/
И. С. ГОНОРОВСКИЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ и СИГНАЛЫ
И адание второе, переработанное
Допущено Министерством высшего u среднего
специального образования СССР в качестве
учебника для студентов радиотехни•1еских
специальностей 1Jузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИ011
МОСКВА-1971

Предисловие ко второму изданию
Общая направленность учебника по курсу «Радиотехнические
цепи и сигналы», положенная в основу первого издания, сохранена
и в настоящем издании. Однако книга коренным образом перерабо·
тана .
В главах, посвященных теории сигналов, приведены дополнитель­
ные сведения о разложении сигналов по различным ортогональным
системам функций; более подробно рассмотрены свойства аналитнче­
. ··-еки:Х · сигналов;
развиты разделы о спектрах неинтеrрируемых фу1ш ­
ций и о корреляционном анализе сигналов . Более подробно рассмот­
-р.ены активные четырехполю с ники, а также частотные характеристи•
•ки линейных радиотехнических цепей, содержащих активные элемен­
ты. Глава «Нелинейные цепи и методы их анализа» дополнена рас­
смотрением общих положений о преобразовании спектров как в ре•
зистивных, так и реактивных нелинейных цепях. В главе «Парамет­
рические цепи» существенно упрощено изложение теории параметри·
ческоrо усиления.
Большинство глав подверглось методической переработке с уче·
-том опыта преподавания нового курса и многочисленных замечаний,
сделанных преподавателями кафедры теоретической радиотехники
.
МАИ, а также многими другими радиоспециалистами.
Сведения, не входящие в обязательную программу, выделены пе­
титом. При первоначальном изучении незначительные по объему со­
кращения легко могут быть сделаны без нарушения целостности из­
ложения. Автор считает такое расширение полезным для некоторой
индивидуализации обучения и продления «срока жизни» книги.
В приложении даны основные сведения о дискретной обработке
непрерывных сигналов и о цифровых фильтрах. Эти сведения еще не
входят в программу курса РТЦиС, однако по мнению автора, в ближай­
шие годы этот материал составит один из важных его разделов.
Несмотря на введение нового материала, общий объем книги,
благодаря исI<лючению некоторых вопросов, потерявших актуаль­
ность, удалось несколько СОI<ратить.
В работе над книгой большую помощь критикой, советами и уча­
стием в подготовке рукописи к печати оt<азали автору сотрудники
кафедры теоретических основ радиотехники МАИ.
Многочисленные и ценные замечания сделали при рецензировании
члены кафедры теоретических основ радиотехники ЛИАП.
Автор выражает своим товарищам по работе и рецензентам искрен­
нюю благодарность и примет с благодарностью все замечания науч­
ного или методического характера по настоящему учебнику. Их сле­
дует направлять по адресу: Москва, Главный почтамт, п/я 693, изд-во
«Советское радио».
АВТОР

1
Введение
1.1 . ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА И ПРИМЕНЕНИЯ РАДИОТЕХНИКИ
Современна11 радиотехника является мощным средством техни­
ческого прогресса. Радиотехника проникла во все области народного
хозяйства, в науку, технику, культуру и быт.
Одна из важнейших задач радиотехники заключается в осуществ•
лении связи на большие расстояния с помощью излучения электро•
магнитных волн . С развитием различных направлений радиотехники
повсеместное распространение получили радиовещание и служебная
радиосвязь, все большие районы обслуживает телевидение, осу­
ществляется устойчивая связь с судами, самолетами и космическими
кораблями. Средства радиотехники позволяют осуществлять межпла­
нетную связь, а также обеспечивать дистанционное управление с
Земли сложными аппаратами, предназначенными для исследования
других планет . Такие средства, как радиолокация, радионавигация,
радиотелеметрия, радиоуправление и др., еще недавно казавшиеся
новейшими средствами, стали совершенно обычными.
Однако упомянутыми применениями далеко не исчерпываются
все возможности современной радиотехники . С проникновением ра·
диометодов в давно существующие науки качественно изменился
характер последних. Возникли новые науки, такие, как радиофизика,
радиоастрономия и др.
Неоценимую помощь оказывает применение радиотехнических
приборов и методов в экспериментальной физике, в том числе ядерной
физике, в технике измерения любых быстропротекающих процессов •
и различных неэлектрических величин (давления, вибраций, неболь­
ших смещений и т. д.), при изучении физики ионосферы, в службе
времени.
Широкое применение радиотехнических методов для решения за­
дач, не связанных с излучением, привело к появлению новой области,
включающей в себя радиотехнику и электронику. Эту область часто
называют радиоэлектроникой.
Радиоэлектронная аппаратура широко применяется и в меди­
цинских исследованиях (для диагностики), а также для возмещения
частично или даже полностью утраченных функций человеческого
организма.
Большим достижением радиоэлектроники является все расширя ­
ющееся применение быстродействующих электронных счетных машин-
4

вычислительных, управляющих, информационных. Решюuщую роль
в автоматизации и комплексной механизации производственных про­
цессов призваны сыграть кибернетические машины, создание которых
немыслимо без радиоэлектроники.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что применения радио
электроники очень разносторонни и ее роль в дальнейшем человече­
ском прогрессе будет всемерно возрастать.
Все многочисленные области применения радиотехники объединяет
одна существенная особенность, заключающаяся в том, что во всех
применениях радиотехники имеет место передача информации с по­
мощью электрических сигналов. Это принципиально отличает радио­
технику от электротехники. Последняя также использует передачу
на расстояние (например, по высоковольтным линиям), однако в от­
личие от радиотехники, объектом транспортировки является не ин­
формация, а энергия.
Со времени изобретения радио А. С. Поповым (1895 r.) и до настоя­
щего времени основной задачей радиотехники является передача ин·
формации на расстояние посредством электрических сигналов.
Следует отметить, что высокочастотное электромагнитное поле ис•
пользуется иногда и для целей, не связанных с передачей инфор­
мации, например применение высокочастотных полей в медицине
(рентгенотерапия, физиоtерапия и др.), а также некоторые техно­
логические применения: поверхностная закалка, сушка древесины,
консервирование пищевых продуктов и т. д.; все эти применения
также не относятся к радиотехнике.
t.2. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ НА РАССТОЯНИЕ.
ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН И ИСПОЛЬ3УЕМЫ13
В РАДИОТЕХНИКЕ ЧАСТОТЫ
Главной особенностью радиотехники является передача сообщения
о каком-либо событии на расстояние. Расстояние разделяет отпра­
вителя и адресата, датчик команд и исполнительное устройство,
исследуемый процесс и измерительный механизм, источник косми­
ческого радиоизлучения и регистрирующий прибор радиотелескопа
различные блоки электронной вычислительной машины, - словом,
источник и потребитель информации.
Расстояние, на которое передается сигнал, может быть очень не­
значительным (передача команд в счетной машине от одного блока
к другому), или огромным (межконтинентальная или космическая
связь). Передача сообщений осуществляется посредством проводных,
кабельных, волноводных линий или свободного пространства (воз­
душной среды, космического пространства). Естественно, что для
передачи сигналов целесообразно использовать те физические процес­
сы, которые имеют свойство перемещаться в пространстве. К числу
таких процессов относятся применяемые в радиотехнике эле,промаг
нитные колебания - радиоволны Любой физический процесс, ис·
5

пользуемый в качестве агента (посредника, переносчика) для пере•
дачи информации, должен обладать свойством принимать всю совокуп•
ность значений или состояний, по которым можно было бы однозначно
установить соответствующее значение или состояние объекта или про·
цесса, являющегося источником информации.
С этой целью радиоволиы подвергаются так называемой м о д у­
л я ц и и. Процесс модуляции зю<лючается в том, что высокочастот­
ное колебание, способное распространяться на большие расстояния,
наделяется признаками, характеризующими полезное сообщение. Та·
ким образом, это колебание используется как переносчик сообщения,
подлежащего передаче. Для этого один (или несколько) параметр вы­
сокочастотного колебания изменяют по закону, совпадающему с за­
коном изменения передаваемого сообщения. В зависимости от изме­
няемого параметра (амплитуды, частоты или фазы колебания) раз­
личают три основных вида модуляции - амплитудную, частотную
и фазовую 1 .
Обратное преобразование электромагнитных колебаний в перво­
начальный сигнал, осуществляемое на приемной стороне, называется
демодуляцией или детектированием (соответ­
ственно амплитудным, частотным и фазовым) .
Модуляция, как правило, не оказывае,: влияния на способность
высокочастотных колебаний распространяться в пространстве. Од­
нако выбор длины волны (или, как говорят, несущей частоты или ра­
бочего диапазона) высокочастотного колебания является весьма су­
щественным для обеспечения устойчивой и надежной связи.
На выбор того или иного диапазона волн для каждой конкретной
системы связи оказывают влияние следующие факторы:
1. Особенности распространения электромагнитных волн данного
диапазона и влияние времени года, суток, состояния атмосферы,
солнечной радиации и ряда других причин.
2. Технические возможности: направленное излучение, приме­
нение антенной системы соответствующих размеров, генерирование
мощных колебаний и управление ими (модуляция), построение схемы
приемного устройства и т. д.
3. Характер шумов и помех в данном диапазоне.
4. Характер сообщения или, как говорят, «ширина спектра» мо­
дулирующих частот и желательный способ модуляции (амплитуды,
частоты и т. д.) .
Практически для использования оказываются пригодными те уча­
стки диапазона, в которых обеспечиваются благоприятные условия
распространения радиоволн и в приемлемой степени удовлетворяются
остальные перечисленные факторы.
Для современной радиотехники характерно интенсивное изучение
малоисследованны х диапазонов волн и стремление к расширению диа·
1
Существуют также разнообра з ные методы импуль с ной модуляции, осно·
ванные на изменении параметров импуль с ной по с ледовательности. На щ1х мы
остановимся в дальнейшем .
6
'·

пазона используемых частот как в сторону освоения весьма низких,
так и сверхвысоких частот, вплоть до световых волн. Последнее не
должно казаться странным, так как радиоволны и световые волны
совпадают по природе (электромагнитные волны): различие имеется
лишь в длине волны.
Подразделение радиоволн на диапазоны, вошедшее в практику,
дано в следующей таблице:
Волны
Сверхдлинные . .
••
Длинные . . .\•••.• , •••.
· Средние .... , ,
,,,,•
Промежуточные •
•,•
Короткие
.
, ...... .
g:;=;;::e }Ультракороткие
Миллиметровые .....
Субмиллиметровые... , • , , • ,
Инфракрасные и световые
Диапазон
10ОООм иболее
10000-3000 м
3000-200 м
200-50 м
50-10 м
10-1 м
1-0,1 м
10-1 см
см-1 мм
1-0,1 мм
Менее О, 1 мм
Чаото,а
Ниже 30 кгц
30-100 кгц
100-1 500 кгц
1500-6 ООО кгц
6-30 Мгц
30-300 Мец
300-3 ООО Мгц
3 000-30 ООО Мгц
30 000-300 ООО Мгц
300 000-ЗООООООМгц
Выше 3 ООО ООО Мщ.
Длина волны л. связана с периодом колебания Т или с частотой
f = l/T следующими соотношениями:
'лм=СТсек=~ •
fгц
Здесь с = 3- 108 м!сех - скорость распространения электро•
магнитных волн в пустоте.
Сверхдлинные и длинные волны, применявшиеся на первом этапе
развития радиотехники для радиотелеграфной связи, имеют два боль­
ших недостатка:
-
необходимость больших мощностей передатчиков ввиду силь-
1юго поглощения поверхностной волны при ее распространении над
земной поверхностью;
-
непригодность для передачи сложных сигналов из-за слишком
большого отношения ширины спектра сигнала к несущей частоте.
Средние волны получили широкое применение в радиовещании.
Основным преимуществом волн длиннее 1000 t является устойчивость
приема, недостатком - трудность обеспечения большой дальности
действия ввиду значительного поглощения поверхностной волны.
Поэтому на средних волнах осуществляется преимущественно местное
радиовещание, рассчитанное на зоны с радиусом в несколько сотен
километров. Лишь небольшое число сверхмощных средневолновых
радиостанций обслуживает большие районы. В СССР, обладающем
огромной территорией, существует наибольшее число мощных и сверх·
мощных радиовещательных станций средневолнового диапазона.

Накопление большого экспериментального материала по рас­
пространению коротких волн позволило установить оптимальные дли­
ны волн для различных часов суток и времени года.
Главные преимущества вещания на коротких волнах - возмож•
ность получения большой дальности действия при относительно малой
мощности передатчика и возможность осуществления направленного
излучения. Основным недостатком коротковолнового вещания явля­
ется колебание силы приема (замирание), часто сопровождающееся
сильными искажениями передачи при сложной структуре сигнала,
состоящего из большого числа составляющих с различными частота­
ми. Условия интерференции, зависящие от частоты, могут оказаться
неодинаковыми для различных составляющих спектра сигнала. Это
явление, называемое избирательным (или селективным) замиранием,
приводит к временным выпадениям из спектра сигнала отдельных
составляющих или, наоборот, к усилению амплитуд этих составляю·
щих. Таким образом, в точке приема нарушается правильное соотно­
шение между отдельными компонентами сигнала, в результате чего
искажаются его тембр и чистота. Так как явление избирательного
замирания проявляется тем сильнее, чем шире спектр сигнала, то
на коротких волнах осуществлять передачу таких сложных сигналов,
как, например, телевизионных, практически невозможно.
Наряду с радиовещанием в настоящее время короткие волны исклю­
чительно широко применяются для радиотелеграфии на магистральных
линиях связи, а также для морской и авиационной радионавигации.
В результате освоения ультракоротковолновых диапазонов волн
появились новые области радиотехники - телевидение и радиоло­
кация. В этом диапазоне удачно сочетаются два фактора. Применение
очень высокой частоты излучения позволяет соответственно расширить
и полосу частот передаваемого сообщения, так как условия передачи
и усиления сигналов в радиоаппаратуре определяются, в основном,
относuтелыюй шириной спектра сигнала. Особенности же распро­
странения УКВ (в пределах прямой видимости) почти полностью иск­
лючают искажения сигнала из-за интерференции волн, распространя­
ющихся по разным путям.
То обстоятельство, что на УКВ регулярный прием возможен толь­
ко в пределах прямой видимости, является, конечно, существенным
ограничением. Для увеличения дальности связи на УКВ обычно при­
меняют высокоподнятые антенны. Последние десятилетия характери­
зуются развитием так называемых радиорелейных линий, представ­
ляющих собой цепочку приема-передающих УКВ радиостанций, рас­
положенных вдоль линии связи через несколько десятков километров.
Подобные линии позволяют осуществлять многоканальную связь;
а также обмен телевизионными программами между пунктами, уда­
ленными на весьма значительное расстояние. Все шире применяются
на практике миллиметровые и более короткие волны.
Из приведенного краткого обзора видно, что развитие радиотех­
ники характеризуется непрерывным расширением используемых вол­
новых диапазонов.
в

Из курса физики известно, что эффективное излучение электро·
магнитной энергии может быть осуществлено лишь при условии, что
геометрические размеры излучающей системы соизмеримы с длиной
волны. В связи с этим применение сверхдлинных волн затруднено.
Напротив, использование световых волн позволяет получить мало­
габаритные излучатели с чрезвычайно высокой направленностью
и с огромной концентрацией энергии в луче. Так, например, луч, по­
сланный с Земли, образует на поверхности Луны пятно диаметром
всего лишь в несколько сотен метров. Применение световых волн для
передачи сообщений связано с трудностями модуляции, приема и т. д.
При выборе рабочего диапазона следует учитывать многие факторы
и зачастую принимать компромиссные решения.
Вместе с тем за последнее время намечается ряд перспективных
направлений, которые во многих случаях, по-видимому, позволят
избежать недостатки, связанные с особенностями распространения
волн уже освоенных диапазонов. К числу этих направлений следует
отнести попытки использования метеорных следов (отражение от уча·
стков с повышенной ионизацией, образующихсs=J при вхождении метео­
ров в верхние слои атмосферы), использование поверхности Луны в ка­
честве пассивного отражателя радиоволн, рентрансляцию сигналов
с помощью искусственных спутников Земли, создание специальных
ионизированных облаков и т. д. Можно предполагать, что подобные
методы приведут к возможности осуществления связи, сочетающей
в себе преимущества, присущие различным диапазонам.
1.3 . ОСНОВНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Из предыдущего видно, сколь разнообразным преобразованиям
подвергается сигнал в процессе передачи по каналу связи. Некоторые
из этих процессов являются обязательными для большинства радио­
технических систем независимо от их назначения, а также от характера
передаваемых сообщений. Перечислим эти фундаментальные процессы
и попутно отметим их основные черты применительно к обобщенной
схеме радиотехнического канала, представленной на рис. 1.1 .
Преобразование исходного сообщения в электрu1tескuй сигнал и ко­
дирование. При передаче речи и музыки такое преобразование осу­
ществляется с помощью микрофона, при передаче изображений (те­
левидение) - с помощью передающих трубок (суперортикона). В слу­
чае передачи письменного сообщения (радиотелеграфия) сначала про­
изводится кодирование, заключающееся в том, что каждая буква текста
заменяется комбинацией стандартных символов (например, точек,
тире и пауз в коде Морзе), которые затем преобразуются в стандарт­
ные электрические сигналы (например, импульсы разной длительности
или разной полярности).
Следует отметить, что схема рис. 1.1 соответствует случаю, когда
информация вводится «в начале» канала связи, т. е. непосредственно
в передатчике. Несколько иначе обстоит дело, например, в радиоло-
9

кационном канале, где информация о цели (дальность, высота, скорость
и т. д.) вводится в результате отражения радиоволны от цели в сво6од­
ном пространстве.
Генерация высокочастотных колебаний. Высокочастсrrный генера­
rор является источником колебаний несущей частоты. В яависимости
от назначения радиоканала связи мощность колебаний изменяется
в пределах от тысячных долей ватта до миллионов ватт. Естественно,
что конструктивные формы и размеры этих генераторов различны -
от простейшего малогабаритного элемента до грандиозного техни­
ческого сооружения.
Ht:mO'fHUK
оiщений.
~реt1ающа11
nер_н«mУик антенно.
г.~------------,
_ _ __, ~---,
1
ПpeotfpaJo·
1
генератор ,
I/Шlи.е 6 t111P!11f1ЩJ: M1Jlyл~mop несgще,i 1
эpд:ffllft"- L.c_т_'flD_u._c_m~ LL._ -_- _-_ -_-_
.... ._ ~~: :'~- J
п_р;1енник~ ______________ .. ,
Г-
.-------, Линеllшиl 1
1 Pr~mpu-
'{(lсmотн1г 1
1 рgющее
тектор 6иротель- 1
\ 111poilcm60 ..__ ___.
6lli cUAUЛtл 1
~----- - -------------~
Рис. 1.1 .
flpUt111HllR
антенна,
Основными характеристиками высокочастотного генератора яв­
ляются частота и диапазонность (возможность быстрой перестрой­
ки с одной рабочей частоты на другую), мощность и отдача (коэффи­
циент полезного действия). Особенно важное значение имеет стабиль­
ность частоты колебаний. Радиотехника в этом отношении находится
в исключительном положении. Условия распространения радиоволн
и широкий спектр частот сигналов диктуют применение очень высоких
несущих частот. Условия же обработки сигналов на фоне помех и не­
обходимость ослабления взаимных помех между ра3лич11ыми радио­
каналами заставляют добиваться максимально воз можного умень­
шения абсолютных изменений частоты. Это приводит к 11резвычайно
жестким требованиям к относительной стабильности частоты.
Упршзление колебаниями (модуляция) . Прщесс модуляции заклю•
чается в изменении одного или нескольких параметров высокочастот­
ного колебания по закону передаваемого сообщения. Частоты моду­
лирующего сигнала, как правило, малы по сравнению с несущей ча­
стотой генератора. Для осуществления модуляции используются раз­
ш;чные приемы, обычно основанные на изменении потенциала электро­
а:ов электронных приборов, входящих в схему радиопередающего
устройства.
Основная характеристика процесса модуляuии - степень соот­
ветствия между изменением параметра высокочастотного колебания
и модулирующим сигналом.
н,

Усиленvе слабых сагн,алое в приемнике. Антенна приемника улав­
пивает ничтожную долю энергии, излучаемой антенной передатчика.
В зависимости от расстояния между передающей и приемной станция·
ми, от степени направленности излучения антенн и условий распро·
странения радиоволн мощность на входе приемника измеряется ве­
пичинами порядка 10- 10 -10- 14 вт. На выходе же приемника для на­
дежной регистрации сигнала требуется мощность порядка единиц
----- -8.а.1'1' li_более. Отсюда видно, что усиление в приемнике должно дости­
гать 1010 -1014 по мощности или 1011 -107 по напряжению.
В современных приемниках уверенная реrистрвция сигнала обес·
~ --·--:: печн1щ~я при напряжениях на входе порядка микровольта. Решение
этой сложной задачи оказывается возможным благодаря достижениям
современной электроники. Большую роль играют также специальные
методы построения схем приемников, обеспечивающие большое уси•
пение при сохранении устойчивости работы приемника. К таким ме­
тодам относится преобразование (понижение) частоты колебания
в тракте приемника, осуществляемое так, что сохраняется структура
передаваемого сигнала. (На схеме рис. 1.1 процесс преобразования
частоты не обозначен.)
Процесс преобразования частоты помимо приемных устройств ши·
рока используется в различных радиотехнических и радиоизмеритель­
ных устройствах:.
Проблема усиления в приемнике неотделима от проблемы выделения
сигнала на фоне помех. Поэтому одним из основных параметров при­
емника является избирательность, под кот_орой подразумевается спо·
собность выделять полезные сигналы из совокупности посторонних
воздействий (помех}, отличающихся от сигнала по частоте.
Частотная избирательность осуществляется с помощью резонанс­
ных колебательных систем.
Выделение сообщения из высоК,Очасmотного К,Одебания (детектиро•
вание).Детектирование являетсяпроцессом,обратным по
отношению к модуляции. В результате детектирования должно быть
восстановлено электрическое напряжение (ток), изменяющееся во
времени по закону передаваемого сообщения, т. е. так же, как изме­
няется один из параметров ( амплитуда, частота или фаза) модулирован·
ноrо колебания. Как и при модуляции, различают три вида детекти­
рования:амплитудное,частотноеифазовое.Детек­
тор, как правило, включается на выходе приемника, следовательно,
к нему подводится модулированное колебание, уже усиленное преды­
дущими ступенями приемника. Основное требование I< детектору --
это по возможности точное воспроизведение формы сигнала.
Помимо перечисленных процессов, так или иначе связанных с
преобразованием частотных спектров, в радиотехнических устройст­
вах широкое применение находит процесс усиления колебаний без
трансформации частоты, осуществляемый в различных усилителях.
К та~шм усилителям относятся:
-
«низкочастотные» усилители управляющих сигналов, используе­
М~Iе перед модулятором передатчш<а, а также, на выходе прпемника;
11

-
усилители коротких импульсов, применяемые в телевизионной
и радиолокационной технике, а также в импульсных системах радио·
связи;
-
высокочастотные усилители большой мощности, применяемые
в радиопередающих устройствах;
-
высокочастотные усилители слабых сигналов, применяемые
в радиоприемных устройствах и измерительных схемах.
Кроме упомянутых процессов, присущих, как уже отмечалось,
любой радиотехнической линии, в ряде специальных случаев широко
применяются многие другие процессы: умножение и деление частоты,
генерация коротких импульсов, различные виды импульсной модуля·
ции и др.
Некоторые наиболее существенные из перечисленных процессов
рассматриваются в соответствующих главах данной книги.
1.4. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Радиотехнические преобразования осуществляются с помощью
большогочислалинейных и нелинейных элементови
устройств. Линейные системы, в свою очередь, подразделяются на
системы с постоянными и системы с перемен
ными параметрами.
Каждый из перечисленных классов систем подразделяется, кроме
того, на системы с сосредоточенными и с распределенными парамет­
рами. К первым относятся цепи, составленные из индуктивностей,
емкостей и сопротивлений, а ко вторым - цепи содержащие линии,
волноводы, излучающие системы .
В данном курсе изучаются, в основном, цепи с сосредоточенными
параметрами. Для выявления основных свойств указанных систем
необходимо напомнить с[ойства описывающих эти систем ы диффе­
ренциальных уравнений. Имея в виду цепи с сосредоточенными пара·
метрами, выпишем три следующих уравнения:
dпу
d"- ly
а/1-+an-1
--+
dtn
dtn-l
d"-2у
dy
.
+а,,_2--+ ...+а1- +а0у=f(t),
dtn-2
dt
(1.1)
(1 .2)
(1 .3)
12

У равнение (l. l) - линейное, с постоянными коэффициентами
а0 , щ, а2, . . . , ап - относится к линейной системе с постоянными па­
раметрами. Уравнение (l .2), в котором по крайней мере один из коэф·
фициентов, в данном случае а,1-1 (t) , является функцией времени (но
не зависит от у), представляет собой линейное уравнение с переменным
коэффициентом (или переменными коэффициентами) и описывает
линейную систему с переменными параметрами. Наконец, уравнение
(1.3), один или несколько коэффициентов которого , в данном случае
Un-I (у), являются функциями у, представляет собой нелинейное диф­
ференциальное уравнение, относящееся к нелинейной системе.
Обратимся сначаJJа к свойствам линейного уравнения с посто·
янными коэффициентами. Для большей наглядности заменим общее
уравнение (1 . 1) более простым уравнением второго п орядка, относя­
щимся, например, к последовательному колебательному контуру L,
С, r, в который вводится э. д. с. e(t).
Для тока в контуре i(t) можно написать следующее интегродиффе­
ренциальное уравнение:
L~+ri+...!...fidt=e(t).
(1.4)
dt
С
Продифференцировав это уравнение по t и обозначив e'(t) =
= f( t), придем к уравнению типа (1.1 ).
Уравнение (1.4) является линейным, если коэффuциенты L, r и
1/С н,е зависят от величины тока i илu, что то же самое, от велuчины
внешней силы e(t). При выполнении этого условия напряжения на каж­
дом из элементов контура линейно связаны с током. Действительно,
обозначая эти напряжения соответственно через и" ИL и uc, можем
написать
и,= ri,
di
и =L-
L
dt,
(1.5)
Uc=-z - sidt.
Так как дифференцирование и интегрирование являются операция­
ми линейными, можно утверждать, что ИL и ис линейно связаны с то­
ком i при любом законе изменения последнего во времени. Относи-
-
тельно 11, это утверждение еще более очевидно . Если, сохраняя закон
изменения тока во времени, увеличить ток в п раз, то во столько же
раз увеличатся и" UL и ис.
В частности, при изменении тока по закону
i=/sinwt
получим:
и, =rl sin wt,
\
иL=roL~cos О).t,
ис=
-- ше /cos rot.
13

Изменение амплитуды тока / в п раз дает такое же изменение ам­
плитуды напряжения на элементах r, L и С. Это свойство линейных
элементов можно толковать как результат линейности их вольтам­
перных характеристик. Вольтамперная характеристика для элемен·
тв r представлена на рис. 1.2, на котором по осям координат можно от­
кладывать как мгновенные, так и амплитудные значения и, и i, а для
элементов L и С - на рис. 1.3, где по осям отложены соответственно
амплитуды U L, / или U,, /. Заметим, что вольтамперные характери­
стики учитывают только связь между амплитудами величин И1., Ис и /
и не учитывают зависимость от частоты. В случае же элемента r функ-
i
Рис. 1.2.
Рис. 1.3 .
ции i(t) и и, (t), как известно, могут отличаться только постоянным
коэффициентом 1/r, который численно равен (см. рис. 1.2) угловому
коэффициенту вольтамперной характеристики
i
1
tgcx=-= - .
и,
,
Для вольтамперных характеристик J(UL) и /(Ис), построенных
при какой-либо фиксированной частоте w, угловые коэффициенты
-для индуктивности и
-для емкости.
/
1
tga=-= -
UL wL
/
tga=-=wC
Uc
Другим важным свойством линейных систем, так же вытекающим
из линейности дифференциального уравнения, описывающего пове­
дение (ток, напряжение) системы, является справедливость принципа
независимости или наложения (суперпозиции). Суть этого принципа
может быть сформулирована следующим образом: при действии на
линейную систему несколышх внешних сил поведение системы (ток,
напряжение) можно определять путем наложения (суnерпоэициu) ре­
шений, найденных для каждой из сил в отдельности. Можно применить
еще и такую формулировку: в линейной системе сумма аффектов от
различных воздействий совпадает с эффектом от суммы. 80Здействий. ~ ·
14

При 9Том предполаrается, что система свободна от начальных запасов
энергии.
Принцип наложения лежит в основе спектрального и оператор·
наго методов анализа переходных процессов в линейных цепях, а так·
же метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля). Применяя
принцип наложения, любые сложные сигналы при передаче их через
линейные системы можно разложить на простые, более удобные для
анализа сигналы, например, синусоидальные.
Остановимся еще на одном фундаментальном свойстве линейной
• системы, прямо вытекающем из теории интегрирования линейных диф­
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Разложив
-- -- --~:ftв-п-равой чае-iи уравнения (1.4) с помощью ряда или интеграла
Фурье на простейшие гармонические составляющие, действующие при
-
оо < 1< + оо, мы получим для каждой составляющей с частотой Ф~
решение уравнения (1.4) в виде гармонического колебания той же ча·
стоты:
где ln и <J!n - постоянные амплитуда и фаза.
Отсюда следует, что при любом, сколь угодно сложном воздейсmвuLJ
s линейной системе с постоянными параметрами не возникает новы>.
частот. Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, со­
провождающихся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствую­
щих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть осуществ­
лено с помощью линейной системы с постоянными параметрами.
В радиотехнике линейные системы с постоянными параметрами на ·
ходят широчайшее применение для решения задач, не связанных
с трансформацией спектра, таких, как линейное усиление сигналов,
фильтрация (по частотному признаку) и т. д.
Рассмотрим теперь свойства линейных систем с переменными пара·
метрами, вытекающие из свойств общего уравнения (1.2).
Как и в предыдущем случае, принцип наложения (суперпозиции]
остается в силе. Это означает, что правую часть уравнения (1 .2), т. е.
внешнюю силу f(t), можно разложить на гармонические составляю·
щие, действующие при - оо < t < + оо, после чего решение урав­
нения (1.2) представляется в виде суммы независимых частных решений,
соответствующих каждой из составляющих правой части. (Как и ра­
нее, предполагается, что в системе начальный запас энергии отсут­
ствует.) Однако в отличие от предыдущего случая в системе с перемен­
ными параметрами эти частные реI~ения являются не гармоническими,
а более сложными функциями. Иными словами, даже простейшее гар­
моническое воздействие создает в линейной системе с переменными
параметрами сложное колебание, имеющее спектр чпстот. Это можно
пояснить на следующем простейшем примере. Пусть к омическому
сопротивлению, изменяющемуся во времени по закону
R(t)-
Ro
1+м cos ot
11

приложено гармоническое напряжение
е(t)=Е0cos LtJt.
Ток через сопротивление
i(t) = .:.Ш.. = Ео (1+ М cos Qt) cos rol=
R(t) Ro
= Ео[cos(J)t+~cos((J)+Q)t+~cos((J)-Q)t].
(1.7)
Ro
2
2
Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами ro ± Q,
которых нет в e(t). Даже иэ этой простейшей модели ясно, что, изме­
няя во времени сопротивление, можно осуществить преобразование
спектра входного сигнала.
Аналогичный результат, хотя и с более сложными математическими
выкладками, можно получить для цепи с переменными параметрами,
содержащей реактивные элементы - индуктивности и емкости. Эт01
вопрос рассматривается в гл. 11. Здесь лишь упомянем, что линейцая
система с переменными параметрами преобразует частотный спектр
воздействия и, следовательно, может быть использована для некото­
рых преобразований сигналов, сопровождающихся трансформацией
спектра . Иэ дальнейшего будет также видно, что периодическое из­
менение во времени индуктивности или емкости колебательной системы
позволяет при некоторых условиях осуществить «накачку» энергии от
вспомогательного устройства, осуществляющего изменение парамет­
ра («параметрические усилители» и «параметрические генераторы»,
гл. 11).
Теория дифференциальных уравнений с переменными коэффици ­
ентами значительно более сложна, нежели уравнений с постоянными
коэффициентами . Даже при гармонической правой части решение урав­
нений порядка выше первого может быть найдено лишь в некоторых
частных случаях. Ясно поэтому, что, хотя к линейным системам с пе­
ременными параметрами и применим принцип наложения, непосред­
ственное применение спектрального анализа к передаче сигналов че­
рез такие системы не всегда оказывается эффективным. Более подробно
этот вопрос освещен в гл. 11.
Рассмотрим, наконец, общие свойства нелинейных систем.
Из теории нелинейных дифференциальных уравнений известно, что
при решении этих уравнений принцип наложения неприменим. Это
означает, что если уравнение типа (1 .3) (для случая, например, п = 1)
при правой части {1(t)
а1(у)dy +аоУ=f1(t)
dt
приводит к решению в виде функции y1 (t), а аналогичное уравнение
при правой части f2(t)
16

приводит к решению y 2(t), то уравнение
а1 (у) dy +a0 y=f1(i)+f2 (t)
dt
имеет своим решением функцию y 3(t), которая не равна сумме y,(t)
И У2(/):
Уз(t) =I= У1 (t) +У2 (t).
Таким образом, основным свойством нелинейных элементов и си­
стем является то, что принцип наложения (суперпозиции) к ним не
применим. Это свойство нелинейных систем тесно связано с кривизной
волыамперных (или иных аналогичных) хара1перистик нелинейных
злементов. На рис. 1.4 изображена ти-
- пи-чная характеристика диода ia = f (еа). i4
В отличие от вольтамперной характе­
Jшqики линейного сопротивления (рис.
+.2 -) вданном случае между током и на­
пряжением нет прямой пропорциональ­
ности. Если напряжению еа 1 соответст-
вует ток ia 1, а напряжению е02 - ток
i62 , то суммарному напряжению еаэ =
=е01 + еа2 соответствует ток iаз• отлич­
ный от суммы ia 1 + i02 (рис. 1.4).
Из этого простого примера видно,
что при анализе воздействия сложного
о
Рис. 1.4
сигнала на нелинейную цепь зтот сигнал нельзя разлагать на более
простые; необходимо искать отклик системы на результирующий
сигнал.
Неприменимость к нелинейным системам принципа наложения
делает непригодными спектральный и иные методы анализа, основан­
ные на разложении сложного сигнала на составляющие.
Другим важным свойством нелинейной системы является преоб­
разование спектра сигнала.
При воздействии на нелинейную цепь простейшим гармоническим
сигналом в системе помимо основной частоты возникают гармоники
с частотами, ~<ратными ос1-1овной частоте (а в некоторых случаях и
постоянная составляющая тока или напряжения).
В дальнейшем будет показано, что при сложной форме сигнала
в нелинейной системе помимо гармоник возникают еще и комбинацион­
ные частоты, являющиеся результатом взаимодействия отдельных
частот, входящих в состав сигнала.
С точ,ш зрения преобразования спектра сигнала следует подчерк­
нуть принципиальное различие между линейными пара-
метрическими и нелинейными системами.
В нелинейной системе структура спектра~ Ni.\xoдe зависит не только
от формы вход~~оrо сигнала, но и от ti·o ли~ • • уды. В линейной же
па раметрическои системе стру 1пу ра сп f1\ .,, .\амплитуды сигнала
не зависи·r.
17

Особенный интерес для радиотехники представляют свободные
колебания в нелинейных системах. Подобные колебания называются
автоколебаниями, поскольку они возникают и могут устойчиво суще­
ствовать в отсутствие внешнего периодического воздействия . Расход
энергии при колебаниях в подобных системах комnенсируется источ­
ником энергии nостоянноrо тока.
Основные радиотехнические проuессы '-- rенеrаuия,
модуляuия,
детектирование и преобразование частоты - сопровождаются транс­
формаuией частотного спектра . Поэтому осуществление этих про­
цессов возможно с помощью либо нелинейных систем, либо систем
линейных, но с изменяющимися параметрами. В некоторых случаях
используются одновременно как нелинейные, так и линейные nара­
метрические пронессы. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нели­
нейные элементы работают в сочетании с линейными цепями, осуществ­
ляющими выдел е ние полезных компонентов преобразованного спектра.
Всвязисэтимделениесистемналинейные, нелинейные
и параметрические является весьмаусловным. Приана­
лизе реальных радиотехнических цепей, содержащих нелинейные
элементы, обычно для описания пов едения различных узлов одного
и того же устройства приходится применять разнообраз ные мате­
матические методы - линейные и н елинейные.
Следует, кроме того, отметить, что даже в пределах линейного рас­
смотрения системы методы анализа зависят от типа линейной цепи -
с сосредоточенными или с распределенными параметрами. Применение
тех или иных цепей определяется рабочим диапазоном частот. Отсю­
да ясно, что полная классификация радиотехнических цепей не может
быть проведена в отрыве от используемых диапазонов частот .
1.5. ПРОБЛЕМА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ КАНАЛА СВЯЗИ
Ранее уже отмечалось, что радиотехника занимается передачей
информации. Комплекс устройств, используемых для передачи ин­
формации от ее источника до получ птеля (а также ра зделяющая их
среда), образует к а н ал с в я з и. От канала связи требуется по
возможности полная передача информnuии. Потери информации могут ,
вызываться искажениями сигналов из-за несовершенства отдельных
элементов канала, а также из - за помех.
Помехи возникают во всех элементах канала связи, как в среде,
используемой для передачи сигнала от 11ередатчш<а к прием нику,
так и в технических устройствах, выполняющих необходимые преоб­
разования сигнала. В первом случае помехи называются в II е ш II и­
ми,вовтором- внутренним11.
Внешние помехи образуются за счет различного рода атмосфер­
ных явлений (молниевые разряды, электризация частиц за счет тре­
ния их друг о друга и об антенну и т . д.) и шумов космического про­
исхождения (радиоизлучение Солнца и звезд) или являются индуст­
риальными (искрение в токосъемных механизмах, при электросвар-
18

ке, при включении и выключении агрегатов и сетей, при работе систем
зажигания в двигателях внутреннего сгорания и т. д.). Помехи радио·
приему создает работа медицинского оборудования - рентгеновских
установок, физиотерапевтичес1<Их устройств. Помехи образуются сиг•
налами от радиоустройств, работающих на близких частотах. Помехи
могут быть также умышленными, создаваемыми средствами радио­
противодействия.
Внутренние (или собственные) шумы, обязанные своим возникно­
вением дискретной пр11роде заряженных частиц, образуются из-за
теплового движения этих частиц в элементах электрических цепей,
из-за дробового эффекта в электронных приборах и ряда других яв­
лений, имеющих место при работе радиотехнических устройств. Осо­
бенно сильно действие внутренних шумов проявляется при большом
усилении сигнала, как это имеет место при приеме слабых сигналов.
Одновременно с полезным сигналом усиливаются и шумы, которые
могут по интенсивности оказаться соизмеримыми с сигналом, в ре­
зульппе чего последний окажется частично или полностью замаски­
рованным.
.
Наиболее радикальным средством борьбы с помехами является
их уничтожение или ослабление в месте возникновения. Для этого
(применительно к источникам индустриальных помех) следует улуч­
шать состояние контактов, использовать экранирование, включение
искроrасящих устройств, специальных фильтров и т. д. Устранение
помех от радиоустройств достигается рациональным размещением
(распределением) частот, регламентируемым специальными между­
народными соглашениями, улучшением качества передачи путем умень­
шения нежелательного (паразитного) излучения, увеличением ста­
бильности несущей частоты, применением направленных антенн и т. д.
Все это позволяет в какой-то мере разрешить проблему «тесноты
в эфире». Следует также по возможности выбирать частотный диапа­
зон, в котором шумы минимальны.
Принципиально наиболее сложной является задача ослабления
собственных шумов, но и здесь можно достичь существенного умень•
шения их интенсивности путем применения усилительных устройств,
работающих в режиме глубокого (например, до температуры жидкого
гелия) охлаждения, в результате чего снижается интенсивность теп­
лового движения частиц. Тем не менее, несмотря на все эти меры,
полностью избавиться от помех невозможно. Всегда остаются собст­
венные шумы той или иной интенсивности, шумы Галактики и других
источников космического радиоизлучения, атмосферные помехи и т. п.
Опасность искажений сигнала за счет помех обусловлена тем, что
в силу случайного характера помех однозначное соответствие приня­
того сигнала и посланного сообщения нарушается и становится лишь
более или менее вероятным. Возникают ошибки при приеме - замена
одного сообщения (того, которое в действительности передано) дру­
гим возможным, которое в этом случае будет доставлять ложную
информацию. Таким образом, у получателя сообщений отсутствует
полная уверенность в достоверности принятого сообщения, прнем
:l*
19

становится ненадежным. Поэтому центральной проблемой радиотехники
была и остается проблема помехоустойчивости связи. Система связи
должна быть спроектирована так, чтобы она обJJадала способностью
наилучшим образом 11рот11востоять мешающему дсйстnrно помех.
Проблема помехоустойчивости радиосвязи ВI{Лючает в себя большое
число других проблем, охватывающих все разделы радиотехники:
генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспечи­
вающих благоприятные условия распространеннн, использование
антенн направленного действия, поис,ш новых видов радиосигналов
и новых способов их обработки па фоне помех и др.
В связи с тем, что тобые помехи, как прав11J10, представляют со­
бой случайные пронессы, успешное решение проблемы помехоустой­
чивости немыслимо без привлечения методов теории вероятностей и
теории случайных функций. Значение этих методов для радиотехники
особенно возросло после создания общей теории связи, 1юторая, по
существу, есть сn' аmистическая теория.
1.6. ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Основной задачей курса является изучение физических проuессов
в радиотехнических устройствах и овладение методами математического
описания этих процессов.
Содержание курса можно опредет1ть как теорию радиосигналов
и радиоцепей, изучаемую по возможности с позиций теории инфор·
мации.
В соответствии с такой постановкой задачи курс включает в себя:
l. Анализ сообщений и радиосигналов - детерминированных и слу·
чайных.
2. Анализ случайных процессов (шумов).
3. Установление связи между параметрами сигналов и их инфор­
мационной емкостью.
4. Теорию передачи сигналов через радиотехнические цепи.
5. Развитие теории линейных цепей применительно к радио­
техническим процессам и преобразованиям (теория систем с обратной
связью, теория устойчивости линейных систем, теорин цепей с задерж­
кой, теория цепей с переменными параметрами).
6. Синтез и преобразование сигналов
-
генерирование колебаний,
модуляцию, детектирование, преобразование частоты, умножение
и деление частоты, теорию параметрического возбуждения и усиления
ит.д.
7. Изучение статистических явлений в радиотехнических ue-
nяx - прохождение шумов совместно с сигналами через линейные
и нелинейные звенья канала радиосвязи, преобразование статисти­
ческих характеристик сигналов и шумов и т. д.
8. Ознакомление с основными принципами борьбы с помехами
и повышения помехоустойчивости радиосвязи.
В данной книге материал расположен в следующем порядке.
20

В гл. 2, 3 и 4 изучаются характеристики сообщений и сигналов:
спектральные, временньrе и информативные.
В гл. 5 рассматриваются характеристики радиотехнических цепей,
содержащих активные элементы.
Главы 6 и 7 посвящены передаче сообщений и радиосигналов через
линейные цепи - апериодические и резонансные. В гл. 8 рассматри­
ваются линейные системы с обратной связью и вопросы их устойчи­
вости.
Главы 9-10 посвящены нелинейным · цепям и автоколебательным
системам, а гл. 11 - параметрическим цепям.
В гл. 12 и 13 изучаются основные принципы осуществления модуля­
ции и детектирования колебаний, а также преобразования частоты,
11в гл. 14 - воздействие гармонической внешней силы на нелинейные
системы с обратной связью.
Преобразование случайных сигналов и помех в линейных и нелиней­
ных системах рассматривается в гл. 15, а основные принципы борьбы
с помехами - в гл. 16.

2
Сигналы
2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ
В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сиг­
налами, которые сnязаны с передаваемыми сообщениями приннтым
способом кодирования.
Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой фи­
зический (электрический) процесс, несущий в себе информацию.
Количество информации, которое может быть передано с помощью
некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длитель­
ности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик.
Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем
меньше этот уровень, тем большее количество информации можно пе­
редать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить
об информанионных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться
с его основными хараюеристиками. Целесообразно рассматривать
отдельнодетерминированные и случайные сиг­
налы.
Детерминированным называютлюбойсигнал, пара­
метры и мпюпенное значение которого в любой момент времени могут
быть предсказаны с вероятностью единиuа. Примерами детерминиро­
ванных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов,
форма, величина и положение во времени которых известны, а также
непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотно­
шениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы могут быть
подразделены на периодические и IIепериодиче-
с кие.
Периодическим на1ываетсялюбойсигнал,длякоторого
выполняетсв условие s(t) = s(t +Н"'), где «период» Т является конеч­
ным отрезr<ом, а k- любое целое число.
Простейшим периодическим детермин11рованным сигналом являет­
ся гармоничес1<ое колебание (ток, напряжение, заряд, напряженность
поJiя), определяемое законом 1
(
2n
)
s(t)=Аcos тt-'ф =Аcos(Qt-'ф),
(2.1)
при -oo<t< оо.
1
Здесь ~J используется для обозначения частот управляющих сигналов
(сообщений).
22

А, Т, Q и 1Р, - постоянные: амплитуда, период, угловая частоI а
и начальная фаза колебания.
Строго гармоническое колебание называют м о н о х р о м а т и•
ч е с к и м колебанием. Этот заимствованный из оптики термин под•
черкивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной
спектральной линии. У реальных сиrнаt,юв, имеющих начало и конец,
спектр неизбежно «размывается». Поэтому строго монохроматического
колебания в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим
и монохроматическим сигналом условно будет подразумеваться ко·
лебание, определяемое функцией, совпадающей с выражением (2. )
в интервале хотя и конечном, но достаточно большом, чтобы можно
было не учитывать влияния «концов».
Любой сложный периодический сигнал, как известно, может быть
представлен в виде суммы гармонических колебаний с частотами, крат·
ными основной частоте Q = 2л/Т. Основной характеристикой слож ­
ного периодического сигнала является поэтому его спектральная функ­
ция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гар­
моник.
Непериодическим детерминированным сигналом назы­
вается любой детерминированный сигнал, для которого не выполняется
условие s(t) = s(t + kT).
Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени.
Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся им­
пульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колебаний и т. д.
Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как
преимущественно такие сигналы используются в практике .
Основной характеристикой непериодического, как и периодиче­
ского сигнала, является его спектральная функция; однако структура
спектра непериодического сигнала имеет некоторые особенности, ко­
торые будут подробно рассмотрены далее.
К с л у ч а й н ы м сигналам относят функции времени, значения
которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с неко­
торой вероятностью, меньшей единицы. Такими функциями являются ,
например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музы­
ке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче не­
повторяющегося текста. К случайным сигналам относится также по­
следовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного при­
емника, когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного за­
полнения флуктуируют из-за изменения условий распространения,
положения цели и некоторых других причин. Можно привести боль­
шое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой
сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как
случ;;~йный. Перечисленные выше детерминированные сигналы, «пол­
Н(')стыо известные», информации уже не содержат.
Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется
статистический подход. В качестве основных хараюеристик случайных
сигналов пр11нимают: а) закон распределения вероятностей и б) спект­
ральное распределение мощ11ости сигнала.
23

На основе первой характеристики можно найти относительное
□ ремя пребывания величины сигнала в определенном интервале уров­
ней, отношение максимальных значений к среднеквадратичному (пик­
фактор) и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характе­
ристика дает лишь распределение по частотам средней мощност(/ сиг·
нала. Более подробной информации относительно отдельных состав­
ляющих спектра - об их амплитудах и фазах
-
спектральная харак­
теристика случайного процесса не дает.
Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике
приходится иметь дело со случайными помехами - «шумами». Как
уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором,
ограничивающим скорость передачи информации при заданном сиг­
нале. Поэтому изучение случайных сигналов неотделимо от изучения
шумов. Эти вопросы рассматриваются в § 3.1 -3.2.
2.2 . РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА
ПО ЗАДАННОП СИСТЕМЕ ФУНКЦИИ
Для теории, а также для техники формирования и обработки сиг­
налов важное значение имеет разложение заданной функции по раз­
личным ортогональным системам функций. Напомним основные оп­
ределения, относящиеся к свойствам ортого11альных систем.
Бесконечная система действительных функций
<vo (х) , (J)i (х), IP2 (х), •·· , IPn (х), •··
называется ортогональной на отрезке [а, bj, если
ь
~IPn(х)срт(х)dx=О при п=1=- т.
а
При этом предполагается, что
ь
~(р~(х)dx =1=- О,
а
(2.2)
(2.3)
(2.4)
т. е. что никакая из функций рассматриваемой системы (2 .2) не равна
тождественно нулю.
Условие (2.3) выражает попарную ортогональность функцшi си­
стемы (2.2).
Велнчина
11 rp" 11 = 1/~rp~ (х)dx
называется 11ормой функции lj.) 11 (х).
:и
11
(2.5)

Функция <pn (х), для которой в· ,шолняется услови~
(2.6)
а
называется н о р м и р о в а н н ой функцией, а система нормирован·
ных функций <р1(х), q, 2(x), .. , в которой каждые две различные функции
взаимно ортогональны, называются ортонормированной
системой.
В математике доказывается, что если функции 'Рп(х) непрерывны,
то произвольная кусочно-непрерывная функция f(x), длн которой
выполняются условия
~1f(х)12dx< ос,
может быть представлена в виде суммы ряда
f(Х)=С0q,0 (х)+С1IJ)1(х)+...+сп!J'n (х)+...
(2.7)
(2.8)
Интегралы в выражениях (2.7) вычисляются по области (или от­
резку) определения f(x).
Если коэффициенты этого ряда определены по формуле
/J
Jf (Х) Ч'п (Х) dx
Ь
Сп=аь =II<р~ 112Sf(х)Ч1п(х)dx,
(2.9)
f<p~ (Xi dx
а
,,
то рял (2.8) называется обобщенным рядом Фурье по данной системе
<JJn(X).
Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством:
при 3аданной системе функций 'Рп(х) и при фиксированном числе сла­
гаемых ряда (2 .8) он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смыс­
ле минимума среднеквалратичной ошибки) данной функции f(x).
Это означает, что «средняя квадратичная ошибка», под которой
подразумевается величина
М= f[f(х)-j0
av q,v (х)]
2
dx,
достигает минимума , когда коэффициенты ряда av = cv,
Можно показать что
(2. 10)
25

Так как величина
ь
~f2(х)dx= 11f11
2
,,
является 1(Вадра т ом нормы функции f (х) , а Мм,ш;;?:, О, то на осно­
вании (2. 10) можно написать следующее неравенство:
00
~с~11 'Pv 11
2
3⁄4/1fl/
2
•
\1=0
(2.11)
Этоосновноенеравенство,называемоенеравенством Бес­
се JJ я, справедливо для любой ортогональной системы.
Ортогональная система называется п о л н о й, если увеличением
количества членов в ряде среднеквадратичную ошибку М можно сде­
лать сколь угодно малой.
Условие полноты можно записать в виде соотношения
(2.12)
При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8) схо­
дится в среднем, т. е. что
(2.13)
00
Из этого , однако, еще не следует, что ~ с" f/Jv (х) сходится 1< f (х),
V=J
т. е. что
при любых значениях х. В§ 2.4 будет приведен пример, по1<азывающий,
00
что в отдельных точках на оси х ряд ~ Cv<pv(x) может отличаться от
\1 =0
f(x), хотя равенство (2.13) имеет место.
Для системы функций, принимающих комплексные значения, при­
веденные выше определения обобщаются следующим образом:
условие ортогональности
ь
~CfJn(х)ер~,(х)dx=О при п =I=т;
(2.13')
а
-
квадрат нормы функции <"Рп (х)
ь
ь
~ <рп /12
= ~ 'Рп (х) ер,: (х)dx-= J /срп(х)/2dx;
(2,5')
Q
а
26

-
коэффиuиенты Фурье
ь
сп= -
f (х) ЧJп (х) dx.
1s
.
ll(l)пll2
(2.9')
а
В этих выражениях qJ* (х) обозначает функцию, комплексно-сопря­
женную функции q;(x).
Применительно к сигналам s(t), являющимся функuиями времени,
выражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме
п
S(t)= ~ CV <j)v(t).
V=O
(2.14)
Соотношение (2.12) приобретает при этом энергетический смысл.
Действительно, входящая в это выражение величина II f 11 2 при замене
f(x) на s(t) может быть записана в форме
t,
11sIF= J.s
2
(t)dt= Е.
1
(2.15)
Если под s(t) подразумевается электрическое колебание (ток,
напряжение), то Е есть не что иное, как энергия сигнала в промежутке
t2 - t1 (при условии, что сопротивление, в котором выделяется энер­
гия, равно I ом).
Таким образом, в соответствии с формулой (2.12) энергия сигнала
00
(2.16)
а при использовании ортонормированной системы функций (JJv(t)
(2.16')
При этом имеется в виду, что промежуток времени t 2 - t,, в ко­
тором определяется энергия Е, является интервалом ортогональности
для системы функций (JJv(t).
Очевидно,чтосредняя за времяf2- t1 мощность
сигнала
(2.17)
Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций
зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции
в ряд. Среди разнообразю,1х задач, требующих разложения сложного
сигнала, можно выделить два важных направления:
а)точноеразложениенапростейшиеортоrональные
фуНКl.lИИ,
27,

6) аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, когда
гребуется cNJcmu к мшшмуму число членов ряда (при заданной допу­
стимой погрешности).
При первой постановке задачи наибольшее распрострЭJIение
получила ортогональная система основных тригонометрических фую<­
ций - синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин. Во­
первых, гармоническое колебание является простейшей функ11ией,
определенной при всех значениях t, и не поддается дальнейшему раз­
ложению в спектр. Во-вторых, гармоническое колебание является един­
ственной функцией времени, сохраняющей свою форму п-ри прохож­
дении колебания через любую линейную систему (с постоянными па­
раметрамн). Изменяется лишь амплитуда и фаза ко.ТJебания .
Далее, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам поз­
воляет использовать символический метод, разработанный ДJIЯ ана­
лиза передачи гармонических колебаний через линейные цепи.
По этим, а также и другим причинам, гармонический анализ по­
лучил широкое распространение во всех отраслях современной науки
и техники.
При второй постановке задачи - приближенном разложении функ­
ций - применяются разнообразные ортогональные системы функций:
полиномы Чебышева, Эрмита, Лаrерра, Лежандра и многие другие.
Некоторые из этих систем функций будут кратко рассмотрены в§ 2.15.
Основное внимание в данной книге уделяется гармоническому
анализу, лежащему в основе теории сигналов и цепей.
2.3 . ГАРМОНИЧЕСКИR АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАJJОВ
При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье по три­
гонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут
1, cosQ1 t, sinQ1 t, cos2Q1 t, sin2Q1 t, ... , cosnQ1 t, siппQ1 t, ... (2.18)
или
(2.19)
Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом
Т = 2л/Q1 функции s(t).
Система функций (2.18) приводит к тригонометрической форме
ряда Фурье, а система (2.19) - к комплексной форме.
Между этими двумя формами существует простая свя3ь .
Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда ряд
Фурье должен быть записан в форме
s(t) = ... С-2 e-i2R, 1+С-1 е-т, 1+Со+ С1ещ 1+С2eiU~, 1+... =
00
=
~ Сп eiriR, t,
(2.20)
n=-oo
Коэффициенты Фурье с11 легко определяются с помощью формул,
приведенных в предыдущем параграфе.
28

J
Из форму.,ь1 (2.5') следует, что
Т/2
11 'Р,1(/)112 = Jelnй,1е-1110, tdt= Т.
-Т/2
(2.21)
Таким образом, независимо от п норма 11 q, 11 (t)II = "Vf. Применяя
формулу (2.9'), получаем
Т/2
С11 =+ SS(t) e-lnfl, 1 dt.
-Т/2
(2.22)
В выражениях (2.21) и (2.22) учтено, что функции eI11 fl, 1 соот­
ветствует комплексно-сопряженная функция е- 11111 , ' ·
Коэффициенты с11 в общем случае являются комплексными вели­
чинами. Подставив в (2.22) e-111
•J, 1
= cos пQ1 t-i sin пQ1 t, получим
1SГ/2•
с11= Т
s(t)cosпQ1tdt-
-Т/2
Т'2
-i+Ss(t)sin nQ1t dt = Cnc -ic118•
(2.23)
-Т/2
Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффи­
циента с11 определяются формулами
Г/2
c110 =f S s(t)cosпQ1 tdt,
-Т/2
Т/2
С118 =+ Ss(t)siпnQ1 tdt.
-Т/2
(2.24)
Коэффициенты с 11 часто бывает удобно записывать в форме
11
- i1j>
Сп=Спе п,
(2.25)
где
lc11 1= Vc~c+ с~,;
(2.26)
'\Jn = arctg Cns •
(2.27)
Спс
Модуль Iс11 1 является функнией, четной относительно п, а аргумен:
,р11 - нечетной (последнее вытекает непосредственно из выражении
(2.24), показывающих, что с11с является четной, а Сп, нечетной функ­
циями ri).
29

Общее выражение (2.20) можно привести к виду
S (t) = i: 1Сп Iе1 (nQ1 t-\\Jп).
n=- oo
(2.28)
Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье.
Выделив из ряда (2 .28) пару слагаемых, соответствующую какому­
либо заданному значению п = k, получим для ее суммы:
1c_k Iе/ (-kQ1 t-'11-k) +1ck Iе; (kQl 1-,Pk)=
= 1ck 1[е-1 (k'\ t-11 '1t) + el (kQI 1- ,P k)] = 21 ck Icos (kQl t -'Фk). (2.29)
~k 521
Рис . 2.1
Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме
ряд (2.28) должен быть записан следующим образом:
""
s(t)=с0+~ 2\Сп\cos(п~}1t-'Ф,J
(2.30)
n=I
Смысл удвоения 1<0эффициентов Ф ур ье Сп в тригонометрическо м
ряду при п > 1 становится ясным из рассмотрения векторной диаграм­
мы (рис. 2.1), соответствующей выражению (2 .29). Вещественная функ­
ция 21 c1i I cos(kQ,t-'Ф1t) получается как сумма проекций на горизон­
тальную ось ОВ двух векторов длиной Ich 1, вращающихся с угловой
частотой kQ, во взаимно противоположных направлениях. Вектор,
вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной
30

частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, - отрицатель•
ной частоте. После перехода к тригонометрической форме понятие
«отрицательная частота» теряет свой смысл. Коэффициент с 0 не удваи­
вается, так I<Ш< в спектре периодичес1<ого сигнала составляющая с ну­
левой частотой не имеет «дублера)).
Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической
литературе часто встречается следующая форма записи:
«..п "r
т1
!1
-nS?,
С.2
00
n=I
00
= ~+~ А11cos (пС\t-ч,11).
2 ....
11..,,.,.. 1
с., ~
с,
Cz
°r,/1
т;п
11
11
-2Q,-Q,о Q,2Q, пQ,Q
оQ,2Q,
а)
Puc. 2.2
(2.31)
т тАп
1
11
1
11
11
пQ, Q
5)
Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что комплекс­
ная амплитуда п-й гармоники А 11 связана с коэффициентом с" ряда
(2.28) соотношением А,,= 2сп, а а п = 2с 11 с , Ь.,,, = 2с 11 _,.
Таким образом, для всех положительных значений п (включая
иn=О):
Т/2
а11= : SS(t) cos ,iQ1tdt,
-Т/2
т ):1-
ьп= : J\ФsiппQitdt.
-Т/2 ·\ .
(2.32)
Если сигнал представляет собой фун;щию, четную относительно t,
т. е. s(t) = s(-t), в тригонометрической записи ряда остаются только
косинусоидальные члены, так как коэффициенты Ь" в соответствии
с формулой (2.32) обращаются в нуль . Для нечетной относительно t
функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты а11 и рнд со­
стоит только из синусоидальных qленов.
Две характеристики - амплитудная и фазовая, т. е. модули и ар­
гументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью опре-
31

деляют структуру частотного спе1пра периодического сигнала. На­
глядное представление о «ширине» спектра· дает графическое изобра­
жение спектра амплитуд. В качестве примера на рис. 2.2, а построен
спектр коэффициентов IСп 1, а на рис. 2.2, 6 - спектр амплитуд А11 =
= 21 Сп I для одного и того же периодического сигнала. Для исчерпы­
вающей характеристики спе1пра подобные построения должны быть
дополнены заданием начальных фаз отдельных гармоник.
Спектр периодической функции называется л и н е й ч а т ы м или
д и с к р е т н ы м, так как состоит из отдельных «линий», соответ~
ствующих дискретным частотам: О, ~ "2 1 , Q2 = 2Q1, Q 3 = ЗQ1 и т. д.
Использование рядов Фурье для гармонического анализа сложных
периодических сигналов в сочетании с принципом наложения пред­
ставляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных
систем на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что оп­
ределение сигнала на выходе системы по сумме гармоник с заданными
амплитудами и фазами является непростой задачей, особенно если не
обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего
сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не от­
вечают этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения
формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гар­
моник. Следует поэтому считать, что в случае сложных периодических
сигналов применение методов ряда Фурье удобнее для анализа сигна­
лов, нежели для их синтеза1.
2.4. СПЕКТРЫ ПРОСТЕйШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Рассмотрим несколько примеров периодических сигналов, часто исполь­
зуемых в различных радиотехнических устройствах,
1. Прямоугольное колебание (рис. 2.3)
Подо6ный сигнал, часто называемый «меандром»~, находит широкое приме•
нение в измерительной технике.
При вы6оре начала отсчета времени по рис. 2.3,а функция e(t) является не•
четной. Применяя формулы (2.24), находим:
Спс=О,
Т/2
Сп,=+ Sг(t) sin Q1 tdt =
-Т/2
1 Трудности, связанные с осуществлением синтеза сигналов по заданным
рядам Фурье, в значительной степени могут быть преодолены с помощью подро6-
ных та6лиц сумм триго11ометричес1шх рядов, а также с помощью правил для пе­
рехода от сумм одних рядов I< суммам других, разра6отанных А. М. Заеэдным
(см. Заеэдный А. М. Гармонический синтез в радиотехнике и електросвяэи. Гос­
енергоиэдат, 1961).
1 Меандр - греческое слово, обозна•~ающее орнамент,
32

г -,;,l
_j
1
-т
-Т/2
e(t)f
,f.
а)
e(t)
о
б)
Рис. 2.9
.. .._,
-
Т/2
т
t
1
Т/2
т
t
Е[о
112
]
2Е
пQ1Т
=Т
~ (-1)sin nS}1tdt + ~ sin n~}1tdt = Тп~) ( 1- cos
-
2
-).
-Т/2
О
1
Учитывая, что TQ 1 = 2n, получаем
1
О прип=О,
Cns= ~(1- cosnn)= 2Е
nn
--
при n= 1,
nn
2,4 ...,
3, 5 ....
Начальные фазы Фn в соответствии с (2.27) равны tt/2 для всех гармоник.
Запишем ряд Фурье в трю·онометрической форме,
е(t)= j 2/Ons/cos(пQ1t- ; )=
n=\. 3, 5
4Е(•
1•
1•
)
=-;- S\ПQlt+ 3 SIП3Q1i+ бSIП5Q1i+ ....
(2.33)
Спектр коэффициентов /Сп/ 1<омплекс11оrо ряда Фурье (при Е -=- I) показан
на рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда - на рис. 2.4, б.
При отсчете времени ет середины импульса (рио. 2.3, б) функция является
четной относительно t и для нее
4Е(
1
1
)
г(t)= -
cos Q1t- -
cos 3Q1t+-580S 5R1t -
...
.
n
3
1
(2.34)
Графи1ш первой (п-=- 1) и третьей (п = 3) гармоник и их суммы изображены
на рис. 2.5, а. H:i рис. 2.5, 6 эта сумма дополнена пятой гармоникой, а на
рис. 2.5, в - седьмой ,·армоникой.
G увеличением чисJ1а суммируемых гармони~{ сумма ряда приближается
к функции e(t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс.
При п ➔ оо величина этого выброса равна l,18E, т. е. сумма ряда отличается
от заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил на•
звание «явления Гиббса~,
аз

34
2
2
3i
:Jt
2
2
JЯ
2
11
2 Jjf
Lsи
т
т s:тr
у7зr т
т
2
тYir-
-791бQ,-5Q/1-Q1-JQI-22i- 2, о 0 1 29I з2I н-г1 sQI 6·2,701 2
а)
4
jf
4
JJ[
11
7:тr
О Q1 2Q1JQ1 H~
1
5Q1 БQ1 7Q1 Q
б)
Рис . 2.4
S?t .
Qt
S2t
Рис. 2.5

Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к раз­
лагаемой функции e(t) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку
при n - оо выбросы являются бесконечно тонкими и не вносят никакого вклада
в величину интеграла (2.13).
2. Пилообразное колебание (рис. 2.6)
С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для
развертки изображения в осциллGrрафах. Так как эта функция является нечет­
но/!, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью
формул (2.24) - (2.31) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опус­
кая эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда
e(t)
Рис. 2.б
Рис. 2.7
Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону \/п, где п = l, 2, 3,
На рис. 2 .7 показан график суммы первых пяти гармоник.
3. Последовательность униполярных треугольных импульсов (рис. 2.8).
Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:
е(/)= .!l_[~ -~ (cosQ1t+-
1
-
cos3Q1t+-
1
-
cos 5Q1t+ ...)]·
л2л
32
52
(2.36)
e(t)
---1
.....
-1--- =--- L-. -l_
,-Т/2
о
Т/2
t
Рис . 2.8
35
t

На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном слу­
чае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих при·
мерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) . в функции.
4. Последовательность униполярных прямоугольных
импульсов (рис. 2.9)
Применяя формулы (2 .32), находим среднее значение ( « постоянную состав­
ляющую»)
'tи/2
-=-
e(l)dt =-Е
а01s
tи
2
Т
Т
-'tи/ 2
и коэффициент п - А гармоники
36
~
2
т:~1 2
2s
2Е . пQ1,:и
ап=Т
е(t)cos nQ1tdt= nn s1п -
2
-.
·Т
О 5?, 29,
\
\
1
-t11 /2
\
\
\
e(t)
т
Рис. 2.9
Рис. 2.10
(2 .37)
(2 .38)
t

Ввиду четности функции е(t), Ьn = О и Ап = йп.
Таким образом,
е(t)= Е(~+2_~
-
1
-·
sin пQ1'tи cosпQ1t).
Т n~п
2
n=I
(2 .39)
Величина N = Т/'tи называется «скважностью» импульсной последовате,11ь ­
ности . При больших значениях N спектр сигнала содержит очень большое чис ­
ло медленно убывающих по амплитуде гармоник (рис. 2.10) . Расстояние между
спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармонии близки по
величине. Это наглядно вытекае,- из формулы (2 .38). которую в данном случае
удобно представить в несколько изменсннuм виде;
2Е1.( 'tи)1
1an1= An= nn s1r1 плТ .
При малых значениях п можно считать
А~2Е
.
nn'tи _ Е 2'tи
n~ лп
Т-
Т•
(2 .40)
ао
'tи
Постоянная составляющая, равная 2 = Еу, вдвое меньше, чем амплиту-
да первой гармоники. При построении спектра коэффициентов I Сп 1, величина
ч~ приближенно равнялась бы I с, J.
2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Пусть сигнал s(t) (ток, напряж~ние) представляет собой сложную
периодическую функцию времени с периодом Т.
Энергия такого сигнала, длящегося от t = -оо до t = оо, беско­
нечно велика. Основной интерес представляет средняя мощность пе­
риодического сигнала и распределение этой мощности между отдель­
ными гармониками сигнала. Очевидно, что средняя мощность сигнала,
рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, сред­
ней за один период Т. Можно поэтому вос11ользоваться формуJюй (2.17),
в которой под коэффициентами Cv следует подразумевать коэффициенты
ряда (2.20), под интервалом ортоrоналI,ности / 2 - f1 - величину
периода Т, а под нормой 11 <:р" IJ-величину уТ [см. формулу (2.21) ].
Таким образом, средняя мощность периодического сигнала
00
(2.4 I)
n=-oo
n=-oo
При использовании тригонометрической формы ряда Фуры\ учи­
тывая, что с0 = а1/2 11 Jc" 1 = An/2, получаем
00
00
s~ (t) =(а2о)
2
+2~ (~")2=(~и)2++~А~.
n=-l
n=-= -l
(2.42)
37

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через
сопротивление r выделяется мощность (средняя):
--
(2/~/~
)
р=Г•i2(f)=Г lo+ 2 +т+... .
Символом / 0 = а 0 /2 обозначена постоянная составляющая, а /,. ==
=
Ап - амплитуда п-й гармоники тока i(t).
Итак, полная мощность равна сумме средних мощностей, выделя­
емых по отдельности постоянной составляющей / 0 и гармо~ш1<ами
(с амплитудами /1, 12 и т. д.). Это означает, что средняя мощность не
зависит от фазировки отдельных гармоник.
2.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРJЮДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Изложенный в § 2.3 гармонический анализ периодических сигналов
нетрудно распространить на непериодический сигнал. Пусть такой
сигнал s(t) задан в виде не1<0торой функции, отличной от нуля в про­
межутке t1, t 2 (рис. 2.11).
o'-------:;t~,~-------+--__J_т-t
Рис. 2.11
Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя
промежуток t1, t2, мы можем представить заданный сигнал в виде ряда
Фурье:
00
s(t)= !, cnelnQ,t, O<t<T,
(2.43)
r1=-oo
где ~J1 = 2л/Т, а коэффициенты с11 в соответствии с формулой (2.22)
1,
с,.=+ ss (t) е-111!1, 1 dt.
t,
Подставив (2.44) в (2.43), получим
s (t)= ~ Js(х)e-intJ,хdx etnQ, t .О!.,
оо (1,
)
n=-oo 1,
2л:
Здесь учтено, что Т = 2n/Q1,
38
(2.44)
(2.45)

Вне промежутка О, Т ряд (2.43) определяет функцию s(t) = s(t ±
± kT), где k - целое число, т. е. перио:шческую функцию, получен·
ную повторением s(t) вправо и влево с периодом Т. Для того чтобы вне
отрезка О, Т функция равнялась нулю, величина Т должна быть
бесконечно большой , Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве
периода, тем меньше коэффициенты Сп· Устремляя Т I< бесконечности,
в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических со­
ставляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую
функцию s(t), заданную в интервале lt < t < ! 2 (рис. 2.11). Количество
_
гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом
бесконечно большим, так как при Т-+ оо основная частота функции
Q1 = 2лlТ-+0. Иными словами, расстояние между спектральными
линиями (см. рис. 2.2), равное основной частоте Q1, становится бес­
конечно малым, а спектр - сплошным.
Можно поэтому в выражении (2.45) заменить Q 1 на dQ, nQt на
текущую частоту Q, а операцию суммирования- на операцию интег­
рирования.
Таким образом приходим к двойному интегралу Фурье:
00
[/,
]
s (t)=
2
~ 1etQI [ s(х)e-iQxdx dQ.
(2.46)
Внутренний интеграл, являющийся функцией Q,
1,
S(Q)= Js(t)е-1шdt,
(2.47)
t,
называется спектральной плотностью или спек­
тральной характеристикой функции s(t).
В общем случае, когда пределы t1 и t 2 не уточнены, спектральная
плотность записывается в форме
00
S0
~
Q)= Js(t)е-щtdt.
-оо
После подстановки (2.48) в выражение (2.46) получаем
00
s(i)=-
1
Js(Q)e 1ЩdQ.
2л,
Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно п р я м ы м
иобратным преобразованиями Фурье.
Выражение (2.48) отличается от (2.22) только отсутствием множи­
теля 1/Т. Следовательно, спектральная плотность S(Q) обладает все­
ми основными своиствами коэффициентов Сп комплексного ряда Фу·
рье. По аналогии с (2.2.1) и (2.24) можно написать
S(Q) = А (~))-iB (Q) = S (Q) e-i,i, <О>,
(2.50)
··~
..,
\..
, ,.,
39

где
00
А(Q) '°"'· Js(l) cos Qt dt;
-оо
00
В(Щ= Js(t)siп[Udt.
-ос
(2.51)
Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выра­
Жt'ниями
s (Q) = V[А (Q)l2+ [В (Q)]2,
'ljJ(Q)= arctg8(Q) •
А (Q)
(2.52)
(2.53)
Первое из этих выражений может рассматриваться как ампли­
тудно-чаппотная, а второе - как фаза-частотная характеристика
сплошного спектра непериодического сигнала s(t).
Как и в случае ряда Фурье, S(Q) является четной, а \j.J{~l) - нечет­
ной функцией частоты Q.
На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное
преобразование (2.49) к тригонометрической форме. Имеем
""
00
s(t) =-
1
Js(Q)е1(Ш-w>dQ= -
1
5s (Q)cos (Qt-,P) dQ+
2л:
2л:
-оо
-оо
00
+i-
1
Js(Q) sin (Ш-'ljJ)dQ.
2л:
-оо
Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтеграль­
ная функция в первом интеграле является четной, а во втором нечет­
вой относительно ~~- Следовательно, второй интеграл равен нулю,
и окончательно
00
s(t) = _!_ sS(Q) cos(Qt-\j.1)dQ =
2л
-00
00
= +sS (Q) cos (Щ-ф) dQ.
(1
(2.54)
Переход от комплексной формы (2.49) к тригонометрической (2.54)
обычно цел~сообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки
при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить на
основании комплексной формы (2.49).
Из сопоставления выражений (2.49) и (2.20) видно, •по Вt'ЛИЧИНВ
1
2n S (Q)dQ = S(Q)dF имеет смысл 1юэффициента сп (бесконечно
малого) комплексного ряда Фурье при частоте Q ;= 2лF.
40

Соответственно из сопоставления выражениlt (2.fi4) и (2.31) видно,
1
что величина nS(Q)dQ = 2S (Q)df имеет смысл амплитуды An (бес·
конечно малой) гармонической составляющей частоты Q = 2nF.
Из этих сопоставлений становится ясным смысл термина «спект·
ральная плотность». 2S(Q) есть амплитуда сигнала, приходящаяся
на один герц в бесконечно узкой полосе частот, включающей в себя
рассматриваемую частоту Q.
На основании приведенных выше рассуждений нетрудно устано­
вить · соотношение между спектрами одиночного импульса и периоди•
ческой последовательности импульсов.
_-
Пусть задан спектр S1(Щ одиночного импульса 5i (t) и период rювто­
рения Т. Как уже отмечалось выше, спектральная плотность S1(Q)
[формула (2.48)] отличается от коэффициента сп ряда Фурье периоди•
ческой лоследовател ыюсти только отсутствием множителя 1/Т Iсм. фор•
мулу (2.22) ). Отсюда {'.Ледует, что при повторении импут,са s1(!) с пе•
риодом Т коэффициенты с,. ряда Фурье для полученной периодическсй
последовательности равны
S1 (Q)
с=--
п
т•
причем аргумент Q спектральной плотности S1(Q) должен быть при­
равнен частоте nD1 соответствующей гармоники .
Таким образом,
(2.5(j)
Итак, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибаю­
щая линейчатого спектра периодической последователы-шстu полу•
ченной путем повторения заданного импульса, совпадают по форм1.:
и отличаются только масштабом
2.7 . НЕКОТОРЫЕ СВОИСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Между сигналом s(t) и его спектром S(Q) существует однозначноt:
соответствие. Для практических приложений важно установить связь
между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобра•
зованню изменением спектра. Из многочисленных возможных преоб­
разований сигнала рассмотрим следующие наиболее важные и часто
встречающиеся: сдвиг сигнала во времени, изменение масштаба вре­
мени, дифференш1рование и интегрирование сигнала. Кроме того.
будут рассмотрены сJJожение сигналов, произведение н свертка двух
сигш1Jюв, а ~-аюке свойства в:шимно,1 обратимости Q и t. в преобразо-­
ваннях Фурье.
...

1. Сдвиг сигнала во времени
Пусть сигнал s1(t) произвольной формы существует на интервале
времени от /1 до t 2 и обладает спектральной плотностью S1(Q). При
задержке этого сигнала на величину t 0 (при сохранении его формы)
получим новую функцию времен:1
S2(/) = Si (t-to),
существующую на интервале от t1 + tOдо t2 + t0•
Спектральная плотность сигнала s2(t) в соответствии с (2.48)
00
1,+t.
S2(Q)= Js2(t)е-1Шdt= ~ Si(t-t0) е-iШ dt.
-оо
1, +1.
Вводя новую переменную интегрирования ,; = t - t 0 , получаем
tr
S2 (Q) = e-Нlt• 1,s1(,;) е-101: dт: = е-тt. S1(Q).
(2.57)
Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t)
на величину ±t0 приводит к изменению фазовой характеристики спект­
раS(Q) на величину ±Qt0 • Очевидно и обратное положение: если всем
составляющим спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг (JJ(Q) =
= ±Q/0, линейно связанный с частотой Q, то функция сдвигается
во времени на величину ±t0 .
Амплитудно - частотная характеристика спектра (т. е. модуль спек·
тральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит.
2. Изменение масштаба времени
Пусть сигнал s1(t), изображенный на рис. 2. 12 сп.пошной линией,
подвергся сжатию во времени. Новый, сжатый сигнал s2(t) (пунктир­
ная кривая на рис. 2.12) связан с исхо11ным сигналом s1(t) соотно­
шением
Длительность импульса s2(t) в п раз меньше, чем у исходного им­
пульса, и равна Т/п (п > 1).
Спектральная плотность сжатого импуJJьса
'/ /11
Т/п
S2(Щ == ~ s2(t)е-ш~dt= ~ s1(nt)e-il!tdt.
о
о
Вводя новую переменную интегрирования т = nt, получаем
42

одпческого _контура. Остается еще наАти иэоколииу горизонтальных
касательных (т. е. при k = О) и изоклину вертикальных касательных
(при k = оо).
Подставляя в уравнение (10. 79) k = О, находим уравнение изо­
КЛИIIЫ горизонтальных касательных
(1)2
о
у=--Х.
2а
( 10.81)
Изоклиной вертикальных касательных (k = оо) является прямая
у == О • х = О, т. е. ось х. Этот результат совпадает с отмеченным выше
свойством б).
Рис . 10.44
Рис . 10.45
Основываясь на полученных результатах, рассмотрим фазовые
портреты для системы, описываемой уравнением (10. 76), при раз­
личных соотношениях между а. и ro 0•
1. Апериодическая система; a/roo> 1.
В соответствии с выражением (10.80) угловой коэффициент изокли­
ны - интегральной кривой, равен
k= -а.±Va2 -w~= -а± 6.
Таким образом, имеются две такие прямые (рис. 10.45):
У= -(а.-б)х-прямая С
и
у= -(а.+б)х-прямая D.
Кроме того, нам известна определяемая уравнением (10.81) прямая
(которую обозначим через А), являющаяся изоклиной горизонталь­
ных касательных, и, наконец, известно, что ось абсцисс является пря-
408

Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, каи
спектральна11 плотность исходного сигнала s1(t) при частоте Q/п
т. е. S1(rYп).
'
Таким образом,
(2.58)
1 s (t) ,...---,
2 --у"'
/
'
/
1
s, (t)
/
1
/
'
/
1
/
.,
1
о
Т/п
т
t
Рис . 2.12
Итак, при сжатии сигнала в п раз на временной оси во столько же раа
расширяетсs1 его спектр на оси частот. Модуль спектральной плот­
ности при этом уменьшается в п раз .
Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при
•• п < 1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектраль­
ной плотности.
3. Дифференцироnание и интегрирование сигнала
Опуская строгие Ltоювательства, ограничимся простыми рассуж ·
дениями.
Дифференнирование сигнала s(t) можно рассматривать как почлен­
ное дифференнирование всех гарrv:онических составляющих, входящих
в его спектр.
Общий вид гармонической составляющей сигнала s(t) при частоте Q
можно представить в форме
[;n S1([)) dQ] e;Q1_
Заключенную в квадратные скобки величину можно рассматривать
как амплитуду колебания в полосе dQ. [Сравнить выражения (2.49)
и (2.20) .1
Дифференцирование по времени t дает
iQ[
2
1
n S1(Q) dQ] е1щ.
Следовательно, спектральная плотность производной ds (t)/dt равна
(2.59)
43

Аналогично. спектrальная плотность интеграла ~ s (t) dl равна
S2 (~!) = i~l S1(~!).
(2.60)
4. Сложение сиrналов
Tai< как преобразование Фурье, определяющее спе1пральную плот­
ность заданной функции времени, является линейным преобразова·
нием, то очевидно, что при сложении сигналов s1(t), s2(t) и т. д., обла·
дающих спектрами S1(Q), S2(Q) и т. д., суммарному сигналу s(t) =
= s1(t) + s2(t) + ... соответствует спектр S(Q) = S1(Щ + S2(Щ + ...
5. Произведение двух функций
Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведен~1ем двух
функuий временн /'(t) и g(t).
Применив общую формулу (2.48), определим спектр сигнала s(t):
00
00
S(Q) = Js(t)е-ш~dt= Jf(t)g(t)е-;щdt.
(2.61)
-оо
-оо
Каждую нз функций f(t) и g(t) можно представить в виде интеграла
Фурье:
00
f(t)= :.!_ f F(Q)e1Q1dQ;
2n
-оо
00
g(t)= _1 5(J(Q)e1Q1 dQ.
2л
Подставляя в (2.61) второй иэ этих интегралов, получаем
00
00
S(Q)= J... ~ f(t)е-'щdt ~(J(х)ешdx=
2n _00
-оо
=
2
~
I, G (х) [_tf (t) е-1 <~1-х) dt] dx.
Заклю 11ен11ый н квадратные скобки интеграл представляет собой
спектральную плотность функнии f(t) при частоте Q - х, т. е.
F(Q - х).
Следовательно,
1!11
S(Q)=-
1 ~ (J(x) F(Q-x)dx.
2n --оо
(2.62)
44

Итак, спектр произведения двух функций времеш1 {(t) и g(f) равен
(с коэффищн!нтом J/2л) свертке их снектров F(Q) и G(Q).
И:~ выражений (2.61) и (2.62) в частном случае [~ =
О uыте1,ает
СJJедующее равенство:
00
00
~f(i)g(t)dt =
2
~
~ G (х) F(-x) dx.
-~
-~
Заменяя в последнем выражении х на Q, получаем
00
00
r f(t)g(t)di = -
1
r G(Q)P(-Q)dQ =
J
2:п: J
-оо
-оо
00
= _}_ ~ G(Q)Г(~~)dQ,
2:п: -,х,
(2.63)
rде f*(Q) = F(-Q) - спектральная функuия, комплексно-сопря­
женная функции F(Q).
Совершенно аналогично можно показать, что свертке двух функuий
__ _вр.емен и_ fЦ)
и_ g_(t)
00
s(t) = ~ g(t)f(t--r)dt
-оо
соответствует спектр S(Q), явJiяющийся прои з ведением исходных спект­
ров F(Q), G(Q), так что
00
00
~ g(1:)t(t--r)d. =
-
1
~ F(Q)G(Q)etQtdQ.
2тt
-оо
-оо
(2.64)
Псследнее выражение особенно широко используется при анализе
передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции вре­
мени f(IJ и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульс­
ной характерисп1ки цепи (см. § 6..З), а F(Q) 11 G(~~) - спектральной
плотности сигнала и передаточной фун,щии цепи. Этот вопрос под­
робно рассматривается в гл. 6
6. Взаимная обратимость Q и t
в преобразованиях Фурье
Обратимся к общему выражению {2.48) и выясним характер функ­
ции S(Щ ДJIЯ различных функций s(t).
а) Пусть s(t) есть функция, четная относительно t. Переписав вы­
ражение (2.48) в вид
00
().)
S(Q)= ~ s(t)cosЩdt- i ~ s(/)sinQ/dt,
45

убеждаемся, что при четности s(t) второй интеграл равен нулю, так
как произведение s(t) si nQt является функцией нечетной относительно t,
а пределы интегрирования симметричны.
Таким образом, при s(t) четной относительно t, функния S(Q),
определяемая первым интеграJiом, есть функция вещественная и чет­
ная относительно Q.
б) Если s(t) нечетна относительно t, то в нуль обращается первый
интеграл и
(Х)
S(Q)=-i ~ s(t)sin(Q)tdt.
-оо
В этом случае S(~2) - нечетная и чисто мнимая функция Q.
в) Если, наконец, s(t) не является четной или нечетной функцией
относительно t, то ее можно разложить на две функции: четную s1(t)
и нечетную s 2(t).
В этом случае S (Щ представляет комплексную фуню~ию, причем
действительная ее часть четна, а мнимая нечетна относительно ~2.
Из п. а) вытекает, что в случае четной функции s(t) можно произ­
вольно выбирать знак перед t в обμатном преобразовании Фурье
[формула (2.49) 1:
::,о
00
s(t)= -
1
~S(~2)ею,dQ = -
1
~.S (Q) е-1!11 dQ.
2л -се
2л: -::,о
Произведем теперь в последнем интеграле замену переменной инте­
грирования Q на t и параметра t на ~2 . Тогда левая часть должна быть
записана в виде функции от аргумента Q:
::,о
s(Q)= -
1
~S (t) е-1!11 dt.
2л: -оо
Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как спек­
тральную плотность новой функции S(t), полученной путем замены
Q на t в спе1пральной плотности сигнала s(t).
Обозначим эту новую спе1<тральную плотность через Y([J). Тогда
У(Q) = 2лs (Q).
(2.65)
Этот результат показывает, что переменные Q и t в преобразованиях
Фурье взаимно заменимы: если сигналу (четному) s(t) соответствует
спектр S(Q), то сигналу S(t) соответствует спектр 2:rts(Q).
Пример применениs1 этого правила приводитсн в п. 3 § 2.9.
46

2.8 . РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ
НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАJIА
Для получения выражения, аналогичного (2.42), для непериоди­
ческого сигнала можно идти двумя путями: исходя из (2.42) совер­
шить предельный переход Т-+ оо, или воспользоваться результатами
предыдущего параграфа.
Рассмотрим второй путь. С этой целью воспользуемся выражением
(2.63).
Если f(t) и g(t) представляют собой один и тот же сигнал
f(t)=g(t)= s(t),
то интеграл
""
00
~ f(t)g(t)dt = ~ s2 (t)dt=E
-оо
-оо
представляет собой полную энергию сигнала s(t), а произведение спект­
ральных плотностей
где S(Q) - спектр сигнала s(t) (модуль).
Таким образом, приходим к окончательному результату
00
00
Е=~s2(t)dt= -
1
~ [S (0))2 dQ.
-оо
2:rt -оо
(2.66)
Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией
сигнала (при сопротивлении 1 ом) и модулем его спектральной плот­
ности, известно под названием равенства Парсеваля.
Между выражениями (2.42) и (2.Gб) имеется существенное различие.
В § 2.5 речь шла о средней мощности периодического сигнала. Опера­
ция усреднения осуществлялась делением энергии отрезка сигнала
за один период на величину Т. В случае же непериодического сигнала
конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой
период дает нуль и, следовательно, средняя мощность такого сигнала
равна нулю.
Из выражения (2.66) видно, что величина [.S(Q))2, имеющая смысл
энергии, приходящейся на единину полосы частот, может рассмат­
риваться как спектральная плотность энергии сигнала.
2.9. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ
Ос1юв110й задачей 11асто,1щего ппрагр;:~фа являетсл пояснение свойств пре­
обраэов~11ий Фурье , приuеденных в предьщущих параграфах, на примерах, 1 важ-
11ых для практики.
47

1. Импульс прямоугольной формы
Простейший сигнал, определяемый выр а же нием
<(1)-(:
't11
'tи
при -- ., ;/.. ,;
2'
2
i<-2!1.
'tи
при
и 1>--
2
2
1
s(t)
fl 1►
-Т:/2
о
'(и/2 t
Рис. 2.13
и представленный на рис. 2.13, получил широкое распространение как в технике,
та к и n теории сигналов и це пей. Применяя формулу (2.48), находим спектраль­
ную IIЛOTIIOCTb
<и/2
S(Q)= АJе-Юtdt=
-~и/2
.
{!~-и
SIЛ -
2
-
~2'tи/2
Графи к спектральной плотности представлен на рис . 2 . 14.
(2 .67)
Зам етим, ,,то произв едение Ai- 11
, равно е площади импульса , опр еде ляет зна­
чение сп е ктральной плотности импульса при Q = О, т. е. S(O) = А~-и, Этот вы­
вод может быть распространен щ1 импул ьс произволь11ой формы .
Де йствительно, из общего выражения (2 . 48) следует, что при ~2 = О
Рис. 2.14
48

-аа
-оо
Правая 11асть 1тоrо выражения есть не что иное, как площадь импуп"са
t(t). Т~в:им образом, выражение (2.67) может быть записано в форме
S(Q) - S (О} aln~~:~
2
)=S-(0)sfncс
1
;н)·
12 .68 ')
S(Q)
G(O)
-гr -:ir ,.., . .. •о
:те ,r 2:JC Ztr :J:rc т:и/Z
___ _.
.,,J
,,,...
6)
Рис. 2.15
Здесь через slnc (Qt11 /2) обозначена функuия
Jlnx
slnc(x)= -- .
!{
При удлинении (растягнванни) импульса расстояние между нулями функ-
1.\ИИ S(Q) сокращается, что равносильно сужению спеI<тра . Значение S(O)
при зтом возрастает. При у1шроченнн (сжатии) импульса, 11аоборот, расстояние
между нулями функuни S(IJJ увеличивается (расширение спектра), а значение
2л
S(O) уменьшается . В пределе при 1:и -+ О (А = const) точки '1 1 = ± tи, соответ-
ствующие двум первым нулям функuин S(Q), удаляются в бесконечность н спек•
тральная плотность, · бесконечно малая по величине, становится равномерной
в полосе частот от -оо до "'° ·
На рис. 2 . 15 показаны отдельно графики модуля S(Q), отнесенного к t1елн­
чине S(O), н аргумента ,j,(Q) спектральноli плотности Первый из этих ГJ1афико11
может рассматриваться как амплитудная, а второй - как фазмая хара~ИС·
тики спектра прямоугольного импульса .
Каждая перемена знака S(Q) учитывается на рис. 2.15, 6 приращением фа­
зынаn.
а з,11. 137
49

При отсчете оремени не от середины импульса (как на рис. 2.13), а от фрон­
rа (рис . 2.16) фазовая характеристика спектра импуJ1ьса должна быть дополнена
слагаемым Q't .,/2, учнтыоающим сдвиг импульса на время 'tи/2 (в сторону запаз­
дывания).
Результирующая фазовая характеристика принимает при этом вид, пока­
занный на рис. 2.15, 6 пунктирной линией (исходная фазовая характеристика,
а также дополнение построены на рис . 2 . 15, 6 с положительным наклоном, по­
скольку в общее выражение (2.50) функция ф(Q) входит со знаком минус).
Рассмотрим вопрос о распределении энергии в спектре импульса. В соответ­
ствии с § 2 .8 и формулой (2.68'), спектральная плотность энергии прямоуголь­
ного импульса
Q-т;и
sin2 --
(S (Щ]2 = [S (0))2 ---
2
-= [S (0)]2 [sinc (Q'
2
" )..]
2
•
(Qти/2)2
11
--~~-~-------.._____
О
"иt
Рис. 2.16
(2 .70)
G помощью равенства Парсеваля нетрудно вычислить. энергию в заданной
полосе частот .
Пусть нас интересует полоса ЛQ от О до Q1 . Тогда по формуле (2.66) находим
энергию в указанной полосе:
!l,
Q,
EдQ=-'-S [S(Q)]2dQ= А2,~_1_5 siп2(Qти/2) dQ=
п
п
(Qти/2) 2
о
о
Qt'и/2
S sin
2
х
( Q1tи)
-- dx=A2 , ..,
--
х2
и.,
2•
l)
2n\
2
=А,'-.-
ип 'tи
где А 2т0 "" Е есть полная энергия импульса, а функция
Ql'и/2
(
Q1tи) 2 ssin
2
х
11 --
=-
-- dx
2
n
х2
о
(2 .71)
(2 .72)
определяет относительную долю энергии в полосе частот от О до Q1 .
Интеграл, входящий в выражение (2.72) , с помощью интегрирования по час-
тям может быть вриведен к виду
'v
50
Ql'и/ 2
1~1 t11/2 Q~ти/2
J. sin
2
х
sin
2
х1
.J· 2 sin xxcos х
dx= -
--
+
-----dx =
х2
х
о
о
о
Ql'tи/ 2
J
• sin2х
-- dx=
х
о

μ
Эдесь
S
sinx
s/ у = --х- dx - интегральный синус.
о
Таким
2sin
2
(Q1 ти/2)].
Ql Ти
(2.73)
График функции ri(Q1ти/2) изображен на рис. 2.17 . Из этого рисунка видно, что
при Q 1ти/2 = л:, т. е. при f1ти = 1, в полосе частот от О до F1 = 1/ти сосредото­
~
чено около 90% всей энергии импульса. На
основе формулы (2. 73) можно выбирать полосу
пропускания цепи (фильтра) по заданному
коэффициенту использования энергии импуль­
са. Следует, однако, подчеркнуть, что в тех
случаях, когда требуется получить на выходе
фильтра форму импульса, близкую к прямо­
угольной, величина произведения F 1 ти должна
быть гораздо больше чем единица. Более под­
робно этот вопрос рассматривается в § 6.4 .
1.0
---------- ---------
2. Колокольный (гауссов)
импульс (рис. 2.18, а)
o.s
о
:,r
я
2
Рис. 2.17
Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением
s(t)= Ae-t'/2a', -оо < t < оо.
(2.74)
Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссова) за­
кона распределения вероятностей, называется также «гауссовым импульсом».
Постоянная а имеет смысл половины дли-
тельности импульса, определяемой на
уровне е-112 = 1/е112 = 0,606 от ампли­
туды импульса. Таким образом, полная
цлительность импульса tи равна 2а.
Применяя выражение (2.48), получаем
00
S(Q)=A f e-t'/2a'e _; ,11dt.
(2.75)
-оо
Для вычисления интеграла удобно в по­
дынтегральной функции дополнить пока­
затель степени до квадрата суммы
rде величина d определяется из условия
3*
t
t0t=2 ✓- d,
2а
s(t)
S(Q)
б)
Рис. 2.18
51

отку.11.а
iQa
d=
.r-
.
1'?
Гаким образом, выражение (2 .75) можно I1ривести к виду
l
Переходя к ново/i переменной х = yifa + а, получаем
S(Q)=Aea· y2a г e-r'dx.
_.,, ,
(2.76)
У11итывая, что вход 11щ11й в это выражение интеграл равен Jfл, окончательно
получаем
(2. 77)
где Ь= 1/а, В= Jf2naA.
График этой функции изображен на рис. 2.18, 6 .
По11уче1Jный резу;1ьтат нмеет uажное значевис д11я теории сигналов. Ока­
зывается , что гауссов импульс 11 его с пектр выражаются одинаковыми функция­
ми и обладаюr своиспюм симметрии : для получения одной из 11их по заданно/!
другой достаточно заменить t на Q. llpи этом спектральная полоса, определяе-
1
2
мая на уровне f>-I
12 от макс11мально1·0 значении, равна 2Ь = 2- " "' 2 -, . , .
а
'tи
4
= 1⁄2, а коэффицие11Т В = Y2naA
Соответствешю ,,,·ayccon у с 11ектру »
S(Q) = В e-Q'/2b'
отnечает 1 ·ауссов импульс
1
s(t) = А е- t'/2 (1/Ь', =
~r8b e-b't'/2
,2n
о длительностью 2 Ь и амплитудо :i
(2 .78)
(2.79)
Очевидно , что чем ме111,ше длительность импульса tи, тем шире спектраль ­
ная полоса ?..Ь.
Вы 11и сJ1им ,нерrию, сод ,; ржащуюс я в 11 олос:е частот Л(2 от() до Q, Ос,швы­
ваясь на формуле (2 . 77) , находим
52
а,
V2л,ae~0'12 <l/a'i J2a12=A2 2a 2 f e-a'й' dQ=
о

аО,
аО,
- = А112а1+sе-ж•dx = yn" А2а V2
n sе-ж• dx = ✓ii" А 1аФ (аО1).
о
о
(2.8(1
,
Здесь
2s.
Ф (2) - Jfn е-.с dx - интеграл uероятности, а -Vn л~ а= Е - ПОЛ·
о
наи энергия колокольного импульса.
ФШ
1.0
О0,10.2O.J0.110.5О.Б0.7О.В0,91,01.11.2~
Рис. 2.19
Таким оfiразом, отношение энергии II полосе частот от (1 до ,1 1 к полной энер•
rи1, 1'ауссова импульса равно Ф(а0 1).
Фуttкuия Ф(z~ табулнро11а11а, ~·рафик ее наказан на рис. 2.19. Для получе •
ния 90% энеμrии импульса требуется z = aQ, '=' 1, 16, или произведение полной
алительносп1 11мпульса 2а на F 1, равное
z
1, 16
2aF1 =-= --z0,4.
в
л:
3. Импульс вида В sinc (х)
На μис. :l.20, и иэображе11 импульс, определяемый выражением
sin 2nwt
IJ(/)= 8 2nwt
(2.811
{;
5)
23fui 9
а;
Рис. 2.20
53

rде величина 2nw имеет размерность yrлoвoll частоты, а длительность импульса
(ширина основного лепестка) равна 1/w.
Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) воспользу­
емся результатами примера I и свойством взаимной заменимости Q и t в преоб­
разованиях Фурье (см. п. 6 § 2.7).
Заменим на рис . 2.13 t на Q и -rи / 2 на ~lm . Тогда, умножив в соответствии
с формулой (2 .65) ординаты на 2n, получим спектральную плотность
2ns(Q)= 2nA, -Qт<Q<Qm,
соответствующую функции времени
Последняя получается заменой Q на t и "tи на 2Qm в формуле (2.67) и на
рис . 2.14 . Приравнивая теперь A2Qm = В 11 Qm = 2nw, находим спектральную
плотность сигнала (2 .81)
В
n
\
Y(Q) = 2nA = 2n --=-В=
-8
(2.82)
•
2Qm Qm
2w
при- 2nw<Q<2nw.
График Y(Q) представлен на рис. 2.20 , 6 .
4. Группа одинаковых и равноотстоящих импульсов
Спектральную плотность первого импульса в пачке {рис. 2.21) обозначим
через Si(Q) . Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на
время Т (в сторону з а паздывания), спектральную плотность можно на основании
(2.57) представить выражением S2(Q) = S1 (Q)e-Шr; для третьего импульса
Sa(Q) = S1(Q)e -i2QT и т. д.
2
г,
...
•
,V
11
11
о
-
t
т
(N -t)T
Рис. 2.21
Для группы из N импульсов, в соответствии с принципом линейного сумми­
рования спектров при сложении сигналов , получим спектральную плотность
(2 .83)
При частотах, отвечающих условию Q = k2n/ T, где k - целое число, каж­
дое из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следовательно,
(2 .84)
54

Таким образом, при частотах О ""' k2л/Т модуль спектральной плотности
пачки в N раз больше чем одного импульса. Это объясняется тем, что спектраль­
ные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами склады­
ваются со сдвигами фаз, крат11ыми 2л .
12л
При частотах же О= NT' а также некоторых других частотах, при кото-
рых сумма векторов e-JkT обращается в нуль, суммарная спектральная плот­
ность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль S(Q) опре•
деляется как геометрическая сумма спектральных плqтностей отдельных им­
пульсов.
6}
О 111l 17!
i·т т
Рис. 2.22
Z!!
t'и
я\N
В качестве иллюстрации на рис. 2.22, а изображен спектр (модуль) пачки
иэ трех прямоугольных импульсов, а на рис. 22, 6 - из четырех импульсов,
при интервале между соседними импульсами Т = Зти , Пунктирными линиями
показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением числа
импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и, в пределе
приN-.
ос,, принимает линейчатую структуру спектра периодической функции.
2.10. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА
И ШИРИНОА ЕГО СПЕКТРА
Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длитель­
ность сигнала, тем шире его спектр.
Это фундаментальное положение теории сигналов можно устано·
вить в общем виде на основе преобразования Фурье
00
S(Q)= ~ s(t)е-1шdt=
-оо
00
00
=
~s(t)cosQtdt- i ~ s(t)sinQ/dt.
-оо
-оо
(2.85)
55

Рассмотрим поведение каждого из интегралов при увеличении Q.
Существует лемма Римана, утверждающая, что если функция s(t)
~абсолютно интегрируема в некотором конечном промежутке [а, Ы, то
ь
ь
lim ~ s(t)cosQtdt= lim ~ s(i)sinQtdt=0.
Q-o ,oo (1
Оо+оо (1
(2.86)
Геометрический смысл этого утверждения поясняется на рис. 2.23,
з верхней части которого изображены некоторый произвольно выбран­
ный сигнал s(t) и гармоническое колебание с частотой Q, а в нижней
части - произведение s(t) cos Qt (или s(t) siпQtJ.
s(t)cosQt
Г5(t.}S'in0t]
Рис. 2.23
t
При достаточно высокой частоте Q каждая положительная полу­
волна на рис. 2.23, 6 почти полностью компенсируется ближайшей
1< ней отрицательной полуеолной и суммарная площадь под кривой
s(t) cos Qt (или s(t) sin Q/) близка к нулю. Под «достаточно высокой»
частотой сдедует подразумевать частоту Q = 2л/Т, при которой пе­
риод Т достаточно мал по сравнению с длительностью сигнала s(t).
Очевидно, что чем короче сi!гнал, тем меньше и период Т, соответ­
ствующий этому условию. Иными словами, чем короче сигнал, тем
выше граничная частота спектра сигнала. Так как нижняя граница
спектра примыкает к нулевой частоте (имеются в виду сигналы без
56

высокочастотного заполнения, как, например, на рис. 2.23, а), то 06-
щий спектр получается тем шире, чем меньше длительность сигнала.
При этом оказывается, что произведение длительности на «техничt­
скую» ширину спектра сигнала является величиной, близкой к еди•
ниuе.
Под технической шириной спектра сигнала подразумевается пс­
ласа частот, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала.
Действительно, в § 2.9 было показано, что в случае прямоуrолt.•
ноrо импульса полоса частот, определяемая из условия ЛF = 1 /т:и,
содержит 90 % всей энергии сигнала. Энергетический подход R опрl•
делению длительности сигнала и ширины ero спектра не всегда, од­
нако, эффективен.
При оценке разрешающей способности сигнала в радиолокацю1
часто исходят из следующего определения эквивалентной длитель­
ности t 11 импульса:
00
ft1&3(t)dl
't"~ = _-_оо____
00
J s2 (t)dt
·-00
причем начало отсчета времени совмещается с «серединой» импульса.
так - что выполняется условие
""
~ts2(t)dt= О.
-ао
Аналогично эквивалентная ширина спектра ЛQ = 2nдF опре­
деляется выражение'\f
00
~ gв52 (Q)dQ
2л: _.. ,
(ЛQ)2 = ___
""____
_1 ~ s2 (Q}dQ
2n _..,
при дополнительном условии
уточняющем начало отсчета частоты на оси а.
57

Если сигнал s(t) нормирован таким образом, что его эаерrия Е
равна единице, т. е.
00
00
~s2(t)dt= -
1
~S2(Q)dQ= 1,
-оо
2n -оо
то выражения для 'tи и ЛQ принимают вид
-r~ =
~/2s
2
(t) dt,
-оо
00
(ЛQ)2 =
_1 ~ Q2s2(Q)dQ.
2:rt -оо
При этом оказывается, что величина произведения 'tидQ, завися­
щая от формы с.иrнала, в любом случае не может быть меньше 1/2.
Таким образом, для любого сигнала выполняется условие1
1
ttиЛF~-.
4:rt
В частности, для гауссова импульса, основываясь на выражениях
(2.74) и (2.77), находим
Используя условие нормировки
получаем
00
00
Е= ~ s2 (t)dt=A2 ~ e-t•fa'dt= VnaA 2 =1,
-оо
-оо
1
't'ИЛF=-.
4:n;
Из этого примера видно, что из всех сигналов гауссов импульс
обладает наименьшей возможной величиной произведения •0 ЛF.
Итак, можно утверждать, что величина rrидF не меньше некоторой
константы.
Сжатие импульса во времени с целью, например, повышения точ­
ности измерения момента его появления, неизбежно сопровождается
расширением спектра импульса, что заставщ1ет расширять полосу
пропускания измерительного устройства. Аналогично, сжатие спектра
1 В а к м а н Д. Е . Сложные сигналы и принцип неопр еделенности в ра­
диолокации. Изд-во «Советское радио», 1965 .
б8

импульса с целью повышения точности измерения ч3стоты неизбежно
сопровождается растяжени~м сигнала во времени, что треnуе1 удли­
нения времени наблюдения (измерения). Невозможность одновремен­
но сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интер•
вале времени представляет собой одно из проявлений известного
в физике принципа неопределенности.
2.11 . БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИR ИМПУЛЬС
С ЕДИНИЧНОА ПЛОЩАДЬЮ (ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ)
Некоторые из возможных моделей импульса, площадь которого
равна единице, изображены на рис. 2.24 . Амплитуды всех этих импуль­
сов ·обратно пр·опорциональны соответствующим образом определен ­
ной длительности импульса. При стремлении длительности к нулю
амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается
неизменной и равной единице.
В случае прямоугольного импульса амплитуда его должна быть
приравнена величине 1/х1 (рис. 2.24, а).
При гауссовом импульсе (рис. 2.24, 6) амплитуда должна быть
приравнена l/У2ла, поскольку интеграл
00
~ е-х•12а• dx = V2na.
-оо
Наконец, в случае импульса вида sin2nwx/лx (рис. 2.24, в), площадь
которого равна единице, амплитуда импульса равна 2 w (при х = О).
Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональ•
на параметру w.
)
5)
Рис. 2.24
При устремлении параметров х1 и а к нулю, а w к бесконечности все
три изображенных на рис. 2.24 функции могут быть определены сле­
дующим образом:
при х=О,
при х:;=О,
(2.87)
SQ

>.,
nрн одновременном условии
"'
~ 6 (х) dx = площадь импульса= 1.
(2.8R)
-оо
Функция /\(х), обладающая указанными снойс1вами, называется
1::диничным импульсом, импульсной функцией или ле.пь·rа-функнией
(а также функцией Дирака).
ПрименитеJ1ьно к исходным функциям, изображенным на рис. 2.24,6
и в, де.r1ьта-функuия должна быть определена выражениями
6 (х)= lim ~e-x•t2a•,
а-о -V~n а
J:()_1
.
sin 2nwx
uх-1m
•
w➔oo
nx
(2.89)
(2.90)
Возможны и лрvrие многочисленные определения б(х).
При сдвиге импульса по оси х на величину х0 , определения (2.87)-
(2.90) должны быть записаны в более общей форме:
{
оо при х =х0,
Ь(х-х0)= 0 при x=l=x0,
00
~ б(х-х0)dx = l,
-оо
(2.87')
(2.88')
(2.89')
(2.90')
Функш1я о(х) обладает важными свойствами, благодаря которым она
получила широкое распространение в математике , физике 1: 1ех·
нике.
Из определений (2.87')-(2.88') вытекает основное соотношение
00
I= ~ б(х-х0)/ (x)dx=
-оо
00
=f(x0
)
~ 6(x-x
0
}dx=f(x0
).
(2.91)
-оо
Так как по определению функция б(х - х 0) равна нулю на всей
оси х, кроме точки х = х 0 (где она бесконечно велик;~), то промежуток
интегрирования может быть сделав сколь угодно малым, лишь бы он
включал в себя точку х 0 • В этом промежутке функция f(x) принимае1
постоянное значение f(x 0), которое можно вынести за знак интеграла .
Таким образом, умножение любой подынтегральной функции f(x) на
б(х - х 0) позволяет приравнять интеграл произведения значению
f(х)вточкех=х0•
60

В математике соотношение (2. 91) называется фильтрующим своА•
ством дельта-функции 1
.
В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функuиями
01_ аргументов t или <il, в зависимости 01 того, в какой области рассмат­
ривается функция - во временной или 1 ~астотной.
Рнссмотрим сначала свойства функ~tии б(t). В этом случае основ­
ное значение имеет спектральная характеристика дельта-функции
В§ 2.9 было установJIено, что при сокращен ни длительности 'tи прямо­
угольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного ле­
пестка спектральной плотности увеличивается, а величина S(O) быс·
тро уменьшается. В данном же случае, когда сокращение длительности
импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды,
~ ~ -ве--.~н,чина спек~ральной плотности остается неизменной и равной ве­
личинеS(O)= 1для всех частот- оо<ш< оо. Тожесамоеимеет
м~то 11pJi укорочении любого из дельтообразных имnу:1ьсов.
- Следоваrельно,
спектральная плотность дельта-функuии вещест•
венна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что
фазовая характеристика лельта-фу1шцин 8(1) равна нулю дJ1я всех
частот. Это означает, что все гармонические составляющие единич­
ного импульса, суммируясь с нулевыми начальными фазами, обра­
зуют пик бесконечно большой величины в момент времени t = О.
Аналогично функпия б(t - 10), определяющая единичный импульс
в момент 10 , обладает спектральной плотностью S((J)) = e-1
u1
1,. Модуль
зтой функции по-прежf1ему равен единиuе, а фазовая характеристика
\j,(m) = <111 0 .
Найденная ранее величина спектральной плотности дельта-функuии
может быть получе11а и формально, с помощью пр~образовани» Фурье
""
S((t))= ~ б(t-t0)е-•ш dt.
Применяя свойство (2.91 ), получаем
,о
S(w)= е-1шr. ~ б (t-t0) dt = e-100t.,
(2.92)
-оо
В частном случае t 0 =0, S((J))= 1.
Можно, очевидно, и t'J (t - t0) представить в виде обратного пре­
образования Фурье от S((t)) = e- ·u• 1
•:
00
<Х,
б(t-t0) =-
1
-
С S(ш)е1''" d(u= _!_ С е1ю (t-,,,, dffi.
2л .)
2n .)
(2.93)
-оо
-оо
Энергия единичного импульса песконечно велика. При с11ектраль
ном рассмотрении 3ТО вытекаrт из равенства Парсеваля [см. (2.66) 11
'
На языке техники более подходящим по смыслу явJ111лс~1 бы 1ермин «стрс•
анруюшее с11оllство~.
81

которое при S(ffi) = 1 обращается в бесконечность. При временном
рассмотрении это следует из того, что энергия импульса, пропорцио­
нальная квадрату его амплитуды (т. е. величине 1/ т:2) и первой степени
длительности ,т;, с укорочением импульса растет как 1 /т:. При т-+ О
энергия бесконечно велика .
Понятие единичного импульса особенно широко используется при
исследовании действия коротких импульсов на линейные системы.
При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была
бес1<0нечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно,
чтобы длит<>.льность импульса была мала по сравнению с постоянной
времени исследуемой системы (или по сравнению с периодом собствен·
ноrо колебания системы).
Рассмотрим теперь свойства б(ю). Все что ранее было сказано от­
носительно свойств б(t), может быть распространено на б(ffi) при за·
менеtнаroиffiнаt.
По аналогии с выражением (2.93) можем написать
""
;JC
б(ro) = -
1- ~ eiuнdt= _!_ ~ e-irot dt.
2n_
00
2n_
00
(2.94)
(Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на
величину интеграла, см. § 2.7, п. 6, а.)
Соответствен но
00
00
б(ro-wo)= _!_ ~ е1(CII-OOo) 1dt= -
1
-
~ e-i (CII-Wo) 1 dt. (2.94')
2л_
00
2n_
00
2.12 . СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ
Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции
f(t) является ее абсолютная интегрируемость
00
~1f(t)1dt< оо.
(2.95)
-оо
Это условие существенно ограничивает класс функций, для которых
существует спе1{тр Фурье, выражаемый обычными функциями. На­
пример, такие важные для теории сигналов и цепей функции как еди­
ничный скачок (рис. 2.25, а) или включаемое в некоторый м~мент вре­
мени гармоническое колебание (рис. 2.25, 6), не о:rвечают условию
(2.95). Это затруднение можно преодолеть путем такого обобщения
преобразования Фурье, при котором обеспечивается интеrрируемость
некоторой вспомогательной функции.
На nро!яжении длительного периода широко применялся способ,
основанныи на введении «множителя сходимости» . Согласно этому
способу единичный скачок сначала заменяется экспоненциальным
62

импульсом e-er, с> О, для которого условие (2.95) выполняется и
спектральная плотность легко определяется
00
00
S(Q)= ~ e-ctе-tщdt= -
_1_ e-<c+tщt \
о
с+ю
1=0=с+iQ.
(2.96)
Представив S (Q) в форме (2.50), получим
- i arctg Е,_
-:-;=::::;,:==:::::;:;,=--е
с
у c2+g2
(2.96')
Графики модуля S(Q) = 1/у' с2 +Q2 (амплитудно-частотная харак­
Q
теристика) и аргумента -ф(Q) = arctg- (фазо-частотная характеристи­
с
1f
о
•
t
t
а)
Б)
Рис. 2.25
ка) спектральной плотности экспоненциального импульса s(t) = е-с•
изображены на рис. 2.26 (пунктирными линиями).
Устремляя с к нулю, в пределе получаем следующие выражения
для спектральной плотности единичного скачка:
S(Q)= lim -
1
-
= _!_=
с-о с+ю /Q
-1 ~ е-lп/2, 'ljJ(Q) = л/2, при Q>O,
-
_I_etл/2 1 ,p(Q)=-л/2, при Q<O.
IQI
(2.97)
Графики S(Q) и 'ljJ(Q), вычисленные по этим формулам, изображены
на рис. 2.26 сплошными линиями. Следует, однако, предупредить,
что в некоторых случаях формула (2.97) может приводить к недоразу­
мениям. При применении множителя сходимости для получения пра­
вильного результата необходимо в интеграл Фурье подставлять спект­
ральную плотность, вычисленную при с =1= О, а предельный переход
с --э,. О совершать только в окончательном результате, после вычис­
ления интеграла Фурье. Подобная процедура эквивалентна переходу
от переменной (t) к комплексной переменной р = а + iffi с соответ­
ствующим выбором пути интегрирования на плоскости р. Такой
прием, n;шводящий к преобразованиям ЛanJJaca, будет использова11
63

в гл . 6 при анализе передачи сигналов через линейные uепи. В ,тех же
случаях, когда требуется применение непосредственно Фурье-спект­
ра, введение множителя сходимости e-r1 нежелательно Значительно
эффектй,JЗнее оказывается применение так называемых «обобщенных
функций», к которым принадлежит н дельта-функция .
РассмGТренные в предыдущем параграфе свойства дельта-функuин
позволяют, R ч_астности , распространить понятие спектральноА плот·
ности на гармоническое и.. вообще на любое периодическое колебани~
/
I
/
,,,,,~
-- -- ""8------1!2
Рис. 2.26
Возьмем, например, гармоническое колебание s(t) - AaCOS(ffiot+
+ 0о) и, не обращая внимания на то, что такой сигнал не является
абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности
з апишем в форме (2.48):
"'
"'
S(w)= ~ -1:(i)е-1~·dt=А0~cos((1)0t+60
)
е-1"'' dt =
-оо
Ае'~,ё
А-tbё
= -т J е-1 (а>-со.> . dt + т J е--' <111+w.>с dt.
-~
-~
На основании сt: ормулы (2.94) получаем
А
S(w)=-#'12ne
11
j 6 (m-m0) +2л е-1016 (ы+w0)) =
=А0n/е
1
ь• 6 (w-wo)+е-18- 6(ro +w0)J.
64
(2.98)

ar1 фуНКЦRЯ равна нулю ДЛЯ ВСеХ Ч8СТОТ, Кроме 111 = О)о И m =
"" ' - Wln, при которых S(m) обращается в бесконечность Как и rл<•·
аовало ожидать, гармоническому колебанию с конечноn l!мплнтупuй
соответtТвует бесконечно большая спектральная плотность при щ1•
скретныА частотах <о 0 и - (J) 0 •
В част,юсти, приравнивая (1) 0 нулю, получаем спектр1i.1Iьную плс~т•
кость сигн~а в виде постоянного напряжения А 01
S(<11)=A 0 2n6(ы).
(2.9Ш
Рис. ,.11
Распространив соотно : uение (2.98) на все гармоники любого пе•
риодическоrо сиrн11л11
,с
.s(t)=Ao+ ~ A,,cos(nro1t+6n),
11= '
мы можем ввес1 и понятие слектральноА пп01 ности перио.пическоr,J
с.иrнапа в внд е суммы пельта-функuиА:
S(<11)= A 0 2nl:I (<11)+ Ai п \е'~, 6(w- (t]i)+ е-161 6(<11+ <11VJ+
+ А1 n \е'~, 6(w-2(Jч) +е-16, 6(uJ+ 2оч)I +
+................+
+ Апп/e
16
r, б ( ro-nroi)+ e-'
6
n ё(ro+nшt)I+
+,.,
.
.
,..•
.
·.......
.
(2.100)
ТакоА подход оказывается полезным при рассмотрении смеси им ·
nульсноrо чиrнапа и монохроматических колебаний.
Пусть , например, отыскивается спек1р суммы лвух сиrналоh:
импульсного,,(/) и монохроматического s2(t) = А 11co.sro 0t (рис. 2.27, а) .
Применяя выражение (2.48) к s1(t), находим обычную спектральную
плотность S1( ro), определяющую сплошноА спектр (ва рис. 2.27, 6
заштриховано). Применение же (2.48) к s2(t) дае·1 спектр, определяемый
выражением (2.98). На рис . 2.27, 6 •пот спектр изобража~ся .двумн
спектральными линиями, уходящими в бесконечность.
65

Отыщем теперь спектр единичного скачка. С этой це./Jью предстsв,'М эту
функцию в оиде прямоугольного импуль с а, фронт которого расположен .в точке
t = О, а спад - - в точке Т, стремящей с я к бесконечности (рис. 2.28, а). В соот•
ветствии с таким представлением с пектральная плотность единично,о скачка
может бы т ь определена выражением
т
г
S(w) = lirn Sе-iooldt = lim (-
1
-.-
e-toot 1) =
т .... оо
Т➔оо - IW
о
о
= lirn -----
=
l1rn --- +
.
.
{
1-е-iooT}
.
{sinwT
1- cos wr}
Т➔оо
iw
Т➔оо
W
l(J)
1а)
- :.+~~~-
-т
о
т
t
б)
Но в соотоетствии с формулой (2.90)
sin roT
lirn --= л:6(ro).
Т➔оо
(J)
Следовательно , спектр единичного скачк а
1- lirn cos roT
1'➔оо
S (ro) = л:6 (ro) + -----
iw
t
(2 .101)
(2.102)
(2,103)
Первое слагаемое в правой части этого выражения определяет спектр по­
стоянного напряжения Ао = 1/2 [см . (2.99)), показанного на рис . 2 .28, 6, а
второе слагаемое - спектр функции, показанной на рис. 2.28, в. Сумма этих
двух функций образует единичный скачок в момент времени 1 = О (рис . 2.28, а).
Рассмотрим свойства функции
66
<rc (ro) = lirn cos wT.
r-,oo
(2 .104i

Пр11 любых значениях ro, отличных от нуля, эта функция неопределенна и
может П?ннимать любые значения в пределах [-1 , + 1) Н точке же ro = О ука­
занная Ф'Jнкция имеет определенное значение, 1<0торое легко 11айт11. Так как на­
ми приня10, что операция 1Iредельноrо лерехола совершается в последнюю оче•
редь, полу~аем, что при ro = О <!'с(О) = 1 незаuисимо от величины Т.
Другое очевидное свойство (J)c(ro) заключается в том, что интеграл от (J)с(Ф),
взятый по любому конечному промежутку (а, Ь) равен нулю,
ь
ь
ь
;iп (J)r 1
fq,c(ro)d(J)= Jim f cos(J)Td(J)= lim
"=0.
а
т-ооа
т-оо т
Более того, в силу леммы Римана, упомянутой в § 2.10, для любой функции
g(ro), абсолютно интегрируемой в конечном промежутке (а, Ь), справедливы тож•
дества
Ь
1,
llm \ g (ro) cos (J)Td(J) = Jim \ g ((J)) siп (J)Tdro = О.
T➔ooJ
T➔ooJ
а
а
Рис. 2.29
л-
о
(. ,J
Аналоги 11но тому, как это принято в теории обобщенных функций, можно
положить, что быстро осциллирующая функция 'Pc((J)) равна нулю для всех (J}'J"Q .
Таким образом, можно ввести следующее определение:
{
1приro=О,
q,0((J))=limcosroT=11(ro)]=
Т➔оо
О при <О=/= О.
(2,105)
Определенную таким образом функцию (!Jc((J)) = [l(ro)] можно назвать
и r о л ь ч а то й функцией . Графическое изображение игольчатой функции
дано на рис. 2.29 .
Применяя указанные выше обозначения, запишем формулу (2.103) в виде
I-[l(ro)]
S(ro) = n6(ro)+
iro
(2 .106)
Из этого выражения видно, что при (J) = О второе слагаемое равно нулю
(так как при ro = О [l(ro)J = 1) и весь вклад в спектр дает сла1·аемое n6((J)), соот­
ветствующее постоянной составляющей 1/2. При частотах же (J), отличных от
нуля, первое слагаемое равно нулю, а второе слагаемое равно 1/ioo (так как при
(J) +О [l(ro)]= 0)1.
Отсюда следует, что при рассмотрении воздействия единичного скачка на
цепи , передаточная функция которых при (J) = О равна нулю (т . е. ва цеои, не
пропускающие постоянный ток), спектральная плотность единичного скачка
может пр ед ставляться в форме (2 .97) .
1См. статьюГоIIоровскогоИ.С., ФельдмаIIаЛД., Ва­
с ил 1, е lil и А.· В,; «Радиотехника и э,11ектроника», АН СССР, 1970, No 4.
67,

2.18. КОРРЕЛЯЦИОННЫЯ АНАЛИЗ ЛЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГ11А.ПОВ
Нарнду со спектральным подходом к описанию снrнаоов часто
на практике оказывается необходимой характеристика, кQТорая nа­
вала бы представление о некоторых свойствах сигнала, 11 частности
о скорости изменения во времени, без разложения его яа гармони­
ческие составляющие.
В качестве такой «временной» характеристики широко использует­
ся автокорреляционная функция сигнала .
11)
1]"
.
5)
1
1
•
;t,
,t2
t
! L:s:t·t)..
8)
s(t)s(t·Т:)
't, t,+т: t2
_ff i_2)- ~!_"' _(_t)., ._.f
____
-(tz·t,) о
(tz·t,)
7:
t
..
t'
Рис . 2.30
Рис. 2.31
Для детерминированного сигнала s(t) конечной ллительности авто­
корреляционная функция определяется следующим выражением :
00
'lj,('Т) = ~ s({)s(t- -с)dt,
(2.107)
-ОС>
где -т - величина временного сдвига сигнала.
Из выражении (2.107) видно, что 'lj,( т) характеризует степень свя­
зи (корреляции) с11гнала ,(i) с его копией , сдвинутой на величину -т
по оси времени .
Ясно, что функ11ия 1Р(1) дости гае1 максимум11 пр11 t = U, так кан
любой сигнал полностью коррелирован с самим собой.
При этом
00
'lj, (О)= ~ s2 (t)dt = Е,
(2.108)
-оо
т. е. максимальное значение автокорреляционной функции равно
энергии сигнала.
68

С увелнчением ~ функция ф( t) убывает (не обязательно монотоннu)
и при относительном сдвиге сигналов s(t) н s(t - t) нз величину,
превышающую длительность сигнала, обраща~ся в нуль.
На рис. 2.30 показано построение автокорреляционной функци11
для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса (рис . 2.30, а).
Сдвинутый на t (в сторону запаздывания) сигнал s(t - t) показан на
рис. 2.30, 6, а произведение s(t) s(t - t) - на рис. 2.30, в. Графин
,_ фуякu.и 1i,...)11(1) цзQбражен на рис. 2.30, г. Каждому значению t соот­
ветствует свое произведение s(t)s(t - t) и своя площадь под графиком
функции s(t)s(i - t). Численные значения таких · площадей для соот­
--- -~-lrе'rСТВ~ 't и-:-дают ·ординяты функции lji{t).
s(t)
пппп•.
о -r:.
т,
2Т,
зт,
t
а)
Рис. 2.92
Аналогичное построение для треугольного импульса изображено
на рис. 2.31. Из общего определения автокорреляционной функuии,
а также из приведенвых примеров видно, что безразJ1ично, сдвигать
ли сигнал на величину t вправо или влево относительно своей копии.
Позтому можно наряду с выражением (2.107) исходить из СJ1едуюшеrо
определения автокоррелянионной функuии :
<Х
ч,(,) = ~ s(t)s(t+ t)dt.
(2. 109)
-ао
Это равносильно утверждению, что tр(т) является четной функ·
uией -r .
На рис. 2.32, а показан сигнал в виле пачки из четырех оди11аковых
им11ульсов, сдвинутых один относительно другого на время Т1, а на
р~н.: 2.32, б - соответствующая 'i'Гому сигналу автокоррелпщюнная
фу1ншия. Вблизи значений 1', равных О, ± Т1, ±2Т1 и ±ЗТ,, эта
функuии имеет такой же вид, как и для одиночного импульса
(см. рис. 2.30, г). Максимальное значение 1штокорреляционно11 функ·
uии (при t = О) равно учетвереt1ной энергии одного импульса.
Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика,
определение автокорреляuионной функuии с помощью выражений
69

(2.107) или (2.109) неприемлемо. В этом случае исходят из следуюшеrо
определения:
Tf2
'Флep(t)=lim - ~ s(t)s(t-т)di=
т-оо Т -Т/2
Т/2
=lim-
1
~ s(t)s(t+т)dt.
т....оо Т -Т12
(2.110)
При таком определении автокорреляционная функция приобре­
тает размерность мощности, причем 'Флер (О) равно средней мощности
периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала s(t), усред­
нение произведения s(t)s(t -
,:) или s(t) s(t + ,:) по бесконечно боль­
шому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду Т1.
Выражение (2 . 11 О) можно поэтому заменить следующим выражением:
Т,/2
Т1/2
ЧJлср(,:) = + ~ S(i) S(/-,:)dt = ___! __ ~ S(/) S(t + 't) dt. (2.111)
1 -Т,/2
Т1 -Т,/2
Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как авто·
корреляционная функция сигнала на интервале Т1. Обозначая ее
через Wт, ('r), приходим к соотношению
Фт, (т)
'Флер(•)=--,
(2.112)
Т1
Из (2 . 111) вытекает также очевидное утверждение: периодиче­
скому сигналу s(t) соответствует и периодическая автокорреляционная
функция 'Фпер (,:). Период функции '\\'пер (,:) совпадает с периодом Tt
исходного сигнала s(t). Так, например, в случае простейшего (гармо­
нического) сигнала s(t) = А 0cos((t1 0t - <р), автокорреляционная функ­
ция
А2 Т,/2
'Рпср (•) = / ~ cos (w0t-<p) cos lw0(t-'t)-<p] dt =
1 -Т,/2
1А2
2л
=-
0cos w0 т,
w0=-
.
2
Т1
(2,113)
При ,: = О "Рп с р (О) = 1/2А ~ есть средняя мощность гармонического
колебания с амплитудой А 0 . Важно отметитh, что автокорреляцион­
ная функция 'Фпср (т) не зависит от начальной фазы колебания А 0.
На рис. 2.33, о изображена авто1<0рреляционная функция сигнала,
представляющего собой периодическую последовательность прямо­
угольных импульсов (рис. 2.33, а). Каждый из импульсов функции
'Флер (.) совпадает по форме с автокорреляционной функцией одиноч•
ноrо импульса из периодической последовательности s(t). Однако
в данном случае максимальные ординаты 'Фпер (•) равны не энергии
(как на рис. 2.32), а средней мощности сигнала s(t), т. е. величине
s2 (t).
70

Для оценки степени связи между двумя различными сигналами
s1(t)иs2(t)используетсявэаимная корреляционная
фу н к ц и я, которая определяется выражениями, аналоrичнымв
предыдущим:
00
00
'Фi2('t') = ~ Si(t)S2(t-'t')dt= ~ Si (t+'t') S2(t)dt.
(2.114)
-оо
-оо
Автокорреляционная функция -ф(т) являе1ся частным случаем
функции ,P1 2(ri-), когда сигналы s1(t) и s2(t) одинаковы.
ГJ·Т, -7t•-rи ГJ
о t'и
aJ
5)
Рис. 2.83
s(t}
ГJ ..
т, ~•-rи
t
Построение взаимной корреляционной функции для двух сигналов
дано на рис. 2.34, а, 6 и е. Как видно из рис. 2.34, а, один сигнал яв­
ляется прямоугольным, а другой - треугольным импульсом. На
рис. 2.34, а изображено исходное положение (-r = О). Площадь под
кривой произведения s1s 2 пропорциональна заштрихованной области.
На рис 2.34, б сигнал s2 (t - т) смещен на величину т вправо относи­
тельно исходного положения. Площадь под кривой s1s 2 стала больше,
что равносильно возрастанию корреляционной функции.
На рис. 2.34, в изображена функция 1j,1 2(т). Пик этой функции по•
лучается при значении т, соответствующем максимуму площади,
перекрываемой сигналами s1 и s2.
На рис . 2.35, а, 6 и в показаны два гауссоных импульса и соответствующая
им взаимная корреляционная функция, которая также является гауссовой.
Эта особенность r·ауссовых импульсов может быть легко установлена путем
вычисления ,Р12 (т). Пусть сигналы s1(t) и s2(t) определяются выражениями
1
-
t11 /2a~
~
1(tJ= ,,г
е
,
r 2nа1
71

s2 (t) = ----
у2л°а2
Тогда взаимная корреляционная функция этих сигналов согласиl\ (2 . 114)
равна
00
S{1[,~
'Р12 (т) =----
_ _ехр
-
-;;- а2, +
2ла1 а2 _
~
а)
о
I
t
1
s(t·Т:) s(t)
1
oJ
о
В)
Рис. 2.34
Рис. 2.35
Показатель подынтеграль н ой функции при помощи «дополнения до квадрата»
можно преобразовать к ввду
Второй чJ1ен поJ1учен1юго выражения не зависит от t, поэтому показательную
функцию
можно вывести за э11ак 1111теграла, а оставшаяся под интегралом функшtя при­
водится к выражению Ае-и', где новая переменная у и постоянная А опреде­
ляются из формул
12

Учитывая, что
00
Jе-11' dy = Vit,
-оо
окончательно получаем
Y2na1 a2
V а~+а~
-;=::--;::~==::::;::-- ехр (-+
Jf2л V а~ +а~
Таким образом, взаимная корреляционная функция двух гауссовых импуль­
_<:_qв представляет coбoll также гауссов импульс, причем постоянная а11 функпи11
Ф~ 1 однозначно связана с а1 и а2:
По своим свойствам взаимная коррелянионная функция отли­
чается от автокорреляционной функции, так, например, при t" =
О
взаимная корреляционная функция не обязательно достигает макси·
мума. Кроме того, взаимная корреляционная функция не обязательно
явлие-rея четной (или нечетной) относительно т..
Рассмотрим теперь взаимную корреляционную функцию двух гар­
монических сигналов. Пусть частоты сигналов одинаковы, но началь­
ные фазы q>1 и fP2 различны:
s1 (t) = А1 cos (rot-q,
1
),
s2 (t)= А2cos(юt-«р2).
Подставив эти выражения в (2 . 114) и выполнив несложные вычис­
ления, получим
(2.115)
Отсюда видно, что взаимная корреляционная функция для двух
гармонических колебаний (с одинаковой частотой ю) зависит от раз­
ности фаз <р1 и <р 2. В случае, когда частоты двух гармонических коле­
баний кратны, т. е. ю1 = 2л/Т,, ffi2 = п(1)1 = n2nlT,, п = 2, 31 4, ... ,
9ТИ колебания взаимно ортогональны и интеграл, входящий в ВЫ·
ражение (2.114), обращается в нуль.
73

2.14 . СВЯЗЬ МЕЖДУ АВТОl<ОРРЕЛЯЦИОННОЯ ФУНКЦИЕЯ
И СПЕКТРАЛЬНОА ХАРАКТЕРИСТИКОА СИГНАЛА
Основываясь на выражении (2.63) и приравнивая в нем Si(t) =s(t),
~
2 (t) = s (t--r), мы можем написать
00
00
sS1(t)s2 (t)dt = ss(t)s(t--r)dt =
-оо
-оо
(2.116)
-оо
где
S1 (w) =S(w)
-
спектр исходного сигнала s (t), а
S2 (w) = S (w) e-too-r
-
спектр того же сигнала, задержанного на время 't'.
Следовательно
(2.117)
Подставив S1 (w) и s;(w) в выражение (2.116) и учитывая, что
S(w)S*(w) =[S(w))2,
получим искомое выражение
00
1jJ(-r) =-1 J[S(ro)]2et,,1-r dw.
2л:
-оо
(2.118)
На основании известных свойств преобразований Фурье можно
также написать:
00
[S(w))2= J 'IJ,(-r)e-tffi-rd-r .
(2.119)
-оо
Итак, прямое преобразование Фурье (2.119) над автокорреляци­
онной фушщией 1jJ (-r) дает спектральную плотность энергии [S (w)]2,
а обратное преобразование (2.118) дает автокорреляционную функ­
цию ,р (-r).
Из выражений (2.118) и (2.119) вытекают свойства, аналогичные
отмеченным в § 2.10: чем tиире спектр S (w) сигнала, тем мень~ие
«время корреляции», т. е. величина сдвига т, в пределах которого
автокорреляционная функция отлична от нуля. Соответственно,
чем больше время корреляции заданного сигнала, тем уже его
спектр.
74

Из выражений (2.118) и (2.119) также видно, ч:го автокорреля­
ционная функция ,р ('t) не зависит от фазовой характеристики
спектра сигнала. Так как при заданном амплитудном спектре S(ы)
форма функции s (t) существенно зависит от фазового спектра, то
можно сделать следующее заключение: различным 110 форме сигна•
лам s (t), обладающим одинаковыми амплитудными сnектрами, СО'
ответствуют одинаковые автокорреляционные функции 'Ф (-r).
2.15. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛА ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ
В § 2.2 отмечалось, что в тех случаях, когда требуется осуществ­
лять аппроксимацию заданной функции времени с помощью ограни•
ченного числа членов ряда, применяются различные системы специаль­
ных, не гармонических функций.
_ p(t)
2
·2
-1
о
Рис. 2.36
Ч11fь1ш~6а ( t-zo ро!а)
тп (t)
Jрмита
В общем случае условие ортонормированности функций записы­
вается в виде
D
{0
~<JJn(l)<JJт(l)р(f)dl= l
при п =J=. m,
прип=т,
где p(t) - «весовая функция» или «функция веса».
(2.120)
В формуле (2.3) функция веса была приравнена единице. Выбо­
ром той или иной весовой функции можно выделять наиболее су­
щественный для анализа участок сигнала. Некоторые весовые функции
изображены на рис. 2.36. Здесь и в дальнейшем под t подразумевается
безразмерное время.
При определении коэффициентов обобщенного ряда Фурье с уче­
том весовой функции следует исходить из формул, аналогичных фор­
муJiе (2.9):
75

ь
Сп=~s(l)<JJn(l)р(t)dt,
(2.121)
где q,n(t) - орто11орм11рuванная функuия.
Перечислим наиболее распространенные специальные функuии
11 кратко рассмотрим их свойства.
1. Полш-юмы Якоби определены н.t интервале 1-1, +11 выражением
p~a.ll> (l)= (-IJn
~tp(t)(l-t)n(t +t)"I, n=O, l, 2, 3 .... (2.122)
2п -n! μ (/) ,ftn
В данном случае весовая функция определяется формулой
р(t)=(1 -t)0(l+l)\
где параметры а И ~ удовлетвор яют услов11ям
)!. >-1,
~> -1.
Or выбора r.r . и ~ существенно зависит поведение полиномов.
Раскрывая (2.122), получаем:
РЬа· f:!) (t) = 1,
Р\а, 111 (t) =....!_/(а+ 1) (t + l)+ (~ + l) (t-1)1,
'2
р~а. /II (t) =+((а + 1)(а.+ 2)(t + 1)2 + 2(а. + 2)(~ + 2)(t + l)(t-1) +
+(~ -t- 1)ф+ 2)(t-1)21.
Графики полиномоfl Якоби здесь не приводятся ввиду их сложности
н мноrообра:iИ!J .
2. Полин.омы J/ежандr:ю определяются на интервале [-1, +l J
формулой
р (t)=-l_d"(li -11n
Оl23
n
•
n='
•
,
'·•·
'2n,п·
dtn
Весовая функuия о (t) = 1.
В частности .
Р0Щ= 1,
P1 ({)=t,
Pn(l)=..! _(3t2 -l).
•
2
Р3 (t) = +(5t~ -Зt),
р4 (/) = ....!_ (35/4 -30t2 +3).
8
(2. 123)
На рис . 2.37 представлены графики первых пяти 11t,линомов. Как
можно заметить , полиномы Лежандра являются частным случаем
полиномовЯкоби11риа=Ои~ =О.
76

-,
Рис. 2.37
3. Полиномы Лагерра определяются на полуоси (0, со) выражением
где а. - произвольное комплексное чнсло.
В данном случае весовая функпия р (t) = tae- 1
•
При а=О
1.-----,,-------,----,.----,-----,----
i2
0,21-ilr-\-'\-""t-----,A--г--.~---=~+---:~c:.._::~-~
о ~,\--\-~,----cl---,,,t.-+~--+-,,д...-+__::i--+---1
- 0 . 2 !,'j~~=r-;;;;rt-7""1"--t- - - --"~::;::::::;;;:;~
·06'----. _ _ __
__,__
__.. __
_ __ ., ____._ __
__.
'О
2
J
'+
Рис. 2.38
(2. 124)
77

Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при
t - оо функций, удобнее пользоваться функциями Лагерра
l" (!) = V p(t)Lп(t) = е- 112 [,п (!).
(2. 125)
При этом функции Jlareppa ортогональны с единичным весом.
На рис. 2.38 приведены функции Лагерра при п = 1,2, ... 5.
4. Полиномы Эрмита ортогональны на всей оси (-оо < t < оо)
и определяются формулой
н(t)=(-1)пе1'!!!!_e-t•
Оl23
п
dtn
'
п=''''•••
,оо .-~---г-,--~--..~
во r------t- --t--t-- --+ --++ - --i
60 t----t---t-t-----f-if--t-" -s:--' ,/
40 t----t---t-t--.U ,,, ' ---1 ----1
20 t----t--:;;,,r~~-+-:...-Ч-----j
о /15'-ii:!!:,::::,;;~t-t --t --t- -
t
• 20 t---t ---'!o,;;;:;;;l''t ---- --+ ---+-- -1
o,s ~о r.s 2.0 2,s ~о
Рис. 2.39
Весовая фунIщия р (t) = ехр ( -t2).
В частности,
/f0 (t)=I, H 1 (t)=2t,
H 2 (t)=4i2 -2, H 3 (t)=8t3 -\2t.
(2.126)
Графики первых четырех полиномов Эрмитта приведены на рис. 2.39.
б. Полин.омы Чебышева 1 -ео рода и 2-ео рода определены в проме­
жутке [-1, +1] формулами
Тп(t) =Cos(n arccos t) = +[(t +Jft2 - l)" +(t -Vt2 -l)nj,
И (t)= sin [(п+~) arccos t] =
_1_у· (()=
п
S!ПI
n+I n+I
_1 - [(t+Vt2-}) ' +L -{t-Vt2-l)n+I]
2 v,2_'
.
.
Весовые функции имеют вид
78
для полиномов тп (t),
для полиномов и 11 (t).
(2.127)

Полиномы Чебышева низших степеней:
T0 (t)= l, T 1 (t)=t,
T 2 (t)=2t2 -l,
Тз(t)= 4t3
- 3t,
T4(t) =8t4
-8t2+1.
U0(t)= l,
U1(t)=2t,
U2(t)=(4t2- 1),
Из (t) = (StЗ-4/).
На рис. 2.40 представлены графики полиномов Тп(t).
Важной особенностью многочленов Чебышева является то, что
из всех многочленов степени п со старшим коэффициентом, рштым 1,
они наименее уклоняются от нуля на отрезке [-1, +1 ].
Рис. 2.40
Другими словами, полиномы Чебышева обеспечивают наимень­
шую максимальную ошибку равномерной аппроксимации на интер­
вале.
Из сделанного перечисления видно, что ортогональные системы
можно разбить на два класса: а) системы, определенные на конечном
интервале, например, полиномы Якоби, Лежандра, Чебышева; б) систе­
мы, определенные на бесконечном интервале, представляющем собой по­
луось O<l<oo (в случае полиномов Лагерра) или всю ось-оо<t<оо
(в случае полиномов Эрмита). Для аппроксимации импульсных сиг­
налов и характеристик, ограниченных в длительности, естественно
применять ортогональные системы первого вида. В случае сигналов,
существующих в бесконечном интервале, целесообразно применять
системы второго рода.
Как уже отмечалось ранее, важным вопросом является выбор ве­
совой функции. Он должен быть тесно увязан с видом аппроксими·
руемой функции: весовая функция должна достигать максимума на
участке, где требуется наилучшая аппроксимация. При этом откры­
вается возможность сокращения числа членов ряда при заданной до-
79

nycп1мofl ошибке аппроксимации. Выбором весовой функuии можно
также осуществить аппроксимацию сигналов конечноА длительности
полиномами второго вида (определенными на бесконечном промежут•
ке) . Для этого необходимо, чтобы эффективная длительность весовоА
функции была близка к длительносrи сиrнат1
20
z(t) ICifJHt)
60
1·
%
so
с0 = ,.26,96
Co •g,ss
с, • '"29. f{J
с,•~02
+о
Cz • ,_ fd,OS
Cz • -5',ЯJ
С1=-б,72
CJ•-6,+a
'"• •-7,29
" •· 2,0%
30
"5" ~ - -0,22
t'5 -~,61#
с"•+ 2,511
"" •0,06
20
С7• -1,12
С7 •-Jt.,11
с,• -J, ♦2
Св• -1,О,,
Cg • -1,67
с11 •1,11
10
с10 • •u,oz
с,,,-1,1♦
D 0,05 0,15 0,25 0,35 0,1/5 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 t
Рис. 2.41
Cq•20,'Jf
с, • 15.1,Зlf
Cz"" - ,12
Cs" -8,Sll
C'q •0,79
С5 "Ч-1 97
с,= -1 ~0
с, •-ч-,.IS
c8 •1,d~
Cg•J,99
с,0 •-0,5'1
С11"' -1,8~'
"1 2 "'-о,,,.;
С11 •2, 7{)
С111 •0,4-1
С15 • -z,zz
-
D~- --,oi'.,z~5--- -;!o.~ s ---- -=o,"=1s=-----~ ,_t.,...
Рис. 2.42
Примеры аппроксимации некоторых функциА приведены на
рис. 2.41 и 2.42.
На рис. 2.41 изображены две функции t(/): переходная функция
(кривая /) и импульсная характеристика (кривая 2) некоторой элект•
рической 11епи . Эти функции заданы своими з начениями, отмеченными
кружками. На оси абсцисс отложено безразмерное время, представ-
80

.пяющее собой истинное время, отнесенное к величине интервала, на
которсм задана функция x(t). Так как этот интервал конечен, причем
наилучшая аппроксимация требуется при значениях t, близких к ну­
лю, то целесообразно выбирать полиномы Чебышева 2-го рода с ве-
совойфункцией р=V1- t
2
•
На рис. 2.41 представлены результаты суммирования первых 11
членов разложения x(t) по указанным полиномам; таким образом, ор­
динаты расчетных точек, отмеченных крестиками, определялись по
формуле
10
у(/)= ~СпUп(t),
n=O
Значения Ип(t) подставлялись по формуле (2.127), а козq:фициенты С11
вычислялись на ЭЦВМ по формуле
1
сп=~x(t)Un(t)Vl-t
2
dt.
-1
Значения Сп для обеих функций x(t) приведены на рис. 2.41 .
На рис. 2.42 приведен аналогичный пример аппроксимации функ•
ции x(t) с помощью первых шестнадцати членов разложения по поли­
номам Чебышева 2-го рода. Из графиков рис. 2.42 следует, что наиболь­
шие локальные ошибки имеют место в точках быстрого изменения
кривых. При аппроксимации сильно изрезанной кривой ограниченным
рядом из небольшого числа полиномов происходит сглаживание ап­
проксимируемой функции.
Остановимся на вопросе о спектрах при разложении сигнала по
специальным функциям 'Рп· По аналогии с гармоническим спект,_ром
Фурье можно ввести понятия о сmктре Чебышева, спектре Лагерра,
спектре Лежандра и т. д.
Спектр Фурье характеризует коэффициенты, с которыми гармо­
нические колебания с различными частотами входят в состав рассмат­
риваемого сигнала. По аналогии, спектры Чебышева, Лагерра и т. д.
характеризуют коэффициенты Сп, определяемые по формуле (2.121),
с которыми соответствующие специальные функции 'Pn входят в состав
сигнала.
Установим связь между различными спектрами 1 . С этой целью пред­
ставим заданный сигнал (конечной длительности) в виде ряда
00
S(t)=~СпfPn(f),
(2.128)
n=O
где (fPn ( t) J - система ортогональных полиномов.
1 См. статью Б а шеRскогоС. М.вжурнале(Радиотехникапэлектро­
ника», АН СССР, 1969, No 7.
4 Зак, 137
81

'Умножив обе · чаС11-1 · выражения (2.128) на е- 1(J)kt и проинтегриро-
1 вав по интервалу (а, Ь), на котором задана функция s(t), получим
Ь
Ь00
~S(t)е-щkI dt= ~ ~ Сп <J>n (t)e-lwk
I
dt ==
а
а n=O
-00
ь
=~Сп~<J>n(t)e-
1
(J)k
I
dt.
(2.129)
n-o а
•Нетрудно видеть, что левая часть этого выражения определяет ко­
' зффициент k-й гармоники нормированного тригонометрического ряда
•Фурье для сигнала s(t), а интеграл в правой части - коэффициент
• такого же ряда для базисной функции <J>n(t).
Обозначим . первый из них буквой S11, а второй буквой Фп11, Тогда
, выражение (2, 1-29) принимает вид:
00
Sk=~Спф~k-
(2.130)
n=O
Коэффициенты Фп,,, не зависят от сигнала s(t).
Таким образом, выражение (2.130) устанавливает связь между
спектром Фурье S11 заданного сигнала s(t) и спектром коэффициентов
с,. того же сигнала при выбранной ортогональной системе !<J'пU) 1.
Базисные функции <J'п(t) могут иметь весьма сложный спектр Фурье
·Фп11- Этим и объясняется, что применение специальных ортогональ-
. ных
полиномов позволяет в некоторых случаях аппроксимировать
функцию s( t) меньшим числом членов, чем при использовании rармо­
, нического разложения.

3
Информация и сигнал
ЗJ. СЛУЧАЯНЫЕ СИГНАЛЫ И ШУМЫ
Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая ,
в результате измерения, заключена в сигнале. До приема сообщениfJ
(до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс,
представляющий собой совокупность (ансамбль) случайных функций
времени. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после
приема сообщения, называется реализацией случайного процесса.
Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной
функцией времени.
Перечисленные в гл. 1 помехи, присущие любому каналу связи,.
также представляют собой случайный процесс.
Основной характеристикой случайного процесса является з а к он .
распр.еделения вероятности мгновенного значения
случайной фун~ии, отсчитанного в какой-либо фиксированный мо­
мент времени.-На рис. 3.1 изображен ансамбль функций x1(t), x 2(t) ... ,
образующих случайный процесс X(t). Значения, которые могут при·
нимать отдельные функции в момент времени t = t0 , являются случай­
ными величинами x1(t0), x2Uo) ...
Вероятность того, что величина xh.(t 0 ) при измерении попадет в ка~
кой-либо заданный интервал (а, Ь), определяется выражением
ь
Р(а<xk ~Ь)= ~р(х)dx.
(3.J)
а
Функция р(х) представляет собой дифференциальный закон рас•
пределения случайной величины х; р(х) называется о д н о м е р н о й,
плотностью вероятности,аР- интегральнойвероят­
ностью.
Функция р(х) имеет смысл для случайных величин х непрерывного •
типа, могущих принимать любое значение в некотором интервале.
При любом непрерывном распределении [при. любой функции
р(х)] должно выполняться равенство
хмаис
~ р(х) dx= 1,
хмин
где Хмин и Хмаис - границы возможных значений х•.
4•
(3..2)
8З;

Если же х является случайной величиной дискретного типа и может
принимать лишь одно из конечного числа дискретных значений, то
(3.2) должно быть заменено аналогичным выражением
~Р1=1.
(3.2')
1
Здесь Р 1 - вероятность, соответствующая i-му уровню величины х.
Задание одномерной плотности вероятности р(х) позволяет произ­
вести статистическое усреднени~ как самой величины х, так и любой
Рис. 3./
функции f(x). Под «статистическим» усреднением подразумевается
усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо «сечении»
процесса, т. е. в фиксированный момент времени.
84
Из теории вероятности известны следующие равенства:
-
среднее значение (математическое ожидание, первый момент)
.....~
<х>= ~ хр(х)dx;
-00
-
средний .квадрат (второй момент)
00
(х2)= ~ х2 p(x)dx;
-оо
средний квадрат флуктуации (дисперсия)
а~= {(х-(х> )2
)
= <х2 )-((х))2•
(3.3)
(3.4)
(3.5)

[ Различают случайныепроцессы стационарные и неста­
ц ион а р н ы е. В случае стационарного процесса одномерная плот•
ность вероятности р (х) не зависит от времени.
Стационарный процесс называется э р г о д и ч е с к и м, если усред•
нениt:: случайной величины по множеству эквивалентно усреднению
по времени в пределах одной реализации. Простым примером стацио­
нарного эргодического процесса может служить совокупность rар­
мщшческих колебаний со случайными начальными фазами.] Пусть
амплитуды и частоты всех колебаний одинаковы и заранее достоверно
известны, так что любая из реализаци111 ансамбля может быть записа•
на в форме
(3.6)
Or детерминированного гармонического колебания эта функция
отличается тем, что фаза Ч'1t у нее - случайная величина, которая с
одинаковой вероятностью может .принимать любое значение в интер•
вале от О до 2л. Это означает, что плотность вероятности р (,Р) являет­
ся постоянной величиной в интервале О,2л и, следовательно, с уче­
том (3.2)
Р(ф)= 2
1
n•
(3.7)
При усреднении s (t) по множеству, по формуле (3.3) получаем
2n
2n
<s>=~ sp('/))d'/)=~~ cos(@0t-'lj,)d'\)=О,
о
2nо
так как функция cos (@0 t - ч,) является периодической функцией ч,,
с периодом 2л.
При усреднении s(t) по времени вдоль любой реализации получается
тождественный результат
Г/2
Т0/2
-
1('
А('
s(t)=lim-
j s(t)dt= -
0
_,
cos(u)0t-\jJ)dt=О.
Т➔оо Т -Т/2
То -т:12
Здесь Т O = 2n/@ 0 - период рассматриваемой функции времени.
Легко показать эквивалентность усреднения по множеству реали­
зации и вдоль реализации для s2(t) и некоторых других функций t.
Примером процесса стационарного, но не эргодического, является
процесс вида
s(t)= А0cos(ш0t-ф)+cosq:>,
где ,р и q:> являются случайными (взаимно независимыми) и равнове­
роятными в интервале 0,2n величинами.
В отличие от предыдущего процесса каждая из реализаций содер­
жит, кроме гармонического колебания, еще независящую от времени
случайную функцию cosq:>. При усреднении по множеству, как и ранее,
85

· < s> == О, между тем как при усреднении влолъ процесса матема­
·· тическое ожидание ·S (/), равное cos <JJk, будет отлично от нуля и не­
' одинаково для различных реализаций.
В приведенном выше примере стационарного процесса (3.6) опе­
, рации усреднения проводились е использованием плотности вероят­
: ности р(ф}. В ряде случаев целесообразно оперировать с плотностью
, вероятности непосредственно колебания s, т. е. с функцией p(s).
Найдем эту функцию. Выделим интервал s, s + ds (рис. 3.2)
,и
составим выражение для вероятности p(s)ds того, что случайнйя
~ . величина
s(t1) = AoCOS (rot1-'/J),
S'(t)
Рис. 9.2
(3.6')
, получающаяся при измерении s в момент ft, попадает в этот интерва\/1,
. Для
1ого чтобы это событие свершилось, необходимо, чтобы полная
• фаза в -момент отсчета t, попала в один из двух заштрихованных на
. рис.
3.2.фазовых интервалов. Обозначим аргум~нт косинуса -wt -
'\)
'через /i, - т. е., полагаем, что
s=A0 cos р.
'Из рис. 3.2 видно, что искомая вероятность p(s)ds совпадает с- вероят­
' ностью •попадания ~ в один из двух заштрихованных участков на оси
абсцисс (риа. 3.2). Эта последняя вероятность равна 2p(-P)dP, где
, р(Р) - плотность вероятности СJiучайной величины
~-
Так как фаза ф равновероятна в интервале О,2л:, то и р ,также рав•
' новероятна в интервале (J)t, (rot +2л). Следователь.но,
:и
1
рф)=-
. (3.~)
2n
2
/J(s)ds=2р(~)d~ = - d~,
2n
(откуда , искомая _функция будет
p(s)= ...! . .
--
..
1t 1:;1

Но
1~~ \= А01sintJ1=А0Vl-cos
2
tJ = VA~-s
2
••·
Таким образом, окончательно,
1
Р(s)=
,r2_2'
л:,у A0-s
(3.9 .) 1
График этой функции изображен на рис. 3.3 .
p(z)
-,
о
Рис . 3.3
Рис. 3.4 •
Заметим, что од~юмерная плотность вероятности · гармонического ,
колебания со · случайной фазой совершенно не зависит от частоты w.
Используемые в радиотехнике непрерывные случайные сигналы !
обычно являются суммой · большого числа • гармонических колебаний, .
амплитуды -и фазы которых либо - совершенно независимы; либо слабо :
связаны между собой. Возникает вопрос: каково распределение ве,:­
роятностей •подобного сигнала?
Ответ на этот вопроа дается центральной предельной ' теоремой • !
теории вероятностей; которая утверждает, что , распределение вероят­
ностей для суммы независимых случайных величин с ростом числа сла•
гаемых стремится (независимо от законов -распределения . слагаемых) J
к нормальному (гауссову) з акону
(х- х)~ '
1 ----
р(х) =
--е
2о'
y'2n а
(3'. 10) :
Здесь х и а2 - среднее значение и . дисперсия суммы. · Графики нор-
-
мального закона - распределения для некоторых значений а -изображены ,
на рис. 3!4.
Осноsываясь на - центральной предельной ·- теореме, . приходим к ;
оледующему . важному . положению: во всех случаях, . коеда :рш:сматри , -
- ваемый сигн.-ал является -суммой большого числа взаимно независимых (по •
амплитудам , и , фдзам) , гармоническихколебаний_-среди которых нет ,
8.71

доминируюших, распределение его близкс к нормальному. Нормальный
еакон распределения случайных величин чаще других встречается в
природе. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные про­
цессы, распределение которых не слишком сильно отличается от , , •
нормального, часто заменяют нормальным проuессом. Нормальный
закон особенно характерен для помех канала связи,
Некоторые другие законы распределения, с которыми приходится
имел~ дело при преобразовании сигналов в различных цепях, линей­
ных и нелинейных, будут рассмотрены в соотв~ствующих главах.
Если проuесс стаuионарен и эрrодичен, то х имеет смысл постоян­
ной составляющей, а cr 2 - средней мощности флуктуационной состав­
ляющей любой из реализаций процесса.
8.2 . СПЕКТРАЛЬНЫЯ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЯ АНАЛИЗ
СЛУЧААНОГО ПРОЦЕССА
Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль)
случайных функций необходимо иметь в виду, что отдельным функ­
циям, обладающим различной формой, соответствуют и различные
спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной
плотности, введенной в § 2.6 или § 2.12, по всем реализациям при-
водит к нулевому спектру процесса (при х = О) из-за случайности
н независимости фаз спектральных составляющих в различных реа­
лизациях. Можно, однако, ввести понятие спектралыwй плотности
среднего квадрата случайной функции, поскольку величина среднего
квадрата не зависит от фазировки суммируемых гармоник. Если под
случайной функцией s(t) подразумевается электрическое напря­
жение или ток, то средний квадрат 3ТОЙ функции можно рассмат­
ривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении l ом.
_Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей
от механизма образования случайного процесса и от формы частотной
характеристики цепи. Спектральная плотность средней мощности
представляет собой, очевидно, среднюю мощность, приходящуюся на
1гц при заданной частоте ro. Введенную таким образом спектральную
плотностьW(о))вдальнейшембудемназыватьэнергетическим
с п е к т р о м функции s_(t). Смысл такого названия заложен в раз­
мерность фующии W(ro), я'вляющейся отношением мощности к полосе
частот:
[
мощность ]
[W (w)] = ----- = (мощность х время]= (энергия/.
полоса частот
Энергетический спектр может быть найден, если известен ме•
ханизм образования случайного процесса. Применительно к шумам,
связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта
задача будет рассмотрена в § 6. 7. Здесь же мы ограничимся не'ёкЬль­
кими замечаниями общего характера.
88

Выделив из ансамбля какую-либо реализацию xk(t) и ограничив
ее длительность конечным интервалом Т, мы можем применить к ней
обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотносrь
Х11т( (il). Тогда энергия рассматриваемого отрезка реализации может
быть вычислена с помощью формулы (2.66):
Т
00
Еkт = ~ xiт(t)dt= -
1
~ 1Xн(oo)l2 d(J).
о
2n -ао
При устремлении Т к оо, энерrия·Еkт бесконечно возрастает, однако
средняя_ за время Т мощность k-й реализации остается конечной и в
пределе
где
W ( )- }' !ХkТ (00)12
k(J)-
lffi
Т-+оо
Т
(3.12)
представляет собой спектральную плотность средней мощности рас·
сматриваемой k-й реализации.
В общем случае величина W11 ((J)) должна быть усреднена по мно­
жеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае определением
энергетического спектра стационарного и эргодического процесса, мы
можем считать, что найденная выше путем усреднения по одной реа­
лизации функция W11 (ro) характеризует весь процесс в целом. Опуская
индекс k, поJ1учаем окончатt:Льное выражение для энергетического
спектра:
W(ro)=liш/Хт(w)12
J' -+00
т
(3.13)
Из определения энергетического спектра W(ш) как средней мощ­
ности, приходящейся на один герц, вытекает, что полная средняя мощ­
ность случайного процесса
00
-
1\
x2 (t)=-. ) W(w)d(J).
2n_
00
(3.14)
Если рассматривается СJJучайный процесс с ненулевым средним
значением x(t), то энергетический спектр следует представлять
в форме
W(ro} = (х (t)) 2 2лб (ro) +W0 (ffi),
(3.15)
где Wо( ffi) - сплошная часть спектра.
89

'При ,интегрировании no f = ffi/2л, первое слагаемое в правой
,части (3. 15) дает (x(t)) 2, т. е. мощность постоянной составляющей, а ,
: второе - мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию
00
0 2= _l_ ~ WO(ro)dro.
21t -оо
;В случае , процесса с нулевы м средним
00
-
1\
x2 (t) =а 2 =-.) W(ro)dro.
21t -оо
(3.16)
Следует подчеркнуть, что энергетический спектр W(ro) · не позво•
: ляет восстановить исходную реа л и 3 ацию, так как выражение для
W(ro) получено · на основе равенства Парсеваля, не учитывающего
, фазовую характеристику спектра сигнала.
Обратимся к определению другой характеристики случайiюrо
, процесса, тесно связанной с энергетическим спектром - автокорре·
. л яционной функции ,j,(т).
. Наиболее
общее определение этой функции
'Фх(/ 1 , f2)= ( X(t1)x(t2)).
(3.18)
Согласно этому определению автокоррЕ!:пяционная функция слу•
•чайного процесса x(t) представляет собой статистически усредненное
1произведение значений случайной функции x(t) в моменты времени f1
,и /2,
Для .каждой
. реализации
случайного процесса произведение
x,Jt1)xk(t2) является некоторым числом . Совокупность реализаций об•
•разует множество случайных чисел, распределение которых харак­
теризуется двумерной плотностью вероятности р(х,,, х1 , ) .
При заданной функции р(х,,, Х1 , ) усреднение по множеству, сим­
волически обозначенное в выражении (3.18) треугольными скобками,
(осуществляется по формуле
00 00
(3.19)
-оо -оо
•В общем случае при нестационарном процессе автокорре.11яuионная
• функция 'Фх (/1, /2) зависит от обоих моментов времени /1 и /2.
Если процесс стационарен, то совместное раслределени1:: вероят­
, ности з ависит не от самих значений t1 и t 2 , а только от их разности
т = t2 - t1 . В этом случае автокорреляционная функция оказывается
(функцией интервала 1::
'1/Jx U1, f2) = 'Фх (ti, 11 +'t) = '~х ('t).
(3.20)
: Если процесс ; не ,только стационарен, но и эргодичен, то усреднение
~ по. множеству может быть заменено усреднением по времени в пределах
( одной , реализации:
·90

Т/2
'Ф,.,(-r)= x(t)x(t+-r) = lim-
1
~-
x(t)x(t+-r:)dt:
Т-+оо Т -1 /2
(3.21) 1
Здесь черта над функцией означает операцию усреднения по вре- •
мени. Как и в случае детерминированного (периодического) cиrнaJJa ,
[см. (2;111)1, '\),.,(т) имеет размерность мощности. При• =0 'Фх (О) рав­
на полной средней мощности процесса:
(3.22))
При анализе:: случайных процессов часто основной интерес пред-·
ставляет только нормированная флуктуационная составляющая-'.
В та~шх случаях прll.меняется нор м и р о в а н н а Я· корреляцион- •
ная функция
(xi-x) (xi+,;-x)
R,., (,) = -'----'--а'-2--'----'-
х
,1,,,, (т) -(х)2
а~
(3.23):
Корреляционная функция R:,/rr) характеризует связь (корреляцию)!
между значениями [x(t)-xJ, разделенными промежутком rt. Чем мед­
леннее, плавнее изменяется во времени x(t), тем больше промежуток•,
t, в пределах которого наблюдается статистическая связь между мr·но-.·
венными значениями случайной функции.
С другой стороны, скорость изменения функции зависит· от ее,•
спектра. Медленно меняющейся функции соответствует узкий спектр,
а быстро меняющейся - широкий спектр. Отсюда видно, что между.
автокорреляционной функцией и энергетическим спектром случай-,
наго процесса имеется тесная связь.
Существует теорема Винера - Хинчина, утверждающая, что ф,.(т) i
и Wx(ro) связаны между собой преобразованиями Фурье:
Wх(w)= ~ 'Фх('t)e-lшtd-r,
-оо
00
ф.,(-r)=-1- ~ W.,(ro)ei"'1edro.
2п -ос
(3.24).;
(3: 25) •
Из этих выражений вытекает положение, ,шалоrичное свойствам ·
преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детерминированных
сигнс:1лов: ч.ем шире энергетический спектр случайного процесса, тем
меньше врем~ корреляции и соответственно чем больше время корре-
ляции, тем уже спектр процесса.
Особый интерес представляет предельный случай· «белого шума»,
когда энергетический спектр равномерен на всех, частотах-оо<rо<оо.
Если в выражение (3.25) подставить W:,;(ul)· = W11 ::::; tonst, то по-.
пучим [см. (2.93) )2
91.

1""
'Фх(т)= W02
:t ~ eioo,: dro = Wn "(т),
(3.26)
-оо
rде б(т) - дельта-функция.
Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корре­
ляционная функция равна нулю для всех значений т, кроме 1t = О,
при котором 1Рх(О) обращается в бесконечность. Подобный шум, име- ,
ющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбро·
сами, иногда называют «дельта-коррелированным процессом». дис­
персия белого шума бесконечно велика.
~Q~
1
-- i52,..-.
1
11
w,rы), 1
1■-
- 1,J;;_(i;-, -,. 2,)
-S?, о о,
7
(,1)
~ Qy l,J(J w,
{;)• -
(,J --1
о2
о2
Рис. 3.5
Поясним применение приведенных выше соотношений на примерах.
Пусть заданы следующие параметры шумового напряжения (нормальный
стационарный процесс): эффективное значение Uафф = 2 в, энергетический спектр
W1(ro) равномерен в полосе частот от О до f1 = 10 Мгц. График W1(ro), соот•
ветствующий этим условиям, изображен на· рнс. 3.5 (сплошной линией).
В данном случае
и;ФФ (2)2
7
W1 (c,J)= ~ = 2-W' = 2. 10- в2Jгц.
Автокорреляционная функция рассматриваемого процесса [формула (3.25)!:
1
Ф1('t)=-
2л
(J)•
ro,
SW1 (ro) ei<t1-i:dffi =
2
~
SW 1 (ro) cos ro-i:dro =
-
ro,
-
ro1
71
2siп ro1,
7
=2.10--
. ---=2.10-
. 2f1
2n
,:
Дисперсия шума
ai=и;ФФ = ,i,1 (О)= 4в2•
Нормированная автокорреляционная функция
R)
Ч'1 (,)
sin (J)1 t
1('t =--=---"---
а2
(J)l 't
График функции R1(,) представлен на рнс. 3.6, а.
92
(3.27)
(3.28)

Вырежем из спектра исходного шума полосу от ю -= -
-'11 = -?лF1 до
ю=О1 =2л:F1, обозначенную на рис. 3.5 штриховкой, и найдем '1'2('t), R2(ri и а~.
соответствующие новому, более узкополосному шуму.
При F1 = 2 Мгц получим
а~= 2F
1
W1 (ro) = 2,2, 106,2,10-
7
= О,8в2,
7
siп '1 1t
siпQ1т
,р,(т)- 2,10-
, 2ft ,...
-
0,8 -,...--,
.., ,:
••1 '(
R
'11,(т) siп Ql,:
1 (т)=--2 - =
02
'\ ,:
График R1 (т) изображен на рис. 3.6, а. Сужение спектра привело к растяжению
графика Rt(T) по оси,:, Время корреляции увеличилось в fi/f1 = 5 раз.
б)
Рис. 3. б
Найдем теперь аналогичные характtрнстикн для шума, спектр котороrG
обозначен на рис. 3.5 двойной штриховкой. От предыдущего этот случай отли­
чается положением спектральной полосы на оси частот.
Дисперсия нового шума а~, очевидно,· не отличается от а~.
Автокорреляционная функция
-(ro.- ~•)
Фз(т)= 2л: S W1 (ro)e
1
ro
1
d1t1+
- (roo+ ~•)
93

sin Q1т/2
Rз('t)= ,. ,
2
cosro0 't
••1 т/
(3 .30)
• Гра фик R3 (,) изображен на рис. 3.6, 6. Огибающая функции R3 (т) совпадает
по форме с функцией R 2 (т), однако эта функция имеет вдвое большую протяжен­
ность, высокочастотное же заполнение имеет частоту ro 0 , равную центральной
частоте спектра шума (см. рис. 3.5).
3.3. ИНФОРМАЦИОННАЯ ЕМКОСТЬ ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА
Под дискретным сигналом здесь подразумевается любой сигнал,
могущий принимать лишь фиксированные, дискретные значения. При­
мерами дискретных сигналов могут служить импульсные последова-
о
о
б)
Рис. 3.7
т
т
..
t
t
тельности, изображенные на рис. 3.7. На рис. 3.7, а представлена слу­
чайная последовательность стандартных импульсов и пауз, причем
• их длительности одинаковы. Подобный сигнал получается при исполь­
эовании двоичного кода, при котором импульс обозначает, например,
«единицу», а пауза - «нулы (или наоборот). На рис. 3 .7, 6 представ-
•94

11ен дискретный сигнал, получаемый при t\олее сложном коде. Им•
пульсы передаются без пауз, информация содержится в амплитуде -
импульса, которая может принимать одно иэ L значений (L > 2).
Основными параметрами любого сигнала являются: ширина ча­
<~тотного спектра, длительность сигнала во времени и . мощность. По­
стараемся установить связь между указанными параметрами и коли­
чеством информации, которое можно передать с помощью дан нога ,
сигнала. Рассмотрим сначала импульсную последовательность при ,
двоичном коде (рис. 3.7, а).
По мере приема _сообщения каждая ячейка нн оси времени зanoJ,.
няется импульсом или паузой, причем предполагается, что оба ис­
хода равновероятны и независимы от предыдущих сообщений , При ,
этих предположениях количество информации, получаемой при прие­
ме очередного сообщения (импульса или паузы), равно одной двоич•
ной единиuе 1.
При длительности ячейки 'tи количество информации в сообщении;.
длящемся Т, очевидно, равно Т/т" дв . ед. Для повышения этого коа
личества необходимо сокращать длительность ячейки, т. е. импульса,
однако при заданной ширине спектра Wгц эта . длительность не может ,
быть меньше чем
(3.31) ,
где k - коэффициент, зависящий от формы импульса (см. § 2.10).
Из этого следует, что максимально возможное количество инфор,
маuии в рассматриваемом сигнале не может превышать
ТT-wд
::i
-= --
8. еи.
k
(3.32) ,
Эту величину можно рассматривать как ин.формационную емкость
импульсной последовательности длителыюстью Т при дrюичном коде.
PaэдeJIII[\ выражение (3.32) на Т, получим предельную скорость
передачи информаuии
1
шдв.ед
С=-=---.
'tи
k cek
(3.JЗ)
Следует оговориться, что столь простая связь между скоростью
передачи информации и полосой частот сигнаJ1а получена в предпо­
ложении, что уровень (мощность) сигнала настолько превышает уро­
вень помех, присущих данному каналу связи, что обеспечивается впол•
н~ надежное различение импульса от паузы .
1
Количество информации, получаемое при достоверном приеме сообщения
о событии, априорная вероятность которого Р, определяется выражением ­
/ = log \/ Р. При передаче сообщения о событии, имеющем два равновероятных ,
исхода, Р = 1/2 и / "'" log 2. При выборе основания логарифма равным 2 полу•
чается одна двоичная един,ица [«бит», со1<ращение двух слов «Ьinary. digit»,
(двоичное число)).
Таким образом, при двоичном исчислении количество информации в сооб>
шении о событии, имеющем априорную вероятность Н, 11авно / - log2 11.Р дв. ед.
95j

Обратимся теперь к случайному сигналу, представленноцу на
рис. 3.7, 6. При ЧИС./Iе возможных равновероятных уровней импульса
L, вероятность появления одного из них при каждом заполнении ячей­
ки равна 1/L. Получаемая при этом информация равна log2L дв. ед.
Следовательно, предельное количество информации в посJ1едовате.ль-
ности длиной Т равно
Т
Tw
дд
-
log2L=- log2L в.е.,
•и
k
(3.34)
о предельная скорость передачи информации
c=.:!:... Iog2 L дв. ед./сек.
k
(3.35)
Соотношения (3.32), (3.33) и формулы (3.34), (3.35) имеют смысл,
пока разница между двумя соседними уровнями сигнала велика
по сравнению с уровнем помехи, на фоне которой производится
выделение сигнала. При невыполнении этого условия информационная
емкость сигнала зависит также и от отношения сигнал/ помеха, однако
в данном курсе этот вопрос не рассматривается.
3.4. ИНФОРМАЦИОННАЯ ЕМКОСТЬ
НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА
Пусть сигнал s(t) представляет собой непрерывную функцию време­
ни, действующую в интервале О,Т (рис. 3.8). Разбив сигнал на скОJlь
угодно короткие импульсы, можно трактовать его как совокупность
неограниченно большого числа дискретных сигналов (импульсов),
Рис. 3.8
обладающих различными уровня­
ми. Рассматривая каждый уро­
вень как определенное сообщение
и учитывая, что как число уров­
ней в одном импульсе, так и число
импульсов может быть бесконечно
большим, приходим к противоре-
t чащему здравому смыслу выводу,
что в непрерывном сигнале ко­
нечной длительности может со­
держаться бесконечно большое ко-
личество информации.
Ошибочность подобного рассуждения заключается в следующем.
Во-первых, бесполезно производить отсчеты сигнала s(t) слишком
часто. Для каждого непрерывного сигнала имеется вполне определен­
ный интервал между соседними «выборками», сокращение которого
не дает дополнительных сведений о сигнале. Иными словами, вся
содержащаяся в непрерывном сигнале информаuия может быть опре­
делена совокупностью выборок, взятых из сигнала в дискретные,
равноотстоящие моменты времени. Величина интервала дt между со-
96

седними выборками зависит от наивысшей частоты в спектре сигнала:
чем больше эта частота, тем меньше должен 6ы1·ь интервал. Если на­
ивысшая частота в спектре меньше чем F"'' то интервал между выбор­
ками це должен превышать величину 1l2F т· Это важное положение.
основывается на теореме Кmельникова («Теорема отсчетов»), дока•
зываемой в следующем параграфе.
При полной длительности сигнала Т число выборок равно N =
=L+ 1=2F,,.T+ 1. Так как обычно 2FmT» 1, то N~2FmT.
ЛI
Во-вторых, бесполезно пытаться измерить сколько угодно малв~
измене_ние величины выборки, так как поме"и, всегда присутствующие
-
в- реальной системе, ограничивают точность измерения. Минимальное
-- изменение сигнала, обнаружимое измерительным устройством, может
быть в первом приближении приравнено уровню шумов (канала связи,
самого иэмерите.JI.я). Таким образом, при эффективном напряжени»
помехи а (нормальный случайный процесс) и эqфективном напряжени»
случайного сигнала ис вФФ• число различимых уровней смеси еиrнал+
шум может быть представлено в виде отношения
L=Vu~ 9
~+a
2
=(Pc~Pu,
где Рс=U~еФФ-средняя мощность сигнала, а Р0 =0-2 -средняft
мощность помехи (при сопротивлении цепи 1 ом).
Процедура замены непрерывного сигнала совокупность!() выборок
может быть названа дискретиза,цией сигнала во времени. Разбиение
же сигнала на дискретные уровни часто называют кван.тооан.ием сиё·
н.ала.
Итак, по своей информационной емкости непрерывный сигнал мо­
жет быть приравнен к дискретной во времени последовате.Jiьности вы ­
борок, каждая иэ которых может принимать одно из конечного числа
дискретных значений.
Если заданы параметры сигнала F т, Т и Ре, а также мощное1ь.
помехи Рп• то по аналогии с формулой (3.34) ПОJiучим следующее вы·
ражение для информационной емкости непрерывного сигнала (при.
2FтТ>О:
-log2L= 2FmТlog2
Pc+Pu = FтТ 1og2 Ро+Рп дв. ед.
т
y-
д/
Ри
Pn
Если спектр сигнала сосредоточен в пOJioce от О до F m, то величину­
F m можно рассматривать как ширину спектра w в герцах. Разделив­
последнее выражение на Т, пОJiучим скорость передачи информаци»
С= w log Pc+Pu дв. ед•
1Рп
,е,..
(3.36►
97.

Эта скорость является предельной и для ее реализаuии сигналу
должен быть придан шумоподобный характер. Соотношение (3. 36),
полученное здесь с помощью упрощенных рассуждений, строго дока•
зывается в теории информации (теорема Шеннона).
Из формулы (3.36) следует, что информативные возможности сиг­
нала возрастают с расширением его спектра и с превышением его
уровня над уровнем помехи; основное значение имеет не величина
сигнала, как такового, а отношение сигнал/помеха. В связи с этим соn­
ственные шумы радиотехнической цепи, предназначенной для передачи
сигналов, следует рассматривать как одну из основных хара~<теристик
цепи .
3.5 . ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА
Замена непрерывного сигнала совокупностью выборо1< (без потери ,
информации) основана на следующей теореме отсчетов (теорема Ко­
тел ъникова): если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше
\/
V
л
/\
/\
/\
/
\
I
\
/\
'
,_,
\
/\
/
_,,,
\
,_,
,,,,
'
t·(n•t)LJt •
Рис. 3.9
t.
чем F т, то ({)ункция s(t) пол ностью определяется последовательностью
своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на .
112F т сек.
В соответствии с этой теоремой сигнал s(t), ограниченный по спект­
ру наивысшей частотой Qm = 2лF т, может быть представлен рядом
s(t)- • .%ms(,;J ,;::m(\~~) ~,1' (nЛI)~, (/). (3 .37)
2Fm .
В этом выражении l/2Fm = Лt обозначает интервал между двумя
отсчетными точками на оси времени, а s(11 /2Fт) = s(nЛt)- выборни
функции s(t) в моменты времени t.= пЛt.
98

Представление заданной функции s(t) рядом (3.37) иллюстрируется
рис. 3.9 .
Функция вида
(jJ (t) = sin Qm (1-пЛI)
(3.38)
п
От (t-nЛt) '
уже встречавшаяся ранее (см. § 2.9, рис. 2.20, а), - обладает следую­
щими свойствами:
а)вточкеt=пЛt (/Jп(nЛt) = 1,авточкахt= kЛt,где k- лю­
бое целое, положительное или отрицательное число, отличное от п,
(J)п(kЛt) = О;
-r,;,
-rm
о
Рис. 3.10
F'
т
б) спектральная плотность функции (J)0 (t) равномерна в полосе
частот I Q 1 < Qm и равна l /2Fт = nfQm (см. формулу (2.82) и
рис. 2.20, б]. Так как функция (J)n(t) отличается от cp0 (t) только
сдвигом на оси времени на величину пЛt, то спектральная плотность
функции (J)n(t)
Фп (Щ=l2;m e-tnлtrJ. = Лt е-tпЛtй при -Qm < Q < Qm .] (3.39)
О
при Q<-Qm И Q~Qm•
Модуль этой функции изображен на нижней части рио. 3.10 (сплош­
ной линией).
То, что ряд (3.37) точно определяет заданный сигнал s(t) в точках
отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффи­
циентами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины
s(nЛt). Можно доказать, что ряд (3.37) определяет функцию s(t) в
любой момент t, а нетолько в точках отсчета t = пдt, Воспользуем­
ся для 3того общими правилами разложения функции по ортогональ­
ной системе, изложенными в § 2.2 . В данном случае разложение
99,

производится по функциям вида (3.38), для которых интервал ортого­
нальности равен бесконечносrи, а норма 11 (1)п 11 в соответствии с (2.5)1
1
.2= s"" sin
2
От(t-nЛt)dt = _l_ s"" sin
2
хdx = ~ =Лt. (3.40)
срп 1
02 (t-nЛf)i
От xi
От
-~
т
-~
Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда (3.37), при­
меним для их определения общую формулу (2.9), справедливую для
<>бобщенноrо ряда Фурье:
00
сп=-
1
~ s(t)ffiп(t)dt.
Лt -оо
(3.41)
При этом мы исходим из условия, что s(t) - квадратично ин­
тегрируемая функция (энергия сигнала конечна).
Для вычwсления интеграла в выражении (3.41) воспользуемся
формулой (2.63), согласно которой
оо
Qт
\ S(t)<f'п(t)dt= _l_ •
_l \ S(Q)einЛtodQ.
.)
2F 2л: .)
-оо
т
-От
(3.42)
Пределы интегрирования здесь приведены в соответствие с задан­
ной граничной частотой Qni = 2nfт в спектре сигнала s(t), а также
в спектре функции ff!п(t).
Интеграл в правой части (3.42) с коэффициентом 1/2л: есть не что
иное, как значение s(t) в момент t = пЛt. Таким образом,
00
~ s(t)ffiп(t)dt= Лts(пЛt),
-оо
Подставляя этот результат в (3.41), получаем окончательное вы­
ражение
Сп =s(пЛt),
из которого следует, что коэффициентами ряда (3.37) являются выбор­
ки функции s(t) в точках t = пЛt.
Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой
обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд (3.37) сходится к функ­
ции s(t) при любом значении t.
Если взять интервал между выборками Лt' меньшим, чем Лt =
!::::: 1/2F т, то ширина 2F',,. спектра Ф~(Q) функции q,~(t) будет больше,
чем у спектра S(Q) сигнала s(t) (рис. 3.10), но это не отразится на ве­
личине коэффициентов с,.. Модуль функции Ф'(Q) изображен на
рис. 3.10 пунктиром .
.
При увеличении же Лt" по сравнению с Лt спектр Ф~ (Q) функции
(l)п (t) (на рис. 3.10 показан штрих-пунктиром) становится уже, чем
100

спектр сигнала s(t), и при вычислении интеграла ~ выражении (3.42)
пределы интегрирования должны быть (-2nFm, 2nFт) вместо (-2nFm,
2n.F т) - Коэффициенты Сп при этом являются уже выборками не вадан•
ного сигнала s(t), а некоторой другой функции s1(/), спектр которой
ограничен наивысшей частаrой F",,,.
Итак, сокращен.uе интервалоtJ между вsборками по сравнению о
величиной l/2Fm допустимо, но 6есполеэно. Увели~ние ~ интервала
сверх вели-чины 1/2Fm недопустимо.
Раё.СМ:Ьтрим. теперь слу_чай, когда длительность сигнала s(t) конеч­
на и равна Т, а полоса частот по-прежнему равна F m• Эти условия,
строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности
обладает теоретически бесконечно широким спектром. Практичt:ски,
однако, всегда можно определить наивысшую частаrу спектра F m
так, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные отсеканием ча­
стот, превышающих F т, содержали пренебрежимо малую долю энер­
гии (по сравнению с энергией заданного сигнала s(t) 1. При таком
допущении, если имеется сигнал длительностью Т с полосой частот
F т, общее число независимых параметров [т. е. значений s (пЛt) 1,
которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, равно
N=~+1=2FтТ+1.
(3.43)
При Т/Лt» l можно считать N=2FтТ.
При этом выражение (3.37) принимает следующий вид:
(3.44)
Чис.по N иногда называют числом cmeneн.eiJ. свободы сигнало. s(t), так
как даже при произвольном выборе эначениА s{nЛt) сумма вида (3.44)
определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра
и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также
«базой:. сигнала.
В ряде случаев встречается необходимость представления сигнала
с помощью ча.стотн.ых выборок спектральной функции S(Q), а не вре­
менных выборок функции s(t) . Для функции S(Q) можно составить ряд,
аналогичный выражению (3.37) . Это нетрудно сделать на основании
взаимной заменимости переменных / и Q в преобразованиях Фурье.
Применительно к выражению (3.37) это означает, что t должно быть
обменено на Q, 2Qm на Т, 2F,n на T/2n и Лt= l/2Fm на ЛQ=2n/T.
Таким образом получается
FmТ
S(Q)= ~ S(nдQ)
п--FтТ
т
sin
2 (Q-пЛQ)
т
2 (Q-пЛQ)
=
101

=
Т(
2:rt)
S( 2n) sin2 Q- пТ
пт т(.
2:rt) •
-
Qп-
11=-FтТ
2
-
Т
(3.44')
Если ранее временной интервал между двумя соседними выоор­
ками должен был не превышать 2n/2Q,,., то теперь частотный интервал
должен не превышать 2-л/Т. При ширине спектра 2Q,n, охватывающей
область частот -Qm < Q < Qm, число выборок равно
2
:
0+ 1=
=2FmT + 1, как и при представлении сигнала рядом (3.37).
В общем случае выборки S ( п 2
;) являются комплексными числами
и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два
параметра - действите"1ьная ' и мнимая части S (п 2
;) (или модуль
и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается
вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда вы-
борки s ( п 2JJ - действительные числа. Избыточность представJJе­
ния сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, uто
s(n
2
;) и s(-n
2
;) являются комплексно-сопряженными числами. так
что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким об­
разом, число независимых параметров или степеней свободы сигнала
равно 2F тТ + 1, как и при представлении сигнала во временной об­
ласти.
Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через
эаданную последовательность временнь1х выборок.
Применяя формулу (2.16), получаем
(3.45)
(3.46)
Из последнего выражения видно, что средняя за время Т мощность
непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки. Усред­
нение производится по всем отсчетным точкам, число которых равно
2FщТ.
3.6. СИНТЕЗ СИГНАЛА С.ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ
ПО ЗАДАННЫМ ВЫБОРКАМ
Рассматриваемая здесь задача является обратной по отношению
к дискретизации сигнала: задана посJ1едовательность выборш<, взятых
из сигнала s(t), и требуется по ним восстановить исходный сигнал.
102

Показанные на рис. З.11 выборки представляют собой импульсю;
длительность которых 'tn достаточно мала. (Использованные в преды­
дущем параграфе выборки можно трактовать как бесконечно короткие
импульсы.) Для восстановления сигнала s(t) каждый из импульсов
последовательности, показанной на рис. 3.11, должен быть превращен ,
,,, ,,,,.
-.. .
,,,,.,,,,.
t
,,,,.
,,,
... _
Рис. 8.11
в функцию вида s(nЛt) (sin xlx). Для этого достаточно импульсную по­
следовательность пропустить через фильтр, передаточная функция ·
которого K(iQ) = K(Q)e 1 <i>(Щ отвечает следующим двум условиям:
K(Q)={K0 =const при jilj<Qm,
О
при IQ 1> Qm,
(f)(Q)=-Qto при JQ/<Qm•
Амплитудно-частотная и фазо-частотная хара1<теристики подоб­
ного идеализированного Фильтра изображены на рис. 3.12, а.
(n-t)Лt •t
0
(n• t)ti t •t
0
,
а,)
6)
Рис. 3.12
Найдем напряжение, создаваемое выборкой s(пЛ t) на выходе фильт­
ра При этом мы будем исходить из допущения о равномерности спект­
ра выборки в пределах полосы частот I Q 1 < Qm, Практически это рав­
носильно условию
2л
1
т «-=-
в,1mFm
(см. § 2.9, комментарий к рис. 2.14).
В пределах указанной полосы частот спектральная плотность
выборки равна (по модулю) площади импульса. В частном случае
прямоугольной формы импульса эта площадь равна s(nЛi)'tв- Таюш
образом, с учетом положения выборки на оси времени, спектральння
103 ,
..,,

плотность выборки
S,. (Q) =s(nдt)'t'в е-Шnд1, \Q 1< Qrn•
На выходе же фильтра спектральная плотность п-й выборки будет
K(iQ)S,i(Q), а напряжение, создаваемое этой выборкой,
Dm
Un(t)=J... ~ К(iQ)Sn(Q)еШtdQ=
2n -n
т
/Jm
=Ко s(пЛt)-св ~ e-1/J(t-nAt-toJdQ=Ko.:!!!...s(nЛt) sin'2т(t-nЛt-to).
2:t
- i;J
д/
Q111 (t-n д/-/0)
т
Здесь использованы равенства 2F111 = 1/Лt и q,(Q)=-Qt0 , .
График полученного выражения изображен на рис. 3.12, б. Как
видим, это колебание совпадает по форме с требуемой функцией вида
(3.38).
Суммарное напряжение на выходе фильтра, создаваемое всеми
выборками,
п
Sвых (t) =Ко~ ~ S (n Лt) sin '2m (t-n д/-tо) .
Лtn=_
00
йт (t-n Лt- to)
(3.47)
Это напряжение отличается от исходного сигнала лишь постоянным
коэффициентом К 0 т:8 /Лt и, кроме того, задержкой во времени на ве-
r
K(Q)
Рис.
J1ичину t 0 , так как в отсчетных точках t = пЛt + t 0 коэффициенты
ряда s(nЛt) определяют значения сигнала в предшествующие моменты
времени t = riЛt. (Следует оговориться, что строго прямоугольной
амплитудной храктеристике фильтра, представленной на рис. 3.12, а,
соответствует бесконечно большая задержка t 0 .) Осуществить фильтр
с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой не представ­
ляется возможным. Реальный фильтр имеет характеристику, показан­
ную на рис. 3.13. Протяженность ската характеристики (Q O - Q111 )
не может быть сведена к нулю даже ценой любого усложнения схемы
фильтра. Отклик фильтра с подобной характеристикой на короткий
импульс отличается от g о(х) = sin х/х и при интервалах между выбор­
ками Лt, равными 1/2F m, синтез сигнала сопровождается искажениями.
Это препятствие может быть обойдено путем сокращения интервалов
!104

Л t между выборками по сравнению с величиной 1l2F m• Новыn интер•
вал будем обозначать буквой Т1. Суть этого способа поясняется
рис. 3.14 .
Исходный сигнал s(t) изображен на рис . 3.14, а, периодическая
последовательность h(t) тактовых импульсов - на рис . 3.14, б, а со­
вокупность выборок, представляющая собой произведение s(t)h(t) =
= y(t), -
на рис. 3.14, в. В правой части рис. 3.14 изображены спект­
ры функций s(t), h(t) и y(t). Спектр (сплошной) сигнала S(Q)
_
s(t)~
,
/"-. . ,/
\_
j S(Q)
t
а)
h(t,
n
!~~~~11~11
n
11
11
и
!1
11
11
11
11
·2Т, -т., О Т, 2Т,
t
5)
y(t)=s(t)•h(t)
Tl'r{П1f'·.
-2т, ·Т, О Т, гт,
t
е)
Рис. ,1.14
(рис. 3.14, eJ ограничен наивысшей частотой J~Jml, а линейчатый спектр,
показанный на рис. 3.14, д, соответствует периодической последова­
тельности h(t). Буквой с 0 обозначена постоянная составляющая, с1 -
коэффициент первой гармоники частоты 2л/Т1 и т. д. Огибающая это­
го спектра (пунктирная линия) совпадает по форме со спектральной
плотностью одиночного импульса из последовательности h(t) [см. фор·
мулу (2 .55) 1. Этот же спектр можно представить в виде спектральной
плотности lсм. (2. НЮ)]:
""
ff(Q) =2nn=~oa Сп l\ ( Q-n ~:).
[При отсчете времени от середины нулевой выборки углы 0n, входящие
в формулу (2.100), равны нулю.]
Структура спектра H(Q) такая же, что и на рис. 3.14, д. Необхо-
д~мо лишь отрезки с" заменить дельта-функциями в( Q - п :
31
) с коэФ-
.
1
фнцнентами 2ncn.
105

По заданным спектрам S(Q) и H(Q) можно построить спектр про•
изведения y(t) = s(t) . h(t).
Воспользуемся для этого формулой (2.62)
00
Y(Q) =-
1
sS(Q-x)H(x)dx,
2n
в которую подставим
Тогда
На основании свойства (2.91) можно написать
Следовательно
00
Y(Q) = I cnS(Q-n ~) ·
n=- oo
График спектральной плотности Y(Q) изображен на рис. 3.14, е.
В некоторых случаях тактовые импульсы, изображенные на
рис. 3.14,б, трактуют как дельта-функции б (t -кТ1 ). Для периоди­
ческой последовательности h (t), составленной из таких функций,
коэффициенты сп, одинаковые при любых значениях индекса п, лег­
ко определяются с помощью соотношения (2.55). Так как спектраль­
ная плотность одиночной дельта-функции б (t) равна единице, то
1
Сп=-,
Т1
и выражение для У (Q) принимает вид
106

В зтом случае сnектр У (Q), принимает форму периодической
1·
последовательности спектров -
· S (Q), сдвинутых один относитель-
Т~
2n
но другого по оси Q на величину -
.
Т1
Как видно из рис. 3.14, е, просвет между двумя сдвинутыми ко-
пиями спектра S (Q) равен
Если этот интервал больше нуля, то спектры не перекрываются
и могут быть разделены с помощью фильтра. Если придать хара1<·
теристике фильтра форму, изображенную на рис. 3.13, то при выпол­
нении условия
спектр сигнала на выходе фильтра будет совпадать со спектром S(Q)
исходного сигнала s(t). Очевидно, что равномерность характеристики
требуется лишь в полосе частот I Q 1 ~ Qm, На участках IDo - Dml,
где спектр сигнала S(Q) равен нулю, форма характеристики может быть
любой .
Чем короче интервал Т1 между выборками, тем больший частотный
интервал Q 0 - Qm может быть отведен для скатов частотной харак­
теристики фильтра. Замена идеализированной прямоугольной харак•
теристики реальной, представленной на рис. 3.13, приводит к изме­
нению и базисной функции ряда (3.47). Вместо функции вида g(x) =
= sin х/х появляется новая функция k(t), определяемая общим выра­
жением
00
kn (t) =-
1
~ К(Ю) е12 U-nT,J dQ.
2n_
00
При этом ряд (3.47) должен быть записан в форме
00
Sвых(t)=В ~ S(пЛt)kп(t),
где В - постоянный коэффициент.
(3.48)
Функции kп(t), не обязательно образующие ортогональную систему,
отвечают, однако, условию
kп (i) = k0 (t-nT1 ).
Как и в выражении (3.47), функция kn(t) задержана относительно
выборки s(nЛt) на величину 10, зависящую от наклона фазовой харак·
теристики фильтра. Эта задержка играет существенную роль при вос ­
становлении сигнала по заданным выборкам. Из выражения (3.37),
107

не учитывающего задержку, следует, что точное значение функции
s(t) в определенный момент времени /1 зависит от всех выборок, взятых
из s(t) как до этого моменtа, так и после него. На выходе же реального
фильтра напряжение в момент /1 является суммой напряжений от всех
выборок, поступающих только в предшествующие моменты времени.
Таким образом, выходной сигнал должен быть записан в форме
n=i ,JT,
,)вых(t)=В ~ S(пЛt)k"(t).
(3.49)
п =-оо
'j.
t
s6ь,. (t)•Bs(t-t0l
Рис. 3.15
При определении значения s(t1) по функции sвых (/), задержанной
на время / 0 , фактически используются все выборки, поступающие на
вход фильтра вплоть до момента t = t1 + /0 (рис. 3.15). (На этом
рисунке базисные функции условно изображены в виде треуголь­
ников.) Выборки, поступающие после t = t1 + t 0 , не нужны для оп•
ределения сигнала s(t) в момент t = t1.

4
Радиосигналы
4.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основной задачей радиотехники является передача информации
на расстояние. Для этого применяются сигналы, .эффективно излучае•
мые с помощью антенных устройств, обладающие способностью рас­
пространяться в виде свободных радиоволн в среде, разделяющей
отправителя и получателя информации. Такими сигналами являются
вы с о к о част от н ы е колебания. Передаваемая информация
должна быть тем или нным способом заложена в высокочастотное ко­
лебание, называемое несущим колебанием. Частота ro0
- - -- это rо · колебани-я
выбирается в зависимости от расстояния, на которое
должна передаваться информация, от условий распространения радио­
волн и от ряда других технических и экономических факторов. Но в
любом случае частота ro 0 должна быть велика по сравнению с наивыс­
шей частотой спектра передаваемого сообщения .
Эrо объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщения
через радиотехнические цепи, а также для устранения искажений, ·
обусловленных распространением радиоволн, необходимо, чтобы ши­
рина спектра сообщения была мала по сравнению с несущей частотой
ro 0 ; чем уже полоса частот сигнала, тем меньше проявляется несовер­
шенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая ско­
рость передачи информации и, следовательно, шире спектр сообщения,
тем выше должна быть несущая частота радиосигнала.
Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как «узкополосный»
процесс, даже при передаче «широкополосных» сообщений.
Приведем следующие примеры. При передаче речи или музыки
спе1пр сообщения обычно ограничивают полосой от F мин = 30-т50 гц
до f'макс = 3 000-т 1О ООО гц. Даже на самой длинной волне вещатель­
ного диапазона л. = 2000 м, при несущей частоте f O = 150 кгц, отно­
шение Fмаксlfо< 104/1,5 • 105
~ 0,06. При передаче тех же сообщений
на коротких волнах, при частотах 15-20 Мгц, это отношение не пре­
вышает сотых долей процента.
При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса ча­
стот сообщения весьма широка и достигает 5-6 М щ; однако и несущая
частота выбирается не менее 50-60 Мгц, так что отношение F мшсlf 0
не превышает 10%
В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию,
можноJiредставить в виде
109

а(t)=А(t)cosfro0t+е(t)J=А(t)cos,q,(t),
(4.1)
в котором амплитуда А или фаза 0 изменяются по закону передаваемого
сообщения.
Если А и 0-постоянные величины, то выражение (4.1) описывает
простое гармоническое («несущее») колебание, не содержащее в себе
никакой информаuии.
Если А или 0 (а следовательно, и 'Ф) подвергается принудительному
изменению с целью передачи сообщения, то колебание a(t) становится
модулированным.
Процесс управления одним или несколькими параметрами вы­
сокочастотного колебания называется м о д у л я ц и е й. В зависи­
мости от того, какой из двух параметров изменяется - амплитуда А
или угол ,q,, -
различают два основных вида модуляции: а м п л и­
туднуюиуrловую.
Угловая модуляция, в свою очередь, подразделяется на два вида:
частотную и фазовую. Этидвавидамодуляции между
собой тесно связаны, и различие между ними проявляется лишь в
характере изменения во времени угла ,q, при одной и той же модули­
рующей функции.
Модулированное колебание имеет спектр, структура которого
зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от вида моду­
ляции. То обстоятельство, что ширина спектра модулирующего сооб­
щения мала по сравнению с несущей частотой ro 0 , позволяет считать
A(t) и 0(t) медленлыми функциями времени. Это означает, что отно­
сительные изменения А (t) и 0(/) за один период несущего колебания
малы по сравнению с единицей.
Рассмотрим сначала вопрос об изiv1енении амплитуды. При ско­
рости изменения амплитуды dA/dt приращение амплитуды за один
период Т O можно приближенно приравнять dA!dt Т 0 .
Следовательно, отно::шrельное изменение за период равно
1
dAIТ0=1dA1_1_ 2л
.
dtА
dlАro0
Можно считать, что условие «медленности» функuии А (t) выполняется,
если
или -
-«-.
1
dA 11
ro0
dtА2л
(4.2)
Аналогичным образом можно установить условие медленности функ­
ции 0(t).
Так как мгновенная частота колебания равна скорости изменения
фазы (об этом подробнее будет сказано в следующих параграфах),
то, дифференцируя. аргумент выражения (4.1), находим
(О(t)=dф(/)=Фо+d0•
dl
dt
110

Производная d0/dt определяет отклонение частоты ro(t) от несущей
· ча с т от ы ro 0 . Это отклонение может быть быстрым или медленным. Для
того чтобы колебание a(t) r.fOЖHO было считать близким к синусоидаль­
ному, нужно потребовать, чтобы изменение частоты за один циюл
Т = 2л/w0 было мало по сравнению с частотой ro(t) в рассмат­
риваемый момент времени.
Таким образом, условие медленности функции 0(t) можно записать
в виде следующего неравенства:
\!t(~)\т « 1
(,J (t)
или
ld
2
61 « (i)(i).
dt2
Т
Так как обычно ro(t) очень мало отличается от ro 0 , можно исходить
из условия
1
d~А1
12
dta « ~wo,
(4.3)
Для большинства используемых в радиотехнике сигналов неравен­
ства (4.2) и (4.3) обычно выполняются. Это означает, что при любом
виде модуляции параметры радиосигнала - амплитуда, фаза и ча­
стота - изменяются настолько медленно, что в пределах одного пе­
риода колебание можно считать синусоидальным.
Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего рассмотрения
свойств радиосигналов и их спектров.
4.2 . РАДИОСИГНАЛЫ С АМПЛИП'ДНОИ МОДУЛЯЦИЕЯ
Амплитудная модуляция является наиболее простым и очень рас­
пространенным в радиотехнике способом заложения информации в вы­
сокочастотное колебание. При амплитудной модуляции огибающая
амплитуд несущего колебания изменяется по закону, совпадающему
с изменением передаваемого сообщения, частота же и начальная фаза
колебания поддерживаются неизменными. Поэтому для амплитудно­
модулированного радиосигнала можно общее выражение (4.1) заменить
следующим:
а(t)=А(t)cos(ro0t+00).
(4.4)
Характер огибающей А (t) определяется видом передамемого сооб­
щения.
При непрерывном сообщении (рис. 4.1, а) модулированное колеба­
ние приобретает вид, показанный на рис. 4.1, 6. Огибающая А (t)
изменяется по закону, воспроизводящему сообщение s(t). Рис. 4.1, б
построен в предположении, что постоянная составляющая функции
·н1

s(t) равна нулю (в противоположном случае А O может не совпадать
с амплитудой немодулированноrо колебания). Наибольшее изменение
A(t) «вниз» не может быть больше амплитуды несущего колебания А 0 •
Изменение же «вверх» может быть в принпипе и больше А 0 •
Для сохранения формы сообщения максимальное изменение А (t)
не должно по абсолютной величине превышать А 0 . Это означает, что
гл~бина модуляции амплитуды не должна превышать
100 1⁄4.
'
s(t}
~
.·
/..
t
а)
A{t)
"'----------
"
IHHIHHl,JL----------- i, __
-...н..Та~· 2:яlt,Ja
о)
Рис. 4.1
t
Определение понятия «глубина модуляпии » особенно наглядно для
случая тональной модуляции, когда модулирующая функция s(t)
является гармоническим колебанием:
s(t)=S0cos(Qt+у).
<Эгибающая модулированного колебания при этом может быть за•
писана в виде
А(t) =А0+ks (t) =А0+ЛАтcos(Qt+у),
(4.5)
где Q - частотз модулирующей функции; 'У
-
начальная фаза оги•
бающей; k - коэффициент пропорциональности; ЛА
= kSO
-
ам-
ллитуд а изменения огибающей (рис. 4.2).
т
Отношение
М=ЛАrп
An
называется коэффициентом глубины модуляции
илипросто коэффициентоммодуляции.
112

Таким образом, мгновенное значение модулированного колебания
можно записать в форме
а(t)=А011+Мcos(Qt+y)Jcos(оо0t+60).
(4.6)
При неискаженной модуляции (М ~ 1) амплитуда колебания из­
меняется в пределах ar минимальной Амин= А0 (1-М) до максималь­
ной Амако = Ао (1+ М).
l --~fЖНl~lfk
t
Рис. 4.2
В соответствии с изменением амплитуды изменяется и средняя
ва период высокой частоты мощность модулированного колебания.
Пикам огибающей соответствует мощность, в (1 + М) 2 раз большая,
чем мощность несущего колебания. Средняя же за период модуляции
мощность пр·:юорuиональна среднему 1 квадрату амплитуды A(t)
А2(t)=л~11+ мcos(Ш+у)12=лg(1+О,5М2),
(4.7)
и превышает мощность несущего колебания всего лишь в (1+0,5 М
2
)
раз. Таким образом, при стопроцентной модуляции (М = 1) пиковая
мощность равна 4Р 0 , а средняя мощность 1,5 Р 0 • (Через Р O =+ лg
обозначена мощность несущего колебания.) Отсюда видно, что обуслов­
ленное модуляцией приращение мощности колебания, которое в ос­
новном и определяет условия выделения сообщения при приеме, даже
при предельной глубине модуляции не превышает половины мощно­
сти несущего колебания.
При передаче дискретных сообщений, представляющих собой чере­
дование импульсов и пауз (рис. 4.3,а), модулированное колебание имеет
вид последовательности радиоимпульсов, изображенных на рис. 4.3, б.
При этом имеется в виду, что начальные фазы высокочастотного
заполнения в каждом из импульсов такие же, как и при «нарезании»
1 Среднее значение cos (Qi + у) эа пер11од модул11рующеА частоты равяо
нулю, а среднее значение cos2(Qt + '\') равно 1/2. Черта над функuией означае1
оnераuию усреднения по времени.
6 Зак. 137
НЗ

их из одного непрерывного гармонического колебания. Только 1:JРИ
этом условии показанную на рис. 4.3, б последовательность радио­
импульсов можно трактовать как колебание, амплитуда которого мо­
дулирована сообщением s(t). Заметим, что u в практике для передачи
радиоимпульсов часто используются устроиства, основанные на пре­
рывании работы автогенератора. При этом начальные фазы заполнения
в каждом из импульсов «привязаны» к его фронту. Несмотря на то, что
s(t)
□□□
а)
11l•J 1
t
..
t)
о)
Рис. 4.3
огибающая A(t) может совпадать с огибающей, показанной на
рис. 4.3, получаемое при таком режиме работы колебание обла­
дает существенно иными свойствами и должно рассматриваться не
какмодулированное,акакманипулированное.
4.3 . ЧАСТОТНЫИ СПЕКТР АМПЛИТУДНО­
МОДУЛИРОВI.ННОГО СИГНАЛА
Пусть задано высокочастотное колебание, относительно которого
известно, что частота uJ O и начальная фаза 0 0 - величины постоянные,
а огибающая А (t) содержит в себе передаваемое сообщение s(t). Ана­
литически такое колебание может быть представлено с помощью вы­
ражения (4.4).
Требуется установить связь между спектром модулированного ко­
лебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исход­
ного сообщения s(t). Проще и нагляднее всего это можно сделать для
случая тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая
А (t) =А0 [l +М cos (Щ+-у)],
а модулированное колебание определяется выражением (4.6).
Перепишем последнее выражение в форме
а(t) =А0[cos (ffi0t +00) +М cos(Qt +-v) cos(ffio/ + 00)].
Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся
продуктом модуляции, может быть приведено к виду
м
Мcos(Qt+-v)cos(ffi0t+00) =
2 cosl(uJ0+Q)t+(00+ v)J+
114

+М cos [(ro0 -Q)t +(0о-'\'Н,
2
после чего развернутое выражение колебания а (t) принимает вид
МА
а(t)=A0cos(ro0t+00)+-
0
cos l(ro0+Q)t+00+i'I+
2
(4.8)
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное не­
модулированное колебание с «несущей» частотой ro 0 • Второе и третье
слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим), появ­
ляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих коле­
баний ro 0 + Q и ro 0 - Q называются «верхней» и «нижней» боковыми
частотами модуляции.
Амплитуды 9'ГИХ двух колебаний одинаковы и составляют от ам­
плитуды немодулированноrо колебания долю, равную М/2, а их фазы
симметричны относительно фазы несущего колебания. Это иллюст­
рируется векторной диаграммой, представленной на рис. 4.4 . На этой
диаграмме ось времени вращается по ча­
совой стрелке с угловой частотой ro 0 , при­
чем отсчет угла ffi 0 t ведется от линии ОВ.
Рис . 4.4
о
Рис. 4.5
Поэтому несущее колебание А 0cos( ro 0 t + 0 0 ) изображается на этой
диаграмме в виде неподвижного вектора OD длиной А 0 , составляю­
щего с горизонталью угол 0 0 • Мгновенное значение несущего коле­
бания в момент t равно проекции вектора А O на ось времени (отре­
зок ОК).
Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой
ro 0 + Q. превышающей угловую частоту вращения оси времени на
величину Q, необходимо воспользоваться вектором, вращающимся
с угловой частотой Q против . часовой стрелки (вектор DC1). Для изо­
бражения колебания с частотой ro 0 - Q потребуется вектор, вращаю-
5•
115

щийся с такой же частотой Q по часовой стрелке (вектор DC2). По­
зтому колебания боковых частот - верхней и нижней
-
изображаются
двумя векторами длиной МА 0 /2, вращающимися во взаимно противо·
положных направлениях. Фазировка этих векторов симметрична оr­
носительно вектора несущего колебания А 0 • Это следует из выражения
(4.8), которое для большей наглядности целесообразно записать в не­
сколько видоизмененной форме
а(t)=А0cos(ro0 t+ 00
)
+ МАо cos[(ro0 t+ 80
)
+ (Ot +у))+
2
.
+ МА о cos [(ro0 t + 80)-(Qt +y)I,
2
Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе огиба•
ющей у векторы DC1 и DC2 , соответствующие колебаниям верхней и
нижней боковых частот, занимают симметричное относительно вектора
OD положение, причем векторы боковых частот образуют с вектором
несущей частоты углы, равные ±(Qt + у). На рис. 4.4 начала•этих
векторов перенесены из точки О в точку D. Равнодействующий век·
тор DF, являющийся геометрической суммой векторов DC, и DC2
и называемый вектором модуляции, всегда располагается на линии
OD, вследствие чего сумма всех трех колебаний - несущей и двух
боковых частот - может рассматриваться как колебание с постоянными
начальной фазой и частотой, но с модулированной амплитудой.
Попутно заметим, что если в результате прохождения через элект•
рические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковых
частот или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания,
то возникает качание вектора , представляющего результирующее
колебание, относительно направления OD. Это равносильно возник­
новению паразитной фазовой модуляции.
Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто
амплитудной модуляции . Допустим, что начальная фаза высокочастот­
ного колебания 00 = 90°. Тогда векторная диаграмма примет вид,
показанный на рис. 4.5. Если при (U = О векторы боковых частот DC1
и DC2 направлены вверх (положение / на рис. 4.6), то огибающая ам­
плитуд проходит в этот момент через свое максимальное значение
А 0(1 + М). Этот случай отвечает начальной фазе огибающей у = О
[уравнение (4.6) 1, а уравнение огибающей будет
A(t) =A0 (l +М cosQt).
Если же в момент Q/ = О векторы DC1 и DC 2 занимают горизон·
тальное положение, то равнодействующая проходит через значение,
равное А 0 • В этом случае начальная фаза огибающей v=-n/2 и урав•
нение для огибающей будет
А(t)=А0(1+МsinQt).
Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции
показана на рис. 4.7. Ширина спектра в этом случае равна удвоенной
частоте модуляции 20, а амплитуды колебаний боковых частот не
116

могут превыщать половины амплитуды немодулированноrо колебания
(приМ~1).
Полученные результаты нетрудно распространить на случай мо­
дуляции любым сложным сигналом. Картину образования спектра
амплитудно-модулированного колебания проще всего пояснить сна­
чала на примере, когда модулирующее сообщение s(t) является суммой
двух тонов:
s(t)=S1cosQ1t+S2cosQ2t.
По аналогии с выражением (4.5) получаем
А(t)=А0+ЛАт,cosQit+
+ЛАт,cosQ2t=А0(1+
+М1cosQlt,+М2cosQ8iJ.
Рис. 4.6
123(
1--
1Rt
1
1
(ц.
Рис. 4.7
Подставляя это выражение в уравнение (4.4) и проводя тригоно­
метрические преобразования, аналогичные тем, которые были про­
ведены при получении уравнения (4.8), придем к следующему резуль­
тату (начальные фазы несущего колебания и модулирующих напря­
жений здесь для упрощения опущены):
а(t)=А0cosro0 t+MiАо cos(ro0 +Q
1
)
t +Mi Ао cos(ro0
-Q
1
)
t+
2
2
•
+M2 Au cos(ro0 +Q2)t+ М2 Ао cos(ro0 -!12)t.
2
2
Из полученного выражения следует, что каждая из частот Q1
и Q2 образует свою тональную модуляцию, сопровождающуюся воз­
никновением пары боковых частот, причем этот процесс является ли­
нейным в том смысле, что амплитуды и фазы боковых частот от раз­
личных модулирующих напряжений взаимно независимы. (Последнее
свойство сохраняется при условии, что суммарное изменение оrиба·
ющей «вниз» не превышает 100%.)
111.

• Иэ приведенного примера нетрулно вывести правило построения
спектрограммы амплитудно-моJ(улированного колебания a(t) по эадан­
ной спектрограмме модулирующей функции s(t).
Пусть последняя имеет вид, представленный на риа. 4.8, а. Через
St, S 2, ... , S"'"' обозначены амплитуд1:i1 гармонических колебаний, вхо­
дящих в спектр сообщения s(t), А через Qмин и Qма нс - граничные
частоты спектра.
Спектрограмма высокочастотного колебания, промодулированного
по амплитуде сообщением s(t), изображена на рис. 4.8, б. Коэффиuиен-
1
~·f(1.. \111 ..
о Qмци Qма.кс Q
АО
й)
z
z
\1
(,,J
r
,
,
а
с:
С!,[
с,,[
(:!,[
1
:i
♦
э"
эо
зо
6)
Рис . 4.8
ты модуляции М1, М 2,
.•• ,
Мп пропорциональны амплитудам S1,
S2, ... , Sn соответствующих тонов, входящих в сложное сообщение s(t).
Перейдем к общему случаю, когда спектр сообщения s(t) не обя­
зательно дискретный. Будем исходить из общего выражения (4.4).
Передаваемое сообщение s(t) содержится в законе изменения огиба­
ющей A(t). Не предрешая вида функции s(t), составим выражение для
спектральной плотности Sa( ro) высокочастотного колебания a(t),
рассматриваемого 1<ак произведение огибающей А (t) на гармоническое
колебание cos ((1),1 / + 0о),
Спектральную плотность огибающей А (t) обозначим через S А• а
спектральную плотность функции cos(ffi 0 t+00 ) в соответствии с (2 .98)
запишем в форме
Ф(ro) = л [е100 о(m-(u0)+е-щ, 6(m + w0)/.
(4.9)
Применим формулу (2.62):
118
00
S0 (ro)= -
1
~ Sл (х) Ф(ro-x)dx.
2n
-оо

Подставляя сюда
получим tсм. аналогичное рассмотрение на стр. 106)
00
S0 (oo)=+e16 • ~ SA(x)б(oo-000 -x)dx+
-ао
""
++е- 16• ~ SA(x)б(oo+(i)0 -x)dx=
-ао
(4.10)
Следует подчеркнуть, что спектр медленно ~еняющейся функции
времени A(t) группируется в области относительно низких частот.
Поэтому функция SA(ffi - ffi 0) существенно отличается от нуля при
частотах оо, близких к 00 0 , т. е. когда разность ffi - ffio = Q относительно
мала. Аналогично слагаемое SA(ffi + ffi 0) существует при 11астотах,
6лизких к -(i)u,
о
1
1
1
1
1
1
о
5)
Рис. 4.9
..
Q
t.7ГAi(t..J-i,JoJ
1kA
m7S(:·t. .Jo}
wo
ц)
Таким образом, спектральная плотность модулированного коле-
6ания Sa(ro) образует два всплеска: вблизи оо = 00 0 и вблизи оо = -(1) 0 .
В случае узкополосного сигнала можно поэтому счи-х:ать,что в области
положительных частот
S0 (w) =..!.. e'6
• SA((i)-W0).
(4.11)
2
а в области отрицательных частот
S0 (u>) = te-itJ• Sл (ro +ffi0).
(4.11')
119

Поясним правило построения спектра Sa( ro) на следующем примере.
Пусть огибающая высокочастотного колебания имеет вид
А(t)=Ао[l+ks(t}I,
rде s(t) - передаваемое сообщение, имеющее спектральную плотность
S(Q), а коэффиuиент k имеет тот же смысл, что и в выражении (4.5).
s(t)
Спектральная плотность оги-
;QQ
·'i /2
111
'1·
,·
1
1
01
1
1
1а)
1
1
,
б)
· ,rнf2
1
1
'1
1
1
1
а (t)
t
бающей A(t) изображена на
рис. 4.9, а.
Дискретная часть этого
спектра, равная 2ttA 0B(Q), соот­
ветствует постоянной величине
А 0 , а сплошная часть, равная
kA 0 S(Q) - передаваемому сооб­
щению s(t).
Рис. 4.10
Спектральная плотность Sa(ro) модулированного колебания a(t)
показана на рис. 4.9, б. В данном случае дискретные составляющие
л:А 0В(rо =F ro 0
)
отображают несущее колебание A 0 cos (ro 0 t + 00
),
а сплошной спектр - колебания боковых частот модуляции.
В случае, когда радиосигнал не содержит несущего колебания,
например при передаче одиночного радиоимпульса, дискретная часть
в спектре отсутствует.
Рассмотрим, например, спектр радиоимпульса прямоугольной
формы (рио. 4.10, б), определяемого выражением
l
kA0 В cosю0 tпри
a(t) =
О
при
-
..!!!. < t < .!!.
2
2'
t<-2 И t> •я•
2
2
(4.12)
Спектральная плотность S(Q) передаваемого сообщения, пfедстав­
ляющего собой видеоимпульс (рис. 4.10, а), равна [см. (2.67)
S(Q) = В sln (Q'tи/2)
Q/2
'
(4. 13)
а спектральная плотность огибающей Sл = kA8 S (О)= kA0 В х
Х sin(O,;и/2)/Q/2.
120

Так как в данном случае 00 =0 (рис. 4.10,6)-, ro по форму.
пе (4.Ю)
~ . ((J)-liJo)'tи
.
((l)+ooo)<tв]
SIП
SIП
2
Sa(w)= IIA"B
.
2
+----- •
(4.14)
2
lro-rou)/2
(ro+ro 0)/2
Графики спектральной плотности мqдулирующей функции &(t) и радио­
импульса a(t) изображены на оис. 4.11 .
,..
Q
о
Рис. 4.11
4.4. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ. ФАЗА
И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЯ
В случае простого гармонического колебания
а(t)= А0cos(w0t+00) = А0cos 'ljJ(t)
набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t = t1
до t r;;;;; t2 равен
(4.15)
Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы ва ка­
кой-либо промежуток времени пропорционален длительности етого
промежутка.
С другой стороны, если известно, что набег фазы ва время t2 - t,
равен -ф(/2) -
~(t1), то угловую частоту можно определить как отно­
шение
(4.16)
121

еспя, конечно. имеется уверенность, что в течение рассматриваемоrо
промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.
Из (4.16) видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость
изменения фазы колебан.ия.
Переходя к сложному колебанию, у которого частота может из­
меняться во времени, необходимо равенства (4.15)-(4.16) заменить
интегральным и дифференциальным соотношениями:
t,
'Ф(t2)-'Ф(11) = ~ ш (t) dt;
t,
ro(t)=dф(t).
dt
(4.17)
(4.18)
В этих выражениях ro(t) === 2nf(t) - мгновенн.ая угловая ча,стота
колебания: f(t) - мгновенная частота в герцах.
Согласно выражениям (4.17)-(4.18) полная фаза высокочастот­
ного колебания в момент t может быть определена как
t
~1 (t)=~ro(t)dt=~(J)(t)dt+00,
(4.19)
о
где первое слагаемое в правой части дает набег фазы ва время от на­
чала отсчета времени до рассматриваемого момента t, а 0 11 - начальная
фаза колебания (в момент t = О).
При таком подходе фаза 'ф(t) = <,1 0 t + 0(t), фигурирующая в вы­
ражении (4.1) должна быть заменена на
,r(t)= ro 0 t+ 0 (t)+80 •
(4.19')
Итак, общее выражение высокочастотного колебания, амплитуда
которого постоянна, т. е. A(t)=A 0 , а аргумент \/)(t) модулирован, мо•
жет быть представлено в форме
а(t)=Аоcos[Фоt+0(t)+0о1-
(4.20)
Из соотношений (4.18)-(4.19) следует, что измен.ен.ие фазы коле­
бан.ия во времени по закону 'ф(t) приводит к изменению мгновенной ча­
стоты по закону производной от 'ф(t), а изменение мгновенной частоты
по зifkoнy @(tJ приводит к изменению фаз/)l по закону интеграла от ffi(t).
Это положение, яв.ляющееся основным для теории угловой моду­
ляции, определяет связь между изменениями частоты и фазы и ука­
вывает на обtцность, существуfощую между· двумя разновидностями
yM6Ii'oй модуляции - частоты и фазы.
Следует отметить, что определение периода колебания Т как ве­
личины. обратной' частоте f, имеет смысл только при условии, что f -
величина постоянная. В случае же, когда частота f(t) является непре­
рывной функцией времени, величина 1/f(t) также является непрерыв­
ной, между тем как период Т является дискретной величиной. Дей­
ствительно, псщ периодом Т подразумевается время, в течение которого
фаза колебаv;ш изменяется на 2n. При представлении колебания в
122

виде вектора, вращающегося с угловой частотой ro(t) ~ 2nf(t), Т рав­
но времени одного полного оборота вектора. Ясно, что это время не
обязательно совпадает с величиной ll/(t), поскольку сама величина
f(t) иэменяется внутри рассматриваемого интервала времени Т. По­
втому, говоря о мгновенной частоте f(t), следует в общем случае от­
казаться от представления, что период колебания равен l lf(t). Лишь
__в
тех _ С./lучаях, когда имее1ся в виду очень медленное изменение часто ,,
ты f(t), определение Т как величины 11/(t) не приводит к существенной
ошибке.
Поясним соотношения (4.18)-(4.20) на примере простейшей гар­
монической частотной модулишrн, когда мгновенная частота к<NJебания
определяется выражением
r,1(t)=ш 0 +ыдсоsЩ,
(4.21)
Здесь rод ;::::; 2nfд представляет собой амплитуду частотного отклонения.
Для краткости rод в дальнd{шем будем называть де в и а ц и ей ч а­
стотыилипростодевиацией.Черезro0 иQ,какивслучае
амплиrудной модуляции, обозначены несущая частота и модулирующая
частота.
Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока
или напряжения), частота которого изменяется по вакону (4.21), а
амплитуда постоянна.
Подставляя в (4. 19) ro(t) из уравнения (4.21), получаем
l
'ljJ (t) = ~(ffi0+ wn cos r.!t) dt +00•
о
Выполнив интегрирование, найдем
Таким образом,
(4.22)
(4.23)
Ф1:tза колебания a(t) наряду с линейно возрастающим слагаемым ro 0 t
содержит еще периодическое слагаемое (ffiд/Q) sinQt. Это позволяет
рассматривать a(t) как колебание, модулированное по фазе. Закон этой
модуляции является интегральным по отношению к исходной чаG'I'от·
ной модуляции. Именно, изменение частоты по закону rод cosQt при·
водит к изменению фазы по закону (roдLQ) sinQ t .
Амплитуду изменения фазы
Ulд
0ыакс = -
=m
(4.24)
Q
частоназываютиндексом угловой модуляции.
123

Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от средней
(яемодулированной) частоты (1) 0 , а определяется исключительно ве­
личиной девиации (1) 11 и модулирующей частотой Q,
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабильное
по частоте и фазе колебание пропускается через устройство, осу­
ществляющее периодическую модуляцию фазы по закону 0(t) ~
~ 0макс sin !U, так что колебание нз выходе устройства имеет вид
а(t)=А0cos[ro0t+0максsi11Qt+00/.
(4.23')
т
Какова частота этого колебания? Применяя выражение (4.18),
находим
ro (t)= ~ (ro0 t + емане sin Ш+ 001=(J)o+ Омане Qcos!k (4.21 ')
dl
Учитывая соотношение (4.24), приходим к выводу, что 0мансQ=(J)д•
Таким образом, гармоническая модуляция фазы с индексом 0мако
эквивалентна частотной модуляции с девиацией rод = Омане Q.
И! приведенного примера видно, что при гармонической угловой
модуляции по характеру колебания нельзя заключить, с какой мо•
дул$fцией мы имеем дело - с частотной или фазовой. В обоих случаях
вe'imrp ОА, изображающий на круrЬвсiй диаграмме моду_лированное
колеб1~ние, качается относительно авоеrо исходного положенiя таким
обраэем, что угол 0 (рис. 4. 12) изменяется во времени по зак·ону:
0 = Омане sin Щ при фазовой модуляции, 0 = wд sin Qt = 0макс sin Qt
Q
nри чамотной модуляции (по закону Д(J) = (J)д cos Qt).
В то же время различие между частотной и фазовой модуляцией
проявл:,11ется при изменении частоты м6дgляции.
Upu частотной модуляции величина девиации (J)д пропорциональна
амплимуде модулирующего напряжен.ия и не зависит от частоты мо­
дуляции Q.
flpU фО9{)(J()й '1Ct MtJд!JЛЛЦUU 82ЛUЧ11,На {}мако пропорциональна йМ·
плитуде модулирующего напряжения и не эависит от частоты моду­
ляции.
124

Эти положения поясняются рно. 4.13 н 4.14, на которых показана
частотные характеристики для величин rод и 0мано при частотной и
фазовой модуляuии. В обоих случаях предполагается, что на вход
модулятора подается модулирующее напряжение с неизменной ампли­
тудой И, а частота Q изменяется от Qмиа до Qманс•
В первом случае, т. е. при частотной модуляции, величина (i)д,
зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды U, будет по­
стоянной величиной. Величина же индекса модуляuии, т~ (i)д1-Q=11
== 0манс• с увеличением частоты будет убывать (рис. 4.13).
••Во втором случае, т. е. при фазовой модуляuии, 0мамс не зависит
от Q, а (j)д = 0мамс Q изменяется пропорционально частоте модуля•
ции (рис. 4.14).
«1,i
с.,д
ФН
811QltC
8"акс
1
..
о
2
s,·
Рис. 4 13
Рис. 4.14
Если на вход модулятора подается не гармоническое, а сложное
напряжение, то структура модулированного колебания различна
при ЧМ и ФМ. В первом случае медленным изменениям сигнала, т. е.
низким частотам, соответствуют очень большие значения 0мано
(рис. 4.13), а во втором, т. е. при фазовой модуляции, - очень малые
вначения rод (рис. 4.14).
Поясним это на примере. Пусть на вход частотного и фазового моду­
ляторов подается одинаковое напряжение, частота которого изменяется
в пределах от F мин = 200 гц до F маме =: 2 ООО гц. При частотной мо­
дуляции fд = 20 кгц, а при фазовой модуляции еманс = 0,5 рад,
причем эти величины при заданной и неизменной амплитуде И остаются
неизменными в полосе от 200 до 2 ООО гц. Тогда при ЧМ максимальное
вначение фазового отклонения при F мин будет равно
fд 20 ООО
емано= --=--= 100 рад,
Fмин 200
минимальное же значение фазового отклонения при Fмаrю будет
fд
емин= - .
-
= 1о рад.
Fмамс
При фазовой модуляции минимальная девиация, равная fдмия=
-еманс Fмия = 100 гц, будет при нижней частоте модуJiяции Fмин•
125

Максимальная же девиация, равная fдмаис=0максрмакс= 1000 гц
будет при верхней частоте модуляции Fмакс ·
Помимо различия в структуре колебания (при модуляции сложным
сигналом), частотная и фазовая модуляции различаются по спосо~у
осуществления. В первом случае обычно применяется прямое воздеи•
ствие на частоту колебаний генератора. В случае же фазовой модуля­
ции генератор дает стабильную частоту, а фаза колебания модулиру~­
ся в одном из последующих элементов устройства
4.5. ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ УГЛОВОП МОДУЛЯЦИИ.
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть задано колебание
а(t)=А0cosf(t)ot+е(t)I,
(4.25)
относительно которого известно, что передаваемое сообщение s(t}
заложено в функцию 0(t). Если колебание a(t) получено с помощью
фазовой модуляции, то 0(t) и s(t) полностью совпадают по форме и от­
личаются лишь постоянным коэффициентом. При этом, очевидно, с точ­
ностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры функций
0(t) и s(t). В случае же частотной модуляции функция 0(t)
является интегралом от передаваемого сообщения s(t). Это выте­
кает из выражений (4.19) и (4.20). Так как интегрирование
является линейным преобразованием, то при частотной модуляции
спектр функции 0(t) состоит из тех же компонентов, что и спектр
сообщения s(t), но с измененными амплитудами и фазами.
Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции - фа­
зовой или частотной - и считая известным и заданны.м спектр фупк­
ции 0(t), найдем спектр модулированного колебания a(t). С этой целью
выражение (4.25) преобразуем к виду
а(t)=А0cos0(t)cos(1)0t-A0sin0(t)sin(1)0t.
(4.26)
Из (4.26) следует, что модулированное по углу колебание можно
рассматривать как сумму двух «квадратурных» колебаний вида cosш 0 t
и sin (t) 0 f, каждое из которых модулировано по амплитуде. Но в § 4.3
было установлено, что для определения спектра амплитудно-мод улиро­
ванного колебания достаточно сдвинуть на частоту (t)o спектр огибаю­
щей амплитуд . Следовательно, для нахождения спектра колебания
a(t), определяемого выражением (4.26), необходимо сначаJ1а найти
спектры функций cos0(t) и sin0(t),т. е. спектры огибающих квадратур­
ных колебаний. Перенос этих спектров на частоту u> 0 может быть за­
тем осуществлен таким же образом, как и при обь1чной а мплитудной
модуляции .
Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же пере­
даваемом сообщении спектр колебания, модулированного по уг.щ,
значительн.о сложнее, че,и ,1,юдулuрованн.ого по амплитуде. Действите.•1ь-
126

но, так как cos 0(t) и sin 0(t) являются нелинейными функциями
своего аргумента 0(t), то спектры этих функций могут существенно
отличаться от спектра функции 8(t): возможно возникновение кратных
и комбинационных частот, как это имеет место при обычных нелиней­
ных преобразованиях спектра.
Это обстоятельство, а также наличие двух «квадратурных» слага­
емых показывает, что при угловой модуляции спектр модулированного
колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на
величину несущей частоты ro 0 , как это имеет место при амплитудной
модуляции. Связь между спектрами сообщения и модулированного
колебания оказывается при угловой модуляции более сложной.
4.6 . СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОА
VГЛОВОЯ МОДУЛЯЦИИ
Приложим полученные выше результаты к колебанию вида
а(t)= А0cos(ro0t+тsinQt).
(4.25')
Это выражение совпадает с (4.23) и (4.23'). Начальная фаза 8 0 , а также
начальная фаза модулирующей функции у опущены для упрощения
выкладок. В случае необходимости они легко могут быть введены
в окончательные выражения.
В данном случае 0(t) = msiпQt. Подставляя 0(/) в выражение
(4.26), получаем
а (t) = А0 cos (m sin Qt) cos ro0 t-A0sin (m sin Qt)sin ro0 t. (4.27)
Учитывая, что множители cos(msiпQt) и sin(msiпQt) являются
периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье.
В теории бесселевых функций доказываются следующие соотно­
шения:
sin(тsinЩ)= 2Ji(т)sinQt+2J8(m)sinЗQt+
+2J&(m)sin 5Qt -
cos (m sin Qf)= J 0 (m)+2J2(m) cos 2Qt +2J4(m)cos 40t+ ... ,
sin (m cos Ш)= 2Ji (m) cos Ш-2J 3 (m)cos ЗQf +
+2J& (m)cos 5Ш-
соs (т cos Qf)= J 0 (m)-2J2 (m)cos 2Qt + 2J 4 (m)cos 4Qt- .. .
(4.28)
(4.29)
(4.28')
(4.29')
Здесь J n (m)-бесселева функция первого рода п-го порядка от
аргумента т.
С помощью соотношений (4.28) и (4.29) уравнение (4.27) может
быть приведено к виду
a(t)=А0 [J0 (т) cosro0 t-2J1 (т) sin Qt sin ro0 t +
+ 2J11 (т) cos 2Qt cos ro0 t-2J8 (т) siп ЗQt sin ro0 t + ...], (4.30)
.127

или в более развернутой форме
a(t)=А0cos (ro0 t +т sin Ш) =А0 \J0(m)cos (1)0 t+
+ Ji(т)/cos(w0+Q)t-cos(w0-Q)t]+
+ J2(т)[cos(ro0+2Q)t+cos(w0-2Q)t]+
+J8 (т) /cos (ro0 +ЗQ) t-cos (ro0 -ЗQ) !J +
+ .................j.
(4.31)
Таким образом, при частотной и фазовой модуляции спектр коле­
бания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных
попарно симметрично относительно несущей частоты ro 0 и отличаю­
щихся от последней на пQ, где п - любое целое число. Амплитуда п-й
боковой составляющей равна An = Jn(m)A 0, где А 0 - амплитуда
немодулированноrо колебания, а m - индекс модуляции. Отсюда
следует, что «удельный вес» различных боковых частот определяете-я
величиной т.
Рассмотрим режимы . угловой модуляции при малых и больших
sначениях т. Если m ~ 1, так что имеют место !приближенные ра~
венства
sin(тsinQt)~тsinШ, cos(m sinШ)~1,
то выражение (4.27) переходит в следующее:
а(t)=А0(cos ro0t-msinЩsin ro0t)=
=A0[cosro 0 t+; cos(ro 0 +Q)t-; cos(ro 0 -Q)t]. (4.32)
Сравним это колебание с амплитудно-модулированным колебанием,
у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообщение)
такая же, как и при частотной модуляции. Так как выражение (4.32)
получено из (4.25), то для удобства сравнения зададим амплитудно­
модулированное колебание в аналогичной форме:
а(t)= А0[1+МsinQt]cosro0t=
(4.33)
Из сравнения (4.32) и (4.33) видно, что при малых значениях т
спектр колебания, как и в случае амплитудной модуляции, состоит из
несущей частоты ro 0 и двух боковых частот: верхней w 0 + Q и нижней
w0 - Q . Единственное отличие заключается в фазировке боковых
частот относительно несущего колебания. Это положение иллюстри­
руется векторной диаграммой, показанной на рис. 4.15, а и б. Вектор
модуляции DF при угловой модуляции всегда перпендикулярен
к направлению вектора OD, изображающего несущее колебание
(рис. 4.15, а). Вектор OF, изображающий результирующее колеба­
ние, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при
т = еманс ~ 1 амплитудные изменения настолько малы, что ими
128

можно пренебрегать и модуляцию можно в первом приближении рас,
сматривать как чисто фазовую. При амплитудной модуляции
(рис. 4.15. б) вектор OF изменяется только по амплитуде.
Спектральная диаграмма угловой модуляции при m << 1 пока­
зана на рис. 4.16. Так как фазы отдельных составляющих колебаний
sтой диаграммой не учи-rываются, то характер диаграммы получается
такой же. как и в случае амплитудной модуляции (рис. 4. 7). Ампли.
о
F
,._ .,, .'Jf7C'_,_ тА1
1
1
1
а)1
_t2
Рис. 4.15
туды колебаний боковых частот равны тА 1112, таким образом, в данном
случае индекс модуляции m совпадает по uе.rшчине с коэффициентом М,
характеризующим глубину изменения амплитуды при амплитудной
модуляции. Заметим, что ширина спектра при m <<1 равна 2Q, как
и в случае АМ. Этот результат показывает, что при очень малых деви-
ациях rод (по сравнению с Q) ши-
А
01
рина спектра от величины rод не
зависит.
При увеличении фазового от-
mA!
mAp
клонения, т. е. при возрастании
2
z
величины m, уравнение (4.32) и
I
_
т
диаграмма рис. 4.15, а не дают пра-
t,J0-Q
t,,Jo
ы0•Q ;;
вильноrо представления о действи-
тельной картине явлений при ча-
Рис. 4.16
статной или фазовой модуляции.
Это объясняется тем, что с помощью колебания несущей частоты и
всего лишь одной пары колебаний боковых частот невозможно пред­
ставить колебание, частота или фаза которого изменяются в широ­
ких пределах по синусоидальному закону, а амплитуда остается
строго постоянной.
Для получения правильной картин.ы необходимо учитывать бо­
ковые частоты высщих порядков, в сщ>твеrs1_:1:щи с выражением (4.31).
При значениях индекса m от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение
вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна б!хfр
приравнена 4Q. Далее, при 1< m < 2 ,r,~р'иходится считаться с трет1;>•
ей и четвертой парами боковых частот и т. д. Спектроrр~н,tмы для т =
= 1 и т = 2 приведены на рис. 4.17, а и . б. Амцщпуды 1;1сех сост.авля­
ющих спектра представлены на этих ··р~с}fнках в виде вертикальнь,р~:
отрезков, длины которых равны J п(т), а..,,расстояния от отрезка J о(т),
соответствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны пQ,
. 1~9

rде Q - частота модуляции, а п
-
порядковый нормер боковой ча­
стоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 100%,
' 1 ' . е. А O = 1; обозначенные на рисунках величины Jn(m). дают амплитуды
колебаний соответствующих частот в процентах от амплитуды резуль-
1'ирующего колебания.
%
m•I
m=Z
80
60
lfO
20
о
1
1
11
1
11
"-'о
а)
5)
Рис. 4.17
Рассмотрим теперь случай больших значений т. Вопрос сводится
к выяснению зависимости бесселевой функции J п(т) от порядкового
номера п при больших значениях аргумента т. Оказывается, что при
т » 1 величина J,,(m) более или менее равномерна при всех значениях
Jn(m)
0,16
\
т•ЮО /
'
q12
V
........
о.он
V
0,fJII
,)
\..
о
100
п
Рис. 4.18
п, меньших, чем аргумент т. При п, близких к т, J,.(m) образует
всплеск, а при дальнейшем увеличении п функция Jп(т) быстро убы•
вает до нуля. Общий характер этой зависимости показан на рис. 4.18
для т = 100. Из рисунка видно, что наивысший номер п боковой ча­
.стоты, с амплитудой которой необходимо считаться, приблизительно
равен индексу модуляции т (в данном случае п = 100).
Приравнивая это максимальное значение пмаис величине т, при·
ходим к выводу, что полная ширина спектра модулированного коле
6ания равна
130

Но т = roд/Q. СледоватеJ1ьно, при 6ольших индексах модуляции ши­
рина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации
частоты:
2п~ннн: ~~ = 2wд.
(4.34)
Заметим, что в соответствии с определением т [см. (4.24)], выра­
жение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению «бы­
страя модуляция», а «модуляция с большим индексом» эквивалентна
«меменной модуляции». Поэтому можно сформулировать следующее
положение: при быстрой угловой Аt0дуляцаи (когда rод << Q) ширина
спектра модулированного колебания близка к величине 2Q; при мед­
ленной угловой модуляции (когда (i)д ~ Q) ширина спектра близка
к величине 2rод.
4.7. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ СJIОЖНОИ
УГЛОВОЯ МОДУ,ПЯЦИИ
Для уяснения метода нахождения спектра при несинусоидальной
угловой модуляции рассмотрим некоторые важные для практики при­
меры сложной периодической модуляции фазы.
1. «Прямоугольное» изменение фазы (рис. 4.19,а)
Скачкообразное изменение фазы используется в системах, работающих с фа­
зо-манипулированным сигналом.
При обозначениях, приведенных на рис . 4.19 а, изменение фазы внутри
о.дного периода модуляции определяется следующими условиями:
0(t)=1
т
Uмюн,; при 0<t<
2,
-
0макс
т
при- <t<Т.
2
(4.35)
Изменение частоты колебания Лw(I), равное производной от 0(t) имеет вид,
показанный на рис. 4. 19, б. Величина Л(J)(/) равна нулю на всей оси t, кроме-
2Т
моментов t = О, ± Т/2, ± 2 и т. д., в которых функция 0(t) терпит разрыв.
В этих точках Л(J)(/) обращается в бесконечность. Математически это соответст-
1Jует знакопеременной последовательности дельта-функций, умноженных на
постоянный коэффициент k, который определяется из условия, чтобы интеграл
от Лro(t) совпадал с заданным законом изменения фазы.
Рассматривая, например, момент времени 1 = О, получаем следующее усло­
вие:
откуда
Т/2
Т/2
Jдw(1)dt= \ k6(1)dt=20мако,
-
Т/2
-Т/2
Т/2
k ,\ 6(t)dt=k=20макс•
- Т/2
131

Таким образом, изменение частоты вблизи момента времени t - О должно
~ыть представлено в виде функции 20манс 6(t). В моменты времени t""" ± Т/2
аналогичные функции должны быть записаны в виде -20манс 6(t ± Т/2) и т. д.
Обратимся к определению спектров функций cos0(t) и siп0(t), т. е. огибаю­
щих квадратурных колебаний [см. выражение (4.26)). Графики этих функций
показаны на рис. 4.19, в. Так как 0(t) - нечетная функция времени, постоянная
внутри интервалов О, Т/2 и О, -Т/2, то cos0 ""' соs0ман, ""' const, а sin 0 имеет
вид прямоугольной волны с амплитудой, равной siп0манс• При выбранном на
рис. 4. 19 начале отсчета времени sin8(t) яэляется функцией, нечетной относи­
тельно t. Поэтому ряд Фурье этой функции содержит только синусоидальные
.составляющие.
SLn
-т12
1
0
1
·28,,,aк,,J{ti-Т/2)
1
:
6)
sinB
о
В)
Рис. 4.19
--
t
Т/2 т
t
Т/2
т
t
Применяя выражение (2.32), находим общее выражение для коэффициента
ряда
Но
2
Ьsп=т
Т/2
Т/2
Ssin0(t)sinnQtdt= ; Ssin0манс sinпQtdt =
-Т/2
О
4 sin 0манс (
Т)
ТпQ
cosпQ2-1
.
пQТ
-
2-=пл,
следовательно,
4 sin 0манс
Ьsп=---=о=-
лп
прип=1,3,5, .•,
•
Ьэп=О при п=О, 2,6, ...
Таким образом, ряд Фурье для sin 0 (t) имее" следующиlt вид~
sfn0(t) = ..i.__
sln6мансfsinШ+-
1
-
slnЗШ+..l.. sln5Qt+ }
п.
.
3
5
.
.. ••
182

Теперь остается перенести спектры огибающих cos 6 (t) и sin 6 (f) на соотве,,:'1'-
вующие квадратурные колебания .
.
~ nnnоо nnnn!П nn1V' .
~~~V~Т\l\JYUlll V~У\Г t
1
1
1
•-Т/2
tO
•Т/2
Рис. 4.20
Кесинусное колебание запишется как
А0cos0(t)cos rool =- Аоcos0макоcosroof.
а синусное колебание -
4
[
1
А0sin6(t)sinro0t = -;-А0sin6манс sinШslnФоt+3 slnЗОt slnФоt+
++sin5Шsinro0t+ . ..]=: Aosin6мaкo[+cos(Фo-O>t-
l
11
11
]
-
-
--
cos (ro0+Q)t+-•-
cos(000- ЗЩt--
• -cos (ооо+ЗО) t+... .
2
23
23
_
2А0/к
Рис. 4.21
Таким образом, окончательное выражение для фаэо-манипупированноrе
колебания принимает следующий вид (см. (4.26)]1
а(t)-= А•{cos0максcos Wot + : sin0макс{cos(oou + _Q)t - cos (000-0)t]+
2
+- sln0макс(cos(оо0+30)t- cos (000- ЗQ)t]+
Зл
+ ~ sin0макс(cos(000+5Q)t-cos(roo- 5Q)1)+.. -}-
(4 .36)
Для пр,ак:rики ос,9бый интерес представляет случай 8макс -=- n/2, когда ска­
чок фазы. равен n: Фазо,маН,!!!IУJtир_ованное колебание при этом принимает вид,
nоказаннБiй' на рис. 4,20. Че,rез · каждые поппериода модуляции происходит «оп•
р()Кf1ДЫВ8ИИ8 фа§·ы» колебания; При этом соs0манс - О; sin0мaнo
-
1н
а(1)=
-
(cos (Wo + Щt-cos (Фо-Щ t) + - [cos (оо0 + ЗQ) t-
2Ао {
1
n
3
-c:os (оо0- 30)t]++(cos(ro0 +50)t- cos (00 0
-
SQ)t]+...}· (4.37)
133
.......

Спектр амплитуд для втоrо случая построен на рис. 4.21. При частоте Ф - 111о
амплитуда равна нулю. Это означает, что при 0макс - n/2 в модулированном ко­
лебании несущая частота вообще отсутствует.
2. «Треугольное» изменение фазы (рис. 4.22,а)
В приведенных на рис. 4.22, а обозначениях изменение фазы колебания
внутри одного периода модуляции
О(t)= -
0макс +
4
Омащ, 1t 1
т
B(t)
-Т/2 11
1
а)
1
LJw{t)
1
·Т/2
о
5)
Рис. 4.22
т
при O<lt1< 2
,
t
з"'-
Т/2
t
Изменение частоты колебания, показанное на рис. 4.22, б, запишется в видо
d!:J (t) j ~0мuкс=Шд
Л(IJ(t)=--=
4
dt
-
ТОмакс= -
(i)д
т
при О<t<
2,
т
при-2
<t<О.
Пйдобный закон и з менения частоты используется в системах, работающих
с частотно-манипулированн.ым сигналом.
В данном случае 0(t) является четной относительно t функцией, по;:1тому
спектр функций cos0(t) и sin0(t) выразится через косинусные коэффициенты
4
Tf2
4
Т(2
а,r..=т S cos6(t)cosnQtdt = т ~ COS((i)дt-0мaкc)COsnШdt,
о
о
4Т/
si.n 0 (t) cos пШ dt = Т ~ sin ((i)д t-0макс> cos пQt dt.
02
Еt~.полнив несложные тригонометрические преобразования и ввеАя обозна•
~ения
Wд
11,
[~ =2т,
134

rде т - индекс модуляции, после вычисления интегралов придем к следующим
окончательным выражениям:
асо2.m:rt
т=;;;; sшт,
4
т
.
mn
а--
stn -
при четных п,
сп- n (m2-n2)
2
=О•..•,.
при нечетных п,
4
т
тn
a8n= -
cos -
при нечетных п,
n (т2-п2)
2
=О
• при четных n.
Таким обраsом,
2
m:rt
4
cos6(t}=-sin -+ -
nт
2
n
+~т
n (m2 -42)
т
mn
sin.. -2 cos 2ш+
(т'-2 2 1
mn
sin
2соs4Ш + ... ,
4
m
m:rt
4
т
m:rt
sln6(t) =-;- (m2_ 12) cos 2 соsШ +-;- (т2_32) cos2
cos зш+ ...
Подставив полученные ряды в общее выражение (4.26), полуqим
[
2
тn
4
т
тn
a(t)=Ao -siп-cos(J) 0/-- 2 12 ) cos-
2
cosQtsiп(J),,t+
nm
2
n
(m-
+-
---- sin -
cos2Qt cos(J)Q/ -
...
=
4
m
mn
]
n (т2-22)
2
2[1
m:rt
т
mn
=An-
-
sin - cos CJ)0t-
2
2
cos -
2
sin ((J)o+ Q) 1-
n
т
'2
(т -1)
т
m:rt
т
mn
(т2-12) cos 2
sin((J)0- Q)1+(m2_
22) sin2
cos (юо+ 2Q) t+
+
2
m
sin m'2n cos ((J)0- 2Q) t-
.. .J.
(4.38)
(m -22)
Из (4.38) видно, что спектр колебания состоит из большого числа боковых
частот, аплитуды которых пропорциональны 2m/[n(m2 - п2)].
Рис. 4.23
ПрR т _, О . все слагаемые в а(/), кроме первого, обращаются в нуль. Ампли­
' l 'J.18 первого слагаемого после . раскрытия неопределенности обращается в А 0 .
Если т - целое число, то один из коэффициентов вида т/(m 2 - n2) при (m = n)
обращается в бесконечность, однако при учете множителя cos(rcm/2) или sln(лm/2)
135

получается неопределенность, которая .nerкo раскрываете я. Ка r( н в случае rap•
монической модуляции (см. § 4.6), при больших значениях т амплитуды боко­
вых частот максимальны для значений n, близких к т. При дальнейшем увели­
чении n ам11лliтуды боковых частот быстро уменьшаются.
Спектр амплитуд частотно-манипут.чрованноrо коле6а11ия при т ... 4 изоО­
ражен на рис. 4.23. Здесь (1)1 -= (1)0 - m~2. а ro2 -
ron + т,1.
3. Изменение фазы по квадратичному з.~v..ону
(рис. 4.24, а)
Соответствующая этому измене!!ию фазы пилообразная модуляция частоты
изображена на рис. 4.24, 6, на котором через (l)д обозначена амплитуда откло­
нения мгновенной частоты от средней частоты w0, а через 2wц - полный размах
частоты за один период модуляции. Такая модуляция часто применяется в
различных радиотехнических системах и · измерительных устройствах.
t
Рис. 4.24
Для отыскания спектра непрерывного !{ОЛебания, частота которого изме­
няется по периодическому закону, показанному на рис. 4.24, б, поступим сле­
дующим образом. Выделим отрезок колебания, соответствующий одному перио­
ду изменения частоты (рис . 4.25), и найдем спектральную плотность S(w) такого
непериодического сигнала . Используя затем установленную в § 2.6 связь между
спектрами периодического и непериодиIJескоrо сигналов, найдём дискретный
спектр сигнала при периодиqеской пилообразной модуляции . Преимуществом
такого способа является большая наглядность структуры сплошного спектра -
амплитудного и фазового - по сравнению с дискретным спектром. Кроме того,
спектр одиночного импульса, изображенного на рис. 4.25, понадобится в даль•
нейшем.
В приведенных на рис . 4.25, б обозначениях мгновенную частоту заполнения
импульса можно пр едставить следующим образом:
(4.89)
где
2wц 211.fд
13=- = 2-
т
т
(4.40)
есть скорость изменения (линейного) частоты внутри импульса, длительность
кото1юго равна Т . Тогда мгновенное значение колебания в интервале от -Т/2
до Т/2 (рис. 4.25, а) определяется выражением
136

a(t)=Aocos(J oo(t)dt) =A0 cos ( oo 0 t+ Р;
1
),
(4.41)
т
т
-т< 1 <+т-
Применяя общее выражение (2.48), определяем спектральную плотность
рассматриваемого радиоимпульса:
тр
f}t2
S(oo)=Ao J cos ( ООоt+т) e-lwt dt =
-Т/2
=- +Ап rг ехр{t [р;2
-(00-000) t]} dt +
-Т/2
1
[/2
[ pt2
]
+2 Ао \ ехр{-i 2+(оо+ 000) t }dt,
-У-12
-т/21
Т/2 t
1
1
1
1
~-~- --
-~ i~
--
-
t·t г-------~--------
0.А1
1
1
1
!о;-------
1
h-1дi,c;..---~o----....i-Lt--
5)
Рис. 4.25
(4.42)
Первое слагаемое в правой qасти полученного выражения определяет
всплеск спектральной плотности вблизи частоты оо = 00 0 , а второе - вблизи
частоты оо - -000
.
При определении S(oo) в области положительных частот второе слагаемое
можно отбросить [см. § 4.3, пояснения к формулам (4.11) - (4.11 ' )].
В первом же слагаемом показатель степени в подынтегральной функции це-
11есообразно дополнить до квадрата разности (Р считаем положительной величи ­
ной)
? -(00-000) t = [~:
2
-
(оо -000) t +d
1
]-d
2
=(V: t- d)2-d
1
,
(4.43)
rде использовано обозначение
(4.44)
137

Полставпяя выражение (4.43) в (4.42) и переходя к новой переменной
х = V{t-d,
(4.45)
получаем
Обозначим пределы интегрирования через и 1 и и~,
Заметим, что произведение ~ Т = 2оод есть полная девиация частоты (угло­
вой) внутри импульса, ,1 ~Т· Т""" 2u,дТ представляет coбoii безразмерный пара•
метр, имеющий смысл индекса фазuвой модуляции. В данном случае 'lастотную
модуляuuию удобно характеризовать с помощью произведенин по11ной девиации,
выраженной в герцах. на длительность импуJ1ьса Обозначим этот параметр че­
рез т:
rn=2fцT,
Тогда и 1 и и2 можно записать так:
ui=V:rt m-Vn т ш-oo"=V:rt m(\-
00
- roo),
.
1
4
4
Фд
4
Фд
• /-n--
v-n-- W-Wo
,
~(
W-00 )
U2=-r
-m-
- m-=-v dm 1+-'.
4
4
uJц
4
ООд
(4.46)
(4.47)
В этих обозначениях выражение для S (ОО) прин11мает сле,1.J,ующий ви,!.J, :
А -t<ш-оо.)• [и,
и,
]
S(oo)= ~ ,~e
28
fe1
x'dx-Je1x'dx =
r2~
о
о
1
-
-
, (00-000)'
=2у'"~Аое 26
{C(u1)-C(u2)+i[S(u1)-Stи2H}, ,4,48)
rде интегралы Френеля С (и1 ) и S (и 1) запишутся в ви,11;е
138

и,
С(и11=
2
Scosх2dx:
- V2n
о
(4.49)
Из (4.48) следуе11, что модуль спектральной плотности рассматриваемого
с::яrнала равен
о
0,8
1,2
1,G Ы -1L1q
S(wW-
а
(,J
т-60
-A_o_
1,0~1 -V'\.AlcPnf--\---l+~- --+ ---+ --- ----4
о
0,lf
б,В б) 1,2
1,6
S(ILI)'/#
/Ф(tJJ)/
_A_D_
т
1,0
2,0
0,5
1.0
о
о.'+ 0,8
r,z
(,J -1,Jo
8)
W.4
Рис. 4.26
139

а фазовая !Характеристика спектра при ю > О
(ю-ю 0)2
S (и1)-S (и2)
,Р(оо)= 2В -arctgC(и 1 )-C(u2)=
:n:
(ro-ro0 ) 2
S(и 1 )-S(и2)
=-т
2
- arctg
4
оод
С (и1)-С (и2)
(4.51)
Графики зависимости S(w)Y 2~/:n:/ А 0 от (ro - roo)/roд для нескольких значений
параметра m изображены на рис. 4.26. Существенно, что при больших значениях
m (порядка ста и больше) форма S(oo) приближается к прямоугольной и ширина
спектра близка к величине 2rод, а фазовая характеристика ч,(rо) принимает вид
квадратичной параболы (рис. 4 .26, в) . Второе слагаемое в (4.51), стремящееся
к постоянной величине n/4, опущено. При ro = ro0 и1 ""' { nm/4, а и2 = -
и1•
Прибольших т, т. е.приIи11= 1и21» 1,С(и1) - С(и2) = 1иS(u1)- S(u2)=
=
1. Таким образом, квадратный корень в выражении (4 .50) обращается в {2
иS(oo0) ~ у
2
; ·Ао.
В случае отрицательного ~ (т. е. при убывании частоты внутри импульса)
выражение (4.50) остается прежним, а в (4.51) знаки должны быть изменены на
обратные. Наконец, при отсчете времени от начала импульса спектральная плот­
ность рассматриваемого сигнала, сдвинутого на Т/ 2 в стор'1НУ запаздывания,
должна быть представлена в форме
S(w)=S(w)e-/ '11(6)) e-i(J)T/ 2 ,
(4.52)
rде S(oo) и "ф(Ф) определяются соответственно выражениями (4.50) и (4.51).
Итак, спектральная плотность одиночного импульса с линейным измене­
нием частоты заполнения найдена . Для построения дискретного спектра колеба­
ния с пилообразной ча~то.тной модуляцией (рис. 4.24, б) остается на рис. 4.26
нанести спектральные ли11ии, отде.11енные одна от другой частотным интервалом
равным 1/Т, а также изменить масштаб по оси ординат в 2/Т раз [см. § 2.6, вы­
ражение (4.41)] .
Приведенных примеров достаточно для уяснения методики нахождения
спектров колебания при любых законах периодической модуляции фазы или
частоты, а также прн некоторых непериодических модулирующих сиrналах.
В более общих случаях , например при модуляции частоты или фазы случай•
ными процессами, нахождение спектра эффективнее осуществлять по автокор­
реляционной функции модулированного колебания .
4.8. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА
УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА
Современное состояние радиотехники характеризуется непрерыв­
ным усовершенствованием способов передачи информации . Это раз•
витие идет по линии изыскания новых видов сигналов и новых способов
их обработки.
Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные коле­
бания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто
приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате
одновременной модуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания
по весьма сложному закону.
В любом случае предполагается, что заданный сигнал s(t) представ­
ляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные
140

составляющие сигнала группируются в относительно узкой по срав­
нению с некоторой центральной частотой ffio полосе.
При представлении подобных сигналов в форме
s(t)=A(t)cos,p(t)
(4.53)
возникает неоднозначность в выборе функций A(t) и ,P(t), так как при
любой функции ,p(t) всегда можно удовлетворить уравнению (4.53)
надлежащим выбором функции A(t).
Так, например, при желании, простейшее (гармоническое) коле­
бание
s(t)=А0cos (J)of
можно представить в форме
s(t)=А(t)coswt,
где ffi = ffio + Лffi.
(4.54)
(4.54')
В выражении (4.54') огибающая A(t) в отличие от А O является
функцией времени. Эта функция может быть определена из условия
А0cosffio t =А(t)cos((1)0+Д(J))t,
откуда
А(t)= Aocos Фоt _ _____A_0 _co_s_ro_0
_t____ _
cos (rо0 +дю) t
cos дюt cos ю0t-sinдюt sin ю0 t
Ао
=----= --- -
cos дюt-sin дюt tg ю01
(4 .55)
Из этого примера видно, что при нерациональном выборе аргу­
мента ,P(t) [oot вместо ro 0 t) сильно усложнилось выражение для A(t),
причем эта новая функция А(/), по существу, не является «огибающей»
в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую s(t)
(вместо касания в точках, где s(t) имеет максимальное значение). Опе­
рирование о подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых
случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным прак­
тическим выводам (например, при рассмотрении работы амплитудного
детектора).
Неопределенности можно избежать при представлении A(t) и '!)(t)
с помощью следующих соотношений:
A(t)= Ys2(t)+si(t),
(4.56)
• 11 (t)=arctg 51(t)
,-:
s(t) '
(4.57)
где s1(t) - новая функция, связанная о исходной функцией s(t) соот­
ношениями
00
s1 (t)= --
1 J s(i-) dт,
n
1:-t
-оо
(4.58)
141'

t
s(l)=-
n
""
S s, (-с) dт:.
i;-t
-оо
(4.59)
Эти соотношения называются преобразованиями Гильберта, а функ­
ция s1(t) - функцией, сопряженной (по Гильберту) функции s(t).
В соответствии с выражениями (4.56}-(4.57), рассматриваемая
функция s(t) представлена в виде проекции вектора A(t) на ось аб­
сцисс относительно которой отсчитывается_уrол '\)(t) (рис. 4.27).
Д~я выяснения смысла выражений (4.56)-(4.57), а также треба·
вания, чтобы s1(i) являлась функцией, сопряженной по Гильберту
о-
s(t)
Рис. 4.27
исходной функции s(t), рассмотрим сна­
чала некоторые свойства A(t), вытекаю­
щие непосредственно из выражения
(4.56) и справедливые при любой функ­
ции St(t).
s,(t)
Прежде всего мы видим, что в точ-
ках, где функция s1(t) равна нулю,
имеет место равенство
А (t) =S (t).
Дифференцируя (4.56), получаем
dA
ds
ds
A-=s-+si ~ .
dt
dt
dt
Отсюда видно, что при s1 =: О, когда А (t) = s(t), имеет место допол­
нительное равенство
dA ds
-=-
dt dt
Следовательно, в точках, в которых s1(t) == О, кривые A(t) и s(t)
имеют общие касательные.
Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно
было рассматривать A(t) как «простейшую» огибающую быстро осцил­
лирующей функции s(t).
Необходимо потребовать, чтобы кривая A(t) касалась кривой s(f)
в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно
близкое к нему значение. Иными словами, в точках, где s1(/) обращается
в нуль, функция s(t) должна принимать значения, близкие к ампли­
тудным. Это условие как раз и обеспечивается, если функция s1(t)
является сопряженной по Гильберту функции s(t). Эrо свойство пре­
образований Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере
гармонического сигнала.
Пусть s(t) = cosffi 0 f. Найдем сопряженную функцию s1(t). При­
меняя общее выражение (4.58) и переходя к новой переменной х =
='t'-
t, находим
00
00
\ss(t)
1J
s1(t)=- -
--dт=- -
п
,:-t
n
-оо
-оо
142
cosro0,:dт=
,:-t

00
00
1
tscosw0хd+1 •
tssinw0хd
= --СОSФо
---
х -smФо
---
х.
n
х
n
х
Известно, что
-оо
(в смысле главного значения) и
Ssinx d
--
X=1t .
х
-оо
-оо
Следовательно, функции s (t) = cos ro 0 t соответствует сопряженная
функция
s1(t)=sinw0t,
которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция про­
ходит через максимум. Аналогичным образом нетрудно убедиться,
что функции s(t) = sinro 0 t соответствует сопряженная функция
S1(t)= -COSu>0t.
Подставляя s(t) = cosro 0t и s1(t) = sinro 0t в выражение (4.56), по·
лучаем для огибающей гармонического колебания общепринятое вы ­
ражение
А(t)=Vcos
2
w0t+sin2w0t=1.
Аналогичный результат получается и для s(t) = sinro 0t, s1(t) =
с= -cosw 0t.
Как видим, выражение (4.56) определяет огибающую в виде линии ,
касательной к точкам максимума исходной функции и, в случае гар­
монического колебания, соединяющей два соседних максимума крат­
чайшим путем - прямой линией. Таким образом, выражение (4.56)
определяет «простейшую» огибающую.
Это свойство выражения (4.56) сохраняется и в случае сложного
сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибаю­
щей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале [см. выражения
(4.1) ].
Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных
составляющих
S(t)=~(апcosWnt+ЬпsinWnt),
(4.60)
п
-r o сопряженная функция
S1(t)=I (апsinО)пt-Ьп cosО)п t).
(4.61)
п
Ряд (4.61) называется рядом, сопряженным ряду (4.60).
143

Если сигнал s(t) представлен не рядом (4.60), а интегралом Фурье
00
s(t)=-;-~[а(ro) cosФt+Ь(ro)siпФt]dФ,.
о
(4.62)
то функция s1(t) может быть представлена в виде интеграла
00
s1(t)= -
1 ~ [а(Ф)sinwt-b(w)coswt]dw,
1t -оо
(4.63)
сопряженного интегралу (4.62).
Нетрудно установить связь между спектрами функций s(t) и s1(t).
Так как при преобразовании гармонического колебания по Гиль•
берту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по моду­
лю спектральная плотность S1(ro) сопряженной функции s1(/) не мо­
жет отличаться от спектральной плотности S(Ф) исходной функции
s(t). Фазовая же характеристика спектра S1(ro) отличается от фазовой
характеристики спектра S(Ф). Из сопоставления выражений (4.63)
и (4.62) непосредственно вытекает, что все спектральные составляющие
функции s1( t) отстают по фазе на 90° от соответствующих составляющих
функции s (t). Следовательно, пр11 Ф > О спектральн:,~е плотности
S1(m) и S(w) связаны соотношением
S1 (Ф)= -iS(Ф), w> О.
(4.64)
В области отрицательных частот соответственно получается
(4.65)
Вследствие изменения фазовой характеристики сопряженная функция
s1(t) по своей форме может сильно отличаться от исходной функции
s(t).
Нетрудно, наконец, заметить, что если исходный сигнал записан
в форме
s(t)=A (t) cos 'ljJ (t) = А (t)cos [Ф0 t +е (t)+ 00},
(4.66)
где огибающая A(t} определена соотношением (4.56}, то сопряженная
функция может быть записана в аналогичной форме
Si(t)=А(t)sin'ljJ(t)=А{t)sin[ro0t+0(t)+00].
(4.67)
Это вытекает непосредственно из определения (4.57) и рис. 4.27 .
После того как найдена сопряжеilная функция s1(t), нетрудно
с помощью выражений (4.56)-(4.57) найти огибающую A(t), пол­
ную фазу 'ф(t) и, наконец, мгновенную частоту узкополосного сиг­
нала
(4.68)
144

Выделив в найденной таким образом частоте ro(t) постоянную часть
ro 0 , можно написать выражение для \j)(t):
'ljJ(t)= ro0t+0(t)+00,
(4.69)
в котором 0(t) не содержит слагаемого, линейно зависящего от вре­
мени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты»
сигнала ro 0 и соответственно функции 0({).
Поясним применение преобразования Гильберта к определению огибающей
фазы и мгновенной частоты сигнала на следующем примере.
Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с близки•
ми частотами 00 1 и (J)2:
s(t)=A 1 cosoo 1 t+A2 cosoo 2 t,
и требуется s(t) представить в форме
s (t)=А(/)cos[ro0 t+0(t)+0о],
(4.70)
(4. 71)
Расстройка I Л(J) 1""' 1()) 2 - ro 1 1 полагается настолько малой по сравнению
с (ro 2 + ()) 1)/2, что колебание s(t) можно считать узкополосным.
Что следует в данном случае подразумевать под А(/), ()) 0 и 0(t)? Непосред­
ственно из выражения (4.70) трудно выявить структуру огибающей и фазы ре•
эультирующего колебания s(t). Используем поэтому выражения (4.56) - (4.57).
Сопряженная функция
s1 (t)=A1sin ro1l+A2sin ro2t.
Применяя формулу (4.56), находим огибающую сигнала s(t):
A(t)= У(А1cos 001 t+A2 cos w2 t)2+(A1sinw11+А2sin w2 1)2 =
где приняты обозн а чения
= А1vl+k2+2kcosЛoot,
А2
k =-,
Лrо =ffi2 -ffi1,
А,
причем для определенности считается, что k < 1.
Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (4.57):
s1 (t)
sinoo 1 1+ksinoo2 1
"1= arctg-- =
arctg--"----'-- -.. . .: . .-.
, (t)
cosffi11+kcosffi2t
(4.72)
(4 .73)
Применяя далее формулу (4 .68), после несложных алгебраических и три-
1·онометрических преобразований приходим к следующему выражению для мrно•
венной частоты :
л k+cos Лffil
ffi(i)=ю +k ro-------(J) +"'(t)
1
I+k 2 +2kcosЛrot -
1
·•
•
(4.74)
Функция Т)(t) является периодической, с периодом 2л/ Лrо. Найдем постоянную
составляющую этой функции 1
n/ л,J1
j•
k+cos Лrot
1+k
'l]i, =
-:2л_/_Л_rо
kЛ ы -1 _+_k_2
~ +_2_k_c-· o -s_Л_ro_t dt = - 2- Лrо ·
-n./ ЛltJ
' См . [12], .No 2.554.2
б Зак. 137
(4.75)
145

Прибавляя fJo к ai 1, получим среднюю частоту <йn, входящую в выражение
(4.69):
l+k
Wo= Ы1+rJo= (1)1+ -
2
-
Д(J) .
14.76)
Наконец, мгновенная частота
l+k
(1) (t)= (J)o+ri~ (1)= (1)1 + -2- л(J)+'YI- (t),
(4.77)
где через 1'\-(l) обозначена переменная составляющая функции Т](/).
Итак, результирующее колебание может быть представлено в форме
, (t)~A, Jf 1+k'+2k '°' Лrо/ оо, [ ( ro, + I -i;• Лrо) 1+ j"~ (/) dt+0,1 <4.78)
При этом 11сключается произвол и неопре.nеленность в выборе огибающей
и фазы суммарного колебания. При k « 1, т. е. при наложении слабого коле­
бания A2cos (1) 2 / на сильное колебание A1cos ю1 1, выражения (4.72) - (4.74)
сильно упрощаются:
А (t)::::: А1 (1 + k cos дrol), 1
I00ZI01,
ro (/) ::::: ю 1 + kЛю cosЛrot,
\1)(1)::::: ro 1 t+k sin Лrot+00 .
(4.79)
В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колеба11ия изменяют•
ся по гармоническому зако11у с частотой !Лю! = jю 2 - ю 1 1 от11оситель11O своих
средних значений соответственно А 1 , (1) 1 и (1) 1 t .
...
Формулы (4. 72)-(4. 79) имеют большое прикладное значение, так
как в радиотехнической практике часто приходится иметь дело с бие­
нием двух гармонических колебаний.
В заключение следует отметить, что в некоторых специаJ1ьных слу­
чаях выражения (4.56)-(4.59) применяют также и к широкополосным
сигналам, когда понятие «огибающая» амплитуд теряет свой обычный
смысл . При этом отказываются от требования, чтобы оrибающан А (t)
касалась кривой s(t) вблизи точек, в которых s(t) имеет амплитудное
значение.
4.9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ
В электротехнике общепринято представлять гармоническое коле­
бание (ток, напряжение) в форме
а(t)=А0cos(ro0t+0о)= А0Re(е; <w01 + 00J/ = Re/А0е'"'•11, (4.80)
или
а(t)=А0sin(uJ0t-J -00) = А0Jm (е1 ((J)o1+Оо)]=lш/А0e1w01], (4.80')
где А 0 = А0 е;в. - комплексная амплитуда.
146

Часто символы Re или f m опускают и пишут просто
(4.81 J
подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.
В- современной радиотехнике представление колебаний в комплекс­
ной форме получило дальнейшее развитие и распространено на негар­
монические колебания.
Если задан «физический)) сигнал в виде действительной функции
s(t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется
в форме
z(t)= s(t)+is1(t),
(4.82)
rде s1(t) - функция, сопряженная по Гильберту сигналу s(t).
Определенная таким образом комплексная функция z(t) называется
комплексным или аналитическим сигналом, соответствующим физи­
ческому сигналу s(t). Заметим, что и в в ы ражении (4.81) мнимая часть
комплексной функции является функцией, сопряженной по Гиль­
берту действительной части.
При представлении s(t) и s1(t) в форме выражений (4.66)-(4 .67),
аналитический сигнал может быть записан следующим образом:
(4 .83)
где
А (t) = А (t) ei[O(IJ+0o]
(4.84)
представляет собой r<0мплексную огибающую узкополосного сиг­
нала s(t).
Применение понятия об аналитическом сигнале дает ряд преиму­
ществ при анализе сложных сигналов. Примеры приводятся в сле­
дующих параграфах.
Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала.
а) Спектр аналитuчесК,Qго сигнала содержит только положительные
частоты.
Из выражения
z(t)= s(t)+isi(t)
вытекает, что спектральная плотность Z(ш) аналитического сигнала
z(f) определяется суммой
Z (ш)= S(ro)+iS1(@).
Но согласно (4.64)-(4.65) при ro>O S 1 (ro)= -iS(ro), а при
ro < О S1(оо)= iS(ro).
Следовательно,
6*
при (J)>O.
при ro<O.
(4 .85)
147

Так, например, если узкополосному си:налу s(t) соответствует
спектральная плотность S((J)), модуль которои изображен_ на рис. 4.28
пунктиром, то аналитическому сигналу z(t) = s(t) + LS1(f} соответ­
ствует спектральная плотность Z(w), изображенная на том же рисун­
ке сплошной линией (модуль).
/ \_,, -S(w)
'\
I
\
I
'
о
1Z (w)l•2 S(cu)
uJo
Рис. 4.28
Интеграл Фурье для аналитического сигнала z(t) принимает1 сле­
дующий вид:
00
,..,
z(t)= -
1
~Z(ro)eiwtdro= -
1
~ S (ro) еим dro,
2nO
n0
(4.86)
где S((й) - спектральная плотность исходного (физического) сигна­
ла s(t}.
Из соотношений (4.85) вытекает, что комплек.сн,ая фун.кция A(t)
н.е является аналитическим сигналом. Действительно, спектр фун­
кции A(t), получающийся из спектра Z(ro). сдвигом последнего на
величину ro 0 (влево), в окрестности точки ro = О не может обра­
щаться в нуль ни слева, ни справа от этой точки. Это объясняется
тем, что действительная и мнимая части A(t) не являются функ­
циями, сопряженными по Гильберту.
б) Произведенuе аналuти ческого сигнала z( t) на сопряженный ему
сигнал z*(t) равн,о квадрату огибающей исходного (физического)
сигн,ала s(t).
Действительно,
1 Отсюда проясняется смысл термина « аналитический сигнал ». Действитель­
но, при переходе к комплексному t интеграл (4.86) схо;~ ится !1 верхней полу­
плоскости 11 является аналитической функцией при lmt > О, поскольку при
+
- toolmt 6
w ➔ оо множитель е
о еспечивает сходимость. В случае же физического
сигнала, содержащего как положительные, так и отрицательные частоты . мнo-
- lu1lm1 б
б
житель е
есконечио возрастает ли о при оо ➔ +оо, л~1бо при с,:н-- оо.
148

Таким образом, модуль аналитического сигнала z(f) равен просто
огибающей сигнала s(t):
1z(t)1=А(t).
(4.87')
в) Эн,ергия Е 2 аяалитического сигнала z( t) ра,вна удвоенной энергии
Е 8 исходного физического сигнала s(t).
Исходим из равенства Парсеваля с учетом формулы (4 .85):
00
00
00
Еж=-1 sjZ(ffi)j2 dffi = -
1
J4fS(ffi))2 dffi=2_! _Jrs(u>)j2 dffi=2E8• (4.88)
2:n:
2:n:
:n:
о
о
о
К этому результату можно прийти также и следующим путем:
00
00
00
Е2 = ~ z(t)z•(t)dt= ~ [s
2
(t)+s;(t)]dt= ~ A 2 (t)dt.
-оо
-оо
-00
Учитывая, что энергия сигнала s (t) = А (t) cos 1jJ (t) равна
00
Е8 =+ ~ A2 (t)dt,
-оо
получаем
4.10. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ
(4.89)
При нахождении автокорреляционной функции узкополосного
сигнала s(t) = A(t) cos ·ф(t) мы будем исходить из условия абсолютной
интеrрируемости функции s(t), что позволяет применять определение
/см. § 2.131
00
ф5 ('t)= ~ s(т)s(t-т)dt.
(4.90)
Вычисление интеграла в случае сложных сигналов требует гро­
моздких математических выкладок. Задача существенно упрощается
при представлении сигнала в комплексной форме:
s (t) = А (t)cos 'ф (t) =..!..А (t) е;~ U) +...!... А (t) е-iФ <1) =
2
2
=3⁄4 z(t)+1⁄2z*(t).
(4.91)
149

Согласно определению (4.83) z(t) - аналитическиА сигнал, соот·
ветствующий физическому сиrна.nу s(t), а z*(t) - функuия, комплекс­
но-сопряженная функции z(t).
Подставив (4.91) в (4.90), получим
'lj,8(,;) = +{I" z (t) z(t-,;) dt+ J,.,z• ({) z(t-'t) dt +
+I,., z(t)z* (t-,;)dt+)
00
z"' (t) z* (t-,;) dt}.
(4.92)
Подынтеrральные функuии в первом и четвертом интеrралах при­
водятся 1< виду
z(t)z(t-'t)=А(t)А(t-,;)е1 !Ф(1)+ФU-1:>J =
= А(t)А(t-'t)et [О(1}+в(t-1:)-ro.1:] ei2ro.1,
z* (t)z* (t -'t)=А(t)А(t-'t)е-1[</1 <О+Ф 1t-т>J =
= А (t) А (t --r) е-1 [О (1) +е (/-,:) -(йо't] е-1 2w.t.
В этих выражениях множители ei 2(JJ•
1 и e-12 (J),t являются быстро
осциллирующими по сравнению с функциями А (t), А (t -
-r), 0(t)
и0(t- т).
Подынтегральные же функции во втором и третьем интегралах вы­
ражения (4.92)
z" (t)z(i-'t)= А(t) А(t--r)е-1 (0 (1)-О и-т.1 +о,, 1:J,
z(t)z• (l-'t),= А (t)А(t-'t)е1 [О (1\-0 (1-т) н,,, тJ
не содержат множителей, осциллирующих с частотой 2ro 0• Поэтому
первым и четвертым интегралами по сравнению со вторым и третьим
можно пренебречь.
Та1<им образом,
00
00
-ф,(т) =_! __ ~ z*(t)z({-т:)dt+-
1
~ z(t)z•(t-,;)dt.
4 -оо
4 -00
Подынтегральные функции в этих интегралах являются комплекс­
но-сопряженными и при их суммировании мнимые части взаимно
уничтожаются.
Поэтому, окончательно,
00
,Р.('t)=+Re ~ z(t)z* (t-'t)dt=
-оо
00
=-
~ А(t)А(t-,)cos/ш0't +0(t)-6(t-,;)jdt.
2 -оо
(4.93)
Применим полученное общее выражение к двум видам модуляции:
чисто ампл1пудной и смешанной, амплитудно-частотной.
150

В первом с.1учае, когда
s({)=А(t)cos(ffiot+60), 6(f)=0(t-т)=О,
выражение (4.93) принимает простой вид
00
Фs('t) = -
1
cosffio i- ~ А(t)А(t -i-)dt.
2
-оо
(4.94)
Но интегральный множитель в этом выражении есть не что иное,
как автокорреляционная функция огибающей рассматриваемого радио­
сигнала. Обозначив эту функцию через 'ФА(~-), получим окончательно
(4.95)
Второй множитель, 1/2 cos ffi 0 -r, есть автокорреляционная функция
гармонического колебания с частотой ffio и единичной амплитудой.
Итак, автокорреляционная функция амплитудно-модулированного
радиосигнала равна произведению корреляционных функций оги­
бающей и высокочастотного заполнения.
В качестве примера на рис. 4.29, а показан радиоимпульс с прямо­
угольной огибающей, а на рис. 4.29, 6 - соответствующая этому
импульсу автокорреляционная функция. В соответствии с (4.95) эта
функция не зависит от начальной фазы заполнения радиоимпульса,
а ее оrнбающня совпс1дае1 с автокорреляционной функцией прямо­
угольного видеоимпульса (см. § 2.13, рис. 2.30, г).
a(t)
•
t
t
а(t•t)
т:
oJ
Рис. 4.29
Рис. 4.30
Для иллюстрации применения выражения (4.93) к амплитудно­
частотной модуляции найдем автокорреляционую функцию импульса
изображенного на рис. 4.25, а.
При применении обозначений приведенных в формуле (4.41) и на
рис. 4.25, аналитический сигнал запишется в виде
151

т
т
- -<.t<-.
2.
2
(4.96)
Применяя формулу (4.93), получаем
11
/[ 1 t+"t'/2] - 1 [<,J.(/-1:)+ 2(/-1:)']
е"•" е
dt. (4.97)
Пределы интегрирования взяты с учетом условия одновременного
существования функцид a(t) и a(t - rr) (рис. 4.30).
С помощью несложных преобразований выражение (4.97) приво­
дится к виду
Ф11.('r)
1,0 -г
Рис. 4.31
(4.98)
r/7
Используя ввеленный в § 4 7 параметр т !см. формулу (4.46)1
и у читывая, что 6Т2 = 2ffiд Т = 2nm , приведем выражение (4.98)
(52

к несколько более общему виду:
s1n[лm -2 __ (1 _ -2..)]
1А~
т
т
'Ра(т)= -
о Т---= ------'---'-= cos ro0 т.
2
птт:/Т
(4.98')
Множитель + А5Т = 'Фа(О) = Е р,шен полной энергии рассмат
риваемого радиоимпульса (как и в случае импульса с постоянной ча­
стотой заполнения, см. рис. 4.29, 6).
Таким образом,
sin [пт 2- (1-2-)]
~'а (т:) =
'IJa (Т) =
Т Тcosro
0
т.
(4.99)
ф(О)а
Е
nm-r/T
График этой функции построен на рис. 4 31 для параметра т =
-
100 в предпо.~ожении, что ro 0T очень велико (на рис. 4.31 масштаб
вы(ран произвольно).
Огибающая автокорреляционной функции образует весьма острый
пик (при т » 1), а частота заполнения постоянна и равна центральной
частоте ro 0 исходного радиоимпульса.
Рассмотренный здесь сигнал и его автокорреляционная функция
представляют большой практический интерес для современной радио­
техники.
4.11 . ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА
Пусть задан сигнал
а(t)= А(t)cos '/J (t),
(4.100)
спектр которого заключен в уз1<ой полосе частот от ro 1 до ro 2 , так
что спектральная плотность Sa(ro) имеет вид, представленный на
рис. 4.32, а, причем в пределах полосы Лrоб спектр не обязательно
симметричен относительно центральной частоты ro 0 =
001
+002
•
Под
2
узкополосностью сигнала подразумевается условие
Лоо0=!.« \,
ООо f1,
ff
Лоо 0
гдеw= 2
-
1=---
полоса частот в герцах.
2л
Предполагается, что функция A(t) является «простейшей» оги­
бающей, т . е. что A(t) и 11,(t) отвечают соотношениям (4.56) и (4.57).
Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда
(3.37), то интервал между выборt<ами должен быть не больше чем
l/2f 2, Гд!-' f2 - наивысшая частота в спектре cиrнaJia .
Неuелесообра з ность такого подхода очевидна, так как информация
о сигнале заложена не в частоту f2 (или f 0), а в огибающую A(t) или
153

в фазу 'ljJ(t), которые изменяются во времени медленно, с относительно
низкими частотами модуляции.
Желательно поэтому так преобразовать выражение (3.37), чтобы
интервалы между выборками определялись фактической шириной
спектра, т. е. величиной w, а не верхней частотой f 2,
С этой целью перейдем к аналитическому сигналу, соответствую •
щему заданной функции a(t):
(4.101)
..д[(")
1.
~")
..
- t,Jz
- '"ii
-1 ,J1
1с..1, lvo "1'
(JJ
1
1
1
1
1
:1 а}
1
. _ _. d '"'о---1
1
1
1
5)
Рис. 4.32
rде комплексная огибающая A(t) = А (t)e 10 <1J представляет собой
«низкочастотную » функцию, спектр которой Sл (Q) примыкает к ну­
левой частоте (рис . 4.32, б) .
• Разложим
комплексную функцию А (t) = А (t) eitJ(tJ по ортогональной
системе функций вида (3.38)
""
А(t)= ~ Сп(j)n(f).
(4.102)
п:::::а-оо
Подставив этот ряд в (4.101), получим
Za (t) = [ пiоо Сп <рп (t)] е'оо•\
(4,103)
rюсле чего исходное колебание a(t) определим как .аействительную
154

часть функции 2" (t}%
а(t) = Re {[niao Сп q," (t)lе;ш.'}.
(4. 104)
Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания а(/)
свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей A(t). При
определении наибольшего допустимого интервала между выборками
в разложении (4.102) необходимо исходить из наивысшей частоты в
спектре функции A(t). Из определения w0 как сrедней частоты в
полосе Лrо0 очевидно, что 9Та частота ; отсчитываемая от Q = О,
равна Лw0/2, или в герцах w/2. Следовательно, интервал между
выборками не должен превышать
1
1
Лt=--=-.
(4,105)
2 (w/2)
w
а функция fPn(t) должна иметь вид
qJ (t)= sin(Лffi 0 /2)(t-nЛt) = slnлw(t-nдt)
п
(Лffi0 /2) (i-nдt)
лw (/-пдl)
(4.106)
От аналогичной функции, использованной в § 3.5, ЧJn(t) отличается
только заменой Qm на Лffi 0/2. Следовательно, спектральная плотность
Фо(Q) функции qJ 0 (t) равна 2n/Лw0 = 1 /w в полосе частот I Q 1 <
< Лwof2 (рис . 4.32 а, тонкая линия) , а спектральная плотнОСiь функ­
ции ЧJn(t)
1
_л_ e-inдiQ = -•-e-lnдtQ при I Q 1< Лffir,- , 1
ф (Q) = Лffi0~2
w
2
"
дJ
О
приIQ/>;0
•
(4.107)
Квадрат нормы функции <IJn (t) по аналогии с выражением (3.40)
11 rpn l/2
=_л_=-
1
•
{4.108)
Лffi0/2
щ
Далее по форм уле (2.9) с учетом (4 . 108)
00
00
Cn= -
1
-
5А(t)<IJn (t)dt= W SА(t)<pn (t)dt.
11 (J)n 11
2
(4.109)
-оо
При меняя формулу (2.63) , получае м
1
С =W-
11
2л
SA (Щ Фп(-Q) d!:l =w-1 ,\шsо/~
2л
-лw01~
= А (плt) = А (11М) e 1U(nлt).
[Сравн.1пь с фоμмуJюй (3.41 ). 1
SА (Q) _1_ е11,м,1 dQ =
w
(4.110)
151i

В выражении (4.110) SA - спектр комплексной оrибаюшеn A(t),
а А(пЛt) - ее значение в отсчетной точке t = пЛt.
Итак, коэффициенты ряда (4.102) являются выборками функции
A(t), взятыми через интервалы Лt = 1 /w.
Подставляя (4.110) в (4.103), получаем
Za (t) = f А (nЛt) <рп (t) eФiol+0(nдt)]
n=-oo
и по формуле (4.104)
00
а(t)= ~ А(плt)q>n (t)cos((1)0t+О(плt))=
n=-oo
= ~ А (плt) sin лw (t-пЛ!) cos [(!)о t + в (nлt)].
_.;;..
nw(t-nлt)
rt=-00
(4.111)
Это выражение можно записать в несколько видоизмененной
форме:
a(t)= ~ А(пЛt) sinлw(t-nЛt) cos [ffi0(t-nЛt)+,P(nлt)1, (4.112)
n=-oo
лw (t-пЛ!)
где
,Р (пЛt) = ffio плt + 8 (плt)
представляет собой выборку полной фазы ,P(t) = ro 0 t + 0(t) коле­
бания a(t) в момент t = пЛt.
При заданной длительности сигнала Т число отсчетных точек
Ь = Tw, причем в каждой точке должны быть заданы два парамет­
ра А(пЛt) и О(пЛt).
Следует иметь ввиду, что в случае несимметричного (в полосе Лffi0)
спектра введенная в данном параграфе частота ffio = ы 1 1ы2 может
i-;e совпадать со «средней частотой» в выражении (4.69). Иными сло­
вами, фаза 0(t) может содержать слагаемое, линейно зависящее от
времени.
Проиллюстрируем выражение (4.111) на примерах колебания,
промодулированного по амплитуде или по частоте.
При АМ исходим из колебания
•
а (t) = A(t)cos ro0 t,
в котором A(t) - вещественная функция со спектром SA(Q), ограни­
ченным наивысшей частотой Qm = 2лFт. В этом случае ширина
спектра модулированного колебания a(t) равна WАм = 2F,,,, причем
в пределах этой полосы спектральная плотность S11 (ю) симметрична
относительно (!)0 . Интервал между выборками в соответствии с
формулой (4.105) должен быть не больше, чем Лt =
1
1
wлм 2Frn'
156

т. е. таким же, как и при лискрети:1ации исхолноrо сообщения (моду•
лирующеrо напряжения).
Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто амплитудной
модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимости. Отсюда
вытекает очевидный результат: амплитудно-модулированное колебание
вполн.е определяется значениями своих амплитуд, взятыми ч.ерез ин·
тервал 1/2F т, где F,,.
-
верхняя частота в спектре модулuрующеt1
функции (т. е. в спектре передаваемого сообщения).
Иными словами, при чисто амплитудной модуляции число сте­
пеней свободы модулированного колебания такое же, как и число
степеней свободы модулирующей функции.
Рассмотрим теперь случай частно-модулированного колебания
а(t)= А0cos [ffi0 t +0(t)J,
d0
когда мгновенная частота ro(t) = ffi0 + dl модулирована тем же сооб•
щением, что и в предыдущем случае, причем максимальная девиа­
ция частоты fд велика по сравнению с Fт, так что ширину Wчм
полосы частот модулированного колебания можно приравнять к 2fд
[случай «широкополосной» частотной модуляции, ф-ла (4.34)] . Ин­
тервал между выборками должен быть взят Лt = =
1 /wчм = 1/2{д·
Так как при ЧМ амплитуда колебания неизменна, то передавать ее
нет необходимости. Следовательно, для однозначного представления
частотно-модулированного кОJJебания достаточно задавать фазу О(пЛt)
этого колебания в отсчетных точках, отстоящих одна от другой на
время Лt = 112{д·
При одноii и той же длительности сообщения Т число выборок фазы
при ЧМ равно Wчм Т = 2fл.Т, а число выборок огибающей при АМ
равно wдмТ = 2FT. Отсюда ви,дно, что при одинаковом предаваемом
сообщении (при одинаковом количестве информации) частотно-моду­
лированный сигнал обладает числом степеней свободы в fдlFm = т
раз большим, чем амплитудно-модулированный сигнал. Это является
результатом расширения спектра сигнала при ЧМ. На приемной сто­
роне канала связи после частотного детектирования модулированного
колебания выделяется напряжение, которое имеет спектр и число
степеней свободы такие же, как и исходное сообщение.
Из приведенного примера видно, что при одной и той же ширине
спектра информационная емкость радиосигнала различна в зависи­
мости от вида модуляции.
При смешанной модуляции - амплитудной и угловой
-
в каждой
отсчетной точке нужно брать две выборки: амплитуды и фазы.

Линейные радиоцепи с постоянными
параметрами
5.1 . ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
5
В данной главе приводятся некоторые сведения по следующим раз­
делам теории линейных цепей:
1) Активные цепи. Хотя исследование активных цепей лишь не­
многим отличается от исследования пассивных цепей и проводится
теми же методами, рассмотрение эквивалентных схем с активными
элементами (электронные и полупроводниковые приборы) позволяет,
во-первых, приблизить изучение теории радиотехнических систем
к реальным устройствам и, во вторых, уяснить принцип усиления
колебаний, лежащий в основе работы большинства радиоустройств.
2) Частотные и временнь1е характеристики цепей, используемых
для различных линейных преобразований сигналов (усиление, диф­
ференцирование и интегрирование, частотная фильтрация и т. д.).
3) Общие соотношения между амплитудно - частотной и фаза-час­
тотной характеристиками линейной цепи.
Изложение перечисленных сведений, необходимых для анализа
передачи сигналов через радиотехнические системы, ведется на базе
уже знакомого студентам курса «Основы теории цепей».
5.2 . ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЯСТВА
АКТИВНОА ЦЕПИ
В общей теории целей под активной подразумевается цепь, содер­
жащая наряду с пассивными элементами - индуктивностями, емко·
стями и сопротивлениями - также и источники энергии (генераторы
&. д. с. или генераrоры тока).
Активный характер цепей радиоэлектронных устройств обуслов­
лен применением в них усилительных элементов - электронных ламп,
транзисторов, ламп с бегущей волной и т. д. При этом предполагается,
что энергия сигнала на выходе активной цепи больше, чем на входе.
Для больщей определенности видоизменим эту формулировку следу­
ющим образом:цепь активна, если при гармоническом возi5уждении мощ­
ность сигнала на выходе больше мощности на входе, т. е. коэффициент
усиления по мощностц больще единицы. Из такоrо определения ясцо,
'158

что непь, осуществляющая усиление наnряжения, например с помощью
повышающего трансформатора, без усиления мощности, является пас­
сивной даже tcJJи в нее входят электронные лампы со своими источ­
никами питания .
При построении эквивалентных схем активных цепей источники
питания опускаются. На этих схемах активные элементы (лампы, тран­
зисторы и др.) отображаются с помощью эквивалентных параметров,
которые зависят от режима работы активного элемента и в конечном
итоге от источников энергии, питающих активный элемент.
Следует также отметить, что усилительные элементы являются з а-
висимыми источникам энерrиИ, поскольку СОЗ-
- --даnаемые ими напряжения (или токи) пропорциональны величине на-
: Е,i:
,,-1
г,, :~Ег/
Рис. 5.1
пряжения (или тока) на входе цепи. При этих допущениях любой ли­
нейный как активный, так и пассивный четырехполюсник может быть
представлен схемой замещения, изображенной на рис. 5.1 . На этом
рисунке Е1, Е 2 , / 1 и / 2 обозначают комплексные амплитуды синусои­
дальных напряжений и токов при фиксированной частоте u1.
Четырехполюсник полностью характеризуется соотношениями меж­
ду напряжениями и токами на его входе и выходе. Вид этих соотноше­
ний зависит 01 выбора исходных величин .
Напомним вкратце основные формы представления четырехполюс­
ников.
Если исходными являются напряжения Е1 и Е2, то уравнения для
определения токов /1 и / 2 записываются в форме
ft=Y11E1+Y12E2, )
12 = У21Е1+У22Е2, J
или в матричной форме
где
(YJ=[Y1i У121
Y2i У22
(5.1)
(5.2)
(5.3)
является матрицей параметров, имеющих смысл и размерность про "
водимостей.
159

Если уравнение (5. ]) решить относительно Et и Е2, то получатся
системы уравнений
где
Е1=Ziili.+Zi2/2, }
Е2= Z21 f1+Z2212,
(5.4)
(5.5)
(5.6)
является матрицей, обратной I У 1, т. е. матрицей параметров, имею- . -
щих размерность сопротивJiений.
1,-
·j[ .
2
Рис. 5.2
Элементы матрицы (Z] связаны а элементами матрицы ( У I соот­
ношениями
Z
-
У21
у
21=-----' - - -
21
Ун У22-У12 У21 =
-
ЛУ'
Ун
ЛУ
(5.7)
Здесь ЛУ = У11 У22 -У12 У21 - определитель матрицы [У].
Исходным уравнениям четырехполюсника, записанным в форме
E1 =AE2+Bl2, }
(5.8)
l1=CE2+Dl2,
соответствует матрица параметров
(5.9) '
160

Аналогичным образом матричным уравнениям
(5.10)
(5.11)
соответствуют матриuы 1Н] и (М 1.
Матрицы [А], [Н J и [М] связаны между собой, а также с матри­
цами [У] и [Z] соотношениями аналогичными выражениям (Б. 7),
которые были приведены ран1::е для связи между параметрами матриц
[У) и [Z).
l г-----------,
,_,
tn•r.,
,-12
1,_ Zn
z
l.
--·
1
1
E,i
1
![,
1 r,, -r,, Yz, •r,,
1
Е,~ Z11 I1~
~z"1, lc. .
1
1
1
1.
L ____________
,
Рис. 5.3
Рис. 5.4
Уравнения (5.1), (5.4), (5.8) и аналогичные им другие уравнения
позволяют построить эквивалентные схемы замещения четырехполюс­
ников .
На рис. 5.2 изображена схема замещения, построенная в соответ­
ствии с уравнением (5.1 ). На этой схеме оба напряжения Е1 и Е2 рас­
сматриваются как напряжения от внешних источников. Генератор
тока У, 2Е2 учитывает влияние напряжения Е2 на входной ток / 11
а генератор тока У 21Е1 - влияние входного напряжения Е1 на ве­
личину тока / 2, Оба генератора могут рассматриваться как «зависи­
мые источники», так ка1< развиваемые ими токи пропорuиональны на­
пряжениям внешних источников. Параметр У 21 имеет смысл «взаимной
проводимости» от входа к выходу, а У1 2 - от выхода к входу. Оче­
видно та1<же, что У11 есть входная проводимость четырехполюсника
при Е2 = О, т. е. при коротком замыкании выхода, а У22 -входная
проводимость при возбуждении четырехполюсника от источника Е2
при коротком замыкании входа.
Здесь нужно отметить следующую особенность активного четы­
рехполюсника: как правило, У 21 =f= У12- Это означает, что активные
четырехполюсники необратимы и, следовательно, приннип взаим­
ности к активным четырехполюсникам неприменим.
В случае же пассивных четырехполюсников взаимные проводи·
мости, как известно, равны (теорема взаимности). Это позволяет схе­
му замещения, показанную на рис. 5.2, в случае пассивного четырех­
полюсника упростить и привести к виду, на котором зависимые источ­
ники отсутствуют (рис. 5.3).
161

Эквивалентная схема эамешения необратимого четырехполюсника,
соотве-1ствующая уравнениям (5.4) и (5.5), изображенн на рис. 5.4.
На этой схеме зависимые генераторы э. д. с. Z12/ 2 и Z21/1 учитывают
влияние / 2 на Е1 и lt на Е2 соответственно. При наложении условия
Z1 2 = Z 21 (обратимый четырехполюсник) схема упрощается и не со­
держит зависимых источников (рис. 5.5).
При анализе радиотехнических цепей особенно часто приходится
иметь дело с четырехполюсниками, возбуждаемыми только со сто_роны
входа; под выходным напряжением Е2 обычно подразумевается па­
дение напряжения на элементе схемы (нагрузочном сопротивлении),
I,
1,_
,. ~-
~,..~ ,.
,.а...... _
___,
,.j ~.. - •!•.
Рис,5.5
Рис. 5.б
с которого снимается напряжение (рис . 5.6). При этом основное зна­
чение имеет отношение выходной величины к входной, например ком­
плексной амплитуды Е2 к комплексной амплитуде Е1
(5.12)
Эта безразмерная, в обшем случае комплексная функция, называе­
мая передаточной функциейиликоэффициен­
т о м п е р ед а ч и, является важнейшей характеристикой четырех•
полюсника . Она определяется в стационарном режиме, при синусои­
дальном возбуждении четырехполюсника.
Коэффициент передачи удобно представлять в форме
K(iffi)=K(ffi)e''P<ooJ.
(5.13)
Модуль K(ffi) иногда называют а м пл и ту дно-част от ной
характеристикойилипростоамплитуднойхарак­
тер и ст и к о й четырехполюсника. Аргумент q>(ffi) коэффициента
передачи называ!О'f фазо•частотной характерис­
т и к о й или просто фазовой характеристикой четырехполюсника.
В некоторых случаях оказывается удобным оперировать с анало­
гичным отношением токов (также безразмерным)
К1 (iffi) = .!i .
/1
или с отношением 1 2 к Е1 (имеющим размерность проводимости) или,
наконец, с отношением Ei к /1 (имеющим размерность сопротивления).
162

На рис. 5.7 и в формулах (5.12)-(5.13) сохранены направления
напряжений и тоиов, принятые при построении предыдущих схем
замещения.
Выразим передаточные функции KE(iro) и K,(iro) через параметры
четырехполюсника и нагрузочное сопротивление Zн (или проводи•
масть Gн). Это можно выполнить с помощью различных представлений
схем замещения и соответствующих им уравнений четырехполюсника.
Для определения Kt:(iffi) целесообразнее всего представлять четы·
рехnолюсник с помощью У-матрицы (рис . 5. 7, а).
г-------------------------~
~~
,-1⁄2
1
1
~
2 :!t2 G,/1/Zн
1
1
L------------------- --..
.--
-
_
__.
а)
· г---------------------------- · :_i!J•O
1
1
1
1;
1
1
1
1
1
1
---
1
~<>'---
----
------------- -
..
-- ----
б)
Рис. 5.7
Несколько видоизмененная схема, показанная на рис. 5. 7, б, от·
личается от предыдущей только тем, что нагрузочная проводимость
G11 включена в четырехполюсник путем добавления ее и У 22• Это поз­
воляет рассматривать новый четырехполюсник как разомкнутый,
у которого ток на выходе/ 2 равен нулю. Матрица этого нового четы•
рехполюсника
(5.14)
где
v;2 = У22+о,•.
Обращаясь теперь ко второму уравнению (5.1), положив в нем/ 2 =
=О и заменив У 2~ на У;2, получаем
К1;Uш)= Е2 = _
V21 =
__
_ ;Y2==-1-
Ei
\';~
Y2,+G11
(5.15)
163

Это важное соотношение будет далее использовано для определения
коэффициента усиления напряжения всоответ­
ствующих усилительных устройствах.
Для определения передаточной функции K 1(iro) удобно в качестве
исходной схемы замещения применять схему с Z-параметрами. На
рис. 5.8, а показан исходный четырехполюсник, нагруженный сопро­
тивлением 211
,
а на рис. 5.8, 6 - тот же четырехполюсник при добав·
лении Zн к Z 22 и при коротком замыкании выходных зажимов.
1L-: 2
11
----------- -
---~~ ---: __!_г
1
L_------------------------
_J
й)
r--
-
.
---
--,
,
Zn
Zн,
1
1
1
1
1
1
r
1
1L _____________ _ ___________ _j
oJ
Рис. 5.8
Новому четырехполюснику соответствует матрица параметров
[ZJ=[Z11 Zн
] lZнZ1'2 ]1
Z21 Z22+ Zн = Z21 Z22
где
z;2= Z22+Zн.
Обращаясь теперь ко второму уравнению (5.4), положив в нем Е2 =
= О, а также заменив Z22 на z ; 2, получаем
К, (iw)= Ь. =
-
~
21
.
11
Z22
(5.16)
Поступая аналогичным образом, можно составить отношение лю­
бой оыходной величины к любой входной величине.
Составим выражение для усиления по мощности:
р= 1Е21
2
= _!_I/12R
2
2R11
22ю
Р = JЬ_f__ = ..!... // /2R
1
2Rpx
2 1 в:it•
164

Здесь Р 2 и Р1 представляl01' собой мощности на выходе и входе уси­
лите.ля; R" и R0 ,
-
активные составляющие нагрузочного и вход­
ного сопротивлений.
Очевидно
К=1Е21~ Rux =1/{Е/2Rux ,
Р IЕ112 Rн
Rн
К =~~=IK1l2 _&_
·
Р 11112 Rвх
Rвх
(5.17)
В любом усилителе КР> l. В противном случае, т. е. при КР< l,
рассматриваемое устройство не является усилителем и требуемое по·
вышение напряжения или тока может быть достигнуто с помощью пас•
сивноrо трансформатора, без применения источников энергии (входя·
щих в состав любого усилителя).
Из приведенных выше общих соотношений видно, что структура
передаточной функции активного четырехполюсника и характер ча­
стотной зависимости этой функции определяется частотными свой­
ствами параметров Z или У. В этом отношении между линейными ак·
тивным и пассивным четырехполюсниками нет никакого различия.
То же самое относится и к временнь,м характеристикам активной
цепи: «импульсной характеристике» и «переходной функции».
Как и в случае пассивных линейных цепей, под импульсной харак­
теристик.ой цепи g(t) подразумевается отклик, реакция цепи на воз­
действие, имеющее вид единичного импульса. Связь между g(t) и K(i(i))
нетрудно установить с помощью интеграла Фурье.
Если на входе четырехполюсника действует единичный импульс
з. д. с., обладающий спектральной плотностью, равной единице для
всех частот, то спектральная плотность выходного напряжения равна
просто K(iro). Следовательно, отклик на единичный импульс, т. е.
импульсная характеристика цепи, легко определяется с помощью
обратного преобразования Фурье [см. формулу (2.49) ], примененного
к передаточной функции K(i(i)):
00
U8ю_(i)=g(t) =-
1
-
SK(iro)e1001 dro.
2л: -оо
(5.18)
В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать функ­
цией g(t), под которой можно подразумевать не только напряжение,
но и любую другую электрическую величину, являющуюся откликом
на воздействие в виде дельта-функции.
Если коэффициент передачи задан в виде функции К(р), то выра­
жение (5.18) может быть записано в форме обратного преобразования
Лапласа;
c+ioo
g(t)= -
1
-.
s /((р) е''1 dp.
2ю
c-too
(5.19)
165

Переходная функция цепи h(t) представляет собой отклик, реакцию
цепи на воздействие, имеющее вид «единичного скачка». Так как такое
воздействие является интегралом от единичного импульса (т. е. дельта­
функции), то и между h(t) и g(t) существует интегральное соотношение
t
h(t)= ~g(х)dx.
(5.20) ..
о
В последующих главах при анализе передачи сигналов через радио­
цепи чаще всего будет применяться импульсная харак1еристика g(t).
5.3. ЭЛЕКТРОННЫП УСИЛИТЕЛЬ КАК АКТИВНЫП
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Схема простейшего электронного усилителя на триоде изображена
на рис. 5.9. Источник сигнала, имеющий внутреннее сопротивление
Rc = l!Gc, развивает на входе усилителя напряжение ее. Усиленное
колебание снимается с нагрузочного сопротивления Zн в виде напря-
+
Рис. 5_g
жения и11 • Постоянное напряжение Eg 0 («напряжение смещения») вво­
дится в цепь сетки для устаноuления рабочей точки на линейном
участке вольтамперной характеристики триода, а постоянное напря­
жение Еа является напряжением источника питания анодной цепи
лампы.
Таким образом, разность потенциалов между сеткой и катодом
eg=е0- Eg0имеждуанодомикатодоме11=Еа - ин.
Связь между входным и выходным сигналами определяется анод­
ным током ia, который в общем случ11е является нелинейной функцией
egиеа:
(5.21}
Если eg и eu настолько маJIЫ, что вызываемые ими изменения анод­
ного тока практически укладываю'1·ся на линейном участке воJJьтам­
перной характеристики, то нелинейное соотношение (5.21) можно за­
менить л1шеiiнЬ11\'1:
l5,22)
166

Здесь laa - анодный ток в отсуtствие сигнала nри eg = -Е 110 =
= const и еа = Е,, = const, а коэффициенты S и. 1/Ri, имеющие смысл
соответственно «крутизны характеристики» и проводимости триода
(между анодом и катодом), определяются известными из курса «Элект ·
ронные приборы» соотношениями
S- dia\
--
t
de'i ' g= -1::80
ta=Ea
1
dla 1
R;= dea ~в=-в"0•
еа=Еа
(5.23)
(5.24)
Величина RI соответствует внутреннему сопротивлению анод -
катод (для переменной составляющей тока) в рабочей точке, определя•
емой постоянными напряжениями-Еg0 и Е11 •
Соотношение, аналогичное (5.22), можно написать и для тока
сетки:
rде
;g = ::: \,g= -Eg
0
1
е=Е
а
а
(5.25)
S=dlg1
,
(5.26)
ag dea •g= -Ego
еа=Еа
Постоянные составляющие анодного и сеточного токов в данном
случае интереса не представляют. Для перемен,н,ых составляющих
токов i 11 -=ig-igo и i a-= i0 -iao уравнения (5.25) и (5.22) запи­
шутся как
tg- =
-
1
-
ec-SagUн = -
1
-
ее+ sа11Uиых,1
'R
'<1
1
1
la-=Se0- -
U11=Sec+- Ивых•
R1
R1
(5.27)
В этих выражениях через Ивых = -ив обозначено напряжение,
численно равное и11 , но отсчитываемое ат анода к катоду (как и напря·
жение Е2 на рис. 5.1).
При синусоидальном сигнале ее (а следовательно, и синусоидаль·
ных токах i,,-, ia-) выражения (5.27) можно записать в форме
lg= _!_ Е0+ Sавllвs,x, )
rg
1
la=SE0 + - Uаых,
R1
где Е". Uвых , / ,, и /Q- комплексные амплитуды
(5.28)
167

Сопоставим эти уравнения с аналогичными уравнениями линейного
четырехполюсника (5. 1).
Входящие в последнее уравнение У-параметры в данном случае
запишутся в форме
(5.29)
Соотношения, полученные нами ранее для триода, могут быть при­
менены к тетроду, пентоду и любому другому аналогичному электрон­
ному прибору.
_19
с,ткt1.---------.
се!1 S11gu,., 1 1
Катод
Рис . 5.10
_14
-------.0Ан1д
iscc Gi•t/R;. iμ,.,1
Уравнениям (5.28) соответствует схема замещения (рис. 5.10),
которая отличается от общей схемы с У-параметрами (см. рис. 5.2)
только обозначениями. Как это видно из правой половины схемы
(рис. 5.1 О), действие электронной лампы на выходную цепь отобра•
жается зависимым источником, генератором тока SEc, шунтирован­
ным внутренней проводимостью G; = l/R 1. Влияние же выходной
цепи на вход учитывается зависимым генератором тока SаgИвю (в ле­
вой половине схемы). Следует подчеркнуть, что, как правило, S ag ~S.
На практике часто крутизну Sag полагают близкой к нулю, особенно
при работе без сеточного тока (в области отрицательного сеточного
напряжения). Электронную лампу можно поэтому рассматривать как
активный четырехполюсник одностороннего действия - от сеточной
к анодной цепи. На рис. 5. 11 изображена эквивалентная схема усили­
тельной ступени на электронной лампе (триод или пентод). Эта схема
называется «схемой с общим катодом», поскольку зажим, соединенный
с катодом, является общим для входа и выхода эквивалентного четы­
рехполюсника (по существу, четырехполюсник превращается при этом
в трехполюсник). Эквивалентный генератор тока Sag Ивwx в левой по­
ловине схемы опущен (в предположении, что S0 g = О).
Составим выражение для коэффициента усиления схемы, показан­
ной на рис. 5.11. Под коэффициентом усиления здесь подразумевает-
168

ся передаточная функция по напряжению (об усилении по току в дан­
ном случае при / 1/ = О говорить не имеет смысла):
НЕ= Uвых.
Ее
(5.30)
Применяя формулу (5.15) и учитывая (5.29), получаем
No=- У21
s
(5.31)
=-
У,2+Gв
о,+он
c,.,q.
la.
--
Анод
о
91.,, -
~·,
~•J•-•-Uн
L,j
Като8
С1
1
Рис. 5.11
Заметим, что если под выходным напряжением подразумевать не
потенциал анода относительно катода, а падение напряжения Uf1 на
нагрузочном сопротивлении, направленное, как показа н о на рис. 5.9, то
(5.32)
Сетка
Ri,
Ано6
о
~--I••,,•-Uн
fc; !
JLEc
f la.
l
Kamou
----·
Рис . 5.12
Учитывая, что
а также, что SR1 = μ есть «коэффициент усиления лампы» , (5.31)
запишем в несколько иной форме:
Кв=- SR;Zн - -μ Zн
R1+Zн
R1+Zн
(5 .33)
Это выражение позво л яет трактовать эквивалентную схему анодной
цепи лампы в виде последовательного соединения зависимого гене­
ратора э. д. с. ~tEc (с внутренним сопротивлением Ri) и нагрузочного
сопротивления Z11 (рис. 5.12).
169

Из выражения (5.33) видно, что усилительная способность лампы μ
нспользуется тем полнее, чем больше отношение ZнlR;, В холостом
режиме (Zн _ .
оо ) коэффициент усиления схемы
(5.34)
В реальнь1х устройствах усиленный сигнал снимается не непосред­
ственно с зажимов анод - катод лампы, а через дополните.пьный (пас­
сивный) четырехполюсник. Поэтому обобщенную схему электронного
усилителя с общим катодом следует представлять так, как это показано
Сетка
АноО
-
-
(/а t
-:
'
Катод
Кн(i(А))
tи&ых
-
1
J.
Рис. 5.13
на рис. 5.13. Через Kн(iro) обозначена передаточная функция наrрузоч­
ноrо четырехполюсника. Очевидно, что входное сопротивление этого
четырехполюсника и является нагрузкой для лампы. Обозначив это
сопротивление, как и ранее, через Zн = 1/ Gн, приходим к следующему
выражению для передаточной функции (коэффициента усиJiения)
всей схемы:
(5.35)
При определении 1<оэффициента усиления по мощности с помощью
формулы (5.17), под R,1 следует подразумевать активную составляю­
щую сопротивления Zн, а под R ux - сопротивление источника сиг­
нала 1/ Gc. Помимо рассмотренной здесь схемы с общим катодом, воз­
можны также схемы с общей сеткой и с общим анодом .
5.4 . ТРАНЗИСТОРНЫЯ УСИЛИТЕЛЬ КАК АКТИВНЫА
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Не вникая, как и ранее, в физику явлений в полупроводниковом
триоде, схематически изображенном на рис. 5.14, мы будем трактовать
ero как линейный активный четырехполюсник (или трехполюсник),
отвечающий следующим условиям: а) ток эмиттера / э распределяется
между базой и коллектором, причем отношение тока коллектора /н
к току эмиттера / э для данного транзистора является постоянной ве­
личиной, близкой к единице (а = /н/ / э = 0,95-0,98), б) сопротив­
ления всех трех <Jлектродов - эмиттера r 3, базы r 6 и коллектора 'н -
имеют характер чисто омических сопротивлений (это справедJiиво при
170

частотах не выше нескольких мегагерц; при более высоких частотах
необходимо учитывать паразитные емкости). Следует иметь в виду, что
'э и r6 - относительно малые сопротивления (десятки и сотни ом),
а rк-оченьбольшое(сотни килоом и меrомы).Ответвляемая в коллек­
тор частьэмиттерноrотока, равнаяа/3 , почти независитотвеличиныrк .
Это обстоятельство позволяет учитывать действие тока / э на цепь
коллектора введением в нее эквива-
лентного генератора тока а/а• под-
ключенного п!!раллельно сопротив­
лению 'к· Такому представлению
соответствует эквивалентная схема
транзистора, изображенная на рис.
5.15; а. При разомкнуrой внешней
цепи колле1<тора ток а/э замыкает­
ся через сопротивление 'к• создавая
на нем падение напряжения ,на/ а·
Можно поэтому построить второй
вариант эквивалентной cxel\tЫ тран-
Jмummep
о
Рис. 5.14
Коллектор
база
зистора, показанный на рис. 5. 15, б. На этой схеме влияние тока эмит­
тера на цепь коллектора учитывается введением в , нее (последователь­
но) генератора э. д.с. Еюш = Гн· а/3 • Введя обозначение агк = 'т•
получим Еэнв = rт/ 0
,
как и указано на рис. 5.15, б. Направление
э
кз
/(
6
а)
Рис. .'U5
Еанв выбрано таким же, как и направление напряжения на 'н в схеме
рис. 5.15, а (т. е. от зажима К).
В зависимости от выбора зажимов для входа и выхода различают
три возможные схемы усилителя: с общим эмиттером, с общей базой
и с общим коллектором.
На рис. 5.16, а изображена схема с общим эмиттером, являющаяся
аналогом лампового усилителя с общим катодом.
Направления напряжений Е1 и Е2, а также токов / 6 и /н, выбраны
такими же, как и в обобщенной схеме четырехполюсника (см. рис. 5. J).
Поэтому ток / 0 и соответственно э. д. с. Е311 8 на рис. 5. 16, 6 направ ­
лены в сторону, противоположную направлениям на рис. 5.15, б.
't 71

Для схемы рис . Fi.16, б действительны следующие два уравнения:
Е1= (rб+rа)1б+'а/н,
Е2+Еакв=Га16+ (rl( +
Га) 1к·
Подставляя Еакn = r т 1 э =rт(16 + /11 ) во второе из этих уравнений,
получаем систему уравнений:
E1=(r5+rэ)/o+ra /н,
}
(5.36)
Е2 = (r0 -rт) 16 +(rн-rm +r0 ) /н.
~
r----<>I<
~<>----
р,
~о------,-о
э
а)
6
/(
э
5)
Рис. 5.16
Этим уравнениям отвечает схема замещения (рис. 5.17, а), несколь­
ко измененная по сравнению с рис. 5. 16, б. Наконец, на рис. 5.17, б
а)
Рис. 5.17
G•-'--
1
, ,. _, .·, .(1-«J
•
rnк
5)
изображена схема замещения выходной цепи при замене генератора
э. д. с. Еан n = rm/6 с внутренним сопротивлением r11 -
rm эквивалент­
ным генератором тока.
Величина этого тока
__!~кв = Гт
rн-Гт
Гк-Гт
а внутренняя проводимость эквивалентного генератора
G. =-1 -=
t _____
'
R; rн-rт
r" (1-а)
(При построении схемы (рис . 5.17, 6) падение напряжения на 'э не
учитывалось ввиду малости r 8 rio сравнению с 'н - 'т-)
Сопоставление уравнений (5.36) с (5.4) показывает, что для анализа
транзисторного усилителя наиболее удобна Z-матриuа.
172

Для рассматриваемой схемы с общим эмиттером, при уравнениях
(5.36), Z-параметры определяются очевидными соотношениями
Zн=rб+rэ;
Z21 =r .-r m;
(5.37)
Рассмотрим теперь основные элементы входной и выходной цепей
транзисторного усилителя.
На рис. 5.18 транзистор обозначен в виде четырехполюсника с
Z-параметрами; Zi - внутреннее сопротивление источника сигнала
Ее, а Z0 - нагрузочное сопротивление.
Рис. 5.18
Требуется определить коэффициенты усиления по напряжению и
по току (в отличие от лампового усилителя, в данном случае входной
ток не равен нулю II отношение тока на выходе к току на входе пред­
ставляет интерес).
Особенно просто находится выражение для усиления по току К1 •
Применяя формулу (5.16) и учитывая (5.37), получаем
К, (iro) = .!..!, =
Z21
ra-rm
~'т
(5.38)
/1
Z22 +Zн
rн-rm+r,.+z11
Гн-rт+Zи
В этих выражениях учтены условия Г3 « Гн и r 3 « rm.
Усиление по напряжению КЕ можно найти с помощьюформулы
(5.15), для чего необходимо Z-матрицу преобразовать в У-матрицу.
При этом внутреннее сопротивление источника следует просто доба­
вить к Z11.
Элементы матрицы У 21 и У 22 , которые необходимы для п.рименения
формулы (5.15), определяются . с помощью соотношений (5. 7).
Задачу можно решить также и непосредственно по уравнениям
(5.4), основываясь на найденном выше отношении токов / 2 и / 1. Дей­
ствительно, переписав уравнении (5.4) в форме
Ее=(Zi+Zн) /1 +Z12f2, }
(5.39)
Е2=Z21I1+222f2
и исключив из них / 2 с помощью соотношения (5.38), получим
Ec=l1[(zi+Z11)-
_Z21Z12]'
Z22 +zн
Е=J[z
_
Z22Z21 ].
2
121
Z22+Zи

Разделив в1'орое уравнение на первое, найдем
Z22 Z21
Z21--=- -=-
KE= _.§_ =
____
z---'2=2....c+_z _,c.c.1 __
-
-
Ее
ZZ
rZ+z)_
21и
1
н Z22+Zн
Эта формула является общей для любых схем включения транзи­
стора.
Для схемы с общим эмиттером, при подстановке значений Zн,
Z12 , Z 21 и Z22 по формулам (5.37), получаем
'т Z11
=-------=--'-'------
(rd+r,,+Z;) (rн-,m+Zн)+'а'т
(5.41)
Из выражения (5.41) видно, что при Zн-+ОО, т. е. в режиме
х. х., максимально возможное усиление (по напряжению)
(5.42)
Это выражение аналогично выражению (5.34), только вместо про­
водимостей S и G; в данном случае фигурируют взаимное сопротив­
ление Гт и полное входное сопротивление rr, + 'э + Z1 (при разомк·
нутом выходе).
То обстоятельство, что входное сопротивление транзистора отно­
сителыю невелико, заставляет уделять внимание согласованию источ­
ника снrнала с параметрами входной цепи усилителя. В связи с этим
существенное значение на праюике приобретает определение входного
и выходного сопротивлений транзисторного усилителя.
Входное сопротивление легко определяется с помощью первого
уравнения (5.4) и соотношения (5.38):
z =_Ё..!__=z ._
Z12 Z21 •
nx
/
11
ZLZ
1
·12 ·г
н
(5.43)
Под выходным сопротивлением усилителя подразумевается со­
противление между выходными зажимами коллектор - эмиттер при
Ее . О (но с учетом Zi), Внутреннее сопротивление источника сигнала
Z1 является при этом нагрузкой. По аналогии с (5.43) при замене Z11
на Z22 и Zн на Z; получаем
(5.44)
Итак, входное сопротивление транзистора зависит не только
от его собственнь1х параметров (r6 , Г8 , 'н и rт), но и от нагрузочного
сопротивления Z11 , а выходное
-
от внутреннего сопротивления Z 1
источника сигнала.
174

в качестве примера найдем К,, Кв, Zвх и zвьrх ДJIЯ схемы с общим
эмиттером при следующих данных транзистора и внешних сопротив­
лений:'~ = 50 ом,rб=200ом, 'н=500ком,'т=0,95,r11=
=475ком;ZH=Rн =200ком,zi = Ri=200ом.
Применяя формулы (5.38) и (5.41), находим
Ki=
Гт_
475
~
2,
Гн-rt11+Rн (500-475)+200
КЕ.=-
rтR11
(r6 +г3 +R;) (r"-r"' +Rн)+r3 r,,,
=
475-200 - 106
~- 800.
=-
<2oo+so+200) <500-47s+200)-10З+so.41s.103
.По формулам (5.37) находим
Zii=rб+r0 =250 ом; Zi 2 =r~=500 о.м;
Z2i= r0 -rm= -475 ком; 222= rи-гт+r11:::::; 25 ком.
Тогда по формулам (5.43) и (5.44)
Z. =250- 50(-475•I03) ~350ом,
ох
25 - 103 +200-\0"
z =25-103 -
5О(- 475 •
102
) ~78,103 ом.
вы:r.
250+200
Схема с общим эмиттером позволяет получить большое усиление
по напряжению при относительно большом (по сравнению со схемой
с общей базой) входном сопротивлении. Этим объясняется широкое
распространение схемы с общим эмиттером. Другие схемы, особенно
схема с общим коллектором, находят применение в качестве «катод­
ного повторителя» (см. § 8.2).
Б.5. АПЕРИОДИЧЕСКИА УСИЛИТЕЛЬ
Принципиальная схема простейшего апериодического усилителя на
пентоде изображена на рис. 5.19, а, а на транзисторе -на рис. 5.20, а.
Первая из этих схем является схемой с общим катодом, а вторая с об­
щим эмиттером. На рис. 5. 19, б и 5.20, 6 показаны соответствующи~
схемы замещения.
Обратимся сначала к схеме рис. 5.19 и определим для нее коэффи­
циент усиления (передаточну!Офункцию) K(iro). Заметим, что от схемы,
показанной на рис. 5.9, эта схема отличается дополнительной цепочкой
С1, R, (назначение которой заключается в разделении u епей по по­
стоянному току), а также учетом паразитной емкости С 0 , вкJ1ючающей
в себя междуэлектродную емкость лампы, а также емкость внешней
схемы, шунтирующей нагрузочное сопротивление Ra. Сопротивление
R1, как правило, явJIя~·Iся высокоомным сопротивлением, очень 60J1ь­
uщм по сравш:Iшю с Ra•
175

176
1
С1
1
1
Ra.
R,
1
1
+со +
Ес;О ·j,.
Еа.
L
1
-Е+
9о
а)
с,
R.
со Ra
Rt
t,
б)
Рис. 5.19
. ____ __
..,._ .J
-
.
I1:
0
,IJJ
5)
Рис. 5.20
! и6~1,с,
J__
-----т
и6ы)I
t

Применим формулы (5.31) и (5.35), для чего находим
Gн=Ga+iQC 0 +----
1
1
о
-+-
а. ЮС1
1
Кн (iQ) =
__
R-'- -1-1_ =
-1_G . .c. .1 _1_
R1 +---:---QC
-G+-QC-
t
1
1
i1
Рис. 5.21
Подставляя Gн в (5.31), получаем следующее выражение для уси•
ления or зажимов сетка - катод к зажимам анод
-
катод:
(5.45)
определяет амплитудно-частотную характеристику усилителя при
съеме напряжения с зажимов анод - катод. Типичный вид этой ха·
рактеристики показан на рис. 5.21 (пунктирная кривая).
В области очень низких, примыкающих к нулю частот, как не труд­
но видеть из (5.46), К Е. --+ S / (G; + Gu). При этих частотах сопро­
тивление R1 не оказывает влияния на усиление из-за очень большого
сопротивления разделительной емкости 1 /QC1.
В области относительно высоких частот, когда проводимость QC 0
паразитной емкости становится соизмеримой с проводимостью полез­
ной нагрузки G = 1/Ra, имеет место спад хара ктеристикп.
7 Зак. 137
177

При промежуточных значениях частоты, когда 1/QC1 « R1, но
одновременно 1/QC 0)) Rа, харакtеристи ка К Е (Q) • равномерна и на·
ходится на уровне Кв = S/(G; + G1 + G2)
Модуль коэффициента Кн(iЩ, равный
Кн(Q)=
.
R1
=
!2С1 R
,
1/ R2+_1
_
V1+R~Q
2
с~
VIо2с~
(5.47)
показан на рис. 5.21 тонкой линией.
Результирующий коэффи1шент усиления о соответствии с (5 . З5)
s
KUQ)= -
---------------
(G; +G,,+G 1 )-i[_Oi_ (G; +G,,) - ~2Co]
QC1
а его модуль
K(Q)=--;========s==========-
1/
ГG1
-
]2
V (G; +oa+G1)'+lgc1 (0; +Gп)-QCo
(5.48)
(5.49)
При выводе этих выражений испош,зовано условие малости С0
по сравнению с Cg(C 0 /Cg <<1).
Амплитудно-частотная характеристика усилителя в целом на
рис. 5.21 показана жирной линией. За исключением области самых
низких частот, эта характеристика совпадает с характеристикой
КЕ (Q), а в наиболее важной области, где характеристика равномерна,
усиление равно
(5.50)
Как правило, проводимости G; и G1 малы по сравнению с Ga
(сопротивления R; и R1 велики по сравнению с Ra)· Поэтому для гру­
бой прикидки коэффициента усиления в практике часто пользуются
приближенной формулой
к,;::::::, S!Ga = SRa,
а с учетом изменения фазы выходного напряжения
K=-SRa·
(5.51)
(5.52)
Проиллюстрируем приведенные выше соотношения на следующих
примерах.
1. Пусть требуется осуществить усиление в полосе частот от 50 гц
до 1 Мгц. На указанных граничных частотах коэффициент усиления
должен б1опь не меньше чем IIV 2 от своего максималыюго значения.
Для повышения усиления выгодно увеличивать нагрузочное сопро­
тивление R11 • Верхний предел R0 ограничивается допустимым завалом
частотной характеристики на максимальной частоте F манс = 1 Мгц.
178

Обращаясь к общей формуле (5.49), упростим ее для верхних ча­
стот путем отбрасывания слагаемого , содержащего множитель 1/QC1:
К (~~макс) ~
S
SRa
(G1«G,., G1«Ga)-
v а~ +Q~шс~ V1 + g~шR~c~
Так как числитель SRa определяет максимальное усиление, то из
предъявленного выше требования к амплитудно-частотной харак ·
теристике вытекает условие
QмаисRaСо~ 1.
Величина паразитной емкости С O может быть оценена в 30 пф.
Таким образом,
Ra ~------ ------= 5•103 ом.
2пР~шнс С" 2л·106 ·30· 10- 12
При крутиэне характеристики лампы S = 10 ма !в максимальное
усиление
Км11кс= SRa= 10- 10-з •5- 108 = 50.
Сопротивление R, разделительной цепочки может быть выбрано
из условия R1 ~ I0Rп = 50 к.ом.
Для определения емкости С, можно использовать приведенное выше
соотношение
откуда
С1 -;;;,:---= 1
=0,6-10-6 Ф=О,6 мкф.
Qми11 R1 2л-50-50- 103
2. Рассмотрим rеперь случай усиления телевизионных сигналов,
когда верхняя граничная частота F мilи с достигает 10 Мгц.
При данных из предыдущего примера (С O = 30 ,u/1, S = 1О ма !в,
ослабление усиления на граничных частотах не более чем ДО 11v21
находим R = 5 •103•J__ = 500 ом К =50•_!_ = 5. Элементы раз-
а
\О
•
макс
IO
делительной цепочки могут быть оставлены прежними.
Обратимся теперь к транз~1сторному аналогу лампового ус11лителя.
Схема замещения выходной цепи, показанная на рис. 5.20, 6, постро­
ена по аналогии с рис. 5.17, б. Сопротивление R с м• служащее для соз­
дания смещающего напряжения, на рис. 5.20, б опущене.
Найдем усиление напряжения на участке от источника сигнала Е,
до зажимов 1юллектор - эмиттер. Для этого воспользуемся формулой
7*
179

(5.41 ), в котороА для упрощения положим, что Z1 = r1 - чисто оми·
ческое сопротивление, а также слагаемое r 9 r,п в знамен а теле отно­
сительно мало .
Тогда
(5.53)
Это выражение совершенно аналогично выражению (5 .31). Так
как выходные цепи на схемах рис . 5.19 и 5.20 одинаковы, то для
построения амплитудно-частотной характеристики транзисторного уси•
лителя, собранного по схеме 5.20, можно воспользоваться рис . 5.21
при условии замены S на ' т/(rк-rт) =
/3 , G; на 1/(rк-rrrJ,
r1 +'б+re
'1 +'б+'~
и Ra на R. (соответственно Ga на Gк)-
Импульсная характеристика усилителя g(t) будет рассмотрена
в гл. 6 при анализе прохождения сигналов через усилитель.
5.6. ОДНОКОНТУРНЫА РЕЗОНАНСНЫА УСИЛИТЕЛЬ
Простейший резонансный усилитель на электронной лампе пока­
зан на рис. 5.22, а, а на транзисторе - на рис. 5.22, 6.
От рассмотренных в предыдущем параграфе эти схемы отличаются
только нагрузочной цепью. В данном случае нагрузкой является «па·
раллельный» колебательный К?нтур . Индуктивная ветвь с резуль­
тирующим реактивным сопротивлением XL может содержать не только
индуктивность, но и емкость, а емкостная ветвь с реактивным сопротив•
лением х, может содержать помимо емкости также и индуктивность.
Сопротивления ГL и гс учитывают ПО'Гери в ветвях контура, а шунти­
рующее сопротивление Rш собственно и является полезной нагрузкой
усилителя .
Составим выражение для полной проводимости нагрузки Gн (меж­
ду зажимами 1-2):
1
1
G11 =
-- .-
+---+ Rш =GL+Gc+Gш,
rL +ix1_
'c-ixc
(5.54)
где через
ветвей .
GL, Gc и Gш обозначены проводимости соответствующих
Проводимость только одного контура
G G rc+'L+ i (xL-xc)
гн+iх
G = L + с=-----'---- =
--
к
(rL+ixL)(гc-ixc)
(5.55)
Здесь использованы условия rL « xL и rc « xc и введены обозна­
чения : 1·к=rL -t -rc, X=roL-I JroC, riричем L и С-результирующие
180

индуктивность и емкость контура (при последовательном обходе).
Очевидны следующие соотношения:
ro
I rop
(· ro
rop)
Х=-00 L-----=p
---
,
(J)p р
<iJp с (iJ
(J)p
(J)
где оор= 1/JfLС-резонансная частота; p==oopL= 1/rорС-характе­
ристика контура.
Введем в рассмотрение «обобщенную расстройку» контура
(5.56}
Здесь Q0 -до6ротность ненаrруженноrо контура (без учета Rш).
2
Е,;1и
'i.
L.....;
Е.9о
Еа
Ео
а)
D')
Рис. 5.22
Тогда выражение (5.55) можно записать в форме
Gк=~ (l +ia)=Gкp(l +ia),
XL Хе
'ё
R
где Gк Р=ГкХLХс-проводимость контура при резонансе.
Подставив (5.57) в (5.54), получаем
0 11 =Он P+Gw +iaGк р•
(5.57)
(5.58)
Составим теперь выражение для передаточной функции (по напря­
жению) усилителя.
Для схемы (рис. 5.22, а) применяем формулу (5.31):
/{Е =
-
S=-
S
(5.59)
G; +Gн
(G;+Gкр+Gw)+iaG"р
Заметим, что при резонансе, когда а = О, абсолютное значение
коэффициета усиления
s
КЕр=о+а +а
1
кр
ш
s
(5.60)
181

Можно поэтому (5.59) с1аnисать в несколько иной форме:
(5.61)
Коэффициент
----1/fl
-3,О -2.О -1,0
2,0 з,о а,кб
Рис . /i.23
при обобщенной расстройке а учитывает шунтирующее действие на­
грузки Ош и лампы G;.
Целесообразно ввест11 понятие обобщенной расстройки н.агружен·
наго контура
где
(5.64)
В новых обозначениях передаточная функция усилителя
КЕр
Кер е' t'Р+щ.
hв= -
---_-_-:_~_-_- _-
\+iаэкв V 2
I +азкв
(5.65)
182

Слагаемое n в показателе степени учитывает знак минус в правой
части (5.61).
Итак, уравнение резонансной характеристики одноконтурноrо уси ·
лителя запишем в виде
Кв
n(a )--------
'"'°-к
-v---
Ep
1+а~кв
а фазовую характеристику-в виде
ер (азкв) = -
arctg аакn
(5.66)
(5.67)
(без учета независящего от частоты сдвига n) . Графики п(а:экв) и <р(аэкв)
изображены на рис. 5.23.
Эти характеристики ничем не отличаются от характеристик пассив·
наго колебательного контура с соответствующей добротностью. Как
правило, основной интерес представляет контур с относительно высо­
кой добротностью (десятки и более) и с малыми относительными рас ·
стройками (Л(t)/шР << 1).
В подобных случаях можно считать
и
(5.68)
Полоса пропускания резонансного усилителя, определяемая по ос­
лаблению амплитуды на границах полосы до l !V2 от максимального
уровня (при аэ1<n = О) и выраженная через обобщенную расстройку,
равна 2 (см. рис. 5.23). Для перехода от аэI<в к частоте, приравниваем
в (5.68) 1азю; 1 = l, а I Лw 1 = Л(t) 0. Тогда полоса пропускюшя
(5.69)
Все полученные выше результаты можно распространить и на тран ­
зисторный одноконтурный усилитель (см. рис. 5.22, 6). Необходимо
лишь, ка~< это уже отмечалось в предыдущем параграфе, заменить
Gi на 1/(rн - rт),аSнаГт!(rк-Гт)(r1 +r6+r8).
'
Импульсная характеристика резонансного одноконтурноrо уси ·
лителя будет рассмотрена в гл. 7 при анализе передачи сигнала через
колебательные непи.

5.7 . ЦЕПОЧКА ОДНОКОНТУРНЫХ УСИЛИТЕЛЕR.
ГАУССОВ ФИЛЬТР
Простой усилитель, на одной лампе или одном транзисторе, поз­
воляет получить относительно небольшое усиление - в десятки или
сотни раз. В радиоэлектронике часто требуется осуществлять усиление
во много раз большее. Эта задача решается с помощью многоступенных
(«многокаскадных») усилителей,
~ /к"
составленных из нескольких, обыч·
n'
•
но одинаковых, ступенеи.
r
В предыдущих параграфах бы­
ло установлено, что в ламповых
усилителях полностью, а в тран­
зисторных почти полностью, мож­
но пренебрегать влиянием выход­
ной цепи на входную. Это свойст­
во усилителей позволяет считать
отдельные каскады полностью «раз­
вязанными» друг от друга, блaro-
___
J;z::.0:::- ~2,-o- -1 .L,o-.lo- _,.1101..--...L-=~- a- -· да р я
чему результирующая переда-
•
31{ точная функция всего усилителя
Рис. 5.24
может быть выражена произведе­
нием передаточных функций ОТ·
дельных ступеней, рассматривсrемых порознь. Если к тому же все сту­
пени идентичны, то при общем их числе п передаточная функция
всего усилителя
(5.70)
Здесь К1р - резонансный коэффиuиент усиления одной ступени;
азкв - обобщенная расстройка.
Перепишем выражение (5.70) в форме
Kn(i(J))=Ktp(
1
)nein(l),=Kn(ro)eln,p , .
V1 +а:кв
(5.71)
Из этого выражения видно, что фазовая характеристика усилителя
(J)п = тр1 совпадает по форме с· фазовой характеристикой одной сту­
пени IJ)1, но масштаб фазовой характеристики усилителя возрастает
в п раз. Амплитудная же характеристика /(,.(ш) изменяется поформе;
с увеличением п она становится острее. Это видно из рис. 5.24; с воз­
растанием п «полоса пропускания» усилителя, определяемая по ос­
лаблению амплитуды на границах до 1/у 2от максимального значения
(при аэнв = О) уменьшается. Так, при п = 1 полная полоса, выражен­
ная через обобщенную расстройку, равна 2, при п = 2 и п = 3 - со­
ответственно 1,28 и 1,02 [ напомним, что обобщенная расстройка с.екв
связана с час1отной расстройкой Лu1 соотношением (5.68) J.
184

tl прак'tике ооычнu ::н:1,1.1.<1t1Ln u11t-' . . . .,.. .. .. , .... ... y, .
··~· · ··-· ·
.,
.,
усил111еля в uелом, Поэтому с увеличением числа кас1н~дов полосу
пропускания одной ступени необходимо увеличивать . В результате
получается, что в пределах полосы пропускания усилителя величина
аа"в оказывается значительно меньшей единицы. Это обстоятельство
позволяет осуществить удобное преобразование выражения для ам­
плитудно-частотной характеристики усилителя. Именно, воспользо­
вавшись соотношением
и обозначив а;""= х, представим ln () + х) в виде степенного ряда
1
1
ln(I +х)=х--х2 +-х3- • .,
при lx/~l .
.2
3
Полагая lxl ~ 1, т. е. сч~тая, что п » 1, мы можем ограничиться
лишь первым членом разложения
При этом
2
lntl +х)=х=а9ка•
п(
2)
11
2
-
ln 1 +a9KD
-
" 9КВ
е?
=е7
и модуль передаточной функции
Подставляя сюда
2Лw
аяю,= -
.-
Qэкв = Л(l)Тк,
Wp
где т" = 2Q0 " 0 /rop- постоянная времени контура, приходим к оконча­
тельному выражению дJ1я амплитудно-частотной характеристики
многокаскадного усил1пеля
ЛСJ11
к()-кп - } 't~Л<,1'
-
~п"
-
2 Лlt!02
11ro-
,Ре
=КРе 2 '"8=КРе
где приняты обозначения
11
Лw0 = ,,,.-
-.
rп''<
(5. 72)
(5. 73)
Итак, при п » 1 амплитудно-частотная характеристика при­
нимает форму 1<рнвой гауссова закона распределения.
Линейные цепи с подобной характеристикой получили название
«rауссон фильтр;>. Если под поJiосой пропускания гауссова фильтра
условиться понимать полосу, на границах которой амп J1итуда сни•
жается до e-'I, = 0,606 от максималыюй (ч10 близко к 11 V2), то для
полной полосы получаем простое выражение
185

2l
2Л(t)о= v- -.
r1
t' 1r
(5.74)
Таким образом, если задана требуемая полоса 2Лю 0 , то постшшная
времени одной ступени должна быть т" =
1
/JfnЛu1 0•
Итак, передаточная функция многокаскадного усилитt::ля, со­
ставленного из п одинаковых одноконтурных ступеней, имеет вил
,,.,
,,. ...
,,. ...
,,. ...
,,....
е· 1/2
!Р, .........
-
(5. 75)
',,
0,5
1,0 азк&
... ...
... ,
,..,
... ... _
Рис. 5.25
В пределах полосы пропускания (а,,ив ~ l) фазовая характерис­
тика, равная
IZ(JJ1 = -
пarctgазив~- nааив =
2Лrо
=
-п-Q,шв= -п,иЛw,
(J)p
(5. 76)
в первом приближении может рассматриваться как линейная функция
расстройки Лш = ffi - шР.
Амплитудная и фазовая характеристики 6-каскадного усилителя
изображены на рис. 5.25.
Исходная амплитудная характеристика одиночного контура, а
также характеристика 6-каскадного усилителя, вычисленные по
точным формулам (5.66) и (5.71), показаны пунктиром. Последняя
получается возведением в шестую степень характеристики одиночной
ступени. Характеристика соответствующего гауссова фильтра, вычис­
ленная по приближенной формуле (5. 72), показана сплошной линией.
Фазовая характеристика одиночной ступени qJi пока3ана пунктиром,
а результирующая характеристика усилителя пер~ - сплошной ли­
нией.
Гауссова аппроксимация часто оказывается удобной при аналше
передачи сигналов через избирательные цепи. Этот вопрос рассмат­
ривается в следующих двух главах.
186

Здесь же мы остановимся на одном интересном свойстве импульсной
характеристики гауссова фильтра . Для определения этой характери·
стики воспользуемся выражением (5.18), которое в данном случае uе­
лесообразно записать в форме
g(t)= Rе[; J/{п(i(J))е'"''d(J)],
(5. 77)
чтобы не оперировать с отрицательными частотами.
Подставляя сюда (5. 75) и учитывая (5. 76), получаем
В последнем интеграле нижний предел - roP заменен на -оо, что
допустимо, так как при Л(J) = -roP функция е-д'"'1 2лw5 очень близ­
ка к нулю.
С аналогичным интегралом мы уже встречались в § 2.9 .
После вычисления интеграла получается следующее 1:lыражение:
g(t)~Kp Re{e"0 P 1 Jf2лЛffi0 e(-л61~ 12 )(1-n't 11) 2 }=
:rt
V2 (-лrо6/2) (l-n't11)2
=
n КР Лrone
cos шР t.
(5. 78)
Как и следовало ожидать, импуJ1ьсная характеристика резонанс­
ного гауссова фильтра имеет вид гауссова же импульса с высокочастот­
ным заполнением . Огибающая амплитуд задержана во времени на ве­
личину п-~::11 (единичный импульс подается на вход в момент t = О,
а пик импульса получается при / = п.-к), частота заполнения равна
(J)p, т. е. частоте, при которой модуль передаточной функции фильтра
имеет максимум.
5.8 . ДВУХКОНТУРНЬН1 УСИЛИТЕЛЬ
Одиночные контуры имеют недостаточно высокую частотную из­
бирательность. Это объясняется поJюrостью скатов резонансной кри­
вой контура. Для повышения избирательности широко применяются
сложные колебательные системы, чаше всего двухконтурные .
Рассмотрим усилитель, в котором нагрузочная цепь представляет
собой систему из двух связанных контуров (рис. 5.26, а) Л ктивные
элементы - лампа или транзистор
-
на рио. 5.26 не показаны, однако
187

предполагается, что зажим 1-2 соответствует таким же зажимам
в схемах, изображенных н.~ рис. 5.22 .
Здесь использованы следующие обозначения:
хе, - реактивное сопротивление емкостной веrви первого контура;
XL, -
полное реактивное сопротивление индуктивной ветви, вклю-
чая и реактивное сопротивление связи х12 (при разомкнутом втором
контуре); Z 2 - комплексное сопротивление второго контура (без
учета Х12),
2
2
r;
,;
:z.
z,, [
'2
z,, 1
z,.,
.
,,
z"
z,м•z;/z,
t
t
а)
6)
Рис. 5.26
Для определения входного сопротивления цепи между зажимами
1-2 исходим из схемы замещения, показанной на рис . 5.26, 6. На
этой схеме влинние второго контура на первый учитываегся «вносимым
сопротивлением»
где Z2 = r2 + rx 2 - сопротивлениt второго контура.
Тогда входное , нагрузочное, сопротивление
( r1+xf~+ixL) (-txc)
Z-
Z2
'
'
11-
2
Х12
r1 + i (xL, -xc,)+z
к~к и в § 5.6, сопротивлением потерь , 1, а также вносимь,м сопро­
тивJiением xi ~1z 2 можно пренебречь по сравнению с большим сопро•
тивлением XL,·
В знаменателе же, где эти сопротивления имеют тот
же порядок, что и результирующее реактивное сопротивление первого
контура XL,
-
хе, (вблизи резонанса) , можно использовать прибли•
женное равенство
Аналогично
188

В 9ТИХ выражениях, как и раньше,
2(w-wp 1)
a1= ----Q1;
(J)p)
Таким образом.
xL, хе,
Zн::::; ------' -- =- ---2 ---
х
'1(1+ia1)+ '2(1 1;la2)
= 'L, Хе, ____(l_+_ia_2 _J _ _~- -= -
l(I +ia1) (1 + ia2J+-x -
72
-]
,, r2
Рис. 5.27
Замечаем, что первый множит~ь есть не что иное, как резонансн~
сопротивление Z 1P первого контура (при разомкнутом втором).
Далее,
х2
х2"
---12.. =
_1_2- ~
.!::_ = k2 Ql Q2,
'1 ,,
Р1Р1 '1
'2
гдеk=,;
12
-
коэффиuиt:>н1 связи.
r Р1Р2
Таким образом, окончаIельно
z ::::;
Z1 Р(1+ta,2)
(5. 79)
11
(l+ia1)(l+ia2)+k2 Q1Q2
На практике большой интерес предсн11:1лнt1 случай двух идентич­
ных контуров. Подобные двухконтурные системы, чащt всего с индук•
тивной связью, широко применяются в радиоприемных устройствах
(«полосовыt: усилители промежу1очной частоты»).
Схемо одной усилительной ступени изображена нн рис. 5.27.
Полагая L1 = L~ =
L,С1=С2=С,r1=r2=r,Q1=Q2=Q
и а1 = а 2 = а, перепишем для этого час·11юrо СJJучая формулу (5. 79)
следующим образом:
(5. 8())
1SQ

При индуктивной связи k = М n lолинаковые индуктивности J<OH· .
rуров).
_
Применяя формулы {5.31) и (5.35), нетрудно оПрёдеJIИН, передаточ-
ную функцию рассматриваемого усилителя. По формуле (5.31), отбра­
сывая для простоты Git находим усиление по анодной цепи:
.
S
SZ1p (1 + ia)
No(t(J))= -6н =-SZн=-(l+ia)2+k2Q2
Передаточная функция от зажимов / -2 к выходу
К ..,
_
~1/iwC _ k
1
~kQ
н(t . ))- L Z2 - iwCr(l+ia)
i(l+ia}
Таким образом , по формуле (5.35) , 1<0эффициент усиления
К (iш) = КE(i(J)) Кн (iw) =
SZ1pkQ
_
i ((1+la)2+k2Q
2
]
=-
-
i (1-а2 +k2Q2 + i 2al
SZ1pkQ
e-i((j)- ~),
}1(1 -а2 +k2Q2)2 +4а2
(5.81)
где
2а
<р= arctgl-a2+k2Q2 ,
(5.82)
а модуль передаточной функции
К(1)_
SZ1p kQ
( )- у'(1+k2Q2)2+2а2(1- k2Q21+а•
(5.83)
Из выражений (5.82) - (5.83) видно, что форма 1:1мш1итудной и фазо­
вой характеристиI< двухконтурной системы существенно зависит от
величин kQ («фаК1ора связи »).
Прежде всего замечаем, что резонансное значение К(ш) (при а= О)
К= SZ1pkQ
(5.84)
Р 1+k2Q2
при заданных S и Z 1 P достигает максимума при kQ = \ (« критическая
СВЯЗЬ>J).
Это маI<симально возможное усиление КР мак с = 1/ 2 S Z tp, т е.
вдвое меньшее, .чем в одноконтурном усилителе, с тем же Z1р-
Разделин К (w) H;J КР мак е · получим нормированную резонансную
характеристику двухконтурного усилителя
п (а)= _К_'<_•>)_= --;:=====:·=kQ======
Кр мак,· V(1+k2 Q
2
)
2
+2а2(1- k
2
Q2
) +а1
(5.85)
Семейство резонансных характернстик для несколышх значений
парам~тра kQ построено на рис. 5.28, а фазовых характеристик - на
рис . 5 29 . Напомним. что частотсJ возбуждения со соде ржится н обоб·
щенной расстройке а = 12( 111 - - (t)p)/ rol! IQ = (<u - u)p) т1,.
190

При сильной связи (kQ > l) резонансные характеристики при ­
обретают двугорбую форму ; максимумы удал яются от резонансной
частоты, соответствующей обобщенной расстройке а = О .. t·ем боJ1ьше,
чем сильнее связь. Дифференцируя выражение (5.85) по а и прирав­
нивая производную нулю, нетрудно найти зна 11ения а, соответствующие
экстремумам функции п(а) :
а1=уk2Q2- 1.. а11 = - уk2Q2- l .
(5.86)
В точке а 111 = О nоJiучается экстремум типа минимума (седловина) .
lf)o
кG•О,З
160
1
О,б
/
--
120
'
""""'
о:,,- /
~'i /-
3,()
80
Ау/ 2,0
40
&1/"т,о
о
-
-5
-4
-з -2.,,,,-::Vj 1 2 з 4 .5 а.
и
VV,,
V /:~
-во
. / ,......,,,
.....
-120
·-
·5
-'-t -з -2
·/
О123'-tа
Рис . 5.28
- 1бО
Ри с. 5.29
Пер ех одя 1< частотам с помощью соотношений
2(CL1 -(J.) )
а,=
,
РQ=Vk2Q2- 1
CLlp
находим
ы,=ыР(1 +-} yk2 __ J;Q2) ,
6)11=(t)p(1-
·-}Vk2- 1/Q2.
(5.87)
При использовании связанны х систем в качестве полосовых фильт­
ров обычно исходят из критической связи, при котор(j)й резонансная
характеристика имеет форму , наиболее благоприятную для равномер­
н ого пропускания частот в пределах полосы прозрачности и л.лн рез­
кого ослабления вне этой полосы . Это видно из рис. 5.30, на котором
191

для сравнения совмещены резонансные кривые для одино 11ного кон­
тура (пунктирная линия) и для двухконтурной системы (при крити­
ческой связи) при одной и той же полосе пропускания (по осла6J1е-
нию 11V2).
Для одиночного контура характеристика вычислялась по формуJiе
1,0
I
11
11
11
'о.в \
/ :о,б
'
1
'
1
/
1
I
10ft
п(Лrо)=
1
приQ=lОО,
ООр J/ l+(2~: Q )2
а для двухконтурной системr, , по фор­
мул е
при условии, что добротность каждого
из контуров Q' = ViQ (это необходи­
мо для получения такой же полосы, что
и в случае одиночного контура).
/
1'
,,,,
1
Таким образом, приведенные выше
формулы можно записать в форме:
1
:0.2
2за
Рис . 5.30
-
для двухконтурной системы
для одиночного контура
(Лrо'4
1 +(200)4 -)
. ООр
Из рис. 5.30 видно, что двухконтурная связанная система имеет
лучшую избирательность, нежели одиночный контур.
Следует отметить, что при приведении к одинаковой 1юлосt про­
пускания, усиление в двухконтурной схеме снижается по сравнению
с одноконтурной не дввое [как указывалось в комментарии к ф-ле
(5.84)1, а всего лишь в у2 раза.
Иногда сильная связь, большая критической, применяется для
искусственного подъема амплитудно-частотной характеристики усили­
теля в области высоких частот модуляции. При этом весь спектр моду­
ляции стараются разместить в седловине между двумя горбами резо­
нансной характеристики. При совмещении несущей частоты модули­
рованного колебания с резонансной частотой системы получается сим­
метричное подчеркивание боковых частот модуляции .
192

11.9 . СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДНОА И ФАЗОВОR
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЛИНЕRНОЯ ЦЕПИ
Анализ прохождения сиrшIшJ через J1инейную uепь и преобра­
зования в ней спеитра сигнала основан на использовании амплитудно­
частотной и фаза-частотной характеристик uепи .
Возникает следующий вопрос: можно ли управлять одной из ха ­
рактеристи!(, не изменяя другую, или же между ними имеется одно­
значное соответствие? Этот вопрос представляет ДJJЯ радиоэлектроники
большой праитический и научный интерес, особенно при решении за­
дач . связанных с синтезом uепей по заданным частотным хараIпери­
стикам .
Поскольку амплитудная и фазовая характер11стики четырехполюс­
ника прfiдставляют собой соответственно мoдyJJh и аргумент компле1{С·
наго коэффициента передачи K(iw), вопрос сводится к установлению
связи между модулем и аргументом комплексной функции К(р), облм­
дающей следующими свойствами: а) число полюсов конечно и 6) отсут­
ствие полюсов в правой полуплоскости переменного р = о + iro и на
мнимой оси.
Как известно из курса «Основы теории целей», этими свойствами
обладаt"I' любой четырехполюсник с сосредоточенными параметрами
как пассивный, так и активный (устойчивый).
Поставленный вопрос приводит к одной из наиболее сложных проб­
лем теории функций комплексного переменного . Значительно оолее
простой задачей явJiяется выражение действи·,ельноА части переда•
точной функuив через мнимую или мнимой через действитеJ1ьную.
Поэтому целесообразно вместо коэффициента передачи К(р) рассмат­
риваtь функuию 0(р), связанную с К(р) соотношением
0(p)=lnK(p).
На оси частот эта новая функция принимает вид
0 (i(t))= ln К(i(t))= lпIK(,u)e'(j,(ш>1 =
= lnК(ro)+iqJ(w)=А(ro)+i<p(ro),
Действительная часть этой функции
A(ro)= lnl<(ш)
называется логарифмичt::ским затуханием четырехполюсника.
Учитывая. что
К(ro)=елlm> ,
(5.89)
(5.90)
(5.91)
(5.92)
комплексный коэффициент nеред;,чи цепи можно представить в форме
К (iw) = е6( iol) = еА (o>)+iq, (ш) .
(5.93)
Определяемая выражением (5.90) комплексвая
характеризуюшая лоrарнфмическаt! затухание а
фазы в четырех11олюснике, мож~ быть названа
функция 0(101),
rакже изменение
поотоянноR
19З

п е р е д а ч и четырехполюсника по аналогии с термином пр1-1менпе­
мым в теории длинных .линнй .
После перехода от функции K(iwJ к функции Нt1ш) ~ащ:1ча с1юди1си
к установлению связи между А((!)) и <p(w), т._е. между действительной
и мнимой частями комплексной фунrнщи 8(1(J)).
Воспольз:rем< я для этоrо следующим равенством, доказываемым
в теории функций комплексного переменного:
1 '1{"" 0(p)dp=.! ._8(i(!)1)+~
'5 "" 0(iro)d(iro)
211:1 J p-iro1
2
2ш
1ro-iro1
(5.94)
Рис. 5.31
c-ioo
-icx
G
Путь интегрирования в Jtевой части это­
го выражения совпад1:1ет с осью iro (с - О)
прн обходе точки i(!)1 справа. Первое слагае­
мое в правой части представляет собой поло­
вину вычета в точке iro 1 , т. е. интеграл по
полуокружности бесконечно малого радиуса
r. Действительно, на этой окружности функ­
ция 0(р) с точностью до бесконечно малых
высшего порядка равна 0(iro1), а знамена­
тель равен
так что
dp = irei1P d-ф.
Поэтому
=-
1
0 (i(!)) iл = _!_ 0 (i(!)1),
2ni
2
•
Второе слаrаемсе - это интеrра J1 по мнимой оси с исключением особой
точки iw1 (rлавноt: ::1начени1: интеграла) .
Следует иметь в виду, что с увеличением р (по модулю) и при усло­
вии, t,то Re (р) > О, функция 0(р) стремится к нулю. По,пому инте­
грал ст функции 8(р)/(р - i(,J 1) по дуге бl:'с1<0Нl:'ЧН0 большого радиуса
R, лежащей в правой полуплоскости, равен нулю . Это дает основание
заменить интеграл, стоящий в левой части равенства (5.94), интегралом
по зам1шутому контуру, пока за нному на рис. 5.31.
Наложим условие, что функция 0(р) не щ,~еет полю(оr, ь правой
полуплоск.vсти р. Тоrди по теореме Коши этот инптрал равен нулю.
Пр_!-fравнивая в (5 .94) левую ча сть нулю и заменяя 0(i(J)) по уравне­
нню (5.90), приходим к следующему выражению:
194

00
\ А(ro)dro + _1
J oo-w,
2n
00
s <p(ro)dro =О.
РаздеJ1яя действительные и мнимые части, получаем
х,
<р(ffi1) = ~ 5
А (ooJ
dffi .
{D-оо,
-ос
00
1
s
<р ( (1))
dw.
A(ffi1)= --
л
(1)- (JJ ,
_ ,,.
Мы пришли к преобразованиям Гильберта (см. § 4.R). Функция
A((J)1) нмяется сопряжен.ной (по Гильберту) фу1-1кции <р( <,>1) . Так ка1<
А(ю) tсть четная, а q;(1u) - нечетная функция, то
00
00
JГ' A(w)dw =SA(w)(-1-+
1
)dw=
rо-ш 1
.o o-roJ
-m-ш 1
-оо
о
00
00
= s{f) (u>) (-1 -+ _1_) dffi = 2 J ooq, (w)o dffi.
n
m-w,
c,1+u>1
о ю2-w;
Подставляя эти результаты в предыдущие выражения, приходим
к следующим окончательным формулам:
(5.95)
(5.96)
Итак, фазовая хараIпернстика 1р(ш 1 ) пр11 какой-либо фиксирован­
ной частоте (11 1 выражае1ся через логарифмическое затухание A((J)),
причем поСJlеднеt интегрируется в пределах от <,> = О до (u = оо
То
же относится и к логарифмическому затуханию. Таrшм образом, для
определения одной из хара[{теристик на какой-.11ибо частоте требуется
знание изменения другой во всем частотном диапазоне.
195

Переходя в выражении (5.95) от A(ru) к K(ro) по формуле (5.91),
nолуча~м искомую зависимость между фазовой и амплитудной харак·
теристиками :
(5.97)
Оговоренное ранее условие отсутствия полюсов функции ft(p)
в правой полуплоскости равносильно условию отсутствия полюсов
и нулей функции Н(р) в этой же полуплоскости (так как в точках плос•
кости р, rдt Н(р) равно нулю, ln /(((1)) обращается в - оо ).
Можно поэтому сформулировать следующее важное положение:
однозн.ачное соответствие между амплитудной и фазооой характери•
стиками имеется только у четырехполюсников, l([)эффuциент пере­
дачи которых К(р) не имеет нулей в правой полуплоскости комплекс·
н,ого переменного р = а + iи) .
Четырехполюсники, отвечающие этому условию, называются м И·
нимально-фазовыми. Ктаковымотносятсяобычныеколеба­
тельные системы, фильтры, непные и другие схемы , в которых отсут•
ствуют перекрестные связи.
Кнеминимально-фазовымотносятсямостовыеинеко­
торые другие специальные цепи.
Условие отсутствия полюсов /{(р) в правой полуплоскости для
устойчивых четырехполюсников не требует дополнительных поясне•
ний . Требование же отсутствия нуJ1ей в правой полуплоскости, а так•
же смысл термина «минимально-фазовый четырехполюсник», будут
пояснены в следующем параграфе.
Остановимси на некоторых свойствах амплитудных и фазовых ха­
рактеристик минимально-фазовых четырехполюсников .
Из рассмотрения выражений (5.95) - (5.96) видно, что величины
интегралов определяются характеrом изменения A(ro) и <p((J)) вблизи
частоты ro1, так как при удалении ro от нJj абсолютная величина дроби
1/ (ro 2 - (J)T) быстро убывает.
Заметим прежде всего, что интеграл от этой дроби, меняющей свой
знак в точке w = ю1, взятый в прt:делах от О до оо, равен нулю 1. Если
поэтому допустить, что для некоторой физической непи затухание
A(w) = А 0 , т. е. является постоянной величиной для всех част01 от О
до оо, то
Следовательно, равномерное для всего диапазона логарифмиче­
ское затухание (а следовательно, и равномерную амплитудную ха­
рактеристику) можно получить только для цепи, фазовая характе -
' Имеется в виду rJ1авное значение интеграла с исключением особой точ1<и
196

ристика которой равна нулю, т . е. ее.ли uenh состоит и3 чисто омиче­
ских сопротивлений.
С другой стороны, добавление к затуханию AtшJ постоян1юй ве­
личины А 0 не изменнет фазовой характеристики, так что выражение
(5.95) может быть записано в более общей форме.
Физически это означае, лишь изменение масштаба амплитудно-частот­
ной характеристики с помощью, например, усилителя, имеющего рав­
номерную амплитудно-частотную характеристику, или с помощью
]tелите;пя наnряжений (потенuиометра), составленного из чисто оми­
ческих сопротивJ1ен11й (В первом случае А 0 нужно брать со знаком
плюс, во втором - со знаком минус.)
Можно также показать, что еСJ1и вблизи рассматриваемой частоты
ro 1 функция A(ro) изменяt.'ТСЯ слабо, то определяемая выражением
(5.95) фазовая характеристика изменяется линейно; участкам же диа­
пазона с относительно быстрым изменением А (ш) соответствуе1 нели­
нейное изменение tp( ю). Иными словами, участкам с ршmомерн.ой ампли­
тудной характеристик.ой соответствует линейн.ая фазовая -каракте­
рuстuка.
Кроме того , при прохождении K(ffi) через максимум, т . е. в полосе
прозрачности цепи, наклон фазовой характеристики отринателен
[d:~) < О)- Соответственно при прохождении через минимум (в по­
лосе непрозрачности) наклон фазовой хара1<Теристики положите.~1ен
rd:~<0) > 0JЭти положения хорошо илтострируются, В частности,
амплитудными и фазовыми характеристиками колебате.льных систем,
рассматривавшихся в § 5.6 -5 .9 (см., напримtр, резонансную кривую
и фазовую характеристику колебательного контура на рис. 5.25).
5.10. НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЦЕПИ
В настоящем параграфе рассматриваются ЧЕ'тырехполюсвики, у ко­
торых амплитудная и фазовая характеристики между собой не связаны.
Как уже указывалось ранее, для этого нужно, чтобы передаточная
функция обладала одним или несколькими нулями в правой полу­
плоскости переменного р .
Из общей теории цепей известно, что передаточная функuия лю•
6oro линейного (пассивного) четырехполюсника может быть представ­
лен!! в виде следующей дроби:
(Р-Ро1) (r -Р~1) (Р-1102 1 (Р-Р~2) (Р-Рот) (Р-Р~т)
К(р)=В---------- ----~
(5.98)
(/1 - fJ ,11) (р- 11:,1) (Р-Р112) (μ-р;,2) ··· (Р-Р1111) (Р-Р~11) •
197

Здесь р =а+ iro- комплексная переменная; р01, Р~1 - первая пара
комплексно-сопряженных нулей функции К (р): Ро2, Р~2 - вторая
пара и т. д. . а р,11, р~ 1 - первая пара комплексно-сопряженных по­
люсов функции К (р); р112 , р~ ~ - вторая пара полюсов и т. д.
Полюсы функции К(р) могут быть расположены только в левой
полуплоскости переменного р. Это объясняется наличием потерь в ре•
альных пассивных цепях. Н «идеальном» четырехполюснике без потерь
полюсы располагаются на мнимой оси.
Нули функции К(р) могут быть рш:положен,ь, как 11 1/f::(juй, так и
в правой полуплоскости р.
it,J
Рис. 5.32
tW
-)(__,____-о-__
Рп, О
Рис. 5.33
pl1 d
1
Далее, нули 11 полюсы могут быть либо действительными (распо­
ложенными на оси а), либо комплексно-сопряженными. как это П@­
казано на рис. 5.32.
Для выяснения особенностей цепи, передаточная функция которой
обладает нулями в правой полуплоскости, рассмотрим сначала про­
стейший случай, когда имеется всего лишь один нуль.
Пусть передаточная функция четырехполюсника имеет вид
К(р) = В _p-P .!!l_ ,
(5.99)
ГJ-Рт
где Poi - вещественная полож111еJ1ьная величин1:1, Рпi
-
тоже ве­
щественная, но отрицательная величина.
Определяемая выражением (5.99) функция К(р) имеет один полюс
в точке р = Pni, расположенной на оси а в левой полуплоскости, и
один нуль в точке р = р01 на правой полуоси а (рис. 5.33).
Умножим числитель и знаменатель в выражении (5.99) на (р + р01).
Тогда
(5.100)
где
(5.101)
обозначае-r передаточную функцию мннимально-фаэового четырех­
полюсниI<а (поскольку нуль передаточной функции КмФ (р) распо­
ложен в точке р ;::::; - р01 , т. е. в левой полуплоскости), а
198

К (р)= Р-Р,1
нф
fJ tPn1
(5.102)
-
передаточную функцию четырехполюсника неминимально-фа :ювого
типс:1 .
Правая часть выражения (5.100) соответствуе1 пер~даточной функ­
ции двух каскадно соединенных четырехполюсников. Следовательно,
рассматриваемый четырехполюсник с коэффИL{иентом передачи К(р),
определяемым выражением (5.99), можеr быть заменен эквивалентным
каскадным соединен~1ем двух четырехполюсников КмФ(р) и «нФ(р)
(рис. 5.34).
г - ------- - --------------,
1
1
1
1
1
1
1
-
------ -----
-------- -
__
J
K(n)
Рис ..5 ..14
Рассмотрим подробнее второй ч1::тырехпnлюсник К,,Ф(р).
от р к i(t), запишем эту функцию в виде
к (. ) 1ro-Po1
нф /(J) =
.
.
tro+ Ро1
Переходя
(5.103)
Так как р01 - действительное чисJJо, то модуль этой функции равен
единице н.а f!cex частотах от (11 = О до ffi = оо,
Аргумен1 же равен
(fJ ((J)) = агg (iffi- р01 )-агg (iffi + Р01 ) =
ы
ы
ы
= -arctg--arctg- =
- 2arctg -.
Pm
Pm
Ры
Таким образом, коэффициент передачи
-
i2 arctg ~
КпФ (iffi) = е
"01
(5.103')
Итак, четырехполюсник с коэффициентом передачи вида (5. 103)
представляет собой uепь, пропускающую (равномерно) все частоты
отOдо 00,
Примером физической реализации подобной цепи является мосто­
вая схема, изоnраженная на рис. 5.35, а.
При выполнении условия Za Zь = R
2
коэффициент передачи этой
схемы 1
1
См . Ат а бек о в Г . И . Теория линейных элекrри'!еских цепей. Изд­
во «Сонетское радио». 1960.
199

В частности, когда
LIC= R
2
(рис. 5.35, 6),
Za=1/iшСиZь=iffiL
коэффициент передачи
1
iuJ--
CR
К (ioo) =---
1
-
= ei<J <(1)>,
iuJ+-
cr~
Za
с
R,vzaz;
а)
б)
Рис. 5.35
где
(р (ro) = -2 arctg ffiCR.
(5. 104)
и, следовательно,
(5.105)
(5. 106)
Отсюда видно, что между амплитудной и фазовой характеристиками
рассматриваемой цепи не существует никакой связи. Изменяя эле­
менты С и R (при соответствующем подборе L из условия LIC = R
2
),
_1'f()_Я{НО управлять наклоном фазовой характеристики при неизменной
амплитудной характеристике, равной единице. Можно также изменять
фазовую характеристику системы, соединяя каскадно несколько че­
тырехполюсников мостового типа. При этом амплитудная харак1ери
стика остается неизменной.
Принципиально иначе обстоит дело с четырехполюсником НмФ (tm),
полученным после исключения нулей из функции К(р). ИзменЕ.>ние
фазовой характеристики этого четырехполюсника неизбежно свй ::. аtю
с соответствующим изменением амплитудной (и наоборот). Поэтому
под «минимально-фазовой цепью» можно подразумевать систему, из
фазовой характеристики которой удалены все слагаемые, не свя::.,ш­
ные с амплитудной характеристикой 1.
1 Исторически термин «минимально-фазовая цепь» появился в работах Боде
(см. Г. Боде . Теория цепей и проектироваIIие усилителей с обратной связью.
Изд-во иностранной литературы, 1948) , который рассматривал передаточную
. фу.нкuию как отношение входной величины к выходной. В этом слу•Iае фазоI1ая
характеристика мостовой схемы является положительной [в отличие от (5.1 Об)]
и исключение нулей из функции К(р) приводит к уменьшению фазовой характе­
ристики цепи. При общепринятом же определении передатоц1юй функции исклю·
чение нулей из фун1щии К(р) приподит к увеличению аргумента.
Таким образом, укоренившийся термин (( минимально-фазовая цепь» 11ахо­
дится в противоречии со словами «наибольший аргумент». Приведенное в тексте
истолкование понягия «минимально-фазовая цепь» обходит это затруднение
200

Мостовые схемы, равномерно пропускающие все частоты, находят
широкое применение я технике связи в качестве фазокорректируюших
устройств.
К неминимально-фазовым цепям кроме мостовых схем относятся
некоторые специальные устройства балансного типа, схемы с перекрест­
ными связями, а также длинные линии без потерь, работающие на со•
rласованную нагрузку.
Обычные мноrозвенные четырехполюсники относятся к минималь•
но-фазовым непям и на них распространяются установленные в § 5.9
соотношения между амплитудной и фазовой характеристиками.
5.11 . ДЛИННАЯ ЛИНИЯ КАК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Цепи с распределенными постоянным11 обладают существенными
особенностями при передаче через них сигналов. Главная особенность­
это задержка сигнала на время, пропорциональное длине линии.
Рассмотрим сначала свободную от потерь («идеальную») однород•
ную линию. нагруженную на конце омическим сопротивлением R,
равным волновому сопротивлению W = v·UC, где L и С - индук•
rивность и емкость на единицу длины линии (рис. 5.36).
При R = W линия полностью согласована с нагрузкой. Это оз·на•
чает, что fla конце линии отсутствует отражение волн и энергия сиг•
нала передаетсн от источника 1< нагрузке при помощи бегущей волны,
распространяющейся со с1<0ростью
1
v=VLC.
(5.107)
Важно отметить, что в случае отсутствия потерь скорость не за•
висит от частоты (й э. д. с., питающей линию. Это позволнет трактовать
e(t)
IV
О--·-· ---------!
,- .. -- -- l -----оо1
Рис. 5.36
изображенную на рис. 5.36 схему в виде четырехполюсника, коэффи­
циент передачи которого равен
K(i(J))=eiФ( 00 >,
(5.108)
где фазовая характеристика ер( ш) является линейной функцией час­
тоты (t),
Модуль коэффициента передачи равен единице на всех частотах,
rак как в отсутствие потер,, затухание волны вдоль линии равно нулю
201

и амплитуда напряжения U на выходе линии равна амплитуде э . n. с.
Е на входе линии.
Аргумент же коэффициента передачи при дJtине JJИНИИ L и скорости
распространения волны v равен
где
1
v-
(,=-=l
LC
V
(5.109)
(5.110)
величина задержки, т. е. время пробега воJ1ной расстояния l.
Таким образом, выражение (5.108) может быть записано в форме
.
-lm_!_
-11
К(tro) = е
"=е(1)э.
(5.111)
Из этого выражения следует, что линия без потерь, нагруженная
чисто омическим сопротивлением (R = W), является идеальной ли­
нией задерж1<И, пропускающей равномерно все частоты, от О до оо.
Величина задержки, независимо от частоты сигнала, равна t, =
llv =
= lyLC.
Поскольку фазовая характеристика четырехполюсника, эквива­
лентного идеальной линии (без потерь), совершенно не связана с мо­
дулем коэффициента передачи (который равен единице на всех часто­
тах), то изображенная на рис . 5.36 цепь должна быть отнесена к не­
минимально-фазовым цепям.
При наличии потерь необходимо учитывать зату ханиt волны при
движении ее вдоль линии. Кроме того, скорость распrостранения
волны зависит, в общее случае, от часто1ы. Поэтому передаточная
функция эквивалентного четырехполюсника несколько усложняется
и между ее модулем и аргументом имеется связь.

6
Передача сигналов через линейные системы.
Общие методы и соотношения
6.1 . ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В радио':!лектронике приходится иметь дело с различными сиrна­
ламн и с разнообразными, в основном с инерционными, цепями.
При передаче реальных сигналов по таким цепям возникают пере­
ходные процессы. В отличие от электротехниIш, интересующейся
установлением режима при включении или выключении источников
энергии, в радиотехни~-е в основном рассматривается влияние пере­
ходных процессов на форму сигналов и в конечном итоге на содержа­
щуюся в них информацию В гл. 1 оrмечалось, что большинство радио­
технических устройств представляет собой сочетание линейных и не­
линейных элементов Это обстоятельство усложняет задачу строгого
рассмотрения переходных процессов в радиоцепях, так как класси­
ческие методы анализа, основанные на использовании принципа супер­
позиции, являются 1 1инейными методами. В радиотехнике поэтому
широкое распространение получили п р и б л и жен н ы е методы
анализа воздействия сигналов на реальныЕ:' устройства. Это прибли­
жение достигается двумя путями: во-первых, выделяются линейные
цепи, ~-:оторые рассматриваются изолированно от нелинейных элемен­
тов. Во-вторых, переходные процессы обычно рассматриваются для
линейных непей с посточн.ными параметрами . И, наконец, при рас­
смотр"•нии прохождения сигналов через колебательные системы, обла­
дающие высокой частотной избирательностью, удается существенно
упростить сам метод анализа допущением о «медленности изменения
амплитуд» .
Несмотря на пер~чисJ1енные ограничения, имеется широкий I<pyr
практических задач, которые можно успешно решать на основе ли­
нейного подхода . Такие задачи решаются, прежде всего, при прохож­
дении сигналов через линейные усилители с апериодическими и колеба­
тельными цепями. Из дальнейшего будет видно, что слабо выраженная
неJ1инейность усилнтельвых элементов (ламп, транзисторов и др.)
не r,репятствует 11.uнейному рассмотрению прохождения импульсов и
модулированных колебаний через «линейные» усилители. Даже в слу­
чае существенно нелинейных устройств на основе линейного рассмо­
трения отдельных 9JJементов и узлов этих устройств часто удаетс 'я по­
лучать полезные для практики результаты.
203

Напомним основные ме-rоды, с которыми приходится иметь дело
при анализе прохождения сигналов через радиотехнические uепи.
Для простейших систем, описываемых дифференциальными урав­
нениями не выше второго порядка, решение задачи обычно нетрудно
получить с помощью класснческого метода дифференциальных урав­
нений.
Для сложных цепей значительно более удобными 01<азываются ме­
тоды, основанные на спектральном представлении сигнала. К этим
методамотносятсяметодинтеrралаФурьеитесносним
связанныйопt- μаIорный метод (преобразованияЛапласа).
Наряду со спектральным методом в радиоэлектронике часто ис­
пользуетсятакжеметод интеrрала наложения, осно­
ванный на предст,шлении сигнала в виде суммы импульсов (или скач•
ков).
Кроме перечисленных строгих методов, применяются упомянутые
выше прибJ1иженные методы, приспособленные к специфике рассмат­
риваемых цепей и сигналов Некоторые из таких методов будут изло·
жены в гл. 7 при рассмотрении передачи радиосигналов через избира­
тельные цепи.
В данной главе излагаются основные положения теории передачи
детерминированых сигналов через линейные системы
с постоянными параметрами, причем более подробно рассматриваются
«управляющие сигналы~> (без высокочастотного за110лнения) и аперио·
дические щ:пи .
Передача детерминированных сигналов через параметрические ли­
нейные системы рассматривается в гл. l l, а передача случайных сиг­
налов через линейные системы - в гл. 15.
Два следующих параграфа посвящены краткому изложению суще­
ства операторного метода и метода интеграла наложения и рассмотрены
особенности применения этих методов к радиотехническим задачам.
6.2. СПЕКТРАЛЬНЫЯ МЕТОД
В основе этого мt::тода лежит использование введенной в предьщу­
щей главе «передаточной функци11>; цепи K(i(JJ) (см ~ 5.2).
Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал
произвольной формы в виде э. д . с. e(t), то, применяя спектральный
метод, нужно определить спектральную плотность входного сигнал'а
Е(iы) 1 . Эта операция легко осущlс'ствляется с помощью выражения
(2.38). Умножением Е(iы) на К(iш) получаем сш:ктральную плотность
сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец, применяя к произ­
ведению Е(iш) К(iы) обратное преобразование Фуры~ [см. 1;\Ыражение
(2.49) 1, определяем выходной сигнал в виде функции времени.
1 В данной главе аргумент спектральной плотности обозна 11ается в виде
iю для удобства перехода к операционному изображению заменой iю на р.
204

Таким образом. если входной сигнал записан в виле интеграла
JO
е (t) = 1- S Е(t(J)) е'"'' d(J),
2n
(6.1)
то выходной сигнал может быть представлен в аналогичной форме:
00
и(i) = ..!_ SЕ(i(J)) R (iш) ei•"' d(J).
•
2n
(6.2)
Сравнение выражения (6 .2) с (6.1) показывает, что сиг1щл на вы­
ходе 11инейной цепи может быть получен суммированием спектра
E(iu1) tJходн.ого сигн.ала с весом К(iш) . Иными словами, передаточная
функtщяI1епиK(iw)являетс5Jвесовой функцией, опреде­
ляющей относительный вклад различных составляющих спектра E(iro)
в сигнал u(t) .
-
--Вь~числение
интегралов вида (6.2) значительно облегчается при
использовании методов контурного интегрирования на плоскости
комплексного переменного. Переход от действительной переменной ro
к коМ11ле-ксному переменному р = а + iro позволяет также полностью
устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной ин­
теrрируемости фуню1ии e(t) (см. § 2.12). Заменив в выражениях
(6.1) - (6.2) iro на р, получим
c+loo
e(t)=~
S Е(р)еР1 dp,
2ш
c-loo
-: -+ioo
ц(t)=~ S E(p)K(p)eP1 dp.
2ni
C-ioo
(6.3)
(6.4)
При новой переменной функция Е(р) определяется выражением,
получэ.емым при замене в выражении (2.48) iro на р:
00
Е(р)=~е(i)е-Р1dt.
(6.5)
о
Это соотношение, преобразующее действительную функцию e(t)
действительного переменного t в комплексную (в общем случае) функ­
цию Е(р) комплексного переменного р, называется преобразованием
Лапласа.Е(р)иногданазываютпреобразованной поЛап­
ласуфункциейe(t)илиизображением функцииe(t).Исход­
нуюфункциюe(t)называюториrиналом.
Соотношение (6.3) по аналогии с выражением (2.49) иногда назы­
вают обратным преобразованием Лапласа.
Сравнивая выражения (6.4) и (6.2), приходим к выводу, что переход
от w к р означает изменение пути интегрирования. В выражении (6.2)
205

интегрирование ведется по действительной оси (t),a в выражении (6.4)-
по прямой, лежащей на плоскости р = а + i(t) и проходящей парал­
лельно мнимой оси iш на расстоянии с от последней (рис. 6.1).
Величина постоянной с определяется характером подынтегральной
функции U(p) = Е(р) К(р): путь интегрирования должен проходить
правее особых точек (полюсов) этой функции.
Добавлением к прямой с - i оо, с + ioo дуги бес1юнечно большого
радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования. Для
того чтобы добавление этой дуги не изменяло величины интеграла,
нужно руководствоваться следующим правилом: при положительных
значениях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости
переменного р, а при отрицательных t - в правой .
1,(IJ
it.J
ir.J
i6J
,.,. ..
А
А
Pz;
8
р
б
о
а:
о
~
•
Р3
с
с
с
с. i,.o
а)
6)
4)
oJ
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Тогда в первом случае, при t > О lnpи проведении дуги в левой
полуn JЮСI<ости (рис. 6.2, а) 1 контур интегрирования охватывает все
полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой с - ioo,
с + ioo) и в соответствии с теорией вычетов интеграл (6.4) определяется
как
-!- iou
и(t)= _!_ S U(p)еР'dp= ~ ~ U(р)еР1dp= '2:. геs, (6.6)
2щ
2л, 'f
•- ioo
АВСА
где ~res- сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.
При проведении же дуги в правой полуплоскости, т. е. при t < О
(рис. 6.2, 6), полюсы функции U(p)e"
1
оказываются вне контура ин­
тегрирования, и в соответствии с теоремой Коши интеграл по замкну­
тому контуру равен нулю .
Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура ин­
rеrрирования, пол у чи м :
при t > О (контур по рис. 6.2, а)
, +100
u(t)=~
r U(p)e11'dp=~.
~ U(p)eP1 dp=Lres; (6.7)
2юJ
2лt :+J
c-loo
АВСА
206

при t < О (контур по рис. 6.2, 6)
+100
u(t)=~ s U(p)dp= -
1
.
~ U(p)e"' dp=O.
(6.8)
2щ
2зtl ':-1)
с-/оо
АВСА
Напомним важное свойспю контурных интегралов: величина ин­
теграла не зависит от формы замкнутого контура, по которому про­
изводится интегрирование, если только полюсы подынтегральной
функции остаются внутри контура. На основании этого свойства кон­
тур, образованный добавлением дуги АВС бесконечно большого ра­
диуса (рис. 6.2, а) к прямой с - ioo, с+ i оо, можно произвольно
деформировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположен­
ные левее прямой с - i оо, с + i оо, остаются внутри контура.
Итак, вычисление интеграла (6.4) сводится к определению вычетов
в полюсах подынтегральной функции.
Представим подынтегральную фушш.ию выражения (6.4) в виде
{) (р) еР1 = ~IJ!l.
(6.9)
Q (р)
Тогда вычет функции P(p)IQ(p), имеющей в точке Р1 простой полюс
(первой кратности), определяется формулой
(6.10)
Если функция P(p)/Q(p) имеет в -rочке р1 полюс кратности т (где
т - целое положительное число), то
(6.10')
Методика применения контурных интегралов для определения
различных функций, играющих большую poJiь в теории переходных
процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах.
Для составления выражения (6.4) не обязатеJiьно всегда начинать
с интеграла Фурье. Если известно интегро-дифференциальное уравне·
ние исследуемой системы, выражение для U(p) может быть получено
путем алгебраизации уравнения с помощью преобразования Лап­
ласа.
Пусть, например, имеется уравнение
L !!:!.... + ri + ..!.. Sidt = е (t).
dl
с
Искомой функuии i(t) соответствует пока неизвестное изображение
/(р). Для алгебраизаuии приведенного уравнения нужно найти
uзображения для производной и интеграла функции i(t).

Рассмотрим сначала производную di(i)/dt Применяя формулу
(6.5) и интегрируя по 11астям , получаем
00
= •е-" ' •i(l)];;"+р~ i(t)е-01dt.
о
Учитывая, что е-Р' l 1=oo = О и е-Р' J 1-0 = l можем написать
00
.f(:: )е-·0 dt = р/ (p)-i (0),
u
где i(О)-значение функции i(t) при t=O.
Подобным же образом для ~ i (t) dt можно получить
00
JIJi(t) dt] е-и1 dt = /(р)/С ,
о
где постоянная С соответствует ,шачению интеграла к моменту t = О,
т. е.
t
Si(t)dt= ,\i(!)dt+С.
о
Алгебраизаuия интегро-дифференциальных уравнений особенно
упрощается при «нулевых» начальных условиях, т. е. при рассмотре­
нии процессов, связанных с подключением электродвижущих си.л
к «пустой>) 11епи (когда все токи •1ерез индуктивности и напряжения
на емкостях равны нулю) в момент l = О.
В этом случае
""
J[aid~t) ] е_,,, dt = Р1(р),
(6.11)
п
JIJi(t)tit] е-Р' dt=
1
(р) .
о_о
Р
(6.12)
Очевидно, что прои , водно1"1 i(t) k-ro норядка соответствует изобра­
жение pkJ(p).
В результате применения преобраз ования (6 5) ко всем членам
исходного интеrро-дифференuиальноrо уравнения последнее может
f~ыть приведено к в1щу
Z(р)/(р)=Е(р),
(6.13)
208

где /(р) - изображение искомой фу нкции i (t); Е(р) - нзображенr1е
внешней силы e(t) , действующей на рассматриваем ую систему;
Z(p) - функция от р, определяемая параметрами цепи (операторноt'
сопротивление).
Таким образом, изображение искомой фу нкции i(t) определя~п: 1,
в явной форме
/(р)=Е(р) .
Z(p)
Для отыскания i(t) остается применить выражение тина (6.,7).
Практическое применение изложенного выше операторного менща
облегчается наличием подробных таблиц изображений для ши1.ю1юrо
класса функций. Эти таблицы приводятся в литературе по операцион­
ному исчислению.
6.3. МЕТОД ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ
Вместо разложения сложного сигнала на гармонические состав ­
ляющие (спектральный метод) можно восnоJtьзоваться разбиением
сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 6.3).
Если в основе спектрального метода лежит передаточная функния
u.епн K(i(1J), то метод интеграла наложения баз ируется на и м п у л ,, с­
ной характеристи-
к е цепи g(t), введенной в гл .
5 (см. §5.2).
Пусть требуется найти
сигнал S в ых (t) на выходе це­
пи, если задан сигнал s(t) на
входе цепи и и ~ вестна ее
импульсная характеристика
g(t) .
Для уяснения сути метода
интеграла наложения посту­
пим следующим образом. Ра­
зобьем произвольный сигнал
s( x ) на ЭJ1ем с 11тарные liМ­
s{x)
r: i.r •i!.r
1
Рис. 6.3
t
х
пульсы , как это показано на рис. 6.3, и найдем отклик uе11и в мо­
мент L на элем~ нтарный импульс (на ри с. 6.3 з аштрихован), действую­
щий на □ ходе в момент х. Если бы площадь это го импульса рав нялась
единице , то и м пу л ьс можно было бы рассматри в ать как де.льтс1 -фу 11к­
ш110, но·~ннкшую в момент х. Прн импул ьсной хаμактеристиr,е цепи
g(x) отклнr, в момент / был бы очевидно р:ше11 g(t - х). Пос1i0л ьну,
однако, 3 аштрихованная на рис. 6.3 площадь импуJiьса равна s(х)Л х
(а не един11це), величина откли1(а в момент t равна s(x)Лxg(t - х).
Д.ля опреде.~ения полного значения выходного сигнала в момент t
нужно пр ос уммировать действие всех импульсов в промежутке от
х=0
•
Одох=t.ПриЛх
- -+ О суммир о вани е сводитсн к интеrрирова-
ншо.
!i .:Sаи.. 13,
209

Следовательно,
t
Sвых(t) = Js(х)g(t -х) dx.
о
(6.14)
В общем случае, если начало сигнала s(x) не совладает с началом
отсчета времени х, последнее выражение можно записать в форме
t
S8ых (t) = Js(х) g (t-x) dx
-оо
Для реальных систем всегда выполняется условие
g(t-x)=O при t<x,
(6.15)
(6.16)
r. е. при отрицательном аргументе функция g(t - х) должна обра­
щаться в нуJ1ь, так как отклик не может опережать воздействие. По­
~ому выражение (6.15) можно заменить выражением
00
sвых(t)= Js(х)g(t-x)dx
(6.17)
-оо
(при этом имеется в виду, что для х > t подынтегральноt= выражение
обращается в нуль).
Приведем наконеu, еще одну форму 1аш1си, которая получается
иэ выражеI11Iя (Ci . 14) при 4 ::щене х на t - х:
/
S8ых(t) =Js(t-х)g(х)dx.
о
(6.18)
Интеграл, стоящий в правой части выражения (6.17), в математике
1Jазывается сверткой функций s(t) и g(t) (см. ~ 2. 7). Таким образом
приходим к следующему важному положению: сигнал sвых(t) на вы·
ходе линейной цепи Ж1ляется сверткой входного сигнала s(t) с им­
пулы:ной характеристикой цепи g(t)
Из выражения (6.17) видно, что сигнал на выходе цепи sвых (t)
в момент t получается суммированием мгновенных значений входного
снгнала s(x) с весом g(t - х) за все предыдущее время.
В§ 6.2 пр11 суммировании спектра входного свrнала t!есовой функ­
цией являлась передаточная функция цепи K(iffi). В данном случае
при суммировании мгновенных значений входноrо сигнала s(t) весовой
функцией нвляется импульсная характерцстцка цепи, взятая с аргу­
ментом t - х, т. е. функция g(t-x).
Структура выражений (6.17) и (6.18) наводит на мысль, что sвых (1),
s(t) и g(t) связаны между собой корреляционным соотношением типа
(2,114).
Действительно, если в (2.114) t заменить на х 11 • на t, то приме­
нителыю к функциям s(x) и g(x) получим
210

""
'PsдU) = J s(х) g (x-t) dx.
От (6.17) ~о выражение отличается только знаком аргумента в функ
ции g(x - t). Рассмотрим поэтому поведение функции g(- х), если
задана функция g(x). Так как по условию импульсная характеристика
равна нулю при отрицательном аргументе, то при положительных
значениях х функция g(- х) = О. Следовательно, функция g(- х)
сущеспwует только при отрицательных значениях х, причем
g_(-x)=gl-(-1х1)1=g(1х1).
j(rJ•9(-x/
/-,
/
\
/
\
/
'
/
'
/
I
'I
о
t
Рис. 6.4
Функция, отвечающая этому условию, является зеркальным ото­
бражением функции g(x) относительно оси ординат.
Введем для зеркальной функции обозначение
g(-х)=g(х).
(6.19)
График функции g(x), соответствующей заданной функции g(x)
[являющейся откликом цепи на воздействие в виде дельта-функции
6(х) 1, изображен на рис. 6.4 пунктирной линией.
На том же рисунке изображена функция g(x - t), соответствующая
воздействию 6(х - t). Эта функция существует только при х > t.
Очевидно, что функция
g (t-x) = g(x-t),
(6.19')
существующая только при х < t, является зеркальной по отношению
к функции g(x - t) с осью симметрии, проходящей через точку х = t.
График фу1шции g(x - t) на рис. 6.4 изображен жирной линией .
Итак, выражение (6.17) для выходного сигнала может быть за­
писано в форме
00
5вых(t) = Js(х)g(x- t) dx.
(6.20)
-со
Это означает, что сигнал на выходе линейной цепи sвыхU) может
быть определен как взаимная кvррелю-1ион,ная функция для входного
211

сигнала s(x) и эеркального отображения g(x) импульсной характери­
стики g(x).
При этом аргументом t выходного сигнала яв.няt-тся сдвиг функции
g(x) относительно своего исходного положения при t = О.
tl.4. ПЕРЕДА'IА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
LJEPEЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Дискретные сообщения обычно представляют собой последова­
rельности импульсов. При передаче таких последовательностей через
инерционные цепи форма импульсов претерпевает изменения, которые
приводят к частичной или полной потере передаваемой информации.
В связи с этим одной из наибоJ1ее гипичных задач, с которь1ми стаJJ­
кивается радиоинженер и исследователь в своей практической ден­
тельности, является анализ искажения формы импульсов.
Из всего многообразия возможных форм импульсов наибольший
интерес для анализа представлнет прнмоугольный импульс. Это связано
с простотой формирования, а также с его широким применением в си­
стемах с двоичным кодом и во многих других радиотехнических устрой­
ствах. При работе с прямоугольными импульсами основное внимание
обычно уделяется вопросу о передаче фронта и спада импульса. Этот
вопрос особенно важен, когда передаваемая или извлекаеман инфор­
мация содержится в положении 111:реднего (или эаднего) перепада им­
пульсов на оси времени (например, в некоторых радиолокационных
системах).
Рассмотрим прохождение прнмоугоJIьного импульса через аперио­
дичес1шй усилитель, изученный в § 5.5.
Передаточная функция этого усилителя определяется выражением
(5.48) (для лампового варианта схемы, рис. 5.19).
Для сокращения громоздких выкладок сделаем упрощения, вы-
1,екающие из соотношений между сопротивлениями Ra, R; и R 1 (со­
ответственно между проводимостями Ga, G; и G1), а также емкостями
С0 и С1 в реальных усилителях. Ка!{ правило, внутреннее сопротив­
ление JIампы R; очень велико по сравнению с основным нагрузочным
сопротивJ1е11ием Ra- То же самое имеет место для сопротивления R1
разделительной цепочки (R1 )) Rа)-
Можно поэтому пренебречь проводимостями G; и G1 по сравнению
с Ga, что позволяет выражение (5.48) привести к виду
K(iQ)~-
SRa
1-i (-
1
--QR С)
QR1 С1
а0
(6.21)
где K 0 -SR,,- коэффициент усиления в области частот, где усиление
равномерно [см. формулу (5.51) I; тп = Ra С0 - постоянная времени
цепоч1<и Ra, С0 ; •1 = R 1C1 - посrоя11ная времени раздеJ1ительной це­
почки R1, С1.
212

Заменяя А формуле (6.21) iQ на р, получаем
l{(p)=- Ko---
1--
1
1+-- --1 - РТп
IП1
(6 .22)
Пусть в момен1 t = О на вход усилителя с передаточной функ­
цией К(р) подается прямоугольный импульс эле1продвижущей силы
e(t) с амплитудой Е и длительностью Т (рис. 6.5, а). На 11ротяжении
01
Т
1
1а)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
------,------
1Б)
1
6j
Рис. 6..'i
-
t
t
времени от t = О до t = Т напряжение на выходе усилителя можно
рассматривать как результат включения при t = О постоянной э . д. с.
e1(t) = Е . В момент t = Т включается дополнительная э. д. с. e2(t) =
=
-
Е, компенсирующая первую э. д. с. Суперпозиция выходных на­
пряжений и,(/) 11 ц 2(t), обусловленных действием e1(t) и ei(t), образует
импульс на выходе усилителя. Таким образом, задача может быть све­
дена к рассмотрению процессов установления в усилителе при вклю­
чени11 на входt- постоянной э. д. с.
В соответствии с формулой (6.5) при включении в момент t =: О
э. д. с. e1(t) = Е, изображение
JO
1
Е1(р)=Jе1(t)e-μi dp=Е-.
(6.23)
о
р
213

Тогда по rj:ормуле (6.4) выходное на nряжение
c--t -i u.: -
c +loo
1
•
15еРdp
И1(i)=-1-_ 5 !:__K(p)ePt dp= -КоЕ 2лi
1
2nt
Р
С-/оо p2 -i: +Р+-
с-/оо
а
' 1:1
Полюсы подынтегральной функции
-
1 ±-.
(_1-
__
1_=
-
_1[l±-.
/l-4:al].
Р1,2- - 21:а V 41:~
Та 't1
21:а V
•
Так как "ta«i-1, то
Р1=--,.,1 [t -(l - 21:а)]= __1 '
~'t"a
't1
1:1
Р2=--1 [1 +(!-~-
)]= __
1.
21:а
1:1
'1:а
Находим вычеты по формуле (6.10)
res1 = r dQ(p)]
L dp r=P,
Итак ,
(6.24)
Графики u 1(t} и u2(t) =
-
u1(t - Т) изображены на рис. 6.5, 6,
а результирующее напряжение на выходе усилителя u(t) = и 1 (t) +
+uit)- нарис. 6.5,в.
Из формулы (6.24) и из рис. 6.5, r1 видно, что при малых временах,
т. е. при t, соизмеримых с 'ta, первая экспонента в выражении (6.24)
равна единице и основное влияние на фронт импульса оказывает вто­
рая жспонента. Когда же t становится соизмеримым с т1 , характер
функции и I (/) определяется в основном первой экспонентой. То же
самое относится к функции u2(t) при отсчете времени с момента t = Т.
Прямоугольный импульс с амплитудой /(0 Е, который име.л бы
место в идеальном усилителе с равномерной амплитудно-частотной ха­
рактеристикой, изображен на рис. 6.5, е пунктирной линией.
Искажение формы реального имиульса проявляется: а) в конечной
крутизне фронтов и б) в скосе вершины импульса.
Первый из этих факторов выражен тем сильнее, чем больше постоян.­
н.ая времен.и •а= Ra С0 (и, следовательно, чем сильнее завал частотной
характеристики в области верхних частот).
Второй фактор (скос вершины импульса), наоборот, выражен тем
сильнее, чем мен.ьше постоян.н.ая времен.и <tt разделительной цепочки
214

R,, С1 (и, следовательно, чем сильнее завал частотной хqрактеристики
в области 1шжних частот) .
Выбор постоянных времени ta и 'tt Jависит от ·rребований, предъ ­
являемых к форме импульса на выходе усилителя.
Если требуется, чтобы за время Т амплитуда достигала только
лишь своего максимально возможного значения Ко Е, то постоянная
времени ta может иметь величину, близкую к Т . Форма импульса при
этом далека от прямоугольной.
В тех случаях, когда требуется удовлетворительное воспроизве•
дение формы импульса, 110стоянш1я времен11 •а должна сопоставляться
со временем, отводимым на длительность фронта выходного импульса,
а постоянная времени t1 должна быть велика по сравнению с дли·
тельностью импульса Т. Этот результат имеет важное значение для
правильного выбора параметров системы передачи дискретных сооб·
щений, так как он указывает на минимальное время, необходимое для
перехода от одного дискретного уровня к другому.
Следует отметить, что в случае усиления импульсной последова•
1е.пьности проведенное выше рассмотрение справедливо при условии
достаточно длительного интервала между импульсами, так что нало·
жение переходных процессов от соседних импульсов не имеет места.
Продифференцировав (6.24) по t и приравняв Е к единице, по­
лучим выражение для импульсной характеристики апериодического
усилитеш1.
6.5 . ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ
В радиоэлектронике часто требуетсн осуществлять преобразование
сигнала, имеющее характер дифференцирования или интеrрировмшя.
На вход линtйноrо устройства, осуществляющего дифференци­
рование, подается сигнал s(t); с выхода должен сниматься сигнал вида
ds (t)
Sвых(t) = •о -- ·
dt
В интегрирующем устройстве свнзь между сигналом выходным
sвыхU) и входным s(t) должна иметь вид
Sвых(t)= -
1
SS (t) dt.
to
В этих выражениях •о - постоянная величина, имеющая размер­
ность времени.
Дифференцирование и интегрирование являются линейными матема­
rическими операциями. Следовательно, для дифференциального или
интегрального преобразования сигнала должны быть применены ли­
нейные цепи и элементы, обладающие требуемыми соотношениями
между входными и выходными величинами. Этим требованиям отвечают
в принципе такие элементы. каI< обычная ем1<0сть ИJIИ индуr<Тивность
в сочетанни с омическим со11роти(jленнем 11ри надJIежащем съеме
выходного сигнала.
215

Рассмотрим сначала схему, изображенную на рис. 6.6.
Подразумевая под входным сигналом s(t) электродвижущую силу,
составим уравнение для тока в цепи i( t):
Ri (() ++si(t) dt = s (t).
.(6.25)
с
г-'
S(t)
i,R
Умножим это уравнение на С и обозначим
постоянную времени цепи •а = RC.
Тогда получим уравнение
,;0 i(t)+ Si(t)dt=Cs(t).
(6.26)
Характер функциональной связи между током i(t)
и входным сигналом s(t) зависит от величины
Рис. 6.б
постоянной времени •о· Рассмотрим два край­
них случая: очень малого и очень большого •о·
В первом случае, т. е. при очень малом т0 , первым слагаемым в ле­
вой части уравнения (6.26) можно пренебречь. Продифференцировав
оставшееся после отбрасывания этого слагаемого уравнение no t, по­
лучим
i(t)~C ds(I) •
dt
~t------o
с
s(t)
R S (t)•"r dS{t)
8ь,, о dt
а)
Рис. 6.7
R
~
s(tJ- ст s,.,,/t)• 1/r:Js(t)dt
о
о
oJ
Отсюда видно, что напряжение на омическом сопротивлении R,
совпадающее по форме с i(t), пропорционально производной входного
сигнала
_
R.(t) RCds(t) _
ds (t)
UR-L~
--
-•о--- •
dt
dt
Таким образом приходим к схеме диффе ренцирующего четырех­
полюсника, показанной на рис. 6.7, а, в которой выходной сигнал сни­
мается с омического сап ротнвлени я R.
Во втором случае, т. е. при очень больших значениях т0 , второе
слагаемое в левой части уравнения (6 .26) можно отбросить. При этом
ток
i{t)~s._ s(t)=__!_ s(t)
т0
R
216

совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение нз емкост11
С, равное
llc =
-
i(t)dt~ -
s (t) dt,
1s
Ij'
С
CR
пропорционально интегралу от входного сигнала s(t). Отсюда следует,
что для осуществления интегрирования цепочка R, С должна быть
использована в соответегвии со схемой, показанной на рис. б. 7, б.
А1н1логичные результаты можно получить с помощью щ.'1ючки R, L.
Схема дифференцирующей цепочки R, L показана на рис. 6.8, а, а ин·
теrрнрующей -- на рис. 6.8, б.
R
а)
Рис. 6.8
В первом случае постояннм1 врем~ни r0 = LIR должна быть до­
статочно мала, а во втором - достаточно велнка. Принцип дифферен•
цирования в первой схеме (рис . 6.8 , а) м ожно представить себе сле­
дующим образом. При достаточно большой величине сопротивления R
ток через R, L почти не зависит от величины L и совпадает по форме
с входным сигналом s(t). Выходной же сигнал sвыхU), снимаемь(й
с индуктивности L,
sвыx(i)=L!!!.._ ~L ~[ -1 s(t)l=To ds(t) .
dt
dtR
dt
В схеме, показанной на рис. 6.8, б, наоборот, ток в основном опреде•
ляется индуктивностью L (так как R весьма мало)
i (t) ~+ss(t) dt;
выходной же сигнал, снимаемый с сопротивления R,
Sвых(t)= Ri(t)~ _!__ SS(t)dt.
'to
Уточним теперь использованные выше понятия «малое» и «большое»
"t
0. Это проще всего сделать на основе спектрального рассмотрения.
Если входной сигнал s(t) обладает спектральной плотностью S((J), то
при точном дифференцировании выходной сигнал sвых(i) = т:0 ds(t)ltlt
должен обладать спектральной плотностью iQт:0 S(Q), а при точном
1
интегрировании - плотностью -:п- S(Q) [см . выражения (6.11) и
'••'to
217

(6.12) !. Это означает, что для точного дифференцирования требуется
четырехполюсник с коэффициентом передачи:
/{(iQ)= ,
0 i~2.
(6.27)
а для точного интегрирования -
/{(iQ) =-1_ .
(6.28)
'о iQ
Показанные на рис. 6. 7, а и б четырехполюсники обладают пере­
даточными функциями
п ___R
__--RCl~J
к и~~)=
l+RCIO
(6.29)
и
К (iQ) = _1_/Ш._С_
1
R+ ЮС
соответственно.
1
1
IOCR
1
l+--
IOCR
(6.30)
Из сравнения выражений (6.27) и (6.29) видно, что для удовл~во­
рительного дифференцирования требуется, чтобы выполнялось уело·
вие
т0Q~1.
(6.31)
Это неравенство должно удовлетворятьси для всех частот спектра
входного сигнала, в том числе и для самой верхней.
•
Из сравнения выражений (6.28) и (6.30) видно, что для удовJiетво­
рительного интегрирования требуется выполнение условия
,
0Q~1.
(6.32)
Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот спектра
входного сигнала, в том числе и для самой нижней.
Из неравенств (6.31) и (6.32) следует, что при заданной цели диф­
ференцирование осуществляется тем точнее, чем ниже частоты, на
которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирова­
ние - чем выше эти частоты.
Из этих неравенств вытекает также следующее принципиальное
положение: чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем
меньше (по модулю) передаточная функция K(iQ) цели, осуществляю·
щей это преобразование сигнала. В пределе при идеальном лреобра·
эовании K(Q) ~ О.
Рассмотренные выше модели дифференцирующих и интегрирую­
щих цепей обычно являются элементами соответствующих электрон­
ных устройств. Наибольшее распространение получили R, С пели,
удобно сочетающиеся с активными элементами. Особенно просто ре•
шается задача при дифференцировании сигналов. Рассмотренная
в § 5.5 схема усилителя (см. рис. 5.19, а), в частности, може1 быть ис-
218

пользована в качестве дифференцирующего устройства; для этого до•
статочно выполнить условие, чтобы постоянна}~ времени раздели·
тельной цепочки (т. е. произведение R1 С1 = t 1) была мала по сравне­
нию с длительностью сигнала, подлежащего дифференцированию.
В заключение найдем импульсные характеристики дифференци­
рующей и интегрирующей цепей и приведем некоторые примеры про·
хождения импульсных сигналов через
эти цепи. Проще всего определяется 1/т:
импульсная характеристика интеrри·
рующей цепи.
6(tJI
1
1
Рис. б.9
Исходя из соотношения
•
t.
о
00
Sвых(t)= _!_ SS(t)dt
'to
-оо
oJ
Рис. б.10
и подставляя вместо s(t) дельта-функцию б(t), получаем для S8 ш(t),
т. е. для импульсной хара1перистш<и идеального интегрирующего
устройства, следующее выражение:
00
g(t)= -
о(t)dt= -
1j'
l
' t(I
' tfl
при O<t < оо.
(6.33)
_, ,,
Единичный импуJ1ьс и импульсная характеристи1<а 111пеrрирую­
щего устройства изображены на рис. 6.9, а и 6.
Для реального интегрирующего з1:1ена RC (рис. 6. 7, 6) импульсная
характеристика
(t)- 1
- 1/'to
g --е
.
'to
(6.33')
Нахождение импульсной характеристики дифференцирующего
устройства затрудняется определением производной от делыа-функ·
ци11. Это затруднение можно избежать, если короткий импульс, обра­
щающийся в б(t) при устремлений его дJ/ип•льностн t к нулю (см.
§ 2.11), продифференцировать до перехода к пределу. На рис. 6.10, а
219

показан исходный импульс в виде треугольника с основанием 2't н вы~
сотой l /-r. Площадь импульса равна едини не. Производная. подо6нои
функции изображена на рис. 6.10, 6. При t - О треугольны~ импуJ1ьс
обращается в дельта-функцию б(t), а сдвоенный биполярн,ыи импульс
(рис. 6. 10, б) - в производн ую дельта-функции, т. е. в & (t).
~!,
1..
11
t
~1
..
1
а)
1
t
tt(t} 1
1
й)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
t
о)
6)
l-6(t ·ТJ
Рис. 6.11
Рис 6.12
Итак, импульсная хс1рактеристика идеального дифференциатора,
получаемая из общего выражения S8 ,,,x (t) = r 0 Siн (/) путем замены
S81 (t) на &(t) и Sвых (t)на g(t), опредем1ется выражением g(t) = 't0 б' (t),
приО< t< оо Она имеет вид фигу­
ры , пока з анной на рис . 6.10,б при
t--+ О.
s(t)
,
а)
1
k:4
о
т
о}
Рис . 6.18
..
t
•
t
На рис. 6.11, а изображен трапецеи­
дальный импульс на входе дифференци­
рующей схемы С, R, на рис. 6.11, 6
напряжение на ее выходе. Пунктирны­
ми линиями показан сигнал на выходе
идеального дифференцирующего уст­
ройства .
На рис. 6.12 аналогичные построе·
ния сд еланы для входного сигнала,
представляющ~;го собой прнмоугоJiьный
пмпульс (рис. 6.12, а).
При точном дифференцировании вы­
ходной сигнал должен представлять собой два единичных импульса:
б(/)и- б(t
-
Т). В действительности же получаются два экспо­
ненциальных импульса (на рис. 6.12, 6 заштрихованы) .
Приведенные на рис. 6.11 и 6.12 примеры показывают, что чем мед­
J1еннее во времени изменяется входной сигнал, тем лучше происходит
диq:ференци рование.
220

Пример работы интегрирующей цепочки R, С, когда на вход подан
прямоугольный импульс, показан на рис. 6. 13, а и б. Чем больше по­
стоянная времени цепи, тем реальный выходной сигнал (сплошная
линия) ближе к идеаJiьному (пунктир).
Существуют способы улучшения работы дифференцирующего и ин­
тегрирующего устройств, основанные на применении электронных схем
с обратной связью. Принцип действия подобных устройств вкратuе
будет рассмотрен в § 8.2; подробное же их изучение являетси пред·
метам специальных курсов.
6.6 . . . коР .РЕЛSЩИЯ СИГНАЛОВ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ
ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА
Пусть на входе фильтра с заданными передаточной функuией K(ili))
и импуJiьсной характеристикой g(t) действует сигнал s(t), обладающий
спектральной пJютностью S1(ю) и автокорреляционной функцией ,р 11 (т).
Требуется найти автокорреляционную функuию выходного сигнала
'!1'22(/), а также взаимную корреляционную функцию tр 21 (т).
Представим искомую функцию Ф2 2( т) в виде соотношения (2.118)
(6.34)
-оо
-оо
где S2 (ro)=Si(r,1)K(ro)-мoдyль спектральной плотfюсти выходного
сигнала.
~
Спектральной фун!(uии S1 (ro) соответствует ориrинаJJ [см. фор-
мулу {2.118)].
ос
ЧJii(т = -
1(!)е
(!),
) 1s52( ) ;,,,i.d
2л
-оо
а спектраю,ной функции К2 ((!))-
00
'l'sg (т) = __!_ sК2 (ro) е161у dffi,
2л
-оо
(6.36)
т. е. автокоррt.>JIянионная функнии импульсной характеристики
фиJJьтр,1 g(t) [поскоJ;ьку спектральная плотность функции д(t) совпа­
дает с K(r,>)I.
СJ1едовательно, про11зьедению спектральных фушщий Sf ((J)) н
К 2( w) соответствует свертка оригиналов \/) 11 ( i") и 'I\Jgg ( т) [см. формулу
(2.64))
00
ЧJ2, (i-) ,_, , s1P1i (х) 1r,;,_ч (т - х) dx.
(6.37)
-ос
221

Как видим, автокорреляционная функция выходного сигнала 'iJ ,22('t)
может быть выражена либо через S~ (ro) и K2(ro) !соотношение (6.34) 1,
либо через ,Р 11 (т) и ,Pgg (т) [соотношение (6.37) ].
Из соотношений (6.34) - (6.37) следует, что при прохождении сиг­
нала через инерционную систему форма его автокорреляционной
функции, как правило, изменяется.
Рассмотрим два крайних случая: 1) спектр входного сигнала зна·
чительно шире полосы прозрачности цепи и 2) спектр входного сиг­
нала значительно уже полосы прозрачности.
В первом случае можно положить, что в пределах полосы прозрач­
ности цепи функция S1(ro) сохраняет постоянную величину S0• При
этом
00
Ч'22 (т) = S6 ....! _ sК2 (ш) е1001: dw = S61Рии (•)-
2:rt
-00
(6.38)
Этот результат показывает, что при воздействии широнополосного
сигнала на узкополосный фильтр автокорреляционная функция ны·
ходного сигнала совпадает (с точностью до постоянного множителя S~)
с автокорреляционной функцией импульсной характеристики цепи.
Это объясняется тем, что широкому спектру входного сигнала со­
ответствует короткий импульс. При «ударе)) по узкополоt:ному фильтру,
обладающему большой постоянной времени, выходной сигнал по своей
форме совпадает с импульсной характеристикой фильтра.
Во втором случае, когда спектр входного сигнала намного уже по­
лосы проз[Jачности цепи, функцию K(w) можно считать постоянной
величиной Ко в пределах спектра. При этом
00
Ч'22('t)= к~ -
1
-
ssf (w) е 100,: dw = к~ 'Фii ('t).
2n
(6.39)
В этом случае 1Р22(•) совпадает по форме с 'lj1 11 (т) /так же, как и
sit) совпадает по форме с s1(!) ].
Найдем в:-;а11мную корреляционную фушщию выходного и вход·
наго сигналов.
По опредеJIеншо
00
1J'21(•)= Js2 (t)s1 (t-т)dt.
Для того чтобы этому выражению придать форму свертки, перейдем
от функции s1(t) к s1(t) /см. выражение (6.19)]
00
Ч'21 (т)= J S2 (t)S1 ('t- t) dt.
(6.40)
-00
222

В спектральной форме это соотношение запишется в ниде
00
'ljJ21('т) =-
1
sS2 (ro) s; (ro) eioot dro,
2:rt
-оо
где функпия S~ (ы), комплексно-сопряженная фун,щии S1(<11), яв
ляется спектральной плотностью функuии 5i(t).
Учитывая, что S2(w) = S1(00) K(iw) , перепишем nоследнt->е uыражt::
ние следующим образом:
00
"12
1(-t) = -
1(ы) 1(w) (tш)е ro=
1sSs•
1( • tм,:d
2:rt
-оо
00
=-
1
-
ss~ (ro) /{(iro) e
161
t dco.
2:rt
-оо
(6.41 !
Но спектральной функции S~ ( ы) соответствует оригинаJI ~ -
11(т)
fсм. выражение (6.35) 1, а функции К (iro) - оригинал в вищ нм
nульсной характеристики g(-t).
О1едов ательно,
00
'1'21(t)= J 'Фii(X)g(т-x)dx.
(6.42)
-оо
Это важное соотношение наряду с (6.41) полностью решает задачу
определ е ния взаимной корреляuии между сигналами на выходе и
входе линейной цепи.
При бесконечной полосе пропускания, когда импульсная харак­
теристиr<а цепи g(t) = A6(t), очевидно
00
Ф2i (т)= А J'Фii (х) 6(т-х) dx = A'i)11 (т).
(6.43)
Как и следовало ожидать, в рассматриваемом частном случае ;j, 21 ( t)
совпадает no форме с '1111(-r) и с 'Ф22(т) [см . выражение (6.39) ).
В другом предельном случае, когда спентр входного сигнала 11;1-
много шире полосы 11ропускани~1 цепи, фу11ю1ию 'Фи(т) можно счит,нь
«коротной,, по ср н внению с функцией g(т). Поэтому, лриравнивм1
'lj, 11 ( t) = Вб( t), из выражения (6.42) получаем
00
'/J2i('r)~ В J б(x)g('r-x)dx = Bg(t).
(6.44)
-00
Это означает, что при возд1::йствии на узкополосный фильтр широко·
полосным сигналом взаимная корреляuионная функuия '/J2 1 (т) имеет
такую ж~: фuрму, что и импуJ1ы.:1шSJ характ!.'ри~.:тика фильтра gl т).
22~

6.7 . СОБСТВЕННЫЕ ШУМЫ АПЕРИОДИЧЕСКОГО УСИЛИТЕЛЯ
Пр11 ан,1лизе передачи сигналов по радиотехническим непям, на­
ряду с неизбежными искажениями формы сигналов, необходимо учи­
тывать также и собственные шу.иы цепи. Эти шумы, накладываясь на
си гнал, ограничивают информационную емкость последнего (см. § 3.4).
Проблема шумов особенно актуальна при усилении слабых
сигналов.
В радиоэлектронных устройствах имеются два основных источ­
ника шумов: дискретная структура тока в электронных или полупро­
водниковr,Iх приборах и тепловое движение свободных электронов
в проводниках эJJектрической цепи.
Рассмотрим первый из указанных факторов на примере дробо­
вого эффекта, присущего анодному току электронной лампы. Этот
ток представляет собой совокупность импульсов, каждый из которых
обусловлен переносом заряда одного электрона. Так каI< моменты вы·
хода электронов из катода могут рассматриваться как случайные и
взаимно независимые, то образуемый импульсами результирующий
ток i0
_ (t) представляет собой случайный процесс. При этом существенно,
что в любой момент времени ток i0 (t) является суммой очеш, nольшоrо
числа переI<рывающихся импульсов, Jar< как средний инr1срвал между
моментами вылета эле,пронов исчезающе мал по сравнению с дли·
тельностью одного импульса. Положим, что за время Т, достаточно
большое по сравнению с длительностью пролета электрона те, с ка­
тода лампы выJIетает К электронов. 8 этом случае суммарный 1ок
в момент t можно представить в в11де суммы
к
ia(t)= ~i,,(t- tk),
(6.45)
k=I
где i,,(t) - импульс тока, создаваемого в анодной цепи электроном,
вылетевшим в момент t = О; tk - момtнт выJiета k-го электрона.
Эти моменты практически можно считать сJJучайными н равно­
вероятными в интервале О, Т,
Определим среднее значение (постоянную составляющую) анод­
ного тока с помощью следующего очевидного выражения:
1
/к
/ 0 =1im...!. .fia(t)df=lim_! _ J' ~ ie(t-tk)dt.
т➔оо т
т-оо т _.;.
1
о /,=1
(6.46)
Меняя порядок интегрирования и суммирования и учюывая, •по не­
зависимо O'I момента выJJета электрона
т
Jie (t-th) dt = е,
(6.47)
n
где е-заряд электрона, получаем
224

(6.48\
Здесь
(6.49)
представляет собой среднее за един1щу времени ч11сло эJJектронов.
Итяк, анодный то1< мож1ю предста1тть в виде случайного процесса,
образованного фJ1уктуа11ю1м11 11,1п10Rt1111oro зпачен11я отно с итf'льно
среднего значения l 1> -:- еК ,.
При токе / 0 , равном всего лишь 1 ма, средняя длительность интер·
вала в соответств11и с формулой (6.48) равна
е
-=-=
1,6,10-19 = l,6-l0 -16 сек
ю-з
(з'аряд электрона е = 1,6 • 10- 19 кул).
В то же время длитеJ1ьность импуJtьса -i;e, зависящая от геометрии
лампы и о·, напряженности эJtектрическоrо поля в междуэлектродных
промежутках, соl·тавляет величину порндка (1 -+ - 10) • 10-
10
сек. Та­
ким образом, за проJiетное время i-,, нз катала вы л ет ае т неск олько ми л ­
лионов ЭJ1е1пронов. Учитывая случайность моментов вылета t11.,
мы
можем считать, что в любой момент времени ia(t) нвляется суммой
огромного числа независимых случайных величин i" (t - 111 .),
При этих условиях полностью применима центральная предель­
ню1 теорема (см. § 3.1) и случай11h1Й проц(ссс, соответствующий эJiект­
ронному току Jtампы, следует рассматривать как стационарный нор­
мальный процесс с шютно<:тыо вероятности
PUn)= Jf~
2л а,
(6.50)
Среднеквадратичное значение флуктуации тока а; ничтожно мало
по сравнению с / 0 . Тем не менее с флуктуацией тока приходится счи­
таться, так как постоянная слаrающан / 0 н~ 11ередаt:тся на выход
усилителя, а переменная составляющан создает на анодной нагрузке
шумовое напряжение, которое затем усиJ1ивается в та1юй же степени,
что и полезный сигнал.
Для полной характеристики дробового шума необходимо кроме p(iJ
определить Эf1ерrетический спектр\\?; ,, (ro). Это н1:-трудно сделать с по­
мощью сJ1едующ11х рассуждений.
Введем в рассмотрение спектральную плотность G 1 (ш) одиночного
импуJJьса, обусловленного переносом заряда одного электрона е. При
частотах от (О = О до ffi ~ 1/t.,, спектральная плотность G1((J}) не­
изменна и равна площади импульса (см.§ 2.9). (',ледовательно, G1(ffi) =
= е lсм. формулу (6.47) 1. Полная энергия одного импульса, возни­
кающего в момент 111., по формуле Парсеваля равна
225

""
""
Е1=
te(t-,J.=
-
[ 1((1)
ro,
S·
2
•
ldt
I
sО )/2d
2л
-оо
-оо
а суммарная эн1::ргия К импу JIьсов за 1Jремя 7
ос
Ет= КЕ1+ /~ Т=J_ sК[G1(w)/2dw+ /z, Т.
2л
(6.51)
Первое слагаемое в правой части выражения (6.51) учитывает энер•
гию флутуационной части тока. УвеJiичение этой энергии всего лишь
в К раз (а не в К 2 раз) по сравнению с Е 1 объясняется случайностью
фаз гармонических составляющих от отде.t1ьных импульсов, хаоти•
чески расположенных на оси времени. Второе слагаемое учитывает
энергию постоянной составляющей / 0 .
Разделив (6 .51) на Т и учитывая формулу (6.49), поJ1учим среднюю
мощность анодного тока (при сопротивлении 1 ом):
-.-~-
.
ЕтIsoo
2
ta (f)=l1m- =-
К1 (G1(ro)[2dш+ /о,
т➔оо Т 2л
(6 .52)
Следовательн о , средняя мощность флуктуапионной составляющей
тока, т. е. д11сп е рс11я
00
а;= i;, (t)--Jf, = -
1
j' К1[G1(w)/2 dw,
(6.53)
2n
откуда вытекает, что сплошной чястн сп е юра соответствует спектраль·
ная плотноt:ть (эн е рr~стический сп~сктр)
W; (ы)=К1!G1(w)I~ .
(6.54)
а дискретной части , т. е . постоянной составляющей,
(6.55)
Таким образо м , полный энергетическ и й спектр анодного тока дол­
жен быть определ ен как
W;a (w) = К1IG1(ro)]2
-f-/ ~2л6(w).
(6.56)
Как и следовало ожидать, энерrетичес1<ий спектр W1 (w) полностью
совпадает по форме со спектральной плотностью энергии I G1(w) 12 от­
делI , ных и м пульсов, образующ и х случайный процесс.
Подставл яя в выражение (6 .54) /(1 = / 0/е и G1(ro) = е, получаем 1
W;(w)=e/ 0.
(6.57)
1
В технической литературе ра с простран ен а формула w1 (оо) = 2е1 0 , при
ш~воде которой ср едиюю мощность о~ относя т тол ь ко к поJюжительным цасто•
там.
226

Это выражение справедливо для частот от О до I Ф 1 ~ 1 /1: ~,
при ко·
торых спектралы1аи пJ1отность G 1 (ш) = const (рис. 6.14).
Теперь нетрудно выявить статистические характерис т ики шума·
воrо напряжения на анодной нагрузке, а также на выходt.' усилителя.
Обозначим через Z(ш) сопротивление двухполюсника , включенного
в анодную цепь JJампы (рис. 6.15, а). Сетка ла м пы соединена с катодом
накоротко, чтобы подчеркнуть отсутствие cиrнaJJa на входе усилителя .
При определении шумового напряжения иа (t) можно исходить иэ
/G 1 (w)/
е
о
(JJ
Рис. 6.14
Z(w)
i(t)
Z(w)
-
+
Еа
а)
Рис. 6.15
эквивалентн о й схемы (рис . 6. lfi ,6), на которой в качестве источник а
шума 11редста вле11 генератор тока i(t). Постоянная составляющая тока
/ 0 из рассмотрения исключена, 1ак как она не передается в посJJедую·
щие цепи (благодари раздеJштельной ц~почке, на рис. 6. 15, а не пока·
эанной). Статистические характеристики тока - p(i,,) и W; (ш) -
были определены ранее.
Закон распределения напряжения u a(t) находится немедленно н,1
основании следующего положения теории случайных процессов:
при любых линейных преобраэованuях нормалыюго процесса закон рас,­
пределения остается нор.мальны.м.
Та1< как Z(ro) - линейное сопротивление, то напряжение u a(t),
как и ток ia(t), имеет нормальный за1юн распределения . Поэтому для
227

плотности вероятности шумового напряжения ua(t) можно написать
следующее выражение:
--
ul/202
1
аиа
р(и )=---е
а У2л crua
(6.58)
о.
2
сновнои интерес представляет дисперсия au a, которая може1
рассматриваться как квадрат эффективного шумового напряжения .
2
Обозначим последнее через ИаФФ = а" 0 • Для определения о",, не•
обходимо найти энергетический спектр шумового напряжения
Wu (w).
а
Это нетрудно сделать с помощью соотношения
wи <w>= w; (w>z
2
<о>).
а
(6.59)
Возведение модуля сопротивления в квадрат объясняется тем, что
как W ;(w), таI< и tt:"u (w) являются спектральными плотностями
а
среднего квадрата тока и напряжения соответственно.
Основываясь на выражении (6.59), нетрудно вычислить автокорре­
ляци онную функцию ,Pu 11 и дисперсию а1~".
Имея в виду схему рис. 5.19, а, определим сопротивление Z(w)
из формулы
и
1
R-
а iooC0
Z(w)=---"--
1
Ra+ ..,...
/UJ<., о
R~
z2 (ffi)=-----
l+(ooCnRa) 2
(6.60)
(Шунтирующим действием раэдеJIительной цепочки лренебрегясм.)
Полоса пропускания цепи Ra, С 0 во м ного раз меньше . чем веJ1и ·
чина 1 /т,, , 1·. е . чем полоса частот, в которой фующия w: н,,) равно·
мерна (см. рис. 6.14). Поэтому пр11 определении воздейспшя на цепь
R,., С о дробовой шум можно ра с сматривать как белый
шум, обладаю·
щий энергетическ11м спе1пром W, (ro) = е/ u· Тоrдс1 по формуле (6.59)
(6.61)
и по формуле (3.25)
228

·.
Входяший в правую часть интеграл равен
(Ra Со) 2
Таким образом,
' l 'u ('t)= eloR~ .;..-1-e:-lтl/RaCo= el 0 Ra e-lтl!Raco.
а
л 'l RaС,,
2С"
При -r = О это выражение определяет дисперсию шумового напря­
жения
(о :,
2 е/0Ra
ЧJ
)=Gц =Uo=-- .
"а
а
2Со
Таким образом, нормированная функция корреляции
Rua (-r) = e-(TI/Raco,
(6.63)
(6.64)
а эффt:ктивное значение шумового напряжения, развиваемого на анод-
ной нагрузке, равно
__
и V2(t)
velo Ra
:эфф= U =аи =
--.
а
2Со
(6.65)
Из выражений (6.63) и (6.64) следует, что с увеличением интерва­
ла т функцня корреляции шумового напряжения на параллельном
соединении Ra и С O убывает экспоненциально. При 1,; 1 ~ (2 + З)RС
Фи ('t) ~ О. Это означает, что время корреляции, т. е. промежуто1<
а
времени, в котором еще ощущается корреJ1яция между двумя мrновt:н-
ным11 ;111ачениями u(t) и u(t -
,:), в два-три раза превышает постоян­
ную времени uепи RC. Нетрудно пояснить смысл полученного резуJ1ь­
тата. Шумовое напряжение на нагрузке образуется сово1<упностью
беспорядочно следующих импульсов тока, создаваемых отдеJ1ьными
электронами. Каждый из этих импульсов создает импульс на11ряжевия,
длительность которого определяется постоянной времени нагрузки.
При наложении большого числа импульсов относительная скорость
изменения суммарного шумового на11ряжения u(t) должна быть того
же поряд1<а, что и скорость изменения отдеJ1ьных импульсов Поэтому
для независимости двух напряжений, отсчитываемых в моменты t
и t- т, величина т должна быть не менее длительности импульсов,
образующих шум. Графики функций Wu (щ) и "Фи (-т) 11зображены
о
п
на рис. 6.16 и 6.17.
Определяемое формулой (6.65) напряжение можно у<:Jювно рас­
сматривать ка~< результат приложения некоторого шумового напря­
жения ко входу усилителя, т. е. 1< зажимам сетка - катод первой
лампы. При коэффициенте усиления каскада К У величина э1шивалент­
ноrо шумового сеточного напряжения доJ1жна быть приравнена
и -V 2(t> ---- и,..1,ф
11зфф -
Ug
--
,
•
/\у
(6.66)
229

В качестве иллюстрации порядка величины шумового напряжения,
создаваемого дробовым эффектом, приведем следующий пример, ха­
рактерный дJJЯ апериодического усилителя: анодный ток / о = 10 ма,
сопротивление нагрузки Ra = 5 ком, емкость С0 = 50 пф.
Применяя формулу (6.65), найдем эффективное значение шумо-
вого напряжения на выходе усилителя
и -vl,6,10-19.JQ.JQ-з.5.JQЗ -27 -10-4
- 027
зфф -
----------
-
,
8-
,
мв.
2,50-10-12
При крутизне характеристики лампы S == 5 ма/в и R~-= 5 К,ОМ ко•
эффициент усиления каскада Ку~ 25. Поэтому эквивалентное шумовое
О ~О 1uR4С0
Рис . 6.16
Рис. 6.17
напряжение на входе усилителя Ug эФФ ~ l О мК8. Эта величина и опре­
деляет нижний порог сигнала, который еще имеет l:мысJ1 усиливать
данным усилителем. В действительности уровень шумов еще выше
из-за тепловых шумов во входных цепях усилителя.
Определение статистических характеристик теплового шума может
быть выполнено аналогичным образом на основе известного из физики
выражения для :1нергетического спектра
W(ffi)=2kTR,
(6.67)
где R - сопротивJ1ение,
генерирующее шум; k = 1,38 Х
х I0- 23 вт ·сек/град - постоянная Больцмана; Т
-
абсолютная тем­
пература.
Как и в выражении (6.57), W(ffi) определено для положительных и
отрицат~льных частот. При отнесении мощности шума только к по·
ложительным частотам, коэффициент 2 должен быть заменен на 4.
6.8. НЕЛИНЕАНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ
В АКТИВНЫХ ЦЕПЯХ
Анализ передачи сигналов через активные цепи, проведенный
в данной главе, основывался на допущеш111 о строгой линейности
вольтамперных характеристик усилнт~льных приборов. Рассмотрим
теперь искажения сигналов, неизбежно возникающие из-за кривизны,
230

хотя бы и незначительной, характеристик актияных элементов (ламп,
транзисторов и др.) .
Вернемся к выражению (5.21) и заменим его боле1:: общим, при·
годным не только для электронной лампы, но и для любого усили·
тельного прибора:
i=f(ao+,1)=i (а0)+(!!!_) s+-
1
(d
21
)·
s
2
+-
1
(~) s8+ ... =
ds s=O
2, ds2 s=O
ЗI ds3 s=n
= i(a0)+as +~s
2
+-vs 3+. ..
(6.68)
Здесь s - усиливаемый сигнал; а 0 - напряжение iили ток), опре·
деляющее исходное положение рабочей точки на характеристике
активного элемента (в отсутствие сигнала).
В ряде Тейлора (6 .68) члены второй и бoJiee высоких степеней
учитывают кривизну характеристики вблизи рабочей точки а 0 • Предпо­
лагается, что при слабых сигналах и надлежащем выборе а 0 влияние
нелинейных членов несущественно сказывается на коэффициенте уси­
ления и на амплитуде полезного сигнала на выходе усилителя. С этой
точки зрения усилитель можно считать приближенно линейным. Одна­
ко наличие нелинейных членов все же приводи-r к появлению колеба­
ний на дополнительных частотах. Хотя амплитуды этих колебаний
могут не превышать нескольких процентов (или долей процента), пре·
небреrать ими не всегда допустимо.
Выходной rиrнал s0 "" (t) представляет собой напряжение разви­
ваемо1:: н1:1 нагрузке усиJJителя приращением тока t. Ясно, что sвw:r (t)
зависит как o-r характера изменения во времени этого приращения,
так и от характера нагрузочной uепи.
Необходимо поэтому конкретизировать входной сигнал и струк·
туру нагрузочной uепи.
В практике при анализt: нелинейных искажений в апериодических
усилителях обычно исходит из простейшего входного сигнала - гар­
монического колебания.
Допустим поэтому, что сигнал s(t) представляет собой колебание
s(t)= A0cos Qt,
действующее на входе усилителя. Нагрузочное сопротивление для
простоты примем чисто омическим и равным R.
В этом прос1·t:йwем случае выходной сигнал може1 быть получен
подстановкой в выражение (6.68) s(t) и умножением его на R:
Sвых (t) = (as +~s
2
+-vs3 +...)R=
= aRA0 cos Qt+~RA~ cos
2
Ш +-vRAg cos
3
Qt +...
(6.69)
Подставляя
cos2Qt= -
1
-
+-
1
cos 2Qt'
2
2
cos3Qt= 2 COSQt-t-
_!_CQS3Qt И Т. Д.,
4
4
231

получаем
[(~А~ ) ( ЗvAJ
)
Sвы х (t)=N
-
2
-+ ...+ аА0+-4-+... CO"'Qt+
( ВА6
)
( yAJ
)
j
+ -2-+... cos2Qt+ -4-+ ... cosзш+...
=
=S0+S1cosШ+S2cos2Ш+83cosЗШ+...
(6.70)
Из этого выражения видно, что ~Iз-за нелинейности характери•
стики активного элемента гармонический сигнал s(t) дает на выходе,
помимо полезного напряжения S1 cos~U. некоторое постоянное напря·
жение S 11 (1шторое может быть убрано) и добавочные гармоники с ам ·
плитудами: S2 ::::::: R~Ai/2 при частоте 2Q, Sэ ~ RyAJ/4 при чаа­
тоте ЗQ и т. д. Кроме того, несколько измс>няется величина uмnюпуды
первой гаромники S1 (амплитуды полезного сгинала). Этим измене­
нием можно полностью пренебречь. Таким образом, S1 = RaA 0 .
Случай омической нагрузки характерен отсутствием фильтрации:
все гармоники тока, возникающие из-за l(ривизны вольтамперной
характеристики активного элемента, создают на выходе вредный ЭФ·
фект, пропорциональный амплитудам гармоник.
В подобных случаях уровень нелинейных искажений принято оце­
ниватьспомощьюкоэффициентс1 неJIинейных иска­
жен и й, который определяется по формуле
Vs~+s ~+ .. .
К,=----- .
s,
(6. 71)
По существу, К I есть отношение среднеквадратичного значения
суммы высших гармони~< к такому же значению основной (первой)
гармоники сигнала. Часто К, определяют отдельно для второй, третьей
и т. д. гармоник .
Таким образом, в рассматриваемом случае коэффициент нелиней­
ных искажений по второй гармонике
s2 RPA~~
1р
К,2= -
= ---=-.-
. Ао,
S1
Ra.A 0
2а
по третьей гармонике
3
к Sз RyAol~ =
_1_ ..1... А(\2
1з=-=
ит.д.
S1
Ra.A, ,
4сх
При прави JIьном выборе режима работы активного элемента ко­
эффициенты K1t, К 1 з и т. д. не превышают 1-2%.
Нелинейные исI<ажения, возникающие в резонансном усиJшт~Iе
при усит~нин модулированных высо1ючастотных коJ1ебаний, будут
рассмотрены в следующей главе.

7
Передача радиосигналов
через избирателы-tые системы
7.1. ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА
Рассмотренные в предыдущей главе задачи характерны тем, что
в них мы имели дело с сигналами, которые по своей форме совпадали
с передаваемыми сообщениями. При передаче подобных сигналов за­
дача сохранения информации тесно связана с задачей сохранения фор­
мы сигналов.
Иначе обстоит дело с радиосигналом, в котором информания заклю
ч~на в одном из нескольких параметров высокочастотного колебания .
Не обязатепьно сохранять полностью структуру этого колебания, а до­
статочно лишь сохранить закон изменения того параметра, в котором
заключена информация Так, в случае амплитудно-модулированного
колебания важно ючно передать огибающую амплитуд, между тем как
некоторое изменение частоты или ф1Jзы заполнения, не имеющее суще­
ственного значения, при анализе мож~ быть опущено. При передаче
радиосигналов с угловой модуляцией, наоборот, основное внимание
должно . быть уделено точному воспроизведению закона изменения
частоты и фазы.
Эти особенности радиосигналов открывают путь к некоторому
упрощению методов анализа их передачи через линейныt системы.
Возможности упрощения особенно существенны, когда радиосигнал
представляет собой узкополосный процесс, а цепь - узкополосную
систему. Такие условия как раз и характерны для реальных радио­
сигналов и реальных избирательных цепей . В § 4.1 уже отмечалось,
что даже в случае «широкополосных» сигналов ширина спектра радио­
сигнала мала по сравнению с н есущей частотой сигнала. Соответствен­
но и полоса прозрачности Itепи обычно мала по сравнению с ее резо­
нансной частотой.
В следующе~1 параграфе обсуждаются упрощения, которые могут
быть сделаны в с11ектраJ1ьном методе, а в ~ 7.3
-
аналогичные упро-
1щ~ния в методе интеграла наложения.
7.2. ПРИБЛИЖЕННЫИ СПЕКТРАJIЬНЬ\й МЕТОД
Пусть спектральная плотность Sa (iw) высокочастотного модули­
рованного 1<0лебания а( t) образует два всплеска вблизи частот ш 0
и - w 0 , а передаточная фушщия K(i1,>) - nблнзи частот (t)IJ и -- ffip
233

(рис. 7.1). Для общности здесь принято, что резонансная частота цепи
юр не совпадает с центральной частотой сигнала (1) 0 , т. е. имеет место
расстройка. При этом предполагается, что расстройка
(7 .1)
является величиной того же порядка, что и полоса пропускания цепи.
/K(iw) I
\
'\
\
\
'
'
·wo
- ,dt.,J о
Рис. 7./
Составим выражен не для сигнала на вы ходе цепи. В ел у чае, когда
сигнал на входе цепи может быть представлен в форме a(t) =
= А (t) cos [ ffi 0 / + 0(t) ), выкладJ{И значительно упрощаются при ис­
пользовании аналитического сигнала [см. § 4.9, формулы (4.83) и
(4.84) ]:
(7.2)
СпектраJ1ьная плотность Z(i(J)) этого сигнала изображена на рис. 7.1
жирной линией (сравнить с рис. 4.28) . Так как функция Z(iffi) существу­
ет только в области положительных частот, то при определении ана­
литического сигнала на выходе системы с.ледует исходить из общего
выражения
00
Zuыx(t)=~sz (iw)K(iw)e1"'
1
dffi,
2л
о
(7.3)
В 4.9 было поr{азано, что Z (iw) = 2Sn (iш), при r,1 > О, причем в
области поJюжительных частот S" (iw) =-се + Sл [i (ш -- u>0)J lсм. фор-
234

мулу (4. l l ), выведенную для частного случая f) (t) = 00 . При исполь­
зовании комплексной огибающей последняя включает в себя 0 (t)].
Следовательно, Z (iw) = SA [i (w-wO)]. Подставляя это выражение
в (7.3), получаем
00
Zвых (i) =-
1
SSA [i (Ф-Ф0)] К(iФ) e100 t dФ.
(7.4)
2n
(1
Перейдем теперь к новой переменной Q = ffi -w0 • Тогда
'••• (1)-[ ~ l. S, (/Q) К[{(ш, +IЩ е'°' dQ] е'••'· (7.5)
Из сопоставления этого выражения с (7.2) сразу видно, что выра­
жение, стоящее в квадратных скобках, соответствует комплексной
огибающей выходного колебания
00
А (t)=A(t) е;0вых(IJ= -
1
f S" (iQ)K[i(Ф0 +Q)]eН1 1 dQ. (7.6)
вык
вых
2зt
Дальнейшее упрощеНl ! е с:1нализа вытекает из свойств передаточной
функции резонансных систем, обладающих сильно выраженной частот­
ной избирательностью . Модуль коэффициента передачи K(iro) быстро
убываеr при удалении w от резонансной частоты.
Целесообразно поэтому передаточную функцию выражать в виде
функции расстройки частоты ffi относительно резонансной частоты roP:
К (iФ) = K[i (ш0 +Q)] = K[i (Фр+ Лw +Q)J = К1 [i (Лrо +Q)], (7.7)
где постоянный параметр расстройки Лrо = w 0 - Фр•
В ~ 5.6 показано, что в случае цепей с сильно выраженной изби­
рательностью (колебательные цепи с высокой добротностью), переда­
точная функция может быть «укорочена» путем отбрасывания членов,
содержащих высшие степени малой величины (Лw + Q)/w .
Так 1<ак при [J =
·--
(о 1, 1<0эффициент передачи К1 !i(Лш + Q) 1
пра1пически равен нулю, нижний предел интеграла в выражении
(7.6) можно заменить на - оо.
При этом выражение (7.6) принимает следующий вид:
00
Авых(t) = -
1
SSA (iQ) К1 [i (Лrо + Q)J eHII dQ.
(7.8)
2зt
-оо
Это Rыражение ничем не отличается от обычного интеграла Фурье,
определяющего оригинал по заданной спектральной плотности огибаю­
щей SA (iQ) и передаточн()Й функции К1 [i(Лffi + Q) ).
Заменив iQ на р, поJiучим выражение в форме обратного преобра­
Jования Лапласа:
235

c+loo
Аиы,(t)= 2
~ i S SA(p)K1 (,.Лc,)+pJeP1 dp.
(7.9)
r.-loo
Таким образом, анализ 11ередачи узкополосного высокочастотного
колебания через избирательную систему, по существу, сводится к ана ­
лизу изм~:нений, претерпеваемых комплексной огибающей входного
с-иrнала. ПocJie нахождения А вых (t) и 0вых (t) для выходного сигнала
(аналитического) можно написать следующее выражение:
откуда
(7. 10)
(7.11)
Вычисления, связанные с определением Аnых (/) по формуле (7.9),
значительно проще, чем при непосредственном определении а 0 ы, (t)
с помощью обратного преобразования Лапласа, так как переход от
Sa (rL)} к SA(Q} и от К(р) к K1 (iЛ<i) + р} сокращает число особых точек
подынтегральной функции. Это положение будет пояснено в§ 7.5-7.б.
7.З. УПРОЩЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ
Упрощение спектрального метода достигнется «укорочением» перЕ'­
даточной функции избирательной цепи K(i(i)).
Аналогичное упрощение метода интеграла наложения может l)ыть
достигнуто «укорочением» импульсной характеристики g(t), т~сно
связанной с передаточной функцией K(iw).
Основываясь на общем выражении (5.18)
""
g (t) = 2~ sК(iw) et,01 dro
_,,.,
и переходя к аналитическому сигналу zg (t), соответствующему физи­
ческой функuии g(t), можем написать (см. ~ 4.9)
"
г (t) = 2J_ JK(iro) е"" ' dro.
q
2n
(7.12)
о
Как и в предыдущем параграфе, заменим переменную интегрирования
(1) = Шо+~).
Тогда, о учетом формулы (7. 7)
,, (1) ~1,~J2К,[i (Лrо +Q) е'"' dQJI •'••'·
(7.13)
236

С другой стороны, представив искомую импульсную характеристику
в форм!:'
g(t)=G(t)cos(ui0t+y(t)J,
(7.14)
имеем:
(7 .15)
Из сравнения выраж1с:ний (7. 13) и (7.15) непосредственпо вытекает
равенство, определяющее к.омплек.r.ную огибающую импульсной харак.­
теристик.и g(t) :
О()
а(t)= G(t)eiy(I) = 2-
1
s«1 [i (L'н,1 +Q)J eiQldQ.
2л
(7.16)
Как будет видно из прнводимых ниже примеров, прн11енение этого
выражения упрощает вычисJiение импульсной харш<Теристики g(t).
Обращаясь теперь к выражению (7.8) и применяя правило (2.64),
мы можем определить Аных (t) в виде свертки двух функций времени,
соответствующих спектраJiьным функциям Sл (iQ) и К1 [i(Л(J) + Q) ].
Первой из этих спектральных фующий соответствует A(t), а вто-
1
рой, 1<ак 'ITO следует из (7.16), -
функция 2 G(t).
СJ1едовател ьно,
и, наконен.
00
Аных(t)=+5А(х)G (t-x)dx =
-оо
00
= ~ SА (x)G(t-x) e;[e(x)+v(l-x)J dx
'2
авых (t) = +Re !е;"'•'1А (х) G(t-x) e1Г8(x)-f-y(l-x)] dx1=
00
= -Т .) А(х)G(t-x) cos [(J)0 t +О (х) +у (t-x)]dx.
-се
(7 .17)
(7.18)
Это выражение является общим, пригодным для любых избиратеJJ.ЬНЫХ
цепей и Jiюбых узкополосных сигналов. В тех случаях, когда овобод­
ные колебания характеризуются постоянной частотой запо;шения,
как, например, в одиночном контуре, y(t) вырождается в постоянную
фазу и выражение (7.18) существенно упрощается. То же самое отно­
сится и к сJ1учаю сигналов с немодулированной частотой заполне ;лIя,
когда 0(t) обращается в постоянную величину.
Метод интеграла наложения более 3ффективен в тех случаях, когда
врсменнь1е характеристики сигналов или цепей (или тех и других)
оказываются более простыми, нежели спектральные.
237

Такое положение имеет место, в ч!'!стности, при некоторых qастотно•
\!одулированных с11rналах.
Применение метода интеграла наJ1ожения к избир,пеJJьным систе­
мам иллюстрируется ниже рядом примеров.
7.4. УСТАНОВЛЕНИЕ РЕЖИМА В РЕЗОНАНСНОМ УСИЛИТЕЛЕ
ПРИ Вl(ЛЮLJЕНИИ ГАРМОНИLJЕСКОй Э.Д.С.
Пусть в момент t = О на сетку лампы усилителя, схематически
показанного на рис. 5.22, а, включается гармоническая э. д. с.
е0 = Е0 cos ((11 0 t + 0u). В кач~ствt ныходной в::личнны примем на­
пряжение на колебательном контуре. Выведем сначала точное выраже­
ние для выходного напряжения.
Основываясь на общей формуле (5.6!1) и подставляя в нее аанв по
формуле (5.63), приведем передаточную функuию усилителя к виду
к
~
-----'-о-...,..._= -2а.Ко-~----~
l+i (~-
00
P)Q,
(iro)
2
+ 2airo+ ro~'
Фр
(О
K(iro) =
(7.19)
где обозначено: К 0 -коэффициент усиления при резонансной часто-
rор
J
те; а= 2Q =- -затухание;
~:-постоянная времени контура.
э
,:
Таким образом.
К(р)= -2аК0 2 Р
2
р+2ар+roP
(7.20)
Изображение (по Лапласу) для колебания Ее cos (ro 0 t +00 ) имеет
следующий вид:
1
Е
Е
1
Е(р)=-е'в• __с_ +__о_е-10.
---.
2
p-iro,,
2
p+iroп
(7 .21)
Напряжение на выходе усилителя [формула (6.4)1
u(i)= -2аКоЕ 1-1-е/0,, _1 _, ·+sioo ____cp_e_P_ld--' -p ---~ +
с2
2m
(р- irou)(p 2 + 2ар + ю~J
c-ioo
c+ioo
+
_l _e -18,-1_ s
2
2iti
(7.22)
c-ioo
Вычислив вычеты в четырех полюсах, послf весьма громоздких вы-
1<лалок поJ1учим следующее окончательное выражени<.>:
u(i)= -Ucт{cos(ro0 t+00-cp) -e-
1
/-r [cos(00 -cp)cos шс0 t-
- (~ sin (00-ср)+~ cos (00 - ер)). sin rосв t]}·
(7.23)
uJo Фсв
uJoв
238

здесь (J)CB = V(1)~
-
а2 - частота свободных колебаний, а ({) =
= arctg(w0 - rop) t - фазовый сдвиг (в стационарном режиме).
Первое слагаемое в (7.23) определяет стационарное, а второе -
свободное колебание.
Воспользуемся теперь приближенным выражением (7.9).
Передаточную функuию определим по формуле (5 .65), в которой
под величиной аэнв в данном случае в соответствии с выражением
(5.68) подразумеваем
а. =2((J)-(i)~Qs= 2[(roo +Q)--(t)r,!_Q . с--=(Лс,J+Q)т.
,)КВ
(Uμ
·-
(1\,
··'
Таким образом,
K1 /i(Л<u+~2)1=- /(о
(7.24)
1+i (Л(i)+ Q) i-
и
,
(7.25)
Составим теперь «укороченное» выражение для SA(p). В данном
случае, при немодулированном высокочастотном зап )Лнении огибаю­
щая А(!) является вещественной функцией и имеет вид скачка Ее.
Спектральная плотность этой огибающей
SA(iQ)= Ее -
,Q
С учетом начальной фазы колебания 00 , спектральную плотность
комплексной огибающей A(i) можно представить в форме
SA (iQ)= eiOo ~
iQ.
а ~ изображение по Лапласу
Е
SA (р) = eiOo-°- .
(7.26)
р
Подставив формулы (7.25) и (7.26) в (7.9), определим комплексную
огибающую на выходе усилителя
c +loc
Авых(t)= 2:i S SA (р) К1[iЛro+pJ еР1dp=
c-ioo
1 : +~,100
=-К Е e;u,-
oс
2:rti t
еР1 dp
с -/оо
Подынтегральная фушщия имеет всего лишь два полюса
I+iЛ(i)'t
Pi=O; Р2= ----.
't
(7.27)
(7.28)
239

Вычеты в этих полюсах
l+iЛ(J)-r'
(7.29)
-(~+iЛоо) /
[
еР'
].
е'
res2=
= ------
1 +;Л<,н +2ц p=r,,
l+iЛoot
(7.30)
Таким образом, сумма вычетов
- ( _1_+ iдш)
1-е '
1-e- ' 1 t(cosЛ(l)/-1sinЛrot)
res1+ res2= ------- -
1
I+iЛoo-r
J/1 +Лоо2t2еq,
(7.31)
где
q:, = arctg Лс,н
(7.32)
есть фазовый сдвиг напряжения на контуре относитслыю входной
э. д. с. в стаuионарном режиме, а
!:(t)- t e-1l
1
sinЛwr .
<::,
-аГС g
-1/i:
1-с
ros Лшl
(7.33)
Итак, комплексная огибающая выходного напряжения
КоЕе у'
·
·
l -2e-l/'t cos Лшt + е- 21/t -е 1 шо+ео-'РJ,
V1 +лш2 i-2
(7.34)
а мгновенное значение этого напряжения
Ко Ее
u(t)= ---;::==::::::::;;=-Vl-2e- 1 1 tcosЛшt+e- 21 /,: х
-Vt +лоо2 i-2
Х cos !ш0t +00 -q:, +~(L)I.
(7.35)
Для сравнения полученного результата с точным выражением
(7.23) приведем u(t) к виду суммы двух коJJебаний -- вынуждt1шоrо и
свободного. С этой uелью вернемся к выражениям (7.27)-(7.34) и со
ставим выражение для анаю~тическоrо сигнала, соотве ·rствующего
11а11 ряжению ц(t):
1 e-(1/t + iЛ,,111
Z (l)=A (t)ei"'"'=-K Е -
el(ui"r+!:Jo) =
и
вых
ос
1 + iЛro-r
е, \000 1+ll0 )
е-1/,: е' [(000-Ло,1 1 + u0 ,
=-КЕ '
-
•.
0
с
1 + iЛ(J)t
(7.36)
Пос ,,1(• пр1rвсден11я 1< тригонометрической форме с учетом соотво
шения (7.32) н (7.2), а также раненства с,> 0 - Л(J) = (i)v , получим
240

u(i)=
КоЕо [cos(ffi0 i+00-q>)-e- 1Jтcos(ropt-f•00-cp)J. (7.37)
YI +Л(i)2,:2
При ~ « l выражения (7.23) и (7.37) практически совпадают.
Wp
1-1ассмотрим важные для практики следствия, вытекающие из выра•
женин (7.35). Остановимся сначала на случае точной настройки кон­
тура на частоту возбуждающей э. д. с. Приравнивая roP к частоте wo,
получим Лrо = О. Тогда выражение (7.35) у~рощается:
u(t) = -К0 Ее(l-e-l/1:)cos (ro0t +00).
(7.38)
0,5
2
~~---'----'---'---'----'---'--~
О 0,5 !,О 1.5 2,0 2,5 J,0 J.S 4,0 t/Т:
Рис. 7.2
Из этого выражения видно, что при совпадении частот ffi 0 и <0fl
огибающая амплитуд выходного колебания нарастает по· закону
1-е-t/т независимо от фазы э. д. с. в момент включения .
Соответствующая этому ел учаю кривая, вычисленная по формулt
Аuых (t) = 1-е-t/т;
КоЕо
'
построена на рис. 7.2 .
На этом же рисунке приведены графи!{И функции
Авыr (1)
Ко Ее
(7.39)
(7.40)
вычисленные для двух значений параметра расстройки Лro-r, равного
/и2.
Из рис. 7.2 видно, что при значительных расстройках процесс уста·
новления огибающей принимает 1юлебательный характер. Это объяс­
няется биением двух колебаний: частоты (1) 0 и частоты ш с 11 , которая
при сделанном выше допущении о высокой добр отности конгура очень
~1ало отлнча ется 0 ·1· μе :-юнанс1юй частоты <0Р.
9 Зак. 137
241

На рис. 7.3 приведены графики нормированной огибающей, т. е.
функции Ав ы:r. (/) v1 + Лw2 i-2• Как видно, с увеличением раСL-Тройки
Ко Ее
крутизна фронта огибающей растет и общая продолжительность про·
цесса установJIения нескОJ1ько сокращается.
Графики функции s(t), т. е. переменной части евых (t), приведены
на рис. 7.4.
Авых ✓,Ф,14)Z'tl
Kolc
/Jt.J'Z'=2
!
f
1,0
о
:rc/3 /Jwr:=Z
Я/6
о
оf2J~t/Т:
- !!/6
J
tf
Рис. 7.3
Рас. 7.4
7.5. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА С НЕМОДУЛИРОВАННЫМ
ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНЫЙ
УСИЛИТЕЛЬ
Используем результаты предыдущего параграфа для определения
формы и параметров сигнала на выходе одноконтурного усилителя при
прямоугольной форме огибающей импульса на входе . Схема усилителя
представлена на рис. 5.22, а.
Сигнал на входе, определяемый выражением
a(t)={Eccos(w0 t+00)
при O<t<T,}
О
приt<Оиt>Т,
(7.41)
изображен на рис. 7.5, а.
Как и в § 6.4, задача может быть решена независимым рассмотре­
нием явлений на фронте и спаде импульса с посJJедующей суперпози·
цией полученных решений.
Если длительность импульса Т больше, чем фа ктическое время
установления режима в контуре при включении гармонической э. д. с.,
то к моменту окончания входного импу .ньса на выходе усилителя ам­
плитуда колебания равна стационарному значению
242

Начиная а момента t = r, после прекращения действия внешней
э. д. с., остается одно лишь свободное колебание, которое может быть
представлено в форме
авых (t) = Авы х . стац е-l/т. COS (Фсв t +<!'о)=
f о: ,........., _,.L .I.UJ.- UU[UUUUilD D~T
а)
• tfc
KaEc(l·e
)
~--~- --
------
1
1
/
lu<J
1/
>,:_о : /
:/
011
1
1\
1
1
,___ _
б)
б)
Рис. 7.5
/
/'
'
А
-t/:t
стац е ··
t
(7.42)
Здесь через <р 0 обозначена фаза напряжения на контуре в момент
t=Т, и (t)P ~Фсв [см.§7.41.
Таким образом, в отличие от фронта на спаде импульса огибающая
амплитуд имеет вид экспоненты независимо от соотношения частот
ы 0 и шР . Форма сигнала на выходе усилителя при Лw't = О и Лu>'t = 2
представлена на рис. 7.5, б и в. Это построение сделано для случая,
когда длительность импуJ1ьса значительно больше, чем время уста-
новления.
243
9*

7.8. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА
ЧЕРЕЗ ДВУХКОНТУРНУЮ СВЯЗАННУЮ СИСТЕМУ
Параметры импульса такие же, как и в предыдущем параграфе,
т. е. огибающая прямоугольна, частота заполнения немодулированна
и равна ш 0 . Амплитуда импульса приравнена l в, а 00 = О.
В качестве двухконтурной иэбирательной системы рассматривается
полосовой усилитель, схематич~ски изображенный на рис. 5.27. Кон­
туры идентичны, резонансные частоты контуров юп 1 = юр 2 = roP ==
=
6) 0 . Таким образом, в данном случае Л(J} = О.
Передаточная функция такого усилителя в соответствии с выра­
жением (5.81)
где
Sz1p kQ
iN
i [(! + /a)2+k2 Q2f - [(1 +Ш't)2+ k2 Q2]'
N =SZipkQ;
0=ffi-roP; 't ' =
2
Q; а=Qт.
ffip
(7.43)
Смысл и определение остальных величин, входящих в выражение
(7.43), указаны в § 5.8 .
Заменяя i~J на р, получаем
К()-
iN
1 Р - [(l+p't)2+k2Q2]
(7.44)
Обратимся к определению сигнала на выходе системы. Как и в пре­
дыдущем параграфе, сначаJJЭ рассмотрим явления на фронте импульса.
При этом задача сводится к включению гармонической э. д. с. в момент
t = О. Подставив в общее выражение (7.9) спектральную плотность
Sл(р) по формуле (7.26) и коэффициент передачи К1 (р) по формуле
(7.44), получим
iN
Авых(t)=-2n/
Полюсы подынтегральной функции
р1=0; Р2,з= --
1
(1 + i/Щ).
't
Определяя вычеты по формуле (6.10), получаем следующее оконча­
тельное выражение для комплексной огибающей выходного сигнала
(угол 81, принят равным нулю)
Anыx(t)= N {1-e- 1 /т,[~sin(kQ..!...')+cos(kQ..!..)]}e'"-' 2• (7.45)
1+ k2Q2
kQ
't
't
244

В частном случае «критической связи» (lzQ = 1) получаем
N[
t
t]1~
А(t)=-
l-е-11т:(sin- +cos-)е 2 •
RЫХ
2
't
t
(7.45')
Множитель е 1 п12 учитывает сдвиг фазы выходного напряжения
на 90° относительно входного сигнала.
График IAв~i2(t) 1 для kQ = \ изображен на рис. 7.6 (участок
отt=оДОt=Т).
Рассмотрим теперь явления в цепи в конце импульса, начиная с мо­
мента t = Т, где Т -длительность
импульса. Ясно, что после прекра·
щения действия внешней силы в
системе может существовать толь­
ко свободное колебание . Структура
этого колебания лёrко может быть
выявлен11, если прекращение им·
пульса рассмс1тривать как резуль­
тат включения в момент t = Т
o.s
новой э. д. с., компенсирующей
о
J,O
tfr
э. д. с. сигнала. Для этой компен-
сирующей э. д. с. решение имее1
Рис. 7.6
такой же вид, как и (7.45), но от-
личается только знаком, который должен быть обратным знаку
правой части выражения (7.45), и сдвигом начала отсчета времени из
нулявточкуt=Т.
Так как к моменту t = Т затухающую часть выражения (7.45)
можно считать равной нулю, то комплексная огибающая результи­
рующего сигн11ла на выходе для t > Т должна иметь вид
Авых (t) =
N е-<t-Т)/т: [-1-sin (kQ t-T) +
1+k2 Q
2
kQ
1:
+cos ( kQ t~T)] е1п12_
{7.46)
1Авых (1) 1
Построенный по этой формуле график ---- для kQ = 1 изо­
N/2
бражен на рис. 7.6 (участок t > Т).
7.7 . ПЕРЕДАЧА РАДИОСИГНАЛОВ
С НЕПРЕРЫВНОR АМПЛИТУДНОR МОДУЛЯЦИЕR
На .вход одноконтурноrо усилителя, изображенного на рис. 5.22, а,
вмоментt=Овключенаэ.д.с.
a(t) = Е0 ll +М cos (Ш +v)J cos ((1)0t +80).
(7.47)
245

Найдем структуру напряжения на выходе усилителя кан в nponecce
vстан0вления, так и в стационарном режиме.
В данном случае целесообразно применить метод интеграла нало­
жения [выражен 111: (7 .17) 1 В соответствии с (7.47) комплексная
огибающая колебания a(t)
A,Jx(t)=Е0[l+Мcos(Ш+ '\')]е18•.
(7.48)
Найдем комплексную огибающую импульсной характеристики
схемы, представленной на рис. 5.22, а.
Соrла<!НФ формуле (7.16)
1
G(t)=2-
.
2л,
c+loo
\ KiliЛro+ple.01 dp.
с .::.100
(7.49)
Подставляя в это выражение передаточную функцию ПФ формуле
(7. 25) , получаем
G(t)= -
2Ко 2~/ c+s'"° __
eP_'_d.,_p _ _
,.
l+(iлro+p)-r
c-loo
Вычет в полюсе р =
1 +iЛrот
равен fсм. вывод формулы (7.30)]
т
и
-(~+"iЛffi)
ет.
res = + ------
,:
G(t) =
-
2Koe-ttт. е-lЛй•t.
(7.50)
t
Полезно отметить, что аналитический сигнал, соответствующий
импульсной характеристике g (t), имеет вид
Zsr(t)=G(t)elffio1= -
2Ко е- t /т; el (ffio 1-Лооt) =
't
=_
2Koe- !/t elwp t
1i
(поскольку ())0 -Лю = юр), а сама импульсная характеристика
2К
g(t)= Rezg(t)= -
-
0
e- 1l"cosroPt.
(7.51)
,:
Дальнейший анализ !1роведем для наиболее интересного случая
точной настройки усилителя на несущую частоту модулированного
колебания (ro, 1 = : mp, Лrоμ= О).
При этом выражение (7.50) упрощается
G(t)= -
2Ко e-' -lt.
т
(7.52)
246

Обращаясь к вБiражению (7.17) и подставляя в него формулы (7.48)
и (7.52), а также учитывая, что с данном случае
в(t) = 0n = const, y(t) = у0 = const, пОJ1учаем
1
Ааых(t)= -{Ео 2
~
0
ei0a ~[l +Mcos(Qx-f -y0 )]e-< 1 -xJ/'tdx. (7.53)
о
Пределы интегрирования приведены в соответствие с началом дей­
ствия внешней силы (t = О) и свойством импульсной характеристики
(равен<nво нулю при t - х < О).
Вычисление неGЛожного интеграла А (7.53) приводит к следующему
выражt:нию для комплексной огибающей выходного напряжения
Авы:~(t)= -К0Е0{t + М
cos(Qt +r0 -s0)-
-V \+~J2 't2
-
e-t/'t[1-f- М
COS (1' 0
-
~о)]} е'0•,
(7.54)
✓\+Q2tZ
где
1;0 = arctg Q. = arctg auкn·
(7.55)
Таким образом, мгновенное значение выходного напряжения
а11ых(t)=-К0 Е0 {1+ М cos([U+y0 -g0)-
Y\+Q2 't2
-е-t/т. [1 +
м cos(yo-so)j}cos(root +0о), (7.56)
V \+QZ тz
Сопоставим полученное выражение с (7.47). Как и следовало ожи­
дать, частота и фаза амплитудно-модулированного колебания с высоко­
частотным заполнением при прохождении через резонансный усили­
тель (при ffio = rop) не изменяются.
Инерционность колебательной системы оказывает влияние на clW·
рость иэмен,ен,ия во времени огибающей колебан.ия. Этот фактор прояв­
ляется как в переходном, так и в стационарном режиме.
В переходном режиме инерционность системы приводит к тому,
что при любом значении огибающей входной э. д. с. в момент включения
(т. е. при любом значении начальной фазы уO) огибающая на выходе
начинается с нулевого значения. По отношению r< огибающей рассмат­
риваемая система ведет себя так же, как апериодическая система с по­
стоянной времени ,ю по отношению к низкочастотному напряжению
С ЧаСТQТОЙ Q.
В стационарном режиме (при t » 1:) выходное колебание имеет
еледующий вид:
авых.ат(t)=-К0Е0[1+ М. соs(Ш +-v0-~
0)J COS(ffi0 t +0о),
✓1+~J2 't2
(7.57)
247

Огибающая этого колебания отличается от огибающей входного
,юлебания тем, что:
1) глубина модуляции на выходе, равная
(7.58)
меньше, чем на входе; относитеJ1ьное уменьшение глубины модуляции
D
1,0
o.s
о
1
1
/
(2Q )2
V 1+ ron Qrciнв_
(7.58')
График зависимости D от частоты модуляции Q, представленный на ·
рис. 7. 7, соответствует правой вет­
2З't
ви резонансной к_ривой колебатель·
ноrо контура.
2) Огибающая амплитуд на вы­
ходе отстает по фазе от огибающей
входного колебания на угол
2Q
~о= arctg ащн, = arcig - Qэ~ш·
rop
(7.59)
Рис. 7.7
Результаты, приведенные выше
для етационарноrо режима тональ·
ной модуляции, легко получить также из рассмотрения прохождения
отдельных спектральных составляющих модулированного колебания.
Записав выражение (7.47) в форме
а(t)=Е0cos(ro0t+00)+ МЕоcos[(ы0+Щt+00+r]+
2
+ME0cos[(w0- Q)t+00- )'),
2
(7.60)
нетрудно составить аналогичное выражение и для напряжения на
выходе усИJштеля.
Учитывая, что передаточная функция усилителя для частот ш 0,
(J) 0 + Q и (!) 0 - Q равн.:1 соответств1::нно (см. формулу (7.25) 1
K(iro0) = К1 (О)= -К0,
I{ [i (w-(J)J = К1 (-Ш) = -~=
l-1SJ1

можем написать
aвыx(l)=-K0 E0 {cos((!)0 t+00)+ ~ Х
ХI
cos [(ш0+Q) t+0о +1'-~ol +
Vi+~22 ,2
+~
1
cos !(ы0- Q) t+ 00 +У+ so]}.
2 у\+~22т.2
Свернув это выражение, придем R выражению (7.57).
п
п
ц)р
(JJ
1"-'Р 1 1
""
,
111
1
:
1
f1
Еа
1
11 О1
1
1
1
1:
1
МЕ0
i Н[0
МЕ0 1 1 !!!.о,
т
т
2
:
2
''Ь'Q ""о wo•Q
(.1)
"Ь-Q 1 ""о ""a•Q
(,J
11
а)
: :Лw
.. ., r--
5)
Рис. 7.8
Смысл этого результата поясняется рис. 7.8, а, на котФром пока•
зано положение спектра входного колебания относительна резонанс•
ной характеристики колебатt>..лыюго контура. Чем выше частота моду•
ляuии ~~. тем сильнее относительное 0слаблениt1 амплитуд колttбаний
боковых частот и, следовательно, меньше глубина модуляuии колеба·
ния.
Полученные из рассмотрения тональной модуляuии результаты
позволяют представить общую карт11ну яв;1ений по передаче через кон·
тур колебаний, модулированных ПQ амплитуде о л о ж н ы м с о CJ 6-
щ е н и е м. Входящим в такое сообщение разJ1ичным частотам Q
соответствует неодинаковое осJ1абление; Ч'ем выше частота, тем силь·
не~ выражена демодуляция. Так как при прием<.' ко.11ебяний напряже­
ние на выходе ппt:>ктора приемника пропорuионально коэффиuиенту
моду;1яuии, получается относите.11ьное оолабление верхних чаС'rот
249

сообщения. Таким образом, зависимость D(Q) определяет степень 11и-
1tейны.t 1юстоптых иош:женuй передшшемого Gообщенuя.
Имеет место та1<же и задержка сообщения. Эт0 0бъясняется тем, что
фазовый сдвиг огибающей (при тонаJiьной модуляции) зависит от
частоты. Колебательный контур оказывает на сообщение, содержа·
щееся в огибающей, такое же влияние, что и фильтр нижних част01
при пропускании непосредственно через него сообщения.
Величина задержки определяется наклоном фазовой характе­
ристики
d ( arctg ~Q Qэнn)
\
р
Рис. 7.9
2Qвкn
= ---;,:2Q.,,, .- - - :)-,a2 -- .
l+(ЫрQ8IOJ
Ыр
п
1,0
Е/2
wo·Q t,J ltJo • Q
Рис. 7.10
(7.61)
Обычно задt:ржку определяют по наклону фазовой характеристики
вточке~J=О.
Тогда
(7.62)
Итак, задержка сообщения в одиночном контуре, полоса прозрач­
ности которого достапючна для удовлетворительного пропускания
спектра сообщения, равна постоянной времени контура.
Рассмотрим теперь случай неточной настройки контура на несущую
частоту модулированного колебания. РаспоJюжение спектра входногQ
колебания относительно резонансной кривой контура для этого слу·
чая ~JJiлюстрируется рис. 7.8,б. Несовпадение частот ro 0 и roP при·
водит к асимметрии боковых частот на выходе усилителя. Возникно­
вение асимметрии поясняется векторной диаграммой выходных на·
пряжений, представленной на рис. 7.9 .
На этой диаграмме вектор OD изображает несущеt: колебание, фаза
которого запаздывает относительно фазы входной э. д. о. (принятой
250

равной нулю) на угол Ое (так как рис. 7.8, б соответствует положи ­
тельной расстройке Лrо . = (1) 0 - ш > О). Амллнтуда колебания
верхней боковой частоты (вектор DC1) в данном случае значительно
меньше, чем амплитуда колебания нижней боковой частоты (век­
тор DC2). Длина равнодействующего вектора OF, изображающего
резуJ1ьтирующее колебание, изменяется по сложному закону, не сов­
падающему с синусоидальным Э0.К()НОJ.t изменения огибающей э. д. с.
Следует иметь в виду, что для восстановления передаваемого со­
общения на выходе радиолинии, работающей с амплитудной модуJIя­
цией, применяется амплитудный детеIпор, представляющий собой
нелинейное устройство. Напряжение на выходе детектора пропор­
ционально огибающей модуJшрованног0 колебания. Из этого следует,
.... .
,,
,,
t
' ....
,,,,
Рис. 7.11
что нарушение симметрии амплитуд и фаз колебаний боковых частот
при неточной настройке контура на несущую частоту ю 0 приводит
к нелинейным искажениям передаваемых сообщений. Эти искажения
проявляются в возникновении новых частот, кратных частоте Q пе­
лезной модуляции.
Кроме искажения формы огибающей амшIитуд, вооникает также
псевдо-фазовая модуляция колебания, так как при вращении векторов
DC1 и DC2 (рис. 7.9) непрерывно изменяется фаэ:i 0 вектора OF отно­
сительно фазы несущего колебания э. д. с. (принятой в качестве исход­
ной). В некоторых случаях это может привести к добавочным искаже­
ниям сигнала.
Полученные выше результаты нетрудно распространить на любую
колебательную систему, например на связанные контуры. Если ре­
зонансная кривая такой системы си м м~трична относите.пыю несущей
частоты ro 0 , то правая ветвь этой кривой может рассматриваться I<ак
характеристика коэффициента D (см. рис. 7. 7).
Остановимся на некоторых особенностях прохождения модули­
рованных колебаний через двухконтурную систему при сиJJьной связи
контуров. Если коэффициент связи k > kнр• где kкр - «критическая>>
связь, и на вход системы подается э. д. с., I1ромодулированная на 1()0%,
то при частотах модуляции О, соответствующих подъемам резонанс­
ной кривой (ro1 и u1 2 на рис. 7. 10), будет << перемодуляция)). Это объяс­
ниется тем, что амплитуды колебаний боковых частот на выходе
системы превысят 50% от амплитуды Н('сущеrо rюлебания . Форма вы­
ходного колебания при перемодуляции показана на р н о. 7.11. В точках
251

перех ода огибающей амплитуд через нуль фаза колебания изменяется
на n. При неточной настройке 1<онтуров, т. е. когда шР-=/= шu, как и
в случае одиночного контура, возникают искажения из-за асимметрии
резонансной кривой
7.8. ПЕРЕДАЧА ФАЗО-МАНИПУЛИРОВАННОГО СИГНАЛА
Нар яду с ампJJитудной модуляцией - непрерывной или импульс­
ной- врадиотехникенаходитприменениефаэовая манипу­
л я u и я заключающаяся в скачкообразном изменении фазы высоко·
'
о
А
частотного колебания на 180 в опредеJJенные моменты времени. мпли-
туда и частота кож~бания поддерживаются при этом неизменными.
В ременная диаграмма фазо-мани­
пулированноrо колебания изобра­
о
2Т,
б)
Рис. 7.12
:зт,
t
жена на рис. 7.12, а, а измене­
ние фазы - на рис. 7.12, б. На
последнем рисунке фазы О и n че­
редуются периодически; при пере­
даче реаJ1ьных сигналов закон че­
редования может быть более слож­
ным.
Рассмотрим явления в резо­
нансных системах, возникающие
в моменты скачкообразного изме­
нения фазы входного сигнала. При
этом .мы будем считить, что «такто­
вые интервалы» Т1 между двумя соседними скачками фазы намного
больше длительности возникающих в цепи переходных проuессов,
так что рассмотрение каждого из скачков изолированно от предыду­
щих вполне допустимо.
Для выявления принципиальной стороны вопроса ограничимся
простейшим случаем - передачи фазо-манипулированного сигнала
через одиночный колебательный контур, настроенный на частоту сиг­
нала w0.
Совместим начало отсчета времени с моментом скачка, как это по·
казано на рис. 7.12 . Тогда для t > О выходной сигнал на основании
принципа суперпозиции можно представить в вид~ суммы:
а) свободного коJ1ебанин, существующего после прекращения дей­
ствия старого cиrнaJia, и б) нарастающего колебания, обусловленно­
го действием нового сигнала при t > О, с фазой заполнения, на 180°
отличающейся от фазы предыдущего сигнала.
Пренебрегая различием между собственной частотой контура
roco и резонансной частотой ro 11 , мы можем для двух упомянутых коле­
баний написать следующие выражения:
а1(t)=-~ А0e-at cos wpt,
а2 (t) = -А0 (1-e-at) cos rop t.
252

Знак минус в правой части второr~ выражения учитывает опроки­
дывание фазы на 180°.
Результирующий сигнал на выходе еисrемы
sоых (t)=a1 (t) +a2 (t)=(-A0 +А0е-а1 +А0 е-а1 )cos wP t =
= -А0 (1-2 e-at) cos шР t.
Диаграмма выходного сигнала изображена на рис. 7.13. Из~за
инерционности контура скачок фазы входного сигнала приводит
к изменению амплитуды выходного сигнала. В момент времени
t0 = 0,693/а, при котором e-at, ;;;:;: lf2, огибающая орращается
s,ых
Рис. 7.13
в пуль. Чем меньше а (или чем больше добротность контура), тем
больше t 0 , т. е. тем протяженнее процесс установления колебания
с новой фазой.
В более сложных колебательных системах, а также при наличии
расстройки между частm·ами ш 0 и ,ор, картина несколько усложняется:
помимо возникновения паразитного изменения огибающей, нарушается
и характер изменения фазы. Вместо скачкообразного изменения полу­
чается плавный переход фазы от прежнего значения к новому. Способ
определения структуры выходного сигнала остается прежним, только
a1(t) и a2(t) в выражении для sвых (t) будут представлять собой колеба­
ния с несовпадающими частотами. Вычислив модуль и аргумент сум­
марного колебания, нетрудно найти огибающую и фазу ныходного
сигнала.
7.9. ПЕРЕДАЧА ЧАСТОТНО-МАНИПУЛИРОВАННОГО
СИГНАЛА
Пусть сигнал на входе избирательной системы имеет впд колеба­
ния, изображенного на рис. 7.14, а. В некоторые моменты времени
частота скачком изменяется от (t) 1 до <u 2 или от (1) 2 до <о 1 . при постоянной
амплитуде и непрерывной фазе в моменты скачков частоты. Последнее
допущение продиктовано желанием выяснить в чистом виде влияние
на параметры выходного сигнала одной лишь манипуляции частоты
253

без наложения манипуляuии фазы (рассмотренной в предыдущем пара­
графе).
Совместим начало отсчета времени с моментом изменения частоты
отro1до ro2(рис.7.14,б)иположим, какив§7.8,чтокмоменту t= О
все процессы, связанные с предыдущим скачком частоты, уже закон:
чены . Таким образом, при t < О выходной сиrна11 представляет собои
синусоидальное колебание с частотой ffi 1 и постоянной амnл11тудой А u;
На первый взгляд может показаться, что изменение скачком однои
лишь частоты входного сигнала при постоянстве амплитуды и отсут­
ствии скачка фазы не должно сопровождаться переходными проuес-
сами. В действитеJ1ьности это
...
о
т,
t
5)
Рис. 7.14
не так , поскольку в системах,
запасающих энергию, переход
от одной частоты к другой не­
избежно связан с изменением
запаса энергии .
,.
Рис. 7.15
Основная идея, на которой базируется дальнейшее рассмотрение,
заключается в том, что мгновенное изменение частоты внешней э. д. с.
эквивалентно выключЕнию старой э . д. с. с частотой (1)1 и включению
в тот же момент новой э. д. с. с частотой ro 2 • Аналогичный прием был
использован в § 7.8 для скачка фазы входного сигнала, однако в дан­
ном случае дело несколько осложняется несовпадением частот различ­
ных слагаемых.
Итак, результирующее колебание на выходе линейной системы
приt>О
Sвых (t) = а1 (t) +а2 (t),
где a1(t) - свободное колебание, связанное G выключением в момен1
t = О «старой» э. д. с. (частоты (1)1); a2(t) - нарастающее колебание ,
обусловленное включением «новой>, э. д. с. (частоты ы 2) .
Рассмотрим случай одиночного колебательного контура при
СЪ <' ме выходного напряжения с емкости (рис. 7.15). Резонансную
частоту контура ffip приравняем частоте ro 0 , а скачок частоты 2Л(J)
(см. рис. 7.14, б) будем считать симметричным относительно ш 0:
(01 =(1)0 -ЛuJ=шr-Лffi,
ro~ = ro0+Л(J)= roP +Лrо.
254

Тогда при обозначениях, принятых в§ 7.4, и в соответствии со вторьtм
слагаемым в выражении (7.37), при замене постоянного коэффициен­
та - К 0Е._. на Q, можно свободное колебание представить сJJедующим
ОР;:,~зом:
a1 (t)=
Q
e-ttт sin(ffivt+00 -<p1 ).
✓ 1 +л(i)2.2
(7.63)
Заметим, что свободное колебание здесь взято со знаком плюс,
поскольку речь идет не о включении но1юй, а о прекращении действия
старой э. д. с. Косинус заменен на синус ввиду съема напряжения
с емкости, входящей в последовательный контур. Кроме того, следует
иметь в виду, что для частоты ffi 1 , которая ниже резонансной
часготы контура, ток в контуре опережает по фазе э. д. с. и угол (jJ 1
является отрицательным, т. е.
QJ1 = arctg(- Лcu-r) = -
arctg Лffii-.
Таким образом, обозначив arctgЛffii- = <р, полуtrим
a1(t)=
Q
e-t/t Si11(ffipi+00 +<p)=
J/1 +л(i)2 ,:2
Q
е-t/т/cos ер sin (ffip t + 00) + sin <р cos (ffip t +00)).
- V 1 +л(i)2"t2
(7.64)
Длн определения a 2(t) можно воспользоваться полным выражением
типа (7.37), в котором постоянный коэффициент К 0Е должен быть
за .\\енен на Q, частота ffio - на частоту новой э. д. с., т. е. на ro 2, ко­
синусы должны быть заменены на синусы, а угол rp, как и в (7.64),
сJJедует определять выражением <р = arctg Лffi-r.
Итак,
Q
а2 (t) = -----~=~ [sin (ffi2 t + 00 -cp)-e -tfi sin (ffip t+ 00 -rp)].
у1 +л(i)2.2
После подстановки ffi 2 = ФР + Лw это выражение приводится
к виду
a2 (t)=
Q
{cos(Лffit-QJ)sin(wvt--f-00)+
J/I +л(i)2,:2
+ sin (Лwt-(J)) cos (rop t + 00)-e-l/t [cos 'Р sin (u1p t + 00)-
-sin cp cos (wv t + 00)]}.
(7 .65)
Просуммируем выражения (7.64) и (7.65):
snыx (t) =
Q
{co s (Лшt- cp)sin (rop t + 00)--/ -
у' '+л(i)2.2
+ [sin (Лшt-<р) +2е- 1 1т sin qJj cos (ffip t+ 00)} =
= А(t)sin [wp t+00+s(t)J.
(7.66)
255

Огибающая А (l) и переменная частt, фазы ~ (t) выходного сигна­
ла определяются выражениями
t(t)
t sin(Лrot-1JJ)+2e- 1 11 sinljJ
"'
= arc g __ __,_ __...:...;..~----'-.
•
_cos(Л(t) / -q>)
(7.68)
Основной интерес в данном случае представляет закон измене­
ния частоты выходного колебания
ffi (t) = u)P + d; (t) =юр+ Л(J) (l).
dt
Рис. 7. 16
Выполнив дифференuирование, найдем
l -2e-at sin q> [ Лаrо cos (Лrol-q>)-sin (Лroi-q,)]
Лw(i)=Л(J) ------"---------~
(7 69)
1+4е-а' sin q, [sin (Лrot - q,) + e-at sin q,J
•
1
Jдесъ a=--
i:
Выражение (7.69) может быть упрощено, так как
а
1
-= -= ctgcp
Лrо Лroi:
и числитель дроби приводится к виду
l -2e-a1 sin <р [c.os q, cos(Л(J)t-cp)-siп(Лwt-<p)l = 1-2е-а1 cos Л(J)l.
SIП (j)
J
256

Итак, окончательно относительная расстройка
у=Лоо(1)=
1-2е-« 1
cos Лооt
Лrо
1+4e-at sin q> [sin (Лrol- <р)+е-« 1 sin <pl
l-2e-Лuil/b cos Лrо/
= 1+4e-Лu>I/Ь sin q> [sin (дrо/ - <р) +e-лu1t/Ь sin q>j '
(7.70)
где Ь == (Лю/а.).
(О
о
Рис. 7.17
Графики У (Л(t)t) nля нескольких эначениА параметра Ь построены
на рис. 7.16.
Зам~им, что полоса пропускания контура, определяемая по ослаб­
лению сигнала до I!J/2 от резонансной частоты, равна 2а = (wp/Q).
Спедовательно, параметр Ь есть не что иное, как отношение полного
скачка частоты сигнала 2Лw в полосе пропускания 2а..
На рис . 7.17 в r<ачестве независимой переменной выбрана величина
a.t, соответственно чему уравнение (7. 70) принимает форму
У=
l-2e-at cos (bat)
1+ 4е-« 1 sin <р [sin (bal-q>) + e-at sin <р]
(7. 71)
Спедует при этом иметь в виду, что sin (J) = ЫVI + Ь2. На том же
рис. 7.17 построена кривая УА = I - e-at, соответствующая про·
цессу установления амплитуды тока при включении в контур э. д . с .
с частотой (о 0 , равной резонансной частоте контура. На рис. 7.17
масштаб для функции УА, которая изменяется от нуля до единицы,
нанесен справа.
257

Л(J)
Из рис. 7.17 видно, что при h <: 0,5, т. е. коrдэ а < 0,5, проuесо
установлениsI частоты праI<Тическ11 не отшIчается от процесса уста­
новления амшштуды при внезапном ВКJiючении э. д. с.
Заметное расхождение кривых У и Уr i наступает при Ь > 0,5.
г,;;;z
-а-А
2,0
1,5
0,5
о
120
2110
Рис. 7.18
J60,1wt •
Для полноты картины рас­
смотрим еще вопрос об изме­
нении амплитуды выходного
СИГНаJJ а.
Подставив в выражение
(7.67)
А
Д(J) ь
uffiT=- =
,
а
ь
siп(р= -Vt+ь~
и
получим
1
ctg(p=,;,
A(t) =--;=:::::::::Q:=:;- х
✓1+ь2
V 4Ь2 е_л,,,t( 1
) 4Ь2 e- 2A"'t/b
х l +-- ь -sinЛffil-cos Л шt +----.
(7.72)
1+ь 2
ь
1+ ь2
-,11 + Ь2
Графики функции Q A(Л(J)t) для не1юторых значений пара-
метра Ь приведены на рис. 7. 18. Эти графики показывают, что при
Ь ;:;=:,- 0,5 процесс изменения частоты сопровождается значительными
а м плитудными изменен11ями. При Ь = l, т. е. в случае, когда девиация
частоты достигает граннц полосы пропусI<аtIИЯ контура, изменение
амплитуды доходит до ~ 25 % от установившегося значения .
л(Т)
Неравенство Ь = -- ~ 0,5 можно принять в качестве условия
а
монотонного нарастания Л(t)(t) и отсутствия значительных амплитуд·
ных изменений. Длителыюсть же таI,тового интервала Т1 (периода
манипуляции, рис. 7. 14) должна быть достаточно велика по срав­
нению с постоянной врем ени контури 1 = 1/а.. Как видим, последнее
требование не отличается от случая амплитудной импульсной мо­
дуляции.
258

7.10. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЯ
ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
В § 7. 7 быJJо показано, что при синусоидальной модуляции ампли­
туды передача колебания через контур, точно настроенный на несу­
щую частоту, не сопровождается изменением формы огибающей; имеет
место лишь ослабление глубины модуляции.
При частотной модуляции неравномерность амплитудно-частотной
и кривизна фаза- частотной характеристик оказывают более сложное
влияние на параметры выходного 1<0леба-
ния. Даже при синусоидальной модуля­
ции частоты спектр колебания обычно
солержит очень большое число пар боко­
вых частот. Нарушение нормальных ампли­
тудных и фазовых соотношений между
отдельными парами боковых частот приво­
дит к искажению закона модуляции даже
при полной симметрии характеристик це­
пи относительно несущей частоты колеба­
ния.
Влияние цепи может сказаться:
-
в искажении закона изменения мгно­
венной частоты и мгновенной фазы коле­
бания;
-
в изменении амплитуды nолезноr0
частотного отклонения в зависимости от
частоты модуляции Q и
-
в возникновении паразитной ампли-
1,0
i41o I о)
, ""о'
тудной модуляции.
Рис. 7.19
При детектировании колебаний с
помощью частотного детектора напря-
..
1.1)
(,iJ
жение на выходе приемника пропорuионально изменению мгно­
венной частоты к0лебания. Поэтому искажение закона изменения мгно­
венной частоты в колебатеJJьных 1юнтурах передатчика и приемника
приводит к нелинейным искажениям сигнала, проявляющимся на вы­
ходе детектора в виде добавочных напряжений G частотами , кратными
основной частоте модуJJяuии О .
Второе из отмеченных выше изменений параметров частотн0-моду­
лирован11ого колебания приводит к неравномерности частотной харак­
теристики радиолинии с ЧМ и, следовательно, к ч.астотным (линей­
ным) искажениям сигнала.
Рассмотрим воздействие электродвижущей силы, частота которой
изменяется по закону
ffi(t)=(r!0 +(1}д cos Qt,
(7.73)
на резонансную колебательную систему. Амплитуду э. д. с. считаем
строго постоянной, так что э. д. <:. можно представить выражением
(см. § 4.4)
е(t)=Е0cos(ro0t+тsin Ш).
259

Комплексный коэффициент передачи цепи обозначим через
K(iro)= К (rо)е 1 Ф (ш),
Примерный вид модуля K(ro) и фазы <р((!)) для обычной резонанс­
ной системы изображен на рис. 7.19, а. Так каI< перед tp((t)) выбран знак
плюс, фазовая характеристика (!J( ffi) обладает отриuательным наклоном
в полосе прозрачности uепи 1. Частотный спектр и график изменения
мгновенной частоты ro(t) входной э. д. с. показаны на рис. 7.19, бив.
Колебательные системы обычно настраиваются на среднюю частоту
модулированного колебания, поэтому рис. 7.19 и дальнейшее раа­
смотрение относятся к случаю
roP = uJo,
Для нахождения колебания на выходе цепи в принципе можно
воспользоваться тем же способом, что и в случае амплитудной моду•
ляu.ии (см. § 7.7) . При этом необходимо учесть изменение ампдитуд
и фаз для каждой из пар боковых частот э. д. с. в соответствии с кри­
выми K(ro) и qJ((t)) . Подобный метод
-
вполне точный, пригоден, од·
нако, лишь при очень малых индексах модуляции, т. е. в случае, когда
состав спектра ЧМ колебания мало отличается от состава спектра АМ
колебания (см. § 4.6). В практике, однако, чаще всего приходится встре­
чаться с модуляцией, характеризующейся столь большим числом со­
ставляющих в используемой подосе частот, что применение спектраJJЬ·
ноrо метода сопряжен0 с большими, иногда непреодолимыми трудно­
стями вычисления . В таких случаях приходится прибегать к прибли­
женным методам, позволяющим, хотя и не вполне точно, находить
колебание на выходе цепи по заданному закону изменения мгновенной
частоты э. д . с . и по заданным частотно-фазовым характеристикам uепи,
без разложения э. д. с. в спектр.
Эти методы, называемые методами «мгновенной частоты», основаны
на допущении о медленности изменения частоты. Частота модуляции
считается настолько малой, что амплитуда и фаза колебания на выходе
цепи в каждой момент времени могут быть без большой погрешности
определены по частотной и фазовой характеристикам цепи так же,
как и в стационарном режиме . Таким образом, принимается, что уста­
новление стационарных коJiебаний на выходе происходит почти одно­
временно с изменением частоты на входе цепи.
Эти предпосылки тем ближе к истине, чем больше период модуляции
2л/Q и чем меньше постоянная времени цепи •. Так как последняя
обратно пропорциональна полосе пропускания цепи 2Л(1) 0 , то одним
из условий применимости метода мгновенной частоты является не­
равенство
_о_«1.
Лw0
1 Незаuисящий от част о ты фазовый сдвиг, например на 90Q, как в схеме
рис. 7.15, зде с ь не учит1,1ваетсп.
260

При одной и тоА же частоте Q ~корость изменения мгновенной час­
тоты э. д. с. зависит с.')Т амплитуды частотного отклонения (i)n• поэтому
собJJюдения только этого неравенства еще недостаточно. Должны быть
наложены ограничения и на отношение (J)д/Лю 0 . Более подробное рас­
смотрение 1 показывает, что если юд/Л(J),) меньше единицы или близко
к ней, то метод мгновенной частоты обеспечивает вполне достаточную
дJIЯ практики точность.
При выполнении указанных условий напряженш: на выходt: цепи
можно определить с помощью выражения
Ивых(t)= Е0Re{e1'1J 11)/{(iю)}=Е0К((,J)Re {е1[Фин 11' (ro)]},
где,P(t) = (J)0t +тsin Qt- полная фаза э. д. с. на входе uепи
(см. § 4.4); <p(m) - аргумент коэqфициента передачи цепи.
Из этого выражения видно, что амплитуда выходного напряжени.s~
11зменяется по закону
U(i)= Е0К((1))= Е0К((1)0+(J)ncos Ш),
а мгновенная частота - по закону
(J)вых(i)= ~;+ ~; •
Так как первый член в правой части этого выражения представляе1
собой мгновенную частоту входной э. д. u. lt1(t), то величина
~(t)= d<p
dl
характеризует влияние рассматриваемой системы на частоту выход•
ного колебания. При выполнении оговоренного выше условия мед-
11енности модуляции ве.ничина 6, как правило, мала по сравнению
с wд.
Итак,
Wвых (t)= (О (i)+ 6(t).
(7.74)
Есш1 известно уравнение фазовой характеристики (!)( ю), то, под­
ставляя вместо w в соответствии с выражением (7. 73) величину
(i) (t) = (1)0 +(i)ц cos Qt
и дифференцируя по t, получаем общее выражение для ~ (t):
~ (t)= d[(j)(oo 0 +(t)цcosШ)I.
dl
•
(7.75)
При периодической модуляции частоты s(t) такжt: является перио·
дической функцией времени и может быть разложена в ряд Фурье.
Так как при настройке системы на среднее значение вынуждающей
частоты ш 0 фазовая характеристика обычно антисимметрична относи-
1
См.: Го нор о n с к и й И . С. Радиосигналы и переходные явления в
ра.11иоцепях Сf!язьиздат, 1954 .
261

гельно ro,J, то ряд Фурье содержит одни лишь нечетные гармоники: О,
ЗQ, 5Q и т. д. Учитывая, наконец, что при изменении частоты по за·
кону (7. 73) производная <р, т. е. ; (t), является нечетной функцией
времени, приходим к выводу, что ряд Фурье содержит одни лишь си­
нусоидаJJьные члены, т. е.
~(t)= i1 sin Qt +~з sin зш+ ... ,
где i 1, Ш3 . .. и т. д.-амплитуды гармоник функции ~(t).
Подставляя выражение (7.76) в (7.74), получаем
швых(t)= ro0+ rодcosQt+ Ш1sinQt+ iasinЗШ+... = ю0+
+ Vю; + Жiсоs(Ш- v)+i3 sinЗШ+ ... =roo+
+ rод cos (Qt--y) + [g 3 sin ЗQ!,
(7. 76)
(7 .77)
Слагаемое if под знаком радикала отброшено как величина высшего
порядка малости по сравнению с ю;.
Сопоставление выражений (7.77) и (7.73) позволяет сделать вывод,
что влияние цепи на выходное колебание заключается в запаздывании
фазы сообщения на уrол у, определяемый выражением
(7. 78)
и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения мгновен­
ной частоты. Как отмечалось выше, наибольшее значение имеет обычно
последнее обстоятельство.
Приложим полученные результаты к двум случаям: одиночному коле6атель­
liОМУ контуру и двухконтурной связанной системе.
I. Одиночный контур
Подра з умевая под К(iю) отношение комплексной амплитуды напряжения
на конд е нсаторе к амплитуде э. д . с . , вклю,1енной последовательно в контур,
получаем
Учитывая, что
1/iwC
K(iw)= ----- --
r[l+i(ro-roo),] •
W-Ыо= Wд COS Qt
и пренебрегая из мен е нием ro в числителе, так как Wд обычно очень мала по срав­
нению с 00 0 , можем написать
K(iw)
i (1 + iоод,: cos Q/)
Q
262

где
<р= -[; + arc lg ((i)д 't cos Ш)].
На основании соотношениа (7 .75) наход им
d<p
~lФд 't siп ш
~(i)=-dl =
222
(7 .79)
1+(i))I i- cos Qt
Применяя формулу (2.24), находим
/mK3 /
0,16
0,12
0,08
0,0lf
о
tlл
211
i 1 =~ S6<t) slпrotdQt,
о
и
~.= ~s s(t) sln ЗШ dШ
J1
о
,
I,
I
0,5
1,0
1,5t.vA '!
Рис. 7.20
Риt:. 7.21
и
1
1
1,.
1
1
о 1С ~ l..:,r 2!Г Slt
2z
Произведя интегрирование!, получим следующие оконча т ельные формулы
nля амплитуд первой и третьей гармоник функции 6 (/) ;
Здесь
'°д
n=Q.
Далее, по ф ормуле (7 78) на,оnим фазовы й сдвиг nля сообщения
(7.80)
(7.Ю)
Теперь н етрудно определить коэффици е нт н елин е йных искажений по треть­
ей гармонии е на выходе частотного детектор а . Ддя этого нужно раздели т ь
амплитуду ~ з т ретьей гармоники функции ~ на амплитуду W,ц основной час•
тоты Q [см. формулу (7.80)]:
-
1См.[12\,No2.553.Э,No2.554.2иNo3.644.3.
263

К~= ~3=~c-1/ t+ro;-r2)З •
Wд 111
<Од 't
(7.82)
График зависимости тК 3 (Wд т) изображен на рис . 7 .20. При <Од 't ~ 1 фор•
мулы (7 .81) и (7 .82) упрощаютсю
V::::: Qт,
(7.81 ')
К ~- (<Од 't)З
(7 .82')
з~
4111
При wд -r
-
1 (но т » 1), т. е. при девиации, почти равной полосе про­
пускания канту ра, формулы (7 .81) и (7 .82) цают
0,8
v=-,
1/l
0,13
Кз=---.
т
Итак, в условиях, когда метод мгновенной частоты применим, предельные
искажения в оди11очном контуре не превышают долей процента.
Нетрудно найти амплитудные изменения выходного колебания . Для это­
го мож110 воспользоваться резонансной кривой контура и произвести построение,
показанное на рис. 7.21 . Нетрудно видеть, что основная частота изменения оги­
бающей амплитуд U вдвое превышает частоту модуляции Q.
2. Система из двух связанных контуров
В данном случае под K(iro) подразумевается отношение комnле1<сной амIIли­
туды напряжения на конде11саторе второго контура к амплитуде э . д . с , вводн­
мой в первый контур. Фазовую характеристику uепн определим выражением
(5.82), заменив u нем обобщенную расстройку а выражением (ro - rog)-i::
2 (ro-rop) т
q,(ro)= -
arc tg ----------
1+k2Q2-((ro-rop) -r)2
Учитывая , 11то Фр = ro 0 и, следовательно,
ro-wp=<Oд cos Qt,
а также имея в виду « критическую связь» (kQ = - 1), перепишем выражение
для q,(ro) в форме
2rод -i: cos Qt
q,(ro)= -
arc tg ---'с,_____ ,
2-(rод -i: cos Q/) 2
откуда
dq, 2Qroд 't sin Ш (2+ro~ -i:
2
cos
2
Ш)
~ (t}=- =
- = - -- .:._ ....;...;.____.. :,
.
dt
4+ro:-r4 cos 4 Q/
Для сравнения с одиночным контуром ограничимся малыми
Ыд't ~ 1. Тогда вместо выражения (7.83) можно написать
(
ro
2
-i:
2
cos
2
Qt)
~(/)zQroдтsinQ/ 1+ д
2
.
(7.83)
величинами
(7.83')
Сравнивая это выражение с формулой (7 79), которая при малых Фд't мо•
жеr быть представлена н виде
264

приходим к выводу, что в случае двух связанных контуров (kQ с::а 1) коэффициент
нелинейных искажений в два раза меньше, чем при использовании каждого из
контуров порознь. Это, естественно, вытекает из того факта, что полоса пропус­
кания двухконтурной системы при kQ = 1 в ✓2 раз больше, чем одного контура.
Если исходить из одной и той же полосы пропускания, для чего потребуется
в случае связанной системы в f2 раз увеличить т, то искажения будут одинако·
выми 1 (при очень м.~лой девиации).
Проведенное рассмотрение охватывает случай относительно медленного
и «узкополосного» изменения частоты, не выходящего за пределы полосы про­
зрачности цепи .
В современной радиоэлектронике большое распространение получили также
устройства, в которых используется качание частоты колебания в широких npe•
целах. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.
7.1 J. КАЧАНИЕ ЧАСТОТЫ Э.Д.С., ДЕИСТВУЮЩЕИ
НА ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ СИСТЕМУ
Пусть входная э. д. с. определяется выражением
(
~ t2)
'- (t)=COS (1)11+2 при 1 > О,
(7.84)
Амплитуда этой э. д. с. постоянна и равна единице, а частота изменяется по
линейному закону
(7 .85)
со скоростью ~ -
Требуется найти напряжение на выходе избирательной цепи, обладающей
заданными резонансной частотой и полосой прозрачности . Подобная задача час­
то встречается в различных радиоэлектронных устройствах, в которых исполь­
зуется качание частоты по пилообразному закону (приборы для анализа ампли-
1·удно-частот11ых характеристик избирательных систем, анализаторы спектра
сигналов и др.) Каждый пробеr частоты э. д. с. через полосу прозрачности цепи
при пнлообраз,юм изменении можно при некоторых оговоренных ниже условиях
рассматривать как воздействие э. д. с., определяемой выражением (7.84) .
Применение спектрального метода ввиду сложной структуры спектра э.д.с
о данном случае нецелесообразно. Более эффективным является метод интеграла
наложения (см. § 7.3). Имея в виду использование выражения (7.17), конкре­
тизируем избирательную цепь и соответствующую ей импульсную характерис­
тику.
Для облеrчелия выяснения сути метода, а также принципиальной стороны
явлений, мы ограничимся случаем одиночного колебательного контура. В ка•
честве выходной вели'!ины примем напряжение иных (t) на емкости контура .
Тогда импульсная характеристика цепи равна
g(t)=W08 e-a 1 siпw08 t,
(7.86)
а изменение частоты входной э. д. с. относительно полосы прозрачности контура
имеет вид , показанный на рис. 7.22 . Через дl на этом рисунке обозн11чено время
пребывания мrновеююй частоты ы{I) в полосе прозрачности контура, равной
2доо., = 2а (1111 рис. 7.22 полоса заштрихована). Частота Wcu приравнена Wp.
1
При kQ « 1, т. е . при очень слабой связи, искажения приближаются
к искажениям в системе, состоящей из двух разделенных контуро11.

При сигнале t(l} и импульсно!! характеристике g(t), определяемых выраже­
ниями ( 7.84) и (7 .86), входящие в общее выражение (7 .17) величины A(t) , G(t).
0(t) и y(t) принимают следующий вид:
о
А(/)=! при i ;;.О,
1
=0приt<О;
1
G(t)=Wp e- ut ,::::wc в P.-al;
~(2
0(t)= ~ при 1>U;
j
11(1)= -
.
2
t1t0t2
.l lt
Рис. 7.22
Тогда выражени е (7.18) принимает следующую форму~
(7.87)
(7.88)
В этом · выражении w0 заменено 00 1 , а пр еделы интегриров а ния взяты с учетом
условия (7 .87).
Запишем выражение (7 .88) в форме, более удобной для интегрирования
Wp-
t
{lm
t 1 , Р;' + [a-t (mp-m1)]"
}
Uвых (tJ=- е
аlmеРJe
dx
2
()
(7.89)
Здесь lm обозначает м нимую часть.
Показ а тель степени n подынтеrральном выражении целесообразно допоn·
нить до квадратл суммы
(7.901
266

После этого выражение (1 89) приводится к виду
(7.91)
Входящие в это выражение интегралы вероятностей от комплексного аргу ­
мента непосредственно не вычисляются .
Существуют, однако, таблицы следующих функций, выражающихся через
упомянутые выше интегралы 1 :
w(Z)~, -z•(1+::. J,<'d!).
(7.92)
Основываясь на этой табулированной функции и обозначая верхние преде­
лы нужных нам интегралов через
получаем 2
a-i (Wp-W1)
Z1 =d=------" --,
уЩi
Vti3
v$
a-i (Wp-Wi)
Z2=
- t+d=
- t+-----,
2
2
уЩi
ПоJ(ставим ЭТИ выражения в (7 .91 ):
(7 .93)
(7.94)
1Фадеева В. Н. иТерентьев Н. М. ТаблицызначенийИМ•
rerpaлa вероятностей от комплексного аргумента. Гостехиздат, 1954 .
2
Промежуточное преобразование и некоторые подробности см. о предыд)'•
щем издании настоящей книги.
•
967

Это выражение может быть прнnедено к виду
[
{31
2
]
Uвыx(l)=U(t)cos W1l+т+q>(t) 1
(7.96)
rде огибающая U(t) выходного напряжения и фазовый сдвиг <p(i) относительно
(
~t2)
входной э. д. с. cos <i)11+
2 зависят как от параметров колебательного конту-
ра, так и от скорости изменения частоты {:\. Результаты вычисления огиб11ющей
U(t) для нескольких значений параметра a:/ ✓tl при допущении, что 00 1 = О, нзоб-
Рис. 7.2 .1
ражены графически на рис. 7 .23 . По осн абсцисс отложена величина обобщенной
расстройrш
где величина
2Лw (t)
a(t)= -- Q,
Ыр
(7.97)
Лw (l)=W (1)-Wp=f\l-Wp
(7 .98)
представляет собой мгновенную разность между частотой з. д. с. и резонанснод
частотой контура .
_
__.___
_.__
___.._
__,c...._.L.-~_
_.___
_.___
·10 -8
-6
·*
-2О2*a{t)
Рис. 7.24
268

При пи~еА11ом изменении ro(t) обобщенная расстроАка a(t) пропорциональна
времени, причем в момент t = О Лrо(О) =
-rop, а(О) = -2Q, а в момент tp =
Юр
•
= "1"• соответствующий прохождению ы(t) через значение резонанснои частоты
контура, Л<о(/р) = О, а(/р) = О.
_
Верхняя кривая на рис . 7.23, соответствующая (а/у~) ___ . и
(скорость из­
менения частоты ~ - О), представляет собой обычную резонансную кривую,
снимаемую в стационарном режиме. С уменьшением параметра at -ViГ (с увели ­
чением ~) резонансная кривая «размывается• и становится несимм етричной .
Кроме того, после прохода частоты ы(t) через резонансную частоту контура при
достаточно высокой скорост11 ~ в ог11бающей U(t) наблюдаются осц11лляцни . Это
объясняется сложением вынужденных колебаний (с частотой внешней э. д . с.)
с собственными кол ебаниями контура.
Рис. 7.23 по с тро е н для линейного нарастания частоты ф > О). В случае
линейного убывания частоты (~ < О) получается картина явлений, изображен­
ная на рис. 7.24 . Отличие от предыдущего случая заключается лишь в том, что
с увеличением t мгновенная частота пробегает через полосу прозрачности кон­
тура справа налево (расстрой ка a(t) изменяется в сторону убывания) .
7.12. СОБСТВЕННЫЕ ШУМЫ РЕЗОНАНСНОГО УСИЛИТЕЛЯ
Механизм образования дробового шума и основные его характе­
ристики были рассмотрены в § 6. 7 . Здесь будет рассмотрено формиро­
вание шума в колебательной системе усилителя (см. рис. 5.22, а).
По аналогии с выражениями (6.59) и (6.61), определим энергетиче­
ский спектр шумового напряжения на выходе усилителя из выражения
(7.99)
где в соответствии с формулами (5.58), (5.62), (5.63) и (5.68)
z = ------ - ----------
0
G'E (1 + iазкв)
(7. 100)
В первом приближении можно считать, что G"J:. == 11R ш
(см. рис. 5.22, а) . Поэтому,
Здесь тк =
2
~!!!1= -постоянная времени контура.
(J)p
Таким образом,
Wи (ro) =е/0R~
1
22.
а
1 +(ы- rop) тк
(7.100')
(7. 101)
График энергетического спектра Wu (ro) изображен на рис. 7.25.
а
Выражение (3 .25) для функции корреляции в данном случае при-
нимает следующий вид:
269

""
'
/
2J
'Фиа(•) = ?л е оR,,,
cos (J)"t
du) =
l+((J)-(J)p)2-r ~
"''
1
2 s cos (J)'t dro
= -;;:еIоRш -
1
_
_
f-_(_(J)___(J)_p_. . , )2, -' t. .. . , ,~ •
(1
г--
1
1
1
1
1
Рис. 7.25
f
Переходя к новой пе ременной (J) 1 = (J)-(t)p, получаем
dro, J
,Заметим, что при достаточно боJiьшой добротности контура выпол­
няется условие
2Q
(t)P •., =Wp -=2Q )) 1.
Wp
Поэтому нижний предел интеграJiов - (t)P можно заменить на - оо.
Второй интеграл обращается при этом в нуль ввиду нечетности подын­
тегральной функции относительно переменной интегрирования <,1 1
.
Первый же интеграл ввиду четности nодынтеграJiьной функции при­
водится к виду
270

Аналогичный интеграл был вычислен при выводе формулы (6.62).
Используя этот результат, получаем
el~R ~
2 Jlitн
1jJ ('r)=- - - CQS(I) ,,._
-e-l•ll•н=
иа
n
Р,;~2
elo R~
2
=---е-1 ,ll•нcosш ,,- = е/0Rшае-аItIcosш т. (7.102)
•н
Р
Р
Здесь через а = 1 /т,н обозначено затухание контура. Учитывая, что
при шунтировании контура сопротивлением R111 коэффициент затухания
t"
Рис. 7.26
равен а= 1/2RшС, запишем формулу (7,102) еще в следующей форме:
elo Rш
1jJ (т) - --е-аIt1 cos ш ,,-,
Ua
-
2С
р
(7.102')
Из формул (7.102)-(7.102') вытекает, во-первых, что средний квадрат
шумового напряжения на контуре равен
2
2
efoRш
а"а =tpua (0)=ef0 Rш а=~
(7,103)
и, следовательно, эффективное шумовое напряжение
VelnRш.
U"ФФ=аиа = 2С -,
(7.104)
во-вторых, функция корреляции при т > О имеет вид, показанный на
рис. 7.26. Время корреляции в рассматриваемом случае определяет­
ся ходом огибающей корреляционной функции.
Выражение (7.103) позволяет ввести понятие ш у м о в о й или
энергетической полосы контура. Действительно, заменяя
на рис. 7.25 заштрихованную площадь кривой Wua(ш) (равную а;и)
равновеликим по площади прямоугольником с высотой е! 0R~
1
,
нахо­
дим в соответствии с формулой (7.103), что основание этого прямо­
угольника, т. е. энергетическая полоса rшнтура (в герцах), равно а./2
271

(см. рис. 7.25). С другой стороны, обычная полоса пропускания конту­
ра, опредеJiяемая ослаблением на границах до lly2, равна 2Л/ о ==i
= (2а/2л) = a/n. Отсюда следует, что энергетическая полоса контура
в n/2 раз больше обычной полосы пропускания. Аналогичным способом
можно найти эффективное значение UэФФ и энерrетич~кую полосу
шумов на анодной нагрузке и на выходе усилителя при любой форме
частотной характеристики. Пересчет напряжения шумов ко входу
усилителя, как и в случае апериодического усилите;1я, может быть
сделан по формуле (6.66), в которой под К следует подразумевать
коэффициент усиления на резонансной частоте.
.
Несколько подробнее остановимся на вопросе о структуре шумовои
помехи на выходе резонансного усилителя.
Вырезание из равномерного спектра входного шума относительно
узкой полосы, совпадающей с полосой прозрачности колебатеJJьной
системы, придает шумовому напряжению на выходе: характер высоко­
частотного коJJебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой.
Это следует из графика корредяционной функции, изображенного на
рис. 7.26. Осцилляции этой функции с частотой шР указывают на то,
что и мгновенное значение шумового напряжения изменяется в сред­
нем с частотой шР. Убывание же огибающей корреляционной функции
по экспопенциальному закону с 1<0эффициентом затухания а указы•
вает на то, что огибающая амплитуд шумового напряжения изменяет­
ся относительно медленно, обнаруживая статистическую связь между
значениями в интервале, равном 2-3 постоянным времени контура.
Для выявления характера изменения огибающей рассмотрим интерес­
ный для практики случай, когда шум пропускается через идеализи­
рованный узкополосный фильтр с центральной частотой w11 и полосой
2Лwо, в пределах которой частотная характеристика фильтра равно­
мерна и равна К0.
Тогда энергетический спектр напряжения на выходе фильтра рав-
номерен в полосе от (JJ 0
-
Лw0доw0 +Лю0,т.е.Wu(w) = Wu(ш0)=
= coпst и функция корреляции [см. формулу (3.25) 1
Из этого выражения следует, что, как указывалось выше, мгновен­
ное значение шумового напряжения осциллирует со случайной ча­
стотой, близкой к ш 0 , а ампшпуда (огибающая) флуктуирует с ча­
стотой, близкой к Лw 0 , т. е. к половине полосы пропускания фильтра.
В этом и заключается связь структуры шумов со структурой сиг­
нала, для которых предназначается рассматриваемая линейная цепь
(поскольку полоса прозрачности 2Лw 0 согласована со спектром сиг­
налн).
272

Итак, шумовое напряжение на выходе узкополосного фильтра
СJJедует представлять себе как высокочастотное колебание с медленно
изменяющимися амплитудой и фазой
и(t)= U(t)cos[ro0t+0(t)],
(7.106)
где ro 0 - центраJJьная частота шума. График одной из реализаций
подобной случайной функции шюбражен на рис . 7.27 .
.., 2я
t.cJo
Рис. 7.27
U(t)
ц (t)
t
Еще раз следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания:
амплитуда U(t), фаза 0(t) и, следовательно, частота ro 0 + (d8/dt)
являются случайными функциями времени .
7.13 . НЕЛИНЕПНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ ПРИ УСИЛЕНИИ
МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЯ
Воспользуемся методом, изложенным в § 6.8, с учетом следующих •
особенностей усиления модулированных колебаний с помощью ре­
зонансных усилителей: а) более сложной структуры входного сигнала
и б) наличия фильтрующей способности нагрузки.
Сначала рассмотрим общий случай, когда сигнал представляет
собой произвольное узкополосное колебание
s(t)= А(t)cos[ro0t+0(t)]= А(t)cos1jJ(t).
(7.107)
Вольтамперную характеристику активного элемента, как и в § 6.8,
представляем в виде выражения (6.68) . Тогда ток активного элемента
iЩ= i(а0)+as(t)+Ps2 (t)+ys~ (t)+... = i(а0)+аА(t)cos1jJ(t)+
+рА2 (t) cos2 1jJ (t) +vA3 (t)COS3 1/J (t) +...
С помощью соот.ношений cos2 х = Т +Т cos2х, cos8 х = +cosх +
1
3
+4 cos х и т. д., приводим последнее выражение 1< виду

1,(/) =[i(a0J + ~ A2 (t)+ . .. J+!aA(t)++vA8(t)+ .•• ]cos,P(t)+
+[ ~ A2 (t)+ ... ]cos2,P(t) + [+ rA 3 (!)+ ... Jcos3,P(t)+ ... (7.108
Постоянная составляющая тока i(a 0) и все «низкочастотные» из
менения, пропорциональные A2(t) [а также A4(i) и более высоким чет·
, 1ым степеням А (t)] отсеиваются избирательной нагрузкой, настроен­
ной на несущую частоту сигнала ro 0 .
То же самое относится и к верхним гармоникам с частотами 2ro 0 ,
3(1) 0 и т. д., т. е. к слагаемым, содержащим cos 2,p(t), cos 3'/)(t) и т. д.
Поэтому при анализе напряжения, создаваемого сигналом на выход
ном сопротивлении, можно исходить из составляющей тока на не
сущей частоте ro о
i(t>~{aA(t) + +-rA3(t)+ ... }cos[ro0 t+0(t)].
(7.109
От соответствующей составляющей тока при строго линейной вольт·
амперной характеристике это выражение отличается только ампли­
тудой. Фаза же колебания, а следовательно, и частота остаются та­
кими же, как и у входного сигнала.
Отсюда следует важное положение: при передаче через резонансные
усилители радиосигналов с чисто угловой модуляцией кривизна вольт·
амперных х:арактерuстuк активных Улементов н.е приводит к иска
жен.uю передаваемых сообщений.
Иначе обстоит дело при передаче амплитудно-модулированныJi
колебаний .
Выражение в фигурных скобках в (7.109) представляет собой ' оги­
бающую переменной составляющей тока, создающего напряжение на
избирательной нагрузке усилителя. Кривизна характеристики ак­
з
тнвного элемента проявляется в слагаемом 4 yA 3(t). При учете в ряде
Тейлора степеней выше третьей, появятся слагаемые с А 6(t) и т. д
При оценке нелинейных искажений обычно исходят из простейшей
тональной модуляции.
В этом елучае
s(t)=А0(1+МcosШ)cosro0t,
т. е.
А(t)=A0(l+МcosШ).
Тогда огибающая тока активного ЭJ1емента (при учете кубического
члена)
аА(t)+i.yA3(t)=aAo(l+мcosШ)+i.уА~(l+МcosШ)3=
4
4
=Аоlа+3/А6+
9
;
2
уАч+МАо[а+fуА5(l+:
2
)]cosш +
9
з
зvмз з
+- vM 2 Aocos2Qt+ --A0 cos3!:U+ ...
(7.110)
8
16
274

Напомним, чrо в оrсуrствие искажений огибающая равна аА(/).
Следовательно, кривизна вольтамперной характеристики (в данном
случае учитываемая коэффициентом v) приводит к некоторому измене­
нию амплитуды несущего колебания и rлубины модуляции на полезной
частоте Q и, главное, к появлению в огибающей частот 2Q, ЗQ и т. д.
После осуществления амш1итудноrо детектирования эти частоты про­
являются на выходе приемника в виде гармоник с частотами 2Q,
ЗQит.д.
Изменение глубины модуляции на основной частоте получается
обычно очень малым и им можно пренебречь .
Относя амплитуду второй гармоники огибающей к амплитуде со-
ставляющей с частотой Q и пренебрегая слагаемым {-yA ~(l + ~
2
)
по сравнению с а, найдем коэффициент второй гармоники
~уМ2Аз
8
о9у
2
К1,=---=- -МАо-
МАоа
8а
Для коэффициента третьей гармоники получим
ЗуМ3 Аз
--
о
К= 16
= 2._у_м2А2.
1'
МА0а 16 а
0
Таким образом, нелинейные искажения (по второй гармонике)
растут пропорционально квадрату амплитуды несущего колебания
и первой степени коэффициента модуляции.
С нелинейными искажениями при усилении модулированных ко­
лебаний в приемнике приходится считаться в оконечных каскадах
усиления, где амплитуды колебания достигают единиц вольт. В пер·
вых каскадах амплитуды колебания настолько малы,'что кривизна
вольтамперных характеристик не проявляется.

8
Линейные системы с обратной связью
8.1. ПРИНЦИП ОБРАТНОЯ СВЯЗИ
Понятие «обратная связь» получило широкое распространение
при рассмотрении самых различных сист~м - технических, экономи­
ческих, биологических и др. Быстро развивающаяся новая наука -
кибернетика занимается изучением различных систем, в которых
решающую роль играет обратная связь.
В настоящем курсе обратная связь рассматривается в более узком
смысле. Имеются в виду радиоэлектронные uепи, в которых обратная
свя J ь применяется для улучшения различных характеристик устрой­
ства (например, линеаризации усилителей, стабилизации режима их
работы и др.), для осуществления автоколебательных режимов
системы (эJJектронные автогенераторы), для «запоминания» сигналов
с целью их накопления и т. д.
Различаютдва вида обратнойсвязи: отрицательную и
положительную обратнуюсвязь.
Обратная связь называется отрицательной, если благодаря этой
связи внешнее воздействие на систему вызывает противодействие,
восстанавливающее ее первоначальное состояние.
Обра~ная связь , поддерживающая внешнее воздействие и при­
водящая к тому, что система стремится удалиться от своего перво­
начального состояния, называется положительной обратной связью.
При любом знаке обратной связи в системе, охваченной этой
связью, обнаруживается замкнутая цепь зависимостей.
В данной главе приводятся основные положения теории линейных
активных систем с обратной связью, а также теории устойчивости
этих систем .
В дальнейшем р1::зультаты этого рассмотрения используются при
изучении работы электронных автогенераторов и некоторых других
устройств.
Принцип обратной связи поясняется функциональной схемой, изо-
6раженной на рис. 8. 1.
На этой схемt: обо,шачено:
Е - комплексная амплитуда синусоидального напряжения на .
входе системы ; l<(iы) - коэффициент передачи прямой цепи;
~ (iffi) - коэффициент передачи четырехполюсника обратной связи;
U - компле1<сная амплитуда напряжения на выходе всего устрой-
ства, а U13 - амш1итуда напряжения на выходе uепи обратной свнзи.
276

Основной четырехполюсник представляет собой линейный уси­
литель, пропускающий сигнал только в направлении от входа к вы­
ходу, как это обозначено стрелкой. Таким образом, комплексный коэф­
фициент /{(i(iJ) есть не что иное, как коэффициент усиления прямой
цепи.
Четырехполюсник обратной связи может быть либо пассивным,
либо активным. В последнем случае через этот четырехполюсник сиг­
нал может проходить голько в направлении, обозначенном на рис. 8.1
стрелкой . Как следует из схемы, действие обратной связи заключается
в ·том, что часть выходного сигнала, зависящая от величины ~(iro),
подается обратно на вход и, суммируясь с
входным сигналом, подается к «прямому» С
усилителю K(iro). Эта обратная подача
придает системе свойства, существенно от­
личающиеся от свойств собственно усили-
теля N(iro).
и
Основной интерес представляет отно- '1
шение сигнала на выходе системы к сиг-
налу на входе. При синусоидальном на­
пряжении на входе (частота (J), амплиту-
да Е) это отношение
К0 (i(J)) = .!!. ...
Е
K(itu)
>
j3(it,J)
<
Рис. 8.1
и
(8.1)
может рассматриваться как передаточная функция (или коэффициен1
передачи) всей системы в целом.
Для определения этой функции воспользуемся следующими оче­
видными . соотношениями. Напряжение на выходе четырехполюсника
обратной связи
U13 = t' (i(J)) U.
(8.2)
Напряжение на входе прямого четырехполюсника равно сумме
входного напряжения Е и напряжения обратной связи Ur,.
Следовательно, напряжение на выходе всего устройства
U= K(i(J)) (Е + U13) =K(im) [Е +~ (im) U].
Решая это уравнение относительно U, получаем
U=
K(iro)
Е
1-K(iro) ~ (iro) '
откуда следует, что
К(im)_
..!!_ -
К (1ro)
0
-
Е- 1-К(iro)~(iro)
(8.3)
Это выражение является основным для системы с обратной связью.
К.0(iro) иногда называют общей передаточиой функ­
uией, или передаточной функцией замкнутой
с ист ем ы. Произведение же K(im)~(iro), имеющее смысл переда-
277.

точной функции каскадного соединения четырехполюсников K(iro)
и~(i<0),называютпередiiгочной функцией разомк­
нутойсистемы.
При замене i(J) на р поJtучается операторная форма передаточной
функции замкнутой системы
К0 (р) = 1-К~;~~ (р)
(8.4)
К выражению (8.3) в случае, когда К~< 1, можно прийти и иным
способом, основсшным на многократном циклическом обходе замкну­
той системы.
Именно, как и в отсутствиt' обратной связи, входной сИJ ' нал (на­
пряжение Е) создает на выходе уси;штеля К(iы) напряжение EK(i(t)).
К этому сигналу добавляется напряжение, явJ1яюще1::с11 ре3уJ1ыа~ом
обхода первым сигналом замкнутого кольца K(i<0), ~(i<0). Величина
::1того добавочного напряжения равна [EK(i<0) l~(i,1))K(iw) . В резуль­
тате второго обх0да кольца добавляется напряжение КЕ3 ~ 2 и т. д.
При рассмотрении стационарного режима число обходов должно
быть взято бесконечно большим . Следовательно, результирующее
напряжение на выходе системы е обратной связью может быть пред­
ставJiено в виде суммы
V=EK(iw)[l +~K+(f}K)2+(1}K)~+ . . . ).
(8.5)
Примt:нив к выражению (8.5) формулу геометрической прогрессии
~xn =
-
1
-
при jxj<l,
..;.
1-х
n=O
получим
EK(tw)
U=-- --' ---' ---
t-K(iw)~(iro) при IK(i<0)f}(iffi)I< 1,
что полносты.9 совпадс1ет 9 выражением (8.3).
t
+
Рис . 8.2
Условие I х 1< I имеет в данном случае глубокий смысл. В§ 8.7
будt>т показано, что в случае положителыюй обратной связи нера­
венстr~о / I{ ~ l<' 1 является условием устойчивости системы. При
отрнцательнои обратной связи величина IК t} J может быть больше
278

единицы. Приведенный ранее вывод формулы (8.3) не ограничивает­
ся условием I К~ 1< l, однако при положительной обратной связи
эта формула имеет смысл только при I К~ 1 < l.
Из выражения (8.3) видно, что отличие системы с обратной связью
от прямого четырехполюсника K(iffi) полностью определяется пере­
даточной функцией разомкнутого тракта K(iffi)~(iffi).
В этом параграфе мы ограничимся случаем, когда K(iffi) и ~(iffi) -
действительные величины. Одна из возможных схем, соответствующих
этому условию, изображена на рис. 8.2 . Это
-
однокаскадный элект­
ронный усилитель, в котором обратная связь осуществляется с помощью
делителя- напряжения R 1, R 2 («обратная связь по напряжению»).
Если при частоте входной э.д.с. ffi сопротивление разделительного
конденсатора С6л достаточно мало по сравнению с омическим соп ро­
тивлением R1 + R2 и, кроме того, R1 + R2 ~Ra, то можно считать
[см. выражение (5.52) ), что
K(iffi)=-SRa=K.~ (iffi)= R
2
=~,
R1 +R2
где К и ~ - действительные числа, причем в данном случае
рицательное, а ~ - положительное числа.
Передаточная функция разомкнутой системы равна К~.
той системы
К
К
SRa
о=1-Kf}= -
1+ f}SRa
К-от-
а замкну-
(8.6)
По абсолютной величине IK ol < IKI. Это означает, что введение
обратной связи в данной схеме приводит к уменьшению коэффициента
усиления системы и, следовательно, обратная связь является отри­
цательной. Можно также сказать, что в данном случае обратная связь
отрицательна потому, что коэффициент передачи разомкнутого тракта
Kf.\ отрицателен.
Зависимость передаточной функции Ко от коэффициента усиления
прямой цепи 1( при положительном и постоянном значении ~ (в дан­
ном случае ~ = 1/ 2) изображена на рис. 8.3 (часть кривой, располо­
женная в левой полуплоскости, соответствует отрицательным значе­
ниям К).
В случае отрицательной обратной связи и при больших значениях
IK~I величина К O стремится к -l/~ . Это озна чает, чт о при IK~I ~ l
(«глубокая противосвязь») усиление системы определяется в основном
цепью обратной связи.
Рассмотрим теперь случай,к~гда коэффициент передачи разомкнутой
системы К~ по-прежнему является действительной, но положительной
величиной. Это возможно в видоизмененной схеме рис. 8.2, если одно­
каскадный усилитель заменить двухкаскадным. Тогда, если по-преж­
нему пренебрегать фазовыми сдвигами в разделительных конденсаторах
(а 1-акже в междуэлектродных и паразитных емкостях схемы), то коэф­
фициент усиления прямой цепи К(iш) = (--SRJ2 =К> О и К~> О.
При этом, пока !(~ < 1, усиление 1( 0 с увеличением К возрастает
и может значительно превзойти величину К. График К O в зависимости
279

от положительных значений Х. при ~ = 1/2 показан на рис. 8.3 (на
участке О< К < 2). Увеличение К O по сравнению с К является ре­
зультатом введения rwложuт, · лы-юй обратной связи, при которой на­
пряжение обратной связи складывается в фазе с входным сигналом
и тем самым усиливает ero действие .
Сопоставление K 0(iro) cK(iu)) позволяет определить знак обратной
связи и в более общем случае, когда эти функuии являются комплекс­
ными. Если на какой-нибудь частоте
K 0 (ro)<K (ro),
т. е. если введение обратной связи приводит к уменьшению усиления,
то обратная связь отрицательна, 1:1 противном случае - положительна.
---
'
------
1
1
1
1
1
Kfl>O
:
р• 1/2
1
1
1
,
1:231/-5
К
-
1
· 1/ .Ji=·2
z---+------ r--
-:1
:
1
Рис. 8д
В соответствии с выражением (8.3), получаем следующие опреде•
ления:
при l l-K(iw)f3(tш)/> 1 обратная связь отрицательна,
при / l -K(i(!)) ~ (iro) / < 1 обратная связь положительна.
При K(iro)f3(iro) = 1 усиление Ko(iw) становится бесконечно боль- .
шим. Это означает, что система становится неустойчивой и для иссле­
дования ее поведения должны быть применены другие методы, так
как выражения (8.1)-(8.3), относящиеся к ста11ионарным режимам,
теряют свой смысл.
Случай неустойчивого состояния (при изучении свойств ,штоко­
лебательных систем) рассматривается в гл . 10. В данной главе изу­
чаются только устойчивые системы . Условия устойчивости будут сфор­
мулированы в§ 8.5 --8.7, после изложения основ теории устойчивости
линейных систем с обратной связью.
8.2 . ЧАСТОТНЫЕ И BPEMEHHblE ХАРАКТЕРИСТИКИ УСТОflЧИВЫХ
СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Запишем выражение (8.3) в форме
Ко(iФ)= K(iro) =Ko(ю)el!r,<w).
1-К (iщ) ~ (iro)
280
(8.7)

Здесь К 0(ro) - амплитудно-частотная. а ф 0(rо) - фаза-частотная ха­
рактеристики системы с обратной связью.
Аналсrичные характеристики K(ro), ЧJк(rо) и ~(roJ, (JJ11(ro) четырех·
полюсников K(iro) и ~(iro) предполагаются заданными:
K(iro)=K (ro)e'<l'к \ФJ, }
~(iro) • ~(ш)е 1Ф11 <ro)_
(8.8)
Важно установить зависимость функций /{0 ((j)) и cp0 (ro) от К (ro),
q>к (ro) и ~ (ro), q1 11 (ю).
Подставив выражения (8.8) в (8. 7), получаем
1((,
К
K(ro)e h
_
оUФ) = 1- К (ro) 13 (ro) / f<i'и (01) +'l'f:! (ю)] -
/!р
К(ю)е к
= 1- К (ro) В (ro) cos ((!),. + cpfJ)-iK (ro) В (ro) sin (<р,. +<JJ11) •
Для краткости аргументы в функциях IJJн(ro) и {j)fJ(ro) опущены.
В результате получаются следующие выражения для модуля К 0(ro)
и аргумента 1po(ro) коэффициента передачи всей системы:
K0 (ro)=
К (<0)
✓[1- К (ro) В (ю) cos (<JJн+(J)1:1JJ2+ [К (ro) j} (ro) sin (<рк +<р1:1)]2
к (<О)
-
- ; -;:==;::;;::::============::::::;::====;::=::-
v1 - 2К (<0) ~-\ (ro) cos (lf\, +1Prj)+K2 (ro) ~2 (ro)'
К (ro) 1! (ro) sin ('Р +'PfJ)
<p0 (m)=q\,+arctg
к
\-К (ro) 13 (ro) cos (<ph + <pj\)
(8.9)
(8.10)
Влияние, оказываемое обратной связью на К 0(ro) и <р 0((1)), эавиеит
от ее знака и от веJJичины К~-
В усилителях, как правило, применяется отрицатt:Льная обрат·
ная связь 1 . Ценным качеством такой связи является выравнивание
амплитудно-частотной характеристики, если коэффициент передачи ~
является величиной, не зависящей (или слабо зависящей) от частоты.
Действительно, из выражения (8.9) видно, что при K(ro)~(ro) ~1
амплитудно-частотная характеристика
К0(ш) =-
1
-.
(8.11)
13 (ю)
Если ~ = coпst, то и К 0(ro) стремится к постоянной величине. При
этом фазовая характеристика системы
\j)o- . ер ,.+ arctg r - sin (1р,. + <pfJ)] = ср,.-(ЧJк + cr1:1) = -q,1:1, (8. 12)
.
l cos(q,11+'P11)
1 Регенеративные усилители, в которых применяется положительная об­
ратная связь, рассматриваются II гл. 14.
11&

В промежуточных случаях. когда КР имеет величину, измеряемую
нескольким11 •,диницами. предеJJьные соотношения (8.11) и (8.12) не
достигаются, однако амплитудная и фазовая характеристики сущест­
венно улучшаются по сравнению с соответствующими характеристи­
ками усилителя K(iro). В качестве иллюстрации рассмотрим харак­
теристику К о( (t)) для двух схем с обратной связью: однокаскадного
усилителя и катодного повторителя.
Первая из этих схем показа­
на на рис. 8.4. Коэффициент
усиления этой схемы (при ра­
зомкнутой обратной связи) лег­
ко приводится к виду (при R1+
+R2»RJ:
1
1
Cr11
1
R,
:;=со
E9 ;w
1
1
ll_a
1
Рис. 8.4
0.5
о
2J
Рис. 8.5
K(iro) = ___в
___ =
__
в__
Ra
1+i(J)C,,R0
1+-+1wC0R
R;
K(tu).fl•O
/8/ '
--
гдеВ= -
SRa, а малая по сравнению с единиuей величина RalR,
отброшена.
Подставляя полученное выражениt в (8. 7). получаем следующеl:'
выражение для передаточной функции системы в целом:
Н0 (iro)
(1 +iffiC"Rn! ( 1
в
в
(8.7')
Модуль этого выражения
к
/В/
о ((J)) = :-;::;==;::::::;:::==:;=:;;::::::;:-
v (1- Bii)2+ (ffiC0Ra)2
Максимальное значение K0 (ro) (при (t)=O)
К
__
/В_/__ /В/
Омаис- 1- В(3
-
1+1В/~ •
График функции К о( (1))//В1 при /В1 = 5 и ~ = О, 1 приведен на
рис. 8.5 (нижняя кривая). Максимальнан оr•дината этой кривой равна
1; 015 е;
2
/ а, Приведенная на этом же рисунке кривая К(ro)/I81
282

(при ~ == О) характеризует передаточную функпию собственно уси­
лителя, в отсутствие обратной связи Наконец пунктирная кривая
соответствуеr нормированной передаточнод функuии системы с обрат­
ной связью, Т. е. К о(ш)/К омакс·
Как и е схеме рис 8.2, емкость Сr,л не учитывается; при этом
~= R2f(R1 +R2).
Из рис. 8.5 видно, что при введении отрицатеJJьной обратной связи
кривая К 0(ro} расположена ниже, чем кривая K(ro) (при Р = 0). Из
предыдущего ясно, что это является результатом обшего уменьшения
усиления при подаче напряжения с выхода усилите.r1я на его вход в
противофазе с входным напряжением . Однако нормированная харак­
теристика К ~<(J))/K оман~ более ра~н.омерна, нежели К(ш).
Соответственно новой характеристике Ho(i(j}) изменяе-rся и импульс­
ная характеристика. Действительно, записав выражение (8. 7') в форме ,
совпадающей с /{(ilJ.))
в
Ho(iro)=
1-Bfi
-
l+lro CoRa
1-8~
мы видим, что обратная связь приводит к изменению эквиваJ1ентной
постоянной времени: вместо C 0R" получается
't = CoRa
я l-Bti.
При В~= -0,5 .
Заметим, что коэффициент усиления (при (J) = О) снижается я та­
кое же число раз.
Тшшм образом,если в отсутствие обра ,· ной связи импуJ1ьсна>1 ха­
рактеристика рассматриваемого усилителя запишется в виде
g(i)=_В_ e-t/Co н.а,
СоRп
то при введении обратной связи
в
g0 (t) = __ е-r1-в111 ,,с. Ra.
C"R"
Графики импульсной характеристики (нормированные) для g 0(t)
при нескольких значениях параметра В~ иэебражены на рис. 8.6.
Напомним, что В = -SRa - коэффициент усиления прямого уси­
лителя при <il = О.
Как и следовало ожидать, введешн• отрннателъной обратной свяэн
(В~ < О) расширяющей полосу пропусканиs1 системы, приводит 11 бо-
2Ю

лее быстрому убыванию импульсной характеристики. При положи­
тельной обратной связи (ВР > 0) убывание g 0 ( t) замедляется. Пун­
ктирной линией на рис. 8.6 показана импульсная характеристика при
В~> I, соответствующая неустойчивому режиму (см. § 8.5).
Обратимся к схеме катодного повторителя (рис. 8. 7, а). Эта же схема
в несколько измененном виде и без источника питания изображена на
рис. 8.7, 6.
Найдем 01·ношение U вых к Е, т. е . коэффициент усиления схемы по
напряжению (здесь U 11 ык и Е - амплитуды переменных напряжений).
0.5
о
2J
Рис. 8.6
BJJ=l,O
С этой целью воспользуемся экви­
валентной схемой анодной цепи,
представленной на рис. 8. 7, в. При
построении этой схемы учтено, что
действующее между сеткой и ка­
тодом лампы напряжение являет­
ся разностью между э. д. с. Е и
падением напряжения на сопротив­
лении Rн, создаваемым током / 0
(см . схему рис. 8. 7, а).
Таким образом, получается сле­
дующее соотношение между напря­
жением Е и током / а:
μ (Е-/а Rн) = /а (R1 +Rн)-
Решая это уравнение относи•
5 t/C/la. тельно тока, находим
/=
μЕ
а RJ( (1 +1-1)+R1.
Далее, напряжение на выходе
ивых=lаRн= μRR
Е.
Rн(l+μ)+R;
Следовательно,
Отсюда видно, что в усилителе с катодной нагрузкой коэффициею
усиления по напряжению всегда меньше единицы. Хотя нагрузочное
сопротивление R" обычно мало по сравнению с R ;, все же практически
выполняется условие
(l+μ)R,,»R;,
Это объясняется большой неличиной коэффициент,1 усиJJения лам­
пы μ (пентод).
Поэтому приближенно можно считать
284
Ко=_μ__
I+μ

И так, напряжение на выходе близко по величине к входному на
пряжению .
Нетрудно видеть, что эт01 результат является следствием сильной
обратной связи, которая существует между анодной и сеточной цепями .
СоздаваемОt' анодным током / {J на сопротивлении R11 напряжение вво·
дится обратно в сеточную цепь, причем с обратным по отношению к Е
знаком Можно сказать, что катодный повтори'Fель представляет собой
усилитель с «полной обратной связью», в которой ~ =
-1,а/(=μ.
Усиление такой системы/( 0 , вычисленное с помощью выражения (8.3),
совпадает с полученным выше рt:Зультатом.
1
z•
..
li
2'
,.
li" ~и,.,.
Е. (14 fu.
1и..._
li
• •,.
R•
~
2
2
μ1E.-laR11}
D)
5)
6)
Рис. 8.7
Следует подчеркнуть, что хотя рассматриваемая схема и не дает"
усиления напряжения, все же она является усилительной . Нужно
иметь в виду, что выходное напряжение развивается анодным ·rоком
лампы на относительно малом сопротивлении Rю в то время как вход­
ное напряжение прикладывается к зажимам сетка - земля, сопротив­
ление между которыми при работе без сеточных токов очень велико
(меrомы). Усилитель с катодной нагрузкой можно поэтому рассмат­
ривать как усилитель тока при неизменном напряжении .
То обстояте.льство, что напряжение с выхода полностью вводится
обратно в uепь сетки, де.лает работу усилителя почти не зависящей от
параметров нагрузки. Чтобы убедиться в этом, найлем выходное ~0-
противление усилителя. Для этого допустим, что к зажимам 2-2'
усилителя (рис . 8. 7, :6) от внешнего источника приложено синусоидаль­
ное напряжение U вых; найдем полный ток, посылаемый этим источ­
ником в эквивалентную схему, представJiенную на рис. 8.8 .
На этой схеме внутреннее сопротивление лампы R; подКJJючено
непосредственно к зажимам нагрузки R11 , так как аноп лампы зазем­
J1ен (постоянное напряжение f!0 здесь не учитывается), ветвь μ/R 1 = S
2'
JR.•
2и,.,. 7/Rk 1/Ri
_J1c1cn~Tit.1CJIC
________,
i~
Ри с. 8.8
285

соответствует току в анодной цепи, который создается напряжением
И вых• приложенным непосредственно к зажимам сетка - катод лам­
пы (при этом зажимы 1-1' считаются замкнутыми накоротко) . Нако·
нец, междуэлектродные емкости Скн и Са!< оказываются включенными
параллельно так как сетка и анод заземлены, а Сак - закорочена.
Полная проводимость между зажимами 2-2' (рис. 8.8) оказывается
при этих условиях равной
Уа= _1 _=_1 +-1 +s+i(J)(Ca1<+cк1< ).
Znыx R1< R;
Для видеочастот, не превышающих нескольких мегагерц, обычно
выполняется условие
где
Таким образом,
R
R;Rн
Rн
э= ------"- - -
-
--~'----
R1+(l+μ)Rн 1+(1+μ)_Rн
Rt
Обычно величина (l + μ)RI< в несколько раз превышает R ;· В таких
случаях можно считать
RRt
Rt
1
в=--=-=-.
1+μ
μ
S
Итак, выходное сопротивление усилителя с катодной нагрузкой
почти не зависит от параметров схемы и определяется только крутиз­
ной характеристики лампы. Так как это сопротивление относительно
мало, то емкость нагрузки, шунтирующая выход усилителя, слабо
влияет на частотную характеристику устройства и не искажает форму
сигнала.
Следует, кроме того, иметь в виду, что выходное напряжение. 01·
считываемое относительно земли, совпадает по фазе (полярности)
с входным напряжением. Таким образом, усилитель с катодной на·
грузкой «повторяет» сигнал, не изменяя ни его формы, ни величины ,
ни полярности напряжения, но переводя его с высокоомного сопротив ·
ления на низкоомное . Поэтому усилитель с катодной нагрузкой часто
называют «катодным повторителем». Катодный повторитель получил
особенно широкое распространение в импульсной технике .
Рассмотренные примеры показывают, что применение обратной
связи открывает широкие возможности для построения схем , обладаю­
щих весьма сп~циальными свойствами. В частности, можно сущест­
венно улучшить работу дифференцирующей или интегрирующей схемы .
На рис. 8.9, а изображена схема катодного повторителя, используе-
286

маго для этоА цели. В этой схеме 2 1 и Z2 представляют собой соотв<-Г­
ственно 1/iwC и R в случае дифференцирования сигнала, или R и
1/iffiC в случае интегрирования (см.§ 6.5). Выходноt напряжение сни­
мается с сопротивления Z 2.
Для выяснения принципа действия этой схемы составим выраже­
ния для коэффициента передачи К0(iffi).
z
+
z
Еа.
f,
1-
Т::,fZz
Е,Е
и,ыж Zz R
~
•
а)
6)
Рис. 8.9
При обозначениях рис. 8.9, 6 можно составить следующие урав
нения:
(Z1 + Z2 +Rи)/1-Rи /о= Ei,
(Z2 + R,J /1-Rн la = E;r,
/п ~ SЕв.
Исключая из этих уравнений / 0 и E g, находим
Выходное напряжение
/
Е1 Z2
Uвых = 1 Z2 =------= ----=-- ----
_R..;.:_н:_S-..:('-Z-"--2 +_,__R-'-'-н'-'-)
z,+ z2 +R11 -
l+R11 S
Таким образом, коэффициент передачи
Но выше было показано, что
μRI< :,> R; или SR1Rн »R,, т. е. SRк ::}> 1.
Следuвательно,
287

Отсюда 1:1идно, что отрицательная обратная связь приближает
функцию K 0(i(J)) к коэффициенту передачи идеального дифференциру­
ющего (или интегрирующего) устройства. Приближение тем лучше,
чем выше крутизна характеристики лампы .
8.3. СТАБИЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ
Пусть в ;~инейной 1.:истеме, находящейся под дейст13ием синусо­
идальной э. д. с. и охваченной обратной связью, произошло изменение
какого-либо _ параметра: модуля или аргумента коэффициента усиле­
ния прямой цепи или цепи обратной связи. Причиной этого изменения
могут быть непостоянство напряжений источников питания усили­
тепя, изменение температуры окружающей среды, механические виб­
рации, приводящие к изменению эле,прнческих параметров устрой­
ства и т. д. Выясним, как влияет обратная связь на относительное
изменение выходного сигнала. Сначала рассмотрим случай, когда
нестабильность имеется в цепи прямого усилителя. С целью упро­
щения анализа исходим из условия, что до изменения режима работы
коэффициенты передачи K(i(i)) и ~(i(J)) являлись чисто действитель­
ными величинами К и ~ .
так что коэффициент передачи замкнутой
системы определяется выражением
к
Ко= 1_ KIJ
(8.13)
Пусть обусловленное нестабильностью изменение заключаен:я
в том, что величина коэффициента К изменилась на малую величину
ЛК. В отсутствие обратной связи это привело бы к относительному
изменению амплитуды выходного напряжения, равному ЛКJК (ам­
плитуда э. д. с. на входе считается неизменной).
Для определения относителыюrо изменения амплитуды при на­
личии обратной связи nродиффеμенцируем выражение (8 . 13) по К:
dKo (1-К/3)-К(-/3)
1
К
I
J
dK-
(l-l(M2
-
(1-КР)2 - 1-К/3 1-К/3 К'
откуда
(8.14)
Из этого выражения видно, что относительное изменение выход­
ного напряжения при наличии обратной связи, т. е. величина dK 0 / К 0,
может сильно отличаться от изменения, которое имело бы место в от­
сутствие обратной связи.
Если обратная снизь отрицательна (1<. ~ < О), имее1 место ослаб·
ление нестабильности системы
dKo
-=
Ко
288

При положительной обратной связи нестабильность ушливается.
dK0
1
dK
к;= 1-КВ К
Отсюда сдедует, что для повышения стабильности усиJiения систе•
мы целесообразно вводить отрицательную обратную связь . Этим при­
емом широко пользуются в современной радиоэлектронике . Абсолют­
ную величину К~ в зависимости от требований к стабильности системы
доводят до 100 и более. При этом, естественно, в 1 + IK~I раз
уменьшается и усиление системы К 0 . Одна1ю эта потеря не является
слишком существенной, гак как соответственное увеличение в 1 +
+ !К~! раз входного сигнала може1 быть ос}[ществлено с помощью
предварительного усиления на малом уровне мощности.
Нечувствительность системы к нестабильности К при глубокой
противосвязи ( 1К~ 1~ 1) вытекает также из того отмеченного в пре­
дыдущем параграфе факта, что при IK~I ~ 1 усиление К O стремится
к величине 1/Р, т. е. не зависит от величины К [см . рис . 8.3 и выра­
жение (8.11) ].
Рассмотрим теперь фазовую нестабильность прямого усилителя.
Пусть аргумент коэффициента усиления стал отличен от нуля, т. е .
/{ = К е 1,рн, причем <р11 -- весьма малый угол.
Тогда в соответствии с общим выражением (8.1 О) аргумент коэф­
фициента передачи K0(i(J)) будет равен
<ро = <рк +arctg К~ sin q,k
1-К~ cos (!)и
При достаточно малом (1) 11 , когда можно считать
sin <pk =<pk, cos (j)k ~ 1,
получаем
,n =m +arctg(~ ) ~
+_!gl_ __I _
' t'O
't 'h
1-К~ (j)k
(j)k 1-К~ (j)k - 1-Kf .\ (/)k• (8.15)
Итак, фазовый сдвиг <р 0 выходного напряжения отличается в
l/(1 - КР) раз от вызвавшей этот сдвиг нестабильности фазы в
цепи усилителя К .
При отрицательной обратной связи (К~< О) получается ослабле•
ние нестабильности в 1 + IK~/ раз.
Соответственно при положительной обратной связи (КР > О) фа­
зовое изменение цепи К увеличивается в 1/(1 - КР) раз .
Введем теперь в рассмотрение нестабильность в цепи обратной свя­
зи. Для этого продифференцируем выражение (8.13) по ~;
dKо=_ К(-К)_ К К
d~
(I-K ~)2 (1-К~) о,
откуда
lifl

В случае отриuательной связи при !K~I ~ 1 получаем
df( 0
d~
-=--
Ко
~•
(8.16)
Из этого соотношения видно, что нестабильность в шмой цепи ~
не ослабляется обратной связью : относительная нестабильность замк·
нутой системы с отрицательной обратной связью при IK~I ~ 1 равна
относительной нестабильности величины ~ -
Отсюда следует, что nри nрIIменеI11111 отрицательной обратной свя­
зи особое внимание должно бып, обращено на повышение стабильности
цепи четырехполюсника ~- Это т ребование
распространяется как на
модуль, 1ак и на аргумент (т . е. на фазовую характеристику) переда ­
rочной функции цели . В практике осуществление этого требования
облегчается тем, что основные дестабилизир у ющие факторы имеются
в прямом усилителе K(iro), содержащем активные элементы (электрон ·
ные лампы, транзисторы) и нагрузочное сопротивление; четырехполюс­
ник жr ~. обычно представляющий собой простую пассивную цепь (на ·
щ· имер, потенциометр R1, R~ на рис. 8.2), может быть сделан достаточ ·
но стабильным.
8.4. ОСЛАБЛЕНИЕ НЕЛИНЕЯНЫХ ИСКАЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
OTPИUATEЛbHOfl ОБРАТНОЯ СВЯЗИ
Выясним влияние отрицательной обратной связи на нелинейные
искажения, которые возникают в основном усилителе из-за нелиней­
ностI1 характеристик активных элементов (электронных ламп, тран­
зисторов и т . д. ). При синусоидальном напряжении на входе эти иска·
жения проявляются в виде высших гармон11чес ких усиливаемой часто­
ты. Допустим, что в отсутствие обратной связи, при подаче на вход
амплитуды Е 1 , на выходе усилителя ампJJитуда напряжения основной
частоты равна U 1, а амплитуда напряжения одной из гармоник
-
Un·
Усилитель с искажениями можно представить в виде идеального ли·
нейного усиJJителя, на входе которого действует «генератор гармоник»,
как это показано на эквивалентной схеме рис. 8. 1О.
При этом отношения Е,,! Е 1 и U" I U 1 одинаковы , так как коэффици ·
ент усиления К( ro) считается одинаковым как для основной частоты,
так и для частоты п-й гармоники. Таким образом, амплитуда э. д. с.
эквивалентного генератора Е n должна быть равна Un/ К.
При введении отрнца·1·ельной обратной связи, для получения на
выходе прежней амплитуды U 1 входное напряжение Е 1 необходимо
увеличить в 1 + IK~I раз, как это вытекает из формулы (8.6). Это от­
ражено на рис. 8. 11 , а в виде дополнительного усилитеJJ я с коэффи·
циентом усиления 1 + IK~I- Следует, однако, иметь в виду, что на
пряжение основной частоты, действующее непосредственно на зажи­
мах 3 - 3', остается таким же, как и в схеме без отрицательной об
ратной связи, представленной на рис. 8.10. Дейс1вительно, рассма1
риRаемое напряжение является разностью между напряжением Е 2 =
290

= E1(I + !КР!), действующим на зажимах 2-2' (рис. 8.11, а), и на·
пряжением обратной связи ~U 1, т. е .
Еа=Е2-~И1=Е1О +IKPl)-PU1.
Но Е1К есть не что иное, как U1 (см. рис. 8.10). Следовательно,
Ез=Е1 +E1IK l l~l -l~IU1=E1.
Напряжение же п-й гармоники на входе усилителя с учетом напря·
жения обратной связи - PVn будет равно разности Еп -1~1 Un, а на
выходе усилителя
откуда
U= !КIЕп
п 1+ IKBI.
Таким образом, отношение
(8.17)
получается в 1 + IK~I раз меньшим, чем в отсутствие обратной свя·
зи. Правда, это улучшение достигается uеной увеличения в J +
+ IKPI раз напряжения, подводимого к зажимам 2-2' (рис. 8.11, а).
Но, как уже отмечалось ранее, это не
является существенным недостатком, о------!----1------0
так как дополнительное усиление мо- ;::\ К(ы)
иOи
жет быть осуществлено в одном из ~ ------
,~n
предварительных (маломощных) кас-
с
~<адов без искажений.
n
Стносительное ослабление вые-
Рис. 8.10
ших I·армоник можно пояснить еще
и следующим образом: введение отрицательной обратной связи при­
водит к уменьшению усиления в 1 + IK PI раз в одинаковой мере для
полезного сигнала и для гармоник, однако это уменьшение усиления
компенсируется только лишь для полtЗного сигнала увеличением в
1 + IKPI раз входного напряжения.
Проведенное выше рассуждение может быть распространено на
все гармоники усиливаемого напряжения.
Применение отрицательной обратной связи позволяет помимо ос­
лабления нелинейных искажений понизить при некоторых условиях
и уровень «фона)), создаваемого пульсацией питающих напряжений.
Итак, в с е побочные колебания, возни1<ающие в са.~юм y,uлurr113лe
из - за неJ1инейности характеристик ламп, и из-за несовершенства
источников питания, ослабJ1яются отрицательной обратной связью
в 1+IKPI раз.
В заключение следует отметить, что в случае усилителя, состоя·
щего из нескольких каскадов, стремятся обратной связью охватить
весь усилнт~ь в целом, ка~< это nоказано, напр11мер, на рис. 8.11, б.
При этом, однако, усложняется обеслечение устойчивости у~илителя
291

из-за возрастания суммарного фазового сдвига в кольце, особенно при
наличии трансформаторов, обладающих индуктивностью рассеяния .
в тех случаях, когда удается построить многокаскадный усилите.11ь
без трансформаторов , а также при благоприятных соотношениях меж­
ду омическими сопротивлениями и паразитными емкостями, оказывает-
1•/KJJ/
K(w)
/J( ы)
а)
.
.
к-~-~-~
r----------------------,
1 ,---- .
----~
,---~
1
к,
K:s
t--"" --tt-t -- -ollt
1
. ____.
_____,
1
L ___________________ j
р
6)
Рис. 8.11
ся возможным реализовать схему, изображенную на рис . 8. I I, б.
Такие условия встречаются, например, в транзисторных усилителях
акустического диапазона частот.
8.5 . УСТОRЧИВОСТЬ ЛИНЕЯНЫХ СИСТЕМ
В реальной системе, охваченнuй обратной связью, всегда имеются
реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в усилителе на
сопротивлениях имеются такие элементы (паразитные емкости схемы
и электронных приборов, индуктивности проводов и т. д.) . Реактивные
элементы создают дополнительные фазовые сдвиги. Если на какой­
либо частоте эти сдвиги дают в сумме дополнительный угол в 180°,
то обратная связь из отрицательной превращается в положительную
и СJздаются условия, при которых возникает паразитная генерация.
Опасность возникновения генерации тем больше, чем больше вели­
чина IК~I-
Это обстоятельство во многих случаях существенно ограничивает
эффективность применения обратной связи, так ка" при больших зна­
чениях !K~I для устранения паразитной генерации требуется при­
менение специальных фазокомпенсаторов и других устройств для от­
даления частоты возможной генерации от полосы рабочих частот и
292

внесения в систему затухания на частоте генерации. Часто оказы­
вается, что введение в схему новых элементов приводит лишь к сдви­
гу частоты паразитной генерации в область очень низких или очень
высоких частот.
Итак, применение обратной связи тесно связано · с проблемой обес·
печения устойчивости системы.
Для правильного построения системы и выбора ее параметров боль­
шое значение приобретают методы определения устойчивости системы.
В настоящее время известно несколько критериев, различающихся
больше по форме, нежели по существу. В основе большинства этих кри·
териев лежит критерий устойчивости решений дифференциального
уравнения, описывающего исследуемую систему.
Пусть линейное однородное уравнение для системы с сосредоточен­
ными (и постоянными) параметрами задано в форме
dnx
dn-lx
dn-1x
dx
а0 --+ а1 --п-1 +а2 -п--" + ... ап-1 -+апх=О, (8.18\
dtn
dt-
dt- '
dl
где х - ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты
а 0, а1, а2, аз, ... , an - действительные числа, зависящие от парамет­
ров системы.
Решение уравнения (8.18), как известно, имеет вид
(8.19)
где А 1 - постоянны1::, а о 1 - корни характеристического уравнения
(8.20)
Условие устойчивости состояния покоя системы заключается в
том, что после прекращения действия внешних возмущений система
возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы
возникающие в системе при нарушении состояния покоя свободные
(переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою
очередь, означает, что корни Pt, р2 , .• • ,
Рп уравнения (8.20) должны
быть либо отрицательными действительными величинами, либо ком·
плексными величинами с отрицательными действительными частями.
Из этих простых физических представлений вытекает следующий
фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем 1 :
система устойчива, если действuтельньш части всех корней характе·
ристического уравнения отрицательны.
Заметим, что левая часть характеристического уравнения (8.201
представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции
системы. Напомним это известное положение теории цепей на примере
1 Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым, ко­
торый в 90-х rодах прошлого века заложиJ1 основы теории устойчивости. Рас­
сматриваемый вопрос об устойчивости состояния покоя системы является част­
ным случаем общей теории устойчивости Ляпунова.
293

простого колебательного контура L, С, r, описываемого (в отсут­
ствие внешнего воздействия) уравнен!1ем
L!!:!_+ri+~sidt= О,
dl
С
или
Ld2i +г!!:!_+
_1_i=О.
dt2
dt
С
Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристи­
ческое уравнение
1
Lр2 +гр+-=0.
с
(8.21)
Пусть теперь в контур вводится внешняя э. д. с. e(t), а выходное
напряжение u(t) снимается с какого-либо реактивного элемента, на­
откуда
Рис. 8.12
пример с индуктивности.
Тогда имеют место уравнения
L ~+ri+~Sidt= е(t),
dt
С
di
ll(t)=L- .
dl
Применяя преобразования Лапласа
(при нулевых начальных условиях),
получаем операторные уравнения
Lp/(p)+rl(p) + _!_ J(p)=E(p),
Ср
и(р)= LJ(р),
/ (р)=--Е-'-'(р-'-)-
1
Lp+r+-
Cp
U (р) = Е (p)--L'--p-1
Lp+r+ Ср
Передаточная функция
К(р)= И(р) = -- L ~p _2__
Е(р)
1•
Lp2+гр+-
с
Знаменатель дроби совпадает с левой частью характеристического
уравнения
Таким образом, корни характеристического уравнения системы
являютс51 также корнями знаменател}j в дроби . определяющей пере·
даточную функцию К(р) .
Иными словами, корни характеристического уравнения сuстемь1
Я8Аяются полюсами передаточной функции К(р).
294

Отсюда следует, что сформулированное выше условие отриuатель­
ности действительных частей корней равносильно СJIедующему поло­
жению: для устойчивости системы пео6ходцмо, чтобы передаточная
функция К(р) не имела полюсов в праеой полуплоскости переменно;:о р.
Это хорошо известное из теории цепей положение можно распрост­
ранить и на передаточную функцию К 0(р) системы с обратной связью.
Поясним это на примере резонансного усилителя с обратной свя­
зью, схема которого изображена на рис. 8.12.
В данном случае
K(iro)~ - SZ(iro); ~(iro)= ±:.
Учитывая, что
/(i)
Z (iro) =
____
1___1 -
-
-- - -1_Сн___l
__
С im+ -+ -- (IW)2+--(i!O)+ --
н
R Lнim
RСн
LнСн
а
где обозначено
1
Ct=-
.
--
2RСн'
2
1
<On= --
l,нC,, '
получаем ..:JIедующие выражения для вередаточных функций К(р)
И Ки (р):.
(8.22)
(8.22')
Здесь
а: =-
1
-,
00 51=-
1
-·
2RСн
L11 Сн
Таккакприro= ro0K(iuJ0) =
- SR <0, то для создания отрица­
rельной обратной связи коэффициент ~ должен быть nоJюжюел ьным
295

(М / Lм), а для положительной обратной связи - отриnательным
(-М/Lн)-
Подставив 1} = +(М / Lк), окончате.l!ьно получим
К(р)= -~
-----'Р____
Сн р2 + (2a+MSro~) Р+ uJ~
(8.23)
Находим корни знаменателя
Р1,2 = -(СУ.+ M~uJi) ± i V
Так как оба корня имеют отрицат~льную действительную часть . то
система устойчива при любой величине М.
В случае положительной обратной связи, когда (i = -М / Lм,
корни
(
MS (1)
2)
-.
j2(
MSuJ~)
2
Р,,2=-
а-
2о±iVroo-
а-2
.
Отсюда следует, что при положительной обратной связи рассмат­
риваемая система будет устойчивой до тех пор, пока выполняется ус­
ловие
или
MSoo 2
а..---0 >0
2
'
R< __!:_.
MS
(8.24)
8.6. КРИТЕРИЯ УСТОЯЧИВОСТИ РАУСА-ГУРВИUА
В тех случаях, когда с.истема описывается дифференциальным урав·
нением высокого порядка, исследование корней характеристического
уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости систе­
мы, является сложной задачей.
Оказывается, что эту же задачу можно решить путем анализа
соотношений между коэффициентами уравнения без определения
самих корней уравнения. Таким образом открывается возможность
определения условия отрицательности действительных частей корней,
а следовательно, и условия устойчивости системы , если известны толь·
ко коэффициенты дифференциального уравнения, описывающего за ­
данную систему. Для относительно простых систем, описываемых,
например, дифференциальным уравнением второго порядка, это не­
трудно показать на основе известных правил алгебры.
Пусть характеристическое уравнение системы (8.18) имеет вид
а0р2+а1р+а2=О
(8.25)
или
296

Учитывая известные из алгебры соотношения между корнями квад•
ратного уравнения
(8.26)
приходим к следующему выводу. Если оба корня вещественные (дей­
ствительные) и отрицательные, то их произведение положительно,
следовательно, (а 2/а 0) > О. Из первого же выражения (8.26) ясно, что
если р1 и р2 отрицательны, то (а 1 /а0) >О.Следовательно, для устойчи­
вости системы необходимо, чтобы а 0 > О, а1 > О и а2 > О.
Нетрудно провести аналогичное рассуждение и для случая сопря
женно-комплексных корней.
В случае кубического характеристического уравнения
(8.27)
корни р1 , р2 и р3 связаны между собой следующими соотношениями:
PiР2+Р2Рз+РзР1=~ ,
ао
_
( l)Sаз
аз
P1P2Ps= -
-=
--•
ао
ао
(8.28)
Из первого выражения следует, что если действительные части всех
корней отрицательны, то (а1/а 0) > О, т.е. а1 >0 (коэффициент а0 счи­
таем положительным). Далее, из третьего выражения следует, что ес­
ли все три корня действительные и отрицательные числа, то их произ­
ведение отрицательно и (а3 /а0) > О.
Если же два корня сопряженно-комплексные, Р1 = -а + +<О
и Р2 = -а - iro, то аз/а 0 равно произведению действительного кар·
ня Рз на произведение
Pi Рэ =(-а+ iro) (-а-iФ) = а
2
+ro2>О.
Поэтому, если корень р з отрицателен, то снова а8 > О. Рассмотрим,
наконец, коэффициент а 2 • Если все корни действительные и отрица­
тельные, то из второго выражения (8.28) непосредственно видно, что
(а2/а о) > О. Допустим теперь, что корни Р1 и р 2 сопряженно-комплекс­
ные. Представив второе выражение (8.28) в форме
~=Р1Р2+Рз(Р1+Р2),
а,
297

замечаем, что произведение PtP2 всегда положительно, а сумма Р1 +
+ Р2 имеет тот же знак, что и действительные части корней р, и р,..
Поэтому если р 8, а также действительные части корней Р1 и Р2 отри·
цательны, то а2/а 0 снова положительно.
Итак, приходим к выводу, что в случае кубического характеристи­
ческого уравнения дJ1я устойчивости системы необходимо, чтобы вы­
полнялось условие
а0>О,ai>О,а,.>Оиа8>О.
(8.29)
Этих условий оказывается, однако, недостаточно.
Из предыдущих рассуждений видно, что к условию (8.29) можно
также прийти, если исходить из предположения о положительности
действительных частей корней Р1 и р 2 . Следовательно, для устойчиво­
сти системы еще необходимо, чтобы соотношения между положитель­
ными коэффициентами а 0 , а1, а2 и аз отвечали определенным усло­
виям.
Обращаясь к характеристическому уравнению (8.27), 3амечаем,
что если аз очень велико по сравнению с а1 и а 2 , то уравнение (8.27)
вырождается в простое уравнение
Корни этого уравнения:
Р1=(+++ vз)(::) 113,
(
йз) 1/3
Рэ=- -
•
а-
Так как действительные части корней р1 и Р2 положительны, при·
ходим к выводу, что при сделанном допущении относительно вели·
чины ai система неустойчива .
Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда а 3 очень мало
по сравнению с а 0 , а, и а2, так что уравнение (8.27) приближенно мо·
жет быть заменено квадратным уравнением
ао Р2+а1 р+а2 =0.
Из приведенного выше рассмотрения квадратного характеристи­
ческого уравнения уже известно, что положительность коэффиuиентов
au, а1 и а2 обеспечивает устойчивость системы.
Можно поэтому утверждать, что при уменьшении положительного
коэффициента аз от очень больших значений к очень малым обяза­
тельно найдется такое критическое значение а 3 , при котором корни
Р1 и /J2 будут чнсто мнимыми. При этом значении а 3 в системе возможно
сущеспювание гармонических (незнтухс:Jющих) колебаний.
298

В этой критической точке
Р, 2=+iыо,
гдеw0-
частота колебаний.
Подставляя эти значения р 1 и р 2 в исходное уравнение (8.27) и про
изводя несложные преобразования, получаем два уравнения
(t)~-~=0,
ао
(\)~-~=0.
а1
Отсюда на,юдим следующее условие для определения критического
значени;r аз:
или
а1 а2
аз=­
ао
При а,1 > а 1 аз система неустойчива , при а~< Qi а2 устойчива.
а,
а0
Итак, необходимыми и достаточными .условиями устойчивости
системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего по­
рядка, являются следующие неравенства:
а0>О,а1>О,а2>О,аз>О,}
ао аз< а1 а2,
Проведение подобного анализа для характеристических уравнений
четвертой и более высоких степеней является весьма сложной зада­
чей.
В таких случаях определение устойчивости системы может быть
произведено с помощью критерия Рауса, основанного на теореме Гур­
вица1, которая гласит, что для того чтобы действительные части всех
корней уравнения
аохп +а1 xn-\ + а2хп-2 + ... +ап-1 х+ an =0
с действительными коэффициентами и а 0 > О были отрицательными,
необходимо и достаточно, чтобы были положительными все опреде­
лители Л1, Л2, .. , Лп,
составленные из коэффициентов уравнения
а 0 , а1, а~, ... , an по следующей схеме:
Л1=а1; Л2 = 1а1 аз1;
ао а2
' Доказательство этой теоремы см., например, в книге:
К:урошА. r.
Курс выс шей алгебры , 1965.
299

а1а3а5
Лз=аоа2а4
Оа1аа
alааar,а1
Л4=аоа2а4ав
оа1а.1а5
оаоа2а4
alй3йьй7йg
аоа2а4авав
Л5=Оа1а:,а5а7ит.д.
Оа0а2а4а6
ООа1а3а5
Сформулированное выше условие устойчивости часто называют
критерием Рауса - Гурвица.
При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты
с индексом, превышающим степень характеристического уравнения,
заменяются нулями.
Поэтому, например, для уравнения четвертой степени получаются
следующие определители
Л1=а1: Л2 = 1а1 аз1;
ао а2
а1а3О
Лз=аоа2а4
Оа0а2а4
Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются
главными диагональными минорами определителя Лп, Так как послед­
ний столбец определителя Л" содержит лишь один отличный от нуля
элемент ап, расположенный на главной диагонали, то выполняется
равенство
Лп =ап Лп-1,
Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия
устойчивости могут быть сформулированы в виде следующих нера­
венстd:
Лi>О, Л2 >0, ... , Лп-1 >0, ап>О.
Так, например, для характеристического уравнения второй сте­
пени получаем
300

Для уравнения третьей степени:
Л1 =а1 >0.
Л2= 1а1 аз1= а1а2 -а"а11>О,
ао а2
а3 >0,
т. е. а1>О, а1а2>а3а0, а3>О.
Так каI< а0, а1 и аз положительны, то и а2 > О.
Для уравнения четвертой степени:
Л1=а1>О,
Л2= а1а2-аза0> О,
Л3=а3(а1а2-а3а0)-аТа4> О,
а4 >0.
Из третьего условия на основании четвертого и первого вытекает
неравенство
а3(а1а2-а0а3)>а~а4>О.
Можно поэтому второе условие заменить условием аз> О. Таким
образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие
условия устойчивости
.
.
2
а1>0, а3 >0, а3(а1 а2-а0 а3)-а1 а4 >0,
а4 >0.
Поясним применение критерия Рауса - Гурвица на простом при­
мере схемы регенеративного усилителя (рис. 8.12), рассмотренного
в§ 8.5.
Характеристическое уравнение этой схемы при ~ = + (М / Lh),
в соответствии с знаменателем правой части выражения (8.23), имеет
вид
р2+(2а+MS(t)6)р+ cu6 =О.
Отсюда в соответствии с выражением (8.23)
Л1 =а1 =2a+MS(t)6 >0
и
а2=(1)~>0
(коэффициент а 0 = 1 также положителен).
Следовательно, при отрицательной обратной связи (когда ~ =
=
+(М /Lk) схема рис. 8.12 устойчива при любой величине М.
При ~ = -(М /Lh) (положительная обратная связь) схема устой-
чива при выполнении условия 2a-MSu1~>0, совпадающего с (8.24).
Критерий Рауса - Гурвица особенно удобен для проверки устой­
чивости системы с заданными параметрами (т. е. с коэфtшциентами
301

дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться
при эксперимt:нтах, гак как обычно бывают известны не коэффициенты
уравнения по отдельности, а передаточная функция разомкнутой це­
пи К(р)р(р). Кроме того, критерий Рауса - Гурви:1-а не"дает ясных
указаний, как неустойчивую систему сделать устоичивои.
8.7. КРИТЕРИА УСТОАЧИВОСТИ НААКВИСТА
В § 8.5 было установлено, что для того, чтобы любая линейная
система была устойчивой, необходимо, чтобы ее передаточная функ­
ция не имела полюсов в правой полуплоскости переменного р =
= о + iro, т . е . в области, ограниченной зам!{нутым контуром, обра·
зованным осью iro и полуокружностью бесконечно большого радиуса R
( РИС. 8.13, а).
ilf
а)
Рис. 8.13
б)
1,iO и
плоскость
н
Для системы с обратной связью передаточная функция имеет
вид
К( - К(р)
0 р)- 1-К(р)~(р)
(8.30)
В данной главе имеются в виду системы, n которых прямой уси­
литель К(р) заведомо устойчив. Поэтому отмеченное выше требование
равносильно условию, что знаменатель выражения (8.30) не должен
иметь нулей в правой полуплоскости р или, что то же самое, функция
Н(р) = К(р) р (р)
(8.31)
не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полупло­
скости р. Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомк­
нутого кольца обратной связи, т. е. отношение напряжения на зажимах
2-2 1< напряжению на зажимах 1-1 при разрезанном кольце, как это
показано на рис . 8.14. Следовательно, об устойчивости системы с об­
ратной связью можно судить по характеристикам разомкнутого тракта.
302

Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоскости
р==а+i(J)кплоскостиН(р)=и +iv(рис.8.13, 6).
Каждой точке р из плоскости а, iro соответствует определенно(
3начение Н на плоскости и, iv. Любой замкнутый контур на плоскости р
преобразуется с помощью выражения (8.31) в некоторый, также
замкнутый , контур на плоскости Н.
В случае, когда исходный контур на плоскости р задан в виде
рис. 8.13, а, соответствующий ему контур на плоскости Н называется
годографом функции Н.
Показанный на рис. 8.13, а контур С
можно разбить на два участка: 1) Пря­
мая iro при изменении ro от оо до - оо
и 2) Полуокружность бесконечно большо­
го радиуса R.
На первом участке, где а = О, р =
= iro, функция Н(р) обращается в функ-
22
цию H(iro) . В соответствии с выраже-
ниями (8.31) и (8 .8), этот участок пре-
образуется на плос,юсти Н в линию,
определяемую следующим соотноше­
нием:
ff(iro)=K(iro)~(iffi)=K(ro) ~(ro) е; (q,h+<PIJ) =
откуда
=и(ro)-t-iv(ro),
(8 .32)
и(ro) = К(ro)~(ro) cos(ЧJ,,+q,11), }
v (ro) = К(ro) ~(ffi) sin (rpk+rp11).
К(р)
>
/J(p)
<
Рис . 8.14
(8 .33)
На втором участке контура С (см. рис. 8. 13, а), при R-+ оо, функция
Н(р) -+ О. Это вытекает из общего выражения (5.98) для передаточной
функции четырехполюсника. При IPI -+ оо величинами Pot, р02 ... , Ро т ,
Рп~ р 112 ... Рнп в выражении (5 .98) можно пренебречь и функцию
Н(р) можно пр1::дставить в виде
Н (р) = Вр<т-п),
где т - чис.110 нулей, а п
-
числ о полюсов функции Н(р) на плоско
сти р . В реальных системах п всегда больше т, так что при IPI-+ оо,
модуль функции Н(р) на полуокружности R -+ оо равен нулю. Таким
обра зом, пол уокру ж ность бесконечно большого радиуса R на плоско­
сти р преобразуетс я в точку, лежащую в нача J1е координат на плос1<0·
сти Н, и для пос·, роения годографа Н в виде зам кн утоrо контура до­
статочно знания поведения Н(р) на оси iffi, т. е. знания амплитудно­
частот ной и фаза-частотной характеристик цепи K(i(l))~(iro).
Обходу контура С в положительном направлении (против часовой
стрелки) С(ютветствует обход годографа Н при изменении частоты от
00до- оо.
303

Вся правая полуплоскость р преобразуется на плоскости Н во
внутреннюю область годографа. Следовательно, если годограф пере­
даточной функции разомкн,утого тракта не oxвamьюQl!m точку 1, iO,
то при замкнутой ЦEnu обратной связи система устойчива . В против­
ном случае система неустойчива.
Это условие называется критерием устойчивости Найквиста .
Показанная на рис. 8.13, б диаграмма соответствует устойчивой
системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку /, iO.
Сплошной линией показана часть контура, соответствующая поло­
жительным частотам О < ffi < оо, а пунктирной кривой - отрицатель­
ным частотам. Так как функция и(ffi) - четная относи1еJ1ьно <1) 1 а
v(ro) - нечетная, то оба участка годографа симметричны относительно
действительной оси.
Следует также отметить, что рис . 8.13, б построен для случая,
когда при ffi = О передаточная функция f/(iю) отлична от нуля (это
возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых
отсутствуют разделительные конденсаторы) .
Поясним построение rодоrраф1:1 Н на примере схемы, представлен·
ной на рис. 8.12.
В соответствии с формулой (8.22), для этой схемы
к(. )
S
iro
tffi = - - -------
с}( (iro) 2 +2a1ro+rog
Выберем знак минус, т. е. зададим положительную обратную связь.
Тогда
н(.
MS
iro
но)= - -- -------
L" C ., (ro 2 -roi)-i2aro
мs '2aro
2
-iro (ro
2
- ro6)
.
=-- (
2
2
)
22
= и(w)+tv(ffi),
l,вСк ro -ro0 +4сх ro
откуда следует
MS
2aroi
и (ffi) = ---------
L}( с}( ( ro2 -ro
6)+ 4a2ro2
MS
,ro (ro
2
-ro~)
v(ro)= --- --'-- --
L 11 C11 ((1) 2 -roi)+4cx2 ro
2
Учитывая соотношения
304
1
а=-- ,
2R11 Ск
2сх
2
1
<йо=--'
LнСн
р.1
roo = ro_o _C_I<_
. -R=R_,-q'

где Q - добротность контура, и обозначая ro/ro 0 == х, приводим вы•
ражения для u(ro) и v(ro) к виду
и (ro) =-м SR---I
--
ь
(х2-1 )2'
1(
1+--Q
х
x2-J
М
-x -Q
v(ro)=
--L-SR --(x_2___l -)-2
к 1+--Q
х
Построенный по этим выражениям для положительных (IJ при Q =
= 5 и MSRILк = 1,2 годограф показан на рис. 8. 15, а. Точками
на годографе обозначенЬl величины (l)/ro 0 . При отрицательных значе­
ниях ro годограф образует второй виток, совпадающий с первым, од­
нако расположение точек, обозначающих величины !ro/(l)n!, является
зеркальным по отношению к оси и.
Очевидно, что случай (М / Lн)SR = 1 является критическим; при
(М / Ltt) SR < 1 годограф не охватывает точку 1, iO и система является
устойчивой, при {М / Lк)SR > 1 точка /, iO 01<азываетсS1 внутри годо·
графа и система является неустойчивой.
.Е!-о.з
iv
iv
uJ'
о
0,6
0,5
0,4
0.3
0,98
0,2
0.1
,о
о
11,
-о. 1
2 D,it 0,6 о.а 7,il1 1,2
и.
-0.2
·О.3
-о,+
-o.s
-о,6
,.,
tt)
6)
Рис. 8.15
Следует отметить, что при более сложной схеме устройства форма
годографа иногда бывает настолько усложненной, что по ней трудно
судить о том, охватывается или не охватывается годографом точ1<а 1,
iO. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий
из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений
оси u(ro) на участке /, оо. Для устойчивости системы необходимо,
чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (как на
рис. 8.13, б), ;шбо пересекал его в положительном и отрицательном
направлениях одинаковое число раз. Так, например, на рис. 8.15, б
число пересечений оси абсцисс на отрезке 1, оо в поJюжительном и от­
рицательном направл~ниях одинаково. Система устойчива . В преды·
дущем же примере (рис. 8.15, а) ось абсцисс на отрез1<е 1, оо пересе­
кается дважды в одном направлении (сплошной линией при ro > О
11 з.11:. aar
305

и совпадающей с ней пунктирной линией при (1) < 0). Система неустой·
чива.
Критерий Найквиста получиJ1 наибоJiьшее распространение в
радиоэлектронике, автоматике и других смежных областях. Основное
его преимущество: удобство оперирования с амплитудно-частотной
и фаза-частотной характеристиками разомкнутой системы. В неко·
торых системах, например содержащих линии, этот метод, по существу,
является единственно приемJJемым.
t,J
Рис. 8.16
Рис. 8.17
Вместо полярных диаграмм (годографов), изображенных на
рис. 8. 13 и 8. 15, при применении критерия Найквиста могут быть ис­
пользованы обычные амплитудная и фазовая характеристи"и разомк­
нутой системы.
Действительно, длина вектора H(ilo), как это ясно из выражения
(8.31), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи разомкну­
той цепи Kf}, т. е. амплитудная характеристика этой цепи, а аргумент
'Рн (рис. 8.16), равный
'Pн=arctg v(oo)='Pн(ro)+ЧJ1:1(co),
(8.34)
и (оо)
есть фазовая характеристика цепи К/}.
Совместив на общем графике амплитудную и фазовую характери­
стики, нетрудно ответить на вопрос об устойчивости системы.
Если при изменении ro от Одо оо фаза <р 11 не достигает величины п 2л,
где п - целое число, то замкнутая система устойчива при любой
величине К~- С другой стороны, если К~ при любой частоте меньше
единицы, то система устойчива при любой фазовой характеристике.
Система неустойчива, если имеются частоты, при которых одновре­
менно выполняются два условия 1 :
1 Следует подчеркнуть, что возможны случаи, когда несмотря на наличие
таких частот система устойчива, как это 6ыло представлено на рис. 8. 15, б, Для
неустойчивости системы приведенные условия необходимы, но еще недостаточны.
Необходимым il достаточным условием неустойчивости является охват годог­
рафом H(ioo) точки 1, iO,
306

<рк + <р/3 = п2л,
)
Н=К~~ 1, п-целое число.
(8.34)
По существу, эти два условия необходимы для обращения в нуль
знаменателя в выражении (8. 7), определяющем передаточную функ­
цию замкнутой системы.
Пример амплитудной и фазовой характеристик устойчивой системы
с обратной связью показан на рис. 8.16, а для неустойчивой - на
рис. 8.17. На рис. 8.17 ffiг - частота паразитной генерации. На
рис. 8.16 и 8.J 7 отложены абсолютные значения <i'н = <р,. + <i'iЗ• При
учете знака наклон фазовых характеристик будет отрицательным.
При построении этих характеристик учтено, что при ffi = О и ffi = оо
величина К~ обращаетя в нуль. При ro -. О это
обусловлено влиянием
последовательно включенных конденсаторов в канале К или ~ (см.,
например, рис. 8.4), а при ffi- .
оо - влиянием шунтирующих ем­
костей (междуэлектродные емкости, емкость монтажа и т. д.). Полное
изменение фазы при изменении ro от О до оо зависит от характера и
числа звеньев в усилителе и в цепи обратной связи.
8.8 . ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ В СИСТЕМАХ С ЗАДЕРЖКОЙ
Рассмотрим систему, состоящую из линейного четырехполюсника
о передаточной функцией K(iro) и «идеальной» линии задержки Т,
с выхода которой напряжение U2 вводится обратно в цепь возбуждения
последовательно с генерато-
. ром
э. д. с. U1 (рис. 8. 18).
Под идеальной подразуме­
вается линия, в которой вре­
мя задержки не зависит от
частоты. Передаточная функ­
ция подобной линии прини­
мается равной е-tи~т. При
l...___________ .......,
г К(iы)
Рис. 8.18
этом предполагается, что затухание реальной линии учитывается
четырехполюсником, имеющим передаточную функцию K(iffi).
Отличие (непринципиальное) этой схемы от ранее рассмотренной
(рис. 8.1) заключается в том, что независимо от частоты, коэффициент
~ = 1, а передаточная функция прямой цепи равна
(8.35)
В соответствии с выражением (8.3) получаем для передаточной
функции устройства, изображенного на рис. 8.18, следующую фор­
мулу:
и к(. ) -lroT
к (•)__2 _
tffi е
оLffi-
-
.
U1 l-K (iw) е-,оот
(8.35')
ЗОi

При достаточно болъшоА величине Т для изменения в кольце фазы
на 180~ требуется относительно малое изменение частоты. Главной
особенностью системы с запаздывающей обратной связью является
поэтому то, цто при достаточно широкой полосе прозрачности четырех­
полюсника K(ioo) обязательно имеются частоты, при которых обратная
связь отрицательна, и частоты, при которых обратная связь положи­
тельна.
Как видно из выражения (8.35), первые из этих частот соответствуют
условию
l1Pк(oo)-ooTl=(2k+l)n, k=O, 1, 2, 3, ... ,
(8.36)
а вторые-
i'Pк(oo)-roTl=2kn, k=O, 1, 2, 3, ...
(8.36')
Вблизи частот, соответствующих отрицательной обратной связи,
модуль коэффициента передачи K(ioo) может быть сделан сколь угод­
но большим. При этом опасность нарушения устойчивости системы не
возникает. При частотах же, соответствующих положительной обрат­
ной связи, для устойчивости системы модуль K(iw) обязательно дол­
жен быть меньше единицы (см. § 8.6) . В дальнейшем мы будем исхо­
дить из условия, что в интересущей нас полосе частот К( ro) либо вообще
не изменяется, либо изменяется слабо.
Поэтому условие устойчивости сводится к неравенству
K(ro)< 1,
которое должно выполняться на всех частотах.
Считая это - условие выполненным, выражение (8.35') перепишем в
виде геометрической прогрессии
K0 (loo)=K(ioo)e- 1 ыr {1 +K(iw)e-twr +[K(iro)/2e- 12wT + ... } =
=K(iro)e-iwT +[K(iro)j2e-i2wT +[K(iro))зe-lЭwT +...
(8.37)
Соответственно
(8.38)
Правую часть этого выражения можно трактовать как сумму
комплексных амплитуд напряжений, являющихся результатом после­
довательных циркуляций в замкнутом кольце обратной связи: сла­
гаемое U1 K(iro)e- 100 т «проходит» через четырехполюсник K(iro) и линию
задержки один раз, слагаемое U1 [K(iw) Ре- 1200 т - два раза и т. д.
Заметим, что в § 8.1 подобная трактовка уже была использована
[см. выражение (8.5) 1. Однако только при наличии задержки, когда
отдельные циркуляции разнесены во времени, такой подход nрцобре­
тает наглядность и физическую осязаемость.
Найдем амплитудную и фазовую характеристики передаточной функ­
uии K 0(iro).
308

Для этого воспользумся формулами (8 .9) и (8.10), в которые под­
ставим
~ = 1; cpf. =0; <р = q,к-roT.
Здесь, как н ранее,через <рк обозначен аргумент K(iro), т. е. фазовая
характеристика усилителя.
Тогда получим
К.о (ro) =
К (ro)
•
У 1-2К (ro) cos (<рк-rоТ)+ К2 (ro)
(8.39)
q, (ro) = q, -roT +arctg К (ro) sin (<рк-rоТ) •
0
"
1-К (ro) cos (<рк-ооТ)
(8.40)
Поведение амплитудной и фазовой характеристик передаточной
функции K 0(i<1)) существенно зависит от свойств четырехполюсника
K(i w), входящего в кольцо обратной связи. Некоторые важные для
практики случаи рассматриваются в дальнейших параграфах дан­
ной главы.
8.9 . ГРЕБЕНЧАТЫЯ ФИЛЬТР
Сначала допустим, что K(iro) =К== const и q,к(ro) = О при О<
< ro < оо, т. е. что четырехполюсник составлен из одних лишь оми­
ческих сопротивлений. Тогда при частотах, отвечающих первому ус­
ловию (8.36), cos roT = -1 и К. 0(ro) в соответствии с формулой (8.39)
проходит через минимумы, а при частотах, отвечающих второму усло­
вию (8.36), -
через максимумы.
Таким образом, минимальные значения амплитудной характери-
стики
(8.41)
а максимальные
(8.42)
Частотный интервал между двумя соседними максимумами (или
минимумами), как это ясно из (8.36) (при arg K(iro) = срк = О), равен
(8.43)
Графики К 0( ro) для нескольких значений К представлены на рис. 8.19.
Амплитудно-частотная характеристика четырехполюсника с за­
держкой в цепи обратной связи имеет вид «гребенки». Фильтры с та­
кими характеристиками получили название «гребенчатых» фильтров.
309

Ширина 2Лl1) 0 каждого зубца гребенки, определяемая по ослабле­
нию на границах до 1/V2 от максимума, может быть найдена из соот•
ношения
откуда
Ко (uJ21< ± ЛuJo)
Ко (uJ21<)
1-К
1·
-Jf~1=+=к=2===2K~co=s=(Л=uJ=o:::;T;;::-) = _У_2_
1
4К-К2 -1 =l-(1-К)
2
_
cos Лw0Т= ----
2К
2К
J
2
к•о,9
'L.:::~~~~~~~~~~-
0
Рис. 8.19
(~.44)
При значениях К, близких к единице, cos Лrо 0Т также мало отли­
чается от единицы и можно записать
cos Лffi0 Т;:::;:; 1-(l -l()~ .
2
С другой стороны, разлагая cos Лw 0Т в степенной ряд и учитывая
лишь первые два члена ряда (что можно сдеJшть, когда cos Лw 0 Т бли­
зок к единице), получаем
(ЛuJ Т)2
cosЛw0Т~1-
0
•
т
Приравнивая правые части последних двух выражений, находим,
что Лrо 0 Т ~ 1 - К, а вся «полоса пропускания» одного зубца rpe·
бенки.
л 1-К
2 ffio=2-- .
т
(8.45)
С приближением К, т. е. коэффициента передачи разомкнутого
тракта кольца, к единице толщина зубцов гребенки очень быстро умень­
шается. Это свойство гребенчатого фильтра весьма ценно для выде­
ления периодических сигналов из шумов или любых других помех о
«размытым» спектром. Если время задержки равно периоду повторения
сигнаJЮв, то в зубцы гребенки «попадают» соответствующие компо-
310

ненты дискретного спектра сигнала и лишь небольшая доля компо­
нентов спектра помехи. Таким образом на выходе фильтра достигается
повышение отношения сигнал/помеха. Следует, однако, отметить, что
при введении в кольцо обратной связи усиления, приближающего К
к единице, резко уменьшается запас устойчивости системы и облег­
чается возникновение самовозбуждения (паразитной генерации).
Обратимся к рассмотрению фазовой характеристики гребенчатого
фильтра вблизи одной из частот ro 2k, соответствующей максимуму
амплитудной характеристики.
Перепишем формулу (8.40) с учетом того, что q>н = О, а roT = (ro 2k+
+Лrо)Т = 2kл + ЛrоТ:
1Po(ro2k+Лro)= -2kл-ЛroT-arctg Ksiл(ЛffiT) .
1-К cos (ЛrоТ)
Наклон фазовой характеристики определяется производной
~= -Т
КТсоsЛооТ-К 2 Т. _
d (Лоо)
1+К2-2К cos ЛооТ '
=-Т
1-КсоsЛоТ
1-2К cos ЛооТ +К 2
В точке Лrо = О, т. е. при ro-+ ro2k,
~1 =-Т 1-К =-Т-1-.
d (Лоо) дrо=О
1-2К+К2
1-К
(8.46)
(8.47)
(8.47')
Замечаем, что наклон фазовой характеристики в зубцах гребенки
превышает время задержки во столько же раз, во сколько модуль
коэффициента передачи К 0( ro2 1J четырехполюсника с обратной связью
превышает модуль Ккоэффициента передачи разомкнутого тракта
[см. ф-лу (8.42)/.
Все приведенные выше соотношения были получены при допущении
о равномерности амплитудно-частотной характерстики К( ro). В ре­
альных системах это условие, конечно, не выполняется. Влияние не­
равномерности характеристики K(ro) на форму гребенки однако не­
трудно учесть. Как правило, в пределах одного зубца изменением
K((J)) можно пренебрегать. Изменение же этой характеристики на ши­
роких частотных интервалах можно учесть подстановкой в формулы
(8.39)-(8.47) значений K(ro), соответствующих рассматриваемому
участку диапазона. При этом оказывается, что даже незначительное
изменение К(ro) приводит к резкому, особенно при К(ffi) -+ 1, изме­
нению амплитуды «зубцов». Для иллюстрации этого свойства гребен­
чатого фильтра на рис. 8.20 изображена амплитудно-частотная харак­
теристика, получающаяся при изменении характеристики K(ffi) разомк­
нутого тракта всего лишь от К= 0,9( при ffiT < IОл) до К= 0,95 (при
roT > IОл).
Из приведенных данных видно, что линейная система с положитель­
ной обратной связью обладает свойствами, противоположными свой­
ствам линейной системы с отрицательной обратной связью: усугуб·
311

пение неравномерности амплитудной характеристики и увеличение
фазовых сдвигов, присущих четырехполюснику разомкнутого тракта.
Имеет место также подчеркивание нелинейных искажений, возни:ка­
ющих в усилительном элементе кольца.
В заключение рассмотрим свойства передаточной функции К0(р)
на комплексной плоскости р ;:::::=. о + iФ.
'
12
6
J(•О,З
LJ
К•О,95
Рис. 8.20
Рис. 8.21
Записывая выражение (8.35') в операторной форме [K(iro) ==
~ К(р) =. К считаем действительным и постоянным J
Ке-рТ
Ко(Р)=---
(8.48)
l-Ke-PT
и приравнивая знаменатель нулю, находим особые точки (полюсы)
функции К0(р):
Таким образом,
1-ке-Рn т =0, el)n т =К,
Pn T=a±in2n,
a=lnK ~ -(1-К).
1-К.2n
Pn=-т±inт.
Расположение особых точек Рп на плоскости р показано на рис. 8.21.
8.10. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ГРЕБЕНЧАТОГО ФИЛЬТРА
Основываясь на соотношении (5.18)
1⁄4
g(t)=-
1
JК (iro) etwt dro
2n
°
-
312

и подставляя вместо К11(tm) формулу (8.37), получаем для импульсной
характеристики четырехполюсника с задержкой Т в цепи обратной
связи следующее выражение:
+оо
+оо
g(t)=-
1
JK(iro) е100 <t-T> dro+ ....!.... J1K(iro)]2 elm <t-2T> dro+... (8.49)
2n
2n
-оо
-оо
Первое слагаемое представляет собой импульсную характеристику
четырехполюсника K(i(J)), смещенную вG времени на величину Т (в СТО·
р.ону запаздывания).
Второе слагаемое является импульсной характеристикой каскад·
ного соединения двух одинаковых четырехполюсников К(iю) о общим
коэффициентом передачи [К(iю) J1. Ве.личина времени запаздывания
в данном случае равна 2Т. Третье слагаемое определяет импульсную
характеристику каскадного соединения трех четырехполюсников К(iю)
с общей задержкой ЗТ и т. д.
Таким образом, выражение (8.49) определяет импульсную харак•
теристику четырехполюсника с обратной связью в виде импульсов,
циркулирующих по замкнутому кольцу таким образом, что каждый
последующий импульс пробегает на один четырехполюсник K(i(J))
больше, чем предыдущий. Как правило, с возрастанием номера uир•
куляции длительность отде.льных импульсов возрастает. Поэтому
если на первых пробегах эти функции при достаточно большой задерж­
ке Т не перекрываются во времени, то в дальнейшем такое перекршие
является неизбежным.
Рассмотрим сначала идеализированный случай K(l w) = К i= .
== const. Ясно, что при равномерном пропускании всего спектра от О
до оо каждый из членов выражения (8.49) представляет собой функцию
вида Кпб(t- пТ), т. е. единичный импульс, ослабленный в 1/Кп раз
и задержанный на пТ сек.
Таким образом, в данном случае
g (t) = Кб(t-Т) +К26 (t-2T)+К36 (t-ЗТ)+...
В тех случаях, когда К близко к единице, можно воспользоваться
соотношением
ln К.= ln [l-(1-K)J ~ -(1-К).
Тогда
К= eln К= е-0-К) 1
К2=е2 lnK =е-2 _ (1-К),
Можно поэтому считать, что коэффициенты при единичных импульсах,
возникающих на выходе четырехполюсника через интервалы Т, убы·
1
вают по закону ~-о-юr (рис. 8.22, на котором дельта-функции не
обозначены).
313

Отсюда следует, что постоянная времени гребенчатого фильтра
равна Т/(1- К). Заметим, что этот результат совпадае1 с найденным
в предыдущем параграфе наклоном фазовой характеристики фильтра
•
k2n
вблизи однои из точек w2k = т·
Рассмотрим теперь другой важный для практики случай, когда
входящий в кольцо обратной связи четырехполюсник представляет
собой избирательную (резонансную} цепь.
g(t)
·(1-1<)1
е"
'./
'
---
О 1 2ТJr...
t
Рис. 8.22
Для упрощения математического анализа целесообразно исходить
из «гауссова» фильтра с коэффициентом передачи
((i)-(i)p)2
/((iw} = Ае-
~ - t ((i)-wp) t.
(8.50)
где roP - резонансная частота фильтра; Ь
-
поJJовина полосы про­
пускания, определяемая по ослаблению на границах до е- 1 1 2 ; t 0 -
наклон фазовой характеристики (линейной); А < 1 (из условия устой­
чивости системы).
Импульсная характеристика фильтра, определяемая первым сла­
гаемым правой части формулы (8.49), приводится к виду 1
,,r-
Ь' (1-lo)'
A br2-
2
--е
cos roP t,
ул'
(8.51)
а при учете задержки Т
Ь ✓2 _ Ь' [t-(T+to)]'
g1(t)=A -(л е
2
coswP(l-T).
(8.52}
Таким образом, первое слагаемое формулы (8.49) представляет собой
«гауссов» импульс с длительностью 2/Ь (на уровне 1/е 1 1 2 ) и с частотой
заполнения rop,
При определении функции времени, соответствующей второму
слагаемому формулы (8.49), следует иметь в виду, что возведение в
1 Это выражение нетрудно получить с помощью (5.18).
314 /

квадрат K(iro) эквивалентно снижению вдвое ь~ и увеличению вдваt'
t 0 (и, конечно, возведению в квадрат А).
Поэтому функция, аналогичная (8.51), должна бЬLть записана в
форме
,r-
ь•
Ь r 2 -- (t-2to)'
А2--е 2•2
cosro t
,r-
Р'
r2n
а с учетом задержки на 2Т
(8.53)
Для n-ro члена формулы (8.49) получим следующее общее выражение:
-
ь•
bV2 -- •[t~n<T+t 0 )]'
gn(t)=An ,r-е 2n
cos rop (t-nT).
rпл
(8.54)
Отсюда видно, что после п-го пробега по кольцу длительность им·
пульса возрастает в fn раз (по сравнению с первым пробегом), а ам­
плитуда импульса уменьшается в -V ri7An-t раз (напомним, что A<l).
·- Этот
результат можно сформулировать в виде общего правила: су­
жение полосы пропускания четырехполюсника, входящего в кольцо
обратной связи, приводит к убыстрению убывания циркулирующих
импульсов и увеличению их длительности.
8.11 . ПРОЦЕССЫ УСТАНОВЛЕНИЯ
В ГРЕБЕНЧАТОМ ФИЛЬТРЕ
Рассмотренные в предыдущих параграфах свойства функций пере­
дачи К0 (р) и импульсных хараК'Iеристик g(t) позволяют выявить глав­
ные особенности протекания процессов установ,1ения в гребенчатых
фильтрах.
Пусть к системе, изображенной на рис. 8.18, в момент t ;::; О при·
кладывается э. д. с. произвольной формы e(t).
Переходя к изображению этой э. д с. по Лапласу Е(р) и основы­
ваясь на выражениях (8.35') и (8.37), которые в операторной форме
имеют вид
можно записать общее выражение для сигнала на выходе системы
[см. выражение (6,6)],
315

e-f-loo
e-f -loo
Uвых (t)=-1 sЕ (р)К(р) е-Р: еРТ dp =-l sЕ(р) К(р)еР <t-TI dp+
2nl
\-К(р)е-Р
2nl
с-/оо
с-/оо
c+loo
+_!__ 5Е(р)(К(р)]2еР(t-2т1dp+...
2nt
с-/оо
(8.55)
Первое слагаемое в правой части этого выражения определяет изме­
менение входного сигнала после первого пробега через четырех­
полюсник К(р) и линию задержки, второе слагаемое - после двукрат­
ного пробега по кольцу, третье слагаемое - после трехкратного про·
бегаит.д.
Таким образом, для О< t < Т напряжение на выходе системы
равно нулю, для Т < I < 2Т это напряжение определяется первым
слагаемым, для 2Т < t < ЗТ полное выходное напряжение является
суммой первых двух слагаемых, для ЗТ < t < 4Т - суммой трех сла­
гаемых и т. д.
В тех случаях, когда входной сигнал e(t) имеет характер импуль­
са с длительностью, меньшей, чем время задержки Т, причем при по­
следовательной циркуляции по кольцу эффект удлинения импульсов
проявляется незаметно, в суммировании слагаемых выражения (8.55)
нет необходимости: каждое слагаемое определяет полное выходное
напряжение в соответствующие моменты времени.
Выражение (8.55) по своей структуре совпадает с (8 .38) с тем, од­
нако, различием, что (8.38) определяет комплексную амплитуду уста­
новившегося гармонического напряжения с частотой (J), а (8.55) - мгно­
венное значение выходного напряжения при произвольной форме вход·
наго сигнала.
Рассмотрим включение гармонической э. д. с. e(t) = E 0sinrot
вмоментt=О.
Задавая определенную функцию К(р) и подставляя изображение
синусоидальной э. д. с. по формуле
00
Е(р)= ('Е0sin(J)tePTdt=Е0 2+ro 1 ,
~
(J)
р
нетрудно найти каждое из слагаемых правой части выражения (8.55).
По истечении достаточно большого времени на выходе системы уста­
новится напряжение с частотой (J) и комплексной амплитудой, определя­
емой выражением (8.38). С целью максимального упрощения задачи
допустим, что K(i(J)) = К = const при О< (J) < оо.
Тогда:
•
для О < t < Т правая часть равна нулю,
для Т < t < 2Т все слагаемые, кроме первого, равны нулю,
а первое равно
КЕ0 sin (rot-шT),
816

для 21 < t < ЗТ отличны от нуля два первых CJJaraeмыx, которые
дают суммарное напряжение
KE0 sin(uJt-ffiT)+К2E0 sin(uJt-2uJT) и т. д.
Для nT<t<(n+ l)T имеем
Uuыx (t) = КЕо sin (ffit- ffiT) + К2Ео sin (ffit - 2ffiT) +
+ ... +К " Е0 sin (ffii-nffiT).
(8 .56)
Через каждый промежуток времени Т к ранее действовавшему на
выходе напряжению добавляется (скачком) син усоидальное напря·
жение с амплитудой, в 1/К раз меньшей
(К < 1 по условию устойчивости с истем ы),
и с фазой, на ffiT отстающей от фазы преды·
дущего скачка напряжения .
Результирующее выходное напряжение
изобразится вектором ОА, скачком изме­
няющим свою длину и положение в мо·
менты t = Т, 2Т, ЗТ ... (рис. 8.23) . При
t-. оо
длина вектора ОА обращается в
К 0(1)Е0.
Если частота э. д. с. О) кратна в еличи­
не2n/T,т.е.юТ =.k2n,где k- любое
/
·t,JT/
ыТ
~/кt
:~;)-:,
',
КЕ
о---------
Рис. 8.23
целое число, то все парциальные векторы
складываются в фазе и ам плитуда выходного напряжен : rя изменяет-
ся так, как это показано на рис. 8.24 .
В тех случаях, когда четырехполюсник К(iю) является инерuион- .
ным, приращения амплитуды и фазы в моменты t=T , 2Т •• . изменяются
не скачкообразно, а плавно. Точный закон изменения амплитуды и
фазы может быть определен на основе выражения (8.55) .
ЕоК3
Гfк
{0 К1
~
Ео,7
ЕоК1111 nnn
11J
111111
Q ,u IUUI
t.
2Т
3.Т
.
'IT
Рис. 8.24
817

8.12. НАКОПЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Пусть сигнал на входе гребенчатого фильтра имеет вид периоди­
ческой последовательности импульсов произвольной формы с периодом
повторения Т, равным времени задержки фильтра.
11311567
·г1 111111111
oJ
КЕ1
1
/( f /(Jf
л_11
1)
КЕ1
1КfК3[
111
-
--
,,.,,
,,.--
,,
,,
,,
,,
,,
~
,
,
""
, ЧJ ......
,
;;-. .
~
,..._ ,
~ ...
~;""
...
..
~ ~·~
:..: ::.. , :
~• Т2ТЗТJ;T
Рис. 8.25
1
1
1
1
'·-
--
--
-
-
-
t
t
),
t
з,
t
---
--·-·1·--
1(
tJвых=Е 1 _К
J
,
t
Этот случай представляет для практики особый интерес, так как
гребенчатый фильтр широко применяется для фильтрации именно пе­
риодических сигналов, точнее, «пачки» одинаковых импульсов с по·
стоянными временньrми интервалами .
Полагая, как и ранее, K(iffi) = К = const, а также считая линию
задержки « идеальной» (см§ 8.8) , приходим к следующему очевидному
результату : каждый входной импульс порождает на выходе системы
серию импульсов, отстоящих один от другого на время Т и имеющих
~~шлитуды, убывающие по ЗЭl{ОНУ К, К2, К 3, ...•
318

На рис. 8.25, а показана периодическая последовательность вход•
ных импульсов, начинающаяся с момента t = О, а на рис. 8.25, б,
в, г и т. д. - I, 11 и т. д. серии убывающих импульсов, возникающих
на выходе под действием соответственно 1-го, 2-го и т. д. входных им­
пульсов.
С уммир у я (по вертикали) последовательности 1, 11 и т. д., получим
в моменты t:
t=O
i=T
t=2T
t=ЗТ
Ивых=О,
Иuых=КЕ,
Ивых=К(1+К)Е,
Иоых = К(l +к+ К2)Е,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
t=пТ ивых =к(1+к+/(2+...+кп-l)Е.
п•
t
ЕК(
"
ф
8 25)
ри п-+-оо, -+-00
,
ивых = -- нижнии гра ик на рис.
.
.
1-К
,J[[iii
ОТ2ТJTfT
КЕ1
1
К Ек'Е
1
-
111
6)
..
t
I}
К/l
1Кlк'Е
u 111
•t
t}
Kt1
1КlК'Е
Jlj 111
..
t
..
t
r)
КЕ
-
, к'Е к'Е
х 111
..
t
,,'
,,
'
,,,
''
,"
'
Рис. 8 .26
З19

Нетрудно установить, что огибающая выходных импульсов оараста-
- ( ,-К>~
ет по закону 1- е
т, как это и должно быть при импульсной ха-
рактеристике, изображенной на рис. 8.22. Таким образом, имеет место
накопление cиrнaJJa.
К этому же результату можно прийти и с помощью спектрального
подхода: разлагая входной сигнал в ряд Фурье и применяя к каждой
гармонике результаты, полученные в предыдущем пункте для вклю­
чения синусоидальной э. д. с., найдем, что после окончания процесса
установления амплитуда каждой из гармоник на выходе увеличивается
в 1/( 1- К) раз. Так как частоты всех гармоник кратны величине 2n /Т,
то фазовые соотношения в спектре сохраняются и выходные импульсы,
совпадая по фазе с входными, возрастают в К/(1 - К) раз.
В случае пачки из N импульсов получается построение, показанное
нарис.8.26(дляN=5,К =0,8).
При учете инерционности четырехполюсника K(iro) задача сильно
усложняется, так как приходится учитывать не только ослабление
амплитуды, но II изменение формы импульса при последовательных
циркуляциях по кольцу обратной связи.
Не останавливаясь более подробно на рассмотрении подобных задач,
ограничимся приведенными выше рассуждениями, весьма наглядно
поясняющими суть процесса накопления в гребенчатом фильтре при
совпадении периода повторения сигналов с временем задержки в коль­
це обратной связи.
8.13 . РЕЦИРКУЛЯТОРЫ
Для систем с обратной связью без специальных линий задержки
метод расчета, основанный на циклическом обходе замкнутой системы,
по существу, является всего лишь формальным приемом.
При сигналах же, коротких по сравнению со временем задержки,
использованное в предыдущих параграфах данной главы понятие
о «циркуляции» сигналов в кольце отображает реальный физический
процесс.
Для современной радиоэлектроники особый интерес представляют
«кольца», способные обеспечивать достаточно большое число циркуля­
ций без заметного искажения сигнала. Помимо того, что подобная си­
стема представляет собой гребенчатый фильтр (см. § 8.9), она может
быть использована в качестве «памяти», т. е. устройства, запасающего
информацию. Чем меньшие исюажения претерпевает сигнал при про­
беге по кольцу, тем меньше разрушается содержащаяся в нем инфор­
мация и тем, следовательно, большее число циркуляций может быть
использовано для запасания информации. Ясно поэтому, что длитель­
ность памяти подобного устройства, иногда называемого ре u и р к у­
л я то р ом, равна времени задерж1<И Т, умноженному на 11исло не­
искаженных циркуляций N.
320

Построение рециркуляторов на большие значения N является весь­
ма сложной задачей. Дело в том, что N пробегов сигнала по кольцу
эквивалентно одному пробегу того же сигнала через N каскадно сое­
диненных четырехполюсников, каждый из которых содержит все эле­
менты кольца. При этом резко подчеркиваются все дефекты амплитуд­
но- и фаза-частотных характеристик усилителей, используемых
в кольце для компенсации весьма большого затухания линии задержки.
Для более отчетливого представления о возникающих трудностях
полезно напомнить, что при снижении на какой-либо частоте амплитуд­
но-частотной характеристики в кольце до К (относительно максималь­
оого значения, приравненного единице), неравномерность тракта,
эквивалентного N пробегам, со~тавляет KN.
Так, например, при ослаблении всего лишь на 1%, т. е. при К =
= 0,99 и N = 100, ослабление характеристики эквивалентного тракта
из 100 четырехполюсников составит 0,99 100 ~ 0,37.
В связи с этим простые рециркуляторы «амплитудного» типа при­
годны практически для относительно небольшого числа циркуляций,
не превышающего нескольких десятков.
Для увеличения памяти используются способы, основанные на
различных преобразованиях входного сигнала, позволяющих облег­
чить требования к характеристикам кольца.

9
Нелинейные цепи и методы их анализа
9.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Основные радиотехнические преобразования осуществляются
с помощью либо нелинейных систем, либо линейных систем с перемен­
ными параметрами. Однако линейные параметрические системы ре­
ализуются тоже с помощью нелинейных элементов (например, ем­
кость р-п llf!pexoдa в полупроводниковом диоде), а некоторые пара­
метричес1<Ие системы сами работают в существенно нелинейном ре­
жиме (например, параметричес,шй генератор). Поэтому можно счи­
тать, что изучение свойств нелинейных элементов и систем является
фундаментом для теории большинства реальных радиотехнических
устройств. Приведем некоторые примеры нелинейных элементов .
Следуетразличатьрезистивные нелинейные эле­
менты (сопротивления) и реак1ивные нелинейные
э л е м е н т ы (индуктивности, емкости).
Для радиотехнических цепей и устройств наиболее характерными
и распространенными резистивными нелинейными элементами явля­
ются ламповые, полупроводниковые и J1юбые другие приборы, ис­
пользуемые для усиления или преобразования сигналов и имеющие
нелинейную вольтамперную характеристику. Важными параметрами
резистивных нелинейных элементов являются определенные сответ­
ствующим образом их сопротивление или проводимость.
При использовании нелинейного элемента в качестве двухполюс­
ника, например, при в1<лючении источника напряжения между анодом
и катодом диода или триода, отношение
RеIЕ0
=-
=-
i е=Е, lo
(9.1)
можно трактовать как сопротивление рассматриваемого нелинейного
элемента постоянному току при фиксированном значении е = Е 0
(рис. 9.1).
С другой стороны, при наложении на постоянное напряжение до­
статочно слабого сигнала e,(t) можно говорить о диффере,щиальном
сопротивлении, определяемом как производная· de/di в точке i = i 0
(рис. 9. 1).
•
При испоJiьзовании нелинейного элемента в l{ацестве активного,
управляемого сигналом четырехполюсника (ламповый триод, nентод,
транзистор или любой другой усилительный прибор) основной инте-
322

,Рее представляет крутизна характеристики прибора. Говорить о кру­
тизне характеристики для постоянного тока, очевидно, не имеет смысла.
Поэтому различают два следующих определения крутизны: а) крутиз­
на характеристики в рассматриваемой рабочей точке при слабом сиг­
нале («дифференциальная крутизна»), б) крутизна
присильномсинусоидальномколебании(средняя крутизна).
С первым понятием крутизны, соответствующим линейному режиму
• работы прибора, мы имели дело в гл. 6-7, где эта крутизна обознача­
лась S или а [см. выражения (6.68), (7.108) и дрJ.
i
е
t
Рис . 9.1
Рис. 9.2
Второе определение крутизны соответствует существенно не.линей­
ному режиму работы устройства и может быть дано лишь при учете
формы вольтамперной характеристики нелинейного элемента . Это
будет сделано ниже.
Примером нелинейной емкости может служить любое устройство,
обладающее нелинейной вольткулоююй характеристикой q(e).
На рис. 9.2 пунктирными линиями изображены вольткулонная
характеристика qл(е) и емкость Сл = qл(е)/е = const для обычного
(линейного) конденсатора, а сплошными линиями - аналогичные
характеристики qнл(е) и Снл(е) = qнл(е)/е для нелинейного конден­
сатора .
Независимо от характера зависимости Снл(е), для заряда qнл•
как и в случае линейной емкости, имеет место соотношение
(9.2)
В дальнейшем нелинейная емкость будет обозначаться С(е).
Если приложенное к емкости С(е) напряжение изменяется во вре­
мени, то ток через емкость может быть определен с помощью одного из
двух эквивалентных выражений:
323

i(t)= dq(е)=dq(е).d~ ,
dt
de dt
i(t)= d[С(е)е]=еdC(е)_!!!+
dt
de dt
(9.3)
+С (е) .!!! = [е dC (е) +С (е)].!!:..
dt
de
dt
Если напряжение е изменяется в небольших пределах в окрест­
ности точки е = Е0 , то емкость можно
представить в виде выражения
Со= dq(e) \
.
(9.4)
de в=Е,
Определенную таким образом ем­
кость иногда называют д и ф ф е­
ренциальной емкостью.
На рис. 9.3 изображена зависи-
__ ____
О,______е_ масть С(е) для емкости полупровод•
никового •диода. Последняя кривая
при е < О хорошо аппроксимируется
формулой
Рис. 9.3
С(е)=С(О) у' lel:1 1Pк,
(9.5)
где ср 1<-контактная разность потенциалов, зависящая от кристалла,
примесей и др.; е-внешнее (обратное) напряжение.
Наконец; катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая
сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения, яв­
ляется примером нелинейной индуктивности L(i).
Соотношение между током i и напряжением uL на индуктивности
следует из исходного выражения для потокосцепления
Ф=L(i)i.
(9.6)
Очевидно,
иL(t)= dФ(t)= dL (i). .!:!...i+L(i).!!!__ =
dt
di dt
dt
= [id~/i)+L(i)] :: .
(9.7)
Если задано напряжение uL(t) на индуктивности L = L li(t)J,
то, очевидно,
~ul. (t) dt= Ф(t) = L (i)•i(t),
324

и, как и в случае линейной индуктивности,
i(t)=--
1
- JuL (t)dt.
L [i (t)]
Поддифференциальной индуктивностью под•
разумевается величина
(9.8)
Понятиями дифференциальные сопротивление, емкость и индук­
тивность широко пользуются при рассмотрении воздействия относи­
тельно слабых сигналов на нелинейные элементы . При этом нелиней­
ность элемента проявляется лишь в том, что величины R, С и L за­
висят от величины управляющего напряжения (или тока), определя­
ющей положение рабочей точки на нелинейной характеристике . По
отношению же к слабому сигналу подобный элемент является линей•
ным уст1iойством с перемённым параметром (если управляющее на­
пряжение изменяется во времени).
Свойства таких устройств рассматриваются в гл. 11.
9.2. АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЯНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Для анализа и расчета нелинейных цепей требуется задание вольт­
амперных или иных аналогичных характеристик нелинейных элементов
в аналитической форме.
Реальные характеристики обычно имеют сложный вид, затрудня­
ющий точное их описание с помощью достаточно простого аналитиче­
ского выражения.
В технике широкое распространение получили способы представ­
ления характеристик сrгносительно простыми функциями. лишь при­
ближенно отображающими истинные характерстики. Замена истинной
характеристики приближенно представляющей ее функцией называет­
зя аппроксимаuией характеристики.
Выбор оптимальной аппроксимации зависит от вида не.линейной
характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента.
Одним из наиболее распространенных способов аппроксимации яв•
ляется аппроксимация степенным полиномом. В ГJI. 6 такая аппрокси­
мация была использована для исследования линейного усилителя со
слабо выраженной кривизной вольтамперной характеристики. В этой
и последующих главах степенной полином используется для анализа
сущесrrюен,н,о н,елин.ейн.ого режима работы системы, когда нелинейность
явлется не вредным, паразитным, а полезным, рабочим фактором.
Запишем аппроксимирующий степенной полином в форме выра­
жения (6.68), в котором входной сигнал s заменим напряжением е.,
а постоянную величину а 0 , фиксирующую положение рабочей точки, -
напряжением е = Е O (см. рис. 9.1)
(9.9)
825

Если под нелинейным элементом подразумевается вакуумный
диод, то е и i соответствуют анодному напряжению еа и анодному
току ia. В случае вакуумного триода или пентода е соответствует нап­
ряжению на управляющей сетке, а i - анодному току. В случае
полупроводникового триода е - напряжение смещения между эмит­
тером и базой, а i - ток коллектора и т. д.
Как уже указывалось в § 6.8, ,юэффициен-
i
тыа,~.
v ... определяются выражениями:
Е0О
Рис. 9.4
е
а= -(
di)
de е=Еа'
(9.10)
l (d3i)
у-- -
31 de8 с=Ео
и так далее.
Нетрудно видеть, что а представляет собой крутизну характеристи­
кивточкее= Е0, т. е. а = tg;(см. рис.9.1), ~ - первуюпроизвод­
ную крутизны (с коэффициентом 1/ 2 1), v- вторую производную кру­
тизны ( с коэффициентом 1/ 31 ) и т. д.
При заданной форме вольтамперной характеристики величины
коэффициентов а, ~.
у и т. д. существенно зависят от Е0, т. е. от по­
ложения рабочей точки на характеристике.
Рассмотрим некоторые типичные и важные для практики случаи.
1. Рабочая точка расположена на начальном участке характери­
стики, имеющем вид квадратичной параболы (рис. 9.4) . Предполагает­
ся, что подводимое к нелинейному элементу напряжение сигнала, на­
кладываясь на постоянное напряжение Е 0 , не выходит за точку
Е1, т. е. за начало характеристики.
Выражение (9.9) в данном случае может быть записано в виде поли­
нома второй степени
i(E0 +еа)= i(E0 )+aes+~e: .
(9.11)
Коэффициент а определяется выражением
а-(~) -S
-
de е=Е• -
'
где S - крутизна характеристики в рабочей точке е == Е 0 .
Коэффициент ~ определяется из условия, что при е8 = Е 1 -Е 0
ток i = О, откуда получаем уравнение
Таким образом,
326
i (Е0)+ S (Е1 -Е0)+ ~(Е1 -Е0)2 =0.
i (Eo)+S (Е1 -Е0)
(Е1 -Ео) 2

2. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики, nо­
казанной на рис. 9.5 .
В точке перегиба кривой i = f(e) все производные четного порядка
равны нулю. Поэтому коэффициенты при четных степенях в выраже­
нии (9.9) обращаются в нуль и пос.леднее может быть записано в форме
i (Е0 + е8)= i (E0 )+ae,+ ve~+ ~е~+ ...
(9.12)
Для упрощения анализа часто ограничиваются полиномом всего
лишь третьей степени без квадратичного члена («неполным полиномом
третьей степени»):
(9.13)
..
ь
,
Рис. 9.5
Рис. 9.6
Соответствующая этой аппроксима11ии характеристика показана
на рис. 9.5 пунктирной линией. Напряжение ±Ем, соответствующее
экстремумам аппроксимирующей функции и отчитываемое от е == Е 0 ,
иногда называютнапряжением наоыщения. Заданием
этого напряжения, а также а (крутизны S в точке Е 0}, однозначно
определяют коэффициент v в выражении (9. 13).
Действительно, в точке Е O + Ем• т. е. при амплитуде входного
сигнала е8 ;= Ем• выполняется тождество
-
1
=а+ЗуЕм=О,
(d.)
2
des е8s:Ем
откуда
а.,
s
v=--= --.
ЗЕ~
ЗЕ~
(9.14)
Отметим, что аппроксимацией (9.13) допустимо пользоваться, когда
напряжение е , не выходит за пределы ±Ем.
3. Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики,
изображенной на рис. 9.6 .
Если изменение напряжения настолько велико, что используется
участок, обозначенный на оси абсцисс буквами а - Ь, то для удов- •
летворительной аппроксимации требуется полином пятой или более
327

. высоко А степени.
При этом анализ сильно усложняется и применение
степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффек­
тивным.
При очень больших амплитудах сигнала часто оказывается удоб­
ным заменять реальную характеристику идеализированной, линейно­
ломаной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представ­
ление характеристики называется кусочно-линейной ап­
п рок с и м а ц и ей. Некоторые примеры кусочно-линейной аппрок­
симации изображены на рис. 9. 7 .
Рис. 9. 7, а соответствует случаю, когда используется нижний сгиб
и линейная часть характеристики (участок а - с); рис. 9. 7, 6 - когда
i
i
i
1,
1
1
1
,
1:'
е
,
•
а J,о
а
ьо сd
аьосd,t
О.)
б')
8)
Рис. 9.7
сигнал захватывает нижний и верхний сгибы (участок а - d), а
рис. 9.7, в - когда сигнал достигает также и падающего участка
характеристики (участок а - f). Следует особо подчеркнуть, что
замена реальной нелинейной характеристики линейными отрезками
не означает линеаризации цепи. Так, например, несмотря на то, что
на участке Ь - с (рис. 9 . 7, а) характеристика линейна, по отношению
к сигналу, захватывающему область изменения а - с, система в це.лом
является существенно нелинейной.
Кусочно-линейная аппроксимация особенно проста и удобна для
исследований и расчетов, когда основное значение имеет нижний
сгиб характеристики, т. е. когда можно ограничиваться двумя пря­
мыми (рис. 9. 7, а). При более сложной форме используемого участка
характеристики число аппроксимирующих отрезков растет, и кусочно­
линейная аппроксимация теряет свои преимущества. В подобных слу·
чаях иногда для аппроксимации применяются различные трансцен•
дентные функции, например гиперболический тангенс1, экспоненци­
альные функции и некоторые другие.
Описанные выше приемы аппроксимации применимы и к соответ­
ствующим характеристикам реактивных нелинейных элементов.
1 К р ы л о в Н. Н . Электрические процессы в нелинейных элементах ра ·
диопрнемннков. Связьиздат, 1949.
328
е

9.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРА В ЦЕПИ
С РЕЗИСТИВНЫМ НЕЛИНЕЯНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Пусть на нелинейный элемент с вольтамперной характеристикой
i = f(e) подается напряжение сигнала e.(t), спектр которого S( ro)
известен.
Под выходной величиной можно подразумевать ток i(t), протека
ющий через нелинейный элемент под действием напряжения e8 (t).
Требуется определить спектр /(ro) функции i(t). Можно написать
общее выражение
00
00
/(ro)= ~ i(t)e-Lmtdt= ~f[e,(/)]e-Lmtdt.
(9.15)
-оо
-оо
При задании нелинейной функции f(e.) даже в виде аналитического
выражения, как правило, не удается выразить /( ro) непосредственно
через спектральную плотность Es( ro) исходного сигнала. Это объяс­
няется тем, что в нелинейном элементе возникают новые частоты и
состав спектра функции 'i(t) отличается от состава спектра функции
e8 (t). Поэтому приходится отказываться от общей постановки вопроса
и ограничиваться некоторыми упрощенными моделями сигналов и
устройств.
Большое распространение получил анализ, основанный на рассмот•
рении воздействия гармонического и бигармонического колебаний на
нелинейное устройство, характеристика которого аппроксимируется
степенным полиномом. Подобный анализ, далеко не исчерпывающий
вопроса о преобразовании спектров реальных сигналов, несущих в себе
информацию, все же позволяет выявить некоторые принципиальные
свойства нелинейных устройств.
Рассмотрим сначала воздействие гармонического колебания e8 (t) =
= Ecos ro1t на нелинейность, описываемую выражением (9.9).
Не повторяя рассуждений § 6.8 и основываясь на формуле (6. 70),
можно прийти к выводу, что спектр тока i(t) должен, в общем случае,
содержать постоянную составляющую / 0 и гармоники с частотами nro,
гдеп=l,2,3, ...
Спектрограмма подобного тока изображена на рис. 9.8, а.
/ 0 обозначает приращение постоянного тока, обусловленное четными
степенями ряда (9.9).
Соотношение между амплитудами отдельных гармоник зависит
от характера нелинейности, положения исходной рабочей точки на
характеристике, а также от амплитуды возбуждающего колебания.
В зависимости от назначения нелинейного устройства некоторые
из составляющих спектра являются полезными продуктами преоб­
разования, а другие - вредными, подлежащими подавлению.
Так, в случае выпрямле1щя переменного напряжения, с помощью
фильтра нижних частот выделяется постоянная составляющая / 0 .
329

В устройствах, предназначенных для усиления высокочастотного
гармонического колебания, без преобразования частоты, стремятся
соответствующим выбором режима работы подчеркнуть амплитуду
первой гармоники /1, При этом высшие гармоники, а также постоян­
ная составляющая отсеиваются с помощью частотного фильтра. То же
самое относится к амплитудным ограничителям резонансного типа.
Спектрограмма, изображенная на рис. 9.8, а, указывает на воз­
можность осуществления с помощью нелинейного устройства также и
умнлженuя .частоты гармонического колебания. Для этого на выходе
устройства должна быть выделена одна из высших гармоник с часто­
той n(J}1,
1
lo
1
[1'
r
п
I
1
(
1
1
(
1
1
•
о
ш,
2ш1 зш,
П(J.Jf
ЦJ
K{ld1
а;
lАi"
/\
А
'1
1\
''
''
.с :lliii
.tJt. ~
•
о
"'•
2w1
Jl,,J,
пw,
(А)
5)
Рис. 9.8
На рис. 9.8, б показаны полосы прозрачности (заштрихованы)
фильтров, осуществляющих выделение полезных составляющих спект­
ра соответственно при выпрямлении, нелинейном усилении, а также
при использовании нелинейного устройства в качестве умножителя
частоты.
Рассмотрим воздействие на нелинейное устройство бигармониче­
скоrо колебания
e8 (i)=E1COSffii i_+E2 cosro 2 t.
(9.16)
Подстановка (9.16) в ряд (9.9) приводит к следующим результатам:
для линейного члена ряда
а.ев(t)=а.в.cosЫ1t+аЕ2cosЫ2t;
(9.17)
для квадратичного члена ряда
330
~е;(t)=~(Е1cos ro1t+Е2cosы2t)2 =
= ~Ет COS
2
(J)lt+~Eg cos
2
(1)2 t+2ВЕ1Е2cosЫ1 tcos ffi2 t,-
= _!__~(Ef+Е~)+_!___ ~Ef cos2ы1t+
2
2

+-
1
~Е~ cos 2@2 l +~El Е2 rcos (u!j +ffi2) l +cos (u!i-@2} l) . (9 . 18)
'2
Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет прира­
щение постоянного тока.
Слагаемые с частотами 2ro 1 и 2ro 2 представляют собой вторые гар­
моники от соответствующих компонентов входного сигнала.
Слагаемые же с частотами ro1 + ro2 и ro, -
ro 2 представляют ком­
бинационн&е колебаниЯ' .
Проделав аналогичные преобразования над кубическим слагаемым
ye;(t), убеждаемся, что это слагаемое вносит в спектр: ro1, ro 2 - ос­
новные частоты; 3ro 1, Зrо 2 - третьи гармоники; ro1 + 2 ro2,\ro1 - 2ro2I,
2ro1 + ro 2 ,j2ro 1 - ffi2I - комбинационные частоты.
'
11
.
•
о
w, w~
(,,J
ош,
I.J.}2
ЦJ
1!
f1
i~I.11
А..
Оw
2
-w
1
ш, I.J .}2
2w1 2ш2ш О"11
ш2 -ш1 ш2 "'z'Ш, UJ
а)
w1•ш2
21и,
б)
Рис. 9.9
Продолжая подобный анализ для более высоких степеней ряда
(9.9), можно показать, что при воздействии на нелинейное устройство
бигармоническоrо колебания в спектре колебания на выходе нелиней­
ности, описываемой полиномом k-й степени, могут находиться следую­
щие частоты: ro = О - постоянная составляющая; ro = nr.u1, при п =
= l,2, ..., k - гармоникичастотыro1;ro=nro2,прип =l,2, ...,k -
rармони1<ичастотыw2;ro=lnro1+mm2[;прип=l,2, ..., k,т=
= 1, 2.... , k и условии, что п + т < k - комбинационные часто­
стот1:,1 .
Спектрограмма колебания на входе и выходе нелинейного элемента,
описываемого полиномом 2-й степени (k = 2), изображена на рис. 9 .9, а
для случая, когда частоты Ш1 11 ro2 близки друг к другу, и на рис. 9. 9, 6,
когда ro1 < Wz.
Из рассмотрения спектрограмм видно, что взаимодействие двух
гармонических колебаний с неодинаковыми частотами в нелинейном
устройстве 2-й степени открывает п уть к получению разностной
/ro1 -ro2/ и суммарной ro 1 + ro2 частот (помимо гармоник 2ro 1 и 2w 2) .
Для этого достаточно применить на выходе нелинейного элемента ли­
нейную избирательную систему, выделяющую полезную составляющую
спектра. Полосы прозрачности таких систем показаны в нижней
части рис. 9. 9, а.
331

Это свойство квадратичноrо нелинейного элемента широко при­
меняется в радиотехнике для осуществления сдвига частоты сигнала.
В случае же 00 1 ~ 00 2 (рис. 9. 9, 6), когда комбинационные частоты
ю2 ± ffi 1 располагаются вблизи частоты 0)2 и все три частоты - 002 ,
ю2 + ro1 и ro 2 - ro1 - могут быть выделены одним общим фильтром,
можно получить спектр, соответствующий спектру при амплитудной
модуляции колебания частоты ro 2 относительно низкой частотой 001,
При нелинейности более высокого порядка (k > 2) можно осущест­
вить выделение любой из частот вида ro = /nffi1 ± mro2I, п + т-<.к.
При более сложном составе входного спектра, содержащем частоты
ю1 , ro 2, юа и т. д., на выходе нелинейного элемента возникают частоты
вида nro1, nm 2, поо 8 и т. д. и комбинационные частоты вида поо1 ±
± тю11., где п и m - любые целые числа.а ro 1 и 0011.
-
любая из пар
частот входного спектра.
Нетрудно установить, что при любом сложном, но периодическом,
воздействии с основной частотой m на выходе нелинейного элемента
имеет место так.же периодический процесс с основной частотой оо. Обо­
гащение спектра в этом случае может произойти только за счет гар­
моник с частотами поо. Это объясняется тем, что в рассматриваемом
частном случае все частоты выходного сигнала кратны частоте m;
следовательно, суммы и разности любых двух гармоник входного спект­
ра также кратны ю.
Из приведенного ранее качественного рассмотрения видно, что
простой резистивный нелинейный элемент в сочетании с избиратель­
ной линейной цепью позволяет осуществить следующие преобразова­
ния: выпрямление гармонического колебания; нелинейное усиление;
умножение частоты; сдвиг частоты сигнала; амплитудную модуляцию
колебания.
В данной главе все эти преобразования рассматриваются для слу­
чая, когда входные колебания не содержат информации (гармонические
колебания). В гл. 12 и 13 результаты этого рассмотрения будут ис­
пользованы для изучения преобразований сигналов, несущих в себе
полезную информацию.
9.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРА В ЦЕПИ С РЕАКТИВНЫМ
НЕЛИНЕRНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Взаимодействие гармонических колебаний в нелинейной емкости
или индуктивности образует спектр, который по своему составу не
отличается от рассмотренного в предыдущем параграфе спектра в це­
пи резистивного нелинейного элемента. Имеется, однако, существен­
ная особенность, связанная с энергоемкостью реактивных элеменs
тов. При совместной работе нескольких генераторов на нелинейную
емкость или индуктивность возможен обмен энергией между генера­
торами.
..
Покажем это на примере нелинейной емкости при воздействии на
нее двух гармонических колебаний с частотами ю1 и ro 2 (рис. 9. 10).
332

Вольткулонную характеристику q(e) аппроксимируем полиномом,
причем для упрощения анализа ограничимся второй степенью
q = q0+ае+~е2•
(9.19)
Коэффициенты а и ~ имеют в данном случае смысл и размерность,
отличающиеся от коэффициентов ряда (9.9).
Очевидно,
(9.20)
есть дифференциальная емкость при е = Е 0 , где Е O - постоянное
напряжение, определяющее положение рабочей точки на характе­
ристике q(e), а
~=-1(d
2
q) =-1( dC)
.
(9_2l)
21 de2 е=Ео 21 de е=Ео
Применяя первое выражение (9.3) к ряду (9.19), находим ток через
конденсатор
i(t)=!!i.~=а~+2~е~.
de dt
dt
dt
(9.22)
Подставляя в эту формулу внешнее воздействие в форме
е(t) = е1(t)+е2(t)=Е1sin(ro1t+<р1)+Е2sin(ro2t+q>2),
после несложных тригонометрических преобразований получаем окон­
чательное выражение
i(t)= a..ro1Е1cos(ro1t+<р1)+a..ro2Е2cos(ro2t+<р2)+
+~Ф1Е~ sin 2(ro1t+q,1)+~ro2 Е~ sin2(ro2 t + q,2) +
+ ~(ro2+ ro1)Е1Е2sin[(ro2+ ro1)t+(q>2+ cp1)J-
-
~(ro2 -ro1) Е1 Е2 sin [(ro2 -ro1) t + (IPi -q,1)).
(9.23)
Два первых слагаемых в полученном выражении соответствуют то­
кам на частотах Ф~ и ro 2, которые имели бы место в случае линейной
емкости, равной а; остальные слагаемые - гармоники с частотами
2ro1, 2ro2 и комбинационные колебания с частотами ro2 +ro1, ro 2 - ro 1
являются продуктом взаимодействия двух гармонических колебаний
в квадратичной нелинейности.
Рассмотрим энергетические соотношения. Первые два тока (с коэф­
фициентами а), сдвинутые по фазе на 90° относительно соответствую­
щих э. д . с. e1(t) и e 2 (t), не создают дл·я источников расхода энергии (как
и в обычном линейном конденсаторе без потерь).
Ток с частотой (ro 2 + ro1) может также не учитываться при энерге­
тических расчетах, так как средняя мощность, отдаваемая генерато­
ром э. д . с. частоты ro1 или ro 2 при протекании через них тока с часто­
той (Ф1 + ro2), равна нулю.
Нагрузка же генераторов, создаваемая остальными токами -
с частотами 2(1)1, 2(1)2 и (1)2 - (1)1 - зависит от соотношения частот
ro1 и ro2, а также от соотношения фаз (J)1 и (J) 2•
333

Если частоты ro 1 и ro 2 находятся в кратном соотношении, совпадаю­
щем со степенью аппроксимирующего полинома (т. е. с порядком
нелинейности), то при определенном соотношении фаз <р1 и <р2 перечис­
ленные выше токи могут оказа ться в фазе (или в противофазе) с электро­
движущими силами е 1 (t) или е 2 (t).
В частности, в рассматриваемом случае квадратичной нелиней­
ности, при выполнении условия ffi 2 = 2ffi 1, комбинационная частота
ro 2 - ro 1 совпадает с частотой э. д. с. (1) 1 (соответственно, при
ro1 ;::,_ 2(t)2,/ffi2 - ro1/ = 1/ 2ffi1 = roi). При этом ток с частотой 2u12
i(t)
+
Рис. 9.10
Рис. 9.11
может не учитываться, токи же с частотами ro 2 и ffi 1 запишутся в виде
i<JJ, (t)= ~ffii Eisiп2[{.1)1 t+<JJil = ~ffiiEfsin(0>2t+ 2q,1),
loo, (t) = -~ (u12 -u11) Е1 Е2 sin f(u1 2 -ffii) t +(<р2 -<р1)/ =
= -~ffi1 Е1 Е2 sin [{J)i t +((J)2 -q,1)/.
Так как ток i00 , (/) сдвинут по фазе относительно е2 (t) =
= Е2sin({.1)2 t +(J)2
)
на угол <р2 -2<р1, то средняя мощность, отдавае­
мая генератором э. д. с. е2 (t), равна
Роо, =-
1
~(J)l Ет Е2 cos (<pz-2(JJ1)-
(9.24)
2
Соответственно мощность, отдаваемая генератором на частоте ffi 1,
при сдвиге фаз 2(J)1 - (J)2,
1
2
Роо, = --~ffijE1 E2 COS (2<р1 -<р2).
(9.25)
2
Заметим, что при любых фазах 'Р1 и q> 2 выполняется условие
Pro, +Pro , =0.
Наложим теперь на фазы добавочное условие в виде равенства
(J)2 - 2q>1 = О. Тогда Роо , - положительная , а Р00, - отрицательная
мощности.
Это означает, что генератор э. д. с. частоты ffi 1 не расходует мощ­
ность, а, наоборот, потребляет ее от генератора э. д. с. частоты w2•
334

Пустьтеперьq,2 - 2<р1 =±л,Тогда Pw, < О, а Рш, >О,и источ­
ником энергии является генератор э. д. с. частоты u1,, а потребителем -
генератор э. д. с. частоты u1 2.
Рассмотрим теперь энергетические соотношения в схеме, содер­
жащей кроме нелинейной емкости еще и линейный, диссипативный
элемент. На рис. 9.11 этот элемент обозначен буквой Z 2( (uz) (комплекс­
ное сопротивление).
На нелинейную емкость воздействуют две электродвижущие силы
e1(t) = E1sin(oo1t + <р1) и e3(t) = Е3sin (oo 3t + (J)з) от независимых
источников и, кроме того, напряжение комбинационной частоты
00 2 = loo 3 - 0011, e2(t) = E 2sin(w 2 t + <р2), действующее на сопротивле­
нии Z2( u> 2) (параллельный колебательный контур, настроенный на
частоту, близкую к ro2), Для частот ro, и ro з величины этого сопротив­
ления Z2(rot) и Z2(u1 3) предполагаются пренебрежимо малыми.
Подставляя в выражение (9.22,
е(t)= Ei sin(оо1t+(JJ1)+
+Е2sin(ш2t+<р1)+Е3sin{ш~t+111)
и производя несложные выкладки, получаем формулу, аналогичную
(9.23) (частоты,_ ?ТJIИчные от u11 , ro 2 и 00 3 , не учитываются):
i(t)= aro1Eicos(u11t + <р1)+ що2Е2cos(002t + <fJ2)+
+aro3 Е3cos (ro3 t + <p3)-~w1 E2 Е3 sin (ro1 t +(ср3-<р2)]-
-~оо2Е1Е3sin [ro2 t +(<р3-<р1)]+ ~ro3 Е1Е2sin [ro3 t + (ср2+ (fJ1)J.
(9.26)
При определении энергетического баланса первые три слагаемые (с ко­
эффициентом а) можно не уч:пывать (см. предыд1щий пример). Токи
же частот ro 1, ro 2 и ro 3, возникающие из-за нелинейности вольт,{улонной
характеристики, определяются выражениями
Здесn
iw, (t) = -~ro1 E2E3 sin [ro1 t +(ср3-<р2)] =
=
- lw,sin[oo 1t+('P3 -<p2)],
lw, (t) = -~u12 Е1 Е3 sin [ro2t + (ср3-·<р1)] =
=
-lы, sin [00 2t+(cp3 -<p1)I,
iw, (t) = ~ro3Е1 Е2 sin [ro3t+ ((fl2+ ср1)] =
=
1w, sin (roзt+(cp2 + (fl1)].
lro, =~оо1 Е2 Е3, lro, =~ro2 E1 E3 И fw, =~оо3 Е1 Е2
представляют собой амплитуды токов iш, (t), i(~ , (t) и iw, (t).
(9.27)
Учитывая, что в исходных выражениях e 2 (t) = Esin: r,> 2 t + <р 2)
имеет смысл электродвижущей силы, обратной по знаку надению на-
335

пряжения на сопротивлении Z2(w 2) при прохождении через неrо тока
iш, (t), можем, на основании (9.27) составить следующее равенство:
е2(t)=Е2sin(w2t+q,2) =
= /ш, 1Z2 (Ф2) 1sin [Ф2 t + (ср8-ср1) + C[Jz),
где через q>z обозначен аргумент сопротивления Z2(6)2}. Отсюда сле•
дует, что
Е2=fш,1Z2(Ф2)1,
(1)2 = 1Рз-1Р1 +ер: .
На основании последнего выражения формулы (9. 27) можно привести
к следующему виду:
i., (/)- -/No>, Е, Е, sin /ю, 1+ч,, ,-ч,,], 1
~ш, (t) = -~Ф2 Е1 Е8 SIЛ (ro2 t + CJ12-CJ1zJ,
iш,(t)= pro3Е1Е2sin(ro3t+ср3+cpz].
(9.28)
В частности, при Z2(ro2) = R2, когда cpz = О, токи ioo,U) и iш, (t) на­
ходятся в противофазе, а ток iш, (t) - в фазе с порождающими их элект­
родвижущими силами.
В этом случае мощности, выделяемые в нелинейной емкости на
частотах ro 1, ro 2 и Фз, определяются выражениями:
1
•
1
Роо, = -т foo, Е1 = -т Рrо1 Е'J.Ез Ei,
1
1
Рш,= -
2 Iы,Е2= -
2 Pw2Е1Е3Е2,
(9.29)
1
1
Ры, =-fш, Е3 =-~Ы3 Е1Е2Е8 •
2
2
Отрицательные значения Ро:,, и Рш, означают, что соответствующие
источники электродвижущих сил e1(t) и e 2(t) не отдают, а потребляют
мощность. Положительное же значение Ро:, , указывает на то, что источ•
ник e 3(t) отдает мощность во внешнюю цепь.
• Суммарная мощность, выделяемая в нелинейном реактивном эле•
менте,
поскольку Фз = 002 + 00 1• Этот результат находится в полном соrла·
сии с условием отсутствия потерь в емкости.
Из выражений (9.29) получаем следующие пропорции:
рш, ро:,,
ро:,,
-=-=--
(9.30)
336

Эти соотношения являются частным случаем общей теоремы Мэн­
ли - Роу 1 об энергетических соотношениях в спектре колебания в си­
стеме, содержащей реактивную нелинейность . Эта теорема записы­
ва~ся в форме
00
00
m=O n=-oo
тРт, п
-- -- =0,
mro1 +nroo
I
oo Ioo nPт, п
---'--=О.
mro1+поо0
m=-oo n=O
(9.31)
Здесь ro 1 и ro 0 - частоты генераторов, возбуждающих систему, а
Рт п - мощность колебания частоты mro1 + nro 0 ; числа т и п оп­
ределяют порядок комбинационного колебания. Предполагается, что
в общем случае в схеме с нелинейноii реактивностью имеются прово­
димости для любых комбинационных частот.
Выражения (9.31) могут быть распространены на любые реактив­
ности ~ емкостные и индуктивные - при условии отсутствия гисте­
резиса.
Из проведенного анализа видно, что с помощью нелинейного ре­
активного элемента можно осуществить преобразование спектра, со­
провождающееся перекачкой энергии из одного источника в другой.
Это свойство широко используется для усиления слабых сигналов
и ряда преобразований. Более подробно эти вопросы рассматриваются
в гл. 11, посвященной параметрическим системам .
9.5 . НЕЛИНЕЯНАЯ ЦЕПЬ С ФИЛЫРАЦИЕЯ
ПОСТОЯННОГО ТОКА. ВЫПРЯМЛЕНИЕ
Рассмотрим нелинейную систему, изображенную на рис. 9. 12. К по­
следовательному соединению нелинейного элемента Д (диод) с про­
стейшим RС-фильтром приложена гармоническая э. д. с . e(t) = Ecosro 0 t;
требуется найти токи в ветвях и напряжение unыx на выходе схемы
(в стационарном режиме). Такая задача характерна для однополупе­
риодноrо выпрямления переменного тока, амплитудного детектиро­
вания (в отсутствие модуляции) и многих других радиотехнических
процессов. Диаграмма напряжений и токов в анодной цепи диода по­
казана на рис. 9.13. Напряжение н а выходе ивыхU) представляет собой
пульсирующую около среднего значения И O кривую (рис. 9.13, а).
Это напряжение является отрицательным по отношению к диоду, т. е.
приложено плюсом на катод, а минусом на анод диода. Поэтому ток
1
Доказательство и истолкование теоремы Мэнли-Роу см. в книге В. С. Э т­
к и н и Е. М. Ге р ш е II з о н. Параметрические системы на полупроводни­
ковых диодах. Изд-во «Советское радио», 1964 . Там же приведена обширная
библиография.
12 Зак. 137
337

через диод возможен только в течение отрезков периода, когда поло·
жительная полуволна э . д. с. превышает напряжение Ивых(t). Иными
словами, ток через диод имеет форму импульсов, показанных на
рис. 9.13, 6. В промежутках между импульсами тока, когда происхо­
дит разряд конденсатора С через сопротивление R, напряжение ивыхU)
убывает. Н промежутке t1 < t < t2 конденсатор подзаряжается им·
пульсом анодного тока и ивыхU) растет. Если постоянная времени
нагрузочной uепи, т. е. произв~дение RC, велико по сравнению с пе­
риодом Т == 2л./(iJ 0, то амплитуда пульсаций напряжения Ивых мала
_i
и,
.4
=ii
с..
e(t}
R
с иеы,
а)
=-1
t1о t2
T•t
1
Т T•t2
t
~
Рис. 9.12
Рис. 9.13
и в первом приближении можно считать uвых ~ U 0 . Учитывая, что
по отношению к диоду напряжение на нагрузке является отрицатель­
ным, рассмотрим построение, показанное на рис. 9.14. В левой части
этого рисунка сплошной линией изображена истинная вольтамперная
характеристика диода в координатах анодный ток ia - анодное на­
пряжение еа, а пунктирной прямой линией - аппроксимирующая
ее линейная функция. Диаграмма входного напряжения e(t) = Ecosro 0 t
построена относительно вертикальной оси w 0 t, смещенной на величину
U O влево от точки еа = О. В правой части рис. 9.14 изображены им­
пульсы анодного тока, длит ,ольность которых равна 20.
Как видно из рисунка, угол Е) соответствует изменению тока от
максимального значения / т до нуля. Угол Е) получил название «угла
отсечки» анодного тока. В пределах угла 20 форма импульса тока близ­
ка к отсеченной косинусоиде и, если пренебречь кривизной вольтам­
перной характеристики, мгновенное значение тока может быть выра·
жено уравнением
ia=/~' (cosro0t-cos0)
(9.32)
при
-0<ro0 t<E>.
Здесь / ~ означает максимальное значение импульса, которое получи­
лось бы при отсечке Е) = л/2. Так как амплитуда реального импульса
/т соответствует моменту (1) 0 f = О, имеет место соотношениt
im = ia (0) =!~ (1-cos 0),
(9.33)

откуда
I-
lm
т-
1-соs в
Подставив это выражение в (9.23), получим окончательно
ia(t)= lm (cosffi0 i-cos0).
1-cos 0
(9.34)
Определяемый ,этим выражением импульсный ток, изображенный
в правой части рис. 9.14, а также на рис. 9.15, резко отличается по
форме от подводимого к схеме синусоидального напряжения. Это яв·
Рис . 9.14
ляется результатом использования диода в нелинейном режиме. Анод­
ный ток содержит «постоянную составляющую» / ао (рис. 9.15) и ряд
гармоник с частотами, кратными частоте uJ 0 .
Для рассматриваемой в данном параграфе частной задачи выпрям­
ления основной интерес представляет постоянная ссставляющая
тока / а•· Однако для полного анализа схемы требуется знание также
и всех прочих составляющих спектра тока. Эти сведения необходимы
и во многих других задачах, связанных с использованием импульсного
тока с отсечкой. Вычислим постоянную составляющую и амплитуды
гармоник тока, изображенного на рис. 9.15. Ввиду четности функции
i0 ( ffi 0 t) относительно t [см. выражение (9.34) ], анодный ток можно
представить в виде ряда Фурье, содержащего одни лишь косинусои­
дальные члены. Применяя формулы (2.24) и (2.32), находим
12·
в
е
fa0 = _J Sia(ffiot)duJ0t =
2л
-А
= -----
cos w0L- co::iо)асо0L= /т---
lm
s(
r.;,
.
sin 0-0 cos 0
л(1- cosе)
n(1- cos8) '
о
(9.35)
339

8
la, =--;- Sia(ro0 l)co~ro0 tdJJ0 l=
-+i
е
=
21
m
J<cosw0 t-cos0)cosw0 tdro0 t=
n (1-cos 0J
о
=lm 0-sin 0cos8.
n (1-cos 8)
(9.36)
Аналоrично можно получить общее выражение для амплитуды
11-й гармоники
Отношения
2 [sinn е cos 0-ncosn 0 sin 0]
Jап=/т-'-------------=--
л:п(n2- 1)(1-cos0)
Рис. 9.15
lau
sin 0-0 cos 6
ао= -
= ------
f'"
л: (1- cos 0)
/01
6-sin8cos8
сч=-=------.
lm
n (1-cos 8)
Iа2
а2 =т;;: •
......
......
(9.37)
(9.38)
(9.39)
(9.40)
называются коэффициентами постоянной составляющей, первой гар­
моники, второй rармоники анодноrо тока и т. д. (коэффициенты Берrа).
Коэффициенты а 0, а,, а2 и т. д., а также отношение 'У = а1/а 0,
являются функциями угла отсечки. Графики этих функций показаны
на рис . 9.16. Из рассмотрения графиков можн::> вывести важные за­
ключения о свойствах импульсного тока, получаемого при работе
нелинейного сопротивления в режиме с отсечкой и прежде всего то,
что с уменьшением угла отсечки отношение
а1 la1 0-sin0 cos0
У1=-=-=
а0 la" sin0-0cos0
(9.41)
растет. Это означает, что при уменьшении 0 отношение амплитуды
первой гармоники тока к постоянной составляющей увеличивается.
Кроме того, с повышением номера гармоники п максимумы коэффи-
840

циентов a.i перемещаются в область малых значений 0. Все эти обстоя•
тельства оказывают существенное влияние на выбор режима работы
нелинейного элемента в усилителях, умножителях частоты и неко­
торых других устройствах, которые будут рассмотрены ниже.
Проведенный гармонический анализ импульсного тока (при си­
нусоидальном напряжении на входе) позволяет находить напряжение
на любых линейных элементах, входящих в рассматриваемую нелиней­
ную систему. Для схемы, изображенной на рис. 9.12, основной инте­
рес представляет напряжение на цепочке RC. При правильном выборе
элементов этой цепочки все гармоники тока проходят, в основном,
через емкость С, не создавая заметного падения напряжения .
.,..,
111
2 •113
11
0,lf
0,3
0,2
о,,
.,, _
2
,
~
~
,,
,., .
,
.,,
.,,,
r,..
...
.,
,,,,_.
«1,,-
~
,r
.. ... N1Ar,-
,-J
-,-
'
,., _
cw,
~ 113
...
"
-
о 20 ,;о 10 ,о ......__
,wв•
Рис. 9.16
Искомое же выпрямленное напряжение равно
Иo=fao,R.
(9.42)
Для установления связи между амплитудой входного напряжения
Е и И O при заданных параметрах цепи воспользуемсР следующими
соотношениями: непосредственно из рис . 9.14 вытекает , что
cos0=Uo
Е'
(9.43)
следовательно, для определения И O достаточно найти угол отсечки 0.
С этой целью воспользуемся соотношением
/ =Е-И0
т
R;'
(9.44)
где R1 - сопротивление диода, определяемое как котангенс угла
наклона линеаризированной характеристики (угол ~ на рис. 9.14).
Учитывая выражения (9 .37) и (9.43), можем написать
cos е
(1-cos 0)
R1
341

откуда
fao
tXo (1-cos EI)
-=
U0
cos0R;
и окончательно, учитывая (9.42),
sin е-0 cos 8
лсоs е
tg0-0
л
(9.45)
Итак, задание внутреннего сопротивления диода R1 и сопротив­
ления нагрузки R однозначно определяет угол отсечки 0. При этом
-
-
1
J
/
_v
2
предполагается, что емкость С,
шунтирующая сопротивление R,
отвечает условию
-
1
«R
(9.46)
(J}o С
или, что то же самое, постоянная
времени RC велика по сравнению с
периодом Т 0 , так ка" только в
0102030
t+0
50507080
в• этом случае напряжение на выхо-
де можно считать близким к по­
стоннному.
Уравнение (9.45) , связывающее
Рис. 9. 17
угол отсечки е с отношением R ;1 R,
является трансцендентным. Поэтому определение 0 удобно произво­
дить по графику, представляющему собой зависимость отношения
R/ R от 0. Этот график построен на рис. 9.17. Интересно рассмотреть
Рис . 9.18
Рис . 9./9
два предельных случая: l) е = О и 2) 0 = 90'' . Первый случай полу·
чается при R1/R -+- О, т. е. при бесконечно большом сопротивлении
нагрузки R, когда схема детектора вырождается в схему, представ­
ленную на рис. 9.18. При этом выпрямленное напряжение на конден­
саторе С достигает наибольшей возможной величины U O = Е и ток
через диод в установившемся режиме, когда закончен процесс зарядки
конденсатора, равен нулю. Таким образом, случай 0 = О соответ­
ствует «холостому ходу».
Второй случай (0 = 90°) соответствует режиму «короткого замы­
кания» нагрузки (R -+- О) . При этом вся э. д. с. оказывается приложен­
ной к диоду и ток последнего принимает форму полуволновых импуль·
342

сов (усеченных в верхней части, если Е больше, чем напряжение на
сыщения).
Если действие емкости не учитывать, что допустимо при малы.х
(но конечных) R, приходим к схеме, представленной на рис. 9.19.
Напряжение на нагрузке совпадает в этом случае по форме с током ia·
Из приведенных соображений видно, что для получения на выходе
выпрямленного напряжения, близкого по величине к амплитуде э. д. с.
Е, угол отсечки е должен быть относительно мал, а отношение R /R; -
весьма велико. При 0-< 10--,-20° получим И 0/Е = cos0 = 1. Для
получения такого режима требуется сопротивление нагрузки R=
= 100 R;-
После того как найдено ,1<., требуемая емIюсть С может быть опре-
делена с помощью условия (9.46).
9.6 . НЕЛИНЕЙНЫЙ АКТИВНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Для радиотехнических цепей характерно применение активных
(усилительных) элементов, обладающих вентильными свойствами (од­
нонаправленным действием). В гл. 5 было показано, что цепи с подоб­
ными элементами при работе в линейном режиме можно трактовать
как линейные четырехполюсники,
к которым не применим принцип
взаимности (см. § 5.2).
Аналогичный подход удобно
применять к анализу цепей с ак­
тивными элементами, работающи­
ми в нелинейном режиме. При
этом нелинейная система приво­
дится к н.елин.ейн.ому четырехпо­
люснику, некоторые из парамет­
ров которого являются функция­
ми амплитуды входного колеба­
Рис. 9.2(;
ния. Поясним суть метода на примере схемы, внешне не отличающей­
ся от обычного линейного усилителя (рис. 9.20). Однако режим рабо­
ты лампы зададим существенно нелинейным, как это показано на
рис. 9.21.
От аналогичного построения (см. рис. 9.14), рассмотренного в
предыдущем параграфе для диода, рис. 9.21 отличается тем, что вольт­
амперная характеристика ia = f(eg) начинается в области отрицатель­
ных сеточных напряжений, а напряжение смещения Еgo• определяющее
положение рабочей точки (в отсутствие переменного напряжения
e(t)= Ecosш 0 t), берется от постороннего источника, не зависящего от
амплитуды входного напряжения Е. Допущение, что анодный ток оп­
ределяется в основном напряжением на входе нелинейного элемента
(в данном случае на управJ1яющей сетке лампы), сильно упрощает
ЩiаJIИЗ:
343

а) сначала по заданному входному напряжению (без учета «реак­
ции» выходной цепи) можно определить ток во внешней цепи нелиней •
наго элемента;
б) затем с помощью обычных линейных соотношений можно опре•
делить напряжения, создаваемые найденным током на линейных
элементах цепи.
При определении тока по пункту а) могут быть использованы раз­
личные способы аппроксимации нелинейной характеристики. В рас­
сматриваемом примере, как и в предыдущем параграфе, использована
кусочно-линейная аппроксимация (рис. 9.21).
---
0z/2•
21f
"j,t
Рис. 9.21
При синусоидальном напряжении возбуждения анодный ток имеет
форму импульсов, изображенных в правой части рис. 9.21. Основание
импульса равно 20, а угол отсечки 0 определяется соотношением
а !Ego-E/( 1I
COSo=-----
E
'
(9.47)
где Eg1 - напряжение на сетке ( в данном случае отрицательное),
соответствующее началу идеализированной характеристики (пересе­
чению оси абсцисс с продолжением линейной части реальной харак­
rеристики).
АмпJJитуда импульса / т легко определяется непосредственно из
рис. 9.21:
(9.48)
Здесь S - крутизна линейной части вольтамперной характеристики.
В пределах - е < ffi 0 / < 0 мгновенное значение тока определяет­
ся, как и в предыдущем параграфе, выражением (9.34). ПодставJJЯЯ
в это выражение / т по формуле (9.48), получим
ia(t)=SE(cosffiot-cos0),
(9.49)

Основываясь на этом выражении, схему рис. 9.20 можно привести
к виду, показанному на рис. 9.22 . На этой схеме лампа, возбуждаемая
сеточным напряжением e(t) = Ecosro 0 t, заменена эквивалентным источ•
ником тока ia(t), который определяется выражением (9.49).
Гармонический анализ периодической пОСJ1едовательности косину­
соидальных импульсов с параметрами / m и 0 был выполнен в преды­
дущем параграфе.
Подставляя в формулу (9.40)
выражение (9.48), получаем
ia (t)
.JU.
la =сtп lm =San (1-cos <Э)Е.
п
(9.50)
____l
Дальнейший анализ зависит от
Рис. 9.22
структуры линейной части схемы,
т. е. от двухполюсника Z(i(J)) (рис. 9.22). Очевидно, что здесь приме­
ним принцип наложения, и напряжение на двухполюснике
00
00
•=
- ES (1-cos <Э) ~ ап z(nro 0 )cos (пы0 t+q,п)•
(9.51)
n=O
Здесь z(nro 0 ) и 'Рп - модуль и аргумент сопротивления двухполЮGника
при частоте п-й гармоники.
Знак минус в правой части выражения (9.51) учитывает, что по­
ложительное напряжение uвых (t), отсчитываемое по направлению
тока i(t), является отрицательным по отношению к точке нулевого
потенциала (земля). В общем случае напряжение=: ивых (tJ несинусои·
дально, и говорить о передаточной функции нелинейного четырех­
полюсника не имеет смысла. Крайне затруднительно учесть влияние
ивыхU) на величину анодного тока [не следует забывать, что выра­
жение (9.51) определяет выходное напряжение лишь в первом при·
ближении J. Задача, однако, сильно упрощается при использовании
избирательной нагрузки. Этот вопроо рассматривается в последующих
параграфах настоящей главы.
Как и в случае линейной цепи, нелинейный четырехполюсник яв•
ляется активным только при условии, что в нем имеет место усиление
мощности, т. е. если мощность колебания, выделяемого линейной це­
пью на выходе. больше, чем на входе (см. § 5.2).
9.7 . НЕЛИНЕАНОF.. РЕЗОНАНСНОЕ УСИЛЕНИЕ.
l(ВАЗИЛИНЕАНЫй МЕТОД
Приложим результаты предыдущего параграфа к частному случаю,
когда линейный двухполюсник Z(i(t1), показанный на схемах рис. 9.20
и 9.22, представляет собой параллельный колебательный контур, на­
строенный на частоту первой гармоники ro 0•
346

Полагая добротность контура достаточно высокой, можем считать,
что для частот 2m 0 , Зш 0 и т. д . контур оказывается замкнутым на·
коротко.
Тогда в правой части выражения (9.51) остается всего лишь одно
слагаемое, соответствующее первой гармонике:
Иных (i) = -la, Z (ш0) cos (1)0 t = ---ES (1-COS 0)а1 Z (<,)о) COS Шо i, (9.52)
причем z( ш 0) - резонансное сопротивление контур.~ L, С, r (рис. 9.23.) .
Угол qJ 1, очевидно, равен нулю (резонанс).
Амплитуда выходного напряжения
И вых =/а, z (ш0) = ES (1-cos 0) CX.iZ (Ф0).
(9.53)
То обстоятельство, что высшие гармониrш анодного тока не создают
никакого напряжения на избирательной нагрузке, позволя~т учиты­
L.
r
Рис. 9.23
с
вать их в схеме рис. 9.23. То же самое
относится и к постоянной составляющей
тока ia(t). Напряжение на контуре L, С,
r не изменится, если в схеме рис. 9.23
генератор импульсного тока ia(t) заме­
нить генератором тока первой гармони­
ки с частотой (t) 0 и амплитудой / at, отве­
чающей выражению (9.50), т. е.
(9.54)
Разделив это выражение на амплитуду сеточного напряжения Е,
получим параметр
(9.55)
1<оторый можно трактовать как среднюю крутизну характеристики
для первой гармоники.
Таким образом,
(9.56)
Из определения средней крутизны ясно, что это понятие имеет
смысл, если обеспечивается синусоидальность напряжения на нагруз­
ке (несмотря на сложную форму тока в нелинейном элементе).
Совпадение формы напряжения на нагрузке с формой тока источ·
ника позволяет учесть обратную реакцию этого напряжения. Как
и в линейном усилителе, при определенин тока амплитуду Е нужно за­
менить разностью Е- DVвых• называемой управляющим
напряжением.
При этом выражение (9.56) должно быть заменено более точным
выражением
(9.57)
346

Здесь
(9.58)
представляет собой внутреннее сопротивление нелинейного элемента,
npuвeдeftftOe к току первой гармоftики
На основании выражения (9.57) схему замещения анодной цепи
усилителя можно привести к виду, изображенному на рис. 9.23.
От аналогичной схемы линейного усилителя эта схема отличается
тем, что в ней Scp и R; являются функциями угла отсечки е и, следо­
вательно, амплитуды входного напряжения Е .
о
/
J
-·
/
--
~-
0,5
j
1А
J1
[/1
J
+~-~
1
1.,. ,-
1
о
!l!I
Рис. 9.24
i,.., -
,.....
-
·1- -
180
,.
Рис. 9.25
На рис. 9.24 приведен график зависимости отношения
Scp
1.
.
-=а 1 (1 - cost:9)=-(0-stn0cos0)
S
n
от величины угла отсечки 0.
При 0 = О лампа полностью заперта и S0P = О. При 0 = 90u,
когда ток имеет форму полуволновых импульсов, S cp = 1/ 2S, а при
е . _ 180° (линейный режим) средняя крутизна S0 P стремится к S.
Соответственно изменению Sер изменяется и коэффициент усиления
нелинейного усилителя. Подставив в (9.57) / а, = И вых/z( ro 0), нетруд·
но получить следующее выражение:
(9.59)
Характер зависимости К от угла отсечки 0 [при заданных S и
z(ro 0)) почти совпадает с рис. 9.24 [при z(ro 0)/R.; < 1]. Различие со·
стоит лишь в масштабах осей ординат.
347

С помощью рис. 9.24 можно построить также амплитудную харак·
терuстику нелинейного усилителя, представляющую собой эависи·
мость коэффициента усиления К от амплитуды на входе Е.
Для этого сначала с помощью соотношения (9.57) нужно построить
зависимость е от Е (при заданных Ego и Е 111 ), а затем уже - зави·
симость Scp и К от Е.
Для режима работы нелинейного элемента, соответствующего диаг­
раммам рис. 9.21, амплитудная характеристика усилителя имеет вид,
показанный на рис. 9.25 (нижняя кривая). При амплитудах входного
напряжения, меньших разности /Ego - Eg 1/, лампа заперта и К = О.
При дальнейшем увеличении амплитуды Е усиление сначала растет,
а затем убывает из-за захода возбуждающего напряжения в область
насыщения характеристики ia = f(ек> ·
На рис. 9.25 показаны также амплитудные характеристики того
же усилителя при установлении исходной рабочей точки вблизи eg = О
(т. е. при работе без смещения Ек•) и при jEк•I = /Е g,/ (угол отсеч­
кие=90 = const).
Итак, главной особенностью нелинейного усиления является за­
висимость основных его параметров от амплитуды колебания.
Существенно, однако, что при фиксированном значении амплитуды
синусоидального сигнала схема рис. 9.23 может условно трактоваться
как линейная, поскольку амплитуды токов и напряжений в этой схеме
связаны между собой обычными линейными соотношениями. Можно,
в частности, пользоваться методом комплексных амплитуд.
Такой подход к анализу нелинейных систем получил название
к ваз ил и ней н ого метод а 1 . Из предыдущего ясно, что этот
метод применим в тех случаях, когда несмотря на нелинейность цепи
обеспечивается син.усоидальн.ая форма колебаний, причем система рас­
сматривается в стационарном режиме. Нелинейность системы прояв·
ляется в том, что при изменении амплитуды колебаний изменяются и
«средние» параметры Scp и R;. Внутри же одного периода колебаний
эти параметры сохраняют постоянные значения.
Основным достоинством нелинейного режима усиления является
относительно высокий коэффициент полезного действия. Ранее уже
отмечалось, что с уменьшением 0 растет отношение амплитуды первой
гармоники тока к постоянной составляющей [см. выражение (9.41) 1.
Так как первая гармоника определяет величину полезной мощности
сигнала, выделяемой на нагрузке, а постоянная составляющая - мощ­
ность, подводимую к усилителю от источника питания, то ясно,что
при уменьшении е повышается отдача анодной цепи нелинейного уси·
лителя. Следует, однако, учитывать, что при этом абсолютная вели·
чина отдаваемой мощности уменьшается. Поэтому нелинейные усили­
тели обычно работают с углом отсечки анодного тока, близким к 90°,
при котором получается оптимальное соотношение между использо­
ванием и отдачей усилителя. То обстоятельство, что основной пара·
1 См. статью Ю. Б. К:о6зарева. О нелинейном методе трактовки явлений D
ламповом генераторе (почти синусоидальных колебаний). ЖТФ, No 5, 216 (193.5)
348

метр Scp является в общем случае функцией амплитуды входного сиr•
нала, ограничивает возможности применения нелинейного режима для
усиления ко.лебания, в котором информация содержится в огибающей
амплитуд (т. е. при амплитудной модуляции). Исключением является
режим с отсечкой тока точно в 90с . Непосредственно из рис. 9.21 вид
но, что при Еgo = Еgi изменение амплитуды входного напряжения t
приводит лишь к пропорциональному изменению амплитуды импуль·
са тока / т при сохранении формы импульсов. Таким образа~, при ра·
боте с отсечкой в= 90° средняя крутизна не зависит от амплитуды
входного сигнала и всегда равна 1/ ,;:;. При этом коэффициент первой
гармоники сх1 = / at/ / т = 0,5 [см. формулу (9.38) 1, т. е. амплитуда
первой гармоники равна половине амплитуды импульса.
При усилении частотно-модулированного или фаза-модулирован•
ного колебания нелинейность усиления не является препятствием (нР·
зависимо от угла отсечки).
Приведенные особенности нелинейного режима усиления очень
важны и широко используются в практике.
9.8 . )'МНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ
Наличие в составе импуJrьсного анодного тока ряда гармоник с ча­
стотами, кратными основной частоте возбуждения, позволяет исполь·
эовать усилитель, работающий с отсечкой анодного тока, в качестве
умножителя частоты. Для этого не требуются какие-либо изменения
в схеме резонансного усилителя, достаточно лишь нагрузочный коле·
бательный контур настроить на частоту выделяемой гармоники и
установить наиболее выгодный для подчеркивания полезной гармоники
режим работы лампы. Из графиков, изображенных на рис. 9.16, видно,
что в случае удвоения частоты выгодно работать с углом отсечки, близ­
ким к 60°, при котором коэффициент второй гармоники проходит через
максимум, в случае утроения частоты - при 0 = 40° и т. д.
Если контур настроен на частоту пш0, где п = 2, 3... и т. д., то
гармоники тока порядка п - 1 и более низкие пройдут преимущест­
венно через индуктивную ветвь, а гармоники п + 1 и более высокие-:­
через емкостную ветвь контура. При достаточно высокой добротности
напряжение на контуре от всех гармоник, за исключением n·й, очень
мало. Поэтому напряжение на контуре близко к синусоидальному .
с частотой n<iJ о•
Следует иметь в виду, что для полного использования мощности
электронного прибора снижение угла отсечки должно осуществляться
при поддержании неизменного уровня амплитуды импульса. Для это·
го одновременно с увеличением отрицательного смещения IE80I нужно
увеличивать амплитуду переменного напряжения на сетке Е. На
рис. 9.26 углу 0 = 90° соответствует смещение Еко~• углу 0 = 60° -
смещение Еgo 2 и т. д.; амплитуды Е выбраны такими, что / т остается
неизменным. Можно поэтому считать, что для умножителя частоты
характерен режим работы с большими амплитудами сеточного напря­
жения.

Это сбстоятельство наряду со снижением полезной мощности при
повышении порядка умножения из-за убывания коэффициентов а,.
(см. рис. 9.16) существенно ухудшает энергетические соотношения в
умножителях.
Схема замещения анодной цепи умножителя частоты внешне не
отличается от нелинейного усилителя (см. рис. 9.23). Нужно лишь под
средней крутизной по аналогии с выражением (9.55) подразумевать
Scp = Ian = S(1-cos0)ап,
(9.60)
Е
где коэ<j:фициент п-й гармоники ап определяется формулой (9.40).
Соответстве!Н!) и внутреннее сопротивление электронного прибора,
приведенное к используемой гармонике, равно
1
-1·-----
---
;:..,-. . r"'--
Рис. 9.26
,
R;
R;=-----
ап (l-cos 0)
(9.61)
Умножение частоты широко приме­
няется в ряде измерительных уст•
111
т-,
11
Рис. 9.2Т
ройств, когда требуется получить сетку частот, кратных какой-либо
одной определенной частоте, рассматриваемой в качестве опорной.
В подобных системах часто используется электронная лампа, ра­
ботающая с очень малым углом отсечки. Подавая на сетку лампы до·
статочно большое переменное напряжение (при большом смещении)
можно получить анодный ток в виде последовательности весьма ост­
рых импульсов. Такой ток богат гармониками, образующими очень
широкий линейчатый спектр. При воздействии этого спектра на кон·
тур напряжение на последнем может :.-.нльно отличаться от синусо­
идального, так как в полосу прозрачности 1юнтура попадает ряд гар ­
моник. В подобных случаях напряжение на контуре часто удобно оп·
ределять, исходя не из спектрального представления импульсного
тока, а из рассмотрения свободных колебаний, возбуждаемых каждым
из импульсов анодного тока в отдельности. Подобный случай изображен
на рис. 9.27. В промежутке Т между двумя импульсами тока ампли­
туда напряжения на контуре убывает по за1юну
350

иа (t) = и e-at = и e-WCB//2Q,
где (l)cn -
частота свободных 1<0JJебаний в 1<онтуре; Q - добротность.
Если к начаJJу последующего импуJJьса колебание, вызванное пре•
дыдущим импуJJьсом, не успевает полностью затухнуть, необходимо
учитывать наJJожение свободных колебаний.
9.9 . АМПЛИТУДНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ
В радиотехнике часто возникает необходимость устранения неже­
латеJJьных изменений амплитуды высокочастотного колебания, воз
никающих из-за накладки помех н;~ радиосигнал или передачи частот­
но-модуJiированных коJJебаний ч~рез избирательные цепи и т. д.
Для этой цели широко испоJJьзуются амплитудные ограничители.
предстаоJJяющие собой сочетаниt нелинейного эJ1емента и избирате.пь·
ной нагрузки. ВоJJьтамперная характеристика нелинейного элемента
должна иметь сильно выраженную горизонтальную часть, а полоса
пропускания избирательной цепи должна быть не шире той, которая
требуется для передачи информации, содержащейся в частоте (или
фазе) ограничиваемого колебания В качестве амплитудного ограни­
чителя может быть, в частности, испоJJьзован обычный нелинейный
резонансный усилитель, рассмотренный в § 9.6 в режиме работы, по
казанном на рис. 9.28.
Пусть I\ ограничитеJiю подводится колебание вида
(9.62)
причем изменение огибающей E(t) является нежелательным, паразит­
ным фактором. Если это изменение не выходит за пределы горизон­
тального учасп<а характеристики i 0 = f(eg), как это показано на
рис. 9.28, то импульсы анодного тока имеют одинаковую амплитуду,
независимо от E(t). Нес1юJ1ыю изменяется Jiишь ширина вершины
импульсов. Можно поэтому в нервом приближении считать, что ам­
плитуда первой гармоники, а СJJедователыю, и амплитуда напряжения
на колебатеJJьном контуре, являются в некотором интервале изменения
амплитуды E(t) постоянными величинами.
Характеристику ограничителя с· избирательной нагрузкой, обес­
печивающей отфиJiьтровывание высших 1·армоник, можно представить
в виде, изображенном на рис. 9.29, на котором по ос11 абсцисс ОТJIО­
жены амплитуды Е входного, а по оси ордина1 - амплитуды U0
выходного напряжений. Через Е1юр обозначено пороговое значение
амплитуды входного напряжения, начиная с которого обеспечивается
поJiное ограничение.
При E(t) > Е110 Р амплитуда на выходе почти не изменяется. Фаза
же первой гармон1ши анодного тока II соответственно выходного на
пряжения совпадае1 с фазой напряжения на входе ограничителя.
Можно поэтому для выходного напряжения написать с.~1~дующс1:
выражение:
U11ы~(t)~UоCOS[root+8(t)],
(9.63)
351

Амп.nитуда выходного напряжения U O определяется параметрами
не.линейного элемента и избирательной нагрузки. Для схемы, изобра­
женной на рис. 9.23, U O = / aiz. Р' где / at - амплитуда первой гар­
моники, определяемая с учетом уплощения вершины импульса, а
z0 Р - эквивалентное резонансное сопротивление контура.
Для ряда практических задач особый интерес представляет воз­
действие на амплитудный ограничитель двух сигналов с близкими
частотами.
eg
e(tJ•E(tJcos(t.111 t •B(t)]
Рис. 9.28
Пусть, например, определяе­
мое выражением (9.62) напряже­
ние e(t) является суммой двух гар­
монических колебаний:
е(t)=Е1cosФit+Е2cosФ2t
ПРИ E'J<E1.
(9.64)
Рис. 9.29
Каждое из этих напряжений, действуя в отде.11ьности, создает на
выходе ограничителя простое гармоническое колебание с частотой W1
или ro 2 соответственно и с амплитудой И 0 . Иная картина получается
при одновременном воздействии на ограничитель двух гармонических
напряжений. Для определения напряжения на выходе ограничителя
необходимо привести входное напряжение к виду выражения (9.62).
С этой целью обозначим через Q разность частот Q = Ф2 - Ф,
и сделаем в (9.64) следующую подстановку:
Тогда
cos с,)2 t =cos(w1 +Q) t =cos Шсоs Wit-sin Qt sin w1 t.
е(t)=Eicosш1t+Е2(cosШcosw1t-sinQtsin w1 t)=
= (Е1 +Е2cos Щ) cos с,>1t-E
2
sinШsinroit.
Рассматривая множители при cosro, t и sinro1 t как медленно меня­
ющиеся функции времени (поскольку Q ~ w1), представим поСJ1еднее
выражение в несколько иной форме:
е(t) = ·Jf(Е1+Е2cos 0!)2+Е~ sin
2
Qtcos{ro1t+0(t)J =
= Е(t) cos {ro1(t)+0(t)J,
(9.65)
862

где огибающая результирующего напряжения Е (f) определяется
выражением
а фаза
Е2- sinШ
0 (t) = arctg _Е__,~в=-2---
1+- cos Qt
Е,
(9.66)
(9.67)
Огибающая E(t) имеет максимальное значение, равное Е1 + Е2
(при cos Qt = 1), и минимальное, равное Е1 - Е2 (при cos Qt =
- 1).
Рис. 9.30
Допустим, qто Ei -Е2 > Епар, так qто условие ограничения вы­
полняется для всех значений, которые может принимать амплитуда
входного напряжения E(t) (рис . 9.30). Тогда напряжение на выходе
по аналогии с (9.63) может быть записано в виде
ИRых (t) = U0 cos [ro1 t+0 (t)J.
(9.68)
Получается фаза-модулированное колебание, которое в отличие от
входного напряжения e(t) может иметь широкий спектр.
Для определения амплитуд отдельных составляющих этого спектра
можно воспользоваться обычными приемами теории частотно-моду•
лированных колебаний, изложенными в гл. 4.
Не приводя здесь подробного анализа, облегчим себе задачу допущением,
что Е2 ~ Е1 . При этом выражение (9 .67) упрощается:
(
Е2•
)
Е2
в (t)::::: arctg Ei stn Ш ::::: "'i; sln Ш,
и напряженве на выходе 1
Uвых (t)::::: Ио cos (оо1 t+т sin Ш).
(9.68')
Здесь использовано обозначение
(9.69)
которое подчеркивает, что отношение амплитуд Е2/ Е1 имеет в данном случае
смысл индекса фазовой модуляции (см. § 4.4.).
1 Здесь мы не учитываем влияния неравномерности частотной характерис­
тики коuтура в полосе частот, обуслов.r1енной фазовой модуляцией входного сиг­
иала,
Эоз

Выражение (9.68 ') полностью совпадает с (4.25') и по аналогии с (4.32) мо­
жет быть записан о в форме
1
//l
lll
]
Ивых(f)=U0lcosс:о1t+
2 cos(ы1+Q) 1-
2 cos(с:о1-Щf
\9.70)
Спектр выходного напряжения при т = Е2/ Е1 <{' 1 с о стоит из трех со-
ставляющих счастотами с:о1, (i)1 +Q= ы, 11 с:о1- Q = 2с:о1 - (1, 2
•
Первые две
частоты присутствуют на входе оrраиичит ел11 , а третья, т. е. 2(J)1 - (J)2, является
продуктом взаимодействия входных колебани й в нелинейном элементе.
Соотношение спектров 11а 11ходс и выходе ограничителя прн Е1/ Е~ ~ 1 по­
казано на рис. 9.31. Частота 2(J) 1 - (J) ; яоJI лется «з еркальной » по отношению к
частоте (J) 2 .
Е1•ml,
J"
Рис . 9.31
к
0,9
~8
rJ,7
?,6
~
[.., .,,"
-
1/
/
~v
?.5о о. , 0,2 а,з 0,1, о,5 о,6 о, 7 о,в О,9Е1 /Е1
Рис. 9.32
Существешю, что амплитуда колебания с частотой (J)i = (J) I + Q (а также
с частотой (J)1 -
~2) сос-I авляет всего лишь т / 2 от амплитуды l(ОЛебания с час•
тотой (J) 1 , в то время ка1< на входе отношение а мплитуд равно т. Это позволяет
говорить о подавлении в ограничителе слабого колебания более сильным . Эф­
фект пода влени л ста1юввтсл особенно 11 аrляд11 ым , когда в по лосу пропускания
избирателыюй наrруэ1ш 11опадают только частоты (J)1 и (J) 2 , а зеркальная частота
(i)1 - Q отфильтровьшается 1 . В этом случае с11еl(траль11ый состав напряжения на
вы ходе такой же, как 11 IJ a входе, только амплитуда слабого колебания по от­
нош ению к с и льному уменьшается в два раз а.
Если амплитулы двух колебаний 11а вхоле ограничителя соизмеримы, то эф
фект относительного пода11лен и11 выраже11 слабее. Это видно из графика
(рис. 9.32), построенного в предполож е нии, что избир ательная система ограни·
чителя пропускает только компоненты с частотами (J)1 11 (J) 2 , присутствующими
на входе оrраничителя 2 . По оси ординат отложеI1 1шэффицие11т подавления ,
представляющий со бой отношение
К= И2!И1
Е2/Е1
Здесь Ес! Е1 -от11ошеиие амплитуд на входе, а U2 / И 1 на выходе ограничителя .
При Е2/Е1 « 1 К = 0,5, а с приближением Е2/Е1 к единице К также при·
ближ ается к едивице . При Е2( Е1 = 1 оба колебания « равноправны » и взаи мно е
подавление отсут с твует .
В за ключение следу ет отмстить, что все приведенные в ыш е рассуждения
сохраняют свою силу и в случае, когда (J); < (i)1 , необходимо лишь на р»с . 9.31
поменять местами зеркальные частоты.
1 Этот случай, прав да, не характерен для ограничителя, так к а к отфильт ­
ровывание зеркальной частоты приводит к непостоянству огибающей суммы двух
напряжений .
2 См. И. С. Го н о р о в с к н й. К теории высокочастотных автоrенерато·
ров с запаздывающей обратной связью. « Радиотехника», 1958 , No 5.
354

10
Генерирование колебаний
10. 1. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
Подавтоколебательной системой или авто·
r е не р ат о р ом подразумевается первичный источник колебаний,
работающий в режиме самовозбуждения.
Любой автогенератор представляет собой нелинейное устройство,
преобразующее энергию питания (обычно в виде постоянного тока)
в энергию колебаний. Независимо от вида и назначения, автогенера­
тор должен иметь: источник питания, усилитель и устройство обратной
связи.
Из приведенных в гл. 8 сведений следует, что обратная связь
должна быть положительной.
Настоящая глава в основном посвящена изучению явлений в авто·
генераторах, используемых для получения высокочастотных гармо·
нических колебаний. В качестве усилительных элементов в подобных
генераторах используются электронные лампы, полупроводниковые
триоды и другие аналогичные приборы, а ь качестве нагрузочных це­
пей - колебательные системы с сосредоточенными или распределен­
ными параметрами.
Автогенератор, находящийся в стационарном режиме, представ·
ляет собой обычный нелинейный усилитель, для возбуждения кото­
рого используются колебания, вырабатываемые в самом генераторе;
эти колебания берутся из колебательной системы усилителя и пода­
ются на его вход по цепи обратной связи. Если амплитуда и фаза воз­
буждения отвечает определенным условиям, то в энергетическом от·
ношении автогенератор ведет себя так же, как и генератор с носторон
ним возбуждением. Однако имеется принципиальное отличие авто
колебательной системы, в которой отсутствует внешняя вынуждающая
сила, от генератора с посторонним возбуждением. Наиболее ярко это
отличие проявляется в том, что в автогенераторе частота и амплитуда
стационарных колебаний целиком определяется параметрами самой
автоколебательной системы, а в генераторе с посторонним возбужде­
нием частота навязывается возбудитеJ1ем, амплитуда же колебаний
зависит как от параметров усилителя, так и от амплитуды возбуждения
Кроме того, в случае самовозбуждения большое значение имеет ме­
ханизм возникновения колебаний при запуске автогенератора, а также
устойчивость стационарного состояния автоrе1Iерэтор:l. Все ЭТИ осо­
бенности можно выявить при рассмотрении поведения автогенератора
в процессе нарастания колебаний, от момента запуска до полного уста-
355

новления стационарного состояния. Можно наметить следующую кар­
тину явлений. В момент запуска в колебательной системе автогенера­
тора возникают свободные колебания, обусловленные включением
источников питания, замыканием цепей, эле~трическими флуктуа­
циями и т. д. Благодаря обратной связи эти первоначальные колебания
усиливаются, причем на первом этапе, пока амплитуды малы, усиле­
ние является практически линейным и система может рассматриваться
~CU//UЛ/l'AbH61li ИзtfирательН6/U i Чem61peXfl(JЛIOCHUK
: зленент
Yem,,, 'XfluлюcнlJ}(
о5раrпнои с6нзи
U, .t,JJ: U2b,
~ ('2~ Koc(it.J)
1
1
L_______ ___ _____ __ _1
Усилитель с 02ранuчение"" а,.,ллuтуiJы
Рис. 10.1
как линейная. Энергетически процесс нарастания амплитуд объяс­
няется тем, что за один период колебания усилитель в инерционную
нагрузку сообщает энергии больше, чем расходуется за это же время.
С ростом амплитуд начинает проявляться нелинейность системы (кри­
визна вольтамперной характеристики усилительного элемента) и уси­
ление уменьшается. Нарастание амплитуд прекращается, когда уси­
ление снижается до уровня, при котором только компенсируется за­
тухание колебаний в нагрузке; при этом энергия, отдаваемая усили­
телем за один период, оказывается равной энергии, расходуемой за
это же время в нагрузке.
Таким образом, на последнем этапе установления колебаний ос­
новную роль играет нелинейный характер системы, без учета которого
не может быть определено стационарное состояние автогенератора.
Обобщенный автогенератор высокочастотных колебаний, находя­
щийся в стационарном режиме, можно представить схемой, показан­
ной на рис. 10. 1 . Через (t)г обозначена частота генерации. На этой
схеме автогенератор изображен в виде сочетания трех четырехполюс­
ников: одного нелинейного, безынерционного, и двух линейных. Не­
линейный четырехполюсник соответствует усилительному элементу
(электронная лампа, транзистор, клистрон и т. д.), первый из линейных
четырехполюсников - колебательной системе автогенератора, а вто­
рой - устройству обратной связи. Подобное представление авто­
генераторасправедливодля системс внешней обратной
СВЯ3Ью.
В§ 10.9 будут рассмотрены примеры автогенераторов, механизм
работыкоторыхприводиткпонятиювнутреннейобратной
с в я з и, требующей tiескот,ко иной трактовки обобщенной схемы.
356

Усилительный элемент совместно с избирательным четырехполюс­
ником, обеспечивающим фильтрацию (подавление) высших гармоник,
представляет собой обычный нелинейный усилитель, развивающий
на выходе синусоидальное напряжение. В общем случае усиление за•
висит как от частоты шг (из-за избирательности четырехполюсника),
так и от амплитуды U 1 (из-за нелинейности усилительного :элемента).
Коэффициент усиления этого устройства обозначим через K.,(iro-p, U1)
Очевидно, что
(10.1 J
При фиксированной частоте rop Ку является функцией только ампли­
туды U1.
Коэффициент передачи линейного четырехполюсника обратной
связи, который в дальнейшем будем называть просто коэффициентом
обратной связи, может быть выражен через амплитуды U3 и U2
К,с (iro) = Uз.
и,
Но напряжение Uз, снимаемое с выхода четырехполюсника обрат­
ной связи, есть одновременно напряжение U1, действующее на вход1:
усилителя. Следовательно.,
(10.2)
Сравнивая это выражение с отношением (10.1), приходим к выводу,
что в стационарном режиме автогенератора (когда только и мож­
но пользоваться методом комплексных амплитуд) коэффициенты
Ky(iror, U1) и K00(iror) являются взаимно обратными величинами:
( 10.3)
Так как коэффициент передачи линейного четырехполюсника не
зависит от амплитуды колебаний, то выражение (10.3) может быть ис­
пользовано для определения установившейся амплитуды колебания
при заданном Кос· Имени?, когда усиление Ку, уменьшаясь с ростом
амплитуды (из-за нелинеиности вольтамперной характеристики уси­
лительного элемента), достигает величины I/K0
c, дальнейший ростам­
плитуды, как указывалось ранее, прекращается. Это поясняется
рис. 10.2 . Стационарная амплитуда И1ст определяется как абснисса
точки пересечения графиков К1 и l /K0 c. С другой стороны, выражение
(10.3) может быть использовано для определения коэффициента об-
-
ратной связи, требуемого для поддержания определенной амплитуды
U1ст при заданной функuии K 1(Ut) (т. е. при известной амплитудной
характеристике усилитеJiя).

о
Рис. 10.2
Для установления пере­
численных выше общих
свойств автогенератора нам
не требовалось уточнять ни
тип усилительного элемента,
ни вид схемы автогенерато­
ра. Это объясняетя тем, что
мы ограничились рассмотре­
нием стационарного состоя­
ния автогенераторов. Для
выяснения же механизма воз­
никновения колебаний, а так-
же механизма установления
стационарного режима необходимо исходить из конкретного элект­
ронного прибора и конкретной схе м ы автогенератора.
Отметим одно важное требование, предъявляемое к автогенератору,
предназначенному для устройств передачи инфоμмации: вырабатывае­
мое им колебание должно быть строго моно х роматическим (в отсут­
ствие модуляции). Любое нарушение монохроматичности, проявля ­
ющееся в паразитном изменении амплитуды, частоты или фазы коле­
бания, может служить причиной возникновения помех в канале ра­
диосвязи. Требование монохроматичности включает в себя также и
требование стабильности частоты автоколебания. Некоторые факторы,
нарушающие монохроматичность автоколебания, будут рассмотрены
ниже (см. § 14.5).
10.2 . ПРИМЕРЫ СХЕМ АВТОГЕНЕРАТОРОВ
Простейшие схемы автогенераторов на электронных лампах изо­
бражены на рис . 10.3 и 10.4: на рис. 10.3- схема с трансформаторной,
или индуктивной, обратной связью, а на рис. 10.4
-
схема с авто­
трансформаторной, или кондуктивной, обратной связью. Блокировоч­
ные емкости С6 л обычно настол ько велики, что по высокой частоте
точку k практически можно считать соединенной с катодом накоротко.
Так как на рис . 10.3 и 10.4 катоды заземлены, то точки k являются
точками нулевого потенциала .
Сопоставление с обобщенной схемой (см. рис. 10.1) показывает,
что функции избирательного четырехполюсника и четырехполюсника
обратной связи совмещены в этих простейших схемах в одном четырех­
полюснике. Этот четырехполюсник получается на базе колебатель­
ного контура: входными зажимами четырехполюсника являются точ­
ки, к которым подключены анод и катод лампы, а выходными - точ­
ки подключения сетки и катода. Таким образом, показанные на
рис. 10.3 и 10.4 схемы могут быть сведены к одной эквивалентной
схеме (рис. 10.5). Источники питания электродов лампы на этой схе- ••
ме не показаны. Заметим, что на рис. 10.5 напряжение Va на входе
четырехполюс}!ика K0 c(i(J)) направлено не сверху вниз (как наnря-
.
..
-
-
358

жение U2 на обобщенной схеме рис. 10.1), а снизу вверх. Это связано
с тем, что за положительное направление первой гармоники анодного
тока 1ai во внешней цепи лампы выбрано направление от катода
к аноду (при положительном отсчете э . д. с. Еg от сетки к катоду). Соз­
даваемое током / ai падение напряжения Ua на нагрузке, т. е. на вхо­
де четырехполюсника К00 (iro), отсчитывается 110 направлению тока
lai от катода к аноду. Поэтому, при отсчете всех потенциалов относи­
тельно I<атода, под коэффициентом усиления Ку в данной схеме сле­
дует подразумевать
/{ _-Ua
у- Ее
а под коэффициентом обратной связи
.
Eg
K 0 c(tro)=-- .
-U,.
(10.1')
(10.2')
В рассматриваемых простейших схемах частота генерации близка
к резонансной частоте контура. На этой частоте напряжение Ua сов­
падает (или почти совпадает) по фазе с током / 01 , а последний - с на­
пряжением Eg. Из этого следует, что аргумент коэффициента обрат­
ной связи K 0 c(iro), т. е. фазовый сдвиг в четырехполюснике обратной
связи, должен быть близок к 180" . К этому результату можно прийти
с помощью еще более простых рассуждений: однокаскадный резонанс­
ный усилитель поворачивает фазу усиливаемого колебания на 180",
~-J
Ua
--~---1
Рис. 10.З
Рис. 10.4
.следовательно, дJIя поддержания колебания напряжение, подаваемое
по каналу обJ')атной связи с ныхода на вход, должно получить допол­
нительный сдвиг на 180с . Нетрудно проследить, как обеспечивается
это требование в схемах, изображенных на рис. 10.3 и 10.4. В схеме
с трансформаторной связью (рис. 10.3) напряжение, индуктируемое в
катушке Lg и отсчитываемое, как и напряжение Ua, от катода, равно
Е~=±~lla.
La
359

Взаимоиндукuия М рассматривается нами как положительная
величина (та1< же, как и индуктивность) . Знак в последнем выражении
зависит от способа подключения катушки Lg к зажимам сетка - катод.
Отрицательное значение Кос (iw) получается при включении, ко-
торому соответствует знак минус. При этом Е~ = - L: Ua и
Е'
М
Hoc(iw)= и:= - 4
•
(10.4)
а напряжение, отсчитываемое от сетки к катоду (как показано на
рис. 10.3) .
(10 .5)
При перекрещивании концов катушки h. 0 c(i(j}) получается поло­
жительным и самовозбуждение колебаний оказывается невозмож­
ным .
Рис. 10.5
Рис. 10.6
Итак, для схемы рис . 10.3 коэффициент обратной связи определяет­
ся выражением (10.4), а модуль этого коэффициента
(10.4')
В автотрансформаторной схеме (см. рис . 10.4) требуемая фазиров­
l{а достигается тем, что напряжение на сетку подается с индуктивно•
сти Lg, входящей в емкостную ветвь контура. Так как частота гене­
рируемых колебаний в рассматриваемых схемах очень близка к резо­
нансной частоте контура, то токи в ветвях контура сдвинуты по фазе
на угол, близкий к 180°; следовательно, на такой же угол будут сдви­
нуты и фазы напряжений, действующих на зажимах анод - катод
и на зажимах сетка -катод.
Так как амплитуды токов, протекающих через La и L11 , при резо-
З60

нансе одинаковы, то модуль коэффициента обратной связи
lcropLg Lg
К00=/roL =-L
(10.4")
Lра
а
Полезно отметить, что обеим рассмотренным схемам присуще
следующее важное свойство: коэффициент обратной связи не зависит
от частоты. Как будет видно из дальнейшего, более сложные схемы -
двухконтурные, а также схемы с более сложной цепью обратной свя­
зи - этим свойством не обладают.
В заключение добавим, что все вышеприведенные общие сообра­
жения о работе ламповых генераторов в основном верны и для гене­
раторов на транзисторах. Классические схемы генераторов на элект­
ронных лампах полностью могут быть применены и к генераторам на
транзисторах. Одна из таких схем (с индуктивной обратной связью)
представлена на рис. 10.6.
Как и для ламповых схем, для транзисторного генератора верны
соотношения, аналогичные (10.1 ') и (10.2'):
К=_ Uнз
у
Ебэ '
(10.6)
к (.)
Ебз
ос tffi = --.
Uщi
(10.6')
Здесь Uнз - напряжение между коллектором и эмиттером, а Ебэ
-
напряжение между базой и эмиттером транзистора.
Несмотря на отмеченное выше внешнее подобие, транзисторные
генераторы обладают некоторыми особенностями. Эти особенности
связаны с неполной «однонаправленностью» транзисторов, меньшими
входными и выходными сопротивлениями, а также внут"ренним сдви­
гом фазы, что оказывает влияние на общий баланс фаз в автогене­
раторе.
10,3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ
В АВТОГЕНЕРАТОРЕ
В § 10.1 уже указывалось, что на первом этапе запуска, пока ам­
плитуда колебаний мала, автоколебательную систему можно рассмат­
ривать как линейную. Поэтому исследование начального этапа уста­
новления автоколебания можно провести с помощью линейного диф­
ференциального уравнения системы. При этом существенную роль
играют условия запуска автогенератора, определяющие начальные
условия, которые должны быть учтены при интегрировании дифферен­
циального уравнения системы.
Составим линейное дифференциальное уравнение для одной из
схем одноконтурного автогенератора. Для определенности выберем
схему с трансформаторной обратной связью (см. рис. 10.3). Этот выбор
не имеет принципиального значения и полученные для этой схемы
результаты будут распространены на любой одноконтурный LC-
361

автогенератора. Допустим, что запуск автогенератора осуществляется
включением в момент t = О постоянного напряжения Еа, благодаря
чему получается бросок анодного тока и в контуре L, С, r возникают
свободные колебания.
Так как в рассматриваемой схеме отсутствует внешний источник
постоянного напряжения в цепи сетки, то в момент запуска напря­
жение смещения равно нулю. Следовательно, при запуске рабочая
точка на характеристике ia(eg) совпадает с точкой eg = О, а постоян­
ный анодный ток равен iao (рис. 10. 7). На рис. 10.8 приведена схема
10.3 без обозначения источника питания и вспомогательных элементов.
В качестве ис1сомой функции выберем какую-либо изменяющуIОСя
во времени величину, например ток iL в индуктивной sетви контура,
и составим относительно этой величины дифференциальное уравнение.
Разрежем представленную на рис. 10.8 схему по линии d - с и соста­
Рис. 10.7
вим основные уравнения, связы­
вающие токи и напряжения в
Рис. 10.8
левой и правой частях схемы. Для правой части при выбранном за по­
ложительное направJJении тока ia и отсчете напряжения относительно
катода получим следующие уравнения:
.
С dua
•
L diL
tc=
-,
U =ГtL+ -.
dt
а
dl
(10.7)
Исключая из первого уравнения (10.7) ic с помощью второго и
третьего уравнений, получаем
.
.
diL
d2 iL
ta=LL +rC-+CL-.
dl
d/2
(10.8)
Напряжение, индуктируемое в катушке обратной связи, связано
с током в индуктивной ветви контура следующим соотношением:
di
е =±М-1•
g
dt•
Из§ 10.2 ясно, что для осуществления положительной
обратной связи в данной схеме знак должен быть положительным
[см. (10.5)].
~62

diL
е =M-
g
dt
Теперь необходимо анодный ток ia выразить через напряжения ,
действующие на электродах лампы. Принимая во внимание малые
амплитуды колебаний, зависимость ia(eg, ua) можно считать линейной,
Здесь под ia, eg и ua подразумеваются переменные составляющие,
Применяем известное выражение
ia =S(eg-Dua),
(10.9)
где S - крутизна характеристики i a(eg, Еа) в точке eg = О, а Иа -
падение напряжения на контур.е, Все входящие в уравнение (10.9)
величины: i,., eg и ua - являются пока еще неизвестными функциями
времени.
di
Подставив в уравнение (10,9) eg =M-L, получим
dt
.
diL
diL Un,
t =SM - - SDu =SM---.
"
dt
а
dt R1
(10.9')
Приравнивая правые части уравнений (10.8) и (10.9'), а также учи­
тывая третье уравнение системы (10. 7), после группировки слагаемых
получаем следующее дифференциальное уравнение:
(10.10)
l(
L SM)
аэ=ur+CR;-С '
(10.11)
приводим выражение (10.10) к уравнению
d~i
di
(I+_с_)
__
L+2а~+
R,i~~О
dt2
зdt
LC
1•
'
(10.12)
являющемуся линейным однородным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Общее решение этого уравнения имеет вид
iL = А0 е-аэt sin (u'сн t +<р0),
(10.13)
где амплитуда А O и фаза <р 0 являются постоянными величинами, оп­
ределяющимися из начальных условий, а частота ысв равна
(10.14)
(предполагается заведомо колебательный режим, когда 1~iR; > а~. )
363

Как видно из выражения
А е... ,i
(10.13), ток в контуре представ-
тт-,\~У
~3 ~о
ляет собой свободное колеба-
/ \ / \ J\-7\- -7'\- -п.,-
-
ние. Этого и следовало ожидать,
VV SJ.___.V__..Sl--- t
так как на рассматриваемую си-
-
-
.со
стему не действует никакой
-
-
-
а)
о:3•-
внешней вынуждающей силы.
-
1•,1t
{\--{\
-
~ __:J:;.e_- 7\'-n --
Изменение огибающей тока iL
~/~1-f -t - -\-\-1 -'+'++-t-т,,--"it зависит ОТ знака коэффициента
-<J <Г\Г\/\ J '
при первой производной в ypaв-
__ .J.L __v __.l[___V__~
нении (10.12). Если а.3 > О,
15)
-..
амплитуда колебания тока iL
затухает (рис. 10.9, а), если
а.3 < О, амплитуда колебания
тока растет (рис. 10.9, 6). Рас­
Рис. 10.9
смотрим подробнее выражение для а.3 . При М = О, т. е. в отсутст­
вие обратной связи, коэффициент затухания положителен и опреде­
ляется сопротивлением потерь контура r и сопротивлением, учиты­
вающим шунтирующее действие лампы:
а.,=2~ ('+с~)= 2~ (r+::)•
Обратная связь вносит в контур добавочное сопротивление, равное
по абсолютной величине SM /С.
При правильном выборе направления витков, при котором обес­
печивается сдвиг фазы на 180° между напряжениями анод - катод
и сетка - катод, это сопротивление отрицательно. Если при этом
(10.15)
го результирующее сопротивление контура получается отрицатель­
ным. В этом случае а.3 < О и ток iL нарастает по закону
(10.16)
Таким образом, выполнение условия (10.15) обеспечивает ростам ­
плитуды колебания при сколь угодно малых начальных значениях ам­
плитуды. Это означает, что автогенератор, представляющий собой
в момент запуска линейный усилитель с положительной обратной свя­
зью, является н.еустойчивой системой.
Сопоставим выражение (10.15) с выражением (8.24), полученным
при исследовании устойчивости усилителя с положительной обратной
связью, собраннного по схеме рис. 8.12 (см. § 8.5). От схемы рис. 10.8
эта схема отличается лишь тем, что активное сопротивление R вклю­
чено параллельно контуру L, С.
Учитывая, что для схемы, изображенной на рис. 8.12, сопротив­
ление нагрузки (при резонансе) равно z3 Р = R, а для схемы, изобра-
364

женной на рис. 10.8, Z8 Р = L!Cr, перепишем выраж~ния (8.24) и
(10. 15) в форме
~<-1 =-1-,
L
SR Sz0р
МIrC
1
1 +zэ p/Rt
->-·-+--=----
L
SL
SR;
Sz8 р
(10.15')
Замечаем, что в этих выражениях правые части суть не что иное, как
величины, обратные коэффициенту усиления схемы (во втором выра­
жении точно, а в первом - приближенно, без учета реакции анодноА
цепи). Кроме того, М ! L = Кос·
Можно поэтому последние неравенства записать в следующей обоб­
щенной форме:
1
К.ос <Ку'
1
Кос>к·у
Первое из этих неравенств выражает условие устойчивости любого
Jiинейного усилителя с положительной обратной связью, а второе -
условие самовозбуждения (или, что то же самое, неустойчивости).
Неравенство (10.15'), которое с учетом соотношения l/SR1 = D
можно записать в форме
1
1
K0c>s-+D=-к,
(10.17)
Zэр
у
называеrся основным уравнением
rенератора
с самовозбуждением.Этонеравенствопозволяетлегкообъяс­
нить влияние основных параметров лампы и схемы на возникновение
колебаний. Чем больше крутизна характеристики S и больше усиле­
ние триода μ = 1/D, тем требуется меньшая величина Кос• т. е. тем
легче возникают автоколебания. Увеличение потерь в контуре, сни­
жающее величину 2 0 Р = ЦСr, наоборот, требует увеличения К.ос, т. е.
затрудняет возникновение колебаний.
Выражение (10.13), полученное с помощью линейного дифферен­
циального уравнения, не может быть использовано для определения
стационарной амплитуды автоколебаний. Для этого требуется учесть
зависимость Ку от амплитуды колебания. Это будет сделано в следую­
щем параграфе .
10.4 . СТАЦИОНАРНЫR РЕЖИМ АВ1OГЕНЕРАТОРА.
БАЛАНС ФАЗ
Выяснив усJ1овия возникновения колебаний, определим амплиту
ду и частоту авп,колебания в стационарном режиме. Для определения
~мплитуды можно воспользuваться соотношением (10.3). Эrо соотно­
шение пригодно для любого автогенератора. Таким образом, Зdдача
365

сводится к нахождению зависимости усиления схемы Ку от амплитуды
и сопоставлению этой зависимости с величиной lfKoc· Зависимость
между Ку и амплитудой определяется типом усилительного элемента
и схемой автогенератора. Для рассмотренной в предыдущем параграфе
схемы автогенератора аналитическое определение зависимости Ky(Eg)
осложняется тем, что напряжение смещения Ego не является постоян­
ной величиной, а изменяется вместе с амплитудой Еg· Это объясняется
тем, что напряжение смещения создается постоянной составляющей
сетоqного тока в сопротивлении Rg (см. рис. 10 .3). Рабочая точка
в начале запуска, соответствующая потенциалу e g = О, постепенно
смещается влево, как это показано на рис. 10. 10. На этом ри-
о
Рис. 10.10
Jt
/
11
Рис . 10.11
сунке Еgo обозначает напряжение смещения в установившемся ре­
жиме, характерном для нелинейного усилителя , работающего с от­
сечкой анодного тока.
Не останавливаясь здесь на подробностях расqета зависимости
Ky(Eg), мы можем считать, что обращение неравенства (10.17) в ра­
венство (10.3) возможно только снижением средней крутизны харак­
теристики лампы при возрастании амплитуды колебаний. Иными
словами, стационарный режим наступает при амплитуде, при которой
средняя крутизна Scp отвечает условию
или
1
Koc=--+D
Scpz"Р
1
scp=-----
(Koc-D) Zэ р
(10.18)
Приведем еще один широко распространенный метод исследования
автогенераторов, основанный на «колебательной характеристике»
/ к(Еg), где / н - амплитуда тока в колебательном контуре. Колеба­
тельную характеристику обычно получают экспериментально: поста­
вив лампу в усилптельный режим (т. е. устранив обратную связь),
находят зависимость тока в контуре от амплитуды подводимого к сет­
ке напряжения. Допустим, что эта характеристика имеет вид, пока·
366

эанный на рис. 10.11 (кривая /). Для определения амплитуды тока,
которая установилась бы в автогенераторе, т. е. в системе с самовоз­
буждением, необходимо установить зависимость между током / и и
напряжением Еg• обусловленную обратной связью. Так как подаваемое
на сетку напряжение равно
где Хсв - сопротивление связи, то можно написать
Eg
lк=-Хсв
Зависимость 1,,(Е g), определяемая линейной частью схемы, пока·
зана на рис. 10.11 в виде прямой линии /1, наклоненной к оси под
углом
1
~=arctg- .
Хсв
Эталинияназываетсялинией обратной связи.
Ордината точки пересечения линий / и / / определяет стационар­
ную амплитуду тока в контуре / 11 , а абсцисса
-
стационарную ам­
плитуду сеточного напряжения Eg. Действительно, в точке пересе­
чения величина тока l к• развиваемого лампой в контуре (линия /),
как раз совпадает с величиной тока (линия //), необходимого для соз­
дания на сетке (по каналу обратной связи) напряжения Eg, при ко­
тором лампа дает ток / к·
С увеличением связи наклон линии // уменьшается и стационарная
амплитуда тока / к растет. При очень большой обратной связи стацио­
нарная амплитуда l II может уменьшиться из-за убывания колебатель­
ной характеристики (например, из-за возрастания сеточного тока).
Такой режим получается при связи, соответствующей линии ОА
(рис. 10.11).
Обратимся к определению частоты автоколебаний. В первом при­
ближении эта частота совпадает с частотой собственных колебаний
контура L, С, r. Некоторое влияние на частоту оказывает шунтиро­
вание контура внутренним сопротивлением электронной лампы.
При линейном рассмотрении (на начальном этапе нарастания ам­
плитуды) это влияние учитывалось коэффициентом (1 + r/R;) при
последнем слагаемом в уравнении (10.10). Кроме того, некоторое влия­
ние на частоту свободного колебания оказывает величина а: 3 .
Найдем поправку к частоте для стационарного режима автогене­
ратора. С этой целью воспользуемся следующим приемом. Считая
режим автоколебаний установившимся, составим дифференциальное
уравнение, аналогичное (10.1 О), но с учетом зависимости параметров
лампы от амплитуды. Для этого в соответствии с квазилинейным ме-
тодом (см. § 9.7), S нужно заменить на S cp• а R; на R;: тогда
d
2
iL ('
1
ScpM)' di1_
l+ r;R;
dt2 +L+CR; - Q dt+--L-C-iL =о.
(10. 19)
367

Следует подчеркнуть, что это уравнение имеет смысл для стацио­
нарного режима, когда заведомо известно, что iL(t) является синусои­
дальной функцией времени. Рассмотрим коэффициент при первой про­
изводной, ранее обозначенный через 2а~ [см. формулу (10. 1J)).
Подставив в это выражение R; = 11S cpD [см. формулу (9.58) 1,
приведем ero к виду
2et3= .!_(1+~ScpD- ScpМ)= .!....[1+z0рScp(D- ~)]=
L
Cr
Cr
L
L
= !.... [l -Z3 p Scp (K00 -D)J.
L
Но по условию (10.18) в стационарном режиме
Zэpscp(Koc-D)= 1
и, следовательно, ct3 = О.
Таким образом, уравнение (10.12) переходит в следующее:
d2iL l+r/R; .
dt2 + LC lL=O.
Как и следовало ожидать, получилось уравнение г а р м о н и­
ческоrо осuиллятора. Этоуравнениеописываетгармо­
ническое колебание с частотой
(10.20)
Поправку к частоте, зависящую от приведенного сопротивления
лампы R;, приходится учитывать при оценке нестабильности, обуслов­
ленной влиянием режима работы автогенератора. При выполнении же
технических расчетов частоту автоколебаний обычно считают совпа·
дающей с резонансной частотой колебательного контура.
Имеются, однако, еще и другие факторы, которые влияют на ча-
стоту генерации более существенно, нежели R;. Для выявления этих
факторов рассмотрим фазовые соотношения в замкнутом кольце об­
ратной связи автогенератора.
Генерация возможна на частоте ffiг, при которой одновременно вы­
полняются два условия (8.34).
В гл. 8 при исследовании устойчивости линейной системы под ве­
личиной К~ подразумеваJ1ся модуль передаточной функции разомкну­
той системы. В данном случае при рассмотрении стационарного со·
стояния нелинейной системы под К следует подразумевать коэффи·
циент усиления, определяемый выражением (9.59), а под ~ - коэффи·
циент обратной связи Кос· Очевидно, что в стационарном режиме ге­
нерации, когда выполняется условие (10.3), можно считать, что
К~=КуКос=--= 1.
Это является первым условием стационарного режима.
368

Второе же условие (8.34) определяет баланс фаз в а,втогенерато,м.
В случае простого одноконтурного автогенератора это условие
можно записать н форме
(j)y + (f)oc = 2n,
(10.21)
rде <р обозначен аргумент комплексного коэффициента усиления
Ку, а У<рос - аргумент комплексного коэффициента обратной связи.
Исходя из выражения для коэффициента усиления [см. формулу
(5 .33) 1
(10.22)
где Scp - в общем случае комплексная крутизна, получаем для q, 1
следующее выражение:
(10.23)
Здесь q, 5
-
аргумент Sc 11,a <J>z - аргумент сопротивления параллель­
ного колебательного контура. Слагаемое п учитывает знак минус
в правой ч~и (10.22).
Итак, уравнение баланса фаз (10.21) для одноконту-рноrо генератора
принимает вид
или
(10.24)
Из условия (10.24) вытекает, что все факторы, оказывающие влия­
ние на фазовые сдвиги в отдельных звеньях автогенератора, влияют
и на частоту генерируемых колебаний. Так, например, включение
фазосдвиrающей цепи в четырехполюсник обратной связи сдвигает
частоту генерации относительно резонансной частоты колебательной
системы автогенератора. Работа подобного автогенератора, когда
в качестве фазосдвиrающеrо устройства используется линия задержки,
подробно рассматривается в § 10.10 .
В практиl{е часто приходится считаться с некоторым влиянием и
угла ср 5 на частоту автоколебаний. Во всех предыдущих параграфах
данной главы средняя крутизна лампы считалась действительной
величиной ('Ps = О). Между тем следует отметить по крайней мере два
фактора, придающих средней крутизне комплексный характер: а) не­
полное отфильтровывание высших гармоник анодного тока и б) инер •
ция электронов.
Механизм влияния высших гармоник на частоту генерации за­
ключается в следующем. При прохождении через колебательную си­
стему эти токи создают некоторое, хотя и очень слабое, падение на•
пряжения, благодаря чему результирующее напряжение между ано­
дом и катодом, а следовательно, и между сеткой и катодом становится
несинусоидальным. Это приводит к тому, что положительная полу-
1олна сеточного напряжения, определяющая форму импульса анод-
13 з,•. 187

1-юrо тока, деформируется, становясь несимметричной относительно
своего максимального значения . Асимметрия объясннется тем, что для
высших rарrvюнш, анодного тока колебательная система представляет
собой почти чисто реактивное, а для первой гармоники - активное
сопротивление; добавочные напряжения от высших гармоник имеют
начальную фазу 90° (при нулевой начальной фазе напряжения от пер­
Аой гармоники).
Асимметрия импульса анодного тока в свою очередь приводит к не­
которому сдвигу фазы первой гармоники тока относительно первой
гармоники сеточного напряжения. В результате отношение /а 1 к Eg,
r. е. средняя крутизна S cp • становится комплексной величиной. Яс­
но, что чем выше добротность колебательной системы, тем ближе анод­
ные и сеточные напряжения к синусоидальным и тем слабее влияние
высших гармоник на частоту генерации.
При обычных для автогенераторов LC соотношениях относитель­
ная поправка 1< частоте, обусловленная влиянием высших гармоник,
порядка 10-4
-10-5
.
Следует отметить, что описанное выше на примере лампового гене­
ратора явление может быть распространено на любой автогенератор,
в котором из-за ограниченной избирательности колебательной системы
нарушается строго синусоидальная форма генерируемого колебания.
Второй из упомянутых выше факторов -влияние инерции элект­
ронов - имеет существенное значение только в автогенераторах, ра­
ботающих в диапазоне сверхвысоких частот, когда время пролета
электроном междуэлектродных промежутков оказывается соизмери­
мым с периодом колебания. Это создает фазовый сдвиг между напря·
жениями на сетке и первой гармоники анодного тока. Этот сдвиг и яв­
ляется аргументом ср5 комплексной крутизны Scp· Поясним это на
примере одного из простейших автогенераторов, изображенных на
рис. 10.3 и 10.4 . Так как в этих схемах фаза коэффициента обратной
связи не зависит от ча стоты (и равна 180°), то должно выполняться
условие ср5 + q, 2
=
О. Если q,5
=
О, то и ср2 = О. Это означает, что
частота генерируемых колебаний совпадает с резонансной частотой
контура шР [влияние R; здесь не учитывается, см. формулу (10.20) ).
Допустим теперь, что из-за инерции электронов угол ср5 на рабочей
частоте ш, . не равен нулю. Для баланса фаз требуется, чтобы apry·
мент <р2 = -q,5
.
Это означает, что в системе устанавливается частота
<1Jr, отлuчающаясfi. от резонансной частоты контура roP.
Нетрудно установить связь между отклонением частоты и величи­
ной rrz =
- qJ5 . Для этого воспользуемся уравнением фазовой харак.
теристики контура
rpz = -arctg 1•-
Q.
•2Лю)
\ (\)р
Полагая JЧJ si достаточно малым углом, можно исходить из прибл и·
женного равенства
370

--
откуда относительное отклонение частоты, необходимое для компен ­
сации угла <р5 , должно быть
Лw (JJ5
-=-
Wp 2Q
(10.25)
Например,
тельно Е8)
при q,5
= -15° = -0,25 рад (запаздывание / ai относи·
и добротности Q = 100 получим
Лw=-~ =
-1,2-I0-3
•
Wp
2-llJ()
Так как время пролета электронов между электродами лампы,
а следовательно, и угол ср 5 зависят от анодного напряжения, то из-
менение этого напряжения привол.ит
к некоторому измененню частоты авто-
1юлебаний. Это является одним из
факторов, определяющих нестабиль·
ность частоты генератора.
Существенно, что с повышением
Q дестабилизирующее влияние угла
ips ослабляется. Этот вывод, следу­
ющий из формулы (10.25), пояс­
няется рис. 10.12. С увеличением
крутизны фазовой характеристики
контура (при увеличении Q) вели­
чина IЛ(nl = lro, -
rop/, необходимая
(,1/
Рис . 10.12
для получения заданного компенсирующего угла IJ)z, уменьшается.
Это положение можно распространить и на любые другие дестаби­
лизирующие факторы, кроме тех, которые действуют непосредствен­
но на резонансную частоту контура.
Таким образом, для повышения стабильности частоты автогене­
ратора необходимо, насколько это возможно, повышать добротность
колебательной системы при одновременном повышении эталонности
этой системы.
Иногда применяют конструкции конденсаторов и катушек, обес­
печивающие ослабление влияния температурных изменений на резо­
нансную частоту контура, а также, при особо жестких требованиях
к стабильности частоты, термостатирование колебательной системы.
13 генераторах, ряботающнх на волнах длинн ее 30-40 м, широко
применяется стабилизация частоты с помощью пьезокварцевых ос­
цнлляторов. Определенным образом вырезанные из кристаллов квар­
uа пластины, обладающие пьезоэлектрическим эффектом, представ­
ляют собой колебательную систему с очень высокой добротностью
(порядка десятков тысяч) и высокой эталонностью. Введение в схему
автогенераторов подобных колебательных контуров позволяет резко
ослабить влияние различных дестабилизирующих факторов на часто·
ту автоколебаний. На сверхвысоких частотах повышение стабильности
частоты достигается применением высОiюдобротных полых резона­
торов.
13*
371

10.5. МЯГJ<ИА И ЖЕСТl<ИА РЕЖИМЫ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ
Вернемся к рассмотрению рис. 10. l l и выясним поведение авто­
гщ1ератора при изменении величины обратной связи. При ослаблении
связи наклон линии / / растет и при некотором критическом значении
Кос, обращающем неравенство (1О.17) в равенство (10.3), возникнове­
ние колебаний невозможно. Линия связи, соответствующая кри·
тической величине обратной связи, занимает положение ОВ (см.
рис. 10.11).
Если в автогенераторе с индуктивной обратной связью и колеба·
тельной характеристикой вида рис. 10.11 плавно увеличивать М, то
Рис. 10./ .9
Рис. 10./4
начиная ,· критического значения Мнр амплитуда стационарного коле­
бания будет плавно изменяться, как показано на рис. 10.13. Такой
режим самовозбуждения называется м я г к и м.
Из предыдущего видно, что для получения мягкого режима необ­
ходимо, чтобы колебательная характеристика начиналась из нулевой
точки и имела достаточно большой наклон в области малых амплитуд.
Все эти требования выполняются при использовании цепочки Rg, С8
для создания напряжения смещения (автоматическое смещение).
При подаче на сетку очень малых амплитуд Ев напряжение смещения
близко" нулю и средняя крутизна Scp мало отличается от статической
крутизны. Это обеспечивает линейный ход колебательной хара"те­
ристики в области малых амплитуд Eg, С возрастанием Ев средняя
крутизна уменьшается и колебательная характерист1ша принимает
вид, показанный на рис. 10.11.
Снижение средней крутизны обусловлено в основном ростом от­
рицательного смещения и переходом рабочей точки на нижний сгиб
характеристики, что приводит к отсечке анодного тока. При очень
больших амплитудах Е8 возможно также уменьшение анодного ток~
из-за возрастания тока сетки.
При использвании принудительного смещения колебательная ха­
рактеристика принимает вид, показанный на рис. 10.14. Для воз­
никновения колебаний в данном случае требуется очень сильная об-
372

ратная связь (линия ОА, взаимоиндукция М1). После того как коле-
-"' бания установились связь можно ослаблять до величины М 2, при
которой линия связ~ занимает положение ОВ. При дальнейшем ос­
лаблении связи колебания срываются. Для восстановления колеба­
ний М нужно увеличить до значения М t, соответствующего линии
связи ОА. Такой режим самовозбуждения называется жест К и М.
Зависимость стационарной амплитуды / к от величины М при жест­
ком режиме показана на рис . 10.15, причем стрелками показано на­
правление изменения М.
Если принудительное напряжение смещения настолько велико, что
колебательная характеристика начинается не из нуля (рис. 10.16),
---
_j
Рис. 10.15
Рис. 10.16
то никакое увеличение обратной связи не способно вызвать автоколе­
бания. Если же вызвать колебания с помощью внешнего воздействия,
то при достаточно сильной обратной связи колебания могут продол­
жать существовать и после прекращения воздействия. Из двух точек
пересечения линий / и // точка С является устойчивой, а точка D -
неустойчивой (имеется в виду динамическая устойчивость, т. е. у.::той­
чивость генерации). Это означает, что при небольших случайных откло­
нениях амплитуды тока в контуре около точки С система возвращается
в исходное состояние, сколь же угодно малое отклонение амплитуды
в районе точки D прогрессивно возрастает и переводит амплитуду / н
либо в устойчивую точку С, либо в точку О (соответствующую стати­
ческой устойчивости).
Поясним это положение длн точки С (на рис. 10.14). Допустим, что
амплитуда тока в контуре случайно увеличилась на величину Л/н·
Это вызовет увеличение напряжения, подаваемого на r.етку через об­
ратную связь, на величину ЛЕg. При напряжении на сетке Eg ст +
+ ЛЕg лампа способна поддерживать в контуре ток /~, который мень­
ше, чем / н ст + Л/н· Таким образом, ток в контуре не может удер­
жаться на уровне/н ст+ Л/ни начнет убывать, т. е. возвращаться кис­
ходному значению / к ст· То же будет при случайном уменьшении тока
в контуре. Аналогичными рассуждениями нетрудно доказать неустой­
чивость амплитуды в точке D.
Из приведенных рассуждений видно, что в генераторах с сАмовоg.
буждением целесообразно применять автоматическое смещение, ко­
торое позволяет сочетать благоприятные для запуска автогенератора
373

условия (Ego = О в момент включения) с выгодным рабочим режимом
о стационарном состоянии. При выборе сопротивления утечки можно
исходить из условия получения требуемой величины Е80 в установив·
шемся режиме автогенератора
R _ IЕвоl
g-fgo'
где / go - постоянная составляющая сеточного тоr<а в стаuионарном
режиме.
Емкость сеточного конденсатора Cg должна быть достаточно боль­
шой, чтобы за время между двумя импульсами сеточного тока напря·
жение на нем изменялось незначительно. Это требование выполняется,
если постоянная времени цепи утечки Т8 = CgRg велика по сравне­
нию с периодом автоколебаний Tr = 2л/ ror. Таким образом, должно
rзыполняться условие
10.6. НЕЛИНЕйНОЕ УРАВНЕНИЕ АВТОГЕНЕРАТОРА
В предыдущих параграфах данной главы изучались условия воз­
ншшовения колебан11й в олредеJJялась устойчивость стационарного
режима автогенератора. Необходимо рассмотреть весь процесс уста­
новления автоколебаний: от первоначального включения и до стацио­
нарного режима. Этот вопрос помимо своего общего значения важен
для ряда приложений, в которых приходится иметь дело с формиро­
ванием коротких радиоимпульсов (например, в импульсных радио­
системах). Для полного описания поведения автогенератора, охваты­
вающего все стадии процесса установления, необходимо отказаться от
условия малости амплитуд, лежащего в основе линейного дифферен­
циального уравнения (10.10).
Использованное при составлении этого уравнения линейное вы­
ражение (10.9)
i" =S(eq-Dua)
должно быть заменено нелинейной функцией
ia='Ф(eg-Dtta),
(10.26)
определяющей анодный ток ia- при любых значениях eg и иа.
Для дальнейшего исследования удобно перейти от схемы, изобра­
женной на рис. 10.8, к схеме, показанной на рис. l 0.17. Использован­
ная в этой схеме параллельная схема замещения колебательного кон­
тура, не меняя сути дела, упрощает составление дифференциального
уравнения для напряжений Ua, действующего на контуре. При вы­
бранных на этом рисунке направлениях токов и напряжений можно
написать следующие исходные уравнения:
(10.27)
374

Подставляя выражения (10.28) и (10.26) в (10.27), получаем
Сdua +_.!_ ua +_.!_ S'иаdt= 'Ф(eg-Dua)·
dt
R•L
0
Но в соответствии с выражением (10.28)
diL
М
е=М-=+-и.
g
dt
Lа
(10.28)
(10.29)
Здесь знак плюс взят по соображениям, связанным с фазировкой
обратной связи (см. § 10.3).
Таким образом,
'/J (eg-Dua) = 'Ф [(: -D) Ua] = 'Ф [(K0 c-D) uaJ = 'Ф (Киа),
где
(10.301
(10.31)
Нетрудно видеть, что eg - Dua = Киа есть не что иное, как управ­
ляющее напряжение сетки иупр•
Подставляя выражение (10.30) в уравнение (10.29) и дифференци•
руя последнее по t, получаем
или
d2 Ua
.!!:__ [~-__!_ (Ки )] +-' U -0
dt2+dtCR С'Ф
аLCа-
'
(10.32)
Как и следовало ожидать, получилось нелинейное уравнение.
Дальнейший путь заключается в подстановке в уравнение (10.32)
какой-либо аппроксимации функции 'Ф(Киа). Наиболее удобной яв­
ляется аппроксимация с помощью степенного полинома. Чтобы не
слишком усложнять задачу, в выражении (9.9) обычно сохраннютс11
Рис. 10.17
875

слагаемые со степенью не выше третьей:
ia = CXUynp + tJulnp + yu~np•
(10.3:?
Входящее в выражение (9.9) напряжение сигнала е8 заменено на
управляющее напряжение. Слагаемое i"0 опущено, так как оно не
оказывает влияния на свойства функции иа, а также и на другие свя­
занные с иа переменные величины, входящие в уравнение (10.27).
Аппроксимация (10.33) пригодна для исследования лишь мягкого
режима самовозбуждения, когда для ограничения амплитуды авто­
колебаний достаточно захода на относительно слабо выраженные кри­
волинейные участки характеристики. В случае жесткого режима для
удовлетворительного описания характеристики в выражении (9.9)
требуется сохранение по крайней мере еще и пятой степени.
Итак, ограничиваясь случаем мягкого режима (наиболее распро­
страненного в практике), приведем выражение (10.33) к виду, более
удобному для подстановки в уравнение (10.32). Учитывая, что Иупр =
=
Киа [см. замечание, сделанное после формулы (10.31) ), получаем
ia = 'Ф(Киа)=аК иа+~К
2
и~ -1-v I К3 и:= а.к Ua +в.. и~ --vк и:, (10.34)
где
(10.35)
Знак минус перед кубическим членом взят в соответствии с фор­
мулой (9.14), из которой видно, что v отрицательно.
Подставляя (10.34) в (10.32), получаем
d
2
Ua + .!!:_ [..!.. (..!__-а ) и _Вк u2 + .1!!_ из]+~
_1и =О
dt2
dtСR
каСаСаLCа
или
d2
ua_( ак-1/R +2Вк и _з'l'ки2)dиа+_}_и =0
dt2
С
СаСаdtLCа•(10.36)
Для сокращения записи и приведения последнего уравнения к ка­
нонической форме введем следующие обозначения:
2а=ак-1/R А =2Вк .
,,=Зук.
,,
С
t'з
С, rз
С,
1
2
- =roo-
LC
Кроме того, введем «безразмерное» время
Тогда
,:= rooi.
dua
dua d2 Ua
2 d2Ua
dt
roodт:; d/2- roo dт:2•
Подставляя все это в уравнение (10.36), получаем
dd2~Е.-_ _! __ _ (2аа+~эи"-узи~)dua +ua = О
t
ш0
dt
376
(10.37)
(10.38)
(10.39)

или
где
2а~
е=-.
ro"
(10.40)
Переходим, наконец, от напряжения u 0 (в вольтах) к «безразмер·
ному» напряжению
(10.41 1
Тогда
d
2
и (J+~0 v2aa
2)du+ 0
--е
-
-и-и -
и=.
d-r
2
2а3
Уз
di
Вводя обозначение
(10.42)
приходим к окончательному уравнению, известному под названием
уравнения Ван дер-Поля:
d2и
l
2du
О
--е( +Ьи-и )-+и= .
d-r 2
.
d-r
(10.43)
Величина и знак коэффициента Ь зависят от вида характеристики
и положения исходноА рабочей точки . При симметричной характе­
ристике, рассмотренной в § 9.2, и при расположении рабочей точки
в точке перегиба характеристики (см. рис. 9.5) коэффициент Ь = О.
В этом частном случае уравнение (10.43) несколько упрощается
(10.44)
Хотя это уравнение составлено для случая фиксированного поло­
жения рабочей точки и, следовательно, не учитывает изменения этого
положения в процессе нарастания амплитуды (из-за изменения напря•
жения Ego при автоматичес,юм смещении), уравнение (10.44) вее же­
как показывает опыт, хорошо описывает поведение автогенератора,
работающего в мягком режиме.
При малых напряжениях, когда и 2 « 1 (напомним, что и - без­
размерная величина), уравнение (10.44) переходит в обычное линейное
уравнение, совпадающее с уравнением (10.12), в котором кеэффи­
циент 2а0 совпадает с - ero 0 • С увеличением напряжения все сильнее
проявляется нелинейность системы.
Методов, позволяющих получить точное решение нелинейного
уравнения (10.44), не существует.
377

В значительной стеnени под влиянием требований радиоэлектро­
ники, в современной математике широко nрименяются различные пр~
ближею1ые (асимптотические) методы отыскания решения неJ1ине1.
ных уравнений типа (10.44) и других близких к нему уравнений. Не­
которые из этих методов будут рассмотрены ниже.
10.7. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕИНОГО УРАВНЕНИЯ АВТОГЕНЕРАТОРА
МЕТОДОМ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД
Суть этого метода заключается в данном случае в том, что решение
нелинейного уравнения (10.44) ищется в форме высокочастотного ко­
лебания
и= А(т,) cos -r =А (юр t)cos wP t,
(10.45)
где wP - частота, определяемая контуром, т. е. юр= ffin = lfJ/LC,
а А(т,) - функция, медленно меняющаяся во времени.
Как указывалось в § 4.1, условие медленности заключается в том,
что относительное изменение амплитуды за период Т = 2л/w 0 являет­
ся достаточно малой величиной, т. е.
_!_dAТ«1или_!_dA«_!_=
~.
(10.46)
Аdlо
Аdt ТO 2n
В системах, близких к консервативным1, каковыми являются авто­
генераторы с высокодобротными колебательными контурами, услов1,1е
(10.46) выполняется, так как для существенного изменения амплиту•
ды и, следовательно, запасенной в контуре энергии требуется время,
измеряемое значительным числом периодов .
Итак, для отыскания приближенного решения уравнения (10.44)
остается найти только функцию A(-r), т. е. огибающую амnлитуд ко·
лебания . Частота этого колебания просто приравнивается юр, а nо ­
стоянная начальная фаза, которая в решении (10.45) опущена, может
быть nринята любой в зависимости от начальных условий запуска
генератора 2 .
Подставим выражение (l 0.45) в уравнение (10.44).
Предварительно находим du/dт,, d2 u/dт, 2 и u2du/d.::
du
•
и=Асоsт, -= -Asinт,+Acos.:,
d-c
d2и
•
•
••
•
-
= -А cos -r-A sin т,-А sin т,+А cos,; ~ -А cos .:-2А sin -r
d1:2
'
1
Консервативными называются системы, в которых запас энергии являет­
ся п ос тоянной величиной .
2
В действительности фаза, а следовательно, и частота колебания в проuес­
се установления являются функцией времени . Для определения « поправки» к час­
тотЕ> необходимо находить второе или даже более высокие приблнжеииа.
278

u<Jdи= _
..!. d(и
8
) = _!_ Е._ (Аз co~s -с)=
d-r:
3 d-r:
Зdт
АЗ.
1 dk'
А'• .
=--
S\П't+- - COS 't=- - Sln't.
4
4~
4
Слагаемое с А отбрасывается, так как вторая производная медлен ­
но меняющейся функции является величиной малости второго по­
рядка, слагаемое же, содержащее cos 3 1: = cos 3<op(t), отбрасывается,
так как утроенная частота отфильтровывается колебательным кон­
туром, настроенным на частоту wP. Кроме того, следует иметь в виду,
dA8
что последнее слагаемое вида cI;; cos1: после подстановки в уравнение
(10.44) и умножения на малую величину е также отбрасывается,
как величина малая по сравнению со слагаемыми с коэффициентами
вида А ,А или еА 3 • Подставляя полученные соотношения 1J урав~,е­
ние (10.44), получаем
или
(-Аcosi;-2Аsin1:)-е(-Аsin,:+Аcost)-
2А.
А.
еАз •
О
SIП't-e SIП't+-sш't= .
4
Слагаемое еА cos11 отбрасывается как произведение двух малых
величин. Итак,
(2А-еА + e:s) sin 't = О.
Так как sin,; =1= О, то приходим к следующему уравнению для ам­
плитуды:
(10.47)
Умножая на А и учитывая, что 2АА = dA 2 /di;, переписываем
это уравнение в форме
dA
2
(
А4)
--е А2 -- =0.
d-r:
4
Получилось уравнение первого поряд1<а относительно квадрата
амплитуды А. Стационарная амплитуда Аст определяется из этого
уравнения сразу, достаточно приравнять нулю производную от А 2•
Таким образом,
37Н

откуда
(10.48)
Итак, при неполной кубической аппроксимаuии стаuионарная
амплитуда напряжения ( безразмерного) на контуре равна 11вум. Пе­
реход к «размерной» амплитуде будет сде.лан далее.
Для решения уравнения (10.47') используется следующая аамена
переменной:
Тогда
d(~) (1 1)
---в --- -о
dt
х 4х2..
или
и
dx +в . (х-..!.) =0.
d,
4.
Теперь разделим переменные, после чего получаем
( d,1)~-d,.
е, х--
4
После интегрирования этого выражения получим
ln ( х-{) +с= -в•.
Пусть начальное значение амплитуды колебания в момент т =- О
равно А 0 • Тогда соответствующее этому моменту значение х O равно
11 А~. Полагая в последнем выражении • = О, находим постоянную
интегрирования С:
Следовате.11ьно,
и
/11 ( х-+)-ln ( х0-+)= -в,;
4x-l
-e-r
---=е
.
4х0 -1
Подставим знаменатель этого выражения в форме
4х0 -1 =еет.,
380
(10.49)

Тогда
и, наконец,
(10.50)
где •о определяется из формулы (10.49) по заданной начальной ам­
плитуде А~= 1/х 0 •
Подставляя выражение (10.50) в (10.45), получаем
2cos'f
и=::--;:=========-
v \+e-e('f -1:o)
(10.51)
Совершая переход от • и и к первоначальным переменным t и иа
lпо формулам (10.38) и (10 .41)] и используя формулу (10.40), записы­
ваем это решение в форме
2 ✓~ cos (rop t+<p0)
иа= _j
•
f' 1+ е(2аэ/rор) (rop 1-..:о)
(10.52)
где <р 0 - произвольная начальная фаза колебания.
Учитывая, что в соответствии с формулами (10.37)
2 у'2а.0/'У0 = 2--.
/ a"-l/R ,__f _=--.
/4(a11-l/R) •
VсЗу"VЗу"
2а,, a"-1/R
··-=- --
ffip
ropC
приходим к следующему окончательному выражению для мгновенного
значения напряжения на колебательном контуре автогенератора
1 /4(a"-l/R)
V. Зу"
и = --;:-::=========- cos (rop t +<р0) = Uа (t) cos (rop t +<р0),
аV
aк- llR.
-
--
.
-
(/- fo)
(10.53}
l+e
с
rде t 0 = 1:0/rop, причем i- 0 определяется из формулы (10.49).
Для выяснения характера нарастания амплитуды автоколебания
удобно выразить огибающую Ua(t) через начальную амплитуду Uao·
Замечаем, что при t = О эта амплитуда равна
Иа ст
(10.54)
381

rде
U = .. (4(au-1/R)
аст V Зv«
представляет собой стационарную амплитуду.
Если начальные условия запуска определяются свободными коле-
баниями включения, то Иао « Иаст·
Следовательно, в последнем выражении
««-IIR
с(·»1,
е
и можно считать
или
Итак, огибающая амплитуд:
U (t}=
Uаст
а
-.
/
a«-IIR
V 1+ (UJ,a:т)\---c-1
(10.55)
Отсюда видно, что на начальном этапе запуска автогенератора
(t близко к нулю), пока
a«-IIR
( Uаст) 2 --t
-
ес))1,
Uao
огибающая нарастает по экспоненциальному закону
a«-IIR
----t
иа(t)=Иаое 2С
(10.56)
Этот результат совпадает с огибающей в выражении (10.13) (разные
формы показателя степени определяются различием схем, изоб­
раженных на рис. 10.8 и 10.17).
В выражении (10.55) полезно перейти от ak к а = S [с помощью
формул (10.35) и (10.31) 1:
a,.- 1/R
с
Ka-1/R
с
(K 0 c-D) S-1/R
(K0 c-D) SR-1
RC
с
-
(10.57)
Если учесть, кроме того, формулу (10.18), из которой следует, что
(K0 c-D) R= 1/Scp,
382

то получим
a1, .-l/R~_S /Scp-1
__
2(S t)_2
---
-
---
--·
-
-
ао- аэ,
С
RC
Scp
где а., ;== l /2RC - затухание собственно контура.
Итак, окончательно
= v (·v"ст)2 -2а,/ •
1+--е
Иао .
где а" определяется
(10 .37)~
выражением
Общий характер функuии UaU)
для нескольких значений параметра
Иа ст
n=--
Иао
(10.59)
и.1v.,т
(О
о.в
0,5
о. (i
--~
показан на рис. 10.18.
0,2
Из выражения (10.58) и рис. 10.18
.....
1- 1,.
··z
~~
1-
J
1/
~
~
1I
"'
~)
---
J
1,, '
(10 .5R )
1
1
-~1
-~
,-,- -
j
1
видно, что время установления ста-
о2",в10121J,t
ционарной амплитуды существенно
зависит от начальной амплитуды,
Рис. 10.18
т. е. от начальных условий запу-
ска. Этот вопрос имеет важное значение для импульсных автогене­
раторов.
10.8 . ДВУХl(ОНТУРНЫЕ АВТОГЕНЕРАТОРЫ.
ЯВЛЕНИЕ ЗАТЯГИВАНИЯ ЧАСТОТЫ
Помимо рассмотреннwх в § 10.2 простейших одноконтурных авто­
генераторов в практике широко применяются автогенераторы с более
сложными колебательными системами. Особенно часто встречаются
двухконтурные схемы двух типов: с обратной связью через между­
электродную емкость анод - сетка (рис. 10.19, а) и через емкость
анод - катод (рис. 10.19, 6). Источники питания на рис. 10.19 не по­
казаны.
Рассмотрим условия самовозбуждения в схеме с обратной связью
через емкость анод - сетка (рис. 10.19, а). Представим колебательную
систему автогенератора в виде одного контура, состоящего из последо·
ватеJ1ьного соединения трех элементов: емкости Cag, реактивного со•
противления х8л участка сетка - катод и реактивного сопротивле-
1шя Хал участка ьнод - катод (рис. 10.20).
38·3

Из условия противофазности напряжений Eg и U0, а также для
того, чтобы 1<0нтур быJ1 колебательным, сопротивления Хgн. и ха" на
частоте генерации должны быть индуктивными. Следовательно, при­
ходим к выводу, что самовозбуждение в рассматриваемой схеме воз­
можно только на частоте, меньшей, чем резонансные частоты (00 и (J)g,
так как только при этом условии сопротивления Xgk и Xak являются
индуктивными.
К этому же выводу можно прийти и другим путем.
Рассматривая контур как реактивный двухполюсник, включенный
между анодом и катодом лампы, получаем для результирующего со·
противления между точками а - k частотную зависимость, представ·
а
r-------
1
C11g;
/(
~----------
'1
1
J:11. -
i
:
w.
1
., ...,.,__ _k -4
L.--------
Рис. 10.19
ленную на рис. 10.21 . Так как рассматриваемый двухполюсник про­
пускает постоянный ток, то зависимость Z3 (m) начинаt>тся из нуля.
Частоты w1 и m8 соответствуют «параллельным» резонансам, а m2 -
«последовательному» разонансу.
Поскольку для нормальной работы автогенератора требуется боль­
шое нагрузочное сопротивление между анодом и катодом, генерация
на частоте ro 2 невозможна. Из двух частот, соответствующих резонансу
токов, ro 1 меньше резонансных частот сеточного и анодного контуров
m8 и 000, а 00 3 лежит между у1(азанными частотами 1 . На основании
указанного выше условия противофазности напряжений Eg и U0 при­
ходим к выводу, что генерация rюзможна только на одной частоте 00 1,
меньшей, чем нижняя из частот ю0 и (1)g·
В схеме с обратной связью через емкость анод - катод
(рис. 10.19, б) эквивалентный колебательный контур принимает вид,
показанный на рис. 10.22 . В данном случае для противофазности на­
пряжений Е8 и U0 необходимо, чтобы на частоте генерации сопротив­
ление xg" было емкостным. Следовательно, частота генерации m, долж­
на быть выше, чем резонансная частота параллельного контура, вклю-
1 Пеμный резонанс получается, ко~:да оба сопротивления Xgk н ха11 индук•
тивны, т. е. при частоте ro 1 , отвечающеи условиям ro 1 < rog и ro 1 < Фа-
Частота же ro,; не может превышать наивысшей из частот rog или roa, так как
при этом Xgh и Xah являлись бы емкостными сопротивлениями и резона.нс был
бы невозможен,
384

qенноrо между сеткой и катодом. С друrой стороны, так как участок
анод - сетка должен быть индуктивным (поскольку остальные два
участка являются емкостными), то частот;-~ генерации должна быть
ниже, чем резонансная частота контура, включенного между анодом
и сеткой. Отсюда видно, что для самовозбуждения частота (1)ав должна
быть обязательно выше, чем частота cugk• 11 частота rенерац1111 лежит
между значениями mgk н w"g·
.
•
Существенно, что если сеточныи и анодныи контуры обладают
. __ знач ител ьной
расстройкой, то основное влияние на частоту автоколе­
баний оказывает изменение пара м етров того из контуров, частота
z,
'
1
1
•
1
1
1
1
c"g
1
1
т-g
1
иа
1
.i;.,.
о
lГ~
lg
z,.
_l
/(
Рис. 10.20
Рис . 10.21
которого ближе к резонансной частоте эквивалентного контура.
В схеме, изображенной на рис. 10.19, а, например, таким контуром
является контур, частота 1юторого минимальна.
Это свойство двухконтурной схемы часто используется для искус­
ственного повышения стабильности частоты автогенераторов путем
введения в схему высокодобротного эталонного контура, который в ос­
новном и определяет частоту генерации. Второй же контур (нагрузоч­
ный) при этом настраивается на частоту, заведомо более высокую,
чем частота эталонного контура. В качестве эталонного контура, как
отмечалось в § 10.4, часто применяется кварцевая пластина.
Рассмотрим теперь одну особенность автогенераторов, у которых
линейная часть схемы представляет собой систему из двух связан­
ных контуров, причем неnосредственно с активным элементом связан
лишь один из контуров (рис. 10. 23). При сильной связи подобная ко­
лебательная система является двуволнистой, т. е . имеются две частоты
свободных 1юлебаний (так называемые «частоты связи») и, следова­
тельно, две резонансные частоты. Так как коэффициент обратной свя­
зи в схеме, изображенной на рис. 10.23, и в других аналогичных схе­
мах почти не зависит от частоты, ro необходимые для самовозбужде­
ния условия могут вnолне выполняться для обеих частот связи. Воз­
никают вопросы: 1) могут ли существовать автоколебания на двух ча­
стотах; 2) если э1u невозможно, то ш1 какой из двух частот установится
генерация?
385

Для выяснения этих вопросов рассмотрим сначала следующую
задачу: пусть заданы резонансные частоты обоих контуров u1P 1 и (11р 2 ,
в общем случае произвольные, а также величина коэффициента свя­
зи k, и требуется определить частоты, при которых наступает резо­
нанс в первом контуре схемы рис. 10.23.
Для этого нужно, чтобы обращалось в нуль полное реактивное
сопротивление первого контура х13 (с учетом вносимого из второго
контура реактивного сопротивления Х 8н) .
а
1
s,.,
,.,ез
g '°"
Uo
/·z
,t_;.J
Са
Рис. 10.22
Рис . !0.23
Учитывая, что собственное реактивно~ сопротивление первого
контура
а
получаем следующее уравнение для определения искомых резонансныл
частот:
Отыскание корней этого уравнения w1 и (JJI/ в общем случае при
учете сопротивления r 2 связано с весьма громоздкими выкладками.
При сию.ной связи, когда k в несколько раз больше «критической
связи» резонансные частоты системы w1 и w11 весьма существенно
отличаются от резонансных частот контуров wp1 и шР 2 . Можно поэтому
принять, что вблизи искомых частот выполняется уст.овне
386

Отбрасывая поэтому r 2, перепишем приведенное выше уравнение
в упрощенном виде:
( ФLi--1-) (roL2--'-) -ro
2
М2 =0.
(J)C1 ,
ооС 2
Разделив это выражение на L 1L 2 и учитывая, что
получаем
м2k21
2•
1
2
--=
; -- =f fipt,
- -= ffip2,
L1 L2
С1 L1
С2 L,
(
2)4(2
2)2
22
Q
1-k ro - rop1+rop2 ro +rop1Фр2=
.
" 'l.11
1
1
1
1
Рис. 10 .24
-----------
--п
Из четырех корней полученного биквадратного уравнения два
отриuательных корня должны быть отброшены как не имеющие фи­
зического смысла. Положительные же корни, определяемые выра­
жением
_-.
/(J)~1+ro~2 ± V(ro~ 1 +c,J~ 2)
2
-4(1-k
2
)ro;,ro; 2
ffir,ll-v
2(\-k2)
'
дают искомые резонансные частоты первого контура с учетом влияния
Itroporo контура.
На рис, 10.24 изображены графики зависимости ro 1 и rou от резо­
нансной частоты второго контура при фиксированной частоте первого
контура Ырt, построенные при некоторой достаточно большой вели­
чине коэффициента связи k. Проведем теперь качественное рас~мот­
рение явлений при запуске автогенератора. В первый момент в схеме
могут возникать оба колебания с частотами, близкими к ro 1 и ro, 1
,и,
пока амплитуды малы и нелинейность системы еще не проявляется,
оба колебания нарастают по амплитуде почти независимо. Крутизна
нарастания амплитуд не является, однако, одинаковой для частот
<,) 1 и юu, В зависимости от относительной расстройки контуров резо­
нансное сопротивление нагрузки при одной из частот связи больше
387

1-1ли меньше, чем при другой. Следовательно, и усиление схемы неоди­
наково для частот ffi 1 и ffiн, Это приводит к тому, что амплитуда од­
ного из колебаний (для которого резонансное сопротивление больше)
выходит на нелинейный участок характеристики лампы раньше, чем
амплитуда второго колебания.
В § 9.9 . было показано, что взаимодействие двух колебаний в не•
линейном элементе (ограничителе) приводит к подавлению слабого
колебания более сильным. Следовательно, по мере выхода на нелиней­
ный участо1< вольтамперной характеристики активного элемента пер­
воначальное преобладание одного из колебаний растет и приводит
к полному гашению второго колебания.
Таким образом, приходим к выводу, что в автогенераторе с дву­
волнистой колебательной системой (см. рис. 10.23) в стационарном
режиме существует только одно колебание с частотой либо ffi 1, либо
rон, Допустим теперь, что после установления стационарного режима
мы начнем изменять настройку одного из контуров, например вто­
рого, сохраняя резонансную частоту первого контура ffipi постоян ­
ной. Как при этом будет изменяться частота генерируемых колеба­
ний? Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью графиков,
приведенных на рис. 10.24 . Пусть в схеме возбуждены колебания сна­
чала на частоте ш1 , соответствующей частоте шр2 < 6>р1 (точка А
на кривой ш,). Установление этой частоты обусловлено, очевидно,
тем, что при rop 2 < шр1 резонансное сопротивление z8 Р (w,) больше,
чем Zзр (шн),
При постепенном повышении частоты 111i, 2 путем изменения емкости
или индуктивности второго контура частота генерации будет сначала
идти по кривой ro 1 , а затем в точ1<е Е, расположенной правее точки
wp 2 = rop 1, частота скачком перейдет на кривую юн, При обратном
изменении rop 2 частота генерации будет идти по кривой ro 11 до точ­
ки F, где скачком перейдет на кривую с,) 1 . Перескок частоты в точке Е
объясняется тем, что на участке от rop 1 до ю Е (рис. 10.24) условия ге­
нерации более благоприятны для частоты ro", однако ранее возбужден­
ное колебание ro 1 оказывается устойчивым и при некотором сниже­
нии z3 р· Когда Z8 Р уменьшится настолько, что 1юлебания ro 1 станут
неустоичивыми, происходит срыв этих колебаний и возникно­
вение колебаний с частотой ffiп, Аналогично может быть объяснен и
скачок частоты генерации в точке F. Таким образом, получается «пеf­
ля затягивания частоты». Ширина области затягивания roE - wF
тем больше, чем сильнее связь между контурами и чем выше доброт­
ность второго контура.
10.9 . АВТОГЕНЕРАТОРЫ С ВНУТРЕННЕЯ ОБРАТНОЯ СВЯЗЬЮ
При рассмотрении механизма возникновения колебаний в авто­
генераторе (см. § 10.3) мы встретились с понятием отрицательного со­
противления, вносимого в колебательный 1юнтур при надлежащем
выборе фазы обратной связи. При этом в соответствии с обобшенной
388

схемой автоколебательноА системы (см. рис . 10. 1) нмелась в виду
внеШНЯJI обратная связь.
Существуют, однако, некоторыt: .электронные приборы, которые
позволяют получить отрицательное сопротивление за счет падающих
участков на вольтамперной характеристике без введения в схему спе­
циальных элементов обратной связи. К таким приборам относится,
например, туннельный диод, а также обычные тетроды и пентоды при
соответствующем подборе напряжений на электродах.
На рис. 10.25 показана вольтамперная характеристика туннель­
ного диода, представляющая зависимость прямого тока диода от по-
~
oL-----'-~~%.L....-- ;
ecz.
Рис. 10.25
Рис. 10.26
ложительного напряжения смещения. На падающем участке а - б
дифференциальное сопротивление диода отрицательно:
Rde
-= -=ctga.
dia
Здесь а - угол наклона касательной к кривой ia == f(e) в рабочей
точке Е0•
Аналогичная характеристика получается у тетрода при сильно
выраженном динатронном эффекте (рис. 10.26).
При подключении электронного прибора с подобными вольтам•
перными характеристиками к колебательной системе можно осущест­
вить генерацию высокочастотных колебаний. Получается автогене­
ратор с внутренней обратной связью. На
рис. 10.27, а изображена схема «динатронного генератора», в которой
в качестве отрицательного сопротивления используется тетрод. Как
видно, в этой схеме нет специальных элементов для создания обратной
связи. Отрицательный характер сопротивления лампы достигается
установкой рабочей точки на падающем участке характеристики
(рис. 10.26). Для этого на анод подается напряжение питания Еа,
меньшее, чем на экранирующую сетку.
Эквивалентная схема контура, шунтированного отрицательным
сопротивлением R-, изображена на рис. 10.27, 6. По отношению
к этому сопротивлению иа рассматривается как электродвижущая си­
ла, так что ток ia и напряжение Ua связаны соотношением ia = Ua /R_ .
389

Рассматривая, как и в§ 10.3, начальный этап развития колебаний
(малые амплитуды), исходим из уравнений, аналогичных уравнениям
(10.7)-(10.8), с тем лишь отличием, что первое уравнение (10.7) за­
пишемввидеiL+ic= -ia.
Учитывая далее приведенное выше выражение для тока ia и ис­
пользуя третье уравнение системы (l О. 7), получаем вместо (l 0.1 О)
следующее линейное дифференциальное уравнение:
(10.60)
11_
а)
6)
Рис. 10.27
Для того чтобы амплитуда колебания нарастала, коэффициент
при первой производной должен быть отрицательным. Отсюда полу·
чается условие возникновения колебаний в виде
или
'+1О
1<
,
LCR_<;CR_
-z :,
L
R->- -;
,с
(10.61)
Здесь / R-1
-
абсолютная величина отрицательного сопротивления;
z8 Р - резонансное сопротивление контура.
Когда сопротивление IR-/, зависящее от амплитуды колебания (при
переходе на нелинейную часть хараю€'ристик11 лампы), увеличится до
/R_(Ua)/=Zэ p,
(10.61')
в автогенераторе установится стационарная амплитуда колебаний.
Режим устойчив, ес1111 крнвая I R_(U п)I 11ересекает лин~1ю I R-1 = zп Р
с положительным на1<лоном (рис. 10.28). Все, что в предыдущих па­
раграфах было сказано о характере нелинейной зависимости средней
r<рутизны от амплитуды управляющего напряжения, в данном случае
может быть распространено на характер зависимости величины, об­
ратной IR. -1, от напряжения Иа·
Из-за недостаточной устойчивости динатронного эффекта и низких
энергетических качеств дt(натронные генераторы применяются до•
390

вольно редко. Значительно Мльшее распространение (в радиоизмери
тельных устройствах, в качестве гетеродинов приемников и т. д.)
получили так называемые транзитронные генераторы, работыощие на
пентодах. В транзитронном генераторе используется зависимость рас­
пределениsI электронного тока между анодом и второй сеткой лампы
от напряжения на третьей сетке. При увеличении потенциала послед­
ней ток ig2 падает. Зависимость. ig2 (egs) изображена на рис . 10.29.
Если в цепь второй сетки ввести колебательный контур, а перемен­
ное напряжение подавать на третью сетку (рис . 10.30), то можно осу­
ществить усиление колебаний; в отличие от обычного усилителя с кон­
туром в анодной цепи в данном случае выходное напряжение совпа ­
дает по фазе с напряжением входа.
Рис. 10.28
Рис. 10.29
Действительно, при положительном приращении напряжения
еgз ток ig 2 убывает, падение напряжения на контуре снижается, а
потенциал второй сетки (по отношению к катоду) растет . Промежуток
вторая сетка - катод ведет себя при этом как отрицательное сопро­
тивление, поскольку производная
dlg 2
- <0.
deg 2
Для перехода от усиления колебаний к самовозбуждению необ
ходимо переменное напряжение с контура подан на нход, т . е. натре­
тью сетку . Для этого вторую 11 третью сетки по высокой частоте нуж­
но соединить накоротко. Таким образом приходим к схеме транзи­
тронноrо генератора, показанной на рис. 10.31. Сопротивление R0
берется достаточно большим (порядка 100 ком), чтобы в контур не
вносить заметного затухания. Емкость С 0 , соединяющая вторую сет ­
ку с третьей и необходимая для разделения постоянных токов, должна
для частоты автоколебаний обладать по сравнению с RO малым сопро­
тивлением. Таким образом,
Со» _1__
WrRo
При выполнении этого условия вторую и третью сетки по высокой
частот~ можно считать эквипотенциальными. Сле::д(Jвательно, падающий
891

участок характеристики i112 (е113), показанный на р~с. 10.29, можно ото•
ждествлять (для переменных токов и напряжении) с характеристикой
t• (Ле ) Для возникновения колебаний необходимо, чтобы абсолют-
112
g2•
ная величина отрицательного сопротивления, равная
1R- 1= 1/ 1~::: 1,
отвечала условию (10.61).
Стационарная амплитуда колебаний установится, когда среднее
сопротивление IR- (Е118) 1, возрастая с увеличением амплитуды Ega,
сравняется с z0 р·
Рис. 10.30
Рис. 10.31
Простота схемы и отсутствие необходимости в подборе обратной
связи делают в некоторых устройствах транзитронный генератор
удобным источником колебаний малой мощности . Помимо тетродов,
пентодов и туннельных диодов существует большое число других не­
линейных устройств, вольтамлерные характеристики которых можно
сделать падающими, обеспечивая этим генерацию незатухающих ко­
лебаний.
10.10. АВТОГЕНЕРАТОР С ЗАДЕРЖКОЯ
В ЦЕПИ ОБРАТНОЯ СВЯЗИ
Пусть имеется автогенератор с избирательной нагрузкой и линией
задержки в кольце обратной связи. Подобный генератор можно пред•
ставить в виде обобщенной схемы (рис. 10.32), аналогичной схеме
рис . 10.1.
Рассматривая линию задержки Т как идеальный четырехполюсник
с передаточной функцией e-tror (см. § 8.8), мы можем представить ли­
нейную часть схемы состоящей из колебательного контура и задерж­
ки Т, в виде одного четырехполюсника обратной связи с передаточной
функцией
(10.62)
392

где К. к - модуль передаточной функции коле6ателыюrо контура, об
падающего резонансной частотой Фр, а <рк -фазовая характеристика
контура.
В полосе прозрачности контура можно считать, что <рк ~
~ -(ro - wp)-r
11
,
где 'tк - постоянная времени контура.
Введение в схему линии задержки не изменяет модуля передаточ­
ной функции, но существенно влияет на результирующую фазовую
характеристику
(10.63)
Гг
Рис. 10.32
При достаточно бодьшой задержке Т наклон результирующей фа­
зовой характеристики определяется, в основном, слагаемым wT,
причем может оказаться, что в полосе прозрачности колебательной
системы изменение <p.t достигает значительной величины, превышаю­
щей несколько полных оборотов 2л. Подобный случай изображен на
рис. 10.33, на котором ы_2 , ы_1 , ы1, Ы2 и т. д. обозначают частоть1, лежа­
щие в полосе прозрачности контура, при которых ординаты фазовой ха­
рактеристики <p.t равны п2л, где п - целое число. Так как при указан­
ных частотах выполняется баланс фаз и амплитуд (см.§ 10.4), то каждая
из ких может являться ча.стотой автогекерации. Можно сказать, что
введение в кольцо обратной связи достаточно большой задержки при­
дает системе аналогично рассмотренному в rл. 8 гребенчатому фильтру
многочастотный характер. Роль колебательного контура при этом
сводится лишь к ограничению числа «зубцов гребенки», для которых
обеспечивается усиление, необходимое для автогенерации.
Возникает вопрос: могут ли о,цнооременно устойчиво существовать
несколько автоколебаний с различными частотами? Ответ на этот
вопрос зависит от таких факторов, как число частот в полосе прозрач­
ности контура, при которых выполняется фазовый баланс, форма ам­
плитудно-частотной характеристики избирательной нагрузки, режим
самовозбуждения («мягкий» или «жесткий») и некоторые другие.
Рассмотрим сначала случай, когда в полосе прозрачности одиноч­
ного колебательного контура имеется всего лишь две частоты, на ко­
торых возможна генерация: ffi1 и 00 2• Это означает, что в полосе
аэз

2Л@ 0 == 2/.:11 (.: 11 - постоянная времени контура) набег фазы в линии
задержки Т близок к 2л, т. е. 2Л(J)0Т ~ 2n или Т ~ л/Л(J)0 ~ n;;к·
Примерное расположение ю 1 и ro 2 на оси частот показано на
рис. 10.34. Через Е1 и Е 2 обозначены амплитуды колебаний с указан­
ными частотамы в какой-то момент времени после запуска генератора
Рис. 10.33
с мягким режимом возбуждения. При циклическом обходе замкнутого
кольца обратной связи при каждом прохождении через нелинейный
элемент соотношение между амплитудами Е1 и Е 2 будет изменяться
в пользу Е 1 . С аналогичной ситуаuией мы имели дело в§ 9.9 при рас­
ц)
Рис. 10.34
смотрении явления подавления
слабого сигнала в амплитуд­
ном ограничителе, а также в
§ l 0.8 при рассмотрении явле­
ния затягивания частоты. В
конце концов колебание с ча­
стотой w 2 полностью подав­
ляется и в системе остается все·
го лишь одно колебание с часто­
той w1, для которого началь­
ные условия при запуске бо­
лее благоприятны.
Иначе обстоит дело в автогенераторе с жестким режимом самовоз­
буждения, 1<огда при запуске для установления автоколебаний тре­
буется посторонний источник колебаний. В зависимости от выбора за­
пускающей частоты в генераторе может быть установлен стационар­
ный режим на любой из частот, ю 1 или ro 2 . Отсюда видно, что «жест­
кий» автогенератор с запаздывающей обратной связью может быть ис­
пользован как устройство, запомuн,ающее одну из нескольких частот,
подаваемых в момент запусr<а . При достаточно большой задержке Т
число таких частот (при заданной 1юлебательной системе) может быть
сделано весьма большим.
394

Вернемся к «мягкому» автогенератору и допустим, что в полосе
прозрачности колебательной системы имеется значительное число ча­
стот возможной генерации. Так как эти частоты расположены на оси uJ
эквидистантно (рис. 10.35), то можно допустить существование сово·
купности колебаний с частотами w 1 , ш 2 , w 3 и т. д. при амплитудных
и фазовых соотношениях, характерных для угловой модуляции. По­
добное сложное колебание, обладающее постоянной амплитудой, про­
ходит через нелинейность (амплитудный ограничитель) без деформа·
ц1щ, т. е. без изменения соотношения между отдельными составляю­
щими спектра. Это означает, что нелинейная часть автогенератора не
препятствует одновременной генерации сетки частот. Этого, однако,
Jl!Jl~~:
l,Jo
Рис. 10.35
1
1
r[f11fI1[I
Puc. 10.36
•
t,J
еще недостаточно для устойчивой генерации. Необходимо, чтобы пере­
даточная функция избирательной системы обеспечивала сохранение
внутриспектральных соотношений. Более подробное рассмотрение 1
показывает, что для устойчивой генерации спектра частот амплитуд·
но-частотная характеристика колебательной системы должна иметь
неравномерность типа седловины (рис. 10.36).
Генератор с запаздывающей обратной связью обладает некоторыми
другими интересными свойствами, обусловленными большой крутиз­
ной фазовой характеристики (например, повышенной стабильностью
генерируемой частоты).
10.11. ГЕНЕРАТОРЫ RC
Генераторы с колебательным LC контуром эффективны для полу­
чения высокочастотных колебаний. Для генерирования же низких
частот (меньше 15-20 кгц) они неудобны из-за конструктивных со­
ображений (колебательный контур получается слиш,юм громоздким
и трудно перестраиваемым). В связи с этим для генерирования низко·
частотных синусоидальных колебаний малой мощности широко при­
меняются так на?ываемые RС-генераторы. Один из вариантов схемы
такого автогенератора изображен на рис. 10.37. Отличие этого гене­
ратора от обычного генератора типа LC заключается в том, что вместо
1 См. И. С. Г о н о р о в с к и й, I( теории высокочастотных автогенерато·
ров с запаздывающей обратной связью. «Радиотехника», 1958, No 5 и приведен·
ную II этой статье литературу.
395

кагруэочного комбательноrо контура эдесь применено простое оми­
ческое сопротивление Ra, а обратная связь осуществляется при по­
мощи специального четырехполюсника, составленного из омических
сопротивлений и конденсаторов.
Для получения генерации на какой-либо определенной частоте
необходимо, чтобы сумма фазовых сдвигов при обходе замкнутого
кольца обратной связи равнялась 2n и коэффициент усиления лампы
являлся величиной, обратной коэффициенту обратной связи [см. фор­
мулу (10.3) ).
1
1
1
~-'- -+-"-....._.. _..,:
j
Рис. 10.37
Так как обычно Ra « R, то в схеме, изображенной на рис. 10.37,
ла \,ша работает как обычный усилитель на сопротивлениях и, следо­
вательно, поворачивает фазу на 180°: обведенный пунктиром четы­
рехполюсник обратной связи должен обеспечивать дополнительный
сдвиг фазы на 180°.
Нетрудно выявить требования, предъявляемые к эJJементам четырех­
полюсника. Придерживаясь обозначений рис. 10.37, составляем си­
стему уравнений:
(R:+-
1
)11--
1
-l 2=Ua,
1(J)C
1ооС 1
___ _
1_ /1 +(R+2-.1 _) /2 ____1 _ lз=О,
t(J)C
r(J)C
t(J)C
(10.64)
-
-
.
1
-
/2+(N+2-
.
1
-)/3=О.
,mc
l(J)C
Решая эту систему, находим
/=Vil.iJC
1
3
а -(5(RooC)2- 1\+i ((R(J)C)3 - 6R(J)CJ
(10.65)
Так как напряжение на выходе четырехполюсника обратной связи
(отсчитываемое по направлению / 3) равно / 3 • 1/iroC, то коэффициент
обратной связи
(10.66)
396

Для того чтобы фазовый сдвиг в цепи обратной связи равнялся
180°, коэффициент К0с при частоте генерации шг должен быть дей ­
ствительной отрицательной величиной. Приравнивая в выражении
(10 .66) мнимую часть нулю, получаем следующее уравнение:
RшгС[(RшrС) 2 -6]=0,
(10.67.)
откуда
Рис . 10.38
Итак, генерация возможна на частоте, определяемой простым соотно­
шением
(J) = ✓б°
r
RC•
(10.68)
Подставляя найденное значение шг в выражение (10.66), находим
модуль 1юэффициента обратной сnязи
К=
1
=-
1
-=-
(10.69)
00
5(RоогС)2-1 5-6 -1 29
Итак, задание произведения RC полностью определяет частоту
генерации, величина же коэффициента обратной с вязи, а следователь­
но, и необходимое для генерации усиление лампы, является фиксиро
ванной величиной.
Применяя формулу (10.3), находим
(10.70)
Это означает, что при построении четырехполюсника обратной
связи по схеме рис . 10.37 генераторная лампа, нагруженная в анод­
ной цепи сопротивлением Ra, должна обеспечивать усиление не мень ­
ше чем 29 (в стационарном режиме).
При разбиении произведения RC на множители имеется значитель­
ная свобода, облегчающая выбор удобных велич.~н сопротивлений
397

и емкостей. Необходимо лишь обеспеqивать условие R » Ra, так как
только пр11 этом усиление лампы не зависит от велиqины R.
Другой весьма распространенный вариант схемы генератора изо­
бражен на рис. 10.38. Необходимый для генерации баланс фаз здесь обе­
спечивается двумя ступенями усиления на сопротивлениях. Каждая
лампа поворачивает фазу на 180°. Назначение же вспомогательной
цепи С1, r 1, С2 , г2 заключается в том, чтобы обеспечивать выполнение
фазового баланса по возможности в узкой области частот. Емкость
Сн на выходе второй лампы выбирается большой, чтобы при частоте
генерации сопротивление конденсатора Cg было очень малым по срав·
нению с R 8 и цепочка С8 R 8 не создавала заметного сдвига фазы .
Для нахождения элементов С1, r 1 ,
С2иr
2
составим отношение амплитуд
напряжений на сетке второй лампы Е82 и на аноде первой лампы Ua 1:
Для того чтобы при частоте генерации ror делитель r1,
r
2, С1иС2
не влиял на фазу, должно выполняться условие
1
ffiгC2 r1 ---- =0,
ЮrС1 '2
откуда
(10.72)
При выполнении этого условия левая часть уравнения (10. 71) об-
ращается в действительное число, равное
Eg2
-=-----
Иа1
Если это отношение умножить на коэффициент усиления второй
лампы К2 = Ua 2IE82 , то получится выражение
Eg2K =Ев•=К
Иа1 2 ИаJ ос•
так как Ua2 ~ Е81 (сопротивление конденсатора С8 очень мало по
сравнению с R8
).
Итак,
398

Применяя формулу (10.3), находим необходимое усиление первой
лампы
или
(10.73)
Существуют и другие разновидности схем RС-rенераторов, однако
разобр а нных примеров достаточно для.. уяснения принципа построе­
ния автогенераторов с апериодическими целями нагруз ки и обратной
связи.
Остановимся на некоторых особенностях механизма ограничения
амплитуды авто1<олебания в генераторе типа RC. Этот вопрос тесно
связан с вопросом о форме генерируемых колебаний .
В рассмотренных ранее автогенераторах ограничение получается
благодаря снижению средней крутизны Scp при увеличении амплитуды
колебаний; стационарный режим наступает, когда коэффициент уси­
ления снижается до величины Ку = l/K0 c [см. выражения (10 .3)
и (10.18) ]. Однако в данном случае нельзя допускать установления
значительной амплитуды, так как это неизбежно приведет к исI<ажению
формы генерируемых колебаний за счет гармоник анодного тока . В от­
личие от генераторов с колебательным контуром в RС-rенераторах от­
сутствует фильтрация высших гармоник. Таким образом, получается
противоречие между требованием неискаженной формы колебаний
(малые амплитуды) и требованием надежного ограничения (большие
амплитуды). Для устранения этого противоречия в RС-rенераторы
обычно вводят так называемую «инерционную нелинейность» в вrще
термосопротивления, т . е . сопротивления, изменяющего свою величину
в зависимости от степени нагрева проходящим через него током. В схе­
мах, представленных на рис. 10.37 и 10 .38, термосопротивление R1
включено в цель катода лампы. Рассмотрим действие Rt, например,
в схеме рис. 10 .37 . При прохождении переменной составляющей анод­
ного тоI<а н а сопротив л ении RI создается падение напряжения, сов­
падающее по фазе с током и направленно е от катода лампы к з емле.
Напряжение же, поступающее с четырехполюсника обратной связи,
также совпадает по фазе с анодным током и также направлено от сет­
ки к земле. Отсюда следует, что результирующая разность потенциалов
между сеткой и I<атодом является разностью между вторым и первым
напряжениями. Поэтому коэффициент обратной связи К~с, понима­
емый 1<ак отношение результирующего напряжения сеп<а - катод
к напряжению анод - катод, зависит от величины R1. При увеличении
амплитуды переменной составляющей анодного тока R1 также растет
и К~с падает. При уменьшении тока R1 падает и К~с растет.
Таким образом, ограничение получается не за счет снижения сред­
ней крутизны Scp и 1<0эфф11циента усиленин Ку при увелич е нии ам-
399

плитуды колебания, а за счет снижения Кос· ~тационарный режим
устанавливается, когда наступает равенство К~с = l!Ky- Получает­
ся автоматическое регулирование амплитуды колебания на определен­
ном уровне, зависящем, в основном, от нелинейности характеристики
термосопротивления. Так как при изменении тока величина Ri из­
за тепловой инерции изменяется относительно медленно, то в пределах
од ного п е риода генерируемых кол ебаний R1 является практически
постоянной величиной . Это означает, что изменение R1 не вносит не­
линейных искажений и не нарушает синусоидальной формы колебаний .
Аналогично действие Rt также и в схеме, показанной на рис. 10.38 .
Генераторы RC находят широкое применение в радиоизмеритель­
ной технике и в ряде случаев, когда требуется получение низких ча­
стот, изменяемых в очень широком диапазоне. Переключением сопро­
тивлений или емкостей различной величины можно изменять частоту
от единиц герц до десятков 1шлогерц. Для плавного измен е ния частоты
требуется относительно небольшое изменение ем кости или сопротив­
ления. К качеству 1<онденсаторов и сопротивлений, входящих в че­
тырехполюсник обратной связи, необходимо предъявлять жесткие
требования, так к ак нестабильность С или R при изменении темпе­
ратуры приводит к изменению частоты генератора. Конденсаторы долж­
щ,1 обладать высоким сопротивлением изоляции (малой утечкой),
так как в противном случае в области очень низких частот шунтирую­
щее действие утечки влияет на фазовые соотношения в четырехполюс
нике .
Для обеспечения правильного режима работы RС-генераторы долж­
ны работать на большое нагрузочное сопротивление (внешнее). Ге­
нератор RC является поэтому маломощным генератором. Для полу­
чения значительной мощности RС-генератор обычно дополняется од­
ной или двумя ступенями усил6!ния.
10.12. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ АВТОГЕНЕРАТОРЫ
Наряду с генераторами синусоидальных колебаний в ралиоэлектро­
нике широкое распространение получили генераторы разрывных
колебаний, часто называемые релаксационными (релаксаторами).
Хотя подобные генераторы давно известны в физике, особое значение
и широкое распространение они получили в связи с развитием им­
пульсной радиотехники. Из большого числа различных видов релак­
сационных устройств наибольшее распространение получили сле­
дующие два релаксатора: мультивибратор и блокинr-генератор.
Схема мультивибратора изображена на рис. 10.39. Для простоты
показана симметричная схема; анод первой лампы соединен через
разделительный конденсатор с сеткой второй лампы, а анод вто­
рой - с сеткой первой. Кроме того, примем, что Rai =- Ra2, Rgi =
= R0 2 и С8 1 = С"2- Если сощютив-:,енпя Ra 1 , Rg1 и R02 , R82 достаточно
велики , та к что усиление каждои из .памп превышает определенную
величину, то представленное на рис . 10.39 устройство не может нахо-
400

диться в состоянии покоя: неизбежно возникают колебания. Чтобы
в 91'ОМ убедиться, допустим на мгновение, что колебаний нет и через
лампы Л 1 и Л2 протекают постоянные токи ia1 11 ia2 • Тогда, очевидно,
напряжения на конденсаторах С6 1 и С6 2 также постоянны, а на сет­
ках обеих ламп напряжения равны нулю. Обе лампы «отперты». Та­
кое состояние не может быть устойчивым, так как достаточно сколь
угодно малого возмущения (флуктуация электронного тока, тепловое
движение электронов в сопротивлениях и т. д.), чтобы система вышла
из · состояния покоя. Действительно, пусть напряжение на сетке одной
из ламп, например Л,, получит незначительное положительное при­
раШение в вi{де скачка напряжения. На сетку лампы Л2 этот скачок
с,,
--,
1
1
1
Rgz
'
Рис. 10.39
1
,
1
1•
+
:~
1
Е
11
11
- !J.
4
11
1 ----------------------~
1
L _________________________J
Рис. 10.40
передается усиленным по величине и измененным по знаку (поляр­
ности). В результате ток ia 1 увеличится, а ток ia 2 уменьшится. Но на
этом процесс не прекратится. С анода лампы Л 2 импульс передастся
обратно на сетку лампы Л1 уже с положительной полярностью, что
вызывает дальнейшее возрастание тока ia 1 и т. д. В конце концов
лампа Л 2 окажется «запертой», что и положит предел нарастанию
тока iat• Существенно, что разобранный процесс запирания одной
и отпирания другой лампы происходит, если не учитывать влияния
междуэлектродных и иных паразитных емкостей, мгновенно. Новое
состояние также не может быть устойчивым, и вслед за лавинообраз­
ным процессом начинаются относительно медленные процессы разряда
и заряда конденсаторов, пока опять не произойдет перебрасывание
анодного тока из лампы Л1 в лампу Л 2 . В результате в схеме возни­
кают колебания в виде периодической последовательности импульсов
с крутыми фронтами и относительно пологими вершинами. Спектр
колебания получается очень широким, богатым гармониками. Этим
и объясняется происхождение термина «мультивибратор». Нетрудно
видеть, что мультивибратор представляет собой обычный двухкаскад­
ный усилитель на сопротивлениях, у которого выход соединен со вхо­
дом (рис. 10.40).
В одноламповом генераторе с колебательным контуром требуется,
чтобы дополнительный сдвиг фазы в цепи обратной связи равнялся
180° . В мультивибраторе же благодаря наличию двух ступеней усиле-
ц Зак. 137
401

ния дополнительный фазовый сдвиг должен быть равен нулю. Из
этого условия может быть определена основная частота генерации в
мультивибраторе.
Обращаясь к схеме рис. 10.40, мы видим, что в первой ступени уси­
ления фазовый сдвиг создается емкостью С 0 , шунтирующей нагрузоч­
ное сопротвление Ra1, и разделительной цепочкой Cg 2, Rg 2, а во
второй ступени соответственно емкостью С 0 , шунтирующей сопротив­
ление Ra2, и цепочкой Cg1, Rgt•
Нетрудно составить выражения для фазовых сдвигов в отдельных
элементах мультивибратора.
1
') с2:ре9•
1
Рис. J().41
Рис. 10.42
На нагрузочных сопротивлениях Rat и Ra2:
t QCoRtRa1
cpai= -arc g Ri+Ra1 , ер
2
= -arctg ОСо R1 Ra2 •
а
R1+Ra,
[Эти формулы следуют из (5.48) при G1 =0].
1
...
1-
В разделительных цепочках Cg 2 , R82 и Cg1, Rg1 соответственно
1
cpg2 = arctg--- ,
QCg2 Rg2
1
ср81 = arctg ---
QCg1 Rgi
Суммарный фазовый сдвиг (опережающий) в разделительных це­
почках ({)g1 + ({)g2, а также сдвиг <JJat + qJa 2 (запаздывающий) из-за
шунтирующих емкостей показаны на рис. 10.41 пунктирными линия­
ми, а результирующая фазовая характеристика qJ(Q) - сплошной
линией. На этом же рисунке показана обычная амплитудно-частотная
характеристика усилителя на сопротивлениях K(Q).
Основная частота генерации, возникающей при достаточном уси­
лении K(Q), близка к частоте Q.,, при которой результирующая фазовая
характеристика пересекает ось абсцисс.
Схема блокинг-генератора изображена на рис. 10.42. В данной
схеме используется всего лишь одна лампа, а дополнительный фазо-
402

uый сдвиг на 180° между напряжениями eg и Иа, необходимый дJJЯ
получения фазового баланса, достигается с помощью трансформатора,
через который осуществляется обратная связь. Из сравнения схемы,
показанной на рис. 10.42, со схемой обычного автогенератора с
колебательным ! контуром видно, что блокинг-генератор представ­
ляет собой вырожденный тип лампового автогенератора с индуктив­
ной обратной связью, у которого емкости колебательных контуров
сведены к минимуму, обусловленному междуэлектродными и монтаж­
ными емкостями С1 и С2 , а обратная связь резко усилена примене­
нием трансформатора с железным сердечником. Чем меньше емкость
обмоток трансформатора и другие шунтирующие емкости, а также
чем меньше индуктивности рассеяния ~бмоток трансформатора, тем
выше область частот, в которой выполняется фазовый баланс и,
следовательно, тем более широкий спектр гармоник можно получить
от блокинг-генератора.
Для выяснения принципиальной стороны явлений обратимся I{
рассмотрению дифференциального уравнения генератора разрывных
колебаний. Если ограничиться кубической аппроксимацией харак­
теристики электронного прибора, то уравнение получается таким же,
что и для генератора синусоидальных колебаний [т. е. уравнение
(10.44) ]. Действительно, для схемы блокинг-генератора (рис. 10.42),
внешне не отличающейся от схемы рис. 10.3, это очевидно.
Аналогичное уравнение при некоторых упрощающих предполо­
жениях можно получить и для мультивибраторов. Отсутствие в ре­
лаксаторах колебательных систем приводит к рез1юму увеличению
коэффициента е при первой пр(i)изводной . Итаl(, задаче~ сводится к ис­
следованию решения уравнения вида (10.44) при той существен : ю ;i
особенности, что е )) 1. Ясно, что метод медленно меняющихся а мпли­
туд в данном случае непригоден. Ввиду отсутствия аналитических
методов решения уравнения (10.44) при е > 1 рассмотрим сначала
поведение системы при очень малых отклонениях и, когда можно пре­
небречь и2 по сравнению с единицей. Получающееся при этом линейно е
уравнение
d2u
du
--е- +и=О
d,2
d,
(10 .74)
имеет следующее решение :
(~+ Y~-l)t
(e__Jf~ -1 )t
и=А1е2
4
+А2е2
4
•
При е )) l отклонение и очень быстро возрастает (апериодн •!ескн),
что указывает на неустойчивость состояния покоя в рассматриваемой
системе. С другой стороны, при больших значениях и, когда и2 > 1
и коэффициент при втором члене в уравнении (10.44} становится по­
ложительным, система ведет себя как система с положительным со-
противлением и отклонение и должно убывать.
.
Таким образом можно прийти к з аl\лючению, что в рассматривае­
мой системе должны происходить периодические колебания сложной
rfюрмы, причем внутри каждого периода должны быть участки с очень
14*
403

быстрым изменением и (вблизи и = О) и участки с медленными изме­
нениями (при больших отклонениях и) .
.
Для получения более подробного предсrавления о форме колебаний
приходится прибегать к графическому интегрированию уравнения
(10.44). Результаты решения, полученные Ван дер Полем, приведены
нарис.10.43длятрехзначенийе,аименно:s= О,1, s = 1ив= 1О.
Верхняя кривая на этом рисунке соqтветсrвует е = 0,1, т. е. близ­
ка к елучаю в « 1, который был уже подробно рассмотрен в § 1О. 7.
_;1··ш++w1
О20lt060801001201ч0160t'
:1п ll#iВlti
О .1,6 7,2 10,8 1lt,I/ 18 21,6 25,2 28,8 J2,'I т;
:r•-·•, 1j ЫffftUtttl
.,f111 J
О1020J04050ВО70т:
Рис . 10.48
Кривая в = I относится к промежуточному случаю, а кривая в =
=
10 иллюстрирует ярко выраженный релаксационный характер ав­
токолебаний, имеющих резко несинусоидальную форму. Можнотакже
отметить, что в отличие от случая е « 1, где процесс нарастания длит­
ся в течение многих периодов, релаксационные колебания достигают
своей конечной стационарной амплитуды сразу, после первого же
периода.
Из кривой в =10 видно, что на протяжении большей части периода
колебание изменяется очень медJiенно, между тем как переход из од­
ного медленно изменяющегося состояния в другое происходит в виде
резких скачков, почти мгновенно. Так как «медленные» изменения в
схемах мультивибратора и блокинr-rенератора связаны с процессом
заряда или разряда емкости С8 через сопротивление R,, то период
релаксаций связан с постоянной времени R8 С,:
Т= kR,с,.
(10. 75)
404

Величина коэффициента k зависит от соотношения уровней вели­
чин и, при которых происходит перебрасывание схемы из одного со­
стояния в другое.
Некоторые детали релаксационных колебаний зависят от соотно­
шения сопротивлений R0 и R6 (в схеме рис. 10.39), от влияния между­
электродных емкостей, от индуктивности рассеяния трансформатора
(в схеме рис. 10.42) и т. д.
Форма колебаний, действующих на различных элементах схемы
релаксатора, может существенно отличаться от показанной на
рис. 10АЗ. Возможно получение очень крутых фронтов и острых вы­
бросов, облегчающих задачу формирования импульсных сигналов,
а также задачу запуска и остановки различных импульсных устройств.
Все эти вопросы подробно рассматриваются в курсе импульсной тех­
ники. Релаксаторы широко применяются и играют особо важную роль
в электронных вычислительных машинах.
10.13. МЕТОД ФАЗОВОR ПЛОСКОСТИ
Под фазовой плоскостью подразумевается плоскость, каждая
точка которой однозначно определяет состояние (фазу) системы. Так
как плоскость обладает двумя измерениями, то ясно, что метод фазовой
плоскости применим к анализу движения систем, описываемых диф­
ференциальным уравнением второго порядка. В случае механической
системы состояние полностью определяется заданием координаты
(перемещение) и скорости движения. Для электрической системы долж­
ны быт1t заданы две анало.rнчные г:еременные, например заряд емкости
(или напряжение) и ток. Основным достоинством метода фазовой пло­
скости является пригодность его к анализу как линейных, так и нё­
линейных систем. Некоторые важные свойства нелицейных систем,
которые невозможно или затруднительно исследовать аналитически,
поддаются наглядному истолкованию и качественному исследова'нию
с помощью графоаналитического построения на фазовой плоскости.
Суть этого метода проще всего объяснить на примере линейной си­
стемы (обычного колебательного контура), описываемой уравнением
х+2ах +ro5x=0,
(10.76)
в которой под х можно подразумевать, например, заряд конденсатора.
Уравнение (1О. 76) может быть записано в виде системы двух урав­
нений первого порядка:
dx
1
х =dt=Y,
х = ~~ = -(2ay+ro5x). f
(10.77)
Таким образом, если х - заряд, то у
-
ток в контуре.
~ 405

Разделив второе из этих уравнений на первое, получим уравнение,
не содержащее в явной форме время t:
dy = 2сху+оо~х
dx
у
(10.78)
Входящие в уравнение (10. 78) две переменные х и у = х можно
рассматриватькаккоординатыизображающей (илипред·
ст а в л я ю щ е й) точки на плоскости х, у. Тогда уравнение (10. 78)
является дифференциальным уравнением движения изображающей
точки на фазовой плоскости х, у. Если найти решение уравнения
(\О. 78) у = f(x, А), где А - произвольная постоянная, определяемая
начальными условиями х 0 , у 0 , получим семейство кривых, являющихся
интегральными по отношению к исходному уравнению (10. 76). Функ­
цию у = f(x, А) иногда называют первым интегралом уравнения
(10.76}, так как у= х.
На фазовой плоскости решение у = f(x, А) образует семейство
фазовыхтраекторий изображающейточки,соответствую­
щих различным фиксированным значениям А, т. е. различным началь-
11ым условиям х 0 , у 0 . Так как при заданных начальных условиях урав­
нение (1 О. 76) и соответственно (1 О. 78) имеют единственное решение,
то каждой паре координат х, у отвечает одна, и только одна, инте­
гральная кривая. Иными словами, вся фазовая плоскость покрыта
семейством н.епересекающихся интегральных кривых (фазовых траек­
торий). Исключение из этого правила составляют точки, соответству­
ющие состоянию равновесия (покоя) системы . Этот вопрос будет рас­
смотрен далее, а вначале мы рассмотрим способ построения фазовых
траекторий. В случае линейного уравнения фазовая траектория легко
определяется с помощью уравнения типа (10. 78). В более сложном
случае нелинейного уравнения это построение выполняется с помощью
м е т о д а и з о к л и н. Термин «изоклина» эквивалентен понятию
«кривая равного наклона». Изоклина представляет собой геометриче­
ское место точек фазовой плоскости, в которых фазовые траектории
имеют касательные с заданным (фиксированным) угловым коэффи­
циентом k.
В частности, в уравнении (10. 78) левая часть есть угловой коэф­
фициент k. Приравнивая эту часть заданному значению k, получаем
2сху+ (i)6 х
k=-
--,
у
откуда приходим к следующему уравнению изоклин:
(!) 2
n
у=---х.
2а+ k
(10.79)
При постоянных значениях k это уравнение определяет пучок пря­
мых, проходящих через начало координат.
406

После того как на фазовую плоскость нанесено семейство изоколин
(дJiя разных значений k), нетрудно осуществить приближенное пост­
роение фазового портрета изучаемой системы . Для этого в каждой точ­
ке фазовой плоскости проводится прямолинейный отрезок с накло­
ном, равным соответствующему значению k ближайшей изок,J_Iины
(рис. 10.44) . Чем меньше интервалы значений k отдельных изолкин,
тем выше точность построения фазового портрета. Исходная точка х 0 ,
у 0, с которой начинается построение, может быть выбрана произволь­
но, однако дальнейший ход фазовой траектории однозначно опре­
деляется выбранными значениями х 0 , у 0 •
Рассмотрим два следующих свойства фазовых траектоий, знание
которых существенно облегчает построение фазового портрета изуча­
емой системы:
а) в верхней полуплоскости (у > О) изображающая точка движется
только вправо, а в нижней - только влево. Действительно, посколь­
ку у = dx/dt, а время t только возрастает, то положительность у
означает возрастание и абсциссы х. Соответственно, если у < О (ниж­
няя полуплоскость), то изменение х должно быть отрицательны\\,
т. е. изображающая точка движется влево (рис. 10.44);
б) интегральные кривые пересекают ось абсцисс (у = О) только под
прямым углом. Действительно, из уравнения (10.78), представляющ~I·0
собой уравнение углового коэффициента касательной к интегральной
кривой в точке х, у, следует, что при
у=О,:~ = +оо(+ооприх<Ои -ооприх>О).
Для выявления структуры фазового портрета системы полезно
также установить, нет ли среди семейства изоклин такой прямой,
которая является одновременно и интегральной кривой для исход­
ного уравнения системы. Такая прямая (если она имеется) должна
удовлетворять уравнению изоклин (10. 79) и, кроме того, должна яв­
ляться первым интегралом уравнения (10. 76). Иными словами, нужно
найти значение k, при котором выполняются одновременно два сле­
дующих условия:
ro3
у=---х,
2a+k
k= dy, y=kx+C.
dx
Подставляя в первое из этих условий у = kx (постоянную С оr­
брасьшаем), получаем уравнения
(J)2
k= --
0
-,
k =-а± Va2 -(t)5.
2a+k
(10.80)
Но k не может быть комплексной или мнимой величиной. Следо­
вательно, искомая изоклина, одновременно являющаяся интеграль­
ной кривой, существует только в случае а > (1) 0 , т. е. в случае апери-
407.

одпческого _контура. Остается еще наАти иэоколииу горизонтальных
касательных (т. е. при k = О) и изоклину вертикальных касательных
(при k = оо).
Подставляя в уравнение (10. 79) k = О, находим уравнение изо­
КЛИIIЫ горизонтальных касательных
(1)2
о
у=--Х.
2а
( 10.81)
Изоклиной вертикальных касательных (k = оо) является прямая
у == О • х = О, т. е. ось х. Этот результат совпадает с отмеченным выше
свойством б).
Рис . 10.44
Рис . 10.45
Основываясь на полученных результатах, рассмотрим фазовые
портреты для системы, описываемой уравнением (10. 76), при раз­
личных соотношениях между а. и ro 0•
1. Апериодическая система; a/roo> 1.
В соответствии с выражением (10.80) угловой коэффициент изокли­
ны - интегральной кривой, равен
k= -а.±Va2 -w~= -а± 6.
Таким образом, имеются две такие прямые (рис. 10.45):
У= -(а.-б)х-прямая С
и
у= -(а.+б)х-прямая D.
Кроме того, нам известна определяемая уравнением (10.81) прямая
(которую обозначим через А), являющаяся изоклиной горизонталь­
ных касательных, и, наконец, известно, что ось абсцисс является пря-
408

мой вертикальных касательных. Знаtше перечисленных прямых, об­
разующих «каркас» фазового портрета, в сочетании с условием непе­
ресекаемости фазовых траекторий, полностью определяет структуру
фазового портрета, изображенного на рис. 10.45. Главной особенностью
этого портрета является то, что при любых начальных условиях изо­
бражающая точка движется к началу координат. Таким образом, в
рассматриваемом случае (a/ro 0 > 1) точка х = О, у = О является точ­
кой устойчивого равновесия системы. Эта точка называется особой
точкойтипаустойчивоrоузла.
2. Колебательная система с затуханием; О <а/ы 0 <]
В соответствии с условием (10.80) изоклины С и D отсутствуют.
Каркас фазового портрета определяется только прямой А и условием
пересечения оси х под прямыми углами. При а,/(1) 0 > О угловой коэф­
фициент этой прямой в соответствии с уравнением (10.81) отрицателен.
Соответствующий этому случаю фазовый портрет, представляющий
собой скручивающуюся к началу координат спираль, изображен на
рис. 10.46. Из любого начального положения изображающая точка
с течением времени приближается к началу координат, являющему­
ся точкой устойчивого равновесия. Эта точка называется особой точ­
койтипаустойчивоrофокуса.
3. Колебательная система с инкрементом;
-1< а/ы0<О.
Фазовый портрет отличается от показс:11нюrо на рис. 10.46 лишь
тем, что спираль «раскручивается» и изображающая точка удаляется
от начала координат. Точках = О, у = U является особой точкой типа
неустойчивоrофокуса.
4. Апериодическая система с инкрементом; -оо<а/ыо<-1
Фазовый портрет отличается от показанного на рис. 10.45 тем, что
изображающая точка удаляется от начаJ~а координат, представляю­
щегособойособуюточкутипанеустойчивоrо узJIа.
Кроме особых точе1< перечисленных типов в теории колебаний раз­
лиt~ают еще особую точку типа седла [в случае систем, описываемых
дифференциальным уравнением вида (10. 76), но с отрицательным зна­
ком перед последним членом). Из приведенных выше примеров видно,
что точки фазовой шюскости. в которых пересекаются фазовые траек­
тории, являются точками равновесия системы - устойчивого или не­
устойчивого. Изучение свойств фазовых траекторий в окрестности
таких особых точек играет большую роль в теории устойчивости.
Применительно к рассматриваемому в следующем параграфе
фа:ювому портрету автогенератора особый интерес приобретает слу­
чай а. = О, когда уравнение (10. 76) вырождается в уравнение гармо­
нического колебания
(10.82)
409

решение которого, как известно, имеет вид
х=Qsin(ffio t+<р), у=х = ffio Qcos(ro0 t+<р). (10 83)
Здесь Q - амплитуда заряда конденсатора контура.
Уравнение фазовой траектор1ш (10.78) при а= О принимает вид
dy
2х
-=
-roo-.
dx
у
Это - уравнение с разделяющимися переменными, которое легко
интегрируется:
(10.EAJ
Подставляя вместо х и у выражения (l 0.83), получаем
rogQ2cos2(ro0t+q>)+rogQ2sin2(ro0t+q>)= rogQ2= С.
Разделив обе части уравнения (10.84) на С, придем к выражению
(10.85)
представляющему собой уравнение эллипса с горизонтальной полу­
осью Q и вертикальной полуосью ro 0 Q (рис. 10.47).
!I
\
Рис. 10.46
Итак, при а = О фазовые траекто­
рии представляют собой семейство эл­
липсов с общим центром в начале ко-
!J
z:
Рис. 10.47
ординат, причем размеры осей эллипса определяются амплитудой
гармонического колебания, т. е. в конечном счете энергией, запа­
сенной в системе. Эта энергия может быть выражена в виде (1 /2С) Q2
(максимальная энергия в емкости) или в виде (L/2)( ro 0 Q) 2 (в индук­
тивности). Так как потери отсутствуют, то запас энергии остается
неизменным («консервативная» система) и каждому значению запаса
энергии соответствует свой эллипс.
410

10.14 . ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ АВТОКОЛЕБАНИR
Итак, гармоническому движению системы соответствует замкнутая
фазовая траектория на фазовой плоскости (эллипс). В более общем CJJY·
чае сложного периодического движения ( не обязательно гармониче­
ского) фазовая траектория может иметь сложную форму, но она обя­
зательно является замкнутой.
В случае автоколебательной системы, обладающей устойчивым
стационарным состоянием, на фазовой плоскости имеется замкнутая
кривая, к 1юторой приближаются соседние фазовые траектории. Для
выявления формы этой замкнутой
интеrралыюй кривой, а также ха-
у•и.
рактера этоrо приближения, рас­
смотрим на фазовой плоскости всю
картину установления автоколеба•
ний, сrг•' запуска генератора до уста­
новлени.я стационарного состояния.
В начале процесса система являет-
ся линейной и описывается урав-
z•u .
нением (10.12), совпадающим с урав­
нением (1 О. 76). Для удобства даль­
нейших рассуждений мы вместо урав­
нения (10.12) будем исходить из урав­
нения
(10.86)
Рис. 10.48
получающегося из нелинейного уравнения (10.44) при пренебреже­
нии величиной u2 по сравнению с единицей. Напомним, что в этом урав­
нении в=2a3/ro0, а • = ro0t.
Так как при выполнении условия самовозбуждения в положитель­
но [см. формулу (10.37) ], то соответствующая начальному этапу фа­
зовая траектория имеет вид раскручивающейся логарифмической
спирали (особая точка типа неустойчивого фокуса).
Когда с ростом амплитуды колебаннй начинает проявляться не­
линейность системы, увеличение радиуса спирали замедляется и в
пределе (теоретически при t-+ оо) фазовая траектория превращается
в окружность с радиусом Аст• равным стационарной амплитуде авто­
колебания [см. выражение (10.55), в котором вместо Иа(t) и Иаст можно
подразумевать А (·i') и А ст ].
Если начальное положение изображающей точки задать вне ок•
ружности радиуса Аст (точка В на рис. 10.48), то движение изобража•
ющей точки будет происходить по скручивающейся спирали (так как
при А > Аст е отрицательно) до перехода на окружность радиу­
са Аст·
В силу устойчивости стационарного состояния автогенератора
(в данном случае с мягким самовозбуждением), при любых начальных
условиях изображающая точка переходит на окружность радиуса Аст,
411

Изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой
с возрастанием t приближаются (по спирали) с внутренней и внешней
сторон соседние фазовые траектории, называется п редел ь н ы м
циклом.
Легко представить себе, что в случае автогенератора с жестким
режимом самовозбуждения к предельному циклу будут стягиваться
только фазовые траектории, радиус которых больше некоторой крити­
ческой величины, соответствующей амплитуде в точке D на рис. 10.14.
Если начальные условия запуска автогенератора таковы, что началь­
ная амплитуда меньше этого значения Амин• то изображающая точка
!J•LI.
Рис. 10.49
Рис. 10.50
на фазовой плоскости будет двигаться по скручивающейся спирали,
постепенно приближаясь к началу кооодинат, являющемуся в данном
случае устойчивым фокусом (рис. 10.49).
Остановимся на характере возвращения изображающей точки на
предельный цикл после того, как под действием внешней силы было
наQушено нормальное движение. Допустим, что после установления
стационарного режима в колебательный контур автогенератора ка­
ким-либо образом была введена дополнительная энергия, в результате
чего амплитуда и фаза колебания получили мгновенные приращения:
первая на величину cSA, а вторая на угол q, 0 . Отклонение изображаю­
щей точки от предельного цикла, соответствующее этому возмущению,
выразится в переходе на спираль с радиусом Аст + бА и в изменении
фазы колебания на q, 0 (рис. 10.50).
Дальнейшее поведение автогенератора полностью определяе-rся
дифференциальным уравнением амплитуд (10.47) (имеется в виду «мяг­
кий» автогенератор). Подставляя в это уравнение А = Аст + бА
и вместо Аст новую амплитуду, учитывая, что dAcтldt = О, полу­
чаем
d (6А) _ .. ! _ [А +бА-(Аст+6А)
8
]=О.
~
2~
4
Полагая возмущение бА достаточно малым, мы можем пренебречь выс­
шими степенями бА. Таким образом, последнее выражение можно
привести к виду
412

d(бА)_.!.(А +llA-. !. А~т-!А~тбА)=с.
dt
2cr
4
4
Но в соответствии с выражением (10.48) Ac-r = 2. Следовательно,
· d(M) +ебА=О,
dt
откуда
и
Окончательно получаем
d(бА) +вdt=O
6А
ln(с5А)+гt=С.
cSA=ееe-et= Cie-et.
(10.87)
Постоянная С1 представляет собой начальное возмущение ампли­
туды.
Итак, по мере движения изображающей точки по спирали отклоне­
ние от предельного цикла убывает по экспоненте с показателем et.
-
Существенно, что фазовые отклонения в автогенераторе не убы­
вают, так как в автогенераторе отсутствуют силы, которые удержи­
вали бы фиксированную фазу колебания.
Рассмотренная выше устойчивость предельного цикла носит на­
званиеорбитной или орбитальной устойчивости.
В заключение отмети м , что предельный цикл имеет форму круга
при строго синусоидальной форме генерируемых колебаний. В дейст­
вительности эта форма искажается наложением высших гармоник.
В автогенераторах, близких к консервативным (с высокодобротной
колебательной системой), влиянием гармоник можно пренебрегать,
в случае же генераторов релаксационного типа предельный цикл мо­
жет иметь весьма сложную форму (близкую к прямоугольнику и др.).
Построение фазовых траекторий для нелинейных систем, как уже
отмечалось в предыдущем параграфе, производится с помощью графо­
аналитических - методов (например, метод изоклин).

11
Параметрические цепи
11.1. ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕR
Система называется параметрической, если ее параметры (сопро­
тивления, индуктивности, емкости, взаимоиндуктивности между от­
дельными элементами, среда, разделяющая вход и выход, и т. д.)
изменяются во времени под действием внешней силы, не зависящей от
входного сигнала.
Параметрические системы можно подразделить на строго линейные
и условно линейные.
Отнесение к тому или иному классу систем зависит от сп6соба уп­
равления параметрами. Примерами строго линейных параметричес~их
систем могут служить: электрическая цепь, один или несколько пара­
метров которой изменяются с помощью механического устройства:
канал связи, передаточная функция которого является функцией вре­
мени из-за меняющихся условий распространения и любые другие
системы, в которых между управляющим и сигнальным колебаниями
нет никакого взаимодействия.
К условно линейным параметрическим системам можно отнести
электрические цепи, в которых управление параметрами осуществ­
ляется электронным способом. В этом случае как управляющее, так
и сигнальное колебания оказывают влияние на величину соответ­
ствующего параметра цепи и различие заключается лишь в степени
этого влияния. Как правило, управляющее колебание обладает ампли­
тудой, во много раз превышающей амплитуду входного сигнала. Это
позволяет пренебрегать изменением параметра под действием сигнала
и считать, что закон изменения параметра совпадает с управляющим
колебанием. При этом условии цепь по отношению к слабому сигналу
может рассматриваться как линейная параметрическая система. По
отношению же к источнику управляющего колебания элемент, пара­
метр которого зависит от амплитуды воздействия, является нелиней­
ным.
Приведем простые примеры электронных способов осуществле­
ния вариации параметров системы. Рассмотрим зависимость крутизны
волътамперной характеристики электронной лампы ia = f(eg) от уп­
равляющего напряжения еу, наложенного на постоянное напряжениf'
Е 0 (рис. 11.1).
Эту зависимость можно записать в виде
(11.1)
414

ПоопределениюS(e1)можетбытьназвана дифференциалЬ•
н о й крутизной. Если в пределах изменения е1 характеристика может
быть аппроксимирована полиномом второй степени i;i = io + а.е1 +
+ Ре~, то выражение (ll.l) приводится к виду
.
S (е1) =а.+ 2Реу.
(11.2)
Зависимость крутизны от управляющего напряжения изображена на
рис. 11.1 в виде наклонной прямой линии.
Рис. 11.1
Пусть еу = Е.у cosrot. Тогда крутизна может быть записана в виде
функции времени
(
2~.Е
S(t)=a.+2~Eycosrot=a. 1+~ cosrot)=S0 (l+mcosrot), (11.3)
где SO=а - крутизна характеристики в точке eg = Е0, а т =
= 2~Eyla - глубина «модуляции» параметра S. Соответствуюшим
выбором Е O и Еу можно обеспечить условие т < 1.
По отношению к слабому сигналу е. (t) рассматриваемое устройство
можно трактовать как линейное, с переменным параметром S(t), из­
меняющимся по закону (11.3).
Существенной особенностью дифференциальной крутизны (а та1<же
• дифференциального сопротивления) является то, что указанный па­
раметр может принимать отрицательное значение. Для этого нужно,
чтобы вольтамперная характеристика имела спадающий участок, как
это показа.но на рис. 11.1, в окрестности точки В с абсциссой eg = Еав•
Аналогичным образом может быть истолкован принцип электрон•
нога управления емкостью. Пусть к нелинейной емкости приложены
два колебания: одно сильное, которое назовем управляющим, и вто-
415

рое слабое - сигнальное. Воспользуемся выражением (9.19) из § 9.4
и, основываясь на условии е, (t) « ey(t), подставим в него вместо е
одно лишь управляющее напряжение еу:
q=q0 +аеу +~е~-
Тогда дифференциальная емкость по аналогии с (11.2) и с учетом
(9.20) может быть определена выражением
С(еу) = dq/
=а.+2~еу,
de е-Ео+.у
где а. = С O - дифференциальная емкость в точке е = Е 0 •
Если управляющее напряжение является гармоническим коле­
банием е1 = Еу cos (J)f, то можно написать
C(t) = С0 (1 +т cos rot),
(11 .4)
где т = 2~Е11С 0 - глубина «модуляции» емкости.
После такого преобразования можно говорить о воздействии од­
ноео лишь сигнала e,(t) на периодически изменяющуюся во времени
емкость C(t), так как влияние управляющего колебания учтено в за­
мене нелинейной емкости линейной параметрической емкостью.
При использовании в качестве управляемого элемента барьерной
емкости р-п перехода можно исходить из выражения (9.5). Подстав•
ляя в эту формулу Iе1= Е0+Еуcos(J)f, при Еу< Е0 получаем
С(t)=С(0)V ({)11
_
Со
({)и+En+ Еу cos rot - -v
Е
1+
У cos rot
({)11+Еп
При условии, что Еу (<р11 + Е0) « 1, последнее выражение можно
записать в форме
C(t) ~
ЕСо
___
С-'-о__
1+
у cos rot
1+тcosrot
2 (({)11 + Ео)
(11 .5)
Где т = Еу/2 (<рн + Еп), Сп= С (0) V <р11/(<р11 +Eu)·
Аналогичное выражение можно составить и для параметрической
индуктивности.
При установлении соотношений между зарядом, током и напря­
жением на параметрической емкости следует исходить из очевидных
выражений
Q(t)=С(t)Uc(t),
t(t)= ~~ = C(t) ddu? +ис(t) ~~ •
Uc(t)= С~t) q(t) = Сl(t) si(t)dt.
416
(11 .6)
(11. 7)
(11.8)

Для параметрической индуктивности L(t) имеют место следующие
соотношения, связывающие потокосцепление Ф, напряжение UL и
ток i:
Ф(t)=L(t)i(t),
и (t)= dФ
=
L(t)!!.!_+i(/)dL '
L
dt
dt
dt
i(t)= _I_ф(t) =
-
1
-J UL (t) dt.
L (t)
L (t)
(11. 9)
(11.10)
(11.11}
Следует отметить принципиальное отличие реактивных элементов
от резистивных: дифференциальные емкость и индуктивность не могут
быть отрицательными 1 . Физически это объясняется тем, что увели­
чение напряжения на емкости не может вызывать уменьшение зарядов.
а увеличение тока через индуктивность не может приводить к ум~нь­
шению потокосцепления. Иными словами, энергия, запасаемая в элек­
трическом поле конденсатора или в магнитном поле катушки, не может
быть отрицательной.
В дальнейшем изложении изменяющиеся во времени параметры
R(t), C(t) и L(t) будут рассматриваться как линейные элементы; к ним
применим принцип суперпозиции. Термины «дифференциальное» со­
противление, а также «ди!J:ференциальные» емкость или индуктивность.
существенные для характеристики способов вариации параметров,
но не для анализа составленных из этих параметров цепей, не будут
применяться.
Системы с переменными параметрами играют очень большую роль.
в радиотехнике и электронике.
Можно говорить о двух принципально различных видах изменения
параметров радиотракта:
а) умышленное, управляемое изменение, с целью осуществления
различных преобразований сигналов (модуляция, преобразование
частоты, параметрическое усиление и т. д.);
б) неуправляемое изменение, обусловленное различными физи­
ческими явлениями при передаче сигналов в свободном пространстве,
например, изменяющаяся во времени задержка сигнала, колебание
величины затухания волн при их распространении, изменение фазовых
соотношений при многолучевом распространении радиоволн, измене­
ния сигналов во времени из-за флуктуации параметров тракта и т. д.
Влияние изменений параметров второго вида, носящих обычно ста­
тистический характер, будет рассмотрено в гл. 15. В настоящей же­
главе изучаются явления при принудительном изменении. во времени
одного из параметров линейной цепи (апериодической или колебатель­
ной). В основном имеется в виду изменение параметра по периодиче­
скому закону.
1 Имеются в виду простые элементы. С помощью же усилительных схем с об­
ратной связью можно имитировать отрицательные С и L.
417

11.2 . ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕАНЫЕ ЦЕПИ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
В главах 6-8 ра<:сматривалась передача различных сигналов через
линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным
и выходным сигналами в таких системах определялась с помощью пе­
редаточной функции K(iro) (спектральный метод) или с помощью им­
лульсной характеристики g(t) (метод интеграла наложения).
Теперь нам предстоит рассмотреть более общую задачу, когда один
или несколько элементов линейного четырехполюсника являются функ­
циями времени. Очевидно, что в подобных цепях характер зависи­
мости между входным и выходным сигналами в процессе передачи
-
s(t)
g(t,a)
sв~,х (t)
K(iщ,t)
~
Рис. 11.2
нзменяется. Это означает, что передаточная функция цепи зависит не
только от ro, но и от времени; импульсная характеристика также за­
·висит от двух переменных: от интервала а = t - х между моментом
приложения единичного импульса х и моментом наблюдения выход­
ного сигнала t (как и в случае цепи с постоянными параметрами) и,
,кроме того, от положения интервала а на оси времени. Поэтому для
цепи с переменными параметрами импульсную характеристику сле­
дует записывать в общей форме: g(t, а) или g(t, х).
Можно сказать, что g(t, а) определяет величину отклика в момент t
на единичный импульс, подаваемый на вход цепи в момент х = (t - а).
:Этот импульс записывается в виде дельта-функции б(t - х).
Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой
g(t, х) действует произвольный сигнал s(t) (рис. 11.2), то, основываясь
на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии с выраже­
нием (6.17) можно определить с помощью выражения
00
SвыхU)= ~ s(x)g(t,x)dx.
(11.12)
Переходя к переменной а в соответствии с соотношением х =
-
t - а получаем
00
Sвых(t)= S s(t-a)g(t, а)da.
(ll.12')
-оо
Для физически осуществимой цепи g(t, а) = О при а = t - х < О,
т.е.прих>t[см.§6.31.
418

Выражение (11.12) можно поэтому записать в форме
t
Sвы.1:(t) = ~ s(х)g(t,х)dx.
-со
(11.13)
Постараемся теперь ввести передаточную функцию K(iro, t), ана­
логичную функции K(iro) для цепи с постоянными параметрами, но
с учетом изменения параметров во времени. С этой целью представим
функцию s(t - а) в виде интеграла Фурье
""
s(t-a)= 2.. S S(ffi)e1(t]<t-a>dffi,
2n
-со
Здесь S(ffi) - спектральная плотность сигнала s(t).
Тогда выражение (11.12') переходит в следующее:
""
00
S8ш(t)=~n S S((l))e"
111
S g(t,a)e-«мdad(I),
-оо
-оо
Обозначив внутренний интеграл через Н.(iro, t), перепишем послед­
нее выражение следующим образом:
00
SвыхU)=....!__ r S(w)K(iffi,t)e'@dffi.
2nJ
-оо
{11.14)
Это выражение совпадает по форме с аналогичным выражением
(6.2) для цепи с постоянными параметрами. Отсюда следует, что функ­
ция K(i(I), t), определяемая выражением
""
К(i(I), t)= ~ g(t, а) e-l(t]a da,
(11.15)
-оо
может рассматриваться как передаточная функция ли.чейной системы
с переменными параметрами. Такой подход к теории линейной uепи
с переменными параметрами был развит в работе Заде 1 .
Как и для uепи с постоянными параметрами, K(iro, t) являе1ся.
преобразованием Фурье от импульсной характеристики g(t, а). Так
как при а< О g(t, а)= О, нижний предел интеграла в (11.15) может
быть заменен нулем.
Наряду с выражением (11.15) можно получить еще одно определе­
ние передаточной функции, в котором импульсная характеристика
g(t, а) не фигурирует. Для этого приложим выражение (11.14) к слу­
чаю, когда входной сигнал представляет собой гармоническое коле­
бание s(t) = cos ro 0 t. Перейдем к аналитическому сигналу z(t) = е 111•, 1 •
соответствующему заданному сигналу s(t).
1
L. А. Z а d е h. Frequency Analysis of VariaЫe Networks, Proc. IRE,
1950, March, р. 291-299
419

Спектральная плотность 9ТОГО сигнала Z (m) =- 2п~(m
-
roo)
!см . выражения (2.99) и (4.85) ]. Подставляя Z(m) вместо S(m) в
формулу (11.14), получаем
""
Zвы1 (/) = .f 6 (W-Wo) K(lw, t) ei(dtdw = К( iФо, t) eU•Jel'
-ао
откуда, опуская индекс нуль при w,
/{( • /)- 1 вых(t)
(11.16)
НО, - eiюt
•
:Здесь zвых (t) - аналитический сигнал, соответствующий выходному
сигналу sвых (t). Таким образом
Sвы:~ (i) = Re Zr.ыs (t) = Re (/{(iro, /)е1ш1\.
(11 . 17)
1
1
1
1
1
1
cos(nQt•Фп)
j
1 ------- --.________
1
LL-~------i---.г----------1- :
L'
'
'
..;..,
- , _ ____ __r--~-----------.Г
Рис. 11.3
Если передаточная функция K(iro, t) изменяется во времени по
периодическому закону с основной частотой ~J, то она может быть
представлена в виде ряда Фурье:
K(iro, t)= K 0(iro)+Ki(iro) cos (Qt +1JJi> +к iiro) cos (2Ш+ 'lj.1
2)+ ... ,
(11.18)
rде K 0 (iro), K1(iro) и т. д. - независящие от времени коэффициенты,
в общем случае комплексные, которые могут быть истолкованы как
передаточные функции некоторых четырехполюсников с постпян.­
ны.лщ параметрами. Произведение Kn(iro)cos(nQt + 'Фn) может рассм.~т­
риваться как передаточная функция каскадного соединения двух че­
тырехполюсников: одного с передаточной функцией Kп(iw), не зави­
сящей от времени, и второго с передаточной функцией cos (пQt +
420

+ "Фn), изменяющеАся во времени, но не зависящей от частоты ro вход­
ного сигнала.
Основываясь на выражении (11.18), любую параметрическую uепь
с периодически изменяющимися параметрами можно представить
в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 11.3 .
Сигнал (комплексный) на выходе
Zвых (t) = K(iro, t) e1<dt = /{0 (iro) e 1w1 + К1 (iro) elmt cos (Qt + ,Pi) +
+К,(iro) e1mr cos (Qt+,Р2)+... =
= Ko((J))е'(mt +Фоl+ Ki(ro)el(rol+Ф,1cos(Qt+'Ф~)+
+K2 (ro)e 1 <"" + Ф,> cos (2Ш+ 'IJ)2)+ ...
(11.19)
Здесь q>0, q>1, ср2 ...
-
фазовые характеристики четырехполюсников
К 0(iro), K1(i(J)), K2(i(J)) и т. д.
Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем
Sвых (/) = Re Zвых (t) = К0 (ro) COS (rot + Ч'о)+ Ki ((J)) COS((J)/ + <J)1) Х
х cos (Qt +,Pi) + К2(ro)cos(rot + q>2) cos(2Qt +,Р2) + ... ==
00
= К0(ro)cos(rot +<р0)+.!..~ Кn(ro) Х
2 n=I
Х \ cos \(ro +nQ) t+<pn +'Фnl +COS [(ro-nQ) t+ <pn -'Фnll, (11.20)
Этот результат указывает на следующее свойство цепи с переменными
параметрами: при изменении передаточной функции по любому слож­
ному, но периодическому, закону с осн.овной чш:тотой Q гармонический
входной сигнал с частотой ro образует на вьtходе цепи спектр, содер­
жащийчастотыro,ro±Q, ro±2Qит.д.
Если на вход цепи подается сложный сигнал, то все сказанное выше
относится к каждой из частот w входного спектра. Само собой разу­
меется, что в линейной параметрической цепи никакого взаимодей­
ствия между отдельными компонентами входного спектра не существует
(принцип суперпозиции), и на выходе цепи не возникает частот вида
nw1 ± m(J)2
,
где ro1 и ro2
-
различные частоты входного сигнала.
Поясним соотношения (l l .17)-(11.20) на двух простых примерах:
1. Четырехполюсник составлен из двух сопротивлений: постоян­
ного R1 и переменного r(t) (рис. 11.4). Входной сигнал s(t) = cos wt.
Закон изменения сопротивления
r(t)=R0(1+тcosQt)приm<l.
Сигнал на выходе (напряжение)
(t) -
r(t) (t)- R0 (l+тcosQi)
t
Sвых
-
---'--'--- S
-
-..::...:.....:...----'-- COS (J) ,
R1 +r(t)
R1+R0(1 +т cos Ш)
В данном случае передаточная функция
K(iw,t)= R0 (1+mcosQt)
R1+R0(1+тcosШ)
не зависит от частоты входного сигнала (J).
421

Если глубина изменения сопротивления r(t) достаточно мала, так
что т « l, последнее выражение упрощается:
K(i(i),t)~ Ro (l+mcosШ)=K0 (i(j))+K1 (i(j))cosQt..
R1+Ro
Таким образом, в данном случае
K0 (iffi}= R~
R1+ ,
Сигнал на выходе цепи
s(t)
Sвых(t)=К0(iro) COS (i)/+~ К1COS ((i)+Q)t+
r(t)
Рис. 11.4
+ !,__ gl (iW) COS ((J)-Q) t.
2
В более общем случае, когда
т не слишком мало по сравнению
с единицей и R O соизмеримо с
R1 , должны быть учтены комби­
национные частоты более высоких
порядков вида (j) ± пQ. Это нет­
рудно сделать путем разложения
точного выражения для K(iro, t) в
ряд Фурье.
2. Четырехполюсник представляет собой линию задержки, вели­
чина которой изменяется во времени по закону
't(t)= 't0(1+тcosШ).
(11.21)
Потери в линии отсутствуют и все частоты проходят равномерно
(идеальная линия).
Если в момент времени t = х на вход четырехполюсника подается
э. д. с. в виде дельта-функции б(t - х), то напряжение на выходе, т. е.
импульсная характеристика линии, представляет собой также дельта­
функцию, задержанную на время 't(t):
g (t, х) = 6 [t-X-'t (t)] = 6 [t-x -'t0(1 -tm cos Qt)]
или
g (t, а)= 6 (a-'t0 (1 +т cos Qt)].
Применяя формулу (11.15), находим
00
K(i(J), t) = ~ 6 [a-'to (1 + т cos Qt)) e-iroa da = e-iw-ro <l+m cos Q/) •
о
(11.22)
Если на вход линии подается гармоническое колебание s(t) =
=
cos wt, то напряжение на выходе легко определяется по формуле
(11.17):
422

5
(t) = Re feuJJ [t-t. (l+m cos шщ =
вых
= cos \ro (t-'t0)-mro't0 cos ШJ.
Получается колебание, модулированное по фазе.
Мгновенная частота этого колебания, определяемая как производ•
ная фазы по времени, равна
(J) (l) = ffi +ffimQ't0 cos Ш = ro (1 +mQ't0 sinQt).
(11.23)
Спектр колебания состоит из частоты входного сигнала ffi и комбина­
ционных частот ffi ± пQ, где п = 1, 2, 3, ... Амплитуды
отдельных
составляющих спектра зависят от параметра mro't 0 , который в данном
случае имеет смысл «индекса модуляuии» (см. § 4.4).
11.3 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЯ ЦЕПИ
Для определения импульсной характеристики g(t, х) непосредст­
венно по заданным параметрам цепи, без обращения к передаточной
функции K(iffi, t), необходимо использовать дифференциальное урав­
нение цепи.
Рассмотрим сначала простую цепь, описываемую уравнением пер­
вого порядка:
а1(t)d~:e)+ао(t)У(t)=f(t).
(11.24)
По определению импульсная характеристика является откликом
цепи на единичный импульс 6(t- х), подаваемый нз вход в момент
t= х(см.§11.2).
Из этого определения следует, что если в правой части урав­
нения (11.24) функцию f(/) заменить на 6(/-х), то в левой части y(t)
можно заменить на g(t, х).
Таким образом, приходим к уравнению
a1 (t) dg(t,x) +a0 (t)g(t,x)=6(l-x).
(11.25)
dt
Так как правая часть этого уравнения равна нулю всюду, кроме
момента t = х, функцию g(t, х) можно искать в виде решения однород•
ного уравнения (с нулевой правой частью)
a1(t) :~ +a0 (t)y=0
(11.26)
при начальных условиях, вытекающих иэ уравнения (11.25), а также
из условия, что к моменту приложения импульса 6(t - х) в цепи от­
сутствуют токи и напряжения («пустая» цепь).
В уравнении (11.26) переменные разделяются:
dy +ао(t)•dt = dy +p(t)dt=0,
у а1(t)
у
-
423

откуда
у= ере- Jo(t) dt 1
(11.27)
где
а
q:,=У/t=x=g(t,Х)/t=x
(11 .28)
представляет собой значение импульсной характеристики в момент
t=х.
1
1
1
г~
1/а., (z)
~
.
•
z
Рис. 11.5
,.
it(t-%)
3 C(t}
..
t
Рис. 11.б
Для определения ер обратимся к исходному уравнению (11.25).
Из этого уравнения видно, что в точке t = х функция g(t) должна с<>­
вершать скачок на величину 1/а1(х) (рис. 11.5). Только при этом ус­
ловии первое слагаемое в уравнении (11.25), т. е. a1(t)dg/ dt, можеr
образовать дельта-функцию б(t - х).
Таккакприt<хg(t,х) =О,товмоментt=х
.
1
g(t,x)/t=x= -.
(11.29)
а1 (х)
Заменяя в выражении (11.27) неопределенный интеграл определен­
ным с переменным верхним пределом, получаем
1
-
f P(u) du
g(t,x)=q:,(x)e х
(11.30)
Для ясности переменная интегрирования в отличие от t обозначена
буквой и.
Применим выражение (11.30) к цепи (рис. 11.6), представляющей
собой последовательное соединение постоянного сопротивления ,
и емкости C(t), изменяющейся по закону
C(t)= Са
(11.31)
1+msinOt
Под б(t - х) в данном случае подразумевается единичный импульс
э. д. с., а в качестве функции g(t, х), подлежащей опред~лению, выберем
заряд конденсатора q(t).
424

Тогда уравнение ~1епи в соответствии с (11.25) и (11 .31) может быть
записано в форме
r~+ 1+тsinQt q = б(t-x).
(11.32)
dt
Со
Подставляя в ( 11.30)
получаем
(t) - l+msinШ
ао-
'
Со
1
1
-- --- --- --- --
--- .--:------
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
о
я/2
я
2SC Qt
о
Я/2
3r
2Я Qt
Рис . 11.7
(t)1
[ sll+тsinШd]
q,х=-ехр -
--'---
u=
"
гС0
х
1
[ t-x
т
]
=-ехр ---+--(cosШ-cosQx) =
г
гСо гСоО
= ..!.ехр {- ~ + ~.(cos Ш-соs Q (t-a)]}.
г
гС0 гС0 Q
(11.33)
Продифференцировав это выражение по t, можно найти ток i(t).
В момент t = х (т. е. при а = О), когда q(t, х) образует скачок,
равный 1/r, ток равен (1/г)б(t- х),а напряжение на сопротивлении
равно б(t - х). Напряжение же на емкости может быть получено де- \
лением выражения {11.33) на C(t).
425

Из выражения (11.33) видно, как вариация емкости по закону
(11.31} влияет на характер разряда: в показателе степени кроме
-
(t - x)lrC 0 (как и в случае постоянной емкости С 0) появляется пе­
риодическое слагаемое m!(rC 0Q) [cos Qt - cos Q(t - а)].
Графики rq(t, х) при rC 0Q = 1, т = 0,25 и Ох= n/2 построены
на нижней части рис. 11. 7. Пунктирной линией показана зависимость
q(t - х) при постоянной емкости (т = О). Закон изменения C(t) по­
казан на верхней части рис. 11. 7.
Обратимся теперь к общему случаю цепи, описываемой уравне­
нием n-ro порядка:
ап (t) у< 111 (t)+ й11-1 (t) y<n-1) (t) + ... + а0 (t) у (t) = f (t), (11.34)
в котором все коэффициенты ап, an-I• ... , а 0 могут являться функ-
циями t (но не у!).
'
tJ (z) tt"g(t,z) •8(t · .%)
v"
ttt"
1
1
n·f
~
•
.
ltflt,y
~
,нn·r
,
о"z
z
t
Рис. 11.8
Как и в предыдущем случае, приравниваем f(t) дельта-функuии
6(t - х), что позволяет переписать уравнение (11.34) в форме
dng
dn-1 g
а11 (t)--, . + an-1 (t)-- + . . . +a0(t)g=6(t-x).
(11.35)
dt
dtn-1
Импульсную характеристику ищем а виде решения однородного
уравнения
•
(11.36)
Общее решение этого уравнения представляет собой сумму из п
•
&
линеино независимых решении
п
g(t,X)= ~ ff!1(X)y1(t),
1=1
(11.37)
Для определения функций q:, 1 (х) могут быть использованы началь ­
ные условия, вытекающие из уравнения (11.34).
В отличие от рассмотренного выше уравнения (11.25) в данном
случае необходимо в точке t = х приравнять нулю все производные
функции g(t, х} порядка не выше п - 2 . Производная же порядка
426

п - l в точке f = х должна совершать скачок на величину 1/an (х)
(рис. 11.8).
При этих начальных условиях выражение (11.37) образует систему
уравнений (при дифференцировании по t и подстановке t = х):
(J)1(х)У1(х)+(/J2(х)"У2(х)+...+(j)n (х)Yn(х) =О,
Чi(х)dy1 (t) 1 +(/J2(х) dy2 (t)1 + ... +(j)n(x)dYn (t)I =О,
d{ l=x
dt t=x
dt l=x
m (х)dn-2У1,(t) 1 +(jJ (х) dn-2У2(t) 1 +...+
't'l
dln-Z /=х
2
dtn- 2
l=x
dп-2 Уп (t) 1
+ <pn (х) dtn-2
l=x=О,
(11.38)
dn--! /J1 (t) 1
dn-1 У2 (t) 1
IJ'1(X) dtn-1
t=x +IJ'2(X) dtn-1
l=x-f- .. .
+
-
Хdn-1Уп(t)1 __I_
f--<рп() dtn-1
l= x -an(x )'
Так как частные решения Yi (t) и их производные в точке t = х
предполагаются известными, то система (11.38), содержащая п урав­
нений, позволяет найти все функции (J); (х) . Системе уравнений
(11.38) соответствует определитель
У1 (х)
У2 (х)
...
Уп (х)
W(x) = у;(х) у;(х)
...
у~ (х)
yfn-l)(x) y~n-l)(x) ... у~п-\)(х)
называемый определителем Вронского .
Применяя правило Крамера, получаем следующее общее выра­
жение для <р 1 (х)
(11.39)
где М п;(х) - минор, получаемый из определителя W(x) вычеркива­
нием п-й строки (соответствующей производным порядка п - 1)
и столбца i, на пересечении которых стоит элемент y\n-l 1(х).
Подставляя (11.39) в общее решение (11.37), получаем
g(t, x )= ап(х/W (х) [(-l)n+I Мп1У1U)+
+ (- l)n+2 М112 У2(t)+ ,., + (-l)n+n МппУп (t)].
(11.40)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно рассматри­
вать как разложение соответствующего определителя по строке
427

y1(t), y 2(i), ... , Yn• Обозначив этот новый определитель через d, можем
написать
откуда вытекает следующее равенство для алгебраических допол­
нений А11:
(11.41)
С другой стороны, в искомом определителе d алгебраические допол­
нения А 11 связаны с соответствующими им минорами Mft соотноше­
ниями
А11 =(-1)1+1 Мf1-
Следовательно, миноры нового определителя выражаются через
миноры определителя Вронского с помощью следующих формул :
Md =(-l)n+tмni =(-})n-lM
11
(-!)1+1
nl•
Но минор М nt, как уже отмечалось, получается из определителя
Вронского вычеркиванием i-го столбца и строки, соответствующей
производным порядка п - 1 . Поэтому искомый определитель d дол­
жен иметь вид
Yt (t)
d=(-\)11-I
У1 (х)
(1'1-2) ( )
У1
Х
'
Таким образо:.t, окончатеJJьно ,
У1 (t)
У1 (х)
... Yn (t)
•··Yn(X)
(n-2) ( )
(n-2)( )
У2
Х••·Уп
Х.
...
Yn (t)
...
Yn (х)
......
y\n-2) (х) у~п-2) (х) ... !J~n -2) (х)
( 11.42)
Определяемая выражением (11.42) функция g(t, х) есть не что иное,
как односторонняя функция Грина линейного дифференциального
оператора
(11.43)
соответствующего уравнению (11.34).
В теории линейных неоднородных уравнений функция Грина ис­
пользуется для представления решения уравнения (11.34) в форме
1
y(t)= ~ g(t,x)f(x)dx
-ао
приначальныхусловияхylk> (0)=Оприk = О,1, ..., п - I.
Это выражение совпадает с (11.13).
428

11,4. СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕЯСЯ
ЕМКОСТИ ИЛИ ИНДУКТИВНОСТИ
Пусть к электронно-управляемой емкости приложено сигнальное
колебание e(t) =Е cos rot и требуется определить полную проводимость
этой емкости на частоте сигнала ro.
Способ получения периодически изменяющейся емкости поясняет­
ся схемой рис. 11.9, а. К емкости Сил подводится напряжение еу =
= Еу cos (Qt + '\'), наложенное на постоянное напряжение Е 0 •
Фильтр Ф, пропускает токи всех частот, кроме частоты сигнала ro,
а фильтр Ф1 - преграждает путь тоr<у частоты Q. Наложим условие
e(t);t.J
а)
Рис. 11.9
е(t);ш
5)
C{t)
Q
Е « Еу. Тогда, как указано в § 11.1, можно пренебречь изменением
емкости под действием сигнала и считать, что закон изменения емкости
совпадает с изменением управляющего напряжения.
Применяя формулу (11.4) и учитывая принятое выше выражение
для еу, можем написать
С (t) =С0 [l + т cos (Qt +'\')] = С0 +лс cos (Ш +'\'), (11.44)
~-
Здесь ЛС = mC 0 = 2~Еу - амплитуда изменения емкости;
коэффициент при квадратичном члене ряда (9.19).
При использовании варикапа 1 аналогичное выражение может быть
записано в форме (11.5)
C(t)=
Со
~С0 -ЛСсоs(Ш+'\') при т« 1, (11.45)
l+mcos (Ш + -у)
где ЛС =C0m= C0Ey/2(fJ>н+Eo)
В дальнейшем будем исходить из выражения (11.45). На
рис. 11.9, 6 представлена эквивалентная линейная параметрическая
схема, на которой цепь накачки не показана, а на рис. 11. l О - та же
схема применительно к заданным функциям e(t) и C(t).
Определим ток на частоте ro, проходящий через источник сигнала.
Применяя общее ВJ>Jражение (11. 7), получаем выражение для полного
тока через-емкость C(t):
i(t)=[С0- ЛСcos(Ш+ у)][-roEsiпrot]+Еcosrot•ЛСsiп(Qt +у)=
1 Варикапом называется полупрово.11никовый диод, с электронно-управляе­
мой емкостью р-п перехо1а
429

= -roC0Esinrol + .!.(Q+ro)ЛСЕsin[(ro+Q)l+vl+
2
+.!. (Q-ro) ЛСЕ sin ((Q-ro)t +i'I-
(11.46)
2
Заметим, что это выражение может быть получено непосредственно
из (9.23), если приравнять а.= С0, Е1 = Е, q,1 = л/2, Е2 = Еу,
q, 2 = n/2 + у, РЕ2 = РЕ,= 1/2ЛС, а также отбросить слагаемое с
коэффициентом Е~ (из-за малости) и слагаемые, независящие от Е1,
Особый интерес представляет случай Q = 2ro . При этом ток на
частоте ro равен
Рис. 11 .10
iш(t) = -roC0Еsin(i)t+ .!.rоЛСЕ sin(rot+v)=
2
с: -roC0 sinrot+ ~ roЛCEcos (rot- (; -v)]·
(11.47)
Первое слагаемое, сдвинутое по фазе на угол n/2 по отношению
к э. д. с. e(t) = Е cos wt, не создает расхода мощности. Второе же сла­
гаемое определяет мощность
Р,,,= - JJЛС--- cos
--'V
=- (J}ЛС- sin i' =Ga -
,
1
Е2
(:п)1
Е2
Е2
2
2
2
2
2
2
где символом
G
(Олс .
3 =--SIП)'
2
_
(11.48)
обозначена эквивалентная активная проводимость, учитывающая
расход МОЩНОСТИ.
Таким образом, приходим к схеме замещения параметрической
емкости, изображенной на рис. l l .10, б (для случая
'V = -n/2).
Комбинационная частота Q + ffi = Зrо этой схемой не учитывается,
а частота Q - ro совпадает с частотой сигнала ro. В результате, по
отношению к источнику сигнала получается схема с постоянными
параметрами. Периодическое изменение C(t) с частотой Q = 2ro при­
водит лишь к появлению активной проводимости 03 , шунтирующей
постоянную емкость С 0 .
Рассмотрим три следующих характерных режима: 'V = О, п/2 и
-л/2. Диаграммы кривых C(t) для указанных значений у изобра­
жены на рис. 11.11; верхняя кривая изображает приложенное к ем-
430

кости напряжение e(t) = Е cos rot. В первом случае (i' = О) C(t) из­
меняется таким образом, что изменение запаса энергии в емкости за
период частоты То = 2n/Q (а также за период Т(Jj = 2n/ro) равно нулю.
Приэтом00 = О.
Во втором случае ( i' = n/2) максимальная скорость нарастания
C(t) соответствует амплитудным значениям напряжения; при этом
часть энергии, запасенной в емкости, переходит в устройство, изме­
няющее емкость. По отношению к источнику э. д. с. это равносильно
01------, ,- -- -+- -- -i-- -- ---
t
Рис. 11.11
шунтированию постоянной емкости С O положительной активной про­
т
ВОДИМОСТЬЮ 0 0 =
2 СоОО.
Наконец, в третьем случае, при i' = -л/2, когда C(t) убывает
в районе e(t) = Е и нарастает в районе e(t) = О, активная проводи­
т
масть отрицательна и равна 00 = -
2 С oro, Это означает, что рассмат-
риваемая цепь является не потребителем, а генератором энергии .
Наглядным примером преобразования энергии при изменении ем­
кости является хорошо известная модель с механическим раздвиже­
нием пластин конденсатора. Пондеромоторная сила электрического
поля заряженного конденсатора стремится сблизить пластины (не­
зависимо от полярности напряжения); следовательно, для их раздви­
жения необходимо произвести работу, которая увеличивает запас
энергии в конденсаторе. Если к конденсатору приложено синусои­
дальное напряжение, а емкость конденсатора изменяется с помощью
механического устройства таким образом, что раздвижение пластин
происходит в моменты амплитудного напряжения на конденсаторе, а
431

обратное сближение - в моменты прохождения напряжения через
нулевые значения, то имеет место преобразование механической энер­
гии в энергию электрического поля конденсатора.
В рассмотренном выше примере с электронно-управляемой ем­
костью прирост энергии, запасаемой в емкости, происходит за
счет работы, совершаемой генератором накачки при уменьшении ем­
кости (преодоление сил электрического поля при движении электронов
и дырок через потенциальный барьер в области запирающего споя).
Результаты, ан:тоrичные полученным выше для C(t}, нетрудно
вывести также и для периодически изменяющейся индуктивности L(t).
-
i,(t)
,i.ltJ•l.0 [1+m coslSit +1JJ
tz)
Рис. 11.12
6)
Исходя из схемы (рис. 11.12, а), при изменении индуктивности по
закону
L(t)=L0(1+mcos (Ш+)')).
(11.49)
находим ток с помощью соотношения (11.11 ):
it)=-
1
- Je(t)dt=
1
Esinffit~
L (1)
WLa (1 +т cos (Ш+r)I
~.!._ /I-m cos (Qt+1)) sin ffit =
wL0
=E{-
1
-sin(J)/--m- sin [((J)+Q)t +Yl--m - sin /(ro-Q)t-vJ}.
WLo
2wL 0
--
'2wLa
(11.50)
При Q = 2ffi ток на частоте ffi равен
iы(t)=E-1 -sinffit + E-m -sin((J)t+y)=
roL 0
2wL 0
=Е-
1
- sin ffit +Е _!!!__ cos [rot -(.!:.-у)].
wLo
'2wL 0
2
Первое слагаемое не создает расхода мощности, а второе, сдвинутое
л
относительно э. д. с . на угол 2 - у, определяет расход мощности
р=-- -
cos--V=---
SIП1'=G-
тЕ2(n)тЕ2•
Е•
26>Lo 2
2
2wL0 2
11
2'
(li.51)
432

где
Gт
.
3 =-- SIП'\'
2ooLo
(11.52)
-активная проводимость.
Таким образом, при Q = 2ro получается схема замещения, изобра­
женная на рис. 11.12, 6. Фазовые соотношения между e(t) = Ecosoot,
i(t) = EL sin oot и индуктивностью L(t), изменяющейся по закону
(Оо
e(t)
t
0!'-'=:-::'llr----+:.,-,;-:~-- ,/t-'--4 --
t
Рис. 11.13
(11.49), видны из рис. 11.13, построенного для у = -п/2. В данном
случае проводимость Q3 = -m/2ooL 0 получается отрицательной, ес­
ли при прохождении тока через амплитудное значение L(t) убывает,
а при прохождении i(t) через нуль L(t) возрастает.
Энергия вводится в цепь за счет работы, совершаемой устройством
накачки при уменьшении индуктивности, обтекаемой током (на прео­
доление сил магнитного поля, стремящихся сблизить витки и увели­
чить индуктивность катушки).
11.5 . ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ КОЛЕБАНИИ.
ОДНОКОНТУРНАЯ СХЕМА
Из предыдущего параграфа видно, что введением в колебательный
контур периодически меняющейся емкости или индуктивности можно
при соответствующем законе изменения параметра осуществлять уси­
ление колебаний. Простейшая схема одноконтурного параметрического
усилителя с переменной емкостью изображена на рис; 11.14, а, а эк­
вивалентная схема, соответствующая случаю Q = 200 и у = -п/2, -
на рис. 11.14, 6(см.предыдущийпараграф и рис. 11.10,6). Шунтиро­
вание проводимости нагрузки Он отрицательной проводимостью G0 =
= -mooCof2 снижает общую активную проводимость и тем самым
повышает добротность контура. Получается эффект усиления.
Устойчивость подобного усилителя обеспечивается при выполне­
нии условия
15 Зак. 187
(11.53)
433

откуда критическое значение коэффициента m
2G
2
т р=--=-.
к оорСо Q
(11.54)
Следует отметить, что при определении коэффициента усиления
по мощности, достигаемого применением параметрической емкости,
необходимо учитывать максимальную мощность, которую способен
L
L
Е;ш•f2/2 C(t)
6н• t/Rн
со
тшС0 ч,· f/,tJ
G• ---
Q
з2
а)
5)
Рис. 11 .14
развивать источник сигнала в отсутствие эффекта усиления. Вели­
чина этой мощности при заданной амплитуде тока (или э. д . с.) гене­
ратора зависит от его внутренней проводимости (или внутреннего со­
противления).
При представлении источника сигнала в виде генератора тока с
внутренней проводимостью Gг, а нагрузки в виде проводимости Gн,
i(t)·erGr;
w•Q/2
L
Рис. 11 .15
шунтирующей контур, получим схему, изображенную на рис. 11.15 .
Как известно, максимум мощности, выделяемой в нагрузочной про­
водимости (в отсутствие усиления) достигается при Gн = G
1
"
При этом мощность равна
1!"
1/2
Р , =--=---.
24Gн 24Gг
При подключении дополнительной проводимости G3
,
мощность,
выделяемая в проводимости G11
,
будет
434

Отсюда коэффиuиент усиления по мощности
р:
1
Кр= Рв = (1+~)2.
2Gн .
(11.55)
Таким образом, при наличии внутренней проводимости источника
сигнала Gr, равной нагрузочной проводимости Gн (включающей в себя
все виды потерь в контуре), критическая величина отрицательной
проводимости, соответствующая порогу устойчивости системы, G0 =
= -2Gн. При G0 = -G11 усиление по мощности равно всего лишь
четырем.
Напомним, что все приведенные выше рассуждения относятся к
случаю, когда выполнены следующие условия: во-первых, (J) = Q/2;
во-вторых, фаза накачки 'V = -л/2 и, в-третьих, контур настроен
точно на частоту сигнала ffi. На практике, при усилении реального
сигнала, фаза которого неизвестна, а частота может изменяться в не­
которой полосе, соблюдение перечисленных выше условий невоз­
можно .
При отклонении частоты сигнала (J) от величины Q/2 комбинацион­
ная частота Q - (J) не совпадает с частотой (J). Это приводит к биениям
и к уменьшению усиления. Можно, правда, показать, что даже при
расхождении частот ro и Q/2 средняя за период биений мощность ко­
лебаний получается большей, чем в отсутствие параметрического воз­
действия, т. е. что и в этом случае имеет место усил~ние сигнала. Од­
нако подобный режим работы усилителя не всегда приемлем. От не­
досташов, присущих одноконтурному параметрическому усилителю,
свободна схема, рассматриваемая в следующем параграфе.
11.6. ДВУХЧАСТОТНЫИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Принuипиальная схема двухчастотного или, как его часто назы­
вают, «двухконтурного» усилителя, изображена на рис. 11.16. Буквами
Е 11 и Q обозначены амплитуда и частота напряжения накачки. Первый,
сигнальный контур настраивается на uентральную частоту спектра
сигнала (резонансная частота roP1 =ffi 1), а второй, «холостой» контур -
на частоту rop 2 , достаточно сильно отличающуюся от ropi·
Частота накачки выбирается из условия
(11.56)
При выборе частоты u>P~ исходят из условия, чтобы частота сиг­
нала ffi 1 находилась вне рабочей полосы вспомогательного контура.
С другой стороны, комбинационная частота (1) 2 = Q -
u> 1 должна
находиться вне рабочей полосы сигнального контура.
При выполнении этих у·словий на сигнальном контуре будет су­
ществовать лишь одно напряжение частоты u> 1 , а на вспомогательном
контуре - частоты u>
2. Сч·итая амплитуды Е1 и Е2 этих напряжений
15*
435

малыми по сравнению с Е н• мы можем заменить нелинейную емкость
Снл с генератором накачки линейной параметрической емкостью,
изменяющейся с частотой Q, как это было сделано в § 11.4 . Схема,
представленная на рис. 11.16, приводится при этом к эквивалентной
схеме, показанной на рис. 11 . 17, а. На рис. 11 .17, 6 приведена схема
замещения для частоты ro 1; параметры этой схемы определяются с по-
Е11; Q
.
·'r
t.,
с, R, E.,,w1
c,;w2 Ri
С2
•
~
.
td"'
Сир,
Рис. 11.lб
мощью выражений (9. ~t:>J-(9.27), из которых следует, что по отноше­
нию к генератору частоты ro 1 нелинейная емкость может быть заме­
щена постоянной (линейной) емкостью С O = а и добавочной проводи­
мостью, учитывающей ток
•
lro, (t) = -~roiЕ2 Е8 sin (ro1t +ч>i-ч>z)
[см. первое уравнение (9.28)].
C(t),O
а)
Рис. 11.17
В данном случае Е3 =Ен, ~Ен= ЛС/2 =mCof.2 (см. § 9.4), а
лс
E'J = 1(/J, l l2 (ro2) 1=~ro2 Ei Ез =-ro2 Ei IZ2 (ы2) 1·
2
Таким образом,
i00 , (t) = -(л~у ro1ro2 /Z2 (ro2) 1Е1sin (ro1t +ч>1-cpz),
откуда следует, что комплексная амплитуда
436

Здесь z; (ro2) = 1Z~ (ro 2) 1е- 1Фz обозначает сопротивление, комплексно.
сопряженное с сопротивлением Z2 (ro 2) = 1Z2 (ro 2) 1е 1Фz, а Е1 = Е1 е1Ф•. •
Отсюда вытекает следующее выражение для эквивалентной про­
водимости:
O,.(w1)= 1
;; =-(д2C)2w1(t)2Z;(w2) = -
(m~
0
)
2
(t)1 ffi 2 Z;(ro2). (11.57)
с,
А',
Рис. 11.18
и
(11.58)
После того каr< найдена эквивалентная отрицательная проводи­
мость G,. (ro 1), нетрудно определить коэффициент усиления двухкон­
турного усилителя. Для этого можно воспользоваться схемой заме­
щения, представленной на рис. 11.18, на которой элементы, расп"5ло­
женные слева от пунктирной линии, соответствуют сиrнальному ' кон­
туру усилителя (см. рис. 11.16), а справа - схеме замещения
рис. 11.17, 6. Полученная схема, по существу, совпадает со схfмой
одноконтурноrо усилителя (см. рис. 11.15). Различие лишь в способе
определения эквивалентной отрицательной проводимости.
Поэтому можно определить резонансный коэффициент усиления
_,
по мощности (при ro 1 = (t)p1) из выражения, аналогичного формуле
(11.55):
к=1
1)
(
Q)2'
1+2
201
(11.55')
где G3 вычисляется по формуле (11.58), G1 = l/R1 а R1 - нагрузоч­
ное сопротивление сигнального контура.
При отклонении частоты сигнала ffi1 от резонансной част9:rt1 wP1
и соответственно частоты ffi 2 от wp 2 модуль сопротивления .?:i(Шz) па­
дает, что приводит к снижению модуля G~ и, следовательно, коэффи­
циента усиления по мощности.
Основываясь на выражении (11.57), можно рассчитать частотную
характеристику и полосу пропускания двухконтурного усилителя.
437.

Не останавливаясь на этом расчете, отметим следующие важные
преимущества двухчастотноrо усилителя:
а) эквивалентная отрицательная проводимость, а следовательно,
и усиление мощности не зависят от фазы накачки;
б) не требуется соблюдения кратности частот ro, и Q.
Оба эти свойства объясняются тем, что фаза <pz и частота (j)2 комби­
национного колебания, выделяемого на вспомогательном (холостом)
контуре, жестко связаны с фазой и частотой накачки.
Рассмотрим энергетический баланс в двухчастотном усилителе
в зависимости от соотношения частот со1 и u12.
о
t,J
Рис. 11.19
Пусть заданы частота ro1 и мощность Р8 сигнала на входе усилителя.
Так как с повышением вспомогательной частоты (j) 2 модуль величины
Gэ увеличивается [см. формулу (11.58) ], то и усиление по мощности
КР также растет !см. формулу (l l .55') ). Мощность сигнала на выходе
усилителя будет Pro , = КрР , .
Для определения требуемой 1\lощности генератора накачки Ро,
а также мощности Р"1,, выделяемой во вспомогательном контуре, вос­
пользуемся теоремой Мэнли - Роу. На основании выражения (9.30)
можно записать следующие соотношения:
(Знак минус в последнем выражении опущен, так как очевидно, что
эта мощность отбирается от генератора накачки.) Соотношение мощ­
ностей Ps, Pro,, Pro , и PQ иллюстрируется рис. 11.19. Из этого рисунка
видно, что при u1 2 > ffi1 на вспомогательном контуре выделяется мощ­
ность, большая, чем на сигнальном. ;Таким образом, хотя с повышением
частот;', u1 2 мощность Pw 1 растет, но распределение мощности, отби­
раемои от генератора накачки, изменяется в пользу частоты ro 2
.
Не­
смотря на это, часто работают в режиме ro 2 > ffit, так как при усиле-
438