А. А, Иванов, А. П. Иванов
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ
для систематизации знаний
по математике
Часть 2
ш

А. А. Иванов, А. П. Иванов
ТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТЕСТЫ
для систематизации знаний по математике
Часть 2
Логарифмическая и показательная функции
Тригонометрия
Последовательности
Геометрия
Производная и ее приложения
Учебное пособие
Москва
Физматкнига
2005

ББК 22.10
И 201
УДК 517
Рецензенты:
кафедра высшей математики
Пермского государственного технического университета;
д. ф.-м. н. профессор А. Е. Малых
Печатается по решению РИСа Пермского университета
И 201 ИВАНОВ А. А., ИВАНОВ А. П. Тематические тесты для систематизации
знаний по математике. — ч. II: Учебн. пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. — М.:
Физматкнига, 2005. — 176 с. ISBN 5-89155-131-4
Цель издания книги — помочь школьникам в систематизации знаний по
математике. Приведены тесты пяти уровней сложности по темам: логарифмическая и показатель-
ная функции, тригонометрия, последовательности, геометрия, производная и ее
приложения. Предназначены учащимся общеобразовательных учреждений для
самотестирования при подготовке к выпускным экзаменам, централизованному и региональному
тестированию, а также к единому государственному экзамену и вступительным экзаменам в
вузы; студентам математических специальностей и школьным учителям для проверки
знаний учащихся по указанным темам.
Редактор /Л. Л. Савенкова
Технический редактор Л. Г. Подорова
Корректор Е. Е. Покровская
Подписано в печать 25.04.2005. Формат 60x84/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 10. Уч.-изд. л. 10,0.
Тираж 5000 экз. Заказ 831
Оригинал-макет предоставлен авторами.
Издательство «Физматкпига»
141700, г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер.. 66
Гол./факс: (095) 408-76-81, 409-93-28.
l>mail: publishers@mail.mipt.ru
Интернет-магазин литературы по фундаментальным и прикладным наукам
www.fizmatkniga.ru
Отпечатано с оригинал-макета в ППП Типография
121099, Г-99 Москва, Шубинский пер., 6.
Наука» АИЦ «Наука» РАН.
9!|785891 '55131
ISBN 5-89155-131-4 (ч. 2)
© А. А. Иванов, А. П. Иванов, 2002
© А. А. Иванов, А. П. Иванов, 2003
© А. А. Иванов, А. П. Иванов, 2005

Одной из главных целей данного пособия является
систематизация знаний школьного курса математики, что обеспечило бы успешное
обучение в вузе. Приведены тематические тесты по следующим темам:
логарифмическая и показательная функции; тригонометрия;
последовательности; геометрия; производная и ее применение.
Задания в тестах преимущественно расположены по принципу
"параллельностной по возрастанию уровня сложности. Например,
задания N15 в теме "Тригонометрия"подобраны следующим образом:
Сумма корней уравнения cosz = —-/3/2, принадлежащих
промежутку [—тг; —], равна
2
7тг
6
6 Ш 2
LU з
а ч-
151 Сумма корней уравнения sinTrz = — л/2/2, принадлежащих
промежутку [0;2,5], равна
[Л 3,25 Ы 2 ПЛ 2,25 IT] 4,25 ПП 3.
151 cosx — t
1 Сумма корней уравнения : = 0 из промежутка
Произведение корней уравнения л/4 — х2 • (tg — — 1) =0 равно
ПП 2тг (Т1 -2тг ЦП Зтг ГП -Зтг fTl 4тг.
Сумма корней уравнения (tgх — л/3) • arcsin
in — =
= 0 сое-
тавляет
TJ |тг [JJ |тг [з_| ^т
2тг [б_] величина неопределенная.
Такой принцип построения тестов позволяет:
1) учащимся систематизировать знания с последовательным
переходом к заданиям более высокого уровня с качественным
закреплением материала;
2) преподавателям осуществлять индивидуальный подход в
группах (например, на подготовительных курсах, где слушатели имеют
различный уровень подготовленности и самым "сильным"малоинтересны
задания низших уровней).

|Т-51| | Вар. 01 j |Логарифмическая и показательная функции|
0l
ПП б
Величина logyg 81 равна
9 ГзП з ГТ1 4
021 Вычислить lg 198,13 - lg 0,019813
Щ 104 QT] 1000 [Т\ 3 [Т] 4 [Т] невозможно без таблиц.
Сумма корней уравнения 3х 2л: = 81 равна
m 1 г^п 2 ГзП з г^1 4 г^п 5.
041 График функции у = a+log3 х проходит через точку (0, (3); 3)
при а, равном
11 22 33 44 55.
log5 81
051 Вычислить
llj -3 [2j -2,5 |_3j -2 |_4j -1,5 [5j --.
061 Область
с множеством
Ш(-°°;-з] [
определения
Т|[-3;+оо)
функции у = \/(0,
[з](-оо;3] Нр
25)х — 64 совпадает
$;+оо) [б][-3;3].
функция t/ = х -|- 21°б2(а: + 1) определена при всех х из
множества
[Т|(-оо;+оо) Г7][- [Т] И I"1
081 Решением уравнения lg (х + >/2) = lg (3 + 2>/2) - lg (>/2 + 1)
является ^_^
m о m у/2 ш -1 m m
m 2.

|Т-51| | Вар. Ol"| [Логарифмическая и показательная функции] ПП
09
V9log5
Число V9los53 равно
Т1 ±3 ГТ! ±5 ГзП 5 Г4П 3 ГТ1 9
Ю | Все решения неравенства log /цу > 0 образуют
множество
Г7](-5;-2) |Т|(-оо;-5) ПЛ(-2;+оо) |Т|(_5;+оо) ППф.
111 Положительным числом из приведенных является
\2] logs-
\Т\ Iog7rtg46° ПП log3ctg46°.
з
3| log2cosl7c
121 Сумма корней уравнения 9х - 12 • Ъх + 27 = 0 равна
ПП 3 Г^1 2 ГзП 7 Г^! 12 fsl 5.
131 Все решения неравенства х • (х - log^ —) • log^ и V* > 0
образуют множество
[I] (O;logff|) [7] (logir J;0) [7] (log^j+oo)
LlJ (0;+°°)
(-oo;logffI)U(0;+oo).
-Ill
3
в
Число
6 [
Ig4 + lg3
8lg2 + lg4
3] 9 (T
равно
] 12 РП
15.
151 Все решения неравенства 2*+2 - 2Х+3 - 2*+4 > 5X+1
(Образуют множество
|T|(-oo;-hoo) |T|(-oo;0) Гз](0;-Ьоо) |Т|(-оо;1) |T](l;

|Т-51| | Вар, 01 j [Логарифмическая и показательная функции|
16
Если log3 2 = а, то log2 18 равен
Т] 1 + а [Til-- IT] 2-а [71 2 + а |Т| 1 + -.
Корень уравнения 5^ 2 ) = 2 равен
[Т] log5log25 |Т] -log2log52 [3J -log5log25
[7] log5 log2 0,2 ПП корней нет.
181 Функция у = lg lg x определена при всех х из множества
4Все решения неравенства logx+1 0,2 > 0 образуют множество
|(0; 1) (Т|(-1;0) |Т](1;+оо) |Т|(-оо;-1) 0 (-1; 1).
201 Корень уравнения logo 5log3z = ~2 принадлежит
промежутку
[Л (0,2; 0, 5) [2](5;15) Гз](25;50) \Т\ (50; 100) ПГ|(0;0,2).
211 Среди приведенных нечетной функцией является функция
Т] y = \gx2 [2] 2/ = |log2|x|| [з] ?/ = lgcosx
22|
ш
Область значений функции у = 0,2"
-7
равна
iJ(0;125] [2j(-oo;25) Щ [125;+00) |_4][25;+оо)
231 Сумма квадратов корней уравнения
^"^ х2 + х . Ig2 + х • Ig5 - Ig2 • Ig5 = 0 равна
[T] 29 [Т] lg2 2 lg2 5 H2lg21g5

|T-5lj | Bap, Ol"j [Логарифмическая и показательная функции|
Если 1 < log0 5а < 2; 0 < Iog36 < 0,5, то все возможные
произведения ab заключены в промежутке
(2;
—I Ч' 2 }
25| Все
значения параметра о
(2x-a)lg(x + 2)
ш
и
{-2}
(-оо;
1, при
которых уравнение
= 0 имеет только один корень,
-4] U {-2}
и
(-оо;-2]
[-4;-2].
образуют множество
Ш (-оо;-4]
261 Множество решений неравенства logx _ i 5 > 1 равно
[7] (2; 6] 0(1; 2) [з] (1; 2) U (2; 6] 0(1; 6] |Т|[6;+оо).
271 Сумма решений уравнения хХо**х = 64х2 равна
Т\ 2 [7] 64,25 ПП 63,75 |Т| 64 [б] 68.
Область значений функции у = log2 (|x| + 4) -f 1 совпадает с
множеством
|Т](-оо;+оо) |Т|[1;+оо) Гз][2;-Ьоо) [Т| [3; +оо) ПГ|[5;+оо).
4 Множество решений неравенства logx/4 (2 — х) > 1 равно
(1,6; 2) [7] (1;2) |Т] (1,5;1) |Т| (0;2) |Т] (0;1,6).
^О| Корень уравнения \/2sin(-
принадлежит промежутку
30
=sin4
(sinl5o;tg60°)
| 4 | (ctg30°;2,01) [б! такого промежутка нет.

IX-511 | Bap. 02| [Логарифмическая и показательная функций] ТЦ
•i
Число
12 L2J 9
/3 равно
~Т2 L^J ~9 LLl 3
4 Вычислить lg 25,17 - lg 0,02517
104 [2J 1000 [3J 3 [T] 4 [^ невозможно без таблиц.
031
Сумма корней уравнения 2х х = 8 равна
71 1 0 2 0 3 0 4 0 2,5.
041 График функции у = log2 x + а проходит через точку (1; 2)
при а, равном
11 22 33 44 55.
05
Вычислить
log3 64
logi 16
з
-3
-2,5 l3l -2
-1,5
4
3'
Область определения функции у = у/8 — (О, Ь)Х совпадает с
множеством
[Т](-оо;-3] [Т|[-3;+оо) ПН (-оо; 3] [I] [3; +оо) 0[-3;3].
071 Функция у = sin z + 3log3x определена при всех х из
множества
081 Решением уравнения lg (х + у/Ъ) = lg (4 - 2>/3)
является
ПЛ -1 Гг] 1 [з] л/з |Т| 2уД-1 [7]
- 1)

|Т-51| | Вар. 021 |Логарифмическая и показательная функции! ПП
091
т| ±6
Число
±4 пл
равно
пп i6
4.
х-2
101 Множество решений неравенства log^ /3 > 0 равно
■ х — 5
|Т|(-оо;2) |Т](2;5) |Т|(5;+оо) |Т|(2;+оо).
Ill Отрицательным числом из приведенных является
1 I log./*ctg40~ | 2 | log* ^ |T] logo)5 cos 17е
1 п
loglL ^
4 *
[4] Iog7rtg40° ПП log3tg46°.
4
121 Сумма корней уравнения 100* -0,5- 10x+1 + 6 = 0 равна
Т\ ig5 [2] б ПП иоо IT] igi,5 ПП ig6.
13| Все решения
образуют множество
|Т| (-oo;l)U(0,
[Т| (-005 0,5^)
неравенства
5^;
U(l;
+оо)
+оо)
(X-
ш
1).(х-
(0,5^
(logff/3
0,5"^) • bgT/3 sin 1 < 0
F;l) [з] (1:0,5^)
sin 1; +00).
14| lg3 -h lg5
Число 5 ^S 25 — lg 5 равно
пп з гт| б IT! 9 m 12 iti 15.
Все решения неравенства 3х"3-3х"2 -3х"1 < Ъх~2 образуют
множество
|Т| (-3;+оо) [7| (-оо;3) |Т| (3;
IT] (-00;-3) ПП (-оо;-|-оо).

Т-51| | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции|
161 Если log2 7 = а, то величина log0 25 28 равна
ll-l -0,5а [Til -0, 5а ПЛ -1 + 0, 5а ПП -2 -а ПП-2 + а.
Корень уравнения з( 2 ) = 2 равен
0 1об21о8з2 0 log3bg23 [Т] log2log3-
4| log3 log2 - [5J уравнение корней не имеет.
о
Функция у = lg x+(lg x) 2 определена при всех х из множес-
тва
Т](0;+ос) Гг](1;+оо)
0; 0,
0,1; +оо).
Все значения х9 при которых график функции у =
проходит выше оси Ох, определяются неравенством
ПП х < 2 |Т|х>2 1з| 1 < х < 2 Г41о<х<1 IT1 х > 1.
—
7Г
201 Абсцисса точки пересечения графиков функций
у = log2 log6 (2v^+1 -f 4] и у = 1 принадлежит промежутку
ГТ](0;1,5) [2][1,5;3) [Т] [3; 5) ПП [5; 10) [5] [10; 20).
21
Четной среди приведенных функций является
у =
ПП у =
- х).
4 Область значений функции у = (0, 2Ь)2х х 2
равна
(0; 16).
231 Сумма квадратов корней уравнения
х2 -|- х • loge 9 -I- х • loge 4 - loge 4 • log6 9 = 0 равна
\T\ 4 + log63lo8e256 [2] 37 [з] log2 2-log2 3
|T| 21og63-log62 |T| 40.
10

|T-5lj | Bap. 02| [Логарифмическая и показательная функции| ПП
24| Если -2 < log02 х < -1; -0,5 < log4 у < 0, то все возможные
произведения ху заключены в промежутке
251 Все значения параметра а, при которых уравнение
(Зх+а) In (х — 1) = 0 имеет только один корень, образуют множество
[7] [-3;+оо) |Т] [-3;+oo)U{-6} [7] (-ос;-3]
И [-6;-3] И {-6}.
4 Множество решений неравенства logx _ 2 2 > 1 равно
(3;4] |T|(2;3)U(3;4] [Т|[4;+оо) |Т| (3; + ос) [£|(2;+оо).
Сумма корней уравнения ( fyx) °g°'5 х = 0,0625 равна
Т] 0 ПЛ 1 [з] 2,25 ГТ] 4,25 [7] 6.
Область значений функции у = logo)5 (И + 8) - 2 совпадает
с множеством
|Т| (-оо;+оо) [Т| (-ос;-5] [Г] (-ос;-1]
И ["5;0) IT] [-2;+00).
291 Множество решений неравенства log rjz(l — х) > 2 равно
|Т| [Т| ^ |][] (|;1) Щ (0; |) Щ фХ)"
Чп1 тг /z ^х + бтг, тг , . о 35N
oul Корень уравнения V2 cos ( ) = cos --logi (Ax-x*-—)
принадлежит промежутку
(~7Г;"2)
(sin 15°; tg 60°)
14 | (ctg30°;2,01) I5J такого промежутка нет.
И

|Т-52| | Вар. 011 [Логарифмическая и показательная функции|
Oi
о 1
Выражение loga
у/а
равно
Т] 13/6 ПЛ 6/13 ПЛ 19/6 ПП 5/3 ПП 11/6.
02
Число log4 26 - log2 \/Тз равно
1 0 3 0 0,5 0 2 0 2,5.
03 ■ Корень уравнения 2х + 5 . 3х - 6х = 1116 равен
ii ГЛ2 ПЛз ГТ! 4 Гб! 5.
041 Угловой коэффициент секущей, проходящей через точки
рафика у = log2 x с абсциссами 2 и 8, равен
а -\ га \-
05J
Вычислить
log481-log23
log4 90 + Iog4 0,1
log38 \Т\ Iog54
logl65.
Областью определения функции у = 2v^rT + у/\ - 3х
является множество
[Г] (-ос;-4] [Т| [-1;0] Гз][1;+°о) ГТ1 [-1; 1] 0 0.
0'| Сумма координат точки пересечения графиков функций
у = 3-х и у = 21об2х + 1 равна
ПЛ 1 [Т] -1 ПП 3 [Т] 5 [б! графики не пересекаются.
Корнем уравнения lg — = lg x является
х ~ &
х ~~
Т] -2,5 ПЛ -4 [Т] 2,5 ГТ| 4 |Т| корней нет.
12

X-52J | Вар. 011 | Логарифмическая и показательная функции |
091
Вычислить 34-log39,72
25
Jj у Ш 25 Ll| 0,12 [4J 3 |_5J 5.
101 Множество, на котором функция у = lg (х2 — 2х - 2)
отрицательна, равно
[Т] (1 -л/3; 1-h л/3) \Т\ (-ос; -1) U (3; -hoc) [1] (-1; 3)
ПП(1 + л/3;3) [Т] (1 + л/3;3).
111 Числом, большим 1, из приведенных степеней является
—I П /ttxcosIUU i—I /7Гч
3(0,75)* ШУ Ш(з)
12| Произведение корней уравнения 2х ~* -3х = 3х -1 — 2х +2
равно
ПЛз [Т|-3 [Т|4 IT] -4 IT] корней нет.
Все решения неравенства х• (х — logTr cos — )(х — logTr y/S) > О
з 3 з
образуют множество
И (logTr -; logTr л/3) [Tl (logTr -; 0) U (logTr л/3; +ос) IT] (0; -hoc)
3^3 3 ^ 3
|T|(logTr —-;log7r УЗ) [5J(log7r\/3;logTr -).
3^3 3 3 ^
14| Число lg (з1ое>Д 5,7 + 3log3 11,4 • 4,3 + 3log9 4,34\ равно
ll 1 [г! 2 Гз| -2 |4| невозможно вычислить ПП 3.
^J Множество решений неравенства 21~2х > 0,125 совпадает
с множеством
Ш (0;+°°) СО (-оо;0) [Т] (0;0,5)
И (-ос; 0) U (0, 5;-hoc) IT] (-0,5;0).
13

Т-52| | Вар. 011 [Логарифмическая и показательная функции|
Если logN/5+2(V/6 — л/5) = а, то выражение
1 а
1
~ 2) Равн0
з --
4 а
-1
5 -а"1.
17J Расстояние между нулями функции у = 10х — 5 и
у = 2 - (0,1)х равно
Л 1 0 2 [71 2,5 0 Ig2,5 ПП Ig6,25.
/ ^
= у 1 — (0,5)
3x-x2
Область определения функции у
И (0;4] [б] (_oo;-l]U[4;+oo).
равна
7Г
Функция у = logx_icos— принимает отрицательные
6
значения на промежутке
ГГ|(-ос;-5) [Т|(
(—5; 0)
201 Произведение корней уравнения Ig2(x — I)2 = 1 равно
0 _9 [Ц Й±^1 0 0,9
у 10
|4| -8,1 Г^П корень 1 + VTO - единственный
21| Неравенство 2 х < - эквивалентно неравенству
Т|х>1
х < 1 |Т|х<2 (Т|х>2 [71 х > -2,
4 Наименьшее значение функции у = Iog2(x2 — 2х + 9) равно
1 ^] 2 [3 3 ^П 4 ^D нет наименьшего значения.
231 Сумма корней уравнения у/х-1х + 16 = 16v^-h 0,5 х равна
ПП -2 ПГ1 2 IT! 1 R1 3 IT1 0.
14

Т-52| | Вар. 011 [Логарифмическая и показательная функции! П[
24| Все решения неравенства |3 — log2 x\ < 2 образуют множество
Щ(16;+оо) |Т|(2; 32) [7] (0; 16) |Т| (2; 16) Qj](32;+oo).
251 Неравенство х2 — 4х • log05а + 4 < 0 имеет хотя бы одно
решение при всех а, принадлежащих множеству
261 Множество решений неравенства
совпадает с множеством
i^.^O, 5 > 0,5
(-oo;0) U (|; |) U (2;+оо).
Расстояние между корнями уравнения
3log2 (2х - 3) = (2х2 _ 1Ох + 13)1об2 3 равн0
I] ! 0 2 0 3 0 4 0 корней нет.
Область значений функции у = Iog2(x2 - 4х + 12) на отрезке
х е [2 - 2>/2; 2 + 2\/б] совпадает с множеством
Р;4] [71 [4; 5] [з] [3;6] Н [4; 6] 17] [3;5].
Все решения неравенства log i (4x - 2) > -1 образуют
множество
|Т| (-oo;l)U(3;+oo) [7] (-3;-1) [Г] (-оо; -3) U (-1; |)
И (1;3) |T|(i;l)U(3;+oo).
1
*22
Сумма корней уравнения 2sm x+5-2cos x = 7 на промежутке
(—2тг; тг) равна
Т] -2тг Ш -тг IT] -0,5тг ГТ] -4тг ПП -1,5тг.
15

|Т-52| | Вар. 02( [Логарифмическая и показательная функции|
01
Выражение log
12 l-^-l 36
равно
021 Число log9 54 - log3 л/б равно
ПЛ 1 ПЛ 3 ПЛ 0,5 Г7) 2 \ъ\ 2,5.
031 Корень уравнения 3х + 3 • 4х - 12х = 3744 равен
041 Угловой коэффициент секущей, проходящей через точки
графика j/ = log 1 х с абсциссами 3 и 9, равен
6 """^ 3
В f
051
Вычислить
Iog964-log32
log9 160 - log9 10
IT] Iog54 ПП Iog165.
061 Областью определения функции у = З^1"* +
яется множество
[Г] (-оо;0] [Т| [-1;0] [1] [1;+оо) [Т] [-1;1
— L* явл-
Сумма координат точки пересечения графиков функций
у=-1-хиу = 3log3х + 1 равна
Til ГЦ-1 ПП 3 \~±\ 5 [б] графики не пересекаются.
081 Корнем уравнения lg — = lg(x + 5) является
х ~г ^4
Т] -2,5 [Т| -4 [з] 2,5 IT] 4 [Т| корней нет.
16

Т-52] | Вар. 02*1 [Логарифмическая и показательная функции]
091 Вычислить 44"log4 30,72
— ПП 25 [з] 0,12 [Т] 3 [б] 5,
о
область определения функции у = ylogo,5 совпадает
множеством
(0;+оо).
111 Числом, большим 1, из приведенных степеней является
cos 100° •— /г
121 Произведение корней уравнения 4х +1+2-5х = 4х ~x+bx +1
о
равно
Til [TI-1
И"4
корней нет.
Все решения неравенства х- (х — logTr tg —) -(х- logTr tg—) > О
з о 8 6
образуют множество
ПН (-oo;0)U (logTr tg-;logTr tg-) [2J (-ос; logTr tg -)
3 о 8 О з о
з 8 s в 5 8
0 (log2rtgJ;0)U(log7rtg J;-hoc).
30 8 Ь
14J Число log2 (5logi25 3,26 + 10lg3,2 • 1,6
равно
ill I 2 I 2 I 3 I 4 I 4 I невозможно вычислить 5 1 16.
Множество решений неравенства 52 0,(3)* < о,2 совпадает
с множеством
(-ос;0)
(-oo;0)U(2;+oc)
(-oo;-2)U(0;+oo) [7] (-2;
17

Т-52| | Вар, 02[ [Логарифмическая и показательная функции] П
Если Iog7_4v^(3 + 2>/2) = а, то выражение Iog3_2 /^(7 + 4>/3)
равно
"2
T! -а IT! а [71 -а
"1
Ц а
"1
1' | Расстояние между нулями функции у = 25 - 10х и
у = (0,1)х - 4 равно
7] 1 ПЛ 2 [Л 2,5 IT] Ig2,5 ПП Ig6,25.
равна
/ -10-Зх-х2
Область определения функции у = у 9 - (0, (3)) *2
Н [-2; 5] [Т| [-5; 2] [7] [-2;0)U(0;5]
[71 (-ос; _2] и [5; +ос) [б] (-ос; -5] U [2; +оо).
191 Функция у = logx_itg-7r принимает отрицательные
значения на промежутке
2О|
Произведение корней уравнения lg2 x2 = 4 равно
[Г] 1 [Т| -100 [з] -0,01
| 4 | 100 | 5 | корень 10 - единственный
211 Неравенство 2 — х > 2х"1 эквивалентно неравенству
[7]х<0 |Т]х<1 [Т|х>-1 [7]х>2 |Т| х <
221 Наибольшее значение функции у = log05 (х2 - Юх + 29)
равно
ПП 1 |2| 2 Гз1 3 |71 -2 \5\ нет наибольшего значения.
231 Сумма корней уравнения
равна
-2 Ы -4 Гз| 2ч/2 R] л/2 Ы 0.
18

X-52J | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции| [7
Все реше
Г|[1б;+оо)
241 Все решения неравенства |1 + log05х\ < 3 образуют множес-
ТВ0 || ^ ^ ф
0;^) И [^
251 Все значения а, при которых уравнение х2 — Ах = log03a2
не имеет действительных корней, определяются неравенством
—I I—I . . ЮО |—| . . 100
1 таких а нет 2 а < — 3 а > —-
100
а>
100
261 Множество решений неравенства log|x_1| 0,5 < 0,5
совпадает с множеством
(0;2) Ц
(0;|)U(|;2)
[7] (-oo;0)U(|;l)U(l;^)U(2;+oo).
271 Расстояние между корнями уравнения
(Зх2 + 11х + 21)1о6з 4 = 4bg3 (3 - Ах) равн0
[Т] 1 ГгП 2 ГТ] 3 ГТ] 4 [Т] корней нет.
281 Область значений функции у = Iog2(x2 + 4х +12) на отрезке
х б [—2 — 2\/б; —2 + 2л/2] совпадает с множеством
|Т| [3;4] П] [4; 5] Гз] [3;6] [Т| [4; 6] ГГ) [3;5].
291
Все решения неравенства log i (6 — 4х) > — 1 образуют
1+х2
множество
[Т](-оо;-5)и(1;1,5) [Т] (-5;-1) [з] (-оо;-5) U (-1; 1,5)
И (-5; 0) U (0; 1) |П (-1,5;!) U (5;+оо).
Сумма корней уравнения 4COS 2z + 4COS x = 3 на промежутке
(-2тг;-|) равна
Т|-2,57г [Т] —3,75тг
-4,25тг.
19

Т-53| | Вар. 011 [Логарифмическая и показательная функции|
01
Число 1
^2уД равно
1J-^|2J32|3J^[4]^
Если loga х = 2 • loga (a + 0) - - • loga 6+ 1,5, 6 > 0, то величина
Х РаВНа . Г- , ,9ч
Ш
Ц
03
/ 4 ч 2х - 3
Решением уравнения (2,5)х ~ ^ • ( — ) =1 является
Т] 1 И 0,8 [7| 1,(6) И 0,(6) [Ю 0,75.
Число 0,25 является корнем уравнения log2 х + loga 9 = -1 при
[T|a = 0, (3) [Т|а = 2 |Т]а = 3 [Т] а = 4 ППа = 9.
051
log10,125
Упростить
log7r
Т| Iog27r IT] 3 ПН -3 [Т| 4 [Т| -4.
061 Решениями неравенства 24r < sin 45° являются
Т] (-ос;-0,125) \Т\ (-0,125;-hoc) Г~'
71 (-ос;-3) "
о о
П71 п „ Г 21о«2;с-31о8з!' = 1,
и • I Решив систему уравнении < получим
—J 3V \ 2х-Ъу = А,
[Г] х = -1,у = -2 |Т] х=1, у=-2 [7] аг = -1, у = 2
4| ж = 1, у = 2
ПП решений нет.
_ . х2 + 2x4-5 , / , о\
Корень уравнения lg : = lg (x + 2) заключен в
х — 1
промежутке ^_^ ^_^
|Т|(-8;-6) [Т] (-4;-2) |Т](-5;-3) Щ^1;1) Щкорней нет
20

Х-531 | Bap. 01 j | Логарифмическая и показательная функции | [2
091 Число 25loSs4 + 6loS36 25 paBH0
ПП 21 [7| 19 Ц] 20 IT] 31 [7] 8.
Область определения функции у = \Jlogl/
яется условием
Q]z>±2 [Т] z < ±2 |T
ПП xG(0;2) ITI xG[-2;0)U(0;2].
g
«
определ(-2; 2)
Ill Числа а = (cos60°)cos65°, 6 = (0, 5)cos275° и
с = (sin 150°)tg46 удовлетворяют неравенствам
fTl c>b>a [^} b>c>a [^ c>a>b
[T\ a> b> с \5\ b > a > c.
12j Уравнение (л/2 -f l)x - 2 • (v^2 - l)x = 1 имеет решение
Iog2(v^-1) [2] logj^^+l) [з]0,5 ITI 2 [T] 0.
Все решения неравенства (х2-2x) • y/1 -a-logasin"150° > 0
образуют множество
|T| (-ос; 2) |Т| (0;2) |Т] (-оо;0) U (2; +оо)
|Т| (2;+оо) |Т| (1;2).
14
ВЫЧИСЛИТЬ 5 Iog^
ПП 1 Г^П 2 ПП 3 ПП 4
5-
£±1 I
Множество решений неравенства 4 * — 17-2^+4 > О
совпадает с множеством
[Г] [-О,б;О)и(О;О,б] |Т| [-0,5; 0,5] [з] (0; 0, б]
|Т| (-оо; -0, 5] U [0,5; +оо) |Т| [-0, 5; 0) U [0,5; +оо).
21

Т-53| | Вар. 011 | Логарифмическая и показательная функции |
161 Если lg 7 = а, то произведение log8 7 • log9 8 • lg 9 равно
1 a2 fTI а3 Г71 а"3 171 а 171 а"2.
17J Решением уравнения (уД + 2)г - (2 - \/3)4а; ~ 3 = 0 является
II 0,6 12 1 0,8 131 0,5 14
Область определения функции у = у/2 — log2 (х — I)2
совпадает с множеством
[7] (-оо;3] 0 [-1;1)U(1;3] 0 [-1;3]
|Т| [3;+оо) [б] (-oo;-l]U[3;+oo).
191 Функция у = logx2_1 tg - принимает только положительные
х2-4
значения на промежутке
Сумма корней уравнения logo 5 - • log2 x = 3 равна
1 8,5 121 8 131 7,5 4 2,5 5
Функция, график которой симметричен графику функции
у = Iog2(—2х) относительно прямой у = —х, имеет вид
I ПП y = log2(0,5x).
221 Множеством значений функции у = o,5arcsinx является
171 Го~2^• 2?^ г~~| г— п гтп г. Л^, m 111
4 Множество решений неравенства 5 • 0,2lga; > 0,04^ 2 равно
(0;4) |Т|(4; Ю) [з](-оо;40) |Т](40;+оо) [71(0; 40).
22

Т-53| | Вар. 01 j [Логарифмическая и показательная функции| [4
241 Все решения неравенства |2 - log3 x\ > 1 образуют множество
[7] (-оо; 3) U (27; +оо) [71 (3; 27) [I] (0; -) U (3; +гс)
И (|;3) И(°;3)и (27; +00)-
251 Неравенство lg(x2 -f ax + 5) > 0 справедливо при любых х,
если параметр а принадлежит множеству
Ц] (-оо;-4) [7| (4;+оо) 0 (-4; 4)
261 График функции у = log^?2 (х - 1) - 4 проходит выше оси
аБсцисс при всех значениях х, принадлежащих множеству
[Г] (-оо; 1,04) U (26;+оо) [7] (1,04; 26) [Т| (26;+сх))
0 (1; 1,04) U (26;+оо) |Т| (1; 26).
27| функция у = 2log2х + xlog2x принимает значение, равное 4,
при двух значениях х, сумма которых заключена в промежутке
[Г] (2, 25; 4,8) 0(5; 7) 0(7;8) И (7,5; 8,5) 0 (8; 10).
28| Множество значений функции у = Iog2(x2 — 4х + 12) не
пересекается с областью определения функции у = 1п(3а — х), если
ППа > 1 |2|а < 1 |з|а < 2 ППа > -1 ППтакое невозможно.
291 Решение неравенства logisjna.i х2 > 0 совпадает с множеством
х|>1 [7] |х|> \,хф ?--n,neZ (T||x|<l,x/0
71 x<i 1Т|х> 1.
301 Множество решений неравенства logTr arcsinx > 1 совпадает
с множеством
В(0;^] Ш[0;1] 0(0; 1) 0[^;1) 0[^;1].
23

Т-53| | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции| [7
Число log
I h 0
равно
is LU Тг
I 12
021 Если lg x = - lga + - lgd - lg 6 - lg с, то величина х равна
6 + с
г—I lad2 m / ac
6c
031
x- 1
Сумма корней уравнения -•(-) ' ( " ) = 1 Равна
ITI i Г71 2 Гз1 з [71 -i IT] -3.
041 Число - является корнем уравнения log3 x -h loga 4 = — 1 при
051
log7r 8 + logi 0,5
Упростить
[7] Iog27r ITj 3 [з] -3 R] 4 |Т| -4.
> 4
Решениями неравенства 34х > tg 30° являются
(-оо;-0,12б) 0 (-0,125;+оо) 0 (-±
(-оо;-3) 0 (-
071 Система уравнений \ " x' имеет решение
■ i ж-2у = 1,
T](-3;-2) 0(-2;-3) 0(3; 2) 0(2;3) |T|нет решения.
Корень уравнения lg
промежутке
х + 1
TJ(-8;-6) 0(-4;-2) 0(-5;-3)
= lg (x — 1) заключен в
П(-1; 1) Г^Пкорней нет.
24

Т-53| | Вар. 02 j | Логарифмическая и показательная функции!
09
Число V3 Б3
Tl 1 |Л 2 ПЛ 3
равно
4 IT1 9.
Ю| Область определения функции у = у Iog1/27x2 + -
определяется условием
[Г] х е [-3; 3] [7| х < ±3 |Т| ж>±3
И xG(0;3) ПП xG[-3;0)U(0;3].
Ill Числа а = (cos60°)cos295 , 6 = (0, 5)cos85 и
с = (sin 150°)ctg44 удовлетворяют неравенствам
\1\ с>Ь>а [2j b>c>a [jTj c>a>b
ГТ1 а > Ь > с Гб1 6 > а > с.
Произведение корней уравнения
(л/7 4- \/48)* + (\/7-V48)* = 14 равно
ПП 2 Гг! -2 IT! 4 fTl -4 ПН 8.
Решения неравенства (z2-4z+3)v4in40° -a-loga ctg40° > 0
Образуют множество
Т](-оо;1) [71(3; +оо) [Л!1;3) Bll1^00) [5](-oo;l)U(l;3).
14
Вычислить 3 log^ 31og2 *
TIi ITI2 Гз1з 1Л4ПП5.
Множество решений неравенства 4* 1 — 2х 2 — 3 < О
совпадает с множеством
Г] (-cx);0)U[0,5;+oo) |Т] [-0,5; 0) [з] (-ос; 0,5]
Ш (0;+ос) [б] (0; 0, б].
25

Т-53| | Вар. 021 | Логарифмическая и показательная функции] [Т
161 Если log5 2 = а, то произведение log2 9 • log3 16 • log4 25 равно
8а
T] — ПЛ -
оа а
6а
а
Решением уравнения (2 + у/Ъ)х — (>/b — 2)4х 4 = 0 является
[Г] 0,6 |Т| 0,8 IT] 0,5 [Т| 0,8(3) ПП 1.
18| Область определения функции у = у/2 — log3 (x — 2)2
совпадает с множеством ^_^ ^_^
|Т] (-1;5] |Т] (-оо;5] |Т] (-оо; -1] U [5;+оо)
|Т| [-1;2)U(2;5] [7] (-оо;3].
Областью определения функции у = /log2X-2 0,2 является
V "J+T
множество |Y| |Т| |Т|
[Jj (-oo;-3)U(l;+oo) |_2j (-3;-1) \3J (1;3)
[Т] (-oo;-l)U(3;+oo) \7\ (-1;3).
20
Сумма корней уравнения log2 x • log2 2x2 = 1 равна
21
Функция, график которой симметричен графику функции
У — I°g2(—) относительно прямой у = —х, имеет вид
_ о-х
у = 2
2/ =
У =
221 Множеством значений функции у = 2
= 2aTCCOSx
является
iui-H
231 Множество решений неравенства 1,25 • 0,81о^2х < о, 64loS23
равно ^^
|Т|(-сх);27) 1Т|(-оо;18) [71(0; 18) |Т|(18;+оо) |Т|(27;-Ьоо).
26

Т-531 | Bap. 02| [Логарифмическая и показательная функции] [7
24| Все решения неравенства |1 + log4 2x\ > 2 образуют
множество __ -, _ 1 __ -I
Н(°;тк)и(2;+оо) И(тк;2)-
251 Неравенство lg(x2 + ах + 2) > 0 справедливо при любых х,
если параметр а принадлежит множеству
Г7](-оо;2) [2](2;+оо) Г^П(—2; 2) 0(0;
261 График функции у = logo 5 (2х + 1) - 9 проходит ниже оси
абсцисс при всех значениях х, принадлежащих множеству
Ш^| [Ц^ [Т|(4;+оо)
Функция у = 5logsх + xlogsx принимает значение, равное 10,
при двух значениях х, сумма которых заключена в промежутке
[Г] (2,25; 4,8) |Т| (5; 7) [з] (7; 8) [Т| (7,5; 8,5) Ш (8; 10).
281 Множество значений функции у = logi(18 + 6х - х2) не
пересекается с областью определения функции у = 1п(—За — х), если
\1\а > 1 \2\а < 1 Гз|а > -4 |4|а > -1 ГбИтакое невозможно.
твом
Решение неравенства logiyicosa.i х2 < 0 совпадает с
множес7Г
2"П'
з]\х\<1,хфО
\Т\ х < 1
> 1.
Множество решений неравенства log^r arccos x < 1 совпадает
з
с множеством
э;2^] Ш(°;°'5]
),5;i] Ы!0.5;1) Ы[^-;1)-
27

Т-54| | Вар, 011 [Логарифмическая и показательная функции| ГТ
01
Число log8 2у2 • ^0,25 равно
а к
02
Если х = , ,_, 6 > 0, то
ah _|_ \у*
T]loga х = | - loga a6 - 2 loga 6 [T]loga x = \ - loga 6 - loga 1 + 6
_3jloga x = | - loga a& + 2 loga 6 [4jloga x = | - loga 6 - loga (a + 6)
T]loga x = | - loga 6 + bga 1 + 6.
031 Все решения уравнения 62cos3? * 4COSX = ^ определяются
фор[T] |T| [I]
мулой (n G Z) [T] ±| -h 2тгп
(~l)nf + тгп [I] ±| + 2тгп
[7] (-1)" f + 7ГП [б] ±§7Г -h 27ГП.
041
x • 10х
Значение функции /(х) = — при х = Ig4 равно
x Ig 2
x — Ig 2
T] 16 [2] 8 ГТ] Ig8 Ш Igl6
4.
051 Выражение log211 — \/2|
[T] Iog23 [T] Iog32 [3] -Iog23
+i 3 равно
-Iog32 [T] 1,5.
061 Максимальная длина отрезка, на котором определена
функция у = у/2Ъ — б!*"1!, равна
Ш 2 [3 3 Ш 4 И неопределенна [Т] 1.
071 Решением уравнения у/а2 — 4a + 4+5logs (^ а) = 6 — а2 являют
1 -1иЗ 2 гЬл/7 13 I -V7 4 3 5-1.
081 Корень уравнения log0 5 (- ~ ) = - принадлежит промеж-
утку
ll[0;l] 0(1; 2] |з| [—1; 0) |4|[-2;-1) [5] корней нет.
28

IT-541 | Bap. 01 j [Логарифмическая и показательная функции!
09
Вычислить 16lo8ir4
П~| 1 ПЛ 5 Г?! 25 [71 125 ПЛ 625.
х + 2
Множество решений неравенства log0,5 —— < 0 совпадает
с множеством х
0 (-оо;-2) 0 (-005-1) U (2;+оо) 0 (-2; -1) U (2; +оо)
1—1 Г—I
\4\ (-1;2) Ы (-l;0)U(0;2).
11
Положительным среди приведенных чисел является
7] log3log32 |T| log0|1log0|40,04 [Г] log
Т| logo 5 log0 5 0,5 0 bg0]2log25125.
121 Сумма корней уравнения 8 • 81* - 30 • 36* + 27 • 16х = О равна
ПП 1,5 Н 2,5 ПП 3 Н -1 ГЦ -2.
13| Наибольшее значение функции у = \2Х - 1| - |2 - 0,5""Х| на
отрезке х G [0; 1] равно
пл 1 m 2 m -i m н
2 Ш -1 Ш у Ш °>5-
14
Вычислить
20А
5>/log520+i
5 5.
Множество решений неравенства 5 • 4х + 2 • 25х < 7 • 10х
совпадает с множеством
[-1;0] 0 (-oo;-l]U[0;+oo) [з] (-oo;0] U [1; +оо)
[0;1] 0 (-оо;+оо).
29

Х-541 | Вар. 011 [Логарифмическая и показательная функции]
16
n Iog2(arccos(--)) -3
Если log2 - = а, то выражение — - j-—-— равно
о log2 тг — log2 6 — 1
| 2 | [ 3 I 1 | 4 | 1 | 5 | не имеет смысла.
а — 1 ■—-J a I™"J a u—' а |—"1
Сумма целых решений неравенства
(>/2 - 1)г2 ~ 2х > {уД + 1)~* " 4 на промежутке [0; 4] равна
ПП ю Г^П 6 ПП з Г^1 2 fsl 9.
Область определения функции у = у/l — | log2 x\ совпадает с
множеством
(0;2] ГЩ [J;2] [Л [2;+оо) [Т| [-1; 1] [ь\ []
191 Множество решений неравенства log06log27x > — 1 равно
(1;81) [3(J;i) 0 (J;81) И (0;81) И(1;243).
О
201 Сумма корней уравнения
Iog2(-x) • Iog4 x2 • Iog8(-x3) • log16x4 = 16 равна
ПЛ -4,25 ПП -3,75 [Т| 4,25 [Т] -6 ПП корней нет.
2Ц Число точек пересечения графиков функций у = у/\ - х2 и
у = тгх равно
ПГП 1 [Т\ 2 Гз1з
таких точек нет.
221 Множество значений функции у = log05 (2х — х2 + 1) является
|Т| [7| [] [Т](-оо;-1] ГТ][-1; +оо).
231 Хотя бы один корень уравнения
+ 5х) + log1/5(5 + 51" х) + 3 = 0 принадлежит промежутку
Л [0;1] II] [1;2] IT] [-3;-2] [Т| [3;4] [7] [4; 5].
30

Т-54| | Вар, 011 | Логарифмическая и показательная функции |
241 Область определения функции
у =
х - 1
совпадает
у
с множеством
х - 5
щ ^ Qg (.^ х) и (5;+оо) [з] (1;+оо)
71 (-оо;5) [б] (-оо;-5) U (-1;+оо).
251 Сумма всех положительных значений а, при которых
уравнение х2 log625 а — (2 log625 а — 1)я + Iog625 а — 2 = О имеет единственный
корень равна
II 1,2 121 0,2 |3| 5 1416 1511.
261 Сумма целых решений неравенства logj х2 - \о^ъ х < 18
равна
11 22 33 45 56.
27
Все решения неравенства xlog2r > 16 образуют множество
(-оо; 0,25] U [4; +оо) |Т] (0; 0,25] U [4; +оо) [7] [0,25; 4]
Т][0,25;+оо) |Т][4;+оо).
281 Множество значений функции у = х2 — 2х+а не пересекается
определения функции у = lg(2a — x), если
4 | а > 0 | 5 | всегда не пересекаются.
291 Множество решений неравенства
logcosix±2 (5х " 7) < logcos2*+2(* + 4) РавН0
cos2 х+1 cos2 аг+1
Все решения неравенства logsin2jc0,25 < 1, принадлежащие
промежутку [-f; \], образуют множество
[4j(-f;O)U(O;f)[5j(f;f).
31

Т-54| | Вар. 02| [Логарифмическая и показательная функции] ГТ
01
Величина log^^ у З"1 • \^27
равна
__ ^_^_ о ^_^^ су -^ш— -|
О О о
Если х —
6 < 0, то loga х равен
[ГЦ - log, аб2 - 4 loga (-6)
Т
- 4
031 Все решения уравнения З2 s*n x • 4sin x = 6 определяются
формулой (п е Z) |—| тг
L™™1 6
041 Значение функции /(я) =
при х = log5 16 равно
х - log5 4
Т] 16 IT] 64 IT] Iog58 |T| log516 ПП 32*
05 | Выражение log4 |\/2 - \/3| • log^+v^ 5 Равно
p|-l,51og25 |T|-log45 [з] log5 4 02 logs 2 И "0,5log5 2.
061 функция у = \/l6 - 4lx~ 2I определена на отрезке числовой
оси, максимальная длина которого равна
ПП 1 ГгП 2 ГзП з ГТ1 4 fsl 5.
Решением уравнения 21о^2 С1 - а) +а2 = 6 - у/а2 - 4а + 4 являют-
m -1
ш -1
081 Корень уравнения logo 2s(—) = Z принадлежит промежутку
Т] [0; 1] [Т|(1;2] |Т][-1;0) И[-2;-1) ГЛ корней нет.
32

|Т-54| | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции! [2J
091
Iogfi25
Вычислить 4 log6 2
71 1 ПН 5 IT1 25 |Т| 125 ПП 625.
Ю| Все решения неравенства logo?8 —г— < ® образуют
множество х
ПП(-1,5;3) Ы(-1;3) ПП (-1;0) U (0; 3) UJ (0; 3) Ы(3;+оо).
Ill Отрицательным среди приведенных чисел является
lj log3log23 |T| Iglogo050,005 [з] log^^vTf
l)5 log05 °>2 [j[] 1o8o,2 1o825 5-
Корень уравнения 2 • 49х — 14х = 21 • 4х принадлежит
промежутку
П~|[0,5;2]
[0; 0,5)
Наибольшее значение функции у = |3Х — 1| + |3 — 3х | на
отрезке х £ [— 1; 0] равно
о о
141
Вычислить
^20
20
51 5.
151 Множество решений неравенства 42х+1-13-36*+81*"1"0'5 < 0
совпадает с множеством
|Т| [-1;0] [7] (-оо;-1]и[0;+оо) |Т| (-оо;0] U [1;
0 [0;1] И (-оо;+оо).
2-831
33

Т-54| | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции|
161 n lo82 (arcctg (- 4=)) - log,, тг3
Если log2 g = а, то выражение ^
1 Ч" log2 3 + logQ 5 тг
равно
\1\ [^J ПП 1 [Т] 1 ПП не имеет смысла.
1' I Сумма целых решений неравенства
(2 - у/Ъ)*2 " 2х > (2 + у/гух + 2 на промежутке [0; 4] равна
ПП 8 Г^П 6 ГзП 3 Г^1 2 |5| 9.
Область определения функции у = J\ + log0?5 |x| совпадает
с множеством
Ц] [-2; 2] |Т| (-оо;-2] [з] [-2;0)U(0;2]
ПП [0,5;+оо) |Т| [-0,5; 0,5].
4 Множество решений неравенства log0?4log4x > — 1 равно
(1;32) [Т](2; 16) |Т|(0,5;2) [Т] (0,25; 16) [Т|(16;+оо).
201 Сумма корней уравнения Iog3(-z)-log9 ^2*log27(-x3)'l°g8ix* —
равна
И ^ И -4 И -2
JJ-т
— |_5J корней нет.
о
Число точек пересечения графиков функций у — у/Ъ — х2 и
у = log^ х равно
ПП 1 ГгЛ 2 ГзП 3 ГТ1 4 ГбП таких точек нет.
221 Область значений функции у = log0 5 у/Ъ — 2х — х2 равна
^ 7][2;+оо).
231 Хотя бы один корень уравнения
Iog3(l + 3*) + log1/3(3 + З1 ~ х) - 1 = 0 принадлежит промежутку
[Т] [0;1) [71 [1;2) Н [2;3] [Т] [3;4] [Г| [4; 5].
34

Т-54| | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции| [7
241 Область определения функции
у =
3* - logo s(^2 + * + 3)
'
V
множеством
х "^
71 (-1;
— 2
совпадает с
][] (_oo;_i)U(2;+oo) |T| (-2;1)
Т| (-oo;-2)U(l;+oo).
251 Сумма всех положительных значений а, при которых
уравнение х2 log81 а — (2 logg! а — \)х + log81 а — 2 = 0 имеет единственный
[П 4 [7] 3 IT] 0,(3) 0 1,(3) 01.
корень равна
261 Сумма целых решений неравенства . > -- равна
^_^ 1 + log2 х 8
1| 10
3 [з] 28 [Т] 16 [б] величина неопределенная.
27
-I
Все решения неравенства х 6о>5 х > — образуют множество
7] (-оо; 0,25] U [4; +оо) [7] (0; 0,25] U [4; +оо) [з] [0,25; 4]
Т][0,25;+оо) |Т][4;4-оо).
28
ся с
Множество значений функции у = — х2+2х+а не
пересекаетобластью определения функции у = lg(x — 2а), если
(Т]а>1 [Т]а<-1 |Т| а> 2
а > О
всегда не пересекаются.
29
Множество решений неравенства
logsin2 х^_з (2х -f 3) < logsin2 x, з (я 4- 2) равно
sin2 х+2 sin2 х+2
Все решения неравенства logsin2r0,75 > 1, принадлежащие
промежутку [—f; f], образуют множество
3(-f;0)u(0;f)
35

T-55J | Вар. 01^ [Логарифмическая и показательная функции|
01
Число logo?(3) log5 125 равно
2 -1
—2 |5j -0,5.
02 | Выражение loga2 (a-6)2-0, 5 log|a|3 {y/-^a
(a > 6) равно
^J>)6 при условии
_a) {y/~e — У—Ь) 1 5 I не существует.
031 Корень уравнения 36^* " 2 = - • (О, (З))"4 равен
|Т|б ГгЛ 2 ГзП 3 Г^П 4 Psl 5.
041 Обратной к функции у = log2 (x — 1) является функция
1
[4] у = 2*
[2J y = logj(l-«)
H у = 2Х~1.
2/ =
log2(l-x)
051 Произведение lg 5 • log5 2 • log4 3 • log9 100 равно
Г] 0,25 ПЛ 4 IT] 0,5 ПП 2 [71 1.
Область определения функции у = lg(2-2«) совпадает с
множеством
0'| Промежуток числовой оси, на котором совпадают графики
функций f(x) = Iog3(z3-5z2 + 4z) и д(х) = Iog3(l-x) + log3(4x-x2),
равен множеству
ГП(-оо;+оо) |Т|(0;1) |Т|(0;4) [7](-оо;0) [Г| (-оо; 1).
081 Сумма расстояний корней уравнения log^.2 v3 = — до
начала координат равна
\1\ величина неопределенная Гг] 2 ГзП 3 [4] 4 ПП 6.
36

Т-55| | Вар. 01*| [Логарифмическая и показательная функции] Г"2
09
Вычислить 5(loSs 2 + lo62s9 - logi25 8)
[71 i Г71 2 Гз1з ГТ|4 ГТ15.
101 Сумма целых решений неравенства log /^ {х — 4,5) < 3 равна
[Г! 16 ПЛ 22 (Г! 18 [71 26 ПП 13.
Числа а = log5 11, 6 = 1,5 и с = log2 3 удовлетворяют
соотношению
[Т] а<6<с Qf] а<с<6 [Т] 6<а<с
Г71 Ь> а> с \Т\ а > с > 6.
Сумма корней уравнения 27х - 13 • 9х + 13 • Зх+1 - 27 = О
равна
пп 6
5.
функция у = | log2 х — 11 + |2 + logo 5 я| совпадает с линейной
на промежутке
ПЛ (0;1] IT] [1;2] [з] [2; 4] П\ [0,25; 2] |Т| [1;+оо).
14]
Вычислить
40
1 1 2 2 3
5 5.
Все решения неравенства у^2 • Зх+1 - 9х > Ъх образуют
множество
ГТ](-оо;1) [Т]!-^ И [Т| Г1
16| Если lg2 = a, lg3 = 6, то lg45 равен
[Г] a-6-hl |Т] а- 26+1 [з] 26-a-hl
fTl 2a -6+1 ПП a+ 6+1.
37

|Т-55| | Вар. 011 [Логарифмическая и показательная функции]
171 Множество решений неравенства
х2-3х
)' ->»
равно
111
ГТ1
(-oo;l)U(2;+oo) [7
Область определения функции у = Iog4 _ х (я2 - 2я)
совпадает с множеством
Ц] (-oo;0)U(2;4) [7| (0;2) 0 (-оо;0) U (2;3) U (3;4)
|Т| (-оо; 0) U (4;+оо) [Т|(2;+оо).
Множество решений неравенства log2 logo, 51°бз ix ~ VS) > О
равно
Т] (0;
(1; л/3) [7] (1;
; +оо).
20
Сумма корней уравнения 2 logx 27-3 log27 x = 1 равна
9 Ш 27 Ш 27 Ш 9 L^S
211 Число корней уравнения | log2 |x|| = cos x равно
ГГ1 1 ГгЛ 2 ГзП з Г^1 4 Г^П о.
221 Множество значений функции у = 2х + 2*og2 \^х х )
совпадает с множеством
И (8; 9) [2](0;9] [з](-1;8] И (7; 8) 0(4; 6).
231 Количество точек пересечения графиков функций
у = logs + 2{х2 + Ъх + 2)2 и у = 2 равно
ПЛ 1 [_2J 2 ПП 3 [Т] 4 ПП графики не пересекаются.
38

Т-55| | Вар. 011 [Логарифмическая и показательная функции!
Область определения функции у = J(4X - 16) • logo 5 ~
V ' х
совпадает с множеством
|TJ [2;+00) [Т| (-00; 2) U [3; +оо) [7] [2; 3]
[7] (0;2]U[3;+oo) |Т| (-оо;0) U [2;3].
251 Все значения параметра а, при которых уравнение
9х + а • Ъх + а - 1 = 0 не имеет решений, образуют множество
Г] (-oo;2)U(2;+oo) [Т] (-оо;+оо) [7] [1; 2) U (2;+оо)
71 [ |Т|
4 Множество решений неравенства log2 x > log^. 16 равно
(0;l)U(4;+oo) [7| (0,25; 4) 0 (0, 25; 1) U (4; +оо)
Н (1;4) IT] (0;0,25)U(l;4).
4-
Наибольшее решение неравенства
принадлежит промежутку
[Т] (2; 4) [Т] (5; 7) [I] [1;2]
| 4 | (1,5; 2,5) | 5 | такого промежутка нет.
< 12
281 Множество значений функции у = log3 т-.—- при х Е [— 1; 1]
■■^™ \х\ — 2
совпадает с промежутком
| 4 | [1; log2 3] I 5 I функция не определена на этом промежутке.
291 Сумма целых решений неравенства Iog2a:(x2 — Ъх + 6) < 1 из
интервала х е (-20; 10) равна
ГП 9 ITI 12 1Т| 17 (Т| -574 Гб! -432.
301 Множество решений неравенства logo?5arcsina: f —) < 1 равно
39

Т-55| | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции] П
01
Число Iog2 log3 81 равно
"Л 4 |Л 6 [Т| 8
16.
021 Выражение l,51og|6|3(a+6)~2+logb2(v^-a+V^)2 при условии
(\а\ > \Ь\) равно
|4| log6 (y/b - л/^а) [б] не существует.
16
031 Корень уравнения 18^ ~ 2 = — • (0, (2))"3 равен
81
гтп б гп 2 гпз m 4 пг|5.
041
Обратной к функции у = Зх+2 является
У =
2x-i
У =
y = log39x.
051 Произведение lg 7 • log9 10
71-2 |T| -0,5 ПГ1 -0,25
7Г
— • log7 2 равно
о ^^
П 1 Ц] 0,5.
06
Т]
[Г
Область определения функции у = ч/-т= —
[-2;0) [7| (-оо;0) |Т
^ равна
(-оо;-2)
[-2;+оо)
(-oo;-2]U(0;+oo).
071 Промежуток числовой оси, на котором совпадают графики
функций f(x) =\og7(x3—x2—6x)4 ид(х) = 41og7(x—3)+41og7(z2+2;r),
равен множеству
[Т|(0;+оо) [2](3;+оо) 1Т|(-2;+оо) |T|(-oo;-foo) |T|[3;+oo).
081 Сумма расстояний корней уравнения log. .2 v2 = — до
начала координат равна
11 | величина неопределенная | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6.
40

Т-55| | Вар. 02*1 [Логарифмическая и показательная функции]
091 Вычислить З(1о6з 4 + log9 25 - log27 125)
Tl 1 IT1 2 ГзП 3 ГЛ 4 |Т1 5.
1О| Сумма целых решений неравенства
равна
гп 14 m 25 m i8 m 16
я — 2) > -3/2
Числа а = Iog49, 6 = Iog614 и с
соотношению
ПП а<Ь<с [Т] Ь<с<а
ПГ] 6 > а > с ПП 6 > с > а.
1,5 удовлетворяют
I b<a<c
Сумма корней уравнения 8х + 4*+0'5 - 5 • 2Х+3 + 26 = 0 равна
ПП о ГгП з Гз1 б ГТ! 4 ГбП 5.
131функция у = | log0 5 з + 1| + | log2 x-2\ совпадает с линейной на
промежутке
Ш (0;1] 0 [1;2] [з] [2; 4] [Т| [0,25; 2] [][][1;+оо).
Вычислить
25
11 2 2
5 5.
Все решения неравенства —л/4 — 4х < 2х — 2 образуют
множество
ГГ](-ос;1) |Т|(-ос;+ос) ГЦ (0; 1) |Т| (0; оо) ГГ|(-сх>;0).
161 Если lg 6 = a, Ig2 = 6, то lg 15 равен
TJ a-6-fl [2] a-26-fl [з] 26-a+l
[7\ 2a-6-fl IT] a + 6-fl.
41

|Т-55| | Вар. 021 [Логарифмическая и показательная функции] Гз]
171 Множество решений неравенства
х2 - Ах + 1
13->/120
равно
[l
[I
_2j (-oo;l)U(3;+oo)
Ц] (-оо;3).
181 Область определения функции у
совпадает с множеством
[7] (0;2) |Т| (-oo;0)U(l;+oo)
[7] (2;+оо) ПП (0;1).
logl_iC(2a;-a;2)
И (0;+оо)
1
-| q I
равно
201
[T
211
Множество решений неравенства
Сумма корней уравнения 2 logg x —
1 у Ш -jf Ш у Ll
Число корней уравнения | log2 |
bg2 logQ
31og:r9 =
i f
x|| = sin я
4 |T
(3)log5x > 0
) И®.
1 равна
равно
0.
221 Множество значений функции у = 2х - 2 + 3log» (6х х ~ 5)
совпадает с множеством
ГТ](8;9) 0(0; 9] [1](-1;8] 0(7; 8) [7] (4; 6).
231 Количество точек пересечения графиков функций
у = log* + з(*2 + 2х - З)2 и у = 2 равно
\l\ 1 Гг] 2 [71 3 [7] 4 [7| графики не пересекаются.
42

Т-55| | Вар. 02j [Логарифмическая и показательная функции| РГ
241 Область определения функции у = ?/(25* — 5) • log2 -
совпадает с множеством
[Г] (—1;0,5] [Т] (-ос; 0, 5] U [3;+оо) [Т] [0, 5; 3]
ПП (-l;0,5]U[3;+oo) ПП (-ос;-1) U [0, 5;3].
251 Все значения параметра а, при которых уравнение
4х + (а +1)2* + а = 0 имеет ровно два решения, образуют множество
[Т] [2](-оо;0) ПГ|(-оо;-1) |Т|( |T|
261 Множество решений неравенства Iog3(x + 2) <
И (-2; -у)и (-1;7) 0 (-2; -1)и
Ц] (~;-1) U (7;+оо).
81 равно
(-1;7)
>6
27| Наименьшее целое решение неравенства 3^og3x
принадлежит промежутку
[Г] (2; 4) Гг] (5; 7) ПЛ[1;2] |Т](1,5;2,5) [^такого промежутка нет
281 Множество значений функции у = log2 — при х €
г*^^ И+ 2
[—10; —4] совпадает с промежутком
И [\'Л\ 0 [bg32;l] [1] [1;3]
| 4 | [1; log2 3] | 5 | функция не определена на этом промежутке.
291 Множество решений неравенства log:r2(3-2x) > 1 совпадает
с множеством
[Г] (-ос; -3) U (1; 1,5) [Т] (-ос; -3) U (0; 1, 5) [S] (-3;-1)
0 (-l;0)U(0;l,5) ПП (-1;0) U (0; 1) U (1; 1,5).
301 Множество решений неравенства
Равно
43

I Вариант 011 | Тригонометрия |
01
Выражение sin (a - —) • cos (a ) • cos (a - тг) равно
| 1 I — sin a • cos2 a
4 — cos3 a
sina-cos a 13 I — sin a
sin3a.
r» • 7 17 19 7
Величина sin -тг + cos —тг + tg —тг + ctg -тг равна
71-2
>/2 - 2 Гз1>/2
Tl 2 ГбП 2 — >/2.
16 212 33 4 tg20 5 1,5.
041
тг
Число — является корнем уравнения
4
sin2 х + a sin x cos х — 3 cos2 х = 0 при а, равном
О
0,5
2,5.
4 Если sin a -f sin (2,5тг + a) = 0,2, то sin 2a равен
0,8 [T] -0,8 |T] 0,5 |T| -0,96 Qf] 0,96.
061
Величина arccos (cos (— -тг)) равна
о
3 §
2
а -5
[4J --тг
071 Если tga = —, a 6 (-тг;3тг), то величина ^Л-1,25 -cosa
равна
|l| -1 ^П - [T] - [4j не существует [б] 1.
о 4
081 Все корни уравнения sin 2x = -- образуют множество
тг
|I 5 тг
Ц ±^
44

Т-61| | Вариант 011 | Тригонометрия |
7Г 7ГЧ
Если sin a = 6 - 2 и а е (—; -), то величина 6 заключена в
промежутке ^_^ ^^ ^^
ГП (-со;?) Ш (1:3) ГЛ (|;|)
И (§;+«>)
101
„ _ 5 sin a — 3 cos а
Дробь —— при ctgQ = -2 равна
2 cos q + 3 sin q
а п
Все решения уравнения sin4 х — cos4 x = v^3/2 определяются
[юрмулой, (п € ^)
гп +К
\3] ±-+2пп
Область определения функции
у = v/(ctg 42° - х)(х - sin 42°) совпадает с множеством
[T|[sin42o;ctg48o] [7] [cos48°;ctg42°] |~3~| [ctg42°;sin48°1
\Т\ [ctg 42°; sin 42°] ПП (-оо; sin 42°] U [ctg 48°; +оо).
131
cos 105 равен
Наименьший положительный период функции
у = sin (тгх + 3) равен
ГГ] тг QJ] 2тг [Т] 1 |Т|- |Т| 2,
Сумма корней уравнения cosx = — \/3/2, принадлежащих
промежутку [-тг; — ], равна
7тг
У
1 1
1 2 1
1—1
5тг
6
1—1
1 3 1
Зтг
2
а I в т-
45

Т-611 | Вариант 011 | Тригонометрия |
Если cos a = - и а б (-тг; 2тг), то величина cos — равна
о 2 2
о о о 0 0
Число решений уравнения tg х = cos х на промежутке [—тг; тг]
равно
ПП 4
з ГзП 2
о.
181 Корни уравнения sin2 x = 3(1 + cos я) равны (п е Z)
\1\ Ьтгп | 2 | корней нет | 3 | 2тгп | 4 | тг(2п + 1) [ 5 | тгп.
2
Множество значений функции у = (sin x + cos я)2 равно
Л[-1;1] Н[0;1] |Т|[0;2] [T|[
201 Все углы из промежутка [0; -тг], удовлетворяющие
неравенству tgz < -1, образуют множество
Область значений функции у — cos2 x + sin x - 0,5 совпадает
с множеством
221 Область определения функции у = arcsin (x - 1) совпадает с
множеством
тг тт..
'Г Г'
231
Дробь
sin 70° + cos 40°
sin 280°
равна
Т! tg3oo° ITI tg3i5° \T\
-l.
46

Т-61| | Вариант 011 | Тригонометрия |
0,5
1 + sin х
-
на промежутке
241 Наибольшее значение функции у =
Г7Г 5 .
х £ [тг; 771"] равно ,—. ,—, ,_, 1 I—, I—,
66 I 1 I 100 |2| 40 |3| - 141 4 15 I 1.
251 Острый угол между прямыми у = 2хиу=- + 1 равен
~~1 о
arctg2,4 U] 60° [б] 90°.
Т] 45° |Т] arctg—
т* SinX
Решения уравнения -Ц = х определяются соотношением
sin х
x =
[2J x = ±l |_3_
[Т] х - 2жп [б] х Е (-оо; -f оо).
=- + 2тгп
27| Все решения уравнения tgх - ctg -— = tg \/3 • tg - • tgx
■•" 6 8 8
определяются формулой (п е Z)
7] ^
-
[б] 2^
281 Множество значений функции у — — arctg (х2 — 4х -f 5)
равно ж
ГГ1[1;2) [Ц[-1;2) Гз](-2;1] [Т| (-2;2) |1][-1;+оо).
29
7ГХ
Количество корней уравнения
sin
v/(x-5)(200-x)
Tl 1 ГТ! 38 [Г! 39 ГТ1 40 |Т| 41.
= 0 равно
Нуль функции у = sin (тг(2х - х2 + -)) - х2 -f 4х - 5
принадлежит промежутку
47

Т-61| | Вариант 021 | Тригонометрия |
011 Выражение cos (а — —) • tg (а ——) • tg (8тг — а) равно
111 — sin а | 2 I cos a \ 3 | sin a | 4 | — cos a | 5 | tg2q - sin a.
I 7 7 1 t\ 7
021 Величина sin(—тг) + cos -тг + tg—тг - ctg(—тг) равна
ПП л/2 (П 2.
7] -уД Ы v^-2
031
Дробь
sin 54
cos 63° sin 117'
[Г] -i m -2 in
равна
5 1.
04
Число -тг является корнем уравнения
4
sin2 х + a sin x cos я + 2 cos2 я = 0 при а, равном
О
0,5
2,5.
051 Если sin a + sin (3,5тг + a) = 0,2, то sin 2a равен
ll 0,8 IT] -0,8 ПН 0,5 \T\ -0,96 ПП 0,96.
06
Угол arccos (sin (- ^-)) равен
07
Если ctga = —3- и тг < а < 2тг, то sinq равен
а к 01
24*
к лА
081 Все корни уравнения cos2x = образуют множество
ПП тг тг
2 (-1)"+^-- + ^
Ш ±^
48

Т-611 | Вариант 021 | Тригонометрия |
Если cos a = Ь — 2 и а £ (—; —), то величина 6 заключена в
промежутке
[Г] (-оо;3) [Т| (2;+оо) [з] (*
И (|;3] 0 (3;+оо).
101
_ - 5 COS Q — 3 Sin Q
Дробь — при ctg a = 2 равна
2 sin а + 3 cos a
i rri 13 m 7 p
7 Ш T L^J 8 L
ТТГ 5 -11.
равен
Если a - угол треугольника и sin4 — = cos4 — + -, то этот угол
150
Гг! 60° Гз| зо°
U\ 120° Ul 135°.
Область определения функции
у = у/(х — tg27°)(cos 63° — х) совпадает с множеством
[Т] [sin 63°; ctg 27°] [T| [cos 63°; ctg 63°]
[7] (-ос; sin 27°] U [ctg 63°; -foe) [T] [ctg 27°; sin 27°]
\b\ [ctg 27°; sin 63°].
sin285° равен
"Г| л/2-л/б ПП л/2-л/6 ПГ1 л/2+л/б Г
Наименьший положительный период функции у = tg — х равен
ПП 3
2тг.
151 Сумма корней уравнения sin ж = —0,5, принадлежащих
промежутку [-—; 2тг], равна
О О О
а ^ ш ^.
49

Т-6Ц | Вариант 021 |Тригонометрия|
ifii^ . 4 /ЗлЧ .а
loj Если sin a = —- и a G (-тг; 2тг), то величина sin — равна
5 2 2
оо ооо
171 Число решений уравнения ctgx = sinx на промежутке
^ ) равно
|T|i ГгП 2 Гз1з ГТ1 4 ПП о.
181 Корни уравнения 2 cos2 x = 4 - 5 sin x равны
7Г Г~| 7Г
191 Множество значений функции у = (sin2x - cos2x)2 + 3 равно
Т\ [4;4л/2] [Tl [0;4] IT] [3; 6] IT] [3;4>/2] ПП [3;5].
201 Все углы из промежутка [—; тг], удовлетворяющие
неравенству tgx < — \/3, образуют множество
| | . 7Г 7Г. I I . 7Г 2 , I I - 7Г 2 ^
I I /Я" ^1 I _ I /Я" ^1 /^ 2 1
2 о 2 о 2 3
211 Наименьшее значение функции у = 4 sin x — cos2 я + 9 равно
ПП 1 Г^П 2 Гз1 3 ГГ1 4 Гз! 5.
Область определения функции у = arccos \x — 1| совпадает с
множеством
231
Дробь
tg300°
cos 20° - sin 50°
cos 280°
И tg315°
равна
5 -1.
50

Т-61| | Вариант 021 | Тригонометрия |
241 Наибольшее значение функции у = -
0,5
Г7Г 2 .
€ ^V з71"^ равн0
-f COSX
1
на промежутке
JJ ЮО [2J 40 |_3J - [4J 4 [_5J 1.
251 Острый угол между прямыми у = Зхиу=- + 2 равен
Т| 45° ПП arctg^ [I] arctg2,4 \a\ 60° ПП 90°.
о
_ COSX
Решения уравнения J L = x определяются соотношением
COSX
11т— 1 О т LI I Q
[Т] х = 2тгп [Т] х Е (-оо; +оо).
тг
Все решения уравнения tg х + ctg -
D
определяются формулой (n E Z)
И2тг i—i 7тг
-— + тгп [5J ^"
6тГ /— 7Г
tg —— v 3 • tg - • tg x
O 5
И "1^
Множество значений функции у — - arctg (-х2 + 6х - 8)
равно
29
7ГЖ
Количество корней уравнения
sin
v/(x-3)(210-x)
Tl 68 ITl 69 IT! 70 ITI 71 ITI 1.
= 0 равно
301 Нуль функции у - cos(tt(3x- x2 + 6)) - х2 + 8х - 17
принадлежит промежутку
51

| Вариант 011 | Тригонометрия |
Выражение
Зтг -f 2а 2а - тг
- tg ——
й—/ г—-—
cos (тг + а)
равно
ctg2 a I 2 | ctga I 3 I tga [4J - tg2 а ПЛ — ctga.
02 I
Выражение
1
1
Zo PaBH0
l-2cos30u l + 2sin60L
T] 1 [T| -1 ПЛ не определено [Т| 2 ПП -2.
031
Величина 2 • sin2 1 равна
12
-V 2 -V-
Выражение sina|sin<*| + cosa| cosa|, где a 6 (-тг; 2тг), равно
Т| 2 ГТ1 -1 ГТ1 cos2q ГТ1 -cos 2a ПП 1.
Если tg a + tg( -тг - а) =5, то tg2 a + ctg2 а равняется
z
Л 26 Ы 24 ПЛ 23 [71 25 ПЛ 27.
равна
Величина arcsin ( ) + arcctg (—\/3) -f arccos 1 + arctg (-1)
071 Найти tg а, если | cos a| -f cos a = 0 и sin a = —0,6
T] 0,75 IT] -0,75 [T| -1,(3) ПП 1,(3) [T| 0,9.
081 Все решения уравнения tg x • ctg x + sin 4x = 1 определяются
формулой, (n G Z)
4 2
52

Т-62| | Вариант 011 | Тригонометрия |
091 Уравнение 3costtx = 2a + 5 имеет решения при любых
значениях а из множества
Произведение tg 3° tg 6° tg 9° •... • tg 87° равно
1 I 1 [2j 2 [з
[4_] — [б_| вычислить невозможно.
о
Все решения уравнения sinx + \/3cosx = 1 определяются
ормулой
±1 + 2™
И ±у + 2*»-
Область определения функции
у — л/х(х + sin40°)(х + tg40°) совпадает с множеством
[T][-tg40o;-sin40o]U[0;4-oo) |Т] [-tg40°; 0] [Г] [-sin40°; 0]
\t\ (-ос; - tg 40°] U [- sin 40°; 0] ПП [- sin 40°; -hoc).
i£j
sin (a - /?) 1
Если — = -, то произведение cos a cos /3 равно
tga-tg^ 5
1\ - | 2 | - | 3 | - | 4 | - | 5 | нельзя определить однозначно.
0 0 0 0
14| Наименьший положительный период функции
у = cos2 (- — —) + sinx равен
| 4 | бтг | 5 | функция не является периодической.
Сумма корней уравнения sinTrx = — \/2/2, принадлежащих
промежутку [0; 2,5], равна
ГП 3,25 [Т] 2 [з] 2,25 [Т] 4,25 [7] 3.
53

Т-62| | Вариант 011 | Тригонометрия |
16| Значение выражения ^0,5-0,5^/0,5 + 0,5cos200° - cos50°
равно I—. !—. .—,
| 1 | -2cos50° [2J sin5°-cos50° [jjj 0
ГТ1 sin 80° - cos 50° ПП sin 10° - cos 50°.
Число точек пересечения графиков функций у = и
у = cos х равно .—. .—. .—. .—. .—.
10 21 32 43 54.
Если 4, 5 sin 2a — 2sin2 a + 4 = 0 и а £ (^-; ^тг), то значение
tga равно
И -0,5 Г
-4 [з] 0,5
к2'4
4
-2.
191 Множество значений функции у = 3 sin x — 5 cos x равно
LJ][-5;5] [7][-3;5] [з][-5;3] И[
Неравенство (sinx - ~)у{х - ^)(*7Г ~ х) > 0 справедливо
на отрезке, максимальная длина которого равна
О о О О О
Множество значений функции у = sin4 2x+cos4 2x совпадает
с множеством
0[О;1] 0[О;1,5] [з][0,5;1] |Т|[0,5;1,5] ПП[0;2].
функция у = д/ arccosx определена на промежутке,
максимальная длина которого равна
I—I Fk
01 + J 00,5 02 02-J Ш1-^-
^ sin a -f sin В п
Выражение ^, где а, /? -острые углы прямоугол-
cos а h cos ^
cos a + cos
ьного треугольника, равно
3 1 4-1 5 2.
54

Т-621 | Вариант оТ] | Тригонометрия |
241 Множеством значений функции у = (sinx ) г является
LU \-ъ
\J] [2;+00)
(-00;--]
[4j (-оо;-±]и[2;оо) [б] [-£ £].
251
л/3
Вычислить
Л 1 ПЛ 2
sin 50° + 2 sin 10°
cos 50
Число, ближайшее к одному из корней уравнения | sin |х|| = 0,5,
равно
1| 3 |2| 4,5 |3| О UJ 1 Ы -0,5.
Все решения уравнения \fl-s\w. х = ->/sirTxTT определяются
эрмулой (п, к е Z)
1\Х = ±j Ч-7ГП
х = - Ч- тгп Гз] х = - Ч- 2тгп
6 ^—^ 2
[Т] X = (-1)" + ! • | + ТГП [7| X! = (-1)" + ! • | + 1Гк, Х2 = | + 27ГП.
281 Областью значений функции у = arctg I - 2 sin (х И—) + 5 ]
является промежуток
[V3;7] [7| [J; arctg V7] 0 [J; arctg V?]
ill [ё;4]
291
тт « , costtx Ч- 0,5
Число нулей функции у = . равно
"П 3 ГгП 4 ГП 5 ГТ! 6 fsl бесконечно.
301 Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функ-
ции /(х) = cos2 - + V- cos2 Зх
ПП 2Ч"^3 ГП 2" IT! 0 ГТ| 1 \Т\ найти невозможно.
55

X-62| | Вариант 021 | Тригонометрия |
Выражение
5тг - 2а 2а — Зтг
cos ctg
4
равно
П ctg2 а
4;
sin (а — Зтг)
ctgq [jT] tga [T] -tg2a [5J -ctgа.
Выражение
п n равно
tg60°-1 ctg 30° 4-1
1 [2j -1 Ш "з LU 3
-3-
03
Если sina = —, то cos2a равен
041 Выражение sin a \ cos a | — cos a \ sin а |, где а 6 ( —тг; 2тг), равно
Т| О |Т| sin2a fTI -sin2a ПП 2cos2q [T1 1.
051 Если tg (тг — a) + ctg a = 5, то tg2 a + ctg2 a равняется
ПП 26 ЦП 24 Гз1 23 IT! 25 |П 27.
061 Величина arccos (--) + arcsin — arctg —= - arcctg \/3 равна
[I] тг/3 П] тг/2 IT] 2тг/3 IT] 5тг/6 ПП 4тг/3.
071 Найти ctga, если |sina| + sina = 0 и cos a = 0, 8
Т] 0,75 |Т| -0,75 ПЛ -1,(3) |Т| 1,(3) ПП 0,9.
^J Все решения уравнения sin 4х Ч-1 = tg 2x • ctg 2x определяются
ормулой (n € Z)
1 | - -h —п \2\ -п | 3 | — п f4j тгп | 5 | решений нет.
4 2 4 2
56

Т-62| | Вариант 021 | Тригонометрия |
091 Уравнение 3sin7rx = 2a - 5 имеет решения при любых
значениях а из множества ^_^ ^_^
ю
Произведение ctg 5° ctg 10° ctg 15° ■... • ctg 85° равно
T]i 02
— 5 вычислить невозможно.
Все решения уравнения
формулой
a ±£+2™.
— cosx = —1 определяются
TI (-l)nJ
' 0
Область определения функции
у = Jx(x + sin 17°)(х + tg 17°) совпадает с множеством
|[-tg17o;-sinl7°]U[0;+oo) [7][-tg17°;0] [з][-sin 17°; 0]
I (-оо; - tg 17°] U [- sin 17°; 0] ПГ][- sin 17°; +оо).
13
_ cos (а-/?) 2
Если '- = -, то произведение
tft^ 7
• cos а равно
l7 L±J 7
нельзя определить однозначно.
Наименьший положительный период функции
„2,2 тт.
у = 2cosx - sin2 (-x + —) равен
^^ 3 о
Т] 7Г [Т| 27Г [Т| ЗТГ
4J бтг Щ функция не является периодической.
Сумма корней уравнения costtx = -0,5, принадлежащих
промежутку [-1; 1,5], равна
[2J -3
Ш з
5
3'
57

Y-62\ I Вариант 021 |Тригонометрия|
16J Значение выражения
2v/0,125 + 0,125V0,5-0,5 cos 524° - sin 806° равно
[7] cos4o-sin4° [2] 2 cos 4° [T| cos 26° + cos 4°
[71 cos26o-cos4° ("71 0.
f| Число корней уравнения cos (— — x) = — • x равно
\l 11 |2| 2 I 3 13 [4] больше трех | 5 | уравнение не имеет корней.
Если 9 sin a cos а + cos 2а + 3 = 0 и а € (—; тг), то значение
ctga равно
[П -0,25 Ц] -4 IT] 0,5 П\ 4 [II -2.
191 Наибольшее значение функции у = sin x — cos x равно
m 2 in о m I m V2 m 4.
Неравенство (—— cosx)J(x - «я")(«" ~ х) > ^ справедливо
на отрезке, максимальная длина которого равна
о 3 3 6 6
равно
Множество значений функции у = sin4 х + cos4 х - - • sin2 2x
Т|[0;1] Li] [-1; 1] Ш[-1;0] Щ [-2^] Sh^l-
Функция у = Jarcsin x - - определена на промежутке,
максимальная длина которого равна
О о 1
п - cos a — cos 5 . ,лго
Дробь -: :—- при условии а - 0 = 135 равна
sin a + sin P
Tli
58

Т-621 | Вариант 021 | Тригонометрия |
24
Множеством значений функции у = (cos х ) г является
ill [2; +оо)
(-оо;-|]и[2;оо)
25
Вычислить
cos 35°+ 2 cos 85°
л/Зсоз 55°
I 2 m ^
равно
Число, ближайшее к одному из корней уравнения | cos |х|| = —
т т т т
о,5
т -1
т -2 т -з
1.
Все решения уравнения л/2 • sin (—х) = у/\ — sin x
определяются формулой (п, к £ Z)
= -- + 2тгп
\J]x = (-1)" - J + тгп
J
[Т] х = (-l)n+1 • J + тгп |Т| X! = (-1)" • J + пк, х2 = - J + 2;гп.
281 Областью значений функции у — arcctg(2sin(x — —) — 1)
является промежуток
[T][^;7r-arcctg3] [2] [- arcctg 3; |] [з] [arcctg (2 - >/3); 1]
И [f; arcctg (2 + ^3)] Ц] [f; arcctg (2 -
291
тт w , sin тгх -h 0, 5
Число нулей функции у = равно
ГТ1 4 Гз1 5 ПП 6 |Т1 бесконечно.
301 Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функ-
ции /(х) = sin2 - + >/- cos2 Зх + 2
1 | 5 | 2 | 5 Н | 3 | 5 | 4 | 0 [б_| найти невозможно.
4 4
59

Т-631 | Вариант 011 | Тригонометрия |
I 3 15
011 Выражение sin (-тг - а) • tg (а — тг) - cos ( — тг - а) равно
2 2
Т] 0
[з]-2 sin a [Т] 2 cos а \b\ -2 cos а.
-2
Выражение ^ равно
cos —тг -f-1
^ [H-2-V2 [71 2-^
031 Величина cos 195° • cos 105° + sin 105° • cos 75° равна
2 2 2 2
041 Выражение sin2 a — cos ( a) • sin ( а) обращается в нуль
при любом а, если п равно
ГТ1 1 Izl 2 ГзП 3 Г^! 4 ГвП 5.
051 Значение выражения sin4 h cos4 — равно
■V Ш -V ш 1 Ш °-75 ш ?•
06
/о
sin (arccos (—1) -f arctg —) равен
2
V I 3 I ^— 4 --5—
07
Величина cos (arcctg (-3)) равна
vTo
2 -
1
4 -
1
^®| Все значения х, при которых выражение
смысла, определяются формулой
cos2x
лишено
60

Т-631 | Вариант 011 | Тригонометрия |
091 Равенство sin /? = 4, 5 - а2, где /? G [0; -], a < 0, выполняется
при всех значениях а, принадлежащих множеству
[Т| [7|] |7][-^У2;-2] [Т|(-оо;-2] [T|(-oo;i).
Ю
_ sin a —3 cos a
Ьсли т-. = 2, то величина tga равна
-3
3
2 sin a — cos a
3 4
5 невозможно вычислить.
111 Решением уравнения
sin240°-sinx = ^ —hcos2 140°-cos(270°—x) является множес-
arccos(—0,5)
TB° ГЦ ±^
121 Положительной среди приведенных является величина
ctg6 [Т] cos 5 [з] sin 4 [Т] sin 6 [Т] tg2.
Если синусы двух острых углов треугольника
соответственно равны 0,2 и 0, 6, то косинус внешнего угла треугольника,
не смежного с двумя данными, равен
f~~i 8v 6 + 3 г™-| 8v 6 — 3 г™-| 8v б — 3 г~| 8v б + 3 г~™| 6
25 5 25 5 ^—^ 25
14| Наименьший положительный период функции
у = cos(- - 2x)(ctg (тг + х) - 2ctg2x) равен
4^2
| В
2тг
15 I cosx — -
.^J Сумма корней уравнения /л ^-. = 0 из промежутка

Т-63| | Вариант 011 |Тригонометрия |
m
-i ct i -r^ 24 тг . o.
lo| Если tga = —— и угол a G (^-;тг), то sin — равен
Tl 0,8 [2] -0,8 ПЛ 0,6 IT] -0,6 ПП 0,5^3.
Число точек пересечения графиков функций у = cosx и
у = (х - 0, 25тг)(х - 0,75тг) равно
ГТ1 1 ГТ1 2 ГзП 3 ПП 4 ITl 5.
а
18j Если sin a + cos a = 0,5 и a G (Зтг/2; 2тг), то tg — равен
19
Множеством значений функции у — cos(x H—) на отрезке
6
a^G [-|;^] является
L L L L Z Z Z
201 Все углы из промежутка (—тг; — тг), удовлетворяющие
неравенству — 1 > tgx > — л/3, образуют множество
Наибольшее значение функции у = sin6 x + cos6 x равно
Т| 0 [Т\ 1 [з] 0,5 [Т! 0,25 ПП 0,75.
утка
Неравенство arcsin х < — выполняется при всех х из
промеж23
Если a = 217°30\ р = 187°30\ то sin a -sin /3 равно
62

Т-631 | Вариант 011 | Тригонометрия |
241 Область значений функции f(x) — (2cosz - 1) 1 совпадает
с множеством
[7]± |T]i [7| [-1; 0) U (0; \]
7|[-3;0)U(0;l] [б] (-00;-i] и [1;+00).
251
Вычислить
Tl 1 ГЦ -1 ПЛ УЗ
И -^3 m tg=
261 Если х удовлетворяет неравенству (z2+5z+6)(x2 + ll£+30) < 0,
то
| 1 | sin 2х > 0 [2j sin 2x < 0 [3j cos2x > 0
[Tl cos 2x < 0 IT] tg 2x > 0.
271 Решить уравнение 2 arcsin2 x + arcsin x - 6 = О
Щ sin(l,5); -sin2 [2J -sin2 ^ sin 1,5
\4\ sin(l,5); sin 2 | 5 | нет решений.
28| Областью значений функции у = arctg(\/v^3sinx + cosx + 5)
является промежуток
И Ь/3;7] _
IT] [arctg(5 -л/3- l);arctg(5 + >/3+ 1)] [Т| [^; у]
[71 r_2L;^l.
I ** I L /? ' о J
[I] [|;arctgV7]
равна
Сумма корней уравнения (sin жх — л/z cos л-r)-arcsin I ) = 0
а
^ Гз1— ГП — я
о о о
ГПоо
Число корней уравнения cosтгх+cos5тгх = -2 из промежутка
Г*! 2») равно ГЦ 9 ГЦ 28 ГЦ 23 ГЦ 5 ГЦ 0.
63

I Вариант 021 | Тригонометрия |
I 19 3
011 Выражение cos (— тг — a) + sin (a — -тг) • tg (тг — а) равно
1 ' ' ' ГТ12 cos а ПП
02
[T] л/2 - 2
Выражение —
2-л/2
sin — тг + 1
равно
Т]-2-\/2 [T]2-\/2 |5| 2 + л/2-
Величина sin 23° sin 53° + sin 67° sin 37° равна
1 ^— 121 — 3 —^— 4 -- 151 -.
041 Выражение cos2 a — sin ( a) • sin ( a) обращается в нуль
при любом а, если п равно
ITIi I2I2 Гз1з ГТ|4 Г715.
051
/ . 5тг Зтг\2
Значение выражения I sin h cos — I равно
-^ 2 -^- 3 1 4 0,75 5 1 + -=-.
cos (arcsin - + arccos 0) равен
Величина sin (arcctg (-2)) равна
1 — 2 -— 131 -^— 141 ^~
081
Все значения х, при которых функция у =
определена, задаются формулой (п е Z)
ctgx
не
_TJ — Н- 2тгп
Z
- + тгп
2
^ • п [4J тгп
2тгп.
64

Т-631 | Вариант 021 | Тригонометрия |
091 Равенство cos f3 = a2 - 3, 5, где /3 G [^; -], a > 0, выполняется
при всех значениях а, принадлежащих множеству
1Т][2;+оо) [Г] [л/375; +ос) [з] [0; 2] [Т|[0;3,5] |Т| [у/З^; 2].
Ю
_ cos a — 3 sin a
Если : = 2, то величина ctg а равна
2 cos a — sin a
—3 | 2 | - | 3 | — | 4 | 3 | 5 | невозможно вычислить.
О О
111 Решением уравнения
sin2 50° • cos x = arcc 8v / / +sin24Qo-sin(27Q°-;r) является множес-
тво
2arcsin(---)
77
о
тг
б"
(-1)"-+™, n
4 Отрицательной среди приведенных является величина
ctgl [2] cos 7 [Т] sin 2 [Т] cos 10 [Т] tg 4.
Если синусы двух острых углов треугольника
соответственно равны 0,4 и 0, 8, то косинус внешнего угла треугольника,
не смежного с двумя данными, равен
ryi3\/2l+8 г—■ Зл/2Т— 8 г—|3y/2l-8 ГТ1_6_
^"~^ 5 ^™"^ 5 ^шшт^ 25 ^—^ 25
25
141 Наименьший положительный период функции
у = sin 2x(tg (1, 5тг - ar) - 2 ctg 2x) равен
2тг [71
4^2
а I
Сумма корней уравнения — 2 = 0 из промежутка
Vtgx
/^ 9 ^
75«ff Равна
62
о
Зтг
П8 |—| 13 |—| 19
2тг |з| -тг Ul —тг [51 — тг.
о О О
3 - 831
65

Т-63| | Вариант 021 | Тригонометрия |
Ш
7 ,3 о ч а
Если ctga = — — и угол а Е (-тг; 2тг), то cos — равен
Т| 0,8 [Т] -0,8 ПЛ 0,6 |Т| -0,6 ПП 0,5л/5.
Число точек пересечения графиков функций у = sin x и
-£)(* + ^)равно Г"!! m2 ГзЪ R14 [715.
18
Если sin a + cos a - 0,5 и a G (т^тг), то tg — равен
Множеством значений функции у = sin(| — x) на отрезке
xG [~^т] является
1 [--
20
Все углы из промежутка (—-тг; —тг), удовлетворяющие
неравенству — 1 > ctgx > — у/3, образуют множество
U [-7^5-0*] Ш
Т1 г 5 _1 1
4"' 3"J
[Л [_i,._iff] 171 [--тг;--7г].
5 7
"4*5 "в*]
Область значений функции у = sin6 x + cos6 x + cos 2x равна
221 Неравенство arccos х > — выполняется при всех х из
промежутка
23
Если а = 37°30\ ^ = 367°30\ то cos a -sin /? равно

Т-631 | Вариант 021 | Тригонометрия |
241 Область значений функции f(x) = (1 — 2sinx)"1 совпадает
с множеством
3 3 3
[7| [-3; 0) U (0; 1] [Г| (-ос; -±] U [1; +оо).
Если x удовлетворяет неравенству (z2-5z+6)(z2-llz+30) < 0,
T0 [T] sin | > 0 [T] sin § < 0 |T| cos f > 0
\T] cos f < 0 ПП tg f > 0.
Решить уравнение 3 arccos2 х — 8 arccos х — 3 = 0
Т] cos(-);cos3 ^П cos3 ПЛ cos(-
3 3
_4j — cos(-) | 5 | нет решений.
Областью значений функции у = arcctg(</3 cos x — sin x — 1)
является промежуток
[Т] [f; тг - arcctg 3] [7] [- arcctg 3; f ] [з] [arcctg (2 - уД); 1]
[Т| [f; arcctg (2 + у/3)] [б] [f; arcctg (2 -
291 Сумма корней уравнения (cos x — л/Z sin x) • arccos ( ) = 0
равна _ 5 10 4 8 ^L
| 1 | -тг | 2 I —тг | 3 | -тг | 4 I -тг | 5 | оо.
о О о о
301 Число корней уравнения sin тгх + sin 5тгх = 2 из промежутка
П 8 |Т] 27 Гз1 23 ГП 4 ПП 0.
67

Т-64| | Вариант 011 | Тригонометрия |
01
cos2,97r-tg2,47r-tgl,l7r
Выражение 2—- —— равно
1 2 -1
cos 0,9тг
2 ГТ1 -2
0,5.
021 Величина
Т|л/3-1 [Т]л/3
равна
cos 1110° + cos 2220° + cos 3330°
1 |3l —-— Ul —-— [5|не существует.
031 Если tg а = 1, tg (а - р) = 3, то tg ft равен
041 Решением уравнения х = sin a-fx cos а является любое число,
если
1 1 | а = тгп |_2j a = 2тгп |_3j а = (2п + 1)тг
IT] a = £ + 2тгп IT] a = (4п - 1) • ^, n G Z.
Если sin a + cos a = 1, 25, — < a < -, то cos 2a равен
06
Произведение — arcsin (sin 3,2тг) равно
7Г
1 32 2 2 3
4 12 5 -2.
О'
sin (arcsin —- + arccos(--)) равен
^ о
Все решения уравнения sin я+cos х = 0 определяются формулой,
Т] х = ±тг/4 + тгп [^] х = -тг/4 + 2тгп
\Т\ х = ±тг/4 + 2тгп Гб1 х = -тг/4 + тгп.
= (-1)п7г/4
68

Т-64| | Вариант 011 | Тригонометрия |
091
ТГ ТГ
Равенство tga = a2 — 8, где a G ( —; —) и a < 0, выполняется
;
при всех следующих значениях а:
[7] a < -3 [Т] a > 3
ПП -3<а<0 ПП 3>а>-3.
а < ±3
Если tg — = — 2, то угол а принадлежит четвертям
1 I 1-й 2 2-й 3 3-й 4 4-й 15 1 1-й, 2-й.
Все решения уравнения 2sin2 65° • sinx = sin40° + sin2 25°
оЬразуют множество
7] ±| + 27ГП
-+ТГП
о
121 Положительной среди приведенных является величина
^ - cos
7 5
Т] cos 37° - cos 27°
cos 137° - cos 127° [з] cos ^ - cos -
7 5
4 I cos 2 — cos 1
5 I cos 1 — cos 0, 5.
4 Нечетной среди приведенных является функция
у — sin х — sin2 x I 2 | у — sin x • cos х \ 3 | у — \ tg x + ctg x |
I 4 I у = sin х -f cos х | 5 | у = tg x • ctg x.
141 Если наименьший положительный период функции
. 9 ,3тгх тг
у = sin ( 1—) равен 5, то наименьшим положительным
а 3
периодом функции у = тг ctg(2ax + тг) является
2 тт 3 — 4 2,5 5 5.
Произведение корней уравнения у/А — х2 • (tg — — 1) = 0 равно
1 2тг 2 -2тг 3 Зтг 4 -Зтг 5 4тг.
69

T-64J | Вариант 011 | Тригонометрия |
m
16| Величина у/0,5 + 0,5 • v'0,5 + 0,5 • cos а при 2тг < a < -тг
равна г—I a r—i a i—i . a i—i . a \—i .
1 lj - cos - [2J cos - [3j sin - |_4j - sin - [5J 0.
Количество точек пересечения графиков функций у = | tgx|
!ПН= cos х на промежутке х G [-тг; тг] равно
На рисунке изображены графики функций у = tg х и у = cos x.
■if
Ордината точки их пересечения равна
19| Множество значений функции у = \/12sinx + 5cosx — 1 равно
[Л [-14; 12] [2][-1;12] ПГ][0;13] [Т|[-1; у/П - 1] |Т] [^7; y/J7].
201 Все углы из промежутка [тг; 2тг], удовлетворяющие неравенс-
тву д/cosx < —=у образуют множество
Г3 5
11
11
Наибольшее значение функции у = cos2 x — 4Vsin2 x равно
пп 1 ni-i плз r^i 4 m 5.
)
Функция у = Iog2(arcsin(x—1) ——) определена во всех точках
промежутка
[Т|(1,9;2] |Т1(-0,1;1,8) [з](0,1; 1,3) [Т|(1>5;2,5) |Т|(0;2).
23
Выражение sin2 a + cos (— — а) cos (— -f а) равно
^^^ о о
Т] cos2a П] -cos2a IT] 0,5 |Т| -0,5 ПП 0,25.
70

Т-64| | Вариант 011 | Тригонометрия |
2 совпадает с
24| Множество значении функции у — -
^^™ 1 — 4 sin х
множеством
[Г] (-оо;-1]и[3;+оо) [|] [-1;3] |Т] (-оо;0) U [3; +оо)
\7\ (-оо; -1] U (0; -foo) ПП (-оо; 3].
25
Вычислить
"П -1 Гз1 -
cosf
4 -л
V2.
26| Сумма нулей функции у = (х3 - Зх2 + 2х) - ^/^(cos(тгх))
ITIi ITI2 ПЛзГТ|4ПЛб.
27| Найти все решения неравенства 4 < —^~ из промежутка
^^" sin х
Г7Г оТГ. . . О/п- Л*г ш 1 О/тг Q/n- ■
2'2J Ш ["Т^) U (^;
' 2
гтг 2тг. ,4тг Зтг,
' 3
3 ' 2J'
28| Указать промежуток, содержащий и наибольшее, и
наименьшее значения функции у = — arccos(z - 5) + \х — 7|
тг
JU [о; 5]
1;8]
■К 7Г,
291 Сумма корней уравнения arccos (cos 2x) = х равна
~Г] тг | 2 | — | 3 | — | 4 | 0 | 5 | вычислить невозможно,
и о
301 Функция у = (tgx •=)(- + arcsin (tgx) + Iog2(x2 + -))
ш^шя у/о ^ о
принимает только отрицательные значения на промежутках
2 + 7ГП"» R
71

I Вариант 021 | Тригонометрия |
01
cos 0, 9тг • ctg 0,4тг • ctg 2,1тг
Выражение —- —-— равно
cos2,1tt
3 1 0 -1 0 2 0 -2 0 0,5.
021
Величина (cos 1140° + sin2280° + sin3420°)~г равна
~\4 m-Л- mv3-i mi m_^.
031 Если tga = 3, то величина tg ( а] равна
Jj -2 |_2j 2 [Li -- [4j -- |_5j 4.
041 Решением уравнения х - sin a = -xcosa является любое
число, если , , и -_.
I 3 | a = (2п+ 1)тг
| 1 I a = тгп
05 | Если sin а - cos а = 0,25, — < а < —, то cos 2a равен
71 9 m
Ш те Ш
16
Те
061
Произведение — arccos (cos 3,2тг) равно
^^^ 2тг
32 [Т| 2 ЦП 8 ГП 12 ГП -2.
07
cos (arcsin (— —) + arccos(—-)) равен
081 Корни уравнения sin (—х) — у/Ъ • cos (—х) = 0 равны (п Е Z)
О
72

T-64J | Вариант 021 | Тригонометрия |
091 Равенство ctg a = 10-a2, где a G (0; -) и a > 0, выполняется
при всех следующих значениях а:
ПП a > -3 ГТ! а > 3 ПП а < ±3 ГТ1 -3 < а < 3 ПГ1 3 > а > 0.
101 Если tg — = -0,5, то угол а принадлежит четвертям
71 1-й |Т| 2-й Гз1 3-й [Г! 4-й |Т| 1-й, 2-й.
И| Все решения уравнения 2sin2 115° • cosx = cos50° + cos265е
образуют множество
1 ' ~ [7] ±-тгН-2тгп [з! (-1)п • 7 + 7ГП
12J Отрицательной среди приведенных является величина
[Т] sin 121° -sin 21° [Т] sin 2-cos 3 ПЛ sin ^ - sin-^
| 4 I sin—7Г — sin — 7Г I 5 | sin 3 —sin 4.
131 Четной среди приведенных является функция
1 | у = cos х — sin x • cos x | 2 | у = tgx — ctg x + 1
3 I у = tg х + ctg x I 4 I у = tg x • ctg x
5 I y = sin3 x • cos3 x.
Если наименьший положительный период функции
о ,37ГХ 7ГЧ .о 737ГХ 7Г.
у = cos^ ( Ь —) ~ sln ( Ь г) Р^в^н 5, то наименьшим
a о a о
положительным периодом функции у = 7rtg(ax — тг) является
4 10 oU
Произведение корней уравнения
л/(х + 2)(3-х) • (ctg (0,5х) - 1) = 0 равно
Т] 2тг |Т] -2тг [Т] Зтг [Т] -Зтг |TJ 4тг.
73

Т-64| | Вариант 021 | Тригонометрия |
равна
Если - < а < -, то величина у/0, 5 + 0, 5^/0,5 + 0,5 cos4а
1 cos а I 2 sin а I 3 ± sin а 4 ± cos а 5 — cos а.
1' I Количество точек пересечения графиков функций у = | ctg х|
и у = sin х на промежутке х Е [- —; —] равно
Z Ld
ПП2 [Пз Гзп 4 m 5 m в.
На рисунке изображены графики функций у = ctg х и у = sin x.
Ордината точки их пересечения равна
\! [7
^+i т,/^ [7
2
л/5 Ч-1
2
л/5-1
191 Наибольшее значение функции у = у/3 sin x — 4 cos x + 2 равно
ГП 3 ПП 2 ГзП 7 ГТ1 5 Ш
i^ Г 7Г 7Г]
Все значения х из промежутка —;— , удовлетворяющие
L 4 4J
условию ysinx > —, образуют множество
Наименьшее значение функции у = 4Vcos2 x — sin2 x равно
ПП 1 [П -1 Гз1 з ПП 4 ПП -5.
221 Функция у = Iog05(— — arcsin(x - 1)) определена во всех
точках промежутка
[Цф2] И (-0,1; 1,8) 0 (0,1; 1,3) [Т] (1,5; 2,5) [Т|(0;2).
231 Выражение cos2а — cos (— — a) cos (— + а) равно
I] cos2а ПЛ -cos2а [Т] 0,5 [7] -0,5 [Т| 0,25.
74

Т-64| | Вариант 021 | Тригонометрия |
Множество значений функции у =
множеством
1-3 sin2 x
T\ (-oo; -2] U [4; +oo) |T| (-oo;-2]U[l;+oo)
Ю [-2;l].
совпадает с
25
Вычислить
hi ПЛ -l ГТ| -л
sinf
-V2 ГЦ у/2.
Сумма нулей функции у — (х3 — Зх2 — Ах) — ^/cos (тгх) — 1 равна
ПП 1 ГП 2 ГзП з ПП 4 ГбП 6.
гтг Зтгл
Найти все решения неравенства 8 < —г— из промежутка
~~ cos^ х
2тгв Зтг
О L
2тг в Зтг
у;тг)и(тг; —\
2";Т^и^Т;Т^
; у
Указать промежуток, содержащий и наибольшее, и наимен-
2
ьшее значения функции у = - arcsin (х - 4) + |х + 2|
7Г
[3;9]
[Т|[8;9]
291 Сумма корней уравнения (arcsin (cos x) - 2х)(х + -) = 0 равна
^^^ ^^i^^ ^н^ч Q ^^i^^ ^^i^^
[Т1 тг | 2 | — | 3 | -тг | 4 | 0 | 5 | вычислить невозможно.
6 2
Функция у = (ctgx - v^3)(arccos(ctgx) + Iog2(x2 + -))
принимает только отрицательные значения на промежутках
Т| (| + тт; п(п + 1)) |Т| [f + тгп; ^ +
[Г] (тгп; § + тгп)
), п € Z.
75

Т-65| | Вариант 011 | Тригонометрия |
m
Oil Выражение —
cos(29, 5тг + 2) • ctg(19, 5тг -
sin(Vl - 4тг + 4тг2) • cos(-v/16w2 + 8яЧ
[7] sin"12 [Т| -sin"12 [з] 2coS-2l
[71 -2tgl IT] sin"1!-cos-1!.
равно
02 I
Выражение tg615° + tg375° равно
2>/3
03f
Выражение
гл о m i
. ff4 I,
sin —) + 1од^2(2 cos —) равно
l-i m 2 m —2.
041 Если tga • |cosa| -f ctga • |sina| = v^sin(a — —), то угол a
оканчивается в ^_^
11 I 1-й четверти | 2 | 2-й четверти | 3 | 3-й четверти
| 4 I 4-й четверти [б! 1-й или 2-й четверти.
051
_ fi 7Г fi 7ТГ
Выражение sin — -f cosD — равно
16 •-=-
16
4 -
16
061
arccos(sin(—)) равен
5
71 --
L^-1 10
—■ 5
a f
a f.
07 j Величина sin (arccos (-1/3) - arcsin (2/3)) равна
|2л/10-2 г—|л/Ш-2 г—|2>Д0-1 m 2716+2 г—i
081 Все решения уравнения
= у/— sin x образуют множество
[71 ? +
[2\ --+2пп
1—' 4
5 | решений нет.
3 | -7Г + 27ГП
76

T-65J | Вариант 011 | Тригонометрия |
Уравнение 3 sin bx = a2 + 3a - 3 имеет решение при всех а из
промежутка
П(-4;-3,5) |Т|(-2,8;-2) ПГ|(-2;-1) ПП(-1;0) [7|(3;4).
Наименьший из углов, которые составляют часовая и
минутная стрелка в 6 ч 10 мин, равен
Ш |
3 г
Ш г
0 г
fr-
Наибольший корень уравнения tg 3z-ctg4z = -1 из
промежутка х G (0; тг) равен
а !
6 ^—^ 7 7 ^—"^ 2
Область определения функции
у = ^sin6 • (х - ctg 0, 5)(ctg0,75 - х)(х - ctgl) совпадает с
множеством
[l] [ctg 0, 5; ctg 0,75] U [ctg 1; +оо) [Т] (-оо; ctg 0, 5] U [ctg 0, 75; ctg 1]
Т] [ctg 1; ctg 0, 75] U [ctg 0, 5; + оо) [Т| (-оо; ctg 1] U [ctg 0, 75; ctg 0, 5]
T|[ctg0,5;ctg0,75].
-, ~ COSX
Сумма корней уравнения —. = — 1, принадлежащих про-
sinx
межутку [-тг; |], равна lyi тг г^п^ [7]-- ITI-tt ГП-^тг
2 2 2
Если при х — — значение sinTrax равно 0,5, то одним из
периодов функции у = sin (ах + —) • cos ( —) является
3 2 6
ГП тг [Т| 2тг ПП Зтг |Л 4тг ПП бтг.
Сумма корней уравнения (tgх — УЗ) • arcsin — = 0

составляет п
1 I -тг | 2| -тг | 3 | — тг | 4 | 2тг | 5 | величина неопределенная.
о о О
77

Т-65| | Вариант 011 | Тригонометрия |
161 Если cos а = -Щ, 450° < а < 540°, то величина sin ^ равна
[Г] 0,8 [Т|-0,8 [з] 0,02^2 И-0,6 ЦП 0,6.
Сколько корней имеет уравнение
sin (х + f) cos (x-f) = -£* + (V2)-3?
пп 1 m 2 ill з m 4
181 Сумма корней уравнения (x2-7r2)(logcosx(2cosx-l)-2) = 0
на промежутке (-2тг; Зтг) равна
\1\ 0 \2\ 2тг [зП тг [Т] -тг IT] корней нет.
191 Если а е (f;f), P e (f;f), то величина sin (а-/?)
принадлежит промежутку
Uv 2 '2' L£Jv 2 '~2^ LZJv 2J 2 ' L2J^2J ''
V2' 2
201
Все значения х, удовлетворяющие условиям уД • ctg x > -1,
у/2 - sin х > 1, х G [0; тг], образуют промежуток длины
ПП ?я- ПП ? [71 5?.
L±J 3
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции
у = |i/cos2(|tt + х) + |sin2 х — 1 заключена в интервале
ГГ|(-4;-7г) Г7|(-1;0,5) [з]^;4) ПП(2;3) [7](1;3).
221 Множество решений неравенства arccos х2 < 1 совпадает с
множеством
|Т][-1;1] [Г] [-1; -л/c^sT) U (л/cos 1; 1] |Т| (-л/со7Т; л/соТГ)
23| Все решения уравнения sin (^ — х) • sin (x -h ^) = ^
определяются формулой
78

Т-65| | Вариант 011 | Тригонометрия |
F1
241
Наибольшее значение функции
у — log о (sin2 (45° — х) + (sin х — cos х)2 + 1 ] равно
гл о m I in 2 гт| -2 [71-4.
25
Вычислить
1
-1
cosf
sinf
Н tgg
261 Все целочисленные корни уравнения
cos (arccos(x - 1)) = х2 — Ах + 5 заключены в промежутке
[Tj (—3; —1) ^J(f;7r) [3j(-7r;-f) ^у(тг;2тг) |5| нет решений.
Найти все решения уравнения 1,1 + |0,8 - cos2 — | = 1,5 cos x
на отрезке [0; тг]
11 | arccos 0, 8 | 2 | ± arccos 0, 8 | 3 | arccos 0, 7; arccos 0, 8
I 4 | ± arccos 0,7 | 5 | решений нет.
281 Область значений функции у — arctg — совпадает с мно-
^^ X — 1
жестом |yj^_^ [Ц (-f ;0) U [f ;f) 0 {-f } U (f; f)
|±|(0;f]u(f;7r) B(-f;-f]u(f;f).
291 Указать промежуток, в каждой точке которого определена
функция у =
\
sin x — -
sinx —
(2,4; 2,5)
(-0,7; 1,5)
(0,8; 1,5)
(-1,5; 0,9)
301 Найти сумму нулей функции у = >/2sin(2cosx - ^f) - 1 на
промежутке (-|;т)
[Т]arccos \ [Т]2 arccos f 0 f - arccos f [T|o (TJ у - arccos \.
79

Т-65| | Вариант 021 | Тригонометрия |
01
Выражение —
sin(2- 17,5тг) • tg(9, 5тг -
sin(V4 — 4тг -h тг2) • с<
2sin"2l [2] 0, 5 sin"2 1
-2sin"2l ГП sin"1 1- cos"11.
=- равно
1 + 8* + 4) F
[3] -0,5sin"2l
021
2>/3
_ 13тг 5тг
Выражение ctg —— ctg — равно
2 -л
031 Выражение
ПП 0 |2
1
7Г . 7Г.
; - - sin -) +
о о
ГЛ -l
. 7Г 7ГЧ
>in - + cos -) равно
8 8
г ПП -2.
041 Если tga • |cosa| - ctga • |sina| = \/2cos(- +a), то угол a
оканчивается в
11 I 1-й четверти | 2 | 2-й четверти | 3 | 3-й четверти
[ 4 I 4-й четверти | 5 |1-й или 2-й четверти.
051
Выражение sin6 - - cos6 — равно
5
"8
16
16
06
-I в
arcsin(cos(——)) равен
7тг | | тг
I 2w
07
16 4
Величина cos (arccos — + arcctg -) равна
65 о
13
__5_ г—| 253
13 1—1 325
253
325
13'
081
Все решения уравнения \Zsinx = л/— cos x образуют множество
a -j
-7ГН-27ГП
4
решений нет.
80

Т-65| | Вариант 021 | Тригонометрия |
091 Уравнение 2 cos Зх = а2 + 2а — 2 имеет решение при всех а
из промежутка
ГП(-4;-3,5) ГТ|(-2,8;-2) Гз](-2; —1) П](-1;0) Ц](3;4).
Наименьший из углов, которые составляют часовая и
минутная стрелка в 6 ч 20 мин, равен
? 0 ?
0 !■
га тг-
Наибольший корень уравнения tg 5х • tg 6х = 1 из
промежутка х е (-2тг; 0) равен
Ш -д"
"YT Ш ~22
"IT Lll -J7'
Область определения функции
у = y^cos 6 • (х — tg 3)(tg 2,5 — х)(х — tg 2) совпадает с множео
|Т| [tg 3; tg 2, 5] U [tg 2; +оо) \7\ (-оо; tg 3] U [tg 2, 5; tg 2]
|Т| [tg 2; tg 2, 5] U [tg 3; +oo) Q] (-oo; tg 2] U [tg 2, 5; tg 3]
H[tg2;tg3].
Сумма корней уравнения
7Г
| sinx|
cosx
= 1, принадлежащих про-
межутку [-—; тг], равна i—i тг
з]-- [Т] —т
2
Т]о.
Если при х = - значение cos тгах равно -0,5, то одним из
О
периодов функции у = sin (ax H—) • cos (x ) является
6 3
[Т] тг [Г] 2тг ПП Зтг [7] -тг [Г] -тг.
2 2
Сумма корней уравнения (ctgx -=) • arccos — = 0
3 я
составляет
^J "a"71"
U
27Г
величина неопределенная.
81

Т-65| | Вариант 021 | Тригонометрия |
161 Если cose* = -^, 900° < а < 1020°, то величина cos ^
равна
'- --.--.-. -- - т_0 4 |5|о,4.
1 • I Сколько корней имеет уравнение
sin (* + §)ein (*-§) = *
гп l m 2 it
Сумма корней уравнения (z2-7r2)(logsjna.(2sinz-l)-2) = 0
на промежутке [—тг; тг] равна
П 0 И? Гз] |
U i*
корней нет.
19
Если a G (f;f), Р
f;f
принадлежит промежутку
V2' 2 ' LzJV 2 ' 2
(f;f), то величина cos(a-£)
V 2 ' 2> L2J V 2
2' 2
201
Все значения х, удовлетворяющие условиям л/3 • tgx < — 1,
у/2 • cos х > 1, х € [-jt; 0], образуют промежуток длины
Jj I
4 —
LU 12
LLI 12-
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции
у = \ cos2 х - 2Jsm2(^ + x) - 1 заключена в интервале
Т|(-4;-7г) [2](-1;0,5) Гз](7г;4) [Т| (2; 3) |Т](1;3).
221 Множество решений неравенства arccos x2 < 2 совпадает с
множеством ^_^ ^_^
[Т] [-1; 1] [J] [-1; -Vcos2) U (Vcos2; 1] [Т] (-\/cos2; Vcos 2)
| 4 | (— ^; ^) | 5 | решений нет.
231 Все решения уравнения cos (^ — x)-cos (x + ^) = -|
определяются формулой
(-1)П| + 7ГП
3 | f
ш±1-
82

T-6S| I Вариант 021 |Тригонометрия!
24
Наименьшее значение функции
у = log . 1OKo (cos2 (х + 45°) + (cosx - sinx)2 + 1] равно
Sill LOO \ /
in о m i m 2 in -2 fTi -4.
251
Вычислить
71 1 171-1 Гз1 1
24
24
. 19тг
sin -ZT-
; £т 5 ctg ¥?-.
261 Все целочисленные корни уравнения
sin (arcsin(l — x)) = x2 — 2x — 1 заключены в промежутке
(7](-3;-l) (7](|;7г) |7|(-7г;-|) [7](тг; 2тг) |7|нет решений.
27| Найти все решения уравнения | + | cosх — 11 = 6sin2 | — 2
на отрезке [-f;f]
11 | arccos 0,25; arccos g | 2 | ± arccos g | 3 | arccos 0,25
I 4 | arccos g
| 5 | решений нет.
281 Область значений функции у = arctg
множеством i
х + 1
совпадает с
о I / Т. Я"\
ffi , . / ЗТГ
t1u(—;
29| Указать промежуток, в каждой точке которого определена
функция у =
2* - logo,5(s2
sinx —
2 — sm х
jj(2,4;2,5) Ы (0,8; 1,5) Ы (-1,5; 0,9) U|(-0, 7; 1,5) Ы(0; тг)
Найти сумму нулей функции у = v^2cos(2sinx ——) — 1
на промежутке (—тг; 0)
\1\ 0 [^ тг |7
-тг [7] -arcsin^ [F] -2arcsin^.
83

Т-71| | Вариант 011 | Последовательности |
m
011 Сумма третьего, шестого и девятого членов
последовательности с общим членом ап = п~2 равна
1 7
324 Ш 17 Ш 9 Ш 81-
формуле
„ 1111
Члены последовательности -т:,77»~~7»7
2 3 4 5
находятся по
1
"п + 1
[2\ап =
(-1)"
п + 1
(-1)"
п
П+1
031 В арифметической прогрессии известны ai = sin 30°,
a2 = cos 120°. Десятый ее член равен
Г] -9,5 ГТ! -8,5 ГзП 0,5 [Т] -0,5 ПП 8,5.
041 Сумма 1-2 + 3-4 + 5-6 + ... + 99-100 равна
Г1 50 ГП -50 [Г! 100 [71 -100 ПП 99.
05|
Номер подчеркнутого члена последовательности
16 24 35 47
061 Восьмой член прогрессии 0,0625; 0,25; 1; ... равен
1 I 256 1Л 512 ГзП 1024 ГТ1 2048 [71 4096.
В арифметической прогрессии известны разность d = 0,5 и
шестой член ae = 25. Семнадцатый член прогрессии равен
П 30 IT1 29,5 ПП 31 \Т\ 30,5 ПП 31,5.
081 Номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии
-1,2,-4,...,128,...равен
пп 5 ггп 6 ГзП 7 гт1 8 m 9.
84

Т-71| | Вариант 011 | Последовательности]
091
тт 2п-1
Для последовательности ап = ——— неравенство
Зп
- - ап < 10 3 выполняется при
«5
1 п > 330 2 п > 333 3 п < 334 4 \п < 300 5 п < 333.
101
Сумма 1
3 ^ 2
11
1
27
111 Сумма всех четных чисел от 30 до 80 включительно равна
|l| 1430 |Т| 1375 [з] 1485 |Т| 1320 [Т] 1410.
В геометрической прогрессии известны первый член 6i = —2 и
знаменатель q = — 3. Сумма первых шести членов прогрессии равна
И ^(з6 + Х) ГЦ З6 - 1 0 J(36 - 1) Q] -2 • З6 [7] 2(36 - 1).
2 1
Наибольший член последовательности, общий член которой
задается формулой ап = -2п2 + 60п + ПО, имеет номер
П 14 |2| 13 |з1 15 И! 16 \Ь\ наибольшего члена нет.
14| Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
со знаменателем (/ = 0,5 равна 0,75, если ее первый член равен
[Г] 0,25 Q 0,125 ПП 0,5 0 0,4 ПП 0,375.
15
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
tg 60°, tg2 60°, tg3 60°,... равна
mV3 . i—i l
'V3-i
—1\/3+1 г—I
4 | —-— |5| не существует.
В арифметической прогрессии сумма восьмого и двадцатого
членов равна 30. Четырнадцатый член прогрессии равен
ПП 30 ITI 14 IT! 12 ГТ1 10 ПП 15.
85

|Т-71| | Вариант 011 | Последовательности |
171 Корень уравнения 2х"1
равен
'-2 + 2*~4 = 6,5+3,25+1,625+...
Г1 2 ГП 6 ГзП 4 ГТ! 8 fsi 16.
В геометрической прогрессии 64 • Ь% = 27. Величина 66 равна
ППзл/з ГгП 2л/з
Произведение всех значений х, при которых числа 4; 2х2; 0,75х4
являются последовательными членами арифметической прогрессии,
равно 16 16
I 1 I таких х нет [2J 4 [_3J -4 |j4j — |_5j -—.
о о
20§ Чтобы сумма первых членов прогрессии 21,15,9,■••
равнялась нулю, необходимо взять их в количестве
ПП 7 [71 6 Гз1 8 [71 9 [И 5.
X2 X2
График функции у = х2+- - + - ^+... пересекается
с прямой у = 10 при
22| Углы треугольника образуют возрастающую
арифметическую прогрессию. Сумма наибольшего и наименьшего углов
треугольника равна
ПП 100° Г71 120° [71 150° IT! 90° 171 75°.
231 Каждый месяц сумма денег, хранящихся на срочном вкладе
1И5анке, увеличивается на 8%. За полгода сумма вырастет в
Ш) Раз [Ц(1,8)6раз [7](1,08)5раз
раз.
\7\ (1,8)5 раз
1+1 25
86

Т-71| | Вариант 011 | Последовательности |
24J Сумма sin2 + sin2sin(^ - 2) + sin 2 sin2 (-^ -2)+
Т\ tgl ITI ctgl ПЛ cos2 2 \Т\ sin2 2 ПП tg2.
251 Число членов конечной геометрической прогрессии, у кото-
рои первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12
и 3072, равно п с
2 6 I 3 I 8
10
12.
Разность между 31-м и 30-м членом последовательности,
общий член которой задается формулой ап = и2 - 2п + 39, равна
Л 59 [71 -61 IT! 122 ГТ1 118 ПП 58.
271 Сумма бесконечно убывающей прогрессии с первым членом
2 равна 5. Сумма прогрессии, составленной из квадратов
членов исходной прогрессии, равна
7] 4,75 ПЛ 4,25 ПЛ 5,5 \Т\ 6,75 ПП 6,25.
В выпуклом шестиугольнике величины внутренних углов
образуют арифметическую прогрессию с разностью 34°.
Наименьший из этих углов равен
ПП 30° 1Л 35° [71 40° [71 45° [71 60°.
291 Прогрессия 1, log1/3 (x - -), log?/3 (x --),...
монотонно возрастает при всех х, принадлежащих промежутку
1б'
1б'
Сумма первых четырех членов последовательности с общим
членом ап = arcsin I (—1) ~г- I равна

Т-71| | Вариант 021 | Последовательности]
П
011 Произведение четвертого, девятого и двадцать пятого
членов последовательности с общим членом ап = у/п равно
ГТ1 ±30 171 -зо Гз1 зо ГТ1 во ПП -во.
п 2 14 3 6
Последовательность т,т»7»^»^»--- имеет следующую
3 4 5 6 7
формулу общего члена:
n-H-lJ
п + 2
п + 2
n + (-
п + 2
п+1
п + 2
031 В арифметической прогрессии известны ai = cos 120°,
a2 = sin 30°. Десятый ее член равен
ГТ] —9,5 IT] -8,5 [Л 0,5 |Т| -0,5 ПП 8,5.
041 Сумма 2-1 + 4-3 + 6-5 + ... + 200-199 равна
71 50 ITI 199 Гз1 100 ГТ1 200 ПП 99.
051 Номер подчеркнутого члена последовательности
.11 1
1 6 2 4 I 3 I 5 4 7
Десятый член последовательности -1, 0, (3), -0, (1), • • • равен
ПП з-10 Г71 з-9 ЦП -з-9 Г71 -з-8 Ш з-8.
В арифметической прогрессии разность равна -2, а
пятнадцатый член равен 32. Ее первый член составляет
ПП 63 [71 58 HI 60 ГТ1 64 ПП 65.
081 Номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии
1,-3,9 -243,... равен
ПП з IT]- 4 ГзП 5 ГТ|б ПП 7.
88

I Вариант 021 | Последовательности]
091 Для последовательности ап = — неравенство
Ап
1,25-ап < 10" 2 выполняется, начиная с номера
171 24 171 25 |7| 26 171 27 |7| 23.
ю
111111
Сумма--- + --- + --- + ...равна
0,75 Г^П 1,5 [Т] 0,5 ГТ] 1,25 ПП 0,25.
111 Сумма всех четных чисел от 40 до 84 включительно равна
|l| 1426 |7] 1488 [з] 1403 \Т\ 1416 QT] 1472.
В геометрической прогрессии известны первый член 6i = 0,5 и
знаменатель q — 4. Сумма первых восьми членов прогрессии равна
Минимальный член последовательности, заданной
формулой ап = Зп2 — 28п + 5, имеет номер
1 I 3 I 2 I 4 I 3 I 5 I 4 6 5 минимального члена нет.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
со знаменателем q = 0,25 равна 1,5, если ее первый член равен
ГП 0,25 ГТ! 1,125 ПЛ 0,5 [7] 1,375 |Т1 0,875.
15
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
2 sin 120°, 2 sin2 120°, 2 sin3 120°,... равна
1 гт
^
2-лД
т-'Ш^л
ГГ|
5 | не существует.
в арифметической прогрессии сумма пятого и семнадцатого
членов равна 16. Одиннадцатый член прогрессии равен
пп 8 m 16 ill ю [t\ 12 rri 4.
89

| Вариант 021 |Последовательности]
Корень уравнения 3х + 3х"2 = 60 + 20 + 6, (6) + ... равен
пп 2 гп 6 ГзП 4 г^1 5 m з.
18| В геометрической прогрессии 65 • 6ц = 8. Величина 68 равна
ПП 2^ [Thv^ ГЦ-2^ ГТ1±2\/2 ПЛ-3>/2.
Произведение всех значений х, при которых числа 2, х2 + 4,
х4 + 3 являются последовательными членами арифметической
прогрессии, равно
ГГ| таких х нет ПЛ 1 ПЛ -1 ГТ1 3 ПЛ -3.
201 Сумма первых членов арифметической прогрессии
—8,-5,-2,... превысит 9, начиная с номера
ПП 7 ГгЛ 6 ГзП 5 ГТ1 4 Гб! 8.
21| Сумма координат точки пересечения графиков функций
2+^ + ^ + + 1
1 [г] 2 ПЛ 3 \4j 4 ПП графики не пересекаются.
221 Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Средний угол треугольника равен
Г71 100° [2| 90° ЦП 75° ГП 120° ГЦ 60°.
231 Каждый месяц сумма денег, хранящихся в банке на срочном
вкладе, увеличивается на 5%. За год сумма возрастет в
21
11
21
и £ раз ш ^ раз ш Us и»
2
i \е
20/
U Utt Раз
/21 \10
(го) рах
90

I Вариант 021 |Последовательности!
241 Сумма sin 4 + sin 4 cos(2tt - 4) + sin 4 cos2 (Зтг - 4)+
+ sin 4 cos3 (4тг - 4) + sin 4 cos4 (5тг - 4) + ... равна
Tl tg2 [71 ctg2 [з] cos2 4 ПП sin2 4 ПП ctg4.
251 Число членов конечной геометрической прогрессии, у которой
первый, четвертый и последний члены соответственно равны 2, 54 и
1458, равно
ПП 5 Г71 6 Гз1 7 ПП 14 ПЛ 12.
26| Разность между 31-м и 30-м членом последовательности,
»щий член которой задается формулой ап = п2 — Зп + 49, равна
Т1 59 ПП -61 ПП 122 ПП 118 ПП 58.
27| Сумма бесконечно убывающей прогрессии с первым членом
?^5авна 4. Сумма прогрессии, составленной из квадратов членов
исходной прогрессии, равна
ПП 9,2 ПЛ 10,2 ПП 9,6 Ц] 3,2 ПЛ 3,6.
28| В выпуклом восьмиугольнике величины внутренних углов
образуют арифметическую прогрессию с разностью 30°.
Наименьший из этих углов равен
ПП 30° [71 35° [з] 40° [7] 45° ГЛ 60°.
29| Прогрессия 1, Iogo5(x -1), Iog2j5(x-1),..., log^5(x —1) является
монотонно возрастающей при всех значениях х из промежутка
[Г] (-ос; 1,5) 171(1; 1,5) Гз](-1;0) [Т| (2; 3) [71 (0; 1).
301 Сумма первых четырех членов последовательности с общим
членом ап = arccos f (-l)n+1 • Ц— 1 равна
91

X-72J | Вариант 011 [ Последовательности |
Oil Сумма восьмого и девятого членов последовательности с
общим членом ап =
п - О, 5п
равна
12
2 -
7 -
12
021 Последовательность с общим членом ап = — является
прогрессией
| 1 [убывающей геометрической | 2 |убывающей арифметической
| 3 | не является прогрессией | 4 | возрастающей геометрической
ППгеометрической, если отбросить первый член.
031 Общий член последовательности задан формулой ап = Зп - 47.
Член последовательности, равный 13, имеет номер
ГЛ 60 |Т| 20 ПЛ 19 |Т| 21 Гб! 22.
041 Сумма всех первых натуральных чисел до 15 включительно
равна
1 60 2 240 3 120 4 160 5 100.
051 Двести девятый член последовательности с общим членом
ап = sin (^ • п) равен
Г] 1 ПП 0,5^3 ПЛ -0,5 \Т\ -0,5^3 II] 0,5.
061 Периодическая дробь 2, (12) равна обыкновенной
Ш70 ПП 69 ГП XX ГП 209 ПН 208
зз L£J зз LLJ зз L2J 99 L2J 99 •
Разность арифметической прогрессии с членами а5 = 17, а9 = 37
равна
14 25 33 42 56.
08 в
геометрической прогрессии со знаменателем - и третьим
членом —, пятый член равен
ГЛ si ПЛ э Г
81
27
92

Т-72| | Вариант 011 | Последовательности]
091 Члены последовательности с общим членом ап =
удовлетворяют неравенству \ап — 1| < —, начиная с номера
150
ПЛ n IT1 12 ПЛ 13 ПЛ 14 ПП 15.
п2-1
пявня
Сумма 3 — 2 + h... бесконечного множества слагаемых
о 9
ПП 9 ПЛ 2,5 ПЛ 1,8 [Ц 1,4 [б] 1,5.
Сумма второго и седьмого членов арифметической
прогрессии равна 0,882, а сумма ее первого и двенадцатого члена составляет
0,082. Разность прогрессии равна
ГЦ 0,2 ГЦ -0,2 [Т| 0,3 ПП -0,3 И 0,5.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии с
первым членом 128 и знаменателем 0,5 составляет
П 254 ПЛ 248 ПЛ 252 ПЛ 280 ПЛ 240.
13| Наибольший член последовательности ап =
имеет номер
Т1 4
1
п2 - 14n -h 54
7 ПЛ 8.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии с первым членом
2 составляет 3 - у/Ъ. Пятый член прогрессии равен
LU -t
4 -
9*
Геометрическая прогрессия 1 + 2(х - 1) + Цх - I)2 + ...,
(х ф 1) является бесконечно убывающей при всех х,
удовлетворяющих неравенству
Т]о<*<1
_ Сумма четвертого и десятого членов арифметической
прогрессии составляет 10. Сумма первых 13 членов этой прогрессии
равна ПП 78 IT! 70 ГП 65 [Т| 75 [Г
60.
93

Т-721 | Вариант 011 | Последовательности]
171 Множество решений неравенства
0,31"2 + 4"8+- < ^/з7(3р+^ равно
[Г] (-oo;-2)U(-l;+oo) [7] (-2;-1) \Т\ (-оо;2)
И (1;2) |7|(-oo;l)U(2;+oo).
181 В геометрической прогрессии 6i4 • 635 = 2,6. Произведение
^23 • ^26 равно
7] ^276 [2] 6,76 ПЛ 5,2 [7] 1,3 ГЛ 2,6.
Если числа у/х + 1, \/5х -f 9, \/12z + 25 являются первыми
тремя последовательными членами арифметической прогрессии при
х > 0, то шестой член этой прогрессии равен
ГЛ 18 ПЛ 22 ПН 23 |Л 19 ПП 27.
201 Корень уравнения 2 + 7+12 + ... + х = 354 равен
Л 62 ГЛ -57 ГЛ -62 ГТ| 60 ПЛ 57.
Все решения уравнения 31+sinr+sin2r+•••+«***+...
определяюся формулой
Углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую
прогрессию. Третий член прогрессии равен
108°
Ы 98°
Гз| 120° U| 150°
ь\ 54°.
231 Если банк будет выплачивать 50 %, то любой вклад
увеличится вдвое через
ГЛ }g2
ПП 2 года
4| 15 месяцев
ГЛ 1,5 года
log2 - лет.
lg 3 — lg 2
лет
94

Т-72| | Вариант 011 | Последовательности |
Корень уравнения
31
232
32
231
251 Известно, что первый член арифметической прогрессии
отрицателен, сумма первого, четвертого и седьмого членов равна
9, а произведение тех же членов равно -81. Второй член прогрессии
равен
1 -11
11
3 -4
-1
2.
261 Натуральным корнем уравнения 5+7,5+10-1 1 = 225
является
\1\ 17 \Т] нет натуральных корней ПЛ 12 ПП 10 ПЛ 11.
Три различных числа являются последовательными членами
геометрической прогрессии. Если первые два поменять местами, то
три числа составят арифметическую прогрессию. Знаменатель
геометрической прогрессии равен
ПП -0,5 Ы 0,5 ПЛ -2 П] 4 ПЛ 2.
281 В равносторонний треугольник со стороной а вписан
посредством соединения середин его сторон новый треугольник. В этот
треугольник тем же самым образом вписан новый треугольник и так
далее до бесконечности. Сумма периметров всех этих треугольников
равна
ПЛ не существует [Т] 12а ПЛ 6а ПП 9а ПЛ 4а.
291
равен
Корень уравнения lg х+logy^ х+log ^_ х +...+log
х = 11
105
10
ю
301 В геометрической прогрессии с положительным
знаменателем четвертый (64) и шестой (66) члены равны
соответственно | и |. Значение выражения arctg(6i) • arctg(62) • arctg(63)
равно гтл j_
Л_ 4 I —
144 ULI 24
72-
95

Т-72| | Вариант 021 | Последовательности |
011 Сумма восьмого и девятого членов последовательности с
общим членом ап = , равна
/ + 1 0 (3)
у/п + 1 - 0, (3)п
ППб-h>Ао ITlVTo ГзПб-л/То ПГЬ
Г12>/Го.
021 Последовательность с общим членом ап = —-— является
прогрессией
11| убывающей геометрической | 2 | убывающей арифметической
|з| не является прогрессией [Т] возрастающей геометрической
I 5 [геометрической, если отбросить первый член.
031 В последовательности с общим членом ап = Ъп — 2 член,
равный 133, имеет номер
ПП 26 ПП 27 ПН 28 ЦП 25 ПП 24.
041 Сумма первых одиннадцати членов прогрессии 12,101,9,...
равна
[1\ 46,5 |2| 49,5 |3| 48 UI 40,5 |5| 50.
Сто семьдесят восьмой член последовательности с общим
членом ап = cos (f • п) равен
П 1 |Т| 0,5^3 ПП -0,5 ПЛ -0,5^3 IT] 0,5.
061
Бесконечная десятичная дробь 0,727272... равна
обыкновенной г—i Т2. ГТ| А. ГП 36 ГТ1 72 ГП 72
LLJ 101 I—J 11 ■ ' 50 1—J 90 I—J 100'
Разность арифметической прогрессии с членами а3 = 11, а9 = 47
равна
17 28 34 45 56.
08 в
8
геометрической прогрессии со знаменателем - и третьим
членом —, пятый член равен
2J 3125
JJ 625
Л -§- 141 -^-
±J 625 LU 3125
125-
96

Т-72| | Вариант 021 | Последовательности |
Все члены последовательности с общим членом ап =
удовлетворяют условию \ап — 0,5| < 0,01, начиная с номера
ПП 59 Щ 58 ЦП 57 ПП 60 ITI 61.
on — 3
Сумма -4-f 2-1-f 0,5+... бесконечного множества слагаемых
2|-2,5 |3|-3 |4|-2, (6)
Разность пятнадцатого и пятого членов арифметической
прогрессии равна 2. Разность прогрессии равна
Л 0,2 |Т| -0,2 II] 0,3 ПП -0,3 ПП 0,5.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии с
первым членом 256 и знаменателем 0,25 составляет
П 341,25 Ы 340 ПП 380 \Т\ 360 ПЛ 350.
Наибольший член последовательности ап =
имеет номер г—i г—1 п
2п2-15п
4 m 5 гп
Сумма бесконечно убывающей прогрессии с первым членом
у/2 составляет 3. Четвертый член прогрессии равен
^ - 4
| 53л/2 г-н 45л/2 - 58 г—i 45 - 29л/2 i—i 27 - 2уД г—
1 I ^_ I 2 | — | 3 | rz I 4 | rz I 5
27
27
27
27
27
Все значения х, для которых существует сумма
|х — 1| -f (x — l)2-f |x — l|3-f (x — 1)4 + ..., образуют множество
Сумма первых 17 членов арифметической прогрессии,
девятый член которой равен 35, составляет
[Г] 560 |Т| 297,5 [7] 1190
141 595 I б] невозможно определить.
4- 831
97

I Вариант 021 | Последовательности |
17
Множество решений неравенства
0,62+4 + 32 + 256+- > 7/i, (б)6*-*
[7] (-oo;-8)U(2;+oo)
И ("2; 8)
(6)°*-* равно
7] (-8; 2) [з] (-ос; 8)
б] (-oo;-2)U(8;+oo).
В геометрической прогрессии 619• 625 = 25. Произведение 65• 639
равно
±5
50
25
12,5.
191 Если числа у/х, у/Ъх + 4, v^12x + 13 являются первыми тремя
последовательными членами арифметической прогрессии при х > 1,
то пятый член этой прогрессии равен
Г71 18 [Л 22 ПН 23 ЦП 19 [71 27.
201 Решение уравнения 2 + 5 + 8 + ... -I- х = 57, где х — целое
положительное число, равно
171 20 ГТ1 17 IT! 19 ЦП 18 ГТ1 16.
211 Все решения уравнения 21 ~ cos x + cos2 * ~ cos3 * + • • • =
определяются формулой
О О
221 Углы выпуклого семиугольника образуют арифметическую
прогрессию. Четвертый член прогрессии равен
[] \t] [] [T| |T]
l] | • 180°
§ • 180° [з] f • 180° [T| 134° |T] 175°.
231 Площадь, занимаемая городом, ежегодно увеличивается на
1/40 часть. Вдвое она увеличится через
|Т| , **? лл лег ПН 20 лет ITl 80 лет
lg41-lg40
lg41-lg40
лет
лет
40 • lg 2 лет.
98

Т-72| | Вариант 021 | Последовательности]
24
Корень уравнения \ х ух ух у/х = 3 равен
! 525 . . 256 . . 255 . . 144 . . 316
1 3144 2 3 85 3 3768 4 3525 5 3468.
251 Известно, что первый член арифметической прогрессии
положителен, сумма первого, третьего и пятого членов равна —12, а
произведение тех же членов равно 80. Второй член прогрессии равен
пл -1 m -7 пл -4 гл 4 пп 2.
261 Натуральным корнем уравнения 5 + 6,5 + 8Н 1 = 182
является
ГП 17
нет натуральных корней ПЛ 12 {4\ 10 ПЛ 11.
27| Если удвоить второе число из трех, составляющих
убывающую геометрическую прогрессию, то получится арифметическая
прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии равен
ГГЪ-Уз ГгПл/з — 1 ПГЪ + у'з |Т|2^5-1 Г^
28| в квадрат со стороной а вписан посредством соединения
середин его сторон новый квадрат. В этот квадрат тем же самым
образом вписан новый квадрат и так далее до бесконечности. Сумма
периметров всех этих квадратов равна
[Т|4(1-0,5\/2)а [2]4(2 + V5)a [з] 6а ПП 8лДа ПП 4а.
29| Корень уравнения logy^ ^+log 4,- x-f log 5 x-f.. .-flog 20/- x = 22
равен
171 25 Г71 210 Г71 220 ГП V2 (11
В геометрической прогрессии с отрицательным
знаменателем четвертый (64) и шестой (66) члены равны
соответственно | и |. Значение выражения arcctg(6i) -arcctg(62) -arcctg(63)
равно
JJ ~Тг
МЛ 36
я1
72
T2 LU
я1
36 '
99

Т-73| | Вариант 011 | Последовательности]
m
011 Пятый член последовательности, определяемой
соотношениями а\ = 2, ezn+i = ап + 3, равен
111 7 ПЛ 8 Г71 9 ЦП 12 [Л 14.
021 Последовательность с общим членом ап = (8п + 1)/3 является
прогрессией i—i
не является прогрессией
1 |
\2\ возрастающей геометрической
[з | возрастающей арифметической
| 4 I убывающей арифметической
| 5 I бесконечно убывающей геометрической.
031 Первый из отрицательных членов прогрессии 3; 2,9; 2,8; • • •
имеет номер Г^ 31 m 30 Щ 33 ГП 29 ГП 32.
041 Сумма всех положительных двузначных чисел, кратных 8,
равна |Y] 560 [7| 672 Щ 616 |Т| 504 ПЛ 728.
051 Сто сорок седьмой член последовательности, состоящей из
повторяющегося набора цифр 1, 7, 5, 4, 9, 1, 7, 5, 4, 9, 1, 7, 5, 4, 9,...
равен
17 25 34 41 59.
061 Сумма 0,3115 + 0,000015 + 0,00000015 + ... равна
514 ГТП 257 ГП 257 ГТ1 257 Г7"| 514
1665 LU 825 ULI 755 L2J 1500 L2J 1565*
В арифметической прогрессии а4 = 4, а9 = 11. Ее первый
член и разность соответственно равны
ПП-2; 0,7 |Т|-0,2;2 fTI-M; I [T1-0,1; 1,2 ПЛ-0,2; 1,4.
081 Числа V^7-f 3 и л/2 являются 4-м и 7-м членами геометрической
прогрессии. 10-й член этой прогрессии равен
100

Т-731 | Вариант 011 | Последовательности]
091 Члены последовательности an = находятся внутри
^^■" п -+■ 3
промежутка (1,98; 2), начиная с элемента, имеющего номер
ГЛ 347 I2I такое невозможно Щ 346 |Т| 349 ПП 348.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
~ ~ 1
у которой первый член и знаменатель равны -^=, составляет
В арифметической прогрессии, у которой сумма первых
членов определяется формулой 5П = 2п2 + Зп, четвертый член равен
ПП 14 (П 13 [Г! 27 ГП 17 ЦП 44.
Сумма первых шести членов прогрессии v2 — л/2 + у8 —...
с четными номерами равна
07(2 + л/2) |Т|8->/2 [Т]-7(2 [Т] 0
Наибольший член последовательности, заданной формулой
ап = 20 + 18п - 2п2, равен
ГТ1 20 Ш 30 [Г! 50 [Т| 80 [71 60.
Бесконечное произведение у/2 ■ у2 • v2 • v2 •... равно
11 2ffi Гг1 Ve ПП #8 R1 #§2 ПП
Все значения х, для которых существует сумма
2| + (4х + 2)2 -f |4х + 2|3 + (4х -f 2)4 + ..., образуют множество
Если в арифметической прогрессии аз + as + 014 + 019 = 38,
то величина at + ai8 равна
П 4,75 Ш л/19 Ш V38 И 19 [Ц 9,5.
101

T-73J | Вариант 011 | Последовательности]
m
17
Сумма корней уравнения
2x . 20, Ъх . 20, 2Ъх . 20
0
4,25
.. _ 3 .
3 [T
_ 2з равна
2,25 IT] 6.
181 Произведение всех значений x, при которых числа 1, х2,
20 - х2 представляют собой три последовательных члена
геометрической прогрессии, равно
Т1 2 |2| -2 ПЛ -4 ПП -\/2 ПЛ такое невозможно.
191 Если углы а, /?, 7 образуют арифметическую прогрессию, то
sin a — sin 7
величина равна
cos 7 — cos a
ПЪ [Tl-ctg/? n
201 Чтобы сумма первых натуральных чисел, кратных трем,
равнялась 828, их нужно взять в количестве
ПП 22 ПЛ 23 ЦП 24 ГЛ 25 ПП 26.
211 Для бесконечно убывающей прогрессии выполняется
равенство 1 - tg"2 х + tg"4 x - tg"6 x + tg"8 x - tg"10 x + •.. = sin2 x при
всех х, принадлежащих множеству вида
[Т] (-^ + 2тгп;тгп) [7] (тгп; ^ + тгп) [Т] (тгп; f + тгп)
Т] (| -f тгп; | + тгп)
(| + тгп; | -f тгп) U (| + тгп; |тг + тгп).
22| Углы выпуклого четырехугольника образуют геометрическую
прогрессию со знаменателем 2. Второй член прогрессии равен
ПП 64° 171 36° 171 48° [71 52° Г71 60°.
231 Если годовая процентная ставка в банке "Дз"равна 100 %,
то при условии ежедневного начисления процентов (считая, что в
году 365 дней) за 33 дня срочный вклад увеличится в
Ш (И
(if)
»»
(Ш)"р»з
раз
5 Н£г
102

Т-73| | Вариант 011 | Последовательности]
24
Значение выражения
3 |Т| 9 |Т]
3v Зл/зТТТ равно
Т| v'e IT!
251 Четыре числа образуют возрастающую геометрическую
прогрессию, у которой сумма крайних членов равна 28, а сумма
средних равна 12. Третий член прогрессии равен
ПП з [г! 9 ПП 12 ГП ю ПП 6.
261
Натуральным числом п, удовлетворяющим уравнению
п3-1 п3-2 п3-3 1 ООА
Ь ^ Ь ~ !-... + -=• = 364, является
8
71°
27
3.
27| Сумма членов с четными номерами составляет 5/12 от суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Знаменатель
прогрессии равен
О i О
a h
281 в прямоугольном треугольнике длины сторон образуют
арифметическую прогрессию. Косинус его меньшего угла равен
Х| ^-
[г] ?—
4
0,6
0,7
0,8.
291
Число
равно
1.
Если последовательность задана формулой общего члена
ап = 0,5п, то количество членов последовательности,
принадлежащих области значений функции у = -Iog0|5(2x - х2 + 127), равно
14
13
27
28
8.
103

"Т-731 | Вариант 021 | Последовательности |
011 Сумма первых шести членов последовательности, заданной
условиями а\ = 1, ап _|_ \ = cos (тг • ап), равна
[71 -5 (Т1 -4 IT! О |Т| 6 ПП -3.
021 Арифметической прогрессией является последовательность
^ членом ап, равным
031 Первый из положительных членов прогрессии
—5; —4,4; —3,8; • • • имеет номер
[71 8 (Т1 9 IT! 10 |Т| и ПН 7.
Сумма двузначных натуральных чисел, оканчивающихся на
О и 5, равна
Т1 945 |Т1 1050 ЦП 1235 [71 855 ПП Ю45.
051 Сто двадцать девятый член последовательности, состоящей из
повторяющегося набора цифр 2, 8, 4, 1, 7, 2, 8, 4, 1, 7, 2, 8, 4, 1, 7,...
равен
12 28 31 47 54.
Периодическая десятичная дробь 0,1(23) равна
В арифметической прогрессии а5 = 2, аи = 4,1. Ее первый
член и разность соответственно равны
[ill; 0,3 |Т| 0,8; 0,3 [з]-0,3;2 ПП 0,2; 1,3 IT) -0,1; 1,1.
081 Числа \/3 и л/2 являются 5-м и 9-м членами геометрической
прогрессии. 17-й член этой прогрессии равен
0 0,5v/6.
104

Т-73| | Вариант 021 | Последовательности]
09|
Последовательность задана формулой ап —
п + 1
Промежутку (0,04; 0,08) принадлежит следующее число ее членов:
ГП 24 [Т| 25 ПЛ 26 |Т| 23 ПП 27.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии, у которой
1
первый член и знаменатель равны —т=, составляет
111 Сумма первых п членов арифметической прогрессии
вычисляется по формуле Sn = l,5n - п2. Десятый член прогрессии равен
ГП 11,5 IT] -12,5 ПЛ 12,5 \7\ -17,5 ПП -15.
Сумма первых шести членов прогрессии y/z + v^27 -f 3 -h ...
с нечетными номерами равна
И ПП9 + \/3 |T|9-h у/Ъ [71^3 + 27 \ъ\ 9(3-h\/3).
Наименьший член последовательности, заданной формулой
ап = 10 - 32п + Зп2, равен
iTl -70 ГТ1 -72 |з| -74 ГТ1 -75 ПП -76.
Бесконечное произведение Ш• §^2 .
... равно
Все значения х, для которых существует сумма
- 3| - (3 - 2х)2 -f |2х - 3|3 - (3 - 2х)4 + ... образует множество
ГЛ(-1;1) Ц](-2;-1) |Т|(1;2) |Т| (0; 2) |Т|(1;3).
1^| Если в арифметической прогрессии а2 -f 09 4- а 19 + а2в =13,
то величина а6 -f 0,22 равна
[Т] 3,25 [Т] л/19 [з] л/38 |Т| 6,5 [ъ\ 26.
105

Т-73| | Вариант 021 | Последовательности]
m
17
Сумма корней уравнения
~П 0 [7] 4,25 ПП 3
*2+4 + 2-2 - 24 равна
2,25 [7] 6.
Произведение всех значений я, при которых числа 1, х2,
х2 + 72 представляют собой три последовательных члена
геометрической прогрессии, равно
Т] 8 ПЛ -8 ПЛ -9 [Т] ->/3 ПП такое невозможно.
Если углы а, /3, 7 образуют арифметическую прогрессию, то
sin a + sin 7
величина равна
cos 7 + cos a
[Tltg/3 ITI-ctg/? [I]tga-tg/3 ПП ctg£ BtgSfl.
201 Чтобы сумма первых натуральных чисел, кратных четырем,
равнялась 1012, их нужно взять в количестве
ПП 22 Гг! 23 ПП 24 |Т| 25 ПП 26.
Все значения х, при которых для бесконечно убывающей
прогрессии выполняется равенство 1 - ctg"2 х + ctg"4 х - ctg"6 x+
+ ctg"8 х - ... = cos2 x, образуют множество (n e Z)
[Г] (-^ + 2тгп;7гп) [Т] (тгп;^+7гп) [Т] (тгп; | + тгп)
0 (f + ttw; f + ttw) [Ц (~f + ^; ™) U (тгп; f -h тгп).
221 Углы выпуклого четырехугольника образуют геометрическую
прогрессию со знаменателем 3. Второй член прогрессии равен
Т| 39° Ы 24° Гз| 27° U| 33° \Ъ
21°.
231 Если годовая процентная ставка в банке "Дз"равна 100 %,
то при условии начисления процентов через каждые 11 дней (считая,
что в году 365 дней) за 33 дня срочный вклад увеличится в
1 I I 222
1 ' \ 365
зз
раз
раз
(§|)
Раз
(1)Праэ
106

Т-73| | Вариант 021 | Последовательности]
24
Значение выражения у 2 у 2 у 2 ^2... равно
25| Четыре числа образуют возрастающую геометрическую
прогрессию, у которой сумма крайних членов равна 9, а сумма
средних равна 6. Третий член прогрессии равен
0 2 0 4 0 1,5 0 0,5 0 3.
261
Натуральным числом п, удовлетворяющим уравнению
п4 - 1 п4 - 2 п4 - 3 1
-^- + —;- + —з- + ...+ _ = 312, является
ПП 4 ГП 5 ГзП 7 fTl б ГП з.
В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
первые три члена, если поменять местами второй и третий, образуют
арифметическую прогрессию. Отношение суммы данной
прогрессии к сумме прогрессии, составленной из ее членов, с нечетными
номерами, равно
0,5 |2| 2 |3| 3 |4| 0, (3)
1,5.
281 Меньшая диагональ ромба, сторона и его большая
диагональ являются последовательными членами геометрической
прогрессии. Знаменатель прогрессии равен
29 ' Число (log^-
П~| si ГТ1
27
Iog729.72j равн0
33.
Если последовательность задана формулой общего члена
а„ = 0,25п, то количество членов последовательности,
принадлежащих области значений функции у = -Iog0(3)(4ar - х2 + 239), равно
19
20
Ю
40.
107

Т-74| | Вариант 011 | Последовательности |
Последовательность задана формулой общего члена
7ГП
ап — (—1)п • cos—. Сумма восемнадцатого и двадцать седьмого
членов равна
L L L
021 Геометрической среди приведенных является прогрессия,
заданная следующей формулой общего члена:
п+1
ап = log2 n
п- 1
031 Количество положительных трехзначных чисел, делящихся
на 9, равно
ГП 100 Г71 99 ЦП 98 ГТ1 101 ПП 52.
041 Сумма 1-5 + 4-8 + 7-11 + ... + 34-38 равна
1| -46 ГТ1 -50 HI -44 IT! -52 ПП -48.
051 Десятый член последовательности 2, 5, 10, 17, 26 равен
71 82 ГП 101 IT! 111 |Т| 122 ПП 145.
061 В геометрической прогрессии седьмой член равен 6,4, а
знаменатель составляет 2. Второй член прогрессии равен
ПП 0,1 [1] 0,2 ft] 0,15 [7] 0,3 Ц] 0,5.
071 Известны члены арифметической прогрессии: а2 = —0,6,
О7 = 1,4. Пятый член прогрессии равен
\Т\ 0,8 Ц] 1,0 ПЛ 0,4 [t\ 0,6 [Ц 1,2.
081 Если третий член геометрической прогрессии равен 2, то
произведение первых пяти членов этой прогрессии равно
пп 16 пп 32 пл ю m 64 пп зб.
108

Т-74| | Вариант 011 | Последовательности]
091
COS 7ГП
Члены последовательности ап - 2 Н располагаются
п + 1
п + 1
на числовой оси на расстоянии, меньшем 0,01 от точки 2, начиная с
номера ПП 101 |71 Ю2 Г71 100 ГГ1 99 [71 103.
Сумма бесконечно убывающей геометрической
лД + 1 , а/3-1
прогрессии —j= , 1, —т= , • • • равна
ПЛ 3
В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов,
стоящих на четных местах, равна 280, а на нечетных местах равна 260.
Разность прогрессии равна ГЛ 2 Г71 4 171 1 [71 3 Г71 5.
Знаменатель геометрической прогрессии равен 3, а сумма
первых четырех членов равна 80. Пятый член прогрессии равен
П 162 (71 324 |71 243 Г71 124 Г71 201.
Последовательность ап = — является возрастающей при
следующих значениях с:
[Г]с>0 (7]с<0 ПГ|с>0,5 |Т|с<0,5 [7|с<-1.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии sin а — | sin 2а +...,
ъ(2к + 1), равна
ГЛ sina Г71 cos^ ЦП sin? [Т| te? (TIctK?.
Все значения х, из промежтка х G (—^;—f)» Для которых
существует сумма 2 sin х + 4 sin2 х + 8 sin3 z +..., образуют множество
?
7тг ш 5тг\
L2J (-f;-T)
в арифметической прогрессии сумма 2-го и 10-го членов
равна 12. Сумма 4-го, 6-го и 8-го членов прогрессии составляет
[71 12 Г71 18 [71 16 ГЛ 24 Г71 8.
109

Т-74| | Вариант 011 | Последовательности]
Ш Корень уравнения
-2х) + Iog2(-4x) + ... + Iog2(-256x) = Iog2(x2) принадлежит
промежутку
[1] [0;0,5] [2] [-0,5;0] |_3j [-100;-50]
ГП [50; 100] ПП корней нет.
Числа 1 — sin a, cos а, 1 + sin а являются последовательными
членами геометрической прогрессии, если при п Е Z
7] а ^ ^ + тгп ^] а ^ ^ + п [Т] а ^ тг\/2 + тгп
2
а ф ттп
_2J a?- + n
5 | а произвольно.
Числа logo х, logo (x + a), toga (x + 5а) образуют
арифметическую прогрессию при х, равном
ПП a [2] 2a ПЛ За |Т| а/2 ПП а/3.
201 Неравенство о, 32+4+6+""+2n > (10/3)"72 справедливо при
всех натуральных п, принадлежащих промежутку
ГТ] [1;8] |Т| [2; 8] |Т| [1;9] |Т| [1;7] IT] [3;8].
211 Решением уравнения 1 + 2х+4х2-f Ь2пхп + ... = 3,4-1,2х
является
о 4 о о 7
221 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию.
Если меньший угол равен 20°, то знаменатель прогрессии равен
231 Зарплата служащего росла ежегодно на 20% и по истечении
4 лет достигла суммы 1296 р. Первоначальная зарплата
служащего составляла
Т] 500 р ПП 576 р ПЛ 676 р |Т| 625 р ПП 728 р.
ПО

Т-74| | Вариант 011 | Последовательности]
24| Значение выражения (1+32+52+72+92)-(22+42+62+82+102)
равно
1-50 2-55 3-70 4-100 5-45.
251 Поезд, начав движение со станции, равномерно увеличивает
скорость и через 20 минут достигает скорости 60 км/ч. Ускорение
поезда в метрах за минуту равно
IT] 3 111 50 ПП 100 Г71 75 171 25.
261 Натуральное значение п, удовлетворяющее уравнению
(п2 + п+1) + (п2+2п + 3) + --- + (п2+20п + 39) = 4500, равно
[71 5 ПП 8 HI 10 |Л 15 ПП 20.
27| Если сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 63, а сумма прогрессии, составленной из квадратов
ее членов, равна 567, то знаменатель этой прогрессии равен
О 4 О о
и-!
281 Стороны прямоугольного треугольника образуют
геометрическую прогрессию. Синус меньшего угла треугольника равен
ка paeet
V5 + 1
291 Уравнение
меет корни
И 2и±
4-J
0,25.
301 Если последовательность задана формулой общего члена
. 2п
an = arcsm
50
п-50
51
, то количество ее членов равно
Гз1 16 ГП 17 ПП оо.
111

Т-74| | Вариант 021 | Последовательности]
01
Сумма второго и девятого членов последовательности с
1 7ГП
общим членом ап — - • cos — равна
о о
^~~^ Z v Z 2i Z
021 Геометрической среди приведенных является прогрессия,
заданная следующей формулой общего члена:
Tl oTl + 1
I—I I—I
I 4 I an = 1 + 0, Ъп I 5 I an :
031 Количество положительных трехзначных чисел, кратных 13,
равно
(П 68 ПП 67 Гз1 70 [71 69 [71 71.
04| Сумма
7i 56 m 60
1 + 7-3 + ... + 31-27 равна
HI 58 [Т| 62 [71 64.
051 Десятый член последовательности 1, 8, 27, 64,125, ... равен
"П 1000 ГП 729 ПЛ 512 [71 256 ПП 169.
061 В геометрической прогрессии седьмой член равен 0,125, а
знаменатель составляет 0, 5. Второй член прогрессии равен
[П 8 [7] 16 [з] 32 [7] 4 ПП 0,625.
071 Известны члены арифметической прогрессии: а3 = — 1,6,
а ю = 1,2. Шестой член прогрессии равен
Г] -0,6 ГЦ 0 [з] 0,2 [7] -0,8 [7] -0,4.
081 Если четвертый член геометрической прогрессии равен 3, то
произведение первых семи членов этой прогрессии равно
ITI 4356 ITI 1511 ПП 729 [71 2187 [71 243.
112

Т-74| | Вариант 021 | Последовательности |
тт Л cos997rn
Члены последовательности ап — 3 располагаются
на числовой оси на расстоянии, меньшем 0,05 от точки 3, начиная с
номера ГГ"
11
12
4 9
10.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
2 + л/3, 1, 2 - л/3, ... равна
В арифметической прогрессии 12 членов. Сумма членов,
стоящих на четных местах, равна 186, а на нечетных местах равна 156.
Разность прогрессии равна
ГТ1 6 Гг! 4 ГзП 7 ПП 3 Г^П 5.
Знаменатель геометрической прогрессии равен 4, а сумма
первых трех членов равна 63. Четвертый член прогрессии равен
ПП 768 ЦП 164 ПП 192 ГП 124 ПП 144.
Последовательность ап — является убывающей при
всех значениях с, удовлетворяющих условию
ГЛоО ППс>-4 |Т|с<-4 ГТ|с<8 fTlc<4.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии sin 2а — ^ sin4а +...,
ir(2k + 1), равна
| 1 | tg2 or I 2 I ctg2 a I 3 I sin a | 4 | tga | 5 | ctga.
Все значения х из промежутка x G (-т1; -f), Д^я которых
не существует сумма 4cos2x -f 16 cos4 x + 64 cos6 x + ..., образуют
МНОЖеСТВО ГГ| г 7тг -,
Ш L—"«"5 — ^J
4тг, 27ГТ
7тг. 5тг-|
' 6 ' ~ 6 J
Сумма 2-го, 5-го, 8-го членов арифметической прогрессии
составляет 12. Сумма первых 9 членов прогрессии равна
Т1 56 ПГ1 30 ГзП 36 |Т| 24 IT] 48.
113

|Т-74| | Вариант 021 | Последовательности]
171 Корень уравнения
равен
Т] -— [7] -- ПП -9 [Т] -27 ПП корней нет.
■—■ 27 3
Числа 1 — sin a, cos a, 1 + sin а являются последовательными
членами геометрической прогрессии, если при п Е Z
гг ГЦ аф^ + п ГЦ аф^+,п
7Г
| 4 I аф кп
5 | а произвольно.
Числа loga4x, loga(2x + a), loga (x + 2a) образуют
арифметическую прогрессию при х, равном
Л 4а [7] 2а ПП 0,25а [Т] 0,5а ПП 0, (3)а.
201 Неравенство 0, б3+6+9+•••+3n > f |j справедливо для всех
натуральных п из промежутка
[t] [1;7] [71 [1;8] 0 [1;6] |Т| [1;5] [71 [2; 9].
211 Решением уравнения 1 + Зх + 9х2 + ... + Зпхп + ... = 2х + 1, (6)
является
I] 0,(3) [71 -0,(6) 0
1
0 1 0 0,2.
221 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию.
Если меньший угол равен 30°, то знаменатель прогрессии равен
231 Зарплата рабочего росла ежегодно на 40% и по истечении 3 лет
достигла суммы 686 р. Первоначальная зарплата рабочего равнялась
[П 312 р [7] 256 р ПП 225 р ПП 250 р ПП 200 р.
114

Т-74| | Вариант 021 | Последовательности |
24| Значение выражения
(22 + б2 + Ю2 + 142 + 182) - (1 + 52 + 92 + 132 + 172) равно
[71 95 ПГ| 104 ГЦ 128 ПП 124 ПП 144.
251 Поезд, начав движение со станции, равномерно увеличивает
скорость и через 10 минут достигает скорости 30 км/ч. Ускорение
поезда в метрах за минуту равно
ПП 3 17] 50 Гз1 100 |Т| 75 [71 25.
261 Натуральное значение п, удовлетворяющее уравнению
(п2 4- п) 4- (п2 4- 2п) 4- Ь {п2 4 19п) = 1425, равно
ПП 5 ПП 8 |71 10 |Т| 15 ПП 20.
27| Если сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 55, а сумма прогрессии, составленной из квадратов
ее членов, равна 275, то знаменатель этой прогрессии равен
а-!
281 Длины сторон прямоугольного треугольника образуют
возрастающую геометрическую прогрессию. Ее знаменатель равен
291 Сумма корней уравнения
(
равна
82 ГТП 5
9 Ш 3
?•
301 Если последовательность задана формулой общего члена
Зп
ап = arccos ——, то количество ее членов равно
п — 100
49
50
24
25
оо.
115

Т-75| | Вариант 011 | Последовательности]
1
Если числовая последовательность определяется условиями
6П _|_ 1 = bn + 6П _ 1, &i = 1, &2 = 3, то ее пятый член равен
ГП И ГТ1 12 Гз1 7 [Т| 13 ПП 14.
021 Последовательность с общим членом ап — собтгп является
прогрессией
11 I геометрической | 2 | убывающей арифметической
| 3 | не является прогрессией | 4 | возрастающей арифметической
I 5 | арифметической, если отбросить первый член.
031 Количество целых чисел от 38 до 242, дающих при делении
на 5 остаток 4, равно [71 41 ГТ| 40 Г71 42 [71 39 ПЛ 43.
041 Сумма всех положительных трехзначных чисел, кратных 39,
равна ПН 13Ю4 ПГ| 12012 [71 13775 |Т| 12763 ГТ] 12558.
051 Сумма бесконечного множества слагаемых
Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии
cos f, sin \, 2 tg f, • • • равна
200л/3 Г^"1 272 ПП 272V3
128УЗ
27
256
81л/з'
071 При делении десятого члена арифметической прогрессии на
третий член в частном получается 4, а при делении девятого члена
на четвертый член в частном получается 2, а в остатке 5. Разность
прогрессии равна fTI 1 [71 2 ГЦ 3 [71 4 ГЦ 5.
081 В геометрической прогрессии 64 = 12, 67 = 1,5. Ее первый
член и знаменатель соответственно равны
[71-96; 0,5 [TI-96; -0,5 [71-48; 1,5 [7]48; 1,5 ПГЬб; 0,5.
116

| Вариант 011 | Последовательности |
Последовательность задана общим членом
ап =
2n-3
начиная с номера
. Неравенство \ап 1 < 0,01 выполняется,
ГП553 ГП277 ГзП 276 |Т|550 [71272.
101
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
+ cos6 I + ... равна
1 I—I 2 I—I 2
1 + cos2 * + cos4 |
1 2 2
yfi-1
2-уД'
щ
Формула Sn = n2 + 2n дает сумму первых п членов прогрессии
1 |арифметической с разностью 1 | 2 [невозможно определить
3 | арифметической с разностью 2 | 4 | геометрической
5 [последовательность не является прогрессией.
Чтобы в геометрической прогрессии с первым членом 4 и
знаменателем 1,5 сумма первых членов составила 52,75, их нужно
взять в количестве ГП Л Г
8
6
5.
Для последовательности с общим членом вида
3
ап — 1л верным является соотношение
у/An2 - 25п + 40
[Г] а2 < а4 < а3 [Т]
ГП а3<а2<а4 ГТ]
а3
а2
а4 < а3 < а2.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 - sin2 (тг/8) + sin4 (тг/8) - sin6 (тг/8) + • • • равна
1 2
Все значения я, для которых существует сумма
o)5 я + 0°go,5 х)2 "I •" (1°8о,5 х)п Н » образуют множество
jJ(0;0,5) Щ(0;2) Ш(0,5;1) И] (0, 5; 2) Ы (0,5; +оо).
117

Т-75| | Вариант 011 | Последовательности |
m
16| Пятый член арифметической прогрессии, в которой сумма
удвоенного второго и утроенного седьмого членов равна 70, равен
Т| 12 Г71 13 Гз1 14 ГТ1 16 ГТ! is.
171 Произведение корней уравнения
log2 x + log2 x + V log" x + • • • = log2 2x2 равно
7] 2 [T| 2^ ПП 1 IT] 4 IT] корней нет.
Произведение членов геометрической прогрессии с четвертого
по восьмой включительно составляет 1024. Шестой член прогрессии
равен m >, m о m о г
16
32.
191 Сумма всех значений х, при которых числа 9х, 2 • 6Ж, 3 • 4Г
являются последовательными членами арифметической прогрессии,
равна,_, .__ __ __
| 1 |0 | 2 | log! 5 3 |_3Jlog154, 5 | 4 | logp.fei 3 | 5 | таких х нет.
20J д™ того чтобы сумма первых натуральных четных чисел
>ыла больше 150, их нужно взять не менее
71 Ю ЦП И HI 75 ГТ| 76 ГП 12.
Сумма корней уравнения х~~х + я + х2 + я3 +... = 3,5 равна
а -\
5
3
1.
221 Последовательность квадратов, начиная с единичного,
такова, что вершины последующего делят стороны предыдущего в
отношении 3:1. Сумма площадей всех членов этой
последовательности рав
231 в начале каждого года вкладчик вносил на счет в банк 125 р.
Банк ежегодно начислял на всю сумму вклада проценты по ставке
20% годовых. В конце третьего года на счете находилось
ГП 546 р [Т| 472 р ПП 576 р \Т\ 525 р ПП 496 р.
118

Т-75| | Вариант 011 | Последовательности |
24
1 1
Сумма —- +
1
4-6 6-8 8-10 10-12
g Ш 6 lLI 12 L^ 24
равна
18*
251 Если сумма третьего и девятого членов возрастающей
™к - 135
арифметической прогресии равна 6, а произведение равно ——, то
16
сумма первых пятнадцати членов этой прогрессии равна
52,5
37,5
105
25
75.
261 Натуральное значение п, удовлетворяющее уравнению
(2 + 4,5 + 7 + • • • + (4, 5 + 2, 5п)) + (2 + 4 + 6 + • • • + 2(п - 1)) = 188, 5,
равно
10.
27| 2-й, 9-й, 13-й члены арифметической прогрессии
являются последовательными членами геометрической прогрессии. Ее
знаменатель равен
3-J
281 Около круга описана равнобедренная трапеция с острым
углом а. Основания трапеции и диаметр круга образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем
l tga.
a
[jj ctg- [2J ctga
sin- |_4J cos-
291 Сумма десятичных логарифмов девяти
последовательных членов геометрической прогрессии составляет 9. Произведение
крайних из рассматриваемых членов равно
ГП юо ПЛ юоо Гз] з [Т] о, 1 ПП ю.
30
Сумма первых десяти членов последовательности ап = п,
принадлежащих области определения функции у = у^соз(0,5тпг),
равна
ПП 118 IT1 112 Гз1 ПО ПП 224 IT] 220.
119

Т-75| | Вариант 021 | Последовательности]
m
011 Последовательность ап задается соотношениями: ах = -1,
= 2, ап + 1 = ап + 0, 5 • ап _ \. Пятый член последовательности
равен г—I 5
S 6 Ш 3 0 у 0 !■
02
Последовательность с общим членом ап = 2П sin ( ^ 2 ')
является прогрессией
Т] геометрической | 2 | убывающей арифметической
3J не является прогрессией | 4 | возрастающей арифметической
5] арифметической, если отбросить первый член.
Количество целых чисел от 38 до 196, дающих при делении на
4 остаток 3, равно Ц] 41 |^| 40 g 42 [7] 39 [б] 43.
041 Сумма всех положительных трехзначных чисел, кратных 38,
равна
1 13224 2 12673 3 13775 4 13442 5 12558.
051 Сумма бесконечного множества слагаемых
равна
/1^ + г
v3—1 3—
061 В геометрической прогрессии 2 tg |, cos2тг, sin |,... седьмой
член равен
27 /« Г^П 27 ГГ
32 V6 Ш 64 L±J 32
ГП 27 ГТ| 27 /^
0*1 При делении двенадцатого члена арифметической прогрессии
на четвертый член в частном получается 2, а при делении
одиннадцатого члена на третий член в частном получается 2 и в остатке 2.
Разность прогрессии равна
ПП 1 I2I 2 ГзП з ПП 4 Гв! 5.
081 В геометрической прогрессии 63 = -24, Ь6 = 3. Ее первый
член и знаменатель соответственно равны
[71-48; 0,5 [7148;-0,5 ПИ-96; -0,5 [Т]48;0,5 ПП96; 0,5.
120

Т-751
| Вариант 021 | Последовательности]
091 Последовательность задана общим членом ап = .
^^™ 2п + 3
Неравенство \ап - 0,5| < 0,01 выполняется, начиная с номера
ПП 553 [71 274 [Л 276 |Т| 550 171 277.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 - sin2 | + sin4 f - ... равна
П 0,2 [7] 0,4 ПЛ 0,6 [7] 0,8 IT] 1.
111 Формула Sn = 3n2-h5n дает сумму первых п членов прогрессии
11 | арифметической с разностью 3 | 2 | невозможно определить
| 3 | арифметической с разностью 6 | 4 | геометрической
I 5 | последовательность не является прогрессией.
Чтобы в геометрической прогрессии с первым членом 3 и
знаменателем 0,5 сумма первых членов составила 5^, их нужно
взять в количестве i—i л г
8
5 7.
Для последовательности с общим членом вида
10
а„ = , верным является соотношение
[Т
| 4
а5 < а4 < а3
аз < а5 < а4
Т
[5
а5 < аз
аз < а5.
а3 < а4 < а5
17
Сумма 1 - cos2 j + cos4 | - cos6 | + ... равна
21^^ H^— [Ц-т^— 02^2.
17
Все значения х, для которых существует сумма
logi х2 + (logi x2)2 + (logi x2)3 + ... + (logi x2)n + ...,
9 9 9 9
образуют множество
ГП(±;3)
[T|(3;+oo)
121

Т-75| | Вариант 021 [Последовательности!
1в I Седьмой член арифметической прогрессии, в которой сумма
утроенного третьего и учетверенного десятого членов равна 140
равен ГП 18 |Т| 24 ПП 22 |Л 20 ПЛ 25.
17
Сумма корней уравнения
logj^ х-log2! x-\ h(-l)n+1 log" x = logi я2+ 6 равна
9 9 ^_^ ^_^ 9 ^_^ 9
71 98 [71 Зу^З |7| 108 171 -108 171
корней нет.
Произведение членов геометрической прогрессии с
двадцатого по двадцать шестой включительно составляет 8л/2. Двадцать
третий член прогрессии равен
ПП у/2 [71 2^2 [з] 0,5^2 [Т] 2 17] 4.
191 Сумма всех значений х, при которых числа 4Ж, 3,5 •
10 • 25х являются последовательными членами
арифметической прогрессии, равна
Т] log0 4 2 Ш1обо,4^ [TJlg"1 2,5 [TJlg"^^ [T|таких х нет.
20J Для того чтобы сумма первых натуральных четных чисел
•ыла больше 180, их нужно взять не менее
71 11 [Л 14 [Л 75 ГТ1 76 ПН 13.
Сумма корней уравнения
2-х3 + х4-хъ + ... = 13/6
равна
1 - —
Последовательность квадратов, начиная с единичного, такова,
что вершины последующего делят стороны предыдущего в
отношении 1 : 2. Сумма площадей всех членов этой последовател-
ьности равн[ГЛ 4,25 Ц] 2,4 ПП 3 [Т] 2,5 [б] 2,25.
231 в начале каждого года вкладчик вносил на счет в банк 32 р.
Танк ежегодно начислял на всю сумму вклада проценты по ставке
50% годовых. В конце четвертого года на счете находилось
ПЛ 290 р ПП 250 р ПЛ 320 р [Т] 420 р ПП 390 р.
122

I Вариант 021 | Последовательности |
241 Сумма —
30 Ш 15
1
11- 15
равна
1 п
То Ь
20"
251 Если сумма второго и десятого членов убывающей
арифметической прогресии равна 8, а произведение равно 12, то
сумма первых пятнадцати членов этой прогрессии равна
[Л 52,5 ГгП 45 ПП 90 111 25 ГЦ 75.
261 Натуральное значение п, удовлетворяющее уравнению
(2, 5 + 4, 5 + 6,5 + • • • + (6,5 + 2п)) + (3 + 6 + 9 + • • • + 3(п + 1)) = 223,
равно
10.
27J 5-й, 8-й, 13-й члены арифметической прогрессии
являются последовательными членами геометрической прогрессии. Ее
знаменатель равен
Z Z О О о
28| Равнобедренная трапеция, с острым углом а, описана около
круга радиуса г. Основания трапеции и боковая сторона образуют
арифметическую прогрессию с разностью
sin ct
291 Сумма десятичных логарифмов семи последовательных
членов геометрической прогрессии составляет 1,75. Произведение
крайних из рассматриваемых членов равно
ГП v^o [7] Юл/То [з] 4 [Т] 0,1 ПЛ ю.
301 Сумма первых девяти членов последовательности ап = п,
принадлежащих области определения функции у =
равна
306
179
350
320
342.
123

Т-81| | Вариант 011 | Геометрия |
1
011 Внутри треугольника ЛВС к стороне ВС проведена
прямая AD, так что получился равнобедренный треугольник ADC с
основанием АС. Если периметры треугольников ABC и ABD равны
39 см и 27 см, то длина АС равна
[71 9 см ПГ| 10 см ЦП 11 см ITI 13 см Г71 12 см.
021
ъ На рисунке размер каждой клеточки 2x2.
Площадь четырехугольника ABCD равна
40
54
56
44,5
48.
031 Площадь треугольника, у которого длины катетов
совпадают с корнями уравнения х2 — 2\/Ех + 3 = 0, равна
ПЛ 3 Ш1,5 IT] 2 [Т] 1 ПЛ (л/5 + л/2)/2.
041 Хорда делит окружность в отношении 5 : 7. Величина
меньшего вписанного в окружность угла, опирающегося на эту хорду,
равна
[Г] 150° Ы 75° hi 72° U1 144° Ы 154°.
051 Если векторы образуют угол в 45° и их скалярное
произведение равно 4, то площадь треугольника, построенного на
этих векторах, составляетт4 т 2 ПЛ 2^2 [7] у/2 \ъ\
061 Отношение площади круга, описанного около правильного
треугольника, к площади круга, вписанного в этот треугольник,
равно m 1,5 П\ 2 П\ 2,5 П\ 4 Ц] 2лД.
О'I Отношение высоты равнобедренного треугольника с углом в
45й при основании, проведенной к нему, к радиусу описанной около
этого треугольника окружности, равно
0 1 0 0,5 [з] 1,5 Н 2 0 2,5.
081 Площадь равнобедренного треугольника с углом 45° при
вершине составляет >/2 + 1. Площадь описанного около треугольника
круга равна [TU [7] 2* ПЛ 3* ГЦ 4* S 1,5,.
124

I Вариант 011 | Геометрия |
091 в ромбе сторона равна 6 см, а один из углов — 60°. Радиус
окружности, касающейся сторон и меньшей диагонали ромба, равен
ГП 3 см [И лД см ПЛ 4 см ГТ1 2\/3 см ПП 0,5\/3 см.
Ю| Одна вершина треугольника совпадает с вершиной ромба, а
две другие — с серединами сторон ромба, не проходящими через эту
вершину. Площадь треугольника относится к площади ромба как
о о ^—^ 4 6 9
Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 6, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 4 : 3, считая от вершины, то
периметр треугольника равен
ГЛ 16 ГИ 20 ГИ 24 |Л 26 ГИ 30.
121 Если площадь параллелограмма составляет 32, а высоты
равны 4 и 5, (3), то его периметр равен
ПП 18 ГП 20 ГП 28 ГП 36 ГП 72.
В описанном около окружности четырехугольнике сумма
двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны
относятся как 2 : 3. Длина большей из этих сторон составляет
ГП 25 см ГП 26 см ГП 27 см ГП 28 см ГП 29 см.
Если боковые стороны и меньшее основание прямоугольной
трапеции соответственно равны 8, 10, 10, то ее большее основание
равно ПП 18 ГП И ГИ 12 ГП 20 ГИ 16.
В равнобедренной трапеции диагональ составляет угол 30
с основанием, а высота равна 2. Найти среднюю линию трапеции
16| Биссектриса угла треугольника в 60° и сторонами 3 и 7
равна ПН 2,1 [71 2,1^3 [И 4,2 [Т| 4,2л/3 0 5.
125

I Вариант 011 | Геометрия |
171 Если точка касания вписанной в равнобедренный
треугольник окружности делит боковую сторону на отрезки длины 2 и 3,
считая от вершины, то площадь треугольника равна
[Г] 24 ГЦ 12 [з] 6 ПП 18 ПП
Треугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Его сторона,
лежащая против угла 45°, равна
ГП 5>/3 см [Tl ЬуД см ПП 2, 5 см \Т\ 7,5 см ПП 5 см.
Если противолежащий основанию угол между медианами
равнобедренного треугольника, проведенными к его боковым
сторонам, равен 60°, то угол при вершине треугольника составляет
0 75 0 7 0 arctg- [Т] 2arcctg3>/3 ПП 2arcctg3.
12 о о
201 Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного
треугольника, образует с основанием угол 45°. Тангенс угла при
основании треугольника равен
2,5
Ш з
з.
21
Периметр трапеции с углами в 60° и 30° при основании,
описанной около круга радиуса (3 — \/3), равен
ПЛ 2>/2 [г] 4 ПП Зл/3 \Т\ 16
221 Диагональ параллелограмма образует с одной стороной,
равной 8, угол 60°, а с другой — 75°. Длина диагонали составляет
Т|4(л/3 + 1) [Т| 5.
231 Расстояние от центра окружности радиуса г до хорды
составляет гл/2/2. Длина дуги, стягиваемой этой хордой, равна
4 2 3 6
126

I Вариант 011 | Геометрия |
241 Площадь прямоугольного треугольника равна 10, а площадь
круга, вписанного в него, равна 2тг. Площадь круга, описанного
около этого треугольника, равна
ПЛ 4тг ГТ1 8тг ПН бтг ГТ1 Ютг [71 4тг>/2.
251 в равнобедренном треугольнике с углом а при основании
высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного в
треугольник круга на га. Основание треугольника равно
| 1 | га cos a ctg ^ | 2 | 2га cos a ctg ^ | 3 | га sin a ctg ^
| 4 I га sin a tg^ | 5 | 2га sin а ctg ^.
261 Если высота правильного параллелепипеда в л/б раз
больше стороны основания, то диагональ параллелепипеда наклонена к
плоскости основания под углом
arccos
1
30е
60е
arccos
2V3
arccos
l
Зл/2'
Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 3, а высота — 1, то боковое ребро пирамиды равно
ПП 1,8 [71 2 [з] 3 ПП 2,5 17] 3,5.
281 Если разверткой боковой поверхности конуса является
сектор с дугой, равной 135°, то отношение боковой поверхности
конуса к площади основания равно
ГТ] 2,(6) [Т] 3,(3) ПЛ 3 [Т| 2,5 |Т| 2,
291 Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 2, а
площадь основания — 4тг, то объем цилиндра составляет
ГТ1 1 Г71 2 ПЛ з [71 2,5 [71 6.
301 Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 6 и площадью 48
вращается около средней высоты. Объем полученного тела равен
ПП 52тг ГЛ Ю4тг ПЛ 26тг Г71 208тг ПЛ 64тг.
127

Т-81| | Вариант 021 | Геометрия]
в
011 Внутри треугольника ABC к стороне ВС проведена прямая
уПТтак, что LCAD — LACD. Если периметры треугольников ABC
и ABD равны 38 см и 26 см, то длина АС равна
ПП 9 см |Т| 10 см ПЛ 11 см 171 13 см ПЛ 12 см.
02
Изображенные на рисунке треугольники
ll подобны \2| имеют равные периметры
J]J равновелики | 4 | имеют разные площади
51 один из треугольников прямоугольный.
031 Чтобы площадь круга увеличилась на 44%, его радиус
следует увеличить на
1 15% 2 20% 3 25% 4 30% 5 35%.
Хорда делит окружность в отношении 13 : 5. Больший
вписанный в окружность угол, опирающийся на эту хорду, равен
260°
140°
130°
120°
125°.
051 В треугольнике стороны равны 4 и 5, а косинус угла между
ними составляет 3/5. Высота, проведенная к третьей стороне, равна
Сторона треугольника длины 2а лежит против угла, синус
которого составляет у/2- 1. Радиус описанной около треугольника
окружности равен
071 Отношение высоты равнобедренного треугольника с углом в
30^ при основании, проведенной к нему, к радиусу описанной около
этого треугольника окружности, равно
ПЛ 0,25\/3 [гП 0,5 ПП 1,5 И 2 ПП 2,5.
128

Т-81| | Вариант "02] | Геометрия]
081 Площадь равнобедренного треугольника с углом 135° при
вершине составляет \pl—\. Площадь описанного около треугольника
круга равна i—i 1
2тг
Зтг
4тг
1,5тг.
091 В ромбе сторона равна 6 см, а один из углов — 60°. Радиус
окружности, касающейся сторон и большей диагонали ромба, равен
I—I I—I i—i г—i f— Рк
ГП 6>/3 - 6 см [Т] 6>/3 - 9 см ПЛ 4 см [Т] 2л/3 см QT]
QT] —- см.
101 Стороны прямоугольника относятся как 1 : 3. Отношение
площади прямоугольника к площади описанного около него круга
равно
Гз1 -2-
ULJ Зтг
_6_ ПЛ _5_
5тг Ш бтг-
111 Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 8, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 5 : 4, считая от вершины, то
периметр треугольника равен п-|16 m го ЦП 24 [The ППзо.
12| Если площадь параллелограмма составляет 60, а высоты
равны 6 и 7,5, то его периметр равен
ГП 18 [Л 20 ЦП 28 ГТ1 36 ПП 72.
131 В описанном около окружности четырехугольнике сумма
двух противоположных сторон равна 40 см. Остальные две стороны
относятся как 1 : 3. Длина большей из этих сторон составляет
ПП 25 см [71 26 см ПЛ 27 см ГТ1 28 см ПЛ 30 см.
141 Если боковые стороны и меньшее основание прямоугольной
трапеции соответственно равны 4, 5, 10, то ее большее основание
равно m is 171 14 ПЛ 13 ГП 20 Щ 16.
В равнобедренной трапеции диагональ составляет угол 45
с основанием, а высота равна 2. Найти среднюю линию трапеции
5 - 831
129

Т-81| | Вариант 021 | Геометрия|
Биссектриса угла треугольника в 120° и сторонами 3 и 7
равна
т2,1
пгь.
17J Если точка касания вписанной в равнобедренный
треугольник окружности делит боковую сторону на отрезки длины 3 и 2,
считая от основания, то площадь треугольника равна
171 24 [71 12 Гз1 6 ГТ1 18 [71 л/15.
Треугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Его сторона,
лежащая против угла 30°, равна
ПН ЪуД см [7] Ъу/2 см [з] 2,5 см \Т\ 7,5 см ПП 5 см.
Если противолежащий основанию угол между медианами
равнобедренного треугольника, проведенными к его боковым
сторонам, равен 90°, то угол при вершине треугольника составляет
Ш и И I GO arctg 3 В2 arcctg 3\/3 \Т\ 2 arcctg 3.
201 Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного
треугольника, образует с основанием угол 30°. Тангенс угла при
основании треугольника равен
\Т\ л/3 [7] 2,5 [з] 1,(6) 0 4 ПП 3.
21
Периметр трапеции с углами в 45° и 30° при основании,
описанной около круга радиуса (2 - >/2), равен
ГТ1 2v^2 I2I 4 ГзП Зл/3 ГТ1 8 ГТ
Зл/6.
221 Диагональ параллелограмма образует с одной стороной,
равной 8, угол 60°, а с другой — 15°. Длина диагонали составляет
[Т] 8(2 — л/3) [Т|8(2 + х/3) |Т|4 |Т]4(\/3+1) QT] 5.
23| Расстояние от центра окружности радиуса г до хорды
составляет гл/З/2. Длина дуги, стягиваемой этой хордой, равна
4 2 о о
130

I Вариант 021 | Геометрия]
241 в полукруг радиуса г вписан квадрат, площадь которого
равна,
г
а V
а V
а Ь
з
251 Около равнобедренного треугольника с углом а при
основании описана окружность радиуса R. Радиус вписанной в
треугольник окружности равен
| 1 I Rsinatg^ I 2 | i^sinactg^ |з | i?sin2asin^
\Т\ R sin 2a cos f [T] #sin2atgf.
261 Если высота правильного параллелепипеда в у/Т^Ъ раз
меньше стороны основания, то диагональ параллелепипеда наклонена к
плоскости основания под углом
Jj arccos —= [2] 30° [Т] 60° \Т] arccos
6
5 arccos
1
Зл/2'
27| Если в правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 2>/б, а высота — 1, то боковое ребро пирамиды равно
0 1,8 0 2 Ш 3 0 2,5 0 3,5.
281 Если разверткой боковой поверхности конуса является
сектор с дугой, равной 108°, то отношение боковой поверхности
конуса к площади основания равно
[П 2,(6) 0 3,(3) |Т| 3 Н 2,5 0 2.
291 Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 3, а
площадь основания — 4тг, то объем цилиндра составляет
И 1 И 2 0 3 0 2,5 0 6.
301 Равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 10 и площадью
96 вращается около средней высоты. Объем полученного тела равен
ГЛ 208тг |Г1 196тг [Т| 416тг [Л 392тг ПП 308тг.
131

Т-82| | Вариант 011 | Геометрия]
011 Периметр треугольника, стороны а,Ь,с которого связаны
уравнениями а + Ь = 11, Ь + с — 10, с + а = 15, равен
ПП 12,5 [Г! 18 ПЛ 12 [Т| 14 ПП 13.
021 в прямоугольнике с периметром 16\/3 одна сторона на 2\/3
больше другой. Площадь прямоугольника равна
ПП 22,5 [И 45 [Г] 90 [t] 36 ПП 72.
031 Медиана прямоугольного треугольника с катетами 30 и 40,
проведенная к гипотенузе, равна
ГП 20^ IT] 20\/3 [Т| 25 ГТ1 35 171 32.
Если расстояние от центра окружности до хорды равно
2, Ьу/Ъ и вдвое меньше радиуса, то длина хорды равна
ГЛ 10 ГП 20 ПН 15 ПЛ 25 ЦП 5.
051 Параллелограмм с площадью 4 см2, меньшей диагональю
3 см и углом arcsin 0, 8 имеет периметр
Т| 5 см ГП 10 см ГП 12 см IT! 6 см (Л 15 см.
061 Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность,
равна 5. Описанный около этой окружности правильный
шестиугольник имеет сторону
о о L о
О'| Радиус окружности, описанной около равнобедренного тре-
угршника с угжш f при осншнии, меньше, этого осншания в
111 2 раза Щ17 5 раза ГзТ у/2 раз |4| >Д раз |_5J 3 раза.
Если площадь вписанного в окружность равнобедренного
треугольника с углом 45° при вершине составляет л/2+ 1, то радиус
этой окружности равен
ПЛ 1 [П 2 Ш 3 17] ^2 [П
132

Т-82| | Вариант 011 | Геометрия]
091 В равнобедренном остроугольном треугольнике с боковой
стороной 8 см и площадью 16л/3 см2 радиус вписанной окружности
равен |
Tj|\/3 см
2 Мл
см
см.
10| Основания трапеции составляют у/2 + 1 и у/Ъ. Отношение
площадей меньшего из треугольников, образованных диагоналями
и основаниями трапеции, и большего равно
[Т] 15 — Юл/2 Ыд/Тб-З ГзПб - 2л/5 [715-2^ |Т|4-у/То.
111 Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 6, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 4 : 3, считая от вершины, то высота
треугольника, проведенная к основанию, равна
ПЛ 2vT0 [I] V65 Ш 5 [Т| 7>/2 Г^П 10.
121 Если площадь параллелограмма составляет 32, а высоты
равны 4 и 5, (3), то сумма квадратов диагоналей равна
ГП 100 |Г1 200 Гз| 164 [71 328 ПП 400.
13| В равнобочной трапеции, имеющей периметр 16 см и
описанной около круга радиуса л/2 см, угол при основании равен
30°
45°
60°
22,5°
75°
Периметр равнобедренной трапеции с острым углом а при
ее основании, описанной около круга радиуса 1/8, равен
~ ~|sina | 4 | 2 sin а | 5 | 0, 5 sin a.
2 sin a
sin а
15| В равнобедренной трапеции с высотой 2 и углом ^ между
ее диагоналями, противолежащим основанию, средняя линия равна
2 1 о I 2 I л I л П\ I ег I /о
3 ~^ И 2уЗ 5 уЗ.
161 Биссектриса прямого угла треугольника с катетами 3 и 6
равна m V2 ГЦ 2уД ПП 3^2 Ц] 2^3 ГЦ УЗ.
133

Т-82| | Вариант"оТ] | Геометрия]
m
171 Площадь треугольника со сторонами 7, 12, 13 равна
24 \Т\ 12 [Г] 12л/2 ПП 12уД ПП
В равнобедренный треугольник с углом 30° при основании
вписана окружность радиуса 2 - \/3. Радиус описанной около
треугольника окружности равен
IT] 0, (6)л/3 FT! 2 ПТЬу'З ПГЪ + л/З |П 4- УЗ.
Если основание равнобедренного треугольника равно 2, а
противолежащий основанию угол между медианами, проведенными
к его боковым сторонам, равен 90°, то площадь его составляет
ГП i I2I2 Гз"| з [71 2л/з ПП
201 В равнобедренном треугольнике с основанием а и тангенсом
угла при основании, равном \/7, длина медианы, проведенной к
боковой стороне, равна
[Т] а [Т| ал/7/3 ПИ а/л/7 [7] 2а/3 [б] За/4 .
Даны стороны АВ = 4, ВС = 5, CD = 6, AD = 3
четырехугольника, вписанного в окружность. Косинус угла LABC равен
4 -
буТо
19
6л/10
19
а-л
1 5 | такого четырехугольника не существует.
221 Диагональ параллелограмма образует с одной стороной,
равной 8, угол 60°, а с другой — 75°. Площадь параллелограмма
равна q-j 32(^5-1) [2] 32(3-^3) [Ц 16(3-^5)
|Т] 32(3 + 2^) 0 16(3+ 2>Д).
231 Если отношение длины окружности, описанной около
правильного многоугольника, к стороне этого многоугольника
равно тг\/2, то число его сторон
ПП 5 ГгП з Гз1 4 ГТ! 8 in в.
134

Т-82| | Вариант 011 | Геометрия]
241 в прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла
делит катет на части в 4 см и 5 см. Площадь треугольника равна
ПП 27 см2 ГТ! 36 см2 Гз1 46 см2 [Т| 54 см2 ПП 60 см2.
251 Равнобедренный треугольник с углом а при вершине и
радиусом г вписанной окружности имеет площадь, равную
|]~|r2tgf -ctgf 0r2ctg2(f-f)-ctgf [7]r2sin2a
0r2tgf -ctgf [7]r2ctg2(f+f).ctga.
261 Диагонали боковых граней прямоугольного
параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы, равные 45°
и arcctg \/2. Найти угол наклона диагонали параллелепипеда к
плоскости основания
ГПЗО0 ГЦ 45° [Т|б0о |Т| arcctg 1,5 [T] arcct
27| Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 3, а высота — 1, то угол между боковым ребром и
плоскостью основания пирамиды равен
[Г] 30° [7] 45° (Г! 60° Q arcctg 2^2 ПП arctg2v/2.
281 Если разверткой боковой поверхности конуса является
сектор с дугой, равной 135°, то угол при вершине осевого сечения
конуса равен
1 | 2 arcsin 0, 25 |_2j 2 arcsin 0, 375 [3J arcsin 0, 25
[7] arcsin 0,375 ПП f.
291 Отношение объема цилиндра к объему вписанного в него
шара равно rj-K,. ПП 3 m0>5 mO)75V5 [7)0,375^.
301 Радиус основания цилиндра, объем которого равен объему
усеченного конуса той же высоты с радиусами основания 2 и 11,
ПП 9 ГЦ 7,5 ГЦ 6 ГЦ 7 [71 8.
составляет
135

Т-82| | Вариант 021 | Геометрия]
011 Если медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного
треугольника, делит его периметр на две части, длиной в 18 см и 9 см,
то основание треугольника равно
Г71 1 см ГТ! 2 см Гз1 3 см ПН 4 см |Т| 5 см.
021 Если увеличить диагональ квадрата в 1,5 раза, то его
площадь увеличится в
[Т] л/Ъ раза ЦТ] | раза []Г| | раза [Т] 3 раза |Т] 2 раза.
031 Медиана прямоугольного треугольника с катетами,
равными 6 см и 8 см, проведенная к гипотенузе, составляет
ГЛ 10 см [Т| 7 см IT! 6 см 1Т| 4 см ПЛ 5 см.
Две окружности радиусов 7 и 13 имеют общую хорду длины
ичем центры окружностей расположены по разные стороны от
этой хорды. Расстояние между центрами окружностей равно
[Т] (л/6 + 2)2 |T|l8 [¥Jl2-2vfi |T]4V^ [5] 2л/б(л/б-h 1).
051 Если векторы а и Ь образуют угол в 120° и \а\ = 3, |6| = 5,
то величина \а - Ь\ равна
ПП VT9 ПП 7 [з] у/М ПП 12 \Т\ 10.
061 Сторона правильного треугольника, вписанного в
окружность, равна 5. Описанный около этой окружности квадрат имеет
сторону
ПП
ъй
Радиус окружности, описанной около равнобедренного тре-
угршника с угжш f при основании, меньше, этого основания в
111 2 раза Щ 1,5 раза ГзТ у/2 раз |_4| V3 раз Гб] 3 раза.
081 Если площадь вписанного в окружность равнобедренного
треугольника с углом 67,5° при основании составляет \/2 + 1, то
радиус этой окружности равен
ПЛ 1 ГЦ 2 [з] 3 ПП V5 Ш 0,5v^.
136

Т-821
| Вариант 021 | Геометрия [
091 В равнобедренном тупоугольном треугольнике с боковой
стороной 8 и площадью 16\/3 радиус вписанной окружности равен
Ш
Ю| Отношение площади описанного около правильного 8 -
угольника круга к площади вписанного в него круга равно
[Th + VS ГЦ 2-^/2 ГТ1 4 -
Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 8, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 5 : 4, считая от вершины, то высота
треугольника, проведенная к основанию, равна
[71 2VT0 [2] л/65 Г71 5 ГТ1 7\/2 ПП 10.
Если площадь параллелограмма составляет 60, а высоты
равны 6 и 7,5, то сумма квадратов диагоналей равна
71 100 [Т| 200 Г71 164 ГТ1 328 ПП 400.
В равнобочной трапеции, имеющей периметр 16 см и
описанной около круга радиуса \/3 см, угол при основании равен
30°
45°
60°
22,5°
75°.
Если периметр равнобедренной трапеции, описанной около
круга радиуса 0,5 равен 10, то острый угол ее равен
[7] arcsinO,2 [jF] arcsin0,4 [Т] arctgO,3
I 4 I arccosO,2 | 5 | arccos0,4.
В равнобедренной трапеции с высотой 2 и углом ^ между
ее диагоналями, противолежащим основанию, средняя линия равна
пп 1 1П2 ГзПЛт in 2х/з m л/з.
121
равна
Биссектриса прямого угла треугольника с катетами 3 и 7
ПП у/2 ГТ] 2л/2 ПП Зл/2 \Т\ 2у/Ъ ПП 2,lV2.
137

Т-82|
Вариант 02] |Геометрия|
171 Треугольник со сторонами 7,8,10 имеет площадь
|Т| [7] 15л/55 \7\ |Т|
в равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине
вписана окружность радиуса ^. Радиус описанной около
треугольника окружности равен
ПЛ 0,(6)>/3 ПЛ 2 ПЛ 2л/3 |Т| 2 + л/З ПП 3
19
Если основание равнобедренного треугольника равно —А—, а
противолежащий основанию угол между медианами, проведенными
к его боковым сторонам, равен 60°, то площадь его составляет
пп 1 пп 2 пл з m
201 В равнобедренном треугольнике с основанием а и синусом
угла при основании, равном 0,25\/Й, длина медианы, проведенной
к боковой стороне, равна
[Г] а Ш ал/7/3 ITI а/у/7 ПП 2а/3 [б] За/4 .
211 Известны стороны 3, 4, 5, и 6 см четырехугольника,
вписанного в окружность. Угол, заключенный между сторонами 3
и 4 см, равен ГП arccos | (7| arccos | [7
arccos о
о
180°- arccos | [Т| 180°-arccos |.
221 Диагональ параллелограмма образует с одной стороной,
равной 8, угол 60°, а с другой — 15°. Площадь параллелограмма
равна [YJ 32(\/3-1) [Т] 32(3 - л/3) G0 16(3 — л/3)
0 32(3 + 2^) IT] 16(3 + 2л/3).
231 Отношение длины описанной около правильного
многоугольника окружности к его стороне равно тг • \Л + 2\/2. Число
сторон многоугольника равно
пп 4 ггп 5 Г
8
138

I Вариант 021 | Геометрия]
24| в прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла
делит катет на части в 2 см и 2,5 см. Площадь треугольника равна
ПП 27 см2 [Т] 36 см2 ПЛ 23 см2 ПЛ 15 см2 ПЛ 13,5 см2.
251 Основание остроугольного равнобедренного треугольника в
1, 5 раза меньше радиуса круга, описанного около
треугольника. Тангенс угла при основании треугольника равен
171 \/б [ТЬу'З ПЛ 3-2^2 ПН 3\/2 ППз
26
Диагонали боковых граней прямоугольного
параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы, равные
60° и arctg ^/1,5. Найти угол наклона диагонали параллелепипеда к
плоскости основания
30е
45е
60е
arcctg 1,5
агес
tg\/2.
27| Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 2>/б, а высота — 1, то угол между боковым ребром
и плоскостью основания пирамиды равен
ПЛ 30° ПЛ 45° ПЛ 60° ПЛ arcctg 2у/2 ПЛ arctg 2уД.
281 Если разверткой боковой поверхности конуса является
сектор с дугой, равной 90°, то угол при вершине осевого сечения конуса
равен
2arcsinO,25
arcsin 0, 375
2 arcsin 0, 375
arcsin 0, 25
7Г
3*
29| Отношение объема цилиндра, высота которого в 2 раза
больше диаметра основания, к объему описанного около него шара
равно
1,5
0,5
0,75л/5 ПЛ 0,12^.
301 Радиус основания цилиндра, объем которого равен объему
усеченного конуса той же высоты с радиусами основания (\/105- 1)
и 2, составляет г—i г
7,5
8.
139

Т-83| | Вариант 011 | Геометрия |
m
011 В равнобедренном треугольнике с периметром 16 см средняя
линия, параллельная основанию, составляет 3 см. Боковая сторона
треугольника равнат4 см Ыб см ПЛз см [7|з,5 см ЦЪ см.
021 Средняя линия треугольника делит его площадь на части,
относящиеся как ПН i . 2 [71 1 : 3 ПП 1 : уД [1] I : 2уД [ь] 1 : 4.
В прямоугольном треугольнике, у которого катеты
относятся как 1,2 : 0,5, меньший угол равен
1 j arccos Y5 | 2 | arcsin |
5
arccos -
5тг
Зтг
041 Длина дуги окружности радиуса Ц, содержащей 50°, равна
Ц,
ГЦ 2 ПЛ 5 ПП 4 [71 2,5.
051 В прямоугольном треугольнике с острым углом а гипотенуза
равна \/2- Сумма катетов треугольника составляет
[7] 2sin(f-a) [7] 2 sin 2a.
061 Стороны треугольника длины 5 и 10 образуют тупой угол,
синус которого равен 0,8. Третья сторона треугольника равна
ПЛ л/ж Г^П >/б5 ГзП у/т ПП у/т IT]
О'I Отношение высоты равнобедренного треугольника,
проведенной к основанию, к радиусу описанной около этого
треугольника окружности равно 2~2 , если угол при основании
\1\ ^ [г] | [Т] | [Т] | [Т] такое невозможно.
081 Площадь круга, описанного около равнобедренного
треугольника с углом а при вершине, составляет тг. Площадь
треугольника равна
ГП |Л HI
а sm2f
[ 2 I 2 sin2 | cos a
5 2sinacos2 ?.
cos2 ^ sin a
140

Т-83| | Вариант 011 | Геометрия]
091 В прямоугольном треугольнике с катетами 13 и 84 радиус
вписанной окружности равен
ПП з ПП 12 ГЦ б ГТ1 8 171 ю.
1OJ Площадь правильного восьмиугольника, вписанного в круг
радиуса у/2, равна ПН 8v^ [71 iyfi ПЛ 16 Г71 16V^ Ш 8.
Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 6, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 4:3, считая от вершины, то площадь
треугольника равна
(Т|2л/б5 ГТЬл/Ш ППбл/Тб [Т| 4^/65 ГбП
в параллелограмме, имеющем угол 60°, периметр 22 см и
меньшую диагональ 7 см, большая сторона равна
ГП 9 см ПП 7,5 см ПЛ 7 см ПЛ 8 см |Т| 10 см.
131 Равнобочная трапеция с площадью 40 см2 и боковым ребром
^м такова, что в нее можно вписать окружность. Радиус окружное-
ти равен ПП 3,5 П] 2,5 ПЛ 3 ПП 6 \t] 10.
^ Средняя линия трапеции равна 10 см и делит площадь в
отношении 3 : 5. Длины оснований трапеции составляют
I 5 см и 15 см |2| 4 см и 16 см |з| 6 см и 14 см
ПЛ 3 см и 17 см
^ см и ^ см.
4 4
Если средняя линия равнобедренной трапеции с углом 120°
между ее диагоналями, противолежащим основанию, равна 2>/3, то
ее площадь составляет
ПП 2^/3 Г^П Зх/3 ГзП 3 ГГ1 4 fsl
Биссектриса прямого угла треугольника с гипотенузой 2 и ос-
трым углом 15° равна
п^
Ш
6 *
141

Т-83| | Вариант 011 | Геометрия]
171 Площадь вписанного круга в треугольнике со сторонами 7, 8,
10 равна [Л 9,9тг [7] 2,475тг Гз] 4,95тг [7] 4тг IT] 5тг.
Радиус окружности, описанной около равнобедренного
треугольника с углом 120° при вершине, равен 2+\/3. Радиус вписанной
в этот треугольник окружности равен
[71 1 ГЦ °>5 В2-^ Glv^ ПП
191 Если основание равнобедренного треугольника равно 2, а
противолежащий основанию угол между медианами, проведенными
к его боковым сторонам, равен 60°, то боковая сторона равна
ГзП 3 [Т| 2л/7 ГЦ л/7.
201 В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза а и
меньший угол а. Расстояние между основаниями медианы и высоты,
проведенными из вершины прямого угла, равно
ГП -a cos 2а \2\ a sin 2a
3 | - cos2 а
--cos 2a.
Площадь круга, описанного около трапеции со сторонами
3 и 5 и углом 60° между ними, равна
[Г] 16, (3)тг IT] бтг ПП 7тг \Т\ 9тг [Т] 6,(3)тг.
221 дВе высоты параллелограмма, проведенные из вершины
тупого угла, равны 3 и 4 см, а угол, заключенный между ними, равен
60°. Большая диагональ параллелограмма равна
12л/3 3
231 в круговом секторе радиуса 6 см с площадью 4тг см2
центральный угол равен
30е
40е
45е
60е
75°.
142

I Вариант 011 | Геометрия]
241 дВе стороны треугольника относятся как уДЕ : 5. Биссектриса
угла между ними делит площадь треугольника в отношении
ГТ1 3 : 25 Г^П УЗ : л/5 ГзП 2 : 9 [Т|з:5 ПП 2 : 5.
25| Окружность вписана в равнобедренный треугольник с углом
а при основании. Точка касания окружности делит боковую сторону
треугольника, считая от вершины, в отношении
2 sin2 " 1—1 _ г—i sin2 тг i—1 2 cos2 т i—i cos2 -
4
cos a
COSQ
COSQ
COSQ
261 Если плоскость квадрата составляет угол 45° с
горизонтальной плоскостью, проходящей через одну из сторон квадрата, то угол
наклона диагонали квадрата к этой горизонтальной плоскости равен
1 45 2 60 13 I arcsin
2V2
4 30е
271 Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 3, а высота — 1, то плоский угол при вершине
пирамиды равен
IT] 90° [Т]б0о ПП 2 arcsin 0, (6) [Т| arcsin 0, (3) ПП 2 arcsin 0, 75.
281 Если площадь основания конуса равна поверхности
вписанного в него шара, то косинус угла при вершине в осевом
сечении конуса равен
IT] 0,75 |Т| 1,(3) ПН 0,6 |Т1 0,8
а §•
291 Основанием пирамиды является ромб со стороной 2уЗ и
углом 60°. В пирамиду вписан конус, образующая которого
составляет с плоскостью основания угол 45°. Объем конуса равен
I .. I Зл/бтг I ^ I Зу^Зтг I » I тгл/з I л
а?-
301 Если усеченный конус с радиусами оснований 3 и 5 и полный
конус такой же высоты имеют равные объемы, то радиус основания
полного конуса равен
ПП 6 ГП 8 Гз1 9 ГГ1 10 Г^П 7.
143

f-831
| Вариант 021 | Геометрия]
01
Точка М делит отрезок АС в отношении 5 : 3,
считая от точки A, MN = 6, MN\\BC. Длина
отрезка ВС равна
l| 9 [Т| 8,6 [Т| 9,8 ПП 9,6 ПП 8,4.
Если каждую диагональ ромба увеличить в 3 раза, то его
площадь увеличится в ^_^
ГТ] 6 раз ПП 12 раз ПП 4,5 раза ПП 18 раз ПП 9 раз.
031 Если в прямоугольном треугольнике катет в 1,2 раза больше
медианы, проведенной из прямого угла, то меньший угол равен
I 1 | arccos — I 2 I arcsin - | 3 | arccos ^ | 4 | ^f I 5 | arctg 0, 75.
041 Окружность с центром в точке С(—4; 3), проходящая через
точку А(—4; 2), имеет радиус
Щ 1 ПЛ 2 [з] 1,5 ГП 2,5 Ц] 0,3.
051 В прямоугольном треугольнике с катетом а и прилежащим
к нему острым углом а медиана, проведенная к гипотенузе, равна
Ilia cos a | 2 | г a cos a | 3 | a sin a | 4 | x a sin a I 5 | -acos"l a.
061 Стороны треугольника длины 5 и 10 образуют тупой угол,
синус которого равен 0,6. Третья сторона треугольника равна
ГП л/185 IT] Zy/b ПП VT25 ГП л/135 \ъ\ л/205.
О'| Отношение высоты равнобедренного треугольника,
проведенной к основанию, к радиусу описанной около этого
треугольника окружности равно 0,5, если угол при основании равен
LJ [Ю t] L ]
f
6 til] з LlJ f
такое невозможно.
081 Площадь круга, описанного около равнобедренного
треугольника с углом а при основании, составляет тг. Площадь треугольника
равна
[ 1 | 2 cos2 a sin 2а | 2 | 2 sin2 a sin 2а | 3 | cos2 a cos 2a
5 | sin2 a.
sin2 f
144

Т-83| | Вариант (Щ | Геометрия]
091 в прямоугольном треугольнике с катетом 13 и гипотенузой 85
радиус вписанной окружности равен
171 3 ПЛ 12 Гз1 6 |Л 8 171 10.
В круговой сектор с центральным углом 60и вписан круг
радиуса 3. Радиус сектора равен
пп 9 г^1 б ГзП 8 m 12 гт! 7.
И1 Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 8, делится точкой касания вписанной в него
окружности в отношении 5 : 4, считая от вершины, то площадь
треугольника равна [7] 2уб5 [7] VlO 06^ 04^65 [б]з^10.
В параллелограмме, имеющем угол 60°, периметр 22 см и
меньшую диагональ 7 см, меньшая сторона равна
Г] 3 см IT] 4 см Гз] 6 см |Т| 2 см [б] 2, 5 см.
Равнобочная трапеция с площадью 40 см2 и боковым ребром
такова, что в нее можно вписать окружность. Угол при нижнем
основании трапеции равен
| 1 I arctg | | 2 I arcsin | | 3 | arcsin | | 4 | arccos 0, 6 | 5 | j.
Средняя линия трапеции равна 8 см и делит площадь в
отношении 2:3. Длины оснований трапеции составляют
1\ 5 см и 11 см [Т] 4 см и 12 см [з] 6 см и 10 см
Т] 7 см и 9 см ПП 4,8 см и 11,2 см.
Если средняя линия равнобедренной трапеции с углом 60°
между ее диагоналями, противолежащим основанию, равна 2, то ее
площадь составляет i—
ПЛ 3\/3 Гз1 3 ГТ1 4 ПН 4>/3.
Биссектриса прямого угла треугольника с гипотенузой 2 и
острым углом 75° равна г—к г—i ^ ГП./о ГП а£ ГП^1
6- 831
145

I Вариант 021 | Геометрия]
Площадь вписанного круга в треугольнике со сторонами 7,
12, 13 равна
[2| 3, 375тг
13,5тг [Т] 4тг ПГЬтг.
Радиус окружности, описанной около равнобедренного
треугольника с углом 30° при основании, равен 0, (6)\/3. Радиус
вписанной в этот треугольник окружности равен
1 1
2 "
19
Если основание равнобедренного треугольника равно 2, а
противолежащий основанию угол между медианами, проведенными
к его боковым сторонам, равен 90°, то боковая сторона равна
201 В прямоугольном треугольнике даны катет 26 и прилежащий
к нему меньший угол а. Расстояние между основаниями медианы и
высоты, проведенными из вершины прямого угла, равно
Г7Ъсо82а |Tl6cos2a ГЦ
cos a
sin a
211 Площадь круга, описанного около трапеции со сторонами
3 и 5 и углом 120° между ними, равна
Т] 16, (3)тг |Т| бтг ПП 7тг [Т] 9тг ПП 6,(3)тг.
221 дВе высоты параллелограмма, проведенные из вершины
тупого угла, равны 3 и 4 см, а угол, заключенный между ними, равен
60°. Меньшая диагональ параллелограмма равна
ПП-УТГТ |2|2\/5+ 12\/3 [з| 2л/5 — 12у/3 |Т| -\/39 [б
3 о
231 Круговой сектор с радиусом 6 и площадью 4тг имеет
центральный угол
о |
30
35^
45^
50°.
146

Т-83| | Вариант 02] | Геометрия]
241 Биссектриса угла треугольника делит площадь
треугольника в отношении у/п>: 5. Найти отношение сторон треугольника,
заключающего этот угол
ПП 3 : 25 ПЛу^: У5 ГзП 2 : 9 Г71 3 : 5 |Т| 2 : 5.
251 в равнобедренном треугольнике угол при основании равен
оГПтношение площади треугольника к площади описанного около
треугольника круга равно
с
2_
I -* I
7TCOSQ
7TCOSQ
7TCOSQ
Если угол наклона диагонали квадрата к горизонтальной
плоскости, проходящей через одну из сторон квадрата, равен 30°, то
плоскость квадрата составляет с этой плоскостью угол в
45е
60°
arcsin
2V2
30°
arcsin
27| Если в правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 2л/б, а высота - 1, то плоский угол при вершине пирамиды
О
Т]б0О
2 arcsin 0, 75.
281 Если площадь основания конуса равна поверхности вписанного
в него шара, то синус угла наклона образующей к плоскости
основания равен [Л 0,75 01,(3) [з]о,6 ППо,8
Ий-
291 Основанием пирамиды является ромб со стороной 2\/3 и
углом 30°. В пирамиду вписан конус, образующая которого
составляет с плоскостью основания угол 60°. Объем конуса равен
ПП 2#l [71 з^г m «& г-
а ч ■
Если усеченный конус с радиусом нижнего основания 5
и полный конус такой же высоты с радиусом основания 7 имеют
равные объемы, то радиус верхнего основания конуса равен
ПП 1 Г71 2 [з] 3 ГЦ 4 ПП 2,5.
147

Т-841 | Вариант 011 [Геометрия |
П
011 Стороны треугольника ABC относятся, как 2:3:4. Если
периметр треугольника, вершинами которого служат середины сторон
треугольника ABC равен 18 см, то меньшая сторона треугольника
ABC равна |"П 8 см ПЛ 6 см Гз1 10 см [71 12 см ПЛ 13 см.
021 Периметр равнобедренного треугольника составляет 32 см, а
основание относится к боковой стороне как 6:5. Площадь
треугольника равна ^_^
|Л 24 см2 ПЛ 96 см2 ПЛ 48 см2 171 4^49 см2 ПЛ 98 см2.
031 Если в равнобедренной трапеции основания и боковая
сторона составляют соответственно 10, 24, 25, то ее площадь равна
ПП 816 ПЛ 204 ПЛ 408 [7] 204^3 ПЛ 612.
041 Если площадь кругового сектора с центральным углом в 40е
равна 4тг, то радиус сектора составляет ^__^
,05тг
12
, 5тг
3.
051 Если сторона треугольника составляет 8 см, а косинус
противолежащего угла равен 0,6, то радиус описанной около этого
треугольника окружности равен
ПП 20 см m 5 см ПЛ 10/3 см [7] 3 см ПЛ 4 см.
061
В треугольнике, имеющем углы 85° и 50°, радиус описанной
окружности равен д/2,5. Меньшая сторона треугольника равна
ПП у^ |2] Уб IT] 2>/3 |4| 3 JT1 5.
071 Известно, что в треугольнике ABC AB = у/б — \/2, АС = 2,
1С = 15 и угол В тупой, тогда угол А равен
30е
60е
45е
15"
22,5°.
Площадь равнобедренного треугольника с углом а при
вершине составляет 2тг~1а2 cos2 у. Площадь описанного около
треугольника круга равна
1 a2 sin а I 2 a2sin~1 а 3 a2cos~1a 4 а2 cos а I 5 I а2 sin 2a.
148

| Вариант 011 | Геометрия]
091 Катеты прямоугольного треугольника являются корнями
квадратного уравнения 2х2 — 15х + 3 = 0. Радиус вписанной в этот
треугольник окружности равен
15-л/213
Отношение площадей правильных пятиугольника и
треугольника, вписанных в одну и ту же окружность, равно
71 -
JJ 3
9
H| Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 6, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 4 : 3, считая от вершины, то угол при
основании равен
I I I arcsin - | 2 | arccos | | 3 | arccos | | 4 | arcsin | | 5 | |.
arcsin -
121 в параллелограмме со сторонами 8 и 12 и углом arccos ^
расстояние от точки пересечения диагоналей до ближайшей стороны
равно ГЛ 6 [71 2 ПН 3 ГП 4 ГЦ 9.
Около круга радиуса 2а описана равнобедренная трапеция
с острым углом 30°. Средняя линия трапеции равна
\Т\ 8а [Т] 4а ПН 16а |Т| |Т|
В трапеции с большим основанием а расстояние между
серединами диагоналей равно 6. Меньшее основание трапеции равно
Па-6 Г^П 2а - 6 ППза-Ь ГЛ 4а - 6 ПГ|а-26.
В равнобедренной трапеции с высотой 2 - \/2 и углом тг/4
между ее диагоналями, противолежащим боковой стороне, средняя
линия равна ПН ^ ПЛ 2^2 ГЦ 2 |Т| 4 Щ уД + 2.
Если биссектриса угла треугольника в 60° со стороной в 7
см, равна 2,1л/3 см, то вторая сторона этого угла составляет
И 1 0 2 0 3 0 1,05 [Г| 4,2.
149

Т-84| | Вариант 011 | Геометрия]
171 Радиус вписанной в прямоугольный треугольник
окружности равен 2, а гипотенуза в точке касания делится на отрезки длины
4 и 6. Площадь треугольника равна
ПП 28 ПЛ 36 HI 12 IT! 24 ПП 48.
В равнобедренный треугольник с углом а при основании
вписана окружность радиуса г. Радиус описанной около
треугольника окружности равен
1 sin 2a
r • ctg ^ • sin 2a
tga
cos 2а
sin 2а
Если площадь равнобедренного треугольника равна 3\/3, а
противолежащий основанию угол между медианами, проведеными
к боковым сторонам, равен 60°, то основание составляет
ГП 1 |Т| 2 ПП з [Т| о, (з)л/з ПП 2уД.
201 В треугольнике основание равно 60, а высота и медиана,
проведенные к нему — 12 и 13. Меньшая боковая сторона равна
П~| л/751 Г71 у/Ш ПГ1 27 |Т| 28 [71 29.
211 Равнобедренная трапеция при основании имеет угол 45°.
ТТгношение радиусов описанной и вписанной в нее окружностей
равно
У2
0, (3)у/7.
221 Диагональ параллелограмма образует с одной стороной,
равной 8, угол 60°, а с другой — 75°. Радиус окружности, описанной
около треугольника, образованного этой диагональю и сторонами
параллелограмма, составляет
|Т| 1) 0 4л/2(\/3 - 1) |Т]
231 в круговой сектор вписана окружность, радиус которой в
2,5 раза меньше радиуса сектора. Центральный угол равен
1 I arcsin | | 2 | 2 arcsin |
75°
arcsin | I 5 | 2 arcsin |.
150

Т-84| | Вариант "оТ] | Геометрия]
241 Отношение площади правильного четырехугольника,
описанного около окружности, к площади правильного шестнад-
цатиугольника, вписанного в нее, равно
251 Треугольник имеет стороны 16 см, 10 см, 10 см. Расстояние
между центрами вписанной и описанной около треугольника
окружностей равно |
11 Ы 32
3 Ш 3
5.
261 в грани двугранного угла, равного 45°, проведена прямая,
составляющая угол 45° с ребром двугранного угла. Угол между этой
прямой и другой гранью равен
45й
60е
30е
arcsin
arcsin
2V3*
27| Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 2\/б, а высота — 1, то боковая грань наклонена
к плоскости основания пирамиды под углом
281 Если образующая конуса равна \/3 см, расстояние от
вершины конуса до центра вписанного в него шара равно 1 см, то
образующая составляет с плоскостью основания угол
~Т| 2 arctg \ ПП 2 arctg 3.
1} I
liJ \
L2J !
29 j Основанием пирамиды является прямоугольный
треугольник с катетами 12 и 5. Каждое ее боковое ребро наклонено к
плоскости основания под углом 45°. Объем пирамиды равен
Г71 54v/2 ГГ! 172\/2 Гз1 72 |Т| 65 [б! 195.
301 Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной
пирамиды равно 5, а площади оснований — 72 и 18. Объем
усеченной пирамиды равен
ПП 84 ITl 126 [Г! 160 |Т| 168 ПП 210.
151

Т-84| | Вариант 021 [геометрия|
1
011 Стороны треугольника ABC относятся, как 3:4:5. Если
периметр треугольника, вершинами которого служат середины сторон
треугольника ЛВС равен 12 см, то большая сторона треугольника
ABC равна ^_^ ^^
ПП 8 см IT! 6 см ГП 10 см [П 12 см ПЛ 13 см.
021 в прямоугольном треугольнике сумма площадей квадратов,
построенных на стшхшах, составляет 54. Гипотенуза равна
ГП 2ч/3 Ы Зч/З Гз1 3v^6 Г71 9 ПП 6.
031 Трапеция имеет площадь 20 см2. Одна из ее взаимно
перпендикулярных диагоналей составляет (у/ъ — \/3) см. Другая равна
|Т| 20(У5 + уД) CM [TJ 1^7- СМ Щ -7^7!? СМ
m is
СМ
| 5 | невозможно определить.
04| Площадь сектора окружности радиуса 4 см с центральным
углом в 120° равна [Т] ^тг [7] |тг [Т] 960 [Т| 480 [б] f тг.
05 § Биссектриса угла в правильном треугольнике с площадью
16л/3/3 см2 равна
ГП 8 см 1Г1 6 см Гз1 4\/3 см [71 4 см [ъ
см.
06
В треугольнике, имеющем углы 60° и 45°, радиус описанной
окружности составляет 5 см. Большая сторона треугольника равна
ГП 7,5 см |Т| 6,5 см ПЛ 5\/2 + >/3 см ПП 5\/2 - у/Ъ см [б] 8 см.
071 В треугольнике с углами 30° и 45° наибольшая из сторон
равна л/2. Наименьшая из сторон треугольника составляет
[Г]ч/б-2 Ы^+У2 ГзП v^ — 1 [Т]\/3+1 ГбП л/б - \/3.
Площадь равнобедренного треугольника с углом \ — \ при
основании составляет 2тг~1а2 cos2 ^. Площадь описанного около
треугольника круга равна
|lla2sina ГгПа^т"1** fsla^^cos"^ |4|a2cosa r5|a2sin2a.
152

Т-84| | Вариант 021 | Геометрия]
091 Катеты прямоугольного треугольника являются корнями
квадратного уравнения 2х2 - 26х + 25 = 0. Радиус вписанной в этот
треугольник окружности равен
10| Если радиус вписанной в правильный 10-угольник
окружности равен г, то сторона 10-угольника равна
[Т]2г ctgf^ 02rtg^ 02rtg^ 02г. sin f^ 02rcos^.
Щ Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 8, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 5 : 4, считая от вершины, то угол при
основании треугольника равен
I I I arcsin -j | 2 | arccos ^ | 3 | arccos - | 4 | arcsin - | 5 | ^.
^ в параллелограмме со сторонами 8 и 12 и углом arccos(0,25\/7)
расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны
равно ГП 6 0 2 0 9 0 4 0 4,5.
Около круга радиуса 2а описана равнобедренная трапеция
с острым углом 30°. Площадь трапеции равна
ГП 32а2 ПН 12а2 Гз1 16а2 [Л 18а2 I
20а2.
В равнобедренной трапеции диагональ а образует угол а с
основанием. Площадь трапеции равна
1 |а2 sin 2а | 2 | ^a2sin 2а | 3 | a2 sin а | 4 |а2 cos а | 5 | a2 sin2 а.
15 | В равнобедренной трапеции с высотой 4 - 2\/3 и углом тг/6
между ее диагоналями, противолежащим боковой стороне, средняя
линия равна ГП i ГП о ГИ 9./* ГП л ГИ уз + 2.
1
2 2
4 4
Если биссектриса угла треугольника в 120° со стороной в 7,
равна 2,1, то вторая сторона этого угла составляет
0 10 2 0 3 0 1,05 0 4,2.
153

Т-841
| Вариант 021 | Геометрия |
17| Площадь вписанной в прямоугольный треугольник
окружности равна 4тг, а гипотенуза в точке касания делится на отрезки
длиной 3 и 10. Площадь треугольника равна
ГП 45 ГЦ 10 S 7,5 |Т| 30 ПП 15.
18| Радиус описанной около равнобедренного треугольника с
углом а при основании окружности равен R. Радиус вписанной в
этот треугольник окружности равен
[Г] Rsin2a [Т] flsin2atg| ПП iisin2actg|
R cos 2a
iUgf.
191 Если площадь равнобедренного треугольника равна 6+3\/3,
а противолежащий основанию угол между медианами, проведеными
к боковым сторонам, равен 30°, то основание составляет
1
0,(3)\/3
2\/3.
201 В треугольнике основание равно 60, а высота и медиана,
проведенные к нему — 12 и 13. Большая боковая сторона равна
ПП уДШ ГП 45 Гз1 43 ГП 48 ПЛ 50.
211 Равнобедренная трапеция при основании имеет угол 60й.
Отношение радиусов описанной и вписанной в нее окружностей равно
ПЛ уД ПГ) 0,5л/б ПЛ л/2 [Т| 0,(6)V7 ПП 0,(3)^7.
22| Диагональ параллелограмма образует с одной стороной,
равной 8, угол 60°, а с другой — 15°. Радиус окружности, описанной
около треугольника, образованного этой диагональю и сторонами
параллелограмма, составляет
4(^/3-1).
231 в круговой сектор вписана окружность, радиус которой в 3,5
раза меньше радиуса сектора. Центральный угол равен
arcsin
2 arcsin |
75е
arcsin ^ I 5 | 2 arcsin -j.
154

Т-84| | Вариант 021 | Геометрия]
241 Отношение площади правильного четырехугольника,
описанного около окружности, к площади правильного двад-
цатичетырехугольника, вписанного в нее, равно
|у|\/2 пп VG + V2 Г
2
V3 m
о
251 Треугольник имеет стороны 6, 5,5. Расстояние между
центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей равно
ГП 0,625 ГТ! 2 ПЛ 3 ГТ1 2,125 ПЛ 0,4.
261 В грани двугранного угла, равного 60°, проведена прямая,
составляющая угол arcsin A= с ребром двугранного угла. Угол между
этой прямой и другой гранью равен
45й
60е
30е
arcsin
arcsin
27| Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 3, а высота — 1, то боковая грань наклонена к
плоскости основания пирамиды под углом
281 Если образующая конуса равна 3 см, расстояние от вершины
конуса до центра вписанного в него шара равно 1 см, то образующая
составляет с плоскостью основания угол
И I Ш 7 И f Й 2arctg^ |Т| 2arctg3.
291 Основанием пирамиды является прямоугольный
треугольник с катетами 6 и 6\/2. Каждое ее боковое ребро наклонено к
плоскости основания под углом 60°. Объем пирамиды равен
[71 54v/2 ГЛ 172^2 IT! 72 ГТ1 65 Гб! 195.
301 Площади оснований усеченной пирамиды равны 72 и 18, а
высота полной пирамиды — 8. Объем усеченной пирамиды равен
ПП 84 [г! 126 ПЛ 160 ПП 168 ПП 210.
155

Т-85| | Вариант "оГ| | Геометрия]
011 В трапеции с основаниями уД и 1 отрезок, соединяющий
середины диагоналей, равен
ПН л/3-1 ГП 2л/з+2 ГП 1 ГП У^З+1 Г7"| 2л/3-2
02 | Если сторона ромба равна 5, а меньшая диагональ
составляем, то его большая диагональ равна ^_^ ^_^
[71 8 [71 6 IT! 10 [71 16 [Г\ 12.
031 Трапеция имеет площадь 60 см2 и высоту 3 см, основания
ее относятся как 1 : 4. Меньшее основание трапеции равно
[71 4 см ГП 5 см [Г! 6 см [71 7 см [71 8 см.
041 к окружности радиуса 1, из точки, лежащей вне ее,
проведены касательные длины у/3. Площадь меньшего сектора круга,
ограниченного радиусами, проведенными в точки касания, равна
ГП[71ГЛ#Г7|ГГ
05 I Больший угол треугольника со сторонами 3, 5 и 6 равен
jj arccos ^ [2|6О°
|-arccos— (Т| 180° -arccos— [7|l20°.
061 В треугольнике со сторонами 3 и 5, косинус угла между
которыми составляет 1/3, диаметр описанной окружности равен
m 4^ m ь& m 4^з [71 3V3.
071 В равнобедренном треугольнике боковая сторона в 1,5
раза больше радиуса описанной около треугольника окружности.
Боковая сторона образует с основанием угол
I 1 I arcsin ^ | 2 I arcsin - | 3 | arccos ^ I ^ I arccos - | 5 | arctg -.
Если отношение площади круга, описанного около равно-
едренного треугольника с углом а при вершине, к площади этого
треугольника равно 0, бтгзт"1 2а, то угол при основании равен
Ш И S arCCOS зИз Ев'
4 И 2 " 2 arCCOS 3
156

Т-85| | Вариант"оТ| | Геометрия]
091 Окружность, вписанная в ромб, у которого большая
диагональ равна 10, а один из углов — 60°, имеет радиус
ПЛ 5х/3 ПП Ъ& [71 2,25 ГЦ 2,5.
Площади параллелограмма и равнобедренной трапеции,
/""TV имеющих общий угол а, относятся как 1 : 3, см. рис.
/ / \ Отношение сторон параллелограмма равно
/ft / \ | 1 11 cos q | 2 | cos а | 3 | sin q | 4 | ^ sin а | 5 | sin 2a.
Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 6, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 4 : 3, считая от вершины, то радиус
вписанной окружности равен
Ил с /777 I о I л о /i л I о I 4у65 I л I л о I вг I 2у 65
0, оу 10 | 2 | 0,8уЮ | 3 | j[3 | 4 | 12 | 5 | *3 .
Параллелограмм с острым углом 60° описан около двух
касающихся окружностей, имеющих радиус 0,5. Площадь параллелограм-
ма равна Q]
7] 1 +
02
Щ 1 + ^ Щ 1 +
В равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно 1,
вписана окружность с радиусом 1. Площадь трапеции равна
[П 0,5^7 И 3,5 [Т| 2,5 Щ 7,5 \ъ\ 5.
В равнобедренной трапеции с углом а при основании,
диагональ, равная а, перпендикулярна боковой стороне. Средняя
линия равна JTJeztga [TJezctga [|]acosQ |TJatg| [T]a sin a.
Если средняя линия равнобедренной трапеции с углом 45°
между ее диагоналями, противолежащим боковой стороне, равна \/2,
то ее площадь составляет [Т] 4 ГТ1 2 ГТ1 3 ГТ1 2х/2 - 2
Угол треугольника образован сторонами длины 6 и 10.
Биссектриса этого угла составляет 7. Угол равен
[Г] 2 arccos [T] [T]
T] 2 arccos ^ [T] arccos ~ [Т] 30° [б] 60°.
157

| Вариант 011 |Геометрия!
m
171 Радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, а одна
из точек касания делит сторону на отрезки длины 3 и 4. Площадь
треугольника равна |T|lO,5 [7142 Гз]з1,5 ГЦ 15 ГЦ 21.
Отношение площади описанного около равнобедренного
треугольника с углом в 30° при основании круга к площади
вписанного в него круга равно
ГТ] 4 \Т\ 2 [з] 4(7 + 4>/3) |Т| 5 ПП 1, (3) • (7 + 4>/5$).
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6с, острый
угол равен а. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника
до гипотенузы составляет
ГПс |2|c-sin2a Гз| -с • cos 2a HI с • cos 2a |5l-c-cos2a.
201 В треугольнике с известными сторонами а, 6, с медиана,
проведенная к стороне а, равна
Т] \ у/а2 + 262 + 2с2 [г] |
[I] |
- а2 + 2с2
[б] ^
- а2 - с2
+ 2с2 - а2.
| Va2 + б2 + 2с2
2Ц Периметр четырехугольника ABCD, вписанного в
окружность радиуса л/2 : (cos 10° cos 5°) так, что величины дуг АВ, ВС,
CD, AD пропорциональны числам 3,4,5,6, равен
ГП 4 Гг! 8 Гз1 6 ГТ1 10cos5° [б! 4 cos 10° cos 5°.
221 Диагональ параллелограмма образует с одной стороной, равной
8, угол 60°, а с другой - 75°. Радиус окружности, вписанной в
треугольник, образованный этой диагональю и сторонами
параллелограмма, составляет
231 Площадь кругового сегмента в круге радиуса R составляет
0,25Я2(тг — 2), если центральный угол сегмента равен
7
а ч
о К
LLI з
!
7Г
4
6*
158

Т-851
| Вариант 011 | Геометрия |
24| Отношение площади правильного треугольника к
площади треугольника, отсекаемого от него прямой, проходящей через
середину стороны под углом 45° к ней, равно
ГП 2ч/3 ПЛ 2V3-2 Гз] 2^3 + 2 ПП 2>/2 ПП 3\/2.
251 Вершины вписанного в окружность радиуса R треугольника
делят окружность в отношении 2 : 5 : 17. Площадь треугольника
равна
1 £J
2 LA
4 \ ±1
261 Если боковое ребро правильной треугольной призмы
равно стороне основания, то угол между стороной основания и
непересекающей ее диагонально боковой грани равен
|Т| f [Т| 7 [Г] f ГТ1 arccos 0, 25 ПП arccos ^.
271 Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 3, а высота — 1, то двугранный угол при боковом
ребре равен
045° ППбО0 |T]2arctgl,(3) \T\ 2arctg ^/l, (3) |Т| 120°.
281 Около шара описан усеченный конус, у которого площадь
одного основания в четыре раза больше площади другого.
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом, равным
зос
60е
1 3 I arccos | I 4 I arccos |
1 5 | arccos -.
291 в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
с углом 90° при вершине. Все боковые грани одинаково наклонены
к плоскости основания. Отношение объема пирамиды к объему
вписанного в него конуса равно
3+2^2 m l-h/2 [7| ^ [7]
301 Если площади оснований усеченной пирамиды относятся
как 9 : 4, то отношение объемов достроенной полной и усеченной
пирамид равно |
1,5
19
^ 4 2
2,5.
159

Т-85| | Вариант"02] | Геометрия]
011 Если в трапеции большее основание равно 10, отрезок,
соединяющий середины диагоналей, равен 4, то меньшее основание
Равно ПП 1 (71 2 [з] 3 [71 1,5 Ц] 2,5
021 Диагонали ромба относятся как 2 : 3 и образуют с каждой
стороной ромба треугольник, площадь которого составляет 12.
Сторона ромба равна ГП 10 ГТ! 16 [з] 8 ПП 2у/П [ь\2у/п.
031 Площадь трапеции с взаимно перпендикулярными
диагоналями длины 8 см и 12 см составляет ^_^
ПП 24 см2 ГП 36 см2 Гз1 48 см2 |Т| 64 см2 |Т| 72 см2.
04| Через точку , отстоящую от окружности на 8 см, проведены
касательные к окружности, касающиеся ее в точках А и В. Если
AM + ВЫ = 24 см, то радиус окружности равен
ГП 4 см П] 5 см ПЛ 3 см ПП 4,5 см [Т| 5,5 см.
051 Прямоугольный треугольник, синус острого угла которого
равен 0,6, вписан в круг с площадью 25тг см2. Высота треугольника,
проведенная к гипотенузе, равна ^^
ПП 2,4 см ITU, 8 см ПЛ 3,6 см |Т|1,2см ПП 6 см.
В остроугольном треугольнике со сторонами 3 и 5, синус
06
угла между которыми составляет Нр, диаметр описанной окружное-
ти равен
ГЛ 4уД ПН
07J В окружность вписан квадрат со стороной 2 см. Сторона
вписанного в эту окружность правильного треугольника равна
J у/Е см ПП 2,5 см.
О, 5\/б см
4 см ПП 3 см
081 Если отношение площади описанного около
равнобедренного треугольника с углом а при основании круга к площади этого
треугольника равно — ^Trsin"1 4a, то угол при вершине равен
[T]|arccos| [Т] | - \ arccos | [ITJarccos | Q]| 01*
160

Площадь части круга радиуса Д, расположенной вне
вписанного в него квадрата, равна ^_^ ^_^
{T]irR2 \Т\(тг - 2)Я2 [з](7г - 3)Д2 \7\{к - 4)Д2 [Т](7г - |)Д2-
10| В треугольник вписан прямоугольник так, что одна из его
сторон лежит на основании треугольника, а параллельная ей сторона
прямоугольника совпадает со средней линией треугольника.
Площадь прямоугольника относится к площади треугольника как
[Г! 1 : л/2 ГТ1 1 : 4 ГзП 1 : 3 [Т1 2 : 3 |Т| 1 : 2.
Щ Если боковая сторона равнобедренного треугольника,
основание которого равно 8, делится точкой касания вписанной в
него окружности в отношении 5 : 4, считая от вершины, то радиус
[Т] 0 [Т|р [T| ПГ
ру ,
вписанной окружности [Т]л/3 0
Параллелограмм с острым углом 60° и площадью 1 + 2/\/3
описан около двух касающихся окружностей. Радиус окружностей
равен П 1 0 2 0 0,5 0 1,5 0 0,5^3.
в равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно 1,
вписана окружность с радиусом 1. Средняя линия трапеции равна
ПП 0,5^7 0 3,5 ПН 2,5 [71 7,5 [7] 5.
141 Большее основание равнобедренной трапеции совпадает
с диаметром окружности, а меньшее касается ее, причем
площадь трапеции составляет 75% площади вписанного в окружность
квадрата. Тангенс острого угла трапеции равен
[Т] 2,5 ГЦ 2 0 2^ 0 2^/2 0 3.
15| Если средняя линия равнобедренной трапеции с углом 30°
между ее диагоналями, противолежащим боковой стороне, равна \/2,
то ее площадь составляетПП2уД ГТ|2 Гз1з [TU ПП4-:
Угол треугольника образован сторонами длины 3 и 7.
Биссектриса этого угла составляет 2,1. Угол равен
TJ 120°
2arccos^ [з] arccos Ц
30°
60°.
161

I Вариант 021 | Геометрия |
Площадь вписанного в треугольник круга равна 4тг, а одна из
точек касания делит сторону на отрезки длиной 3 и 4. Площадь
треугольника равна [Т] 10,5 И 42 [3]31,5 ПП15 ПГЬь
18| Отношение площади описанного около равнобедренного
треугольника с углом в 120° при вершине круга к площади
вписанного в него круга равно ^^
[7] 4 |Т| 2 [з] 4(7 + 4^5) R] 5 |Т| 1,(3)-(7 + 4л/3).
19| в прямоугольном треугольнике катет равен За, а
прилежащий к нему острый угол а. Расстояние от точки пересечения медиан
треугольника до гипотенузы составляет ^^
Ilia I 2 I a sin 2a 13 I a cos 2a I 4 I a sin a 15 I a cos a.
20| В треугольнике с известными сторонами a, 6, с медиана,
проведенная с стороне 6, равна
|Т| |>/62 - а2 + 2с2
+ 2с2 - ex2-
Периметр четырехугольника ABCD, вписанного в
окружность радиуса л/2 : (cos 15° • cos 10°) так, что величины дуг АВУ
ВС9 CD, AD пропорциональны числам 2,4,5,7, равен
Г71 4 [г! 8 Гз| 6 [71 10cos5° \ь\ 4coslO°cos5°.
Диагональ параллелограмма образует с одной стороной,
равной 8, угол 60°, а с другой — 15°. Радиус
окружности, вписанной в треугольник, образованный этой диагональю и
сторонами параллелограмма, составляет
ГГ| [7] [Т|
231 Отношение периметра кругового сектора с центральным
углом а радиан к длине вписанной в сектор окружности равно
тг cos (0,5а) '—' 7rsin(0,5a) '—' тг ■—' лг '
S
162

Т-85| | Вариант 021 | Геометрия]
241 Отношение площади правильного треугольника к
площади треугольника, отсекаемого от него прямой, проходящей через
середину стороны под углом 30° к ней, равно
2>/3-2
8.
251 Если радиус окружности, описанной около треугольника с
углами в 15° и 37,5°, равен Я, то площадь этого треугольника равна
2 Ш 4 Ш 71
Если боковое ребро правильной треугольной призмы в у/Ъ
раз Ьолыпе стороны основания, то угол между стороной основания
и не пересекающей ее диагональю боковой грани равен
] f И arccos 0,25 ПГ
JJI
ш?
arccos
271 Если в правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 2л/б, а высота — 1, то двугранный угол при
боковом ребре равен
IT] 45° [2] 60° |T]2arctgl,(3) [T| 2arctg y/l, (3) |Т| 120°.
281 Около шара описан усеченный конус, у которого площадь
одного основания в девять раз больше площади другого. Образую-
щая конуса наклонена к плоскости основания под углом равным
30е
60е
arccos J
arccos j
arccos -.
291 В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник,
в котором основание в у/2 раз больше боковой стороны. Все боковые
грани одинаково наклонены к плоскости основания. Отношение
объема пирамиды к объему вписанного в него конуса равно
1+л/2
2^2
7Г
£1$
301 Если площади оснований усеченной пирамиды относятся
как 9 : 4, то отношение объемов отсеченной верхней части и
усеченной пирамиды равно
И I Э Щ И тг И 0,5 ГЦ 0,4.
163

Т-911 | Вариант 011 | Производная и ее приложения |
1
011 Дифференцируемой в точке хо = 1 среди приведенных
функции является 1—1 1 |—| ,—|
^ tgTr(x-l) |з| ctgTr(x-l)
^ (Х-
[Т| \х-
ПП In (х- 1).
021 Скорость точки, движущейся прямолинейно по закону
S(t) = 2е*, в момент времени t0 = In 2 равна
111 1 ГП 2 Гз1 In 2 [71 4 Г71 0.
031 Уравнение (ах2 + 2х + 2 In z)' = 0 не имеет действительных
корней при всех а из промежутка
[7] (0;+оо) \Т\ (-оо;-1) [з] (-
IT] (-оо;1) [Т] (-0,25; 0,25).
равно
Наибольшее целое решение неравенства (In х)1 > (0,2Ьх + 3)'
ПП 1 Г^1 —5 ГзП 3 ГГ! 5 ГзП такого нет.
05 \ Все решения уравнения (sin x)1 = (х — 2)' образуют множество
[Т] Ь 2тгп Щ - + 2тгп Щ 2тгп и] тг(2п + 1) ГбП -п.
2 2 2
061
={ л
1 г + а,
если 2* < х0
если х > аг0
дифференцируема
Функция f(x)
в точке х0, если а равно
[71 1 fTI -1 ПП -0,25 ГТ1 -0,5 IT1 такого а нет.
071 Если прямая касается графика функции у = f(x) в точке
(1; 1) и пересекает ось абсцисс в точке (1 -=; 0), то /'(1) равняется
И 1
Т] 1
0 i 0 -\/3
v3
08
Если f(x) = zsinz, то /'(0,5тг) равняется
гл о m тг in -2тг m -1.
164

I Вариант 011 | Производная и ее приложения]
091
Наименьший положительный период производной
f'{x) функции f(x) = sin3zcos4z равен
ПП тг ПЛ 2тг |Т| Зтг [Г! 4тг ГГ| бтг.
Если f(x) = lntg -, то /'(-) равняется
"П 1 [Т| 2 Гз] 0,5 [71 0 [71-1.
Множеством значений производной функции у = 0,
на отрезке х е [1; 27] является
О О
и;
О
Производная функции f(x) = \\х - 1| - 2| в точке х0 = тг
равна
|Т| 1 IT]2 S0»5 ГЦ" S
S не существует.
Если /(х) = \jix — 2 + tyx, то /'(1) равняется
7] 1,1(6) [71 i,(6) [71 о [71 -о,(б) [7| -i,(3).
Все решения неравенства (tgz)' > (4^ + 7)' образуют множество
Т
И (f + Т
S (~з + 7ГП;з +7ГП) 0 (~з
[б] (-| + тгп; тгп) U (тгп; £ + тгп).
~з + тгп; тгп) U (тгп; | + тгп)
15
Приращение функции f(x) = log3 х в точке х0 = 0,125 при
Ах = 1 составляет
m 1 ГгП 2 ГзП з m 4 rsn —2.
Производная функции у =
171 1 [71 2 [71
1 + х-х2
1 - X + X2
0 [71 -2
в точке х = 1 равна
Т| 4.
165

I Вариант 011 | Производная и ее приложения]
17
Парабола у = ах2 касается кривой у = In ху если
а = 0,5е
4| а = (2с)"1 | 5 | таких а нет.
-•о! _ , xcosx + 0, 5тг(х — 1) sin я
1О| Производная функции у = :—
в точке
7Г
sinx
х = — равна ^_^ ^_^ ^_^ ^_^
Z Z
191 Найти экстремум функции у = 8х - 1,5 • 16х
\4\ утах = 2~5 ПП экстремума нет
201 Угловой коэффициент касательной к графику функции
f(x) = sin(x - I)2 + cos2 x в точке с абсциссой х0 = 1 равен
ПП 1 - sin 2 |Т| sin 2 ГаП - sin 2 (Т| 1 + sin 2 ПП 0.
Ближайшей точкой к х0 = бтг, в которой приращение
функции f(x) = sin x равно 0, 5, является
и о
221 функцией, удовлетворяющей условию у" — у = 0, является
| 1 I у = log2 х I 2 I у = 2х I 3 I у = sin ж | 4 | у = е37 | 5 | у =
231 Множеством значений производной ?{х) функции
fix) =
является
cosх
Т|(-ос;-0,5] ПП[0,5;+оо) [Л (0; 2]
[-0,5; 0,5].
166

Т-911 | Вариант 011 |Производная и ее приложения!
241 Дифференциал dy функции у = 2х - х2 In 2 в точке х0 = 1
равен
|jj (l-21n2)«te [2j (l-ln2)cfe
ГП -dx [b\ 0.
251
х2 - 1
Если f(x) = 0,25 In ——-, то /'(2) равняется
7] 1 [71 0,25 [з]0 [71 7,5 Ц] 72
Угол между касательными, проведенными к графику
функции у = х2 через точки параболы с абсциссами х0 = 1 и хь равен
45°, если xi равен
m _i m -1,(6) [з] -2 Н -i,5 H -2,5.
Если f(x) = 0,2e3x(3sin4z - 4cos4z), то f'(x) равняется
1\ е3х • sin Ax [2J 5е3х • sin Ах [Т] 5е3х • cos 4a:
И! е3х • cos 4х Гб! -5е3х • sin 4x.
Сколько действительных корней имеет уравнение
2х4 - 9а:3 + 12а:2 + 6а: = 0?
[Til 02 ПП 3 17] 4 ПП не имеет корней.
Уравнение ех = ах имеет два решения при всех а из
промежутка - . 1 - . . .
[Г] (0;-) [2] (0;е) Щ (е; +оо)
с
4 (1; е2) 5 такое невозможно.
301 Хотя бы один из корней уравнения
= 6sin( ) — 4 принадлежит промежутку
Г71(0;^) mfe») Щ&Л) [7
Зтгч
)
Зтг
167

Т-911 | Вариант 021 | Производная и ее приложения |
1
011 Дифференцируемой в точке х0 = 0 среди приведенных
функции является \—| _2 —
\х\
[2j ctgTrar [3j \n{x
[б] tg7r(x-0,5)e
021 Скорость точки, движущейся прямолинейно по закону
S(t) = 0, 5е*, в момент времени t0 = In 4 равна
fll 1 Г71 2 ITI 1п2 Г71 4 ГП 0.
031 Уравнение (х2 + 2x + 2a Inx)' = 0 не имеет действительных
корней при всех а из промежутка
[7] (-оо;1) ПП (-0,25;0,25).
Наименьшее целое решение неравенства (ln(-z))' < (0,25х + 3)'
равно
ПП -1 ITI -5 ПЛ 3 [Т| £ ' '
ПП такого нет.
051 Все решения уравнения (cos х)1 = (3 — а:)' образуют множество
ПЛ 2тгп [Т]7г(2гг+1) Г?] ^п.
061 Функция /(х) = 1
2х2, если х < а:о
2х + а, если х > xq
дифференцир-
lx -+- а, если х ^ хо
уема в точке хо, если а равно
Г] 1 [Т] -1 Ш -0,25 [7] -0,5 ПП такого а нет.
Если прямая касается графика функции у = f(x) в точке
(—1; 1) и пересекает ось абсцисс в точке (\/3 - 1;0), то /'(-1) равн-
v3 v 3
081 Если f(x) = x2cosar, то /'(тг) равняется
ГП 1 ITI О HI тг |71 -2тг Гб! -1.
168

| Вариант 021 | Производная и ее приложения] [7
091
Наименьший положительный период производной
f'(x) функции f(x) = sin 2x cos Ъх равен
ГП тг ПЛ 2тг |Т| Зтг [71 4тг ПП бтг.
Если /(х) = In ctg -, то /'(—) равняется
L L
[Л -1 ГЦ -2 ПП -0,5
0
1.
111 Множеством значений производной функции у = -х ^х на
отрезке х € [1; 64] является
Ш [hh E [3] El t12] И &
[7;
Ш I1?9]-
Производная функции /(х) = ||ж + 1| — 2| в точке х0 = — —
равна
ГП 1 [Т| 2 |Т|о,5 [Т!-1 И не существует.
I31 Если /(х) = у Зх - 6 + у/х- 1, то /'(2) равняется
7] i,i(6) Н i,(6) [з] о ПП -o,(6) IT] -i,(3).
141
тво (п е z)
4
Все решения неравенства (ctg я)' < (7 —х) образуют множес-
о
И (з +'^-Т
Т] (-|+ 7гп;| + тгп) [Т] (-|
T] (-f + тгп; тгп) U (тгп; f + тгп).
15
Приращение функции f(x) = log2 х в точке х0 = 0, (3) при
Ах = 1 составляет
1
5 -2.
16
гт д. 1-Х + Х2
Производная функции у = в точке х = 1 равна
1 + х-х2
0 ГТ1 -2
4.
169

I Вариант 021 | Производная и ее приложения]
Парабола у = х2 касается кривой у = In ах, если
Т] а = >/2ё |Т]а=- (Т]а = 0,5е
= (2е)~1
а = (2е)
таких а нет.
___ , xsinx — 0, 5тг(х — 1) cosx
Производная функции у = — - в точке
cos х
х = - равна
4
1 |2| -1 |3| -
2
1 + - |5| 0.
2
191 Найти экстремум функции у = 21х — 3х"1
Утах = -2 • З"3 [Т] Утхп = "54 [Г] Утах = 54
Уш,п= 27 [б] ym,n=-2-3"3.
201 Угловой коэффициент касательной к графику функции
f(x) = х - cos(x - I)2 — sin2 x в точке с абсциссой хо = 1
равен
Г71 1 - sin 2 ITI sin 2 ГТ1 - sin 2 |Т| 1 + sin 2 [71 0.
Ближайшей точкой кхо = бтг, в которой приращение
функции f(x) = cos х равно (—1, 5), является
О о
о О О
22 | Функцией, удовлетворяющей условию ху" + у1 = 0, является
I 1 I У = lQg2 ^ 02/ = 2х [T]y = sina: [Т] у - ех |5| у = tgg.
231 Множеством значений производной f'(x) функции
"^ cos я
fix) — :— является
J v ' 1+ sin яг
[Г] (-ос;-0,5] Г7|[-0,5;+ос) ПП (0; 2] [1][-2;0] |7][-0,5;0,5].
170

Т-91| | Вариант 021 |Производная и ее приложения!
24
Дифференциал dy функции у = х - 2х в точке х0 = 1 равен
7] (l-21n2)dx |T| (l-ln2)dx [¥] (l-21og2e)dx
Т| -dx [7] 0.
251
Если f(x) = In (x + л/г^ТТ), то /'(0) равняется
Tl 1 [2] 0,25 [Г] 0 [T] 7,5 [T| Л-
15
261 Угол между касательными, проведенными к графику
функции у = х2 через точки параболы с абсциссами х0 = -1 и xi, равен
45°, если xi равен
[Т| 1 [7] 2,(6) Ш 1,(8) И 2,5 |Т| 1,5.
27| Если /(х) = 0,2e4*(4sin3x - 3cos3x), то f'(x) равняется
|Т] е4х • sin Зх [Т] 5е4х • cos Зх \Т\ ЪеАх - sin Зх
[Т| e4*-cos3x Г71 -5e4x • sin Зх.
28 | Сколько действительных корней имеет уравнение
2х4 - Зх3 - 12х2 + 12х = 0?
[Т] 2 [Т] 3 [Т1 4 ГбП не имеет корней.
1 1
291 Уравнение lnx = ax имеет два решения при всех а из
промежутка
Т\ (0;±) 0 (0;е) [7] (е;+ос)
4 I (1;е2) | 5 I такое невозможно.
301 Хотя бы один из корней уравнения
= 2sin(
. А
) + 4 принадлежит промежутку
(т;7Г)
171

Номера ответов на вопросы тестов
Тест
Т-51
вар.1
Тест
Т-51
вар.2
Тест
Т-52
вар.1
Тест
Т-52
вар.2
Тест
Т-53
вар.1
Тест
Т-53
вар.2
Тест
Т-54
вар.1
Тест
Т-54
вар.2
Тест
Т-55
вар.1
Тест
Т-55
вар.2
01
5
16
5
01
1
16
1
01
1
16
2
01
2
16
1
01
4
16
4
01
16
3
01
2
16
3
01
ь
16
4
01
2
16
3
01
4
16
2
02
4
17
Ь
02
3
17
5
02
3
17
1
02
1
17
2
02
2
17
1
02
17
2
02
4
17
1
02
Ъ
17
3
02
1
17
1
02
2
17
1
03
2
18
2
03
1
18
2
03
2
18
2
03
2
18
4
03
3
18
2
03
3
18
4
03
5
18
2
03
4
18
3
03
3
18
03
3
18
5
04
4
14)
2
04
19
04
3
19
1
04
2
19
2
04
5
19
2
04
19
3
04
2
19
5
04
Ь
19
1
04
1
19
04
4
19
1
05
Ь
20
4
05
4
20
5
05
1
20
4
05
1
20
1
05
5
20
1
05
20
1
05
3
20
1
05
2
20
1
05
3
20
05
2
20
5
06
1
21
4
06
2
21
2
06
2
21
1
06
1
21
2
06
1
21
3
06
21
2
06
3
21
2
06
21
1
06
4
21
06
1
21
2
07
3
22
3
07
4
22
07
3
22
3
07
5
22
4
07
5
22
1
07
22
3
07
5
22
5
07
22
4
07
2
22
07
2
22
2
08
4
23
i
08
1
23
1
08
5
23
4
08
2
23
4
08
5
23
5
08
Ь
23
4
08
23
3
08
23
3
08
5
23
1
08
4
23
2
09
3
24
ь
09
3
24
5
09
1
24
2
09
1
24
5
09
1
24
5
09
24
4
09
3
24
1
09
24
4
09
3
24
4
09
4
24
3
10
2
25
4
10
4
25
2
10
4
25
3
10
1
25
3
10
5
25
3
10
25
3
10
5
25
1
10
25
4
10
3
25
4
10
2
25
5
11
4
26
1
11
2
26
1
11
2
26
4
11
4
26
5
11
5
26
4
11
26
5
11
3
26
5
11
26
3
11
1
26
3
11
2
26
1
12
1
27
2
12
5
27
4
12
2
27
2
12
2
11
1
12
2
27
1
12
27
2
12
1
27
2
12
1
27
3
12
3
27
2
12
2
27
1
13
2
28
4
13
4
28
2
13
2
28
5
13
5
28
5
13
2
28
2
13
28
1
13
1
28
2
13
4
28
1
13
3
28
2
13
3
28
3
14
4
29
1
14
5
29
3
14
2
29
5
14
3
29
1
14
3
29
3
14
2
29
3
14
3
29
3
14
4
29
3
14
2
29
1
14
5
29
3
15
3
30
ь
15
5
30
4
15
4
30
5
15
3
30
4
15
1
30
1
15
1
4
15
4
30
4
15
1
30
2
15
1
30
4
15
1
30
1
172

Тест
Т-61
вар.1
Тест
Т-61
вар.2
01
"Т"
16
1
01
3
16
4
Тест
Т-62
вар.1
Тест
Т-62
вар.2
Тест
Т-63
вар.1
Тест
Т-63
вар.2
Тест
Т-64
вар.1
Тест
Т-64
вар.2
01
5
16
3
01
3
16
5
01
1
16
1
01
16
2
01
1
16
3
02
i
17
3
02
2
17
2
02
2
17
4
02
1
17
1
02
4
17
2
02
17
2
02
1
17
1
03
i
la
4
03
4
18
3
03
1
ia
2
03
2
ia
ь
03
3
lti
4
03
1
18
3
03
5
18
3
04
2
10
3
04
з
19
5
04
3
10
5
04
10
04
4
10
04
9
19
3
04
2
19
4
05
4
20
5
05
5
20
5
05
3
20
2
05
20
05
4
20
4
05
20
3
05
2
20
2
06
2
21
1
06
21
5
07
Ъ
11
2
07
22
2
08
2
IS
2
08
23
4
09
3
24
3
09
24
Ь
10
t>
25
1
10
25
1
11
2
26
2
11
26
1
12
2
11
2
12
2
27
4
13
2
111
1
13
3
28
2
14
5
20
2
14
2
29
1
15
1
30
3
15
4
30
4
06
1
21
3
06
21
06
5
21
2
06
21
3
06
5
21
1
01
2
16
2
Тест
Т-65
вар.1
Тест
Т-65
вар.2
01
4
16
1
01
2
16
4
02
3
17
1
02
4
17
5
02
1
17
3
03
3
18
3
03
3
18
5
04
3
19
5
05
4
20
1
04
4
19
2
05
2
20
5
06
2
21
2
07
1
22
2
07
22
07
2
11
2
07
i
22
2
07
1
22
1
07
2
22
3
08
5
23
3
08
23
08
3
23
1
08
23
4
08
5
23
5
08
2
23
5
06
2
21
2
07
4
22
2
03
3
18
5
04
3
19
Ъ
05
4
20
4
06
1
21
1
07
2
22
1
08
2
23
2
09
3
24
4
09
24
09
3
24
5
09
24
2
09
1
24
1
09
5
24
3
10
1
25
1
10
1
25
2
10
2
25
1
10
25
5
10
3
25
5
11
1
26
11
1
26
1
11
4
26
1
11
26
1
11
3
26
2
12
i
27
12
1
27
1
12
2
11
3
12
27
1
12
3
27
1
10
4
25
3 "
09
1
24
1
08
3
23
5
09
2
24
5
10
1
25
1
10
3
25
2
11
1
26
4
11
3
26
2
11
3
26
2
12
4
27
5
13
4
2#
13
3
2tt
1
13
3
m
2
13
28
1
13
2
28
1
13
4
18
2
14
4
20
14
4
20
2
14
5
20
1
14
29
2
14
3
29
3
14
2
20
4
15
5
30
15
3
30
1
15
4
30
4
15
30
4
15
2
30
1
15
4
30
2
12
3
27
1
12
4
27
2
13
4
28
5
13
5
28
4
14
4
20
2
14
29
2
15
1
30
5
15
3
30
3
173

Тест
Т-71
вар.1
Тест
Т-71
вар.2
Тест
Т-72
вар.1
Тест
Т-72
вап 2
Тест
Т-73
вар.1
01
2
16
5
01
16
1
02
2
17
3
02
17
3
03
2
18
4
04
2
19
4
05
i
20
з
06
21
2
07
22
2
08
li
i
09
24
2
10
25
2
11
i
26
1
12
i
27
5
13
i
28
2
14
b
29
1
15
b
30
4
03
18
4
04
19
5
01
1
16
3
01
1
16
01
5
16
4
Тест
Т-73
вар.2
01
2
16
4
02
3
17
1
02
3
17
02
3
17
3
02
5
17
1
Тест
Т-74
вар.1
Тест
Т-74
вар.2
01
4
16
2
01
1
16
3
02
5
17
2
02
3
17
4
03
2
18
5
03
2
18
03
5
18
3
03
3
18
3
03
1
18
1
03
4
18
1
Тест
Т-75
вар.1
Тест
Т-75
вар.2
01
1
16
3
01
5
16
4
02
1
17
3
02
1
17
5
03
1
18
1
03
2
18
1
04
3
19
3
04
2
19
04
3
19
4
04
1
19
1
04
5
19
5
05
20
5
05
5
20
5
05
3
20
05
1
20
2
05
3
20
1
05
2
20
4
04
2
19
3
04
5
19
2
04
1
19
4
05
1
20
4
05
1
20
5
06
21
3
06
1
21
3
06
2
21
i
06
2
21
5
06
2
21
5
06
2
21
4
06
4
21
3
07
22
5
07
2
22
1
07
5
22
1
07
5
22
3
07
2
22
3
07
4
22
1
08
23
2
08
4
23
3
08
4
23
i
08
1
23
1
08
2
23
2
08
2
23
4
09
24
2
09
3
24
2
09
1
24
2
09
5
24
1
09
1
24
2
09
3
24
2
10
25
3
10
3
25
4
10
4
25
10
1
25
2
10
2
25
2
11
i
26
5
11
2
16
4
11
1
26
3
и
4
26
2
11
4
26
2
10
2
25
2
07
5
22
2
06
1
21
5
05
1
20
5
06
3
21
1
07
3
22
2
07
2
22
5
08
4
23
4
08
5
23
1
08
3
23
5
09
4
24
1
09
2
24
3
09
2
24
2
10
5
25
2
10
2
25
1
10
4
25
2
11
1
26
3
12
27
3
12
3
27
3
12
1
27
I
12
3
27
5
12
1
27
1
12
1
27
3
13
28
1
13
4
28
3
13
3
28
2
13
5
28
5
13
4
28
3
13
3
28
4
14
9
29
2
14
5
29
3
14
2
29
4
14
3
29
4
15
i
30
1
15
4
30
5
15
4
30
5
15
4
30
1
14
5
29
3
15
3
30
2
14
4
29
3
11
5
26
1
11
3
26
3
11
3
26
2
12
3
27
2
12
5
27
5
12
5
27
5
13
3
28
2
13
1
28
1
13
4
28
2
14
4
29
1
14
3
29
1
14
1
29
1
15
3
30
3
15
2
30
4
15
4
30
5
15
3
30
1
174

Тест
Т-81
вар.1
Тест
Т-81
вар.2
Тест
Т-82
вар.1
Тест
Т-82
вар.2
Тест
Т-83
вар.1
Тест
Т-83
вар.2
Тест
Т-84
вар.1
Тест
Т-84
вар.2
Тест
Т-85
вар.1
Тест
Т-85
вар.2
01
Ь
16
2
01
5
16
1
01
16
2
01
3
16
5
01
ь
16
4
01
4
16
4
01
1
16
3
01
3
16
01
3
16
1
01
2
16
1
02
5
17
2
02
17
2
02
17
5
02
2
17
2
03
1
18
1
03
2
18
5
03
18
1
03
ь
18
4
04
1
19
4
04
19
5
04
19
3
04
Ь
19
3
05
2
20
5
05
2
20
1
05
20
1
05
20
1
06
4
21
4
06
21
4
06
21
3
06
21
07
1
22
1
07
9
22
2
07
22
2
07
22
08
1
23
3
08
2
23
4
08
23
3
09
1
24
1
09
2
24
4
09
\
24
4
10
1
25
2
10
25
5
10
\
25
2
11
1
26
3
11
26
2
11
\
26
1
12
3
27
1
12
27
3
12
2
27
1
08
23
09
24
10
25
11
2
26
2
12
4
27
4
13
3
28
1
13
28
2
14
5
29
1
14
29
3
15
3
30
1
15
2
30
2
13
2
28
2
14
2
29
1
15
4
30
4
13
3
28
1
14
2
29
15
3
30
3
02
2
17
3
02
5
17
1
02
3
17
4
02
2
17
4
03
1
18
5
03
5
18
3
03
3
18
2
03
1
18
~)
04
2
19
4
04
1
19
1
04
3
19
2
04
1
19
i
05
3
20
4
05
5
20
3
05
2
20
2
05
4
20
f 1
06
1
21
5
06
5
21
1
06
1
21
1
06
3
21
4
02
1
17
5
02
4
17
5
03
5
18
5
03
3
18
5
04
2
19
2
04
2
19
4
05
4
20
5
05
2
20
3
06
5
21
2
06
5
21
1
07
22
1
07
1
22
4
07
4
22
2
07
3
22
1
07
2
22
3
07
4
22
3
08
23
1
08
23
3
08
1
23
2
08
2
23
08
2
23
3
08
3
23
3
09
3
24
2
10
25
1
11
26
4
09
3
24
2
09
4
24
4
09
2
24
3
10
1
25
4
10
4
25
5
10
3
25
1
11
4
26
1
11
1
26
3
И
3
26
з
09
5
24
3
09
2
24
5
10
1
25
2
10
5
25
1
11
1
26
5
И
3
26
4
12
27
5
12
1
27
3
12
3
27
4
12
5
27
3
12
4
27
4
12
3
27
5
13
2
28
5
14
1
29
1
15
ь
30
5
13
2
28
4
13
1
28
3
13
1
28
4
13
5
28
4
13
3
28
2
14
5
29
5
14
5
29
4
14
2
29
1
14
5
29
1
14
2
29
1
15
5
30
3
15
1
30
4
15
2
30
4
15
4
30
2
15
5
30
3
175

Тест
Т-91
вар.1
Тест
Т-91
вар.2
01
1
16
4
01
3
16
1
02
4
17
4
02
1
17
1
03
1
п
1
03
1
18
1
04
3
19
04
5
19
5
05
3
20
05
1
20
1
06
3
21
06
4
21
4
07
1
22
07
5
22
1
08
1
23
08
4
23
1
09
2
24
ь
09
2
24
1
10
1
25
ь
10
1
25
1
11
4
26
11
1
26
5
12
1
27
12
1
27
3
13
1
28
13
2
28
4
14
2
29
14
4
29
1
15
2
30
15
2
30
3
Библиографический список
1. Иванов А.А., Иванов А.П. Математика: Пособие для
поступающих в вузы. — Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2002.
2. Иванов А.А., Иванов А.П. Тематические тесты для
систематизации знаний по математике. ч.1. — М.: Изд-во МФТИ, 2002.
3. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы по математике. —
М.: Изд-во МФТИ, 2002.
4. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под
ред. М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1988.
5. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи
вступительных экзаменов по математике. М.: Наука, 1980.
6. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф.
Сборник конкурсных задач по математике. М.: Наука, 1983.
7. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и
анализ элементарных функций. М.: Наука, 1980.
Оглавление
Предисловие 3
Тесты по теме "Показательная и логарифмическая функции" 4
Тесты по теме "Тригонометрия" 44
Тесты по теме "Последовательности" 84
Тесты по теме "Геометрия*' 124
Тесты по теме "Производная и ее приложения" 164
Номера ответов на вопросы тестов 172
Библиографический список 176
176