/
Tags: алгебра
ISBN: 5-7695-2137-6
Text
ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В.А.АРТАМОНОВ, Ю.Л.СЛОВОХОТОВ
ГРУППЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
В ФИЗИКЕ, ХИМИИ,
КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Рекомендовано
У МО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки ВПО 020900 «Химия, физика
и механика материалов»
Москва
academ'a
2005
УДК 512.54@75.8)
ББК22.144я73
А86
Рецензенты:
зав. кафедрой высшей алгебры и теории чисел, д-р физ.-мат. наук,
профессор Санкт-Петербургского государственного университета
А, В. Яковлев;
д-р хим. наук, профессор Санкт-Петербургского государственного
университета Д. В. Корольков
Артамонов В. А.
А86 Группы и их приложения в физике, химии, кристалло-
кристаллографии: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений /
В. А.Артамонов, Ю.Л.Словохотов. — М.: Издательский центр
«Академия», 2005. — 512 с.
ISBN 5-7695-2137-6
Систематически изложена теория групп, рассмотрены ее физико-хи-
физико-химические приложения. Представлены основные групповые конструкции,
теория конечно порожденных абелевых и кристаллографических групп,
основы теории представлений конечных групп, линейные группы и их
алгебры Ли. Кратко рассмотрены квазикристаллы, ренормгруппа, алгебры
Хопфа и топологические группы. Обсуждаются соотношения симметрии в
механике, молекулярной спектроскопии, физике твердого тела, а также в
теории атомов, ядер и элементарных частиц.
Для студентов естественно-научных специальностей высших учебных за-
заведений. Может быть полезен аспирантам и научным работникам.
УДК 512.54@75.8)
ББК22.144я73
Оригинал-макет данного издания является собственностью
Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом
без согласия правообладателя запрещается
© Артамонов В. А., Словохотов Ю.Л., 2005
© Образовательно-издательский центр «Академия», 2005
ISBN 5-7695-2137-6 © Оформление. Издательский центр «Академия», 2005
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проникновение математических методов в научные исследо-
исследования, по-видимому, является безальтернативным направлени-
направлением развития естествознания. Ряд фундаментальных физических
характеристик материи, таких как координата, масса, импульс,
энергия, можно представить в виде непрерывных переменных
величин, связанных дифференциальными уравнениями. Этот
подход развит в очень многих научных дисциплинах, в том числе
за пределами собственно физики («энергия связи», «координа-
«координата реакции», «денежная масса» и др.). Но столь же фундамен-
фундаментальное и интуитивно общепринятое понятие симметрии физи-
физической системы нельзя выразить только через непрерывные пе-
переменные: для ее описания требуется алгебра. Как аналитиче-
аналитический, так и алгебраический формализм широко распространены
в естественных науках и являются взаимно дополняющими.
В этой книге изложены основы математической теории групп,
составляющей суть алгебраического описания симметрии и всего
круга связанных с ней явлений. Она ориентирована на лиц, нуж-
нуждающихся в теоретико-групповом аппарате для решения при-
прикладных физических задач и имеющих начальную общую под-
подготовку в объеме двух курсов естественных факультетов универ-
университетов. В содержании книги учтен опыт преподавания авторов
на факультете наук о материалах МГУ им. М. В. Ломоносова.
Приступая к изучению теории групп, студенту желательно
преодолеть изначальное «бытовое» представление о симметрич-
симметричной фигуре или орнаменте. Геометрический орнамент, в обыч-
обычной ситуации «привязанный» к многочисленным ориентирам в
пространстве, т.е. имеющий верх, низ, правую и левую сторо-
стороны, допускающий нумерацию и т.д., создает подспудное пред-
представление о симметрии как о дополнительном усложнении ри-
рисунка. Между тем симметрически зависимые части любого от-
отдельного объекта неразличимы, и почти все применения групп
в естествознании связаны с радикальным упрощением сложных
систем.
Кроме того, наши интуитивные представления о симметрии
провоцируют ее буквальное толкование («молекула бензола —
это ее шестикратно умноженный фрагмент СН»), отчего, напри-
мер, химику бывает трудно принять нетривиальные результа-
результаты теоретико-группового анализа молекулярных колебаний того
же бензола. Но помимо знакомых многим читателям поворотов
и отражений, к операциям симметрии могут относиться пере-
перестановки и сдвиги, переходы между инерциальными системами
отсчета, изменения масштаба и перенормировки, инверсия вре-
времени, замена частиц античастицами и др. Для того чтобы все
эти необычные преобразования делали интересующую нас систе-
систему не сложнее, а проще (т.е. понятнее), необходимо узнать, как
устроено множество любых преобразований симметрии какого-
либо объекта, а в самом общем случае — абстрактное матема-
математическое множество, элементы которого взаимосвязаны так же,
как последовательно выполняемые операции симметрии.
Иными словами, для плодотворного использования симмет-
симметрии надо знать основные алгебраические соотношения теории
групп и представлять, как и зачем они применяются в реальных
системах.
Симметрия физической системы основана на идентичности ее
определенных составных частей. Во многих случаях эта иден-
идентичность соблюдается лишь приближенно в рамках некоторой
модели. Однако модельная симметрия сильно упрощает описа-
описание, позволяя найти «почти инвариантные» параметры систе-
системы алгебраическими методами, не решая сложных дифферен-
дифференциальных уравнений. А наиболее прямой путь к общему алго-
алгоритму построения правильных моделей для реальных систем —
это усвоение абстрактного теоретико-группового аппарата.
Методам простого решения сложной задачи посвящено боль-
большинство современных приложений групп. На использовании сим-
симметрии основаны многие физические теории и целые научные
дисциплины — такие как атомная физика или физика твердого
тела. Знание теории групп помогает воспринять фундаменталь-
фундаментальные физические представления, которые во многих естествен-
естественных науках еще нередко вводятся как постулаты. Поэтому даже
скромные усилия, затраченные на изучение абстрактных мате-
математических конструкций, быстро окупаются.
По использованию групп в естественных науках имеется об-
обширная литература. Однако авторами большинства публикаций
являются специалисты в области либо физики (или химии), ли-
либо математики. Это часто приводит к несколько асимметрично-
асимметричному изложению материала, прикладные аспекты которого быва-
бывают представлены не очень равномерно или выборочно. Ситуа-
Ситуация осложняется еще и тем, что в разных областях приложе-
приложения групп — кристаллографии, химии, спектроскопии, ядерной
физике, квантовой теории поля и т. д. — нередко используется
собственная терминология и приняты обозначения, не всегда пе-
переносимые в смежные дисциплины.
В настоящей книге авторы пытались соединить разные точ-
точки зрения на представленный теоретико-групповой формализм
и рассмотреть его применения по возможности шире. Мы стре-
стремились сделать материал максимально доступным для немате-
нематематиков, сохраняя при этом строгость формулировок и выводов.
Основная трудность при изложении для такой аудитории — сов-
совмещение логики дисциплины с актуальными примерами, взяты-
взятыми преимущественно из физики и некоторых областей химии.
В первых четырех главах книги рассмотрены основные теоре-
теоретико-групповые понятия и соотношения, теория конечно порож-
порожденных абелевых групп, классификация кристаллографических
групп, основы теории представлений конечных групп, включая
теорию характеров; приведены некоторые сведения о теории ли-
линейных групп и алгебр Ли. С учетом вероятных областей ин-
интересов читателей математические соотношения, введенные в
этих главах, проиллюстрированы описанием симметрии молекул
и кристаллов. Пятая глава посвящена традиционным приложе-
приложениям теории групп в физике и химии. В шестой главе кратко
представлены некоторые современные вопросы и приложения —
в том числе квазикристаллы, ренормгруппа и алгебры Хопфа.
В последней, седьмой главе приведены без доказательств основ-
основные сведения из линейной алгебры, используемые в книге.
Авторы надеются, что эта книга будет полезна студентам,
аспирантам и научным работникам естественно-научных специ-
специальностей. Не исключено, что представленный материал помо-
поможет некоторым читателям понять, какие разделы математики
необходимы для приложений, и послужит стимулом для их даль-
дальнейшего изучения. Возможно, книга будет также интересна и
математикам, желающим узнать о практическом применении хо-
хорошо знакомых алгебраических конструкций.
Авторы признательны всем коллегам, способствовавшим
созданию данной книги. Мы выражаем особую благодар-
благодарность И. В. Архангельскому, Э. Б. Винбергу, Я. В. Зубавичусу,
Б. В. Локшину, Е. В. Майкову, И. С. Неретину, К. А. Потехину,
Ю. Г. Рудому, Ю. П. Соловьеву|, Д. А. Тимашеву, И. А. Чубарову
за полезное обсуждение и ценные замечания. При подготовке
рукописи нам очень помогло внимание и содействие академи-
академика РАН Ю. Д. Третьякова.
ГЛАВА1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Сформулированы основные понятия и введены важней-
важнейшие конструкции теории групп. Приведен ряд важных при-
примеров конечных групп, групп симметрии фигур, групп пре-
преобразований линейных пространств и групп матриц, кото-
которые используют для приложений групп в химии и физике.
Представлен математический аппарат, применяемый и раз-
развиваемый в последующих главах. В компактной и вместе с
тем в полной и доступной форме изложены все необходи-
необходимые математические результаты, приведены полностью их
доказательства.
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
Начнем изложение материала с определения группы — основ-
основного математического объекта, рассматриваемого в этой книге.
Определение 1.1. Будем говорить, что на множестве G
задана бинарная операция умножения, если каждой паре эле-
элементов х, у е G сопоставлен третий элемент ху € G, называ-
называемый их произведением. Множество G с бинарной операцией
умножения ху называется группой, если выполняются следую-
следующие условия:
1) умножение ассоциативно, т. е. (xy)z = x(yz) для всех x,y,z e
2) существует такой элемент 1 € G, называемый единицей G,
что xl = 1х = х для всех х € G;
3) для любого элемента х е G найдется такой элемент ж,
называемый обратным к х, что хх = х~1х = 1.
Порядком группы G называют число \G\ элементов в G. Су-
Существуют группы как конечного, так и бесконечного порядка.
Элементы х, у из группы G коммутируют (являются переста-
перестановочными), если ху = ух. Группа G коммутативная, или абе-
лева, если любые два ее элемента являются перестановочными.
Прежде чем привести примеры групп, отметим ряд простей-
простейших их свойств, непосредственно вытекающих из изложенного
выше определения.
ПРЕДЛ0ЖЕНИЕ1.1. Единичный элемент в груп-
группе единственный. Обратный элемент х~г для каждого эле-
элемента х € G определен однозначно. Кроме того, если х € G,
то (х) =ж.
Доказательство. Предположим, что в группе име-
имеются два единичных элемента 1, 1'. Так как элемент 1 еди-
единичный, то 11' = 1/ по условию 2 из определения 1.1. Но
элемент 1' также единичный и 11' = 1 по тому же свойству.
Следовательно 1 = 1'.
Предположим теперь, что некоторый элемент х € G име-
имеет два обратных элемента у, z. Тогда (yx)z = lz = z условию 3
того же определения. Но в силу условия 1 (свойства ассо-
ассоциативности) получаем, что (yx)z = y(xz) = yl = у. Отсюда
Отметим, что из свойства ассоциативности умножения в груп-
группе следует, что произведение любого числа элементов х\ • • • хп в
группе не зависит от расстановки скобок в этом произведении.
Это легко проверяется индукцией по числу множителей п. Од-
Однако порядок множителей в произведении х\ • • • хп в неабелевой
группе существен.
Приведем теперь ряд примеров важных групп, для которых
имеются стандартные обозначения. При этом напомним извест-
известные факты о свойствах элементов этих групп, необходимые для
понимания дальнейшего материала.
Группа С*. Множество С* состоит из всех ненулевых ком-
комплексных чисел, а в качестве операции умножения берется обыч-
обычное произведение комплексных чисел. В этой группе бесконечно-
бесконечного порядка единицей является комплексное число 1, а обратным
элементом z к числу z — обычное обратное комплексное число
l/z. Напомним, что если число z представлено в алгебраической
г t. » л а-Ы
форме: z = a + bi, где а, о — вещественные числа, то z l = -«—го-
Если же число z представлено в тригонометрической форме:
z = rexp(i\|f), где г = |г|, \|/ € R, то z'1 = -ехр(-г\|/) = г^, где
J — комплексно сопряженное число к z. Нетрудно показать, что
все аксиомы группы из определения 1.1 выполнены. Кроме того,
эта группа абелева.
Группа R*. Эта группа состоит из всех ненулевых веществен-
вещественных чисел с операцией умножения. Единицей в этой группе яв-
является вещественное число 1, а обратным элементом z~l к числу
z — обычное обратное вещественное число l/z. Группа R* явля-
является абелевой.
Рис. 1.1. Группа U
мент z € U можно представить в форме:
Группа целых чисел Z. Элементами
этой группы являются все целые числа
с операцией сложения. Роль «единич-
«единичного» элемента в этой группе играет О,
а роль обратного к числу z — противо-
противоположное число -z. Эта группа также
является абелевой.
Группа U. Элементами группы U яв-
являются комплексные числа, модуль ко-
которых равен 1. В качестве групповой
операции берется обычное произведе-
произведение комплексных чисел. Каждый эле-
эле)€и, ф€К. A.1)
Таким образом, если z\ = ехр (гф), и *2 = ехр (г\|/), где ф, \f € R,
то z\Z2 = ехр(г(ф + у)) ? U. Единицей в этой группе является ве-
вещественное число 1, а обратным элементом — число z. Если z
из A.1), то z~l а= ехр(-гф) = 1 € U. Все эти числа расположены
в комплексной плоскости на окружности радиуса 1 с центром в
нуле. Умножение в U коммутативно, и поэтому эта группа абе-
лева (рис. 1.1).
Группа Un. Пусть п — натуральное число. Группа Un состоит
из комплексных корней степени п из 1 с операцией умножения.
Каждый элемент этой конечной группы как комплексное число
имеет вид
z = ехр Bfe7Ct/n), к = 0, ..., п -1. A.2)
При этом
ехр Bкт/п) ехр Bmni/n) = ехр Bгяг/п) € Un,
где г равен остатку от деления fe+m на п. Единицей в этой группе
является число 1. Если z € Un имеет вид A.2), то
z~l = ехр B(п - к)т/п).
На комплексной плоскости все эти корни расположены в вер-
вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность ра-
радиусом 1 с центром в нуле, причем число 1 является одйой из
вершин n-угольника. Как и в предыдущих примерах, группа Un
(рис. 1.2) абелева.
Множества действительных и комплексных чисел, как и лю-
любые составленные из них группы, являются подмножествами
множества матриц. Квадратные матрицы размера пхп при усло-
условии существования для каждой из них обратной матрицы обра-
образуют самую общую из всех рассматриваемых нами групп.
8
Группы GL(n,C), GL(n,R).
Элементами группы GL(n, С)
(либо GL(n,R)) являются все
невырожденные квадратные
комплексные (соответственно
вещественные) матрицы разме-
размера п. Напомним, что невырож-
невырожденность матрицы А означает,
что ее определитель (det А)
отличен от нуля. Групповой
операцией в обеих группах
является умножение матриц.
Это определение корректно,
так как если А, В € GL(n,C),
то АВ € GL(n,C), поскольку
det(AB) = det A det Z? ^0. Соответственно если А, В € GL(n,R), то
и ABeGL(n,R).
Единицей в обеих группах является единичная матрица раз-
размера п:
/1 0 ... 0 0\
О 1 ... 0 0
Y
J"
Рис. 1.2. Группа
0
A.3)
Обратным элементом к матрице А € GL(n, С) (соответственно
к А € GL(n,R)) является обратная матрица Л. Она существует,
так как detA ^ 0. При этом матрица А тоже невырождена,
поскольку det(i4") = 1/detA ^0. Построенные группы матриц
GL(n,C), GL(n,R) при n ^ 2 уже неабелевы; например:
Рассмотрим некоторые подмножества групп GL(n, С), GL(n, R).
Группы SL(n,C), SL(n,R). Элементами этих групп являют-
являются все комплексные (соответственно вещественные) квадратные
матрицы размера п с определителем, равным 1. В качестве опе-
операции берется умножение матриц. Отметим, что умножение в
этих группах определено корректно: если определители двух
матриц А, В равны 1, то det(AB) = det A det В = 1. Единичным эле-
элементом в обеих группах является единичная матрица Е (см. A.3))
Обратным элементом к матрице А из этих групп является обрат-
обратная матрица А, которая также лежит в указанных группах,
поскольку det(A~1) = 1/det A = 1.
Отметим, что обе группы неабелевы при п ^ 2 (см. приведен-
приведенный выше пример).
Группы U(n,C), O(n,R), O(n,C). Элементами группы U(n,C)
являются все унитарные комплексные матрицы размера п, т. е.
такие матрицы А, что транспонированная и комплексно сопря-
сопряженная матрица гА совпадает с обратной матрицей Л. В силу
соотношения G.3) э!*о эквивалентно тому, что замена столбца
переменных
/ ^i \
A.4)
A-5)
сохраняет квадратичную форму |xi|2 + --- + |zn|2- Другими слова-
словами, выполнено равенство \х\|2 + • • • + |хп|2 = |yi|2 + • • • + |уп|2-
В качестве операции берется умножение матриц. Неслож-
Несложная проверка показывает, что произведение унитарных матриц
снова унитарно, т. е. операция умножения в U(n, С) определена
корректно. Единичным элементом в U(n, С) является единичная
матрица A.3). Кроме того, обратным элементом к унитарной
матрице А является обратная матрица А, которая также уни-
унитарна.
Отметим важное свойство унитарных матриц: определитель
каждой унитарной матрицы является комплексным числом, по
модулю равным 1.
Элементами группы O(n,R) (либо группы О(п,С)) являются
все ортогональные вещественные (соответственно комплексные)
матрицы А размера п, т. е. матрицы А с условием ЬА = А. В си-
силу G.2) это эквивалентно тому, что замена столбца переменных
A.4) на столбец A.5) сохраняет квадратичную форму х\+• • •+?«•
Это означает, что выполнено равенство х\ + • • • + х2 = у\ + • • • + у^.
В качестве операции снова берется операция умножения мат-
матриц. Единичным элементом в O(n,R) и в О(п,С) является еди-
10
ничная матрица A.3), а обратным — обратная матрица. Неслож-
Несложная проверка показывает, что при этих операциях умножения
и перехода к обратной матрице снова получаем ортогональные
матрицы. Отметим, что определитель ортогональной матрицы
равен ±1.
Матрицами Q(n, R) задают ортогональные преобразования п-
мерного пространства, сохраняющие его метрику.
Подчеркнем, что при п ^ 2 обе группы U(n,C), O(n,R) неабе-
левы. Это показывает следующий пример:
с «к; д)-
Группы SU(n,C), SO(n,R), SO(n,C). Рассматриваемые группы
состоят из комплексных унитарных (соответственно веществен-
вещественных и комплексных ортогональных) матриц размера п, опреде-
определитель которых равен 1. В качестве операции берут произведе-
произведение матриц, в качестве единицы — единичную матрицу A.3), в
качестве обратного элемента — обратную матрицу. Как и в слу-
случае групп SL(n,C), SL(n,R), можно показать, что операции умно-
умножения и перехода к обратной матрице не выводят за рамки
. SU(n,C), SO(n,R), SO(n,C).
Кроме того, отметим, что
SU(n, С) = U(n, С) П SL(n, С),
SO(n,R) = Q(n,R)nSL(n,R),
SO(n, С) = О(п, С) П SL(n, С),
SO(n, R) = SO(n, С) П GL(n, R).
Можно показать, что группа SOB,R) состоит из всех матриц
вида .
/ ШЗф -БШф \
у sin ф cos ф J '
Произведение таких матриц сводится к сложению углов ф.
Поэтому любые два элемента из SOB, R) коммутируют. Это озна-
означает, что группа SOB,R) является абелевой. Но можно пока-
показать, что группы SU(n, С), п ^ 2 неабелевы, так же как и группы
SO(m,R),m ^ 3. Элемент групп SU(n,C), SO(n,R) называется соб-
собственной унитарной (ортогональной) матрицей. Этим матрицам
отвечают собственные преобразования, т. е. вращения п-мерного
эрмитова (соответственно евклидова) пространства.
11
Группы Sp(n,C), Sp(n,R). Вещественная (комплексная) квад-
квадратная матрица А размера 2п называется симплектической, ес-
если ЬА Jq A = Jq, где
Jo
а -?)¦
причем Еп — единичная матрица размера п. Непосредственная
проверка показывает, что множество Sp(n,R) (или множество
Sp(n,C)) всех вещественных (соответственно комплексных) сим-
плектических матриц является группой, если в качестве умноже-
умножения берут произведение матриц, в качестве единичного элемен-
элемента — единичную матрицу #2П размера 2п, а в качестве обратного
элемента — обратную матрицу.
Группа О(п,га). Пусть Еп,т — диагональная квадратная мат-
матрица размера п + га, в которой по главной диагонали сначала
расположены п элементов, равных -1, а затем га элементов, рав-
равных 1. Группа О(п,га) состоит из всех таких квадратных веще-
вещественных матриц А размера n + га, что гАЕПуГПА = Ещт:
5п О
(Это условие обобщает свойства вещественных ортогональ-
ортогональных матриц.) В качестве умножения в группе O(n,m) берут про-
произведение матриц. Единичным элементом в ней является еди-
единичная матрица, в качестве обратного элемента выступает об-
обратная матрица. Матрицы О(п, ш) преобразуют n+m-мерное про-
пространство с неевклидовой метрикой. В частности, группа ОA,3)
с матрицей
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
V
называется группой Лоренца. Ее элементы отвечают преобра-
преобразованиям четырехмерного пространства-времени в релятивист-
релятивистской механике (преобразованиям Лоренца).
Упражнение 1.1. Доказать, что определитель каждой матри-
матрицы из O(n,m) равен ±1.
Группы SO(n,m), SO+A,3). Группа SO(n,m) содержит все мат-
матрицы из О(п,ш), определители которых равны 1. В качестве
умножения в этой группе берется произведение матриц. Единич-
Единичным элементом в SO(n, m) является единичная матрица, а обрат-
12
ным элементом — обратная матрица. Группа SOA,3) называет-
называется собственной группой Лоренца, а группа матриц А е ОA,3)
с элементом ац ^ 1* — ортохронной группой Лоренца О+A,3).
Элементами собственной ортохронной группы Лоренца SO+A,3)
являются матрицы А = (а^) из SO A,3), у которых дополнительно
элемент ац > 1.
Группы O(n,F), U(n,F). Рассмотренные группы ортогональ-
ортогональных, унитарных, симплектических матриц и группы О(п, га) мож-
можно определить единообразно. Пусть задана F — произвольная
квадратная вещественная (комплексная) матрица размера п. Сим-
Символом О(п, F) обозначается группа, состоящая из всех таких невы-
невырожденных вещественных (комплексных) матриц А, что bAFA = F.
Операции умножения в этой группе соответствует произведение
матриц. Единичным элементом в O(n,F) является единичная
матрица, обратным элементом — обратная матрица. Если в каче-
качестве F брать единичную матрицу, то получаются группы O(n, R)
и О(п,С). Если при четном п за F взять матрицу Jo A.6), где п
заменено на п/2, то получим группы Sp(n,R) и Sp(n,C). Если же
в качестве F взять матрицу Ещт, то получим группу O(n,m).
Пусть F — произвольная комплексная матрица. Тогда сим-
символом U(n,F) обозначается группа всех таких невырожденных
комплексных матриц А, что lAFA = F. Снова в качестве умноже-
умножения в этой группе берут произведение матриц.
Упражнение 1.2. Доказать, что если матрица F невырождена,
то определитель каждой вещественной матрицы из O(n,F) равен ±1.
Доказать, что если матрица F невырождена, то модуль определи-
определителя комплексной матрицы из U(n,F) равен 1.
Каждая из рассмотренных групп матриц эквивалентна мно-
множеству преобразований некоторого пространства. Но группу пре-
преобразований пространства можно задать иначе: как множество
операторов, отвечающих определенным условиям (тем самым
выявляя геометрический смысл преобразований с помощью мат-
матриц). Перечислим важнейшие группы операторов.
Группа обратимых линейных операторов GL(V). Пусть V —
вещественное (комплексное) векторное пространство, GL(V) —
множество всех обратимых линейных операторов на V. Обрати-
Обратимость оператора Л означает, что существует обратный оператор
Л, такой что последовательное выполнение А и Л в любом по-
порядке оставляют каждый вектор пространства V без изменения.
Напомним: ядро кегЛ линейного оператора Л состоит их всех
таких векторов х ? V, что А(х) = 0. Если пространство V конеч-
конечномерно, то для оператора Л эквивалентны следующие условия:
* Можно доказать, что для любой матрицы А е ОA,3) выполняется а\х > 1.
13
1) оператор Л обратим;
2) кегЛ = 0;
3) образ оператора Л совпадает со всем пространством V;
4) матрица оператора Л в любом базисе невырождена, т. е. ее
определитель отличен от нуля.
Множество GL(V) является группой относительно операции
композиции, т. е. последовательного действия операторов (опе-
(операторного умножения). Единицей группы GL(V) является тож-
тождественный оператор ?, при котором ?(х) = х для всех х ? V.
Обратным элементом для оператора Л является обратный опе-
оператор Л.
Группы ортогональных (унитарных) линейных операторов ев-
евклидова (эрмитова) пространства. Пусть Е(<?) — евклидово (со-
(соответственно эрмитово) пространство. Обозначим О(Е) (соответ-
(соответственно U((S)) множество всех ортогональных (унитарных) ли-
линейных операторов в Е(<?). Тогда О(Е) и U(<?) являются группа-
группами относительно операции произведения (т. е. композиции) опе-
операторов. Единичным элементом группы является тождествен-
тождественный оператор ?, оставляющий каждый вектор пространства на
месте, а обратным элементом — обратный оператор. Если в про-
пространстве Е (соответственно, в <?) выбрать ортонормированный
базис, то матрица любого оператора из О(Е) (U((E)) является ор-
ортогональной (соответственно унитарной).
Группы собственных ортогональных (унитарных) линейных
операторов евклидова (эрмитова) пространства. Пусть задано
евклидово (эрмитово) пространство Е (соответственно <?). Обо-
Обозначим SO(E) (соответственно SU(€)) множество всех ортого-
ортогональных (унитарных) линейных операторов с определителем,
равным 1, в пространстве Е. Оба множества являются группами
относительно операции произведения (композиции) операторов.
Единичный элемент в каждой из этих групп — тождественный
оператор ?, а обратный элемент — обратный оператор.
Далее будет показано, что операторам групп О(Е) (соответ-
(соответственно U(<?)) и SO(E) (соответственно SU(<?)) отвечают элемен-
элементы из групп матриц с теми же обозначениями. Поэтому все та-
такие операторы сохраняют в своих пространствах скалярное про-
произведение. Если же сохранение скалярного произведения зада-
задавать непосредственно как свойство операторов, можно постро-
построить разные группы, различными способами устанавливая в соот-
соответствие паре векторов пространства V некоторое комплексное
число (их «произведение»).
Группы симплектических линейных операторов. Пусть в ве-
вещественном (комплексном) пространстве V размерности 2т за-
задана невырожденная антисимметричная билинейная функция
14
(ж, у), причем (ж, у) = -(у, ж) для любых ж, у е V. Напомним,
что обычное скалярное произведение симметрично. Линейный
оператор А называется симплектическим, если (Ах.Ау) = (ж, у)
для всех ж, у ? 1Л Каждый симплектический оператор невырож-
невырожден. Множество всех симплектических операторов Sp(V) образу-
образует группу относительно операции композиции операторов. Еди-
Единичным элементом является тождественный оператор, а обрат-
обратным элементом — обратный оператор.
Чтобы расширить множество операторов, можно также пе-
перейти от скалярного произведения (ж, у) к произвольной били-
билинейной функции /(ж, у) с вещественными коэффициентами в
случае ортогональных преобразований или к полуторалинейной
функции с комплексными коэффициентами для случая унитар-
унитарных преобразований. (Определение этих функций дано в гл. 7.)
Группы ортогональных (унитарных) линейных операторов от-
относительно билинейной (полуторалинейной) функции. Предпо-
Предположим, что в вещественном (комплексном) пространстве V за-
задана билинейная функция /(ж, у) (см. подразд. 7.4). Рассмотрим
множество всех таких невырожденных Линейных операторов .А,
что для всех ж, у ? V выполнено равенство f(A(x), A(y)) = /(ж, у).
В качестве умножения берут произведение операторов. Получа-
Получающуюся группу обозначают О(/) и называют группой ортого-
ортогональных операторов относительно билинейной функции.
Если в пространстве V выбран базис и F — матрица функ-
функции / в этом базисе, а А — матрица оператора А ? О(/), то
lAFA = F. Верно и обратное утверждение.
Предположим теперь, что в комплексном пространстве V за-
задана полуторалинейная функция /(ж, у) (см. подразд. 7.4). Тре-
Требуется составить группу всех таких невырожденных линейных
операторов А, что /(Л(ж), А(у)) = /(ж, у) для всех ж, у ? V. В каче-
качестве умножения берут произведение операторов. Получающуюся
группу обозначают U(/) и называют группой унитарных опера-
операторов относительно полуторалинейной функции.
Если в V выбран некоторый базис и F — матрица функции /
в этом базисе, а А — матрица оператора А ? U(/), то lAFA = F.
Верно и обратное утверждение.
Преобразования из всех рассмотренных подмножеств груп-
группы GL(F) оставляют неизменным хотя бы один (нулевой) вектор
пространства V. Можно снять это ограничение.
Группа аффинных преобразований Aff(V). Напомним (см. под-
подразд. 7.9), что аффинным преобразованием Ф вещественного или
комплексного векторного пространства V называется отображе-
отображение Ф : V —> V, имеющее вид Ф(ж) = ф(ж)+Ь, ж ? V, где ф € GL(F) —
обратимый линейный оператор в V и Ь — вектор из V. Тогда
15
b = Ф@) и ф(ж) = Ф(х) - Ф@), т. е. Ь и ф определены по Ф однознач-
однозначно. В качестве операции в группе AS(V) берется операция ком-
композиции преобразований. Именно, если Ф(ж) = \|/(х) + с, где у —
обратимый линейный оператор в V и с € V, то
(ФФ)(а;) = Ф(Ф(х)) = ф(Ф(х)) + Ь =
= ф(\|/(х) + с) + Ь = (ф\|/)(а;) + ф(с) + Ь, A.7)
для всех х € V.
Таким образом, ФФ снова является аффинным преобразова-
преобразованием с обратимым линейным оператором ф\|/ и вектором ф(с) +
Единичным элементом в группе Aff(V) является тождествен-
тождественное преобразование в V, т. е. аффинное преобразование е(х) = х
для всех х е V. Обратным элементом к Ф € Aff(V) является об-
обратное отображение. Оно также является аффинным. Действи-
Действительно, если Ф(х) = ф(х) + 6, то
ф-1(х)=ф-1(Д:)-ф~1(Ь) A.8)
для всех х € V, где ф" — линейный оператор^ обратный к ф.
Конкретизируем вид аффинных преобразований введением
метрики в пространстве V. Это можно сделать разными спосо-
способами.
Группы движений евклидова пространства. В любом евкли-
евклидовом пространстве Е со скалярным произведением (х, у) вводят
расстояние d(z, у) между векторами х, у как длину
вектора х-у. Движением (изометрией) Ф евклидова простран-
пространства Е называется отображение Ф : Е —> J5, сохраняющее рас-
расстояние между любыми векторами (см. подразд. 7.9). Другими
словами, ||Ф(х) -ФB/)|| = ||я-2/|| Для любых х,у е Е.
ТЕОРЕМА 1.1. Преобразование Ф евклидова про-
пространства Е является движением тогда и только тогда, ко-
когда существуют такие ортогональный линейный оператор
ф € О(Е) и вектор 6, что Ф(х) = ф(х) + Ь для всех х е Е [46,
с. 196-198].
Таким образом, каждое движение евклидова пространства Е
является аффинным преобразованием.
Движение Ф называется собственным, если соответствующее
ортогональное (соответственно унитарное) преобразование ф в
теореме 1.1 является собственным, т.е. определитель его матри-
матрицы равен 1. Это означает, что ф е SO(E). Движение Ф, не явля-
являющееся собственным, называется несобственным.
16
Все движения евклидова пространства Е образуют группу
IsoB?), если в качестве операции взять композицию (последо-
(последовательное выполнение) отображений. Единичным элементом в
IsoB?) является тождественное преобразование е(х) = х для всех
х € Е. Все собственные движения евклидова пространства Е
образуют группу SIsoB?), относительно той же операции умно-
умножения, что и в Iso(E).
Группа Пуанкаре ?A,3). Рассмотрим вещественное четырех-
четырехмерное векторное пространство А/A,3) с билинейной симметри-
симметрической функцией /, отрицательный индекс инерции которой ра-
равен 1, а положительный индекс равен 3 (см. теорему 7.5). Это
означает, что в некотором базисе е = (ео, ei, ег, ез) билинейная
функция имеет вид f(x, у) = -xo2/o+ziyi +х2У2+х$уз, где х*, yj — ко-
координаты векторов я, у в базисе е. Тогда соответствующая квад-
квадратичная функция q(x) = /(я, х) имеет вид q(x) = -Яд + х\ + х\ + я§.
Пространство МA,3) называют пространством Минковского.
Группой Пуанкаре УA,3) называют группу аффинных преобра-
преобразований Ф в МA,3) вида Ф(х) = ф(х) + Ь, где ф G О(/). Другими
словами, нетрансляционные компоненты ф таких преобразова-
преобразований лежат в группе Лоренца ОA,3).
Введем важные для приложений группы, целиком содержа-
содержащиеся в группе lso(E).
Группа симметрии фигуры. Пусть в евклидовом простран-
пространстве Е выбрана некоторая фигура (подмножество) М. Группой
симметрии Sym(M) фигуры М называют множество всех таких
движений пространства Е, которые эту фигуру отображают на
себя. В качестве операции умножения в Sym(M) берут операцию
композиции (умножения) преобразований. Единичным элемен-
элементом в Sym(M) является тождественное преобразование е(х) = х
для всех х € ?, а обратным
элементом к / е Sym(M) —
обратное отображение Z", ко-
которое также является элемен-
элементом Sym(M).
Ниже приведен ряд приме-
примеров таких групп.
Группа диэдра Dn. Пусть
правильный п-угольник М рас-
расположен в комплексной плоско-
плоскости (двумерной вещественной
плоскости с заданным ортонор-
мированным базисом (еьег)),
причем его центр находится в
нуле (начале координат), вер- Рис. 1.3. Группа
Y
/
Л °
• •
/1 X
17
шины лежат на окружности радиуса 1 и одна из вершин — в точ-
точке 1 (в ei).
Группой диэдра Dn (рис. 1.3) называют множество Sym(M)
всех симметрии такого «двустороннего» n-угольника М. Укажем
явный вид элементов из Dn. Положим
2л; 2л;\
cos — -sm —
n n
2% 2%
. sm — cos — .
\ n n /
-С ")¦
Отметим, что матрица а является матрицей поворота на угол
2п/п вокруг начала координат по часовой стрелке, а матрица Ь —
матрицей зеркального отражения относительно оси ОХ. Пока-
Покажем, что Dn состоит из элементов:
1,а,а2, ...,ап-1,Ь,Ъа, ...,6а11-1.
В частности, группа Dn име$т порядок 2п. Кроме того, ап =
2 2
Действительно, можно заметить, что при любых действиях
элементов из Dn центр n-угольника, расположенный в начале ко-
координат, остается на месте. Следовательно, по теореме 1.1 каж-
каждый элемент из Dn является ортогональным оператором, опре-
определитель которого равен ±1. Пусть ф е Dn — ортогональный опе-
оператор с определителем, равным 1. Согласно следствию 1 из тео-
теоремы 7.17 оператор ф является оператором поворота на некото-
некоторый угол 2rcfc/n, fc = 0,l,...,n-l. В этом случае ф совпадает с
элементом
Bк% 2ктС\
cos -sin
П |€Dn.
2кп 2кп
sin cos
п п
Пусть оператор ф имеет определитель -1. Тогда 6ф е Dn —
ортогональный оператор с определителем 1, т.е., согласно дока-
доказанному выше Ьф = ак для некоторого к = 0,1, ..., п-1. Домножая
это равенство слева на 6 и учитывая, что Ь2 = 1, получаем, что
ф = 6а*.
Поскольку Ьа является зеркальным отражением относительно
некоторой прямой, то FаJ = 1.
Группа Dnh. Рассмотрим в трехмерном евклидовом простран-
пространстве плоскость П, проходящую через начало координат. В этой
плоскости возьмем правильный n-угольник М, центр которого
находится в начале координат. Группа Dnh состоит из всех ор-
ортогональных преобразований трехмерного евклидова простран-
пространства, сохраняющих М, т.е. из всех трехмерных симметрии М.
18
Нетрудно заметить, что Dnh состоит из элементов группы ди-
диэдра Dn и центральной симметрии j трехмерного пространства,
причем j2 = 1.
Вернемся к группам матриц и рассмотрим важное подмноже-
подмножество в GLB,C).
Группа ненулевых кватернионов. Под кватернионом q пони-
понимают комплексную квадратную матрицу размера 2 вида
<?= - -Ь A.9)
где zi, Z2 — произвольные комплексные числа.
Непосредственная проверка показывает, что сумма и произ-
произведение любых двух кватернионов также являются кватернио-
кватернионами. Бесконечное множество всех кватернионов обозначают EL
Заметим, что если q — кватернион A.9), то detg = \z\\2 + |z2|2.
Таким образом, если д^О, т0 существует обратный кватернион
«-1-, ,', ,2 (-1 2)ен,
поэтому все ненулевые кватернионы образуют по умножению
бесконечную группу, которая обозначается Н*.
Группа кватернионов Qe« В множестве Н всех кватернионов
выделяют следующие три матрицы:
Вместе с единичной матрицей они образуют базис простран-
пространства кватернионов относительно сложения. Нетрудно проверить,
что
Отсюда вытекает, что восемь матриц ±Е, ±/, ±J±K с операци-
операцией умножения образуют конечную группу, называемую группой
кватернионов Qg. Единичным элементом в Qg является единич-
единичная матрица Е. Кроме того, Г1 = -/, J = -J, К = -К, (-Е)~1 =
= -Е. Группа Qg используется в квантовой механике для описа-
описания спиновых волновых функций (матрицы Паули; см. гл. 5).
Опишем более детально весьма важную конечную группу, свя-
связанную с большинством из рассмотренных конструкций.
Группа перестановок Sn. Обозначим символом Хп множество,
состоящее из п натуральных чисел {1, 2, ..., п}.
19
Перестановкой (подстановкой) степени п называют взаим-
взаимно-однозначное (или биективное) отображение Хп в себя. Мно-
Множество всех перестановок степени п обозначают Sn.
По аналогии с отображениями пространства введем опера-
операцию умножения (произведения) перестановок как их компози-
композицию (последовательное выполнение). Известно, что произведе-
произведение отображений ассоциативно. Кроме того, в Sn имеется еди-
единичный элемент — тождественная перестановка е, которая каж-
каждый элемент из Хп оставляет на месте, т. е. e(fc) = к для любого
fc = 1, ..., п. Более того, у каждого взаимно-однозначного отобра-
отображения о : Хп —> Хп имеется обратное отображение о~~1Хп —> ХП}
обладающее тем свойством, что со = а~го = е. Другими сло-
словами, если с(к) = т, то а(ш) = к. Таким образом, Sn является
группой.
Введем удобную запись для элементов а е Sn. Предположим
что числа из Хп расположены в некотором порядке {ii, ..., гп}.
Тогда перестановку а можно записать в виде двустрочной мат-
матрицы:
Ц
Если же х G Sn имеет аналогичную запись:
то в силу определения произведения перестановок получаем
Группа Sn при п ^ 3 не является абелевой. Действительно,
A 2 3\ (I 2 3\ (I 2 3\ ,
\2 1 зу VI 3 2) \2 3 \) *
А 2 3\/1 2 3\ /1 2 3\
* \1 3 2) \2 1 Зу \3 1 2) '
Инверсией в первой строке A.11): и, ..., гп называют такую
пару is, tf, что s < t и г5 > ц. Аналогично определяют инверсию
во второй строке матрицы a A.11). Знаком (-1)а перестановки a
называют число (-1)*, где fc — сумма числа инверсий в первой и
второй строках
П,...,^п; a(t'i), ... ,а(гп) A.14)
перестановки а из A.11). Перестановка четная, если ее знак 1,
и нечетная, если ее знак -1.
20
ПРЕДЛ0ЖЕНИЕ1.2. Определение знака переста-
перестановки корректно и не зависит от представления A.11). Знак
произведения перестановок равен произведению их знаков.
Доказательство. Докажем корректность опреде-
определения знака перестановки. Если в выражении A.11) пере-
переставить местами два элемента первой строки, то для сохра-
сохранения перестановки необходимо переставить местами анало-
аналогичные элементы второй строки. При этом по соответству-
соответствующей теореме из курса алгебры суммарная четность первой
и второй строк не изменится.
Для доказательства второго утверждения заметим, что
(-1)а = (-l)w, где / — сумма числа инверсий в перестановке
г'ь ..., гп; t — сумма числа инверсий в a(ii), ... , а(гп). Далее,
(-1)т из A.12) равно (-1)т+', где га — сумма числа инверсий
в перестановке л,..., jn\ I — сумма числа инверсий в пере-
перестановке п, ..., гп. Согласно A.13) (-l)m = (-l)m+t, где t —
сумма числа инверсий в a(ii), ... , о(гп).
Таким образом, (-1)а(-1)т = (-l)'+*(-l)m+' = H)m+t = (-IH1.
Для дальнейших рассмотрений необходимы дополнительные
сведения о строении элементов группы Sn.
Пусть ti, ..., tfc — разные числа из Хп. Циклом (п, • • • ,ik) € Sn
длины к называют такую перестановку а, что для m € Хп
(г'з+i, если m = i3is < к;
т,, если т€Хп\{гь ..., ik}.
Два цикла
(ti,...,**), (ib.-.,i*)€Sn A.15)
независимы, если все элементы ti, ..., г*., j\,... , j3 разные, т. е.
множества {ti, ..., г^}, {л, ... , is} не пересекаются.
Например, цикл B, 1, 4) € S5 может быть представлен в дву-
двустрочной форме:
/1 2 3 4 5\
\4 1 3 2 Ъ)'
Цикл (г) длиной 1 является тождественной перестановкой е.
Кроме того, если циклы A.15) независимы, то в группе Sn
(Н, • • •, ifcXib • • • , 3s) = (л! • • • , js)(h, • • •, ik)- A-16)
Отметим также, что запись (и, ..., г*.) для цикла неоднознач-
неоднозначна. Действительно, если в этой записи циклически переставить
21
элементы i\, ..., г*., то получится равный цикл (г2, ... , ik-i, Ч Л\)-
Например, C,1,2) = A,2,3) = B,3,1).
Упражнение 1.3. Доказать, что обратная перестановка для
цикла также является циклом:
ТЕОРЕМА 1.2. Любая перестановка разлагается в
произведение независимых циклов.
Доказательство. Пусть а € Sn. Можно считать,
что перестановка а не является тождественной. Возьмем
произвольное число fc, где 1 ^ к ^ п, и предположим, что
все числа fco = fc, fci = tffc, ^2 = <*2&, • • • , fy = <**& разные, но
c'+1fc = asfc, где 0^5^/.
ЛЕММА 1.1. 5 = 0.
Доказательство. Если s > 0, то a(fcs_i) = asfc =
= a/+1fc = a(fcj) и fcs_i T^fc/ в силу выбора I. Это противоречит
взаимно-однозначности отображения онаХ = {1,...,п}.
Таким образом, на множестве {fco, fci, ..., fc/} перестановка a
действует как цикл
\fcifc2 ... fc/fco
Выберем теперь произвольное число j (I ^ j ^ гг), причем
3 $ {^0? &ъ • • •» fc/}- Как и выше, строим множество {jo, Л, • • •» jt}?
на котором перестановка а действует как цикл
fjoh • • • 3t-\ Jt\
\3iJ2 • • • itio / '
ЛЕММА 1.2. Все элементы fco, fci, • • •, h\ Jo, h, • • •, it
различные.
Доказательство. Пусть jr - kq. Тогда j = jo = &*jr
совпадает с одним из чисел fco, fci, ..., fcj, что невозможно.
Продолжая этот процесс, получаем перестановку
т = . • • к^кЛ Лол • • • h-ijt\ ... (foh • • • /о^\
Vfcifc2 ... fc/fco J \jiJ2 • • • Jtjo J \f1f2 • • • /o/
Непосредственная проверка показывает, что т = a.
Покажем на примере, как применяется теорема 1.2. Пусть за-
задана перестановка
22
/1 2 3 4 5 6 7\
1 [г 5 1 6 4 2 7) *
т2
5 12 4 3 7 6
Рис. 1.4. Разложение перестановки на независимые циклы
Применяя алгоритм, изложенный при доказательстве теоре-
теоремы 1.2, получаем а = A,3)B,5,4,6). Отметим, что любые два раз-
разложения одной перестановки в произведение независимых цик-
циклов отличаются лишь порядком циклов, см. A.16).
Приведем еще один пример (рис. 1.4), иллюстрирующий раз-
разложение перестановки
/1 2 3 4 5 6 7\
\5 1 2 4 3 7 б)
на произведение независимых циклов mim2, где mi = A, 2, 3, 5)
и ш2 = F, 7).
Транспозицией называется цикл длины 2.
ТЕОРЕМА 1.3. Каждая перестановка является про-
произведением транспозиций.
Доказательство. Каждая перестановка разлага-
разлагается в произведение независимых циклов по теореме 1.2.
Кроме того, из двухстрочной формы цикла видно, что
(«Ь • • • ,Ч) = («Ь «2)(*2i *3) • • • (**-Ъ **)•
Отсюда вытекает утверждение теоремы.
Отметим, что разложение перестановки в произведение транс-
транспозиций неоднозначно; например:
Рис. 1.5. Тетраэдр и одна из его плоскостей симметрии (заштрихована)
23
СЛЕДСТВИЕ. Если перестановка разложена в
произведение 5 транспозиций, то ее знак равен (-1M. В част-
частности, знак цикла длины к равен (-1)*.
Доказательство. Для доказательства следствия
нужно воспользоваться теоремой 1.3.
Обозначим символом Ап множество всех четных перестано-
перестановок из Sn.
ТЕОРЕМА 1.4. |Sn|=n!, |An| = n!/2.
Доказательство. Рассмотрим отображение а ь-»
н-» аA,2). По предложению 1.2 и следствию к теореме 1.3
знак произведения перестановок сA,2) равен (-1)а(-1)A>2) =
= -(-1)а. Таким образом, если перестановка а четная, то
и(л,
SU(W,C)
S. z> (все
ОЦл,С)
С) => О(л, С)
=> SO(«, С)
Бесконечные группы:
о GL(n, R)
3O(n,R)
э SO(n, R)
Конечные группы:
остальные группы)
i Двойные группы
! Точечные
группы
0A,3)
S0+(l,3)
0C, R) 3S0C,R)
Точечные группы
Я1,3)
Пространственные
j J группы
Рис. 1.6. Важнейшие группы матриц (а) и группы симметрии про-
пространств МA,3) и #C) (б)
24
перестановка аA,2) нечетная, и наоборот. Следовательно,
отображение а н-» аA,2) переводит Ап в Sn \ Ап, и наоборот.
Поэтому |Ап| = |Sn \ Ап\ = |Sn| -1Ап|, и |An| = |Sn|/2 = n!/2.
В этой главе будет доказано, что любую группу G конечного
порядка можно представить в виде подмножества в некоторой
группе перестановок. Пока рассмотрим важный частный случай.
Группа Sym(T) симметрии тетраэдра Г. Пронумеруем верши-
вершины тетраэдра (рис. 1.5) числами 1,2,3,4. Каждое движение / из
Sym(r) переставляет вершины, т. е. / задает перестановку:
/1 2 3 4\ о
а/=Ы Л2) /C) /D)J€S4'
При этом Ofg = OfGg. Кроме того, каждая перестановка из S4
имеет вид Of. Действительно, любая перестановка по теореме 1.3
является произведением транспозиций. Поэтому достаточно рас-
рассмотреть случай, когда перестановка имеет, например, вид A,2).
Рассмотрим плоскость П, содержащую ребро {3, 4} и середину
С ребра {1, 2}. Тогда зеркальное отражение относительно плос-
плоскости П меняет местами вершины 1 и 2, а вершины 3 и 4 остав-
оставляет неподвижными.
Отметим также, что если перестановка oj тождественна, то
и преобразование / тождественно. Таким образом, группа SymT
отождествляется с группой перестановок S4. Группы симметрии
геометрических фигур в трехмерном пространстве называются
точечными группами.
Соотношения между перечисленными нами группами схема-
схематично показаны на рис. 1.6. Далее будем рассматривать строение
групп и составляющих их подмножеств.
1.2. ПОДГРУППЫ
Определение 1.2. Непустое подмножество Я в группе
G называют подгруппой, если вместе с любыми двумя его эле-
элементами а, Ь оно содержит их произведение аЬ и с каждым своим
элементом с содержит обратный ему с".
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Если Н — подгруппа в
группе G и 1 — единичный элемент G, то 1 ? Н.
Доказательство. Пусть с € Н. Тогда с € Я, и
поэтому 1 = с - с~1 € Я.
Таким образом, каждая подгруппа Я является группой отно-
относительно операции умножения, заданной во всей группе G.
25
Отметим ряд примеров подгрупп из предыдущего раздела.
В группе С* содержатся подгруппы R*, U, Un. Группа GL(n,C)
содержит в качестве подгрупп следующие группы:
SL(n,C), GL(n,R), U(n,C), SU(n,C),
U(n,F), O(n,F), O(n,R), SO(n,R).
Конечные подгруппы в O(n,R) называют точечными груп-
группами.
Группа GLBn, С) содержит в качестве подгрупп группы
Sp(n,C), Sp(n,R).
Группа ОB, R) содержит в качестве подгруппы группу Dn для
любого п. Группа GLB, С) содержит в качестве подгрупп группу
ненулевых кватернионов Н* и группу кватернионов Qg. Груп-
Группа Sn в силу предложения 1.2 содержит подгруппу четных под-
подстановок Ап. Группа Лоренца ОA,3) содержит подгруппы
SOA,3), О*.A,3), SO+A,3).
Напомним, что SOA,3) состоит из всех матриц из ОA,3),
определитель которых равен 1, О+A,3), состоит их всех мат-
матриц а = (uij) € ОA,3), у которых элемент ац ^ 1. Наконец,
SO+A,3) = SOA,3) П O+(l, 3).
Приведем еще одну серию примеров подгрупп в группе линей-
линейных преобразований пространства. В группе Aff(V) аффинных
преобразований n-мерного вещественного (комплексного) про-
пространства V имеются две подгруппы. Первая подгруппа состо-
состоит из всех преобразований сдвигов, т. е. преобразований вида
f(x) = х + v, где v — фиксированный вектор из V. Вторая под-
подгруппа GL(V) состоит из всех невырожденных линейных опера-
операторов в пространстве V. Связь между группой аффинных пре-
преобразований Aff(V) и группой GL(W) для (п + 1)-мерного про-
пространства W, содержащего V в качестве подпространства, будет
рассмотрена в предложении 1.10.
Отметим, что группа Aff(M(l,3)) аффинных преобразова-
преобразований пространства Минковского содержит в качестве подгруппы
группу Пуанкаре УA,3).
Аналогично, группа движений Iso(?") евклидова пространства
Е содержит следующие подгруппы:
подгруппу собственных движений Slso(iS);
подгруппу сдвигов;
подгруппу ортогональных (унитарных) операторов ОB?);
подгруппу собственных ортогональных операторов SO(f?).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Для непустого подмноже-
подмножества Я в группе G эквивалентны следующие условия:
26
1) Н является подгруппой в G;
2) если х, у € Я, то ху'1 ? Я.
Доказательство. Предположим, что выполнено
первое условие, и х, у € Я. В силу определения 1.2 получаем
гг,?/ € Я, откуда ху € Я, т. е. выполнено второе условие.
Обратно, пусть выполнено второе условие, иу€Я, то-
тогда из у, у € Я следует 1 = уу"*1 € Я. Далее 1,у € Я, от-
откуда у = ly € Я также по второму условию. Наконец,
если х,у ? #, то х,у~1 € Я по доказанному выше. Отсюда
х{у~1)'1 =ху е Н по предложению 1.1.
Упражнение 1.4. Доказать, что если {Я*} — семейство под-
подгрупп группы G, индексированных элементами г из множества /, то
пересечение всех подгрупп П^/Я* является подгруппой группы G.
Упражнение 1.5. Рассмотрим подмножество V4 в группе
S4, состоящее из перестановок {е, A, 2)C, 4), A, 3)B, 4), A, 4,)B, 3)}.
Здесь каждый неединичный элемент представлен в виде произведе-
произведения двух независимых циклов длины 2 (транспозиций). Показать, что
V4 является подгруппой в S4. (Эта подгруппа называется группой
Клейна.)
1.3. ПОРЯДКИ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ
Рассмотрим важную числовую характеристику — порядок
элемента произвольной групп. Пусть а — элемент группы G. Для
произвольного целого числа п положим *
1, еслип = 0;
а--а, если п > 0;
п
1 еслип<0.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Пусть а — элемент некото-
некоторой группы и п, m € Z. Тогда ап+т = апат, (ап)т = апт.
Упражнение 1.6. Пусть х, у — элементы произвольной группы
Сип — целое число. Доказать, что (уху~г)п = ухпу~1.
Пусть а — элемент некоторой группы. Порядком \а\ (или о(а))
элемента а называют такое наименьшее натуральное число п,
что ап = 1. Если такого числа п нет, то говорят, что порядок а
равен бесконечности.
Например, в группе кватернионов Qg порядки элементов
равны
о(Е) = 1, о(-Е) = 2, o(±I) = o(±J) = о(±К) = 4.
27
В группе Un порядок элемента ехрBА;яг/п) равен n/(n, fc), где
(п, к) — наибольший общий делитель чисел n,fc. Отметим так-
также, что в любой группе порядок единичного элемента равен 1,
а порядок неединичного элемента больше 1. Несложно показать,
что порядки элементов х и аГ1 совпадают. Кроме того, порядки
элементов х и уху также совпадают.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6. Пусть \а\ = n< oo, m € Z,
тогда следующие условия эквивалентны:
1) п\т (п делит га);
2)ат = 1.
Упражнение 1.7. Доказать следующие положения:
1) если с = ci • • • сш — разложение перестановки а е Sn в произведе-
произведение независимых циклов, то \с\ равен наибольшему общему делителю
длинаь...,ат;
2) два независимых цикла из Sn перестановочны;
3) каждый неединичный элемент группы Клейна V4 из упражне-
упражнения 1.5 имеет порядок 2.
1.4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
С каждым элементом а произвольной группы G можно свя-
связать некоторую специальную подгруппу, называемую цикличе-
циклической.
Пусть а € G. Множество (а) всех степеней элемента а назы-
называют циклической подгруппой в группе б?, порожденной элемен-
элементом а. Группу G называют циклической с порождающим {обра-
{образующим) элементом а, если (а) = G.
Упражнение 1.8. Доказать следующие положения:
1) группа Z — циклическая с порождающим элементом 1 (или -1);
2) группа Un комплексных корней n-й степени из 1 является цик-
циклической группой с порождающим элементом
2яг 2я . . 2тс
ехр — = cos — + г sin —.
п п п
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7. Пусть а — элемент некото-
некоторой группы, тогда \(а)\ = \а\.
Доказательство. Если аг = ат при некоторых
г < т, то ат~г = 1, где т-г > 0. Таким образом, элемент а
имеет конечный порядок \а\ = п < оо, причем n|(m-r). В этом
случае (а) = {1,а,а2, ..^а71}.
Если \а\ = п в условии предложения 1.7, то циклическую груп-
группу, порожденную элементом а, будем обозначать {а)п.
28
ТЕОРЕМА 1.5. Подгруппа циклической группы яв-
является циклической.
Доказательство. Пусть Я — подгруппа цикличе-
циклической группы G = (а). Если подгруппа Я состоит только из
единичного элемента 1, то Я = A), поэтому утверждение
очевидно.
Итак, можно считать, что подгруппа Я содержит нееди-
неединичный элемент ат, т ^ 0. Если т < 0, то подгруппа Я
содержит также элемент ef™. Выберем такое наименьшее
натуральное число d, что элемент b = ad принадлежит под-
подгруппе Я. Если ат ? Я, т е Z, то, разделив га с остатком
на d, получаем m = sd + q, 0 < q < d. При этом cfl = am~sd =
= am(ad)~s € Я по предложению 1.5. Если q > 0, это проти-
противоречит выбору d. Следовательно, g = 0, т = sd, и am = (ad)s.
Отсюда вытекает, что Я= (ad).
СЛЕДСТВИЕ. Пусть шь ..., тп е Z и d — наи-
наибольший общий делитель чисел mi,..., mn, тогда существу-
существуют такие целые числа и\, ..., ип е Z, что mitzi+- • •+mntxn = d.
Доказательство. Пусть Я = Ът\ + • • • +Zrnn. Тогда
Я — подгруппа в группе целых чисел Z относительно сло-
сложения. Следовательно, Н = (d) = Id. Остается заметить, что
d является наибольшим общим делителем чисел тщ,.. -, шп.
ТЕОРЕМА 1.6. Пусть б? = (а)п и Я — подгруппа в G.
Тогда существует такое число d, делящее п и притом един-
единственное, что Я = (ad)n/d-
Доказательство. По теореме 1.5 получаем, что
Я = (afc) для некоторого 0 ^ к < п. Обозначим d = НОД(п, к) —
наибольший общий делитель чисел п, к. Остается показать,
Циклическая группа прглмарна, если ее порядок является сте-
степенью простого числа.
Упражнение 1.9. Описать все подгруппы в @I2.
1.5. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ И ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Характеристики группы не исчерпываются ее порадком и по-
порядками ее элементов. Между группой и подгруппой имеются
строгие количественные соотношения. Покажем связь между по-
порядком группы и порядком ее подгруппы.
Пусть Я — подгруппа в группе G, и д € G. Левым смежным
классом дН группы G по подгруппе Я называют подмножество
{gh | h € Я} в G, состоящее из всех произведений gh элемента д на
29
а б
Рис. 1.7. Подмножества в группе:
а — подгруппы #i, #2 в группе G\ б — разбиения G на четыре левых
смежных класса по подгруппе Н (точкой • изображен единичный элемент
группы)
все элементы h из подгруппы Н. Правым смежным классом Eg
группы G по подгруппе Н называют подмножество {hg \ h € Н}
в G, состоящее из всех произведений hg всех элементов h под-
подгруппы Н на элемент д.
Приведем схему (рис. 1.7) расположения подгрупп в группе
G и схему разбиения группы на левые смежные классы по под-
подгруппе.
Рассмотрим ряд примеров разбиения групп на левые смеж-
смежные классы по подгруппе.
1. Левые смежные классы GL(n,C) no SL(n,C) — это множе-
множества матриц, определители которых имеют одно и то же зна-
значение.
2. Левые смежные классы Z по пЪ — это множества целых
чисел с одинаковым остатком по модулю п (т. е. остатком от де-
деления числа на п).
3. Левые смежные классы С*
по U — это множества комплекс-
комплексных чисел, имеющих одинаковый
модуль, т. е. множества концен-
концентрических окружностей а ком-
комплексной плоскости (рис. 1.8).
4. Все повороты (а)п в группе
диэдра Dn образуют подгруппу, а
все зеркальные отражения отно-
относительно разных прямых, прохо-
проходящих через центр правильного
n-угольника, образуют смежный
Смежные классы С класс Ъ(а)п в группе Dn по под-
по U группе поворотов (а)п.
Рис.
30
5. Векторное пространство V
можно рассматривать как абе-
леву группу относительно сло-
сложения; если U — подпростран-
подпространство в пространстве V и х е V,
то смежный класс х + U — плос-
плоскость, проходящая через конец
вектора х и имеющая U в ка-
качестве направляющего подпро-
подпространства (рис. 1.9). Рис. 1.9. Смежные классы (пря-
6. Группа Лоренца ОA,3) со- мые) двумерного пространства V
держит четыре смежных класса: по подпространству (прямой) U
S0+(l,3), S0+(l,3)s,
по подгруппе SO+A,3), где
/10 0 0\
0-100
0 0-10
0 0 0 -\)
1,3)
s =
t =
(~\ 0 0 0\
0 10 0
0 0 10
\o о о \)
A.17)
При этом класс S0+(l,3)s состоит из всех матриц а = (а^) €
€ ОA,3), у которых ац ^ 1 и deta = -l. Класс SO+A,3)? состоит
из всех матриц а = (a,ij) G ОA,3), у которых ац <-1и deta = -1.
Класс -SO+A,3) состоит из всех матриц а = (a^) G ОA,3), у ко-
которых ац < -1 и deta = 1, т. е. из всех матриц а, для которых
-aeSO+(l,3).
7. Подгруппа SOA,3) в группе Лоренца ОA,3) содержит два
смежных класса SO+A,3) и -SO+A,3) по подгруппе SO+A,3).
8. Подгруппа О+A,3) в группе Лоренца ОA,3) содержит два
смежных класса SO+A,3), SO+A,3M по подгруппе SO+A,3).
В указанных примерах левые и правые смежные классы
по выбранным подгруппам совпадают. Однако можно привести
примеры групп и подгрупп в них, где это не так.
Упражнение 1.10. Пусть Я — подгруппа в группе G и х, у е G.
Доказать, что эквивалентны следующие условия:
1) хН = УН\
2) х'гу е Я.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Пусть Я — подгруппа в
группе G и х € G. Тогда порядок \Н\ подгруппы Я совпадает
с порядком |ггЯ| левого смежного класса хН.
Доказательство. Предположим, что подгруппа Я
состоит из элементов {hi, ..., /im}. Тогда хН = {z/ii, ..., xhm}
31
Если положить xhi = z/ij, то, домножая слева на х, полу-
получаем h{ = hj, что неверно. Поэтому \хН\ = га = \Н\.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.9. Пусть Я — подгруппа в
группе G и х, у € G, причем у € хЯ. Тогда хЯ = уЯ.
Доказательство. Ясно, что уН С хЯ. По условию
у = xh для некоторого Л € Я. Следовательно, для любого
и € Я получаем xu = y{h~lu), где /Г1^ € Я. Отсюда хЯ С уЯ,
т. е. хЯ = уН.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть Я — подгруппа в группе G.
Тогда два левых (правых) смежных класса G по Я либо
совпадают, либо не пересекаются.
Доказательство. Воспользоваться предложени-
предложением 1.9.
ТЕОРЕМА 1.7 (теорема Лагранжа). Пусть Я — под-
подгруппа в конечной группе G. Тогда \G\ = |#|j, где j — число
левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе Я.
Доказательство. Разобьем G на левые смежные
классы по Я. Тогда каждый элемент х е G лежит в некото-
некотором классе, а именно в хЯ. Остается воспользоваться след-
следствием к предложению 1.9 и предложением 1.8
СЛЕДСТВИЕ 1. Порядок элемента конечной груп-
группы делит порядок группы.
СЛЕДСТВИЕ 2. Группа простого порядка (т.е.
примарная) является циклической.
1.6. ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ
Большое значение в теории групп имеют операции отображе-
отображения, которые ставят в соответствие элементам одного множества
X элементы другого множества Y по некоторому заданному пра-
правилу / : X —> Y. Алгебраические соотношения между элементами
Х{ G X при отображении могут либо сохраняться, либо изменять-
изменяться. В этом разделе рассмотрим отображения между группами,
согласованные с операциями умножения в этих группах.
Напомним, что отображение множеств / : X —> Y инъективно,
если из f(x) = f(x') для некоторых х,х' € X следует, что х - х1.
Например, отображение / : Z —> Z, при котором f(x) = х + 1,
инъективно.
Отображение множеств / : X —> Y сюръективно, если для лю-
любого у GY найдется такой элемент х € X, что f(x) = у. Например,
отображение / множества всех вещественных чисел R в множе-
32
ство всех неотрицательных вещественных чисел, при котором
/(х) = х2, является сюръективным.
Наконец, инъективное и сюръективное отображение называ-
называется биективным.
Отображение, групп / : G —> Я называется гомоморфизмом,
если f(xy) = f(x)f(y) для всех х, у € G. Инъективный гомо-
гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомомор-
гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный гомоморфизм на-
называется изоморфизмом. Две группы G, Я изоморфны (обозначе-
(обозначение: G ~ Я), если существует изоморфизм G --> Я. Изоморфизм
группы на себя называется автоморфизмом. Примеры гомомор-
гомоморфизмов:
1) отображение А «-+ det А из GL(n,C) в С*;
2) отображение а •-+ (-1)а из Sn в группу, состоящую из двух
чисел {±1} относительно умножения;
3) отображение z •-+ — из группы С* в группу U.
н
Упражнение 1.11. Доказать, что если д — фиксированный
элемент группы G, то отображение х »-> дхд~1 является автоморфизмом
группы G.
Упражнение 1.12. Доказать ряд утверждений.
1. Пусть V — векторное пространство. Поставим в соответствие
каждому вектору v eV сдвиг fv(x) =x + v. Доказать, что отображение
v *-> fv задает изоморфизм аддитивной абелевой группы векторного
пространства V и подгруппы всех сдвигов из Aff V.
2. Пусть V — вещественное (комплексное) векторное простран-
пространство размерности п. Выберем в V некоторый базис. Тогда каж-
каждый линейный оператор Л задается в этом базисе своей матри-
матрицей А. Доказать, что сопоставление каждому обратимому линейно-
линейному оператору Л его матрицы А в выделенном базисе задает изомор-
изоморфизм групп GL(V) —у GL(n,R) в вещественном случае и изоморфизм
GL(V) —у GL(n,C) в комплексном случае.
3. Пусть в евклидовом пространстве Е размерности п выбран орто-
нормированным базис. Каждый линейный оператор А задается в этом
базисе ортогональной матрицей А. Доказать, что сопоставление А*-* А
задает изоморфизм групп O(V) —> O(n, R). Аналогично получается изо-
изоморфизм групп SO(K) -> SO(n,R).
4. Пусть в эрмитовом пространстве (В размерности п выбран орто-
нормированный базис. Каждый линейный оператор А задается в этом
базисе унитарной матрицей А. Доказать, что сопоставление А у-* А за-
задает изоморфизм групп U(V) —> U(n,C). Это же сопоставление задает
изоморфизм групп SU(V) -* SU(n,C).
5. Пусть в симплектическом пространстве V размерности 2п вы-
выбран базис в соответствии с теоремой 7.8. Доказать, что сопоставле-
сопоставление каждому симплектическому оператору Л е 8р(К) его матрицы А в
этом базисе задает изоморфизм Sp(V) ^ Sp(n,C) в комплексном случае
и изоморфизм Sp(V) с^ Sp(n, Ш) в вещественном случае.
33
6. Пусть в вещественном (комплексном) пространстве V размерно-
размерности п с билинейной функций / выбран базис. Каждый линейный опе-
оператор Л задается в этом базисе матрицей А. Предположим, что F —
матрица функции / в этом базисе. Доказать, что сопоставление Л \-* А
задает изоморфизм групп О(/) —> O(n,F).
7. Пусть в комплексном пространстве V размерности п с полуто-
ралинейной функций / выбран базис. Каждый линейный оператор Л
задается в этом базисе матрицей А. Предположим, что F — матрица
функции / в этом базисе. Доказать, что сопоставление Л *-* А задает
изоморфизм групп U(/) —> U(n,F).
8. Пусть V — комплексное пространство с базисом е = (ei, ..., еп).
Тогда V можно рассматривать и как вещественное векторное про-
пространство с базисом е; = (ei, ..., еп, ге\, ..., геп). Каждый линейный
оператор Л в комплексном пространстве V является линейным опе-
оператором в V как вещественном пространстве удвоенной размерности.
Пусть Ас — матрица оператора Л в базисе е как оператора комплекс-
комплексного пространства V, а А^ — матрица Л в базисе е' как оператора в
вещественном пространстве. Доказать, что
а) если Ас = A1'+iAn\ где А', А" — вещественные квадратные матри-
матрицы размера п, то Ал — вещественная квадратная матрица размера 2п:
(А' -Л"\
\А" А1 ) '
б) если Ас = BcDc, то AR
в) если Ас € GL(ra,C), то А^ е GLBra,R), причем сопоставление
Ас -* Ar является гомоморфизмом групп GL(n,C) —> GL(n,R).
Автоморфизм из упражнения 1.11 называют внутренним, а
также сопряжением с помощью элемента д.
Результаты, полученные в упражнении 1.12, устанавливают
взаимно-однозначное соответствие между подгруппами группы
преобразований линейного пространства и бесконечными груп-
группами матриц, перечисленными в подразд. 1.1 . Докажем важную
теорему об аналогичных свойствах конечных групп.
ТЕОРЕМА 1.8 (теорема Кэли). Пусть задана груп-
группа G конечного порядка п. Тогда G изоморфна подгруппе
группы перестановок Sn.
Доказательство. Предположим, что группа G со-
содержит элементы {#i, ... , дп}. Возьмем произвольный эле-
элемент д из группы G и рассмотрим элементы {дд\, ... , ддп}.
Если ggi = ggj, то, домножая это равенство слева на д~г,
получаем, что gi = д'1дд% = g~lggj = gj- Следовательно, мно-
множество {ддъ ••• > 99п} состоит из всех элементов группы G.
Другими словами, если дд\ = #а(г), то отображение г ь-> а(г)
является перестановкой из Sn. Заметим далее, что, если
g,h е G и элементу д сопоставлена перестановка а, а эле-
34
менту h — перестановка т, то элементу gh сопоставляется
перестановка ох € Sn. Действительно, для любого элемента
gi e G получаем (gh)gi = g{hgi) = ддхщ = ^о(т(*))- Эт0 означает,
что построенное отображение из G в Sn является гомомор-
гомоморфизмом.
В частности, образ отображения, т. е. множество всех по-
получающихся перестановок а, является подгруппой.
Покажем, что наше отображение инъективно. Пусть
g,heG и обоим этим элементам соответствует одна и та же
перестановка. Это означает, что дд{ = /вд для любого эле-
элемента gi € G. Умножая последнее равенство на gjl справа,
получаем, что д = ft. Таким образом, построенный гомомор-
гомоморфизм является на самом деле изоморфизмом группы G и ее
образа в Sn.
Отметим еще один интересный пример мономорфизма групп.
Пусть V — линейное n-мерное пространство и W = V ф L, где
L — одномерное пространство с базисом, состоящим из одного
элемента е. Предположим, что Ф Е AS(V) — аффинное преоб-
преобразование в V (см. подразд. 7.9), т.е. Ф(х) = ф(х) + Ъ для лю-
любого вектора х ? V, где ф — линейный обратимый оператор в
V и Ь € V. Зададим линейный оператор Фх в W по правилу:
Ф'(я + Хе) = ф(дг) + \{Ь + e)eW.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.10. Сопоставление Ф н-> Ф' яв-
является мономорфизмом группы Aff(V) в группу GL(W).
Доказательство. Покажем сначала, что Ф' являет-
является линейным оператором. Пусть х, у € V и ^ь А^ — скаляры.
Тогда для любых скаляров а, р имеем
Ф' [а(х + Xie) + Р(у + ^2е)] = Фх [(ах +
= ф(ах + ру) + (сЛ.1 +
Покажем теперь, что (ФФ/ = Ф'ФХ и (Ф")' = (Ф7) Для
любых Ф,Фе AfF(V'). Действительно, если Ф, ф, b определены
так же, как и выше., и Ф(х) = \|/(х)+с, то по A.7) и A.8) имеем
(ФФ)(х) =
Поэтому
Ф'ф'(х + Хе) = Ф; [\|/(х) + Це + с)] = ф [\|/(х) + Хс] + Х(е + Ь) =
= (Ф?)(я?) + Л(ф(с) + 6 + е) = (ФФ)х(х + Хе).
Заметим, что если ФФ — единичный элемент группы
AfF(Vr), то ф\|/ — тождественный линейный оператор и ф(с) +
35
+ 6 = 0. Поэтому (ФФ)' = е — тождественный линейный опе-
оператор. Следовательно, Ф' = (Ф')^1 = (Ф)'-
Остается заметить, что если Ф' = Ф', то ф(х) = Ф'(х) =
= ф'(х) = \|/(х) иЬ=(е + Ь)-е = Ф'(е)-е = Ф'(е)-е = (е + с)-е = с.
Отсюда вытекает инъективность соответствия Ф»-» Ф'.
В частном случае (рис. 1.10) мономорфизм Ф ь-» Ф' переводит
точки на плоскости V в точки трехмерного евклидова простран-
пространства W.
Упражнение 1.13. Предположим, что в пространстве V задано
аффинное преобразование Ф(х) = ф(х) + Ь, где ф — обратимый линейный
оператор и b е V. Пусть (ei, ..., еп) — базис пространства V и А —
матрица оператора ф:
(аи Q>in\
аП1 а>пп/
b = b\e\ + - • '+bnen- Доказать, что в базисе (ei, ..., еп, е) пространства W
матрица Ф; имеет вид
fan
a\n
аПп bn
0 1
A.18)
Введем две важные конструкции теории групп: нормальную
подгруппу и фактор-группу.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.11. Пусть задан гомоморфизм
групп / : G -> Я; 1,1' — соответствующие единичные эле-
элементы в этих группах. Тогда /A) = 1' и /(х) = f(x)~l для
всех х € G.
Доказательство. Имеем /A) = /A • 1) = /A)/A).
Умножая на /(I)" в группе Я, получаем первое утвержде-
утверждение. Далее Iх = /A) = f(x • х) = f(x)f(x~l). Умножая на
/(х) слева, получаем второе утверждение.
Ф'х
!
W=V<BL
фх Ъ
Рис. 1.10. Мономорфизм групп Aff(V) -» GL(V®L)
36
Упражнение 1.14. Пусть задан гомоморфизм групп / : G -* Я.
Доказать следующие положения:
1) если G\ — подгруппа в G, то образ f(G\) является подгруппой
в Я;
2) если д : Н —> F — гомоморфизм групп, то gf : G —> F также
является гомоморфизмом групп.
Подгруппу Я в группе G называют нормальной, если хЯх" С
С Я для любого х Е G. Определению нормальной подгруппы,
очевидно, удовлетворяет группа G и ее подмножество, состоя-
состоящее из одного единичного элемента. Нормальную подгруппу Я
в группе G обозначают Я <G . Далее мы увидим, что нормаль-
нормальная подгруппа сохраняет некоторые свойства содержащегося в
ней единичного элемента е € G.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.12. Пусть Я - подгруппа в
группе G. Тогда эквивалентны следующие условия:
1) подгруппа Я нормальна в G; '
2) хНх = Я для любого х ? G;
3) каждый левый смежный класс группы G по подгруппе
Я является правым смежным классом;
4) каждый правый смежный класс группы G по подгруп-
подгруппе Я является левым смежным классом.
Доказательство. Пусть выполнено первое условие
и х е G. Тогда
хЯ(х-1)~1=х~1ЯхСЯ,
откуда Я С хНх~х и поэтому хЯх = Я в силу первого усло-
условия.
Пусть теперь выполнено второе условие. Тогда хН =
= хНх~1х = Ях, т. е. выполнено третье условиие.
Предположим теперь, что выполнено третье условие, и
рассмотрим левый смежный класс хН. По условию он явля-
является правым смежным классом, содержащим х, т. е. хН = Нх
по предложению 1.9. Отсюда вытекает второе условие и,
следовательно, первое.
Итак, первые три условия эквивалентны. Аналогично
можно показать, что четвертое условие эквивалентно вто-
второму.
Пусть f :G -> Н — гомоморфизм групп. Ядром гомоморфизма
ker/ называется множество всех таких х € G, что f(x) = 1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.13. Ядрокег/«<3.
Доказательство. Предположим, что х,у е ker/ и
g € G. Тогда f{xy) = f(x)f{y) = 1, f(x~l) = /(х) = 1 в силу
предложения 1.11. Следовательно, ker/ является подгруп-
37
пой. Кроме того, Ддхд'1) =, /ШШЬГ1 = /Ш(яГ1 = 1,
так как f(x) = 1. Отсюда следует утверждение.
Доказанное свойство используется в теории представлений
групп (гл. 3). Во многих из рассмотренных групп имеются со-
содержательные нормальные подгруппы (отличные от исходной
группы и от ее тривиальной подгруппы из одного единичного
элемента).
Упражнение 1.15. Доказать следующие положения:
1) An<Sn;
2) SL(n,C)<iGL(n,C);
3) V4 «S4 и S3 f6 S4; здесь V4 — группа Клейна из упражнения 1.5;
4) SO+A,3) < ОA,3), SOA,3) <ОA,3), 0.A,3) < ОA,3).
Упражнение 1.16. Пусть / : G —> Я — гомоморфизм групп.
Доказать, что / является мономорфизмом в том и только в том случае,
когда ker / = 1 € Я.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.14. Пусть /: G -> Я - гомо-
гомоморфизм групп и х € G. Тогда /^(/(х)) = хкег/.
Доказательство. Заметим, что в силу упражне-
упражнения 1.10:
1
Отсюда следует предлагаемое утверждение.
Следующая теорема была фактически доказана при рассмот-
рассмотрении примера группы симметрии Sym(T) тетраэдра Г.
ТЕОРЕМА 1.9. Пусть Sym(T) — группа симметрии
тетраэдра Г. Тогда Sym(T) ~ S4.
Значение нормальной подгруппы следует из того обстоятель-
обстоятельства, что в группе G можно выделить подгруппу ее подмножеств,
где нормальная подгруппа играет роль единичного элемента.
Данный шаг упрощает строение группы G, сохраняя ее алгеб-
алгебраические свойства.
Пусть N<G. Рассмотрим множество G/N всех смежных клас-
классов группы G по подгруппе N. На G/N введем операцию умно-
умножения по правилу (xN)(yN) =xyN.
ТЕОРЕМА 1.10. G/N является группой относитель-
относительно введенного умножения.
Доказательство. Проверим сначала корректность
умножения. Пусть xN = zN, yN = tN. Тогда z = xh\, t = y/12,
где /ii,/i2 € N. Отсюда zt = xh\yh,2 = xy{y~1hiy)h,2, причем
y~1hiyfi2 ? AT, так как N — нормальная подгруппа в G. Таким
образом, zt e xyN, откуда ztN = xyN по предложению 1.9.
38
Проверим выполнение аксиом группы. Ясно, что умно-
умножение ассоциативно, единицей является смежный класс
1АГ = АГ, и {xN^^x^N.
Построенную группу G/N называют фактор-группой.
Рассмотрим отображение к : G —> G/N, при котором л(х) = xN.
Непосредственная проверка показывает, что п является эпимор-
эпиморфизмом и ker я = АГ, т. е. образом нормальной подгруппы в груп-
группе G/N служит единичный элемент. Гомоморфизм п называют
естественным гомоморфизмом (рис. 1.11).
Следующая теорема утверждает, что отображение одной
группы на другую группу (гомоморфизм) снова является груп-
группой. Она используется в теории представлений.
ТЕОРЕМА 1.11 (теорема о гомоморфизмах). Пусть
задан гомоморфизм групп / : G -> Я. Тогда G/ker/ ~ f{G).
Таким образом, группа отображений элементов д е G в
элементы h e H изоморфна фактор-группе в G по ядру го-
гомоморфизма G —> Я.
Доказательство. Пусть х е G. Из предложе-
предложения 1.14 вытекает, что f~l(f(x)) = xker/. Зададим отобра-
отображение ? : f(G) -> G/ker/ по правилу t{f{x)) = /"х(/(^)) =
= xker/. Проверим, что введенное отображение С, является
гомоморфизмом групп. Действительно, пусть х,у € G. Тогда
ху е Гг(/{ху)), т.е.
Щ(ху)) =*2/(ker /) = (xker f)(y ker /) = Щ(х))Ш(у))-
Следовательно, отображение С, является гомоморфизмом.
Убедимся, что гомоморфизм ? является мономорфизмом.
Пусть g,h e f(G) и С,(д) = C,(h). Из определения ? следу-
следует, что д = /(х), /i = f(y) для некоторых х,у € G. Отсюда
х ker / = у ker /, и поэтому д = /(х) = /(у) = ft.
Рис. 1.11. Схема образования фактор-группы F = G/N и построения
естественного гомоморфизма G —> U4
39
Убедимся, что отображение ? сюръективно. Если х € G,
то хкег/ = ?(/(х)), т.е. смежный класс по модулю ядра /,
содержащий х, совпадает с ?(/(х)). Итак, доказано, что ?
является изоморфизмом.
Упражнение 1.17. Доказать следующие положения:
1) GL(n,C)/SL(n,C)~C*;
2) Sn/An ^ {±1};
3)Z/nZ~Un;
O+
O
5)©A,3)/SO+A,3)~V4.
Для любой группы G обозначим Aut G — множество всех ав-
автоморфизмов группы G, a Inaut G — множество всех внутренних
автоморфизмов в G.
Упражнение 1.18. Доказать, что kxxtG является группой, где
в качестве умножения взята композиция (произведение) автоморфиз-
автоморфизмов, в качестве единичного элемента — тождественный автоморфизм,
в качестве обратного автоморфизма —- обратное отображение. Дока-
Доказать, что все внутренние автоморфизмы являются нормальной под-
подгруппой в Aut G.
ТЕОРЕМА 1.12. Имеется изоморфизм S4/V4 ^ S3.
Доказательство. Рассмотрим многочлены
F1 = ХгХ2 + ХгХ4, F2 = ХгХг
F3 = X1X4 + X2X3 A.19)
от четырех переменных Ai, X2, -Хз, X*. Легко убедиться,
что любая перестановка этих переменных сохраняет или пе-
переставляет многочлены F\, F2, F3. Таким образом, с помо-
помощью A.19) получаем гомоморфизм группы S4 в группу S3.
Ядром этого гомоморфизма является подгруппа Клейна V4,
так как перестановки A2)C4), A3)B4) и A4)B3) сохраня-
сохраняют многочлены A.19). Заметим, что каждая перестановка
(транспозиция) любых двух многочленов из Fi, F2, F3 ле-
лежит в образе гомоморфизма Im S4 (подразд. 7.6). По теоре-
теореме 1.3 каждая перестановка является произведением транс-
транспозиций. Следовательно, Im S4 совпадает с S3. Остается
воспользоваться теоремой 1.11 о гомоморфизмах.
Отметим важный пример нормальной подгруппы в любой
группе G. Назовем центром группы G множество Z(G) всех та-
таких элементов z e G, что gz = zg для всех д € G.
Упражнение 1.19. Доказать, что центр Z{G) группы G являет-
является нормальной подгруппой в G. Группа абелева тогда и только тогда,
когда она совпадает со своим центром.
40
Можно показать, что выполняются следующие положения:
1) Z(Sn) = 1 при п > 3;
)
)
3) Z(D2n) = (ап) и Z(D2n+i) = 1;
4) Z(GL(n,C)) = {ХЕ\Хе С*}; Z(GL(n,R)) = {ХЯ | X € R*}.
1.7. КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Набор подгрупп группы G не может играть роль «базиса» для
ее подмножеств, поскольку все подгруппы пересекаются хотя бы
по одному общему (единичному) элементу. Рассмотрим разбие-
разбиение группы на непересекающиеся подмножества.
Два элемента х, у группы G сопряжены, если существует та-
такой элемент д ? G, что х-дуд. Классом сопряженных элемен-
элементов в G называют множество всех взаимно сопряженных эле-
элементов из G. Класс сопряженных элементов, содержащий неко-
некоторый элемент х е G, обозначают К(х).
Упражнение 1.20. Доказать, что в любой группе G элемент z
образует одноэлементный класс K(z) тогда и только тогда, когда эле-
элемент z лежит в центре Z{G).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.15. Два класса сопряженных
элементов либо совпадают, либо не пересекаются.
Доказательство. Пусть X,Y — два класса сопря-
сопряженных элементов в G. Предположим, что х € X П Y. Если
z € X, то z = дхд для некоторого элемента д е G. Если
у ? У, то у = hxhr1 для некоторого h ? G. Отсюда х = hrlyh и
Таким образом, X CY. Аналогично Y С X, и поэтому X = Y.
СЛЕДСТВИЕ. Разные классы сопряженных эле-
элементов не пересекаются.
Рассмотрим классы сопряженных элементов в двух важней-
важнейших группах: GL(n,C) и Sn. Из курса линейной алгебры извест-
известно, что две матрицы сопряжены тогда и только тогда, когда они
имеют одинаковую жорданову форму (см. гл. 7). Таким образом,
вопрос о сопряженности двух матриц сводится к вычислению и
сравнению их жордановых форм.
Перейдем к рассмотрению вопроса о сопряженности в Sn. По
теореме 1.2 каждая перестановка из Sn разлагается в произве-
произведение независимых циклов.
41
ТЕОРЕМА 1.13. Две перестановки из Sn сопряжены
в том и только в том случае, когда они имеют одинаковое
цикловое строение.
Доказательство. Пусть задан цикл (гь • • •, ч) е Sn
и произвольная перестановка п е Sn. Тогда
тс(гь ...^кКг = (п(ч), ...,n(ik)).
Поэтому если разложение а ? Sn в произведение независи-
независимых циклов имеет вид
с= (fc0, fci,..., ki)(j0Ji,..., jt)
то разложение на независимые циклы для сопряженной пе-
перестановки кстГ1 можно представить следующим образом:
71О7Г1 = 7l(fc0, *Ь . . . , ki)% • n(jo,ji,.. .,jt)n'1
Обратно, пусть перестановки а,х имеют одинаковое цик-
цикловое строение:
а = (fc0, fci, ... , fc/)(jo, ji, • • • , jt) • • • ,
х = (*&,*4 *j)(i&,ii iO----
Как отмечено выше, лая" = т, где
_ _ [ко кг ... kt jo л ... jt .. Л
В частности, в группе S3 имеются три класса сопряженных
элементов. Это класс {1}, состоящий из единичного элемента;
класс {A, 2), B, 3), A, 3)}, состоящий из всех циклов длины 2;
класс {A, 2, 3), A, 3, 2)}, состоящий из всех циклов длины 3.
В группе S4 имеются пять классов: {1}; {A,2), A,3), A,4),
B,3), B,4), C,4)}; {A,2,3), A,3,2), A,2,4), A,4,2), A,3,4), A,4,3),
B,3,4),B,4,3)}; {A,2)C,4), A,3)B,4), A,4)B,3)}; {A,2,3,4),
A,2,4,3), A,3,2,4), A,3,4,3), A,4,2,3), A,4,3,2)}.
Из теоремы 1.13 следует существование взаимно-однозначного
соответствия между классами сопряженных элементов в Sn и на-
наборами длин {fci, &2, • • • ? кт} ее независимых циклов. Поскольку
независимые циклы коммутируют, можно считать, что их дли-
длины упорядочены, т. е. к\ ^ k<i ^ ..., кт ^ 1. При этом, разуме-
разумеется, fci + &2 + * * * + кт = п и поэтому, в частности, т < п. Набор
невозрастающих натуральных чисел {fci, &2, ... , кт} с условием
кг + fc2 + • • • + кт = п называется разбиением числа п. Среди чисел
42
jfei, fc2, ... , km могут встречаться одинаковые. Поэтому разбиение
{fci, &2, • • • » кт} часто записывают символом [t^1 • • • ?^], который
расшифровывается как
{*!, ... , t\: ti,... , ti, ... , fo, ... , tfa },
ti>t2>-->td>0. A.20)
При этом a\t\ + • • • + a^d = n.
Найдем число элементов в классе, соответствующем разбие-
разбиению [t\l • • • t*fY Для этого сначала вспомним, что число разбие-
разбиений множества {1, ... , п} на подмножества порядков, указанных
в A.20),
п \2!
Как отмечалось, два цикла (гь ..., г'д.) и (г'1} ..., г^.) совпадают в
том и только том случае, если один получается из другого цик-
циклической перестановкой входящих в него чисел. Таких цикличе-
циклических перестановок в цикле из к элементов имеется в точности fc.
Таким образом, из множества {и, ..., гд.} получается
разных циклов длины к. Кроме того, необходимо учесть, что
любые перестановки циклов одной длины приводят к элементу
из того же класса. Число же циклов длины tj по определению
A.20) равно dj. Поэтому имеется су! перестановок циклов длины
tj. Отсюда вытекает, что количество элементов в классе, соот-
соответствующем разбиению [t^1 ••• t^d], равно отношению
= Ш ( ,
Рассмотрим вопрос о классах сопряженных элементов в груп-
группах диэдра Dn, n ^ 3, и в группе кватернионов Qs-
Как отмечалось, группа диэдра Dn, п ^ 3 состоит из подгруп-
подгруппы поворотов (а)п и смежного класса Ь{а)п, состоящего из всех
зеркальных отражений относительно некоторых прямых, прохо-
проходящих через центр. При этом
ак(Ъаг)аГк = Ъа1, {Ъаг)(Ьак)(Ьагу1 = Ьак.
Таким образом, при четном п = 2ш смежными классами в Dn
будут
43
{6, 6а2, ..., 6а2т~2}, {6а, 6а3, ..., ба2™}.
Заметим, что элементы класса {6, 6а2, ..,, 6а2ш} являются зер-
зеркальными отражениями относительно прямых, которые соеди-
соединяют противоположные вершины n-угольника, а все элементы
класса {6а, 6а3, ..., ba2m} — зеркальными отражениями относи-
относительно прямых, соединяющих середины противоположных сто-
сторон п-угольника.
При нечетном п = 2га +1 смежными классами в Dn являются
{1}, {а, а""}, ..., {а"\а™+1}, {6,6а, 6а2, ..., 6а2™}.
Аналогично, непосредственные вычисления показывают, что
классы сопряженных элементов в группе Q$:
{?}, {-Я}, {/,-/}, {J,J}, {К,-К}.
Приведем доказательства ряда теорем о подобии в группах
U(n,C), O(n,R).
ТЕОРЕМА 1.14. Пусть U € U(n, С). Тогда матрица U
сопряжена в U(n,C) диагональной матрице с диагональны-
диагональными элементами A,i, • • •> ^п> гДе IM = 1 Для любого j = 1, ..., п.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся следующей
леммой.
ЛЕММА 1.3. Пусть U — унитарный (ортогональный)
линейный оператор в эрмитовом (соответственно, евклидо-
евклидовом) пространстве L, и W — инвариантное подпространство.
Тогда ортогональное дополнение этого подпространства W-1
также инвариантно относительно U.
Доказательство. Если U — унитарный линейный
оператор в эрмитовом пространстве L, достаточно показать,
что U имеет в L собственный ортонормированный базис.
Оператор U имеет в L собственный вектор е\ с собственным
значением A,i, причем можно считать, что ||ei|| = 1. Тогда по
лемме 1.3 (ei)^ инвариантно относительно U. По индукции
в (eiI- существуют и остальные векторы в2, ..., еп искомого
базиса.
ТЕОРЕМА 1.15. Пусть U € O(n, R). Тогда матрица
U сопряжена в O(n, R) блочно-диагональной матрице с бло-
блоками размера не больше 2. Блоки размера 1 имеют вид ±1.
Блоки размера 2 имеют вид
44
fcoscp -sin<p\ A22)
ysincp cos фу ч '
Для доказательства теоремы 1.15 используем следующие лем-
леммы.
ЛЕММА 1.4. Пусть U — линейный оператор в веще-
вещественном пространстве L. Тогда он имеет одномерное или
двумерное инвариантное подпространство.
ЛЕММА 1.5. Пусть Q — ортогональная B х 2)-
матрица, не имеющая вещественного собственного значе-
значения. Тогда Q имеет вид A.22).
Доказательство. Пусть U — ортогональный линей-
линейный оператор в евклидовом пространстве L, имеющий соб-
собственный вектор е\ с вещественным собственным значением
A,i, причем |Xi | = 1. Дальше следует повторить доказатель-
доказательство предыдущей теоремы.
Пусть U имеет двумерное инвариантное подпростран-
подпространство W, в котором нет собственного вектора. Тогда в любом
ортонормированном базисе W матрица ограничения U\w
оператора U на W имеет вид A.22)*. При этом ортогональ-
ортогональное дополнение W1- инвариантно относительно U. Сообра-
Соображения индукции завершают доказательство.
Упражнение 1.21. Пусть д е SOA,3). Показать, что д = ub(x)v,
где u,v e SO+A,3) и
^ch х sh x 0
,, ч , shrr chx 0 О
0 0 0 1,
chx=^—'- , shx =
Опишем класс сопряженных элементов К(х) элемента х из
произвольной группы G в терминах некоторых подгрупп в груп-
группе G. Для этого обозначим С(х) централизатор элемента х, т. е.
множество всех таких д € G, что дхд~г = х. Это эквивалентно
условию коммутации дх = хд. (Напомним, что центром группы
G называется множество элементов д е G, перестановочных со
всеми ее элементами.)
Упражнение 1.22. Доказать, что централизатор С(х) является
подгруппой в G.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.16. Существует взаимно од-
однозначное соответствие между левыми смежными класса-
классами группы G по централизатору С(х) и элементами класса
* Ограничением U\w называется такой оператор на W, что U\w(x) = V(x) для
всех х е W.
45
сопряженных элементов К(х). В частности, порядок \К(х)\
равен числу левых смежных классов G по С(х), т. е. порядок
\К(х)\ делит порядок \G\ группы G.
Доказательство. Заметим, что если h = gz,
z G C(x), то hxh = (gz)x(gz)~l = gzxz^g = gxg~l. Та-
Таким образом, левому смежному классу дС(х) можно сопо-
сопоставить элемент дхд G К(х). Заметим, что если u,v G G
и ихи = ижгГ1, то (v~lu)x{u~lv) = х. Следовательно,
v'lu G С(х), поэтому два смежных класса иС(х) и vC(x) сов-
совпадают.
Для доказательства остальных утверждений нужно при-
применить теорему Лагранжа 1.7.
Пусть р — простое число. Назовем р-группой конечную группу
G, порядок которой является степенью числа р.
СЛЕДСТВИЕ. Центр р-группы содержит нееди-
неединичный элемент.
Доказательство. Разобьем группу G на непересе-
непересекающиеся классы сопряженных элементов, G = К(х\) U • • •
•••U К(хп). Среди этих классов встречается одноэлемент-
одноэлементный класс КA): состоящий только из единичного элемен-
элемента 1 (см. упражнение 1.20). Можно считать, что х\ = 1. То-
Тогда G = KA)\JK{x2)\J- • 'UK(xn). По предложению 1.16 поря-
порядок |if (zj)| каждого класса K(xi) является делителем поряд-
порядка G и потому является степенью числа р. Таким образом,
рт = \G\ = 1 + |К(х2)| + • • • + \К(хп)\. Поэтому найдется такой
класс K(xi), не содержащий единичного элемента, что его
порядок равен 1. Элемент х^ является неединичным цент-
центральным элементом (см. упражнение 1.20).
1.8. КОММУТАНТ ГРУППЫ
Коммутаторы непрерывных величин и (или) операторов иг-
играют важную роль в современной физике. Хотя в руководствах
по классической и квантовой механике взаимосвязи некоммути-
рующих величин нередко вводятся из физических соображений,
они основаны на перестановочных соотношениях между элемен-
элементами неабелевых групп. Результаты этого раздела будут исполь-
использованы, в частности, при знакомстве с алгебрами Ли в гл. 4.
Пусть х,у — элементы группы G. Коммутатором элемен-
элементов х,у называется элемент {х,у} = хух~гу~1. Коммутантом
G' = {G, G} называется множество всех произведений коммута-
коммутаторов в G.
Несложно заметить, что из {я, у} = 1 следует ху = ух.
46
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.17. G'<G.
Доказательство. Пусть в G' заданы два элемента
9 = {яъ 2/1} • • • {хк, Ук}, h = {zi,ti} • • • {zm, tm}.
Тогда gh = {xi,yi} • - • {xk,yk}{zi,ti} • • • {zm,tm} € G'. Да-
Далее, g'1 = {ж^у*} • • • {ibi/i}, причем
xJX = {ю,х*} € G'.
Поэтому ^ = {ykixk}'"{yiixi} € С?;. Таким образом, С
является подгруппой в G.
Покажем, что подгруппа G' нормальна. Если д € G', то
для любого z € G получаем
zgz'1 = (z{x\,yi}z'1) • • • (^{х^,^}^") =
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.18. Если N<G, то эквивалент-
эквивалентны следующие условия:
1) группа G/N абелева;
2) JV Э G'.
Доказательство. Группа G/N абелева в том и толь-
только в том случае, если xNyN = yNxN для всех х,у € G. Как
уже отмечалось, это эквивалентно тому, что 1 = {xiV, yN} =
= {х, y}iV, т. е. {х, у} € N. А последнее, в свою очередь, экви-
эквивалентно G' С N.
ТЕОРЕМА 1.16. S^ = An.
Доказательство. Пусть а,т е 8п- Тогда {а,т} =
= аха!" имеет знак 1 по предложению 1.2. Следовательно,
S^ С Ап. Обратно, пусть a G Ап. По теореме 1.3 и следствию
из нее перестановка а является произведением четного чис-
числа транспозиций. При этом если индексы г, j, fc разные, то
Непосредственные вычисления показывают, что в груп-
группе перестановок Sn {(hj),(j,k)} = (г, fc,jf), если индексы г, j, fc
разные. Таким образом, каждый элемент а из Ап является
произведением коммутаторов, т. е. Ап С S^.
ТЕОРЕМА 1.17. Коммутант D^ = (а2), и Q? = {±1}.
Если п нечетное, то D^ = (а2) = (а).
(проверяется непосредственно).
47
ТЕОРЕМА 1.18. Еслип^2 iiF = CiuraF = R, то
GL(n, F)' = SL(n, F)' = SL(n, F).
Доказательство. Из курса алгебры [2] известно,
что каждая квадратная матрица размера п с определите-
определителем 1 является произведением элементарных матриц вида
E + aEij, где а — число, и Е^, 1 < г i- j ^ п — матричная
единица, т. е. квадратная матрица размера п, в которой на
месте (г, j) стоит 1, а все остальные элементы равны 0. От-
Отметим, что
Eij Ers = SjrEis A.23)
где 8jr — символ Кронекера (см. подразд.3.6 и гл.7). По-
Поэтому если г, j, А: — три разных индекса, то коммутатор
{Е + cci?ib Е + Ekj} = Е + aEij, и при n ^ 3 теорема доказана.
Пусть п = 2. Тогда, например:
(S ?)-{B ?)•(! Г)}-
Заметим, что если / : G —> Я — гомоморфизм групп, то
/(С) Q Я'. Действительно, если g e G\ то g = {xi,yi}---{x^,^}
для некоторых элементов ?j,2/j G G. Отсюда
/GO = {/(*0, /(w)} • • • {/(»fc),/(%)} € я'.
В частности, справедливо следующее.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.19. Если / — гомоморфизм
группы G в абелеву группу А, то С С кег/.
Отметим применение предложения 1.19. Пусть У, е, Л, Дс, Ar
из упражнения 1.12, случай 8).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.20. detAR = |detAc|2.
Доказательство. Предположим, что матрица Ас
невырождена. Имеются сюръективные гомоморфизмы групп
det : GL(n,C) -+ С*, и det : GLBn,R) -> К*, по теореме о го-
гомоморфизмах и теореме 1.18 индуцирующие изоморфизмы
групп GL(n,C)/GL(n,C); ^ С*, и GLBn,K)/GLBn,K)' ~ R*.
Гомоморфизм групп у : GL(n,C) -¦ GLBn,R) из упражне-
упражнения 1.12, случай 8) индуцирует изоморфизм групп
у' : С* ~ GL(n,C)/GL(n,C); -¦ GLBn,R)/GLBn,R); ^ R*,
для которого коммутативна диаграмма
48
с
т. е. композиции гомоморфизмов, отвечающих на диаграм-
диаграмме двум путям из GL(rc,C) в К*, дают одинаковый результат.
Для произвольного ненулевого комплексного числа z e С*
рассмотрим матрицу А е GL(n, С), определитель которой ра-
равен z. Тогда y'(z) = det (у(А)).
Пусть z = и + iv: где щ v е R. Рассмотрим диагональную
матрицу А с диагональными элементами z, 1, ..., 1. В этом
случае
Лх О
О 1
О 0 -v О
0 0 0 0
о\
о
0
0
V
0
0
0
0
0
... 1
... 0
... 0
... 0
0
1
0
0
0
0
и
0
0
0
0
1
... 0
... 0
... 0
... 0
о о
0 0 0 0
Непосредственная проверка показывает, что det(y(A)) =
1.9.
ПРЯМЫЕ И ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ГРУПП
Некоторые физические величины А(хх,...,хд/) задаются пере-
переменными, которые можно разделить на два набора:
ь..., xm), (xm+i,..., хм)
A.24)
(например, координаты и спины волновой функции) или на
несколько таких наборов. Если переменные A.24) обладают
симметрией групп G\ и G<i соответственно, желательно уметь
определять отсюда симметрию величины А(х1,...,хд/). При этом
в двух существенно разных случаях переменные (xi,...,xm) и
{xm+i,..., хм) могут быть или независимыми (т. е. коммутативны-
коммутативными), или взаимосвязанными. Эти соображения приводят к рас-
рассмотрению прямых и полупрямых произведений групп.
49
Группа G является (внутренним) прямым произведением сво-
своих подгрупп Gi, ..., Gn и обозначаются G = G\ х • • • х Gn, если
выполняются условия:
1) каждая подгруппа Gi нормальна в G;
2) каждый элемент р € G имеет единственное представление
в виде произведения g = gi--gn, где дг € Gj.
Если G — группа относительно сложения, то говорят, что
G является прямой суммой своих подгрупп Gi, ..., Gn,. В этом
случае пишут G = G\ ф • • * ф Gn-
Из этого определения непосредственно вытекает, что порядок
\G\ группы G равен произведению порядков |Gi| • • • \Gn\. Рассмот-
Рассмотрим ряд основных свойств прямых произведений групп.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ!..21. Пусть группа G разлагает-
разлагается во внутреннее прямое произведение G = G\ x • • • х Gn своих
нормальных подгрупп Gi, ..., Сп. Если fc ^га, то G^nGm = 1.
Если gi e Gb gj € Gm, и fc ^m, то дщ = $да.
Доказательство. Пусть h G G*. П Gm. Тогда эле-
элемент h 6 G имеет два представления в виде произведений
Л = 1 — 1-Л-1 —1 = 1 — 1-Л-1---1, где в первом произведе-
произведении h стоит на месте fc, а во втором — на месте га. В силу
единственности представления получаем h = 1.
Докажем второе утверждение. Пусть д = {#,#} = gtgjg^g]1
Так как подгруппа Gm нормальна в G, то gtgjgj1 € Gm. От-
Отсюда {gi,gj} ? Gm. Аналогично {&,#} ^Сьт. е. {gugj} e GkD
nGm = 1. Итак, {<7i, #j} = 1, и второе утверждение доказано.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть G = Gix-.xGn и
д = д\'*'дп, h = hi---hn e G,
где gi,hi e Gi для всех г.
Тогда
Имеются следующие примеры прямых разложений известных
нам групп:
1) C*-UxR* (рис. 1.12.);
2) Z?^ ~ Dn х GJ, где (jJ — циклическая группа порядка 2,
порожденная центральной симметрией j\
3) если векторное пространство V разложено в прямую сумму
подпространств V = U ф W, то У как абелева группа векторов
х G V относительно сложения (аддитивная группа пространства
V) является прямой суммой подгрупп U и W;
4) SOA,3) c^ SO+A,3) х (j>2 и O(l,3) ^ O+(l,3) x (jJ, где (jJ -
циклическая группа порядка 2, порожденная центральной сим-
симметрией j\
50
Рис. 1.12. Комплексная плоскость С* без нуля как прямое произведе-
произведение подгруппы U всех комплексных чисел с модулем 1 и подгруппы
RJ всех положительных вещественных чисел
5) OA,3)/SO+A,3) cz (sJ х (t>2, где s,t — матрицы из A.17).
Компоненты {G^} внутреннего прямого произведения были
заданы как нормальные подгруппы G. Но если не вводить это
условие, а просто составить всевозможные комбинации переста-
перестановочных элементов gi ? G&, получится та же конструкция.
Пусть заданы группы Gi, ...,Gn. В прямом произведении
множеств G = Gi х ••• хGn, т. е. на множестве всех строк (д\, ..., дп)
где gi ? Gj, введем операцию умножения
Множество G = Gi х • • • х Gn с введенным умножением назы-
называют внешним прямым произведением групп Gi,..., Gn.
ТЕОРЕМА 1.19. Внешнее произведение G групп
Gi, ..., Gn является группой. Группа С_разлагается_во внут-
внутреннее прямое произведение подгрупп Gi ~ C?i, ..., Gn ^ Gn.
Другими словами, конструкции внутреннего и внешнего
прямых произведений дают изоморфные группы.
Доказательство. Нетрудно проверить, что во
внешнем произведении G = G\ x ••• х Gn умножение ас-
ассоциативно. Единичным элементом в G является строка
из единиц групп Gb ...,Gn. Кроме того, (рь ..., gn)~l =
= (g^1, ..., g^1) ? G. Итак, G является группой.
Для каждого г = 1, ...,п через G^ обозначим множе-
множество всех строк вида A, ..., 1,х, 1, ..., 1), где на г-м ме-
месте стоит произвольный элемент х ? Gj. Непосредствен-
Непосредственная проверка показывает, что Gi < G, причем отображение
жиA,..,,1,х,1,...,1) задает изоморфизм G{ и 3?j. Кро-
Кроме того, каждый элемент из G однозначно представляется
в виде произведения
(91, ••• ,9n) = (gi, 1, ..- ,1)A, 02, 1, ... ,1)---A, ... ,1, 0П)
элементов из Gi, ... , Gn, т. е. G действительно является внут-
внутренним произведением этих групп.
51
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.22. Группа Z неразложима в
прямую сумму.
Доказательство. Пусть Z = A0B, где А, В — нену-
ненулевые подгруппы в Z. Тогда АПВ = 0 по предложению 1.21.
Возьмем ненулевые целые числа га е A, n e В. Если одно
из них (например, га) отрицательно, то вместо га мы можем
взять число -7п, которое также принадлежит подгруппе А.
Таким образом, мы можем считать, что га,п положительны.
8 этом случае их обычное произведение ran есть сумма га
слагаемых, равных п. Следовательно, ran e В. Аналогично,
ran е А. Отсюда O^mn е Ап В, что неверно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.23. Пусть в прямом произ-
произведении G = G\ х ••• х Gn групп С?ь ..., Gn взят элемент
9 = 91'-9п, где gi e Gi для всех г = 1, ...,п. Тогда по-
порядок |#| равен наименьшему общему кратному порядков
\\9ll ..., Iflnl).
Доказательство. Для любого натурального га име-
имеем дт = д™ • • -д™ по следствию к предложению 1.21. Таким
образом, дт = 1 4=> #™ = •• • = gJJ1 = 1. Последнее, со-
согласно предложению 1.6, эквивалентно тому, что га делится
на порядок каждого элемента д\, ..., дт. Наименьшее нату-
натуральное число с этим свойством равно наименьшему общему
кратному порядков (|gi|, ..., |gn|).
ТЕОРЕМА 1.20. Пусть группа G = Gx x • • • х Qn ко-
конечна. Тогда эквивалентны следующие условия:
группа G циклическая;
каждая группа Gi циклическая и порядки \G{\ групп
Gi, г = 1, ..., п попарно взаимно просты.
Доказательство. Пусть группа G циклическая и
mi - \G%\. Тогда каждая подгруппа Gi,i = 1, ..., п цикличе-
циклическая. Если, например НОД(гах,га2) > 1, то HOK(rai, ..., гап) <
< rai • --ran. Поэтому в силу предложения 1.23 в G нет эле-
элемента порядка rai • • • mn = \G\.
Обратно, пусть Gi = (ai)mi, причем все числа rai, ..., гап
попарно взаимно просты. Рассмотрим элемент а = а\ • • • an e
е G. По предложению 1.23 его порядок равен произведению
порядков
mi-•mn = |Gi|---К?п| По-
Последовательно, G = (а).
СЛЕДСТВИЕ. Циклическая группа порядка d не
разлагается в прямое произведение в том и только в том
случае, когда ее порядок является степенью простого числа.
52
ТЕОРЕМА 1.21. Пусть N{ < Gu г = 1, ..., т. Тогда
(Ni х • • • х Nm) < (Gi x • • • х Gm) и (Gi x •. • x Gm)/{Ni x •..
x Nm) ~ (Gi/Ni) x ... x (Gm/Nm).
Доказательство теоремы 1.21 предлагаем провести самостоя-
самостоятельно, рассмотрев гомоморфизм групп
отображающий элемент д G G с разложением
9 = 91 • * * 9т •-> (pi^Vi) • • • {9mNm) G (Gi/Ni) x • • • х (Gm/Nm),
и воспользовавшись теоремой о гомоморфизмах 1.11.
ТЕОРЕМА 1.22. Если п нечетно, то фактор-группа
группы диэдра Dn по коммутанту Dn/D^ является цикли-
циклической группой порядка 2, порожденной смежным классом
bD'n e Dn/D^, являющимся элементом порядка 2 в фактор-
факторгруппе ТЭп/Ъ'п. Если п четно, то Dn/Dfn — прямое произве-
произведение двух циклических групп порядка 2 с порождающи-
порождающими элементами Ш^, aDrn G Dn/D^, имеющими порядок 2 в
Dn/D^. Фактор-группа Qs/Qg группы кватернионов Qg по
ее коммутанту является прямым произведением двух цик-
циклических групп порядка 2 с порождающими элементами
JQs, JQs € Qs/Qs порядка 2.
Отметим, что теорема 1.22 дополняет теорему 1.17. Теоре-
Теорема 1.22 может быть доказана непосредственно.
Рассмотрим теперь полупрямые произведения групп. Пред-
Предположим, что в группе G заданы две подгруппы Н и N, при-
причем подгруппа N нормальна в G, т. е. N < G, и каждый элемент
д G G однозначно представляется в виде произведения д = пЛ,
где п g iV, ft, G Я. В этом случае группа G представляется в виде
полупрямого произведения G = N\H.
Эта конструкция обобщает понятие прямого произведения.
Напомним, что в прямом произведении G = N х Н требуется,
чтобы обе подгруппы N, Н были нормальными. В определении
полупрямого произведения требуется нормальность только од-
одной подгруппы N. Таким образом, каждое прямое произведение
групп G = N х Н всегда является полупрямым.
Приведем пример полу прямого произведения группы S4, не
являющегося прямым произведением. Группа S3 — подгруппа
в S4. Каждый элемент из S3 можно понимать как перестанов-
перестановку чисел A, 2, 3, 4), которая оставляет на месте число 4. Возь-
Возьмем в качестве Н группу S3, а в качестве N — группу Клейна
V4, введенную в упражнении 1.5. Как отмечалось ранее, V
53
(см. упражнение 1.15). При этом S3 П V4 состоит из всех таких
перестановок в V4, которые оставляют элемент 4 на месте. Из
определения V4 видно, что этим свойством обладает только еди-
единичный элемент.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.24. S4 = V4XS3.
Доказательство. Предположим, что g\h\ = #2^2?
где Q{ е V4, hi e S3. Умножая это равенство слева на
021 и справа на hj1, получаем д^д\ = ^ftj1. Следова-
Следовательно, этот элемент лежит в V4 П 8з = 1. Поэтому
9\ = 02 > hi = /12. Таким образом, число разных произведений
gh, где д G V4, h Е S3 равно произведению порядков соответ-
соответствующих групп IV4IIS3I = 4 • 6 = |S4|. Следовательно, каж-
каждый элемент х из S4 представляется (и притом единствен-
единственным образом) в виде произведения х = gh, где д € V4, h е S3.
При последующем изложении материала будем полагать, что
полупрямое произведение групп не является прямым и обозна-
обозначим символом С? X Я множество G\H\G х Я.
Упражнение 1.23. Показать справедливость утверждения:
1) при п > 2 группа Sn имеет полупрямое разложение Sn = Ап X (а),
где а — произвольная транспозиция;
2) группа четных подстановок А4 имеет полу прямое разложение
А4 = V4\(x), где V4 — группа Клейна, т — произвольный цикл длины 3;
3) группа аффинных преобразований Aff(V) в n-мерном комплекс-
комплексном (вещественном) пространстве V является полупрямым произведе-
произведением Aff(V) = VXGL(V), где V — аддитивная группа пространства V;
4) аналогично, группа движений Iso(ZS) евклидова пространства Е
является полупрямым произведением lso{E) = Е X ЩЕ)\
5) группа собственных движений SIso(ZS) евклидова пространства
Е является полупрямым произведением SIso(ZS) = Е\ SO(?);
6) группа Лоренца ©A,3) является полупрямым произведением
O(l,3) = SO+(l,3)X((e>2 х (*J), где s,t см. A.17);
7) группа Пуанкаре ТA,3) имеет полупрямое разложение ТA,3) =
= МA,3)ХОA,3), где МA,3) — аддитивная группа пространства Мин-
ковского, причем каждый вектор b G МA,3) отождествляется со сдви-
сдвигом х I-+ х + Ь.
Из определения полупрямого произведения G = N\H выте-
вытекает, что \G\ = |#||Я|. Кроме того, справедливо предложение:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.25. Если G = N X Я, то ЛТП
ПЯ = 1.
Если д G NПЯ, то элемент д имеет два представления д-д х
х Iff = 1дг • д- Отсюда д = 1.
Укажем правило умножения элементов полупрямого произ-
произведения G = N X Я. Если х = gh, у = g'hf, где д,д' е N, Л, h' e Я,
54
то ху = (gh)(g'ti) = {g{hg'hr1)) (hhf). При этом g(hgfh) G ЛГ в силу
нормальности подгруппы ЛГ, и /ift/ ? Я.
Отметим, что если G = ЛГ X Я, то для любого ЛеЯ отображе-
отображение х ь-> hx/fх является автоморфизмом ф^ группы ЛГ. При этом
для hi, h2 € Я и х ? ЛГ имеем
Ф/ЬхЛаО*) = (hlh2)x(hlh2yl = ^1
Таким образом, ф/^з =Ф^1Фл2 Для всех ^ь^г € Я. Это означа-
означает, что задан гомоморфизм из Я в группу Aut N автоморфизмов
группы N из упражнения 1.18.
Изложенные соображения позволяют перейти к эквивалент-
эквивалентной конструкции полу прямого произведения, изначально не
предполагающей, чтобы его компоненты были подгруппами в
некоторой группе. При этом следует задать и гомоморфизм
Я -> Aut ЛГ, так как полупрямое произведение групп, в отличие
от прямого, не определяется однозначно своими компонентами.
Пусть заданы группы ЛГ, Я и гомоморфизм у группы Я в груп-
группу Aut N всех автоморфизмов ф группы ЛГ, при котором элемент
h € Я отображается в автоморфизм фд группы N. Рассмотрим
множество G = N\H всех пар (x,h), где х € ЛГ, h e Я. На этом
множестве введем умножение по правилу
(х^)(х/,^) = (хф/1(а;/)^^). A.25)
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.26. G = ЛГ X Я с умножени-
умножением A.25) является группой. Подмножество N всех пар вида
(х, 1) в G является нормальной подгруппой в G, изоморфной
ЛГ, а множество всех пар вида A, К) является подгруппой Я
в G, изоморфной Я. При этом (l,h)(x, 1)A,Л) = (ф^(х),1).
Кроме того, группа G является внутренним полупрямым
произведением G = N\H.
Доказательство. Проверим сначала ассоциатив-
ассоциативность умножения. Если Х1,Х2,хз ? ЛГ и hi,/i2,h3 G Я, то
, hi)(z2, h2)) (a*, h3) = (xi фЛ1 (х2), hih2)(x3, h3) =
2 (^з), hih2h3) =
= (хь hi) ((х2 ф^2(х3), h2h3)) = (хь ht) ((x2, h2)(x3, h3)).
Далее, пара (ljv,l#) является единицей в G. Наконец,
(х, h) = (ф/г-^х)",^1). Итак, G является группой.
Непосредственная проверка показывает, что отображе-
отображение х ь-> (х, 1) — изоморфизм ЛГ и ЛГ, а отображение h ^
55
н-+ A, К) — изоморфизм Н и Я. Последние утверждения так-
также проверяются непосредственно.
Это предложение показывает, что, как и в случае прямого
произведения, внутреннее и внешнее полупрямые произведения
совпадают.
Различие прямого и полупрямого произведений групп G и Н
наглядно отражается в перестановочных свойствах их элемен-
элементов. Чтобы 2тп - (т + п) + 1 разных комбинаций (g{hj) неком-
мутирующих элементов gi E G, hj e H образовали груп-
группу, следует задать их перестановочные соотношения. Условием
gihj = hjgi определяется прямое произведение G х Я, а условием
gihj = hjgk — полупрямое произведение G X Я. Нетрудно видеть,
что в последнем случае Kjxgihj = h^hjg^ = д^ т. е. элементы д^ и
<7fc оказываются в одном классе группы G\H. На простейшем
примере сочетания циклических групп (а)з и FJ для прямого
произведения (ab = 6а,а26 = Ьа2) получим циклическую группу
6-го порядка (а)з х FJ — (c)q. Положив ab = 6а2, a2b = 6а, получим
полупрямое произведение групп (а)зХFJ — D3 (см. подразд. 1.1).
1.10. ГРУППЫ СИММЕТРИИ МОЛЕКУЛ
Среди многочисленных физико-химических приложений тео-
теории групп важную роль играет описание молекулярной симмет-
симметрии. При фиксированной геометрии молекул их симметрию за-
задают точечные группы в трехмерном евклидовом пространстве.
1.10.1. Точечные группы
Точечные группы «жестких» молекул и молекулярных фраг-
фрагментов с фиксированной геометрией совпадают с группами сим-
симметрии конечных геометрических фигур. Напомним, что их опе-
операции симметрии Я, т.е. ортогональные преобразования трех-
трехмерного евклидова пространства ?C), составляющие подгруп-
подгруппу в OC,R) (см. подразд. 1.1), подразделяются на собственные
[det(R) = 1] и несобственные [det(R) = -1] вращения. В квантовой
химии и спектроскопии точечные группы и их операции симмет-
симметрии обозначают по системе Шенфлиса, а в кристаллографии —
по международной системе Германа — Могена. В системе Шен-
Шенфлиса, которая будет использована в этой главе, несобственное
вращение обозначают символом Sn и геометрически представля-
представляют операцией зеркального поворота, составленной из поворота
56
на угол 2п/п вокруг выбранной оси с отражением в плоскости,
проходящей перпендикулярно этой оси через начало координат.
(Операция 5* — А-кратное повторении этой процедуры). Если
выбрать ортонормированный базис {x\,x2,xz} так, что х\ лежит
на оси зеркального поворота, то матрицей этого поворота будет
0
о \
2тс 2я
О cos— -sin —
п п
2тс
2тс
О sin — cos —
п
п
Единичный элемент точечной группы по Шенфлису обозна-
обозначают е.
Операции симметрии удобно представлять их геометриче-
геометрическими образами: поворотной осью Сп {С\ = е) и зеркально-
поворотной осью 5П, а также плоскостью зеркального отраже-
отражения а = S\ и центром инверсии г = 5г- Эти графические симво-
символы, в литературе нередко называемые «элементами симметрии»,
не следует путать с теми групповыми элементами, которые они
изображают. Например, ось Сп графически представляет все по-
повороты на угол 2%к/п вокруг нее, которые в ортонормированном
базисе {xi,X2,xs} с осью Сп\\х\ задаются матрицей
/1
О
О
2пк 2пк
О cos - sin
п п
О sin-
2кк
п
2кк
COS /
п '
Заметим, что поворотная ось Сп является линейной оболоч-
оболочкой направленного по ней вектора х\.
Композиции («взаимодействие») операций, относящихся к
разным элементам симметрии, могут порождать новые элемен-
элементы. Так, например, повороты на % вокруг координатных пово-
поворотных осей второго порядка С2 связаны с отражениями а в ко-
координатных плоскостях и инверсией г в точке начала координат
соотношениями
C%Gxyi = e, C$Gxzcyz = е, С$С%С$ = е.
A.26)
Наличие любых двух операций симметрии, входящих в ка-
какое-либо из соотношений A.26), порождает третью операцию
(рис. 1.13).
57
Рис. 1.13. Поворотная ось 2-го порядка как результат композиции от-
отражений в двух взаимно перпендикулярных плоскостях симметрии
(<5yz : 1 -> 2; cxz : 2 -> 3; ахгсуг = С^} : 1 -> 3)
Зеркальную плоскость а, перпендикулярную главной (выс-
(высшей) оси симметрии Сп или Sn данной группы, в системе Шен-
флиса обозначают а^ и называют горизонтальной, а плоскость,
проходящую через такую ось, — вертикальной (av). Одинаковые,
но не сопряженные элементы симметрии различают штрихами
(например, вертикальные плоскости &v и &у в молекуле бензола
СбНб, пересекающиеся под углом тс/б, рис. 1.14, а).
Плоскость симметрии, которая переводит две пересекающи-
пересекающиеся оси С2 одну в другую, называют диагональной (a<j). За-
Заметим, что компоненты зеркального поворота, входящего в
Рис. 1.14. Операции симметрии молекул:
а — бензола С6Н6 (&„ : 1 -> 2; о" : 2 -> 3; о'М = С\ : 1 -> 3); б
СНС СН ( ф С С С)
аллена
( )
=С = СНг (проекция вдоль фрагмента С = С = С)
58
Таблица 1.1
Конечные точечные группы (обозначения по Шенфлису)
Группа
Порядок
группы
Оси Сп
Оси ?п
ОсиС2
Плоскости а
Центр
симмет-
симметрии
Примеры молекул
Группы низшей категории
с2
Са
Q
С2/1
Civ
D2
D2h
2
2
2
4
4
4
8
с2
°2
°2
/-»(х) /^B/) >о(г)
о2 ,о2 , о2
г»(х) г»(у) п^
^2 »^2 » ^2
а
а
Gxz,Gyz
Oxy,Oxz, Gyz
г
г
г
2ОШ-Н2О2
СН2=СНС1
Ateao-CHFCl-CHFCl
трапс-СНХ=СНХ
Н2О, SF4, хлорбензол
гогигС6Е5—С6Н5
Этилен, нафталин
Семейства групп средней категории
С»
п
Сп(Сп[т)
(т\п)
(C<*>)(n = 2fc)
С3: CH3CF3 и NH3BF3
в «промежуточной»
конформадии
Окончание табл. 1.1
Группа
Sn
Cnh
Cnv
Dn
Dnh
Dnd
Порядок
группы
n = 2k
2n
In
2n
An
An
Оси Cn
Cn/2(Cn/2m)
(n = 2k, 2m\n)
Cn{Cn/m)
(m\n)
Cn(Cn/m)
(m\n)
Cn(Cn/m)
(m\n)
Cn(Cn/m)
(m\n)
Cn, (Cn/m)
(m\n)
OcnSn
Sn(n = 2k)
(^п/3> П = 6р)
Sn (Sn/3,
n = 3p)
Sn (Sn/m)
S2n(S2n/3)
(n = 3p)
Оси С2
(C?/2 = ^z))(n = 2fc)
(Cnl/2 = C{2z))(n = 2k)
nC2 (n = 2k+l)
(n/2)C2,
(n/2)C%(n = 2k)
{CZ'2 = C{2z))(n = 2k)
nC2 (n = 2fc+l)
(n/2)C2,
(n/2)C?(n = 2k)
(C^2 = ^z))(n = 2fc)
nC2
Плоскости G
nav (n = 2k + l)
(n/2)cC, {n/2)c'i
(n = 2Л:)
Oh nov(n = 2k + l)
(n/2)o'v, {n/2)o'l
(n = 2k)
nod
Центр
симмет-
симметрии
@
(n = 2k)
@
(n = 2k)
@
G1 = 2fc)
@
(n = 2k+l)
Примеры молекул
Гексаэтилэтан
См: плоская молекула
В(ОНK
C3v: NH3; NH3BF3 в
шахматной конформа-
ции; C5v: [C5Me5Sn]+
D3: [M(acacK]9+
D3h: BF3, NOi; D6h:
C6H6
D3d: этан С2Н6; Dsd:
ураноцен (CsH8JU
Группы высшей категории
Т
Td
Th
0
oh
I
Ih
12
24
24
24
48
60
120
4C3
4C3
4C3
ЗС4,4С3
ЗС4,4С3
6С5,10С3
6С5, ЮСз
3?4
456
354,45б
ЗС2
ЗС2
ЗС2
ЗС2,6С^
ЗС2,6С^
15С2
15С2
6ad
3ah
15ad
г
г
г
Устойчивые молекулы
неизвестны
СН4, Р4 (белый
фосфор), [SO4]2"
[La(NO3N]3-
Устойчивые молекулы
неизвестны
Cr(CON; SF6
Устойчивые молекулы
неизвестны
[Bi2H12]2-; Ceo
Примечания. A) Все группы содержат единичный элемент е.
B) Имеется тривиальная группа С\ = {е}.
C) Ме = СН3 (метил).
данную точечную группу, по отдельности в общем случае не яв-
являются ее операциями симметрии — например, в молекуле ал-
лена СН2==С=СН2 по линейному фрагменту С=С=С проходит
зеркально-поворотная ось 54, однако ни перпендикулярной ей
плоскости симметрии (сд), ни поворотной оси Од в этой молеку-
молекуле нет (рис. 1.14, б).
Точечные группы молекулярной симметрии представлены в
табл. 1.1. По порядку п входящих в них осей Сп или Sn эти груп-
группы можно условно разбить на три категории: низшую, среднюю
и высшую [40].
Низшая категория симметрии. Это семь точечных групп C<i,
Cs, Q, С2Д, C2v, D2, D2h-> составленных из элементов 2-го поряд-
порядка (см. подразд. 1.3): С2, а и г. Примеры молекул, относящихся к
этим группам, показаны на рис. 1.15. Поскольку любая из этих
операций служит для себя обратным элементом (С| = а2 = г2 = е),
данные группы абелевы и каждый класс сопряженных элемен-
элементов в любой из них состоит из одной операции симметрии. В груп-
группах С2Д, C2V, ?>2, &2н комбинация любого элемента с единичным
(р, е) образует нормальную подгруппу, т. е. порядок их фактор-
факторгрупп Ы = /i/2. Три группы С2, Cs, C{ порядка 2 изоморфны
между собой, но к ним относятся разные молекулы, например
плоская молекула хлорэтилена СН2= СНС1 (Cs) и неплоская мо-
молекула пероксида водорода НО—ОН (С2) (см. рис. 1.15).
Группы порядка выше 2 являются прямыми произведениями:
= С2 х Q, Дг = С2 х С2, C2v = С2 х Cs и D2h = D2 х Cs. Группы
^2V и ?>2 порядка 4 изоморфны одна другой и группе Клей-
Клейна V4 (см. упражнение 1.5). Самая большая во всей категории
группа ?>2Л состоит из восьми классов сопряженных элементов
(J5, Cf, C|, Cf, г, Gxy, GXzi cyyz). Среди молекул в этой категории
симметрии наиболее распространены группы Cs, C2v> &2h- От-
Отметим, что молекулы (как и другие объекты), не имеющие эле-
элементов симметрии, могут существовать в виде «правой» и «ле-
«левой» геометрических фигур, не совмещающихся в пространстве.
Соединения, построенные из таких молекул, в химии называют
оптическими изомерами или стереоизомерами.
Средняя категория симметрии. Объединяет бесконечное чис-
число точечных групп с одной (главной) поворотной либо зеркаль-
зеркально-поворотной осью порядка выше 2. Эти группы можно раз-
разбить на семь семейств: Cn, Sn, Cnh, Cnv, Dn, ?>пд, Вп& (где п —
порядок главной оси группы). Среди элементов наиболее высо-
высокого порядка в реальных структурах отметим поворотные оси
и Си в квазикристаллах, а также зеркально-поворотную ось
в молекуле ураноцена (CsHgbU. Эта молекула имеет «сэнд-
вичевое» строение с атомом урана между двух связанных с ним
62
CHFClBr B изомера) (Q)
/
.мезо-CHFCl-CHFa
F
/ ГЗр"
(Q
—ia"
/
/,
SF4
,' H
\
H
z.
C2H4 (A*)
Дифенил СбН5—C6H5 B проекции) (ZJ)
Рис. 1.15. Примеры молекул, относящихся к группам низшей катего-
категории; элементы симметрии молекул
плоских атомных фрагментов (лигапдов): правильных восьми-
восьмиугольников Се с присоединенными каждой вершине атомами Н,
развернутых на тс/8 один к другому относительно оси Siq. На
рис. 1.16, 1.17 показаны молекулы, относящиеся к группам сред-
средней категории — в том числе еще один пример сэндвичевого ком-
комплекса: ферроцен (
63
1,3,5-С6Н3(С2Н5K (С3)
Q(C2H5N
1,3,5-С6Н3(ОН)
NF3 (C3o)
M(acacK (A)
Рис. 1.16. Некоторые молекулы, относящиеся к средней категории сим-
симметрии (асас = О=С(СН3)СНС(СН3)С = О)
Fe
—a
(C5H5JFe
Рис. 1.17. Некоторые молекулы, относящиеся к средней категории сим-
симметрии: примеры групп Dnh и Dnd (вверху — перспективный вид, вни-
внизу — проекция)
64
Рис. 1.18. Действие операций:
а — поворота (С] = Се, Сг = С|, Cq1 = С|); 5 — зеркального поворота
(С2 = 542,511=5!)
Семейства Сп и 5П состоят из абелевых циклических групп
порядка п, в которых каждый элемент образует класс. Группы
одинакового порядка из этих двух семейств изоморфны Сп~ Sn.
Элементы Ск и С%~к взаимно обратны, СпкС%~к = е, что спра-
справедливо и для несобственных вращений (рис. 1.18). Группа Сп
может включать подгруппы Ст, где т\п\ группы простого по-
порядка (т. е. примарные) не имеют нетривиальных подгрупп (см.
теорему 1.5).
В группах несобственных вращений Sn порядок главной зер-
зеркально-поворотной оси п = 2к всегда четный, S% = С? ,Т Оси З^Ан-ь
совпадающие с C2k+i, имеются в группах более высокой симмет-
симметрии вместе с плоскостью ад. Подгруппами S2k являются Ck и С{
(при нечетном к) или Ck и Сч (при четном к). Любая подгруппа
(а)т циклической группы {а)п является нормальной, все фактор-
факторгруппы {а)п/(а)т — это циклические группы порядка п/т.
Среди устойчивых молекул редки примеры только осевой
симметрии. К группе Сз относятся, например, молекулы CH3CF3
и NH3BF3 в нестабильной «промежуточной» конформации*, а
к группе Cq — гипотетические конформации гексазамещенных
бензолов СбИб с нелинейными присоединенными фрагмента-
фрагментами R, вывернутыми из плоскости бензольного кольца на один
и тот же торсионный угол.
Молекулы с симметрией S^fc — например, гексаэтилэтан
(С2Н5)зС—С(С2Н5)з — можно сконструировать из двух одинако-
одинаковых фрагментов С^-симметрии при отсутствии осей Сч или плос-
плоскостей Оу, переводящих одну «половинку» молекулы в другую.
* Напомним, что конформацией в химии называют лабильную геометрическую
конфигурацию молекулы, которую можно перевести в другие конфигурации по-
поворотом молекулярных фрагментов вокруг химических связей. Примером кон-
формационного перехода может служить внутреннее вращение молекулы этана
НзС—СНз вокруг связи С—С.
65
Рис. 1.19. Некоммутативность по-
поворотов и отражений в группе C$v
(<%о™ = о%: 1 - 3; ^С\ = <%:
1-3')
Группы семейства Спн яв-
являются прямыми произведени-
произведениями вида Сп х С3- В них од-
одновременно присутствуют по-
повороты С* и зеркальные по-
повороты 5^ = C^Cfr. При чет-
четном порядке главной оси име-
имеется центр инверсии. По свой-
свойствам прямого произведения
это абелевы группы порядка
2п с (нормальными) подгруппа-
подгруппами Сп, Sn и С<2, Cs, Ci- Соответ-
Соответственно у всех Cnh есть Две Р83"
ные фактор-группы: цикличе-
циклическая группа (а)п и группа вто-
второго порядка (а) 2- Среди моле-
молекул эту довольно редкую сим-
симметрию имеют борная кислота В(ОН)з и триоксибензол 1,3,5-
СбНз(ОН)з (Сз^; цифрами обозначены позиции атомов углерода
в бензольном кольце, связанных с ОН-группами), а также тетра-
меркаптидплатинат-дианион [Pt(SRL]2~ (Qh)? гексаэтилбензол
Сб(С2Н5)б (Сб/i) и т. д. в плоских конформациях (см. рис. 1.16).
Нецентросимметричные неабелевы группы семейств Cnv и Dn
с одинаковым п изоморфны соответствующей группе диэдра (см.
подразд. 1.1,1.7), по-разному вложенной в трехмерное простран-
пространство. В группах Dn линиям симметрии правильного плоского
n-угольника, проходящим через его центр, отвечают п осей С*2,
перпендикулярных главной оси Сп, а в семействе Cnv (симметрия
правильной n-угольной пирамиды) — п «вертикальных» плос-
плоскостей oV) пересекающихся по оси Сп под углом п/п к соседним
плоскостям. Группы этих семейств также можно представить
полупрямыми произведениями СПу = Сп X Cs и Dn = Сп X С2 —
результатами добавления к оси Сп не коммутирующих с ней эле-
элементов симметрии (рис. 1.19).
Отметим, что в отличие от групп низшей категории с п = 2
группа Сп^ Уже не изоморфна Cnv и Dn. В группах Cnv и Dn со-
содержится п/2 + 3 класса сопряженных элементов при четном и
(п + 3)/2 — при нечетном п (см. подразд. 1.7). Среди всех под-
подгрупп Cnv и Dn только циклическая Сп является нормальной
подгруппой (коммутантом), поэтому их фактор-группа имеет по-
порядок 2.
Группы Cnv широко распространены среди малых молекул и
молекулярных фрагментов. Менее распространенные группы Dn
66
отвечают нестабильным «промежуточным» конформациям эта-
этана и металлоценов, в которых угол взаимного поворота фрагмен-
фрагментов СНз (соответственно СПНП) отличается от нуля и я/n, а также
комплексам металлов с бидептатпыми лигандами, образующи-
образующими две связи с атомом М — например M(bipy)n, где bipy — фраг-
фрагмент бипиридила C5H4N—C5H4N. Отметим, что эти комплексы
также существуют в «левой» и «правой» молекулярных фор-
формах, не переводимых одна в другую поворотами в трехмерном
пространстве*.
Неабелевы группы семейства Dn^ = ?J х С5 = Cnv x С8 поряд-
порядка An отвечают, симметрии правильной прямоугольной призмы.
Их можно построить добавлением к группам Dn и Cnv плоско-
плоскости Gfc, перпендикулярной главной оси симметрии. При этом до-
дополнительно к (п-1) поворотам С% возникают (п-1) очевидных
зеркальных поворотов S% = (онСп)к- Из соотношений A.15) сле-
следует, что в группах Dnh по пересечениям вертикальных плос-
плоскостей симметрии gv с горизонтальной плоскостью а^ проходят
оси С2. Группы Dnh с четным п центросимметричны, а семейства
их плоскостей av и осей С2, перпендикулярных Сп, разбиваются
на пары неэквивалентных классов сопряженных элементов. При
четном п в группе Dnh (n + 6) классов, при нечетном — (п + 3).
Это очень распространенный тип симметрии молекул и ионов:
трифторид бора BF3 (#3/1) > бензол СбН6 (D^) и его изомер приз-
ман СбНб с тригонально-призматическим углеродным каркасом
(?>3/i)j тетрахлорплатинат-анион [PtCU]2" (Дм) и многие другие.
Группы семейства Dn^ получаются добавлением к группам
Dn или Cnv, соответственно, вертикальной плоскости о<$ либо
биссекторной оси С2, проходящей перпендикулярно главной оси
между соседними плоскостями. При этом возникает главная зер-
зеркально-поворотная ось 52п? четные операции которой отвечают
поворотам С% = 52^. В группах Dnd нет горизонтальной плос-
плоскости симметрии; п диагональных плоскостей а^ и п осей С2,
проходящих между ними, пересекаются соответственно по глав-
главной оси симметрии Сп и в лежащей на ней неподвижной точке,
инвариантной относительно всех операций группы. При нечет-
нечетном п эти группу центросимметричны. В отличие от D^, оси
С2 и плоскости cv образуют в Dnd по одному классу сопряжен-
сопряженных элементов при любом п (всего в Dnd имеется п + 3 классов,
см. выше). К семейству Dnd относятся, в частности, этан
в устойчивой «заторможенной» конформации с поворотом
фрагментов на я/3 один относительно другого и металлоцены
*Стереоизомерные молекулы, не имеющие центра и плоскостей симметрии, в
химии называют хиральными.
67
(CnHnJM с аналогичной «шахматной» относительной ориента-
ориентацией плоских циклических СпНп-лигандов.
Упражнение 1.24. Определить подгруппы и классы сопря-
сопряженных элементов в группах L>4/i и
Высшая категория симметрии. Образуется семью конечными
точечными группами: Г, Т^, Т^, О, О^, /, 1^. В каждой из них
имеется более одной оси симметрии порядка 3 и выше, пересека-
пересекающихся в неподвижной точке пространства (инвариантной от-
относительно всех операций группы). Среди устойчивых молекул
примеры групп вращений Г, О и / не встречаются, группы Th и
Ih встречаются относительно редко, а Т^ и Оь очень распростра-
распространены.
Группа вращений тетраэдра Т(е,4Сз,4С|,ЗС2) имеет поря-
порядок h = 12. В этой группе 4 класса, и повороты на л/3 и 2л/3 во-
вокруг осей Сз относятся к разным классам. Три поворота C<i вме-
вместе с единичным элементом е образуют в Т нормальную подгруп-
подгруппу (коммутант) ?>2 порядка 4, ее фактор-группой T/D^ служит
простая циклическая группа (а)з- Группа (е, 8С3, 6Cf2, 6C4, ЗС| =
= ЗСг) вращений октаэдра О вдвое большего порядка h = 24
состоит из 5 классов, ее коммутантом является подгруппа Г,
а фактор-группа О/Т имеет порядок 2.
Группа Th = Г х С» (е, 4С3Х, 4С|, ЗС2, г, 45^, 45|, Зс^) поряд-
порядка /г = 24 получается добавлением центра инверсии к Т, отчего
возникают зеркально-поворотные оси Sq и плоскости, перпенди-
перпендикулярные осям С2. Разные повороты относительно четырех сим-
симметрически эквивалентных осей Sq (включая 5| = С\, 5| = С|
и 5| = 52 = г) относятся в ней к разным классам. Это группа
симметрии «ежа» из трех одинаковых взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных полос, направленных по диагоналям октаэдра, комплекса
[Fe(py)e]2+ с перпендикулярной ориентацией плоских пиридино-
пиридиновых лигандов, а также гексанитрат-анионов [M(NO3N]q~ с икоса-
эдрической координацией атома М (La, Th) бидентатными NO3-
лигандами (рис. 1.20).
Группа симметрии тетраэдра Т^ (Е,8Сз, 6а^, 654, 35| = ЗСг;
h = 24), изоморфна О (но не изоморфна Т^). Центр симметрии
в ней отсутствует, оси 54 проходят перпендикулярно скрещи-
скрещивающимся противоположным ребрам тетраэдра (см. рис. 1.5).
Группа Та изоморфна группе перестановок S4; каждая ее опера-
операция соответствует определенной перестановке вершин тетраэдра
(теорема 1.9); ее подгруппа Т изоморфна группе четных пере-
перестановок А4. Симметрию Td имеют молекула метана СКЦ и ее
структурные аналоги (ТЮЦ и др.), молекула белого фосфора Р4
и многие ионы (SO^" и др.).
68
Рис. 1.20. Примеры групп высшей категории:
а — Т: молекула тетраметилтетраэдрана С4(СНзL и некоторые из ее по-
поворотных осей; б — О: поворотные оси октаэдра и куба; в — Тн: эле-
элементы симметрии; г — 2V гексапиридиновый комплекс металла [М(ру)б]9+
(py=C5H5N)
Группа симметрии октаэдра и куба Од = Т^ х d = О х d
(е, 8С3, 6С2, 6С4, ЗС| = ЗС2, г, 85б, 6^4, 6ad, 35| = За^; /г = 48), мо-
может быть построена добавлением инверсии к 7^ или О. Она
содержит по два разных класса осей Сг шесть осей, проходя-
проходящих через середины ребер октаэдра, и три его диагональные оси
С\ = С'2) и плоскостей симметрии (шесть «диагональных» плос-
плоскостей, проходящих через одну ось С±, и три «горизонтальные»
плоскости S| = a^, проходящие через две оси С± перпендикуляр-
перпендикулярно третьей (см. рис. 1.20). Это одна из самых распространенных
точечных групп: в неорганической химии ей отвечают комплекс-
комплексные соединения МХб с октаэдрическим лигандным окружением
вокруг атома М, октаэдрические кластеры металлов Мб и мно-
многие другие, в органической химии — каркасная молекула куба-
на С8Н8.
В группе / (е, 12С5, 12С|, 20Сз, 15Сг) вращений икосаэдра и
пентагондодекаэдра (h = 60) повороты на я/5 и 2я/5 вокруг
осей С5 относятся к разным классам, тогда как все повороты
69
Рис. 1.21. Оси симметрии икосаэдра и пентагондодекаэдра (а), проек-
проекция икосаэдра вдоль его поворотной оси 2-го порядка (б)
вокруг осей Сз, проходящих через центры треугольных граней
икосаэдра, и осей Сг, проходящих через середины его противо-
противолежащих ребер, образуют по одному классу.
Прямым произведением этой группы с группой инверсии яв-
является группа
(е, 12С5, 12С|, 20С3, 15С2, i, 125}0,
, 15о„)
симметрии икосаэдра и пентагондодекаэдра J^ = J x Q (Л = 120)
(рис. 1.21). Ей строго соответствуют молекулы додекаэдрана
С20Н20 и бакминстерфуллерена Сбо (см. подразд. 2.9.2), а так-
также додекагидроборат-анион ВхгН^ с икосаэдрическим остовом
В12. Приближенную симметрию 1^ имеют координационные по-
полиэдры с координационным числом 12, а также икосаздрические
молекулы 0-, м- и n-карборанов С2В10Н12 (точной симметрии
C2v и 2?5/i соответственно).
Упражнение 1.25. Доказать, что 7^ = Ih^Oh и построить гипо-
гипотетическую структуру молекулы додекагидрофуллерена CeoHi2 сим-
симметрии Th.
1.10.2. Двойные группы
Ряд физических свойств Р молекул и кристаллов зависит как
от пространственных координат атомов ri = (я^Уь^), так и от
других параметров (например, от спинов атомных ядер). В тео-
теоретическом описании таких свойств P(ri, ...,rn,oti, ...,a^) пара-
параметры cci, ...,(Xfc часто рассматриваются как аналоги координат
в пространстве с числом измерений выше 3. Физические харак-
70
теристики, зависящие от подобного расширенного набора пере-
переменных, обладают более высокой симметрией, чем симметрия
трехмерной точечной группы.
В описании спиновых состояний молекул используются двой-
двойные группы G, получаемые из точечных групп удвоением чис-
числа операций симметрии. Это достигается формальным условием
С%п = е (поворот на An) и С% = Е (поворот на 2я). Так, удвоение
точечной группы D<i (е, С|, С|, Cf) дает группу
D2 = (е, С|, С\, Cf, ?7, ЯС|, ДС?, ЕС$)
с соотношениями между элементами
CfCf = Cf, (C«J = E (t-x.y.z), Я2 = е. A.27)
Умножением A.27) на С^ слева и справа получим:
222 ^
L/2 ^2 = ^2 » ^2 ^2 =
С^2 С/2 — ЕС2 )
Положив 25 = -1, установим изоморфизм двойной группы ?>2 с
группой кватернионов Qg, в соответствии с которым в ней име-
имеется пять классов сопряженных элементов (е, Е и {С^.ЕС^; ),
где г = х, у, z) и единственная нормальная подгруппа 2-го поряд-
порядка (е, Е); ее фактор-группа изоморфна точечной группе 1>2.
Для построения двойных групп ?? средней категории симмет-
симметрии в исходной группе G достаточно ввести операцию Е как по-
поворот на 271 вокруг главной оси Сп и рассмотреть все операции
вида 25pi, д± ? G. В двойных группах СПи и 2ЭП при п = 2fc +1
порядок и число классов удваивается (элементы Egi и (jj попа-
попадают в разные классы), а при n = 2fc удваиваются только клас-
классы, не входящие в подгруппу ?>2 — Qs- Прочие двойные группы
средней категории можно построить, используя изоморфизм и
свойства прямого произведения. Так, например, двойная группа
вращений тетраэдра Г имеет порядок 24 и содержит семь клас-
классов: е, Е, 4С?, 4С|, АЕС\, АЕС\ и (ЗС2, 3#С2).
Упражнение 1.26. ^1айти подгруппы и классы сопряженных
элементов двойной группы Oh-
1.10.3. Группы Лонге-Хштинса
В ряде процессов, прежде всего в ходе химической реакции,
геометрия молекул изменяется, и точечные группы симметрии
71
для них неприменимы (структурная нежесткость). Однако во
многих нежестких молекулах (например, при конформацион-
ных переходах в этане) сохраняется порядок соединения ато-
атомов, т.е. молекулярный граф, также отвечающий определен-
определенной группе. «Предельной» симметрией молекулы, содержащей
П1 атомов элемента 1, П2 атомов элемента 2, ..., щ атомов fc-ro
элемента, в условиях, когда она уже не имеет определенной
геометрии, однако еще остается устойчивым атомным агрега-
агрегатом (например, при фрагментации в масс-спектрах), является
перестановочно-инверсионная симметрия, описываемая группа-
группами Лонге-Хиггинса:
Sm xSn2 х ... xSnfc x (jJ.
Эта группа отражает инвариантность измеримых параметров
нежесткой молекулы относительно перестановок ее химически
идентичных ядер fc типов (множитель Sni x Sn2 x • • • х Snfc) и ин-
инверсии пространственных координат (множитель (jJ с^ С* ~ S2).
Группы Лонге-Хиггинса применяют в спектроскопии нежест-
нежестких молекул, например при описании симметрии ровибронных
уровней (см. гл. 5). Их легко вывести, используя свойства груп-
группы Sn и прямого произведения. Так, например, полная груп-
группа перестановок и инверсий химически идентичных ядер для
молекулы этилена С2Н4 S2 x S4 x GJ состоит из 2 х 24 х 2
элементов, (точечная группа этой молекулы D<ih —" всего из
восьми элементов), содержит 5x2x2 классов и подгруппы
S4, А4 (коммутант), S3, A3,S2 xS2 - D2, (aL ~ C4,(a>3 ~ C3,
S2 x S2 x (jJ ^ D2h, CJ ~ Ci- Ее абелева фактор-группа поряд-
порядка 8 изоморфна точечной группе молекулы D2h-
Упражнение 1.27. Определить классы сопряженных элемен-
элементов и подгруппы группы Лонге-Хиггинса структурно нежесткой моле-
молекулы пентахлорида фосфора PCI5.
Контрольные вопросы
1. Пусть X — фиксированное вещественное число. Будет ли груп-
группой относительно умножения множество всех ненулевых веществен-
вещественных матриц вида
(х у\
\Ху х)'
где х, у — произвольные вещественные числа?
2. Перемножить перестановки
/1 2 3 4 5W1 2 3
\3 1 4 5 2/ V5 3 1
3 4 5^
2 4)
72
и разложить результат в произведение независимых циклов. Найти
порядок этого произведения.
3. Будет ли подгруппой в группе S4 множество, состоящее из че-
четырех перестановок {е,A2)C4), A3)B4), A4)B3)}?
4. Найти порядок матриц
в группе GLA,C)
5. Найти порядок перестановки
/1 2345678 9\
\5 7129486 3/
6. Найти смежные классы S4 по подгруппе ЛЛ*.
7. Доказать, что R/Z ~ U.
8. Доказать, что коммутант группы верхнетреугольных комплекс-
комплексных матриц размера 2 состоит из всех матриц вида
Vo \)
9. В четырехмерном евклидовом пространстве задан полиэдр с
декартовыми координатами вершин (±а,0,0,0,), @,±а,0,0), @,0,±а,0),
@,0,0,±а). Определить точечную группу этого полиэдра и найти ее
трехмерные подгруппы.
ГЛАВА2
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Описаны конечно порожденные абелевы группы, исполь-
используемые при исследовании строения кристаллографических
групп на плоскости и в трехмерном пространстве. Рассмот-
Рассмотрены пространственные группы кристаллов и родственные
им конструкции.
2.1. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
Многие группы бесконечного порядка, используемые в кри-
кристаллографии и ее физико-химических приложениях, выводятся
из конечного набора элементов (конечно порождены). Рассмот-
Рассмотрим строение конечно порожденных абелевых групп. Предпо-
Предположим, что в изучаемых абелевых группах основная операция
является сложением, т. е. абелевы группы имеют аддитивную за-
запись. Элемент а абелевой группы в целочисленной степени т € Z
будем обозначать та:
. + а, m > О
та- i ra-g-...-q, m < 0.
т раз
Определение 2.1. Элементы е = (ei, ... , еп) являются ба-
базисом абелевой группы А, если выполняются следующие условия:
1) элементы из е независимы, т.е. из того, что т\е\ + ••• +
+ тпеп = 0, где mi, ... , тп € Z, следует, что mi = • • • = тп = 0;
2) элементы из е порождают группу А, т. е. каждый элемент
х ? А можно представить в виде х = miei + • • • + тпеп.
Другими словами, каждый элемент х ? А имеет, и притом
единственное, представление в виде
x = miei + --- + mnen, mi G Z. B-1)
Группа А свободная, если она обладает базисом. Рангом сво-
свободной абелевой группы А называют число элементов в базисе А.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Для абелевой группы А сле-
следующие условия эквивалентны:
74
1) группа А обладает базисом е =
2) группа А изоморфна группе
ь ... , еп);
B.2)
Доказательство. Если е — базис в группе А, то
зададим гомоморфизм \|/ из группы А в группу B.2) по
правилу: если х € А имеет представление B.1), то \|/(х) =
= (mi, ... , тп). Нетрудно проверить, что \|/ является изо-
изоморфизмом групп. Таким образом, из условия 1) следует
условие 2).
Обратно, пусть выполнено условие 2). Тогда группа B.2)
обладает базисом е = (ei, ... , еп), где
е* = @, ... , 1,0,... ,0), 1 = 1,... ,п.
Таким образом, элементы свободной абелевой группы мож-
можно понимать как векторы с целочисленными координатами.
Свободную абелеву группу образуют, например, все векторы
(nieb п2е2), где пъп2 € Z (рис. 2.1).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Число векторов в базисе
свободной абелевой группы определено однозначно. Други-
Другими словами, ранг свободной абелевой группы определен од-
однозначно.
Доказательство. Пусть (ei,... , еп) и (Д,... , /ш) —
два базиса в А. Предположим, что т > п. Тогда каждый
базисный вектор fj имеет представление
г=1
Рис. 2.1. Пример свободной абелевой группы с базисом е = (ei, ег) в R2.
Каждая точка задает положение вектора (тиеьпгег) из этой группы
75
Строки матрицы (aji) ? Mat(m x n,Z) линейно зависимы над
полем рациональных чисел Q (см. гл. 7). Следовательно,
они линейно зависимы над ZCQ. Поэтому найдется такой
ненулевой набор целых чисел bi, ... , bm ? Z, что
/
=0.
\ami ... атп)
Отсюда bi/i + • • • + bmfm = 0, что противоречит независи-
независимости /ь ... , /т.
Упражнение 2.1. Доказать утверждение. Пусть А — сво-
свободная абелева группа с базисом е = (ei, ... , еп). Предположим, что
ci, ... , Сп — элементы произвольной абелевой группы С. Тогда суще-
существует (и притом единственный) такой гомоморфизм \jr : А —> С, что
\|/(е*)=с?, l^i^n.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть А — свободная абелева груп-
группа с базисом е = (ei, ... , еп). Тогда число разных гомомор-
гомоморфизмов из А в циклическую группу порядка 2 равно 2П.
В частности, ранг А, равный сумме образов ?)Ф(ег) при
«единичном» гомоморфизме ф: А —> R*, где ф(вг) = 1, опре-
определен однозначно (см. предложение 2.2).
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть А — свободная абелева группа
ранга п. Если В — ненулевая бесконечная подгруппа в А, то
она свободная и ее ранг не превышает п.
Доказательство. Будем вести доказательство ин-
индукцией по п. Если п = 1, то А ~ Z. Тогда группа А цикличе-
циклическая и, следовательно, по теореме 1.5 группа В = (Ь) цикли-
циклическая, причем Ь i> 0. Тогда элемент Ь является базисом В,
т. е. подгруппа В свободная.
Пусть для п- 1 теорема доказана, и е = (ei, ... ,еп) —
базис в группе А. Обозначим через Я совокупность всех
целочисленных линейных комбинаций базисных элементов
ei, ..., en_i. Тогда Н является свободной абелевой группой
с базисом (ei, ... , en_i). По индукции В П Я — свободная
абелева группа с базисом (/i, ... , /ш), где т < п-1. Следо-
Следовательно, если В С Я, то теорема доказана.
Пусть В $? Я. Выберем такое наименьшее натуральное
число d, что элемент / = с\е\ + • • • + cn~ien-i + den ? 2?. Пока-
Покажем, что элементы Д, ... , /т,/ составляют базис В. Дей-
Действительно, если Ь = и\е\ + * • • + tznen € В, tz; € Z, то un = rd
для некоторого г ? Z. В самом деле, пусть tzn = rd + /, где
0 < / < d. Тогда b-rf = tz^ei + • • • + u'nmmlen-i + Jen ? В, что про-
76
тиворечит выбору d, если I ^0. Итак, un = rdnb-rf € ВПН.
Поэтому Ь - г/ = ai/i + • • • + am/m, щ е Z. Таким образом,
Ь = r/+ai/i+- • -+am/m, где г, a; € Z. Следовательно, элементы
/,/ь-..,/т B.3)
порождают В.
Покажем, что элементы B.3) независимы. Пусть
rf + aifi + ¦ • • + am/m = 0, г,сц € Z. B.4)
Ввиду линейной независимости базисных векторов ei,...,
еп, задающих элемент /, коэффициент при еп в левой части
B.4) rd = 0, откуда г = 0, ибо d =/ 0. Таким образом, из B.4)
получаем, что ai/i+- • •+amfm = 0, откуда ai = • • • = % = 0, ибо
элементы Д, ... , /ш независимы. Итак, элементы B.3) обра-
образуют базис подгруппы В и их число равно m+1 < n-1+l = п.
Определение 2.2. Целочисленные элементарные пре-
преобразования строк (столбцов) целочисленной матрицы состоят
из двух типов преобразований:
1) умножение слева (справа) на элементарные матрицы Е+
+ aEij,a€ Z;
2) умножение строки (столбца) на -1.
Упражнение 2.2. Показать, что целочисленными элементар-
элементарными преобразованиями строк (столбцов) можно переставить любые
две строки (столбца).
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть А е Mat(n x m, Z). Целочислен-
Целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов
можно привести А к диагональному виду diag(di, cfo, .. .)> где
Доказательство. Можно считать, что А = (ау
Пусть 8(А) — минимум модулей ненулевых элементов мат-
матрицы А. Предположим, что целочисленная матрица А це-
целочисленными элементарными преобразованиями строк и
столбцов уже приведена к такому виду, что 5(А) далее
уменьшить нельзя. Переставляя строки и столбцы и умно-
умножая, если необходимо, на -1, ее можно привести к Ь(А) = оц.
ЛЕММА 2.1. аи делит a\j, ац при всех г, j.
Доказательство. Предположим, например, ац не
делит O21. Тогда п2\ = qa\\ + г, где 0 < г < ац. Вычитая из
второй строки первую, умноженную на д, получаем на месте
п2\ элемент а^ =г, что противоречит выбору 8(А) = ац.
Совершая элементарные преобразования строк и столб-
столбцов, по лемме 2.1 можно добиться, чтобы ау = ац = 0 для
77
всех i,j >1. Доказательство теоремы завершается индукци-
индукцией по размеру матрицы.
Разные элементы свободной абелевой группы А взаимосвяза-
взаимосвязаны операциями сдвигов, или операциями трансляционной сим-
симметрии, в пространстве с базисом (ei,...,en). Покажем, что это
справедливо для элементов любой подгруппы в А.
ТЕОРЕМА 2.3 (теорема о согласованном базисе).
Пусть В — ненулевая подгруппа в свободной абелевой груп-
группе А ранга п. Тогда в А существует такой базис е = (ei, ... , еп)
и такие натуральные числа di,d2,...dfc, гДе к < п, что эле-
элементы d\e\, ... , с{д.ед. составляют базис В.
Доказательство. Выберем в группе А базис
/i... ,/п, и в группе В — систему порождающих элементов
0ъ • • • > 9k,k < п (см. теорему 2.1). Тогда
Рассмотрим А = (ay) € Mat(fc x n,Z) — целочислен-
целочисленную матрицу. Целочисленные элементарные преобразова-
преобразования строк А соответствуют элементарным преобразованиям
базиса gi, ..., д^, а целочисленные элементарные преобразо-
преобразования столбцов А соответствуют элементарным преобразо-
преобразованиям базиса /i..., /п. По теореме 2.2, изменяя оба базиса,
можно получить д\ = di/i, ... , д^ = d^Д.
Таким образом, теорема о согласованном базисе позволяет
найти репер подрешетки А\ с А(Г), являющейся подгруппой в А
1 / x^
N4.
Рис. 2.2. Базисы решетки Л(Г) и ее подрешетки А\ с А(Г)
78
относительно сдвигов (рис. 2.2) 0 ^
Однако в кристаллических со-
соединениях (например, NaCl, ал- Рис- 2-3- Подгруппа Х[у/Щ в R
маз и др.) положения атомов
связаны не только сдвигами, но и такими операциями симмет-
симметрии, как повороты и отражения. Чтобы описать такие системы,
следует расширить совокупность рассматриваемых нами групп.
Определение 2.3. Абелева группа А конечно порожде-
порождена, если существуют такие элементы а\, ... , ап € А, что каж-
каждый элемент х Е А можно представить в виде х = с\а\ + ••• +
Например, в группе R1 конечно порождена подгруппа Z[\/2],
состоящая из всех чисел вида т+пу/2, где m, n € Z. Эта подгруппа
всюду плотна в R1, т. е. в каждом непустом интервале на прямой
содержится хотя бы одна точка из Щ\/2] (рис. 2.3). (Утверждение
вытекает из того, что у/2 можно сколь угодно точно приблизить
рациональным числом. Так, например, в любой окрестности ну-
нуля найдутся числа вида -т + [т/\/2] \/2, где т € Z и [т/\/2] —
целая часть числа т/у/2.)
Можно показать, что группа Q всех рациональных чисел от-
относительно сложения не является конечно порожденной.
Установим соотношение свободной и конечно порожденной
абелевых групп.
ТЕОРЕМА 2.4. Конечно порожденная абелева груп-
группа является прямой суммой свободной абелевой группы и
некоторого конечного числа примарных циклических групп.
(Напомним, что примарной называется циклическая группа,
порядок которой является степенью простого числа, см. под-
разд. 14.)
Доказательство. Пусть А — конечно порожденная
группа и ai, ... , ап е А — ее порождающие элементы из
определения 2.1. Рассмотрим свободную абелеву группу F
ранга п — например, группу вида B.2). Выберем в F базис
ei, ..., еп и зададим гомоморфизм ? : F -» Л, при котором
Нетрудно видеть, что ?, является эпиморфизмом. Пусть
В = ker?. По теореме 2.3 можно считать, что d\e\, ..., d^e^
составляют базис В, где d\, ..., d*. — натуральные числа,
к < п. Зададим в F к нормальных подгрупп ранга < 1:
79
_ jZdiei, если 1 < i < fc;
10? если fc < г < п.
По теореме 1.11 о гомоморфизмах и по теореме 1.21 по-
получаем
A-F/B- (Zei/JVi) e • • • 0 (Zen/Nn). B.5)
Если 1 ^ г < fc, то
ei ~ Z/Zd*. B.6)
По теореме 1.20 группа B.6) разлагается в прямую сумму
примарных циклических групп.
Если А; < г < п, то N{ = 0, и поэтому Zei/Ni ~ Z. Итак,
из B.5) получаем, что А ~ (Ф^С*) © #> Где Ci — примарные
циклические группы, и
я = ze---ez.
n-fc
По предложению 2.1 группа Я свободна.
Приблизим описание конечно порожденных абелевых групп
к симметрии кристаллов
Определение 2.4. Группа д не имеет кручения, если в
ней нет нетривиальных, т. е. отличных от единичного, элементов
конечного порядка.
СЛЕДСТВИЕ. Конечно порожденная абелева груп-
группа без кручения свободна.
На рис. 2.1 — 2.3 были представлены примеры бесконечных
абелевых групп без кручения. Однако ими не исчерпывается вся
совокупность бесконечных абелевых групп. Так, вершины пра-
правильного шестиугольника на плоскости, переводящиеся одна в
другую поворотами на k%/3 (fc G Z1) вокруг центра фигуры, об-
образуют циклическую группу 6-го порядка. Эта группа по тео-
теореме 1.20 разлагается в прямую сумму примарных циклических
групп 2-го и 3-го порядков. Поэтому группа симметрии гексаго-
гексагональной сетки на плоскости конечно порождена, но не свободна.
Конечно порожденные абелевы группы общего вида (т. е. с кру-
кручениями) особенно важны для приложений, так как они описы-
описывают симметрию кристаллических тел.
В кристаллографической и физической литературе решетку
кристалла обычно изображают системой точек, т. е. фрагментом
дискретного бесконечного множества. Дадим этому формальное
обоснование.
80
Определение 2.5. Подгруппа Я аддитивной группы ве-
вещественного n-мерного векторного пространства Rn дискретна,
если существует такая окрестность U нуля 0, что U П Я = 0.
ТЕОРЕМА 2.5. Дискретная подгруппа в Rn свободна.
Доказательство. По следствию из определения 2.4
достаточно показать, что подгруппа Я конечно порождена,
так как она не имеет кручений. Выберем в Я максимальную
линейно независимую систему векторов /ь ... ,/ь к < п.
Положим
г=1 J
Тогда Г является компактом, т. е. замкнутым ограничен-
ограниченным множеством, и, следовательно, ГпЯ конечно. Остается
заметить, что Я порождается элементами из ГпЯ и элемен-
элементами /ь ..., Д.
Определение 2.6. Дискретная подгруппа Я в Rn назы-
называется решеткой, если ранг Я как свободной абелевой группы
равен п.
Отметим, что это определение относится только к операциям
группы и не включает никаких материальных объектов, связан-
связанных этими операциями (например, молекул и атомов в кристал-
кристалле). Такое тривиальное замечание все же полезно, поскольку в
некоторых простейших кристаллических структурах (например,
a-Fe) позиции всех атомов можно совместить с узлами трехмер-
трехмерной решетки. В общем случае это не так, хотя на рисунках кри-
кристаллических структур часто изображают и их решетки для вы-
выявления элементов симметрии.
ТЕОРЕМА 2.6. Пусть G — дискретная подгруппа в
Rn с базисом е = (ei, ... , е&). Тогда векторы из е независимы
Доказательство. Пусть, например, е\ = Х2е2 + • • • +
+Xkek, где Xi € R. Положим
S = {а2е2 + • • • + akek | 0 < а,- < 1, j = 2, ..., к} .
Тогда S является компактом, и, следовательно, как и в
предыдущей теореме, S П G конечно.
Для любого натурального числа d получаем
dei = [dX2]e2 + • • • + [dXk]ek
где [dki] — целая часть числа 7^ и $2е2 + • • • + $кек € S П G.
81
Поэтому найдутся такие натуральные числа d\ > g^, что
d\ei - c^ei лежит в подгруппе, порожденной е2, ..., е/-, т. е.
{d\ - d2)e\ = Ш2в2 + • • • + m/.e/j, где rrij Е Z. Это противоречит
определению базиса в G.
Упражнение 2.3. Пусть G — подгруппа в R, порожденная
1, у/2. Будет ли она плотной в R?
Говорят, что последовательность векторов хп евклидова про-
пространства Е сходится к вектору х Е Е, если limn_+oo ||хп-х|| =0,
где ||х|| — длина вектора х Е Е. Напомним, что подмножество X в
евклидовом пространстве Е называют замкнутым, если из схо-
сходимости любой последовательности векторов xnGl, п = 1,2,...,
к вектору х Е Е следует, что х Е X. Примером замкнутого под-
подмножества являются дискретные подгруппы в Rn. Теорема 2.7,
приводимая без доказательства, обобщает теоремы 2.5 и 2.6.
ТЕОРЕМА 2.7. Пусть G — замкнутая подгруппа в ад-
аддитивной группе векторов n-мерного евклидова простран-
пространства Е. Тогда существует такое прямое разложение Е в сум-
сумму подпространств Е = V ф С/, что G = V ф F, где V — адди-
аддитивная группа векторов в V и F — дискретная подгруппа
в U.
Данная теорема позволяет описывать такие объекты в евкли-
евклидовом пространстве, которые обладают трансляционной симмет-
симметрией не по всем его координатам — например, бордюры на плос-
плоскости.
2.2. РЕШЕТКИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Исследуем подгруппы аддитивной группы векторов п-мерного
евклидова пространства Е. В результате получим основные свой-
свойства решеток, используемые в кристаллографии.
Определение 2.7. Дискретная подгруппа А в аддитив-
аддитивной группе евклидова пространства Е называется решеткой в
ZS, если ее ранг равен размерности пространства Е. В силу тео-
теорем 2.5 и 2.6 в свободной абелевой группе А существует базис,
являющийся одновременно базисом пространства Е.
Если L — решетка в Е, то дуальной {взаимной) решеткой
[41, гл. I, §5] называют множество L* всех таких векторов х е ZS,
что скалярное произведение (х, z) E Z для всех z E L. Обратной
решеткой называют множество всех таких х € Е, что (х, z) E 2tcZ
для всех z E L.
82
Ясно, что элемент х лежит в обратной решетке в том и только
в том случае, если х/2я Е L*.
ТЕОРЕМА 2.8. Если L — решетка в Е, то L* дей-
действительно является решеткой (т.е. соответствует опреде-
определению 2.7).
Доказательство. Если х,у Е L*, то для любого
z G L имеем
(х + у, z) = (x, z) + (у, z) Е Z, (-х, z) = -(x, z) Е Z.
Поэтому L* является подгруппой аддитивной группы Е.
Согласно теоремам 2.5 и 2.6, в свободной абелевой груп-
группе L существует базис е = (ei, ..., еп), являющийся бази-
базисом пространства Е. По предложению 7.3 в пространстве Е
имеется дуальный базис е' = (e'v ..., e{J, обладающий тем
свойством, что (ej,ej-) = 5^- (символ Кронекера) для всех
г, j = 1, ..., п. В частности, каждый вектор е^, ..., е'п лежит
bL*.
Пусть х = x\e'x + • • • + xne^ G L*. Тогда для любого j имеем
(x,ej) = xj G Z. Отсюда следует, что L* является свободной
абелевой группой с базисом е'г, ..., е'п.
СЛЕДСТВИЕ. Если L - решетка в Я, то L** = L.
Фундаментальной областью решетки L с заданным в ней ба-
базисом е = (ei, ..., еп) называется параллелограмм
Разумеется, это определение зависит от выбора базиса е. Обь-
емом параллелограмма Р называют число V(P) = v^detG(e), где
G(e) — матрица Грама базиса е:
((ebei) (еьеп)
(en,ei) (en,en)
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Объем V = V{P) не зависит
от выбора базиса.
Доказательство. Пусть е; = еС — другой базис
в свободной абелевой группе Е и С — матрица перехода.
Тогда матрица С имеет целые коэффициенты, и потому ее
определитель — целое число. Но е = е'С, причем С также
целочисленная матрица, поэтому и ее определитель — целое
число. Поскольку СС~1 = Е, то (detC)(detC) = 1. Отсюда
вытекает, что det С = det С = ±1.
83
По G.2) имеем G(e') = 1Св(е)С, и поэтому
V(P') =
Таким образом, можно говорить об объеме фундаментальной
области V, не привязывая ее к какому-либо базису.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Пусть L — решетка с объе-
объемом фундаментальной области V и L* — дуальная решетка
с объемом фундаментальной области V*. Тогда V • V* = 1.
Доказательство. Пусть е — произвольный базис
решетки L и е* — дуальный базис, являющийся по тео-
теореме 2.8 базисом дуальной решетки L*. В силу предложе-
предложения 7.3 получаем G(e*) = G(e)". Отсюда вытекает доказы-
доказываемое утверждение.
Предположим, что в евклидовом пространстве Е заданы ре-
решетка М и подпространство U.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Решетка М как абелева
группа разлагается в прямую сумму М = (М П U) © М7, где
М' — свободная абелева подгруппа в М.
Доказательство. Заметим, что МПС/ является под-
подгруппой в М. Предположим, что хбМиу = Ье!7 для
некоторого целого ненулевого числа fc. Тогда я = у/к € С/ П М.
По теореме 2.3 о согласованном базисе в свободной абе-
левой группе М существует такой базис ei, ...,en, что
еъ • • • * ed> d ^ n составляют базис С/ П М. Поэтому М яв-
Рис. 2.4. Произвольный вектор евклидова пространства / е Е, «растя-
«растянутый» к вектору решетки т е М (N — целое число)
84
ляется прямой суммой С/ПМи свободной абелевой группы,
порождаемой е^+ь ..., еп.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Пусть М - решетка в ев-
евклидовом пространстве Е и / € Е. Для любого а > 0 и
любого D > О найдется такое натуральное число N > D и
элемент га € М, что ||iV/-m|| < е и ||m|| > iV||/|| -с. (Та-
(Таким образом, «растягивая» произвольный вектор евклидо-
евклидова пространства Е в целое число раз, можно неограниченно
приблизить его к одному из векторов решетки, заданной в
этом пространстве, рис. 2.4.)
Доказательство. Обозначим [а] и {а} , соответ-
соответственно целую и дробную части любого вещественного чис-
числа а, т. е. а = [а] + {а} (см. теорему 2.6).
Пусть ei, ..., еп — произвольный базис решетки М. По-
Положим
Нетрудно видеть, что Р является компактом. Пусть /
= Eii Pie», где pi G R. Тогда / = д + /г, где
г=1 г=1
Рассмотрим в Р последовательность элементов h(t) =
= YA=i{t$i}eii ГДе * — натуральные числа. Так как Р —
компакт, то из этой последовательности можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность h(ti),h(t2), ..., где t\ <
< t2 < ... . В частности, найдутся такие числа tf < ?", что
\\h{t") - h(tf)\\ < а, причем N = t" -t' > D. Положим
Тогда Nf-m = (t"-t')f-m = h(t")-h(tf). Остается заметить,
что
IN| = \\Nf + (m - Nf)\\ > | \\Nf\\ - \\m - Nf\\ \ > N\\f\\ - a.
Отсюда вытекает доказываемое утверждение.
Доказанное предложение допускает следующее обобщение.
ТЕОРЕМА 2.9 (теоремаДавенпорта).Предположим,
что задано число a > 0 и векторы ci, ..., Cn-i € Е. Тогда най-
найдется такое число No = Nq(M,о, ci, ..., Cn_i), что для любого
85
вещественного числа N ^ No найдется такой базис ei, ..., еп
решетки М, что ||АГо^ — е^|| < № [41, гл. I, теорема II].
Упражнение 2.4. Пусть задана решетка L в евклидовом про-
пространстве Е. Показать, что если К — компакт в JE7, то К П L конечно.
В частности, в L существует элемент с минимальной ненулевой дли-
длиной.
Приведем без доказательства формулировку известной теоре-
теоремы. Напомним, что подмножество К аффинного пространства
V называется выпуклым, если из того, что две точки х,у Е К,
следует, что весь отрезок [х,у] = {7ix + \iy |X + |i=l, Х,,ц ^ 0} при-
принадлежит К.
ТЕОРЕМА 2.10 (теорема Минковского). Пусть в 71-
мерном евклидовом пространстве Е задана решетка L с объ-
объемом фундаментальной области V. Предположим, что в Е
задан выпуклый компакт К, обладающий тем свойством,
что если х е К, то также -х е К. Если объем компакта
V(K) ^ 2nV, то в К содержится ненулевой элемент из L
[120, с. 601].
2.3. ГРУППА ДВИЖЕНИЙ
Исследуем строение группы движений евклидова простран-
пространства и сформулируем теорему Шенфлиса—Бибербаха, лежа-
лежащую в основе классификации кристаллографических групп. На-
Напомним (см. гл. 1), что преобразование Ф евклидова простран-
пространства Е называют движением, или изометрией, если Ф сохраня-
сохраняет расстояние между любыми двумя точками пространства, т. е.
если ||Ф(х) - Ф(з/)|| = ||я-у|| для всех х,у G Е. Примерами дви-
движений являются сдвиги Ф(х) = х + Ь на фиксированный вектор
b e E (трансляции) и ортогональные преобразования (операции
симметрии геометрических фигур и т.д.). Множество Iso(E) всех
движений евклидова пространства Е образует группу относи-
относительно операции композиции отображений (группу Евклида).
В гл. 1 отмечалось, что справедлива следующая теорема
ТЕОРЕМА 2.11. Преобразование Ф евклидова про-
пространства Е является движением тогда и только тогда, ко-
когда существуют такой ортогональный линейный оператор ф
и такой вектор 6, что Ф(х) = ф(х)+6 для всех х € Е. При этом
Ь = Ф@) и ф(х) = Ф(х) - Ф@) определены по Ф однозначно [46,
с. 196-198].
Линейный ортогональный оператор ф из теоремы 2.11 назы-
называют дифференциалом движения Ф и обозначают ф = йФ. Таким
образом, Ф(х) = кф + Ф@).
86
ТЕОРЕМА 2.12. Пусть Ф — движение евклидова про-
пространства Е. Тогда Е = ЬфЬ1, где L = кег(сй>-?) и ? — тож-
тождественный оператор на Е. При этом ZA инвариантно отно-
относительно dФ. Кроме того, существуют такой элемент b e L
и такая точка О ? ZA, что Ф(х + О) = (йФ)(х) + 6 + 0 для всех
хеЕ [46, с. 198].
Эта теорема означает, что дифференциал с?Ф движения Ф дей-
действует тождественно на подпространстве L. Перенесем начало
координат в точку О. Если х = х\ + Х2 € Е, где rci е L, Х2 € Zr1,
то Ф(ж) = (йФ)(я1 + х%) + Ь = rci + (йФ)(х2) + Ь, причем (с?Ф)(х2) € L-1.
Другими словами, получено винтовое движение вокруг подпро-
подпространства L. Особенно наглядно это видно при п = 3. В этом слу-
случае (см. подразд. 7.7.2, следствие 3), если <1Ф не тождественно,
то dimL = 1, dimlA = 2, причем йФ в плоскости lA действует как
поворот на некоторый угол. Тогда операция Ф задает винтовое
движение в пространстве E^L^L1- вокруг оси L (рис. 2.5).
Вычислим ряд важных элементов группы lso(E). Пусть
Ф,Ф Elso(?). Тогда
ФФ(х) =
Ф@).
B.7)
Таким образом, с^(ФФ) = (<#&)(<№)> т. е. d : lso(E) -> O(JS) являет-
является гомоморфизмом групп. В частности, из свойств гомоморфиз-
гомоморфизма вытекает, что с^Ф") = (йФ). Кроме того, ФФ(О) = (йФ) [Ф@)] +
Ф@). Несложная проверка показывает, что Ф-1@) =-(^)-1 [Ф@)].
Вычислим в группе Iso(JE7) сопряженный элемент ФФФ и ком-
коммутатор {Ф, Ф} = ФФФ~1Ф. Из предыдущих рассуждений следу-
следует, что
d (ФФФ) =
B.8)
Рис. 2.5. Винтовое движение Ф как композиция поворота йФ и сдвига Ь
87
{Ф, Ф}@) = -{<№, dV} (Ф@)) - (йФ)(йФ)(йФ) (Ф@)) + B.9)
Из теоремы 2.11 вытекает следствие.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть О — неподвижная точка дви-
движения Ф, т. е. Ф(О) = О. Если мы перенесем начало коорди-
координат в точку О, то Ф превращается в ортогональный линей-
линейный оператор <1Ф на Е.
Доказательство. По предыдущей теореме для лю-
любого х € Е получаем Ф(х) = (с?Ф)(х) + Ф@). Так как точка О
неподвижна, то Ф(О) = (йФ)(О) + Ф@) = О. Отсюда
Ф{х + О) = (йФ)(х + О) + Ф@) = (<1Ф)(х) + (<1Ф)(О) + Ф@) =
= (йФ)(х) + Ф(О) = {AФ){х) + О.
Определим строение группы lso(E).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Пусть N - подмножество
всех сдвигов из Iso(jE'). Тогда N образует нормальную под-
подгруппу в Iso(E), причем Iso(E)/N ~ О(Е), где О(Е) — груп-
группа всех ортогональных преобразований в Е. Кроме того,
N ~ Е, где Е — аддитивная группа всех векторов х € Е.
Доказательство. Сопоставление каждому движе-
движению Ф его дифференциала AФ задает гомоморфизм групп
d: Iso(E) —> O(J5), причем kerd = N. Поэтому N < lso(E) и
Iso(E)/N ~ О(Е). Сопоставляя с Ф Е N вектор Ф@), получа-
получаем изоморфизм N ~ Е.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть Г — подгруппа в Iso(?), и
ЛГ(Г) = N П Г — множество всех сдвигов из подгруппы Г.
Тогда N(T) < Г, причем фактор-группа Г/ЛГ(Г) изоморфна
подгруппе d(T) в группе О(Е), состоящей из всех йФ, где
Ф € Г, а подгруппа N(T) изоморфна аддитивной подгруппе
А(Г) в ZS, состоящей из всех векторов Ф@) Е Е, где Ф € N(T).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.8. Пусть Г, А(Г) из предыду-
предыдущего следствия. Если Ф Е Г и г е А(Г), то (йФ)(г) € А(Г). Та-
Таким образом, все ортогональные преобразования dФ Е d(T)
переводят множество векторов А(Г) в себя.
Доказательство. Если Ф, Ф е Г, причем с№ = ?
(тождественный оператор), то ^(ФФФ) = ? по B.8) и
Ф@) = г е А(Г). Поэтому в силу B.8)
(ффф-1)@) = -ф(о) + ^Ф) (Ф@)) + Ф@) =
Отсюда (<№) (Ф@)) = (йФ)(г) € А(Г).
88
Установим связь преобразований Ф € Е с преобразованиями
симметрии геометрических фигур, рассмотренных в гл. 1.
Предположим, что задан правильный многогранник М в ев-
евклидовом пространстве Е. Рассмотрим произвольное аффинное
преобразование Ф пространства Е, переводящее М в себя. Если
А — произвольная вершина М, то Ф(А) снова является вершиной
в М. Предположим, что А\,..., Ат — все вершины М, соединен-
соединенные с А ребром. Тогда Ф(А{),..., Ф(Ат) — все вершины М, соеди-
соединенные с Ф(А) ребром. Так как многогранник М правильный, то
совпадают матрицы Грама
G{M - А,..., Ат - А) = С[Ф(Аг) - Ф(Л),..., Ф(Ат) - Ф(Л)].
Так как размерность М равна размерности пространства Е,
то из теоремы 7.15 следует, что Ф является движением. Таким
образом, при изучении групп симметрии правильных многогран-
многогранников нужно на самом деле предполагать, что эта группа состо-
состоит из изометрий, т. е. движений евклидова пространства.
Введем теперь основное для данной главы понятие кристал-
кристаллического множества.
Определение 2.8. Подмножество К евклидова простран-
пространства Е называется кристаллическим, если группа его симметрии
SymK (см. стр. 17) обладает следующими свойствами:
1) для любой точки А € Е существует такое число d(A) > О,
что если ||Ф(А)-А|| < d(A) для некоторого элемента Ф € SymK,
то Ф(А) = А;
2) для любых точек А е К и В е Е найдется преобразование
Ф € Sym К, для которого ||Ф(Л) - ВЦ < D, где D > 0 — фиксиро-
фиксированное конечное число
Первое условие задает дискретность, а второе условие — од-
однородность кристаллического множества К с заданной на нем
группой преобразований симметрии Sym К € Iso(iJ) [27] (рис. 2.6).
Впоследствии Б. Н. Делоне показал, что существование группы
Sym if, перемещающей две произвольные точки х,у е К внутрь
шара конечного радиуса D, можно вывести непосредственно из
дискретности и однородности множества АГ, дополнительно по-
постулировав изоморфизм локального окружения всех точек Х{ е К
в шаре конечного радиуса nD, где п — небольшое целое число
[28]. Первое и второе условия в этом случае называют условиями
Делоне.
Основными примерами кристаллических множеств являются
кристаллические структуры веществ, а также решетки в про-
пространстве Е. Наша цель состоит в описании строения группы
симметрии Sym К кристаллического множества АГ, что позволя-
позволяет получить полную информацию о его строении.
89
Ф(Л)
Рис. 2.6. «Шар дискретности» d и «шар однородности» D кристалли-
кристаллического множества К по Делоне
ТЕОРЕМА 2.13 (теорема Шенфлиса—Бибербаха).
Пусть Г = Sym К — группа симметрии кристаллического мно-
множества К с Е и N = N(F) — все сдвиги из группы Sym К.
Тогда фактор-группа Д = Sym K/N = d(Sym К) конечна, а ад-
аддитивная подгруппа евклидова пространства А(Г) (см. след-
следствие из предложения 2.7) является решеткой в Е [27, гл. 2;
18, гл. 3].
Доказательство этой теоремы приводится в гл. 6.
Используя теорему 2.13, дадим следующее определение.
Определение 2.9. Подгруппа Г в группе движений lso(E)
евклидова пространства Е называется кристаллографической
или пространственной группой, если выполняются следующие
условия:
1) ее аддитивная подгруппа А(Г) с Г является решеткой в Е\
2) d(T) является конечной подгруппой в О(Е).
Конечная группа d(T) € Г является точечной группой, вве-
введенной в гл. 1. Кристаллографическая группа Г симморфная, ес-
если Г является полупрямым произведением Г = N(T) X d(T).
Таким образом, по теореме Шенфлиса —Бибербаха группа
симметрии Sym if любого кристаллического множества К с Е
является кристаллографической. Группа симметрии бесконеч-
бесконечного кристаллического множества в трехмерном пространстве
называется пространственной группой.
СЛЕДСТВИЕ. Для кристаллографической груп-
группы Г найдется такая матрица С € GL(n,R), что C(dT)C~l с
С GL(n,Z). В частности, если А € d(r), то ЬтА € Z.
Действительно, выберем в решетке А (Г) базис, являющийся
базисом Е в силу теоремы 2.6. В этом базисе по предложению 2.8
90
матрица каждого оператора из d(T) задается целочисленной мат-
матрицей, поскольку решетка А(Г) под действием этих операторов
переходит в себя.
Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть задана кристал-
кристаллографическая группа Г. Подгруппа А(Г) в Е является решеткой
и потому кристаллическим множеством. Группа Г является под-
подгруппой в группе симметрии решетки А(Г). При этом конечная
(точечная) группа d(T) ортогональных операторов в Е по пред-
предложению 2.8 переводит решетку А(Г) в себя.
Конечную подгруппу G в группе GL(n,Z) называют точеч-
точечной группой Браве, если G совпадает с группой всех ортогональ-
ортогональных преобразований n-мерного евклидова пространства ?, пере-
переводящих некоторую' решетку в себя. Можно показать, что каж-
каждая конечная подгруппа в GL(n,Z) содержится в некоторой ми-
минимальной точечной группе Браве. Заметим, что в кристалло-
кристаллографии группой Браве называют пространственную группу ре-
решетки Браве, а точечную группу этой решетки называют голо-
голоэдрической.
Определение 2.10. Сингопией называют множество всех
конечных подгрупп в GL(n, Z), имеющих одну и ту же минималь-
минимальную группу Браве.
В заключение этого раздела приведем без доказательства сле-
следующую теорему.
ТЕОРЕМА 2.14 (теорема Жордана). Существует та-
такая функция х(п), что для любой конечной подгруппы G в
SL(n,Z) порядок G не превосходит т(п).
Отметим, что в [18, с. 190] приведены число максимальных
конечных подгрупп в GL(n,Z), число групп Браве и число кри-
кристаллографических групп для п = 2, 3, 4.
2.4. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
В подразд. 2.3 было показано, что для описания строения
кристаллографической группы Г необходимо знать строение ко-
конечной подгруппы Д в группе ортогональных преобразований
пространства. Поэтому в ближайших разделах мы дадим опи-
описание конечных подгрупп в группе ортогональных преобразова-
преобразований и из них выберем соответствующие кристаллографическим
группам, т. е. являющиеся точечными группами симметрии ре-
решеток.
Проанализируем двумерный случай и рассмотрим сначала
строение конечных подгрупп Д в группе SOB,R).
91
ТЕОРЕМА 2.15. Любая конечная подгруппа Д в
SOB,R) является циклической группой.
Доказательство. Группа SOB,R) состоит из всех
вращений двумерного евклидова пространства. В любом ор-
тонормированном базисе этого пространства матрица опе-
оператора вращения на угол а имеет вид
(сова -sina\ ( }
* \sina cos а у v '
Произведение матриц вида B.10) сводится к сложению
углов а. Поэтому группа SOB,R) абелева. Если Д — конеч-
конечная подгруппа в SOB,R), то возьмем в Д матрицу д из B.10)
с наименьшим углом 0 < a < 2я. Легко проверяется, что Д —
циклическая группа, порождаемая указанным элементом д.
Можно привести и более полное доказательство этой теоре-
теоремы. Для этого рассмотрим отображение Т : R —* SOB,R), при
котором
( -sina\
^ ' \^ sin a cosay'
Легко проверить, что Т является сюръективным гомоморфиз-
гомоморфизмом групп, и ker T совпадает с подгруппой 2ftZ, состоящей из всех
вещественных чисел вида 27im, где т е Z. По теореме о гомомор-
гомоморфизмах 1.11 существует изоморфизм групп
SOB,R)~R/2tiZ.
ТЕОРЕМА 2.16. Конечная подгруппа Д в SOB,R),
соответствующая кристаллографической группе Г, являет-
является циклической группой порядка 1, 2, 3, 4, 6.
Доказательство. Если имеется конечная подгруп-
подгруппа Д в SOB, R), то ее полный прообраз Т"(Д) является дис-
дискретной подгруппой в аддитивной группе R. Согласно тео-
теоремам 2.5 и 2.6, Т"(Д) является циклической группой, по-
порождаемой элементом а. Тогда Д порождается соответству-
соответствующей матрицей д из B.10).
Выберем, следуя теореме 2.15, группы, соответствующие
кристаллографическим группам Г. Если д е Д имеет вид
B.10), то tvg = 2 cos a ? Z по следствию из определения 2.9.
71 7С 271
Таким образом, 2 cosa = 0, ±1, ±2, откуда a = 0, ±~, ±-, ±—, тс.
о 2 о
92
ТЕОРЕМА 2.17. Пусть Д — конечная подгруппа в
OB,R). Тогда Д является подгруппой в одной из следующих
групп:
1) циклическая группа вращений порядка п;
2) группа диэдра Dn.
Если группа Д является фактор-группой Т/А(Т) кристал-
кристаллографической группы Г, то в обоих случаях п = 1, 2, 3, 4, 6.
Доказательство. Пусть Д — конечная подгруппа
в QB,R), не лежащая в SOB,R). Тогда Д содержит зеркаль-
зеркальное отражение b относительно некоторой оси, причем б2 = 1.
Если х е Д \ SOB,R), то Ьх е SOB,R) П Д, причем Ьх — сно-
снова зеркальное отражение относительно некоторой оси, т. е.
(ЬхJ = 1. Напомним, что символом 1 мы обозначили груп-
групповую единицу (см. гл. 1).
Рассмотрим группу SOB,R)nA. По теореме 2.15 конечная
группа SOB,R)nA является циклической: SOB,R)nA = (а)п.
При этом группа SOB,R) П Д является подгруппой индекса
2 в Д. Отсюда
т. е. Д = Dn —¦ группа диэдра.
Здесь под Di мы понимаем циклическую группу (Ь) поряд-
порядка 2, порожденную отражением b относительно одной оси. Под
D2 ex V4 понимаем группу Клейна порядка 4, состоящую из отра-
отражений относительно двух осей, центральной симметрии и тож-
тождественного преобразования.
Рассмотрим теперь строение кристаллографических групп Г.
По предложению 2.8 группа Д = к(Г) действует как группа пре-
преобразований решетки А(Г), называемой решеткой Браве.
ТЕОРЕМА 2.18. Для решетки Браве А{Т) с базисом
/ь /2 возможны пять вариантов (рис. 2.7).
• Длины /i, /2 разные, /i, /2 не перпендикулярны. В этом
случае Д, /2 порождают параллелограмм. Тогда Д — под-
подгруппа циклической группы порядка 2 (группы Браве), по-
порождаемой центральной симметрией (поворотом на угол л).
Это примитивная, т.е. нецентрированная решетка косо-
косоугольной сингонии (рис. 2.7, а).
• Длины /i, /2 разные, и /ь /2 перпендикулярны. В этом
случае /i, /2 порождают прямоугольник. Тогда Д — под-
подгруппа группы диэдра D2 порядка 4 (группы Браве), по-
порождаемой зеркальным отражением относительно прямой,
проходящей через /i, и поворотом на я: примитивная ре-
решетка ортогональной сингонии (рис. 2.7, б).
93
s-аУ
a*b, а* я/2,
т. e. (/,,/2) < ob
S=A
b=A>
a*b, a = n/2,
т.е. (/„/,) = eft
b=A-A>
а=А
l/ihl/al
a = 2я/3
Рис. 2.7. Решетки Браве на плоскости и их базисные векторы:
а — косоугольная р; б — ортогональная р; в — ортогональная с; г —
квадратная р; д — гексагональная р
• Длины /i, /2 одинаковы, и /i, /2 не перпендикулярны.
Кроме того, длина /i -/2 отлична от длины /2. В этом слу-
ч&е /i, /2 порождают ромб. Тогда Д является подгруппой
группы диэдра D2 (группы Браве), порождаемой двумя зер-
зеркальными отражениями относительно прямых, параллель-
параллельных диагоналям ромба. Выбирая по теореме о согласован-
согласованном базисе (теорема 2.3) новые базисные векторы а = f\ + /2
и Ь = /i -/2, получим центрированную ортогональную ре-
решетку (рис. 2.7, в).
• Длины /i, /2 одинаковы, Д, /2 перпендикулярны. В этом
случае /ь /2 порождают квадрат. Тогда Д — подгруппа груп-
группы диэдра D4 (группы Браве), а решетка называется при-
примитивной квадратной (рис. 2.7, г).
• Длины /i, /2 одинаковы, /i, /2 не перпендикулярны.
Кроме того, длина Д - /2 равна длине /2. В этом случае
/ь /2 порождают ромб. Тогда Д — подгруппа группы ди-
диэдра D6 (группы Браве), порождаемой двумя зеркальными
отражениями относительно прямых, параллельных диаго-
диагоналям ромба, и поворотом на угол л/3 (примитивная гек-
гексагональная решетка) (рис. 2.7, д).
94
2.5. ТРЕХМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
В трехмерном случае, как и выше, рассмотрим строение ко-
конечных подгрупп в SOC,R), затем в OC,R) и, наконец, возмож-
возможные решетки и их точечные группы симметрии.
Пусть 5 — трехмерная сфера единичного радиуса в трехмер-
трехмерном пространстве с центром в точке нуль. Предположим, что
Д — конечная подгруппа в SOC,R). Тогда каждый неединич-
неединичный элемент из Д является вращением относительно некоторой
оси в перпендикулярной ей плоскости на угол из следствия 1
подразд. 7.7.2. Пересечение этой оси с S состоит из двух точек.
Обозначим X множество всех таких точек на 5 для всех нееди-
неединичных элементов из Д.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.9. Пусть х е X и д € Д. Тогда
д(х) е X.
Доказательство. Пусть Z — неподвижная ось для
Л € Д \1, nxelnS. Tor№jhg-l(g{l))=gh(l)=g(l), т.е. д{1) -
неподвижная ось для ghg е Д \ 1, причем д(х) е дA) П S.
Определение 2.11. Пусть задана точка а е S. Множе-
Множество Х{ всех точек д(а) € 5, получаемых из одной точки а при-
применением всех элементов д е Д, называют орбитой группы Д.
Число точек га* этого множества называется порядком орби-
орбиты. Очевидно, что X разбивается на непересекающиеся орбиты
X = Х\ U ... U Xfa где к — число различных орбит группы Д.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.10. Пусть х е Х{ и Ах - ло-
локальная группа, или стабилизатор точки х, т. е. множество
всех таких g е Д, что дх = х. Локальные группы Д^ всех
точек в г-й орбите изоморфны. Орбита Х{ отвечает разбие-
разбиению Д на гп{ левых смежных классов Д$ Ug2&i U ...
поэтому
Сопоставим каждой точке х е Х{ неединичный элемент
ее локальной группы h е Д* \ 1, оставляющий х на месте.
Общее число разных пар (х, h) в орбите Х{ равно т;(|Дг| -
1). Поскольку каждому неединичному элементу д Е Д \ 1
соответствуют две неподвижные точки на 5, число разных
пар (х, д) во всем множестве X:
Разделим на |Д|, в результате получим
й ^ BЛ1)
95
Так как |Д^| ^ 2 для всех г, то 1-Тд-г ^ г- Поэтому из B.11)
|Дг| 2
1 fc 4
получаем 2A - —) ^ -, т. е. к ^ 4- — < 4. Случай fc = 1
невозможен, поскольку
Следовательно, fc = 2,3.
Пусть fc = 2 и
или
1 1
При этом |Ai|,|A2| < |Д|. Отсюда |Дх| = |Дг| = |Д|. Зна-
Значит, X состоит всего из двух эквивалентных точек, соответ-
соответствующих одной оси, и Д — циклическая группа вращений
вокруг этой оси.
Пусть fc = 3. Тогда, согласно B.11)
1
1
BЛ2)
Не уменьшая общности, можно считать, что 2 ||
< |Д2| < |Дз|- Если |Дх| ^ 3, то в равенстве B.12) правая
часть не больше 1, а левая больше. Следовательно, |Дх| = 2и
l 2_
2 + |Д|
1 1
+
|ДзГ
Непосредственный перебор показывает, что возможны
лишь следующие случаи:
1)|Д2| = 2, |Д3| =
2)|Д2| = 3, |Д3| =
3) |Д2| = 3, |Д3|=4, |Д| = 24;
4) |Д2| = 3, |Д3| = 5, |Д|=60.
Отсюда вытекает первое утверждение следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 2.19. Пусть Д — конечная подгруппа в
SOC,R). Тогда Д — одна из следующих групп:
1) циклическая группа порядка п;
2) группа диэдра Dn;
3) группа вращений тетраэдра Т ~ А4;
96
4) группа вращений октаэдра О ~ S4;
5) группа вращений икосаэдра / ~ А5.
Группы Т и О, состоящие из преобразований симметрии
куба, очевидно, являются кристаллографическими. Группа
/, содержащая вращения на 2пк/5 (к € Z), некристаллогра-
некристаллографическая. Группы (а)п и Dn соответствуют кристаллогра-
кристаллографической группе Г тогда и только тогда, когда п = 1, 2, 3, 4, 6.
Доказательство. Необходимо проверить послед-
последнее утверждение. Пользуясь следствием из теоремы 2.13,
выберем из групп Д только те, которые соответствуют кри-
кристаллографической группе Г. Для этого нам потребуется
лемма.
ЛЕММА 2.2. Пусть $eOC,R), причем hgh €GL{Z,Z).
Тогда существует такая матрица и е SOC, Д), что
(detg 0 \
О cos a -sin а I , B.13)
О sin а cos а )
где а = 0, ±л/3, ±тс/2, ±2я/3, ж.
Доказательство. Из курса алгебры известно, что
матрица ортогонального оператора в некотором ортонорми-
рованном базисе имеет вид B.13). Поэтому
det д + 2 cos а = tx(ugu~l) = tr g = tx{hgh~l) ? Z.
Так как det # = ±1, то 2 cos a € Z. Отсюда вытекает требуемое
утверждение.
Для завершения рассмотрения опишем конечные группы ор-
ортогональных преобразований трехмерного пространства, состо-
состоящие не только из вращения. В соответствии с кристаллогра-
кристаллографической символикой обозначим в этом разделе 1 центральную
симметрию в трехмерном пространстве, т.е. 1х = -х для всех
векторов х.
Упражнение 2.5. Доказать, что Т2 = 1 и 1 е ©C, R) \ SOC, R).
Более того, OC,R) = SOC,R) x (I>2.
Предположим, что А — конечная подгруппа в OC,R), не ле-
лежащая в SOC,R). Тогда А = А П SOC,R) является подгруппой
индекса 2 в А.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.11. Если_1 е А, то А = А х AJ.
Предположим, что 1^ДиД\А = 1М, где М — подмно-
подмножество в SOC,R).
97
- - с?
ч^ ч~
II II
из t-o
CO.
+ II II
|| цМ II
ю -^ d
/
/
4"
\
\
\
\
4^
' 1
i
i
i
N
/JO
^
. • Л II
ч^; ч^ ч^ <i со.
и и n u и
98
d
\
ч^:
/
У
A
У
Л
/
а =/„ с =/j,
\А\ = \А\,
Vo
I
1
N.
/з
5 =Л, с =/3,
l/il-l/il, I
VI
л
/з
А
у
Vila
1.1 1Л| 11
\А+А\-\А+А\-\А+А\,
Шб
ААЛ
ш-ш-ш,
Vile
Рис. 2.8. Трехмерные решетки Браве:
I — триклинная Р; На — моноклинная Р; 115— моноклинная А (базоцентрированная); Шо — орторомбическая Р
(примитивная); III5— орторомбическая С; Шв — орторомбическая / (объемноцентрированная); Шг — орторомбическая F
(гранецентрированная); IV — ромбоэдрическая Р («гексагональная .R»); Va — тетрагональная Р; V6— тетрагональная /;
VI — гексагональная Р; Vila — кубическая Р; VII5—- кубическая /; Vile — кубическая F
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.12. АМ = МА = М, М2 = А2 =
= А. В частности, G = A U М является подгруппой в SOC, R),
причем А — подгруппа индекса 2 в G.
Группу А = AUIM - AU1(G\А) из предложения 2.12 обо-
обозначим GA. Нетрудно видеть, что отображение Ф : G —> А,
задаваемое по правилу
если д е А]
если д е G \ А,
является изоморфизмом групп G и А.
В силу теоремы 2.19 и предложения 2.12 справедлива следу-
следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.20. Пусть А — конечная подгруппа в
0C, R), не лежащая в SOC, R). Тогда А — одна из следующих
групп:
1) (а)п х AJ [Cnh при n = 2fc, S2n при п = 2fc + 1);
2) Dn x AJ (Dnh при п = 2/с, Dnd при п = 2к +1);
3) Г х AJ (ГЛ);
4) О х A>2 @0;
5)/хAJ D);
6) (aJn(a2)n (Cn/i при n = 2fc + l, 5n при n = 2fc);
7) Dn(a)n (Cnv);
8) D2nDn (Dnh при n = 2fc +1, Dnd при п = 2fc);
9) ОГ (Td).
(В скобках приведены символы этих групп по Шенфлису.)
Среди перечисленных точечных групп кристаллографи-
кристаллографической симметрии соответствуют:
1) (а)пх A>2 при п = 1,2,3;
2) Dn х A>2 при п = 2, 3, 4, 6;
3) Т х AJ;
4) О х AJ;
5) (aJn(a2)n при п = 1, 2, 3;
6) Dn(a)n при п = 2, 3, 4, б;
7) D2nDn при п = 2, 3;
8) ОГ.
Сведем все результаты в таблицу. Для сокращения обозначе-
обозначений будем использовать символику Шенфлиса. Из теорем 2.19
и 2.20 вытекает еще одна теорема [95, с. 134].
ТЕОРЕМА 2.21. Имеются 32 кристаллографические
группы, разбиваемые на семь сингоний (табл. 2.1) [95, с. 134].
100
Таблица 2.1
Сингонии и кристаллографические группы (обозначения Шенфлиса)
Сингония
Триклинная
Моноклинная
Орторомбическая
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая
Кристаллографические группы
С\, Ci
С2, Cs, C2h
D2, Civ, D2h
С3, ?>з, C3v, 5e, D3d
C4, Sa, Da, Cav, Did, Сан, &4h
Ce, Csh, E>6, Сбу, DZh, C6h, DQh
T, 0, Tdl Th, Oh
Заметим, что из-за указанной выше неоднозначности в обо-
обозначениях групп, содержащих несобственные вращения, индек-
индексы в шенфлисовских символах некоторых из них расходятся с
порядком главной поворотной оси в сингонии (например, груп-
группа ?>2d с осью Sa относится к тетрагональной сингонии, а группы
Сз/j и D^ содержащие ось 5б, — к гексагональной). Кристалло-
Кристаллографические символы Германа—Могена, рассмотренные в под-
разд. 2.7, всегда согласуются с обозначениями сингонии.
Возможные трехмерные решетки Браве, возникающие на ре-
репере /i, /2, /3, показаны на рис. 2.8 и обсуждаются в подразд. 2.6.
2.6. РЕШЕТКИ БРАВЕ И ИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЯЧЕЙКИ
Сингонии и решетки Браве повсеместно используют в кри-
кристаллографии, физике твердого тела и ряде родственных дисци-
дисциплин. Пять плоских решеток Браве — это примитивные решетки
четырех двумерных сингонии, а также центрированная решет-
решетка ортогональной сингонии (см. рис. 2.7). Элементарная ячейка
плоской решетки Браве — параллелограмм, задаваемый двумя
векторами трансляций а, Ь и углом а между ними*.
Единственной нетривиальной «точечной» операцией симмет-
симметрии косоугольной решетки является инверсия координат (х/о,
у/Ь) в любом узле, а также, ввиду сочетания трансляций с ин-
инверсией, в серединах сторон и в центре элементарной ячейки.
Далее в этой главе векторы решетки будем обозначать символами со стрелкой,
как это принято в физической кристаллографии.
101
Инверсию двумерных координат (х,у) обычно изображают как
действие поворотной оси 2-го порядка, перпендикулярной плос-
плоскости решетки. В остальных плоских решетках Браве есть опе-
операции отражения относительно линий, лежащих в плоскости, а
в квадратной и гексагональной решетках имеются соответствен-
соответственно поворотные оси 4-го и 6-го порядков. Отметим, что плоской
решетки с тригональной симметрией (Czv) нет ввиду обязатель-
обязательной С2-симметрии узлов, но тригональные плоские кристалло-
кристаллографические группы присутствуют в гексагональной решетке в
качестве подгрупп.
Элементарной ячейкой бесконечной трехмерной решетки яв-
является параллелепипед, задаваемый тремя трансляциями а, 6, с
и углами ос, Р,у между их векторами. В каждом узле решетки,
а также в центре ее объема, в центрах граней и на серединах
ребер находятся центры симметрии. Добавление к тройке базис-
базисных векторов семи сингонии, выбранных в виде
ei = B,0,0), е2 = @,2,0), е3 = @,0,2),
центрирующих трансляций
щ = @,1,1), и2 = A,0,1), щ = A,1,0), w = A,1,1),
дает 14 трехмерных решеток Браве. Они включают по одной
примитивной решетке в каждой сингонии и центрированные ре-
решетки трех типов, в которых все базисные векторы имеют це-
целочисленные координаты: (ei,ej,Uj) — базоцентрированная А, В
или С; (г/i, г/2, ^з) — гранецентрированная F; (е^, е^, ги), (щ, Uj, w) —
обьемноцентрированная I (индексы (г, j, k) равны 1, 2, 3). В част-
частности, можно непосредственно убедиться, что г?з = ei+ui-t?2, т. е.
две непараллельные центрированные грани ячейки, порождают
центрирование третьей грани.
Все 14 трехмерных решеток Браве изображены на рис. 2.8.
Другие типы центрирования в семи трехмерных сингониях не
порождают новых решеток. Так, центрирование косоугольного
основания в моноклинной, тригональной и гексагональной ячей-
ячейках не дает новых решеток, поскольку все центрированные дву-
двумерные сетки в трехмерных решетках могут быть только ор-
ортогональными (см. подразд. 2.4). Центрирование любых боко-
боковых граней или объема ячейки в тригональной либо гексаго-
гексагональной сингонии, размноженное операциями симметрии, дает
примитивную ячейку с половинными параметрами; базоцентри-
базоцентрированная кубическая ячейка превращается операциями симмет-
симметрии в гранецентрированную, гранецентрированная тетрагональ-
тетрагональная — в тетрагональную объемноцентрированную с параметром
а! = а/\/2 и т. д.
102
В отличие от двумерного случая в трехмерном пространстве
у тригональной сингонии есть собственная примитивная ром-
ромбоэдрическая решетка Браве, не совпадающая с примитивной
гексагональной решеткой (содержащая несобственные вращения
5б вместо собственных вращений Со). Однако из-за одинаковой
метрики эти две решетки с разными группами Браве иногда
объединяют в гексагональную сингонию, преобразуя примитив-
примитивную тригональную ячейку в гексагональную дважды центриро-
центрированную ячейку втрое большего объема (гексагональную R) (см.
рис. 2.8,1V).
Упражнение 2.6. Показать, что в тетрагональной сингонии
базо- и гранецентрированная ячейки преобразуются к другим ячейкам.
Локальную симметрию решетки удобно представлять обла-
областью Дирихле: множеством точек пространства, находящихся
ближе к данному узлу решетки, чем ко всем остальным ее узлам.
Область Дирихле плоской решетки ограничена перпендикуляра-
перпендикулярами к серединам отрезков, проведенных от данного узла решетки
к ее соседним узлам. В косоугольной решетке это центросим-
метричный шестиугольник (рис. 2.9). Непрерывными деформа-
деформациями решетки, сохраняющими ее трансляции, эту область Ди-
Дирихле симметрии C<ih можно преобразовать в две разные фи-
фигуры более высокой симметрии D2h- Стягивание в точки двух
противоположных ребер исходного шестиугольника дает прямо-
прямоугольник (примитивная прямоугольная решетка), а выравнива-
выравнивание двух пар смежных ребер — шестиугольник с двумя взаим-
взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (центрирован-
ная прямоугольная решетка с дополнительным узлом I «»«))•
Дальнейшими деформациями
прямоугольную область Ди-
Дирихле переводят в квадрат-
квадратную (квадратная решетка), а
шестиугольную — в правиль-
правильный шестиугольник (гексаго-
(гексагональная решетка) (рис. 2.10).
В трехмерном случае об-
область Дирихле ограничивают
перпендикулярные плоскости,
проведенные через середины
отрезков, соединяющих узел
решетки с соседними узлами. Рис 2.9. Параллелограмм повто^
Области Дирихле трехмерных рЯеМости и область Дирихле косо-
решеток, называемые также угольной решетки
103
•
?"'
i~
•
•
•
•
pAmm
I
•
•
••i
•
•
•
pmrnl
Рис. 2.10. Схема вывода пяти плоских решеток Браве деформациями
примитивной косоугольной решетки
стереоэдрами (параллелоэдрами), полиэдрами Вороного или (в
физике твердого тела) ячейками Вигпера — Зейца, по опреде-
определению заполняют трехмерное пространство. Существует лишь
пять метрически неэквивалентных параллелоэдров (параллело-
(параллелоэдров Федорова): это федоровский кубооктаэдр, или усеченный
октаэдр A4-гранник с 8 шестиугольными и б четырехугольными
гч
Рис. 2.11. Пять метрически неэквивалентных параллелоэдров Фе-
Федорова
104
Рис. 2.12. Полиэдры Вороного, отвечающие трехмерным решеткам Бра-
ве B4 сорта, по сингониям) в проекциях вдоль кристаллографических
направлений (см. [11, 27]). Указаны центрировка решетки (Р, С, /, F)
и число граней (шестиугольных + четырехугольных).
I — триклинная сингония: 1 — Р(8 + 6), 2 — РD + 8), две проекции, 3 —
Р@ + 12), проекция и вид; II — моноклинная сингония, проекции: 4 — С(8+6),
5- С(8 + 6), 6- СD+8), 7- СD + 8), 8- С@+12), Р- РB + б); III - орто-
ромбическая сингония: 10— F(8+6), две проекции, 11 — /(8+6), 12— /D+8),
Две проекции, 13— /@ + 12), две проекции, Ц — СB+б), 15— Р@ + 6); IV —
тригональная сингония: i^ — Р(8 + б), 17— Р@ + б); V — тетрагональная
сингония: 18— /(8+6), 19— /D+8) (вытянутый ромбододекаэдр), проекция
и вид, 20 — Р@ + 6) (тетрагональная призма), проекция и вид; VI — гек-
гексагональная сингония (гексагональная призма), 21 — РB + б), проекция и
вид; VII — кубическая сингония, вид и элементарная ячейка решетки: 22 —
Федоровский кубооктаэдр /(8 + 6), 23 — ромбододекаэдр F@ +12), 24 — куб
Р@ + 6)
105
гранями)*, ромбододекаэдр A2 четырехугольных граней), вы-
вытянутый ромбододекаэдр A2-гранник с 8 четырехугольными и
4 шестиугольными гранями, получаемый растяжением ромбо-
ромбододекаэдра вдоль телесной диагонали), шестиугольная призма
(восьмигранник с двумя шестиугольными и б четырехугольны-
четырехугольными гранями) и прямоугольный параллелепипед F четырехуголь-
четырехугольных граней) (рис. 2.11). Все эти полиэдры (в общем случае нерав-
неравносторонние), как и все их грани, центросимметричны и пере-
переводятся один в другой непрерывными деформациями решетки.
В семи сингониях реализуются 24 вида полиэдров Вороного, об-
обладающих разной точечной симметрией (рис. 2.12).
2.7. МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ
ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
Для обозначения точечных и пространственных групп в кри-
кристаллографии используют в основном не систему Шенфлиса,
а международную систему Германа—Могена, в которой символ
группы составлен из порождающих ее элементов симметрии. По-
Поворотную ось обозначают цифрой N (порядок оси), а fc-кратный
поворот, как и в системе Шенфлиса — показателем степени Nk
(З1 = С3, 42 = С\ = 2 и т. д.). Единичный элемент группы по меж-
международной системе обозначают 1. Для несобственного враще-
вращения R с det(ii) = -1 в международной системе используют гео-
геометрический образ, отличающийся от зеркального поворота в
системе Шенфлиса: поворот с инверсией. Инверсионная ось N
отвечает тем же операциям симметрии, что и соответствующая
ей зеркально-поворотная ось 5П, но выполняемым в другой по-
последовательности (рис. 2.13): З1 = Sq1 = Sq, З2 = 5| и т.д.
Инверсионную ось обозначают цифрой (порядком оси) с чер-
чертой сверху, графически — сочетанием символов поворотных осей
при четном порядке инверсионной оси D, б) или оси с центром
инверсии при нечетном порядке C, 5). Следует помнить, что
компоненты поворотов с инверсией, как и зеркальных поворо-
поворотов, по отдельности не обязаны быть элементами той же группы.
Инверсионная ось нечетного порядка к соответствует зер-
зеркально-поворотной оси порядка 2fc, и наоборот C = Sq, 6 = S3, 5 =
= S10 и т.д.). Инверсионные оси порядка 4fc соответствуют зер-
* Истинный кубооктаэдр симметрии О^, в котором грани куба пересекаются в
серединах ребер октаэдра (а следовательно, вместо восьми шестиугольных граней
имеется восемь треугольных), не заполняет трехмерного пространства. Далее в
этой книге используется преимущественно федоровский кубооктаэдр, т. е. октаэдр
со срезанными вершинами (см. рис. 2.12, 22).
106
а б
Рис. 2.13. Преобразования точки 1 операциями:
а — инверсионной оси 3; б — зеркально-поворотной оси 5в
кально-поворотным осям того же порядка D1 = Sf, 81 = Sf, 82 =
= Sf = С\ и т. д.). Центр инверсии по Герману — Могену обознача-
обозначают 1, плоскость симметрии — отдельным символом т. Элементы
симметрии 32 кристаллографических точечных групп приведе-
приведены в табл. 2.2.
Символы групп низшей и средней категорий в международ-
международной системе начинаются с главного элемента: поворотной либо
инверсионной оси наиболее высокого порядка. В группах низшей
категории старшим элементом является плоскость m = 2. Груп-
Группы, не содержащие других элементов симметрии, кроме главной
оси или плоскости, обозначают единственным символом: С{ = 1,
Cs = m, C<i = 2, Съ = 5, Sq = 3 и т.д. При наличии других эле-
элементов симметрии их записывают вслед за символом главного
элемента: C<iv = rnm2, D2h = mmm, Ds = 32, Csv = 3m и т. д.
В обозначение точечной группы может входить не более четы-
четырех элементов симметрии, задающих групповые операции. Плос-
Плоскость зеркального отражения, перпендикулярную главной оси,
записывают вслед за ней символом /т (C^h = 4/m, D^ = 6/ттт
и т.д.). Затем приводятся символы вертикальных плоскостей и
(или) горизонтальных осей; одинаковые операции из двух раз-
различных классов указывают раздельно (Csv = 3m, но C±v = 4mm и
т. д.). Группы Cnh нечетного порядка п = 2fc + l, содержащие вме-
вместе с поворотной осью п-го порядка горизонтальную плоскость m
и инверсионную ось порядка 2п в качестве самостоятельных эле-
элементов симметрии, обозначают одиночным символом инверсион-
инверсионной оси: Csh = 6, C^h = 10 и т. д. При наличии в некоторых группах
как вертикальных плоскостей т, так и осей 2, перпендикуляр-
перпендикулярных главной оси, указывают оба символа: D^d - 42m, D3/1 = §m2
(но ?>3d = 3m).
Для семи точечных групп высшей категории используются
специальные обозначения:
107
Таблица 2.2
Обозначения элементов симметрии 32 кристаллографических
точечных групп
B про
[ВОЛ
екции)
о
¦ А
¦
А
¦
W
Г
Г
Обозначение
по Герма-
Герману—Могену
6
4
3
2
m
т
т
по
Шенфлису
Q
с3
а
а
а
Символ
B проекции)
• т
ф z
и
7
о
О
D
0
Обозначение
по Герма-
Герману—Могену
6 (s3/m)
4
3
1
6/w
А/т
2/iti
по
Шенфлису
«1
i
семейство тетраэдра: группы Т = 23, Т^ = тЗ, Г^ = 43т;
семейство октаэдра: группы О = 432, О^ = m3m;
семейство икосаэдра: группы 7 = 532, 1^ = m5m.
В кристаллографии и физике твердого тела точечные группы
обычно обозначают по Герману — Могену, в химии и молекуляр-
молекулярной спектроскопии — по Шенфлису. Пространственные группы
в кристаллографии чаще всего обозначают по международной
системе.
108
2.8. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Пространственное расположение групповых элементов сим-
симметрии изображают с помощью стереографической проекции.
При ее построении неподвижную точку группы, остающуюся
на месте при всех операциях симметрии, совмещают с центром
(О, 0, 0) трехмерной сферы радиуса 1 и проекции элементов сим-
симметрии из центра сферы на ее верхнюю половину соединяют от-
отрезками прямой с нижним полюсом @, 0, -1). Точки пересече-
пересечения отрезков с плоскостью z = 0 образуют стереографическую
проекцию элементов группы на большой круг экваториально-
tq сечения сферы (рис. 2.14). Перпендикулярной или наклонной
оси симметрии на этой проекции соответствует точка ее пересе-
пересечения с верхней полусферой (обозначенная графическим симво-
символом оси), экваториальным осям и вертикальным плоскостям т —
диаметры, горизонтальной плоскости — круг проекции, наклон-
наклонным плоскостям — дуги (в этом случае изображаемые двойной
линией). Декартовы координаты (?, %) точки стереографической
проекции на плоскости связаны с пространственными координа-
координатами ее прообраза (х, у, z) соотношениями
х =
У =
2JC
Z =
B.14)
Таким образом, стереографическая проекция является нели-
нелинейным преобразованием трехмерного пространства в двумер-
двумерное, не сохраняющим расстояния между двумя точками (но со-
сохраняющим угол между прямыми или плоскостями, опреде-
Рис. 2.14. Стереографическая проекция осей и плоскости симметрии
тетраэдра на экваториальное сечение сферы
109
по
Ill
II
m(Cs)
Рис. 2.15. Стереографические проекции элементов симметрии 32 кристаллографических точечных групп (см. тео-
теоремы 2.19, 2.20):
I —VII — соответственно триклинная, моноклинная, орторомбическая, тригональная, тетрагональная, гексагональная и ку-
кубическая сингония; 1 — 5 — нецентросимметричные группы, 6, 7 — центросимметричные группы. Обозначения даны по
Герману —Могену; в скобках приведены обозначения по Шенфлису; подчеркнуты классы Лауэ (см. подразд. 2.14)
ляемый как угол между касательными к дугам в точке их пере-
пересечения). С помощью стереографической проекции изображают
точечные группы (рис. 2.15) и отвечающие им кристаллографи-
кристаллографические многогранники.
Нередко на стереографической проекции отмечают так назы-
называемую правильную систему точек данной группы, переводи-
переводимых одна в другую ее операциями симметрии, — орбиту груп-
группы. Количество точек общего вида, не лежащих на элементах
симметрии, в правильной системе точек равно порядку группы.
2.9. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ И ПРОСТЫЕ
ФОРМЫ
Точечную симметрию кристаллической решетки наглядно изо-
изображает полиэдр. Разные полиэдры, относящиеся к одной кри-
кристаллографической группе, образуют кристаллический класс.
Все семь сингоний, охватывающие 32 кристаллических класса,
аналогично точечным группам подразделяют на низшие (три-
клинную, моноклинную, орторомбическую), средние (тригональ-
ную, тетрагональную, гексагональную) и высшую (кубическую).
(Напомним, что группы семейства икосаэдра с поворотными ося-
осями 5-го порядка не имеют трехмерных кристаллографических
классов.) Все точечные группы, входящие в сингонию, явля-
являются подгруппами в точечной группе ее решетки Браве. Груп-
Группы низших и средних сингоний, не содержащие горизонтальных
плоскостей, описывают симметрию двумерных решеток. Учи-
Учитывая, что оси 2, лежащие в плоскости решетки, эквивалент-
эквивалентны перпендикулярным к ней плоскостям симметрии га, а ось 2,
перпендикулярная решетке, эквивалентна в ней центру инвер-
инверсии 1, для двумерных решеток получим 10 возможных кристал-
кристаллографических групп (и, соответственно, кристаллических клас-
классов): 1, 2(= 1), га, 3, 4, 6, 77im2(= 222), Зга(= 32), 4mm(= 422),
6mm(= 622).
2.9.1. Простые формы и их комбинации
Действие всех операций симметрии, входящих в определен-
определенную точечную кристаллографическую группу, на плоскость в
трехмерном пространстве порождает собственный полиэдр ее
кристаллического класса, или простую форму: совокупность сим-
симметрически эквивалентных плоскостей, которые могут пересе-
пересекаться. Полиэдр простой формы может быть как открытым (мо-
112
ноэдр, пинакоид, кристаллографический диэдр, пирамида, приз-
призма), так и замкнутым, т.е. выпуклым многогранником (тетра-
(тетраэдр, ромбоэдр, бипирамида, скаленоэдр, трапецоэдр, а также
15 простых форм кубической сингонии). Все грани замкнутой
простой формы, называемой изоэдром, представляют равные
многоугольники; в любую простую форму можно вписать сферу.
При разных расположениях исходной плоскости относитель-
относительно элементов симметрии группы в каждом кристаллическом
классе возникает несколько простых форм. Число граней в про-
простой форме равно кратности правильной системы точек в ее кри-
кристаллическом классе.
В некоторых классах имеется несколько простых форм одной
и той же кратности (например, пирамида и призма, порождае-
порождаемые группой Сп при различной ориентации исходной плоскости
относительно поворотной оси). В частности, моноэдр, состоящий
из единственной плоскости, является простой формой в 10 кри-
кристаллических классах, в каждом из которых его плоскость пе-
переводится в себя элементами симметрии: эти классы совпадают
с 10 точечными группами плоской решетки.
Распределение 47 геометрически различных полиэдров, отве-
отвечающих простым формам, по кристаллическим классам показа-
показано в табл. 2.3 и 2.4; простые формы низших сингонии изображе-
изображены на рис. 2.16.
Кристаллические классы, относящиеся в данной сингонии к
точечной группе наиболее высокого порядка, называют голоэд-
голоэдрическими, т. е. «полногранными». Подгруппам голоэдрическо-
голоэдрического класса отвечают гемиэдрические и тетартоэдрические про-
простые формы, содержащие соответственно h/2 и /i/4 граней (где
h — порядок голоэдрической группы). Гемиэдрические простые
формы средних сингонии можно построить, удалив половину
граней в голоэдрической форме и продолжив оставшиеся гра-
грани до их взаимного пересечения. При разных вариантах такого
построения голоэдрическая бипирамида порядка h преобразует-
преобразуется в бипирамиду, скаленоэдр и трапецоэдр, имеющие h/2 гра-
граней (рис. 2.17). (Трапецоэдры, не имеющие плоскостей симмет-
симметрии, энантиоморфны: они существуют в виде «правого» и «лево-
«левого» стереоизомерных полиэдров, связанных плоскостью симмет-
симметрии, но не переводимых один в другой никакими смещениями в
трехмерном пространстве, см. подразд. 1.10.) Тем же способом
из гемиэдрических полиэдров можно построить тетартоэдриче-
тетартоэдрические.
Простые формы кубической сингонии (рис. 2.18) строят на
основе тетраэдра, октаэдра и куба добавлением вершин-«шапок»
над гранями и нетреугольных граней.
113
Таблица 2.3
Простые формы в кристаллических классах низших и средних сингоний
2
о
3
I
!
а
Простая форма
I
Пина
1
ё
И
со
I
о §
б
Ск
It
1
I
Гекс
Число граней
/t/Bfc) /t/2 /i/Bfc) V^
h/k
Л/fc Л/2
771
2/m
Mi
§ s
222
rara2
mmm
4/m
Тетра-
гональ-
гональная
Тригональная
Гексагональная
422
4mm
42m
4/ттт
3
3
32
3m
3m
6
ICO
6/m
622
6mm
6m2
6/mmm
8
8
16
16
3
6
6
6
12
6
12
12
12
12
24
24
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-H-
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Примечание. ++ — два разных полиэдра в классе; h — максимальный порядок группы в классе; к = 1 или 2.
Таблица 2.4
Простые формы в кристаллических классах кубической сингонии
Простая форма
Тетраэдр
Гексаэдр (куб)
Октаэдр
Ромбододекаэдр
Пентагондодекаэдр
Тригонтритетраэдр
Тетрагонтритетраэдр
Пентагонтритетраэдр
Гексатетраэдр
Тригонтриоктаэдр
Тетрагонтриоктаэдр
Пентагонтриоктаэдр
Тетрагексаэдр
Дидодекаэдр
Гексоктаэдр
Число граней
4
б
8
12
12
12
12
12
24
24
24
24
24
24
48
Кристаллический класс
23
432 | 43т
тЗт
Порядок группы
12
+
+
+
+
+
+
+
24
+
+
+
+
+
+
24
+
+
+
+
+
+
+
24
+
+
+
+
+
+
+
48
+
+
+
+
+
+
Числа граней и ребер в них задает теорема Эйлера для вы-
выпуклых многогранников:
где В — число вершин; Р — число ребер; Г — число граней. Ин-
Интересно, что одной из простых кубических форм является пен-
пентагондодекаэдр симметрии тЗ, т. е. Т^ = 0^0 1^, с 24 гранями в
форме равнобедренных пятиугольников (рис. 2.18, и).
К кубическим простым формам также относят пентагонтри-
пентагонтритетраэдр (рис. 2.18, г) и пентагонтриоктаэдр (рис. 2.18, о), при-
принадлежащие к точечным группам вращений 23 (Т) и 432 (О)
соответственно (см. гл. 1). Правильной системе точек кратности
48 (общей позиции) группы гаЗт (О^) отвечает гексоктаэдр с
48 неравносторонними треугольными гранями. Он порождается
плоскостью, не совпадающей ни с одним элементом симметрии
группы гаЗга (рис. 2.18, п). Поскольку среди кубических про-
простых форм есть три пары топологически подобных полиэдров,
116
XX
J
i
1
r—
e
Рис. 2.16. Простые формы низших сингоний:
а — моноэдр; б — пинакоид; в, г — кристаллографические диэдры; д — з —
соответственно ромбические тетраэдр, призма, пирамида и бипирамида
переводимых одна в другую непрерывными деформациями (ей
з, д и э/с, кинна рис. 2.18), независимы лишь 12 из них.
2.9.2. Индексы Миллера
Ориентацию произвольной системы параллельных плоскостей
в кристалле относительно ребер его элементарной ячейки зада-
задают индексы Миллера (hkl) — тройка чисел, равных кратностям
разбиения каждого ребра отрезками, отсекаемыми от него сосед-
соседними плоскостями. Так, плоскость X, проходящая через верши-
вершину а элементарной ячейки и отсекающая от ее ребер бис отрез-
117
\
г д е
Рис. 2.17. Некоторые простые формы средних сингоний и их сим-
симметрия:
а — голоэдрическая дитригональная бипирамида 6га2 (Изи)', б — гекса-
гексагональная бипирамида (в проекции вдоль главных осей) 6/ттт (Deh)',
в — дитригональный скаленоэдр Зтп (Изл)) г — тетрагональный скаленоэдр
42m (D2d)\ д7 е — соответственно «правый» и «левый» тригональный трапе-
трапецоэдр 32 (D3)
ки Ьх и сх соответственно, имеет индексы h = а/а = 1, к =
I = с/сх- Все кристаллографические плоскости, проходящие че-
через узлы решетки, имеют целочисленные миллеровские индек-
индексы (рис. 2.19); плоскости (hkl) и (пЛ,nfc,nl) (где п — целое чис-
число), параллельны. Отрицательные значения индексов Миллера
обычно изображают чертой над соответствующей цифрой либо
символом (-ft,-fc,-Z) = (ft,fc,i).
Индексы Миллера граней в голоэдрических простых формах
все не равны нулю и связаны операциями симметрии группы,
например:
/О -1 О'
С2(Ш)=|1 О О
\0 0 1
/1 О О
cxz{hkl) =0-10
\0 0 1
= (Ш),
* = (hkl).
Грани простых форм, отвечающих подгруппам кристаллическо-
кристаллического класса (т. е. частным положениям точек на оси симметрии в
правильной системе), могут иметь нулевые или равные индек-
118
Семейство тетраэдра
Семейство гексаэдра
,л~.-^1
Семейство октаэдра
Рис. 2.18. Простые формы кубической сингонии (в скобках указано
число вершин + число граней):
а — тетраэдр Td D + 4); 5— тригонтритетраэдр Т<* (8+12); в — тетрагонтри-
тетраэдр Td A4+12); г — пентагонтритетраэдр Т B0+12); д — гексатетраэдр
Td A4+24); е — гексаэдр (куб) Он (8+6); ж — тетрагексаэдр Oh A4+24); з —
ромбододекаэдр Он A4 + 12); и— пентагондодекаэдр ТнB0+12); к — дидоде-
дидодекаэдр Тн B6 + 24); л — октаэдр Он F + 8); м — тригонтриоктаэдр ОьA4 + 24);
н — тетрагонтриоктаэдр Он B6 + 24); о — пентагонтриоктаэдр О C8 + 24);
п — гексоктаэдр Он B6 + 48)
119
сы Миллера (например, h = к
в гемиэдрических классах сред-
средних сингоний или 1 = 0 в приз-
призмах этих сингоний).
Огранку реальных кристал-
кристаллов иногда удается описать
комбинацией двух или несколь-
нескольких простых форм одного кри-
кристаллического класса. В такой
комбинации грани одного поли-
полиэдра отсекают «лишние» части
другого.
На рис. 2.20 приведены при-
примеры комбинированных поли-
полиэдров: федоровский кубоокта-
кубооктаэдр, или усеченный октаэдр (в
котором кубические грани отсе-
отсекают одинаковые части ребер),
усеченный икосаэдр (структура молекулы фуллерена Сбо), сим-
симметричный (истинный) кубооктаэдр (кубические грани рассека-
Рис. 2.19. Системы кристаллогра-
кристаллографических линий в двумерной ре-
решетке. Пунктирные линии B,1),
штриховые линии C, 2)
в г
Рис. 2.20. Комбинации простых форм:
а — усеченный октаэдр (октаэдр + куб, Oh); б — усеченный икосаэдр (ико-
(икосаэдр + пентагондодекаэдр, 1н)\ в — кубооктаэдр (Oh); г — антикубооктаэдр
(A)
120
ют ребра октаэдра пополам) и его «двойник»: антику бооктаэдр,
содержащий одну ось 3 вместо четырех осей 3 и не имеющий
центра симметрии. Последний полиэдр получают комбинацией
трех простых форм в группе 6m2 (?>з/0: ДВУХ гемиэдрических би-
пирамид и пары горизонтальных плоскостей @01) (пинакоида).
Сочетаниями простых форм можно описывать геометрические
формы кристаллов, а также лигандные полиэдры и кластеры.
2.10.
ПЛОСКИЕ ГРУППЫ G\
Группы симметрии в n-мерном кристаллическом простран-
пространстве, включающие трансляции в m измерениях, в кристалло-
кристаллографии обозначают G^. Трансляционной симметрией в них по-
порождается m-мерное инвариантное подпространство, переводи-
переводимое в себя всеми симметрическими операциями группы. Группы
симметрии дважды периодических структур на плоскости (дву-
(двумерных кристаллов), обозначаемые G\, состоят из пяти плоских
групп Браве и всех их возможных подгрупп. Символы плоских
групп по международной системе начинаются с типа решетки,
обозначаемого строчной буквой р (примитивная) либо с (центри-
(центрированная). Далее в символе группы указывают поворотную ось
B, 3, 4 или 6) и неэквивалентные элементы симметрии, лежащие
ши
т
L 1
Рис. 2.21. Отражение т (а) в группе симметрии бесконечного бордюра
(трансляция т) и скользящее отражение g (б) в ее подгруппе (транс-
(трансляции 2т). Линии скользящего отражения в центрированной ортого-
ортогональной (в) и примитивной тетрагональной (г) плоских решетках
121
рт
Pg
от
t—
1
1
¦
1
1
—t—
1
1
¦
1
1
—i—
—t
1
;
¦
i
i
—k
J
1—•—1
L J
I
1 •
L
1
1
---I—
I
I
^
I
I
f
I
i
..-4...
1
1
p2mg
clmm
p4gm
рЪт\
рЪ\т
pb рьттп
Рис. 2.22. Плоские группы G\ (подчеркнуты симморфные)
122
в плоскости (если такие имеются). Аналогом порядка группы
для конечно порожденных групп с бесконечным числом элемен-
элементов слулсит кратность системы эквивалентных позиций общего
вида, или орбиты точечной подгруппы, т.е. число эквивалент-
эквивалентных точек в элементарной ячейке, не лежащих на ее элементах
симметрии.
По аналогии с точечными группами операции симметрии
плоских групп часто изображают геометрическими символа-
символами — элементами симметрии. Композиция зеркального отраже-
отражения т и переноса (трансляции) на вектор, лежащий в плоскости
га, поролсдает элемент симметрии, не встречавшийся в точечных
группах: скользящее отражение д (рис. 2.21). Операции д перево-
переводят друг в друга узлы прямоугольной центрированной ячейки, а
также узлы в примитивных ячейках тригональной, квадратной
и гексагональной сингоний.
Элементы симметрии всех 17 плоских групп показаны на
рис. 2.22. Их можно вывести геометрически, размещая элементы
симметрии точечной группы в элементарной ячейке ее решетки
Браве и учитывая композиции операций. Сочетание 10 точеч-
точечных групп, отвечающих «плоским» кристаллцческим классам
(см. выше), с пятью двумерными решетками Браве непосред-
непосредственно дает 13 симморфных групп (их символы на рис. 2.22
подчеркнуты). Оставшиеся четыре группы получают заменой
отражений т на скольжения д в группах рта, р2тт B варианта
замены) и р4гага.
Более универсальный алгоритм вывода, применимый к про-
пространству любой размерности, состоит в переборе всех подгрупп
в группах, отвечающих наивысшей симметрии в каждой решет-
решетке Браве. Например, в группе рбтт с 12-кратной системой эк-
эквивалентных позиций имеется три подгруппы рб, р31га и p3ral,
с разными б-кратными системами; в калсдой из них есть под-
подгруппа рЗ кратности 3. Отметим, что в группах р31га и p3ral
линии симметрии га, по-разному расположенные относительно
трансляций решетки, поролсдают несовпадающие системы экви-
эквивалентных позиций. Плоские группы задают симметрию проек-
проекций трехмерных кристаллических структур и используются в
описании атомного строения поверхностей.
2.11. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ G*
В 1890 — 1892 гг. Е. С. Федоров и А. Шенфлис независимо вы-
вывели 219 пространственных групп; в отечественной литературе
их часто называют федоровскими группами. Сочетание элемен-
123
Рис.
тов точечных кристаллографи-
кристаллографических групп с трансляциями
порождает новые, открытые
операции: скользящие отраже-
отражения (см. рис. 2.21) и винтовые
повороты (рис. 2.23) — из соче-
сочетания трансляций с несобствен-
несобственными и собственными враще-
вращениями соответственно. Как и
в случае несобственных враще-
вращений в точечных группах, ком-
компоненты открытых операций по
отдельности могут не присут-
присутствовать в данной группе. Это
справедливо для несимморф-
ных групп, которые не явля-
являются полупрямыми произведе-
произведениями нормальной подгруппы
трансляций и конечной тючеч-
2.23. Винтовые оси и их
трансляции
ной группы ортогональных преобразований.
Плоскость скользящего отражения включает сдвиг на поло-
половину или четверть трансляции вдоль определенного лежащего
в ней вектора. В трехмерном случае такую плоскость обозна-
обозначают a, b или с, соответственно направлению сдвига на полови-
половину трансляции ?j/2, либо п при одновременном сдвиге по двум
трансляциям (l/2)(Xf+fj).
В тетрагональных и кубических группах могут присутство-
присутствовать «алмазные» плоскости скольжения d (diamond)* с переме-
перемещениями A/4)(а±6), A/4)(а±с) или A/4)(а±6±с) вдоль диаго-
диагональных плоскостей ячейки. В последние годы Международным
союзом кристаллографов принято специальное обозначение для
двойной плоскости скользящего отражения е, включающей поло-
половинные трансляции в двух взаимно перпендикулярных направ-
направлениях (эти плоскости существуют в некоторых центросиммет-
ричных решетках).
Винтовые оси Nq (N,q — целые числа; q\N) отвечают поворо-
повороту относительно оси на угол 2n/N с переносом вдоль нее на q/N
часть трансляции т^. Так, ось 2i, проходящая по координатной
оси 02, переводит точку (х,у,z) в точку (-a;,-?/,z + x/2), а анало-
аналогично расположенная ось 3i переводит (х, у, z) в точку
z + т/З).
Такие плоскости характерны, в частности, для кубической решетки алмаза
(пространственная группа FdZm).
124
Повороты вокруг винтовых осей Nq с q ^ N/2 пространствен-
пространственно асимметричны (хиральпы)(см. подразд. 1.10) : при q < N/2
они отвечают правому винту, а г^ри q > N/2 — левому. Поэто-
Поэтому одинаковые геометрические фигуры с осями симметрии Nq и
Ntf-q Ci и 32, 4i и 4з, 6i и бб, 62 и 64) энантиоморфны, т.е. пе-
переводятся одна в другую отражением в плоскости тине совме-
совмещаются поворотами в трехмерном пространстве. Винтовые оси
2i, 4г и бз не обладают свойством хиральности. Из-за наличия
асимметричных винтовых осей 11 пространственных групп обра-
образуют энантиоморфные пары (Р3\ и РЗ2, P6i22 и P6s22 и т.д.),
компоненты которых нельзя перевести друг в друга переноса-
переносами и поворотами в трехмерном пространстве. Это увеличивает
общее число кристаллографически различимых пространствен-
пространственных групп до 230. Символы открытых операций симметрии в
группах G\ показаны на рис. 2.24.
Упражнение 2.7. Сопоставить эквивалентные позиции, по-
порождаемые винтовыми осями: 6з, 4г и 2\\ 64 и Зг-
Символы всех пространственных групп представлены в
табл. 2.5. В обозначениях по системе Германа—Могена первая
заглавная буква отвечает типу решетки Браве, второй символ
обозначает высшую координатную ось симметрии, третий и чет-
четвертый символы — соответственно координатный и диагональ-
диагональный элементы симметрии, проходящие через эту ось (если они
есть в группе).
Так, например, группа Р42гпс относится к кристаллическому
классу 4mm примитивной тетрагональной решетки и содержит:
главную ось 42, проходящую по направлению Oz\ две зеркаль-
зеркальные плоскости ш, совпадающие с симметрически эквивалентны-
эквивалентными координатными плоскостями xOz, yOz\ две биссектральные
плоскости скользящего отражения с со сдвигом на половину пе-
периода с, проходящие через ось 42 между координатными плос-
плоскостями т.
Кроме того, аналогично плоской квадратной группе р4гага,
в группе Р42ТПС имеются вертикальные оси 2 на серединах ребер
а, Ь и четыре вертикальные плоскости d, возникшие из комбина-
комбинации диагональных плоскостей п, которыми связаны узлы ячей-
ячейки, с трансляцией на с/2.
В кубических группах третьим символом указывается ось 3
или 3, проходящая по телесной диагонали ячейки. В так называ-
называемом полном обозначении группы приводят символы осей и пер-
перпендикулярных им плоскостей симметрии, если такие элементы
имеются (например, группа Puma в полном виде записывается
как Р2\/п 2i/m 2\/a).
125
Таблица 2.5
Пространственные группы
Сингония и
решетка Браве
Триклинная (Р)
Моноклинная (Р, С)
Орторомбическая
(P,C,/,F)
Кристалли-
Кристаллический
класс
1
1
2(С2)
m(Cs)
2/т (C2h)
222 (D2)
тт2 (C2t;)
ттт (D2h)
Пространственная группа*
El(Cl)
Р1(С?)
P2(C2),P2i(C2),?2(Cf)
Pm(Ci), Рс(С2), Cm(Cs3), Cc(Cs4)
P2/m(C2\), P2/m(C22h), C2/m (C2\), P2/c(C2\), P2!/c(C25h), C2/c(Cffc)
P222(Z)?), P222i p|), P2i2i2(D|), P2i2i22 (D^), C222i (Dg), C222(D^),
F222 fD|), /222 fD?), /2i 2i 2i f?)f)
РттгСС^), Pmc2! (C22J, Pcc2(Cr|1>)Pma2i (C|j, Рш2! (C25J, Pnc2! (Cfj,
Pmn2i (Cjw), Pba2(C|v), Pna2i (Cfj, Pnn2(C^), Рпп2(СЙ), Стт2(С?).
Cmc21 (C212), Ccc2(C213), Лтт2(СЙ), Лет2(С^), Лто2(СЙ), Aea2(C^),
Fmm2(Co\8). Fdrf2(C^),/mm2(Cg), /6а2(С22^), /та2(С222)
Pnumn(D\h), Pnnn(Dlh), Pccm{Dlh), Pban{D$h), Pmma(D%h), Pnna(D%h),
Pmno(D^), Pcca(D|fc), Pbam(D^), Рссп(^), Pfcm(Dji), Pnnm(D^),
Pmmn(Dg), Pbcn{D\\), Pbca(D\bh), Pnmo(D^), Cmcm(DjJ), Cmce(D^),
Сттт(?ф. Cccm(^), Cmme(D|i), Ccce(D^), FmmmfPg), Fddd(D\i),
Immm(Dfh). Ibam(Dfh), Ibca{Dfh), Imma{Dfh)
I
I
3 и
О S
О 5
I
О)
I
f
о
!
128
В системе Шенфлиса, менее удобной для описания транс-
трансляционной симметрии, пространственной группе соответствует
точечная группа ее кристаллического класса с верхним индек-
индексом, обозначающим (однажды установленный) порядковый но-
номер данной группы в классе (например, Р2\/с = С|^, Рпта = ?>^,
/гаЗга = Од). В число пространственных групп входят 17 плоских
групп, не имеющих горизонтальных элементов симметрии.
Для геометрического вывода пространственных (федоров-
(федоровских) групп проводят перебор сочетаний трансляций в решет-
решетке Браве с операциями всех кристаллографических групп из
ее сингонии и определение всех возможных подгрупп на осно-
основе полученных элементов симметрии. Можно показать, что из
всех 230 пространственных групп лишь 73 отвечают симметриям
трехмерных решеток (симморфные пространственные группы).
Типичные сочетания «открытых» и «закрытых» элементов
симметрии в пространственных группах показаны на рис. 2.25,
2.26. Так, например, при действии трансляции ? на элементы
симметрии второго порядка (центр 1; ось 2 или плоскость т,
перпендикулярные направлению ?) эти элементы переносятся на
(п/2)т, где п — целое число (рис. 2.25, а, б). Трансляциями осей
3, 4 и 6 порядков на период ячейки порождаются новые оси,
связывающие полученные элементы симметрии; при этом в слу-
2, 3, 32 4, 4j 43
62 63 64 65
8
18
Рис. 2.24. Обозначения открытых элементов симметрии по междуна-
международной системе в разных проекциях
129
•
2
т
2
•
2'
• ¦ . о • о .
О
Г4
в
-о-
о
-о-
е ж з
Рис. 2.25. Примеры взаимодействия закрытых элементов симметрии с
трансляциями [40]:
а — Ртп) б— P2i/n; в — Р4; г - РЗ; д — Рб; е — Р4; ж — РЗ; з — Рб (по-
(показаны системы эквивалентных точек; «порождающий» элемент зачернен)
чае осей 4 и 6 на половинах трансляций 1^/2 появляются оси 2
(рис. 2.25, в-д).
Похожее разделение операций, отвечающих элементу симмет-
симметрии, происходит и при переносе инверсионных осей (рис. 2.25, е,
э/с), а также при взаимодействии открытых элементов симмет-
симметрии с трансляциями в перпендикулярном направлении (рис. 2.26,
а — г). Пересечение элементов симметрии 2-го порядка под углом
2л/TV в зависимости от их вида дает поворотную либо винтовую
ось порядка ЛГ, при наличии в группе перпендикулярного пере-
переноса сдвинутые в сторону от линии пересечения; скрещивающи-
скрещивающиеся поворотные оси порождают винтовую ось и т. д.
Подробные сведения о 230 пространственных группах вместе
с графическим изображением их элементов симметрии содер-
130
TII+TJ.
ж
Рис. 2.26. Примеры взаимодействий винтовых осей с трансляциями
(ЯЗ (а), #3 E), /4 (в), /4 (г)) и разных сочетаний элементов симметрии
2-го порядка (д — з) [40]
131
жатся в справочных таблицах Международного союза кристал-
кристаллографов [118]. Графический вывод пространственных групп из-
изложен в руководствах по геометрической кристаллографии (см.,
например, [36]).
Упражнение 2.8. Вывести все элементы симметрии групп
14т2 и /42т.
Хотя все 32 точечные кристаллографические группы явля-
являются фактор-группами пространственных групп по нормальным
подгруппам трансляций, обратное построение полупрямых про-
произведений Т\К трехмерной группы трансляций Г с 32 кристал-
кристаллографическими группами К дает лишь 73 симморфные про-
пространственные группы (подчеркнуты в табл. 2.3). Остальные
146 песимморфных групп являются подгруппами симморфных.
Аналогично несимморфным плоским группам их получают, за-
заменяя в симморфных группах плоскости симметрии и поворот-
поворотные оси соответствующими им открытыми элементами: плоско-
плоскостями скользящего отражения и винтовыми осями. Как и в дву-
двумерном случае, среди пространственных групп имеются пары
с геометрически различными сочетаниями трансляций и одина-
одинаковых элементов симметрии (например, Р31га и P3ral, P42mc и
Р42ст, и др.).
2.12. ДРУГИЕ ГРУППЫ G
п
m
Точечной симметрии в одномерном пространстве отвечают
две группы Gq: 1 (отсутствие симметрии) и 1 (инверсия в начале
координат: 1х = -я). Выше были рассмотрены двумерные (Gq) и
трехмерные (Gfy точечные группы, а также плоские группы G\
и пространственные группы G\. Кратко перечислим остальные
группы сп^З.
Группы G\. Это подгруппы одномерной решетки с трансля-
трансляцией т, именно, две группы: т1 и т1.
Группы G\. Добавлением к G\ зеркального отражения га и
скользящего отражения д выводят семь групп симметрии бор-
бордюров (рис. 2.27). Первую позицию в символе группы занимает
центр симметрии, вторую — отражение от линии, перпендику-
перпендикулярной трансляции, третью — отражение от линии, расположен-
расположенной вдоль трансляции. Инверсию в точке на плоскости, как и в
плоских группах, изображают перпендикулярной осью 2. Эле-
Элементарной ячейкой группы на плоскости служит бесконечная
полоса шириной т, содержащая все элементы симметрии. Все
семь бордюрных групп кристаллографические, это подгруппы
плоских групп G\.
132
Цилиндрические группы Gf. Эти группы можно вывести из
групп Gjj низшей и средней категорий (см. п. 1.10) добавлением
трансляций т вдоль оси Oz. Их элементарными ячейками явля-
являются бесконечные слои толщиной т, перпендикулярные направ-
направлению z. Группы подразделяются на круговые (симморфные),
содержащие только трансляции одномерной решетки, и спираль-
спиральные (их подгруппы), в которых имеются винтовые повороты во-
вокруг оси z и (или) плоскости скользящего отражения вдоль нее.
Главная винтовая ось N\ в спиральной группе может иметь про-
произвольный порядок (например: 7i); ось ЛГдг-i при этом отвечает
энантиоморфной спирали Gб).
В отличие от пространственных групп G| цилиндрические
группы могут содержать любые рациональные винтовые пово-
повороты Np на угол 2np/N вокруг оси с однократной трансляцией
на x/N. Числу р в них соответствует количество оборотов спира-
спирали внутри элементарной ячейки (рис. 2.28); q кратный винтовой
поворот N% с целым q > 1 вокруг единственной оси ЛГ-го порядка
при этом эквивалентен Nq с трансляцией qx/N.
Увеличение порядка N винтовой оси дает в пределе груп-
группу бесконечного порядка оо5, отвечающую симметрии круго-
круговой спирали с шагом s. Иррациональные винтовые повороты,
не имеющие периода повторяемости вдоль оси цилиндра, пред-
р\т\
pllm
plmm
plmg
I I I I I 1
Рис. 2.27. Группы симметрии бордюров G\
133
ставляют пример некристаллографической симметрии в одном
измерении.
Бесконечное число групп G\ разделяется на 15 семейств. Ра-
Радиальная проекция правильной системы точек в ячейках этих
групп на боковую поверхность цилиндра с центральной осью
г, развернутая по углу ф, образует двумерную решетку, а для
z ? [0; 2т] — бордюр с периодом повторяемости ф = 2л (рис. 2.28, в).
Полупрямые произведения G\ = G\ X Gq двух одномерных реше-
решеток т1 и т1 на точечные группы низшей и средней категорий (см.
подразд. 1.10) дают семь семейств симморфных круговых групп
с трансляцией. Остальные семейства образованы подгруппами
симморфных групп.
В табл. 2.6 перечислены 75 кристаллографических групп ци-
цилиндрической симметрии. Группы G\ соответствуют симметрии
спиральных полимерных цепей и других цилиндрических струк-
структур — в частности, углеродных нанотрубок, при круговой сим-
симметрии (свертывании по направлениям (п, 0) и (п, п)) облада-
обладающих металлическими свойствами, а при винтовой — полупро-
полупроводниковыми (рис. 2.29).
Группы слоев G\. Эти группы выводят из 17 плоских групп
G\ (см. рис. 2.22) добавлением зеркального отражения отно-
относительно координатной плоскости ху. Их обозначения по меж-
международной системе соответствуют плоским группам: в первой
0 J 0 2я ф
а б
Рис. 2.28. Система точек цилиндрической симметрии G/2)f (а) и про-
проекция эквивалентных позиций ее группы на боковую поверхность кру-
кругового цилиндра (б). Показана элементарная ячейка проекции
134
Таблица 2.6
Кристаллографические
Класс
1
1
2
3
4
6
ICO
4
6
12
lm
m
222
32
422
622
2/т
4/m
6/m
12/m
32/m
4m2
6m2
2mm
m2m
3m
4mm
6mm
2/mmm
4/mmm
6/mmm
цилиндрические группы G? A15)
Группа
1
1
2
3
4
6
3
4
6
12
lm
m
222
32
422
622
2/m
4/m
6/m
12/m
32/m
4m2
6m2
2mm
m2m
3m
4mm
6mm
2/mmm
4/mmm
6/mmm
2i
3i
4i
6i
\c
2i22
3i2
4i22
6i22
2i/m
42/m
63/m
12/c
32/c
4c2
6c2
2i me
m2c
3c
42 me
63771c
2i /mmc
42 /mmc
63/mmc
32
4з
б5
322
4322
6522
2cc
4cc
6cc
2/mcc
4/mcc
6/mcc
42
62
4222
6222
64
6422
63
6322
позиции указывают тип решетки (р или с), в остальных позици-
позициях — элементы симметрии по трем кристаллографическим на-
направлениям (для тетрагональных и гексагональных слоев — на-
начиная с оси z). Бесконечная элементарная ячейка в группах G\
проецируется на горизонтальную плоскость ху как параллело-
параллелограмм повторяемости с параметрами (а, 6, а) и делится ею на
«верхнюю» и «нижнюю» половины.
«Верх» и «низ» относительно координатной плоскости ху, т. е.
знак координаты z, графически можно изобразить белым и чер-
черным цветом. Произведениям G\ x 1 соответствуют 17 «одноцвет-
135
(я, л)
Рис. 2.29. Свертывание атомного слоя графита в углеродную на-
наноструктуру (о) и элементарная ячейка (T,Ch) на цилиндрической
поверхности хиральной трубки {б)\ (а\,а2) — элементарная ячейка
графитового атомного слоя (См. Odorn Т. W et al. // J. Phys. Chem.
В. 2000. V. 104. P. 2794)
ных» групп, не меняющих местами верхнее и нижнее полупро-
полупространства. Симметрия m относительно плоскости ху порождает
17 «серых» групп G\ x m, в которых эти полупространства эк-
эквивалентны.
т
у
Рис. 2.30. Инверсия 1 как «черно-белая» операция антисимметрии
в группах слоев G\
136
со
Рис. 2.31. Примеры симметрии плоских (о — графит, рбЗ/mmm; б — нитрид бора, р6т2) и гофрированных (в
фторид графита, p3ml) гексагональных атомных слоев
Таблица 2.7
Группы слоев
Сингония
Косоугольная Р
Ортогональная Р
Ортогональная С
Квадратная Р
Гексагональная Р
Класс
1
2
771
2/ш
1
\т
12
222
2/т
2mm
m2m
тптптп
lm
12
222
2/m
2mm
m2m
mmm
4
4
422
4/m
4mm
4m2
4/mmm
3
3
32
3m
3m
6
6
622
6/m
6mmm
6m2
6/mmm
Группа*
pi
pll2
pllm, pi 16
pll2/m, pll2/6
pi
plml, pl&l
pl217pl2il
p222,p222i,p22i2i
pl2/ml, pl2/61, pl2i/ml, pl2i/61
p2mm, p26m, p26a
pm2m, pm2ia, pa2im, pa2a, pn2im, pn2a,
pb2m, p62ia
ртттп, pmbm, pmbay pbmm, рЬта, pbbm,
pbbd, pnmm, pnbm, pnba
clml
cl21
c222
cl2/ml
c2m77i
cm2m, ce2m**
cmfflffl, cemm
p4
p4
p422, p42i2
p4/m, p4/n
p4mm, p4em
p4m2, p4e2, p42m, p42im
p4/mmm, p4/mem, p4/nmm, pA/nem
p3
P3
p321, p312
p3ml, p31m
p3ml, p31m
рб
p622
рб/m
рбттпт
p6m2, p62m
p6/mmm
* Подчеркнуты симморфные группы.
** Плоскость е в литература также обозначают д или Ь.
138
В 46 «черно-белых» подгруппах «серых» групп разноцветные
точки над и под плоскостью ху связаны лежащими в ней осями
2, 2i и скользящими отражениями, а точки одного цвета — вер-
вертикальными осями и плоскостями симметрии. Композиция от-
отражения, меняющего цвет (знак z) точки, и поворота вокруг оси
2, сохраняющего цвет, порождает черно-белую операцию анти-
антисимметрии (инверсии) 1' = 1 (рис. 2.30). Все 80 групп G\, пере-
перечисленные в табл. 2.7, являются кристаллографическими. При-
Примеры различной симметрии гексагональных моноатомных слоев
в графите (рб/гагага), нитриде бора BN (р62га) и фториде графи-
графита (CF)n (p3ml) показаны на рис. 2.31.
2.13. ЦВЕТНАЯ СИММЕТРИЯ И ПОДГРУППЫ G\
Группы антисимметрии Gg. По аналогии с выводом групп G\
добавлением двузначной операции антисимметрии к трехмер-
трехмерным пространственным группам G\ можно получить группы G\
дискретных преобразований трехмерного евклидова простран-
пространства (х1,Х2,жз), дополненного четвертой координатой х± = ±1.
Координата х± может отражать физически измеримый признак
(нагрузку) позиций в реальных кристаллах: природу атомов в
бинарных соединениях (NaCl, CdS и т.д.), направление спина в
магнитных решетках (a-Fe, MnF2) и др.
Как и изменение знака координаты z при отражении в гори-
горизонтальной плоскости для групп Gvj, операции групп G\ в трех-
трехмерном пространстве, включающие антисимметрию 1'х± = -Х4,
графически изображают черно-белыми рисунками. Группы ан-
антисимметрии G\ также обозначают G3'1 (в этом случае группы
слоев обозначаются G^1).
Операции с участием антисимметрии в символике Германа—
Могена обозначаются штриховыми индексами. Из 32 трехмер-
трехмерных кристаллографических групп таким образом можно выве-
вывести 122 точечные группы антисимметрии, в том числе 32 «се-
«серые» группы, полносимметричные относительно операции 1',
32 одноцветные (полярные) группы без операции антисиммет-
антисимметрии и 58 черно-белых групп. Порядок «серой» точечной группы
Gr = Gq х 1' вдвое выше порядка соответствующих одноцветной
и черно-белых групп, которые являются ее подгруппами. Наг
пример, из точечной группы ттт порядка 8 выводится «серая»
точечная группа ттт х V э ттт порядка 16, три черно-белые
подгруппы которой отвечают умножению на 1' всех элементов
симметрии, не входящих в три нормальные подгруппы B22, тт2
и 2/т) исходной группы ттт (табл. 2.8, рис. 2.32).
139
Из 122 кристаллографических точечных групп антисиммет-
антисимметрии можно вывести 1651 пространственных (шубниковских) дву-
двуцветных групп G3'1 (рис. 2.33). В их состав входят 230 поляр-
полярных одноцветных, 230 симморфных «серых» и 1191 черно-белых
групп.
Обозначения групп G3'1 в международной символике строят
на основе добавления штрихов и подстрочных индексов, указы-
указывающих направление антитрансляций ? • 1' (так, группа Р2! со-
содержит антиповорот 2 • 1;, группа Ра2 — антитрансляцию вдоль
а, группа Сд2 — антицентрирование). Наличие черно-белых опе-
операций порождает пять новых сингоний в плоских и 22 новые
сингонии в трехмерных решетках.
Группы G3 и ^4# Придавая дискретной четвертой коорди-
координате Х4 несколько значений, отвечающих циклической перемен-
переменной (а)р (где р = 3,4,6), можно перейти от черно-белых групп
G3' к группам цветной симметрии G3 . Значения нагрузки р,
указанное в надстрочном индексе, графически изображают раз-
разными цветами, связанными операциями ак. Все такие группы
являются подгруппами дискретных групп симметрии G\ в че-
четырехмерном евклидовом пространстве с 227 точечными кри-
кристаллографическими группами, 64 решетками Браве и 4783 про-
пространственными группами (табл. 2.9).
Трехмерные шубниковские группы антисимметрии при этом
соответствуют группам G| периодических трехмерных «слоев»
в 4-мерном пространстве. Цветную симметрию используют для
описания магнитной структуры кристаллов, распределения де-
дефектов в реальных кристаллах, строения соразмерно модулиро-
модулированных фаз и других сложных систем.
Таблица 2.8
Вывод точечных групп антисимметрии
из операций группы ттт (D2h)
Нормальная
подгруппа
222 (?>2)
mm2(C2v)
2/m(C2h)
Операция
подгруппы
I? 2x, 2y, 2z
1, ТПХу, ГПуг,
2У
1, 1', ТПху, 2Z
Прочие
операции
группы
1,ТПХу,
ТПуг, ТПхг
1, 2Я, 2„
ТПхг
2х-> 2у, ТПхг,
ТПуг
Операция
группы
антисимметрии
1) 1 5 2х,2у,2г,
TOacyi m'yz, mxz
1? 1 ? 2jc> 2y, 2Z,
mXy, rriyz, mxz
1, 1, 2X, 2y, 2Z
mXy, rnyz, mxz
Группа
антисимметрии
771 771 771
771771771
(Т71771 771, 771 TTlTTl)
771771 771
(Т71 771 771, 771 771771 )
140
Рис. 2.32. Орторомбические ячейки, отвечающие подгруппам «серой»
точечной группы ттт х 1': одноцветной ттт (а) и черно-белым то-
точечным группам т'т'т! E), ттт! (в—¦(?), тт'т! (е — з)
Таблица 2.9
Число кристаллографических групп G^ при разных размерностях
пространства (п) и кристаллографического подпространства (т)
т
0
1
2
3
4
п
1
1
2
2
10
7
17
3
32
75
80
230
4
227
1091
1651
4783
141
4
1
\
l
4
1
'\
/
1
4
^-« ¦¦
/
Г*
i
К
i
V
W
1 1
4 4
\!
* •
i
Л
Vi
>
1
4
^ 1
j
-у
1
>
/
\,
4
1
4
1
^\—
^4
~ 4
i/ V i/ \i J \i
4 4
Рис. 2.33. Операции симметрии (а) и эквивалентные позиции (б) черно-
белой шубниковской группы Р3'с1. Элементы антисимметрии показа-
показаны обращенным цветом (белые стрелки — 2' и 2{; белые треуголь-
треугольники — 3'; черные точки — V [11, т. 1, гл. 2]
142
2.14. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА
Упругое рассеяние монохроматического излучения (рентге-
(рентгеновского, нейтронного, электронного и др.) с волновым векто-
вектором fco (^о = \к\ = 2яД, где X — длина волны) геометрически изо-
изображают вектором рассеяния <f= — (fc-fco)? перпендикулярным
условной плоскости отражения пучка:
2 sine
где 20 — угол рассеяния (рис. 2.34). Количество частиц, рассе-
рассеянных элементом среды с координатами f, определяется плот-
плотностью р(г) рассеивателей (электронов при рентгеновском рас-
рассеянии, атомных ядер при рассеянии протонов) в точке F, а ин-
интерференция волн, рассеянных на элементах среды А и В с ко-
координатами 0 и г соответственно — множителем e2ni^\ где
Ъ(г) = (AD-CB)/X — разность хода волн между точками Аи В:
r i ->->
Ь(г) = г- (cos а - cos Р) = — (гкп - г к) = fq.
Комплексную амплитуду F(q) пучка, рассеянного в направ-
направлении к = ко + 2щ (где F2(q) = I(q) — интенсивность рассеяния),
задает фурье-преобразование
B.15)
Интенсивность излучения, рассеянного на трехмерном иде-
идеальном кристалле, отлична от нуля лишь в направлениях, отве-
отвечающих дискретным значениям
Qhkl = (h/a, fc/6, Z/c),
где (Л, fc, I) — соответствующие отражающим плоскостям кри-
кристалла целочисленные индексы Миллера; {а^с) — параметры
Рис. 2.34. Волновые векторы
падающего (?о) и рассеянного
(к) монохроматического излу-
излучения при его рассеянии на эле-
элементах среды А и В. Показа-
Показаны условные плоскости отраже-
отражения (штриховые линии) и век-
вектор рассеяния q
143
элементарной ячейки. Интеграл Фурье при этом переходит в
сумму по всем тройкам целых чисел (ft, fc, l). Дискретные векто-
векторы {<?ш} составляют фурье-образ решетки кристалла, называ-
называемый в кристаллографии обратной решеткой*, (см. подраз. 2.2).
Базисные векторы прямой (Й1,а2,аз) и обратной (а^а^аз) реше-
решеток в трехмерном пространстве связаны соотношением
1 при i = jf,
О при i тО'
а* = (Ь х с)/V, Ъ* = (с х a)/V, с? = (а х b)/V. B.16)
В этом случае справедлив закон Вульфа — Брегга:
Qhkl =
где фьм — расстояние между кристаллическими плоскостями в
прямой решетке. В приведенной обратной ячейке с параметрами
(а*,Ъ*,с*,а*,р,у*)
каждый из углов не превосходит я/2. Можно показать, что фурье-
образ кристаллической решетки сохраняет ее сингонию, а решет-
решетки Браве переводятся в обратные по правилу
Экспериментально регистрируемая картина рассеяния на мо-
монокристалле состоит из дифракционных рефлексов I(hkl) =
= F2(hkl) разных интенсивностей, образующих апериодическую
обратную решетку, т. е. расположенных в точках {qhkl} трехмер-
трехмерного обратного пространства с целочисленными координатами
(Л,А:,/) (рис. 2.35). Из B.15) следует
(где * — знак комплексного сопряжения), т. е. I(hkl) = I(hkl) (за-
(закон Фриделя).
Среди 32 кристаллографических групп точечной группой ди-
дифракционной картины кристалла является одна из 11 центро-
симметричных групп, показанных на рис. 2.15 (классов Лауэ).
*В строгом математическом смысле {qhkl} является дуальной решеткой, а
обратную решетку образуют векторы {khki ~ &>} = {^Qhki}- В физике твердого
тела обе эти решетки нередко называют «обратными» (см.подразд. 2.2).
144
• *
т • •
в. • •
• ••• 1
# • •#
•
• *
•
#. • *
Рис. 2.35. Расположение дифракционных рефлексов монокристалла
в узлах обратной решетки (сплошными линиями показан слой ОМ)
Класс Лауэ нецентросимметричного кристалла включает его то-
точечную группу в виде подгруппы. Более тонкие эффекты ано-
аномального рассеяния нарушают центральную симметрию дифрак-
дифракционной картины.
Увеличение периода ai кристаллической решетки в п раз, по
предложению 2.4, означает n-кратное уменьшение соответствую-
соответствующего периода обратной решетки а* с появлением в ней дополни-
дополнительных узлов — сверхструктурных рефлексов. Наоборот, при
002
Рис. 2.36. Разрешенные рефлексы и их координаты (Ш) в узлах об-
обратной решетки для кристаллов:
(а) — с кубической F-решеткой (h + k = 2n, h +1 = 2п,к +1 = 2п); (б) —
с кубической /-решеткой (h + к +1 = 2п)
145
Таблица 2.10
Систематические погасания дифракционных рефлексов, вызванные
симметрией кристалла [118]
Вид симметрии
Трансляционная
Плоскость скольжения
@01)
Плоскость скольжения
A00)
Плоскость скольжения
@10)
Плоскость скольжения
(ПО)
Винтовая ось || с
Винтовая ось || а
Винтовая ось || 6
Тип от-
отражения
Ш
hkO
Okl
hOl
hkk
hhl
hkk
hhl
001
hOO
OkO
Символ
P
I
A
В
С
F
^obv
ftev
a
b
n
d
b
с
n
d
a
с
n
d
a,n
c,n
d
d
2ь 42, 63
3i, З2, 62, 64
4i, 4з
6i, 65
2j, 42
4b43
2i,42
4i,43
Индекс
наблюдаемых
отражений
—
h + k + l = 2n
к + Ы2п
h +1 = 2ti
h"? к = 2n
I h + к = 2n
I k + l = 2n
[ h + l = 2n
-h + k + l = 3n
h-k+l=3n
h = 2n
k = 2n
h + k = 2n
h + k = 4n
k = 2n
l = 2n
A; + Z = 2n
k + l = 4n
h = 2n
l = 2n
/i + Z = 2n
к + Ы4п
h = 2n
Z = 2n
2k + h = 2n
2h + l = 4n
Z = 2n
l = 4n
Z = 6n
llZ
k = 2n
k = 4n
146
Окончание табл. 2.10
Вид симметрии
Винтовая ось || A10)
Тип от-
отражения
hhO
Символ
2i
Индекс
наблюдаемых
отражений
h = 2n
* Различный выбор ортов в «гексагональной» Я'-решетке [118, v. A].
уменьшении периода кристалла а\ = а^п период обратной решет-
решетки а*1 = па* увеличивается, приводя к исчезновению всех узлов
с соответствующим индексом, не кратным п.
Наличие трансляций на целочисленную часть периода повто-
повторяемости (центрирований, винтовых поворотов и скользящих от-
отражений) в пространственной группе кристалла вызывает си-
систематические погасания его рефлексов, т. е. отсутствие отраже-
отражений от определенных систем кристаллографических плоскостей
(табл. 2.10). Так, например, фурье-образ F-решетки содержит
только узлы (qhki) с индексами, удовлетворяющими условиям
/i + fc = 2n, h + l = 2n, fc + i = 2п, т. е. сам является I-решеткой с удво-
удвоенным периодом а*(= Ь* = с*), а погасания для прямой 1-решетки
(отсутствие отражений с индексами, не подчиняющимися усло-
условию h + k + l = 2n) отвечают обратной F-решетке (рис. 2.36).
Систематическими погасаниями в совокупности рефлексов
кристалла определяются 120 рентгеновских групп, которым со-
соответствуют 230 пространственных групп. Так, например, про-
пространственную группу P2i2i2 однозначно выявляют по дифрак-
дифракционным данным из mmm-симметрии дифракционной картины
(совпадающей с классом Лауэ) и «осевых» погасаний (/i00, h = 2n;
OfcO, k = 2n), тогда как группы Рпат и Рпа2\ в том же классе
имеют одинаковые погасанця («плоскостные»: OfcZ, fc + / = 2n; Ш,
h = 2п и вытекающие из них «осевые»: /iOO, h = 2n; OfcO, к = 2n;
00Z, Z = 2n). Определение пространственной группы кристалла по
симметрии и погасаниям в наборе его рефлексов является важ-
важной частью экспериментального дифракционного исследования
кристаллических структур.
2.15. ГИПЕРПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
НЕСОРАЗМЕРНЫХ ФАЗ
Если в кристалле имеются атомы, положения или (и) заселен-
заселенности позиций которых закономерно изменяются от одной эле-
элементарной ячейки к другой, на его дифрактограмме возникают
147
Х(Г2)
Рис. 2.37. Направления магнит-
магнитных моментов (жирные стрелки)
и период повторяемости X в хе-
лиомагнитном кристалле с атом-
атомным периодом а при температу-
температурах Тг и Т2
слабые сателлитные рефлексы,
не отвечающие основной обрат-
обратной решетке (а*, 6*,с*). Во мно-
многих случаях нецелочисленные
индексы сверхструктурных от-
отражений непрерывно изменя-
изменяются с изменением температу-
температуры, принимая иррациональные
значения, свидетельствующие о
несоизмеримости обратных ре-
решеток для основного набора ре-
рефлексов и набора сателлитов.
Такие кристаллические струк-
структуры называют несоразмерно
модулированными.
Примером несоразмерно мо-
модулированной фазы может слу-
служить хелиомагнитная струк-
структура некоторых лантаноидов,
в которых направления спинов
неспаренных электронов при
атомах в кристаллической ре-
решетке образуют спираль с зависящим от температуры шагом
(рис. 2.37).
Дифракция поляризованных нейтронов на подобной магнит-
магнитной сверхструктуре дает сателлитные рефлексы с переменными
дробными индексами.
Положения и заселенности сверхструктурных атомных по-
позиций в модулированных кристаллах задает волновой вектор
модуляции fc', соответствующий периоду модуляции кристалла
V = 2%/к'. Период V, вообще говоря, несоизмерим с параметрами
ячейки (а, 6, с). Фазу модуляции \|/, принимающую разные зна-
значения в разных ячейках кристалла (непрерывный параметр на-
нагрузки), можно рассматривать как четвертую координату несо-
несоразмерной структуры. В этом случае полной трансляционной
симметрии кристалла отвечает кристаллическая решетка в че-
четырехмерном евклидовом гиперпространстве ЕD), а его трех-
трехмерная атомная структура представляет сечение этой решетки
трехмерной гиперплоскостью ?C), расположенной «наклонно»
к фазовой координате (в том смысле, что не все скалярные про-
произведения у с базисными векторами (а, 6, с) элементарной ячейки
равны нулю).
Пример одномерной модулированной решетки, образованной
подобным сечением, представлен на рис. 2.38.
148
pB=const
Рис. 2.38. Двумерное гиперпространство, образованное одномерной ре-
решеткой из атомных позиций А (черные точки) и В (светлые точки)
с периодом е\ и координатой нагрузки: вероятностями их заселения
Ра (модулированной с периодом ег) и рв = const. Сечение плоскости
(еьег) по наклонной прямой дает одномерную решетку из атомов В с
периодом а, модулированную позициями атомов А с тем же периодом,
но разными заселенностями
Симметрию несоразмерно модулированного кристалла с т
независимыми волнами модуляции описывает кристаллическая
гиперрешетка S в (га + 3)-мерном евклидовом пространстве, яв-
являющемся прямой суммой «внешнего» (физического) трехмер-
трехмерного евклидова пространства ЕC)ех с базисом (ах,а2,аз) и орто-
ортогонального ему «внутреннего» m-мерного пространства E(m)in
с базисом (bi, ..., Ьт):
Группа симметрии гиперрешетки (гиперпространственная
группа) Г с Гех х Г{п состоит из всех пар операций (реж»^ )» гДе
9ех G Гех и д$ € Tin. Базисные векторы решетки Е(е1,...ет+з)
выбирают в виде линейных комбинаций векторов (ai, ..., 6m),
отвечающих симметрии Г. Базовая (внешняя) трехмерная про-
пространственная группа Гех соответствует симметрии кристалла в
отсутствие модуляций.
Обратную гиперрешетку Е* вы бирают в виде множества (т +
+ 3)-мерных векторов (zie^,Z2e2, • • -ч2т+з^т+з) с целочисленны-
149
ми коэффициентами z{ в базисе (е^е^ --чет+з) линейных ком-
комбинаций векторов (а|,О2,Оз) и (Ь*, . ..,&™). Таким образом, рас-
распределение атомов в (тп + З)-мерном гиперпространстве задается
фурье-преобразованием
где F(k) — амплитуда рассеянного пучка, г и к — (га + 3)-мерные
векторы, соответственно, из прямой и обратной решеток.
Симметрией обратной гиперрешетки Е* несоразмерно моду-
модулированного кристалла определяются погасания рефлексов, име-
имеющих в ней целочисленные индексы.
Гиперрешеткам модулированного кристалла в пространстве
размерности 3+1 отвечают не все возможные четырехмерные
пространственные группы. Например, наличие особого направ-
направления модуляции несовместимо с базовой трехмерной кубиче-
кубической сингонией. В пространстве ЕC)®ЕA) имеются 24 решетки
Браве, соответствующие разным сочетаниям базовых трехмер-
трехмерных решеток с одномерными группами трансляций t\ и tl вдоль
четвертой координаты \j?. В частности, ортогональность у к оси 2
и к перпендикулярной ей плоскости в базовой моноклинной син-
гонии дает, соответственно, осевую и плоскостную моноклинные
гиперрешетки Браве, а наклонное расположение у к векторам
а, 6 и с порождает шесть новых типов центрирования.
Гиперпространственные группы двумерных и трехмерных не-
несоразмерно модулированных кристаллов с одной независимой
координатой модуляции были выведены в 1980 — 1981 гг. Янером
и соавт. [125]. Аналогичный подход с использованием сечения
пяти- либо шестимерного гиперпространства «внешним» трех-
трехмерным евклидовым пространством позволяет анализировать
свойства квазикристаллов, в огранке и дифракционной картине
которых проявляются некристаллографические элементы сим-
симметрии (поворотные оси 8, 10 или 12). Свойства квазикристаллов
и методы описания их симметрии рассмотрены в гл. 6.
Контрольные вопросы
1. Доказать, что группу целых чисел Z нельзя разложить нетри-
нетривиальным способом в прямую сумму своих подгрупп.
2. В свободной абелевой группе F с базисом ei, в2, ез взята подгруп-
подгруппа А, порожденная элементами: а\ = Ъе\ + 5ег + Зв4, аг = Ъе\ + бег + 5е4,
а3 = 8ei + 7е2 + 9в4- Разложить фактор-группу F/A в прямую сумму
свободных и примарных циклических групп.
150
3. Пусть задано афинное отображение Ф(х) = ф(я) +6 в трехмерном
пространстве, причем определитель ортогонального оператора ф равен
-1. Доказать, что существует такой вектор а, что Ф(а) = а.
4. Пусть в евклидовом пространстве Е задан ортонормированный
базис ех,е2,ез. Рассмотрим в Е решетку с базисом: а\ = 2е\ + в2-ез,
п2 = -ei + ег + 4ез, аз = е\ - ег - ез- Найти базис обратной решетки.
5. Найти матрицы преобразований от примитивной к объемноцен-
трированной (Р -» /) и от объемноцентрированной к примитивной
(/ —> Р) решеткам.
6. Привести матрицу
целочисленными элементарными преобразованиями к диагональному
виду.
7. Плоскую решетку с произвольно выбранной элементарной ячей-
ячейкой (а, 6, а) можно описать однородными параметрами (P,Q,R): ска-
скалярными произведениями: Р = (а, 6), Q = (a,d), Я = F,5), где вектор d
удовлетворяет условию a+6+d = 0 (см. схему). Найти соотношения меж-
между этими параметрами для пяти двумерных решеток Браве и предло-
предложить алгоритм перехода от произвольной ячейки (а, 6) к приведенной
ячейке (ао,6о), однозначно характеризующей решетку.
ъ
л
а
8. Перечислить «белые», «черно-белые» и «серые» группы, полу-
получаемые при добавлении к группам бордюров операции антисимметрии
(отражения в плоскости, см. рис. 2.27).
9. Набор интенсивностей рефлексов I(hkl), полученных от моно-
монокристалла, показывает симметрию Z>2/i и систематические погасания,
т. е. отсутствие отражений с индексами hkl: h + k = 2n +1; Okl: k = 2n +1;
hOl: h = 2n + 1; hOO: h = 2ra +1; OfcO: fc = In +1; 00/: / = 2n + 1, где п — целое
число. Определить пространственную группу кристалла.
ГЛАВАЗ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ГРУПП
Изложена теория комплексных представлений конеч-
конечных групп. Показано, что любое представление групп яв-
является прямой суммой неприводимых представлений (тео-
(теорема Машке), поэтому описание произвольных представ-
представлений сводится к описанию неприводимых. Указаны свой-
свойства неприводимых представлений абелевых групп, точеч-
точечных и пространственных групп, рассмотренных в предыду-
предыдущих главах, групп перестановок и ряда других конструк-
конструкций. Даны теория характеров представлений групп и при-
примеры таблиц характеров.
3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ
Пусть V - вещественное или комплексное векторное простран-
пространство. Обозначим, как и выше, через GL(V) группу всех обра-
обратимых линейных операторов на пространстве V. Если задана
группа G, то представлением группы G в пространстве V на-
называют гомоморфизм групп ? : G —> GL(V). Другими словами,
каждому элементу g e G поставлен в соответствие обратимый
линейный оператор ?(р), действующий в пространстве V, причем
?,(gh) = ^(p)^(h) для всех g,h ? G. Подчеркнем, что совокупность
операторов {?(#) | g ? G} сама является группой, а именно — под-
подгруппой QL(V). Если представление ? фиксировано, то действие
оператора ?(р), g e G на вектор v e V будем кратко обозначать
gv. Таким образом, для всех v,w ?V и g,h ? G выполнены усло-
условия:
g(av + $w) = a(gv) + $(gw), (gh)v = g(hv), lv = v, C.1)
где 1 — тождественное преобразование V.
Размерностью представления ^ : G —> СЬ(У) группы G назы-
называют размерность dim V пространства V. Представление % назы-
называют вещественным, если пространство V состоит из векторов
с вещественными компонентами, и комплексным, если V — ком-
комплексное пространство. (Последнее, очевидно, — более общий
случай.)
152
Приведем ряд примеров представлений групп.
1. Пусть G = S4 и Т — тетраэдр с пронумерованными вер-
вершинами. Предположим, что тетраэдр расположен в трехмерном
векторном вещественном пространстве R3, причем его центр на-
находится в начале координат. Сопоставим каждой перестановке
а € S4 ортогональное преобразование R3, переводящее вершины
1—4 соответственно в аA), ...,аD). Такое преобразование су-
существует, так как а является произведением транспозиций, для
каждой из которых это преобразование существует. Таким обра-
образом, S4 ^ SymT, и поэтому возникает трехмерное вещественное
представление \|/ : S4 —> QC,R) группы S4 группой симметрии
тетраэдра Т& (см. подразд. 1.1 и рис. 1.5).
2. Пусть G = S4 и Q — единичный куб в трехмерном векторном
пространстве R3, причем его центр находится в начале коорди-
координат. В кубе Q пронумерованы телесные диагонали 1,2,3,4. Каж-
Каждая диагональ соединяет вершины, не лежащие на одной грани
куба. Для любой вершины имеется (и притом единственная) диа-
диагональ куба, выходящая из этой вершины. Любое вращение R3
вокруг некоторой оси (т.е. каждый ортогональный оператор с
определителем 1), принадлежащее группе симметрии куба Q, пе-
переводит набор из четырех диагоналей куба в себя. Можно пока-
показать, что если вращение R3 переводит каждую диагональ в себя,
то оно тождественно, и любая транспозиция на множестве диаго-
диагоналей реализуется некоторым поворотом в R3 вокруг некоторой
оси. Таким образом, группа S4 изоморфна группе SIso(?)nSymQ,
и мы получаем новое трехмерное вещественное представление
ф : S4 -> SOC,R) группы S4 группой вращений куба О.
3. Группа Sn действует в пространстве вещественных или
комплексных многочленов от переменных Xi, ..., Хп с помощью
перестановок переменных: Gif(X\, ...,Хп) = f(piX\, ... ,GiXn).
4. Группы диэдра Dn имеют естественное представление в R2
как группы симметрии правильного n-угольника. Группа ква-
кватернионов Qe имеет естественное представление в С2, так как
она определяется как подгруппа в SUB,C).
5. Имеется двумерное вещественное представление щ группы
диэдра D3, при котором
О -l\ L fO 1
6. Имеется другое двумерное вещественное представление
гРуппы диэдра D3, при котором
О
) 1\
i о)'
153
7. Имеется двумерное вещественное представление \|/з группы
диэдра D4, при котором
а !)¦ -с
8. Имеется другое двумерное вещественное представление щ
группы диэдра D4, при котором
° !)¦ -G -О-
9. Имеется двумерное вещественное представление ys группы
диэдра Бе, при котором
/О -Л . /О Л
i)-
10. Имеется другое двумерное вещественное представление i
группы диэдра De, при котором
0 Л , @
0;
Представления \|/i, . ..,Уб можно записать и в комплексной
форме, полагая а = >/Т и bz = z на комплексной плоскости С, где
п = 3,4,6 (см. далее подразд. 3.5).
11. Если Ф : G —> GL(y) — одномерное представление груп-
группы G в комплексном (вещественном) векторном пространстве V
с базисом е, то для любого д е G получаем Ф(#) = \|/(#)е> где
\(/(р) — ненулевое комплексное (вещественное) число. При этом
y(gh) = ^(pJvC1) Для всех 9,h eG. Таким образом, каждое одно-
одномерное представление можно отождествить с гомоморфизмом \|f
группы G в абелеву группу ненулевых комплексных (веществен-
(вещественных) чисел относительно умножения.
Определение 3.1. Два представления
группы G называются эквивалентными (изоморфными), если
существует такой изоморфизм векторных пространств ? : V —> W,
что ?[?(p)v] =ф(р)[?(*;)] для всех д € G, v € V. В этом случае гово-
говорят, что для любого д € G коммутативна диаграмма
V —$—+ W
154
(т. е. группа операторов {?>(д)} в пространстве V, на которую ото-
отображаются элементы д ? G, изоморфна отображению {ф(#)} опе-
операций группы G на другое пространство W той же размерно-
размерности). Напомним, что диаграмма, состоящая из пространств и
отображений между ними, называется коммутативной, если в
ней равны все произведения отображений, соответствующих пу-
путям по стрелкам с одинаковым началом и одинаковым концом.
Понятие представления группы и эквивалентности (изомор-
(изоморфизма) представлений можно переформулировать в матричных
терминах. Пусть задано комплексное векторное пространство V
с базисом
е = (еь ...,еп). C.2)
Если в пространстве V задано представление ? : G —> GL(l^),
то каждому элементу д ? G сопоставлена матрица Тд = (aij(g)) ?
? GL(n,C). Если g,h € G, то Тд^ = ТдТ^ Предположим, что
х = Y^Li xie% ? ^> гДе хг € С. Тогда столбец из координат вектора
Тдх в базисе е:
?Х\У
Предположим, что f = (Д, ..., fn) — базис пространства W, и
при представлении ф : G —> GL(W) элементу д ? G в базисе f соот-
соответствует матрица Тд ? GL(n,C). Пусть ? : V —> PV — изоморфизм
пространств V" и W, при котором
Положим С = (cji) ? GL(n,C). По определению 3.1 эквивалент-
эквивалентность ? и ф означает, что для любого # ? G выполнено равенство
СТд = Т'дС, т. е. Г^ = СТдС'1.
Эквивалентность существенно упрощает описание представ-
представлений групп. Именно, для заданной конечной группы G вместо
бесконечного множества всех ее представлений достаточно взять
конечный набор всех неэквивалентных представлений. Кроме
того, во многих группах (не обязательно конечных) из совокуп-
совокупности эквивалентных представлений можно выбрать единствен-
единственное представление с хорошо изученными свойствами
Будем говорить, что представление Ф группы G в веществен-
вещественном (комплексном) пространстве V эквивалентно ортогональ-
ортогональному (унитарному), если в V существует такое скалярное про-
произведение, что каждый оператор Ф(д), д ? G является ортого-
ортогональным (унитарным).
155
ТЕОРЕМА 3.1. Любое конечномерное вещественное
(комплексное) представление конечной группы G эквива-
эквивалентно ортогональному (унитарному) представлению.
Доказательство. Рассмотрим в конечномерном
комплексном пространстве V представление \|/: G —> GL{V)
группы G. В пространстве V всегда имеется структура эрми-
эрмитова пространства со скалярным произведением (х,у) (см.
гл. 7). Введем в V новое скалярное произведение
ЧЕШШ C.3)
где \|/(р) — оператор, отвечающий элементу д € G.
Непосредственная проверка показывает, что [х,у] — ска-
скалярное произведение, и [у{д)х,\у(д)у] = [х,у] для всех х,у Е V.
Таким образом, каждый оператор \|/(#), 9 € G является уни-
унитарным относительно нового скалярного произведения [х, у]
и поэтому представление \|/ унитарно относительно скаляр-
скалярного произведения [х,у].
Следовательно, можно, не теряя общности, рассматривать
только унитарные представления конечных групп.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть \|/ : G -» GL(^) из теоре-
теоремы 3.1. Если подпространство U С V инвариантно отно-
относительно всех операторов \|/(р), д е G, то V = U ф W, где
подпространство 1У также инвариантно относительно всех
операторов \|/(р), д е G.
Доказательство. Возьмем в пространстве V такое
подпространство W7, что V = С/0 Wf. Если х е V, то х = tx+гу,
где и ? С/, w € W. В этом случае положим т(х) = п. Тогда т
является линейным оператором т : V —> С/, причем т(п) = п
для всех и е С/, т.е. т — проекционный оператор. Введем
новый проекционный оператор я, полагая
где \\f(g) — образ элемента д ?G в пространстве V.
Если и € 17, то и ^(д'^и € f. Поэтому
Щ
53 ^M)
156
Кроме того, как и в доказательстве теоремы 3.1, справедли-
справедливо равенство n(y(h)x) = \|/ (п(х)) для всех х eV. Это означает,
что ядро W линейного оператора п также инвариантно от-
относительно каждого оператора у(р), # ? G, hV = U®W.
Это следствие можно следующим образом переформу-
переформулировать на матричном языке. Пусть задан гомоморфизм
\|/ : G —> GL(n,C) конечной группы G в группу матриц
GL(n,C), причем существует такое число к с условием 1 <
< к < п, что в группе GL(n,C):
для каждого элемента pEG, где
Вд е GL(fc,C), Dg € GL(n-fc,C), Cg ? Mat(fc x (n-fc),C),
Тогда существует такая матрица F e GL(n,C), что
/ Вя I Ся \ г _ ( Вя\0 \
\ 0\De) { 0\Dg)
для любых элементов д € G. Действительно, по доказанно-
доказанному выше можно считать, что представление у ортогонально
(унитарно). Тогда W = U^- инвариантно относительно всех
операторов \|/(#), д е G. Остается перейти к матричной за-
записи операторов в случае, когда пространство разложено в
прямую сумму инвариантных подпространств (см. предло-
предложение 7.15.)
Упражнение 3.1. Доказать ряд положений:
1. Представления щ> \|/2 группы D3 эквивалентны одно другому
и эквивалентны естественному представлению группы диэдра D3 как
группы симметрии правильного треугольника.
2. Представления щ, щ группы D4 эквивалентны между собой и
естественному представлению группы диэдра D4 как группы симмет-
симметрии квадрата.
3. Представления \|/5, щ группы De эквивалентны одно другому и
естественному представлению группы диэдра De как группы симмет-
симметрии правильного шестиугольника.
В заключение построим важное для дальнейших рассмотре-
рассмотрений регулярное представление конечной группы G. Рассмотрим
векторное пространство V с базисом, состоящим из векторов
ieg I g € G}, индексированных элементами группы G. Зададим
представление р : G —> GL(y), полагая [p(h)] (eg) = е^ для любого
элемента h E G. Построенное представление имеет размерность,
Равную порядку \G\ группы G.
157
Приведем примеры регулярного представления. Пусть G =
= (а)з — циклическая группа третьего порядка, порожденная
элементом а. В качестве пространства V берем векторное про-
пространство с базисом еь еа, еа2. В этом случае
p(a)ei = ea, p(a)ea = ea2, p(a)ea2 = e\.
Это означает, что матрица оператора p(a) в выбранном базисе
имеет вид
1 О О
ир(а2)=р2(а).
Рассмотрим второй пример: G = S3. В этом случае базисом в
пространстве V регулярного представления являются векторы
еь еA2), еA3), еB3), еA23), еA32).
В этом базисе цикл A2) действует как
12) = еь
=еA2)A3) =еA32)>
Р(A2))еB3) =еA2)B3) =еA23)»
Р(A2))еA23) =еA2)A23) =еB3)^
Р(A2))еA32) = еA2)A32) =
Цикл A23) в том же базисе действует как
p(A23))ei = еA23), р(A23))еA2) = еA3), р(A23))еA3) = еB3),
р(A23))еB3) = еA2), р(A23))еA23) = еA32), р(A23))еA32) = еь
Следовательно, в этом базисе соответствующие матрицы опе-
операторов имеют вид
0 1 0 0 0 0\
10 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 10
0 0 0 10 0
р о 1 о о о
, Р(A23)) =
/0 0 0 0 0 1\
0 0 0 10 0
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
10 0 0 0 0
\0 о о о 1 оу
(преобразования базисных векторов при умножении на матрицы
рA2) и рA23) проверяются непосредственно).
158
3.2. ТЕОРЕМА МАШКЕ
Пусть задано представление ф : G —> GL(y) группы G в веще-
вещественном (комплексном) векторном пространстве V. Предполо-
Предположим, что в V имеется нетривиальное подпространство W, инва-
инвариантное относительно всех операторов ф(р), д € G. Это означа-
означает, что если х ? W, то [ф(#)] (х) € W для любого д € G. Опре-
Определим ограничение ф(#) |vk, р € G, оператора ф(р) на подпро-
подпространство W по правилу ф(#) |vk (я) = [Ф(р)] (х) для любого х € W.
В этом случае ограничение ф(р) |^, # ? С? является обратимым
линейным оператором в W. Таким образом, получается пред-
представление у(д) = ф(#) \wi 9 € G группы G в подпространстве W.
Это представление у называется подпредставлением представ-
представления ф. Если пространство V раскладывается в прямую сумму
V = W\ ф • • • 0 Wm инвариантных подпространств W\, ..., Wm, и
Vj(^) = Ф(^) \\Vj Для всех g e G и любого индекса 1 < j < m, то
говорят, что представление ф разложено в прямую сумму под-
представлений Yj, ф = \|/i 0 • • • ф \|/m, I ^ j ^ т. Представление
ф : G —* GL(V) группы G на вещественном (комплексном) вектор-
векторном пространстве V неприводимо, если в V нет инвариантных
подпространств, кроме нулевого и всего пространства V. Други-
Другими словами, у неприводимого представления ф в этом случае нет
нетривиальных подпредставлений. Представление ф вполне при-
приводимо, если оно раскладывается в прямую сумму неприводи-
неприводимых подпредставлений. Частным случаем вполне приводимого
представления является неприводимое представление.
ТЕОРЕМА 3.2 (теорема Машке). Любое конечно-
конечномерное комплексное (вещественное) представление конеч-
конечной группы вполне приводимо.
Доказательство. В силу теоремы 3.1 будем рас-
рассматривать только ортогональные (унитарные) представле-
представления. Проведем доказательство индукцией по размерности
представления. Случай размерности 1 очевиден, поскольку
каждое одномерное представление неприводимо.
Пусть для представлений размерности, меньшей d, тео-
теорема доказана. Рассмотрим представление ф : G -+ GL(V")
группы G на вещественном (комплексном) векторном про-
пространстве V размерности d. Выберем в V инвариантное под-
подпространство W наименьшей ненулевой размерности. Тогда
V = W 0 W1- по теореме 7.9, причем ортогональное допол-
дополнение W1- также инвариантно относительно всех операто-
операторов ф(р), g ? G, по предложению 7.23. На пространстве W в
силу его выбора имеется неприводимое подпредставление,
159
причем dim W1- = dim V - dim W < d. Остается применить ин-
индукцию.
На основании теоремы Машке все (неэквивалентные) пред-
представления произвольной конечной группы G можно свести к
совокупности ее неприводимых представлений. Таким образом,
достаточно исследовать свойства неприводимых представлений
группы.
Упражнение 3.2. Доказать следующие положения:
1) естественные двумерные представления Dn и Qs неприводимы;
2) трехмерные представления S4 из примеров 1 и 2 неприводимы.
Приведем пример неприводимого представления группы Sn
размерности п-1 для любого п ^ 3.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Пусть V - комплексное
пространство размерности п с базисом е = (ei, ..., еп). За-
Зададим представление Sn в V, полагая а(е^) = eGi для любого
индекса i = 1, ..., п и для любого элемента а е Sn. Обо-
Обозначим через U подпространство, базис которого состоит из
одного вектора е\ + • • • + еп. Пусть
W = {х\е\ + •• -+xnen I X{ € С, x\ + • • - + xn = 0}.
Тогда подпространствам U и W отвечают неприводимые
подпредставления, причем V = U ф W.
Доказательство. Достаточно проверить неприво-
неприводимость представления на W. Пусть h = hie\ + • • • + hnen —
ненулевой вектор из W, где hj € С. Переставляя базисные
векторы ej, I ^ j ^ п, с помощью перестановок из Sn, мож-
можно считать, что h\ ^0. Заметим, что случай h\ = /12 = • • • = hn
невозможен (иначе h был бы нулевым вектором). Поэтому,
переставляя е2, ..., еп с помощью перестановок из Sn, мож-
можно считать, что hi 7^/12. Тогда Л-A,2)Л = (fti~/i2)(ei-e2). Сле-
Следовательно, любое ненулевое инвариантное относительно Sn
подпространство W\ в W содержит вектор (h\ ~ h2)~l{h-
-A,2)Л) = е\ - е2. Но тогда оно содержит также вектор
B, j)(ei ~ ег) = е\ - ej для любого 2 ^ jf'^ п, так как j = 2
было выбрано произвольно. Поэтому подпространство W\
совпадает с W.
Группу перестановок Sn_i можно рассматривать как подгруп-
подгруппу в группе перестановок Sn, состоящую из всех таких переста-
перестановок а € Sn, что с(п) = п. Подпространство W из предложе-
предложения 3.1 будет также и пространством представления подгруппы
Sn-i группы Sn. Однако в рамках подгруппы Sn_i оно будет раз-
разлагаться в прямую сумму W = W ф С/', где
160
W' = {xiei + • • • +zn-ien-i | xi + • • • +xn_i = 0},
и U1 — одномерное пространство с базисом, состоящим из одного
вектора е\ + • • • + en_i - (п - 1)еп. Оба подпространства W\ Uf ин-
инвариантны относительно действия группы Sn_i. Таким образом,
этот пример показывает, что при переходе к подгруппе свойство
неприводимости представления не сохраняется.
3,3. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
Простейшими алгебраическими свойствами обладают абеле-
вы группы, т.е. группы с коммутирующими элементами (см.
гл.1). Опишем все неприводимые комплексные представления
конечных абелевых групп.
ТЕОРЕМА 3.3. Любое неприводимое комплексное
представление абелевой группы в пространстве конечного
числа измерений всегда одномерно.
Доказательство. Пусть задана абелева группа G и
ее неприводимое представление \р в комплексном простран-
пространстве У. По теореме 7.11 линейный оператор \|/(#), где д € G,
имеет в V ненулевой собственный вектор с собственным
значением Хд. Рассмотрим подпространство U в V, состо-
состоящее из нуля и всех собственных векторов оператора \|/(р) с
собственными значениями Хд. Как уже отмечалось, подпро-
подпространство U содержит ненулевой вектор. Кроме того, легко
показать, что подпространство U инвариантно относитель-
относительно операций группы G. Действительно, пусть h е С?, х € U
и у = \|/(ft)x = hx. Тогда
ду = g(hx) = (gh)x = (hg)x = h{gx) = h{Xgx) = Xg(hx) =
т. е. у € U. В силу неприводимости представления у полу-
получаем, что U = V. Так как д — любой элемент из G, то для
любых д € G и v ? V имеем gv = Xgv. Следовательно, любое
одномерное подпространство в V инвариантно относитель-
относительно G, и поэтому dim V = 1.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть G либо свободная абелева
группа с базисом е = (ei, ..., еп), либо аддитивная группа
вещественного векторного пространство с тем же базисом.
Предположим, что \|/ — одномерное представление G в про-
пространстве V с базисом /, причем отображение у непрерыв-
непрерывно, если G — векторное пространство. Тогда существует та-
161
кой набор комплексных чисел ос = (ось..., On) € Сп, что для
любого вектора х = x\ei + • • •+хпеп € G выполнено равенство
\|/(х)/ = ехр [г(ос, х)] /, где (а, х) = ccixi + • • • + <XnXn. Если G —
свободная абелева группа, то каждое число ocj определено с
точностью до 2яга, т € Z.
Доказательство. Как отмечено в примере 11, не-
необходимо рассмотреть гомоморфизмы у группы G в группу
U комплексных чисел с модулем 1 относительно умноже-
умножения. Предположим, что \|/(е^) = exp(iocj) € U для некоторого
OLj G С. Поэтому \|/(х) = v(xiei) • • • v(xnen). Если xi,..., xn € Z,
то \|/(xj6j) = V(ej)Xj = ехр[г(а^х^)]. Если m — произвольное це-
целое число, то
ехр[г (((Xj + 2nm)xj)] = exp[z(ajXj)] ехрBтсгта;^) = exp[i(<XjXj)],
поскольку число Xj целое. Отсюда следует утверждение для
свободной абелевой группы.
Предположим, что G — векторное вещественное простран-
пространство и \|/ непрерывно. Из рассмотрения свободной абелевой
группы вытекает, что \|/(хе^) = expi(ajx) для любого рацио-
рационального числа х. Если же г — произвольное вещественное
число, то существует последовательность рациональных чи-
чисел Pk/qki сходящаяся к г. По непрерывности получаем, что
—) -»expz(raj).
Отсюда \|/(rej) = ехр г (raj).
СЛЕДСТВИЕ. Пусть конечная абелева группа G
имеет в силу теоремы 2.4 разложение
G = (ai) ь х ••• х (am) fcm,
где pi, ..., рт — простые числа.
Каждое неприводимое комплексное представление у груп-
группы G имеет вид у (а*.) = ?$*, где ^ — комплексный корень
степени р-3 из 1 @ ^ Sj ^ Pj,sj G
В частности, число неэквивалентных неприводимых ком-
комплексных представлений конечной абелевой группы G равно
ее порядку.
Доказательство. По предыдущей теореме каждое
неприводимое представление \|/ группы G является одномер-
одномерным. Пусть \|/(aj) = ?j ? С*. Так как элемент aj € G в степени
к'
p-J равен единичному, то
кз
Обратно, если задан набор корней ^ € С* степени р.* из 1,
то отображение \|/: G —> С*, при котором
для любых 5i,..., sm ? Z, задает одномерное и потому непри-
неприводимое представление группы G.
Опишем, например, все неприводимые представления цикли-
циклической группы G = (аL порядка 4. Эта группа состоит из четырех
элементов G = {1, а, а2, а3} по предложению 1.7. Порождающий
элемент а имеетч порядок 4. Следовательно, его образ при пред-
представлении является комплексным корнем степени 4 из 1, т.е.
одним из чисел {1, -1, г, -г}. При этом у{ак) = \|/(a)fc для любого
представления \|/ и любого показателя к. Таким образом, имеют-
имеются четыре неэквивалентных комплексных неприводимых пред-
представления (НП) щу ..., щ группы G. Запишем этот результат в
виде таблицы размера 4x4 (табл. 3.1), строки которой соответ-
соответствуют каждому из представлений щ, ..., щ, причем на месте
(г, s) стоит Yrfa5)-
Опишем теперь все неприводимые комплексные представле-
представления прямого произведения G = (а) 2 x FJ Двух циклических групп
порядка 2. Так как a, b имеют порядок 2, то их образы при любом
неприводимом представлении равны ±1. Получаемые представ-
представления показаны в табл. 3.2.
Опишем все двумерные комплексные представления цикличе-
циклической группы G = (аJ- По теореме 3.2 любое двумерное представ-
Таблица 3.1
Неприводимые представления группы (а) 4
Vi
?з
Щ
1
1
1
1
1
а
1
-1
г
-г
а2
1
1
-1
-1
а3
1
-1
—г
г
163
Таблица 3.2
Таблица 3.3
Неприводимые представления
группы (а) 2 х FJ
Неприводимые представления
группы (а) 2
Vi
У2
Уз
Щ
1
1
1
1
1
а
1
-1
1
-1
Ь
1
1
-1
-1
а
1
-1
-1
1
Уг
Vi
V2
1
1
1
а
1
ление абелевой группы G приводимо, т. е. является прямой сум-
суммой одномерных неприводимых представлений. Имеются два
различных одномерных представления группы G (табл. 3.3).
Отсюда любое двумерное представление группы G = (а) 2 эк-
эквивалентно одному из следующих представлений:
В каждом из этих представлений единичному элементу груп-
группы G соответствует единичная матрица размера 2, а элементу
а — соответственно матрицы
(о lj' (о -i)' (о -ij-
Теорема 3.3 позволяет описать все конечномерные комплекс-
комплексные представления абелевых групп. Справедлива также
ТЕОРЕМА 3.4. Пусть задано конечномерное ком-
комплексное представление ф : А -> GL(V) абелевой группы А в
пространстве V. Тогда в V существует базис, в котором мат-
матрица каждого оператора ф(а), а е А имеет верхнетреуголь-
верхнетреугольный вид
О
О 0 ... фпп(а.
Каждый диагональный элемент ф^а), 1 ^ j ^ п задает го-
гомоморфизм групп §jj : А —* С*, где С* — мультипликатив-
мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел. Другими слова-
словами, §jj{a + 6) = §jj{o>)tyjj{b) для всех а, 6 ? А.
164
3.4. ОДНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРУПП
Как отмечалось, одномерные представления любых групп все-
всегда неприводимы. Это позволяет перенести на них закономер-
закономерности, установленные для неприводимых представлений абеле-
вых групп. Приведем описание одномерных представлений про-
произвольной группы G.
Напомним, что коммутантом группы G называется совокуп-
совокупность всех произведений коммутаторов вида {х,у} = хух~1у~1 в
G, см. подразд. 1.8.
ТЕОРЕМА 3.5. Все одномерные представления груп-
группы G сводятся к одномерным представлениям абелевой груп-
группы G/Gf, где G1 — коммутант группы G.
Доказательство. Одномерное представление груп-
группы G является гомоморфизмом ф : G -» GLA,C) в ком-
комплексном случае и гомоморфизмом ф : G —> GLA,R) в веще-
вещественном случае. Имеются очевидные изоморфизмы групп
GLA,C) ~ С*, GLA,R) ~ R*, причем группы С*, R* абелевы.
В силу предложения 1.19 коммутант G1 С кегф. Тем самым
представление ф порождает представление ф :_G/G' -> С*
(соответственно, ф : G/G1 —> R*), при котором §{gGf) = ф(#)
для любого д € G. Здесь дС, д € G — элемент фактор-груп-
фактор-группы G/G', являющийся смежным классом группы G по нор-
нормальной подгруппе С.
Обратно, если задано представление \|/: G/G' —> С* (ли-
(либо \|/ : G/G1 —» R*), то получаем представление ф : G —> С*
(соответственно, ф : G -» R*), при котором ф = \|/7с, где
я : G —> G/G1 — естественный гомоморфизм на фактор-
факторгруппу.
Эта теорема показывает, что описание одномерных представ-
представлений произвольной группы G сводится к описанию одномерных
представлений абелевой группы G/G1. В качестве приложения
опишем одномерные представления симметрических групп Sn.
ТЕОРЕМА 3.6. Имеются два одномерных представ-
представления симметрической группы Sn — тождественное пред-
представление ои1и представление ан-> (-1)а, где а € Sn.
Доказательство. Напомним, что S^ = Ап по теоре-
теореме 1.16 и Sn/An — циклическая группа порядка 2. Остается
воспользоваться теоремой 3.5.
Рассмотрим теперь одномерные представления групп диэдра
ип и группы кватернионов Qs- Воспользуемся для этого теоре-
165
мой 3.5 и теоремой 1.22. Если п нечетно, то D^ = (а) и поэтому
Dn/D^ ~ FJ имеет порядок 2. Таким образом, имеются два од-
одномерных представления группы диэдра Dn:
a i->l, 6ь->1 и аь-»1, Ьь-»-1. C.4)
Если п четно, то Dn/D^ ~ (аJ х FJ. Отсюда, как отмечено в
подразд. 3.3, имеются четыре одномерных представления груп-
группы Dn:
а ь-> 1, Ь i—> 1;
а н-> -1, 6 н-> -1.
Перейдем к описанию одномерных представлений группы ква-
кватернионов Q&. По теореме 1.22 получаем
Q8/Q'8 - AJ х (JJ.
Поэтому имеются четыре одномерных представления груп-
группы Qg:
+?и1, /ь-»1, Jh+1, Kt->1;
±?ь>1, /1-> 1, J ь-> -1, i^ н-> -1; .ч fi4
±JS i-> 1, / i-> -1, J ь-> -1, K" i-> 1.
3.5. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
ДИЭДРА
В подразд. 3.4 были выведены все одномерные комплексные
представления групп диэдра. Опишем все остальные неприво-
неприводимые комплексные представления этих групп. Воспользуемся
тем, что классификацию неприводимых представлений абелевых
групп можно использовать и при описании многомерных непри-
неприводимых представлений некоторых неабелевых групп, в частно-
частности групп диэдра Dn.
ТЕОРЕМА 3.7. Предположим, что в конечной груп-
группе G имеется абелева подгруппа А индекса j. Тогда любое
неприводимое комплексное представление группы G имеет
размерность не выше j.
Доказательство. Пусть имеется неприводимое
комплексное представление ф : G -> GL{V) группы G. Им по-
порождается представление ф |д: А —> GL(V) абелевой группы
А € G. По теореме 3.3 в V имеется одномерное подпростран-
подпространство U = (z), инвариантное относительно всех операторов
166
ф(а), а ? А. Это означает, что az = Xaz для любого а € -А, где
А* € С*.
По условию также имеются j левых смежных классов
д\А, ..., QjA группы G по подгруппе А. Пусть д е G. Для лю-
любого индекса t = 1, ..., j найдется такой индекс t' = 1, ..., j,
что ggt = gtiat для некоторого at € A.
Рассмотрим линейную оболочку (см. подразд. 7.2) W =
= (piz, ..., gjz)\ z € С/ в пространстве V". Очевидно, dim W < j.
Предположим, что х = o*\g\z + • • • + OLjgjZ € W, где cti, ...,
(Xj e С. Если # ? G, то
Следовательно, W является подпространством V, инва-
инвариантным относительно G и поэтому, в силу неприводимо-
неприводимости ф, W = V.
СЛЕДСТВИЕ. Все неприводимые комплексные
представления группы диэдра Dn имеют размерность не
больше 2.
Доказательство. В группе диэдра Dn имеется цик-
циклическая, и потому абелева, подгруппа вращений А = (а)п
индекса 2.
Доказательство теоремы 3.7 дает алгоритм построения всех
двумерных неприводимых комплексных представлений группы
диэдра Dn. Пусть на комплексном двумерном пространстве V
задано неприводимое представление ф группы диэдра Dn и е\ —
собственный вектор оператора поворота а € Dn. Так как а имеет
порядок п, то ае\ = A,ei, где А, € С — корень из 1 степени п. При
этом базис пространства V составляют элементы е\ и ег- Так как
Ь2 = 1, то в базисе ei, e2 матрица оператора фF) имеет вид
GD-
Далее, аег = abe\ = Ьа 1е\ = А, 1Ье\ = X хе%. Это означает, что
матрица оператора Ф(а) в базисе ей ег имеет вид
(X О
(о ^
Упражнение 3.3. Доказать, что построенное представление
Dn неприводимо тогда и только тогда, когда Х^±\. Доказать,
167
что при X = ехрBя/п) построенное представление ф группы Dn эквива-
эквивалентно естественному представлению группы Dn как группы симмет-
симметрии правильного п-угольника.
Вопрос об эквивалентности построенных представлений мы
рассмотрим в подразд. 3.7.
3.6. ЛЕММА ШУРА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Рассмотрим подробнее свойства некоторых представлений
групп, которые позволяют перейти в их описании от матриц Тд
к числам tr Тд.
В дальнейшем будем использовать символ Кронекера:
fl приг=,7,
lJ [0 при г тО*.
Символ Кронекера связан с элементами единичной матрицы
Е: на месте (г, j) в матрице Е стоит элемент 8у.
ТЕОРЕМА 3.8 (лемма Шура). Пусть заданы два
неприводимых представления фх : G -> GL(Vx) и Ф2 : G -¦
—> GL(l^j) группы G. Предположим, что / : V\ —> V2 — линей-
линейное отображение, причем для любого р € G коммутативна
диаграмма (см. ее. 4—155):
VX —^ V2
Если фх, ф2 не эквивалентны, то / = 0. Если / i> 0 и
У\ = V2 = V — конечномерно, то существует такое комплекс-
комплексное число X, что f(x) = Ад; для всех х € V.
Доказательство. Пусть фх, ф2 не эквивалентны,
/ i- 0, и W = ker /. Тогда W ^V\, причем W инвариантно отно-
относительно фх- Следовательно, W = 0. Аналогично Im/ (образ
У\ в ^2? см. гл. 7) — подпространство в V2, инвариантное от-
относительно ф2. Поэтому Im/ = V2> т. е. / — эквивалентность,
что невозможно.
Пусть Vi = V2 = 7 и фх = ф2 = ф. Тогда / имеет в V соб-
собственный вектор х с собственным значением X. Собственное
подпространство и С V для оператора / с этим собствен-
собственным значением X инвариантно относительно ф. Но посколь-
168
ку представление ф неприводимо, и = V, т. е. пространство V
совпадает с собственным подпространством отображения /.
СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть заданы два неприводимых
конечномерных комплексных представления фх : G —> GL(Vx)
и Ф2 : G -> GL(F2) конечной группы G. Предположим,
что имеется линейное отображение В : Vi -» V^. Положим
ЕФЫ^Ф^1) : Vi -* V2. Если Vi, V2 не эквива-
эквивалентны, то Ф = 0. Если же Vi = V^2 = V и фх = ф2 = ф, то
Ф(х) = (trB/dim V)x для любого а; € V (см. с. 458).
Доказательство. Для любого heG имеем
Щ
= U| Е ФгМВф!^"
Поэтому, если фь ф2 не эквивалентны, то Ф = 0 по теоре-
теореме 3.8.
Во втором случае (Vi совпадает с V^, а фх — с фг) суще-
существует такое X € С, что
ф()
?гф
для любого х G V. В частности, tr Ф = A, dim V, т. е. X = -г—тт-
dim У
Но
i
1 ' geG
СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть е — ортонормированный
базис в пространстве Vx в условии предыдущего следствия
и f — ортонормированный базис в пространстве V2, причем
если Vi = V2 = V и фх = фг = Ф, то е = f. Предположим, что
заданы матрицы фх(#) = (T'{g)i:j) и fa(g) = (Т2(д)^) унитар-
унитарных представлений фх и фг в базисах е, f соответственно.
Если представления фх, ф2 не эквивалентны, то для любых
индексов г, j, r, s имеем
geG
169
(черта над символом означает комплексное сопряжение).
Если же V\ = V2 = V и фх = ф2 = ф, то для любого набора
индексов г, j, r, s:
Доказательство. Отметим, что в силу унитарно-
унитарности представления Г имеем Т(д~1) = Т(д)~1 = 1Т(д), и поэтому
l
Пусть В : Vi —> V2 — произвольный оператор, имеющий в
паре базисов (е, f) ненулевую матрицу перехода В = (Ьу).
Рассмотрим матрицу линейного отображения Ф из след-
следствия I в выбранной паре базисов. В матрице Ф на месте
г, 5 в силу сделанного выше замечания стоит число
11 geG j,s
Если фх, фг не эквивалентны, то Ф = 0 для любой матри-
матрицы В. В частности, если bjr = 1 и все остальные элементы В
нулевые, то получаем равенство C.7).
Во втором случае по предыдущему следствию
j,s
Взяв матрицу В, в которой bjr = 1, а все остальные эле-
элементы нулевые, получаем C.8).
Обозначим через «С пространство всех комплексных функ-
функций т: G —> С. Если т,\|/ € ?, то положим
|^j C-9)
Предположим, что представления Г, Т1 неприводимы и они
заданы матрицами Т(д), Т'(д) соответственно. Если эти пред-
представления неэквивалентны, то по C.7) имеем
)=о. (зло)
Если же эти представления эквивалентны, то
(T'E)ij,T(,)sr) = |^. C.11)
170
3.7. ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
На основании леммы Шура любому представлению Г груп-
группы G можно поставить в соответствие особую функцию на эле-
элементах группы: набор комплексных чисел {trT(g)}. Для непри-
неприводимых представлений такие функции, называемые характера-
характерами, ортонормированы, что позволяет свести анализ представле-
представлений группы к обычному разложению вектора в заданном базисе.
В этом подразделе будет изложена теория комплексных конеч-
конечномерных характеров конечных групп.
Пусть ф : G —> GL(V) — конечномерное комплексное представ-
представление конечной группы G. Характером представления ф называ-
называется функция Хф € «С (см. выше), для которой ХфЫ = ti$(g) e С.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть ф : G -> GL(V) -
представление. Справедливы следующие равенства:
фф
2) ХфС1) = dim V, здесь 1 — единичный элемент группы G;
ф
4) |ХфЫ1 < dimV, причем, если \ц(д)\ = dim У, то ф(#) =
= AJ5, где X е С — комплексный корень из единицы степени
|С?|,,а E — единичная матрица, размер которой равен раз-
размерности пространства V.
Доказательство. Имеем
) = tr
Кроме того, %фA) = tr Е = dim V, где Е — единичная матри-
матрица. Так как ф(#) унитарно по теореме 3.1, то по теореме 1.14
матрица ф(#) в некотором ортонормированном базисе име-
имеет диагональный вид diag(A,i,...,A^), причем Щ1 = 1, если
77i = \д\. Отсюда вытекают остальные утверждения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Если ф = фх ф ф2, то Хф =
= Хф1 +Хф2- (Приводится без доказательства.)
Функция ^ € «С называется центральной, если ijjigh) = %{g)
для любых элементов <;, h € G, т. е. ? является функцией на клас-
классах сопряженных элементов в G. Нетрудно видеть, что цент-
центральные функции образуют подпространство *К, размерность ко-
которого равна числу классов сопряженных элементов в G.
ТЕОРЕМА 3.9. Пусть % ~ характер некоторого
неприводимого представления ф конечной группы G и ска-
171
лярное произведение (%,%) задано в виде 3.9. Тогда (%,%) = 1.
Если же фь фг — два неприводимых неэквивалентных пред-
представления G, то (Хф1>Хф2) =0-
Доказательство. Пусть ф(#) задается некоторой
матрицей
По следствию II из теоремы 3.8:
Аналогично проверяется второе равенство.
ТЕОРЕМА 3.10. Пусть конечномерное комплекс-
комплексное представление ф конечной группы G с характером %
разложено в прямую сумму неприводимых представлений
ф = фх ф- • -Фф^. Если %j — характер неприводимого представ-
представления фу и Tj — его кратность в разложении ф, то (%,Xj) = rj
(проверяется непосредственно).
СЛЕДСТВИЕ. Любое конечномерное комплексное
представление ф конечной группы G однозначно определя-
определяется своим характером %ф. Представление ф неприводимо то-
тогда и только тогда, когда (х^Х$) = 1-
ТЕОРЕМА 3.11. Пусть щ,..., п3 — размерности всех
неприводимых комплексных представлений конечной груп-
группы G. Тогда |G| = п\ + • • • + n2s.
Доказательство. Рассмотрим регулярное пред-
представление р : G -> GL(V) из подразд.3.1, где р(р)е^ = egh.
Тогда )СрA) = \G\ и %р(р) = 0, если д i 1. При этом
n (ZX)
1 ' geG ' '
(Каждое неприводимое представление содержится в разло-
разложении регулярного столько раз, какова его размерность.)
Итак, хр = п\Х\ + • • • + nsXs- Приравнивая размерности, по-
получим
? 4
L72
Пусть Л — пространство всех центральных функций на G.
ТЕОРЕМА 3.12. Пусть ф : G -> GLA0 - конечномер-
конечномерное комплексное представление группы G и / е *Н. Положим
geG
Если ф неприводимо и имеет размерность га, то
где е — тождественный оператор.
Доказательство. Имеем
ф(/1)ф/ф(/1-1) =
= Е
Следовательно, ф/(х) = Хх для некоторого комплексного
числа X по следствию 1 из теоремы 3.8. Отсюда
ТЕОРЕМА 3.13. Характеры всех неприводимых
неэквивалентных представлений Хь--чХв группы G со-
составляют базис пространства "К.
Доказательство. Пусть f еЛ и f ±%j для всех j,
т-е- (/) Xj) = О ДЛЯ всех i- Тогда ф^- = 0 по предыдущей теореме
для любого представления ф. В частности, при регулярном
представлении р имеем
= Е Шр(9)ег = Е Ш*д = 0.
geG
Следовательно, f(g) = 0, т. е. функция / нулевая.
СЛЕДСТВИЕ. Число классов сопряженных эле-
элементов группы G равно числу неэквивалентных неприводи-
неприводимых комплексных представлений группы G.
Применим полученные результаты для вычисления харак-
характеров представлений некоторых групп. Как отмечалось в под-
разд. 3.3, неприводимые представления циклической группы
G = (а)п одномерны и имеют вид
173
. , ч 2nik
ф*(а) = exp —- = цк, к = 0, ..., п- 1.
Используя формулу для суммы геометрической прогрессии,
получаем, что при к^к':
2nik'j
При к = к' получаем
В подразд. 3.4, 3.5 описаны неприводимые комплексные пред-
представления группы кватернионов Qg, групп диэдра Dn, п ^ 3. Все
они имеют размерность 1 или 2. Исследуем вопрос об их экви-
эквивалентности.
Ранее отмечалось, что группа кватернионов Qg имеет четы-
четыре одномерных представления C.6). Группа Qg имеет следую-
следующие классы сопряженных элементов: {?}, {-?}, {±/}, {±*/}, {±#}-
Следовательно, имеются всего пять неэквивалентных неприво-
неприводимых комплексных представлений группы Qg; из них четы-
четыре одномерных. Следовательно, по теореме 3.11 8 = |Qg| = 1 +
+ 1 + 1 + 1 + 4, т. е. имеется еще одно двумерное представле-
представление. Рассмотрим естественное двумерное представление Qe мат-
матрицами вида A.10) и докажем его неприводимость. Для этого
составим таблицу его характеров. Имеем %(Е) = 2, %(-Е) = -2,
%{±1) = %{±J) = Х(±К) = 0- Следовательно:
т. е. это представление неприводимо по следствию из теоре-
теоремы 3.10.
Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентности неприводимых
комплексных представления групп диэдра Dn, п > 3, приведен-
приведенных в подразд. 3.5. Как отмечено в подрйзд. 3.4, при нечетном п
имеются два одномерных неэквивалентных представления груп-
группы диэдра Dn, п > 3, указанных в C.4). Если п четное, то имеют-
имеются четыре одномерных представления группы Dn, приведенных
174
в C.5). Рассмотрим классы сопряженных элементов групп диэд-
диэдра Dn (см. подразд. 1.7). Если п нечетно, то имеются следующие
классы сопряженных элементов:
{1}, {а, а»-1}, ... ,{a^l\aW% {Ь,Ьа,. - .М^1}.
Число таких классов равно 1 + (п -1)/2 +1 = (п + 3)/2.
Если п четно, то имеются следующие классы сопряженных
элементов:
{1}, {а,а"-1}, ... ,{а(Л-2)/2,а(
{Ь, Ьа2,..., Ъап}, {Ьа, Ьаг,..., Ъап~1}.
Число таких классов равно 1 + (п - 2)/2 +1 + 2 = (п + 6)/2.
Рассмотрим серию двумерных представлений {у*.} группы ди-
диэдра Dn из подразд. 3.5, где к = 1, ... ,
ехр
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Представления щ и \|/fc/ при
неприводимы и неэквивалентны.
Доказательство. Заметим, что если %к "~ характер
представления \|/^, то Zt;(a) = 2 cos . Если бы представле-
п
ния у*., \|/?/ были эквивалентны, то Xfc(a) = Xfc/(a)j откуда
2тсА: 2тсЫ
2cos = ехр + ехр
n n n
2nk'i -2nk'i o 27cfe /oio4
= Xkf (a) = exp + exp = 2 cos . C.12)
n n n
p
n n n
Так как
71-1
2
, TO
2% 2nk , 2nk'
— < 4
n n n
175
Следовательно, cosBjcfc/n) JcosBnk'/n), что противоречит
C.12). Поэтому представления у*, и \|/*./ неэквивалентны.
Если некоторое двумерное представление \|/^ приводимо,
то оно вполне приводимо по теореме Машке C.2) и, следова-
следовательно, эквивалентно прямой сумме двух одномерных под-
представлений. Поэтому существует такая обратимая мат-
матрица С, что матрицы
диагональны. В этом случае эти матрицы перестановочны.
Но тогда перестановочны и матрицы \|/fc(a), \|/*(Ь). Непосред-
Непосредственная проверка показывает, что
0 ехр
ехр
п
Однако
2nki -2nki
Если щ(Ьа) = v|/fc(ab), то ехр = ехр , откуда
п п
Anki 4пк ^
ехр = 1 и = 2тл, для некоторого т € Z. Следова-
п п
тельно, fc = —, что противоречит условию 1 < к < (п-1)/2.
Поэтому представления {\|/*.} неприводимы.
Таким образом, при нечетном п = 2т +1 нами построено т
неприводимых двумерных представлений. Всего же неприводи-
неприводимых представлений (п + 3)/2 = Bш + 4)/2 = ш + 2, из них два од-
одномерных. Итак, найдены все неприводимые комплексные пред-
представления группы диэдра Dn при нечетном п .
При четном п = 2т нами построено т - 1 неприводимых дву-
двумерных представлений. Всего же неприводимых представлений
(п + 6)/2 = Bт + б)/2 = т + 3, из них четыре одномерных.
Таким образом, найдены все неприводимые комплексные пред-
представления группы Dn при четном п.
Опишем все неприводимые представления групп S3 и S4. Их
число совпадает с числом классов сопряженных элементов в груп-
группе. Напомним, что в S3 имеются три класса сопряженных эле-
элементов: {1}, {A2)}, {A23)} (см. подразд. 1.7). Поэтому группа S3
176
имеет три неприводимых представления. Два из них одномер-
одномерные (см. подразд. 3.4). Следовательно, имеется еще одно непри-
неприводимое представление размерности п, причем IS3J = 6 = 1 + 1 +п2
по теореме 3.11. Отсюда п = 2. Это представление совпадает с
естественным представлением S3 — D3. Действительно, в этом
представлении
B3)
0
О -l
A23)
2тс
sin
-sin-
2я
cosy
Следовательно
2, ХB3) = 0,
В группе S3 помимо тождественной перестановки имеются три
цикла длины 2 и два цикла длины 3. Циклы одинаковой длины
составляют классы, в каждом из которых компоненты характе-
характера х одинаковы. Поэтому
т. е. это представление неприводимо. Итак, имеются три непри-
неприводимых представления Уь \|/2> V3- В табл. 3.4 характеров на ме-
месте (г, j) стоит значение характера %Vi на j-м классе сопряженных
элементов:
Опишем все неприводимые представления группы S4. Напом-
Напомним, что в S4 имеются 5 классов сопряженных элементов: {1},
{A2)}, {A23)}, {A234}, {A2)C4)}, содержащих, соответственно,
1, 6, 8, 6, 3 элементов (см. теорему 1.13). Поэтому имеется пять
неприводимых представлений группы S4. Два из них одномерны
(см. подразд. 3.4). Одно представление двумерное и порождено
изоморфизмом S4/V4 ^ S3 (см. теорему 1.12). Оно задается сле-
следующими матрицами:
Таблица 3.4
Характеры неприводимых представлений групп S3
V»
?з
{1}
1
1
2
{A2)}
1
-1
0
{A23)}
1
1
-1
177
Таблица 3.5
Характеры неприводимых представлений группы S4
Vi
V2
Уз
Щ
{1}
1
1
2
3
3
{A2)}
1
-1
0
1
-1
{A23)}
1
1
-1
0
0
{A234)}
1
-1
0
-1
1
{A2)C4)}
1
1
2
-1
-1
A2)
1
0
A23) -+
/ 2я
cos —
3
2я
VsinT
2%
—sin —
3
2я
cosy
A2)C4)
И-
Добавим сюда два неэквивалентных неприводимых трехмер-
трехмерных представления группы S4 в качестве группы симметрии тет-
тетраэдра и группы вращений куба (см. подразд. 3.4, пример 1, слу-
случай 2)). Сумма квадратов размерностей всех пяти представле-
представлений равна 1 + 1+ +4 + 9 + 9 = 24 (т.е. порядку S4). Характеры
группы S4 показаны в табл. 3.5.
В этой таблице в строке, соответствующей представлению \|/*.,
и в столбце, соответствующем, например, классу сопряженных
элементов {A234)}, стоит значение характера представления \|/^
на классе сопряженных элементов, состоящем из всех циклов
длины 4.
3.8. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В основе теории представлений лежит теорема Машке, поз-
позволяющая свести произвольное представление заданной группы
к прямой сумме неприводимых. Важную роль при этом играет
операция прямой суммы, позволяющая строить новые представ-
представления по заданному набору исходных. Другой важной конструк-
конструкцией является тензорное произведение представлений. Это про-
произведение будет далее применяться при описании неприводимых
представлений ряда групп.
178
Предположим, что заданы два представления Ф, Ф группы G в
пространствах V, W. В тензорном произведении пространств (см.
подразд. 7.11) V ® W имеется представление Ф0Ф, называемое
тензорным произведением представлений, которое задается по
правилу
[(Ф ® Ф)(р)] (v ® w) = Ф(д)у ® Ф(р)к;
для всех peGnveViweW.
ТЕОРЕМА 3.14. Пусть заданы два конечномерных
представления Ф,Ф группы G. Если р е G, то Хф®фЫ =
Доказательство. Найдем формулу для характе-
характеров представления Ф ® Ф группы G в предположении, что
оба представления Ф и Ф конечномерны. Выберем базис е =
= {еь ..., еп} в пространстве V и базис f = {/i, ..., fm} в про-
пространстве W. Тогда векторы {е* ® /j | 1 < -t < п, 1 < j < m}
составляют базис пространства V® W. Пусть элементу д € G
в базисе е соответствует матрица А = (ars) e GL(n,C), а в ба-
базисе f — матрица В = (bpq) e GL(m,C). Тогда
г=1 р=1
Поэтому
[(Ф ® Ф)р] (ee ® fq) =
Следовательно:
Тензорное произведение неприводимых представлений Ф ® Ф
конечных групп раскладывается в пространстве V&W в прямую
сумму неприводимых представлений. Поэтому V ® W = V\ 0 • • • ф
®Vd, где Vi, 1 < г < d — пространства соответствующих непри-
неприводимых представлений. Выберем в пространствах V, W, V{, со-
соответственно, базисы {er}, {/p}, {a^}, тогда
er®fP = Yl aisc(r,р, г, 5), с(г,р, г, s) € С.
Коэффициенты с(г,р,г,5) в этом разложении называют коэф-
коэффициентами Клебша — Гордана. Эта ситуация переносится на
случай представлений непрерывных компактных групп. Явный
179
вид этих коэффициентов для прямого произведения групп SUB, С)
приведен в [12, гл. 3, §5, 12].
Рассмотрим еще одну конструкцию произведения представ-
представлений, связанную с тензорным произведением. Пусть ФиФ-
представления групп G\ и <?2 соответственно в пространствах V
и W. Зададим представление Ф ® Ф прямого произведения групп
G\ х С?2 в V ® W по правилу
[(Ф ® *)(^i х Q2)] (v®w) = Ф(д\)у ® V(g2)w
для всех д\ Е G, g<i € G2 и v € V, w € W. Как и в теореме 3.14,
получаем, что если представления Ф, Ф конечномерны, то
Хф®ф(л х 92) =ХфЫЫ#2). C.13)
ТЕОРЕМА 3.15. Если представления Ф, Ф конечных
групп Gi,G2 неприводимы, то неприводимо и представление
Ф0ф группы G\ х С?2. Калсдое неприводимое представление
группы Gi х G2 разлагается в произведение Ф ® Ф неприво-
неприводимых представлений Ф, Ф конечных групп Gi,G2 [77, ч. II,
§3.2].
Доказательство. Пусть Ф, Ф — соответственно
неприводимые представления конечных групп G\ и G2. По
следствию 3.4 имеем
Е 1»<йI2=щ Е ix
Перемножая эти равенства, в силу C.13) получаем, что
Таким образом, по следствию из теоремы 3.10 представ-
представление Ф ® Ф группы G\ х G2 неприводимо.
Для доказательства обратного утверждения в силу тео-
теоремы 3.13 достаточно показать, что если центральная функ-
функция /((/ь 0г) на G\ х G2 ортогональна всем функциям
)} т0 она нулевая. Итак, пусть
для произвольной пары неприводимых представлений Ф, Ф
конечных групп Gi,G2- Положим
180
Тогда h(gi) — центральная функция на Gi, ортогональная
характерам всех неприводимых представлений. По теоре-
теореме 3.13 характеры всех неприводимых представлений со-
составляют базис пространства центральных функций, и по-
поэтому функция h нулевая. Следовательно, при каждом
д\ € G\ центральная функция f{g\,g2) на <?2 ортогональна
характерам всех неприводимых представлений группы <?2.
Снова применяя теорему 3.13, получаем, что f(g\,g2) = 0.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть группа G имеет прямое раз-
разложение G ~ Н х (jJ, где j2 = 1. Рассмотрим неприводимое
представление Ф группы Н на пространстве V. Продолжим
Ф на группу G, взяв в качестве Ф(,?) тождественный опера-
оператор ? или оператор центральной симметрии (инверсии) -?.
Тогда получается неприводимое представление группы G.
Более того, указанным способом строится любое неприво-
неприводимое представление группы G.
В частности, это следствие применимо для точечных групп
Dnh = DnxCi, Cnh = CnxCi{n = 2k).
Пусть задано представление Ф группы G в пространстве V ит —
натуральное число. Тогда имеется представление Фт группы G
в тензорной степени пространства V®m = V 0 • • • 0 Уу Именно,
т
если д е G и v\,..., vm ? V, то
ФтЫ(<Л О • • • ® vm) = Щд)уг 0 ... 0 Ф(д)ут € V®m.
Заметим, что представление Фт является композицией го-
гомоморфизма А группы G на прямое произведение G х - -» х G и
т
представления Ф ® • • - 0 Ф группы G х - • -xG. Здесь А(д) = (#,...,
т га
д) G (?X"'XG для всех # Е G.
В тензорной степени F®m можно задать также представле-
представление Ф симметрической группы Sm по правилу
0. • • ® vm) =
где а € Sm и v\..., vm e V. При этом
Ф(а)Ф(р)т = Ф(р)тФ(а) C.14)
для всех ? € G и а е Sm. Говорят, что пространство V®m раз-
разложено в прямую сумму неприводимых подпредставлений груп-
181
пы Sm. Группируя эквивалентные неприводимые подпредставле-
ния, получаем разложение V®m = ®Wj, где каждое Wj отвечает
прямой сумме эквивалентных представлений группы Sm, при-
причем при разных j неприводимые слагаемые неэквивалентны. По
лемме Шура и C.14) каждая компонента Wj инвариантна отно-
относительно представления Фт.
В частности, если Wj является прямой суммой тривиальных
одномерных представлений группы Sm, то Wj называют про-
пространством Sm(V) всех симметрических тензоров ранга т (см.
подразд. 7.11). В этом случае ограничение представления Фт на
Sm(V) является симметрированной компонентой (степенью)
[Фш]+ представления Ф группы G.
Например, при т = 2 базисом S2(V) являются все векторы
ei ® ej + ej ® ei, где е*, ej — элементы базиса пространства V.
Если Ф(о) = (-1)ст для всех о e Sm, то соответствующая компо-
компонента Wj совпадает с пространством Am(V) антисимметричных
(кососимметричных) тензоров ранга т. Соответствующее пред-
представление группы G на Am(V) называется антисимметризован-
ной компонентой (степенью) и обозначается [Фт]"\
Если т = 2, то базисом A2(V) являются все векторы e\/\ej =
jj i
Можно показать, что характеры симметризованной и анти-
симметризованной компонент тензорного произведения [Ф х Ф]
равны
для д eG. Выбирая в качестве д единичный элемент е, непосред-
непосредственно видим, что тензорное произведение одномерного пред-
представления на себя является симметризованным (т. е. полносим-
полносимметричным). Аналогичное произведение («квадрат») двумерно-
двумерного представления разлагается на симметризованную и антисим-
метризованную части с размерностями 3 и 1, трехмерного — со-
соответственно с размерностями 6 и 3, и т.д. Для более высоких
степеней [58]:
'* \3 ± \х(д2)х(д) + \х3(д),
\ ^ \х2(92) ± \х(92)Х2(9) + ±хЧд),
[х]5Ы± = \х(дъ) ± \х(д*Ш ± \х(дъ)х(д2) + \х(дъ)х2(д)+
+ \х2(д2)х(д) ± ^23 ^ъ
182
Симметризованные произведения многомерных представле-
представлений используют, в частности, для описания переходов между
вырожденными состояниями квантовых систем.
3.9. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Пусть в конечной группе G выделена подгруппа Я. Предпо-
Предположим, что задано представление ф группы Я в пространстве V.
Рассмотрим пространство W всех функций /, определенных на
группе G и принимающих значения в пространстве V, для кото-
которых выполнено условие f(hg) = ty(h)f(g) при всех h Е Я и д ? G.
Заметим, что исходное пространство V вложено в W. Сопоста-
Сопоставим каждому элементу v eV функцию fv G W, которая задается
по следующему правилу: если д ? С?, то
Функция fv задает проекцию группы G на подпространство
V с W.
Зададим в W представление Ф группы G по правилу
[ФЫ/]Ы=/(<7<71) (ЗЛ6)
для всех g,gi ? G и / G W. Введенное представление Ф группы G
называется индуцированным представлением или представле-
представлением, индуцированным с представления ф. При этом представ-
представление ф группы Я становится ограничением индуцированного
представления Ф группы G на подгруппу Я. Индуцированные
представления необходимы для описания неприводимых пред-
представлений полупрямых произведений групп и пространственных
групп (см. ниже).
Упражнение 3.4. Доказать, что если v e V и h e Я, то
4h)fv = /ф(л)„, где fv из C.15).
Выберем систему представителей Т = {t} всех левых смежных
классов группы G по подгруппе Я.
ТЕОРЕМА 3.16. Пространство W является прямой
суммой пространств
В частности, его размерность dim W = h4 dim V. Если д е Я,
то характер %ф представления Ф вычисляется по формуле
183
где суммируют по всем таким элементам s € G, что s~lgs € Н.
[77, ч. И, §7.2]
ТЕОРЕМА 3.17 (формула взаимности Фробениуса).
Пусть Н — подгруппа в конечной группе G и ф — представле-
представление Н в пространстве V. Пусть Ф — представление группы G,
индуцированное с представления ф подгруппы Я. Если Ф —
произвольное представление группы G, то (Хф»Хф) = (Хф>Ху)>
где \|f = Ф |# — ограничение представления Ф на подгруппу
Н и (а,Ь) — скалярное произведение C.9).
Доказательство. Пусть j — число левых смеж-
смежных классов G по подгруппе Н. Тогда |G| = j\H\ по теореме
Лагранжа 1.7. Поэтому
(Хф, Хф) =
1 IJ 9,*eG
Заменяя s^gs на /i G Я, получаем
Отметим, что в [77, ч. II, § 7] приведен критерий неприводи-
неприводимости индуцированного представления.
Упомянем приложение теории индуцированных представле-
представлений к представлениям полупрямых произведений. Предполо-
Предположим, что группа G = H\F является полупрямым произведением,
где Я — нормальная абелева подгруппа в G (и, соответственно,
F — фактор-группа). Рассмотрим множество hom(#,C*) всех го-
гомоморфизмов абелевой группы Н в группу С* ненулевых ком-
комплексных чисел (компонент характеров). Если % € hom(ff,C*) и
и € F, то положим {ux)(h) = x(u~lhu) для всех he H.
Пусть Хъ • • •, Хш — характеры всех неприводимых представ-
представлений абелевой группы Н (совпадающие с самими этими одно-
одномерными представлениями). Каждому вектору %» (г = 1, ..., т),
заданному в m-мерном пространстве характеров Ст, соответ-
соответствует некоторая подгруппа Щ с Н. Обозначим Fi подгруппу в
F, состоящую из всех таких элементов и € F, что u%i = Хг- Таким
184
образом, F{ — локальная группа вектора х% в Ст, где т = |#|. То-
Тогда представление х% можно продолжить до одномерного пред-
представления группы Щ х F;, если положить Xi(u~lhu) = %i(h) для
любых h € Н и и е F(.
Если pj — произвольное неприводимое представление груп-
группы Ff, то Xi®Pj является неприводимым представлением группы
H\F{ (см. подразд. 3.8).
ТЕОРЕМА 3.18. Каждое неприводимое представле-
представление группы G = Я X F индуцировано некоторым представ-
представлением х ® Р ее подгруппы Щх F^ где Щ с Н — подгруп-
подгруппа группы Я, заданная ее неприводимым представлением Х-
Все эти индуцированные представления неприводимы. При
разных х, р эти представления неэквивалентны.
Эту теорему можно обобщить на случай произвольной нор-
нормальной подгруппы Я.
В качестве примера рассмотрим группу диэдра Dn, являющу-
являющуюся полупрямым произведением циклической подгруппы враще-
вращений Я = (а)п порядка п и циклической группы F = FJ, порядка 2,
порожденной зеркальной симметрией 6 относительно оси ОХ.
Каждое неприводимое представление абелевой группы Я = (а)п
одномерно и задается значением %(а) своего характера х на по-
порождающем элементе а. Так как элемент а имеет порядок п, то
Х(а) является комплексным корнем степени п из 1.
Рассмотрим затем подгруппу F\ всех таких элементов и из
F= FJ, что
Х{и-1ач)=х{аУ C.17)
Так как F имеет порядок 2, то по теореме Лагранжа 1.7 либо
Fi = F, либо Fi = 1.
Пусть Fi = F. Из C.17) и равенства 6а = а6 (см. с. 18) следует
Х(а2) = Х(аJ = хШЬ^аЬ) = Х(а)х(а"Х) = ХA) = 1.
Таким образом, х(а) =±1, и если п нечетно, то х(а) = 1- Пусть
р — неприводимое одномерное представление абелевой группы
F = FJ. Так как элемент 6 имеет порядок 2, то рF) = ±1. Тогда по-
получается одномерное представление х®Р группы Dn = H\F, при
котором x(bmai) = x(a-?')pFm) = x(app(&)m Для любых j = 0, ..., п-1
и т = 0, 1. Тем самым получаются все одномерные представле-
представления из подразд. 3.5.
Предположим, что F\ = 1. Тогда р(и) = 1. Подгруппа ЯXFl = Я
имеет индекс 2 в группе Dn. Поэтому представление, индуциро-
индуцированное с представления х группы Я, имеет в Dn размерность 2.
185
В пространстве индуцированного представления имеется базис
ei, в2, причем ае\ =%(a)ei и е\ = Ьв2. Отсюда
Ьв2 = ei, ae2 = abei = bcf *ei = x(a)~lc2-
Тем самым получаются двумерные неприводимые представ-
представления из подразд. 3.5.
3.10. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУППЫ Sn
Приведем без доказательства общее описание неприводимых
представлений симметрической группы Sn (группы перестано-
перестановок). Как и в подразд. 1.7, назовем разбиением числа п набор
А, = (Ль ..., An) C.18)
из п натуральных чисел A,i,..., An, такой что
2^ А + • + А*, = п
Это разбиение обозначается (l6l2&2 ... пЪп) или [пЬп ... I*1], где
bj указывает, сколько раз j встречается среди Ai ... Хп.
Схемой Юнга, соответствующей разбиению C.18), называ-
называется таблица из к строк, в которой первая строка содержит
Ai клетку, вторая — А2 клеток, ..., fc-я — Ад. клеток, причем
Xjc+i = *•• = An = 0, если к < п. Например, при Х\ = 3, А.2 = 2,
Аз = А4 = 1, А5 = Ав = А7 = 0 получаем схему Юнга на рис. 3.1.
Диаграммой Юнга называется схема Юнга, в которой все
клетки заполнены числами от 1 до п, причем в каждой строке
числа возрастают слева направо, а в каждом столбце — свер-
сверху вниз. В частности, в разных клетках стоят разные числа.
Так, можно построить диаграммы,
приведенные на рис. 3.2, а, б, но не
на рис. 3.2, в (так как клетки в пер-
первой строке и в первом столбце тре-
третьей диаграммы на рис. 3.2 зануме-
занумерованы неправильно).
Покажем, что каждой схеме Юн-
Юнга отвечает неприводимое представ-
представление группы Sn, размерность ко-
которого равна числу различных диа-
диаграмм, получаемых из этой схемы.
Число различных диаграмм Юн-
Юнга, соответствующих одной схеме с
разбиением C.18), равно
Рис. 3.1. Схема Юнга для раз-
разбиения C, 2, 1, 1, 0, 0, 0)
186
1
2
6
7
3
5
а
4
1
2
6
7
3
4
5
5
2
6
7
1
4
3
Рис. 3.2. Диаграмма Юнга:
а, 5 — правильные формы; в — недопустимая форма
п\
C.19)
i<3
Например, разбиению C,2,1,1) = C,2,1,1,0,0,0) числа 7 на
рис. 3.1 и 3.2 отвечает 35 диаграмм Юнга
7![C + 7-1)!B + 7-2)!A + 7-3)!A + 7-4)!х
х @ + 7 - 5)!@ + 7 - 6)!@ + 7 - 7)!]~1 х
l)-B + 7-2)][C + 7-l)-(l + 7-
1)-A + 7-4)][C + 7-1)-
х [((з + 7-1)-@ + 7-6)][C + 7-1
х [(B + 7-2)-A + 7-3)][B + 7-2)-A + 7-
x[B + 7-2)-@ + 7-5)][B + 7-2)-@ + 7-
х
х
х
= 7![9!7!5!4!2!1!0!]х
хB.4-5-7-8-9-2-3-5-6-7-1-Зх
х 4 • 5 • 2 • 3 • 4 • 1 • 2 • 1) = 35.
Пусть D — фиксированная диаграмма Юнга и Rp — подгруп-
подгруппа в Sn, состоящая из всех перестановок, которые переставляют
числа в каждой из строк (не переставляя их из одной строки
в Другую). Соответственно, обозначим Со подгруппу всех та-
таких перестановок из Sn, которые переставляют числа в каждом
столбце диаграммы.
187
Например, в первой из диаграмм в рис. 3.2 Rp состоит из
перестановок A, 3, 4), A, 3), B, 5) и их произведений. Подгруппа
Cd для той же диаграммы состоит из перестановок A, 2, б, 7),
A, 2), C, 5) и их произведений.
Определим элемент
(з-20)
из пространства регулярного представления группы Sn (см. под-
разд.3.7).
ТЕОРЕМА 3.19. Рассмотрим в регулярном представ-
представлении группы Sn линейную оболочку Тр всех векторов сер
для всех a G Sn. Тогда на Тр получается неприводимое
представление группы Sn. Каждое неприводимое представ-
представление группы Sn эквивалентно некоторому представлению
Тр. Представления Тр и Трг эквивалентны тогда и только
тогда, когда диаграммы Д и D1 возникают из одной схемы
Юнга. Разбиению X = A,..., 1) (или диаграмме D, состоящей
из одного столбца) соответствует тривиальное одномерное
представление группы Sn. Разбиению А, = (п) (или диаграм-
диаграмме ?>, состоящей из одной строки) соответствует одномерное
представление а н-> (~1)ст группы Sn [51, §28].
Неприводимое представление, соответствующее разбиению
[пЬп ... 1&1], часто обозначают Г[п6п, ... lbl]. Классы сопряжен-
сопряженных элементов группы Sn, отвечающие разбиению перестановок
п элементов на циклы (подразд. 1.7), при этом обозначают чис-
числами клеток в столбцах схемы Юнга (перечисляемых справа на-
налево). Символы строк таблицы при обозначении представлений
записывают в квадратных скобках, а символы столбцов при обо-
обозначении классов — в круглых скобках. Так, например, схему на
рис. 3.2 можно записать по строкам [3, 2, 1, 1] (в сокращенной
форме [3212]), а по столбцам A, 2, 4). Полное число элементов
в классе можно определить по A.21). Классу A, 2, 4) группы
S7 отвечает, например, 630 перестановок, тогда как классам G)
и (I7) той же группы — соответственно 6! перестановок и един-
единственная тождественная перестановка.
Упражнение 3.5. Найти все классы группы S7 и числа эле-
элементов в них.
Приведем формулы для характеров неприводимых представ-
представлений групп перестановок, см. [1, §7.3, 61, §1.7]. Пусть х^ ~~
характер неприводимого представления группы Sn, соответству-
соответствующего разбиению X = (А*,..., Л&) числа п.
188
Предположим, что перестановка а € Sn разлагается в соот-
зетствии с теоремой 1.2 в произведение независимых циклов с
набором длин (pi,..., рп), где
Pi ^ Р2 ^ • • • ^ Рп > 0, pi + • • • + рп = п.
Введем для этого функции s\ от переменных Xi,...,Xn как
отношение определителя квадратной матрицы размера п, в ко-
которой на месте (г, j) стоит Xij+n'3, к определителю
rn-l yn-2 vv
Хп-1
п
Можно показать, что sx является многочленом с целыми ко-
коэффициентами [61, §1.7].
ТЕОРЕМА 3.20. Справедливо равенство
г=1
СЛЕДСТВИЕ. Пусть задано разбиение C.18) чис-
числа тг, и %№ — характер неприводимого представления, соот-
соответствующего разбиению X = (A,i,...,A^). Предположим, что
a — цикл длины г < п. Тогда
у(Х) ,_ч = Y- (П - Г)!Д(ЦЬ ¦ ¦ ¦ , Ц-1, Цг - Г, Цг+Ь • ¦ ¦ , Цп) .« 21 ч
W fe (Hi)!---(mi)!-(|i*-r)!-(|i^i)!---(|Afi)«' V ^
где щ = ^г + n-1 и D(xu... ,xn) = Пк^Хп^-^) F15 §
Отметим, что в C.21) в числителе и в знаменателе в г-м сла-
слагаемом ц,* заменено на (\ii~r).
В частности, размерность представления равна значению его
характера %^ на тождественной (единичной) перестановке a = е.
В этом случае pi = ••• = рп = 1. Таким образом, получается,
что dim (tP^j =Z^(e) совпадает с числом всех диаграмм Юнга,
соответствующих разбиению X числа п (формула C.19)).
Продемонстрируем вычисления характеров цикла a e S5 дли-
длины г = 5 по C.21). Заметим, что в каждом ненулевом слагаемом
суммы C.21) должно быть Цг-5 = ^+5-г-5 = Xj-г ^ 0, или Xi ^ г.
Имеются следующие разбиения числа 5: E); D,1); C,2); C,1,1);
B,2,1); B,1,1,1); A,1,1,1,1).
Последнему разбиению — A,1,1,1,1) — соответствует пред-
представление а н-> (-1)ст. В этом представлении х'1Ш1'(а) = (-1)ст = 1?
189
поскольку а — четная перестановка. Аналогично, первому разби-
разбиению E) соответствует тривиальная («единичная») перестанов-
перестановка, также задающая четное одномерное представление. Поэтому
Рассмотрим остальные разбиения. Условию Х{ ^ г при г = 1
удовлетворяют все разбиения. Это же условие при г = 2 выполне-
выполнено только для C,2) и B,2,1). При г = 3,4,5 это условие не выпол-
выполняется. Следовательно, при подсчете Х^(а) Для разбиений D,1),
C,1,1) и B,1,1,1) в C.21) остается одно слагаемое. Для разбие-
разбиения D,1) имеем \ii-5 = 4+5-1-5 = 3, \i2 = 1+5-2 = 4, |i3 = 0+5-3 = 2,
|i4 = 0 + 5-4 = 1, ц5 =0 + 5-5 = 0.
Поэтому в C.21) получаем
тГ4Л1Гстч 0ШC,4,2,1,0) _
Х К ' 3!-4!-2М!-0!
3! • 4! • 2! • 1! • 0!
(-1) •2-3-2-3-4-2 3!-4!-2
= -1.
3! • 4! - 2! 3! • 4! • 2!
Аналогичные вычисления показывают, что x'3?1>1ka) = 1?
хРД.1.1](а)=-1.
Для случая C,2) в C.21) имеем два слагаемых, соответству-
соответствующих г = 1 и г = 2. При г = 1 имеем набор \1\ -5 = 3 + 5-1-5 = 2,
\i2 =2 + 5-2 = 5, Цз = 0 + 5-3 = 2, \ц = 0 + 5-4 = 1, р,5 = 0 + 5-5 = 0.
Соответствующее слагаемое в C.21) равно
080B,5,2,1,0)) =
2! • 5! • 2! • 1! • 0!
_B-5)B-2)B-1)B-0)E-2)E-1)E-0)B-1)B-0)A-0)_
2! • 5! • 2!
При г = 2 получаем ^i =3 + 5-1 = 7, |i2 -5 = 2 + 5-2-5 = 0,
цз =0 + 5-3 = 2, щ = 0 + 5-4 = 1, |15 = 0 + 5-5 = 0.
Соответствующее слагаемое в C.21) равно
0!ДG,0,2,1,0)) =
7! • 0! • 2! • 1! • 0!
_G-0)G-2)G-1)G-0)@-2)@-1)@-0)B-1)B-0)A-0)_
2! • 5! • 2!
Отсюда %'3'2'(а) = 0. Аналогично вычисляется х'2'2>1'(а) = 0.
Итак, элементы столбца в таблице характеров группы S5 для
цикла (класса) cj=E) и всех неприводимых представлений груп-
группы в сокращенных обозначениях равны: х'5' = 1, х'41' = » х'32' = 0,
2 235
190
Предположим, что на пространстве V задано представление Г
группы Sn. Тогда на том же пространстве V можно задать со-
пряженное представление Г' той же группы Sn по правилу
для всех х е V и а е Sn. Здесь (-1)ст — знак перестановки а.
Нетрудно видеть, что (Г')' = Г.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Если Г — неприводимое
представление группы Sn, то и представление Г" неприводи-
мо. Если неприводимое представление Г соответствует диа-
диаграмме D, то сопряженное представление Г' соответствует
сопряженной диаграмме ?>', симметричной D относительно
главной диагонали.
Например, если Г — представление группы S4, связанное с
симметриями тетраэдра, то представление Г' связано с симмет-
риями октаэдра (см. подразд. 3.1). В группе S5 представление
ГИ сопряжено с Г^, ГИЧ с Г[21Ч и Н32! с Н2Ч
Двумерные неприводимые представления Г групп S3, S4 явля-
являются самосопряженными, т. е. Г и Г" для них эквивалентны. В S5
самосопряженным является шестимерное представление rt3l2l
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.6. Полносимметричное непри-
неприводимое представление гМ группы Sn входит в прямое про-
произведение двух ее одинаковых (эквивалентных) неприводи-
неприводимых представлений. Антисимметричное представление Г^1")
входит в прямое произведение двух сопряженных неприво-
неприводимых представлений.
Рекуррентная схема построения диаграмм Юнга для групп
перестановок показана на рис. 3.3. По определению схем и диа-
диаграмм Юнга при переходе Sn_i —> Sn ко всем диаграммам, от-
отвечающим неприводимым представлениям группы Sn_i, следу-
следует добавить новую клетку с числом п в любую из строк либо
под нижнюю клетку левого столбца (создав таким образом но-
новую строку). Число диаграмм, построенных этим способом на
одной схеме Юнга, равно размерности соответствующего непри-
неприводимого представления. Обратное направление стрелок, иллю-
иллюстрирующих алгоритм построения, показывает разбиение пред-
представлений при понижении симметрии от Sn до Sn_i. Так, при
переходе S5 -> S4 пятимерное представление гB Ч распадается
на трехмерное Г'21 1 и двумерное Г'2 1, а четырехмерное rt41' —
на трехмерное Г'3Ч и одномерное I'M полносимметричное пред-
представление.
191
Из алгоритма вывода очевидно, что в группе перестановок
всегда присутствуют два одномерных представления (полносим-
(полносимметричное и антисимметричное), а также хотя бы одно самосо-
самосопряженное представление со схемой, симметричной относитель-
Рис. 3.3. Построение диаграммы Юнга для n ^ 5
Г[21Э]
192
но своей диагонали. Таблицы характеров групп Sn с 2 < п < 7
представлены в прил. 1.
Заметим, что группа Ss порядка 120, содержащая семь клас-
классов и, соответственно, семь неприводимых представлений, не
изоморфна группе симметрии икосаэдра /^ = / х Q ~ A5 x S2
того же порядка, имеющей 10 классов и пять пар неприводимых
представлений д- и u-типов. Характеры неприводимых представ-
представлений для групп стереохимически нежестких молекул Sni x Sn2 x
•• х 0J (групп Лонге — Хиггинса, или групп перестановок хими-
химически идентичных ядер, см. подразд. 1.10) могут быть получе-
получены из таблиц характеров групп перестановок с использованием
свойств прямого произведения [4, 89].
УпражнениеЗ.6. Построить полную таблицу характеров груп-
группы S5
3.11. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ GL(n,C)
Неприводимые представления симметрической группы Sn поз-
позволяют описать все неприводимые конечномерные представле-
представления группы квадратных невырожденных матриц GL(n,C), ис-
используя тензорное произведение (подразд. 3.8). Пусть V — ком-
комплексное пространство размерности п и V®d — тензорное произ-
произведение d копий пространства V (см. подразд. 7.11). На простран-
пространстве V®d зададим следующее представление группы GL(n,C): ес-
если д е GL(n, С) и xi,..., Xd e V, то
д • (xi ® • • • ® xd) = д(х\) ® • • • 0 g(xd).
Кроме того, в V®d имеется представление группы перестано-
перестановок Srf. Действительно, если а € S^ и xi,... ,х^ € V, то полагаем
где аA),..., a(d) — результаты применения перестановки а к эле-
элементам l,...,d. Заметим, что операторы из GL(n,C) и из S^ пе-
перестановочны. С каждой диаграммой Юнга D свяжем оператор,
который, как и в C.20), обозначим е^. Этот оператор действует
на любой вектор х = х\ ® • • • ® xd как
193
где р, q — элементы подгрупп перестановок чисел соответственно
в строках Rj) и столбцах Ср диаграммы, см. подразд. 3.10.
ТЕОРЕМА 3.21. Пространство epV либо равно ну-
нулю, либо на нем задано неприводимое представление груп-
группы GL(n,C). Каждое неприводимое представление группы
GL(n,C) эквивалентно представлению на epV для некото-
некоторых d, D. Представления на e^V и e^V эквивалентны то-
тогда и только тогда, когда Z), D1 возникают из одной схемы
Юнга. Таким образом, конечномерные неприводимые пред-
представления группы GL(n, С) полностью определяются разби-
разбиением X = (А*,...,Хп) числа п [51, § 67].
Можно показать, что этот результат верен и для группы
GL(n,R). Кроме того, ограничения неприводимого представле-
представления на пространстве e^V группы GL(n,C) на подгруппы
SL(n,C), U(n,C), SU(n,C)
являются неприводимыми конечномерными представлениями
этих групп, и таким образом получаются все неприводимые ко-
конечномерные представления указанных групп [5, т. 1, гл.8]. Для
компактных групп U(n,C) и SU(n, С), все неприводимые пред-
представления которых конечномерны, таким образом получаются
все неприводимые представления (см. подразд. 4.7).
3.12. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
Пространственной группой в общем случае называется груп-
группа G = Sym К симметрии кристаллического множества К любо-
любого конечного числа измерений п. По теореме 2.13 Шенфлиса—
Бибербаха подгруппа N сдвигов кристаллического множества
является нормальной подгруппой конечного индекса и точечная
группа Д = G/N состоит из линейных операторов. Более того, N
является свободной абелевой группой с базисом е = (ei,..., еп) и
группа Д действует как группа линейных операторов в линейной
оболочке векторов ei,..., еп (т. е. в евклидовом пространстве Е).
Предположим, что задано неприводимое комплексное конеч-
конечномерное представление \|/ пространственной группы G. В со-
соответствии с подразд. 2.2 назовем подгруппу N решеткой L
данного кристаллического множества. По следствию I из тео-
теоремы 3.3 существуют такие ненулевой вектор / € V и набор
a = (ai,...,ccn) eCn, что
194
• • • xnen)f = exp [i(a, x)] /,
где (a,x) = ai^i + • • • + Опхп и вектор a = (cti, ...,an) лежит в п-
мерном евклидовом пространстве с дуальной решеткой L*. Мас-
Масштабным преобразованием (умножением на 1/2тс) перейдем к
векторам к = (&i,...,fcn) в аналогичном пространстве с обратной
решеткой I/ (см. подразд. 2.2):
V(siei + • • • япеп)/ = ехР [*(*> *)] />
где (fc, х) = fcixi + • • • + кпхп.
Учитывая формулу B.8), получаем, что если д е G, то выпол-
выполняется соотношение
V (* • 9) f = ? [9 (д^хд)] f = V [д
где d^ — дифференциал преобразования д, т.е. вращение про-
пространства V (см. подразд. 2.4). При этом
, {dg)-\x)) = ((«fo)-1^),*) , C.22)
где (dg)* — оператор, сопряженный к dg (см. подразд. 7.7). Таким
образом, вектор к = (fci,...,fcn) преобразуется операциями точеч-
точечной группы Д.
Множество всех векторов {dg)*(kI связанных операциями
точечной симметрии, в кристаллографии называется звездой *к
вектора к.
Обозначим через G*. множество всех таких элементов g e G,
что {dg)*~~lk = к (т.е. набор операций dg*, относительно которо-
которого вектор к в звезде инвариантен). Нетрудно проверить, что G&
является подгруппой в группе G, содержащей нормальную под-
подгруппу трансляций N. Таким образом, Д*. = Gk/N является ко-
конечной подгруппой в точечной группе Д = G/N. Обозначим через
Ьк наименьшее подпространство в Сп, инвариантное относитель-
относительно действия всех операторов (dg)*, где gGGk-
Упражнение 3.7. Пусть gi,...,gm 6 G, причем группа Д яв-
является объединением непересекающихся левых смежных классов
Д = (giN)(Gk/N) U ... U (gmN)(Gk/N).
Доказать, что группа G является объединением непересекающихся ле-
левых смежных классов G = g\Gk U • • • U gmGk.
195
Упражнение 3.8. Обозначим Vk линейную оболочку всех век-
векторов \|/(/i)/, где h e Gk и / € Lfc. Показать, что \|/ задает на Vk неприво-
неприводимое представление группы G^. Кроме того, линейная оболочка всех
векторов
инвариантна относительно всех операторов у(р), д е G, где элементы
9i 1 • • • 5 рт взяты из предыдущего упражнения.
ТЕОРЕМА 3.22. Неприводимое представление \|/
группы G является индуцированным представлением с не-
неприводимого представления группы G& на пространстве V*..
Таким образом, пространство V является прямой суммой
подпространств
V = VEi)VJb 0 • • • 0 v(ftn)Vjb.
В частности, справедлива формула
3.13. ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ НЕКОТОРЫХ
КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Точечные и пространственные группы, рассмотренные в пре-
предыдущих главах, используются во многих областях физики и
химии. Ниже обсуждаются неприводимые представления таких
групп.
3.13.1. Точечные и двойные группы
Представления точечных групп удобно находить с помощью
таблиц их характеров. В спектроскопии и химии для неприво-
неприводимых представлений этих групп обычно используют обозна-
обозначения Малликена. Представления, полносимметричные относи-
относительно главных операций Сп и Sn (с наибольшим п), обозначают
А, антисимметричные — В. Центросимметричные неприводимые
представления имеют подстрочный индекс д (нем. gerade — чет-
четный), а антисимметричные относительно инверсии г — индекс и
(нем. ungerade — нечетный). Полносимметричные относительно
плоскости отражения ад представления обозначают штрихом,
антисимметричные — двойным штрихом. Если в группе есть
представления с одинаковыми характерами относительно всех
перечисленных операций, их нумеруют нижними индексами.
196
Таблица 3.6
Характеры изоморфных точечных групп порядка 4
Ад
Вд
Аи\ z
Ви\ х, у
C2h
А\\ z
В2\У
А2
Вг;х
D2~V4
А
Ву,х
В\\ z
В2\ У
е
е
е
1
1
1
1
C2{z)
C2(z)
C2(z)
1
-1
1
-1
г
Oxz
С2(х)
1
1
-1
-1
Gyz
С2(у)
1
-1
-1
1
Все неприводимые представления семи абелевых точечных
групп низшей категории (см. подразд. 1.10) одномерные. Табли-
Таблицы характеров для изоморфных групп 4-го порядка C2/i> C2v и
D2 представлены в табл. 3.6 (указаны также неприводимые пред-
представления, по которым в этих группах преобразуются базисные
векторы #, у, z трехмерного пространства). Заметим, что все эти
группы отличаются одна от другой и от группы прямого произ-
произведения (аJ х FJ (см. табл. 3.2) только обозначениями опера-
операций симметрии и неприводимых представлений. Также подоб-
подобные таблицы простейших групп порядка 2 (С* ~ Cs ~ C2 ~ (аJ,
см. табл. 3.3).
Таблицу характеров группы ?>2/i = D2 x Ci можно построить,
удвоив наборы элементов симметрии и неприводимых представ-
представлений группы D2 (см. подразд. 1.10). Каждому неприводимому
представлению D2 в центросимметричной группе D2h соответ-
соответствует пара представлений: полносимметричного и антисиммет-
антисимметричного относительно инверсии i {А —> Ад + Аи, В\ —> B\g + Biu, и
т.д.).
Одномерные представления абелевых групп Сп и S2k ~ C2k
с п ^ 3, к ^ 2 также отличаются от представлений цикличе-
циклических групп, рассмотренных в подразд. 3.3 и 3.7, только обозначе-
Таблица 3.7
Характеры изоморфных точечных группы Td и О
rp
ld
Ai
A2
E
T\
T2\ x, y, z
и
A\
A2
E
Ti; x, г/, z
T2
e
e
1
1
2
3
>3
8C3
8C3
1
1
-1
0
0
3C2
3C2
1
1
2
-1
-1
6C2
1
-1
0
-1
1
6S4
6C4
1
-1
0
1
-1
197
ниями. Группы средней категории симметрии с некоммутирую-
щими элементами родственны группам диэдра (см. подразд. 3.7).
Столбцы таблиц характеров отвечают классам сопряженных
элементов группы; в них указаны числа q элементов этого клас-
класса, если Ci > 1. В частности, группы Дз и Сзи имеют ту же табли-
таблицу, что и изоморфная им группа перестановок S3 (см. табл. 3.4),
но с другими обозначениями представлений и классов. В обоих
группах единичной перестановке {1} соответствует элемент е,
перестановкам {A23)} — класс 2Сз, а двумерное представление
\|/з по Малликену обозначают Е. Кроме того, в таблице группы
?>3 {A2)} -> ЗС2 и \|/i -> А, \|/2 -¦ В; в таблице С3у {A2)} -» 3cv и
щ -> А', \|/2 -> А". Поскольку большинство физических величин,
преобразуемых по парам комплексно сопряженных одномерных
представлений абелевых групп Сп с п > 2, совпадают, в учеб-
учебной и справочной литературе эти пары иногда объединяются в
представления ?-типа.
Характеры неприводимых представлений всех остальных
групп средней категории (D±, C^v, E>2d и ДР-) выводят из групп
диэдра с учетом удвоения числа операций и представлений в
центросимметричных группах, являющихся прямыми произве-
произведениями (D3d = D3 х d и др.). Подобно группе D2h = #2 х С»,
таблицы характеров всех прямых произведений имеют «клеточ-
«клеточный» вид.
Семь групп высшей категории изоморфны группам переста-
перестановок (T<j ~ О ^ S4), их знакопеременным подгруппам (Г с^ А4,
/ с^ А5) и прямым произведениям (Т^ ~ Т х С*, О^ ~ О х Q,
Ih ~ I х С{). Эти соотношения определяют вид их таблиц ха-
характеров. Трехмерные неприводимые представления точечных
групп обозначают Т (в ранней квантовомеханической и спектро-
спектроскопической литературе F), четырех- и пятимерные представ-
представления (в группе Ih) обозначают G и Я соответственно. Таким
образом, например, изоморфные группы Г^иО имеют одну таб-
таблицу характеров (табл. 3.7), эквивалентную таблице группы S4
(см. табл. 3.5, где щ ~ Ль \|/2 ~ А2, уз ~Е,щ~Т2ИЩ~ Т\).
Таблицу характеров для группы Oh легко получить, удваивая
число классов сопряженных элементов в О или Т^ добавлением
центра инверсии г и заменяя каждое неприводимое представле-
представление парой из симметричного и антисимметричного относительно
инверсии (А\ ~> Aig + Aiu и т.д.). Комплексно сопряженные од-
одномерные представления, соответствующие «физически вырож-
вырожденным» характеристикам в таблицах групп Т и 7, аналогично
группам Сп, нередко объединяют.
Таблицы характеров для основных точечных групп молекул
приведены в прил. 2. В правом столбце (fun) каждой таблицы,
198
отделенном вертикальной чертой, указаны неприводимые пред-
представления сдвигов х, у, z, поворотов Rx, Лу, Rz и квадратичных
функций х2,..., yz в данной группе. Число строк (неприводимых
представлений) в таблице характеров любой группы равно числу
столбцов (классов). Строка полносимметричного неприводимого
представления состоит из единиц, столбец единичной операции
е — из размерностей неприводимых представлений.
Характеры-строки (с компонентами, умноженными на числа
элементов в классах) и классы-столбцы в таблице ортогональ-
ортогональны со скалярным произведением C.9). Поэтому сумма компо-
компонент характеров (т. е. сумма цифр в строке таблицы характеров,
умноженных на числа элементов в каждом классе) для любо-
любого вещественного неприводимого представления, кроме полно-
полносимметричного, равна нулю. Сумма компонент всех характеров
любой неединичной операции (сумма цифр в столбце таблицы,
умноженных на размерности соответствующих представлений)
также равна нулю.
Сумма квадратов всех компонент строки, умноженных на
число элементов соответствующего класса-столбца, по теоре-
теореме 3.11 равна порядку группы. Эти соотношения позволяют вы-
вывести таблицу характеров для произвольной точечной группы
по набору ее элементов.
Упражнение 3.9. Построить таблицу характеров для груп-
группы Th.
Двойные группы G получают из точечных групп G добавле-
добавлением такой операции Е поворота на 2тс, коммутирующей со всеми
операциями группы, что Е2 = е (это удваивает порядок группы).
Неприводимые представления группы G состоят из неприводи-
неприводимых представлений исходной группы С?, полносимметричных от-
относительно Е, и новых представлений, антисимметричных по от-
отношению к Е:
где д € G. Поскольку в двойных группах С\ = Е, для операций
Сг и С2, если они находятся в одном классе, х(Сг) = -%(ЕчО =0*
Число неприводимых представлений, антисимметричных от-
относительно Е, и их размерности щ выводятся из количества
классов в G и порядка исходной группы G E2ini = К*|)« ^ак> из
наличия в группе T)<i порядка 8, полученной из абелевой груп-
группы 1>2 порядка 4, пяти классов следует п\ = 8 - 4 = 4, n$ = 2.
Учитывая, что %{ЕС2) = Х(С2) = 0? получим таблицу характеров
?>2, подтверждающую ее изоморфизм с группой кватернионов
Qs (см. табл. 3.8, подразд. 3.4 и 3.7).
199
Таблица 3.8
Характеры представлений двойной группы
D2
А
Вг
в2
Вз
Е\/2
е
1
1
1
1
2
о2 , о2
1
-1
-1
1
0
Му) пМ
°2 ' °2
1
-1
1
-1
0
°2 ' °2
1
1
-1
-1
0
Е
1
1
1
1
-2
Таблица 3.9
Двузначные представления группы Г
Г
Е\/2
Ь3/2
Ег/2
е
2
2
2
Е
-2
-2
-2
ЗС2,ЗС2
0
0
0
АС\
1
е
е2
4Сз
-1
-е
-е2
4С|
1
е2
е
4<?!
-1
-е2
-е
Неприводимые представления двойных групп, антисиммет-
антисимметричные относительно Е, фактически являются двузначными
(спинорными) представлениями соответствующих им обычнь1х
точечных групп (см. гл. 4). Характеры этих представлений %(Сп)
можно вывести, заменяя в матричных элементах е1^ (где ф =
= 2п/п) целые числа к полуцелыми. При выводе следует помнить,
что каждому классу Ri исходной точечной группы G, не содер-
содержащему осей 2-го порядка, в двойной группе отвечает пара клас-
классов Ri,Rj, однако при наличии в G взаимно перпендикулярных
осей С2,С'2 в соответствующие классы G входят пары (С2,(?2) и
(С2,С'2). Так, в двойной группе Т порядка 24 с семью классами
имеется подгруппа Т ~ А* A2 элементов и четыре класса) и че-
четыре ее однозначных неприводимых представления, а также три
двузначных представления (табл. 3.9), где е = ехрBлг/3). Дву-
Двумерные представления Щ/2 и Ё^,2 физически эквивалентны и
часто объединяются в четырехмерное представление Сз/2- В ку-
кубических двойных группах имеются истинные четырехмерные
неприводимые представления, в икосаэдрических — шестимер-
шестимерные. Отметим, что группа Т не изоморфна ни Т^, ни Т^ (упраж-
(упражнение 3.2).
Характеры двузначных неприводимых представлений для
некоторых точечных групп приведены в прил. 3.
200
3.13.2. Приведение представлений с помощью таблицы
характеров
Пользуясь таблицами характеров, легко находить неприводи-
неприводимые представления, отвечающие какому-либо параметру физи-
физической системы с заданной симметрией. Так, например, смеще-
смещения атомов в плоской молекуле трехфтористого бора BF3 (то-
(точечная группа D^h) из их равновесных положений по декарто-
декартовым координатным осям трехмерного пространства удобно при-
принять за базисные векторы 12-мерного пространства смещений V
(ei = АхБ, ..., е4 = AzF(i), ..., е12 = Д^(з)) (рис- 3-4)- Набор из
12 ортогональных матриц A2 х 12), отвечающих преобразовани-
преобразованиям векторов (ei,...,ei2) под действием операций группы ?>з/и за~
дает ее представление в пространстве V. Компоненты характера
Х(9%) = trT(pi) этого представления для gi e D^ равны следам
соответствующих матриц из подразд. 3.7:
Очевидно, что ненулевые диагональные элементы в каждой
из матриц Y{gi) определяются смещениями атомов в молекуле из
их позиций, инвариантных относительно данной операции сим-
симметрии д{. Например, поворот на 2л/3 вокруг оси Сз молекулы
BF3 оставляет на месте только атом В, смещения которого пре-
преобразуются блоком Г'(Сз) размера 3x3 (остальные девять диа-
диагональных элементов матрицы Г(Сз) равны 0):
Г'(С3) =
' 2л 2л \
cos_ _sin_ о
2л 2л
sin — cos — 0
о о
V о
о
1
1
~2
л
2
\0
О
°
О \)
Рис. 3.4. Смещения атомов в молекуле трифторида бора
201
откуда х(Сз) = ЬтГ(Сз) = ЬтГ'(Сз) = 0. Отражение в «вертикаль-
«вертикальной» плоскости g%z оставляет на месте атомы В и F(l), сохраняя
для каждого из них смещения по х, z и обращая знак смещений
по у. Это отвечает следу матрицы с ненулевым диагональным
блоком 6 х 6, т. е. характеру
/1
= tr
0 \
-1
-1
0
ч
= 2.
Для «горизонтальной» плоскости симметрии а^у, оставля-
оставляющей на месте все атомы в молекуле, аналогично получаем
Х(сЛ) = 4, и т. д.
Учитывая симметрию молекулы BF3, легко найти все компо-
компоненты характера 12-мерного представления Г ее атомных сме-
смещений. Его удобно записать под таблицей характеров неприво-
неприводимых представлений точечной группы ?>3/i (табл. 3.10).
Согласно теореме 3.10 кратность j-ro неприводимого пред-
представления группы G в разложении представления Г:
= (Х(Г),Х,-) = щ
C.23)
с суммированием по классам группы.
В нашем случае
(напомним, что произведение компонент характеров %(г) и %j B
каждом классе сопряженных элементов следует умножить на
число Ci операций симметрии в этом классе). Аналогично полу-
получаем
гАп = A/12)A2 -6-4 + 4-6) = 0,
гЛ,=A/12)A2 + 6 + 4-4-6) = 1,
гАп = A/12)A2 + 6-4 + 4 +6) = 2,
т.е.
= A/12)B4-8-4) = 1,
Г = А[ + А'2 + 2А% + ЗЕ' + Е".
C.24)
202
Таблица 3.10
Представление атомных смещений в молекуле BF3
A'i
А'2
A'i
Er
Е"
Г
Ef x E"
Е
1
1
1
1
2
2
12
4
2С3
1
1
1
1
-1
-1
0
1
зс2
1
1
-1
-1
0
0
-2
0
*к
1
-1
1
-1
2
-2
4
-4
253
1
-1
1
-1
-1
1
-2
-1
1
-1
-1
1
0
0
2
0
/нп
Rz
z
х, у
Rxi Ry
Как видно из табл. 3.10, в разложение 12-мерного представ-
представления Г входят компоненты представления трансляций T{xyz) =
= А2 + Ef и представления вращений Гд = Л^ + ?" в группе D^,
которые отвечают смещениям и поворотам молекулы BF3 как це-
целого. Все остальные неприводимые компоненты представления
Г в разложении C.24) соответствуют представлению Fv, порож-
порожденному шестью независимыми колебаниями молекулы BF3, т. е.
rv = Г - T{xyz) - Гя = А'г + Л'2' + 2Е'.
Приведение представления молекулы, заданного смещениями
ее атомов, и выделение из него представления молекулярных
колебаний Tv используются в анализе колебательных спектров
(см. гл.5). " ^
С помощью таблиц характеров также легко найти компонен-
компоненты прямого произведения представлений, перемножая элементы
характеров представлений в соответствующих классах и затем
используя соотношения ортогональности. Так, прямое произве-
произведение Е' х Е" двумерных представлений группы D3/i Дает четы-
четырехмерное приводимое представление, показанное в табл. 3.10.
Аналогично приведению Г получим Е' х Е" = А'{ + Щ + Еп.
3.14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ГРУПП И СИММЕТРИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
Любая из 230 трехмерных пространственных групп кристал-
кристаллов, согласно подразд. 2.11, является подгруппой одной из фик-
203
сированного набора симморфных групп: полупрямых произве-
произведений дискретной абелевой группы сдвигов (трансляций) трех-
трехмерного кристаллического множества, или кристаллической ре-
решетки, на ее точечную группу Д = G/N. Как принято в кристал-
кристаллографии, мы будем обозначать нормальную подгруппу транс-
трансляций кристаллической решетки символом 7.
Элемент ? е 7 подгруппы трансляций переводит точку f =
= (х1,Х2,хз) в эквивалентную ей точку г + т (т = п\а\ +П2п2 +
+ пзаз, где (аьа2,аз) — базисные векторы элементарной ячейки,
(п1,П2,пз) — целые числа. Непрерывный индекс к = (&ь&2>&з)
неприводимого представления подгруппы 7:
T(kitete)f= eXp[27w(fcini + k2n2 + к3п3)]г, C.25)
согласно подразд. 3.12 рассматривается как вектор трехмерно-
трехмерного обратного пространства, где имеется обратная решетка I/ с
базисными векторами F1,62,63):
Прямое произведение двух трансляционных представлений с
индексами к и 9 определено с точностью до произвольного век-
вектора обратной решетки у € L':
где
L =771161 + 771262+771363,
7711,7712,7713 — целые числа.
Множество трансляционно независимых векторов fc, называе-
называемое зоной Бриллюэна, обычно выбирают в виде ячейки Дирихле
в обратной решетке. По доказанному (см. C.22)), точечная груп-
группа зоны Бриллюэна совпадает с точечной группой Л «прямой»
решетки. Зоны Бриллюэна плоской гексагональной и трехмер-
трехмерной ГЦК-решеток показаны, соответственно, на рис. 3.5 и 3.6.
В соответствии с подразд. 2.6 для кристаллов всех сингоний
имеется 24 зоны Бриллюэна. Они геометрически совпадают с по-
полиэдрами Вороного аналогичных решеток в прямом простран-
пространстве и выводятся из пяти основных параллелоэдров Федоро-
Федорова (см. рис. 2.11, 2.12). Так, для примитивных решеток куби-
кубической, тетрагональной и ромбической сингоний зоны Бриллю-
Бриллюэна представляют соответственно куб, тетрагональную призму
и прямоугольный параллелепипед, а для примитивной гексаго-
гексагональной решетки — гексагональную призму. Поскольку ГЦК-
и ОЦК-решетки взаимно обратны, зона Бриллюэна «прямой»
ГЦК-решетки — ромбододекаэдр (т. е. ячейка Дирихле обратной
204
в г д е
Рис. 3.5. Зона Бриллюэна плоской гексагональной решетки и позиции
векторов к в ней:
а - Г@,0),С6„; б - (fci,fc2),Ci; в - Г(Ая,Ал),Св; г - E(fci,O),C; a -
М(л/а,0),С2*; е- АГBя/(За), 2тс/Cа)), C3v
ОЦК-решетки), а «прямой» О ЦК- решетки — кубооктаэдр. Сим-
Символы 14 обратных решетокБраве, используемые в физике твер-
твердого тела, представлены в табл. 3.11.
Вектор к в зоне Бриллюэна под действием операций фактор-
факторгруппы Gfc/Tfc переводится в симметрически эквивалентные ему
Рис. З.б. Особые точки зоны
Бриллюэна гранецентрированной
кубической решетки
205
Таблица 3.11
Обратные решетки Браве
г^ешетка ораве
Триклинная Р
Моноклинная Р
Моноклинная С
Орторомбическая Р
Орторомбическая С
Орторомбическая /
Орторомбическая F
Тетрагональная Р
Тетрагональная /
Тригональная Р
Гексагональная Р
Кубическая Р
Кубическая /
Кубическая F
Обозначение
ФТТ
Г*
гт
тлЬ **
1 ТП
Го
тлЬ**
1 О
1 о
1 о
г,
ггЛ"*
Га
Гс
г?
г*
Шенфлиса
с}
Г1
Г3
П19
U2h
П25
U2h
Dfh
D\h
Dh
D\h
ol
ol
ol
Германа—Могена
Pi
P2/m
C2/m
Pmmm
Стптптп
Iramm
Fmmm
PA/mmm
I4/mmm
B3m
P6/mmm
Pm3m
Im3m
Fm3m
Объем зоны
Бриллюэна
bi[b2 x b3]*
8я3/(аЬс sin P)
16K3/(a6csinP)
8n3(abc)
16я3(аЬс)
16я3(а6с)
32я3(а6с)
8я3/(а2с)
16я3/(а2с)
16я3/C\/3а2с)
16я3/(\/За2с)
8я3/а3
16я3/а3
32я3/а3
Ьх = (а2 х «3)/V, b2 = (а3 х а^/У, Ь3 = (ах х &2)/V (см. B.16)).
Обозначения ФТТ отвечают В-решетке (ось 2 в направлении Oz, центрированные грани xOz).
* Примитивная ромбоэдрическая ячейка.
векторы, образующие звезду *к. Число векторов в звезде равно
кратности положения вектора к в независимой области обратной
решетки (при общем положении к — порядку точечной группы
Д). Группа Gfc вектора к в звезде называется малой группой,
а ее точечная фактор-группа Дд. = Gk/fk ~~ локальной группой
вектора к (или малой когруппой).
На рис. 3.5 изображены зона Бриллюэна плоской гексаго-
гексагональной решетки (а) и звезды векторов fc, занимающих общее
(б) и два частных положения (в, г) внутри этой зоны. При част-
частном положении вектора к на границе зоны некоторые из векто-
векторов дк (д € Д), получаемых операциями точечной группы, пе-
переводятся в к трансляциями на период повторяемости обратной
решетки, т. е. трансляционно эквивалентны ему. При этом число
независимых векторов в звезде уменьшается, т. е. симметрия по-
позиции к возрастает (рис. 3.5 д, е). Симметрически независимая
часть зоны Бриллюэна, показанная для плоской гексагональной
решетки на рис. 3.5, а, называется ее фундаментальной обла-
областью.
Легко видеть, что малая группа G& вектора к в общей пози-
позиции внутри зоны Бриллюэна на рис. 3.5, б совпадает с группой
трансляций решетки 7 и, таким образом, его локальная груп-
группа Ak ~ С\ состоит только из операции идентичности. Кроме
того, вектор к = 0 (точка Г на рис. 3.5, а) инвариантен относи-
относительно всех операций точечной группы решетки До ~ G/7. Для
особых точек и линий зоны Бриллюэна, обладающих локальной
симметрией, в физике твердого тела используются специальные
обозначения (табл. 3.12).
Таким образом, пространственная группа G имеет бесконеч-
бесконечный набор неприводимых представлений rj \ каждое из кото-
которых полностью определяется звездой вектора к и j-u непривсь
димым представлением локальной группы Д*.. Каждой звезде *к
соответствует представление вида
Г(С) = Г'(?)ехр(гЫ), C.26)
где Г'(?) — представление локальной группы Д*. любого вектора
в этой звезде, а = (ai, a<i, аз). При общем положении к (т. е. триви-
тривиальной группе Дд. ~ С\) это представление является неприводи-
неприводимым, а относящиеся к нему физические величины — т-кратно
вырожденным по порядку звезды *к. Таким образом, симмет-
симметрически независимая часть зоны Бриллюэна и ее особые точки
содержат полную информацию о всех неприводимых представ-
представлениях пространственной группы.
207
Таблица 3.12
Особые точки зон Бриллюэна в группе Fm3m (см. рис. 3.5)
Позиция
Г
X
А
L
А
К
Е
W
и
Общая
Координаты
@,0,0)
Bл//, 0,0)*
(Л, 0,0)
(л//,*//,*//)*
(к, к, к)
(Зтс/2/,Зтс/2/,0)*
(М,0)
Bя//,я//,0)*
Bтс//,тс/B/),я/B/))*
Кратность
звезды *&
1-й
3
6
4
8
3
12
6
12
48
Порядок
группы
48
16
8
12
6
16
4
8
4
1
Изоморфизм
группы Afc
oh
?>4h
c3v
Dih
Civ
c2v
Вектор / соответствует центрирующим трансляциям в ГЦК-ячейке.
Звезда векторов, лежащих на элементах симметрии, отвечает
сумме неприводимых представлений T'(fc) вида C.26). Размер-
Размерность неприводимого представления I^(G) в общем случае равна
Лз)
SAk
C.27)
Лз)
где 5д; — размерность j-ro представления локальной группы,
|Д&| — ее порядок, а |Д| — порядок точечной группы решетки
(см. подразд. 3.12).
Неприводимые представления пространственных групп нуме-
нумеруются двумя индексами (fc, j): непрерывным вектором обратно-
обратного пространства к = (fci, /^2, &з) и дискретным индексом j неприво-
неприводимого представления фактор-группы G/7(k). Для симморфных
групп G эта фактор-группа часто совпадает с локальной группой
Д^ точки к в зоне Бриллюэна. В частности, звезде из 12 векторов
на рис. 3.5, а отвечает двенадцатимерное представление, а звез-
звездам из шести векторов на рис. 3.5, б", в — по два шестимерных.
Точке Г @,0) на рис. 3.5, а соответствуют шесть представлений:
четыре одномерных и два двумерных, совпадающих с набором
неприводимые представлений группы Cqv. Представления про-
208
странственных групп используются в описании спектров и фи-
физических свойств кристаллов (см. гл.5).
В несимморфных группах для вектора к в общей позиции так-
же Afc ~ Ci, а в позиции Г (к = 0) фактор-группа До = G/7 изо-
изоморфна кристаллическому классу. В этой точке представления
несимморфных пространственных групп сводятся к представ-
представлениям точечных групп, получаемых заменой всех «открытых»
элементов (винтовых осей и плоскостей скользящего отражения)
на «закрытые» (соответственно поворотные оси и плоскости т).
В особых точках других типов порядок конечной фактор-
факторгруппы Д*. = G/7(k) для групп с открытыми элементами сим-
симметрии может быть выше, чем у соответствующей кристалло-
кристаллографической точечной группы, что приводит к повышению раз-
размерности представлений. Так, например, в точке зоны Бриллю-
эна Gi/ai,0,0) соотношение C.25) для операции трансляции
превращается в
г =
= -г.
Таким образом, для представления пространственной группы
G, отвечающего этой точке, сдвиг на период а\ элементарной
Таблица 3.13
Неприводимые представления фактор-группы FdZm/x в точке
Х\ = Bл//, 0,0) зоны Бриллюэна, антисимметричные относительно
центрирующей трансляции / = (а/2, а/2,0)
Класс
Представление
х2
Х3
Xi
е
2
2
2
2
/
-2
-2
-2
-2
cl
2
2
-2
-2
сЬ
-2
-2
2
2
2С4т,
2С4(т + /)
0
0
0
0
С2т,
<Я(т + /)
0
0
2
-2
С2(т + /)
0
0
-2
2
2C%f
0
0
0
0
Окончание
Представление
х2
Х3
хА
Класс
гх,
г(х + /)
0
0
0
0
254,254/
0
0
0
2gv
2
-2
0
0
2cvf
-2
2
0
0
2aU
2oi(x + /)
0
0
0
0
°л(т + /)
0
0
0
0
209
ячейки переводит вектор г в трансляционно неэквивалентный
ему вектор -?. При этом, аналогично операции Е в двойных то-
точечных группах, x(aiJ ~ е, и набор элементов локальной сим-
симметрии в точке Gc/ai,O,O) удваивается за счет добавления к ним
трансляции x(ai) в ячейке с удвоенным периодом 2а\.
В симморфных группах G, не содержащих трансляций на ра-
рациональные части периода ai, возникающие классы {-&} фактор-
факторгруппы дублируют набор классов {&} локальной группы Ак в
точке (rc/ai,0,0), и ее неприводимые представления, антисим-
антисимметричные относительно x(ai), взаимно-однозначно соответству-
соответствуют представлениям Д*.. Локальная группа Д*. на границе зоны
Бриллюэна в этом случае по-прежнему^ совпадает с точечной
симметрией соответствующей позиции к. Если же в группе G
имеются элементы д(х) с трансляцией на -а\ (где р = 2,3,4,6),
элементы д(т) и p(x)?(ai) попадают в один класс. В этом случае
число классов в группе Gfc/Тд. удвоенного порядка оказывается
меньше двойного числа классов в трчечной группе позиции fc,
что по теореме 3.11 порождает представления размерности вы-
выше 1. Иными словами, в особых точках зоны Бриллюэна этих
групп трансляции на соответствующие периоды решетки не ком-
коммутируют с открытыми элементами симметрии и смешивают-
смешиваются с ними, повышая размерность неприводимых представлений
фактор-группы.
Упражнение 3.10. Построить таблицу характеров фактор-
факторгруппы двумерной группы р2тд, относящейся к примитивной ортого-
ортогональной сингонии (см. рис. 2.22; скользящее отражение в направлении
аг) в точке зоны Бриллюэна @,я/а2). Найти неприводимое представ-
представление, антисимметричное относительно трансляции т(аг) в этой точке.
Фактор-группы «расширенных» ячеек кристалла, аналогич-
аналогично двойным группам молекул, позволяют объяснить дополни-
дополнительное вырождение состояний в особых точках зоны Брил-
Бриллюэна («склеивание» энергетических зон, см. гл.5). Некоторые
кристаллы с несимморфными пространственными группами мо-
могут вообще не иметь одномерных неприводимых представлений
в особых точках к. В частности, локальная группа точки X
Bл//, 0,0)* в кубоктаэдрической зоне Бриллюэна ГЦК-ячейки с
параметром а в группе Fm3m имеет порядок 16 и изоморфна D4/1,
однако в пространственной группе FdZm точке X отвечает ло-
локальная группа 32-го порядка с четырьмя новыми двумерными
¦ - а
f = —= отвечает центрирующим трансляциям в ГЦК-ячейке (см. рис. 2.8 и
табл. 3.12).
210
неприводимыми представлениями (табл. 3.13). Поэтому в точке
X группы Fm3m могут существовать одномерные неприводимые
представления, тогда как для FdZm все неприводимые представ-
представления в этой точке, ^антисимметричные относительно центриру-
центрирующих трансляций /, двумерны.
Подробнее с неприводимыми представлениями пространствен-
пространственных групп можно познакомиться в [1, гл.6; 30; 99, т.2, гл.14,
§9], [93, гл. 6]. В [44] представлены таблицы характеров для всех
трехмерных пространственных групп, а в [71] приведены ориги-
оригинальные работы по выводу фактор-групп для некоторых кри-
кристаллов.
Контрольные вопросы
1. Составить таблицу характеров для группы D?.
2. Найти размерность неприводимого представления группы пе-
рерстановок 5s, соответствующую набору [5, 2, 1].
3. Сколько существует неэквивалентных двумерных комплексных
представлений групп S3 и Se?
4. Сколько существует неэквивалентных трехмерных комплексных
представлений групп Sq и S7?
5. Пусть задано двумерное комплексное представление ф цикли-
циклической группы (а>4, при котором в некотором базисе пространства V
матрица вектора ф(а) имеет вид
Разложить пространство V в прямую сумму подпространств.
6. Пусть задано двумерное комплексное представление ф цикли-
циклической группы (а) 6, при котором в некотором базисе пространства V
матрица вектора ф(а) имеет вид
(-. -О
Найти базис пространства V, в котором матрица оператора ф(о) уни-
унитарна.
7. Пользуясь таблицей характеров из прил. 2, вывести спинорные
представления группы вращений икосаэдра /.
8. Найти неприводимые представления группы Р2\2\2 в точке
@,0,0) и на границах зоны Бриллюэна.
ГЛАВА4
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
Рассмотрены свойства непрерывных групп Ли и соот-
соответствующих им алгебр с операцией лиевского умножения.
Кратко описаны неприводимые представления важнейших
групп Ли.
4.1. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
В гл. 3 были рассмотрены представления конечных и конеч-
конечно порожденных дискретных групп. В гл. 1 также упоминались
бесконечные группы, элементы которых непрерывно заполня-
заполняют некоторую область, например группа любых трансляций по
определенной координате (изоморфная R1) или группа поворо-
поворотов на любой угол вокруг заданной оси. Очевидно, не все свой-
свойства конечных и бесконечных групп одинаковы. Так, использо-
использованные в гл. 3 нормировки скалярных произведений C.3), C.9)
для группы вращений надо преобразовать в интегральную фор-
форму, тогда как для неограниченной группы R1 эти условия вообще
не соблюдаются. Поэтому на бесконечные группы нельзя непо-
непосредственно переносить соотношения, выведенные для конечных
групп и их представлений: такую переносимость в каждом слу-
случае следует доказывать.
В данной главе будет рассмотрен важный класс бесконечных
групп, на который переносимы основные свойства представле-
представлений конечных групп и их характеров: линейные группы Ли,
распространенные в физических приложениях. Любой элемент
g(ti,...,tm) этих групп можно задать конечным числом непре-
непрерывных параметров (?ь... ,?m); минимальное число таких пара-
параметров называют размерностью группы.
В теории групп Ли часто используют геометрический язык.
Группам Ли изоморфны линейные группы невырожденных мат-
матриц заданного размера, элементы которых (хц) удовлетворя-
удовлетворяют некоторым алгебраическим условиям, т.е. уравнениям. Та-
Такие линейные группы матриц образуют поверхность в некото-
некотором пространстве. Практически вся информация о группе со-
содержится в касательном пространстве к этой поверхности в точ-
212
ке единичного элемента группы, снабженном новой алгебраиче-
алгебраической операцией лиевского умножения. Исследование свойств ка-
касательного пространства приводит к алгебрам Ли — новой ма-
математической конструкции, дополняющей понятие группы.
В основных чертах теория представлений компактных групп
Ли (например, SOC,R)) аналогична теории представлений ко-
конечных групп. В частности, для них справедлив аналог теоре-
теоремы Машке, все их неприводимые представления конечномерны
и имеется теория характеров. Для некомпактных групп это уже
неверно. Нами будут кратко рассмотрены неприводимые пред-
представления некомпактных групп: SLB,C), O(l,3) (группы Лорен-
Лоренца) и ?A,3) (группы Пуанкаре).
Подгруппу G в группе матриц GL(n,R) или GL(n,C) называют
линейной группой Ли, если существует конечная система из N
вещественных (соответственно, комплексных) многочленов вида
/i(Xn,Xi2,...,Xin,X2i,...,X2n,...,XTlTl), t = 1, ... , N
от п2 переменных {Xrs}, где 1 ^ г, s ^ п, налагающая условия на
элементы этих матриц. Именно, квадратная матрица
D.1)
апп;
принадлежит группе G тогда и только тогда, когда все ее эле-
элементы ars, 1 ^ г, 5 ^ п удовлетворяют системе уравнений
/i(aibai2,...,ain,a2i,...,a2n,..-,ann)=0, (г = 1, ... , N), D.2)
т. е. fi(Xrs) = 0. Каждую матрицу А вида D.1) можно рассматри-
рассматривать как точку А в пространстве Rn (или в Сп ) размерности п2,
координатами которой (aii,ai2,...,ain,a2i,...,a2n,---,aTlTl) явля-
являются элементы этой матрицы. Тогда условия D.2), уменьшая
число независимых переменных, выделяют в таком простран-
пространстве некоторую поверхность, которую мы тоже будем обозна-
обозначать символом G. Из обычных формул для вычисления элемен-
элементов произведения матриц и обратной матрицы (см. гл. 7) видно,
что умножение элементов в G и переход к обратной матрице яв-
являются дифференцируемыми отображениями.
Рассмотренные выше в этой книге непрерывные группы
GL(n,R) [n2], SL(n,R) [n2-l], O(n,R)
SO(n,l
Sp(n,K)[n2], SU(n,C)[n2-l],
213
являются вещественными линейными группами Ли, а группы
GL(n,C) [2n2], SL(n,C) [2n2-2],
O(n,C) [n(n-l)], SO(n,C) [n(n-l)], Sp(n,C) [n2]
являются комплексными линейными группами Ли. (В квадрат-
квадратных скобках указана размерность каждой группы, т.е. число
переменных величин в матрице минус число независимых усло-
условий.) Заметим, что каждой комплексной величине а + Ы отвеча-
отвечают две независимые вещественные переменные а,Ь. Далее, ве-
вещественная (комплексная) матрица А = (ау) является ортого-
ортогональной (элементом группы O(n,R) или О(п,С)) в том и толь-
только в том случае, если гАА = Е. Для ее элементов это означает
2 = n(n + l)/2 условий ортогональности и нормировки
-5»j = 0> (м = 1, ..., п).
D.3)
t=i
Матрица А = (ау) лежит в группе SL(n, R) или в группе SL(n, С)
в том и только в том случае, если ее определитель равен 1. Это
условие, выраженное в виде равенства нулю многочлена
-1 = 0
D.4)
при a = 1, Р = 0.
упражнения 1.12,
слу-
слуот п2 коэффициентов ay матрицы Л, уменьшает число ее неза-
независимых элементов на единицу. Если элементы ay комплексные,
условие превращается в det A =
= a + Р
Из
чай 8) вытекает, что груп-
группа унитарных матриц U(n,C)
является вещественной линей-
линейной группой Ли, именно, под-
подгруппой в GLBn,R). Используя
предложение 1.20, мы получа-
получаем, что и группа SU(n,C) яв-
является вещественной линейной
группой.
Другим примером линейных
групп Ли являются группы
Рис. 4.1. Параметризация элемен-
элементов группы трехмерных враще-
вращений SOC,R) [59, гл.2]
Aff(V) всех аффинных прео-
преобразований n-мерного простран-
пространства. Действительно, выберем в
214
пространстве V базис (ei, ..., еп) и построим пространство W с
базисом (еь ..., еп, е) размерности п + 1. По предложению 1.10 и
упражнению 1.13 группа Aff(V) изоморфна группе всех матриц
вида A.8) и потому является линейной группой Ли размерности
2
Важные для приложений группы SO(n,R) с п = 2,3,4 имеют
размерности, соответственно, 1, 3 и 6. Элемент группы SOC,R),
т. е. поворот на произвольный угол а вокруг начала координат
в трехмерном декартовом пространстве можно изобразить век-
вектором бс= (сб1,а2,ссз), направленным по оси вращения (знак «+»
по часовой стрелке) и пропорциональным по длине углу пово-
поворота (рис. 4.1). Очевидно, угол а всегда можно выбрать так,
что |сс| < тс. Таким образом, все векторы а лежат внутри сфе-
сферы радиуса тс, т.е. группа SOC,R) компактна. Так как повороту
на тс вокруг любой оси отвечает двузначное представление век-
векторами а и -ее, противоположные точки на поверхности сферы
|а| = тс следует отождествить. Координатные проекции вектора
ос= (сс1,(Х2,аз) можно представить в виде
A0 0 \ /cos(X2 0
0 coscci -sinoci j , р((Х2)= I 0 10
0 sinGCi COSCCi / \-sin(X2 0 COSGC2;
/cosаз -sinаз
р(аз)= sin аз cos аз
\ 0 0
Дифференцируя элемент g{cm,...,CLm) и полагая единичный
элемент е = р@,...,0), получим
Km 0(аь ...От) = е +
i
Мы видим, что в малой окрестности единичного элемен-
элемента е все операции бесконечной группы G определяются конеч-
конечным набором ее линейных дифференциальных, или инфините-
зимальных, операторов вида (dgfda^g^. В частности, для груп-
группы SOC,R) получаются операторы
/0 0 0 \ /0 0 0
Л = (dg/dai)ai=o =0 -sinai -cosai I =10 0 -1
\0 cosai -sinai/ai=0 \0 1 0
0
0
-1
0
0
0
1\
о ,
0/
J3 =
0
1
\0
-1
0
0
0
0
0
J2 =
\-l 0 0) \0 0 0/
215
или
D.5)
(где в квадратной матрице Ет^ элемент ешд. = 1, а все осталь-
остальные элементы равны нулю, см. подразд. 1.8). Непосредственно
выводится, что операторы Ji, J2 и Js антиэрмитовы, а их произ-
произведения удовлетворяют коммутационным соотношениям
h, D.6)
~ J1J3 = ^2-
Три дифференциальных оператора (Л>Л»Л) с алгебраиче-
алгебраическими соотношениями D.5) задают инфинитезимальное пред-
представление группы SOC,R). В общем случае для набора диффе-
дифференциальных операторов {JJ группы G справедливы соотноше-
соотношения
где коэффициенты dpq, называемые структурными константа-
константами группы G, не зависят от ее представления. Далее будет при-
приведено строгое доказательство этих утверждений.
Определение 4.1. Пусть линейная группа G задана си-
системой уравнений D.2) и А ? G. Касательным пространством
Tq (А) к группе G в точке (матрице) А называется линейное про-
пространство, состоящее из всех матриц dX = (dXpq) ? Mat(n,R) (ли-
(либо dX = (dXpq) e Mat(n,C)), называемых инфинитезимальными,
с условием
^ = 0, г = 1, ... ,iV. D.7)
va pq
Иными словами, касательное пространство в точке (матрице)
А е G получают дифференцированием условий D.2), наложен-
наложенных на элементы группы g e G. Опишем касательные простран-
пространства Tq(E) в «точке», заданной единичной матрицей Е, для раз-
разных линейных групп G.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Касательное пространство
TSL(n,R)(?) (rSL(n,c)(?)) состоит из множества si{n,R) (соот-
(соответственно, s[(n,C)) всех вещественных (комплексных) мат-
матриц п х п с нулевым следом.
216
Доказательство. Пусть G = SL(n,R) (или G =
= SL(n,C)). Тогда G задается одним уравнением D.4). По-
Поэтому касательное пространство Т$ыпд) (А) для точки (мат-
(матрицы) А е SL(n,R) (соответственно, пространствоТ3цпС)(А)
для матрицы А е SL(n,C)) тоже задается одним уравнением
V df dx -^
exV^
pq
где Apq — алгебраическое дополнение к элементу apq в мат-
матрице А (см. гл. 7). Взяв в качестве А единичную матрицу Е,
получим Apq = 5pg, откуда
(E)dXpq = ^ 8pqdXpq = ^ dXpp = tr(dX) = 0.
df
Следовательно, подпространства TsL(njK)(-E) и Т§и
задаются уравнением tv(dX) = 0, где tr(dX) означает след
матрицы dX, т. е. сумму йХц + • • • + dXnn ее диагональных
элементов.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Касательное пространство
TO(n,R)(?) (Го(П|С)(^)) состоит из множества o(n,R) (o(n,C))
всех кососимметрических вещественных (комплексных) мат-
матриц dX = (dXij).
Доказательство. Пусть G = O(n, R). Тогда nd D.7)
касательное пространство Тщпт(А) в произвольной точке
А задается системой уравнений, получаемых дифференци-
дифференцированием условий D.3):
dXrs =
\sXqj + Xqi5qrbjs)dXrs = 0.
Поэтому в точке, соответствующей единичной матри-
матрице Е,
217
= 0.
Отсюда вытекает, что Т@(щщ(Е) задается уравнениями
) = 0,
т.е. dXji = -dXij. Случай G = O(n,C) рассматривается ана-
аналогично.
Простейшим примером касательного пространства TOB,r)(^O
где Е — единичная матрица размера 2x2, может служить мно-
множество квадратных матриц
Г* =
Пусть G — линейная группа. Дифференцируемым путем в
группе G из единичного элемента Е в элемент д е G называ-
называется такое дифференцируемое отображение р : [0,1] -> G, что
р@) = ?", рA) = д. Это означает, что каждому числу t е [0,1] сопо-
сопоставлена матрица
fPn(t)
l(t) ... Pnn{t)
в которой каждая числовая функция ? -> Prs(t) является диффе-
дифференцируемой. При этом производная
также является квадратной матрицей размера п.
ПРЕДЛ0ЖЕНИЕ 4.3. Пусть задан дифференци-
дифференцируемый путь р : [0,1] —» G в группе G, причем р(*о) =pq G G
для некоторого *о € [0,1]. Тогда p'(to) € Т^(ро).
Доказательство. Предположим, что rpyrina G за-
задается системой уравнений D.2) и матрица р(?) = (Pij(t)) € G
для любого t E [0,1]. Используя правило дифференцирова-
дифференцирования сложной функции, для любого s = 1, ... , N получаем
218
Отсюда в силу определения 4.1 получаем требуемое утвер-
утверждение.
В курсе математического анализа с помощью теоремы о неяв-
неявной функции доказывается, что касательное пространство TG(g)
состоит из всех касательных векторов p'(t) в точке д для всех
дифференцируемых путей, проходящих через д (рис. 4.2). По-
Покажем, что такое пространство TG(g), заданное в точке д = Е,
полностью определяет группу G.
Зафиксируем элемент д линейной группы G и рассмотрим
произвольный элемент х € G. Отображение правого сдвига
Rg : G —> G, при котором х »-> хд, является дифференцируе-
дифференцируемым отображением, поскольку коэффициенты (xg)ij его матри-
матрицы задаются линейными функциями от коэффициентов матри-
матрицы х е G. Пусть x(t) — дифференцируемый путь, проходящий
через Е. Тогда Rg(x(t)) = x(t)g является дифференцируемым пу-
путем, проходящим через Rg{E) = д. Этот путь в точке д касается
вектора (Rg(x(t)))f = (x(t)g)f = xf(t)g (так как д не зависит от t).
Таким образом, TG(g) Э Тс(Е)д. С другой стороны, аналогично,
TG(E) 2 TG(g)g-\ откуда
TG{g) = {TG{E))g. D.8)
Это же равенство можно получить и из следующих сообра-
соображений. Отображение Rg задается линейными функциями от ко-
коэффициентов матрицы х е G. Поэтому дифференциал dRg этого
отображения совпадает с матрицей д, т. е.
dRg : TG(x) -> TG(xg),
dRg(dX) = (dX)g.
Ho Rgig2 = Rgx Rg2 • Следовательно, dRg задает линейный изо-
изоморфизм TG(E) и TG(g), т. е. D.7) выполнено для любого д е G.
В частности, справедливо следующее предложение.
Pi(9)
Рис. 4.2. Касательное пространство и касательные векторы путей
219
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. dimTG(E) = dimTG(g) для
любого д е G.
Связной компонентой Ge единичного элемента Е в ли-
линейной' группе G называется множество всех элементов
д е G, обладающих путем из Е в д. Группа G связная, если
GE = G.
ТЕОРЕМА 4.1. Связная компонента Ge единичного
элемента Е является нормальной подгруппой в G.
Доказательство. Пусть Ge — связная компонен-
компонента Е, и элементы д, h € Ge соединены путями x(t), y(t):
[0,1] -4 Gc единичным элементом Е. Тогда произведение
x(t)y(t) задает дифференцируемый путь из Е в gh. Кроме
того, получаем дифференцируемые пути
где X, Z — произвольные матрицы из группы G.
Из курса анализа известно, что в некоторой окрестности еди-
единичного элемента Е имеется локальный диффеоморфизм G и
Tq(E). Это означает существование такого биективного диффе-
дифференцируемого отображения / : U(E) -» V@) некоторой окрест-
окрестности U(E) с G точки Е е G в окрестность V@) С Tq(E) точки
0 G Tq(E), что обратное отображение f'1 : V@) —> U(E) так-
также является дифференцируемым. Таким образом, касательные
пространства Tq к группе G и Tqe к связной компоненте Ge ее
единичного элемента совпадают в точке Е.
ТЕОРЕМА 4.2. Пусть группа G связна. Тогда группа
G определяется касательным пространством Tq(E).
Доказательство. Пусть X € С? и x(t) — путь из Е в
X. В силу D.8) x'(t) G TG{x{t)) = TG(E)x{t) для всех t е [0,1].
Поэтому
t), A(t)eTG(E) D.9)
для всех t ? [0,1]. Обратно, если А е TG(E), то рассмотрим
дифференциальное уравнение D.9), где A(t) =ic началь-
начальным условием х@) = Е. Оно имеет (и притом единственное)
решение: экспоненциальное отображение x(t) =exp(A?), где
At (At) (At) ,A 1П.
+ i^ + + ^ + D.10)
Можно показать, что этот ряд сходится.
Отметим ряд свойств экспоненциального отображения.
220
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5. Справедливы следующие
утверждения:
1) ряд D.10) сходится при любой матрице А и при любом
параметре t\
2) если Л, В — перестановочные квадратные матрицы
размера п, то ехр(А + В) = ехр А ехр Б;
3) если Л, С — матрицы размера п, причем матрица С
обратима, то ехр(С~1АС') = С (ехр А)С.
Доказательство. Выберем в пространстве квадрат-
квадратных матриц размера п такую новую систему координат у^,
j = 1, ... , п2, что Tq(E) задается системой уравнений у{ = 0,
где г пробегает первые d индексов. Тогда существует локаль-
локальный диффеоморфизм Tq(E) и G в окрестности единичной
матрицы Е. Поэтому решение D.9) лежит в G. Но это реше-
решение есть exp(At). Таким образом, ехр : Tq(E) —> G является
локальным диффеоморфизмом в окрестности U точки Е.
Так как отображение х н-> х~1 непрерывно дифференциру-
дифференцируемо, то можно считать, что U~l С U. Обозначим Я множе-
множество всех произведений любого числа элементов из U. Если
а; € Я, то xll С Н является открытым подмножеством в G.
Предположим, что G ^ Н. Выберем произвольный эле-
элемент z G G, не лежащий в Н. Если zU пересекается сЯ,
то zu = и\---щ, для некоторых элементов и, щ, ..., щ G U.
Отсюда z = и\ - - • щи'1 е Я, поскольку, как отмечено вы-
выше, tT1 E U'1 С U. Но это противоречит предположению
о том, что z не лежит в Н. Следовательно, zU П Я пусто.
Это означает, что дополнение G\ H подмножества Я в G
является открытым множеством. Отсюда вытекает, что G
является объединением двух непересекающихся открытых
подмножеств G = Я U (G \ Я).
Пусть д е G \ Н и х : [0,1]->G — дифференцируемый
путь, причем х@) = Е, и #A) = #. Тогда отрезок [0,1] явля-
является объединением двух непересекающихся открытых непу-
непустых подмножеств х~1(Н) и x(G \ Я), что невозможно в
силу связности G.
Из этого доказательства, в частности, вытекает, что экспонен-
экспоненциальное отображение exp(At) задает локальный диффеомор-
диффеоморфизм окрестности нуля в Tq(E) и окрестности единичной мат-
матрицы Е в группе G.
Рассмотрим экспоненциальное отображение порождающих
элементов для ряда групп. (Напомним, что подмножество 5 с G
называется порождающим, если все элементы группы G мож-
можно представить в виде произведений конечного числа элементов
221
Si e S и обратных им элементов stA) Пусть G = SL(n,C). Тогда
Т$ип?\(Е) =sl(n,C). Заметим, что базис пространстваsl(n,С) со-
составляют матрицы*
Eij, 1 ^ г ^ j^ п, Ец - j&jj, 1 < .7'^ п.
Непосредственная проверка показывает, что
exp(JE?y) = Е + Яу, 1 ^ t ^ j ^ n.
Кроме того, ехр(?ц - Ejj) является диагональной матрицей
размера п, в которой на главной диагонали на месте A,1) стоит
число е, а на месте (jj) стоит е. Все остальные диагональные
элементы равны 1.
Рассмотрим группу всех ортогональных матриц G = OB,R)
размера 2. Как отмечалось, T@B,R)(E) = oB,R). Заметим, что
;)-
где
Л
V'
При этом
/ia 0\ /exp(ia)
0
По свойству 3) из предложения 4.5 получаем
ехр
( а ) = expfCT1 AC) = СГ1(ехр А)С =
р(га) 0 \ /cos а -sina\
О ехр(-га)/ \sina cosay'
т. е. экспоненциальным отображением матрицы oB,R) G Тщ2)
действительно восстанавливается исходная ортогональная мат-
матрица SOB,R).
Свяжем рассмотренную в подразд. 1.9 конструкцию прямого
произведения с линейными группами Ли.
ТЕОРЕМА 4.3. Пусть G — линейная подгруппа в
GL(n, С) и Я — линейная подгруппа в GL(m, С). Тогда прямое
произведение GxH является линейной подгруппой в GL(n+
+ m,C).
*Как и выше, Eij — квадратная матрица размера п, в которой на месте (г, j)
стоит число 1, а все остальные элементы равны 0. Разумеется, 1 ^ г, j^ п.
222
Доказательство. Предположим, что группа G за-
задается системой уравнений D.2) и Я — системой уравнений
9j(Ypq) = О, з = 1, ... , М, 1 ^ р,
m,
где Ypq заданы аналогично Xpq в D.2). Тогда GxH изоморф-
изоморфно группе всех блочно-диагональных матриц вида
(о 2) («Ч
размера п + т, где А ? G, В е Я. Таким образом, множе-
множество матриц Z = (Zafi) вида D.11) задается уравнениями
вида D.2)
0j(Za,p) = O, j = l, ... , М, гг + 1
Zap = 0, если либо а < п, р > гг, либо а > п, р < п. D.12)
4.2. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА НА TG(E)
Как отмечалось, линейные группы образуют некоторую по-
поверхность в пространстве матриц размерности п2. В геометрии
важным инструментом при изучении поверхностей является ис-
исследование касательных пространств к точкам поверхностей.
Эта идея оказалась очень плодотворной для теории линейных
групп, поскольку каждая такая группа полностью определяет-
определяется своим касательным пространством Tq(E) в точке Е, отвечаю-
отвечающей единичной матрице (операции). На этом пространстве мож-
можно ввести новую алгебраическую структуру.
Для любых двух квадратных матриц Л, В одного размера
найдем лиевский коммутатор [А,В], полагая* [Л,В] = АВ-ВА.
ТЕОРЕМА 4.4. Пусть G — линейная группа Ли, и
A, Be TG{E). Тогда [А, В) е TG(E).
Доказательство. Заметим, что матрицы ехр(Л^),
exp(Bt) лежат в группе G для всех достаточно малых t (см.
доказательство теоремы 4.1). Следовательно, для всех до-
достаточно малых t
, exv(BVt)} € G, D.13)
Лиевский коммутатор, или лиевское умножение [Л, В], вводимое для элемен-
элементов непрерывных групп, не следует путать с коммутатором {а, 6} = а6аЬ~1 эле-
элементов а и Ь произвольной группы, см. подразд. 1.8.
223
где {а, 6} = aba 1b 1. Вычислим касательный вектор к ком-
коммутатору D.13) в точке Е. Имеем
АЧ
ехр(АуД) = Е + А\Д+ — + o{t);
z
ВЧ
ехр(ВуД) = Е + ВуД + — + o(t)\
A2t
= ехр(-А\Д)Е-А\Д+ — + o(t);
It
вЧ
— + o(t).
Таким образом, по определению группового коммутатора
из подразд. 1.8 получаем
= exp(Ay/i) ехр(ВуД) exp(Av^) ехр(ВуД) =
D.14)
2 2 2 2 )
+ o(t) = Е + (АВ - BA)t + o(t) = E + [Л, B]t + o(t).
Следовательно, касательным вектором к групповому ком-
коммутатору D.13) является множитель при t в D.14). Так как
он равен лиевскому коммутатору [Л, JB], то [А, В] ? Tq(E) по
предложению 4.3.
Предположим, что заданы две линейные группы Ли C?i, G2,
причем G\ является подгруппой в группе невырожденных мат-
матриц размера щ, a G2 является подгруппой в группе невырожден-
невырожденных матриц размера П2- Гомоморфизм групп / : G\ -» G2 назы-
называется гомоморфизмом линейных групп, если существуют такие
многочлены fij(Xrs) от переменных Xrs, где 1 < г, 5 ^ ni, причем
1 ^ i,j ^ П2, что для любого элемента g = (pr5) G Gi коэффициент
матрицы /(#), стоящий на месте (г, j), равен fij(grs)-
Упражнение 4.1. Доказать, что ядро гомоморфизма линей-
линейных групп также является линейной группой.
Если x(t) — дифференцируемый путь в G?i, проходящий че-
через элемент g = x{t0), то x'{t0) € TGl(g). Тогда (/а;)@ = /(ж(«)) -
дифференцируемый путь в G2, проходящий через f(x(to)) = /(^).
В этом случае полагаем (df)x'(to) = (fx)'(to) € Тс2{/{д)). Таким
образом, получается отображение rf/ : Тсг(Е) —» Tq2(E), назы-
называемое дифференциалом гомоморфизма /. В силу этого опреде-
224
ления и правила дифференцирования сложной функции полу-
получаем, что для любого пути x(t) в группе G справедливо равен-
равенство
/J(fn) -.. J(fim)\
(df)[x'(O)]=(fxy(O)=[ , D.15)
U/n2l) ...
где
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Пусть /: Gi -> G2 - гомо-
гомоморфизм линейных групп, и А е Tq^E). Тогда f(exp(At)) =
= exp [(d/)A?] при достаточно малых t.
Доказательство. Положим
g(t)=exp[(df)At].
Заметим, что /i'@) = д'@) = (df)A и (Л*)(As) = (Aa)(At).
Поэтому exp(A(t + s)) = ехр(Л^) ехр(Лз) в силу свойства 2)
из предложения 4.5. Таким образом, при достаточно малых
значениях ?, s имеем
h(t + s) = / [ехр(А(* + 5))] =
= f[exp(At)]f[exp(Aa)]^h{t)h(a).
Далее, как и выше:
g(t + s) = exp [Df)A(* + 5)] = exp [(df)At] exp [(d/)A5] = g(t)g(a).
Следовательно:
-.mM.),
Таким образом, /i(i), ^(f) являются решениями системы
дифференциальных уравнений X'(t) = [(df)A]X(t) с началь-
начальным условием Х@) = Е. В силу локальной единственности
такого решения получаем требуемое утверждение.
ТЕОРЕМА 4.5. Пусть / : G\ -> G2 — гомоморфизм
линейных групп. Тогда дифференциал df : Тсг(Е) —> Tq2{E)
является линейным отображением. Если А, В е Тс1(Е)^ то
225
Доказательство. Первое утверждение следует из
D.15). Рассмотрим второе утверждение. Пусть А, В е Tqy {Е).
Тогда по предложению 4.6 получаем
/({ехр(Ач/*),ехр(Яч/*)}) = {f(exp(Ay/t)),f(exp(BVi))}. D.16)
Дифференцируя D.16) по t и полагая t = О, как и в дока-
доказательстве предложения 4.6 и теоремы 4.4, получаем требу-
требуемое утверждение.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть / : G\ -> G2 — гомоморфизм
линейных групп, причем группа G\ связна. Тогда ограниче-
ограничение df на Tqy {E) однозначно определяет /.
Иными словами, с помощью касательного пространства груп-
группы G\ в точке Е можно задать не только саму группу Gi, но и
ее гомоморфизм на другую линейную группу GV
4.3. ГРУППЫ ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ:
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ
Рассмотрим на качественном уровне несколько широко ис-
используемых линейных групп Ли. Простейшим примером такой
группы может служить абелева группа всех поворотов трех-
трехмерного пространства вокруг заданной оси (Соо в обозначениях
Шенфлиса, или оо в международной символике). Она изоморф-
изоморфна группе QB,R) собственных вращений двумерной плоскости
вокруг начала координат и унитарной группе SUA,R) = U(l)
комплексных чисел ei(J) с модулем 1 (см. подразд. 1.1). Характе-
Характеры одномерных неприводимых представлений этой группы для
произвольных элементов фь ф2 удовлетворяют соотношениям
Х(Ф1+Ф2) = Х(Ф1)Х(Ф2), D.17)
Х(ср + 2тс) = х(ф)ХBя) = Х(Ф)Х(О) = Х(Ф).
откуда
%((p)=eirn(l\ 0<ф<2я.
Действительное число m e R называется индексом неприводи-
неприводимого представления группы Соо- Очевидно, что представления
ф —> егтУ при целых т ? Z однозначны, а при т ^ 0, ±1, ±2, ...
неоднозначны.
В частности, для полуцелых т = Bn +1)/2, n € Z
егт<р = егBп+1)ф/2 егт(ф+2л) = ег[Bп+1)ф/2+тс] =
226
С„(оо)
t
с,
а
Л
г
До*(°°/'«я»)
/\
д
Рис. 4.3. Бесконечные подгруппы симметрии трехмерного простран-
пространства (а — <?) на основе SOB,R)
Группа с непрерывными многозначными представлениями на-
называется многосвязной. Любую многосвязную группу можно, од-
однако, представить в виде гомоморфного образа некоторой одно-
связной накрывающей группы. Для абелевой группы Соо накры-
накрывающей является односвязная группа R* всех действительных
чисел со следующим гомоморфизмом на полуинтервал @,2я]:
где х е R, а [х/2п] € Z — целая часть числа х/2к.
Далее в этой главе будет дано строгое определение накрыва-
накрывающего гомоморфизма.
В кристаллографии группу Соо изображают геометрически
как совокупность симметрии вращающегося конуса (рис. 4.3, а).
Изоморфную ей группу всех зеркальных поворотов вокруг за-
заданной оси называют группой вращающегося цилиндра Soo (в
международной символике оо/т) (рис. 4.3, б). Добавление к
главной поворотной оси бесконечного порядка одной перпенди-
перпендикулярной оси С2 порождает бесконечное число симметрически
эквивалентных перпендикулярных осей С2, давая группу скру-
скрученного цилиндра Дэо = С00ХС2 (или оо 2, рис. 4.3, в). Замена осей
С2 на плоскости а^, проходящие через главную ось, дает груп-
группу симметрии неподвижного конуса Coov = Coo\CS) изоморфную
Аэо (oom, рис. 4.3, г).
Добавляя к симметрическим элементам групп Coov или ?>оо
единственную горизонтальную плоскость а&, получим центро-
симметричную группу Цэо/i = СооХСгхС*, или оо /mm (поскольку
227
среди всех вращений вокруг главной оси есть поворот на я (С2),
в сочетании с а^ порождающий центр инверсии г) (рис. 4.3, д).
Группы Соо> Sooj Ах>, Coov и ДхЖ являются предельными для се-
семи семейств точечных групп средней категории, рассмотренных
в п. 1.10 (пары групп Cnh, Sn и Г)пд, Dn(i «сходятся», соответствен-
соответственно, к группам Soo и Дзой, см. рис. 4.3, #, д).
Абелева группа Соо состоит из бесконечного числа одноэле-
одноэлементных классов Сф, где ср — угол поворота, включая тожде-
тождественное преобразование е = С2лЬ к е Z. В неабелевой группе
Coov имеется бесконечное множество классов из двух поворотов
(Сф, С_ф) и один класс ooav из всех плоскостей симметрии, прохо-
проходящих через поворотную ось. В группе Ц^ = Coov x Ci классы и
представления группы Coov удваиваются. Симметрией Coov обла-
обладают, например, линейные гетероатомные молекулы (СО, НС1,
HCN), а Дх^-симметрией — гомоатомные (Н2, O2, N2) и другие
линейные центросимметричные молекулы (СО2, НС=СН и др.).
Неприводимые представления всех бесконечных групп, по-
показанных на рис. 4.3, легко вывести из соотношений D.17)
и свойств произведений. Так, группа Соо содержит одномер-
одномерное полносимметричное представление А (с индексом т = 0) и
бесконечный набор одномерных представлений с характерами
±ехр(гтф), где т = 1,2,3,..., ср — угол поворота). Поскольку попар-
попарно сопряженные одномерные неприводимые представления для
каждого т физически эквивалентны, в приложениях их часто
группируют в двумерные представления Ет. Появление плоско-
плоскостей Оу в группе Coov превращает эквивалентные пары одномер-
одномерных представлений в двумерные с характерами
/егтф q \
tl J
Одномерному представлению А группы Соо с т = 0, полносим-
полносимметричному относительно всех поворотов, в группе Coov соот-
соответствуют два одномерных неприводимых представления: пол-
полносимметричное и антисимметричное относительно любой «вер-
«вертикальной» плоскости gv. В химической и спектроскопической
литературе эти одномерные представления обозначают, соответ-
соответственно, Е+ и Е", а первые двумерные представления — П (т = 1),
Д (т = 2) и Ф (ш = 3). Наконец, добавление центра симметрии в
группе ?>oo/i> по свойствам прямого произведения групп, превра-
превращает каждое неприводимое представление группы Coov в пару
представлений: полносимметричного (д) и антисимметричного
(и) относительно инверсии. Характеры неприводимых представ-
представлений групп Соо, Coov и Дхж показаны в табл. 4.1.
228
Таблица 4.1
Неприводимые представления групп Coo, Coov>
нп
е
ооСф
OOGV
г
оо5Ф
ооС2
ch
Группа Соо
А
У2
У2
Уз
Уз
1т
1т
1
1
1
1
1
1
1
1
ехр(гф)
-ехр(гф)
ехрBгф)
-ехрBгф)
ехр(гтф)
-ехр(гтф)
Группа Coov
Е+
Е~
П
А
Ф
1
1
2
2
2
1
1
2совф
2созBф)
2 соз(Зф)
1
0
0
0
Группа Dooh
si
Е-
е;
Пи
Ад
Аи
Фд
Фи
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2совф
2СО8Ф
2со8Bф)
2 соз(Зф)
2 соз(Зф)
1
1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
-1
2
-2
2
-2
2
-2
1
-1
1
-1
-2 cos ф
2совф
2 собBф)
-2 созBф)
-2 сскз(Зф)
2соб(Зф)
1
-1
т-Н
1
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
-1
-2
2
2
-2
-2
2
229
Рис. 4.4. Связь двух разных пово-
поворотов на угол х в группе вращений
трехмерной сферы (Rx = 5Я^5;
Rx : 1 -+ 2, S~XR^S : 1 -+ 3 -+ 4 -> 2)
Трехпараметрическую груп-
группу SOC, R) всех вращений трех-
трехмерного пространства, обозна-
обозначаемую также O+C,R) или
О+C), в кристаллографии на-
называют группой сферы с ера-
щающимися точками (т. е. сфе-
сферы, не имеющей плоскостей
симметрии). Помимо единич-
единичного элемента, в SOC,R) име-
имеется бесконечное число клас-
классов, состоящих из бесконечно-
бесконечного множества поворотов R% на
один и тот же угол % вокруг
произвольной прямой, прохо-
проходящей через начало координат.
(Такие повороты связаны ор-
ортогональным преобразованием
S"lR^S = Ях, т. е. R^S = 5ДХ, где
поворот 5 переводит одну ось
вращения в другую, рис. 4.4.)
При добавлении к операциям группы SOC,R) центра инвер-
инверсии возникает группа симметрии сферы, или полная ортого-
ортогональная группа QC,R) = SOC,R) x (.7J (в других обозначениях
ОC)) всех собственных и несобственных вращений трехмерного
пространства, оставляющих неподвижной точку начала коорди-
координат. Композиция центра инверсии с поворотами на угол к во-
вокруг всех осей, проходящих
через него, порождает беско-
бесконечное множество плоскостей
симметрии, также входящих в
группу OC,R). По Шенфли-
су группа трехмерных враще-
вращений обозначается if, а пол-
полная ортогональная группа —
Kh = К х С{. В международ-
международной кристаллографической си-
системе эти группы называют, со-
соответственно, оооо и оо/шоо.
С геометрической точки зре-
зрения группа К служит «пре-
«предельной» для точечных групп,
содержащих только собствен-
собственные вращения, а группа К^ —
> XY"z -^> xyz
Рис. 4.5. Углы Эйлера ф, х? в
230
для всех остальных точечных групп. Семь предельных бесконеч-
бесконечных групп Coo, Soo, Doq, Coov, Dooh, К и К^ в физике кристаллов
называют также группами Кюри.
В качестве непрерывных параметров, задающих произволь-
произвольный элемент д е SOC,R), удобно выбрать три угла «постадий-
ного» поворота исходной декартовой системы координат: углы
Эйлера (ф,0,х) (рис. 4.5).
В этих обозначениях исходная система координат (XYZ) пе-
переводится в конечную (xyz) тремя последовательными враще-
вращениями: (а) на угол ср вокруг оси OZ исходной системы, (б) на
угол 6 вокруг нового положения оси ОХ1 (эта «промежуточная»
ось называется также узловой линией N) и затем (в) на угол х
вокруг нового положения оси Oz. Иными словами, углы ср и 6
задают положение оси поворота относительно исходного репе-
репера (XYZ) в сферических координатах, а угол х — величину по-
поворота вокруг этой оси. Последовательность вращений Д(ср, 6, х)
можно выразить через дифференциальные операторы поворо-
поворотов относительно исходных осей ОХ и OZ
, 6, х) = ехр(-гхЛ) ехр(-г6 Jx,) exp(-zcpJz) =
= exp(-zxJz) exp(-z6Jx) exp(-zcpJz), D.18)
— см. рис. 4.4, где
Rx = exp(-z*x«7 i Л
5 = exp(-iGJx')
В квантовой механике неприводимые представления группы
SOC,R) получают с помощью линейных комбинаций «повыша-
«повышающих» и «понижающих», или «лестничных», операторов:
J+ = iJi- J2,
J- = tJi + J2, D.19)
Jz = * Л
(см. D.4), D.18)) и оператора J2 = J\ + Ц + jf = -jj- + jz- j\
(операторы J2 и Jz эрмитовы, операторы j+ и X. эрмитово со-
сопряжены). Скалярный оператор J2, коммутирующий со всеми
элементами группы, называется оператором Казимира. Можно
доказать, что матрицы Jz и J2 имеют одинаковые наборы соб-
собственных векторов.
Базисные векторы (ejm) неприводимых представлений груп-
группы SOC,R), пронумерованные двумя дискретными индексами
О*!*7*)» Удовлетворяют соотношениям (см. [52, т.3]):
231
Применяя рекуррентные соотношения D.20) для повышаю-
повышающего оператора J+ и понижающего оператора J_ к набору базис-
базисных векторов {ejm}, можно показать, что неприводимому пред-
представлению с индексом j отвечают 2j +1 векторов с собственны-
собственными значениями m = -j,-(j-l), ... ,j-1,j. Поэтому неприводимые
представления 2?^') группы SOC,R) имеют размерность 2j+l, где
индекс j может принимать как целые, так и полуцелые значе-
значения. Полносимметричное одномерное представление Z?(°) назы-
называется скалярным, трехмерное D& — векторным представлени-
представлением. Неприводимые представления D^) с целочисленными j > 1
1 3 5
называются тензорными, а с полуцелыми j = -, -, -,... — спи-
& & 2*
норными. Представления D^ с целочисленными индексами од-
однозначны, спинорные представления двузначны*.
Матрицы неприводимых представлений D^) можно выразить
через углы Эйлера. Например, из соотношений D.18) и матриц
операторов вида
е
cos-
2
-гsin-
2
- cos-
легко получить матрицы двумерного представления
cos-e-
6
-г sin-*
-zsin-e 2VA> YJ i
e
cos-e
/
D.21)
Непосредственно проверяется, что ?)A/2)(ф,6,х) — унитарные
матрицы с определителем +1. Таким образом, спинорное пред-
представление Г)^1/2) задает гомоморфизм группы SUB,C) на группу
SOC,R), при котором каждому вращению Д(ф, 6,%) соответству-
соответствуют две матрицы ±д е SUB, С), различающиеся знаком (см. п. 4.5).
Каждому двузначному представлению группы трехмерных вращений соответ-
соответствует однозначное представление накрывающей ее спинорной группы SpinC,R),
см. подразд. 4.5.
232
В общем случае характер представления DV) для поворота на
угол ф вокруг произвольной оси
О ... О
О <tU-i)9 ... о
\ О 0 ... e-W/ D.22)
sin(9/2)
Классы сопряженных элементов и неприводимые представле-
представления полной ортогональной группы 0C, R) = S0C,R) x (.7J легко
вывести, пользуясь свойствами прямого произведения. Из беско-
бесконечного множества классов оо5ф, отвечающих зеркальным пово-
поворотам на угол ф, в этой группе обычно выделяют класс ооа всех
операций отражения (а = S\) и класс из единственной операции
инверсии г = 52-
Любому однозначному неприводимому представлению
группы S0C,R) с целочисленным j в 0C, R) соответствует па-
пара представлений: полносимметричное Dg и антисимметрич-
антисимметричное Dfi' относительно инверсии, матрицы которых различают-
различаются знаком. Поскольку матрицы двузначных представлений
при умножении на -1 переходят одна в другую, каждому по-
полуцелому j в группе 0C, R) по-прежнему отвечает только одно
двузначное представление D^ (табл. 4.2, 4.3).
Характеры неприводимых представлений группы S0C,R), по-
показанные в табл. 4.2, выводятся из D.22) элементарными три-
тригонометрическими преобразованиями. Из величин Х^(С<р) мож-
можно непосредственно получить разложения прямых произведений
представлений с целыми и полуцелыми j; например:
= 1 + 4cosф + 4cos2ф + 2sin2ф-2sin2ф =
= 3 + 4 cos ф + 2 собBф) =
= 1 + A + 2 cos ф) + A + 2 cos ф + 2 соэBф)),
= 3 + 4 cos ф + 2 собBф) =
Аналогично можно показать, что
233
В общем случае
D(\H'\).
D.24)
Таким образом, прямое произведение двух неприводимых
представлений группы SOC,R) содержит полносимметричное
представление только при j = /, и все неприводимые компоненты
входят в разложение D.24) с единичными множителями (это ха-
характерно для полупростых групп, см. подразд. 4.7). Произведе-
Произведение двух двузначных представлений однозначно. Знак произве-
произведения представлений ортогональной группы ОC, R) относитель-
относительно инверсии определяется по обычным правилам:
где J — результат сложения индексов j и /.
Базисные векторы {ejA/}, приводящие произведение непри-
неприводимых представлений D^ x JjW) к квазидиагональному ви-
виду, являются линейными комбинациями базисных векторов пе-
перемножаемых представлений {е^ш} и {е^/т/}:
GJM = ^2 Cj?Lm'eJmej'm'-
Коэффициенты Клебша—Гордана С??тш,, или (JM \ jj'mm')
(см. подразд. 3.8) в этом разложении для группы SOC,R) кратко
рассмотрены в гл. 5.
Таблица 4.2
Характеры неприводимых представлений группы SOC,R)
нп
D@)
DW
D<2>
Z)(l/2)
?)<3/2)
?»E/2)
E
1
3
5
i
2j + l
±2
±4
±6
±Bj + l)
ооСф
1
1 + 2 cos ф
l + 2(cos9 + cosB9))
1 + 2(cos ф + cosB<p) + cosC9))
1 + E cos( j<p)
±2cos(9/2)
±2(cos(9/2)+cosC9/2))
±2(cos(9/2) + cosC<p/2) + cosE9/2))
±2Ecos(J9/2)
(ooC2)
1
-1
1
-1
о о о • о •
234
ТаЬлица 4.3
Характеры неприводимых представлений группы ОC, R)
нп
D9
?>C/2)
E
1
1
3
3
5
5
7
7
±2
±4
ooC9
1
1
l + 2cos9
1 + 2 cos 9
l + 2(cos9 + cosB9))
1 + 2(cos 9 + cosB9) + cosC9))
1 + 2(cos 9 + cosB9) + cosC9))
±2cos(9/2)
±2(cos(9/2) +cosC9/2))
(ooC2)
1
1
-1
-1
1
1
-1
0
0-
i
1
-1
3
-3
5
-5
7
-7
±2
±4
ooS<p
1
-1
1 - 2 cos 9
1 — 2(cos 9 — cosB9))
—1 + 2(cos 9 — cosB9))
1 - 2(cos 9 - cosB9) + cosC9))
-1 + 2(cos 9 - cosB9) + cosC9))
±2sin(9/2)
±2(sin(<p/2)-sinC<p/2))
(ooa)
1
_i
-1
1
1
_i
-1
1
0
0
to
«Предельным случаем» трехмерных пространственных групп
является полупрямое произведение 5C) = 7ХОC,Д) абелевой
группы произвольных трансляций 7 = Тх х Ту х Tz в трехмерном
евклидовом пространстве ЕC) на полную ортогональную группу
(группа Евклида). В отличие от дискретных решеток, трансля-
трансляции х могут быть сколь угодно большими или малыми. Всякое
преобразование из группы ?C) задается шестью непрерывными
параметрами — например, компонентами вектора х = (х, г/, z) и
углами Эйлера (ф, 0,%). Как было показано в гл. 2, любая опе-
операция симметрии д € ?C) имеет вид фгЧх (где ф е QC,R) —
ортогональное преобразование; х Е 7 — трансляция, и оставляет
неизменным расстояние между точками \г\ -гг| = y/x2 + y2 + z2.
Дифференциальные операторы подгруппы трансляций 7 име-
имеют вид Р = (d/dx,d/dy,d/dz). Два оператора Казимира в евкли-
евклидовой группе Р2 = (P%,Py,Pz) и PJ = Х)-РД> коммутирующие со
всеми ее операциями, соответствуют сохранению кинетической
энергии частицы и проекции rrij ее углового момента на направ-
направление движения.
Неприводимые представления группы ?C), аналогично непри-
неприводимым представлениям пространственных групп (см. под-
разд. 3.12), индуцируются малой группой трехмерного вектора
к. В данном случае звезда *fco произвольного вектора содержит
бесконечное множество векторов одинаковой длины fco> a его ло-
локальная группа изоморфна группе двумерных вращений SO B, R)
(рис. 4.6). Бесконечномерные представления Г.г, группы ?C),
I АС |,771
соответственно, нумеруются непрерывным индексом к и дис-
дискретным индексом m = 0, ±1,
/ ±2, .... При к = 0, т.е. в отсут-
/ ствие трансляций они, очевидно,
) превращаются в конечномерные
представления D^ группы трех-
трехмерных вращений SOC,R).
Вращения четырехмерного ев-
евклидова пространства ?D), со-
сохраняющие неизменной квадра-
квадратичную форму х2 + х\ + х\ + х\
(где {х{} — координаты в ?D)),
/ образуют шестипараметрическую
/ группу SOD,R). Ее непрерывны-
/ ми параметрами являются пово-
Рис. 4.6. Звезда и группа сим- Роты на произвольный угол в
метрии вектора ?0 в группе Ев- шести координатных плоскостях
клида ?C) (хиXj) {hi = 1,...,4). Соответству-
236
ющие дифференциальные операторы Зц отвечают четырем пе-
пересекающимся подгруппам трехмерных вращений SOC,R), удо-
удовлетворяя 12 перестановочным соотношениям вида D.5). При
этом операторы, действующие на разные пары координат х^х^
перестановочны (т. е. их лиевские коммутаторы равны нулю):
[J\2, ^34] = [Лз, J24] = [Jl4, Лз] = 0.
Набор дифференциальных операторов группы SOD, R) можно
ортогонализовать, составив их линейные комбинации с тремя
операторами Зц с фиксированным индексом г:
«1 = 1/2( J34 + J12), Pi = 1/2( J34 ~
&2 = 1/2(J42 + Лз), р2 = 1/2(J42 - Лз); D.25)
аз = 1/2( 32з + Ji4), Pi = 1/2( J23 " Л4).
Непосредственная проверка показывает, что операторы {б^} и
{Pj} удовлетворяют перестановочным соотношениям D.5) и ком-
коммутируют:
Таким образом, группа SOD,R) локально изоморфна прямо-
прямому произведению SOC, R) x S0C,R). Ее неприводимые представ-
представления нумеруются парой индексов (j,jf) и имеют размерность
Bj + 1)B/ + 1). Группа вращений четырехмерного пространства
позволяет, в частности, описать симметрию электронных состо-
состояний атома водорода (см. гл. 5).
Из экспериментально установленной неизменности максималь-
максимальной скорости относительного движения во всех инерциальных
системах координат (скорости света с) в релятивистской меха-
механике следует инвариантность квадратичной формы
xl-x\-x\-x%= а/02 - х? - х'22 - хЧ, D.26)
где (х1,?2,хз) "~" ДекаРТ0ВЫ координаты (x,y,z) в трехмерном
пространстве, xq = с?, a t — время. Преобразования четырех-
четырехмерных векторов (хо,гг1,Х2,хз), отвечающие условию D.26) D-
векторов), образуют группу Лоренца А = ОA-,3). Непрерывные
параметры этой группы можно получить из поворотов четырех-
четырехмерного пространства заменой координаты xq = ixo, x'o = ixo и пе-
переходом от вещественных углов поворота в координатных плос-
плоскостях (х'0,Х{) к чисто мнимым:
/coscp -sincp\ /cosicp -sinicp\
y^sin ф cos ф J y^sin гф cos гф J '
237
Преобразования в плоскостях (хо,Х{) (г = 1,2,3):
p
V chp
эквивалентны преобразованиям Лоренца: гиперболическим по-
поворотам или «бустам», т.е. переходам от покоящейся системы
координат к системе координат, равномерно движущейся в на-
направлении Х{ с постоянной скоростью v [64]:
х\ - Х{ ch р + xq sh p; x'q = хо ch P + Х{ sh P,
или
Xj + vt , _ t + Xjv/c2
{ Л _ 2/ I' "" Л __ 2/ f'
где Vi/c = Xi/c^ = th p.
В пределе с —¦ оо D.28) переходят в обычные соотношения
классической механики хг = х + vt и t1 = t). Шесть инфините-
зимальных операторов группы Лоренца включают три диффе-
дифференциальных вращения («7ьЛ>Л) в обычном трехмерном про-
пространстве и три инфинитезимальных преобразования Лорен-
Лоренца (i?i,B2> 5з), получаемых дифференцированием «гиперболиче-
«гиперболических вращений» D.27).
Упражнение 4.2. Найти матричную форму инфинитезималь-
инфинитезимальных операторов группы ОA,3).
Таким образом, шестипараметрическая группа Лоренца ОA,3)
тесно связана с группой четырехмерных вращений SOD,R). Ее
конечномерные неприводимые представления /}(#') заданы па-
парой целых либо полуцелых индексов, хотя ОA,3), как неком-
некомпактная группа, имеет и представления бесконечной размерно-
размерности (см. подразд. 4.8). По представлению .Е^1/2'0) преобразуют-
преобразуются спиноры, по .еК0»1/2) — сопряженные спиноры, по ?)A/2'1/2) —
4-векторы и т.д. Собственные значения операторов Казимира
А2, С2 группы 0A,3), обычно выбираемых в виде
соответственно равны j(j +1) и jf(jf +1). Построенные из А и С
групповые инварианты определяют сохранение антисимметрич-
антисимметричного 4-тензора момента М^ = ^2{хуР§- х^Ру), отраж:ающее изо-
изотропность пространства-времени (см. подразд. 5.5).
Группа вращений 3-мерного евклидова пространства S0C, R),
не затрагивающих координаты хо, является подгруппой груп-
группы Лоренца. Другими важными подгруппами в ОA,3) являются
238
собственная группа Лоренца Л+ = SOA,3), преобразования ко-
которой д е Л+ отвечают условию detg = +1, т.е. не инвертируют
координат пространства МA,3), и ортохронная группа Лоренца
Л+ = 0+A,3), операции которой не обращают направления вре-
времени хо (см. подразд. 1.1). Любой элемент из собственной орто-
хронной группы Лоренца AJ = SO+A,3) можно однозначно пред-
представить в виде произведения поворота и гиперболического пово-
поворота.
Преобразования Лоренца выступают в роли ортогональ-
ортогональных преобразований четырехмерного пространства Минковско-
го МA,3) с псевдоевклидовой метрикой D.26) (см. гл. 1). Более
общие преобразования вида осх + а, совершаемые над четырех-
четырехмерным вектором х е МA,3), где а — трансляция в МA,3), со-
составляют десятипараметрическую группу Пуанкаре УA,3). Ее
операторы Казимира:
р2=р$-р?-р2-р$ и w2
где Wa = есфуб-Рр-Муб и ессру8 ~~ полностью асимметричный 4-тензор
4-го ранга (см. гл.7); Рр, Му§ — компоненты 4-вектора энергии-
импульса и 4-тензора момента соответственно. Оператор Р2 с
собственными значениями к2 отвечает сохранению полной энер-
энергии, а оператор W2 с собственными значениями j(j + l)fc2 — со-
сохранению полного момента релятивистской частицы. Для непо-
неподвижной (fci = &2 = &з = Q> &о ? 0) частицы Р2 задает массу покоя,
a W2 — спин (см. подразд. 5.5). Представления групп Лоренца и
Пуанкаре широко используются в релятивистской физике. Да-
Далее в этой главе перечисленные группы и их представления бу-
будут рассмотрены строго.
В подразд. 4.5 мы продолжим исследование свойств связных
линейных групп Ли. Для этого потребуется дополнительный ал-
алгебраический материал, связанный с изучением понятия алгеб-
алгебры над полем.
4.4. КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ
При изложении сведений о линейных группах у нас возник-
возникли новые алгебраические структуры — квадратные матрицы с
новым (лиевским) умножением [А, В] = АВ - В А. С их помощью
удается построить теорию представлений линейных групп Ли.
Кольцом называется абелева группа относительно сложения
я+2/, в которой имеется еще одна, новая операция умножения ху,
причем справедливы равенства, отражающие дистрибутивность
сложения относительно умножения:
239
(х + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy.
Примерами колец относительно естественных операций сло-
сложения и умножения являются множество целых чисел, множе-
множество всех многочленов с целыми коэффициентами и т. д.
Для дальнейшего обсуждения нам необходимо расширить по-
понятие кольца и рассмотреть кольца, являющиеся одновременно
вещественными (комплексными) векторными пространствами.
Тем самым мы приходим к математическому понятию алгебры.
Вещественное (комплексное) векторное пространство А назы-
называется вещественной (комплексной) алгеброй, если для каждой
пары элементов а, Ь € А однозначно определен элемент ab E А,
называемый произведением, причем выполнены следующие ак-
аксиомы. Если а, а\, Ь, Ь\ € А и а, Р — числа, то
)
2) a(ab + pfci)
Таким образом, алгеброй называется множество А, в кото-
котором, помимо операции умножения элементов а, Ь € А, имеются
коммутативные операции сложения (а + Ь = Ь + а) и умножения
на скаляры из R (в комплексной алгебре — из С). Единичный
элемент А относительно операции сложения в этом случае на-
называется нулем, а единичный элемент относительно умножения
(если такой элемент есть в А) — единицей. Поскольку А является
вещественным (комплексным) векторным пространством, гово-
говорят, что алгебра задана над Ш (соответственно, над С).
Алгебра А называется:
•ассоциативной, если умножение ассоциативно, т.е. (ab)c =
= а(Ьс) для любых элементов а, Ь, с е А;
•коммутативной, если аЬ = Ьа для любых элементов a, b e А;
•антикоммутативной, если ab = -Ьа для любых элементов
a, b G А;
•алгеброй Ли, если ab = -Ьа для любых элементов а,Ь е А и в
ней выполняется тождество Якоби (а6)с + Fс)а + (саN = 0, где 0 —
нулевой вектор из А как векторного пространства.
Приведем примеры разных видов алгебр. Все квадратные ве-
вещественные (комплексные) матрицы размера п образуют ассо-
ассоциативную алгебру матриц Mat(n, R) (соответственно, Mat(n,C))
относительно обычной операции умножения матриц. Эта алгеб-
алгебра не является ни коммутативной, ни антикоммутативной при
Все линейные операторы на вещественном (комплексном)
векторном пространстве образуют ассоциативную алгебру над
Ш1 (С1), где в качестве умножения берется композиция опера-
операторов.
240
Если нам задана ассоциативная алгебра А, то положим
[а, 6] = ab-ba. Простая проверка показывает, что А относительно
умножения [а, 6] является алгеброй Ли. Эта алгебра обозначает-
обозначается АН. Отметим, что [а,6] = 0 для всех а,6 € А тогда и только
тогда, когда алгебра А коммутативна.
Примером алгебры Ли может служить касательное простран-
пространство Tq(E), возникшее при рассмотрении линейных групп Ли, с
операцией умножения [А, В] = АВ - В А.
Все вещественные (комплексные) многочлены от переменных
Х\, ... , Хп образуют коммутативную ассоциативную алгебру ве-
вещественных (комплексных) многочленов ЩХ\, ... , Хп] (соответ-
(соответственно, С[Хь ... , Хп]).
Все непрерывные (гладкие, аналитические) функции в неко-
некоторой области D евклидова (эрмитова) пространства образуют
коммутативную ассоциативную алгебру, где сложение и умноже-
умножение функций и умножение на скаляры определяется поточечно,
т. е. (f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (Xf)(x) = Щх). Нуле-
вым элементом этой алгебры является функция, тождественно
равная нулю.
Пусть задана линейная группа Ли G, являющаяся подгруп-
подгруппой либо в группе GL(n,R), либо в группе GL(n,C). Тогда все
функции на G, представимые многочленами от переменных
Хц, 1 < г, j < n, образуют коммутативную ассоциативную ал-
алгебру R[G] (соответственно, C[G]).
Отметим, что каждую комплексную алгебру (т. е. алгебру над
множеством С) можно рассматривать и как вещественную ал-
алгебру (над множеством R), поскольку множество вещественных
чисел содержится в множестве комплексных чисел.
Следующие два важных примера алгебр связаны с понятия-
понятиями тензоров и тензорных произведений векторных пространств,
(см. подразд. 7.11). Зададим n-мерное векторное пространство V
с базисом ej, Цг^пв тензорной степени
т
для любого т ^ 1. Для произвольных индексов 1 < н,... ,гт ^ п
рассмотрим элементы
В частности, при т = 2 получаем
е*2) = - (eh ® eh + ei2
241
Заметим, что элемент S^,..., е{т) не изменяется при любой
перестановке индексов 1 < ii,...,im ^ п. Таким образом, можно
считать, что эти индексы упорядочены, т. е. 1 ^ i\ ^ ... ^ гт ^ п.
Можно показать, что при разных наборах упорядоченных ин-
индексов элементы S^e^,..., e$m) независимы в V®m.
Линейная оболочка всех векторов вида 5(е^,...,е{т) назы-
называется m-й симметрической или симметризованнои степенью
пространства V и обозначается Sm(V).
Рассмотрим теперь в V®m для произвольных 1 ^ гх,..., im ^ п
элементы
еп Л • ¦ • Л eim = -L 53 H)aea(il) в - - в ea(im) €
" aesm
В частности, при т = 2 получаем
eii Л ег2 = 2 ^6 )
Для разных упорядоченных наборов индексов (п,...,гт) эле-
элементы е^ Л- • -Легт независимы в у®т. Нетрудно видеть, что е^ Л
• • • Л е(т = 0, если хотя бы два индекса среди 1 ^ i\ < ... < im ^ п
совпадают. Кроме того, е^ Л • • • Л ejm меняет знак, если переста-
переставить два базисных вектора местами.
Линейная оболочка всех векторов вида е^ Л- • -Ле^ называет-
называется m-й внешней (или антисимметризованной) степенью про-
странства V и обозначается AmV. Базисом пространства
являются все элементы
е»! Л • • • Л е»т, 1 < ii < • • • < im < п.
п!
В частности, размерность AmV равна
= —гт rz, и
m!(n — my.
/\mV = 0 при га > п.
Упражнение 4.3. Пусть х* = хце\ + • • + Х{пеп G V, 1 < t < п.
Составим квадратную матрицу X = (xij) размера п, в которой на месте
(ij) стоит xjj. Доказать, что
xi Л -- Лхп = (detX)(ei Л---Леп).
Упражнение 4.4. Показать, что V02 = 52(V) e Л2(У).
Обозначим через Т(У) прямую сумму всех пространств V®m
для всех га ^ 1. Тогда T(V) является ассоциативной алгеброй,
умножение в которой задается по правилу
= eh ® • • • ® eim 0 еЛ ® • • • ® ejk
242
и дальше распространяется по линейности. Эта алгебра называ-
называется тензорной алгеброй пространства V.
Рассмотрим прямую сумму S(V) всех пространств
Sm(V), m>\.
Сумма S(V) является ассоциативной коммутативной алгеброй
относительно умножения
S{eh ® • • • ® eirn)S{eh ® • - • ® ejk) =
= S(eh ® • • ¦ ® eirn ® eh ® • • • ® еЛ) G S^m+k\
Эта алгебра называется симметрической алгеброй простран-
пространства V. Можно показать, что она изоморфна алгебре многочле-
многочленов от п переменных с нулевым свободным членом.
Наконец, рассмотрим прямую сумму A(V) векторных про-
пространств AmV, 1 ^ га ^ п. Пространство A(V) является алгеброй
относительно умножения, которое обозначается Л и задается по
правилу
(eh Л • • • Л О Л (еЛ Л • • • Л eJfc) =
= eh Л--- Aeim ЛеЛ Л- Aejk € Л^^К
Далее умножение распространяется по линейности. Алгебра
/\(V) называется внешней алгеброй пространства V (или его ал-
алгеброй Грассмана). Нетрудно проверить, что размерность алгеб-
алгебры A(V) равна 2п-1.
Перейдем к изучению простейших свойств алгебр.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.7. В любой алгебре справед-
справедливы равенства Ох = хО = 0.
Доказательство. Для нулевого вектора справед-
справедливо равенство 0 = 0 + 0. Домножая это равенство слева
на произвольный элемент х алгебры, получаем хО = х@+
+ 0) = х0 + х0. Прибавляя к обеим частям этого равенства
противоположный вектор -хО, получаем 0 = хО. Аналогично
проверяется равенство 0 = Ох.
Единицей в алгебре А называется такой элемент 1, что
lx = xl = х для всех х € А. Как и в предложении 1.1, показывает-
показывается, что единичный элемент единствен. В алгебре матриц едини-
единицей является единичная матрица. В алгебре функций в области
D единицей является функция, тождественно равная 1. В анти-
антикоммутативной алгебре (в частности, в любой алгебре Ли) нет
Единичного элемента.
243
Элемент х 1 алгебры А с единицей называется обратным к
элементу х € А, если х~1х = хх = 1. Если у элемента х € А име-
имеется обратный, то элемент х называется обратимым. Как и в
предложении 1.1, показывается, что обратный элемент в ассоци-
ассоциативной алгебре А с единицей определяется однозначно.
Упражнение 4.5. Доказать, что в ассоциативной алгебре
А с единицей все элементы, обратимые относительно заданного в
ней умножения, образуют группу обратимых элементов алгебры А*.
В частности, Mat(n,R)* = GL(n,R), Mat(n,C)* = GL(n,C). Группой об-
обратимых элементов R* является множество R\0 всех действительных
чисел с выколотой точкой 0.
Подпространство В в алгебре А называется подалгеброй, если
ab e В для всех а, 6 € В. Например, множество T(n,R) (T(n,C))
всех верхнетреугольных матриц, т. е. матриц вида
/
'an ^12 ^13 •••
0 &22 ^23 • • •
0 0 азз ...
0 0 0 ... апп/
образует подалгебру в алгебре матриц.
В алгебрах Ли Mat(n, R)H и в Mat(n, C)(~) с коммутатором [а, 6]
все матрицы со следом 0 и все кососимметричные матрицы обра-
образуют подалгебры Ли s((n,R), sifaC) и 0(n,R), соответственно.
Простейшим примером ассоциативных коммутативных (абе-
левых) алгебр могут служить кольца R и С с обычными опера-
операциями сложения и умножения. Ассоциативная коммутативная
алгебра А с единицей называется полем, если каждый ее нену-
ненулевой элемент обратим. Например, кольца R и С являются также
и полями.
Рассмотрим алгебру матриц MatB,C) как вещественную ал-
алгебру (т.е. алгебру над R). Тогда в этой алгебре множество И
всех матриц вида
( п h\
а, ЬеС
образует подалгебру, называемую телом кватернионов. Отме-
Отметим, что каждый элемент конечной группы кватернионов Qe ле-
лежит в Н, причем матрицы Е, /, J, К (см. п. 1.1) составляют базис
Н как вещественного векторного пространства. Таким образом,
размерность Н равна 4.
В общем случае ассоциативная некоммутативная алгебра А
с единицей, в которой каждый ненулевой элемент обратим, на-
244
зывается телом. Например, телом является алгебра кватернио-
кватернионов Н. Действительно, для любого ее элемента
z = г 1 , а, Ь € С,
положим ||z|| = \/det z = у^Н2 + |Ь|2. Нетрудно видеть, что ||z|| > О,
если z т^О, и z = z/||z||, где z — элемент, сопряженный с z:
-а •)¦
Можно показать [59], что Z1Z2 = Z2Z1 (zi,Z2 G H). Произведение
zz = n2(z)I1 где
¦с о
задает норму кватерниона n(z) = ||z||, а сумма ?(z) = z + z —- его
след.
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.6 (теорема Фробениуса). Пусть А — ко-
конечномерное тело над R. Тогда А = Н [47, с. 172].
Существует еще один важный пример алгебр, не являющихся
уже ассоциативными [32, гл. 2, 72]. Это алгебры Кэли— Диксона
или алгебры октонионов О. Данная алгебра строится с помо-
помощью тела кватернионов Н; рассматривается двумерное правое*
векторное пространство О над Н с базисом, состоящим из двух
элементов 1, v. Таким образом, каждый элемент из х € О одно-
однозначно представляется в виде х = у + vz, где у, z e H. Умножение
октонионов определено по правилу
B/1 + vzi) • B/2 + vz2) = B/12/2 - z2lzi) + v(lyiz2 + jfezi).
где ^г — транспонированная матрица кватерниона:
Таким образом, О является 8-мерной алгеброй над R. Неко-
Некоторый ее базис указан в [32, с. 48]. Для любого х = y + vz e О
положим х = гу- vz.
Векторное пространство V называется правым, если для его элементов v € V
определено умножение справа на элементы некоторого множества F: v *-+ v/, где
f € F; при аналогичном определении для v € V умножения слева v »—> fv простран-
пространство V называется левым. В нашем случае определено умножение справа векторов
х G О на элементы тела кватернионов у, z € И.
245
Упражнение 4.6. Показать, что для любых х, у € О и любых
вещественных чисел а, р выполнены условия:
1) если t(x) = х + х, п(х) = х • х, то i(x), n(x) G К;
2) х2-*(х)х + п(х) = 0;
3) если х т^О, то п(х) =/0;
4) п(ху) = п(х)п(у), п(ах) = а2п(х), t(ax + Ру) = а*(х) + р%).
Как показано в [32, с. 46], справедлива следующая теорема,
дополняющая теорему Фробениуса.
ТЕОРЕМА 4.7. Пусть задана вещественная алгеб-
алгебра А с единицей и функцией нормы п(х), обладающей свой-
свойствами 3), 4). Тогда в А нет делителей нуля. Поэтому, если
алгебра А ассоциативна, то А — одна из алгебр R, С, EL Если
алгебра А неассоциативна, то она изоморфна О.
Подпространство / в алгебре А называется идеалом, если из
условия а Е /, Ь Е А следует, что произведения ab, Ьа Е I. Для
записи того факта, что / является идеалом в А, используется
обозначение / < А.
Подпространство / в алгебре А называется левым идеалом,
если ху Е / для любых элементов х € А, у Е /. Аналогично, под-
подпространство / в алгебре А называется правым идеалом, если
аЬ € / для любых элементов а € /, Ь Е А. Таким образом, ле-
левый идеал, являющийся одновременно правым, является идеа-
идеалом. Иногда идеалы алгебры называются также двусторонними
идеалами. Примерами левых (правых) идеалов в алгебре мат-
матриц Mat(n, R) являются все матрицы, у которых элементы всех
столбцов (строк), начиная со второго (второй) — нулевые. Эти
левые (правые) идеалы не являются идеалами в Mat(n, R). На-
Наоборот, можно показать, что в алгебре Ли понятия левого, пра-
правого и двустороннего идеалов эквивалентны, т. е. всякий идеал в
ней является двусторонним. Двусторонний идеал / в алгебре А
выполняет ту же роль, что нормальная подгруппа N в группе G.
Отметим одно замечательное свойство алгебры матриц.
Определение 4.2. Алгебра проста, если в ней всего два
идеала / = 0 и / = А.
Упражнение 4.7. Доказать, что если идеал / ассоциативной
алгебры А с единицей содержит обратимый элемент, то / = А. В част-
частности, любое тело и любое поле просты.
Можно показать [47], что алгебры Mat(n,R), Mat(n,C), H про-
просты.
Приведем примеры идеалов. Пусть А = ЩХ] — алгебра веще-
вещественных многочленов от одной переменной X и f(X) Е ЩХ].
Тогда множество всех многочленов из А, делящихся на f{X),
246
образует идеал. Аналогичное утверждение верно и для алгебры
комплексных многочленов.
Пусть А — алгебра аналитических функций в некоторой об-
области D и с G D — некоторая точка. Тогда множество 1С всех
функций из А, принимающих нулевое значение в точке с, обра-
образует идеал в А. Аналогично, пусть C[G] — алгебра функций на
линейной группе G, представимых многочленами от элементов
матриц группы G (см. с. 241), и с ? G. Тогда множество 1С всех
функций, принимающих нулевое значение в точке с, образует
идеал в C[G].
Определение 4.3. Пусть А, В — две вещественные (ком-
(комплексные) алгебры. Линейное отображение ф : А -» В называется
гомоморфизмом алгебр, если произведение переходит в произве-
произведение. Другими словами, для гомоморфизма алгебр ф справед-
справедливы равенства:
)
2)ф(аЬ)=ф(а)ф(Ь)
для всех а, 6 € А и любых чисел а, р. Биективный гомоморфизм
называется изоморфизмом. Если алгебры А и В изоморфны, это
обозначают А ~ В. Ядром гомоморфизма алгебр называется мно-
множество кегф всех таких элементов а е А, что ф(а) = 0.
Непосредственная проверка показывает, что кегф< А.
Приведем примеры гомоморфизмов алгебр и их ядер. Пусть
А — алгебра аналитических функций в некоторой области D
или алгебра R[G] (соответственно, C[G]) всех функций на G (см.
с. 241). Зафиксируем точку с е D или элемент с е G. Зададим
отображение ф : А -> R (соответственно, ф : А —> С) по следую-
следующему правилу: каждой функции / € А сопоставим ее значение
/(с) в точке с, т.е. ф(/) = /(с). Можно проверить, что ф является
гомоморфизмом алгебр и ker ф = 1С — идеал всех функций, обра-
обращающихся в нуль в точке с ? D (соответственно, с ? G).
Определение 4.4. Пусть задана алгебра А с идеалом
/ < А. Рассмотрим фактор-группу (относительно сложения) А/1
(см. подразд. 1.6). Напомним, что элементами А/1 являются
смежные классы а+/, а е А, причем сложение смежных классов
определяется по правилу (а+/)+(Ь+/) = (а+6)+/. Превратим А/1 в
алгебру. Для этого для любых смежных классов а + /, 6+7 € А/1
и любого числа а положим
Получающаяся алгебра называется фактор-алгеброй.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. Если алгебра А ассоциатив-
ассоциативна (коммутативна, или является алгеброй Ли), то этим же
свойством обладает фактор-алгебра А/1.
247
Рассмотрим отображение к : А -> А//, при котором элемент
a G А отображается в смежный класс »-> а + / € А//. Отобра-
Отображение (гомоморфизм) я называется естественным гомоморфиз-
гомоморфизмом алгебр. Несложно проверяется, что кегтс = /.
ТЕОРЕМА 4.8 (теорема о гомоморфизмах для ал-
алгебр). Пусть ф : А —> В — гомоморфизм алгебр. Тогда
Im ф ~ А/ кег ф.
(Напомним, что образом 1тф произвольного отображения
множеств ф : X —> Y называется подмножество в У, состоящее из
всех таких элементов у € У, что у = ф(ж) для некоторого х Е X.)
Упражнение 4.8. Доказать, что выполняются следующие со-
соотношения:
Укажем на связь понятия идеала и фактор-алгебры с теорией
линейных групп.
ТЕОРЕМА 4.9. Пусть задана система комплексных
многочленов /i, ... , fx e C[Xi, ... , Хп]. Обозначим через /
множество всех таких многочленов /i, что
/i^ai/i + ...+a^/дг D.29)
для некоторого натурального числа d и некоторых множи-
множителей ai, ... , ajv- Тогда / является идеалом в алгебре мно-
многочленов.
ТЕОРЕМА 4.10. Пусть линейная группа G, как под-
подгруппа в группе GL(n, С), задается системой уравнений D.2).
Обозначим / идеал в алгебре многочленов С[Хц 11 < t,j < п],
построенный в теореме 4.9. Тогда алгебра функций C[G] на
группе G изоморфна фактор-алгебре С[Хц \ 1 ^ г, j ^ п]/1.
СЛЕДСТВИЕ. Каждый гомоморфизм линейных
групп / : G -» Я индуцирует гомоморфизм алгебр функций
/° : C[G] —> С [Я]. При этом если д : Н -> F — другой гомо-
гомоморфизм линейных групп, то (fg)° = g°f°.
Приведем важную конструкцию в теории алгебр: их тензор-
тензорное произведение А®В. Предположим, что нам заданы алгебры
А,В. Тогда на тензорном произведении пространств А®В (см.
подразд. 7.11) можно задать умножение по следующему прави-
правилу: если а, а1 € А и Ь, bf G В, то
248
Нетрудно показать, что если алгебры А, В коммутативны
или (и) ассоциативны, то этим свойством обладает и А ® В. Если
в алгебрах А, В имеются единичные элементы 1д € А и 1в G В,
то 1д ® 1в является единичным элементом А ® В. Кроме того,
можно показать, что если заданы алгебры многочленов
то их тензорное произведение изоморфно алгебре многочленов
где изоморфизм устанавливается по следующему правилу:
1 < i ^ п;
1 ^ з < т.
Аналогичное утверждение верно и для алгебр вещественных
многочленов.
ТЕОРЕМА 4.11. Предположим, что G, Я, G х Я из
теоремы 4.3. Тогда C[G хЯ]~ C[G] <g> С[Я].
Доказательство. Пусть G задается системой D.2),
а Я задается системой уравнений
9j(Yps) = 0, 1 ^ j ^ М, 1 ^ р, g ^ т.
Обозначим через / идеал в C[Xrs \ 1 ^ r,s ^ п], соответству-
соответствующий элементам /j, 1 < г ^ iV, а через J — идеал в С[У^ |
1 ^ Р?9 ^ т]> соответствующий элементам ^-, 1 ^ j < М. По
теореме 4.3 G х Н задается системой уравнений
fi(Zrs) = Pj(^n-4?,n+g) = Zr,n+q = Zn+p,s — 0? D.30)
где 1 ^ г, 5 ^ п, 1 ^ р, g ^ m.
Обозначим W идеал в C[Zrs | 1 < г,з < n + rn], постро-
построенный по элементам D.30). По теореме 4.3 и теореме 4.10
получаем
C[G]~C[Xrs | l<r,s<n]/J;
С[Я]-С[ГрG | l<p,g<m]/J;
C[G х Я] ~C[Zy | 1 ^ ij ^ n + m]/W.
Ho
C[Zy I l<t,j <n + m]/Wc-
,FpG |Kr,5^n,Up,^ m]/V,
249
где идеал V построен по всем многочленам /j, д^ 1 < г ^ N,
и 1 ^j ^ M. Остается установить изоморфизм
C[Xrs | 1<г,5^п]//<8>С[УрG | l^p,q^m]/J-+
C[Xrs,Ypq | 1 ^ г, з ^ n, I ^ p,q ^ m)/V
по правилу
[Хгв + /]®1^[Хгв + У]; 1®[УГ5 + 7]^[УГ5 + У],
где знак х ^ у означает, что элементы х,у соответствуют
один другому при указанном изоморфизме.
Другие примеры тензорных произведений алгебр мы рассмот-
рассмотрим ниже.
В заключение приведем еще один интересный пример ас-
ассоциативных алгебр, играющий важную роль в приложениях.
Напомним сначала, что для элементов х, у любой ассоциатив-
ассоциативной алгебры можно определить новую операцию композиции
[ж, у] =ху-ух, тем самым превратив ее в алгебру Ли.
Следующее утверждение проверяется непосредственно.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9. В любой ассоциативной ал-
алгебре А выполнены равенства [x,yz] = [ж,у]я + у[ж,2], [ж, у] =
= -[</,*]•
Пусть V = C[Xi, ... , Хп] — алгебра комплексных много-
многочленов от переменных Х\, ... , Хп. Рассмотрим в V линей-
линейные операторы рь ... , рП1 дь ... , qn, где
^т qif = XJ D.31)
для любого / € V.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.10. Справедливы соотноше-
соотношения
\PuPj] = [«,%•] = <>, \puqj] =8ц. D.32)
Доказательство. Достаточно проверить лишь по-
последнее равенство. Пусть / е V. Тогда
df-dx
4-
~dx
Некоммутативность сопряженных координат и импульсов
[Pti9t] = 1 порождает соотношение неопределенности в кванто-
квантовых системах. Перестановочные соотношения динамических пе-
переменных играют важную роль в классической и квантовой ме-
механике (см. подразд. 5.1, 5.5).
250
Алгеброй Вейля АП(С) называется подалгебра с единицей в ал-
алгебре линейных операторов на пространстве комплексных мно-
многочленов V = C[Xi, ... , Хп], порожденная всеми операторами
Pi, qj, rflei,j = l, ... , п.
В силу предложения 4.10 произвольный элемент из АП(С) яв-
является конечной линейной комбинацией одночленов
вГ-СРГ-РЙ* D.34)
с целыми неотрицательными показателями m^Sj и с комплекс-
комплексными коэффициентами. В частности, каждый элемент F из АП(С)
можно представить в виде конечной суммы
D.35)
В обозначениях D.31) выражение D.35) можно записать как
a/i,..,mn^i ••'Л
где oc/b_jTyin G С. Это означает, что элемент F является диффе-
дифференциальным оператором. Поэтому алгебра Вейля АП(С) также
называется алгеброй дифференциальных операторов. Для F из
D.35) положим
dF dMqi,...,qn) , ,
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.11. Если F е АП(С), то для
всех г = 1, ... , тг справедливы уравнения Гамильтона
k,n-g, fe.n-^. D-36)
Доказательство. Без ограничения общности мож-
можно считать, что F является одночленом D.34). В силу пред-
предложений 4.8 и 4.9 получаем
iiQi №i+i Яп Pi Pn •
Остается показать, что
[rfl^r1- D-38)
251
Если т = 1, то D.38) вытекает из предложения 4.9. Пусть
для т равенство D.38) доказано. Тогда по предложения 4.8
[Pi, яГ+1\ = Ьг, ЧМТ + Qi\Pu <Л = ЯГ + ЯггпяГ1 =
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.12. Одночлены из D.34) неза-
независимы.
Доказательство. Пусть F — ненулевой элемент из
D.35). Предположим обратное и представим одночлен F в
виде F = ]Сы)Ч7'9п) где щ — многочлены от
Рь •••, Рп, Яъ •> Яп-1-
Из предложения 4.11 (так как все duj/dqn = 0) получаем,
что
Продолжая эти рассуждения до исчезновения перемен-
переменной qn, получаем в алгебре Вейля ненулевой многочлен сна-
сначала от pi,...,pn,gi, ...,9n-i, затем от pi,...,Pm9i, •••J9n-2
и, наконец, от pi,... ,рп. Аналогично рассматривая 0 = [%, F],
получаем, что F является ненулевой константой, что невоз-
невозможно.
ТЕОРЕМА 4.12. Алгебра Ап(С) проста.
Доказательство. Пусть 0 ^ I < АП(С). Предполо-
Предположим, что идеал / содержит ненулевой многочлен из доказа-
доказательства предложения 4.11. Рассматривая \pi,F],[qi,F] ? /,
как и в доказательстве предложения 4.11, получаем, что /
содержит ненулевой элемент из поля С. Этот элемент обра-
обратим в АП(С), и поэтому / = Ап(С).
Упражнение 4.9. Доказать, что
п раз
4.5. СВЯЗНЫЕ И НЕСВЯЗНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
В подразд. 4.3 упомянуты двузначные, или спинорные, непри-
неприводимые представления групп SO(n,R) с полуцелыми индекса-
индексами. Хотя такие конструкции, ставящие в соответствие одно-
одному элементу группы две разные матрицы, не являются пред-
представлениями в смысле подразд. 3.1, они широко распространены
252
в физике — прежде всего в опи-
описании спина. Однако на группу
с двузначными представлениями
можно так отобразить некоторую
более широкую спинорную груп-
группу, что двузначным представлени-
представлениям исходной группы будут соответ-
соответствовать однозначные представле-
представления спинорной группы.
Вначале рассмотрим подробнее
свойства связных и несвязных
групп Ли. Полученные результа-
результаты необходимы для понимания по-
построения спинорных групп, а так-
* R/2tiZ
Рис. 4.7. Накрывающее ото-
отображение R -> U(l, С)
же группы Лоренца ОA,3) и груп-
группы Пуанкаре 7A,3). Напомним,
что группа G связна, если для любого элемента д € G найдет-
найдется такой дифференцируемый путь х : [0,1] —» G, что х@) = Е и
хA)=д.
Показано [16, с. 26], что группы
GL(n,C), SL(n,C), SL(n,R), U(n,C), SU(n,C), SO(n,R)
связны. Кроме того, связна группа вещественных квадратных
матриц размера п с положительным определителем.
Отметим, что группы GL(n,R) и O(n,R) несвязны. Действи-
Действительно, возьмем матрицу А с отрицательным определителем и
предположим, что существует дифференцируемый путь x(t), при-
причем х@) »? и хA) = А. В этом случае detx(t) является диф-
дифференцируемой вещественной функцией, причем detrr(O) = 1 и
detx(l) < 0. Из курса анализа известно, что найдется такая точ-
точка to € @,1), что detx(^o) = 0. Но это противоречит тому, что
detx(t) т^О для всех t.
Определение 4.5. Гомоморфизм групп Ли / : G —> Н на-
называется накрывающим, или накрытием, если выполнено одно
из эквивалентных условий:
1) подгруппа ker/ дискретна;
2) df : Tq(E) -> Тн(Е) является изоморфизмом векторных про-
пространств;
3) / индуцирует диффеоморфизм окрестностей х G G и f(x) e
€#.
Например, гомоморфизм / : R -> UAVC) = U, при котором
f(x) = ехрBягх), х ? R1, является накрывающим (рис. 4.7). Дру-
Другой важный пример накрывающих отображений представляет
следующая теорема. В ней фигурирует группа SO(n, С) (см. под-
253
разд. 1.4), при п = 3 состоящая из всех комплексных квадратных
матриц А размера 3 с определителем 1, причем 1АА = Е.
ТЕОРЕМА 4.13. Существует накрывающий гомо-
гомоморфизм
/:SLB,C)->SOC,C)
с ядром кег/ = ±1. При этом /(SUB,C)) = SOC,R).
Доказательство. Пусть L = s(B,С) — множество
матриц со следом нуль, т. е.
Рассмотрим присоединенное представление Ad группы
SLB,C) в пространстве L. Это представление задается по
правилу
(Adg)(x) =gxg~l, x € L, g G SLB,C).
Заметим, что представление Ad сохраняет билинейную
функцию
а с
b -а
Кроме того, detp = 1 по определению группы SL(n,C).
Следовательно, Adg ? SOC,C). Ясно, что kerAd = ±1. При
этом ImAd = SOC,C).
Эта конструкция применяется и для построения накрытия
/ : SLB,C) -» SO+A,3), где SO+A,3) — связная компонента еди-
единичного элемента группы Лоренца ОA,3), см. подразд. 1.7.
ТЕОРЕМА 4.14. [26, гл. 1, § 5.7] Имеется накрытие
/:SLB,C)->SO+A,3),
ядро которого состоит из матриц ±Е. Если
то
1т(ор+у8) J(|o|»- |p|2
( P^ Re(a8-Py) (|)
Re(ap-y8) 1т(ар + у8) 1(|а|2-|р|2-|Т|2-|5|2)У
eso+(i,3).
254
Аналогичные соображения показывают, что имеется сюръектив-
ный гомоморфизм групп
/ : SLB,C) х SLB,C) -» SOD,C)
с ядром {(Е, Е), (-Е, -Е)}. Построение гомоморфизма / осуществ-
осуществляется следующим образом. Четырехмерное комплексное про-
пространство С4 отождествляется с тензорным произведением двух
двумерных пространств С2, т. е. С4 = С2 ® С2. Сопоставим теперь
паре матриц (д, h) ? SLB,C) x SLB,C) линейный оператор f(g,h)
в С4 = С2 ® С2 по правилу
f(g, h)(u ® v) = д(и) <g> g(v), щ v e С2.
Можно показать, что каждый f(g,h) e SOD,C) [19, с. 91]. Как
и для ограничений гомоморфизма группы SLB, С) на ее подгруп-
подгруппу SUB,C) в теореме 4.13, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.15. Ограничение гомоморфизма / на
подгруппу
SUB,C) х SUB,C) С SLB,C) x SLB,C)
задает сюръективный гомоморфизм групп
/ : SUB,C) х SUB,C) -> SOD,R)
с ядром
Выше при рассмртрении алгебры кватернионов Н мы исполь-
использовали понятие кватернионного сопряжения z н-> z, или инво-
инволюции — операции, квадрат которой является тождественным
отображением. Для изучения спинорных групп нам потребуется
понятие инволюции в произвольной алгебре А. Линейный опе-
оператор хигв алгебре А, при котором ху = ух для всех ж, у ? А,
называется инволюцией.
Упражнение 4.10. Доказать следующие положения:
1) переход к комплексно сопряженному элементу z »-+ z является
инволюцией в множестве С всех комплексных чисел как вещественной
алгебре;
2) переход к транспонированной матрице В\-+гВ является инволю-
инволюцией в алгебрах квадратных матриц Mat(n,C) и Mat(n,R);
3) переход к транспонированной комплексно сопряженной матрице
В »-»* В является инволюцией в алгебре квадратных матриц Mat(n, С)
и в теле кватернионов Н;
4) переход к сопряженному оператору Л ь-> Л* (см. подразд. 7.7) в
алгебре линейных операторов в евклидовом (эрмитовом) пространстве
является инволюцией.
255
Конструкция теоремы 4.13 обобщается на произвольное
n-мерное комплексное пространство Сп, где и ^ 2, см. [19,
гл. 3, §2.10]. Зафиксируем в комплексном пространстве Сп базис
ei, ... , еп. Через Сп обозначим векторное пространство размер-
размерности 2П, базис которого образуют специальные одночлены: упо-
упорядоченные формальные произведения базисных векторов {е^}
eh'"eirni Kn<...<tm<n D.39)
Превратим Сп в ассоциативную комплексную алгебру, задав
правило умножения одночленов вида D.39) соотношениями
ekej = -ejek при l^k^j^n, и е| = 1.
Например:
Отсюда видно, что произведение одночленов вида D.39) сно-
снова, с точностью до знака, является одночленом. Кроме того, име-
имеется разложение алгебры Сп в прямую сумму подпространств
Сп = С^еС^, где базис С^, к = 0,1, составляют одночлены D.39),
у которых числа т образующих базисных векторов имеют чет-
четность, одинаковую с fc.
Отметим, что построенная алгебра Сп ассоциативна, но не
является коммутативной при п > 1. Выведем полезное свойство
умножения элементов х = Yljxiej> У = 52jVjej € Сп. Для это-
этого рассмотрим в пространстве Сп билинейную функцию (х, у) =
= J2]=i XjVj- Легко проверить, что ху+ух = (х, у) для всех х, у е Сп.
Построенная алгебра Сп называется алгеброй Клиффорда.
В алгебре Сп имеется инволюция х н-> х, при которой
в|1-'-Ч» = eim • • • eix. Например:
Таким образом, если z — одночлен вида D.39), то z = ±z, при-
причем Z = Z ДЛЯ ZGCJh2 = -2 ДЛЯ Z G С^.
Для любого и е Сп определим норму n(u) = ?хп.
Обозначим через С* группу обратимых элементов алгебры
Сп. Через Spin(n,C) обозначим подгруппу всех таких элементов
и е € (С?)*, что n(u) = 1 и
u(ei, ... , еп)^ = (еь ... , еп), D.40)
в алгебре Сп, где (ei, ... , еп) — комплексная линейная оболочка
векторов ei, ... , еп. Таким образом, элементы подгруппы пере-
переводят векторное пространство Сп алгебры Клиффорда Сп в се-
себя. Это означает, что для любого и е Spin(n, С) существует такая
обратимая комплексная матрица Аи, что
(uei,..., иеп) = (еь..., еп)Аии. D.41)
256
Такому условию удовлетворяют, в частности, элементы вида
, т.е.
|n| при efe? = 1,
u{j = 1 • ch | + e{e5 sh | при еЩ = -1, D.42)
(см. [59, с. 83]).
Определение 4.6. Группа Spin(n,С) называется ком-
комплексной спинорной группой.
Из D.41) следует, что отображение я : Spin(n,C) —> SO(n,C),
при котором %(и) = Аи, является гомоморфизмом групп. Можно
показать, что гомоморфизм к сюръективен, кегтс = ±1, и группа
Spin(n, С) связна. При этом
Spin(n,R)/{±l} ~ SO(n,R).
Для описания элементов Spin(n,C) обозначим через Qn~l все
такие у е (ei, ... , еп), что у = Y!,yjej и 12у] = 1- В этом случае
у G С*, и Spin(n,C) состоит из произведений четного числа эле-
элементов из Qn~l.
Пусть п = 21 +1 (нечетно). Тогда алгебра С^ ~ MatB*, С). Сле-
Следовательно, в ней имеется простой левый идеал / размерности 21.
Тем самым возникает неприводимое представление SpinBi+l,C),
которое называется спинорным представлением.
Если же п = 2/, то алгебра Сп проста, и поэтому имеется пред-
представление SpinB/,C) в левом идеале J размерности 21, состоя-
состоящем из всех матриц, в котором все столбцы, начиная со второго,
являются нулевыми. В этом случае снова возникает спинорное
представление, но оно приводимо и разлагается в прямую сумму
двух подпредставлений — «четного» и «нечетного»:
J=(JnCjJ)©(JnC?).
Можно показать [19, гл. 4, § 1; предложение 2.4], что касатель-
касательное пространство Т$р[п(пС)(Е) вС^к единичной матрице совпа-
совпадает с линейной оболочкой всех элементов е\е^ г < j. Подробнее
с алгебрами Клиффорда и их приложениями можно познако-
познакомиться по [102].
Пусть p,q — неотрицательные целые числа и п = р + q. За-
Зафиксируем в вещественном пространстве Rn базис ei, ... , еп.
Через СР)Я обозначим векторное пространство размерности 2П,
базис которого образуют специальные одночлены вида D.39).
Превратим СР}Я в ассоциативную вещественную алгебру, в кото-
которой правило умножения одночленов вида D.39) задается соотно-
соотношениями
257
ekej = ~ejek ПРИ
= f-1 при 1 ^ i ^ p,
\ 1 при р<г^п =
e2 = f-
\
Введем в V невырожденную билинейную функцию
v п
г=1 г=р+1
Тогда можно показать, что умножение в См обладает свой-
свойством хул-ух = /(я, у) для всех х,у € V. Как и в комплексном
случае, показывается, что имеется разложение Ср^ = C^q ф Срд
и можно по аналогии со Spin(n, С) рассмотреть соответствующую
спинорную группу Spin(p, q).
Введем важное понятие односвязной накрывающей группы
(односвязного накрытия), которое будет использоваться в опи-
описании представлений групп Ли.
Определение 4.7. Группа Ли G односвлзна, если в G
любой путь стягивается в точку.
ТЕОРЕМА 4.16. Любая связная группа Ли G имеет
вид G ~ G/N, где G — односвязная группа Ли, и N — ее
дискретный центральный нормальный делитель. Пара G, N
определена однозначно.
Напомним, что нормальный делитель N в группе G являет-
является центральным, если каждый элемент х е N лежит в центре
группы G, т. е. gxg~l = х для всех g ? G.
Определение 4.8. Группа G называется односвязным
накрытием G.
Приведем примеры односвязных групп и односвязных накры-
накрытий [17, гл. 1, § 4.4]. Односвязными являются следующие группы:
SL(n,C), SU(n,C), Spin(n,C).
Имеются следующие односвязные накрытия:
1) R->UA,C)=U;
2) SLB,C)->SOC,C);
3) SUB,C)->SOC,R);
4) SLB,C) x SLB,C) -¦ SOD,C);
5) SLD,C)-*SOF,C).
Выше также было показано, что односвязным накрытием яв-
является отображение Spin(n, С) —> SO(n,C). При этом, в силу един-
единственности накрытия, имеем SpinC, С) ~ SLB,C), SpinD,C) ^
~ SLB,C) х SLB,C), SpinF,C) ~ SLD,C). Итак, любому дву-
двузначному представлению группы SO(n,R) с заданным полуце-
258
лым индексом соответствует некоторое однозначное представ-
представление группы Spin(n,R) с нечетным индексом, а (однозначные)
представления Spin(n,R) с четными индексами соответствуют од-
однозначным представлениям SO(n, R) с целыми индексами. На
этом основании, например, тензорные и спинорные представле-
представления ?>(•?) группы SOC, R) в физических приложениях рассматри-
рассматриваются как равноправные.
В заключение приведем описание коммутативных групп Ли
[17, гл.2, §2.7]. Каждая связная вещественная абелева группа
Ли изоморфна прямому произведению Um х jR* ,рля некоторых
целых неотрицательных чисел га, t. Каждая комплексная абеле-
абелева связная группа Ли изоморфна одной из групп С, С*, C/(Z+
+Zu), где и € С, причем мнимая часть и положительна.
Кроме того, приведем теорему о строении разрешимых связ-
связных подгрупп в группе GL(ra,C). Дадим определение разреши-
разрешимой группы G (см. далее определение 6.1). Рассмотрим в G ряд
коммутантов С, G" = (С)'. • • • > G(m) = (С*™))'. Группа G назы-
называется разрешимой, если найдется такое натуральное число га,
что б?(т) является единичной группой. Обозначим Т(п,С) мно-
множество всех верхнетреугольных матриц, т. е. всех матриц вида
\
U B22 • • • a2,n-l a2n
О 0 ... О апп )
Можно показать, что Т(п, С) является разрешимой подгруп-
подгруппой в GL(n,C). Ясно также, что если G — разрешимая подгруп-
подгруппа в GL(n,C), то и сопряженная с ней подгруппа AGA~l, где
A g GL(n,C), также является разрешимой. Следующая теорема,
по существу, утверждает, что верно и обратное соотношение.
ТЕОРЕМА 4.17 (теорема Колчина—Ли). Предполо-
Предположим, что G — подгруппа в группе GL(n,C), причем выпол-
выполнено одно из условий:
1) если д € G, то д - 1 — нильпотентная матрица, т. е.
(д - 1)т = 0 для некоторого натурального числа ш;
2) G — связная линейная подгруппа в группе GL(n,C).
Тогда существует такая матрица А е GL(n,C), что AGA
состоит из верхнетреугольных матриц, т. е. AGA~l С Т(п, С)
[81, с. 28, 78, с. 60].
Разрешимые и нильпотентные группы подробнее рассмотре-
рассмотрены в гл. 6.
259
4.6. АЛГЕБРЫ ЛИ
При рассмотрении линейных групп Ли G в подразд. 4.1 у
нас возникали касательные пространства Tq{E), состоящие из
специальных матриц. В теореме 4.4 было показано, что Tq(E)
является алгеброй Ли относительно нового умножения матриц
[]
Напомним, что алгеброй Ли L называют неассоциативную ал-
алгебру с умножением [ж,у], удовлетворяющую тождествам:
Примерами алгебр Ли являются:
1) алгебра А(~), получаемая из ассоциативной алгебры А, в
которой вместо ассоциативного умножения рассматривается но-
новое умножение
[х,у] = ху-ух; D.43)
здесь символ А(~) отражает введение нового умножения D.43);
2) трехмерное вещественное пространство R3, где в качестве
умножения [х, у] берется векторное произведение х х у.
Пусть А — произвольная алгебра. Линейный оператор D на
А называется дифференцированием, если D(xy) = D(x)y + xD(y).
Через Der(A) обозначается множество всех дифференцирований
алгебры А.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.13. Пусть ?(А) — алгебра всех
линейных операторов на алгебре А. Тогда Der(A) являет-
является подалгеброй Ли в алгебре Ли всех линейных операторов
?(А)Н на А.
Доказательство. Нужно показать, что если
d\,d2 ? Der А, то [di,d2J -d\d2-d2d\ E DerA. Рассмотрим для
этого произвольные элементы х,у ? А и применим [dbcfo] K
произведению операторов ху. Получаем
[d\,d2](xy) =
= di (d2(x)y + xd2(y)) -d2 (di
= ((did2)(x))y + d2(x)di(y)+di(x)d2(y)+x((did2)y)-
- ((d2di)(x)) у - di(x)d2(y) - d2(x)di (y) - x ((d2di)y) =
= ((did2)(x)) у + x ((did2)y) - ((d2di)(x)) у - x
т.е. [di,d2] действительно является дифференцированием.
260
Упражнение 4.11. Доказать ряд утверждений.
1. Пусть / — квадратичная форма на п-мер ном вещественном (ком-
(комплексном) пространстве V. Обозначим o(n,f) множество всех кососим-
метричных относительно / линейных операторов в V, т. е. множество
всех таких линейных операторов б в V, что f(Qx,y) = -f(x,?y). Дока-
Доказать, что о(п, /) — подалгебра Ли в L(V)(~\ где L(V) — ассоциативная
алгебра всех линейных операторов в V.
2. Пусть / — полуторалинейная эрмитова форма на n-мерном ком-
комплексном пространстве Сп. Обозначим su(n,/) множество всех косо-
симметричных относительно / линейных операторов в Сп, т.е. множе-
множество всех таких линейных операторов Л в Сп, что f(Ax,y) = -f(x,Ay).
Доказать, что su(n,/) — подалгебра Ли в MatBn,R)^.
3. В алгебре Ли slB,R) (в stB,C)) рассмотрим базис Я = Ец -Е22,
X = Е\2, У = #21, где Eij — матричные единицы (см. подразд. 4.1).
Доказать, что
[Х,У] = Я, [Я,Х] = 2Х, [Я,У]=-2У. D.44)
Т Е О Р Е М А 4.18. Алгебра Ли slB, R) (соответственно,
slB,C)) проста.
Ранее в качестве примера алгебры Ли было указано трехмер-
трехмерное векторное пространство R3, где в качестве умножения вы-
выбрано векторное произведение [ж, у] = х х у. Выберем в R3 ор-
тонормированный базис ei,ei,e2, тогда [ei,e2] = ез, [в2,ез] = ei,
[ез»ех] = е2- Можно показать, что и эта алгебра Ли проста.
4.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
Аналогом конечных групп в теории групп Ли являются ком-
компактные группы. Напомним, что линейная группа Ли G С GL(n, С)
(либо G С GL(n,R)) компактна, если элементы всех матриц из G
ограничены. Примерами компактных линейных групп Ли явля-
являются группа ортогональных матриц O(n, R), группа унитарных
матриц U(n,C) и их подгруппы Ли. Линейная группа Ли полу-
полупроста, если в ней нет неединичных связных нормальных абеле-
вых подгрупп. Примерами полупростых групп являются группы
SL(n,C), SU(n,C), SOC,R). В этом разделе под линейной группой
мы будем понимать компактную связную (но не обязательно од-
носвязную) полупростую линейную группу Ли.
Определим аналог скалярного произведения в непрерывной
группе.
ТЕОРЕМА 4.19. На компактной линейной группе
Ли существует такой единственный интеграл $Qf(g)dg, что
для любых аналитических функций /, h на G и скаляров а, C
выполнены равенства
261
3) Ы
4) IGf(g)dg = $Gf{g-l)dg = jGf(gx)dg = jGf{xg)dg, если
xGG [10, §6.2].
Как и в теореме 3.1, получаем, что справедливо следствие.
СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть задано представление
ф : G —> GL(V) группы G в конечномерном комплексном
пространстве V с произвольным скалярным произведением
(х,у). По аналогии с формулой C.3) ведем в V новое ска-
скалярное произведение
=
(
Тогда каждый оператор ф(Л), h e G является унитарным
относительного нового скалярного произведения.
Таким образом, для компактных линейных групп Ли спра-
справедлив аналог теоремы Машке (подразд. 3.2).
СЛЕДСТВИЕ 2. Любое конечномерное представ-
представление компактной группы Ли вполне приводимо.
Согласно теореме 3.7 любое неприводимое представление ко-
конечной группы всегда конечномерно. Обобщением этого резуль-
результата является теорема 4.20.
ТЕОРЕМА 4.20. Каждое неприводимое комплексное
представление компактной группы Ли конечномерно.
Кроме того, можно показать, что неприводимые представле-
представления связных абелевых компактных групп одномерны.
С теорией характеров представлений групп Ли можно позна-
познакомиться в [10, §7; 16, гл. 3, §2]. Отметим, что для представле-
представлений компактной группы Ли справедливы основные результаты
гл. 3, сформулированные для конечных групп.
Напомним, что подгруппы #ь #2 в группе G сопряжены, если
существует такой элемент д е G, что дН\д~1 = #2. Это означает,
что #2 совпадает с множеством всех элементов вида ghg~l, где
heHv
Из следствия I теоремы 4.19 вытекает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.21. Группа всех унитарных матриц
U(n,C) является максимальной компактной подгруппой в
GL(n,C). Любая другая максимальная компактная подгруп-
подгруппа в GL(n,C) сопряжена с U(n,C).
262
Группа всех ортогональных матриц O(n, R) является мак-
максимальной компактной подгруппой в GL(n, R). Любая дру-
другая максимальная компактная подгруппа в GL(n, R) сопря-
сопряжена с O(n,R).
Остановимся на представлениях одного важного специально-
специального класса групп Ли.
Определение 4.9. Максимальным тором в группе Ли G
называется максимальная связная коммутативная подгруппа Ли.
Если G — комплексная линейная группа, то можно пока-
показать, что максимальный тор является прямым произведением
групп С*. В частности, для двумерных комплексных групп мак-
максимальным тором является С* х С* (рис. 4.8).
Приведем примеры максимальных торов для ряда групп:
• в GL(n, С) максимальным тором является подгруппа диаго-
диагональных матриц D(n,C) ~ С* х ¦ • ¦ х С*;
п раз
• в SL(n, С) максимальным тором является подгруппа D(n, С)П
nSL(n,C) диагональных матриц с определителем 1.
В группе G максимальный тор не является единственным.
ТЕОРЕМА 4.22. Все максимальные торы в связной
комплексной линейной группе сопряжены [16, гл.1, §9].
Важную роль в теории представлении линейных групп иг-
играют разрешимые группы, определение которых приведено в
подразд. 4.5 (см. также определение 6.1). Подгруппой Бореля на-
называется максимальная связная разрешимая подгруппа Ли В в
группе Ли G.
Заметим, что В содержит максимальный тор Я. Примером
подгруппы Бореля в группе GL(n, С) является подгруппа Г(п, С)
всех верхнетреугольных матриц.
ТЕОРЕМА 4.23 (теорема Морозова, Бореля). Все
подгруппы Бореля В связной комплексной группы Ли G со-
сопряжены между собой в G.
Аналогично примерам к определению 4.8, если G — одна из
групп SL(n, С), SU(n, С), SO(n, С), то В = Т(п, С) П G.
Рис. 4.8. Поверхность тора U x U
263
Определение 4.10. Пусть ф : G —> GL(n,С) — комплекс-
комплексное представление группы Ли G. Для произвольного гомомор-
гомоморфизма % : G —> С* через V% обозначим подпространство, состоя-
состоящее из всех таких векторов v е V, что ty(g)v = x(g)v Для любого
д ? G. Ненулевое подпространство V% называется весовым, нену-
ненулевые векторы из Vjc — весовыми, а функция % (аналог характера
представления для бесконечной группы) в этом случае называ-
называется весом.
Другими словами, каждый весовой вектор v является соб-
собственным для каждого линейного оператора ф(р), д е G с соб-
собственным значением %(#). Например, рассмотрим тождественное
представление группы верхнетреугольных матриц G = Т(п, С),
когда каждой матрице из этой группы сопоставляется эта же
матрица. Тогда первый базисный вектор е\ является единствен-
единственным собственным вектором для каждой матрицы из G = Т(п,С).
Заметим, что если
(а\\ а\2 ... aijTl_i a\ny
0 B22 •«• &2 га-1
9 =
0 0 ... 0 апп>
то де\ = а\\в\. Поэтому х(д) = аи-
Если Я — максимальный тор в G, то Я является компактной
абелевой группой. Следовательно, все ее неприводимые пред-
представления одномерны. Поэтому, если задано конечномерное пред-
представление ф : G —> СЦК) связной компактной группы Ли G с мак-
максимальным тором Я, то V = ^(Я)Ф• • • Фty,(#), гДе А«ь...,А* —
веса представления ф, а ^.(Я) — соответствующие весовые под-
подпространства.
Например, пусть G — групппа унитарных матриц U(n,C). То-
Тогда в качестве Я можно взять подгруппу всех диагональных
матриц, принадлежащих U(n,C). Это означает, что Я состоит
из всех матриц д вида
Хг 0
о х2
\о о ...
где каждое комплексное число Xj имеет модуль, равный 1. Груп-
Группа U(n, С) является группой линейных операторов в эрмитовом
пространстве V = Сп с базисом ei, ..., еп. Можно показать, что
каждый вектор ej весовой с весом Xj. Поэтому V = V\x ф • • • 0 Vxn-
Определение 4.11. Весовой вектор v ? Vj \0 для Я на-
называется старшим, если для каждого элемента д е В найдется
264
такое число %д е С, что §(g)v = xgv. Функция д ь-> %р, д е В назы-
называется старшим весом.
Заметим, что старший вес является гомоморфизмом групп
х-.в^с*.
ТЕОРЕМА 4.24. Неприводимое конечномерное пред-
представление связной полупростой алгебраической группы G
однозначно, с точностью до эквивалентности, определяется
своим старшим весом [10, §7.2, теорема 1].
4.8. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
SUB,C), SOC,R), SOD,R)
Применим рассмотренные соотношения к описанию непри-
неприводимых представлений компактных групп SUB,C) и SOC,R).
Укажем сначала серию неприводимых представлений группы
SLB,C) [81, с. 50 — 51]. Имеется естественное комплексное непри-
неприводимое представление Фп группы SLB, С) в пространстве Рп од-
однородных комплексных многочленов от X, Y степени п, а именно
матрицы
Л=(с 5)'
действующие на пространстве Рп как операторы замены пере-
переменных, Другими словами, результат действия такой матрицы
на однородный многочлен Aof(X, Y) = f(aX + cY,bX+dY) (знак о
отвечает действию матрицы В на переменные {X,Y) в много-
многочлене).
Борелевская подгруппа группы SUB, С) состоит из всех верх-
верхнетреугольных матриц
Старшим вектором этого представления является Хп, так как
Легко видеть, что в представлении Фп группы SLB,C) мат-
матрица -Е действует тождественно, если п — четная степень. Сле-
Следовательно, при четном п = 2fc в силу теоремы 4.13 получается
неприводимое комплексное представление группы
SOC,C) ~ SLB,C)/{±?} - SO+A,3)
степени 2fc + l.
265
Рассмотрим ограничение представления Фп группы SLB,C)
на подгруппу SUB,C). Напомним, что подгруппа SUB,C) в груп-
группе SLB, С) состоит из всех матриц вида
а -Ь
где а, Ь е С, причем \а\2 + \Ь\2 = 1.
Определим представление Фп группы SUB,C) в простран-
пространстве Рп как ограничение представления Фп группы SLB,C) в Рп
на подгруппу SUB,C). Получается неприводимое представление
группы SUB,C) со старшим вектором Хп. Действительно, ее под-
подгруппа Бореля В = SUB, С) П ТB, С) состоит из всех матриц
,0 а)'
в которых а е С, и \а\ = 1, поэтому
(а 0\
[О а)
При четном п = 2к получается неприводимое комплексное
представление SOC,R) степени 2fc + l.
ТЕОРЕМА 4.25. Любое неприводимое представле-
представление группы SUB,C) эквивалентно представлению Фп на Рп.
Любое неприводимое представление группы SOC,M) экви-
эквивалентно представлению Ф2к на P<ik- При разных п и 2fc по-
получаются неэквивалентные представления групп SUB,C) и
SOC,M).
Представление Фп группы SOC,R) можно описать и в других
терминах. Пусть Нп — пространство всех однородных комплекс-
комплексных многочленов / степени п от трех переменных я, у, z, удовле-
удовлетворяющих дифференциальному уравнению
где
А = — — —
Действие SOC,M) индуцировано естественным действием на
координатах трехмерных векторов, т. е. матрица А е SOC,R) пе-
(х\
реводит вектор со столбцом координат у I в ортонормирован-
266
ном базисе в вектор, столбец координат которого в этом же ба-
зисе равен А I у . Это представление имеет размерность 2п +1
W
над С [47], и оно эквивалентно представлению в Рп. Таким обра-
образом, получаются все неприводимые представления SOC,R), т.е.
в строгом математическом смысле они исчерпываются представ-
представлениями ?>(•?) из подразд. 4.3 с целочисленными индексами j. Яв-
Явный вид матриц указанных неприводимых представлений групп
SOC,R) и SUB,C) приведен в [1, §3.7].
Опишем теперь неприводимые представления компактной
группы SOD, R). По теореме 4.15 имеется сюръективный гомо-
гомоморфизм групп
/ : SUB,C) х SUB,C) -> SOD,R), ker /={(?,?), (-?,-?)}.
Таким образом, для описания неприводимых представлений
группы SOD,R) нужно брать те неприводимые представления
группы SUB,C) х SUB,C), в которых (-Е) ® (-Е) действует тож-
тождественным образом. В силу теоремы 3.15, которая верна и для
компактных групп, каждое неприводимое представление группы
SUB,C) х SUB,C) совпадает с представлением Фп ® Фт на про-
пространстве Рп ® Рт, где Фп,Фт — неприводимые представления
группы SUB,C) на указанных выше пространствах многочленов
Рп,Рт. Тогда результат действия пары матриц
(?
? ?)*(* t)€SUB'C)xSUB'C)' D.45)
на многочлен
ДХ, Y) ® g(Z, Т)еРп® Рш D.46)
равен
f(aX + 6У,-ЬХ + aY) ® g(cZ + dT,~dZ + ST). D.47)
В частности, результат применения (-Е) ® (-Е) к D.46)
f(-X, -Y) ® g(-Z, -Т) = (-l)n+m/(X, У) ® g(Z, Г).
Следовательно, для того чтобы получалось неприводимое
представление группы SOD,R), необходимо и достаточно, чтобы
п + m было четным числом. Отметим, что пространство Рп ® Рт
совпадает с пространством Рп,т многочленов от четырех пере-
переменных X, У, Z, Т, однородных по X, Y степени п и однородных
по Z, Г степени т. Итак, справедлива следующая теорема.
267
ТЕОРЕМА 4.26. Пусть Pn?m — пространство много-
многочленов от четырех переменных ЛГ, У, Z, Г, однородных по
X, Y степени п и однородных по Z, Т степени га, причем
п + га четно. Тогда D.45) — D.47) задают (п + 1)(га + 1)-
мерное неприводимое представление группы SOD, R). Об-
Обратно, каждое неприводимое представление SOD,M) имеет
указанный вид. При разных наборах п, га эти представления
неэквивалентны.
Подробнее с неприводимыми представлениями других ком-
компактных групп можно также ознакомиться в [26]. Общий подход
к представлениям групп U(n,C), SU(n,C), связанный с рассмот-
рассмотрениями разбиений числа п, см. п. 3.11.
4.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП SLB, С) И 0A,3)
Конечномерные неприводимые представления групп GL(n, С)
описаны в п. 3.11. Можно показать, что ограничение каждого
неприводимого конечномерного представления группы GL(n,C)
на подгруппу SL(n, С) задает неприводимое конечномерное пред-
представление группы SL(n,C) и таким образом получаются все
неприводимые конечномерные представления этой группы [5,
гл.8]. Там же описаны конечномерные неприводимые ком-
комплексные представления групп U(n,C), O(n,R), SO(n,R), SO(p,g),
Sp(ra,n) из подразд. 1.7.
Опишем неприводимые, не обязательно конечномерные, пред-
представления групп SLB,C) и ОA,3), не являющихся компактными.
Начнем с конечномерных неприводимых представлений группы
SLB,C).
Рассмотрим векторное пространство RriS всех комплексных
многочленов p{z,t) от двух переменных z,z, где z — число, ком-
комплексно сопряженное к z, причем степень p(z, z) no z не больше г,
а степень по z не больше 5, где г, s e Z. Зададим на пространстве
RrjS представление $r,s группы SLB, С) по следующему правилу.
Если
то
ФгА9)\р^г)} =
D.49)
Построенное представление ФГM по аналогии с подразд. 4.5 на-
называется спипорпым. Так, если г = s = 1, то
268
ф
где и =
ТЕОРЕМА 4.27. Каждое спинорное представление
группы SLB,C) является неприводимым. Каждое неприво-
неприводимое конечномерное представление группы SLB,C) экви-
эквивалентно спинорному [67, с. 116 —120].
Упражнение 4.12. Какому спинорному представлению
эквивалентно представление группы SLB,C) из подразд. 4.8? Како-
Какому спинорному представлению эквивалентно конечномерное неприво-
неприводимое представление группы SLB,C), являющееся ограничением на
SLB,C) неприводимого представления группы GLB,C), связанного с
разбиением га = (mi, ... ,m^) (см. подразд. 3.11)?
Группа SLB,C) не является компактной, и для нее существу-
существуют также бесконечномерные неприводимые представления. При-
Приведем серию бесконечномерных неприводимых представлений
группы SLB,C), называемых основной серией. Рассмотрим про-
пространство ?2 (С) всех квадратично интегрируемых функций на
С, т. е. таких, для которых выполнено условие
\f{z)\4z < 00,
где для любой комплексной функции h(z), z = x + iy, имеем
[ h(z)dz = Г°° Г°° h(x, y)dxdy. D.50)
Jz J-00 J-00
В пространстве ?2 (С) имеется эрмитово скалярное произве-
произведение
(Л,/2)=[ h(z)f2(z)dz.
Jz
Пусть т е Z и р € С. Зададим в ?2(С) представление ФШ)Р
группы SLB,C) по следующему правилу. Если g из D.48), то
*т,рЫ [/(*)] =
(обобщение комплексного представления многочленов D.49) на
произвольные квадратично интегрируемые функции).
ТЕОРЕМА 4.28. Представление ФШ)Р неприводимо в
том смысле, что в ?2 (С) нет замкнутых ненулевых инвари-
инвариантных подпространств [67, с. 131].
269
Приведем другую эквивалентную реализацию введенно-
введенного представления Фт,р. Для этого рассмотрим пространство
?^(SLB,C)) всех измеримых функций / на SL(n,C) со следую-
следующими условиями:
1) для любых и е SLB,C) и со е R выполнено равенство
, [Yexp(-ico) 0 \ 1 ,. w, N
f[{ О exp(ico)J UJ = ехр(гтсо)/(п),
2) сходится интеграл
f \f(u)\2du < oo, D.52)
JSLB,C)
взятый по группе SLB,C).
Интеграл D.52) определен так же, как и в теореме 4.19, за
исключением условия 2). В данном случае он является аналогом
несобственного интеграла D.50).
В пространстве ??p(SLB,C)) зададим представление Фш?р по
следующему правилу:
^| D-53)
где для матрицы д € SLB, С) из D.48) имеем
D-54)
Можно показать, что это представление индуцировано пред-
представлением подгруппы ТB,С) всех верхнетреугольных матриц
из группы SLB,C).
Также можно показать, что представления ФШ)Р и Ф-т,-р уни-
унитарно эквивалентны [67, с. 145]. Это означает наличие унитар-
унитарного оператора ? : ??p(SLB,C)) -> ?^m(SLB,C)), задающего экви-
эквивалентность представлений в с соответствии определением 3.1.
В [67, с. 205 —211] введено понятие вполне неприводимого
представления, обобщающего на бесконечномерный случай по-
понятие неприводимого представления. Отмечается, что конечно-
конечномерное неприводимое представление всегда вполне неприводимо.
ТЕОРЕМА 4.29. Всякое вполне неприводимое пред-
представление группы SLB,C) задается парой чисел (т, р), где
т — целое число, определяющее пространство представле-
представления, р — комплексное число, определяющее вместе с т вид
представления. Если р2 т^-(|т|+2пJ для любого натурально-
натурального числа п, то вполне неприводимое представление группы
270
SLB,C) изоморфно введенному выше представлению Фш,р-
Если р2 = -(|m| + 2nJ для некоторого натурального числа п,
то представление изоморфно спинорному конечномерному
представлению <?r?s, где
—f4-
Представления, соответствующие парам (т, р) и (-т,-р),
унитарно эквивалентны [67, с. 251, 252].
Приступим теперь к описанию неприводимых представлений
группы Лоренца ОA,3). Согласно теореме 4.14, имеется изомор-
изоморфизм групп SLB,C)/{±?} ~ SO+A,3). Поэтому неприводимые
представления группы SO+A,3) получаются из тех неприводи-
неприводимых представлений группы SLB,C), указанных в теореме 4.29, в
которых матрица -Е действует тождественно.
Упражнение 4.13. Найти неприводимые представления Фт,р
и Фг,в, в которых матрица -Е действует тождественно.
Как отмечено в упражнении 1.23 и примере 4) на с. 51, име-
имеются разложения
ОA,3) = SO+A,3) X «5>2 х (*J) = О+A,3) х О'>2,
O+A,3) = SO+A,3)XE>2,
где j = st = -E и s,t из A.17), т. е.
s =
(I
0
о
0
-1
0
0
0
0
-1
0
о t.
oh '"
-V
r1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
D.55)
Поэтому мы расширим все неприводимые представления группы
SO+A,3) до неприводимых представлений группы О+A,3), а за-
затем воспользуемся следствием из теоремы 3.15. Приведем окон-
окончательный результат.
Рассмотрим пространство ?2(SLB,C)) всех измеримых функ-
функций / на SLB,C) с условием D.52), причем f(yu) = f(u) для всех
матриц
/ехр(-га))
r ^ 0 ехр(у
Если р € С — комплексное число, причем р -=f -An2, n € Z,
то определим представление 0Р группы SLB,C) в C^{SL{2^ С)) по
следующему правилу. Если д из D.48), то
0 \
(гш)у '
271
где а(д) = |<222|гр 2 (см. D.53)). Другими словами, мы рассмат-
рассматриваем представление Фо,р- Доопределим 0p(s) для матрицы s,
полагая
где ? = ±1. Соответственно получаются два бесконечномерных
неприводимых представления Djp и Щр ГРУППЫ О+A,3). Можно
показать, что эти представления вполне неприводимы.
Если р = -An2 для некоторого натурального числа п, то в ка-
качестве представлений Dqp и Dqp группы О+A,3) возьмем (г + 1)-
мерные спинорные представления Фг?г группы SLB,C) на про-
странстве Яг>г, где га=Оиг=з= + 1, см. теорему 4.27.
Рассмотрим теперь представление ФШ}о группы S0+(l,3) в
пространствах CcfCU) и C^CU). Эти представления эквивалент-
эквивалентны, т. е. существует изоморфизм пространств WiC^iU) ->C™(U),
при котором Wty-mflW = Фт?о- Зададим для матрицы s из
D.55) оператор Ф(з) в пространстве OpiU) по правилу
(), если m четное ;
к== ^
если m нечетное.
В результате получается представление Din 0 группы О+A,3)
в пространстве C^iU). Аналогично строится представление Din 0
группы О+A,3) в пространстве ^((У), если положить
Пусть v — полуцелое положительное число и р — ненуле-
ненулевое комплексное число. Положим т = 2v € Z. В пространстве
C™(U) ф?^ш(!7), состоящем из пар функций {fi(uIf2(u)}1 опре-
определим оператор S по правилу
Получающееся представление группы О+A,3) в пространстве
при котором s ь-> 5, обозначается ?>v,p- Для получения непри-
неприводимого представления группы Лоренца O(l,3) = O+(l,3) x ()
272
см. пример на с. 50, случай 4), во всех случаях воспользуемся
следствием на с. 181 (гл. 3) и доопределим действие центральной
симметрии j как ±Е.
ТЕОРЕМА 4.30. Каждое вполне неприводимое пред-
представление группы Лоренца ©A,3) эквивалентно одному из
представлений D^ р, D^ р, D+ 0, ?>~ 0, Д,, р, где v — полу целое
положительное число, р —ненулевое комплексное число.
Все эти представления попарно неэквивалентны [67, гл. 3,
§16.7].
Опишем теперь все неприводимые комплексные представле-
представления группы Пуанкаре РA,3). Напомним, что группа УA,3) со-
состоит из всех аффинных преобразований пространства Минков-
ского МA,3) вида х ь-> а(ж)+а, где а е ОA,3). Таким образом, эта
группа изоморфна полупрямому произведению УA,3) ~ МA,3)Х
ХОA,3), где каждый вектор а из пространства МA,3) отождеств-
отождествляется со сдвигом (трансляцией) х *-* х + а. Как отмечено в [26,
гл. III, §6.7], при любом конечномерном представлении груп-
группы РA,3) подгруппа трансляций МA,3) действует тождественно
(т. е. не участвует). Поэтому представление в данном случае сво-
сводится к конечномерному представлению группы Лоренца ОA,3).
Рассмотрим бесконечномерные представления группы Пуан-
Пуанкаре. Для простоты приведем описание неприводимых представ-
представления группы ^++A,3) ~ M(l,3) XSO+A,3). Таким образом, каж-
каждый элемент из группы ?++A,3) можно отождествить с парой
(а, а), где а € МA,3), а G SO+A,3). Можно показать, что каждое
из перечисленных множеств инвариантно относительно опера-
операций группы SO+A,3):
1) поверхность Яет, е = ±1, состоящая из всех точек
Р= (Р0,Р1,Р2,Рз) € МA,3) D.56)
с условием Pq -р\ -р\ -р§ = fc2, к > 0;
2) поверхность К±\, состоящая из всех точек D.56) с условием
Ро-Р1-Р2-Рз = °> РОт^О;
3) поверхность Г*., состоящая из всех точек D.56) с условием
4) точку 0^@,0,0,0).
Для первого случая рассмотрим неприводимое представление
Фп группы SO+A,3) в пространстве Рп всех комплексных одно-
однородных многочленов степени п от двух переменных Х,У. Обо-
273
значим через ?2(#em,Pn) гильбертово пространство* квадратич-
квадратично интегрируемых функций / на #ет, принимающих значения
в Рп. Зададим представление Фт,п,е группы ?++A,3) в простран-
пространстве ?2(#?m,Pn) по правилу
(а,а))] f(p) =exp i^Pjaj Фп [а6(р)аа^(ра)] /(ра),
где p,aG МA,3), а € SO+A,3), / е ?2(Яет,Рп), причем
(Ро Pi Р2 Рз \
Pi I +pf A+Р0Г1 PiP2(l +Р0Г1 Р1РзA +Р0)
V2 Р2Р1A+РоГ1 l+plCl+Por1 РгРзСХ+РоГ1
РЗ P3Pl(l+P0) l РЗР2A+Р0Г1
Представления, соответствующие остальным поверхностям
к и 0> описаны в [26, гл.3, §6.7].
Упражнение 4.14. Представлением какой группы в Рп инду-
индуцировано представление Фт,п,е?
Контрольные вопросы
1. Доказать, что представление Фп группы SUB,C) из подразд. 4.8
в пространстве однородных многочленов Рп неприводимо.
2. Пусть Ш — тело кватернионов. Доказать, что оно является ев-
евклидовым пространством относительно скалярного произведения, при
котором (г, z) = det z. Будет ил базис A, /, J, К) ортонормированным от-
относительно этого скалярного произведения?
3. Пусть Но — множество кватернионов с нулевым следом. Дока-
Доказать, что отображение Р(А)Х = АХЛ~1,Х е Но задает вещественное
представление А ь-* Р(А) группы SUB,C). Доказать, что образ Р сов-
совпадает с группой всех ортогональных преобразований Но с определи-
определителем, равным 1.
4. Будет ли алгебра Ли ЕГ простой?
5. Доказать, что все матрицы с нулевым следом образуют идеал в
алгебре Ли Mat(n,C)^.
6. Доказать, что все квадратичные матрицы размера п с четными
коэффициентами образуют идеал в алгебре всех матриц размера п с
целыми коэффициентами.
7. Найти инфинитезимальные операторы и конечномерные непри-
неприводимые представления группы 0A,2).
Гильбертовым называют бесконечномерное вещественное или комплексное
пространство со скалярным произведением и рядом дополнительных усло-
условий. В данном случае скалярное произведение функций /,<;, имеет вид
ГЛАВА5
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
В ФИЗИКЕ И ХИМИИ
Рассмотрены стандартные приложения теории групп в
физических и химических задачах. Кратко изложены ал-
алгебраический формализм классической и квантовой меха-
механики, примеры правил отбора по симметрии в молекуляр-
молекулярной спектроскопии и квантовой химии. Обсуждаются зон-
зонная структура и спектры кристаллов, фазовые переходы
2-го рода и другие свойства твердых тел, обусловленные
трансляционной симметрией, а также использование групп
вращений и групп перестановок в описании линейных моле-
молекул, атомов и атомных ядер. Показана связь инвариантных
характеристик элементарных частиц, в частности спина, с
представлениями групп Лоренца и Пуанкаре.
5.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
МЕХАНИКИ
Описание классической механической системы основано на
зависимостях от времени t ее п (обобщенных) координат q = {
с наложенными связями
Возможным состояниям системы (например, совокупности
взаимодействующих классических частиц, или материальных
точек) отвечают области (п+1)-мерного пространства Vqj непре-
непрерывных переменных {gi,...,gn>*}j в котором определены функ-
функции состояния, такие как функция Лагранжа L и Гамильто-
Гамильтона Я*:
E.1)
* Дифференцирование по времени в механике часто обозначают точкой над бук-
буквой: vx = dx/dt = х.
275
где q = {dqi/di} — обобщенные скорости; р = {dT/dqi} — обобщен-
обобщенные импульсы*; T(q,q), U(q) — соответственно кинетическая и
потенциальная энергия в консервативных системах**.
В нерелятивистской классической механике все инерциаль-
ные (т. е. связанные соотношением q'(t) = q(t) + vqqd, где
vqqf = const) системы координат эквивалентны, а сами координа-
координаты q(t) и скорости q(t) — гладкие (непрерывно дифференцируе-
дифференцируемые) функции независимого параметра t. Таким образом, про-
пространство переменных в классической механике:
Vq,t = Vq®Vu E.2)
где Vq ~ Е(п) — n-мерное евклидово пространство координат
(конфигурационное пространство)] Vt ~ R1 — ортогональная ему
координата времени; все преобразования Vq^t действуют только
в Vq, не затрагивая «абсолютного» времени t.
В релятивистской механике при сохранении эквивалентности
всех инерциальных систем координат скорости сц ограничены
сверху значением с ^ \q\ (скоростью света), отчего простран-
пространство Vq,t приобретает неевклидову метрику и в нем появляются
преобразования, «перемешивающие» q и t (см. подразд. 4.3).
В нерелятивистской квантовой механике пространство VQit
сохраняет структуру прямой суммы пространств E.2), однако
функции q(t),p(t) уже отнюдь не гладкие, так как квантовые
частицы не имеют определенных траекторий, и их движение
в конфигурационном пространстве «размыто» флуктуациями
Aq(t), Др(*)[52,т.3,с.17].
Положение и скорость каждой частицы в момент вре-
времени t можно предсказать лишь с некоторой вероятностью
О ^ P(q,q,t) ^ ^ 1 — последняя распределена в конфигураци-
конфигурационном пространстве уже непрерывно. Поэтому состояния кван-
квантовых систем описывают не их координатами q и импульса-
импульсами р, а непрерывными комплексными волновыми функциями
^(qi,•••iQnit) или Ф(р1,...,Рп,0? квадраты модулей которых Ф*Ф
(Ф*Ф) полагают равными плотностям вероятности соответству-
соответствующих значений q(p).
Наконец, в релятивистской квантовой механике, являющей-
являющейся частью квантовой теории поля, «квантовые» аргументы {q, i]
бесконечного набора волновых (либо полевых) функций заданы
в «релятивистском» неевклидовом пространстве Vq^
*В разделах механики, основанных на гамильтоновом формализме, вместо обоб-
обобщенных скоростей {qi) обычно используют обобщенные импульсы {pi}. Для про-
простейшего случая материальной точки pi = m<ji, где qi - я, у, z и т — масса.
**В ряде систем (например, при движении заряда в магнитном поле)
U = U(q,q).
276
Таким образом, нерелятивистское приближение отделимости
времени t от пространства обобщенных координат Vq выполня-
выполняется при \q\ « с, где с — предельная скорость, а классическое
приближение непрерывности q(t) — при Aq << D, где D — харак-
характерный масштаб координат рассматриваемой системы, a Aq —-
размеры их флуктуации.
Далее мы будем называть классическими как релятивист-
релятивистские, так и нерелятивистские механические системы, в которых
заданы непрерывные функции (/(?),
5.1.1. Классическая механика
Обобщенные координаты q и обобщенные скорости q в п-мер-
ном конфигурационном пространстве классической механики Vq
связаны в систему п линейных дифференциальных уравнений
2-го порядка — уравнений Лагранжа
dtdqi 8« ' *-1'2-'п' {Ь'6)
где L — функция Лагранжа из E.1).
Решениями E.3) являются траектории q(t) e Vq(&Vt. Рассмат-
Рассматривая обобщенные импульсы р как независимые переменные,
можно представить множество состояний классической системы
по-другому — непрерывными траекториями p{q,t) в 2п-мерном
фазовом пространстве Vgp. Функции p(q, t) являются решени-
решениями системы 2п линейных дифференциальных уравнений 1-го
порядка — уравнений Гамильтона
эквивалентной уравнениям Лагранжа E.3). В системе E.4) {} —
скобки Пуассона (см. далее).
Вид функций E.1) и уравнений E.3, 5.4) определяется сим-
симметрией пространств Vq и Vqp. Так, например, симметрию трех-
трехмерного конфигурационного пространства для движущейся ма-
материальной точки описывает группа Евклида ?C) (см. под-
разд. 4.3), неприводимыми представлениями которой задаются
законы сохранения импульса и кинетической энергии (однород-
(однородность пространства), а также момента импульса относительно
277
произвольной точки (изотропность пространства). При движе-
движении классической частицы в поле неподвижного центра, кото-
которому соответствует группа ОC,М) с ?C), сохраняются момент
импульса частицы относительно этого центра и ее полная энер-
энергия Г + U.
Дифференциальные соотношения E.4) задают в фазовом
пространстве V'qv алгебру инфинитезимальных операторов, по-
порожденную группой Ли пространства координат G(Vq): с лиев-
ским умножением [х,у] (х,у Е ^Ъ(д))- Эта вещественная алгебра
содержит (всюду плотно) алгебру Вейля An(R) с коммутацион-
коммутационными соотношениями D.32) (см. подразд. 4.4). В роли лиевской
операции в классической механике выступают скобки Пуассона
физических величин А и В:
8АдВ\ f
E'5)
Выбирая в D.36) в качестве дифференциального оператора F
функцию Гамильтона E.1), можно преобразовать уравнения Га-
Гамильтона из гл. 4 к виду E.4). Производная любой непрерывной
функции координат и импульсов /(р, q, t) от времени есть
1-%НН,!У E.6)
Если р и q явно не зависят от времени, из E.6) можно вывести
канонические уравнения Гамильтона классической механики:
дН . ЭН
EJ)
Заметим, что координата qi и импульс р^, сопряженные по
E.5)
{PuQj} = &ij
(см. D.32)), в классической механике могут быть измерены од-
одновременно с любой точностью, поскольку Pi(t),qi(t) — гладкие
функции, a t — независимый параметр. Это обстоятельство соот-
соответствует детерминированности классического движения. Так,
положение материальной точки в момент времени to + 8t с точ-
точностью до бесконечно малых высшего порядка определяется по-
положением и скоростью, измеренными в момент to:
q(t0 + Ы) = q(t0) + q(tO)St + oEt). E.8)
278
5.1.2. Релятивистская механика
В классической релятивистской механике используются под-
подалгебры алгебры so(l,n), в свою очередь представляющей част-
частный случай алгебры so(m, п) — т. е. касательного пространства
к группе SO(m,n), в котором заданы лиевское умножение [ж,у] и
неевклидова метрика:
т т+п
г=1 г=ш+1
Четырехмерному пространству Минковского МA,3), пред-
представляющему неевклидово пространство — время релятивист-
релятивистской механики, соответствует алгебра so(l,3).
Интервал между произвольными точками 1 и 2 в простран-
пространстве МA,3) равен
з2{х{1\х<Я) = (Ах0J - (АххJ - (Дх2J - (Ах3J = c2(AtJ - (A/J,
где хо = ct, (х!,Х2,хз) — декартовы координаты; Axi = х\ -х\ ',
Ы — расстояние между точками 1 и 2 в обычном трехмерном
пространстве.
Две точки в МA,3), называемые событиями, отстоят одна
от другой на времениподобный интервал, если s2 > 0, или на
пространственноподобный интервал, если s2 < 0.
Пространственноподобные и времениподобные области МA,3)
по отношению к событию 0 = @,0,0,0) (точке начала координат)
показаны на рис. 5.1, где трехмерное физическое пространство
(жьЖ2,жз) Условно обозначено одной его координатой Х{.
Области времениподобных и
пространственноподобных ин-
интервалов 52(х,0) разделены ги-
гиперповерхностью s2 = 0: све-
световым конусом, образованным
«светоподобными» точками (на-
(например, состояниями фотона,
распространяющегося со скоро-
скоростью с в трехмерном простран-
пространстве).
За пределами светового ко-
конуса находится связная про-
странственноподобная область рис. 5.1. Псевдоевклидово про-
пропасти которой на рис. 5.1 пе- странство —время релятивист-
реводятся одна в другую пово- ской механики (схема). Штрихо-
ротами в трехмерном простран- вые линии — граница светового
стве), а его внутренние области конуса Xi =±ct
1, 2, 3)
= cf
279
с хо > 0 (абсолютного будущего по отношению к точке 0) и хо < 0
(абсолютного прошлого) времениподобны и разделены выколо-
выколотой точкой начала координат @,0,0,0) (см. подразд. 4.8).
Классическому материальному объекту, движущемуся из
точки 0 со скоростью v < с, в пространстве Минковского от-
отвечает непрерывная «траектория» (мировая линия), лежащая
целиком во времениподобной области. Из-за ограничения v ^ с
причинно-следственные связи могут существовать только меж-
между событиями, разделенными времениподобным интервалом.
Координатную форму интервала s2 в пространстве МA,3) за-
задает метрический тензор 2-го ранга
Физическим величинам A(r,t) в МA,3) в общем случае соот-
соответствуют 4-мерные тензоры и спиноры. Учитывая неевклидо-
неевклидову метрику МA,3), скалярное произведение двух 4-мерных тен-
тензоров 1-го ранга D-векторов) записывают как сумму произве-
произведений компонент ковариантного 4-вектора {Ai} на компоненты
контравариантного* 4-вектора {В^}:
(Л, В) = А0В0 -АгВ!- А2В2 - А3В3 = QT) А% =
Знаки компонент этих векторов в общем случае связаны со-
соотношением gtjAj = Аг, что в данном случае дает
А0 = А°, Аг=-Аг, А2 = -А2, А3=-А3.
Знак суммирования по совпадающим индексам тензоров
обычно опускается.
Релятивистская ограниченность скорости передачи любых
взаимодействий между частицами vB3 < с равнозначна наличию
передающей материальной среды: поля— например, электромаг-
электромагнитного поля с 4-векторным потенциалом (ср, А) (где ср — скаляр-
скалярный электростатический, А = (Ax,Ay,Az) — векторный магнит-
магнитный потенциалы) и тензором напряженности
*Т. е компоненты, преобразуемые операциями группы Лоренца аналогично и
противоположно диагональным элементам метрического тензора g^v Компоненты
ковариантных векторов и тензоров преобразуются теми же матрицами (а^), что и
базисные векторы {е*}, а компоненты контравариантных — матрицами (o/i), об-
обратными к транспонированной матрице *(а^-). Для декартова базиса в евклидовом
пространстве ковариантные и контравариантные векторы совпадают, поскольку в
этом случае 1{а^) - (а^).
280
-1-Е,
\-Ey
\-Ex
Ex
0
Hz
-Ну
Ey
-Hz
0
Hx
Ez
Ну
-Hx
0
Пространство МA,3) релятивистских физических величин
инвариантно относительно операций группы Лоренца ОA,3):
поворотов и инверсии координат евклидова подпространства
ЕC) С МA,3), самих преобразований Лоренца (т.е. переходов
от одной инерциальной системы отсчета к другой) и инверсии
времени. Преобразованиям Лоренца, сохраняющим интервал s2,
отвечает движение по поверхности 4-мерного гиперболоида (на
рис. 5.1 — по ветви гиперболы) внутри светового конуса (см.
D.28)). Из этого геометрического образа можно вывести сокра-
сокращение расстояний и замедление времени в инерциальных систе-
системах, равномерно движущихся относительно выбранного начала
координат, а также недостижимость скорости света для объек-
объектов, точки состояний которых изначально находились внутри
светового конуса [64]. Напомним, что добавление к операциям
группы Лоренца ОA,3) трансляций на произвольный 4-вектор
х ? МA,3) преобразует ее в группу Пуанкаре УA,3), которая иг-
играет важную роль в квантовой релятивистской теории поля (см.
подразд. 5.5).
5.1.3. Квантовая механика
Возможным состояниям квантовой системы с п степенями
свободы и независимыми параметрами x(t) = {xi{t),..., xn(t)} ? Vx
соответствует множество F непрерывных волновых функций
\|/(xi,..., хп, ?), которыми определяется «статистический вес»
каждого вектора х в пространстве Vx. Функции |\|/а) = уа(о;,?)
из такого (вообще говоря, бесконечного) множества F, в свою
очередь, рассматриваются как векторы бесконечномерного ли-
линейного гильбертова пространства (см. подразд. 4.8) с непре-
непрерывным либо дискретным индексом а и нормой
= 1
(здесь * — знак комплексного сопряжения).
Волновая функция \|f(o;, t) : Vx н-> F отвечает определенному
состоянию квантовой системы в момент ?, которое можно пред-
представить суперпозицией (линейной комбинацией) J2°i§i некото-
некоторых базисных состояний {ф^} с комплексными коэффициентами
°i = (Фг I V)- Произведением \|/*\|f ^ 0 задается «поле» плотности
281
вероятности разных значений х е Vx в этом состоянии, а скаляр-
скалярным произведением (Ф | у) = (V I Ф)* — комплексная амплитуда
вероятности перемешивания состояний ф и \|/. Если (ф | \|/) = 0, то
состояния \|/ и ф ортогональны, т. е. несовместимы.
Изменениям состояния системы (квантовым переходам) соот-
соответствуют линейные дифференциальные операторы L:
Щ € F.
Физически измеримым параметрам квантовой системы при
этом отвечают самосопряженные эрмитовы операторы А, соб-
собственные значения которых действительны (см. гл. 7). Собствен-
Собственные функции каждого такого оператора в F:
A\]fa = aaVa
образуют полный набор ортогональных состояний системы, в ко-
которых параметр А имеет определенные значения А = {aa}. В про-
произвольном состоянии |Ф) = X^Vi вероятность значения А = щ
пропорциональна |q|2. Обобщенная функция A(x,t) в таком со-
состоянии задается распределением плотности вероятности Ф*АФ
по параметрам х е Vx со средним значением
и флуктуациями AA(i).
Лиевским умножением операторов А и В в квантовой меха-
механике является коммутатор [А, В] ?= АВ - В А. Выбирая в качестве
базиса в F собственные функции {\|/а} какого-либо из операто-
операторов, можно представить любой оператор L матрицей || Lij ||, где
Lij = (\|/j|Z|\|/i>. Коммутирующие эрмитовы (в случае действи-
действительных волновых функций — симметричные) матрицы А и В
([А, В] = АВ- В А = 0) одновременно приводятся к диагонально-
диагональному виду в общем наборе собственных функций. Соответствую-
Соответствующие им физические величины в заданном состоянии ц/^ прини-
принимают точные собственные значения aj,fy (т.е. в этом состоянии
Да, ДЬ = 0). Если же операторы U и W в произвольном состоя-
состоянии |Ф) не коммутируют, произведение флуктуации соответству-
соответствующих им величин u(t) и w(t) пропорционально среднему значе-
значению коммутатора
AuAw~([U,W})
(соотношение неопределенности Гейзенберга). В частности, ес-
если |Ф> = \щ) — собственная функция величины и с (точным)
собственным значением щ, то величины, операторы которых не
коммутируют с 17, в состоянии |\|/^) не определены, т. е. могут
принимать произвольные значения.
282
Таким образом, соотношениям квантовой механики отвеча-
отвечает алгебра эрмитовых операторов в бесконечномерном гильбер-
гильбертовом пространстве F с лиевским умножением [х,у]. Посколь-
Поскольку векторы |\|/) сохраняют норму (\|/ | у) при унитарных (для
действительных волновых функций — при ортогональных) пре-
преобразованиях U (|detf/| = 1), любые группы нерелятивистских
квантовых систем являются подгруппами SU(n, С) х GJ, где п —
число координат системы; j — операция их инверсии.
Предельный переход от квантовой механики к классической
задают перестановочные соотношения [qi,Pi] = ihl, где / — еди-
единичный оператор; h — масштабный множитель [постоянная
Планка). В классическом пределе единичный оператор заменя-
заменяется на единичный множитель, а коммутатор —[ , 1 переходит
га
в скобку Пуассона E.5). При обратном переходе («квантова-
(«квантовании» классических уравнений движения) функции координат,
импульсов и полной энергии заменяются операторами:
qj -> ihqj, pj -> -ih-g— =
Флуктуации некоммутирующих (канонически сопряженных)
обобщенных импульсов и обобщенных координат, не устрани-
устранимые улучшением методики измерения, связаны квантовомеха-
ническими соотношениями неопределенности*:
AqiAPi > ft, E.9)
AEAt^h. E.10)
Содержание фундаментальных постулатов квантовой механики в настоящее
время уточняется на основе экспериментальных исследований простейших кван-
товомеханических систем. В частности, независимость координат q и времени t в
пространстве переменных Vq,t квантовой системы (см. E.2)) позволяет измерить
координату и сопряженный ей импульс нерелятивистской квантовой частицы одно-
одновременно с любой степенью точности — однако движение такой частицы остается
недетерминированным, так как соотношение E.8) справедливо лишь для гладких
классических траекторий q(t). В экспериментах по рассеянию импульсных пучков
атомов Не на двух щелях (см. Kurtsiefer С. et al. Nature. — 1997. — V. 386. — P. 150)
регистрировались серии точно измеренных значений (pi,qi) (распределение кото-
которых, в соответствии с E.9), обнаруживало флуктуации (Ар, Aq)) и наблюдалась
обычная дифракция дебройлевских волн гелия с длиной Я. = 2nh/p. Эти данные
подтверждают статистический характер соотношений квантовой механики, кото-
который был предметом дискуссий в первой половине XX в.
283
В релятивистской квантовой механике соотношение E.10)
(определяющее, например, естественную ширину линий в спек-
спектрах атомов и молекул) объединяется с E.9) в общее соотно-
соотношение неопределенности компонент 4-вектора энергии-импульса
(Е1р1,р2,рз) и сопряженных им координат (яо>#ь#2>яз) (см. под-
разд.5.5).
Собственные значения оператора Гамильтона (гамильтони-
(гамильтониана) Н являются значениями энергии в состояниях квантовой
системы, удовлетворяющих уравнению Шредингера
^ E.11)
для Н = H(t) и стационарному уравнению Шредингера
ЯФ = #Ф, E.12)
если Н не содержат производных по времени, т. е.
Квантовомеханическим аналогом движения является эволю-
эволюция оператора А физической величины А:
di-ai + \H,A\ E.13)
(в классическом пределе E.13) переходит в E.6)). Все величи-
величины А, удовлятворяющие условию [А, Н] = 0 — в частности, зна-
значения энергии Ei собственных состояний «стационарного» га-
гамильтониана в E.12) — сохраняются во времени, т.е. являются
интегралами движения.
Операторы, коммутирующие с гамильтонианом, образуют
группу уравнения Шредингера G(H). Собственные функции га-
гамильтониана {Уа} можно выбрать соответствующими неприво-
неприводимым представлениям Га группы G(H). В таком базисе матрица
Н приобретает блочный вид
(\\Hi\\ о
ЦЯ2||
о \\Нм1
где {||#а||}(а = 1,..., М) — ненулевые квадратные блоки, размеры
которых соответствуют размерностям Га.
Для состояний \|/а и \|/р, относящихся к разным представлени-
представлениям:
(?р|Я|хКа> = 0. E.14)
284
Соотношения ортогональности E.14) играют большую роль
в нерелятивистской квантовой механике. Поскольку входящий в
гамильтониан Н = Т + U оператор кинетической энергии части-
цы Г = - ]Г] о—V? = X] тт1" пропорционален оператору Казимира
группы ?C) (см. подразд. 4.3), он полносимметричен в простран-
пространствах координат и импульсов. Таким образом, группа G(H) опре-
определяется симметрией потенциала U: точечными группами моле-
молекул, пространственными группами кристаллов или непрерывны-
непрерывными группами Ли в высокосимметричных системах: двухатомных
молекулах, атомах, ядрах и др. (см. ниже).
Если потенциал U в E.11) и E.12) инвариантен относительно
инверсии координат j, волновые функции \|/ C'2\р = а2\|/ = \|/, т.е.
а = ±1) могут быть четными (J\|f = \|/) либо нечетными C*\|/ = -у).
Свойства четности квантовых состояний также сохраняются во
времени. Кроме того, уравнение Шредингера E.11) инвариант-
инвариантно относительно обращения времени t —> -t с заменой волновых
функций на комплексно сопряженные:
V(M) -> ?*(*,-*), т.е.
Можно показать [73], что для систем с полуцелым спином опе-
операция обращения времени Т является антиунитарной: Т2\|/ = -\|/.
Симметрия относительно обращения времени используется в опи-
описании магнитных явлений. Дискретные операции j и Т вместе с
другими операциями группы Лоренца будут рассмотрены в под-
подразд. 5.5.
5.1.4. Перестановки тождественных частиц: бозоны
и фермионы
Отсутствие непрерывных траекторий в квантовой механике
приводит к неразличимости одинаковых частиц внутри кванто-
квантовой системы (рис. 5.2) — например, протонов в атомном ядре. Га-
Гамильтониан Я(^1,^2)--- Лп) системы из п неразличимых частиц
(где ^ — параметры г-й частицы) коммутирует с их перестанов-
перестановками, и состояния такой системы молено разбить по неприводи-
неприводимым представлениям группы Sn.
Поскольку любую перестановку можно представить в виде
произведения транспозиций (парных перестановок) (см. теоре-
МУ 1.3), волновые функции Ф(?ь...,?п) должны быть собствен-
собственными функциями относительно транспозиции Рц любой пары
285
Рис. 5.2. Различимость частиц с классическими траекториями (а, б) и
неразличимость квантовых частиц (в) (см. Герштейн С. С, Берестец-
кий В. Б. Физическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1990. Т. 2.
С. 290)
частиц. Так как Р?- = 1, собственные значения оператора Р^ рав-
равны ±1. Поэтому все многочастичные квантовые системы разде-
разделяются на два класса по четности их волновых функций отно-
относительно парных перестановок:
...^п)-бозоны,
П) - фермионы. E.15)
Фундаментальное разделение E.15) квантовых частиц на бо-
бозоны и фермионы выводится в квантовой теории поля из прин-
принципа причинности. Оно однозначно связано с релятивистской
характеристикой частицы: спином, или собственным моментом
количества движения (см. подразд. 5.5). Напомним, что спин ча-
частицы, подобно орбитальному моменту, имеет дискретные про-
проекции he (где а = -5,-5 + 1,... ,s) на произвольное направление
в трехмерном пространстве с целым либо, в отличие от орби-
орбитального момента, полуцелым а. В нерелятивистской квантовой
механике постулируется, что элементарные частицы с целочис-
целочисленным спином (фотоны, пионы, каоны) являются бозонами, а
частицы с полуцелым спином (электроны, позитроны, нуклоны,
нейтрино) — фермионами. Перестановочная симметрия состав-
составной частицы определяется ее суммарным спином: так, «четные»
ядра 2Н, 4Не, 16О и других атомов являются бозонами, а «нечет-
«нечетные» ядра CН, 7Li, 13C и др.) — фермионами.
Квантовомеханические соотношения, используемые для опи-
описания систем частиц с целыми и полуцелыми спинами (в том
числе квантово-статистического при ненулевой температуре) раз-
различны и называются, соответственно, статистикой Бозе — Эйн-
Эйнштейна и статистикой Ферми — Дирака (рис. 5.3). Так, любое
число одинаковых бозонов может находиться в одном и том же
состоянии системы — в частности, на низшем энергетическом
уровне. В то же время никакие два фермиона не могут нахо-
286
¦шт-
а б
Рис. 5.3. Низшее энергетическое состояние системы:
а — N бозонов; б — N фермионов (N = 10; стрелками обозначены спины)
диться в одном состоянии ^i = ^2 (принцип Паули), поскольку
их перестановка обращает в нуль волновую функцию:
ФЙ1>§ь.-.) = -ФЙ1^ь---) = 0. E.16)
Системой бозе-частиц являются, например, фотоны в пучке ла-
лазерного света, системой фермионов — электроны в атоме.
Двухчастичные волновые функции независимых бозонов и
фермионов являются, соответственно, симметризованными (+)
и антисимметризованными (-) комбинациями одночастичных со-
состояний:
Функции п независимых частиц в том лее приближении имеют
вид
1/2
для бозонов (с суммированием по всем перестановкам индексов
(ръ• • -Рп)-, где щ — число частиц в состоянии г, Ylni = п)> и
E.17)
Для фермионов (слейтеровский детерминант). Любая переста-
перестановка двух строк, т.е. функций, или двух столбцов, т.е. про-
пространственных и спиновых координат частиц, изменяет знак де-
детерминанта; совпадение любых двух строк или столбцов обра-
обращает его в нуль.
987
Полную волновую функцию Ф(?) = Ф(г, а) частицы со спином s
записывают в виде Bs + 1)-компонентного вектора из (разных)
координатных волновых функций щ(г), отвечающих различ-
различным проекциям спина. Состояния с полуцелыми числами а пре-
преобразуют по двузначным (спинорным) представлениям группы
SOC,R): поворот на 2л обращает знак спинора (см. подразд. 4.3).
В частности, волновая функция электрона является спинором
1-го ранга — двухкомпонентным вектором:
преобразуемым по двузначному представлению /зС1/2) (индекса-
(индексами аир, соответственно, обозначены проекции о=-иа = —).
Волновая функция n-электронной системы состоит из 2П ком-
компонент и преобразуется как спинор п-го ранга, т. е. как прямое
произведение п двухкомпонентных спиноров 1-го ранга. В [73,
гл. 13] доказывается, что уровни энергии системы из нечетного
числа фермионов в отсутствие магнитного поля по крайней мере
двукратно вырождены (теорема Крамерса).
Спиновые операторы можно выразить через матрицы Паули:
s = - (° 1
ft Л (М д, E19)
образующие базис в пространстве матриц группы SUB,C):
и Vs
где
и = ±cos-e ^2^, v = f
(см. D.21)). Нетрудно проверить, что матрицы di, 02 и дз вместе
с единичной квадратной B х 2) матрицей сто = E^-) (i,j = 1,2)
образуют группу относительно умножения, изоморфную группе
кватернионов Q& (см. упражнение 5.1)*.
Следует помнить, что устоявшиеся в физической литературе обозначения спи-
спиновых переменных (gj) и матриц Паули (dfc) похожи. В химической литературе
проекцию спина электрона чаще обозначают т3.
288
Упражнение 5.1. Доказать антикоммутативность матриц Па-
Паули
d + djafc = 2с0 (А;, / = 1,2,3).
Полная волновая функция n-электронной системы, гамильто-
гамильтониан которой не зависит от спина, разделяется на координатную
(скалярную) и спинорную части (см. E.18)):
ФЙь...,^)=?(гь...,гп)х(аь...,ап), E.20)
преобразуемые по некоторым неприводимым представлениям
группы Sn. Так как, в соответствии с принципом Паули, пол-
полная волновая функция Ф(^1,... ,^п) полностью антисимметрична
относительно перестановок {^}, т. е. преобразуется по одномер-
одномерному неприводимому представлению [1П], представления Г(у) и
Г(х) — сопряженные (см. предложение 3.6).
Поскольку аргументы спиновой функции %(аь...,сп) могут
принимать только два значения ±1/2, неприводимым представ-
представлениям Т(х) отвечают диаграммы Юнга, содержащие не более
двух строк* (рис. 5.4, а). Двухстрочная схема Юнга с п\ и п2 < щ
клеток (где щ + пч = п) соответствует выделению среди п элек-
электронов П2 «антисимметризованных» пар с противоположными
спинами и очевидной суммарной проекцией М^2' = 0. Осталь-
Остальным клеткам в верхней строке соответствуют симметризованные
комбинации всех возможных произведений (ni -П2) состояний с
проекциями спина а= \ (а) и а = -^ (Р), например единственная
компонента:
ЗС(а,а,...,а), M5 = -(ni-n2),
п\ -П2 раз
{п\-П2) компонент
и т.д. Нетрудно видеть, что всего таких комбинаций (ni-n2) + l,
и каждой из них отвечает определенная сумма проекций спина
Ms = —-—,— 1,..., —. Другими словами, каждой
схеме Юнга соответствует разбиение n-электронной системы на
(nbn2) электронов с противоположными спинами и суммарным
спином 5 = -{п\-П2) (в единицах ft). Перестановочная симметрия
Антисимметризация по трем или более двузначным переменным, ввиду совпа-
совпадения некоторых из них, обратит волновую функцию в нуль, см. E.16).
289
I I I I I II
[6] 5=3
Х(аь...,ал)
тгп
[51] S=2
а
Ф(^1,..., гп)
1 1
[42] 5=1
[33] 5=0
[I6
[214]
[2212]
[23]
Рис. 5.4. Перестановочная симметрия спиновой % (а) и координатной
ф (б) частей n-электронной волновой функции \j/ = ф% (п = 6)
координатной функции электронов ф(гь... ,гп) в соответствии с
C.5) задается сопряженными схемами Юнга из двух столбцов
(см. рис. 5.4, б).
Таким образом, каждому неприводимому представлению
группы перестановок в n-электронной системе отвечает опреде-
определенное значение ее полного спина S. Можно показать [52, т. 3,
§63; 73, гл. 18], что в общем случае волновые функции системы
п частиц со спином 5 «нумеруются» n-клеточными диаграммами
Юнга с Bs +1) строками, однако определенным значениям пол-
полного спина S отвечают уже не сами эти функции, а их линейные
комбинации.
5.2. СПЕКТРЫ И ЭЛЕКТРОННОЕ СТРОЕНИЕ
МНОГОАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
На основании соотношения ортогональности E.14) представ-
представления точечных групп молекул используются в молекулярной
спектроскопии и квантовой химии для оценки интегралов вида
E.21)
где F — оператор перехода молекулы из состояния |г) в состо-
состояние \j)j \\fi,yfj — симметризованные волновые функции этих
состояний (т.е. Гг,!^ — представления точечной группы моле-
290
кулы G), а интегрирование выполняется по всему простран-
пространству их аргументов (г)*. Поскольку подынтегральным выраже-
выражением VjF\\fi порождается некоторое (приводимое) представление
Г группы G, интеграл E.21) равен 0, если только в разложение
Г по неприводимым представлениям G не входит полносиммет-
полносимметричное представление этой группы**. Переходы v^ —> v|/j, для ко-
которых (Vj|F|v|/j) =0, не проявляются в спектрах или ослаблены
(см. далее).
Таким образом, интеграл (j\F\i), называемый матричным эле-
ментом перехода щ —> \|/^, может отличаться от нуля в том и
только в том случае, если в прямом произведении представле-
представлений Г( х Tj х Г> содержится полносимметричное представление
Го точечной группы молекулы:
(Г;хГ\,-х1»ПГ0^0. E.22)
Для этого представление Г> (в общем случае приводимое) и
прямое произведение Г* х Г^ должны содержать хотя бы один
общий неприводимый компонент:
Если, как это часто бывает, волновая функция х^ исходного
состояния молекулы полносимметрична, E.22) упрощается до
r.-nrwo
(в представлении оператора перехода |г) -» \j) должны содер-
содержаться какие-либо неприводимые компоненты конечного состо-
состояния \j)).
Таким образом, молекулярная симметрия позволяет выве-
вывести правила отбора всех возможных переходов молекулы из од-
одного квантового состояния в другое. Переходы, для которых
(j|F|i) = 0, называются запрещенными, все прочие переходы —
разрешенными.
Отметим, что симметрийные правила отбора могут нарушать-
нарушаться, ибо представления Г^Г^Г^ обычно определены в рамках
некоторой приближенной модели, а величину ненулевого инте-
интеграла (j\F\i) в общем случае нельзя оценить из соображений
симметрии. Поэтому некоторые разрешенные переходы щ —> \\fj
Далее в этой главе векторы в трехмерном «физическом» пространстве обозна-
обозначаются символами со стрелкой по обычным правилам, а 4-векторы в пространстве
МA,3) — символами без стрелок.
** Доказательство этого утверждения, очевидного при антисимметрии
°тносительно центра инверсии i или плоскости а, см. [52, т. 3, гл. 12].
291
могут иметь низкую вероятность (например, из-за малого пере-
перекрывания соответствующих состояний в пространстве hjjh боль-
большой разницы в их энергиях), а запрещенные переходы нередко
проявляются под действием факторов, не учтенных в теорети-
теоретической модели. Тем не менее, правила отбора по симметрии иг-
играют огромную роль в молекулярной спектроскопии, а также
в ряде других разделов физики и химии, позволяя предсказать
многие экспериментально наблюдаемые явления на качествен-
качественном уровне без проведения трудоемких расчетов.
5.2.1. Правила отбора в оптической спектроскопии
Оператор перехода молекулы щ —> \|/j из одного квантового
состояния в другое под действием электромагнитного излучения
имеет вид [58, гл. 14]:
*fP.n, E.23)
где к — волновой вектор электромагнитного излучения (fc = 2я/А,),
п — единичный вектор, перпендикулярный направлению распро-
распространения волны (т.е. параллельный ее электрическому полю),
Р = -zftVr — оператор импульса, и суммирование проводится по
всем атомам с координатами г в молекуле.
Волновые функции v^v^ быстро обращаются в нуль за пре-
пределами молекулы, поэтому размеры области ее взаимодействия
с излучением в диапазоне от радиоволн до жесткого ультрафио-
ультрафиолетового (УФ) малы по сравнению с X (обычно \kr\ ^ 1(Г3). По-
Поэтому можно положить elkff= 1, т. е.
E.24)
Кроме того,
^ E.25)
где А = --^(Ej-Ei), т — масса электрона; х — координатная про-
проекция вектора г; Е{ и Ej — соответственно энергии начального
и конечного состояний [92, гл.8].
Таким образом, правила отбора E.22) определяются пред-
представлениями проекции вектора г, которому пропорционален ди-
польный момент перехода iL = qer (qe — заряд электрона), на на-
направление поля в электромагнитной волне. Данное приближение
называется диполъным, а переходы с ненулевыми матричными
292
элементами (j\f- n\i) — разрешенными электрическими диполь-
ними переходами. По E.22), для таких разрешенных перехо-
переходов \|/j —> Vj неприводимые компоненты представления Г* х Г,
должны совпадать с неприводимыми представлениями сдвигов
в трехмерном пространстве T(xyz). Если переход разрешен лишь
по одной или двум декартовым координатам, соответствующая
полоса в спектре поляризована.
Если матричный элемент E.21) равен нулю (например, по
соображениям симметрии), приближения егкг = 1 уже недоста-
недостаточно. В таком случае экспоненциальный множитель разлагают
в ряд __ т
eikr = 1 + ikr - i(fcrJ -... + —Лкг)т +..,
2 m!
подставляя в E.23) первый ненулевой член такого разложения.
Получаемые матричные элементы вида
E.26)
ТТЬ.
соответствуют мультпипольному приближению (при m = 1 —
квадрупольному). Компоненты электрического мультиполя пре-
преобразуются по (симметризованному) тензорному произведению
смещений [Г(г) х ... х Г(г)]+ (см. п. 3.8).
Переходы щ -»\|/j, запрещенные в электрическом дипольном
приближении, могут происходить также под действием магнит-
магнитной составляющей световой волны. В этом случае в первом нену-
ненулевом матричном элементе
е
содержится магнитный диполь -—г х Р, и сами переходы назы-
2гас
ваются магнитными дипольными.
С учетом симметрии оператора F (табл. 5.1), разрешенные
электрические дипольные переходы определяются неприводи-
неприводимыми представлениями компонент сдвига (ж, у, z), магнитные ди-
дипольные — представлениями компонент поворота (RX)Ry^Rz)^ а,
электрические квадрупольные — представлениями произведе-
произведений координат г в точечной группе G молекулы. Интенсивности
полос магнитных дипольных и электрических квадрупольных
переходов в спектре обычно на несколько порядков ниже, чем у
электрических дипольных.
Переходы между разными колебательными состояниями N-
атомной молекулы проявляются в инфракрасном (ИК) спектре.
В гармоническом приближении колебания нелинейной моле-
293
Таблица 5.1
Правила отбора для молекулярных переходов
в оптической спектроскопии
Переход
Электрический
дипольный
ИК-спектры:
основные полосы
комбинационные поло-
полосы
обертоны
КР-спектры:
основные полосы
комбинационные поло-
полосы
обертоны
УФ-спектры:
основные полосы
вибронные полосы
Магнитный дипольный
ИК
КР
УФ
Электрический
квадрупольный
ИК
КР
УФ
Правило отбора
Г< х Г,- 2 r(f)
r{x,y,z)nr(Qm)j0
r(x,y,z)nr(QmxQk)j!O
Г(х, у, z) П r([Qro x Qm x ... x Qm}*) i 0
Г(а:2, y2, z2,xy,yz, xz) П T(Qm) JQ
Г(х2,у2,г2, . ..,xz)nr(Qm xQk)j0
T{x2,..., xz) П r([Qm x Qm x ... x Qm]+) i 0
Г(*,г/,.г)ЛГ(Ф1хФ2)У0
Г(х,»,2)ЛГ(Ф1 x*2xQTO)^0
Г« x Г, 2 Г(Л)
r(Rx,Ry,R2)nr(Qm)JO
Г(ЛХ, Ry, Rz) П Г([Ош X Qm}*) ?0
Г(Яа:,Д!„Лг)ЛГ(Ф1хФ2)^0
r(z2,y2,...,zz)nr(Qm)=/0
r(x2,y2>...,xz)nr([QmxQm]+)^0
ГA2,у2,...,1г)пГ(Ф,хФ2)У0
кулы преобразуются к совокупности 3N - 6 нормальных коле-
колебаний, или нормальных мод {Qa} (ct = 1, 2,...,ЗЛГ-6), эквива-
эквивалентных колебаниям ЗЛГ - б независимых гармонических осцил-
осцилляторов с изменением колебательного квантового числа Av = ±1
(рис. 5.5). Комбинации смещений атомов из равновесных поло-
положений в каждом нормальном колебании (формы колебаний) пре-
преобразуются по определенному неприводимому представлению
точечной группы G, описывающей геометрию неискаженной мо-
молекулы [52, т. 3, гл. 13].
294
л-
ftco
\\/
\ 1
0
?/^/ 4
7 .
Q
Рис. 5.5. Колебательные уровни энергии Ev = /ico(v + V2) и волновые
функции \|/v(Q) одномерного гармонического осциллятора
Поскольку в группе G основное колебательное состояние с
v = 0 и отсутствием атомных смещений полносимметрично,
в ИК-спектрах разрешены только те колебания Qa, неприводи-
неприводимые представления которых совпадают с компонентами Г(хуг).
При отклонениях межатомных потенциалов молекулы (силового
поля связей) от гармонической формы (f/a = fcaQa) B ИК-спектре
могут возникать комбинационные полосы с одновременным воз-
возбуждением двух (или нескольких) нормальных колебаний, а так-
также переходы с Av ^±1 (обертоны). Эти переходы разрешены, ес-
если компоненты T(xyz) содержатся в разложении прямого произ-
произведения T(Qi х Qj) возбуждаемых нормальных колебаний (для
комбинационных полос) или симметризованного произведения
T(Qi х Qi)+ (для обертонов, см. табл. 5.1). При высокой интенсив-
интенсивности возбуждающего излучения (например, лазерного) некото-
некоторые возбужденные молекулы до возвращения в основное состо-
состояние успевают поглотить следующий фотон (двух- и многофо-
многофотонные переходы).
При взаимодействии интенсивного электромагнитного излу-
излучения с веществом наблюдается также неупругое комбинаци-
комбинационное рассеяние фотона на молекуле с потерей кванта энергии
ftco = ?'(v)-?'@) на возбуждение нормального колебания Qa . Этот
эффект, обычно наблюдаемый при рассеянии лазерного излуче-
излучения в видимом и УФ диапазонах, используется в спектроско-
295
пии комбинационного рассеяния (КР), или римановской спектро-
спектроскопии. Правила отбора для матричных элементов переходов в
КР-спектрах определяются симметрией тензора поляризуемости
ccij, совпадающей с симметрией произведений координат векто-
вектора смещений (х2,?/2,..., xz). Таблицы характеров точечных групп
обычно содержат неприводимые представления компонент по-
полярного вектора x,t/,z, аксиального вектора RXiRy,Rz и произ-
произведений х^% (fc,m = 1,2,3) (см. прил. 2).
Нормальные колебания JV-атомной молекулы находят при-
приведением представления Tv = ГEх,5г/,5г) -Г(г) -Г(Я) (см. под-
разд. 3.13.2). Напомним, что для этого надо вычислить харак-
характер представления 3N атомных смещений молекулы, а затем вы-
вычесть из него трехмерные представления сдвигов и поворотов
молекулы как целого. Ненулевые вклады в характер %(9i) дают
только атомы, оставляемые на месте операциями gi e G, т. е. рас-
расположенные на элементах симметрии (табл. 5.2). Так, смещения
атомов в плоской молекуле этилена С2Н4 (точечная группа D2^
табл. 5.3) порождают 18-мерное представление этой группы
u- E.27)
ГEх, 5у, 5z) = S
Вычитая из него представления полярного вектора сдвигов
Т{г) = В\и+В2и+Въи и аксиального вектора поворотов Г(Д) = В\д +
В + В$д, получим 12-мерное представление (ЗЛГ-6) колебаний
Tv = Зад + 2big + b2g
2Ь2и
E.28)
(координатная ось С2 направлена по связи О=С, ось С2 пеР~
пендикулярна плоскости рисунка). Далее будем обозначать за-
заглавными буквами неприводимые представления и отвечающие
Таблица 5.2
Вклад атома, расположенного на элементе симметрии точечной
группы G, в характер представления атомных смещений ГEх, 5у, bz)
Элемент и операция
симметрии
Поворотная ось С%
Зеркально-пово-
Зеркально-поворотная ось Sn
Поворотная ось С2
Вклад
в характер
2cosB7t/c/n) + l
2cosB7tfc/n)-l
-1
Элемент и операция
симметрии
Плоскость сим-
симметрии а = 5i
Центр инверсии
г = 52
Тождественное
преобразование е
Вклад
в характер
+1
-3
+3
296
Таблица 5.3
Представления атомных смещений ГEх5у5г), трансляций Г(хуг),
вращений T{RxRyRz) и колебаний Tv молекулы этилена С2Н4
D2h
Ад
Big
В2д
В3д
Аи
Blu
В2и
Взи
rEi8y5z)
Г(хуг)
г{Rx Ry Rz)
rv
e
1
1
1
1
1
1
1
1
18
3
3
12
M*)
°2
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
0
-1
_i
2
My)
°2
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
0
-1
-1
2
M*)
G2
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
-2
-1
-1
0
i
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
0
-3
3
0
GXy
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
6
1
-1
6
Gxz
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
2
1
-1
2
Gyz
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
0
1
-1
0
/нп*
*2;y2;*2
xy,Rz
xz,Ry
yz,Rx
z
У
X
*См. подразд. 3.13.1.
им волновые функции молекул и кристаллов, а строчными —
нормальные колебания и симметризованные одноэлектронные
молекулярные орбитали.
Пользуясь правилами отбора (см. табл. 5.1), окончательно по-
получаем, что в ИК-спектре этилена в электрическом дипольном
приближении могут проявляться пять нормальных колебаний
(biu + 2b2U + 2Ьзц), а в КР-спектре — шесть других нормальных
колебаний Cag+2big+b2g). Колебание аи запрещено в обоих спек-
спектрах, однако может проявляться в составе комбинационных по-
полос и обертонов, а также среди магнитных дипольных и элек-
электрических квадрупольных переходов в КР. Заметим, что в ИК-
и КР-спектрах центросимметричных молекул проявляются их
разные нормальные колебания, поскольку «разрешающие» их
представления сдвигов Г(г) антисимметричны, а представления
поворотов Г(Д) симметричны относительно инверсии (альтер-
(альтернативный запрет).
Вклады смещений атомов в нормальные колебания молекулы
(форму колебаний) также легко определить с помощью таблицы
характеров, действуя на смещения атомов Eх, Sy, Sz) проекцион-
проекционными операторами, принадлежащими неприводимым представ-
297
ЯНН
ЬЪи
К vv И
blg b2u
у/ у/ у/
© © © © © э
Ь1и
Рис. 5.6. Нормальные колебания молекулы этилена С2Н4 (указана си-
система координат)[31, с. 653]
лениям Га ее точечной группы G:
г, E.29)
где \G\ — порядок группы; а — индекс представления, сумми-
суммирование по всем элементам группы gi e G. Напомним, что та-
такие проекционные операторы «вырезают» из ГEх, 8т/, 5z) под-
подпространство векторов атомных смещений, преобразующихся по
представлению Га, и обладают свойствами ортогональности:
и идемпотентности:
298
Действуя операторами 6(а) группы D2h (гДе а из E-28)), на
смещения атомов С и Н молекулы С2Н4, направленных по лини-
линиям связей С—Н и С=С, можно вывести форму пяти валентных
колебаний: ад(С=С) + а^С-Н) + б^С-Н) + b2u(C-R) + 63w(C-H).
Прочие линейно независимые комбинации атомных смещений в
этой молекуле соответствуют четырем деформационным колеба-
колебаниям: ag + big + 621* + Ьзи с изменениями валентных углов между
связями, не выводящими атомы из плоскости, и трем неплос-
неплоскостным колебаниям: «крутильному» аи и «веерным» Ь\и, b2g
(рис. 5.6; знаки (+) и (-) показывают выход атомов в разные
стороны от плоскости аХ2/)*.
Нормальные колебания одинаковых неприводимых представ-
представлений могут смешиваться, давая линейные комбинации с опре-
определенными значениями частот, например:
у/2
Заметим, что Ьз^-комбинация смещений атомов Н из плоско-
плоскости оху, также показанная на рис. 5.6, не порождает колебаний,
отвечая повороту молекулы как целого вокруг связи С=С. Ко-
Колебания линейных и нежестких молекул будут кратко рассмот-
рассмотрены в подразд. 5.4.
Упражнение 5.2. Найти ИК- и КР-активные нормальные ко-
колебания молекулы BF3 (см. подразд. 3.13.2) в электрическом диполь-
ном и магнитном дипольном приближениях.
Упражнение 5.3. Определить нормальные колебания моле-
молекулы бензола СбНб- Какие из них разрешены в ИК- и КР-спектрах в
электрическом дипольном приближении?
5.2.2. Симметризованные молекулярные орбитали
С помощью проекционных операторов можно также симмет-
ризовать электронные волновые функции молекул, или молеку-
молекулярные орбитали (МО). Волновые функции многоатомных мо-
молекул, используемые в химии, обычно выбирают на основе сле-
следующих приближений:
E.30)
В общем случае плоская iV-атомная молекула обладает BN - 3) плоскостны-
плоскостными и (N - 3) неплоскостными колебаниями, а у линейной молекулы есть (N - 1)
^линейных» и (N — 2) дважды вырожденных нелинейных колебаний.
299
где (их,..., Rn) — координаты атомных ядер; (fi,..., fn) — коор-
координаты электронов в молекуле (адиабатическое приближение,
или приближение Борна — Оппенгеймера); 0(fi, ...,r*n) — одно-
электронное приближение:
в(п,...,гп) = П^(г), E.31)
\|/д.(г) — приближение линейных комбинаций атомных орбита-
лей (ЛКАО):
Vfc(O = ?cfcfo(f=). E.32)
г=1
Волновую функцию ядер в E.30) часто преобразуют к функ-
функциям нормальных колебаний Ф'(<2ь...,<2злг-б)> a произведения
E.31) одноэлектронных волновых функций представляют в ви-
виде слейтеровского детерминанта, антисимметризованного отно-
относительно перестановок электронов (см. подразд. 5.1.4).
Интегралы перекрывания (Ф^|Ф*) симметризованных МО
ЛКАО, относящихся к разным неприводимым представлениям,
равны нулю. На этом, в частности, основано разделение а- и
7С-МО плоских органических молекул с кратными связями — со-
соответственно полносиметричных и антисимметричных относи-
относительно отражения о^ в плоскости молекулы.
Молекулярные я-орбитали, отвечающие более слабому меж-
межатомному связыванию, обычно включают высшую занятую
(ВЗМО) и низшую свободную (НСМО), а также не участвующие
в связывании неподеленные электронные пары атомов N, О, S и
др. (если такие атомы есть в молекуле). Так, pz-AO двух атомов
С в молекуле этилена С2Н4 порождают двумерное представление
Гя, приводимое к двум молекулярным орбиталям л-типа*: низ-
низкоэнергетической п-связывающей (biu) и высокоэнергетической
71*-разрыхляющей (b2g):
Vibiu) = -т=(ф1 +<Ы, V(b2g) = 7/=(<h -Ф2),
где фьфг обозначают pz-AO атомов углерода.
Относительные энергии {е,} этих орбиталей можно рассчитать в приближении
простого метода Хюккеля (ПМХ) (молекулярного аналога приближенья сильной
связи), решая уравнение det(Hij -е5^) = 0. В приближении ПМХ (Я^) — матри-
матрица (для я-системы этилена — размера 2 х 2) с элементами Ни = a, Hij = Р для
соседних атомов С и Hij = 0 для остальных пар атомов. Форму и относительные
энергии хюккелевских МО (см., например, [29, 83] и цитированную там литера-
литературу) для высокосимметричных молекул можно вывести из теоретико-групповых
соотношений.
300
-N- -N-
-tt-
Рис. 5.7. Молекулярные л-орбитали бензола (штриховые линии — уз-
узловые поверхности)
На рис. 5.7 изображены я-МО бензола СбНе, построенные в
приближении Л К АО действием проекционных операторов E.29)
на набор (фь... ,фв) шести р2-А0 ее атомов углерода. Для упро-
упрощения вывода этих МО воспользуемся «клеточным» видом таб-
таблицы характеров точечной группы Dq^ = Cqv x Cs: использу-
используем только операции группы Cqv и затем укажем неприводимые
представления полученных л-МО в группе D^ (табл. 5.4). Лег-
Легко убедиться, что в группе Cqv ненулевые линейные комбинации
АО создаются только операторами О^ представлений
Операторы одномерных представлений А\ и В2 дают оди-
одинаковые результаты при действии на любую функцию базиса
(Фь • • • ,Фб)- В то же время операторы двумерных представлений
Е\ и Е2 при действии на фх и ф2 порождают разные функции:
= Ф1 + 2ф2 + Фз - Ф4 - 2ф5 - ф6 =
+ 2ф2 - фз - ф4 + 2ф5 - Фб =
301
Таблица 5.4
Характеры представления атомных р^-орбиталей молекулы СвН6
(Гя) в группах Cqv и Deh
Группа C$v
НП
Ai
А2
Bi
в2
Ei
Е2
Г*
Ei x E2
е
1
1
1
1
2
2
6
4
1
1
-1
-1
1
-1
0
-1
clcl
1
1
1
1
-1
-1
0
1
с2
1
1
-1
-1
-2
2
0
-4
3cv
1
-1
1
-1
0
0
2
0
3cd
1
1-Н
1
0
0
0
0
Группа Аз/i
А2и
В2д
Elg
Е2и
A2U + В2д + Elg + Е2и
Biu + B2u + Eiu
Полученные орбитали ^i,^2 и СьСг вырожденных электрон-
электронных состояний можно ортогонализоваты
= -W$i ±$2),
В точечной группе jDg^ окончательно получим
= -/=(Ф1 +Ф2+Фз + Ф4 + Фб + ФбM
1
2
-ф2-2фз-ф4+Фб + 2ф6),
1
2\/3
Щ(е2и) = ^(ф1 - ф2 + Ф4 - Фб),
1
E.33)
Ф2 - 2фз + Ф4 + Фб - 2ф6),
V(b2g) = —/=(Ф1 - Ф2 + Фз - Ф4 + Фб - Фб)-
На рис. 5.7 в качественной форме показано расположение
симметризованных л-МО бензола по энергии (возрастающей с
увеличением числа узловых поверхностей, на которых волновая
функция обращается в нуль). В основном электронном состо-
состоянии молекулы СбНб три из шести л-МО полностью заполнены
302
электронами в соответствии с принципом Паули (подразд. 5.1.4),
отвечая замкнутой электронной конфигурации вида E.31):
где верхние индексы показывают числа электронов на соответ-
соответствующих Л К АО. Первому возбужденному состоянию соответ-
соответствует недозаполненная (открытая) конфигурация
Симметризованные МО ЛКАО используют при выводе пра-
правил отбора для электронных переходов, проявляющихся в види-
видимой и УФ областях спектра. В соответствии с E.22) электронные
дипольные переходы молекул с полносимметричным основным
состоянием (без участия колебаний) разрешены в УФ-спектрах,
если в представлении Г(ВЗМО х НСМО) содержатся неприводи-
неприводимые компоненты T(xyz). Можно показать [92, гл. 7, §7.9], что за-
замкнутая электронная конфигурация всегда отвечает полносим-
полносимметричному неприводимому представлению многоэлектронной
функции вида E.31). Для бензола в группе D^ л-конфигурация
Фо полносимметрична, а е^-компонента конфигурации Фх экви-
эквивалентна одной электронной вакансии («дырке») на eiMO
Г(Ф0) = Aig, Г(Фх) = Eig х Е2и = Вы + В2и
В частности, для п —> л*-перехода с наинизшей энергией Фо —>
-> Ф1 разрешена ?iu = Г(х, ^-компонента, поляризованная в
плоскости молекулы.
Понижение молекулярной симметрии от группы G к подгруп-
подгруппе Н с G вызывает расщепление тех вырожденных состояний,
многомерные представления которых в G становятся приводи-
приводимыми в группе Я. Например, в молекуле бромбензола СбНбВг
(точечная группа C2v) двукратно вырожденные электронные со-
состояния бензольного ядра расщепляются, поскольку все непри-
неприводимые представления в C2v одномерны. Чтобы найти ком-
компоненты неприводимого представления Ti(G) групЬы G в ее
подгруппе Н (в частности, представление е^-ВЗМО бензола в
СбН5Вг), надо записать все компоненты характера %[Г;(С?)] отно-
относительно оставшихся в Н операций симметрии и привести полу-
ненное представление группы Н по обычной схеме. В выбранном
примере, согласно табл. 3.7, запишем
C2v e C2 Oxz GyZ
2 0-20
303
откуда сразу получается расщепление вырожденной л-ВЗМО
бензольного ядра в молекуле
где символом «ei^» обозначено представление, порожденное я-ор-
биталью бензола vj/(ei^)) в группе С2у
5.2.3. Электронно-колебательные взаимодействия
В адиабатическом приближении E.30) электронно-ядерная
волновая функция молекулы Ф(г*,<2) разделяется на функцию
системы электронов \|/(r,Qo) = У<21,...,<2з#-б(гь--->гп)> зависящую
от координат ядер {Qo} как от непрерывных параметров, и функ-
функцию колебательного движения ядер Ф(<Э):
(см. E.30)). При отказе от этого приближения электронные и
ядерные координаты смешиваются, а матричные элементы пере-
переходов Фгос -> Ф^р зависят одновременно от г и Q. Такие электронно-
колебательные, или вибронные, переходы наблюдаются в УФ-
спектрах высокого разрешения.
Вибронные переходы обычно рассматривают по теории воз-
возмущений [92, гл.8], разлагая молекулярный гамильтониан
H(r,Q) = #o(r) + #'(r,Q) в ряд по нормальным колебаниям {Qa}
и оставляя только линейные члены:
<5-34)
Волновые функции г-го электронного состояния \|/;(r, Q) в пер-
первом порядке теории возмущений
? V<f>QaV?\?, Qo) E.35)
зависят от интегралов V^] = {Ef)-E^)y1{^f\va\^f)), отражаю-
отражающих смешивание разных электронных состояний молекулы под
действием нормального колебания Qa-
Матричный элемент перехода молекулы из основного элек-
электронно-колебательного состояния Фоо в дипольном приближении
имеет вид
304
= (*oo|r |*i«> = J J
где moi(Q) — матричный элемент электронного перехода, завися-
зависящий от колебательной координаты, а волновая функция Ф« со-
соответствует возбуждению нормального колебания Qa в г-м элек-
электронном состоянии.
В случае слабого электронно-колебательного взаимодействия
moi(Q) «const, т.е.
МЬа0~то;(ф@)|Ф«>. E.36)
Колебательные функции Ф$ ' и Ф^ , входящие в E.36), при
a i- О не ортогональны, так как геометрические параметры мо-
молекулы в основном и возбужденном состояниях обычно разли-
различаются.
Однако интеграл перекрывания этих функций (Ф^ ^|Ф« ) (ин-
(интеграл Франка — Кондона) обращается в нудь, если функция Ф^
не полносимметрична.
Поэтому полосы в низкотемпературных УФ-спектрах при сла-
слабом вибронном взаимодействии состоят из электронно-разре-
электронно-разрешенных (mOi 7^ 0) переходов с Фу на полносимметричные ко-
колебательные уровни г-го электронного состояния, а также на
их обертоны (рис. 5.8). Для переходов с возбужденных колеба-
колебательных состояний основного уровня Фл ' выполняется условие
Если в адиабатическом приближении «электронный» матрич-
матричный элемент перехода moi(Qo) равен нулю по симметрии, т.е.
Г(\|/^) не содержит компонент F(xyz), переход Фоо -* ^ш все же
может наблюдаться в УФ-спектре за счет перемешивания с раз-
разрешенным электронным переходом щ —> Vj ПОД действием коле-
колебания Qa- В этом случае
и правило отбора E.22) для ненулевых матричных элементов
V^ дает (Г(\|/г) х T(\\fj)) nr(Qa) т^О. Поскольку переход щ -> Vj
разрешен, т. е. Г(\|/^) П Г(г) ^0, имеем
305
100
001
А
<
т
1
г
1
1
1
1
1
200
020
011
101
002
010
100
001
000
002
010
100
001
000
Рис. 5.8. Разрешенные и запрещенные электронно-колебательные пе-
переходы в молекуле АВ2 (C2V) при слабом вибронном взаимодействии
т. е. в произведении представлений конечного электронного со-
состояния и возмущающего колебания Qa должны содержаться
компоненты T(xyz). А поскольку представление функции \|/$ та-
таких компонент не содержит (переход щ —> \|/^ запрещен), коле-
колебание Qa в данном случае обязано быть неполносимметричным.
В частности, в УФ-спектре бензола под действием нормальных
колебаний Е^-типа могут проявляться электронные переходы
А\д —> В\и и А\д —> i?2U, запрещенные в адиабатическом прибли-
приближении, так как
Ь\и х е2д = Ь2и х е2д = е1и = Г(х, у).
Вывод правил отбора по симметрии для вибронных переходов
общего типа можно найти в [92] и в литературе по спектроскопии
(см., например, [23, 31]).
306
5.2.4. Химические приложения симметрии
Одним из проявлений электронно-колебательных взаимодей-
взаимодействий является часто упоминаемый в химической литературе
эффект Яна — Теллера: самопроизвольное искажение геометрии
высокосимметричных нелинейных молекул и ионов с вырожден-
вырожденным основным электронным состоянием. Его причиной являет-
является энергетически выгодное расщепление электронных уровней
при снятии вырождения из-за понижения симметрии. Форма ян-
теллеровских искажений определяется матричными элементами
возмущений (VilQa|Vi)> гДе Vt ~ вырожденная МО в исходной
высокосимметричной конфигурации молекулы или иона, а Qa —
нормальное колебание. Таким образом, активные колебания,
приводящие к искажениям молекулы, удовлетворяют условию
или
где Го — полносимметричное представление. Иными словами,
представление возмущающих атомных смещений должно содер-
содержаться в симметризованном квадрате представления вырожден-
вырожденного электронного состояния. Доказано, что условие E.37) вы-
выполняется для всех конечных точечных групп [52, § 102].
Примером ян-теллеровских структур могут служить коорди-
координационные соединения кобальта(П) с искаженно-октаздрическим
ближайшим окружением атома Со лигандами L (NH3, H2O, CN~
и др.). В соответствии с D.22), пятикратно вырожденные d-op-
битали атома переходного металла (представление Dg ' группы
0C, R), см. п. 4.3) образуют в группе Oh приводимое представле-
представление и расщепляются на Т^д- и ^-компоненты. Размещение семи
валентных электронов иона СоB+) в неискаженном октаэдриче-
ском окружении на этих уровнях в рамках теории поля лиган-
дов (подробнее рассмотренной далее в п. 5.4.4) дает вырожден-
вырожденное неполносимметричное электронное состояние
y(Eg)=tlge\.
Представление, порожденное валентными колебаниями ше-
шести связей Со —L в октаэдрическом фрагменте СоЬб (без учета
собственных колебаний лигандов) легко привести по таблице ха-
характеров группы Oh (прил. 2):
Tv = aig + ед + tiu. E.38)
307
Нормальные колебания ?р-типа совпадают по симметрии с
одной из компонент произведения [Ед х Ед]+ = А\д + Ед и, таким
образом, могут искажать геометрию координационного окруже-
окружения иона Со2+. Форма этих колебаний соответствует растяже-
растяжению двух противоположных связей Со — L и укорочению четы-
четырех остальных связей с превращением октаэдра в квадратную
бипирамиду (группа Д^/О* Пользуясь таблицей характеров этой
группы из прил. 2, можно непосредственно проверить, что ис-
исходные электронные состояния t2g и ед при таком искажении
расщепляются (рис. 5.9):
Отметим, что октаэдрические комплексы ионов СоC+) с не-
невырожденной полносимметричной электронной конфигурацией
не искажены.
Q{Et)
Ион
-N—H--M-
Поле лигандов
44
-ff- -ff"
Ян - теллеровское
искажение (D4h)
Рис. 5.9. Расщепление атомных d-орбиталей и ян-теллеровское иска-
искажение октаэдрических комплексов иона Со2+
308
Упражнение 5.4. Получить перечисленные выше результаты
для октаэдрического комплекса MLe-
Энергию электронных состояний многоатомной молекулы
можно рассчитать с варьированием молекулярной геометрии
приближенными методами, основанными на модельном «одно-
электронном» гамильтониане Хартри — Фока. В химической ли-
литературе результаты таких расчетов нередко представляют в ви-
виде диаграмм Уолша: графиков изменения энергии одноэлектрон-
ных ЛКАО при варьировании выбранного геометрического па-
параметра молекулы. Для малых молекул однотипного строения
по диаграммам Уолша в ряде случаев можно предсказать зави-
зависимость геометрии от общего числа валентных электронов и от-
относительную устойчивость разных геометрических форм моле-
молекулы в основном и возбужденном электронных состояниях. Так,
молекулы дигидридов АНг, а также изоэлектпропных им (име-
(имеющих то же общее число валентных электронов при атоме А)
галогенидов АХг (где X = F, C1) в случае А = Be с четырьмя ва-
валентными электронами линейны, тогда как их аналоги с А =0,
S и восемью электронами, а также реакционноспособные кар-
бепоидпые частицы с А = С, Si и шестью электронами имеют
уголковое строение (рис. 5.10).
9 = 180* С*, ф = 90*
Рис. 5.10. Диаграмма Уолша для дигидридов
309
В теоретической химии диаграммами Уолша часто иллюстри-
иллюстрируют изменения энергий высшей занятой молекулярной орбита-
орбитали (ВЗМО) и низшей свободной молекулярной орбитали (НСМО)
при варьировании молекулярной геометрии. На качественном
сопоставлении энергий и формы ВЗМО и НСМО молекулярных
фрагментов с привлечением теоретико-групповых подходов для
оценки их интеграла перекрывания основан метод граничных
орбиталей, широко используемый в органической химии.
Одним из общих правил построения диаграмм Уолша, выте-
вытекающим из адиабатического приближения [52, т. 3V гл.13], яв-
является непересечение состояний, преобразующихся по одному и
тому же неприводимому представлению точечной группы рас-
рассматриваемой системы. В 1965 г. Вудворд и Хоффман распро-
распространили это правило на химические реакции: граничные ор-
орбитали соединяющихся молекул в их промежуточном агрегате
(«переходном состоянии») непрерывно преобразуются в ВЗМО
и НСМО продуктов реакции без пересечения энергетических
уровней, относящихся к одному типу симметрии (принцип сохра-
сохранения орбитальной симметрии). На основе принципа Вудвор-
да—Хоффмана были выведены правила отбора, позволяющие
предсказывать продукты некоторых реакций органической хи-
химии [29].
5.3. СИММЕТРИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
КРИСТАЛЛОВ
Высокая трансляционная симметрия кристаллов непосред-
непосредственно определяет многие их свойства. В этом разделе мы рас-
рассмотрим связь физических характеристик кристаллов с их то-
точечными и пространственными группами.
5.3.1. Матрица термодинамических коэффициентов
Феноменологическое описание состояния кристаллической
среды в поле внешних сил строят на основе термодинамиче-
термодинамических потенциалов. Напомним, что состояние изотропной одно-
компонентной системы (например, газа) характеризуется дву-
двумя обобщенными силами (температурой Г и давлением р) и
двумя обобщенными координатами (энтропией 5 и объемом
V). Их функциями являются четыре взаимосвязанных термо-
термодинамических потенциала: внутренняя энергия С/, энтальпия
Н = U+pV, потенциал Гельмгольца F = U-TS и потенциал Гибб-
310
-а
rTS
-TS
-TS
-ED
а б
Рис. 5.11. Термодинамические потенциалы:
а — газа («термодинамический квадрат»); б — кристалла в электрическом
поле («термодинамический куб»)
са G = F+pV = U-TS+pV (рис. 5.11, а). Приращения внутренней
энергии U и потенциала Гиббса G при изменении состояния си-
системы равны
где 8Q = TdS — приращение теплоты в системе; SW = pdV —
работа, совершенная системой [84, гл.2].
Для кристалла в отсутствие магнитного поля аналогами E.39)
служат термодинамические соотношения*
dU =
dD + a : dz =
E.40)
— 1
где Е — вектор напряженности электрического поля; D = —D —
471
нормированный вектор диэлектрического смещения D = Е + 4лР
(Р — вектор поляризации среды); а = {а^} — тензор механиче-
механических напряжений (симметричный тензор 2-го ранга); г = {е^} —
такой же тензор деформаций.
В равновесном начальном состоянии (So, То) без приложенных
извне полей все компоненты {ж*} и {Х{} равны нулю. Дифферен-
Дифференцируя потенциал Гиббса E.40) как функцию нескольких пере-
переменных [df(x, у) = (df/dx)dx + (df/dy)dy] и разлагая ж* = -dG/dXi
по линейным приращениям обобщенных сил вблизи начального
*Как принято в физической кристаллографии [79], скалярное произведение век-
векторов в этом разделе обозначено (•), произведение двух тензоров 2-го ранга со
сверткой по координатам — (:).
311
состояния, получим связь обобщенных координат {xt-} = (Д5, Д, еу
и соответствующих им обобщенных сил {Х{) = (ДТ,2%,ау) (где
Д? = 5 - So, ДГ = Т - То) через матрицу термодинамических ко-
коэффициентов
х = МХ,
где М — симметричная квадратная матрица вторых производ-
производных -B
ер/Т
Pi
V2
Ръ
Р1Р2РЗ
{«*}
{dijk}
X11X12 -..Хзз
{dijk}
{Sijkl}
М =
Блоками матрицы М, действующими на соответствующие ча-
части вектора обобщенных сил, являются: Ср — скалярная удель-
удельная (изобарная) теплоемкость; {pi} — вектор пироэлектрических
коэффициентов; {Xij} ~ симметричный тензор 2-го ранга коэф-
коэффициентов теплового расширения; {сс^} — такой же тензор ди-
диэлектрической проницаемости; {dijfc} ~~ тензор 3-го ранга пьезо-
пьезоэлектрических коэффициентов; {s^w} — симметричный тензор
4-го ранга модулей упругости (sijkl = sjikl = зуц.).
Тепловые, электрические и механические воздействия на кри-
кристалл задают в нем 23 = 8 взаимосвязанных термодинамических
потенциалов (рис. 5.11, б). Физические явления, наблюдаемые
при таких воздействиях, схематически представлены на рис. 5.12
и обсуждаются в [66, 79].
Симметрию тензоров Т^ (см. подразд. 7.11), определяющую
«правила отбора» для коэффициентов в матрице М, на каче-
качественном уровне характеризуют их указательные поверхности,
задаваемые уравнением
f(n) = п • Т • п =
где п — единичный вектор в произвольном направлении про-
пространства, г, j = х, у, z.
Группа GyP свойства Y кристалла в соответствии с принци-
принципом Кюри является пересечением группы Gy симметрии это-
этого свойства в «пустом» пространстве и кристаллографического
класса С?кр:
312
Электротермические эффекты
Термоупругие эффекты
Электромеханические эффекты
Рис. 5.12. Термодинамические параметры (Г, {!%}, {<*i,j} ~~ обобщенные
силы; S, {Di}, {tij} — обобщенные координаты) и физические свойства
кристаллов [79, с. 389]
Например, пиро- и пьезоэлектрический эффекты могут на-
наблюдаться только у нецентросимметричных кристаллов, по-
поскольку при наличии центра симметрии Т все компоненты тен-
тензоров нечетных рангов {pi} и {в,ф} обращаются в нуль. Можно
показать, что кристаллы класса 432 (О) также не имеют (ли-
(линейных) пьезоэлектрических свойств, а в классах 622 (Dq) и 422
(Л*) не обнаруживают продольного пьезоэлектрического эффек-
эффекта при одноосном сжатии.
Симметричные тензоры 2-го ранга (ае, а) приводятся к диаго-
диагональному виду, например:
E.41)
откуда следует три возможных типа симметрии их свойств:
oo/moo (Kh) (an = a22 = a33), oo/mm (Д»*) (an = a22 i ос3з)
313
'И
0
0
0
«22
0
0
0
«33
Рис. 5.13. Указательные поверхности:
а — вектора (oom); б — тензора 2-го ранга (ттт\ ai, аг, аз > 0); в — коэф-
коэффициента теплового расширения кальцита (oo/mm); отрицательные значе-
значения показаны черным
и ттт (I?2/i) (an ^ (X22 i- с&зз)- Соответственно, диэлектри-
диэлектрическая проницаемость и коэффициент расширения кубических
кристаллов изотропны и графически изображаются сферой, то-
тогда как в кристаллах средних сингоний этим тензорам отвечают
эллипсоиды вращения, а в ромбической сингоний — трехосные
эллипсоиды, главные оси которых совпадают с направлениями
(а, Ь, с). В моноклинных кристаллах эти эллипсоиды при изме-
изменениях электрического поля (тензор а) и температуры (тензор %)
могут поворачиваться в плоскости симметрии, а в триклинных
кристаллах — вокруг произвольного направления в простран-
пространстве. Для ряда кристаллов (например, кальцита СаСОз) неко-
некоторые из главных компонент тензора % могут быть отрицатель-
отрицательными: размеры такого монокристалла по соответствующему на-
направлению уменьшаются при нагревании (рис. 5.13).
Характеристическая поверхность* тензора диэлектрической
проницаемости
г • a • г = 1,
т. е.
ijXiXj = 1,
E.42)
называемая эллипсоидом Френеля, показывает также и анизо-
анизотропию оптических свойств кристалла. Кубические кристаллы
(где этот эллипсоид становится сферой) оптически изотропны;
в кристаллах средней и низшей сингоний наблюдаются двойное
лучепреломление и вращение плоскости поляризации света.
Упругие свойства кристаллов в линейном приближении опре-
определяются симметричным тензором 4-го ранга {вум} по обобщен-
обобщенному закону Гука
е = s : a, E.43)
В системе координат, совпадающей с главными осями тензора х\,Х2,хз, ха-
характеристическая поверхность имеет вид Т\х\ +Тъх\ + Т3Х3 = 1. Для тензоров с
Т1,Т2,Гз > 0 она также изображается эллипсоидом.
314
где е и а — соответственно тензоры деформаций и напряжения.
Число независимых модулей упругости, входящих в {зу^},
изменяется от 21 в триклинных кристаллах до трех в кубических
и двух в изотропных средах (стеклах) симметрии оо/шоо. (Та-
(Таким образом, упругие свойства кубического кристалла не изо-
изотропны.) Свойства симметрии тензора s и связанных с ним тен-
тензоров Кристоффеля определяют распространение звуковых волн
в кристалле [79, гл. 6].
Магнитную симметрию кристалла описывают шубниковски-
ми точечными и пространственными группами, содержащими
операцию обращения времени 1' (см. подразд. 2.13). Экспери-
Экспериментально их находят из данных по дифракции поляризован-
поляризованных нейтронов или (циркулярно поляризованного) рентгенов-
рентгеновского синхротронного излучения. Кристаллы 230 «серых» про-
пространственных групп G х 1' немагнитны, тогда как 230 полярных
(белых) и 1191 черно-белых групп допускают магнетизм. Ферро-
Ферромагнитные кристаллы охватывают 275 шубниковских групп, от-
относящихся к 31 магнитному классу: точечным подгруппам груп-
группы симметрии аксиального вектора магнитного момента oo/mm'.
(Напомним обозначение R! = R • 1', где R — символ произволь-
произвольного элемента симметрии.) К шубниковским группам, выводи-
выводимым из остальных 59 белых и черно-белых точечных групп, а
также к черно-белым пространственным группам из 32 «серых»
кристаллических классов, относятся, соответственно, антифер-
антиферромагнетики 1-го и 2-го рода.
Учет влияния магнитного поля — т. е. аксиальных векторов
напряженности поля Н и магнитной индукции В = В/4я, свя-
связанных тензором магнитной проницаемости {%ij} — увеличивает
число термодинамических потенциалов до 24 = 16. В симметрич-
симметричной матрице термодинамических коэффициентов М A3 х 13) при
этом возникают блоки, отвечающие пиромагнитному (магни-
токалорическому), пьезомагнитному и магнитоэлектрическо-
магнитоэлектрическому эффектам.
Последний заключается в электрической поляризации кри-
кристалла в магнитном поле (прямой магнитоэлектрический эф-
эффект) либо в его намагничивании в электрическом поле (об-
(обратный магнитоэлектрический эффект). Величины поляриза-
поляризации (соответственно, намагничивания) определяются компонен-
компонентами несимметричного тензора магнитоэлектрических коэффи-
коэффициентов B-го ранга) {v^}, которые могут отличаться от нуля
в ряде нецентросимметричных белых и черно-белых точечных
групп. Пиро- и пьезомагнетизм наблюдались только в магнит-
магнитных кристаллах, шубниковские группы которых не содержат ин-
инверсии времени 1' (табл. 5.5).
315
Таблица 5.5
Зависимость физических свойств кристаллов от точечной симметрии
Физический эффект
Пироэлектрический,
электрокалориче-
электрокалорический
Сегнетоэлектриче-
ские свойства
Тепловое расшире-
расширение пьезокалориче-
ский
Прямой и обратный
пьезоэлектрический
Двойное
лучепреломление
Вращение плоскости
поляризации света
Ферромагнетизм
Антиферром агнетизм
Пиромагнитный
Пьезомагнитный
Кристаллографический класс
Эффект разрешен
10 полярных классов:
1, 2, 3, 4, 6, т, тт2,
Зт, 4тт, бтт
Т < Тс: 10 полярных
классов
Т > Тс: обычно 222,
42т, тЗт
Все классы (анизо-
(анизотропны в низших и
средних, изотропны в
высших сингониях)
20 нецентросиммет-
ричных
18
нецентросимметрич-
ных: низшие син-
гонии двуосные,
средние сингонии
одноосные
1, 2, т, 222, тт2, 3,
32, 4, 4, 422, 42т, 6,
622, 23, 432
Подгруппы оо/тт'
C1 магнитный класс)
I тип: 59 «белых» и
«черно-белых» ма-
магнитных классов;
II тип: «белые» и
«черно-белые» про-
пространственные груп-
группы в «серых» классах
31 ферромагнитный
класс
66 магнитных клас-
классов*
Эффект запрещен
Центросимметричные;
222, 32, 4, 42т, 422, 6,
62т, 622, 23, 432, 43т
Тоже
Нет
Центросимметричные;
432
Центросимметричные;
все кубические
Центросимметричные;
3m, 4mm, 6, бтт, 6т2,
43т
«Серые» простран-
пространственные трупы
Тоже
»
21 антисимметричный
магнитный класс (с
операцией 1 х 1'); 432,
432, тЗт
316
Окончание табл. 5.5
Физический эффект
Магнитоэлектриче-
Магнитоэлектрический
Кристаллографический класс
Эффект разрешен
58 магнитных клас-
классов*
Эффект запрещен
Центросимметричные
«серые» и «черно-
белые»; 6, 6;, б'/т,
677l2, 6771 2 , 6 771 771,
б'22;, б'/тпттп', 43W,
4;3'2;, т'Зт
* Фактически наблюдались в небольшом числе кристаллов.
Учет кубических членов вида --
в разложе-
нии потенциала Гиббса позволяет описать нелинейные эффекты
высших порядков — например, квадратичную диэлектрическую
проницаемость (тензор 3-го ранга с компонентами ),
электрострикцию (тензор 4-го ранга
•), фотоупругость
j
и другие поправки, существенные в сильных внешних полях.
В частности, генерирование вторых гармоник лазерного излу-
излучения с круговой частотой 2coq (где ©о — частота падающего
света) в нецентросимметричных кристаллах сегнетоэлектриков
определяется тензором квадратичной поляризации.
5.3.2. Колебательные спектры кристаллов
Трехмерный кристалл, как гигантская молекула из N элемен-
элементарных ячеек с р независимыми атомами в каждой ячейке, обла-
обладает ЗАГр-6 ~ 3Np (N очень велико) нормальными модами, ко-
которые преобразуются операциями симметрии по неприводимым
представлениям его пространственной группы G. По аналогии с
колебаниями молекул, эти моды можно построить, действуя на
смещения {Ьг} всех атомов кристалла проекционными операто-
операторами
О[Гар(к)}=
E.44)
где к — непрерывный трехкомпонентный индекс неприводимого
представления подгруппы трансляций Т; вектор т e 7 соответ-
317
ствует переносу на период повторяемости кристаллической ре-
решетки; gi — операция из фактор-группы G/7 пространственной
группы кристалла G по подгруппе его трансляций; а — индекс
неприводимого представления этой группы; р — номер компо-
компоненты этого представления, если оно многомерно.
Для симморфных пространственных групп G/7 изоморфна
точечной группе кристалла, т. е. кристаллографическому классу
(см. подразд. 2.3).
В отличие от дискретных частот колебаний молекулы ofy, ча-
частота любой нормальной моды кристалла образует непрерывную
полосу со* (А*), где вектор к обратной решетки изменяется в преде-
пределах симметрически независимой части зоны Бриллюэна. Зави-
Зависимость смещений от времени t при гармонических колебаниях
дает для нормальной моды кристалла уравнение плоской бегу-
бегущей волны
= Qo exp[i(kx - ©*)] E.45)
с волновым вектором к. (Напомним, что функции {егкх} преоб-
преобразуемые по неприводимым представлениям группы трансляций
7, составляют полный набор, по которому можно разложить лю-
любую непрерывную функцию.)
Учет трансляционной симметрии в E.44) позволяет строить
приводимое представление Г{8г}, действуя операциями простран-
пространственной группы G только на смещения р независимых атомов
в элементарной ячейке кристалла. Вклады атомных смещений в
характер представления Г{8г} определяют по обычным прави-
правилам:
%(gi) = p(gi)B cos ф +1) для собственных вращений,
%{9i) = p(9i)B cosФ~" 1) дая несобственных вращений, E.46)
где p(gi) — число атомов в ячейке, оставляемых операцией gi на
месте либо переносимых ею на трансляцию решетки; ф = 2пк/п —
угол собственного или несобственного поворота в этой операции.
Для винтовых поворотов и скользящих отражений, которые пе-
переносят все атомы ячейки в симметрически неэквивалентные по-
позиции на 1/га периода решетки (где т е Z1), p(gi) = 0. Таким
образом, при определении нормальных мод кристалла совокуп-
совокупность атомов в его элементарной ячейке служит аналогом мо-
молекулы из подразд. 5.2.1. В процедуре приведения используются
лишь «закрытые» элементы симметрии пространственной груп-
группы G — однако, в отличие от анализа молекулярных колебаний,
318
учитываются также трансляционно эквивалентные позиции ато-
атомов.
Вклад шести линейных комбинаций атомных смещений, от-
отвечающих сдвигам и поворотам кристалла как целого, в беско-
бесконечномерное представление Г{8г}, пренебрежимо мал и потому
не учитывается. Но разложение вектора смещений г* = (х, ?/, z)
по плоским волнам, т. е. представление Г(хуг)егк* отвечает трем
физически реализуемым независимым колебаниям с параллель-
параллельными сдвигами атомов во всех элементарных ячейках кристал-
кристалла. Такие колебания, соответствующие распространению в кри-
кристалле звуковых волн, называются акустическими, а прочие
(Зр - 3) нормальных мод кристалла — оптическими.
При к —> 0 частоты акустических колебаний 0)ак(&) линейно
(ех ~ 1 + х при малых х) стремятся к нулю, а отвечающее им
представление становится представлением смещений кристалла
как целого Г(хуг). Длины волн для акустических мод, очевид-
очевидно, не могут быть меньше периодов элементарной ячейки. Мак-
Максимальная частота акустических колебаний (Ор называется де-
баевской частотой кристалла, а отвечающая ей эффективная
температура 0 = Нсйр/кв, гДе ^в ~ постоянная Больцмана, —
температурой Дебая.
Полосы оптических колебаний coon(fc) при к=0 преобразуются
по неприводимым представлениям точечной группы кристалла,
а при к ^ 0 — по представлениям локальной группы вектора fc,
образующего звезду *к. Таким образом, размерности представле-
представлений Г[со;@)] (для оптических мод) равны размерностям неприво-
неприводимых представлений соответствующей кристаллографической
группы, a r[co;(fc)] (для любых мод) — размерностям представ-
представлений их локальной точечной группы, умноженным на число
векторов в звезде *к (см. подразд. 3.14).
Атомные смещения при акустических и оптических колеба-
колебаниях схематично показаны на рис. 5.14 на примере двумерного
ортогонального кристалла, составленного из двухатомных мо-
молекул. Такой кристалл, очевидно, имеет две акустические и две
оптические моды; последние включают высокочастотную моду
сОв(А-), составленную из валентных колебаний молекул, и низко-
низкочастотную моду (Ол(к) их крутильных колебаний (либрации) в
плоскости рисунка.
Нормальные моды трехмерного кристалла определим на при-
примере алмаза, принадлежащего к несимморфной кубической груп-
группе FdZm (OfJ с двумя атомами С в минимальной элементар-
элементарной ячейке (рис. 5.15, а). Позиции этих атомов @,0,0) и A/4,
V4, V4, 1/а) в обычной ГЦК-ячейке учетверенного объема (см.
319
7
7
У»
7
/>
7
/>
7
7
/>
7
7
7
7
/>
7
7
Рис. 5.14. Оптическая (а) и акустическая E) моды двумерного кри-
кристалла
рис. 2.8) имеют локальную симметрию 43т (Т^) и связаны «от-
«открытыми» операциями симметрии: винтовыми осями 4i и «ал-
«алмазными» плоскостями d. Такую же структуру имеют кубиче-
кубические кристаллы Si и Ge. Применяя соотношения E.46), можно
найти представление атомных смещений по таблице характеров
группы Td:
с 8С3 ЗС2 6S4 60^
Г{8г} 6 0-200,
откуда в группе Оь^Тдх С{ имеем
Представление Т\и в группе Од отвечает смещениям (х,г/,г),
т. е. трижды вырожденной акустической моде, а T<ig — трижды
вырожденной оптической моде, разрешенной в КР-спектре.
При к ^ 0 акустические и оптические ветви колебательного
спектра расщепляются. Так, локальные группы вектора к в точ-
точках Л (Сзу) и Д (C±v) зоны Бриллюэна (рис. 5.15, б) задают рас-
расщепление трижды вырожденного оптического колебания г2д на
невырожденную и дважды вырожденную компоненты {а\ + е в
точке Ли&2+е в точке Д, рис. 5.15, в). В точке Е (локальная
группа С2у) происходит полное расщепление «t29» -> а\ +a2 + 6i-
В действительности расщепление и дисперсия оптической КР-
полосы кристаллического алмаза с волновым числом 1333 см"
очень невелики (ее полуширина около 2 см), однако полосы
колебаний кристаллов Si и Ge значительно шире. По колеба-
колебательным спектрам можно идентифицировать полиморфные мо-
модификации, различающиеся пространственными группами G и
количествами атомов р в элементарной ячейке.
320
г
в
Л к
Рис. 5.15. Кристаллическая структура (а); зона Бриллюэна (б) и коле-
колебательные дисперсионные кривые (в) алмаза (пространственная груп-
группа Fd3m)
Упражнение 5.5. Найти представления колебаний со@) кри-
кристалла перовскита СаТЮз (пространственная группа РтЗт, см.
рис. 5.24, а).
Из дисперсионных кривых co^fc) можно рассчитать макроско-
макроскопические характеристики кристалла — в частности, температур-
температурную зависимость удельной теплоемкости (при Т < 9 возбужда-
возбуждаются только акустические моды и Су ~ Т3). Для описания теп-
теплового расширения и теплопроводности кристалла необходимо
учитывать ангармонические поправки dnU/dQi...dQk (n = 3,4) к
потенциалу межатомных взаимодействий*. Показателем ангар-
ангармоничности колебаний кристалла служит параметр Грюнайзе-
на у= 9Aп9)/9AпУ), связывающий (изотропный) коэффициент
* В гармоническом приближении кристалл имеет нулевой коэффициент теплово-
го расширения и бесконечную теплопроводность, поскольку возбужденные состоя-
состояния гармонических осцилляторов симметричны относительно их равновесных по-
положений (см. рис. 5.5), а волны гармонических колебаний распространяются неза-
висимо одна от другой.
321
теплового расширения ае с удельной теплоемкостью Су и модулем
всестороннего сжатия В =-У(дР/дУ)т'-
5.3.3. Зонная структура кристалла
При упругом рассеянии электрона на атомах кристалла его
трансляционные индексы (&ь&2>^з) сохРаняются и могут рас-
рассматриваться как квантовые числа: компоненты волнового век-
вектора fc, связанного с квазиимпульсом рэл электрона в кристалле
обычным соотношением рЭл = Кк. Волновые функции кристалла,
отвечающие неприводимому представлению подгруппы трансля-
трансляций с волновым вектором к в 1-й зоне Бриллюэна, записывают
в виде разложения по функциям Блоха, построенных из орбита-
лей атомов в кристалле подобно разложению ЛКАО для моле-
молекулярных волновых функций:
Ф ^r-Zj), E.47)
где {ф^(г- Щ)\ — набор АО атомов с координатами Щ в ячей-
ячейке. Одноэлектронные состояния кристалла можно построить,
действуя проекционными операторами E.44) на валентные АО
всех атомов в элементарной ячейке. Дисперсионные зависимости
электронных состояний e(fc) называются электронными зонами
(или полосами электронных энергии) кристалла*. Простое вве-
введение в зонную теорию твердых тел можно найти в [3] и [91].
Поскольку размеры реальных кристаллов конечны, электрон-
электронная зона e(fc) фактически состоит из очень близко расположен-
расположенных дискретных энергетических уровней, заполняемых электро-
электронами в соответствии с принципом Паули (подразд. 5.1). Это да-
дает конечную плотность состояний п(Е) электронов в любом за-
заданном энергетическом интервале (?, E + SE). Верхний заня-
занятый уровень в квазинепрерывном распределении п(Е) называ-
называется уровнем Ферми ер. Электропроводность кристалла опреде-
определяется плотностью вакантных электронных состояний, близких
по энергии к этому уровню. Напомним, что в металлах полоса
состояний e(fc), образованная валентными АО, недозаполнена, в
полуметаллах имеется вакантная зона проводимости, вплотную
* Следует обратить внимание на случайное совпадение разных по значению тер-
терминов «зона Бриллюэна» (геометрическая область обратной решетки кристалла)
и «электронная зона» (полоса энергетических уровней кристалла e(fc)). В зару-
зарубежной литературе используются более однозначные термины: соответственно,
Brillouin zone и (electron) energy band.
322
примыкающая к заполненной валентной зоне, а в полупровод-
полупроводниках и диэлектриках эти две зоны разделены энергетическим
интервалом (запрещенной зоной) шириной, соответственно, от
0,1 до 2 — 3 эВ и свыше 5 — 6 эВ A эВ = 1,6 • 1(Г19 Дж соответ-
соответствует 8066 см).
Зонная структура кристалла в ^-пространстве обладает сим-
симметрией его точечной группы (см. подразд. 3.14). Зависимости
одноэлектронных энергий е(А;) обычно рассчитывают в базисе
функций Блоха приближенными квантовомеханическими мето-
методами, представляя результаты в виде графиков (наподобие диа-
диаграмм Уолша, см. рис. 5.10) с варьированием модуля волнового
вектора к вдоль особых направлений зоны Бриллюэна (см. под-
подразд. 3.14). В приближении сильной связи, нередко используе-
используемом в таких расчетах, учитывают перекрывание АО лишь меж-
между соседними атомами, т. е. полагают, что атом в кристалле хи-
химически связан лишь со своим непосредственным окружением.
На качественном уровне данное приближение позволяет утвер-
утверждать, что валентная зона и зона проводимости составлены, со-
соответственно, из «связывающих» и «разрыхляющих» одноэлек-
одноэлектронных уровней по аналогии с МО простых молекул, хотя в
трехмерном кристалле эти зоны могут перекрываться [91].
Для простых высокосимметричных кристаллов качественный
вид диаграмм e(fc), определяющих функцию плотности элек-
электронных состояний п(Е), можно найти теоретико-групповыми
методами без проведения расчета. Например, электропровод-
электропроводность графита определяется в первую очередь 7с-электронной си-
системой его двумерного гексагонального атомного слоя симмет-
симметрии рб/ттт (см. рис. 2.31, а), зона Бриллюэна которой являет-
является правильным шестиугольником в области (-%/а < кх^ку < п/а)
(см. рис. 3.5). Представления л-электронных состояний такого
слоя вида E.47) в особых точках зоны ГA)б/1), K(D^) и МA>2/1),
получают действием операторов E.44) нар^-АО (фьфг) двух ато-
атомов С, содержащихся в его элементарной ячейке (рис. 5.16).
Количественный расчет я-электронных энергий e(fc) графита,
в соответствии с орбитальным составом я- и я*-зон, показывает
их значительное расщепление в точке Г, меньшее расщепление
в точке М и вырождение (соединение) в точке К, где я- и я*-
комбинации АО одинаковы (рис. 5.17, а). Функция плотности
состояний графита, таким образом, имеет минимум на уровне
Ферми, и кристаллический графит является полуметаллом. По-
Повышение температуры, а также внедрение электронодонорных
(атомы металлов) или электроноакцепторных частиц (CI2+AICI3
и др.) между атомными слоями графита увеличивают их элек-
электропроводность .
323
а-Зр
а + Зр
Фаза АО
Рис. 5.16. Ti-Электронные состояния графитового слоя в особых точках
зоны Бриллюэна (Johnston R. L., Hoffman R. // Polyhedron. 1990. V. 9.
P. 1901)
В то же время гексагональный нитрид бора BN, имею-
имеющий графитоподобную структуру плоского атомного слоя (см.
рис. 2.31, б) и такое же число (8) валентных электронов в эле-
элементарной ячейке, является диэлектриком вследствие расщепле-
расщепления тс- и тс*-ветвей по энергии в точке К. Возникновение энерге-
энергетической щели на уровне Ферми в гексагональном нитриде бора
(рис. 5.17, б) происходит ввиду разного строения его л- и я*-зон,
составленных в этой точке, соответственно, из р^-АО атомов В
и N. В теоретико-групповых терминах двумерное представление
Г(я,л*) слоя графита в точке К его зоны Бриллюэна порожда-
порождается расширением фактор-группы G/7 (где G = рб/mmm, 7 — ее
подгруппа трансляций) выше локальной ?>3/гсимметрии точки
К за счет скользящего отражения д е рб/ттт, связывающего
324
п(Е)
7 "Т"
/ \
/ \
' N
V ,'
ч
ч
ч
N
у
>
/ \
/ \
/ \
/
/
N
N
N
ч X
ч 2
•
/
/
/ ¦ ,
ш
8888
f
ДЛЙЙЙЙЙЛ
п(Е)
М
Рис. 5.17. Кривые электронной энергии г(к) и плотности состоя-
состояний п(Е) для гексагонального слоя графита (а) и нитрида бора (б)
(Zupan J. II Phys. Rev. 1972. V. 6. P. 2477). Символы особых точек см.
рис. 5.16
позиции атомов С (см. подразд. 3.14). В группе р6т2 гексаго-
гексагонального слоя BN эта операция отсутствует, и G/7 ~ D^.
Электронные зоны в трехмерном кристалле алмазоподобно-
го кубического кремния, образованные валентными 5- и р-АО,
показаны на рис. 5.18. Везде, где это не вызывает путаницы,
мы обозначаем группы точечной симметрии по Шенфлису, а их
представления — по Малликену*.
По ширине запрещенной зоны алмаз (Д?=5,4 эВ) относится к
диэлектрикам или широкозонным полупроводникам, а кремний
A,14 эВ) и германий @,74 эВ) — к обычным полупроводникам.
Ветви e(fc), составленные из валентных АО кремния, расщепля-
расщепляются в точках^зоны Бриллюэна в соответствии с локальной груп-
группой вектора к (см. рис. 5.15, б). В точке Г(О^) а-связи Si—Si,
расположенные по тетраэдру вокруг каждого атома, дают свя-
В физике твердого тела элементы пространственных групп обозначают симво-
символом {Я|?}, где t соответствует трансляции, а Я — собственному либо несобственно-
несобственному повороту. Ранее в физической литературе любые операции точечной симметрии
# не совсем удачно назывались «вращениями». Для неприводимых представлений
ветвей e(fc) также используются символы их точек в зоне Бриллюэна с произволь-
произвольно установленными индексами: это позволяет учитывать варьирование локальной
симметрии вектора к в особых точках, но делает формализм более громоздким и
Единообразным.
325
л(С3„) г@а) a(C4v)
Рис. 5.18. Электронные зоны кремния
зывающие комбинации А\д и Г2Р, расщепляемые при понижении
симметрии в направлениях A00) {C^v) и A11) (C*3V) на три вет-
ветви валентной зоны. Низкоэнергетические компоненты нижней
а*-разрыхляющей комбинации АО (Т\и в точке Г), расщепля-
расщепляясь в указанных направлениях, образуют дно зоны проводимо-
проводимости. Заметим, что, аналогично вырождению тс- и тс*-зон графита
в точке К, все ветви г(к) в точке X двукратно вырождены из-
за наличия плоскостей скользящего отражения между позиция-
позициями @,0,0) и I -, -, - J: эта дополнительная операция симметрии
порождает к точке X фактор-группу D^h X (а) 2 с двумерными
неприводимыми представлениями (подразд. 3.14).
5.3.4. Электрон-фононное взаимодействие
Распространение колебаний в кристалле можно представить
в виде движения фононов: модельных квантовых квазичастиц,
подчиняющихся статистике Бозе. Колебательные дисперсион-
дисперсионные кривые щ(к) в этом случае называют фононными зонами.
Модельными квазичастицами описывают и другие возбуждения
кристалла: плазменные колебания электронов в решетке (плаз-
326
моны), неионизированные (экситопы) и ионизированные {поля-
роны) возбужденные электронные состояния атомов и др. При
учете ангармоничности тепловых колебаний фононы в кристал-
кристалле могут взаимодействовать между собой или с иными частица-
частицами. В отличие от электронов, квазичастицы в кристалле не со-
сохраняются; в их описании используется формализм операторов
рождения и уничтожения, разработанный в квантовой теории
поля (см. подразд. 5.5).
Учет электронно-фононного, т. е. электронно-колебательного
взаимодействия позволяет описать оптические переходы и неко-
некоторые макроскопические свойства кристаллов, в частности, уве-
увеличение электропроводности полупроводников под действием све-
света. Последний эффект вызван ростом плотности носителей за-
зарядов (электронов в зоне проводимости и вакансий—«дырок»
в валентной зоне) при фотовозбуждении электронов валентной
зоны с энергиями вблизи уровня Ферми. Оптические переходы
между точками зон Ф*(?) -» Ф^(А?) при этом подразделяются на
прямые (к = к1) и непрямые, вызванные электрон-фононным вза-
взаимодействием с очевидным правилом отбора (см. E.22)):
k + q = k', E.48)
где q — волновой вектор фонона.
Переход (см. рис. 5.18) из точки 1 в валентной зоне Si в точ-
точку 2 в его зоне проводимости с минимальной энергией возбуж-
возбуждения, равной ширине запрещенной зоны ДЕ, может произойти
двумя путями: 1 —> 1; —> 2 и 1 —> 2' —> 2. Вертикальный оптиче-
оптический переход lpfyg) —* \.г(Т\и) в точке Г разрешен в дипольном
приближении, так как в произведении этих представлений со-
содержится представление смещений T(xyz) (T\u в группе O/J:
T<ig х Т\и = A<iu + Еи + Т\и + Т2и-
Фононный переход 1' —> 2 между точками Г- и А-типов разре-
разрешен в группе С^у, если матричный элемент (ФB)|<2|ФA')) в этой
группе содержит полносимметричную часть:
Г(Т1и) xAi xQ = (Ax+E) xAi xQ = Q + ExQ,
где компоненты представления T(Tiu) состояния 1' в локальной
группе C^v определяются непосредственно, а фононное представ-
представление обозначено Q.
Таким образом, переход 1' —> 2, как и весь переход 1 —> 2 по
этому каналу, разрешен при участии акустического (Q = А\) и
оптического (Q = Е) колебаний решетки. Другой канал перехода
327
1 —> 2' -> 2 в части 1 —> 2' разрешен для всех колебаний алмазо
подобной решетки (см. рис. 5.15):
ЦТ2д) х Е х Q = (В2 + Е) х Е х QE x Q + (Ai + А2 + Вг + В2) х Q,
а его вертикальная оптическая компонента 2х —> 2 (А\ х Е =
= Е(х,у)) разрешена под действием света, поляризованного в
кристаллографической плоскости @01). Анализ переходов меж-
между точками с разными локальными группами (например, низко-
низкоэнергетического перехода L3(^3/i) ~* Хг(Щн ^ (аЫ в кристалли-
кристаллическом германии) приведен в [71].
Из-за электрон-фононного взаимодействия (т. е. ангармонич-
ангармоничности колебаний решетки) волновой вектор к движущегося элек-
электрона перестает быть квантовым числом: сохраняется только
сумма k + qc произвольным числом фононов. Обращенное соот-
соотношение E.48) отвечает рождению фононов при движении элек-
электрона через кристалл, т.е. передаче части кинетической энер-
энергии электрона колебаниям решетки (электрическому сопротив-
сопротивлению). Матричный элемент неупругого рассеяния электрона на
атомах кристалла («рассеяния на фононах»):
E.49)
где Vij — тензорный потенциал деформации решетки; к' =
При движении с неупругим рассеянием область кристалла,
деформированная одним электроном, может влиять на распро-
Рис. 5.19. Взаимное притяжение электронов через деформацию решет-
решетки (а) и обмен виртуальным фононом (б) [39]
328
странение другого электрона, порождая их виртуальное взаи-
взаимодействие (рис. 5.19, а). Матричный элемент такого взаимо-
взаимодействия двух электронов через деформацию решетки («обмен
виртуальным фононом», рис. 5.19, б), рассчитанный по теории
возмущений:
JM(gf)|2to E.50)
-??(fc')]2-(ft©J
где со — круговая частота колебаний решетки в интервале энер-
энергий Е(к) - E(kf) < h(o(q) отвечает их взаимному притяжению
(точнее, притяжению электронов к деформированному участку
кристалла, аналогичному притяжению одноименно заряженных
ядер в молекуле к области повышенной электронной плотности
между ними)*.
5.3.5. Приближение слабой связи
Некоторые физические свойства кристаллов определяются
формой изоэнергетических поверхностей в обратном простран-
пространстве г(к) = const — в частности, формой поверхности Ферми
Ер(к). На качественном уровне такие поверхности строят в при-
приближении слабой связи, рассматривая движение «электронного
газа» в периодическом возмущающем поле кристалла. С учетом
принципа Паули кинетическая энергия ЕКИН = h2k2/2m свобод-
свободных электронов в трехмерном пространстве ограничена сфери-
сферической поверхностью гр(к). Рассеяние электронов на кристалли-
кристаллической решетке приводит к разбиению обратного пространства
на зоны Бриллюэна объемом ~ 8тс3/1^ч, где Уяч — объем эле-
элементарной ячейки кристалла в «прямом» пространстве, и раз-
разделению многозначной зависимости энергии электронов от вол-
волнового вектора на энергетические зоны — полосы Е{(к) с перио-
периодами а* = 2тс/т, где а* — вектор обратной решетки. (Напомним,
что первой зоной Бриллюэна служит полиэдр Вороного обрат-
обратной решетки, см. подразд. 2.6 и 3.14.)
Для одномерной цепочки атомов (рис. 5.20) первая зона Брил-
Бриллюэна занимает интервал (-тс/а < к < тс/а), вторая — интерва-
интервалы (-2тс/а < к < -тс/а, тс/а ^ к ^ 2тс/а) и т.д. На границах зон
Вриллюэна находятся области запрещенных значений кинети-
кинетической энергии электронов. Можно доказать, что изоэнергети-
При определенных условиях это может приводить к куперовскому спариванию:
коррелированному движению электронов, лежащему в основе сверхпроводимости
(см. подразд. 5.3.6).
329
Рис. 5.20. Зоны г(к) электронного газа в одномерной цепочке атомов
(точки — симметрически эквивалентные параболы г(к) = (Н2/Bт))х
х(к-2пп/аJ; п = 0,±1,±2, ...). Выделена первая зона Бриллюэна, по-
показаны «щели» запрещенных значений энергии (A?i2, )
ческие поверхности, построенные с учетом рассеяния электрон-
электронного газа на решетке, перпендикулярны границам бриллюэнов-
ских зон [39].
При понижении трансляционной симметрии, т.е. увеличе-
увеличении периода повторяемости решетки, размеры зоны Бриллюэна
уменьшаются, а число ветвей Ei(k) в ней увеличивается — про-
происходит «складывание» зоны Бриллюэна (рис. 5.21).
Для плоских волн свободного электрона егкг в «пустой» трех-
трехмерной решетке справедливо соотношение
где Кп
330
(±П1а*,±П2б*,±пзс*) — векторы обратной решетки, а
— целые положительные числа или нуль.
а 2а
Рис. 5.21. «Складывание» зонной структуры при удвоении периода
одномерной цепочки
Качественный вид и симметрию электронных зон e(fc) с век-
вектором к в особых направлениях зоны Бриллюэна можно опре-
определить в приближении слабой связи, построив ветви парабо-
параболических функций E.51) по. всем симметрически эквивалент-
эквивалентным направлениям обратной решетки и затем «складывая» ин-
интервал значений к до их попадания в первую зону Бриллюэна
(рис. 5.22). Возмущения, вносимые потенциалом кристалла, при-
приводят к снятию вырождения ветвей e(fc), относящихся к разным
неприводимым представлениям локальных групп, и к образова-
образованию щелей на границах зоны Бриллюэна.
Приближение слабой связи позволяет, в частности, объяс-
объяснить изменения кристаллической решетки в бинарных сплавах
М\-ХМ'Х с увеличением числа пе валентных электронов, прихо-
приходящихся на один атом металла в элементарной ячейке (правило
Юма — Розери). Так, сплавы Cu-Zn (латунь) и Ag-Cd в интер-
интервале 1 ^ пе < 1,38 -г 1,42 имеют ГЦК-структуру металлической
меди, в интервале 1,48 ^ пе < 1,60 — структуру типа ОЦК, а при
fte > 1,68-г 1,70 — ГПУ (гексагональную плотнейшую упаковку
атомов). При пороговых величинах пе сферическая поверхность
Ферми в 1-й зоне Бриллюэна начинает касаться граней зоны, что
сопровождается деформацией электронной сферы и заполнени-
заполнением высокоэнергетических состояний (вблизи вершин 1-й зоны и
во второй зоне).
331
L
Г
X
/Jy
^4'. 1
Гз
1
/ /'
i
•
К Lx
Tx к
Рис. 5.22. Зоны свободных электронов в гранецентрированном ку-
кубическом кристалле в направлении диагоналей обратной решетки
(±к,±к,±к). Схема построения зон показана стрелками
Такое «давление» избыточного электронного газа вызывает
перестройку кристаллической решетки сплава с расширением
зоны Бриллюэна (рис. 5.23).
Рис. 5.23. Поверхность Ферми в решетках:
а - ГЦК, VF = 0,680V(T; б - ОЦК, Vf = 0,741^0* (VF ~ объем сферы
электронных состояний; Vq — объем зоны Бриллюэна; показаны области
соприкосновения)
332
5.3.6. Фазовые переходы в твердом теле
Температурные превращения конденсированных фаз с пере-
перераспределением связей между атомами, сопровождаемые скач-
скачкообразными изменениями энтропии и объема кристалла (фазо-
(фазовые переходы 1-го рода — например, графит ^ алмаз), факти-
фактически являются химическими реакциями в твердом теле. При
фазовых переходах 2-го рода, протекающих с непрерывными из-
изменениями 5, У и разрывами вторых производных потенциа-
потенциалов: теплоемкости T(dS/dT)p и изотермической сжимаемости
{дУ/др)т, общее расположение атомов в кристалле сохраняет-
сохраняется. К таким переходам относятся превращения типа «порядок-
беспорядок» с изменениями относительных заселенностей атом-
атомных позиций, многие сегнетоэлектрические и магнитные перехо-
переходы и др. Пространственная группа G\ фазы низкой симметрии в
этом случае является подгруппой группы Go высокосимметрич-
высокосимметричной фазы, а сам переход 2-го рода отвечает некоторому непри-
неприводимому представлению группы Go-
В теории Ландау фазовый переход 2-го рода характеризуется
параметром порядка т| (вектором поляризации сегнетоэлектри-
ков Р, намагниченностью магнетиков М, разностью заселенно-
заселенностей атомных позиций в разупорядоченных структурах и др.),
который равен нулю в высокосимметричной фазе и отличен от
нуля в (низкосимметричной) упорядоченной фазе. Разложение
термодинамического потенциала Гельмгольца F(p,T) (см. под-
разд. 5.3.1) в ряд по степеням параметра х\ вблизи температуры
перехода Тс (критической точки) в упорядоченной фазе дает
^ + ^л4 E.52)
в силу четности F. Из условия минимума F в состоянии термоди-
термодинамического равновесия (dF/дц = 0, d2F/dr\2 > 0) можно вывести
[52, т. 5, гл. 14], что в окрестности Тс:
А = а(Г-Тс); а,В «const, В > О,
откуда получается экспериментально наблюдаемая температур-
температурная зависимость параметра порядка в фазовых переходах 2-го
Рода:
^ Eв53)
Воздействия, способные вызвать фазовый переход 2-го рода в
кристаллической среде с параметром порядка вида ц(к) = ц(О)егкх
333
(в первую очередь колебания решетки) должны преобразовы-
преобразовываться по активным представлениям Тц(к) пространственной
группы Go, которые удовлетворяют условиям:
+ П Y(xyz) = О в локальной группе G^,
[Г2(О)Г П T(xyz) =0 в группе Go, E.54)
[Г* @)]+ П Го = 0 в группе Go,
где T(xyz) — представление трансляций; [Г{}]+ — симметризован-
ные степени представления Г^; Го — полносимметричное непри-
неприводимое представление в группе Go (см. подразд. 3.8).
Из E.54), в частности, следует, что вектор к активного пред-
представления Тц(к) может находиться только в центре зоны Брил-
люэна либо на границе зоны в ее особых точках. Соответствен-
Соответственно, периоды повторяемости решетки в точке перехода или не из-
изменяются (с понижением точечной симметрии кристалла), или
возрастают в целое число раз (с понижением трансляционной
симметрии). Возможные пространственные группы и изменения
периодов повторяемости при фазовых переходах 2-го рода для
всех 14 сингоний обсуждаются в [79, гл. 7].
Сегнетоэлектрические переходы. При переходе кристалла в
сегнетоэлектрическую, или ферроэлектрическую, фазу парамет-
параметром порядка служит вектор спонтанной поляризации Р симмет-
симметрии oom (Coov)- Переход Go -* G\ = Go n Coov может происхо-
происходить под действием колебаний решетки, представление которых
в группе Go содержит компоненты T{xyz). В частности, титанат
бария ВаТЮз со структурой перовскита при 393 К переходит
из высокотемпературной кубической модификации (РтЗт, пять
атомов в элементарной ячейке, рис. 5.24, а) в сегнетоэлектриче-
сегнетоэлектрическую тетрагональную (P4mm) с отношением с/а ~ 1,01. Малые
смещения атомов Ti внутри октаэдров, порождающие ненуле-
ненулевой дипольный момент элементарной ячейки, создаются одной
из трижды вырожденных оптических мод кристалла Т^-типа
(упражнение 5.5): мягкой модой, частота которой обращается в
нуль при Т = Тс (рис. 5.24, б). Расщепление Т\и -> А\ +? в то-
точечной группе С^у тетрагональной фазы содержит компоненту
Лх, которая отвечает дипольному моменту Рс ^0, направленно-
направленному вдоль оси с (спонтанная поляризация).
При отсутствии внешнего поля сегнетоэлектрический переход
сопровождается двойникованием кристалла: появлением участ-
участков с мезоскопическими размерами (доменов), поляризованных
в различных направлениях. При этом усредненная симметрия
первоначальной фазы сохраняется, и (Р) = 0. Так, в тетраго-
334
О
A • В
О
тс
Рис. 5.24. Кубическая элементарная ячейка перовскита АВОз (а) и ее
мягкая мода (б)
нальном ВаТЮз возникают домены, поляризованные по всем
шести направлениям A,0,0), (Т,О,О),...,(О,О,Т) исходной кубиче-
кубической ячейки. Пример сегнетоэлектрического фазового перехода
без изменения сингонии кристалла представляет нитрит натрия
NaNC>2, при Т > 438 К имеющий псевдотетрагональную ромби-
ромбическую ячейку с центром симметрии (пространственная груп-
группа Imrnm) и разупорядоченными положениями атомов, а ни-
ниже 436 К — упорядоченную нецентросимметричную структуру
(Jm2m) [53].
Магнитные переходы. Ненулевые магнитные моменты ато-
атомов, возникающие при наличии в них неспаренных электронов,
складываются из орбитальной и спиновой компонент (см. под-
разд. 5.4). Взаимодействие свободных магнитных моментов рц
соседних атомов в кристалле стабилизирует их параллельную
ориентацию, однако энергия такого взаимодействия на несколь-
несколько порядков ниже фактической энергии магнитного перехода
^магн ~ квТс (где Тс — критическая температура; к& — посто-
постоянная Больцмана). Формализм независимых электронов, лежа-
лежащий в основе зонной теории, не позволяет описать магнитное
упорядочение, поскольку стабилизированные одноэлектронные
состояния (например, связывающие комбинации АО в молеку-
молекулах), в соответствии с принципом Паули, порождают антисим-
антисимметричные спиновые функции, т. е. антипараллельное располо-
расположение спинов.
Параллельная ориентация соседних атомных магнитных мо-
моментов в кристалле достигается при расположении неспаренных
электронов в атомах металла на локализованных, слабо пере-
перекрывающихся d- или /-орбиталях за счет коллективных электро-
электростатических взаимодействий этих АО с валентными электрон-
335
ными состояниями. Возникающие отсюда эффективные взаимо-
взаимодействия соседних спинов описывает спиновый гамильтониан
Гейзенберга
хр^а ' 5j$» E.55)
где 5а, 5р — спины атомов; (•) — скалярное произведение (см.
подразд. 5.3.1); Jap — обменный интеграл, отражающий коллек-
коллективное взаимодействие локализованных неспаренных электро-
электронов при атомах а и р с валентными состояниями кристалла.
Заметим, что под спином ?а в данном случае понимается сум-
сумма спинового и орбитального момента локализованного элек-
электрона, порождающая атомный магнитный момент. Положитель-
Положительное значение обменного интеграла стабилизирует параллельную
ориентацию соседних спинов, создавая возможность для перехо-
перехода в ферромагнитную фазу; при Jap < 0 стабилизируется анти-
антиферромагнитное состояние с противоположной ориентацией спи-
спинов. Простое введение в теорию магнитных явлений в твердом
теле см. [3, гл. 32, 33] и [39, гл. 10].
Переходы парамагнитных кристаллов в ферромагнитную или
антиферромагнитную фазы сопровождаются макроскопическим
упорядочением магнитных моментов атомов и нарушением сим-
симметрии относительно инверсии времени в исходной «серой» груп-
группе Go = G х 1' (см. подразд. 5.3.1). Формальное описание магнит-
магнитных переходов подобно теории сегнетоэлектриков с заменой век-
вектора напряженности электрического поля Е аксиальным векто-
вектором магнитной индукции В (обобщенные силы), вектора поляри-
поляризации Р — аксиальным вектором намагниченности М (обобщен-
(обобщенные координаты) и федоровских групп — шубниковскими*. Од-
Однако из-за более значительных флуктуации параметра порядка
в магнитных системах по сравнению с кулоновскими магнитные
переходы не соответствуют теории Ландау в близкой окрестно-
окрестности Гс, где критические характеристики фаз расходятся по сте-
степенному закону, например:
(е = 1/3-1/2).
Для расчетов магнитных переходов используется модель
Изинга: кристаллическая решетка с магнитными моментами ±\i
* Фазовый переход a-Fe в ферромагнитное состояние при Т < 1043 К сопровож-
сопровождается лишь малыми тетрагональными искажениями кристалла (Ас/а ~ 10~5), не
выявляемыми в обычном дифракционном исследовании. Поэтому тетрагональные
кристаллы ферромагнитного a-Fe (шубниковская группа /4/гат'га') приближенно
считают кубическими (/гаЗга), хотя истинно кубической является только высоко-
высокотемпературная парамагнитная фаза (Jm3'm).
336
в узлах, связанных с соседними узлами локальными обменны-
обменными взаимодействиями. Использование группы перенормировок
в описании критических явлений при фазовых переходах крат-
кратко рассмотрено в гл. 6.
Сверхпроводимость. Притяжение электронов, близких по
энергии к уровню Ферми (e(fc) < е^), к деформированным об-
областям кристаллической решетки (см. рис. 5.19) приводит к
корреляции их движения в металле: образованию куперовских
пар. Такие пары, рассматриваемые как квазичастицы с цело-
целочисленным (нулевым) спином, при Т < Тс способны к бозе-
копденсации с переходом металла в сверхпроводящее состояние.
В теории Гинзбурга — Ландау возникновение сверхпроводимо-
сверхпроводимости рассматривается как фазовый переход 2-го рода с наруше-
нарушением калибровочной симметрии волновой функции электронов
в кристалле (см. подразд. 6.4). В роли параметра порядка вы-
выступает комплексная волновая функция коррелированных элек-
электронных пар Ф(п.,аьГ2,а2) (где ai,G2 — спиновые переменные):
Ф = О при Т >ТС. Нарушение симметрии электронных состояний
приводит к частичному снятию их трансляционного вырожде-
вырождения, т.е. к появлению запрещенной области значений к (щели
AF(T) -» Д/г(О) ~ 1,76квТс) на уровне Ферми.
Зависимость Тс ~ т~х' от атомной массы в ряде сверхпрово-
сверхпроводящих металлов (изотопный эффект) свидетельствует в пользу
электрон-фононного механизма спаривания. Благодаря спарива-
спариванию спинов сверхпроводник является диамагнетиком при внеш-
внешних магнитных полях ниже критической напряженности Нс. Ко-
Когерентное движение электронов в сверхпроводящем кристалле
при наличии щели Д^ делает невозможным их неупругие
взаимодействия с атомами, т.е.
рассеяние на фононах: посколь-
поскольку импульс колеблющегося ато-
атома передается всему электрон-
электронному газу как целому, возбуж-
возбуждение электрона на уровень вы-
выше Д/г, разрушающее межэлек-
межэлектронную корреляцию, требует
Е ~ пеАр » fico (где пе — чис-
число электронов сверхпроводимо-
сверхпроводимости в образце) (рис. 5.25). До
сих пор остается открытым во- Рис б 25 Поверхность Ферми
прос о причинах межэлектрон- сверхпроводника, штриховой ли-
ных корреляций в высокотем- Нией показано разрушение купе-
пературных сверхпроводниках, ровских пар
337
или ВТСП (смешанных оксидах металлов, металлофуллеренах
и др.) с сильной зависимостью Тс C0—160 К) от переменного
(«нестехиометрического») состава образца.
5.3.7. Молекулярные кристаллы
К молекулярным, или ван-дер-ваальсовым, относятся кри-
кристаллы, построенные из дискретных многоатомных молекул, свя-
связанных короткодействующими дисперсионными силами. Поле
таких сил можно приближенно представить суммой двухцентро-
вых потенциалов Леннарда — Джонса:
u(r) = -Аг + + *г"» = -е0 [2 (^) 6 - BI2] , E.56)
где г — расстояние между атомами; го и ео — соответственно
расстояние и энергия в минимуме потенциальной кривой.
В наиболее грубом приближении жестких сфер каждому ато-
атому г-го элемента в молекуле отвечает твердая сфера с ван-дер-
ваальсовым радиусом r^w < r^' (рис. 5.26, а). В молекуляр-
молекулярных кристаллах, характерных для органических соединений и
комплексов металлов с органическими лигандами, наблюдаются
плотные упаковки молекулярных «тел», ограниченных атомны-
атомными ван-дер-ваальсовыми сферами (рис. 5.26, б).
Плотной упаковкой молекул обусловлены относительно уз-
узкий интервал заполнения объема кристалла молекулярными «те-
«телами» (коэффициент упаковки 0,65 — 0,80), характерные крат-
кратчайшие расстояния между атомами соседних молекул (близкие
к суммам ван-дер-ваальсовых радиусов r^J^) и высокие моле-
молекулярные координационные числа (МКЧ). Последние определя-
определяются как общее число соседних молекул, образующих короткие
контакты с данной молекулой A0 — 14). Для молекулярных кри-
кристаллов типичны операции симметрии, совместимые с плотной
упаковкой низкосимметричных трехмерных фигур (трансляции,
центр инверсии, скользящие отражения, винтовые повороты) и
нехарактерны операции, несовместимые с ней (например, пере-
пересекающиеся зеркальные плоскости; рис. 5.27). Поэтому, напри-
например, собственный центр инверсии 1 центросимметричных моле-
молекул обычно является элементом пространственной группы мо-
молекулярного кристалла, тогда как плоскости т и оси 2 молекул
значительно реже переходят в элементы кристаллической сим-
симметрии. Среди молекулярных кристаллов, исследованных ди-
дифракционными методами (свыше 300000 соединений на 2004 г.)
338
Рис. 5.26. Потенциал ван-дер-ваальсова взаимодействия атомов (штри-
(штриховая линия — модель жестких сфер) (а) и расположение молекул (б)
в кристалле 2,6-динитронафталина (Китайгородский А. И. Органиче-
Органическая кристаллохимия. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 425)
три четверти всех структур относятся к пяти пространственным
группам: Р2ф C5%), Р1 A3%), Р2х2х2х A2%), P2i (8%) и С2/с
G%) [115] (табл. 5.6).
Принцип плотной упаковки молекул [43] фактически посту-
постулирует родство молекулярных кристаллов с высокосимметрич-
высокосимметричными плотнейшими упаковками шаров. Различие ван-дер-вааль-
совых размеров атомов и связи между ними при этом играют
роль возмущений. Так, температуры плавления (Тпл) и кипения
(?кип) органических соединений близкого элементного состава
[123] коррелируют со степенью диссимметрии их молекул в кон-
конденсированной фазе: отклонением ван-дер-ваальсовой формы
молекулы (которой определяется возмущающее «контактное»
Рис. 5.27. Упаковки: плотная рд (а) и неплотная ртт (б) низкосим-
низкосимметричных фигур на плоскости [43, с. 36]
339
Таблица 5.6
Наиболее вероятные пространственные группы молекулярных
кристаллов [43]
1
pi
P2i
P2i/c
Pca2i
Pno2\
P212121
Симметрия
1
PI
P2i/c
C2/c
Pbca
2
C2/c
P2i2i2
Pbcn
позиции молекулы
га
Pmc2\
Cmc2\
Puma
mm2
Fmm2
Pmma
Pmmn
в кристалле
2/m
C2/m
Pban
Cmca
222
C222
P222
/222
Ccca
771771771
Стптптп
Fmmm
Immm
поле W ее ближнего окружения) от приближенной симметрии
G(Uo) суммарного поля всех молекул среды. В частности, аль-
альтернирование Тпл нормальных, т. е. цепочечных, предельных уг-
углеводородов (алканов) СпН2п+2 с четными и нечетными п со-
соответствует меньшим отклонениям «четных» линейных моле-
молекул от идеализированной ?Jд-симметрии кристаллического поля
(рис. 5.28).
Понижение симметрии среднего поля G(Uo) от молекулярных
кристаллов к жидкостям из-за присутствия в последних вакан-
вакансий приводит к различию структурных корреляций для Гпл и
Ткип- Присоединение заместителя к крупному молекулярному
остову высокой симметрии обычно сопровождается понижением
Тпл (бензол СбНб, 279 К -*• толуол С6Н5СН3,178 К) и повышением
Ткип (бензол, 353 К -*• толуол, 384 К при 760 торр). Кристаллы,
построенные из высокосимметричных молекул (СН4, SF6, C2CI6
и др.), при атмосферном давлении нередко возгоняются, не пла-
плавясь. Подробнее о строении молекулярных кристаллов и других
конденсированных фаз с преобладанием невалентных межмоле-
межмолекулярных взаимодействий см. [43].
Колебания кристалла, содержащего в элементарной ячейке Z
одинаковых n-атомных молекул, разделяются на Cn-6)Z внут-
внутренних мод (собственно молекулярных колебаний) и 6Z внешних
мод, отвечающих смещениям молекул относительно кристалли-
кристаллической решетки. В число внешних мод входят три акустических
и 6Z-3 низкочастотных оптических колебаний решетки; послед-
последние складываются из 3(Z- 1) трансляционных и 3Z вращатель-
вращательных колебаний молекул (либрации). Вырожденные колебатель-
колебательные и электронные переходы высокосимметричных молекул или
340
250
200
150
100
20
60
100
140
180
220 М
Рис. 5.28. Альтернирование температур плавления в четных и нечет-
нечетных нормальных алканах СпН2П+2- Точки — экспериментальные дан-
данные; линия — результаты расчета по уравнению Тпл = 120(/пМ)-
-2417as-216 (М — молекулярная масса; а3 — отклонение ван-дер-
ваальсовой формы молекулы от ?>2/гСимметрии) (Slovokhotov Y.L.,
Neretin I. 5., Howard J. A. K. // New J. Chem. 2004. V. 28. P. 967)
ионов (СбНб, NO3, NHJ и т.д.) могут расщепляться в низкосим-
низкосимметричном кристалле под воздействием поля их ближнего окру-
окружения.
Помимо расщепления вырожденных молекулярных колеба-
колебаний, в спектрах кристаллов, содержащих несколько симметриче-
симметрически независимых молекул в элементарной ячейке, проявляется
специфическое давыдовское расщепление. Этот эффект вызван
взаимодействием переходов одинаковой симметрии — например,
колебаний Qa(A) и Qa(B) — в молекулах А и В, находящихся в
разном ближнем окружении. Суперпозиция молекулярных мод
порождает колебания вида Qa(A) ± Qa{B) с несколько различа-
различающимися частотами (аналогичные симметричному и антисим-
антисимметричному валентным колебаниям молекулы НгО на рис. 5.8).
В данном случае расщепление полос в спектре кристалла может
порождаться невырожденными квантовыми переходами. Ана-
Анализ давыдовского расщепления в колебательном спектре сво-
сводится к приведению представления r(Z'Q), порожденного сум-
суммой Z1 колебаний Qa симметрически неэквивалентных молекул,
в фактор-группе кристалла [92, гл. 10].
Хотя большинство молекулярных кристаллов — диэлектри-
диэлектрики, среди них также встречаются полупроводники и соедине-
соединения с металлической проводимостью. «Одномерным металлом»
с анизотропной электропроводностью, близкой к электропровод-
341
ности графита, вдоль направления с при 295 К являются, напри-
например, тетрагональные кристаллы нестехиометрического ионного
комплекса K2Pt(CNLBro,3 • ЗН2О — продукта частичного окисле-
окисления {допирования) непроводящего K2Pt(CNL • ЗН2О. Расстояния
Pt ~ Pt в стопках анионов [Р^ОЧ^^вдоль оси с при допирова-
допировании уменьшаются от 330 до 289 пм (в металлической платине
277 пм), и линейная цепочка [Pt(CNL ' ]oo с недозаполненной зо-
зоной проводимости из dz2-k0 атомов Pt приобретает металлопо-
добную «дырочную» электропроводность (рис. 5.29, а).
При низкой температуре многие квазиодномерные проводни-
проводники переходят в диэлектрики с понижением трансляционной сим-
симметрии (т. е. увеличением периода повторяемости вдоль преж-
прежнего направления максимальной электропроводности) и появ-
появлением щели на уровне Ферми. Этот переход Пайерлса, яв-
являющийся «трансляционным» аналогом молекулярного эффек-
эффекта Яна —Теллера, вызван неустойчивостью линейной атомной
цепочки с недозаполненной зоной проводимости относительно
продольной оптической моды с периодом 2%/кр-, где кр — мо-
модуль волнового вектора на уровне Ферми. Упомянутый комплекс
CN
CN
Pt
/
ч
t
/
я
/
ч
/kv
I
Pt
/
/
\
}
с
/
NT
4
4
ч
N
\
\
\
\
>
/
/
/
/
/
У
/"
/
/
/
\
\
4
4
4
-к/с
E
*'~
r «*'
1
/
/
/
/
/
\
\
\
\
4
4
4
n/c к
Рис. 5.29. Пайерлсовское искажение бесконечной линейной цепочки
[Pt(CN)~1>7]oo с периодом с
342
— — ~
а
ПНИН
нннн
IIHlHll
d
ЕЕЕ ЕЕ
т»/
б в
Рис. 5.30. Элементы дальнего порядка в жидких кристаллах:
а — нематик; б — смектик; в — холестерик (d — вектор направления предпо-
предпочтительной ориентации (директор); т — период повторяемости; I — размер
молекулы)
K2Pt(CNLBro,3 * ЗН2О, с^г-зона которого заполнена на 5/б> ниже
120 К становится диэлектриком со сверхструктурной модуляци-
модуляцией вдоль направления цепочек с периодом V ^ 6,7с (рис. 5.29, б\
[24, гл.7]). Переходы пайерлсовского типа наблюдаются также
в кристаллах с двумерной анизотропной электропроводностью,
в частности дихалькогенидах переходных металлов МХ2 (где
М = Nb, Ta;X = S, Se) и в соединениях внедрения на их основе
[24, гл.6]. Модуляции атомных слоев, возникающие при фазо-
фазовом переходе в таких соединениях, называют волнами зарядовой
плотности (charge-density waves, CDW).
Некоторые молекулярные кристаллы ниже температур плав-
плавления или возгонки переходят в мезофазные состояния с частич-
частичным нарушением «дальнего порядка», свойственного кристалли-
кристаллической решетке. Так, либрационные колебания кристаллов, по-
построенных из молекул высокосимметричной ван-дер-ваальсовой
формы (метана СЩ, фуллерена Сбо> длинных цепочечных ал-
канов СпН2п+2 и др.), являются мягкими модами для их пере-
перехода в ротационные фазы с ограниченным вращением молекул,
неподвижные центры (СН4, Сбо) или цилиндрические оси ко-
которых (СпН2п+2) подчиняются трансляционной симметрии (со-
(соответственно кубической и гексагональной). Другой пример ча-
частично упорядоченных фаз представляют жидкие кристаллы,
в которых сохраняются элементы трансляционного порядка в
расположении анизотропных (вытянутых или уплощенных) мо-
молекул (рис. 5.30). Связь физических свойств и фазовых перехо-
переходов жидких кристаллов с их симметрией рассмотрена в [11, т. 4,
гл.8].
343
5.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ В ТЕОРИИ АТОМОВ
И МОЛЕКУЛ
Наиболее высокосимметричным физическим системам соот-
соответствуют непрерывные группы бесконечного порядка. Многие
характеристики таких систем, определяющие ряд важнейших
свойств вещества (валентности элементов, теплоемкости газов,
устойчивость атомных ядер и др.) можно вывести теоретико-
групповыми методами. В этом разделе мы рассмотрим дискрет-
дискретные состояния атомов, атомных ядер и молекул, используя пред-
представления непрерывных групп Ли.
5.4.1. Одноэлектронные состояния атома
и правила отбора
Электроны в атомах, занимая область пространства с диа-
диаметром ~ 1(П10 м, находятся в суммарном поле электростатиче-
электростатического притяжения к положительно заряженному «точечному»
ядру (диаметром ~ 10~15 м) и межэлектронного отталкивания с
усредненной симметрией OC,R) = SOC,R) x GJ (см. гл. 4). Од-
Одноэлектронные волновые функции атома x\f(r) в сферических ко-
координатах (г, 9, ф) разделяются на радиальную и угловую части:
Функции Л(г), полносимметричные в группе OC,R) (пред-
(представление Dg), описывают радиальную зависимость состояний
электрона. Сферические функции ^т@,ф), задающие их угловую
зависимость, являются решениями системы дифференциальных
уравнений с инфинитезимальными операторами D.5) группы
SOC,R):
д д\ ./. д л д
) ^- +Ctg9cos9-
.д
Функции У{ш образуют B/+1)-мерное неприводимое представ-
представление D^ группы SOC,R). По условию непрерывности \|f(f), они
344
Таблица 5.7
Сферические функции YimF, ф) при тп = 0, ±1 [12]
Z
0
1
2
3
тп = 0
C/4яI/2совв
E/16яI/2A + ЗсовBе))
G/256яI/2C cos 6 + 5 cosC6))
m = ±l
C/87cI/2(sin6)e±i(p
A5/327cI/2(sinB6))e±i<P
B1/10247cI/2(sine + 5sinCe))e±i<p
определены лишь для целочисленных I = j, m = -j,..., j и имеют
вид (табл. 5.7):
где Pzm(cos9) — присоединенные полиномы Лежандра ([52, т. 3,
гл.5]. Функциям \Yim\2 пропорциональна плотность вероятности
угловых координат (в, ср) для любых частиц, движущихся в сфе-
сферически симметричном поле. В частности, эти функции опреде-
определяют форму s- (I = 0), р- (I = 1), d- (/ = 2) и /-АО (/ = 3), которые
преобразуются, соответственно, по неприводимым представле-
представлениям ?>J0), d?\ D{g] и ?>[3) группы OC,R) (см. подразд.4.3).
Дискретные состояния электрона в кулоновском поле ядра с
зарядом Z получают решением стационарного уравнения Шре-
дингера ЯоУ = ?ty с гамильтонианом
_г_ . Т\ __о Яе N A 2/^
Но = -(т— V2 + ) ~ -Д .
2m r r
Их энергии равны
me4Z2
2fi2 n2
\2aB/ n2
n2
E.58)
E.59)
где e — заряд; m — масса электрона; ft — постоянная Планка;
а в = —« — боровский радиус; п = 1,2,3... — главное кванто-
mez
вое число, п2-Кратное вырождение одноэлектронных состояний
с / = 0,1,..., п-1 в оболочке с заданным п показывает, что симмет-
симметрия G(#o) «кулоновского» гамильтониана E.58) выше точечной
группы трехмерной сферы:
345
Таблица 5.8
Сферические функции Y*mF, ф) при тп = ±2, га = ±3 [12]
/
2
3
7П = ±2
A5/128тсI/2A - cosB9))e±i2<p
A05/512KI/2(cose-cosC6))e±i2<p
m = ±3
C5/10247cI/2Csine-~sinC6))e±i3<P
Дополнительные инфинитезимальные операторы группы
G(#o) выводятся из специфического инварианта водородоподоб-
ного атома, коммутирующего с гамильтонианом E.58), — век-
вектора Руте — Ленца:
д о о \
tti *^г> т~ > квадратные скобки обозначают векторное
ох ду ozj
произведение. Можно непосредственно показать, что компонен-
компоненты операторов Л = (Ax,Ay,Az) и L = (Lx,Ly,Lz) удовлетворяют
перестановочным соотношениям
E.60)
где а, Р,у= х,у или z\ Щ — гамильтониан E.59); 5apY — символ
Леви —Чивита (см. гл. 7); {A,L) = (L, А) = 0. Полагая
для связанных состояний (#о < 0) получают две тройки эрмито-
эрмитовых инфинитезимальных операторов (Ц, А'к) с коммутационны-
коммутационными соотношениями, изоморфными соотношениям D.25) в группе
) = SOC,R)xSOC,R).
Таким образом, связанным состояниям водородоподобного
д
атома соответствуют неприводимые представления D^ ) груп-
группы четырехмерных вращений (см. гл.4). Как показано в [99,
т. 2, гл. 20], условие (L, А) = 0 накладывает дополнительные огра-
ограничения на индексы j = /, поэтому в E.59) п = 2j + 1, где
1 3
j = 0, -, 1, -,..., и уровни энергии такого атома Bj + 1J-кратно
вырождены*.
В ранней квантовомеханической литературе вырождение выше обусловленного
точечной или пространственной группой называли случайным. Примером подобно-
подобного вырождения может также служить «склеивание» ветвей е(/с) на границах зоны
Бриллюэна в кристаллах с открытыми элементами симметрии (см. подразд. 3.14).
346
Правила отбора для электронных переходов между АО в во-
дородоподобных атомах следуют из общего правила E.22) с уче-
учетом разложения D.24) произведения неприводимых представле-
представлений в группе OC,R). (В полносимметричной радиальной части
волновых функций R(r) разрешены переходы с любыми Дп).
В дипольном приближении
(нижний индекс ?(/) — «g» при четном / и «и» при нечетном /).
Поскольку при / = /' + 2fc, к € Z1 произведение jDW x 2jW мо-
может содержать только четные компоненты Dg , переходы с
(Дп i- О, ЬХ - 0, 2, 4,...) запрещены. Ввиду ортогональности спи-
спиновых функций с s = 1/2 и 5 = -1/2 матричные элементы E.21)
переходов с «переворачиванием» спина равны нулю. Таким об-
образом:
Д/ = ±1, Д5 = 0. E.62)
Первое условие автоматически обеспечивает положительную
четность матричного элемента (i'|f|Z), так как вектор г анти-
антисимметричен относительно инверсии. Наиболее интенсивными в
/1 = 4
Is-
6s-
5s-
4s-
6* 5d-
Р 4d-
3d-
5/-
4/-
N=5
N=4
3s-
N=3
1=0
/=2
/=3
Рис. 5.31. Орбитальные уровни энергии многоэлектронного атома
(N — номер периода)
347
спектрах атома Н являются разрешенные электронные перехо-
переходы s —> р, р —> d, f -+ d и др., тогда как линии запрещенных
переходов с Д/ = 0 (is -» 2s и др.) и Д/ = 2 E -> d, / —> р и др.)
проявляются гораздо слабее.
Взаимное отталкивание электронов в многоэлектронных ато-
атомах снимает дополнительное «кулоновское» вырождение и рас-
расщепляет атомные уровни с данным п на B/ + 1)-кратно вырож-
вырожденные подоболочки (рис. 5.31). В силу принципа Паули, по мере
увеличения числа электронов в атоме ими последовательно за-
заполняются все более высокоэнергетические АО, вследствие чего
с увеличением атомного номера Z возрастают главное кванто-
квантовое число п внешней (валентной) оболочки и атомный радиус.
Это сопровождается ослаблением электростатического притяже-
притяжения валентных электронов к ядру и кулоновского отталкива-
отталкивания между ними. Поэтому в тяжелых атомах вновь наблюдает-
наблюдается приближенное №-кратное вырождение состояний валентных
электронов, где, однако, N — уже номер периода в Периодиче-
Периодической системе Менделеева. (Валентную оболочку тяжелого атома
составляют близкие по энергии АО с разными главными кван-
квантовыми числами п.) Наиболее устойчивы атомы инертных газов
с замкнутыми конфигурациями из 2N2 валентных электронов.
5.4.2. Термы многоэлектронного атома
Дискретные состояния многоэлектронного атома (термы) пре-
преобразуются по неприводимым представлениям группы G(H) его
гамильтониана, который в упрощенной «безразмерной» форме
(полагая ft,me = 1) записывают как
Я = Н0+Щ+Й2+Н' = ~\J2 (А* + ^) +?^+?аА*+..., E.63)
где #о — сумма одноэлектронных операторов Д* = V? и
г = 1,2,... ,7V; поправки на межэлектронное отталкивание #i,
спин-орбитальное взаимодействие #2 и прочие эффекты Н1 учи-
учитываются по теории возмущений.
В нулевом приближении (Н = Щ) гамильтониан E.63) отве-
отвечает совокупности N не взаимодействующих между собой элек-
электронов в кулоновском поле ядра с зарядом +Z. Такую систему
можно описать группой
G(H0) = SOC,R) x ... х SOC,R)[xSN x (jJ, E.64)
N раз
348
где прямому произведению N групп SOC,R) отвечает сохранение
всех «одноэлектронных» орбитальных моментов (/i,... (/у), груп-
группе Sw — перестановочная симметрия системы из N неразличи-
неразличимых электронов, а подгруппа GJ ~ С% определяет четность со-
состояний. Волновые функции нулевого приближения имеют вид
антисимметризованных произведений водородоподобных спин-
орбиталей (см. подразд. 5.1)
При учете «безразмерной» поправки на межэлектронное от-
отталкивание -,
независимые повороты векторов ?{ вокруг ядра изменяют меж-
межэлектронные расстояния rij, и гамильтониан Щ + Щ остается
инвариантным лишь при поворотах совокупности всех N элек-
электронов как целого:
G(#o + ffi) = SOC,R) x SN х (jJ = OC,R) x 8N. E.65)
Неприводимые представления группы G(Ho+Hi), отвечающие
ЛГ-электронному атомному терму, находят приведением прямо-
прямого произведения N одноэлектронных представлений D^ и всех
возможных представлений группы перестановок электронов
Г = Z?(*i) х ... х IJ(^) x ]ГгМ. E.66)
Орбитальный момент L атома нумерует компоненты разложе-
разложения DW х ... х ?)(^) как векторной суммы N орбитальных мо-
моментов {li}. Его проекции Mi = -L,-L+l,... ,L образуют BL + 1)-
мерные представления подгруппы SOC,R) С G(Hq + Н\). Кро-
Кроме того, как было показано в п. 5.1.4, каждому неприводимому
представлению группы перестановок N частиц со спином х/2 от-
отвечает определенная векторная сумма S = -(N+ - N-) спинов S{
этих частиц с проекциями ms = ± У2.
Таким образом, термы iV-электронного атома в группе нере-
нерелятивистского гамильтониана E.65) вырождены BL + 1)B5 + 1)-
кратно, причем
и суммирование проводится по всем неполным электронным
конфигурациям атома. (Замкнутые электронные конфигурации
349
[п52], [np6], [nd10] и [п/14], где надстрочный индекс указывает чис-
число электронов на подоболочке с заданными числами (п,/), невы-
невырождены и полносимметричны, см. [52, т. 3, гл. 10].)
BL + 1)B5 + 1)-Кратное вырождение терма в G(#o + #i) ча-
частично снимается при введении поправки на спин-орбитальное
взаимодействие:
dU\
—J,
где с — скорость света; множители а,{ пропорциональны градиен-
градиенту суммарного потенциала С/, действующего на электрон в ато-
атоме. Можно показать [52, т.З, гл.10, §72], что оператор #2 не
коммутативен с L и 5 по отдельности, но коммутирует с их век-
векторной суммой — оператором полного момента J:
j = i + S = Y,3i> Mj = \L-Sl\L-S\ + l,...,L + S. E.68)
Благодаря спин-орбитальному взаимодействию BL + 1)B5+
+ 1)-кратно вырожденный атомный терм расщепляется на B5+1)
компонент, если L > 5, и на BL + 1) компонент, если L < S (в по-
последнем случае Mj = S-L, 5-L+1,..., 5+L). При этом сохраняется
BJ + 1)-кратное вырождение уровней, т. е.
где индексы B7 + 1)-мерных представлений D^ — из E.68).
Релятивистская поправка Й2, пропорциональная (v/cJ, где
v — «классическая» скорость движения электрона в атоме, ста-
становится сравнимой с Hi для электронов на внутренних оболоч-
оболочках тяжелых атомов. При малых #2 орбитальные состояния ато-
атома 25+1Фу с L = 0, 1, 2, 3, 4, 5,... обозначают заглавными буквами
5, Р, D, F, G, Я,..., их формальную кратность по спину выносят
в левый надстрочный индекс, а фактическую кратность по пол-
полному моменту B J+1) обозначают правым подстрочным индексом
J (LS-схема). Например, возбужденные электронные состояния
атома Не [ls^p1] cL = 0 + l = l и5 = -±- = 0, 1 обозначаются,
соответственно, lPi и 3Ро-
Сложение моментов удобно выполнять графически с помо-
помощью диаграмм, суммируя проекции {т^} и (или) {т^} всех
микросостояний электронов (ra/,ms) в заданной орбитальной
конфигурации и разбивая полученные компоненты Ml и Ms в
соответствии с E.67), E.68). В частности, синглетное E = 0) и
триплетное E = 1) спиновые состояния атома или «карбеноид-
350
ной» молекулы с двумя неспаренными электронами непосред-
непосредственно получаются диаграммным сложением проекций спина
этих электронов ms = ±У2
1
о
-1
в соответствии с разложением прямого произведения спиноров
(Две проекции ms одного из электронов последовательно скла-
складывают с проекциями mfs другого электрона, располагая полу-
полученные суммы Ms столбцами на диаграмме.)
Термы недозаполненных электронных конфигураций [ра], [da]
и т.д. (где а — число электронов), учитывая принцип Паули,
находят графическим сложением всех комбинаций из а несов-
несовпадающих векторов, принадлежащих «звезде» микросостояний
(ms, mi) данной (п,/)-подоболочки.
Полученную совокупность векторов в координатах (Ml,Ms)
разделяют на «прямоугольные» наборы из B? + 1)B5 + 1) точек,
отвечающие неприводимым представлениям группы SOC,R) xSa
(рис. 5.32).
Поскольку заполненные электронные конфигурации полно-
полносимметричны, недозаполненные подоболочки с одинаковым чис-
Т[р1)
-2
-1
-i
ГИ гР lD tt
Рис. 5.32. Графическое определение термов [реконфигурации атома:
а — представление микросостояния [р1]; б — сложение несовпадающих век-
торов
351
Межэлект- Спин-орби- Внешнее
ронное оттал- тальное взаимо- магнитное
кивание действие поле
Рис. 5.33. Квантовые состояния [р2]-конфигурации
лом электронов и «дырок» (например, [р2] и [р4] или [d3] и [d7])
состоят из одинаковых термов.
По правилам Хунда, термы с низшей энергией в каждой
конфигурации имеют максимальную спиновую мультиплетность
B5 + 1), а самым низкоэнергетическим из них является терм с
максимальной орбитальной мультиплетностью BL + 1)*.
Для конфигураций с а < N/2 (где N — максимальное число
электронов на подоболочке) энергии уровней 25+1\I>j возраста-
возрастают, а при а ^ N/2 — убывают с увеличением J. Так, например,
валентные конфигурации Ь2] (атом С) и [р4] (атом О) состоят
из одинаковых термов 1S, т и ^ (рис. 5.33) и имеют основное
состояние 3Р с компонентами 3Ро, 3Рь *Р2, однако в атоме С
низшим уровнем является 3Ро, а в атоме О — 3Р2- Во внешнем
Неспаренные электроны с одинаковым спином не могут сблизиться: двухча-
двухчастичные плотности вероятности р(п,Г2) при r\ ~ гг для них малы из-за принципа
Паули и непрерывности волновых функций («дырка Ферми»). Максимальный сум-
суммарный спин S соответствует наибольшему возможному числу таких электронов.
В состояниях с большими L электроны более всего удалены от ядра и, следова-
следовательно, среднее расстояние между ними максимально. Оба фактора уменьшают
межэлектронное электростатическое отталкивание и понижают энергию терма. Та-
Таким образом, параллельная ориентация моментов в многоэлектронном атоме, как
и в ферромагнитном кристалле (см. подразд. 5.3.6), определяется не магнитными,
а кулоновскими силами.
352
Таблица 5.9
«Дырочные» термы атома и рентгеновские диаграммные линии4*
«Дырочная»
конфигура-
конфигурация
3d1
Зр1
3s1
2р'
2s'
Is'
Состояние «дырки»
/ = 0
3^1/2
251/2
151/2
1 = 1
ЗРз/2
ЗР1/2
2РЗ/2
2Pl/2
1 = 2
3d5/2
3d3/2
Рентгенов-
Рентгеновский терм
My
MIV
Mm
Мц
Mi
L\u
La
la
К
Разрешенные
переходы
(К -»Nntm)
К —* Miv,v
Lni -» MiV
К -> Mm
L -> Mm
Li -> М„
Li —> My
hi —> My\j
Lni -* Mi
Ln - Mr
К -»Lin
Линии в
спектре
Lai
La2
ЛГр1
^рз
Lp3
^р4
^рэ
•t-pio
Li
La
Kai
Энергия «дырочных» термов атомов в таблице возрастает сверху вниз.
iV-термы содержат вакансию на 4-й электронной оболочке (ДОц: ^Pi/2'i
магнитном поле (слагаемое Hf в гамильтониане E.63)) наблюда-
наблюдается полное расщепление уровней 25+1\I>j на BJ + 1) компонент.
Упражнение 5.6. Определить термы и низший энергетический
уровень свободного иона Сг3+ [d3].
В отличие от одноэлектронных АО четность состояний мно-
многоэлектронного атома относительно инверсии определяется уже
не орбитальным квантовым числом L, а множителем ПНО'** гДе
{li} — орбитальные квантовые числа АО, входящих в электрон-
электронную конфигурацию (например, в конфигурациях [р2] и [р4] все
термы четные, а в [р3] — нечетные). Поэтому для многоэлектрон-
многоэлектронных атомов в общем случае разрешены переходы между термами
с одинаковыми L (если они имеют противоположные четности):
= O,±1,
E.69)
В частности, внутри низшего терма 4F иона Сг3+ (упраж-
(упражнение 5.6) разрешен переход с основного уровня 4F3/2 —> 4^5/2
353
(AL = 0, AJ = 1, AS = 0), тогда как переходы с 4F3/2 на AF7/2 и
4Fg/2 (AJ" > 1), а также на любые уровни 4Р-терма (AL = 2) и на
остальные термы [d3]- конфигурации (AS^O) запрещены*.
Упражнение 5.7. Определить запрещенные и разрешенные
переходы из невозбужденной электронной конфигурации [3d3] в воз-
возбужденную конфигурацию [3d2451] иона Сг3+.
Высокоэнергетические метастабильные состояния ионизиро-
ионизированных атомов с «дыркой» на внутренней оболочке (рентгенов-
ские термы), в которых энергии межэлектронного отталкива-
отталкивания и спин-орбитального взаимодействия сравнимы, задаются
номером оболочки с вакансией и квантовым числом ее полного
момента j = 1±- (jj-схема). Таким состояниям с полуцелыми ин-
индексами соответствуют четномерные спинорные неприводимые
представления группы ОC, R) (см. подразд. 4.5). «Дырочная» од-
ночастичная модель ионизированного атома используется в опи-
описании рентгеновских спектров (табл. 5.8).
5.4.3. Коэффициенты векторного сложения
Матричные элементы переходов в многоэлектронных ато-
атомах и других сферически симметричных системах вычисляют
с помощью коэффициентов Клебша—Гордана Cj?f2mim2i или
(.71.72^1^2 |JM) (см. подразд. 3.8) (также называемых коэффици-
коэффициентами векторного сложениям коэффициентами Вигнера). Эти
коэффициенты равны вкладам двух микросостояний (л,mi) и
(.72 ^2) в состояние складывающейся из них системы с кванто-
квантовыми числами (J,M):
E.70)
Действительные числа О'ш^ц^ | JM) представляют собой
элементы ортогональной матрицы С перехода от базиса произ-
произведений одночастичных волновых функций {VjjmiV^ma} K бази-
базису двухчастичных функций
* Правилом отбора AS = 0 обусловлен, например, вид УФ-спектра гелия, пред-
представляющего наложение двух систем полос: переходов 3Ф» —¦ 3^j между спин-
триплетными состояниями (opmo-гелий) и переходов ^ —> 1Ф>7- между спин-
синглетными состояниями (пара-гелий). Запрещенные синглет-триплетные пере-
переходы могут прюявляться как слабые линии в спектрах атомов и молекул благодаря
спин-орбитальному взаимодействию [92].
354
) (JM | Л.72ТО17П2)> Т.е.
? O'lJ2™im2 | </M)*J(mi+m2). E.71)
\jl-J2\<J<jH-J2
В общем случае коэффициенты (j\J2m\m2\JM) связывают вол-
волновые функции Ф jm некоторой сложной сферически симметрич-
симметричной системы, состоящей из двух подсистем 1 и 2, с волновыми
функциями Vj1)mi и y\fj2,m2 этих подсистем (не обязательно одно-
частичных).
При этом предполагается, что подсистемы лишь слабо вза-
взаимодействуют между собой, поэтому их состояния можно при-
приближенно задать квантовыми числами (л, mi) и (j2,m2).
Все элементы квадратной матрицы С размера Bji + 1)Bj*2 + 1),
для которых не выполнено правило треугольника:
М = TTii +?7l2,
L?l+J2| > J> |jl-J2|,
равны нулю. Столбцы и строки {{j\32mirn2 I JM)} этой матри-
матрицы можно рассматривать как компоненты векторов, связанных
соотношениями ортогональности
2\ JM)(Ji J2m'lm'2\ JM) = Ьт1т^т2т^ E.72)
где bij — символ Кронекера. Коэффициенты Клебша—Гордана
обладают также симметрией относительно перестановок ин-
индексов:
Ulhmim2 | JM) = (-l)jl+J2-J(J2Jim2mi I JM) =
I JM) =
где mi =-mi.
Коэффициенты векторного сложения микросостояний часто
также записывают в форме Sj-символов:
355
Таблица 5.10
Коэффициенты Клебша — Горда!
J
Л +1/2
7712 =
fji+M +
1
\
/л -м-
1/2
1/2\1/2
1 ;
f l/2\ 1/2
1 J
ТП1ТП2
) 1фИ J2 =
Ш2 = -1/2
-M + 1/2N
«1 + 1 ;
+ М + 1/2N
>
1/2
f
)
с более простой перестановочной симметрией индексов:
(h h J\ = (J ii .72 ^ =
J \rn\ ГП2 MJ '
h
J
MJ
где a = (-i)h+J2+J З^-Символы равны амплитудам вероятности
векторного сложения трех моментов в нулевую сумму:
Коэффициенты Клебша—Гордана и З^'-символы существенно
упрощают расчеты физических величин в сферически симмет-
симметричных системах, сводя их к решению простых детерминантных
уравнений [12]. В частности, по теореме Вигнера — Эккарта,
матричные элементы переходов \\fjm —> \|/j/m/ под действием про-
произвольного тензорного оператора Т^' ранга J с компонентами
(М = -J,... J), преобразующегося по неприводимому представле-
представлению JD^ группы SOC,R), имеют вид
(fm'\f$\jm) = (jj'mm' \ JM)(j'\\fj\\j), E.74)
где (/||Tj||j) — приведенный матричный элемент, инвариант-
инвариантный относительно вращений. Соотношение E.74) позволяет раз-
разделить симметрийные характеристики оператора Тд^ , опреде-
определяющие числовой множитель (jj'mm'\JM), и его аналитическую
форму, от которой зависит значение интеграла (/11^/1 Ь')-
Коэффициенты Клебша —Гордана для малых значений ин-
индексов (j,jf) представлены в табл. 5.10 — 5.13. Также вычисле-
вычислены и сведены в таблицы коэффициенты векторного сложения
ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ТРОЙНЫХ Произведений ВИДа
356
Таблица 5.11
Коэффициенты Клебша—Гордана
при J2 = 1
J
ii + i
Л
ii-i
7П2 = 1
Г(л + м)(л+м + 1)]1/2
[ Bл + 1)Bл+2) J
Г(л + м)(л-м + 1)]1/2
[ 2л(Л + 1) J
Г(л-м)(л-м+1I1/2
[ 2ЛBл + 1) J
Ш2 = 0
Г h-M+i ]1/2
[Bii + l)(ii + l)J
МЬ'1(Л+1)Г1/2
Г(л-м)(л+м)]1/2
[ ЛBл + !) J
7П2 = -1
Г(л-м)(л-м + 1I1/2
[ Bл + 1)Bл+2) J
Г(л-м)(л+м + 1)]1/2
[ 2л(л + 1) J
Г(л+М)(л+М + 1I
[ ЛBл+!) J
со
ел
оо
Таблица 5.12
Коэффициенты Клебша—Гордана
при J2 = 3/2; тг = 1/2, 3/2
= 3/2
ТП2 =1/2
Л+3/2
(Л +М- 1/2)(л 4-М + 1/2)(л + М 4-3/2I1/2
1)Bл+2)Bл+3) J
3(ji 4- М 4- 1/2)(л 4- М 4- 3/2)(л - М + 3/2)'
л + 1)Bл+2)Bл+3)
I 1/2
3(л 4-М- 1/2)(л 4-М4- l/2)(ji -М + 3/2)
1/2
Л+М + 1/2
1/2
ii-1/2
3(ji + М - 1/2)(J! - М + l/2)(ji - М + 3/2)
1/2
-(л+зм-i
Л Г л-М + 1/2
,1/2
2/ Bл-1)Bл
Л-3/2
-М-l/2)(ji -М + 1/2)(л -М + 3/2)
2лBл-1)Bл + 1)
1/2
3(Л + М- 1/2)(л -М- 1/2)(л -М +1/2I1/2
2лBл-1)Bл + 1) J
Таблица 5.13
Коэффициенты Клебша—Гордана
при j2 = 3/2; т^ = -3/2, -1/2
J
Л+3/2
Л+ 1/2
ii -1/2
Л-3/2
m2 = -1/2
[304 + M + 3/2H4 - M + 1/2H4 - M + 3/2IV2
[ Bл + 1)Bл+2)BЛ+3) J
Г i Л112
J'lMfl* [2лBл + 1)Bл+3)]
6 зм ^[ h + M+l/2 Г
^ 3M 2j[Bj4-l)Bj4+l)Bi1+2)J
[304 +M-1/2H4 + M +1/2H4 -M-1/2I1/2
[ 2лBл-1)Bл + 1) J
О /О
7712 = "~«V ^
[04-M-i/2H4-M + i/2H4-M+3/2)l1/2
[ Bл + 1)Bл + 2)Bл+3) J
[304 + м + 3/2H4 - м -1/2H4 -M + i/2)l1/2
2лBл + 1)Bл+3) I
L J
[304 + M +1/2H4 + M + 3/2H4 - M -1/2I1/2
[ Bл-1)Bл + 1)Bл+2) j
[ 04 + M -1/2H4 + M +1/2H4 +M + 3/2I1/2
[ 2ЛBл-1)Bл+1) J
(коэффициенты Рака, б^символы) и более сложных комбинаций
микросостояний Cjn-cuMeoAbi). Подробнее с теорией коэффици-
коэффициентов векторного сложения можно познакомиться, например, в
[37] и [52]; их полные таблицы имеются в литературе по атомным
термам [12].
5.4.4. Теория поля лигандов
Термы валентной оболочки атома, окруженного лигандами,
расщепляются на компоненты, отвечающие неприводимым пред-
представлениям точечной группы его окружения (лигандного по-
полиэдра). Вид расщепления зависит от относительных величин
спин-орбитального взаимодействия Й2 и поля лигандов #' в га-
гамильтониане E.63)*. В распространенных примерах катиона d-
или /-элемента в октаэдрическом лигандном окружении непри-
неприводимыми компонентами АО металла в группе О^ (см. под-
разд. 5.2.4) соответственно являются
е 8С3 ЗС2 6C4 6C2
D{g] 5-11-11=
Du3) 7 1 -1 -1 -1 =
В [89] показано, что при таком расщеплении d-подоболочки энер-
энергия трехкратно вырожденного одноэлектронного ^-уровня по-
2 3
нижается на -Д, а е^-уровня — повышается на -Д, где Д — по-
луэмпирический параметр расщепления («сила поля»).
Многоэлектронные конфигурации [t%ge%\ катионов переход-
переходных металлов в октаэдрическом окружении без учета спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия определяются природой металла, заря-
зарядом катиона и параметром расщепления Д (т. е. природой лиган-
лигандов). Так, например, ион Fe2+ [d6], окруженный шестью молеку-
молекулами воды (лиганды слабого поля) в парамагнитном гексааква-
катионе [Fe(H2O)e]2+, имеет конфигурацию t? е| с четырьмя неспа-
ренными электронами, а в диамагнитном гексацианоферрат-ани-
оне [Fe(CNN]4" (лиганды сильного поля) — конфигурацию Щде®
В теории кристаллического поля, описывающей спектры катионов металлов
в кристалле, ближайшие атомы в окружении М представляют точечными за-
зарядами. Однако эта теория на качественном уровне применима и к комплексным
соединениям МХП с ковалентными связями М - X, поскольку тип расщепления
электронных уровней атома М определяется симметрией лигандного окружения,
а не точной формой создаваемого им потенциала.
360
Поле Спин-орби-
лигандов тальное взаимо-
взаимодействие
Рис. 5.34. Расщепление 4Р-терма в октаэдрическом поле лигандов [99]
со спаренными спинами электронов (см. рис. 5.9). Расщепление
многоэлектронного терма в таком поле устанавливается по обыч-
обычным правилам: например, основной d-электронный терм 4F кати-
катиона [Сг(Н2О)б]3+ расщепляется на 4А2и, АТ\и и 4Г2и-компоненты.
При учете спин-орбитального взаимодействия следует приво-
приводить представления всех компонент терма 2S+1^fj в группе G(H')
поля лигандов; для полуцелых J рассматривают двузначные
представления (рис. 5.34; упражнение 5.8). Заметим, что низ-
низкосимметричное поле лигандов не снимает B5 + 1)-кратного вы-
вырождения атомных уровней по спину. Полуколичественные дан-
данные о расщеплении уровней катионов металлов в лигандном поле
содержатся в спектроскопических диаграммах Tamife — Сугано
(см. например, [48]). Энергетические уровни
атома в кристаллическом поле при рущщх ^тт^ит^дьнw вещь
чинах возмущений Н2 и Н' рассмотрены в [99* гл. 9).
Упражнение 5.8. Определить электрсщщде состояния гекса-
аквагнона [С^Н^О)^, вочникаюище из компонент терма 4Р в доле
лигацдо* О^-симметрии, и разрешенные переходы между ними с у не*
том сшш-орбнталыюго взаимодедсгпшя.
5.4.5L КвшвтошмсооЕШшцк^а
Еще одним примером высокосимметричной квантовой систе-
системы может служить атомное ядро; совокупность нуклонов (подо*
жителыю заряженных протонов р и электрически нейтральных
361
нейтронов п) со спинами х/2, связанных силами межнуклонно-
го притяжения и взаимного электростатического отталкивания
протонов. Особенностями сильных внутриядерных взаимодей-
взаимодействий нуклонов являются их насыщаемость и экспоненциальное
убывание на расстояниях ^ 10 фм. Хотя общая аналитическая
форма ядерных потенциалов неизвестна, спектры дискретных
состояний ядер удается описать на полуколичественном уровне
с использованием сферической симметрии — в частности, коэф-
коэффициентов Клебша —Гордана [52, т. 3, гл. 14].
В рамках одночастичной оболочечной модели нуклонов, дви-
движущихся в усредненном сферически-симметричном поле (?/яд),
гамильтониан атомного ядра имеет вид:
^ E-75)
где (m ~ тр,тп — масса нуклона); нецентральные нуклон-ну-
клонные потенциалы #i = ]Г) [/^ и спин-орбитальные взаимодей-
ствия #2 = Ylai(ksi) учитываются как поправки.
Поскольку скорости движения нуклонов в ядре (~ -с) не ма-
малы по сравнению со скоростью света, спин ядра J равен вектор-
векторной сумме полных моментов нуклонов ji = Ц ± - (jj-схема, см.
подразд. 5.4.2), а потенциал ??/^, имеющий сложную форму,
также зависит от ji-,h-
Нулевое приближение для усредненного ядерного потенциа-
потенциала (f/яд) получают, разлагая его в ряд Тейлора по малым откло-
отклонениям {гi) позиций нуклонов от центра масс ядра и оставляя
лишь первые ненулевые квадратичные члены. В пренебрежении
Н\ и #2 модельный гамильтониан Яо принимает вид суммы п
независимых трехмерных гармонических осцилляторов:
tig ^ \h E.76)
где со/Bл) — классическая частота «радиальных» колебаний ча-
частицы массы т в поле центрально-симметричного квадратично-
квадратичного потенциала; п — число частиц.
В единицах E'/fico и r/Ь, где Ь = у/Н/тсо2, одночастичный га-
гамильтониан ho имеет «безразмерный» вид
ho = \(-A + r2). E.77)
362
Как и в случае водородоподобного атома, симметрия ho вы-
выше, чем у трехмерной сферы. Именно, для E.77) можно постро-
построить эрмитово-сопряженные повышающие а+ и понижающие aq
операторы
где q = x,y,z с перестановочными свойствами
[fig. ag'l = V« [а<?> Ло] = as> [SJ. Ы = -&J. E.78)
В соответствии с названием, действие оператора aq на соб-
собственную функцию щ «безразмерного» одночастичного гамиль-
гамильтониана E.77), отвечающую собственному значению энергии 2%,
дает функцию Yi_i с энергией 2^-1, а оператор а+ превращает \^
в \|/i+i с энергией ^ + 1. Непосредственно проверяется, что E.77)
можно выразить через произведения этих операторов:
) E.79)
Девять операторов {ajag/}, коммутирующих с Ло, преобразу-
преобразуются в набор инфинитезимальных операторов 9-параметриче-
ской группы UC) унитарных матриц 3x3 ([99, гл. 19]. В этот
набор входят три «безразмерных» оператора углового момента,
порожденных подгруппой SOC,R) С UC):
Lx = i(yd/dz - zd/ду) =
Ly = i(zd/dx - хд/dz) = -i(a^ax - aj^))
Lz = i(a;d/ft/ - уа/dx) = -г(а?ау - а+аж). E.80)
Волновые функции возбужденных состояний трехмерного
гармонического осциллятора с квантовым числом N получают
Af-кратным действием повышающих операторов а* на функцию
основного состояния щ:
где N = N\ + N2 + А^з- Состояния \(f^ вырождены - (N + 1)(АГ + 2)-
кратно в соответствии с числом разбиений N на целые слагаемые
3
(A/i, JV2> N3)- Им отвечают собственные значения ЛГ+- гамильто-
гамильтониана E.77) или, в обычной записи, энергии
363
Таким образом, квантовые состояния ядра с модельным га-
гамильтонианом нулевого приближения E.77) соответствуют со-
состояниям сферически симметричного трехмерного гармониче-
гармонического осциллятора, описываемого группой G(#o) — UC). В отли-
отличие от атомных уровней (см. рис. 5.31), ну к лонные подоболочки
ядра с каждым орбитальным квантовым числом / нумеруются
A, 2, 3,...) в порядке возрастания энергии. Состояние с N = 0 (is)
невырождено, с N = 1 Aр) трижды вырождено, с N = 2 B5, Id)
вырождено шестикратно, с N = 3 Bр, 1/) — десятикратно и т. д.
(рис. 5.35).
Ядерные конфигурации оболочечной модели получают, раз-
раздельно заполняя уровни на рис. 5.35 протонами и нейтронами —
например, (l51)p(l51)n для дейтерия 2Н, (Is1)p(ls2)n для трития
3Н, (Is2)p(ls2)n для 4Не и т.д., в согласии с их эксперименталь-
экспериментально наблюдаемыми ядерными спинами J = YjH (соответственно,
1, 1/2 и 0). Спин ядра вместе с его четностью, равной произ-
4s-
3s-
2s'
AT,Z=20
Ь N,Z=2
Рис. 5.35. Оболочечные уровни энергии атомного ядра (пунктир -
модель трехмерного гармонического осциллятора, штриховые линии -
«магические» ядра)
364
ведению ГЫ"")*' орбитальных четностей нуклонов*, составляют
характеристику ядра jW, где верхний индекс показывает чет-
1+ i~
ность A+ для 2Н, — для 3Н, 0+ для 4Не, — для гипотетического
ядра 5Li с протоном на Хр^-подоболочке, и т. д.).
С учетом отклонения потенциала (С/яд) от квадратичной фор-
формы, а также возмущающих вкладов Н\ и #2 в E.75), в схему
уровней на рис. 5.35 необходимо ввести расщепление осцилля-
торных оболочек с одинаковым N и разными / (Ем2 < Ещ при
h > h) и спин-орбитальное расщепление подоболочек по пол-
полному моменту j = /± 1/2 (El+i < E^i). Из-за тензорного вкла-
вклада Н\ = Y^Uik B гамильтониане E.75) на подоболочках с четным
числом нуклонов все спины спарены, поэтому ненулевой спин
имеют только четно-нечетные и нечетно-нечетные ядра (назы-
(называемые так по числам протонов и нейтронов в ядре).
Оболочечная модель ядра позволяет объяснить магические
числа нуклонов в устойчивых ядрах с заполненными j-подобо-
лочками (Z, N — 2, 8, 20, 50, 82, 126 — аналоги замкнутых
электронных конфигураций в атомах инертных газов, см. под-
разд. 5.4.1). Наиболее стабильны «дважды магические» (по про-
протонам и нейтронам) ядра ^Не, §6О, 2о^а' ia8^ (атомный номер
Z в левом подстрочном индексе, суммарное число протонов и
нейтронов В = Z + N («барионный заряд» ядра) в левом верхнем
индексе). Для ряда четно-нечетных ядер с одним неспаренным
(так называемым «валентным») нуклоном на уровне либо одной
«дыркой» на недозаполненной подоболочке модель правильно
предсказывает характеристики ядер, в частности,
Х63С : (lsl/22pj
Однако, например, характеристика E/2)+, предсказываемая
оболочечной моделью для ядра g9F, расходится с эксперимен-
экспериментальными данными ([186О]B51)рB52)п, (У2)+, где [^О] —- полно-
полносимметричная «дважды магическая» нуклонная конфигурация
кислорода-16).
Многие ядра тяжелых элементов с А>150 и частично запол-
заполненными нуклонными оболочками обладают не сферической, а
аксиальной симметрией. Спины таких ядер определяются про-
проекцией п суммы спина и орбитального момента, соответствен-
* Собственные («внутренние») четности нуклонов и электрона равны +1, пози-
позитрона -1; фотон не имеет определенной внутренней четности [6).
365
«3/2
'т
4/2
A/2
Л/2
A/2)"
Параметр асферичности
Рис. 5.36. Полный момент и расщепление уровней несферического яд-
ядра (А. С.Давыдов. Теория атомного ядра. М.: ГИФМЛ, 1958. С.69)
но, одного (четно-нечетные) и двух (нечетно-нечетные) неспа-
ренных нуклонов на ось Соо ядра. Характеристики несфериче-
несферических ядер с нулевым спином оН х, в соответствии с неприво-
неприводимыми представлениями группы Цх^, включают симметрию
относительно инверсии координат (индекс д,и) и плоскостей av,
проходящих через ось Соо (надстрочный индекс ±).
Несферические ядра могут находиться в возбужденных вра-
вращательных состояниях с квантовым числом К и энергиями
- 0,1-1 МэВ
EK = ^J{J + l), JJ-, E.81)
где J = L + S + K — полный момент ядра с учетом вращательного
момента К, перпендикулярного оси Соо, а/- момент инерции
ядра (рис. 5.36)*. Поскольку проекция /на произвольную ось
равна сумме проекций U и К, квантовое число полного момента
не может быть меньше п:
«Вращение» аксиально симметричной квантовой системы вокруг главной оси,
как и сферически симметричного ядра вокруг любой его оси, не имеет физического
смысла, так как волновая функция в этих случаях не зависит от угла поворота
вокруг оси, и проекция момента вращения на такую ось всегда равна нулю.
366
Из-за того, что протоны и нейтроны являются фермионами,
вращательные состояния четно-четных ядер с п = 0 дополни-
дополнительно ограничены свойствами перестановочной симметрии пе-
переменных в их спин-орбитальных волновых функциях, т. е. прин-
принципом Паули (см. подразд. 5.1.4):
J = 2, 4, б,... для ядер сО+и 0~, ,- „*
J = 1, 3, 5,... для ядер с О" и 0+. ^'°Z)
Четно-четные несферические ядра имеют характерный
спектр у-излучения при переходах из (так называемых «изомер-
«изомерных») возбужденных состояний 2+, 4+, 6+ и т.д. в основное со-
состояние 0р. Квантовые состояния ядер рассмотрены, например,
в [52, т. 3, гл. 16] и [97].
5.4.6. Термы линейных молекул
tolerance=8000 Электронные термы линейных молекул в адиа-
адиабатическом приближении соответствуют неприводимым пред-
представлениям групп
Соог; (СО, NO, HCN) ИЛИ JDoofc (Н2, СО2, С2Н2)
и зависят от межъядерного расстояния R как от параметра. Ин-
Индексу неприводимого представления в неподвижной молекуле
отвечает квантовое число Л(= Ml) проекции орбитального мо-
момента электронов на ось Соо- Состояния с Л = 0, 1, 2, 3,... обозна-
обозначаются, соответственно, Е, П, Д, Ф,... по мнемонической анало-
аналогии с 5, Р, D и F-термами атомов. Благодаря спин-орбитально-
спин-орбитальному взаимодействию термы со спином 5 расщепляются на B5+1)
двукратно вырожденных компонент с проекциями полного мо-
момента П = Л + 5, Л + 5-1,...,Л-5, обозначаемых подстрочным
индексом J (например, 2П —> П^+Пз/г)- Вырождение состояний
с ±Л снимается за счет влияния вращения и спин-орбитальных
эффектов высших порядков, а также во внешнем магнитном по-
поле (А-удвоение).
Электронная конфигурация гомоядерной двухатомной мо-
молекулы Х2, аналогично конфигурации многоэлектронного ато-
атома, складывается из связывающих (с9, жи, 89,...) и разрых-
разрыхляющих (а*, л*, 5?,...) занятых МО (например, конфигурация
[la2la^2a;*l7?*lrc*2] молекулы О2 с двумя электронными пара-
парами на 7Си-связывающем и двумя неспаренными электронами на
л*-разрыхляющем уровнях).
В простейшем примере молекулярного иона Щ орбитали, от-
относящиеся к неприводимым представлениям группы JDqo/u явля-
являются собственными функциями гамильтониана
367
(в «безразмерной» форме), где г\,Г2 — расстояния от единствен-
единственного электрона до ядер, расположенных на расстоянии R одно от
другого. Заметим, что, как и в случае водородоподобного атома,
G(Hq) d jDqo/i из-за отсутствия межэлектронного отталкивания.
Поэтому для волновых функций \|/(^, т|, ф) иона Щ в эллиптиче-
эллиптических координатах (? = (п +Г2)/Й, Л = (г\ -Г2)/Я, ф), где ф — угол
поворота плоскости, проходящей через два протона и электрон,
относительно оси Соо, достигается полное разделение перемен-
переменных у = и(?)Цг|)егтф. По этой причине возбужденные состояния
Н? с одинаковыми Л = т, но разными t^(?)K;j(r|) при варьиро-
варьировании R могут пересекаться. (В многоэлектронных молекулах,
где симметрия поля, действующего на электрон, совпадает с то-
точечной группой, пересечения одинаковых термов запрещены, см.
подразд. 5.2.4.)
Другой особенностью иона Щ является отсутствие Е~-состо-
яний, антисимметричных относительно «вертикальной» плоско-
плоскости симметрии ввиду непрерывности волновых функций. Од-
Однако уже у молекулы Н2 имеются возбужденные Е"-состояния,
построенные из антисимметризованных комбинаций двухэлек-
тронных функций вида yA»2Je±m'1»2 cA = m-ra = 0 [80].
Термы двухатомных многоэлектронных молекул, как и атом-
атомные термы, можно находить по графической схеме, указанной в
подразд. 5.4.2. Так, состояния парамагнитной молекулы 02, учи-
учитывая принцип Паули, получают сложением всех несовпадаю-
несовпадающих векторов в двух «звездах» из Яр-микросостояний (тх = ±1,
т5±1/2) (рис. 5.37): ГGс|) = гТ,++ 3Т,~ + г Ад (полносимметрич-
(полносимметричные заполненные МО не изменяют представления Г(я|))*. Низ-
Низшей энергией, в соответствии с правилами Хунда, обладает спин-
триплетное состояние 3Е~.
Правила отбора для электронных переходов под действием
электромагнитного излучения в линейных молекулах с осью
Соо , вытекающие из общих соотношений E.21) и E.22), раз-
разные для \yz- и |1ХJ/-компонент дипольного момента. Поскольку в
группе Coov проекция \iz преобразуется по полносимметричному
Симметрия полученных термов относительно инверсии следует из перемно-
перемножения двух я^-функций, а симметрия Е^-состояний относительно вертикаль-
вертикальной плоскости — из антисимметрии полной двухэлектронной волновой функции
ty(l, 2) = \(f(l, 2)x(l, 2) относительно перестановок электронов: спиновая компонента
полносимметрична в триплетном состоянии х(аа) и антисимметрична в синглетном
состоянии х(оср). Соответственно, Е+-термы имеют четность (-1M, а Е"-термы —
четность (-1M+1.
368
тл
-2 -1
1 2
MA
-1
1П 31 Ч
Рис. 5.37. Графическое определение термов [7С2]-конфигурации моле-
молекулы Ог:
а — микросостояние [тс1]; б — результат сложения векторов
Е+-представлению, а цх>2/ — по П-представлению (см. табл. 4.1),
непосредственно выводятся следующие соотношения:
при z-поляризации света ДА = 0;
при х, г/-поляризации ДА = ±1; AS = 0.
E.84)
В группе Дэо/ь T(\iz) = Е?, Г(\1ХуУ) = Пи и в дополнение к
E.84), разрешены только переходы д —> и, и -+ д, а переходы
Е^ -+ Е~, Е" -¦ EJ запрещены. Термы линейных молекул рас-
рассмотрены в [52, т. 3, гл. 11] и [80].
5.4.7. Вращательные состояния молекул и структурная
нежесткость
Колебания и вращения большинства молекул в низших элек-
электронных и колебательных состояний при Г ~ 300 К можно при-
приближенно считать независимыми, а сами молекулы — жестки-
жесткими. Напомним, что линейная iV-атомная молекула имеет 3N - 5
независимых колебаний (в том числе N - 2 вырожденных пар
деформационных колебаний, нарушающих линейность), так как
вращения вокруг оси Соо невозможны (см. сноску на с. 369).
Вращательным состояниям двухатомных молекул с синглет-
ными хЕ-термами в модели жесткого ротатора отвечают сфе-
сферические гармоники Укм, гДе К = 0, 1, 2,... — вращательное
квантовое число, М - -К,..., К. Таким образом, эти состояния
369
BК + 1)-кратно вырождены в соответствии с E.81), в котором
I = гапрЯ2, тпр = т\гп2/(гп\ +Ш2H'5 — приведенная масса атом-
атомных ядер в молекуле, R — межатомное расстояние (и квантовое
число J следует заменить наК). В случае несинглетных термов
CЕ, 1П, 3П и т.д.), аналогично вращательным состояниям ядер,
К = П, П +1, п + 2,..., где П — проекция суммы спинового и ор-
орбитального момента электронов на ось молекулы.
В гомоядерных молекулах Х2 сойства симметрии полной вол-
волновой функции ядер УкмХA>2) (где хA,2) — спиновая часть),
разные для фермионов и бозонов, накладывают дополнитель-
дополнительные ограничения на координатную часть Укм- Именно, полно-
полносимметричная спиновая функция %(а, а) (спины ядер параллель-
параллельны) требует полносимметричности Укм Для яДеР с целым спи-
спином и антисимметричности для ядер с полуцелым спином; в слу-
случае антисимметричной спиновой функции х(сс, C) правила проти-
противоположны (подразд. 5.1.4). Таким образом, молекулы водорода
Н2 с суммарным спином двух протонов 5ЯД = 1 (Зх(сс,а): орто-
водород) могут иметь только нечетные вращательные состояния:
К = 1, 3, 5,..., а молекулы Н2 с 5ЯД = 0 (^(ос, р): пара-водород) —
только четные состояния: К = О, 2, 4, б,..., тогда как моле-
молекулы дейтерия D2 со спиновыми состояниями 5х, Зх и 1% под-
подчиняются обратному правилу*. Подобно четности орбитально-
невырожденных состояний электронов, знак функций УкмХA>2)
для молекул Х2 с Е+-термами задает множитель (-1)*", а для мо-
молекул с Е"-термами — множитель (-1)^+1.
Правилом отбора для дипольных вращательных переходов в
микроволновых спектрах линейных молекул Coov-симметрии яв-
является АК = ±1 (ввиду вырождения уровней, АК = 0 отвечает
отсутствию перехода), тогда как в центросимметричных моле-
молекулах (Doch, \i = 0) такие переходы в дипольном приближении
запрещены. Вращательные состояния центросимметричных ли-
линейных молекул проявляются в спектрах КР (где АК = ±2) и в
тонкой структуре колебательно-вращательных либо электронно-
колебательно-вращательных спектров, а также в термодинами-
термодинамических характеристиках соответствующих веществ.
Вращательные состояния многоатомных молекул в общем слу-
случае определяются гамильтонианом
Так как спиновые состояния ядер лишь слабо взаимодействуют с электронны-
электронными оболочками молекулы, теплоемкость молекулярного водорода Нг в обычных
условиях (р ~1 бар, Т ~ 300 К) соответствует смеси двух газов с различными на-
наборами вращательных состояний в соотношении ~ 3 : 1 (соотношение спиновых
мультиплетностей о- и п-Нг). Запрещенные переходы с «переворотами» ядерных
спинов в этих условиях незначительны, однако адсорбция Нг на металлической
поверхности приводит к выравниванию содержания оргпо- и пара-молекул.
370
+ 1
+ bJv + c &
где Jx = ih{yd/dz-zd/dy),..., {1ц} — главные компоненты тензора
инерции; А,В,С = Н(Ап1ц) — вращательные постоянные.
По соглашению, Ixx < Iyy ^ hz, т.е. А ^ В ^ С. По отно-
относительным величинам {/«}, определяющим симметрию тензора
2-го ранга (см. подразд. 5.3.1), все молекулы можно разделить
на три типа волчков (табл. 5.14).
Симметричные волчки подразделяют на вытянутые с 1ХХ ,=
= 1уУ > Jzz, т.е. А = В < С (например, CH3CN), и сплющенные
{Ixx = -fyy < Izz, т. е. Л = В > С (например, СНС1з). Нетрудно ви-
видеть, что асимметричными волчками являются молекулы низ-
низших точечных групп, симметричными — молекулы с одной осью
Сп (Sn) порядка п ^ 3, а сферическими — молекулы тетраэдри-
ческой, кубической и икосаэдрической симметрии.
Квантовые состояния сферического волчка B7+1)-кратно вы-
вырождены:
Ej = ^J(J + l) = AJ(J + l) E.86)
при J = О, 1, 2, 3,... Как и для гомоядерных двухатомных мо-
молекул, переходы между ними не проявляются в микроволновых
спектрах, но наблюдаются в КР и в тонкой структуре ИК- и
УФ-спектров поглощения, а также определяют теплоемкости ве-
веществ. Подчеркнем, что в отличие от сферических ядер возбуж-
возбужденные вращательные состояния «сферических» волчков воз-
возможны, так как в данном случае симметрией К^ обладают не
сами молекулы, а лишь указательные поверхности их тензоров
инерции.
Состояния симметричного волчка можно разложить на (раз-
(разрешенное) вращение вокруг главной оси Сп (п < оо) и враще-
вращение вокруг произвольной перпендикулярной оси (см. рис. 5.35,
где проекцию момента п следует заменить квантовым числом К
состояний вращения вокруг Сп, а квантовое число К вращений
Таблица 5.14
Типы волчков
hi
Ixx = Iyy = Izz
Ixx = Iyy ? Izz
Ixx ? Iyy ? Izz
A,B,C
A = B = C
A = BJC
AiBiC
Волчок
Сферический
Симметричный
Асимметричный
Группа
Kh
Ах,/,
D2
Пример
СН4
СН3С1
CH2CI2
371
ядра — числом R вращений молекулы вокруг перпендикулярной
оси). В результате понижения молекулярной симметрии каждый
уровень с J = 0, 1, 2,... расщепляется на (J + 1) подуровней с
К = J, J-1,... ,0, дважды вырожденных при К ^0 (К-удвоение):
EJK = AJ(J +1) + (С - А)К2. E.87)
Заметим, что для вытянутого волчка С - А > 0, а для сплю-
сплющенного С - А < 0.
Для асимметричных волчков наблюдается полное расщепле-
расщепление уровней с квантовым числом J на BJ +1) невырожденных
компонент. Состояния такого волчка преобразуются по неприво-
неприводимым представлениям Ло, В\, В^, -Вз точечной группы D<i его
тензора инерции. Однако во многих случаях их удобнее описы-
описывать в рамках приближенной аксиальной симметрии, представ-
представляя волновые функции линейными комбинациями состояний вы-
вытянутого {узк) и сплющенного (\|/j#) волчков:
*(& = ^№л< + П)аУЛ<1 E-88)
где К = -К; а — индекс (номер) представления группы ?>2> выби-
выбираемый так, чтобы а = 0 для полносимметричного А-представ-
ления.
Степень отклонения молекулы от обоих типов симметричного
волчка характеризуется параметром асимметрии
2В-А-С /CCQO.
к= л-с - E*89)
т. е. к = 1 для вытянутого и к = -1 для сплющенного симметрич-
симметричных волчков; к = 0 отвечает максимальной асимметрии 2В = А+С
(рис. 5.38).
Правила отбора для вращательных переходов молекул с нену-
ненулевым дипольным моментом можно вывести из правил для жест-
жесткого ротатора с дополнительными условиям^, накладываемыми
точечной группой молекулярного тензора инерции.
В частности, для симметричных волчков из T(\iz) = Ej и
\iXjy = 0 следует
E.90)
Переходы между невырожденными уровнями асимметрично-
асимметричного волчка задаются неприводимыми представлениями группы
372
L
9i ^ "
u, и
AK
—> и
-+9
0,±l:
= o,
при
при
Д J = ±1,
Д7 = 0.
/=3
/=3
/=2
/=о
1 ж -1
Рис. 5.38. Вращательные уровни асимметричного волчка. Уровни сим-
симметричных волчков соответствуют параметру асимметрии ае = 1 (вы-
(вытянутого) и ае = -1 (сплющенного)
?>2- Вращательные спектры молекул и правила отбора в них рас-
рассмотрены в [4, 31].
Упражнение 5.9. Найти систему вращательных уровней асим-
асимметричного волчка с А = 10 см, В = б см, С = 2 см и указать их
корреляцию с уровнями вытянутого (А = 10 см, В = С = 2 см) и
сплющенного волчка (А = В = 10 см, С = 2 см). Определить разре-
разрешенные переходы.
В многоатомных молекулах возможно конфигурационное вы-
вырождение: наличие нескольких геометрически эквивалентных
конфигураций ядер с одинаковой энергией, не связанных опе-
операциями точечной группы. Если эквивалентные конфигурации
разделены высоким энергетическим барьером (как, например, в
молекуле CH3F, где для перестановки атомов Н и F при непо-
неподвижном СН2-фрагменте нужно перейти через энергетически
невыгодную плоскую структуру либо разорвать связи), конфи-
конфигурационное вырождение не проявляется в физических свой-
свойствах молекулы.
В стереохимически нежестких молекулах с низкими энер-
энергетическими барьерами (^ 5 —10 кДж/моль) состояния сосед-
373
\><7
Рис. 5.39. Расщепление электронных уровней и эффект Реннера в мо-
молекуле HCN (а), туннельное расщепление колебательных уровней в
молекуле NH3 {б)
них конфигураций (условно обозначенных здесь A) и B)) мо-
могут взаимодействовать из-за туннельного эффекта, что приво-
приводит к расщеплению соответствующих им уровней на компонен-
компоненты yW ±\|А2). Смешивание конфигураций эквивалентно повы-
повышению размерности пространства независимых координат для
комбинации из N атомов от шести (жесткая нелинейная моле-
молекула) вплоть до ЗЛГ (полностью диссоциированная молекула).
«Мягкую моду», переводящую одну конфигурацию в другую,
называют конторсиопной координатой.
Структурная нежесткость молекул приводит к взаимодей-
взаимодействию их электронных, колебательных и вращательных состо-
состояний с перераспределением энергий уровней и вероятностей
переходов (вибронные (колебательно-вращательные) и ровиб-
ронные, т.е. электронно-колебательно-вращательные спектры).
В частности, возбужденные термы линейных молекул могут
расщепляться под действием деформационных колебаний, по-
порождая интенсивные линии переходов между вибронными со-
состояниями с близкой энергией (эффект Реннера, рис. 5.39, а).
Туннельное расщепление колебательных состояний в конфи-
374
гурациях, связанных «мягкой модой», наблюдается, напри-
например, при инверсионных переходах в молекуле аммиака NH3
(рис. 5.39, 5), внутреннем вращении СНз-фрагментов в диметил-
ацетилене НзС—С=С—СНз и т.д.
Полосы конторсионных переходов в нежестких молекулах ле-
лежат в той же области спектра, что и вращательные переходы, и
анализируются вместе с ними. В гамильтониане таких молекул
конторсионная координата (в простейшем случае одна) и углы
Эйлера отделяются от (ЗЛГ-7) «жестких» молекулярных колеба-
колебаний. Симметрия такого вращательно-конторсионного гамильто-
гамильтониана G с SOD,R); при слабой зависимости дипольного момен-
момента от «мягкой» координаты (диметилацетилен) G ~ SOC,R)x
xSOB,R).
Состояния и правила отбора для нежестких молекул рассмот-
рассмотрены в монографии [4].
5.4.8. Ядерные спиновые состояния молекул
Как и в случае двухатомных молекул, спины ядер в много-
многоатомной молекуле модифицируют правила отбора для ее враща-
вращательных и конторсионных переходов. Волновая функция систе-
системы N одинаковых ядер
(где {R{} — пространственные; {щ} — спиновые ядерные коор-
координаты; г = 1,...,ЛГ) полносимметрична либо антисимметрична
относительно перестановок ядер в зависимости от их спина 5.
Спиновые функции 2^+1ф, где S = 2^5г? определяют числа воз-
возможных вращательных состояний (их ядерные статистические
веса) и переходы между ними с правилом AS = 0.
При наличии в молекуле р типов разных ядер их спиновые
(но не координатные!) функции можно представить в виде ф =
Ш1?
Спины одинаковых ядер в молекуле образуют B5г+1)^-мерное
приводимое представление молекулярной точечной группы, где
N{ — число ядер, S{ — их спин [52, т. 3, гл. 13]. Ненулевой вклад
в компоненты x(#fc) характера такого представления, очевид-
очевидно, вносят только функции с одинаковыми проекциями спина
у атомов, переставляемых операцией д^. Например, трем ядрам
ХН (s = 1/2) в молекуле 14N1H3 соответствуют восемь спиновых
функций Цсссссс >, |оссср >,..., |ррр >}, преобразуемых по произве-
произведению спинорных представлений jDB/2) x ?>(V2) х гК1/2) = ?)C/2) +
A/2) группы SOC,R), как показано на схеме:
375
MS
3/2
1/2 |o>
-1/2 |P >
|cc>
X
IP>
|a
X
IP
|acca >
|aap > |apa > |Paa >
=
|app > |Pap > |PPa >
-3/2 IPPP >
(где Ms — проекция суммарного ядерного спина). В точечной
группе Csv ~ S3 молекулы NH3, полагаемой здесь жесткой, тож-
тождественное преобразование е оставляет неизменными все восемь
функций, тогда как вращения, т. е. перестановки [123] не изме-
изменяют только |aaa > и |ррр >, перемешивая остальные функции
(Сз|сссср >= |apa >, и т. д.), а каждая плоскость cv ~ [12] сохраня-
сохраняет четыре функции ф$ из восьми (например, ai, переставляющая
два первых ядра Н, не изменяет |aaa >, |aap >, |ppa > и |ррр >).
Итак, представление трех ядер 1Н в группе Csv имеет вид
е 2С3 3cv
rCxH) 8 2 4,
т.е. ГC1Н) = 4Ai + 2Е, причем полносимметричное представ-
представление Ai отвечает спиновому квартету, а представления Е —
двум спиновым дублетам (см. схему на с. 378). Характер полно-
полного спинового представления молекулы NH3 равен %C1H)xA4N),
где %A4ЛГ) = C,3,3) (поскольку атом 14N имеет спин 1 и остается
на месте при всех операциях точечной симметрии). Итак:
е 2С3 3av
Ц^Нз) 24 6 12 = 12Ai +6E
Из-за антисимметрии полной ядерной функции Ф относитель-
относительно перестановок фермионов 1Н (представление А2) ее спиновая
(ф) и координатная (Ф) части связаны соотношением
(так как ЕхЕ = А1+А2 + Е содержит антисимметричную компо-
компоненту). Таким образом, вращательные состояния молекулы NH3
распределяются по неприводимым представлениям (Ai,A2*E)
группы Csv с ядерными статистическими весами 0 : 2l : 1. Ана-
Аналогично можно показать, что для дейтероаммиака, где ядра ^Н
имеют спин 1:
и ядерные статистические веса относятся как 10 : 1 : 8 [52, т. 3,
гл.13, §105].
376
Упражнение 5.10. Найти ядерные статистические веса враща-
вращательных состояний молекулы этилена С2Н4 (асимметричный волчок,
спин ядра 12С равен 0) и распределить их по суммарному ядерному
спину.
Спиновые представления неподвижных молекул используют-
используются в магнитно-резонансной спектроскопии, так как магнитные
моменты электронов и ядер пропорциональны их спинам. Маг-
Магнитным полем, создаваемым эквивалентными ядрами, определя-
определяется тонкое расщепление сигналов молекул в ЭПР и ЯМР-спек-
трах. Так, магнитные моменты трех протонов в молекуле CH3F
создают поле суммарной симметрии ?>C/2) +2?>A/2), а распреде-
распределение их спиновых функций по Ms (см. выше) непосредственно
показывает расщепление сигнала ядра 19F (спин 1/2) в этом поле
в квартет с относительными интенсивностями* 1:3:3:1.
Упражнение 5.11. Определить расщепление сигнала неспа-
ренного электрона в магнитном поле четырех ядер Н в спектрах ЭПР
анион-радикала пара-бензохинона С6Н4О2 (точечная группа Дгл) и его
полностью дейтерированного аналога C6D4O2.
5.5. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Симметрию четырехмерного пространства-времени МA,3)
описывают группы Лоренца и Пуанкаре. Частицы, пространство
состояний которых инвариантно относительно действия опера-
операций группы УA,3), классифицируются по неприводимым пред-
представлениям этой группы и называются элементарными. Более
200 известных элементарных частиц (табл. 5.15) вступают в мно-
многочисленные взаимные превращения, например Р-распад ней-
нейтрона:
п ""
рождение электрон-позитронной пары
у+Х ->е"~ + е+
Из теории ЯМР следует, что спины симметрически эквивалентных ядер дают
единственный сигнал. В спектре ХН-ЯМР CH3F сигнал протонов расщепляется
полем ядра 19F в дублет.
** При фоторождении электронно-позитронной пары (J5y>l,l МэВ) в конден-
конденсированной среде одновременное выполнение законов сохранения энергии и им-
импульса достигается за счет передачи импульса фотона Еу/с произвольной частице
X (например, атомному ядру). Обратный процесс образования фотонов при взаи-
взаимодействии частицы с ее античастицей называется аннигиляцией.
377
и др. Начальные сведения о взаимных превращениях элементар-
элементарных частиц и ядерных реакциях см., например, в [97].
Группа Пуанкаре УA,3) играет важную роль в релятивист-
релятивистской квантовой механике [6, 64, 65 т. 2, ч. V]. Ее представления-
представлениями, а также внутренними симметриями элементарных частиц
в квантовой теории поля определяются такие их фундаменталь-
фундаментальные характеристики, как спин, четность и заряд, задаваемые
в нерелятивистской квантовой механике лишь феноменологиче-
феноменологически. Далее в этом разделе, в соответствии с обозначениями ре-
релятивистской квантовой механики, мы принимаем ft= I, c = 1.
5.5.1. Квантовое поле
Понятие поля как материальной среды, передающей взаимо-
взаимодействия между телами, следует из принципов релятивистской
механики (подразд. 5.1.2). Значения функции поля и(х) в каждой
точке пространства-времени х = (яо,хьХ2,хз) РассматРиваются
как обобщенные координаты системы с бесконечным числом сте-
степеней свободы, отмеченных непрерывным индексом х. Функции
квантового поля, по аналогии с волновой функцией Ф(г,?) нере-
нерелятивистской квантовой механики, отвечает также определен-
определенная вероятность нахождения некоторой материальной частицы
в элементе объема dx с координатами х.
Таким образом, квантовое поле обладает свойствами как клас-
классического поля взаимодействий, так и пространственного рас-
распределения амплитуды вероятности. Соответствующие ему ча-
частицы играют роль переносчиков взаимодействия, или «квантов
поля»: так, квантом электромагнитного поля является фотон у,
квантами поля сильных межнуклонных взаимодействий — пио-
пионы 71°, Л* И Т.Д.
Ввиду бесконечного числа степеней свободы классические
функции Лагранжа L и Гамильтона Я, заданные в п. 5.1 для си-
системы частиц, в описании полей заменяются функциями плот-
плотности лагранжиана* ? и плотности гамильтониана !К, связан-
связанными соотношением
где щх) = —— импульс поля в точке х.
ои
Квантовую теорию поля можно построить на основе лагран-
лагранжиана
Плотность лагранжиана ? в квантовой теории поля нередко также называют
«лагранжиан».
378
который зависит от непрерывного множества обобщенных коор-
координат {и(х)} и их первых производных
удовлетворяя принципу наименьшего действия
&А = &\ L(t)dt = 5 | L(x)d*x = 0,
(где А — функционал действия).
Отсюда следуют обобщенные уравнения Лагранжа
ас
(ц = 0,1,2,3). Поскольку действие А должно быть инвариантно
относительно всех преобразований группы Пуанкаре, плотность
лагранжиана &(u,uf,t) — скалярная величина.
Вид функций поля и(х) определяется природой его частиц
(квантов). Простейшими, т. е. вещественными скалярными функ-
функциями можно описать поле частиц с нулевыми зарядом и спи-
спином; комплексному скалярному полю отвечают заряженные бес-
бесспиновые частицы. Нерелятивистское поле частиц со спином s
имеет 2s+ 1 компонент (см. подразд.5.1.4), т.е. является вектор-
векторным (при целых s) либо спинорным (полуцелые s). Число ком-
компонент релятивистского поля удваивается благодаря инвариант-
инвариантности уравнений E.91) относительно «частиц» и «античастиц»
(см. далее).
При отсутствии внешних воздействий (свободное скалярное
поле) простейшая релятивистски инвариантная форма
переводит E.91) в уравнение Клейна — Гордона
- - М2и = [? - М2] п = 0, E.92)
где ? — оператор д'Аламбера:
М2 > 0 — масса покоя частицы. (Напомним, что по одинаковым
индексам в формулах релятивистской механики производится
суммирование, см. подразд. 5.1.2.)
379
Таблица 5.15
Характеристики некоторых элементарных частиц
Частица
Фотон
Символ
Y
Масса
покоя, МэВ
0
Заряд
0
Спин,
четность Jp
Г*
Изоспин
/
Mi
Гиперзаряд
Y
Среднее время
жизни, с
оо
Пептоны
Нейтрино**
Электрон
Позитрон***
Мюон
V**
е
е+
0
0,511
0,511
106
0
-1
+1
-1
-1/2+*
1/2+
1/2-
1/2+
оо
оо
оо
2,6-КГ6
Мезоны
Пионы
Каоны
т]-Мезон
к0
п+
тГ
К+
К~
. К0
к0
л°
135
140
140
494
494
498
498
549
0
+1
-1
+1
-1
0
0
0
0"
0"
0"
0"
0"
0"
<г
0~
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
0
0
+1
-1
1/2
-1/2
-1/2
1/2
0
0
0
0
1
-1
1
-1
0
8,3 10~17
2,6 10"8
2,6-10"8
1,2 10~8
1,2 • 10~8
9 • 10"п
5,3-10"8****
3 • 109
Барионы
Протон
Антипротон****
Нейтрон
Гипероны
Р
Р~
п
Л
Е+
Е°
Е"
"=•0
938,3
938,3
939,6
1116
1189
1193
1197
1315
1321
+1
-1
0
0
+1
0
-1
0
-1
1/2+
1/2-
1/2+
1/2+
1/2+
1/2+
1/2+
1/2+
1/2+
1/2
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
1/2
-1/2
-1/2
0
1
0
-1
1/2
-1/2
1
-1
1
0
0
0
0
-1
00
00
898
2,6 -КГ10
8 • 101
5,8-КГ20
1,4-100
2,9-КГ10
1,6-100
* Для частиц с нулевой массой покоя символом J обозначена спиральность.
** Различают электронное (ve) и мюонное (v^) нейтрино.
*** Античастица.
**** Два канала распада.
В конечной области пространства-времени уравнение E.92) ма-
математически эквивалентно счетному множеству гармонических
осцилляторов (щ + М2щ = 0), связанных оператором кинетиче-
кинетической энергии Ащ. В базисе собственных функций этого операто-
оператора Д/i = kffi состояния и(к{) из E.92) преобразуются к суперпо-
суперпозиции нормальных мод
которые можно представить числами {Ni(k{)} квантов по-
поля с массой М = (Н/с)к^ и трехмерным импульсом* pi =
)
Бесконечномерные представления поля нумеруют числами
частиц (квантов). По аналогии с подразд. 5.4.5 их строят с по-
помощью операторов рождения а+(к{) и уничтожения a(fcj):
4(*«)|0} = №)т, №)|0> = |0), E.93)
где |0) обозначает состояние вакуума (отсутствия частиц).
Оператор а%(к{) добавляет в состояние \N\ki,...,Л/^,.. .)х од-
одну частицу с 4-векторным индексом к{ = (tj ,i;[ j^ >4 )' кото-
которому соответствует 4-импульс, или энергг/л-импульс, (Ei,Pi):
Оператор ах(к{) уменьшает число таких частиц на единицу
(индексом т, который мы далее будем опускать, обозначены все
прочие квантовые числа данного состояния поля).
Легко видеть, что собственным значением произведения опе-
операторов a+(ki)a(ki) = N{ является число частиц N{ с индексом k{i
Гамильтониан поля равен сумме всех таких произведений
г=1
В случае бесконечной области МA,3) следует перейти к непре-
непрерывному 4-векторному индексу А: и интегрировать функцию
плотности частиц n(fc).
* Напомним, что в этом разделе мы обозначаем векторы в трехмерном простран-
пространстве буквами со стрелкой, а 4-векторы — без стрелки над символом.
382
Координатное представление поля и(х) получают четырех-
четырехмерным Фурье-преобразованием операторов а+, а:
\eikxa+{k)d*k,
E.94)
где и+(х) и и~(х) — плотности вероятности, соответственно, рож-
рождения и уничтожения частицы в точке {xq,x\,x2,xs).
Заметим, что дифференциальное уравнение 2-го порядка
E.92), имеющее вид релятивистского соотношения энергии и им-
импульса Е2 = р2+М2, инвариантно относительно знака массы ±М;
решения с отрицательной массой соответствуют уничтожению
квантов поля.
Граничные условия на функции и(х) и du(x)/dt в E.92) при-
приводят к двухкомпонентной полевой функции (\|/, х):
у = и + {i/M)du/dt, % = и - (i/M)du/dt.
В нерелятивистском пределе (idu/dt —> Ми) % < V и полевая
функция u(:r) ~ \|f(?, г) переходит в обычную однокомпонентную
волновую функцию частицы, а уравнение E.92) (с учетом вхо-
входящих в него физических констант) — в зависящее от времени
уравнение Шредингера E.11) ([65, т.2, гл.21].
Скалярными полевыми функциями описывают поле истинно
нейтральных частиц, идентичных своим античастицам — напри-
например, нейтральных пионов л°. Такие поля симметричны относи-
относительно операторов рождения и+(х) и уничтожения и~(х) частиц
в точке х пространства-времени МA,3) [6, гл. 1]:
Выбирая другие функции поля, из E.91) можно получить
уравнения для различных типов частиц.
5.5.2. Группа Пуанкаре и релятивистские инварианты
Многие свойства решений уравнений E.91) полностью опре-
определяются симметрией пространства-времени МA,3), т.е. зада-
заданы неприводимыми представлениями T(kJ) группы ТA,3) (где
к — 4-мерный вектор, j — целое либо полуцелое число, см.
подразд. 4.8). Мы рассмотрим только представления, лежащие
внутри светового конуса (T(kJ)) и на его границах (r(±)@,mJ),
383
см. рис. 5.1), так как остальные состояния не отвечают физи-
физическим частицам. Выколотой точке начала координат @,0,0,0)
на рис. 5.1 соответствует изолированное состояние физического
вакуума |0).
Из наличия в группе Пуанкаре десяти непрерывных пара-
параметров следует существование 10 фундаментальных динами-
динамических инвариантов элементарных частиц (компонент энергии-
импульса, момента и спина) в соответствии с теоремой Нётер.
ТЕОРЕМА 5.1. Для любых физических систем, урав-
уравнения движения которых выводятся из вариационного прин-
принципа, каждому однопараметриче^скому преобразованию, со-
сохраняющему вариационный функционал действия, отвеча-
отвечает сохраняющаяся величина.
Индексу k ^ 0 трансляций в пространстве-времени соответ-
соответствует сохранение 4-вектора энергии-импульса
который в «безразмерной» форме определяется собственным зна-
значением оператора Казимира П2:
n2|fc,j>=-fc2|fc,j>, E.95)
где символом \k,j) обозначено состояние, преобразуемое по непри-
неприводимому представлению F(fc,j) (см. подразд. 4.3). Определив в
обычных физических обозначениях оператор квадрата массы:
для состояния с заданным к получим
ИЛИ
Я2 = М2с4 + сУ, E.96)
где р = (px,Py,Pz) — обычный трехмерный импульс; М — масса
покоя частицы.
При малых импульсах р < Мс можно преобразовать E.96) к
сумме релятивистской энергии покоя и кинетической энергии:
Е =
Представлениям Г(О,т,), точки которых находятся на грани-
границе светового конуса, отвечают частицы с нулевой массой покоя
384
и скоростью v = с (фотон, нейтрино), для которых E.96) пере-
переходит в выражение
Е = рс.
Как видно из рис. 5.1, частицы сМ^О могут находиться в
покое (р = 0), тогда как для частиц с М = 0 состояние покоя
недостижимо (точка |0) на множестве Г@,±т^) выколота).
Индекс j представления T(kJ) определяет собственное значе-
значение второго оператора Казимира W2 группы УA,3), задающего
инвариантность 4-вектора х относительно операций шестипара-
метрической группы Лоренца, т. е. вращений в трехмерном про-
пространстве (х1,Х2,хз) и «гиперболических вращений» (преобразо-
(преобразований Лоренца) в трех плоскостях (x^xi) (см- подразд. 4.8):
2
W2\k,j)=~M2j(j + l)\k,j).
Для покоящейся частицы (fci = &2 = &з = 0) ненулевая энергия
(ко i- 0) соответствует массе покоя М = Е/с2, а ненулевой мо-
момент j = s i- 0 — собственному угловому моменту частицы, т. е.
спину 5. Для движущейся частицы с ненулевой массой сохраня-
сохраняется сумма моментов j = 1 + s. Можно показать [99, т. 2, гл. 15],
что, в отличие от r(fc,j), в представлениях Г+@,т^) и Г~@,т^),
задающих состояния частиц с нулевой массой покоя на грани-
границе светового конуса, сохраняется только проекция rrij момента
на направление движения: спиральность. Так, целочисленный
спин фотона (бозе-частицы с нулевой массой покоя) принима-
принимает только значения ±1, которым соответствуют правая и левая
поляризации света.
Комплексные полевые функции и(х) обладают также калиб-
калибровочной инвариантностью относительно преобразований
Хи -> eiau, Хи* -> еЧаи*,
не изменяющих произведения ии* (где а — фаза преобразования,
и* — комплексно сопряженная функция). В этом случае 4-вектор
потока плотности вероятности j(x) = (jo, л, J2>Зз) нахождения ча-
частицы в точке х (вектор тока), компоненты которого равны
(штрихом обозначена 4-компонентная производная ди/дх), удо-
удовлетворяет условию непрерывности
385
Это указывает на наличие сохраняющейся величины.
Интеграл от компоненты jo n° трехмерному пространству
*ди ди* ч л
не зависит от времени и представляет инвариантную характе-
характеристику поля, называемую зарядом. Для разных полей Q может
соответствовать как электрическому заряду, так и другим заря-
доподобным инвариантам: барионному заряду, странности и др.
Такие инвариантные характеристики элементарных частиц от-
отражают их внутренние симметрии и не выводятся из свойств
группы Пуанкаре [6, гл. 1].
5.5.3. Статистика, спин и четность
Перестановочные соотношения операторов рождения и уни-
уничтожения, очевидно, различны для фермионов и бозонов. Для
бозе-полей, полносимметричных относительно перестановок их
квантов: (|fc, fc',..., кп) = |fc', fc,..., кп))\
[a+(fc), a+(k')}- = а+(к)а+(к') - а+(к')а+(к) = О,
тогда как для антисимметричных ферми-полей (|fc,&',:•• ,
= —\к, /с,..., кп}):
fc0 + a+{k')a+(k) = 0
(и, соответственно, [a(fc),a(fc/)]± = 0)*. Оператор [Л,Б]+ = АВ + ВА
называется антикоммутатором А и В. При этом для бозонных
(индекс «-») и фермионных («+») полей
Перестановочная симметрия полей и связь типов статистики
со спином вытекают из принципа причинности: независимости
полей Ф(х) (и их операторов) в точках ihi', разделенных про-
странственноподобным интервалом As2 < 0. Поскольку незави-
независимые функции коммутируют,
[Ф(х),Ф(а:/)]± = 0.
Для скалярного поля частиц с нулевым (т. е. целым) спи-
спином перестановочную бозе-симметрию молено получить непо-
непосредственно из E.94), подставляя функции Ф = и+(х) + и~(х) в
*В этом можно убедиться, подействовав операторами [a+(fc),d+(fc')]± на состоя-
состояние |fci,...,fcn).
386
коммутатор и антикоммутатор и учитывая, что u+(x)u+(xf) =
= vT(x)u"(xf) = 0:
[Ф(х), Ф(х% = [(и+(х) + u-(x))f (и V) + и V))]- =
или
sinfc(a:/
f
sin k(rf - r)d3fc = 0. E.97)
В E.97) проведена замена пространственноподобного 4-векто-
ра х1 -х на симметрически эквивалентный ему вектор (лежащий
на той же трехмерной гиперболической поверхности преобразо-
преобразования Лоренца) с координатой t' = t, т. е. х'о - хо = 0, понижаю-
понижающая размерность области интегрирования. Интеграл от нечет-
нечетной функции sin[k(r'-r)} по всему трехмерному подпространству
импульсов (&1,/с2,&з) обращается в нуль. Если же в E.97) исхо-
исходить из антикоммутатора [Ф(х),Ф(о;/)]+, мы придем к противоре-
противоречию, получив в последней строке ненулевой интеграл по всем
(&1,&2,А:з) от четн°й функции cos k{f -r).
Таким образом, перестановочная антисимметрия (или ферми-
статистика) состояний поля для частиц с нулевым спином про-
противоречит принципу причинности, а полносимметричность по
перестановкам частиц (бозе-статистика) согласуется с ним. На-
Наоборот, антикоммутационные соотношения согласуются с при-
причинностью для спинорных полей, составленных из частиц с по-
полуцелыми спинами (см. [6, гл. 2] и [99, гл. 16]).
Функции комплексных и более сложных полей, удовлетворя-
удовлетворяющие условию причинности, имеют вид [6]
Ф = и~ + v+ Ф* = и+ + гГ,
где компоненты v+,v~ выводятся по E.94) из операторов Ь+,Ь
рождения и уничтожения античастиц с теми же массой и спи-
спином, что и кванты поля и+, и", но с противоположными зарядами
(ср. «вторые» решения уравнения Клейна—Гордона, возникаю-
возникающие вследствие релятивистской инвариантности лагранжиана в
E.91)). Для суперпозиции полей и(х) и v(x) сохраняется опера-
оператор разности числа частиц и античастиц, эквивалентный элек-
электрическому заряду
387
\[a+(k)a(k)-b+(k)b(k)]d4k.
Частицу и ее античастицу с одинаковыми массами покоя и
спинами, но противоположными зарядовыми характеристиками
(например, протон и антипротон) можно считать компонентами
одного вырожденного состояния. Они переводятся одна в дру-
другую особой операцией симметрии: зарядовым сопряжением С.
Помимо непрерывных преобразований группы Пуанкаре, внут-
внутренних симметрии и зарядового сопряжения, элементарные ча-
частицы обладают также свойствами симметрии относительно дис-
дискретных преобразований пространства-времени: инверсии Р про-
пространственных координат (х1,Х2,хз), обращения времени Г и их
произведения РТ. Симметрия или антисимметрия поля относи-
относительно инверсии координат Ри = (±1)и характеризует внутрен-
внутреннюю четность частиц (см. подразд. 5.4.5). Можно показать [70],
что внутренние четности фермионов и их античастиц противо-
противоположны, а четность всех мезонов равна -1.
Знак поля относительно зарядового сопряжения С называет-
называется зарядовой четностью. Например, РГ-четность и зарядовая
четность фотона как кванта электромагнитного поля, магнит-
магнитный потенциал которого (полярный вектор) изменяет знак при
обращении времени, равны -1, т.е. Сщ = -щ. Таким образом,
«антифотоном» является фотон с противоположной спирально-
стью (круговой поляризацией света).
Сочетание операций Р и Г с преобразованиями Лоренца дает
четырехмерные аналоги несобственных вращений. Известно, что
свойства симметрии относительно Р иТ сохраняются не во всех
взаимодействиях элементарных частиц. Так, например, четность
частиц сохраняется в электромагнитных и сильных взаимодей-
взаимодействиях, но не сохраняется при слабых взаимодействиях — таких,
как р-распад. Однако совместная инверсия пространственных
координат и времени вместе с заменой частиц античастицами
является операцией симметрии для всех известных квантовых
полей (СРТ-теорема).
Из разбиения состояний квантового поля по неприводимым
представлениям группы УA,3) вытекают законы сохранения ин-
инвариантных характеристик частиц (квантовых чисел) при их
взаимных превращениях. Так, например, при распаде истинно
нейтрального пиона п° со спином 0 и зарядовой четностью +1:
образуются два фотона с противоположной поляризацией
+ ^s(Y2) = 0 и суммарной зарядовой четностью +1
388
(C\|/(Yi)\|/(Y2) = (-lJV(Yi)V(Y2)K тогда как распад п° на нечетное
число фотонов запрещен.
Упражнение 5.12. Аннигиляция электрон-позитронной пары
протекает через метастабильную промежуточную систему позитрония
(е~,е+): водородоподобного квазиатома с возможными спин-орбиталь-
спин-орбитальными состояниями lS (пара-позитроний) и 35 (оргао-позитроний) (где
S обозначает орбитальное состояние с L = 0). Определить минималь-
минимальные числа п фотонов при разрешенном распаде этих состояний.
5.5.4. Матрицы Дирака
Волновые функции нерелятивистских частиц со спином lfe
в трехмерном евклидовом пространстве являются двухкомпо-
нентными спинорами 1-го ранга и преобразуются матрицами
Паули по неприводимому представлению D^z' группы SOC,R)
(см. подразд. 5.1.4). С учетом релятивистского удвоения компо-
компонент поля соответствующие волновые функции в четырехмер-
четырехмерном пространстве-времени представляют биспинорами Дирака
E.98)
где
(частицы), Х= / \ (античастицы).
?2 («)
0
Функции \|/(х) = ф(х) + %(х) преобразуются по представлению
?)B °)+L>(° 2) группы SO+A,3). Матрицы (ось «2, «з, Р) этих преоб-
преобразований (размера 4x4), называемые матрицами Дирака дей-
действуют только на спиновые переменные и имеют блочный вид
Они удовлетворяют соотношениям
389
где ад. — 2 х 2-матрицы Паули, 1 — единичная матрица размера
2x2, / — единичная матрица размера 4x4.
Релятивистское матричное уравнение для свободного элек-
электрона
(акрк + $т)у = Еу E.99)
(с суммированием по одинаковым индексам; в обозначениях дан-
данного раздела^ = -гУ*. = -ъщ;, гп — масса покоя электрона) назы-
называется уравнением Дирака. Его решения, т. е. волновые функции
\|/(х), удовлетворяют также уравнению Клейна —Гордона E.92).
Обычно используется стандартное представление матриц Ди-
Дирака уо = Р> Ук = Раь в котором
YlxYv + YvYji = 2g^v?
где g^v — метрический тензор, или набор элементов в матрице
Грама (см. подразд. 7.4) пространства МA,3).
Таким образом, матрицы {y^} антикоммутативны, а их квад-
квадраты равны / (|i = 0) либо -J (|i = 1, 2, 3). С этими матрицами
уравнение E.99) принимает ковариантную форму, сохраняющу-
сохраняющуюся при преобразованиях волновой функции \|/(х) операциями
группы Лоренца:
или (после умножения на -г)
E.100)
Стандартные матрицы Дирака имеют вид
/0 0 0
0 0 10
0-100
V-1 0 О О)
Yo =
71 =
/0 0 0 -г\
О 0 г О
О г О О
\-г О О О)
и обладают свойствами:
0 0 10
0 0 0-1
-10 0 0
0 10 0
*7о = 7о (эрмитова матрица);
(к = 1,2,3; антиэрмитовы матрицы), т. е.
% = 7о7ц7о A1 = 0,1,2,3).
390
Матрицы {уц} являются образующими алгебры Клиффор-
Клиффорда СA3) (см. подразд. 4.5). Матрица их произведения
О 0 -1 О'
0 0 0-1
-10 0 0
0 -1 О О
также антикоммутативна с {уц} и совпадает со своей обратной
матрицей
Перемножая матрицы {Уц}> можно построить полный набор
из 16 независимых матриц размера 4x4, являющихся базисом
пространства MatD,С):
/, Hi, <V = ^(Y^Yv -YvYn), Y^Y5, Tfe- E.101)
Эти 16 матриц, снабженные антикоммутатором [х, у]+, служат
базисом алгебры Дирака — еще одной конструкции в квантовой
теории поля. Можно доказать [59, гл.2], что алгебры с комму-
коммутатором (используемые в описании бозонных полей) и с анти-
антикоммутатором (описывающие поля фермионов) образованы, со-
соответственно, четными и нечетными элементами алгебры Грае-
смана (см. подразд. 4.4).
Упражнение 5.13. Используя явный вид матриц {уц} и со-
соотношения между ними, распределить 16 матриц E.101) на классы
сопряженных элементов относительно умножения.
Учет взаимодействия с электромагнитным полем в уравнени-
уравнениях Дирака E.100) достигается заменой гд/дх^ на гд/дх^-еА^
где е — заряд электрона, {А^} = (ср, А\, Лг, А$) — 4-компонентный
электромагнитный потенциал. Уравнения E.99) и E.100), в част-
частности, позволяют вычислить магнитный момент электрона и
корректно описать его спин-орбитальные взаимодействия. Ре-
Решениям с отрицательной энергией отвечают состояния положи-
положительно заряженной античастицы: позитрона е+. В нерелятивист-
нерелятивистском пределе (х < Ф) биспинор E.98) переходит в двухкомпо-
нентную спинорную функцию, а уравнения Дирака — в уравне-
уравнения Шредингера для частицы с магнитным моментом \\.q = eh/2m
в электромагнитном поле [65, гл.20].
При нулевой массе покоя (ш = 0) уравнение E.100) принимает
вид
391
и разделяется на два независимых уравнения Вейля
--0' <5Л02>
где к = 1,2,3, ад. — матрицы Паули.
Двухкомпонентные функции Ф-(х) и Ф+(х) соответственно опи-
описывают состояния безмассового нейтрино v с отрицательной спи-
ральностью и антинейтрино v с положительной спиральностью.
Квантованием трехкомпонентного векторного поля частиц со
спином 1 в случае т = О (фотон) можно получить уравнения
Максвелла (см. [6, гл. 1,2], [65, гл. 21] и [99, т. 2, гл. 16]).
5.5.5. Изоспин и мультиплеты масс
Поскольку релятивистская частица, соответствующая непри-
неприводимому представлению группы Пуанкаре, должна иметь точ-
точно определенную энергию, действительно элементарными мож-
можно считать лишь стабильные частицы: фотон, нейтрино, элек-
электрон, протон и их античастицы (антинейтрино, позитрон и ан-
антипротон). Частицы с конечными временами жизни т и массами
покоя, распределенными в интервале АЕ ~ ft/т, строго говоря,
соответствуют бесконечномерным приводимым представлениям
группы ?A,3).
Однако стабильные и нестабильные частицы можно расмат-
ривать вместе, считая их компонентами некоторого набора при-
приближенно вырожденных состояний, которые отражают нару-
нарушенную симметрию взаимодействующих квантовых полей, или
приближенную симметрию фундаментальных взаимодействий.
Так, адроны с близкими массами покоя и одинаковыми спинами
(например, протон и нейтрон) в рамках приближенной изотопи-
изотопической симметрии могут рассматриваться как разные состояния
одной частицы (в данном примере нуклона), строго вырожден-
вырожденные в рамках симметрии сильных взаимодействий, но расщеп-
расщепленные по энергии электромагнитным возмущением.
Приближенную симметрию сильных взаимодействий описы-
описывают унитарной группой SUB,C) в абстрактном пространстве
изотопических координат (?,г|?0 — формальном аналоге про-
пространства спиновых переменных из нерелятивистской теории
электрона. Неприводимым представлениям группы SUB,C) от-
отвечают «почти вырожденные» мультиплеты частиц с близкими
массами покоя, одинаковых по спину и четности: (п,р), (я*, я0)
и др. (см. табл. 5.15). В пользу такой модели свидетельству-
свидетельствует, в частности, подобие возбужденных состояний «зеркальных»
392
[nBEp,6n), nCFp,5n)] и других изобарных A8О, 18F, 18Ne) ядер
легких элементов (где преобладают сильные взаимодействия) с
одинаковыми массовыми числами, или барионными зарядами,
В = Z + N, а также многие закономерности ядерных реакций.
Индексом неприводимого представления группы SUB,C), ко-
которому соответствует мультиплет элементарных частиц с близ-
близкими массами покоя, служит квантовое число изоспина I («изо-
(«изотопического спина»), названного так ввиду одинаковой симмет-
симметрии пространств спиновых и изотопических переменных. Каж-
Каждой частице в мультиплете отвечает определенная проекция изо-
изоспина М/ = -/, -/+1,...,/. Так, например, состояниям протона \р)
и нейтрона \п) в пространстве (?,т|,?) соответствуют спинорные
волновые функции
с изоспином 1/2 и его проекциями, соответственно, ±У2- Опера-
Операторы преобразования этих функций 1к = -т*. представляют ком-
комплексные B х 2)-матрицы, аналогичные матрицам Паули E.19),
так что
/3b> = |lP>, /з|п)=~|п).
Из матриц ti и Т2 можно построить повышающий и понижа-
понижающий операторы Т± = ^(%\ ±i%2)'-
Г+|п> = |р), Т_|р) = |п),
Г_|п)=Г+|р) = |0).
Триплету пионов (я+,7с°,7Г) соответствует изоспин / = 1 с про-
проекциями (+1,0,-1) и т.д. (см. тфл. 5.15). Изоспиновые квантовые
числа сохраняются в сильных взаимодействиях.
Квантовые числа (/, Mj) атомных ядер определяются, подоб-
подобно спинам, по схеме векторного сложения: в частности изоспины
ядер 2Н и 4Н равны нулю. Аналогичные состояния изобарных
ядер рассматривают как компоненты изоспиновых мультипле-
тов {М/}, вырождение которых снимается электромагнитными
взаимодействиями нуклонов.
Направление многих процессов с участием ядер и элементар-
элементарных частиц можно вывести с помощью правил отбора по /, М/ и
коэффициентов Клебша — Гордана для произведений изоспино-
изоспиновых состояний. Например, при столкновении двух ядер дейтерия
расщепление одного из них разрешено по изоспину
393
тогда как ядерный синтез в данном случае запрещен:
Действительно, взаимодействие 2Н + 2Н в основном протекает
по первому механизму. По SUB, (С)-симметрии сильных взаимо-
взаимодействий см. [99, т. 1, гл. 10] или [70, гл. 3, 4].
Дальнейшим развитием идеи нарушенной симметрии явля-
является описание сильных взаимодействий элементарных частиц в
рамках 8-параметрической унитарной группы SUC,C), подгруп-
подгруппа которой SUB, С) xU охватывает как изоспиновую, так и калиб-
калибровочную (зарядовую) инвариантность адронов. Неприводимые
представления Г(Х,ц.) группы SUC,C) нумеруются двумя цело-
целочисленными индексами и имеют размерность
т.е. 1, 3, 6, 8, 10, 15, .... [99, гл.11]. С индексами (А,,ц) связаны
квантовые числа гиперзаряда У и проекции изоспина М/. Ги-
Гиперзаряд частицы представляет сумму всех ее зарядоподобных
квантовых чисел (барионного заряда, странности, очарования и
др.) и связан с проекцией М/ и электрическим зарядом Q фор-
формулой Геллмана — Нишиджимы:
Неприводимые представления Г(Х|х) графически изображают
весовыми диаграммами (см. подразд. 4.7): наборами точек на
гексагональной сетке, построенной в прямоугольных координа-
координатах (М/, У) с дискретным шагом - по М/, - по У и расстояниями
2 о
между соседними точками сетки ДМ/, АУ = ±1. Вывод представ-
представлений группы SUC, С) и их применение к описанию мультипле-
тов масс имеется в [99, т. 1., гл. 11] и [59, гл. 8].
На рис. 5.40 схематично изображены мультиплеты барионов,
отвечающие представлениям ГA,1) (октет) и ГB,1) (декуплет)
группы SUC,C). На каждой диаграмме частицы с одинаковым
гиперзарядом У образуют изоспиновый мультиплет, уровни ко-
которого (массы покоя) расщеплены на несколько мегаэлектрон-
мегаэлектронвольт электромагнитными возмущениями. Приближенно посто-
постоянная разность масс покоя между соседними мультиплетами од-
одной диаграммы (~ 150 МэВ) объясняется наличием компоненты
сильного взаимодействия, нарушающей SUC, (С)-симметрию. От-
Отметим, что в октете барионов спины всех частиц равны х/2, а в
394
•
•
-2 # -Г
У
п #940
/1197 А
\-7\
Н" 1321
2
/938 '
Л193 s\
\1116 /
-1 V
S°?1315
» •
го
2
,1)
Г C,0)
1672
Рис. 5.40. 8иC,С)-мультиплеты элементарных частиц:
а — барионы ГA,1); б — гиперонные резонансы ГC,0). Числа — масса покоя
частиц, МэВ
декуплете 3/2. Мезоны (см. табл. 5.15) также группируются в ок-
октет (с нулевым спином); массы покоя частиц в нем различают-
различаются в несколько раз. Приближенная SUC, С)-симметрия сильных
взаимодействий позволила классифицировать адроны; в част-
частности, на ее основе был предсказан и затем в 1964 г. обнаружен
П~-гиперон.
Одинаковые спины у всех частиц в составе SUC, С)-мульти-
плета указывают на еще более высокую приближенную симмет-
симметрию межчастичных взаимодействий. Свести все известные кван-
квантовые числа элементарных частиц к индексам одного неприво-
неприводимого представления удается в рамках группы SUF,C), под-
подгруппа которой SUC,C) х SUB,C) отражает симметрию прямого
395
произведения пространств зарядовых, спиновых и изоспиновых
переменных. Неприводимым представлениям SUF,C) отвечают
супермулътиплеты частиц: мезонов, легких барионов и тяже-
тяжелых барионов вместе с резонансами (нестабильными частицами
со временем жизни 10~22 -10~23 с). Этот формализм, в частно-
частности, дает теоретическое отношение магнитных моментов прото-
протона и нейтрона \ip/\in = -3/2 в удовлетворительном согласии с экс-
экспериментальным значением (-1,46). В описании элементарных
частиц и супермультиплетов атомных ядер используется также
унитарная симметрия SU(n,C) с п=4 и 5 (см. [99, гл. 10 — 12]).
Низшему мультиплету кратности 3 в группе SUC,C) долж-
должны соответствовать частицы с дробным гиперзарядом, кратным
Уз. Такими частицами, по современным представлениям, явля-
являются кварки: гипотетические составляющие адронов с массами
от ~ 300 МэВ до ~ 50 ГэВ, спином Уг и электрическими заря-
зарядами -Уз или 2/з. В настоящее время предполагается существо-
существование шести разных кварков (табл. 5.16), связанных безмассо-
безмассовыми квантами кваркового поля (глюопами) в барионы и мезо-
мезоны, которые составлены, соответственно, из троек кварков и пар
кварк — антикварк.
Рассмотренные выше БиC)-мультиплеты мезонов и барио-
барионов можно вывести из прямых произведений кварковых три-
триплетов по графической схеме, ранее использованной для выво-
вывода атомных и молекулярных термов (см. подразд. 5.4.2 и 5.4.6)
(рис. 5.41). Специфическими квантовыми числами («цветами»)
к к*
Y
Г A,0) Г @,1) Г A,1) Г @,0)
А" Л° А+
/ / vox
Г A,0) Г A,0) Г A,0) ГC,0) Г A,1)
Рис. 5.41. SUC, С)-мультиплеты масс как произведения кварковых три-
триплетов (обозначения частиц — см. табл. 5.15 и рис. 5.40)
396
Таблица 5.16
Квантовые числа кварков [59]
Кварки*1
и\
dx
s\
с\
Ьх
tx
В
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
Q
+2/3
-1/3
-1/3
+2/3
-1/3
+2/3
М/
1/2
-1/2
0
0
0
0
У
1/3
1/3
-2/3
0
0
0
с*2
0
0
0
1
0
0
б*3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
*1 Квантовые числа «цвета» (А.= 1,2,3). *2 «Очарование» (charm). *3 «Красо-
«Красота» (beauty). *4 «Истина» (truth).
кварков в квантовой хромодинамике нумеруются представления
группы SUC,C), а их прочими квантовыми числами («аромата-
(«ароматами») — представления группы SUF,C) [6, гл.8].
Контрольные вопросы
1. Определить вид я-МО (ЛКАО) молекулы циклобутадиена С4Н4
с симметрией D±h и форму ян-теллеровских искажений этой молекулы.
2. Найти расщепление d- и /-АО в поле аксиальной симметрии.
3. Определить оптические и акустические моды двумерных атом-
атомных слоев в кристаллах графита и гексагонального BN.
4. В приближении слабой связи найти вид и симметрию электрон-
электронных зон ОЦК-металла в направлении (А; 00).
5. На качественном уровне предсказать распределение длин связей
С—С в плоской цепочечной молекуле полиацетилена (СН)оо и сверх-
сверхструктурные искажения его цепочки при допировании калием (состав
фазы К0,2СН).
6. По оболочечной модели найти спин ядра 15N и определить сверх-
сверхтонкое расщепление связывающих электронных уровней молекулы
15N16O в поле этого ядра.
7. Ядро дейтерия d= (п,р) (дейтрон) имеет единственное связыва-
связывающее состояние со спином 1. Пользуясь законами сохранения, опре-
определить состояния нуклонов, возникающих при фоторасщеплении дей-
дейтрона у+ d —+ п + р.
ГЛАВА6
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
И ЕЕ СОВРЕМЕННЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Представлены дополнительные сведения по теории групп
и некоторые современные приложения ее результатов. Из-
Изложены доказательство теоремы Шенфлиса —Бибербаха (см.
гл. 2), основы теории разрешимых и нильпотентных групп и
математической теории квазикристаллрв, а также краткая
характеристика группы перенормировок (ренормгруппы) и
ее приложения к описанию фазовых переходов. Даны осно-
основы теории алгебр Хопфа, представляющих важную часть
современной теории квантовых групп, и их связь с теори-
теорией групп Ли; приведены некоторые сведения о топологиче-
топологических группах. Рассматриваемый материал отражает лишь
некоторые существенные направления развития теоретико-
группового формализма во второй половине XX в., поэтому
он изложен более коротко и фрагментарно, чем в предыду-
предыдущих главах.
6.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
ШЕНФЛИСА - БИБЕРБАХА
В подразд. 2.13 была сформулирована теорема Шенфлиса—
Бибербаха, составляющая основу теоретико-группового описа-
описания кристаллических множеств. Напомним ее.
ТЕОРЕМА 6.1. Пусть Г = Sym ЯГ —группа симмет-
симметрии кристаллического множества К с Е в евклидовом про-
пространстве Е и N = N(T) — все сдвиги из группы Sym К. Тогда
фактор-группа Л = Sym К/N = d(Sym К) конечна, а аддитив-
аддитивная подгруппа евклидова пространства А(Г) (см. следствие
на с. 88) является решеткой в Е.
Доказательство. Доказательство теоремы будет
проведено в несколько этапов. На множестве всех линейных
операторов Л в пространстве Е введем норму ||Л||, полагая
ЦЛЦ = sup \\Ax\\. F.1)
398
(напомним, что sup^GM^ ^ ? обозначает верхнюю границу
числового множества М). Заметим, что норма ||Л|| является
положительным числом, если оператор Л отличен от нуля.
Кроме того, ||Лж|| ^ ||Л|| ||х|| для всех х е Е и
||Л + В||<||Л|| + ||В||, ||ЛВ||< ||Л|| ||В||. F.2)
Отметим также, что норма любого ортогонального опе-
оператора равна 1.
Рассмотрим группу О(Е) всех ортогональных преобразований
вЕ.
ЛЕММА 6.1. Если ф,\|/ е О(?), то
гц. (б.з)
Кроме того, Пфх^ф" — ?|| ^ ||v-?||. (Здесь г е О(Е) — единич-
единичный оператор группы ортогональных преобразований.)
Доказательство. Пусть х ? Е. Тогда
{ф, \f}x -x = фуф^" (х) - х =
= (Ф-г)(х|/-.?)ф-1г1М-(?-?)(Ф-?)ФУ1(^
Отсюда, учитывая ортогональность ф, \|/, получаем, что
-?|| ||V-?|| i^-V^^II + llv-fill 11Ф-?Ц Иф-Ч^Сх)!! =
Отсюда вытекает первое утверждение.
Для доказательства второго утверждения опять восполь-
воспользуемся тем, что норма каждого ортогонального оператора
равна 1. Поэтому в силу F.2) получаем, что
ЛЕММА 6.2. Если Ф, Ф е Г из B.7), тогда
||{Ф,Ф}@)|| ^ ||ЙФ-?||||Ф(О)|| + ||с№-?||||Ф(О)||. F.4)
Доказательство. Пусть
ф = йФ, \|/ = d*, а = Ф@), Ь = Ф(О).
399
Тогда по B.9) и F.3):
(О)|| = ||-{
II {Ф,
Ф
ЦФ -
Выберем такое число 8, что 0 < 8 < lfe- Рассмотрим в Г
два элемента Ф,Ф, причем
?||<е. F.5)
Положим по индукции п\ = Ф, пт+1 = [Ф,Пт].
ЛЕММА 6.3. Для любого т > 1 имеем
||<Ют-?|| < BеГ, 11^@I1 < ||Ф@)|| + ||Ф@)||. F.6)
Доказательство. Положим
ф = <Ю, \|/ = d*, а = Ф@), Ь = Ф@), cm = Пт@), ©m = dum.
Если т = 1, то ||g>i - E\\ = \\\\f- E\\ < 8 < 28 по предположе-
предположению. Кроме того, ci = 6 и поэтому ||ci|| = ||6|| ^ ||а|| + ||6||. Итак,
при т = 1 утверждение верно.
Пусть оно верно для некоторого т ^ 1. По F.3) и пред-
предположению индукции получаем, что
||com+1-?|| ^ 2||ф-?|| Цсощ-ги < Bе) х BеГ = Bе)т+1.
Аналогично по F.4) и предположению индукции получа-
получаем, что
е(|Ы| + ||а||) <
так как 2е < 1.
Заметим, что все элементы Фт лежат в группе Г. Из усло-
условия 1) в определении 2.8 и оценок F.6) вытекает, что Фт = Фт+ъ
о>т = 0)m+i = ?> начиная с некоторого т.
ЛЕММА 6.4. Если Ф, Ф из Г и выполнено условие
F.5), операторы с№,с/Ф коммутируют.
400
Доказательство. Воспользуемся обозначениями
из предыдущей леммы. Выше мы уже показали, что сош = ?
для некоторого га ^ 1. Поэтому достаточно показать, что ес-
если ?, Э —ортогональные операторы в Е, причем {?, {?, Э}} = ?
и ||С-?||> ||9-?|| < с, то {С, 9} = ?• Докажем* справедливость
этого утверждения.
Будем пользоваться следующим простым свойством ком-
коммутатора {х,у}. Именно, {х,у} = 1 тогда и только тогда, ко-
когда ху = ух.
Так как {?,Э} = ^е^Э, то условие {?,{?, Э}} = ? экви-
эквивалентно тому, что ортогональные операторы ? и Э^"*1Э =
= (Э^Э) перестановочны. Следовательно, наше условие
эквивалентно коммутативности ? и Qtfir1.
Переходя к унитарному пространству Ё = С 0^ ^> можно
считать, что нам заданы унитарные перестановочные опера-
операторы ? и О^Э, имеющие одинаковые собственные значения.
Тогда пространство Ё является прямой суммой ортогональ-
ортогональных собственных подпространств Ё = V^ 0 • • • 0 V\t операто-
оператора ? с различными собственными значениями Х\, ... , Xf Из
условия коммутативности вытекает, что каждое собствен-
собственное подпространство \\. инвариантно относительно Э^Э".
Следовательно, имеется ортогональное прямое разложение
V^. = OsV^. a.e> гДе ^4,- собственное подпространство в V^.
относительно ортогонального оператора Э^Э с собствен-
собственным значением Х3.
Но если х € V\ , то
Поэтому
в(^) = ®^Лг F.7)
Предположим, что ЭA^.) ^V\. для некоторого j. Из F.7)
следует, что можно найти такой вектор х е V\. единичной
длины, что Э(х) € Vxa, где 5 ^ j, причем Э(х) J_ x. В этом
случае по теореме Пифагора (см. гл. 7)
что невозможно, поскольку ||Э- ?|| < е < -.
Итак, 6(Vj) = Vj для любого j и поэтому 0? =
* Напомним, что в этом доказательстве, как и в гл. 1, 2, используется групповой
коммутатор {х,у} = хух^/ и символом ? обозначен единичный элемент груп-
группы. В главах 4 и 5 для алгебр был введен лиевский коммутатор [х, у] = ху - ух,
основанный на двух разных операциях композиции (сложения и умножения) с со-
соответствующими операциями идентичности @ и 1).
401
Завершим доказательство теоремы. Пусть G —множество всех
произведений ортогональных операторов йФ, где Ф € Г и
-?|| < е. Нетрудно видеть, что G является подгруппой в
Более того, по лемме 2 подгруппа G нормальна в d(T).
Покажем, что индекс подгруппы G в d(T) конечен. Действи-
Действительно, если индекс бесконечен, то существует бесконечное мно-
множество левых смежных классов (h{G \ г € /) группы d(T) по под-
подгруппе G (где / —бесконечное множество индексов). Так как мно-
множество всех ортогональных операторов компактно, то из множе-
множества всех представителей (hi \ г е I) можно выбрать сходящую-
сходящуюся подпоследовательность (/im), га ^ 1. При достаточно больших
771,771' получаем
Но тогда l\^,hm € G, откуда hmG = hmtG^ что невозможно.
Итак, нормальная подгруппа G имеет конечный индекс в d(r).
Из леммы 6.4 вытекает, что группа G абелева.
Пусть I e А(Г) и / т^О (ненулевой элемент аддитивной подгруп-
подгруппы А (Г) € Г). Существует такое движение Ф € Г, что с№ = ? и
Ф@) = /. Предположим, что Ф е Г, причем dФ -=ft. По B.8) и пред-
предложению 2.8 получаем, что ФФФ-1@) = (йФ)(/). Следовательно:
{Ф, Ф}@ = ФФФ^Ф^) = ФФФ-^О) = (d<f>){l).
Поэтому в силу свойства 1) в определении 2.8 и определения
нормы получаем
о
Таким образом, если положить е < -т^, где d(l) из условий
Делоне (см. подразд. 2.3, определение 2.8), то получим, что G = 1
(т. е. группа G тривиальна). В этом случае группа dT конечна.
По теореме 2.6 ранг группы А(Г) равен размерности dimF
линейной оболочки V множества А (Г). Пусть dim V < dimE. Если
d(T) = (йФь ... , d$m), то, как отмечалось выше, образ начала
координат 0 при действии группы Г остается в
Ugx [Фг(О) + А(Г)} С Ugx [Фг(О) + V] .
Существует такая точка В е Е, расстояние от которой до лю-
любой плоскости [Фг@)+У] больше d из условия 2) в определении 2.8.
Полученное противоречие показывает, что ранг А(Г) равен раз-
размерности Е. Итак, если А(Г) ^0, то теорема доказана.
402
Предположим теперь, что А(Т) = 0. Рассмотрим два произ-
произвольных элемента Ф,Ф из G, где (с?Ф)(йФ) = (с?Ф)(с(Ф). В соответ-
соответствии с теоремой 2.12 можно выбрать такую систему координат,
что
(d$) (Ф@)) = Ф@). F.8)
Положим ф = d<&, \|/ = с?Ф, а = Ф@), Ь = Ф@). Тогда F.8) имеет
вид
(?-ф)(а) = а-ф(а) = 0. F.9)
По B.9) получаем, что {Ф, Ф}(х) -х-Ь- \|/(а) + ф(Ь) + а. Таким
образом, в силу предположения, -Ь - \|/(а) + фF) + а = 0 и поэтому
F.10)
Из F.9) следует, что
(?-фJF) = (?-ф)(?-у)(а) = (?-у)(?-ф)(а) = 0. F.11)
Но нетрудно видеть, что если (?-фJ(:г) = 0 для некоторого х е Е,
то (? -ф)(я) = 0. Это вытекает из канонического вида матрицы
ортогонального оператора ф (см. теорему 7.16). Следовательно,
из F.10) следует, что 0 = (?-ф)(Ь) = (? —\|г)(а) в силу F.11). Так
как 6 = Ф@), а = Ф@), то нами доказана следующая лемма
ЛЕММА 6.5. Пусть Ф, Ф € G. Тогда (<№) (Ф@)) = Ф@).
Рассмотрим теперь элемент п е Г и Ф,Ф е G. По лемме 6.1
1 € G. Таким образом, в силу леммы 6.5:
(dO)(d*)(dn) [Ф@)] = Ф@). F.12)
Применяя оператор du к равенству F.12), получаем
Из этого равенства вытекает, что каждый оператор
йФ, Ф € G действует тождественно на каждом векторе
(dfi) [Ф@)]. По доказанному выше подгруппа dG имеет ко-
конечный индекс га в d(T). Пусть задано разбиение группы
d(T) на левые смежные классы
по подгруппе G. Если Л = Г^Ф € Г, где йФ € G, то Л@) =
= (сК^)[Ф(О)] +П^@). Пусть V — подпространство в ?, со-
состоящее из всех таких векторов х € Е\ что (g№)(x) = x при
всех с?Ф € G. Мы видим, что Л@) € ftj + F. Как и выше, в
силу условия 2) из определения 2.8 получаем, что V = Е,
т. е. единичная группа G. Но тогда группа d(r) конечна и
403
N(T) — также единичная группа. В этом случае гомомор-
гомоморфизм d : Г -» d(T) с О(Е) является изоморфизмом. Поэтому
группа Г = (Фь ... , Фт) конечна. Это, в частности, означает,
что при действии группы Г образ точки 0 конечен, что про-
противоречит условию 2) из определения 2.8. Таким образом,
этот случай невозможен, и лемма доказана.
В заключение охарактеризуем n-мерные кристаллографиче-
кристаллографические группы.
ТЕОРЕМА 6.2. [127]. Класс n-мерных кристаллогра-
кристаллографических групп совпадает с классом групп Г, содержащих
нормальную свободную абелеву подгруппу А ранга п, кото-
которая имеет конечный индекс в Г и является максимальной
абелевой подгруппой в Г.
6.2. РАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЫЮТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
Понятие коммутанта группы, введенное в подразд. 1.8, позво-
позволяет рассмотреть класс разрешимых групп, являющихся обоб-
обобщением понятия абелевой группы. Термин разрешимые группы
связан в теории Галуа с вопросом о разрешимости в радикалах
для корней многочленов [47, 57].
Определение 6.1. В любой группе G положим G^ = Gf
и G(k+l> = {G^k\G^}. Группа G разрешима, если существует та-
такое натуральное число га, что G^ = {1}. Группа G сверхраз-
сверхразрешима, если в ней имеется такой ряд нормальных подгрупп
G Э C?i D ... Э Gm Э Gm+i = {1}, причем каждая фактор-группа
Gd/Gd+i является циклической для всех d. Группа G нилъпо-
тентна, если в ней имеется такой ряд нормальных подгрупп
G 2 Gi Э ... D Gm Э Gm+i = {1}, что {х,у} € Gd+i для всех
х € С^, у G G и всех d.
Упражнение 6.1. Доказать, что выполняются положения:
1) каждая абелева группа нильпотентна;
2) группы S3, S4 разрешимы, но не нильпотентны;
3) группа А* разрешима, но не сверхразрешима.
Можно показать, что каждая конечная нильпотентная группа
сверхразрешима.
Упражнение 6.2. Доказать следующие утверждения:
1) для любых натуральных чисел т,п справедливо равенство
()() ()
Q = ?
2) если Н — подгруппа в группе G, то Н^ С G^ для любого
натурального числа к;
404
3) G^ < G для любого натурального числа к.
Рассмотрим поведение подгрупп G?(*) при гомоморфизмах. Из
определения 6.1 непосредственно следует предложение 6.1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Пусть /: G -» Я - гомо-
гомоморфизм групп. Тогда /(G?(*)) с #w. Если отображение /
сюръективно, то f(G^) = Н^к\
Опираясь на это предложение, можно доказать (для N <G)
эквивалентность условий:
1) группа G разрешима;
2) группы G/N и N разрешимы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.2. Для группы G эквивалент-
эквивалентны следующие условия:
1) группа G разрешима;
2) существует такой ряд подгрупп
G = Go D Gi э • • о Gfc-i D Gk = 1,
что Gi+i < Gi и каждая фактор-группа Gj/Gi+i абелева для
любого г (рис. 6.1).
Доказательство. Нужно воспользоваться след-
следствием из предложения 6.1 и индукцией по fc, убедившись,
что группа G\ разрешима.
СЛЕДСТВИЕ. Каждая нильпотентная группа раз-
разрешима. Любая сверхразрешимая группа разрешима.
Приведем теперь примеры разрешимых групп. Напомним,
что если р — простое число, то конечная группа называется
р-группой, если ее порядок является степенью числа р.
ТЕОРЕМА 6.3. Пусть р — простое число. Тогда ко-
конечная р-группа является нильпотентной.
Доказательство. Пусть порядок группы G ра-
равен рп. Будем вести доказательство индукцией по п. Ес-
Если п = 1, то утверждение справедливо по следствию из
теоремы 1.7 (теоремы Лагранжа). Пусть п > 1. По след-
-+ G2 -+ G3 -> 1
Рис. 6.1. Гомоморфизмы разрешимой группы
405
ствию из предложения 1.16 центр Z(G) -=f\. Поэтому поря-
порядок фактор-группы G/Z(G), равный |G|/|Z(G)|, меньше рп.
По индукции вЯ = G/Z(G) существует требуемый ряд под-
подгрупп Н = #о 2 Н\ Э ... D Щ 2 Я*+1 = 1. Обозначим G{ все
такие совокупности элементов х ? G, что смежный класс
xZ(G) ? Щ. Можно показать, что каждая G% является нор-
нормальной подгруппой в G, причем ряд G = Go 2 G\ Э ... Э
2 Gt+i = Z(G) 2 Gt+i = 1 удовлетворяет всем условиям из
определения нильпотентной группы.
Определение 6.2. Напомним, что квадратная матрица
А верхнетреугольна, если в ней ниже главной диагонали распо-
расположены нули, а на главной диагонали стоят ненулевые числа.
Квадратная верхнетреугольная матрица А верхнеупитреуголь-
на, если в ней на главной диагонали стоят единицы. Как показа-
показано в подразд. 4.5, все верхнетреугольные комплексные матрицы
образуют подгруппу Т(п,С) в группе GL(n,C). Аналогично вво-
вводится группа T(n, R). Все верхнеунитреугольные комплексные
матрицы образуют подгруппу UT(n,C) в группе GL(n,C). Анало-
Аналогично вводится группа UT(n,R).
Из выражения A.23) следует предложение 6.3.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.3. Рассмотрим в группе
UT(n,C) матрицы
А = Е+ Y, aijEiv В = Е+ J2 biJEij' FЛЗ)
j>i+t j^i+1
где {E{j} — матричные единицы (см. п. 4.1) и 1 < t < п. Тогда
г j>i+t+l
В А = Е + 22 ahi+t+i Eij+t +
для некоторых чисел а^,а^. В частности, групповой ком-
коммутатор
{А, В} = ABA'1 В = Е +
для некоторых чисел о!"у
СЛЕДСТВИЕ. Если 0 ^ t ^ п - 1, то обозна-
обозначим через UT(n,?,C) множество всех матриц А из F.13).
Тогда UT(n,?,C) является нормальной подгруппой в груп-
группе UT(n,C), причем ряд
406
UT(n, С) = UT(n, О, С) D UT(n, 1, С) D
DUT(n,n-2,C) э
удовлетворяет условиям из определения нильпотентной
группы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.4. Коммутант Т(п,С)' содер-
содержится в подгруппе UT(n,C).
Доказательство. Воспользоваться предложени-
предложением 1.18.
ТЕОРЕМА 6.4. Группа Т(п, С) разрешима, а группа
UT(n,C) нильпотентна.
Доказательство. По предложениям 6.1 и 6.4 до-
достаточно показать, что группа UT(n,C) нильпотентна. Это
утверждение вытекает из предложения следствия 6.3.
Упражнение 6.3. Доказать, что прямое произведение разре-
разрешимых (нильпотентных) групп является разрешимой (нильпотентной)
группой.
ТЕОРЕМА 6.5. Конечная группа является нильпо-
нильпотентной в том и только в том случае, когда она разлагается
в прямое произведение конечных р-групп [49].
В заключение этого раздела приведем теорему о представ-
представлениях сверхразрешимых конечных групп, обобщающую теоре-
теорему 3.18.
ТЕОРЕМА 6.6. Каждое неприводимое комплекс-
комплексное представление конечной сверхразрешимой, в частности,
нильпотентной, группы индуцировано представлением сте-
степени 1 некоторой ее подгруппы [77].
Понятие разрешимости, перенесенное с групп на алгебры, иг-
играет важную роль в теории алгебр Ли (см. подразд. 4.4). Груп-
Групповой коммутатор {,} в этом случае заменяется лиевским [,].
В частности, среди разрешимых идеалов конечномерной алгеб-
алгебры Ли А имеется единственный идеал R максимальной размер-
размерности, называемый радикалом алгебры А, который содержит все
разрешимые идеалы алгебры А. Можно доказать, что алгебра
A/R полупроста, т. е. ее радикал равен нулю. Понятие полупро-
полупростоты алгебры близко понятию полупростой группы Ли (см. под-
подразд. 4.7). Всякую конечномерную комплексную алгебру Ли А,
не являющуюся разрешимой, можно представить в виде прямой
суммы (как векторных пространств) А = 50 Д, где 5 с А — полу-
407
простая подалгебра, a R с А — радикал алгебры А {разложение
Мальцева — Леей) [7, гл. I, § 6.8]. Это разложение аналогично из-
известным нам представлениям групп движений Iso (группы Ев-
Евклида ?C)) и группы Пуанкаре УA,3) в виде полупрямых про-
произведений ортогональных групп на группы трансляций 7(п) в
соответствующих n-мерных пространствах:
= ?C)=©C,R)X7C)
3>A,3)=ОA,3)ХТA,3).
Подробнее о разрешимых алгебрах Ли см. [59, гл.4, 5].
6.3. КВАЗИКРИСТАЛЛЫ
С середины XX в. в веществах разных классов: «сфериче-
«сферических» вирусах [11, т.2, гл.2, §9.6], некоторых сольватах фул-
леренов*, ряде сплавов металлов и интерметаллидов [114, 124]
и др. — были обнаружены домены конденсированной фазы с
пентагональной либо икосаэдрической симметрией, запрещен-
запрещенной для трехмерного кристалла (рис. 6.2). Твердые фазы с некри-
некристаллографическим упорядочением атомов, интенсивно исследо-
исследованные на примере интерметаллидов, были названы квазикри-
квазикристаллами. Дифракционная картина квазикристаллов в зависи-
зависимости от состава фазы обладает не присущей истинным кристал-
кристаллам осью симметрии 8-го, 10-го или 12-го порядка (рис. 6.3) и
нередко содержит как узкие, так и диффузные рефлексы, ука-
указывающие на сосуществование областей с разной степенью упо-
упорядоченности. В ряде случаев дифрактограмма квазикристал-
квазикристалла обладает приближенной масштабной инвариантностью, т. е.
может быть получена однократным либо многократным увели-
увеличением своей собственной центральной части**.
Составы стабильных икосаэдрических квазикристаллов (см.
ниже), получаемых из металлических сплавов, подчиняются ана-
аналогу правила Юма—Розери (см. подразд. 5.3.5). Так, квазикри-
квазикристаллы Ale5Cu2oMi5 и AI63C1125M13 (М = Ru, Os), по строению
родственные фазам Лавеса [11, т.2, гл.2, §2], содержат ~ 1,75
валентных электронов на атом, а тройные фазы Zn6oMg3oMio
(где М — лантаноид) и Zn43Mg37Ga39j относящиеся к другому
структурному типу, — 2,1 — 2,2 валентных электронов на атом.
(Коэффициенты в химических формулах для сплавов отвечают
* Fleming R. M. et al. Ц Phys. Rev. В. 1991. V.44. P. 888.
** Обратная решетка обычного кристалла, задающего его дифракционную кар-
картину, очевидно, не обладает масштабной инвариантностью (см. подразд. 2.14).
408
процентному содержанию атомов ^
металла; вклады заполненных под-
оболочек, например [d10], полагают
равными нулю.) Для «металличе-
«металлических» квазикристаллов характер-
характерны низкая электропроводность и
диамагнетизм. К настоящему вре-
времени получены бездефектные ква-
квазикристаллические «зерна» с раз-
размерами до 1 — 2 см [124, гл. 2].
По современным представлени-
представлениям квазикристаллы, подобно мо- ~
дулированным фазам (см. под- Рис. 6.2. Ромбический триа-
разд. 2.15), рассматриваются как контаэдр (/&): типичная фор-
трехмерные образы некоторых пе- ма икосаэдрического квази-
риодических структур («гиперкри-
(«гиперкристаллов»), заданных в п-мерном
евклидовом пространстве с п > 3. Напомним, что сечение п-мер-
ной кристаллической решетки из пространственно протяженных
(а не точечных, как в трехмерном случае) гиператомов физи-
физическим трехмерным пространством (см. рис. 2.38) порождает
несоразмерную квазипериодическую структуру, которая может
обладать некристаллографической симметрией. Квазикристалл
в рамках этого подхода можно приближенно описать как поли-
полисинтетический двойник с усредненной кристаллической струк-
структурой, или «рациональным аппроксимантом» (сингония которо-
др
кристалла [124, гл. 2]
X
Рис. 6.3. Рентгеновская дефрактограмма декагонального квазикри-
квазикристалла Al65Co2oNii5 (W. Steurer, ETH Zurich, Швейцария)
409
Рис. 6.4. Узор Пенроуза
го является подгруппой точечной группы гиперкристалла), где
некристаллографический элемент симметрии задает взаимную
ориентацию доменов.
По числу квазипериодических направлений в физической
трехмерной структуре квазикристаллы подразделяются на од-
одномерные, двумерные (октагональные, декагональные, додека-
гональные) и трехмерные (икосаэдрические). Для одномерно-
квазипериодических структур, которым соответствуют четырех-
четырехмерные гиперкристаллы, существует альтернативное описание,
представляющее их модулированными трехмерными решетками
(см. подразд. 2.15).
Двумерно-квазипериодические квазикристаллы построены из
трансляционно эквивалентных плоских атомных слоев квазипе-
квазипериодического строения. Примером такого слоя с пентагональ-
ной симметрией может служить бесконечный узор Пенроуза, без
пробелов заполняющий плоскость (рис. 6.4). Отметим масштаб-
масштабную инвариантность (обозначаемую 54) узора Пенроуза, кото-
который совмещается сам с собой при увеличении в т4п раз, где
? = 1,618...;
5
п = 1,2,3,.
410
Сочетание 5 с осью Сп порождает масштабно-поворот-
масштабно-поворотные преобразования (так, узор Пенроуза обладает симметрией
CioS*2), которые можно представить в виде «гиперболических
вращений»*.
В декагональных квазикристаллах ось 10 дифракционной кар-
картины возникает из сочетания поворотной оси пятиатомной струк-
структуры с центром инверсии по закону Фриделя (см. гл. 2). Наборы
рефлексов декагонального квазикристалла обладают симметри-
симметрией 10/га = Cioh или 10/гагага = ?>io/i (группы Лауэ) и включают
сателлитные рефлексы с двумя нецелочисленными индексами.
Набор их индексов (hi, /12,^3)> где /ii,/i2 € К1,/13 € Z1, можно пре-
преобразовать к набору пяти целочисленных индексов (#ь... ,#5),
задающих трансляции ща* в пятимерной обратной решетке:
F.14)
где аи с — периоды повторяемости в «прямом» физическом про-
пространстве.
Трехмерно-квазипериодические квазикристаллы дают ди-
дифракционную картину с осями 10-го, 6-го и 2-го порядков,
ориентированными одна к другой как соответствующие оси
(Сб, Сз и Оз) икосаэдра либо пентагон-додекаэдра (группа Лауэ
m35 = Ih). Рефлексы этих квазикристаллов приводятся к цело-
целочисленным индексам в шестимерной кубической обратной ре-
решетке, которая может быть примитивной (Р), гране- (F) и объ-
емноцентрированной (J). Отметим, что шестимерный куб обла-
обладает осями симметрии 5-го порядка. Возможные гиперпростран-
гиперпространственные группы и соответствующие им погасания для дека-
декагональных и икосаэдрических квазикристаллов представлены в
табл. 6.1. Краткое описание строения и дифрактограмм квази-
квазикристаллов дано В.Штойером и Т. Хайбахом [124, гл. 3].
sinBrci/5)
0
cosFtw/5)
2я
с
/0\
0
1
0
W
6.3.1. Математическая теория квазикристаллов
В этом разделе мы рассмотрим понятие квазикристалла как
некоторого подмножества Q физического пространства U раз-
размерности d. Для его задания нам придется «подняться» в ги-
перпространство Е более высокой размерности n > d. Пусть
* Janner A. // Acta Crystallogr. A. 1992. V.48. Р. 884.
411
Таблица 6.1
Трехмерные точечные и n-мерные пространственные группы квазикристаллов [124, гл. 3]
Точечная 3?>-группа
Пространственная
n-D-группа
Индексы рефлексов и погасания
Декагональные квазикристаллы (/11/12/13/4/15)
Ю (Сю)
10/m(Cioh)
10 2 2(Dio)
10mm (Ciov)
10m2 (D10d)
10/m2/m2/m(Dloh)
P10
РЩ
PlO/m
P105/m
P10 2 2
P1092 2
PlOmm
PlOcc
P105mc
P105cm
PT0m2
Pl0c2
PT02m
P10 2c
PlO/m 2/m 2/m
PlO/m 2/c 2/c
P105/m 2/m 2/c
P105/m2/c2/m
Нет погасаний
@000/i5) : qhb i 10n(q = 1,2,5)
Нет погасаний
@000/is) :Л5 = 2п + 1
Нет погасаний
@000/i5) : qhb i Юп (q = 1,2,5)
Нет погасаний
(hih2h2hih5), (/11/12/12^1^5) : /15 = 2п + 1
(hih2h2hihb) :/i5 = 2n + l
(hih2h2hih5) : /15 = 2n + 1
Нет погасаний
(h\h2h2h\h§) : /15 = 2n + 1
Нет погасаний
{h\h2h2hihb)\ /15 = 2n+ 1
Нет погасаний
(hih2h2h\hs), (/11/12^2^1/^5) : /15 = 2n + l
(/11/12/12^1/^5) : /15 = 2n + l
(/11/12/12/4/15) : /15 = 2n + l
Икосаэдрические квазикристаллы (/11/12/^3/^4/^5/^6)
235 (/)
2/т3 5(/л)
Р235
F235i
/235
/235i
F235
F235i
Р2/т35
P2/n35
/2/т35
F2/m35
F2/n35
Нет погасаний
h\h2h2h2h2fi2 : h\ ^Ъп
/11/12/^3^4/^5/^6 *• h\ +h2 + h,3 + h4 + hb + h6 = 2n + l
G235) + hih2h2h2h2h2 \h\ibn
h\ + hj = 2n + 1 (ij = 1 -6, г Ц)
(F235) + hih2h2h2h2h2 : h\^5n
Нет погасаний
h\h2h\h2h§hQ : /15 — /le = 2n + 1
/11/12^3/^4/^5/^6 : /11 + /i2 + /^3 + /^4 + /^5 + /^6 = 2n+l
/ii + /i, = 2n + 1(г, j' = 1 - 6, г ^ j)
(F2/m3 5) + h1h2hih2h5h6 :h5-h6 = 2n + l
CO
задано n-мерное евклидово пространство ?, разложенное в пря-
прямую сумму ортогональных подпространств Е = U ф С/-1, где
U = JP, С/-1 т^ 0. Ортогональное дополнение U1 называется ор-
ортогональным или фазовым пространством*.
Каждый вектор х € Е в этом случае однозначно представ-
представляется в виде х = t/ + 2, где у е U и z e U1. Зададим орто-
ортогональную проекцию У : 25 —> ?7, полагая Т(х) = у — так, что
(l-T)a: = a:-t/ = z€C/-L.
Предположим, что в ? выбрана решетка М с ортонорми-
рованным базисом ei, ..., еп. Определим элементарную ячейку
этой решетки как множество точек
F.15)
и пусть К = A - 9)Р С U1-. Тогда U ф ЛГ = С/ + Р.
Определение 6.3. Квазикристаллом Q в физическом
пространстве С/ называют образ множества (U 0 К)Г\М при его
ортогональной проекции 7.
Без ограничения общности можно считать, что f/1 П М = 0.
Это означает, что У : Е —> U инъективно отображает М в U.
Поэтому У индуцирует биекцию (U 0 К) П М и Q.
Пусть
гх» = У(е*), 1^г <п, F.16)
тогда
, l<i<n. F.17)
При этом U является линейной оболочкой U = (iti,..., itn) век-
векторов F.16). Каждый элемент х € Q можно представить в виде
xieZ. F.18)
г=1
Поэтому Q является собственным подмножеством в свободной
абелевой группе в С/ с базисом F.16).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.5. Элемент х из F.18) заведо-
заведомо лежит в Q, если х{ е {0, 1}.
Доказательство. В самом деле, если х из условия
предложения, то
* Следует помнить, что в физике «фазовым» обычно называется пространство
координат и импульсов V(g, p). Во избежание путаницы ортогональное дополне-
дополнение U1- к физическому пространству координат квазикристалла далее называется
ортогональным пространством.
414
г=1
Имеем
ei = Ui+Vi, 1<г^п, F.19)
и U1- = (vi,..., vn) — линейная оболочка векторов v\,...,vn. Тогда
A-Э>)(*) = 1*.
Напомним, что матрицей Грама (см. гл. 7) G(a\,..., ат) систе-
системы векторов а\,..., ат е Е называется квадратная матрица раз-
размера га, в которой на месте (г, j) стоит скалярное произведение
(сц,<у).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.6. Матрицы Грама систем
v\,..., vn, u\,..., ип связаны равенством
G{vi,...,«„) = ??- G(ui,..., tin), F.20)
т.е. (vi | Vj)=bij-(vi \uj).
Доказательство. Из F.19) следует, что
8у = (ей ej) = К + V*, ^ + ^) =
= (Щ, Uj) + (Vj, tXj) + (Ui, Vj) + (V», Vj) = (tXj, Wj) + (Vi, Vj),
поскольку щ G C/, Vj G С/*1; г, j = 1, ... ,n.
Легко видеть, что Р — замкнутый выпуклый многогранник
и поэтому К тоже замкнутый выпуклый многогранник:
O^</i^l}. F.21)
J
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.7. Вектор х из F.18) принад-
п п
лежит Q тогда и только тогда, когда Yjxivi = ^2УгЩ Для
г=1 г=1
некоторых вещественных чисел 0 ^ у\ < 1.
Положим г = п - d = dimf/-1 = dim(vi,..., г>п), и предположим,
что vi,..., vr — базис пространства U^. Для j > г имеем
vj = v\h\j + • • • + vr/irj-, hij G R. F.22)
Пусть матрица
(, ,
G Mat(r x d,R). F.23)
415
Тогда )
Я), F.24)
где Ет — единичная матрица размера г, (ЕГН) — матрица раз-
размера г х п, получаемая приписыванием к ??г справа матрицы Я,
поэтому
^ #) .
Здесь *Я — транспонированная прямоугольная матрица Я раз-
размера d х г. Так как г?ь..., vr — базис С/*1, то
det[G(vi,...,t;jfe)]>O, Ю < г.
С помощью F.20) получаем первое утверждение в следующем
предложении.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.8. Если уъ ..., vr — базис про-
пространства С/\ то найдется такая матрица Я вида F.23), что
Я). F.25)
Кроме того, для любого к = 1,..., г имеем
det[?*-G(ub...,^)]>0. F.26)
В частности, ранг матрицы Еп - G(ui,..., vn) равен г.
Обратно, если для матрицы Я из F.23) выполнено соот-
соотношение F.25), то справедливы равенства F.22).
Доказательство. Достаточно доказать лишь об-
обратное утверждение. Поскольку векторы vi,...,vr образу-
образуют базис подпространства f/1-, то (гу+i,..., vn) = (vi,..., vr)H'
для некоторой матрицы Н1 е Mat(r x d,R). Тогда
\(vr,vr+i) ...
Но согласно F.25), F.26) то же равенство получается,
если Я' заменить на Я. Матрица же G{v\,...,vr) обратима
по предложению 7.7, так как векторы vi,...,vr независимы.
Поэтому Я = Я'.
ТЕОРЕМА 6.7. Квазикристалл Q однозначно опре-
определяется системой векторов F.16).
416
Доказательство. Множество F.16) является мак-
максимальным Z-независимым набором векторов из Q, для ко-
которых Q содержится в свободной аддитивной абелевой груп-
группе, порождаемой этим множеством. Напомним (см. под-
разд. 2.1), что система векторов х\,... ,хт является Z-неза-
висимой, если из равенства а\х\ + • • • + атхт = 0, где числа
ai,...,am целые, следует, что а\ = •• • = ат = 0. Из Z-неза-
висимости в силу предложения 2.2 вытекает, что число п,
являющееся размерностью гиперпространства Е, определе-
определено однозначно.
Укажем в терминах множества F.16) критерий того, что
элемент х из F.18) лежит в Q. Этот критерий основан на
предложении 6.8, в котором уже отмечалось, что ранг г мат-
матрицы Еп - G(iti,..., ип) равен максимальному числу незави-
независимых векторов г>ь..., vr в системе vi,..., vn. Поэтому
г = dirndl,...,vn) = dimU1' =n-d.
Более того, первые г строк матрицы Еп -
независимы, и в силу предложения 6.8 существует такая
(г х й)-матрица Я, что
( ... {иъип)\
• F.27)
(ur,ur+i) ... {uJ
При этом выполнены равенства F.22), F.24). Так как
матрицаEr-G(ui,...,ur) невырождена, то по F.27) матрица
Н определена однозначно.
/«Л
ЛЕММА 6.6. Пусть А = : I — произвольный вектор-
\ССп/
столбец высоты п. Для А эквивалентны следующие условия:
1) (vi,...,vn)A = 0;
2) найдется такой вектор-столбец В высоты п - г = d, что
Л =
Доказательство. Пусть выполнено условие 1). То-
Тогда в силу F.24) получаем
0 = (vi,..., vn)A = (vi,..., vr) {Er H)A,
417
и, значит, {Ег Я) А = 0, поскольку векторы v\,... ,vr неза-
: = -Я I : I • Нужно поло-
ССг/
жить
On
Обратно, если выполнено условие 6), то по F.24):
Теперь можно завершить доказательство теоремы. Пусть
задан вектор х из F.18). В силу предложения 6.7 элемент
х ? Q в том и только в том случае, если
г=1 г=1
для некоторых вещественных чисел 0 < у; < 1. Другими
словами,
п
Y^(Xi~yi)Vi = °> х* е Z' ° < Vi < L
г=1
По лемме 6.6 это эквивалентно существованию такой
(г х й)-матрицы Я и вектора-столбца В высоты d, что
- Уп)
Поэтому, взяв любой вещественный столбец В, мы можем
вычислить столбец
Пусть [z] — наибольшее целое число, не превосходящее z.
Возьмем Х{ = [zi] +1. Тогда по F.28):
п
х = YlXiUi € Q*
г=1
так как ^ = х{ -z^ для всех г. Это и есть искомая характери-
зация квазикристалла Q в терминах только векторов F.16).
418
Определение 6.3 квазикристалла Q использует следующие дан-
данные: гиперпространство Е с ортогональным разложением Е = U®
еС/-1, компакт К с U1 и решетку М в Е. Мы дополним теоре-
теорему 6.7 и покажем, как можно восстановить М и К по Q. Для
этого докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА 6.8. Пусть U — евклидово пространство,
являющееся линейной оболочкой векторов щ,..., ип. Пред-
Предположим, что, как и в предложении 6.8, существует такая
матрица Н вида F.23), что выполнены равенства F.25) и
F.26). Тогда найдутся такое евклидово пространство ?, со-
содержащее С/, и такие векторы vi,...,vn € С/-1-, для которых
выполнено равенство F.20). Более того, векторы vi,...,vr
составляют базис пространства U1-.
Доказательство. Пусть V — евклидово простран-
пространство размерности г с ортонормированным базисом fci,..., b{.
Положим Е = U ® V и предположим, что U ± V. Тогда
V = U^. По условию теоремы и.критерию Сильвестра (тео-
(теорема 7.6) симметричная матрица Ег-G{u\,...,ur) соответ-
соответствует положительно определенной квадратичной функции.
Поэтому в силу теоремы 7.4 найдется такая обратимая мат-
матрица С размера г, что
Положим (vi,..., vr) = (bi,..., br)C~l, тогда
G(vi,..., vr) = Er - G(iti,..., ur).
Пусть (гу+ь..., vn) = (vi,..., г^Г)Я, тогда
(vi,..., vn) = (vi,..., t;r) (J5r H),
откуда по F.25)
СЛЕДСТВИЕ. В условии теоремы 6.8 векторы
F.19) образуют ортонормированный базис пространства Е.
Квазикристалл Q в теореме 6.7 однозначно определяется мно-
множеством F.16) в терминах матрицы Грама G(i*i,...,un). Это
означает, что при любом выборе векторов vi,..., vn в теореме 6.8
квазикристалл Q будет одним и тем же. Если мы построим дру-
другие векторы v[,... ,v'n e t/-1, как и в теореме 6.8, то получим ту
же матрицу Грама
G(v[,..., v'm) = G(vi,..., vn) = En - G(ui,..., txn).
419
В этом случае найдется такой ортогональный оператор Q в
пространстве С/1, что Q(v{) = vft, 1 ^ г ^ п. Таким образом, по
F.16) набор М, К определен однозначно с точностью до ортого-
ортогонального линейного оператора в U1. При этом по теореме 6.7
множество Q определено однозначно и не зависит от Q.
С помощью матрицы Н из F.27) можно восстановить про-
пространство U. Действительно, если Н = (Лу), то для г = г +1, ..., п
положим
г
hji + ei. F.29)
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.9. Векторы F.29) составляют
базис пространства U.
Доказательство. Из F.29) вытекает, что система
векторов F.29) линейно независима. Обозначим L линейную
оболочку системы векторов F.29). Из F.28) следует, что
L С U + К. Нам потребуется следующая лемма.
ЛЕММА 6.7. Пусть L и U — подпространства евкли-
евклидова пространства ?, причем L С U + К, где К — компакт в
Е. Тогда L С С/.
Доказательство. Пусть / € L \ С/. По теореме 7.6
имеем разложение I = /о + 'ъ гДе 'о € ^ и *i ? V'J-. По пред-
предположению 1\ УО. Тогда для любого вещественного числа X
имеем XI = Aio+Aii. Таким образом, по предложению 7.8 рас-
расстояние между XI и U может быть сколь угодно большим.
Но из вложения L С U+K вытекает, что расстояние от любо-
любого вектора из L до U ограничено. Полученное противоречие
показывает, что L С U.
Завершим доказательство предложения. По лемме LCU.
Но dimL = n-r = d = dimU. Отсюда L = U.
Приступим к изучению свойств квазикристалла Q.
ТЕОРЕМА 6.9 (свойство дискретности). Пусть Q —
квазикристалл. Тогда существует такое положительное чис-
число 8 > 0, что расстояние между любыми двумя несовпада-
несовпадающими элементами из Q не меньше е.
Доказательство. Предположим противное: для
любого натурального т существуют такие несовпадающие
элементы хт,ут € Q, что ||a;m-ym|| < —. Тогда найдутся
т
такие элементы x'miyfm е К, что хт +х'т, ут + у'т€ м- Но по
теореме Пифагора
420
Так как х'т,у'т € К, то Ца4г~2/т112 ограничено при всех т.
Поэтому для всех т ограничены длины векторов (%+xJ-
~{Ут + Ут) € -W- Следовательно, все эти элементы лежат в
М и в некотором компакте в Е. В силу упражнения 2.3 по-
получаем, что их конечное число. Но тогда и число элементов
хт- Ут конечно. Следовательно, можно найти такую возра-
возрастающую последовательность натуральных чисел п\, П2,...,
что хщ -ущ не зависит от г, и поэтому длина этого вектора
должна быть нулевой. Отсюда хП{ - уп. = О, что противоре-
противоречит предположению.
СЛЕДСТВИЕ. Существует конечное множество
квазикристаллов Q с заданным пересечением Q с шаром 5
единичного радиуса с центром в начале координат.
Доказательство. Элементы F.16) лежат в QПS.
По теореме 6.9 множество QnS конечно и поэтому имеется
конечное число возможностей для выбора элементов F.16)
в Q П S. По каждому такому выбору множество Q в силу
теорем 6.7 и 6.8 определено однозначно.
Для доказательства теоремы о локальной повторяемости ква-
квазикристалла нам потребуется следующее утверждение:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.10. Пусть е > 0 и Г - веще-
вещественное число. Тогда найдется такой элемент решетки М
n-мерного евклидова пространства т е М, что ||т|| > Г и
||т-Э>(т)||<е.
Доказательство. Пусть / € С/, причем / ^0. Пусть
D — натуральное число, большее -тгттг- По предложению 2.6
найдется такое число N > D и элемент т € М, что \\Nf-
-т|| <? и
Заметим, что т = 7{т)+т!, где ?(m') eU,m! e UL. Отсю-
Отсюда по теореме Пифагора
?>
СЛЕДСТВИЕ (свойство несоизмеримости квази-
квазикристалла). Пусть в Е некоторая е-окрестность точки а €
421
G (U®K)nM целиком принадлежит U®K. Тогда квазикри-
квазикристалл Q обладает свойством несоизмеримости:
для любого 8 > 0 и любого Т > О существуют такие век-
векторы х G U и у € С/-1, что
х + у € М, а + х + у e(U @К)Г)М
и ||:г|| > Г, ||у|| < е.
Используя доказанное предложение, проверим условие ло-
локальной повторяемости в квазикристалле.
ТЕОРЕМА 6.10 (свойство локальной метрической
повторяемости квазикристалла). Пусть Q, К, U, Е из опре-
определения 6.3. Предположим, что выделено конечное подмно-
подмножество S в (С/фАГ)ПМ, некоторая открытая окрестность ко-
которого целиком лежит bUxK. Тогда для любого Г > 0 суще-
существует такой вектор х Е М, что ||ж|| >Ги S+x б (U®K)nM.
В частности, для ?E) найдется такой вектор х € М, что
y(S)+?(:r) С Q, причем длина ?(х) может быть сколь угодно
большой.
Доказательство. Выберем такое 8 > 0, что е-окрест-
ность каждой точки из 5 содержится в U х К. В частности,
если у € S, то е-окрестность точки у - УB/) целиком лежит
в К. В силу следствия о несоизмеримости квазикристалла
для любого е > 0 в М содержится такой вектор я, что ||х|| > Г
и jjrc — СР(гс) || < е. Для любой точки у G S имеем
||х-3>(х)|| < ||y-3>(y)||+ef
т. е. точка у + х - У (у + х) е К. Поэтому y + xeMn(UxK) и
Из этой теоремы следует, что при наложении указанного ряда
условий на конечное подмножество 7(S) с Q это подмножество
с помощью сдвигов бесконечное число раз повторяется в квази-
квазикристалле Q.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.11. Пусть L - подпростран-
подпространство в Е, являющееся линейной оболочкой LfiM и содержа-
содержащее ?/-4 Тогда LPiQ является квазикристаллом в L П U.
Доказательство. Заметим, что если для некото-
некоторого натурального числа га и некоторого вектора х е Е име-
ем mx G L П М, то х € L П М. Поэтому в силу теоремы 2.3
абелева группа Lf)M свободна, и более того, она является
прямым слагаемым в М, т. е. М = (LnM)eMi для некоторой
свободной подгруппы Mi в М. Таким образом, ЬПМ явля-
422
ется решеткой в L. Нетрудно видеть, что L = U1- ф (L П U) и
В заключение отметим, что существует другой, эквивалент-
эквивалентный подход к описанию квазикристаллов, связанный с функцией
плотности и почти периодическими функциями [74, § 18].
Выберем в пространстве U ортонормированный базис /ь ...,
/^. Для любого числа х ^ 0 зададим параллелограмм
. рх = {У = 2/1/l + * • -+y<ifd I 0 < 2/ь... ,2^ < *} •
Функцией распределения iV(z), a: ^ 0 квазикристалла Q на-
называют отношение числа точек из Q, принадлежащих Рх, к объ-
объему Рх, равному xd. Плотностью распределения квазикристал-
квазикристалла Q называют производную N'(x). Как отмечается в [117, 129],
функция плотности квазикристалла Q является почти периоди-
периодической и, более того, квазипериодической. Напомним [74, §18],
что функция / на U называется почти периодической, если для
любого е > 0 существует такой компакт Р в ?/, что для любо-
любого вектора у е U ъ у + Р имеется элемент х, удовлетворяющий
соотношению
|
хеи
Почти периодическая функция / называется квазипериодиче-
квазипериодической [74, § 18], если она представляется рядом Фурье
.. • + тп(Оп)х],
где 0)i, ..., соп G R, причем эти числа несоизмеримы, т. е. некото-
некоторые отношения сиг/со^- являются иррациональными числами [114,
124, 125] и др*. Дальнейшие результаты по геометрии квазикри-
квазикристаллов и их симметриям можно найти в [54, 104, 105, 120, 121].
6.3.2. Симметрии квазикристаллов
При изучении групп симметрии кристаллов мы рассматрива-
рассматривали подгруппы группы изометрий евклидова пространства, пере-
переводящие данное кристаллическое подмножество в себя. Если пе-
перейти к симметриям квазикристаллов, то нужно рассматривать
Если все числа (fi>i,... ,(Оп) соизмеримы, то функция f(x) строго периодиче-
периодическая, а {(Иг) — ее периоды.
423
аффинные преобразования пространства (не сохраняющие мет-
метрики), которые переводят квазикристалл в себя. В связи этим
введем определение аффинной кристаллической группы.
Определение 6.4. Подгруппа Г в группе Aff (V) всех аф-
аффинных преобразований вещественного пространства V называ-
называется аффинной кристаллографической группой, если:
1) для каждого компакта D в V конечно множество всех таких
у € Г, что y(D) П D непусто (свойство полной разрывности);
2) существует такой компакт Ко в V, что V = UyGrY(-^o)-
Отметим, что кристаллографические группы в смысле опре-
определения 2.9 являются также и аффинными кристаллографи-
кристаллографическими. Обобщая теорему 2.13, Л. Ауслендер [106] высказал
следующую гипотезу.
Гипотеза 6.1. Пусть Г — кристаллографическая под-
подгруппа в Aff(V). Тогда в Г существует (нормальная) под-
подгруппа конечного индекса, являющаяся разрешимой под-
подгруппой.
Положительное решение этой проблемы явилось бы обобще-
обобщением теоремы 2.13. Действительно, в качестве искомой нормаль-
нормальной подгруппы в кристаллографической группе движений нуж-
нужно взять подгруппу сдвигов. Она абелева (таким образом разре-
разрешима) и по теореме 2.13 имеет конечный индекс.
Отметим одно полезное утверждение.
Упражнение 6.4. Пусть Я — подгруппа конечного индекса в
группе G. Тогда в G существует такая нормальная подгруппа N ко-
конечного индекса, что N С Н.
Обзор результатов по гипотезе 6.1 и ее положительное реше-
решение для двумерного случая представлены в [100]. Для случая, ко-
когда размерность V не выше 3, эта гипотеза доказана в [113]. На-
Наконец, в [101] заявлено о положительном решении гипотезы 6.1
для случая п ^ 6.
В подразд. 6.2 были приведены некоторые результаты о стро-
строении разрешимых подгрупп в группе GL(n,C).
Перейдем к рассмотрению групп симметрии квазикристал-
квазикристаллов. Пусть Е = [/фГ/-1-, М, К, У, Q из определения 6.3. Определим
группу симметрии квазикристалла SymQ как подмножество в
группе Aff Е, состоящую из таких аффинных преобразований Ф
гиперпространства Е, которыми множество (Р+С/)ПМ биективно
отображается на себя.
ТЕОРЕМА 6.11. SymQ является подгруппой в груп-
группе ASE. Если аффинное преобразование Ф(х) принадлежит
SymQ, то выполняются утверждения:
424
1) «физическое» пространство U инвариантно относи-
относительно дифференциала йФ;
2) Ф@) € (У.
Доказательство. Непосредственная проверка по-
показывает, что SymQ замкнуто относительно произведения
отображений и обратных отображений, т.е. SymQ является
подгруппой в группе Aff Е.
Рассмотрим второе утверждение. Проанализируем стол-
столбец координат X вектора х € {К ф U) П М в фиксированном
ортонормированном базисе ei,...,en гиперпространства Е.
По F.28) имеем
- Уп)
где z — вектор-столбец высоты d и 0 ^ у{ ^ 1 для всех х.
Более того, вектор со столбцом координат I F ] z no
предложению 6.9 лежит в U. Пусть А — матрица сй> в базисе
ei,..., еп. Тогда столбец координат Ф(я) имеет вид
для некоторого столбца г' высоты d и некоторых ^, причем
О ^ у\ ^ 1 для всех г. Последнее равенство можно в силу
предложения 6.9 записать в виде d&(U) С С/-йФ(Р)+Р-Ф@),
где Р из F.15). Заметим, что множество -с?Ф(Р) + Р - Ф@)
ограничено. Таким образом, по лемме из предложения 6.9
получаем, что d$(U) С U.
В связи с определением 6.3 квазикристалла и теоремой 6.10
о его локальной метрической повторяемости имеет смысл рас-
рассматривать аффинные преобразования пространства U (или Е),
которые переводят подмножества из Q в себя. Эти операции уже
не образуют группы. Соответствующая им алгебраическая кон-
конструкция называется инверсным моноидом.
Определение 6.5. Множество 5 называется полугруппой
[96, гл. IV], если для каждой пары элементов х,у е S определен
элемент ху € 5, называемый их произведением, причем для лю-
любых х, у, г G S выполнен закон ассоциативности, т. е. (xy)z = x(yz).
Непустое подмножество Т в полугруппе S называется подполу-
подполугруппой, если из того, что х,у еТ следует, что ху е Т.
425
Элемент 1 полугруппы 5 называется единицей, если lx = xl =
= х для всех х е S. Моноидом называется полугруппа с едини-
единицей. Подполугруппа моноида, содержащая единицу, называет-
называется подмоноидом. Отображение полугрупп (моноидов) / : S —* Т
называется гомоморфизмом полугрупп {моноидов), если f(xy) =
= f{x)f(y) (и дополнительно /A$) = 1г> гДе *S> It ~ единицы
моноидов 5,Г соответственно). Элемент 0 полугруппы 5 назы-
называется нулем полугруппы, если Ох = хО = 0 для всех х € 5. При
этом предполагается, что в моноиде 0^1. Ненулевой элемент е
полугруппы 5 называется идемпотпентпом, если е2 = е.
Таким образом, каждая группа является моноидом. Однако
в отличие от группы в моноиде не каждый элемент имеет обрат-
обратный. Примерами моноидов являются:
1) множество всех отображений (не обязательно биективных)
произвольного множества в себя;
2) множество всех натуральных (неотрицательных) целых чи-
чисел относительно умножения (сложения);
3) множество С (соответственно R) всех комплексных (веще-
(вещественных) чисел относительно умножения;
4) множество Mat(n,C) (соответственно Mat(n,R)) всех ком-
комплексных (вещественных) квадратных матриц размера п отно-
относительно умножения;
5) множество всех линейных операторов в векторном про-
пространстве относительно умножения операторов.
Последние три моноида являются моноидами с нулем. Кроме
того, множество всех неотрицательных целых чисел относитель-
относительно умножения является моноидом с нулем. В этом случае едини-
единица является идемпотентом (I2 = 1). Еще одним примером может
служить определение кольца, введенное в подразд. 4.4: кольцом
является множество М, для элементов которого определены два
закона композиции: мультипликативный и аддитивный, причем
по аддитивному закону М — абелева группа, а по мультиплика-
мультипликативному —- моноид.
Если векторное пространство V разлагается в прямую сумму
подпространств V = U ф W, причем U ^0, то линейный оператор
проекции У : V —» U параллельно W (см. гл. 7) является идемпо-
идемпотентом в моноиде линейных операторов в V.
Примером гомоморфизма моноидов является отображение
det : Mat(n,C) -» С, сопоставляющее каждой матрице ее опре-
определитель.
Как и в случае групп, можно показать, что в моноиде единица
единственна (см. предложение 1.1.)
Упражнение 6.5. Показать, что нулевой элемент в полугруппе
определен однозначно.
426
Определение 6.6. Моноид 5 называется инверсным, ес-
если для каждого элемента х € S однозначно определен такой эле-
элемент аГ1 € 5, что хх х = х, х~гхх~г = а:". Подмоноид Я в ин-
инверсном моноиде 5 называется инверсным подмоноидом, если
из условия х G Я следует аГ1 € Я. Если S,T — два инверсных
моноида, то гомоморфизм моноидов f : S -+Т называется гомо-
гомоморфизмом инверсных моноидов, если f{x~l) = /(x) для любого
х? S.
Укажем основной пример инверсного моноида. Пусть X —
произвольное множество и 5(Х) — множество всех биективных
отображений А —> В, где А, В — подмножества в X, включая
пустое подмножество {0}. Если ф : Л —> В и \|/: С —> D — два би-
биективных отображения, причем В П С непусто, то получаем би-
екцию уф |ф-1(?пС): ф-^ВпС) -> \|/(J?nC) подмножества ф" (ВПС)
на у (В п С). Если же J5 п С = 0, то полагаем \|/ф = 0, где 0 — тож-
тождественное отображение {0} на себя. Если ф : А -> В — биектив-
биективное отображение подмножеств в X, то ф" : В —» Л — обратное
отображение. Идемпотентами в 5(Х) являются тождественные
отображения 1д : А -> Л, где Л — произвольное непустое под-
подмножество в X, и только они. Каждыйчтакой элемент имеет вид
фф для некоторого ф € 5(Х).
Следующая теорема обобщает теорему 1.8 Кэли.
ТЕОРЕМА 6.12 (Вагнера—Престона). Пусть S —
произвольный инверсный моноид. Тогда существует инъек-
тивный гомоморфизм / : 5 —> S{X) для некоторого множе-
множества X [50, с. 31].
Как отмечено в [50], в любом инверсном моноиде 5 выполня-
выполняются тождества
(х-1)'1 = х, (ху)'1 = y-V\ (хх'^уу-1) = {w-l){xx-1)
для всех х,у € S.
Определение 6.7. Элемент х моноида 5 называется
обратимым, если существует такой элемент af1, называемый
обратным, что хх~1 = х~1х = 1.
Упражнение 6.6. Доказать, что в любом моноиде все обрати-
обратимые элементы образуют группу.
Пусть Q — квазикристалл. Свяжем с ним инверсный моноид
(Q)
Пусть Е = Uфи1-, К, У, Q из определения 6.3. Под инверсным
моноидом симметрии квазикристалла мы будем понимать под-
подмножество 5Aff(Q) в группе AS E, состоящее из аффинных пре-
преобразований Ф гиперпространства Е, удовлетворяющих следу-
427
ющим условиям: имеются такие подмножества Л,ВС (KxU)f)M:
что Ф биективно отображает А на В, Поскольку ортогональная
проекция ? биективно отображает (К х U)C\M на Q, то Ф опреде-
определяет элемент инверсного моноида S(Q). Легко проверяется сле-
следующее предложение
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.12. 5Aff(Q) является инверс-
инверсным подмоноидом в инверсном моноиде 5 ((К х U) П М) мно-
множества {К х U) П М. Группа обратимых элементов в 5Aff (Q)
совпадает с группой Sym Q.
ТЕОРЕМА 6.13. Пусть Е = U 0 f/1, М, #, ?, Q из
определения 6.2. Предположим, что а ? (С/фАГ)ПМ, причем
некоторая е-окрестность точки а в Е содержится в U ф К.
Пусть Ф — такое аффинное преобразование гиперпростран-
гиперпространства i?, что:
2) е-окрестность точки Ф(а) в Е также содержится в U&K,
3) физическое пространство U инвариантно относитель-
относительно дифференциала d<&.
Тогда существует такое бесконечное подмножество эле-
элементов р € (U 0 К) П М, что Ф(р) € (U 0 ЯТ) П М.
Доказательство. Предположим, что Ф(х) = ф(х)+6,
где 6 € jE7 и ф = с?Ф — обратимый линейный оператор в Е. Как
и в F.1) обозначим ||ф|| норму оператора ф. В силу свойства
несоизмеримости квазикристалла можно построить такую
последовательность элементов
M, Xi G С/, yi€ U1,
где г — целые неотрицательные числа, что го = 0 и
При этом а + Z( G (U 0 К) П М и, кроме того, все точки Z{
различны.
Имеем
Ф(а + zi) = Ф(о) +ф(^) = Ф(а) +ф(хг) +ф(уг).
По условию ф(жг) е U и ||ф(у»)| < 11Ф11 Ill/ill < е- Следователь-
но, Ф(а + ^) G A7 0 К) п М. Искомым множеством является
множество всех точек а+г^ (г — целые неотрицательные чис-
числа).
Близкий подход к изучению симметрии квазикристаллов из-
изложен в [107].
428
6.4. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ГРУППА
ПЕРЕНОРМИРОВОК
В подразд. 6.3 был приведен пример инвариантности беско-
бесконечного двумерного узора Пенроуза (см. рис. 6.4) относительно
масштабных преобразований: увеличения либо уменьшения в т471
раз (где т = 2 cosGt/5) = 1,618...). Инвариантностью относительно
изменения масштаба аргумента х обладают однородные функции
/(х), для которых
где X — параметр растяжения или сжатия шкалы переменной х:
S^ = /(tys) = g(X)f(]ix) = g(X)g(\i)f(x) =,
т.е.
g(X)g{\i) = д(Х\х), или S^
Так, для квадратичной функции f(x) = ах2
F.30)
т.е. ее значение в любой точке х = Хх$ можно получить из
/(яо) умножением на А,2, сама же парабола ах2 при таком пре-
преобразовании не изменяется (рис. 6.5). Можно доказать, что усло-
условие F.30) справедливо только при д(Х) =А,р, т.е.
Рис. 6.5. Квадратичная парабола как пример однородной функции
429
, F.31)
где p — степень однородности функции f(x).
Масштабные преобразования F.31) с операцией композиции
образуют бесконечную однопараметрическую абелеву группу (см.
F.30)), где X = 1 соответствует тождественному преобразованию,
а Аг1 — преобразованию, обратному S\\
?f(x) = f(x).
Для обобщенно-однородной функции нескольких переменных
где pi,...,Pn ~ степени однородности. Однородную функцию
двух переменных можно преобразовать к виду
где ВД =/(М) ()
Преобразования подобия используют, в частности, для описа-
описания критических явлений при фазовых переходах. Эксперимен-
Экспериментально установлено, что все фазовые переходы 2-го рода можно
разделить на несколько классов эквивалентности. В каждом та-
таком классе для процессов, весьма разных по физической приро-
природе (например, переходы газ ±=; жидкость и парамагнетик *=» фер-
ферромагнетик), вблизи критической температуры Тс наблюдаются
почти одинаковые степенные зависимости параметров системы
от обобщенных термодинамических сил (см. подразд. 5.3.1). На-
Например, для систем газ ±=; жидкость выполняются соотношения
т
для системы парамагнетик ^ ферромагнетик
c/f=const — -
d2G
где т — приведенная температура; су — изохорная теплоемкость
системы жидкость — газ; Кт — коэффициент изотермической
430
сжимаемости системы жидкость —газ; с#=const — теплоемкость
магнетика в постоянном магнитном поле; Хт ~~ ег0 магнитная
восприимчивость в нулевом внешнем поле (см. подразд. 5.3.1);
а-0,1-0,2; у- 1,1-1,4 и Т > Тс.
Характерный размер флуктуации параметра порядка в си-
системе (например, плотности р(г) для перехода газ<-окидкость),
называемый корреляционным радиусом гс, при Т -+ТС также воз-
возрастает по обратному степенному закону:
Гс ~
где v ~ v', но ^о ?%>Ь- Экспериментально определяемые критиче-
критические показатели систем внутри одного класса эквивалентности
(а, у, v, ?о> и Т-Д«) однотипно взаимосвязаны и могут быть вы-
выражены через небольшое число независимых параметров.
Степенные зависимости критических параметров удается вос-
воспроизвести на основе гипотезы подобия, в соответствии с кото-
которой потенциал Гиббса G в окрестности Тс является обобщенной
однородной функцией термодинамических сил. В частности, для
магнитного перехода G(A,ax, XbH) = XG(i, H) (где т — приведенная
температура, Н — напряженность магнитного поля). Вывод со-
соотношений между параметрами такой системы и степенями од-
однородности потенциала (а, Ь) см. [84, гл. 11].
Из гипотезы подобия вытекает, что физические свойства око-
околокритических систем с короткодействующими межчастичными
потенциалами лишь слабо зависят от природы взаимодействий
частиц в системе, определяясь в первую очередь симметрией па-
параметра порядка и числом термодинамических степеней свобо-
свободы {свойство универсальности). Размеры флуктуации гс в та-
таких системах много больше среднего размера d составляющих
микрочастиц (атомов, молекул, звеньев полимерной цепи и др.)?
тогда как радиус действия потенциалов частиц ~ d. В этом слу-
случае распределение размеров х флуктуации параметра порадка
(плотности р(г) в системе газ^жидкость, спиновой плотности
о(г) в магнетике и др.) приближенно инвариантно относитель-
относительно изменений масштаба х в интервалах расстояний d < а; < гс
{свойство автомодельности).
Масштабная инвариантность не означает инвариантности из-
измеримых параметров системы: так, суммарное магнитное поле
домена с параллельными спинами много больше поля единично-
единичного спина.
Однако для масштабно-инвариантных систем можно постро-
построить физические модели, инвариантные относительно специаль-
431
±±
¦ .«Ft
¦t fit !•
•t f'i f
•¦ t \ I
4[
t\I
4 [ft t
•I t t f
¦I \ t \
•t f*t i
•¦ t t t
t
•ttt
•t t t
¦t t ¦¦
i ttl f
\ i- \ t-
!
•t
t
ti
•1- t t i-
•ft
4 \
•f
••I
•I Ш f
¦¦ I \ \
¦\ I i t
•I flj f
•i t \ t
I ! t
•i i i-
t \ I t t I- t- t I I \ t f I
Рис. 6.6. Перенормировка в модели Изинга (преобразование Каданова
[84, гл. 12])
ной операции перенормировки: одновременного изменения мас-
масштаба координат х —> х1 = sx и потенциала взаимодействий
ф —> ф7 = р(^)ф, где рE) — непрерывная функция. В частности,
гамильтониан спиновых взаимодействий в решеточной модели
Изинга (см. подразд. 5.3.6) инвариантен относительно одновре-
одновременной замены ячеек более крупными блоками (при которой
расстояния между соседними блоками по-прежнему полагают
равными 1) и пропорционального уменьшения среднего спина в
каждом блоке:
а(= 1) —> Ь = 5а,
1
где т — число измерений решетки (преобразование Каданова,
рис. 6.6).
На m-мерной обратной решетке этой модели преобразования
Каданова эквивалентны пренебрежению «коротковолновыми»
флуктуациями с модулем вектора fc < 2n/(sa).
Перенормировки гамильтониана при последовательном объ-
объединении ячеек в блоки ассоциативны (i?SlS2 = RSlRS2), а отсут-
отсутствие перенормировки служит тождественным преобразованием
Ri. Операции {Щ} образуют так называемую группу перенор-
перенормировок, или ренормгруппу, Gr — в данном случае дискретный
моноид, поскольку обратная операция «измельчения» блоков не
определена.
Применение ренормгрупп для расчета критических индексов
(е-разложение) основано на поиске неподвижных точек в про-
432
странстве параметров системы ц*, инвариантных относительно
перенормировок R e
(где р — параметр порядка), и анализе топологических характе-
характеристик этих точек*. Современные теории критических явлений
представлены в [53, гл.11; 60; 84]. Помимо описания фазовых
переходов группы перенормировок используются в физике по-
полимеров, квантовой теории поля, гидродинамике и теории веро-
вероятностей.
В более строгих терминах ренормгруппой, или ренормали-
зационпой группой, называется одномерная (однопараметриче-
ская) группа преобразований случайных полей, сопряженная к
группе масштабных преобразований пространства значений слу-
случайных функций, заданных на подмножестве некоторого много-
многомерного пространства. Под случайным полем в этом определе-
определении понимается случайное отображение из некоторого подмно-
подмножества в Rd в Rm.
Обычно рассматривается два случая: дискретный и непре-
непрерывный. В дискретном случае случайное поле ^ является ото-
отображением ^ : Zd —> Шт. Масштабное преобразование поряд-
порядка п с показателем а действует в пространстве всех отображений
jd _> jjme Оно является линейным и задается по правилу ?(я) ь->
*-* Чп; W, где для х = (xi, ...,^)GZd имеем
n(xd+l)
E ••• E
Поле ?,п (х) называется ренормализационным преобразова-
преобразованием поля ?(ж). Пусть ц — вероятностное распределение по-
поля ?(ж). Вероятностное распределение ^ случайного поля
?п (#) называется ренормализационным преобразованием веро-
вероятности распределения \i. Ренормализационные преобразова-
преобразования Я^*: Ц —> М'П при фиксированном а образуют циклическую
мультипликативную группу преобразований пространства рас-
распределений с показателем а. Указанная групповая структура
означает, что E^R^ = R^k для всех n, k G Ъ.
В непрерывном случае рассматриваются обобщенные случай-
случайные поля. Напомним, что обобщенным случайным полем на-
называется непрерывный линейный функционал на пространстве
*См. Рудой Ю. Г. Физическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1990. Т. 5.
С. 621 —624.
433
Co°(Rd) всех бесконечно дифференцируемых отображений Rd -*
—> Rm, обращающихся в нуль вне некоторого шара. Масштабное
преобразование порядка X с показателем а в непрерывном слу-
случае действует в пространстве всех обобщенных полей ?(х) на Rd.
Оно также является линейным и задается по правилу
где
— значение функционала ?(т-) на пробной функции ф(ж) е C™(Rd).
к
Вероятностное распределение ц.? = Щ(\ь) поля ъ?/{х) назы-
называется ренормализационным преобразованием вероятности рас-
распределения \i поля ?(х). Как и в дискретном случае, все ренорма-
лизационные преобразования Щ/ : [i —> |д4 при фиксированном
а образуют коммутативную (однопараметрическую) мультипли-
мультипликативную группу преобразований пространства распределений с
показателем а.
Групповая структура означает, что Щ^к^' = В2? для всех
А,т| е R. Пределы limx-^oo R^ }\i и Ит^^о^х ^ называются соот-
соответственно крупномасштабным и мелкомасштабным автомо-
автомодельными пределами распределения ц.
В квантовой теории поля ренормгруппа является группой
преобразований функции Грина G и параметров модели (кон-
(констант связи квантовых полей, масс соответствующих им частиц
и т.д.). Напомним, что функцией Грина называется фундамен-
фундаментальное решение уравнения Шредингера с краевыми условиями
(или ядро интегрального оператора, обратного оператору Шре-
Шредингера). В частности, функция Грина скалярного поля являет-
является решением неоднородного уравнения Клейна —Гордона
т.е. (см. подразд.5.5.1):
В общем случае случае множители перенормировки функ-
функции G(x) и констант связи не равны между собой. Более по-
подробно о применениях ренормгруппы в физике, например, при
исследовании возмущений, см. [6, с. 312 — 319; 60, гл. 5, 8, 12; 108;
109; ПО; 111; 112].
434
6.5. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ХОПФА
В подразд. 4.1 линейная группа Ли G определена как под-
подгруппа в группе матриц GL(n,C), заданная системами уравне-
уравнений вида D.2). Но одну и ту же линейную группу G молено рас-
рассматривать как подгруппу в различных группах невырожден-
невырожденных матриц, задаваемых разными системами уравнений. Для
поиска наиболее разумной системы уравнений нужно охаракте-
охарактеризовать группу G внутренним, инвариантным образом. В каче-
качестве такой «внутренней» характеристики выступает особая ал-
алгебра функций на группе: алгебра Хопфа. В этих терминах мож-
можно задать, например, касательное пространство в единичном эле-
элементе и структуру алгебры Ли на нем.
В 1980-х гг. изучение алгебр Хопфа привело к созданию но-
нового направления — теории квантовых групп, связанных с ре-
решением обратной задачи теории рассеяния.
Для простоты изложения мы будем рассматривать только
комплексный случай алгебры функций, представимых много-
многочленами, на линейной группе G. Пусть G является подмноже-
подмножеством в алгебре матриц Mat(n,C), задаваемым системой уравне-
уравнений вида D.2). Рассмотрим множество Я = C[G] всех функции
на G, являющихся многочленами от элементов матриц из G.
Две такие функции считаются одинаковыми, если их значе-
значения на каждой матрице из G одинаковы. Заметим, что Я явля-
является ассоциативной коммутативной алгеброй с единичным эле-
элементом.
Как отмечено в теореме 4.3, произведение G х G снова явля-
является линейной группой, причем C[G xG]~ C[G] <g> C[G] по теоре-
теореме 4.11.
Введем гомоморфизмы алгебр
е:#->С, Д:Я->Я®Я, F.32)
которые задаются по следующему правилу: если функция / е Я
и матрицы х, у € G, то
е(/) = /A), [Д(/)](*,у) = /(*у), F.33)
и которые переводят единичный элемент в единичный. При опре-
определении Д мы учитываем, что Н®Н совпадает с алгеброй функ-
функций C[G х G] на прямом произведении G x G. Непосредственная
проверка, использующая, в частности, ассоциативность умноже-
умножения в группах и свойства единичного элемента, показывает, что
коммутативны диаграммы
435
л н®н
F.34)
JJ ^ JJ x^^ v tT/OIT/Ovtr 12 W 12 > Я
(Коммутативность диаграммы означает, что произведения гомо-
гомоморфизмов в направлениях, указанных стрелками и имеющих
одинаковое начало и конец, равны и не зависят от выбранных
путей, см. подразд. 1.8. Например, коммутативность диаграм-
диаграммы F.34) означает, что (Д ® 1)Д = A0 Д)Д). В диаграммах
F.34) 1 означает тождественное отображение Я в себя. Гомо-
Гомоморфизм 6 из F.32) и F.33) называется коединицей, а гомо-
гомоморфизм Д — коумножением. Кроме того, в Я имеется линей-
линейный оператор S : Я —> Я, называемый антиподом, при котором
[5(/)] (х) = fix'1) для всех f eH,xeG.
Непосредственно доказывается следующее утверждение:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.13. Если /,/i e Я = С[С], то
= S(h)S(f), 5A) = 1,
В этом случае коммутативна диаграмма
F.35)
где т: Н®Н —> Я — линейное отображение умножения, т. е.
т(х (8) у) = ху для всех ж, у G Я.
Кроме того, коммутативна диаграмма
Я —^-> Я —^-> Я®Я
Я(8)Я > Н®Н = Н®Н
где линейный оператор т задается по правилу х(а (8) 6) = 6 ® а
для всех а, 6 € А.
Условие коммутативности F.35) означает, что m(l <g) 5)Д(х) =
= е(х) = шE (8) 1)Д(х) для всех х е Я. Эти свойства позволяют
ввести следующее определение.
Определение 6.8. Ассоциативная алгебра Я с единицей
называется алгеброй Хопфа, если в ней имеются гомоморфизмы
436
алгебр из F.32) антипод 5, причем коммутативны диаграммы
F.34), F.35). Элемент д ? Я называется групповым, если А(д) =
= д®д и г(д) ^0. Через G(H) обозначим множество всех группо-
групповых элементов. Элемент h e H называется примитивным, если
Д(Л) = Л®1 + 1®Л. Через Р(Н) обозначим множество всех при-
примитивных элементов из Я.
Коумножение Д часто обозначают следующим образом: если
х е Я, то
]Г1®х2еЯ<8>Я, хьх2еЯ. F.37)
Отметим ряд свойств групповых и примитивных элементов
алгебры Хопфа Я.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.14. Множество G(H) являет-
является группой относительно умножения в Я, причем г(д) = 1
для всех д е G(H). Множество Р(Н) является алгеброй Ли
относительно умножения [х, у] = ху - ух, причем е(х) = 0 для
всех х € Р(Я).
Доказательство. Если gi,g2 ? G(H), то
Д@102) = A{gi)A(g2) = (#i (8) gi)(g2 ® 92) = 9\92 ® 0Ш,
т.е. ^1^2 € G{H). В силу F.35) получаем, что г(д) = 5(^)д.
Кроме того, г(д) = в(^)е(р). Так как е(#) ^0, то г(д) = 1, поэто-
поэтому S(g) =р. По свойству F.36) получаем, что д е G(H).
Предположим, что х,у е Р(Н). Тогда
= (ж ® 1 +1 ® х)(у ®1 + 1®у)-(у®1 + 1® у)(х ® 1 +1
= (ху - ух) ® 1 +1 ® (жу - ух) = [х, у] ® 1 +1 (8) [х, у],
т.е. [ж,у] е Р{Н). При этом по F.34)
е(х) = е(х)еA) + еA)е(х)=2е(х),
откуда вытекает, что е(х) = 0.
Определение 6.9. Пусть Я — алгебра Хопфа. Обозна-
Обозначим Я0 множество всех линейных функционалов / (см. гл. 7) на
Я, ядро кег / которых содержит такой идеал I <Н, что размер-
размерность фактор-алгебры H/I конечна. На множестве Я0 вводятся
операции умножения / * д, коумножения Д*, антипод S* и ко-
единица е* по следующим правилам. Если х € Я, то, пользуясь
обозначением F.37), получаем, что (/*y)(x) = X3x/(xi)^(x2)« Да-
Далее, если / G Я0 и х, у G Я, то
437
® У) =
Наконец,
F.39)
Построенная алгебра Я0 называется дуальной алгеброй Хоть-
фа для Я.
В [122, §1.2, §9.1] показано, что единичным элементом в Я0
является коединица е. Рассмотрим в дуальной алгебре Хопфа
Я0 групповые элементы G(H°) и примитивные элементы Р(Н°).
Для этого обозначим Alg(H, С) множество всех гомоморфизмов
алгебр Я —> С, переводящих единичный элемент Я в 1 Е С.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.15. G{H°) = Alg(tf,C).
Доказательство. Пусть / е G(H°). Тогда Д*(/) =
= / <8) /. В силу F.38) последнее равенство означает, что
/(*») = /(*)/(»), т. е. / € Alg(tf,C), причем /A) = 1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.16. Р(Н°) совпадает с мно-
множеством всех линейных функционалов / на ker e, принима-
принимающих нулевое значение на (kereJ, т.е. на суммах произве-
произведений двух элементов из kere, причем
. е*(/) = Д1) = 0. F.40)
Доказательство. Пусть / ? P(ker e). Тогда
Следовательно, по F.38) и F.39) получаем для любых
х,у е Я, что f(xy) = f(x)e(y) + e(x)f(y). В частности, если
х,у е kere, то f(xy) = 0, т. е. ядро ker/ D (kereJ. Кроме того,
по предложению 6.14 выполнено условие F.40). Очевидно,
что верно и обратное утверждение.
Рассмотрим два элемента f,g € Р(Н°) и вычислим [/,#] ?
€ Р(Н°). Если х е Я и Д(х) из F.37), то по F.34) получаем,
что
#i) ® e(x2) + e(xi)
X
Поэтому в силу предложения 6.16 и F.38)
438
x) = (f*9)(x)-(g*f)(x) =
- e(x2)) - 9(xi ~ e(xi))/(s2 - e(x2))]
ТЕОРЕМА 6.14. Пусть Я = C[G] - алгебра функ-
функций на линейной группе G. Тогда G(H°) = Alg(ff,C) = G и
°
Доказательство. Пусть группа G как подгруппа в
GL(n,C) задается системой уравнений D.2). Обозначим че-
через / идеал в
построенный по системе многочленов D.2), как и в теоре-
теореме 4.9. Тогда
по теореме 4.10. Если А е G, то отображение / »-> f(A) зада-
задает гомоморфизм из C[G] в С. Обратно, если задан гомомор-
гомоморфизм \|/: C[G] —> С, и элемент / е Н можно представить мно-
многочленом f(Xrs), то \|/(/) = f(y(Xrs)). Поэтому \|/(/) = /(А),
где A = (ars=\|/(Xr5)).
При этом для любого многочлена fi(Xrs) из системы урав-
уравнений D.2), задающих нулевую функцию на G, получаем,
что /г(А) = 0. Таким образом, А € G.
Рассмотрим теперь Tq(E). По предложению 6.16 Р(Н°)
состоит из всех линейных функционалов I на Я, принима-
принимающих нулевое значение на числе 1 и на (kereJ. Если ЛЕЯ,
то из разложения в ряд Тейлора получаем
h = h(E) + (dh) \Е (Х-Е) + о(Х - Е),
где (dh)\E(X - Е) — дифференциал h в точке Е:
о(Х - Е) — малая величина следующего порядка от X - Е,
т.е. о(Х-Е)е(кетгJ.
Таким образом:
Необходимо учесть, что если fo из D.2), то l(fo) = 0. По-
Поэтому для каждого г = 1, ... , N выполнено равенство
439
Г,8 0ArS
В силу D.6) в определении 4.1 получаем, что матрица
dX = {dXrs = l(Xrs - 5rs)) G TG(E).
Очевидно, что верно и обратное рассуждение.
Покажем, что операции умножения [А, В] = АВ - В А в
Tq(E) и в Р(Н°) совпадают. Действительно, пусть f,g E
е Р(Н°). Тогда эти функционалы отождествляются с эле-
элементами матриц dX и dY:
(dXrs = f(Xrs - 5rs), dYrs = f(Xrs - 5r5)
из Tq(E). Вычислим [dX,dY] € Tq{E). У этой матрицы на
месте (г, s) стоит элемент
" &rt)g(Yts - 5,5) - g(Xrt - brt)f(Yts - bts)}. F.42)
Для любых матриц А^В ?G и функции Xrs € Я по F.33)
элемент
стоит на месте (г, s) в произведении матриц. Поэтому в силу
F.41) получаем, что F.5.) равно
т.е. элементу, соответствующему коммутатору в Р(Я°).
Как отмечено в следствии из теоремы 4.10 (подразд. 4.4), каж-
каждый гомоморфизм линейных групп / : G -+ F индуцирует гомо-
гомоморфизм алгебр /° : C[F] —> C[G]. Нетрудно проверить, что гомо-
гомоморфизм /° является гомоморфизмом алгебр Хопфа, т. е.
(/0(8)/0)д = д/0) /ое = е/о? Sf° = f°S.
Следовательно, /°* : C(G)° -> C(F)°, причем при отождеств-
отождествлении G и F с Alg(ff,C) и с Alg(F,C) по теореме 6.14 действие
/°* совпадает с /. Аналогично, при отождествлении Tq(E) с
P(C[G]°), a TF(E) с P(C[F]°) действие /°* совпадает с дифферен-
дифференциалом df из теоремы 4.5.
440
Упражнение 6.7. Доказать все сформулированные выше утвер-
утверждения о /°*.
Таким образом, теорию линейных групп и их представлений
можно развивать в рамках теории алгебр Хопфа. В этом слу-
случае мы получаем «инвариантную» теорию, не зависящую от ре-
реализации линейной группы как подгруппы в GL(n,C), поскольку
алгебра Хопфа функций C[G] не зависит от конкретного пред-
представления.
Применения алгебр Хопфа в физике и, в частности, связи с
ренормгруппой, обсуждаются в [108, ПО, 111, 112, 119].
6.6. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
На примере критических явлений (подразд. 6.4) можно ви-
видеть, что некоторые свойства физических систем нечувствитель-
нечувствительны к конкретной форме взаимодействий между составными ча-
частями системы (и, следовательно, к небольшим изменениям их
взаимного расположения), а определяются в первую очередь
топологическими характеристиками системы: размерностью и
связностью. В описании таких свойств используются как груп-
групповой, так и топологический формализм [59, 94].
В этом разделе мы познакомим читателя с группами, возни-
возникающими в геометрии и топологии, в терминах которых дает-
дается характеризация свойств топологических пространств, в част-
частности, различных гладких многообразий. Будем предполагать,
что читатель знаком с основными понятиями топологии: тополо-
топологическое пространство, хаусдорфово пространство, непрерывное
отображение, гомеоморфизм и т.д. [75].
6.6.1. Группы (ко)гомологий
Гладким многообразием называется хаусдорфово топологиче-
топологическое пространство М, в котором для каждой точки х G М суще-
существует окрестность Ux С М, гомеоморфная внутренности шара
Sx в евклидовом пространстве Rd. Постоянное число d называ-
называется размерностью многообразия М. Предполагается, что если
f : Ux -* Sx я 9 • Uy —> Sy — два указанных гомеоморфизма,
то fg'1 индуцирует бесконечно дифференцируемое биективное
отображение g(Uy П Ux) и f(Ux П Uy). Примерами гладких много-
многообразий без особенностей являются линейные группы Ли.
Назовем п-мерным симплексом в евклидовом пространстве
множество
441
Дп = {х = (х0, ..., хп) е Rn | 0 ^ хи х0 + xi + • • • +хп =
В частности, До состоит из одной точки xq = 1. Гранью сим-
симплекса Дп называется подмножество всех точек Дп(п,. ..,**) из
Дп с условием х^ = • • • = Х{к = 0 для некоторых 1 ^ i\ < %2 < ... <
< zVi < h < п- Каждая такая грань Лп(*1»---9*&) гомеоморфна
симплексу Дп-д;.
Сингулярным комплексом размерности п [25, §5.4; 86, гл. 1,
§ 2; 94] в М называется непрерывное отображение / : Дп —> М.
Рассмотрим свободную аддитивную абелеву группу CSn{M),
базис которой составляют сингулярные комплексы размерно-
размерности п. Элементы из CSn(M) называются цепями. Цепи являют-
являются конечными формальными суммами вида Y^^ifi^ гДе ^^и
fi : Дп -> М — сингулярные комплексы размерности п. Имеется
гомоморфизм абелевых групп dn : CSn(M) —> C5n-i(M), который
задается по следующему правилу. Если / : Дп —> М — сингуляр-
сингулярный комплекс размерности п, то
*»(/) = ЕН)'/ [ДпО'I € C5n-i(M).
Гомоморфизм dn называется граничным оператором.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.17. Для любого n ^ 1 выпол-
выполнено равенство dn-\dn = 0. В частности, образ Imdn содер-
содержится в ядре kercin-i.
Элементы из образа Imdn называются границами, а элементы
из kerdn-i — циклами. Абелева фактор-группа kerdn-i/Imdn на-
называется п-й группой гомологии Нп(М) или n-й группой Бетти.
Таким образом, имеется последовательность гомоморфизмов
где е(/) = 1 для любого / е До-
Можно показать [86, с. 11], что Щ(М) — свободная абелева
группа, ранг которой равен числу компонент линейной связно-
связности многообразия М.
Каждое непрерывное отображение многообразий h-.M-^M1
индуцирует гомоморфизм абелевых групп hn : CSn(M) ->
—> CSn(Mr) по следующему правилу: если / : Дп —> М — син-
сингулярный комплекс размерности п в М, то ему соответствует
сингулярный комплекс hnf : Ап -> М' размерности п ъ М'. При
этом для любого п коммутативны диаграммы
442
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.18. Для любого п имеем
/in(Imdn(M)) С lmdn{Mf), Hn(kevdn(M)) С kerdn(M').
Поэтому каждый гомоморфизм fon индуцирует гомомор-
гомоморфизм групп гомологии /i* : Нп(М) -> Hn(Mf) для любого
Назовем два непрерывных отображения многообразий g,h :
: М -» М; гомотопными, если существует такое непрерывное
отображение F:Mx [0,1] -» М', что д(х) = F(o;,0), /i(x) = F(x, 1)
для всех х € М.
ТЕОРЕМА 6.15. Два гомотопных непрерывных ото-
отображения g,h : М —> Mf индуцируют одинаковые гомомор-
гомоморфизмы Л* = р* : #n(M) ~> Hn(Mf). Таким образом, группы
гомологии являются гомотопическими инвариантами мно-
многообразий [86, с. 13].
ТЕОРЕМА 6.16. Предположим, что многообразие М
гомеоморфно топологическому пространству, являющемуся
объединением конечного числа симплексов, которые пересе-
пересекаются только по граням. Тогда каждая группа гомологии
Нп{М) конечно порождена.
В силу теоремы 2.4 в условиях теоремы 6.16 получаем, что
каждая абелева группа Нп{М) является прямой суммой свобод-
свободной абелевой группы Fn и примарных циклических групп. Ранг
группы Fn называется n-м числом Бетти многообразия М. Эти
числа также являются гомотопическим инвариантами М.
Сингулярные коцепи CSn(M,A) со значениями в абелевой
группе А определяются как группы гомоморфизмов абелевых
групп Hom(C5n(M), А). Граничные операторы dn индуцируют ко-
граничные операторы dj? : CSn~l(M),A) -> CSn(M,A), причем
d*+1d* = 0. Подгруппа кограниц Imdjf" содержится в подгруппе
коцепей kerd?. Поэтому можно определить n-ю группу когомо-
логий Нп(М,А) как фактор-группу #n(M, A) = kerd?/Imd?~1.
Заметим, что если А = Z — аддитивная группа целых чисел,
то Hom(CSn(M),Z) является аналогом двойственного векторного
пространства для группы CSn(M) (см. подразд. 7.10).
Способы вычислений групп (ко)гомологий для разных мно-
многообразий можно найти в [88; 87, гл. 2, § 13; 94]. Например, для
сферы Sn имеем
443
Hi(Sn)
fz, г = 0, n;
[О, г^О, n.
В частности, для сферы в трехмерном пространстве (п = 2)
получаем, что H^(S2) = Z при п = 0,2 и #гE2) = 0 при (п = 1).
Рассмотрим тор Г в трехмерном евклидовом пространстве
R3. Для этого в плоскости z = 0 выберем окружность Si радиу-
радиуса 2 с центром в нуле, задаваемую уравнением а2 + б2 = 4. Затем
возьмем точку (а, 6,0) этой окружности в качестве дентра другой
окружности 52(а, 6) радиуса 1, расположенной в плоскости, про-
проходящей через ось OZ и точку (а, 6,0). Тором называется множе-
множество всех точек всевозможных окружностей 52(а, 6) для любых
(а,6,0) е Si (см. рис.4.8). Можно показать [87, гл.2, §15], что
#о(т) = z, #!(т) = z e z, #2(т) = z.
В остальных случаях Щ(Т) = 0. Учитывая приведенные выше
вычисления групп гомологии двумерной сферы ?2, можем сде-
сделать вывод, что 52 и Т не гомотопны.
В заключение отметим, что группы (ко)гомологий были вве-
введены для многобразий. Но нетрудно видеть, что все эти понятия
и результаты справедливы и для более общих топологических
пространств.
6.6.2. Гомотопические группы
Под п-мерным кубом, как и раньше, будем понимать множе-
множество
Границей куба называется множество всех его точек (xi,...,
хп), у которых хотя бы одна из координат равна либо 0, либо 1.
Пусть хо — выделенная точка топологического простран-
пространства X. Если п ^ 1, то п-й гомотопической группой пп(Х,хо) на-
называется множество классов гомотопных отображений / : Qn —>
-* X, при которых граница Qn переходит в точку хо. Зада-
Зададим операцию умножения в пп(Х,хо) по следующему правилу:
если /,(/ б G пп(Х,хо)> то зададим непрерывное отображение
fg : Qn -> X:
A
?
444
ТЕОРЕМА 6.17. Множество пп(Х,хо) является груп-
группой относительно введенной операции умножения. Если
п ^ 2, то группы %п{Х,хо) абелевы. Если точки х$ и х'0из X
можно соединить непрерывным путем, то группы пп(Х,хо)
и пп(Х,х'о) изоморфны [87, с. 63].
Таким образом, для линейно связного топологического про-
пространства X можно говорить о группе %п{Х). Часто вместо ку-
куба Qn берут сферу Sn с отмеченной точкой so и определяют
7сп(Х,хо) как множество классов гомотопных отображений Sn в
X, переводящих sq в хо-
ТЕОРЕМА 6.18 (теорема Пуанкаре). Пусть X —
связное пространство. Тогда 1-я группа гомологии Н\{М)
изоморфна фактор-группе 1-й гомотопической группы %\{Х)
по ее коммутанту, Нг(Х) ~ ni{X)/[ni(X),ni{X)] [87, с. 120].
ТЕОРЕМА 6.19 (теорема Гуревича). Пусть группы
тривиальны (состоят только из единичного элемента) при
п ^ 2. Тогда Н\(Х) = • • • = Hn-i(X) = 0 и имеется канониче-
канонический гомоморфизм Гуревича пп(Х,хо) -> НП(Х).
Обратно, если пространство X связно и односвязно, при-
причем группы Н2{Х) = ... = Hn-i(X) = 0, то группы Я2рО,...,
iCn-i(X) тривиальны, и nn(X) ~ НП(Х) [87, с. 120].
Изучение групп (ко)гомологии и фундаментальных групп поз-
позволяют распознавать свойства топологических пространств. На-
Например, если у двух пространств группы гомологии неизоморф-
неизоморфны, то эти пространства не гомотопны.
Контрольные вопросы
1. Доказать, что группы S3, S4 разрешимы, но не нильпотентны.
2. Пусть Н — тело кватернионов. Доказать, что группа ненулевых
кватернионов Н* относительно умножения не является разрешимой.
3. Доказать, что различные ненулевые групповые элементы в ал-
алгебре Хопфа линейно независимы.
4. Пусть Q — квазикристалл, определенный с помощью решет-
решетки М, и U — физическое пространство. Доказать, что QdU = Mf\U.
ГЛАВА7
ДОПОЛНЕНИЕ: СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ
Приведены основные сведения из линейной алгебры, ис-
использованные в гл. 1 — б этой книги. Большинство утвер-
утверждений сформулировано без доказательств. Более подроб-
подробное изложение этого материала можно найти в [2].
7.1. МАТРИЦЫ
Матрицей А размера mxn называют прямоугольную таблицу
чисел
(ац а\2 ••• «in
«21 «22 ••• «2n I
«ml «m2
Числа a,ij называют элементами матрицы.
Набор элементов (ац, а^, • • • ain) образует г-ю строку мат-
матрицы А.
Набор элементов
образует j-й столбец матрицы А.
\amj/
Таким образом, произвольный элемент а^ стоит на месте
(г, j), т.е. на пересечении г-й строки и j-ro столбца матрицы А.
Матрица А комплексная (вещественная), если все ее элемен-
элементы являются комплексными (вещественными) числами. Матри-
Матрица А квадратная, если п = т, т. е. число строк в А равно числу
столбцов. Главной диагональю матрицы называют набор ее эле-
элементов (ац, а22, • •., апп), у которых номер строки совпадает
с номером столбца.
Следом trA называют сумму элементов диагонали. Известно,
что след произведения матриц не зависит от порядка множите-
множителей, т. е. tr(AB) = tv(BA) для любых квадратных матриц Аи В.
Определителем detA = \А\ квадратной матрицы А размера п
называют число
446
det A = Yl (-1)Gal,a(l) • • • <4a(n)>
где Sn — группа перестановок степени п (см. подразд. 1.1). Свой-
Свойства определителей подробно изложены в [2, 15, 45].
Предположим, что в произвольной матрице А выбраны г строк
и г столбцов. На их пересечении стоит квадратная матрица раз-
размера г. Ее определитель называют минором порядка г матри-
матрицы А. В частности, если в А выбраны первые г строк и столбцов,
то получающийся минор называют угловым или главным.
Если задана матрица А размера га х п, то поменяв в А места-
местами строки и столбцы, получим транспонированную матрицу ЬА
размера п х т. Таким образом, если в исходной матрице на ме-
месте (г, j) стоит элемент ay, то в транспонированной матрице гА
на том же месте стоит число а^.
Всюду в дальнейшем обозначено R — множество всех веще-
вещественных чисел, С — множество всех комплексных чисел.
Определение 7.1. Квадратная матрица А называется:
1) диагональной, если все ее элементы ay, стоящие вне глав-
главной диагонали, равны нулю, т. е. ay = 0 при г ^ j;
2) верхнетреугольной, если в А ниже главной диагонали рас-
расположены нули, а на главной диагонали стоят ненулевые числа,
т. е. ay = 0 при г > j и ац^0 для всех г;
3) верхнеунитреугольной, если в Л на главной диагонали сто-
стоят единицы, т. е. ay = 0 при г > j и ац = 1 для всех г;
4) симметричной, если ЬА = А, т. е. ац = aji для всех г, j]
5) ортогональной, если ЬА = А~1]
6) с углом нулей, если она разбивается на блоки:
(в\с\
где B,D — квадратные матрицы меньшего размера, чем матрица
А;
7) блочно-диагональной, если она разбивается на блоки:
А
0
0
0
А
0
0
0
А*
Комплексная матрица А называется:
1) эрмитовой, если 1А = А, т. е. ay = WJi для всех элементов ay-
матрицы А (черта означает комплексно сопряженное число);
447
2) косоэрмитовой (антиэрмитовой), если 1А = -А, т.е. а^ =
= -сЩ для всех элементов а^ матрицы А\
3) унитарной, если гА = А~1.
Все верхнетреугольные комплексные матрицы образуют под-
подгруппу Т(п,С) в группе GL(n,C). Аналогично вводят груп-
группу T(n,R).
Все верхнеунитреугольные комплексные матрицы образуют
подгруппу UT(n, С) в группах GL(n,C) и Т(п,С). Аналогично вво-
вводят группу UT(n,E).
Каждая вещественная эрмитова матрица является симметри-
симметрической. Каждая вещественная унитарная матрица является ор-
ортогональной.
7.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ПОДПРОСТРАНСТВА
Линейным, или векторным вещественным (комплексным),
пространством L над полем F называют множество L, элементы
которого называют векторами, в котором определены операция
сложения векторов х + у и операция умножения ах векторов х
на вещественные (комплексные) числа а Е F. При этом для всех
х, у, z Е L выполняются следующие аксиомы (а, C € F — веще-
вещественные (комплексные) числа):
1) (x + y) + z = x + (y + z);
2) х + 2/ = 2/ + а:;
3) существует такой элемент 0 € L, что я+0 = х для всех х Е L;
4) для любого х Е L существует такой элемент -х Е L, что
х + (-х) = 0;
5) сс(х + у)
6) (а + р)х
8) 1х = 1.
Систему векторов х\, ... , хп Е L называют линейно независи-
независимой, если из условия ocixi + • • • + ОпХп = 0 следует cci = • • • = On = 0.
В противном случае, систему векторов х\, ... , хп Е L называют
линейно зависимой.
Вектор а является линейной комбинацией векторов 6i, ... ,
Ъп Е L, если вектор а = ccibi + ••• + OLnbn для некоторых чисел
ссь ... ,OnEF.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.1. Система векторов хь...,
хп Е L линейно зависима тогда и только тогда, когда один
из ее векторов является линейной комбинацией остальных.
448
ТЕОРЕМА 7.1 (основная лемма о линейной зависи-
зависимости).
Предположим, что в пространстве L заданы две системы
векторов
а\, ... , an; fti, ... , Ът.
Предположим, что каждый вектор а* является линейной
комбинацией системы Ъ\, ... , Ьт. Если п > т, то система
а\, ... , ап линейно зависима.
Систему векторов е = (ei, ... , еп), где ег- ~ L, называют ба-
базисом пространства L, если выполняются условия: 1) система
ei, ... , еп линейно независима; 2) каждый вектор из L является
линейной комбинацией векторов из системы е.
Из теоремы 7.1 вытекает, что любые два конечных базиса про-
пространства L состоят из одинакового числа векторов. Это число
называют размерностью пространства L и обозначают dim L.
Если е = (ei, ... , еп) — базис пространства L, и х € L, то
х = х\е\ + • • • + хпеп для некоторых чисел х\, ... , хп е F. Коэф-
Коэффициент х{ € F этого разложения называется г-й координатой
вектора х в базисе е. Столбец координат
определен однозначно. Используя матричное умножение, полу-
получаем сокращенную запись х = еХ. Если е' = (efv ... , е'п) — другой
базис L, то е[ = J2%\ e5cji-> cji € ^ (соответственно Cji G С).
Квадратную матрицу С = (cji) размера п называют матрицей
перехода от базиса е к базису е'. Матрицами перехода от одного
базиса к другому являются невырожденные матрицы и только
они. Если X и X1 — столбцы координат вектора х в базисах е и
е' соответственно, то X = СХ'.
Непустое (т.е. содержащее хотя бы один элемент) подмно-
подмножество V С L называют подпространством, если из того, что
х,у eV вытекает х+у, ах е V для всех чисел a e F. Подпростран-
Подпространство всегда является пространством относительно операций сло-
сложения и умножения на числа, определенных на пространстве L.
Если в пространстве L выбрана система векторов ai, ... , an,
то линейной оболочкой (ai, ... , ап) этой системы называется мно-
множество всех линейных комбинаций этой системы векторов. Ли-
Линейная оболочка является подпространством в L.
Если Li, ... , Lm — подпространства в L, то их пересечение
L\ n... ПЬт также является подпространством в L. Суммой под-
449
пространств Li + • • • + Lm называется множество всех векторов
х G L, представимых в виде
X = Xi + ---+Xm, Хг?Ц. G.1)
Сумма подпространств L\ + • • • + Lm является подпространством.
ТЕОРЕМА 7.2. Если L\, L<i — подпространства в L,
то dim(Li + Li) + dim(Li П L2) = dim L\ + dimL2.
Пространство L является прямой суммой своих подпро-
подпространств L\, ... , Lm, если каждый вектор х е L имеет, и при-
притом единственное представление G.1). В этом случае пользуют-
пользуются обозначением L = L\ ф • • • 0 Lm.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.2. Если Lb ... , Lm - подпро-
подпространства в L, то эквивалентны следующие условия:
2) dimL = dimLi+ • •- + dimLm.
7.3. ПЛОСКОСТИ
Пусть V — векторное пространство, a G V и U — подпростран-
подпространство в V. Плоскостью П в V называют множество всех векторов
(точек) вида П = а+и = {а+и\и eU}. Подпространство U называ-
называют направляющим для плоскости П. Размерностью плоскости
называют размерность его направляющего пространства. Плос-
Плоскость размерности 1 называют прямой. Плоскость размерности
п -1 в n-мерном пространстве называют гиперплоскостью.
Заметим, что если U — направляющее подпространство U для
плоскости П, то U = {х-у | х,у Е П}. В частности, подпростран-
подпространство U по П определено однозначно. Таким образом, размерность
плоскости определена корректно.
Если U - (аь ... , ад.),тоП = {a + aiti + - -- + а^}, где?ь ... , ?*. G
€ К, или соответственно ti, ... ,^gC. Такое представление плос-
плоскости П называют параметрическим заданием плоскости П.
ТЕОРЕМА 7.3. Пусть задана совместная система
линейных уравнений АХ = Ь с матрицей А размера т х п,
столбцом неизвестных X высоты п и столбцом свободных
членов Ь высоты т. Все решения этой системы образуют
плоскость П размерности п-г(А), где г(А) — ранг матрицы А.
Его направляющее пространство состоит из всех решений
однородной системы AY = 0.
ТЕОРЕМА 7.4. Пусть задана плоскость П = а + U
размерности d в пространстве V с заданным базисом про-
450
странства е = (ei, ... , еп). Тогда существует такая система
из (п - d) линейных уравнений, что вектор х = х\е\ + • • • +
+ хпеп € П в том и только в том случае, если столбец коор-
координат (xi, ... , хп) является решением этой системы.
СЛЕДСТВИЕ. Непустое пересечение плоскостей
снова является плоскостью.
7.4. БИЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ
ФУНКЦИИ
Пусть V — вещественное (комплексное) векторное про-
пространство. Вещественно-значную (комплексно-значную) функ-
функцию 6(х, у) от двух аргументов х, у € V со значением в F назы-
называют билинейной, если для всех х, х\, у,у\ е V и любых чисел
а, Р € F справедливы тождества:
1) Ь(х + хь у) = Ь(ж, у) + Ь(жь у);
2) b(
Комплексно-значную функцию 6(х, у) от двух аргументов х, у
из комплексного векторного пространства V называют полуто-
ралинейной, если для всех х, xi, у, yi € V и любых комплексных
а, Р справедливы тождества:
1) 6(х + хь у) = 6(х, у) + 6(хь у);
2) 6(x,y + yi) = 6(x,y) + 6(x,yi);
3N(ах,ру) = арб(х,у).
Предположим, что в V выбран базис е= (ei, ... , еп). Матри-
Матрицей билинейной (полуторалинейной) функции Ъ(х,у), или мат-
матрицей Грама этой функции в базисе е, называют матрицу
Если е' = еС — другой базис V с матрицей перехода СиВ;-
матрица билинейной функции 6(х,у) в базисе е', то
В1 = 1СВС. G.2)
Если функция Ь(х, у) полуторалинейная, то
В1 = гСВС. G.3)
В частности, ранг матрицы Грама билинейной (полуторали-
(полуторалинейной) функции в любом базисе имеет одно и то же значение.
451
Пусть е = (ei, ...,en) — произвольный базис простран-
пространства, в котором задана билинейная (полуторалинейная) функ-
функция Ъ{х,у) с невырожденной матрицей Грама В = (bij = b(ei,ej)).
Рассмотрим в пространстве новый базис е' = (efv ... , efn) = tBe,
получающийся из е с помощью матрицы перехода ЬВ~1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.3. Для любых г,j = 1,..., п
справедливы равенства b(ef^ej) = 5у, где 5^- — символ Кро-
некера, т. е. 5^^ = 0 при i ^ j и 5^- = 1 при г = j. Кроме того,
для матриц Грама имеется равенство В1 = В.
Базис е;, получающийся указанным способом, называют вза-
взаимным или дуальным к базису е.
Билинейную (полуторалинейную) функцию Ь(х, у) в простран-
пространстве V называют симметрической (эрмитовой), если 6(х, у) =
= 6(у,х) (соответственно, Ъ(х,у) = Ь(у,х)) для всех х,у е V.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.4. Предположим, что били-
билинейная (полуторалинейная) функция 6(х,у) в пространстве
V с базисом е обладает в этом базисе матрицей В. Функция
Ь(х,у) является симметричной (эрмитовой) тогда и только
тогда, когда 1В = В (соответственно, гВ=~В).
С каждой билинейной симметрической (эрмитовой) функци-
функцией Ь(х,у) связывают квадратичную функцию q(x) = b(x,x).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.5. По квадратичной функ-
функции q(x) = 6(х, х) билинейная симметрическая (полуторали-
(полуторалинейная эрмитова) функция Ь(х,у) восстанавливается одно-
однозначно.
Доказательство этого факта основано на следующих форму-
формулах: если 6(х, у) — билинейная симметрическая функция, то
\ G.4)
Если 6(х, у) — полуторалинейная эрмитова функция, то
Ъ(х, у) = -[q(x + y)- q(x - у) + iq(x + iy) - iq(x - iy)]. G.5)
Матрицей квадратичной функции в базисе е, построенной по
билинейной либо полуторалинейной функции Ь(х,у), называют
матрицу функции Ь(х, х) в базисе е.
ТЕОРЕМА 7.5. Пусть q(x) — квадратичная функция.
Существует базис, в котором матрица q(x) имеет диагональ-
диагональный вид.
452
В вещественном (комплексном) пространстве всегда суще-
существует базис, в котором квадратичная функция имеет нормаль-
нормальный вид:
Числа р, q называют соответственно положительным и от-
отрицательным индексом инерции функции q(x).
ТЕОРЕМА 7.6 (закон инерции). Пусть задана квад-
квадратичная форма q на вещественном или комплексном век-
векторном пространстве. Предположим, что выбраны базисы,
в которых матрица формы q имеет диагональный вид. Тогда
положительный и отрицательный индексы инерции функ-
функции q(x) определены однозначно.
Эта теорема связана с теоремой 7.4.
ТЕОРЕМА 7.7 (теорема Сильвестра). Пусть А —
матрица невырожденной вещественной (эрмитовой) квад-
квадратичной формы q в некотором базисе и 5ь ... , 5П — по-
последовательность ее главных миноров, т. е. 8д. — минор мат-
матрицы А, стоящий на пересечении первых к строк и первых
к столбцов. Предположим, что в некотором базисе форма
q имеет диагональную матрицу В. Тогда число отрицатель-
отрицательных диагональных элементов матрицы В равно числу пере-
перемен знаков в последовательности 1,5ь ... , 5П.
Билинейная симметричная (эрмитова) функция с соответ-
соответствующей квадратичной функцией q(x) положительно опреде-
определена, если q(x) > 0 для всех ненулевых векторов ж.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.6. Для квадратичной функ-
функции q(x) эквивалентны следующие условия:
1) q(x) положительно определена;
2) если В — матрица функции q(x) в некотором базисе,
то все угловые миноры матрицы В положительны;
3) если В — матрица q(x) в некотором базисе, то В = 1ТТ
(соответственно, В = ЬТТ) для некоторой невырожденной
матрицы Г.
Определение 7.2. Билинейная функция 6(х,у) на про-
пространстве V кососимметрична (антисимметрична), если Ь(х,у) =
= -b(y, х) для всех х, у е V.
Для билинейной функции Ь(х,у) эквивалентны следующие
условия:
1) функция Ь(х,у) кососимметрична;
2) матрица В функции Ь(х, у) в любом базисе кососимметрич-
кососимметрична, т.е. *В=~В.
453
ТЕОРЕМА 7.8. Пусть .в пространстве V задана
кососимметрическая билинейная функция Ь(х,у). Тогда в
пространстве V существует базис еь ... , en, en+i, ...
ъ.. • , в котором матрица Ь(х, у) имеет вид
G.6)
где Еп — единичная матрица размера п. В частности,
функция Ь(х,у) невырождена тогда и только тогда, когда
dim V = 2п и матрица 6(ж, у) в некотором базисе имеет вид
¦¦(
U "*)• G-7)
В дальнейшем для матрицы G.7) мы будем использовать
стандартное обозначение Jq.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть задана кососимметричная
матрица В. Тогда существует такая невырожденная матри-
матрица С, что ЬСВС имеет вид G.6).
7.5. ЕВКЛИДОВЫ И ЭРМИТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Вещественное (комплексное) векторное пространство называ-
называют евклидовым (эрмитовым), если в нем задана положительно
определенная билинейная симметрическая (соответственно, по-
луторалинейная эрмитова) функция (х,у), называемая скаляр-
скалярным произведением.
Система ненулевых векторов 6i, ... , Ьп евклидова (эрмитова)
пространства ортогональна, если (bi,bj) = 0 при г ^ j. Система
ненулевых векторов Ь\, ... , Ьп евклидова (эрмитова) простран-
пространства ортонормирована, если (bi,bj) = 5ij.
Опишем процесс ортогонализации Грома — Шмидта. Пусть
задана система векторов а\, ... , ап евклидова (эрмитова) про-
пространства. Требуется построить такую ортогональную систему
векторов Ьь ... , Ъп, чтобы для любого j = 1, ... , п совпадали ли-
линейные оболочки (ai, ... , dj) = (bi, ... , bj). Процесс построения
осуществляется индукцией по j.
Если j = 1, то полагаем 6i = a\.
Пусть уже построена ортогональная система векторов Ьь...,
bj. Если bj = 0, то это означает, что вектор aj является линейной
комбинацией векторов а\, ... , aj_i, и построение закончено.
454
Предположим, что bi, ... , bj ^0. В этом случае полагаем
...,
Построенный вектор bj+i ортогонален всем векторам ,
bj. Пусть U — подпространство евклидова (эрмитова) простран-
пространства Е. Ортогональным дополнением U1- к U называется мно-
множество всех таких векторов х € Е, что (х, у) = 0 для всех у GU.
ТЕОРЕМА 7.9. Пусть Е — конечномерное евклидово
(эрмитово) пространство. Тогда U1- является подпростран-
подпространством в Е и E = U® UL.
Пусть задана система векторов аь ... , ап евклидова (эрмито-
(эрмитова) пространства. Матрицей Грома этой системы векторов на-
называют матрицу
G(ab ... , an) = I
\(an,ai
(an,an)j
Определитель detG(ai, ... , an) называют определителем Гра~
ма.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.7. Если векторы аъ... ,ап ли-
линейно независимы, то detG(ai, ... , ап) > 0. Если векторы
ai, ... , ап линейно зависимы, то detG(ai, ... , ап) = 0.
СЛЕДСТВИЕ (неравенство Коши-Буняковского).
Если х, у — векторы евклидова (эрмитова) пространства, то
Если х — вектор евклидова (эрмитова) пространства, то дли-
длиной \\x\\ вектора х называется величина у/(х,х). Если х, у — нену-
ненулевые векторы евклидова (эрмитова) пространства, то угол а
между ними определяется из равенства
cosa= „,, О^сс<л
IMI
Векторы х, у евклидова (эрмитова) пространства перпендику-
перпендикулярны (ортогональны), если (х,у) = 0.
Если U — подпространство евклидова (эрмитова) простран-
пространства Е, и х € Е, то Е = U ф U1 по теореме 7.8. Поэтому х = у + z,
где у € U и z G С/-1-. Вектор у называют ортогональной проекцией
вектора х на G, а вектор z называют ортогональной составля-
составляющей вектора гг.
455
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.8. Если t€ 17, то ||z-t|| ^ ||z||,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
t = у. Угол между t и х больше или равен углу между х и у,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
t = Ху Д > 0.
Пусть задана система ао, ах, ... , ап векторов n-мерного евкли-
евклидова (эрмитова) пространства. Параллелепипедом, натянутым на
эту систему, называется множество всех векторов вида
Далее, п-мерным объемом V(ao, ах, ... , ап) параллелепипеда,
натянутого на систему ао, ах, ...
-ao, ... , ап-а0).
Это определение корректно в силу предложения 7.7.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.9. Пусть z - ортогональная
составляющая вектора ап относительно подпространства
(ах, ... ,ап_х). Тогда
Вещественная (комплексная) матрица Q ортогональна (уни-
(унитарна), если lQQ = E (соответственно, bQQ = E.).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.10. Пусть е — ортонормиро-
ванный базис евклидова (эрмитова) пространства Е. Пред-
Предположим, что е; = eQ — другой базис Е с матрицей перехо-
перехода Q. Базис е' ортонормирован тогда и только тогда, когда
матрица Q ортогональна (унитарна).
7,6- ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Линейные отображения. Отображение / линейного простран-
пространства V в линейное пространство W называют линейным, если
/(ссх + ру) = af(x) + Р/(у) для всех х,у е V. Ядром кег/ линейно-
линейного отображения / называют множество всех таких х е V, что
f(x) = 0. Образом Im/ линейного отображения называют множе-
множество всех векторов у е W, имеющих вид у = f(x) для некоторого
xeV.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.11. Ядро кег/ и образ Im/
линейного отображения / : V -> W являются подпростран-
подпространствами в V и в W, причем
dim кег / + dim Im / = dim V.
456
Матрицы линейных операторов. Пусть L — векторное про-
пространство. Линейное отображение Л : L -> L называют линейным
оператором. Пусть е = = (ci, ... , еп) — базис L, А — линейный
оператор в L. Предположим, что для всех j = 1, ... , п
г=1
Тогда квадратную матрицу А = (а^) размера п называют
матрицей оператора А в базисе е.
Если е' = еС — другой базис L с матрицей перехода С и В —
матрица оператора А в базисе е', то В = СГ1АС^ в частности
det В = det А. Таким образом, корректно определен определитель
линейного оператора А как определитель его матрицы в произ-
произвольном базисе.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.12. Пусть линейный оператор
А в базисе е имеет матрицу А. Тогда dimIm.A равна рангу
матрицы А.
Число dimIm.A называют рангом оператора Л.
Если Л, Ъ — линейные операторы в L с матрицами А, В в од-
одном и том же базисе е, то их произведение АЪ является линейным
оператором в L, матрица которого в базисе е равна произведе-
произведению матриц АВ.
Определим сумму операторов А+Ъ по правилу (А+Ъ)х = Ах +
+Ъх. Тогда А + Ъ является линейным оператором. Матрица опе-
оператора А + Ъ в базисе е равна А + В.
Аналогично, если X — число, то АЛ, задаваемое по правилу
(ХА)х = А.(Лх), является линейным оператором, матрица которого
в базисе е равна ХА.
Тождественным называется такой линейный оператор ?, что
?х = х для всех х G L. Обратным оператору Л называется такой
линейный оператор Л, что А~гА = АА~1 = ?.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.13. Для линейного оператора
Л, имеющего в базисе е матрицу А, эквивалентны следу-
следующие условия:
1) существует обратный оператор Л;
2) кегЛ = 0;
3) 1тА = Ц
4) матрица А невырождена;
5) матрица обратного оператора равна А'1.
Нулевым, линейным оператором называется такой оператор О,
что Ох = 0 для всех х ? L.
457
Многочлены от линейных операторов. Если многочлен
имеет вещественные (комплексные) коэффициенты {а$}, то для
любого линейного оператора Л в L полагаем
/(Л) = ао? + а\А + • • • + атАт.
В силу изложенного выше /(Л) является линейным операто-
оператором. Если А — матрица оператора Л в базисе е, то в том же
базисе матрица оператора /(Л) есть f(A) = aoE + diA + • • • + атАт.
С каждой квадратной матрицей В размера п связывается харак-
характеристический многочлен Хв@ = det(JB - tE).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.14. %B(t) = (-l)n*n+
+(-l)n~n~1(tr 2?) + - • -+detB. Пусть С — невырожденная мат-
матрица размера п. Тогда %B(t) =%с-1вс№-
Это предложение позволяет определить характеристический
многочлен (и, в частности, след) линейного оператора: если А —
матрица оператора Л в некотором базисе, то Ха№) = Ха№- Корни
%а(Ь) называются характеристическими числами оператора Л.
ТЕОРЕМА 7.10 (теорема Гамильтона —Кэли). Если
Л — линейный оператор, то %л{А) = О (нулевой оператор).
Минимальным многочленом линейного оператора Л называ-
называют многочлен m(t) минимальной степени, аннулирующий опе-
оператор Л, т.е. т(А) = О. По теореме Гамильтона —Кэли m(t) де-
делит Хл№- Кроме того, минимальный многочлен определен од-
однозначно с точностью до постоянного ненулевого скалярного
множителя.
Инвариантные подпространства. Подпространство V в линей-
линейном пространстве L инвариантно относительно линейного опе-
оператора Л, действующего в пространстве L , если Ах е V для
любого вектора х е V.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.15. Пусть базис еь ... , ек под-
подпространства V дополнен до базиса е = (еь ... , еп) про-
пространства L. Подпространство V инвариантно относительно
оператора Л тогда и только тогда, когда матрица оператора
Л в базисе е имеет вид
причем размеры квадратных диагональных блоков равны
соответственно к и n-fc.
458
ТЕОРЕМА 7.11. Линейный оператор в комплексном
конечномерном пространстве обладает одномерным инва-
инвариантным подпространством. Линейный оператор в веще-
вещественном конечномерном пространстве обладает одномер-
одномерным или двумерным инвариантным подпространством.
Собственные векторы. Ненулевой вектор х пространства L, в
котором действует линейный оператор Л, называют собствен-
собственным для оператора Л с собственным значением А., если Ах = Хх.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.16. Ненулевой вектор х про-
пространства L, в котором действует линейный оператор Л, яв-
является собственным для оператора А тогда и только тогда,
когда линейная оболочка (х) инвариантна относительно это-
этого линейного оператора.
Собственными значениями оператора А являются корни
характеристического многочлена ХлМ и только они. Соб-
Собственными векторами А с собственным значением X явля-
являются ненулевые векторы из кег(Л-Х?) и только они.
Собственные векторы линейного оператора Л с разными
собственными значениями линейно независимы.
Жорданова форма. Жордановой клеткой J(fc, X) размера к на-
называют матрицу
J(fcA) =
Жордановой формой называют блочно-диагональную матри-
матрицу, в которой по главной диагонали стоят жордановы клетки.
ТЕОРЕМА 7.12. Пусть линейный оператор Л дей-
действует в конечномерном комплексном пространстве. Тогда
существует базис пространства, в котором матрица опера-
оператора Л является жордановой. Число клеток J(k,X) в этой
жордановой форме
г((А - Х)ш) - 2г((Л - Х)к) + г((А - X)*),
где г(...) — ранг соответствующего линейного оператора.
Число X является собственным значением оператора Л.
В частности, жорданова форма оператора Л определена од-
однозначно, с точностью до порядка жордановых клеток. Од-
459
(X
0
0
\р
1
X
0
0
0
1
0
0
... 0\
... 0
... 1
... X)
но и то же число X может быть на главной диагонали в
нескольких клетках жордановой формы.
Минимальный многочлен оператора Л
m(t) = (t-A*)*... (t-**)*¦,
где А.1, ... , Xs — все несовпадающие собственные значения Л;
dj — наибольший размер жордановой клетки в А с Xj по
главной диагонали.
7.7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХ,
ЭРМИТОВЫХ И СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ
7.7.1. Сопряженный и нормальный операторы
Пусть в пространстве Е задана невырожденная симметрич-
симметричная или полуторалинейная эрмитова функция Ь(х,у).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.17. Для любого линейного
оператора Л в Е существует и притом единственный такой
линейный оператор Л* в Е, что Ь(Ах, у) = Ь(х, Л*у) для всех
х, у. Если А — матрица оператора А и В — матрица Л и Л*
в дуальном базисе е' в пространстве Е, то В = *А, если Ь —
билинейная симметричная функция, иВ = гА, если Ь — по-
полуторалинейная эрмитова функция. В частности, если Е —
евклидово или эрмитово пространство, где в качестве Ь(х, у)
взято скалярное произведение Ь(х,у) = (х,у), и е — ортонор-
мированный базис, то е; = е.
Рассмотрим некоторые линейные операторы в евклидовых,
эрмитовых и симплектических пространствах. Оператор Л* на-
называют сопряженным оператору Л. Если Л, Ъ — операторы в
евклидовом (эрмитовом) пространстве, то
(ЛВ)* = !В*Л*, (Л + Я)*=Л* + :В*, (АЛ)*=ХЛ*, А**=А. G.8)
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.18. Если подпространство U
евклидова (эрмитова) пространства инвариантно относитель-
относительно линейного оператора Л, то ортогональное дополнение UL
также инвариантно относительно Л*.
Линейный оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве
называют нормальным, если АЛ* = А*А. Теория нормальных
460
операторов не всегда полностью излагается в учебной литерату-
литературе, поэтому приведем доказательства ряда основных положений
полностью.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.19. Пусть Л - нормальный
оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве, p(t) —¦
многочлен и U = кегр(Л). Тогда 17, U1- инвариантны отно-
относительно Л, Л*.
Доказательство. Для любого х е U имеем
р(А)Ах = Ар(А)х = 0; р(А)А*х = А*р(А)х = 0.
Таким образом, Ах, А*х е 17, т. е. U инвариантно относи-
относительно Л и Л*. По предложению 7.18 подпространство U1-
инвариантно относительно Л* и относительно Л** = Л.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.20. Пусть Л - нормальный
оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве Е. Если
х е Е, то ||Лх|| = ||Л*х||. В частности, если у — собственный
вектор Л с собственным значением X, то у — собственный
вектор Л* с собственным значением X.
Доказательство. Имеем
||Лх||2 = (Ах, Ах) = (я, Л*Лх) = (х,АА*х) = (Л*х, Л*х) = ||Л*х||2.
По J7.8) оператор Л - А? нормален, причем (Л - А?)* =
= Л* -Х?. Следовательно, если Лу = \у, то по доказанному
откуда А*у = Ху.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.21. Пусть Л — нормальный
оператор в двумерном евклидовом пространстве ??, причем
Л не имеет в Е собственных векторов. В ортонормированном
базисе пространства Е матрица А оператора Л имеет вид
-с «)•
Доказательство. Пусть матрица А оператора Л
имеет вид
А--
'¦С 2)-
По предложению 7.17 матрица Л* в том же базисе имеет
вид
461
Сравнивая в матрицах А1 А и 1АА коэффициенты, стоя-
стоящие на местах A,1) и A,2), получаем Ь2 = с2, и ac+bd = ab+cd,
т. е.
6 = ±с, (a-d)(c-ft) = 0. G.9)
Предположим, что 6 = с. Тогда характеристический поли-
полином матрицы А равен t2-(a+d)t+(ad-b2). Его дискриминант
(а + dJ - 4(ad - б2) = (а - dJ + 462 ^ 0.
Следовательно, оператор Л имеет в ? собственный век-
вектор, что противоречит предположению. Итак, Ь = -с и а = d
по G.9).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.22. Пусть U - двумерное под-
подпространство в евклидовом пространстве Е, инвариантное
относительно нормального оператора А. Предположим, что
А не имеет в U собственных векторов. Тогда U инвариантно
относительно А*.
Доказательство. Рассмотрим на подпростран-
подпространстве U ограничение А \ц линейного оператора А. Обозна-
Обозначим p(t) характеристический многочлен ограничения опе-
оператора А\ц. По условию
2
2 ^
В силу теоремы Гамильтона —Кэли р(А \ц) = О, и по-
поэтому U С кегр(Л). По предложению 7.19 подпространство
кегр(Л) инвариантно относительно А*. Поэтому без ограни-
ограничения общности можно считать, что Е = кегр(Л). Положим
Из G.8) вытекает, что
А = у/Ъ - |?, Ъ2 + ? = (В*J + ? = О. G.10)
Таким образом, Ъ является нормальным оператором,
а из G.10) следует, что
(ЪЪ* - ?)СВЯ* + ?) = Ъ2(Ъ*J - ? = О. G.11)
Предположим, что х е Е \ 0, причем ЪЪ*х = -х. Тогда
0 ^ (В*ж, Ъ*х) = {ЪЪ*ху х) = -(я, х) < 0,
462
что невозможно. Следовательно, ker(SB* + ?) = 0, т. е. опе-
оператор ЪЪ* + ? невырожден. Из G.11) следует, что ЪЪ* = ?.
В силу G.10) имеем Ъ = ЪЪЪ* = В2В* = -В*, откуда
что означает инвариантность U относительно Л*.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.23. Пусть Л - нормальный
оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве Е. Если
подпространство U инвариантно относительно Л, то оно ин-
инвариантно и относительно Л*, а С/1* инвариантно относи-
относительно Л.
Доказательство. По теореме 7.10 в U есть одно-
одномерное или двумерное инвариантное подпространство Щ.
Если Щ одномерно, то Uq- инвариантно относительно Л
по предложениям 7.19 — 7.20. Рассмотрим случай евклидова
пространства U с dim Щ = 2. В этом случае Uq- инвариантно
относительно Л по предложениям 7.18 и 7.22. Следователь-
Следовательно, U П Uq- инвариантно относительно Л. Но
и поэтому dim([/ П C/q-) < dim С/. По индукции U П C/q- инва-
инвариантно относительно А*. Отсюда вытекает утверждение.
ТЕОРЕМА 7.13. В эрмитовом пространстве Е для
нормального оператора существует собственный ортонор-
ортонормированный базис. В евклидовом пространстве Е для нор-
нормального оператора существует такой ортонормированный
базис, в котором матрица оператора имеет клеточно-диаго-
клеточно-диагональный вид. Все клетки имеют размер не выше двух, при-
причем клетки размера два имеют вид
(:¦:)¦
Обратно, если в некотором ортонормированном базисе мат-
матрица оператора имеет указанный вид, то оператор норма-
нормален. Все собственные векторы Л с разными собственными
значениями ортогональны.
Доказательство. Если dimE = l} то утверждение
очевидно. Пусть dimE = к > 1 и для пространств размер-
размерности j < к утверждение доказано. По теореме 7.10 в Е
существует одномерное или двумерное инвариантное под-
подпространство U. По предложению 7.23 подпространство U
463
инвариантно относительно Л* и, следовательно, U1 инва-
инвариантно относительно Л. Выберем в U ортонормированный
базис ei, ... , efc, где к < 2. В [/-*- по индукции существует ис-
искомый базис efc+i, ... , еп. Тогда еь ... , еп — искомый базис
Е в силу предложения 7.21.
7.7.2. Самосопряженные, ортогональные и унитарные
операторы
Линейный оператор Л, действующий в евклидовом (эрмито-
(эрмитовом) пространстве Е, самосопряжен (или симметричен), если
А = А*.
Приведем важный пример самосопряженного линейного опе-
оператора. Пусть U — подпространство в евклидовом (эрмитовом)
пространстве Е = U1- 0 U в силу теоремы 7.8. Если х е Е, то
х = у + z, где у е U, z e U-1. Зададим оператор Дв?, пола-
полагая А(х) = у-z. Построенный линейный самосопряженный опе-
оператор называется зеркальным отражением относительно под-
подпространства U (рис. 7.1).
Отметим, что самосопряженный оператор всегда нормален.
Поэтому из теоремы 7.13 и предложения 7.17 следует еще одна
теорема.
ТЕОРЕМА 7.14. Пусть Л — самосопряженный опе-
оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве Е. Тогда в
Е существует собственный ортонормированный базис. Все
собственные значения Л вещественны.
Линейный оператор Q в евклидовом (эрмитовом) простран-
пространстве Е называют ортогональным (унитарным), если ||Qx|| = ||х||
для всех х е Е, т. е. оператор Q сохраняет длины векторов. Это
эквивалентно тому, что Q сохраняет скалярное произведение,
U1
/L
12
I!
Рис. 7.1. Зеркальное отражение
относительно плоскости U
464
т. е. (х, у) = = (Qx, Qy) для всех х,у е Е. Последнее равенство озна-
означает, что Q"*1 = Q*.
ТЕОРЕМА 7.15. Пусть заданы две системы векторов
Xi, ..., хт> 2/1) • • •» 2/т
в евклидовом (эрмитовом) пространстве Е. Тогда эквива-
эквивалентны следующие условия:
1) матрицы Грама G(xi,...,хт) и G(yi,...,ут) равны;
2) существует такой ортогональный (унитарный) опера-
оператор Q в пространстве ?*, что Q(x^) = yi для всех г = 1, ..., т.
Отметим, что каждое зеркальное отражение относительно
подпространства является ортогональным (унитарным) опера-
оператором. Заметим также, что ортогональные и унитарные опера-
операторы нормальны. Из сохранения скалярных произведений выте-
вытекает, что ортогональные операторы сохраняют углы между век-
векторами.
В силу теоремы 7.13 справедлив следующий результат.
ТЕОРЕМА 7.16. Пусть Q — унитарный оператор в
эрмитовом пространстве Е. Тогда в Е существует собствен-
собственный ортонормированный базис. Собственные значения Q по
модулю равны 1.
ТЕОРЕМА 7.17. Пусть Q — ортогональный опера-
оператор в евклидовом пространстве Е. Тогда в Е существу-
существует ортонормированный базис, в котором матрица Q имеет
блочно-диагональный вид, причем размеры блоков не вы-
выше 2. В блоках размера 1 стоят ±1, а блоки размера 2 имеют
вид
/cosa -since \ ( }
4 \ since cosa ) v }
СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть Q — ортогональный опе-
оператор с матрицей Q и определителем det Q = 1 в двумерном
евклидовом пространстве Е. Тогда матрица Q оператора Q
в любом базисе пространства Е имеет вид G.12). Другими
словами, Q действует как оператор поворота на некоторый
угол а.
СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть Q — ортогональный опе-
оператор с матрицей Q и определителем det Q = -1 в двумерном
евклидовом пространстве Е. Тогда существует ортонорми-
ортонормированный базис (еьег), в котором матрица Q оператора Q
имеет вид
465
Q'\n _i • G13)
Другими словами, Q действует как оператор зеркального
отражения относительно оси (ei).
СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть Q — ортогональный опера-
оператор в трехмерном евклидовом пространстве Е. Тогда суще-
существует ортонормированный базис (еье2,ез), в котором мат-
матрица Q оператора Q имеет вид
fdetQ 0 0
О cos a -sin а
О sin а cos а
Другими словами, ось F4) инвариантна относительно Q, и
в перпендикулярной плоскости (ег,ез) осуществляется по-
поворот на угол а. Если detQ = 1, то (ei) — неподвижная ось
этого поворота. Если же detQ = -1, то Q является компози-
композицией поворота на угол а в плоскости (в2,ез) и зеркального
отражения относительно этой плоскости, изменяющего на-
направление
ТЕОРЕМА 7.18 (теорема о полярном pjзлoжeнии).
Пусть Л — произвольный линейный оператор в евклидовом
(эрмитовом) пространстве. Тогда Л = QB, где Q — ортого-
ортогональный (унитарный) оператор, Ъ — самосопряженный опе-
оператор с неотрицательными собственными значениями. При
этом Ъ2 = Л*Л.
ТЕОРЕМА 7.19. Предположим, что Ь(х,у) — били-
билинейная симметричная (полуторалинейная эрмитова) функ-
функция в евклидовом (эрмитовом) пространстве Е. Существует
такой самосопряженный линейный оператор Л, что Ь(х,у) =
= (Ах, у) для всех х, у е Е. В ортонормированном базисе мат-
матрицы билинейной симметричной (полуторалинейной эрми-
эрмитовой) функции 6(х, у) и линейного оператора Л совпадают.
В частности, существует ортонормированный базис, в кото-
котором матрица Ь(х, у) имеет вид
7 0 ...
где А*, ... , Хп — всЬ собственные значения оператора Л.
466
7.8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Пусть в 2т-мерном вещественном (комплексном) простран-
пространстве V задана невырожденная кососимметричная билинейная
функция (х,у) = -(y,z), называемая кососкалярным произведе-
произведением. В этом случае пространство V называется симплектиче-
ским. Линейный оператор А называется симплектическим, если
(Ах.Ау) = (х,у). Каждый симплектический оператор невырож-
невырожден. Множество всех симплектических операторов Sp(V) обра-
образует подгруппу в группе GL(V). Если в V выбран базис из тео-
теоремы 7.7, в котором матрица кососкалярного произведения (х,у)
имеет вид Jq из G.7), то А е Sp(V) тогда и только тогда, когда
матрица A onepgTopa А удовлетворяет уравнению lAFoA = Jq.
Подробнее со свойствами симплектических операторов можно
познакомиться в [46, гл. III, §1.6].
7.9. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ДВИЖЕНИЯ
Аффинным преобразованием Ф вещественного или комплекс-
комплексного векторного пространства V называют отображение Ф : V —»
—» V, имеющее вид Ф(х) = ф(я) + 6, где ф — обратимый линейный
оператор в V и Ь — вектор иЬ V. Заметим, что Ф@) = 6, т. е. век-
вектор Ъ по преобразованию Ф определен однозначно. Кроме того,
ф(х) = Ф(х) - 6, следовательно, и обратимый линейный оператор
ф по Ф определяется однозначно, его называют диЬференциалом
йФ преобразования Ф. Пусть аффинное преобразование Ф имеет
неподвижную точку а. Перенесем начало коордипат в а. Тогда
в новой системе координат преобразование Ф будет действовать
как соответствующий обрагимый линейный оператор с?Ф.
ТЕОРЕМА 7.20. Каждое аффинное преобразование
в конечномерном пространстве V непрерывно и отображает
прямые в прямые. Обратно: любое биективное непрерывное
отображение вещественного пространства V в себя, перево-
переводящее прямые в прямые, является аффинным.
В каждое евклидово (эрмитово) пространство Е cw скаляр-
скалярным произведением (ж, у) вводится расстояние d(x, у) между век-
векторами ж,у как длина ||х-г/|| = \/(х-у,х-у) вектора х-у. Дви-
Движением, или изометрией Ф евклидова (эрмитова) пространства
Е называется отображение Ф : Е —> Е, сохраняющее расстояние
между любыми векторами. Иначе говоря, ||Ф(х)-ФB/)|| = ||#-t/||
для любых х,у € Е.
467
ТЕОРЕМА 7.21. Каждое движение Ф евклидова (эр-
(эрмитова) пространства является аффинным преобразовани-
преобразованием Е, причем его дифференциал с1Ф является ортогональ-
ортогональным оператором. Обратно, каждое аффинное преобразова-
преобразование с ортогональныр дифференциалом является движением
[15, гл.7, §3; 46, гл.4, §3].
2вижение Ф евклидова пространства называют собственным,
если его определитель det(<№) = 1. В противном случае, его на-
называют несобственным. Движение евклидова (эрмитова) про-
пространства вида f(x) = х + 6 называется параллельным переносом,
или сдвигом.
Форму движения евклидова пространства в общем случае
устЬнавливает теорема 2.12 (см. п. 2.3), из которой следуют важ-
важные частные случаи.
ТЕОРЕМА 7.22. Пусть Ф — движение одномерного
евклидова пространства Е. Тогда либо Ф является парал-
параллельным переносом, либо существует такая точка ае Е, что
/(а + ж) = а-ж. В последнем случаем движение Ф осуществ-
осуществляет зеркальное отражение относительно точки о [15, гл. 7,
§3; 46, гл.4, §3].
Из теоремы 6.12 следуют две теоремы.
ТЕОРЕМА 7.23. Пусть Ф — движение двумерного
евклидова пространства Е. Тогда выполняется одно из сле-
следующих условий:
1) Ф является параллельным переносом;
2) Ф является зеркальным отражендем относительно неко-
некоторой прямой, т. е. существует такая ортонормированная си-
система координат (О, ее, ег), что f(x) =x\e\-X2e2 для любого
вектора х = х\е\ + ?2^2 € Е\
3) Ф является композицией зеркального отражения от-
относительно некоторой прямой и параллельного пгреноса на
вектор, лежащий на этой прямой;
4) Ф является ортогональным оператором поворота на
некоторый угол вокруг некоторой неподвижной точки [15,
гл.7, §3; 46, гг.4, §3].
ТЕОРЕМА 7.24. Пусть Ф — движенге трххмерного
евкли?ева пространства Е. Тогда справедливо одно из сле-
следующих утверждений:
1) Ф явлеется параллельным перенЬсом;
2) Ф является зеркальным отражением относительно неко-
некоторой плоскости, т. е. существует такая ортонормированная
468
система координат (О, ei, 62, ез), что Ф(х) =xiei
для любого вектора х = х$е\ + ?2^2 + хз^з G ?;
3) Ф является композицией зеркального отражения отно-
относительно некоторой плоскости и параллельного переноса на
вектор из этой плоскости;
4) Ф является ортогональным оператором поворота на
некоторый угол вокруг некоторой неподвижной прямой;
5) Ф является винтовым движением, т.е. композицией
действия ортогонального оператора поворота вокруг неко-
некоторой прямой в перпендикулярной к ней плоскости и парал-
параллельного переноса на вектор, лежащий на этой прямой;
9) Ф является композицией повор\ута на угол вокруг неко-
некоторой прямой в перпендикулярной ей плоскости и зеркаль-
зеркального отражения относительно этой плоскости [14, гл. 7, § 3;
96, гл.4, §3].
7.10. ДУАЛЬНОЕ (ДВОЙСТВЕННОЕ)
ПРОСТРАНСТВО
Если V — конечномерное вещественное (комплексное) вектор-
векторное пространство, то вещественную (комплексную) функцию /
на V называют линейным функционалом, если /(ах+ру) = а/(х)+
Р/(у) для всех векторов х,уи всех чисел а, Р € R(C). Множество
V* всех линейных функционалов на V является векторным про-
пространством, если для /, д € V*, чисел а, Р е R(C) и векторов х е V
положить (af+$g)(x) = а/(х)+Р^(х). Пространство V* называется
дуальным (двойственным).
ТЕОРЕМА 7.25. Пусть пространство V имеет конеч-
конечную разс1ерность п и si, ... , еп — его базис. Тогда базис V*
образуют функционалы е1, ... , еп, где е*'(е$) = 8у — символ
Кронекера.
В частности, dimV* =dimV.
Базис е1, ... , еп j дуальном пространстве V*, указанный в
этой теореме, называется дуальным к базису ei, ... , еп простран-
пространства V. Имеется естественно1 отождествление V и V** = (У*)*,
при котором каждый вектор х е V отождествляется с линейным
функционалом на V*, который на функционале / € V* принима-
принимает значение x(f) = /(х).
Каждое линейное отображение / : V -> W индуцирует ли-
линейное отображение /* : W* —> У* дуальных пространств, кото-
которое задается по следующему правилу. Если / е W* и х ? V, то
[/*(*)] (*) = *(/(*)).
469
Предположим, что Е — пространство с билинейной симмет-
симметричной или полуторалинейной эрмитовой функцией Ъ{х,у), при-
причем матрица Грама функции /(х, у) невырождена. Зафиксируем
произвольный элемент у е Е. Тогда отображение, переводящее
вектор х ? Е в число Ь(х,у), является линейным функционалом.
Элемент у е Е можно отождествить с этим функционалом и по-
показать, что это отождествление задает изоморфизм линейных
пространств Е и Е*.
Этот изоморфизм можно связать с взаимными базисами.
Пусть е = (еь ..., еп) — произвольный базис в Е, и е' = (е1, ...,
еп) — взаимный базис в Е, т. е. Ь(е{, е^) = 8^, для всех i,j, где 5^ —
символ Кронекера. Пусть в Е взяты два вектора х = x\ei+- • -+xnen
и у = у\е1 + • • • + упеп. Тогда
Ь(х, у) = Х12/Г+ • • - + XniM' G.15)
Таким образом, вектору у соответствует линейный функцио-
функционал.
7.11. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ТЕНЗОРЫ
Предположим, что V\,...,Vm — вещественные (комплекс-
(комплексные) векторные пространства. Выберем в каждом пространстве
Vi, 1 ^ г ^ т базис ец, ... , ег^., где d{ = dim V^. Рассмотрим век-
векторное пространство, базис которого составляют всевозможные
векторы
для всевозможных индексов ji, ... , jm, где 1 ^ j\ ^ di, ... ,
1 ^ Зт ^ dm. Это векторное пространство называется тен-
тензорным произведением пространств Vi, ... , Vm и обозначается
V\ 0 • • • 0 Vm. Если в каждом пространстве V% выбран вектор
то положим
JU-jm
ДЛЯ ЛЮ60Г0 5 = 1,. . . , Ш И ЛЮбыХ ВеКТОрОВ Х\, . . . , Z;, x\, Xi+
... , хт из соответствующих пространств и любых чисел a,
справедливы следующие свойства полилинейности:
• • • 0 хг-_1 0 ^ 0 Xi+i 0 • • • 0 хт) +
Р (xi 0 • • • 0 Жг_1 0^0 Xi+i 0 • • • 0 Жт) .
470
Отсюда вытекает, что если в каждом пространстве V^ 1 ^ г < га,
базис eriv ... , е'{ d., где ф = diml^, to все векторы
также образуют базис в тензорном произведении пространств
Vi<g>- • -<8>14п- Таким образом, построение тензорного произведения
Vi ® • • • ® Vm не зависит от выбора базиса.
ТЕОРЕМА 7.26. Пусть Vi, ... , Vm — конечномер-
конечномерные векторные пространства. Тогда дуальное пространство
(Vi ®• • -фУт)* отождествляется с тензорным произведением
Vi*®- • -®Vm дуальных пространств. Это отождествление осу-
осуществляется следующим способом. Если /i € VJ", ... , /m € V^
И xi € Vi, ... ,Xm € Vm, TO
(/l ® • • • ® /m)(a?i ® • • • ® Xm) = /i(xi) • • • fm{xm).
Таким образом, VJ"®—<8>V^ является пространством всех
полилинейных функций
/(xi, ... , xm), Xi € l^, г = 1, ... , m.
Предположим, что задан набор линейных отображений
Тогда определено линейное отображение
/l ® • • • ® fn : Vi (8) • • • ® Vn -> Wi ®
при котором
(Л ® •
для всех xi € Vi, ... , хп е Vn.
Рассмотрим конечномерное векторное пространство V и тен-
тензорное произведение
Элементы из W называют тензорами валентности (p,q), или
тензорами р раз ковариантными и q раз контравариантными.
При д = 0 тензоры называют ковариантными, а при р = 0 — кон-
контравариантными. В силу теоремы 7.25 пространство W можно
отождествить с пространством полилинейных функций от р + q
All
аргументов [46, гл. 6], где первые р аргументы — векторы из V,
а последние q аргументов — функционалы из V*.
Выберем в пространстве V базис е = (еь..., еп), а в простран-
пространстве V* — дуальный базис е* = (в1,..., еп). Тогда элементы
еч ® • • • <g) elp ® ejx ® • • • ® ejq
составляют базис W. В частности, если w e W, то
Набор коэффициентов t^b"f9 называется координатами тен-
тензора w в базисе е. В частности, тензоры ранга п в трехмерном ев-
евклидовом пространстве, рассмотренные в главах 4 и 5, являются
п раз ковариантными и состоят из Зп координат (тензоры 2-го
ранга, представимые в виде произведения двух векторов х ® у —
из З2 = 9 координат). Дважды ковариантные (Гар = Аа ® Sp) и
дважды контравариантные (ГаР = Ва® В^) тензоры 2-го ранга в
пространстве Минковского МA,3) можно представить произве-
произведениями соответствующих 4-векторов.
ТЕОРЕМА 7.27. Пусть (у4и"$р)' набоР координат
тензора w в новом базисе е' = еС пространства в V с матри-
матрицей перехода С = (qj = с^), т. е.
Положим S = С = (ft?), тогда
В подразд. 4.4 в связи с рассмотрением примеров алгебр для
любого векторного пространства V введены пространства Sm(V*)
и AmV*. Элементы Sm(V*) называются симметрическими тензо-
тензорами, а элементы из /\mV* — кососимметрическими тензорами.
Если задана положительно определенная квадратичная функ-
функция д(х,у) на вещественном пространстве V с базисом е = (ei,...,
еп), то элементы матрицы Грама gij = g(ei,ej) являются коор-
координатами симметрического тензора валентности 2. Этот тензор
называется метрическим. Так, символу Кронекера 8у отвечает
метрический тензор в произвольном евклидовом пространстве,
472
а элементы матрицы д^из подразд. 5.1.2 задают метрический
тензор в четырехмерном вещественном пространстве Минков-
Минковского МA,3).
Примером кососимметрического тензора является символ Ле-
Леей— Чивита [21, гл.51. В пространстве Минковского МA,3) он
имеет координаты 8*^, где 0 ^ M,fc,Z ^ 3, причем Ъ^к1 = 0, если
среди индексов есть совпадения. Если все индексы ij,k,l раз-
разные, то 5^kl — знак перестановки
[О 1 2 3\
V* з к I)'
В евклидовом трехмерном пространстве
[1 при (у*) = A23), B31), C12),
8ijk = I -1 при (ijk) = A32), C21), B13),
I 0 во всех остальных случаях.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблицы характеров групп перестановок Sn
(п = 2... 7; т — число элементов в классе)
[2]
[1]
(I2)
m
1
1
1
B)
1
1
i
И
[21]
[13]
(I3)
1
1
2
1
A2)
т
3
1
0
-1
C)
2
1
-1
1
[4]
[31]
[22]
[212]
[14]
(I4)
1
1
3
2
3
1
A22)
6
1
1
0
-1
-1
A3)
т
8
1
0
-1
0
1
B2)
3
1
-1
2
-1
1
D)
6
1
-1
0
1
-1
474
[5]
[41]
[32]
[312]
[221]
[213]
[I5]
(I5)
1
1
4
5
6
5
4
1
A32)
10
1
2
1
0
-1
-2
-1
A23)
20
1
1
-1
0
-1
1
1
A22)
га
15
1
0
1
-2
1
0
1
A4)
30
1
0
-1
0
1
0
-1
B3)
20
1
-1
1
0
-1
1
-1
E)
24
1
-1
0
1
0
-1
1
Se
[6]
[51]
[42]
[412]
[з2]
[321]
[23]
[313]
[2212]
[214]
И
(I6)
1
1
5
9
10
5
16
5
10
9
5
1
A42)
15
1
3
3
2
1
0
i-H
-2
-3
-3
-1
A33)
40
1
2
0
1
-1
-2
-1
1
0
2
1
A222)
45
1
1
1
-2
1
0
1
-2
1
1
I—»
A24)
90
1
1
-1
0
-1
0
1
0
1
-1
—1
A23)
m
120
1
0
0
-1
1
0
1
0
0
-1
A5)
144
1
0
-1
0
0
1
0
0
-1
0
1
B3)
15
1
—1
3
-2
-3
0
3
2
-3
1
-1
B4)
90
1
-1
1
0
-1
0
-1
0
1
-1
1
C2)
40
1
-1
0
1
2
-2
2
1
0
-1
1
F)
120
1
-1
0
1
0
0
0
-1
0
1
-1
475
СО
CM
со4
CM
A6)
со
гЧ
A24)
со
см
т-Н
ю4
т-Н
со4
см
гЧ
со
тЧ
см
со
т-Н
со4
т-Н
см4
т-4
тЧ
:0 720
см
504
о
тЧ
СМ
840
280
630
т-Н
6
504
420
о
тЧ
СМ
105
о
т-Н
СМ
тЧ
*
. тЧ
^ 1
'"' 1
^ т
, тЧ
'"' 1
гЧ О
тЧ О
тЧ О
тЧ О
тЧ т—1
тЧ СМ
гЧ СМ
тЧ СО
..
тЧ CD
Eg
О
гЧ
СМ
тЧ
тЧ
О
см
гЧ
1
О
, см
см
CD
гЧ
[52]
тЧ
О
тЧ
1
О
О
тЧ
1
«
о
1
тЧ
тЧ
СО
Ю
ю
тЧ
т-Н
Ю.
О
тЧ
т-Н
1
О
СМ
о
о
тЧ
СМ
см
т-Н
1
тЧ
со4
О
1
О
тЧ
1
тЧ
тЧ
тЧ
тЧ
О
1
т-Н
I
тЧ
тЧ
Ю
3
421]
о
1
тЧ
тЧ
О
О
тЧ
СО
тЧ
т-Н
1
тЧ
тЧ
тЧ
СМ
т—1
т-Н
о
см
о
см
о
о
о
о
т
см
о
о
см
со
тЧ
о
тЧ
тЧ
о
о
тЧ
1
со
т-Н
1
гЧ
тЧ
?
тЧ
тЧ
СМ
см
со
о
о
тЧ
тЧ
тЧ
тЧ
о
тЧ
тЧ
т-Н
1
ю
ю
со
тЧ
о
1
тЧ
о
см
о
о
тЧ
1
СМ
см
тЧ
1
1
тЧ
тЧ
СО
СМ
тЧ
1
О
о
о
тЧ
1
СО
о
т-Н
1
тЧ
со
?
ю
тЧ
т-Н
СО
О
тЧ
1
тЧ
тЧ
1
О
СМ
тЧ
о
см
см
CD
тЧ
со
тЧ
?1
тЧ
т-Н
О
О
О
О
т-Н
СМ
см
со
т
CD
т-Н
СМ.
гЧ
1
т-Н
1
гЧ
тЧ
тЧ
гЧ
1
т-Н
1
т-Н
1
тЧ
т-Н
гЧ
1
гЧ
тЧ
476
Пр иложение 2
Таблицы характеров конечных точечных групп*
A
e
1
c2
A
В
e
1
1
c2
1
-1
z\ R
x; у; Лж
/нп
;Ry
22жг/
yz
А
Г(со)
Г(@*)
(Е)
е
1
1
1
2
Сз
1
со
со*
-1
сз
1
со*
со
-1
х = гу;
x-iy]
(я; у);
Rx + iRy
(Rx,Ry)
/нп
д.2. 2.J1.X
(x2-y2,xy);(xz,yz)
Примечание. 0) = ехрBя/3), ОJ = (О*.
в
Г(со)
Г((о*)
(Я)
е
1
1
1
1
2
4
1
-1
-г
г
0
1
1
-1
-1
-2
с|
1
-1
г
-г
0
/нп
—
х + iy\ Rx + г Ду
х - iy; Rx - г Ry
(x,y))(Rx,Ry)
x2 + y2\z2
9 9
xz-yz\xy
—
—
(yz,xz)
Комплексные неприводимые представления обозначены символами характера
Г(о>) или <о с обычными индексами; двумерные и другие представления Г(а>)+Г(а>*)
приведены в нижней части таблицы.
477
Съ
А
0I
0)*
«2
«5
{Ei)
(Е2)
е
1
1
1
1
1
2
2
d'>
1
СО
со*
со2
со2*
2 cosB7c/5)
-2cos(rc/5)
cl
1
СО2
со2*
со*
со
-2 cos(rc/5)
2 cosB7i/5)
cl
i
ОJ*
ОJ
0)
со*
-2 cos(ti/5)
2 cosBrt/5)
ci
1
CO*
CO
CO2*
CO2
2 cosB7i/5)
-2 cosGc/5)
/нп
a: + гг/; Rx + г Лу
x - гг/; Лх - гЯу
*2 + у2;г2
Примечание. 0) = ехрBяг/5).
с6
А
В
@1
©1
@2
0J
V 1 )
( "*jt\)
е
1
1
1
1
1
1
2
2
1
-1
со
со*
-со*
-со
1
-1
С| = С3
1
1
-со*
-со
-со
-со*
-1
-1
с? = с2
1
-1
-1
-1
1
1
-2
2
/°4 — П^
О о
1
1
-со
-со*
-СО*
-СО
-1
-1
С\
1
-1
со*
со
-со
-со*
1
-1
/нп
z\Rz
x + iy;Rx + iRy
х - iy\ Rx - iRy
(x,y);(Rx,Ry)
x2 + y2;z2
(xz, yz)
(x2-y2,xy)
Примечание. @ = ехр(яг/3).
Ci
Ад
Аи
е г
1 1
1 -1
/нп
Rx\Ry\Rz
x;y;z
x2\y2;z2\xy\xz\yz
54
А
В
со
СО*
(Е)
е
1
1
1
1
2
54
1
-1
г
-г
0
с2
1
1
-1
-1
-2
S?
1
-1
-г
г
0
/нп
Я*
z
x + iy
x-iy
(x^iR^Ry)
x2+y2\z2
x2-y2;xy
(xz, yz)
s6
A9
Au
(Од
@u
<
e
1
1
1
1
1
1
2
2
C3
1
1
0)
CO*
CO
CO*
-1
-1
1
1
CO*
CO
CO*
CO
-1
-1
i
1
-1
1
1
-1
-1
2
-2
l
-l
CO
0)*
-0)
-co*
1
Se
1
-1
0)*
CO
-co*
-co
-1
1
/нп
z
x + iy
x-iy
(Rx,Ry)
(*>y)
*W;z2
(x2,yz);(x2-2/2,zy)
Примечание. со = ехрBяг/3).
s&
A
В
COi
0)*
0J
«5
СОз
0K
( 1 )
\ *2. i
\ *jt\ i
e
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
Ss
1
-1
CO
CO7
г
-г
ОK
ОM
\/2
0
-\/2
с4
1
1
г
-г
-1
-1
-г
г
0
-2
0
1
-1
ОK
ОM
-г
г
со
со7
-л/5
0
л/5
с2
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-2
2
-2
1
-1
ОM
со3
г
-г
со7
со
-л/5
0
л/5
1
1
—г
г
-1
-1
г
-г
0
-2
0
58
1
-1
СО7
со
-г
г
ОM
ОK
л/2
0
-л/5
/нп
Rz
Z
x + iy
x-iy
(x,y);(Rx,Ry)
x2 + y2;z2
(x2-y2,xy)
(yz, zx)
Примечание, й) = ехр(яг/4).
479
Ад
Au
Щд
0I„
<°1„
(О2д
<»%
<°2«
(Elg)
(Еы)
(Е2д)
(Е2и)
е
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
Съ
1
1
0)
0)*
0)
0)*
ОJ
ОJ*
ОJ
ОJ*
2 cos a
2 cos а
2cosBcc)
2cosBa)
cl
1
1
ОJ
ОJ*
ОJ
ОJ*
0)*
0)
0)*
0)
2 cosBa)
2cosBa)
2 cos a
2 cos a
cl
1
1
OJ*
OJ
OJ*
OJ
0)
0)*
0)
0)*
2 cosBa)
2 cosBa)
2 cos a
2 cos a
ci
1
1
0)*
0)
0)*
0)
0J*
OJ
(О2*
CD2
2 cos a
2 cos a
2 cosBa)
2 cosBa)
i
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
2
-2
2
-2
o7
^10
1
-1
0)
0)*
-0)
-0)*
ОJ
0J*
-CO2
-(О2*
2 cos a
-2 cos a
2cosBa)
-2cosBa)
c9
1
-1
OJ
0J*
-ОJ
-OJ*
0)*
0)
-0)*
-@
2 cosBa)
-2 cosBa)
2 cos a
-2 cos a
1
-1
0J*
OJ
-0J*
-0J
0)
0)*
-0)
-Ю*
2cosBa)
-2 cosBa)
2 cos a
-2 cos a
o3
1
-1
0)*
0)
-0)*
-0)
0J*
0J
-0J*
-CD2
2 cos a
-2 cos a
2 cosBa)
-2 cosBa)
/нп
Rz
z
(Rx,Ry)
z2
Примечание. 0) = ехрBяг/5).
Si2
A
В
0I
0)|
0J
<*2
0K
0)*
0L
0)*
0M
«8
(Si)
(Я2)
(Яз)
(EA)
(E5)
e
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
5l2
1
-1
0)
0)*
0J
OJ*
-i
г
-ОJ*
-CO2
-CO*
-0)
%/3
1
0
-1
-x/3
c6
1
1
ОJ
ОJ*
-CO2*
-ОJ
-1
-1
-OJ
-OJ*
OJ*
ОJ
1
-2
2
-1
1
Sa
1
-1
-г
г
-1
-1
г
-г
1
1
-г
г
0
-2
0
2
0
1
1
-ОJ*
-ОJ
ОJ
ОJ*
1
1
-ОJ*
-ОJ
-ОJ
-ОJ*
-1
1
2
_i
-1
^12
1
-1
-0)*
-0)
-ОJ*
-ОJ
-г
г
-о2
-ОJ*
0)
0)*
-л/3
-1
0
-1
ч/З
с2
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-2
2
-2
2
-2
с7
^12
1
-1
-0)
-0)*
-ОJ*
-ОJ
г
-г
-ОJ*
-ОJ
(О*
0)
-л/3
-1
0
-1
cl
1
1
-ОJ
-ОJ*
ОJ*
ОJ
1
1
-ОJ
-ОJ*
-ОJ*
-ОJ
-1
1
2
-1
-1
s\
1
-1
г
-г
-1
-1
-г
г
1
1
г
-г
0
-2
0
2
0
cf
1
1
ОJ*
ОJ
ОJ
ОJ*
-1
-1
-ОJ*
-ОJ
ОJ
ОJ*
1
1
-2
-1
1
qll
^12
1
-1
0)*
0)
ОJ*
ОJ
г
-г
-ОJ
-ОJ*
-0)
-Ш*
л/3
1
0
-1
-л/3
/нп
Z
x + iy
x-iy
(x^iR^Ry)
х2 + у2
Примечание. ю = ехр(гя/6).
00
Cih
M
A"
e ch
1 1
1 -1
/нп
я; у; Rz
z\ Rx\Ry
x2\y2\z2\xy
xz\yz
C2h
Ад
Вд
Аи
Ви
е
1
1
1
1
с2
1
-1
1
-1
г
1
1
-1
-1
ал
1
-1
-1
1
Rz
Rx] Ry
z
x\y
fun
x2-v2-
yz\
z2\xy
xz
C3h
A'
A"
со'
CO'*
CO"
CO"*
(?')
(E")
e
1
1
1
1
1
1
2
2
C3
1
1
0)
@*
0)
@*
-1
-1
r2
°3
1
1
CD*
0)
@*
0)
-1
-1
Oh
1
-1
1
1
-1
-1
2
-2
53
1
-1
0)
G>*
-0)
-0)*
-1
1
si
1
-1
G>*
0)
-co*
-co
-1
1
/нп
Rz
z
х + гу
ж-гу
Ях + iRy
Rx ~~ iRy
(x,y)
(Rx,Ry)
x* + y2;z2
(x2-j/2,xy)
(xz,yz)
Примечание, со = ехрBяг/3), СО2 = CO*.
Сан
Ад
Вд
Аи
Ви
%
со„
<
{Eg)
(Ей)
е
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
-1
1
-1
i
—i
i
—i
0
0
c2
1
1
1
1
-1
-1
-1
i-H
-2
-2
cl
1
-1
1
-1
-z
z
—z
z
0
0
z
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
2
-2
5|
1
-1
-1
1
z
-z
—z
z
0
0
<*h
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-2
2
54
1
-1
-1
1
-z
z
z
-z
0
0
/нп
я*
z
Rx + iRy
Rx-iRy
rc + zy
x-zy
(i?x,i?y)
9 9
xz-yz;xy
(xz,yz)
482
C5h
A1
A"
«i
<
0)f
«eg
да
D)
да
e
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
Съ
1
1
0)
0)*
0)
0)*
ОJ
ОJ*
ОJ
ОJ*
2 cos a
2 cos a
2 cosBa)
2cosBa)
cl
1
1
ОJ
OJ*
CO2
OJ*
0)*
0)
0)*
0)
2cosBa)
2cosBa)
2 cos a
2 cos a
cl
1
1
OJ*
OJ
OJ*
OJ
0)
0)*
0)
0)*
2 cosBa)
2 cosBa)
2 cos a
2 cos a
ci
1
1
0)*
0)
0)*
0)
0J*
0J
0J*
0J
2 cos a
2 cos a
2 cosBa)
2cosBa)
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
2
-2
2
-2
55
1
-1
0)
0)*
-0)
-0)*
0J
0J*
-0J
-CO2*
2 cos a
-2 cos a
2cosBa)
-2cosBa)
bb
1
-1
0J
0J*
-OJ
-0J*
0)*
0)
-co*
-0)
2cosBa)
-2cosBa)
2 cos a
-2 cos a
o3
^5
1
-1
0J*
0J
-0J*
-0J
0)
CO*
-co
-co*
2 cosBa)
-2cosBa)
2 cos a
-2 cos a
^5
1
-1
CO*
0)
-co*
-0)
0J*
0J
-co2*
-co2
2 cos a
-2 cos a
2 cosBa)
-2cosBa)
/нп
z
x + iy
x-iy
(x,y)
(Rx,Ry)
x2 + y2
(xz,yz)
{x2-y2,xy)
Примечание, a) = ехрBяг/5).
Сш
Ад
Вд
Аи
Ви
OIS
«5.
®2д
^u
(^1р)
(?2<;)
№«)
(S2u)
е
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
с6
1
-1
1
-1
со
со5
со2
со4
со
со5
со2
со4
1
-1
1
-1
С3
1
1
1
1
со2
со4
со4
со2
со2
со4
со4
со2
-1
-1
-1
-1
с2
1
-1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-2
2
-2
2
cl
1
1
1
1
со4
со2
со2
со4
со4
со2
со2
со4
-1
-1
-1
-1
cl
1
-1
1
-1
со5
со
со4
со2
со5
со
со4
со2
1
-1
1
-1
г
1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
2
2
-2
-2
si
1
-1
-1
1
со
со5
со2
со4
со5
со
со4
со2
1
-1
-1
1
si
1
1
-1
-1
ОJ
ОL
ОL
ОJ
ОL
ОJ
ОJ
ОL
1
1
1
1
°h
1
1
-1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-2
2
2
-2
SQ
1
1
-1
-1
со4
со2
со2
со4
со2
со4
со4
со2
-1
-1
1
1
Ss
1
-1
-1
1
со5
со
со4
со2
со
со5
со2
со4
1
-1
-1
1
/нп
Rz
Z
Rx + iRy
Itx ~~ *jf^/
x + iy
x-iy
(Rx,Ry)
fay)
9 9 9
x2 + y2;z2
(xz, yz)
{x2-y2,xy)
Примечание, ш = ехр(яг/3).
D2
A
B2
Bz
e C{2Z) C^] C$]
1111
11 -1-1
1-1 1 -1
1-1-1 1
/нп
x;Rz
x;Rx
xy
xz
Ai
A2
E
e
1
1
2
2C3
1
1
-1
3C2
1
-1
0
z\Rz
\. (ТУ . О \
/нп
z2+y2;22
(z2-y2,zy);(a;z,yz)
D4
A\
A2
Bi
B2
E
e
1
1
1
1
2
4
1
1
-1
-1
0
1 1
1 -1
1 1
1 i
JL X
-2 0
Щ
1
-1
-1
1
0
/нп
(»,у);(Яв;Лу)
X2+y2;z2
x2-y2
xy
(xz,yz)
Ax
A2
Ex
E2
e
1
1
2
2
2C5
1
1
2 cos a
2 cos Ba)
2C2
T—i
1
2cosBa)
2 cos a
5C2
1
-1
0
0
z;Rz
(x,y);{Rx;
for
Ry)
I
x2 + y2;z2
(xz,yz)
(x2-y2,xy)
Примечание, a = 2я/5.
Ax
A2
no
Ei
E2
e
1
1
1
1
2
2
2C6
1
1
-1
T-i
1
T-i
2C3
1
1
1
1
T-i
T-i
1
1
-1
-1
-2
2
3C?
1
-1
1
-1
0
0
3C2'
1
-1
-1
1
0
0
/нп
z;Rz
(x,y);(Rx,Ry)
x2 + y2;z2
(xz,yz)
(x2-y2)Xj/)
485
C2v
Ax
A2
Bx
B2
e
1
1
1
1
C{2Z)
1
1
-1
-1
<*ixz)
1
-1
1
-1
a(yz)
1
-1
-1
1
z
Rz
x,Ry
y\Rx
/нп
x2;
xy
xz
yz
Ctv
Ai
A2
E
e
1
1
2
2C3
1
1
-1
1
-1
0
/нп
z
RZ
(а,у);(Д*;Яу)
x2 +y2; z2
(z2-y2,:n/);(:r2,i/z)
c4v
A2
Bi
B2
E
e
1
1
1
1
2
2C4
1
1
-1
-1
0
cr
l
l
l
l
-2
2av
1
i
i
-i
0
2arf
1
-1
-1
1
0
/нп
z
Rz
(x,y);(Rx;Ry)
x2+y2\z2
x2-y2
xy
(xz,yz)
Cbv
Ai
A2
Ei
E2
e
1
1
2
2
2C5
1
1
2 cos a
2 cosBa)
2Cf
1
1
2 cosBa)
2 cos a
1
-1
0
0
/нг
z
Rz
\X) У)\ \-кьх) *vy)
i
х2+у2;г2
(xz,yz)
(x2-y2,xy)
Примечание, a = 27t/5.
Ai
A2
Bi
B2
Ei
E2
e
1
1
1
1
2
2
2C6
1
1
-1
-1
1
-1
2C3
1
1
1
1
-1
-1
'*?
1
1
-1
-1
-2
2
3av
1
-1
1
-1
0
0
3ad
1
i—i
-1
1
0
0
/нп
z
Rz
(x,y);(Rx,Ry)
x2 + y2\z2
(xz,yz)
(x2-y2,xy)
486
D2d
Ai
A2
Bi
B2
E
e
1
1
1
1
2
2S4
1
1
-1
-1
0
cBz)
1
1
1
1
-2
2C'2
1
-1
1
-1
0
1
-1
-1
1
0
Rz
z
/нп
^Ry)
x2 + y2;z2
x2-y2
xy
(xz,yz)
DZd
Alg
A2g
Л2и
Eg
Eu
e
1
1
1
2
2
2C3
1
1
1
-1
-1
3C2
1
-1
1
0
0
i
1
1
i—i г-
2
-2
256
1
1
-1
-1
1
3ad
1
-1
-1
i
i
0
0
/нп
Rz
Z
(Rx,Ry)
(x,y)
x2+y2;z2
(x2-y2,xy);(xz,yz)
D4d
Ai
A2
П1
rig
?2
^3
e
1
1
1
1
2
2
2
258
1
1
-1
-1
V2
0
-%/2
2C4
1
1
1
1
0
-2
0
25|
1
1
-1
-1
0
%/2
1
1
1
1
-2
2
-2
4C?
1
-1
1
-1
0
0
0
4ad
1
-1
-1
1
0
0
0
/нп
Rz
z
(x,y)
(Rx,Ry)
x2+y2;z2
(x2-y2,xy)
(xz,yz)
487
Dbd
A\g
A2g
Alu
A2u
Elg
E2g
Бы
E2u
e
1
1
1
1
2
2
2
2
2C5
1
1
1
1
2 cos a
2cosBa)
2 cos a
2cosBa)
2C2
1
1
1
1
2cosBa)
2 cos a
2cosBa)
2 cos a
bC2
1
-1
1
-1
0
0
0
0
i
1
1
-1
-1
2
2
-2
-2
25?0
1
1
-1
-1
2 cos a
2 cosBa)
-2 cos a
-2cosBa)
2S10
1
1
-1
-1
2cosBa)
2 cos a
-2 cosBa)
-2 cos a
5ad
1
-1
-1
1
0
0
0
0
Rz
z
(Rx,Ry)
fay)
fan
x2 + y2;z2
(xy,yz)
(x2-y2,xy)
Примечание, a = 2я/5.
Ai
A2
Bi
B2
Ei
E2
E$
E4
Еь
e
1
1
1
1
2
2
2
2
2
25i2
1
1
-1
i
x/3
1
0
-1
-V3
2C6
1
1
1
1
1
-1
-2
-1
1
2S4
1
1
-1
-1
0
-2
0
2
0
2C3
1
1
1
1
-1
-1
2
-1
-1
25f2
1
1
-1
-1
-x/3
1
0
-1
л/3
1
1
1
1
-2
2
-2
2
-2
1
T-l
1
-1
0
0
0
0
0
6ad
1
-1
-1
1
0
0
0
0
0
/нп
Rz
z
(x,y)
(Rx,Ry)
x2+y2;z2
(x2-y2,xy)
(xz,yz)
Агл
Ад
Big
В2д
Вгд
Л
Ли
В\и
В2и
Взи
е
1
1
1
1
1
1
1
1
С/о
1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
°2
1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
С/О
1
~1
-1
1
-1
1
г
1
1
1
1
-1
-1
-1
оху
1
1
-1
-1
1
1
<*xz
1
-1
1
-1
1
-1
1
Gyz
1
-1
-1
1
1
1
-1
/нп
Rz
Щ
Rx
z
У
X
X2\y2\Z2
xy
xz
yz
D3h
A[
A2
A-i
A2
E'
E"
e
1
1
1
1
2
2
24*
1
1
1
1
-1
-1
3C2
1
-1
1
-1
0
0
1
1
-1
-1
2
-2
253
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
/нп
Rz
z
(x,y)
(Rx,Ry)
x2 + y2;z2;z2
(x2-y2,xy)
(xz,yz)
Alg
A2g
Big
B2g
Aiu
A2u
Вы
B2u
Eg
Eu
e
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2C4
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
0
0
c{2z)
1
1
1
1
1
1
1
1
-2
-2
2C'2
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
0
0
2C»
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
i
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
2
-2
254
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
0
0
°h
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-2
2
2av
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
0
0
2cd
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
0
0
/нп
Rz
z
(Rx,Ry)
(*,v)
x*-y*
xy
(yz, zx)
489
8
Dbh
А[
А!2
А>{
К
Е[
Е'2
Е'{
Е'1
е
1
1
1
1
2
2
2
2
2С5
1
1
1
1
2 cos a
2 cosBcc)
2 cos а
2 cosBcc)
2Cg
1
1
1
1
2 cosBa)
2 cos a
2 cosBa)
2 cos a
5C2
1
-1
1
-1
0
0
0
0
*h
1
1
-1
-1
2
2
-2
-2
255
1
1
-1
-1
2 cos a
2cosBa)
-2 cosa
-2cosBa)
Щ
1
1
-1
-1
2 cosBa)
2 cos a
-2 cosBa)
-2 cosa
1
-1
-1
1
0
0
0
0
/нп
Rz
z
(Rx,Ry)
x2 + y2;z2
{x2-y2yxy)
(xy,yz)
Примечание, а = 2я/5.
i
см
со
а
со
я
с?
см
см
с?
н
гЧ
*
1
1
1
1
гЧ
1
1
1
с»
тН
^ 1
1 1
1 1
1 ^
1 ^
ел ;
н
1
1
1
1
1
з
1
1-Н
1
1
1
1
гЧ
1
1
1—\
|
О
О
1
1
см
о
о
1
1—\
1
см
ИЗ
н
1
о
о
см
1
1
см
о
о
см
т—1
1
1
см
J
о
см
см
1
о
о
см
1
1-Н
1
т-Н
см
о
о
см
1
см
о
о
см
1-Н
1
1-Н
1
см
г
А
Г(со)
Г(со*)
Т
(Е)
е
1
1
1
3
2
4С3
1
со
(D*
0
-1
4С|
1
(D*
СО
0
-1
ЗС2
1
1
1
-1
2
/нп
(х,у,2);(Аг,Яу,Яг)
г2=х2+у2+х2
(ХУ,Х2Г,У2Г)
(*2-у2,3*2-г2)
Примечание. (О = ехрBлг/3).
Th
Ад
Аи
со;
со„
со*
Ти
\ ч)
V U/
е 4С3 4С| ЗС2 г 4S6 4S| 3ad
11111111
11 1 1-1-1-1-1
1 (D (D* 1 1 @ (D* 1
1 (D* (D 1 1 CD* CD 1
1 @ (D* 1-1-0) -CO* -1
1 CO* CO 1-1 -CO* -CO -1
3 0 0-130 0-1
3 0 0-1-3 0 0 1
2-1-1 2 2-1-1 2
2-1-12-21 1-2
/нп
(я, У, *)
(xy,xz,yz)
(х'-^-гЧ
Примечание. (О = ехрBяг/3).
^2
E
Тх
т2
e
1
1
2
3
3
8C3
1
1
i—l
0
0
зс2
1
1—1
2
-1
i—l
654
i—l
i—l
0
1
-1
6ad
1
i—l
0
i—l
1
/нп
(Rx,Ry,Rz)
{x,y,z)
r2=x2+y2 + z2
(x2-j/2,3z2-r2)
(xy,xz,yz)
0
Ax
A2
E
Tx
T2
e
1
1
2
3
3
8C3
1
1
-1
0
0
3C2
1
1
2
-1
-1
6C4
1
-1
0
1
-1
6C2
1
-1
0
i—l
1
1
/нп
(х,у,2);(Ях,Яу,Яг)
Г2=Х2+у2 + 22
//y*2 л.2 Qy2 «r»2\
lit (/ « O<6 7 J
(xy,xz,yz)
492
/нп
s
$
со
СО
00
.-
со
с?
ся
ся
ся
II
ся
т—1
т—1
гЧ
т-Н
т-Н
т-Н
т-Н
т-Н
гЧ
гЧ
т-Н
т-Н
гЧ
т-Н
1
тН
т-Н
1
гЧ
гЧ
т-Н
гЧ
т-Н
т-Н
гЧ
тН
т-Н
т-Н
1
т-Н
т-Н
т-Н
гЧ
гЧ
1
гЧ
4
1
СО
1
о
см
о
см
см
о
о
т
см
о
о
см
о
о
1
см
т-Н
1
т-Н
1
о
т-Н
со
т-Н
т-Н
т-Н
1
о
со
с»
тН
т-Н
о
т-Н
со
т-Н
т-Н
т-Н
о
со
]
т-Н
т-Н
о
т-Н
?
т-Н
т-Н
т-Н
1
о
со
т-Н
т-Н
о
гЧ
?
т-Н
гЧ
гЧ
о
со
«5
ю
т-Н
8"
см
см
т-Н
см
гЧ
ся
ся
+
II
т-Н
т-Н
т-Н
тН
т-Н
i
тН
О
СО
т-Н
1
О
'с
со
о
т-Н
т-Н
т-Н
н
ся "*
1
ся
со
ся "*
1
ся
т-Н
т-Н
о
о
ч
I
ся
7
ся"
I
+
тЧ
II
7
II
493
h
Ад
Аи
Tig
Ъя
Ты
т2и
Gg
Gu
Нд
Ни
е
1
1
3
3
3
3
4
4
5
5
12С5
1
1
а+
аГ
а+
а~
-1
-1
0
0
12С|
1
1
оГ
а+
а"
а+
-1
-1
0
0
20С3
1
1
0
0
0
0
1
1
-1
-1
15С2
1
1
-1
-1
-1
-1
0
0
1
1
г
1
-1
3
3
-3
-3
4
-4
5
-5
12510
1
-1
а~
а+
-а~
-а+
-1
1
0
0
12Sf0
1
-1
а+
а~
-а+
-а"
-1
1
0
0
20S6
1
-1
0
0
0
0
1
-1
-1
1
15av
1
-1
-1
-1
1
1
0
0
1
-1
/нп
(Rx, Ry-> Rz)
(z>y,z)
r2 =x2 +y2 + z2
Cz2 - r2, x2 - y2, xy, xz, yz)
Примечание. a+ = -2собDл/5) = A + \/5)/2, a" = -2cosB7i/5) = A - \/5)/2.
Приложение 3
Двузначные представления некоторых точечных групп4'
А
Bl/2
Сг
(-^1/2) {
вг/2
...
е
г-1
-
Е
-1
-1
-1
Е
1
1—i
Сг С\
?*
?
1
-?
-?*
— 1
с2
А
В
(
(^1/2) |
е
1
1
1
1
с2
1
-1
г
-г
1
1
гЧ
-1
с2
1
-1
-г
г
Примечание, е = ехрBяг/3).
f
( 1/2) |
Г
( 3/2) |
...
...
...
...
Е
-1
-1
г-1
с4
-?*
-?*
?*
?
Сг
-г
г
г
-г
?*
?
-?
-?*
Сь
(
(
ВЬ/2
...
...
...
Е
-1
-1
г-1
г-1
-1
Сь
-?
-?*
-?2*
?2
1
Примечание.
-?2
-?2*
?
?*
1—1
е = ехрBяг/4).
^5
?2*
?2
-?*
-?
1
с\
?*
?
-?2
-?2*
-1
Примечание.
(
(
(Еь/2) {
е = <
...
...
...
гхр(яг/5).
Е
г-4
-1
~1
-1
-1
-1
С6
-8
-8*
-г
г
СО СО
^3
-?2
-?2*
1
1
-?2*
-?2
с2
-г
г
г
—г
-г
г
Г2
сг
82*
82
г-1
-1
?2
?2*
?*
?
-г
г
-?
-?*
Примечание. Е = ехр(яг/6).
* Для двузначных представлений 14 «двойных» групп Cn, Dn, T и О (спинорных
представлений соответствующих точечных групп G) приведены компоненты харак-
характеров относительно операций E9i(gi ? G). Символы в скобках отвечают комбина-
комбинациям комплексных представлений (см. прил. 2). Спинорные представления других
точечных групп можно вывести, пользуясь свойствами изоморфизма и прямого
произведения.
495
D2
Ell2
e dP&f
2 0
0
4x\c2x)
0
E
-2
•^3
1/2
№/2){
e
2
1
1
2C3
1
-1
-1
3C2
0
i
-i
E
-2
-1
i-H
2C3
-1
1
1
3C2
0
-t
i
Da
EZ/2
e
to to
ICa
л/2
C2,C2
0
0
2C2,2^2
0
0
0
0
E
-2
-2
2C4
-л/2
Elf2
ЕЪ/2
(
(E5/2) |
e
2
2
1
1
2C5
-2cosBa)
-2 cos a
-1
-1
2C|
2 cos a
2cosBa)
1
1
5C2
0
0
i
-i
E
-2
-2
-1
-1
2C5
2cosBa)
2 cos a
1
r-l
2Cl
-2 cos a
-2cosBa)
-1
-1
5C2
0
0
-i
г
Примечание, a = 2я/5.
^1/2
^3/2
?5/2
e
2
2
2
2C6
л/3
0
-y/Z
2C3
1
-2
1
c2)c2
0
0
0
оО2?оО2 с
0
0
0
(С2',ЗСг
0
0
0
E
-2
-2
-2
2U6
-v/3
0
л/3
2C3
-1
2
1
D2h
1/2
e С
1 to to
0
0
0
0
0
0
c) i о
2
-2
xy,aiy
0
0
oxz,o*
0
0
0
0
-2
-2
г
-2
2
496
ЗС2,ЗС2
4С3
-7 -
(G3/2){
2
2
2
r-l
e
e*
r-l
e*
e
0
0
0
-2
-2
-2
-1
-8
-e*
r-l
-?*
-e
Примечание. 6 = ехрBяг/3)
0
El/2
E5/2
GZ/2
e
2
2
4
8C3
1
1
-1
3C2KC2
0
0
0
6C4
л/2
-л/2
0
6C2,6^2
0
0
0
E
-2
-2
-4
8C3
-1
-1
1
6C4
-л/2
л/2
0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аминов Л. К. Теория симметрии. Конспекты лекций и задачи.
М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002.
2. Артамонов В. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра:
Курс лекций. — М.: Изд-во МГУ, 1999.
3. Ашкрофт Я, Мермин Я Физика твердого тела. — М.: Мир,
1979.
4. Банкер Ф., Иенсен П. Симметрия молекул и спектроскопия. —
М.: Мир: Научный мир, 2004.
5. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее прило-
приложения: В 2 т. — М.: Мир, 1980.
6. Боголюбов Я. Я, Ширков Д. В. Квантовые поля. — 2-е изд. —
М.: Наука, 1993.
7. Бурбаки Я. Группы и алгебры Ли: Главы 1 — 3. — М.: Мир, 1976.
8. Бурбаки Я. Группы и алгебры Ли: Главы 4 —6. — М.: Мир, 1972.
9. Бурбаки Я Группы и алгебры Ли: Главы 7, 8 — М.: Мир, 1978.
10. Бурбаки Я. Группы и алгебры Ли: Глава 9. — М.: Мир, 1986.
11. Вайнштейн Б. А. Современная кристаллография: В 4-х т. —
М.: Наука, 1979.
12. ВаршаловичД. А., Москалев А.Н.^ Херсонский В. К. Квантовая
теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
13. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. — М.: Наука,
1986.
14. Векилов Ю. X. Что такое квазикристаллы // Соросовский обра-
образовательный журнал. — 1997. — № 1. — С. 87 — 91.
15. Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 2-е изд., испр. и доп. — М.:
Факториал Пресс, 2001.
16. Винберг Э. В., Онищик А. Л. Основы теории групп // Итоги
науки и техники: Современные проблемы математики: Фундаменталь-
Фундаментальные направления. Т. 20. Группы и алгебры Ли 1. — М.: ВИНИТИ,
1988.-С.5-101.
17. Винберг Э. Бп Горбацевич В. В., Шварцман О. В. Дискретные
подгруппы групп Ли // Итоги науки и техники: Современные про-
проблемы математики: Фундаментальные направления. Т. 21. Группы и
алгебры Ли 2. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 7-120.
18. Винберг Э. Б., Шварцман О. В. Дискретные группы движений
пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники: Совре-
Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. Т. 29.
Геометрия 2. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 147-259.
498
19. Винберг Э. В., Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Строение групп
и алгебр Ли // Итоги науки и техники: Современные проблемы ма-
математики: Фундаментальные направления. Т. 41. Группы и алгебры
Ли 3. - М.: ВИНИТИ, 1990. - С.5-255.
20. Галиулин Р. В. Кристаллографическая геометрия. — М.: Наука,
1984.
21. Гальцов Д. Н. Теоретическая физика для студентов-математи-
студентов-математиков. — М.: Изд-во МГУ, 2003.
22. Гельфанд И. М, Минлос Р. А.. Шапиро З.Я. Представления
группы вращений и группы Лоренца, их применения. — М.: ГИФМЛ,
1958.
23. Герцберг Г. Электронные спектры и строение многоатомных
молекул. — М.: Мир, 1969.
24. Гинзбург В. Л., Киржниц Д. А. (ред.) Проблема высокотемпе-
высокотемпературной сверхпроводимости. — М.: Наука, 1977.
25. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.:
Изд-во иностр. лит., 1961.
26. Голод П. И., Климык А. У. Математические основы симмет-
симметрии. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
27. Делоне В., Падуров #., Александров А. Математические основы
структурного анализа кристаллов. — М.: ОНТИ, ГТТИ, 1934.
28. Делоне Б. Н. //Успехи мат. наук. —1937. — №3. — С. 16; 1938. —
№4.-С. 102.
29. Джилкрист Г., Сторр Р. Органические реакции и орбиталь-
орбитальная симметрия. — М.: Мир, 1976.
30. Джонс Г Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в
кристалле. — М.: Мир, 1968.
31. Ельяшевич М.А. Атомная и молекулярная спектроскопия. —
М.: УРСС, 2001.
32. Жевлаков К. А., Слинько A.M., Шестаков И. Я., Ширшов А. И.
Кольца, близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978.
33. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. —
М.: Наука, 1970.
34. Желобенко Д. #., Штерн А. И. Представления групп Ли. — М.:
Наука, 1983.
35. Желудев И. С. Симметрия и ее приложения. М.: Атомиздат,
1976.
36. Загальская Ю. Л, Литвинская Г П. Геометрическая микрокри-
микрокристаллография. — М.: Изд-во МГУ, 1976.
37. Зар Р. Теория углового момента. — М.: Мир, 1993.
38. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д. А., Черников Н.А.
Слабый хаос и квазирегулярные структуры. — М.: Наука, 1991.
39. ЗайманДж. Принципы теории твердого тела. — М.: Мир, 1966.
40. Зоркий П. М. Симметрия молекул и кристаллических струк-
структур. - М.: Изд-во МГУ, 1986.
41. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. — М.: Мир, 1965.
42. Киреев П. С. Введение в теорию групп и ее применение в фи-
физике твердого тела. — М.: Высш. шк., 1979.
499
43. Китайгородский А. Я. Молекулярные кристаллы. — М.: Наука,
1971.
44. Ковалев О. В. Неприводимые и индуцированные представления
и копредставления федоровских групп. — М.: Наука, 1986.
45. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгеб-
алгебры: Учебник для вузов. — М.: Физико-математическая литература,
2000.
46. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть П. Линейная алге-
алгебра: Учебник для вузов. — М.: Физико-математическая литература,
2000.
47. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные
структуры алгебры: Учебник для вузов. — М.: Физико-математическая
литература, 2000.
48. Коттон Ф., Уилкинсон Дж. Современная неорганическая хи-
химия: В 3-х т. — М.: Мир, 1969.
49. Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967.
ЪО.Курош А. Г. Общая алгебра: Лекции 1969— 1970 учебного го-
года. — М.: Наука, 1974.
Ы.Кэртис ?., Райнер И. Теория представлений конечных групп
и ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969.
52. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. —
М.: Наука, 1989.
53. Лайнс М, Гласе А. Сегнетоэлектрики и родственные им мате-
материалы. -^ М.: Мир, 1981.
54. Тханг Ле Ты Куок, Пиунихин С. А., Садов В. А. Геометрия ква-
квазикристаллов // Успехи мат. наук. 1993. — Т. 48. — №1. — С. 41 —102.
55. Лейтес Д. А. Супералгебры Ли. // Итоги науки и техники: Со-
Современные проблемы математики: Новейшие достижения. Т. 25. — М.:
ВИНИТИ, 1984. - С. 3-49.
56. Лезнов Л. Я., Савельев М, В, Групповые методы интегрирова-
интегрирования нелинейных динамических систем. — М.: Наука, 1985.
Ы.Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1965.
58. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. — М.:
Физматгиз, 1958.
59. Ляховский В. Д., Болохов А, А. Группы симметрии и элемен-
элементарные частицы. — М.: УРСС, 2002.
60. Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М.: Мир,
1980.
61. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Хол-
Холла. — М.: Мир, 1985.
62. Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. —
М.: Наука, 1984.
63. Манин Ю. И., Панчишкин А, А, Введение в теорию чисел //
Современные проблемы математики: Фундаментальные направления.
Т. 49. Теория чисел 1. - М.: ВИНИТИ, 1990. - С. 5-348.
64. Медведев Б, В. Начала теоретической физики. — М.: Наука,
1977.
65. Мессиа А. Квантовая механика. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1979.
500
66. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при
помощи тензоров и матриц. — М.: Мир, 1967.
67. Наймарк М.А. Линейные представления группы Лоренца. —
М.: Физматлит, 1958.
68. Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.
69. Никулин В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы. — М.:
Наука, 1983.
70. Нишиджима К. Фундаментальные частицы. — М.: Мир, 1965.
71. Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. — М.: Наука,
1970.
72. Общая алгебра / Под. ред. Л. А. Скорнякова. — Т. 1. — М.: На-
Наука, 1990.
73. Петрашень М. #., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в
квантовой механике. 4-е изд. — М.: УРСС, 2002.
74.Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная
теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техники:
Современные проблемы математики: Фундаментальные направления.
Т. 64. Дифференциальные уравнения с частными производными. — М.:
ВИНИТИ, 1989. - С. 5-246.
75. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. — М.: На-
Наука, 1977.
76. Румер Ю. Б., Фет А. И. Теория групп и квантованные поля. —
М.: Наука, 1977.
77. Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.:
Мир, 1970.
78. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.
79. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизи-
кристаллофизики. — М.: Наука, 1979.
80. СлэтерДж. Электронная структура молекул. — М.: Мир, 1965.
81. Спрингер Т. А. Линейные алгебраические группы // Итоги нау-
науки и техники: Современные проблемы математики: Фундаментальные
направления. Т. 55. - М.: ВИНИТИ, 1989. - С. 5-136.
82. Стародуб В. А. Применение теории групп в химии: Учеб. посо-
пособие. — Харьков: Изд-во Харьков, гос. ун-та, 1987.
83. Стрейтвизер Э. Теория молекулярных орбит для химиков-
органиков. — М.: Мир, 1965.
84. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. — М.:
Мир, 1973.
85. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. — М.:
Мир, 1989.
86. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. До-
Дополнительные главы. — М.: Изд-во МГУ, 1983.
87. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. —
М.: Наука, 1989.
88. Фейт У Теория представлений конечных групп. — М.: Наука,
1990.
89. Фларри Р. Группы симметрии: теория и химические приложе-
приложения. — М.: Мир, 1983.
501
90. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим про-
проблемам. — М.: Мир, 1966.
91. Хофман Р. Строение твердых тел и поверхностей. — М.: Мир,
1990.
92. Хохштрассер Р. Молекулярные аспекты симметрии. — М.: Мир,
1968.
93. Хейне В. Теория групп в квантовой механике. — М.: Изд-во
иностр. лит., 1963.
94. Шапиро И. С, Ольшанецкий М. А. Лекции по топологии для
физиков. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,
2001.
95. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры // Итоги науки и
техники: Современные проблемы математики: Фундаментальные на-
направления. Т. 11. - М.: ВИНИТИ, 1986.
96. Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра / Под ред.
Л. А. Скорнякова. Т. 2. — М.: Наука, 1991. — С. 11 —191.
97. Широков Ю.М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука,
1972.
98. Чубарое И. А. Представления групп Ли и алгебра Ли: Учеб. по-
пособие. - М.: Изд-во МФТИ, 1985.
99. Эллиот Дою., Добер Я. Симметрия в физике. — Т. 1, 2. — М.:
Мир, 1983.
100. Abels Н. Properly discontinuous groups of affine transformations:
a survey. // Geometricae Dedicata. — 2001. — N87. — P. 309 —333.
101. Abels #., Margulis G.A., Soifer G.A. Properly discontinuous
groups of affine transformations with orthogonal linear part. Paris: C. //
R. Acad. Sci. (I). — 1997. — V. 324. — P. 253 — 258.
102. Ablamowicz i?., Sobczyk G. (eds.) Lectures on Clifford (geromet-
ric) algebras and applications. V. XV. Birkhauser. Boston, Basel, Berlin.
2003.
103. Aragon (?., Aragon J. L., Davila F., Gomez A., Rodriguez M. A.
Geometric Algebra with Applications in Science and Engineering / Eds
E. Bayro-Corrochano, G. Sobczyk. Birkhauser (Boston, Febrero 2001).
P. 371 —386.
104. Aragon J.L., Naumis G.G., Torres M. A multigrid approach
to the average lattice of quasicrystals // Acta Crystallogr. A. — 2002.
A58. — P.352 —360.
105. Aragon J. L., Romeu D., Beltrdn L., Gomez A. Grain boundaries
as projections from higher-dimensional lattices // Acta Crystallogr. A. —
1997, A53. — P. 772 —780.
106. Auslander L. The structures of compact locally affine manifolds //
Topology. — 1964. — N3. — P. 131—139.
107. Barache D., Champagne В., Gazeau J.-P. Pisot-cyclotomic qua-
silattices and their symmetry semigroups // Fields Institute Monographs.
1998.— N10. — P. 15 — 66.
108. Broadhurst D. J., Kreimer B. Renormalization automated by Hopf
algebra // J. Symb. Comput. — 1999. — N27. — P. 582. — hep-
th/9810087.
502
109. Collins J. Renormalization. — Cambridge: Cambridge Univ.
Press., 1984.
110. Connes A., Kreimer D. Hopf algebra renormalizaion and noncom-
mutative geometry // Commun. Math. Physics. — 1998. — V. 199. —
P. 203 —242, — hep-th/9808042.
111. Connes A., Kreimer D. Renormalizaion in quantum field theory
and the Riemann-Hilbert problem 1. Hopf algebra structure of graphs and
the main theorem//Commun. Math. Physics. 2000, V. 210. P. 249 —
273. — hep-th/9912092.
112. Chryssomalakos C, Quevedo H., Rosenbaum M., Vergara J. B.
Normal coordinates and primitive elements in the Hopf algebra of renor-
renormalization // Commun. Math. Physics. — 2002. — V.235. — P. 465 —
485.
113. Fried ?>., Goldman W.D. Three-dimensional affine crystallogra-
phic groups // Adv. in Math. — 1983. — V.47. — P. 1—49.
114. Janot С Quasicrystals. — N.Y.: Oxford Univ. Press, 1994.
115. Giacovazzo C. (ed.) Fundamentals of Crystallography. Interna-
International Union of Crystallography. Oxford: Oxford Univ. Press, 1992.
116. Golubitsky M., Stewart L The symmetry, perspective. Prom equi-
librum to chaos in phase space and physical space. — Second edition.
XVII. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser. 2003.
117. Hasse H. Number theory. — Berlin: Springer, 1980.
118. International Tables for Crystallography. — Vol. A — E. — Do-
drecht: Kluwer, 2002.
119. Kreimer D. On the Hopf algebra structure of perturbative quan-
quantum field theory // Adv. Theor. Math. Phys. — 1998. — N 2. — P. 303 —
334. — q-alg/9707029.
120. Lifshitz R. The symmetry of quasiperiodic crystals // Physica A. —
1996. — V. 232. — P. 633 — 647.
121. Paredes Д., Aragon J. L., Barrio R. A. Nonperiodic hexagonal
square-triangle tilings // Physical Review B. — 1998. — V. 58. — N 2. —
P.1190 —1195.
122. Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings // CBMS,
Regional Conference Series in Mathematics, Amer. Math. Soc, Provi-
Providence Rhode Island, 1993.
123. Herbrandson H. F., Nachod F. C. // Determination of Organic
Structures by Physical Methods /Eds. E. A. Braude, F. C. Nachod. —
N.Y.: Acad. Press, 1955 — P. 3 — 23.
124. Stadnik Z. M. (ed.) Physical properties of quasicrystals. — Berlin:
Springer, 1999.
125. de Wolf P. M., Janssen Г., Janner A. The superspace groups for
incommensurate crystal structures with a one-dimensional modulation //
Acta Crystallogr. — 1981. — V. A37. — P. 625 — 636.
126. Wybourne B. G. Classical groups for physicists. — N.Y.: Wiley,
2004.
127. Zassenhaus H. Uber einen Algorithmus zur Bestimmung der Ra-
umgruppen // Comment. Math. Helv. — 1948. — N21. — S. 117—141.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 33
Алгебра 240
Вейля 251
Грассмана 243
Дирака 391
Клиффорда 256
Ли 240, 260
Хопфа 436
дуальная 436
ассоциативная 240
антикоммутативная 240
кватернионов 244
коммутативная 240
октонионов 245
простая 246
симметрическая, пространства
243
Алгебры дифференцирование 260
Антикоммутатор 386
Базис абелевой группы 74
Бриллюэна зона 204
Вес представления 264
старший 265
Вороного полиэдр 104
Гомоморфизм
алгебр 247
естественный 247 — 248
Хопфа 440
групп 33
естественный 39
линейных групп 224
накрывающий 253
Группа
Aff(V) 15
С* 7
GL(n,C), GL(n,R)9
504
GL(V) 13
Iso(?) 17
O(u,C),O(n,R)9
O(n,m) 12
O(n,F) 13
R*
SIso(?) 17
SL(n,C),SL(n,R) 9
SO(n,C),SO(m,R) 11
SO(n,m) 12
SOA,3) 13
SU(n,C) 11
Sp(n,C), Sp(n,R) 12 .
U(n,F) 13
U(n,C) 10
U8
Un8
Z8
р-группа 46
абелева 6
свободная 74
конечно порожденная 79
автоморфизмов 40
аффинная 424
Бетти, п-ая 442
Браве 91
голоэдрическая 91
гомологии, п-ая 442
гомотопическая, п-ая 444
диэдра 18, 166 — 167
кватернионов Qg 19
кватернионов ненулевых 19
Клейна 27
когомологий 443
кристаллографическая 90
аффинная 424
Кюри 231
Ли линейная 213
компактная 261
односвязная 258
полупростая 261
линейная связная 220
Лоренца 12, 237-238, 271-273
малая 207
нильпотентная 404
обратимых элементов алгебры
244
перестановок 20
примарная 29
Пуанкаре 17, 239, 273 — 274
разрешимая 404
ренормализационная 433
циклическая 28
Группы гиперпространственные
148-150
двойные 71
Лонге—Хиггинса 72
линейных операторов 13
плоские 121 —122
пространственные симморф-
ныеЭО, 123-132
точечные 25, 56—70
шубниковские 139 —140
Движение 16, 86
несобственное 16
собственное 16
винтовое 87
Движения дифференциал 86
Диаграмма коммутативная 49,
154, 168, 436, 442
Дирака матрицы 389-391
Диффеоморфизм локальный 220
±1/диница
алгебры 240
группы 6
матричная 48
Идеал 246
Изоморфизм алгебр 247
Изоморфизм групп 33
Инволюция 255
Квазикристалл 408 — 411, 414,
423-428
Класс
кристаллический 112
голоэдрический 113
смежный 29 —30
сопряженных элементов 41
Клебша—Гордана
коэффициенты 179, 354 — 359
Кольцо 239
Коммутант 46
Коммутатор групповой 46
Коммутатор лиевский 223
Коумножение 436
Когруппа 207
Матрица верхнетреугольная 259
Миллера индексы 117 — 118
Множество кристаллическое 89
Моноид 426
инверсный 427
симметрии квазикристалла 427
Мономорфизм 33
Накрытие односвязное 258
Норма кватерниона 245
Нуль алгебры 240
Область
Дирихле 103
решетки фундаментальная 83
Образ отображения 274
Оператор
инфинитезимальный 215
Казимира 231
проекционный 156
Орбита группы 95
Ось симметрии
винтовая 124
поворотная 57
зеркально-поворотная 57
инверсионная 106
Отображение
биективное 33
инъективное 32
накрывающее 253
сюръективное 32
экспоненциальное 220
Паули матрицы 288
Перестановка 20
Плоскость симметрии
алмазная 124
зеркальная 57
505
скользящего отражения 124
Подалгебра 244
Подгруппа 25 — 27
Бореля 263
внутренних автоморфизмов 40
дискретная 81
нормальная 37
Подгруппы сопряженные 262
Подмножество
выпуклое 86
замкнутое 82
порождающее 221
Подпредставление 159
Подпространство весовое 264
Поле 244
обобщенное случайное 433
Полугруппа 425
Порядок
группы 6
элемента 27
Представление
вполне приводимое 159
вполне неприводимое 270
индуцированное 183
неприводимое 159
присоединенное 254
регулярное 157
сопряженное 191
спинорное 232, 257
самосопряженное 191
Представления эквивалентные
154
Преобразование
правого сдвига 219
Каданова 432
масштабное 433
Произведение
в группе 6
в полугруппе 425
групп, полупрямое 53 — 56
групп, прямое 50 — 51
представлений, тензорное 179
пространств
антисимметризованное 182
симметризованное 182
Пространство
касательное 216
Минковского 17
Путь дифференцируемый 218
Размерность 501
группы Ли 212
представления 152
Решетка 81
БравеЭЗ, 101-103
дуальная 82
обратная 82, 143 — 147
Оимвол
Кронекера 82, 472
Леви-Чивита 346, 473
симплекс п-мерный
Сингония 91, 101
Спинор 327
Степень пространства
симметрическая 242
внешняя 242
Сумма прямая 50
Тело 245
Теорема
Вигнера—Эккарта 356
Жордана 91
Крамерса 288
Кэли 34
Лагранжа 32
Нётер 384
о гомоморфизмах алгебр 248
о гомоморфизмах групп 39
Шенфлиса—Бибербаха 90,
398-404
Эйлера 116
Тор 449
максимальный 263
Фактор-группа 39
Фактор-алгебра 247
Форма простая 112, 114
Функция
квазипериодическая 423
центральная 171
Характер представления 171
Характеры конечных групп
196-203
Центр группы 40
Централизатор элемента 45
Цепь 442
Цикл 21,442
506
Шура лемма 168 сопряженный 41
ъ Эпиморфизм 33
Элемент
групповой алгебры Хопфа 437 Юнга схемы 186, 191 —192
обратимый алгебры 244 ^
обратный группы 6 Ядро
порождающий 28 гомоморфизма алгебр 247
примитивный алгебры Хопфа гомоморфизма групп 37
437 линейного оператора 33
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Основы теории групп 6
1.1. Определение группы 6
1.2. Подгруппы 25
1.3. Порядки элементов группы 27
1.4. Циклические группы и их подгруппы 28
1.5. Смежные классы и теорема Лагранжа 29
1.6. Гомоморфизмы и фактор-группы 32
1.7. Классы сопряженных элементов 41
1.8. Коммутант группы 46
1.9. Прямые и полупрямые произведения групп 49
1.10. Группы симметрии молекул 56
1.10.1. Точечные группы 56
1.10.2. Двойные группы 70
1.10.3. Группы Лонге-Хиггинса 71
Глава 2. Кристаллографические группы 74
2.1. Конечно порожденные абелевы группы 74
2.2. Решетки в евклидовых пространствах 82
2.3. Группа движений 86
2.4. Двумерный случай 91
2.5. Трехмерный случай 95
2.6. Решетки Браве и их элементарные ячейки 101
2.7. Международная система обозначений точечных
групп 106
2.8. Стереографическая проекция 109
2.9. Кристаллические классы и простые формы 112
2.9.1. Простые формы и их комбинации 112
2.9.2. Индексы Миллера 117
2.10. Плоские группы G\ 121
2.11. Пространственные группы G% 123
2.12. Другие группы G^ 132
2.13. Цветная симметрия и подгруппы G\ 139
2.14. Обратная решетка 143
2.15. Гиперпространственные группы несоразмерных фаз . . . 147
Глава 3. Элементы теории представлений групп 152
3.1. Основные понятия и примеры 152
3.2. Теорема Машке 159
3.3. Неприводимые представления абелевых групп 161
3.4. Одномерные представления произвольных групп 165
508
3.5. Неприводимые представления групп диэдра 166
3.6. Лемма Шура и ее следствия 168
3.7. Характеры представления 171
3.8. Тензорные произведения представлений 178
3.9. Индуцированные представления 183
3.10. Неприводимые представления группы Sn 186
3.11. Конечномерные неприводимые представления
группы GL(n, С) 193
3.12. Неприводимые представления пространственных групп . 194
3.13. Таблицы характеров некоторых конечных групп 196
3.13.1. Точечные и двойные группы 196
3.13.2. Приведение представлений с помощью таблицы
характеров 201
3.14. Представления пространственных групп и симметрия осо-
особых точек зоны Бриллюэна 203
Глава 4. Основы теории групп Ли 212
4.1. Линейные группы Ли 212
4.2. Алгебраическая структура на Tq(E) 223
4.3. Группы Ли и их представления: предварительные иллю-
иллюстрации 226
4.4. Кольца и алгебры 239
4.5. Связные и несвязные группы Ли 252
4.6. Алгебры Ли 260
4.7. Представления компактных групп Ли 261
4.8. Представления групп SUB, С), SOC,R), SOD,R) .... 265
4.9. Представления групп SLB,C) и 0A,3) 268
Глава 5. Приложения теории групп в физике и химии.... 275
5.1. Алгебраические соотношения механики 275
5.1.1. Классическая механика 277
5.1.2. Релятивистская механика 279
5.1.3. Квантовая механика 281
5.1.4. Перестановки тождественных частиц: бозоны и
фермионы 285
5.2. Спектры и электронное строение многоатомных молекул 290
5.2.1. Правила отбора в оптической спектроскопии . . . 292
5.2.2. Симметризованные молекулярные-орбитали . . . . 299
5.2.3. Электронно-колебательные взаимодействия .... 304
5.2.4. Химические приложения симметрии 307
5.3. Симметрия и физические свойства кристаллов 310
5.3.1. Матрица термодинамических коэффициентов . . . 310
5.3.2. Колебательные спектры кристаллов 317
5.3.3. Зонная структура кристалла 322
5.3.4. Электрон-фононное взаимодействие 326
5.3.5. Приближение слабой связи * • 329
5.3.6. Фазовые переходы в твердом теле 333
5.3.7. Молекулярные кристаллы 338
5.4. Непрерывные группы в теории атомов и молекул 344
509
5.4.1. Одноэлектронные состояния атома и правила от-
отбора 344
5.4.2. Термы многоэлектронного атома 348
5.4.3. Коэффициенты векторного сложения 354
5.4.4. Теория поля лигандов 360
5.4.5. Квантовые состояния атомных ядер 361
5.4.6. Термы линейных молекул 367
5.4.7. Вращательные состояния молекул и структурная
нежесткость 369
5.4.8. Ядерные спиновые состояния молекул 375
5.5. Релятивистские инварианты элементарных частиц .... 377
5.5.1. Квантовое поле 378
5.5.2. Группа Пуанкаре и релятивистские инварианты . 383
5.5.3. Статистика, спин и четность 386
5.5.4. Матрицы Дирака 389
5.5.5. Изоспин и мультиплеты масс 392
Глава 6. Дальнейшее развитие теории групп и ее современные
приложения 398
6.1. Доказательство теоремы Шенфлиса—Бибербаха 398
6.2. Разрешимые и нильпотентные группы 404
6.3. Квазикристаллы 408
6.3.1. Математическая теория квазикристаллов 411
6.3.2. Симметрии квазикристаллов 423
6.4. Фазовые переходы и группа перенормировок 429
6.5. Линейные группы и алгебры Хопфа 435
6.6. Топологические группы 441
6.6.1. Группы (ко)гомологий 441
6.6.2. Гомотопические группы 444
Глава 7. Дополнение: сведения из линейной алгебры .... 446
7.1. Матрицы 446
7.2. Линейные пространства и подпространства 448
7.3. Плоскости 450
7.4. Билинейные и полуторалинейные функции 451
7.5. Евклидовы и эрмитовы пространства 454
7.6. Линейные операторы 456
7.7. Линейные операторы в евклидовых, эрмитовых и сим-
плектических пространствах 460
7.7.1. Сопряженный и нормальный операторы 460
7.7.2. Самосопряженные, ортогональные и унитарные
операторы 464
7.8. Симплектические линейные операторы 467
7.9. Аффинные преобразования и движения 467
7.10. Дуальное (двойственное) пространство 469
7.11. Тензорные произведения и тензоры 470
Приложения 474
Список литературы 498
Учебное издание
Артамонов Вячеслав Александрович,
Словохотов Юрий Леонидович
Группы и их приложения в физике, химии,
кристаллографии
Учебное пособие
Редактор А. В. Савенков
Технический редактор Н. И. Горбачева
Компьютерная верстка: Т. А, Клименко
Корректоры А. Я. Сизова, JI. В. Гаврилина
Изд. № А-1407-1. Подписано в печать 23.06.2005. Формат 60 * 90/16.
Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Бумага тип. № 2. Усл. печ. л. 32,0.
Тираж 2000 экз. Заказ №
Издательский центр «Академия».
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.00479&07.2004.
117342, Москва, ул. Бутлерова, 17-Б, к. 360. Тел./факс: @95K30-1092, 334-8337.
Отпечатано на Саратовском полиграфическом комбинате.
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.