна быть минимальной'. Поэтому,
взяв первую производную от этого выражения по независимой неизвестной
величине Р и приравняв ее нулю, будем иметь следующее уравнение:
/> [4> (Xv, + Хла) + Ь, (Lx, + Xt,)] = м,  Ь (Lx, + lx,).
откуда определяем йеизвестную искомую величину:
Р= M,.fr(Sx8 + Sx4)'
A2(S^ + 2*,) + b*(2x3 + Sx4) •	( }
Подставляя это значение силы Р в уравнение (95), найдем другую
искомую силу:
q_______Af( • h (Sx, -|~ 2va)_	zggx
4~ 2x2) 4~ ^2(2x3 4”2x4)
Если каждая грань фюзеляжа будет* симметрична относительно средней
продольной реи пространственной системы (черт. 184), до в этом случае
236	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ АЭРОПЛАНОВ
будем иметь xi = xt u х3 = х4, и тогда предыдущие формулы получат
следующий упрощенный вид:
__ Mt • b • 2х3
Р~ А2	’
(99)
4 h^lx.A-b^lx'
1 I	о
(100)
Зная эти силы, не трудно уже определить усилия во всех стержнях
фюзеляжа, разлагая данную пространственную систему на плоские ра-
скосные фермы, и составляя диаграмму усилий для каждой плоской
фермы, причем усилия в лонжеронах, составляющих общий пояс двух
смежных плоских ферм, найдутся путем суммирования найденных усилий
в этих элементах для каждой плоской системы отдельно.
Если обозначить через ср угол закручивания фюзеляжа, то работа
упругой деформации при закручивании будет равна:
Г=у	(101)
откуда можно определить угол закручивания фюзеляжа:
2-Т
(Ю1а)
причем величина работы Т находится по формуле (96).
Для более точного расчета следует принять во внимание работу упру-
гих сил в лонжеронах, стойках и поперечных распорках фюзеляжа. Ме-
тод расчета остается тот же, но расчет значительно усложняется
Ограничимся этими краткими указаниями о расчете пространственных
ферм аэропланов.	х
Более подробные сведения на эту же тему будут даны в моем
специальном курсе: „Строительная механика аэроплана".
4 Изложенный здесь метод расчета фюзеляжа на кручение предложен англий-
ским инженером А. Пиппард в его труде: А. Р i р р а г d, Torsional stresses in the
fuselage of an aeroplane, Aercnautics. London. Reports. |90—21. T. I, p. 368—388.
11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО
РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ.
ML На черт. 201 показана прикрепленная призматическая двухъ-
ярусная ферма. Определить, будет ли эта пространственная система про-
стейшей или преобразованной, а также будет ли она геометрически не-
изменяемой и статически определимой.
Решение. Разрушаем данную систему, начиная £ узла 1, где сходятся
этого переходим
только три стержня, не лежащие в одной плоскости. После
к узлу 2, где за исключением отброшенного-стержня (2—1)
остаются также три стержня. Разрушая этот узел, перехо-
дим затем к последовательному разрушению узлов верхнего
кольца в порядке указанной нумерации, причем в каждом
узле будем находить только по три стержня. Разрушив
верхний ярус точно таким же образом, можно разрушить
все узлы второго кольца, начиная с узла 6, где за вычетом
отброшенных ранее стержней верхнего яруса остаются
только три стержня, и затем идя в порядке последователь-
ной нумерации узлов и снимая каждый раз по три стержня,
приходим к основанию в виде пятиугольника.
Следовательно это будет простейшая закрепленная систе-
ма, полученная из свободной системы путем замены четырех
диагональных . стержней: 5 — 3, 1 — 3, BE и СЕ четырьмя
добавочными опорными реакциями сверх 6 основных.
Эта система удовлетворяет также первому условию
геометрической неизменяемости прикрепленной фермы, вы-
ражаемому формулой:
т — (3-л — s) = 0.	(а)
В самом деле, эта система имеет т = 35 стержней,
п — 15 узлов и s = = 2 X 5 = 10 опорных реакций. Под-
ставляя эти числовые значения в формулу (а), получим тождество:
Черт. 201.
35 —(3X15 —10) = 0.
Таким образом данная пространственная система является простейшей, и по-
этому геометрически неизменяемой и статически определимой фермой.
№ 2. На черт. 202 показана прикрепленная призматическая ферма
с другим расположением раскосов. Определить, будет ли данная простран-
ственная система простейшей или преобразованной. В последнем случае
как ее обратно преобразовать в простейшую?
Решение. Так как в этой ферме нет ни одного узла, в котором сходилось
бы только три стержня, не лежащие в одной плоскости, то следовательно она
является преобразованной фермой.
Чтобы обратно преобразовать данную ферму в простейшую систему, выбра-
сываем стержень (1—7), тогда получим узел 1, в котором сходятся только три
стержня. Разрушая этот узел, переходим к узлу 2. Так как в этом узле все три
стержня находятся в одАой плоскости, то следовательно его разрушать нельзя.
23d задачи и упражнения ио расчету пространств, ферм
3
Черт. 202.
Поэтому переходим к последовательному разрушению узлов 5, 4 и 3, причем
каждый раз будем находить элементарный узел, составленный только из трех
стержней, не лежащих в одной плоскости.
Переходя к узлу 2, находим, что за исключением отбро-
шенных ранее стержней 2—1 и 2—3, в этом узле-остаются
только два стержня 2—7 и 2—8. Таким образом узел 2,
прикрепленный только двумя стержнями, будет подвижным.
Чтобы сделать его закрепленным, вводим заменяющий стер-
жень 2—6, показанный на чертеже пунктиром. Так как те-
перь в узле 2 имеются три стержня, то можно и его раз-
рушить.
Точно так же, переходя к нижнему ярусу и выбрасывая
стержень 6 — D, можно произвести последовательное разру-
шение узлов 6, 10, 9 и 8. Тогда в узле 7 получим только
два стержня 7 — D и 7 — Е. Поэтому, чтобы сделать этот
узел неподвижным, надо вставить заменяющий стержень
7 — С, показанный на чертеже пунктиром. Тогда узел 7
будет иметь три стержня, и, разрушая его, придем к осно-
ванию в виде пятиугольника ABCDE,
Так как данная преобразованная система получена из
простейшей путем двукратного плоского преобразования,
т. е. путем замены раскосов 2—6 и 7 — С обратными рас-
косами 1—7 и 6 — D в тех же панелях, то следовательно
эта система будет геометрически неизменяемой, так же
как и простейшая ферма.
одной
но не лежащих в
№ 3. На черт. 203 показана свободная ферма, представляющая верх-
нюю часть крана Фёппля. Определить, будет ли эта система простейшей
или преобразованной, а также будет ли она жесткой и статически опре-
делимой.
Решение. Произведем разрушение фермы, начиная с узла 7, отбрасывая
каждый раз по три стержня, сходящихся в одном узле,
плоскости. Таким образом последовательно разру-
шаем узлы: 7, 6, 5 и 4 и приходим к основанию
в виде треугольника 1, 2, 3.
Следовательно это есть простейшая ферма,
образованная из четырех трехгранных пирамид.
Сперва была составлена основная пирамида 4, 1,
2, 3, затем к ней была присоединена вторая пи-
рамида 5, 2, 3, 4, третья пирамида 6, 3, 4, 5, и
наконец четвертая пирамида 7, 4, 5, 6.
Кроме того эта ферма имеет т = 15 стержней
и п = 7 узлов и удовлетворяет основному усло-
вию жесткости свободной системы, выражаемому
формулой (2):
т — (3«п — 6) — 0.
В самом деле, подставляя сюда соответствую-
щие числовые значения, получим тождество:
15-(ЗХ7 —6) = 0.
- Таким образом данная система как простейшая
меняемой и статически определимой свободной фермой.
Черт. 203.
будет геометрически
неиз-
М 4. На черт. 204 показана свободная пространственная стропильная
ферма. Определить, будет ли эта система простейшей или преобразован-
ной, а также будет ли она геометрически й статически определима?
Решение. Начнем разрушение данной фермы с узла 9, где сходятся только
три стержня, не лежащие в одной плоскости.
ЗАДАЧИ И .УПРАЖНЕНИЯ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ	239
Отбросив эти стержни, переходим к разрушению узла 8, где также остаются
только три стержня, затем в последовательном порядке разрушаем узлы обратной
нумерации, т. е. 7, 6, 5 и 4.
В результате этого разрушения останется
основной треугольник 1, 2,
Следовательно эта ферма есть простейшая
система, образованная из шести трехгранных
пирамид.
Кроме того эта ферма имеет т = 21 стер-
жень и л = 9 узлов. Подставляя эти числовые
значения в формулу (2):
т —(3«л— 6) = О,
выражающую первое условие геометрической и
статической определимости свободной фермы,
получим тождество:
21 — (3X9 — 6) = 0.
Следовательно данная свободная система,
неизменяема и статически определима.
Черт. 204.
как простейшая, геометрически
№ 5. На черт. 205 изображена свободная мостовая ферма с верх-
ними ветровыми связями в виде полураскосов. Указать: 1) Будет ли
данная система жесткая при всякой нагрузке? 2) Что надо сделать, чтобы
превратить эту систему в жесткую? 3) При какой нагрузке данная ферма
будет жесткая?
Решение. 1) Первый вопрос. Данная ферма имеет т = 64 стержня и
л = 24 узла. Подставляя эти числовые значения в формулу (2):
/и —(3-л —6) = 0,	(а)
выражающую первое условие геометрической неизменяемости свободной простран- .
ственной системы, получим:
.	64 —(3X24 —6) = —2,
т. е. недостает двух стержней для того, чтобы эта система была геометрически
неизменяемой при всякой нагрузке.
2) Второй вопрос. Если вставить два стержня: Ът и сл, показанные на чер-
Черт. 205.
так как узлы (Ь) и (с) в этом случае
не
теже пунктиром, то такая система
будет удовлетворять первому усло-
вию жесткости (формула а).
Данная система, без указанных
двух добавочных стержней, будет
подвижной, потому что она имеет
два плоских узла (Ь) и (с), т. е.
Р два таких узла, в которых все
стержни расположены в одной
плоскости. Эти узлы, при верти-
кальных нагрузках в них, будут
иметь некоторые перемещения. До-
бавочные стержни Ьт и сп делают
узлы (Ь) и (г) неподвижными, а
следовательно и всю систему пре-
вращают в жесткую ферму.
3) Третий вопрос. Если силы
будут действовать горизонтально,
то система будет жесткой и без
этих . добавочных двух стержней,
будут нагружены внешней нагрузкой.
240 ЗАДАЧИ и УпрАжИеИия rid расчету прОстрАНСтй. 4>е₽М
При действии горизонтальных сил данная система распадается на плоские фермы.
Тогда для верхней плоской фермы имеем: т = 25 стержней и п = 14 узлов.
Подставляя эти числовые значения в формулу, выражающую условие геометри-
ческой неизменяемости плоской фермы:
т — (2-п — 3) = 0,
получим тождество:
25 —(2 X 14 —3) = 0.
Следовательно эта плоская полураскосная ферма будет жесткой, геометри-
чески неизменяемой.
Контрольные задачи к первой главе.
№ 6. Сделать обратное преобразование данной производной свободной
системы, показанной на черт. 206, в простейшую систему при помощи
замены стержней.
№ 7. Преобразовать звездчатую прикрепленную систему, показанную
на черт. 207, в простейшую при помощи замены стержней.
№ 8. Дана пространственная система, показанная на черт. 208. Будет ли
данная система жесткая или геометрически изменяемая и почему?
№ 9. Будет ли свободная система, показанная на черт. 209, статически
определимой, и если нет, то что надо сделать, чтобы она была статически
и геометрически определимой?
№ 10. Будет ли данная пространственная свободная система (черт. 210)
геометрически неизменяемой и статически определимой, и если нет,
то что надо сделать, чтобы она была жесткой и статически опреде-
лимой?
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	241
Черт. 209.
Черт. 210.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ.
№ 11. По ребрам пирамиды СМ, ОВ, ОС и OD действуют усилия
Мр М2, Л/g и ЛГ4, заданные по величине (черт. 211). Определить их
равнодействующую графическим путем.
Решение. На вертикальной или профильной плоскости строим силовой
многоугольник a2b2c2d2e2t стороны которого соответственно параллельны верти-
кальным проекциям ребер пирамиды и равны заданным вертикальным проекциям
NN2, IV3 и N4 усилий в этих ребрах. Тогда замыкающая линия а2е2 сило-
вого многоугольника даст по величине и по направлению вертикальную проекцию
R" искомой равнодействующей /?.
Затем на вертикали а{а2 от какой-либо точки а{ в плане строим силовой
многоугольник	проводя стороны его параллельно горизонтальным
проекциям ребер пирамиды. Тогда замыкающая а{е{ даст по величине и по на-
правлению горизонтальную проекцию /?' искомой равнодействующей,
16. Подольский, И. С.
W ЗАДАЧИ И Упражнений Пб расчету пРостРАНстВеН. ФЕРМ
Величина самой равнодействующей /? определится из параллелограма сил
fhnpq со сторонами mq — R' и mn^R”, как это показано на черт. 211, а.
№ 12, Разложить вертикальную силу Р на три заданных направле-
ния по ребрам трехгранной пирамиды и определить величины составляю-
щих усилий Мр Af2 и N3 (черт. 212).
Решение. От произвольной точки at. в горизонтальной плоскости проводим
линии а{т{ и а^п{, параллельные проекциям стержней А^О^ и 0{В{. На одном из
этих направлений, например на направлении откладываем произвольный отре-
зок а{т{ и через точку т{ проводим линию параллельно проекции ребра 0{С{.
Полученный треугольник будет выражать силовой треугольник гори-
зонтальных проекций усилий N2 и ^з в произвольном масштабе.
Проведя через точки
alt и вертикальные
линии, выбираем произ-
вольную точку а2 на вер-
тикали а{а2 в профиль-
ной плоскости и от этой
точки проводим линию
параллельно проек-
ции первого ребра Л2О2.
Затем из точки т2 прово-
дим линию т2п2, парал-
лельную проекции ребра
О2В2, до пересечения с
вертикалью п{п2 и нако-
нец из точки п2 прово-
дим линию п2о2, парал-
лельную проекции ребра
О2С2до пересечения с вер-
тикалью а{а2 в точке о2.
Полученный много-
угольник а2/и2«2о.2а2 будет
выражать силовой много-
угольник вертикальных
проекций усилий Д/р N2
и ЛГ3 в произвольном мас-
штабе.
а.
•. 212.
А ордината а2о2 будет выражать данную силу Р в том же произвольном
масштабе. Чтобы перейти теперь от произвольного масштаба к заданному мас-
штабу сил, откладываем на вертикали а£а2 от точки а2 ординату а2о3, равную
заданной силе Р. Из точки о3 проводим линию o3t?2, параллельную стержню О2С2,
до пересечения в точке с2 с продолженной линией а2п2с2. Затем из точки с2 про-
водим линию с2Ь2, параллельную стержню до пересечения в точке Ь2 с про-
долженной линией а2т2Ь2.
Тогда отрезки профильного силового многоугольника Ь*с2 и с2о3 будут
выражать вертикальные проекции усилий М2 и N3 соответственно в стержнях
АО, ВО и СО.
Для того чтобы найти горизонтальные проекции этих усилий, надо только
спроектировать полученные точки Ь2 и с2 на продолженные линии а{т{Ь{ и а^п{с{.
Тогда отрезки ajbit и Ь{с{ будут выражать искомые горизонтальные про-
екции тех же усилий Л\, TV2 и N3 в ребрах пирамиды.
Имея горизонтальные и вертикальные проекции усилий, нетрудно уже бу-
дет определить и величины этих усилий, построив параллелограмы сил для
каждых двух соответствующих проекций.
№ 13. Для бурения земляной скважины установлена тренога из бре-
вен, соединенных вместе в вершине О, где прикреплен также блок. Через
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ
243
этот блок перекинут канат SOK, когорый одним концом (S) прикреплен
к лебедке, а другим концом (70 прикреплен к кольцу буровой штанги
(черт. 213). Определить графическим путем усилия в бревнах треноги.
Решение. Обозначим натяжение каната через Р и определим прежде всего
равнодействующую этих натяжений в обоих концах каната. Для этого на про-
фильной (вертикальной) плоскости строим силовой треугольник а3о2£2, У которого
отрезок а2о2> равный натяжению Р, параллелен правому концу каната О2Я*2, а отре-
зок о2&2, также равный натяжению каната Р, параллелен левому концу каната
O2S2 (черт. 213,а).
Тогда замыкающая а2Ь2
будет выражать по величине
и по направлению вертикаль-
ную проекцию Р2 искомой
равнодействующей Р. Гори-
зонтальная проекция той
же равнодействующей опре-
деляется отрезком а{Ь{, па-
раллельным проекции каната
в пределах двух верти-
калей а{а2 и b{b2.
Перенося найденное на-
правление вертикальной про-
екции Р2 равнодействующей
в точку О2, продолжаем ее
до пересечения в точке D2
с горизонтальной плоскостью
и эту точку проектируем на
направление каната в
плане. Тогда точка D{ будет
Черт. 213.
выражать пересечение рав-
нодействующей R с гори-
зонтальной плоскостью, -и
линия	будет выражать след плоскости, в которой лежат равнодействую-
щая 7? и ребро треноги ОС.
Разлагаем равнодействующую в этой плоскости на два направления:
и 0<С4.Для этого из точки а2 на профильном треугольнике сил проводим линию
а2с2, параллельную ребру АО (с которым сливается направление F2O2), а из точки
Ь2 проводим линию д^2, параллельную ребру О2С2. Тогда отрезок Ь&2 будет вы-
ражать вертикальную проекцию усилия W3 в ребре О2С2. Горизонтальная проекция
того же усилия W3 определяется отрезком Ь^, параллельным проекции ребра 0{С{.
Отрезки а{с{ и а2с2 будут выражать проекции частной равнодействующей усилий
в ребрах АО и ВО, идущей по направлению линии OF в плоскости АОВ.
Чтобы найти усилия	и У2 в ребрах АО и ВО, надо эту частную равно-
действующую разложить на эти два направления. Для этого из точки а{ в плане
проводим линию a{d{ параллельно ребру А{0{, а из точки с{ проводим линию
параллельно ребру В{0{. Тогда отрезки a{d{ и (\(Ц будут соответственно вы-
ражать горизонтальные проекции усилий ЛГ4 и /V2 в ребрах АО и ВО.
Для получения вертикальных проекций тех же усилий надо только спроек-
тировать точку d{ на отрезок а2с2. Зная проекции этих усилий, нетрудно уже
определить графически и величины самих усилий.
№ 14. Разложить данную силу Р, приложенную в узле С, по направ-
лению трех стержней СА, СВ и CD, составляющих произвольные углы
с плоскостями проекций (черт. 214).
Решение. Находим прежде всего пересечение плоскости, в которой лежат
заданная сила Р и стержень CD, с горизонтальной плоскостью проекций.
Для этого продолжаем на вертикальной или профильной плоскости заданное
направление силы Р (выражаемое проекцией Р2) до пересечения с горизонтом
16*
24* Задачи и упражнения nd расчету Пространствен. ФЕрМ
в точке Ка и ЭТУ точку проектируем на горизонтальную проекцию той же силы
Р, причем получаем точку К{. Это будет точка пересечения данной силы Р
с горизонтальной плоскостью. Пересечение ребра CD с горизонтальной плоскостью
находится в точке Dt.
Поэтому, соединяя прямой линией точки £>< и /Q, получим в плане след
плоскости KCD, в которой лежат данная сила Р и ребро CD.
Соединяем прямой А{В{ опоры и двух других стержней и, продолжая
эту линию до пересечения ее с линией D{Ki в точке соединяем эту послед-
нюю точку с точкой С{ прямой StC4. Это будет линия пересечения двух пло-
скостей, а именно плоскости SCD, в которой лежат сила Р и стержень CD, и
плоскости SCB, в которой лежат стержни АС и ВС.
Проектируя точку S4 на горизонт НН и получив точку S2, соединяем ее
прямой с точкой С2, причем линия S2C2 будет выражать на профильной плоско-
сти пересечение тех же двух плоскостей.
Черт. 214.
Разлагаем теперь силу Р по направлению стержня CD и по направлению
линии CS пересечения двух указанных выше плоскостей. Это разложение выра-
жается двумя силовыми треугольниками:	и а2#2г2, причем отрезки и
Ь$с2 будут выражать проекции N3 и N3 усилия W3 в стержне CD. **
Отрезки и а2с2 будут выражать проекции равнодействующей R усилий
ЛГ4 и N2 соответственно в стержнях АС и ВС.	•
Разлагаем эту равнодействующую на две составляющие по направлению ре-
бер АС и ВС. Это разложение выражается двумя силовыми треугольниками
и a^2rf2, причем отрезки qrf4 и с2<72 будут выражать проекции Н\ и N\ усилия
Ni в стержне АС, а отрезки и a2d2 будут выражать проекции N'2 и N2
усилия Й2 в стержне ВС.
Имея проекции усилий в трех стержнях, нетрудно уже определить графи-
ческим путем величины самих усилий Н2 и Н3 по закону параллелограма.
Эти построения указаны на черт. 214 а, Ь, с, для каждого усилия отдельно.
№ 15. Разложить данную силу Р, приложенную в узле С, на три
направления по осям аержней СА, СВ и CD при условии, что основа-
ния этих стержней находятся за пределами чертежа (черт. 215).
Решение. При заданном расположении силы Р, выраженной в ортогональ-
ных проекциях двумя отрезками и С2Е2, проводим через конец силы Р ли-
нию EF, параллельную стержню АС. Это построение выполняется следующим
образом. Из точки Е2 на профильной плоскости проводят линию E^fat параллель-
ную проекции стержня А2С2.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ
245
Точки т2 и п2 пересечения этой линии с проекциями стержней С2В.2 и C2D.2
проектируем на направления тех же стержней C{Bt и C{D{ в плане и соединяем
полученные точки т{ и п{ прямой линией.
Затем проводим в плане из кон-
ца силы Р, т. е. из точки Eit линию
E{F{, параллельную стержню до
пересечения ее с линией в
точке F1M Эта точка является точкой
пересечения линии EF (проведенной
из конца силы Р параллельно стер-
жню АС) с горизонтальной плоско-
стью. Проектируя эту точку F{ на
профильную плоскость и найдя точку
F2 на линии т2п.2, соединяем эту
точку F2 с узлом С2 прямой линией.
Тогда треугольник C2E.2F2 будет выра-
жать силовой треугольник, у которого
сторона E2F2, параллельная стороне
Л2С2, будет выражать вертикальную
проекцию искомого усилия в стер-
жне АС. Проведя из точки Р2 линию
F.2G2 параллельно проекции стержня
С2В2, т. е. разлагая силу С2Г2 на два
направления С.2В.2 и C2D2, получим
вертикальные проекции N2 и
искомых усилий N.2 и соответственно в стержнях СВ и CD. Точно так же
в горизонтальной плоскости отрезок EJ\ будет выражать проекцию усилия
в стержне АС, а проведя из точки F{ линию Fig{ параллельно проекции стержня
С{ВЬ получим горизонтальные проекции искомых усилий ЛГ2 и N3 в стерж-
нях СВ и CD. Эти проекции выражаются отрезками 7^ и g{C{.
Черт. 216.
По этим двум проекциям
каждой силы нетрудно уже оп-
ределить графическим путем и
величины искомых составляю-
щих при помощи построения
параллелограма сил или сило-
вого треугольника для каждой
пары соответствующих про-
екций.
№ 16. Определить усилия
в стержнях крана, несущего
груз Р= 10 т. Размеры
крана показаны на черт. 216.
Решение. 1. Графиче-
ский способ. Проводим через
ребро АВ и через вертикаль-
ное направление силы Р плос-
кость, которая будет параллель-
на профильной плоскости, и в
этой плоскости разлагаем силу
Р на две составляющие по на-
правлению ребра АВ и по на-
правлению биссектрисы между ребрами АС и AD. Эта биссектриса на про-
фильной плоскости сливается е проекциями этих ребер.
Для этого строим треугольник сил а.2Ь.&2 на вертикальном отрезке а2Ь.2 — Р,
проведя линию Ь#2 параллельно ребру Л2Я2 и линию а2с.2 параллельно ребру
246 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Л2Са. Тогда отрезок дага будет выражать в неискаженном вице величину усилия
/У1=1400Э^г в стержне АВ, а отрезок а2с2— R будет выражать равнодействую-
щую усилий N2 и N3 соответственно в стержнях АВ и AD. Горизонтальная
проекция той же равнодействующей будет выражаться отрезком
Проводя из концов а{ и с{ этого отрезка линии и cldl, соответственно
параллельные проекциям стержней AjC, и A{Db получим силовой треугольник
у которого стороны a{d{ и c{d{ будут выражать проекции усилий N2 и
N3 в стержнях АС и AD.
Проектируя точку d{ на вертикальную проекцию равнодействующей <ty2 = R2t
получим точку d2, которая делит отрезок а^с2 на Дв^ составляющие проекции
усилий atfL2 = N2 и ^2 = ^3 в стержнях АС и AD.
Определив величину горизонтальной и вертикальной проекций усилия N2t
можно из силового треугольника тпо определить и величину самого усилия
16 000 кг в стержне АС. Усилие в стержне AD будет равно усилию N2
в стержне АС вследствие симметричного расположения этих стержней относи-
тельно вертикальной плоскости А{В{.
2. Аналитический способ. Пересекая все три стержня какой-либо плоскостью
и прилагая в местах разрезов неизвестные усилия Л^, N2 и N3, составляем урав-
нение моментов всех сил относительно оси C^Db тогда получим:
^Mb = P-b-
Откуда находим растягивающее усилие в стержне АВ:
М -Р'Ь - Р'Ь - р	( X
1	^-sinj sin р ’
где плечо момента силы будет равно:
г, = d’Sin JL
Но tg J ~	= 1, следовательно 8 = 45°, sin ? = sin 45° = —L .
ZX 6	/ 2
Подставляя это значение синуса в уравнение (а), получим:
Nt =Р> г2 = 10 000X1,41 = 14 100 кг.
Составляя уравнение моментов тех же сил относительно оси В{В2, получим:
5УИ^ = Р-26 + У?-/'2==0-
Откуда определяем величину равнодействующей усилий N2 и У3:
P-2b P-2b 2Р
sin а ’
R
(Ь)
d-sin а
''а.
где плечо этой равнодействующей:
r2 = /?»sin а.
♦	__ h 6 _ о
iga- ь — 3 — 2.
Но
2
2
/5 *
Следовательно
tg а
sin а — ——
1 + tga Я
Подставляя это значение синуса в уравнение (Ь), получим:
R = _2-PV5 = _ р >/3==_224р
Усилия в стержнях АС и AD будут равны:
л/ л; р	WA-P 1,12-Р
2-cos-y 2-cos-^- cos ~-
4	4	4
(с)
(d)
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	247
Длина вертикальной проекции стержня АС.
s =	+ —/бЯ^2 — /45 = 6,71,
. т а 4
tg 2 “ 2>s
1
- 2 X 6,71 = 0,31,
1 __ 1 _ 1
/1 + (0,31)2 ~ ^1Д5 ~ 1,4 ’
cos у
I'l+lg-i
Подставляя это значение косинуса в уравнение (d), получим сжимающие
усилия в стержнях АС и AD:
= = -1Д2Х 10000X 1,4 = — 15680 кг.
№ 17. Узел С пространственной фермы составлен из трех стержней
СЛ, СВ и CD, из которых первые два стержня расположены в горизон-
тальной плоскости. В этом узле приложена нагрузка Р, имеющая произ-
Черт. 217.
вольное направление, как это показано на черт. 217, а в аксонометриче-
ских проекциях. Определить усилия в этих стержнях, пользуясь
ортогональными проекциями (черт. 217,^).
Решение. Разлагаем данную силу Р, выраженную отрезком СР, на две со-
ставляющие: вертикальную V и поперечную Q, расположенную в горизонтальной
плоскости АВС, причем вертикальная сила V выразится в неискаженном виде
отрезком С2С2 на профильной плоскости, а горизонтальная сила Q выразится
в плане в неискаженном виде отрезком С4Р{.
Переносим вертикальную силу V в точку С2, в виде отрезка С2а и здесь
разлагаем ее на две составляющие по направлению подкоса С2О2 и по направле-
нию биссектрисы С{Е{ угла АСВ, причем эти силы получаются на вертикальной
или профильной плоскости без искажения.
Поэтому отрезок С2Ь будет выражать сжимающее усилие — N3 в подкосе CD,
а отрезок C2d2 будет выражать горизонтальную составляющую силу R. Эта по-
следняя сила в плане выражается в неискаженном виде отрезком
Разлагаем эту силу R в плане на две составляющие по направлениям стерж-
ней АС и ВС, причем вследствие симметричного расположения этих стержней
относительно оси С{Е{ сжимающие усилия в них — и — будут выражаться
равными отрезками Ctm и С{п.
248 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Точно так же силу Q, расположенную в горизонтальной плоскости АВС, пере-
носим в точку Ci9 причем эта сила выразится отрезком Ctt, и разлагаем ее на две
составляющие С{и и C4v по направлению стержней АС и ВС, причем эти от-
резки будут выражать без искажения сжимающее усилие (— Л^) в стержне
АС и растягивающее усилие (-J- N2) в стержне ВС от действия горизонтальной
силы Q.
Действительные усилия в этих стержнях будут соответственно равны:
nx=-n[-n\
и
Если данная сила Р будет расположена вертикально, то горизонтальная со-
ставляющая сила Q пропадет, и тогда решение задачи будет соответствовать
указанному несколько выше разложению одной вертикальной силы V.
№ 18. В узле А сходятся четыре стержня, из которых три стержня
лежат в одной плоскости. Определить усилие в отдельно стоящем стержне,
если на узел А действует сила Р, заданная по величине и по направле-
нию (черт. 218).
Решение. Из указанного на чертеже расположения стержней видно, что
стержни АВ, АС и AD лежат в одной плоскости, так как их опорные точки В,
С и D лежат на одной прямой линии.
Находим след пересечения силы Р с горизонтальной плсскостью. Для этого
продолжаем вертикальную проекцию
Черт. 218.
составляющие, из которых одна пойдет по
направлению линии AM.
Р2 до пересечения ее с горизонтом
в точке /С2 и проектируем эту точку
на направление горизонтальной про-
екции той же силы Р{, причем точка
К{ и будет искомым следом пересече-
ния силы Р с горизонтальной плос-
костью.
Соединяем точки Е^ и пря-
мой линией и продолжаем эту линию
влево до пересечения в точке М{ с
опорной линией B^D{.
Соединяя затем точки М{ и А{
прямой линией, получим горизонталь-
ный след пересечения плоскости BAD,
в которой лежат три стержня, с плос-
костью МАЕ, в которой лежат четвер-
тый стержень АЕ и данная сила Р.
Вертикальный след пересечения тех
же плоскостей определяется линией
А2М2.
Разлагаем теперь данную силу Р,
лежащую в плоскости МАЕ, на две
направлению ребра АЕ, а другая — по
Это разложение выполняется при помощи силового треугольника: а2Ь2с2,
у которого сторона а2Ь2 параллельна направлению проекции силы Р2 и равна ее
величине, сторона а2с2 параллельна ребру А2Е2 и сторона Ь2с2 параллельна ли-
нии А2М2.
Из этого силового треугольника находим вертикальную составляющую /Уд
усилия в отдельном стержне АЕ, выраженную отрезком а.ус2.
Для получения горизонтальной проекции той же силы строим в плане дру-
гой силовой треугольник стороны которого a{blt а{с{ и соответственно
параллельны горизонтальной проекции силы Р\, стержню и линии А{М^
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ
249
Из этого треугольника определяем величину горизонтальной проекции
искомого усилия А^в отдельном стержне АЕ.
Для определения усилий в остальных трех стержнях, лежащих в одной пло-
скости, придется решить плоскую статически неопределенную задачу.
К» 19. Определить усилия в трех стержнях кронштейна, если в узле С
приложена вертикальная сила Р=3 т. Размеры кронштейна показаны
на чертеже в аксонометрических и в ортогональных проекциях (черт. 219).
Решение. 1. Графический способ. Разлагаем данную силу Р на два на-
правления в вертикальной плоскости CED по закону параллелограма C^G^K^F^
как это показано на профильной плоскости, тогда получим сжимающее усилие /У3
в подкосе CD, выраженное без искажения отрезком C^F2.
Величину этого усилия можно определить по масштабу или вычислением,
причем получим;
где а есть угол наклона ребра CD к вертикали DB.
Черт. 219.
Из треугольника Пифагора B^C^D^, у которого катеты соответственно равны
3 и 4 .и, находим длину гипотенузы С2Ь2, равную 5=5 м, следовательно
4	3 х 4
sin а = у, cos а = -у, tga = y.
Подставляя теперь соответствующие числовые значения в уравнение (а),
получим:
Ж1>а,Х5 = 5„ т
О

Горизонтальная составляющая силы Р, выражаемая отрезком С2Сд>, будет
равнодействующей R усилий в стержнях АС и ВС и будет равна:
tf = p.tg а.
Разлагая эту силу в горизонтальной плоскости АВС на две составляющие
C^tn и С^п, найдем растягивающие усилия в стержнях АС и ВС, при :ем эти
усилия будут равны между собой, так как они имеют одинаковые углы наклоне-
ния (J) к оси АВ,
250 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕЙМ
Из треугольника CiGim имеем:
..	.. R Ptgi
/V| — ^2 —2,sinp — 2^sin~p ’
(b)
где
Следовательно
sin р
‘g?=&r=4=2-
U j/ij z
tg^ — =	2	= ~ = 0,8944.
/1 + tg* ₽	/1 + 2«	/5
Подставляя соответствующие числовые значения в формулу (Ь), получим:

3000X4
3 X 2 х 0,8944
2236 кг.
Из графического построения видно, что подкос CD сжат, а горизонтальные
тяжи АС и ВС вытянуты.
2. Аналитический способ. Выделяем круговым сечением узел С и, выбирая
линию АВ, соединяющую два опорных шарнира, за ось моментов, составляем урав-
нение моментов всех сил, приложенных в узле С, относительно этой оси, тогда
получим:
^Mab = P-l + Nrr = 0.
Откуда находим усилие в подкосе CD:
N^-~,	(с)
где плечо (г) есть перпендикуляр, опущенный из срединной точки Е на направле-
ние стержня CD, причем эта величина определяется по формуле:
г = Л-sin а
ЗХ4__12
5 “ 5 ‘
Подставляя это числовое значение в формулу (с), получим:

Отрицательный знак ( —) показывает; что это усилие сжимающее.
Составляя теперь сумму проекций всех сил, приложенных в узле С, на гори-
зонтальную ось и имея в виду, что - ДГ2 в силу симметрии, получим сле-
дующее уравнение статики:
2 X=-W3s’in — 2N,-sinf = 0,
откуда находим
ЛГ3-5:пд _ _ (-5000)Х4 =
2-sin₽ 2X5X0,8944
Из сравнения этих двух расчетов видно, что аналитический способ расчета
несколько проще графического.
№ 20. Определить усилия в стержнях АС, ВС и CD трехгранного
угла при заданном направлении их в ортогональных проекциях и при
вертикальной нагрузке Р в узле С (черт. 220).
Решение. Проводим вертикальную плоскость через ребро DC, которая
в плане выразится линией D^Fi. Проектируем точку F{, находящуюся на опор-
ной линии А{В{, на горизонт и соединяем полученную точку с узлом С2 пря-
мой линией С^, которая будет выражать след той же плоскости DCF на
профиле.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ
251
Разлагаем вертикальную силу Р, находящуюся в плоскости DCF, на две
составляющие по направлению ребра CD и по направлению линии CF, Это раз-
ложение выражается силовым треугольником а2Ь2с2 и отрезком aici в плане, при-
чем проекции усилия в стержне CD выражаются отрезками и а&2. За-
тем разлагаем вторую составляющую R в плоскости грани АСВ на две составляющие
по направлению ребер АС и ВС. Для этого на профильном многоугольнике сил
проводим линии c2d2 и соответственно параллельные стержням А2С2 и В2С2.
Точно так же в плане про-
водим линии Cidi и b{d{i соот-
ветственно параллельные стер-
жням А{С( и B£i. Эти отрезки
и будут
искомых
стержнях
Имея
ций для
трудно уже определить графи-
ческим путем и величины этих
усилий.
Чтобы о :ределить усилие
N{ в стержне CD по способу
моментов, надо составить урав-
нение моментов всех сил, при-
Хоженных в узле С, относи-
тельно оси АВ, соединяющей
опорные точки А и В.
При составлении этого ура-
внения надо усилие разложить
и перпендикулярно к ней.
Тогда момент *от первой составляющей, параллельной оси АВ, будет равен
нулю, а вторая составляющая будет равна A^-sina.
Поэтому уравнение моментов всех сил, приложенных в узле С, относительно
оси АВ будет иметь следующее выражение:
выражать проекции
усилий и N3 в
АС и ВС.
величины двух проек-
каждого усилия, не-
Ц
С.
Черт. 220.
NT
''Ь'
а.
на две составляющие: параллельно оси АВ

I 3 N[
4
к

— P-r — Npsin n-h = 0.
Откуда определяем искомое усилие
V Р'г
1 /z*slna
Отрицательный знак показывает, что стержень CD сжат.
№ 21. Определить усилия в трех стержнях АС, ВС и DC пирамиды
под действием горизонтальной силы Р, приложенной в узле С. Располо-
жение стержней показано на черт. 221 в трех ортогональных проекциях.
Решение. Разлагаем данную силу Р в профильной плоскости В2С2А2 на
две составляющие: вертикальную a2d2 = S и наклонную a2c2=Q, параллельную
направлению стержня D2C2, при угле наклона к горизонту, равном а.
Тогда из этого разложения получим величины составляющих сил без иска-
жения их:
S-Ptga
и
Qr= — .
COS а	-
Вертикальную силу S в свою очередь разлагаем во второй профильной пло-
скости В3С3Л3 на две составляющие: горизонтальную R и наклонную иду-
щую по реи стержня Л3С3, при угле наклона, равном р.
252 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Из этого разложения силы S имеем следующие величины составляющих сил
без искажения их:
9	. P tgg
tgf- tgf
‘ sin р tg p.sin р
и
По характеру действия это будет сжимающее усилие в стержне АС.
Горизонтальную силу R, находящуюся в плоскости грани BCD, разлагаем
в этой плоскости на две составляющие: V — по направлению ребра ВС и Т —
по направлению ребра DC при угле
наклона между этими ребрами, рав-
ном у. Тогда получим следующие
величины этих составляющих:
R P-tg*
tgY tgHgY
_ R =_ P-tg*
s;n-f tgf-sin;'
Тогда усилие в стержне ВС
будет равно:
р
cos а
. Ptg*
tgf-tgY *
По характеру действия это будет
растягивающее усилие.
И наконец усилйе в стержне
DC будет равно:
B-tga
tgp-sin
По характеру действия это будет сжимающее усилие.
Характер усилий в стержнях можно определить также и без расчета, на осно-
вании одних умозрительных заключений, если рассматривать данную систему стерж-
ней как трехгранную пирамиду, стоящую на своем основании ABD.
При действии горизонтальной силы Р в указанном направлении эта пира-
мида будет стремиться опрокинуться, вращаясь около ребра AD.
Следовательно ребра АС и DC будут сжаты, и чтобы удержать эту пира-
миду от опрокидывания, надо закрепить опорную точку В стержня ВС.
Следовательно этот последний стержень, сопротивляющийся опрокидыванию
пирамиды, будет растянут.
Ki = Q+ v

№ 22. В узле С закреплены четыре стержня, из которых два гори-
зонтальных и два наклонных. Определить усилие N в горизонтальном
стержне CD под действием груза Р, приложенного в узле С и находя-
щегося в вертикальной плоскости, проходящей через ребро ВС (черт. 222).
Решение. Из заданного в проекциях расположения четырех стержней АС,
ВС, DC и ЕС, сходящихся в узле С, видно, что горизонтальный стержень СЕ
имеет в плане проекцию С{Е^, параллельную линии А{В{, соединяющей опорные
точки А и В двух стержней АС и ВС.
Эта параллельность линий указана равными углами а. Следовательно все три
стержня: АС, ВС и ЕС лежат в одной плоскости, а четвертый стержень DC не
лежит в этой плоскости.
В таком случае является возможность определить усилие в этом, отдельно
стоящем, стержне, несмотря на то, что в узле С сходятся четыре стержня. Раз-
лагаем силу Р в вертикальной плоскости, проходящей через ребро ВС, на две
составляющие: горизонтальную R и наклонную Q, идущую по оси ребра ВС,
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	253
Горизонтальную силу /?, лежащую в плоскости грани DCE, разлагаем в свою
очередь на две составляющие и S, идущие по направлению ребер CD и СЕ.
Составляющая W и будет искомым усилием в отдельно стоящем ребре CD.
Что касается составляющих Q и S, лежащих в одной плоскости, а именно
в плоскости грани ВСЕ, то они дадут равнодействующую Т.
Разложение этой равнодействующей Т
на три направления АС, ВС и ЕС, лежащие
в одной плоскости, является уже статиче-
ски неопределимой плоской задачей.
Д4
Черт. 222.
Черт. 223.
№ 23. Определить по способу моментов усилия в трех стержнях,
сходящихся в узле С, где приложена горизонтальная сила Р (черт. 223).
Решение. Обозначим углы наклонения ребер ЛС, ВС и DC к горизон-
тальной плоскости соответственно через a, f и у.
Принимая опорную линию BD за ось моментов, разлагаем горизонтальную
силу Р в горизонтальной плоскости на две составляющие силы: одну R,
параллельную оси BD, и другую Q — ей перпендикулярную.
Первая сила R, параллельная выбранной оси моментов BD, даст момент
равный нулю, и поэтому не войдет в уравнение моментов.
Другая составляющая Q = P-cos будет иметь плечо момента, равное высоте
пирамиды h.
Усилие в стержне АС также разлагаем в опорной точке А на две соста-
вляющие: горизонтальную $ по направлению проекции ребра AtC{ и на верти-
кальную У= • sin а.
Первая сила S при составлении суммы моментов всех сил относительно оси
BD пропадает, так как она пересекает эту ось, а вторая сила V будет иметь
плечо, равное г.
Поэтому сумма моментов всех сил относительно оси BD будет равна
2AfM=Q-A-'/-r=0.
Подставляя сюда указанные выше значения сил Q и V, почучим:
P-cos — /Vrsin-a-г = 0.
Откуда определяем искомое усилие в стержне АС:
N ^-/z-cos у
г-sin а
254 задачи и Упражнения по Расчету пространствен, ферм
Если обозначить длину стержня Л С через то
h
sma-
и тогда
N  P /z-cos ?-/t P /rcos ?
r-h	r
Точно так же, составляя уравнения моментов всех сил относительно опорных
линий AD и ЛВ, можно определить усилия N2 и Af3 соответственно в стержнях
ВС и DC от действия горизонтальной силы Р, приложенной в узле С.
При этом стержень АС будет растянут, а остальные два стержня будут
сжаты.
Применение метода нулевой нагрузки.
№ 24. Из четырех стержней, сходящихся в узле Л, два стержня рас-
положены в какой-либо плоскости (ММ), а два остальных стержня рас-
положены на одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости. Опре-
делить усилия в- этих стержнях, если в узле А (черт. 224) не имеется внеш-
ней нагрузки (или имеется так называемая „нулевая нагрузка").
Решение. Обозначим усилие в каждом стержне через W с соответствую-
щим нижним индексом. Так как два стержня АВ и АС по условию задания лежат
на одной прямой, то проводя плоскость через эти два стержня и через стержень
АЕ, находим, что усилие в отдельно стоящем стержне AD при нулевой нагрузке
в узле А будет равно нулю, т. е. ЛГ3 = 0 на основании второго положения (см.
§ 11, стр. 6Q).
Черт. 224.
или
И обратно, проводя плоскость через три стер-
жня АВ, АС и AD, найдем, что усилие в отдельно
стоящем стержне АЕ при нулевой нагрузке в узле
С будет равно нулю, т. е. ^4 = 0.
Составляя теперь сумму проекций всех уси-
лий в стержнях на ось ВАС, находим, что при
нулевой нагрузке в узле С
^ + ^ = 0,

т. е. усилия в стержнях АВ и АС должны быть равны, но противоположны по
знаку. Отсюда можно вывести общее заключение, что если в каком-либо узле
пространственной фермы сходятся четыре стержня, из которых два лежат на
одной прямой, перпендикулярной к плоскости, проведенной через два других
стержня, то при нулевой нагрузке в узле усилия в этих последних стержнях
порознь равны нулю, а усилия в двух стержнях, расположенных на одной прямой,
равны по величине и противоположны по знаку.
№ 25. Пять стержней, сходящихся в одном узле Л, лежат в двух
плоскостях I и II. Найти положение их равнодействующей при нулевой
нагрузке в узле А (черт. 225).
Решение. Обозначим усилие в каждом стержне через с соответствую-
щим указателем.
Так как стержни 1, 2 и 3 лежат в одной плоскости (I), то обозначим частную
равнодействующую усилий Hlt	этих стержнях через
Точно так же обозначим через /?2 частную равнодействующую усилий и
W& в двух других стержнях, 4 и 5, лежащих во второй плоскости (II).
задачи и Упражнения к второй главе 255
При нулевой нагрузке в узле А геометрическая сумма этих частных равно-
действующих должна равняться нулю, т. е.
/?< + /?2 = 0.
Отсюда находим, что Pt — — Р2, т. е. частные равнодействующие должны
быть равны и противоположны по знаку.
Сумма их будет равняться нулю только в том слу-
чае, если эти частные равнодействующие будут располо-
жены на одной прямой и будут действовать в разные, вза-
имно противоположные стороны.
Но частная равнодействующая /?<трех усилий Nit N-i и
N3 лежит в плоскости I, а частная равнодействующая двух
усилий ЛГ4 И АГ 5 лежит в плоскости II.
Очевидно, что эти частные равнодействующие будут
лежать на одной прямой и каждая в своей плоскости только
в том случае, если обе они будут расположены по оси
00 пересечения обеих плоскостей.
Отсюда можно вывести общее заключение, что если
в каком-либо узле пространственной фермы сходятся не- Черт. 225.
сколько стержней, причем часть из них расположена в од-
ной плоское 1 и, а часть в другой плоскости, то при отсутствии нагрузки в этом
узле частные равнодействующие сил в каждой плоскости должны быть располо-
жены по линии пересечения этих плоскостей и должны быть равны по величине
но противоположны по знаку.
№ 26. Определить усилия во всех стержнях купольного покрытия с
квадратным основанием при расположении нагрузки Р=1,20 тонны
в промежуточном узле т (черт. 226). Основные размеры купола пока-
заны на чертеже.
Решение,
три стержня, не
^2
P-А 2m /
.а,’
Р
$
ь2л

-/-Эх----
Черт. 226.
Так как верхние узлы b и d, в каждом из которых сходятся по
имеют нагрузки, то усилия в этих стержнях будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, переходим к
рассмотрению узлов а и с, где также сходятся
по три оставшихся стержня. Так как эти узлы
не имеют нагрузки, то стержни, сходящиеся
в этих узлах, будут иметь нулевые усилия.
Отбрасывая эти стержни, переходим к рас-
смотрению узлов п и q второго яруса, где так
же сходятся по три оставшихся стержня с
нулевыми усилиями, так как эти узлы не на-
гружены.
Отбрасывая эти нерабочие стержни, пере-
ходим к рассмотрению узла р, где также схо-
дятся три оставшихся стержня.
Но так как этот узел не имеет нагрузки,
то и усилия в стержнях этого узла будут
равны нулю. Отбрасывая эти стержни, пере-
ходим к рассмотрению последнего узла т, в
котором сходятся три оставшихся стержня: mA,
тВ и mD.
И так как в этом узле имеется вертикаль-
ная нагрузка Р, то следовательно эти три стер-
жня будут воспринимать некоторые усилия.
Таким образом данная задача сводится к
разложению силы Р на три составляющие по
mA, тВ и mD. На черт. 226 эти стержни по-
направлению стержней фермы
казаны толстыми линиями.
Обозначим углы, образуемые этими ребрами с горизонтальной плоскостью,
соответственно через a, f и 7,
256 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Пб РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Выделяем узел т круговым сечением и составляем сумму моментов всех
сил относительно диагонали BD, пересекающей ребра тВ и mD, тогда получим:
— Р-тО — Nl>rl—Q,	(а)
где есть искомое усилие в ребре Ат, а есть плечо момента этого усилия
относительно оси BD, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки Она направление
ребра Ат, равный
t\ = HO’Sin а.
Подставляя это значение в формулу (а), получим:
— P*mO — N{ -sina-ЛО —О,
откуда находим искомое усилие в ребре:
V — _ Р-тО
1 ЛО-sin а’
где отношение
тО ___ 3 __ 2
'АО	3"’
Горизонтальная проекция ребра А^пц равна:
(Ь)
J41m1 = )/2*mlv1* = j/2-(1,5)2 =2,12 м.
Угол а наклонения ребра Ат к горизонтальной плоскости легко определяется
из соотношения двух катетов А{т{ = 2,12 м и m2v2 = й2 = 2,00 м, а именно
tg а =	= 0,9428.
Б А{т{ 2,12
а = 43°19'.
Подставляя эти числовые значения в формулу (Ь), найдем усилие в стер-
Отрицательный знак (—) показывает, что ребро Ат сжато. Так как стержни
тВ и mD имеют одинаковые вертикальные и горизонтальные проекции, то сле-
довательно и углы аир наклонения их к горизонтальной плоскости также будут
равны между собой. Поэтому и усилия N% и N3 в этих элементах будут одина-
ковые, а для определения их величины надо составить одно уравнение статики.
Составляя сумму проекций усилий в ребрах mA, тВ и mD на вертикальную ось,
проходящую через узел т, получим следующее уравнение равновесия сил:
— Р — -siл а — /V2-sin £ — N3-sin у = 0
или при
= И ? = Т
получим
Р + iVfSin а + 2/V2<in — 0,
откуда определяем усилия в стержнях тВ и mD:
м — А/ __ /P+M-sina\	..
~	3	\ 2*sin ?	/
Угол J определяется следующим образом:
Длина горизонтальной проекции ребра тВ, определяемая из треугольника
mvB, будет равна’
тВ - /от, +	-- Г (1,5)*+ (7,5)* = 7,65 см,
tg?- ^- = ^ = 0.2614,
nUiB, 7,00
? = 14°39*.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЁ '	257
Подставляя соответствующие числовые значения в формулу (с), получим:
N3 = -
1200 Ч- (— H66»sin 43э19 )
2 • sin 14э39'
= — 791 кг.
Отрицательный знак показывает, что стержни тВ и mD работают на сжатие.
Точно также легко определить усилие в стержнях купола при расположении
груза Р в каком-либо другом узле данной пространственной фермы.
№ 27. К одному из верхних узлов одноярусной пирамидальной фермы
приложена нагрузка Р, Определить, какие стержни будут работать и
какие не будут напряжены (черт. 227).
Решение. Предположим, что нагрузка Р расположена в верхнем узле а.
Начнем с рассмотрения соседнего ненагруженного узла Ь. В этом узле сходятся
пять стержней, из которых три стержня ba, bF и ЬВ лежат в плоскости одной грани
'	“ покрытия. И
А
0
Е
В
С
Черт. 227.
•'"'К?
а
с/
а два остальных стержня bG и Ьс лежат в плоскости другой грани
так как в узле b не имеется внешней на-
грузки, то следозательно частная равнодей-
ствующая R{ усилий в первых трех стерж-
нях и частная равнодействующая /?2 усилий
в остальных двух стержнях будут распо-
ложены по линии пересечения двух плос-
костей, в которых лежат эти стержни и
будут равны по величине, но противополож-
ны по знаку (см. общее заключение в ре-
шении задачи № 25).
Такое же заключение можно вывести и
относительно узлов G и И, где сходятся по
четыре стержня, расположенных в одной
плоскости, и по две опорных реакции, рас-
положенных в другой плоскости.
Выделяя круговым сечением грань bcG
(черт. 227, а) и рассматривая равновесие уси-
лий в пересеченных элементах при отсут-
ствии внешней нагрузки в узлах b и ct по-
лучим треугольник bcG с расположением частных равнодействующих по линиям
пересечения смежных граней.
Обозначим эти частные равнодействующие через:
2 R2 з
Я’
Ri2 для стержней 1 и 2,
R2 3 для стержней 2 и 3,
Rx 3 для стержней 1 и 3.
Таким образом на треугольник bcG действуют три сипы, не пересекающиеся
в одной точке. Из статики известно, что равновесие таких сил возможно только
в том случае, если каждая из этих сил порознь будет равна нулю, т. е.
^1,2 — 0» ^2,з ~ 0 и /?1,з = °-
Но если частная равнодействующая Ri 2 равна нулю, то следовательно и
составляющие этой равнодействующей также будут равны нулю, т. е. усилие
в стержне Ьс и усилие TV2 в стержне cG также порознь будут равны нулю. На
том же основании получим, что и усилие N3 в стержне bG также будет
равно нулю.
Точно таким же образом можно доказать, что стержни другой грани cdH
также будут иметь нулевые усилия.
Отбросив все эти стержни с нулевыми усилиями, заметим, что в ненагру-
женном узле с остается только один стержень. Следовательно и в этом стержне
усилие будет равно нулю.
17. Подольский, И. С.
!&8 ЗАДАЧИ Й УПРАЖНЕНИЯ по РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Выбросив этот нерабочий стержень и переходя к опорному узлу С первого
рода, замечаем, что в нем сходятся два стержня CQ и СН и кроме того имеется
вертикальная опорная реакция.
Проектируя все силы, приложенные в узле С, на вертикальную ось, найдем,
что опорная реакция С будет равна нулю. Проектируя все усилия в горизон-
тальной плоскости на направление стержня CG, найдем, что усилие в этом стержне
будет равно нулю.
Затем, обратно, проектируя усилия на направление стержня CHt находим,
что усилие в этом последнем стержне также будет равно нулю.
Таким образом найдены все стержни с нулевыми усилиями.
Все остальные стержни данной фермы будут работать при расположении
внешней нагрузки Р в узле а.
Рассматривая нагруженный узел а, определенно можно сказать, что нагрузка
Р будет передаваться ближайшим опорам Л, F и Е через стержни aAt aF и аЕ,
сходящиеся в этом узле.
Но если стержень аА работает, то усилие в этом стержне может быть раз-
ложено на две составляющие силы по направлениям стержней aF и ab в пло-
скости АаЬВ. Следовательно и стержень ab также будет работать. Точно также
можно доказать, что и стержень ad будет работать при нагрузке в узле а.
Переходим к рассмотрению узла Ь, где за исключением отброшенных ранее
двух стержней Ьс и bG с нулевыми усилиями сходятся три стержня, из которых
стержень ab напряжен.
Но усилие в этом стержне можно разложить на две составляющие силы по
направлениям стержней bF и ЬВ. Следовательно эти стержни также будут
дается, что и стержни dE и dD будут на-
ржне ad.
Не трудно доказать, что и остальные
стержни, показанные на черт. 227 в плане
толстыми линиями, будут рабочими.
Все же нерабочие стержни показаны на
чертеже в плане тонкими линиями.
работать. Таким же образом док
пряжены от действия усилия в
№ 28. Дано трехъярусное купольное
покрытие. Указать те стержни, которые
будут работать при расположении на-
грузки Р в одном из узлов промежу-
точного яруса (черт. 228).
Решение. Предположим, что нагруз-
ка Р расположена в узле Рассматривая
узел а верхнего кольца купола, замечаем,
что из четырех стержней, сходящихся в этом
узле, три стержня аа{1 afc и af лежат в
одной плоскости, составляющей грань ку-
0 пола aaJJ, а четвертый стержень ab не
лежит в этой плсскости. Итак как узел а не
имеет нагрузки, то следовательно усилие в от-
дельно стоящем стержне ab будет равно нулю.
Подобным же образом, рассматривая
один за другим узлы bt с, d, е и / верх-
него кольца, приходим к заключению, что
все стержни этого кольца имеют нулевые
усилия.
Отбрасывая все неработающие стержни
; верхнего кольца, получим в каждом узле:
а, Ь, с, d, е и f только по два стержня, но
, то следовательно и усилия в этих стержнях
будут равны нулю.
Отбрасывая все стержни верхнего яруёа с нулевыми усилиями, переходим
к рассмотрению узлов второго яруса, начиная с узла bv
Черт. 228.
так как нагрузки в этих узлах нет
ЗАДАЧИ И Упражнения к второй Ллайё	Й9
Черт. 229.
В этом узле, не считгя двух отброшенных стержней b{b и btc с нулевыми
усилиями, остаются четыре стержня, причем три из них,-а именно стержни
и b{b2 лежат в одной плоскости (в плоскости грани купола	а
четвертый стержень Ь{с{ не лежит в этой плоскости. И так как этот узел не
имеет нагрузки, то следовательно усилие в отдельно стоящем стержне b{Ci будет
равно нулю на основании второго положения (см. § 11, Лрт 60).
Отбрасывая этот стержень с нулевым усилием, переходим к последователь-
ному рассмотрению узлов второго ко ьца: cit dit и причем, подобно преды-
дущему исследованию, найдем, что усилия в отдельно стоящих стержнях:
dlei и будут равны нулю, тогда в узле Д останется три стержня fiah
fifi и /1^2» не лежащих в одной плоскости, и так как внешней нагрузки в этом
узле нет, то следовательно усилие в каждом из этих стержней порознь равно
нулю на основании третьего положения (см. § 11, стр. 60).
Переходим затем к рассмотрению узла alt где за исключением трех нерабо-
тающих стержней a{at a{b и ajit сходятся три стержня: a{f2t и ajb^ при-
чем первые два стержня лежат в одной плоскости (а именно в плоскости грани
купола Х^), а последний стержень не лежит в этой плоскости.
Но так как в узле имеется внешняя нагрузка Р, то следовательно этот
отдельно стоящий стержень будет иметь усилие, отличное от нуля.
Остальные три стержня, сходящиеся в узле alf также будут работать под
влиянием нагрузки Р, приложенной в этом узле.
Переходя опять к рассмотрению узла Ьь не считая отброшенных ранее стержней
l\bt b{c и biCi, находим, что остальные два стержня Ь{а2 и Ь^2 также будут ра-
ботать, потому что усилие в стержне а{Ь{
будет разлагаться на две составуяющйе
силы, идущие по направлению этих стер-
жней в плоскости грани ахЬф2а2.
Точно таким же образом находятся
и все остальные рабочие стержни. На
черт. 228 в плане все рабочие стержни
показаны толстыми линиями, а все нера-
бочие стержни с нулевыми усилиями
показаны на том же чертеже тонкими
линиями.
№ 29. Дано трехъярусное куполь-
ное покрытие с иным расположением
раскосов, чем в предыдущем при-
мере. Указать те стержни, которые
будут работать при расположении
груза Pj в узле аг и груза Р2 в
узле Ь2 (черт. 229).
Решение. Рассматривая узлы верх-
него кольца bt d и /, где сходятся по
три стержня, не лежащих в одной пло-
скости, заключаем, что усилия в этих
стержнях равны нулю, так как в ука-
занных узлах не имеется внешней узло-
вой нагрузки.
Удаляя все эти нерабочие стержни,
находим, что в остальных трех узлах
верхнего кольца а, с и е остается лишь
по три стержня, не лежащих в одной
плоскости, которые при отсутствии в
этих узлах внешней нагрузки также будуть иметь нулевые усилия.
Следовательно все стержни верхнего яруса не работают при заданной на-
грузке. Отбрасывая их, переходим к рассмотрению узлов второго яруса.
Начнем исследование с узла Ьь в котором кроме трех отброшенных стержней
с нулевыми усилиями b^a, btb н Ь{с остаются еще три стержня Ь{а{1 Ь{Ь2 и Ьхс{.
п*
260 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Так как этот узел не нагружен,, то усилия в этих стержнях будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, переходим к рассмотрению узла dlt в котором, за
исключением трех отброшенных стержней d{c, d{d и dke с нулевыми усилиями,
сходятся три стержня d{cit d{d2 п d^. Так как эти стержни не лежат в одной плос-
кости, то усилия в них будут равны нулю ввиду отсутствия нагрузки в узле d{.
Точно также, рассматривая узел /ь находим, что в трех оставшихся стержнях
/Л и сходящихся в этом узле и не лежащих в одной плоскости, уси-
лия также будут равны нулю ввиду отсутствия нагрузки в этом узле. Отбрасы-
ваем все эти стержни с нулевыми усилиями. Переходя затем к ненагруженным
узлам q и elt в каждом из которых сходятся по три оставшихся стержня, не
лежащих в одной плоскости, находим, что усилия в этих стержнях ctb2,	и
я также е//2,' eiez и равны нулю.
Таким образом все стержни второго кольца не будут работать.
Рассматривая нагруженный узел ait в котором сходятся три оставшиеся
стержня: atb2, а{а2 и aj\, находим, что все эти стержни будут работать, так как
внешняя сила Р{ разлагается по направлению этих стержней. Точно также под
влиянием нагрузки Р2, приложенной в узле Ь2, будут работать три стержня
Ъ2В и ^2с2, сходящиеся в этом узле.
Из рассмотрения ненагруженного узла d2 находим нулевые усилия в трех
с;ержнях d2c2, d2D и d2e2.
Рассматривая ненагруженный узел с2, находим, что усилие в отдельно стоящем
стержне c2D будет равно нулю, а усилие в рабочем стержне с2^2 разложится
в плоскости той же грани на два направления по осям стержней с2В и с2С. Сле-
довательно эти последние стержни будут работать. Точно также, рассматривая
ненагруженный узел /2, находим, что усилие в отдельно стоящем стержне f2e2
будет равно нулю, а усилие в рабочем стержне f2a{ разложится в плоскости
той же грани на два направления по осям стержней /2а2 и ftF.
Затем из рассмотрения узла е2, в котором остаются только три стержня
e^F, е2Е и e2D находим, что усилия в них будут равны нулю. А также нулевые
усилия будут в стержнях EF и ED нижнего опорного кольца.
Наконец рассматриваем узел д2, в котором сходятся шесть стержней, причем
три рабочих стержня а2Ь2, а2а{ и а2/2 дадут некоторую пространственную равно-
действующую, которая в свою очередь разложится на три направления по осям
стержней а2В, а2А и a2F. Следовательно и эти стержни будут рабочими.
На черт. 229 в плане все рабочие стержни показаны толстыми линиями, а
все нерабочие стержни показаны тонкими линиями.
№ 30. На черт. 230 показана в аксонометрических проекциях про-
странственная двухъярусная ферма с нижним призматическим ярусом и
верхним пирамидальным ярусом. Выяснить, какие стержни этой фермы
будут работать и какие стержни не будут работать при расположении
вертикальной нагрузки Р в узле а верхнего пояса.
Решение. Начнем исследование с узла b верхнего кольца. В этом узле
сходятся четыре стержня, из которых три стержня Ьа, Ьа{ и bb{ лежат в плос-
кости грани abbidb а четвертый стержень Ьс не лежит в этой плоскости. И так
как узел b не имеет внешней нагрузки, то усилие в отдельно стоящем стержне
Ьс будет равно нулю на основании второго положение (см. §11, стр. 60).
Точно также, рассматривая узлы с и d, находим на основании того же поло-
жения, что д отдельно стоящих стержнях cd и da ненагруженных узлов с и d
усилия будут равны нулю.
Отбрасывая все эти нерабочие стержни, получим в узлах с и d по два
стержня, и так как в этих узлах внешней нагрузки нет, то следовательно усилия
в стержнях cbu ccit dc{ и ddt будут равны нулю.
(К тому же результату придем, если отбросив нерабочий стержень Ьс, будем
рассматривать узел с, в котором сходятся только три стержня, а затем, разрушив
этот узел с нерабочими стержнями, будем рассматривать узел d, в котором также
останется только три стержня.)
Переходим теперь к рассмотрению верхнего нагруженного узла а, в котором
сходятся три стержня ааь ab и ad{, не считая ранее отброшенного стержня ad
•ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ / 261
с нулевым усилием в нем. Эти стержни, не лежащие в одной плоскости, будут
воспринимать на себя внешнюю нагрузку Р и следозательно будут находиться
в рабочем состоянии.
Затем, так как стержень ab напряжен, то усилие в этом стержне может быть
разложено на две составляющие силы по направлениям ребер Ьа{ и bb{ в плос-
кости грани ab^{alt следовательно эти ребра также будут работать.
Переходя к рассмотрению узла bt, видим, что в
нем кроме усилия в работающем стержне bbt (кото-
рое является уже внешней пространственной силой
по отношению к остальным ребрам) имеются три
стержня: b{a(, btA и Ь{В, лежащие в одной плоскости,
а четвертый стержень Ь{с{ не лежит в этой плоскости.
И так как узел Ь{ нагружен усилием в ребре
b{b, не совпадающим по . направлению с плоскостью
грани atbiBA, то следовательно отдельно стоящий
стержень Ь{с{ будет находиться в рабочем состоянии,
так же как и остальные три стержня.
Переходя к рассмотрению узла cit находим, что
в нем кроме напряженнэго стержня сходятся
еще два стержня с{В и с{С, лежащие в той же плос-
кости Ь^СВ, и отдельно стоящий стержень пер-
пендикулярный к этой плоскости. Но так как усилие
в стержне Ькс{ является внешней силой по отно-
шению к остальным ребрам и так как эта сила лежит
в плоскости грани Ь^СВ, то следовательно она мо-
жет быть разложена только по направлению двух
стержней с{В и с£, а усилие в отдельно стоящем
стержне c{d{i перпендикулярном к этой плоскости, будет равно нулю. Точно
таким же способом доказывается, что и все остальные стержни данной фермы
будут находиться в рабочем состоянии при заданной нагрузке.
На черт. 230 все рабочие стержни показаны толстыми линиями, а все нера-
бочие стержни обозначены тонкими линиями.
№ 31. Указать стержни с нулевыми усилиями в призматической ферме
при действии горизонтальной силы Р, приложенной в узле а верхнего
кольца и находящейся в плоскости грани аЬВА (черт. 231).
Решение. Начнем рассмотрение фермы с узлов верхнего кольца. В узле а,
где действует горизонтальная сила Р, расположенная в плоскости грани аЬВА,
d
А В
Черт. 231.
сходятся четыре стержня, из которых три стержня ае,
ае{ и аа{, лежат в одной плоскости, а четвертый стер-
жень ab не лежит в этой плоскости. И так как в узле
а имеется внешняя нагрузка Р, то следовательно стер-
жень ab будет иметь некоторое напряжение. Усилие в
этом стержне можно определить, если составить сумму
проекций всех сил, сходящихся в узле а, на ось, пер-
пендикулярную к плоскости еаАЕ.
В самом деле, обозначая через а угол наклонения
этой оси к направлению стержня ab, получим:
£X = P.cos a 4-^-cos а = 0,
откуда находим Сжимающее усилие в стержне ab, рав-
ное =— Р. Итак вся нагрузка передается на стер-
жень ab. Рассматривая затем в последовательном поряд-
ке узлы b, с, d и е верхнего кольца, замечаем, что в
каждом из этих узлов сходятся по четыре стержня, из
которых три стержня - находятся в одной плоскости, а
лежит в той же плоскости. И так как внешней нагрузки
четвертый стержень не
в этих узлах не имеется, то следовательно усилия в отдельно стоящих стержнях
be, са, de и са будут равны нулю.
262 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН, 4>ЕРМ
Итак из элементов верхнего кольца работает только один стержень ab.
Отбрасывая все нерабочие стержни верхнего кольца, находим, что в узлах с>
due остается только по два стержня. И так как в этих узлах нагрузки не
имеется, то следовательно усилия в них также будут равны нулю.
Переходя опять к рассмотрению узла а, но уже без отброшенного Стержня
ае с нулевым усилием, находим, что усилие в отдельно стоящем стержне ае{
также будет равно нулю. Отбрасывая этот стержень и составляя сумму проекций
всех сил, приложенных в узле а, на вертикальную ось, совпадающую с ребром
aalt найдем, Что и в этом стержне усилие тоже будет равно нулю. Поэтому от-
брасываем и этот стержень. Усилие в стержне ab разложится в узле b на две
составляющие силы по направлению стержней Ьа^ и bbit следовательно эти
стержни будут в рабочем состоянии.
Рассматривая затем в последовательном порядке узлы второго кольца: bit cit
d{ и elt найдем, что усилия в отдельно стоящих стержнях b{cit d^ и
порознь равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, находим, что в узлах b{, clf d{n et остается только
по Два стержня, и так как в этих узлах не имеется внешней нагрузки, то следо-
вательно эти стержни будут иметь нулевые усилия.
Таким образом все рабочие стержни будут находиться только в плоскости
одной грани abBAt и расчет данной пространственной фермы сводится к расчету
плоской раскосной фермы аЬВА при расположении заданной силы Р в плоскости
этой фермы. На черт. 231 все рабочие стержни показаны толстыми линиями.
№ 32. Указать все стержни с нулевыми усилиями в мостовой про-
crpaHCTBeHHOtt ферме, при действии вертикальной нагрузки, расположен-
ной в нижних узлах передней грани (черт. 232).
Р е ш е н и е. Рассматривая верхний узел Ь, где сходятся пять стержней, из
которых четыре стержня-находятся в плоскости передней грани фермы, а пятый
стержень bg не лежит в этой плоскости. И так как в узле b не имеется внешней
нагрузки, то усилие в отдельно
стоящем стержне bg будет равно
нулю на основании второго поло-
жения (см. § 11, стр. 60). Отбрасы-
ваем этот стержень.
Переходя затем к последова-
тельному рассмотрению верхних
узлов: с и d, заключаем на том
же основании, что усилия в отдель-
но стоящих стержнях ch и di
равны нулю.
Отбрасывая все эти стержни
и рассматривая узлы g и /, нахо-
дим на том же основании, что уси-
лия в отдельно стоящих стержнях
ag и el также будут равны нулю,
узлов а и е находим, что отдельно
Черт. 232.
На том же основании из рассмотрения
стоящие стержни af и ek будут иметь нулевые усилия, Итак все стержни верх-
них поперечных связей равны нулю. Рассматривая узлы / и k9 находим, что усилия
в отдельно стоящих стержнях fA и kE равны нулю ввиду отсутствия внешней
нагрузки. Переходим к узлам нижнего пояса.
Рассматривая узел С, замечаем,^ что все стержни, кроме одного, лежат
в плоскости передней грани. В этой же плоскости лежит и узловая нагрузка Р2.
Следовательно усилие в отдельно стоящем стержне СН равно нулю. Точно
также, рассматривая узлы FnK, находим, что усилия в отдельно стоящих стерж-
нях FA и КЕ равны нулю. Рассматривая узлы А и Е и не считая отброшенных
ранее стержней с нулевыми усилиями, находим, что усилия в отдельно стоящих
стержнях AG и EI равны нулю.
На том же основании из рассмотрения узлов G, В, Н и / находим, что от-
дельно стоящие стержни GB, ВН, HD и ID имеют нулевые усилия.
Таким образом и все стержни нижних поперечных связей являются нерабочими.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	263
Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями, находим, что пространствен-
ная ферма распадается на две плоских фермы, и так как вся нагрузка располо-
жена в узлах передней плоской фермы, то только стержни этой фермы и будут
работать, а задняя плоская ферма не будет работать при заданном расположении
нагрузки.
На черт. 232 все работающие стержни пространственной фермы показаны
толстыми линиями.
Так как внешняя нагрузка при помощи поперечных балок передается поровну
на обе плоские боковые грани пространственной мостовой фермы, то поэтому
является возможным расчленить пространственную мостовую ферму на две плос-
кие фермы, находящиеся совершенно в одинаковых условиях работы, и затем
расчитать только одну из этих плоских ферм.
№ 33. Имеется купольное покрытие без опорного кольца (черт. 233).
Отметить рабочие и нерабочие стержни, если нагрузка Р приложена
в узле а верхнего кольца.
Решение. Рассматривая узел д, находим, что в нем сходятся четыре
стержня, из которых три стержня лежат
стержейь ab не лежит в этой плос-
кости.
И так как этот узел не имеет
внешней нагрузки, то следовательно
отдельно стоящий стержень ab будет
иметь нулевое усилие. Точно также,
рассматривая ненагруженные узлы
верхнего кольца с, d, е и /, находим
на основании того же положения, что
усилия в отдельно стоящих стержнях
be, cd, de и ef будут равны нулю.
Отбрасывая эти нерабочие стержни,
находим, что в узлах b, с, d и е схо-
дятся по два стержня, и так как эти
узлы не имеют нагрузки, то следо-
вательно усилия во всех стержнях,
сходящихся в этих узлах, так же бу-
дут равны нулю. Отбрасываем все эти
нерабочие стержни. Переходим к узлу а,
где за исключением отброшенного
ранее стержня ab с нулевым усилием
сходятся три стержня: af, аа{ и ab{.
Так как этот узел нагружен силою Р,
то следовательно все три стержня,
сходящиеся в этом узле, будут нахо-
диться в рабочем состоянии. Отме-
чаем эти стержни толстыми линиями.
Переходим теперь к рассмотрению
узла */, где за исключением уже от-
брошенного нерабочего стержня fe
сходятся три стержня: ff{, fa{ и fa.
И так как стержень fa напряжен, то
в одной плоской грани, а четвертый
Черт. 233.
усилие в этом элементе может быть
разложено на две составляющие силы цо направлению двух стержней ff{ и fa{,
сходящихся в том же узле / в плоскости грани tf^a. Следовательно эти стержни
будут работать и поэтому отмечены на чертеже толстыми линиями.
Исследовав все стержни верхнего яруса и отбросив все элементы с нуле-
выми усилиями, переходим к рассмотрению узлов в плоскости второго кольца,
начиная с узла сь где сходятся четыре стержня, из которых три стержня лежат
в одной плоскости, а четвертый стержень стоит отдельно, и так как узел
не имеет внешней нагрузки, то следовательно усилие в этом стержне
равно нулю. Отбрасываем этот стержень.
264 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
На том же основании, рассматривая узлы и fi9 находим, что усилия
в отдельно стоящих стержнях e{d{ и равны нулю. Отбрасываем и эти
стержни. Переходя к узлу bit замечаем, что усилие в стержне abi является внеш-
ней' силой, приложенной в узле blt где сходятся три стержня: b{ait Ь{В и Ь{С.
Следовательно все эти стержни будут находиться в рабочем состоянии. Точно
также, рассматривая узел Д, для которого усилие в стержне ff{ является внеш-
ней силой, найдем, что это усилие будет восприниматься тремя стержнями: f{F,
/И и /Л» сходящимися в этом узле.
В остальных узлах q, d{ и после отбрасывания нерабочих стержней второго
кольца останется только по два стержня. И так-как эти стержни не имеют внеш-
ней нагрузки, то следовательно усилия в них равны нулю. Усилия в стержнях
^1/1,	и сходящихся в точке а{, дадут некоторую равнодействующую,
которая в свою очередь разложится на две составляющие силы по направлениям
стержней а{А и а^В. Следовательно эти стержни будут работать.
На черт. 233 в плане все рабочие стержни отмечены толстыми линиями
а нерабочие стержни тонкими линиями.
№ 34. Купольное покрытие без опорного кольца имеет расположение
стержней, показанное на черт. 234. Будет ли данная пространственная
система статически определима в отношении опорных реакций и внут-
ренних усилий в стержнях и будет ли она геометрически неизменяемой,
если один из стержней верхней пирамиды не будет закреплен в узле.
Решение. Предположим, что стержень оа верхней пирамиды будет соеди"
нен в узле а при помощи болта в овальной дыре, тогда этот стержень будет
иметь возможность изменять свою длину
и поэтому не будет участвовать в рабо-
те остальных стержней. Удаляем этот
стержень, несущий на себе только местную
нагрузку, тогда система будет иметь:
3
Черт. 234.
узлов п = 3 X 8 Ч-1 = 25,
стержней т = 4-]-8Х6—1 = 51,
опорных реакций5 = 3X8 = 21,
Подставляя эти числовые значения
в уравнение (11):
т —(3*и —$) = 0,	(а)
получим тождество:
51 — (3X25 — 24) = 0.
Следовательно первое условие стати-
ческой определимости пространственной
системы, выражаемое формулой (а), в
данном случае выполнено.
Вопрос о геометрической неизменяе-
мости данной системы может быть решен
с помощью нулевой нагрузки. Предполо-
жим, что ферма не имеет никакой на-
грузки, тогда в трех стержнях пирамиды
ос, ое и og усилия будут равны нулю.
Отбрасываем эти стержни с нулевыми
усилиями и переходим к рассмотрению
элементарных узлов верхнего кольца:
а, е и g.
При отсутствии узловой нагрузки усилия во всех стержнях, сходящихся в
этих узлах, порознь будут равны нулю. Отбрасываем эти стержни с нулевыми
усилиями и переходим к рассмотрению узла с.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	265
В этом узле сходятся четыре стержня, из которых три стержня cb, cb{ и сс{
лежат в одной плоскости, а именно в плоскости грани bcc{bit а четвертый стер-
жень cd не лежит в этой плоскости, и так как нагрузки в узле с нет, то с. е-
довательно усилие в отдельно стоящем стержне cd будет равно нулю.
Рассматривая затем элементарные узлы d, f и Л, в каждом из которых
остается только по три стержня не лежащих в одной плоскости, не сбитая ранее
отброшенных стержней, заключаем, что усилия в этих стержнях так же будут
равны нулю при отсутствии внешней узловой нагрузки.
Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями и переходя к рассмотрению
узлов аь gi и находим, что в них сходится также по три стержня (не считая
ранее отброшенных), которые на основании того же положения также будут
иметь нулевые усилия
Отбрасывая эти стержни и рассматривая затем узлы и Л£ находим, что
в каждом из них сходятся только три стержня (не считая ранее отброшенных), и
так как внешней нагрузки в этих узлах нет, то следовательно усилия в приле-
гающих стержнях будут равны нулю. Точно также будет равно нулю усилие
в отдельно стоящем стержне d{E.
Отбрасывая и эти стержни, переходим к рассмотрению плоской грани Ьссф{,
составленной из четырех стержней, идущих по периметру, и из двух диагоналей
не пересекающихся в точке взаимной встречи, а проходящих в двух смежных
плоскостях.
Усилия в этих стержнях могут уравновешиваться и при отсутствии внешней
нагрузки в каком-либо из четырех узлов Ь, с, с{ и д£, например при действии
температуры. В самом деле, усилия и в стержнях bfi и Ь{с{ дадут равно-
действующую Т?£ в диагонали Ь{с, а эта равнодействующая в свою очередь вы-
зовет слагающие усилия и в стержнях cb и сс{.
Усилия же и в свою очередь дадут равнодействующую R2 в обратном
раскосе Ьс{.
Таким образом при нулевой нагрузке во всех узлах данной системы усилия
в элементе грани Ьссф{ не будут равны нулю.
А это служит доказательством, что данная система не жесткая, а геометриче-
ски изменяемая.
Действительно, если составить уравнения равновесия для всех узлов данной
системы, то найдем, что детерминант этого, уравнения будет равен нулю, а это
служит признаком геометрической изменяемости данной системы.
Чтобы сделать эту систему статически определимой и геометрически неизме-
няемой, надо удалить обратный раскос Ь{с и вместо него вставить раскос afi.
Разложение силы на шесть направлений.
№ 35. Определить усилия в шести опорных стержнях системы, показан-
ной на черт. 235, при действии горизонтальной силы Р, приложенной
в верхнем узле F. На черт. 235 опорные стержни показаны толстыми
линиями, а тонкие линии дают только очертание тех граней, в которых
расположены эти стержни.
Решение. Рассекая все стержни каким-либо плоским сечением, показанным
на чертеже волнистой линией, и отбрасывая нижнюю часть системы, приклады-
ваем в местах разреза усилия N, направленные во внешнюю сторону, как это
обозначено стрелками. Из чертежа видно, что задача заключается в разложении
силы Р на шесть заданных направлений.
Рассматривая теперь равновесие всех сил, действующих на верхнюю часть
системы, составляем уравнение моментов всех сил относительно вертикальной
оси ЕВ. Так как направления 1, 2 и 3 пересекаются с этой осью, а направления
4 и 5 параллельны этой оси, то следовательно в уравнение моментов кроме
внешней силы Р войдет только одно усилие в стержне 6. Тогда уравнение
моментов получит следующий вид:
2^ = — /V6-cos в • а 4- Р • b = 0.	(1)
266 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Откуда определяется усилие в опорном стержне AG:

P-b
a-cos л
(а)
Это усилие будет растягивающее.
Точно также, составляя уравнение
Y
моментов всех сил относительно верти-
кальной оси AD, с которой пересекаются
все направления кроме 3, получим та-
кое выражение:
Черт. 235.
щей направления 1, 2, 3 и 6
2^^ = + /V3 • cos «• a -f- Р = 0.	(2)
Откуда определяем усилие в стержне BF:
Это будет сжимающее усилие.
Из двух формул (а) и (Ь) видно, что
=	(с)
Составляя уравнение моментов всех
сил относительно оси АВ, пересекаю-
и параллельной внешней силе Р, получим:
^Mab^rh-b + N' b = 0	(3)
ИЛИ
/V4--/V5.	(d)
Составляя сумму проекций всех сил на вертикальную ось OY, получим:
2— N4 — N6 • sin а — W3 • sin а — • sin ? — ЛГ2 • sin р = 0.	(4)
Принимая во внимание равенства (с) и (d) и сокращая поэтому одинаковые
величины с разными знаками, а именно и N$, и	получим следующее
равенство:
(е)
Составляя сумму проекций всех сил на горизонтальную ось ОХ, получим:
^X=Nrcos^Nrcos^ + P^0.	(5)
Откуда, принимая во внимание равенство (е), находим:
2Nrcos?4-P = 0,
или
Это будет сжимающее усилие в стержне DK. Следовательно в стержне КЕ
на основании равенства (е) будет растягивающее усилие той же величины. Со-
ставляя сумму моментов всех сил относительно горизонтальной оси АО, получим:
'^lMao—P'h + Ы4-а-\-ЫГ51пя1-а — 0.	(6)
Моменты от усилий в стержнях 1 и 2 относительно оси АО взаимно сокра-
щаются, так как выше было найдено, что эти усилия равны, но противоположны
по знаку.
- Из этого уравнения находим усилие в опорном стержне CF\
KI	P'h	кг •
=-----—----^-sin X
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	267
Подставляя сюда значение усилия N3 из формулы (Ь), получим:
Ph , Pb t
—+ —-tg«
a a

(g)
Таким образом все искомые усилия в опорных стержнях системы найдены,
или, другими словами, данная сила Р разложена на 6 заданных направлений.
У
Р
_а
Черт. 236.
№ 36. Определить усилия в шести опорных стержнях заданных на-
правлений от действия вертикальной силы Р, приложенной по середине
ребра GF (черт. 236).
Решение. Рассекаем все опорные стержни каким-либо плоским сечением
как это показано на чертеже волнистой линией, и отбросиз нижнюю часть си-
стемы, заменяем ее действие усилиями, приложенными в местах сечения стерж-
ней и направленными во внешнюю сторону.
Составляя уравнение моментов всех сил
относительно вертикальной оси BE, замечаем,
что направления 2 и 4 пересекают эту ось, а
направления 1, 3 и 5 параллельны этой оси.
Следовательно каждое усилие, действующее по
одному из этих направлений, даст нулевой
момент, так же, как и заданная сила Р, парал-
лельная выбранной оси BE.
Остается только одно направление 6.
Поэтому уравнение моментов будет иметь
следующий вид:
2A4ft_. = -^-cosa.a = 0;	(1)
откуда находим, что усилие в стержне AG:
^=о.	(а)
Точно также, составляя уравнение моментов
кальной оси AD, получим:
'^lMad= — Ni-cos3-a = 0,	(2)
или
/V4 = 0.	(b)
всех сил относительно верти-
Составляя уравнение моментов всех сил относительно горизонтальной оси АВ,
которая пересекает направления 1, 2, 3 и 6, получим при /У4 = 0,
^МаЬ = ЫгЬ + Р.Ь = 0,	(3)
откуда находим сжимающее усилие в опорном стержне OG:
#5 = -^	(С)
Составляя сумму проекций всех сил на ту же ось АВ, замечаем, что стержни
1, 6, 5 и 3,4 находятся в двух плоскостях, перпендикулярных к выбранной оси АВ.
Проекция силы Р также перпендикулярна к оси АВ. Поэтому в уравнение про-
екций войдет только одно усилие в стержне 2, и тогда будем иметь:
= Mrcosa = 0,	(4)
откуда находим, что
N2 = 0.	(d)
Составляя сумму проекций всех сил на вертикальную ось и принимая во
внимание, что стержни 2, 4 и 6 имеют нулевые усилия, получим:

(5)
26? ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Подставляя сюда значение ЛГ5 = — Р, найдем, что
^з = -^1-	(е)
Наконец, составляя уравнение моментов относительно горизонтальной оси ВС,
пересекающей стержни 2, 3, 4, и отбрасывая стержень 6 с нулевым усилием,
получим:
^iMbc — — P~—Ni-a — N,a = Q.	(6)
Подставляя сюда значение =— Р и сокращая на общий множитель а,
найдем, что
(I)
Тогда на основании уравнения (е) найдем, что
Таким образом сила Р при заданном ее расположении на системе вызывает
сжатие в вертикальных стержнях 3 и 5 и растяжение в вертикальном стержне 1,
а все раскосы 2, 4 и 6 в данном случае не работают.
Заметим кстати, что на черт. 236 опорные стержни обозначены толстыми
линиями. Все остальные стержни параллелепипеда не имеют реального значения
и служат только для более ясного представления пространственного расположе-
ния опорных стержней системы. Это же замечание относится и к чертежу 235
предыдущей задачи.
№ 37. Цилиндрический резервуар поддерживается тремя парами сим-
метрично расположенных стержней. Определить наибольшие усилия в этих
т
Черт. 237.
опорных стержнях от горизонтального давления
ветра и от вертикальной нагрузки Р (черт. 237).
Решение. Обозначим равнодействующую гори-
зонтального давления ветра через 1Г. Очевидно, что эта
сила будет приложена на половине высоты Л2 резервуара,
так как проекция резервуара на вертикальную плоскость
будет выражаться площадью прямоугольника.
Возьмем произвольное направление этой силы
и, перенося ее в центр тяжести О резервуара, разложим
на две составляющие: перпендикулярную к линии СВ
и параллельную той же линии. Первая составляющая
будет равна lT«cos?, а вторая составляющая будет рав-
на lT«sin ?, где есть угол, образуемый направлением
силы W с биссектрисой угла А.
Разрезаем все опорные стержни каким-либо плоским
сечением, как это показано на чертеже волнистой ли-
нией и, отбрасывая нижнюю часть, заменяем ее дей-
ствие на ъерхнюю часть системы силами, приложенными
в местах разреза и направленными во внешнюю сторону.
Затем рассмотрим равновесие внешней силы 1Г и
внутренних усилий У в опорных стержнях, причем обо-
значим через а угол наклонения опорных стержней к го-
ризонтальной плоскости, через b — сторону равносто-
роннего треугольника ЛВС, через а = у /3 — высоту
этого треугольника и высоту системы — через Л.
Для определения усилий в парных стержнях 1 и 2, пересекающихся в узле А,
составим уравнение моментов всех сил относительно оси ВС, соединяющей точки
пересечения остальных парных стоек.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ
269
При этом усилия в опорных стержнях 1 и 2 разлагаем на вертикальные и
горизонтальные составляющие. Тогда силы lT«sin ? и горизонтальные составляю-
щие усилий в стержнях 1 и 2 не войдут в уравнение моментов, так как эти силы
параллельны выбранной оси ВС.
Не войдут в уравнение моментов также и усилия в стержнях 3, 4, 5 и 6,
так как эти силы пересекают ось ВС.
Поэтому уравнение моментов будет иметь следующий вид:
^Mbc = — UZ.cos f* у + /Vi-sin а-а + N2«sin а-д — О,
или
(1)
Другое уравнение, заключающее те же неизвестные усилия и можно
составить, выбирая за ось моментов вертикальную линию тт пересечения двух
плоскостей, в которых расположены опорные стержни 3, 4, 5 и 6. При этом также
пользуемся разложением усилий и ЛГ2 в стержнях 1 и 2 на две составляющие:
вертикальную и горизонтальную.
Тогда получим следующее уравнение:
^Мтт — — UZ’Sin ? (а + у) + /Vrcos а-2а — N2-cos а-2а — О,
или
N,-^=2,tr,sl?T .	(2)
л 3«cosa	v 7
Решая эти два уравнения относительно двух неизвестных усилий и N2
находим их значения:
..	1Г*й2*со8 v	, UZ*sin
= - ЧГ	(а)
а 4- а	v 7
Из этих формул видно, что при ф = 0, sin ср = 0 и cosf = 1, т. е. когда ветер
будет иметь направление по биссектрисе АО, перпендикулярной к плоскости DAE,
в которой расположены стойки 1 и 2, то усилия в этих стойках будут равны по
величине и одинаковы по знаку, т. е.
N*=N*=+^r-
При этом опорные стойки 1 и 2 будут растянуты. При противоположном
направлении ветра по линии ОА, т. е. при угле ? = 180°, опорные стойки 1 и 2
будут сжаты такой же силой.
Если ветер будет действовать слева направо по линии, параллельной оси ВС
или параллельной плоскости DAE, в которой расположены опорные стержни
1 и 2, т. е. при угле <р == 90°, причем sin ? = 1, a cos? = 0, то усилия в стерж-
нях 1 и 2, определяемые по формулам (а) и (Ь), будут равны по величине, но
противоположны по знаку, причем будем иметь:
1Г
+ и ^2 = -—.
1 3«cosa	3-cosa
Отсюда видно, что наветренный стержень (1) будет растянут, а подветренный
стержень (2) будет сжат.
Точно таким же способом определяются усилия и в остальных опорных
стержнях, причем наибольшие и наименьшие усилия в них будут такие же, как
и в стержнях 1 и 2 при соответствующем наиболее неблагоприятном направлении
ветра.
270 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
От вертикального груза Р все стойки будут испытывать сжатие, и усилие
в каждой стойке определяется из уравнения моментов относительно оси ВС\
—	+'Ws*sin а*а = 0,
или
+	i—.	(с)
1 1	2 3-sin a	v 7
А так как стойки 1 и 2 наклонены под одинаковыми углами к горизонталь-
ной плоскости, то следовательно усилия в них будут одинаковы, т. е. =
Тогда из уравнения (с) получим:
= m =	L_.
1 А 6«япа
Можно и другой способ применить для определения сжимающих усилий
в стойках от действия вертикальной нагрузки Р. Так как эта сила действует по
р
оси резервуара, то опорное давление в узлах Л, В и С будет равно -у . Разла-
гая эту силу на две составляющие по направлениям стержней 1 и 2, наклоненных
под углом’а к горизонтальной плоскости, находим усилие в каждом стержне:
к, v _	1 Р _________________Р_
1	2	2*3 s:n а 6-sin а
№ 38. Доказать, что на черт. 238 изображен исключительный случай
расположения шести опорных стержней, дающий неопределенное ре-
шение.
Решение. Данный случай будет исключительным, потому что все шесть
направлений, показанных на черт. 238 толстыми линиями, можно пересечь одной
линией тп, проходящей через узловые точки К и С, в которых пересекаются по
три стержня.
4 У	А.У
Черт. 238.	Черт. 239.
Следовательно при составлении моментов всех сил относительно этой оси
тп усилие в каждом стержне дает нулевой момент, и уравнение моментов бу-
дет иметь неопределенный вид: 0 = 0.
Но в данном примере имеется еще и второй признак исключительного слу-
чая. Так как все стержни расположены в двух параллельных плоскостях, то со-
ставляя уравнение проекций относительно любой оси, перпендикулярной к этим
параллельным плоскостям, например относительно оси АВ, найдем, что все
стержни на эту ось будут проектироваться в виде точки.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	271
Следовательно и в этом случае опять получим неопределенное уравнение
проекций в виде: 0 = 0. 
№ 39. Доказать, что при расположении шести опорных стержней, по-
казанном на черт. 239, будет исключительный случай.
Решение. Рассматривая данное расположение шести опорных стержней,
показанное на черт. 239 толстыми линиями, замечаем, что четыре стержня 1, 3, 5
и 6 параллельны между собой и следовательно пересекаются в бесконечности.
Кроме того по линии BE пересекаются три стержня: 2, 3 и 4.
Таким образом линия тп, проведенная через ребро BE, будет пересекать все
шесть стержней, причем точка пересечения стержней 1, 5 и 6 будет располо-
жена в бесконечности.
Поэтому данная система стержней будет представлять исключительный слу-
чай, дающий неопределенное решение, если стержень BE принять за ось мо-
ментов.
Определение геометрической неизменяемости простран-
ственной системы по способу нулевых усилий.
№ 40. Доказать, что пространственная система, показанная на черт. 240,
будет статически определимой и геометрически неизменяемой фермой, и
затем превратить данную систему в простейшую.
Решение. 1. Первый вопрос. Данная прикрепленная ферма составлена из
свободной системы путем замены двух диагоналей АС и FD двумя дополнитель-
ными опорными реакциями сверх шести не-
обходимых.
В этой ферме имеется: т = 28 стер-
жней, л = 12 узлов и $ = 8 опорных ре-
акций.
Подставляя эти числовые значения в
формулу (11):
т — (Зл — $) = 0,
выражающую первое условие статической
и геометрической определимости прикреп-
ленной пространственной системы, получим
тождество:
28 — (3 X 12 — 8) = 0.
Следовательно данная система имеет лишь необходимое число стержней для
образования фермы. Но этого первого условия еще недостаточно для окончатель-
ного суждения о том, что данная система будет геометрически геизменяемой.
Поэтому для выяснения этого последнего вопроса воспользуемся способом нуле-
вых нагрузок.
'Прежде всего замечаем, что узлы b и Е являются элементарными, так как
в каждом из них сходятся только по три стержня, не лежащие в одной плос-
кости. И так как внешних Нагрузок и соответствующих им опорных реакций нет,
то следовательно усилия в этих стержнях будут равны нулю. Отбрасываем эти
шесть стержней: ba, ЬВ, Ьс и EF, Ее, ED и переходим к рассмотрению узла А,
где сходятся четыре стержня, из которых три стержня лежат в одной плоскости,
а четвертый стержень АВ не лежит в этой плоскости.
Следовательно при нулевых реакциях в опоре А усилие в отдельно стоящем
стержне АВ также будет равно нулю. Отбрасываем этот стержень.
Переходим к рассмотрению узла В, где сходятся три стержня, не лежащие
в одной плоскости: Ва, Вс и ВС, не считая отброшенных ранее стержней В А
и ВЬ. Так как опорная реакция в узле В при нулевой нагрузке равна нулю, то
следовательно усилия в этих трех стержнях также будут равны нулю. Отбрасы-
вая эти стержни с нулевыми усилиями, переходим к рассмотрению узла а, где
остаются три стержня: аА, af и ас, не лежащие в одной плоскости.
272 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
При нулевой нагрузке в этом узле усилия в этих трех стержнях также будут
равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, сноба переходим к узлу Л, где за исключением
ранее отброшенных стержней с нулевыми усилиями остаются только два стержня
Af и АР. Усилия в них также будут равны нулю при отсутствии реактивной
силы в узле А.
Отбрасываем эти стержни.
Переходя к рассмотрению узла С, находим, что при нулевой нагрузке в этом
узле усилие в отдельно стоящем стержне СР также будет равно нулю. Отбрасы-
вая этот стержень, переходим к узлу с, где остаются только три стержня: сС, cf
и cd, не лежащие в одной плоскости. При отсутствии нагрузки в узле усилия
в этих стержнях будут равны нулю. Разрушаем этот узел.
На том же основании .отбрасываем стержни fp, fe и fd, сходящиеся в нена-
груженном узле / и имеющие нулевые усилия.
Затем рассматриваем узел е, в котором сходятся только три стержня: еР, ed
и eD, не считая ранее отброшенных стержней. Так как этот узел не имеет внеш-
ней нагрузки, то следовательно усилия в этих стержнях также будут равны
нулю.
В заключение остаются три стержня, образующих треугольник CDd. Усилия
в этих стержнях также будут равны нулю при отсутствии внешней нагрузки
в узлах С, D и d. Итак, усилия во всех стержнях данной фермы при нулевых
нагрузках в узлах будут равны нулю. Следовательно данная система будет жест-
кой, геометрически неизменяемой и статически определимой пространственной
фермой.
2. Второй вопрос. Так как данная ферма является закрепленной, то
прежде всего необходимо освободить ее от опорных реакций и сделать свобод-
ной системой. Когда эта ферма будет снята с опор, то она будет иметь т = 28
стержней и п —12 узлов.
Подставляя эти числовые значения в формулу (6) для свободной фермы
т — (3*п — 6) = 0,
выражающую условие статической и геометрической определимости, получим:
28-(ЗХ12-6) = -2.
Это показывает, что данная ферма, лишенная опор, будет геометрически
изменяемой, так как недостает двух стержней, взамен которых было добавлено
две опорных реакции сверх необходимых шести.
Поэтому, обратно, заменяя лишние две опорные реакции двумя стержнями:
АС и FD, показанными на черт. 240 пунктирными линиями, получим свобод-
ную пространственную ферму, которую можно уже преобразовать в про-
стейшую.
Преобразование это, как известно, производится путем последовательного
разрушения элементарных узлов, в которых сходятся только три стержня, не ле-
жащие в одной плоскости, и путем замены стержней. Такими узлами оказываются
узлы b и Е. Поэтому разрушаем эти узлы.
Изучая остальные узлы фермы, замечаем, что среди них нет более ни одного
узла, в котором сходились бы только три стержня. Поэтому дальнейшее разру-
шение узлов по общему правилу производить нельзя. Тогда выбираем узел а,
в котором сходится наименьшее число стержней, а именно четыре стержня, и
отбрасываем стержень аВ.
После этого сразу получаются два элементарных узла а и В, в каждом из
которых сходятся только по три стержня, не лежащих в одной плоскости.
Поэтому разрушаем эти узлы. После этого разрушаем остальные узлы в следую-
щем порятке: А, с, С, /, е.
Наконец остаются два стержня: dD и FD, шарнирно соединенные в узле D,
поэтому расстояние между узлами Р и d может изменяться.
Чтобы сделать эти узлы неподвижными, необходимо взамен выброшенного
стержня аВ поставить заменяющий стержень Fd между узлами F и d. Такая
обратно преобразованная ферма будет простейшая, у которой основным треуголь-
ником будет треугольник FDd, а все остальные узлы образуются путем последо-
вательного прикрепления их тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости,
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	273
к другим, ранее закрепленным или неподвижным узлам. Это образование простей-
шей системы нетрудно проследить в порядке, обратном порядку разрушения узлов.
№ 41. Доказать, что купольное покрытие без опорного кольца, пока-
занное на черт. 241, будет геометрически неизменяемой системой.
Решение. Данная пространственная ферма имеет т = 54 стержня, п = 24
узла и $ = 3X6=13 опорных закре-
плений.
Подставляя эти числовые данные в
формулу (11):
т — (3-и— s) = 0,
выражающую первое условие геометри-
ческой неизменяемости закрепленной си-
стемы, получим тождество:
54 —(3X24—18) = 0.
Следовательно первое условие удо-
влетворено, и система имеет необходимое
число стержней.
Затем надо еще исследовать ферму
методом нулевых нагрузок и доказать,
что при нулевой нагрузке в узлах усилия
во всех элементах будут равны нулю.
Начнем с рассмотрения узлов: b, d
и' f верхнего кольца. Так как в этих
узлах сходятся только го три стержня,
не лежащих в одной плоскости, то при
отсутствии нагрузки в каждом из этих
узлов усилия в стержнях будут равны
нулю.
Поэтому, отбрасывая эти стержни с
нулевыми усилиями, переходим к рас-
смотрению узлов а, с и е, где за исклю-
чением ранее отброшенных стержней
остается также по три стержня, не лежа]
при отсутствии внешней узловой нагрузки усилия в стержнях, сходящихся
в этих узлах, будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями, переходим к узлам второго
кольца.
Так как расположение стержней в каждом ярусе фермы одинаково, то следо-
вательно, на основании того же положения, усилия во всех остальных стержнях,
при нулевой нагрузке в узлах также будут равны нулю.
Таким образом при нулевых нагрузках в узлах усилия во всех стержнях
системы равны нулю. Следовательно данная система представляет статически
определимую и геометрически неизменяемую ферму.
Из произведенного выше последовательного разрушения узлов фермы видно,
что каждый раз после удаления стержней, сходящихся в каком-либо узле, обна-
руживаются новые узлы, также составленные только из трех стержней.
Это обстоятельство указывает на то, что данная ферма есть простейшая
система. Следовательно она должна быть геометрически неизменяемой.
№ 42. Доказать, что купольное покрытие без опорного кольца, пока-
занное на черт. 242, будет жесткой, геометрически неизменяемой фермой.
Решение. Данная ферма имеет такое же число стержней, узлов и опор-
ных реакций, как и в предыдущем примере, только раскосы расположены в дру-
гом порядке и следовательно эта система удовлетворяет первому условию
геометрической неизменяемости, выражаемому формулой (11/
т — (3-л— $) = 0.
18. Подольский, И. С.
274 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Для окончательного _ суждения о том, будет ли эта система геометрически
неизменяемой, исследуют ее по методу замены стержней. Так как в данной си-
стеме нет ни одного узла, где сходились бы только три стержня, то следова-
тельно эта ферма является преобразованной.
Попытаемся превратить ее в простейшую путем замены стержней.
Начинаем с рассмотрения верхнего узла b и удаляем стержень Ьа{. Тогда в
этом узле будут находиться только три стержня, не лежащих в одной плоскости.
Отбрасывая их, переходим к последовательному разрушению остальных уз-
лов верхнего кольца: с, d, е и /, в которых будет сходиться также только по
три стержня. Переходя к узлу а, находим, что за исключением отброшенных ра-
нее стержней af и аЬ эют узел будет
прикреплен только двумя стержнями:
и а/< и следовательно будет подвижным.
Чтобы сделать этот узел неподвижно
закрепленным, необходимо ввести заме-
няющий стержень аЬь показанный на
чертеже пунктиром, вместо первоначально
отброшенного стержня bav
Сделав это замещение стержня, раз-
рушаем узел а. Разрушив верхний ярус
купола, точно таким же образом разру-
шаем все узлы среднего яруса, выбросив
сперва стержень Ь{а.2 и вставив вместо
него заменяющий стержень Точно
также в нижнем ярусе удаляем стер-
жень Ь2Л и заменяем его обратным стер-
жнем а2В.
Таким образом данная система при
помощи трехкратной замены стержней
превращается в простейшую систему,
геометрически неизменяемую. Так как в
данном случае произведена плоская заме-
на стержней, т. е. замена диагонали одного
направления диагональю другого напра-
вления в плоскости той же грани купола,
то на основании этого можно сделать
заключение, что и первоначальная, т. е.
данная, система также будет геометри-
чески неизменяемой жесткой фермой.
Геометрическую неизменяемость дан-
дом нулевых нагрузок, начиная с узла а
и отбрасывая прежде всего отдельно стоящий стержень ab, имеющий нулевое
усилие при отсутствии нагрузки в рассматриваемом узле. А далее каждый раз
будем находить элементарные узлы, составленные только из трех стержней, не
лежащих в одной плоскости и следовательно имеющих нулевые усилия при
нулевой нагрузке в соответствующем узле.
Таким образом можно доказать, что все стержни будут иметь нулевые уси-
лия, т. е. вполне определенные величины. Поэтому данная система является жест-
кой, геометрически неизменяемой фермой.
№ 43. Доказать, что призматическая ферма, показанная на черт. 243,
будет геометрически неизменяемой, и затем превратить данную систему в
простейшую.
Решение. 1. Первый вопрос. Данная ферма имеет: т—21 стержня, п 12
узлов и s= 12 опорных закреплений. Подставляя эти числовые значения в формулу:
т — (Зл — 5) = 0,
выражающую условие геометрической неизменяемости закрепленной системы’
получим тождество:
24 —(3X12 —12) = 0.
Черт. 242.
ной системы, легко также доказать
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ -	275
Следовательно первое условие геометрической неизменяемости системы вы-
полнено. Данная закрепленная система имеет ^необходимое число стержней для
обеспечения ее жесткости.
Для окончательного суждения о геометрической неизменяемости данной си-
стемы стержней применим исследование по методу нулевых нагрузок и после-
довательного разрушения фермы.
„ Из чертежа видно, что в узлах верхнего кольца b, d и f сходятся только по
три стержня, не лежащих в одной плоскости. Следовательно при отсутствии на-
грузки в этих узлах усилия в этих стержнях будут равны нулю.
Отбрасываем эти стержни. Разрезаем всю систему каким-либо плоским сече-
нием, как это показано на чертеже волнистрй линией, и, отбрасывая нижнюю
часть, заменяем ее действие на верхнюю часть соответствующими силами, при-
.......... .......~	................. во внешнюю сторону.
ложенными в местах разреза стержней и направленными
Находим линию 00 { пересечения двух плоско-
стей, заключающ <х в себе грани ВСсЪ и EDde. Со-
ставляем уравнение моментов всех сил относительно
этой оси ОО1.
Так как стержни Аа, Сс и Ее параллельны этой
оси, то следовательно моменты усилий в них будут
равны нулю. Стержни Вс и De пересекают выбран-
ную ось 001, а потому и усилия в них дадут нуле-
вые моменты. Остается только одно усилие в наклон-
ном стержне Fa, так как внешней нагрузки не имеется.
Следовательно момент всех сил относительно оси 00
будет равен:
'Щ
2и 2
Черт. 243.
S	JVl-COsa-r = 0,

где г — плечо силы Nlt а а —угол наклонения стер-
жня Fa к горизонтальной плоскости. •
Из этого уравнения видно, что усилие в стержне Fa равно нулю.
Точно таким же образом доказывается, что усилия в остальных двух наклон-
ных стержнях Вс и De при отсутствии внешней нагрузки также будут равны нулю.
Отбрасывая эти три стержня с нулевыми усилиями, получим в узлах а, с
и е только по три стержня, усилия в которых также будут равны нулю при
условии нулевой нагрузки в узлах.
Отбросив эти стержни, приходим к плоскому основанию в виде шестиуголь-
ника, который будет геометрически неизменяемым при соответствующем устрой-
стве опор второго рода, и усилия во всех стержнях которого будут равны нулю
при отсутствии внешней нагрузки.
Таким образом данная ферма при нулевой нагрузке в узлах имеет нулевые
усилия во всех стержнях. Следовательно эта ферма будет геометрически неиз-
меняемой и статически определимой.
2. Второй вопрос. Для того чтобы превратить данную ферму в простейшую,
но закрепленную на том же опорном кольце, разрушаем прежде всего элемен-
тарные узлы bt d и /, в которых сходятся только по три стержня, не лежащих
в одной плоскости.	/
Отбросив эти стержни, находим, что в каждом из остальных трех узлов а,
сне верхнего кольца сходятся по четыре стержня. Это указывает, что данная
система будет преобразованная. Для дальнейшего разрушения данной системы
по общему правилу выбрасываем стержень Вс, после чего получаем узел с, в
котором остаются только три стержня сС, са и се, не считая других, ранее отбро-
шенных стержней.
Разрушив элементарный узел с, находим новый элементарный узел е, в ко-
тором также остаются только три стержня: eD.eE и еа. 1
Отбросив эти стержни и переходя к узлу а, находим, что он прикреплен
только двумя стержнями, аА и aF и поэтому будет подвижным.
Следовательно, чтобы сделать узел а неподвижно закрепленным, надо ввести
заменяющий стержень аВ, показанный на чертеже пунктирной линией, вместо
выброшенного стержня Вс.
18*
276 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПСГРАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Такая ферма будет простейшая.
Это преобразование данной фермы в простейшую достигнуто при помощи
однократной пространственной замены стержня, так как заменяемый стер-
жень В: и заменяющий его стержень аВ лежат в двух разных плоских гранях.
№ 44. Доказать, что шатровое покрытие, показанное на черт. 244»
будет геометрически, неизменяемая и статически определимая система.
Как следует изменить опорные закрепления, если между наклонными
стойками поставить еле одиночные раскосы?
Решение. 1. Первый вопрос. Данная система имеет т = 23 стержня,
л = 14 узлов и 5=19 опорных реакций. Подставляя эти числовые значения в
уравнение (11):	= o
выражающее первое условие статической и геометрической определимости при-
крепленной системы, получим тождество:
23 — (ЗХ 14 — 19) = 0.
Следовательно данная система имеет необходимое и достаточное число стер-
'	°	неизменяемой фермы.
Докажем теперь по методу
нулевой нагрузки, что данная
система имеет только одно ре-
шение, причем усилия в стер-
жнях, зависящие от нагрузки,
имеют конечные значения.
Рассматривая верхний узел
а, в котором сходятся только
три стержня, не лежащие в.
одной плоскости, находим, что
при нулевой нагрузке в этом
узле усилия в этих стержнях
будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни с
нулевыми усилиями, перехо-
дим последовательно к узлам Ь

М ней для образования жесткой, геометрически
и г, в которых также сходятся
только по три стержня (не считая ранее отброшенных). Следовательно и в этих
стержнях усилия также будут равны нулю.
Отбрасываем эти стержни. Затем переходим к узлу В, где имеется опора
первого рода. При отсутствии нагрузки на ферме вертикальная опорная реакция
в узле В будет равна нулю, поэтому и усилия в трех стержнях: В A, Bd и ВЕ>
сходящихся в этом узле, также будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, переходим к верхнему узлу rf, где сходятся три
стержня: dA, dF и dE, не лежащие в одной плоскости. (Стержень de был отбро-
шен ранее и поэтому не принимается во внимание.) Так как в узле d не имеется
нагрузки, то усилия в стержнях, сходящихся в этом узле, будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, приходим к плоскому основанию в виде четырех-
угольной рамы ABCD. Теперь нетрудно доказать, что усилия во всех стержнях
этой рамы также будут равны нулю при отсутствии внешней нагрузки.
Для этого разложим все опорные реакции на вертикальные и горизонтальные
составляющие, причем вертикальные составляющие будут передаваться на стены
.здания а горизонтальные составляющие могут вызывать усилия в стержнях
опорной рамы.
Рассматривая узел Л, где имеется опора третьего рода, замечаем, что одна
горизонтальная составляющая реакция, идущая по направлению стержня АВ, будет
равна нулю, так как выше было доказано, что усилие в стержне АВ равно нулю.
Остает ся другая горизонтальная составляющая, идущая по направлению стер,
жня AF. Так как опора А неподвижная, то и эта реактивная сила не может ока~
зывать никакого влияния на стержень AF опорной рамы.
□ЛДП 1 И «F I irJK/lll	Tt 'WVr.U.n1,. 1! 1ПРС
К тому же при отсутствии на ферме нагрузки всё опорные реакции также
будут равны нулю. Поэтому и усилия в стержнях опорной рамы также будут
равны нулю. Итак при нулевых узловых нагрузках усилия во всех стержнях
покрытия имеют конечные и однозначные значения, равные нулю. Очевидно, что
при всякой другой узловой нагрузке, отличной от нуля, усилия в элементах
системы также будут иметь вполне определенные и конечные значения.
Следовательно данная система покрытия будет статически определимой и
геометрически неизменяемой фермой.
2. Второй вопрос. Если вставить между наклонными стойками одиночные
раскосы, то данная система получит шесть лишних стержней. За счет этих шести
добавочных стержней можно уничтожить шесть опорных реакций, поместив в
опорных промежуточных узлах вместо шести опор второго рода столько же опор
первого рода.
№ 45. Доказать, что двускатное призматическое покрытие, показанное
на черт. 245, будет статически определимая и геометрически неизменяе-
мая пространственная система.
Черт. 245.
Решение. Данная система имеет т = 32 стержня, л = 15 узлов и s = 13
опорных закреплений. Подставляя эти числовые значения в уравнение (11):
/и — (3*л — $) = 0,
выражающее первое условие статической и геометрической определимости про-
странственной закрепленной фермы, получим тождество:
32~(ЗХ15 —13) = 0.
Таким образом первое условие соблюдено.
Второе условие, заключающееся в том, чтобы усилия в стержнях системы
имели конечные значения, выясняется способом нулевых нагрузок.
Рассматривая узел е, в котором сходятся только три стержня, не лежащих в
одной плоскости, заключаем, что при нулевой нагрузке в узле усилия в этих
стержнях будут равны нулю.
Отбрасываем эти стержни. Усилия в трех стержнях, сходящихся в нижнем
узле Е, и в нижнем узле А также будут равны нулю при нулевой опорной реак-
ции в тех же узлах. Отбрасываем эти стержни. Усилие в отдельно стоящем стержне
аВ в узле а будет равно нулю.
Отбрасывая этот стержень, находим, что при нулевой вертикальной реакции
в узле В усилия в остальных двух стержнях ВЬ и ВС также’ будут равны нулю.
Удаляем эти стержни с нулевыми усилиями. На том же основании разрушаем в
последовательном порядке узлы С и D.
После этого разрушаем ненагруженный узел F, где сходятся два оставшихся
стержня: Fd и FG, усилия в которых будут равны нулю при нулевой опорной
реакции.
278 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Затем переходим к последовательному разрушению узлов d, G, с, Н, Ь, Ц
плоской раскосной фермы KaeF, причем в каждом из этих узлов будем находить
только два остающихся стержня, имеющих нулевые усилия.
И, наконец, приходим к основному стержню Ка, усилие в котором также
будет равно нулю при условии отсутствия внешней нагрузки в узлах К н а.
Таким образом при нулевой нагрузке в узлах все элементы данной системы
имеют нулевые усилия.
Следовательно данная система будет статически определимой и геометрически
неизменяемой фермой.
№ 46. Доказать, что четырехскатное покрытие, показанное на черт. 246,
будет статически определимой и геометрически неизменяемой фермой.
Решение. Данная ферма имеет т = 19 стержней, л = 10 узлов и $=П
опорных закреплений.
т П
Черт. 246.
! Подставляя эти числовые значения в уравнение
т — (3-л —$) = 0,
выражающее первое условие статической и геометрической определимости про-
странственной прикрепленной фермы, получим тождество:
19-(3X10 — И) = 0.
Следовательно система эта имеет необходимое и достаточное число стержней
для образования жесткой, геометрически неизменяемой системы.
Второе условие заключается в том, чтобы усилия во всех стержнях системы
имели конечное значение. Это легко доказывается при помощи нулевой, нагрузки
в узлах, которая должна вызывать нулевые усилия в стержнях системы.
В каждом из элементарных узлов: а, с, е и gy где сходятся только по три
стержня, имеется опора первого рода с одной вертикальной реакцией. При отсут-
ствии нагрузки на ферме эти опорные реакции будут равны нулю. А при ну-
левой реактивной нагрузке и усилия во всех стержнях, сходящихся в этих узлах,
также будут равны нулю.
Удаляем все эти стержни с нулевыми усилиями. Переходя к рассмотрению
промежуточного опорного узла /, в котором устроена опора первого рода, заме-
чаем, что в этом узле может быть только одна вертикальная реактивная сила.
При отсутствии внешней нагрузки эта сила будет равна нулю. Следовательно
усилия в стержнях fm и fn также будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, переходим к рассмотрению узла т, где за исключе-
нием ранее отброшенных стержней остаются только три стержня: mk, mb и тп,
не лежащие в одной плоскости.
Так как внешней нагрузки в узле т нет, то следовательно, усилия во всех
трех стержнях, сходящихся в этом узле, будут равны нулю. Отбрасываем эти
стержни и переходим к рассмотрению последнего узла п, в котором остаются
только два стержня nb и ndt не считая ранее отброшенных других стержней с
нулевыми усилиями, '
ЗАДАЧИ и 1ГГЛЛ1ПСПГ1П	тщукт::.	• .'х.• ? .ад.?-’
При отсутствии внешней нагрузки в узле п усилия в этих стержнях будут
равны нулю.
Таким образом хсилия во всех стержнях данного покрытия имеют конечные
значения, равные нулю при нулевой нагрузке.
Следовательно данная система является статически определимой и геометри-
чески неизменяемой фермой.
№ 47. Выяснить, будет ли сетчатое покрытие, показанное на черт. 247,
статически определимой и геометрически неизменяемой системой.
Решение. Данная система имеет:
/п = 82 стержня, п = 34 узла и 5 = 20
опорных закреплений.
Первое условие статической и гео-
метрической определимости пространст-
венной закрепленной фермы выражается
формулой:
т — (3*п — 5) = 0.
Подставляя сюда соотеетствующие
числовые данные, получим тождество:
82 —(3X34 — 20) = 0.
Следовательно число стержней д. ста-
точно для образования жесткой системы.
Второе условие статической и геометри-
ческой определимости пространственной
фермы заключается в тс м, чтобы усилия
во всех стержнях системы имели конеч-
ные значения. Это условие проверяется
по методу нулевых нагрузок в узлах
фермы.
Рассматриваем прежде всего сред-
ний узел п верхнего пояса abed. Проек-
тируя все усилия при нулевой нагрузке
в узле п на направление отдельно стоя-
щего стержня пт, находим, что усилие
в этом стержне равно нулю.
Отбрасывая этот стержень и рассма-
тривая затем узел т на основ’нии того
же положения, находим, что усилие в
отдельно стоящем стержне та также	Черт. 247.
равно нулю *.
После этого выделяем круговым сечением (показанным на плане замкнутой
пунктирной линией) группу узлов верхнего пояса а, п, b и рассматриваем рав-
новесие усилий, приложенных в местах разреза стержней. Эта выделенная группа
узлов с пересеченными стержнями показана отдельно на черт. 247,а в более круп-
ном масштабе.
Действующие в пересеченных стержнях усилия сводятся к трем равнодей-
ствующим: /?ь /?2 и 7?з, лежащим в плоскости выделенной грани системы и иду-
щим по направлению внешних биссектрис (что было доказано в § 13 данного курса).
• Так как эти частные равнодействующие не пересекаются в одной точке, то
равновесие их возможно только в том случае, если каждая из этих сил будет
равна нулю, т. е., если = 0, /?2 = 0 и /?3 — 0.
Нэ сила является равнодействующей усилий в стержнях ап и ап{1 и так
как эта равнодействующая равна нулю, тэ следовательно и ее составляющие,
сходящиеся под острым углом, также равны нулю.
Поэтому усилия в стержнях ап и апк при отсутств 1и внешней нагрузки в
узле а будут равны нулю.
1 На чертеже пропущен стержень та.
280 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
На том же основании можно сказать, что усилия в стержнях Ьп и bn* также
равны нулю. Отбросов все эти стержни с нулевыми усилиями, находим в узле п
два стержня, усилия в которых будут равны нулю, если в этом узле не будет
никакой нагрузки.
Рассматривая -противоположную грань cdm^ верхнего яруса, найдем также
нулевые усилия в. раскосах dmh т^т, тт2 и т^с и в стержнях верхнего пояса
dm и тс. '
Переходя затем к рассмотрению узла а, находим, что в нем за исключением
отброшенных стержней сходятся три стержня ааь ар2 и ad, не лежащие в одной
плоскости, и так как уззл а не нагружен, то усилия в этих стержнях будут
равны нулю.
Точно также определяем нулевые усилия в трех стержнях сходящихся в каж-
дом из остальных узлов: b, cud. Удаляем все эти стержни с нулевыми усилиями.
Переходим к нижнему ярусу, и выделив круговым сечением переднюю грань
находим, что в стержнях /щ, акп2^Ь{п2 и будут нулевые усилия.
Затем из равновесия узлов л3 и л5 находим нулевые усилия в стержнях
п£п3 и п2пБ. Наконец равновесие узлов гц и п2 дает нулевые усилия в стержнях
а|Л2, /ц/ц и п2п^.
Подобным же образом доказывается равенство нулю усилий во всех рас-
косах нижнего яруса и в стержнях второго горизонтального пояса.
Равновесие узлов ah b{, q и dt дает нулевые усилия в ребрах а<Л, Ь{В,
cfi и, d{D.
В оставшихся стержнях нижнего пояса усилия также будут равны нулю,
что не трудно доказать, принимая во внимание наличность опор первого рода,
дающих нулевые вертикальные реакции при отсутствии на ферме внешней на-
грузки.
Итак, все стержни данной системы при нулевой нагрузке в узлах имеют
однозначные конечные усилия, равные нулю.
ч Следовательно эта система будет статически определимой и геометрически
неизменяемой фермой.
№ 48. Выяснить, будет ли пирамидальное покрытие системы Шлинка,
показанное на черт. 248, статически определимой и геометрически не-
изменяемой системой.
Решение. Данная система имеет т = 42 стержня, п = 19 узлов и 5 =
—15 опорных реакций.
Первое условие статической и геометрической определимости простран-
ственной закрепленной фермы выражается формулой (11):
т — (3 • п — s) — 0.
Подставляя сюда соответствующие числовые данные, получим тождество:
42-(3 X 19 — 15) = 0.
Следовательно число стержней, необходимых для образования жесткой про-
странственной фермы, достаточно.
Второе условие статической и геометрической определимости состоит в том,
чтобы усилия во всех стержнях системы имели конечные значения. Это условие
выясняется методом нулевых нагрузок.	\
Выделим круговым сечением (как это показано в плане пунктирной линией)
группу узлов Ь, с и т{ и рассмотрим равновесие усилий в рассеченных эле-
ментах. Выделенная группа узлов показана отдельно в увеличенном масштабе
на черт. 248а.
Частные равнодействующие /?£, R2 и 7?3 усилий в рассеченных стержнях
каждого узла должны быть направлены по внешним биссектрисам.
Так как эти три силы, лежащие в одной плоскости, не пересекаются в одной
точке, то следовательно равновесие их возможно только в том случае, если ка-
ждая сила в отдельности равна нулю, т. е. = 0, /?2 —0 и /?3 = 0, что в свою
очередь дает нулевые усилия в стержнях bm{, Ьс и ст{ (см стр. 81).
' ЗАДАЧИ- И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ. ГЛАВЕ	7 Ж <
А
А
D
D

-Точно таким же образом доказывается, чтр усилия во всех раскосах и в стер-
жнях верхнего пояса будут равны нулю.
Усилия в стержнях опорного кольца также будут
равны нулю.
Действительно, предположим, что стержень ВС имеет
какое-либо растягивающее усилие, тогда нетрудно до-
казать при помощи непосредственного разложения силы,
приложенной в узле, чго и вег остальные стержни
опорного кольца будут растянуты, а все стержни,
принадлежащие ребрам пирамиды, будут сжаты.
Следовательно равновесие верхнего узла О при
внешней нулевой нагрузке не будет иметь места.
Так как это заключение неверно, ибо несколько
выше было доказано, что усилия во всех стержнях
пирамиды при нулевой нагрузке в узлах равны нулю,
то следовательно и начальное предположение оказы-
вается неверным. Отсюда следует, что усилие в стержне
ВС равно нулю.
Точно таким же способом можно доказать, чго
усилия во всех остальных стержнях опорного кольца
также равны нулю.
Итак, при нулевой нагрузке в узлах усилия во всех
стержнях системы однообразны и равны нулю. Следо-
вательно эта система представляет статически опреде-
лимую и геометрически неизменяемую ферму.
В данной ферме оси катков трех опор второго рода
"з
расположены в узлах: nlf п% и л3, вдоль стержней опор-
ного кольца АВ, CD и EF, и следовательно движение
их возможно перпендикулярно к этим линиям, что и
показано на чертеже в плане двумя черточками.
Если оси катков расположить перпендикулярно к
этим стержням, то они будут пересекаться в одной
точке О, и тогда опорное закрепление фермы будет
неустойчивое, так как ферма будет иметь возможность
вращаться вокруг средней вертикальной оси.
Черт. 248.
№ 49. На черт. 249 показана мостовая ферма раскосной системы
с ездою по низу. Будет ли данная система статически определима и
геометрически неизменяема?
Решение. Данная система имеет т = 22 стержня, п = 10 узлов и 5=8
опорных реакций.
Первое условие статической и геометрической определимости пространствен-
но закрепленной фермы выражается уравнением (11):
т — (3-п — 5) = 0.
Подставляя сюда соответствующие числовые данные, получим тождество:
22 — (ЗХ 10 — 8) = 0.
282 ЗАДАЧИ И, УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Следовательно первое условие .удовлетворенз.
Второе условие статической и геометрической, определимости заключается
в том, чтобы усилия во всех стержнях системы имели конечные значения.
Это выясняется проще всего методом нулевых нагрузок. Из равновесия верх-
него узла b находим, что при нулевой нагрузке усилие в отдельно стоящем стер-
жне Ьс будет равно нулю.
Отбрасывая этот стержень и переходя к рассмотрению узла с, находим, что
усилие в отдельно стоящем стержне са будет равно нулю.
На том же основании находим, что и усилие в отдельно стоящем стержне ad
также будет равно нулю при нулевой нагрузке в узле а.
Отбрасываем эти верхние поперечные связи между двумя плоскими верти-
кальными фермами. Точно также находим из рассмотрения узлов В и Z), что
усилия в отдельно стоящих стержнях ВС и DA будут равны нулю. Отбрасывая
эти стержни и переходя к рассмотрению узлов А и С, найдем, что усилия в от-
дельно стоящих раскосах AF и СЕ тоже будут равны нулю. Отбрасывая эти
раскосы, найдем из рассмотрения узла Е, что и усилие в отдельно стоящей рас-
порке EF также равно нулю. Отбрасываем и этот стержень.
^Гаким образом пространственная система распадается на две плоских рас-
косных фермы, составленных из треугольников и следовательно геометрически
неизменяемых.
Но вся система будет подвижна, так как обе плоские фермы могут коле-
баться в ту или другую сторону без изменения длины поперечных связей, как
это показано пунктирными линиями на черт. 249, а. Чтобы уничтожить эту под-
вижность, в мостах устраивают жесткие портальные рамы (черт. 249, Ь) в плоско-
сти граней ADda и ВСсЬ.
О
№ 50. Доказать, будет ли система стержней, показанная на черт. 250,
статически определимой и геометрически неизменяемой, и если нет, то
что надо сделать, чтобы превратить ее в жесткую и статически опреде-
лимую ферму.
Рже ш е н и е. Первое условие статической и геометрической определимости
закрепленной системы выражается формулой:
т — (3 • п — s) = 0.
Подставляем сюда следующие числовые значения, отно-
сящиеся к данной системе: т~ 32 стержня, п = 13 узлов
и s — 3 опорных реакций. Тогда получим:
32 —(3X13-8) = 1,
т. е. в системе имеется один лишний стержень.
Чтобы сделать систему статически определимой и
геометрически неизменяемой, отбрасываем стержень Ос.
Тогда в верхнем узле О будут сходиться только три
стержня, усилия в которых будут равны нулю в случае
отсутствия внешней нагрузки.
Отбрасываем эти стержни.
Рассматривая затем узел а, находим, что при нулевой
нагрузке в этом узле усилие в отдельно стоящем стержне
ad будет равно нулю. Точно также из последовательного
рассмотрения узлов Ь, с и d находим, что усилия в от-
дельно стоящих стержнях ba, cb и de также будут равны
нулю. Удаляя все стержни верхнего пояса с нулевыми
усилиями, находим, что в узлах а, Ь, с и d будут схо-
диться только по два стержня, усилия в которых будут
[ условии отсутствия в тех же узлах внешней нагрузки. От-
стержни и переходим к рассмотрению узлов второго пояса:
3	2
Черт. 250.
равны нулю при
брасываем . эти < д	ж___
«I, bl9 с{ тл di. Так как конструкция нижнего яруса совершенно подобна кон-
струкции среднего яруса, то на основании предыдущего доказательства можно
сказать, что и в стержнях нижнего яруса усилия будут равны нулю при отсут-
ствии узловой нагрузки. Отбрасываем эти стержни.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ ' л 283:
Не трудно доказать, что и усилия в стержнях нижнего опорного кольца так-
же будут равны нулю, исходя из нулевых опорных реакций.
Так как усилия во всех стержнях при отсутствии нагрузки в узлах системы
имеют конечные нулевые значения, то следовательно данная система будет жест-
кой и статически определимой фермой. Для сохранения внешнего вида четырех-
гранного шпица башни стержень Ос в действительности не выбрасывается, но
в точке с устраивается подвижный шарнир в виде болта, закрепленного
в овальной дыре. При таком устройстве шарнира стержень Ос не будет в со-
стоянии воспринимать нагрузку и передавать ее другим стержням вследствие
своей подвижности.
№ 51. На черт. 251 показана ферма для газгольдера. Ответить на
следующие вопросы: 1) Будет ли эта ферма простейшая, преобразован-
ная или сетчатая? 2) Будет ли эта ферма статически и геометрически
определима? 3) Как следует изменить опоры, если сделать опорное коль-
цо? 4) Как превратить эту ферму в свободную? 5) И как превратить
ее в простейшую систему?
стержня, не лежа-
является простей-
не
опреде-
Решение. 1. Первый вопрос. Так как в данной ферме нет ни одного узла,,
в котором сходилось бы только три стержня, и ее нельзя разрушить по пра-
вилу разрушения простейших систем, удаляя каждый раз i
щих в одной плоскости, то следовательно данная система
шей фермой.
Ее нельзя также назвать сетчатой, так как число
стержней в каждом кольцевом поясе одинаково и явно
намечены меридиональные ребра, тогда как в сетчатой а
системе число стержней в кольцевом поясе каждого
последующего этажа вдвое меньше, чем в предыдующем
этаже, и нет меридиональных ребер.
2.	Второй вопрос. Данная ферма имеет: т = 30
стержней, п —15 узлов и $ = 5X3 = 15 опорных за-
креплений.
Подставляя эти числа в уравнение (11):
т — (3 • п — s) = О,
А
получим тождество:
30 —(3X15 —15) = 0.
Следовательно первое условие статической опреде-
лимости и геометрической неизменяемости удовлетво-
рено. Для выяснения второго условия статической и ге
лимости воспользуемся методом нулевых нагрузок. Рассматривая узлы верхнего
пояса a, b. с, d, е в последовательном порядке, находим, что в каждом из этих
узлов имеется отдельно стоящий стержень ab. Ьс. cd. de и еа. Усилия в этих
отдельно стоящих стержнях будут равны нулю при нулевой нагрузке в узлах.
Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями, получим в каждом узле
верхнего пояса только по два стержня, усилия в которых также будут равны
нулю при отсутствии нагрузки в узлах. Удалив все эти стержни с нулевыми
усилиями, получим нижний ярус фермы с подобным же расположением стер-
жней. Поэтому точно таким же способом можно доказать, что и в стержнях
нижнего яруса усилия будут равны нулю при отсутствии узловой нагрузки.
Таким образом и второе условие статической и геометрической определи-
мости удовлетворено. Следовательно данная система будет статически определи-
мой и геометрически неизменяемой фермой.
3.	Третий вопрос. Если сделать опорное кольцо, добавив 5 стержней, то
соответственно этому надо удалить 5 опорных закреплений, сделав, например,
все опоры второго рода вместо имеющихся опор третьего рода. Тогда будем
иметь: m = 3) + 5 = 35 стержней, п = 15 узлов и $=15 — 5 = 10 опорных:
7284 ~ЗАДЛЧК1 FI У1ГГ/\/ППСПР171 11V ГЛЬЧЕи ПГЦЦГГДПЪШЫК'Уьгт-------------
закреплений, что в свою очередь будет удовлетворять условию, выраженному
«формулой (11):
т —(Зп —$) = 0,
так как и в этом случае получим тождество:
35 — (3X15 — 10) = 0.
4.	Четвертый вопрос. Данная ферма является прикрепленной к своему осно-
ванию. Чтобы сделать ее свободной, надо освободить ее от s — 6 = 15 — 6 =
— 9 опорных закреплений, но взамен этого надо ввести столько же добавочных
•стержней, а именно надо сделать нижнее опорное кольцо из 5 стержней и по-
-ставить две диагонали АС и AD в нижнем основании и две диагонали ас и
md в верхнем а всего 9 стержней.
' Тогда получим: т = 30 -{-9 = 39 стержней, л = 15 узлов и 5 = 15 — 9 =
— 6 опорных реакций.
Подставляя эти числовые значения в уравнение (2):
т — (3-л — 6) = 0,
выражающее первое условие статической и геометрической определимости сво-
бодной системы, получим тождество:
39 —(3X15 —6) = 0.
5.	Пятый вопрос. Вопрос о превращении преобразованной системы в про-
стейшую можно решить при помощи замены стержней. Поэтому, удаляя стер-
экень cb{ верхнего яруса, получим узел с, в котором сходятся только три стер-
жня. Разрушив этот узел, получим такой же узел d, затем е и а.
Разрушив эти узлы и переходя к рассмотрению узла д, замечаем, что он бу-
лет прикреплен только двумя стержнями, Ъа^ и bb± и следовательно будет под-
вижным.
Поэтому, чтобы сделать этот узел неподвижно закрепленным, надо ввести
-еще третий стержень, не лежащий в плоскости указанных выше двух стержней.
Поэтому вместо выброшенного стержня cb± вводим заменяющий стержень Ъс{.
Переходя затем к узлам нижнего яруса, и удаляя стержень разрушаем
;узлы в следующем порядке: b{t а{, et, d{ удаляя каждый раз по три стержня.
Тогда в узле q останутся только два стержня с{С и с{О, и следовательно,
этот узел будет подвижным. Поэтому, чтобы сделать его неподвижным, вводим
третий стержень с{В взамен выброшенного стержня Ь{С. Итак, чтобы преобра-
зовать данную ферму в простейшую систему, надо удалить два раскоса cb{ и
по одному в каждом ярусе, и взамен этого поставить в тех же плоских гра-
нях два обратных раскоса: bct и с{В.
Такая замена стержней называется плоской заменой, так как каждый уда-
ленный стержень заменяется заменяющим стержнем в плоскости той же грани
пространственной фермы.
То обстоятельство, что данная система может быть превращена в простей-
шую систему при помощи однократной или многократной плоской замены
•стержней, служит также признаком, что данная система есть статически опре-
делимая и геометрически неизменяемая ферма.
Как видно из предыдущего решения (второй вопрос), это заключение под-
тверждается также исследованием данной фермы по методу нулевых нагрузок.
№ 52. Доказать по методу нулевых нагрузок, что одноярусное звезд-
яатое покрытие с нечетным числом сторон в опорном кольце будет
жесткой, геометрически неизменяемой системой (черт. 252)/
Решение. Данная система имеет т = 28 стержней, п = 14 узлов и $ =
~ 2 X 7 = 14 опорных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в формулу (il):	*
т — (3*л —$) = 0,	(а)
получим тождество:
28 — (3 X 14 — 14) = 0.
, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	235.
Следовательно первое условие статической и геометрической определимо-
сти, выражаемое уравнением (а), удовлетворено. Следует еще доказать, что уси-
лия во всех стержнях будут иметь конечные значения.
Рассматривая стержни 1, 2, 8 и 9, сходящиеся в узле Ь, замечаец, что они
попарно расположены в двух плоскостях АЬВ и abc, причем эти плоскости,
взаимно пересекаются по линии тт.
Равнодействующая усилий в стержнях 1 и 2 будет лежать в горизонталь-
ной плоскости abc, а равнодействующая усилий в стержнях 8 и 9 будег
лежать в наклонной плоскости АЬВ. И так как внешней нагрузки в узле Ь не;
имеется, то геометрическая сумма равнодействующих внутренних усилий в стер-
жнях должна равняться нулю, т. е.
-f-
(черта сверху есть условное обозначение геометрической суммы, т. е. сложение--
двух сторон параллелограма сил).
Из этого уравнения находим, что /?2 = — R{, т. е., что частные равнодей-
ствующие равны по величине, но противоположны
по знаку, а это возможно только в том единствен-
ном случае, когда эти частные равнодействующие
будут лежать на одной прямой. Но так как равно-
действующая Ri усилий N{ и N% в стержнях 1 и 2
лежит в одной плоскости (abc), а равнодействующая
/?2 усилий и Л'9 в стержнях 8 и 9 лежит в дру-
гой плоскости (АЬВ), то очевидно, что они будут
лежать на одной прямой только в том случае,
если они будут совпадать с линией тпт пересечения
этих плоскостей.
Но сила Ri есть геометрическая сумма усилий
N{ и N% в стержнях 1 и 2, т. е.
А У?2 есть геометрическая сумма усилий TV8 и /V9 в
стержнях 8 и 9, т. е.
R? — № + ^9 •
Рассматривая отдельно треугольник АЬВ (черт.
252,а) и замечая, что линия тт параллельна осно-
ванию АВ, находим, что угол рЬт равен углу ЬВА
и равен углу mb А.
Поэтому линия mb есть биссектриса внеш-
него угла рЬА, образуемого пересечением одной
стороны АЬ треугольника г продолжением другой
стороны ВЬ того же треугольника.
Такая биссектриса в геометрии называется
внешней биссектрисой.
А равнодействующая - двух сил JV8 и N9, сходящихся под углом, будет-
направлена по внешней биссектрисе Ьт только в том случае, если составляющие^
силы равны по величине, но противоположны по знаку, как это указано на па-
рал лечограме сил pbqm на черт. 252,а.
Поэтому находим, что У9 = — Ng.
Точно так же, рассматривая треугольник abc, для которого линия тт является:
внешней биссектрисой, находим, что N^ — — N{.
Так как все остальные узлы верхнего кольца находятся в таких же условиях,
как и рассмотренный выше узел Ь, то следовательно и для каждого из осталь-
ных узлов получим, что усилия в стержнях, попарно сходящихся в узлах верх-
него кольца, равны по величине, но противоположны по знаку.
Поэтому, если в стержне 2 усилие равно...............+^2,
то усилие в стержне 3 будет равно ..... — N3,
»	»»	»	»	4	„ я ..............-j-	Ni,
-286 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
то усилие в стержне 5 будет уавно.......—ЛГ5,
п п *	"	6	„	........+	,
7	— V-
я	я	я	я	•	я	•••••	4 > j ;
и „	„	„ я 1» п .... . ~f~ АГ (.
Таким образом находим, что в смежных стержнях 1 и 2, сходящихся в узле а,
усилия равны и одинаковы по знаку.
Но выше было доказано, что равнодействующая их /?< должна лежать по
линии тт пересечения двух плоскостей АЬВ и abc, а это возможно только
в том случае, если усилия и с одинаковыми знаками будут порознь рав-
ны нулю.
Итак доказано, что усилие .5^ = 0 и усилие ЛГ2 = 0. Следовательно и все
остальные усилия в стержнях верхнего кольца также будут равны нулю при
отсутствии в узлах внешней нагрузки.
^Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями, получим в каждом узле по
два стержня. И так как внешней нагрузки в узлах не имеется, то следовательно
во всех этих стержнях усилия будут равны нулю.
А это служит доказательством, что данная система будет статически опреде-
лимой и геометрически неизменяемой фермой.
№ 53. Доказать при помощи нулевых_ нагрузок, что одноярусное
звездчатое покрытие с четным числом сторон в опорном кольце будет
геометрически изменяемой или подвижной /системой (черт. 253).
Решение. Данная система имеет т = 24
стержня, п = 12 узлов и $=12 опорных закреп-
лений и поэтому удовлетворяет первому условию
статической и геометрической определимости, вы-
ражаемому формулой (11):
т —(3-л— $) = 0.
В самом деле, подставляя сюда соответствую-
щие числовые величины, получим тождество:
24 — (3 X 12 — 12) = 0.
Но одного первого условия еще недостаточно для
заключения, что ферма эта жесткая, геометри-
чески неизменяемая. Надо еще доказать, что уси-
лия в стержнях данной системы имеют конечные
значения.
Пользуясь доказательством, приведенным в
предыдущей задаче, находим, что усилия в стер-
жнях, сходящихся попарно в каждом узле верх-
него кольца, при нулевой нагрузке в узлах рав-
ны по величине, но противоположны по знаку (т. е. Nn = — Nn +<).
Поэтому, если усилие в стержне 2 будет .
то усилие в стержне 3 будет равно
4
я	я	я	я	’	я	п
+аг9,
-ЛГз,
+ АГ4,
-^з,
»	»	п	В	1
Таким образом два смежных стержня, сходящиеся в узле Ь, имеют усилия
—Л1 и +^Г9, т. е. равны по величине, но противоположны по знаку. Равно-
действующая таких усилий пойдет по линии .тт, т. е. по линии пересечения
верхней плоскости abc с гранью АЬВ.
Таким образом для данной пространственной системы можно подобрать уси-
лия в стержнях, отличные от нуля и взаимно уравновешивающиеся при отсут-
ствии внешних узловых нагрузок. И таких решений может быть бесчисленное
множество при изменении усилий N в стержнях в пределах от нуля до беско-
нечности.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	287
Эта множестЬенность решений указывает, что заданная система стержней
будет геометрически изменяемой или подвижной.
Не трудно заметить, что поднимая узлы а, с и е при помощи вращения
в наружную сторону треугольников Лаг, ВсС и DeE вокруг осей AF, ВС и
DE, можно в то же самое время опустить остальные узлы через один, а именно,
узлы b, d и /, вращая треугольники AbBt CdD и EfF в обратную сторону, т. е.
во внутрь системы вокруг осей АВ, CD и EF.
При этом плоское верхнее кольцо получит зубчатый вид, показанный на
черт. 253 пунктирными линиями.
Контрольные задачи ко второй главе.
№ 54. К узлу А, в котором сходятся три стержня, расположение ко-
торых задано, приложены две силы: вертикальная Р и горизонтальная Q,
параллельная оси OZ. Определить усилия во всех стержнях системы
(черт. 254).
№ 55 Определить усилия во всех стержнях купольного покрытия
с квадратным основанием при расположении одинаковых нагрузок Р=
= 1 тонне в четырех узлах промежуточного пояся т, п, р, q. Основные
размеры купола показаны на черт. 255.	р
и-----I «Юл,-----J
Черт. 251.	Черт. 255.
№ 5S. Дано трехъярусное купольное покрытие. Указать те стержни,
которые будут работать при расположении нагрузки Р1 в узле а2 и на-
грузки Р2 в узле dY (черт. 256).
№ 57. Купольное покрытие без опорного кольца ийеет расположение
стержней, показанное на черт. 257. Доказать методом нулевых нагрузок,
бдает ли данная система статически определимой и геометрически неизме-
няемой и при каких условиях.
№ 58. Определить усилия в шести опорных стерж ях данной системы
при действии горизонтальной силы Р, приложенной в узле D и направ-
ленной перпендикулярно к противоположной стороне EF верхнего равно-
стороннего треугольника DEF (черт. 258).
288 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
№ 59. Определить усилия во всех стержнях данной призматической
фермы при произвольном расположении силы Р в узле а верхнего пояса
(черт. 259).
Черт. 258.	Черт. 259.	Черт. 260.	*
№ 60. К узлу а верхнего пояса пятигранной призмы приложена сила
Р, имеющая произвольное направление в пространстве, но не совпадаю-
щая ни с одной из смежных граней АаЬВ и АаеЕ (черт. 260). Ука-
зать все стержни с нулевыми усилиями.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ	289
№ 61. На черт. 261 показано сооружение в виде пространственной
фермы. Ответить на следующие вопросы: 1) Будет ли эта ферма про-
стейшей, преобразованной или сетчатой системой? 2) Будет ли эта ферма
статически определима и геометрически неизменяема? 3) Какие стержни
системы можно заменить добавочными опорными реакциями, не нарушая
ее статической и геометрической определимости? 4) Как данную при-
крепленную ферму превратить в свободную? 5) При помощи замены ка-
ких стержней можно преобразовать эту систему в простейшую, и будет
ли такое преобразование „плоское" или „пространственное"? 6) Указать
все нерабочие стержни, если в верхних узлах а и d будут приложены
вертикальные силы Ру и Р2.
№ 62. В узлах а и аг пирамидального покрытия без опорного кольца
приложены две горизонтальные силы 1F3 и Й72. Указать все стержни
с нулевыми усилиями (черт. 262).
3
Черт. 261.	Черт. 262.
№ 63. Будет ли пространственная система, показанная на черт. 263
(стр. 290), статически определимой и геометрически неизменяемой
фермой? Отметить все рабочие стержни, е?ли в верхнем узле а будет
приложена вертикальная сила Р.
№ 64. На черт. 264 (стр. 290) показано купольное покрытие Цим-
мермана. Доказать, что эта пространственная система будет статически
определимая и геометрически неизменяемая ферма.
№ 65. Будет ли пространственная система, показанная на черт. 265,
статически определимой, и если нет, то что надо сделать, чтобы пре-
вратить ее в статически определимую ферму?
№ 66. Доказать, что диагональ С/, расположенную в горизонтальной
панели CDIK (черт. 266), можно заменить диагональю Di в вертикаль-
ной панели Ddil без нарушения статической и геометрической опреде-
лимости данной свободной системы.
№ 67. Две призматические фермы, из которых каждая представляет
статически определимую и геометрически неизменяемую систему, соеди-
19. Подольский, И С.
290 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
ненн между собой шестью стержнями Am, Aq, Вп, Вр, Ср и Dq, как
это показано на черт. 267. Доказать, что в целом такая система будет
Черт. 265.
Черт. 266.
подвижна, и указать, как надо переставить стержни, чтобы эта система
была неподвижной.
№ 68. Доказать, что стропильная ферма, показанная на черт. 268 и
имеющая восемь опорных закреплений, будет подвижна. Указать, что
надо сделать, чтобы превратить эту систему в жесткую ферму.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ ?'	241
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ.
Непосредственное разложение узловой нагрузки.
№ 09. Найти графическим путем усилия в стержнях простейшей
фермы, показанной на черт. 269 в аксонометрических и на черт. 270
в ортогональных проекциях (фасад и план), при заданном направлении
силы Р, приложенной в верхнем узле О.
Решение. Начинаем расчет системы с верхнего узла О, где сходятся
только три стержня оа (1), ос (2) и ob (3) и где приложен груз Р заданного
направления.
•Черт. 269.
Черт. 270.
Выделяем этот узел каким-либо плоским сечением, пересекающим все три
стержня, и разлагаем данцую силу Р на три составляющие по направлениям
этих стержней. .
Для этого сперва разложим силу Р на две составляющие: одну по направле-
нию стержня ос (2), а другую по направлению линии пересечения двух плоско-
стей — плоскости силы Р и стержня ос и плоскости стержней оа и ob.
Находим сперва горизонтальный след плоскости силы Р и стержня ос, счи-
тая для упрощения черчения за горизонтальную плоскость проекций плоскость,
параллельную основанию АВС и проходящую через треугольник стержней abc.
Продолжив верхнюю проекцию силы Р2 до пересечения в точке с про-
должением линии а2£2, проектируем эту точку k2 на направление горизонтальной
проекции силы Р{ и находим след k силы Р, т. е. пересечение этой силы с го-
ризонтальной плоскостью abc. След ребра ос будет в точке с{, так как она нахо-
дится на горизонтальной плоскости проекций abc.
Следовательно прямая c{k^ булег горизонтальным следом плоскости силы Р
и ребра ос.
Находим вертикальный след той же плоскости. Этот след проходит через
основания стержней оа и ob, которые опираются на горизонтальную плоскость
проекций abc в точках ак и Ь{.
Находим точку g( пересечения горизонтальных следов ctkt и <Ь{а{ и соеди-
«яем ее с проекцией узла прямою g{0{. Проектируя точку g{ на горизонт
и соединяя полученную точку g.2 с вертикальной проекцией узла о.2,
19*
292 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
получим вертикальный след пересечения двух плоскостей. Разлагаем теперь
силу Р по двум заданным направлениям ос и og. Для этого на горизонтальной
плоскости строим один силовой треугольник Г, 2', 3’, стороны которого парал-
лельны проекциям Pit OiCi и otglt а на вертикальной плоскости строим другой
силовой треугольник 1", 2", 3", стороны которого параллельны проекциям
И 0&.
Стороны этих силовых треугольников представляют в проекциях искомые
составляющие данной силы Р, причем отрезки Г — 3' и 1" — 3" представляют
проекции искомого усилия N2 в стержне ос (2).
Из направления стрелок на двух проекциях видно, что усилие сжима-
ющее, так как стрелки направлены к узлу о.~
Разлагаем теперь равнодействующую R, выражаемую на диаграмме усилий
отрезком 1 — 3, на две составляющие, идущие по направлениям стержней оа (1)
и ob (2), для этого на ^диаграмме усилий проводим из точек (1) и (2) линии,
параллельные стержням оа и ob
Тогда усилие в стержне оа (1) будет выражаться двумя проекциями
2'—4' и 2" —4", а усилие N3 в стержне ob (3) будет выражаться двумя проек-
циями Зг— 4' и 3" — 4".
Нанося теперь стрелки по сторонам замкнутого четырехугольника сил 1, 2,
3, 4 согласно заданному направлению силы Р, находим, что стержень оа будет
сжат, так как стрелка направлена к узлу о, т. е. как бы нажимает на узел о, а
стержень ob будет растянут, так как стрелка направлена от узла о, т. е. как бы
тянет за узел о.
Определив усилия N2 и N3 в стержнях оа, ob и ос, мысленно отбрасы-
вают эти стержни и переходят к рассмотрению элементарного узла а, где схо-
дятся только три стержня, не лежащие в одной плоскости, а именно: ab (4),
ас (5) и аА (6), и где имеется усилие N{, заменяющее действие отброшенного
стержня оа-
Так как в плане этот узел (а) проектируется только двумя линиями а^Ь( и
то разлагаем горизонтальную проекцию (3' — 4') усилия по этим направ-
лениям, причем получим треугольник сил 2', 4', 5', в котором сторона (4' — 5')
будет выражать проекцию усилия в стержне ab, а сторона (2' — 5') будет вы-
ражать проекцию усилия N3 в стержне ас.
Перенесем горизонтальные проекции этих усилий на вертикальные проекции
соответствующих направлений. Для этого через точку (5') проводим вертикаль,
параллельную направлению стержня аА и проектируем на нее точки (2") и (4").
Тогда вертикальный отрезок (5" — 6") будет выражать усилие в стержне аА
без искажения масштаба.
Определив усилия /V4, N3 и N3 в стержнях, сходящихся в узле а, и отбро-
сив эти стержни, переходим к рассмотрению узла Ь, где сходятся три остав-
шихся стержня ЬА, ЬВ, и кс, и где действуют два усилия N3 и М4 соответст-
венно заменяющие действия отброшенных стержней Ьо и Ьа.
Слагая геометрически эти усилия, получим их равнодействующую. На диа-
грамме усилий эта равнодействующая выражается двумя отрезками Зг — 6Г и
3* — 6". Разлагаем эту равнодействующую на три направления параллельно сто-
ронам ЬА, ЬВ и Ьс при помощи построения соответствующих силовых много-
угольников 3'6Г7'8' и 3"6"7"8". В плане непосредственно определяем усилия Л/7 и
в стержнях Ьс и ЬА, выражаемые отрезками (3 —7') и (6' — 7’), а на верти-
кальной плоскости непосредственно определяем усилие N3 в стержне ЬВ, выра-
жаемое отрезком 7" — 8". Определив усилия в стержнях узла Ь и отбросив эти
стержни, переходим к рассмотрению узла с, где сходятся три оставшихся стержня
с А, с В и сС и где действуют три усилия N* и N^, заменяющие действие от-
брошенных ранее стержней со, са и cb.
Находим равнодействующую этих усилий.
Усилия ЛГ2 и N-j легко слагаются проведением линий (Г —8') и (1*— 8*).
Если причертить к ним отрезок (Г — 9'), равный и параллельный отрезку (2' — 5'),
и отрезок (1" — 9"), равный и параллельный отрезку (2" — 5"), то получим про-
1 Отсутствие верхних индексов (’) и (") показывает, что построение надо
выполнить на обеих плоскостях проекций.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	293
екцию искомой равнодействующей трех усилий	и N-j) в виде замыкаю-
щих прямых 8' — 9' и 8" — 9".
Разлагая в плане проекцию (8' — 9') на две составляющие, параллельно на-
правлениям проекций стержней и а*на профильной плоскости разлагая
проекцию (8" —9") на три направления с"А", с” С и с"В”, найдем усилие N10
в стержне сВ (10) в виде отрезка (10"—11") и проекции усилий и М2
в стержнях с А и сВ, выражаемые соответственно отрезками (8'—10'), (9' — 11)
я (8"— 10") и (9"— 11"). Эти проекции дают возможность определить действи-
тельные величины усилий и Af12 соответственно в стержнях с А и сВ.
Таким образом усилия во всех стержнях данной системы определены гра-
фическим путем при помощи построения диаграмм усилий в двух проекциях.
№ 70. Определить усилия во всех стержнях крана системы Фёп-
пля (Foppl) при произвольном расположении груза Р в верхнем узле О.
Кран этот показан на черт. 271 в аксонометрических проекциях, а
на черт. 272 в ортогональных проекциях.
$
Черт. 271.	Черт. 272.
Решение. Как бы ни была направлена сила Р, ее всегда можно разложить
на две составляющие: силу S, лежащую в вертикальной плоскости симметрии
и горизонтальную силу Q, перпендикулярную к этой плоскости (черт. 272).
Поэтому данная задача об определении усилий во всех элементах данной
пространственной фермы распадается на две отдельные задачи сообразно распо-
ложению двух указанных составляющих сил S и Q от заданной нагрузки Р.
Рассмотрим каждую из этих задач отдельно.
1. Сила S расположена в вертикальной плоскости симметрии крана.
Разлагаем эту силу в вертикальной плоскости на две составляющие по направ-
лению стержня ОК и по направлению внутренней биссектрисы угла cod. Для
этого от какой-либо точки 1" на вертикальной плоскости проводим линию 1"—2"
параллельно заданному направлению силы S2 и из концов этого отрезка прово-
дим линии I" — 3" и 2" — 3" соответственно параллельные стержням О2АС2 и О2С2
(черт. 273).
294 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Тогда отрезок 1"—3" будет выражать в неискаженном масштабе усилие ЛГ#
в стержне OK (I), а отрезок 2" —3" будет выражать равнодействующую R*
в стержнях ос (2) и od (3).
Проектируя этот треугольник сил на горизонтальную плоскость, получим
прямую линию 1', 2’, 3'.
Разлагаем проекцию равнодействующей /?4, выражаемую в плане отрезком
21 — 3', на две составляющие параллельно направлению сторон ос и od и точку
4' проектируем на отрезок 2" — 3" профильной плоскости.
Тогда отрезки (2' — 4') и (4' — 3j будут выражать горизонтальные проекции
усилий Ыъ и в стержнях ос и od, а отрезки (2" — 4") и (4" — 3") будут выра-
жать вертикальные проекции N£ и тех же усилий.
Разлагаем затем растягивающее усилие в стержне ok на направление
стержня ka и на направление плоскости, проходящей через биссектрисы углов.
bkc и dke (см. черт. 271).
Для этого на вертикаль-
ной плоскости (черт. 273)
из точки 1* проводим ли-
нию 1" — 5", параллельную
стержню ak, и из точки 3"
проводим линию, параллель-
ную биссектрисе угла bkc-
(Эта биссектриса на про-
фильной плоскости на черт-
272 показана пунктирной
линией kfa.) Полученный
отрезок (1* — 5") на черт. 273
будет выражать в неиска-
женном масштабе растяги-
вающее усилие ЛГ4 в стер-
жне ak.
А равнодействующую/г*
выражаемую на вертикальной
плоскости отрезком (3"—5"),
а на горизонтальной плоско-
сти отрезком (3' — 5'), раз-
лагаем в плане на направле-
ние обеих биссектрис углов bkc и dke (эти биссектрисы в плане на черт. 272
показаны пунктирными линиями k{r{ и Л4^4), причем получаем треугольник сил'
5' 6' 3е (черт. 273).
Проектируя точку 6' на отрезок 3" — 5" в профильной плоскости, получим
разложение той же равнодействующей в профильной плоскости на направления
указанных выше биссектрис.
Каждый из этих отрезков, выражающих некоторую равнодействующую (7?3)^
в свою очередь разлагаем на две составляющие, идущие по направлениям стерж-
ней kc, kb и kd, ke, причем находим горизонтальные и вертикальные проекции
усилий N5, Ne, N’j и в этих стержнях.
Переходя затем к рассмотрению узла а, замечаем, что в нем сходятся две
пары стержней, симметрично расположенных относительно вертикальной плоско-
сти, а именно стержни: ab, ае и a A, aD (черт. 271). Поэтому растягивающее
усилие N4, действующее на этот узел (а), можно разложить на две частных рав-
нодействующих и расположенных в плоскости симметрии и в то же
время находящихся в двух плоскостях Ьсе и AaD (черт. 272). Это разложение-
силы Nt показано на диаграмме усилий (черт. 273).
Зная эти частные равнодействующие, можно по закону параллелограма с и д'
определить сжимающие усилия и 2У13 в стержнях ab и ае горизонтального^
пояса и растягивающие усилия Nie и W17 в опорных стойках аА и aD
(черт. 271).-
Для определения опорных реакций В и Сопроводим заданное направление
слагающей силы 5 до взаимного пересечения в точке 5 с направлением верти-
кальной осй ,А^а^ проходящей через узел а (черт. 272). Через эту точку ($)
должна проходить и суммарная равнодействующая опорных реакций В и С.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ .
295
Найдя точку s, строим отдельно треугольник сил тпр (черт. 273, а); в котором
отрезок тр будет выражать сумму опорных реакций Ra в точках А и D, а
отрезок пр будет выражать сумму опорных реакций Rb в точках Си/).
Разлагаем силу Rb на направление парных опорных стержней ВЬ и Вс,
причем отрезок nq будет выражать общее уравновешивающее усилие TV18 + N21
в симметричных стержнях ВЬ и Се, а отрезок pq будет выражать общее уравно-
вешивающее усилие Aftf + Wao в симметричных стержнях Вс и Cd, так как эти
четыре стержня лежат в двух вертикальных плоскостях, и поэтому проекции уси-
лий на профильной плоскости будут выражаться без искажения масштаба. Раз-
делив эти отрезки пополам и построив соответствующие параллелограмы сил
из половинок этих отрезков, можно будет ^определить действительные усилия
ЛГ18, N19, ^20 и ^2i в рассматривае-
мых стержнях ВЬ, Вс, Cd и Се.
Зная эти усилия, не трудно будет
затем определить усилия в осталь-
ных стержнях пояса abcde.
.. Заметим при этом, что при
расположении силы S в плоскости
симметрии конструкции диагональ
bd не будет работать.
2. Сила Q расположена в го-
ризонтальной плоскости и пер-
пендикулярна к плоскости сим-
метрии конструкции. Найдем
прежде всего опорные реакции.
Для этого рассекаем все шесть
опорных стержней каким-либо пло- -
ским сечением и выбираем за ось
моментов линий ВС, проходящую
через опорные точки В и С и па-
раллельную заданной горизонталь-
ной силе Q (черт. 274). Составляя
уравнение моментов всех сил от-
носительно этой оси ВС, найдем,
что момент от горизонтальной,
силы Q, параллельной этой оси,
будет равен нулю. Опорные реак-
ции в точках А и D будут нахо-
диться в плоскости АаГК Разлагая
зонтальную и вертикальную составляющие, найдем, что момент от каждой гори-
зонтальной составляющей, параллельной оси ВС, будет равен нулю. Поэтому в
уравнение моментов войдут только вертикальные составляющие, и тогда полу-
чим следующее уравнение моментов всех сил относительно оси ВС:
Черт. 274.
из этих опорных реакций на
2 МЬс = Л-sin ъ-Ь + Z)*sip a-b = 0*
Откуда находим, что Л = —D, т. е. что опорные реакции равны по вели-
чине, но противоположны по знаку. За вторую ось моментов выбираем верти-
кальную линию оо{, проходящую через верхний узел о. Эта ось будет пред-
ставлять линию пересечения плоскостей ЬсВ и deC, заключающих в себе стержни
ВЬ, Вс, Cd и Се. (Это положение очевидно из плана черт. 272, где линии Ь{с{
и eldl перёсекаютсй в точке оР) Следовательно при составлении уравнения мо-
ментов всех сил относительно оси оо{ моменты от горизонтальной силы Q и от
усилий в опорных стержнях, сходящихся в точках В и С, пропадут, так как все
эти силы пересекают выбранную ось моментов. Остаются только усилия в стерж-
нях Аа и Da. Вертикальные составляющие этих усилий дадут моменты, равные
нулю, так как эти силы параллельны оси моментов оо{ и горизонтальные их
составляющие войдут в уравнение моментов, причем получим:
2 М0(Я — Л -cos а-(а + b) — D- cos а (а + Ь) =. 0,
откуда находим, что А = D.
296 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Но выше было найдено, что А = — D.
Отсюда очевидно, что оба эти равенства одновременно могут существовать
только в том случае, если А = 0 и D = 0, или /V 1в = О и = 0.
Поэтому и равнодействующая усилий и Л/р в опорных стержнях Аа и
Da также будет равна нулю. Отбрасывая эти стержни с нулевыми усилиями и
переходя к рассмотрению равновесия узла а, в котором сходятся три стержня
ab, ае й ak, не лежащие в одной плоскости, заключаем, что усилие в каждом
из этих стержней также будет равно нулю. Отбрасываем эти стержни с нуле-
выми усилиями. Из рассмотрения равновесия верхнего узла о, где внешняя
сила Q лежит в одной плоскости со стержнями ос и od, а стержень ok не лежит
в этой плоскости, заключаем, что усилие в этом отдельно стоящем стержне бу-
дет равно нулю.
Переходя к рассмотрению узла е, замечаем, что в нем сходятся четыре стержня
ek, eb, ed и еС, не лежащие в одной плоскости (не считая ранее отброшенного
стержня еа с нулевым усилием). Так как стержень ed не лежит в плоскости
остальных трех стержней, то при отсутствии внешней нагрузки в этом узле
усилие в отдельно стоящем стержне ed будет равно нулю. Отбрасываем и этот
стержень с нулевым усилием и переходим к определению усилий в остальных
стержнях системы. Сперва определяем опорные реакции в точках В и С. Так
как реактивные силы, лежащие в вертикальных плоскостях ЬВс и dCe, уравнове-
шивают горизонтальную силу Q, приложенную в узле о, то, очевидно, что эта
точка будет общей точкой пересечения всех трех сил.
Поэтому, соединяя прямыми линиями о В и оС опорные точки В и С с
узлом о, найдем направление искомых реактивных сил Rb и Rc.
Величины этих сил легко могут быть определены графически из построения
соответствующего силового треугольника. Разлагая затем эти равнодействующие
по направлениям стержней ВЬ, Вс, Cd и Се, найдем усилия в этих стержнях.
Точно так же при Помощи разложения заданной горизонтальной силы Q на два
направления ос и od можно найти усилия в этих стержнях. После этого можно
перейти к узлам с и d, где остается лишь по три стержня с неизвестными
усилиями.
И наконец из рассмотрения узлов b и е можно определить усилия в стерж-
нях треугольника bek. Ввиду простоты всех этих графических построений, они
не приводятся здесь. 
№^71. Определить усилия в стержнях пространственной фермы, при
действии горизонтальной силы Q, приложенной в верхнем среднем узле /
(черт. 275). Расположение опор показано в плане на черт. 275,а в не-
сколько уменьшенном масштабе.
d
Черт. 275.
Решение. Данная система имеет т — 29 стержней, п = 12' узлов и
s —7 опорных закреплений.
Подставляя Эти числовые значения в формулу fll):
т — (3 • и — 5) — 0,
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ
297
выражающую первое условие статической и геометрической определимости за-
крепленной системы, получим тождество:
29--(3 V 12 —7)^0.
Следовательно число стержней достаточно для образования пространственной
жесткой фермы.
Горизонтальная сила Q расположена симметрично относительно опор, по-
этому она передается поровну на опоры А и Z), но так как опора А подвижная
первого рода и воспринимать горизонтальную силу не может, то эта сила,
сжимая распорку АВ, передается в узел В.
Итак, усилие в распорке АВ равно . Затем так как на правую опору D
сила передается непосредственно, то усилие в распорке DC будет равно
нулю.
Рассматривая верхний узел d, где сходятся три стержня, не лежащие в од-
ной плоскости, находим, что усилия в этих стержнях будут равны нулю, так как
внешней нагрузки в этом узле не имеется. Отбрасывая эти стержни с нулевыми
усилиями и переходя к рассмотрению узла с, где также сходятся три стержня,
не лежащие в одной плоскости, находим, на том же основании, что и в этих
стержнях усилия будут равны нулю.
Отбрасываем эти стержни с нулевыми усилиями.
Рассматривая узел /, где приложена горизонтальная сила Q, действующая по
направлению стержня fe, находим, что сжимающее усилие в этом стержне будет
равно:
Усилие в отдельно стоящем стержне fF будет равно нулю. Составляя сумму
проекций всех сил на ось стержня fa, найдем что и в этом последнем стержне
усилие также будет равно нулю. Отбрасываем эти стержни.
Перенося силу Q в узел е и разлагая ее здесь в плоскости верхней грани
по направлению пояса eb и диагонали еа, найдем усилия в этих элементах, при-
чем сжимающее усилие в элементе пояса eb будет равно:
а растягивающее усилие в диагонали еа будет равно
/V :______2_
еа sin а ’
где а — угол наклонения диагонали еа к ребру eb. Перенося это усилие Nea
в узел а, разлагаем его здесь в плоскости верхней грани на две составляющие,
идущие по направлению ребер ab и af, причем получим сжимающее усилие
в первом ребре, равное
Nab~------’sin
ао sin а
а вторая составляющая, идущая по оси ребра af, будет равна

-----cos 1 =
sin а
___Q_
tg а’
Так как эта последняя сила не может восприниматься стержнем af (ибо этот
стержень с нулевым усилием считается уже отброшенным), то она в свою оче-
редь разложится на две составляющие, идущие по направлениям ребер аА и я/7,
расположенных в одной плоскости с этой силой.
298 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
При этом получим растягивающее усилие в стойке аЛ, равное:
так как
следовательно
^=tgi'<g?==<?tg7,
4 в 2й .	2*
tg ? = £ и tg а - - -j- ,
где f * есть угол между поясом фермы ЯЛ и раскосом дЛ и
Y — угол между распоркой АВ и диагональю АЬ.
Сжимающее усилие в раскосе aF будет равно:
aF tga-cosp’
Перенося усилие Nab, действующее в стержне ab, в узел Ь и разлагая его
здесь на две составляющие по направлениям стержней ЬА и ЬВ, получим растя-
гивающее усилие в диагонали ЬА, равное:
^М= — .
cos у
и сжимающее усилие в стойке ЬВ, равное:
N'bB=- <? tgT-
z Точно также, перенося найденное усилие Nbe, действующее в стержне Ье\
в узел Ь и разлагая его здесь на две составляющие по направлениям ЬВ и ЬЕ„
получим растягивающее усилие в стойке ЬВ, равное:
и сжимающее усилие в раскосе ЬЕ, равное:
^ЬЕ— tgCHCOSp*
Полное усилие в стойке ЬВ будет равно:
NbB — NbB + NЬВ = - Q • Т + Q • 1 = °-
Перенося усилие NbA, действующее на диагональ ЬА, в узел А и разлагая
здесь на две составляющие по направлениям стержней Аа и АВ, получим усилие
в стойке Аа, равное:
NaA=~ <Mg7-
Следовательно полное усилие в стойке Аа будет равно:
'	NaA = NaA+ NaA = <?fg Y ~ <Mg 7 = 0.
Переходим к рассмотрению нижнего узла В, где действует сжимающее уси-
лие Nab —----* Разлагая ЭТУ силу на две составляющие по направлениям
стержней BF и BE, получим следующие усилия в этих стержнях:
— (растяжение)
Z’Sin а
nbe=— (сжатие).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ
29»
Перенося это последнее усилие в узел С, получим сжимающее усилие в рас-
косе еС, равное
кт Q	Q
2-sin а	2
Точно также можно определить усилия во всех остальных стержнях данной
системы при помощи разложения найденных усилий.
Но можно остальную часть задачи решить и другим путем. После того как
будут определены усилия во всех элементах верхних и нижних поперечных связей^
можно данную пространственную ферму расчленить на две плоские системы с
соответствующими силами, действующими на каждую из них, и расчитать каж-
дую из этих плоских ферм отдельно.
№ 72. На черт. 276 изображен молотовый поворотный кран (т. е. име-
ющий форму молота — Hammerkran), состоящий из неподвижной станины
и вращающейся вертикальной оси СКУ несущей на себе горизонтальную
стрелу крана MN. Разность нагрузки Р и противовеса Q вызывает ре-
активный момент MQ — H'h. Определить усилия во всех стержнях ста-
нины, полагая реактивную силу 77=1 тонне. Основные размеры ста-
нины показаны на чертеже.
Решение. Рассмотрим два крайних положения стрелы крана, а именно:
1) когда стрела MN совпадает с вертикальной плоскостью симметрии CD, пер-
пендикулярной к оси АВ, и 2) когда стрела MN находится в вертикальной плос-
кости, совпадающей с осью АВ.
Первое положение. Стрела крана MN перпендикулярна к опорной ocir
АВ (черт. 276).
Черт. 276.
Для схематического изображения станины как пространственной фермы за-
меним сплошную диафрагму abed двумя взаимно пересекающимися диагоналями
ас и bd с шарниром О в точке их пересечения, и ось ОС крана будем считать
за отдельный стержень. Такая схема станины показана в аксонометрических
проекциях'на черт. 277.
300 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Данная система имеет т = 20 стержней, п = 9 узлов и s=7 опорных за-
креплений. Если подставить эти числовые значения в формулу (11):
т — (3 • п — s) — 0,
лыражающую первое условие статической и геометрической определимости за-
крепленной пространственной системы, то получим тождество:
20 —(3X9 —7) = 0.
Следовательно число стержней достаточно для образования жесткой про-
странственной фермы.
Определим сперва длины биссектрис mD и nA соответствующих углов bDc
ж аАЬ, образуемых парными опорными стержнями, и все углы
mD-s = y'h'i + di= /5* + (2,75)* = /32^6 = 5,71 ж,
лЛ = /=	= /5Г-И(1,25)2 = /26Д6 = 5,15 м.
Для угла mDC=a имеем:
h = 0,876,
5,71
' 5,71 - °,482‘
Для угла bDC=$ имеем:
sin a
s
d
COS a = —
tgi
cosY
1
_ -	1	= 0,992.
/1 + (0,131)»
= 0,971.
.Для
угла
>e
cos 7 — —
aAb = 5 имеем:
. 8 c
tg 1~~ 21:
1
1,25
5,15
0,243.
8
cos ~2
i + tg»~
1,50 л . 1fi
2Х5Д5 = °’14b’
1	=0,990.
/1 + (0,146)»
Лля
угла
CD A — f имеем:
, b
1
COS Ф = —..........
/1 4-tg2<p
tg Ф
sin • = — "
/1 + tg» ?
4.00 _O57
2 X 3,50 —	'
= —	1-----= 0,869,
/1 + (0,57)»
- _.O’57 -- 0,495.
/1 + (0,57)»
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	ЗОЕ
После этой подготовительной работы можно перейти к определению усилий
в элементах данной пространственной фермы.
Составляем уравнение моментов внешних сил и опорных реакций относи-
тельно оси АВ'.
Откуда определяем вертикальную опорную реакцию в точке D:
Hh _	1000 X 5 _
а ~	3.5	~
1428 кг.
Отрицательный знак (—) показывает, что эта реакция направлена вниз,,
т. е. в точке D должно быть устроено анкерное закрепление.
Точно также имеем из уравнения моментов внешних сил и опорных реакций
относительно оси, проходящей через точку D и параллельной линии опор АВ, к.
принимая во внимание закон симметрии, найдем опорные реакции в точках А и В-
. D Hh
А = В — ~	— 4- 714 кг.
2-а	'
Выделяя теперь узел D круговым сечением и составляя сумму проекции
всех сил этого узла на вертикальную ось, получим:
2 F=Z) + Z?53-sin а —0.
Откуда находим равнодействующую усилий в стержнях cD (5) и bD (Ъ):
/? - D
(- 1428) _ ,
0,876 ~ + 1630
Так Как стержни bD и cD расположены симметрично по отношению к вер-
тикальной оси, проходящей через опорную линию CD, то усилия в них будуг
одинаковы и будут равны:
= =
2созт
1630
2 X 0,992
— 4-821 кг.
Пересекаем плоским сечением все шесть опорных стержней и обозначим
через —равнодействующую усилий в стержнях Ла (1) и АЬ (2), а через
/?34 — равнодействующую усилий в стержнях Bd (3) и Вс (4), причем в силу
симметричного расположения этих парных стержней относительно вертикальной
оси ОС эти равнодействующие будут равны по величине и одинаковы по знаку_
Отбрасывая верхнюю отсеченную часть системы и составляя сумму проекции,
всех сил на вертикальную ось, получим:
2 Y =	• sin Y + /?5>6 • sin а — 0.
Откуда находим частную равнодействующую усилий в стержнях (1) и (2):
/?56-sina	1630X0,876
_	= — 2.sinT =	2 X 0,971 = - 735 кг~
Поэтому усилия в стержнях Аа (1) и АЬ (2) будут равны:
/?<>2	735
N{ -= N, =	— — 2	0	=: — 371 кг.
2-cost
Это будут сжимающие усилия.
Трчно такую же величину будут иметь усилия в симметричных стержнях:
Bd и Вс.
302 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Из равновесия узла С находим, что сжимающее усилие в распорке CD бу-
детрашю	Nt = -H=- 1000 кг.
Из равновесия узла D, имея в виду, что в силу симметрии усилия N1 и М
ж стержнях AD и BD одинаковы, находим:
2 X = 2 • М • cos т + М + Мл • cos а — 0.
Откуда определяем искомые усилия в стержнях AD (7) и BD (8):
М = М ~~ 2. cos «	Mj,e * cos а].
'ИЛИ
Nn = N» = эхоДбЭ	1 000 + 1 630 X °’482J =-+124 кг.
гили
Усилие в стержне АС (7) определится из рассмотрения равновесия узла А.
Составляя сумму проекций всех сил на ось АВ, получим:
2 z	cos у Nj • sin <p = 0.
Откуда находим:
Mo — — IM л cos T + M’Si-1 ?|,
Mo - f- 735 X 0,243 + 124 X 0,4951 = - 117 кг.
Это будет сжатие.
Усилие в стержне ВС будет такое же, как и в стержне АС, вследствие сим-
метричного расположения их относительно распорки CD.
Второе положение. Стрела крана MN параллельна опорной оси АВ
«(черт. 278).
• В этом случае опорная реакция в
^уравнение
точке D от реактивного момента M0~H-h
будет равна нулю, так как эта точка на-
ходится на оси CD вращения всей си-
стемы. Итак, D = 0. Из уравнения проек-
ций всех внешних сил и опорных ре-
акций на вертикальную ось находим, что
А — — В, т. е , что опорные реакции в
точках А и В равны по величине, но про-
тивоположны по знаку.
Составляя уравнение моментов всех
внешних сил относительно оси CD, по-
лучим:
Л-|--в-|-Я.Л = 0.
Подставляя сюда значение В = — А,
получим:
A-b-Hh^0,
д откуда находим величину
и ции:
1000X5,0
А~~ b ~	4
Пересекая все шесть
жней плоским сечением
моментов всех сил относительно оси АВ, найдем:
S МАВ — М,в • sin а а = 0,
опорной реак-
= 1250 кг.
^опорных стер-
и составляя
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	303
откуда получаем, что /?56 = (У, следовательно и усилия в стержнях Db и De
равны нулю, т. е. Af5 = 0 й ЛГв = О. Рассматривая равновесие узла С и составляя
сумму проекций всех сил, действующих в этом узле, на ось стержня CD, най-
дем, что усилие в этом стержне /V9 = 0. Усилия в стержнях AD и BD также
будут равны нулю. Растягивающее усилие в стержне АС будет равно
ЛГ10 = -|- Н= +1000 кг, а сжимающее усилие в стержне СВ будет равно
Nu = — И— — 1000 кг.
Равнодействующая сжимающих усилий в стержнях Аа и АЬ будет равна:
+ Н* = - /(1250)2 + (1000)* = — 1600 кг.
'Сжимающие усилия в стержнях Аа (1) и АЬ (2) будут равны:
/?1,2	1600
" Г — ~ 2X0,991 “ — 808 кг'
2eosT
Соответственно этому растягивающие усилия в стержнях Bd (3)
будут равны:
ЛГ3==/У4 = + 808 кг.

и Вс (4)
Разложение на плоские системы.
№ 73. На черт. 279 показано сетчатое покрытие системы Фёппля.
Доказать, что эта сист.ма будет геометрически неизменяема, и опреде-
лить усилия во всех стержнях системы, если в верхнем узле а прило-
жена сила Р) имеющая произвольное направление. В узлах Л, В, С, £>, Е
и F имеются шаровые опоры, а в узлах mt п, р, q, г н s устроены ци-
линдрические шарниры, причем направление возможного перемещения
катков показано двумя параллельными черточками.
Решение. 1. Разложение системы на плоские фермы. Данная система
имеет т = 36 стержней, п = 18 узлов и s=18
опорных закреплений. Подставляя эти числовые
значения в уравнение:
т — (З’П — 5) = 0,
выражающее первое условие статической
и, геометрической определимости закрепленной си-
стемы, получим тождество:
36 —(3X18—18) = 0.
Следовательно число стержней достаточно для
образования жесткой пространственной системы.
Для доказательства второго условия геоме-
трической неизменяемости воспользуемся методом
нулевых нагрузок. Если будет доказано, что при
отсутствии внешних нагрузок усилия во всех стер-
жнях системы равны нулю, то это будет служить
указанием на геометрическую неизменяемость дан-
ной системы.
Поэтому, удаляя заданную нагрузку Р, выде-
ляем круговым сечением одну грань покрытия Ъсп,
как это показано на черт. 279 пунктирным контуром.
Этот выделенный треугольник показан отдель-
но на черт. 279, а.
При выделении этого треугольника у шарнира Ь
было пересечено три стержня Ьа, Ьт и ЬВ, а так
как все эти стержни лежат в одной плоскости,
304 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
а именно в плоскости грани АаЬВ, то следовательно равнодействующая в пере-
сеченных стержнях также будет лежать в той же плоскости. Затем, так как эта
равнодействующая (R^ должна уравновешивать усилия в стержнях Ьс и Ьп, схо-
дящихся в узле Ь, но расположенных в плоскости другой грани ВЬсС, то оче-
видно, что эта равнодействующая должна совпадать с линией ЬВ пересечения
обеих плоских граней АаЬВ и ВЬсС.
На основании таких же соображений заключаем, что в узле с равнодейству-
ющая усилий в трех пересеченных стержнях сС, ср и cd должна совпадать
с ребром сС пересечения двух плоских граней ВЬсС и CcdD.
Наконец в шарнире п, где при отсутствии внешней нагрузки опорная ре-
акция должна иметь направление по оси ВпС, равнодействующая усилий /?3
в пересеченных стержнях пВ и пС также будет направлена по линии ВпС. +
Таким образом выделенный треугольник Ъсп находится в равновесии под дей-
ствием трех сил: /?ъ R% и 7?3, лежащих в одной плоскости и не пересекающихся
в одной точке.
В § 14 курса (шестое положение) было доказано, что равновесие такой си-
стемы сил возможно лишь в том случае, если каждая из этих сил в отдельности
равна нулю. Таким образом находим, что R{ = 0, /?а=0и /?3 = 0.
Из равенства нулю силы R^ заключаем, что усилия в стержнях Ьс и Ьп также
равны нулю. Точно также из равенства нулю силы Т?2 находим, что усилие
в стержне сп равно нулю.
Таким образом усилия в стержнях выделенного треугольника Ъсп равны
нулю. Следовательно усилия в стержнях других таких же треугольников, имеющих
своим основанием стороны верхнего1 кольца, также будут равны нулю.
Отбрасывая все эти стержни с нулевыми усилиями, найдем, что и в отдельно
стоящих стержнях аА, ЬВ, сС и т. д. усилия также будут равны нулю при отсут-
ствии внешней нагрузки в узлах а, Ь, с и т. д. верхнего пояса.
Итак, при нулевой нагрузке во всех узлах усилия всех стержней данной
системы равны нулю, т. е. имеют конечное значение, следовательно данная си-
стема будет жесткой, геометрически неизменяемой фермой.
Переходим теперь к определению усилий в стержнях данной системы при
произвольном расположении силы Р в верхнем узле а.
Данную силу Р можно разложить на три составляющие по направлению ре-
бер аА, ab и af. Так как эти составляющие, идущие по направлению двух по-
следних ребер, будут находиться порознь в плоскостях граней АаЬВ и AafF, то
на основании приведенного выше доказательства, что стержни, лежащие в осталь-
ных четырех гранях, не будут напряжены, т. е. будут иметь нулевые усилия.
Это последнее положение может быть доказано также путем нулевой нагрузки,
рассматривая отдельно каждый из треугольников, имеющих своим основанием
стороны be, cd, de и ef верхнего кольца.
Таким образом данная задача сводится к расчету двух плоских ферм АаЬВ
и AafF.
Решение той же задачи несколько упрощается, если данную силу Р разло-
жить на следующие три направления: аА, аВ и aF, как это показано пунктиром
в плане на черт. 279.
В этом случае, составляющая аВ будет служить частной равнодействующей R'
усилий в стержнях ab и ат, а составляющая aF будет служить частной равно-
действующей R" усилий в стержнях af и as.
В самом деле, из рассмотрения равновесия треугольника abm заключаем, что
равнодействующая усилий, приложенных в узле Ь, имеет направление ЬВ (это по-
ложение было доказано несколько выше).
Точно также равнодействующая усилий, приложенных в узле т выделенного
треугольника abm, будет иметь направление тВ. Таким образом узел В является
общей точкой, где пересекаются две частные равнодействующие.
Отсюда заключаем, что равнодействующая усилий, приложенных в узле а,
также должна проходить через точку В, где пересекаются две другие силы. Та-
ким образом направление аВ, показанное на черт. 279 пунктиром, представляет
направление равнодействующей усилий в стержнях ab и ат.
Точно так же и направление aF будет служить равнодействующей усилий
в стержнях af и as. Поэтому, разлагая данную силу Р, имеющую произвольное
направление в пространстве, на три направления: аА, аВ и aF, определим усилие
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	305
в стержне аА. Затем, разлагая равнодействующую аВ на два направления: ab
и ат, получим усилия в этих стержнях.
Точно также из разложения силы aF на два направления: af и as, находим
усилия в этих стержнях.
Зная усилие в стержне ab, переносим его в узел Ь, где разлагаем на два
направления: Ьт и ЬВ, и находим усилия в этих стержнях. Точно также опреде-
ляются усилия в стержнях fF и fs.
Наконец, рассматривая нижние опорные узлы А, В и F и разлагая в них
известные уже усилия в стержнях аА, ЬВ и fF каждое на три направления, най-
дем вертикальные опорные давления в соответствующем узле и усилия в смеж-
ных стержнях опорного кольца. Разность усилий в стержнях mA и пВ даст ве-
личину горизонтальной составляющей цилиндрической опоры т.
Вертикальная составляющая той же опоры при ненагруженном узле т будет
равна нулю, так как все стержни, сходящиеся в узле т, лежат в одной плоскости.
Подобным же образом находятся реакции в опорных узлах т, s и г.
2.	Расчет фермы по способу произвольных сечений. Кроме указанного
выше способа расчета данной пространственной фермы путем разложения ее на
плоские фермы, возможно применить также
расчет по способу произвольного сечения и	/ V/ £ I
выделения узлов.
Так например, выделяя опорный узел т,	Zf/J \ /
составляем уравнение моментов относительно	\/	\\\
какой-либо оси, параллельной стороне АВ и {jx /77 V ь
лежащей в вертикальной плоскости, проведен- г Л ™	™	л
ной через эту линию, причем в это уравнение
войдут только неизвестные усилия в пересе-
ченных элементах та и тЬ.н из этого уравне-
ния будет видно, что усилия эти равны, но
противоположны по знаку (это следует также
из четвертого положения, доказанного в § 14
этого курса). Поэтому для определения этих уси-
лий надо составить второе уравнение моментов.
Для этого выделяем круговым сечением два
узла а и Ь, как это показано на черт. 280
пунктиром, и составляем уравнение моментов h
относительно линии ks пересечения двух плос-
ких граней AdfF и ВЬсС (черт. 280). Так как	Черт. 280.
пересеченные круговым сечением стойки af,
as, и аА ЬВ, Ьп, Ьс, лежащие в двух указанных выше плоскостях, пересекаются
с осью sk, то в уравнение моментов относительно этой оси войдут, кроме внеш-
ней силы Р, расположенной в узле а, еще искомые усилия в двух пересеченных
стержнях ат и Ьт.
Из этих двух уравнений и определяются усилия в стержнях ат и Ьт.
Точно таким же способом можно определить усилия и во всех остальных
стержнях фермы и попутно выяснить все стержни с нулевыми усилиями.
В заключение заметим, что на черт. 280 все работающие стержни при задан-
ной нагрузке обозначены толстыми линиями, а нерабочие стержни, т. е. имеющие
нулевые усилия, показаны тонкими линиями.
№ 74. Дано сетчатое покрыже системы Фёппля. Определить уси-
лия во всех стержнях этой фермы при расположении силы Р произволь-
ного направления в опорном узле т, где имеется цилиндрический каток
(черт. 281). Как определить усилия в стержнях системы, если силу Р
перенести в опорный узел А с шаровым шарниром (опора первого рода)?
Решение. 1. Первый вопрос. Разлагаем данную силу Р на три направления:
вертикальное, горизонтальное по линии mA и наклонное по линии то, причем
точка о определяется пересечением ребер Аа и ВЬ.
Тогда вертикальная и горизонтальная составляющие будут передаваться на
цилиндрическую опору т, не оказывая никакого влияния на ферму.
20. Подольский, И. 0.
306 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН, ФЕРМ»
Наклонная составляющая будет расположена в плоскости грани АаЬВ, позему
дальнейшая задача заключается	v	Л
О
а—?о d
п
Черт. 281.
В
в расчете плоской решетчатой фермы АаЬВ.
Разлагая найденную составляющую то
на два направления та и mb, находим
усилия в этих стержнях. Зная эти уси-
лия и перенося их соответственно в узлы а
и Ь, разлагаем здесь на составляющие по
направлениям аА, ab и ЬВ, Ьа, причем
находим усилия в этих стержнях. Зная
усилия в стержнях Аа п ВЬ, находим при
помощи разложения этих сил усилия в*
стержнях опорного кольца Л$ и Ат, а
также Вт и Вп.
В остальных стержнях системы уси-
лия будут равны нулю, что нетрудно
доказать при помощи метода нулевых
нагрузок.
На черт. 281 все рабочие стержни
показаны толстыми линиями, а нерабо-
чие стержни—тонкими линиями,
перенести в узел А с шаровой опорой
2. Второй iвопрос. Если силу
первого рода, то в этом случае получим лишь соответствующее вертикальное
опорное давление и усилия в двух смежных стержнях опорного кольца Л$ и Ат.
Во всех остальных стержнях системы усилия будут равны нулю.
Р
№ 75. Наметить ход расчета пространственной фермы, показанной на
черт. 282, при расположении груза Р в верхнем узле а и выяснить все
рабочие стержни этой системы при данной нагрузке.
Решение. Данная система имеет т = 60
стержней, п = 24 узла и $=12 опорных за-
креплений, и удовлетворяет первому условию
статической и геометрической определимости,
выражаемому формулой (11):
Черт. 282.
т — (З л — $) = 0,
ибо дает тождество:
60 —(3X24 - 12) ^0.
Геометрическая неизменяемость верхнего
яруса и нижнего яруса была уже доказана в
курсе (§ 17, пример 3, стр. 109).
Отбрасывая эти стержни, переходим к опре-
делению геометрической неизменяемости вто-
рого яруса, причем замечаем, что в узлах а{,
Ьь с{ и d{ остается только по три стержня,
не лежащих в одной плоскости. Следовательно
‘на основании третьего положения, изложенного
в курсе (§ 14), усилия в этих стержнях при
отсутствии внешней нагрузки будут равны ну-
лю. Отбрасывая эти стержни, найдем также,
что и в парных стержнях, сходящихся в узлах
т, п, р и q усилия также будут равны нулю
при отсутствии внешней нагрузки. Таким обра-
зом все стержни второго яруса имеют конеч-
ные значения. Следовательно и второй ярус
будет геометрически неизменяемой пространственной системой. А поэтому и
вся система будет жесткой фермой.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	307
Переходим теперь к определению усилий в стержнях данной системы при
заданной нагрузке, начиная с верхнего узла а, где приложена внешняя сила Р.
В данном случае эту нагрузку удобнее всего разложить на три составляющие:
по ребру, аа{ и по линиям ab{ и cdit показанным на черт. 282 пунктиром, тогда
составляющая ab{ будет представлять равнодействующую усилий в стержнях
ab и ат, а составляющая - ad{ будет представлять равнодействующую усилий
в стержнях ad и aq.
Расчитав по этим равнодействующим две плоские фермы аЬЬ{а{ и add{a{
переходим к расчету следующих двух плоских ферм	и a&i&b прини-
мая найденные уже усилия в стержнях второго псяса за узловые нагрузки для
плоских ферм второго яруса.
Точно также расчитывается и нижний ярус. Таким образом расчет данной
пространственной системы распадается на шесть отдельных расчетов шести пло-
ских ферм.
Все рабочие стержни на черт. 282 показаны толстыми линиями, а нерабочие
стержни с нулевыми усилиями показаны тонкими линиями. Если нагрузка будет
расположена во всех четырех узлах верхнего пояса, то проделав четыре отдель-
ных расчета, подобных предыдущему, и сложив найденные усилия для соответ-
ствующих стержней, получим искомые усилия в них, причем все повторные
расчеты легко производятся при помощи круговой перестановки в таблице уси-
лий, найденных при первом расчете, т. е. при расположении одного только груза Р
вхузле а,	___________
№ 76. Наметить ход расчета пространственной системы, показанной
на черт. 283 при расположении груза Р в
стержни, работающие при данной нагрузке.
Решение. Исследуем прежде всего ста-
тическую и геометрическую определимость дан-
ной системы.
Эта система имеет т = 48 стержней, п — 20
узлов и $ = 12 опорных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в фор-
мулу (11):
т — (3-zz — s) — 0,
получим тождество:
48 —(3X20— 12)-=0.
Следовательно первое условие статичес-
кой и геометрической определимости, удовле-
творено, и данная система имеет достаточное
число стержней для образования жесткой про-
странственной фермы.
Затем, верхние два яруса конструкции
представляют систему Шведлера, геометриче-
ская неизменяемость которой была уже дока-
зана выше (задача № 42). Нижний ярус также
будет геометрически неизменяемым, так как
он состоит из четырех жестких узлов: д2, Ь.2,
с.2 и d2, причем каждый из этих узлов соста-
влен из трех стержней, не лежащих в одной
верхнем узле а и указать все
плоскости.	„	283
Поэтому вся система представляет жесткую	чер *
пространственную ферму.
Расчет этой фермы начинаем с верхнего узла а, разлагая данную силу Р на
три составляющие по направлению ребер aalt ab[ и adlt имея в виду из рассмо-
трения ненагруженного узла Ь, что усилие в отдельно стоящем стержне Ьа
будет равно нулю. При указанном разложении узловой нагрузки Р придетей рас-
читывать сперва две плоские фермы abb{aY и add{a{.
20*
308 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Найдя равнодействующую усилий в стержнях а^а, и действующую
на узел ait снова разлагаем эту силу натри составляющие соответственно напра-
влению ребер а^2, аф2 и aldi и затем расчитываем две плоские фермы второго
яруса:	и
Найдя усилия в стержнях второго яруса, сходящихся в узлах а2,Ь2,с2 и d*
нетрудно уже будет определить усилия и в стержнях нижнего яруса, раз-
лагая равнодействующую всех усилий в этих узлах на три направления по осям
стержней нижнего яруса.
На черт. 283 все рабочие стержни показаны толстыми линиями, а все нера-
бочие стержни с нулевыми усилиями — тонкими линиями.
№ 77. Определить усилия в стержнях купольного покрытия, показан-
ного на черт. 284, при расположении силы Р произвольного направления
в крайнем узле аг второго яруса.
Решение. Данная система имеет: т = 56 стержней, п = 24 узла и $ = 16
опорных закреплений. Подставляя эти числовые значения в уравнение (11):
Черт. 284.
т — (3«л— $) = 0,	(а)
получим тождество:
56 — (3X24— 16) = 0.
Следовательно первое усло-
вие статической и геометриче-
ской определимости, выражае-
мое уравнением (а), удовлетво-
рено.
Данная система имеет дос-
таточное число стержней для
образования жесткой простран-
ственной фермы. Случай рас-
чета верхнего яруса при рас-
положении груза Р в узле а
был уже рассмотрен выше (см.
задачу № 27).
Поэтому рассмотрим теперь
случай, когда сила Р произ-
вольного направления прило-
жена в узле второго пояса.
Так как в узлах верхнего
яруса не имеется никакой на-
грузки, то усилия во всех стер-
жнях верхнего яруса будут
равны нулю.
Отбрасывая поэтому все стержни верхнего яруса, выясним прежде всего не-
рабочие стержни нижнего яруса.
Выделим круговым сечением, как это показано на чертеже пунктирным кон-
туром, узлы b,t st сh F. и п правой грани ВЬ{с{С. Этот отрезок изображен от-
дельно на чертеже 284,а.
Равнодействующая /?, усилий в пересеченных стержнях b{r, Ь^Е и Ь^В будет
направлена по ребру Ь^В, что было доказано выше (см. задачу № 27), точно
так же равнодействующая усилий в пересеченных стержнях c{t с^р и etC будет
направлена по ребру etC. В нижних уз пах п и F равнодействующие и Rk
усилий в пересеч иных стержнях Вп и CF будут направлены по ребру nF.
Выделенная система стержней, подверженная действию трех сил /?«, R2 и
(7?з + /?<), не пересекающихся в одной точке, будет находиться в равновесии
только при усповии, если R{—0t R2 — 0 и +	— 0.
(Доказательство этого поло кения было приведено в решении задачи № 27.)
Отсюда следует равенство нулю усилий во всех стержнях выделенной пло-
ской грани ВЬ&С.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	309
Подобным же образом можно доказать, что усилия в стержнях группы узлов
cit t, dit G и р верхней грани Cc^D также равны нулю.
Так как усилия в стержнях cxF и с&, сходящихся в узле cit равны нулю,
то очевидно, что и усилие в стержне с{С также будет равно нулю. А следова-
тельно будут равны нулю усилия и в стержнях ср и CF опорного кольца. Все
остальные стержни, показанные на чертеже толстыми линиями, будут напряжены
под действием данной нагрузки Р.
Переходим теперь к определению усилий в стержнях плоских граней Аа{Ь{В
и AatdiD. Выделяем круговым сечением группу узлов ab г, blt Епт, как это
показано пунктирным контуром.
Равнодействующая усилий в пересеченных стержнях, сходящихся в узле В,
имеет направление Bblf а равнодействующая усилий пересеченных элементов,
примыкающих к узлам т и £, и опорных реакций в этих узлах имеет направле-
ние по линии АВ,
Из условия равновесия выделенной части заключаем, что равнодействующая
усилий в стержнях, сходящихся в узле плоской системы Ааф^В должна про-
ходить через точку В, где пересекаются указанные выше направления Ь{В и тВ,
Точно также можно доказать, что равнодействующая усилий, приложенных к узлу
плоской системы Aa^D, должна иметь направление bfi.
Поэтому разлагаем данную силу Р на три составляющие: вдоль ребра а^А и
вдоль линий и а{Ь, показанных на черт. 284 пунктиром. Составляющая по
направлению а{В будет равнодействующей усилий в стержнях а{г и а£/и, а со-
ставляющая по направлению atD буде равнодейс!вующей усилий в стержнях
а{Н и а{и. Поэтому, разла^я эти частные равнодействующие по направлениям
указанных стержней, определим усилия в них.
Найденная выше сила, направленная по а{В, должна уравновешиваться
с усилием в стержне ВЬ{ и с суммой усилий, приложенных к выделенной части
в узлах т и Е, Следовательно путем соохветствующего разложения силы а^В
можно определить усилие в стержне Ь^В.
Имея это последнее усилие и перенося его в узел bit находим усилия в стер-
жнях bf и Ь{Е, прилегающих V этому узлу. После этого по усилиям в стержнях
а{г и bf находим усилия в стержнях гт и гЕ.
Точно таким же образом определяются усилия в стержнях грани Aa^D^
после чего не трудно уже будет определить и все опорные реакции.
Если бы нагрузка была приложена во всех четырех узлах alt blt cit и dt
второго пояса, то определив усилия в стержнях системы для каждого груза от-
дельно и суммируя все найденные усилия, найдем полные усилия в стержнях
данной системы.
№ 78. Определить усилия во всех стержнях данной сетчатой системы
при расположении силы Р произвольного направления в промежуточном,
узле г второго пояса (черт. 285).
Решение. Сила Р должна уравновешивать усилия в стержнях га и rb
верхней грани и в стержнях ra{, rb£, пп и гЕ в плоскости нижней грани.
Выделяя из системы круговым сечением треугольник abr, находим, что равно-
4 действующие усилий в пересеченных стержнях пойдут по линиям аа{ и bb{.
В точку о, где пересекаются оба эти направления, должна быть направлена также
равнодействующая усилий в стержнях га и rb.
Определив таким образом направление частной равнодействующей го, разла-
гаем данную силу Р на две составляющие, причем одну из составляющих
направим по линии го, а другую составляющую R* расположим в плоскости
грани Аа^В,
Первая составляющая /?£ после разложения на два направления га и rb даст
усилия в этих стержнях. Зная эти усилия из равновесия узлов а и Ь, находим
усилия в стержнях ab, аа{ и ЬЬ{,
Найденные усилия в стержнях aai и bb{ будут служить внешними силами,
приложенными в узлах а£ и Ь{. Эти силы вызовут усилия во всех стержнях
нижних граней AaiblBl и aA^D. (Порядок определения этих усилий был изло-
жен в решении предыдущей задачи.)
316 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Для определения усилий в стержнях системы от второй составляющей /?.2
выделяем круговым сечением, как это показано на черт. 285 пунктиром, группу
285.
Черт.
узлов: alt г, blt т и Е.
На основании положений, изложен-
ных выше (см. задачу № 27), заключаем,
что равнодействующие усилий, приложен-
ных к узлам а{ и Ьь имеют направления
и Ъ^В.-Усилия же, приложенные в
опорных точках т и Е, будут направлены
по линии АВ. Если теперь силу /?2 раз-
ложить в плоскости грани Ааф^В на два
направления оА и оВ и затем силу оВ
в свою очередь разложить на два на-
правления ВА и ВЬ^ то эти три со-
ставляющие дадут возможность опреде-
лить усилия в соответствующих стерж-
нях.
Затем из рассмотрения равновесия
узла находим усилия в стержнях
ар и а{т, а из рассмотрения равновесия
узла Ь{ находим усилия в стержнях
bp и Ь{Е.
После этого из рассмотрения равно-
весия сил в узле г находим усилия в4
стержнях гт и гЕ. Определение усилий
в других стержйях системы не предста-
вляет после этого никаких затрудненийс
При действии силы Р, приложенной в
промежуточном узле г будут работать
также стержни DG, Gp и рС. Все ос-
тальные Стержни будут иметь нулевые
усилия. Все рабочие стержни на черт.
23) показаны толстыми линиями.
Можно применить и другой способ
разложений силы Р в узле г, а именно
по трем направлениям го гА и гВ. Тог-
да составляющая г А дала бы возможность
определить усилия в стержнях га{ и гт, а составляющая гВ дала бы возможность
определить усилия в стержнях rb{ и гЕ.	,
Дальнейший расчет продолжается, как и в предыдущем случае.
Способ замены стержней.
№ 79. Свободная пространственная ферма подвергается действию
двух крутящих моментов Mt=^V*b, приложенных на концах фермы и
взаимно уравновешенных. Определить усилия во всех стержнях системьТ
(черт. 286).
Решение. Исследуем прежде всего статическую и геометрическую опре-
делимость даннойг системы. Она имеет: т = 54 стержня и л —20 узлов.
Подставляя эти числовые значения в формулу (2):
т — (3-п — 6) = 0,
выражающую первое условие статической и геометрической определимости сво-
бодной пространственной фермы, получим тождество:
54 —(3X20 —6)^0.
Следовательно первое условие удовлетворено.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	311
В данной системе имеются два элементарных узла В (1) и С (16), в которых
сходятся по три стержня, не лежащих в одной плоскости. Разрушив эти узлы, не
находим более ни одного узла с тремя стержнями. Поэтому, пользуясь методом
замены стержней, отбрасываем стержень АЬ и разрушаем все элементарные узлы
в порядке их нумерации, после чего останутся только два стержня 18—19 и
•18 — 20. Следовательно узел с (18) будет подвижным, так как расстояние между
узлами (19) и (20) может изменяться. Поэтому, чтобы сделать этот узел не-
подвижным, вводим заменяющий стержень 19 — 20, показанный на чертеже
пунктиром.
Тогда образуется жесткий тре-
угольник 18 — 19 — 20. После указан-
ной замены стержней данная система
превращается в простейшую систему,
которая всегда будет статически оп-
ределима при всякой нагрузке.
Переходим теперь к расчету этой
простейшей системы, находящейся
под действием двух крутящих пар V*b.
1. Первое положение. Не трудно
доказать, что усилия во всех элемен-
тах за исключением верхних и ниж-
них связей в данном случае будут
равны нулю. В самом деле, рассмат-
ривая узел (1), найдем, что усилие
в отдельно стоящем стержне 1 — 2
будет равно нулю. Отбрасывая этот
стержень и переходя к узлу 2), най-
дем, что усилие в отдельно стоящем
стержне 2 — 5 также будет равно
Черт. 286.
нулю и т. д.
Не будут равны нулю усилия только в трех стержнях:’17— 20, 19 — 20 и
17 —18, так как эти стержни не являются отдельно стоящими.
Отсекаем теперь переднюю плоскую ферму ВЬсС каким-либо вертикальным,
сечением и составляем уравнение моментов всех сил, действующих на эту ферму,
относительно оси CD, перпендикулярной к плоскости рассматриваемой передней
грйни, причем в это уравнение не войдут усилия в стержнях 17 — 20 и 17—18,
так как они пересекают выбранную ось моментов.
Тогда получим следующее уравнение.

где y есть угол, образуемый заменяющим стержнем 19 — 20 со стойкой 20 —15,
rfd— усилие в заменяющем стержне,
Nd-sin у — вертикальная проекция этого усилия, приложенного в узле (20), и
а — плечо этой силы, т. е. длина стержня 20 — 16.
Из этого уравнения находим растягивающее усилие в заменяющем стержне
V-1
a sin y

4* V
—; >
sin 7
(1)
где I = 4 • а.
2. Второе положение. Отбрасываем скручивающие моменты и приклады-
ваем в узлах А (2) и Ь (3) две равные и противоположные силы «{=1 т, на-
правленные по оси выброшенного стержня АЬ. Тогда усилие nd в заменяющем
стержне 19 — 20 найдется следующим образом:
Отсекаем верхнюю горизонтальную грань abed и все действующие на нее
силы проектируем на горизонтальную плоскость.
Для этого силу «4=1 «?, приложенную в узле (3), разлагаем на две со-
ставляющие: вертикальную — по направлению стойки 3 — 1 и горизонтальную — по
312' ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЁТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
направлению распорки 3 — 4, причем получим соответственно следующие соста-
вляющие силы:-
вертикальиая —/tfSin р (сжатие)/
горизонтальная — n^cos fl (сжатие),
где В__угол, образуемый раскосом 2 — 3 с распоркой 2 — 1.
Определяем теперь усилия во всех диагоналях отсеченной горизонтальной
грани abed под действием горизонтальной силы — sin fl), приложенной в узле
(3), (черт. 287).
—“— П sin°f (растяжение)
—
1	* sin ?
_	_ Wj-cosB z ч
Z)8 ——-i (сжатие).
Горизонтальная составляющая этих сил будет равна:
H=(Di 4- Da)«cos <р (D3 + Dt)-cos ? =4«Dpcos f.
nt.57/>p
Черт. 287.	Черт. 288.
Или, подставляя сюда найденные выше значения ^силы D{, получим:
Н____4 /ц-cos ft «cos _ 4«nt«cos ft_4«g«cos fl
sin f ~~ tg?	b
при «1 = 1 m.
Эта сила будет направлена влево, как это показано стрелкой внизу на
черт. 287.
Отсекаем теперь переднюю вертикальную грань ВЬсС со всеми действую-
щими на нее силами и рассматривавши ее как отдельную плоскую ферму, как
это показано на черт. 288, причем усилия во всех пересеченных элементах про-
ектируем на вертикальную плоскость.
На данную плоскую ферму будет действовать следующие силы: 1) найден-
ная выше вертикальная сила (^-sinfl), приложенная в узле (3) и направленная
вниз, 2) сумма горизонтальных сил /?, действующая по оси верхнею пояса Ьс
(для ясности чертежа направление этой силы показано стрелкой над верхним поя-
сом) 3) вертикальная составляющая (nrf«sinY) искомого усилия (п£ в заменяю-
щем стержнем 19—20, приложенная в узле 20 и направленная вверх, и 4) гори-
зонтальные проекции усилий в нижних пересеченных элементах поперечных
связей, действующие в узлах нижнего пояся: 5, 12 и 20. Так как направления
этих сил еще не определены, то они условно показаны на черт. 288 двойными
стрелками.
Составляя уравнение моментов всех этих сил относительно оси, проходящей
через точку С и перпендикулярной к плоскости рассматриваемой фермы, получим:
2 Мс= — H-h — sin f •/ + nrf«sin y a = 0,
ЗАДАЧИ Й УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	313
силы
(2)
СИЛЫ
откуда находим усилие в заменяющем стержне 19 — 2) от действия
пх = I тонна, приложенной в узле (3):
= Я-Й+1-Z-sin?
nd fl-sin у
Обозначим длину стержня Ab через s, тогда
" . 0 h e b
s п 3 = —, a cos р = — .
г 5	г	5
Подставляя эти значения, а также найденное несколько выше значение
Н в последнюю формулу, получим следующее выражение искомого усилия:
+	8-й
nd =-----:---- —---:.
. tw-sin? 5«smY
Усилие в заменяющем стержне будет выражаться формулой:
Nd = N°d + nd-X{.
А так как этого стержня в данной системе нет, то это равносильно условию,
что усилие в этом фиктивном стержне равно нулю. Поэтому приравнивая нулю
последнее выражение, получим:
^ + ^.^=0.
Откуда находим усилие в выброшенном стержне:
№d
=	(3)
nd
Подставляя сюда найденные выше значения усилий Nd и nd, получим:
__	/—4-VA s-sin? , V*s .	ч
-8^г=+тк (Ра;тя“е>-
Усилие в противоположной концевой диагонали De (черт. 286) выразится
аналогичной формулой:
Х2 = — — (сжатие).
Зная усилия в торцевых диагоналях АЬ и De фермы, не трудно уже опре-
делить усилия во всех остальных стержнях системы.
Для этого выбрасываем концевые диагонали и заменяем действующие в них
усилия в виде двух составляющих сил:
вертикальной Y = X-sin f.
горизонтальной Z = X-cos f.
Подставляя сюда найденные выше значения силы X и величины sin р и
cos 3, получим:	\
V
2.Н s 2 '
7_У ^Ь_ У.Ь
2-h s “ 2-h '
Дальнейший расчет данной пространственной фермы сводится к расчету че-
тырех плоских ферм: двух горизонтальных и двух вертикальных, причем усилия
в поясах получаются суммированием усилий в соответствующих ребрах, принад-
лежащих одновременно двум плоским смежным фермам.
314 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
В заключение заметим, что. по этому методу может быть расчитана также
пространственная ферма аэроплана (биплана); которая подвергается действию
скручивающих моментов во время виража.
№ 80. Определить, пользуясь методом замены стержней, будет ли по-
казанное на черт. 289 сетчатое покрытие жестким или геометрически
изменяемым.
Решение. Данная система имеет tn = 36 стержней, п = 18 узлов и
s=18 опорных реакций. Подставляя эти числовые данные в уравнение (11):
т — (3-л— $) = 0,
получим тождество:
36-(ЗХ 18 — 18) = 0.
Следовательно данная пространственная система удовлетворяет первому ус-
ловию статической определимости и геометрической неизменяемости закрепленной
системы.
Черт. 289.
Для исследования второго условия применим метод замены стержней, при-
чем выбрасываем все шесть стержней верхнего кольца и взамен их вводим до-
бавочные шесть опорных реакций в узлах А, В, С, D, Е, F (черт. 289,а).
Эти добавочные опорные реакции на чертеже условно показаны шестью
стержнями: Vlt У2,	'Л» и Ць которые и будут играть роль заменяющих
етержней.
В этом последнем случае будем иметь:
/и = 36— 6 = 30 стержней, п— 18 узлов и $=18 + 6 = 24 опорных закрепления.
Подставляя эти числовые значения в уравнение (11):
т — (3>п — $) = 0,	(а)
получим тождество:
30 —(ЗХ 18 — 24) = 0..
Следовательно первое условие геометрической неизменяемости, выражаемое
уравнением (а), удовлетворено и после замены стержней.
Приложим теперь в узлах а и b силы /г1=1 тонне, направленные по оси
выброшенного стержня ab (1) (черт. 289,а).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ
315
Так как сила приложенная в узле а, лежит в плоскости двух стержней
аА и ат, а третий стержень as не лежит в этой плоскости, то следовательно
усилие в этом огдельно стояще*м стержне будет равно нулю.
Разлагая силу = 1 тонна, приложенную в узле а, на две составляющие по
направлению стержней аА и ат, получим в добавочном опорном стержне со-
ответствующую реакцию R{.
Точно также, рассматривая узел Ь, в котором приложена сила nt = l тонна,
направленная по оси отброшенного стержня Ьа, замечаем, что эта сила лежит
в плоскости стержней Ьт и ЬВ, следовательно усилие в отдельно стоящем стер-
жне Ьп равно нулю.
Разлагая затем силу 1 тонна на две составляющие по направлению стержней
Ьт и ЬВ, получим в добавочном опорном стержне У2 некоторую реакцию /?2. А так
как стержни аА и ЬВ расположены симметрично, то следовательно и опорные
реакции будут равны, т. е. R2 = R{.
Точно также, прикладывая силы п2 = 1 тонна к узлам Ь, и с направленные по оси
выброшенного стержня Ьс (2), потом прикладывая силы л3 — 1 тонна в узлах с и d
по направлению выброшенного стержня cd и т. д., или другими словами, повора-
чивая данную систему каждый раз на 60° вокруг средней вертикальной оси, най-
дем от всех этих сил соответствующее усилие в добавочном опорном стержне,
равное R в силу симметрии фермы.
Все эти расчеты можно сгруппировать в следующую таблицу:
Сил	ы	Отбро- шенные стержни	Усилия в заменяющих опорных стержнях					
				V,			V,	
л, = 1	т	ab	R	R	0	0	0	о :
Л2= 1		Ьс	0	R	R	0	0	о J
Л3= 1		cd	0	0	R	R	0	0
И4= 1	-	de	0	0	0	R	R	0
Л5= 1		ef	0	0	0	0	R	/? ;
Л6 = 1		fa	R	0	0	0	0	Я ; 5
Составляя детерминант этих уравнений, найдем D = 2R* > 0.
Так как детерминант этих уравнений не равен нулю, то следовательно данная
пространственная система будет жесткой, геометрически неизменяемой фермой.
№ 81. Доказать по методу замены стержней, что звездчатое покрытие
с четным числом сторон в верхнем кольце будет геометрически изменяе-
мой системой (черт. 290).
Решение.- Выбрасываем стержень af и заменяем его для простоты расче-
та стержнем аК, направленным по оси выброшенного стержня, но только во
внешнюю сторону верхнего кольца, как это показано на черт. 290. Затем прикла-
дываем в узлах а и f силы п{ = 1 тонна по направлению выброшенного стержня af.
Разлагая силу nj— 1m, приложенную в узле /, на две составляющие: по
направлению внешней биссектрисы тт и по направлению стержня fe, получим
усилие в этом стержне, равное л2 =—1 т.
Перенося эту силу в узел е и разлагая ее здесь на две составляющие по
направлению внешней биссектрисы пп и по направлению стержня ed, найден
усилие в этом последнем стержне, равное л3 = -(- 1 т.
Поступая так же и далее, найдем усилие в стержне de, равное = — 1
затем найдем усилие в стержне сЬ, равное =	1 т и наконец, найдем уси-
лие в стеркне Ьа, равное п6 =	1 т.
316 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Перенося эту силу в узел а и разлагая ее здесь на две составляющие по
направлению внешней биссектрисы 'до и по направлению заменяющего стержня
мК, получим составляющую на последнем направлении/ равную п7 = — 1 т.
А так как в узле а приложена
еще сила л{=1 /и, то следовательно
усилие в заменяющем стержне аК
будет равно нулю, т. е.
= — 1 + 1 = 0.
Следовательно усилие в заменяю-
щем стержне аК от какой-либо внеш-
ней нагрузки, определяемое по об-
щей формуле (14), приведенной в
§ 17 этого курса, будет равно:
Черт. 290.
Х = -^ = -^ = СО.
0
А усилие в каждом из остальных
стержней системы, определяемое по
формуле (12), будет равно:
+ n.X=ztco.
Это указывает, что данная систе-
ма геометрически изменяема.
" Другое доказательство геометри-
ческой изменяемости этой системы
было приведено в решении задачи №53.
№ 82. Исследовать пирамидальное покрытие, показанное на черт. 291,
« показать ход расчета его при действии горизонтальной силы ветра 1Г,
приложенное в вершине покрытия.
Решение. Данная система имеет т = 39 стержней, п = 21 узел и
-5 = 3X8 = 24 опорных реакции. Подставляя эти числовые значения в формулу
т — (3-л— $) = 0,
получим тождество:
39 — (3 X 21 — 24) = 0.
Следовательно -данная система удовлетворяет первому условию статической
эд геометрической определимости, т. е. она имеет достаточное число стержней для
образования пространственной жесткой фермы.
Далее, отбрасывая пять стержней от, тп, npt pq и qm и разрушая в по-
следовательном порядке элементарные узлы о, т, п, р, q, а, с, е и g, обнаружим
подвижные узлы b, d, f и h, причем, чтобы сделать неподвижными первые три
узла, достаточно поставить по одному заменяющему стержню bP,dQ и fR, а для
'того чтобы закрепить узел h надо поставить два заменяющих стержня hS и hA.
На черт. 292 все выбрасываемые стержни обозначены пунктирными линиями,
заменяющие стержни показаны для ясности двойными линиями.
После замены стержней получим: т = 39 — 5 + 5 = 39 стержней, п = 21 + 4 =
— 25 узлов и 5 = 24 + 4 X 3 = 36 опорных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в формулу (11):
т — (3-л —$) = 0,
эдолучим тождество:
39 — (3 X 25 — 36) = 0.
Таким образом после указанной замены пяти стержней данная система также
удовлетворяет первому условию статической и геометрической определимости, и
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	317
в то же время обращается в простейшую систему, поэтому она будет удов-
• летворять и второму условию, т. е. будет представлять жесткую систему.
Дальнейший расчет заключается в следующем:
1)	Рассматриваем пространственную ферму, находящуюся под действием го-
ризонтальной силы UZ, приложенной к верхнему узлу о (черт. 291) и определяем
усилия во всех стержнях системы, а также и усилия в пяти заменяющих стерж-
нях. Причем усилия в заменяющих стержнях обозначим через Р, Q, ft, S и Т.
2)	После этого удаляем силу W, а к узлам, о и m прикладываем две равные-,
и прямо противоположные силы п{ = 1 тонна направленные по оси первого выбор-
шейного стержня от и определяем усилие во всех элементах системы и в заме-
няющих стержнях, причем эти последние усилия обозначим через р{, ql9 rit s{ и7<.
3)	Удаляем силы nl9 приложенные в узлах о и т и прикладываем силы
л2 = 1 тонна к узлам т и п по направлению второго отброшенного стержня тп^
после чего определяем усилия всГ всех стержнях системы и усилия в заменяющих;
стержнях. Эти последние усилия обозначим через р2, Яъ г2> 52 и h-
Черт. 291.
4)	Удаляем силы л2 в узлах т и п и прикладываем силы п3 = 1 тонна к узлам?
п и р по направлению третьего отброшенного стержня пр, причем определяем
усилия во всех стержнях системы и усилия р3, q3, r3, s3 и /3 в заменяющих:
стержнях.
5)	Удаляем силы п3 в узлах п и р и прикладываем силы л4 = 1 тонна в узлах;
р и q по направлению четвертого отброшенного стержня pq, причем определяем
усилия во всех стержнях системы и усилия в пяти заменяющих стержнях. Обоз-
начим эти последние усилия через р4, qif rit s4 и
6)	Удаляем силы л4 в узлах р и q и прикладываем силы л5 — 1 тонна к узлам
q и т по направлению пятого отброшенного стержня qm, после чего определяем
усилия во всех стержнях системы и в пяти заменяющих стержнях.
Эти последние усилия обозначим через р3, q^, r3, s3 и t3.
После этого составляем следующие выражения суммарных усилий в заме-
няющих стержнях, причем эти усилия должны быть равны нулю, так как в дан-
ной системе этих стержней нет:
Р 4“	+	+ PyZ PyU + Ру V=0,
Q + ЯуХ + Яъ• Яу^+ЯуН + Яу О,
ft + г< • X + r3-Y4- r3*Z-j-f^U4” '’в• V = 0,
S 4~ s j • s2 • У 4~ 53 •	4" 54 •	53 • V -=z 0,
Г + h • X + ^2 •	• Z + h • 4“ ^5 • У= 0.
Из этих пяти уравнений можно определить пять неизвестных усилий X, К
Z, U и V в пяти отброшенных стержнях от, тп, пр, pq и qa.
Тогда усилие в каком-либо другом стержне данной системы определится по
следующей общей формуле:
Nx — Nx + лх,1 Х + пх,2 •У + п x,Z 'Z + лх,4 •U + лх,5' V>
-318 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
тде
лх,1’ ^x,2f пх,3> Пх,4 И пх,5
представляют усилия в том же стержне, вызываемые силами:
nt — 1 т, л2 = 1 л3 = 1 л4 = 1 т и л3 = 1 т
приложенными к узлам отброшенных стержней в указанном выше последователь-
ном порядке. 
№83. Определить усилия во всех элементах купольного покрытия,
доказанного на черт. 293, при расположении вертикального груза Р
в узле с верхнего пояса.
Решение. Так как в данной системе нет ни одного узла, где сходились
бы только три стержня и откуда можно было бы начать расчет пространственной
системы по методу непосредственного разложения внешней узловой нагрузки, то
удаляем стержень ab (1) и вместо него вставляем заме няющий стержень аК
"чтобы узел а оставался неподвижным, и таким образом при помощи .закечы
одного стержня получаем простейшую систему. Далее рассматриваем два состояния
системы.
!• ПеРв°е состояние. Сперва определяем усилия во всех стержнях этой
простейшей системы от действия силы Р, приложенной в узле с верхнего пояса.
- Определение это производится графическим путем, разлагая данную силу Р
уаг £НапРавления’ а именно по биссектрисе угла bed и по биссектрисе
На профильной плоскости это разложение выразится треугольником сил abc,
(черт. 293,а), где сторона ab выражает данную силу Р, отрезок ас есть равнодей-
ствующая R{ усилий в стержнях cb (2) и cd (3), а отрезок cb есть равнодейст-
вующая Р2 усилий в стержнях сВ (8) и сС (9).
Разлагая равнодействующую R{ в горизонтальной плоскости на направления
стержней cb (2) и cd (3), найдем усилия и в этих стержнях. Затем пе-
ренося усилие в узел d и разлагая его здесь по направлению внешней бис-
сектрисы рр и по оси стержня da, находим из треугольника сил aef усилие
-в стержне da, выражаемое отрезком af.
ЗАДАЧИ Й УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ
319
Переносим эту силу в узел а и, проектируя ее на заменяющий стержень
аК (13), найдем усилие А^3, выражаемое на диаграмме усилий отрезком ag.
Как видно из черт. 293,а, это усилие имеет вполне определенное и конеч-
ное значение.
2. Второе состояние. Отбрасываем теперь данную внешнюю силу Р и при-
кладываем две равные и прямо противоположные силы /г1 = 1 тонна к узлам а и b
выброшенного стержня ab и направленные по оси этого стержня, после этого
определяем усилия во всех элементах рассматриваемой системы, начиная
с узла Ъ.
Идя по периметру верхнего пояса в порядке узлов b, с, d, а и разлагая
в каждом узле усилие, найденное в предыдущем стержне, на два направления:
по внешней биссектрисе и по оси следующего стержня, не трудно определить
величины усилий во всех этих стержнях при помощи диаграммы, показанной на
черт. 293Д
Из этой последней диаграммы видно, что усилия в стержнях верхнего пояса
имеют следующие значения и знаки:
в стержне Ьс (2)	усилие	п.2 = —	1	т	(сжатие),
в стержне cd (3)	усилие	п3 =	1	т	(растяжение),
в стержне da (4)	усилие	= —	1	т	(сжатие).
Перенося эту последнюю силу в узел а и суммируя ее здесь с силой
=	/и, приложенной в том же узле, получим равнодействующую, идущую
по направлению заменяющего стержня аК и равную нулю.
Следовательно усилие в заменяющем стержне аК (13) будет равно нулю,
т. е. л13 = 0.
А так как в данной системе этого стержня нет, то суммарное усилие в нем,
получаемое при действии нагрузки Р и силы	должно быть равно нулю,
т: е.	*
+n1VX=0.
Io io 1	10
Откуда находйм усилие в выброшенном стержне.
причем величина N°3, определяемая из диаграммы усилий, есть конечная вели-
чина, а величина п13 = 0.
Полученный результат показывает, что данная стержневая система не может
уравновесить внешнюю силу Р. Следовательно верхние узлы этой системы под-
вижны, так как эта система геометрически изменяема и поэтому непригодна для
дела.
Другое доказательство подвижности данной системы приведено было в курсе
(§ 17, стр. 106).
Из этого примера видно, что если приступить к расчету данной системы, не
выяснив предварительно основного вопроса о ее геометрической неизменяемости,
то самый расчет покажет в дальнейшем, будет ли данная система жесткая или
подвижная. Если усилия во всех стержнях системы будут иметь конечные зна-
чения, то это показывает, что данная система жесткая, геометрически не-
изменяемая.
Если же усилия в стержнях системы получают неопределенные или беско-
нечные значения, то это будет служить явным признаком, что данная система
геометрически изменяема, подвижна и поэтому не может быть использована в ка-
честве „ферм ыв.
№ 84. Рассчитать по способу замены стержней звездчатое покрытие
с нечетным числом сторон в верхнем поясе при действии вертикальной
силы Р, приложенной в узле с (черт. 294).
320 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Решение. Удалив стержень ab, получим элементарный узел Ь, в котором
----'----— — ----------- не лежащие в одной плоскости. Разрушив этот
последовательном порядке: ct d не. Разрушив
все эти узлы, находим, что узел а будет при-
креплен только двумя стержнями а А и аВ и
следовательно будет подвижным. Чтобы сделать
этот узел неподвижным, вводим заменяющий
стержень аК.
Таким образом при помощи замены одного
стержня ab стержнем аК получаем простей-
шую, а следовательно и
меняемую систему.
Далее рассматриваем
темы.
1. Первое состояние
заданной силы Р.
Определяем усилия
простейшей системы при действии заданной
внешней нагрузки Р.
Такой расчет не представляет никаких
затрудгений и приводится к ряду простых
задач о разложении данной силы на три зада-
нных направления, причем определяется и уси-
лие №k в заменяющем стержне аК.
2. Второе состояние системы. Действие
единичной силы.
После этого удаляется заданная внешняя
нагрузка Р, а к узлам а и b прикладываются
две равные и прямо проивоположные силы
п{ = 1 тонна, направленные по* оси выброшен-
тгого стержня ab, и определяются усилия п во всех остальных стержнях системы,
причем будет найдено и усилие nk в заменяющем стержне аК-
Но так как в действительности этого стержня нет в данной пространственной
•системе, то найденное по формуле (12) усилие в нем приравниваем нулю, тогда
получим следующее уравнение:
Nk=N°k + nk-X=0.
Откуда определяем усилие в выброшенном стержне:
V___	к
в
сходятся только три стержня,
узел, получим такие же узлы
геометрически неиз-
два состояния сис-
системы. Действие
во всех элементах
nk
Усилие в каждом из остальных стержней системы определяется по следую-
щей общей формуле:	N = N° + rfX,
где № есть усилие Ь рассматриваемом стержне от действия внешних сил пер-
вого состояния, т. е. от силы Р, а п есть усилие от действия сил второго со-
стояния, т. е. от 'двух сил п{ = 1 т. приложенных в узлах а и b и направленных
по оси выброшенного стержня ab (см. курс, § 17).
№ 85. Определить усилия в стержнях октаедра, вызываемые двумя
равными" и прямо противоположными сжимающими силами Р—3 т,
приложенными в узлах А и С и направленными по диагонали АС квад-
рата ABCD (черт. 295). Сторона квадрата а = 4л, и высота каждой
пирамиды h — 4 м.
Решение. Данная свободная система имеет: т = 12 стержней и л = 6
узлов. Подставляя эти числовые значения в формулу (2):
т — (3 • л — 6) = 0,
12 —- (3 X 6 —6) = 0.
получим тождество:
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	321
Таким образом по числу стержней эта система является статически опреде-
лимой, но она сложная, т. е. не относится к числу простейших систем, так как
в ней нет ни одного элементарного узла, составленного только из трех стержней.
Преобразуем эту систему в простейшую путем замены стержней.
Начнем с верхнего узла К и выбросим стержень КС (черт. 296), тогда в этом
узле останутся только три стержня.
Разрушив этот узел, находим, что в узле В остаются только три стержня,
точно так же в узле D будут сходиться три стержня.
Разрушив эти два элементарных узла, получим только два стержня AF и CF,
соединенные вместе шарниром С, поэтому они будут подвижны, причем расстоя-
ние между узлами А и С будет изменяться при действии заданных сил Р, при-
ложенных в этих узлах. Чтобы сделать, эту систему оставшихся стержней непо-
движной, надо ветвить между узлами А и С заменяющий стержень АС, со-
впадающий с заданным направлением сил Р, приложенных в уздахЛ и С (черт. 296).
Такая система после замены стержня КС стержнем АС будет простейшей
и поэтому геометрически неизменяемой (черт. 297).
Далее рассматриваем два состояния простейшей системы.
1. Первое состояние. Действие заданных внешних сил Р (черт. 295).
Начинаем расчет с верхнего узла К, где сходятся всего три стержня, не
лежащих в однбй плоскости. Так как в этом узле нет никакой, нагрузки, то
следовательно усилие в каждом из стержней, сходящихся в этом узле, равно
нулю.
Отбрасывая эти стержни, находим, что в узлах В и D остаются по три
стержня, не лежащих в одной плоскости, и так как в этих узлах не имеется
внешней нагрузки, то следовательно усилия в стержнях этих узлов также будут
равны нулю.
Отбрасывая эти стержни, находим, что в узле F остаются только два стержня,
и так как в этом узле не имеется внешней нагрузки, то усилия в обоих стержнях
этого узла порознь равны нулю.
Отбрасываем и эти стержни с нулевыми усилиями. Тогда, останется только
один заменяющий стержень АС (13), который будет испытывать сжатие, равное
3 тоннам (т. е. /Vj3 = — 3 т).
Усилия во всех остальных стержнях рассматри-
ваемой системы будут равны нулю
2. Второе состояние. Действие единичной на-
грузки (черт. 297).
Отбрасываем данные внешние силы Р и при-
кладываем в узлах К и С две равные и взаимно
противоположные силы л3=1 т, направленные по
оси отброшенного стержня КС (черт. 297). Разлагаем
силу п3 =? 1 т, приложенную в узле К, на два напра-
вления: по оси стержня КА и по биссектрисе угла
BKD.
Это разложение единичной силы п3 показано на отдельном чертеже 298.
21. Подольский, И. С.
322 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Тогда растягивающее усилие в ребре АК будет равно №а~\ тонна, а вели-
чина равнодействующей:
Z?t = 2«з • sin а.
Длина ребра пирамиды:	2__
АК=1^ у7 Л»+ (
или
1 =
= 4,90 м.
' Следовательно
h
sin а — —
d
cosa — 2-/~
s^sb”»'5772-
Разлагая равнодействующую R{ на две равновеликие составляющие, идущие
по.ребрам КВ и KD (черт. 297), получим сжимающие усилия в этих ребрах:
R{	2rt3’Sina	.
ZZo = /Ц = ~ Г— “-----------= - п3 = — 1т,
2	1 2-sina 2 sin а 3
Перенося усилие п2 = —1 тонна в узел В и разлагая здесь эту силу на две
составляющие: по направлению ребра BF и по направлению биссектрисы угла
АВС, получим сжимающее усилие в ребре BF, равное =	1 тонна, и равно-
действующую усилий в ребрах ВА и ВС, равную — 2/za*cos а.
Эту последнюю силу разлагаем в плоскости квадрата ABCD на две состав-
ляющие по направлению стержней В А и ВС, причем получим следующие вели-
чины растягивающих усилий в этих стержнях:
j i 1 45° 2ла- cos a*sin 45°
= «в	2 .	--------------’
2
или
2X0,5772 Лл1
п^ = п^-=-- =0,41 т.
1- »х2
Точно^ также, в силу симметрии получим из разложения усилия л4 в узле D
сжимающее усилие в ребре DF, равное л12 =—1 тонна, и растягивающие уси-
лия л7 = п3 = 0,41 т.
Перенося силы л6 и л7 в узел С и геометрически слагая их, получим равно-
действующую, идущую по оси заменяющего стержня СА:
/?3 = — (яв + л7) • sin 45° = — 0,58 т.
Кроме того в-узле С действует еще сила л3=1 т (черт. 297).
Разлагая эту силу на две составляющие по направлению ребра CF и по
направлению биссектрисы угла BCD, получим растягивающее усилие в ребре CF
равное ли = 1 т и равнодействующую
Т?4 — — 2«3<os а = — 2 X 1 X 0,5772 =— 1,15 т.
Следовательно суммарное сжимающее усилие в заменяющем стержне СА от
действия единичных сил будет равно:
п |з = /?з Rk = — 0,58 — 1,15 —~ — 1,73 т,
а от совместного действия внешних сил Р и единичных сил будет равно
нулю, т. е.
^13 — ^13 + л13’Х= 0,
так как в данной системе (черт. 295) этого стержня нет.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ
323
Из этого последнего уравнения определяем усилие в выброшенном стержне КС-
Усилие в каждом из остальных стержней системы определится по общей
формуле (12):
N-^№-rn-X.	(а)
Но так как усилие № от заданных сил Р в каждом стержне равно нулю,
то следовательно в данном случае общая формула (а) получит следующий вид:
N = n-X.
Поэтому ребра АК, AF и FC будут сжаты силами:
(Ь)
— 1 XL73 = — 1,73 т.
Ребра КВ, KD, FB, FD будут растянуты силами:
= Ni9 = Ni2 = — 1 X (— 1,73) = + 1,73 т.
Ребра квадрата ABCD будут сжаты силами:.
=	= — 0,41 X 1,73 = —0,71 т.
№ 86. Доказать, что система стержней, показанная в плане на
черт. 299, будет геометрически изменяема. Доказать также, что если из
этой системы удалить стержень Ьс и заменить его стержнем тр, то
система будет геометрически неизменяемой (черт. 300).
Решение. 1. Первый вопрос. Данная система имеет т = 28 стержней»
п = 12 узлов и $ = 2X4 = 8 опорных реакций. Подставляя эти числовые значе-
ния в уравнение (11):
Черт. 299.
Черт. 300.
выражающее первое условие статической и геометрической определимости за-
крепленной системы, получим тождество:
28 —(ЗХ 12 —8) = 0.
Следовательно первое условие удовлетворено, и система имеет достаточное
число стержней для образования жесткой пространственной фермы.
Теперь надо выяснить второе условие геометрической неизменяемости,
а именно, чтобы усилия во всех стержнях имели конечные значения.
В данной системе стержней (черт. 29Э) имеются два элементарных узла п
и *q, в каждом из которых сходятся только три стержня, не лежащих в одной
плоскости. Разрушая эти узлы, найдем два других элементарных узла тир.
Ндзрушив эти узлы, получим звездчатое покрытие с квадратным верхним
поясом abed, состоящей из четного числа стержней. Такая система ГеОМеТрИ-
21*
324 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
чески изменяема, что было доказано в решении задачи № 83 и в курсе
(см. § 17).
Следовательно- система, показанная на черт. 299, будет подвижной и поэтому
для фермы не годится.
2. Второй вопрос. Переходим к рассмотрению пространственней системы,
показанной в плане на черт. 300.
Удалив стержень тр и* разрушая в последовательном порядке элементарные
узлы: л, q, т, р, Ь, a, d, придем к подвижной системе, состоящей из двух
стержней сС и с В. Поэтому, чтобы сделать узел с неподвижно закрепленным,
вводим заменяющий стержень cKt который на черт. 300 показан пунктирной
линией.
Определив усилия № в этой простейшей системе от заданной нагрузки
и усилие №k в заменяющем стержне сК, отбрасываем затем внешнюю нагрузку
и прикладываем к узлам т и р две равные и прямо противоположные силы
Л! = 1 тонна, направленные по оси выброшенного стержня тр. После этого опре-
деляем усилия п во всех стержнях простейшей системы и усилие nk в заменяю-
щем стержне сК-
Тогда усилие в выброшенном стержне тр будет равно по формуле (14):
№k
Х=------*,
"k
а усилие в каждом из остальных стержней данной системы определится по об-
щей формуле (12):
N = N°-\-n-X.
Так как усилия во всех стержнях второй системы (черт. 300) 'получают
конечные значения, то следовательно эта система будет геометрически не-
изменяемой.
Что касается отсутствующего стержня Ьс, то его также можно поставить по
конструктивным соображениям для сохранения симметрии фермы, но один конец
этого стержня должен быть подвижным, т. е. должен быть прикреплен бодтом
в овальной дыре. При выполнении этого условия для добавочного стержня
система сохранит свою геометрическую неизменяемость и будет также стати-
чески определимой. Причем усилие в добавочном стержне Ьс определяется
только от местной нагрузки, передающейся непосредственно на этот стержень.
№ 87. Определить усилия по методу замены стержней в купольном
покрытии Циммермана при расположении вертикальной нагрузки Р=3
тонны в узле а верхнего пояса (черт. 301).
Решение. Данная система имеет т = 24 стержня, п = 12 узлов и
5=12 опорных реакций, и поэтому удовлетворяет первому условию статической
и геометрической определимости, выражаемому уравнением (11):
т — (3*п — s) — Q,
ибо при подстановке в него данных величин, получаем тождество:
24 —(ЗХ 12-12) = 0.
Приступая затем к расчету данной системы, замечаем, что в ней нет ни
одного элементарного узла, составленного только из трех стержней, откуда можно
было бы начать расчет.
Поэтому превращаем данную систему в простейшую путем выбрасывания
четырех стержней ab, Ьс, cd и da, образующих верхний пояс, а вместо них
вводим добавочные опорные реакции, которые на черт. 302 условно обозначены
четырьмя горизонтальными стержнями: qQ, rR, sS и tT.
После введения этих добавочных опорных закреплений четыре опоры вторбго
рода (т. е. на катках) q, г, s и i обращаются в опоры третьего рода, т. е.
в неподвижно закрепленные.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ
325
После такой замены.. стержней данная система распадается на четыре пира-
миды, которые конечно будут статически определимы и геометрически неизме-
няемы. В самом деле, рассматривая одну из этих пирамид atAq, находим, что она
имеет т = 5 стержней, п = 4 узла и $ = 7 опорных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в уравнение (11):
получим тождество:
т — (3 • п — 5) = О,
5-(ЗХ4-7) = 0.
Следовательно эта элементарная система удовлетворяет первому условию
геометрической неизменяемости. Дальнейший расчет заключается в следующем:
надо рассмотреть пять различных состояний простейшей системы и определить
усилия во всех ее элементах при данной нагрузке и при единичных силах.
1. Первое состояние. Действие заданной нагрузки Р, приложенной в узле а.
Разлагая эту силу на три составляющие по направлениям стержней at, аА и aq,
сходящихся в узле а, определяем усилия (N°) в этих стержнях и усилия Q° и
Т° в заменяющих опорных стержнях qQ и tT (способ определения этих усилий
указан был в решении задачи № 21).
Усилия в остальных стержнях системы будут равны нулю, так как в узлах:
Ь, с и d не имеется внешней нагрузки, поэтому и усилия в заменяющих опорных
стержнях rR, sS также будут равны нулю (т. е. R° = 0 и S0 — 0).
' 2. Второе состояние. Отбрасываем данную силу Р, а к узлам а и b при-
кладываем две равные и взаимно противоположные силы = 1 тонна, направлен-
ные по оси первого выброшенного стержня ab (черт. 302) и определяем усилия
nx i во всех стержнях первой и второй пирамиды, а также усилия qi и в заме-
няющих опорных стержнях qQ и rR. Усилия в стержнях остальных двух пира-
мид будут равны нулю, так как в вершинах с и d этих пирамид не имеется
внешней нагрузки (следовательно == 0 и — 0).
3. Третье состояние. Отбрасываем силы п^ = \ т и прикладываем к узлам
Ъ и с две равные и прямо противоположные силы я2~-1 т, направленные по
оси второго выброшенного стержня Ьс, после чего определяем усилив лХэ2 во
всех элементах второй и третьей пирамид и усилия г2 и $2 в заменяющих
опорных стержнях rR и $5.
Усилия во всех стержнях первой и четвертой пирамид будут равны нулю,
так как в вершинах а и d этих пирамид не имеется, внешней нагрузки (следова-
тельно 02 — 0 и ^2 — 0)
- 4. Четвертое состояние. Отбрасываем силы п2 и прикладываем к узлам
end две равные и прямо противоположные силы п3 = 1 тонна, направленные по
326 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
оси третьего выброшенного стержня cd, после чего определяем усилия
во всех элементах третьей и четвертой пирамид и усилия s3 и t3 в заменяющих
опорных стержнях sS и tT. Усилия во всех стержнях первой и второй п»фамид
будут равны нулю, так как в вершинах а и Ь этих пирамид не имеется внешней
нагрузки (следовательно ^3 = 0 и г3 = 0).
5.	Пятое состояние. Отбрасываем силы п3 и прикладываем к узлам d и а
две равные и прямо-противоположные силы тонна, направленные по оси
четвертого выбропЛнного стержня da. Затем определяем усилия пх^ во всех
элементах четвертой и первой пирамид и усилия t3 и qK в заменяющих опор-
ных стержнях tT и qQ.	'
Усилия во всех стержнях второй и третьей пирамид будут равны нулю,
так как в вершинах Ъ и с этих пирамид не имеется внешней нагрузки (следова-
тельно г< = 0 и s4 = 0). Когда будут определены все эти усилия, то суммарное
усилие в каждом элементе данной системы определится по общей формуле:
Кх —	+ nx.r У + nx$'ZU,	(а)
где X, У,Z и U суть усилия в отброшенных стержнях системы: ab, be, cd и da.
Для определения этих усилий имеем следующие четыре уравнения:
Q = QpA-qrX^qi -U=0,
К^гсХ + ггУ=0,
S	У 4~ s3Z 0,
T=T° + t3-Z + tvU=zQ,
выражающих, что усилия в заменяющих опорных стержнях равны нулю так как
в данной системе этих опорных закреплений нет.
Составляем детерминант этих уравнений
4, 0, 0, q3
Н» г2> о, 0
0,	$3,	0
0, 0, t3, tK
Тогда усилия следующего вида:	в отброшенных стержнях определятся но общим формулам Dx	Dv	Dz	D„ X=S’ 4’	Z = 7? " U=D-
Так как усилия эти будут конечны и однозначны, то следовательно и усилия
во всех остальных стержнях, определяемые по формуле (а), также будут конечны
и однозначны.
Отсюда видно,, что для расчета данной пространственной системы надо
построить пять диаграмм усилий, соответственно пяти указанным выше состоя-
ниям нагрузки. Но задача эта значительно упрощается вследствие симметрии и
потребует в действительности построения только двух диаграмм.
Определив усилия в стержнях системы соответственно второму состоянию, уси-
лия, соответствующие трем остальным состояниям, легко можно получить из простой
таблицы путем круговой перестановки найденных усилий для второго состояния.
Так например для определения дополнительных опорных реакций или усилий
в заменяющих стержнях получим следующую таблицу круговых перестановок:
2-е состояние	3-е состояние	4-е состояние	5-е состояние
= q< '	^2 = 0		
		r, = 0	rt = 0
y4 = 0	*2=П	53 = r2	s, = 0
6=0	6 = 0	6 — ^2	/, = s.
Точно также составляется таблица перестановок и для определения усилий
в элементах фермы.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ Г/1АВЕ
Расчет опорного кольца.
№ 88. Доказать, что квадратное опорное кольцо пространственной
системы будет подвижным в случае расположения осей катков по бис*
сектрисам внешних углов (черт. 303).
Решение. Так как оси катков Аа, ВЬ, Сс и Dd расположены по бис-
сектрисам внешних углов, то следовательно направления возможных перемещений
катков, показанные на черт. 303 двумя параллельными черточками, будут пере-
секаться в одной точке О.
Предположим, что в стержне АВ действует какое-либо растягивающее уси-
лие Тогда, разрезая этот стержень и прикладывая растягивающую силу -j-
в узле В, разложим эту силу на две составляющие по направлению стержня ВС
и по направлению оси катка ВЬ.
Тогда на. диаграмме усилий из треугольника отп находим сжимающее уси-
лие в стержне ВС, равное отрезку on = — и опорную реакцию тп =
в узле В.
Черт. 303.
Переносим сжимающую силу в узел С и разлагаем ее здесь на две
составляющие по направлению стержня Си и по направлению оси катка Сс.
На диаграмме усилий из треугольника опр находим растягивающее усилие
в стержне DC, равное отрезку op — -\-N3t и величину опорной реакции np = R3
в узле С.
Переносим растягивающее усилие N3 в узел D и разлагаем его здесь на две
составляющие по направлению стержня DA и по направлению оси катка Dd,
причем из диаграммы усилий находим величину сжимающего усилия в стержне
DA, равную отрезку oq —— Nk, и опорную реакцию, равную pq = R3, в узле D.
Переходя теперь к рассмотрению узла А, находим, что на этот узел действуют
две силы + и —Nk. Равнодействующая этих сил, выражаемая на диаграмме
усилий линией tnq, будет параллельна оси катка Аа в узле А. Таким образом
произвольные усилия в стержнях Nit N3 и будут находиться в равновесии
при отсутствии внешней нагрузки, и следовательно в кольце возможны будут
.усилия, отличные от нуля при нулевых внешних нагрузках.
Это указывает на то, что данная плоская система геометрически изменяема,
причем узлы А и С, расположенные по одной диагонали, могут расходиться, в то
время как узлы В и D, расположенные по другой диагонали, будут сходиться
без изменения длины стержней кольца.
Такое возможное перемещение узлов и стержней данного опорного кольца
показано было на черт. 120 (стр. 126).
№ 89. Доказать, что шестигранное опорное кольцо пространственной
фермы будет геометрически неизменяемой плоской системой при распо-
ложении осей катков вдоль продолженных сторон кольца в одну сторону
по ходу часовой стрелки (черт. 304).
328 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Решение. Предположим, что в узле А действует какая-либо внешняя
сила Р, имеющая произвольное направление в пространстве. Проведя через эту
силу вертикальную плоскость, разложим в этой плоскости силу Р на две состав-
ляющие: вертикальную и горизонтальную. Вер-
тикальная составляющая будет передаваться через
опору А на стену здания и не будет оказывать
никакого влияния на усилия, в стержнях опорного
кольца.	*
Остается горизонтальная составляющая, кото-
рая может вызвать в стержнях определенные уси-
лия.
Переходя теперь к рассмотрению узла В
находим, что при любых условиях в стержнях ВЬ
и ВС, лежащих на одной прямой, усилие в от-
дельно стоящем стержне ВА будет равно нулю
ввиду отсутствия внешней нагрузки* в узле В.
На том же основании усилия в отдельно
стоящих стержнях СВ, DC, ED и ЕЕ также будут
равны нулю при нулевых нагрузках в узлах С,
D, Е и Е.
Черт. 304.
Возвращаемся теперь к рассмотрению узла А. Так как усилие в стержне АВ
равно нулю, то очевидно, что произвольная горизонтальная сила Р может быть
разложена на две составляющие по направлению опорной реакции Аа и по
направлению стержня AF, вызывая в этом последнем стержне вполне определен-
ное усилие. Если сила Р будет равна нулю, то очевидно, что и усилие в стержне
AF также будет равно нулю.
Итак, при нулевых нагрузках во всех узлах данного опорного кольца усилия
в стержнях того же кольца также будут равны нулю.
Это вполне определенное решение указывает на геометрическую неизменяе-
мость данной плоской системы при указанном расположении опорных,катков.
Контрольные задачи к третьей глайе.
№ 90. Определить усилия во всех стержнях данной пространственной фер-
мы при действии горизонтальной нагрузки в узлах нижнего пояса (черт. 305).
Черт. 305.
№ 91. Определить усилия в стержнях консольной фермы при дей-
ствии силы Р, приложенной в узле а (черт. 306).
№ 92. Определить усилия в стержнях консольной фермы при действии
скручивающей пары сил M = P-bt приложенной на конце (черт. 307).
(Прототип аэропланной фермы, подвергающейся скручиванию).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К.ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ	329
№ 93. Определить усилия в стержнях фермы подъемного крана, показан-
ной на черт. 308, при расположении нагрузки Р на конце стрелы крана.
Черт. 306.
Данная пространственная ферма имеет /и = 45 стержней, п=19
узлов и $=12 опорных закреплений.
№ 94. Пространственная свободная стержневая система кубической
формы сжимается двумя равными и противоположными силами Р= 1 т.
направленными по диагонали ag. Определить усилия во всех стержнях
этой системы (черт. 309).
№ 95. Пространственная свободная система кубической формы с иным
расположением стержней, чем в предыдущем случае, — сжимается двумя
равными и противоположными силами Р= 1 т, направленными по диа-
гонали ag. Определить усилия во всех стержнях этой системы (черт. 310).
ззл**5адачи и упражнения по расчету пространствен, ферм
лг1 " 	,	__।___е ____ ....	—
№ 96. Определить, пользуясь
показанное на черт. 311 сетчатое
изменяемым.
методом замены стержней, будет ли
покрытие жестким или геометрически
Черт. 314.
Черт. 313.
№ 97. Доказать, пользуясь методом замены стержней, что двухъярус-
ный звездчатый купол, показанный на черт. 312, будет жесткой, геоме-
трически неизменяемой системой.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ 331
№ 98. К одному из верхних узлов трехгранной пирамиды приложена
сила Р=1 т произвольного направления (черт. 313). Определить уси-
лия . во всех стержнях системы графическим методом при помощи по-
строения соответствующих диаграмм усилий.
На черт. 314 показана та же пирамида в ортогональных проекциях
я даны основные размеры .ее, необходимые для расчета усилий.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ.
№ 99. ( Прямоугольное помещение, размерами в плане 24 X
перекрыто сетчатой цилиндрической фермой системы Фёппля. Опреде-
лить усилия в стержнях системы, если во всех, промежуточных узлах
продольного ребра СМ приложены вертикальные силы Р= 1 т (черт. 315).
Решение. Предположим, что в узлах a, b, с, d и е приложены силы
Р=\ т. Возьмем какое-либо поперечное сечение (черт. 315, Ь) и разло-
ниям ребер сг и сд. Точно такое же разложение силы сделаем во всех других
поперечных многоугольниках.
Тогда получим, что плоская ферма BCMN будет нагружена одинаковыми
силами Q во всех узлах: a, b, с, d и е пояса СМ, а смежная плоская ферма
CDLM булег нагружена одинаковыми силами R во всех узлах: a, b, ct d и е
пояса СМ, причем силы Q и R лежат в плоскостях соответствующих граней.
Докажем сперва, что усилия во всех стержнях системы, кроме стержней,
расположенных в двух смежных гранях BCMN и CDLM, в данном случае будут
равны нулю.
Прежде всего, рассматривая узлы, расположенные на ребре BN, замечаем, что
в каждом из этих узлов имеется отдельно стоящий стержень, например в узле q
имеется отдельно стоящий стержень qm. к так как внешней нагрузки в этих
узлах не имеется, то следовательно усилия во всех отдельно стоящих стержнях
будут равны нулю.
'ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Точно также и усилия в отдельно стоящих стержнях на правой стороне
покрытия, примыкающих к ребру FJ, будут равны нулю. Отбрасываем эти стержни.
Переходя затем к рассмотрению узла F, у которого нет опоры, замечаем,
что в нем сходятся только два стержня, и так как внешней нагрузки нет, то сле-
довательно усилия в этих стержнях будут равны нулю.
Отбрасывая эти стержни и переходя к рассмотрению ненагруженного узла Е
с нулевой реакцией в шаровой опоре, находим, что усилия во всех трех стерж-
нях, сходящихся в этом узле, будут равны нулю. Разрушаем этот узел.
Точно таким же образом нетрудно доказать, что усилия во всех стержнях
плоских граней EFJK и DEKL будут равны нулю.
Но это доказательство можно сократить следующим образом. Из равновесия
плоской фермы EFJK не несущей никакой нагрузки, заключаем, что внешние
силы могут быть приложены только по линии ЕК. Кроме того на рассматри-
ваемую плоскую ферму не влияет нагрузка смежной плоской фермы DEKL, так
как в узлах F и J опор не имеется.
При этих условиях вся плоская ферма EFJK не напряжена, и поэтому ее
можно отбросить целиком. Тогда в ненагруженных узлах Е и J останутся по
два стержня, усилия в которых будут равны нулю. Отбрасывая эти стержни, по-
лучим плоскую ферму De{a{K, которая не несет нагрузки, лежащей в ее
плоскости, и на которую не передаются силы от смежной плоской фермы
CDLM.
Поэтому внешние силы могут быть приложены только в опорных точках D
и L. Из равновесия фермы следует, что эти силы должны быть равны, противо-
положны и должны действовать по прямой DL. Следовательно, подобно преды-
дущему, плоская ферма DEKL не напряжена, усилия во всех ее стержнях будут
равны нулю, и поэтому ее также можно отбросить целиком.
Таким образом доказано, что при действии узловых нагрузок Р, расположен-
ных в узлах ребра СМ, будут работать только две смежных плоских фермы
BCMN и CDLM.
На черт. 316 изображена отдельно плоская ферма BCMN с узловыми на-
грузками Q и соответствующая ей диаграмма усилий, а также реакции, которые
должны быть приложены в точках С и М и которые должны лежать в плоскости
рассматриваемой фермы, чтобы уравновесить ее нагрузку. Эти реакции противо-
положны давлениям и равны -у Q.
Чтобы найти усилие в стержне CD, надо реакцию С = Q, приложенную
в точке С9 разложить на две составляющие Т и S, как это
показано на черт. 315, а, причем сила Т будет передаваться
через опору С на стену здания, а сила S, будет действо-
вать на стержень CD.
Точно такое же разло-
жение реакции делается в
узле М (черт. 315, г) для
определения усилия в стер-
жне ML.
На черт. 317 изображе-
на отдельно плоская ферма
CDLM с узловыми нагруз-
ками R и соответствующая
ей диаграмма усилий, а так-
же опорные реакции в точ-
ках D и L.
Чтобы перейти от най-
денных усилий в плоских
фермах к усилиям данной
пространственной фермы, на-
плоских ферм, т. е.
Черт. 316.
которые расположены по оси
до сложить усилия в тех
стержнях, которые являются
общими для двух смежных
ребра СМ.
ЗАДАЧИ И-УПРАЖНЕНИЯ К ЧЕТВЕРТО^-ГЛАВЕ	333
Как видно из обеих диаграмм, усилия в этих стержнях имеют одинаковые
знаки, так как ребро CD в обоих случаях оказывается сжатым.
№ 100. На черт. 318 показано в плане сетчатое цилиндрическое по-
крытие с другим расположением стержней, чем в предыдущем случае.
Доказать, что эта система будет геометрически неизменяемой и«наметить
ход расчета при расположении груза Р произвольного направления в про-
межуточном узле с. "
Решение. Показанное на данной схеме расположение стержней сетчатого
цилиндрического покрытия отличается от расположения стержней на черт. 315
только тем, что здесь введены раскосы во всех панелях крайних граней, а все
промежуточные опоры второго рода на продольных стенах заменены Шаровыми
опорами или опорами первого рода, и кроме того выброшено два раскоса леи п^с{
в двух промежуточных, симметрично расположенных панелях.
Таким образом здесь в состав пространственной фермы входят две подвиж-
ных плоских системы BCMN и EFJK.
Данная система имеет т = 118 стержней, п = 49 узлов и $ = 29 опорных
закреплений. В узлах В, F, J и N опор нет.
Подставляя эти числовые значения в основное уравнение (И) статической
и геометрической определимости:
т —(З’П — $) = 0,
получим тождество:
118-(3X40 — 29) = 0.
Следовательно число стержней достаточно для образования жесткой про-
странственной фермы.
Но необходимо еще соблюдение второго условия геометрической неизме-
няемости пространственной системы, а именно, чтобы усилия во всех стержнях
ее имели конечные значения. Для этого воспользуемся методом нулевых нагрузок,
т. е. предположим, что ферма не нагружена.
Начнем исследование с крайних узлов О и И. Так как в этих узлах имеются
нулевые опорные реакции, то следовательно и усилия в стержнях этих узлов
равны нулю. Отбрасывая эти стержни, переходим к узлам N и J, не имеющим
опор. Так как в этих узлах сходятся по три стержня, не лежащих в одной пло-
скости, и не имеется нагрузки, то следовательно усилия во всех стержнях этих
узлов будут равны нулю.
*534 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Отбрасывая эти стержни, переходим к узлам Л4 и К с шаровыми опорами.
Так как внешней нагрузки на ферме не имеется, то опорные реакции в этих
узлах равны нулю. Но так как в тех же узлах сходятся по три стерЖця, не ле-
жащих в одной плоскости,. то следовательно при нулевых реакциях усилия
в стержнях этих узЛов также будут равны нулю. Отбрасываем эти стержни.
Тогда в узле L остаются три стержня, не лежащих в одной плоскости. При
нулевой опорной реакции усилия в этих стержнях также будут равны нулю.
, Итак, усилия во всех стержнях первого поперечного ряда равны нулю.
Точно также доказывается, что и во всех остальных стержнях системы при
отсутствии внешней нагрузки усилия будут равны нулю, т. е. будут иметь конеч-
ные значения. Отсюда выводим заключение, что данная пространственная система
стержней представляет жесткую, геометрически неизменяемую ферму.
Переходим теперь к определению усилий в стержнях пространственной фермы
при расположении груза Р произвольного направления в промежуточном узле с»
Проведем через силу Р и стержень ст плоскость и разложим в этой плоскости
силу Р на две составляющие R и Q таким образом чтобы первая сила R ле-
жала в плоскости грани CDLM и чтобы вторая сила Q шла по оси стержня ст.
Составляющая сила R целиком воспринимается плоской фермой CDLM и
уравновешивается опорными реакциями D и L. Определение усилий в этой пло-
ской ферме не представляет никаких затруднений и ведется таким же порядком/
как это было описано в решении предыдущей задачи. Поэтому здесь не будем
останавливаться на детальном выяснении этого вопроса.
Составляющая сила Q лежит в плоскости подвижной системы BCMN.
Будем обозначать далее всякое усилие в стержне какого-либо узла буквой
самого узла, а направления этого усилия условимся обозначать нижними инде-
ксами: п — для поперечных ребер, составляющих элементы арки, t — для про-
дольных ребер, и d — для диагоналей или раскосов.
Сжимая стержень ст, сила Q передается узлу т и здесь разлагается в пло-
скости грани BCMN на две составляющие mt и md. Сипа mt воспринимается
плоской фермой ABNO, а си ла md, ничем не уравновешенная, передается вузел^,
где заменяется двумя составляющими dt и dn. Первая из них передается ферме
CDLM. а вторая, сжимая стержень dp, идет в узел р.
Здесь она разлагается на составляющие pt и pd, из которых последняя пе-
редается в узел е.
Таким же образом находятся и остальные силы, показанные на чертеже
стрелками и лежашие в плоскости грани BCMN.
Последняя из этих сил qd передается в узел С, но здесь она не разлагается
на две составляющие, лежащие в плоскости BCMN, так как стержень ВС имеет
нулевое усилие (если рассматривать равновесие йена груженного узла В, для ко-
торого стержень ВС будет отдельно стоящим).
Поэтому сила qd в узле С воспринимается тремя стержнями, расположен-
ными в пространстве, из них два стержня CD и Се принадлежат ферме, а третий
есть вертикальный опорный стержень (схематически обозначающий шаровую
опору), который на плане проектируется в точку С.
Таким образом составляющая Q от груза Р дает дополнительные усилия:
1) dt, et, Ct и Сп — для фермы CDLM и
2) pt и qt — для фермы ABNO.
Так как последняя ферма не несет другой нагрузки, то ее усилия и реакции
определяются только по нагрузкам mb pt и qt, действующим вдоль ребра BN.
Расчет же фермы CDLM надо вести на нагрузки R, dt, et, Ct и Сп.
Настоящий пример показывает, что в пространственную жесткую ферму могут
входить плоские изменяемые системы, которые в данном случае служат лишь для
передачи усилий на другие плоские неизменяемые системы, о чем подробно было
изложено в § 16 настоящего курса (стр. 94).
№ 101. На черт. 319 показано зубчатое покрытие системы Ясин-
ского. Доказать, что эта система будет статически определимрй и гео-
метрически неизменяемой. Указать ход расчета при расположении груза Р
произвольного направления в каком-либо узле верхнего пояса вертикаль-
ной фермы.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ЧЕТрЕРТОЙ ГЛАВЕ
335
Решение. В ранной системе имеется одна опора F закрепленная (третьего
рода), три опоры В, Е и С — второго рода, причем возможные перемещения их
направлены вдоль стены ВС, четвертая опора второго рода G может переме-
щаться в направлении, перпендикулярном к продольной стене AD. Остальные три
опоры А, Ни D — шаровые, т. е. имеющие возможность перемещаться на пло-
скости во все стороны. Таким образом данная система имеет $ = 3 + 4X2 +
-4- 3 X 1 = 14 опорных закреплений или опорных реакций.
Каждая вертикальная плоская ферма имеет 14 узлов, следовательно во всей
системе имеется л = 4Х 14 = 56 узлов. Число всех стержней равно т —154.
При подсчете стержней следует иметь в виду, что все нижние узлы первой
вертикальной плоской фермы соединены с нижними узлами второй вертикальной
плоской фермы продольными стержнями, которые на чертеже показаны пунктир-
ными линиями.
Черт. 319.
Такие же продольные соединительные стержни имеются между третьей и
четвертой вертикальными фермами. Но между второй и третьей вертикальными
плоскими фермами соединительных стержней нет, так как здесь они являются
лишними. Кроме того в одной из панелей каждой наклонной плоской системы
выброшена лиагональ, например в панелях edst, vzyx и т. д.	‘
Подставляя указанные выше числовые значения в основное уравнение (11):
т — (3 • п — s) = О,
выражающее первое условие статической и геометрической определимости
закрепленной системы, получим тождество:
154-(3X5- И) -= 9.
Таким образом число стержней вполне достаточно для образования Геоме-
трически неизменяемой системы.
Необходимо еще доказать второе условие геометрической неизменяемости
системы, а именно, что усилия во всех стержнях ее имект конечные значения.
Это легче всего доказывается методом нулевых нагрузок.
Рассматривая нижние узлы т, п, р, q, г передней вертикальной фермы, за-
ключаем, что усилия в отдельно стоящих горизонтальных соединительных стерж-
нях, показанные на чертеже пунктирными линиями, равны нулю.
Обращаемся теперь к плоской наклонной грани ^^.Рассматривая узел d,
где все стержни, кроме одного стержня ds, лежат в одной плоскости, заключаем,
что при нулевой нагрузке в этом узле усилие в отдельно стоящем стержне ds
равно нулю. На том же основании заключаем, что усилие в отдельно стоящем
336 ЗАДАЧИ ^УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
стержне et— также равно нулю. Отбрасывая эти стержни, на/одим на основании
того же положения из условий равновесия узлов s и что в отдельно стоящих
раскосах sc и tf усилия будут равны нулю. Таким же способом найдем, что уси-
лия во всех распорках и раскосах плоских наклонных систем gdsE и adsH равны
нулю.
После отбрасывания всех этих стержней с нулевыми усилиями останется пло-
ская вертикальная ферма AagB, имеющая опору А — подвижную и опору В—
неподвижную в направлении фермы.
Из теории расчета плоских раскосных ферм известно, что такая система жест-
кая и при нулевых нагрузках в узлах усилия во всех стержнях будут равны
нулю. Точно также можно доказать, что и во всех стержнях остальных секций
зубчатого .покрытия при отсутствии внешней нагрузки усилия будут равны нулю,
т. е. будут иметь конечные значения. Следовательно данная пространственная
система представляет жесткую, геометрически неизменяемую ферму.
Переходим теперь к рассмотрению этой фермы под действием силы произ-
вольного направления, приложенной к какому-либо узлу верхнего пояса плоской
вертикальной фермы, и наметим ход расчета. Предположим, что сила Р прило-
жена в узле /.
Проводим через эту силу вертикальную плоскость и разлагаем в этой пло-
скости силу Р на две составляющие, из которых одна составляющая будет рас-
положена в плоскости вертикальной фермы AagB, а другая составляющая будет
расположена в плоскости наклонной системы gasE.
Первая составляющая будет вызывать усилия в стержнях плоской вертикаль-
ной фермы AagB, а вторая составляющая через посредство подвижной плоской
системы gdsE будет передаваться в нижние узлы второй вертикальной плоской
фермы HhkE и в верхние узлы первой вертикальной плоской фермы AagB.
Поэтому усилия в стержнях верхнего пояса ag первой плоской фермы, най-
денные для обеих плоских систем, надо суммировать.
Что касается определения усилий в указанных выше плоских системах, то
здесь не встречается уже никаких препятствий, и расчет ведется обычным мето-
дом аналитически или графически.
Контрольные задачи к четвертой главе.
№ 102. Определить усилия во всех стержнях зубчатой стропильной
системы при действии горизонтальных сил IF во всех промежуточных
W
узлах и сил — в крайних узлах ребра ab (черт. 320 и 321).
&
Контрольные задачи к пятой главе.
№ 103. Определить напряжения в стержнях нижнего яруса водона-
порной башни сетчатой системы (гиперболоид) высотой Н= 17 м. Основ-
ные размеры конструкции показаны на черт. 322 (стр. 338). Резервуар,
показанный на чертеже пунктиром, окружен деревянным тамбуром. Вес
резервуара с водой 130 т, вес тамбура 5 т. Интенсивность давления
ветра'#=180 кг на 1м2 поверхности, перпендикулярной к направлению
ветра. Башня устроена из уголков размерами 100 X Ю0'X Ю мм и
имеет 32 стержня.
№ 104. Определить напряжения в стержнях нижнего яруса и во вто-
ром кольце башни сетчатой системы (гиперболоид), поддерживающей
резервуар для нефти весом 50 т. Башня устроена из уголков размерами
75 X 75 X 8 мм и имеет 24 стержня. Основные размеры конструкции
показаны на черт. 323 (стр. 338). Интенсивность давления ветра q= 180 кг
на 1 л2.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ.
№ 105. Определить усилия во всех стержнях системы, показанной
на черт. 324, при действии силы Р=2 т, приложенной в узле К и
направленной под углом ср = 45° к вертикали в плоскости, параллельной
стене ZOY. Размеры стержней показаны на чертеже.
Решение. Для упрощения задачи предположим, что все стержни имеют
одинаковую длину /=5 м, одинаковую площадь поперечного сечения и сделаны
из однородного материала.
Данная система имеет /я = 4 стержня, п = 5 узлов и $ = 4X3 = 12 опорных
закреплений.
Подставляя эти числовые значения в уравнение (11)
т — (3-п— $) = 0,
получим
4-(ЗХ5-12)=1.
2. Подольский, И. С.
338
ЗАДАЧИ ^Гу^РАЖНЕНИЯ Г. О РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
jll l/ У V * VXl 0,=9.8
Pi=9.8-
Черт. 322.
Черт. 323.
Черт. 324.	Черт. 325.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАЙЕ	339
Таким образом данная система имеет один лишний стержень и поэтому будет
статически неопределимой в. первой степени.
Принимаем стержень KD за лишний элемент и, отбрасывая его, рассматри-
ваем статически определимую систему, состоящую только из трех стержней, не
лежащих в одной плоскости.
Далее рассматриваем два состояния этой системы без лишнего стержня
(черт. 325).
1. Первое состояние. На систему без лишнего стержня действует данная
сила Р, приложенная в узле К и наклоненная под углом в 45° к вертикали.
Определяем усилия во всех стержнях под действием данной силы Р, причем
для облегчения расчета разлагаем эту силу на две составляющие: вертикальную Ру
и горизонтальную Р2, которые будут равны между собой и будут иметь сле-
дующую величину:
9	_
P^ = Pz=xP.cos45°=-^= /2 = 1,41 т.
Тогда получим следующие усилия, имея в виду, что угол а = р:
а) в стержне АК (2)
р> р* _ р*.
2 2-tgacosf 2slnf sin а
1,41X5 «ос ,
или	№ =------Z-- = — 2,35 т (сжатие).
2	«5
Ь) в стержне ВК (3)
п	Ру рг
МО —________L____L	— О
3	2-tga«cosf • 2‘Sinf .
d в стержне СК (4)
п Ру 1,41X5
= +  ----И 0 =---X— = 4- 2,35 т (растяжение),
sin а	о
Что усилие в стержне ВК должно равняться нулю, это видно также из сле-
дующего. Сила Р, наклоненная под углом в 45° к вертикали; находится в одной
плоскости со стержнями АК и СК, ибо след этой плоскости на вертикальной
стене ZOY выражается линией АС, наклоненной под углом в 45° к горизонту.
А так как сила Р находится в одной плоскости со стержнями АК и СК, то сле-
довательно усилие в отдельно стоящем стержне ВК будет равно нулю.
Затем, усилия в стержнях АК и СК будут равны по величине, но противо-
положны по знаку, причем усилие в стержне АК будет сжимающее, р усилие
в стержне СК будет растягивающее, что и было получено в предыдущем
расчете.
2.	Второе состояние. Отбрасываем внешнюю нагрузку Р и прикладываем
к узлам К и D две равные и прямо противоположные силы = \ т, направлен-
ные по оси отброшенного стержня KD (черт. 325). После этого определяем уси-
лия во всех стержнях системы, имея в виду, что угол a —jk
а)	усилия в стержнях АК и ВК:
nt	1X5
Л*-Я* — ~24ga cos₽_ — 2^sina — ~2><3~ ” 0,83т'
Ъ)	усилие в стержне СК:
"•=+ah=’-¥= + w«-  .
Группируем все эти расчетные данные в следующую сводную таблицу.
340 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
№ стержня	Наимено- вание стержня /	№ тонны	п тонны	№-п		+ п-Х тонны
; 1	2	3 '	4	5 :	1	6	-7
1 ’ 1 /	2	DK АК вк ск	0 — 2,35 0 + 2,35	1,00 — 0,83. — 0,83 +1,67	0 1,951 0 3,925	1,000 0,689 0,689 2,789	— 1,136 — 1,407 + 0,943 4- 0,453
Усилие в лишнем F и Z будет равно:		стержне DK,< V- Х=	— X-	• 2= определив? г°-п-1 EF _ п*-1 E*F	5,867 лое по фо{ ^№-п	1 5,167 I 	1 шуле (41), при одинаковых	
Подставляя сюда соответствующие числовые значения, полученные из сводной
таблицы, будем иметь:
*	_ у__	5,867 _	1 1 «р
Х~ 5Д67~~ 1,136 т'
Усилие в каждом'из остальных стержней определяется по формуле (38):
ЛГ = Л^4-Л.А\
Величина усилий, определенные^© этой формуле й выраженные в тоннах,
помещены в последней вертикальной графе сводной таблицы, причем положитель-
ный знак (+) обозначает растяжение, а отрицательный знак (—) сжатие элемента.
№ 106. Определить усилия в стержнях четырехгранного шпица с
квадратным опорным кольцом при действии горизонтальной силы Q, при-
жженной в верхнем узле (черт. 326).
Решение. Рассмотрим частный случай, когда горизонтальная сила Q па-
раллельна стороне основания АВ,'
Данная система ймеет т = 8 стержней, п = 5 узлов и s = 4X2 = 8 опор-
ных закреплений.
Подставляя эти числовые значения в формулу (11)
т — (3-л — 5) = 0,
выражающую первое условие статической и геометрической определимости за-
крепленной ^системы, получим:
8-(ЗХ5 —8) = 1,'
т. е. данная система имеет один лишний стержень и поэтому будет статически
•неопределима в первой степени.
Принимаем стержень АО (I) за лишний элемент и отбрасываем его, после
чего рассматриваем два состояния статически определимой системы, относя
стержни опорного кольца к опорным закреплениям.
I. Первое состэяние. Действие горизонтальной силы Q, приложенной в верх-
нему узлу 0. Определяем усилия во всех трех стержнях. Прежде всего заме-
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ	341
чаем, что сила Q расположена в плоскости грани DOC, следовательно усилие
в отдельно стоящем стержне О В будет равно нулю, т. е. N° 0. Разлагая затем
силу Q в плоскости грани DOC на две составляющие
по направлению стержней OD и ОС, получим усилия в
них, равные по величине и
D
А\
Q \о
/7=1 т
ГП — \т
----а-
Черт. 326.
противоположные по знаку:
(растяжение)
и
(сжатие),
4 = -^-'
d а
где I есть длина каждого из. стержней DO и СО. Д
Все эти расчетные данные группируем в четвертой
вертикальной графе сводной таблицы, приведенной не- д
сколько ниже.
2. Второе состояние. Отбрасываем внешнюю силу
Q и прикладываем к узлам А и О две равные и прямо
противоположные силы — 1 т, направленные по оси
отброшенного стержня АО, после чего определяем усили i
во всех трех стержнях;
Нетрудно доказать, что усилие в каждом из трех
стержней будет равно также 1 т, причем стержень ОС
будет растянут, а стержни ОВ и OD будут сжаты, т. е.
получим следующие усилия:
п2 — — 1т, л3 = + 1 т и — — 1 т.
Эти расчетные данные помещаем в пятой вертикальной графе той же свод-
ной таблицы.
Номер стержня	Наимено- вание стержня	Длина сгержчя	№	п	№-п *________	п* 1	N = №-\-n-X
1	2 1	3	1 4	! 5	6	1 7	•00
1	1 ОА	1 /	нет	+ 1	нет	1	, Q-±
2	OD	1		— 1	Q 1	1	+ 9-l 5
					а		
	ОС		Q-1		- 2d		Q-l i
3		1	а	+ 1	а	1	2- a
4	03	1	0	— 1	0	.1	_ 9d
							2-a :
-				2 =	-2^ а	4	I
Искомое усилие		в лишнем стержне АО, определяемое				: по формуле (42), при	
одинаковой площади* поперечного сечения г будет равно:							
		Y ——	^№-п		Q.l\ ' а ' — L Q‘l		
					4	’2	а*	
42 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Усилие в каждом из остальных стержней определится по общей формуле (38):
N = N° + n-X.
Усилия, определенные по этой формуле, помещены в последней вертикальной
графе сводной таблицы. Если бы сила Q имела произвольное направление в го-
ризонтальной плоскости, то разложив ее на две составляющие параллельно
стержням А В и AD, пришлось бы сделать два самостоятельных расчета, подоб-
ных предыдущему.
Заметим, что для данного частного расположения силы Q задачу можно ре-
шить и проще, полагая, на основании закона симметрии, что на каждую из плос-
ких боковых граней АО В и COD передается одинаковая сила -- Q, и затем раз-
лагай каждую из этих сил на две составляющие, направленные по осям соот-
ветствующих стержней. Таким образом благодаря симметрии очертания фермы и
расположения нагрузки задача становится статически определимой.
Mt 107. Определить усилия во всех элементах данной пространствен-
ной фермы при действии на нее пары сил Р—2т> приложенных в узлах
а и с верхнего пояса и скручивающих призму (черт. 327). Размеры
призмы показаны на чертеже.
Решение. Данная система имеет, т = 13 стержней, я = 8 углов и
5 = 4X3=12 опорных закреплений. Подставляя эти числовые данные в ура-
внение (11)	/О \ Л
к ’	т — (3п — $) = 0,
выражающее первое условие статической и геометрической определимости за-
крепленной системы, получим:
Следовательно эта система имеет один лишний стержень и поэтому статически
неопределима в первой степени.
Принимаем за лишний стержень диагональ до верхнего пояса и отбрасываем
ее, тогда получим жесткую, статически определимую систему без лишнего
стержня (черт. 328).
Для упрощения расчет! будем принимать.площади поперечных сечений (F)
всех стержней одинаковыми.
Кроме того из чертежа имеем:
cos а = . Д	* -=g = 0,555,
|/а*4-Л*	|/1* + 1,5’
, • Л	1>5	1
‘*в=«=Гб=1А
СОЗ 0 = cos 45°= -1 ==0,705,
j/2
lg ₽ = tg 45° = 1,00.
Основные размеры стержней показаны в графе 3 сводной таблицы (стр. 343).
№ стержня	Наименова- ние	Длина стержня / '	м	№ тонны	п тонны	л2	№-п-1 /	И2- 1	N=№ + п-Х тонны
г	2	3	4	5	6	7	1 8	9
’ 1	ас	1,41	0	1,00	1,00	0	- 1,41	1,52
2	ab	1,00	2,0 ’	— 0,71	0,50	— 1,42	0,50	0,92
3	Ьс	1,00	0	0	' ' 0	0	0	0
4	cd	1,00	2,0	— 0,71	0,50	— 1,42	0,50	0,92
5	da	1,00	0	0	0	0	0	0
, 6	аА	1,50	0	0,47	0,22	0	0,33	0,71
7	ЬА	1,80	— 3,60	1,27	1,61	— 8,23	2,90	— 1,67
8	ЬВ	1,50	3,0	— 0,47	0,22	- 2,12	0,33	2,29
э 9	сВ	1,80	0	— 1,27	1,61	0	2,90	— 1,93
10	сС	1,50	0	0,47	. 0,22	0	0,33	0,71
11	dC	1,80	— 3,60	1,27	1,61	-8,23	2.90	— 1,67
12	dD	1,50	3,0	— 0,47	0,22	— 2,12	0,33	2,29
13	aD	1,80	0	— 1,27	1,61	0	2,90	— 1,93
					м II	— 23,54	15,33	
2
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ
344 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕН. ФЕРМ
Далее рассматриваем два состояния системы без лишнего стержня.
1. Первое состояние. Система подвержена действию двух равных сил Р = 2 mf
приложенных в узлах а и b верхнего пояса и направленных в разные стороны
(черт. 328). Определяем усилия во всех элементах фермы и помещаем их в чет-
вертой вертикальной графе следующей сводной таблицы (на с гр. 343).
2. Второе состояние. Отбрасываем внешние силы Р и прикладываем к узлам
а и_с две равные й прямо противоположные силы 1 /и, направленные по
оси отброшенного стержня ас (черт. 329). После этого определяем усилия во всех
стержнях рассматриваемой системы без лишнего стержня от действия двух сид
т, приложенных в узлах а и с.	 „ .	'
Расчетные величины этих усилий показаны в пятой вертикальной графе свод-
ной таблицы (стр. 343). Усилие в лишнем стержне ас, определяемое по фор-
муле (41), при одинаковых F будет равно:
2* ЕР _	Ъ№-п-1
— уп8-Г~~ J п?-1
ЕР
Подставляя сюда суммарные коэфициенты, взятые из последней горизонталь-
ной строки сводной таблицы, получим:
v (—23,54)	11(СО	,
Х= —	=4- 1,52 т (растяжение).
10,
Тогда усилие в каждом из остальных стержней данной системы (черт. 327)
определяется по общей формуле (33) следующего вида:
Nz=N°-\-n.X.	'
Величины усилий, определенные по этой формуле и выраженные в тоннах,,
помещены в последней вертикальной графе «.сводной таблицы (на стр. 343), причем
.знак плюс (+) обозначает растяжение, а знак минус (—) сжатие элемента.
Черт. 330.	Черт. 331.	Черт. 332.
Контрольные задачи к шестой главе.
№ 108. Определить усилия во всех стержнях данной пространствен-
ной двухъярусной системы при действии двух горизонтальных сил
W= 1 iht приложенных в узлах а и d верхнего пояса (черт. 330) и дей-
ствующих в плоскостях передней и задней граней.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ШЕСТОЙ ГЛАВЕ	345
' № 109. Определить усилия во всех стержнях призматической двухъ*
ярусной фермы при действии на нее скручивающего момента М= Р-а=
— 2т*м, приложенного к верхнему поясу (черт. 331).
- № 110. Определить усилия во всех стержнях призматической трехъ-
ярусной фермы при действии на нее горизонтальной силы Р, приложен-
ной к узлу а верхнего пояса (черт. 332).
№ 111. Определить термические усилия во всех стержнях статически
неопределимой системы, показанной на чертеже 324, при повышении
температуры на 40° С.
Такое же условие может быть предложено в качестве контрольной
задачи при рассмотрений пространственных статически неопределимых
систем, показанных в основном курсе на чертежах 162 и 165.
4 № 112. Если в закрытом сверху куполе системы Шлинка (черт. 248
на стр. 281) в промежуточных опорных точках т2 и т3 заменить
опоры первого рода опорами второго рода, то будет ли эта ферма ста-
тически определимой или статически неопределимой и в какой степени?
Затем указать ход расчета эгой фермы, если в верхнем узле О будет
приложена горизонтальная сила IF произвольного направления.
ЛИТЕРАТУРА О ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМАХ.
I.	О б ща я.
1.	Ясинский Ф. Собрание сочинений. Том II. Статика сооружений. Петер-
бург 1902.
2.	Р ы ш к о в П. Мостовые фермы кек пространственные системы. Киев
3.	Симинский К. Лекции по статике сооружений. Пространственные
фермы. Киев 1912.
4.	Тимошенко С. Статика сооружений. Глава VI. Расчет пространствен-
ных систем. Петроград 1922.
5.	Рабцевич. Сборник задач по пространственным системам. Киев 1911.
6.	Петров Д. Железные водопроводные башни.. Их назначение, конструк-
ции и расчет. Николаев 1911.
7.	Ферстер М. Металлические конструкции гражданских сооружений. Пе-
тербург 1902.	. ‘
8.	Schlink W. Statik der Raumfachwerke. Leipzig 1907.
9.	F 6 p p 1. Vorlesungen uber technische Mechanik. Band II. Graphische Statik.
Leipzig 1903.
10.	Eger er H. Neue Methoden der Berechnung ebener und raumlicher Fach.-
werke. Berlin 1909.
11.	Ma у or B. Statique graphique des systdmes de 1’espace. Lausanne 1927.
12.	Mil Iler-Breslau H. Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der
Statik der Baukonstruktionen. Leipzig 1904.
13.	S о u t h w e 11 R. Primary stress determination in space frames. „Engineering*
February, 6-th, 1920.
И. Спецальная (аэропланы'.
1.	Черемухин А. К расчету фермы крыла типа „Юнкере". „Вестник воз-
душного флота", 1923, № 3, стр. 35—38.
2.	Черемухин А. К расчету коробок биплана с учетом влияния стати-
чески неопределимых стержней. „Война и техника", 1927, № 9/ стр. Г13—126.
3.	Машкевич и С т а м а н. К расчету свободно несущей коробки крыльев
аэроплана. „Техника снабжении Красной армии", декабрь 1924, № 161. „Воз-
душный флот" № 17, стр. 14-7-27.	*
4.	Aloys Van Gries. Flugzeugstatik. Berlin 1921.
5.	Thalau K. Zur Berechnung von Flugzeugtragwerken mit Verbandst elen
bzw. vollwaridigen Verbundscheiben. „Zeitschrift fiir Flugtechnik und Motorluftschif-
fahrt, 13 Marz, 1927, Heft 5, S. 105—111.
6.	Rtihl K. Beitrag zur Berechnung von Verbundstielen. Там же, \,Z. F. M.“,
1927, № 5, S. Ill—120. (Сокращенный перевод этой статьи напечатан в журнале
„Война и техника" за 1927, №8.)
7.	Bryant L. Stress calculation on the S. E. 5 aeroplane. Aeronautics. London
Reports, 1918-19. T. II, p., 983—988.
8.	S о u t h w e 11 R. The determination of the stresses in braced framework.
Aeronautics. London. Reports, 1920—21. T. I. 395—410, и 1921—22. T. II, p. 561—574.
9.	P i p p a r d A. Torsional stresses in the fuselage of an aeroplane. Aeronau-
tics. London. Reports, 1920—21. T. I, p. 368—388.	•
10.	Garner. On the torsion of a fuselage. Aeronautics. London. Reports,
1917—18. T. Ill, p. 894—909.
11.	Minnelli C. Verifica di stability della fusoliera tetraedra. „L’Aerotechnica".
Pisa, 1927, № 7, p. 416-42\
СОДЕРЖАНИЕ.	„ „
стр.
Предисловие........................................................
Часть первая.
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ.
Глава I. Основные условия устройства пространственных ферм.
§ 1.	Общие понятия о пространственных фермах................ 7
§ 2.	Образование простейших пространственных ферм.......... 14
§ 3.	Преобразование простейших ферм. Сложные системы . . . .	19
§ 4.	Сетчатые системы...................................    25
§ 5.	Балочно-сферические покрытия . •.........	. .......... 28
§ 6.	Классификация пространственных ферм .................  31
§ 7.	Устройство опор пространственных ферм................. 37
§ 8.	Условия статической определимости пространственных ферм . 33
Глава II. Статическое равновесие сил в пространстве.
§ 9.	Сложение и разложение сил в пространстве ...... 46
§ 10.	Разложение силы на три направления в пространстве	....	51
§ 11.	Нулевая нагрузка и нулевые усилия.................. 59
§ 12.	Разложение силы на шесть направлений в пространстве	...	62
§ 13.	Исследование геометрической неизменяемости пространствен-
ных систем.....................................  к.......... 71
Глава III. Расчет статически определимых пространственных систем.
§ 14.	Ьбщие ©снования расчета ферм.........  .	.......... 76
§ 15.	Расчет пространственных ферм по способу непосредственного
разложения узловой нагрузки................................. 82
§ 16.	Расчет пространственных систем путем разложения их на пло-
ские фермы.................................................  88
§ 17.	Расчет пространственных ферм по способу замены стержней . 103
§ 18.	Заключения о способах расчета пространственных ферм ... 117
§ 19.	Расчет опорного кольца и условия правильного расположения
* подвижных опор.............................................118
§ 20.	Элементы расчета пространственных покрытий ...........127
Глава IV. Расчет пространственных стропильных систем.
§ 21. Расчет балочно-сферического покрытия........................  133
§ 22.	Расчет пирамидальных покрытий ....	...............141
§ 23.	Расчет цилиндрического сетчатого покрытия.......: . . 146
§ 24.	Зубчатые пространственные стропила.....................154
Глава V. Расчет металлических пилонов и башен.
§ 25. Пилоны раскосной системы . .................................  158
§ 26.	Пилоны сетчатой системы (гиперболоиды) ........... . . 172
СОДЕРЖАНИЕ
349
Стр-
Глава VI. Расчет статически неопределимых пространственных ферм.
§ 27.	Общие основания расчета статически неопределимых простран-
ственных ферм......................................  .	182
§ 28.	Расчет статически неопределимой пространственной фермы с
одним лишним стержнем .............................  .	. 183
§ 29.	Расчет статически неопределимых пространственных ферм со .
многими лишними стержнями ............... 186
§ 30.	Лримеры расчета статически неопределимых пространственных
ферм ..................................................189
§ 31.	Влияние температуры на усилия в пространственных фермах . 198
§ 32.	Определение усилий от действия температуры в статически
неопределимый пространственных фермах..................201
Глава VII. Пространственные фермы аэропланов.
§ 33.	Общие схемы пространственных ферм аэропланов...... 206'
§34.	Необходимость расчета аэропланной фермы как пространствен-
ной системы . . . ..................... . . ............ 213
§ 35.	Расчет статически неопределимой, пространственной фермы
аэроплана . ..................................... 215
§ 36.	Расчет пространственной фермы аэроплана рамной конструкций
(без тросов) ;.........................................223
§ 37.	Метод расчета пространственной фермы крыла аэроплана . . . 230
§ 38.	Расчет фермы фюзеляжа на кручение............ 233
Часть вторая.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ.
1. Задачи и упражнения к первой главе.........................237
2‘ Контрольные задачи к первой главе...................... 240
3.	Задачи и упражнения ко второй главе........................241
4.	Применение метода нулевой нагрузки^...................... 254
5.	Разложение сил на шесть направлений в пространстве ...... 265
6.	Определение геометрической неизменяемости пространственной
системы Йо способу нулевых усилий .................... 271
7.	Контрольные задачи ко второй главе .	•...............287
,8	. Задачи й упражнения к третьей главе .	. . .......... 291
9.	Непосредственное разложение узловой	нагрузки............291
10.	Разложение пространственных ферм на	плоские системы........ 303\
11.	Способ замены стержней.....................................310
12.	Расчет опорного кольца..........✓ ...... ..................327
13.	Контрольные задачи к третьей главе.........................328
14.	Задачи и упражнения к четвертой главе ................. 331
15.	Контрольные задачи к четвертой главе................. 336
16.	Контрольные задачи к пятой главе...........................337
17.	Задачи и упражнения к шестой главе............... . . . 337
18.	Контрольные задачи к шестой главе . . . ...................343
Литература о пространственных фермах...............  .....	. 346