Введение в теорию уравнений математической физики: Учебное пособие - Ракин Л.В.

Author: Ракин Л.В.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ физика математическая физика дифференциальные уравнения прикладная математика учебное пособие
Year: 1999
Similar
Дифференциальные уравнения в частных производных
Курс высшей математики. Том второй
Вычислительные методы в физике
Мир электроники. ВЧ МЭМС и их применение
Text
                    САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Л.В.Ракин
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Издательство Санкт-Петербургского университета
1999
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
УДК 517.948
Р19
ББК 22.311
Рецензенты;
проф. А.П. Жабко (С.-Петерб.ун-т),
проф. В.В.Жук (С.-Петерб.ун-т)
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Санкт-Петербургского государственного университета
Ракин Л.В.
Р19 Введение в теорию уравнений математической физики: Учеб-
ное пособие,- СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1999.
- 100 с.
Пособие написано на основе курса лекций «Уравнения математической физи-
ки», который автор читает несколько последних лег студентам, обучающимся' на
факультете прикладной математики - процессов управления С.-Петербургского го-
сударственного университета.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 'Прикладная
математика”.
ББК 22.311
© Л.В.Ракин, 1999
© Издательство С.-Петербургского
университета, 1999
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................   4
ВВЕДЕНИЕ .....................................................  5
§ Г	Определения, примеры.................................   5
§2.	Понятие о краевой задаче, задача Коши................. 32
§ 3.	Классификация уравнений второго порядка. Приведение их
к каноническому виду...................................... 15
§ 4.	Формулы Грина..................................       22
I ЛАВА I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА....................... 24
§ 5.	Сингулярное решение уравнения Лапласа................ 24
§ 6.	Интегральное представление дважды непрерывно
дифференцируемых функций.................................. 25
§ 7.	Теорема о среднем. Принцип максимума................. 28
§ 8.	Краевые задачи для эллиптических уравнений........... 32
§ 9.	Задача Дирихле для шара.............................. 36
§ 10.	Понятие о потенциалах......................  :...... 40
§11.	Средние функции..................................... 46
§ 12.	Обобщенные производные............................   50
§ 13.	Вариационный метод решения уравнения с положительным
оператором ...............................................  52
§ 14.	Расширение положительно определенного оператора..... 53
§ 15.	Обобщенное решение уравнения с положительно
определенным оператором.................................    57	,
§ 16.	Задача Дирихле для эллиптического самосопряженного
уравнения и однородного граничного условия................ 59
§17.	Задача Дирихле для эллиптического самосопряженного
уравнения и неоднородного граничного условия.............. 62
§ 18.	Задача Неймана для эллиптического самосопряженного
уравнения и однородного граничного условия................ 64
ГЛАВА II. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ............ 67
§ 19.	Уравнение теплопроводности........................   67
§ 20.	Принцип максимума для уравнения теплопроводности.... 69
§ 21.	Теоремы единственности для уравнения теплопроводности. 71
§ 22.	Понятие обобщенного решения смешанной задачи для
уравнения теплопроводности.............................    74
§ 23.	Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера....... 76
§ 24.	Применение метода Фурье к решению граничных задач... 78
§ 25.	Квазилинейное уравнение колебаний струны............ 88
Литература..................................................  98
Предметный указатель ........................................  99
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Предисловие
В основу предлагаемого учебного пособия положен курс лекций, ко-
торый читается автором в Течение ряда лет студентам третьего курса
факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-
Петербургского государственного университета.
Предполагается, что читатель знаком с теорией кратных интегралов.
Пособие знакомит читателя с понятием линейного дифференциаль-
ного уравнения с частными производными второго порядка, классифи-
кацией таких уравнений и их каноническим видом, а также с частными
случаями таких уравнений, которые принято называть основными урав-
нениями математической физики.
В первой главе рассматриваются уравнения эллиптического типа. На
основе интегрального представления функции класса С2 доказывается
принцип максимума и теоремы единственности для задач Дирихле и
Неймана. Далее дается понятие о потенциалах. Рассмотрен вариацион-
ный метод решения уравнения с положительным оператором. Вводится
понятие обобщеного решения уравнения с положительно определенным
оператором. Доказаны теоремы существования и единственности обоб-
щенного решения для задач Дирихле и Неймана в случае эллиптическо-
го самосопряженного уравнения.
Во второй главе рассмотрены параболические и гиперболические
уравнения. В частности, для уравнения теплопроводности доказан прин-
цип максимума и теоремы единственности для смешанной задачи и для
ограниченного решения задачи Коши, дается понятие обобщенного ре-
шения смешанной задачи. Для уравнения колебаний струны приведено
решение Даламбера. Метод Фурье разделения переменных продемонст-
рирован на примерах уравнения колебаний струны, уравнения тепло-
проводности и уравнения колебаний мембраны. Приводится пример
квазилинейного уравнения колебаний струны.
В пособии применена сквозная нумерация параграфов. В каждом
параграфе нумерация теорем, лемм, примеров, замечаний своя, при
этом сначала указывается номер параграфа. Конец доказательства отме-
чается значком ♦.
Printed with FinePnnt- ourchase at wwwfineonnt com
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ
Определение 1.1. Дифференциальным уравнением с частными про-
изводными называют уравнение вида
ди ди дки
’ ЙХ) ’ ’ дхт 7 ’ дх*1... дх^
(1)

где х — (х, ,...,хт), т>2; и(х) - неизвестная функция; порядок
старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком
этого уравнения.
Определение 1.2. Функция w(x) , которая обращает уравнение (1) в
тождество, называется решением этого уравнения.
Определение 1.3. Уравнение (1) называется квазилинейным, если
функция F линейна по всем старшим производным от неизвестной
функции. Уравнение (I) называется линейным, если функция F линей-
на по всем своим аргументам кроме, быть может, первого.
Например, уравнение
А д2и
l^ajk<xK
дх.дхк
ди
является квазилинейным уравнением второго порядка, а уравнение
™	ру у
2Х(*)^~ + 2>Дх)—— + я0(х> = /(х)	(2)
/л=1 oxjdxk А=] дхк
- линейным уравнением второго порядка.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Не умаляя общности, матрицу А = ik } коэффи-
циентов при вторых производных квазилинейного и линейного уравне-
ния можно считать симметрической, если решения этих уравнений
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
дважды непрерывно дифференцируемы, так как очевидна следующая
цепочка равенств;
aHuv, +Cljiuv, = anfuv, +аЛ,, =(av+aJk)uVi =
= 0.5(04, + aJt )uVi + 0.5(atl + Ojt ,
из которой следует, что
SL-Vw = Е"*-0-5^+а*ч,>, 
Поэтому впредь будем считать матрицу А симметрической.
замечание 1.2. В математической физике принято опускать верхний
индекс, обозначающий порядок производной, если эта информация со-
держится в нижнем индексе, что мы и сделали в замечании 1.1. Кроме
того, опускается знак суммирования по повторяющимся индексам. Так,
уравнение (2) записывают в виде
(x)uXjXi + ак (х)их* + а0 (х)и = ./(х).	(2)
замечание 1.3. В поведении решений уравнения (2) фундаменталь-
а .к Л : А к, которую назы-
J ,<с — 1 J ।
вают характеристической формой этого уравнения.
Определение 1.4. Поверхность ф(х) = 0 называется характери-
стической поверхностью уравнения (2) или просто характеристикой,
если в каждой ее точке имеет место равенство
о#Ф,,Ф,, =0-	О)
При этом уравнение (3) называют уравнением характеристик уравне-
ния (2).
Многие задачи механики и физики приводят к исследованию диффе-
ренциальных уравнений с частными производными второго порядка.
Пример 1.1* При изучении различных видов волн - упругих, звуко-
вых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы при-
ходим к волновому уравнению
д2и 2Г д2и д2и д2и\
l&r+^r+&7J’
где с - скорость распространения волны в данной среде.
Пример 1.2* Процессы распространения тепла в однородном изо-
тропном теле, так же, как и явления диффузии, описываются уравнением
теплопроводности:
6
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
du 2Г д2и д2и д2иУ
dt \дх2 ду dz2 J
Пример 1.3. При рассмотрении установившегося теплового состоя-
ния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона
д2и	д2и	д2и
->2 +	2	з 2	~	У>%)’
ах	ду	dz
Пример 1.4. При отсутствии источников тепла внутри тела преды-
дущее уравнение переходит в уравнение Лапласа
д2и д2и д2и
а? + 5/+ а? = °’
которое в сокращенном варианте принято записывать в виде Аи = 0.
Здесь А - линейный дифференциальный оператор, называемый опе-
ратором Лапласа.
Потенциалы поля тяготения, в котором отсутствуют массы, и ста-
ционарного электрического поля, в котором отсутствуют электрические
заряды, также удовлетворяют уравнению Лапласа.
Выше приведенные уравнения принято называть основными уравне-
ниями математической физики.
В качестве примеров приведем вывод двух уравнений.
Пример 1.5. Уравнение колебаний струны
Рассмотрим натянутую
струну, закрепленную на
концах. Под струной по-
нимают тонкую нить,
которая может свободно
изгибаться, т.е. не оказы-
вает сопротивления изме-
нению ее формы, не свя-
занному с изменением ее
длины. Сила натяжения
Рис. I
TQi действующая на стру-
ну, предполагается значительной, так что можно пренебречь силой тя-
жести. Пусть в положении равновесия струна направлена по оси
Ох. Будем рассматривать только поперечные колебания струны, пред-
полагая, что движение происходит в одной плоскости и что все точки
струны движутся перпендикулярно оси Ох .
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Обозначим через u(x,f) смещение точек струны в момент времени
t от положения равновесия. При каждом фиксированном значении t
график функции м(хД), очевидно, дает форму струны в этот момент
времени (рис. 1). Рассматривая далее только малые колебания струны,
будем считать, что смещение w(x Д), а также производная их столь ма-
лы, что их квадратами и произведениями можно пренебречь по сравне-
нию с самими этими величинами.
Выделим произвольный участок (Xj, Х2) струны, который при ее
колебании Деформируется в участок Мх М2. Длина дуги этого участка
в момент времени t равна
S" = j 2y[\ + uxdx ъ х2 ~ хх = S,
вследствие чего можно считать, что в процессе малых колебаний удли-
нения участков струны не происходит. Отсюда в силу закона Гука сле-
дует, что величина натяжения Т в каждой точке струны не меняется со
временем. Таким образом, при наших предположениях изменением ве-
личины натяжения струны, возникающем при ее движении, можно пре-
небречь по сравнению с натяжением, которому она была подвергнута в
положении равновесия. Отметим, что этого ни в коем случае нельзя себе
позволить, если струна (трос) находится в состоянии вантовой нагрузки.
Оставляя в стороне последнее замечание, отметим, что величину натя-
жения Т можно считать не зависящей от х,т.е. Т ~Т^.
Перейдем к выводу уравнения колебаний струны. Для этого вос-
пользуемся принципом Даламбера, на основании которого все силы,
действующие на некоторый выделенный участок в струне, включая си-
лы инерции^ должны уравновешиваться. Рассмотрим произвольный уча-
сток Мх М2 струны и составим условие равенства нулю всех проекций
на ось Ои всех сил, действующих на него: сил натяжения, равных по
величине и направленных по касательной к струне в точках М\ и М2,
внешней силы, направленной параллельно оси Ои, и силы инерции.
Сумма проекций на ось Ои сил натяжения, действующих в точках
Мх и М2 , равняется
Y- ro[sina(x2)- sina(x1)]>
но вследствие наших предположений
sina(x) = мл(1 + их)~05 « их,
8
I
atvwiwfineorintcom
и, следовательно,
Y =TQ и I - U
(4)
Обозначим через p(x,t) внешнюю силу, действующую на струну
параллельно оси Ои и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция
на ось Ои внешней силы, действующей на участок Мt М2 струны бу-
дет равна
„	- J p(x,t)dx,	(5)
Пусть р(х) - линейная плотность струны, тогда сила инерции участ-
ка М1Л/2 струны будет равна
(7)
- j p(x)w(td&c.	(6)
Сумма проекций (4) - (6) на ось Ои всех сил, действующих на уча-
сток Мх М2 струны, равна нулю, т.е.
[^«хх - Р(*М + Жф = 0.
Отсюда ввиду произвольности Xj и X, следует, что подынтегральная
функция должна равняться нулю для каждой точки струны в любой мо-
мент времени t, т.е.
р(х)и„ =	+Х^0-
Это и есть искомое уравнение колебаний струны.
В случае однородной струны, т.е. при р = const уравнение (8) обычно
записывается в виде
(8)
где а =
Пример 1.6.
Uu
/(х5/) = Хх>0рч-
Уравнение распространения тепла в изотропном
твердом теле
Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (х,у,г)ъ
момент времени t определяется функцией ti(x,y,z). Если различные
части тела находятся при различной температуре, то в теле будет проис-
ходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым.
Возьмем какую-нибудь поверхность S внутри тела и на ней малый
элемент AS. В теории теплопроводности принимается, что количество
9
Printed with FinePnnt- ourchase at wwwfineonnt com
тепла AQy проходящего через элемент AS за время At, пропорцио-
нально Al AS и нормальной производной, т.е.
, ди
AQ = -k^-ASAt,	(9)
on
где к > 0 коэффициент внутренней теплопроводности, п - нормаль к
элементу поверхности AS в направлении движения тепла. Будем счи-
тать, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е. что коэф-
фициент внутренней теплопроводности к зависит только от точки
(x,y,z) тела и не зависит от направления нормали к поверхности S в
этой точке.
Обозначим через q тепловой поток, т.е. количество тепла, проходя-
щего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда
(9) можно записать в виде
q = -k~.	(10)
дп
Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела
произвольный объем V , ограниченный гладкой замкнутой поверхно-
стью S, и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за
промежуток времени (^Д2). Через поверхность S за этот промежуток
времени согласно формуле (10) входит количество тепла, равное
Й = -рг]]*£(х,.у, z)^-dSy
Ч s
где П - внутренняя нормаль к поверхности S .
Рассмотрим элемент объема А И. На изменение температуры этого
объема на величину Аи за промежуток времени At нужно затратить
количество тепла
А<22 = [u(x,y,z,t + АГ) - u(xyyyzyt)]y(x,yyz)p(x,yyz)AVy
где p(x,y,z), y(x,y,z) - плотность и теплоемкость вещества. Таким
образом, количество тепла, необходимое для изменения температуры
объема V на Aw = u(x,yyzyt2} - u{xyyyz,tx}y равно
21 = Jff[w(x,y,V2) - u(x,yyz,tx}}ypdV =
Г	rt г 01
Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются источни-
ки тепла. Обозначим через F(x,y,Z,f) плотность (количество погло-
щаемого или выделяемого тепла в единицу времени в единице объема)
тепловых источников. Тогда количество тепла, выделяемого или погло-
щаемого в объеме V за промежуток времени ,^2 ) ’ будет равно
ft = й П/ят >y,zd)dV.
г, и
Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объема
V . Очевидно, что Qi = 2 + 2 з т-е-
г, у сг
‘г
2
i.	S	G V
Применив формулу Остроградского ко второму интегралу, получим
JdZ Ш YP“|~ ~ div(k grad и) - F(x,y\zJ) dV = 0.
?! ,v L ™
Так как подынтегральная функция непрерывна, а объем V и промежу-
ток времени	произвольны, то для любой точки (х,у,д) рас-
сматриваемого тела и для любого момента времени t должно быть
ди
YP"7~ = div{k grad и) + F(x,y,z,t) .
ot
Это уравнение называется уравнением теплопроводности неоднородно-
го изотропного тела.
Если тело однородно, т.е. у, р и к - постоянные, то уравнение (II)
можно записать в виде
ди 2 Г д2и д2и д2и
д( 1дх2 5у2 dz2,
(И)

(12)
где а —
=----------
YP
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Если при этом в рассматриваемом теле нет источников тепла, т.е.
F(x,_y,z,/) = О, то имеем однородное уравнение теплопроводности.
ди	Jд2и	д2и д2и}
““ ~ @	\ 2	»	(13)
dt \дх2	ду	dz1 J
Для тонкой однородной пластинки получаем уравнение
ди ,f с2 и д2гЛ
dt <йг2 ду2) ‘
Для тонкого однородного стержня уравнение (13) принимает вид
ди 2 д2и
dt дх2
Вывод других основных уравнений математической физики можно
найти, например, в [1].
§ 2. ПОНЯТИЕ О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ЗАДАЧА КОШИ
Для полного описания физических процессов помимо уравнений
нужно задавать дополнительные условия, так как дифференциальное
уравнение имеет бесчисленное множество частных решений. Например,
для полного определения движения струны с закрепленными концами
(см. пример 1.1) нужно потребовать выполнения граничных условий
ц(0, t) ~ и(1,t)~ 0, t > 0,
и задать положение и скорость всех точек струны в начальный момент
времени, т.е. начальные условия
ди
м(х,0) = ф(х), ~(х,0) = ф(х), х е[О,/],
от
В случае уравнения теплопроводности (см. пример 1.2) в принципе
возможно определить температуру в теле в начальный момент, что
можно записать следующим образом:
w(x,^,z,0) = (pt(x,j/,z),
и, кроме того, нужно задать температуру на границе тела
u(x,y,z,t)\lx r ^r = Ф-, (х, y,z,t)\wyer.
где Г  граница тела.
Дифференциальное уравнение вместе с начальными и граничными
12
условиями образуют краевую задачу математической физики.
Задача Коши для дифференциального уравнения с частными произ-
водными второго порядка ставится следующим образом.
Пусть в области G € Rm заданы:
1) векторное поле Z(x) е C!(G);
2) гладкая (т - Г) - мерная поверхность S, определяемая уравне-
нием <р(х) = 0 такая, что —~
д!
9* 0, т.е. / не касается поверхности
з
S (например, Z является нормалью к поверхности S).
Пусть заданы функции м0(х), (х) е С! (S).
Требуется найти решение tz(x) уравнения
+ F(x,u,uXi ,...,их~) = О,
удовлетворяющее начальным данным
И] 5 —	д;
ОС
(1)
~ и} (х).
5
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Для уравнения в частных производных в отличие от
обыкновенных дифференциальных уравнений функции и0, , вообще
говоря, не могут быть произвольными. Чтобы это показать, рассмотрим
сначала случай, когда начальные данные (2) имеют специальную форму: '
ди
=«о(’С2>-
.0
(2)
i
о
т.е. начальные данные заданы на гиперплоскости х} — X, , а в качестве
направления Z выбрана нормаль к этой гиперплоскости. Начальные
данные (3) дают нам возможность определить на гиперплоскости
X] = Ху все производные первого порядка и все производные второго
кроме и . Для определения этой производной мы должны воспользо-
ваться самим уравнением (1), положив в нем х, = Xj ,
Здесь могут быть два случая:
1) й!] ] (Х|, х2,..., хт ) 0, 2) ajj	, х2,..., хт ) = 0.
о
В случае 1) производная uXiXj при х, = х; определяется однозначно.
13
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
I
Случай 2) требует, чтобы F — 0 при х{ — X®. Это равенство связы-
вает между собой г/0 и .
Рассмотрим общий случай начальных данных (2). В окрестности по-
верхности .8 введем новые координаты ,,. - ,	, положив
^=ф(х), ^=со.(х), i =	(4)
где функции (0; е С2 и таковы, что якобиан
Сделав (как это было уже и ранее) замену по формулам (4), получим
д2и
Я11	О,	(5)
где йи = й(уфх фЛ и не выписанные члены не содержат выписанной в
этом равенстве производной. Так как на поверхности S выполняется
равенство ф(х) — О, то начальные данные для уравнения (5) задаются
на гиперплоскости = 0, т.е. они имеют рассмотренный выше специ-
альный вид (3), при рассмотрении которого было установлено, что если
= ^.фх фЛ = 0, т.е. если ф ~ 0- характеристика, то начальные
данные Wo, щ нельзя задавать произвольно, так как они в этом случае
не являются независимыми.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. Для уравнений в частных производных справедлива
теорема существования и единственности решения задачи Коши, анало-
гичная соответствующей теореме из теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Приведем ее формулировку.
Теорема 2.1, {Ковалевской.) Пусть данные задачи (1) - (2) ана-
литичны и поверхность S не имеет характеристических точек для урав-
нения (1), тогда для всякой точки х° 6$ существует окрестность
О(х°) такая, что в ней существует единственное аналитическое реше-
ние этой задачи.
замечание 3.3. Напомним, что функция называется аналитической
в точке, если в некоторой окрестности этой точки она представляется
абсолютно сходящимся степенным рядом [11].
14
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
3.1. Классификация
Уравнения вида
V1 / \ и
2-iajlc(X) д д
дх.дхк
ди ди
Эх,....
-О
(1)
и
ajk | ’ кого“
рые вещественны в силу ее симметричности.
Пусть в точке х° области G задания коэффициентов ajk уравнения
(1) распределение собственных чисел матрицы А по знаку следующее:
положительных - а , отрицательных - р , нулевых -у . Таким образом,
а + р + у - т.
Определение 3.1. Говорят, что уравнение (1) принадлежит типу
(ct,p,y) в точке х" G G, Естественно, что тип уравнения (сс,р,у)
аналогичен типу (р,сс,у ). Если уравнение (1) имеет один и тот же тип в
каждой точке области G , то говорят, что оно имеет этот тип в G .
Для физиков наиболее интересны следующие три типа уравнений:
1) уравнение эллиптического типа когда О’. — W, р = у - 0, т.е, ха-
рактеристическая форма знакоопределенна;
2)уравненис параболического типа когда а ~ т— 1, р — О,
у = 1, т.е. характеристическая форма знакопостоянна;
3)уравнение гиперболического типа когда (X = т— 1, р = 1,
У — 0, т.е. характеристическая форма знакопеременна.
Пример 3.1. Уравнение Лапласа (см. пример 1.4) является уравне-
нием эллиптического типа, так как в этом случае матрица А - единич-
ная.
Пример 3.2. Уравнение теплопроводности (см. пример 1.2) является
Уравнением параболического типа, так как его матрица А имеет одно
нулевое собственное число, а остальные собственные числа одного зна-
ка.
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Пример 3.3. Волновое уравнение (см. пример 1.1) является уравне-
।	нием гиперболического типа.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Существуют уравнения смешанного типа, как на-
I 11	пример, уравнение Трикоми, играющее важную роль в механике сплош-
I	ных сред:
||! +
|	Очевидно, что при у > 0 это уравнение эллиптического типа, при
У — 0 параболического, а при у < 0- гиперболического.
3.2. Приведение к каноническому виду
Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами
= 0.	(2)
I I
Сделаем в нем замену переменных х = (Х],..,, хт ) на новые независи-
мые переменные ~ (^,) / связанные с исходными формулами
z =	(3)
Предположим, что функции 5, дважды непрерывно дифференцируемы,
причем в области G якобиан
i 
---l ........................ (4)
j	Выразим входящие в уравнение (2) производные по старым переменным
!	через производные по новым переменным.
| j	ди ди д^г
'	= д^дх, ’
lL	52Ц	32и dtr dts ди дг^г
'	дх дх dt, dt,, dxt chc d^r дх,дх. '
' । J	*	*	J -1 -1 f J J i 1 J
i '	Перейдем в уравнении (2) к новым переменным, что возможно в силу
’	!	неравенства (4). В результате получим
I11
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
где
Здесь аргументы исходной функции F опущены, а запись левой части
последнего равенства указывает на то, что в правой сделана замена (3).
Вводя обозначение
от уравнения (2) переходим к уравнению
Vu,	(5)
Пусть (3) - линейное неособое преобразование, т.е.
(6)
т
с. [ - неособая, тогда
(X)
Таким образом, формула (7) преобразования коэффициентов уравне-
ния (2) совпадает с формулой преобразования коэффициентов характе-
ристической формы
9.|Я^ЛУ.	(8)-
если произвести линейное преобразование этой формы
приводящее ее к виду
Zm  у ~
«XX
га=1 rs r s
Известно, что всегда можно подобрать коэффициенты ст так, чтобы
форма (8) привелась к сумме квадратов, т.е,
_ ft), если г * s, .
|аг,еслиг/^р, '
т. При таком
где су. = 1, либо ссг = -1, либо, оу = 0, г — 1,.
преобразовании уравнение (2) принимает вид
J---,) = О-
Этот вид уравнения (2) называется его каноническим видом.
Заметим также, что, согласно закону инерции квадратичных форм,
число положительных и отрицательных коэффициентов оу инвариант-
но относительно линейного преобразования, приводящего форму (8) к
сумме квадратов, т.е. при таком преобразовании уравнения (2) его тип
не меняется.
3.3.	Случай двух независимых переменных
Пусть т = 2 , х = Xj ,у = х2 . Тогда уравнение (2) имеет вид
аи^ + 2buxy + cuyy+F(x,y,u,ux,uy) = 0,	(9)
где коэффициенты а — а(х. у'), b = Ь(х,у), с == с(.х,у) имеют непре- 
рывные производные до второго порядка включительно и не обращают-
ся одновременно в нуль в области G .
Очевидно, что если в G :
1)	ас - Ь~ > О, то характеристическая форма уравнения (9) знако-
определенная, т.е. оно эллиптическое;
2)	ас-b2 ~ О, то характеристическая форма уравнения (9) знако-
постоянная, т.е. оно параболическое;
3)	ас — Ь1 < 0, то характеристическая форма уравнения (9) знако-
переменная, т.е. оно гиперболическое.
Сделаем в нем замену переменных (х,у)на новые независимые пере-
менные Й,п) , связанные с исходными формулами
^ = ^(х,у), T] = n(*>T)-	(Ю)
Будем считать, что функции (10) дважды непрерывно дифференцируе-
мы, причем в области G якобиан (см,формулу (4))
д(£,Т])
5(х?у)
Согласно выкладкам пункта 3.2 в новых независимых переменных
уравнение (9) запишется так:
+ 2bu^	= 0,
(И)
(12)
18
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
где
г(?,л) = ^ + 2^Л + сС
=	+2&TI.T1, +£’]’,
(13)
*(^П) = а^Ч1 +Й(^П, +^ПХ) + ^,П,-
Поставим перед собой цель', выбрать функции (10) так, чтобы урав-
нение (12) имело наиболее простой вид.
Воспользовавшись определением 1.4, выпишем уравнение характе-
ристик уравнения(9)
Д(р2 + 2&p^ + сф2 =0.	(14)
Рассмотрим последовательно все три типа уравнения (9), начиная с
гиперболического.
1)	Пусть Ь2 - ас > 0 , т.е. в области G уравнение (9) гиперболиче-
ское. Можем считать, что в точке (л^>,Уо) , в окрестности которой бу-
дем приводить уравнение (9) к каноническому виду, либо а 0, либо
С 0 . Пусть а 0, тогда уравнение (14) можно записать в виде
афх+1о + л/0 - ас to a(px+\b-yb
Это уравнение распадается на два:
с/фх + \Ь 4-	-<яс)фу = 0,
дфЛ + \b~4b2 - ac\tyy =0.
ас
(15)
(16)
Для интегрирования уравнений (15) и (16) выпишем соответствую-
щие им обыкновенные дифференциальные уравнения
ady -(й + уй2 -c/cLZx = 0, ady - [6 + y/b2 -ac\dx = 0. (17)
Так как tz(x0,_p0) Ф 0, а коэффициенты уравнений (17) дважды непре-
рывно дифференцируемы, то существуют [14] интегралы
<рг(х5Д/) = С, ф2(х,.у) = ^	(18)
уравнений (17) с дважды непрерывно дифференцируемыми ф1, ф2 в
окрестности точки (х0. Функции ф1 и ф2 являются решениями
уравнений (15) и (16) соответственно, а следовательно, и уравнения (14).
Кривые (18), согласно определению 1.4, являются характеристиками
19
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
уравнения (9). При этом, поскольку Ь2 — ас > 0, мы имеем два раз-
личных семейства вещественных характеристик.
В замене (10) положим
^=<Pi(x,y), т] = ф2(х,у),
где (pj (х,у) и ф2(х,у) дважды непрерывно дифференцируемые ре-
шения уравнений (15) и (16) соответственно. Эти решения можно вы-
брать так, чтобы якобиан этой замены был неособый. Действительно,
ар.	Э(Р1		
	бу	yjb2 - ас ckpj	а<р2
	дф2	а	ду	ар
дх	Ф'		
Поэтому в качестве ф] и ф2 нужно взять решения уравнений (15) и (16)
такие, что Ф1?(х0,у0) *0и ф2?(х0,у0) * 0.
Как уже отмечалось, функции фт(х,у)и ф2(х,у) удовлетворяют
уравнению (14), и поэтому из равенств (13) следует: а = С ~ 0. Коэф-
фициент Ь 0 всюду в рассматриваемой области, так как непосредст-
венной подстановкой нетрудно убедиться в том, что
. Ь2 -ас = (Ь2 -“М*)2'
Учитывая это и разделив уравнение (12) на 2Z> , приведем его к виду
(19)
Положив £, = а + р, Т| = сх — [3, приходим к уравнению
~ WPP “ Ф(А?р5 , Мр ).
Итак, согласно терминологии п. 3.2 это канонический вид уравнения ги-
перболического типа в случае двух независимых переменных. Уравне-
ние (19) также называют каноническим видом гиперболического урав-
нения .
2)	Пусть Ь2 — ас — 0 , т.е. в области G уравнение (9) параболиче-
ское. В этом случае в каждой точке области G или а 0 или b 0
(иначе а = Ъ = с ~ 0). Пусть а 0, в точке (х0, у0), в окрестности
которой будем приводить уравнение (9) к каноническому виду. Тогда
уравнения (15) и (16) совпадают и имеют вид
20
£Z(px + ^фг = 0.	(20)
В сипу условия Ь2 — ас = 0 всякое решение этого уравнения удовле-
творяет также уравнению
6фд + Сф; = 0.	(21)
Как и в пункте 1), возьмем решение ф(х,у) уравнения (20) дважды
непрерывно дифференцируемое и такое, чтобы его первые производные
не обращались в нуль одновременно в некоторой окрестности точки
(х0,у0).Заметим, что в отличие от гиперболического случая здесь мы
имеем одно семейство вещественных характеристик ф(х,у) ~ с .
Положим в замене (10) 2, - ф(х,у) и пусть Т| = Т)(х,у)- любая
дважды непрерывно дифференцируемая функция, такая что в окрестно- 
3(^Г|)
сти точки (х0, у0) якобиан у....— Ф 0. Тогда в уравнении (12) при
5(х,у)
учете (13) имеем а = 0 , Ь — (<7фх + 6(pj,)T]x + (£*фх + Сф v)"Г| v . Из
последнего равенства и из равенств (20) и (21) следует, что b = 0 в ок-
рестности точки (х0, у0) . Коэффициент с можно представить в виде
с = а~} (ят|х + frr|v)2 
Отсюда следует, что с Ф 0 , так как иначе, в силу уравнения (20), яко-
биан -------- = 0. Итак, учитывая, что а = Ь = 0, С Ф 0 и разде-
5(х,у)
лив уравнение (12) на с , приведем его к виду
%	(22)
Согласно терминологии пункта 3.2 это и есть канонический вид уравне-
ния параболического типа в случае двух независимых переменных.
3)	Пусть Ь2 — ас < 0 , т.е. в области G уравнение (9) эллиптиче-
ское. Будем считать, что коэффициенты а,Ьи с являются аналитиче-
скими функциями от хи у в точке (х0,у0). Тогда коэффициенты
уравнений (15) и (16) также аналитические функции от тех же аргумен-
тов. В этом случае из теоремы Ковалевской следует, что уравнение (14)
имеет аналитическое решение
ф(х,у) = ф^х,у) + кр2(х,у)
21
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
в окрестности точки
(Wo) и Ы+ Фк *°
в этой окрестности.
Положим в замене (10)
=	П = Ф2(*М
Нетрудно показать, что замена неособая. Разделяя в тождестве (14) ве-
щественную и мнимую части, получим
а^2х +2Ь^ Л у +^у	+2^плПт +ГГС’
^'Пх+^х'Пу +^Пх) + ^Пу =0.
Отсюда в силу равенств (13) следует, что а = с, 6=0.
В силу эллиптичности коэффициенты а ~ с могут обратиться в
ноль только в том случае, если £, х = Т|л = Т] — 0. Но решение
ф(х,у) выбрано так, что эти равенства не выполняются одновременно.
Таким образом, в уравнении (12) а = с 0 и после деления на а оно
приводится к виду
Согласно терминологии пункта 3.2 это и есть канонический вид уравне-
ния эллиптического типа.
§4	. ФОРМУЛЫ ГРИНА
Пусть область G С Rm и такова, что ее граница dG гладкая, т.е.
9G е С1. Пусть в этой области определена векторная функция
ФМ4 (х),...,Лт(х))
такая, что At (х) е C(G) Г\ С1 (G), z =	. Здесь, как и обыч-
но, областью считается открытое связное множество, а черта сверху оз-
начает замыкание множества. Предположим также, что функция
сЦ	S/L
divA = ~±+...+ -^L
Sxi	arm
интегрируема в области G . Кроме того, будем считать известной фор-
мулу Остроградского [И]
(О
G	dG
где п - внешняя нормаль к границе dG.
22
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Еще нам понадобится формула интегрирования по частям
г . с ди г
J	__ _ I-----+ I
й	й	г
которая очевидным образом следует из формулы Остроградского, если
в ней положить А = (О,..., ЛА,...,0), Ak~uv, w,V6C'(Q).
Пусть и е С2 (G) П С1 (G), v G С1 (G), а функция
Aw = div(Vu)
интегрируема по области G. Используя очевидные равенства
vAw = vr?rv(Vw) = div(y4u) - VwVv,
। du
!sG dn
согласно формуле (1) получаем
дв
(2)
G	dG	G
Далее, пусть функции w, V G С2 (G) ГЛ C*(G), а функции Aw и Av
интегрируемы в области G, тогда одновременно с формулой (2) спра-
ведлива аналогичная формула
JwAvcfo = jw~—dS - jVvVwdr.
G	CG	G
Вычитая из равенства (2) равенство (3), получаем
(3)
у™- - и— \ds.
(4)
Определение 4.1. Формулы (3), (4) называют формулами Грина.
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
ГЛАВА I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§	5. СИНГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Рассмотрим однородное уравнение Лапласа
Aw = 0,	(1)
Это уравнение эллиптического типа (см. пример 1.4). Очевидно, что
оно имеет решение, например, любая постоянная, любая линейная
функция являются таковыми.
Определение 5.1. Функция w(x) называется гармонической в конеч-
ной области Q С Rm, если выполнены условия:
I) и eC2(Q),
2) Aw 0.
Например, линейная функция гармонична в конечной области.
Определение 5.2. Функция w(x) называется гармонической в беско-
нечной области Q С Rm, если выполнены условия 1), 2) предыдущего
определения и, кроме того, существует постоянная с такая, что для дос-
таточно больших х по норме выполняется неравенство
|w(x)| < cM2-m.
Например, функция w(x) 1 гармонична в бесконечной области
при т = 2 и не является таковой при т > 2.
Пусть т > 2 и хЛ £^’,т.е. х = (x15...,xj, £, -
Введем обозначение Г = ||х - £,|| = t(x, —^j)2 • Будем также
считать точку 4 фиксированной, а точку х - нет.
Теорема 5.1. Функция v(x) = г" т гармонична во всякой об-
ласти, не содержащей точки
Доказательство. Очевидно, что
Поэтому
Отсюда следует, что
УЛ — 2 \т
A v = - —— 7
Очевидно также, что функция v е С“ в области, удовлетворяющей
условию теоремы.
Таким образом, осталось доказать неравенство из определения 5.2.
Пусть выполнено неравенство ||х|| >
44
тогда имеем
г = ||х-^||>Ы-Н>0.5Ы-
Отсюда и следует доказываемое неравенство
у = г2-”<2’-2Н2""=сЫ2‘”-*
Определение 5.3. Функция v(x) ~ Г2 т называется сингулярным
решением уравнения Лапласа.
замечание 5.1. Такое название объясняется тем, что если т > 2, то
при х ~ £, функция V не определена, Если же т — 2, то V « 1, т.е. не
является сингулярным решением. Сингулярным решением в этом случае
является функция v(x) ~ !п(г Ь) . Докажите это.
§ 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВАЖДЫ
НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим ограниченную область Q с Rm, т > 2, с гладкой гра-
ницей Г. Пусть и € С2(£1)П C'(Q), а
л, _ v 2~т
г — Г - сингулярное решение уравнения
Лапласа. При этом будем считать, что
и " W(O, т — р(^) > аргумент х фиксирован.
Пусть £ > 0 таково, что шаровая окрест-
кость О точки х радиуса £ содержится в D (см. рис. 2), пусть
£1' = Q \ О, S граница О, Г' — Г U S'.
Очевидно, что V G C2(Q') Г\ С1 (О'). Поэтому в области О' к
функциям и и V применима формула Грина (см. определение 4.1), ко-
торая в данном случае принимает вид
г ‘	/ 1 ди д 1
J(vA«-«Av)^=	+
Q'	I
Z 1 ди д 1 V п
---------------(1)
J\rm 2 дп дпг 2)
Здесь учтено, что согласно теореме 5.1 Av = 0 в Q' и использована
аддитивность интеграла по области интегрирования, а индекс в диффе-
ренциалах указывает, что интегрирование ведется по переменной
Попытаемся перейти в равенстве (1) к пределу при £ —> 0.
Существует постоянная С > 0 такая, что для производной по норма-
ли выполняется неравенство
ди
дп
ди
—cos(»4J < ст,
к
так как фигурирующие здесь частные производные ограничены, напри-
мер постоянной С, как функции, непрерывные на ограниченном замк-
нутом множестве. Учтем также, что г — S на 5 .
В результате получаем
< Е2~'г,ст • jlx5
„2-т___
= £ cmz uA,
Е—>0
>0. (2)
Здесь р.5 , р1А>| - меры сфер радиусов £ и единица соответственно.
Заметим, что на S имеет место равенство

3____1_
дг г"-2

т - 2
»к-1 ’
V»
(3)
так как в этом случае нормаль к поверхности направлена по радиусу
шара, а минус здесь доставлен по тому, что внешняя нормаль к поверх-
ности Г' на ее части S в данном случае направлена внутрь шара О.
Пусть 9 — (£, - х)е-1, тогда если S, G S, то ||9|| = 1, т.е. 9 G S\ .
26
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Учитывая (3), сделаем замену переменных в следующем интеграле:
Ju(*+e0)^^e""45’i-
Очевидно, что правая часть здесь стремится при £ —> 0 к выражению
(>и~ 2)	= (m~ 2)p5iw(x).	(4)
Пользуясь соотношениями (2) и (4), перейдем в равенстве (1) к пре-
делу при £ —> 0. В результате получим равенство
=
Q Г
/ 1 дм(£) д 1 V
=	— и(О г<r “<т ~ 2>sx*) •
Отсюда получаем
1
и(х) = 7--х
(т -
Определение 6. L Правую часть равенства (5) называют интеграль-
ным представлением функции класса С2 (Q) ГД С1 (Q).
ЗАМЕЧАНИЕ 6.1. Из равенства (5) следует, что функцию указанного
класса можно восстановить в области Q, если известны значения этой
функции и ее производной на границе этой области, а также значения
оператора Лапласа от нее внутри этой области.
замечание 6.2. Если функция и гармоническая, то
, .	1 [С 1 б«(О S И, г
w<)  (т - 2)А Дг*‘2 а„ “(ОЗиг”-2> 5	(>
Таким образом, интегральное представление гармонической в области
функции, непрерывно дифференцируемой на границе, позволяет выра-
27
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
зить значения этой функции внутри области через ее значения и значе-
ния ее производной на границе этой области, так как в этом случае
Ди — 0. Здесь просматривается аналогия с интегральной формулой
Коши, выражающей значения аналитической функции внутри области
через ее значения на границе этой области.
Теорема 6.1. Если функция и гармонична в области Q, то она
бесконечно дифференцируема в ней.
Доказательство. Пусть х е Q. рассмотрим область П' такую,
что х е Q'.h О' <— □. Обозначим через Г' границу области Q' . По
условию для функции и в области справедливо интегральное пред-
ставление (6), которое в данном случае имеет вид
1	,( 1 z„ а 1 у
“(Х)" («-2)1^, Дг”’2 дп “ ^аиг"’2Д?Г ’
Здесь подынтегральная функция непрерывна по переменной Е., а по пе-
ременной X она бесконечно дифференцируема, следовательно, приме-
нима теорема о дифференцировании под знаком интеграла [11]. После
ее применения получаем первые производные функции и , а к получен-
ным после дифференцирования интегралам вновь применима указанная
теорема, и т.д. ♦
§ 7.	ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
Теорема 7.1. (О среднем.') Если функция гармонична в шаре и
непрерывна в замкнутом шаре, то значение этой функции в центре шара
равно среднему арифметическому ее значений на границе этого шара.
То есть если функция и такова, что Ди = 0 и U G С(о) , то
u(x0) = — ju(S,)cZS'.
М-5’
(1)
Здесь S - граница шара О радиуса R с центром в точке x(J .
Доказательство. Пусть R' < R, тогда меС2(О'), где О' -
шар радиуса R' с центром в точке Хо . Следовательно, для функций U
справедливо интегральное представление гармонической функции (см.
следствие 6.1)
28
дп
-и-----AdS'.
дп г)
(2)
Здесь 5Г- граница шара О' .
Заметим, что
dS' =
(3)
*гт~2 дгГк} (R,)m~2 /ЗлГ
Первое из этих равенств следует из того, что если £, е 5", то г = R' , а
второе доказывается применением к функциям V = 1 и и формулы
Грина в шаре О' , которая в данном случае выглядит так:
г	с( ди Э1Л
(vAw - мДу)йй; = | v — - и— LZ5'.
\ дп дп)
Левая часть этого равенства равна нулю, так как и, V - гармонические
функции, а правая часть совпадает со вторым интегралом в равенствах
(3), так как функция V = 1 и ее производная по нормали равна нулю.
Далее, пользуясь равенством
дп rm2 dr г*-1 ’
которое выполняется при Г ~ R1 (см. равенство (3) § 6), получаем
\u-—-):dS' = т -2- )u(QdS'.
/ дп г"-2	(R')”' J
(4)
Пользуясь соотношениями (3) и (4), приводим равенство (2) к виду
“(*<>) = C,,L-	=-4
Переходя в этом равенстве к пределу при R' R,получаем доказы-
ваемое равенство (1). ♦
Теорема 7.2, (Принцип максимума.) Если функция, гармониче-
ская в ограниченной области, достигает максимума или минимума внут-
ри нее, то эта функция постоянна в данной области.
Доказательство. Пусть функция и(х) такова, что Ап — 0 в огра-
ниченной области Пив точке х0 е Q она достигает максимума.
29
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Рис. 3
Докажем, что и(х) = ы(х0) в fl. Пусть О - шар с центром в точ-
ке х0 радиуса R с границей X
и пусть О cz fl (рис. 3), тогда по
теореме о среднем
(5)
(6)
Пусть
maxw(^) =- М.
Из равенств (5) и (6) следует,
что .
w(x0) < М (докажите) и, следовательно, «(х0)~Л/,так как х0-
точка максимума функции и во всей области Q.
Докажем, что для всякого
% € 5' выполняется равенство
и(Е,) = М. Пусть это не так, т.е,
найдется точка 5,0 е X такая, что
м(^0) < М. Тогда из непрерыв-
ности функции следует, что суще-
ствует окрестность О точки £,0
такая, что для нее найдется число
ОС > 0, обладающее следующим
свойством: для всякого £, е Р ,
где Р = X ГЛ О (рис, 4), выполняется неравенство
w(£j < М-а.
Далее, равенство (5) можно переписать следующим образом:
цХ	4
S\P
Оценивая первый из этих интегралов с помощью неравенства (7),
рой с помощью равенства (6), приходим к неравенству
и{хй) < (ц5)4 [( М - а)цР + М(ц5 - и?)] = М -	<
(?)
а вто-
которое противоречит доказанному ранее равенству и(х0 ) = М.
30
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Итак, доказано, что для V Е S' верно равенство w(O = М.
Для V R' € (О, R) шар радиуса 7?' с центром в точке xQ содержит-
ся в Q, поэтому для него справедливы все предыдущие рассуждения,
Отсюда с очевидностью следует, что во всем шаре О функция
и постоянна.
Докажем, что для V х Е Q выполняется равенство ы(л) ~ w(x0).
Пусть X - произвольная	---------
точка Q - Соединим точки
хои X ломаной /, цели-	23	/
ком лежащей в Q. Это /	—"-х	\	\
возможно, так хак Q - об-	\	/
ласты Пусть 23 > 0 - ми- \ Хо /	1	/
нимальное расстояние ме- X. I	I х У
жду I и границей области
Q•	Рис 5
По лемме Бореля [11]	и
ломаную I можно по-
крыть конечным числом открытых шаров с радиусами равными 3 и
центрами, лежащими на ломаной (рис. 5). Пусть х0 ,Х, ,...,х^ - центры
этих шаров. Все эти шары по построению лежат в области Q, следова-
тельно, по доказанному выше в каждом из них значение функции посто-
янно, но каждый из них пересекается по меньшей мере с одним из дру-
гих шаров, поэтому на объединении всех этих шаров функция
и принимает постоянное значение. Отсюда и следует, что
w(x) = ы(х0).
Итак, в случае максимума теорема доказана.
Если же функция w(x) такова, что Ди — 0 в области Пив точке
Хо она достигает минимума, то функция U такова, что Д(—U) — 0 и
в точке Хо она достигает максимума. По доказанному выше — и - по-
стоянна, а значит, и функция и постоянна в области О. ♦
СЛЕДСТВИЕ 7.1. Гармоническая функция, отличная от постоянной,
не достигает внутри области ни максимума ни минимума.
СЛЕДСТВИЕ 7.2. Если функция гармонична в ограниченной облас-
ти и непрерывна в ее замыкании, то она достигает как максимума, так и
минимума на границе области.
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
§ 8, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим уравнение
-a#(x)wx^ +ак(хУиХк + а0(х)и = /(х).	(1)
Пусть Q — ограниченная область в пространстве R” с гладкой грани-
цей Г . Уравнение (1) будем считать эллиптическим в Q .
Для эллиптических уравнений ставятся следующие краевые задачи.
1.	Внутренняя задача Дирихле (первая краевая задача)
Найти функцию и £ С2 (Q) Pi C(Q), являющуюся решением
уравнения (1) и удовлетворяющую условию
wjr - ф(х),	(2)
где (р(х) - известная непрерывная функция, заданная на границе Г .
2.	Внутренняя задача Неймана (вторая краевая задача)
Найти функцию и eC^^nC^Q), являющуюся решением
уравнения (1) и удовлетворяющую условию
ajkuXk cos(w,x;)|r = ф(х),	(3)
где	известная непрерывная функция , заданная на границе Г,
п - внешняя нормаль к Г.
3.	Внутренняя третья краевая задача
Найти функцию U G С 2(Q) О С 1 ( Q ), являющуюся ре-
шением уравнения (1) и удовлетворяющую условию
[alkuXi со8(л,х7) + о(х)г/]|г = х(*)>	W
где <т(х), /.(-’с) - известные непрерывные функции , заданныые на гра-
нице Г, п - внешняя нормаль к Г.
Аналогично ставятся первая, вторая и третья внешние краевые зада-
чи, но решение ищется в неограниченной области Rm \ Q с той же
границей Г и дополнительно требуется выполнение условия
|w(x)| < с|х||2-'”
для достаточно больших х по норме (О 0- постоянная).
Будем рассматривать эти задачи для уравнения Лапласа.
32
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Теорема 8.1. (О единственности решения задачи Дирихле.)
Как внешняя так и внутренняя задачи Дирихле для уравнения Лапласа
- Au - f (х)
имеют не более одного решения.
Доказательство.
1. Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле.
Пусть существуют два ее решения, т.е. две функции
‘	U],u2 eC2(Q)nC(Q)
такие, что
-Д«1=/(х), а1г=ф(х);
- Аы2 = /(х), и 2 г = ф(х) .
Вычитая из первой строки вторую, вводя обозначение Щ  u2 = w и
пользуясь линейностью оператора Лапласа, получаем
Aw=0, w|r = 0, w eC?(Q)nC('Q).
Таким образом, w(x)- гармоническая функция, непрерывная в замы-
кании области Q , По следствию 7.2 она достигает на границе Г и мак-
симума и минимума, но w|r = 0. Отсюда получаем w =	 и2 = 0.
Итак, единственность внутренней задачи Дирихле доказана.
2. Рассмотрим внешнюю задачу Дирихле.
Пусть существуют два ее решения щ, ы2 е С2 (Q) П C(Q) . Здесь
область Q неограниченная и кроме того, что Д и ы2 удовлетворяют
уравнению Лапласа (5) и краевому условию (2), выполнены неравенства

u2(x) < с2 ||х||2
для достаточно больших ||х[|.
Вводя как и прежде обозначение Д - и2 = W, получаем
Aw = 0, w|r - 0, |w| < с||х||2
Последнее неравенство выполняется для достаточно больших ||х||.
Заметим, что непосредственно применить
принцип максимума здесь мы не можем, так
как область Q неограниченная.
Рассмотрим область Q/? gQ, имеющую
границу, состоящую из границы Г области Q
и сферы (рис. 6).
33
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Очевидно, что функция w гармонична в области и непрерывна
на ее границе и поэтому для нее н Q, справедлив принцип максимума.
Это означает, что максимум и минимум следует искать либо на Г, либо
на . Для достаточно больших R выполняется неравенство
jw(x)| < cR2~m для Vx Е SR , Кроме того, для V б > О 3 Я такое, что
cR2^1 < S . Таким образом, учитывая, что W = 0 на Г , получаем
- е < minu’(x) < max w(x) < s
Отсюда для произвольной точки х е имеем неравенство
- £ < М>(х) < £ ,
переходя в котором к пределу при £ —> 0 (заметим, что при этом
R —> со), приходам к выводу о том, что для У х е О разность
и} (х) — и2 (х) И’(х) ~ 0 . Стало быть, внешняя задача Дирихле име-
ет не более одного решения. ♦
замечание 8.1. Если aJk = 8 -к- символ Кронекера, то очевидно,
ajtu„ cos(n,x7) =
ди	ди
Kcos("’XJ=S’
поэтому краевое условие (3) в задаче Неймана для уравнения Лапласа
(5) имеет вид
ди
^г = ч'(х)'
f	\ Это равенство понимается следующим образом:
\ О /	ди(х')
\ J	lim —------= ^(х).
Рис. 7	Здесь х' —> X по нормали п (рис. 7).
ЗАМЕЧАНИЕ 8.2. В задаче Неймана функции f (х) и ф(х) , вообще
говоря, не могут быть произвольными. Покажем это.
Определение 8.1. Поверхность Г называется регулярной если:
1) в каждой точке Г существует определенная нормаль;
2) в некоторой окрестности каждой точки Г в локальной системе
координат (2, р Л2) поверхность Г может быть задана в явном
виде, т.е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция
g такая, что	•
Построим по области £1 область £1'путем
выбрасывания из Q пограничной полоски ши-
рины h , т. е от каждой точки границы Г области
£2 отступим внутрь по нормали на расстояние h
(рис. 8). Пусть Г - регулярна, тогда граница Г'
области £1' гладкая. Рассмотрим функции v s 1
и U - решение задачи Неймана. К этим функциям применима формула
Грина в области Q' (проверьте), т.е.
Г/	\	((	п-
HvAw-wAv)dx =	V—- -у—lai,
И	Л дп М
Отсюда, используя свойства функций и и V, получаем
П'	П'	Г'
Переходя в последнем равенстве к пределу при h -> 0, получаем
,	п	г
Итак, для существования решения задачи Неймана необходимо вы-
полнения условия
J/(x)£&+	= 0.
£>	Г
Отметим два частных случая этого условия.
ди
I. Пусть Aw = 0, ~
дп
(6).
= ip, тогда (6) имеет вид j i|JtZT - о.
г
~ 0, тогда (6) имеет вид (х)бА = 0.
п
Замечание 8.3. Для внутренней задачи Неймана теорема единствен-
ности не верна, так как если и - решение внутренней задачи Неймана,
то и функция V = и + С, где с - постоянная, такова же, поскольку
ди
г
35
2. Пусть - Aw ~ f, -~~
дп
дп
= v(x).
г
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Теорема 8.2. (€> единственности решения задачи Неймана.)
Пусть Q - ограниченная область в Rm с регулярной границей Г .
Два решения внутренней задачи Неймана могут отличаться только
постоянным слагаемым.
Доказательство. Пусть , иг - решения задачи Неймана, т.е.
ди, дп	= v(x), г
„	ди7	
- Aw2 /(х), — СП	= VO) г
Вычтем из первой строки вторую, воспользуемся линейностью уравне-
ния и краевого условия и введем обозначение W = ut — щ . В результа-
те получим
0w|
Aw^O, — ^0.	(7)
Построим область О' как это было сделано в замечании 8.2. т.е. вы-
брасывая из области Q пограничную полоску ширины h . Из формулы
Грина при w — и ~ V следует равенство
Переходя в нем к пределу при h —> 0 и учитывая свойства (7) функции
w , получаем равенство
из которого следует, что - 0, т.е. w - щ ~и2 - const. ♦
§9. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
Пусть — О- шар в R” pewiywRc центром в нуле с границей S .
Теорема 9.1. Если функция w(x)~ решение задачи Дирихле
Aw = 0, п|5. = <р(х), непрерывно дифференцируемое на замыкании
шара О, то для нее справедлива формула Пуассона
36
|	_ p2
м<9 = -^-/фЮ A..	<>)
pOj £	ЛГ
где p*S\ - мера единичной сферы, p ~ (|x||, r = |jx — Выражение
R2 -p2
“	называется ядром Пуассона.
Доказательство. По условию теоремы для функции и(х) справед-
ливо интегральное представление
, .	1 ff 1 <Ь д 1 А
и(х)~-~---------- — ---------— и~——у ^5.	(2)
(ти-2)ц5] Дгт 2 дп дпг 2/
‘-’R
Здесь известно все кроме производной функции и{х) по нормали.
Построим точку х' на прямой, продолжаю-
щей отрезок ох (рис. 9) так, чтобы выполня-
лось равенство рр' = Л2.Здесь р’ = }|x'J). Из
подобия треугольников б>^х и о^х' следует
р R г
R~ р' ~ г' ‘
Отсюда вытекает равенство
(г’)2-” =(7?p-1)"-2^2-".	(3)
Рассмотрим функцию
у(О = (г')2Л
гармоническую в шаре, так как там 2, х' .
Применяя к функциям и и V формулу Грина и используя их гармонич-
ность, получаем равенство
/	1 ди
дп
Ьх = о.
дп (г')J
(4)
Умножим равенство (4) на ((w—2)pS’1) *(^р ')2 ти результат
вычтем из равенства (2), В итоге получим
1 г 17	5 1	0 1 L
и(х) _ ---J <р(£) —	~т—dS. (5}
(m-2)p.S{ “ \pj дп(г ) дпг
37
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Здесь учтено, что и\л. — ф. Заметим также, что в правой части равенства
(5) известно все. Осталось только его упростить до вида (1). Для этого
произведем следующие очевидные вычисления:
<Э  1 д 1	т — 2 dr £ t
= =
т-2	_	т-2	,
— “ Rr^ ~ Хк)^>к ~	(R ~ ^kXk ) •	(6)
Аналогично получаем равенство
д 1	т-2 г
гйщщ2= ~ я(И" (Л
из которого следует
' 2?^	3	1 т- 2 р2 2г,
Ср) дп (г')’”'2 = ” Кг"	=
т-2 . ~ х'р2^	т-2
= ~ Rrm " Р ~	У?2 = ~ Rrm (Р ~^кХк^'
Здесь учтено, что X^p2R~2 = Х^р(р')1 :"хг
Подставляя выражения (6) и (7) в равенство (5), получаем формулу
Пуассона (1). ♦
Свойства ядра Пуассона
1.	Ядро Пуассона положительно, если х е О.
2.	Если р —> R, т.е. х —> S, то если X не стремится к 2,, то ядро
Пуассона стремится к нулю; если же х —>	то - к бесконечности.
3.	Если G S', X еО, то ядро - функция гармоническая по х
(проверьте непосредственным дифференцированием).
4.	Если X е О, то выполняется равенство
1 гД2-Р2лС =,
] Rr" <S
Чтобы это доказать, рассмотрим следующую задачу Дирихле:
найти функцию И’(х), определенную внутри шара О, такую, что
w| — 1. Очевидно, что функция w(x) = 1 решает эту задачу и к тому
же она непрерывно дифференцируема на замыкании шара (Л поэтому
38
ourchase at waw fineprint com
согласно теореме 9.1 она представима формулой Пуассона (1), т.е. тре-
буемое доказано.
Теорема 9.2. Если функция ф(х) непрерывна на S, то формула
Пуассона решает задачу Дирихле для шара О, т.е. :
/ ч 1 Г Я2 -р2 ,
1)	функция у(х) =----- 1ф(О------ni—- гармонична в О;
2)	п(х) можно доопределить так, что она будет непрерывной на О ;
3)	если х G 8, то w(x) = ф(х).
Доказательство.
1	R2 - о2
1) Aw = —— |ф(А) А---------dS — 0 по свойству 3 ядра.
J Rrm
2) Пусть х0 е 8. Докажем, чтои(х) —> ф(х0) если х —> Х() из-
нутри шара О. Используя свойство 4 ядра Пуассона, получаем
R1 ~ Р2
«(х) - ф(х0) = — J[q>© - ф(;
5
Пусть Р - 8 -окрестность точки х0 на
сфере 8 (рис. 10). Так как функция ф(х)
непрерывна на S , то для V £ > 0 3 8 > 0
такое, что для V 2, е ст выполняется нера-
венство ф(£>) — ф(х0)| < 0.5е , поэтому
lf	Я2-р2
Дф(<)-ф(Хо)]—dS
(8)
RrK
£
Здесь мы воспользовались свойством 4 ядра Пуассона. Пусть это будет
неравенство (9). Из непрерывности ф следует также существование та-
кой постоянной М, что для всякого G 8 выполняется неравенство
ф(^)-ф(х0)|<2М
Заметим, что для V 5, е 8 \ Р верно неравенство | S, — Хо 2 8
пользуя которое при условии | х — х0 < 0.58 , получаем
, ис-
39
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Отсюда следует: г < 2* S т . Кроме того, R2 — р2 < 2R(R — р) 
Имея ввиду все, что следует за неравенством (9), получаем
2	2
J [ф©-ф(*0)]^—$
5\cr	Rr
< C(R ~ р),
(Ю)
где C=p52ff,+2M(^5W)4.
Если теперь положить R — р < е(2С)~1 , то из (8) - (10) следует
w(x)~tp(x0)| < е,
т.е. 3 limм(х) ~ ф(х0).Итак, пункт 2 теоремы доказан. Пункт 3 тёо-
ремы очевиден, если при х е S положить w(x) = (р(х). ♦
замечание 9.1. Аналогичный результат имеет место в случае задачи
Дирихле для внешности шара, т.е. если рассматривается задача: найти
функцию 1/(х) такую, что
и е С2 (О) п С(О), Аг/ = 0, г/|Л “ <р(х);
при этом jw(x)j < р?,,( для достаточно больших (|х||, где Q Rm \ О ,
то решение этой задачи дается формулой Пуассона
1	о2 -
§ 10. ПОНЯТИЕ О ПОТЕНЦИАЛАХ
Пусть Q - ограниченная область в Rт с гладкой границей I -
Определение 10.1. Функции
О)
г г
v(x) /ст(^)	,	(2)
' дпг
n r
называются соответственно:
(1)	- потенциал простого слоя,
(2)	- потенциал двойного слоя,
(3)	— объемный потенциал .
Функции Ц,о\р называются плотностями потенциалов, будем счи-
тать, что ц,о е С(Г), р с C(Q).
Теорема 10 Л. Потенциал простого слоя и потенциал двойного
слоя определяют функцию гармоническую внутри и вне области Q (но
не на ее границе Г ).
Доказательство. Рассмотрим потенциал простого слоя (1). Так как .
подынтегральная функция непрерывна по £, (х Г ) и бесконечно
дифференцируема по х, то по теореме о дифференцировании под зна-
ком интеграла [11] функция м(х) дифференцируема и ее производная
обладает теми же свойствами. Поэтому и е С°° внутри и вне Q. Сле-
дующее вычисление очевидно (если учесть теорему 5 Л ):
А«= [ц©Дг2"”^Г = 0.
Г
Таким образом, если X G Q, то теорема для м(х) доказана.
Пусть теперь х >Н~ диаметр области Q и -----------------------
Цх|| > 2Н (рис. 11), тогда имеем	f Q .о
г = ||х - > М - |У и У < Н < 0.5||х||.
Отсюда следует 2г > ||х||. Используя эту оценку,
получаем неравенство
|«(х)| < 2"-2||х|Г" j|n(O|d4r = dlxf , р“ 11
г
из которого следует, что м(х) гармонична и вне Q.
Рассмотрим потенциал двойного слоя, который запишем в виде
41
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
v(x)= fa^^-p^-cosOi.SJ^r.
Здесь, как и в предыдущем случае, подынтегральная функция непрерыв-
на по и бесконечно дифференцируема по X. Поэтому v(x)~ беско-
нечно дифференцируема. Вычисление
Av = [а(£)соз(л,^) —
1
^m-2	~
показывает, что при X t Q для потенциала v(x) теорема верна.
Пусть х g Q и пусть ||х|| > 2Н и, значит, 2r > ||x|j, тогда имеем
т~2^к-хк ^т-2 (т-2)2т^
7^ г 27^<~14'д ’
Используя это неравенство, получаем
m(m - 2)2"-’
Ы”1
замечание 10.1. Из доказательства теоремы 10.1 следует, что по-
тенциал двойного слоя убывает на бесконечности быстрее, чем потенци-
ал простого слоя.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.2. При некоторых дополнительных условиях о глад-
кости поверхности Г (ляпуновская поверхность) можно доказать, что
потенциал простого слоя непрерывен на Г.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.3, Потенциал двойного слоя при переходе через Г
разрывен, однако при дополнительных условиях о гладкости Г
(ляпуновская поверхность) можно найти пределы, к которым он стре-
мится, если точка X —> х0 £ Г изнутри и извне. То же можно сказать
и о нормальной производной потенциала простого слоя w(x).
замечание 10.4. Свойства потенциалов простого и двойного слоя,
доказанные в теореме 10.1 и отмеченные в замечаниях 10.2 и 10.3, ис-
пользуются при решении краевых задач для однородного уравнения Ла-
пласа. Основная идея здесь следующая: так как м(х) и v(x) - гармони-
ческие функции, то решение упомянутых краевых задач ищется в виде
42
atvwiwfineorintcom
потенциалов, плотности которых должны быть такие, чтобы выполня-
лись граничные условия. Таким образом, происходит переход от крае-
вой задачи для уравнения Лапласа к интегральному уравнению относи-
тельно плотности потенциала. Такой прием называется в математиче-
ской физике методом потенциалов.
Теорема 10.2. Если плотность р е C(Q), то в области Rm \ Q
объемный потенциал w гармоническая функция и, следовательно,
бесконечно дифференцируема в этой области.
Доказательство такое же, как в теореме 10.1 (проделайте сами). ♦
Теорема 10.3. Если плотность р £ C(Q), то объемный потен-
циал w &C1(RW),
Доказательство. При х е Rт \ £2 утверждение содержится в тео-
реме 10.2. Пусть х eQ. Построим область Q' такую, чтобы Q rQ'
и если точкато положим p(Q = 0. Полученная функция
р в области £2' измерима и ограничена. Пусть С = SUpp(^) . Из по-
строения следует, что
Q'
Если этот интеграл сходится равномерно по X, то W е C(Rm) .
Докажем, что это действительно так
т-2
к'
е2
~2	еч>°~ >0'
r<e	S\ 0
Г<£
Здесь в первом равенстве сделан переход к сферическим координатам. В
данном случае это означает, что d^ = rm~xdSxdr . Итак, w е C(7?m).
Выполним формальное дифференцирование под знаком интеграла:
dXk Q	Г	Q Г	Г
Рассмотрим интеграл
Q' Г
(4)
43
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Если он сходится равномерно по х, то произведенное дифференциро-
вание законно. Докажем, что это действительно так.
J	< с J==с pS; рг = с^е.
[г<£	?	r<z	S] О
Очевидно, что правая часть этого неравенства стремится к нулю при £
стремящемся к нулю, т.е. интеграл (4) сходится равномерно и поэтому
существуют и непрерывны производные
ды г z <3	1
q
*
Теорема 10.4. Если плотность р е С1 (Q), то объемный потен-
циал И’(х) обладает следующими свойствами:
I)w еС2(П),
2) Aw = -(т — 2)рЛ1р(х).
Доказательство. Вычислим формально первую производную W
г 3	1 г 01
&г а /р®	=	~
=	Jp©cos(«,^)-^-^F.
ц °Sfc Г	г
Здесь последнее равенство получено с помощью операции интегрирова-
ния по частям (см. § 4), в результате которой имеем: первое слагаемое
непрерывно дифференцируемо по теореме 10.3, а второе дифференци-
руемо, так как х <2 Г. Таким образом, первая часть теоремы доказана. \
Произведем формальные вычисления
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Обозначим символом Q' область Q, из которой выброшена точка
X вместе со своей Е -окрестностью с границей S' (рис. 12). Так как по
доказанному функция Aw непрерывна, то имеет место равенство
„ г др д 1 г	д 1
Производя в первом слагаемом интегрирование по частям, получаем
^г^Г = -(/к-2)р(х)цХ
= -lim jp(£)cos(H,^)
с—>0
S'
При получении последнего равенства мы воспользовались выкладками,
проведенными в § 6. ♦
замечание 10.5. Теорема 10.4 позволяет написать одно из решений
уравнения Пуассона — Дм = f (х) , а именно
"° = (т- 2)ц5,
Замечание 10.6. Рассмотрим задачу Дирихле для неоднородного
уравнения, т.е. задачу об отыскании функции w(x) такой, что
~Дм = /(х), wlr ~ф(х)> MeC2(Q)nC’(fi).
Согласно предыдущему замечанию одно из решений Щ мы имеем.
Произведем замену по формуле и - щ + w0, тогда от поставленной за-
дачи приходим к следующей: найти функцию Щ (х) такую, что
Awj " 0, wj =ср-ср0, и e€?2(Q)nC1(Q),
где ф 0 ~ UQ на Г .
Итак, неоднородная задача свелась к однородной.
45
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com

§11. СРЕДНИЕ ФУНКЦИИ
Ставится задача: для суммируемой (но не дифференцируемой) функ-
ции построить бесконечно дифференцируемую функцию, “мало” отли-
чающуюся от заданной.
Определение 11.1. Пусть х,у е Rm} Г — ||х - у|, h > 0.
Функция СОА(г) называется усредняющим ядром, если выполняются
условия:
1) (Q h (г) > 0 при г < h. о к (г) = 0 при г > h;
ит
3) фа(г)	*Rm).
Л е м м al 1.1. Множество усредняющих ядер не пусто.
Доказательство. Рассмотрим функцию
о,
<МГ) = <
если г > h,
-А2
j2-rZ, если г <h.
Здесь Ch - положительная постоянная.
Докажем, что эта функция является усредняющим ядром.
Пункт 1) очевидно выполнен.
Чтобы доказать выполнение пункта 2) определения 11.1, положим
-1
-л1
h “
r<h
1
тогда получим
-л1
-а2
й”	г<Л	г<Л
Докажем, что не зависит от х . Для этого перейдем в последнем ин-
теграле к сферическим координатам
-Л2	(h -Л2	j
feh2""dy = p/sJ ^eh2~r2 rm~ldr k
r<h	s, [o	J
Очевидно, что этот интеграл не зависит от х.
46
ourchase at waw fineprint com
Осталось доказать выполнение пункта 3) определения 11.1.
Если г > h или г < h то справедливость пункта 3) очевидна.
Если г = h, то доказательство того, что ГО.Д/*) еС (R"‘ х Rm)
проводится аналогично тому, как это делается в анализе для аналогич-
ной функции [11].
Определение 17.2. Средней функцией для функции u е £(Q) на-
зывается функция
^(х)=
я"
Здесь область интегрирования может быть заменена на Q или на
{г < h} , или на Q n {г < h}.
ЗАМЕЧАНИЕ 11.1. Отметим очевидные свойства средних функций.
1.	uh (х) = 0, если X £ £lh.
2.	uh (х) G С” (7?т ), так как и е L?, a <f>h (г) еС°° по х .
3.	Если	Л/, то	, так как
uh\< ЛM J® h(r)dy = M 
Qr-'.(r<h}	r<Jt
4.	В пространстве С усреднение не увеличивает нормы. Это следу-
ет непосредственно из пункта 3.
Теорема 11.1. Если и Е С(П) , то во всякой области такой,
что Q'cQ, uh сходится равномерно на Q' к функции ы(х)при
Л->0.
Доказательство. Обозначим через Ло расстояние между границами
областей Q и Q' и пусть при этом
Л < /?, ,, х е Q', тогда окрестность О	------
точки X радиуса h содержится в Q .
Из непрерывности функции и следует	f (	\ }
также, что для V Е > 0 3 5 > 0 такое,	\ \.	) )
что если расстояние между х и у	h
меньше S , то |1ДХ) — ТДу)! < С. Пусть	-----—----------
h < Ъ, тогда, пользуясь свойством 2)
усредняющего ядра, получаем для	Рис'
Vx eQ' неравенство
47
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com

|wA(x)-1w(x)|< ||ы(^)-ы(х)|юа(г)4и<£ ]соДг)^ = 8.<
r<h	r<h
Теорема П.2. В пространстве L2 (Q) усреднение не увеличи-
вает нормы.
Доказательство. Пусть и е L2 (£1). Воспользовавшись неравенст-
вом Буняковского, получаем неравенство
2	2
2
Ч(х)
}Чу>А(г)Лу
J W( У)у/®ДГ)
£lr.{r<Jij
< jw2(y)(oA(r)Jy j®^(rXy< р?(у)®Дг)о?у,
fl	r<h	42
позволяющее оценить норму усреднения
Ы) = Jw2(xM< JJw2(y>/;(r)cfycZr =
о	an
= fW2 (y)S Jco h (r)dx My = ||w||2. ♦
n [a	J
Теорема 11.3. Если и e L2 (£1), то |] wA — Щ —> 0.
Доказательство. Пусть П,ГГ - параллелепипеды в Rm такие, что
Q cz П cz П'. Доопределим функцию w(x), положив w(x) - 0,если
х G П' \Q.Очевидно, что доопределенная таким образом функция
и Е L2 (ГГ) . Согласно теореме Вейерштрасса [11] для V s > 0 3 по-
лином Р(х) такой, что ||и —	<3-1Е. Пусть Ph - усреднение
этого полинома, тогда согласно теореме 11.2 имеем
|ил "	< ||U — P^L {П) < ||п — /’ll; (Q) 
Кроме того, очевидно, что
и -- uh I < ||w - P|L fQ1 + Р - РА z + Л -
Н	"T2(Q) f Л1т2(п)	। 11
Отсюда получаем
\u'~uh
<2e3"] +11?-^


48
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Так как Q с_ П, Р е С(П) , то по теореме 11.1 3 5>0 такое, что
для V h < 8 выполняется неравенство
|Р - Л||,	< s / 3 . В итоге
имеем и-иЛ
Л’ /<,(£>)
Определение 11.3. Функция и(х) называется финитной в области
Qc^w, если существует ограниченная подобласть £У такая, что
Q' zQh и = () в Q\Q\
Рассмотрим класс функций
C*(Q) - {и еСк (□), финитны в □}, к = 0,1,2,..., и положим
СО
С"(О) = пС‘(О).
*=0
Теорема П.4. С°° (£1) - множество плотное в Z2 (£1).
Доказательство. Пусть и Е Л2 (£1), тогда для V Е > 0 3 8 > 0 та-
кое, что jw2 (x)dx < (0.5s)2 . Здесь О5 - пограничная полоска из
области £1 шириной 8 . Рассмотрим функцию
|w(x), если х е £1 \ £16,
| 0, если х е £26.
Очевидно, что v е Z2(Q) и то, что j|w — v||z = 1 J и2(x)dx < 0.5s.
VQs
Пусть h < 0.58. Рассмотрим среднюю функцию vh (x) : она финит-
на и бесконечно дифференцируема по построению. Из теоремы 11,3
следует, что 3 hQ такое, что для V h < hQ выполняется
||v — vh j| L < 0.5s . Используя это неравенство, получаем, что для
г2
всякой функции из L мы можем найти сколь угодно близкую к ней
||м - vh || < ||w - v|| + ||v - vh
функцию из С°°, так как
<£.♦
СЛЕДСТВИЕ 11.1 Множество M плотно в L2 (£2), если
C“(Q)czMaZ2(Q).
49
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Пример 11.1. Множество M = {и е C2(Q) a С(£2) : м|г — 0}
плотно в L2 (Q). Здесь Г - граница области Q.
§ 12. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Пусть функции U,V еС1 (О.)Г\С1 1 (£2). Интегрируя I раз по час-
тям (см. § 4), получаем равенство
f ' dzv	, г д1и г
Jм Тл—= С-1) J v	v)cZT.
п дх^.-дх”	£ дх^.дх” /
Здесь Z1 +...+lm = I, а функция R(u, v) - содержит функции u,V и их
производные не выше (/ — 1) -го порядка, при этом если
v,v\...,v(/“I)L = 0, то Ь?(ц,v)cZT = 0.
г
Определение 12.1. Пусть функции Z/(x),v(x) заданы почти всюду в
£2 И ДЛЯ £2 СЕ £2 Z/, V СЕ I) (ГУ)* Если для всякой функции
ф е С1 (£2) выполняется равенство
w
П	""""'т	а
то функция v(x) называется обобщенной производной I -го порядка
функции м(х) на £2. Ее принято обозначать следующим образом:
д1и
дх{1 ...дх1”
Определение 12.1 является расширением классиче-
производной в том смысле, что если функция
kZ4
I
1,
v ~
ЗАМЕЧАНИЕ 12.1.
ского определения
м(х) имеет обычную производную указанного выше порядка, то эта
производная является и обобщенной производной.	»
Пример 12.1. Пусть £2 = (—1,1) , а и(х) ~ jx|. Известно, что'эта
функция не дифференцируема в обычном смысле в точке х — 0. Пусть
ф G С1 (—1Д) , тогда можем написать
d . . с/ф (О б?ф И с/ф	.о f
£1и1'^й^ = _	+ ^х-^ах - -хф(х)|_( + £]ф(х)с£с +
50
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
+ x<p(x)|j - f (p(x)<& = -£i<p(x)iig«xa!>:.
J(|x|)	.
Таким образом, обобщенная производная —~т~~ — Signx.
(лЛ
Пример 12.2. Пусть Q — (0,1) и
и(х') =
0, если х иррационально,
1, если х рационально.
Очевидно, что эта функция, называемая функцией Дирихле, не имеет
обычной производной хотя бы потому, что она не является непрерывной
ни в одной точке своего задания. Пусть <р eC'(OJ) Имея ввиду то,
что функция w(x) почти всюду в области своего задания равна нулю,
мы имеем право написать
|м(х)—6fr = 0~ |0-©(x)t&.
о ах *
Отсюда следует, что обобщенная производная функции Дирихле су
ществует и равна нулю.
замечание 12.1. Можно доказать, что из существования старшей
обобщенной производной, вообще говоря, не следует существования
младшей обобщенной производной.
Некоторые свойства обобщенных производных
1.	Если обобщенная производная существует, то она единственна с
точностью до эквивалентной функции.
2.	Если существует D1 и = v в Q, то в Q \ £2А
D1 (uh) = (Dlu)h = vh .
3.	Пусть Q' CZ £2, V - D‘u в £2, тогда V = D1 и в £2'.
4.	Теорема о замкнутости обобщенного оператора дифференциро- '
вания. Пусть ип G (Q), Vn =	• Если ип ~> и, vn —> V в
Z2(£2) при п —> со, то V -- Dlu.Доказательство следует из возмож-
ности предельного перехода в равенстве
Dl(pdx = (-1)' Jv„<ptZxr5
о	о
так как функции ср, Da(p непрерывны и ограничены в области £2 .
51
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
§ 13. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ
Пусть Н — гильбертово пространство, в котором действует линей-
ный оператор А:Н —> Н.
Определение 13.1. Оператор А называется симметричным, если
выполняются следующие условия:
1) замыкание его области определения D(A} — Н;
2) для всяких U.V G D(A) верно равенство (Au,v) - (и, Av),
Определение 13.2. Симметричный оператор А называется поло-
жительным, если для V и е D(A) верно неравенство (Аи,и) > 0, ко-
торое оказывается равенством тогда и только тогда, когда и = 0.
Если же существует постоянная у 2 > 0 такая, что для V и & D( А)
выполняется неравенство (Au,ii) > у 2||и||2 , то оператор А называется
положительно определенным.
Рассмотрим уравнение в гильбертовом пространстве Н
Au = f,	(1)
где f,u еН, А;Н -> Н.
Теорема 13.1. Если А - линейный положительный оператор, то
уравнение (1) имеет не более одного решения.
Доказательство. Пусть и{,112- решения уравнения (1), т.е.
Аи} --- f , А и2 — f  Вычитан из первого равенства второе, получаем
(Л(И! — и2\(Ц\ ~~ и1У) ~ 0- Отсюда, используя положительность-опе-
ратора А, получаем щ — z/2 = 0. ♦
Теорема 13.2. Рассмотрим функционал
O(w) = Uw,w)-2(w,/),	'	(2)
где А - линейный положительный оператор в пространстве Н.
Чтобы элемент UQ cD(A) сообщал функционалу (2) минимальное
значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенству
Аи0 = f.
Доказательство. Заметим, что области определения оператора А и
функционала (2) совпадают: D(A) — Л(Ф). Очевидно также, что если
П е D{ А), то uQ + ат] с £>(Ф) для V а е R1.
52
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Докажем, что если uQ- точка минимума функционала Ф и, значит,
его первая вариация Зф(ц0 ,г|) = 0, то м0- решение уравнения (1).
Выпишем первую вариацию функционала Ф в точке и0:
о>П)^ф(Ио+<Ма=° =
= da +ar|^wo +ап) - Ж +ат1?/)]|а=0 =
- (Лм0, Т]) + (Ад,и0) - 2(г|, f) = 2(Ащ,п) ~ 2(/, т])-
Таким образом,
бФ(м0 ,т]) = 2(Лм0 - /5Т|) = О’
Так как D(A) = Н,то Аи0 - f ~ 0. Необходимость доказана.
Пусть элемент uQ пространства //таков, что Аи0 = /, докажем,
что тогда г/0 - точка минимума функционала Ф. Пусть и е D( А),
Т] - и — UQ. Тогда
Ф(м) - Ф(м0 + т]) - (A(uQ + Г|), Щ + П) - 2О0 + П, /) =
- (Аи0 ,w0) - 2(ы0,/) + (Лм0,-q) + (Лг|эы0) - 2(п,/) + (Лп,П) =
Ф(ц0) + 2(Аи0 - f,п) + (Ли, п) - ФОо) + (Ж П)-
Если Г| Ф 0, то в силу положительности оператора А имеем
(ЛГ|, Т|) > 0 . Поэтому Ф(м) > Ф(«о) при и Ф UQ, т.е. UQ - точка ми-
нимума функционала Ф. ♦
§ 14. РАСШИРЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОГО
ОПЕРАТОРА
Пусть А - положительно определенный оператор с областью опре-
деления D(A) сП, Н - гильбертово пространство. Рассмотрим ог-
раниченную последовательность ип Е D(A) такую, что последова-
тельность Аип - У„ -> V е Н при П -> оо, тогда последовательность
Ли фундаментальна, т.е. А(ип~и1п) —> 0. А так как оператор А
положительно определенный, то получаем
к	-ww) > о,
"	п,т~^а>
53
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
I
т.е. последовательность Un фундаментальна в пространстве Н, из пол-
ноты которого следует, что существует элемент и & Н такой, что
—> w . Заметим, и в данном случае это важно, что элемент й может
не принадлежать области D(A) определения оператора А. Обозначим
через U множество всех элементов и 6 Н, построенных указанным
выше способом и таких, что й g IX А). Рассмотрим оператор А , за-
данный следующим образом:
'	__	[Ли, если и е D(A),
[ v, если и &U.
Определение 14.1. Оператор А называется расширением положи-
тельно определенного оператора А.
замечание 14.1. Из построения оператора А следует, что он замк-
нут, т.е. из соотношений ип eD(A'), ип и, Аип v следует,
что и е D(A), Au = v .
ЗАМЕЧАНИЕ 14.2. В области определения D(A} оператора А мож-
но ввести скалярное произведение по формуле
Нетрудно доказать, что аксиомы скалярного произведения здесь выпол-
няются. Кроме того, можно доказать [3]. что D(A ) можно пополнить
за счет элементов исходного пространства Н, и тогда это будет гиль-
бертово пространство с указанным скалярным произведением и нормой,
определяемой формулой
Ы1о(л) = (Ащи)н.
Будем считать, что такое пополнение произведено и Р(Л)- гиль-
бертово пространство.
Пример 14.1. Пусть Н ~ L2(a,b) . Оператор А определим фор-
»2
а и
мулой Аи — -—-р, а областью его определения будем считать мно-
dx
жество
D(A) = {и еС2 ([<?,/>]): м(а) = и(Ь~) - 0}.
54
I with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
По следствию 11,1 D(A) = Z2(<3f,6) . Кроме того, дважды интег-
рируя по частям и используя граничные условия, получаем
(Au,v) = -j^vdx = ~^uvxxdx = (и, Av),
т.е. оператор А симметричен. Прежде чем доказывать его положитель-
ную определенность, докажем теорему, которая нам понадобится и в
дальнейшем.
Теорема 14.1. [Неравенство Фридрихса.) Пусть Q ограни-
ченная область в Rm с границей Г и пусть функция U Е С1 (О) и та-
кова, что w|r —0, тогда справедливо неравенство
где С — постоянная, зависящая от Q.
Доказательство. Пусть П - замкнутый параллелепипед в Rт с реб-
рами, параллельными осям координат, такой, чтоО с: П (рис. 14).
Положим и(х) = О,
еслиЛ'еП\О, Таким обра-
зом, доопределенная функция
и остается непрерывной на
П, а ее производные хоть и,
вообще говоря, разрывны, но
конечны. Поэтому для нее
справедлива формула Ньюто-
на-Лейбница. Пусть точка
х е П , a Xq - ее проекция
на гиперплоскость xt = 0, тогда, в силу указанной формулы и так как
и(х0 ) = 0 > имеем
w(x)-w(x0) = и(х) = £' ux(t,x2,...,xm)dt.
Используя неравенство Коши—Буняковского, получаем
м2(х) < Г‘12^	-

55
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Это неравенство проинтегрируем по параллелепипеду П, учитывая, что
последний интеграл от х1 не зависит
Очевидно, что здесь С а, и можно брать любое ребро параллелепи-
педа П (например самое короткое). ♦
Вернемся к примеру 14.1 и докажем положительную определен-
ность рассмотренного в нем оператора. Интегрируя по частям, получаем
(Аи,и) = - —y'udx =	—- dx.
J dx	J \ dx/
a	a
Применяя теорему 14.1, приходим к неравенству
(Аи,и) > (b -a)~l £u2dx ~ у2||w|^ .
Здесь обозначено у 2 “ (Ь - а) ”*.
Таким образом, оператор Л - положительно определенный, и по-
этому он допускает расширение А , которое в данном примере строится
так: пусть последовательность ип g D( А) и такова, что
<72г/д	_
Аип =	-> v е Л (а,Ь).
dx~
Из положительной определенности оператора А следует, что в этом
случае существует функция и = limwn G Л, (а, Ь). Напомним, что
ft—>со
U может и не принадлежать D(A) . В этом случае считаем, что и
принадлежит области D(A) определения расширенного оператора Аи
по определению 14.1 Аи = у.	т
ЗАМЕЧАНИЕ 14.3, Можно доказать [16], что в примере 14.1 D(A ) -
множество абсолютно непрерывных функций, равных нулю в точках
du
а,Ь и имеющих обобщенную производную ~~ е Ь2 (д,6).
dx
56
§ 15. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫМ
ОПЕРАТОРОМ
Пусть Н- гильбертово пространство, А- положительно опреде-
ленный оператор в Н. Рассмотрим уравнение
Аи = f, f е.Н	(1)
и функционал
Фи = (Аи,и) -2(u,f).	(2)
Так как оператор А - положительно определенный, то его можно рас-
ширить до оператора А (см. § 14). Соответственно расширим и функ-
ционал Ф до Ф по формуле
Фи = (Au,u)-2(u,f}.	(3)
Очевидно, что области определения оператора А и функционала Ф
совпадают, т.е. D(A) ~ /)(Ф).
Теорема 15.1. Для функционала Ф задача о минимуме имеет
решение и притом единственное.
Доказательство. Скалярное произведение (u,f) является функ-
ционалом в Н. Докажем, что оно является ограниченным функциона-
лом bD(A) cz Н. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского и
положительной определенностью оператора А.
< 1ИГЫ12 <у-2||/||г(лц,«).
D(A ) - гильбертово пространство (см. замечание 14.2 ) со скалярным
произведением	= (Au,v)H и нормой	= (.Аи,и),
кроме того, существует постоянная С > 0 такая, что у — с» по-
скольку f & Н. Поэтому	й) ’ т*е' функционал (и, f)
ограничен в D(A).
По теореме Рисса [10] в гильбертовом пространстве всякий линей- .
ный ограниченный функционал представим в виде скалярного произве-
дения, т.е. существует единственный элемент и0 е£)(Л)такой, что
57
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
(Щ.Г) ~ (4 М,Ц:) ). Используя это равенство и линейность оператора
А , получаем
ФО) = (Аи,и) -2(Аи>и) + (Аий,и0) - (Аи0,и0) =
^(A(u~uq),u-u0)-(Au0,uq\
Так как А положительно определен, то из последнего равенства
следует, что минимум функционала Ф достигается при и = w0. ♦
Определение 15.1. Имея ввиду теорему 13.2 о связи уравнения (1) с
функционалом (2) и то, что, вообще говоря, н0 £ £)(Л) и, следова-
тельно, может и не являться решением уравнения (I), uQ называют
обобщенным решением уравнения (1).
ЗАМЕЧАНИЕ 15.1. Ясно, что если Uo С /3(Л), то оно будет обычным
решением уравнения (1).
Пример 15Л. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное урав-
нение второго порядка
сГи
f eL2(a,b).
ax
Поставим вопрос; существует ли у этого уравнения решение, удовлетво-
ряющее краевым условиям и(а) = и(Ь) = 0 ?
В данном случае
с/2
А ~ ~~7~1 >	£>(^) -	6 С2 ([£,&]) : и(а) - и(Ь) = 0).
Поставленная задача, вообще говоря, решения не имеет, так как ле-
вая часть непрерывна, а правая - может быть разрывной. Но в § 14 была
доказана положительная определенность оператора А. Поэтому из тео-
ремы 15.1 согласно определению 15.1 следует, что существует единст-
венное обобщенное решение этой задачи.
ЗАМЕЧАНИЕ 15.2, С физической точки зрения требование от функ-
ции f непрерывности не является естественным, так как ее можно ин-
терпретировать как силу, производящую перемещение и. Таким обра-
зом, понятие обобщенного решения позволяет более точно, чем в клас-
сическом случае, математически описывать физические закономерно-
сти.
58
§ 16. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
САМОСОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ
И ОДНОРОДНОГО ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ
Рассмотрим дифференциальное выражение
т	дги	ди	z v
Lu = а (х) -	+ а - (х) — + а(х)и,
J dx1dxJ	J dxj
гае a,J eC!(Q),	eC'(Q), a eC(Q).
Область Q C Rm , ее граница Г предполагается гладкой.
Это дифференциальное выражение можно переписать так:
ди
~~ + си,
Lu =
а,.
(1)
у
с- а.
где £> - а,
J .1 p,v-
Дифференпиальное выражение
д / \
аи _ —\Ь,и + сиь
Ми =
называется сопряженным к выражению (1).
Определение 16.1. Дифференциальное выражение (1) называется
формально самосопряженным, если Lu — Ми.
Будем рассматривать самосопряженное эллиптическое уравнение
+ с(х)и = /(х)
(2)
и граничное условие
«|г=0.	(3)
Пусть (х)—наименьшее собственное число матрицы {«у(х)}”’.
Из эллиптичности уравнения следует, что Xj (х) > 0 для V х е Q.
Определение 16.2. Говорят, что эллиптическое уравнение (1) в об-
ласти Q не вырождается, если существует постоянная L1 > 0 такая,
что для V х е Q выполняется неравенство (х) > Ц , и значит,
59
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
VijWtitj	•	(4)
Пусть в уравнении (2) atJ & С1 (£1), с g C(Q), с(х) > 0.
Рассмотрим оператор А: Z2 (Q) —> Z2 (£1), заданный формулой
д ( ди
Ям = со — + си,
ох Л	ох,)
1 4 J у
с областью определения D(A) — {и еС2(О):м|г - 0}. Предполо-
жим, что оператор А эллиптический и не вырождается.
В новых обозначениях задача Дирихле (2) - (3) запишется в виде
Лм = /(х).	(5)
Заметим, что граничное условие (3) учтено в /)(Я).
Теорема 16.1. При указанных выше условиях оператор А по-
ложительно'определен, т.е. удовлетворяет следующим условиям:
1)	замыкание /)(А) области определения А совпадаете Z3(Q);
2)	для V u,v eD(A) выполняется равенство (Au,v) =
3)	существует постоянная у2 > 0 такая, что для V и е Р(Л) вы-
полняется неравенство (Дм,и) > у2 ||w||2.
Доказательство. Равенство /)(А) = L, (О) вытекает из следст-
вия 11.1. Докажем утверждение 2), Интегрируя по частям, получаем
£1
JV
£1
а
- Т 2—dx+ \cuvdx-	—— усо5(п,хЛб/Г.	(6)
о Зх, 3хJ n / 1
Здесь интеграл по Г равен нулю в силу граничных условий. Аналогич-
ные вычисления дают
' г ди dv f	г dv
(и,Av)- a.7~— -—dx+ cvMffr- la,-.-—vcos(«,.rWT.
J J ox ox J	ox
fl иЛ1 иЛ1 Q	Г
Здесь также интеграл по Г равен нулю в силу граничных условий.
ourchase at waw fineprint com
Учитывая, что матрица симметрична (см. замечание 1.1), по-
лучаем (Ли,у) — (и, Av) = 0. Таким образом, пункт 2) доказан.
Докажем пункт 3) утверждения теоремы.
Полагая в равенстве (6) и = V, затем учитывая неравенство (4), ус-
ловие с > 0 и применяя неравенство Фридрихса, получаем
т.е. (Ли, и) > у2Ы|2,
где у 2 — р-С 1, С - постоянная из неравенства Фридрихса. ♦
Теорема 16.2. {Существования и единственности.) Задача Ди-
рихле (2) - (3) для невырождающегося эллиптического самосопряжен-
ного уравнения с однородным граничным условием имеет и притом
единственное обобщенное решение для любой f е L2 (Q).
Доказательство вытекает непосредственно из теорем 15.1, 16.1 и
определения 15.1 обобщенного решения. ♦
ЗАМЕЧАНИЕ 16.1. Можно доказать [3], что область определе-
ниярасширенного оператора А в данном случае состоит из
функций и(х) таких, что:
1)	wg Z2(Q);
6м
2)	существуют обобщенные производные-6 L2 (Q);
3)	wjr = 0, т.е, существует последовательность ип eD(A) такая,
—> 0 при п —> оо.
Последнее уточнение необходимо, так как для функции И G L2 (Q) ра-
венство ее на границе какому бы то ни было значению бессмысленно.
Действительно, функция и определена в Q с точностью до множества
меры нуль, а Г - (т — 1) -мерная поверхность в Rm и поэтому сама
имеет меру нуль.
Множество функций, удовлетворяющих пунктам 1) и 2), обозначим
61
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
символом № (Q), а если выполнен еще и пункт 3), то ~ Нх (Q).
ЗАМЕЧАНИЕ 16.2. Скалярное произведение в гильбертовом простран-
стве 1)(Л) в данном случае имеет вид (докажите)
(W’V) £>(Д)
§ 17. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
САМОСОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ
И НЕОДНОРОДНОГО ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ
Рассмотрим невырождающийся эллиптический самосопряженный
оператор А: L2 (О) —> L2 (Q) , Q с Rm , заданный формулой
где а у 6 С* (£2), ceC(Q), с(х) й 0. Пусть его область определе-
ния D(А) = {w е С1 (Q): м|г = <р(х)}.
Будем считать, что ф е С1 (£2).
Задача Дирихле для однородного уравнения с этим оператором
имеет вид
Лм = 0.	(1)
Рассмотрим функционал
с областью определения
Д(Ф) = (и е Я1 (£1): м|г = ф(х)},	-	(3)
которая не пуста, так как, например, ср е /9(Ф).
замечание 17.1 Функционал (2) является квадратом нормы функции
из пространстве D(A(}) . Здесь Ло~ расширение рассматриваемого
оператора А при (р = 0 (см. § 16). Таким образом, Ф(г/) = IML(j) •
Теорема 17,1. Задача о минимуме функционала (2) имеет един-
ственное решение.
62
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Доказательство. Рассмотрим функцию V — ф - и. Так как
v|r = 0 и согласно (3) у е Я1 (Q) , то v еЯ’ (Q) , а поэтому
V е £)( Ао). Используя равенство и ~ ф — V, получаем
Ф(м) = ф(ф - v) = ф(ф) + Ф(у) - 2ф(ф, у),
где
Ф(ф,у) = J
о
ckp dv
—--------НСфР
dxj дху-
Функционал Ф(ф, у) линеен по ф и по У.
Так как величина Ф(ф) постоянна, то рассматриваемую вариацион-
ную задачу можно упростить, перейдя к задаче о минимуме функциона-
ла
F(v) - Ф(У) - 2Ф(фЛ’)
в классе функций у е Я(Л0).
Заметим, что функционал (2) неотрицателен, так как матрица {гф } *
положительно определенная, а С > 0, Для такого функционала справед-
ливо неравенство Коши-Буняковского
[ф(ф,у)| < ^Ф(ф)7Ф(у)?
которое доказывается аналогично обычному неравенству Коши-
Буняковского , т.е. оно следует из неравенства Ф(/7 + Асу) > О
(докажите).
Пользуясь замечанием 17.1, можем написать неравенство
|ф(ф,у)|<7ф(ф)Мо(л)5
которое при учете того, что Ф(ф)~- постоянная, означает ограничен-
ность функционала Ф(ф,у) в пространстве Я(Л0).
По теореме Рисса в гильбертовом пространстве всякий линейный ог-
раниченный функционал представим в виде скалярного произведения,
т.е. в данном случае существует единственная функция Уо еЯ(Л0 )
такая, что Ф(ф, у) — (v0,v)	. Используя это равенство, получаем
Я(у^=Ф(у)-2(Ау0,у)^
= (Доу,у) -2(Д0У0,у) + (Д0У0,УО)-(70у0,у0) =
63
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
= (ЛО - vo),v - vo) - (4)vo ,v0).
Отсюда и из положительной определенности оператора Ло следует, что
минимум функционала F достигается на функции v0 и, следовательно,
минимум функционала Ф достигается на функции (р -v0 еДФ).*
Теорема 17.2. Задача Дирихле Au — f(x) для невырождаю-
щегося эллиптического самосопряженного уравнения с f е L2 (Q) и
неоднородного граничного условия с <р е Н1 (Q) имеет и притом
единственное обобщенное решение.
Доказательство. В теореме 16.2 доказано, что задача
- f(x), Wj | = О
имеет единственное обобщенное решение.
Задача
Аи2 = 0, w2|r = <р(х)
также имеет единственное обобщенное решение. Это следует непосред-
ственно из теорем 15.1, 17.1 и определения 15.1 обобщенного решения.
Отсюда получаем, что для задачи
Ла = /(х), г/|г=ф(х)	(4)
функция и — U] +• И2 - единственное обобщенное решение. ♦
ЗАМЕЧАНИЕ 17.2. Из доказательства теоремы 17.2 следует, что обоб-
щенное решение и задачи (4) принадлежит множеству
 Р(Ф) = {«еЯ’(О):и|г =q>(x)},
где краевое условие нужно понимать так же, как и в § 16, только здесь
другая область D(A) .
§18. ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО *
САМОСОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ
И ОДНОРОДНОГО ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ
Рассмотрим нсвырождающийся эллиптический самосопряженный
оператор 2V: Z2 (Q) —> L2 (f2) , cz Я т, заданный формулой
д |	ди
ox. I J дх t
/ X	J
+ си,
(1)
64
где, ay eCl(Q), c <eC(Q.\ с(х)>сй >0, c0 = const.
Пусть его область определения
D(N) = {и е C2(Q): а,.к, cos(n,x,) = 0}.	(2)
Здесь, как и прежде, граница Г области Q предполагается гладкой.
Теорема 18.1. При указанных выше условиях оператор N по-
ложительно определен, т.е. удовлетворяет следующим условиям:
1)	замыкание Z)(jV) области определения N совпадаете Z2 (Q) ;
2)	для V u,v G /Довыполняется равенство (7Vw,v) = (w,
3)	существует постоянная у2 > 0 такая, что для V и е D(A) вы-
полняется неравенство > у2 Щ|2.
Доказательство. Равенство JD(N) = Z2 (Q) вытекает из следст-
вия 11,1. Докажем утверждение 2). Интегрируя по частям, получаем
г	р д ( dw')
(Am,v) - \vNudx = |v	—I я,, т— +cudx =
J дх. I

(3)
о
г dv ди
 уу к. г ' «'Вл । и,>wu
_ 3 ij дх дх
й ил(	п	г '"Ч
Здесь интеграл по Г равен нулю в силу граничного условия. Аналогич-
ные вычисления дают
х хг ч г ди dv г , г dv
(и, Nv) = аи -------ах + cvuax - иац---------cos(n, х. )ш .
n Sxt дх, о	г dxJ
Здесь также интеграл по Г равен нулю в силу граничного условия.
Учитывая, что матрица {Ду}” симметрична (см. замечание 1.1), по-
лучаем (Nu.v) — (w, 2Vv) — 0.Таким образом, пункт 2) доказан.
Докажем пункт 3) утверждения теоремы.
Полагая в равенстве (3) и = V, затем учитывая то, что оператор N
не вырождается (см. определение 16.2) и условие С > Са >0, получаем
г	ди ди	г
(№,«)= Jo, Л + J
Q	J	Cl

65
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Теорема 18.2. Задача Неймана для невырождающегося эллип-
тического самосопряженного уравнения
д ди"'
ах, с"
= /(*)
(4)
с однородным граничным условием
5м z ।
С°й(/7,^)	=0	(5)
дх,	11
имеет и притом единственное обобщенное решение для V f е £2 (Q).
Доказательство. Учитывая определение (1) - (2) оператора N, задачу
Неймана (4) - (5) можно записать так:
Nu = f.	(6)
Поэтому доказываемое утверждение вытекает непосредственно из тео-
рем 15.1, 18.1 и определения 15.1 обобщенного решения. ♦
ЗАМЕЧАНИЕ 18.1. Рассмотрим случай, когда в уравнении (4) функция
с(х) = 0. Уравнение (6) в этой ситуации запишем в виде
= / 	(7)
Покажем, что это уравнение разрешимо не при всякой f е Z3 (Q).
Проинтегрируем по области Q равенство
Здесь предпоследнее равенство получено в результате интегрирования
по частям.
Из последней цепочки равенств видно, что необходимым условием
разрешимости уравнения (7) является равенство
ГЛАВА II. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 19. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим уравнение
ди д2и ди
— -	— + а < — + аи- f (x,t),	(1)
dt J дх^ J dx/	7
где и = ciy = ayixj}^ t e A1, x efi c Rm, положи- .
тельно определенная матрица во всякой точке (х,/) области Ох/?1,
область Q - ограниченная с гладкой границей Г.
Определение 19.1 Уравнение (1) при сделанных предположениях
называется уравнением теплопроводности в области Q .
Здесь в отличие от общего случая переменная, играющая роль вре-
мени, обозначена буквой t , тогда как пространственные переменные
обозначаются символом X = (Xj,...,Xm).
Определим тип уравнения (1). Для этого выпишем уравнение для оп-
ределения собственных чисел матрицы {а- } и воспользуемся извест-
ным свойством определителей
— Ди — X ...	~ £iw О
-а	'о =-фМГ-И = °-
О ... О -X
Отсюда, пользуясь положительной определенностью матрицы
получим тип (см. определение 2.1) уравнения (1) - (т, 0,1), т.е. парабо-
лический.
67
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Будем рассматривать следующий частный случай уравнения (1 )'
’ ди д, ди	,
dt dxt J dXj
(2)
где:
1)	коэффициенты atJ ~ atJ(,x), т.е. не зависят от t;
2)	ау eC'(Q);
3)	матрица {а;]	- положительно определенная для V х е £2.
Задача Коши для уравнения (2) ставится следующим образом.
Пусть Q = О х {/ > 0}. Найти функцию w(x.f), дважды непрерывно
дифференцируемую в области
Q (рис.1 5) по х и один раз - по
t, непрерывную в замыкании
Q , такую, что она является ре-
шением уравнения (2) и удовле-
творяет начальному условию
и(х,0) = ф(х),
где ф(х)~- известная функция,
заданная и непрерывная в замы-
кании £2. В постановке смешан-
ной задачи к начальному усло-
вию добавляется краевое одного
из следующих трех видов:
1)
2)
3)
=	" тепловое взаимодействие с окружающей средой;
-	интенсивность теплового потока через гранйцуГ
в
Здесь ф(х,/), /.СМ), ®(х,0- известные функции, заданные и
непрерывные на границе В цилиндра Q, причем их значения при
Г — 0 должны совпадать со значениями ф(х) на Г, п - нормаль к В.
§ 20. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности
Эи д ( Sw']
Введем следующие обозначения:
Qt=Qx(0,T),
См (QT) = {и(х, г): и е С (О), и е С’ (0, Т)}.
(I)
Теорема 20.1. {Принцип максиму- t — Т
ма.) Если функция
и G С21' (QT <jQ.T)cy C(QT)
и является решением уравнения (J), то она Вт
принимает наибольшее и наименьшее зна-
чения на множестве Q VJ Вг (рис. 16).
Доказательство. Пусть	t = 0
М = maxw(x,/).
Qr	Рис. 16
Число М существует, так как QT — огра-
ниченное замкнутое множество, а функция w непрерывна на нем. Пусть
ц, = тахп(х,/) . Существование ut обосновывается аналогично. Оче-
видно, что |Д < М. Докажем, что Ц --- М. Пусть это не так, т.е.
р. < М. Это означает, что максимум функции и достигается в некото-
рой точке (х0 До) 6 QT О О.т. Рассмотрим функцию
v(x,t) = ИаО + (27У1(Л/-ц)(/о - Г)-
Очевидно, что v(xQ До) — и(х0,/0) — М. Поэтому таху(хД) > М.
От
Если (х, 0 е Q Q Вт, то, в силу наших предположений,
v(x,0 < ц + (2Т)'(М - ц)Г = 0.5( -М + ц) < М.
Это означает, что максимум функции v(x,f) достигается в некоторой
точке (Xj,/)) ^QT uQr
Пусть (Xj е QT . Дифференцируя функцию v(x,t) , получаем
69
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
^(х^)
— ------= 0. ----т------ 0, ---—г----< 0.
дхк	dt	дхI
Здесь использовано то, что — точка максимума функции V .
Рассмотрим дифференциальное выражение
ди
Lu^=-^
dt
Применяя его к v(x, t) в точке (х}, ) и используя соотношения (2),
получим
(2)
ди
Zv(x1,/1) =
d2v	da(J dv
dt iJ дх.дх,.	дх, dx.
d2v
~ -cl,-----
} dx.dx
Ортогональным преобразованием приведем матрицу {ау}™ к диаго-
нальному виду в точке (х1, 7, ) (это возможно в силу симметричности
матрицы и законно в силу того, что соотношения (2) верны для всякой
системы координат). В результате приходим к неравенству
Л, d2v
Lv(x{,/\) —
@Хъ ,
К 1	*	< X. Г )
С другой стороны,
Lv = Lu + (2Т)(М- ц)Ц'о - 0 = -(2Т)'1 (Л/ - ц) < 0 (3)
для любой точки (х,/) е QT U . Полученное противоречие указы-
вает на то, что максимум функции V не может достигаться в QT.
Пусть теперь максимум V достигается в точке (х5	) G £1Т, тогда
~~дГ~s0’
После приведения {atJ к диагональному виду, получаем неравенство
. .	, dv A 62vl
А	L акк тт 0,
а *->
которое противоречит неравенству (3).
70
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Итак, максимум непрерывной функции V не может достигаться ни
на множестве Q kJ Вт, ни на множестве QT т е. на всем мно-
жестве Q , что невозможно. Это означает неверность предположения
р. < Л/,т.е. ц - ЛЛ Таким образом, для случая максимума теорема
доказана.
Для завершения доказательства осталось заметить, что если функция
и удовлетворяет условиям теоремы, то функция — и тоже удовлетворя-
ет им. При этом, там где функция и достигает максимума, функция — и
достигает минимума. ♦
§ 21. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Пусть О cz Rт - ограни-
ченная область (рис. 17), Г - ее
граница. Положим
Q = Qx {! >0},
В=Т х {t >0}.
В области Q рассмотрим урав-
нение
ди д ( ди^
---	---- — Т _
dt дх> iJ dXj)
Пусть для него поставлена сме-
шанная задача:
м|г=0 —	% s £2,
Теорема 21.1. Если су-
ществует решение и постав-
ленной смешанной задачи такое, что и е С2,1 (£>)п С(£?),то оно
единственно.
Доказательство. Пусть существуют два таких решения . Тог-
да, обозначая левую часть рассматриваемого уравнения через Аи , по-
лучаем
м1|й=ф;
71
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Au2=f, u2|,_0=q>, “Ji3'!'-
Вычитая из первой строчки вторую и вводя обозначение w — и{ - и2 ,
приходим к равенствам
Ли/ = 0, Ч=о= °,	= о.
Докажем, что w = 0 на всем множестве Q . Пусть это не так, т.е. су-
ществует точка (х,/) 6 Q такая, что w(x,/) > 0 (< 0) . Проведем се-
чение О.у цилиндра Q через точку (х.Г)при T>t параллельное об-
ласти Q (рис. 17) и обозначим
QT=Q*(0,T), Вт =Гх(0,Г).
Очевидно, что
и'еС’Д&иОДпССа-).
Следовательно, по принципу максимума функция и>(х) достигает мак-
симума (минимума) на Q или на Вг,но w(x,/)	= 0 и поэтому
' i 1 vJ
ПШХ W = 0 и DQinw = 0, что противоречит предположению сущест-
Qr	Qt
вования точки (x,f) е Q , в которой W 0. Таким образом, W = 0 ,
т.е. щ =и2. ♦
Рассмотрим уравнение
^-Aw = /(V).	(1)
dt
Поставим для этого уравнения задачу Коши:
Ч~о=фО)> XZ-R*-	(2)
Теорема 21.2. Если существует ограниченное решение и зада-
чи Коши(1)-(2)такое, что м еС2,1(Йй х Я1) , то Ц,- единственно.
Доказательство. Пусть существуют два решения этой задачи и
и2. Пусть w - щ - и2 .Тогда функция w € C2 i(Rm х J?1) , ограни-
ченная, т.е. существует такая постоянная М, что |и'(х,/)| < М, и яв-
dw	.
ляется решением задачи Коши —- - Aw = 0, wj 0 = 0.
at
Рассмотрим функцию
72
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
v(x,Z) = 2МтЯ’2((2даГ1Ы|2 + /),
где 7? > 0 произвольное число.
Эта функция удовлетворяет однородному уравнению теплопровод-
ности (проверьте). Рассмотрим область (рис.18)
Qr ={(x,f):M< R,t eR+}.
Следующие неравенства очевидны:
ИхД=0 = Я’2Л/Н2 го,
v(x,r)
Мт ( R2
R2 \2т
Сумма функций v + w и их раз-
ность V — И’ удовлетворяют одно-
родному уравнению теплопроводно-
сти. Кроме того,
(v + w)|/=0 =vU+w|/=0 >0,
Рис. 18

Таким образом, V + W > 0 на границе области QR . Проведем сечение
цилиндра Qr плоскостью параллельной основанию на высоте Т > 0
при произвольном Т. В полученном цилиндре QRr для функции
V + W справедлив принцип максимума, согласно которому минимум
этой функции достигается на нижнем основании или на боковой по-
верхности, а там функция неотрицательна. Отсюда следует, что функция
V + И' > 0 во всем цилиндре и в силу произвольности Т во всем
цилиндре Qr . Аналогично доказывается, что V — W > 0 в .
Из последних двух неравенств следует, что — V < W < V или
|w| < г,т.е. в области QR
|w| < 2R~2 |И + 0 
Зафиксируем точку (x,f) и пусть R —> со, тогда правая часть по-
следнего неравенства стремится к нулю, а левая - неизменна. Таким об-
разом, |w(x,/)| < 0, т е. w(x,/) = 0. А так как (х,/)- произвольная
точка, то w(x,/) = 0, т.е. = и2 . ♦
73
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
§ 22. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ
СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Пусть Q = Q х (0,+°о) С /Г'”. Рассмотрим следующую смешанную
задачу для уравнения теплопроводности:
д ( ди
~~~—
(1)
dt
Мв=О-	(2)
Пусть существует функция и & С2>1(0 П С(@), являющаяся ре-
шением задачи (I) - (2). Пусть А - не вырождающийся эллиптический
оператор, действующий следующим образом:
д ( ди
Ли -
a‘J $xj
и пусть его область определения
Пусть А ~ расширение этого оператора с областью определения
О( Д ) = Н* (Q). Умножая обе части уравнения (1) скалярно в метрике
L2 (Q) на произвольную функцию Г| е Н{ (Q), получаем
^,'п1+(Лй,п) = (/,п).
Заменяя в этом уравнении оператор А его расширением А , приходим
к уравнению
О)
Очевидно, что если U — решение задачи (1) - (2), то равенство (3)
выполняется для всякой функции r| е п (Q). Верно и обратное, т.е.
если и € С2’1 (£?) А С((2) и удовлетворяет уравнению (3), то и - ре-
шение задачи (1) - (2). Действительно, так как в этом случае выполняет-
74
ся равенство (Лм,Г|) - (Аи, Т|), то из уравнения (3) следует справед-
ливость равенства
Г ди	\	..
+ А и ~ f, г) j =0 для V Т| g Н (Q),
но множество Й1 (Q) плотно в (^)з и поэтому
ди
— + Au-f - 0.
dl J
Очевидно также, что уравнению (3) могут удовлетворять функции,
не дифференцируемые в обычном смысле.
Если зафиксировать t, то функция «(х,/), определенная на множе-
стве станет функцией, определенной на Q. Поэтому на функцию и
можно смотреть как на функцию скалярного аргумента t со значения-
ми, являющимися функциями от г. Имея это ввиду, рассмотрим сле-
дующие классы функций:
u(t) е С([0,+оо), £, (Q));	(4)
u(t) <= С1 ((0,+оо), L2 (Q)) ;	(5)
K0eC((05+oo)^W‘	(6)
Здесь включение (4), например, означает, что функция и(х,Г) непре-
рывна как функция t на промежутке [0,+оо) со значениями в (Q).
Определение 22.1. Функция u(t) называется обобщенным решением
смешанной задачи для уравнения теплопроводности, если:
1)	выполняются условия (4) - (6):
2)	и удовлетворяет уравнению (3) для V Т| е Й1 (Q);
3)	w(0) = ср в том смысле, что lim||z/(/) — ф|| — 0.
замечание 22.1. Существуют и другие обобщения классического
решения. Например, вместо обычной производной по t, как это имеет
место в нашем случае, рассматривают обобщенную производную и др.
Теорема 22.1. Обобщенное решение смешанной задачи для
уравнения теплопроводности имеет не более одного решения.
Доказательство. Пусть существуют два обобщенных решения
W] ,м2 задачи (1) (2) . Рассмотрим их разность w ~ Wj ~U2  Очевид-
но, что w удовлетворяет условиям (4) - (6) и w(0) = 0. Кроме того,
75
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
,n +(^w,T|) = O дпя7г|	(7)
\ ot /
Подставим W в равенство (7) вместо , что возможно, так как при вся-
ком фиксированном / значение W принадлежит множест-
ву Н' (Q). Преобразуя предварительно скалярное произведение
f 5w А (dw	1 d 1 d „ 2
2 7Г("’") = 1лМ 
получаем
-""М1 = “2(Лw, w) < 0.
dt
Здесь использована положительная определенность оператора А .
Из неотрицательности производной следует неравенство
||w(f)||2 < ||н°)||2
т.е. = 0, что означает, что U} (Z) = и2 (Z). ♦
§ 23. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.
РЕШЕНИЕ ДАЛАМБЕРА
Определение 23.1. Волновым уравнением называют уравнение вида
д2и д2и ди
^2 ~ ai) + aj~^T + aU = J
Ot J OXjCXj J OX J
где матрица {a^ симметричная, положительно определенная.
Матрица коэффициентов при вторых производных в этом уравнении
имеет одно собственное число, равное единице, а остальные собствен-
ные числа отрицательны. Поэтому волновое уравнение является уравне-
нием гиперболического типа.
Рассмотрим простейший частный случай этого уравнения - уравне-
ние свободных колебаний однородной струны (см. § 1)
д2и , д2и
A.i' ~~ а \ 'i •	(О
ot дх
Пусть струна неограничена. Положим
^-x-at, r]~x+at.	(2)
76
I
! Заметим, что X - at = Q, X + at = C2 - характеристики уравнения (1)
I	(см. определение 1.4). Произведя в уравнении (1) замену (2), приходим к
I	уравнению
или, переписав его в виде
получим
где	произвольная функция от Интегрируя полученное урав-
нение по с,, рассматривая Т] как параметр, найдем, что
ы = |го(^+02(г|),
где 02 - произвольная функция от Г]. Полагая теперь
получим
©^0 + 6*2 (И).
Возвращаясь к исходным переменным будем иметь
u(x,t) = 0/х - at) + ®2(х + at).	(3)
Непосредственной подстановкой в уравнение (1) проверяется, что
если ©[,€),- произвольные дважды непрерывно дифференцируемые
функции, то функция и. определяемая равенством (3), есть решение
уравнения (1). Оно называется решением Дапамбера. Явление, описы-
ваемое функцией Щ — 0j (х — at), называется распространением пря-
мой волны, а функцией W2 =	— распространением обрат-
ной волны. Вдоль первой характеристики 0: сохраняет постоянное зна-
чение. Вдоль второй - 02 сохраняет постоянное значение. Таким обра-
зом, можно сказать, что возмущения распространяются по характери-
стикам (подробнее об этом можно прочесть в [ 1]).
77
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Поставим задачу Коши: найти решение уравнения (1), удовлетво-
ряющее начальным условиям
.	ди	ч
Я^Ф0О),	=<Pi(*)-	(0 
Чтобы ее решить, нужно функции 01(х) и ®2(х) выбрать так, чтобы
решение (3) удовлетворяло начальным условиям (4), т.е. должны выпол-
няться равенства
Фо(х) = ®, (х) + ®2(х), <Pj(х) = -д[®; (х) - ©; (х)]>
отсюда, интегрируя второе равенство, получим
I V
0, (х) + О2 (х) - ф0(х), 0, (х) - 02 (х) = — jф,	+ С,
а 0
где С - произвольная постоянная.
Из последних двух равенств находим
20! (х) = ф0 (х) -	£ф j (y)dy + С,
2®2(х) = ф0(х) + СГ1 |(p[(y)pfy
Подставляя эти функции ®, ®2 в равенство (3), получим
ф0(х-«0 + <р0(х + О 1 *7
w(x,/) =---------------------~]Ф1СуМ\ (5)
x-at
Формула (5) дает решение задачи Коши (1), (4), если функция
ф0(х) имеет непрерывные производные до второго порядка включи-
тельно, а Ф1 (х) - до первого. Единственность этого решения следует из
способа вывода формулы (5). Из этой же формулы с очевидностью сле-
дует непрерывная зависимость решения от начальных данных.
§ 24. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ
ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из
наиболее распространенных методов решения уравнений с частными
производными.
Пример 24Л. Изложим этот метод на примере задачи о колебаниях
однородной струны, закрепленной на концах (см. § 1,§ 2).
Итак, нужно решить смешанную задачу
78
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
(1)
(2)
(3)
(4)
д2и 2 д2и
-~у - а
dt дх
н(0Д) =	= о,
<Ых,0)	. .
м(х,0) = ср(х), ——— = у(4
Ol
Будем искать ненулевые решения уравнения (1), удовлетворяющие
условиям (2) в виде произведения
u(x,t) - X(x)T(t),
подставляя которое в уравнение (1), получаем
X(x)T"(t) = а2Х"(х)Г(Г)
или
(5)
T'Jt) Хп(х)
a2T(t) ' Х(х) ‘
Последнее равенство, левая часть которого зависит только от t, а правая
- только от х, возможно лишь в том случае, если обе части его не зави-
сят ни от t, ни от х, т.е, представляют собой одну и ту же постоянную.
Обозначим эту постоянную через - X. Тогда из равенства (5) получим
два обыкновенных дифференциальных уравнения
T"(O + «2W) = 0?	(6)
Х"(х) + ХХ(х) = 0.	(7)
При этом нужно, чтобы ненулевые решения уравнения (7) удовлетворя-
ли граничным условиям
Х(0) = Х(1) = 0.	(8)
Таким образом, приходим к задаче нахождения собственных чисел
X задачи (7) - (8), т.е. тех, при которых существуют ненулевые решения
этой задачи, и соответствующих им собственных функций. Здесь нужно
рассмотреть три случая: X < О, X — 0, X > 0.
При X < 0 общее решение уравнения (7) имеет вид
X(x) = Ce^x+De^x.
Легко проверить, что в этом случае граничные условия (8) удовлетво-
ряются только при С — D = 0, т.е. Х(х) 0.
При X = О общее решение уравнения (7) имеет вид
JV(x) = C + Dx.
79
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Здесь также условиям (8) удовлетворяет только X(х) = 0 (проверьте).
При Л> О общее решение уравнения (7) имеет вид
Х(х) - CcosVXx + Z>sin7Xx.
Удовлетворяя условиям (8), получим
С1 + 2)-0=0, CcosVxZt DsinVv = 0.
Отсюда получаем С — 0, Dsin т/X/ = 0. Из условия Х(х) * 0 тож-
дественно получаем равенство sin VXZ = 0.
Следовательно, ненулевые решения задачи (7) -- (8) возможны лишь
при значениях	& =...—2,— 1,1,2,... Этим так назы-
ваемым собственным числам соответствуют собственные функции
, fave
ХДх) = зш—,
определяемые с точностью до постоянного множителя, который здесь
положен равным единице.
Заметим, что положительные и отрицательные значения к, равные
по абсолютной величине, дают собственные функции, отличающиеся
лишь постоянным множителем. Поэтому достаточно для к брать толь- '
ко целые положительные значения.
При % ~ Хк общее решение уравнения (6) имеет вид
z	fatat , fatal
Тк(0 = Ак cos-y- + Вк sin-y~,
где к = 1,2,.,., Ак, Вк- произвольные постоянные.
Таким образом, функции
fatal faiat\ hoc
cos—+ В. sin—— sin—
Z k I J I
удовлетворяют уравнению (1) и краевым условиям (2).
В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая конечная
сумма решений будет также решением. Тоже справедливо и для ряда
Af fatal , fatal} . fatx
ЩХ,1) =	CoS—j— + ”к sin—j~"J Sin—(9)
если он сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по
х и I . При этом w(x,f) будет удовлетворять краевым условиям (2).
80
uk(x,f) = XA(x)TA(Z) =4 А
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Выберем постоянные Ak и Вк так , чтобы w(x,f) удовлетворяла
начальным условиям (3), т.е.
,	. кях z .
w(x,O) = > , Ак sm—~~ ~ ф(х),
Л=1	*
ди ,	4-у кпа п . кях . .
¥(х,°) = £—Btsin—= vw.
Но эти равенства представляют собой разложение заданных функций
ф(х) и ф(х) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,/) . Поэтому
.	2 f	ta	2 f	ta
=-1ф(х)ып—-dx, Bk =-—lw(x)sin—-~ax.	(10)
i °	l	кяа -	l
Теперь обоснуем формально проведенные выше выкладки.
Т е о р е м а 24.1. Пусть выполняются следующие условия:
1) ф G С2 ([0, /]), существует кусочно-непрерывная фна [0,/] и
ф(0) = ф(7) = ф”(0) = ф"(7) = 0;	(11)
2) ф е С1 ([0, /]), существует кусочно-непрерывная ф"на [0,/] и
у(0) = ф(2) = 0.	(12)
Тогда функция г/(х,/), определяемая рядом (9), в котором коэффи-
циенты Ак и Вк определяются формулами (10), дважды непрерывно
дифференцируема при х е[0,/] и любом t и является решением зада-
чи (1)-(3).
Доказательство. Из предыдущих построений следует, что для дока-
зательства теоремы достаточно доказать сходимость ряда (9) и возмож-
ность двукратного его почленного дифференцирования по х и I .
Интегрируя по частям правые части равенств (10) и принимая во
внимание условия (11) и (12), получаем
Ш34Р
к W к3 ’ к Ы к3
(13)
где
2 $	ктс	2
ЛР = — J(p'''(x)cos-^-r&,	= у j—~—sm-y—обе.
Из теории тригонометрических рядов известно, что ряды
(14)
сходятся.
Подставляя выражения (13) в ряд (9), приходим к ряду
f 1 Г Атп# . kftat'} kwc
u(x,t) - - - Хт? 4 cos—-+ В{к J sin--- sin—
\7V i=i к \	/	I J I
который мажорируется сходящимся числовым рядом
f 1\3	1 /	ч
ХрИ+И)
jk=1 К,
Поэтому ряд (9) сходится абсолютно и равномерно при X е[0,/] и лю-
бом Еа из сходимости рядов (14) следует, что ряд (9) можно дважды
почленно дифференцировать по X и t. ♦
ЗАМЕЧАНИЕ 24.1. Фактически метод Фурье приводит к тому, что ре-
шение задачи ищется в виде ряда по собственным функциям соответст-
вующего эллиптического оператора. Например, в рассмотренной нами
задаче о колебаниях струны это - оператор А двукратного дифференци-
рования по X с областью определения
D(Л) = {X еС2([О,/]): Х(0) - Х(Г) = 0}.
замечание 24.2. Метод Фурье применим также для уравнений эл-
липтического и параболического типов.
г
Пример 24,2. Распространение тепла в тонком однородном
стержне, на концах которого поддерживаются нулевая температура
Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности
ди , д2и
~~~а —г
dt Sr2
при граничных условиях
w(V)|x=0 = °> M<X0L/ = 0
и начальном условии
=<pu),
где функция ф(х) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную произ-
водную и обращается в нуль при X = 0 и х " I.
(15)
(16)
(17)
82
Применяя метод Фурье и учитывая, что эллиптический оператор, со-
ответствующий данной задаче, точно такой же, как и в примере 24.1, до-
словно повторяем все рассуждения этого примера с той лишь разницей,
что вместо уравнения (6) здесь получаем
решение которого при найденном выше Хк — (кп1 ! )2 имеет вид
Th(t) = Ак ехр[-(ЬшГ1)2/],
где А,. - произвольные постоянные. Итак, все функции
uk(x,t) = Xk(x)Tk(f) = Ak ехр[-(кпаГ])2 sin(knxri')
удовлетворяют уравнению (15) и граничным условиям (16) при любых
постоянных Ак.
Составим ряд
«	ктТХ
w(x,/) = 2^ Ake sm—.	(18)
t=i	*
Выберем постоянные Ak так, чтобы м(х,/) удовлетворяла началь-
ному условию (17), т.е.
м(х,0) - X A sin— = ср(х),	(19)
fc=i	*
Но это равенство представляет собой разложение заданной функции
ф(х) в ряд Фурье по синусам в интервале (ОД) . Поэтому
(20)
В силу условий, наложенных выше на функцию <р(х) , ряд (19) с коэф-
фициентами Ак, определяемыми по формуле (20), равномерно и абсо-
лютно сходится к функции Ср(х) [11].
Так как при 7^0
О < ехр[~(Атса/“1 )2 f] < 1,
то ряд (19) при Г > 0 также сходится абсолютно и равномерно. Поэто-
му функция u(x,t), определяемая этим рядом, непрерывна в области
0 < X < I, t >0 и удовлетворяет начальному и граничным условиям.
Остается показать, что функция u(x,f) удовлетворяет уравнению (15) в
83
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
области 0 < х < /, t > 0  Для этого достаточно показать, что ряды,
полученные из ряда (19) почленным дифференцированием по t один раз
и почленным дифференцированием по Д' два раза, также абсолютно и
равномерно сходятся в области 0 < х <1, 7 > 0. А это последнее ут-
верждение следует из того, что при любом t > О
О <; (to/-1)2 ехр[-(to/-1 )2/] <1,
О < (Ы/-1)2 ехр[-(кпаГ1 )2/] < 1,
если к достаточно велико.
Таким же образом доказывается существование у функции м(х,?),
которую мы теперь вправе называть решением задачи (15) - (17), непре-
рывных производных любого порядка по х и t при 0 < х < /, t > О,
ЗАМЕЧАНИЕ 24.3. Для некоторых гиперболических уравнений метод
Фурье применим и в случае многих пространственных переменных.
Пример 24.3. Свободные колебания прямоугольной мембраны
Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны
со сторонами р и q , закрепленной по контуру.
Эта задача сводится [1] к решению волнового уравнения
d2z< , n 2 -« C?C	Гд2и уйх2	d2^ dy J		(21)
при граничных условиях ^Lo = o	, w| и	x*p Д „,=0		(22)
и начальных условиях				
— У("^5 у)?	du dt	= e(x,y) /=0		(23)
Имея ввиду метод Фурье, ищем частные решения этой задачи в виде
= Г(0у(х,>).	(24)
Подставив произведение (24) в уравнение (21), получим
T"(t) _ v„ +%.
a2T(t) v '
Как и прежде, замечаем, что это равенство может иметь место только
в том случае, когда обе части равны одной и той же постоянной.
84
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Обозначим эту постоянную через — А? и, принимая во внимание
граничные условия (22), найдем, что
Г'(0 + (аХ)2 T(t) = 0	(25)
И
V +V +Х2У = 0,	(26)
хх уу
<<>=о, <Р=0’
<0=0, С,=0.	(27)
К граничной задаче (26) - - (27) снова применяем метод Фурье, полагая
v(x,y) = Х(х)У(у).	(28)
Подставляя произведение (28) в уравнение (26), получим
ГСО	Х(х) ’
отсюда, если обозначить общее постоянное значение обеих частей этого
равенства через X2, следует
Jf"(x) + Х2Т(х) = 0, Г'О) + к22У(у) = 0,	(29)
где
__ л 2 л 2
Д' 2 A Л -j«
Общие решения уравнений (29) имеют следующий вид:
Х(х) = С} cosAjX + С2 sinXjX,
УО) = С3 cosX2> + С4 sinX2y.
Из граничных условий (27) получаем
Х(0) = О, Х(р) = о,
У(0) = 0, Г(д) = 0,	(31)
отсюда ясно, что = С3 = 0, и если положим С2 = С4 = 1, го ока-
жется
Х(х) = sinA^x, Y(y) - sinA2/,	(32)
причем должно быть
sinA^/2-0, sin%2*7 = 0.	(33)
Отсюда вытекает, что Л, и У удовлетворяют равенствам
пт	гтк
7 Х2« =—' (т,п = 1,2,...).
р	q
85
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Поэтому из равенства (см. формулы (29)) Х2^ =	+ X2 „, получаем
1	-.2	,2 г(т2 ”2^
4=^+4 = ’' 7+7.	О'»)
X Р Ц /
Таким образом, собственным числам (34) соответствуют собствен-
ные функции
тих . итгу
= sm-----sm-----	(35)
р q
граничной задачи (26) - (27).
Возвращаясь к уравнению (25), видим, что для каждого собственного
числа %2 его общее решение имеет вид
Д„(0 = Атп cosak„t + В„	(36)
Поэтому в силу соотношений (24), (35) и (36) частные решения
уравнения (21), удовлетворяющие граничным условиям (22), имеют вид
z \ z л	х . ттех . гглу
ит(х,У,') = (Ат cosak„t + Bm smaX„?)sin-------sin----.
Р я
Чтобы удовлетворить начальным условиям (23), составим ряд
оз сО
(37)
n=l
Если этот ряд равномерно сходится так же, как и ряды, полученные из
него двукратным почленным дифференцированием по х,уи t , то его
сумма будет, очевидно, удовлетворять уравнению (21) и граничным ус-
ловиям (22). Для выполнения начальных условий (23) необходимо, что-
бы заданные функции /(х>у) и F(x, у) разлагались в двойные ряды
Фурье по синусам:
। z-z ч	1	 wrar . гту
«ко = f(x,y) = ЛХ 4™ —sm—,
ffl=l ЛТ=1	P	Я
du „, x хг хг	. п^У
~	= F(x,y) = LLakmnBmn sm—sin-
<#Uo	Ж.1ЛЧ	P Я
Отсюда получим
4	4 PH y-z х • тпх  W J J
Лл = — I sm--------------sm---------axdy, (38)
ря Ц p я
86
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
n 4	mnx . wcy i
'----— LF(x,y)sin----sin---dxdy. (39)
aP^li	P <?
Итак, при выполнении всех упомянутых в этом примере условий, ис-
пользуя равенства (37) - (39), решение задачи (21) ~ (23) можно запи-
сать в виде
г хх Х^Х^.	. тКХ .	.
= 2^2^Стп sm----sm----+ <pmJ, (40)
m=l n=l	P Q
где
Ф™ = arctg(AmnB^).
Из равенства (40) видно, что колебание мембраны слагается из соб-
ственных гармонических колебаний Wmn с частотами
\т2
= and—г + ~т
® тп
и периодами колебаний
mn
2,22
+ « р
ЗАМЕЧАНИЕ 24.4. Мембрана отличается от струны тем, что для по-
следней каждой частоте собственных колебаний соответствует своя
форма струны (см. пример 24.1), которая разделяется узлами на не-
сколько равных частей. Для мембраны же может оказаться, что одной и
той же частоте соответствует несколько фигур мембраны с различными
положениями узловых линий, вдоль которых амплитуды собственных
гармонических колебаний равны нулю. Покажем это на примере квад-
ратной мембраны.
Пусть р = q — ТС и, следовательно, © тп = nVТП2 +П2 . В этом
случае сои =
ии = Qi sin(©nz+(рц)зтхзт^.
Отсюда видно, что для частоты СЭ11 основного тона узловые линии сов-
падают со сторонами квадрата, образуемого мембраной. В то же время
обертоны
w12 Ci2 sin((o]2/ + tp12)sinxsin2y,
w2i — Qi sin(co2)/+ (p2! )sm2xsmj2
87
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
имеют одну и ту же частоту О = С012 = £02) = «л/5? Для этой частоты
узловые линии определяются из уравнения
с sin х sin 2у + d sin 2х sin у = О,
с ~ 0 flf-0 c = d c^~d
Рис. 19
ИЛИ
ccosy + d cosx = 0.
Простейшие из них изо-
бражены на рис. 19 штри-
ховыми линиями.
§ 25. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
СТРУНЫ
Метод Фурье, продемонстрированный в § 24, не применим к нели-
нейным уравнениям, так как в этом случае не происходит разделения
переменных. При этом исследование уравнения, естественно, усложня-
ется, и каждая конкретная нелинейность требует индивидуального изу-
чения, начиная с вопроса существования решения рассматриваемой за-
дачи.
Пример 25.1 Рассмотрим задачу о колебаниях натянутой струны
Рис. 20
длины I с закрепленными кон-
цами, находящуюся в магнит-
ном поле постоянного магнита
[17]. Не вдаваясь в технические
подробности, отметим, что
цель данной конструкции со-
стоит в создании незатухаю-
щих колебаний струны за счет
силы Лоренца, возникающей
при движении проводника с
чоком в магнитном поле. Дви-
жение струны в данной ситуа-
ции при учете изменения ее натяжения за счет прогиба может быть опи-
сано краевой задачей [12]
со следующими граничными
88
w(O3Z) - м(/,0 = О
(2)
ц(х,0) — И0(х),
от
и начальными условиями
^w/x).	(3)
(х,0)
Здесь и(х,1)~ отклонение струны от положения равновесия, г > 0-
козффициент сопротивления движению струны, Т предварительное
натяжение струны, В{х) = Р sin(nx/ 1) - индукция магнитного поля, в
которое помещена струна, (3 - постоянная,
Полагая
<	falX
w = 2-l^Wsm—-	(4)
*=i	1 
и произведя формально вычисления, перейдем от задачи (1) - (3) к сле-
дующей задаче Коши для бесконечной системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений:
( I «	I
g, +р+у2«	-2^, -РУ
f I
?Л2%-|5'у1ьй1;-.&=°: 4 = 2,3,...,
z /л=1	2
(x)smX.A.Xi&,
2	2 z
Яа(0) = 7 R0(x)sinXfcxzix, gA(O) = -J^
1 о	i о
кк ~	, к - 1,2,..,
Здесь и далее точка над знаком функции означает дифференцирование.
Считая колебания струны малыми, произведем в этой системе за-
мену
gk = yfah ’
где Ц > 0 - малый параметр. В результате этой операции получаем
89
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
’И	=у₽2М, -2гй, -
V	2 „_,	7	2	<2
hk +2rhk + Т + ц-JXX \X2khk = 0, к = 2,3,...,
т-1	7
т-1
МО)-Ц^(О), /!/O) = n-,,' g1(O), к = 1,2,...
При технической реализации описанного прибора величину
05Z[32 к,, -2г стремятся сделать возможно меньшей, но положитель-
ной для того, чтобы, с одной стороны, компенсировать сопротивление
движению струны, а с другой, — чтобы колебания не росли неограничен-
но. В силу этого можем считать указанную величину пропорциональной
параметру Ц.
Для простоты записи введем обозначения
цС, = 0.5/р2 к, - 2г, С, = ₽(0Л/(ЗА,)’.
В результате получаем следующую задачу Коши для счетной систе-
мы обыкновенных дифференциальных уравнений:
f	I 93	3
ед=ц(с,й,-с2й|з),	(5)
X	2 т-1	/
I °°
4+2^а+ Т + 11-^^hl А2Д =0, £ = 2,3,... , (6)
<	2 И=1	7
М0) = н-п’5^(0),	(7)
Выясним вопрос о существовании решения задачи (5) - (7).
Т е о ре м а 25.1. Пусть ряды ^/r-i(0) и ^Zfr. (0)
сходятся, тогда существуют такие постоянные К, р 0 >0, что для вся-
кого р. G[0,|1 а] на промежутке 0<f < А.|Д 1 существует решение
задачи Коши (5) - (7).
Доказательство. Наряду с системой (5), (6) рассмотрим укорочен-
ную систему
И / ”
^л>+ г+ц-ЕхХ’2
К	т=1
90
Х2,*;"’ = ^(с.й'"’ - С,Л,'"1’ ),	(8)
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
( i 00
й<”>Ч-2гй<” + Т + ц-^ХХ’2 ^*<"'=0,	(9)
где п = 1,2,..., к = 2,...,п.
Умножим уравнения (8), (9) соответственно на к} \ hk и, учиты- .
г/ 1 d /2	/,	1 d ,2
вая, что hh —--h , hh — ~— h , просуммируем полученные ра-
2 dt	2 dt
венства. В результате получим уравнение
J я	(	J п	Л /7 п
+ г+,уЕ>4е2 41Ж)! =
dt	к	2 Ы1	2 dt ,
М\	п
СЛ(”)2 - СЛ(',)‘') - 2г£ Л'"’2,
7 fc=2
которое можно переписать в виде
J	п	* п	j	( п	\	2
Ш	Jc=l	*=|	Z	/
)п
“2гЕ^"’ •
к=2
Отбрасывая в правой части отрицательные члены, приходим к неравен-
ству
< 2цС^2,
интегрируя которое при учете начальных данных (7) и условий теоремы,
получаем
в	и	1 f п	\2
£л<")2 + т±W'2 + и- ЁW,"'2 <
М	Ы t 2V‘=’	7	(10)
<С0 +2иСДй<”>2(т)Л,
о
где Со =Ё^(О) + ГЁ?4Л7«НР^Ё>.>ДО)] .
Л=1	к=1	Z	7
91
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Отсюда следует неравенство
t
й'"’2(/)<С0+2цсДй1<"’2(г)Л;
О
позволяющее с помощью леммы Гронуолла [8] получить априорную
оценку для функции
.	й‘”’2(Г)<С<,г2С,м' = С0е2С|Г =С,	(11)
справедливую для любого натурального п, любых А’ > 0, ц > 0 и t
из отрезка [0, АуГ”1 ]. Здесь обозначение С введено для краткости за-
писей. И в дальнейшем по этой же причине все постоянные, не завися-
щие от п, будем обозначать этим же символом. При необходимости
каждая из этих постоянных может быть выражена через исходные дан-
ные рассматриваемой задачи.
Из неравенства (10) с помощью оценки (11) получаем также оценки
Л
(12)
я
^Х2Л‘")2(/)<С.	(13)
fc=l
Эти оценки справедливы при тех же условиях, что и оценка (11).
Оценка (13) означает, что последовательность функций
п
(0 = 5»<">2 ю
1	Jt=3
равномерно ограничена на указанном промежутке времени. Докажем,
что она равностепенно непрерывна на этом промежутке. Для этого дос-
таточно доказать, что там же величина (/)| ограничена сверху не-
которой постоянной, не зависящей от п и от t.
Используя неравенство Коши-Буняковского и оценку (13), получаем
|Sw(0| =4^Цлй'”’ЛГ
н	п	п
<4^х1йГ)2ХЦ,л<")2 <с^^2.	(14)
Ь=1	*=1
92
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Для того чтобы оценить правую часть этого неравенства, умножим
уравнение с номером к системы (8) - (9) на ^^к > к ~ и
сложим полученные равенства. В результате придем к уравнению
= 2ц(с,Л.2Д(”)2 - СД’й*”*4)- 2r^	.
V	7 Jt=2
Отбрасывая в правой части отрицательные члены, приходим к неравен-
ству
Л П	f п	J п
ai	Ш к=1

которое преобразуем к следующему виду:
п	1 я ( п А п
+и-- 2>Х">! 2>Х’ • os)
Л=1	J л=]
Здесь в первом слагаемом правой части неравенства добавлено п — 1
неотрицательное слагаемое и использовано равенство
п	г/ "	Л ( п	п	А
=~г	-
А । i * К	Ij. J К К	Tf * К К Г i л К
J f п	\ п
-4(z^>r)2lx^^)2-
ш	/ Л-1
Интегрируя неравенство (15), получаем неравенство
(16)
93
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
	Для дальнейшего преобразования неравенства (16) воспользуемся тем.
В	что
I	г/ "	2 I и	2
I	=4ixw s
I	«* jt=i	l*=i
I	л	п	п--
I	*=1	АН	А=1
I	В результате получаем
I	п	ГС
|	ЁМ/>Г2+Ё^Г'2<
I	А=1	.1-1
I	Ч '»	И	\2
I	<с+цс/	<л.	о7)
I	0 4=1	А=1	'
I	При получении неравенства (17) использовались очевидные неравенства
| 2а < 1 + а1 и а2 + Ъ2 < (а + Ь)2 для всяких а,Ь > 0.
|	Применяя лемму Бихари [8] , все условия которой в данном случае
I	выполнены, получаем оценку
I	и	п
Х*Ж+1>Х)2 <с(1-сцо’’.	о»)
I	A=l	А=1
Г	из которой следует естественный вывод о том, что чем меньше Ц , тем
больше промежуток времени, на котором все наши предыдущие дейст-
вия справедливы, так как при всяком t найдется р,, такое, что для вся-
।	кого Ц е [О,|До] выполняется неравенство
1 - Ср/ > о.
Это неравенство накладывает ограничение на К - рГ.
Возвращаясь к неравенству (14), получаем
!	|sw(f)|2 <c(i -ск)_|.
Итак, доказана равностепенная непрерывность последовательности
I	’	w
к-=1
на промежутке 0 < t < Л414 , где на К и ц накладываются указанные
выше условия. По теореме Арцела [10] существует подпоследователь-
il	94
li
I
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
ность ^(Z) этой последовательности, сходящаяся равномерно на
О < f S Ац 1 к некоторой непрерывной функции S(f). Далее, так как
последовательность hkn,,\f) также равномерно ограничена и равносте-
пенно непрерывна при любом к (считаем, что hk ^(Z) тождественно
равна нулю при к > пр ) на том же промежутке, то из нее можно выде-
лить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой не-
прерывной на 0 < t 5- Ац 1 функции hk (/). Будем обозначать эту
подпоследовательность так же, как и исходную (Z). Совокупность
функций hk(t), к = 1,2,... является решением задачи (5) - (7), так
оэ
как ряд	сходится и частичные суммы (Y) сходятся
при р —> оо к сумме этого ряда равномерно на отрезке [0,	!], по-
этому в данной ситуации возможен предельный переход в укороченной
системе (8) — (9). ♦
замечание 25.1. Априорные оценки различного вида используются
для доказательства существования так называемых слабых и сильных
решений как для линейных, так и для некоторых классов нелинейных
дифференциальных уравнений с частными производными. Несмотря на
важность такого подхода, мы не имеем возможности остановиться на
нем в данном пособии. Существование слабого решения для уравнения
аналогичного уравнению (1) показано в [13].
замечание 25.2. Наличие в системе (5) - (6) малого параметра f.1 и
оценки, полученные в теореме 25.1, позволяют для ее исследования
применить метод усреднения [15]. Покажем, как это делается.
Для удобства дальнейших выкладок систему (5) - (6) с помощью за-
мены
й](Г) = x}(t) cos\|/(r), А, (0 = —со jx/r) sin \|/(r),	(19)
где = cd + х2 (Z) , приведем к следующему виду:
Q0
х = цХ(х,
т~ 2	(20)
hk + 2rhk + (f)2khk =	к = 2,3,...
95
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Здесь й)2=П2ь £ = 1,2,... х = (*1Л)\ Х = (ЛГ15Х2)*,
знак * означает транспонирование,
Х{ =-®’1r(x,^,/)sin\|/(Z)7 Х2 = “®“1У(х,/г,/)х1"1 cosq/CO,
□О
Y(x,h,t) = С&~C2h,
т-1
<0
. ндл) = -оза2л1>гЛ
причем в выражениях для У и Нк должна быть сделана замена (19).
Наряду с системой (20) рассмотрим систему
X = (l¥(x).	(21)
Здесь
J 7	00
Х(х) = lim-	(22)
1 0	т=2
где h®-решение системы (20) при ц = 0 и начальных данных (7), т.е.
	^(0 = “„e’<p(-rt)sin(a>„r + 8„)>
и числа ай, 0w определяются по начальным данным (7), а интегриро-
вание производится только по явно входящему аргументу t .
Теорема 25.2. Пусть выполнены условия теоремы 25.1, и пусть,
кроме того:
1)	функция X(x,h,t) определена и непрерывна в области
{(x,h,f) е D х D} х 7?+ : D с R1, D} а: Rl},
ограничена в ней постоянной М и удовлетворяет условию Липшица по
X и h с постоянной Z;
СО
2)	функция XQ(x,t) = X^x.^X^h^2 (/),0 удовлетворяет усло-
т=1
вию Липшица по х с постоянной L в области {(х,/) е D х 7?+} ;
3)	для всех X 6 D существует среднее значение Х(х) функции
Хо вычисляемое по формуле (22);
4)	решение системы (21) с начальными данными, порождаемыми
96
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
условиями (7), определено для t > 0 и лежит в области D вместе.со
своей р-окрестностью;
5)	на каждом конечном отрезке ,t2 ] выполняется неравенство
1 X(x(t))dt <M(t2-Q.
Тогда для любого £ > 0 можно указать такие постоянные |Д0 > 0 и
К > 0, что при всяком Ц G [О, Ц 0 ] на отрезке 0 < t Лр. 1 выпол-
няется неравенство
||х(О-х(О||<£5
где х(?),йот(^),т = 2,3,...- решение системы (20) с начальными дан-
ными, порождаемыми (7), x(f)~ решение системы (21) с теми же на-
чальными данными, что и x(f) , |]-j] означает норму в R2.
Доказательство приведено в [12] и использует доказательство пер-
вой основной теоремы Боголюбова, полученное Филатовым [15].
замечание 25.1. В рассматриваемом случае усредненная система
(21) имеет вид
j. - 0.5ц(сх, -0.75С2<о,2хЛ,
'	.	(29)
16х2 = Зц^Т^х2.
Первое из этих уравнений является уравнением Бернулли [14]. Его
решение при (0) — xlft имеет вид
Ч(О =	+ O.75C2Cr‘a>fa2o(l - е-|1С|' ))°'5.
Из этого выражения видно, что стационарное решение Хи(/)=“0
неустойчиво по Ляпунову, в то время как все остальные решения при
t —> оо асимптотически стремятся ко второму стационарному решению
x^z^o^V'c.G,1)05
При этом х2 стремится при t —> оо к величине
Дсй! -0,25цсо1С1(Г2С2Г'.
Таким образом, согласно теореме 25.2 в установившемся режиме
функция h\ (0 будет близка к гармонической функции
h{ (0 ~ X12 COs((tO | + Дсо ! )/ + с).
97
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1.	Кошляков И. С. и др. Уравнения в частных производных математической
физики. М., 1970.
2.	Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.
3.	Михлин С.Г Вариационные методы в математической физике. М., 1957.
4.	НагумоМ. Лекции по современной теории уравнений в частных производ-
ных. М., 1967.
5.	Петровский И.Г Лекции об уравнениях с частными производными. М.,
1961.
6.	Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа в матема-
тической физике. Л, 1950.
7.	Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1953.
Дополнительная литература
8.	Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.,
1967.
9.	Каудерер Г. Нелинейная механика. М., 1961.
10.	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа. М., 1972.
II.	Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2. М., 1991.
12.	Ракин Л.В.//Известия АН Каз. ССР, сер. физ.- матем. 1979. Вып. 5.
13.	Ракин Л.В.// Дифференциальные уравнения.Т.11.№ 11, Минск, 1975.
14.	Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1959.
15.	Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелиней-
ных колебаний.М, 1976.
16.	Шилов ГЕ. Математический анализ. Второй специальный курс. М., 1965.
17.	Додиков Ю.М.// Автоматика и телемеханика. 1965. Т. 26. №3.
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Граница гладкая 22
— регулярная 34
Дифференциальное выражение
самосопряженное, сопряженное 59
- уравнение с частными производ-
ными 5
Задача Коши 12, 68
Интегральное представление 27
Канонический вид уравнения 18
Краевая задача 12,32
- - внешняя, внутренняя 32
- Дирихле, Неймана, третья 32
Метод потенциалов 43
-	Фурье (разделения переменных)
78
Неравенство Фридрихса 55
Оператор Лапласа 7
-	симметричный 52
- положительно определенный 52
- положительный 52
Основные уравнения математиче-
ской физики 7
Оценка априорная 92
Плотность потенциала 41
Поверхность характеристическая 6
Порядок уравнения 5
Потенциал простого, двойного
слоя, объемный 41
Принцип максимума 29, 69
Производная обобщенная 50
Расширение оператора 54
Решение уравнения 5
— обобщенное 58, 75
— Лапласа сингулярное 25
Смешанная задача
Собственные функции, числа 80
Сопряженное выражение 53
Теорема Ковалевской 14
-	единственности 33, 36, 61
—	о среднем 28
Уравнение волновое 6, 76
-	гиперболического типа 15
-	квазилинейное 5
-	колебаний струны 7
- решение Даламбера 77
-	линейное 5
-	Лапласа 7
-	параболического типа 15
-	Пуассона 7
-	смешанного типа 16
-	теплопроводности 6,11,67
—	обобщенное решение 75
-	Трикоми 16
-	характеристик 6
- эллиптического типа 15
----не вырождающееся 59
Уравнения основные 7
Условия граничные, начальные 12
Форма характеристическая 6
Формула Пуассона 36
Формулы Грина 23
Функция аналитическая 14
-	гармоническая 24
-	средняя 47
-	финитная 49
Характеристика 6
Характеристическая форма 6
Ядро Пуассона 37
-	усредняющее 46
99
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com
Лев Васильевич Ракин
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Зав. редакцией Г. Чередниченко
Редактор Ф. Бастиан
Техн, редактор Л. Иванова
Лицензия ЛР №040050 от 15.08.1996 г.
Подписано в печать с оригинала-макета 29.03.99. Формат 60 х 84/16
Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,81. Уч.-изд. л. 5,17,
Тираж 200 зкз. Заказ № 232.
Редакция оперативной подготовки изданий
Издательства Санкт-Петербургского университета.
199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.
Типография Издательства СПбГУ.
199034, С.-Петербург, Университетская паб., 7/9.
Printed with FinePnnt - ourchase at wwwfineonnt com