Д. К. ФАДДЕЕВ, И. С. СОМИНСКИЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ
ИЗДАНИЕ ДЕСЯТОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физико-математических факультетов
университетов и педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972

517.1
Ф 15
УДК 512.8@75.8)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ 1
ЗАДАЧИ
Глава 1. Комплексные числа
§ 1. Действия над комплексными числами , 7
§ 2. Комплексные числа в тригонометрической форме ... 9
§ 3. Уравнения третьей и четвертой степени 15
§ 4. Корни из единицы 17
Глава 2. Вычисление определителей
§ 1, Определители 2-го и 3-го порядков 21
§ 2. Перестановки 22
§ 3. Определение детерминанта 23
§ 4. Основные свойства определителей 25
§ 5. Вычисление определителей . , . 27
§ 6. Умножение определителей 46
§ 7. Различные задачи ..,.,,...« 51
Глава 3. Системы линейных уравнений
§ 1. Теорема Крамера 5G
§ 2. Ранг матрицы , , , 59
§ 3. Системы линейных форм , , 61
§ 4. Системы линейных уравнений . . . . 63
Глава 4. Матрицы
§ 1. Действия над квадратными матрицами ,;,,,,, 71
§ 2, Прямоугольные матрицы. Некоторые неравенства , , 78
1* 3

Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной пере-
переменной
§ 1. Действия над полиномами. Формула Тейлора. Кратные
корни 83
§ 2. Доказательство основной теоремы высшей алгебры и
смежные вопросы 86
§ 3. Разложение на линейные множители. Разложение на
неприводимые множители в поле вещественных чисел.
Соотношения между коэффициентами и корнями ... 88
§ 4. Алгорифм Евклида 92
§ 5. Интерполяционная задача н дробная рациональная
функция 94
§ 6. Рациональные корни полиномов. Приводимость и не-ч
приводимость в поле рациональных чисел 97
§ 7. Границы корней полинома 101
§ 8. Теорема Штурма 102
§ 9. Различные теоремы о распределении корней полинома 105
§ 10. Приближенное вычисление корней полинома .... 108
Глава 6. Симметрические функции
§ 1. Выражение симметрических функции через основные.
Вычисление симметрических функций от корней ал-
алгебраического уравнения 110
§ 2. Степенные суммы 114
§ 3. Преобразование уравнений 117
§ 4. Результант и дискриминант 118
§ 5. Преобразование Чирнтаузена и уничтожение иррацио-
иррациональности в знаиеиателе 122
§ 6. Полиномы, не меняющиеся при четных перестановках
переменных. Полиномы, не меняющиеся при круговых
перестановках переменных 124
Глава 7. Линейная алгебра
§ 1. Подпространства и линейные многообразия. Преобра-
Преобразование координат 126
§ 2. Элементарная геометрия л-мерного евклидова про-
пространства 128
§ 3. Характеристические числа н собственные векторы
матрицы 132
§ 4. Квадратичные формы и симметрические матрицы . . . 134
§ 5. Лин'ей'ные преобразования. Каноническая форма
Жордана 139

ЧАСТЬ II
УКАЗАНИЯ
Глава 1. Комплексные числа '. 144
Глава 2. Вычисление определителей 146
Глава 4. Матрицы 152
Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной пере-
переменной 153
Глава 6. Симметрические функции 157
Глава 7. Лилейная алгебра 159
ЧАСТЬ III
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава 1. Комплексные числа 161
Глава 2. Вычисление определителей 178
Глава 3. Системы линейных уравнений 187
Глава 4, Матрицы 193
Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной пере-
переменной 210
Глава 6. Симметрические функции 251
Глава 7. Линейная алгебра 275

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по высшей алгебре возник
в результате преподавания в Ленинградском государственном
университете и Педагогическом институте им. Герцена. Сбор-
Сборник предназначен для студентов младших курсов универси-
университетов и педагогических институтов при прохождении ими
основного курса высшей алгебры.
Задачи сборника довольно резко разделяются на два типа.
С одной стороны, собрано большое количество численных
примеров, предназначенных для выработки вычислительных
навыков и иллюстрирующих основные положения теоретиче-
теоретического курса. Количество примеров, по мнению авторов, вполне
достаточно для аудиторной работы, работы на дому и для
контрольных работ.
С другой стороны, приводится значительное количество
задач средней трудности и трудных, решение которых тре-
требует от учащихся проявления инициативы и изобретатель-
изобретательности. Многие из задач этой категории сопровождаются ука-
указаниями, помещенными во второй части книги. Номера задач,
к которым даны указания, отмечены звездочками.
Все задачи снабжены ответами, для части задач даны
подробные решения.
Авторы

ЧАСТЬ I
ЗАДАЧИ
ГЛАВА i
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Действия над комплексными числами
—5/)д>=1— 8/.
Найти хну, считая их вещественными.
2. Решить систему, считая х, у, z, t вещественными:
C—/
3. Вычислить i", где я—целое число.
4. Проверить тождество
Б. Вычислить!
а) A+20»; b) B + iy + {2-iY; с) (
6. Выяснить, при каких условиях произведение двух
комплексных чисел чисто мнимо.
7. Выполнить указанные действия:
я} 1+п*а ¦ м a+bi • с\ A+20»-A-0*
' 1 — itgd' и> а—Ы ' ' C+2i)s—B+0я
8. Вычислить i)_4^_j» где п—целое положительное
число.

9. Решить системы уравнений:
а) C —0* + D + 2/)j = 2 + 6if D + 2/)*—B + 3/).у
Ь) B + /)х + B—i)y = 6, C + 2/)*+C
С)
10. Вычислить:
*11. Пусть w =— y-|—^—. Вычислить:
а)
Ь)
с)
d)
12. Найти числа, сопряженные:
а) своему квадрату, Ь) своему кубу.
*13. Доказать теорему:
Если в результате конечного числа рациональных действий
(т. е. сложения, вычитания, умножения и деления) над
числами *,, хг, ... , хп получается число и, то в результате
тех же действий над сопряженными xit хъ ... , х„ полу-
получится число и, сопряженное с и.
14. Доказать, что х2+уг = (зг + Р)п, если x-\-yl —
= (* + «)".
15. Вычислить:
а) V2l; b) V^i; с) V^4j; d) V—15-|-8/;
е) /—3-4i; f) ]/—11+60/; g) /—8+T/;
h) ]/"—8—6г; I) VT=6/; j) /8+Ш; k) /2=37;
^Т; m) Kl—i/Г; n)

16. Va + bi = ±(a-Jrf>i). Чему равен V— а—Ы?
17. Решить уравнения:
. a) х« —B + /)*-г(—1+70=0;
b) x* — C — 2i)x-\-(o — 5i) = 0;
c) B + /) л:2--E — i)x + B — 2i)=--0.
*18. Решить уравнения и левые части их разложить па
множители с вещественными коэффициентами:
a) л:* + блг3 + 9л:2-И 00 =-0;
b) л:4 + 2л:2 —24л: Н-72 = 0. •
19. Решить уравнения:
а) л:4—3*» + 4 = 0; Ь) л4—30х2 +289 = 0.
20. Составить формулу для решения биквадратного урав-
уравнения jt4+/>JC2-j-<7 = 0 с вещественными коэффициентами,
удобную для случая, когда ¦?-—q < 0.
§ 2. Комплексные числа в тригонометрической форме
21. Построить точки, изображающие комплексные числа:
1, —1, —К2,«, —i,iV2, -Ц-/, 2—Зг.
¦ 22. Представить в тригонометрической форме следую-
следующие числа:
а) 1; Ь) —1; с) /; d) — /; е) 1-|-/;
f)—l+f; g) —1—i; h) 1—г; i) 1+г]/3;
j) —1 4-/1/"; _ k) -1-г/З; 1) 1— iVb; m) 2i;
n) —3; o) /3 — /; p) 2 + Кз-г'.
23. Пользуясь таблицами, представить в тригонометри-
тригонометрической форме следующие числа:
а) 3-W; Ь) 4 —г; с) —2 + /; d) — 1—2г.
24. Найти геометрическое место точек, изображающих
комплексные числа:
а) модуль которых 1; Ь) аргумент которых -JJ-.

26. Найти геометрическое место точек, изображающих
числа z, удовлетворяющие неравенствам:
26. Решить уравнения:
а) \x\ — x = \+2i; b) \
*27. Доказать тождество
какой геометрический смысл имеет это тождество?
*28. Доказать, что всякое комплексное число z, отлич-
отличное от —1, модуль которого Л, может быть представлено
в форме ¦?—._/¦, где t — вещественное число.
29. При каких условиях модуль суммы двух комплексных
чисел равен разности модулей слагаемых?
30. При каких условиях модуль суммы двух комплексных
чисел равен сумме модулей слагаемых?
*31. z и z'—два комплексных числа, и = Угг'. Дока-
Доказать, что
г + г'
— и
г+г'
2
32. Показать, что если |,г|<— то
33. Доказать, что
A-Й УЪ) A+г) (cos <р + i sin ф) =
34. Упростить СО8<Р+'5|ПУ.
36. Вычислить (l-,'^)(cos(P+'.si"(P).
2A — l) (COS ф — 1Б1Пф)
36. Вычислить:
'
10

7. Доказать, что
b) (K-0"= 2" (cosf-/sinf) ;
п—целое число.
*38. Упростить A-f ©)", где <о = cos -g- -f i sin -^-.
1 VT 1
39. Полагая (o^ —y+t —?—, a>,j = —--j—-*
определить (d" + (i>2, где л — целое число.
*40. Вычислить A -f- cos a + t sinot)".
*41. Доказать, что если г-\— = 2 cos в, то
zm -\- -%¦ = 2 cos r»9.
42. Доказать, что
43. Извлечь корни:
а) у~1; Ь) У2^21; с) J/=4; d) \Z~\; e) /^27.
44. Пользуясь таблицами, извлечь корни:
а) /2+1; Ь) У'3=Л; с)
46. Вычислить:
а) К 71+7; b) 1^vfe: с)
46. Зная, что р является одним из значений у а, напи-
написать все значения у/ а.
47. Выразить через cosjc и sin л::
а) cos Ъх; Ь) cos 8дг; с) sin Qx; d) sin 7x.
48. Выразить tg 6ф через tgq>.
49. Составить формулы, выражающие cosnx и sin nx
через cos x и sin x.
И

50. Представить в виде многочлена первой степени от
тригонометрических функций углов, кратных X'.
a) sin3 x; b) sin4 x; с) cos5 x; d) cos6 x.
*51. Доказать, что:
т-1
a) 2im cos2 х =* 2 2 С*„, cos 2 (от—Л) х -f С!?т;
fc = 0
m
b) 2гт cos2"1 jc= 2_ С&„+1 cos {2m—2k + \)x;
2
m-l
c) 22m sinam л: = 2 2 (—l)m+* Cfm cos 2 (m —
m
d) 22т5шгя+1л:= 2 (—ir^^L+i sin B« — 2k + \)x.
*52. Доказать, что 2 cos /kjc = B cos x)m —
—y- B cos *)-' + " (3)-B cos jc)—«- ... +
| ( 1)pot(ot—p— l)(m-p-2)...(m—Зр-НК,
X B cos jc)m-V -f- ...
*53. Выразить ?1!1ЛЕ через cosjc.
r sin* r
*54. Найти суммы:
a) 1-CJ + C5-CS+...;
b) ^-^ + ^-0,',+ ...
*55. Доказать, что:
a) H-Q
b) q + C5 + C»+...=i
c) Q + CJ + Ci«+...=4-
*56. Найти сумму
гч L Ся J- -L С" — С _t_
^я з ^n  у ""я 27 " i • ' •
12

67. Доказать, что (х-f- a)m-j- (х + а(о)т -f (х + аа>2)т =
и-»а'г, где o) = cos?^ +
О
-•)- /sin у, а л есть наибольшее целое число, кратное 3 и не
превосходящее т.
68. Доказать, что
а)
b)
с)
59. Вычислить суммы:
a) 1 + a cos ф + a2 cos 2ф + ... -р ак cos Лф;
b) sin ф 4- a sin (ф 4- h) + а2 sin (ф4-2А)+...+<** sin (ф4-*А);
c) у 4- cos л: 4- cos 2jc+ • • • 4- cos ллг.
60. Показать, что
. п -4-1 . «а:
sin —^-x-sin-y
sin jc4-sin 2j:4-... 4-sin nx =
sin у
61. Найти
lim ( 1 4--5- cos jc 4-T cos 2л: 4-... 4-^ cos ля) •
62. Доказать, что если л—целое положительное, а
в—угол, удовлетворяющий условию sinY = 5~. то
в . 39 , , 2«—1 а . а
cos -g- 4- сов — 4- ... 4- cos —2— = п Sln
63. Показать, что
. л . Зл . 5я. , 7я , 9л 1
a) cos ту + cos-рр 4-cos-jj-4-cos-ту 4-cos-jy = у;
.. 2л 4л . 6л , 8л , Юл 1
b) cos^j-4-cosTr4-cosTr--i-cos-pp4-cos-rT- = —у;
ч я , Зл . 5л , 7я , 9л . 11л 1
С) COS тз 4" СОв-гд- 4- COS-Гз 4" COS-^ + COSfj + COS-jg- = у •
13

64. Найти суммы:
a) cos а—cos (a -f- A) -f cos (a -f 2й) —...
b) sin а—sin (a-f-A)-f-sin (a-f-2A)—.,,
... +(—I)" sin [а-Ил— 1)A].
66. Доказать, что если д; меньше единицы по абсолют-
абсолютной величине, то ряды
а) cos a 4- х cos (a -f P) + x2 cos (a + 2P) -f ..,
b) sin a+x sin (a + P) -f x* sin (a -f- 2P) + ...
сходятся и суммы соответственно равны
cosa—л: cos (a—ft) sin а—х sin (a—ft)
1—2* cos 04** ' 1
66. Найти суммы:
a) cos x + C\ cos 2x + ,,. + Q cos (л-f-1) x\
b) sin x + Cln sin 2x + ... + C?sin (л 4-1) x.
67. Найти суммы:
a) cos x—C\ cos 2jc 4- CJ cos 3jc— ...
b) sinjc—Qsin2jc4-Qsin3jc—.,.
*68. OA1 и OB—векторы, изображающие 1 и i соответ-
соответственно. Из О опущен перпендикуляр ОАг иа АгВ; из А2
опущен перпендикуляр АгА3 на ОА^, из Аь — перпендикуляр
AaAt на АхАг и т. д. по правилу: из Ап перпендикуляр
ЛИп+i на ^и-Ия-1- Найти предел, суммы
*69. Найти сумму
sin» л: 4- sin* Зд; + ... + sin2 Bл— 1) х.
70. Показать, что:
а)
b) sin' х4-sin* 2*+ . . . 4-sin* я* =
14

*71. Найти суммы:
a) cos3 x + cosa 2л; 4 • • • 4 cos8 nx\
b) sin3 * 4- sin3 2x 4-... 4 sin8 л*.
*72. Найти суммы:
a) cos x 4 2 cos 2л; 4 3 cos 3* 4 ... 4 л cos nx\
b) sin * 4 2 sin 2x 4 3 sin 3* -j- ... -j- n sin л*„
73. Найти lim (l+-)" при а =
п-+з>
74. Определение: еа = lim f 1 4—¦) . Доказать»
а) егл' = 1; Ь) ел' =—1;
с) еа+Р = еа -еР ; d) (ea)* = e0lft при целом А.
§ 3. Уравнения третьей и четвертой степени
75. Решить по формуле Карда но уравнения:
а) х3 — 6*49 = 0; Ь) л:34 12*463 = 0;
с) лг349*2+18лЧ-28 = 0; d) л:346лга430л:425 = 0;
е) л:8 —6*44 = 0; f) *346*42 = 0;
g) л:3418*415 = 0; h) *3— 3*а — Зл:4 П =0;
i) *343*2 —6*44 = 0; j) *349*—26 = 0;
к) *3 4 24*—56 = 0; 1) л;3 4 45*—98 = 0;
т)*343*2 —Зл: —1=0; п) *8 — 6*а457*—196 = 0;
о) х* + 3х — 21 = 0; р) *3 —6/*44A—0 = 0;
q) *3— ЗаЬх + а3 + Ь3 = 0;
г) x*—3abfgx +f*ga* +fg*b* = 0;
s) *3 —4*—1=0; t) *3 —4*42 = 0.
*76. Пользуясь формулой Кардано, доказать, что
(xt - *2У (*t - х3)* (*2 - *3)а = -4р* - 27 ф,
если хи *2, *3—корни уравнения *8 -\-px-{-q — 0.
(Выражение —4р3 — 27^а называется дискриминантом
уравнения *34Р*4? = 0.)
*77. Решить уравнение
15

*78. Вывести формулу для решения уравнения
хь—5ах* + 5а2х—2Ь — 0.
79. Решить уравнения:
a) л:4 — 2л:3-f-2л:2-f- 4дг— 8 = 0;
b) x*-\-2xs— 2x2-i-6x—15-0;
c) х'—х3 — х2-\-2х — 2 = 0;
d) Xх — 4л:3 — Зх2-\-2х — 1 ==0;
e) д:4 — Зл-3 -г л:3 -f- 4лг — 6 = 0;
f) л;4—6jc:t-f-6jcM-27jc —56--0;
g) л:4 — 2x3 + 4л:2 — 2х + 3 = 0;
h) xi — Xs — Зл:« + 5л: —10 = 0;
j) л:*-;-6л:-*-Ц6л:г—8 = 0;
к) xi—6л;3 + 10л:2—2х—3 = 0;
1) х4—2л;8 + 4д;2^-2д;—5 = 0;
m) jc4—л:3 — Зх2 + х + \=0;
п) х1 — л:3 — 4л:2-t-4л:-4- 1 =0;
о) л-4 — 2л:3-[-**+2л:— 1 =0;
р) л:4—4л:3—20л:а —8л: + 4 = 0;
q) л:4 —2д:3 +Зд:2—2л:—2 = 0;
г) х*—л;8-!-2л:—1=0:
s) 4л:4 —4лт3 + 3л:2 —2л:4-1=°;
t) 4л:4 —4л:3 —6л:2 + 2л: + 1 =0.
80. Способ Феррари для решения уравнения четвертой
степени л:4 -f-ал:3 -f-bx*-\- ex -f-d = 0 состоит в том, что левая
часть представляется в виде
и затем К подбирается так, чтобы выражение в квадратной
скобке было квадратом двучлена первой степени. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы было
т. е. Я должно быть корнем некоторого вспомогательного
кубического уравнения. Найдя К, раскладываем левую часть
на множители.
Выразить корни вспомогательного уравнения через корни
уравнения четвертой степени.
16

§ 4. Корни из единицы
81. Написать корни из единицы степени:
а) 2; Ь) 3; с) 4; d) 6; е) 8; f) 12; g) 24. .
82. Выписать первообразные корни степени:
а) 2; Ь) 3; с) 4; d) 6; е) 8; f) 12; g) 24.
83. Какому показателю принадлежит:
a) *A = cosy*j' + /sinygj при ft = 27, 99, 137;
b) ^«cos^g + fstafg при ft=10, 35, 60?
84. Выписать все корни 28-й степени из 1, принадлежа-
принадлежащие показателю 7.
86. Для каждого корня а) 16-й; Ь) 20-й; с) 24-й степени
из единицы указать показатель, которому он принадлежит.
86. Выписать «круговые полиномы» Хп (х) для л, равного:
а) 1; Ь) 2; с) 3; d) 4; е) 5; f) 6; g) 7; h) 8; i) 9; j) 10;
k) 11; 1) 12; m) 15; n) 105.
*87. Пусть e—первообразный корень степени 2л из 1.
Вычислить сумму l-f-?-f-?a+ • • • Ч-е".
*88. Найти сумму всех корней л-й степени из 1.
*89. Найти сумму k-x степеней всех корней л-й степени
из 1.
90. В выражение (х-\-а)т подставить вместо а последо-
последовательно т корней /я-й степени из 1 и полученные резуль-
результаты сложить.
*91. Вычислить 1 -f 2e + 3e2-f ... +ле", где е—корень
л-й степени из 1.
*92. Вычислить 1+ 4е + 9е2+. .. -f пЧп~1, где е-ко-
е-корень л-й степени из 1.
93. Найти суммы:
a) cos^
b) Sin|5
n^+... +(Bl)sIn.
*94. Определить сумму первообразных корней: а) 15-й;
Ь) 24-й; с) 30-й степени из единицы.
96. Найти корни 5-й степени из 1, решив уравнение
хь —1=0 алгебраически.
17

96. Используя результат задачи 95, написать sin 18° и
cos 18°.
*97. Составить простейшее алгебраическое уравнение,
корнем которого является длина стороны правильного
14-угольника, вписанного в круг радиуса 1.
*98. Разложить хп— 1 на множители первой и второй
степени с вещественными коэффициентами.
*99. Воспользоваться результатом задачи 98 для дока-
доказательства формул:
.ч . л .2л . тк У2т 4-1
b> Sln2^TT>Sln2^TT---Sln2^+T==-2^r--
я-1
*100. Доказать, что П (а + *«*) = a" + (—l)"*", где
fc=O
2kn . . . 2ks%
8A = COS (- t Sin .
Я-1
*101. Доказать, что Ц (e|—2eAcos 6+ 1)=2A— соэяв),
если
2/эт , . . 2kn
8*= cos— -Hsin—.
102. Доказать, что
2kn . . . 2kn
где ек — cos — +1 sin — .
*103. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие
условию jc = *11-1, где д; — сопряженное X.
104. Показать, что корни уравнения Я, (г—а)"+
+ \i(z—^)" = 0, где К, (j,, a, b—комплексные, лежат на
одной окружности, которая в частном случае может выро-
выродиться в прямую (л—натуральное число).
*10б. Решить уравнения:
а) (*+1)»-(*-1)» = 0; Ь) (* + *)-—(*—/Г = 0;
с) хп—пах"-1 — С*агхп-*— ...— а» = 0.
18

106. Доказать, что если А—комплексное число, модуль
которого 1, то уравнение
имеет все корни вещественные и различные.
*107. Решить уравнение
cos ф + Q, cos (ф + а) х + С* cos (ф + 2а) х* + ..,
... + Q cos (ф. + па) х" = 0.
Доказать следующие теоремы:
108. Произведение кормя степени а из 1 на корень сте-
степени & из 1 есть корень степени ab из 1.
109. Если а и b взаимно просты, то х" — 1 и хь—1
имеют единственный общий корень.
110. Если а и b взаимно просты, то все корни степени
ab из 1 получаются умножением корней степени а из 1 на
корни степени b из 1.
111. Если а и b взаимно просты, то произведение перво-
первообразного корпя степени а из 1 на первообразный корень
степени b из 1 есть первообразный корень степени ab из 1
и обратно.'
112. Обозначив через ф (п) число первообразных корней
л-й степени из 1, доказать, что ц>{аЬ) = ф (а)ц>(Ь), если а
и b взаимно просты.
*113. Доказать, что если п = р&\ />*»... />?*, где рг, р2,.. .
..., рк—различные простые числа, то
114. Показать, что число первообразных корней л-й сте-
степени из единицы четное, если л > 2.
115. Написать полином Хр(х), где р—простое число.
*116. Написать полином Хрт (х), где р—простое число.
*117. Доказать, что при л нечетном, большем 1, Х2п(х) =
118. Доказать, что если d составлено из простых дели-
делителей, входящих в п, то каждый первообразный корень из 1
степени пй есть корень степени d из первообразного корня
л-й степени из 1 и обратно.
*119. Доказать, что если п=р^р<^,.. р**, где ри рг1.. ,
,.., pk — различные простые числа, то Х„ (х) *~Хп> (*"')> гДе
19

*120. Обозначив через ц (л) сумму первообразных корней
л-й степени из 1, доказать, что ц{п) = 0, если л делятся на
квадрат хотя бы одного простого числа; ц(л)=1, если л
есть произведение четного числа различных простых чисел;
ц (п) = —1, если л есть произведение нечетного числа раз-,
личных простых чисел.
121. Доказать, что 2ц.(^) = 0, если d пробегает все
делители числа п при пф\.
*122. Доказать, что Х„(х) = П (xd—1L d J, где d про-
пробегает все делители л.
*123. Найти ^„A).
*124. Найти Х„{—1).
*125. Определить сумму произведений первообразных кор-
корней л-й степени из 1, взятых по два.
*126. 5-^ 1 + е-|-е4 + е9+• • • Н-8("~1)!, где е—первооб-
е—первообразный корень степени л из 1. Найти \S\.

ГЛАВА 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядков
Вычислить определители:
127. a)
g).
i)
m)
2 3
1 4
;b,
a c-\-di
c — di b
cos a sin a
sin p cosp
Xs
л:2
2
—1
; e)
. h)
; k)
l
1
2
;c)
Y—6/
tga -1
1 tga
sin a
—cos a
Y + 67
¦x — pi
a-\-c c-\-d
; n)
cos a
. sina
i
sin a cos a
sin p cos |i
1 +|/2 2-|/3
2-
a
— 1
<
JO
Л
-J/3 i_/2
e-f-/> a—b
a—b a-j-b '
2л ... 2л
где со = cos -r- +1 sin -ij-;
О О
о)
е 1
—1 е
где е = cos -5- + / sin -5-.
о о
21

128. a)
с)
e)
8)
h)
1
1
1 -
a
a
a
1
0
-1
—
a
a
a
1
1
0
»
a
X
X
b)
; d
0
1
l
)
l
l
l
1
0
1
1
2
3
1
1
0
(
*
1
3
1 / 1-1- /
— / 1 0
\—l 0 1
1
Я . . Я
C0SJ-'sinT
л , , , л л , . . n
COS -5- -}- * Sitl -5- COS -j- -{- I Sltl -
о о 4 4
1
2л ... 2л
cos -g- +' sin -y-
я . . я 2л . . 2л ,
cos — — 'sin— cos -x г sin-г- 1
2л ... 2л
, где со = cos -д- +« sin -j-;
2я , . . 2я
, где оа = cos -=—(- < sin -g-.
1
1
1
1
1
CO2
1
CO
CO2
1
1
CO
1
CO2
CO
CO
CO2
1
§ 2. Перестановки
129. Выписать транспозиции, посредством которых от
перестановки 1, 2, 4, 3, 5 можно перейти к перестановке
2, 5, 3, 4, 1.
130. Считая, что 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 —исходное
расположение, определить число инверсий в перестановках:
а) 1, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 9, 5; Ь) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4;
с) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
131. Считая, что 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9—исходное
расположение, подобрать i и k так, чтобы:
a) перестановка 1, 2, 7, 4, /, 5, 6, k, 9 была четной;
b) перестановка 1, /, 2, 5, k, 4, 8, 9, 7 была нечетной.
*132. Определить число инверсий в перестановке
п, п—1, ... , 2, 1, если исходной является перестановка
1, 2, ... , п.
22

*133. В перестановке аи аг, ..., ап имеется / инверсий.
Сколько инверсий в перестановке а,„ an_i, ..., a2, at?
134. Определить число инверсий в перестановках;
a) 1, 3, 5, 7, ..., 2/7—1, 2, 4, 6, ..., 2л;
b) 2, 4, 6, 8, ..., 2л, 1, 3, 5 2л —1,
если исходная перестановка 1, 2, ..., 2л.
135. Определить число инверсий в перестановках:
a) 3,6, 9, ..., Зл, 1, 4, 7, ..., Зл—2, 2,5, ...,3л—1;
b) 1, 4, 7 Зл —2, 2, 5, ..., Зл—1, 3, 6, .... Зл,
если исходная перестановка 1, 2, 3, ..¦, Зл.
136. Доказать, что если av аг, ..., а„ — перестановка
с числом инверсий /, то после приведения ее в исходное
расположение номера 1, 2, ..., л образуют перестановку
с тем же числом инверсий /.
137. Определить четность перестановки букв ф, р, м,
и, а, г, о, л, если за исходное принять их расположение
в словах:
а) логарифм; Ь) алгорифм.
Сравнить и объяснить результаты.
§ 3. Определение детерминанта
138. С каким знаком в определитель 6-го порядка входят
произведения:
. а) aMa8iu«ai>«ai4a«i>; Ь) ав2а13аиаЪ1ама№?
139. Входят ли в определитель 5-го порядка произведения:
а) alsaita2aatlabb; b) a21a13a3tabtalt1
140. Подобрать / и k так, чтобы произведение
Й11йз'2а4*а2ьа&з входило в определитель" 5-го порядка со зна-
знаком плюс.
141. Выписать все слагаемые, входящие в состав опре-
определителя 4-го порядка со знаком минус и содержащие мно-
множителем агъ.
142. Выписать все слагаемые, входящие в определитель
5-го порядка и имеющие вид ацама3„аа1ааЛа^ Что полу-
получится, если из их суммы вынести eMeu' за* скобки?
143. С каким знаком входит в определитель л-го порядка
произведение элементов главной диагонали?
23

144. С каким знаком входит в определитель й-го порядка
произведение элементов второй диагонали?
*145. Руководствуясь только определением детерминанта,
доказать, что детерминант
ах а2 а3 а4 а6
Pi Pa Рз Р4 Рб
аг а2 О О О
&х Ь2 О О О
с1 с2 О О О
равен 0.
146. Руководствуясь только определением детерминанта,
вычислить коэффициенты при л:4 и xJ в выражении
/(*) =
2jc x 1
1 л: 1
3 2л
1 1 1
147. Вычислить определители;
с)
1
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
а
2
0
0 ...
0 ...
3 ...
0 ...
а ...
а ...
3 ...
0
0
0
я
а
а
а
0 0 0
Ь)
0 0 0
0 0 0
. 0 I
. 1 О
1 0 0 ... 0 О
Замечание. Во всех задачах, где из условия не ви-
виден порядок определителя и не сделано специальной ого-
оговорки, условимся считать его равным л.
148. F(x) = x{x — 1)(jc—2) ... (jc)
24

Вычислить определители:
F@) F(\) FB)
Fil) FB) FM\
a)
F(n) F(n+l). F(n + 2)
F(a) F'(a) F" (a)
b) F'(a) Г (a) F'"<»
... F(n)
... F(n-{-\)
... FBn)
••• F{ln){a)
§ 4. Основные свойства определителей
*149. Доказать, что определитель л-го порядка, у ко-
которого каждый элемент aik является комплексным сопряжен-
сопряженным элементу акЬ равен вещественному числу.
*150. Доказать, что определитель нечетного порядка
равен 0, если все элементы его удовлетворяют условию
(кососимметрический определитель).
n
151. Определитель
а.п аг
¦¦• ап
равен Д.
Чему равен.определитель
«11
«22
«32
... a
... a
... a
162. Как изменится определитель, если все столбцы его
написать в обратном порядке?
*153. Чему равна сумма
?
aia,
«la«
2na, • • • anan

если суммирование распространяется на все перестановки
Oj, a2, ..., а„?
*154. Решить уравнения:
а)
где в,, а2!
Ь)
1 х
1 в1
1 в.
„Л-1
• • • "я-i
., an_j все различны;
1 1 1 ...
1 1-х 1
1 1 2 — л; ...
= 0,
1
с)
1
j —x
1
3—Х
1 •
-К
0.
*155. Числа 204, 527 и 255 делятся на 17. Докааать, чга
2 0 4
5 2 7
2 5 5
делится на 17.
*156. Вычислить определитель
а? (а+1J
(a-f-S)8
Y2 (V+1J
б2 F+1J
157. Доказать, что
b-\-c c-\~a a-\-b
... Л
а Ъ
с2 bt
в
ci
с.
23

158. Упростить определитель
ат-\-Ър an-\-bq
cm + dp en-\-dq
, разло-
разложив его па слагаемые.
159. Найти сумму алгебраических дополнений всех эле-
элементов определителей:
О 0 ... О
О а, 0 ... О
а)
О 0 0 ... я„
Ь)
О 0 ... О а,
О 0 ... ая О
ап О
О О
160. Разложить по элементам третьей строки и вычи-
вычислить определитель
1 o—1—l
0—1—1 1
abed
—1—1 1 О
161. Разложить по элементам последнего столбца и вы-
вычислить определитель
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
X
У
z
t
•
162. Разложить по элементам первого столбца и вычи-
вычислить определитель
а
b
с
d
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
¦
§ 5. Вычисление определителей
Вычислить определители:
*163.
13547 13647
28423 28523
164.
246 427 327
1014 543 443
—342 721 621
27

3 111
13 11
113 1
1113
1111
12 3 4
1 4 9 16
1 8 27 64
2 1111
13 111
114 11
1115 1
11116
0 111
1 0 a b
1 а 0 с
1 Ъ с О
166.
169.
1
1-
1
1
1
2
3
4
1
3
6
10
1
4
10
20
167.
*
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
1
-2
3
2 3
1 —4
—4 —1
3 —2 —1
171.
173.
5 6 0 0 0
15 6 0 0
0 15 6 0
0 0 15 6
0 0 0 15
х . У
У х+у
х+у х
X
1
1
0
0
0
X
0
1
1
—1
— 1
х — \
— 1
1
1
1
0
X
0
0
0
1
1
X
175.
\+х
1
1
1
1 1
1 2-х2
2 3
2 3
cos (а—Ь)
cos (а -|- ЭД
sin (a -f *)
2
2
1
1
3
3
5
9—
cos (^—с)
cos (b + c)
sin
cos (с—а)
cos (с + а)
sin (с -fa)
0
-a
-b
-с
а
0
d
-е
b с
d e
0 /
-/ О
х+у
X
У
1 1
1—л: 1
1 1+г
1 1

1
—1
—1
—1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
—'
(
(
(
2 3
0 3
—2 0
—2 —3
с
Хг
X
*1
х,
*1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
«1
»! + &!
в1
*2 ..
Ла * *
* ..
хг ..
*г ..
3 ...
3 ...
5 ...
3 ...
3 ...
2 ...
2 ...
3 ...
2 ...
—1
0
0
л
... л
... л
... 0
•
я2 .
в, .
Я2 + *2 .
а2 .
• *«-!
• *.-!
. д:
л—1
л —1
я—1
2л—3
л—1
2
2
2
п
0 0
А о
1—ft» ft
0 0
0
0
•
.. ап
ап
.. в„
.. ап + Ьп
х„
х„
х„
Хп
X
•
•
л
л
л
п
2л—1
... 0 0
...- 0 0
.... 0 0
... У-Ьп-г Ьп
•
—1
1 —

a a-\-h a
—a a 0
0 —a a
a-\-(n—\)h
0
0
О О
О
a -(a + h) ..
a a ..
0 a ..
0
0
0
0
q_, cn3_2... q?z; о
1 C\ C\
1 C{ 0
aa —1
л:
О
О
—1
X
0 ... 0
0 ... 0
a3 ...a,
... 0
... о
... 0
ап
О
О
О
О
п я—1 я—2
—1 х О
0—1 х
О
3
О
О
—1
х
2 1
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
. —1 л;
. О —1
О
0
0
о
о
90. Вычислить разность f{x-\-\)—f(x), где
/(*) =
30
О
2
3
О
О
3
О
О
О
О
О
О
1 л
1 л-fl
С*
CL
Qn-l ?ti
Ctt-l rtt+l

Вычислить определители!
*191.
ai аг ••• e«-i
1 х at ... а„_,
! аг л: ... ап_1
«1 «2
а, а,
193.
*194.
*195.
*196.
*197.
а
а
*192.
а
X
а
а ...
а ...
# ...
а
а
а
а та
X
—а
—а
—а
—а
0
0
0
1
1
0
0
0
1
h
hx
hx*
hx"
0
1
1
1
1
а
X
—a
—a
0
0
1
«2
0
0
1
—1
h
hx
hx»-1
1 1
0 x
x 0
X X
X X
a
a
X
—a
0
a.
—a,
0
1
0
-«3
«»
0
1
0
—1
h
hx"
,,,
• • •
• ¦ •
•
•
•
•
•
-•
1
X
X
0
X
•
a
a
a
. —a
m 9
t «
0
0
0
.. — an
.. 0
.. 0
.. 0
.. 1
0
0
—1
hx"
1
X
X
X
0
•
1
J-l
-*
a
a
a
X
0
0
0
a«
1
•
0
0
0
• • •
» # »
...
1-е,
0
0
0
h
31

*198.
*199.
*200.
*201.
*202.
*203.
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ч
1
2
1
п
I
л
1
0
+ а
-[-а
2%
1
1
—л
1
1
а
3
1
1
1
1
я
2
1
л
1
0
, + а
¦ • •
. ¦ •
• • *
1 -
1-
1-
2 • • •
2 ...
Л—1
1
1—Л
1
1
л ''
1
л
1
л ''
а1
аг
п
1—Л
Г
1
. 1-
. 1-
. 2
1
0
•
J
л
1
л
(порядок л-(- 1).
1
*.1
1
2
3
4
л
а,
а„_
а„
а
1
х22
хп2
2
1
2
3
л—1
*i
0
i °
0
с2 а3
а а2
1 а
3
2
1
2
л—2
0
-Л
0
0
• • •
4
3
2
1
л—3
0 .
0 .
ft, .
0 .
0 .
а
а
а
1
#
•
•
n
л-1
П-2
•
л
.. л—1
. л—2
.. л—3
1
0
0
0
0
0
0
0
к

*204.
a
1
0
0
0
a1
2a-\-b (
1 2,
0
0
0
a + by
a + 3b
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
. 2a + B
1
0
0
0
n — 1) b (a-\-nby
2a+Bn+\)b
*205.
x у О
0 x у
*206.
0 0 0
/о о
207.
*208.
209.
0
0
X
0
0
0
У
X
«1—*«
«я—*i ап—
а"—а
—а
ап+г—а
ап+Р (je-1) а
210. Доказать, что определитель
Л («.) Л («.) • • • /, (в.)
/.(«!> Л К) ••• Л К)
а
1 \ 1/ J П \ 2' • • " J П \ J
равен нулю, если /, (х), /г(х), .... /я (х) — многочлены
от х, каждый степени не выше п—2, а числа alt аг, ...
..., в„—произвольные.
Д. К. Фаддеев, И. С. СомннскиП
33

Вычислить определители!
*211.
1
—1
0
о-
2
X
0
0
3
0
0
0
4 ...
0 ...
0 ...
0 ...
л —1
0
X
—1
я
0
0
х>
*212.
a, ...
0; ...
xa ...
О
О
а о>
Л„^| Л*
*213.
«о
^1
0 -
0
*215.
-л
0
а.
0
0
л! ae
—л
0
0
0
• • • —Уп
(Л-1Ж
-(«-1)
0
0
хП
•
(м-2)!а2
0
*214.
0 11
1 ах 0
1 0 а2
. I
. о
. о
1 О О
... а„
... 0>
... О
О
216.
О,
а,
1
0:
О
О
о.
О 1
о- о
а% О О
Г а3 О
О 1 а4
Напиоть.определитель л-го
порядка такой структуры и
вычислить его.
Вычислить определители:
217.
0.
О
О
О!
О
о
о
.. 1 а + Р
218.
2 10 0
12 10
0; 1 2 1
0-. О* О- О
34

*219.
220.
*22l.
x 1 0
1 x 1
0 1 x
0 0 0
*223.
224.
*225.
*226.
"i
2 cos6 1 0 0 0
1 2 cos6 1 ... 0 0
0 0 0 ... 1 2 cos 0
cos e i о ... о
1 2 cos 0 1 ... 0
0 1 2 cos 6 ... 0
0
X
0
0 .... 2созв
*222.
1 1
\+at 1
1 1+e,
1
1
1
1
flj X' X
x аг х
x x ая
x
X
X
*227.
,-i <*«
«a ••• xn-
n-1
«i в, в, ... а„_, хп
2*
х»Уп
Х»Уп
... a
A
«Л «A «3*» "•
33

*228.
-m
229. Решить уравнение
= 0.
Вычислить определители:
*230.
*231.
*232.
*233.
*234.
зв
а 0 0
О а 0
О 0 а
0 0*
О Ъ О
Ь О О
О 0 ft ... а О О
0 ft 0 ... О а О
ft О О ... 0 0а
1 ла —2ft —3ft
1 (л —1)а a —3ft
1 (л—2) а . а а
(порядка 2я).
—Ь
-(л
-(л-
-(л-
-l)ft
1 2а а
{х-а.Г al
а\ (х-а2)*
а ...
af
• (*-«„)*
(*-«,)¦
— 1 1—ft,
0 ...
О ..,
О —1 1— ft3 ft4 ..
О
О
О
0 0 0
О ... 1—ft.

1
1
1
1
1
*235.
*236.
2 3 4
1 2 3
x 1 2
* x 1
XXX
*238.
•
0 a4
ft, 0
ftl ft,
ft» ft,
ft, ft*
5 ...
4 .:.
3 ...
2 ...
x ...
aox
a9x2
«3 «4
a3 я4 ...
0 a4 ...
b3 bt ...
ft3 ^4 ¦ ¦ •
л
л—1
л —2
л—3
1
a,*" a
fti
«i*
1 в,*""» a
~г а
а„
««
«„
0
0
ft,
t*"
_!
_!
-1
-I
1
¦л:
X
—а
-3
-2
. а„
««
«В
aa
о"
*237.
2
1
X
X
X
¦;.
3
2
1
Л
Л
.
•
4 . . .
3 ...
2 ...
1 ...
¦ x' ...
'о
0
ft*-l
"в-1*
л
л—1
л—2
л—3
1
«„
0
0
0
b
*239. Доказать, что определитель
с" ао1*«
а2Ох
О
О
1Ол «п1л ипгл ... I
Вычислить определители:
*240.
1 1 ..
«00 «01
10 «11
«ао «ai
д ft
R9 /11
*241.
1
1 С\
1 С?
1
с1
w-i
¦-an-2
"On
О
37

•242.
1 1 0 0 ... О
1 с» q о ... о
q qq ... о
1 с; с-
*243.
pk rk+t
s*-k- rk+i
>*
^m
*244.
^ft+sw+1- • • •
*245.
*246.
1 0' 0
1 C[ 0
i q c;
0
0
о
1
x
X C1
1 0
1 1!
1 2
1 3
0
0-
2!
3-2
0
0
0
3!
*247.
a
a
a 3a + 6
1 n n(n—H ¦/»'(«"¦
а + 2б с
2).
lOa+106 .. .
/-ft + я
fk+n
1
x
X2
jc"
а
*248.
*249.
z
z
z
z
л:
г
г
z-
у ...
У •••
Л5 ...
г- ...
л;
У
У
у
У
X
а
а
а
0
а
а
0
ft.
a
а
b
b
... a
... 0
... b-
... &
0
b
b
b

250. '
! X X
у аг х
У У У
*252.
251.
x
x
b
b
b
1
а
-ca
b
b
1
a .
a .
C3 •
b
1 .
.. а
.-..••¦а
... a
.. с„
.. 1*
1
1
1
1
0
*253.
к
b
b
b
b
a
a
P
P
"OS .
a
P
а
P
"OS .
а
P
P
а
P
... а
... p
... p
....p
... а
1
2
3
л
2
3
4
"l
3 ...
¦4 ...
5 ...
2 ...
л
'1
2
л—1
*254.
a -f A a -f 2A ... в~4- (л—1):А
а
а-fЗА а + 4А ... а-fА
(л—1)А a a-fA ... а+(я—2) А
255.
х
1
1
257.
а?> с d e f g h
badcfehg
cdabghef
d с b
e / g h
f e h #
g h e f
h g f e
h .g f e
a b с -d
a
с ;•
с d a b
d с b a
*25B.
a b
b a
с d
d с
*258.
X «!
a, x
«i «a
с
d
a
b
d
с
b
a
a2 .
a2 .
«3 •
«
.. an
.. an
.. x
39

*259.
260.
cos"
COS" ф„.
СОЭф,
COS.jpB
1 1 ... 1
sin <ft sin ф2 ... sin ф„
sina фх sina ф2
261.
sin" ф! . sin" ф2 ... sin"^
a" {a—\)n ... (a—n)"
a
1
a—1
1
... a—л
262.
263.
Bл—1)" Bл—2)" ..
Bл—I)" Bл—2)"-1 ..
л" Bл)"
" Bл)"'1
л
2л—1
1
2л—2
1
л 2л
1 1
*264.
*265.
a, at
а;-1
wn
xl
1
1
+
+
x\
!-2
X
x-
2
1
x*
хп~г
y-2
X3
x"~'
• хп \хп
40

266.
1
1 + sin (p,
sin ф, -\- sin* <ft
1 ... 1
1 + sin ф4 ... 1 -|- sin ф„
Sltl ф, + SU1* фг . .'.
267.
sin"
Ф1
ф, (Х„)
где щ {х) =^
268.
1
1
^ (cos
где Fk (х) =
*269.
р^ Fx (cos ф4) ... /
Pi) ^(««Фг) ••• ^(СОЭфп)
Ф1) Fn-l (COS ф») • ¦ • ''«-I (COS ф„)
+ о1кхк~-1 + • • • + dkk.
1
1
("') ('¦) - ('")
(nil) [n-lj •" (n-l)
где
kj~ i-2...k
*270. Доказать, что значение определителя
1 п пг л"-1
1 «1 «i ... «1
1 а2 al ... а?"
1 ап а% ...
при целых alt аи, ..., а„ делится на Г' 2"~* ... (я—П.
41

Вычислить определители:
*271.
12 3 ... л
1 28 За .... л8
*272.
*273.
... л
аЧ'Ч
*"
«2
stj-i *„--1 '• * xa-\
аГЩ ... af"-1
а%-гЬ1 ... а^
274.
sin" ax sin"~8 а, cos а, ... sinocj cos""'^ cos"-^
sin" aa «in" a2 cos a2 ... sinag cos"~a'a8 cos" a2
sin"~xan sin4 aBcosа„ ... sinancos" aB cos"" an
*275.
1
*276.
*277.
*278.
1 совф0 cos2ip0 ... cos (л—1)ф„
cos29! ... cos (л—1)фх
1 cosm__,
рй_, ... cos (*— I)?,.!
sin (л-)-1) a0 sinna0 ... sin a0
sin (л ~f 1) ctj sin /zat ... sin a,
sin (л +1) aB sin лап ... sin aB
1
1
vn{xn—1)

*279- 1 1 ... 1
лг?
281.
1 1
xl*
283.
1 Y
x3 хг
1 2л;
*285.
*286.
и
... Ли
l л;
1 2л-
1 Vx
xl хпг ... х-
... 1
*280; 1 1
Зх*
x
V-2
v.n-2
*282.
1+л:^ 1-\-х\ ...
284.
л3
1
1
1
1
1
1
X
2х
4х
у
X2
иг
9*"
У.*
X3
4л;3
16ЛГ3
X1
5л-4
25л-4
х"
1
1
1
1
1
2-е
л:
2л;
2ал:
У2
ха
Зл-2
32л-2
К2 ... (/Iv+l)"-1*"
... J»»
хгг~г
... яж"
... Л2л:"-'
1 2к~1х З*^1*'- ... л*-'л;"
1 j», з'! ... у"

*287.
1 x хг
О 1 С\х
О 0 1
0
1
0
0
У
1
0
f
• • • ^п-\Х
... у-'
... qu/'-2
0 0 0
288.
a) Написать разложение определителя четвертого порядка
по минорам первых двух строк.
b) Вычислить определитель
12 2 1
0 10 2
2 0 11
0 2 0 1
пользуясь разложением по минорам второго порядка,
с) Вычислить определитель
2 10 0
12 10
0 12 1
0 0 12
пользуясь разложением по минорам второго порядка,
d) Вычислить определитель задачи 145.
Вычвслить определители:
1
2
3
4
5
1
3
6
9
15
1
4
10
14
24
0
0
0
1
1
0
0
0
1
5
0
0
0
1
9
0 24 38 1 25 81
at 0 bx О
О с, 0 d{
Ьг 0 а2 О
О d,0 с,
44

g)
1
Xi
«1
xl
1
*I
0
0
1
x\
0
0
0
1
л;"
0
0
0
1
0
1
x3
ci
C2
Сц
в
x3
tl)
хг
*n
a
0
a
P
P'
0
0 ...
P ...
a ...
P ...
0 ...
0
p
p
a
0
a
Л
Л
i) Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель
задачи 230.
j) Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель
задачи 171.
к) Вычислить определитель
1110 0
1 2 3.0 О
0 1111
О
г*
1) Пусть А, В, С, D—определители третьего порядка,
составленные из таблицы
fa, bt
я3 &3
й\
вычеркиванием соответственно первого, второго, третьего и
четвертого столбцов. Доказать, что
a, ft,
e2 &s
dx 0 0
йг 0 0
a3 ft, cs d3 О О
0 0 ay bt c, dx
0 0 a2 ft2 c4 d4
0 0 a8 b3 ct d3
= AD—BC.
*m) Вычислить определитель пятнадцатого порядка
Л Aj A,
А, А А,
А, Ах А

составленный указанным образом из клеток
ах х —х —х
х 2а а О О
х а 2а О О
-х 0 0 2а а
-х О О а 2а
1 0 0 0 0
О 2 1 О О
0 12 0 О
0 0 0 2 1
0 0 0 12
§ 6. Умножение онределителей
289. Пользуясь правилом умножения матриц, предста»
вить в виде определителя произведения определителей:
а)
Ъ)
с)
290. Вычислить определитель А посредством умножения
его на определитель б:
а) Д =
6 =
4 3
1 3
3
—1
1
2
—1
j
— 1
1
—2
—3 2
2 5
3 6
—1 2
—2
I
2
1 1 1
2 1 1
—1 2 1
—1 •
1 2
»
3 4
—3 5
1 —1
f
J
3 1
1 3
—2 1
—1 2
Ь) Д =
1
—1
—1
2
2
0
1
3
1 —2
0
0
0
—1
—5
— 12
1
0
0
3
—3
0
5
—3
0
1
0
—9 -
5
—6
4
—8'
—13
15
—11
2
1
1
-2 3
3 —2
1 1
О —2
.10 0 0
—2100
3 2 10
—3421
46

с) Д =
abed
bade
с d a b
d с b a
1 1
1 — V
—1 1
—1 —1
1
—1
—1
1
291. Вычислить квадрат определителя:
а)
1111
1 1 —1 —1
1 —1 1 —1
1—1—1 1
Ь)
1 —1
2 2
2 О
3 —7
1
1
U
—1
—1
1
с)
а
—Ь
—с
—d.
Ъ
а
d
1 ¦ С
292. Определитель
«00
с d
—d с
а —Ь
Ь а
•• ao,n-i
ч»
««-1,0 «h-l,l ап-иг ••• «n-i.n-l
= D;
Чему равен
<Po(*i) Ф.
••• фЯ-1 <¦«->
где ф, (*) = aoi + а1(* + ... + ah_i§ /Лг"?-
Применить полученныв- результат к. решению-задач 265,
267, 268.
Вычислить определители:
*293.
47

b)
1-agPi" 1-agpg
1—огр2
l-a,pn
1-agpg
1—о2р„
1-aSPf 1-agpg
где sk = i
*286.
*297.
*298.
*294.
*295.
sin
sin (a, -|- a2) ... sin (ax + aB)
sin(a2-|-a1) sin2a2 ... sin(a84-
sin (an + ay) sin (an + a2) ... sin 2an
1
x
s xn-1
*2«-I *"
abed I m n p
b —a —d —с m —/ p —n
с d —a —b n —p —/ m
d —с b —a p n —m —/
/ —m —л — p —a bed
m I p —n —b —a d —с
n —p I m ¦—с —d —a b
p n —m I —d с —b —a
cos ф sin ф cos ф sin ф
cos 2ф sin 2<p 2 cos 2ф 2 sin 2ф
cos Зф sin 3<p 3 cos Зф 3 sin Зф
cos 4<p sin 4<p 4 cos 4<p 4 sin 4ф
л cos лф
sin лф
п sin щ
cos лф
сов(л+1)ф
соз(л + 2)ф («+2)со8(п+2)ф 51П(л + 2)ф (n + 2)sin (п+2)ф
cos (л + 3) ф (л+3) cos (л + 3) ф sin (л + 3) ф (л + 3) sin (л + 3) ф
48

*299. '
1 1 1
1 e e2
1 e2 e4
*300.
... e2
... e
(n-D*
an a,
*, и2 и3 ... «o
(циклический определитель)
2я
2я . . 2я
где e = cos — +1 sin — .
301. Применить результат задачи 300 к определителю
х и z у
у х и z
z у х и
и г у х
302. Применить результат задачи 300 к задачам 192,
205, 255.
Вычислить определители:
303.
304.
305.
де s = a
306.
1
1
Cn-i
1
na"'1
2a
5—a,
s—an
fn-l
ся-v
C\t"-}
C1n_l
1 .
1
2a
1
3a2
Cn-\
Qi-i
1
cs-i
3a4 .
2a .
4a8 .
s—a2 ...
s —
*-
-...
?nt"~
1 • • ¦
«, ...
-f-в),.
/"-
/-•Я-4
• • ¦ л~1
1
• • • '-n-i '•-n-i
• • • cj}:j с»:,1
l l
.. ла"
.. (л — 1)о»-»
1
s—а„
S —m(Zn
5—a,
-3 гп—it /~4i—i
... *->« * *-n
1 • • • C«~V C""8^
"• ...
c«:
49

n—p
307.
*308.
309.
310.
—1
1
1
—1
cos
cos
COS
COS
—1 ...
—1 ...
1 ...
—1 ...
«7
—1
л
2я
COS
л
9 cos 26 .
Л0 cos0 .
20 cos 36 .
sin a sin(e+A)
sin [a+(л — 1)A] sin a
sin (a4-h)
*311.
Is
Л8
2s
sin (a 4-2ft)
2» 32 ..
I2 2s ..
За 4а ..
—1 —1 1
—1 —1 —1
—1 —1 —1
—1 1 1
1 .
1 .
—1 .
1 .
cos^- ... —1
n in — 1) я
cos — ... cos 5——1—
—1 ... cos 5 !—
n
cos^- ... cos^
n n
cos я9*
.. cos(n—1)9
cos 6
sJn(a + 2A) .
sin (a + A) .
sin (a+3h) .
. (я-1)8
I2
9
1
1
1
i
•
.. sin [a+(n— \)h\
.. sin[e+(n—2)A]
sin a
312. Доказать, что
«0 «1 «I fl2 «1 «2 «2
аг аг ao al ai a2 al
a.
*2 "8  ul 
2'j a3 a9 a0, ax
ai ai
- К + 3«i + »fls) (»S—o»«i—а„а-2 + 2af + 2a|-—

313. Вычислить определитель
«i
—«п
—fln-i
—«п
««-в
—«о
(косоциклический определитель).
*314. Доказать, что циклический определитель порядка
2л может выть представлен как произведение циклического
определителя порядка п и косоцикляческого -определителя
порядка п.
315. Вычислить определитель
«в-1
«В-В
«1
§ 7. Различные задачи
316. Доказать, что если
Д(*> =
«и (ж) «и (ж) ... aln(x)
ЧЛХ) ац(х) ... вюДж)
««'<*) -вм!
«вв («)
то
«п(ж) а'и(лг) ... «^(ж)-
«и W вм(*) ... аа„(л)
i (х) апг (х) ...
п
«
а22(дг)
вы (ж)
•«1и(ж) в^2(л) ... ал„(лг)
51

317. Доказать, что
'11
.. alH
а„1 а„
. а„
где Aik—алгебраическое дополнение элемента aik.
318. Пользуясь результатом задачи 317, вычислить опре-
определители задач 200, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 232,
233, 248, 249, 250.
319. Доказать, что сумма алгебраических дополнений
всех элементов определителя
ап1 ап1 ... а„
равна '
1
— ап-
п-иг
апп — an-i,r,
Доказать теоремы:
320. Сумма алгебраических дополнений всех элементов
определителя не изменяется, если ко всем элементам опре-
определителя прибавить одно и то же число.
321. Если все элементы одной строки (столбца) опре-
определителя равны, единице, то: сумма алгебраических дополне-
дополнений всех элементов определителя равна самому определителю.
322. Вычислить сумму алгебраических дополнений всех
элементов определителя. задачи. 2.50.
*323. Вычислить определитель
52

324. Обозначив через Рп и Qn определители
ай 1 0 ... О О
—1 ах 1 ... О О
О 0 0 ... а„_8 1
0 0 0 ... — 1 а„_1
а, 1 0 ...
-1 а, 1 ...
доказать, что
0
О
о
о
О 0 0 ... ай_в 1
О 0 0 ... —1 <?„.,
1
Вычислить определители:
*32б.
с а 0 ... О О
b с а ... 0 0
О b с ... О О
0 0 0
О О О
с а
ft с
326.
2p q .
0 1 p .
0 0 0
0 0 0
*327. Представить определитель
On-1
О О
О О
о о
Р Ч
1 р
'IB
*nl
в виде многочлена, расположенного не степеням

*328. Вычислить определитель Bя—1)-го порядка, у ко-
которого первые я— 1 элементов главной диагонали равны
единице, остальные элементы главной диагонали равны п.
В каждой из первых п — 1 строк я элементов, находящихся
справа от главной диагонали, равны единице, в каждой из
последних п строк элементы, находящиеся слева от главной
диагонали, суть т—1, п—2, ..., I. Остальные элементы-
определителя равны нулю.
Например,
1
0
1
0
0
1
1
2
1
0
1
1
3
2
1
1
1
0
3
2
0
1
0
0
3
t
111110 0
0 111110
0 0 11111
1 2 3 4 0 0 0;
0 1 2 3; 4 0 0
0 0 12 3 4 0
0 0 0 12 3 4
Вычислить определители:
*329.
х 1 0 0 ... 0 0
—п х—2 2 0 ... 0 0
0 —(я—1) * —4 3 ... 0 0
0
330
о
х 1
я — 1 х
0 л —2
0 0
0 0..
2, 0 ..
х 3 ..
. . —1 X — 2/2
О О
О О
О О
О О О О ... 1 х
331.
X
n(a —
0
0
32.
-1)
a
x — 1
(Л_1)(в_
0
2- I
n"~l (n-
1)
!"-
f 1
0:
2a
x—2
0
' :
)*-*.
0 ..
0 ..
3a ..
0 ..
.. Bл
0
0
0
. a—I
nn-l
— I)"
0
0
0
л: —я
54

333.
1 1
1 2
1 1
т т
я
1
J_ _J 1_ 1
п л+1 п + 2 •*• 5п^1
334. Найти коэффициент при наименьшей степени X в
определителе

, . Г Л А В А 3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Теорема Крамера
Решить системы уравнений: '
335. 2х1-— хг — *3 = 4, 336. xl + x2 + 2xt~ — 1,
3*! + 4jc2—2x3 = \\, 2xt—хг-\-2х3 — — 4,
3*! — 2л:а + 4лг3 = 11. 4*j + лг2 + 4*, = — 2.
337. 3jex H-'2x, + ^з= 5. 338.
2^t+ ж, + Зжв = П. 3^t— дс,+ дг3= 10.
339. jct+ jc, + 2Jfj + 3jf4 = l,
3*г— jcb— дс3—2лг4= — 4,
2д:1 + 3^а— х3— xi = —6,
*! -|- 2л:2 -|- 3^3 — л;4 = — 4.
340. ^ + 2^ + 3*, —2*4 = 6,
< ' Лй ' ?lX а ' EЛл
2*j—Здг4 + 2дг,+ *4=—8.
341. jct + 2л4 +Зл, + 4дс4 = 5,
2*,+ л;4=— 5.
342. *2—Зл3 + 4л:4=—5,
*! — 2*,+ 3*4=— 4,
8 — 5*4=12,
2—5х3 =^5.
56

343.-2AJt — xt 4- Зх3 + 2xt = 4,
Зл^ 4- Злгг 4- Зл:3 4- 2*4 = 6,
Зл:1— хг— л;34-2л:4=6,
Зл^— лта4-3л:3— лт4 = 6.
344. Xl+ xt+ x3+ л-4 = 0,
Зх3+ 4л;4 = 0,
6*з 4- Юл;ф = О,
Cj 4- 4л:г 4-10л:3 4- 20л:4 = О.
345. j
Зд
5jct 4- 7д:г +¦" х3 4- Зл;4 — 4,
346. J«r14-Jf]1+ *а+ Х4+ **-0,
•^1—^+ 2л;,— 2л;44- Зл;5^0,
8л:3— 8лг4 4- 27*5 = О,
347. дг14-2дг]14-3*,4-4дг4==0)
xt+ xt + 2xt + 3xt = 0,
лгх -j- 5лг2 -(- л:3 4- 2*4 = О,
348. *!+ *,+ *,+ xt . =0,
хг+ х3+ xt+ лг5 = 0,
=2,
4 =—2,
л:34-2л:44-3^б=2.
349. дг1
дг,4- дга
4л:14- хг+
6дг,4-4лг,4- л;34-
4л-, -j- 6хг -(- 4л:3 4- -^4 + xi = О-
57

350. 2х1-\- хг + х,+ *4 + %=-2,
x1 + 2xi+ xt+ xt+ x6=0,
t + *е= — 2,
•«1+ *» + *,+ *4 + 5*6 = 5.
351. JCj + 2хг + 3*3 + 4*4 + 5л:6 = 13,
2*1 + 2*2 + 2*з+ дс4+-2ж,=« 6,
2^ + 2^+ 2^g +.2*4+ л:е= 3.
352. ^ + 2X2—3^3+4^— xt = —\,
4*х + Зхв + 4*з + 2х, + 2хь = — 2,
*1 — *г — %+ 2л;4 — Зл;6 = — 3.
353. 2*!— Здг8+^4дг3— Злу=0,
—13л:4=.О,
1 Здс г—25дт, +
Проверить, что система имеет решение хг — хг == х3 = xt == 1,
и вычислить определитель системы.
354. Доказать, что система
ах + by + с* 4*^ = 0,
с* — rfy
dx + су—Z>«—at = 0
имеет единственное решение, если a, b, c,d вещественные,
не все равные нулю.
Решить системы уравнений:
355. а^ + axt +...+ахп_1 + $х„ = о„,
где а ^ р.
58

366.
^n i
ёГ~~ 'i
где &tl ?2, .... *„, pif PB, ... , Р„ все различны.
357. x, +*2 +-...+*„. =1,
где alf аг, ... , a-n все различны.
358. x1.+-xtal.+ .. . -|-л:йаГ1 =
?1
• • • H- -^r.»" =
где otj, <zt ... , а„ все различны.
369. xlt +x^ +..
где at, а4, ... , а„ все различны.
360. 1+ *!+ *,+ ...+ х„ = 0,
*2
§ 2. Ранг- матрицы
361. Сколько определителей А-го порядка можно соста-
составить из матрицы, имеющей т стрек и п столбцов?
362. Составить матрицу, ранг которой равен: а) 2; Ь) 3.
363. Доказать, что ранг матрицы не изменится, если:
a) заменить строки столбцами;
b) умножить элементы строки или столбца на число,
отличное от 0;
c) переставить две строки или два столбца;
59

d) к элементам одной строки (столбца) прибавить эле-
элементы другой строки (столбца), умноженные на. некоторое
число.
364. Суммой двух матриц с одинаковым числом строчек
и столбцов называется матрица, элементы которой суть суммы
соответствующих элементов слагаемых матриц. Доказать,
что ранг суммы двух матриц не превосходит суммы рангов
слагающих матриц.
365. Как может измениться ранг матрицы, если приписать
к ней: а) 1 столбец; Ь) 2 столбца?
Вычислить ранг матриц:
366.
0 4 10 1'
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3,
370.
П 0 0 1 4
0 10 2 5
0 0 13 6
1 2 3 14 32
4 5 6 32 77,
372.
2 111
3 1 1
1 4 1
1 1 5
2 3 4
1 1 I
60
367.
G5 0 116 39 0N
171 —69 402 123 45
301 0 87 —417 —169
114 —46 268 82 30,
369.
'14 12 6 8 2\
6 104 21 9 17
7 6 3 4 1
,35 30 15 20 5,
371.
1—2 3—1—1 —2
2—1 1 0—2—2
—2 —5 8—4 3 —1
6 0—1 2—7—5
—1—1 1—1 2 1
373.
1 —1
2 1
—1 2
1 5
3
2
1
—8 —5 —12
3—7 8
13

374.
375.
r3
4
2
3
3
2
1
— 1
1
— 1
377.
Г i
0
l
l
2
—1
379.
2
0
2
Q
0 2
1 0
1 0
1 0
— 1
0
—2
3
—5
— 1
1
0
1
0
1
0 2>
1 0
2 1
1 0
2
—3
1
9
7
2
—1
— 1
0
0
0
V
\
•
/
0
0
1
—1
0
2
0
0
1
1
2
Г
2
—3
6
—7
0
0
2
1
—1
1
1
1
1
2
1
2)
376.
О 0 1 0 0 ^
0 10 0 0
0 0 0 10
11111
13 4 5 1
12 3 4 5
23 4 5 6
378.
1 0 1 0 0~
1 10 0 0
0 110 0
0 0 110
0 10 11
380.
2—11 3 4
2—12 1—2
2—3 1 2—2
t 0 1—2 —б
! 2 1—1 О
4—1 3—1 — Ь)
§ 3. Системы линейных форм
381. а) Написать две независимые линейные формы.
Ь) Написать три независимые линейные формы.
382. Составить- систему четырех линейных форм от пяти
переменных так, чтобы две из них были независимы, а ос-
остальные были нх линейными комбинациями.
61

Найти основные зависимости между формами системы]
3— xt,
г Злг3— Злг4,
Л - 3^ + 5хг—13*з +11 *4.
,,—4дг8— xt,
3
Л-К*!—'Эх,— *з
Л - Злгх + 8лга—9*8-15лг4.
З8в.<у1-2Х1+ *а— ^8 + Ж4)
^8=. ^ + 2*2+ лг8—*4,
Л- *i+ *а + 2лг3 + лг4.
387. 388.
^4 = 4^8 + 2*3 + 5XV Л =
889.^-х^ х2+ ха+
4 + х 8.
390. 391.
34= i + , + 84, ь 1 »з,
Л = 2*i— *» + 2*з + 5лт4, ^-=3^+ Дг,—5лг8(
2 58—4лг4, 2
392. у1=*2
Л-
Л - 8*! + 7х2 + 8jcs—11*4—3*8,
23
62

3+\ 1jc4 — 5x&,
3+ дхА—Ъхь.
.>>1 = *, + 2*4+ x3~2Xi+ xt,
2
= jc,— *a-f Зх,— ж4
, = 4*4 + 3^— дг3+ хл
i = 2xl.+ хъ
-= *i—3*,
5
396. л - х1 + 2хг— х3+ 3xt—
Зг3— 4л:4+ д;&— дгв>
2
4
2xt+ хь
yt = 1xl—7xi + Sx3~\5xtr\-6xi—5xli,
Л = 5jf 1 + 5л:2—6лг3 + 11 *,, + 9лгв.
397.^= ^ + 2*,+ х3— 3
уг = 2хх+ хг-г xs+ xt—3xb,
ys^ лг,+ лг2 + 2*3+ 2дг4 — 2х6,
yt = 2л?! + Злгг—ох3 — 17л4 + ^5-
Подобрать X так, чтобы четвертая форма- была линейной
комбинацией первых трех..
§ 4. Системы линейных уравнений
398* Решить систему уравнений:
Х± — & JCS -J- JC3; ¦? 4 == 1,
2 5
399. Подобрать X так, чтобы система i уравнений имела
решение:
2*1— хг+ х3+ xt=l,
2 2
63

Решить системы уравнений:
400. 401.
*i+ *а —Зх3=—1, 2Xj
2*!+ хг — 2х3 = 1, X
*i + *г + *з = 3> *i + Х2 + 5х3=—7,
X1 + 2x2—'dx3=\. 2Xj + 3x2 —Здг3=14.
402. 403.
х 2 3 , x
4xx— X2+ jc3 = 3, 3Xj
xx + 3x2— 13x3= — 6. x1
404.2^+ x2— x3+ л-4 = 1,
Sxt — 2x2 + 2x3 — 3xt = 2,
2xx— л;2+ л3 — Зх4 = 4.
405. 2xl— x2+ x3— xt=\,
t = — 6.
406. 407.
x1 — 2A.-a + 3x3 — 4x4 = 4, xl
x2— X3+ x4=—3, 2д:1
— 7x2 +
408.
2хх + 3хг-
4д:х + Л'2 -
Xt iX%~
4tO. xx +
2x\ +
411. лг.+
6X3
- X
U 9i
-За
H4a
Хг
+ xi
:3 + 5x
¦ T x
+ 6a-3
+ x3
:. = 0, i
— xt
+ 3x4 —
+ ^4 +
4*x
409
ixt +
ix\ +
7x1 =
+ A
4x2
o,
o,
0.
:7,
5^ + 4^ + 3^ + 3^— лгБ = 12. -
64
4,
4- 14.
4 ,
16д;4 = 0,

412. *i—2*a + *s— *4 + *8 = 0,
2*,+ *s—*, + 2*4—3*5 = 0,
3*x—2*2 —*„ + *4—2*8 = 0,
2^—5*2+*8—2*4 + 2xt = 0.
413. xx — 2*г + *„ + *4— ^ = 0,
2! + xb =0,
414. 2jcx+ *2— x3— лт4+ хь = \,
Xi— *„+ ^з+ ^4 — 2*6 = 0,
3*! + Зхг—3x3 — Зх4 + 4x6 = 2,
555
415. 2x,—
9 в
2дгх — Hx2 -|- 7xa—7*4 -j- 11 xt =
416. 3*!+ хг—2х3+ х\— x6 = l,
34 5
xx + Злт2—2х3 -|- 5x4 — 7x5 = 3,
3>Tj—2лга + 7x3 — 5xt -\- 8xb = 3.
417. х,
2x, — Злс, + 4ха— 5x4 6
9л:,—9^ + 6*3 — 16^ + 2x6 = 25
418. ^ + 3*2 + 5*,—4*4 = 1,
*1 + a*1 + 2x,—2x4 + *,= —1,
j—4*j+ ЛГ3+ X4 —*5««: 3,
2+ x3—
419. *, +2*г + 3*з—*« = !»
3 2
420.
3 Д. К.
OX* ~f— O*j
*1 ^Л!
*! + 2*s
*J— *J
*,
2*, + 3*s
Фаддеев. И.
, + 2*з
1 Q v A.v
i— *з+ *
С. Соиинский
(Л
4 + 2*6 =
*5 =
4 =
4-2*5 =
4+4*5 =
- 2,
- з,
10,
- 5,
1-
65

421. Система ay-\-bx = c,
cx-\-az~ b,
bz~\-cy = a
имеет единственное решение. Доказать, что abc фО,и найти
решение.
Решить системы уравнений:
422. кх+ у+ 2=1, 423. %х+
\ X, х +
V. x-\-
424. х-\-ay-\-a*z = а3, 425. х+ У+ * = 1,
ЬЬг =Ь3, ах+ by-\-c z — d,
= с*. а*х + Ьгу + c2z = da.
426. ах+ >г + г = 4, 427.
х-\- Ьу-\-г = Ъ, x-\-aby^~ z — b,
x-\-2by-\-z^4. x-\- by-j-az — l.
428. ах+ у+ z^m, 429. х+ ау+ а
х-\-ау-\- z = n, x-\- ay~\-
х-\- y-\-<xz=p. Ь*
430. (Х + 3)лг+ у+
Х Ск — \)у+
%
481.
432.
3ky+
433. ax+ by+ 2z=\,
ax-\-Bb—\)y+ З
434. a) y
Bm— \)x + Dm— \)y+ 2m
4/»* + Em—7) у -\- Bm—5) z = 0
66 ,

b) B/»+l)*"— my+ (+)
B) + (m—l)y+ (да—2\i=*m,
() )
c) ) + j + ( + )+
DX—1)* + (X—1)Л-DХ—1)*- —1,
ЗХ) J )=,2 —X.
435. a) (.2c + l)*— ey—
Bc— l)jr— Cc—
.у—
b) +
DX—
EX—4)JC + (X + l)jf+CX—4)^= X—
c)
d) Ca— 1)*+ 2ay+Ca+l)*=»l,
2+ 2 (З + 1) а
а*.
436. Найти уравнение прямой, проходящей через точки
437. При каком условии три точки Mt (xv у,)', Мг (xt, _yt);
Ms{x3, y3) лежат на одной прямой?
438. При каком условии три прямые a,# + b^y + ct *= 0;
a^ + ^jr-b^sO; asJC + *sJ'4-c8 = 0 проходят через одну
точку?
439. При каком условии четыре точки Мо (xQ, y0);
Mi (xu yj; M2 (xt, yt); Мя(хя, у3) лежат на одной окружности?
440. Написать уравнение окружности, проходящей через
точки Afj B, 1); Mt(\, 2); М3@, 1).
441. Найти уравнение кривой 2-го порядка, проходящей
через точки Мх@, 0); М2(\, 0); Ж3(— 1, 0); ЛГ4A, 1) и
М5(-1, 1).
442. Найти уравнение параболы 3-й степени, Проходящей
через точки iW,(l, 0); М2 @, — 1); М3(—1, — 2) и уИ,C, 7).
443. Составить уравнение параболы степени п у = а^ +
-Ь в!*" + ... +а„, проходящей через я-j-1 точекуИ, (Ji9,yj;
Mi(*i, ЛM М%(xt, yt); ...; Мп{хп, уп).
3* 67

444. При каком условии четыре точки Ml{xl, yY, zx)\
¦М2 (Х2> У г, Z%Y> мз (*з> У», *s); Mi ixv У*> zi) лежат в одной
плоскости?
445. Составить уравнение шара, проходящего через точки
Мх{\, О, 0); Mt(\, 1, 0); М3(\, 1, 1); Mt@, 1, 1).
446. При каком условии /г точек ^(х,, ух); M2(x.i} у2);
М3 (х3, у3); ...; Л1„ (х„, _у„) лежат на одной прямой?
447. При каком условии п прямых ахх + Ьгу + ct — 0;
а2х +/?2_у + с2 = 0; ...; а„х + Ьпу + с„ == 0 проходят через
одну точку?
448. При каком условии п точек Мг {хг, yv zj;
Мг (xity2, г2); .. .; М„(х„, уп, г„) лежат в одной плоскости
и при каком условии эти точки лежат на одной прямой?
449. При каком условии п плоскостей А^ + В^ + С^ +
-\-D; — 0 (/=1, 2, ..., п) проходят через одну точку и
при каком условии все эти плоскости проходят через одну
прямую?
450. Исключить xlt хг, . . ., хп-1 из системы п равенств:
я11*1Н-а12*2+ • • • +в1.»-1*и-1 + в|» = 0,
агххх + ai2x2+ ...+аг> и_1л;„_1 + а2п = 0,
451. Пусть
x[l) = ее
v<2> =- п . .. _ ...
A)
1 = а*
—/я решений некоторой системы линейных однородных урав-
уравнений. Решения эти называются линейно зависимыми, если
существуют такие постоянные си с2, ..., ст, не все равные
нулю, что
с1а1, + сЛ1+...+сяая1 = 0 B)
(/=1, 2 л).
Если же равенства B) возможны только при с1 = с2=...=
= ся = 0, решения называются линейно независимыми.
Условимся решения записывать строчками матрицы.
68

Так, система решений A) запишется матрицей
a
a,
•л
aI2
a22
«1
а„
Доказать, что если ранг матрицы А равен г, в системе
A) имеется г линейно независимых решений, а все осталь-
остальные решения системы A) являются их линейными комбина-
комбинациями.
452. Доказать, что если ранг системы т линейных одно-
однородных уравнений с п неизвестными равен г, то существует
п—г линейно независимых решений системы, а все ос-
остальные решения системы являются их линейными комбина-
комбинациями.
Такая система я—г решений называется фундаменталь-
фундаментальной системой решений.
453. Является ли
ной системой решений системы уравнений
1
1
0
1
—2
—2
0
—2
1
0
1
3
0
1
—1
—2
0
0
0
0
фундамеиталь-
г-\- х3+ xt—Sxt =
454. Написать фундаментальную систему решений для
системы уравнений задачи 453.
/1—2 1 О (Л
455. Представляет ли 0 0 —1 1 0 фунда-
\4 0 0—6 2/
ментальную систему решений системы задачи 453?
456. Доказать, что если А — матрица ранга г, образую-
образующая фундаментальную систему решений системы линейных
однородных уравнений, а В есть произвольная неособенная
матрица r-го порядка, то матрица В А также образует фун-
фундаментальную систему решений той же системы уравнений.
09

457. Доказать, что если две матрицы А и С ранга г обра-
образуют фундаментальные системы решений некоторой системы
линейных однородных уравнений, то одна из них есть про-
произведение некоторой неособенной матрицы r-го порядка В на
другую, т. е. А = ВС.
458. Пусть
I—фундаментальная си-
стема решений некоторой системы линейных однородных
уравнений; доказать, что
х„ = ерь + сга2„ + ... + сгагп
есть общее решение этой системы уравнений, т. е. всякое
решение системы может быть получено из него при неко-
некоторых значениях сг, с2, ..., сг, и обратно.
459. Написать общее решение системы задачи 453.
460. Проверить, что A1 1—7)—фундаментальная система
решений системы задачи 403, и написать общее решение.
461. Написать общие решения систем задач 408, 409,
410, 412, 413.
462. Зная общее решение системы задачи 453 (см. ответ
задачи 459) и то, что xt — —16, хг = 23, х3 =*= xt — хь = 0
есть частное решен-е системы 411, найти общее решение
системы 411.
463. Написать общие решения систем задач 406, 414, 415.

ГЛАВА 4
МАТРИЦЫ
§ 1. Действия над квадратными матрицами
«ожить матриц!
464. Умножить матрицы:
'2
465. Выполнить действия:
7!

. *466. Найти lim [ а я 1 , а—вещественное число.
. "* ¦ V
467. Доказать, что если АВ = ВА, то
a) D-ffiJ
b) Аг — Б2 = |
с) ^
468. Вычислить АВ—В А, если:
а)
Ь) А =
469. Найти все матрицы, коммутативные с матрицей А:
470. Найти f(A):
2 —
471. Доказать, что каждая матрица второго порядка
fa b\
А = [ .) удовлетворяет уравнению
\с dj
472. Доказать, что для любой данной матрицы А най-
найдется полином f(x) такой, что /(А) = 0, причем все ноли-
номы, обладающие этим свойством, делятся на одни из них.
*473. Доказать, что равенство АВ—В А = Е невозможно.
72

474. ПуСть А* = 0. Доказать, что (Е—А)'1 =
475. Найти все матрицы второго порядка, квадраты ко-
которых равны нулевой матрице.
476. Найти все матрицы второго порядка, кубы которых
равны нулевой матрице.
477. Найти все матрицы второго порядка, квадраты ко-
которых равны единичной матрице.
478. Решить и исследовать уравнение ХА=0, где А—
данная и X—искомая матрицы второго порядка.
479. Решить и исследовать уравнение Х* = А, где А —
данная и X—искомая матрицы второго порядка.
480. Найти обратную матрицу для матрицы Л:
а) Л =
1 2
2 5
Ь) А =
где е —cos
73

j)
—1
о
—1 О
2 —1
—1 2
О
О
-г! 2
к) А:
1 3 5 7 ... 2я—Ц
2я—1 1 3 5 ... 2я—3
2я—3 2я —1 1 3 .... 2я—5
7 9
1
(\ О О
О 1 О
О 0 1
.. о
.. о
. о
О 0 0
bt Ьг Ь3
.. 1
1 — х
О 1
0
— х
01
0
о о
о
п) Л =
. 1 — х
1
1
о) Зиая матрицу Я, найти обратную матрицу для
окаймленной матрицы
74

481. Найти неизвестную матрицу X из уравнений:
2 5
1 3
Х-.
—6>
1
1
—1
О
1 1
1 О
-1 1
1 1
О О
О О
О 0 0
—1 1
х-
—1
1
О
о
—1
1
о
2
О —1
О
О
—1
2
О
О
о
о
о
О
о
2
—1
f)
¦ х=
1\ B
; g) x.
1 О
О 1
482. Доказать, что если АВ — ВА, то A~lB = i
483. Вычислить ф(Л), где <р (*)=,-??, Л =
01
О
о
0)
о
о
—1
1 2\
2 1/
484. Найти все вещественные матрицы второго порядка,
кубы которых равны единичной матрице.
485. Найти все вещественные матрицы второго порядка,
четвертые степени которых равны единичной матрице.
75

486. Установить изоморфизм поля комплексных чисел и
множества матриц вида
—Ь а
при вещественных а, Ь.
487. Установить, что матрицы вида
а-\-Ы c-f-rfz
— c + di a—Ы
при
вещественных а, Ь, с, d образуют кольцо, не имеющее дели-
делителей нуля.
488. Представить (а\ + Ь\ + с\ + d\) (а\ + Ь\ + с\ + d\) в ви-
виде суммы четырех квадратов билинейных выражений.
489. Доказать, что следующие операции над матрицей:
a) перестановка двух строчек,
b) добавление к элементам одной строчки чисел, про-
пропорциональных элементам другой строчки,
c) умножение элементов строчки на число, отличное от О,
— осуществляются посредством умножения матрицы слева
на некоторые неособенные матрицы.
Те же операции над столбцами осуществляются посред-
посредством умножения справа.
490. Доказать, что каждая матрица может быть пред-
представлена в виде PRQ, где Р и Q—неособенные матрицы, а
R — диагональная матрица вида
1
0
*491. Доказать, что каждая матрица может быть пред-
представлена в виде произведений матриц E-\-aeik, где eik—мат-
eik—матрица, у которой элемент /-й строчки и Л-го столбца равен 1,
а все остальные элементы равны 0.
*492. Доказать, что ранг произведения двух квадратных
матриц порядка п не меньше г1-\-гг—л, где гх и г2—ранги
множителей.
76

493. Доказать, что каждая квадратная матрица ранга 1
имеет вид
*494. Найти все матрицы третьего порядка, квадраты
которых равны 0.
*495. Найти все матрицы третьего порядка, квадраты
которых равны единичной матрице.
*496. Пусть прямоугольные матрицы А и В имеют оди-
одинаковое число строчек. Через (А, В) обозначим матрицу,
получающуюся, если к матрице Л присоединить все столбцы
матрицы В. Доказать, что ранг (Л,Б)^ранг Л-[-ранг В.
*497. Доказать, что если Л2=?', то ранг (Е-f-А)-f-ранг
(Е—А) = п, где п — порядок матрицы А.
*498. Доказать, что матрица А, обладающая свойством
А2 = Е, может быть представлена в виде РВР~г, где Р—не-
Р—неособенная, а В — диагональная матрица, все элементы кото-
которой равны ;± 1.
499. Найти условие, которому должна удовлетворять мат-
матрица с целыми элементами для того, чтобы все элементы
обратной матрицы были целыми.
500. Доказать, что каждая неособенная целочисленная
матрица может быть представлена в виде PR, где Р—цело-
Р—целочисленная унимодулярная матрица, a R— целочисленная тре-
¦угольиая матрица, все элементы которой, лежащие ниже
главной диагонали, равны нулю, диагональные элементы
положительны, а элементы, лежащие выше главной диагонали,
неотрицательны и меньше диагональных элементов того же
столбца.
*501. Объединим в один класс все целочисленные матрицы,
получающиеся одна из другой умножением слева на цело-
целочисленные унимодулярные матрицы. Подсчитать число классов
матриц л-го порядка с данным определителем k.
502. Доказать, что каждая целочисленная матрица может
быть представлена в виде PRQ, где Р и Q—целочисленные
унимодулярные матрицы, R—целочисленная диагональная
матрица.
503. Доказать, что каждая целочисленная унимодулярная
матрица второго порядка с определителем 1 может быть
77

представлена в виде произведения степеней (положительных
и отрицательных) матриц
/1 1\ /1 0\
504. Доказать, что каждая целочисленная уиимодулярная
матрица второго порядка может быть представлена в виде
произведения степеней матриц
1 1\ /0
о .) " Н о.
*50Б. Доказать, что каждая целочисленная матрица треть-
третьего порядка, отличная от единичной, с положительным опре-
определителем и удовлетворяющая условию Аг — Е, может быть
представлена в виде QCQ'1, где Q—целочисленная унимо-
дуляриая матрица, а С—одна из матриц
'1 0 0\ /1 —1 0\
0—1 0 ) и ( 0 — 1 О
0—1/ \0 0—1,
§ 2. Прямоугольные матрицы. Некоторые неравенства
506. Умножить матрицы:
/3 -у ,ь 2 г
и
A 2 3); d) A 2 3) и
507. Найти определитель произведения матрицы
на транспонированную.
(ах h СЛ
508. Умножить матрицу ( 1 на транспонирован-
транспонированную н применить теорему об определителе произведения.
509. Выразить минор т-го порядка произведения двух
матриц через миноры множителей.
78

510. Доказать, что все главные (диагональные) миноры
матрицы А~А неотрицательны. Здесь А—вещественный мат-
матрица, А—матрица, транспонированная с А.
511. Доказать, что есяи все главные мииоры &-го порядка
матрицы АА равны нулю, то ранги матриц АА и А меньше k.
Здесь А — вещественная матрица, Л—транспонированная
с ней.
512. Доказать, что суммы всех диагональных миноров
данного порядка k, вычисленные для матриц АА и АА~, оди-
одинаковы.
513. Используя умножение прямоугольных матриц, дока-
доказать тождество
514. Доказать тождество
Здесь at, bt — комплексные числа, Ъ\—числа, сопряженные с Ь{.
515. Доказать неравенство Буияковского
2
1=\
для вещественных а,, Ь{, исходя из тождества задачи 513.
516. Доказать неравенство
для комплексных ah bt.
*517. Пусть В и С—две вещественные прямоугольные
матрицы такие, что E, С)*=Л есть квадратная матрица
[смысл обозначения (В, С) такой же, как в задаче 496].
Доказать, что \А |2^|5В|-| СС\.
*518. Пусть А=*(В, С)—прямоугольная матрица с веще-
вещественными элементами. Доказать, что
79

519. Пусть А — прямоугольна» вещественная матрица
Доказать, что \АА | < Д a\k . |J et*t ..
520. Пусть Л — прямоугольная матрица с комплексными
элементами, А* — матрица, транспонированная для комплексно
сопряженной с А матрицы. Доказать, что определитель мат-
матрицы А*А есть неотрицательное вещественное число и этот
определитель равен 0 в том и только в том случае, когда
ранг А меньше числа столбцов.
621. Пусть А = (В, С) есть комплексная прямоугольная
матрица. Доказать, что \А*А
522. Доказать, что если
лителя
<|Я*В|.|С*С|.
то модуль опреде-
опредене превосходит
*523. Доказать, что если aik вещественны и лежат в
интервале 0^.aik^.M, то определитель, составленный
из чисел а1к, по абсолютной величине не превосходит
п + 1
624. Доказать, что для определителей с комплексными
элементами оценка, приведенная в задаче 522, точная и не
может быть улучшена.
526. Доказать, что для определителей с вещественными
элементами оценка, приведенная в задач-е 522, точная при
п=-2т.
526. Доказать, что максимум абсолютной величины опре-
определителей порядка п, имеющих вещественные элементы, не
превосходящие 1 по абсолютной величине, есть целое число,
делящееся на 2"~1.
*Б27. Найти максимум абсолютной величины определителей
порядков 3 и 5, образованных из вещественных чисел, не
превосходящих 1 по абсолютной величине.

*528. Матрицей, взаимной с данной матрицей Л, назы-
называется матрица, элементами которой являются миноры
(л—1)-го порядка исходной матрицы в естественном распо-
расположении. Доказать, что матрица, взаимная к взаимной, равна
исходной матрице, умноженной на се определитель в сте-
степени п—2.
*529. Доказать, что миноры /и-ro порядка взаимной матрицы
равны дополнительным минорам к соответствующим минорам
исходной матрицы, умноженным на А1".
530. Доказать, что матрица, взаимная к произведению
двух матриц, равна произведению взаимных матриц в том
же порядке.
531. Пусть каким-либо способом занумерованы все соче-
сочетания из номеров 1, 2, ,.., я, взятых по т.
Дана квадратная матрица A = (aik) порядка л. Пусть А
есть минор 02-го порядка матрицы А, номера строчек которого
образуют сочетание с номером а, номера столбцов — сочета-
сочетание с номером р. Тогда из всех таких миноров можно по-
построить матрицу А'т — (АЛ^) порядка CJ1. В частности, А[ = А,
А'„_г есть матрица, взаимная с А.
Доказать, что (АВ)'т = А'тВ'т, Е'т = Е, (А~1)'т = (А'т)~К
532. Доказать, что если А есть «треугольная» матрица
вида
' ~11 «12 • • • Чп
О О ... аш
то при надлежащей нумерации сочетаний матрица А'т будет
также треугольной.
533. Доказать, что определитель матрицы А'т равен
534. Пусть установлена каким-либо способом нумерация
пар (/, k); /=1,2, ..., п; k= 1, 2, ..., т. Кронексровским
произведением двух квадратных матриц А и В порядков л
н т соответственно называется матрица С = Лх5 порядка
пт с элементами с«,«,== "ly,**,*,» где at есть помер пары
(г5, kj), аг—номер (г2, ft2). Доказать:
a) (Al±At)XB=(AlXB)±(AixB),
Ъ)
с)
Я1

*б8б. Доказать, что определитель АхВ равен | А \т-|В|я.
536. Пусть матрицы А и В порядка тп разбиты на л*
квадратных клеток, так что они принимают вид:
В =
где Л,л и Bik—квадратные матрицы порядка т. Пусть состав-
составлено их произведение С н разбито таким же образом на
клетки Cik. Доказать, что
Clk='AilBlk+AnBtk+ ... +AinBnk.
Таким образом, умножение матриц, разбитых на клетке,
производится формально по тому же правилу, как если бы
в клетках находились не матрицы, а числа.
*б87. Пусть матрица С порядка тп разбита на л* рав-
равных квадратных клеток. Пусть матрицы Alk, образованные
элементами отдельных клеток, попарно коммутируют при
множении. Из матриц Ajk составляется «определитель»
2-^1аИ2а, • • 'Аплп^В- Этот «определитель» есть некоторая
матрица порядка т. Доказать, что определитель матрицы С
равен определителю матрицы В.

ГЛАВА 5
ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Действия над полиномами. Формула Тейлора.
Кратные корни
638. Умножить полиномы:
a) Bх4—х* + х* + х+\)(х*—3* + 1);
b) (х* + х*--х— 1)(х*—2х — 1).
639. Выполнить деление с остатком:
a) 2х* —Зл:3 + 4л:г—5x-f6 на **—3*-f1;
b) л:3—3** —* — 1 на Зх*—2х + \.
540. При каком условии полином x'+px + q делится на
полином вида х2-\-тх—1?
. 641. При каком условии полином х*-\-рха -\-q делится на
полином вида х1 + тх + 1 ?
542. Упростить поллном
. X | Х(Х— 1) , 1Ч„Ж(Ж— 1)...(ДГ— Я+1)
\—Т-]—^—...+(_ 1) _ .
643. Выполнить деление с остатком:
a) xl — 2x3+Ax* — 6x + 8 на х—1;
b) 2хь — 5а-3 — 8* на х + 3;
c) 4х3 + х* на x+\+i; .
й) х3—Xs—X на х— l-j-2/.
644. Пользуясь схемой Горнера, вычислить f(x0):
a)
83

545. Пользуясь схемой Горнера, разложить полином /(х)
по степеням х — х0:
a)
Ь)
с) /(аг) = дг* — 8д:3 + 24л;2—50л: + 90, *„ = 2;
й) /(х) = х* + 21Х3 — A + /)х2 — Зл: + 7 + /, аго = —/;
е) /(аг) = аг.* + C — Ы)х3 — B1+ 18/) л;2 —
— C3 — 20/) х + 7 + 18/, д:0 = — 1 + 2/.
546. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простей-
простейшие дроби:
х3—х+1 , . х4 — 2л:2+ 3
Э' (х-2N '
*S47. Посредством схемы Горнера разложить по степеням х:
Ъ) (х—2)* + 4 (ж — 2K +6 (аг — 2J + 10 (аг —2) + 20.
548- Найти значения полинома f(x) и его производных
при х — х0:
а)
Ъ) / (аг) = х1 — 3/х3 — 4а:2 + Ых — 1, л;0 = 1 + 2/.
649. Чему равен показатель кратности корня:
a) 2 для полинома хь — 5л:4 + 7л;3—2л;2 + 4д; — 8;
b) —2 для полинома хь + 7дг*+ 16а:3 + 8а:2 — 16а: — 16?
550. Определить коэффициент а так, чтобы полином
хь — ал;2 — ах-\-1 имел — 1 корнем не ниже второй кратности.
551. Определить А и В так, чтобы трехчлен Лл:4 + Вл:3 + 1
делился на (л: — IJ.
552. Определить А и В так, чтобы трехчлен Axn + l +
+ Влг"+1 делился на (л:—IJ.
*553. Доказать, что полиномы:
a) х*"—пхп+1 + пх"-1 — 1;
b) хгп+1 — Bп+1)хп+1 + Bп+1)хп — 1;
c) (л — 2т) х" — пх"-т + пхт — (п—2т)
имеют число 1 тройным корнем.
84

654. Доказать, что полином
„я + 1 в(в+1)Bв + 1) „.+, ¦ (я-1)(я + 2)Bя+1) .+,
6 2
(я—1)(я + 2)Bя+1) „„ , в(я+1)Bя+1) ._! .
_ , д; { _
делится на (д: — l)s и не делится на (х—IN.
*55б. Доказать, что для того чтобы полином
/(*)= а„х» + а1х»-1+...+ап
делился на (х—l)fc+1, необходимо и достаточно выполнение
условий:
668. Определить показатель кратности корня а полинома
где /(*) — полином.
557. Найти условие, при котором полином хь-\-ах3-\-Ь
имеет двойной корень, отличный от нуля.
558. Найтн условие, при котором полином хь-\-\0ах3 +
-\-5bx-\-c имеет тройной корень, отличный от нуля.
559. Доказать, что трехчленный полином хп-\- ахп~т -\-Ь
не может иметь корней, отличных от нуля, выше второй
кратности.
560. Найти условие, при котором трехчленный полином
х" -\-ахп~т -\-Ь имеет двойной корень, отличный от нуля.
*561. Доказать, что А-членный полином
не имеет корней выше (k — 1)-й кратности, отличных от нуля.
*562. Доказать, что каждый не равный пулю корень
{k—1 )-й кратности полинома
удовлетворяет уравнениям
а,*ру (рх) = а2хР><р' (р2) = .. . = акхРкц' (Рк)>
где
и обратно.
«5

*568. Доказать, что полином делится на свою производ-
производную в том и только в том случае, когда он равен а^{х—л:в)п.
564. Доказать, что полином
не имеет кратных корней.
666. Доказать, что для того чтобы х0 было корнем
кратности k числителя дробной рациональной функции
f(x)= Г\ , знаменатель которой w (х) не обращается в О
при х = х0, необходимо и достаточно, чтобы
f(xo)=f (*,)-... =/<*-*> (*,) = 0, /* (*,)#0.
566. Доказать, что дробная рациональная функция
/(#) =^-— может быть представлена в виде
где F(x)—полином. Предполагается, что w (хо)фО (формула
Тейлора для дробной рациональной функции).
*567. Доказать, что если х0 есть корень кратности k
для полинома f1(x)f'i{x)—/,(*)/|(л;), то х0 будет корнем
кратности А+ 1 для полинома Д (x)/t (хй)—/г (х)^ (х0), если
этот последний не равен нулю тождественно, и обратно.
*568. Доказать, что если f(x) не имеет кратных корней,
то [/' (х)]г—/(х)/в(х) не имеет корней кратности выше
п—1, где п — степень f(x).
*569. Построить полином f(x) степени л, для которого
[/' (•*)]*—f(x)f(x) имеет корень л:0 кратности л—1, не
являющийся корнем f(x).
§ 2. Доказательство основной теоремы высшей
алгебры и смежные вопросы
670. Определить 6 так, чтобы при |л:| <6 полином
*4* + 2
был меньше 0,1 по модулю.
57Ь Определить 6 так, чтобы \/(х)—/B)|<0,01 при
всех х, удовлетворяющих неравенству |jc — 2|<6; /(#) =
*З3 + 4 5
86

672. Определить М так, чтобы при |л;|>.М
\х*—4х3 + 4лг* + 2 j > 100.
673. Найти х так, чтобы \/{х) | < |/@) |, где!
) ) b 3i* 4 Ъ ()iS!>4
a) f(x) = xb — 3ix* + 4; Ъ)
S74. Найти х так, чтобы |/(*)| < |/A) |, где:
a)
Ъ)
с)
576. Доказать, что если г—i = a{\—/), 0<а<у, то
где
/(*) = A+/) г* + C-5/) z*-(
—7 A — /)z* + 2 (I + 3i)z-f4—/.
*576. Доказать, что если f(z)— полином, отличный от
постоянной, то в сколь угодно малой окрестности zt можно
найти zt так, что |/(^)|> \f(zo)\.
677. Доказать лемму Даламбера для дробной рациональ-
рациональной функции.
578. Доказать, что модуль дробной рациональной функ-
функции достигает своей точной нижней границы при изменении
независимой переменной в замкнутой прямоугольной области.
. 579. Очевидно, что теорема о существовании корня не-
неверна для дробной рациональной функции. Так, функция
— не имеет пи одного корня. Что препятствует «доказатель-
«доказательству» теоремы по той же схеме, как для полинома?
*580. Пусть f(x) — полином или дробная рациональная
функция. Доказать, что если а является корнем f(z)—/(а)
кратности k и f(a) Ф0, то при достаточно малом р на
окружности \z—а | = р найдется 2k точек, в которых
*581.'Доказать, что если а является корнем/(г)—/(а)
кратности k, то при достаточно малом р на окружности
\z—а| = р найдется 2k точек, в которых Re (f(z)) — Re (/(a)),
и 2k точек, в которых Im (f(z)) — Im (/(а)). Здесь f(z)—по-
f(z)—полином или дробная рациональная функция.
87

§ 3. Разложение на линейные множители.
Разложение на неприводимые множители
в поле вещественных чисел. Соотношения
между коэффициентами и корнями
682. Разложить на линейные множители полиномы:
а) х3—6х* + \1х—6; b) *4-f4? с) х*+ 4х3 + 4х2 + \;
d) х*—10**+ 1.
*583. Разложить на линейные множители полиномы:
a) cos (лаге cos ж);
b) (х + cos 9 +i sin 9)" + (х + cos Э — / sin 9)n;
584. Разложить на неприводимые вещественные множи-
множители полиномы;
а) х* + 4; Ъ) хв+27; с) ж4 + 4*3-f 4*2 + 1;
d) хгп — 2хп + 2; е) ж4 — ах*+\, — 2 < а < 2;
f) xin + xn + \.
685. Построить полиномы наименьшей степени по данным
корням:
a) двойной корень 1, простые 2, 3 и l+i;
b) тройной корень — 1, простые 3 н 4;
c) двойной корень i, простой —1 —/.
686. Найти полином наименьшей степени, корнями ко-
которого являются все корни из 1, степени которых не пре-
превосходят п.
687. Построить полином наименьшей степени с вещест-
вещественными коэффициентами по данным корням:
a) двойной корень 1, простые 2, 3 и 1-f-/;
b) тройной корень 2 — 3/;
c) двойной корень i, простой —1 —/.
688. Найти наибольший общий делитель полиномов:
a) (ж— \)Цх + 2Г(х — 3)(ж — 4) и (х— IJ (x + 2) (x-j-5);
b) {х —1)(*2 — \)(х3— l)(xi— 1) и
(*+l)(*2 + l)(*3 + l)(*'+l);
с.)-(аг3 —1)(л-а—2аг + 1) и (х2—\)\
*589. Найти наибольший общий делитель полиномов
хт — \ и хп — 1.
88

590. Найти наибольший общий делитель полиномов
хт-\-ат и х"-\-ап.
591. Найти наибольший общий делитель полинома и его
производной:
b) /(*) = (* — \)(х* — 1)(х»_1)(Х«—1);
c) f(x) = xm+n—xm—x"+ 1.
692. Полином /(х) не имеет кратных корней. Доказать,
что если х0 есть корень кратности k > 1 для уравнения
0, то уравнение /^-^|-J=0 имеет х0 корнем
кратности k—1.
Предполагается, что (o), @)
693. Доказать, что x3m-{-x3n+1-{-x3P+i делится ня
694. Когда хзт—хзп+1 + х3Р+г делится на х*—х+1?
595. При каком условии х3т-}-хзп+1-{-х3Р+г делится на
596. При каком условии хгт -\-хт-\-\ делится на
597. Доказать, что
делится на xk~1-\-xk~i-\-...-\-1.
598. При каких значениях т (х + 1)т—хт — V делится
на х2 + х+1?
599. При каких значениях т (х -\-1)" + хт -\-1 делится
на *24-*Ч-1?
600. При каких значениях я» (х-\-\)т—хт — 1 делится
на (х* + х + 1У?
601. При каких значениях т (х-\- \)т-\-хт-\-1 делится
на (х* + х+\)*7
602. Могут ли полиномы (х-{-\)т'+хя-\-1 и (х+1)т —
— хт—1 делиться на (х* + х + \K?
603. Преобразовать полином
. х , x(x — l) ,wx(x—l) ... (х-я+1)
1-Т + ~Г2 ...+(—1) гтЕЗ •
придавая х последовательно значения 1, 2, ..., п. (Сравнить
с задачей 542.)
$04. При каких значениях я» Хп(хт) делится на Х„(х)?
(Х„—круговой полином.)

Доказать теоремы:.
605. Если f(x") делится на х—1, то делится и на *"—1.
606. Если f(x") делится на (х—а)*, то делится и на
(х"—а")* при афО.
607. Если F(x)=/1{xa) + xfI(x3) делится на х* + х + \,
то Л (*) и /«(¦*) делятся на х—1.
*6О8. Если полином / (х) с вещественными коэффициен-
коэффициентами удовлетворяет неравенству /(х)^0 при всех веще-
вещественных значениях я, то / (х) — [ф1 (х)]* -f- [q)s (х)]2, где ф1 (х)
и фг (д:)—полиномы с вещественными коэффициентами.
609. Полином f(x) = аохп + о^х" -f- ... + а„ имеет
корни хи ...,х„. Какие корни имеют полиномы:
a) а^—а^ + а^х»-*- ... +(-\)" ап;
b) anxn+an_1x"-1+...+a0;
й) аохп + a1bxn~1 + a^x"-* +.-..+ а„Ь"?
610. Найти соотношение между коэффициентами куби-
кубического урапнения х3 -\-рх*-\-дх-\-г — 0, при котором один
корень равен сумме двух других.
611. Проверить, что один из корней уравнения Збх3—г
— 12л;8—5дг -}-1 = 0 равен сумме двух других, и решить
уравнение.
612. Найти соотношение между коэффициентами урав-
уравнения четвертой степени xi-\-ax3-\-bxi^rcx-\-d = Q, при
котором сумма двух корней равна сумме двух других корней.
613. Доказать, что уравнение, удовлетворяющее условию
задачи 612, приводится к биквадратному подстановкой
х=у-{-а при надлежащем .выборе а.
614. Найти соотношение между коэффициентами урав-
уравнения 4-й степени х*-{-аха-\-Ьх2-\-сх + й = 0, при выпол-
выполнении которого произведение двух корней равно произведе-
произведению двух других корней.
616. Доказать, что уравнение, удовлетворяющее условию
задачи 614, решается посредством деления на х* и подста-
подстановкой _y=x-f—(при афО).
616. Решить уравнения:
a) х*—4х8+ 5х*— 2х—6 =0;
b) х* + 2х*+ 2хг + 10х + 25 = 0;
c) х* + 2х3+ Зх2+ 2х—3 =0;
d) х*+ х3— 10ха— 2Х + 4 =0,
используя задачи 612—615.
90

617. Определить к так, чтобы один из корней уравнения
х"—7х + Я, = 0 равнялся удвоенному другому.
618. Определить о, Ь, с так, чтобы они были корнями
уравнения
х%—ахг -f bx —с = 0.
619. Определить а, Ь, с так, чтобы они были корнями
ургвнения
х* + ахг + Ьх + с = 0.
620. Сумма двух корней уравнения
равна 1. Определить К:
621. Определить соотношение между коэффициентами
уравнения х3 -{-px-\-q = 0, прн выполнении которого х. —
622. Найти сумму квадратов корней полинома
*623. Решить уравнение
X" + a,*"-1 + агхп~* + ... + а„ = 0,
зная коэффициенты at и аг и зная, что корпи его образуют
арифметическую прогрессию.
624. Образуют ли корни уравнений:
а) 8х3 — 12л?—2* + 3 ==0;
. Ь) 2х* + 8х3 + 7х*^~2х—2 = 0
арифметические прогрессии?
625. Дана кривая
* + ал-
Найти прямую так, чтобы точки пересечения Ми Мг, М3, Mt
ее с кривой отсекали три равных отрезка: MlM2 = MtM3 —
«в M3Mt. При каком условии эта задача имеет решение?
*626. Составить уравнение 4-й степени, корнями которого
1 1
являются а, —, —а, .
*627. Составить уравнение 6-й степени, имеющее корни:
а
91

628. Пусть /(*) = (* —х,)(х —*t) ••• (*—*«)•
Найти /' (X;), /"(л*,) и доказать, что
df (*,-) _ 1 ... ,
629. Доказать,что если/(х1) =/" (xt) = 0, по/' (хх) ^=0, то
630. Корни полинома л"' + а1д:"~1-|- ... -faB образуют
арифметическую прогрессию. Определить /' (х,-).
§ 4. Алгорифм Евклида
631. Определить наибольший общий делитель полиномов:
a) х* + х3 — Зхг — 4х—\ и х3 + хг—х— 1;
b) д:6 + д:4 —д:3 —2д; —1 н Зд:4 -f 2д:3 + X2 -f 2дг — 2;
c) лгв — 7лг4 + 8лг3—7дг + 7 и Зд:6 — 7х3-|-Злг2—7;
d) л:6 — 2д:4 -f- лг3 -f- 7х2 — 12лг -f- 10
и Зд:4 — блг3 -h 5х2 + 2л: — 2;
e) хв-|-2д;4 — 4д;3 — Зх*-|-8л: — 5 и д;6-f хг — х-f 1;
f) л:6 + 3д-4 — 12jc3—52д;2 — 52д;—12 и
х* _|_ Зд:3 — бд;2 — 22д: — 12;
g) л:6 + д-4 —д-3—Зд;2 —Зд-—1
и д-4 — 2д;3 — хг — 2*+1;
h) л:4—10д-2 + 1 и д;4—4]/2 д;3 + бд:2 + 4^2 д; + 1;
i) jc4 + 7дг3 -(- 19л:2 + 23л: + 10
и л:4 -f- 7лг3 -[- 18х2 + 22л: + 12;
j) л:4 — 4л;3+ 1 и х3 — Злг2 -f- 1;
к) 2д-«—5хь — 14д;4 + 36д:3 + 86д;2 + 12л;—31 и
2д-6 — 9л-4 + 2л;3 + 37л;2 -f 1 Ох — 14;
1) 3xe—хъ—9л;4— 14л-3—11л:2 — Зх — 1 и
Зх6 -(- 8л:4 + 9л-3-f 15л:2 +\0х + 9.
632. Пользуясь алгорифмом Евклида, подобрать полиномы
Л1, (л:) и М2 (х) так, чтобы /t (л;) Мг (х) +/, (х) Aft (х) = б (х),
где б (л;) — наибольший общий делитель fl(x) и /2(д:):
a) Л(д:) = д:4 + 2л;3 —х2 —4л; —2,
/2 (л:) = д-4 + д-3—л;2 — 2л;—2;
b) /1(х) = хь + Зх*+х3 + 1
92

c) Д (х) = х*—4хъ + 11л:4 —27л:3 + 37л-8—35л: + 35,
Д (х) = хъ—Зх* + 7л-3—20л-4 + Юл:—25;
d) Д (л-) = Зл:7 + 6л-»—Зл:6 + 4х4 + 14л-3—блг»—4х + 4,
Д (*) = Зд:"—Зх* + 7 ха—6л- -|- 2;
e) Л (*) = Зд:6 + 5л4 — 16лг3—6д:а—?дг—6,
Д (л:) = Зл-4 —4л:3—л:2—л —2;
f) /,(д:) = 4л:4 —2л:3 —16хг + 5
Д (д:) = 2л-3—хг—5х + 4.
633. Пользуясь алгорифмом Евклида, подобрать полиномы
^Jf) и М2(х), так, чтобы Д (jc) Af,(*)+/, (*)Af1 (jc) = 1:
a) Д(х) = 3лг» — 2х2 + х + 2, Д (jc) = jc*—Jt
b) /1(x) = x* — x3 — ixi-\-ix + \, Д(л-) = л-а
c) Д(л-) = д:6—5л-4—2jc3+12л-2—2*4-12,
Д (л-) = л:3 — 5л:2 — Зл: + 17;
d) Д (*)=-- 2х* + Зх3 — Зх2—5х + 2,
f
e) Л U) = Зл-4 — 5д:3 + 4л2 — 2х -f 1,
Д(*)=.3> —2xf + jc —1;
f) Л (*) = хъ + 5х* + 9х3 + 7х2 + 5х + 3,
634. Способом неопределенных коэффициентов подобрать
Af^jc) и М2(х) так, чтобы ft(x) M2(x)+ft(x) М1(х) = \:
а) Д(*) = *4-4л-3 + 1, /t(jc) = jc»-3x« + l;
Ь)Д(х) = *», Д(л-) = A-л-J;
.с) Д (*) = *«, Д(л-) = A-л-)*.
635. Подобрать полиномы наименьшей степени А1Х (х),
Af2 (x) так, чтобы
a) (л4 — 2л-3
+ (*3—-5*—3) Af2 (x) = л:4;
b) (д:4 21Ж)
636. Определить полином наименьшей степени, дающий
в остатке:
a) 2л1 прн делении на (х — IJ и Зх при делении на
(Л--2K;
b) л-в + л1 + 1 при делении на х1 — 2л-3—2xa +
и 2л-2 —3 при делении на #4—2лг3—Зд:2 + 13лг —10.
93

*637. Найти полиномы М(х) и N(x) так, чтобы
хт М (х) + A — *)" N (х) = 1.
638. Пусть /1(x)M(x)+/2(x)N(x) = 8(x), где 6(х) —
наибольший общий Целитель ft (x) и /2 (л;). Чему равен
наибольший общий делитель М(х) и N(x)?
639. Отделить кратные множители полиномов:
a) х<—б*4 —+
b) х*—\Ох3—20х*—\5х—4;
c) л;» — 15л4 + 8л:3 + 51л:а — 72л:+ 27;
d) д:» — 6д:4 + 16х3 — 24х2 + 20х—8;
e) д;в—2л:6 — л4—2д;3 + 5л;8 + 4* + 4;
f) л:?—Зв 5558
g) л
§ 5. Интерполяционная задача н дробная
рациональная функция
640. Пользуясь способом Ньютона, построить полином
наименьшей степени по данной таблице значений;
I
x [01234 .. x
/Mjl 23 46 ; D' Щ
—10 12 3
б 5 0 $ 2 ;
x
c) -
1 4 4 4 ч ,,„. J4 x 112 3 4
з—г• найти ^<2); d) /wise i-4ifl '
2 2
641. Построить полином по заданной таблице значений,
пользуясь формулой Лагранжа:
а> *И 234. ы x\l I -1 -I
> у\2 1 4 3 ' ' у\\ 2 3 4 *
*642. Найти /(х) по таблице значений!
2 3
643. Полином /(*), степень которого не превосходит
п—1, принимает значения ylt уг, .,., уп в корнях л-Й ст*»
пени из 1. Найти /@).
*644. Доказать теорему: для того чтобы
/(*) =~ if (*х) +/(*,)+ • • •
94

для любого полинома /(*), степень которого не превосходит
п — 1, необходимо и достаточно, чтобы точки xit xt, ..,, хп
были расположены на окружности с центром в х0 и делили ее
на равные части.
*645. Доказать, что если корни л^, л:2, ... , хп полинома
Ф (х) все различны, то
тег пр"
646. Найти сумму /, т' 1*л (обозначения такие же, как
и в задаче 645).
647. Вывести интерполяционную формулу Лагранжа по-
посредством решения "системы уравнений:
*648. Построить полином наименьшей степени по таб-
таблице значений
х|0 1 2 ... я
у | 1 2 4 ... 2»"
*649. Построить полином наименьшей степени по таб-
таблице значений
х|0 12 ... п
у\1 а а8 ... я"'
*650. Найти полином степени 2л, дающий при делении
на х (х—2)...(х—2л) в остатке 1, а при делении на
{х—\)(х—3)... [jc— Bл — 1)] в остатке —1.
*65I. Построить полином наименьшей степени по таб-
таблице значений
х|1 2 3 ... я
_L-L -L '
2 3 "¦ я
*652. Найти полином не выше (л — 1)-й степени, удов-
удовлетворяющий условию /(*)=—— в точках хи х2, ..., х„,
/=1, 2 п.
95

*658. Доказать, что полином степени k^n, принимаю-
принимающий целые значения при л+1 последовательных целых
значениях независимой переменной, принимает целые значения
при всех целых значениях независимой переменной.
*654. Доказать, что полином степени п, принимающий
целые значения при х = 0, 1, 4, 9, . .. , л2, принимает целые
значения при всех квадратах натуральных чисел.
*655. Разложить на простейшие дроби первого вида:
1
(х~ 1)(х—2)(х— 3)(*—4) '
1
х(х— 1)(х— 2)...(*— п) '
cos(narc.cos*) "
*6б6. Разложить на вещественные простейшие дроби
первого и второго вида:
*657. Разложить на простейшие дроби нервого вида:
5дгг+6х-2Э
где /(х) = (х—х1)(х—хг)...(х—хп)—полином, не имею-
имеющий кратных корней, и g(x)—полином, степень которого
меньше 2л.
96

668. Разложить на вещественные простейшие дроби пер-
первого и второго вида:
у 9v 1
669. Пусть q(x) = (x—xj (х—хг)...(х—хп).
Выразить через <f(x) суммы:
а) У^^; Ь) У—KJ—; с) У . ' .
*660. Вычислить следующие суммы, зная, что дг,, х2, ...
суть корни полинома <р (х):
а> 2-х, + 2-х, + 2-х3 ' Ф1*»-* ох '•
.. I .1 . I
' х\-Зх1+2 + х\-Ъхг-\-2 + х2-3Лз+2 '
661. Определить полином первой степени, приближенно
принимающий таблицу значений
х\ 0 12 3 4
i/|2,l 2,5 3,0 3,6 4,1 '
так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей.
• 662. Определить полином второй степени, приближенно
принимающий таблицу значений
jc|O 1 2 3 4
у\ 1 1,4 2 2,7 3,6 '
так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей.
§ 6. Рациональные корни полиномов. Приводимость
и неприводимость в поле рациональных чисел
663. Доказать, что если ¦?¦ — несократимая рациональная
дробь, являющаяся корнем полинома f(x) — atxn-{-alxn~'l-\-
-)-...-]-а„ с целыми коэффициентами, то:
1) q есть делитель а0;
2) р есть делитель ая;
4 Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский . 97

8) p—mq есть делитель /(/») при любом целом т.
В частности, р—q есть делитель f(l),p+q—делитель/(—1).
664. Найти рациональные корни полиномов:
9) лг«—6at84-15a:—14; b) х*—2х* — 8х* + 18*—24;
С) *»—7лг3 — 12*8 + 6л: + 36;
d) 6л:* + 19л;8 —7л:2—26л:+ 12;
e) 24л:*—42х8—77л-4 + 56л: + 60;
f) xi —2** —4л;3 + 4л-2—5л- + 6;
g) 24л:5+ 1 Ох4 —л:3 — 19ха —5л:+ 6;
h) Юл* —18jc8 + 15x*—18л:—24;
I) *4 + 2*3 — 13х2 — 38л-—24;
k) 2x8 + 3*s + 6a;—4; 1) 4л:4—7л:8 —5* —1;
т) х* + 4х*—2х*—\2х + 9;
п) х* + х*—бдг»—14л:8—Их—8;
о) х*—
*665. Доказать, что полином /(jc) с целыми коэффици-
коэффициентами не имеет целых корней, если /@) и /A) — нечетные
числа.
*666. Доказать, что если полиноме целыми коэффициен-
коэффициентами принимает значения ± 1 при двух целых значениях л^
н хг независимой переменной, то он не имеет рациональных
корйей, если \хг—л:2|>2. Если же \хг—*2|^2, то ра-
рациональным корнем может быть только -я- (xt-\-xt).
*667. Доказать неприводимость полиномоз, пользуясь
признаком Эйзенштейна:
a) ж4—8х*+\2х*—6* + 2;
b) jcs— \2х3 + д6х —12; с) х4—х*
*668. Доказать неприводимость полинома
хр j
Хр (х) а» ¦ _ • , р—простое число.
*669. Доказать неприводимость полинома
х*к -1
Хръ{х)=—г , р—простое число.
х" '-1
*670. Доказать, что полином /(х) = сод;в4-в1х"~1+ ...
...-{-ап с целыми коэффициентами, не имеющий рациональных
корней, неприводим, если существует такое простое число р,
что а0 не делится на р, с2, а8, ... , ап делятся на р и с„
не делится на р2.
98

*671. Пусть f(x)—полином с целыми коэффициентами,
для которого существует такое простое число р, что а0 не
делится на р, аА+1, аА+2, ..., ап делятся на р и ап не
делится на р2. Доказать, что тогда /(*•) имеет неприводи-
неприводимый множитель степени ^ п—k.
672. Методом разложения на множители значений поли-
полинома при целых значениях переменной разложить на мно-
множители полиномы или доказать их неприводимость:
a) xi — Зх2 + 1; Ь) х* + 5х3 — Зха — Здг+1;
с) х* + 3х3 — 2хг — 2х+\; й) х*—х3 — З
673. Доказать, что полином третьей степени неприводим,-
если он не имеет рациональных корней.
674. Доказать, что полином четвертой степени x*-j-ax3-\-
-\-bx2 -\-cx-\-d с целыми коэффициентами неприводим, если
он не имеет целых корней и не делится ни на один из по-
полиномов вида
» , cm —am2 ,
где т—делители числа d. Полиномы с дробными коэффи-
коэффициентами можно не принимать во внимание. Исключение
могут представить полиномы, «сходные с возвратными»
(задачи 614—615).
676. Доказать, что полином пятой степени x6-f-cjc4+
-\-bx3-+сх*-\-йх-\-е с целыми коэффициентами неприводим,
если он не имеет целых корней и не делится ни на один
из полиномов с целыми коэффициентами вида
где т—делитель- е, п = — .
676. Разложить на множители полиномы или доказать
их неприводимость, пользуясь задачами 674, 675:
а) х1—Зх3 + 2х2 + 3х — 9; Ь) х* —
c) х* + 4х3 — б*2 — 23х—12;
d) xi + xi—4 9
677. Найти необходимые и достаточные условия приво-
приводимости полинома x*-\-px2-\-q с рациональными (быть может
дробными) коэффициентами.
4* ' 99

678. Доказать, что для приводимости полинома четвертой
степени, не имеющего рациональных корней, необходимо
(но не достаточно) существование рационального корня ку-
кубического уравнения, получающегося при решении по спо-
способу Феррари.
*679. Доказать неприводимость полинома f(x) = (x — at)x
Х{х—а2).. .(х — ап) — 1; alt а2, ... а„—различные между со-
собой целые числа.
*680. Доказать неприводимость полинома/(*)=(.*—а^Х
X (х—аг)...(х — а„) + 1 при различных между собой целых
аи с2, ..., с„ за исключениями
(х—а)(х—аг-\)(х—а—2)(х—а — 3) + \ =
= [(*—a —1)(jc—а —2) —I]2
и
(х—а)(х — а — 2) + 1 = (х — а — I)8.
*681. Доказать, что если полином л-й степени с.целыми
коэффициентами принимает значения ± 1 более чем при 2/я
целых значениях переменной (п = 2т или 2т-\-1), то он
неприводим.
*682. Доказать неприводимость полинома
если alt аг, ..., ап—различные между собой целые
числа.
*683. Доказать, что полином f(x) с целыми коэффициен-
коэффициентами, принимающий значение + 1 более чем при трех целых
значениях независимой переменной, не может принимать
значение —1 при целых значениях независимой пере-
переменной.
*684. Доказать, что полином л-й степени с целыми коэф-
коэффициентами, принимающий значения ± 1 более чем при у
целых значениях независимой переменной, неприводим при
л>12.
*68б. Доказать, что если no.iHHOiM с целыми коэффици-
коэффициентами axi-}-bx+l неприводим, то ненриводим и полином
«[ф(*)]2 + *ф(*) + 1, где <?(x) = (x — ai)(x—at)...(x—an)
при л ^7. Здесь аъ аг ап — целые, различные между
собой числа.
100

§ 7. Границы корней полинома
686. Доказать, что корни полинома eoje"-j-c1jen~1+• • •
. . . -f- an с вещественными или комплексными коэффициен-
коэффициентами не превосходят по модулю:
a) 1 -(-max
b) p-(-max
, k=\, 2, ..., я;
«к
«oP
,*-!
k — 1, 2, ..., n, p—любое положительное число;
с) 2 max у
"о
, A=l, 2, ..., л;
ао
-(-max
У
A=l, 2, ..., й.
687. Доказать, что модули корней полинома aoxn-j-
-|-а1;е"~1-{"•••-j~fln не превосходят единственного положи-
положительного корня уравнения Ьохп—й,дс"~1—*2л"~2—...—Ьи,
где 0<*..<|в0|, ^а > | eK j, Ьг>\а2\, ..., Ьп>\ап\.
688. Доказать, что модули корней полинома f(x) =
-\-arx"~r-\-... -\-ат агф0, не превосходят:
max
ь)
max
= г,
., л;
: = /•, ..., л, р — любое положительное число;
к-г
с)
п.
689. Доказать, что вещественные кйрни полинома с ве-
вещественными коэффициентами не превосходят единственного
неотрицательного корня полинома, который получается из
данного выбрасыванием всех членов, кроме старшего, ко-
коэффициенты при которых имеют знак, совпадающий со зна-
знаком старшего коэффициента.
Доказать теоремы:
690. Вещественные корни полинома аох"-\-а^"'1 +...
...-\-ап с вещественными коэффициентами (при а0 > 0) не
превосходят:
101

a) 1 + l/max — I, где г—номер первого отрицател'ь-
' I а0 1
ного коэффициента, ак—отрицательные коэффициенты по-
полинома;
max
, г—номер первого отрицатель-
отрицательного коэффициента, ak—отрицательные коэффициенты,
р—любое положительное число;
c) 2 max у -¦¦|*' , аА—отрицательные коэффициенты
полинома;
d) т/-^! + тах
г — номер первого отри-
г
дательного коэффициента, ак—отрицательные коэффи-
коэффициенты.
691. Если все коэффициенты полинома f(x) неотрица-
неотрицательны, то полином не имеет положительных корней.
692. Если /(а) > 0, /'{а) > 0, ...,/(п)(а)> 0, то все
вещественные корни полинома не превосходят а.
693. Ограничить сверху и снизу вещественные корни
полиномов:
а) х*—4х* + 7х*—8* + 3; Ъ) хь + 7х3—3;
с) л' —108л6—445л8 + 900л:2+ 801;
d)
§ 8. Теорема Штурма
694. Составить полиномы Штурма и отделить корни по-
полиномов:
a) x3—3jc—1; b) xs + x*—2x—1;
с) Xs—7* + 7; d) *s—x + 5; e) х' + Зл—5.
695. Составить полиномы Штурма и отделить корни
полиномов:
а) х* — \2хг —16* — 4; Ь) х* — х — \;
с) 2л:4—8л;3 + 8л2—1; d) л:1-г-д:2—1;
е) л:4 + 4л-3— 12л: + 9.
102

696. Составить полиномы Штурма и отделить корни по-
полиномов:
а) х*—2х9—4ха + 5* + 5} Ъ) х*—
с) х*—2х*—Зх*+2х + 1; й) х*—
е) х1—4х3—
697. Составить ряд Штурма и отделить корни поли-
полиномов:
а) х1—2х*—7х* + Ъх + \\ Ъ) *«—
с) х1—х3—х2—х + \; й) х*—4*э + 8д:а— 12*+ 8;
е) *«—*»—2*-fl.
698. Составить ряд Штурма и отделить корни полино-
полиномов:
а) х*—6хг—4x-j-2; Ь) 4** — \2хг + 8х— 1;
с) 3**+12*3 + 9л:«—1; d) x*—Xs—4x« + 4* + lj
е) 9*4—126*»—252л:—140.
699. Составить ряд Штурма и отделить корни полиномов:
a) 2х*—
b) х<—3**—Зх*+\\хя—3*»—Зл + 1;
c) хъ + х*—4*3—3*а + 3* + 1; d) *5—5**—
700. Составить ряд Штурма, используя право делить
функции Штурма на положительные величины, и отделить
корни полиномов:
а) х* + 4хг— 1; b) x*—
c) х*—2*3 + 2л2—6*+1;
d) x« + 5**+10**—5*—3.
701. Пользуясь теоремой Штурма, определить число
вещественных корней уравнения х3 + рх + q = 0 при вещест-
вещественных р и q.
*702. Определить число вещественных корней уравнения
703. Определить число вещественных корней уравнения
х6—5ах3 + 5агх + 2Ь = 0.
704. Доказать, что если ряд Штурма содержит полиномы
всех степеней от нулевой до я-й, то число перемен знака
в ряду старших коэффициентов полиномов Штурма равно
103

числу пар сопряженных комплексных корней исходного по-
полинома.
705. Доказать, что если полиномы f(x), /, (х), /2 (я), ...
• •' • i /* (¦*) обладают свойствами:
1) f(x)fi(x) меняет знак с плюса на минус при переходе
через корень f(x);
2) два рядом стоящих полинома не обращаются в нуль
одновременно;
3) если Л(*о) = О, то /х-1 (х0) и Д+1 (х0) имеют проти-
противоположные знаки;
4) последний полином /к (x) не меняет знака в интервале
(а, Ь),— то число корней полинома f(x) в интервале (о, Ь)
равно приращению числа перемен знака в ряду значений
полиномов /, /lf ..., fk при переходе от а к ft.
706. Пусть хв—вещественный корень /' (х):
/г(х) есть остаток при делении /(х) на Д(л), взятый
с обратным знаком; /3(х) — остаток при делении Д (х) на
Д(лг), взятый с обратным знаком, и т.д. Предполагается,
что f(x) не имеет кратных корней. Связать число вещест-
вещественных корней f(x) с числом перемен знака в ряду значе-
значений построенных полиномов при х= —оо, х. = хй к х= -j-oo.
*707. Построить ряд Штурма для полиномов Эрмита
и определить число вещественных корней.
*708. Определить число вещественных корней полиномов
Лагерра
р , .v , .>„ xdn(e~xxn)
п dxn
Определить число вещественных корней полиномов:
*709. Е„(х) = \ +4-+?i+..: +4т-.
*710. Рп (X) = (-1)"*1*1»*'*^"^* '
104

*7I3. Пусть f(x)— полином третьей степени, не имею-
имеющий кратных корней. Показать, что полином F(x) —
= 2/(л:)/*(х) — [/'(я)]2 имеет два и только два веществен-
вещественных корня. Исследовать случаи, когда f(x) имеет двойной
или тройной корень.
714. Доказать, что если все корнн полинома f(x) ве-
вещественны и различны, то все корни каждого из полиномов
ряда Штурма, составленного посредством алгорифма Евклида,
вещественные и различные.
§ 9. Различные теоремы о распределении корней
полинома
Доказать следующие теоремы:
715. Все корни полинома Лежандра Рп(х)= ~
вещественны, различны и заключены в интервале (— 1, +!)•
716. Если все корни полинома f(x) вещественны, то все
корни полинома К/(х) -\- f (x) вещественны прн любом ве-
вещественном X.
*717. Если все корни полино'ма f(x) вещественны и все
корни полинома g(x)=al)xn -f а^хп~г -f- • •. +ап вещественны,
то все корни полинома
F (х) = aj (х) + п1/'(х)+..ш+ aj™ (x)
'вещественны.
*718. Если все корни полинома f(x) = aexn-{-alxn-1-{-
+ ...-1-^ вещественны, то все корни полинома
aaxn-sralmxn~1-\-atm{m— 1) xn~iJr ...
...+а„т(т—\) ... (т—п + \)
вещественны при любом целом положительном т.
¦719. Если все корни полинома / (х) = а'1)хп-{-а1хп~1-\-
-)-••.+«« вещественны, то все корни полинома
О (х) = аах» + Cfax"-! + С*па.гх»-* +...+аа
вещественны.
720. Доказать вещественность всех корней полинома
105

,*721. Определить число вещественных корней полинома
пхп—хп~1—ха~*—...— 1.
722. Определить число вещественных корней полинома
»+' + ..,+ JC2"*+' •-)- а.
723. Определить число вещественных корней полинома
/(*)=(*— а)(х—Ь)(х—с)—А'(х—а)—ВЦх—Ь)—О{х—с)
при вещественных а, Ь, с, А, В, С.
724. Доказать, что
не имеет мнимых корней при вещественных а1} аг, ..., аа,
Доказать следующие теоремы:
72Б. Если полином f(x) имеет вещественные различные
корни, то [/' (х)]%—f{x)f (x) не имеет вещественных корней.
726. Если корни полиномов f(x) и ф (дг) все веществен-
вещественные, простые и разделяются, т. е. между любыми двумя
корнями f(x) есть корень (f(x) и между любыми двумя
корнями <р(х) есть корень /(х), то все корни уравнения
Я/(д:)-f-М-ф(лг)-«О вещественны при любых вещественных
Яиц.
*727. Если все корни полиномов F (х) = к/(х)-{-\i(p (x)
вещественны при любых вещественных К и ц, то корни
полиномов /(¦%) и <р(х) разделяются.
*728. Если /'(х) имеет все корни вещественные и раз-
различные и f(x) не имеет кратных корней, то число вещест-
вещественных корней полинома [/'(я)]2—f(x)f"(x) равно числу
мнимых корней полинома f(x).
*729. Если корни полиномов /1 (х) и /2 (х) все вещест-
вещественные и рааделяются, то корни их производных разделяются.
*730. Если все корни полинома f{x) вещественны, то
все корни полинома F{x) — yf(x) + (k-\-x)f'(x) веществен-
вещественны при Y > 0 или У < —п и ПРИ любом вещественном X.
*781. Если полином
= а, + агх + ... + а„хп
имеет только вещественные корни, а полином
106

имеет вещественные корни, не содержащиеся в интервале
(О, п), то все корни полинома
а„Ф @) + о^ф A) х + я2ф B) хг + ... + а„ср (л) хп
вещественны.
*732. Если все__ корни полинома f (х) = а0-{-atx-{-.,.
... -\-апхп вещественны, то все корни полинома ао-\-а1ух-{-
+«ibY(Y—l)^2+---+anY(Y—1)---(Y—n+\)xn вещест-
вещественны при у > я — 1-
*733. Если все корни полинома / (х) = а9 + atx -\- ...
...-)- апхп вещественны, то вещественны все корни поли-
полинома
при у > п—1, а > 0.
*734. Если все корни полинома f(x) = a9-\-alx-\- ...
...-j-anjt" вещественны, то все корни полинома
ав + axwx -f- a%w*x% + ... + anwn*xn
вещественны при 0<'Ш^1.
*735. Если все корни полинома а0 + atx + «г** + • • •
вещественны и одного знака, то все корни полинома а0 cos q+
+at cos (ф + 8) x + a2 cos (ф 4- 26) я2 4- . • • 4-впс08(ф4-л6) хп
вещественны.
*736. Если все корни полинома
(а, 4- ih) 4- (аг + 1ЪХ) х+...+(аа + ibn)xn
лежат в верхней полуплоскости, то все корни полиномов
«о + aix +-.. + <*„*" и
вещественны и разделяются (числа а„, аи ..., а„, Ьо,
Ьи ...,Ь„ вещественны).
*737. Если все корни полиномов ф (х) и ч|з (х) вещест-
вещественны и разделяются, то мнимые части корней (р(х) 4- Л|> (х)
имеют одинаковые знаки.
*738. Если все корни полинома f (х) лежат в верхней
полуплоскости, то и все корни его производной находятся
в верхней полуплоскости.
*739. Если все корни полинома / (х) расположены в не-
некоторой полуплоскости, то все корни производной располо-
расположены в той же полуплоскости.
107

"?740. Корни-производной полинома f(x) заключены внутри
любого выпуклого контура, содержащего внутри себя все
корни полинома f(x).
*741. Если /(а*)—полином степени я с вещественными
корнями, то все корни уравнения [/(л)]2 + А2 [/'(jc)]2 = O
имеют мнимую часть, меньшую kn по абсолютной величине.
742. Если все корни полиномов f(x)— а и f(x) — b ве-
вещественны, то все корни полинома f(x)—Я вещественны,
если А. заключено между в и ft.
*743. Для того чтобы вещественные части всех корней
полинома х"-j-a^"'1 +... -\-а„ с вещественными коэффи-
коэффициентами были одного знака, необходимо и достаточно,
чтобы кории полиномов
хп—агх"-* + алх"-*—...
и
а1х"-1 — а3х"-3+ ...
были все вещественны и разделялись.
*744. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы вещественные части всех корней уравнения
х3 + ахг + Ьх-\- с = 0 с вещественными коэффициентами были
отрицательными.
*745. Найтн необходимые и достаточные условия для от-
отрицательности вещественных частей всех корней уравнения
х* + ох* 4" Ьх* 4-сх 4- 4 = О С вещественными коэффициентами.
*746. Найти необходимые и достаточные условия для
того, чтобы все корни уравнения с вещественными коэффи-
коэффициентами Xs 4- ох2 4- Ьх + с = 0 не превосходили по модулю
единицы.
*747. Доказать, что если а0^ ах ^ аг^. . .^ ап~^ О,
то все корни полинома f{x) — aoxn-\-a1xn~l-\-...-\-an не
превосходят но модулю единицы.
§ 10. Приближенное вычисление корней полинома
748. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения
х8—Зле*—13л:—7 = 0, содержащийся в промежутке
(-1,0).
749. Вычислить с точностью до 0,000001 вещественный
корень уравнения х3—2х—5 = 0.
760. Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные
корни уравнений:
a) *3 —10*—5 = 0; Ь) л:84-2л:—30 = 0;
с) л8—Зд:2—4л: 4-1=0; d) л:3—Зл:4—л: 4-2 = 0.
10»

751. Полусферу радиуса 1 разделить на две равновели-
равновеликие части плоскостью, параллельной основанию.
752. Вычислить с точностью до 0,0001 положительный
корень уравнения я3—Ьх — 3 = 0.
753. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения:
a) л:4 + Зл:3—9л:—9 = 0, содержащийся в промежутке
A, 2);
b) х*—4л:3 + 4л:2—4 = 0, содержащийся в промежутке
(-1, 0);
c) д:4 -f- 3jc* -f- 4л:2 -f-jc—3 = 0, содержащийся в проме-
промежутке @, 1);
d) x* — 10лг2— 16лг-)-5 = 0, содержащийся в промежутке
@, 1);
e) х1—х3—9дг2 -J- Юд: —10 = 0, содержащийся в проме-
промежутке (—4, —3);
f) х*—6jc24-12jc—8 = 0, содержащийся в промежутке
A, 2);
g) я*—Злг24-4х_3 = 0, содержащийся в промежутке
(-3, -2);
h) х*—х3—7л;2—8л:—6 = 0, содержащийся в проме-
промежутке C, 4).
i) л:4—Злг' + Зл;2—2 = 0, содержащийся в промежутке
A,2).
754. Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные
корни уравнений:
a) л:1 + Зх3 — 4л; — 1 = 0;
b) л^-ЬЗл:8—л:*—Зл: + 1=0;
c) л:4—6л:3 + 13л:2 — 10л: + 1 =0;
d) л:4 —8л:3 —2л:2 + 16л;—3 = 0;
e) л;4—5л:3 + 9л:г—5л: —1=0;
f) л;1—2л:3—6л-2 + 4л:+ 4 = 0;
g) л:4 + 2л:8 + Зл:2-f 2л: — 2 = 0; •
h) л:4 + 4л:8—4л;2 —16л:—8 = 0.

ГЛАВА 6
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Выражение симметрических функций
через основные. Вычислен пе симметрических функций
от корней алгебраического уравнения
755. Выразить через основные симметрические полиномы:
a)
Ъ)
«) +i + flfl
d) *•*;+x\x\+x\x\+xfx*+***| + xlxi;
e) ( ( )( )
g) Bxi—xt—x3) Bхг—х±—х3) Bxa—xi—xi);
h) {xi—xi)i(x1—x3)i(xt—jc3)i.
756. Выразить через основные симметрические полиномы:
(! , 1 8
Ь) (JcxJca + xaxt) (xtx9 + дгадг4) (*!*, -f *2jc8);
С) (jCj+JC, — JC, — Xt){Xt — Хь + Х9 — Xt)(Xi—X%—X3+Xt).
757. Выразить через основные симметрические полиномы
моногенные полиномы:
a) *!+..•; в) х\х\х3 + ...; п) дг?дг2дг3дг4 + . ..;
b) xl+ ...; h) х\хгх3 +...; о) х\х*х3+ ...;
c) х1х,х3+ ...; i) x\xl+ ...; . р) *?*!+ ...;
d) л|д:1+...; j) *}*„+..:; Q) x$xtxa+...;
e) *}*,+ ...; k)jcf+...; г) ле}* J + ...;
f) *! + ...; 1) *!*l-«8-«4 + • • •; s) *?*2 +...;
m) x\xlx\+...i t) xl+...
110

768. Выразить через основные симметрические полиномы:
Ь) (—
759. Выразить через основные симметрические полиномы:
а) 2 (*<-**)•; ь) 2 (*/
с) 2 to-**I; d) S
760. Выразить через основные симметрические полиномы
моногенный полином
761. Выразить через основные симметрические полиномы
2 («4*1, + atxti + ...
Сумма распространена на все возможные перестановки
*!, / , /„ номеров 1, 2, .... я.
762. Выразить через основные симметрические полиномы:
763. Выразить через основные симметрические полииомы:
. Х\Хг . XiX$ . XjXt .
' JC3JC4 "^ х4дс4 "^ Jc8xs
Ы ^+X8 I ^1 + ^3 I Xl + X* I *2+*3 I ^8 + ^4 I
*3 + *4 ** + *« *2 + *S *1 + *4*1+*J *i + *«
111

764. Выразить через основные симметрические полиному:
i Ф j XI 1ф j x/ i ф j xi
/>*
765. Вычислить сумму квадратов корней уравнения
х«_|_2х — 3 = 0.
766. Вычислить xlx^-j-x^l-j-xlXg + x^xl-l-xlx^-l-x^
от корней уравнения х3 — хъ — 4л:-(-1—0.
767. Определить значение моногенной симметрической
функции
х\хгх3+...
от корней уравнения
х* + х3 — 2хг — Зх -f 1 = 0.
768. Пусть дгж, дг2, д;3 — корни уравнения д;3-)-/'->:+9 =0.
Вычислить:
a) + + + + +
b) x{xi+Wi + Jc{
c) (xf-vJ^-V
769. Какое соотношение существует между коэффициен-
коэффициентами кубического уравнения
если квадрат одного из корней равен сумме квадратов двух
других?
770. Доказать теорему: для того чтобы все корни ку-
кубического уравнения х3-\-ах2-\-Ьх-\-с = 0 имели отрица-
отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно вы-
выполнение условий:
а>0; ab — с > 0; с > 0.
112

771. Найти площадь и радиус описанного круга тре-
треугольника, стороны которого равны корням кубического
уравнения
xs—ax* + bx — с = 0.
*772. Найти соотношение между коэффициентами урав-
уравнения, корни которого равны синусам углов треугольника.
773. Вычислить значение симметрической функции от
корней уравнения /(х) = 0:
a) *}*,+ ...,
b) x\xl+...,
c) (х\ + хххг + **) (*1 + хгх3 + xl) (xl + х9х, + х\),
f(x) = 5дг3 — бдгЧ- 7х—8.
774, Выразить через коэффициенты уравнения
а0дг3 -)- Й1*2 + агх + а3 — О
следующие симметрические функции:
a) al(x1—xiJ(x1—x3J(x2 — xs)t;
b) а*в (xl—x2x3) (xl—x,x3) (х1—хгх2);
XiX ^1^3
6) at (x\ + хгх2 + xl) (xi + x,xs + xl) (дг| + x3x1 + xi).
775. Пусть дг1( дг2, ..., х„ — корни полинома
Доказать, что симметрический полином от дг4, xs, ..., х„
можно представить в виде полинома от xv
776. Решить, используя результат задачи 775, задачи
755 е), 755 g), 774 b), 774 d).
n
777. Найти ?л'д-* где ^* есть *"я ОСНОвная симметри-
t=i '
ческая функция от хи хг, ..., х„.
778. Пусть известно выражение симметрической функции
F(Xj, x2, ..., дг„) через основные. Найти выражение через
л
" v< OF
основные симметрические функции для У.~я—•
113

Доказать теоремы:
779. Если F(xlt хг, ... , х„)—симметрическая функция,
обладающая свойством
..... хп + а)= F(xlt х , хп),
и если Ф(/ц /2, ... ,/„)—ее выражение через основные, то
°
и обратно.
780. Каждый однородный симметрический полином вто-
второй степени, обладающий свойством задачи 779, равен
а 51 (*/—**)'» гДе <*—постоянная.
781. Найти общий вид однородных симметрических по-
полиномов третьей степени, имеющих свойство задачи 779.
782. Выразить через основные симметрические полиномы
(*/-*/)' (*/-**)' (*/-**)*,
используя результат задачи 779.
783. Доказать, что среди симметрических полиномов
F(xlt хг, .... хп), обладающих свойством
существует п—1 «основных полиномов» ф„ ф3, ..., <рп,
т. е. таких, что каждый полином рассматриваемого класса
может быть выражен в виде полинома от ф2, ф„ ... , <рп.
784. Выразить через полиномы ф„ <р3 задачи 783 сле-
следующие симметрические функции:
a) to— лга)*(*1—*з)*(х2—x3f;
b) (*,—*,)*+ (*i—*ъI + {хг-х9)*.
785. Выразить через полиномы <р2, q>3, ф4 задачи 783
следующие симметрические функции:
a) (x1 + xt—xt—xi) (хг—хг+х9—xt) {xt—xt—xt+xt);
b) (лсх—ж.)ш(жж—*з)'(*1-*4J (*.—**)8 (*|—*4)' (х3-х,)\
§ 2. Степенные суммы
786. Найти выражение для st, s3, sv st, st через ос-
основные симметрические полиномы, пользуясь формулами
Ньютона.
114

787. Выразить /2, /3, /4, /„, /, через степенные сум-
суммы s^ s2, .. . , пользуясь формулами Ньютона.
788. Найти сумму пятых степеней корней уравнения
лгв — 4лг5+3л:8 — 4лг2 + дг+ 1=0.
789. Найти сумму восьмых степеней корней уравнения
х1—х3 —1=0.
790. Найти сумму десятых степеней корней уравнейия
х3 —Злг + 1=0.
791. Найти slt 52) ... , sn от корней уравнения
wi-i х"-2 1
+++0
792. Доказать, что
а" (*{ + *•) = (—1)* [»»—¦y-ft*
k(k-A)(k-b) A,.,ll
1-2-3 « t -t-..
если ATj, je2 — корни квадратного уравнения ax2-\-bx-\-с — 0.
793. Доказать, что для всякого уравнения третьей сте-
степени
б g
«! —«з О
94. Доказать, что если сумма корней уравнения чет-
четвертой степени равна нулю, то
s6 s3 S,
Т^Т" 2 '
795. Доказать, что если для уравнения шестой степени
s1 =ss = 0, то
7 ~Т ' 2 '
796. Найти уравнения я-й степени, для которых
797. Найти уравнения л-й степени, для которых
*, = *8.= ... = sn = 0.
115

798. Найти уравнение я-й степени, для которого
799. Выразить V xix? через степенные суммы.
*800. Выразить У\ (лг,--f-л:,)* через степенные суммы.
*801. Выразить 2 (*/—*/)** через степенные суммы.
802. Доказать, что sk =
803. Доказать, что Д = -гг
804. Вычислить определитель
*805. Найти sm от корней уравнения
f
i
v\
V,
*л.
1
1
s2
тель
1
/l
л
1
*l
s2
X"
s
st
sn
0
1
/l
/*-,
0
2
^3
**-!
1
«I.-1
• • •
¦ • •
jc"-2
0
2
0
0
0
0
0
0
*l
•
•
•
. 1
. 0
. 0
. n
*806. Доказать, что /2, Д. и /4 от корней уравнения
(я) = 0 могут принимать только значения 0 и ± 1.
*807. Решить систему уравнений:
** + *•+•••+*« = «,
и найти х1+1 + х%+1+ . • • +х"+1-
*808. Вычислить степенные суммы st, s2,
корней уравнения
хп + (а + Ь) х"-1 + (а2 + ab + fca) дг"-» + • . •
116
от

*809. Вычислить степенные суммы sv st, ... , sn от
корней уравнения
§ 3. Преобразование уравнений
810. Найти уравнения, корнями которых являются:
a) Xi + x» хг
b) (*! — »,)«, (*2 — х„J, Jx,—д^I;
d) (X! — лг,)(дгх—л;,), (х2 —х^Нх,—х,), (х3—xi)(xt~^x2);
,Л „2 „2 ..2. {\ V3 v3 V-3
i; *i, л2) л3, i; Л], л2, л3,-
где xv дг2, х, — корни уравнения х3-}-ах*-\-Ьх-\-с = 0.
811. Найти уравнение, корнями которого являются
. (дс1Н-х,еН-х1е1)» и (х1 + дг2е» + х8еK,
1 УЗ
где е = — Т + 'т"» *i' **> *3—К°РНИ уравнения
812. Найти уравнение наименьшей степени, одним из
корней которою является — + — -+- — , где х1г х8, х3—кор-
хг хъ xi
ни кубического уравнения х3-\-ах2-\-Ьх-\-с = 0, и коэффи-
коэффициенты которого выражаются рационально через коэффици-
коэффициенты данного уравнения.
813. Найти уравнение наименьшей степени, одним из
корней которого является —, где х1г хг, xt—корни урав-
нения х3-\-ах*-\~ Ьх-\-с = 0, и коэффициенты которого вы-
выражаются через коэффициенты данного уравнения.
814. Найти уравнение наименьшей степени с коэффици-
коэффициентами, выражающимися рационально через коэффициенты
данного уравнения х*-\-ах3-\-Ьх2-{-сх-[-d — 0,. принимая
за один из корней искомого уравнения:
a) x^ + XgX^, b) (x1 + xi—xs—xi)t; с) л^х,;
d) Х!+х4; е) (х1—х2)\
815. Используя результаты задач 814 а) и 814 Ь), вы-
выразить корни уравнения четвертой степени через корни
вспомогательного кубического уравнения задачи 814 а).
117

816. Написать формулу для решения уравнения
817. Составить уравнение, одним из корней которого
является
(xtxt + xzx3 + х^л + xtxt + лг^) х
X (x1xfs + x3xb +
где хи хг, хя, xv хь—корни уравнения
хь + ах + Ъ = 0.
§ 4. Результант и дискриминант
*818. Доказать, что результант полиномов
f(x) = x» + a1x»-i+...+an и <р{х)-Ьвх»+ ..
равен определителю, составленному из коэффициентов ос-
остатков при делении ф(лг), *ф(л:), ..., xn~1(f(x) на f(x).
Предполагается, что остатки расположены в порядке воз-
возрастания степеней х (способ Эрмита).
Замечание. Остаток rk(x) при делении xk~1(f(x) на
/(лг) равен остатку при делении xrk-1(x) на f(x).
*819. Доказать, что результант полиномов
равен определителю, составленному из коэффициентов по-
полиномов (п—1)-й степени (или ниже)
)(? (х)-
= \, ... , п (способ Безу).
Замечание, ар! = яоф—bof,
*820. Доказать, что результант полиномов
при п > т равен определителю, составленному из коэффи-
118

циентов полиномов ив выше (л—1)-й степени %ц(х), опре-
определенных по формулам:
*ДС) ПРИ
(полиномы х» располагаются в порядке возрастающих сте-
степеней х).
Замечание. %„.т+1 - аодгп-яф (x)—btf(x),
при А > л—/я + 1.
821. Вычислить результант полиномов:
a) я*—3** +2*+1 и 2**—дс— 1;
b) 2л;8—Злт2 + 2л: + 1 и ** + дс + 3;
c) 2л:3—Зл:4—а: + 2 и х4—2х*—
й) Зх* + 2х* + х + 1 и 2х3 +
e) 2л:4—*»+ 3 и З*3—л
f) йоЛ:* + «!* + а2 и fto
822. При каком значении X полиномы имеют общий
корень:
a) л:8—кх + 2 и х2 + кх + 2;
b) х*—2Хх + № и х2 + к*—2;
c) х9 + Ххг—9 и д:3 + Ял:—3?
823. Исключить х из системы уравнений:
а) хг—ху+у* — 3,
¦ Ъ) х*—ху—у9+у = 0,
с) у^х3—2х*—6л: + 8,
824. Решить системы:
a) у* — 7ху + 4х2 + \3х—2у—3 = 0,
д,г _ 14лу -f 9л:2 + 28л:—Ау—5 = 0;
b) у* + Хг— у—Зх = 0,
у _ Qxy _ ха _j_ ! iy _|_ 7дг _ 12 = 0;
c) 5>г* —6ху + 5х8 —16 = 0,
у2—Л7 + 2Л:2—у—л:—4 = 0;
)* 4) г2 3 0
у
е) 2у3—4ху*—Bх*— у +
4у* — (Зх + 10) у*—Dл:* — 24дс-Ь 16) jf—
+ 2л;*—12л:+ 40 = 0.

826. Определить результант полиномов :
aox*+alx"-1 + ... +ап и алх"~1 + а1х"~2 + ... + <*n
826. Доказат*, что Ж(/, <р,• ф2) = 9t(/, yJ-'Slif, <ps).
*827. Найти результант полиномов
Х„ и хт—\.
*828. Найти результант полиномов Хт и Хп.
829. Вычислить дискриминант полинома:
а) дг3—дг2 —2дг+1; Ь) Xs + 2дг2 + 4лг + 1;
с) 3x3 + 3x« + 5x + 2; d) дг4—х3— Зх* + х+1;.
е) 2дг4—л:3 — 4дг? + дг+1.
830. Вычислить дискриминант полинома:
а) *6— 5адг3 + 5а2лг—Ь; Ь) (дг2 — дг+ IK — Л,(дг* — дг)*;
c) ах*—Ьхг + F—За) дг + а;
d) л:4— Хд;3 + 3(Я,—4)дга— 2 (Я,—8)дг—4.
831. При каком значении к полином имеет кратные корни:
а) дг3 —Злг + Х; Ь) дг4— 4дг + к;
c) дга — 8atj + A3 — k)x — F + 2X);
d) дг4—4дг3 + B—к)х* + 2х—2?
832. Охарактеризовать число вещественных корней по-
полинома с вещественными коэффициентами по знаку дискри-
дискриминанта:
a) для полинома третьей степени;
b) для полинома четвертой степени;
c) в общем случае.
833. Вычислить дискриминант полинома х"-\-а.
*834. Вычислить дискриминант полинома хп -\-px-\-q.
*83б. Вычислить дискриминант полинома
аохт+п + аххт + аг.
836. Зная дискриминант полинома
найти дискриминант полинома
837. Доказать, что дискриминант полинома четвертой
степени равен дискриминанту его резольвенты Феррари
[задача 814 а) и задача 80].
120 ,

888. Доказать, что
D((x-a)f(x)) = D(f(x))[f(a)]\
*839. Вычислить дискриминант полинома
дЛ-1-J. *»-»+... +1.
*840. Вычислить дискриминант полинома
хп + ах"-1 + ах"-* + • • • + я-
841. Доказать, что дискриминант произведения двух
полиномов равен произведению дискриминантов, умножен-
умноженному на квадрат их результанта.
842. Найти .дискриминант полинома
*843. Найти дискриминант кругового полинома Хп.
*844. Вычислить дискриминант полинома
*845. Вычислить дискриминант полинома
а(а —1) ... (д-п
' • • "т" п\
*846. Вычислить дискриминант полинома Эрмита
*847. Вычислить дискриминант полинома Лагерра
*848. Вычислить дискриминант полинома Чебышева
2 cos (п arc cos -? j .
*849. Вычислить дискриминант полинома
1
dxn
121

*850. Вычислить дискриминант полинома
1
*8б1. Вычислить дискриминант полинома
*852. Найти максимум дискриминанта полинома
все корни которого вещественны и связаны соотношением
*i + *l+ • • • +х%=п (л— 1)/?».
853. Зная дискриминант f(x), найти дискриминант/(лс2).
• ,854. Зная дискриминант f{x), найти дискриминант/^").
856. Доказать, что дискриминант F(x)—f((p (x)) равен
[Я(/)]*Д Л (ф (*)-*/),
где т—степень ц>(х); хи хг, ..., хп—корни /(х). Стар-
Старшие коэффициенты / и ср принимаются равными единице.
§ б. Преобразование Чнрнгаузена
н уничтожение иррациональности в знаменателе
856. Преобразовать уравнение (х — 1)(л:—3)
подстановкой у — х2—х—1.
857. Преобразовать уравнения:
a) х3—Зх—4 = 0 подстановкой у =
b) х"-\-2х*-\-2 = 0 подстановкой _у = дга +1;
c) х*—х—2 = 0 подстановкой у = хь—2;
d) х1—х3—л' + 1=0 подстановкой у = х9 + хг-\-х +1.
858. Преобразовать уравнения по Чирнгаузену и найти
обратные преобразования:
a) х*— у
b) х*—3*+1=0, у =
c) х* + 5х9 + Gx*—1=0, y =
122

859. Преобразовать уравнение х3—хг—2х-\-\—0 под-,
становкой у— 2—хг и истолковать получившийся результат,
860. Для того чтобы корни кубического уравнения с ра-
рациональными коэффициентами выражались "рационально
с рациональными коэффициентами друг через друга, необ-
необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был квадратом
рационального числа. Доказать.
861. Исключить иррациональность в знаменателе выра-
выражений:
„\ . к\ _ ,;с)
862. Исключить иррациональность в знаменателях вы-
выражений:
863. Доказать, что каждая рациональная функция от
корня x-l кубического уравнения xs-\-axi-\-bx-\-c = 0 может
быть представлена в виде лХ, п с коэффициентами А, В,
L.X1-j-U
С, D, рационально выражающимися через коэффициенты
первоначального выражения и через коэффициенты а, Ь, с.
864. Пусть дискриминант кубического уравнения с ра-
рациональными коэффициентами и неприводимого в поле
рациональных чисел есть квадрат рационального числа.
Тогда между корнями можно установить соотношение
ои. + в .. . .
лг2 — — 'Г . Какому условию должны удовлетворять коэф-
фициенты а, р, у, о?
865. Сделать преобразование _у = дг2 в уравнении
866. Сделать преобразование у = х3 в уравнении
123

*867. Доказать, что если все корни х; полинома
= х" + alX"-* +...+а„, апф0,
с целыми коэффициентами удовлетворяют условию |*,-|^1,
то все они являются корнями из единицы.
§ 6. Полиномы, не меняющиеся при четных
перестановках переменных. Полиномы, не меняющиеся
при круговых перестановках переменных
868. Доказать, что если полином не меняется при чет-
четных перестановках и меняет знак при нечетных, то он де-
делится на определитель Ваидермонда, составленный из пере-
переменных, и частное от деления есть симметрический полином.
869. Доказать, что каждый полином, не меняющийся
при четных перестановках переменных, может быть пред-
представлен в виде
где Ft и /72-i-симметрические полиномы и Д есть определи-
определитель Вандермонда из переменных.
870. Вычислить
х1 х\
у. va y.n-2 „«+1
лп лп • • ' лп лп
871. Составить уравнение, корнями которого являются
o*i + P*» + Y*3> o^a + P^a + V^i и ax3 + $xi + \x2, где
xlt хг, ха—корни уравнения х3-\-ах2-{-Ьх-{-с — 0.
. 872. Составить уравнение, корнями которого являются
«Л + *гЛ + x3ys, х^2 + хгу3 - \- x3yv х^3 + хгу1 + лг^а,
где х1г х2, х3—корни уравнения х3 +рх + q + 0, у1} уг,
у3—корни уравнения у3 -\-р'у-}-д' = 0.
873. Для того чтобы уравнения с рациональными коэф-
коэффициентами
хя+рх +q =0,
были связаны рациональным преобразованием Чирнгаузена,
необходимо и достаточно, чтобы отношение их дискримн-
124

нантов Д и Л' было квадратом рационального числа и чтобы
одно из уравнений
я о t , 27qq' ±
и3 = Зрр'и -\ чч ^
имело рациональный корень. Доказать.
874. Доказать, что каждый полином от п переменных
хи хг, ..., хп, не изменяющийся при круговых переста-
перестановках переменных, можно представить в виде
где Ti1, цг, . .., T]n_j суть линейные формы:
2л ... 2я
е = cos (- г sin —,
причем показатели ОС], а2, ... «„.^ удовлетворяют условию:
ах + 2а8+ . .. +(л — l)an-i делится на /г.
875. Для рациональных функций, не меняющихся при
круговых перестановках переменных, указать п основных
(дробных и с нерациональными коэффициентами), через ко-
которые все выражаются рационально.
876. Для рациональных функций от трех переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать три
основные функции с рациональными коэффициентами.
877. Для рациональных функций от четырех переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать четыре
оснодные функции с рациональными коэффициентами.
878. Для рациональных функций от пяти переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать пять
основных функций с рациональными коэффициентами.

ГЛАВА 7
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В этом отделе приняты следующая терминология и обо-
обозначения. Термин пространство обозначает векторное про-
пространство над полем вещественных чисел, если нет спе-
специальных оговорок. Этот термин применяется независимо
от того, рассматривается ли пространство само по себе или
как часть другого, более обширного пространства. Однако
в случае, когда нужно подчеркнуть это обстоятельство,
применяется термин подпространство. Линейным многообра^
заем называется множество векторов вида-Xq-\-X, где Хе—
некоторый фиксированный вектор, а X пробегает множество
всех векторов некоторого подпространства.
Равенство Х — (х1, хг, ..., хп) означает, что X имеет
координаты х1г хг, ..., хп в некотором фиксированном
базисе пространства, причем в случае, когда речь идет об
евклидовом пространстве, базис предполагается ортогонально
нормированным.
Векторы называются иногда точками, одномерные много-
многообразия—прямыми, двумерные—плоскостями.
§ 1. Подпространства и линейные многообразия.
Преобразование координат
879. Дано векторное пространство, натянутое на векторы
Хи Хг, ..., Хт. Определить его базис и размерность:
a) Хх = B, 1, 3, 1), *, = A, 2, 0, 1),
Хш = (-\, 1, -3, 0);
b) ^ = B, 0, 1, 3, -1), *, = (!, 1, 0, -1, 1),
Х, = @, -2, 1, 5, -3), *, = (!, -3, 2, 9, -5);
c) Xt = B, 1, 3, -1), *, = (-!, 1, -3, 1),
Х, = D, 5, 3, -1), *. = A, 5, -3, 1).
126

880. Определить базис и размерность суммы и пересе-
пересечения пространств, натянутых на векторы Xt, ..., Хк н
V Y ¦
a) ^ = A, 2, 1, 0), ^ = B, -1, 0, 1),
*,=»(—1, 1, I, 1), К, = A, —1, 3, 7);
b) Хг = {1, 2, —1, -2), Yt = B, 5, -6, -5),
Л,=»C, 1, 1, 1), К,= (—1, 2, -7, —3),
*, = (-1, 0, 1, -1);
c) ^ = A, 1, 0, 0), К1 = @, 0, 1, 1),
*, = (!, О, 1, 1), К3 = @, 1, 1, 0).
881. Найти координаты вектора X в базисе Еи Et, E3, Et:
a) Л-A/2, 1, 1), ?, = A, 1, 1, 1),
?,==A, 1, —1, —1),
?, = A, —1, 1, —1), ?4 = A, —1, —1, 1);
b) Л"=@, 0, 0, 1), ^ = A, 1, 0, 1), ?, = B, 1, 3, 1),
?„ = A, 1, 0, 0),?4 = @, 1, -1, -1).
882. Составить формулы преобразования координат при
переходе от базиса Elt ?2, ?3, ?4 к базису Е[, E't, E't, E't:
а)??-A, 0, 0, 0), ?4=@11,0,0))?3 = @) 0, 1, 0),
?, = @, 0, 0, 1), ?i = (l,l,0, 0),?i = (l, 0, 1, 0),
Е\ = (\, 0, 0, 1), ?4 = A, 1, 1, 1);
Ь) ?^A, 2,-1, 0), ?2 = A, -1, 1, 1),
?, = (-1, 2, 1, 1), ?4 = (-1, -1, 0, 1),
- ?:-B, 1, 0, 1),
?* = @, 1, 2, 2), ?j = (-2, 1, 1, 2),
?;-<!, 3, 1, 2).
883. Уравнение -«поверхности» относительно некоторого
базиса ?j, ..., ?4 имеет вид xl + xl—-xl^x*— 1. Найти
уравнение этой же поверхности относительно базиса
Е[ = (\, 1, 1, 1); ?; = О, —1, 1, -1);
?; = (!, 1, —1, —1); ?4 = A, —1, -1, 1)
(координаты даны в том же базисе Eit ..., ?4).
*884. В пространстве полиномов не выше л-й степени
от cos* написать формулы преобразования координат для
перехода от базиса 1, cos л:, ..., cos"* к базису 1,
cos л:, ..., cos ял: и обратно.
127

886. В четырехмерном пространстве найти прямую, про-
проходящую через начало координат н пересекающую прямые:'
X1 = 2 + 3t, Х2=1—/, *, = —1+2/, л:, = 3 — 2/
и
^ = 7/, х^\, xt=\+t, *4 = —1+2/.
Найти точки пересечения этой прямой с данными
прямыми.
886. Доказать, что любые две прямые в л-мерном про-
пространстве могут быть погружены в трехмерное линейное
многообразие.
887. Исследовать в общем виде условие разрешимости
задачи 885 для двух прямых в л-мерпом пространстве.
888. Доказать, что. любые две плоскости в л-.мерном
пространстве могут быть погружены в пятимерное линейное
многообразие.
889. Дать описание всех возможных случаев взаимного
расположения двух плоскостей в л-мерном пространстве.
890. Доказать, что линейное многообразие может быть
охарактеризовано как множество векторов, содержащее
вместе с любыми двумя векторами Xv Х% их линейные
комбинации aXj + (l—a)^ при любых а.
§ 2. Элементарная геометрия л-мерного евклидова
пространства
891. Определить скалярное произведение векторов X и Y:
a) Х={2, 1, -1, 2), К=C, -1,-2, 1);
b) *=--(!, 2, 1,-1), К=(-2, 3, -5, -1).
892. Определить угол между векторами X и Yi
a) *=B, 1, 3, 2), К=A, 2, —2, 1);
b) *=A, 2, 2, 3), К=C, 1, 5, 1);
c) *=A, 1, 1, 2), К=C, 1, -1, 0).
893. Определить косинусы углов между прямой xt =
= л;2= ... = хп и осями координат.
894. Определить косинусы внутренних углов треуголь-
треугольника ABC, заданного координатами вершин:
Л = A, 2, 1, 2), В = C, 1, —1, 0), С=A, 1, 0, 1).
895. Найти длины диагоналей л-мерного куба со сто-
стороной, равной 1.
128

896. Найти число диагоналей л-мерного куба, ортого-
ортогональных к данной диагонали.
897. Найти в л-мерном пространстве п точек с неотри-
неотрицательными координатами так, чтобы расстояния их друг
от друга и от начала координат равнялись 1. Первую из
этих точек расположить на первой оси координат, вторую—
в плоскости, натянутой на первые две оси, и т. д. (Эти
точки вместе с началом координат образуют вершины пра-
правильного симплекса с длиной ребра, равной 1.)
898. Определить координаты центра и радиус сферы,
описанной вокруг симплекса задач» 897.
899. Нормировать вектор C, 1, 2, 1).
900. Найти нормированный вектор, ортогональный к век-
торам A, 1, 1, 1); A, —1,%—1, 1); B, 1, 1, 3).
901. Построить ортогонально-нормированный базис про-
пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы
L 1 1 1Л [Л _!_ L __Л>
2'2'2'2УИ\6'6'2' б
902. Посредством процесса ортогонализации найти орто-
ортогональный базис пространства, порожденного векторами
A, 2, 1, 3); D,1, 1, 1); C, 1, 1, 0).
903. Пристроить к матрице
'11 12 Is
10 0 1—2
1 —1 0 2,
еще две строчки, ортогональные между собой и ортого-
ортогональные к первым трем строчкам.
904. Интерпретировать систему линейных однородных
уравнений
xt + • • • + атхп = 0,
*2 + • • • + аг;,хп = 0,
ат1Х1 + атгХ1 + • • • + атпхп = 0
и ее фундаментальную систему решений в пространстве п
измерений, считая коэффициенты каждого уравнения коор-
координатами вектора.
905. Найти ортогональную и нормированную фундамен-
фундаментальную систему решений для системы уравнений
3*1— х2—л
5 Д. К. Фаддеев, И. С. Сомннскнй 129

906. Разложить вектор X на сумму двух векторов, один
из которых лежит в пространстве, натянутом на векторы
Ах, Л2, ..., Ат, а другой ортогонален к этому простран-
пространству (ортогональная проекция и ортогональная составляющая
вектора X):
a) Х=(Ъ, 2, -2, 2), Л1 = B, 1, 1, -1),
А, = A, 1, 3, 0);
b) *=(_3, 5, 9, 3), Аг=*(\, 1, I, 1),
Л, = B, -1, 1, 1), Л, = B, -7, -1, —1).
907. В предположении линейной независимости векторов
Л1( Ла, ..., Ат дать формулы для вычисления длин со-
составляющих вектора в задаче 906, поставленной в об-
общем виде.
908. Доказать, что из всех векторов данного простран-
пространства Р наименьший угол* с данным вектором X образует
ортогональная проекция вектора X на пространство Р.
909. Найти наименьший угол между векторами простран-
пространства Р, натянутого на векторы Л1( ..., Ат, и вектором X:
a) *=A, 3, —1, 3), Л1 = A, —1, 1, 1),
Л, = E, 1, -3, 3);
b) Х=B, 2, -1, 1), Л1==A, -1, 1, 1),
Л, = ( — 1, 2, 3, 1), Л3 = A, 0, 5, 3).
910. Найти наименьший угол, образованный вектором
A, 1, ..., 1) л-мерного пространства с векторами какого-
либо /я-мерного координатного пространства.
911. Доказать, что из всех векторов X—К, где X—дан-
X—данный вектор, a Y пробегает данное пространство Р, наимень-
наименьшую длину имеет вектор X—X', где X' есть ортогональная
проекция X на Р. (Эта наименьшая длина называется рас-
расстоянием от точки X до пространства Р.)
912. Определить расстояние от точки X до линейного
многообразия A0-\-t1Al-{-. ..
a) *=A, 2, —1, 1), Л0 = @, -1, 1, 1),
Л1 = @, -3, -1, 5), Л, = D, -1, -3, 3);
b) *=.@, 0, 0, 0), Л„ = A, 1, 1, 1), Л1=A, 2, 3, 4).
913. Рассматривается пространство полиномов, степени
которых не превосходят л. Скалярное произведение полино-
1
мов /ь /2 определяется как f fi(x)/2 (x) dx. Найти рассто-
• ¦ ¦ о
130

о,
о,
0),
0),
Bl
в,
= 0.
.=0.
1,
1,
1,
1,
1),
1),
иние от начала координат до линейного многообразия, со-
состоящего из полиномов дс"-|-а1*"~1+ ... +<V
914. Дать способ определения кратчайшего расстояния
между точками двух линейных многообразий Хо-\-Ри J^-f-Q.
915. Вершины л-мерного правильного симплекса (см. за-
задачу 897), длина ребра которого равна 1, разбиты на две
совокупности из /»+1 и я—т вершин. Через эти совокуп-
совокупности вершин проведены линейные многообразия наименьшей
размерности. Определить кратчайшее расстояние между точ-
точками этих многообразий и определить точки, для которых
оно реализуется.
*916. В четырехмерном пространстве даны две плоско-
плоскости, натянутые на векторы Аг, Аг и Bit Вг, Среди углов,
образованных векторами первой плоскости с векторами вто-
второй плоскости, найти наименьший:
a) ^ = A, 0, 0, 0), Лг = @, I,
Вг = B, -2, 5, 2);
b) Л1==A, 0, 0, 0), At = {0, 1,
В, = A, -1, 1, -1).
*917. Четырехмерный куб пересекается трехмерной «пло-
«плоскостью», проходящей через центр куба и ортогональной
к диагонали. Определить форму тела, получающегося в пере-
пересечении.
*918. Дана система линейно независимых векторов В1(
Вг, ..., Вт. Множество точек, являющихся концами век-
векторов *А + *А+--.+'А, 0<*,<1, .... 0</„<1,
называется параллелепипедом, построенным на векторах В1У
В2, ..., В1П. Определить объем параллелепипеда индуктивно
как объем «основания» [Вх, Вг, ..., Вт_-1], умноженный
на «высоту», равную расстоянию конца вектора Вт до про-
пространства, натянутого на основание. «Объем» одномерного
«параллелепипеда» [В,'] считается равным длине вектора Bv
a) Составить формулу для вычисления квадрата объема и
убедиться в том, что объем не зависит от нумерации вершин.
b) Доказать, что V[cBv В , BM]w*\c\-V[Blt
D D ]
"с) Доказать, что V[B\ + B\, Bv ..., Bm]<V[B;,
В2, ..., Bm] + V{Bi', B2, ..., Bm], и выяснить, когда имеет
место знак равенства.
919. Доказать, что объем л-мерного параллелепипеда в
л-мерном пространстве равен абсолютной величине опреде-
определителя, составленного из координат порождающих векторов.
5* 131

*920. Пусть Clt Cv ..., Cm суть ортогональные про-
проекции векторов Ви Вг, ..., Вт на некоторое пространство.
Доказать, что
У[Сь С„ .... Cm]^V[Bv Bt, ..... Вт].
*921. Доказать, что
V[At, At, .... Amt Bv .... 5ft]<
<^K, .... ^]^[5x, .... Bk]
(ср. с задачей 518).
922. Доказать, что
v[AltAv .... д.ки.нл,! ... И.|
(ср. с задачей 519).
923. Найти объем л-мерного шара, пользуясь принципом
Кавальери.
924. Рассматривается пространство полиномов, степени
которых не превосходят п. За скалярное произведение при-
1
нимается J Д {х)/2 (дг) dx. Найтн объем параллелепипеда,
о
образованного векторами того базиса, относительно которого
координатами полинома являются его коэффициенты.
§ 3. Характеристические числа и собственные
векторы матрицы
926. Найти характеристические числа и собственные век-
векторы матриц:
f)
132

926. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы Л.
927. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы А2.
928. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы Ат.
929. Зная характеристический полином F(K) матрицы А
(порядка n)t найти определитель матрицы /(А), где f(x) =
=^0(*-?i)(*-y ••• (*-!.)•
930. Зная характеристические числа матрицы А, найти
определитель матрицы /{А), где /(х)—полином.
931. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы /(А).
932. Доказать, что все собственные векторы матрицы А
являются собственными векторами матрицы /(Л).
*933. Найти характеристические числа матрицы
1 1
1 Б
1 е* »4
1
еа
е4
1
е,
Ип-1)
J gH-1 g»(n-l> g(n-l)8
9п 9я
где e = cos — -\-is\n-, п — нечетное число.
*934. Найти сумму
935. Найти характеристические числа матриц:
0 х х ... х
у 0 х
у у 0
х
х
с)
У у у ...
О 1
— 1 0 1
— 1 О
Ь)
iax а2 ... ап ^
\аг
О 1
-1 О
133

*936. Зная характеристические числа матриц А и В,
иайти характеристические числа их кронекеровского произ-
произведения.
937. Доказать, что характеристические полиномы Мат-
Матриц АВ и ВА совпадают при любых квадратных матрицах
А л В.
938. Доказать, что характеристические полиномы матриц
АВ и ВА отличаются только множителем (—Х)"~т. Здесь
А—прямоугольная матрица, имеющая т строчек и п столб-
столбцов, матрица В имеет я строчек и т столбцов, п > т.
§ 4. Квадратичные формы и симметрические
матрицы
939. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные
формы:
a) xl
\\\ *»^ 4-** v ..I- 9v v .1, 4.v^ | *»2.
"/ 1 19 i ^¦^'('¦ч —Г™ *¦*о ~V "^3>
c) Xi>
d) *J —2дгЛ
"T" 2 3 ~"*~ 2 4 +~ ^3 4'
940. Преобразовать квадратичную форму
1=1 t<k
к диагональному виду.
941. Преобразовать к диагональному виду квадратичную
форму
942. Доказать, что все главные миноры положительной
квадратичной формы положительны.
*943. Пусть квадратичная форма
f=r- апх\ + auXlx2 + • • • + alnxlxn +
пх\
-I- яЛ1* А + «„Л*, + ¦•¦+ аппх*
134

может быть приведена к диагональной форме а^х'? -+•
-! a*x'i-\-... -\-апх'? «треугольным» преобразованием:
х\ =
Требуется:
a) выразить коэффициенты а1У а2, ..., ап через коэф-
коэффициенты а,А;
b) выразить дискриминанты форм fk{xk+l, ...f xn) =
~-/—а^х'ъ— ...—&ьХ')? через коэффициенты aih.
Найти условие, при котором возможно треугольное пре-
преобразование указанного вида.
944. Доказать, что необходимым и достаточным условием
положительности квадратичной формы
/= апх\ + а^х^ + .
а1пх1хп
агпхгхп +
аппх%
является выполнение неравенств:
0;
am "n
<*„„
>0
(условия Сильвестра).
*94б. Доказать, что если к положительной квадратичной
форме добавить квадрат линейной формы, то ее дискрими-
дискриминант увеличится.
*946. Пусть f(xv лг2, ..., д:„)='опдг[+...—положи-
д:„)='опдг[+...—положительная квадратичная форма,
<р(лг2, .... л:„)=/@, xt, .... дг„),
Dj и Д,,—их дискриминанты. Доказать, что
947. Пусть
xlt xit ..., хи) =
'р+ч.
135

где /„ /2, ..., lp, 1р+1,1р+г, ...,1р+д — вещественные линей-
линейные формы от ATj, х%, . .., х„. Доказать, что число поло-
положительных квадратов при каноническом представлении фор-
формы / не превосходит р, число отрицательных квадратов не
превосходит q.
*948. Пусть 50, slt ...—степенные суммы от корней
уравнения х" -^-аухп~1-\- ,.. -\-ап — 0 с вещественными ко-
коэффициентами. Доказать, что число отрицательных квадра-
квадратов при каноническом представлении квадратичной формы
2 /чл+гЛ равно числу пар сопряженных комплексных
I, ft=i
корней данного уравнения.
Доказать теоремы:
949. Для того чтобы все корни уравнения с веществен-
вещественными коэффициентами были вещественными и различными,
необходимо и достаточно выполнение неравенств:
so sl
>0; ...; A:
*950. Если квадратичные формы
. sn_
n-l sn
-f
n-l
. Sn
• stn-l
аппх%
аппх%
Ф = Ьпх\
неотрицательны, то форма
(/, ф) = а„Ьи
txnxt +...+ Ьппх%
nblnx1xn
... +annbnnx%
неотрицательна.
136

961. Преобразовать к каноническому виду ортогональным
преобразованием квадратичные формы:
a) 2x\ + x\—4x1xt—4xixi\
b) лг? + 2** + Зл:|—4*^—4.^.*:,;
c) 3*1 + 4*2 + 5*2 + 4*!*,—4*,*,;
d) 2x1 + 5х\+5*1 + 4ЯЛ—4Xlxs—
e) xl — 2xl—2xl—4x1xa + 4x1xt + 8xix3;
I) 5*1 +6*2+4*S — 4*i*,—4*!*,;
g) 3*} + 6*S + 3*2 —4*!*, —8*!*, —4*,*,;
? + 2х1 + 2хг3 + 2x^—4^!^ + 2x1xi + 2хгха — 4.х3дг4;
k) *J + ** + x\ + x\ + Ъх^ъ—2лгхд:4—2хгхъ + 2дг3*4;
1) 2х1хг + 2х1х9— 2хгхй—2хгх9 + 2хгХ1 + 2хгх,;,
та) дс|Н- д:| + л:| +¦ л:|—2x1xu+Qxlxi — 4*х*4—
—4x2xi + 6xixi—2x3xt;
- n) 8xlxi + 2xlxl + 2xtxa + Sxtxl.
962. Преобразовать к каноническому виду ортогональным
преобразованием квадратичные формы:
963. Преобразовать к каноническому виду ортогональным
преобразованием форму
964. Доказать, что если все характеристические числа
вещественной симметрической матрицы А заключены в сег-
сегменте [а, Ь], то квадратичная форма с матрицей А—КЕ
отрицательна при Я > b и положительна при К < а. Спра-
Справедлива и обратная теорема.
956. Доказать, что если все характеристические числа
вещественной симметрической матрицы А заключены в сег-
сегменте [а, с] и все характеристические числа вещественной
симметрической матрицы В заключены в сегменте [b,d], то
все характеристические числа матрицы А + В заключены в
сегменте [а + b, c + d].
966. Назовем арифметическое значение квадратного корня
нз наибольшего характеристического числа матрицы АА~
137

(A—вещественная квадратная матрица, А—ее транспониро-
транспонированная) нормой матрицы А и обозначим ее через ]]А\\. До-
Доказать, что
я) ||Л|| = ||Л||;
Ь) ]ЛЯ"]^ И А \\-\X\, причем для некоторого вектора Хо
имеет место равенство;
с)
d)
е) модули всех характеристических чисел матрицы А
не превосходят || А ||.
967. Доказать, что всякая вещественная неособенная
матрица может быть представлена в виде произведения ор-
ортогональной матрицы и треугольной вида
пЬп ... Ь1п
btl ... **,
с положительными диагональными элементами Ьц и такое
представление единственно.
968. Доказать, что всякая вещественная неособенная
матрица может быть представлена в виде произведения ор-
ортогональной матрицы и симметрической, соответствующей
некоторой положительной квадратичной форме.
969. Пусть дана поверхность второго порядка в л-мер-
ном пространстве посредством уравнения
...+2Ьпхп + с = О,
или в сокращенной записи АХ-Х-{-2В-Х-{-с — 0. Доказать,
что для существования центра поверхности необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен рангу мат-
матрицы (А, В).
138

960. Доказать, что уравнение центральной поверхности
второго порядка может быть приведено посредством пере-
переноса начала и ортогонального преобразования к канониче-
каноническому виду
961. Доказать, что уравнение нецентральной поверхно-
поверхности второго порядка может быть приведено посредством
переноса начала и ортогонального преобразования к кано-
каноническому виду:
§ 5. Линейные преобразования. Каноническая форма
Жордана
962. Установить, что размерность подпространства,, в
которое отображается все пространство при линейном пре-
преобразовании, равна рангу матрицы этого линейного преобра-
преобразования.
963. Пусть Q есть подпространство размерности q про-
пространства R размерности п, a Q' есть образ Q при линей-
линейном преобразовании ранга г пространства R. Доказать,
что размерность q' пространства Q' удовлетворяет нера-
ненствам
q-\-r—п s^.q' sgT mm(q, r).
964. Пользуясь результатом задачи 963, установить, что
ранг р произведения двух матриц рангов гх и
творяет неравенствам
*96б. Пусть Р и Q—какие-либо взаимно дополнительные
подпространства пространства R. Тогда любой вектор
однозначно разлагается на сумму векторов У?Р и
Преобразование, заключающееся в переходе от вектора X
к его компоненте Y, называется проектированием на Р па-
параллельно Q. Доказать, что проектирование есть линейное
преобразование и его матрица А (в любом базисе) удовле-
удовлетворяет условию А% = А. Обратно, всякое линейное преобра-
преобразование, матрица которого удовлетворяет условию А* = А,
есть проектирование.
139

*966. Проектирование называется ортогональным, если
P_]_Q. Доказать, что в любом ортогонально нормированном
базисе матрица ортогонального проектирования симметрична.
Обратно, всякая симметрическая равностепенная матрица
есть матрица ортогонального проектирования.
*967. Доказать, что все отличные от нуля характеристи-.
ческие числа кососимметрической матрицы чисто мнимы, а
вещественная и мнимая части соответствующих собствеииых
векторов равны по длине и ортогональны.
*968. Доказать, что для кососимметрической матрицы А
можно найти такую ортогональную матрицу Р, что
О а.
—ах О
О а,
—а2 О
—а» О
О ,
(все не указанные элементы равны нулю; alt аг, ..., ак —
вещественные числа).
969. Доказать теорему: если А — кососимметрическая
матрица, то матрица (?—А)(Е-\-А)~1 есть'ортогональная
матрица, не имеющая —1 характеристическим числом. Об-
Обратно, каждая ортогональная матрица, не имеющая —1 ха-
характеристическим числом, может быть представлена \ этой
форме.
*970. Доказать, что модули всех характеристических
чисел ортогональной матрицы равны 1.
*971. Доказать, что собственные векторы ортогональной
матрицы, принадлежащие комплексному характеристическому
числу, имеют видХ+/К, где X, Y—вещественные векторы,
равные по длине и ортогональные.
*972. Доказать, что каждая ортогональная матрица мо-
может быть представлена в виде
Q'1 TQ,
140

где Q—ортогональная мптрица, а Т имеет вид
cos<px—i
sin ф, cos ф4
совф^—sin9a
sin ф, cos ф2
1
1
1
—1
—1
—1
(все не обозначенные элементы равны нулю). *
973. Привести к нормальной форме Жордана матрицы:
1 2 0\ / 4 6 0\
О 2 0 ; Ь) -3-3 0 ;
-2 —2 —1/ V—3 —6 1/
7 —12 —2
3-4 0 Ц
—2 0 —2
—2 8 6
—4 10 6
4 —8 —4
О 8 3\
g) (-4 10 6); h) [-1 8 6]|
2 —14 —10

8 30 —
j) [-6-19
v—6—23
о)
974. Привести к нормальной форме Жордана матрицы:
с)
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... О
0 0 0 ... 1
1 0 0 ... О
*975. Доказать, что всякая периодическая матрица А
(удовлетворяющая условию Ат-~Е при пекоторомнатураль-
ном т) приводится к диагональной канонической форме.
*976. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы А'т, составленной из над-
надлежащим образом расположенных миноров т-го порядка
матрицы А (см. задачу 531).
977. Доказать, что любую матрицу А мождо преобразо-
преобразовать в транспонированную.
*978. Доказать, что любую матрицу можно представить
в виде произведения двух симметрических матриц, одна из
которых неособенная.
1-42

979. Исходя из данной матрицы А порядка л, строим ряд
матриц посредством следующего процесса:
-jSp Аг=Рг; Аг—ргЕ=В„
TSp/43==ps; A,— p3E = Bs,
В^А^А,,; -~Sp А„=р„; А„-РпЕ~Вп,
где Sp А{ — след матрицы А( (сумма диагональных элементов).
Доказать, что: pv рг> ...,р„—коэффициенты характери-
характеристического полинома матрицы А, записанного в форме
(—1)п[кп—Pi№~1—Р^"~2—...—Р„]; матрица В„ нулевая;
наконец, если А—неособенная матрица, то —5„_1 = Л~1.
*980. Для того чтобы уравйение XY—КЛ"=Сбыло раз-
разрешимо в квадратных матрицах X, Y, необходимо и доста-
достаточно, чтобы след матрицы С равнялся нулю. Доказать.

ЧАСТЬ II
УКАЗАНИЯ
Глава 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
11. См. задачу 10.
13. Показать справедливость теоремы для каждого из четырех
действий над двумя числами и воспользоваться методом математиче-
математической индукции.
18. Воспользоваться тем, что левые части легко представляются
в виде суммы двух квадратов.
27. Положить х^а-\-Ы, y — c-{-dl.
28. Положить г = собф+» sinq>.
31. Положить г = /2; г' = /'г. Использовать задачу 27.
37. Перейти к тригонометрической форме.
38. 1+ш = — и2. »
40. Перейти к половинному углу.
41. Убедиться, что z = cos6± i sin в; —=cos 6 q= i sin в. Вос-
Воспользоваться формулой Муавра.
51. Положить a=cosx+''sin*. Тогда со82/яд:=ж( —^ j
и т. д.
52. Показать, что коэффициент при Bcosx)m~2P равен
(—l)P(C?_p-fC%~Jp-i). Воспользоваться методом математической
индукции.
53. Задача аналогична предыдущей.
54. Воспользоваться разложением по формуле бинома Ньютона
0+»)"-
55. Воспользоваться предыдущей задачей.
56. Разложить по формуле бинома Ньютона
68. Показать, что задана сводится к вычислению предела суммы
a + a2+..., где a——=i-'.
л„ „ . , 1 cos 2a
69. Воспользоваться тем, что sinza—-= ^—•
71. Воспользоваться тем, что
, cos3a , 3cosa , , 3sina sin За
cos*a=—; :—; sin3a=—-. ;—.
144

72. Для вычисления сумм вида 1 + 2а+3а2+ ¦ ¦ ¦ +ла"-1 и
1 ;-22а+32а2+ ... -j-nV2-1 их полезно умножить предварительно на
1 —а.
76. х^а+Р; х2 = о
ЗаР = — р.
77. Умножить иа —27 и рассмотреть левую часть как дискри-
дискриминант некоторого кубического уравнения.
78. Положить х=а.-\-§.
87. Показать, что еп =—1.
88. Если e = cos 1— i sin—, то искомая сумма может быть
п п
записана так: 1 + в + в2+• • •+6".
89. Рассмотреть два случая: 1) k делится на я; 2) k не делится иа я.
91, 92. Умножить на 1-е.
94. а) Из суммы всех корней 15-й степени из 1 вычесть сумму
корней, принадлежащих показателям 1, 3 и 5.
97. Длина стороны правильного 14-угольникз, радиус которого I,
равна 2 sin -yj-. Использовать то обстоятельство, что уравнению
x*+jte + **+'*3+*2+*+ 1=0 удовлетворяет cos-=--ft sin-у.
98. 1) Если xlt хг х„—корни уравнения ао*п-|-а1л;п-1+ ...
...+an=0,toa<ix"+a1xn-1-{-...+an = a0(x—x1) ... (х—х„).
2) Если е—корень и-й степени из 1, то е, сопряженное с е,
также корень и-й степени из 1.
99. В тождествах, полученных в результате задачи 98, положить
дг=1.
100. Воспользоваться разложением х°—\ иа множители первой
степени.
101. В разложении х"—1 на линейные множители положить:
1) x=cos6 + tsinO; 2) *=cose — t sin в.
103. Воспользоваться тем, что модули комплексных сопряженных
чисел равны.
105. а) Уравнение преобразовать к виду ( ) =1.
\х \ J
J07. Пусть
? ... +cos (<p
. ..-fsin
Вычислить S + Ti и S—Ti и определить S из полученных ра-
равенств.
113. Доказать сначала, что <р(рв) = р« м J , если р—про-
р—простое число. С этой целью подсчитать количество чисел, не превосхо-
превосходящих р" и делящихся на р.
116. Доказать, что все корни хРт~1— 1 и только оии не яв-
являются первообразными корнями хР —1.
117. Показать, что если я —нечетное, то для получения всех
первообразных корней степени 2я из единицы достаточно все перво-
первообразные корни степени я умножить на —1.
145

119. Использовать задачу 118.
' 120. Использовать задачи 115, 116, 111 и. показать, что
1) ц(р) ——1, если р—простое; 2) что ц(р*) = 0, если р — простое,
ос > 1-, 3) ц(аЬ) = ц (а) ц (Ь), если а и Ъ взаимно просты.
. 122. Показать, что если e^=cos 1— i sin принадлежит
показателю пи то х—е^ войдет в правую часть доказываемого ра-
равенства в степени 2M^i)> где ^i пробегает все делители —.
123. Рассмотреть случаи: 1) п—степень простого числа; 2) и—
произведение степеней различных простых. Для случая 1) использо-
использовать задачу 116, для 2)—задачи 119 и 122.
124. Рассмотреть Случаи: 1) п — нечетное, большее 1; 2) я = 2 ,
3) n = 2n1( .«J — нечетное, большее 1; 4) и = 2*и1( где ft > 1, и, — не-
нечетное, большее 1.
125. Использовать тождество.
.. +х„-.1х„ =
(*!+*,+ ¦ ¦ ¦ +*„)8-(*! + *!+ ¦ • ¦ + *')
Рассмотреть случаи: 1) и —нечетное; 2) п — 2пи п,\ — нечетное;
3) n = 2*nlf где k> I, til—нечетное.
128. Умножить сумму S на сопряженную и принять во внима-
внимание, что е** ие меняется при замене х на +
Глава 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
132. Иметь в виду, что каждая пара элементов перестановки
образует инверсию.
133. Число инверсий во второй перестановке равно числу по-
порядков в первой.
145. Показать, что в каждое слагаемое входит множителем 0.
149, 150. Заменить строки столбцами.
153. Выяснить, как изменится определитель, если каким-нибудь
образом переставить его столбцы.
154. а) Обратить внимание па то, что при *=а/ определитель
имеет две одинаковые строки.
155. К последнему столбцу прибавить первый, умноженным
на 100, и второй, умноженный на 10.
156. Сначала из каждого столбца вычесть первый.
163. Из второго столбца вычесть первый.
179. Первую строку прибавить ко всем остальным.
180—182. Первую строку вычесть из всех остальных.
183. Вторую строку вычесть из всех остальных.
184. Первую строку прибавить ко второй.
185. Все столбцы прибавить к первому.
186. 187. Из первого столбца вычесть второй, прибавить третий
и т. д.
146

188. Разложить по элементам первого столбца или к последней
отроке прибавить первую, умноженную на х", вторую, умноженную
на х"-1, и т. Д.
189. К последнему столбцу прибавить первый умноженный на
л"-1, второй, умноженный нал?1-*, и т. д.
190. Составить определитель, равный /(х+1) — f(x). В получен-
полученном определителе из последнего столбца вычесть первый, второй,
умноженный на х, третий, умноженный на хЛ, и т. д.
191. Последний столбец умножить на aly a2, ... , а„ и вычесть
соответственно из 1-го, 2-го я-го столбца.
192. Все столбцы прибавить к первому.
194. Все столбцы прибавить к последнему.
195. Из первого столбца вынести аи из второго а2 и т. д.
К последнему столбцу прибавить все предыдущие.
196. Из первого столбца вынести Л; первый столбец прибавить
ко второму.
197. Первую строку и первый столбец умножить на х.
198. Из каждой строки вычесть первую, умноженную последо-
последовательно на в|, о2, ..., ап. Из каждого столбца вычесть первый,
умноженный последовательно на аи а2, ..., а„.
199. Все столбцы прибавить к первому.
200. К первому столбцу прибавить все остальные.
-201. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть
предшествующий столбец, умноженный па а.
202. Из каждой строки, начиная с последней, вычесть преды-
предыдущую. Затем к каждому столбцу добавить первый.
203. Умножить первую строку на Ьо, вторую иа bt и т. д. К пер-
первой строке прибавить все последующие.
204. Из первой строки вынести а и из второй вычесть первую.
205. Разложить по элементам первой строки.
206. Представить в виде суммы двух определителей.
208. К каждому элементу, ие стоящему иа главной диагонали,
приписать в качестве слагаемого нуль и представить определитель
в виде суммы 2» определителей. Использовать задачу 206 или 207.
211. Первый столбец умножить на х1»-1, второй иа х"-2 и т. д.
212. Разложить по элементам последнего столбца и показать,
что Дв=х„Дя_1-г-апх1х2.. .х„_1 (Д„ означает определитель порядка я).
Для вычисления определителя воспользоваться методом математиче-
математической индукции.
213. Разложить по элементам последнего ^столбца и показать,
что Д„+1=--л;„Дя+а„^г...1/„.
214. Из второго столбца вынести alt из третьего а2,-... , из
(я+1)-го^а„. У первого столбца изменить знак на противоположный
и прибавить все столбцы к первому.
215. Разложить по элементам первой строки.
216. Разложить по элементам первой строки и показать, что
Д„ = а1а2 ...ап.1 — Дя_,.
219. Воспользоваться результатом задачи 217.
221. Разложить но элементам первой строки и показать, что
Ап = *АВ-1 — Дн-2-
222. Из последней строки вычесть предпоследнюю, умноженную
ла ¦—-. Показать, что Дя ,.,Js—(x^fn-x—xn-гуп) Д„_г.
Уп-\ У»-\
147

223. Представить в виде суммы двух определителей и покачать,
что Д„=с7„Д„_1 + а1с72...ая_1.
225. Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
1 — *)...(а„_1—х).
226. Положив х„ = (х„ — ап)-\-ап, представить определитель
в fcHiie суммы двух определителей и показать, что
дл = (*п — «n)An-i+M*i— ai)(*2 — a2)...(xn-i—ап-г).
227. Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
228. Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
230. Разложить по элементам первой строки и показать, что
231. Из каждой строки вычесть предыдущую и ко второй строке
прибавить все последующие. Далее, разложив определитель по эле-
элементам последней строки, показать, что
232." Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
п-\
Дя = х(лг-2а„)Дя_, + а>-1 Л (х-2а;).
233. Положив (х—а„)* = х(х—2а„)-{-а%, представить определи-
определитель в виде суммы двух определителей и показать, что
234. Представить в виде суммы двух определителей и доказать,
что
235. Последний элемент последней строки представить в вид»
а„ — а„. Доказать, что
236. Из каждой строки вычесть последующую.
237. В левом верхнем углу положить 1=х+A—х). Определи-
Определитель представить в виде суммы двух определителей. Использовать
результат задачи 236.
238. Умножить вторую строку на хп~1, третью па хп~г, .... и-ю
на х. Из первого столбца вынести хп, из второго х"~1, ... , из и-го х.
239. Использовать указание, данное к предыдущей задаче,
148

240. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть преды-
предыдущий. Затем из каждой строки вычесть предыдущую. Доказать,
что AR = An_t. При вычислении иметь в виду, что CJ,= c?-i+Cn-i.
241. Из каждого столбца вычесть предыдущий.
242. Из каждой строки вычесть предыдущую. Доказать, что
Л„ —Дя-j. ,
243. Вынести из 1-й строки т, из 2-й /и-(-1 из последней
т + п. Из 1-го столбца вынести —, из 2-го и т. д. Повторять
R ^~Г* •
эту операцию до тех пор, пока все элементы 1-го столбца не станут
равными 1.
244. Из каждого столбца вычесть предыдущий. В полученном
определителе из каждого столбца вычесть предыдущий, сохраняя
первые два без изменения. Вновь из каждого столбца вычесть пре-
предыдущий, сохраняя без изменения первые три столбца, и т. д.
После т таких операций получится определитель, у которого все
элементы последнего столбца равны 1. Вычисление этого определи-
определителя особых затруднений ие представит.
245. Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что
Дп+1 = (*-1)Дп. ,
246. Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что
Дв + 1=(я-1) !(*-!) Д„.
247. Из каждой строки вычесть предыдущую; из каждого столбца
вычесть предыдущий. Доказать, что Дя = аДп_!.
248. Последний элемент последней строки представить в виде
г-\-(х—г). Определитель представить в виде суммы двух определи-
определителей. Использовать то обстоятельство, что определитель симметри-
симметричен относительно у и г.
249. См. указание к задаче 248.
252. Из каждой строки вычесть первую, умноженную на
Р n < ab—\f>
—. В полученном определителе из первого столбца выиести —j jrr
и из первого столбца вычесть все остальные.
253. Все столбцы прибавить к первому и из каждой строки
вычесть предшествующую. См. задачу 199.
254. Использовать указание к предыдущей задаче.
256. Рассмотреть определитель как многочлен четвертой степени
от а. Показать, что искомый многочлен делится на следующие
многочлены первой степени относительно а:
а + й+c-f-d; а-\-Ь—с—d; а—Ь-\-с—d; а—b—c-{-d.
258. Добавив все столбцы к первому, выделить множитель
+ • • • +°и- Положив затем х—ах, аг, ..., ап, убедиться в том,
что определитель делится на х—alt х—а2 х—а„.
259. Определитель Ваидермонда.
264. Разложить по элементам первого столбца.
265. Из второй строки вычесть первую. В полученном опреде-
определителе из третьей строки вычесть вторую и т. д.
269. Из третьей строки вынести -^т-, из четвертой -я- и т. д.
Z\ о!
270. Воспользоваться результатом задачи 269.
149

271. Из второго столбца вынести 2, из третьего 3 и т. д. При
вычислении JJ («*—ft2) полезно представить
n>Ofc> I
П («¦•-*¦>=П (?-*> П (»'+*>¦
272. Из первого столбца вынести —ь-г ; из второго—s__ и т. д.
273. Из первой строки вынести а", из второй аЦ и т. д.
275. К первому столбцу прибавить второй, умноженный на
С\п', третий, умноженный иа С\п, и т. д.
276. Воспользоваться результатом задачи 51.
277. Воспользоваться задачей 53.
278. Приписать строку 1, xlt х2, ... , х„ и столбец 1, 0, 0, ... , 0.
279. Рассмотреть определитель
1 I
D-
X!
х\
1
х„
х\
Х-г.
лей'
Сравнить разложение D по
выражением ?>= JJ
i
последнего столбца с
элементам
и
(л;,-—х^)- JJ (г—xi).
>> 1 = 1
280. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче.
282. Приписать первую строку 1, 0 0 и первый столбец
1, 1, I, ... , 1. Вычесть первый столбец из всех последующих.
285. Разложить по элементам последней строки.
286. Сначала из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть
предшествующий, умноженный на х. Затем, после понижения порядка
и вынесения очевидных множителей, преобразовать первые строки
(зависящие от х), используя соотношение
287. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть пред-
предшествующий, умноженный на х.
288. т) Прибавить к первому столбцу шестой и одиннадцатый,
ко второму столбцу седьмой и двенадцатый к пятому столбцу
десятый и пятнадцатый. Прибавить к шестому столбцу одиннадцатый,
к седьмому столбцу двенадцатый к десятому столбцу пятнад-
пятнадцатый.
Из пятнадцатой строки вычесть десятую, из четырнадцатой
строки вычесть девятую, ... , из шестой строки вычесть первую.
293. Рассмотреть
C\a0
С„а,
tnan Lnan
ann
in
O0
о
п-1
b"n
150

294. Рассмотреть
sin <Zj cos <*! 0
sin a2 cos a2 0
sinan cosan 0
295. Рассмотреть
1 1
*1 X2 ...
xl x'i ...
. « ¦
...
...
1
X
X
0
0
0
n
1
1
X
X"
cos a,
sino^
0
0
1
.1
1
0
cosa2
sina2
0
0
x, ...
x2 ...
xn ...
0 ...
> • «
¦ • *
• • ¦
...
*r
Xn
0
cosan
sinan
0
0
0
1
и
0
296. Возвести в квадрат.
297. Вычесть из третьего столбца первый, из четвертого—вто-
четвертого—второй. Затем умножить на
cos ф — sin (р О О
sin <f> cosip О О
О 0 cos2<j — sin 2ф
О 0 sin2<p cos2(p
298. Отнять из второго столбца л-кратный первый, нз четвертого
n-кратный второй. Переставить местами второй н третий столбцы.
Умножить на
О О
О О
cos(n+l)<p — sin («-(-1) ср
sin(n+l)(p cos(n+l)<p
299. Возвести в квадрат. Преобразовать как определитель Ван-
дермонда и каждую разность преобразовать к синусу некоторого
угла. Таким образом определится знак.
300. Изучить произведение
cos я<р — sin пф
sin щ cos /up
О О
О О
IJ-1 °0
а0
1
1
en-i
2kn , . . 2Ая
где e^ = cos j-isin —
808. Ввести в рассмотрение
cos f-isin —. Тогда
J51

311. Использовать задачу 92.
2л-1 .
314. JJ
k = 0
n-l
= П [(ao
r = 0
n-l
ХП [(«о—в
s=0
kn , . . to 2ля , .' . 2m
где 8yj = cos [-i sin—; ar = cos f-i sin—;
P = cos—!——
323. Из каждой строки вычесть первую, нз каждого столбца
вычесть первый.
325. Использовать задачу 217.
327. Представить в виде суммы определителей нли положить
ж=0 в определителе и его производных.
328. 1) Из Bл—1)-й строки вычесть Bя — 2)-ю, из Bл —2)-й
строки вычесть Bя—3)-ю, ... , из (п+1)-й строки вычесть я-ю, из
л-й строки вычесть сумму всех предшествующих.
2) К (я+1)-й строке прибавить но, » = 1, 2 п — 1.
329. К каждой строке прибавить все последующие, нз каждого
столбца вычесть предыдущий. Доказать, что
Глава 4
МАТРИЦЫ
466. Воспользоваться результатом задачи 465 е).
473. Рассмотреть сумму диагональных элементов.
491. Воспользоваться результатами задач 489, 490.
492. Воспользоваться результатом задачи 490.
494, 495. Воспользоваться результатами задач 492, 493.
496. Провести доказательство индуктивно по числу столбцов
матрицы В, доказав предварительно, что если присоединение одного
столбца не меняет ранга матрицы В, то оно не меняет и ранга мат-
матрицы (А, В).
Можно провести доказательство н не индуктивно, воспользовав-
воспользовавшись теоремой Лапласа.
497. Воспользоваться результатами задач 496, 492.
498. Из матрицы (?—А, Е-\-А) выбрать неособенную квадрат-
квадратную матрицу Р и рассмотреть произведения (Е—А) Р н (Е-\-А)Р.
500. Воспользоваться результатом задачи 489.
501. Доказать единственность представления в задаче 500 и
свести тем самым задачу к подсчету числа треугольных матриц У?
152

с данным определителем к. Обозначив искомое число через Fn (k),
доказать, что если k = a-b при взаимно простых а, Ь, то Fn{k)=
— Fn (a) Fn (b). Наконец, осуществить индуктивное построение фор-
формулы для Fn(pm), где р —простое число.
505. Воспользоваться результатами задач 495, 498. Найти мат-
матрицу Р с возможно меньшим определителем так, чтобы Р~г АР была
диагональной, и затем воспользоваться результатом задачи 500.
517. Воспользоваться теоремой Лапласа и неравенством Ьуня-
ковского.
518. Установить равенство. | А А \ = | ВВ \-\CC\ в предположе-
предположении, что сумма произведений элементов любого столбца матрицы В
иа соответствующие элементы любого столбца матрицы С равна
нулю. Затем дополнить надлежащим образом матрицу (В, С) до
квадратной н воспользоваться результатом задачи 517.
523. Приписать к определителю слева столбец, все элементы
М „ .
которого равны -*-, и сверху строчку, все элементы которой (кро-
(кроме углового), равны 0, затем вычесть первый столбец из всех ос-
остальных.
527. Воспользоваться результатами задач 522, 526.
528. Установить связь взаимной матрицы с обратной.
529. Для мниора, образованного элементами первых т строчек
и первых т столбцов взаимной матрицы, установить результат, рас-
рассмотрев произведение матриц:
... Ап1
... Апг
... Ап
1
где Ajk — алгебраические дополнения элементов а^.
Аналогичным образом поступить в общем случае.
535. Представить АхВ как {АХЕт)-(Е„хВ).
637. Провести доказательство по индукции, сначала разобрав
случай, когда Ап есть неособенная матрица. Общий случай свести
к этому, добавив к матрице ХС.
Глава 5
ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
547. а) Разложить f (х) по степеням х—3, затем заменить х иа
х+3.
553. Непосредственно продифференцировать п подставить х= 1,
затем выделить максимальную степень х и продолжать дифференци-
дифференцирование.
153

555. Ввести в рассмотрение полиномы
h {х) = nf (x)-xf (*); h (x) = nf,. (x)-xf\ (x)
и т. д.
561. Доказывать способом математической индукции.
562. Отличный от нуля корень (к—1)-й кратности полинома /(*)
есть корень (к —2)-й кратности полинома */' (ж), (к—3)-й— полинома
*|*П*)]'ит. д.
Обратно, общий отличный от нуля корень полиномов f (x), xf (x),
x[xf'(x)]', ... (всего к—1 полином) есть корень f (х) не ниже чем
(к — 1)-й кратности.
563. Дифференцировать равенство, . показывающее, что полином
делится на свою производную.
567. Рассмотреть функцию ,' , : или ,2 (.
/2 Vе) /1 \Х)
568.# Связать задачу с рассмотрением корней
Ф(*) = /(*)/'(*<,)-/'<*)/(*„).
где «„-корень [f {x)]*—f (x) f" (x).
569. Использовать решение предшествующей задачи и разложить
/ (ж) по степеням х—х0.
576. Доказывать, как лемму Даламбера.
680, 58!. Представить функцию в таком же виде, как при до-
доказательстве леммы Даламбера:
583. Найти корпи полиномов и учесть старшие коэффициенты
[в задачах а) и Ь)]. В задаче с) для разыскания корней целесообразно
положить jt=tg26.
589. Найти общие корнн.
608. Доказать предварительно, что / (х) не имеет вещественных
корней нечетной кратности.
623. Использовать результат задачи 622.
626. Воспользоваться тем, что уравнение не должно изменяться
1
при замене х на —х и х на —.
г х
627.. Уравнение не должно меняться прн замене х на — и х на
1-х.
637. Поделить на A—х)п и дифференцировать да—1 раз, пола-
полагая после каждого дифференцирования дг=О. Воспользоваться тем,
что степень N {х) меньше т, степень М (х) меньше п.
642. Воспользоваться формулой Лагранжа. Произвести деление
в каждом слагаемом результата и привести подобные члены, используя
результат задачи 100.
644. Выразить /^«о) через f(xt), f(х2), ..., f (х„), пользуясь
интерполяционной формулой Лагранжа, и сравнить результат с ус-
условием задачи, принимая во внимание независимость f(*i)> / (*•)> •••
...,f(xn). Затем изучить <р(х) = (х—х1) (х—х.2) ... (х—хп), разло-
разложив его по степеням х—х0.
645. Полином Xs представить через свои значении посредством
интерполяционной формулы Лагранжа.
154

648, 649. Составить интерполяционный полином по способу
Ньютона.
650. Найти значения искомого полинома при х=0,1,2, 3 2п.
651. Можно решить задачу, пользуясь способом Ньютона. Короче,
рассмотреть полином F{x)=xf(x)~ 1, где f(x)—искомый полином.
652. Рассмотреть полином (х—a)f(x)—1.
653. Составить полином по способу Ньютона, вводя для удобства
вычислений в знаменатель каждого слагаемого факториал.
654. Рассмотреть полином /(**)> г*е f(*) — искомый полином.
655. Проще всего по формуле Лагранжа
л
' '*' — У ' '**', (л-,, хг, .... х„ — корни знаменателя).
«PW ?, (х-Ч) ф'(**)
656. Разложить Сперва по формуле Лагранжа, затем объединить
комплексно сопряженные слагаемые.
657. е) Использовать задачу 631. I) Положить -Цгг—У-
A), h) Искать разложения способом неопределенных коэффици-
коэффициентов. Часть найти подстановкой х=хх, хг хп после умноже-
умножения на общий знаменатель. Затем продифференцировать и снова
ПОЛОЖИТЬ Х = Хц Хг, ..., Х„.
660. Использовать задачу 659. В примере Ь) разложить 2_з , л
на простейшие дроби.
665, 666. Воспользоваться задачей 663.
667. В примере с) разложить полином по степеням х—1.
668. Разложить по степеням х—I (или положить х — у+1).
669. Положить х=(/ + 1 и методом математической индукции
доказать, что все коэффициенты делимого и делителя, кроме стар-
старших, делятся на р.
670. 67!. Доказывается, как теорема Эйзенштейна.
679, 680. Допустив приводимость /(х), положить x — alt а.г, ...
...,ап и сделать заключение о значениях делителей.
" 681. Подсчитать число равных значений предполагаемых делителей.
682. Воспользоваться тем, что /(*) не имеет вещественных
корней.
683. Доказать, что полином, имеющий более чем три целых кор-
корпя, не может иметь своим значением простое число при целом значе-
значении независимой переменной, и применить это к полиному f (х)—1.
684. 685. Воспользоваться результатом задачи 683.
702. Составить ряд Штурма и рассмотреть порознь случаи чет-
четного и нечетного п.
707—712. Вывести рекуррентные соотношения между полиномами
смежных степеней и их производными н построить из них ряд
Штурма. В задаче 708 составить ряд Штурма только для положи-
положительных значений х и убедиться в отсутствии отрицательных корней
из других соображений. В задаче 709 составить _ряд Штурма для
отрицательных х.
713. Воспользоваться тем, что F' (x) = 2f (x) f" (x) и Vro f" (x) —
постоянная.
717. Разложить g(x) на множители и применить несколько раз
результат задачи 716.
155

718. Применить результат задачи 717 к полиному хт.
719. Воспользоваться тем, что если все корни полинома аохп +
+ a13fl-l-\-... -\-an-iX-\-an вещественны, то все корни полинома
апхп-\~пп-ух"-1 + . • • +^0 вещественны.
721. Умножить иа лс— 1.
727. Доказывать от противного, воспользовавшись теоремой
Ролля и результатом задачи 581.
728. Построить график 'Ф(*)=тгт4 н стр.ого доказать, что
каждый корень [f'(x)]2~f(x)f"(x) дает экстремальную точку для
i|> {х) и обратно. Доказать, что \|> (х) не имеет экстремальных точек
в интервалах между корнями f (x), содержащих корень f (x), и
имеет точно одну экстремальную точку в интервалах, не содержа-
содержащих корней. f(x).
729. Использовать результат задач 727 и 726.
730. Изучить поведение функции
~V
731. Решается на основе предыдущей задачи при А = 0.
732. Доказать индукцией по степени / (ж), положив / (х) =
— (x+k)fi(x), где /i(*)—полином степени я — 1.
- . 733. Доказывается двукратным применением результата задачи 732.
734. Если все корни f (x) положительны, то доказательство про-
проводится элементарными средствами, именно индукцией по степеин
f (x). В индуктивные предположения следует включить, что корни
*!, х2, ...,*„_! полинома bo+^wx-}- ...+bn-lwi»-u*xn~l удо-
удовлетворяют условию
Для доказательства теоремы в общем случае следует предста-
представить ш*2 как предел полинома от х с корнями, не содержащимися
в интервале @, л), и воспользоваться результатом задачи 731.
735. Рассмотреть
где
ср(х) — й|>(
= a0cos(p+---+ancos
¦ф (х)=bo sin ф + ... + bn sin (<p+лб) *».
736. Рассмотреть модуль ^|^'.^ , где
ср (х) = пь-\-а1х+ ... +а„х",
Доказав вещественность корней, умножить ф (дг) -j- iip (д;) на
a—Pi н рассмотреть вещественную часть. Воспользоваться резуль-
результатом задачи 727.
уЫх) •
737. Разложить Z1J. Иа простейшие дроби, исследовать знаки
коэффициентов в этом разложении и исследовать мнимую часть
-|[Ф(*)-|-п)з(*)] = ф(х) .
ф (х) Ф (х)
156

/' (x)
738. Исследовать мнимую часть ; , разложив эту дробь на
I \Х)
простейшие.
739. Сделать замену переменной так, чтобы данная полуплоскость
преобразовалась в полуплоскость Im (дг) > 0.
740. Связать с задачей 739.
V (х)
74!. Разложить ' иа простейшие дроби и оценить мнимую
I '*/
часть.
743. Положить x = yi и воспользоваться результатами задач 736
и 737.
744, 745. Воспользоваться результатом задачи 743.
746. Положить х= и воспользоваться результатом за-
задачи 744.
747. Умножить полином на 1—х и, положив |ж| = р> 1, оце-
оценить модуль A—x)f(x).
Глава б
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
772. Стороны треугольника, подобного данному и вписанного
в круг радиуса }/2, равны синусам углов данного треугольника.
800. Сначала вычислить сумму
2 <*+*<•)*.
затем подставить * = *у и просуммировать по / от I до п. Наконец,
удалить лишние слагаемые и поделить иа 2.
801. Решается, как задача 800.
805. Каждый первообразный корень из единицы степени п, будучи
возведен в т-ю степень, дает первообразный корень степени —г,
где d — наибольший общий делитель т и п. В результате этой опе-
операции, проведенной над всеми первообразными корнями степени п из 1,
все первообразные корни степени -г- получаются одинаковое число раз.
806. Воспользоваться результатами задач 805, 117 н 119.
807. Нужно найти уравнение, корнями которого являются
ac1f дг2, ..., хп. Для этого воспользоваться формулами Ньютона или
представлением коэффициентов через степенные суммы в виде опре-
определителя (задача 803).
808. Задача легко решается посредством формул Ньютона или
посредством представления степенных сумм через основные симмет-
симметрические функции в виде определителей (задача 802). Однако еще
проще умножить уравнение на (х-а)-(х-Ь) и подсчитать степенные
суммы для нового уравнения.
809. Проще всего умножить уравнение на (х-а)-(х-Ь).
818. Считать корни полинома [ (х) независимыми переменными.
Умножить определитель из коэффициентов остатков на определитель
Вандермонда.
157

819. Прежде всего доказать, что все полиномы ярц имеют сте-
степень л —1. Затем умножить определитель из коэффициентов фд на
определитель Вандермонда.
820. Решается, как задача 819.
827. Воспользоваться тем, что /я-е степени первообразных кор-
корней п-й степени из 1 пробегают все первообразные корни степени —г
из 1, где d есть наибольший общий делитель т н п.
828. Воспользоваться результатом задачи 827 и тем, что R (Хт, Хп)
есть делитель R(Xm, ж" —1) и R (Х„, хт — \).
834, 835. Вычислить R (f, f).
839. Умножить иа х—1.
840. Умножить на х— 1 и воспользоваться результатом задачи 835.
843. Вычислить R (Х„, Х'п). При вычислении значений Х'п при
корнях Хп представить Х„ в виде
(хп — l)H(*d— 1)
считая d пробегающим собственные делители п.
844. Воспользоваться соотношением Еп = Е„—х",
845. Воспользоваться соотношением
846. Воспользоваться соотношениями:
847. Воспользоваться соотношениями:
848. Воспользоваться соотношениями:
849. Воспользоваться соотношениями:
Ря-2*Ря_1 + (*1+ 1) Рп-2 = 0; Р'„=(п-\-1) Рп_х.
850. Воспользоваться соотношениями:
851. Воспользоваться соотношениями:
852. Решить задачу методом множителей Лагранжа. Записать
результат приравнивания производных нулю в виде дифференци-
158

лльного уравнения относительно полинома, дающего максимум, и
решить уравнение методом неопределённых коэффициентов.
867. Показать прежде всего, что уравнений с указанными свой-
свойствами существует при данном п лишь конечное число. Затем пока-
покапать, что свойства не нарушаются при преобразовании" у = хт.
Глава 7
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
884. Использовать результаты задач 51, 52.
916. Наименьший угол следует искать среди углов, образованных
пекторами второй плоскости с их ортогональными проекциями на
первую плоскость.
917. Задать куб в системе координат с началом в центре и с
осями, параллельным ребрам. Затем принять за оси четыре взаимно
ортогональных диагонали.
918. Использовать результат задачи 907.
920. Доказывать по индукции.
921. Воспользоваться тем, что V[A1 Ат, Вх В/,] --
= V\Alt ..., Am]-V[B1 B/f], если At^_B/, и результатом
предыдущей задачи.
933. Прежде всего найти характеристические числа для квадрата
матрицы. Затем для определения знаков при извлечении квадратного
корня воспользоваться тем, что сумма характеристических чисел равно
сумме элементов главной диагонали и что произведение характери-
характеристических чисел равно определителю. Применить результаты задач
126 и 299.
934. Применить результат задачи 933.
936. Использовать результаты задач 537 и 930.
943. 1) Воспользоваться тем, что определитель треугольного
преобразования равен единице.
2) Положить
945. Принять линейную форму, квадрат которой добавляется
к квадратичной форме, за новую независимую переменную.
946. Выделить из формы f одни квадрат и воспользоваться ре-
результатом задачи 945.
948. Рассмотреть квадратичную форму от переменных ult «2,... ,«„:
/ = S <"» + "»** + •
*1
где *i, х2, ..., хп—корни данного уравнения.
950. Разложить / и <р на сумму квадратов и воспользоваться
дистрибутивностью операции (f, <p).
965. При доказательстве обратной теоремы использовать разло-
разложение Х = АХ+(Е—А)Х.
966. Записать матрицу проектирования в базисе, получающемся
объединением ортогонально нормированных базисов Р и Q.
159

967. Убедиться в том, что АХ-Х = 0 для любого вещественного
вектора X. Разложить характеристическое число и собственный век-
вектор на вещественную и мнимую части.
968. Умножить матрицу А справа на Р, слева на Р-1, где Р —
ортогональная матрица, первые два столбца которой составлены из
нормированных вещественной и мнимой частей собственного вектора.
970, 971. Воспользоваться тем, что для ортогональной матрицы Л
AX'AY = X'Y при любых вещественных векторах X и Y.
972. Доказывается на основе результатов задач 970, 971 и так
же, как задача 968, на основании результата задачи 967.
975, 976. Перейти к канонической форме Жордана.
978. Связать с решением предыдущей задачи.
980. Необходимость—см. задачу 473.
Для доказательства достаточности рассмотреть сначала случай,
когда все диагональные элементы матрицы С равны нулю. Дал^е,
использовать, что если C — XY—YX, то
S-'CS = (S-1XS)(S-1YS)—(S~*YS)(S-iXS).

ЧАСТЬ Ш
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
4 I
о «___ о. #/=_—• z = 2* /= —
3. 1, если n = 4ft; i, если n = 4ft+l; —1, если n=4k+2;
—i, если n = 4ft + 3; k—целое число.
5. a) 117 + 44i; b) —556; с) —76(.
6. В том и только в том случае, когда:
1) ни один из сомножителей не равен нулю;
2) сомножители имеют вид {а + Ы) и K(b-\-ai), где X—веще-
. а2—б2 , . 2ab v 44—5t
ственное число.
7.
8.
a) cos 2а + »
^ —1—32/
d) 25
2i"-1.
sin 2а;
; е) 2.
9. а)дс=1+«, y = i; b) дс=2+«, y=2
с) *=3—11«, у= —3—9i, г=1 —7».
10. a) -1-i^l; b) 1.
11. a) fli'+fti'+c2—(ab+bc+ac); b) a3+63;
c) 2(З+6з+З)з (а6 + 2+62+62+2
d) а2—
12. а) 0, 1, —2-+-LX^. —2— ^р; Ь) 0, 1, », -1, -i.
15. a) ±(l + i); Ь) ±B-2«); с) ±B-0; d) ±(l+«M
е) ±A-20; !) ±E+60; g) ±A + 30; h) ±(l-3t)S
.) ± C-0; j) ± C+0; Ю ±
Д. К. Фаддеев, И. С. Соыинский 161

,± i/-8 + 2 VTt i m)±( У^-i Yт) '
n) ГЩШ;о) t.(l±*l+l=yil). «=0. 1, 2, 3.
ie. ± (P—«o.
17. a) *i=3—i; *,= —l + 2i; b) xl =
i • 4-2<
c) *! = !—(; *a=—g— •
18. a)l±2i; -4 ± 2*; (*»-2*+5)(*
b) 2 ± iV^I -2 ± 2» ^2"; (л;8-4л;+6) (л:а+4дс4- 12).
VT i
19. a) *= ± ^g- ± у '• b) ± 4 ± i.
22. a) cosO+'isinO; b) cosn + isinn; c) cqp-5- + 'sin T'
d) cos-?-+/sin-g-; e) \ 2 ( c
0 /2-(cos^- + i sin^) s g) V2 (cos^ + / sin^) ;
h) VT^cos Z^ + i sin ?-f) ; i) 2 (cos f + / sin f) ;
j) 2^cos-T + /sin-3-J; k) 2^cos-g- + tsin— J;
1) 2 (cos Ц-+1 sin^-) ; m) 2 (cos i + f sin y) ;
n) 3(созя+»з!пя); о) 2(cos-^-+» sin^-^;
Замечание. Здесь приведено одьо из возможных значений
аргумента. _
23. a) VlO (cos 18°26' + / sin 18°26');
b) /T7 Ccos 345D57'48" +1 sin 345°57'48");
c) V5 (cos 153°26'6'+* sin 153°26'в");
d) /5"(cos243o26'6* + (sin243''26'6'').
24. а) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Ь) Луч, выходящий . из начала координат под углом -^- к поло-
положительному направлению иещественной оси.
162

25. а) Внутренность круга радиуса 2 с центром в начале_коор-
динат.
b) Внутренность и контур круга радиуса 1 с центром в точке @, 1).
c) Внутренность круга радиуса 1 с центром в точке (!, 1).
26. a) *=-jj- —2i; b) л;=—+ «.
27. Тождество - выражает известную теорему геометрии: сумма
квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
сторон.
29. Если разность аргументов этих чисел равна я+2Лст, где
k — целое число.
30. Если разность аргументов этих чисел равна 2йя, где k — це-
целое число.
34. cos (ф -f-1|)) -f- i si n (ф -f- i|j).
35.
36. a) 212(l + i); b) 2S(l-i УТ); с) B- \Гз I2; d)-64.
38. cosT + .e,nT.
39. 2 cos ^~- ¦
40. Решение. 1 + cosa-f-'sina =
n „ a , „. . a a n a. ( a. a
= 2cos2-2" + 2i sin-y cos -д-=2 cos -^ I cos-^ + i sin -y
A+cosa + i sin a)" = 2" cos"-^- f cos —+ i sin-g-
43. a) — 1;
t
2 2
c) l + i; l-i; -l + i; -l-«;
1 + 4^1.1_/?
22*2 2
34-'УЗ . -3+»уТ
44. a) y/JT(cos8cl5'18-<sin8°5'18")eft,
где eA = cos \20°k+i sin 120°ft, ft = 0, 1, 2;
b) v/T0(cos 113°51'20'+i sin 113°61'2O") zk,
где eA = cosl20Dft+rsinl20°ft, ft = 0, 1, 2;
c/j^KHcos ll°15'29"+( sin ll°15'29")eA,
где eA = cos72o? + rsin72°?, k = 0, 1, 2, 3, 4.
6* 163

где k — Q, 1, 2, 3, 4, 5;
где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
17
. . 24fe+l7 N , n , „ o , -
zsin—75—")> гДе * = °> *» 2> 3- 4- 5-
где /e = 0, 1, 2, .... л-1.
47. а) Решение. Рассмотрим (cosat+' sin*N. По формуле
Муавра
(cos x +1 sin atN = cos Ъх-\- i sin Ъх.
С другой стороны,
(cos аг+ / sin х)ъ = cos6 аг+ 5i cos4 at sin x —10 cos3 дг sin2 x—
— lOf cos2 дс sin3 x-f- 5 cos x sin4 at-f-' sin5 x =
= (cos6 x—10 cos3 a; sin2 a;+5 cos ж sin4 a;) + i E cos4 ac sin x—
— 10 cos2 a; sin3 x+ sin6 a;).
Сравнивая результаты, имеем:
cos Ъх=cos6 x—10 cos3 x sin2 x-\-5 cos ac sin4 дс;
b) cos8 a;—28 cos6 x sin2 лг-f-70 cos4 a: sin4 a;—28 cos2 x sin*A;+ sin8Ac;
c) 6 cos6 at sin x—20cos3at sin3 лс-!-6 cos at sin6 at;
d) 7 cos" at sin at—35 cos4 x sin3Ar+21 cos2 x sin6 x—sin7*.
4a 2Ctg9-10tg»9+3tg»<r)
1 — 15tgaq>+15tg4<p—tgev'
49. cos./w = cos" x—CnCos"-2xsin2 x + С*соьп-*х sin4 ас— ... + М,
где M = (—IJ.sin" л;, если п—четное, и
n-l
M = (—1) л cos at sin"-1 x, если я — нечетное.
sin nx = Cn cos"-1 x sin x—C% cos" x sin3*+ ...+M,
n-2
где M = (—1) 2 ncos ж sin"-1 at, если n — четное, и
M = (—1) 2 sin" л, если п—нечетное.
50. а) Решение. Пусть a = cos x+i sin x. Тогда
a~1 = cos*—1 sin x;
a* = cos kx -f i sin kx; a -* = cos fet—1 sin kx.
Л , a*-f-a~* . . a*—a~*
Отсюда имеем cos«at= -? ; sin^A; =
164

., a + a . • a—a
В частности, cos*=—-~—; sin*
-~—; sin* =—— ;
• з - fa~«~1V_«3—За+За-1— а-а_(аз—а-3)—з («—a-i)
sin x~^ 2/. j - _&. _ —j. ;
2i sin 3*—Ы sin x3 sin x—sin 3*
. 3
. cos 4x—4 cos 2^+3 cos 5x + 5 cos Эх-"- 10 cos x
„ cos 6^ + 6 cos 4л+15 cos 2^+ 10
d)
32
52. Решение.
Cm-p-\- Cm—p—i —
(от-р)(от-р —1)... (OT-2p+l) (m—p-1) ... (от—2p+l) _
P! "^ (P-1)!
_ w(/n—p—1) (m — p—2) ... (m—2p-j-l)
• _ .
Обозначим 2cosOT* = Sm; 2cosjr=a. Тогда интересующее нас
равенство можно записать так:
Нетрудно показать, что
2cos mx = 2 cos x-2 cos (от— 1) я—2 cos (m—2) я,
или, в наших обозначениях, Sm = aSm-l—Sm_2.
Нетрудно проверить, что для пг—1 и т=2 доказываемое ра-
равенство справедливо. Допустим, что
Тогда Sm — am — тат~г-\-...
...+(- \)р (СР1_Р_1+ с?--р-2+ cftij,ri+ cu-p
Имея в виду, что С«= Ся-i + Cn-i, получим требуемый результат.
53. ^5L= Bсое«)*-i-CJ,_2Bсое*)—»+
+ Ст-3 B cos ^">-6- ... + (- \)Р Cpm.p-i B cos x)*-*p-i+ ...
54. а) 2^cosiHL; b) 2^sin-JL. 56. -^-.ein-^L.
59. а) Решение.
S = 1 -)- a cos <p -f- a2 cos 2ф + .,. -f- a* cos fop.
165

Составим Т = а sin f+a*sin 2ф+ ... +a*sin kq>;
S-f-77 = l+a(cos ф+i sinq1)-!-^8 (cos 2ф + [ s
... + a* (cos kq> + i sin kq>).
Положив a=cos ф+isin ф, имеем
nk+lnk + l 1
• • ¦+«*«*= Q^—1—- .
iS равно вещественной части подученной суммы. Имеем
„ . „,. aft+ia**1 — I ea-i—1
aa—l ea-i — 1 a2—a(a+a-1)+1
gb+icoslKp—ak+lxx>s(k-\-l)ff—
Цтсюдз ij =в- л Л , #
a2—2acos ф+ 1
.. ak+isin(<pikh)a
«n—J
2
e«—2acosA+l
2n+l
Y
2sin-|-
60. Решение.
T = sin дс+sin 2x+... +sin nx;
S = cos x+cos 2*+ ... +cos nx.
Пусть a="cosy+isin тг * Тогда s+7'' = a2+«4+•••+a2n.
a (a—a-1)
/ n+l ,. ' n+l \ ?in
= cos -4- x+1 sin —?- дс
s
sm
_ __ _ sin -д-
Отсюда i — mi —д— л
sinT
2B-cosac)
5—4 cos a; *
sin I a-\ s— A ) sin •
(•+V0
ft
C0ST
/ . n—1 , \ nft
cos la-\ s—ft J cos -5-
64. a) i -~ , если n—четное,
cos у
cos —
-r , если я —нечетное;
ft
166

/ , n—1 Л . nh
\a-\-—— Ajsin-^-
cos
b) - . ' — , если n—четное,
COSy
. , , n—1 Л nh
sin ( a + .—^— h ] cos -y
, если n— нечетное.
h
COS-g-
S. a) 2«cosB-jc°slLp-*; b) 2» cos" у sin
67. a) 2» sin« ^ cos '"' '" ' -' " ; b) 2» sin» •?¦ sin v" '''/~М
68. Предел суммы равен вектору, изображающему число
69.4—sin4n*
2 4sin2x '
n+l . n* 3(n+l) . 3n*
.t . 2 2 2 2
7,.a) . + _
4 sin -j 4 sin —r-
n . n+l . nx . 3(n+l) . 3nx
3sin—5— x sin -^- sin-5-^—i ж sin —5-
b)
. . x . . Ъх
4 sin -я- 4sin-y
_ . (n+l) cos/u— ncos (n+ 1) at— 1
и. а) ;
s'n nx—n s'n
4sin2 —
73. eo(cos6+(sin6).
75. a) —3; 3^^3 ; b) —3;
C) _7; _1±1уз-; d) -1; —
g) /9-
167

j) 2; -1±2( \ГЗ; к) 2; -l±8i VT; 1) 2; -l±4i
m) 1; —2± УТ; n) 4; —l±4i УТ; о) —2i; i; i;
p) -l-<; -1-i;
q)
r) -
s) 2.П49; —0,2541; —1,8608;
t) 1,5981; 0,5115; —2,1007.
76. Решение.
*i — л:2 = аA— w) + P(l— w2) = A— w) (a— P
«! — x3 = a A — со2) + P A — ш) = A — со2) (а—Р);
я2—*3 = а(со—co2)-f-P(w2—со) = (ш—со2) (а—Р);
(^-^j) («i-«») (Jtg-Jts) =3 (co-co2) (a»-P»)l
(AT, «g)*(«i АГ3J(АГ, *3J =
= -27 [(a» + p»)8-4«зрз] = _27<7а-4рз.
77. Решение.
Кубическое уравнение, о котором упоминалось в указании, есть
г3—3(px-\-q)z+x3+p3—3qx—3pq — 0, имеющее очевидный корень
г——{х + р). Остальные корни этого уравнения суть г2 3 =
= Х+Р± У-Мх—Р)*+Мд в силу задачи 76 левую часть изу-
изучаемого уравнения можно представить в виде
)— V—3 (лс —р)»+
2 2 J
откуда корни легко находятся:
78. Левая часть представится в виде
)(a4-aN-Pa—а)(«Р—а)—26 = 0.
168

Ответ. * = a+(J, где
79. а) ± VI; 1 ± i /5"; Ь) -1±
~b3—ab;
; ± i у
g) ± ('; 1 ± i
О ± «; -1 ± ' ^6 ; j) -2±2 |/ ; -1 ± /;
к) 1; 3; 1± У~2\ 1) 1; -1; l±2i;
m)
n)
°
1 —
P)
q)
r)
•
80.
1+У~5 :
1+^2-
Л i
l+KTd
tV22 + S
4
. |/ 30—6
4
V i+2
i Кб+2
1 ±V 4 1/1-3 1
2
l+VTi
1 + У~±
Решен
4
»У5
УТ
1 .
>1^2"
УТ;
±У
»ут
: К -5+2 1Л
4
У 12 + 2
4
ие.
у"з
1 — УТ± F22—2УТ .
4
1_|А5Г± К 30 + 6 У"_
4
1-УТ±]/б-2УТ;
-4 УТ—3
2
4
» , 1—УТ± К—5—2У
¦ 4
1_У±1/ 12—2 У~3
4
~т*~п) :
= у—и;
169

81. a) ±1; b) 1; __±«Ij-; c) ±1; ± I;
f) ±1; ±«; ±у±
g) ±i; ±i; ±y±^
,y±±vj_, .ут-уъ.
82. a) -l; b) —g-±'"V;«0
e) ±^-(l±0; 0
± 1 -A . ± ^ ± <
83. a) 20; 20; 180; b) 72; 144; 12.
84. cos^p+isin^-, где *=1, 2, 3, 4, 5, 6.
. л, - 2fen . . . 2kn-
85. а) Обозначая ea = cos-rg—|-isin-7^-f получаем:
показателю 1 принадлежит е0;
показателю 2 принадлежит е8;
показателю 4 принадлежат е4, е12;
показателю 8 принадлежат еа, е„ ею, е14;
первообразные кории 16-й степени е1( е3, е5, ет, е„ е11( е13, е16.
b) Обозначая еА=005-^^+1 sin-—-, получаем:
показателю 1 принадлежит е0;
показателю 2 принадлежит е10;
показателю 4 принадлежат е6, е1В;
показателю 5 принадлежат е4, е8, е12, е1(;
показателю 10 принадлежат е2> е(, е14, 6ц;
первообразные корни 20-й степени в1( е8, е7, е9, еи, е13, е17, е19.
c) Обозначая ej = cos-s2-+isin -^j-, получаем:
показателю 1 прннадлежит в0;
показателю 2 принадлежит е12;
показателю 3 принадлежат е8, в^;
показателю 4 принадлежат ев, е18;
показателю 6 принадлежат в4, 820;
показателю 8 принадлежат в3, е8, е15, е21;
показателю 12 принадлежат е2, 810, е14> е22;
первообразные корни 24-й степени еь е5, е7, еи> 818, е17, е]9, еаз.
170

86. a) X1(x) = x—\; b) Хг(х) = х+1;
c) X3(x) -*«+*+!; d) Xt(x)=x*+l;
e) Хь(х) =x*+x*+x*+x+l;
0 x6(*) =**-*+1;
g)X7(*) ¦=«•+«•+*«+*¦+*•+*+1;
h)X() *+
)
i) X
j) X
()
(*)
(x)
()
j) l0()
к) Лц(дс) = + +
1) Х12 (*)=**-*<+1;
'—дс+1;
«2
87. 2
1-е
88. О, если я > 1.
89. п, если k делится иа л; О, если А ие делится иа п.
90. /п(**»+1).
91. -" если *ф\;п{п+1)
1 "^* 8
п«A— б) + 2л ^, я(я+1)Bя+1)
92- A—eJ—' если е^1; 6 >еСЛИ е= '
93. а)-т; Ь) —j ctg-.
94. а) 1; b) 0; с) —1.
95. *0=1;
f+« sin ^==-L±=i+-L У 10+2/5" ;
= cos
8л ... 8л V^B"—1
+«sin:
9e.sinl8=i^; cosl8 = L±l.
97. Решение. Разделим обе части уравнения +++
хэ+л;г+дс+1=0 иа дс8. После некоторого преобразования по-
чнм
171

Уравнению г3 + га—2г—1=0 удовлетворяет * = 2cos-=-=:
От /2i
==—2 sin-77". Отсюда /=»2sin-rj удовлетворяют уравнению /3—t* —
—2/+1=»0. Полученное уравнение—простейшее в том смысле, что
всякое другое уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее
общий корень с этим, имеет более высокую степень. Доказательство
этого требует сведений из последующих отделов курса.
98. Решение. Пусть п = 2т, тогда уравнение хп—1=0 имеет
два вещественных корня 1 и —1 и 1т— 2 комплексных. При этом
2Ля , . . 2Ля 2 Bm—k) л .
+tsmm~ сопРяжено с 82«»-* = «>s- g/n +
. . 2 Bm — k)n _
s/n —;—s — • Таким образом, имеем
я _ i = {Х2_ 1) (x—ej (x—Tj) (х- еа) (х~72)...
... (х—zm-i) (x—eM_i);
П(-2ЖСО8 — +1).
*= 1 Ч « /
Если я = 2/п+1, то аналогичным путем получим
. х1-+1_1 = (,_!) Ц ^i-arcos l^
99. Р е ш е н и е. а) Имеем
*2/я — 1 'тУ / , о kn , , \
—5—г= 11 «*—2xcos И .
т — 1 Ь \
Положив дс=1, получим т = 2я>-1 TTm_cos— j,
нли я1 = 2г(я>-1> TTsin2^2., и, наконец,
*й 2/п
Формула b) получается аналогичным путем.
л-i
100. Р е ш е н и е. В тождестве хп — 1 = JJ (х—ед),
ft=o
2*я . . 2йя « п
где ел = cos |-'sin—, положим х = —-г. Получим
gg ( ) т.*
172

101. Поступая по указанию, имеем
л-1
cos nQ+i sin яв—1 = JJ (cos в+«" sin в—eA),
*=o
л-1
cos яв—i sin яв—1 = JJ (cos в—i sin в—e*).
k = 0
Перемножив последние равенства, получим требуемый результат.
102. Решение.
и-1 ,, , , , , п-1 п-1
fe=os=o
я-1л-1 . ' ._ ii-l л-1
h 4
я-1л-1 . ._ ii-l л-1
пп ht1 4nn^(e,-i
ft = Os=OL \8ft /J * k = 0 s = 0
4
П
s=0
n-1
103. Имеем [ jc | = | x\n~l, следовательно, | jc | == 0 или |х( = 1.
Если |дс| = О, то х=0. Если же \х\=\,тохх=1.
С другой стороны, хх = х". Следовательно, дсп=1. Таким
образом,
л 2kn . . . 2kn . л , n i
х — 0 и х — соъ И sin—, k = 0, I, 2, .... я—1.
п п
Обратное проверяется легко.
104. Решение. Если г удовлетворяет данному уравнению, то
z—а
VW\
. Геометрическое место точек, расстоянии от
которых до двух данных точек находятся в данном отношении, есть
окружность (в частном случае—прямая).
105. а) Имеем ¦ . =еь, где еь —cos г-t sin¦ , k=\,
х— 1 mm
2 т—1. Отсюда х-~е* . Преобразование последнего выра-
. . /ел , , г. .
жения дает Хь = 1 ctg — , Л= 1, 2 т — 1;
т
b) jcft = ctg — , k=\, 2, ..., т—1;
c) хк=*^ /»Л-_1 '
где еь = сов r-i; sin , k — 0, 1, 2, ..., я—1.
ял *
173

106. Решение. Пусть y4 = cosq> + / sin tp. Тогда . ¦=tj|,
где Tife = cos y '2m 4-i sin -!-_—, * = 0, I m—1. Отсюда
ill— 1 _ *)*—Щ1 _¦
/(l+O'-'Mh1)
107. Решение. Поступая по указанию, имеем
s+Ti=ц A -ьЯл)», s—гг =1ГA +п
где A. = cosa + i sin a, |i = cos<p-f-isin <p. Отсюда
Уравнение принимает вид цA+A*)"-r
Sl" 2.
108. Решение. Пусть а"=\; Рь^1. Тогда (аВ)°ь =
ЧР6)°1
ЮЧР)
109. Решение. Пусть е—общий корень Xй—1 н хь—1;
s—показатель, которому принадлежит е. Тогда s—общий делитель о
и Ь, s может быть поэтому равно только 1 и е=1. Обратное оче-
очевидно.
110. Решение. Пусть ак и fis—корни а-й и Ь-й степеней из 1;
k = Q, 1, 2 а—1; s = 0, 1, 2 6—1. На основании за-
задачи 108 достаточно показать, что все а/^ различны. Допустим, что
aftiPsi=aftiPja- Тогда —-=s-^, т. е. ai = P/. На основании за-
дачи 109 а,- = Ру=1, т. е. kl ==k2; Sj = Sj.
111. P еше ние. Пусть а и Р — первообразные корни степенно
и Ь из 1. Пусть (аР)*=Л. Тогда а6'!=1; Ра5=1. Выходит, что bs
делится на a, as делится на Ь. Следовательно, s делится на ab.
Пусть А.—первообразный корень степени об из 1. Тогда \ = ak$s
(задача ПО). Пусть а* принадлежит показателю at < а. Тогда Vi*=
=(a*)e<6(Pf)ai6=l, что невозможно. Точно так же можно показать,
что Р*—первообразный корень степени b из 1.
112. Непосредственно следует из задачи 111.
113. Поступая по указанию, выпишем все числа, кратные р и ив
превосходящие р». Именно: 1-р, 2-р, 3-р, .... р'*~1-р. Непосред-
Непосредственно видно, что таких чисел р"-1. Отсюда <р(р«) = р«—p«-i =
= р* ( 1 ). На основании задачи 112, ф(л) = ф (р"')Ф (Рг2) •••
Pi/ \ Рг) \ Рк)
114. Решение. Если е—первообразный корень степени п из1,
то н е, сопряженное с е,—тоже первообразный корень степени л нз 1.
При этом 8 Ф ± 1, так как п > 2.
174

115. Xp(x)^xP
116. Xpm(x)=x
117. Указание может быть выполнено сразу' на основании
задачи 111.
Пусть аи а2 «осп» — первообразные корни степени л из 1.
Тогда —<Xi, —а2 —а? (п)—первообразные корни степени 2га
из 1. Имеем
= (- 1)? <"> (-*-<%!)-.. .(-лс-о, („,),
или (задача 114) Х2Я (ж) = Л„ (—я).
..в г. п 2Лл , . . 2kn ,
118. Решение. Пусть e^ = cos—j+( s'n ~тг~" первообраз-
первообразный корень степени nd из 1, т. е. А и я взаимво просты. Раз-
Разделим k на я, получим k = nq-\-r, где 0 < г < я. Отсюда
„ •. 2гя „ . 2гл
ej=cos -j И sin 2 > т- е- 8ft—°ДН0 из значений
. 2гп~, . . 2лл ,. „ .
корня степени d из r\r = cos \~i sin — ; r\r—первообразный ко-
корень степени я из 1, так как всякий общий делитель лил есть
общий делитель k н я.
Пусть теперь T)r = cos (-» sin первообразный корень
степени л из 1, т. е. г и я взаимно просты.
i 2гл _ . 2гл ^-
2"Л+— , . . 29Я+— 2л(г+пд) ,
Составим 8<7 = cos з h( sin т =cos —i—. +
* а а па
*+isin— 4 ' где <?="> '• ^' •••• ^—'• е9—первообразный
корень степени nd из 1. Действительно, если бы r-\-nq и nd дели-
делились оба на некоторое простое р, то на р делились бы я и г, а это
невозможно.
119. Решение. Пусть elF е2 8<p(/i'> — первообразные корни
Ф ("')
степени л' из 1. Тогда *„.(*"">= П (х""-гк). Пусть, далее,
(х—б?_ j) (х—е^ i)...(x—гк, п) — разложение х""—в^ на линейные
* = ф (Л')
i=:n"
множители. Тогда Xn(*")= JJ (х—е^ ,-). На основании за-
(= 1
дачи 118 каждый линейный множитель х—eft / входит в разложе-
разложение Х„(х) и обратно. Так как, кроме того," <р (я) = я*ф(я'), сте-
степени Хп (х) и ХП' {хп ) равны.
175

121. Решение. Сумма всех корней степени я из 1 равна 0.
Так как каждый корень л-й степени нз 1 принадлежит показателю d,
являющемуся делителем п, и обратно, то У!ц, (d) — 0.
9brr 9Ьтг
122. Решение. Пусть еь=сов И sin— принадлежит
я я
показателю лх. Тогда множитель х—е^ войдет в такие и только такие
двучлены аг—1, где d делится на л,. Прн этом, если d пробегает
все делители л, кратные п1г -? пробегает все делители — . Таким
d Tt\
образом, х—8ft в правую часть войдет с показателем 2^№.)-
Сумма эта равна 0, если — Ф 1, н равна 1, если п — п,.
Л1
123. Решение. Если п = р*, где р — простое, то Хп(\) = р.
Если п = р^«р^« .... р<**, где pj, рг, ..., pk—различные простые, то
(задача 119) Хп(\) = Хп. A), где я' = р,рг ...р*.
Пусть теперь п = рхР2 ... р*; k^2; ях = —. Заметим, что для
получения всех делителей п достаточно ко всем делителям п1 при-
приписать нх произведения на рд. Поэтому
'^
2) Пусть я = 2*, тогда Х„=
П
din,
Отсюда Х„(})=1.
124. Решение. 1) Пусть я—нечетное, большее единицы.
Тогда (задача 117) Хп(— 1) = Х2пA)=1.
2 и Хп(—1)
равно 0, если Л=1, и равно 2, если k > 1.
3) Пусть п = 2п1г где ях—нечетное, большее единицы. Тогда
(задача 117) Хп(— 1) = Х„, A) н, следовательно, ^„(—1) или равнор,
если п^ — р* (р—простое), или равно 1, если пгфрл.
4) Пусть я = 2*яь где k> 1, а я1 = р«>р«« ... p«*(Pi. Pa. •••
.... ps—различные нечетные простые числа). В этом случае (задача 119)
XB(x) = X2piPi m pf{*), где Я = 2*-1р«'-1 ... pf'-К Отсюда сле-
следует, что Х„(—1)=Х„A)=1.
176

125. Решение. Пусть ец е2, ..., е^ — первообразные корни
степени я нз 1:
s=e1e2+ele3+...
1) Пусть п — нечетное, тогда е/ есть первообразный корень сте-
степени п из 1 и е* = е/ только при i = j. Поэтому
,*-l о» 4- 4-f2 -и/л) и s_[HM]Illiiil)
8i + 8г"г" • • • "г еф (n)~r v«J и s 2 •
2) Пусть п = 2п1; пх—нечетное. В этом случае—е/ (задача 111)
есть первообразный корень степени пх нз единицы н поэтому (см. 1))
Ei "I" еа "Т" • ¦ • + 8т (п)= ^ (ni)= — t1 (")¦ Таким образом, в этом случае
s== .
3) Пусть n = 2knt, где к > 1, ях—нечетное. В этом случае е/ при-
принадлежит показателю -^. На освовании задачи 118 утверждаем, что
вц е2, ..., e,j(n) представляют собой квадратные корни из тц, rj2, ...
..., т] /• _ \ ,' где т)|, тJ, ..., т] / „ \ —первообразные корни степени
Ч) Ч)
/_
-н- из 1. Отсюда следует, что
/т,1
n—1 у+п— I п—\
126. Р е ш е н н е. S= 2 8*!== 2 8*I== S 8°'"м>1 ПРИ любом
х=0 *=(/ s = 0
целом у;
я-1 п-1 я-1 / n-i \
S'= 2 е-Л S'S= 2 e-J"S= 2 е-'1. 2 е<^+«2 ] =
0=0 у=0 у=0 \ s = 0 /
л-ln-l п-1 / п-1 \ п-1 п-1
= 22 82J"+"=2 и5'- 23 82^)="+ 2 e"- S <е2У="
i/ = Os=o s = o \ г/=о у s = i y=o
при л нечетном;
(-У Г -2.1
\2 J =n[l + (-lJ \
при п четном (так как 2 e?sy = 0 при 2s, не делящемся на п \.
\ #=о . . J
, и |5|= У «[l+(—1JJ,
Итак, IS^VV, если п— нечетное
если п—четное.
177

Глава 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
127. а) 5; Ь) 5; с) 1; d) ab—с8—d3; е) а2+р2— у2—бг;
f) sin (а—р); g) cos(a+P); h) sec2_a; i) —2; j) 0; k) F—c)(d—a);
1) 4a6; m) —1; n) —1; o) 1 + '^3 .
128. ?) 1; b) 2; c) 2a2 (a + *); d) 1; e) —2; f) —2— V~2\
g) _3( |/"з; h) —3.
129. Число транспозиций нечетное.
130. а) 10; b) 18; с) 36. 131. а) ( = 8; * = 3; b) f = 3; A = 6.
132. С*. 133. СЪ-1. 134. а) п{п~1) ; Ь) я(+1) .
,35. а) ЯCя+1>; Ь> *^.
136. Рассмотрим пару элементов а,- и aft, где « < *. Если эти
элементы не образуют инверсии, то и после приведения перестановки
в исходное расположение а; будет предшествовать ад и, следова-
следовательно, номера J и k не будут давать ннверсни.
Если же элементы а,- н а^ образуют инверсию, то после приведе-
приведения перестановки в исходное расположение а^ будет предшество-
предшествовать о/ и, таким образом, номера i и k будут давать инверсию.
137. Подстановка в обоих случаях нечетна. Объясняется это тем,
что одно исходиое расположение получается из другого посредством
четного числа транспозиций.
138. а) со зиаком -(-; Ь) со знаком +.
139. а) не входит; Ь) входит. 140. i = l; Л = 4.
141. anai3a3iau,
«si о3г «зб
142. —аиа23
«41 в42 «45
с2
143. Со знаком +. 144. Со знаком (—1) я.
146. 2; -1. 147. а) я !; Ь) (—1)
1
148. а) (—1) 2 («!)»+!; Ь) (—1) 2 (я!)"+1.
149. Решение. От замены строк столбцами определитель: 1) не
изменится; 2) превратится в сопряженное комплексное число.
150. Решение. От замены строк столбцами определитель:
1) не изменится; 2) умножится на —1.
я (я-1)
151. (-l)n-i Д. 152. Умножится на (—1) 2 .
. 153. 0, так как число четных перестановок я элементов равно
числу их нечетных перестановок.
154. а) х1 = а1; ха=а2; ...; «„_!=«„_!;
b) т=0; *, = 1; ...; дс„_1 = я—2;
c) х1=а1; xs = a2; ...; дс„--1=а„-1.
178

0. 158. (mq — np)\
a b
с d
156.
159. a) alut ... в|1 (-L + -L+...+
e2
"("-')
b) (-!
160.
163.
167.
172.
174.
177.
180.
182.
185.
1
—
x—у—z.
165 48
1
162. 2a —6—с—d.
За—6 + 2c+d. 161. 4/ у
—1487 600. 164. —29 400 000. 165. 48. 166. 1.
160. 168. 12. 169. 900. 170. 394. 171. 665.
ai + bi-\-c2—2(bc+ca+ab). 173. — 2(x3+y3).
(x+\)(x2 — x+1)*. 175. x*z*. 176. — 3 (*2— 1) (*2—4).
sin(c—a)sin(c—6) sin (a—b). 178. (af — be+cdJ. 179. n\.
&A ... bn. 181. (л—Л1)(д:-д:2)...(х-д:п).
(л—1)!. 183. —2 (га—2)! 184. 1.
n-l) A].
(\-axkk). 202. (-l)»-«2"-
203. (-1)»(вЛ + вА+...+вА)*1*1 ••• bn-x-
204. a(a+6)(a + 26) ... [a + (n+\)b].
205. лп^.(_1)п-1уп. 206. 0, если п > 2. 207. 0, если п > 2.
208. Пусть я = 2. Поступая по указанию, имеем:
-Xi
\-x, 1
1 0
0 1
+
«l+*2
Ч+Хъ
0 a2-
=
~*2
ei + *i 0
e2 + *l 1
^2 4~ ^1 ^2 *T~ ^
Представляя таким же образом определитель я-го порядка в виде
суммы 2я определителей, получим, что одно нз слагаемых равно
179

единице, л слагаемых равны a,-f-#;> где (==1, 2, ..., я, и
n (n — 1)
—^——
слагаемых равны (а,-—a*) (xk— Xj), где i > k.
Остальные слагаемые равны нулю. Таким образом, имеем ответ:
... +а„хп).
Этот результат можно преобразовать к виду
... +ап)
— п
n4-1
209. О, если р > 2. 211. f3—¦+
A~
212. Решение. Легко видеть, что Д2 = х^хг ( 1 + —^~-\—-]•
\ %1 ' Х2 J
Допустим, что Дп_1=л1лг2 ...
Тогда Д„ =
213.
214.
\ai а2 а„)
215. n\(aox"+a1x«-i+...+atl).
216. аха2 ... пп-х—а^ ... я„_2+...+(—!_
217. Решение. Разложим определитель по элементам первого
столбца; получим Д„ = (а+Р)Д„_,—ард„_2. Нетрудно проверить,
аз—В3 . а4 —Р4 .. . а"-1—Р"-1
что Д4 = -г—о-! дз=-г:—zr- Допустим, что А„-2 = —„ !
Второй вариант решения.
Представим Д„ в виде суммы dn-^-bn, где
а ар 0 ... О О
1 а+р аР ... О О
О 1 а-j р ... О О
0
р
1
0
0
0
а + Р
1
0
0
ар
а + Р
... 1 с
... 0
... 0
i ... 0
х + Р
0
0
0
о о
... 1 а-|-В
180

Из первой* строки dn вынесем а и затем из второй строки вычтем
первую. Получим dn = <xdn-1. Легко видеть, что d2 = a2. Пусть
dn-1 = a"~1, тогда d_ = an. Разложив бп по элементам первой стро-
хи, видим, что 6n = pAn_x.
Из сказанного следует, что А„ = а"+ {№„_!• Нетрудно проверить,
что Д2 = ?—. Предположим, что An_j = —. Тогда
218. я+1. 219. 8in(n+lN . 220. cos пв.
sin G
221. x"—С\-гхп-г+С*„-гХп-Ь—... Сравнить с задачей 53.
п-1
222. ххУп ^
223. аха2 . . . а„
n(n-l)
228. (-!)"«" (l-S-J).
229. x1 = xl=....=xR.1 = 0; ^n =
230. (a2—6a)n.
я
2. дс"-1 JJ (•<—2а,)
234. I-ftj + ftjft,—M
235. (-l)»-i (ftlfl|B, .. - B +
236. (—1)и-1 *"-». 237. (—1)b
181

n
238. eoX»II(ft,- —a,). 240. 1. 241. 1. 242. 1.
l
245. (x—\)". 246. (n— l)!(n-2)! ... 1!(*—I)". 247. a".
248. Поступая по указанию, имеем:
Из полученной системы уравнений находим:
д =г(х—у)п—у(х—г)"
п г—у
250.
252. (a-P)B-*[*.a+(n—2)Я.р —(я
254. (-1) 2 (яЛ)"-г[д + А(Я2~^]' 255. A—
256. Если прнбавить все столбцы к первому, то за знак опреде-
определителя можно вынести a+b-\-c-\-d, и при этом все элементы остав-
оставшегося определителя — целые выражения относительно а.
Это доказывает, что определитель делитси на a-\-b-\-c-\-d. Если
к первому столбцу прибавить второй, вычесть третий и четвертый,
то обнаружится, что определитель делится на а-\-Ь—с—d. Так рас-
рассуждая, покажем, что определитель делится иа а—6+с—d и а—Ь—
— c+d. Из сказанного следует, что определитель оказывается равным
\(a-\-b+c+d)(a + b—с—d)(a—b+c—d)(a—b—c+d). Дли опре-
определения к заметим, что коэффициент при а* должен равняться 1,
поэтому А.= 1.
257. (a +b + c+d+e+f+g+h) (a+ b+c+d—e—f—g—h) X
X{a-\-b—c—d+e+f—g—h) (a+b—c—d—e—f+g+h) (а—Ь+с—
— d+e—f+g—h)(a—b+c—d—e+f—g+h)(a—b—c+d+e—f~
-g+h) {ar-b-c+d-e+f+g-h).
258. (x+ul+at+... +д„) (*-fll)(*-a,).. .(*-«„).
182

259. 2ГТ21 Д sinTi±Eh Д
260. Г^ Д СОвЩ$* Д
»i>ft>l >/>
261. 1! 2! ... n!. 262. Д (a/—oft).
263. (—1)" 1! 2! ... n!.
264. (-l)-Ib П
где Пдс) = (ж—а,)(ж—а2)...(ж—о„).
265. П (^-**>-
"("-О
266.2-1— JJ
267. Д («*-*»).
п > i > ft > 1
/»(/»-1)
268. 2~2— aMiiM...flo.«-i П
1к
х П
n>i>k>1
269- ТРЛ -ы—ЙТ И (*-**)¦ .
271. 11 3! 5! ...Bя-1I. 272. Д Т^ГГ П <**-**)•
•=1 *' ' /i>/>*> 1
273. Д (bpi-akbi). 274. Д sin (а,— а*).
n+l>ft>i>l l<fft<
275. Д (а,-<ц)(вл-1).
1<<<й<я+1
276. 2-»>= Д ,|„5еф!» Д
277. 2"l"+1)sinaosina1...
...л. а. д ла±а д sin
in 2i=s.
278. [хл...*„-(»,—1)...(*„-!)! Д
>Jft>i
183

are.
280. (*, + *,+ • • • +*») П (*/-**)•
Я>1>*> 1
281. а„_, Д (*/—**), где ор обозначает сумму всевоз-
всевозможных произведений чисел xlt хг, ..., х„, взятых по р.
282 — ' " ' ' '*
283. хг(х%— 1)*. 284. 2^»(/(л—у)».
п(п-\)
286. II 21 31 ...(/»—1Iж 2 (у—^)".
ft(fc-l)
286. 11 2! 3! ... (k— [)\x 2 (^—.х)*^—*)*...
287. {у—*)»<"-*>.
288. Ь) 9; с) 5; е) 128; f) (n1iii-
( >* ( J ( 2
) ; ) ; )
g) (*з - *2>* («s - ^lJ (
h) (Х»-а»)(я-Р)"-Ч+()Р1;
к) (xt—x3) l(x3— x2) (xt—x2) — 2 (хя—xt) (Xt—Xj)];
m) 27(a+2)»(a—1)«C(a+2)*—4x*l J3(a— 1)*—4**1».
Замечание. Эта задача является частным случаем задачи 537.
289.
-5
—8
7
—1
—4
—4
—2
4
5
5
—4
—4
-3
-3
—5
0
3
3
4
3
*
2 8 17
11—6 5
3 8—3
а)
с)
290. а) 24; Ь) 18;
с) (a+b+c+d) (a + b—c—d) (a—b+c—d) (a—b—c+d).
291. a) 256; b) 78 400; c) (a " " ¦ * ' " "
292. D П (xt-xk).
Ж. a)CnC!l...CS П'
в/_яД (**-*,);
b) И (a,—
n >. t > * > 1
294. 0, если n>2, 295.
296. — (а*+6*+сг+йг+7+
297. 4sin«9. ' 298. 4sin4q\
184

299. Обозначим искомый определитель через Д. Возведение в квад-
п .
рат дает, что |Д| = я2 . С другой стороны, А = JJ (е*—е*).
л-1 >fc>s>0
Полагаем et = cos —И sin — . Тогда е = e* и
Д= Д
=TTe?+s-< 2 TT2sin(*~s)". Далее. sln(fe~s)n >0 при
XX XX п п
п
всех k, s. Следовательно, п 2 = | Д [ = ТТ 2 sin ^ '-
I ¦" п
п п {п— 1)
= n2sin^^. Поэтому A=n2i 2 Д
" Я-1>*>5>
n(n-l)» я я(я-1
^—^ тт. я
п я(п-1)
-ж 5—-
= пг i
300. Д
где eft= cos ~ + i sin —.
) ,_ П (
+(я-1) -г-
=« i
301. xl — и* + г*—u* + 4xyh+ Axzu2—4хгуи—4уг*и—2x2z2+2i/2u2.
303. 2"-1, если n —нечетное; 0, если п — четное.
A-е»)*
305. (-1)"-» (я-1)
П
*=о
... +й„еГ'),
2*п , . . 2fa
где е* = cos —-f-i sin —
зов.
ft = cos
21т
2йл
+fsin—.
Согласно результату задачи 102, ответ может быть представлен
Л1
Л-1
в виде Д [<n-(eft-l)n]
Д
307. (—2)»-i (п — 2р), если (и, р) = 1; 0, если (п, р) ^ 1-
308. 2»-s
309.
-f [sin- ЦЭ5-Л- f J .
(85

где
310.. (-1)» 2»-» sin»-»^[cos» (a+^)-cos»
311. (-l)-i (»+ 0 P»+1) „„_, [(Я + 2)П- n»].
313. Д (а]+а2ел4-о3е|+...+опеГ1),
-—¦—'—
f-(sin-
n n
315.
1=1
где pi, p2> .... pn—корни л-й степени из ц.
318. Решение задачи 223. Прибавив ко всем элементам определи-
ах 0 ... О
теля
О а% ... О
О 0 ... а„
Имеем Д = а-,аг...
по 1, получим определитель Д.
л и
и+2 2^'*;
k=liccl
k=liccl
Решение задачи 250. Обозначим вычисляемый определитель Д.
Имеем:
а1—х)(аг—х)...(а„~х)+х'%А;к\
е
Имеем:
где 2^4,-fc—сумма алгебраических дополнений всех элементов Д.
Д легко определяется из системы уравнений.
323. Д («;—«*) Ц (bi-bk)—^- ,
326.
2»
327. x" + alx"~l+a2xn-2+... +а„, где а*—сумма всех мино-
миноров &-го порядка определителя
II и in полученных из него вычеркиванием п—к
строк с номерами аи аг, ..., а„-к и
столбцов с теми же номерами.
••• °п
186

328. (я + I)". 329. (х—я)"+».
330. (х*— 1а)(*2—З2) ... [*2— Bт—1J1, если я = 2т;
2—22)(х2—4*) ... (*а—4т*), если л = 2т+1.
331. (*+яа—и) [*+(я—2) а—л+П X
Х[х+(п—4)а—п-\--2\...(х—па).
ДA, 2 я)
Вандермонда.
Глава 3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
335. Х1 = 3; ^2=^3 = 1.
336. *!=1; дс2 = 2; х3=—2.
337. *х=>2; хг=— 2; ^3 = 3.
338. ^=3; *8 = 4; ^3 = 5.
339. x1=ix2= — 1; *3 = 0; дс4=1-
340.^1 = 1; *, = 2; дг3= — 1; *4= — 2.
341. *!=— 2; ^2 = 2; ^з=—3; jc4 = 3.
342. *х = 1; *г = 2; дс3 = 1; ^4=—1.
343. .*! =2; *2 = *„=х4 = 0.
344. ^1=jc2 = xj = ^4=0.
345. x1 = l; *,= -1; дг„ = О; дг4 = 2.
346. x1=%j=jcs = ^4=^5=0.
. 347. ж1 = дс2 = ^з=*4=0.
348.^=1; *2=— 1; Jfs = l; ж«=—1; JfB = l.
349. Х1 = х2=Хз = хА=х& = 0.
350.^ = 1; дг2 = — I; x3 = \; xt= — 1; *8=1,
351. ^ = 0; «2 = 2; *3=— 2; *4 = 0; дсв = 3.
352. xl = 2; Хг=±0; х3=—2; дг4=— 2; *6=1.
. 353. Определитель системы равен 0, так как система имеет нену-
ненулевое решение.
354. Определитель системы равен —(аг-\-ЬгЦ-сг-\-с12)*.
8И" Xi (e
356 * - -Ш- гпе
358. *д=2/ р\щ) <ft-1'где ^*)=(*-ai)---(*-aB); ф*./=
2а*1а/а'¦ •atn_4> ПРИ э™1*1 сумма берется повеем сочетаниям
/2 'п-* из 1, 2, .... t — I, t+1, ..., л.
187

359. *д = ^( „''"S,;,, где
Ф,- i=2ati a'a •••at,,-i> nPH srrm* сумма берется по всем сочета-
сочетаниям tlt t2, .... tn-i из 1, 2, ..., s—1, s+1, .,., n.
360. */ = (~1^,a""'. где
361. Сщ-Сп-
365. a) He изменится или увеличится на единицу;
Ь) либо ие изменится, либо увеличится на единицу или на два.
366. 2. 367. 3. 368. 2. 369. 2. 370. 3. 371. 3. 372. 4.
373. 3. 374. 2. 375. 3. 376. 5. 377. 6. 378. 5. 379. 3. 380. 4.
383. Формы независимы. 384. Ч.ух—$г—У3 = О.
385. (/! + 3(/2—1/з = 0; 2у1—уг—(/4 = 0.
386. Формы независимы.
387. ух+у2—у3—</4 = 0;
388. (/!—Уъ+Уз = О; byl — 4y2 + yi = 0.
389. Формы независимы.
390. Формы независимы.
391. «! + (/2—Уз—У4 = 0. 392. 2^ — 4/2—^3 = 0.
393. 31/!—у2—у„ = 0; #!—1/2—1/4=0-
394. Формы независимы. 395. 1/х—1/2—у3—1/4 = 0.
396. З1/1—2^2—ys+y4 = 0; г/!—02 + 2i/s—«/s=0.
397. Х = 10; 3 + 2^0
398. ж,, = 2х2—ж,; *4 = 1. 399. Х = 5.
400. Система решений ие имеет. 401. *i = l; хг = 2; ха=—2.
402. ^=1; ж2=2; *8 = 1. 403. *1== i; ^
404. Система решений не имеет.
405.^ 0 2
406..^ = —8; л:2 =
407. 2
'416. Система решений не имеет.
417. Система решений ие имеет.
188

м |g „ "В. „ 1 ~В. _ п. „ I ХЬ
420. Система решений не имеет.
*>l ~ 6»+с2-а2. „ a'+c'
2oJ ' г~ 2g6
422. ?±1
Если Я. = 1, система имеет решения, зависящие от двух параметров.
Если А, = —2, система решений не имеет.
423. Если (Х-1
В±
Если Х= 1, система имеет решения, зависящие от трех параметров.
Если А.= —3, система решений не имеет.
424. Если а, Ь, с все различны,
x = abc; у=—(ab-\-ac+bc)\ г — а+Ь+с.
Если среди а, Ь, с два равных, решения зависят от одного пара-
параметра.
Если а = Ь = с, решения зависят от двух параметров.
425. Если а, Ь, с все различны,
F-d) (c-d). (fl-d)(c-<Q. (a-d)(b-d)
(b — a)(c—a)' y (a—b)(c—b)' (a—c)(b—c)'
Если a = b; а Ф c; d=a или d = c, решения зависят от одного
параметра.
Еслв 6=с; афЬ; d — a илн d = b, решения зависят от одного
параметра.
Если а=с; а ФЬ; й=а или d = b, решения зависят от одного
параметра.
Если a=b = c=d, решения зависят от двух параметров.
Во всех остальных случаях система решений не имеет.
,ч , л 26—1 1 2ab— 46+1
426. Если 6(а-1)^0, х^щ-^; у~т; г= Ь{р_^ .
Еслв о=1; * = тг > решения зависят от одного параметра.
Во всех остальных случаях система решений не имеет.
427. Если 6 (д-1) (о+2)^0, * =.« .__5^
¦ аб+6—2
Если «=—2; 6=—2, решения зависят от одного параметра.
Если а=1; 6=1, решения зависят от двух параметров.
Во всех остальных случаях система решений не имеет.
189

na-j-n— m—p
pa+ p—m—n
v=
Если a——2 и m+n+p = O, решения зависят от одного пара-
параметра.
Если а=1 и т = п = р, решения зависят от двух параметров.
Во всех остальных Случаях система решений ие имеет.
6—a a(a—6) a(b—a)
429.
Если a = b=l, решения зависят от двух параметров.
Во всех остальных случаях система решении не имеет.
430. Д = Яг(>.— 1). При Я = 0; %—1 система несовместна.
431. Д=— 2к. Если к фО, х=\— X; у=1; г = 0. Если К = 0,
х—1; г=0; у—любое.
432. Д = (Аг— l)*(k+\). Если *=1, решение зависит от одного
параметра. Если k = — 1, система несовместна.
433. Д = оF—1)F+1).
Если а = 0; 6 = 5, у=—=- > г — -Т> х~любое.
3 3
Если а=0; Ь ф\ и Ь ф 5, система несовместна.
Если 6=1, г = 0; у=1—а*; х—любое.
Если Ь= — 1, система несовместна.
434. а) Д = —m(m+2). При я«=0 и т=—2 система несов-
несовместна.
b) Д = т(т2 — 1). Если т = 0; т = 1, система несовместна. Если,
т=—1, решение зависит от одного параметра.
c) Д = А.(А,— 1)(Я.+ 1). Если А,= 1; Х= — 1, система несовместна.
Если Х = 0, решение зависит от одного параметра.
435. а) Д = 3(с+1) (с—IJ.. Если с= — 1, система несовместна.
Если с=\, решение зависит от двух параметров.
b) Д = (Я.— 1)(Х—2) (А,—3). Если % = 2; Я.=3, система несов-
несовместна. Если Х—1, решение зависит от одного параметра.
c) b = d(d— l)(d+2). Если d—\\ d=—2, система несовместна.
Если d=0, решение зависит от одного параметра.
d) Д = (о—1J(а+1). Если а= —1, система несовместна. Если
о = 1, решение зависит от двух параметров.
436.
у
У1
У»
437. Тогда и только тогда,
когда
438. Только тогда, когда
Уг
= 0.
«2
190

439. Только тогда, когда
4-hyl *о у о
x\+yl
= 0.
440. (x—
442. y=xi—\.
443.
Ул
Уп
X» Уз
441. y*—y = Q.
«-1 ... X* X 1
1-1 „2 ,
g . . . Xq Xo 1
*„ 1
444. Тогда и только тогда, когда
= 0.
ж*
«/г г8 1
»1 г! 1
=0.
445. ж*+01+г8— х— у—2=0.
446. Тогда и только тогда, 447. Только тогда, когда
когда ранг матрицы ранг матрицы
Ух !\ /«1 *i
х» У»
\хп Уп
меньше трех. меньше трех.
448. В одной плоскости тогда и только тогда, когда ранг матрицы
Уг
\х„ у„
1,
меньше четырех; на одной прямой тогда и только тогда, когда ранг
этой матрицы меньше трех.
449. Все плоскости проходят через одну точку только тогда,
когда ранг матрицы
В„ Сп Dn/
меньше четырех; через одну прямую только тогда, когда ранг этой
матрицы меньше трех.
460.
1. n-1
••• ап, В-1
=0.
191

453. Нет.
—2 1 О О\
—2 О 1 0 ). 455. Да.
—6 0 0 1/
456. Решение. Пусть
/аи а1г ... а1в\
Д—.1 «21 «22 ••• «Jn |.
Аи
В А--
г
2
s=l
s=l
s=l
s=l
Непосредственно видно, что строки матрицы ВА суть решения
системы. Кроме того, так как | В | Ф 0, Л = В~Х (ВЛ), т. е. решения,
записанные матрицей А, суть линейные комбинации решений, запи-
записанных матрицей ВА.
457. Решение. Пусть
/аи а„
Д = \ «81 «28
С = [ Vai. Угг
^аг1 ап
\Уп Уп
Так как С представляет фундаментальную систему решений, аи =^
Ь + К++К и т. д., т. е. А = ВС, где
в =
Кг
... А,
С другой стороны, А. также представляет фуидамеитальную си-
систему решений, н потому | В | Ф 0.
459. Например,
*1 = с1+са+5сз; *2 = — 2^1 — 2с2 — 6с3; «3 = ^; лг4 = сг; ^6 = с3
(см. ответ задачи 454).
460 11
460. «! —11с;
461. № 408.
>6 409. 1
№ 410. х1=
№ 412. ^=
3 = —7с.
t
г; дсь=6сг.
2
t 4 г ь
— Сх — 5сг; х4 = —
; в
= 23—26! —2сг — 6с3;
дс4=с.
ж6 8сг.
№ 413. ^
462. ^==
*з=с1;
463. № 406. ^; г+ ^+; 4
№ 414. Ж!=ся; хг=2+с1+с.—5в,; дся=с,; дс4=сг; %=—1+Зся.
№415. ^ = 1+203; xs=I+c1— cs+5c3; x3=2 2
дс6=1+6с3.
192

Глава 4
МАТРИЦЫ
/3 —1
а) (б -1
/6 2 —К /О О Оч /19 15\
с) 6 1 1 ); d) О О 0); е) -5 5 9 t
48 —1 4/ 40 О О/ 4 12 26 32/
/а+Ь+с а*+Ь*+с* Ь*+2ас
О ( а + Ь+с Ьг + 2ас а* + Ь2-\
a+b+с а+Ь+с
/15 20\ /3 —1
ь) ; с)
\2О 35/ 44 8
/cos яф —sin лф "\
е' \_sin яф cos яф /
где tgф = —. Следовательно,
п
\ 3L\n . .. JL .
cos яф
СОвЯф/'
Предел первого множителя равен 1. limn(p = alim ^~"=a. По-
атому
\
(со
-si
cos a sin cs\
я "/'
sin a cos a/
467. а) ( + )+ + +
b) (Л + В)(Л — В) = Л2—АВ + ВА—
c) Доказывается по индукции.
/_Ю -4 —7\ /0 0. О
468. а) ( 6 14 4 ); Ь) (О 0 0
\_7 5 —4/ \0 О О
469 а)
Ь)(*0 §=(*-У)Е+УМ с)( u I
4 У \3/-3х-и <-3j,-»
7 Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский 193

5 1 3
470. a) (j 0 j); b) (J .J) .
471. Проверяется непосредствен ним вычислеиием.
472. Полиномы F (х) = До+а1х+ • ¦ • + eOTx", такие, что F (A) = Q,
существуют, ибо равеиство F(A)=a0E+a1A + ... +а„Ат=Ъ равно-
равносильно системе я' линейных однородных уравнений с т+1 неизве-
неизвестными а0, ах, ..,, От, которая при т^я* наверное имеет нетри-
нетривиальные решения. Пусть F(x)~ какой-либо полином, для которого
F(A) = 0, а /(х)—полином наименьшей степени среди полиномов,
обладающих этим свойством. Тогда F(x) = f (x) q (х) + г (х), где г (х) —
полином, степень которого меньше степени / (х). Имеем r(A) = F (А) —
— f (A)q{A)=0, следовательно, г(х) — 0, иначе получилось бы про-
противоречие с выбором f(x). Итак, F(x) = f (x)q(x).
473. Пусть
i als ... Й1п\ /^и • • • bln
л ani ... а„„) \bnl ... ft,_
Тогда сумма диагональных элементов матрицы А В равна
Совершенно такая же сумма диагональных элементов у матрицы В А.
Следовательно, сумма диагональных элементов матрицы А В — В А
равна нулю, и равенство А В — ВА=Е невозможно.
Замечание. Результат неверен для матриц с элементами из
поли характеристики р Ф 0. Действительно, в поле характеристики р
рля матриц р-го порядка:
ИМ66М
474.
475. (" "), fc=-a«
476. Если Л»=0, то иЛ2 = 0. Действительно, если Ая=0, то
\А |=0. Следовательно (см. 471), A*=(a+d)A, 0 = Aa=(a+d) Л* =
= (o-fdJ<4, откуда a+d = 0 н Аг = 0.
477. ±?; (я Ь) , ¦ а*ш*\-Ьс.
\с —а)
478. Если А =0, то X — любая матрица. Если | А | ?40, то X=Q.
Наконец, если \А |=0, но А Ф 0, то строчки матрицы А пропор-
пропорциональны. Пусть а:р* есть отношение соответствующих элементов
первой и второй строчек матрицы А. Тогда Х=1 « \ при
любых х,
479. Пусть А = |
494

1) Если А ф 0, но a+d=O, ad—ftc=0, то решений не существует;
2) если а+йфО, (a—d)* + 46c=0, (a—d), Ь, с не равны нулю
одновременно, то существует два решения:
¦у. ,
2 K2(tf+d) V 2с
3) если a + d>bO, ad — bc=O, то существует два решения:
4) если ad—be Ф 0, (а—d)s-f4ftc Ф О, то существует четыре ре-
решения:
1 2
где А, = ± V a + d±2Vad— I .
5) если a—d—6=с = 0, то существует бесконечно много решений:
|/"а? и Х=г _У\ , где ж, у, г связаны соотношением
480. а) С '5 ~?) ; b) ^JU- f d -*);
' V—2 iy ' ad—bc\— с а)'
О
\
1
1
1
V 1
1
8-1
e-«
1
1
е-*
e-«
1
• • •
• • •
...
... 2-я
1 \
e-«+» \
kl g-"+1 e-'»+* ... e.-("~1)J>

где
1-я l-(n— 1) Ь(л—2) ... ЬП
l-(n-l) 2.(n-l) 2-(n-2) ... 2-1
1-1 2-1 3-1 ... л-h
11—/t2 2+л* 2 ... 2 \
1 / 2 2— п2 2 + л* ... 2 \.
^2+п2 2 2 ...2 —л8/
(
Vn 62СП ... bncn + d —ьп
—&! —&j . . . —Ьп 1 ,
где d = a—bjq—6jCj—...—
xf~fixn ¦•• xn-1f—fn-1xn хп
, i -/о*" f-fix"'1 ¦¦• хп-2/-/„-1х'>-1 л;"-1
c)
2 9
1 —l —l о
l l-i-i
0 11—1
%B-4J\ . 1
' a-KB-if/
ООО
0 0 0
0 0 0
0 11—1
0 0 1 2
24
13V
=g) x ие
196

482. Достаточно умножить равенство АВ — ВА справа и слева
на А-1.
т- (г! =!)¦
484. Если А3 = Е, то |Л|3=1 и, в силу вещественности, |Л| = 1.
Положим А = ( . 1. Тогда, приравняв А'1 и А*, легко получим,
что А=Е или a-\-d=— 1, ad—be = 1.
485. А= ±Е или Л = / j, причем а2-)-be = ^ I.
486. ( ? |=а? + &/, где I—{ _j oj. Тогда /2 = —? и,
следовательно, соответствие аЕ-\-Ы—s-a + W есть изоморфизм.
487. Положим' I
Я а—М/
следует, что произведение двух матриц вида а-\-Ы-\-cJ-\-dK есть
матрица такого же вида. То же самое имеет место для суммы и раз-
разности, так что рассматриваемое множество матриц есть кольцо. Да-
С+А =a2+&2+c2-fd25i0, кактолько
лее, | А |
a—ti
Следовательно, каждая отличная от 0 матрица имеет обратную, и из
равенства А1А2 = 0 (или A2Ai = Q) при Аг Ф 0 следует Л2«=0. Рас-
Рассматриваемое кольцо матриц реализует так называемую алгебру ква-
кватернионов.
488. (агЕ +
— bjb2—cxc2—dxd2)E + (а^ +
+ c1eJ+d1ba)J+(e1d2-|-61cs—Cij +
телям, получим (al + b\-\-c\+d\)(at
( &&ddtf (
d^c2) I -j-
Переходя к определи-
определи—^2)г+
+ A2t2+t2+t2y + (tt + ^—сф2+difl^8.
489. Перестановка двух строчек матрицы осуществляется посред-
посредством умножения слева иа матрицу
{\
О ... 1
.1
'. . i
1 ... о
1 )
197

Операция Ь осуществляется посредством умножения слева на
матрицу
I...CC
или
¦• у
л)
Операция с осуществляется посредством умножения слева на
матрицу
1
осуществляются посредством
Операции а, Ь, с над столбцами
умножения иа те же матрицы справа.
490. Как известие, любая матрица А может быть приведена к
диагональному виду R посредством элементарных преобразований
а, Ь, с иад строчками и столбцами. Поэтому для даииой матрицы А
иайдется такая матрица вида R, что /? = ?/,?/2 ... UmAViV2 ... Vk,
где Ui, ..., Um, Vlt .... Vk—матрицы элементарных преобразова-
преобразований. Все оии неособенные и имеют обратные.
Следовательно, A=PRQ, где Р и Q—неособенные матрицы.
491. В силу результатов задач 489, 490* достаточно доказать
теорему для диагональных матриц и матриц, соответствующих опе-
операции а, ибо матрицы, соответствующие операции Ь, имеют требуе-
требуемый вид. Легко видеть, что операция а сводится к операциям Ь и с.
Действительно, для того чтобы переставить две строчки, можно до-
добавить первую нз них ко второй, затем из первой отнять вторую,
затем ко второй добавить первую и, наконец, умножить первую иа
— 1. Это равносильно матричному тождеству Е—ец—е** + вд+
+ еы = (Е—2екк) (E + eik) (E—eki) (E+elk). Для диагональных мат-
матриц теорема очевидна:
a1eu+a2eii+...+anenn =
= (Я + (а1-1)г11)(? + (а2— 1) «„) ... (Е + (ап-1)епп)
492. Пусть A = P1R1Q1, B = PtRtQit где Plt <?,. Pt, Qt—не-
Qt—неособенные матрицы, a /?j и R2—матрицы, имеющие соответственно
198

г, и г2 единиц на главной диагонали и все остальные элементы ко-
которых равны 0. Тогда AB=P1RlQ1PiRtQt, и ранг АВ равен рангу
RiCRt, где C = QXP%—неособенная матрица. Матрица RiCRt полу-
получается из матрицы С посредством замены всех элементов последних
п — г1 строчек ил — гг столбцов нулями. Ввиду того что вычеркива-
вычеркивание одной строчки или одного столбца понижает ранг матрицы не
более, чем на одну единицу, ранг RiCR2 не меньше я—(я—?{) —
— (n — /-J-.r1 + /-t—я.
493. Непосредственно следует из пропорциональности всех стро-
строчек матрицы ранга 1.
494. На основании результата задачи 492 ранг искомой матри-
матрицы А равен 1 или 0. Следовательно,
Непосредственное умножение дает
^1 ^t
откуда следует, что 'k1p1 + kd>.i + Х3ц3 = 0.
495. Пусть /1 дает решение задачи, отличное от тривиального
А —^Е. Тогда одна из матриц А—Е или А-\-Е имеет ранг 1.
Пусть
Тогда Аг=Е—2В + В2 = ? + (Х1(х1 + Ягцг +Я3ц3—2) В, откуда сле-
следует, что для А* = Е необходимо и достаточно выполнение условия
Я1ц14-^гЦ2 + ^я(хз=2. Аналогично рассматривается и второй случай.
496. Пусть к матрице {А, В), где
1 ... alk \ /blt ... 6ц
. . . ¦. . ), В = (
\ат1 ... атк) \Ьт1 ... Ь,
/Й \
добавляется столбец С==1 ' I, присоединение которого к матрице
В не увеличивает ее ранга. Тогда система линейных уравнений
еввместна. Но вместе с ней совместна и система
•. ¦+aikxk+buy1+ ... +buys=clt
Следовательно, ранг матрицы (А, В) равен рангу матрицы (Л,В, С).
Предположим теперь, что столбцы матрицы В присоединяются
к матрице А постепенно по одному. При атом ранг может возрас-
199

-тать на 1, в силу только что доказанного, лишь тогдв, когда возра-
возрастает ранг В. Следовательно, ранг (А, В)е;ранг А + ранг В.
497. Пусть ранг (Е+А) = ги ранг (? — А) = г2. Ввиду того,
что (? + A) -f (? — А) = 2?, rx -f r2 ё» я. С другой стороны,
(? + Л)(? — Л) = 0, поэтому О^Г! + rt — я. Следовательно, Tj+
+ гг = л.
498. Ранг матрицы (Е + А, Е — А) равен п. Выберем из этой
матрицы квадратную неособенную матрицу Р порядка я, и пусть
ее первые г столбцов принадлежат матрице Е + А, а остальные я—г
столбцов принадлежат ?—Л. Тогда, в силу (? + А)(Е — Л) = 0,
будем иметь
г„ ... ?„ 0 ... О
tni '..'. qn'r6 .'..О
... 0q1>r + l ... ?,„
•¦•6<7n. г + 1.--- <7nn
Сложив эти равенства, получим
2Р = (
\Яп1 •¦¦ Япг Яп.г + 1 ¦¦• Япп
Вычитая, получим
2ЛР=Ли ;•;Qu 7qi:r+1. '.". ~qin
\Ят •¦• Япг —Яп, г + 1 ¦•• —Япп
--2Р
1
1
— 1
Отсюда непосредственно следует то, что требовалось доказать.
499. Если АА~1 = Е и обе матрицы целочисленные, то имеем
\А |-| А-11 = 1, откуда следует, что | А | = i 1, ибо | А | и | А \~1—це-
\~1—целые числа. Условие \А \ — z$- 1, очевидно, также и достаточно для
целочисленности матрицы А-1.
500. Пусть А — целочисленная неособенная матрица. Среди эле-
элементов ее первого столбца найдутся отличные от пуля. Посредством
умножения некоторых строчек матрицы А на — 1 можно добиться
того, что все элементы первого столбца станут неотрицательными.
Выберем среди них наименьший положительный и отнимем соответ-
соответствующую ему строчку из какой-либо другой, содержащей положи-
положительный элемент в Первом столбце. Получим снова матрицу с неот-
неотрицательными элементами в первом столбце, но один из них будет
200

меньше, чем у исходной матрицы. Продолжаем этот процесс до тех
пор, пока это возможно. Через конечное число шагов процесса при-
придем к матрице, у которой все элементы первого столбца, кроме од-
одного положительного, окажутся равными нулю. Тогда перестановкой
двух строчек переведем отличный от 0 элемент первого столбца в
первую строчку. Затем, не трогая первой строчки, теми же опера-
операциями добьемся того, чтобы во втором столбце на диагонали ока-
оказался положительный элемент, а все лежащие ниже сделались ну-
нулями. Затем обращаемся к третьему столбцу и т. д. В конце концов
матрица окажется приведенной к треугольной форме. Тогда добав-
добавлением (или вычитанием) надлежащее число раз каждой строчки к
лежащим выше добьемся того, чтобы элементы, лежащие выше
главной диагонали, удовлетворяли поставленным требованиям.
Все упомянутые действия равносильны умножениям слева на
некоторые унимодулярные матрицы, откуда непосредственно следует
искомый результат.
501. Пусть Л = Р1/?1 = Р2#2, где матрицы Рг, Rx и P., R2
удовлетворяют требованиям задачн 500. Тогда из равенства Р1 Рг =
= R2R11 следует, что целочисленная унимодулярная матрица С =
= Р^1Р1 также имеет треугольный вид. Пусть
'аи а12 ... aln\ /6Ц blt ... bln\
I Ь2г ... Ь2п
/г,-1 . . J. *,=(
^ Кп'
Тогда из равенства Rl=CR1 заключаем прежде всего, что
6u = clla1i bnn = cnnann, откуда следует, что все сц положи-
положительны. Но Сцс2ц ... cnn = |c| = il, следовательно, еи = с22 =
Далее, &i2=cllai2-f-Ci8a22 = a12-f-c12a22, откуда cl2=— — .
« • 2
Но 0«s&12 < 622 = в22, 0<в12 < в22, следовательно, |с12|<1, н
потому с12 = 0. Таким же образом, сравнивая последовательно (по
столбцам) остальные элементы в матричном равенстве СУ?1 = У?2, при-
придем к выводу, что все с^ — О при k> I, т. е. С = ?, следовательно,
#1 = Я2, Pi = P2- Таким образом, в каждом классе найдется одна
и только одна матрица вида R.
Число матриц R с данными диагональными элементами dlt d2,...
..., dn, очевидно, равно d2dl ... d^~l, а следовательно, число ма-
матриц R с данным определителем k равно F „ (k) =*J^ d2d\ ... d",
где знак 2 распространен на все целые положительные числа dlt
й , dn, удовлетворяющие условию d1di ... dn = k. Если fe = eb,
(в, 6) = 1, то каждый множитель d/ в равенстве k = dtd2 .... dn
201

единственным образом распадается на дав множителя а/, Р;( .тан
что аха2 ... а„ — а, р\р2 ... Р„ = 6. Следовательно,
M,...rf,
«-ft
2
«.«I
..«Г1 2 PiPS ••' PS^-^M-M*)-
а,а, ...а„=я PtPi-Bh^b
Отсюда заключаем, что если fe = p^« ... р™>—каноническое
разложение к иа простые множители, то Fn (k) — Fn (p™1) ... Fn (p™').
Остается подсчитать Fn (pm). С этой целью разбиваем сумму для
вычисления Fn(pm) на две части, в первой из которых dH=\, в
во второй dn делится на р, dn — pd'n. Это дает формулу Fn(pm) =
= Fn-i(pm) + pn-iFn{pm~i), из которой легко устанавливается
методом математической индукции, что
(р— 1) (р3— 1) ... (р«-1— 1)
502. Выбрав наименьший по абсолютной величине отличный от 0
элемент матрицы, переносим его в левый верхний угол перестанов-
перестановкой строчек и столбцов. Затем первую строчку и первый столбец
добавляем ко всем остальным строчкам и столбцам или вычитаем из
них столько раз, чтобы все элементы первой строчки и первого
столбца стали меньше углового элемента по абсолютной величине.
Затем повторяем этот процесс. Он закончится после конечного числа
шагов, нбо после каждого шага в левый верхний угол попадает
элемент, меньший предшествующего по абсолютной величине. Но
процесс может закончиться только тем, что все элементы первой
строчки н первого столбца, кроме углового, обратятся в 0. После .
этого преобразуем тем же способом матрицу, образованную 2-й, ...
..., л-й строчками и столбцами. В конце концов матрнца преобразуется
к диагональному виду. В силу результата задачи 489, все описан-
описанные преобразования равносильны умножениям справа и слева на
уннмодулярныа матрицы.
603. Умножение слева на матрицу Ат равносильно прибавленвю
к первой строчке атороЙ, умноженной на т. Умножение слева на В"
равносильно прибавлению ко второй строчке первой, умноженной на т.
/ Ь\ ¦
р р р р у
/а Ь\ ¦
Пусть ?/»=( )—данная целочисленная матрнца с определи-
\с а/
тслем 1. Поделим с остатком а на с: а-^тс+а^ 0<а1<|с||
затем поделим с на ал: c**m1al-\-ctt 0<с2 < а,, и т. д-> до тех пор,
пока деление не' выполнится без остатка. Тогда AmUU
1
М , fi-*t/, = {/,«={ , ) и т. д. В конце концов при-
с й) \сг d2/
/в* Ьк \ /0 b*+i\
дем к матрице t/^+j вида ( . ] или [ 1. Прн этом,
\0 d*+i/ Vk Л„ 1
202

в силу положительности всех в*, сц и унимодулярности i/*+1, будет
в* = <4+1 = 1 в первом случае, с^ = — &?+1=1—во втором. Таким
образом, Uk+l = ( М=Л6* в первом случае., ?/*+! = ( j
d
— A~1BAdk-i—во втором. Тем самым теорема доказана.
504. Матрица с определителем —1 посредством умножения на С
преобразуется в матрицу с определителем 1. Каждая такая матрица
есть произведение степеней 'А и В. Но В^=САС.
505. Пусть |Л| = 1, А2 = Е, АфЕ. Тогда (задача 498)
Л=Р( —1
V -1
при некоторой неособенной матрице Я. Определим матрицу Р так,
чтобы она была целочисленной с возможно меньшим определителем.
2
Ввиду того, что А+Е = Р{ О }Р~1, матрица А-\-Е имеет
\ О/
ранг 1 н, следовательно,
А+Е=\:
причем X1}x1-\-X%\i2-}-X3[i3 — 2 (задача 495). В силу целочисленности
матрицы А + Е, числа Хг, к3, к3 и числа щ, ц2, \i3 можно считать
целыми.
Составив систему уравнений для компонент матрицы Р, нетрудно
проверить, что в качестве Р можно взять матрицу
О — 6\
где о есть общий наибольший делитель ц2, ц3, a a, v—такие целые
числа, что «Ца+РЦз^*-
Определитель матрицы Р равен 2.
На основании результата задачи 500, P = QR, где Q—унимоду-
лярная, R—одна из семи возможных треугольных матриц с опреде-
определителем 2.
Следовательно, Q~MQ равна одной из семи матриц
\
_1 W?-1. Среди этих матриц оказываются только три раз-
—1/
личных, причем две нз внх переходят друг в друга посредством
преобразования уннмодулярной матрицей. Остаются две, указанные
л условии задачи.
50в-а)(ю з):Ь) (8): с) (i; 93); d) 13-507-45-
203

608. В результате получится тождество Эйлера:
Ь\ + с\) (в!+ Ь\ + ct) = (ula2 + 6t
509. Минор, образованный элементами строчек с номерами ilF
i «я, н столбцов с номерами klt k2 km, есть определитель
произведения матрицы, образованной из строчек U, i2, ..., im пер-
первого множителя, на матрицу, составленную нз столбцов ku k2,..., km
второго. Поэтому он равен сумме всевозможных миноров m-го по-
порядка, составленных из строчек первой матрицы с номерами ilF
« im, на соответствующие мнноры, составленные нз столбцов
второй матрицы с номерами klt k2, ..., km.
510. Диагональный минор матрицы АА равен сумме квадратов
всех мнноров матрицы А того же порядка, составленных из элемен-
элементов столбцов, имеющих одинаковые номера со столбцами матрицы
АА, содержащими взятый минор. Следовательно, он неотрицателен.
511. Если все главные мнноры fc-ro порядка матрицы А А равны 0,
то, в силу результата задачи 510, все мнноры порядка k матрицы А
равны 0. Следовательно, ранг матрицы А, а вместе с ним и ранг
матрицы АА, меньше k. _
512. Сумма всех диагональных мнноров порядка к матрицы АА
равна сумме квадратов всех миноров порядка k матрицы А. Тому же
числу равна сумма всех диагональных миноров порядка k матрицы АА.
513. Получается в результате применения теоремы об опреде-
определителе произведения двух матриц к произведению матрицы
(аг а^ ... а„\
' 1 на транспонированную.
' 514. Получается в результате применения теоремы об определи-
определителе произведения к
а'% Ь'г
/их в, ... ап\
U Ьг ... Ь„)
515. Непосредственно следует нз тождества задачи 513. Знак
?а1 а2 ... а„\
равенства возможен, только если ранг матрицы )
меньше двух, т. е. если числа alt а а„ и Ьг, о , Ь„ про-
пропорциональны.
516. Непосредственно следует из тождества задачи 514. Знак
равенства возможен только при пропорциональности чисел alt a2, ...
•••. *п н blt Ь Ьп.
517. Пусть матрица В имеет т столбцов, матрица С имеет к
столбцов. По теореме Лапласа \А | = 2^*^*> где &1—всевозможные
определители порядка т, составленные нз матрицы В, а С,-—их
алгебраические дополнения, равные, с точностью до знаков, опреде-
определителям порядка k, составленным из матрицы С. В силу неравенства
Буняковского (задача 515), | А |* < 2 вг 2 С1 Но 2 fi? = 15в I»
204

518. Пусть
••¦ Ьш\ /Сц ... elft\
) {) А=(В, С).
... спк
Доказываемое неравенство тривиально, если m-\-k> л; для случая
m+k = n оно установлено в задаче 517. Остается рассмотреть слу-
п
чай m-f-fe < л. Предположим сначала, что 2 ^ljcu~^ ПРН любых
/, s. Тогда
[ВВ 0 \
АА =[ - ) н, следовательно, \АА | = | SS|-|CC| .
\0 СС/
В общем случае достаточно решить задачу в предположении, что
ранг матрицы А равен m-\-k, ибо в противном случае неравенство
тривиально.
Достроим матрицу А до квадратной матрицы {A, D) так, чтобы
ранг матрицы D был равен л—т—к, а суммы произведений эле-
элементов любого столбца матрицы D иа элементы любого столбца
матрицы А равнялись 0. Это можно сделать, например, так.
Сначала достроить матрицу А до квадратной неособенной матрицы
г'— (A, D'), что, очевидно, возможно, а затем заменить все элементы
матрицы D' их алгебраическими дополнениями в | z' |. Ранг постро-
построенной таким образом матрицы D будет равен числу ее столбцов
л—т—k, ибо она есть часть матрицы, составленной из алгебраи-
алгебраических дополнений матрицы е', которая лишь множителем | е' | от-
отличается от неособенной матрицы (е')-
Обозначим (A, D) через P,jC, ?>)_через Q. Тогда, в_силу_ре-
аультата задачи 517, \PP\<BB\-\QQ\. Но | РР | = | ЛЛ|-|БО|
и \ QQ| = | СС Н DD\ . Отсюда следует, так как |6d|>0, что
\аа\<,\вв\-\сс\.
519. Непосредственно следует нз результата задачи 518, приме-
примененного к матрице А.
520. Определитель А*А есть сумма квадратов модулей всех ми-
миноров порядка т. матрицы А, где т.— число столбцов матрицы А.
521. Решение подобно решению задач 517, 518. Для квадратной
матрицы вопрос решается применением теоремы Лапласа и неравен-
неравенства Буняковского. Прямоугольную матрицу надлежит дополнить до
квадратной так, чтобы сумма произведений элементов любого столбца
матрицы А на числа, сопряженные с элементами любого столбца
дополняющей матрицы, равнялась 0.
522. Применяя несколько раз результат задачи 521 к матрице А,
принимая за В матрицу, состоящую нз одного столбца, получим
\А'А\ = \[А ||» < 2 Kil8- 2 lfl"l2 ••• 2 \сЧп?<ппМ>",
откуда следует, что
п
||Л||<л~ М».
205

523. Дополним данный определитель А до определителя At по-
порядка л+1, приписав слева столбец, все элементы которого равны
-?-, а сверху строчку из нулей. Тогда Д = -тг Ац. Из всех столб-
столбцов определителя At вычтем первый. Получится определитель, все
элементы которого не превосходят —т- . Применение результата за-
задачи 522 дает то, что требовалось доказать.
п
. 524. Граница п М" достигается, например, для модуля опре-
определителя
11
1 е
где e = cos-JL+i sin-^-
2 n n
525. Построим матрицу порядка п = 2п следующим образом.
Прежде всего построим матрицу(j _! ] . Затем каждый ее элемент,
равный 1, заменяем матрнцейг! !)> а каждый элемент, равный
— 1, заменяем матрицей—(I |) = (~{ ~~i)- Получим матрицу
4-го порядка
С ией поступаем таким же образом, получим матрицу 8-го порядка
и т. д.
Легко видеть, что для. построенных таким образом матриц
суммы произведений соответствующих элементов двух различных
столбцов равны 0. Следовательно,
/я 0 ... 0\
я ... О
\0 0 ... п/
Для матрицы МА будет выполнено равенство:
п_
526. Докажем, что все элементы матрицы, абсолютная величина
определителя которой имеет максимальное значение, равны ±\.
Действительно, если —1. < в,* < 1, АХ) и А!к > 0, то' определи-
определитель увеличится от замены сцк на 1, если же Дэ»0 и А^ < О,
определитель увеличится от замены aik на — 1. Если А < 0, то уве-
увеличение абсолютной величины определителя произойдет при замене
alk единицей со знаком, противоположным знаку Ац,. Наконец,
206

если Alk=0, то величина определителя не изменится при замене
ац, на 1 или—1. Без иарушения общиости можно считать, что все
элементы первой строчки и первого столбца максимального опре-
определителя равны 1; этого можно добиться умножением на—1 строчек
и столбцов. Вычтем теперь первую строчку максимального опреде-
определителя нз всех остальных. Тогда определитель сведется к опреде-
определителю порядка п—1, все элементы которого равны 0 или —2.
Этот последний равен 2n~lN, где N—некоторое число.
527. 4 для п—Ъ; 48 для л = 5.
528. Для особенной матрицы А результат тривиален. Пусть
А—неособенная матрица и пусть А—ее транспонированная, А—
ее определитель, А' — взаимная с А. Тогда Л' — АСЛ-'С, где
+ 1
— 1
1; это непосредственно следует иа правила
составления обратной матрицы. Поэтому
529. Пусть минор матрицы А', взаимной к неособенной мат-
матрице А, образован из строчек с номерами it < i2 < ... <im и
столбцов с номерами ^ <kt< ... <km. Пусть im+1 < im + 2 < •••
... < ln—номера не входящих в мннор строчек, km+i < km+2 < ¦¦¦
... <kn—номера не входящих в мннор столбцов. Умножим рас-
рассматриваемый минор на определитель Л матрицы А:
Д-
Л/,*,
_/ !)'•¦»¦•'• •+'«+*!+-••+*«д.
imki
• • Aink,
X
X
в«.*я
aimkm
«/„ft.
207

*«•*.
...о,
= Дя».
... а,
сочетанию h < h < •
в ряду jj—/l( i2 — /2,
й
откуда и следует то, что требовалось доказать.
530, 531. Непосредственно следует из теоремы об определителе
произведения двух прямоугольных матриц.
532. Нужно установить лексикографическую нумерацию сочета-
сочетании, т. е. считать сочетание ix < it < ... <in предшествующим
< jm, если первая отличная от 0 разность
...... отрицательна. Тогда каждый минор тре-
треугольной матрицы, номера столбцов которого образуют сочетание,
предшествующее сочетанию из номеров строчек, равен 0.
533. В силу результатов задач 531, 491, достаточно доказать
теорему для треугольных матриц. В силу результата задачи 532,
имеем для треугольной матрицы А:
14.1- П ^^-u=i^c-
534. Свойства а) и Ь) следуют непосредственно из определения.
Для установления свойства с) удобно обозначить элементы кронеке-
ровского произведения, снабжая их в качестве индексов не номерами
пар, а самими парами. Пусть
С = {А'-А")Х(В'-В"), A'XB' = G, А"ХВ" = Н.
Тогда
п
23
откуда C=G-H, что и требовалось доказать.
535. Определитель матрицы АхВ не зависит от способа нуме-
нумерации пар, ибо изменение нумерации влечет одинаковые переста-
перестановки строчек и столбцов. Далее,
АхВ = (АхЕт).(Е„хВ).
При надлежащей нумерации пар матрица АхЕт имеет вид
tA
А
причем матрица А повторяется т раз. Следова-
208

тельно, определитель А ХЕт равен | А \т. Таким же образом (но
при другой нумерации пар) убедимся в том, что определитель Е„Х.В
равен \В\п. Следовательно, | А ХВ |'=| А \т-\ В |".
536. Элемент строчки с номером а и столбца с номером р4 мат-
матрицы С,-к есть
()a. s ^s, (ft-l) m+p =
s=l
л m
~ 2l 2l a{l-D m+a, (/-i)m+o *(/-i) m+o, (ft-l) m+B-
/=l0=1
Но внутренняя сумма в последнем выражении есть элемент матрицы
AjjBjk, взятый из строчки с номером а, н столбца с номером р.
п
Таким образом, Clk— 2^i7B/>
'=1
537. Для л=1 теорема тривиальна. Допустим, что теорема до-
доказана для матриц «порядка» л—1 и в этом предположении докажем
ее для матриц «порядка» п.
Сначала рассмотрим случай, когда Ли есть неособенная матрица:
с-.
\Anl
Vni пт ••¦ ппп/
Умножим матрицу С справа на матрицу D, где
Тогда C' = CD будет иметь вид
и О
С' =
А 22
Все матрицы, находящиеся в клетках матриц С, Он С, комму-
коммутируют друг с другом. Легко убедиться в том, что при выполнении
этого условия теорема об определителе произведения двух матриц
верна также и для формальных определителей.
Матрица D имеет формальный определитель Е, настоящий опре-
определитель D равен 1.
Следовательно, | С | = |С | = | Ап |.
а для фор-
форAm ... Алп
мального определителя В будем иметь В = А11-В', где В' есть
209

формальный определитель матрицы
» ... Аы \
L ... А')
В силу индукционного предположения
А'гг ... А
|В'1= .;
А „2 ... А
н, следовательно, | fl| = | Au |-| В'| = | С\, что и требовалось до-
доказать.
Для того чтобы избавиться от ограничения | Ац | Ф 0, можно
поступить следующим образом. Введем в рассмотрение матрицу
Alt ... Aln
и обозначим через В (К) ее формальный определитель.
Ввиду того что \А11 + \Ет\=Хт+... фО, \С(\)\ = \В(\)\.
Оба эти определителя являются полиномами от к. Сравнивая их сво-
свободные, члены, получим |С| = 1В|. Этим завершается доказательство.
¦Глава 5
ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
538. а) 2ж« — 7х*+6х*—Зх3—ж2—2х+\;
Ь) х*_**_4ж»-1-Зх+«-
539. а) Частное 2жа+Зж+11, остаток ?5*—5.
. „ Ъх—7 —26г—2
Ь) Частное -^— , остаток д .
540. р = — q* — 1, т = </.
541. 1) <7 = р— 1, т = 0; 2) G=1; m=± ]^2 — />.
542 Г W ix-l)(x-2)...(x-n)
4" ( ; 1-2-3... л "
543. а) (*— l)(^:l—*'+3*—3
b) (* + 3) B*«— 6^3+ 13*2 — 39* + 109)—327;
c) (*+1+0[4*
d) (л;_14-20[^3 — 2й—5 — 2i"] —
544. а) 136; Ь) —1—44(.
645. а)
с) (*-2)«-18(*-2)+38;
210

d) (x+Q«—2i(x+ <K-( + 0(+ 0<+0
e) (*+ 1—2i)*—(* + 1— 204-2(x-f I — 20 +1.
547. а)
b) x*~4
548. a) /B) = 18, /'B) = 48, /"B)= 124, /'"B) = 216,
/lvB)=240, /vB)=120;
b) /A + 20 = —12 —2*. /'0 + 20=—«6 + 8/, /"A+20-
= _8-f30i, /'"(l + 20 = 24-f30i, /lvA + 20 = 24.
549; a) 3; b) 4.
550. a = -5.
551. Д=3, B = — 4.
552. Л = п, S = — (n-f I).
555. Для того чтобы f (x) делилось на (*—1)*+1. необходимо
и достаточно, чтобы /(l) = ao+a1+ ... +а„ = 0 и /'(ж) делилось на
(л—1)*, для чего, в свою очередь, прн выполнении условия /A)=0
необходимо и достаточно, чтобы fi(x) = nf(x)—xf (x) делилось на
(х— 1)*. Рассматривая /i (х) формально как полином л-й степени,
повторяем то же рассуждение к раз.
556. а есть корень (Л+3)-й кратности, где к — показатель крат-
кратности а как корня /'"(*)•
557. 3125&»+108а8 = 0, а Ф 0.
558. &=9аа, 1728о6+с» = 0.
559. Производная х"~т~1[пхт + (п—т)а] не имеет кратных
корней, кроме 0.
566. Положив общий наибольший .делитель т и я рввным d,
m = dm1, n = dn1, получим условие в виде
(—1)"' («!— mi)"'-m'm™' a"' = bm' nj'.
562. Отличный от нуля корень (А—1)-й кратности полинома
удовлетворяет уравнениям:
а^"' + агхРг + ...+ акхРк = 0,
Ч*р* =0,
откуда следует, что числа a1*Pl, as*Pf, ..., aft*p* пропорциональ-
пропорциональны алгебраическим дополнениям элементов последней строчки
211

определителя Вандермонда
1 1 1 ... 1
Pi Рг Рз Pk
Легко проверить, что
Д
k-i
Рз
|—Р«) = ф' (Pi)-
Отсюда следует, что числа вцхрх обратно пропорциональны ф'(/>,-),
т. е.
я^'ф' (р,) = аг*"'ф' (р2)= ... =аА^*ф' (рк).
Все приведенные рассуждения обратимы.
563. Если f (х) делится на /' (х), то частное есть полином пер-
первой степени со старшим коэффициентом —, где п—степень f(x).
Поэтому nf (*) = (*—*0) /'(*)• В результате дифференцирования по-
получаем (n—l)f'(x) = (x—xo)f"(x) и т. д., откуда
Обратное очевидно.
X Хп
564. Кратный корень полкнома /(х) = 1 -f-.—(-•••Н—j должен
быть также корнем его производной
Следовательно, если f (Xo) = f (хо) = О, то jco=O, но 0 не является
корнем f (x).
565. Если f(x) = (x—xo)ltfl(x), где /1 (*)—дробная рациональ-
рациональная функция, не обращающаяси в 0 при х — х0, то непосредственное
дифференцирование дает:
f (Ч) = f'W=...= Л*"" (*о) =0, ^(*> (*о) Ф 0.
Обратно, если f(xo) = f (хо)= ... =f<*-» (*0)=,0 н ^<*> (*0) ф 0,
то fW = (x-J(J»fiW. /iW/D, нбо если бы /(*)=
— (х—xo)mq (x), q(xo)^O при т Ф k, то ряд последовательных
производных, обращающихся в 0 при х=хв, был бы короче или
. длиннее.
566. Функция
удовлетворяет условию
Следовательно, ty (*) = (*—xo)n+1 F (х), где F(x) — полином, что и
требовалось доказать.
212

567. Если fi(x)L(x0) — fi(x)fi(x0) не равно 0 тождественно, то
можно считать, что fj (*0) Ф 0. Рассмотрим дробную рациональную
ft (х) /? (ха) „
функцию ' , . — ' ' . Она не равна тождественно нулю н имеет
f IW 11 (*о)
корнем х0. Кратность этого корня на единицу выше кратности х0
l
как корни производной, равной
1/1
0ТКУДа
справедливость доказываемого утверждения следует непосредственно.
568. Пусть дс„ —корень кратности k для [/' (*)]2—f(x)f"(x).
Тогда f(xo)^=O, ибо иначе х0 было бы общим корнем для / (х)
и /' (х). По предыдущей задаче х0 будет корнем кратности k-\-1 для
полинома f (х) f (х0)—f (*0) /'(*)> степень которого не превосходит п.
Следовательно, ?+1 <л, k^n—1.
569. Полином f(x)f'(Xf)—f(Xg){'(x) должен иметь х0 корнем
л-й кратности, т. е. должен равняться А (х—хо)п, где Л—постоянная.
Разложение по степеням х— х0 после замены х — хо = г дает
аг—
... +папг"-1) ао =
причем
Отсюда аг=-„—. а3=-^- а„=-^гг—. Заменив -^=«,
получим
л Г. | «(
--- Hi J •
570. Например, 0==2т(оо
не ПОДХ°ДИТ)-
571. Например, Ь=2ё(ш Уже не подходит)
572. Например, М=6.
573. Например,
а)
; b) * = p,
574. Например, а) ж=1—р, 0<р<—;
575. Разложение полинома /" (г) по степеням г—t=A дает
/(z)=B-0 [l + (I -О А3 —
Положив A = a(l—i)> получим
т-B-0 [1-4аз+4аз
213

откуда
|/<г)|<КТ(|1-4а»Н-4а*-~ J/ -i
при 0 < а < y •
576. Представив полином в виде
/ (г) = / (г0) {1 +г (cos ф + isin ф) (г—г0)* A +(г-г0) ф (г)]}.
положить г—г0=р(соз O-t-t sin 0). взять 6= -^—Е и взять р
настолько малым, чтобы |(г—го)\|)(г)[ < 1. Тогда
гр*(г—го)ф(г)| > f(z0).
577. Доказывается как для полинома, с использованием формулы
Тейлора для дробной рациональной функции (задача 566), которую
надлежит оборвать после первого члена с отличным от нуля коэф-
коэффициентом, не считая / (*„)..
578. Обозначим через М точную нижнюю границу | / (г) | при
изменении г в рассматриваемой области.
Делением области ив части докажем существование точки г„,
в любой окрестности которой точная нижняя граница | f (г) | равна М.
В случае надобности сократим дробь иа г—г0 в возможно более
высокой степени. Пусть М*)—Тм после ЭТ0Г0 сокращения. Тогда
if (г„) ф 0, ибо иначе в достаточно малой окрестности г0 | f (г) | был
бы сколь угодно большим н нижняя грань J / (г) | в достаточно малой
окрестности г0 не могла бы равннться М. Следовательно, f (г) непре-
непрерывно при г — г0 и в силу непрерывности |/(zo)| = M, что и требо-
требовалось доказать.
579. Не хватает леммы о возрастании модуля.
580. При сделанном предположении
f (а) фО, Г (о) =... = /«*-" (а) =0, /<*> (о) ф 0
и по формуле Тейлора
f(z)°=f(a) +'—^SL(«-«)*11+ФW]. ф(а) =0.
Положим
* (а)
r(cosq>-Hsin(p), г—a = p (cos 0 + 'sin 6).
Возьмем р настолько малым, что | ф (г) | < 1, /р* < I. Тогда | / (г) | =
1/г(а)||1+ф*[со8(ф+йв) + «5ш(ф+^в)] + гр*ХЬ где |Я|<1
'fe)"~q>,m=l, 2 k,\f(z)\<\f(a)\.
^ф, m=l, 2 k, |/WI>|f(a)|.
Таким образом, при изменении 9 от ^ до —г-^-(-2я функция
I / (*) I—I f (a) I меняет знак 2ft раз. Вследствие непрерывности | f (г) | —
— |/(а)| как функции от в, |/(г)|—|/(a).J обратится в нуль Чк
раз, что и требовалось доказать.
214

681. Так же, как в предыдущей задаче, покажем, что Re (/(г)) —
— Re (f (а)) н Im (f (z))—Im (f (а)) при z=p (cos 9 +« sin 9) меняют
знак 2/г раз при изменении 9 на 2л, если только р достаточно мало.
По формуле Тейлора, положив -jrf{fc) (<0 = г (cos ф-f-f sin ф), получим
/()/() р[(ф+) + (ф + )] [+ф()]> ф()
брав р так, чтобы | ф (г) | < 1, получим, положив ф (г) = ф! (г) -f 'фа B):
R (f ())R (f ()) * [ (+кв) A + ())- sin (ф+ Щ ()]
(
ф(а) = 0. Вы-
р р , | ф () | , у, ф () ф! (г) -f 'фа B):
Re (f (г))—Re (f (а)) = rp* [cos (у+кв) A +9i (г))- sin (ф+ Щ ф„ (г)];
Im (/ (г))— Im (/ (а)) = /-р* [sin (ф + *в) A + ф! (г))+ cos (ф + k&) ф (г)].
Положив ф + ?9:=тя, т = 0, 1, 2, .... 2k, получим
Re (/ (г))—Re (f (a))= rp* (- \)m A +sa),
где em —соответствующее значение ф1 (г), | е,я | < I.
Отсюда следует, что Re (/ (г))-^—Re (f (а)) меняет знак 2т раз при
обходе г окружности |г—а|=р. Аналогичный результат по-
получим для Im (/ (z))—Im (/(а)), положив tf-\-kO=—-\-mn,
m = 0, 1, ..., 2k.
582. a) (*— l)(x — 2)(x—3);
b) ( i m-i + о (* +1 —о (x +»+ 0;
d) (x- VZ - j/2) (*- |ЛЗ + 1/2 ) 6t +/ - /2 ) X
583. аJ-'П (х-
. (а . BА—1)я\ \
. BЛ—1)я / М. \ Am )
684. а)
b) (*a+3)
215

d) П
4=0
e) (*» — x V"a + 2-\-1) (*a -f* Уа
*=0
585. a) (*—l)a(*—2)(x—3)(*—1—0 =
= хь _ (8+,•) x* + B4 + 7i) *3 — C4 +17i) x" + B3 +17i) x - F + 6i);
b) (a;+ IK (*—3) (x—4) = *6—4** — 6*s+ 16*a+29*+ 12;
c) (x-i)a(x+1 +0 = *3+ О-«)x*+ A -20x-1 -i.
586. Д Xft («).
587. a) (jc— 1)а(л—2)(x— 3) (*a—
-65ж» + 74ла—46*-f 12;
b) (*a—4ж +13)8=^ — 12^-f87**—376*»-f 1131деа —
с) (
588. a) (*-l)a(* + 2); b) (x+ I)* (x»+ 1); с) (ж-1K.
589. **—1, где d—наибольший общий делитель тип.
590. *d + a<*, если числа —т- и -т — нечетные; I, если хотя бы
одно из них четное; d обозначает наибольший общий делитель тип.
591. а) (*_1)а(*+1); b) (x-lK(x+l);
с) х* — 1 (d—и. о. д. т и л).
592. Обозначим %0 — ——Щ- и разложим f (x) на линейные множи-
множители: f (x) = (x—X0)(x—'ki).a..(x—'kk-l). Тогда Я/ Ф Яо при /;?0.
Далее,
В силу условия задачи н того, что ы (х0)—%р (xo)=v (х0) (к0—%/) Ф 0,
полином и (х) — "кф (х) имеет х0 корнем кратности к > 1. Следовательно,
u' (x) — %ov (х) имеет ж0 корнем кратности к— I. Далее,
(и' W—Х0о' (а;)). ..(и' (x) — 'kk^l
-^TT-W—-—(
о (*) /[»'(•«)]*
Все ы' (л)—Яуа'(*), / ?4 0, очевидно, не обращаются в 0 при * = *„.
Следовательно, f ( и, \ ' j имеет дг0 корнем кратности к— 1, что и
требовалось доказать.
593. Если ш—корень полинома хг-\-х + \, то ш3 = 1. Следова-
Следовательно, Ш3'я + !|п + 1|3/' + * 1+ + а 0
216

594. Корень X полинома д:а—*+1 удовлетворяет уравнению
Х3 =— I. Следовательно,
Последнее выражение может равняться нулю, только если (—1)" =
= (—1У=^(—!)"• т. е. если т, п, р—одновременно четные или
одновременно нечетные числа.
595. х* + хг+\ =(*2 + *-|-1) (x2 — x+l). Множители эти взаимно
просты, х%-\-х-\-\ всегда является делителем x3m+x3n+1-\-x3P + i
(задача 593). Остается выяснить, когда имеет место делимость на
хг—х-\-1. Подстановка корня X этого полинома дает
В результате получится 0, только если (— 1)т = ( — 1)^ = —(—1)",
т. е. числа т, р и я+1—одновременно четные нлн нечетные.
596. Если т не делится на 3.
597. Все корни полинома хк~1-\-хк-г-\- . .. + 1 суть корни k-ft
степени из 1. Следовательно, |ftai + 5*<7=+1+• • •+S*°*+*~1~"
= 1+?+ • • • +|*~1 = 0. Отсюда следует делимость, так как все
корни ж*-1-}-... + 1 простые.
598. Подстановка корня w полинома *а + *+1 в f (x) = (\ + x)m —
— хт—I дает (\-\-w)m—wm—I. Но \-\-w = —ш2 = А — первообраз-
первообразному корню 6-й степени нз 1. Далее, w= A,s, откуда f (w) = Кт—A,*1"— 1.
При *
/л = 6л f (w)= — I ^0;
m = 6n+l f(w) = % — V—1=0;
6 + 2 f() W + X 1 Ф0
f()
m=6n + 4 f(w) = +^;
m = 6n+5 f(w)=— X*+X—1=0.
Делимость / (*) на *2 + х+ 1 имеет место при m = 6n+l н т = &п-\-5.
599. При т = 6л + 2 и т = 6л + 4.
600. f(w)-=m(l + w)m-1—mwm-i = m\Xm-1—X2^-^],f'(w) = 0
только при т = 6«+1.
601. При т = 6л + 4.
602. Нет, так как первая н вторая производные не обращаются
в 0 одновременно.
603. При х = к, 1<Лг<л,
Следовательно, полином делится на (х—1)(х—2)...(х—л). Сравне-
Сравнение старших коэффициентов дает
604. При т, взаимно простых с л.
605. Если f (хп) делится на *—1, то Д1)=0 и, следовательно,
' f (х) делится на х—1, откуда следует, что f (хп) делится на хп — 1.
606. Если F (*) = Да;") делится на (x—a)k, то F' (x) = f (xn) пхп~1
Делится на (*—а)*, откуда следует, что /'(*") делится на (ж—а)*-1,
'аким же образом, f"(хп) делится на (х—о)*-2,..., ^*-*>(")
217

делится нале—а. Отсюда заключаем, что f(a»)==f*(aB)=...=/(*-t>(tfn)=O
и, следовательно, / (х) делится на (х—ап)к, f (хп) делится на (хР—а")*.
607. Если r(x) = f1<x3) + xf2{xa) делится на хг + х+\, то
) f(l)*(l)O ( *1 Fa M
() д (), f () д
(x) = f1<x3) + xf2{xa) делится на
l)=O (ш-корень х*+х+1) и
да Ы1) = 0, /Га0)=0.
f()
1) = 0. откуда Ы) , /а0)
Полином f(x) не имеет вещественных корней нечетной крат-
кратности, так как иначе он менял бы знак. Следовательно, f(x) =
= Ifi (*)]а h (*). где /а (*)—полином, не имеющий вещественных кор-
корней. Комплексные корни полинома ft разделим на две группы, относя
комплексно сопряженные в разные группы. Произведения линейных
множителей, соответствующих корням каждой группы, образуют
полиномы с сопряжеинымн коэффициентами ф, (x) + i\f>2 (x) и ip, (x) —
— it$>2 (х). Следовательно,
609. а) — *!, —*2 — хп; b) J- , i- i-;
*1 *2 хп
с) *, —а, Жа—a д;„ — a; d) tej, 6л2, ... Ьхп.
610. Один нз корней должен равняться —?• . Искомое соотно-
соотношение: %r = Apq — р3.
611. «1=-g-, *»=у, Ж3=—у. 612. a' —4a6-f8c-0.
613. При любом а соотношение между корнями сохранится.
Взяв а= — — , получим для преобразованного уравнения у* 4- a'i/3 -)-
y+tf+' = 0 a' = 0, a'3—4a'&'+ 8с'= 0, откуда с' = 0.
614. аЧ = с*.
615. Деление на. xs дает *а-|--—j+a ^ *Ч )-f &=0.
Заменив *-|— = г, получим *a-f-j— *a-j--y-s = za—2 — , отку-
да для г получаем квадратное уравнение гг-\- аг-\-Ь—2 — =0. Опре-
Определив г, легко нашем х (обобщенные.возвратные уравнения).
616. а) х=. 1 ± Vy, I ± iV~2;_b) x= t ± 2(\ —2 ± i;
617. A,-±6.
618. 1) b = c=O, а—любое; 2) a ——I, &=—1, c^l.
619. 1) а=6 = с = 0; 2) a=l, &=—2, c = 0; 3) .a=l,
c= —1; 4) й = А,, a=-— -1, с =^^. где Xs—2X.i-2 = 0.
620. X=— 3. 621. 93 + p9-b<? = 0. 622. a? — 2
623. ^¦ = -?L + 2'~2"~1ft, , = 1,2 п. где
(n—l)aj—24паа
218

624. Если бы корни образовывали арифметическую прогрессию,
то по формуле предыдущей задачи они равнялись бы:
a) —? , -д-, -д—оии действительно удовлетворяют уравнению;
5 3 11
b) — у, —у) —у. у—они не удовлетворяют уравнению.
625. Пусть у=Ах+В—уравнение искомой прямой. Тогда корни
уравнения х*-\-ах3-\-Ьхг+сх-\-с1 = Ах-)-В образуют арифметическую
прогрессию. Находим их, согласно задаче 623:
х а | 2'-5 ,, ,_1 о 3 4
где
. . _, 9аа—246
А=тК —ТВ— "ТС —5Г
Отсюда-
а3 — 4а6
! 8
I
d — B=Xlx
Следовательно,
Точки пересечения будут вещественными и ие сливающимися,
если Заа—8Ь > 0, т. е. если вторая производная 2Fх*-{-дах-\-Ь) ме-
меняет знак при изменении х вдоль вещественной оси.
626. х*— ох2+1=0, где а = а*."*"*-.
627. U»-
628. /' (дс1)
1
Xl-
.. .(Xi-xn-i)] = 2f (Xj) V (если *j ;t xt).
^¦^ Л| Л^
629. Непосредственно следует 'нз задачи 628.
630. Пусть *,•=*! + (( — 1) h. Тогда
/'(«,.) = (— iy>-'(( —1I (л — ()| ftn
631. а) *.+ !; b) x»+i; с)
е) *3—х+1; i) x + 3>, g) x
j) 1; k) 2жа+л;—1; 1) х«+х-{-1.
219

632. ?) (-х-
b) ~fi(*) +
c) C-*) ft (
d) (l_^)^l
e) (- *
0 - ^ h (x) +
633. а) М2(л) = л,
2() , ^^ +;
2W = — x— 1, ¦ М^^ггзж' + л2—Зл—2;
c) Л*2(*)= j3--' *iW = 2 ;
......
d) Л4е(*) =g
e) M2(x) = 3x* + x— 1, М1(л)=— 3*»+2*Ч-*--2;
f) M2(*) = — Xs—3*2—Ax—2,
M() *+6»+142+15+7
M1 . .. . . —16x2+37jc+26 .. . . 16jc«—53л»—37Л-23
634. a) M2(x) = ^—-!-—, Mx(x)=
b) M2(x) = 4—3x, Mi(x)=l + 2x+3*2;
c) М2(*) = 35—84ж+ 70^-20*»,
Ml (x) = 1 + 4x+ Юл^-гОл?.
635. a) Mt (x) = 9x2—26a;—21,
M2 (x) = — 9*3 + 44a;»—39a;-7;
b) M1 (x)=3x* + № — 7x+2,
M. (*) = -Зж3-6ж2+x+2.
636. a) 4x*—27x» f 66ж«—65Ж+24;
b) —5a;7+ 13*« + 27a;8-130*« + 75«3 + 266^-440*+ 197.
637.
•••+ 1-2. ..(m-1)
ill W-|+«L(l-^+2H»fi) (!_„.+ ...
+l)(/n + n2) yVI_i _
Ь2. ..(я-
-\) m
m (m + 2)....(m + nl)
(n— 1)! 1 (n-2)! "t"
m(ffl.f J)(w + 3) .
¦*" 1-2 (n—3I
638. 1.
639. a) (*+l)«(*-2J; Jb)
c) (x-l)*(x+Z)*(x-3); d) (*-
e) {x3— жа—де— 2)*; f) (*а+1)*(ж— 1)»;
g)
220

640. a) / (*) = x+1+±*(*_1) (x-2) (*-3);
b) {(х)=*—х*+4х»-х*—7*+5;
c) /(*) =
B)= 1 ~= 1,4116 ... (VT=I,4142 ...);
d) /(*)=*»—9**+21x—8.
641. a) 0=-^-(*_2)(*-3)(*-
+1 (x-1) (*-3) (^-4)-2 (x-1) (*-2) (x-4) +
I 4 6S
+ i-(*-1) (*-2) (*-3) =-x'+10x*
b) i/-yE-(l-0*-^-
Решение. Ж
s=ir
s s=o k=o
ftato S=0 ISO
Л-1 Л-1 Л-1
4i
648. / (x) = 2^ {xek) nsT
Я = 1 ft—• 1
221

644. Положим q> (*) = (*—jtj) (x—*j).. ,{х—хп).
Пусть /(ж) —произвольный полином не выше (я—1)-й степени,
Ух, У%. ...,у„—его значения при *=*,, ж», ...,х„. Тогда
У*Ф (*о)
В силу произвольности ух, j/2, ... (/„.
Ф (*о) . 1
ф' (Хк) (¦*.,- хц) п '
Рассмотрим полином
F (ж) = п [ф W-Ф (х)]-(хо-х) ф' (ж).
Степень его меньше п, и он обращается а 0 при x — Xi, xit ..., хп.
Следовательно, /'(xJssO. Разложим ф(дс) по степеням (дс—х0):
...=ся_1=0;
. Сравнение коэффициентов при
а
Имеем 2 (я—А)с4(ж—жо)*=О. Следовательно,
645. Xs =
х"-1 дает
x (*—*/) Ф' (*|
2* <с' (хЛ . '
646.
х"'1 дает
-— . Сравнение коэффициентов при
647. а,=-г- > Ук^кЬ гДе А =
» А*,-—алге-
А*,-—алгебраическое дополнение элемента k-й строки и (<+1)-го столбца
определителя Д.
(=0
1 = 0 * = 1
222

где Д* —определитель, получающийся us А заменой элемента» fe-t
строки на I, х, ..., х"-1.
Вычисление определителей ДА и А как определителей Вандермон-
да дает
(X~Xn)(f' {Xk) '
где v(xy=(x—Xi)(x—xt)..,(x—xn).
Отсюда /(Jf) = V7—Ук\ ,, ч. что и требовалось доказать.
649. /W,
, (
650. ,М.1_»Е
Е+?!=
Bл)!
nl — A— *)B—х)...(
п\х
652.
653. Ищем f(x) в виде
(х—т) (дс— m— 1)...(jc—т — я+ U
Ж '
где т, т+1, .... т+я—целые значения х, пря которых по
условию f (x) принимает целые значения.
Полагая последовательно "х=т, т+1, .... т-\-п, получим
равенства для определения Ао,- Аг Ап:
*=1, 2 n,

из которых следует, что все коэффициенты Лд—целые. При целых
значениях х все слагаемые / (х) обращаются в биномиальные коэф-
коэффициенты с целыми множителями Ак и потому являются целыми чи-
числами. Следовательно, f(x) принимает целые значения при целых
значениях х, что н требовалось доказать.
654. Полином F (x)~f (х*) степени 2я принимает целые значе-
значения при 2п+1 значениях х=— п, —(п—1), ...-, — 1, 0, 1, ... , п
и в силу предыдущей задачи принимает целые значения при всех
целых значениях х.
а> 12 (ж1) "~3<*+2)+4
12 (ж-1) "~3<*+2)
В55
2 -2+1 -2-1 .
. 1
С) —
X—
2toi , , . 2Ал
Н' Sin
П П
224

e)
2n+l
2я+1
*=i
(-1)"
2я+1
XC0S
n , 2kmn
2я+1 +СО827+Г
n~i «COS 1
to
я
„„
Z/l
(-1)**
657. a)
b)
1
{n + k)\(n—к
1
4 (ж-1I 4 (*+!)*'
1
3
(*-l)»
1 \4
n
1
4
1 iX~^
, . 2kn
sin —;
я
\"
1
-1
1 ,
r-1)» |-4i
1
1 (Ж+ l)a
1
-J
2
f+1
, 1 .
] x-2'
n_ я(я+1) п(п-\-\)...(п-\-т—2)
e/v.m"Tv.ffl — l"t" rm — 2 T • • • T '
1-2 , . 1-2. ..(m-1)
xm ¦ xu
I
A—
m m (m+ 1)
I_v\n-i + /i _v\n-a + •••
8 д. В. Фаддеев, И. С. Соминений
A
m(m+l)...(m + n~ 2)
1-2. ..(я-1)
225

*' (_4a2)" ?*y ¦' k\
X |_(a-x)»-l
S) /л„г\
\ ' -I
658. a) — ' "~ Vj~'
,. 1,7, 3 6x+2 3x4-2
13 13
16 (x—IJ 16 (x— 1)
1
l)
; 4лЧ(^0а+(^+1J ж—1 *+l J
+ 7
4—- > 'J-Л " I 4-
. ..fat
у
ft=i x2 — 2xcos— +1
n
-?--¦> »•
661. 0,51x + 2,04. 662. i/=y[0,55x2 4-2,35x4-6,98].
663. Подставив Л- в f (x), получим после умножения иа qn
228

откуда
В правых частях последних равенств находятся целые числа.
Числа р и q взаимно просты. Следовательно, а0 делится на q,
а„ делится на р.
Рясположим теперь f (х) по степеням х—т:
f (x) = a0 (x—m)n + Cl (х—т)"-1+... +сп-1 (х~т) + с„.
Коэффициенты cv с2, ..., сп—целые числа, так как т—целое.
cn = f(m). Подставив х=—, получим
«о О»— ЩУ+Ъ (p—mq)"-1q+ ... +f»-i (p—mq) qa~1+cnq" = O,
откуда заключаем, что —— ¦иёлое число.
p—mq
_ , р—mq p
Ввиду того, что дробь 2-=-с—т несократима, числа
р—mq н q взаимно просты. Следовательно, cn~f(m) делится на
p—mq, что н требовалось доказать.
664. Для примера а) даем подробное решение.
Возможные значения для р; 1, —1, 2, —2, 7, —7, 14, —14.
Для q только I (знак считаем присоединенным. к числителю).
/A)=—4. Следовательно, р—1 должно быть делителем 4.
Отбрасываются возможности р=1, — 2, 7, — 7, 14, — 14. Остается
нспытзть — 1 и 2.
/(—1) Ф 0; fB)=0. Единственный рациональный корень дг„=2.
Ь) *!=— 3; с) дсг=— 2, ж,=3; d) *!=— 3, *2=-g-;
h) рациональных корней нет; i) — 1,-—2, —3, +4»
n) ^ = 3, дга = дс3 = дс4 = дс6 = —1; о) хх — хг = х3 = 2.
§85. По задаче 663 p я p — q—одновременно нечетные числа.
Следовательно, q—четное число и не может равняться единице.
«вв. По задаче 663 р—х^=± 1, р—*а<7=± 1, откуда
(дс2—дс!>9=± 2 нлн 0. Значение 0 отпадает, так как q > 0, х2 Ф xv
Положив для определенности х2> хг, получим (xt~x,)q='2. Это
равенство невозможно при дс,—дсг > 2. Положим теперь, что
х2—х1 — 1 нлн 2. Единственно 'возможные значения для ряд, при
8* «27
(дс
П

возможно равеиство (xi — xl)q = 2, есть
, откуда единственная возможность для рационального
корня ?--=xt-\ =-ii-i, что н требовалось доказать.
667. Выполнен признак Эйзенштейна:
а) для р = 2; Ь) для р = 3; с) для р = 3, после разложения поли-
полипома по степеням х—\.
ввв. Хр (х) = (*_ 1)*- |
Все коэффициенты С* = р ^"^^|P~fe+1), k < р — 1, де-
делятся на р, ибо fel Ck = p(p— 1).. .(р—ft+J) делится на р, a fe!
взаимно просто с р. Таким образом, для Хр(х) после разложе-
разложения по степеням х—1 выполнен признак Эйзенштейна для простого
числа р.
689. Применим признак Эйзенштейна для числа р, положив
+ 1
Старший коэффициент полинома q> равен 1. Свободный член <р((/),
равный ф@) = Л'р* A) = р, делится на р и не делится на р2. Остается
доказать, что все остальные коэффициенты делятся на р. Для этого
докажем по индукции, что все коэффициенты полинома (у-\-1)р —1,
кроме старшего, делятся на р. Для п—1 это верно. Допустим,
что это верно для показателя р"-1, т. е. (у-\- l)p"~l=yp ~'-J-l +
+ pwn-1(y), где ш„_, (у) — полином с целыми коэффициентами.
Тогдаи (y+l)pa = iypn-i+l + pw,l-1(y))P = (ypn-1+l)P + p$(y) =
— ypn-\-lJ-pwn(y); \f(y) и ьап(у)—полиномы с целыми коэффи-
коэффициентами. Итак,
Коэффициенты полинома х(У) — целые, так как %(у) есть частное
от деления полиномов- с целыми коэффициентами и старший коэф-
коэффициент делителя равен единице. Следовательно, все коэффициенты
полинома ф (у), кроме старшего, делятся на р. Условия теоремы
Эйзенштейна выполнены.
670. Допустим, что полином приводим: f (х) = ф (*) \|) (*).
Тогда оба множителя имеют целые коэффициенты и степени их
больше 1, так как / (х) по условию не имеет рациональных корней.
228

Пусть
3, k-\-m = n. Так как b,fm = an делится на p и не
делится на р2, можно принять, что bk делится на pt ст не делится
на р.
Пусть bj—первый с конца коэффициент ф {х), не делящийся на р,
iSiO. Такой найдется, так как a0 = Vo не делится на р. Тогда
am+i = bicm-\-bi+1cm-1-{-... не делится иа р, так как bjCm не
делится на р, а 6,-+1, 6/+2, ... делятся иа р. Это противоречит
условию, ибо т+«Э=2.
67!. Разложив f (х) иа неприводимые множители с целыми коэф-
коэффициентами, рассмотрим неприводимый множитель ф (х), свободный
член которого делится на р. Такой найдется, так как а„ делится
на р.. Частное от деления f (x) на ф (х) обозначим Ор(х). Пусть
и bj—первый с конца коэффициент ф (х), не делящийся на р; сн не
делится на р, так как an — bmch не делится на р2.
Поэтому а/,+; = 6,-сЛ+Ь|+1сл-1+ ... не делится на р, откуда сле-
следует h-\-i<k. Следовательно, m^m-\-h-\-i—k = n-\-i—k^n—k.
672. a) /@)=l, /A)—1, /(^1) = -1.
Если f (x) = Ф (*) t|> (*) и степень ф(*)<2, то ф @) = dh 11 фA) =
= ±1, Ф (—1)=±1. т. е. <р (*) задается одной из таблиц:
X
-1
0
1
ф(*)
1
1
—1
Г
—1
— 1
1
—1
1
1
1
1
[
—1
1
—1
1
1
— 1
1
— 1
—1
—1
—1
Последние 5 таблиц можно выбросить нз рассмотрения, так как
последние 4 определяют полиномы, отличающиеся только знаком от
полиномов, заданных первыми четырьмя таблицами, четвертая же
определяет полином, тождественно равный единице. Первые *ри дают
следующие возможности:
Испытания посредством деления дают:
b) Неприводим; с) неприводим; d) (хг—х—1)(*а—2).
673. Приводимый полином третьей степени имеет множитель пер-
первой степени с рациональными коэффициентами и потому имеет рацио-
рациональный корень.
674. Полином xi-\-ax3-\-bxi-\-cx + d, не имеющий рациональных
корней, может быть разложен, в случае приводимости, только на
множители второй степени с целыми коэффициентами:
+\ + + (++)( + ц+)
Число т., очевидно, должно быть делителем d; mn = d. Сравнение
229

коэффициентов при *3 и х дает
X + ц = а, п\-\- тц = с.
Эта система неопределенна, только если т = п, с=шп, т. е. если
& = аг& (см. задачу 614).
Если же т. Ф п, то % = ——г= . ~ , , что и требовалось
П — /Я и—N1
доказать.
675. В случае приводимости необходимо, чтобы
Коэффициенты множителей должны быть целыми.
Сравнение коэффициентов дает тп = е, откуда следует, что т
есть делитель е. Далее,
откуда
mV—n\' = d—an,
н, следовательно, (d—an)X + m*A/—яХ"=ст—bn. Решая это урав-
уравнение совместно с Л. + А/ = а, n%-\-mk" = d, получим
, _ am3—стг—dn-\-be
~ ть—пъ-\-аг—dm '
что и требовалось доказать.
676. а) (**—2* + 3)(**—х—3); Ь) неприводнм;
с) (х*~х—4) (**+5*+3); d) (х*—2х + 2)(х*+3х+3).
677. Без нарушения общности можно искать условия, прн кото-
которых *4^-р*2 + 0 раскладывается на множители второй степени с раци-
рациональными коэффициентами, ибо если полином имеет рациональный
корень xlt то —х1 будет также рациональным корнем н соответст-
соответствующие им линейные множители можно объединить.
Пусть xi + pxi + g = (x*+Xlx+n1)(xt+Kix+[ii). Тогда
Если Х1=0, то и Х2=0. В этом случае для существования ра-
рациональных щ и (А2 необходимо н достаточно, чтобы дискриминант
рг—4<? был квадратом рационального числа.
Пусть %г Ф 0. Тогда Ха = — Хц fi» = (ii н далее
<7=|»1 2цр = Х|
Итак, для приводимости полинома ** + /мса+0 необходимо и
достаточно выполнение одного из двух условий:
a) рг—Ц есть квадрат рационального числа;
b) q есть квадрат рационального числа щ, 2^—р есть квадрат
рационального числа Кг.
230

678. Если x* + axs + bx* + cx+d = (x*+plx+ql)(xt+pix-\-q2),
то, так как Pi + P2=a> можно записать:
где ?t = <7i + ?2> Отсюда следует, -что вспомогательное кубическое
уравнение имеет, рациональный корень ^ = ^х + ?г-
679. Пусть / (х) =- ф (х) 1)з (х) и ф(*), 1|з(х) имеют целые коэффи-
коэффициенты. Так как f (а,) = —1, то должно быть ф(а,)=1, 1)з(а,-) = —1
или (р(а() =—1, ф(а,)=1 и, следовательно,
,-)^0, 1 = 1, 2, .... п. .
Если ф (*) и 1)з (*) оба непостоянные, то степень <р (*) + Ф (*) меньше л,
откуда следует, что ф (х) + 1)з (л:) = 0 тождественно. Итак, должно
быть f (х) = —|ф (я)]8- Это "невозможно, так как старший коэффи-
коэффициент f (x) положителен.
680. Если f(x) = (f>(x)ty{x)> то ф(а,) = 1)з(а(')=±1, так как /(а,-)=1.
Следовательно, если ф и ф непостоянные, q>(x) = ty(x) тождественно и
/(*)=»[ф (*)]»¦
Это возможно только при четном п.
Итак, единственное возможное разложение есть
(х-ах) (х-аг).. .(х-ап)+ 1 »[Ф (*)р.
Отсюда выводим, считая старший коэффициент ф(*) положительным,
что
Ф (х)+1 =(x—ai)(x—aa). ..(x—an-j).
) — \=(x—a2)(x—at)...(x—an).
(Для того чтобы иметь право записать эти равенства, нужно
изменить нумерацию чисел alt a2, ..., ап.) И, наконец,
(x—ai) (x — as).. .(x—an-J — ix—az) (x—at).. .(х — а„) = 2.
Положим al>a3> ... > а„-г. Подставив в последнее равенство
лс=а2А, k=\, 2, ..., -^ , получим
(«2ft —«lXeaft—аз)---(«2*—an-i) = 2.
т. е. число 2 должно раскладываться на — целых множителей, распо-
расположенных в порядке возрастания, -ж- способами. Это возможно толь-
только при -2" = 2, 2«=— 2-(— 1) = Ь2, и при у = 1.Эти две возможности
и приводят к двум случаям приводимости полинома / (х), упомяну-
упомянутым в условии задачи.
681. Если полином n-й степени f (х) при л = 2т или /i==2m+l
приводим, то степень одного из его множителей ф(*) не превосхо-
превосходит т. Если / (х) принимает значения ± 1 более чем при 1т целых
значениях переменной, то ф(х) тоже принимает значения ±1 при
тех же значениях переменной. Среди этих значений для ф (х) най-
найдется более чем m равных -f-1 или —1. Но в Таком случае ф (х) = -}-1
или —1 тождественно.
231

682. Полином / (х) ие имеет вещественных корней. Следовательно,
если он приводим, его множители <р(*) и г|з (х) не имеют веществен-
вещественных корней и потому ие меняют знака при вещественных значениях к.
Можно считать, что ф {х) > С, if> (x) > С при всех вещественных зна-
значениях х. 'Так как /.(<**)= 1, то ф(а*)=1}>(Д*) = 1, *=1, 2 я.
Если степень ф (х) [или i|> (#)] меньше л, то tp(*)=l [или г|з(дс)=1]
тождественно. Следовательно, степени ф (х) и if> (*) равны я. Тогда
q>(x) = \+a(x—a1) ... (*—а„), ф(*) = 1+Р (*—fli) ••• (*—о„), где а
и Р—некоторые целые числа. Но тогда
(х-а^ ... (х-ап)*+ 1 = 1 + (« + Р) (x-aj ... (х-ап) +
Сравнение коэффициентов при xtn и при х" дает систему уравнений
ар = 1, а4-Р==0, не имеющую целых решений. Следовательно, f (x)
неприводим.
683. Пусть f (x) принимает значение 1 более трех раз. Тогда
f (х) — 1 имеет по крайней мере четыре целых кория, т. е.
f (х) — \=(х—а1)(х~аг)(х—а3) (х—а4)« W.
где alt аг, as, ai и коэффициенты полинома h(x) суть целые числа.
При целых значениях х выражение (х—а{)(х—аг) (х—as) (x—а4)
является произведением различных между собой целых чисел. Два из
них могут равняться +1 и —1, остальные два отличны от ±1.
Следовательно, их произведение не может равняться простому числу,
в частности —2. Итак, f (х) — 1 Ф—2 при целых значениях х и,
следовательно, f (х) Ф —1.
684. Пусть f (лг) = ф (х) !)>(*). Один из множителей ф(*) имеет сте-
степень <1-9" и принимает значения ±1 более чем при -^ целых значе-
значениях х. Так как-^-^6, то +ф(*) или —ф (х) принимает значение 1
более трех раз н, в силу результата задачи 683, не может принимать
значения —1. Итак, ц>(х) или —ф (х) принимает значение +1 более
чем -Tj- раз и, следовательно, ф(дс) или —ф (х) равно 1 тождественно.
Следовательно, / (лг) неприводим.
Уточняя рассуждение, можно доказать справедливость результата
при п ^8.
686. Пусть
a [
Один из множителей имеет степень <я; ф (*) принимает значения ± 1
при х=а1,-а2 я„ и, ввиду того, что я 5=7, все эти значения (
должны быть одного знака. Следовательно,
$(х)=± l+alx—ajix—az) ... (х—а„)= ±1 +аф(х).
Если а Ф 0, то w(x) тоже имеет степень п и w(x)=± 1 +Эф
Но равенство
невозможно, так как полином ахг-\-Ьх+\ по условию иеприводим.
686. а) / (х) ==аоХп A + — + .. • +-^4rV
232

Пусть max
ffi.
во
=Л. Тогда при 1*1 > 1
при
В силу а) для всех корней
откуда
с) Положим p = maxl/ —— \. Тогда
flop*
«ft
max
aop*-i
Следовательно, модули всех корней не превосходят
Ki ¦
— •
I ао I
d) Пачожим р = тах 1/ I—"- . Тогда \ак <|а.|р*-
. Следовательно, модули корней не превосходит
«о
9 +
«о
-г max
+ ..-+ап,
йг 1 bnsz\an\. Очевидно,
687. Пусть
0<60<|a0|. b
Далее, ф(,
Выражение, стоящее в скобках, возрастает от — оо до 1 при х,
меняющимся от 0 до +оо.
Следовательно, Ф (х) имеет единственный положительный корень | и
Ф(д:)>0 при х>%. В силу этого, при ]х| >| имеем |/(х)|ё=ф(|х|) >0,
откуда следует, что модули всех корией / (х) не превосходят |.
688. а) Пусть Л=тах
. Очевидно, что
233

откуда при |*| > 1
При j л: | > 1 + у/А имеем | f (x) | > С.
В силу а) для всех корней / (*) имеет место
Ч + Т/ max —^i- , откуда \х\ < р + 1/
У а»п* "
аор*.
max
Ok
flop
*"'
с) Положим р = тах 1/ ——
. Тогда |oft|<|ar|p*-^, и модули
всех корней полинома не превосходят
689. Для отрицательных корней полинома утверждение очевидно.
Положим для определенности ао > 0 и обозначим <f(x)-—aoxn —
— blxn-1—b2x"-i—...—Ь„, где bk = Q при ак> 0, Ьк=—ak при
ak < 0. Тогда при положительном х, очевидно,
Далее, ф(д:) имеет единственный неотрицательный корень i (см. за-
задачу 687) и ф (х) >0 при х> ?. Следовательно, /(хMзф (*) > 0 при * > I.
690. Непосредственно следует из 688, 689, 686 с).
692. Разложив f (х) по степеням х—а, получим при х^а:
+I^L(x-a)" > 0.
693. Верхнюю границу корней находим, используя результаты
задач 690, 692. Для определения нижней заменим х-на —х:
а) 0 < xi < 3; Ь) 0 < х( < 1; с) —11 < *,¦ < 11; d) —6 < х,- < 2.
RQ4 я\ f " уЗ _ ^у —_ 1 f у2 __ 1 f — Оу I I f —— 1 1
Три вещественных корня в интервалах (—2, —1), (—1, С), A, 2).
b) /=х3+х8—2х— 1, /!=3*а+2л:—2, /2 = 2х+ 1, /s= +'!• Три
вещественных корня в интервалах (—2, —1), (—1, 0), A, 2).
c) f = xa—7x+7, /1==3*а—7, /2 = 2*—3, /:3= + 1. Три вещест-
венных корня в интервалах (—4, —3), ( U -g")' IT' 2
d) / = х3—х+5, /1=3х*— 1, ^ = 2*—15, /з=—1. Один вещест-
вещественный корень в интервале (—2, —1).
e) / = х3+3лс—5, /! = ха+1. Один вещественный корень в интер-
интервале A, 2).
234

695. a) f'=-x4~l2x3—l6x—4, f1=x3 — 6x—4, /г = 3x» + 6* +2-,
/3 = *+l, /4=1. Четыре вещественных кория в интервалах ( — 3,-2),
(-2,-1), (-1.0), D, 5).
b) f = x*—x—\, fl = 4x3—\, /a = 3x+4, /3= + l. Два веществен-'
ных корня в интервалах (—1, 0) и A, 2).
c) / = 2** — 8^ + 8**— 1, f1 = x*—3x*+2x, ft = 2xa-4x+\, f3 =
¦--- x—1, /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах (—1, 0),
@, 1),A, 2), B, 3).
d) / = * + 2
) / + /, + , /2+, f,
Два вещественных корня в интервалах (—1, 0) и @, 1).
) / 4 + 4в—12+9 и * + Ъ*3 f *+
р р (, ) (
е) / = д4 + 4дв—12*+9, и = х* + Ъх*—3, ft =
=— 4* + 3, /4=1. Вещественных корней нет.
696. a) f = x* — 2х3 —4*2 + 5х+5, /1 = 4*3 — 6л:2—8х+ 5, /2 =
= 22*2— 22*—45, f$ = 2x—1, /4=1. Четыре вещественных корня
в интервалах A, 2), B, 3), (—1, 0), (—2, —1).
Ь) / = х* —2х3 + х*—2л-Ь1, /х = 2гЧ—Зха+х—1, /?2 = ха + 5ж—3,
/945 / 1 Д @ 1)
) / + Ь /х +/2 +
/з=—9x4-5, /4= — 1- Два вещественных корня в интервалах @, 1),
0.2).
c) /=*«—2х3—Зх* + 2х+\, f1 = 2xa-3xi—Зх+1, /а = 9ха —
— Зх—5, /3 = 9х+1, /4= + 1. Четыре вещественных кория в интер-
интервалах (—2, —1), (—1, 0), @, 1), B, 3).
d) f = x* — х3 + ха—х— 1, /1 = 4х3— Зха + 2л:— 1, /2=—5х2 +
+ 10*+17, ^з= —8*—5, f4= —1. Два вещественных кория в интер-
интервалах A, 2), (—1, 0).
/ = **-4x'-4
81 /
)/ + +1/1 +J2=5xs—x—2,
/.=¦18*+1, /4= + 1- Четыре вещественных корня в интервалах
(-2,-1). (-1. 0), @, 1), D, 5). * "
697. a) f = x* — 2x3 — 7х8 + 8л:+1, /x=2*3—Зх*—7х+4, /2 =
= 17#a—17*—8, /3 = 2x—1, /4=1. Четыре вещественных корня
в интервалах (—3, —2), (—1, 0), A, 2), C, 4).
b) f=x*—4*2+х+1, /1 = 4*3—8х+1, /а = 8х*—Зх—4,
/3 = 87*—28, /4= + 1- Четыре вещественных кория в интервалах
(-3,-2), (-К 0). @, 1). A.2). s ^ ^
— 15, /g=—8х + 7, /4=— 1. Два вещественных корня в интервалах
@, 1) и A, 2).
d) f = xi — 4*3 + 8xa—12* + 8, /i = xs — Зха + 4х—3, /а =—х2 +
+ 5* —5, fs=— 9х+13, /4= — 1. Два вещественных корня хх = 2,
1 < х2 < 2. '
ё) /=*4—х3—2ж+1, /1 = 4*s— 3*3—2,. /2 = 3ха + 24х—14, /3 =
=—56х+31, /4=—1- Два вещественных кория в интервалах @, 1)
и A. 2).
698. а) / = **—6х*— 4х + 2, f^x*— Зж— 1, /а=3х*+3г—2,
/3 = 4х + 5, /4=1. Четыре вещественных кория в интервалах
(-2,-у), (-у, -l), @, 1), B,3).
b) f-4x*— 12x2+8x— 1
= 2х— 1, /4= '• Четыре вещ
Ь) / = 4**— 12х2+8х— 1, /t=2*3—+, /2 +, /3
= 2ж—1, /4='- Четыре вещественных корня в интервалах (—3, —2),
235

с) f = 3** +12*8 + 9**—1, /1 = 2*s + 6r*+3*. /2 = 9*2+9* + 2,
/3=13*+8, fi— 1. Четыре вещественных корня в интервалах
-4,-3), (-1,-4). ("|. -|).@, 1).
d) /==**—*3 — 4*2+4*+l, /х = 4*3 —3*2—8x + 4,/2 = 7*2 —8* —
— 4, /3 = 4*—5, /4= (..Четыре вещественных корня в интервалах
1, ¦§•). (у-2)- (-2,-1), (-1,0).
e) / = 9**-126*2—252*—140, /,=*»—7*—7,/а = 9*2+27*+20,
/з = 2*+3, /4=1. Четыре вещественных кория в интервалах D, 5),
) () ( )
699. а)/ = 2*6-10*'+10*—3,/1==** —3*2+1, /2 = 4*3 —8*+3,
= 4*а + 3*—4, ft = x,ft=l. Пять вещественных корней в интервалах
()
Ь) /=*•—3** —3**+11*з—З*2—3*+1, /! = 2** — 5**— +
+ 11*а—2*— 1, f2 = 3x* — б*»—*2+4*— 1, f3 = 4*3-6*2+l, /4 =
= 26*а — 26* + 5, f5 = 2*—I, /e=l- Шесть вещественных корней
в интервалах (-2, -1), (-1, 0), (о, -IV (у. •) . A. 2). B- 3)-
2
с) f = x&+x*—4*'—3*2 + 3*+1, Л=5** + 4*3—12*2 — 6* + 3,
/а = 4*з+3*а-6*-2, /3 = 3*^ + 2*—2, /4 = 2*+1, /6=1.
(
4*з+3*а-6*-2, /3 = 3*^ + 2*—2, /4 = 2*+1, /6=1.
Пять вещественных корней в интервалах ( —2, —^-| ,
-у. -l). (-1. 0), @, 1). A, 2).
d) f = xi — 5*3—10*2 + 2, /1 = *4—3*а—4*. /2 +,
/3=—2дса+*+1, /14= —Зх— 1, /5= —1. Три вещественных корпя
в интервалах (—1, 0), @, 1), B, 3).
700. a) f=** + 4*2—1, fx = x, fi=\. Два вещественных кория
в интервалах (—1, 0), @, 1).
b) /=**—2*3 + 3*2—9*+1, /i = 2*— 3, /,= 1. Два веществен-
вещественных кория в интервалах @, 1) и B, 3).
c) / = ** —2*3 + 2*а—6*+1, /, = 2*—3, /2=1. Два веществен-
вещественных корня в интервалах @, 1) и B, 3).
d) f=*& + 5**+10*«-5*—3, /!=*8+4*— 1, /2 = 5*— 1, /8=1.
Три вещественных корня в интервалах @, 1), (—1, 0), (—6, —5).
701. Ряд Штурма образован полиномами x3-\-px-\-q, 3*2+p,
— 2р*—3?, —4р3—27^2. Если — 4р3—27?2>0, тор< 0. Все старшие
коэффициенты полиномов Штурма положительны и потому все корнн
*3 + р*+9 вещественны. Если —4р3—27<?2 < С, то независимо от
знака р ряд Штурма имеет при — оо две перемены знака, при + оо
одну перемену. В этом случае *3 + р* + <7 имеет один веществен-
вещественный корень.
702. Ряд Штурма образован полиномами х"-\-рх-{-д, пх"-1-\-р,
236

При нечетнш п знак последнего выражения совпадает со знаком
Дг=—(п—])"~1рп—rpq"-1. Если Д > 0, то необходимо р < 0.
В этом-случае полипом имеет три вещественных кория. Если Д < 0,
то независимо от знака р полином имеет один вещественный корень.
При четном п знак последнего выражения в ряду Штурма сов-
совпадает со знаком —рД, где Д = (я—l)"-1^"—я"^"--1. Распределение
знаков в ряду Штурма при различных комбинациях знаков, р и Д
дается в таблице:
1. р > 0, Д > 0
2. р < О,
3. р > О,
Д > О
Д < О
— 00
+ 00
— 00
+ 00
00
+ 00
00
+ 00
f
+
+
+.
+
+
+
+
+
—
+
—
+
—
+
—
+
+
—
—
+
+
—
—
+
—
—
+
+
+
+
—
—
4. р < О, Д < С —
Из рассмотрения этой таблицы следует, что при Д > 0 полином имеет
два вещественных корня, при Д < 0 вещественных корней нет.
703. Ряд Штурма образован полиномами / = х5—5а*3 + 5а2* +26,
/,=** —За** +а*. f2 = ax3 — 2а2*—Ь, /3 = а (о2*2—Ьх — а3), f 4 =
Если Д —а6—Ь2 > 0, то а > 0, и все старшие коэффициенты
полиномов Штурма положительны. В этом случае все пять корней
полинома / вещественны. Если Д < 0, то в зависимости от знака а
распределение знаков выглядит так:
/ h h /з h h.
а > 0 — оо —
+ оо
а < 0 — оо
Следовательно, при Д < 0 полином / имеет один вещественный
корень.
704. Пусть /х и /x+i — два соседних полинома «полного» ряда
Штурма. Если их старшие коэффициенты имеют одинаковые знаки, то их
значения при + оо ие образуют перемены знака, а значения при
— оо дают перемену знака, так как степень одного из полиномов
четная, степень другого нечетная. Если же' старшие коэффициенты
имеют противоположные знаки, то значения f\ и />+i ПРИ + °° дают
перемену знака, а при —оо ие дают. Поэтому, обозначив через Vj и v2
число перемен знака в ряду Штурма при —оо и +оо, имеем, что
v1 + v2 = «. С другой стороны, Vj—v2 равно числу N вещественных
корней полинома. Следовательно, Vij=—-г—, что и требова-
требовалось доказать.
705. Доказывается, как теорема Штурма, с той только разни-
разницей, что нужно проследить увеличение (а не уменьшение) числа пере-
перемен знаков на одну единицу при переходе через корень начального
полинома.
237

706. Построенный ряд полиномов есть ряд Штурма для интер-
интервала хв < х < -j- оо и удовлетворяет условиям задачи 705 для интер-
интервала — оо < х < хв. Следовательно, число корней / в интервале (хв, оо)
равно v(oc0)—v(+ оо), число корней / в интервале (— оо, *„) равно
v(Jte)—v(—оо), где V—число перемен знаков соответствующих
значений полиномов.
Общее число вещественных корней равно
2v(jce)-v(+oo)-v(-oe).
707. Применение теоремы Эйлера к
хг х2
" l ' dx" K ' dx"-1
дает
откуда
пв1()„8
С другой стороны, дифференцируя равенство, определяющее
Р„_1, получим
откуда
Pn-i = xPn-i — Р„.
Сравнивая с предыдущей формулой, получаем Р'п-\ = (л— 1) Рп-г
и, следовательно, P'n — nPn-v
Из выведенных формул следует, что последовательность Рп,
Pn-i, .... Рх, Р(,= 1 есть ряд Штурма для полиномов Р„, так как
Р„-! только множителем л отличается от Рп, и Ях-i есть взятый
с обратным знаком остаток при делении Рх+\ на Рх с точностью до
положительного множителя.
Все старшие коэффициенты полиномов Р„ равны +1. Следова-
Следовательно, все корни Рп вещественны.
708. Дифференцируя равенство, определяющее Р,„ получим
(xne-*) dH (nxn~1e~x хпе-х\
у )+A)Ве*Д (ПХ e >
откуда
Далее
ип
р - - / 1 )ПрХ "
откуда ДсРп=лР„-г-п*Рл_1.
238

С другой стороны,
d»-l\(n—
откуда Рп=—пР'н-1+пР'„_!• Умножив на х а подставив вместо
хРп и хР'„-г их выражение через Р„, Рп-г, Рп-г< получим
Из этих соотношений видно, что рядом стоящие, полиномы Р„ не
обращаются в 0 одновременно, и если Р„_1 = 0, то Р„ и Р„_2 имеют
Р 1 хР
противоположные знаки. Далее, из "~х = 1——i- следует,
р Рп П Л*Р„
что —^—- меняет знак с минуса на плюс при переходе через поло-
положительный корень Р„. Таким образом, ряд Р„, Pn-lt .... Pv P0=l
есть ряд Штурма для Р„ в интервале @, оо). Старшие коэффициенты
всех Р„ равны единице. Р„@) = (—1)"я!. Следовательно, v@) —
— v(+oo) = fl, т. е. Р„ имеет п положительных корней.
¦ • I х" \
709. ?«=?„-!. Далее, ?„ = ?„_! — ( г) . Поэтому
х"
ы ? ? иобразют ряд Штурма для Е на инт
поли-
х"
номы ?„, ?„-1 и г образуют ряд Штурма для Е„ на интервале
(— оо, —е) при сколь угодно малом е. Распределение знаков дается
следующей таблицей:
-е | + + (-1)»-1 *
Следовательно, при четном я полином ?„ не имеет отрицательных
корней; при нечетном п полином ?„ имеет один отрицательный
корень. Далее, при х ^ 0 полином ?„ (х) > 0.
710. Преобразуем посредством формулы Эйлера тождество
хЧх )_d"[Bx— l)e*J
dx"
Получим
L L '
rf" —1
v dx" dx"-1
откуда Р„ = Bпх+1)Р„_1 — п(л— 1) Р„-%хг. С другой стороны,
дифференцированием равенства, определяющего Pn-i> получим
н )п1
Сравнивая результаты, видим, что Рп-\=п(п— 1) Рп-г и. следова-
следовательно, Яп = (я+ 1) пРп-\- В силу установленных соотношений ряд
полиномов Р„, Р„-1, Рл-2 ^в=' образует ряд Штурма для Р„.
Старшие коэффициенты всех Р„ положительны. Следовательно, все
корни Р„ вещественны.
239

711. Подсчитывая двумя способами
d*n dxa
получим
Дифферендироваиие равенства, определяющего Pn-i, дает Р„ =
= 2хР„_1—i-i—Pn-i, откуда Рл_1==яР„_3 и, следовательно,
Из выведенных соотношений следует, что Р„, Р„_1, ..., Ро = 1
образуют ряд Штурма для Рп. Все старшие коэффициенты ряда поло-
положительны, следовательно, все корни Р„ вещественны.
Эта задача легко решается непосредственно. Именно,
откуда получаем, что
Легко подсчитать, что корни Р„ суть ctg—Г7,А=1,2 п.
712. Развернув по формуле Эйлера тождество
dx»
получим
Дифференцируя равенство, определяющее Рп-\, получим
Р„-Bп-1)^Рв_1 + (х2+1)Р;_, = 0.
откуда
Р;_1 = (я-1)ар„_2 и P'n-ntPn-i.
Из найденных соотношений следует, что Рп, Р„-г Ро=1 обра-
образуют ряд Штурма.
В силу положительности старших коэффициентов, все корни Р„
вещественны.
713. Функции F (x), F' (х) и [/' (х)]г образуют ряд Штурма для F.
Старшие коэффициенты ряда За*, 12оо и 9а5 положительны. Следо-
Следовательно, число потерь перемен знака при переходе х от — оо
к +оо равно 2.
Если / имеет двойной корень, то F имеет один тройной корень
и один простой. Если f имеет тройной корень, то F имеет четырех-
четырехкратный.
714. Если какой-либо из полиномов ряда Штурма имеет кратный
корень х0 или комплексный корень а, то этот полином можно заме-
заменить полиномом меньшей степени, поделив его па положительную
240

величину {х—хо)г или (х—а)(х—а'). Дальнейшие полиномы можно
заменить взятыми с обратными знаками остатками в алгорифме
Евклида для замененного полинома и ему предшествующего. После
этого число перемен знака при х=— оо станет <я —2, где я—сте-
я—степень полинома. Следовательно, число вещественных корней по-
подавно <я—2.
715. Пусть F (х) = {хг— \)п. F(x) имеет —1 и +1 корнями я-й
кратности. F' (х) имеет —1 и +1 'корнями кратности я—1 и по
теореме Ролля еще один корень в интервале (—1, +1). F" (х) имеет
—1 и +1 корнями кратности п—2 и два корня в открытом интер-
интервале (—1, +1) и т. д. Я»> (х) = Р„(х) имеет я корней в открытом
интервале (—1, 1).
716. Пусть хг лгА—различные корни f (х) кратностей аь
f1 ix\
а2, ..., ак, хх < хг < х3 <... < хк. Функция ф (х) =jhr непре-
непрерывна в открытых интервалах (—оо, xt), (xlt хг), ..., (хк-1, хк)
и (xk, +оо) и изменяется от 0 до —оо в интервале (—оо, х{), от
+ оо до —оо в каждом из интервалов (xj-i, х/) и от +оо до О
в интервале (хк; оо), ябо q> (*)-»¦ оо при x~*xi и при переходе через
X; меняет знак — иа +.
Следовательно, ф(х)+Я, имеет корень в каждом из интервалов
(x;-lt xi) и, кроме того, при К > О один корень в интервале (—оо, хх),
а при Я, < 0 одян корень в интервале (хк, -f оо).
Таким образом, ф (х) + Я,, а значит, и / (х) [ф (х)+М = Я,/ (х) + /' (х)
имеет k корней, отличных от хи х2, .... х^, при А^О или к—1
корень, отличный от xlt х2 х^, при к = 0. Кроме того, Kf(x) +
+ /'(*) имеет х1г хг, ..., хк корнями кратности at — 1, a2 — 1, ...
..., a*—1. Таким образом, общее число вещественных корней (с уче-
учетом кратности) полинома Я,/ (х) + /' (х) равно ах+а2+...+«& при
\ Ф 0 и ^-r-aj+.-.+a^—1 при Я, = 0, т. е. равно степени полинома
Я/(*)+/'(*).
717. Пусть g(x) = ao(x+X1)(x + K)---(x+K), Fo(x) = aof(x),
' [
Рг (x) = F0 (х)+к1Р'л M = a0/ (х) + а0КГ(х), F2 (x) = F1 (x) + K2F[ (jc)
f() + (KfK)f'() + KKif"(.x) и т. д. Тогда Fn(x)
f
= Fn_x (x) + KF'n-1(x) = aj(x)+aj' (x) + ... +ajw (x), где a0,
ax, ..., an—коэффициенты g. В силу результата задачи 715 все
корни всех полиномов Fo, F1 Fn вещественны.
718. Полином аахп+а1тхп-1 +... +т(т—1)...(т—я+1)я„ =
=[aoxm+ai(xie)' + ... +an(xm)ln)]xn-m, а все корни ж* веще-
вещественны.
719. Полином anxn-{-nan-iXn-1-\-n (п—1) а„_2д:"~2+ ... -\-аоп\
имеет только вещественные корни. Следовательно, все корни аоп\х"-\-
+а1я(я—1).. .2хп~1-\-... -\-пап-хХ-\-ап вещественны. Применив
еще раз результат задачи 718, получим, что все корни полинома
o+1( )+2( )() +n
вещественны. Остается поделить на я!.
720. Все корни полинома A -{-х)и= 1-)—jx-\—j^—'х2 +
+ ... -\-хп вещественны. Остается применить результат задачи 719.
721. Полином f(x) = nxn—х"-1—хп~г—... — 1 имеет веще-
вещественный корень 1. Далее, пусть F(x) = (x—\)f{x) = nx"+1 —
1) 1. Тогда F' (х) = п(п+1)(х—1)хп-1. При нечетном л
241

полином F (х) имеет единственный минимум при дг=1 и, следова-
следовательно, не имеет корней, кроме двойного корня х=\. При четном'я
полином F (х) возрастает от —оо до 1 при —оо <ж<0, убывает
от 1 до 0 при 0<х<1 и возрастает от 0 до оо при 1<дг < оо.
Поэтому F (х) в этом случае имеет единственный корень, кроме
корня х=\.
722. Производная от интересующего нас полинома положительна
при всех вещественных значениях х. Следовательно, полином имеет
только один вещественный корень.
723. Пусть а <Ь <с, /(—ю)<0; f(a) = B*(b —а) + С*(с—а) > 0;
f(c) = — А*(с—а) — В*(с—Ь) < 0; /(+<»)> 0. Следовательно, f имеет
вещественные корни в интервалах (—оо, а); (а, с); (с, +оо).
724.
a-\-bi—ak ' L* (а —
fc I
1т(ф(а+Ы)) = — 6 V -т-Ц—him ^ ° ПРИ &^°. ибовсесла-
fr— 1
гаемые, находящиеся под знаком суммы, положительны. Следова-
Следовательно, ф(в+М) Ф 0 при Ь Ф 0. Тот же результат можно получить
также на основании того, что ф(х) меняется от +ю до —оо, пока*
меняется от а,- до а,-+1, ф(дс) меняется от 0 до—оо при—оо <дс<а1(
ф(х) меняется от +оо до 0 при ап < х <? оо. Здесь предполагается,
что
а, < а, <.-..< а„.
725. , . . — У , тле хь—корни полинома fix). Следо-
(х f^x~Xk
вательно,
х) =1/
при всех вещественных значениях х.
726. Пусть xt < хг < ... <дс„ — корни полинома / (х), ух < уг < ...
• ••<Ут — корни полинома ф(х).
При выполнении условия задачи т = п, п—1 или я+1. Без
нарушения общности можно считать, что xt < ух < хг < (/2 <. .
. < уп-х < Х„ или дсх < ух < дс2 < уг < ... < jfn_1 < х„ < у„. Будем
считать Я, ,i 0. Перепишем уравнение в виде
-$—f
Если т=п, то -ф (дс) меняется:
от ¦— до —оо при —« < д: < ух, обращаясь в 0 при х = хг;
Од
от +°° Д° —°° ПРИ Ук < * < Ук+и обращаясь в 0 при х = хк+1;
от +оо до -г?- при уп < х < + оо.
242

Здесь <г0 и* fc0—старшие коэффициенты / (х) и <р(х), которые мы
считаем положительными.
Вследствие непрерывности tp (х) в каждом из рассмотренных
интервалов, уравнение t|>(x) =— у- имеет п вещественных корней,
если —^ ф %г-. и п—1 вещественный корень, если —¦^¦=-21. Та-
ким образом, число вещественных корней уравнения X/ (х) + ц<р (х)
равно его степени.
Аналогично рассматривается случай, когда т=я—1.
727. Корин I (х) и ф (х) необходимо все вещественные, так как
/ (х) и ф(х) получаются из F (х) при Л,= 1, ц. = 0 и при ц=1, Я. = 0.
Допустим, что корни ((х) и ф (х) не разделяются. Без наруше-
нарушения общности можно считать, что между двумя смежными корнями
/ (х)
*! и хг полинома f (х) нет корней ф(х). Тогда \jf(x)=~~ непре-
непрерывна при xt<x<x2 и иа концах этого интервала обращается в 0.
По теореме Ролля внутри (хх, х2) найдется точка хв такая, что
¦ф'(хв)=0. Тогда tp(x)—i|)(xo) имеет х0 корнем кратности k^2. На
основании результата задачи 581 на окружности \г—хо| = р, если р
достаточно мало, найдется по крайней мере четыре точки, в которых
I(|()) I(|()H
(|()) (|(o))
Из этих точек по крайней мере одна г0 невещественная. Число
р. = t|) (г0) вещественно. Пол ином F (х) = — f (х) + цф (х) имеет неве-
невещественный корень, что противоречит условию.
728. Корни ^ < ?2 < ... < Ьп-1 полинома f (х) разбивают ве-
вещественную ось на л интервалов:
(-со, fe), ft,, |г), .... (|n-2, ^-j), (|»-i. »).
В силу теоремы Ролля, в каждом из этих интервалов полином f (х)
имеет не более чем один корень. Далее, полином /' (х) + Я,/" (х) при
любом вещественном X имеет ие более одного кории в каждом из
отмеченных выше интервалов. Следовательно, -/ (х) + %f (x), в силу
теоремы Ролл и, имеет ие более двух корней в каждом из интервалов,
с учетом кратности.
Разобьем теперь все интервалы на два класса. К первому отнесем
те, в^ которых есть корень / (х). Ко второму—те, в которых нет
/ (х)
корня / (х). Рассмотрим функцию <|>(х)=тгрг> В интервалах первого
класса ф (х) имеет один простой корень и поэтому меняет знак.
В интервалах второго класса ф(х) ие меняет знака. В интервалах
первого класса ty(x)+% имеет, с учетом кратности, нечетное число
корней. Следонательио, в силу сказанного ранее, т|>(х) + А, в интер-
интервале первого класса имеет только один простой корень и кратных
корней не имеет. Поэтому чр' (х) не имеет корней в интервале пер-
первого класса. Исследуем теперь интервалы второго класса. Пусть |0 —
точка в некотором интервале второго класса, в которой абсолютная
величина \|>(х) достигает минимума, и пусть X0 = t|)E0). Для опреде-
определенности будем считать, что чр (х) положительна в этом интервале.
Тогда функция ч|)(х)—Я ие имеет корней в иитересующем нас интер-
интервале при Я, < Яо и имеет по крайней мере два корня при X > Ао.
243

В силу сказанного ранее, число корней -ф (дс)—Я, точно равно
двум при К > Ко и оба корня простые. Далее г|) (jc)—Я.о имеет !„¦
кратным, именно двойным корнем.
Итак, ф(х)— Я, не имеет кратных корней в интервалах первого
класса и имеет только один кратный корень при одном значении Я,
в каждом интервале второго класса. Далее, каждый корень ц поли-
полинома f'*(x)—f(x)f"(x) является кратным корнем для $(*)—i|) (rj),
ибо
Таким образом, число вещественных корней /'*(*) — f (x) f (х) равно
числу интервалов второго класса, которое равно, очевидно, числу
мнимых корней f (дт).
729. Kfx (x) -\- ц/2 (x) имеет все корни вещественные при любых
вещественных постоянных X и ц (задача 726). Следовательно, в силу
теоремы Ролля, kf'i(x) + \i.ft(x) имеет все корни вещественные. От-
Отсюда следует (задача 727), что корни f[ (x) и />(дт) разделяются.
730. Пусть / (х) ие имеет кратных корней и пусть gt < g2 <...
...<!„_! — корни С (х). Рассмотрим функцию т|) (*) = ,, .-\ .
Очевидно, что lim ——|— > 0, если у > 0 или если у <—п.
Х-*х> X П у
Отсюда следует, что i|i (.v) -*• + оо прн х-*-\-оа и ty (х)-*—оо при
х ~* — оо. Кроме того, i|) (дг) ->¦—оо при *-*•!/ справа и г|э (дт) -с + оо
при х-*\{ слева. Таким образом, i|) (х) меняется от —оо до +оо на
каждом из интервалов (—оо, |,), (?,, |2), .... (!„_!, оо), оставаясь
непрерывной внутри этих интервалов.
Следовательно, if (ж), а вместе с ней и ее числитель yf(x)-\-
+ (x+i)f'(x) имеет по меньше п различных корней при у > 0 или
Y<—п. Но число корней yf (x)-\-(x-\-%)f (x) и не превышает п,
ибо y/ (*) + (*+^) /' (х) ееть полином степени п. Если / (дт) имеет
кратные корни и хи дт2, ..., ** — различные корни f (х), то f (дт)
имеет /?—1 корней |i, |2 ift-i> отличных от хх, хг, .... дт^.
Рассуждением, аналогичным предыдущему, убедимся в существова-
существовании k корней >1р(х). Все они, кроме — к, если —К находится среди
корней f (х), будут отличны от корней ^(дг).
Кроме этих корней, yf (x) + {x-\-K)f (х) будет иметь своими кор-
корнями *i, дг2 хь с суммой кратностейя—ft (если —К не является
корнем f (х)) или n — k+l (если — К — корень f (x)).
Общее число вещественных корней yf (х)-\-(к + х) f (x) с учетом
кратностей снова оказывается равным п.
731. Пусть ф {х) = bk(x+ Yi) (« + т2) ••¦(*+ Tft)- Каждое у: или
больше нуля или меньше —п.
Очевидно, что коэффициенты полинома
F1 W = Vi^ W + */' W суть а,- (у, -|- ().
Коэффициенты полинома
F2 (х) = y.,F, (л;) + дгР; (дт) суть а, (у, + 0 ft, + О
и т. д., коэффициенты полинома
244

суть
«l (Yi +0 (Yi-НО1---(YA + O. '"='. 2- •¦-.«•
На основании результата задачи. 730, все корми всех полиномов
Fj, F2, .... Fk вещественны. Но
«оф @)+«1ф A)* + • ¦. +апф (я)xn = bkFk (x).
732. Пусть f(x) = fl (х) (х+А), где А,—вещественное число, и
/х(х)—полином (я—1)-й степени, все корни которого вещественны.
Допустим, что для полиномов (п — 1)-й степени теорема справедлива
и в этом предположении докажем ее для полиномов степени я.
Пусть fx (x) = bo + b1x+...+ 6n, x^"-1,
f(x) = ao + alX+.
Тогда
а0 = Kb0,
ах = Щ +
а2 =Я62 +
а2
+ • • • +а„у (у— 0- • .(y—n+i)x»=
I)*»+ .. .+6n-,v (у-0- ¦ .(y-« + 2) дс»-»Ц-
+xy[bo+b1(y-l)x+b2 (у-1)(у-2)х*+ ... +ЬЯ_, (v-
где через ф (д:) обозначен полином
bt+blyx+biy (v-1) ха+ ... +bn-jy (v-1).
В силу сделанного предположения, все корни полинома ф (х)
вещественны. Остается доказать следующую лемму.
Лемма. Если ф(дс)—полином степени я—1, имеющий только
вещественные корни, то все корни полинома ij) (лс) = Л,«р-f- у-^Ф—**ф'
вещественны при у > я — i и при любом вещественном X.
Доказательство. Без нарушения общности можно считать,
что 0 не является корнем <р(х), ибо если ф = дс*ф1, ф1 @) Ф 0, то
ф (х) =xk (Ьфх+ (v—k) дяр, — х\[)
и vi = v~* превосходит степень фх.
Пусть х1г хг, ..., дсш — различные корни ф. Полином t|) имеет
среди своих корней хи xit ..., хт с суммой кратностей я—1—т.
Рассмотрим теперь
Очевидно, что
Следовательно, w(x)->— оо при х->— оо и и)(х)-с+оо при
дс-> + °°- Кроме того, а) (х) ->¦+ °° ПРИ *-»*/ слева и ш(дг)->—со
при дс -¦*,• справа. Вследствие этого, и)(дс) имеет корни в каждом из
интервалов
(—00, Xl), (*!, Х2), ..., («„,_!, Хт), (Хт, +00).
245

Общее число вещественных корней ip (х), с учетом кратности,
оказывается равным я—I—т+т + 1—п, т. е. равно степени ty(x),''
что и требовалось доказать.
733. Если все кории полинома аи-\-ахх-\-.... + апхп вещественны,
то все корни полинома аохп-{-а1хп-1 -(-••• +ап вещественны. Далее,
все кории полиномов
i —•)• • -(Yi — я+1) x" + a1yl (Yi— •)• - ¦
.. .(у, -я + 2) я"-1 +... +an-lylx+an
вещественны при Yi > я—'• Положив
что все корни полинома
—я + 1=а>0, получим,
вещественны. Применяя результат задачи 732 второй раз, получим
искомый результат.
734. 1. Положим, что все корни / (х) положительны. Тогда по-
лииом ао + а1и)дс+...+аиа'п1дсп не может иметь отрицательных кор-
корней. Пусть теорема справедлива для.полиномов степени л—1. Обо-
Обозначим
Пусть 0 < х1 < хг < ... < *п-1. где хх, х2 х„-г — корни ф (х),
и пусть -%— > ш-г.
Пусть^далее, f(x) = (X—x) (Ьв+Ьхх+ ...+&„_1де»-1). Коэффи-
Коэффициенты полинома f(x) равны
ЯЬb
an ==— &„_!
Следовательно,
-\-... +anwn'txH = % (bo+b1wx+...
+га, n~1)—x(bow+b1w*x+ .. .-\-bn-xw"*xn-*) —
= Хф (x)—jttwp (xw2).
Корни полиномов Ф (х) и дсф (хш*) разделяются в силу индуктив-
индуктивного предположения. Следовательно, все корни интересующего иас
полинома Я,ф(дс)+дя€кр(хш*) вещественны. Остается проверить, что
закон их распределения такой же, как для полинома ф(х).
Обозначим через г,, г2, ..., г„ кории i|)(x). Легко видеть, что
О < гх < *i < ххш-% <гг<.хг< х%т~г <г3< ...
... < гй-1 < *„-! < *»-1И-г < г„.
246

9.i
Отсюда следует, что —ь- >
*i-x
казать.
2. Рассмотрим
= ш-*( что и требовалось до-
При достаточно большом m корни полинома фя (х), равные
± -ш / т , не содержатся в интервале @, и). Следовательно (за-
/ /71
У 71'
дача 731), все корни полинома аоф_ (O) + ei<ps @*+ ¦ ¦• +а„ут (л) ж"
вещественны. Но lim фя (ж) = hi**. Следовательно, в силу непрерыв-
т->а>
ности корней как функций от коэффициентов, все корни ao + a1wx+
+... -f апшР*хп вещественны.
735. Обозначим через xlt x2, ..., х„ корни полинома f(x) = ao-\-
+ ахх+ ... +а„*". Без нарушения общности их можно считать по-
положительными. Пусть, далее,
ф (*) = а0 cos ф+«1 cos (ф+в) х + ... + в„ cos (ф + лв) х",
ф(х) = аО81Пф + а1 sin (ф + 6)дс+-• ¦ -\-ansin (ф + пв)хп.
Тогда
я
Ф (ж) +м|> (ж) = (cos ф + ( sin ф) а„Л (ах—дг,),
(=i
я
Ф (ж) —(т|)(ж) = (cos ф—t sin ф) а„ Д (а'ж—ж,),
i=i
где
a = cos6-M sine, a' = cos6 — i sin 6.
Следовательно,
ф
Ф (ж)— Щ
Пусть ж = рр —корень полинома ф(ж). Здесь р = |ж|; P =
t sin Я,. Тогда | Ф (ж) | = 1 и, следовательио,
ио
—ж,-
рж,-(а
|ра'р-ж,-|*
Отбросим неинтересный случай sin 6=0.
роф-ж,-
ж; sin 6 sin К
Если sin % Ф 0, то все
одновременно больше единицы
247

или одновременно меньше единицы и их произведение не может,
равняться 1. Следовательно, sin К —0, т. е. х вещественное.
736. Пусть xlt х2 хп— корни полинома
Мнимые части этих корней положительны. Рассмотрим полином
f(x) = q>(x) — ity(x). Его корнями будут, очевидно, х[, х\ х'„,
сопряженные с xlt х2, ..., хп. Тогда
Если ха есть корень <р(х), то
(=1
Ho
Xp—X;
xo—x
(хо-х;)(х'л-х'{)
= 1.
\xo-x,\
4 Im (де0) Im (xj)
Отсюда, если Im(x0) > 0, то х»~^' <; i при всех i; если Im(jce)<0,
*o—
то — 7 > 1 при всех t. (То же самое очень легко получить
х0—х.
геометрически, без вычислений.) Следовательно, равенство |Ф(дго)| = 1
возможно только для вещественного хй, и потому все корни ф(х)
вещественны.
Далее, рассмотрим полином
(а- [>/) [Ф (х) + «> (х)] = а<р (х) + fty (х) + i [аф (х)- рф (*)].
Его корни не отличаются от корней исходного полинома и, значит,
его вещественная часть а<р (х) + Pij; (x) имеет только вещественные
корни при любых вещественных а и р. Но в таком случае корни ф(лг)
и 1)з (х) разделяются (задача 727).
737. Пусть xlt х хп— корни <р(х); уи уг, .... у„—корни
уЬ(х). Без нарушения общности можно положить, что старшие коэф-
коэффициенты ф и ф положительны и
Xi > J/i > Х2 > у2 > .. . > уп-х > Х„> У„
(уп может отсутствовать).
Разложим ™ на простейшие дроби:
к=\
248

Легкс видеть, что все Ак > 0. Положим х = а-\-Ы и найдем мнимую
часть для
-»(ф(*)+'Ч> (*))_*(*) ..
ф(*) ф(*) '
= -1-6 Y :
( ¦ . ч ~'')
Если 6^0, то Im ( ¦ . ч ~'') <0 и, следовательно,
-f 'il' (х) Ф 0. Итак, в рассмотренном случае все корни ф (х) + ity (x)
лежат в нижней полуплоскости. Аналогично рассматриваются другие
случаи расположения корней.
738.
fix).
ft = 1
Пусть х — а—bi, b > 0. Тогда
i
Следовательно,
739. Пусть полуплоскость задана неравенством
/•cos (9—ф) > р, где x = r(cosy + i в1пф).
Положим x — (x'-\-pi) (sin 0—t cos 9). Тогда
х' = —/и"-|-* (sin 9 + tcos 9) = /- sin (9—ф) + i [г cos (9—<р)—р].
Отсюда следует, что если х лежит в данной полуплоскости, то х'
лежит в полуплоскости Im {x') > 0, и обратно. Корни полинома
/[(*'+/и) (sin 9 — t cos 9)], таким образом, находятся в верхней по-
полуплоскости. На основании задачи 738 корни его производной, равной
[sin 9 — i cos 9] /' \(х' + pi) (sin 9 — t cos 9)], также находятся в верхней
полуплоскости.
Следовательно, корнн полинома /' (х) находятся в данной лолу-
плоскости.
740. Непосредственно вытекает из результата задачи 739.
741. Уравнение разбивается на два:
П^+4=0 и Ш_!=о<
Разложение на простейшие дроби даёт
t—корни / (х), по предположению вещественные. Пусть х =
249

тогда
i 1
Im
h=i
x—xk
Для корней каждого из уравнений должно быть -г- < г-г- , откуда
\Ь\ <kn.
742. Все корни f (x), очевидно, вещественные. Обозначим их
Ei> 1г> •••• 1м-1- Далее, обозначим через yt, уг, ...,у„ корни поли-
полинома f (х)—Ь, через xlt х2, ..., х„ — корни полинома f.(x)—а. Тогда
Vi < Si < Уг < li < ¦ ¦ ¦ < Уп-i < In-i < Ую
*i < ii < х2 < |2 < ... < хп-1 < !„_! < хп.
Из этих неравенств следует, что интервалы, ограниченные точ-
точками xi, у,, ие налегают, ибо они заключены в иеналегающих интер-
интервалах
(-00,1,); (ii, d); ...; (ln-u +»)•
Полином / (х) принимает на концах каждого из рассмотренных ин-
интервалов значений а и Ь и проходит внутри интервала через все про-
промежуточные значения. Следовательно, } (х)—Я, обращается в 0 на
вещественной оси п раз, что и требовалось доказать.
743. Если вещественные части корней полинома f(x)~x" +
-\- а1х"~1-\-... -\-ап имеют одинаковые знаки, то мнимые части кор-
ией полинома
тоже имеют одинаковые знаки, и обратно.
В силу результата задач 736, 737, для этого~необходимо и до-
достаточно, чтобы корни полиномов х"—а2хп-г-±-а4хп-*—... и a-lxn~'i—
~а3хп-9-\-аьхп-ь—... были вещественны и разделялись.
744. Нужно, чтобы было а > 0 и чтобы кории полиномов х3 — Ьх
и ах2—с были вещественны и разделялись. Для этого необходимо и
Q
достаточно условие 0< — <6илис>0, ab—с>0.
Итак, для отрицательности вещественных частей всех корней
уравнения
необходимо и достаточно выполнение неравенств а > 0, с > 0, ab—с>0.
745. а > 0, с > 0, d > 0, аЬс — сг—аЧ > 0.
746. Положим х=*. . Легко видеть, что если \х] < 1, то ве-
вещественная часть у отрицательна, и обратно.
Следовательно, для того чтобы все кории xlt хг, х9 уравнения
/ (лс) = 0 были по модулю меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы
все кории уравнения / ( . ¦ ) = 0 имели отрицательные веществен-
вещественные части. Это уравнение имеет вид
250

Легко видеть, кроме того, необходимость условия
На основании результата задачи 744 получаем необходимые и доста-
достаточные условия:
I —а+Ь—с > 0; 1+а+Ь+с > 0; 3—а—b+Зс > 0;
1— Ь+ас— с2 > 0.
747.
Пусть |ж| = р> 1. Тогда
-ж)|&а0р»+>-|Ов+(ап_1-а
... + (а0—ах) х"[ Sa flopn+1—P"
+el)(jppn) > 0.
Следовательно, f (х) Ф 0 при | х | > 1.
748. —0,6618. 749. 2,094551.
750. а) 3,3876, —0,5136, —2,8741; Ь) 2,8931;
с) 3,9489, 0,2172, —1,1660; d) 3,1149, 0,7459, —0.8608.
761. Задача сводится к вычислению кория уравнения хг—3х +
+ 1=0, содержащегося в промежутке @, 1).
Ответ: х=0,347 (с точностью до 0,001).
752. 2,4908.
753. а) 1,7320; Ь) —0,7321; с) 0,6180; d) 0,2679;
е) —3,1623; f) 1,2361; g) —2,3028; h) 3,6457; i) 1,6180.
754. а) 1,0953, —0,2624, —1,4773, —2,3556;
b) 0,8270, 0,3383, —1,2090, —2,9563;
8,0060, 1,2855, 0,1960, —1,4875;
c) 1,4689, 0,1168;
d) 8,0060, 1,2855,
e) 1,5357, —0,1537;
0 3,3322, 1,0947, —0,6002, —1,8268;
g) 0,4910, -1,4910;
h) 2,1462, —0,6821, —1,3178, —4,1463.
Глава 6
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
755. Приводим подробное решение примера f):
Старший член полинома F равен х*-х*.
Выпишем показатели в старших членах полиномов, которые бу-
будут оставаться после последовательного исключения старших членов
посредством вычитания подходящих комбинаций основных симметри-
симметрических полиномов. Эти показатели:
D, 2, 0); D, 1, 1); C, 3, 0); C, 2, 1) н B, 2, 2).
Следовательно, F = /*/l+>l/i/, + S/i + C/1/2/i,+ D/J. где А, В, С,
D—численные коэффициенты. Определяем их, задавая частные
251

значения для
хг, х3
1
2
1
I
хг
1
— 1
—2
—1
*з
0
—1
—2
— 1
/i
2
0
—3
—1
/2
1
—3
0
[
/3
0
2
4
I
F
2
50
200
8
Для определения А, В, С, D получили систему уравнений:
2=4+В,
50 = — 27В+4D,
200 = —108/4 + 160,
8=1— A— B+C+D,
откуда В = —2,
Итак,
=—1, Л=—2, С = 4.
Даём ответы для остальных примеров:
? t-3hi с)/J-
8^ ^
Л)/S/S-2/^,-3^8
е) /i/,-/,; g) 2^-9/^
h) /!/!4/?/4/l + 18/
/&. + /
-7/,/J;
/^3 + /4
4; 0 /$-4
; h) 1\и-2Ыъ-
h) /!/!-4/?/8-4
756. a) hhh-fXft-fl b)
с) /3i-4/i/2+8/8.
757. a) /1-2/,; b) /{-З/х/,
с) /Л-4/4; d) /1-
e) /!/!
g) /,/
0 /i/
n)
0)
P)
q)
r)
; m) /I-2/2/4 + 2/1/B_2/e;
-3/8-e/J4-/1/e+ 6/,;
252

t) /J-6/J/,+'9/}/!
758. a) nfl— 8/4;
b) _/»+ 4/Г г/г-8/Г8/з+ ...+(- 2)» /„.
759. a) (n_l)/f_2/i/2; Ь)(я-1)/?-3(я-2)/1/2+3(я-4)/3;
C) („_i) fl—4nf\fi + 2 (я + 6)/|+4 (я-3) /,/s-4
760. /1-2/А_1/А+1 + 2^_Л+
761. („-!)! 2 a? /*_2(n-2 2
= (я
где
Я П
<=1 (=1 Kk i<k
762 Jif*-V* ¦ h) 2 (^-3/^,-2/S) ¦ c) П+Л/8-6/1
/• /1/,-/, ' /I
763 a) /'«-^ifr + ty* • b) ^^+
• 764. a) i^-1; b) ^-'~2/"-^" ; c) /J"
' /
^-; b) / ; c)
'я /„ А
я
P f
765. —4. 766. —35. 767. 16.
768. a) -3; b) —2p»—39S; c) - p* (х\—х^ = -р);
769. Пусть xl — xl+хз. Тогда 2х\ = х\-\-х1+х1 = аг—2b.
¦ -.fa*—2b -. / a* —2b
Следовательно, у —д— или — I/ —^— находится среди кор-
корней данного уравнения. Для этого необходимо н достаточно выпол-
выполнение условия
о4 (а2—26) = 2 (а3—2аЬ+2с)*.
770. а= — xt—хг—х3,
ab—c=— (*1+Хг) (xi + xj (x2+xs),
253

Если все корни вещественны и отрицательны, то
а > О, Ь > 0, с> 0.
Если один корень xt вещественный, а хг и х3—комплексные сопря-
сопряженные с отрицательной вещественной частью, то хг+ха < 0, хгха > О,
(Xi-Ma) (*i+*a) > 0 и, следовательно, тоже а > 0, 6 > 0 и с> 0.
Необходимость условий доказана.
Допустим теперь, что a > 0, b > 0, О 0. Если ^—веществен-
^—вещественное, хг и jt8—комплексные сопряженные, то хах3 > 0, (х, + *2)(*i +*з)>
> 0 и из О 0, 6 > 0 следует хх < 0, 2Re (ж2) = лгг + д;8 < 0.
Если же ж,, хг, х3 вещественны, то из с > 0 следует, что один
корень *j отрицателен, остальные два одного знака. Если х2 > 0,
ж3 > 0, то
—хг—хг > дс3 > 0, — *i—д;3 > Хп > 0
и тогда— (*i+*2) (Xi-J-xJiXt + Xz) < 0, что противоречит условию.
Следовательно, х.г < 0, х3 < 0.
Другое решение дано в задаче 744.
L
771. $=-L Ya (Aab—a3—be),
772. aDefr—о3 —&г) = 4с*.
„- > 25 ,35 , 1679
773. а) 2,; b)^; c)-^.
774. a) atal—4ofa3 —4a|o0
b) afa8—a|o0; c) ?l??-9; d) a?af-a?a3 -о?
775. Достаточно доказать для основных симметрических поли-
полиномов. Пусть ф^ —основная симметрическая функция степени k от
*2> *s> •••• хп< fk~основная симметрическая фулкция от ху, х2, ...
..., хп. Очевидно, что ф* = /д—*\4k-\ откуда следует:
?
776. ATn+^^/t-JCj, (/,— ^)(/i-Jc»)(/
h hhh 2x2-x3 = 3xi-f1, Cx,—
778. Пусть /-(д;,, дгг xn) = <D(/i> f W- Тогда
Д , дФ
254

779. Пусть <f(a)-—F(xx+a, хг-\-а, ..., хп-\ а). Тогда
а хп+а) ¦
Так как q> (о) не зависит от а, то ф'(а) = 0 тождественно, откуда
я л
V4 df „ _., V4 dF (х-,, х, х„) „
следует > ^—=0. Обратно,. если > ———^ 2i=0 тож-
- /, v dF (jft+a, ..., х„+а) .
дественно, то q> (a) = > —^^—V-; 2-i—^-=0, откуда следует,
(=1 *'
что ф (о) не зависит от а и ф (а) = ф @), т. е.
хг, .... *„).
В силу предыдущей задачи, условие 2. ~%—=0 равносильно условию
дФ дФ дФ п
780. Пусть F (лс,, хг, ..., хп)—однородный симметрический полн-
иом второй степени. Тогда его выражение через основные симметри-
симметрические полиномы имеет вид Ф = А{\-\-В}г. В силу результата задачи
779, должно быть я-2/4/, + (я — 1) S/i=0, откуда /4=(я —1)а,
В = — 2яа и
.781. Выражение однородного симметрического полинома третьей
степени через основные имеет вид Af\-]-Bf1f2-\-Gfa. В силу резуль-
результата задачи 779 должно быть ЗЛя/?+яб/г + (п —') ^/i+(rt—2) Cf2=
=•0, откуда
782. (я-2) /5/J-2 (я-1) /?/а-4 (я -2) /1 +
+<10п-12) Ш,—4 (я—1) ffa—9nfl+8nfJt.
783. Можно взять
Каждая функция ф? обладает требуемым свойством. Далее, если
F (х\, х2, ..., xn) = F (дсц+а, дсг+а х„-\-а) и F (jtlf x^ ..., хп) =
= ф(/ь ft, ••¦; fn), то
^(JCi. *з дс„) = Ф(О, фг, фз, .... ф„)
784. а) —4q>|—27«р|; Ь) 18ф1-
786. а) 8ф3;
Ь) — 4ф1ф1+ 16ф4гф4-27ф|+ 144фгф?ф4
255

786. a, = /J-2/t;
787. 2/2 = sf-s2;
" 6/3 = s?-3slSl!+2s3;
24f4 = s} — 6s\s2 + Ssts3 + 3s2 — 6s4;
S 10s?s + 20s?s+ 15ssl—20s2s3—3
—90s?s4+40s3+90s2s4+ 144s,s5— 120se.
788. s6 = 859. 789. ss = 13. 790. slo = 621.
¦ 791. 8!== —1, s2 = s3=...=sn = 0.
792. Легко доказывается методом математической индукции прн
помощи соотношения
где sk = xl + xi.
793. s,-sj = 5 (/?-/,) (/,-Ш; s»-sf-3 (/,-/
794. s6 = -5^/3; s3 = 3/3; s2 = -2/8.
795. s7=—7/JB; s2=—2/2; s6 = 5/5.
796. ж"—a = 0.
797. «"-{«"-H^-'-.-.+H)"^».
798. ?M?M^)
..., Р„—полиномы Эрмита: Рд(ж) = (—1)*е * ft
полинома Эрмита Ря-ы(х).
Решение. Пусть искомое уравнение имеет вид
силу формул Ньютона
2—а„
О = аа„—ая_,.
256

Из этих соотношений следует, что а^ есть полином степени k
от а. Обозначим k\ ац = Рк(а)- Тогда, считая Ро=1» получим
Рг=а и Hk —
Первые соотношения показывают, что Рь есть полином Эрмита от а
(см. задачу 707). Последнее дает Pn+i(a)=0.
799. Y^s*-S2*)'
п k
800. 2 <* + *!>*= 2 C™sk-mXm\
(=[ m=0
n к
801.
2 2 (*/+*/)*= S1
( = 1 1=1 nt=0
?(*,-+*/)*=4"
2,
1 V4 ~.
„ »2ft _ X ^ь /
<n=0
Ki
<n=0
802. Второй столбец умножить иа — sv третий на s , fe-й
на (—l)*->s*_| и добавить к первому. В силу формул Ньютона
получим:
(ft-l)/*-
kfk
1
fl
/ft-а
0 ...
1 ...
...
* • •
fx
0
0
1
/l
0
0
0
(— l)ft-l
1 .
/l
sft ffc-1
0
1
Ik-, •
fk-2 •
.. 0
.. 0
.. 1
• ¦ fx
803. Второй столбец умножается на —flt третий иа f2 k-й
на (—I)*-1 fit-i, и результаты прибавляются к, первому *~-
В силу формул Ньютона получается требуемый результат.
804. я! (*»—/ ------
805.
Ф(я).
а
(т)-
r*e ^ есть наибольший общий делитель
тип.
806. В силу результата задач 117, 119 достаточно рассмотреть
случай n=piPi ... Pk, где Pi» Рг, ••¦, Pk—различные между собой
нечетные простые числа. В этом случае s1=$a = s4=(—1)*; % =
= 2 (— I)*-1, если п делится на 3, и s8 = (— 1)*, если п не делится
Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский
257

на 3. Вычисления по формулам Ньютона дают:
/ п*—1 |
fa——~~п • если п делится на 3;
( nft 1
5—'-
, если я не делится на -3;
-
'— , если я делится на 3;
f4 = *——-—i- , если я не делится на 3.
807. s, =sa = S3— • • • —sn=a. Следовательно, при
откуда
^ft==(«-ft+l)^-.. h=9~kb+l fk-г-
Очевидно, fi — a; следовательно,
t «fLfezii f _a(g-l) ... (a-k+\)
'* 1-й '*"" 1-2 ... k
и потому хи ха xn являются корнями уравнения
808. (x—a) (x—b) [x»+la+b)x»-1+... +(a»+a»-16+...
" *~*" ' и —a\ \xn+1-4- oxfi -4» QrXn¦"** -4- ... ~j~йпх —¦
) +
... +6»).
Степенные суммы a1( o2, .... on для нового полинома, очевидно,
равны нулю. Но <T^=asA+«ft+*>ft- Следовательно, s» = — (o* + bft) для
809. 5Л = — ак— 6* при нечетном fe,
s^=— \os —й* У при четном А.
810. а) (x+aj^+flx + fr)—с=0;
b) ^(^—oa + 3b)s—(aafra-4a3c—4&»+ 18a&C—27са) = 0;
c) л:8 + (ЗЬ—а2)жа + ЬC6—а?)х+Ь»— аас = 0;
d) jr»(jr—оа+3&)+(аа62— 4a"c—46»+18aftc—27са)=0;
e) ж»—(аа—26)жа + F»—2oc)jc—са=0;
f)
SII.
258

812. у* e»-3c ¦ Ь8+ &-6abc+ 9c8 _(
об—Зс . , 6»—!
813. у»
a2b*—2b»—2a*b+6abc—7c2 , , ft8 — 5а6с+6сг ,
___ j^_j _j ya_
814. a) y»—by3 + (ac—Ad) у—(a2d+ca — 4M) = 0
(резольвента Феррари);
b) у" — (Заг-)г/ + (++
— (a8— 4
(резольвеита Эйлера);
c) yi—byb + (ac—d)y* — (a*d+ci—2bd)ys+ .
+d(ac—d)ya—b<Py+(P = O;
d) f+3a* + (i* + 2b)*\C+4b)»+
с4ш)у+
+ (abc—аЧ—са) = 0.
815 ^~а± Vr?-4b+4y1±>/"fl»-4fr+ 4ya±Vra8-4b4-4y3
4
Знаки квадратных корней должны выбираться так, чтобы их произ-
произведение равнялось —a3 + 4a6—8с.
816.
1 IVT
е=—5"Н —. Знаки квадратных корней выбираются так, чтобы
их произведение равнялось —Ь.
817.
Решение. Корнями искомого уравнения являются:
Искомое уравнение, очевидно, имеет вид
c»a»+ctb*) у+
+ М«+
где Ci, ca, ..., с8 — абсолютные постоянные. Для их определения
9* ' 259

положим а= —1, Ь = 0 и а = 0, Ь= — 1. Получим
а
— 1
0
Ь
0
— 1
*1
1
1
1
е
*з
— 1
— г
6»
ч
0
е*
г/i
1
0
Уг
3 — 4;
— 5
2/з
1
-5е*
г/*
1
— 5е3
Уъ
3 + 4?
—5еа
0в
1
— 5е
В первом случае искомое уравнение имеет вид:
(У— 1)*(У"~ t
Во втором случае ye+3125i/=0. Отсюда мы определим все коэф-
коэффициенты, кроме с8. Легко проверить, что с8 = 0. Для этого можно
взять, например, а—— 5, Ь = 4. В этом случае jt, = *2=l, а осталь-
остальные корни удовлетворяют уравнению д:3 -f-2д:а -f- Зле-f- 4 == 0, и все
необходимые вычисления проводятся без труда.
818. Пусть / (х) = (х—Xj) (х—х2) ... (*—жя), где хи х2 хп—
независимые переменные. Пусть, далее,
Коэффициенты ск$ суть, очевидно, некоторые полиномы от
i. х , хп. Далее,
си
С*1
Спх
с12 ..
Саг •¦
ся2 ..
Сщ
cin
Cnn
1
Xl
Х\~
rn(xi)
ф(^1>
^""'ф (*i) ¦*
= Ф(ж,)ф(>
1 ...
А2 • • • •*
::S :::
rn(Xi) ...
ДС2ф (ДС2) . . .
r4w -
ss) ... ф(дс„)
1
^я
J-l
1
)
x\
=
(Хп)
(Хп)
(Xn)
<Р(Хп)
XnV (Xn)
«Г'ф (Х„)
1 1
h *2
>
...
X
... жй
откуда следует
1 ^12
1 саг
260
*„) = Л(/. ф)-

Последнее'равенство есть тождество между полиномами от неза-
независимых переменных xv х2, .... х„ и потому остается верным при
всех частных значениях этих переменных. --
819. Прежде всего убедимся в том, что все полиномы 1|)Л (#) имеют
степень п— 1. Введем следующие обозначения:
Тогда
- Ф* (х) [xn-k+1lk (х) + h (*I = /ft W Ф* ~ Ф*Г* W
Пусть фд (*) = c*i+cft2* + ¦. - +CftnAr"~1 н пусть д:,, л:2, ..., хп-
корни полинома / (дг). Тогда
1 1 ... 1
Х-% Хо ... Х„
С12
с22
сп1 сп% * • • спп
... Л/1
• •• *.W
(*„) ф (*„)
...ф(*я)
о,, О
0
0
"о
v?-1 4- ... хпп
-1
261

откуда следует
... с.
... ф (хя) = R Ц. <р).
820. Полиномы х* имеют степени не выше л—1. Это очевидно
для Kk^n—m, а для k> п — т ото следует из того, что х*
суть полиномы Безу t|>*_n+m для f(x) и дсп-«»ф(дг). Пусть х*(*) =
+ ++и-1 И
Тогда
С11 СМ
СП1 СИ2
••• Спп
.д =
1 i
Х\ Х% ...
Xi (*i) Xi (•*») •
Хг(*1) Х«(-««) •
Xn (*i) Xn (¦'¦г) •
I
xn
vn-i
xn
• Хп(*„)
= Ф(дг1)Ф(дг,) ... ф(хя)х
= Ф(*1)Ф (*«)... ф(ж„) Д ¦
a, a0
-2 ••• "o
откуда непосредственно следует требуемый результат.
821. а) —7; Ь) 243; с) 0; d) -59; е) 4854; f)
262.

822. а) При Л = 3 и Л= — 1;
м X 1 1 —2+О± У4У1-2
)
823. а) У—4/ + / у+ ^
Ь) 5(/6—7(/« + 6(/Э—2(/2-(/-1=0; с) ^3+4«/2—у—4 = 0.
824. a)Xi=*l, Х2 = 2, Х3 = О, лг4 = — 2,
j/j = 2; j/2 = 3; дг3= —1; А/* == 1-
Ь) ^ = 0, х2 = 3, дг3 = 2, х4 = 2,
!/i=l: !/2 = 0; (/з = 2; i/4=-l-
С)Ж1=Ж2=1, ДГ8=—1, ^4 = 2!
1 > 2 ¦
У1=1; Уг=3; Уз = 2; у4=3; й, , = 1 ± * ^
е) ж1 = 0, дг2=0, дс3 = 2, дс4=х6 = 2, жв=—4,
У1 = 2; у2=— 2; уа=0; у4=у6 = 2; у,=2;
дг7 = 4, дга=— 6, х„ = — 2/з.
825. jj
826. Пусть f(x) = ao(X—Xl)(x—x2) ... (*-*„);¦
«Pi W
Тогда
(/, ф1. ф2) = а?+*П <Pi (*/) Фг
827. Интересно рассмотреть только случай п > 2. Обозначим
через d наибольший общий делитель /пил; |t, |2, ...—первооб-
...—первообразные корни из единицы степени я; %, %, ...—первообразные
корни нз единицы степени ~т=п\- Тогда
Если m делится нал, то R (Xn, xm —1) = 0. Если же т не делится
на п, то пх ф 1 и, в силу задачи 123, Х„,A)=1 при пхФ{Г,
ЛП1A) = р при я, = р*(р—простое число). Итак,
R(Xn, х>* —1) = 0 прн «1 = -^-=1;
при ni«---j=-p^
R(Xn, ж*—lK' во всех остальных случаях.
263

828. Очевидно, что R(Xp, Хт) есть целое положительное число,
являющееся делителем R(Xn, xm—l) н R (Хт, ж" —1). Обозначим
через d наибольший общий делитель тип. Если т не делится на л
н я не делится на т, то -г- н -г отличны от 1 и взаимно просты.
В силу результата предыдущей задачи, R {Хп, хт— 1) и /? (Хт, де» — 1)
в этом случае взаимно просты, и потому R(Xn, Xm)=l.
Остается рассмотреть случай, когда одно нз чисел т, п делится
на другое. Допустим, для определенности, что т делится на п.
Если т — п, то R{Xm, Хп) = 0. Если — не является степенью
простого числа, то R (Хт, хп — 1) = 1 и, следовательно, R (Хт, Х„) = I.
Допустим, наконец, что т = пр^. Тогда
-**-1) •
6/n
Все множители правой части равны единице, кроме тех, для кото-
т
рых -jT- есть степень числа р.
Если л не делится на р, то отличный от единицы множитель
останется только один прн 6 = п н
R(Xmi Xn) = R(Xm, лг
Если л делятся на р, то отличных от единицы множителей останется
два: при б = л и б = —. Тогда
- Рф {т/п)
ф(т)|
Итак,
Я(Хт, Хя) = 0 прн т = п;
R(Xm, Х„)ь=р?(«) при m = npb;
R(Xm, Х„)=\ в остальных-случаях.
829. а) 49; Ь) —107; с) —843; d) 725; е) 2777.
830. а) 3125 (б2 — 4а«)*; Ь) К* DА,—27)';
с) (&2—За6+9а2J; d) 4(X«—8A + 3
831. а) Ь=±2; Ь) Х, = 3, ^2 3 =
с) Л,х = 0, Ь2=— 3, Ь3 =
d)^—1. X,—.|, ^f4=|
832. В общем случае, если дискриминант положителен, то число
пар сопряженных комплексных корней четное, если дискриминант
отрицателен,— то нечетное,
2G4

¦В частности, для полинома третьей степени, если D > О,, то все
кории вещественны, если D < О, то два корня комплексно сопряженные.
Для полинома четвертой степени при D > 0 или все кории ве-
вещественные, или все корни комплексные. При D < О имеется два
вещественных корня и одна пара сопряженных комплексных.
833. f=n + f ni
834. f =
2л
где e = cos
R(T. /) =
835. Пусть наибольший общий делитель тип равен А. Введем
обозначения: mj«=—т-, пх=—?, е — первообразный корень л-й сте-
степени из 1, т)—первообразный корень л,-й степени из 1, аахт+п-\-
a1xm-\-ai-=f(x). Тогда f (x) = (m+n)aoxm+n-1-\-malxm-1.
+ 1\i f() д f () (+)o
Корни производной суть: |1 = |2= ... =im_i=0,
Далее,
П
н, следовательно,
(от+n) (m + n-l)
836. Дискриминанты равны.
837. xtxt-\-ХщХА—x1x3—x^ct=(x1—xt)(дга
+ ( ) (
265

998
vdkq
v/o
)(r—oa) FT т_азм = (з) "у effjoi iUy qnadoH
¦ri -1-1 '
«чье
— 9 4i3AjJ •, v (I— o*)TT(l— и*) = / o\ (I — 8*") FT"^ '«W
¦(+)'
'HHhUL-aa хпнхээаеи вииэьене
С*-'*) ПII № zW-'*) Пх
ш и J
П
? >; * > ?
?[ ?[
•("ar-x) ••• (8зг-аг)(^-дг)во=(дг)^ чхэЛц 'I
-»o г (I—)
(I- «)«
в—„х (l —») + 1+вДГ=A—яг) (дг)<Ь
(I—) = (Ф) a
(t—) = (!— a*)g = gf(l) *] (*) G
(г-«) A-й)
• 1 — «ar
'688
• • • г<?х-ю) t{}x-v) ?d = ((v-x) (лг)
-("х-ж) •• (гдг—x)(lx—xHv=(x){ чюХц '888
•ieiqifAesd
KHhAirou 'хи вижониэ()эи и ledffeaM а вахэнааве! кхе

Для упрощения вычислений найдем сначала абсолютную вели-
величину дискриминанта Х„:
О/я е
6
Далее, X п A) отлично от 1, только если -г- есть степень про-
б
стого числа. С другой стороны, ц I -г-) отлично от 0, только если
-т- не делится на квадрат простого числа. Следовательно, в последнем
произведении нужно сохранить только множители, соответствующие
-j-=p,, р рк, где рц рг, ..., рь — различные простые делители
числа п.
Итак,
1L
Pin
Ввиду того, что все корнн Х„ комплексны, знак дискриминанта
равен (—]) 2 . Окончательно
д
pin
844. ?„ = / ( ^
Следовательно,
/? (?„, ?;> = П (-*,)» = (-1)" [(-1)"
845. Нетрудно установить, что
267

Пусть я,, д:2, ..., хп—корни Fn. Тогда
с а(а—\)...(а—п)
r,+ l) • ГДе С= И\ 1
Следовательно,
с" с"
а (а— 1)...(а—
а"-' (а—1)"-2(а —2)"--..(Д—
846. Pn = nPn_j. Следовательно,
/?(Р„, р;)
Далее,
Следовательно, Р„ (?) = — («— 1) Р„_2 (I), если | есть корень Pn_i,
и потому
/?(Р„, Рй_1) = (-1)»-1(«-1)п-1/?(Р„-2. P«_i) =
= ( — !)«-> («_I)«-i ^(Я^-!, Р„_2).
Теперь легко установить, что
R(Pn. Pn-i) = (-l) 2 <«—I)"-* (« — 2)«-г.. .2^-1.
Окончательно
D (Р„) = 1 -22-33... («— 1)»-»я».
847.
848.
849. (n) (+)
850. D (Р„) = 1 -2з.З5.. .«an-i. 12(П-1).32(П-2). .Bп_3J.
851. D(Pn) = 22.34...«2"-2-(«+l)"-1.
852. Пусть f (x) = xn + alx"-1+ ...+аи =
= (дг—дг,)(дг-х2)...(дг—хя).
?>(/) = П(дс,-—дедJ. Ищем максимум D (f) по правилу отыскания
относительного максимума, решая систему уравнений
Легко видеть, что
gP _ D}" (xi)
dxt f'(Xi) ¦
Таким образом, имеем
l"(x)D—2U//'(a:,) = 0 при t" = l, 2 п.
268

Следовательно, полином f(x), дающий максимум дискриминанту,
должен удовлетворять дифференциальному уравнению
где с —некоторая константа. Поделив на — и сравнив коэффи-
коэффициенты при х", получим, что дифференциальное уравнение должно
иметь вид
nf(x)-xf'(x) + c'f"(x)=Q,
где с' — некоторая новая константа.
Сравнивая коэффициенты при ж"-1 н Xй-*, находим ^=0,
а,= —п *" ~ ' с'. Теперь мы можем определить с'. Действительно,
п(п— 1)Я8=х,2+х!+...+^=а!—2ва = «(я— 1)с', откуда c' = R2.
Продолжая сравнение коэффициентов, находим, что f (х) имеет вид
/W=*- #*.-»+ п(п~Х) (;~2) ("~
Легко видеть, что
где Ри —полином Эрмита.
Это и есть искомый максимум дискриминанта.
853. 2*/»(— 1)»вови [?> (/)]2.
т (m-l) n
854. m«n(-l) 2 dS~xaT\
855. f (х)
Следовательно,
Г Д -*/. Ф М -
(F) = П D (Ф (х) - xt) Г Д
Очевидно далее, что
R(<p(x)-xh Ф (*)-**) =<*/-**)"•.
Поэтому
n П П
(=1 (<* (=1
что и требовалось доказать.
856. [у+\)(у—5) (у—19) =0.
857. а) Решение. дг3 = Зд;+4. Пусть у=1-\-х-\-хг, где л: —
корень данного уравнения. Тогда
269

Исключая х, получим
1-у 1 1
4 4—у 1 =0,
4 7 4- у
Ь) у3—/
С)У*+
d) y«-
858. а) у9—
b) J/4 —
у+у + у—6=0;
12(/s+43(/2-49(/+20=0.
= 0, х= 1 ;
о
с) {7*+2^3—у2 — 2у+1—0, обратное преобразование не суще-
существует.
859. у3— у2 — 2у+1=0.
Преобразованное уравнение совпадает с исходным. Это значит,
что среди корней исходного уравнения существуют корни xt и xit
связанные соотношением дг2 = 2—х*.
860. Пусть х2 = ф(х1), где ф (хх) — рациональная функция*с ра-
рациональными коэффициентами. Без нарушения общности можно счи-
считать, что х2 = ах\+Ьх1 + с. Числа axl+bx^ + c, ах\+Ьхг-\-с,
охз + Ьх3-\-с являются корнями кубического уравнення с рациональ-
рациональными коэффициентами, один из корней которого совпадает с корнем
x2—axl-\-bx1-j-c данного уравнення. В силу неприводимости данного
уравнения, должны совпадать и остальные корни. Следовательно,
нли ах|+6дг2 + с=ж8, axl-\-bxa-\-c*=xlt или axt-j-bx!i + c=x1,
axl-\-bx3-\-c=xa. Последнее равенство невозможно, так как х3 не
может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэф-
коэффициентами. Итак, при нашем предположении корни данного урав-
уравнения связаны соотношениями:
г
Следовательно,
(ДГ2 —Я,) (ДГЭ - ДГг) (Хх — Х3) =
есть рациональное число как симметрическая функция с рациональ-
рациональными коэффициентами от хи х2, х3. Необходимость условия до-
доказана.
Допустим теперь, что дискриминант D есть квадрат рациональ-
рационального числа d. Тогда
270

С другой стороны,
Отсюда следует, чю^вг, являются рациональными функциями
от хг. Достаточность условия доказана.
861. a) 1+lij
с)
862. а) «'—«+1 . Ь) 17а2—За + 55; с) 3 — 10а+8а*—За»;
о
d) знаменатель обращается в 0 при одном из корней уравнения.
863. шс*+ «*! + ? =
(рт —few*+атп—я*).д^ + (ая»р—ир—с/и8)
864. Если
то
С другой стороны, Xi=—— , откуда следует необходимость
7*8—а
соотношения
об—Py= («+*)*•
865. Пусть
а^+а^-^...+aB=ae (ж—*J (ж—jt») ... (лс—дс„).
Тогда
в(>*«-«!*«-»+ ...+(-1)" а„ = а0 (*+*,) (x+xj.. .fr + xj.
Перемножив эти равенства, получим
о?(**-*?) (*¦-*?)...(**-*«) =
** + ¦¦¦?¦
Отсюда заключаем, что для того чтобы выполнить преобразование
j/ = *2, нужно заменить хг на у в уравнении
866. Искомое уравнение получится посредством замены х* на у
в уравнении
-8+...) X
n-l + a4jC-4+...)(a**»-*+a»x«»-»+...)=O.
271

867. Существует лишь конечное число полиномов хп +в1*"~1 + . ¦ •
в целыми коэффициентами, модули корней которых не превосходят 1,
ибо коэффициенты таких полиномов, очевидно, ограничены:
Пусть ( — хп + агхп-1 + ... +а„, а„ Ф О,—один из таких поли-
полиномов и пусть xlt хг х„ — его корни. Обозначим fm = (x—xf) X
X (ж—xf) ... (х—х%). Все полиномы fm имеют целые коэффициенты
и все их корни не превосходят 1 по модулю. Следовательно, среди
них есть только конечное число различных. Выберем такую беско-
бесконечную последовательность целых чисел т0 < щ < тг < ..., что
//»„=/»,, = //»,= ••• Это значит, что
yffl, V^O
*а ~ха,'
где (ах, аг, ..., а„) — некоторая перестановка номеров 1, 2, .... п.
Ввиду того, что показателей /я,- бесконечно много, а перестановок
лишь конечное число, найдутся два (и бесконечно много) показа-
показателя т,-, и trija, которым соответствует одна и та же перестановка
(oci, a2 а„). Для таких показателей имеют место равенства:
показывающие, что xv хг, ..., х„ суть корни степени т,-,—я»/,
из единицы, ибо хл, х2, ..., хп отличны от нуля в силу условия
апф0.
868. Пусть F (xlt хг хп)—полином, меняющий знак при
нечетных перестановках переменных. Так как F(хг, х2, х3, .... х„) =
= —F(xt, хг х„) = 0, F (xlt х , хп) делится на хг—хг.
Аналогично доказывается, что F(xi,.x2 х„) делится на все
разности Xi—Xk- Следовательно, F (xv x2 х„) делится на
Д= JJ (х;—Xh), равное определителю Вандермоида. Ввиду того,
что определитель Д меняет знак при нечетных перестановках пере-
переменных, — — симметрический полином.
869. Пусть <p(*!, x2, ..., х„)—полином, не меняющийся при
четных перестановках переменных. Обозначим через <p(xlt хг, ..., х„)
полином, получающийся из <p(*i, дг2, ¦••> хп) посредством какой-либо
определенной нечетной перестановки.
Нетрудно_проверить, что при каждой нечетной перестановке <р
переходит в ф, ф в ф. Следовательно, ф+ф не меняется при всех
272

перестановках, q>—q> меняет знак при нечетных перестановках.
Далее,
где Д — определитель Вандермонда. На основании результата зада-
задачи 868 F2 есть симметрический полином; F,—тоже симметрический
полином, так как не меняется при всех перестановках переменных.
870. (/?— /2) Д, где flt /2—основные симметрические полинсмы
от *,, *,, .... х
871. 8 + (
X (aa-
где Д—дискриминант данного уравнения.
872. ц»—Зрр'и—27^'+^АА'=0, где Д и А'—дискрими-
А'—дискриминанты данных уравнений.
873. Пусть у = ах2 + Ьх + с—преобразование Чирнгаузена, свя-
связывающее данные уравнения. Тогда при некотором выборе нумерации
+ ХЛ
будет рациональным числом. Следовательно, одно из уравнений
(задача 872) имеет рациональный корень. Отсюда следует, что
будет рациональным числом. Необходимость условия доказана.
Обратно, пусть уравнение
^о г)
имеет рациональный корень и.
Нетрудно убедиться в том, что дискриминант уравнения (*) равен
—г-(я V&'—V& Q'Y и, следовательно, отличается от У Д множите-
множителем, равным квадрату рационального числа. Следовательно, разность
и' — и" второго и третьего корней уравнения отличается рациональным
множителем от У А.
Для уъ уг, у3 имеем систему уравнений:
i — xt) ys = u'—u" =
Из этой системы находим
У1
_ .
273

Но (*»—Xf) УН выражается рационально через xv Достаточность
условий доказана.
874. Переменные xlt хг, ..., х„ можно выразить линейно через flt
т|х, тJ, ..., т)п_х. Следовательно, каждый полином от xj, xt, .... х„
можно представить в виде полинома от /i. %, т|„ ..., г\„-г:
При круговой перестановке переменных Xi, х , х„ одночлен
??Л?" • • ifcV приобретает множитель e-(<*i+™*+- + (n- 1)ов_,)§
Следовательно, для того чтобы F (xlt x , х„) не менялся при
круговых перестановках переменных, необходимо и достаточно, чтобы
<х1 + 2аа+...-|-(п — 1)ап_1 делилось на п.
875. Можно взять flt ц", rj2r|i~a, .... tln-ili"'"''
.876. Пусть r)i—xl + x&+x3e.i; i]»=-*i + *»e»+*,e, где
е=—у+г-~. Тогда ^=фг+< УТфа. где q>i н ф,—некоторые
рациональные функции от *i, х%, х3 с рациональными коэффициен-
коэффициентами, не меняющиеся при круговой перестановке xv хг, х3. Легко
видеть, что через fi=xl-\-xi+Xi> Ф1 и ф2 рационально выражается
каждая рациональная функция от дг,, хг, х3, не изменяющаяся при
круговой перестановке переменных.
Достаточно это доказать для т]ат]Гг и т)?. Но
j
(Ф1+<фа Г) (ф1-<Фа VT).
877. При п=4
Положим ег=ЧгтK; ^+1%=Мк; в,-(в3=Мй." «!, в„, 63 суть
рациональные функции с рациональными коэффициентами от хъ хг,
х3, xv не меняющиеся при круговых перестановках. Легко видеть,
что оин вместе с f = xt + xt + х3 + д;4 образуют систему основных функ-
функций. Действительно,
в2—е3
878. Пусть *|i = *ie -f дсаеа + дс3е3 + х^г*+х6,
274

Рассмотрим рациональную функцию Xj=^3s и расположимте
по степеням е, заменив 1 на — е— в*—в8— е*:
! q 2фа+е8ф8 + е*ср4.
Коэффициенты ф1( фв, ф8, ф4 суть рациональные числа. Заменяя 8
на е», е» и 8*. получим:
^4^
Ла
За «основные функции» можно взять /, фц ф«, фз. ф4- Дейст-
Действительно, через иих выражаются рационально Лц л2, л3. а4-
Далее,
Ai AaAi , ТЦТЦ =ХГ А8Аз А4 )
Гл ав а 7
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
879. а) Размерность г=2, базнс образован, например, X, и Х2;
b) /- = 2, базнс образован, например, Хг и Х4;
c) /-=2, базнс образован, например, Хг и Х8.
880. а) Размерность пересечения равна I, ТЗазиСный вектор
Размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из век-
векторов Z, Хх, /j.
b) Сумма совпадает с первым пространством, пересечение—со
вторым.
c) Сумма есть все четырехмерное пространство, пересечение со-
состоит только из нулевого вектора.
881. а) (А, 1, -1, -1); Ь) A, 0, -1, 0).
осл „ч „' Л? 1 ~Т~ Х%"*""*з ^4 л* .^1 ~~" 2 "i ^3 ""~*4
х3=Х1~Х*-Хз Х\ x't=-X* X*2
Ь) х[ = х2
Xt—Xx—Х2 + Х3 —
883. /4 + *
.276

884. Пусть аа + a, cos х + а2 cos2 д: -f-... ¦+• а„ cos" * =
= bo + b1 cos*+fr2 cos2*+ • • ¦ -\-bncos пх.
Тогда ао = 6о—
2 ?Mft+v
885. Точка пересечения с первой прямой имеет координаты
886. Прямые Xg-\-tXl, Y0 + tY, содержится в многообразии
887. Для разрешимости задачи для прямых X0+tXlt O+X
необходимо и достаточно, чтобы векторы Хо, Yo, Xt, Y1 были ли-
линейно зависимы. Это равносильно тому, что прямые можно заклю-
заключить в трехмерное подпространство, содержащее начало координат.
888. Плоскости Xo + ^Xj + fA и Yv + tiYt +t3Yt могут быть
погружены в многообразие Хо+1 {Yo—Хо) + /, X! + /2Х2 + <3К, + /4К2.
889. Таких случаев 6:
1) плоскости не имеют общих точек и не могут быть заключены
в четырехмерное линейное многообразие (плоскости абсолютно скре-
скрещиваются); .
2) плоскости не имеют общих точек, содержатся в четырехмерном
многообразии, но не погружаются в трехмерное (скрещиваются па-
параллельно прямой);
3) плоскости не имеют общих точек и погружаются в трехмер-
трехмерное многообразие (плоскости параллельны);
4) плоскости имеют одну общую точку. В этом случае они по-
погружаются в четырехмерное многообразие, но не погружаются в
трехмерное;
5) плоскости пересекаются по прямой;
6) плоскости совпадают.
В трехмерном пространстве реализуются только случаи 3, 5, 6.
890. Пусть Q = X0 + P есть линейное многообразие, Р—линейное
пространство. Если Хг?(? и Xt?Q, то Х1 = Х0+К), Ха = Х0+У2,
где Y1 и У2 принадлежат Р. Тогда аХ^О—а) Х2 = Хп + а^1+
+ A— <x)Y,?Q при любом а. Обратно, пусть Q—множество векто-
векторов, содержащее вместе с векторами Хг, Xt их линейную комбинацию
аХ1 + A— а) X» при любом а. Пусть Хо— некоторый фиксирован-
фиксированный вектор из Q и Р обозначает множество всех векторов у —Х^Ха.
Если Y?P, то cY?P при любом с, ибо сК=сХ + A— с) Хо— Х„.
Далее, если у, = х, — X0?f> и К8 = Х2 — Х0?Я, тоаК, +(I — а)К2 =
— aXi + О — а) А'г — Х„?Р при любом а. Возьмем теперь некоторое
276

фиксированнее а,, а Ф О, а ф 1, и произвольные сх, с2. Тогда
— Yi?P, ——2
ос I —~c
при любых Ylt YtQP, а следовательно, и
Следовательно, Р есть линейное пространство и Q есть линей-
линейное многообразие.
Замечание. Результат не вереи, если основное поле есть
поле вычетов по модулю 2.
891. а) 9; Ь) 0.
892. а) 90"; Ь) 45е; с)
-p^.
893. cos<p
Vn
5
894. cos A =-==-,
/39
895.
, cosC=—
l/*2"
896. При нечетном п ортогональных диагоналей нет. При п=2т
число диагоналей, ортогональных к данной, равно CffilV
897. Координаты точек даются строчками матрицы
(\
0
о
о
о
1
/12" /2Т
898.
Координаты центра:
/2п(я—1
1
/2п(п-1) ' V
1 2 1
г)'
900. @,
/IF ' /IF ' /IF '
(о ' —L.o).
\ /2 /2 У
901. За остальные два вектора можно взять, например,
> 3, О и _J_(_13, 5, 6, 2).
^
277

1. I, -3), A9,-87,
61. 72).
902. A, 2, 1, 3), A0, ) (
903. Например, C°9 _? ? ~?> ~J)-
904. Система интерпретируется как задача об отыскании векто-
векторов, ортогональных к системе векторов, изображающих коэффициенты
уравнений. Множество искомых векторов есть пространство, ортого-
ортогонально дополнительное к пространству, порожденному данными век-
векторами. Фундаментальная система решений есть базис пространства
искомых векторов.
905. Например, -i=(l, 0, 2, —1),
1
(I, 12, 8, 17).
906. а) Х' = C, 1, —1, — 2)€Р, Ь) Х' = A, 7, 3, ЩСР,
Х" = B, 1, -1, 4)±Р; Х" = (-4, -2, 6, 0) 1 Я.
907. Пусть Alt Аг Ат линейно независимы, Р— натянутое
на них пространство. Далее, пусть X = Y-\-Z, Y?P.Z J_P.
Положим
Составим систему уравнений для определения с1ш сг, .
ножив скал яр ио последнее равенство на A;, i=\, 2,
принимая во внимание, что YAi = XA(.
Получим
т, и
В силу линейной независимости Аи А% Ат, определитель Л
этой системы отличен от 0.
Найдем clt c2, .. .*,. ст и подставим их в выражение для Y.
Получим
О -Ai -/
XAt A\
_ • ~Am
1.Л. ... АХАЯ
Al ... АгАт
Al
X
л у дл
Al ... А,
Эти равенства следует понимать в том смысле, что векторы Y и Z
являются линейными комбинациями векторов, находящихся в первой
строчке, с коэффициентами, равными соответствующим алгебраиче-
алгебраическим дополнениям.
278

Отсюда получаем, наконец, что
О
ХАХ -
А\ Л
— ХА
АтХ АтАх АтАг ...
АгХ
ХЛ,
А\
... ХАт
... АхАт
At,
908. Пусть К—какой-либо вектор пространства Р, а X' — орто-
ортогональная проекция вектора X на Р.
Тогда
XY X'Y |X'HV4-cos(X'. Y)
cos(X, К)=
\X\-\Y\
Ш
', К),
откуда следует, что наибольшее значение cos (X, Y) достигается
для тех У, для которых cos(X', K)=l, т. е. для Y*=aX'
при а > 0.
909. а) 45°; Ь) 90».
910. Л/"-.
V п
Ш| у VI2 I / Y Y'\_l_ / Y' V\12 .1 У Y't9_l_lY' \
X —Х'|а, причем равенство возможно только при К = Х'.
912. a) VT, Ь) у ~.
913.
(л-f 1)(п + 2)...2л
914. Искомое кратчайшее расстояние - равно кратчайшему рас-
расстоянию от точки Xo—Yo до пространства P-\-Q.
915. Пусть одна из вершии лежит в начале координат и пусть
Xlt Xa, ..., Х„—векторы, исходящие из начала в остальные вер-
вершины. Легко видеть, чт"о Х*=1, Х;Ху=-^-. Многообразие, прохо-
проходящее через первые т+ 1 вершии, есть пространство /i^i+ ,..-\-tmXm.
Многообразие, проходящее через остальные п—т вершии, есть
Xn+tm + l (Xm^i — Xn)-\-...+tn-i (Х„-1—Х„). Искомое крат-
кратчайшее расстояние есть расстояние от Х„ до пространства Р,
порожденного векторами
XX
Л\, Л8, ..., Лт, Л„
¦X.
279

Пусть
X*=hX1+...+tmXm+tm+l(Xn~Xm+1)+...
...-+/.-! (Хп-Х„
где У IP- Составляя скалярное произведение Х„ с Хи ..., Хт,
Хп—лт+1, .... Х„—Хп-Х, получим для определения tlt .... tn-t
систему уравнений ,
'+'+ +' ' + '^ ^*
¦л"'М+ l '' + '++^
'
откуда /,=/, = ...=/.=
Следовательно,
-!_.
п—т т+1
Таким образом, общим перпендикуляром является вектор, со-
соединяющий центры выбранных граней. Кратчайшее расстояние равно
длине этого вектора
\Y\=
2(п—
916. а) Проекция вектора (ti-\-2t2, tx — 1t2, tx + bt2, y + j
на первую плоскость есть (/, + 2ti7 tt—2t2, 0, 0). Следовательно,
i4
8
жение достигает максимума, равного -^ , при Х = —4.
Ь) Угол между любым вектором второй плоскости с его ортого-
ортогональной проекцией на первую плоскость остается неизменным
л
и равен -J-.
917. Куб есть множество точек, координаты которых удовлетво-
удовлетворяют неравенствам —g-«5 *,• <-д-> i = l, 2, 3, 4. Здесь а есть
длина ребра куба. Перейдем к новым осям, приняв за координатные
векторы et = (j. у. у. yj, «,= (д. у. -у. - yj.
. _/1 11 Л\ ,_/1 1 1 J_\
ез~\Т' Т* 2' Tj не<-^У Т* I' 2J'
280

Эти векторы ортогонально нормированы, и их направления совпада-
совпадают с направлениями некоторых диагоналей Ky6ai Координаты
точек куба в этих осях удовлетворяют неравенствам
-*;« a, -
Интересующее нас пересечение получим, положив х^ — 0. Оно
представляет собой тело, расположенное в пространстве, натянутом
иа е'г, e'ti e't, и координаты точек которого удовлетворяют неравен-
неравенствам ± к\ ± <, ± к\ < а.
Это есть правильный октаэдр, ограничеиный плоскостямя, отсе-
отсекающими иа осях отрезки длины а.
918.
Вг Вт\-
Bl
ВтВ»
вгт
Эта формула легко устанавливается по индукции, если принять
во внимание результат задачи 907. Из формулы непосредственно
следует, что объем не зависит от нумерации вершии и что
u] = \c\.V[Blt В2 Вя].
Clt Ci, Ci—ортогональные проек-
проекна пространство, ортогонально допол-
дополнительное к (В2, ..., Вт). Очевидно, что C1=C\-{-Ci. По опреде-
опредеBJ = |C1|.V[B,,...,BJ,K[B'i, В2 Вт]^
Bm\tV\B\,Bt ВЯ]^\С\\-У[ВШ Вт\
\ | +1 С\ |, то V [B^Bi BJ<V[Bi, B2 Ви] +
Вт]. Знак равенства возможен, только если С\
и С"\ коллинаарны и одинаково направлены, что, в свою очередь,
имеет место в том н только в том случае, если Вь Вг лежат в про-
пространстве, натянутом на Blt B2, ..., Вт, и коэффициенты при Вх
в выражениях в\, в\ через В\, Ва Вт имеют одинаковые знаки,
т. е. В\, В\ лежат «по одну сторону» от пространства (Вг Вт)
в пространстве (Bt, B2, ..., Вт).
V[cBlt В2
Пусть теперь B1 =
ции векторов Blt Si и
нительное к (В2,
лению, У\ВъВг
-=|ci|.V[B,
Так как | Сх | < | С
-\-V[B\, B2, ...,
919. Р[Д„ В2 Вп\ =
в
в„в, в„вг ...
где В—матрица, столбцами которой являются координаты векторов
Вц В2, ,.., В„.
231

920. Непосредственно из определения получаются еще следую-
следующие два свойства объема: -
HVlBi + X, Bt, ...,Ba]=V[Blt Bt Ba)
при любом Л, принадлежащем пространству (Вг ?«,)> ибо точки
Blt В1-\-Х имеют одинаковые расстояния от (В,, ..., Вт).
e)VlBu Bt Bm]<\Bt\.VlB2 Вт].
Это следует из того, что «высота», т. е. длина ортогональной
к (Вг Вт) составляющей вектора Blt не превосходит длины
самого вектора Bt.
Пусть теперь Си Сг, ..., Ст суть ортогональные проекции век-
векторов Вх, Вг, ..., Вт на пространство Р. Предположим, что нера-
неравенство V[Сг, ...» Ст]^У[Вг Вт] уже доказано. Обозначим
через В\ ортогональную к (В2, .... Вт) составляющую вектора Ви
через С'х—ее проекцию иа Р. Ввиду того, что в\ — Bi?(Bs,:..., Вт),
заключаем, что Ci~C?(C2,r. ..., Ст) и, следовательно, будет
С2 Cm] = V[c[, С2 Cj<|ci|-K[C, Ст\.
Но очевидно, что |Ci|<;|Bi| и, по индукционному предположению,
V[C2, ..., Cm]<V[S2 Вт]. Следовательно.
lt Сш, .... CU\<.\B[\-V\B SJ=K[S1) В Вт].
База для яидукции имеется, ибо для одномерных параллелепипедов
теорема очевидна.
921. Из формулы для вычисления квадрата объема следует, что
V[At Ат, Вх В*] = Ш1 A^.VIB, Bk], если
каждый вектор л; ортогонален к каждому вектору В/. В общем слу-
случае заменим векторы Вх, ..., Bk их проекциями С^ ...,Сц на про-
пространство, ортогонально дополнительное к (Ах, ..., Ат). В силу
результата предыдущей задачи, V[Clt .... Ck]<V[Bx, .... Sft],
откуда
j, Ат, Вг Вк] = У[А1г .... Аа, С1( ..., Сй] =
. Вк].
Содержание этой задачи совпадает с содержанием задачи 518.
922. Непосредственно следует нз неравенства V \Аг ^я|<
<|/41|-Vr[/42) .... Ат], которое, в свою очередь, непосредственно
следует из определения объема.
По своему содержанию эта задача совпадает с задачей 519.
923. Подобное преобразование тела в га-мерном пространстве вле-
влечет изменение объема, пропорциональное л-й степени коэффициента
подобия. Для параллелепипеда это непосредственно следует из фор-
формулы для объема, а для всякого другого тела объем есть предел
суммы объемов параллелепипедов. Следовательно, объем Vn (R)
n-мериого шара радиуса R равекг Vn (I) R".
Для вычисления V,, A) разобьем шар системой параллельных
(л — 1)-мерных «плоскостей» и воспользуемся принципом Кавальер и.
Пусть х есть расстояние секущей «плоскости» от центра. Сечеиие
есть (я—1)-мериый шар радиуса У 1 —х*.
282

Следовательно,
1
1 n-i
dx-.
n+1
Отсюда следует, что
¦(т+0 ¦
924. Базисом являются полиномы 1, х, ..., х". Квадрат объема
соответствующего параллелепипеда равен
1
1
2
1
1
2
1
3
1
I .
'•¦ я+1
1
¦" n-t-2
1
[И21 ... nip
я-Н л + 2 ¦" 2п + 1
925. а) Х1=1, Xi=c(l, —1); Х2=3, Хг = сA, 1);
U\ \ __? V а^сП П' К = —2 X =СD 5V
d) ^,=2^X1=^A, Г, of 9) + с2'A, 0, 1, о')+с8'A, 0, 0, 1);
Х,, = -2, Хг=сA, -1, —1,-1);
ё) \=2, X=Cl(-2. 1, 0)+с,A, 0. 1);
f) Х=-1, Х=сA, 1, —1);
g) ^ = 1, Х1=с1A, 0. 1)+с,@, 1, 0); к2 = — I, Х,=сA, 0, —1);
h) Х,1 = 0, Х1=сC1_— I, 2); X^g^ifc /—14,
Xa#s=cC±2 V^JA, 13, 2^3/^14)^
i) ^=1, Хг=сC, —6, 20); Х,= —2, Х2 = с@, 0, 1);
где
г( , ) „, 2 (, , );
, X!=c(l, 1, 1); X,=e, X2=cC+2e, 2+3e; 3+3e);
2, Xs = cC + 2e2, 2 + 3e2, 3 + 3e^),
926. Характеристические числа А-1 суть обратные величины
для характеристических чисел Л. Действительно, из 1Л-1—Х?|=0
следует |? — Ы |=0,
= 0. -
283

. 927. Характеристические числа матрицы А* равны квадратам
характеристических чисел для А. Действительно, пусть
\AXE\ (XX)(XX) (**)
Тогда
Перемножив эти равенства и заменив X* на X, получим
928. Характеристические числа Ат равны т-м степеням харак-
характеристических чисел А.
Для того чтобы в Этом убедиться, проще всего заменить в ра-
равенстве
\А-кБ\~(к1 — к)(Ъ—Ь) ••• (V-b)
X на А,е, Ае8, ..., ^е"-1, где
2я
6=cos И
я
. 2я
л
перемножить равенства и заменить X" на X.
929. ЦА) = Ьа(А—11Е) ... {А—1тЕ), следовательно,
930. Пусть
F(X) = \A-XE\ = (X1-X)(X,-X) .., (Хп-\)
Тогда
n m
\f(A)\=bS]l И (Х/-\k) = /
931. Положим
н применим результат предыдущей задачи.
Получим
|/(Л)-Х?| = (/(*г)-Х)а(Хг)-Х) ... </<*„)—X).
откуда, следует, что характеристическими числами матрицы
являются /(Ai),*f\Хг) /(Я„).
932. Пусть X есть собственный вектор матрицы А, соответствую-
соответствующий характеристическому числу X.
Тогда
?Х = Л,
= ХХ,
ХгХ
Умножив эти векторные равенства на произвольные коэффициенты
и сложив, получим для любого полинома /, что
f{A)X=f(X)X,
т. е. X есть собственный вектор / {А), соответствующий характери-
характеристическому числу f (X).
284

933. Характеристические числа А* суть л и —л кратиостей
л+1 л —1 _,
—<г- и ~а— соответственно. Следовательно, характеристическими
числами А являются + У~п, — У1Г, + Упi и — У"я"?. Обозначим
их показатели кратности через а, Ь, с, d. Тогда а + 6 = —J—,
c+d = ——. Сумма характеристических чисел матрицы равна сумме
элементов главной диагонали. ч
Следовательно,
Модуль правой части этого равенства равен У~п (задача 126).
Следовательно,
(а—6)г + (с—dJ=l.
Ввиду того, что числа с—d и c-f-d одинаковой четности, заклю-
заключаем, что
а—Ь = 0, с—d = i I. если —^ нечетное число,
п j
а — Ь = ± I, с—d = 0, если — четное число.
Следовательно, при л
c = d — k; a=ft+1, b = k илн a = k, b
при n = 3+4k
a = b—k+\; c = k+l, d = k или c=k, d=k+l.
Тем самым, характеристические числа определены с точностью
до знака. Чтобы определить знак, воспользуемся тем, что произве-
произведение характеристических чисел равно определителю матрицы.
При помощи результата задачи 299 легко получим, что при
1 + 4*
о=А+1, b=k,
при л=3 + 4й
c = k+l, d = k.
Таким образом, характеристические числа определены до конца.
934. 1+е+е«+.,.+е("-1>'= + УТпри n — ik+l,
.+e<n-i>!=+t \Пг при n =
X
935. а) Положим — = an. Тогда
У
* — а"
2fei . . . 2fen . . ,
где eft = cos f-isin — , k = 0, 1 я—1,
285

с) Ад = 2i cos . , k o= 1, 2, ... , я.
откуда следует, в силу- результата задачи 537, что
\АхВ-\Етп\ = \<р(В)\,
где
л
Ф (х) = \Ах-ХЕ„ | = П (щх-к).
В силу результата задачи 930,
т п т
ТТ ф (Рй) = Ц И («,-Ра—М-
Ы t=IA-l
Таким образом, характеристическими числами АхВ являются
числа а,-Рй, где а,-—характеристические числа А, Р^—характеристи-
Р^—характеристические числа В.
937. Если Л—неособенная матрица, то
ВА—ХЕ |=| Л-1 (ЛВ — Ь?) Л |=| А-11.| ЛВ-Ь? |-| Л |=| АВ — Щ.
Избавиться от предположения о неособенное™ А можно посред-
посредством предельного перехода или применения теоремы о тождестве
полиномов от многих переменных.
Можно также, применяя теорему умножения прямоугольных мат-
матриц, непосредственно подсчитать коэффициенты полиномов
\АВ—ХЕ\ и \ВА — ХЕ\
и убедиться в их равенстве.
938. Дополним матрицы А и В до квадратных А' я В' поряд-
порядка п, добавив к. А п — т строчек, а к В п—т столбцов, составлен-
составленных из нулей. Тогда ВА — В'А', а А'В' получается из АВ посред-
посредством окаймления нулями. Примеиение результата предыдущей задачи
дает то, что требовалось доказать.
Решения задач 939, 940, 941 не однозначны. Приведенные ниже
ответы соответствуют преобразованию, возможно менее отклоняюще-
отклоняющемуся от «треугольного»,
939. а) *il + *it+/I1'. Ь) -х
Хз
286

#4 =
e) x[*—х'* + х'з*—x'i,
I
'_ 1,1
X3— " X3-\ 2"*4i
940. ,;ч!^+1,;«
Переменные х[, xl,...,x'n выражаются через xv xit ... , xn
лииейио с матрицей
'1 V. Vi ¦•• Vi\
0 1 V. ••• Vs
00 1 1/4 ... V«
ко о о о ... i
1 1
х*+у'+-2
1 , ,lrV n-l
942. Матрица положительной квадратичной формы равна АА,
где Л—неособенная вещественная матрица, осуществляющая переход
от суммы квадратов к дайной форме.
Положительность миноров следует из результата задачи 510.
943. Пусть f=anxl + ...
+ ап1хпх1+...+ап„х%
— квадратичная форма.
287

Обозначим
... +а1кх1х„ +
Пусть
ап
Я*1 ••• <*kk
где
, г—ранг формы /.
...+Ь1пх„,
xn — хп •
Ввиду того, что определитель треугольного преобразования ра-
равен I, Dyr=An = aia2 ... а„. Положив ^
получим
где
4*' =
Отсюда следует, что Д* = сс1ос2 ... а/, и что необходимым условием
для возможности треугольного преобразования к диагональному виду
является
At ф О, Д2 ф 0 Д, # 0.
Легко проверить, что это условие достаточно.
Далее, а* =—— при й<г, а^ = 0 при k > г.
Д*
Дискриминант формы
) = j—a1x1*—.
.—akxki =
равен ^
944. Необходимость условий Сильвестера была доказана в за-
задаче 942. Достаточность следует из результата задачи 943.
945. Пусть /—некоторая линейная форма от переменных хи
х2 х„. Преобразуем форму / посредством преобразования с рав-
равным единице определителем, приняв форму / за последнюю из новых
переменных. Затем сделаем треугольное преобразование формы f к
каноническому виду.
Форма f примет вид
причем xn=l.
Дискриминант формы / равен
288

Дискриминант формы / + /а равен а^ ... а„_,(а„+1). Он
больше дискриминанта формы /, так как все коэффициенты ох,
ы2, ..., а„_,, а„ положительны.
Мв /(^, лг„ ... , *„) =
(Й Й)+/1(ЛГ2 *п)'
где
Форма fj положительна, и ее дискриминант равеи i, где D*—
аи
дискриминант/, На основании результата задачи 945 Dп ^ 1,чтои
"и
требовалось доказать.
947. Доказывается так же, как закон инерции.
048. Составим линейные формы
'* = «1 + «2*А+-"+Ин4~1> *=1, 2, ...,П,
где xlt x2, ... , хп — корни данного уравнения.
Равным корням будут соответствовать равные формы, различ-
различным—линейно независимые, вещественным—вещественные, сопряжен-
сопряженным комплексным —сопряженные комплексные.
Вещественная и мнимая части комплексной формы /д = Хд+ {**•"
будут линейно независимыми между собой и со всеми формами, соот-
соответствующими корням, отличным от дгА и x'k-
Составим квадратичную форму
п
f(«1 «„)= 2 («1 + им + ... + "„«Г1J.
Ранг этой формы равев числу различных корней данного уравнения.
Матрица ее коэффициентов есть
Сумма квадратов сопряженных комплексных линейных форм
/A = Xj + ifift и /* = X* — i|ift равна 2Х,|—2ц%. Следовательно, число
отрицательных квадратов в любом (по закону инерции) каноническом
представлении формы / равно числу различных пар сопряженных
комплексных корней данного уравнения.
949. Следует из результатов задач 948, 944.
№0. Операция (/, <р), очевидно, дистрибутивна. Поэтому доста-
достаточно провести доказательство для квадратов линейных форм.
Пусть /=(+ + +J
Ф
Ю д. к. Фаддеев. И. С. СоминскиЛ 289

Легко видеть, что тогда
(/, ф) = (а&хг + а2^*г + ... + ап$пхп)* г* 0.
«51. а) 4*;Ч*«"-2*аг, *i=y xv~~ +
. _ 2 1
*2 — у *1+у
» 1 2,2
*з=у *i+у *г + у
Ь) 2* 1г—
*3 7*1 Т *2 Т "о" *»>
I л п
с) 7Jfl2 + 4дсг2+дс,4, xi = у х, + j xt — у
d) Юдс!* + дсга+*за> *»—1T*»+If х*~'I*3'
. 2
19 9
е) — 7х[* + 2х? + 2x1*, х[ — у хх + у ха —-j x3,
2 5 * 5 а'
9 19
x'i = у х1 + у дс4 +у
. 1.2 2
*г = у *i +у **—з"
. 2 2 1
290

g\ 7v'2 2v'S-l- 7v'a v'—1-2- V J__H- v
H) i*i <¦*% -f 'аз» *i= 2 • 2~
2 , 1 ^ 2
21Г2
Ata +
3 *» ' 6
X\ — n *i о ^2 "'
1,2 2
: "л* *i ~i~ "q- *a ~~"^"J
000
«;=lxI+.J.xt+-J-*,+!
._ 1 , 1 1 1
xt — " *i n—2~ *г —2~ *я —2~
. \ 1 1 !
*з —o" *i —9" *г ' " ¦*3~"^"
' 1 1 1,1
9
/
,V~2
i —2~
1.1 1 1
*з= y^i+y^s—^^s—2~*4'
1,1,1 1
jc4= —2" -^l~T—2"¦*•"!—2~Л:*—2"*4'
tQ» 291

x?+x?+x?-3x'?,
1 1 1
*x
m) «I*—42+723*? * +*+*+
1,1 1 1
^**
1 1,1 1
~2 xi~'х*~т~x*—2"
1 1 1,1
Xx^+
5л;!9—btL'+aAfi*—a*!1, x;=-g
/_ 1 1 1 1
*a—2"*i"t"-2'*8—2" *s—2*
' 1 1.1 1
.-' ! 1
n I . 1 _ _ 1 . ¦ n
052. a
b)—g—«i —g- U» +л;3 +.
где
.. .+а/пх„, < = 2, ..., n,
где (oc/t, a/t, ..., a,-n)—любая ортогональная и нормированная фун-
фундаментальная система решений уравнения
«53. ^ cos7rj+* c
292

054. Если все характеристические числа матрицы А лежат в сег-
сегменте [а, Ь], то все характеристические числа матрицы А—ХЕ
отрицательны при X > Ь и положительны при X < а. Следовательно,
квадратичная форма с матрицей А—ХЕ отрицательна при Х>Ь
и ' положительна при X < а. Обратно, если квадратичная форма
(Л — ХЕ)Х-Х отрицательна при X > b и положительна при X < а,
то все характеристические числа матрицы А—ХЕ положительны при
к < а и отрицательны при X > 6.
Следовательно, все характеристические числа матрицы А лежат
в сегменте [а, Ь].
055. Для любого вектора X справедливы неравенства
откуда (а+Ь)Х-Х<{А + В)Х-Х«е(c+d)Х-Х. Следовательно, все
характеристические числа матрицы А+В заключены в сегменте
[a + b, c+d].
956. а) Следует из результата задачи 937.
b) | АХ|»= АХ- АХ = Х.~ААХ<,\Х |2.|| А||*.
Знак равенства имеет место для собственного вектора матрицы
НА, принадлежащего характеристическому числу II А ||3.
c) |(Л + в)Х!<МА| + |вХ|<(|М|| + ||В||)!Х| для любого
вектора X. Но для некоторого вектора Х„
Следовательно,
IM+aiKIMII+цац.
d) \АВХ |<\\А ||.| ВХ |<||/11|.|| 81|.| X|.
Применяя это неравенство к вектору Х„, для которого
получим
е) Пусть X=»p+qt—характеристическое число матрицы л,
X = Y-\-iZ—соответствующий ему собственный вектор.
Тогда
AY = pY—qZ, AZ
откуда
293

Сложив эти неравенства, получим
и, следовательно,
957. Пусть А — вещественная неособенная матрица; тогда
ААХ-Х—\АХ\* есть положительная квадратичная форма, которая
может быть приведена к каноническому виду посредством преобразо-
преобразования переменных с треугольной матрицей б, имеющей положительные
диагональные элементы. Следовательно, АА — ВВ, откуда следует,
что АВ~1'АВ-1 = Е, т. е. АВ~1 = Р есть ортогональная матрица.
Отсюда А=РВ. Единственность следует нз единственности
треугольного преобразования квадратичной формы к каноничес-
каноническому виду.
958. А А есть симметрическая матрица с положительными харак-
характеристическими числами Я,! Хп.
Следовательно,
Построим матрицу
где (г/ есть арифметическое значение квадратного корня из %{. Оче-
Очевидно, что В есть снова симметрическая_матрица с положительными
характеристическими числами и Вг = АА. Отсюда следует, что
AB~1 = Q есть ортогональная матрица, A=QB.
959. После перенесения начала координат в центр поверхности
поверхность должна содержать вместе с точкой X также точку —X
и, следовательно, уравнение ие должно содержать текущих координат
в первых степенях. После преобразования параллельного переноса
осей Х = Х0 + Х', где Хо — вектор переноса, уравнение поверхности
преобразуется в
Поэтому для существования центра необходимо и достаточно, чтобы
уравнение АХ0+В было разрешимо относительно вектора Х9, для
чего, в свою очередь, необходимо н достаточно, чтобы ранг матрицы А
равнялся рангу матрицы (А, В).
294

960. После перенесения начала координат в центр уравнение
поверхности принимает вид
АХ-Х.+ у = 0.
Если г—ранг матрицы А к at, .. ., аг—отличные от 0 харак-
характеристические числа, то после надлежащего ортогонального преобра-
преобразования координат уравнение примет каноническую форму
961. Поверхность не имеет центра, если ранг (А. В) больше
ранга А, что возможно, только если /--—ранг А < п. Обозначим
через # все- пространство, через Р—пространство AR, через Q—ор-
Q—ортогональное, дополнение к Р. Тогда для любого Y ? Q будем иметь
ЛУ=0, ибо
так как AAWf~F; Пусть
Тогда- Вг ф 0, ииаче В принадлежало бы Р; и ранг (А, В) равнялся
бы г. Пусть Bj^z^AX'o- После переноса Х = Х0+Л' уравнение по-
поверхности преобразуется к виду
Сделаем еще один перенос Х'=аВ^-^Х1'. Тогда
ибо ЛВ3=0, ч, следовательно, уравнение преобразуется и виду
AXlr-X-+2BiX"+2a\ Bt |а + с' = 0.
Возьмем
_ с>
а~
Тогда уравнение превратится в
Теперь сделаем ортогональное преобразование координат, приняв
за базис пространства попарно ортогональные единичные собственные
векторы матрицы А, включив в их число единичный вектор, колли-
неарный вектору Вг н противоположно направленный. Это можно
сделать, так как В2 есть собственный вектор для А. В этом базисе
уравнение примет вид
1 =0,
Где р3 = |Вг|. Остается поделить на f52.
962. При линейном преобразовании с матрицей А пространство
отображается на подпространство, натянутое на векторы Аи Аг..., Ап,
координаты которых образуют столбцы матрицы А. Отсюда непо-
непосредственно следует требуемый результат.
295

e9—Сазис Q. Тогда Q' есть пространство,
963. Пусть еи е2, 9рр
натянутое на е?, ва, .... ej, r*e ei» еа fo—образы etl e2,...,eq
при сделанном линейном преобразовании. Следовательно, q'Z
при сделано линейном преобразовании. Следовательно, q*Zq.
Кроме того, очевидно, что q'<r, ибо <?' содержится в R'. Далее,
пусть Р—пространство, дополнительное к Q, размерности р=я—<?,
и Р' —его образ при линейном преобразовании. Его размерность р'
не превосходит п—q. Но P'+Q'^R', следовательно, p'-\-q'^r.
Отсюда
— п.
964. Пусть ранг А равен ги ранг 5 равен г2 и пусть BR=*Q.
Размерность Q равна г2. Тогда р, равное рангу А В, есть размерность
ABR — AQ. В силу результата предыдущей задачи, гг-\-гг—n«Gp«S
<min(r,, г,).
965. Двукратное выполнение операции проектирования равно-
равносильно однократному. Действительно, при первом проектировании и все
векторы пространства R перейдут в векторы подпространства Р, кото-
которые при втором проектировании останутся неизменными. Следова-
Следовательно, А- — А. Обратно, пусть А% = А. Обозначим через Р множе-
множество всех векторов Y = AX, через Q—множество векторов Z таких,
что AZ^O. Очевидно, что Р и Q—линейные пространства. Их пе-
пересечение есть нулевой вектор, ибо если AX = Z, то АХ = А*Х —
= /4Z = 0. Далее, для любого вектора X имеет место разложение
Х = АХ + (Е—А)Х. Очевидно, что (?— A)X?Q, ибо А (? — А) X =
= (Л—Ла)Х = 0. Поэтому P + Q есть все пространство, т. е. Р и
О—взаимно дополнительные подпространства. Операция АХ есть
переход от вектора X к его составляющей в Р, т. е. является опе-
операцией проектирования на Р параллельно Q.
966. Пусть PJ_Q. Выберем ортогонально нормированный базис
всего пространства, объединив ортогонально нормированные базисы Р
и Q. В этом базисе матрица проектирования Судет иметь диагональ-
диагональную форму
Во всяком другом ортогонально нормированном базисе матрица
проектирования равна А=^В~1А'В, где В—некоторая ортогональная
матрица. Очевидно, что А симметрична.
Обратно, если Л—симметрическая матрица и Ла = Л, то
пространства P = AR и Q = (?—A)R ортогональны, ибо
АХ (?
296

967. Пусть А— кососимметричесная матрица. Легко видеть, что
'Х = 0 пня любого вещественного вектора X, ибо
AX-X*=X-A~X=*X>(— ЛХ)=— АХ-Х.
Пусть Х=а+р/—характеристическое число матрицы A, U
X+YI—соответствующий ему собственный вектор. Тогда
Отсюда следует а([X \% + \У ?) = АХ-Х-\-АУ-У = Ъ и а=0.
Далее, $Х-У + а I У }* = AY-Y=*0, откуда Х-У = 0 при р ф 0;
наконец, из равенства Р( \Х\*-\У \*) = АУ-Х+АХ-У=*АУ-Х —
— ХАУ=0 следует 1Л| = |П.
968. Пусть
' 0 aVi ...
— ап 0 ...
— кососимметрическая матрица. Еслн все ее характеристические числа
равны нулю, то Л=0. Действительно, сумма произведений по два
всех характеристических чисел равна сумме всех главных мииоров
второго порядка 2 °Л» и равенство нулю этой суммы влечет
а^А = 0 при любых i, k, т. е. Л=0.
Пусть А имеет отличное от нуля характеристическое число
X1 = a1i. Нормируем вещественную н мнимую части принадлежащего
ему собственного вектора. Вследствие равенства нх длин нормирую-
нормирующий множитель будет один и тот же, и для полученных векторов
будут выполнены равенства
Составим ортогональную матрицу, поместив в первые два столбца
векторы X н У. Тогда
0 aj
— at 0
Р-МР=| 0 0
0
Ввиду того, что матрица Р~гАР кососимметрическая, все не
указанные элементы первых двух строчек равны нулю, а матрица,
образованная элементами 3-й, 4-й, ... , л-й строчки и 3-го, 4-го, ...
... , я-го столбца, будет кососимметрической. Применяя к ней те же
297

рассуждения, выделим еще одну «ячейку» ( ' М . Процесс про-
\—°2 " /
должаем до тех пор, пока в левом нижнем углу не останется мат-
матрица, все характеристические числа которой равны- нулю. Но все
элементы такой матрицы равны нулю. Задача решена.
968Г. Пусть
Тогда
ЁП)-1 (? — Л) = (? — Л)-1
Далее,
и, следовательно,
Обратно, если
то в качестве А можно взять (Е + В)~1(Е—В). Легко видеть, что
А — кососимметрическая матрица.
970. Пусть Л—ортогональная матрица. Тогда
для любых вещественных, векторов X н Y. Пусть.
— характернстичеекое число матрицы А,
U = X+Yi
— соответствующий собственный вектор. Тогда
АХ
ЛУ
откуда
\Y |a= K-K= AY-AY=
Сложив эти равенства, получим а2'-)-Р2 = 1.
971. При Р Ф 0 из последних равенств предыдущей задачи по-
получим
Р(|Хр — |К
С другой стороны,
откуда
298

Следовательно,
=|Х|2_ )ур=о.
972. 1. Пусть A, = a + {5t = cos(p + ( sin ф — комплексное харак-
характеристическое число матрицы. Составим ортогональную матрицу А,
первые два столбца которой составляют вещественную и мнимую
части собственного вектора, принадлежащего к. Тогда
COSCjp
— sin<p
0
0
sirxp ...
cos<p ...
0
0
о о ...
Вследствие ортогональности матрицы Q~*AQ сумма квадратов
элементов каждой строчки равна 1 и, следовательно, все не обозна-
обозначенные элементы первых двух строчек равны 0.
2. Пусть Л. = ^t 1—вещественное характеристическое число
матрицы А, X—принадлежащий Я, нормированный собственный вектор.
Составим ортогональную матрицу, первым столбцом которой
является вектор X. Тогда
0 ..
Все не обозначенные элементы первой строчки равны 0, так как
сумма квадратов элементов каждой строчки ортогональной матрицы
Q-MQ равна единице.
Применяя приведенные рассуждения к ортогональным матрицам,
остающимся в левом нижнем углу, получим требуемый результат.
973.
а)
/ —1 0 0\ /2 1 (К /2 0 0\
d) ( 0—1 1 ); е) @ 2 1 }; Q (О -1 0 );
\ 0 0 — 1/ \0 0 2/ \0 0 0/
1
0
0
0
2
0
°\
О);
-1/
Ь) 1
/—^
( °
\ 0
0
1
0
°\
О);
\
с)
/-3
/
1
V 0
0
1
0
0
1
1
/ —1 ! On / —1 0 0\
h) ( 0 -1 0); i) @01)
\ 0 0 0/ \ 0 0 0/
/1 1 0ч /1
к) 0 11; 1) 0
\0 0 1/ \0
-1
0
0
0
t
0
0
0
0
0
1
0
0\
0
—i j
299

m)
/3 0 0\ /2 О 0\ /О 1 (К
[0-2 0 ); п) @ 0 0); о) ( 0 0 0). .
\0 0 — 1/ \0 0 0/ 40 0 0/
074.
1 1
0 1
1 1
0 1
Ь)
с)
8п-1
2я . , . 2я
где е ¦= cos |-j sm —.
975. «Ящик»
. 1
не может быть периодическим.
Замечание. Результат неверен в поле с отличной от 0 харак-
характеристикой. Например, в поле характеристики 2 имеем
»?.
976. Пусть А—данная матрица н В = С~1АС—ее приведение
к канонической форме Жордана. Каноническая матрица В имеет тре-
треугольную форму, и ее диагональные элементы равны характеристи-
характеристическим числам матрицы А, причем каждое из них повторяется
столько раз, какова его кратность в характеристическом уравнении.
Далее, в'т = (С'т)-1АтС'т (задача 531). Следовааельно, характери-
характеристические полиномы матриц А,п и Вт совпадают. При надлежащей
нумерации сочетаний матрица В'т имеет треугольную форму и, сле-
следовательно, ее характеристические числа равны диагональным эле-
элементам. Они же, очевидно, равны всевозможным произведениям
характеристических чисел матрицы А, взятых по т.
977. Матрицы А — \Е и А—Я,? имеют,_очевидно, совпадающие
элементарные делители. Следовательно, А и А преобразуются к одной
и той же канонической матрице и, следовательно, они преобразу-
преобразуются одна а другую.
978. Если A=CD, где^Г, D—симметрические матрицы и мат-
матрица С неособенная, то A—DC и, следовательно, А=С~1АС.
300

Таким образом, матрицу С следует искать среди матриц, преобра-
преобразующих А в ~А.
Пусть A = SBS~l, где В—каноническая матрица:
В,
, где 5/ =
Тогда A = S~iB"S. Обозначим через Н( матрицу
' 1
1
Легко видеть, что
и, следовательно,
В=Н-1ВН, где Н-.
Таким образом, A'=S~lH-lBHS=S-lH-iS-iASHS =C-MC, где
C = SHS. Матрица С, очевидно, симметрична. Положим D = C~1A.
Тогда D = AC~1 = C~lACC-1 = D, Таким'образом, матрица D тоже
симметрична и А = CD.
979. Пусть | А—ХЕ |=( — I)" (Хл—cxX«-i— с2А,»-»— ...— с„).
Очевидно, что Pi=Sp A=cl. Допустим, что уже доказано, что
Pl=cv Pt = C*,..., Pk-i = c/t-v и в этом предположении докажем,
=с/е. Согласно конструкции, /4*= А*—pt/4*~l — раЛ*~2 —
ЛЛ* Акх Ака A С
что р/е
руц, * pt/4 раЛ
— сгАк~х— сгАк~а —...—Ck-\A. Следовательно,
где Slt
ft—степенные суммы от характеристических чисел
301

матрицы А, Но по формулам Ньютона Sk—etS/t^l—...—cfc_jSi
*=&Сь> Следовательно,
Далее, Вп=Ап — сгА"~1 —...—cn-tA—с„?=0, в силу соот-
соотношения Гамильтона — Кэли. Наконец,
откуда
980. Пусть
Рассмотрим диагональную матрицу
V 5^.
О а„
диагональные элементы которой произвольны, но попарно различны.
Возьмем
Тогда
XY — KX =
и, следовательно, достаточно взять &,-*=
^—при 1фк. Далее,
применяя метод математической индукции, установим, что всякая
матрица со следом, равным нулю, подобна матрице, у которой все
диагональные элементы равны нулю. Ввиду того, что SpC=0,
СфрЕ при }i #0 и, следовательно, найдется такой вектор U, что
CU и U линейно независимы. Включив в базис векторы U и CU,
302

получим, что С подобна матрице
О Via Y13 ••¦ Ti»N
О Ym Y«3 . • • • Упп
Очевидно, что Sp Г = Sp С = 0.
Следовательно, по индуктивному предположению, Г = S-1T'S,
где Г' —матрица с нулевыми диагональными элементами. Тогда
у матрицы
S
все диагональные элементы равны нулю.

Дмитрий Константинович Фаддеев,
Илья Самуилович Соминский
Сборник задач по вывшей алгебре
М., 1972 р.. 304 стр.
Редактор В. В. Данченко
Техн. редактор К. Ф. Б руд но
Корректор Т. С. Вайсбер*
Сдаво в набор 29/111 1972 г. Подписано к
печати 9/VI 1972 г. Бумага 84x108/32.
Физ. лея. л. 9,5. Уоловн. пея. л. 15,96.
Уч.-изд. л. 19,11. Тираж 100 000 экз.
Т-10822. Цена книги 64 коп. Заказ 2846.
Издательство «Наука*
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имеин А. А. Жданов;
Главполвграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, М-54, Валовая, 28