/
Text
Мир
МАТЕМАТИКИ
17
Зазеркалье
Симметрия в математике
D^AGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Хоакин Наварро
Зазеркалье
Симметрия в математике
Москва - 2014
d^agostini
УДК 51(0.062)
ББК22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 17: Хоакин Наварро. Зазеркалье. Симметрия в матема-
тике. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с.
Что такое симметрия и что мы называем симметричным? Для большинства людей по-
нятие симметрии ограничивается симметрией зеркальной, или осевой. Однако это лишь
частный случай подлинной симметрии. Задача этой книги — рассказать о многообразии
видов симметрии, существующих в мире. Например, радиолярии, диатомовые водоросли
и вирусы обладают внешней симметрией, кристаллы — внутренней симметрией, и даже
сама Вселенная обладает различными видами квантовой симметрии, о чем уже давно из-
вестно физикам. Откроем же врата в царство симметрии!
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0712-0 (т. 17)
УДК 51(0.062)
ББК22.1
© Joaquin Navarro, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены:
Age Fotostock, Getty Images, Corbis.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие ........................................................ 9
Глава 1. Что такое симметрия ...................................... 13
Понятие симметрии.................................................. 13
Новое измерение.................................................. 16
Промежуточная абстракция........................................... 25
Циклы и часы ...................................................... 33
Изоморфизм и другие морфизмы....................................... 39
(лава 2. Что такое группа.......................................... 47
Нормальные подгруппы и факторгруппы................................ 47
Симметрическая группа.............................................. 53
Группа х Группа = Новые группы..................................... 60
Группы, группы, группы............................................. 62
Глава 3. Симметрия в нескольких измерениях ........................ 65
Свет мой, зеркальце................................................ 66
Некоторые примеры в пространстве................................... 71
Невыпуклые и неправильные многогранники............................ 75
Винтовая симметрия................................................. 79
Глава 4. Группы и уравнения........................................ 83
Неэлементарные уравнения .......................................... 84
История Тартальи и Кардано......................................... 85
Временное безвластие............................................... 91
История Галуа...................................................... 96
Теория Галуа.......................................................100
Глава 5. Симметрия в математике................................... 105
Алгебра в играх....................................................106
Купола, фуллерены и мячи для гольфа................................107
Решетки........................................................... 111
Обои и мозаики, фризы и орнаменты ................................. ИЗ
5
СОДЕРЖАНИЕ
Кристаллы и не только......................................... 118
Атомы и группы.................................................123
Группы Ли......................................................127
Эрлангенская программа.........................................129
Глава 6. Симметрия повсюду.................................... 133
У симметрии женское лицо.......................................133
Симметрия в квантовой физике...................................136
Суперсимметрия.................................................140
Краткий экскурс в биологию и химию.............................144
Работы Эшера и другие произведения искусства...................146
Приложение.....................................................149
Библиография ................................................ 156
Алфавитный указатель.......................................... 157
6
(Xy€G)p,ETpT]TO(J
prjSeic;
eiaiTw
Да не войдет сюда
не знающий геометрии.
Надпись над входом
в Академию Платона
Предисловие
Тигр, о тигр, светло горящий
В глубине полночной чащи,
Кем задуман огневой
Соразмерный образ твой?
Уильям Блейк (1757—1827)
Строки эпиграфа являются неотъемлемой частью англоязычной культуры. «Сораз-
мерный образ», а дословно — «страшная симметрия», о которой говорится в сти-
хотворении, становится очевидной, когда мы смотрим тигру прямо в глаза, хотя
никто из тех, кому довелось повстречаться с этим животным в дикой природе один
на один, не думал в этот момент о симметрии. Тем не менее тигр обладает симметри-
ей, которую несложно описать. Но что мы называем симметричным? Являются ли
всем известный религиозный символ Святой Троицы (без всевидящего ока Господа)
или загадочный тетрактис пифагорейцев более симметричными, чем простой много-
гранник?
Если говорить исключительно о земных объектах, то, например, равносторонний
треугольник имеет группу симметрии порядка 6, то есть содержащую шесть эле-
ментов. Простой звездчатый многогранник может иметь группу симметрии порядка
нескольких десятков или сотен, то есть насчитывающую десятки и сотни элементов.
Обычная, ничем не примечательная окружность имеет еще больше симметрий —
бесконечно много. Однако есть и треугольные симметричные объекты, которые
«менее симметричны», чем символ Святой Троицы и тетрактис. В центре герба
острова Мэн (см. стр. 41), датируемого 1266 годом, изображен трискелион (три-
ножник), группа симметрии которого содержит всего три элемента — меньше, чем
группа симметрии символа Святой Троицы. Группа симметрии треугольника являет-
ся конечной диэдрической группой, включающей повороты и различные виды осе-
вой симметрии. Группа симметрии трискелиона также конечна, но при этом относит-
ся к так называемым циклическим группам и не содержит осевой симметрии. Кроме
того, она изоморфна подгруппе группы симметрии символа Святой Троицы. Группа
симметрии трискелиона также изоморфна нормальной подгруппе группы, состоя-
щей из цифр на циферблате часов. Эта группа из 12 элементов, как всем известно,
является циклической и абелевой.
9
ПРЕДИСЛОВИЕ
Но действительно ли это известно всем? Почти все вышесказанное сравни-
тельно просто, и разобраться в нем можно всего за несколько часов, однако многие
люди незнакомы с этой областью математики. Чтобы изучать симметрию окру-
жающего нас мира, требуется владеть некоторыми простыми математическими
понятиями, в частности понятием группы. Любопытно, что изначально оно вовсе
не предназначалось для изучения симметрии физического мира. Понятие группы,
которое было задумано еще Лагранжем и позднее получило развитие усилиями
Галуа, было создано для решения алгебраических уравнений и не имело геометриче-
ского смысла. Теория групп достаточно сложна, и ее нельзя понять, прочитав одну
научно-популярную книгу, но она поразительно красива.
Упомянем, что Галуа погиб в 21 год на дуэли, вызванной политическими и лю-
бовными интригами. Торопясь, незадолго до смерти он записал свои теории, чтобы
позднее кто-то из известных математиков рассказал о них миру (так и произошло
спустя более десяти лет). История Галуа больше подходит для приключенческого
романа, чем для книги по алгебре, равно как и спор Тартальи и Кардано об уравне-
ниях. А что вы скажете о самой длинной из известных теорем — теореме о класси-
фикации так называемых простых групп? Она столь объемна, что никто еще не смог
прочесть ее до конца.
Парадоксально, что мы почти не задумываемся о явлении, которое скрывается
за словами «по ту сторону зеркала» и было описано Льюисом Кэрроллом в кни-
ге «Алиса в Зазеркалье». Именно зеркальной симметрией ограничивается интерес
большинства людей, широкой публики, к симметрии. Да, симметричны туфли, кото-
рые отличаются между собой, но принадлежат к одной паре (то есть, как сказал бы
специалист, являются энантиоморфными), палиндромы (слова и фразы, которые
читаются одинаково слева направо и справа налево), левосторонние белки, состав-
ляющие основу жизни, и даже обратимые физические законы, однако осевая симме-
трия является лишь элементарным частным случаем подлинной симметрии. Об этом
написано множество книг, и мы не ставили перед собой задачу написать еще одну
книгу о симметрии левого и правого — эта тема уже рассмотрена достаточно под-
робно. Своей очереди ждут многие другие виды симметрии и групп.
Существуют конечные и бесконечные группы, и все они играют важнейшую роль
в описании и понимании как макро-, так и микромира. Радиолярии, диатомовые во-
доросли и вирусы обладают внешней симметрией, кристаллы — внутренней, и даже
сама Вселенная обладает различными видами квантовой симметрии, о чем уже дав-
но известно физикам.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Однако все разновидности квантовой симметрии до сих пор не изучены.
Возможно, когда эта задача будет решена окончательно, мы сможем сформулиро-
вать столь желанную «теорию всего», которую человечество ищет уже много веков.
Симметрия (а также случаи ее нарушения) не объясняет все, но тем не менее она
существует, и ее полезно понимать. Откроем же врата в царство симметрии.
11
Глава 1
Что такое симметрия
Скажите, почему симметрия
так важна?
Мао Цзэдун — физику Т. Ли, март 1974 года
В математике понятие «симметрия» означает не совсем то, что в других науках или
в повседневной жизни. Математики относятся ко всему очень строго, можно сказать,
щепетильно, и понимают под симметрией нечто очень конкретное и четко определен-
ное. Для них все, что не укладывается в это определение, не является симметричным
в строгом смысле слова. Есть даже шутка, высмеивающая нетерпимость математиков
к малейшим неточностям. Астроном, инженер и математик едут в поезде по Шотлан-
дии. Взглянув в окно, астроном увидел черную овцу, прыгавшую по полю. Сделав,
возможно, несколько поспешный вывод, он сказал попутчикам: «Как интересно!
В Шотландии все овцы черные». Инженер мягко поправил его: «Ну что вы. Лишь
некоторые овцы черные». Математик поставил точку в споре: «Господа, в действи-
тельности в Шотландии существует как минимум одно поле, содержащее как мини-
мум одну овцу, хотя бы одна из двух сторон которой является черной». Математики
используют похожий подход, когда дело касается симметрии.
Всем известно, что такое симметрия, но дать ей строгое определение непросто.
Понятие симметрии
Ограничимся не столь четким, строгим и абстрактным определением и будем рас-
сматривать симметрию в контексте окружающего нас мира, который, как мы будем
предполагать, описывается законами евклидовой геометрии.
Начнем с предметов: назовем симметричным всякий предмет, который будет со-
впадать сам с собой при «нормальном» движении без деформаций. Иными словами,
мы ограничимся симметрией, которая сохраняет расстояния между точками пред-
мета неизменными. Для информированного читателя, знакомого с некоторыми по-
13
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
нятиями математики более высокого уровня, укажем, что мы будем рассматривать
изометрию (от древнегреческого isos — «равный» и metros — «размер»).
Рассмотрим сначала одномерные объекты. Например, построение отрезка, сим-
метричного данному, тривиально:
а-----------b b--------------а
Однако существует единственный способ переместить симметричный отрезок
так, чтобы он совпал с исходным. Если поменять его концы местами, что в нашем
трехмерном пространстве равносильно повороту на 180° с центром в середине отрез-
ка, то отрезок останется неизменным. Это означает, что если бы рядом с отрезком
не были изображены буквы, то полученный в результате поворота отрезок был бы
неотличим от исходного. Математик сказал бы, что существуют два движения, при
которых отрезок остается неизменным: уже упомянутый поворот на 180° и поворот
на 360°. Последний идентичен отсутствию движения (0°), повороту на 720° (на два
оборота), 1080° (три оборота) и т. д.
В алгебре говорят, что отрезок симметричен, а его группа симметрии содержит
тождественное преобразование (эквивалентно 0° = 0 радиан, 360° = 2л радиан,
720° = 4л радиан и т.д.) и поворот на 180° (180° = Л радиан, 540° = Зл радиан,
900° = 5л радиан и т. д.). Заметим, что градусам поставлены в соответствие радиа-
ны: это важнее, чем кажется на первый взгляд, так как с момента появления анализа
бесконечно малых, то есть уже более 300 лет, углы измеряются в радианах.
Кажется, что в одномерном пространстве все довольно просто. Однако если по-
думать, то мы найдем одномерную фигуру, имеющую больше видов симметрии. Мо-
жет показаться, что это не так, однако прямая
А
имеет больше видов симметрии, чем отрезок: при любом переносе влево или вправо
на любое расстояние прямая остается неизменной. Для прямой существует беско-
нечное число переносов, которые полностью удовлетворяют нашему определению
симметрии. Иными словами, если мы отметим на прямой некую точку (начало от-
счета) и будем обозначать точки прямой вещественными числами, R, то перенос t
х —> х + t,
14
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
РАДИАНЫ И ГРАДУСЫ
Соответствие между градусами и радианами следует из определения: радиан - это угловая ве-
личина дуги окружности, длина которой равна ее радиусу. Иными словами,
1 радиан « 57° 17'45”
л радиан - 180°.
Градусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Радианы 0 я/6 я/4 я/3 я/2 я Зп/2 2я
В этой книге мы будем использовать преимущественно радианы. Хотя градусы до сих пор при-
меняются очень широко (особенно в элементарной геометрии) - по традиции и из соображений
удобства (градусы позволяют избежать действий с дробями), а также из-за инертности мышления
и влияния производителей оптических инструментов, однако следует применять международную
систему мер, в которой используется радиан, а не градус.
В этой книге мы будем считать положительной величину угла, отсчитываемого против часовой
стрелки. Величина угла, отсчитываемого по часовой стрелке, будет отрицательной.
Направление измерения углов.
Радиан, который является намного более естественной величиной измерения углов, был введен
в 1713 году английским математиком Роджером Котсом (1682-1716), другом Исаака Ньютона.
который соотносит с каждой точкой х точку х + t, будет симметрией прямой А, так
как она будет смещаться вдоль себя самой, и все ее точки будут смещаться на одно
и то же расстояние t (не вдаваясь в подробности, скажем, что на множестве веще-
ственных чисел R существуют и другие виды симметрии).
Далее, когда читатель узнает о симметрии немного больше, он увидит, что этот
перенос является элементом группы Ли CL (1, R), но не будем забегать вперед.
15
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Новое измерение
Сделаем еще один шаг и перейдем к двумерным фигурам. Существует несколько при-
меров симметричных движений на плоскости, сохраняющих расстояния, как можно
видеть на следующих рисунках.
Отражение
Перенос
Скользящая симметрия
Поворот
Применим эти виды симметрии к простейшей фигуре — треугольнику с верши-
нами а, b ис. Будем рассматривать равносторонний треугольник и его центральную
точку, которая, как известно из курса средней школы, является его центром тяжести
и центром вписанной и описанной окружности.
16
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Если мы повернем треугольник на 2л/3 (или 1/3 • 2л) радиан (то есть на 120°,
или на 1/3 оборота) относительно центра
или повернем его на 4л/3 (или 2/3 • 2л) радиан (240°, или 2/3 оборота),
он не изменится. Что произойдет при повороте на 2л радиан (то есть на 360°)?
17
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Мы вернемся к тому же, с чего начали: треугольник не только останется неиз-
менным, но и его вершины будут располагаться на исходных местах. Поворот на 2Л
радиан (или на 4л, 6л, 8л и т. д.) идентичен тождественному преобразованию, от-
сутствию движения. Таким образом, треугольник обладает тремя видами симме-
трии, которые представляют собой поворот на 0, 2л/3 и 4л/3 радиан. Обозначим
HXg0,g1Hg2.
Если теперь вместо того чтобы вращать треугольник, мы отразим его относи-
тельно оси, проходящей через точку а, b или с,
мы получим еще три вида симметрии, при которых треугольник также остается неиз-
менным. Эти симметрии, помимо того, что отличаются от поворотов, описанных выше,
также обладают особым свойством (на языке математики оно называется кручени-
ем). Оси симметрии подобны зеркалам — треугольник отражается в них и меняет
ориентацию. Эти виды симметрии, зависящие от выбора оси симметрии, мы будем
обозначать ег е2, еу
18
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Таким образом, мы получили шесть видов симметрии для равностороннего тре-
угольника: g0, gp g2, ер e2, e3 — три вращения и три осевые симметрии. Используя
современные обозначения теории множеств, можно сказать, что множество
^3 ~ ^0’ &2’ еГ е2’ е3^
является множеством симметрии равностороннего треугольника (далее мы объясним,
почему это множество обозначается именно так).
Если мы применим к треугольнику любые два движения из этих шести (обозна-
чим их т и т ), результирующим будет новое движение, т , которое также будет
1 J R
принадлежать Dy
В выражении
т. • т. = т.
! ' *
знак • указывает, что сначала мы применяем к треугольнику движение т., затем т.,
и результатом является движение Специалисты записывают это именно в таком
виде, который, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Тем не менее здесь
нет никакой ошибки — такая запись продиктована соображениями удобства, что
становится очевидным в более сложных случаях. Так, например, если мы сначала
выполним е3, а затем g]; это будет записываться так:
gl*S=e2-
Математики выражают все вышесказанное несколькими словами, говоря, что •
является операцией в D3 Часто говорят, что D3 является замкнутым множеством
относительно операции •, что означает то же самое.
Если мы запишем движения D3 в виде таблицы, так что в строке п и столбце р
будет записан результат тп • т?, получим следующую таблицу:
• On. б1 в2 ез
’ад £>0 ад сто. KJ оГ ф NJ ез
ад ад СТО, KJ сто, о - т ф оГ еч Ф
ад оъ, К) •ад ад е2 ез
ei аГ ф NJ ф QJ СТО. О ад сто. К)
е2 &2 ®3 е! оо. ю •ад ад
ез ез е1 е2 ад сто, NJ ^0
19
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Мы обозначаем вращения начиная с индекса 0, так как g0 представляет собой
особый случай движения треугольника. Рассмотрим, почему это так.
Для любой симметрии, или движения т любого равностороннего треугольника,
справедливо равенство
т eg0- g0*m - го-
Движение g0 является как бы нейтральным и не изменяет результат, в каком бы
порядке мы его ни применяли. По сути, это движение действительно является ней-
тральным. В этом можно убедиться, взглянув на таблицу: строки и столбцы, соответ-
ствующие g0, остаются неизменными. Элемент, обладающий подобными свойствами
относительно некоторой операции, называется нейтральным элементом.
Пример нейтрального элемента можно встретить в элементарной арифметике: для
операции сложения при любом т справедливо равенство
m + 0 — 0 + т — т,
то есть 0 является нейтральным элементом для операции +.
Аналогично при умножении
т • 1 = 1 • т = т.
и 1 является нейтральным элементом для операции умножения.
Вернемся немного назад и обозначим движение g0 как п (первая буква слова
«нейтральный» на латыни). Тогда таблица для операции • будет выглядеть так:
• п ад б2 е1 е2 ез
Л п ад сто, КО оГ ф ко ф UJ
ад ад сто, ко Л ф UJ е1 е2
0О. KJ п ад ф ко ®3 е!
ei е1 ф ко СП ф Л ад СТО, ко
е2 е2 ез е1 сто, КО Л ад
ез ез е1 ад сто, ко Л
20
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Эта таблица соответствует множеству симметрии равностороннего треуголь-
ника. Что же будет в случае квадрата, который очевидно «более симметричный»,
чем треугольник? В самом деле, квадрат обладает восемью видами элементарной
симметрии, как показано на следующих рисунках.
Четыре из них обладают кручением, то есть если бы на нашем квадрате был написан
текст, его направление изменилось бы на противоположное.
Почтовая марка является прекрасным примером, на котором можно продемонстрировать
простейшие виды симметрии квадрата.
В этом случае также можно использовать операцию • и получить следующую
таблицу:
21
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
• Л ОД ио СО «Г oi со ф <хГ
п п од 00, NJ оо, СО ei е2 ез е4
од од ОГО, NJ 00, СО Л е4 ез е1 е2
ОД CN 'ад сто. СО Л од е2 е1 е4 - ф
СП СТО, СО Л од од ез е2 е1
«Г е1 е4 е2 ез Л ОО, NJ (JO. со од
«Г е2 ез е! е4 оо, NJ Л ОГО, оо. СО
m Ф ез е1 е4 6 ОД ого. СО Л ОГО, NJ
«Г е4 е2 ез е1 сто. СО од OI од Л
Множество симметрии квадрата будем обозначать D4. От внимательного взгля-
да специалиста не ускользнет тот факт, что не только симметрия образует замкнутое
множество движений. Отдельные части, или подмножества, таблиц также являются
замкнутыми: обратите внимание на ячейки таблицы, выделенные жирным шрифтом.
• Л ого. хе оГ оГ ез
Л Л од од е1 е2 ез
од од од Л ез е1 е2
ОД од Л од см ф ез е1
«Г е! е2 ез Л ОД ОГО, NJ
е2 е2 ез е1 ого, NJ Л ОД
ез ез е! е2 ОД Ого, NJ Л
• Л ОД од аГ аГ ф аГ
Л Л од хе — «*> од ei ег ез е4
од од хе (га W Л е4 ез е1 е2
й2 хе хе Л од е2 ei е4 ез
од од Л од хе ез е4 е2 е!
аГ е1 е4 е2 ез Л ОГО, NJ ОГО, со ОД
аГ е2 ез е1 е4 OI од Л од (Jo. со
со ф ез е1 е4 е2 од (Jo, со Л ОГО, NJ
е4 е4 е2 ез е! (Jo, со од OI од Л
22
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Рассмотрим симметрию правильного выпуклого многоугольника, число сторон
которого равно р. Именно он изображен ниже при р = 17.
Его множество симметрии состоит из р поворотов на 2л/р радиан (360°/р)
и р видов осевой симметрии: р/2 осей проходят через центр и вершины многоуголь-
ника, остальные р/2 осей проходят через его центр и середины сторон. Это множе-
ство содержит всего 2р элементов: р поворотов и р видов осевой симметрии.
Обозначив повороты буквой g (за исключением поворота на 0°, который по-
прежнему будем обозначать п), осевые симметрии — буквой е, получим множество
из 2р элементов, которое обозначим D'.
D = {n, g...., g ., е., .... е }.
р °р-1 1 р
23
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Мы не можем составить соответствующую таблицу, так как точное значение р
неизвестно. Тем не менее в этой таблице можно выделить как минимум одно замкну-
тое множество относительно операции • (в действительности их намного больше):
• п - 41 е! ер
Л п 41 е! е р
Л
... ... ...
41 41 Л 4г
е1 е1 п
е р е р п
В природе существует множество явлений, связанных с правильными много-
угольниками и диэдрическими группами. Один из наиболее известных примеров —
снежинка, которая описывается группой симметрии D6.
Фотография снежинки, сделанная Уилсоном Бентли в начале XX века. Снежинки имеют форму
шестиугольника и описываются группой симметрии D6.
24
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Промежуточная абстракция
Мы могли бы продолжить анализировать различные множества симметрии (далее
мы поступим именно так), но следует ненадолго остановиться и внести ясность. Если
мы будем использовать более подходящий язык, то сможем перейти от описаний
к абстракциям. Мы словно бы поднимемся вверх и рассмотрим тему с высоты — так
мы сможем лучше понять ее, связать все в единое целое и наделить смыслом. Именно
так обычно поступают, когда с исходными данными сложно работать и за деревьями
не видно леса. Мы потеряем некоторое время на то, чтобы переосмыслить данные,
но в результате сформулируем абстракцию, которая поможет нам лучше их понять,
и наш труд не пропадет даром.
Перейдем к абстракциям. Что могут выделить математики из всего, что было
сказано выше? Существует ли всеобщий язык, позволяющий описать все вышеска-
занное более сжато и емко?
Говорят, что на данном множестве С задана операция •, когда для двух любых его
элементов а и b всегда можно найти третий элемент с, такой, что:
а • b — с.
Итак, с тоже принадлежит G. В теории множеств это записывается так:
с Е С. Операция • является внутренней для множества G — ее результат никогда
не выходит за пределы G.
Говорят, что G является группой, когда выполняются следующие три условия.
1. На множестве G существует элемент п (он называется нейтральным элемен-
том), для которого для любого g G G выполняется равенство
g»n = n»g = g.
2. Для любого g е G существует элемент, называемый обратным, который мы
будем обозначать g1, такой, что
g • g1 = g'1* g = n.
3. Для любых элементов G, например a, b, с G G, заданная операция • обладает
ассоциативностью
(а • Ь) • с = а • (Ь • с).
25
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Все рассмотренные множества симметрии удовлетворяют этим трем условиям.
Таким образом, можно говорить о группе симметрии отрезка (с двумя элементами),
группе симметрии равностороннего треугольника (шесть элементов), группе симме-
трии квадрата (с восемью элементами) и группе симметрии правильного п-угольника
(2п элементов). Число элементов группы С, которое обычно обозначается как |С|,
называется порядком группы.
Группы с конечным числом элементов называют конечными группами, группы
с бесконечным числом элементов — бесконечными. Множество переносов пря-
мой А является бесконечной группой. Множество целых чисел
Z = {..., -3,-2, -1, 0,1, 2, 3,...}
с определенной на нем операцией + также является бесконечной группой. Нейтраль-
ным элементом для этой операции является 0, элементом, обратным произвольному
целому числу р, является целое число —р. В случае с операцией сложения обратный
элемент обычно называют противоположным:
Р + (-р) = (-р) + Р = о.
что мы записываем в более привычном виде:
р-р---р + р-0.
Множество R* ненулевых вещественных чисел (то есть множество К за исклю-
чением нуля) с определенной на нем операцией умножения • также является группой.
Обратным элементом числа г является 1/г, а нейтральным — 1:
г • 1/г -- 1/г • г = 1.
Подмножество F множества G, F CZ С, которое также является группой относи-
тельно операции • (пусть и меньшего порядка), называется подгруппой. Прежде мы
выделили жирным шрифтом некоторые подгруппы, описывающие повороты.
Основной теоремой для конечных групп является теорема Лагранжа. Доказа-
тельство этой теоремы достаточно сложно (мы не будем приводить его здесь), но ее
формулировка сравнительно проста: если F является подгруппой С, то порядок F
или число элементов F (обозначается |F|) является делителем порядка группы G,
26
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
который, как мы уже говорили, обозначается |С|. Эта теорема, согласно которой
подгруппами данной группы G могут быть только те группы, число элементов ко-
торых (|Г|) является делителем |С|, носит имя Лагранжа, однако он привел лишь
частичное ее доказательство. А окончательно доказал эту теорему итальянский ма-
тематик Пьетро Аббати (1768—1842).
Рассмотрим в качестве примера Dy порядок которой \D$ | = 6, так как эта группа
содержит шесть элементов. Следовательно, ее подгруппы могут иметь только 6, 3,
2 или 1 элемент, поскольку порядок подгруппы должен быть делителем 6. Далее
приведены таблицы для соответствующих подгрупп:
• л б2 «I б2 ез Порядок 6
л л б2 ез
£ ^2 п ез б1 б2
^2 п б2 ез е1
е1 в2 ез л ё2
б2 е2 ез е1 *2 л
ез ез е2 б2 п
• л ^2 е1 в2 ез Порядок 3
л л ^2 е1 е2 ез
^2 п ез е1 е2
&2 ^2 п е2 ез е1
е1 в2 ез л ^1
е2 е2 ез е1 ^2 л
ез ез е1 е2 ^1 л
• л ^2 б1 е2 ез Порядок 2
л л ^1 ^2 et е2 ез
л ез е1 е2
&2 ^2 п ^1 е2 ез е1
et е1 в2 ез л ^1
е2 е2 ез е! ^2 л
ез ез е! е2 л
27
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Первая группа совпадает с самой группой С, а последняя, {п}, содержит только
нейтральный элемент. Остальные подгруппы имеют порядок 3 (повороты)
{п, gr g2}
и порядок 2
{n, ej, {n, e2}, {n, e3}.
Теорема Лагранжа указывает на то, что подгрупп, содержащих четыре или пять
элементов, не существует.
28
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Если фигура имеет центр и конечную группу симметрии, содержащую исключи-
тельно повороты (такие группы называются циклическими и о них мы поговорим
чуть позже) или повороты и симметрии (такие группы называются диэдрическими),
то эти группы называются точечными группами симметрии, или группами Леонардо
в честь Леонардо да Винчи, который использовал эти разновидности симметрии при
строительстве множества церквей.
Если операция группы обладает коммутативностью, то есть для любых a, b G G
справедливо равенство
а • b = b • а,
то группа называется коммутативной. Группы симметрии обычно не являются комму-
тативными, примером этому может служить группа симметрии треугольника, так как
е1 * §2 = ез
s2 • е1 = е2-
Коммутативные группы также называются абелевыми группами в честь норвеж-
ского математика Нильса Абеля (1802—1829), именем которого названа Абелев-
ская премия — аналог Нобелевской премии в математике, присуждаемая Норвеж-
ской академией наук с 2003 года.
Если таблица группы симметрична относительно главной диагонали, как показа-
но на следующей иллюстрации, то группа является абелевой.
таблица группы
главная диагональ
29
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
По этому правилу Dn не является коммутативной, или абелевой, для п > 2. Вни-
мательный читатель наверняка заметил, что мы не определили группу D2, которая,
как логично предположить, является группой симметрии многоугольника с двумя
сторонами. Алгебраисты по некоторым причинам обозначают D2 группу с удвоен-
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (1736-1813)
Лагранж родился в Турине, в семье военного. Он быстро стал
известен в научном мире благодаря не только своему упорному
труду, но и помощи Эйлера, которого он всегда считал своим
учителем, хотя Лагранжу не выпало возможности посещать его
лекции. Когда Эйлер покинул Берлинскую академию, Лагранж
занял его место - возможно, его привлекло сложившееся о ко-
роле Фридрихе II мнение как о блестящем примере просвещен-
ного монарха - покровителе искусств и наук. Лагранж провел
в Берлине почти 20 лет. После смерти Фридриха II он переехал
во Францию, где Людовик XVI присвоил ему титул члена Париж-
ской академии наук. Ученый сделал великолепную карьеру,
женился (второй раз) на обожавшей его женщине моложе себя
и справился с депрессией. Когда его судьба, казалось, скла-
дывалась как нельзя лучше, разразилась Французская революция 1792 года, и Лагранж всерьез
опасался за свою жизнь. Тем не менее благодаря своей славе и умеренным взглядам он пережил
эти неспокойные времена, был избран президентом Палаты мер и весов и направил все усилия
на распространение десятичной метрической системы. Политические потрясения никак не ска-
зались на судьбе Лагранжа: более того, с восшествием на престол Наполеона положение ученого
даже улучшилось, и он получил графский титул. Его считали национальным достоянием и осыпали
почестями. Похоронен Лагранж во французском Пантеоне.
Он совершил огромный вклад в физику и математику и сделал множество открытий. Следует отме-
тить, что Лагранж был очень организованным человеком, и его статьи, которые он долго обдумывал,
прежде чем перенести на бумагу, отличаются завидной ясностью изложения. Говорят, что даже
самые сложные для понимания страницы его рукописей отправлялись в печать точно в таком же
виде, в каком выходили из-под его пера, без единого исправления.
Лагранж известен как создатель классической механики: он применил к механике вариационное
исчисление и свел ее к ряду дифференциальных и интегральных уравнений. Он также внес суще-
ственный вклад в астрономию и пользуется заслуженной славой первооткрывателя так называемых
30
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
ным числом элементов (равным 2-2 = 4), которая состоит из поворотов и отраже-
ний
{п, gv ег е2),
точек Лагранжа. Можно сказать, что, подобно царю Мидасу, превращавшему в золото все, к чему
он прикасался, Лагранж превращал все сложные и нерешаемые задачи механики в задачи исклю-
чительно математического анализа.
Не менее важен его вклад в теорию вероятностей и теорию чисел, однако наиболее значимые
открытия Лагранж совершил в области алгебры и теории групп, поэтому его личность представляет
для нас особый интерес. Он рассмо трел эти теории в своих работах об алгебраических уравнениях
и во многих случаях предвосхитил открытия Эвариста Галуа.
Точки Лагранжа (также называемые точками либрации), обозначенные на иллюстрации
буквой L. располагаются относительно двух небесных тел (например. Земли и Луны) так,
что тела, помещенные в эти точки, будут находиться в равновесии. Следовательно, точки
Лагранжа идеально подходят для размещения геостационарных спутников.
31
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Эта таблица напоминает схему отсчета времени промежутками в четверть часа.
Тему часов и времени мы рассмотрим в следующем разделе.
Группа Клейна описывает модель двух монет, которые могут лежать орлом или
решкой вверх. Здесь возможны четыре движения:
п: мы ничего не трогаем;
gji мы одновременно переворачиваем обе монеты;
Ср мы переворачиваем только левую монету;
е2: мы переворачиваем только правую монету.
Если теперь мы рассмотрим таблицу для этого множества движений, то увидим,
что это множество является группой и ему соответствует таблица группы Клейна.
Группа Клейна также является группой симметрии произвольного прямоугольни-
ка со сторонами разной длины. Его симметриями являются следующие.
1. Два поворота относительно центра: один — на 0 ± 2лп радиан (тождественное
преобразование), другой — на Л ± 2лп радиан, где n е Z.
2. Две осевые симметрии, их оси проходят через центр параллельно сторонам
фигуры.
32
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Эта группа изоморфна D2 (понятие изоморфизма подробно рассмотрим позднее).
При переходе от квадрата к прямоугольнику часть симметрии теряется. Группой
симметрии квадрата является Dy содержащая шесть элементов, группой симметрии
прямоугольника — D2, содержащая всего четыре элемента.
Циклы и часы
Окружность с центром в точке с обладает бесконечно большим числом различных
видов симметрии. В этом смысле окружность аналогична прямоугольнику с п сторо-
нами при п —> оо. Группа симметрии окружности является бесконечной группой, со-
держащей все возможные повороты относительно точки с, и включает все возможные
виды осевой симметрии, ось которой проходит через точку с. Рассмотрим пока только
конечное подмножество этой группы — группу 12 часов.
Задумывались ли вы когда-нибудь о том, что такая простая вещь, как цифер-
блат часов, описывается чрезвычайно сложными законами алгебры? Подтвердить
это очень просто: когда по громкоговорителю в аэропорту объявляют, что местное
время — 17 часов, все мы понимаем, что это пять часов вечера. Какой час будут
указывать стрелки часов, показывающие — 7 часов, то есть если часовая стрелка
будет смещена от 12 часов на семь цифр назад?
Как правило, когда мы называем время, мы имеем в виду и подразумеваемый
нами момент времени, и все отстоящее на него на кратное 12 число часов. Таким об-
разом, если Z — множество целых чисел, то следующие 12 частей Z, обозначенные
цифрами, выделенными жирным, будут указывать один и тот же час.
О - {..., —24, -12, 0,12, 24, 36,...}
1 = {
2 = {
3 = {
4 = {
5 = {
6 = {
7 = {
8 = {
9 = {
10 = {
11 = {
,-35, -23,-11,1,13, 25,...}
,-34, -22,-10, 2,14, 26,...}
, -33, -21, -9,3,15, 27, ...}
,-32,-20,-8, 4,16, 28,...}
, -31, -19, —7, 5,17, 29, ...}
, -30, -18, -6, 6,18, 30, ...}
, -29, -17, —5, 7,19, 31, ...}
, -28, -16, -4, 8, 20, 32, ...}
, -27, -15, -3, 9, 21, 33,...}
, -26, -14, —2,10, 22, 34,...}
,-25,-13,-1, И, 23, 35,...}
зз
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Циферблат часов, на котором обозначены часы и классы целых чисел.
Заметим, что каждое подмножество Z содержит часы а и Ь, для которых
a — b = 12п для любого п £ Z.
Таким образом, каждое подмножество можно однозначно обозначить любым
числом из тех, которые оно содержит. Например, 9 = —3 = 21 = —15 = 33 = ...
Итак, мы разделили множество всех целых чисел Z на двенадцать частей, или
подмножеств, которые обозначили 0, 1, ..., 11. Они являются непересекающими-
ся, то есть не содержат общих элементов. Каждое целое число содержится в одном
и только одном из этих 12 множеств. Какое множество, например, содержит чис-
ло 79? Так как 79 = 12- 6 + 7, 79 часов находятся в том же множестве, что и 7 ча-
сов, поскольку они отличаются на 12 • 6 часов, а это число кратно 12. Два числа
принадлежат одному и тому же множеству, если отличаются на число, кратное 12.
Можно определить сумму этих 12 множеств. Проиллюстрируем это следующей
таблицей.
34
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Таблица соответствует особому виду суммы, который обозначается знаком +
и определяется выражением а + b = с, где с — подмножество, содержащее число с.
Так, например, 8 + 11 = 7, так как 8 + И = 19, а 19 принадлежит множеству 7,
которое совпадает с множеством 19.
7 = -29, -17,-5, 7,19, 31,...}
19 = {..., -29, -17, -5, 7,19, 31,...}
И действительно, если мы отсчитаем И часов начиная с 8, то получим 7 часов.
Каждые 12 часов мы будем совершать полный оборот вокруг циферблата и начинать
сначала.
Мы построили таблицу, соответствующую группе часов циферблата. Будем обо-
значать группу часов Z12 — именно так ее обозначают многие алгебраисты. Ана-
логичным образом можно сформировать любое множество для любого п > 0.
Применим теорему Лагранжа, чтобы найти подгруппы этой группы. Так как Z12 со-
держит 12 элементов, ее подгруппы будут иметь порядок 12, 6, 4, 3, 2 и 1. Подгруппой
с 12 элементами будет сама группа Z12, подгруппой с одним элементом — тривиальная
подгруппа, поэтому мы не будем останавливаться на них подробнее. Далее приведе-
ны таблицы других подгрупп, имеющих порядок 6, 4, 3 и 2 (их элементы обведены
квадратами).
35
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Порядок 6:
Порядок 4:
+ 0 1 2 Е 4 5 0 7 8 0 10 11
Е 0 1 2 0 4 5 Е 7 8 0 10 11
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1
0 0 4 5 0 7 8 0 10 11 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4
0 В 7 8 0 10 11 0 1 2 0 4 5
7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
S 0 10 11 0 1 2 0 4 5 0 7 8
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
36
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Порядок 3:
+ И 1 2 3 Е 5 6 7 Б 9 10 11
Б Б 1 2 3 Б 5 6 7 S 9 10 11
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2
S И 5 6 7 Б 9 10 11 Б 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6
Б Б 9 10 11 Б 1 2 3 В 5 6 7
9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Порядок 2:
+ 0 1 2 3 4 5 Б 7 8 9 10 11
Б Е 1 2 3 4 5 В 7 8 9 10 11
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4
Е В 7 8 9 10 11 Б 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
37
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Вторая таблица относится к группе, описывающей четверти часа, как если бы
стрелки часов указывали не минуты, а четверти часа. Группа из двух элементов яв-
ляется группой, описывающей половины часа.
В действительности элемент 1 «порождает» группу в том смысле, что если мы
будем складывать его с самим собой, то получим любой другой элемент группы. Все
группы вида происходят от одного элемента, и все элементы этих групп получа-
ются при сложении этого элемента с самим собой. Эта группа, подобно мифическо-
му змею Уроборосу, не имеет ни начала, ни конца.
Такие группы вида ^называются циклическими и также обозначаются С . Если
на этих группах определена операция • или •, обычно используется первое обозна-
чение, если же определена операция +, используется второе обозначение. Цикличе-
ские группы всегда имеют порядок п.
Змей Уроборос, присутствующий во многих культурах,
пожирает сам себя и отлично иллюстрирует понятие циклической группы.
Этот рисунок взят из опубликованной в 1617 году книги
«Убегающая Аталанта» (Atalanta Fugiens) Михаэля Майера.
38
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Изоморфизм и другие морфизмы
Рассмотрим две описанные выше группы. Первая содержит повороты равносторон-
него треугольника.
+ 0 4 8
0 0 4 8
4 4 8 0
8 8 0 4
Замечаете сходство? Они безусловно схожи, однако обозначаются по-разному
и соответствуют разным ситуациям: первая группа описывает виды симметрии тре-
угольника, вторая — циферблат часов. Если мы установим между первым множе-
ством, которое обозначим А, и вторым, которое обозначим В, соответствие один
к одному, которое обозначим /, то во всех случаях будет выполняться равенство
39
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Эта сложная, но математически корректная запись означает, что операция • при
переходе от левого множества к правому превращается в операцию +.
Иными словами, результат будет одинаковым в обоих случаях: и если мы вы-
полним операцию • над элементами левого множества и затем перенесем результат
в правое множество посредством /, и если мы перенесем каждый элемент в правое
множество с помощью /, а затем применим к нему операцию +. Так как между мно-
жествами установлено соответствие один к одному, / имеет обратное соответствие,
/-1, для которого также выполняется равенство
f-\a + b)=f-\a)4~\bY
j-y
Обратное соответствие.
Множества А и В, на которых определены операции • и + соответственно, как
группы ведут себя абсолютно одинаковым образом.
Если между двумя группами можно установить соответствие, как между >1 и В,
то они будут вести себя одинаково, то есть такие группы равны. В действительности
они не равны, так как содержат разные элементы, принадлежащие к разным мно-
жествам, но имеют совершенно одинаковые свойства. Эти группы подобны однояй-
цевым близнецам. В математике говорят, что такие группы являются изоморфными
(от греческого isos — «равный» и morfe — «форма»), и их изоморфизм часто обо-
значается так: А = В.
Изоморфные группы обычно имеют одинаковое название. Две группы, рассмо-
тренные выше, являются циклическими группами, изоморфными группе Z3, поэтому
их часто обозначают именно так.
40
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Однако эти группы не единственные в своем роде: например, группа симметрии
трискелиона, изображенного на гербе острова Мэн, также изоморфна
Следующее неприятное изображение также является симметричным и циклич-
ным. Его группа симметрии изоморфна Z4 и содержит всего четыре элемента.
Третье изображение также является симметричным. Его группа симметрии со-
держит 12 элементов и изоморфна D6.
41
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Изоморфизм, несмотря на всю свою важность, является не единственным в сво-
ем роде. Существуют и другие соответствия между множествами, также сохраня-
ющие их «форму». Иными словами, они сохраняют операцию •, пусть и не столь
точно, как изоморфизм. Эти соответствия называются морфизмами.
Существуют еще два вида морфизмов. Изоморфизм находится посередине между
ними и отражает сохранение алгебраической структуры во всей ее полноте: две изо-
морфные группы имеют совершенно одинаковые таблицы и ведут себя абсолютно
одинаково. Они отличаются только формой записи, но по сути совпадают.
Морфизмы, которые называются гомоморфизмами, практически эквивалентны
изоморфизму. Рассмотрим несколько примеров.
Начнем с морфизма, который называется инъекцией, или мономорфизмом.
Пусть дано множество целых чисел, кратных 12, которое мы будем обозначать 12Z:
12Z = {..., -36, —24, -12, 0,12, 24, 36,...}.
На множестве 12Z, то есть на множестве чисел, кратных 12, главную роль играет
операция сложения, так как выполняются следующие условия.
1. Если а — 12п и b = 12m кратны 12, то сумма а + b — 12п + 12m = 12 (n + т)
также будет кратной 12 и будет принадлежать к 12Z. Операция + является
замкнутой на множестве 12Z.
2. О является нейтральным элементом. Кроме того, О 6 12Z, так как 0 = 12 • О
и 0 е Z.
3. Противоположным числу а = 12п, кратному 12, будет —а = 12 (—и), которое
также будет кратно 12.
4. Свойство ассоциативности доказывается тривиально: так как оно выполняется
на всем множестве Z, оно тем более будет выполняться на подмножестве Z,
каким является 12Z.
12Z прекрасно «вкладывается» в Z:
f(a + b) = 12(а + Ь) = 12а + 12Ь = /(а) + /(Ь).
42
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
12Z
Включение одного
множества в другое.
43
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Теперь соответствие / уже не является взаимно однозначным, однако каждый
элемент 12Z имеет соответствующее отображение на множестве Z. Соответствие /
в алгебре называется мономорфизмом. Так как 12Z является подмножеством Z,
12Z CZ Z, эти две группы не могут быть изоморфными. Они отличаются (одна вклю-
СИММЕТРИЧНЫЕ СИМВОЛЫ
Большинство используемых нами знаков и символов являются симметричными. Помимо до-
рожных, заслуживают внимания также опознавательные знаки. Мы уже рассказали о некоторых
из них: свастике, звезде Давида и трискелионе. Далее мы рассмотрим еще несколько очень
известных символе., которые также являются симметричными.
В романе «Код да Винчи» описана одна из разновидностей
креста - так называемый греческий крест, имеющий группу сим-
метрии D4. Обратите внимание, что при определенной ширине
перекладин креста им можно полностью замостить плоскость без
О промежутков и наложений.
Греческий крест.
Звезду Давида, символ иудеев, не следует путать со звез-
дой Лакшми, символом индуизма. Любители кино вспомнят,
что последний символ фигурировал в фильме «Розовая пан-
тера». Его группой симметрии ___
Звезда Лакшми. является Dg.
Древние египтяне создали орнамент, известный как «зерно )(
жизни», который также обладает шестиугольной симметрией. I )
• Этот символ испочьзовали Зерножизни.
\ финикийцы, которые дополни-
I ли его, создав так называемый «цветок жизни». Хотя он являет-
ся более вычурным, ему соответствует та же группа симметрии.
Цветок жизни.
44
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
чает другую), однако их связывает мономорфизм /, сохраняющий операцию, задан-
ную на множестве 12Z, при переходе к большей группе. Мономорфизм является
разновидностью изоморфизма.
Далее мы продемонстрируем еще одну разновидность морфизма, которая в ал-
гебре называется эпиморфизмом. Начнем с двух уже известных нам групп: группы
целых чисел Z, на которой определена операция +, и группы часов Z12, на которой
определена своя операция +. Между Z и Z12 существует соответствие /, опреде-
ляемое как
/(а) = а.
45
ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ
Очевидно, что речь не идет о соответствии один к одному: по сути, целые под-
множества Z соответствуют одному элементу Z12. Внимательный читатель уже на-
верняка заметил, что подмножества Z, соответствующие одному и тому же элементу
Z12, — это наши старые знакомые:
{...,-36, -24,-12, 0,12, 24,...}
{..., -35, -23, -И, 1,13, 25,...}
{..., -34, -22, -10, 2,14, 26,...}
{...,-33,-21, —9, 3,15, 27,...}
{...,-32,-20,-8, 4,16, 28,...}
{...,-31,-19,-7, 5,17, 29,...}
{...,-30,-18,-6, 6,18, 30,...}
{...,-29,-17,-5, 7,19, 31,...}
{..., -28, -16, —4, 8, 20, 32,...}
{...,-27,-15,-3, 9, 21, 33,...}
{...,-26,-14,-2,10, 22, 34,...}
{...,-25,-13,-!, И, 23, 35,...}
Соответствие / связывает их с 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 и 11. Соответствие /
является морфизмом, так как, по определению,
f(a + Ь) = а + Ь = /(а) + /(Ь);
/ отображает Z на Z]2. Такое соответствие называется сюръекцией.
Весь этот зоопарк морфизмов кажется бесполезным, если не знать о его алгебра-
ическом применении. Понятия, объясненные выше, являются основными в совре-
менной алгебре. Они составляют часть абстракции, описывающей понятия, которые
существовали в математике и до этого, но отсутствовал язык, на котором их можно
было бы описать. Нейтральные и обратные элементы, морфизмы и другие понятия
с необычными именами существовали всегда, но проявлялись постепенно, подобно
тому, как обломки корабля, потерпевшего крушение, медленно всплывают на по-
верхность воды. Сначала кажется неожиданным, что симметрия образует группы
и что необходимо подробно изучить теорию групп, чтобы понять симметрию, одна-
ко этот труд не будет напрасным. Путь к абстракции тернист, но его стоит пройти
до конца.
46
Глава 2
Что такое группа
Горнолыжный курорт полон девушек, которые ищут себе мужа,
и мужей, которые ищут себе девушку, но ситуация
не столь симметрична, как может показаться.
Алан Линдсей Маккей
Группы изначально использовались как практическое средство при решении уравне-
ний, затем они нашли применение в геометрических задачах, откуда попали в выс-
шую математику. Группы используются практически во всех разделах математики,
не говоря уже о самой объемной теореме в истории — теореме о классификации
простых групп.
Логично, что при изучении групп сначала рассматриваются простые понятия, за-
тем — более сложные. В XXI веке теория групп стала настолько сложной, что
вселяет ужас в непосвященных. В этой главе речь не идет о самых сложных по-
нятиях теории групп, поэтому усвоить ее будет довольно просто, однако для этого
потребуются определенные усилия.
Нормальные подгруппы и факторгруппы
Выберем элемент g группы С и образуем g • С — множество результатов операции •
между g и всеми элементами С. Мы получим саму группу С. Но что произойдет,
если вместо группы С мы возьмем ее подгруппу F? Рекомендуем вам самим найти
ответ на этот вопрос.
Если F — абелева группа, то будет выполняться равенство g • F = F • g, но если
F не является абелевой группой, то нельзя сказать, будет выполняться это равенство
или нет. Проверим это на простом примере с уже знакомой нам группой D4. Если
мы выберем в качестве подгруппы множество поворотов
N = {п, gv g2, g3}
и рассмотрим соответствующую таблицу, то
47
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
gi • Я - {gr g2, g3, n} = R • g.
для любого поворота g. (включая g0 = n) и
e.• R = {e., e„e.} = R • e.
для любой осевой симметрии е.. Мы получили два разных подмножества. Кроме
того, следовало ожидать, что результат этой операции не будет зависеть от порядка
операндов, так как R является коммутативной подгруппой. Однако так бывает далеко
не всегда, и результат зависит от того, где именно находится тот или иной операнд —
слева или справа. В общем случае
g • F # F • g.
На примере группы из 120 элементов можно показать, что равенство g • F = F • g
не выполняется для любой подгруппы F. Однако доказательство этого утверждения
достаточно объемно, поэтому мы не будем приводить его здесь. Подмножества g • F
называются классами смежности F.
Подгруппа N группы С, которая удовлетворяет условию
g»N = N • g
для всех g е С, называется нормальной подгруппой. Нормальные подгруппы иногда
также называют инвариантными.
Рассмотрим еще один пример, в котором фигурирует уже известная нам группа
часов. Пусть дана большая группа — Z и меньшая подгруппа — 12Z, содержащая
целые числа, кратные 12,
12Z - {..., -36, -24, -12, 0,12, 24, 36,
Эта подгруппа является абелевой, то есть нормальной. Операция, определенная
на группе 12Z, — это операция +. Если а = 12п и b =\2т кратны 12, а + Ь = 12п +
+ 12m = 12(п + т) = с; с также кратно 12, следовательно, с G 12Z. Остальные
условия, которым, по определению, должна удовлетворять группа, мы уже доказали
ранее: вместо С, N и • речь шла о Z, 12Z и +.
Продолжим рассматривать эквивалентности: какие множества G мы обозначили
g • N, или классами смежности /V? В нашем примере нас интересуют подмножества
целых чисел Z, которые мы обозначили как g + 12Z. Составим их:
48
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
-И + 12Z = {
-10 + 12Z = {
—9 + 12Z = {
-8 + 12Z = {
—7 + 12Z = {
-6 + 12Z = {
—5 + 12Z = {
—4 + 12Z = {
-3 + 12Z = {
—2 + 12Z = {
-1 + 12Z = {
0 + 12Z = {
1 + 12Z = {
2 + 12Z = {
3 + 12Z = {
4 + 12Z = {
5 + 12Z = {
6 + 12Z = {
7 + 12Z = {
8 + 12Z = {
9 + 12Z = {
10 + 12Z = {
И + 12Z - {
12 + 12Z = {
13 + 12Z = {
14 + 12Z - {
15 + 12Z = {
16 + 12Z = {
17 + 12Z = {
18 + 12Z = {
19 + 12Z = {
20 + 12Z = {
21 + 12Z = {
22 + 12Z = {
.,-35, -23,-11,1,13, 25,...}
.,-34, -22,-10, 2,14,26,...}
., -33, -21, —9, 3,15,27,...}
., -32, -20, -8, 4,16, 28,...}
., -31, -19, -7, 5,17, 29,...}
.,-30,-18,-6, 6,18, 30,...}
.,-29,-17,-5, 7,19, 31,...}
.,-28,-16,-4, 8, 20, 32,...}
., -27, -15, -3, 9, 21, 33,...}
.,-26,-14, —2,10, 22, 34,...}
.,-25,-13,-1, И, 23, 35,...}
., -36, -24, -12, 0,12, 24,...}
.,-35, -23,-11,1,13, 25,...}
.,-34,-22,-10, 2,14,26,...}
., -33, -21, -9, 3,15, 27,...}
., -32, -20, -8, 4,16, 28,...}
., -31, -19, 27, 5,17, 29,...}
.,-30,-18,-6, 6,18, 30,...}
.,-29,-17,-5, 7,19, 31,...}
.,-28,-16, -4, 8, 20, 32,...}
.,-27,-15, -3, 9, 21, 33,...}
.,-26,-14,-2,10, 22, 34,...}
., -25, -13, -1,11, 23, 35,...}
., -36, -24, -12, 0,12, 24,...}
.,-35,-23,-11,1,13, 25,...}
., -34, -22, -10, 2,14, 26,...}
.,-33,-21,-9, 3,15,27,...}
., -32, -20, -8, 4,16, 28, ...}
.,-31,-19,-7, 5,17, 29,...}
., -30, -18, -6, 6,18, 30,...}
.,-29,-17,-5, 7,19, 31,...}
., -28, -16, —4, 8, 20, 32,...}
.,-27,-15,-3, 9, 21, 33,...}
.,-26,-14, -2,10, 22, 34,...}
49
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Эту запись можно продолжать бесконечно, но вы уже увидели, что существует
всего 12 различных подмножеств Z, или классов смежности 12Z.
Два класса смежности а + 12Z и b + 12Z совпадают при а — b е 12Z. В общем
случае это записывается так (вспомните о ранее описанной нами эквивалентности
групп, согласно которой + меняется на •, a 12Z — на N): два элемента а и b группы С
принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда а • b-1 6 N.
Различные классы смежности в нашем примере могут выглядеть так:
О + 12Z = {.
1 + 12Z = {.
2 + 12Z = {.
3 + 12Z = {.
4 + 12Z = {.
5 + 12Z = {.
6 + 12Z = {.
7 + 12Z = {.
8 + 12Z = {.
9 + 12Z = {.
10 + 12Z = {.
И + 12Z = {.
., -36, -24, -12, 0,12, 24,...}
.,-35,-23,-11,1,13, 25,...}
., -34, -22, -10, 2,14, 26,...}
.,-33, -21,-9, 3,15, 27,...}
., -32, -20, -8, 4,16, 28, ...}
., -31, -19, —7, 5,17, 29,...}
.,-30,-18, -6, 6,18, 30,...}
.,-29,-17,-5, 7,19, 31,...}
., -28, -16, —4, 8, 20, 32,...}
.,-27,-15, -3, 9, 21, 33,...}
., -26, -14, —2,10, 22, 34,...}
.,-25,-13,-!, И, 23, 35,...}
Теперь переходим к понятию факторгруппы. Если мы рассматриваем группу G
и нормальную подгруппу N, для любого g 6 G можно рассмотреть подмножества С,
называемые классами смежности N, определяемые как g • N, которые удовлетворя-
ют равенству g • N = N • g. Обозначим это новое множество как G//V:
G/A' = {g.N,gEG}.
Для простоты обозначим классы смежности как g:
g= g»N.
На этом новом подмножестве очень просто определить операцию •, таким об-
разом, множество становится группой. Достаточно определить
St * ё2 = * N-
50
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Пример с часами поможет лучше понять этот вопрос. Рассмотрим факторгруппу
Z/12Z. Классами смежности 12Z являются:
О + 12Z = {
1 + 12Z = {
2 + 12Z = {
3 + 12Z = {
4 + 12Z = {
5 + 12Z = {
6 + 12Z = {
7 + 12Z = {
8 + 12Z = {
9 + 12Z = {
10 + 12Z = {
И + 12Z = {
.,-36,-24,-12, 0,12, 24,...} = О
.,-35,-23,-И, 1,13, 25, = 1
., -34, -22, -10, 2,14, 26, ...} = 2
.,-33,-21,-9, 3,15, 27,...} = 3
.,-32,-20, -8, 4,16, 28, ...} = 4
.,-31,-19,-7, 5,17, 29,...} = 5
., -30, -18, -6, 6,18, 30,...} = 6
.,-29,-17,-5, 7,19, 31, ...} = 7
.,-28,-16,-4, 8, 20, 32,...} = 8
., -27, -15, -3, 9, 21, 33,...} = 9
., -26, -14, —2,10, 22, 34, ...} =10
.,-25,-13, -1, И, 23, 35, ...} = 11
Их можно обозначить цифрами, выделенными жирным шрифтом. Если мы определим
сумму классов так, как указано выше,
а + Ь = (а + Ь) + 12Z,
и группе будет соответствовать таблица
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
51
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
то полученной группой будет Z12 (точнее изоморфная ей). Таким образом:
Z/12Z Z12.
Для группы симметрий квадрата D4 нормальной подгруппой будет R — под-
группа поворотов, а классами смежности — два следующих класса:
n»R = {gr g2, gy n} = R • n
= {gvgrgyn}=
g2*R = ^1’^2’ = R'g2
g3*R = {grgrgyn} = R9g3
et • R = {er e2, ey e4} = R • ex
e2 • R — {ep e2, ey e4} — R • e2
e3« R = {er e2, e3,e4} = R • e3
e4*R = {er e2, e3,e4} = R • e4
Эти два класса будут равны при а • b 1 R.
Если мы обозначим классы смежности я и е:
" - {gr g2’
е= {ег е2, еуе4},
то, рассматривая их как факторгруппу, получим таблицу
• Л е
Л Л е
е е Л
которая соответствует уже знакомой нам группе из двух элементов, изоморфной Z2:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
DJR = Z7.
4' 2
52
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Кроме того, этот пример помогает понять, почему в обозначении факторгруппы
используется знак деления —/. Для конечных групп справедливо равенство
\ст • |м = ici,
или, что аналогично,
|G/JV| = |С|/|Л|.
Порядок факторгруппы равен частному порядков групп.
Если группа С имеет множество подгрупп, которые последовательно содержатся
одна в другой, начиная от тривиальной подгруппы и заканчивая самой группой С
{n} = С. С С7С С, С ... С С = С,
где
1) все С (за исключением последней, С) являются нормальными и
2) последовательные факторгруппы С. + / С. являются абелевыми,
то говорят, что группа G является разрешимой.
Мы прошли намеченный путь до конца и дошли до определения разрешимой
группы, что было непросто. Представьте себе, каких усилий этот же путь стоил совре-
менникам Эвариста Галуа — гениального математика, который создал эти и другие
понятия чуть менее 200 лет назад.
И самое удивительное, что свою теорию Галуа создал, занимаясь не изучением
симметрии, а решением уравнений.
Симметрическая группа
Если вести речь о конечных группах, то симметрическую группу можно назвать ма-
терью всех групп: эта группа определяется последовательно для каждого числа и,
обозначается 5п и имеет и! элементов, то есть их число очень быстро возрастает
по мере увеличения и.
Начнем с простейших симметрических групп. В общем случае 5п является мно-
жеством перестановок п объектов. Допустим, что этими объектами являются буквы
латинского алфавита, хотя ими могут быть любые буквы, цифры, разноцветные ша-
53
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
рики и т. д. Все симметрические группы изоморфны. Запишем перестановки р} и р2
четырех объектов. Для удобства запишем
Рх =
abed
с a b d
’Р2 =
abed
b d с а
Операция на этой группе определяется самым естественным способом. Какое
место займет а? Как следует из обозначения р2, а займет место Ь. А какое место зай-
мет Ь? Как следует из определения р]; b займет место а. Таким образом, в конечном
итоге а займет место а. Продолжив рассуждения, получим перестановку
Рз =
а b с d
a d b с
Запишем р} • р2 = р3, что совершенно логично. Операция над перестановками
заключается в том, что сначала мы выполняем одну перестановку (ту, что указана
справа, как мы говорили выше), затем вторую. Результатом является новая пере-
становка, которая либо совпадает с одной из исходных, либо не совпадает.
Структура группы становится очевидной, когда перестановки являются ассоциа-
тивными, и существует нейтральный элемент — особая перестановка:
с d
abed
abed
которая заключается в том, что все объекты остаются на своих местах. Также суще-
ствует обратный элемент: если
Р =
abed
b d а с
то обратной перестановкой будет та, при которой все возвращается на свои места:
-1
Р
abed
с a d b
Таким образом, р • р 1 = р 1 • р = п.
54
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Группа перестановок трех объектов.
55
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
п! (п-факториал)
Это любопытное название в действительности представляет собой математическое обозначение.
Если л - целое положительное число, то л! обозначает произведение
л! = л • (л-1) • (л-2) •... • 3 • 2 • 1
и произносится как «л факториал». По определению полагают
О! = 1.
Это понятие впервые ввел малоизвестный французский математик Кристиан Крамп (1760-
1826) в далеком 1808 году. Число л! возрастает очень быстро, как показано в следующей таблице,
взятой в Интернете:
л л!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3628 800
И 39 916 800
12 479 001 600
13 6227 020 800
14 87 178 291200
15 1307 674 368 000
20 2432 902 008176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
56
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Формула Стирлинга позволяет получить представление о величине п! и очень красива сама
по себе:
। F)—( п Y
п! = \J2nr, —
Iе 7
Определение п! можно расширить для любого п, необязательно целого и положительного, од-
нако для этого требуются методы высшей математики и определение гамма-функции Г. С другой
стороны, одним из наиболее известных примеров использования п/ является ряд
V 1 11111
£п! О! 1! 2! 3! 4!
который позволяет весьма элегантным образом вычислить значение числа е.
Существует очень интересная задача, которую в свое время решил Якоб Бернулли (1654-1705):
придя на праздник, п гостей оставили у входа свои шляпы. Какова вероятность того, что на выходе
все шляпы перепутаются и никто из гостей не получит свою шляпу назад? Бернулли вычислил, что
ответом к задаче о шляпах будет величина
11 1 / iV’ 1
о =1---+ —+ — + ... + I-1) —.
п 1! 2! 3! v 7 л!
И это при том, что ему еще не было известно понятие факториала!
Вернемся к Sn, так как следующее утверждение относится к любой симметрической
группе. Каждая перестановка р группы Sn имеет знак и является положительной или
отрицательной, хотя на первый взгляд это незаметно. Транспозицией называется
перестановка, которая меняет местами только два элемента. Легко увидеть (однако
непросто доказать), что любая перестановка является результатом последовательного
выполнения нескольких транспозиций. Если число транспозиций четное, то р является
положительным, если число транспозиций нечетное, р отрицательно.
Число перестановок п элементов, как известно из курса средней школы, рав-
но п/, то есть
|S I = п!
1 п1
57
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Множество всех положительных транспозиций обозначается Ап и называется
знакопеременной группой порядка п. Разумеется, GZ 5^.
Знакопеременная группа не является абелевой при п > 3. Так как число положи-
тельных и отрицательных перестановок совпадает, \А | = |Sj/2.
S образована всеми возможными перестановками единственной буквы, напри-
мер а. Существует единственная перестановка, преобразующая выражение «а»
в «а». Группа St содержит единственный элемент, поэтому является тривиальной
группой, единственным элементом которой является нейтральный элемент.
S2 — это множество перестановок двух элементов:
b а b
, Р =
b h а
Эта группа изоморфна Z2, является циклической и, разумеется, абелевой.
53 изоморфна группе симметрии равностороннего треугольника, то есть
53 = D3‘ 53. Она содержит шесть элементов и при этом не является абелевой, так же
как ими не являются последовательные симметрические группы Sn.
54 совпадает с группой симметрии тетраэдра — правильного многогранника
с четырьмя вершинами. Она содержит 12 поворотов и 12 видов симметрии с кру-
чением. 54 изоморфна группе поворотов куба, таким образом, полная группа сим-
метрии многогранника является подгруппой симметрии следующего многогранника.
55 — особый случай, так как она не только содержит 120 перестановок, что само
по себе внушает уважение, но также, как вы увидите чуть позже, $5 является первой
неразрешимой симметрической группой, и все последующие также являются нераз-
решимыми. Следствием этого стала знаменитая теорема Галуа: не существует ариф-
метической формулы для решения всех уравнений пятой степени и выше.
Разумеется, позже мы вернемся к группе S5 и рассмотрим, почему она является
неразрешимой. Пока запомните, что неразрешимость означает отсутствие последо-
вательности из нормальных подгрупп, оканчивающейся 55:
{n} = С,С С7С С, С ... С С =5.,
все промежуточные факторгруппы которой являются абелевыми. Таким образом,
сначала нужно рассмотреть нормальные подгруппы $5 и определить, являются они
разрешимыми или нет.
Еще один важный результат, связанный с симметрическими группами, был полу-
чен Артуром Кэли: любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе симме-
тричной группы.
58
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
АРТУР КЭЛИ (1821-1895)
Один из известнейших математиков всех времен 13 лет проработал адвокатом, чтобы обеспечить
свое существование. Хотя Кэли родился в Великобритании, раннее детство он провел в России,
где работал его отец. В Кембридже таланты Кэли стали особенно заметны: он был лучшим в мате-
матике и проявил себя как знаток иностранных языков - кроме родного языка, свободно владел
итальянским, немецким, французским, греческим.
Кэли закончил обучение и стал адвокатом, добившись заметных успехов и на этом поприще.
Шли годы, и финансовое положение славной Лукасовской кафедры, которую в свое время воз-
главлял Исаак Ньютон, улучшалось. Университет смог предложить преподавателям более достой-
ное жалование, и Кэли оставил карьеру адвоката, посвятив себя своему истинному призванию,
намного менее доходному. Областью его исследований были математический анализ, кватернио-
ны, матрицы и 'пределители, а также геометрия n-мерного пространства, но сегодня он известен
прежде всего благодаря работам по теории групп. Именно Кэли изучил теорию групп, которая
ранее рассматривалась исключительно в привязке к решению уравнений, как абстрактную тео
рию и придал ей независимый и универсальный характер. Вместе с другом и коллегой Джеймсом
Джозефом Сильвестром (1814-1897) он совершил множество ценных научных открытий.
График вращений
игрального кубика,
составленный
Кэли. Благодаря
использованию цветов
и вспомогательных
элементов порой
запутанная структура
группы становится
простой и интуитивно
понятной. Эта группа
изоморфна группе S4,
которая не является
коммутативной, — это
означает, что, в отличие
от преобразований
на плоскости, повороты
в пространстве
необязательно обладают
коммутативностью, если
их оси вращения
не совпадают.
59
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Группа х Группа = Новые группы
Группы напоминают детали конструктора «Лего»: из двух и более элементов мож-
но составлять новые элементы и различные конструкции. Существует стандартная
процедура, позволяющая составить из двух групп одну, большего размера: если А
и В — группы, на которых определены операции • и ° соответственно, то так на-
зываемое декартово произведение множеств, обозначаемое А х В,
А х В = {(а,Ь), при а С A, b £ В},
составленное из пар элементов множеств А и В, можно очень просто преобразовать
в группу, определив на нем новую операцию * на основе вышеуказанных операций:
(ar bj * (а2, b2) = (fll • а2, о Ь2).
Иными словами, с помощью операции * можно определить группу Л х В. Будьте
внимательны с обозначениями — иногда между полученной группой и исходными
нет никакой связи. Однако для конечных групп всегда будет выполняться равенство
и X BI = И1 • |В|.
Таким образом можно составить, например, группу Z2 х Z2, которая, как нам
уже известно, будет содержать четыре элемента. Если теперь мы построим таблицу
для Z2 х Z2 вручную и для краткости будем использовать следующие обозначения
(О, 0) = а
(1, 0) = b
(0, 1) = с
(1, 1) = d,
то получим таблицу:
• a b c d
a a b c d
b b a d c
с с d a b
d d c b a
60
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Если вам интересно, что это за группа, возьмите нашу старую знакомую D2, или
группу Клейна:
• п аГ О м
п п 'ед е! в2
'ед п в2
оГ е1 в2 'ед п
О м в2 п 'ед
и установите следующий изоморфизм:
Таким образом, Z2 х Z2 = D2. Напротив, группа Z2 х Z3 имеет 2-3 = 6 эле-
ментов, как и Dy но — увы! — они не изоморфны. Первая из этих групп является
абелевой, вторая — нет. Группы подобны детям: даже с маленькими, с ними по-
рой не все просто. Перед тем как перейти к следующему вопросу, попробуем рас-
смотреть, что происходит с факторгруппой и есть ли схожесть между декартовым
произведением множеств и обычным умножением. Начнем с простого примера:
Z2 х Заменим а на О, b на 1, с на 2 и d на 3, чтобы сделать наш пример более
61
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
Это «числитель», или произведение групп, a Z2 является его нормальной подгруппой:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
Классы смежности таковы:
О + Z2 = {0, 1} (обозначим его, например, как 0),
1 + Z2 = {0, 1} (то есть 0),
2 + Z2 = {2, 3} (обозначим его, например, как 1),
3 + Z2 = {2, 3} (то есть 1),
с таблицей
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
которая очевидно изоморфна Z2, таким образом,
Z2 х Z2 / Z2 = Z2.
Похоже, что между группами и числами действительно имеется схожесть. Нетруд-
но увидеть (однако доказательство этого утверждения достаточно объемно), что
в общем случае
А ХВ/А = В.
Группы, группы, группы...
Вы уже увидели, что существует великое множество групп. Существуют конечные
группы и бесконечные, например группа симметрии сферы. Существуют группы,
которые обладают фиксированным центром, например группы симметрии правиль-
ного многоугольника или куба, которые называются точечными группами. Также
существуют группы, имеющие несколько и даже бесконечно много центров, — они
62
ЧТО ТАКОЕ ГРУППА
описывают симметрию фризов и кристаллов. Некоторые группы изоморфны произ-
ведениям других, более простых групп, некоторые — нет, некоторые группы содержат
подгруппы, другие их не содержат (такие группы называются простыми).
Простые группы подобны блокам, из которых можно построить все остальные
группы. В XXI веке задача о нахождении всех возможных простых групп успеш-
но решена, однако это решение приходится принять на веру, так как полное до-
казательство грандиозной теоремы о классификации простых групп в первой ре-
дакции насчитывало свыше 10000 страниц (согласно другим источникам, 15000,
некоторые исследователи исключают ряд статей и оценивают объем доказательства
«всего» в 5000 страниц). Путем последующих упрощений (на данный момент их
насчитывается три) объем доказательства сократился до 6000 страниц, но и это по-
истине колоссальная цифра. Уточним, что понимается под простой группой: группа,
содержащая более одного элемента, является простой, если она не содержит других
нормальных подгрупп, кроме себя самой и единичной подгруппы.
Простейшими примерами простых групп являются абелевы группы. Найти про-
стые неабелевы группы сложнее: так, одной из таких групп является уже знако-
мая нам знакопеременная группа Ау Она имеет порядок 60 и является наименьшей
из всех простых неабелевых групп. Следующая подобная группа носит пышный ти-
тул «проективная специальная линейная группа» и имеет порядок 168. Но это ничто
по сравнению с простой неабелевой группой, называемой «группой-монстром», ко-
торая имеет порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961710 757 005 754 368
000000000.
63
Глава 3
Симметрия в нескольких
измерениях
Picture yourself in a boat on a river,
With tangerine trees and marmalade skies.
Somebody calls you, you answer quite slowly,
A girl with kaleidoscope eyes.
Lucy in the Sky with Diamonds (The Beatles)1
«Алиса в Зазеркалье» — это известное литературное произведение, вторая часть
«Алисы в стране чудес». Его автор, англиканский священник и фотограф-люби-
тель Льюис Кэрролл, был также математиком и логиком. Это можно понять и по его
произведениям, которые, помимо сказок, легенд, песен и стихотворений викториан-
ской Англии, наполнены многозначностями, логическими парадоксами, абсурдными
и одновременно удивительными ситуациями. Обе книги уже долгое время занимают
особое место на полках библиотек и в сердцах читателей. В «Алисе в Зазеркалье»
Алиса с помощью простого зеркала попадает в иную реальность.
Иллюстрация Джона Тенниела к «Алисе в Зазеркалье» Льюиса Кэрролла.
1 Представь, что ты плывешь в лодке по реке,
Вокруг мандариновые деревья и мармеладные небеса.
Кто-то окликает тебя, и ты неохотно отвечаешь
Этой девочке с калейдоскопическими глазами (Прим. ред.).
65
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Свет мой, зеркальце...
Зеркало лежит в основе пространственной симметрии, а именно зеркальной, при
которой все точки заменяются на их зеркальные отражения.
С зеркальной симметрией связано еще одно понятие — хиральность, самым
ярким примером которой является простая пара перчаток: одна из них является
зеркальным отражением другой, и правая и левая перчатки не совпадают. Правую
перчатку нельзя надеть на левую руку (и наоборот), так как перчатки (и руки) об-
ладают хиральностью, то есть не совпадают со своими зеркальными отражениями.
При одинаковой форме их ориентация отличается: одна из них является левовра-
щательной (та, что ориентирована влево), другая, та, что ориентирована вправо, —
правовращательной. Каждая перчатка является в некотором роде «антиперчаткой»
другой.
Схема зеркальной симметрии, иллюстрирующая понятие хиральности.
Сами молекулы белков являются хиральными — так, например, человеческое
тело состоит только из левовращательных белков, жиров и углеводов, то есть их
структура представляет собой спираль левого вращения. Вопрос о том, почему они
имеют именно такую структуру, выходит за рамки теории групп — оставим его био-
логам.
Рассмотрим обычную бытовую ситуацию: люди в парикмахерской обычно сидят
напротив стены с зеркалами, и когда мастер заканчивает работу, он подносит зеркало
66
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Знаменитая картина Яна ван Эйка «Портрет
четы Арнольфини», 1434 год. На заднем
плане, в небольшом зеркале, размеры
которого не превышают 5 см, отражается
вся комната, окно, персонажи картины
и еще два человека, расположенные там,
где стоит предполагаемый наблюдатель.
к голове клиента сзади, чтобы тот мог посмотреть, ровно ли подстрижены волосы
на макушке. Клиент смотрит в зеркало, расположенное перед ним (у него ведь нет
глаз на затылке), и видит все, включая отражение своей головы во втором, маленьком
зеркале.
Геометр задался бы вопросом: что видит клиент — свой затылок или «антиза-
тылок»? На изображении в зеркале, которое держит парикмахер, левое и правое ме-
няются местами, но так как клиент видит это изображение, отраженное во втором,
большом зеркале, то для него левое и правое располагаются на своих местах, по-
скольку хиральное изображение хирального изображения, как подсказывает здра-
вый смысл, совпадает с исходным. Таким образом, клиенты парикмахерской знают
(если, конечно, они вообще задавались этим вопросом): когда мастер подносит к их
голове зеркало, они видят подлинное изображение прически, а не его зеркальное
отражение. Они видят прическу не «в Зазеркалье», а точно так, как ее будут видеть
все остальные.
Каково математическое следствие этого факта? Оно звучит так: две зеркальные
симметрии, выполненные последовательно, эквивалентны простому переносу, при
котором каждая точка переносится на расстояние, равное сумме расстояний от нее
до каждой оси симметрии.
67
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Асимметричны объект
Отражение 1
Отражение 2
Последовательное выполнение двух зеркальных симметрий, оси которых распо-
ложены параллельно, эквивалентно переносу в направлении движения.
Если оси симметрии не параллельны, то плоскости симметрии пересекаются под
углом ОС, линией пересечения является прямая R, и результат будет равносилен по-
вороту на угол 2ос относительно R.
Зеркальная симметрия обладает любопытным свойством, связанным с особен-
ностями зеркал: если смотреть в зеркала, расположенные так, как показано на сле-
дующем рисунке, то в отражении левое и правое не будут меняться местами.
68
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Зеркальная симметрия используется во многих знаменитых сценах мирового кино,
как, например, в этом эпизоде фильма «Леди из Шанхая» (The Lady from Shanghai)
Орсона Уэллса.
69
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
КАЛЕЙДОСКОП
Калейдоскоп - это оптический прибор-игрушка, в котором используется несколько плоскостей
Схема плоскостей симметрии калейдоскопа.
Когда две плоскости симметрии расположены под углом л/3 или л/4, то мы видим шесть или
восемь изображений предмета, расположенного между ними (так как отражение предмета также
отражается в обоих зеркалах). Разумеется, это же соотношение справедливо и для угла л/л, при
котором мы видим 2л изображений. Нужно понимать, что эта простая игрушка позволяет получить
столь удивительные и непохожие друг на друга изображения благодаря свойствам зеркальной
симметрии и предметов, отражающихся в зеркалах.
70
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Может показаться странным, но обнаружить зеркальную симметрию иногда бы-
вает непросто, и для этого требуется использовать средства математического анали-
за, поскольку предполагаемую зеркальную симметрию иногда нельзя увидеть, как,
например, в случае со сложной теорией струн, где используются столь загадочные
понятия, как многообразие Калаби — Яу. Оно представляет собой не поверхность,
а проекцию, так как многообразие Калаби — Яу является многомерным, но доступ-
но для нас лишь в виде скромной и блеклой двумерной проекции.
Многообразия Калаби — Яу всегда присутствуют в паре, где одно многообразие
является энантиоморфным другому.
Пример двумерной проекции многообразия Калаби — Яу.
Некоторые примеры в пространстве
Мы уже рассмотрели простейшие виды симметрии правильного многоугольника.
Рассмотрим теперь симметрию некоторых правильных многогранников. Эта задача
не будет необъятной: в то время как существует бесконечное множество правильных
многоугольников, правильных многогранников, или так называемых платоновых тел,
всего пять: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. К сожалению,
изучение симметрии многогранников — непростая задача. Взявшись за ее реше-
ние, вы вскоре обнаружите, что группы симметрии многогранников сложны и имеют
огромные размеры.
71
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Начнем с тетраэдра, простейшего из правильных многогранников, который име-
ет четыре вершины, шесть ребер и четыре грани. Число элементов в его группе сим-
метрии будет равно числу перестановок его вершин. Тетраэдр обладает 24 видами
симметрии. Он содержит несколько осей вращения, и некоторые из них обнаружить
непросто.
Оси вращения тетраэдра.
Повороты относительно четырех осей, проходящих через вершины тетраэдра, име-
ют угол 2п/3, повороты относительно трех осей, проходящих через середины ребер,
имеют угол П. Таким образом, группа симметрии тетраэдра содержит 12 собственных
поворотов — так в геометрии называются повороты вокруг оси.
Чтобы найти все возможные симметрии, которых насчитывается 24, нужно рас-
смотреть так называемые несобственные движения: шесть отражений относительно
плоскости (зеркальных симметрий) и шесть видов симметрии, представляющих собой
зеркальную симметрию с одновременным вращением вокруг оси, перпендикулярной
плоскости зеркала.
72
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА
Платоновы тела - это правильные выпуклые многогранники в трехмерном пространстве. Они
впервые упоминаются в диалоге Платона «Тимей» (отсюда и название), который наделяет их
магическими свойствами: так, тетраэдры символизировали огонь, октаэдры - воздух, икоса-
эдры - воду, гексаэдры - землю, додекаэдры - небесный свод.
В каждой вершине правильных многогранников сходится одинаковое число ребер, имеющих
равную длину, а грани этих многогранников являются правильными многоугольниками. Их гео-
метрические свойства приведены в таблице.
Тетраэдр Гексаэдр Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр
Платоновы тела
Число граней 4 6 8 12 20
Число ребер 6 12 12 30 30
Число вершин 4 8 6 20 12
Таким образом, всего насчитывается две группы Т CI Td, одна из которых (Т)
содержит 12 собственных вращений, другая, большего размера (Td) — все 24 вида
симметрии.
Увидев, что группа симметрии тетраэдра достаточно сложна, читатель может пред-
положить, что группа симметрии куба еще сложнее. Это не совсем так, поскольку
мысленно представить куб легче, чем тетраэдр.
Куб иллюстрирует три измерения пространства, три привычные нам оси коор-
динат.
Собственными вращениями куба являются повороты на угол 2л/3 вокруг четы-
рех осей, проходящих через его вершины, повороты на угол Л/2 вокруг трех осей,
проходящих через центры граней, и, наконец, повороты на угол Л вокруг шести осей,
проходящих через середины ребер.
73
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Слева направо — собственные вращения куба: три поворота вокруг осей,
проходящих через центры граней, четыре поворота вокруг осей, проходящих через вершины,
и шесть поворотов вокруг осей, проходящих через середины ребер.
Таким образом, группа симметрии куба, называемая О, содержит всего 24 соб-
ственных вращения. Рассмотрев различные виды отражений, получим 48 различных
видов симметрии и группу Оh, которая удовлетворяет условию
осог
Л
Может показаться, что симметрия следующего многоугольника, октаэдра, слож-
нее, чем куба, но это не так. В трехмерном пространстве куб и октаэдр являются
двойственными. Если говорить просто, то это означает, что куб и октаэдр связаны
между собой, и если мы соединим линией середины граней куба, то получим ок-
таэдр, и наоборот. Вследствие двойственности эти многогранники обладают одной
и той же группой симметрии.
Октаэдр и куб являются двойственными многогранниками.
74
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
КУБ БЕЗ СИММЕТРИИ
Существует асимметричный гексаэдр - это так называемый куб
Эшера, который не может существовать в нашем трехмерном про-
странстве, описываемом законами евклидовой геометрии. В одном
из произведений Эшера, «Бельведер», изображен этот куб в окру-
жении других невозможных фигур.
Это несколько упрощает ситуацию: додекаэдр и икосаэдр также являются двой-
ственными, поэтому достаточно найти группу симметрии только для одного из этих
многогранников. Не бойтесь, мы не станем поддаваться искушению и подсчитывать
все возможные виды симметрии, а лишь укажем, что эта группа содержит 60 соб-
ственных вращений и всего 120 элементов. Если вы хотите решить эту задачу са-
мостоятельно, дадим подсказку: число осей вращения икосаэдра, например, равно
десяти для угла 2л/3, шести — для угла 2л/5 и 15 — для угла Л.
Додекаэдр и икосаэдр являются двойственными многогранниками.
Невыпуклые и неправильные многогранники
Существует всего пять платоновых тел, но было бы ошибкой думать, что на этом
изучение групп симметрии в пространстве заканчивается. Помимо правильных много-
гранников, существует множество других. Однако, так как их стороны и углы не рав-
ны между собой, их группы симметрии не столь велики, поэтому изучение таких
многогранников немного проще.
75
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Платоновы тела являются правильными многогранниками. Однако они составля-
ют лишь небольшую часть возможных многогранников: также существуют полупра-
вильные многогранники, многогранники Кеплера — Пуансо, усеченные, звездчатые,
каталановы тела, многогранники Джонсона, жесткие и изгибаемые, а также много-
гранники с такими экзотическими названиями, как ромбоикосододекаэдр, кубоок-
таэдр или ромбокубоктаэдр. Все они обладают той или иной симметрией, и группы
симметрии некоторых из них содержат колоссальное число элементов. Некоторые
блестящие умы, как, например, Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1907—2003),
владели этой темой в совершенстве, недостижимом для простых смертных.
Пространственное воображение Коксетера было столь сильно, что он рассма-
тривал многогранники в многомерных пространствах, так называемых политопах.
Например, он изучал симметрию правильного четырехмерного 120-гранника —
гипердодекаэдра, имеющего 600 вершин, 1200 ребер, 720 пятиугольных граней
и 120 трехмерных граней в форме додекаэдра. Четырехмерный многогранник, по-
мимо обычных вершин, ребер и граней, также содержит трехмерные элементы —
в данном случае это додекаэдры. Его двумерная проекция напоминает фигуру, изо-
браженную на иллюстрации ниже, — двумерную азимутальную проекцию.
Для специалистов одна из основных трудностей — определение многогранника.
До сих пор не выработана единая точка зрения по этому вопросу, и единственное,
с чем согласны все (если речь идет о трех измерениях), — это то, что ребро много-
гранника определяется двумя его гранями.
76
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
ГАРОЛЬД СКОП МАКДОНАЛЬД КОКСЕТЕР (1907-2003)
Такие личности, как Гарольд Коксетер, редко становятся из-
вестными широкой публике. Тем не менее в научном мире он
стал легендой и образцом для подражания. Коксетер написал
первую статью в 17 лет, последняя была издана уже после его
смерти. Он занимался изучением групп почти 80 лет, и вполне
можно сказать, что был влюблен в них.
Среди многочисленных знакомых ученого были Бертран Рас-
сел, Людвиг Витгенштейн и Мауриц Эшер. Чтобы дать читателю
представление о том, каким человеком был Коксетер, рас-
скажем о небольшом эпизоде из его жизни. Когда математик
Эйша Айвик сообщила ему, что в течение некоторого времени
будет отсутствовать по причине родов, Коксетер отправил ей
рукопись внушительных размеров, чтобы ей было чем развеять
скуку и занять себя в свободное время.
Коксетера можно было назвать Господин Группа, так как
всю свою жизнь он посвятил изучению симметрии и групп
King of
1 n fi n ite Space
Donald Cvxcter, The Who Saved Gtontctn
Обложка книги King of Infinite
Space — биографии Гарольда
Коксетера, вышедшей
в 2006 году.
симметрии в евклидовом пространстве и в различных изме-
рениях. Ему было недостаточно привычного трехмерного пространства, поэтому он интенсивно
изучал политопы и многомерные многогранники. Коксетер использовал скорее геометрический,
нежели алгебраический подход, что выделяло его среди других исследователей.
Группы, допускающие представление (говоря доступным языком, которые могут быть опреде-
лены «на основании» чего-либо) в зеркальной симметрии, были названы в его честь группами
К хсетера. Их изучению он посвятил несколько десятилетий и в 1935 году опубликовал классифи-
кацию конечных групп. Помимо политопов, они используются в теории графов, кристаллографии,
при работе с группами Ли, в теории строений (не имеющей ничего общего со строительством)
ит. д.
Коксетер был автором 13 книг, одна из которых, представляющая собой краткое изложение
его трудов, называется «Калейдоскоп» (Kaleidoscopes). Ученый всегда интересовался калейдо-
скопами и провел несколько серьезных исследований по этой теме. Также он был удивительным
музыкантом и во введении к своей книге Regular Simple Polytopes писал: «Я постарался выстроить
эту книгу подобно симфонии Брукнера, с крещендо, кульминациями и многочисленными пере-
крестными ссылками». Коксетер рассматривал симметрию как произведение искусства.
77
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Ограничимся традиционными многогранниками. В зависимости от свойств сим-
метрии они могут быть изогональными, реберно-транзитивными, изоэдральными,
правильными, квазиправильными, полуправильными, однородными и благородными.
Их группы симметрии могут иметь огромные размеры, однако Коксетеру и другим
математикам удалось разделить их на несколько семейств. Представьте себе симме-
трии простой правильной призмы, число поворотов которой совпадает с числом ее
граней. Достаточно указать, что различают по меньшей мере десять семейств групп
симметрии многогранников.
ЖАК ТИТС (РОД. 1930)
Жак Титс, французский математик бельгийского происхождения, - известнейший специалист
в теории групп и исключительный алгебраист. Он был близким другом Коксетера и способствовал
распространению его идей и открытий. Титс внес обширный вклад в теорию групп. Его именем
названа группа Титса - простая конечная группа порядка 17971200. Также ученый является
создателем понятия «строение», связанного с группами, и многих других математических по-
нятий. Он был удостоен редкой чести быть членом группы Бурбаки (Бурбаки - это коллективный
псевдоним группы математиков).
Жак Титс (слева) и математик Джон Григгс Томпсон (сзади) получают
Абелевскую премию 2008 года из рук короля Харальда V.
78
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Винтовая симметрия
Винтовая линия — это трехмерная кривая, обладающая одним простым свойством:
угол между ее касательной и данной прямой, называемой осью винтовой линии, всег-
да остается постоянным. Поверхность, соединяющая винтовую линию и ее ось, на-
зывается геликоидом. Если обернуть винтовую линию вокруг цилиндра, получится
всем известный симметричный объект, который можно увидеть на колоннах, сверлах,
винтах и т. д.
Поверхность винта является прекрасным примером винтовой симметрии.
На этой иллюстрации представлена реклама товаров дома Робертсона 1909 года.
Соломоновы колонны, имеющие форму винтовой спирали,
на алтаре кафедрального собора Нотр-Дам в Амьене, Франция.
79
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Винтовые линии обладают хиральностью, то есть могут быть закручены влево
или вправо и не совпадают со своими зеркальными изображениями. Иногда вокруг
одной оси закручиваются сразу две энантиоморфные винтовые линии, рождая в ре-
зультате любопытные фигуры.
Двойная винтовая лестница в Ватикане. Одна лестница используется для подъема,
другая —для спуска. Еще один прекрасный пример двойной винтовой лестницы
можно увидеть в замке Шамбор во Франции.
Всем известный кадр из начальных титров фильмов о Джеймсе Бонде.
На нем главный герой виден сквозь ствол пистолета с винтовой нарезкой.
80
СИММЕТРИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Иногда, как, например, в случае с болтом и гайкой, две энантиоморфные спира-
ли сочетаются естественным образом. Важным элементом винтовой линии является
величина ее шага — основной параметр симметрии. По сути, винтовая симметрия
является совокупностью переносов вдоль оси и поворотов на определенный угол,
выполняемых в трехмерном пространстве. Винтовые линии нашли неожиданное
применение в баллистике: винтовая нарезка наносится на внутреннюю поверхность
стволов пистолетов, винтовок и другого огнестрельного оружия, благодаря ей вы-
летающая из ствола пуля вращается вокруг себя, и ветер не сбивает ее с траектории.
81
Глава 4
Группы и уравнения
В раю, конечно, климат получше, но компания интереснее в аду.
Марк Твен
Именно дурная компания стала причиной смерти Эвариста Галуа, когда ему не ис-
полнилось и 21 года. Однако не будем опережать события: в этой главе мы подробно
расскажем его историю. Галуа был математиком и исследовал методы решения уравне-
ний. И хотя на первый взгляд это неочевидно, именно эти исследования легли в основу
алгебраических групп симметрии. Уравнение первой степени — просто многочлен
первой степени, приравненный к нулю. Решением уравнения является такое значение
неизвестной х, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Если уравнение имеет вид
ах + b = О,
его единственным решением является
х = ~Ь/а.
Уравнение второй степени, которому соответствует многочлен второй степени,
имеет вид
ах2 + Ьх + с = 0.
Поисками решений этого уравнения занимались математики с древнейших вре-
мен. Усилиями греков (которые решали уравнения этого типа геометрическими ме-
тодами), арабов и средневековых европейских ученых в итоге была получена всем
известная формула, которая изучается в средней школе:
83
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
где xt и х2 — искомые решения. Сейчас мы забегаем вперед и излагаем основную
теорему алгебры, доказанную Жаном Робером Арганом (1768—1822) в 1806 году
и переработанную Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855) в 1849 году. Согласно
этой теореме многочлен степени п от одной переменной с вещественными коэффици-
ентами имеет п вещественных или комплексных корней, или всякий многочлен Р(х)
степени n, Р(х) G 1R| х |, имеет п корней на множестве С.
Неэлементарные уравнения
Для многочленов третьей степени итальянский математик Сципион дель Ферро
(1465—1526) нашел «простое» алгебраическое выражение, позволяющее вычис-
лить все их корни. Это выражение, позже дополненное Тартальей и последующими
алгебраистами, выглядит так:
b
За
1 J2Р - 9abc + 27 а2d+yl(2b3 -9abc + 27a2d)2 -4(b2-Зас)3
За \ 2
1 3 2b3 - 9abc + 27а2d - J(2b3-9 ah + 27a2d)2 - 4(b2 - Зас) ‘
За N 2
b
х, =-----Ь
За
1 + i>/з 3 2// - 9abc + 27(Гd + 7(2// - 9abc + 27 a2 d)2 - 4(/г - Зас)3
+ ~б7~\ 2
1 - iу[з J 2// - 9abc + 27а2d - yl(2b3 - 9abc + 27 a2 d"? - 4(b2 - Зас)3
6a N 2
2b3 -9abc + 27a d + 7(2//-9abc + 27a2d)2-4(b2-3ac')3
2
1 + iy[3 J2b3 - 9abc + 27a2d -y[(2b3 -9abi + 27a2d)2 -4(b2 - Зас)3
6a N 2
84
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
С его помощью можно найти три корня многочлена Р(х) = ах3 + bx2 + сх + d.
Это выражение позволяет в полной мере оценить всю гениальность дель Ферро.
Естественно, он записал эти формулы не в том виде, в каком мы их приводим (они,
помимо прочего, содержат символ i, обозначающий мнимую единицу, которая в те
времена еще не была открыта), а в более простой форме. Кроме того, эти формулы
были применимы лишь для частного случая уравнений третьей степени, однако их
нетрудно обобщить и записать на языке современной математики. Напомним, что
в тот период современная математическая нотация не использовалась (она появи-
лась лишь в эпоху Виета и Декарта), и все действия описывались обычным языком
с некоторыми сокращениями.
Подвиг дель Ферро меркнет перед формулой для вычисления корней уравнения
четвертой степени:
ах4 + bx3 + сх2 + dx + е = О,
в 1540 году открытой другим итальянским математиком, Лодовико Феррари (1522—
1565), когда ему было всего 18 лет. Это решение выглядит поистине пугающим, если
не сказать монструозным, даже в современной нотации. Феррари, выражаясь языком
современной математики, произвел замену переменной, введя \ = х — Ь/4аи изба-
вившись тем самым от неизвестной в третьей степени. Далее он выполнил некоторые
действия, сведя задачу к решению кубического уравнения. Таким образом, он свел
очень сложную задачу к просто сложной — этот прием очень эффективен при ре-
шении некоторых задач. Отметим, что гениальность и проницательность не уберегли
Феррари от смерти в относительно молодом возрасте — ему было лишь немногим
более 40, когда его отравила мышьяком собственная сестра.
А как решить уравнение пятой степени? Поскольку решения для меньших сте-
пеней уже были известны, то все предполагали, что со временем и для этих случаев
будет найдена соответствующая формула. Эта чудо-формула, без сомнения, должна
была быть сложной, но все же доступной пониманию. Тем не менее она так никогда
и не была найдена. Но расскажем эту историю во всех подробностях.
История Тартальи и Кардано
Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья (1500—1557) — первый герой нашей
истории. Он дожил до зрелого возраста, можно сказать, чудом: когда ему было 12,
французский солдат серьезно ранил его в затылок во время осады Брешии (тогда же
85
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
погиб отец будущего математика). Это ранение стало причиной серьезных проблем
с речью — прозвище Тарталья переводится с итальянского как «заика». У Никколо
Фонтаны было тяжелое детство, семья его была бедной, известно, что читать и писать
он выучился совершенно самостоятельно. Тарталья зарабатывал на жизнь математи-
кой, но всегда искал более оплачиваемую работу.
Q. V Е S I Т I,
ЕТ INVENTIONI
DIVERSE
DE NICOLC TARTAGLIA,
Dinouo rcftan.p’.ticon vua ti.ontaal Cellolibro, nellaquale fi
moftr.' duoi modi di rcdur vua Citta ineCpugnabilc.
La iijifioae, fr cantamtia a> Mtal'opraiKl fegaentefo^lia fi
tnuarinolataa.
Портрет Тартальи в одной из его книг, вышедшей в 1546 году.
В ту эпоху совершенно обычным делом были публичные диспуты: стороны обме-
нивались угрожающими письмами, после чего происходили настоящие бескровные
дуэли, на которых подчас собирались толпы зрителей, включая городскую знать.
Призом победителю могло быть все что угодно, начиная от продвижения по службе
и заканчивая званым обедом с видными представителями общества. Рассказывают,
что Тарталья таким образом выиграл 30 обедов подряд. В одном из знаменитых дис-
путов его соперником был Антонио Мария Фьор — он был правой рукой дель Фер-
ро, который на смертном одре поведал Фьору секреты решения некоторых уравнений
третьей степени вида х3 + тпх — п. Будучи уверенным, что эти формулы обеспечат ему
победу, Фьор бросил вызов Тарталье, предложив ему решить несколько кубических
уравнений. Он не знал, что Тарталья, знаток алгебры, в то время уже изучил урав-
86
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
нения третьей степени и нашел алгоритмы их решения, в том числе и для тех типов
уравнений, которые не поддались дель Ферро. В результате диспута Тарталья легко
одержал победу над Фьором.
Тарталья внес значимый вклад и в баллистику — дисциплину, которую можно
причислить к прикладной математике. Хотя с современной точки зрения открытия
Тартальи кажутся несколько примитивными, он первым указал, что траектории сна-
рядов являются не прямыми, а кривыми линиями (позднее Галилей доказал, что тра-
ектории имеют форму параболы) и с ростом начальной скорости снаряда кривизна
его траектории уменьшается. Он также доказал, что максимальная дальность полета
достигается при запуске снаряда под углом Л/4 радиан (или 45° — Тарталья не ис-
пользовал радианы).
Страница «Новой науки» Никколо Тартальи,
в которой он изложил свои открытия в баллистике.
Наконец, стоит отметить, что в Италии треугольником Тартальи называют
треугольник Паскаля — бесконечную таблицу биномиальных коэффициентов,
87
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
возможно китайского происхождения, которая нашла широкое применение в ком-
бинаторике.
1
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 И 55 165 330 462 462 330 165 55 И 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
Злейшим врагом Тартальи был Джероламо Кардано (1501—1576), математик-
любитель, изучавший в университете медицину. Кардано был внебрачным ребенком,
а в то время незаконные дети, за редким исключением, встречали совсем другое от-
Портрет Джероламо
Кардано —
математика, который
вел ожесточенную
полемику с Тартальей.
88
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
ношение, нежели законнорожденные. Другими словами, Кардано должен был сам
зарабатывать на жизнь. В студенческие годы ему это неплохо удавалось: благодаря
своим способностям и знаниям математики Джероламо Кардано был опасным про-
тивником для любого игрока в кости, карты и шахматы.
Хотя Кардано изучал медицину, ему не удалось получить желанную должность
в коллегии миланских врачей. С течением времени его доход от азартных игр также
уменьшился, поэтому ему пришлось направить усилия в другую область, в которой
он уже проявил свои способности, — математику. Кроме этого, Кардано изучал
практические задачи криптографии — науки о шифровании и расшифровке сооб-
щений. Этот врач и математик, отличавшийся скверным характером и страдавший
от игорной зависимости, в помощники взял 14-летнего Лодовико Феррари, который
обладал необычными способностями к алгебре.
Кардано, который отнюдь не купался в роскоши, так завидовал знаниям Тартальи,
что с помощью всевозможных ухищрений предложил ему продвижение по службе
в обмен на секрет решения уравнений третьей степени, который, разумеется, Кардано
обещал сохранить в тайне. Однако, по всей видимости, Кардано все же обсуждал
формулу Тартальи со своим учеником, Феррари, и в результате совместных усилий
тот придумал, как можно использовать эту формулу для решения частного случая
уравнений четвертой степени: Феррари смог решить задачу, предложенную Жуаном
ди Тонини да Кои, сведя ее к решению уравнения х4 + 6х2 + 36 = 60х.
В то же время Аннибале делла Наве, зять дель Ферро, получивший в наследство
его математические рукописи, рассказал Кардано о содержащихся в них результатах.
Кардано был на седьмом небе от счастья: получив формулу из совершенно другого
источника, он счел себя свободным от каких бы то ни было обязательств перед Тар-
тальей и опубликовал все свои открытия, включая найденное Феррари решение урав-
нения четвертой степени, в книге «Великое искусство» (Artis Magnae sive de regulis
algebraicis, 1545), которая принесла ему славу. Данные, опубликованные Кардано,
были полезны не более, чем, например, алгоритмы поиска приближенных решений,
описанные Джамшидом ал-Каши (ок. 1380—1429), однако позволяли найти точные,
а не приближенные решения.
89
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
HIERONYMI CAR
DANI, PR.«STANTISS1M1 MATHE
MATIC I, rnitotorxi, AC I D С I,
ARTIS MAGN/E,
SIVE DE REGVLIS ALGEBRAIC18,
Lib.unui. Qui&todutoperi* de Arithncoa.quod
OPV8 PBRFBCTVM
тЛпрСмЯшокНи Dedmu*,
HAbainhocIibro>ftudfo&L*6or,RcguhiA|pb(*inKrnk> defaCeT
ЬиоагоОпоитЛпис » I ;cdtmonftnrinnibu>ab Aurhoreua
focuplmnt.iir pro p*i euT ancca uulgd iritis Jam ftpnnginn cuafcnnt.Ne«
ayfolum> ubiimumimcrut alttri>auidiioiii^unum«um>ub<duo dunbt<
autrreaunipiualealuennGnodumnplieanb HuncaetU>romidr>>£.or,
limedenrpIamttjUthocabftnMi wn ~ & plaid fonhaufto totiua Anchmctl
с» thrfauroinluttm enno,8t quaS in rhearro cuodamomnibua ad IpeAan
dumnpoliro>Lc/lorcauKint«urtutreh,x“OperiiPcr Л1А.О quipet
T«noa<dauw,unro аш&лалгркАашиг.ас mtnorc falhdio padifcani*
Обложка знаменитой книги по алгебре «Великое искусство» Джероламо Кардано,
опубликованной в 1545 году.
Тарталья счел, что Кардано обманул его и разгласил тайну, и, обуреваемый жаж-
дой мести, решил вызвать его на поединок. Кардано благоразумно от поединка
уклонился. В переписке от его лица выступал его юный помощник — талантливый
и амбициозный Феррари, который в своих письмах поставил под сомнение даже
способности Тартальи к алгебре. Тот счел себя обязанным ответить, и в 1548 году
в Милане между ними состоялся публичный диспут. По прошествии всего 24 часов
Тарталья признал свое поражение и покинул город.
Однако все эти события пошли только на пользу математике.
Девять лет спустя Тарталья умер, так и не улучшив свое финансовое положение.
Кардано стал известным врачом, но впал в немилость, прежде всего по вине своих
детей: старший сын Кардано был казнен, младший — отправлен в ссылку. Сам
Кардано попал в руки инквизиции по обвинению в ереси: так, ему ставили в вину
составление гороскопа самого Иисуса Христа.
90
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
biefcjftabis HiWM
лЛго1»ХвПЙ* «р^лпяНпйяая
JiaAtnCekaiufiKiu^^**
fat fid) г t Ivrtrit poftW*
Inta мл! Jiidt&t»
ЛиервЦ G j*. '
(или и»»»** neflH 1E S V
CHAISTL
OvclMt'
MotiiiUu, tlati .,
Репродукция гороскопа Иисуса Христа, составленного Кардано.
К концу жизни положение Кардано несколько улучшилось, и он даже был удосто-
ен пенсии от Папы Римского. Как гласит легенда, математик составил собственный
гороскоп, в котором предсказал дату своей смерти, и, чтобы оправдать предсказание,
в назначенный день покончил с собой.
Судьба Феррари сложилась немногим лучше: хотя победа в поединке с Тартальей
принесла ему должность советника по налогам (и он, разумеется, разбогател),
в 42 года он был отравлен собственной сестрой. Сестра, унаследовав состояние
Феррари, немедленно передала деньги в руки мужа, а тот сразу же после этого оста-
вил ее.
Временное безвластие
Решить уравнение четвертой степени сравнительно просто. Современная формула
достаточно угрожающего вида, полученная на основе формулы Феррари, не слишком
проста, однако в ней используются только операции сложения, вычитания, умноже-
ния, деления и извлечения корня — достаточно всего лишь внимательно произвести
все необходимые расчеты.
Другие, поистине колоссальные уравнения высших степеней, были решены уже
в XVI веке. Так, уже Виет в 1594 году решил следующее уравнение Адриана ван-
Роумена (1561-1615):
X45 - 45х43 + 945х41 - ... - 3975V + 45х = 0.
91
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
КРИПТОГРАФИЯ В XVI ВЕКЕ
Для специалистов по криптографии XVI век - время, когда жили Виет и Кардано, можно считать зо-
лотой эпохой. Проницательность Франсуа Виета (1540-1603) заставила короля Филиппа II подозре-
вать, что его противник, король Франции Генрих IV, заключил сделку с дьяволом, так как французам
удалось проникнуть в самые сокровенные мысли Филиппа II. В действительности Виет, состоявший
на службе у Генриха IV, всего лишь расшифровал послания Филиппа II, что казалось тому невозмож-
ным. История Джероламо Кардано (1501-1576), который также занимался криптографией, не столь
удивительна. Кардано вырезал в листе картона квадратной или прямоугольной формы отверстия
в нужных местах, где записывались буквы сообщения. Пример:
расположить отверстия, чтобы избежать ошибочных наложений). В результате получались следующие
сообщения: (надписи по буквам: «прибуду завтра» и «в восемь»).
92
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
В итоге квадрат или прямоугольник должен был содержать следующие буквы.
Остальные буквы выбирались произвольно.
Е 3 Т в И о
Т В д к У п
О И т Е о Е
Р А с Б м Ф
А Е У У м Р
П В 3 X Ь
Кто смог бы прочитать сообщение, не зная ключа? Сегодня на расшифровку потребовалось бы
совсем немного времени, однако во времена Кардано разгадать такой шифр было непросто.
Его метод был практичным, удобным, воспроизводимым и простым, поэтому с некоторыми до-
полнениями использовался вплоть до начала XX столетия.
93
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
Однако Виет не использовал никакой формулы, и никому не удавалось найти
для решения уравнений пятой степени и выше формулу, в которой фигурирова-
ли бы только простейшие арифметические операции. Шло время, но задача не под-
давалась исследователям. Некоторые авторитетные математики, в том числе сам
Лагранж, начали склоняться к мысли, что, возможно, этой чудесной формулы про-
сто не существует.
В итоге ученые действительно сошлись в этом мнении. Отсутствие формулы для
решения уравнений пятой и высших степеней доказали Паоло Руффини и Нильс
Абель. Последний сформулировал неоспоримое доказательство — остроумное
и математически безупречное, но не указывающее пути для дальнейших исследо-
ваний. Более того, существуют уравнения пятой степени, которые можно решить
с помощью формул, где используются только простейшие арифметические опера-
ции и извлечение корня, но это не означает, что есть простая формула для всех
возможных уравнений. Благодаря Абелю нам известно, что существуют нереша-
емые уравнения, однако неизвестно, почему некоторые уравнения можно решить
с помощью общей формулы, а другие — нет. Объяснил загадку Галуа, рукописи
ПАОЛО РУФФИНИ (1765-1822)
Паоло Руффини известен школьникам только по алгорит-
му, используемому при изучении многочленов, - правилу
Руффини, однако этот итальянский врач и алгебраист был
видным и остроумным мыслителем. Он первым предпринял
попытку доказать, что не существует общей формулы для вы-
числения корней уравнений пятой степени, и первым при-
менил в доказательстве некоторые элементы теории групп.
К сожалению, его рукописи сложны для понимания, и хотя
он отправлял их во многие научные общества, ему не уда-
лось получить заслуженного признания. В действительности
в его доказательстве был найден пробел, но, возможно, этот пробел был бы восполнен, если бы
кто-то внимательно прочитал и понял его работы. Как бы то ни было, вклад Руффини в алгебру
не ограничивается изучением уравнений пятой степени, и ему принадлежит множество интерес-
ных открытий. Во время эпидемии тифа он заразился, ухаживая за больными, подробно описал
все симптомы болезни на собственном опыте и умер менее чем год спустя.
94
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
которого представляют особый интерес. Мы не будем приводить здесь доказатель-
ство Абеля, так как в нашей книге гораздо более важную роль играет симметрия
и работы Галуа.
НИЛЬС ХЕНРИК АБЕЛЬ (1802-1829)
Абель, один из величайших математиков в истории, всю жизнь прожил в нищете. Он был ро-
дом из семьи норвежского богослова, его дед был протестантским священником, и ожидалось,
что Абель пойдет по этому же пути. Однако в школе Абель проявил удивительные способности
к математике, и его друг, учитель и покровитель Хольмбоэ приложил все силы для того, чтобы
юный Нильс стал ученым. Получив скромную стипендию от норвежских властей, Абель отправился
в путешествие по Европе, во время которого лично познакомился со многими известными ма-
тематиками и побывал во многих научных учреждениях. Возможно, наибольшее значение имело
знакомство с Августом Леопольдом Крелле, основателем так называемого «Журнала Крелле» -
первого в истории математического издания. В 1824 году Абель доказал, что не существует общей
формулы для решения уравнений пятой степени. Стоит отметить, что спустя несколько лет Абель
предложил доказательство обратного, но сам нашел ошибку в своих рассуждениях. Открытие юно-
го и никому не известного норвежского математика не привлекло особого внимания, и Абель
обрел заслуженное признание лишь в 1830 году, уже после смерти, когда Парижская академия
наук присудила ему и Якоби премию за важный вклад в теорию рядов и эллиптических интегра-
лов. Умер 26-летний Абель от туберкулеза в 1829 году, совсем немного не дождавшись от Крелле
приглашения на работу в Берлин.
95
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
История Галуа
Эварист Галуа (1811—1832) обладал всеми чертами романтического героя, которые,
без всяких сомнений, стали причиной его популярности и сделали его главным ге-
роем множества документальных и художественных книг, посвященных его жизни
и творчеству.
Он родился в семье, которую сегодня мы назвали бы прогрессивной. В юные
годы ему пришлось пережить самоубийство отца, спровоцированное клеветническим
памфлетом о неверности его жены, — этот памфлет из чувства сильной неприязни
к отцу Галуа составил местный священник.
Галуа вырос в нонконформистской среде, и результаты его учебы были неравно-
мерными: в каких-то предметах они были более чем скромными, а в других, в част-
ности в математике, Галуа проявил выдающиеся способности. Юноша отличался
непростым характером: знакомая с ним математик Софи Жермен (1776—1831)
в своих заметках упоминала о дерзости и деспотичности Галуа. Кроме этого, он
был революционером, заклятым врагом церкви, монархии и Филиппа Орлеанского
в частности.
Один из двух известных прижизненных портретов Гэлуа.
96
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
Выдающиеся способности Галуа к математике привлекли внимание его учителя
Луи Поля Эмиля Ришара, который стал поклонником и покровителем юного та-
ланта. Однако работа Ришара с Галуа оказалась неудачной. Во время обучения он
продемонстрировал некоторые черты характера, которые его преподаватели сочли
едва ли не оскорбительными. Игнорируя многочисленные советы, Галуа подал за-
явку на поступление в Политехническую школу на год раньше положенного срока,
в 17 лет, но получил отказ. Несмотря на это он принялся за написание труда по ал-
гебраическим уравнениям и отправил результаты своей работы великому Коши, ко-
торый пообещал прокомментировать их. Но этого так и не произошло, поскольку
рукопись затерялась среди многочисленных бумаг Коши. Возможно, он попросил
Галуа расширить и дополнить работу, пообещав затем представить ее в Парижской
академии наук, но что произошло на самом деле — достоверно неизвестно.
ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ (1789-1857)
Этот французский математик, один из величайших мате-
матиков в истории науки, был сильной личностью и из-за
этого имел много недоброжелателей. Он был удивитель-
но религиозным человеком, поклонником и сторонни-
ком иезуитов, реалистом, абсолютистом, отличался
непоколебимыми убеждениями. В течение многих лет
он находился в изгнании в Италии и Швейцарии, отка-
зываясь прися! нуть на зерность Филиппу Орлеанскому
и Наполеону III. После свержения Наполеона и рестав-
рации монархии такие выдающиеся личности, как Монж
и Карно, подверглись репрессиям, и Коши не моргнув
глазом занял их должности. Один за другим он потерял
почти все академические посты, так как его же коллеги
голосовали за его противников, и поссорился даже с таким благородным человеком, как Лиу-
вилль. Коши был наставником третьего сына Карла X, пребывавшего в изгнании, но, несмотря
на все усилия, ему не удалось добиться значительных успехов на этом поприще. Тем не менее он
был великим математиком, и его научный авторитет нисколько не пострадал: все без исключения
признавали масштаб и значение его многочисленных открытий. Достаточно сказать, что полное
собрание сочинений Коши, считавшихся национальным достоянием (публикация субсидирова-
лась государством), насчитывает двадцать семь томов!
97
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
Галуа вернулся к занятиям любимой математикой, а через год второй раз предстал
перед экзаменационной комиссией Политехнической школы. Однако в этот раз все
сложилось еще хуже: один из экзаменаторов был особенно непонятливым, и его во-
просы, не относившиеся к теме экзамена, вывели Галуа из себя. Экзамен закончился
тем, что Галуа швырнул в экзаменатора тряпкой. Как и следовало ожидать, экзамен
юноша не сдал. Возможно, свою роль в поведении Галуа сыграло и то, что с момента
самоубийства его отца прошло совсем немного времени.
Как бы то ни было, увидев, что двери Политехнической школы для него закры-
ты, Галуа подал документы в Нормальную школу, куда был принят благодаря пре-
восходным оценкам по математике. Он подвел итог своим исследованиям об урав-
нениях, где уже использовались группы, в статье, поданной на соискание премии
Академии наук. Вполне возможно, что статья Галуа могла быть удостоена первого
приза. Однако по трагическому стечению обстоятельств секретарь академии, вы-
дающийся математик Жозеф Фурье (1768—1830), забрал рукопись домой, чтобы
подробнее с ней ознакомиться, и... скончался, поставив крест на ожиданиях Галуа.
Не будем забывать, что в те времена не существовало ни фотокопий, ни печатных
машинок, ни текстовых редакторов, ни электронных средств хранения данных.
Раз уж мы заговорили о традициях той эпохи, не будем обходить стороной два
ее наиболее ярких обычая: выпивку и дуэли. Считалось (и до сих пор считается)
непорядочным не присоединиться к тосту. Считалось (к счастью, теперь это не так)
непорядочным не принять вызов на дуэль, при этом дуэль мог спровоцировать даже
невинный спор между друзьями. Постепенно дуэльный кодекс изменился настоль-
ко, что дуэли стали больше походить на русскую рулетку, чем на достойный способ
защитить свою честь. Неожиданную смерть Фурье и последовавшую утерю ру-
кописи Галуа, в котором многие отмечали параноидальные наклонности, объяснил
заговором научного сообщества, не желавшего признавать принципиально новые
открытия неизвестного юноши, который хотел нести свет знания в массы. Для сто-
роннего наблюдателя ситуация не выглядела столь драматичной, но сам Галуа считал
свою точку зрения вполне обоснованной.
Его политические взгляды становились все более радикальными, и он даже
провел месяц в тюрьме за то, что в завуалированной форме угрожал Филиппу
Орлеанскому. Впрочем, тюремное заключение не слишком сказалось на научной
работе Галуа: он свободно производил все рассуждения в уме и совершенно не нуж-
дался в бумаге для записей. Позднее он провел в заключении еще восемь месяцев —
за то, что незаконно носил форму артиллериста. К тому времени Галуа уже был
радикальным революционером.
98
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
Одновременно с этим другая, намного более подробная работа Галуа была пред-
ставлена Симеону Дени Пуассону (1781—1840), однако из-за обилия новых понятий,
ошибок и пропусков в рассуждениях Пуассон порекомендовал академии отклонить
рукопись и попросить Галуа переписать работу.
В это время Галуа влюбляется. О его возлюбленной ходило множество слухов.
Позже исследователи определили, что ею была Стефани Потерэн дю Мотель, дочь
врача. Эварист оказался вовлеченным в некую ссору, возникшую в пьяной компании,
и ему пришлось принять вызов на дуэль. Соперником Галуа мог быть его друг, Пеше
д’Эрбинвиль. Некоторые авторы предполагают, что за дуэлью стояла тайная поли-
ция короля, однако эта версия сегодня не кажется правдоподобной. Правила дуэли
(из двух пистолетов заряжен был только один, и соперники должны были выбрать
оружие случайным образом) кажутся и вовсе абсурдными.
Перед дуэлью Галуа написал длинное письмо, полное приписок /е nai pas le
temps («У меня нет времени»). В этом письме, адресованном друзьям, в особенно-
ЖОЗЕФ ЛИУВИЛЛЬ (1809-1882)
Как математик Лиувилль добился исключительных результатов, однако он вошел в историю пре-
жде всего как человек, который сделал известным Эвариста Галуа. Возможно, именно поэтому
его собственной личнэсти и открытиям не уделяется должного внимания.
Академическая карьера Лиувилля сложилась сравнительно удачно: он возглавлял кафедры
в таких авторитетных учреждениях, как Политехническая школа и Коллеж де Франс. Помимо на-
учной деятельности, он занимался политикой, а также основал «Журнал чистой и прикладной
математики», который впоследствии стал пользоваться большим авторитетом, и именно в нем
в 1846 году были впервые опубликованы труды Галуа. Лиувилль взял на себя смелость отре-
дактировать их и сделал это с подлинным и бескорыстным энтузиазмом. Лиувилль был автором
множества работ по механике и в других областях. Его имя носят, в частности, задача Штурма -
Лиувилля и теорема Лиувилля - Арнольда. Его открытия в области непрерывных дробей и теории
чисел очень важны и при этом доступны для понимания даже неспециалистам. В частности, он
составил первое трансцендентное число, выражаемое как
Л/ = У- ^- = 0,110001000000000000000001...
tfion*
Это число принадлежит к бесконечному множеству так называемых чисел Лиувилля.
99
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
сти Огюсту Шевалье, Галуа подводил итог своим математическим теориям и просил
сообщить о них Гауссу или Якоби — двум математикам, которые, как он считал,
могли оценить их по достоинству. Возможно, Галуа действительно предчувствовал
свою смерть, однако подобное поведение в любом случае выглядит удивительным
и отчасти пугающим.
На дуэли, которая состоялась 30 мая 1832 года, Эварист был ранен в живот
и лежал в поле, истекая кровью, пока некий крестьянин не заметил его и не отвез
на своей телеге в больницу. В больнице он и скончался на руках близких и дру-
зей. Видя отчаяние родных, перед смертью Галуа прошептал брату: «Не плачь. Мне
нужно все мое мужество, чтобы умереть в двадцать лет».
Шевалье выполнил просьбу, изложенную в последнем письме Эвариста, и идеи
Галуа стали известны миру. Однако в течение многих лет их не удостаивали особо-
го внимания, и лишь в 1846 году Жозеф Лиувилль отыскал рукопись Галуа среди
бумаг академии и, пораженный, приказал немедленно опубликовать ее в «Журнале
чистой и прикладной математики». В то время научный мир уже был готов воспри-
нять идеи Галуа. К сожалению, самому математику этого увидеть не довелось.
Теория Галуа
Проследуем (с многочисленными упрощениями) путем Галуа к заветной формуле
решения уравнений пятой степени. Рассуждения математика сегодня подробно опи-
саны во многих книгах и на интернет-страницах, однако не перестаешь удивляться
тому, что их автору не исполнилось и 21 года. Как часто бывает, лучше всего про-
иллюстрировать рассуждения Галуа конкретным примером. Рассмотрим уравнение
с рациональными коэффициентами (это очень важный момент):
х4 - 46х2 + 289 = 0.
Это уравнение четвертой степени имеет четыре решения, вычислимых в радикалах
(так называемое биквадратное уравнение):
ot = —д/з + 2л/5
3 = -л/з-2л/5
Х = л/з + 2л/5
8 = л/з-2л/5.
100
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
С учетом возможных перестановок общее число вариантов равно 24. Сегодня
мы знаем, что эти решения образуют группу S4 порядка 24, но во времена Галуа это
понятие было неизвестно. При подстановке этих корней в следующий многочлен его
значение, разумеется, будет равно нулю:
р(х) = х4 - 46х2 + 289.
Однако если мы проанализируем перестановки этих корней, то увидим, что между
ними существуют небольшие различия. Перефразируя Джорджа Оруэлла, некоторые
перестановки равнее других. Например, рассмотрев следующие выражения, в кото-
рых также используются только рациональные коэффициенты,
а + 8 = О
₽ + X = О,
мы увидим, что они представляют собой верные равенства. Если мы выполним сле-
дующую перестановку S4, ничего не изменится:
« Р X 8
8 X Р «
так как результатом будут равенства
8 + а = О
X + р = 0.
Таким образом, ничего не изменилось. Если поменять корни местами, равенства
остаются верными. Любое другое алгебраическое уравнение с рациональными ко-
эффициентами, которому удовлетворяют указанные решения, также останется неиз-
менным. Подчеркнем еще раз: значение любого многочлена с рациональными коэф-
фициентами останется неизменным при подобной перестановке его корней, таким
образом, его корни будут неразличимы между собой. Это утверждение, которое, если
остановиться на нем более подробно, вовсе не кажется очевидным, доказал Галуа.
101
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
КАМИЛЬ ЖОРДАН (1838-1.922)
Камиль Жордан по образованию и роду занятий в течение большей части своей жизни был ин-
женер м. Как математик он известен по теореме о кривой, носящей его имя. Эта теорема гласит,
что всякая плоская кривая, не пересекающая сама себя, делит плоскость на две части, «внутрен-
нюю» и «внешнюю», так, что линия, соединяющая любые точки из каждой области, обязательно
пересечет данную кривую. Это утверждение кажется элементарным, однако доказать его для
недифференцируемых функций, например для кривой Коха, непросто.
Кривую Коха, представленную Хельге фон Кохом (1870-1924) в 1904 году,
невозможно построить, однако можно описать и представить. Зга кривая является фрактальным
объектом размерности d = ln4/ln3 = 1,26186... На иллюстрации представлены четыре первых
этапа построения этой кривой. Выполнив бесконечное число аналогичных построений,
вы получите непрерывную, но недифференцируемую кривую.
Она также известна как «снежинка Коха».
Доказать это утверждение, которое кажется простым, столь сложно, что еще несколько лет
назад считалось, что исходное доказательство Жордана не до конца верно и содержит ошибку
в рассуждениях. Оно не казалось правильным и современникам ученого.
Хотя Жордан внес важный вклад в теорию чисел и матричное исчисление, он также известен
тем, что в свое время способствовал распространению теории Галуа (после того как о ней стало
известно Лиувиллю) и появлению теории групп. Жордан рассматривал группы не как абстрактные
сущности, какими они считаются сейчас, а как группы перестановок. Это не помешало ему рас-
смотреть последовательности нормальных подгрупп вида
{n} = G1CG2CG3C...CGn = G
и доказать совместно с Отто Гёльдером (1859-1937) теорему Жордана - Гёльдера, которая ут-
верждает, что с учетом достаточно простых начальных условий все подобные последовательности
эквивалентны с точностью до некоторых видов изоморфизма.
102
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
Существуют другие алгебраические выражения, которые изменяются при замене
5 на ОС и X на [3:
а-8 = -2>/з + 4л/5
8-а = 2^3-4^5
Р-Х = -2>/з-4л/5
Х-р = 2>/з + 4л/5.
Обратите внимание, что коэффициенты в этих выражениях не являются рациональ-
ными, таким образом, эти выражения не являются допустимыми. «Хорошие» пере-
становки, которые не изменяют алгебраические выражения с рациональными коэф-
фициентами, образуют группу, которая сегодня носит имя Галуа.
Таким образом, некоторые симметрии на S4 образуют часть группы Галуа, дру-
гие — нет. Перестановка
/ Л
а р х S
X Р а 8
меняет местами ОС и X, и ее результатом не является верное равенство, так как на смену
ОС + 8 = 0 приходит % + 8 = 2\[з * 0. Следовательно, эта перестановка не принад-
лежит группе.
Если мы внимательно продолжим поиски «хороших» перестановок, то увидим, что
их всего четыре из 24 возможных перестановок S4, и группа Галуа из этих четырех
перестановок в итоге будет изоморфной группе Клейна, которая, в свою очередь,
изоморфна Z2 х Z2.
В общем случае всякое уравнение без учета его степени имеет свою группу, и эта
группа зависит от корней уравнения и их особенностей. Галуа на этом не остановил-
ся, и полученный им результат звучит так:
Решения уравнения выражаются в радикалах (иными словами, могут быть
найдены с помощью элементарных арифметических операций и операций из-
влечения корня) тогда и только тогда, когда группа Галуа этого уравнения
разрешима.
Определение разрешимой группы мы уже дали в предыдущей главе.
103
ГРУППЫ И УРАВНЕНИЯ
Доказательство этого красивого утверждения занимает более ста страниц —
по крайней мере, именно столько места понадобилось Эмилю Артину (1898—1962),
великому математику и популяризатору науки, а также автору книги «Теория Галуа».
Существуют уравнения, группа Галуа которых представляет собой пятую из сим-
метрических групп, Чтобы определить, является ли она разрешимой, сначала
нужно найти нормальные подгруппы S5, состоящей из 120 перестановок. Итог этих
действий таков: можно построить только одну последовательность нормальных под-
групп, что является предполагаемым условием разрешимости S5:
{п} С а5 С s5.
Построив требуемые факторгруппы S5 / А5 = Z2 и
а5/{п} = а5,
увидим, что исходная группа не является абелевой. Следовательно, не существует по-
следовательности подгрупп, которая удовлетворяла бы теореме Галуа. Таким образом,
S5 не является разрешимой, и уравнение пятой степени также не имеет решений. Это
утверждение верно не только при п = 5, но и для всех последующих п.
В книге Артина приведено классическое описание теории Галуа, но сегодня она
носит более абстрактный характер, так как применяется не только для решения
уравнений, но и во многих других областях. Сейчас снято ограничение на рацио-
нальность коэффициентов и показано, что теория Галуа верна на любом поле К, как
конечном, так и бесконечном. Речь здесь идет не о выражениях, которые остаются
неизменными при перестановке, а об автоморфизме ОС К'/К, где К' — расширение
КсК:
К'—при а(х) = х для любого х £ К.
В современной математике группа Галуа определяется как множество подобных
автоморфизмов. Из-за изменений и дополнений такого рода определение группы
Галуа становится менее естественным, оно отдаляется от привычных нам понятий,
однако следует понимать, что именно таким образом достигается его общий характер.
Лучшая характеристика, которую можно дать теории Галуа в ее современном
виде, — это слова, которые наверняка произнес бы сам Галуа, увидев свою обнов-
ленную теорию: «Это то же самое, о чем говорил я».
104
Глава 5
Симметрия в математике
Теория групп — прекраснейший раздел чистой математики,
который используется, чтобы показать,
сколькими способами можно раскрасить деревянный кубик.
Роберт Энсли
Если вам нравятся математические игры и головоломки, то вы сталкиваетесь с группа-
ми постоянно — как в задачах о колоде карт, так и при сборке, разборке или раскраске
фигур из деревянных кубиков. Поэтому неудивительно, что группы тесно связаны
со знаменитым кубиком Рубика. Шутливое определение теории групп, вынесенное
в эпиграф, безусловно, верно, но лишь отчасти: теория групп — один из разделов
математики, столь прекрасный, что заставляет застыть от изумления всякого, кто
впервые сталкивается с ним, — действительно используется для того, чтобы пока-
зать, сколькими способами можно раскрасить деревянный кубик. Однако прекрасная
теория групп помогает также собрать кубик Рубика из любой начальной позиции.
Решение каких-то головоломок! Это не кажется достойным применением для
целой математической теории. Но попробуйте собрать кубик Рубика без подска-
зок... И заметьте, как все меняется, если вы знаете, что из любого состояния кубика
Рубика можно перейти к начальному, выполнив необходимые ходы в правильной
последовательности, найти которую помогает теория групп.
105
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Алгебра в играх
Кубик Рубика, самая продаваемая математическая игрушка в истории, завоевал
популярность с момента своего создания венгерским архитектором Эрнё Рубиком
в 1974 году. С тех пор прошло много времени, и исследователи открыли алгоритмы
быстрой сборки кубика из любого положения. Кубик Рубика состоит из 27 маленьких
кубиков, которые образуют группы по три и которые, благодаря особому устройству
кубика, можно поворачивать. Цель игры — восстановить исходное положение куби-
ков, при котором каждая грань большого кубика состоит из квадратов одного цвета.
Существуют и другие варианты: например, можно расположить кубики так, чтобы
в центре каждой грани находился квадрат другого цвета, но это не особенно меняет
алгоритм решения.
Кубик Рубика допускает множество ходов, которые описываются группой пере-
становок.
Все вращения кубика Рубика можно свести к указанным на иллюстрации
поворотам одного, двух или трех слоев кубиков.
Определить число всех возможных перестановок непросто. По сути, это пре-
красный пример комбинаторной задачи. Общее число перестановок равняется
43252003274489856000, и, к счастью для игрока, они образуют группу. Таким
образом, задача сводится к нахождению последовательности движений, позволяю-
106
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
щих вернуть кубик в исходное состояние. Число возможных состояний кубика столь
велико, что при сохранении размеров кубика (длина ребра равняется примерно 6 см)
все возможные комбинации покрыли бы поверхность Земли почти 300 раз.
В поисках частных алгоритмов были достигнуты немалые результаты. Овладеть
лучшими алгоритмами непросто, однако они позволяют существенно ускорить сбор-
ку кубика. Рекордное время сборки составляет уже менее одной минуты, а в некото-
рых случаях кубик удавалось собрать менее чем за десять секунд. Существуют все-
возможные соревнования и чемпионаты, однако они представляют больший интерес
для Книги рекордов Гиннесса, чем для алгебраистов. Среди них — соревнования
среди незрячих, соревнования по сборке под водой, по сборке ногами и другие.
Купола, фуллерены и мячи для гольфа
Одним из исследователей многогранников был архитектор Ричард Бакминстер Фул-
лер (1895—1983), который, как считается, способствовал росту популярности гео-
дезических куполов в архитектуре.
Памятная марка, выпущенная в честь Ричарда Бакминстера Фуллера, который, однако,
не изобрел геодезические купола, а лишь сформулировал описывающие их основные
математические законы и в 1951 году запатентовал это сооружение.
107
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Геодезический купол — это структура сферической (или почти сферической)
формы, поверхность которой состоит из многоугольников (как правило, из треу-
гольников) и по форме близка к сегменту сферы. Все линии разбивки аппрокси-
мируют геодезические линии сферы, которые являются ее большими кругами. Это
придает геодезическим куполам прочность и устойчивость.
Вид изнутри и снаружи одного из многочисленных геодезических куполов,
спроектированных Бакминстером Фуллером, — оранжереи Climatron,
построенной в 1960 году для Ботанического сада Сент-Луиса.
108
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Форму куполов имеют не только архитектурные сооружения: так, усеченный
икосаэдр, относящийся к так называемым платоновым телам, используется при про-
ектировании не только куполов, но и футбольных мячей.
Усеченный икосаэдр имеет группу симметрии Ih (или *532, в зависимости от ис-
пользуемой нотации) и воспроизводит молекулу С60 — кластер углерода, состоящий
из 60 атомов, открытый в 1985 году. Первооткрыватели этого кластера, нобелев-
ские лауреаты Роберт Кёрл, Харольд Крото и Ричард Смолли, назвали свое откры-
тие в честь изобретателя геодезических куполов бакминстерфуллереном, но почти
все для краткости именуют этот элемент просто фуллереном.
Двойственным ему многогранником является пентакисдодекаэдр, который на-
поминает додекаэдр, но на каждой его грани построена пятиугольная пирамида,
за счет чего многогранник больше похож на геодезический купол, как это можно
видеть на следующем рисунке.
109
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Двойственность является обычным свойством многогранников, а следователь-
но, и геодезических куполов. Соединив линией центры граней купола, мы получим
многогранник, двойственный данному, однако его гранями будут не равносторонние
(это верно лишь для икосаэдра), а равнобедренные треугольники.
Мячи для гольфа (в форме сферы с выемками) также подобны описанным куполам.
Кроме того, мячи для гольфа должны обладать хорошими аэродинамическими
свойствами и соответствовать правилам спортивных организаций. Они должны ле-
теть ровно и на определенное расстояние. При этом следует учитывать, что мячи
собирают из двух половинок, и при сборке необходимо обеспечить идеальную форму
всех выемок. Этому вопросу посвящено множество литературы, представляющей
интерес лишь для тех, кто увлекается гольфом. Для тех же, кого интересуют группы
симметрии мяча для гольфа, укажем, что в ней от 48 (столько элементов в группе
симметрии октаэдра) до 120 элементов.
110
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Решетки
Точечные группы — это группы симметрии, операции которых оставляют непод-
вижной хотя бы одну точку плоскости. Точечные группы описывают симметрию тел,
подобных многогранникам или многоугольникам, имеющих «привилегированную»
точку — как правило, такой точкой является центр фигуры. Решетка Браве, назван-
ная в честь кристаллографа Огюста Браве (1811—1863), позволяет перейти от то-
чечных групп к неточечным, которые описывают симметрию не какой-то конкретной
фигуры, а всей плоскости или пространства в целом.
Эти решетки представляют собой конечную совокупность дискретных точек, ин-
вариантных для трансляций. Если бы мы смотрели на пейзаж изнутри решетки, линия
горизонта при этом повторялась бы во всех направлениях вне зависимости от того,
куда направлен наш взгляд. На плоскости существует пять решеток Браве, которые
описываются с помощью векторов и углов.
Косоугольная
решетка
Квадратная
решетка
Гексагональная
решетка
Примитивная
прямоугольная
решетка
Центрированная
прямоугольная *
решетка •
Других решеток не существует, так как не существует других способов покрыть
плоскость. Конфигурация решеток зависит от суммы углов, сходящихся в вершине
решетки.
В трехмерном пространстве ситуация усложняется, так как некоторые ограниче-
ния меняются. Все возможные решетки Браве представлены ниже. В левой колонке
таблицы указаны соответствующие названия кристаллографических систем, знако-
мые тем, кто интересуется геологией.
111
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Кристаллогра-
фическая система
Решетка Браве
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тетрагональная
а Ф с
к \
С
I
а
Р
Тригональная
а=[3=у,5 90°
Р
Гексагональная
112
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Подтипы Р, F, I и С в таблице соответствуют различному расположению граней,
центров и вершин. Чтобы представить себе решетку, поставьте изображенные выше
ячейки одну на другую так, чтобы их вершины совпадали.
Обои и мозаики, фризы и орнаменты
По сути, обои, мозаики, фризы и орнаменты — это почти одно и то же, а именно
примеры бесконечной симметрии на плоскости. Обои и мозаики покрывают плоскость
целиком, фризы ограничены краями. Орнаменты и фризы подобны двум сторонам
одной медали: орнаменты можно считать фризами, покрывающими конечные объ-
екты, которые встречаются нам в повседневной жизни: ленты на шляпах, ожерелья,
кувшины и прочие. Если вести речь о симметрии, будем принимать ее как данность
и не будем рассматривать случаи, в которых симметрия отсутствует, как, например,
во многих орнаментах.
Мозаичные фризы, ограниченные двумя параллельными прямыми, подобны
лентам с орнаментами. Существует семь возможных групп симметрии фризов. Они
113
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
У народа бакуба, проживающего на территории Конго, очень ценятся фризы
и орнаменты, особенно отличающиеся сложностью и симметричностью.
Пример узора, созданного народом бакуба.
Фризы, в свою очередь, мотуг намеренно усложняться и принимать форму колонн.
Существует ровно 24 группы фризов, но мы не будем приводить здесь их подробное
описание.
В двумерном пространстве существует 17 групп симметрии обоев и мозаик, по-
крывающих плоскость целиком. Они образуются путем сочетания пяти плоских
решеток и точечных групп. Полный перечень этих групп создал кристаллограф
Евграф Степанович Федоров (1853—1919) и позднее, независимо от него, Дьёрдь
Пойа (1887—1985). Русский математик Федоров был человеком строгих взглядов,
в свои неспокойные времена он считался едва ли не революционером. В 1919 году
он умер от голода.
Обозначения этих групп известны как символика Германа — Могена, и они
достаточно сложны. Не беспокойтесь, даже если вы не поймете эти обозначения
с первого раза, это не помешает вам понять то, о чем мы будем говорить дальше:
• pl: два переноса;
• р2: три центральные симметрии (или поворота на Л/2);
• рЗ: два поворота на 2л/3;
• р4: одна центральная симметрия (или поворот на л/2) и поворот на л/4;
• рб: центральная симметрия и поворот на 2л/3;
• рт: две осевые симметрии и перенос;
• ртт: четыре осевые симметрии, осями которых являются стороны прямоугольни-
ка (иными словами, две горизонтальные и две вертикальные симметрии);
• pmg: осевая симметрия и две центральные симметрии;
• стт: две осевые симметрии с перпендикулярными осями и одна центральная
симметрия;
114
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
• р31т: одна осевая симметрия и один поворот на 2л/3;
• p3mi: три осевые симметрии, оси которых расположены на сторонах равносто-
роннего треугольника (под углами л/3);
• p4g: осевая симметрия и поворот на Л/4;
• р4т: три осевые симметрии, оси которых расположены вдоль сторон треуголь-
ника и образуют углы л/6, л/4, л/2;
• рбт: три осевые симметрии, оси которых расположены вдоль сторон треуголь-
ника и образуют углы л/6,л/3,л/2;
• ст: осевая симметрия и скользящая симметрия в перпендикулярном направлении;
• pg: две скользящие симметрии в параллельных направлениях;
• pgg: две скользящие симметрии в перпендикулярных направлениях.
Хесус Аандарт очень наглядно изобразил эти симметрии: точками обозначаются
центры вращения, стрелками и пунктирными линиями — переносы.
115
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
p3nil
Рассмотрим вышеописанные модели на примере.
Согласно информации, найденной в Интернете, ткани с этими узорами были об-
наружены в древнеегипетской гробнице, и им соответствуют группы р2 (для узора
справа) и р4т (для узора слева).
116
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Другие примеры можно найти в узорах Альгамбры в Гранаде, ставшей местом
паломничества для алгебраистов со всего мира: в исламе любые изображения че-
ловека запрещены, поэтому в орнаментах фризов, стен, полов и потолков исполь-
зуются только геометрические фигуры. Это означает, что узоры повторяются сим-
метрично и описываются одной из 17 групп симметрии на плоскости. Определение
групп симметрии узоров превратилось в своеобразный вид спорта. Некоторые ис-
следователи заявляют, что обнаружили среди этих узоров все возможные группы
симметрии, однако в этот вопрос до сих пор не внесена ясность, так как другие ма-
тематики считают сомнительными доказательства того, что мастерам Альгамбры
были известны знаменитые 17 групп симметрии. Так это или нет — вопрос скорее
академический, поскольку вряд ли мастера целенаправленно проводили какие-либо
исследования в области геометрии. Другое дело, если бы в орнаментах было исполь-
зовано 18 групп симметрии.
Два элемента мозаики Альгамбры.
Репродукция узора одной из мозаик Альгамбры.
На рисунке справа L обозначает ось симметрии, С — центр поворота
117
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Сегодня, в XXI веке, чтобы покрыть мозаикой плоскую поверхность, придумать
определенный узор и описать все 17 возможных групп симметрии, уже не требуется
труд ремесленников. С этой задачей справляются компьютерные программы: до-
статочно задать исходный рисунок и выбрать группу симметрии.
Кристаллы и не только
В трехмерном пространстве существует 32 различные точечные группы, но с уче-
том всех возможных трансляций, описываемых решетками, их число увеличивает-
ся до 230. Это трехмерные кристаллографические группы, столь же реальные, как
и сама материя, которые также были открыты Федоровым. Если вам кажется, что
их число слишком велико, представьте себе четырехмерное пространство, в котором
число различных кристаллов равно 4783, в пятимерном пространстве — нескольким
миллионам, в шестимерном — уже 28934974...
Кристаллы серы (ромбическая кристаллографическая система).
Не будем перечислять наименования всех 230 кристаллографических групп, по-
скольку при записи в трех различных нотациях их число возрастает до 690, а это
только отпугнет всех, кто не интересуется минералогией.
Похожие чувства испытали исследователи, когда обнаружили квазикристаллы.
Это стало неприятным сюрпризом — физики потратили много сил и времени на из-
учение 230 групп Федорова, и казалось, что их исследование завершено: каждый
кристалл подчинялся определенной группе симметрии, которой соответствовала
одна из решеток Браве. Путем трудоемких, но сравнительно простых математиче-
ских рассуждений было доказано, что других решеток не существует. Однако ал-
118
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
гебра предполагает, а реальность располагает. Оставим ненадолго трехмерное про-
странство и, чтобы сделать объяснения более понятными, рассмотрим плоскость.
Решетки покрывают всю бесконечную плоскость, однако, как мы уже отмечали
выше, существует лишь несколько типов решеток. Симметрии порядка 5, пяти-
угольные или десятиугольные, не могут порождать решетки, поэтому им не соответ-
ствуют никакие кристаллы. Однако это справедливо только потому, что симметрич-
ный пятиугольник не укладывается ни в одну из возможных решеток. Тем не менее
напомним, что решетка должна покрывать все пространство. Что произойдет, если
мы устраним это условие и рассмотрим ограниченное пространство? Разумеется,
на нем не будет существовать решеток и кристаллов, однако будет присутствовать
нечто, похожее на кристаллы.
Чтобы изучить эту тему подробнее, рассмотрим ее под другим углом. Поговорим
о понятии, которое кажется почти не связанным с решетками и кристаллами, а имен-
но о замощении. По определению, замощение — это покрытие плоскости без про-
белов и накладок. Если элементами замощения являются одинаковые правильные
многоугольники, то замощение называется регулярным. Если в замощении чере-
дуются различные правильные многоугольники, оно называется полу регулярным.
Помимо этих двух типов замощения, отличающихся симметрией, существует и мно-
го других.
119
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Восемь возможных полурегулярных замощений.
Как регулярные, так и полурегулярные замощения являются наиболее понятны-
ми и обладают симметрией, которую описывают 17 групп симметрии на плоскости.
В общем случае некоторые замощения являются симметричными, другие — нет,
однако периодические замощения, разумеется, являются симметричными.
120
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Рассмотрим непериодические замощения. С геометрической точки зрения интерес
представляет следующий вопрос: каково минимальное число элементов, при котором
возможно непериодическое замощение плоскости? Первый ответ на этот вопрос дал
американский математик Роберт Бергер, который в 1966 году опубликовал описание
непериодического замощения из 20 426 различных элементов. Затем, как и следовало
ожидать, эта цифра начала уменьшаться. Философ, физик и математик сэр Роджер
Пенроуз (род. 1931) удивил математический мир в 1974 году — но не потому, что
написал очередной труд в соавторстве со Стивеном Хокингом (результатом их со-
вместного творчества является несколько книг), а потому, что описал непериодическое
покрытие плоскости всего двумя простыми элементами — выпуклым и невыпуклым
(они получили названия dart — «дротик» и kite — «воздушный змей»).
Составляющие элементов замощения Пенроуза. Золотое сечение Ф---.
Дуги указывают на взаимное расположение элементов мозаики.
Сэр Роджер Пенроуз на фотографии 2007 года и пример придуманного им замощения плоскости
121
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Иными словами, плоскость можно покрыть всего двумя элементами, при этом
замощение не будет периодическим, то есть узор не будет бесконечно повторять-
ся и не будет симметричным на всей плоскости. На основе этого замощения Дов
Левин и его руководитель, космолог Пол Стейнхард (род 1955), обнаружили за-
мощение уже не плоскости, а пространства, состоящее из ромбовидных элементов.
Оно не укладывалось ни в одну из известных решеток и, следовательно, не было
периодическим и не покрывало симметрично все пространство.
Замощения, подобные описанному Пенроузом, не обладают предсказуемой сим-
метрией в произвольной точке, однако они являются симметричными на очень про-
тяженных областях — по сути, на любой области, сколь бы велика она ни была. Их
симметрия ограничена. Если это замощение точно скопировать на бумагу, а затем
перенести и восстановить из копии, то исходное и восстановленное замощение не со-
впадут: они не являются симметричными относительно переноса.
В свою очередь, существование квазикристаллов впервые было подтверждено
в 1982 году, когда был найден первый квазикристалл — сплав алюминия и марган-
ца. Позже были обнаружены и другие квазикристаллы. Чтобы понять, как они вы-
глядят, представьте себе нечто среднее между стеклом, которое является абсолютно
аморфным, и кварцем, который является кристаллическим в традиционном смысле
этого слова. Квазикристаллы представляют собой новое, ранее не известное состо-
яние материи. Именно так происходит развитие науки, и теория групп не может за-
ранее раскрыть нам все секреты симметрии. Чтобы столкнуться с новыми задачами,
потребовалось выйти за рамки теории групп. Возможно, в будущем большой вклад
в изучение симметрии внесет квантовая физика. Группы и симметрия столь важны,
что к появлению новых задач приводит даже нарушение симметрии.
Модель атома
квазикристалла,
образованного
сплавом серебра
и алюминия.
122
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Атомы и группы
Существуют конечные группы, подобные тем, что мы рассмотрели в первых главах:
диэдрические группы многоугольников, группы симметрии многогранников и т. д.,
однако существуют также бесконечные группы, например сама двумерная плоскость,
которую оставляют неизменной бесконечно большое число видов изометрии.
Можно рассмотреть более простой пример: ничем не примечательный круг обла-
дает бесконечным числом видов симметрии. Чтобы получить приблизительное пред-
ставление об этом числе, скажем, что группа поворотов круга имеет размерность 1,
так как 1 — число параметров, необходимое для определения любого движения.
Если бы мы рассматривали сферу, размерность равнялась бы 3 (обратите внима-
ние — 3, а не 2!), так как для определения вращения потребовалось бы указать
уже три параметра (широту и долготу точки, через которую проходит ось вращения,
а также угол поворота).
Такие понятия, как, например, понятие измерения, необходимы, но их недоста-
точно, чтобы ответить на фундаментальный вопрос: как классифицируются группы?
Существует ли какой-то критерий? В предыдущей главе мы дали определение простой
группы. Простая группа — это такая группа, нормальными подгруппами которой
являются только она сама и единичная подгруппа. Можно сказать (это будет не со-
всем точно, но упростит понимание вопроса), что группа тем проще, чем меньше у нее
подгрупп, и простейшей группой в пределе будет такая группа, у которой не будет
подгрупп. Простые группы — это простейшие возможные группы, единственные,
которые нельзя разложить на части, образующие основу других групп.
Простые группы подобны атомам во вселенной групп. Они неделимы. Простая
группа С не имеет нормальных подгрупп N, которые могли бы «делить» С: не су-
ществует никакой факторгруппы G/N. Для простой группы С не существует фак-
торгрупп.
Пока что будем рассматривать только конечные группы, так как теоретически
их изучение проще. Если конечная циклическая группа простая, ее порядок явля-
ется простым числом. Если простая группа конечна, не является циклической, ее
порядок будет четным числом. Это утверждение известно под названием теоремы
Фейта — Томпсона, которая была доказана в 1963 году. Живительно, что первое
доказательство столь короткой теоремы было изложено на 254 страницах и заняло
целый номер журнала Pacific Journal of Mathematics, в котором было опубликовано.
Но это доказательство стало лишь первым в череде последовавших за ним огромных
доказательств.
123
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
ДЖОН ГРИГГС ТОМПСОН (РОД. 1932)
Этот американский математик всегда занимался алгеброй и в особенности теорией групп.
За свои выдающиеся заслуги в этой области он был награжден Филдсовской премией (1970)
и, как мы уже упоминали в главе 3, Абелевской премией (2008). Он и Жан-Пьер Серр (род. 1926)
на сегодняшний день являются единственными математиками, удостоенными этих двух престиж-
ных премий (напомним, что Филдсовская премия присуждается лучшему математику в возрасте
до 40 лет, Абелевская премия - по совокупности заслуг на протяжении всей карьеры).
Самым известным открытием Томпсона является теорема, которая носит его имя и имя его
коллеги Уолтера Фейта (1930-2004) и стала первым шагом на пути к классификации простых
групп. Томпсон также обнаружил спорадическую группу, впоследствии названную в его честь,-
так называемую группу Th (или F3I3, или F3) порядка 215 • З10 • 53 • 72 • 13 • 19 • 31 -
- 90 745 943 887 872 ООО « 9 • 1016. Он показал, что эта спорадическая группа невообразимых
размеров является группой Галуа некоторого целого уравнения. Томпсон не указывает, какому
именно уравнению соответствует эта группа, но оно, несомненно, имеет колоссальные размеры.
Pacific
Journal of
Mathematics
bolvajnuty or oaour* or oo ошж»
(Ж7)
О 1)д
If d « 1 (Ю.7) fellows from th* dofeltioe of *. Asowno bow that
l Й-1М + * >
- i>r+ й + U - (4 - и
*)« + *
Tkto nubUohos (18.7).
Now (16.7} (ад'Ш that foe J i 1,
SOLVABILITY
OF
GROUPS OF ODD ORDER
^(-<« + « + ад
N( м м I V - 1
WALTER FEIT (Cornell llnbre rity)
nd
JOHN G THOMPSON (Uiuwety of Chfcrfr)
Defeo ДО b
(«.»)
Thos f(t) has cootfeionta ia «ad (И Я yfcMo that
Lst 5 w for « 0, thoa • " y-"*; - Hoaeo (M.18) yiokte that
^ЛИ-1 ЙЙЛ..1,
(18.11) /W-»-iy-e feritx;. »«1.
Обложка и одна из страниц объемной статьи, опубликованной Фейтом и Томпсоном
в 1963 году в журнале Pacific Journal of Mathematics.
124
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
В последующие годы были достигнуты новые успехи в решении задачи о класси-
фикации простых групп, как конечных, так и бесконечных, однако мы ограничимся
только конечными группами. Задача о классификации бесконечных групп не явля-
ется нерешаемой, однако требует подробных и объемных объяснений, касающихся
групп Ли, которые могут быть понятны исключительно специалистам. Простые ко-
нечные группы, в свою очередь, подразделяются на:
• циклические группы типа где р — простое;
• знакопеременные группы при и 5, о которых мы уже говорили в предыдущих
главах и которые обозначаются
• простые группы Ли, о которых мы расскажем в соответствующем разделе;
• спорадические группы, которых всего 26. Они не подчиняются какой-либо схеме,
и если изначально их считали выбивающимися из общего ряда, то в наше время
они порой служат источником интересных задач.
Существуют спорадические группы разных размеров — начиная от группы
Матьё, имеющей наименьший порядок среди остальных спорадических групп,
«всего» 7920 = 24 • З2 • 5 • 11 элементов, и до группы-«монстра», содержа-
щей 246 • З20 • 59 • 76 • И2 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 -71 = 808
017 424 794 512 875 886 459 904 961710 757 005 754 368 000 000 000 элементов,
что превышает число атомов во вселенной. Она была составлена Робертом Грейсом
(род. 1945) в 1980 году, который назвал свое творение «дружелюбным гигантом»,
после чего это название под-
хватили другие специалисты.
Обычно говорят (как будто бы
это упрощает ситуацию!), что
это группа автоморфизмов
определенной алгебры в ев-
клидовом пространстве раз-
мерности 196 884.
Главная страница сайта математика
Роберта Грейса, на которой
содержится обширная информация
о 'группе-монстре».
125
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
В 1990 году было доказано, что других групп-«монстров» не существует. В спе-
циальной литературе эта огромная группа обозначается буквой М. Из 26 споради-
ческих групп 20 являются подгруппами (обратите внимание — не нормальными
подгруппами!) М, шесть остальных специалисты называют париями. Спорадическая
группа, следующая по размерам за М, называется «маленьким монстром» (В) и со-
держит «всего» 4154 781481226 426191177 580 544 000 000 элементов, что абсо-
лютно несущественно в сравнении с М.
Спорадические группы преподносят множество сюрпризов и подобны минному
полю, по которому следует ступать с осторожностью.
Однажды Конвей и Нортон выдвинули гипотезу по результатам размышлений
над размерностями неприводимых представлений М и коэффициентами разложения
в ряд Фурье функции j(l). Каково же было их удивление, когда они обнаружили
подобное совпадение, совсем не очевидное на первый взгляд, между коэффициента-
ми ряда и размерностью представлений М — двумя понятиями, которые, казалось,
не имели друг с другом ничего общего. Конвей и Нортон заметили, что
J(T) = -+744+196884^+21493760^ +864299970^ + ...,
<1
(где, для краткости, q = е2тт) и что, с другой стороны, размерности удовлетворяют
соотношению
1 = 1
196884 =196883 +1
21493760 = 21296876 + 196883 + 1
864299970 = 842609326 + 21296876 + 2 • 196883 + 2-1
где числа в правой части равенства являются линейными комбинациями упомянутых
нами размерностей.
Чтобы понять, что это совпадение не случайно, и сформулировать гипотезу на его
основе, нужно быть Конвеем. Мы не будем приводить здесь формулировку этой
гипотезы и скажем лишь, что она используется в том числе в теории струн. Эта ги-
потеза, получившая шутливое название The Monstruous Moonshine (что в неточном
буквальном переводе может звучать как «монструозный лунный свет», но в этом
случае теряется второе значение английского слова moonshine — «вздор, нелепи-
ца»), была доказана в 1992 году Ричардом Борчердсом (род. 1959), за что он был
126
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
ДЖОН ХОРТОН КОНВЕЙ (РОД. 1937)
Это один из самых разносторонних, популярных и выбивающихся из общего ряда математиков
современности. Конвей является автором множества книг и передач на различные темы, начиная
от учебников по алгебре и философских трактатов до книг по занимательной математике, в кото-
рой его можно считать звездой первой величины. Он родился в Англии и в настоящее время зани-
мает пост ординарного профессора кафедры Джона фон Неймана в Принстонском университете.
Сложно сказать, какие из многочисленных творений Конвея в самых разных областях науки
в будущем войдут в историю. Он в одиночку открыл четыре простые группы и еще три - совместно
с другими математиками. Он также опубликовал атлас конечных групп. Кроме того, Конвей за-
нимался квантовой физикой и разработал Алгоритм Судного дня, позволяющий определить день
недели для конкретной даты. В теории автоматов он отметился
созданием игры «Жизнь», в теории чисел - созданием сюрреа-
листических чисел, в квантовой физике - формулировкой уди-
вительной «теоремы о свободе воли», затрагивающей некоторые
странные особенности квантового мира. Он совершил важные
открытия, касающиеся кватернионов, а также внес важный вклад
в теорию узлов и комбинаторику многогранников, доказал, что
любое целое число можно представить в виде суммы не более
37 чисел в пятой степени, и т. д. Масштаб его личности таков,
что она не поддается какой-либо классификации.
Почетный профессор Джон Конвей с изображенной на
голове рогатой сферой Александера — аномальной
поверхностью, которая, несмотря на необычный внешний
вид, является связной и гомеоморфна сфере. Именно
Конвей первым стал называть группу М монстром.
награжден Филдсовской премией. Последнее замечание: 2, 3, 5, 7, И, 13,17,19, 23,
29, 31, 41, 47, 59 и 71 — пятнадцать так называемых суперпростых чисел. Сможете
заметить взаимосвязь между ними и порядком группы М?
Группы Ли
Норвежскому математику Софусу Ли (1842—1899) не пришлось пережить столько
лишений, как его соотечественнику Абелю, так как он занимал должность заведующе-
127
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
го кафедрой в Германии. В своих работах о дифференциальных уравнениях Ли работал
с особыми группами, которые теперь носят его имя. Изначально не предполагалось,
что эти группы найдут столь широкое применение, какое они получили в наши дни.
Более поздние исследователи, в частности Вильгельм Киллинг (1847—1923) и Эли
Жозеф Картан (1869—1951), продолжили его труд, и теперь группы Ли являются
фундаментальным понятием не только алгебры, но и физики, в особенности кванто-
вой физики. Один из недавних лауреатов Абелевской премии Жак Титс (род. 1930)
является специалистом именно в этой области.
Норвежский математик Софус Ли, сделавший важнейший вклад в изучение симметрии.
Группа Ли — это дифференцируемое многообразие (представьте себе гладкую
поверхность без складок, или поверхность, подобную сфере, спирали или бублику),
элементы которого образуют группу, операции которой также являются дифферен-
цируемыми. На первый взгляд может показаться, что группы Ли не представляют
собой ничего особенного, однако за их невинной внешностью скрываются неожи-
данные и очень необычные дифференцируемые многообразия, в том числе конеч-
ные, о которых мы не будем упоминать, так как они слишком сложны. Группы Ли
относятся к высшей алгебре, и мы не будем мучить читателя их подробным описани-
ем. Если вы хотите узнать о них больше, обратитесь к приложению.
128
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Эрлангенская программа
Феликс Клейн (1849—1925) в свое время был известен не только как ведущий
математик, но и как трудоголик, фанатичный исследователь, проводивший многие
часы без сна и даже принимавший особые препараты, чтобы преодолевать усталость
и продолжать работу. В конце концов его тело не выдержало нагрузки, и в 1882 году
Клейн пал жертвой депрессии. Ему так никогда и не удалось полностью оправиться
от этого недуга.
Феликс Клейн совершил значительный вклад в математику — так, именно он
предложил изучать интегралы и производные в старшей школе, а не в университете.
Он также разработал многие важные математические теории и понятия. Кроме того,
Клейн создал топологическую структуру, которая больше напоминает математиче-
скую игрушку — так называемую бутылку Клейна.
Бутылка Клейна — это сосуд, у которого отсутствует объем, так как в нашем трехмерном пространстве
у него нет внутренней и внешней стороны. В четырехмерном пространстве бутылка Клейна
не проникает сама в себя. Название «бутылка» происходит от неправильного перевода слова Flache
(«поверхность»), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche («бутылка»).
Когда речь заходит о Клейне, математики сразу вспоминают его Эрлангенскую
программу — новый взгляд на геометрию, изложенный Клейном на одном из вы-
ступлений в Эрлангенском университете, где он впервые получил должность за-
ведующего кафедрой. Точка зрения Клейна, которая теперь во всем научном мире
считается чем-то само собой разумеющимся, в свое время была передовой. Его целью,
которой он достиг, было придать единое значение столь разнородному понятию, как
129
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
геометрия: во времена Клейна существовали различные евклидовые и неевклидо-
вые геометрии, метрическая, проективная, аффинная геометрия и другие. Главная
идея Эрлангенской программы заключалась в том, что особое внимание уделялось
группе С и видам ее симметрии, всем преобразованиям С, относительно которых
основные свойства оставались инвариантными. Иными словами, Клейн предложил
классифицировать разделы геометрии в зависимости от того, какие группы преоб-
разований им соответствуют.
Если выбранная нами группа является группой изометрии, она задает евклидову
геометрию. Если мы выберем метрику Лоренца — Эйнштейна и выбранная нами
группа является группой преобразований Лоренца в четырехмерном пространстве
(пространстве Минковского), мы получим геометрию теории относительности.
Если мы выберем группу аффинных преобразований (которые превращают вектор v
в вектор av + b), получим аффинную геометрию, в которой инвариантными являют-
ся не только повороты и отражения, но и преобразования подобия и в которой спи-
ральные объекты, например раковина наутилуса, считаются симметричными, хотя
не являются таковыми согласно обычной симметрии группы Ли SO2 (R).
Мир фракталов, полный самоподобных объектов, идеален для изучения свойств аффинной группы.
130
СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ
АНТИСИММЕТРИЧНАЯ СИММЕТРИЯ
Всем известный символ инь и ян не является симметричным,
однако в нем есть что-то, что наводит на мысли о его сим-
метричности. Он настолько асимметричен, что заслуживает
права называться симметричным. В действительности инь
превращается в ян (и наоборот) при повороте и последу-
ющей смене цвета. В математике функция f, для которой
f(x, у) = -f(y, х)
для любого х * у, называется антисимметричной.
С практической точки зрения две геометрии изоморфных групп, сколь бы неяв-
ным ни был изоморфизм между ними, по сути, будут представлять собой одну
и ту же геометрию. Например, геометрия комплексной проективной прямой совпа-
дает с геометрией вещественной гиперболической плоскости, так как их группы изо-
морфны. Следовательно, достаточно изучить лишь одну из этих геометрий.
Спирали, которые не являются симметричными согласно группе симметрии ев-
клидовой геометрии, являются симметричными, когда мы рассматриваем группы Ли,
а время рассматривается как параметр.
131
Глава 6
Симметрия повсюду
Теоремы должны быть благородными, удивительными,
элегантными, интригующими, строгими...
но прежде всего понятными.
X. Зееман
В физическом мире симметрия блистает во всем своем великолепии. Она не всегда
заметна невооруженным глазом, как, например, в оптике или в столь привычных нам
устройствах, как коловороты или калейдоскопы, подчас она не столь явна и присут-
ствует в сложных науках, особенно в квантовой физике, в мире бесконечно малого,
столь далекого от окружающей нас повседневности и, к сожалению, неподвластного
нашей интуиции, из-за чего во многих случаях он оказывается недоступным для по-
нимания. Некоторые физические теории достигают таких высот научной мысли, что
при первом прочтении они кажутся абсолютно непонятными.
В физике симметрия занимает особое почетное место. Любое явление, будь то ре-
зультат наблюдений или следствие некоего принципа, в котором некий математиче-
ский объект инвариантен какому-либо изменению, обладает симметрией.
У симметрии женское яйцо
Амалия Эмми Нетер (1882—1935) всю свою жизнь сражалась с предрассудками,
согласно которым сколь бы умной ни была женщина, она не могла заниматься наукой
и должна была оставаться дома и вести хозяйство. Давид Гильберт (1862—1943),
безоговорочно лучший математик своего времени, потратил много сил и времени и ис-
пользовал весь свой авторитет, чтобы эта женщина, дочь математика Макса Нётера,
заняла престижную должность в Гёттингенском университете. Она переехала в Гёт-
тинген в 1915 году, и до 1923 года ей не удавалось получить официальную должность
приват-доцента, не говоря уже о том, каких трудов ей стоило занять оплачиваемую
должность, — в те годы это считалось совершенно невозможным. Несмотря на то
что Нётер была ведущей женщиной-математиком мира, она не смогла занять над-
лежащее место среди своих современников. В 1930 году сложилась парадоксальная,
133
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
можно сказать, смехотворная ситуация, когда ее ученик Герман Вейль получил пост
заведующего кафедрой, в то время как она сама оставалась простым преподавателем.
Эмми Нётер так и не удалось победить распространенные в то время предрассудки.
Портрет Амалии Эмми Нётер. Альберт Эйнштейн и многие другие ученые
считали ее величайшей женщиной-математиком всех времен.
Она доказала фундаментальную теорему теории инвариантов и создала современную теорию
идеалов, разгадав множество загадок современной алгебры.
Когда нацисты начали постыдное преследование евреев, многие ученые были
вынуждены покинуть страну, и Нётер эмигрировала в США. Однако там ей при-
шлось довольствоваться должностью в Брин-Мор-колледже — женском образова-
тельном центре, хотя ее заслуги давали ей право преподавать в Принстонском уни-
верситете наряду с Эйнштейном, Гёделем и фон Нейманом. Но если Эмми Нётер
и преподавала вместе с ними, то как приглашенный преподаватель, а не как член
Института перспективных исследований.
134
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
Эмми Нётер записывала свои математические рассуждения
даже на открытках — вроде этой, которую она отправила в 1915 году
своему другу, профессору Эрнсту Фишеру.
Вкладом Нётер в изучение симметрии стала важная и неожиданная теорема об ин-
вариантности. Теорема Нётер гласит, что в физике всякой симметричной математиче-
ской формуле соответствует инвариантная физическая величина. Верно и обратное.
Алгебраическое доказательство этой теоремы сложно и объемно. Однако инте-
рес здесь представляют не сами рассуждения, а результат. Эта теорема была названа
«одной из важнейших теорем из когда-либо доказанных» и заслуживает всяческих
похвал. Приведем в качестве примера несколько взаимосвязей между симметрией
и инвариантностью/сохранением, следующих из теоремы Нётер.
135
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
Инвариант Неизменная физическая величина
Временной перенос Энергия
Пространственный перенос Импульс
Пространственный поворот Момент импульса
СТР Произведение четностей
ад Электрический заряд
17(2) Сила при электрослабом взаимодействии
SU(2) Изотопический спин
SU(3) Цвет кварка
U(l) X SU(2) X SU(3) Стандартная модель квантовой физики
Симметрия, обозначенная СТР, относится, в некотором приближении, к струк-
туре вселенной, в которой мы находимся. Заряд элементарных частиц может быть
положительным или отрицательным, на что указывает буква С, пространство может
быть реальным или зеркально отраженным в воображаемом зеркале — в этом слу-
чае происходит инверсия координат или трансформация четности Р. Наконец, вре-
мя может идти вперед или назад, на что указывает временная инверсия Т. Каждый
член может принимать значение +1 или —1 в зависимости от четности, и теорема
Нётер гласит, что произведение четностей сохраняется.
Симметрия в квантовой физике
Группы Ли, фигурирующие в последних строках приведенной выше таблицы, опи-
сывают калибровочную симметрию — этот термин требует высочайших знаний фи-
зики. Герман Вейль в 1918 году начал изучать физическую симметрию, получившую
название калибровочной. С помощью теории групп он установил связь между этой
симметрией, электромагнетизмом и тяготением. Его попытки рассмотреть электро-
магнитное и гравитационное поля как геометрические свойства пространства-времени
не увенчались успехом, но понятие калибровочной симметрии закрепилось в физике.
Точнее всего калибровочную симметрию можно определить на языке чистой ма-
тематики. Представьте себе физическую теорию, в которой используются поля, на-
пример теорию электромагнетизма или тяготения, и предположите, что существует
ряд преобразований, образующих группу С, которую мы будем называть калибро-
вочной. Эту теорию называют калибровочной (с калибровочной группой С), когда
функция Лагранжа для соответствующего поля инвариантна С.
136
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
Эта дефиниция очень точна, но столь же непонятна для непосвященных. Чтобы
понять ее, сначала нужно определить некоторые элементарные частицы, из которых
состоит материя и которые физики называют фермионами (они так названы в честь
нобелевского лауреата Энрико Ферми (1901—1954) и обладают полуцелым значе-
нием спина).
За этим определением скрываются такие частицы, как кварки (их всего шесть,
или 12 — если учитывать античастицы, и они носят забавные имена: нижний кварк,
верхний кварк, странный кварк, очарованный кварк, прелестный кварк и истинный
кварк) и лептоны (их также шесть, плюс шесть античастиц — к ним относятся элек-
ГЕРМАН ВЕЙЛЬ (1885-1955)
Герман Вейль - один из величайших умов XX столетия. Он
был не только математиком и физиком, но и прекрасным
писателем, автором скорее философских, нежели научно-
популярных трудов. Вейль оказал большое влияние на раз-
витие науки, разработав множество новых понятий и открыв
массу новых направлений исследований.
Он родился в Гамбурге, учился в Гёттингенском универ-
ситете вместе с такими блестящими физиками и математи-
ками, как Гильберт и Минковский (1864-1909). Вейль пре-
красно владел практически всеми разделами математики
и считался универсальным ученым. Ему довелось сотруд-
ничать с Эйнштейном и Шрёдингером, и он, воспользовав-
шись представившейся ему возможностью, стал экспертом
в теории относительности. Позднее ему, как и многим другим ученым, пришлось покинуть страну,
спасаясь от преследований нацистов, и он переехал в США, где стал членом престижного Инсти-
тута перспективных исследований в Принстоне.
Вейль изучал римановы многообразия, открыл калибровочную симметрию (однако приме-
нить эту теорию на практике ему не удалось), привел основы квантовой физики в соответствие
с классической физикой, часто использовал теорию групп и создал множество работ об осно-
вах математики. Он также совершил важный вклад в другие разделы математики, в частности
в гармонический анализ. Философские размышления ученого, посвященные главным образом
физике и природе математики, изложены в нескольких книгах.
137
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
трон, позитрон, мюон, тау-лептон и нейтрино). Представим себе квантовую теорию
фермионов, которая объясняет взаимодействия между ними как преобразования
группы G. Эта группа, как и сама теория, будет называться калибровочной. Если
говорить коротко, то когда речь идет о калибровочной теории, то подразумевается
группа симметрии между частицами. Математическим языком этой теории является,
прежде всего, дифференциальная геометрия.
Понятие калибровочной теории можно объяснить иначе, вернувшись к истокам:
теория поля обладает калибровочной симметрией, когда различным конфигурациям
этого поля, описываемым группой симметрии (которую мы будем называть кали-
бровочной группой), соответствуют идентичные результаты измерений.
Калибровочная симметрия очень сложна, так как в ней используются комплекс-
ные числа (они являются полноправными хозяевами квантовой физики), частные
производные и криволинейные интегралы, алгебры Ли (связанные с группами Ли),
матричное исчисление и коммутаторы операторов, которые приводят к неравен-
ствам вида
ДлД р > —.
4тг
Для частицы, среднее положение которой равно х, а средний импульс — р, h — чис-
ловая константа, называемая постоянной Планка. Эта формула носит внушительное
название «принцип неопределенности Гейзенберга», согласно которому невозможно
одновременно точно знать, как движется частица и где она находится.
Калибровочные теории в квантовой физике непросты, но с их помощью уже было
предсказано достаточно много явлений, и их будет сложно заменить, если вдруг они
будут опровергнуты. Нечто похожее произошло с нобелевским лауреатом Мюрреем
Гелл-Манном (род. 1929) и частицей II (омега-минус-гиперон). В 1960-е годы
Гелл-Манн и израильский политик и министр Юваль Неэман (1925—2006) в ходе
исследований адронов (одной из разновидностей субатомных частиц) обнаружи-
ли, что многие частицы выстраиваются в особые группы согласно таким квантовым
характеристикам, как странность, заряд и спин. Пример такой группы приведен
на следующем рисунке.
138
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
Расположив частицы на координатной плоскости (оси абсцисс и ординат обозначены на рисунке),
Гэлл-Манн увидел, что внизу имеется пустое место, и действительно, в этой схеме недоставало
частицы £1. Были начаты поиски этой частицы, и в итоге она была найдена.
Очевидно (очевидно сейчас, но не тогда), что в этой структуре имеется недостаю-
щее звено. Гелл-Манн и Неэман предположили, что существует частица, заполняю-
щая этот пробел (нечто подобное пришло в голову Менделееву при составлении
периодической таблицы). Группой Ли, лежащей в основе этой калибровочной теории,
была SU(3). В 1964 году существование частицы От было доказано эксперимен-
тально. Она дополнила группу 5(7(3), и все встало на свои места.
СПИН
В героический век физики элементарные частицы обладали ядром и орбитами и были подобны
Солнечной системе в миниатюре. В этом контексте было создано аллегорическое понятие спи-
на, описывающее вращение (точнее, момент импульса) некоторых частиц при вращении вокруг
самих себя. В современной квантовой механике спин считается еще одним квантовым числом.
Элементарные частицы, обладающие целым спином, называются бозонами. Частицы с полуцелым
спином называются фермионами.
139
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
Слева — первое экспериментальное доказательство существования частицы Я ,
полученное в 1964 году в пузырьковой камере Брукхейвенской лаборатории в США.
Справа — схема, на которой изображены траектории и следы частиц, оставшиеся
в результате последовательных столкновений и распадов частиц.
Почему параметры частиц описывались именно группой 5(/(3)? В 70-х была
высказана гипотеза, согласно которой каждый адрон состоит из трех более мелких
частиц — кварков. Таким образом, появление SU(3) было далеко не случайным.
Суперсимметрия
В природе существует четыре фундаментальных взаимодействия, и на данный мо-
мент все они безупречно описаны на языке математики в векторной форме, равно как
и соответствующие им поля. Этими взаимодействиями являются электромагнитное,
гравитационное, сильное и слабое взаимодействия.
Первые два не требуют особых объяснений, так как знакомы каждому. Остальные
два воздействуют на мельчайшие частицы — атомы.
В так называемых слабых взаимодействиях участвуют бозоны (элементарные
частицы без спина) W и Z. Слабые взаимодействия имеют порядок 10-11. Величина
сильного взаимодействия, удерживающего протоны и нейтроны, в 105 раз боль-
ше — именно поэтому оно называется сильным. Это взаимодействие действительно
является сильным, так как оно в 100 раз сильнее электромагнитного взаимодействия
и в 1039 раз сильнее гравитационного, поэтому разделение атомов вещества требует
стольких усилий. Огромная энергия, выделяющаяся при распаде атомов, становит-
ся причиной невероятных разрушений, причиняемых водородными бомбами, но это
уже совсем другая история.
140
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
В так называемой стандартной модели приводится достаточно удовлетворитель-
ное математическое объяснение трех последних взаимодействий, объединенных
единой теорией. Стандартная модель была окончательно сформулирована усилиями
Шелдона Глэшоу (род. 1932), Стивена Вайнберга (род. 1933) и Абдуса Салама
МЮРРЕЙ ГЕЛЛ-МАНН (РОД. 1929)
Наиболее значимым вкладом этого американского физика (который еще в детстве проявил удиви-
тельные способности) в науку является открытие кварков. В 1969 году его работы в этой области
были удостоены Нобелевской премии. Будучи большим интеллектуалом, он заимствовал слово
«кварк» из романа «Поминки по Финнегану» Джеймса Джойса. Это был не первый его опыт имя-
творчества - незадолго до того Гелл-Манн предположил, что субатомные частицы могут объеди-
няться в группы по восемь (или десять), и назвал этот механизм Восьмеричным путем по аналогии
с Благородным восьмеричным путем буддизма. Последующие исследователи показали, что в ос-
нове этого мистико-физического механизма находятся группы SL/(3), симметрия и теория групп.
Вышесказанного уже достаточно, чтобы имя Гелл-Манна навсегда вошло в историю, однако его
вклад в науку этим не ограничивается: одним из первых его открытий, касавшихся элементарных
частиц, было открытие нового квантового числа - странности. В 1972 году он совместно с Ха-
ральдом Фритцшем (род. 1943) и Хайнрихом Лютвайлером (род. 1938) сформулировал теорию
квантовой термодинамики. Он также сотрудничал с другим великим физиком, Ричардом Фейнма-
ном, совместно с которым описал векторную структуру слабого взаимодействия. Также Гелл-Манн
является автором научно-популярной книги о сложных системах «Кварк и ягуар».
Мюррей Гелл-Манн
(справа) получает
Нобелевскую премию
из рук короля Густава VI
10 декабря 1969 года
141
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
РИЧАРД ФЕЙНМАН (1918-1988)
Фейнман был весьма необычным ученым. Немногим
физикам удалось стать звездами телевидения и удо-
стоиться упоминания в энциклопедии благодаря
любви к игре на барабанах бонго, но Фейнману это
оказалось по силам. Его жизнь напоминает сюжет
романа и стала предметом нескольких автобиогра-
фий. Фейнман обладал даром преподавания и был
нонконформистом из числа тех, кто беспрерывно
задает всевозможные вопросы, порой необычные
и неудобные.
Его научная карьера началась в легендарной ла-
боратории в Лос-Аламосе, штаб-квартире Манхэттен-
ского проекта по созданию атомной бомбы, куда он
попал в очень молодом возрасте. Чтобы дать пред-
ставление о нем, добавим, что в свободное время
он развлекался тем, что вскрывал сейфы и оставлял
внутри них записки.
Фейнман увлеченно занимался квантовой физикой, посвятив ей большую часть жизни.
В 1965 году он получил Нобелевскую премию за работы по квантовой хромодинамике. Ученый
известен студентам благодаря диаграммам Фейнмана, которые оказывают неоценимую помощь
всем изучающим физику частиц. Он также занимался сверхпроводимостью, слабыми взаимодей-
ствиями и совместно с Мюрреем Гелл-Манном работал в области нанотехнологий и квантовых
компьютеров. Фейнман стал широко известен общественности в 1986 году, после того как при-
нял участие в расследовании причин катастрофы космического челнока «Челленджер», который
взорвался в атмосфере вскоре после запуска. В одной из телепередач, используя только сосуд
с холодной водой и строительные материалы, Фейнман продемонстрировал, что причиной ката-
строфы стали особенности поведения определенных материалов при низких температурах.
Он охотно сотрудничал с другими учеными, однако неизменно очень высоко держал планку
своих исследований. Когда ученому сообщили, что он смертельно болен, он отказался от лечения
и предпочел умереть достойно.
142
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
(1926-1996) , лауреатов Нобелевской премии по физике 1979 года. Теория, в рам-
ках которой были объединены три фундаментальных взаимодействия, получила на-
звание GUT, по первым буквам слов Grand Unified Theory — «теория великого
объединения» (английское слово gut также обозначает внутренние органы, а в пере-
носном смысле — волю и смелость).
Стивен Вайнберг, один из трех создателей «теории великого объединения».
Калибровочной группой, описывающей симметричные перестановки элементар-
ных частиц стандартной модели, является (7(1) х SU(2) х 5(7(3). Эта группа, изу-
ченная в 1970-е, описывает взаимодействия между разными частицами материи.
Однако во вселенной нет ничего простого, и стандартная модель не исключение.
Многие физики не считают ее удовлетворительной, и некоторые лакуны (напри-
мер, почему нам доступно так много материи и так мало антиматерии?) этой модели
дают основания полагать, что, возможно, существует иная симметрия, включающая
стандартную модель, которая поможет дать ответы на многие подобные вопросы.
Так появилось понятие суперсимметрии.
Возможно, чтобы несколько смягчить краски, эта теория получила сокращен-
ное название SUSY (от англ. SUperSYmmetry — «суперсимметрия»), что звучит
как нечто мягкое и нежное. Эта теория имела целью устранить неполноту обычной
симметрии, то есть стандартной модели. В рамках стандартной модели объедине-
ны три взаимодействия, однако эта модель устраивает не всех ученых. Принцип
суперсимметрии гласит, что для любой частицы, обладающей спином, существует
симметричная ей частица-партнер. Современные мощные ускорители способны все
точнее воссоздавать условия Большого Взрыва, и предполагается, что существова-
ние суперсимметричных частиц вскоре будет подтверждено экспериментально.
143
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
На данный момент в рамках одной теории удалось объединить три основных
взаимодействия; встроить в нее гравитационные взаимодействия пока не получи-
лось. По словам некоторых экспертов, гравитационное поле и поля стандартной мо-
дели словно дети, которые снова и снова пытаются подружиться, но у них ничего
не получается. Цель физиков — открыть так называемую «теорию всего», которая
также будет включать гравитационные взаимодействия, будь то теория струн (су-
ществует несколько ее разновидностей) или «исключительно простая теория всего»
Энтони Гаррета Лиси (в ней используется группа Е&). Возможно, частью этой все-
объемлющей теории является суперсимметрия. Чтобы сформулировать ее, нужны
неимоверные усилия и то, что на английском языке называется GUTs.
Краткий экскурс в биологию и химию
Экскурс в мир биологии и химии может быть сколь угодно длинным, так как во время
него можно подробно остановиться на многих интересных явлениях и рассмотреть
проявления симметрии в природе — этой теме посвящены многочисленные публи-
кации и интернет-ресурсы.
Возможно, наиболее удивительным примером симметрии в биологии является
двойная спираль ДНК, открытая Джеймсом Уотсоном (род. 1928) и Фрэнсисом
Криком (1916—2004) и ставшая символом человеческого прогресса.
Двойная спираль ДНК.
Биология знает сотни примеров процессов и форм, в которых прослеживается
симметрия, подчас обманчивая. Приведем лишь несколько. Так, у нарвалов всего
144
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
один бивень (не рог), который закручен в форме спирали. И даже когда у некото-
рых нарвалов вырастает два бивня, они оба закручены в левостороннюю спираль.
Поверхность аденовируса имеет форму икосаэдра и обладает простейшей симме-
трией. Рога муфлона обладают винтовой симметрией и являются энантиоморфны-
ми друг другу. Можно предположить, что пчелы — блестящие знатоки геометрии:
до сих пор неизвестен механизм, заставляющий их строить соты в форме идеальных
шестиугольников.
Бабочка — прекрасный пример двусторонней симметрии... или этологии в действии?
СИММЕТРИЧНАЯ МУЗЫКА
О влиянии симметрии на музыку можно гово-
рить долго и подробно, но мы приведем лишь
один пример: так, композиции Баха в «Искус-
стве фуги» и Моцарта очевидно симметричны.
Пример, понятный каждому, - это партитура
Моцарта, исполняемая двумя скрипками одно-
временно (один исполнитель читает партитуру
слева направо, другой - в обратном направ-
лении).
Партитура композиции Моцарта
под названием Der Spiegel («Зеркало»),
Der Spiegel (The Mirror) Duet
145
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
В царстве химии всемогущей правительницей является хиральность. Молекулы
обладают той или иной симметрией в зависимости от расположения атомов, и в за-
висимости от хиральности их свойства существенно меняются. Как известно, чело-
веческое тело содержит лишь левосторонние молекулы, и если не придавать этому
значения, можно столкнуться с печальными последствиями: одним из известных
примеров является рождение детей с уродствами у матерей, принимавших во время
беременности талидомид.
Работы Эшера и другие произведения искусства
В искусстве, и в частности в изобразительном искусстве, симметрия, особенно в про-
шлом, играла очень важную роль, чему есть немало примеров, начиная от роз в архи-
тектуре и нервюр готических сводов до Атомиума в Брюсселе — гигантского соору-
жения свыше 100 метров в высоту, построенного для Всемирной выставки 1958 года
и представляющего собой фрагмент кристаллической решетки железа.
Тадж-Махал, пример симметрии в архитектуре. Снимок конца XIX века.
146
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
Мы не будем подробно останавливаться на этой теме, так как ей посвящено мно-
жество исследований. Однако упомянем художника, произведения которого отра-
жают его удивительное и нестандартное видение окружающей нас симметрии, нико-
го не оставляющее равнодушным. Речь идет о Маурице Корнелисе Эшере (1898—
1972), голландском художнике и гравере, который занимался изучением симметрии,
замощений, многогранников, невозможных фигур и других математических тем.
По сути, Эшер чувствовал, что ему намного ближе математики, а не коллеги-худож-
ники. Он еще в 1920 е годы познакомился с узорами Альгамбры и в своих работах
использовал 17 групп симметрии на плоскости и позднее изучил способы сочетать
цвет, фигуры и симметрию, используя математику и искусство. Эшер стал так зна-
менит, что его именем был назван астероид.
Одна из разновидностей невозможной симметрии, созданная Маурицем Корнелиусом Эшером.
Помимо приведенной выше, другими наиболее известными работами Эшера
являются «Рисующие руки» — симметричное изображение рук художника, рису-
ющих самих себя, «Лист Мёбиуса II», показывающая муравьев, ползущих вдоль
ленты Мёбиуса, имеющей только одну сторону, «Рука с отражающим шаром»,
147
СИММЕТРИЯ ПОВСЮДУ
на которой изображено отражение в сферическом зеркале, а также серия гравюр
«Предел-круг», посвященная загадочной гиперболической геометрии. По словам
его друга Гарольда Коксетера, в этих работах Эшер достиг вершин своего искусства:
«Эшер создал их инстинктивно, я же — с помощью тригонометрии».
На странице http://www.mcescher.com, посвященной Маурицу Корнелиусу Эшеру,
содержится обширная информация о его творчестве.
Эшер потратил много сил на изучение замощений, которые лишь на первый
взгляд кажутся простыми. По крайней мере, так не казалось Конвею, который от-
крыл критерий, позволяющий определить, какие фигуры допускают замощение пло-
скости, а какие — нет. Конвей описал необходимое и достаточное условие замоще-
ния плоскости фигурами без наложений и пропусков, но не указал, как ему в голову
пришла идея его доказательства. Эшер понял это силой своей интуиции, поскольку
работы Конвея были ему неизвестны.
148
Приложение
Группы Ли
Напомним, что группа Ли — это дифференцируемое многообразие (представьте
себе гладкую поверхность без складок или поверхность, подобную сфере, спирали или
бублику), элементы которого образуют группу, операции которой также являются
дифференцируемыми.
В математике существует множество так называемых «нормальных» примеров
групп Ли. Одной из простейших является окружность радиуса 1, так как любая
другая группа радиуса г будет изоморфна ей. Представьте себе подмножество ком-
плексных чисел, содержащее только числа, модуль которых равен 1, то есть |z| = 1
(напомним, что для числа z = х + iy его модулем, который обычно обозначается |z|,
является число |z| = ^л-2 + у2 ).
Назовем S1 такое множество точек, которое является окружностью единичного
радиуса,
s1 = {z | z е с, н -1}.
S1 также является группой с определенной на ней операцией умножения. Эта
операция является внутренней, так как для любого комплексного числа |zt | • |z21 =
= | z1 • z21, следовательно, если модули двух комплексных чисел z1 и z2 равны 1, их
произведение также будет равно 1.
Покажем, что |zt | • |z21 = | zx • z21, для чего запишем zx = а + ib и z2 = с + id.
|zi|'|z21~ 'Ja2 + 'Vr2 + d2 + + b2)(c2 +d2) =
= \]a2c2 +b2d2 + a2d2 +b2c2 = V a2 c2 + b2 d2 + a2 d2 + b2 c2 — 2abcd + 2abcd =
= у](ae — bd)2 + (ad + be)2 = |(«r — bd) + (ad + bc)i\ = |(д + ib) (c + id)\ = |zj • 1.
При z = x + iy, произведя некоторые арифметические расчеты, получим
х
2 . 2
х +у
У
2 . 2
х +у
149
ПРИЛОЖЕНИЕ
Нетрудно показать, что
Используя элементарную арифметику, получим
X у
2 । 2 2.2
X + у X +у
Другие свойства, которыми должна обладать группа, доказываются элементар-
но. Нейтральным элементом является число 1(1 = 14- iO). При умножении двух
комплексных чисел z и ш, модули которых равны 1, результатом будет третье ком-
плексное число ziv, модуль которого также будет равен 1.
Результатом умножения, выполненного над двумя точками окружности, также
будет точка окружности. Таким образом, перед нами пример простой группы Ли.
Чтобы говорить о группах Ли, обратимся вначале к матричной алгебре. Матрицей
является простая прямоугольная или квадратная таблица с числами. Матрицы могут
складываться или умножаться:
150
ПРИЛОЖЕНИЕ
при с.. — а.. + b. и
ч ч ч
а1п ^11 ^12
й2и . ^21 ^22
a b , Ь п •••
пп ] \ л1 «2
^12 "• ^1и
••• а,
22 2п
J ••• d
п2 пп
п
при d.. = а.. Ь.. + а,9 Ь9. + ... + а . b . = У\а.,Ь...
г ij 11 1/ 12 Zj л! nj " ik kj
Существуют множества матриц, образующих группы (иногда абелевы, иногда
нет), на которых определена операция + или •. В первом случае, для операции сло-
жения, нетрудно доказать, что нейтральным элементом является нулевая матрица.
о о О
о о ••• о
о о ••• о
Матрица, противоположная?!, обозначается —А.
Чтобы найти обратную матрицу, достаточно знать, что единицей для операции •
является единичная матрица.
151
ПРИЛОЖЕНИЕ
СЕМЬЯ КАРТАМ
Отец и сын Картаны были выдающимися французскими математиками, которые потратили немало
сил и времени на изучение теории групп. Эли Картан (1869-1951) был из бедной семьи, он пред-
ставляет собой прекрасный пример человека, который сделал себя сам. Рожденный в нищете, он
стал заслуженным профессором, почетным доктором многих университетов и пользовался всеобщим
уважением. Всю свою жизнь он посвятил работам по дифференциальной геометрии, в особенности
группам и алгебрам Ли. Эли Картан начал свои работы, взяв за основу труды Вильгельма Киллинга
(1847-1923), и превратил группы Ли в понятие первостатейной важности. В 1913 году он сформули-
ровал понятие спинора - обобщение понятия вектора, которое нашло широкое применение в физике.
Во время Второй мировой войны нацисты казнили его сына, обвиненного в участии в Сопротивле-
нии, второй его сын также неожиданно умер, и эти события повергли Картана в глубочайшую тоску.
К счастью, последний сын, Анри, всячески радовал отца.
Анри Картан (1904-2008) унаследовал отцовский талант. Он решил заниматься математикой
по собственному желанию, а не под влиянием отца, и даже написал статью в соавторстве с ним. Анри
был ученым очень высокого уровня и считался непревзойденным специалистом в теории комплекс-
ных функций. Работы в этой области привели его
к изучению многообразий и гомологической алге-
бры - бурно развивающегося абстрактного раздела
алгебры. Несмотря на трагедию, пережитую в связи
с казнью брата нацисгами, после войны Анри Кар-
тан способствовал укреплению связей между фран-
цузскими и немецкими математиками. Он никогда
не оставлял гуманистическую деятельность, и его
борьба против тоталитарных режимов за освобож-
дение таких математиков, как Леонид Плющ и Хосе
Луис Массера, стала легендой.
В конце 1950-х Анри Картан совершил несколько
поездок в США, где встретился с Самуэлем Эйлен-
бергом (1913-1998). Плодом их совместного твор-
чества стала книга «Гомологическая алгебра», оз-
наменовавшая поворотный момент в науке. Крайне
редко такая сложная тема оставляет столь глубокий
Эли Катран на фотографии 1903 года. след, служащий импульсом для других исследований
и научных работ
152
ПРИЛОЖЕНИЕ
Типичная схема гомологической алгебры.
Книга Картана и Эйленбурга так трудна для понимания (и одновременно прекрасна),
что специалисты называют се диплодоком.
В зрелом возрасте Анри получил даже больше наград и почетных званий, чем его отец. Любо-
пытный факт: Анри Картан сыграл важную роль в работах Николя Бурбаки - математика, которого
никогда не существовало.
153
ПРИЛОЖЕНИЕ
1 о ••• О
1= О 1 ••• О
< о U - 1 ,
Чтобы найти числа в строках и столбцах обратной матрицы Л1, нужно решить си-
стему из п2 линейных уравнений, решения которых, Ь.., зависят от начальных условий:
c.=a,b, +a,Jx, +... + a,b = У а ,Ь.., при с.. = 1 когда i = /, с. = 0 когда i # j.
I/ и у 12 1и nJ kj * ij J ij J
k=1
Эта система не всегда имеет решения.
Матрицы были введены Артуром Кэли после неудачных попыток, предприня-
тых другими учеными, и стали неоценимой помощью для всех алгебраистов.
Одно из достоинств матриц заключается в том, что они позволяют легко рабо-
тать с различными группами Ли. Например, матрицы вещественных чисел:
( , А
а b
< с d >
при ad — be ¥= 0, то есть матрицы, определитель которых не равен нулю, образу-
ют группу Ли. Она называется GL2(R), в соответствии с размером матриц. Если
исходные матрицы имеют п строк и столбцов, эта группа превращается в общую
линейную группу GL(IR). Ее подгруппой является SL(IR), специальная линейная
группа, определители матриц которой равны 1.
Важной группой является On(R) — группа ортогональных матриц веществен-
ных чисел (их определители равны ±1). Ее подгруппой является SOn(R) — эти
матрицы имеют определители, равные 1, и описывают повороты.
При SO2(R) получаются матрицы вида
( \
cosa - Sin а
since cosce
описывающие повороты на плоскости.
Важной группой Ли с точки зрения физики является так называемая унитарная
группа U(n), образованная единичными матрицами из п строк и п столбцов на поле
комплексных чисел. Чтобы понять, что представляет собой эта матрица, вообразите
пространство, образованное не вещественными, а комплексными числами, на кото-
154
ПРИЛОЖЕНИЕ
ром метрика определена как скалярное произведение. Унитарными матрицами яв-
ляются матрицы, описывающие изометрии — преобразования, сохраняющие рас-
стояние. Матрицы, определитель которых равен 1, образуют подгруппу SU(n) —
специальную унитарную подгруппу.
Нетрудно доказать, что, например,
Прямое произведение групп (7(1) х SU(2) х SU(3) используется в физике частиц
как группа калибровочной симметрии стандартной модели.
С этой группой связана группа Ли Е& — бесконечная спорадическая группа Ли
размерности 278. Несмотря на огромные размеры (каждым элементом этой группы
является квадратная матрица, содержащая 453060 строк и столбцов), она стала
предметом многих исследований, так как, возможно, представляет собой краеуголь-
ный камень «теории всего».
Группа Лоренца — это группа Ли, которая широко используется в теоретиче-
ской физике и является подгруппой группы Пуанкаре. Группа Пуанкаре является
группой изометрии релятивистского пространства-времени, а группа Лоренца, име-
ющая размерность 6, описывает изометрии, имеющие фиксированную точку.
Существует множество других групп Ли, каждая со своим названием и свой-
ствами. Будет лучше, если на этом мы закончим наш рассказ и не будем вдаваться
в излишне подробные объяснения.
155
Библиография
ARTIN Е., La teoria de Galois, Barcelona, Vicens-Vives, 1970.
Conway J., Burgiel, H., Goodman-Strauss, C., The symmetry of things, Natick,
A.K. Peters Ltd., 2008.
CROMWELL P., Polyhedra, Cambridge, Cambridge University Press, 1999.
GARDNER M., El nuevo universo ambidiestro, Barcelona, RBA, 1994.
HOORN W.J. Van, WlERDA, T. (comp.), Escher on Escher. Exploring the infinite. Nueva
York, Harry N. Abrams, 1989.
LEDERMAN L.M., Hill, C.T., La simetria у la belleza del universo, Barcelona, Tusquets,
2006.
LlVIO M., La ecuacion jamas resuelta, Barcelona, Ariel, 2005.
Pla I CARRERA J., Damunt les espatlles de gegants, Facultat de Matematiques i Estadis-
tica, Universitat Politecnica de Catalunya, 2007.
SAUTOY M. DE, Simetria: un viaje por los patrones de la naturaleza, Barcelona, Acan-
tilado, 2009.
SLAVIK J., Theory of symmmetry and ornament, Belgrade, Mathematical Institute, 1995.
STEWART I., Galois theory, Londres, Chapman and Hall, 2003.
Weyl H., Symmetry, Princeton, Princeton University Press, 1993.
156
Алфавитный указатель
GUT 143,144
Monstruous Moonshine 126
Абель, Нильс Хенрик 29, 94—95, 128
алгоритм 89, 94,106,107,127
Альгамбра 117
антисимметрия 131
Бернулли, Якоб 57
Борчердс, Ричард 126
Браве, Огюст 111
Бурбаки, группа 78
бутылка Клейна 129
Вейль, Герман 134, 136, 137
Взаимодействие
сильное 140
слабое 140—142
Виет, Франсуа 85, 91, 92, 94
вращение 16, 18—20, 28, 74, 106
выпуклый многоугольник 23, 73, 77
Галуа, Эварист 10, 53, 83, 96—104,
124
гексаэдр 71, 73, 75
Гелл-Манн, Мюррей 138, 139, 141, 142
геодезический купол 107—109
Гёльдер, Отто 102
гомоморфизм 42
гравитация 136, 144
Грейс, Роберт 125
группа 10, 25
абелева 9, 29—30, 47, 48, 58
бесконечная 10, 26, 33, 122, 125, 155
диэдрическая 9, 24, 29, 122
знакопеременная 58, 63, 125
Клейна 32, 61, 103
конечная 9, 10, 26, 29, 53, 54, 58,
60, 78
Ли 15, 125, 127, 128, 130, 131, 149,
150,152,154,155
Лоренца 130, 155
общая линейная 154
простая 63, 78, 123
Пуанкаре 155
разрешимая 53, 58, 103
симметрическая 53—58, 103, 104
специальная линейная 63, 154
спорадическая 124—126, 155
точечная 29, 62,111,114,118
циклическая 9, 29, 38, 40, 123, 125
группа-«монстр» 63, 125, 126
движение 14,18-22, 32, 72,106
декартово произведение 60
дель Ферро, Сципион 84—89
додекаэдр 71, 73, 76,109
Жордан, Камиль 102
замощение 119—121, 147, 148
извлечение корня 91, 94
измерение 15—24, 65—82
изометрия 14, 72, 73,123,130,155
изоморф 39—44, 52, 54, 58, 61—63,
131,149
икосаэдр 71, 73, 75,109,110
инвариант 14, 18,111,122,130,133,135,
136
Калаби — Яу, многообразие 71
калейдоскоп 70, 77, 133
Кардано, Джероламо 10, 85—93
Картан, Анри 152, 153
157
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Картан, Эли 128, 152
квадрат 21—22, 26, 33, 52, 92—93
кварк 136,137,140, 141
класс смежности 48—52, 62, 63
Клейн, Феликс 129, 130
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд
76-78,148
комбинаторика 88
Конвей, Джон 126—127, 148
кристаллография 77
кручение 18, 21, 58, 66, 67
куб 58, 63, 71, 73-76,105-107
Кэли, Артур 58, 59,154
Лагранж, Жозеф Луи 10, 26—28, 30—
31, 94,136
левосторонняя спираль 66
Ли, Софус 127—128
Лиувилль, Жозеф 97, 99, 100, 102
Льюис Кэрролл 10, 65
«маленький монстр» 126
матрица 150, 151, 154—155
многогранник 9, 58, 71—79, 107—111
многоугольник 23, 24, 26, 63, 73,119
множество 19-27, 32-35, 39-42,104,
149,151
мозаика 113-118,121,122
мономорфизм 42, 44, 45
морфизм 39—46, 62, 63
Нётер, Амалия Эмми 133—135
октаэдр 71, 73, 75, 110
операция 19—21,24—26,38,40,47,54,
60
определитель 59, 154, 155
отражение 16, 18, 19, 33, 48, 72
палиндром 10
Пенроуз, Роджер 121
перенос 14-16, 67, 68, 114,122, 136
перестановка 53—58, 72, 101—104, 106
платоново тело 73
поворот 14,18, 23, 72, 73,114-115
подгруппа 26—28, 35, 58, 63,123,154,
155
нормальная 47—54,58,102,104,123
полином 83, 84, 94,101
политоп 76, 77
порядок 9, 26—28, 35, 63, 79
постоянная Планка 138
правосторонняя спираль 66
радиан 14, 15, 17, 18, 23, 87
решетка 108, 111—114, 118—119
Рубик, Эрнё 105—106
Руффини, Паоло 94
Симметрия
СТР 136
винтовая 79-81,145
калибровочная 136—139, 143, 155
осевая 9,10,19, 23,114-115
система
гексагональная 112
кристаллографическая 112
кубическая 112
моноклинная 112
ромбическая 112
тетрагональная 112
тригональная 112
триклинная 112
скользящая симметрия 16, 115
спин 136-140,143,152
спираль 131, 145
стандартная модель 136, 141, 143, 144,
155
степень 14,15, 83-91, 94,103
158
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
суперсимметрия 140,143,144
сюръекция 45
таблица 19—22, 27, 29, 32, 35
Тарталья (Никколо Фонтана) 10, 84—
90
теория
Галуа 100—104
графов 77
квантовая 127, 128, 136-139, 141,
142
тетраэдр 58, 71—74
Титс, Жак 78,128
Томпсон, Джон Григгс 78,123,124
транспозиция 57—58
треугольник 16—21, 26, 39, 87—88
уравнение 10, 47, 53, 58-59, 83-104,
124
факториал 56—57
Федоров, Евграф Степанович 114, 118
Фейнман, Ричард 141,142
Фейт, Уолтер 123,124
фермионы 137—139
Феррари, Лодовико 85, 89—91
Фьор, Антонио Марио 86—87
фон Кох, Хельге 102
фрактал 102, 130
фриз 63, 113—118
Фуллер, Бакминстер 107, 108
фуллерен 107—110
Фурье, Жозеф 98, 126
число
вещественное 14, 26,154
комплексное 84,138,149,150,154
рациональное 100, 101—103
целое 26, 33, 34, 44, 56,127
электромагнетизм 136
элемент
обратный 25, 54
противоположный 26, 42
нейтральный 20, 25, 54, 58, 150, 151
энантиоморф 10, 71, 80, 81, 145
эпиморфизм 45—46
Эрлангенская программа 129—130
Эшер, Мауриц 75, 77,146—148
159
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 17
Хоакин Наварро
Зазеркалье.
Симметрия в математике
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, а/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Укра’ша, 01033, м. Ки!’в, а/с «Де Агоспш»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 08.01.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 13.05.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
У:л. печ. л. 6,48.
Тираж: 150 000 экз.
© Joaquin Navarro, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0712-0 (т. 17)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Зазеркалье
Симметрия в математике
Что такое симметрия и что мы называем симметричным?
Для большинства людей понятие симметрии ограничивается
симметрией зеркальной, или осевой. Однако это лишь частный
случай подлинной симметрии. Задача этой книги - рассказать
о многообразии видов симметрии, существующих в мире.
Например, радиолярии, диатомовые водоросли и вирусы
обладают внешней симметрией, кристаллы - внутренней
симметрией, и даже сама Вселенная обладает различными
видами квантовой симметрии, о чем уже давно известно
физикам. Откроем же врата в царство симметрии!
ISBN 978-597740682-6