/
Author: Боковнев О.А. Богатырёв Г.И.
Tags: математика подготовка к экзаменам вступительные экзамены учебное пособие школьная математика
ISBN: 5-02-013744-8
Year: 1988
Text
fr
G l.HOKOUHEH
ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ
КУРСОВ ТЕХНИКУМОВ
Г.И. БОГАТЫРЕВ,
О.А. БОКОВНЕВ
МАТЕМАТИКА
для
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ
КУРСОВ
ТЕХНИКУМОВ
НА БАЗЕ 8 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Издание 2-е, переработанное
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для средних специальных учебных заведений
МОСКВА ’’НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 8
ББК 22.1
Б73
УДК 51 (075.3)
Богатырев Г.И., Боковнев О.А.Математика для под-
готовительных курсов техникумов (на базе 8 классов средней
школы): Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. — М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1988. — 408 с.
В пособие включены сснсвкые математические понятия, формулы, теоре-
мы, специально разработанная система упражнений, а также варианты ра-
бот вступительных экзаменов.
1-е изд. - в 1982 г.
Для поступающих в средние специальные учебные заведения (на баге
неполной средней школы), для учащихся 6-8 классов, учителей и препо-
давателей техникумов и ПТУ.
Рецензент кандидат педагогических наук доцент Т.Н. Кузнецова
Геннадий Иванович Богатырев
Олег Александрович Бокозкев
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ ТЕХНИКУМОВ
на базе 8 классов средней школы
Редактор ТА. Панькова
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы С. Н. Баронина, С. В. Геворкян
Корректоры Н.П. Круглова, Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве
на наборго-печатающих автоматах
ИБ № 32620
Сдано в набор 04.09.87. Подписано к печати 03.12.87
Формат 60 Х88/16. Бумага книжно-журнальная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл.печ.л. 24,99. Усл.кр.-отт.25,24. Уч.-изц.л. 25,37
Тираж 6000000 экз. (]-й завод 1-200000 экз.). Зак. N’204. Цена 1 р 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство ’’Наука”
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Типография им. Котлякова издательства ’’Финансы и статистика”
Государственного комитета СССР но делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
195273 Ленинград, ул. Руставели 13
1702010000- 059 , „„ Б —— =; св.пл. 106 - 88 053 (02)-88 ISBN 5-02-013744-8 © Издательство ’ Наука”. Главная редакция физико-матемглической литературы, 1982; переработанное, 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................. 8
ЧАСТЬ I
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
Глава 1
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ................................................ 9
§ 1. Арифметические действия над целыми числами................. 9
§ 2. Простые и составные натуральные числа.................... 1С
§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное....... 11
§ 4. Дроби обыкновенные и десятичные, арифметические действия над
ними............................................................... 14
§ 5 Периодические десятичные дроби.............................. 19
§ 6. Решение задач.............................................. 23
Упражнения..................................................... 26
Глава 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА........................................... 29
§ 1. Рациональные числа .................................... 29
§ 2. Иррациональные числа............................................ 30
§ 3. Понятие действительного числа................................... 31
8 4. Модуль (абсолютная величина) действительного числа............. 34
§ 5. Числовая прямая и числовые промежутки......................... 35
Упражнения................................................ 31
Глава 3
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.................................... 39
§ 1. Приближенные значения величин. Метод границ.................. 39
5 2. Абсолютная и относительная погрешности....................... 41
§ 3. Запись приближенных значений чисел. Стандартный вид числа. 44
§ 4, Сложение и вычитание приближенных значений чисел............ 46
§ 5. Умножение и деление приближенных значений чисел.............. 47
Упражнения.............................................. 49
1* 3
Глава 4
СТЕПЕНИ И КОРНИ..................................................... 51
§ 1. Степень с натуральным показателем......................... 51
§ 2. Степень с целым показателем............................... 55
§ 3. Квадратный корень Арифметический квадратный корень. ...... 56
§ 4. Существование иррациональных чисел. Приближенное вычисление
квадратных корней...................................... , . 61
§ 5. Арифметический корень п-й степени. Корень нечетной степени из
отрицательного числа. ........................................... 65
§ 6. Свойства арифметического корня п й степени................... 66
§ 7. Степень с рациональным показателем........................... 69
§ 8. Решение задач............................................... 71
Упражнения........................................................ ~!5
Глава 5
ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ................................................................. 79
§ 1. Числовые и алгебраические выражения, ... 79
§ 2. Отношения чисел и однородных величин. Проценты.... 81
§ 3. Пропорции... 84
§ 4. Одночлены и многочлены. 83
§ 5. Формулы сокращенного умножения .... 90
3 6. Разложение многочлена на множители............................................................. 92
§ 7. Алгебраические дроби......................................................................... 94
§ 8. Иррациональные выражения.............................. . . 99
§ 9. Алгебраические преобразования (решение задач) ................................................ 103
Упражнения............................................................................................. 107
Глава 6
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ............................... 116
§ 1. Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения................. 116
§ 2. Линейные уравнения.............................................. 118
§ 3 Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная)....... 120
§ 4. Разложение квадратного трехчлена на множители................... 129
§ 5. Уравнения, приводимые к линейным и квадратным................... 131
§ 6. Уравнения с несколькими неизвестными. Системы уравнений....... 135
§ 7. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными . . . 137
§ 8. Уравнения и системы уравнений (решение задач)................... 139
§ 9. Задачи на составление уравнений................................. 146
§ 10. Неравенства и их свойства....................................... 151
§ 11. Доказательство неравенств....................................... 155
§ 12. Решение линейных и квадратных неравенств с одним неизвестным 159
§ 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Неравенства, содержащие
модуль................................................................ 165
§ 14. Задачи на уравнения и неравенства. Метод интервалов ..... . 169
Упражнения............................................................... 175
4
1‘лава 7
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.................................................. 185
§ 1. Прямоугольная система координат на плоскости . ... ....... 185
§ 2. Понятие функции. Способы задания функции.................. 187
§ 3. Свойства функций....................................... • 190
$ 4. Свойства и графики некоторых простейших функций .......... 192
§ 5. Графический способ решения уравнений и систем уравнений. Урав-
нения прямой и окружности .......... ............. . . ....... 207
§ 6. Построение графиков (решение задач)................... . 212
§ 7. Применение графиков к решению неравенств....... ........ 217
Упражнения......................................................... 219
Глава 8
ПРОГРЕССИИ......................................................... 222
S 1. Числовая последовательность ...... .................... . . 222
§ 2. Арифметическая прогрессия................................. 223
§ 3. Геометрическая прогрессия................................ 226
§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия............ 228
§ 5. Задачи на прогрессии................................... 232
Упражнения......................................................... 236
ЧАСТЬ II
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 9
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ .... 239
§ 1. Основные понятия геометрии................................ 239
§ 2. Геометрические фигуры................................... 241
Упражнения......................................................... 247
Глава 10
ПРЯМАЯ............................................................. 247
§ 1. Треугольники ... ........................................ 247
§ 2. Основные геометрические построения........................ 257
§ 3 Параллельные прямые....................................... 259
§ 4. Четырехугольники................................. . . 265
Упражнения....................................................... 271
Глава 11
ОКРУЖНОСТЬ......................................................... 273
§ 1 Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окруж-
ности........................................................... 273
§ 2. Углы в окружности......................................... 275
5
§ 3. Свойства хорд и диаметров окружности....... .... ........ 278
§ 4. Вписанные и списанные многоугольники..................... 280
§ 5. Четыре замечательные точки треугольника................. 284
Упражнения........................................................ 287
Глава 12
ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ........................................... 289
§ 1. Пропорциональные отрезки................................. 289
§ 2. Подобные треугольники.................................. 291
§ 3. Теорема Пифагора . . .................................. 295
§ 4. Свойство биссектрисы треугольника. Пропорциональность отрезков
хорд и секущих ................................................ 298
§ 5. Подобные многоугольники .... .......................... 301
Упражнения........................................................ 303
Глава 19
РАВЕНСТВО И ПОДОБИЕ ФИГУР......................................... 305
§ 1. Примеры преобразования фигур.......................... 305
§ 2. Движение. Равенство фигур................................ 307
§ 3. Подобные фигуры........................................ 310
Упражнения. . ......................... . . ............... ... 312
Глава 14
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.................. 313
§ 1. Векторы. Сложение и вычитание векторов................... 313
§ 2. Умножение вектора на число............................. 316
§ 3. Координаты вектора на плоскости.......................... 317
§ 4. Повороты на углы любой величины . ....................... 320
§ 5. Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс угла). 321
§ 6. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треуголь-
ника. Значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60е ... 327
§ 7. Теорема синусов и теорема косинусов. Решение треугольников .... 331
§ 8. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось.. 334
§ 9. Формулы сложения......................................... 339
§ 10. Формулы приведения....................................... 341
§ 11. Формулы двойного и половинного углов . . . ..... ......... 343
§ 12. Тригонометрические преобразования....................... 346
Упражнения...................................... . ............... 350
Глава 15
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ........................................... 353
§ 1. Понятие площади, основные свойства площадей.............. 354
§ 2. Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и тра-
пеции........... . ..................................... ... 355
§ 3. Площадь многоугольника. Отношение площадей подобных много-
уго.шников............................................ .... 363
Упражнения..... .................................................. 365
6
Глава 16
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
И ПЛОЩАДЬ КРУГА.............................................. 367
§ 1. Правильные многоугольники. . ..................... 367
§ 2. Длина окружности.................................... 371
§ 3. Длина дуги окружности. Радианное измерение углов.... 374
§ 4. Площадь круга и его частей.......................... 375
Упражнения............................ . ................... 377
1 лава 17
ЗАДАЧИ....................................................... 378
Упражнения................................................... 388
Глава 18
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО АРИФМЕТИКЕ, АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ........................... 391
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ И ЗАДАНИЯМ.............................. 396
СПИСОК ФОРМУЛ............................................... 404
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие предназначено для окончивших восьмилетнюю школу
и поступающих в средние специальные учебные заведения.
Материалы, изложенные в пособии, соответствуют действующей про-
грамме по математике- Кроме того, в пособие включен дополнительный
материал с целью углубленного повторения.
Пособие состоит из двух частей: первая посвящена арифметике и ал-
гебре, вторая — геометрии на плоскости. В конце каждой главы приво-
дятся упражнения. Они состоят из двух разделов: первый предназначен
для занятий с преподавателями, а второй — для самостоятельных занятий.
Приводятся ответы к задачам, а ь некоторых случаях — указания к реше-
нию задач.
Во втором издании исключены главы ’’Множества” и ’’Начальные све-
дения из стереометрии”. Остальные главы существенно переработаны и
дополнены. Кроме того, внесены поправки редакционного характера и
исправлены опечатки.
Авторы приносят благодарность рецензентам — доктору физико-мате-
матических паук профессору Г.Н. Яковлеву, старшему научному сотруд-
нику НИИ школ A.II. Назаретову и кандидату педагогических наук доценту
Т.И. Кузнецовой за ценные советы и замечания.
ЧАСТЬ I
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
ГЛАВА 1
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ
§ 1. Арифметические действия над целыми числами
Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными чис-
лами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр:
1., 2.3,4,5,6,7,8,9,0.
Множество всех натуральных чисел бесконечно. Оно имеет наимень-
шее число — единицу, но не имеет наибольшего числа.
Все натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образу-
ют ряд натуральных чисел: 1,2,3,4,5,... Совокупность чисел 0, ±1, ±2, ±3,
±4, ±5,... образует множество целых чисел.
Над целыми числами устанавливаются действия сложения и умножения,
которые обладают следующими основными свойствами:
1) переместительное свойство сложения а + b = b + а;
2) сочетательное свойство сложения: (а + Ь} + с = а + (Ь + с) *);
3) переместительное свойство умножения: а b ~ b а;
4) сочетательное свойство умножения: (а Ь) с = а (Ь с);
5) распределительное свойство, связывающее сложение и умножение:
(а + Ь) с - а - с + b с.
Основные свойства (законы арифметики) остаются справедливыми
для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.
Используются также следующие свойства:
6) свойство куля при сложении: а + 0 = а;
7) свойство нуля при умножении: а 0 = 0;
8) свойство единицы при умножении :а- 1 = а.
Вычитание и деление определяются как действия, обратные сложению
и умножению.
Вычесть из числа а число b — значит найти такое число с, которое при
сложении с числом b даст число а:
с = а - Ь, если Ь + с = а.
♦) Буквы а, Ъ, с,. обозначают здесь целые числа.
9
Число с называется разностью чисел а и Ь. Для целых чисел вычитание
всегда выполнимо и единственно, т.е. для любых а и Ъ существует и притом
единственная разность с.
Разделить число а на число b — значит найти такое числе q, при умноже-
нии на которое число b дает число а:
а
q = a : b или q = — > если b • q - а.
Число q называется частым.
При сложении, умножении, вычитании целых чисел всегда получаются
целые числа. Целение не всегда выполнимо в множестве целых чисел.
Невозможно деление на нуль. Если а Ф 0, а b = 0, го нет такого числа q,
для которого b • q = а. Если а = b = 0, то q — любое число.
Если для чисел а и b существует частное q, т.е. bq = а, то говорят, что а
делится на b (или b делит а). При этом а называется делимым (или крат-
ным числа b), а b - делителем числа а. Целое число называется четным,
если оно делится на 2, и нечетным, если оно не делится на 2. Нуль - чет-
ное число.
Теорема. Если число b есть делитель чисел и а2, то b есть дели-
тель суммы а2 + а 2.
Доказательство. Так как по условию b — делитель числа аг, то
Д1 = Info. Аналогично, а2 = bq2. Применяя распределительное свойство,
получаем а2 + а2 = bq2 + bq2 = b{qx + q2). Следозательно, число + а2
делится на число Ь. Теорема доказана.
Деление с остатком. Для любых чисел а и b (Ь > 0) справедливо сле-
дующее утверждение: число а всегда можно представить и притом един-
ственным образом в виде
а = bq + г, где 0< г < b. (1)
Определение. Разделить число а на число Ь (Ь> 0) с остатком -
значит найти такие числа <7 и г, что a-bq + г, причем г удовлетворяет усло-
вию 0 < г < Ь.
Число q называется частным, а число г - остатком. Если г = 0, то а де-
лится на b без остатка, или папсло.
Например, при делении 37 на 5 получается в частном 7 И в остатке 2,
а при делении —8 на 3 — в частном —3 и в остатке 1:
37-J-7 + 2, —8 = 3-(—3)+1.
§ 2. Простые и составные натуральные числа
Пусть а — натуральное число. Делителем числа а называется натураль-
ное число, на которое число а делится нацело. Например, число 20 имеет
шесть делителей; 1,2,4,5,10,20.
Определение- Натуральное число а, не равное единице, называ-
ется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число а.
Натуральное число а называется составным, если оно имеет более двух
Ю
делителей. Единица - единственное натуральное число, которое не явля
ется ни простым, ни составным.
Таким образом, множество натуральных чисел состоит из единицы,
простых и составных чисел.
Наименьшим простым числом является число 2, Это единственное чет-
ное простое число. Остальные простые числа — нечетные. Вот первые двад-
цать простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. 29, 31, 37, 41, 43,47,53,
59,61,67,71.
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема (основная теорема арифметики). Всякое натуральное
число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых
сомножителей и притом единственным способом (произведения, отличаю-
щиеся только порядком сомножителей, различными не считаются).
Объединяя равные сомножители, получаем
^Рт'Р1'...р“п, (2)
где Pi, рг,. .., рп — различные простые делители числа a, a at, а2,• •
.. ,, ап — число их повторений в разложении числа а.
Равенство (2) называется разложением натурального числа а на простые
множители.
Например, 36023 З2 • 5 13= 131.
§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Будем рассматривать натуральные числа.
Определение. Если натуральные числа а, Ь,... делятся нацело на
одно и то же натуральное числ-п d, то число d называется общим делителем
чисел а, Ь,... Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело
каждое из данных натуральных чисел, называется наибольшим общим де-
лителем этих чисел и сокращенно обозначается НОД. Если НОД чисел
а, Ь,... равен 1, то эти числа называются взаимно простыми.
Например, ПОД чисел а = 48 = 24 • 3 и b = 36 = 21 • З2 равен 22 • 3 = 12.
Числа 28 = 22 • 7 и 15 = 3 5 — взаимно простые, так как их НОД равен 1.
Числа 6, 8,15 также являются взаимно простыми.
Кратным натурального числа а называется натуральное число к, которое
делится нацело на а.
Определение. Всякое натуральное число, которое делится надело
на каждое из натуральных чисел а, Ъ,..., называется общим кратным
чисел а, Ь,... Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое
из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным
этих чисел и сокращенно обозначается НОК.
Например, НОК чисел d8 = 24 • 3 и 36 = 22 • З2 есть число 24 32 = 144
Приведем без доказательства свойства взаимно простых чисел.
1) Если число а делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно
делится и на произведение этих чисел.
11
Например, если число делится на 3 и на 5, то оно делится и на 15. Од-
нако нельзя утверждать, что число, делящееся на 4 и на 6, для которых
НОД Ф 1, обязательно делится и на 24. Например, это неверно для 35.
2) Если произведение ab делится на с, где Ъ и с - взаимно простыв
числа, то а делится на с.
Пример 1. Найти НСД и НОК чисел 72 и 60.
Решение. Так как 72 = 23•З2, 60 = 22 • 3 • 5, то НОД (72; 60) =
= 22 3 = 12, НОК (72; 60) = 23 • З2 • 5 = 360.
Практически при разложении натурального числа на множители и нахож-
дении НОД и НОК пользуются признаками делимости.
Пусть р — делимое. В десятичной системе счисления натуральное число р
записывается в виде
р-ап 10” +а„_1 • 10""1 + • • •+в2 • 10s +«1 • Ю+ flo> (3)
где а0 — число единиц, я2 — число десятков, с2 — число сотен и т.д.,
я0, а1> • • > ап могут принимать значения 0,1,2,... , 9.
Число р можно записать и в виде
Р ~апап-1 • а2й1яо
(чер га сверху, ставится для того, чтобы отличать это число от произведения
• • • a2alafi)
Рассмотрим признаки делимости натуральных чисел иа 2, 3, 4, 5, 6, 9.
Признак делимости па 2 и на 5. На 2 (или на 5) делятся те и только те
числа, цифра единиц которых обозначает число, деляшееся на 2 (или со-
ответственно на 5).
В самом деле,
р = (ап • 10" + ап_! • 10"-1 + • • • + <Ji • 10) + с0
В скобках стоит число, кратное 10, и оно целится на 2 и 5. Если число
а0 делится иа 2 (или на 5), то и р будет делиться на 2 (или соответствен-
но на 5) как сумма чисел, каждое слагаемое которой делится на одно и
то же число.
Докажем обратное утверждение. Если р делится на 2 (или на 5), то
число
а о ~Р - (ап • 10" +аи-1 • Ю"-1 + • • • + «1 • 10)
будет делиться на 2 (или соответственно на 5). Признак доказан
Признак делимости на 4 На 4 делятся те и только те числа, у которых
две последние цифры образуют число, деляшееся на 4.
Предлагаем доказать этот признак самостоятельно, записав делимое р
в виде
р = (а„ • 10" +ви_1 • 10"-1 + • • -+а2 • Ю2) + (а! • 10 + я0).
Признак делимости на 3 и на 9. На 3 (или на 9) делятся те и только
те числа, сумма цифр которых делился на 3 (или соответственно на 9).
12
Для доказательства запишем делимое в виде
р = [а„(10” — 1) + аи_1(10"-1 — 1) +• • +^(10-1)] +
н (а„ +аг1_1 + • • -+^1 + л0)-
Очевидно, что число
10* - 1 = 99 ... 9
к цифр
делится на 3 и на 9. Если число, стоящее в круглых скобках и равное
сумме цифр числа р, делится на 3 (или на 9), то и р делится на 3 (или
соответственно на 9). Обратно, из делимости числа р на 3 (или на 9) сле-
дует, что и число
ап + ап _ 1 + • • • + + а0 =
= Р - [ая(10л - 1)+an_1(10z’-1 — 1) + • • •+ Д1(10 — 1)],
равное сумме цифр числа р, будет делиться на 3 (или соответственно на 9)
Признак доказан.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те и только те числа, которые од-
новременно делятся на 2 и на 3.
Это следует из свойства делимости числа на произведение взаимно про-
стых чисел.
Свойство последовательных целых чисел. Из п последовательных целых
чисел
а, а + 1,..., а + п - 1 (4)
одно и только одно делится на п.
Действительно, если а = nq, то утверждение справедливо.
Пусть а = nq + к, где к - одно из чисел 1, 2,..., п — 1. Тогда число
а + (п - к) = nq + к + (п - к) = n(q + 1) находится среди чисел (4) и делит-
ся на и. Среди чисел (4) нет других чисел, делящихся на п, так как иначе
разность таких чисел, меньшая и, делилась бы на п, что невозможно.
Например, число п3 - п = (и — 1)и(и + I) делится на 2, па 3 и, следо-
вательно, па 6.
Пример 2. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное чисел 126, 540,630.
Решение. Применяя признаки делимости, разложим данные числа
па простые множители. Получим
126 2 540 2 630 2
63 3 270 2 315 3
21 3 135 3 105 3
7 7 45 3 35 5
15 3 7 7
5 5
13
Поэтому 126 = 2 • З2 • 7, 540 = 22-33-5, 630 = 2 • З2 • 5 • 7. Отсюда
ПОД (126; 540; 630) = 2 • З2 = 18, НОК (126; 540; 630) = 22 • З3 • 5 • 7 =
= 3780.
§ 4. Дроби обыкновенные и десятичные,
арифметические действия над ними
Обыкновенные дроби. Число, равное л-й части числа единица (и — нату-
ральное число, большее единицы), обозначают — Если эта часть берется т
п
раз (т — натуральное число), то получаемое в результате этого новое число
т
обозначают — и называют арифметической дробью. При этом число т
п т
называют числителем дроби, а число и — ее знаменателем. Дробь — можно
и
рассматривагьтак же, как частное от деления m на л.
Всякое натуральное число а можно считать дробью со знаменателем еди-
а
ница, т.е, а = — • Поэтому дальше ограничение и > 1 снимается и говорят,
что частное от деления одного натурального числа на другое можно найти
и записать в виде дроби. q
Будем считать нуль дробью с любым знаменателем п, т.е. 0 ~ — » где п —
п
натуральное число.
Число вида
а
ь
(5)
где а — натуральное или нуль лЬ- натуральное число, называется обыкно-
венной дробью-, а — числитель дроби, b — ее знаменатель.
а с
Две дроби — и — считаются равными;
b d
а с
— = —» если ad = be.
b d
По определению
а с ас
— > — > если ad>bc, и — < —» если ad < be.
b d b d
5 4
Например, — > — > так как 5 • 7 > 8 • 4.
% 7 a ak
Из определения равенства дробей следует, что дроби — и — равны.
b bk
14
Действительно, сппаведливо равенство а bk = b ак - abk. Отсюда выте-
кает основное свойство дроби: ее пи числителе и знаменатель дроби умно-
жить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь,
равная данной:
а ак а :п
b bk Ь :п
На этом свойстве основано сокращение дробей, т.е. деление числителя и
24 12 4
знаменателя на их общий делитель, Например, — = -у^- = — • Обычно
сокращение проводят до тех гор, пока числитель и знаменатель не будут
взаимно простыми числами.
Основное свойство дроби используют и для приведения дроби к друго-
5
му знаменателю. Например, дробь можно привести к знаменателю 24.
Для этого надо умножить числитель и знаменатель дроби на число 2. Полу
5-2 10
чим ------ = — • В этом случае число 2 называют дополнительным
12-2 24
5
множителем. Дробь можно привести и к другому знаменателю, на-
пример к знаменателю 36. В самом деле,
5 _ 5-3 _ 15
12 12-3 ” 36
Здесь дополнительным множителем служит число 3,
Часто приходится приводить две или несколько дробей к общему зна-
менателю. Для этого находят наименьшее общее кратное знаменателей
данных дробей и каждую дробь приводят к этому знаменателю Например,
7 5
приведем дроби — и — к общему знаменателю. Для этого найдем
12 18
наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Таким числом будет 36. Теперь
найдем дополнительный множитель для первой дроби: разделим наимень-
шее общее кратное 36 на знаменатель дроби 12 и получим 36 : 12 = 3. За-
тем найдем дополнительный множитель для второй дроби и получим
36 : 18 = 2. Умножив числители и знаменатели данных дробей на их допол-
нительные множители, получим
7 _ 7 -3 21 5 5 -2 _ 10
12 12-3 36 ’ 18 " 18 -2 36 ’
15
Сложение и умножение дробей определяются по правилам
а с _ ad+ Ъс а с ас
b d ~ bd ’ b ' d ~ bd '
Вычитание и деление дробей определяются как действия, обратные со-
ответствии с сложению и умножению. Из этого определения выводятся
правила этих действий
а с ad - be а с _ ud
b d ~ ~bd ’ Ъ ‘ d ~ Ьс
Для дробей сохраняются основные свойства арифметических действий
над целыми числами, приведенные в § 1.
Арифметические дроби подразделяются на правильные и неправильные
дроби. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаме-
нателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше зна-
менателя или равен ему. Любая правильная дробь меньше 1, а любая недра-
2 5 9
вильная дробь больше или равна 1.Например, — > — • - —правильные
5 8 121
дроби, а — > — > —------неправильные дроби.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого
надо выполнить деление с остатком числителя на знаменатель- Например,
45
выделим целую часть дроби Разделив 45 на 7, получим в частном 6,
45 3
а в остатке 3. Значит, — = 6 — •
7 7
Число, которое состоит из натурального числа и правильной дроби,
3
называется смешанным числом. У смешанного числа 6— число 6 является
7
3
целой частью, а дробь — — дробной частью числа.
Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, нужно
умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к произведению
прибавить числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем
неправильной дроби, а ее знаменателем будет знаменатель дробной части.
5
Например, представим смешанное число 3— в виде неправильной дроби.
8
Для этого умножим 3 на 8 и к произведению прибавим 5. Получим
5 '>9
3-8 +5 = 29. Итак, 3 - = — •
8 8
16
a
Десятичные дроби. Рассмотрим те дроби — • у которых знаменатель
b
b = 10”, где п - натуральное число:
а
10"
(6)
Любая дробь (6) представима в вице суммы
ат ' Ю"1 + От _ 1
. Ю™-1 + • •- + Л1 • 10+до+ + ‘
.+А_,
10"
(7)
ГДС О$,flj,... , От >
bit..., bn — цифры. Например,
3 3
-- =0+ - ,
10
10
27 7
-----2 + — >
10 10
9
3297
1С2
3297
----= 3-10 + 2 +
100 10
7
101
в
Условились дробь (6) или, что
атат-1 • Oq, bib2 . . . Ьп ИДИ
то же, (?) записывать также
с> ЪьЬ2 ... Ьп,
виде
(Ю
где с = ат • 10*" + Ю"1-1 + • • • + д0 = <Wm-i .., д0 - целое число
(делая часть дроби), а Ь2, Ь2,... , Ь„ - десятичные знаки (они образуют
дробную часть). Например.
3 27
— =0,3, -------=2,7
10 10
3297
102
= 32,97
Так как (8) - иная запись суммы (7), то после Ь„ можно приписать
лйбое число нулей, и величина дроби от этого не изменится.
Дробь (6), записанную с помощью десятичных знаков в виде (8), на-
зывают десятичной дробью. Такая запись удобна для сравнения дробей
и для выполнения действий над ними.
Например, сравнивая десятичные дроби 17,839 и 18,153, получаем, что
17,839 < 18,153. Сравним 13,2 и 13,187; их целые части равны. Рассмат-
ривая дробные части, получаем, что 13,2 > 13,187.
Правила действий над десятичными дробями. Чтобы сложить две деся-
тичные дроби,надо:
1) записать каждый разряд одной дроби под соответствующим раз-
рядом другой дроби;
2) сложить получившиеся числа хак целые числа;
3) поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых.
Аналогичным образом производят вычитание десятичных дробей.
Например,
83,759 83,759 5,370 5,37
4,280 ОТИ + 4.2! , 2,093 2,093
88,939 88,039 3,277 3,277
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить
их умножение как целых чисел, не обращая внимания на запятые, а за-
тем в произведении отделить справа ’тело знаков, равное сумме числа
знаков после запятой у сомножителей. Например,
v 0,38 Х 39 у 1.52 2,3 X 1>37 Л 0,04
342 114 456 304 0,0548
14,82 3,496
Из правила умножения десятичных дробей следует, что умножение де-
сятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к переносу запятой в этой
дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Например,
3,57-10 = 35,7; 3,57-100 = 357; 3,57-1000 = 3570.
Аналогично, умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0.001 и т.д.
сводится к перекосу запятой в этой дроби соответственно на один, два,
три и т.д. знака влево. Например, 13,2-0,1 = 1,32; 13,2-0,01 = 0,132;
13,2-0,001 =0,0132.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) сначала выполнить деление целой части дроби на это число;
2) поставить в полученном частном запятую;
3) выполнить затем деление числа, полученного присоединением к
остатку первого знака дроби, и т.д.
Например,
16,45 । 7 7,41 . 13 2,835 । 45
1 2,35 1 0,57 1 0,063
14 65 270
—
24 9J 135
——
21 91 135
35 0 0
35
ПГ
(деление ’’уголком”).
18
Деление одной десятичной дроби на другую сводится к делению де-
сятичной дроби на натуральное число. Надо только в делимом и делите-
ле перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их было в де-
лителе после запятой. Напомним, что перенос в десятичной дроби запя-
той вправо па один, два, три и т.д. знака означает умножение этой дроби
на 10. 100, 1000 и т.д. При этом частное от деления дробей не изменится,
так как делимее и делитель умножаются па одно и то же число. Например.
4,551 : 1,23 = 455,1 : 123 = 3,7;
743,6 : 1,43 = 74360 : 143 = 520,
так как
455,1 । 123 74360 . 143
Г 3,7 ’ _ I 520
369 715
_“861 _ “286
861 286
0 о-
Деление десятичной дроби па 10, 100, 1000 и т.д. сводится к ее умно-
жению на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., т.е. к переносу запятой в этой
дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака влево. Например,
385,3 : 100 =3,853; 2,77 : 10= 0,277; 0,5 : 1000 =0,0005.
Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. сводится к пере-
носу запятой в этой дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака
вправо. Например, 5,323 : 0,01 = 5,323 • 100 = 532,3; 0,027 : 0,001 = 27;
0,5 : 0,001 = 500.
§ 5. Периодические десятичные дроби
Кроме десятичных дробей, которые в дальнейшем будем называть
также конечными десятичными дробями, рассматриваются и бесконечные
десятичные дроби.
Бесконечной десятичной дробью
c,bib2 . . .Ьп ... (9)
называется десятичная дробь, у которой после запятой стоит бесконечно
много знаков (цифр).
Бесконечные десятичные дроби вида
c,bib2 . ,bn Ъ2Ь2 .. -Ьп (10)
19
или вида
с, bjbi .. . bkbk+lbk+2 • bk + nbk+ibk+2 .. .bk^ п ..., (11)
где одна или несколько цифр повторяются в неизменном порядке, на-
зываются периодическими. Совокупность повторяющихся цифр назы-
вается периодом дроби. При этом вместо записей (10) и (11) употреб-
ляют сокращенные записи с,(ЬхЪ2. Ьп~) и c,Z>id2 • bk(bk+l . . .6fc + „).
Например, 0,131313 . . . = 0,(13); 2,3444 . . = 2,3(4). Дробь 0,(13) чи-
тается. ’’Нуль целых и тринадцать в периоде”, а дробь 2,3(4): ”2 целых,
3 десятых и 4 в периоде”. Дробь вида (10) называется чистой периоди-
ческой дробью, дробь вида (11) — смешанной периодической дробью.
Периодические дроби являются частным случаем бесконечных деся-
тичных дробей.
Обрывая дробь (9) на каком-нибудь n-м десятичном знаке, получаем
конечную десятичную дробь с,Ь,Ь2 . . . bn. С возрастанием п такая дробь
не уменьшается, т.е. либо не изменяется, либо увеличивается. Например,
для дроби 0,15004 ... получаем
0.1 < 0,15 = 0,150 = 0,1500 < 0,15004 ...
Определение. Бесконечная десятичная дробь (9) считается равной
а
обыкновенной дроби — :
b
а
c,bib2 .b„
и
(12)
если при всех и выполняется неравенство
а 1
0 «5-----с, bib2 .. .bn< —- .
b 10"
Замечание. Легко проверить, что это определение содержит и
а
случай с,bib2 . . . bn =— для конечной десятичной дроби Равенство (12)
b
означает, что конечная десятичная дробь с,/т&2 • • Ьп дает приближение (с
а 1
недостатком) к дроби — с точностью до---.
b 10"
Отсюда следует, что все периодические дроби с периодом 9 равны соот-
ветствующим конечным десятичным дробям. Например,
0,(9) = 1; 4,12(9) =4,13.
Обратить обыкновенную дробь в десятичную — значит найти такую де-
сятичную дробь, конечную или бесконечную, которая равна данной обык-
новенной дроби.
20
Практически для обращения дроби делят числитель на знаменатель
11
(по способу деления ’’уголком”). Например, для дроби ---------- получаем
6
11 । 6
- , ГТззз...
о
~50
“48
"20
~ 18
18
~т...
Следовательно, — = 1,8(3) Дробь----- можно обратить в конечную
6 6
десятичную дробь и приближенно, например, с точностью до 0,001 : — «
И 6
«1,833 (снедостатком), — «1,834 (сизбытком).
6
Имеем
3 3
8
= 0,375;
2 2 3 3
— =—.г-0,08; — = - — =0,15.
25 52 20 22-5
Данные несократимые обыкновенные дроби представимы в виде конеч-
ных десятичных дробей. Их знаменатели не содержат простых множи-
телей, кроме 2 и 5.
а к I
Вообще, если у несократимой дроби — знаменатель Ъ = 2 • 5 , то про-
b
цесс деления а на />после конечного числа его повторения закончится,и в
результате "будет получена конечная десятичная дробь. Если Ъ Ф 2к • 5',
т.е. b содержит простые делители, отличные от 2 и 5, то процесс деления
можно продолжать неограниченно, и в результате будет получена бесконеч-
ная десятичная дробь. Она обязательно является периодической дробью.
Поясним это па примере. 26
Пример. Записать число -уу- в виде бесконечной десятичной дроби.
Решение. Применяем способ деления ’’уголком”. После выделения
целой части каждый из остатков будет меньше 11, т.е. он равен одному
из чисел 1,2,..., 10; Поэтому после десятого шага или раньше какой-то
из остатков повторится и, следовательно, в частном будет повторяться
21
одна и та же группа цифр. Имеем
26 1 11
- 22 12^3636 ...
40
33
70
66
'49
33
7 ...
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же
26
группа цифр: 36. Следовательно, -уу = 2,3636 ... = 2, (36).
Теорема. Всякую обыкновенную дробо можно обратить в десятичную
дробь, конечную или бесконечную периодическую.
Например,
1 13 4
— =0,125; — =2,166... = 2,1(6); ---------=0,1212... = 0,(12).
8 6 33
Теорема. Для всякой периодической дроби всегда найдется равная
ей обыкновенная дробь.
Доказательство этой теоремы не входит в программу по математике
для восьмилстней школы.
Правило обращения периодических дробей. Любая периодическая дообь
вида 0,&1&2 . Ъп ... равна обыкновенной дроби, составленной по следую-
щему правилу:
1) ее числитель есть разность между числом, стоящим до второго перио-
да, и числом, стоящим до первого периода;
2) ее знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и нулями на
конце. Цифра 9 повторяется столько раз, сколько было цифр в периоде,
а нуль столько раз, сколько цифр содержится между запятой и первым
периодом.
Например, смешанная периодическая дробь 0,hi (b2b3) равна обык-
новенной дроби ----, а чистая периодическая дробь 0,{Ь1Ь2')
bib2
равна ------ .
99
22
Применяя правило
0,3(14) =
314 - 3
990
обращения
311
990 ’
периодических дробей, получаем
13-0 13
2,(13) = 2 + 0,(13) = 2 + --=2 -----,
99 99
0,(7) =
7-0 _ 7
~9 9~ ‘
§ 6, Решение задач
П р и м е р 1. Доказать, что
а) сумма ab + Ьа кратна 11;
б) грехзначное чисто, написанное одинаковыми цифрами, делится на-
пело на 37.
Решение, a) ab + ba = (10а + Z>) + (10й + а) = 11 (а + Л);
б) ааа = 100а + 10л + а = 111а - 37 • За (
Пример 2. Доказать, что разность 102S — 7 делится нацело на 3
Решение. Запишем разность в виде
1025 -7 = (1025 - 1) -6
Чисто 102 5 — 1 = 99^9 делятся на 3 (и на 9).Так как числа (1025 — 1)
25цифр ,
и 6 делятся на 3, то и число 10 — 7, как их разность, тоже делится на-
цело па 3.
Пример 3. Доказать, что при любом простом р > 3 число р2 — 1
делится на 24.
Решение. По свойству последовательных целых чисел (см. §3)
произведение (р — i)p(p + 1) делится на 3.
Так как р > 3 — простое, то на 3 делится число (р - 1) (р + 1) = р2 — 1.
Оно является произведением двух последовательных четных чисел (вся-
кое простое число,неравное2,-нечетное),т.е. (р — 1) (р + 1) = 2к(2к + 2) =
= 4к(к + 1) , и, следовательно, оно делится на 8.
Число р2 — 1 делится на взаимно простые числа 3 и 8. а значит, делится
и на их произведение 24.
Отсюда следует, что число р2 - q2, где р и q - простые, большие 3,
также делится на 24. В самом деле, р2 -- q2 = (р2 — 1) - (q2 — 1), и каж-
дое из этих чисел делится на 24.
Пример 4. Доказать, что квадрат любого простого числа р > 5 при
делении на 12 дает в остатке 1.
23
Решение Натуральное чисто при делении на 6 может дать в ос-
татке только числа 0, 1, 2, 3,4,5. Поэтому всякое натуральное число имеет
один из следующих видов:
6к, 6к + 1, 6к + 2, 6к + 3, 6к + 4, 6Л + 5.
Очевидно, что числа 6к, 6к + 2, 6к + 3, 6к + 4 — составные. Поэтому
простое число р > 5 имеет вид 6^ + 1 или 6к + 5. Если р =6к + 1, то
р2 = (6Л + I)2 = 36к2 + 12Л+1.
Если р = 6fc + 5, то
р2 = (6fc + 5)2 = 36к2 + 606 +25 = 12(3к2 + 5к + 2) + 1.
Таким образом, в обоих случаях остаток при делении р2 па 12 равен 1.
Пример 5. Доказать, что при любом натуральном п > 1 число и4 + 4 —
составное.
Решение. Имеем
и4 + 4 = (и2 + 2)2 - 4и2 - (н2 + 2п + 2)(п2 - 2п + 2).
Если и > 1, то
п2 + 2п + 2 > 5, п2 — 2п + 2 = (п - I)2 + 1 > 2,
т.е. число п4 + 4 разлагается на произведение двух чисел, каждое из ко-
торых больше епиницы. Следовательно, при п > 1 число п4 + 4 - сос-
тавное.
Пример 6. Найти двузначное число, равное утроенной сумме его
цифр.
Решение. Пусть ab = 10д + b — искомое число. По условию JOa + Ъ =
= 3 {а + b) иди 2Ь = Та. Так как произведение 2Ь делится на 7, где 2 и 7
заимно простые числа, то чисто b делится на 7. Число Ь обозначено циф
рой, отличной от нуля. Поэтому b = 7. Тогда а = 2. Искомое число равно 27.
Пример 7. Найти натуральные числа п, при которых дробь
15л2 + Яд + 6
----------- является натуральным чистом.
п
Решение. Имеем
15 л2 +8/г te> 6
-------------= 15п + 8 + —.
п п
6
Так как 15и + 8 — натуральное число, а — является натуральным только
п
при п = 1, п = 2, п = 3, п = 6, то при этих значениях н данная дробь есть
натуральное число.
24
161 9999
Пример 8 Сравнить дроби —— и .
1OU УУУо
Р е ш е и и е. Имеем
161 _ 1 9999 _ 1'11
160 ~1 + 160~ ’ -98" " + 9998 ’ ТбО " 9998 ‘
161 9999
Поэтому ----- >-----.
160 9998
Пример 9. Вычислить:
/ 3: (0,2 —0,1) (34,06 — 33,81) • 4 \ 2 4
26 :1 -------------- + —------------------+ — : — .
\ 2.5 (0,8+ 1,2) 6.84 : (28,57 - 25,15)/ 3 21
Решение. Используется следующий порядок выполнения действии:
1) если числовое выражение не содержит скобок, то сначала выпол-
няют действия третьей ступени (возведение в степень), затем — действия
второй ступени (умножение и деление) и, наконец, действия первой сту-
пени (сложение и вычитание); яри этом действия одной и той же ступени
выполняют в том порядке, в котором они записаны;
2) если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все дейст-
вия над числами, заключенными в скобках, а затем — псе остальные дейст-
вия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок
производится в порядке, указанном в п. 1);
3) если вычисляется значение дробного выражения, то выполняются
действия в числителе дроби и в знаменателе и первый результат делится
на второй.
Последовательно получаем:
1) 0,2-0,1 =0,1; 3:0,1 = 30;
2) 0.8+1.2 = 2; 2,5 -2 = 5;
3) 30 : 5 = 6;
4) 34,06 - 33,81 = 0,25; 0,25 -4=1;
5) 28,57 - 25,15 = 3,42; 6,84 ; 3,42 = 2;
6) 1: 2 = 0.5;
7) 6+ 0,5 = 6,5; _
13
8) 26 : 6,5 = 26 : — = 4;
2 4 2-21 7
9) —:— = ---------- = — =3,5;
3 21 3 4 2
10) 4 * 3,5 = 7,5.
Ответ. 7,5.
25
Упражнения
РАЗДАЛ I
1. Какой цифрой оканчивается произведение 71 72 • 73 •. . • 79 ?
2. Из цифр 2, 3, 5 составить двузначные числа, кратные а) 2; б) 3; в) 5.
3. Доказать, что число 3” при любом натуральном п имеет четное число десятков.
4. Доказать, что сумма пяти последовательных целых чисел всегда делится нацело
на 5. _________________________
5. Доказать, что разность ab - Ьа кратна 9.
6. Доказал, что сумма 10* * 3 + 5 делится на 3.
7. Доказать, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.
8. Разложить на простые множители 3084 и 1050.
9. Найти паибо.гьший общий делитель чисел 54, 72 и 96.
10 Найти наименьшее общее кратное чисел 18, 45 и 108.
11. Доказать, что если две положительные несократимые дроби в сумме равны 1,
то их знаменатели равны.
12. Вьшо;шить действия:
(-2) (-2) + (-6) : 2 - 2 - 3 + 4
9-7+5-3
13. Выполнить действия:
(-1,5 + 4-2,5) • (-6) + 5 - 74 9
(0,3 2 + 0,3 - 0,2) • 2 - 0,4 + 2 • (-2) + 4 ’
7
14. Что больше- — или 0,36; 19’ или 16 • 18 • 20 • 22?
9
2 53
15. Обратить — и — в периодические дроби.
16. Обратить в обыкновенные дроби 2,(3) и 0,35 (28).
17. Вычислить-
: 31.
18. Вычислить:
4,5 : (47,375 -(16 j - 18 • 0,75^- 2,4 : 0,88
17,81 : 1,37 - 23 - : 1
3 6
19. Вычислить:
(3,2 — 1,7) : 0,003
: 62 + 1,364 : 0,124.
26
20. Найти число, если 3,6 % его составляют
3 + 4,2 ОД__
( 1 : 0,3 - 2 |У 0,3125
21, Найти х из пропорции
(4 - 3.5 (Ад— 1 т) I : 0.16
\ \ 7 5 /
2 3 1
3 7 14’ ' 6
22. Найти х, если
23 49
41 - — - 4о —
84 60
3 о 9 О-6 + 154>66 : 70,3) 1>9
-------------—----+ X + О ------ — .
3 11 / 2 \
(5,2-1,4): у (2 у- 1,3): 4,3
= 2,625.
РАЗДЕЛ II
23. Найти две последние цифры произведения 26 27 • 28 •... • 34 35.
24. Доказать, что сумма 1С8а + 36 делится на 6 при любом натуральном а и чет-
ном Ь.
25. Не производя деления, найти остаток от деления числа 10 239 на 5.
26. Как изменится частное и остаток, если к делимому прибавить удвоенный
делитель? _______
27. Какую цифру нужно написать вместо а, чтобы число 5431а делилось на 9?
28. Какие цифры нужно поставить вместо с в число 28с, чтобы получившееся
число было кратно- а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6; е) 9; ж) 10?
29. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел делит-
ся на 6.
30. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел, первое
из которых - четное число, делится на 24.
31. Разложить на простые множители числа 2 880 и 6 048.
32. Найти наибольший общий делитель чисел- а) 52, 65 и 130; б) 42, 140 и 882.
33. Найти наименьшее общее кратное чисел: а) 54, 81, 135 и 189; б) 156, 195
и 1950.
34. Доказать, что лроиззедение нечетных чисел есть число нечетное.
35. Доказать, что если число не кратно 3, то его квадрат при делении на 3’ дает
в остатке 1.
36. Выполнить действия:
2 (-4) - 6 : (-2) - 1 + 2 (-3) + 13
2 (-1) +5
37- Выполнить действия:
(1 - 3 + 5 -9) : (-2) -2_____
(-2) • (-3) + (-7) • (-1,2+ 2,5 - 1,3) ’
38. Сравнить числа:
3
39. Обратить — и
и 0,11; И4 и9- 10- 12-14.
46
37
уу- в периодические дроби.
27
40. Обратить ь обыкновенные дроби 1, (6} и 5,2 (38).
41. Вычислить:
42. Вычислить:
(2м-24);з7
0,5
1,32
(2,3 + 5 : 6,25) • 7
8-0,0125+ 6,9
43. Найти 7 2 % от числа
(13 Т ~ 2 5У - 40 ? ) ’230,04 + 46,75
оди
44. Пайти число, если 26 % его составляют
л 1 . 9 1 , 1 1
_____6 14 30 3 63
: ^(’тг-^И-ф1-25
' 45. Вычислить:
(’-51И4тг-д ;4)4)
+ 0,25 : 13 i-
24 3
47. Найти х из пропорции
3,6 х
- =3 к
Л 4 -15 : 2,2 1,5 + 2 \ + 3,75
8 3
48. Найти л, если
7 2 1/13 4
- • 1 - + 43,75 :х -3,72 + 1 — •( 37,5 : 2 -ф - 1 — -9 )=9,ОЗ.
9 7 45 \ 12 23 J
49 (устно). Сумма скоростей движения теплохода по течению реки и против
течения равна 29 км/час. Найти скорость теплохода в стоячей воде.
50 (задача-шутка). Летели галки, сели на палки. Сели ло одной - галка лишняя,
сели по две - палка лишняя. Сколько было галок и сколько было палок?
28
ГЛАВА 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Рациональные числа
Пусть т и п —натуральные числа.
т „ _
Дробь — называется положительным рациональным числом. Дробь
п
(т \
~ — I будем называть отрицательным рациональным
п /
числом. Такую дробь можно рассматривать так же, как частное отделения
отрицательного целого числа -т на натуральное число п.
а
Определение. Рациональным числом называется число вида — ,
b
где а — целое число и b — натуральное число.
а
В частном случае, когда b = 1, полак аем у = а.
Множество рациональных чисел состоит из всех целых и дробных чисел.
Оно содержит в себе как часть множество целых чисел.
а с
Два рациональных числа - и —
b d
считаются равными:
с
— , если ad < Ьс.
d
— = — , если аа = Ьс.
b d
По определению
ас а
— > — , если ad > be, и —
ba b
-з -6
Например, —— > — , так как (—3) 7 = —21, 4- (--6) = —24 и —21 >
> -24.
Нац рациональными числами можно производить действия сложения,
вычитания, умножения и деления (кроме целения на нуль). Правила этих
действий такие же, как для обыкновенных дробей (§ 4 гл. ]). При выпол-
нении четырех арифметических действий (кроме деления на нуль) нац
рациональными числами всегда получаются рациональные числа.
3 амечание. Так как целое число есть частный вид рационального
числа, то возникает вопрос: нс противоречат ли введенные теперь действия
ранее установленным арифметическим действиям над целыми числами?
29
Если а и b — целые, го
a b а + b a b ab
т е, противоречия нет. Проверка для вычитания и целения не нужна, так
как эти действия определяются как действия, обратные соответственно
сложению и умножению.
Любое положительное рациональное число и нуль можно представить
в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной периодической (см.
§ 5 гл. 1) Конечную десятичную дробь будем записывать в виде беско-
нечной периодической дроби с периодом, равным нулю.
1 9
Например, у = 0,2 = 0,200 ... = 0,2(0), - - = -2,25 = -2,25000 ... =
= -2,25 (0), 0 = 0,000 ... = 0, (0).
Приведем без доказательства следующую важную теорему.
Теорема. Любое рациональное число можно представить в виде
бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: любая бесконечная периодиче-
ская десятичная дробь может быть представлена как частное двух целых
чисел и поэтому является рациональным числом.
Например,
1 13 4
- - = -0,125(0), - — = -2,1(6), - — = -0,(32),
о о 33
311 13 7
-0,3(14) =--------, -2,(13) = -2 — , -0.(7) =------------
990 99 9
(см. соответствующие примеры для положительных дробей в § 5 гл. 1).
Условимся в дальнейшем не использовать бесконечные десятичные
дроби с периодом 9. Вместо таких дробей будем записывать равные им
конечные десятичные дроби или бесконечные десятичные дроби с перио-
дом 0
Например,
-0,(9) =-1,(0), -4,12(9) = -4,13 = -4,13(0).
§ 2. Иррациональные числа
Наряду с бесконечными периодическими десятичными дробями будем
рассматривать бесконечные непериодические десятичные дроби.
Если бесконечная десятичная дробь - непериодическая, то она не явля-
ется раниолальным числом.
Например, дробь 0,101001000100001 . . . , в которой после первой
цифры 1 сюит один нуль, после второй цифры 1 — два куля, и вообще,
30
после n-й цифры 1 стоит п нулей, не является периодической: в ней ника-
кая группа цифр не будет периодом, нет периода и сразу после запятой
и после любой из цифр. Эта дробь не представляет никакого рациональ-
ного числа.
Бесконечные непериодические десятичные дроби определяют новые,
не рациональные числа.
Определение. Иррациональным числом называется бесконечная
непериодическая десятичная дробь.
Иррациональные числа, так же как и рациональные, могут быть по-
ложительными и отрицательными.
Например, 0,101001000103001 ... - положительное иррациональное
число; —2,07007000700007 ... — отрицательное иррациональное число.
Необходимость рассматривать иррациональные числа будет показана
в гл. 4 при изучении корней. Примером иррациональных чисел могут слу-
жить квадратные и кубические корни из натуральных чисел 2, 3, 5, 6, 7
и т.д., не являющихся соответственно квадратами или кубами натураль-
ных чисел.
Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней.
Например, число л = 3,14 . . . , равное отношению длины окружности к
ее диаметру, является иррациональным числом.
§ 3. Понятие дейсгвигельного числа
Рациональные и иррациональные числа образуют множестве действи-
тельных чисел.
Таким образом, действительное число обозначает число либо рацио
пальное, либо иррациональное.
Всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятич-
ной дроби, т.е. дроби вида
+ Дц, Д;Д2Дз . . . , — До, • • • >
где д0 - целое неотрицательное число, а дь д2, д3, . . . обозначают какие-
либо из десяти цифр: 0, I, 2, 3,4, 5,6, 7, 8, 9.
Например, в записи действительного числа
х = + 247,9836 ...
число До = 247, а первые три десятичных знака
Д! =9, д2 = 8, Hj = 3.
Если число рациональное, то дробь периодическая; если же число ир-
рациональное, то дробь непериодическая.
Действительное число может быть положительным, отрицательным
или равным нулю.
Бесконечная десятичная дробь равна нулю, если все цифры в ее записи —
пули.
31
Положительное действительное число — это десятичная дробь, не равная
нулю, со знаком ”+”, а отрицательное - со знаком Знак перед
дробью обычно опускаеюя.
Например, х = 247,9836 ... — положительное число, у = -15,834 , . . —
отрицательное число.
Два действительных числа
называются противоположными. Все соответствующие цифры в их записи
одинаковы; отличие только в знаке.
Два положительных действительных числа
х = а0, • • • и у = &о, btb2b3 • •
считаются равными: х ~ у, если а0 = й0, а{ = Ь2, а2 = Ь2, а3 =Ъ3 . . и т.д.
Пня отрицательных действительных числа равны, если равны противо-
положные им числа.
Из двух положительных действительных чисел
х = at,, а\а2а3 ... и у = bc, b\b2b3 ...
число х больше числа у (или у меньше х):
х > у (или у < х),
если а0 > Ьо либо ас = Ьо, но at > blt либо если а0 = 50 и ах = blt но
а2 > Ь2 и т.д.
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное
(положительное) число меньше. Положительное число больше нуля и
любого отрицательного числа. Нуль больше любого отрицательного числа.
Согласно этим определениям для любых действительных чисел х и у
имеет место и притом только одно из соотношений:
х = у, х > у, х < у.
Пример. Сравнить числа —2,7 и—2,(7).
Решение. Так как
-2,7 = -2,700 ..., -2,(7) = -2,777 ...
и 2,700 ... < 2,777 ..., то -2,7 > -2,(7).
Каждое действительное число, заданное бесконечной десятичной дробью,
можно приближенно заменить конечной десятичной дробью.
Например, для числа 1,2(34) конечные десятичные дроби
1,2; 1,23; 1,234; 1,2343; 1,23434;...
являются приближением этого числа с недостатком. Дроби
1,3; 1,24; 1,235; 1,2344; 1,23435:..
дают приближение числа 1,2(34) с избытком.
32
Для числа —0,1234567 ... конечные десятичные дроби
-0,1; -0,12; -0,123; -0,1234; -0,12345;...
являются приближением этого числа с избытком. Дроби
-0,2; —0,13; -0,124, -0,1235; -0,12346; ...
дают приближение числа —0,1234567 ... с недостатком.
Нам известно (см. § 4 гл. 1), как выполняются арифметические дейст-
вия над конечными десятичными дробями Арифметические действия
над действительными числами, т.е. бесконечными десятичными дробями,
обычно заменяются действиями над их приближениями.
Для действительных чисел сохраняются все основные свойства ариф-
метических действий над рациональными числами. Строгое обоснование
этих действий и их свойств приводится в курсе высшей математики.
Любое действительное число можно представить в виде суммы двух
слагаемых, причем различными способами. Например, число 27,2 можно
записать в виде суммы чисел 10 и 17,2 или 20 и 7,2, или 18,1 и 9,1, или
—3 и 30,2, и т.д. Будем представлять действительное число и в виде суммы
таких двух слагаемых, одно из которых является целой частью данного
числа, а другой — его дробной частью.
Определение. Целой частью действительного числа х называется
наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозна-
чается [х].
Например,
[27,2] = 27, [0,54] = 0, [-3] = -3, [-4,6] = -5.
Бели х — целое число, то [х] = х. Еслих — нецелее число, то [х] < х;
в этом случге число х заключено между двумя последовательными це-
лыми числами: [х] < х < [х] + 1. Таким образом, при любом х перпо
неравенство [х] < х < [х] +1.
Определение. Дробной частью действительного числа х называ-
ется разность между' числом х и его целой частью. Дробная часть числа х
обозначается {х}. Таким образом,{х} = х - [х].
Например,
{27,2}= 27,2 - [27,2] = 0,2, {0,54} = 0,54 - [0,54] = 0,54,
{-3} = —3 - [-3] =0, {-4,6} = -4,6- [-4,6] =-4,6-(-5) =0,4.
Так как [xj Сх < [х] + 1, то 0 <х - |х] < 1, т.е. при любом х зерно
неравенство 0 <{х} < 1. Дробная часть числа есть неотрицательное число,
меньшее 1.
Согласно определению дробной части числа {х } = х - [х]. Отсюда х =
= [х] + (х), т.е. любое число можно представить в виде суммы его целой
и дробной частей. Например,
27,2 = 27 + 0,2; 0,54 = 0 + 0,54; -3 =-3 + 0; -4,6 = -5+0,4.
33
§ 4. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
Определение. Модулем (или абсолютной величиной) действи-
тельного числа а называется:
1) само это число, если а — положительное;
2) нуль, если с = 0;
3) число —а, если в — отрицательное число.
Модуль действительного числа а обозначается | а |. Таким образом,
। а, если а > 0,
Ifll =
| -а, если а < 0.
Для любого числа его модуль есть число неотрицательное: | а | > 0,
причем | а | = 0 только при а = 0. Например, | 24 | = 24,1—71 = — (—7) = 7,
1-13,2 [=—(—13,2) = 13,2.
Противоположные числа а и -а имеют равные модули: I а I = |-л[.
Например, | 5 | = | —5 | = 5.
Из определения модуля числа следует, что
I а | > а, | д I > -а.
В самом деле, если а 0, то | а | = а и подавно I а | > —а. Если а < 0,
то | в I = -а и подавно | а | >а, так как | а | > 0.
Основные свойства модулей.
1) Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих
чисел:
|ai| = |а| • I b I.
Доказательстве. Если хотя бы одно из чисел а или b равно 0,
то рассматриваемое равенство очевидно. Возможны следующие случаи:
а) а > 0, Ъ > 0; б) а > 0, b < 0; в) а < 0, b > 0; г) а < 0, b < 0. Рассмот-
рим случай г). Так как а < 0, b < 0, то ab > 0. В этом случае I а । = -а,
161 = -6, |ай|=а6 = (-а)-(-6)=!а| • |6|.
Аналогично рассматриваются остальные случаи. Свойство модуля произ-
ведения доказано.
2) Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел:
- - _La 1
ь " 16 1
(6 4- 0).
3) Модуль суммы двух чисел меньше или равен (говорят также "не-
больше'’) сумме модулей этих чисел :
I а + b I < I а | + | b |.
4) Модуль разности двух чисел меньше или равен сумме модулей этих
чисел:
\а-Ъ j < |а! + |6|.
34
Кроме того,
\a-b\> U! - |6|.
Например,
|3 + 8| = |3! + 18|,
|3-8| < |3| + | 8 |,
|3 + (-8)| <|3| + |-8|
|3-8| > | 3 Г- | 8 |.
§ 5. Числовая прямая и числовые промежутки
Построим прямую. Отметим на ней начало отсчета — точку О, выберем
на ней единицу длины и зададим направление (рис 1). Из двух возможных
направлений на прямой одно из них называется положительным (на рис. 1
обозначается стрелкой), а другое - отрицательным. Прямую, на которой
выбрало начало отсчета, положительное направление и введен масштаб,
называют числовой прямой или числовой осью.
Для наглядности действительные числа изображают точками чизлевой
прямой.
Чтобы изобразить данное число х, в принятом масштабе строим отрезок
ОМ рдюи.1 | х |, откладывая его от точки О в положительном направлении
на числовой прямой, если х > 0, и в отрицательном направлении, если
х < 0. Точка М соответствует числу х. Числу пуль соответствует качало
отсчета — точка О. Каждому действительному числу отвечает вполне опре-
деленная точка числовой прямой.
И обратно, каждой точке числовой прямой отвечает определенное дейст-
вительное число (изображением которого и служит эта точка).
Например, чтобы найти на числовой прямой точку В, соответствующую
числу 3, надо в положительном направлении последовательно отложить
от точки О три единичных отрезка (рис. 2). Чтобы найти точку С, соот-
ветствующую числу —4, надо от точки О отложить четыре единичных
отрезка, но в направлении, противоположном положительному. Чтобы
0 _______м ЕС ЗА 3 3 F
1 х -5 -Ь 0 1 2#3 J *
Рис. 1 Рис. 2
3
отметить точку D, соответствующую числу 2 у , надо от точки О отложить
в положительном направлении два и еще три пятых единичного отрезка.
Если точка М соответствует числу х, то говорят, что точка М имеет
кооодинату х, и записывают М (х). Например, на рис. 2 О (0), А (1), В (3),
/ 3 \
С(- 4), D ; 2 — I. Координата точки определяет се положение на число-
вой прямой.
2 »
35
Если точка М имеет координату х, то модуль числа х равен длине от-
резка ОМ.
Например, точка С имеет координату — 4 и длина отрезка ОС равна 4,
Противоположные числа а и -а изображаются на числовой прямой
точками, расположенными симметрично относительно начала отсчета,
так как 1 а | = | -а I. На рис. 2 числа -5 и 5 изображены точками F(—5)
и F (5), равноудаленными от точки О.
Если числовая прямая — горизонтальная, то положительные числа
изображаются точками, расположенными справа от начала отсчета, а отри-
цательные числа — слева. Из двух чисел меньшим будет то, которое рас-
положено левее, а большим — то, которое расположено правее.
Например, из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого
меньше:
-2 > —3, так как | —2 I < | — 3 |;
— 4,8 < —3,6, так как 1 — 4,8 ' > |-3,6 | .
Пусть М1 (х,) и М) (х2) — точки, расположенные на числовой прямой.
Справедлива следующая формула для расстояния между двумя точками
на числовой прямой:
М,Мг = |х2 -х( |, (1)
где М\М2 — длина отрезка МХМ2.
Например, если Л(1) и 5(3), то по формуле (1)
АВ = | 3 - 1 | = 2.
Из рис 2 видно, что в этом случае
АВ = ОВ-ОА = 3 - 1 = 2.
( 3 \
Например, если С(-4) и D [2 — I, то по формуле (1)
3
CD -- 2------(-4) = 6 - .
5 5
3
5
Из рис. 2 видно, что в этом случае
3 3
CD = ОС' + OD = 4 + 2 - = 6 -.
5 5
Поэтому доказательство формулы (I) сводится к рассмотрению различ-
ных случаев расположения точек Mi и М2.
Пусть а и b — действительные числа и а < Ь.
Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст-
вам а С х =5 Ь, называется числовым отрезком (или просто отрезком)
и обозначается [а-, Ь].
36
Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст
вам а < х < Ь, называется интервалом и обозначается (a; b).
Множества всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст-
вам а < х < Ь, а < х <Ь, назывьютсяполуингерьалами и обозначаются
соответственно [a; b), (а; й].
Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежут-
ками. На числовой прямой промежутку соответствует некоторый геометри-
ческий отрезок с включением в него концевых точек или без включения
их в зависимости от типа промежутка.
-2 1 2 б -12
Рис. 3 Рис. 4
Например, отрезок [—2; 1] — это множество всех чисел х, удовлетво-
ряющих неравенствам —2 < I; полуинтервал (2; 51 — это множество
всех чисел х, удовлетворяющих неравенствам 2 < х < 5 (рис. 3)
Рассматриваются также бесконечные промежутки. Например, [а: + °°) —
множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х а; (а; + «>) —
множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х > а, и т.п.;
(— оо; + оо) - множество всех действительных чисел. На числовой прямой
бесконечные промежутки изображаются лучами.
Например, [2, + °°) — это множество всех чисел х, удовлетворяющих
условию х > 2; (—«; —1) — это множество всех чисел х, удовлетворяю-
щих условию х<— 1 (рис. 4).
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Выполнить действия.
-4^(-22)-4,7S-(-7±)
2. Выполнить действия:
28 - 25 4,8 + 5 у : (7,95 - 10,45)
<-’> Н) <-0.1> (-|)-2».<
3. Верно ли равенство
Л2_ о,25)-0,4 7-бхл-
\ 8 ’ 1 20
17,04 = —1?
37
4. Верно ни равенство
2,4 (1з|: 6 + 69,3 : 19,8 j - 13,68
4 5_________________________
(-5)(’|)+(“ °’8):(“4)
5. Расположить действительные числа в порядке возрастания;
-0,1423...;-0,1 (4); X; 0,1(25); |.
6. Расположить числа в порядке убывания их модулей:
0,125; -2,6(3); i-; 0,112; -2,63.
7. При каких значениях х серны равенства:
а) I - х | = х; б) х + I х | = 0; в) х j х | = х2; г) = - 1?
8. При каких значениях х верны неравенства:
а) I -х I <х; б) х - |х | >0; в) х|х | >х2; г) - 1?
I х |
9. Найти х, если
а) | х - 1 | = 1; б) I х + 2 | = 3; в) х + | х | = 2х.
10. Найти расстояние между точками числовой прямой:
а) Л (-5, 3) иВ (- 3,9); б) Л в) Л (0,23)ив/|1
11. Доказать геометрически, что если |х-в| = |х-В|, где а ¥= Ъ, то х =
РАЗДЕЛ II
12. Выполнить действия:
L.S.a-».6,(-41)
27,5 344 1+336,25
13. Выполнить действия:
55 ‘ п: (_ 1,25): (-0,1)'(-0,2)
(7,2 + 8,4 - 22,4) - (15,56 - 22,4) + 0,1 • (- 0,3) ‘
14. Верно ли равенство
-2,5-8.3:6.875+|
\ 8
38
15. Верно ли равенство
4,7 - 3,5 7-2у+
’ \ ?5/
18’
16. Расположить действительные числа в порядке убывания:
5
1,4; ; -0,(12); 1(4); -0,1234..
17. Расположить числа в порядке возрастания их модулей:
3,1; -3,(1); -0,18.
18 (устно). Найти целые части: [48.3]; [0.29]; [-5,7].
19 (устно). Найти дробные части: {-2}; (3,9); {-7,15}.
20 (устно). При каких значениях х верны равенства:
а) х’lx I =х3; б) I х2 | -х-х3; в) х3 = |х !3; г) х3 = I х31?
21 (устно). При каких значениях х верны равенств?.
а)|х-3| = 0; б) |х-3 1=1; в)|3-х| = 1; г)|х-3| = -1?
22 . Найти расстояние между точками числовой прямой:
а) А (0,2) и В (-0,7); б) Л | . jw /И
23 . Доказать геометрически, что если I а | = | b |, то а = b или а = - Ь.
ГЛАВА 3
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Приближенные значения величин. Метод границ
Числовые значения величии можно получить в результате их измере-
ния. Однако истинное (точнее) значение величины найти обычно не уда-
ется и можно получить только приближенное ее значение с недостатком
или с избытком.
Например, при взвешивании было установлено, что масса тела больше
19 г, но меньше 21 г. Пусть т - числовое значение массы. Тогда 19 < т <
<21; 19 — приближенное значение массы с недостатком, а 21 — ее приб-
лиженное значение с избытком. Установлены границы числового значения
массы: число 19 - нижняя граница, число 21 - верхняя граница.
Зная границы значения одной величины, можно оценить значение дру-
гой величины, зависящей ст нее.
3?
Пример 1. Дано; 3 < х < 5. Требуется оценить значение величины
1
—, т.е. найти границы значения этой величины.
х
11 1
Решение. Зак как 3 < х, то — > — ; так как х > 0 и х < 5, то— >
3 х х
1
> —. Следовательно,
-< - -
5 х 3
Принято границы значения величины представлять в виде десятичных
дробей.
1 1
Заменим границы значения — десятичными дробями. Пои этом — =
х 5
1
- 0,2, — = 0,333... * 0,4 (приближенно с избытком). Следовательно.
1
0,2 < - <0,4
х
1 1
Взяв — =» 0,3 (приближенно с недостатком), получили бы 0,2 < — <
3 х
< 0,3, что могло бы оказаться неверным для неизвестного нам точного
1
значения дроби —. Поэтому нижнюю границу можно заменить только мень-
х
шим числом (приближением с недостатком), а верхнюю — только боль-
шим числом (приближением с избытком).
Задача. Пусть а и b - приближенные значения числа х, взятые соот-
ветственно с недостатком и с избытком. Тогда
a<x<b. (1)
Если cud — приближенные значения числа у, взятые соответственно с не-
достатком и с избытком, то
с < у < d. (2)
Найти оценки значений суммы, разности, произведения и частного этих
чисел.
Решение. Применяя к неравенствам (1) и (2) свойство о почлен-
ном сложении неравенств одинакового знака, получаем
а + с<х +у <b +d, (3)
т.е, а + с - нижняя граница суммы х+у, ай + d — ее верхняя граница.
40
Из неравенств (1) и (2) почленным вычитанием получим
a-d<x-y<b -с, (4)
т.е. нашли оценку разности х-у.
Пусть а > 0, с > 0. Тогда, почленно умножая неравенства (1) и (2),
будем иметь
ас < ху < bd. (5)
Аналогично при условии а > 0 и с > 0:
(6)
dye
Неравенства (3), (4), (5), (6) позволяют оценить сумму, разность,
произведение и частное с помощью метода границ.
Пример 2. Дако: 2<х<4, 1<у<3. Оценить значениях + у, х - у,
х
ху,
У
Решение. Применим неравенства (3), (4), (5), (6) .
2 х
3<х+у<7, -1<х-у<3, 2<ху<12, — <— <4.
3 У
2 х
Так как — = 0,665.. ^0.6 (с недостатком), то 0,6 < — < 4.
3 У
§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть х - точное значение некоторой величины, а - ее приближенное
значение, взятое с недостатком или с избытком: х ^а.
Разность точного и приближенного значений величины называется пог-
решностью приближения.
Например, х = 4,25, число а = 4,2 - приближенное значение числа х с
недостатком, число b = 4,3 - приближенное зна чение числа х с избытком.
Если взять х то погреншость приближения
х-а = 4,28-4,2 = 0,08.
Если взять х = Ь, то погрешность приближения
х - 6 = 4,28 - 4,3 = - 0,02
Погрешность приближения с недостатком всегда положительна, а пог-
решность приближения с избытком всегда отрицательна.
Абсолютной погрешностью Д (читается ’’дельта”) приближения назы-
вается модуль разности точного и приближенного значений величины:
|х -а | = Д.
41
Чем меньше абсолютная погрешность, тем ближе приближенное зна-
чение величины к ее точному значению.
3 рассмотренном примере абсолютная погрешность приближения с не-
достатком
|х - а I = | 0,08 | = 0,08,
а абсолютная погрешность приближения с избытком
|х- Ъ | = |-0,02| = -(-0,02) = 0,02.
Следовательно, лучшим из двух приближенных значений числа х является
его приближение с избытком: оно меньше отличается от числа х.
а-л a J д +л
Рис. 5
Если М(х) и А (а) - две точки числовой прямой, то расстояние между
ними
AM=lx-a |
(по формуле (1) гл. 2). Абсолютная погрешность А = |х - а\ равна длине
отрезка между точками с координатамих на.
Пример 1. Найти число х, если его приближенное значение а = 0,8 и
абсолютная погрешность Д = 0.01.
Решение. Так как |х - а | = Д, то х - а + Д либо х = а - Д (рис. 5).
Поэтому х =0,8 + 0,01 =0,81 либо х = 0,8 - 0,01 =0.79.
I
Пример 2. Обратить число х = — в десятичную дробь и округлить
ес соответственно до десятых, сотых и тысячных. В каждом случае найти
абсолютную погрешность
1
Решение. Так как — = 0,333..., то в результате скругления до деся-
тых, сотых и тысячных получим значении 0,3; 0,33; 0,333 Находим, что
1
30 ’
1
- -0,3
3
1
- - 0,33
3
1
300’
1
--0,333
3
1
3000'
т.е. с увеличением точности вычислений абсолютная погрешность умень-
шается.
Точность приближения х « а определяется величиной абсолютной пог-
решности Д = |х - в|. Практически точное значение х неизвестно, и, сле-
довательно, точного значения абсолютной погрешности мы обычно не
знаем. Поэтому приходится оценивать абсолютную погрешность некото-
рым положительным числом h > Д. Число h называется границей абсолют-
ной погрешности-. |х - a ' <й.
42
При эхом число а называю: приближенным значением числа х с точ-
ностью до hn записывают х =a + h.
Из условия | х - а 1 < h следует, что на числовой прямой точка с коор-
динатой х удалена от точки с координатой а не более чем на Л, т.е. а - h <
<д + h
Пример 3. Найти границы числа х = 10,6 ± 0,5.
Решение. Так как а = 10.6 и h = 0,5, то
10,6- 0,5 10,6+ 0,5,
т.е. 10.1 <х < 11,1.
Пример 4. Известно, что 1,56 <х < 1,60. Вычислить приближенное
значение, равное среднему арифметическому границ, и найти точность приб-
лижения.
Решение. Находим среднее арифметическое чисел 1,56 и 1,60:
1.56 + 1,60
-2—------- = 1,58
2
Тогда х 1,58, а = 1,58. Точность приближения h в этом случае равна
полуразкости границ, т.е.
Поэтому х = 1,58 ± 0,02.
Абсолютная погрешность недостаточно характеризует качество изме-
рения или точность вычисления. Например, при измерении (в сантиметрах)
толщины d книги к высоты Н стола получим, что d = 3±0,5,Я = 100±0,5.
Граница абсолютной погрешности h = 0,5 сама по себе невелика, тем не ме-
нее результат измерения толщины книги (d =» 3 см) является по срав-
нению с результатом измерения высоты стола (/7 я» 100 см) весьма грубым.
Таким образом, чтобы сравнивать точность вычисления (измерения), необ-
ходимо знать, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная
погрешность. Мы приходим к понятию относительной погрешности.
Относительной погрешностью 8 (читается ’’дельта”) приближения назы-
вается отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного зна-
чения величины
Д _ | х - д |
I д I | Д I
Обычно относительную погрешность выражают в процентах.
На практике пользуются и понятием границы относительной погреш-
ности (аналогично случаю абсолютной погрешности).
43
Пусгь Д Тогда число е (читается ’’эпсилон”):
h
е -----
!al
называется границей относительной погрешности; при этом 6 <е.
Так как h = | а | • е, то запись
х =а ± h
может быть представлена в виде
х = й(1 ±е).
03
В рассмотренном примере d = 3 ±0,5. Так как h = 0,5, то е = -— =
1
= — = 0,166..., е = 0,167 или е = 16.7%.
6
Значит, при измерении толщины книги относительная погрешность
0,5
не превосходит 16,7 %. В том же примере Н = 100 - 0,5. Отсюда е = ~
1
= — или е = 0,5 %. При измерении высоты стела относительная погреш-
ность нс превосходит 0,5 %. В этом случае качество измерения выше.
§ 3, Запись приближенны* значений чисел.
Стандартный вид числа
На практике вычисление абсолютной и относительной погрешностей
приближенного значения числа для характеристики его точности произ-
водится не только способом, рассмотренным в § 2. Часто точность приб-
лиженного значения числа характеризуется указанием количества его вер-
ных значащих цифр.
Значащими цифрами десятичной дроби называют все ее цифры, кроме
нулей, расположенных левее первой, отличной от нуля цифры.
Например, у дробей 4,321 и 0,0170 значащими являются подчеркнутые
цифры. Число значащих цифр равно соответственно четырем и трем.
Значащими цифрами целого числа называют все его цифры, кроме
нулей, расположенных в конце числа, если они стоят взамен неизвестных
или отброшенных цифр.
Например, число 1234 имеет четыре значащие цифры, точное число
1200 - тоже четыре, приближенное число Я)0, полученное в результате
округления 512, имеет одну значащую цифру (подчеркнутые цифры явля-
ются значащими).
44
Цифра какого-либо десятичного разряда в записи приближенного зна-
чения числа называется верной, если абсолютная погрешность приближения
не превосходит единицы этого разряда.
Сомнительными называют вес цифры приближенного значения чис-
ла, расположенные правее последней верной цифры.
Пусть, например, х = 4.63 ±0,05. Это означает, что число принадлежит
отрезку |4,63 - 0,05; 4,63 + 0.05], т.е. 4,58 <х <4,68.
В записи 4,63 приближенного значения числах цифра 6 является верной,
так как граница абсолютной погрешности h - 0,05 меньше единицы разря-
да десятых (неравенство 0,05 <0,1 - верное). Очевидно, что верной будет
и цифра 4, расположенная левее цифры 6. В записи 4,63 цифра 3 является
сомнительной, так как h = 0,05 больше единицы разряда сотых (неравен-
ство 0,05 <0,01 — неверное).
За приближенное значение числа х возьмем число 4,6, полученное в ре-
зультате округления числа 4,63 до десятых, т.е. до первой справа от запя-
той верной цифры.
Правила округления чисел. Чтобы округлить число до п значащих цифр,
отбрасывают вес его цифры, следующие после и-го разряда, или, если это
нужно для сохранения разряда, заменяют их нулями. При этом:
1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, тс последняя сох-
раняемая цифра не изменяется;
2) если же первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все остальные
отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя сохраняемая циф-
ра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если сна
нечетная;
3) если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то послед-
няя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Погрешность скругления не превосходит пяти единиц первого отбро-
шенного разряда.
В вычислительной практике рекомендуется оставлять в записи при-
ближенного числа только верные цифры, так как все цифры, следующие
за верными, увеличивают объем работы без значительного повышения
точности вычислений. В такой записи границу абсолютной погрешности
можно и не указывать, так как ясне, что абсолютная погрешность не пре-
восходит единицы последнего сохраняемого разряда числа.
Например, запись х 5,32 означает, что абсолютная погрешность не пре-
восходит 0,01, т.е. х = 5,32 ± 0,01. Если же х « 5,320, то х = 5,320 ± 0.001.
В науке и технике часто используются очень большие и очень малые
(положительные) числа. Такие числа удобно записывать в стандартном ви-
де с сохранением только верных цифр, т.е. в виде а • Ю", где 1 <а <10,
а и — целое число.
Например, диаметр Солнца 1390600000 м = 1,3906-10’ м, диаметр
молекулы воды 0,00000003 см = 3 • 10-8 см, масса Земли 5,98 Ю24 кг,
скорость света 2,99793 • 108 м/с и т.п.
45
В записи приближенного значения числа х « а- 10", представленного в
стандартном виде, абсолютная погрешность не превосходит единицы пос-
леднего сохраняемого числа а, умноженной на 10".
Например, запись х « 5,3 103 означает, что абсолютная погрешность не
превосходит 0,1 • 103, т.е х = 5,3 • 103 ±0,1 • 103 илих = (5,3+0,1) • 103.
Еслих «5,3 • 10"3, тох = (5,3 + 0,1) 10"3.
§ 4. Сложение и вычитание приближенных значений чисел
Пусть а и b - приближенные значения чисел х и у с точностью до ha и
hb, т.е. х = а ± ha или а - ha <х <а + ha.y = b ± hbicmb -hb ^y<=b + hb.
Требуется определить границу абсолютной погрешности суммы а + b
Применяя свойсгво о почленном сложении неравенств, получаем
a + b -(ha+hb) <х + у ^a + b + (ha + hb),
т.е.
х +у ~ а + b ± (ha + hb).
Таким образом, граница абсолютной погрешности суммы равна сумме
границ абсолютных погрешностей слагаемых: ha^b = ha + hb. Это верно
и для любого конечного числа слагаемых.
Поэтому граница относительной погрешности суммы
_ ha + hb
ea+b ~ ’
а + b
если а > 0, b > 0.
Из формулы haTb = ha + hb следует, что граница абсолютной погреш-
ности сумм не может быть меньше границы абсолютной погрешности
каждого слагаемого, даже наименее точного. С какой бы степенью точ-
ности ни было найдено другое слагаемое, мы не можем за ею счет увели-
чить точность суммы.
Отсюда вытекает правило сложения приближенных значений чисел,
которое часто применяется при вычислениях.
Сначала округляют данные числа, сохраняя столько десятичных зна-
ков, сколько их имеет наименее точное данное число, и затем выполняют
сложение.
Пример 1. Найти сумму чисел at = 0,423, аг = 72,8 и д3 = 14,715,
если все значащие цифры данных чисел - верные.
Решение. Слагаемое а? имеет наименьшее число верных десятичных
знаков (один знак). Округлим слагаемые at и а3 до одного десятичного
знака. Получим
0.4 + 72,8+ 14,7 = 87,9.
Отсюда
0,423 + 72,8 + 14,715 «0,4 + 72,8 + 14,7 = 87,9
46
Аналогично сумме находится граница абсолютной погрешности разнос-
ти приближенных значений чисел:
ha_b~ ha + hb.
Поэтому граница относительной погрешности разности
еа-ь = —----г—
I <а - £ I
Отсюда следует, что при вычитании достаточно близких друг к другу приб-
лиженных чисел а и b величина еа_ь может оказаться очень большей, т.е.
может произойти потеря точности.
Например, еслиа = 1,234, b = 1,238 и ha =hD =0,001, то
0,001^+0,001___ _ 0,002 _ £
e“~b ~ | 1,234 - 1,238 | " 0,004 ~ 2
или еа_й = 50%. Поэтому избегают выполнять вычитание двух почти рав-
ных приближенных чисел.
При вычитании приближенных значений чисел применяется правило,
такое же, как при сложении.
Пример 2. Найти разность х - у, если х «<7,25,у =» 3,8245,
Р е ш е н и е. Округлим число 3,8245 до двух десятичных знаков:
3,8245 «<3,82. Получим
7,25 - 3,8245 «<7,25 - 3,82 = 3,43.
Отсюда х - у «< 3,43.
§ 5. Умножение и деление приближенных значений чисел
Пусть х = а ± й4, у = b ± hb, прячем а > 0, b > 0. Требуется определить
границу абсолютной погрешности произведения ab.
Числа х и у заключены в границах
а - ha + 71д. b - hb <у + hb.
Допустим, что а - ha > 0, b - hb>0. Тогда, применяя свойство о почлен-
ном умножении неравенств, получаем
ab - ahb - bha +haHb <xy<ab +ahb + bha +hakb.
Отсюда
xy=ab+hahb ±(ahb +bha').
Пренебрегая произведением hahb, находим,что приближенно
hab ~ahb +bha.
Используя эту оценку для границы абсолютной погрешности произве-
47
дения, имеем оценку (приближенно) для границы относительной погреш
ности
ей, + bha ha hb
Gab ~ ~ eb‘
ab a a
Граница относительной погрешности произведения равна (приближенно)
сумме границ относительных погрешностей сомножителей.
Во многих задачах абсолютная по1решность является малой величиной
сравнительно с точным и приближенным значениями. Если ha и hb малы
ло сравнению с а и Ь, то можно пренебречь членом ha hb и применить полу-
ченные выше оценки для величин hab и еаЬ.
Отсюда вытекает правиле умножения приближенных значений чисел,
которое часто применяется при вычислениях. Данные числа и оконча-
тельный результат округляют, сохраняя столько значащих цифр, сколь-
ко их имеет то из данных чисел, у которого наименьшее число значащих
цифр.
Пример 1. Найти произведение чисел х & 3,491 и у » 8,6.
Решение. Число 8,6 имеет две значащие цифры. Поэтому округ-
лим число 3,491 до двух значащих цифр: 3,491 * 3,5. Найдем произве-
дение 3,5 • 8,6 = 30,1.
Сохраняя две значащие цифры, получим ху ъ 30.
Для оценки границы относительной погрешности частного справедяи
ва формула еа/Ь = еа + с*. На практике сначала находят границу относитель-
ной погрешности частного, затем - границу абсолютной погрешности
частного.
При делении приближенных значений чисел применяется правило, та-
кое же, как при умножении.
х
Пример 2. Найти частное —, еслих *39,57 и у *42,6137,
У
Решение. Округляем число 42,6137 до четырех значащих цифр:
42.6137 *42,61. Находим
39,57
42,61
0,92865...
х
Отсюда — * 0,9287.
У
При решении различных задач часто приходится выполнять совместно
несколько различных действий с приближенными значениями величин. В
таких случаях нужно последовательно применять правила действий с приб-
лиженными числами, выполняя вычисления в соответствии с порядкам
действий.
Пример 3. Вычислить значение выражения х + yz, если х * 104,367,
у* 14,8,z *0,73.
48
Решение. Найдем произведение
уг «14,8-0,73*15-0,73*11.
Отсюда х + yz «104,367 +11 «115.
Замечание. При возведении в степень с натуральным показателем
и извлечением корня в результате сохраняют столько значащих
цифр, сколько их имеет основание степени и соответственно подкоренное
число
Громоздкие вычисления сейчас производятся на микрокалькулято-
рах. Надо иметь d виду, что обычно в калькулятор вводятся приближен-
ные числа и соответственно получаются приближенные числа часто с боль-
шим количеством лишних цифр. Приведенные выше рассуждения могут
оказаться полезными, чтобы разобраться в том, какие из этих цифр можно
без ущерба отбросить.
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1 1 1
1. Найти границы значения выражения — -2, если — <х<
х
2. Оценить значения х + у, х - у, ху, —, если 5<х<6, 2<у<3.
3. Число 5,84 округлить до десятых долей с недостатком и с избытком В каждом
из случаев найти абсолютную погрешность приближения.
4. Найти границы приближения числах = 22,7 ± 0,5.
5. Вычислить приближенное значение х, равное среднему арифметическому границ,
и найти точность приближения, если 8,442 <х < 8,444.
6. Даны два результата измерения длины, выраженные в см: 1Х = 15,0 ± 0,5 и 1, =
= 140,0 ± 0,5. Какое измерение точнее?
7. Найти границу относительней погрешности (в процентах) величины х- 0,230 t
±0,005.
8. По границе относительной погрешности е =0,4% приближенного числа а = 40,2
установить его абсолютную погрешность и границы, между которыми находится само
приближенное число.
9. Приближенное значение величины х заключено между 17,32 м и 17,36 м С какой
точностью произведено измерение?
10. Известно, что х = 83,4 ± 0,5. Какие цифры в записи приближенного числа х яв-
ляются мерными?
11. Записать число х • 2,1 • 103 и число у ®> 3,9 • 10"’ с помощью границы гбеолют-
ной погрешности.
12. Найти приближенные значения суммы и разности чисел:
а) а « 2,38иЬ * 15,41; 6} а 7,2и6 * 4,25.
13. Найти значение выражениям - Ь + с, еслид « 27,345, Ъ ® 13,8, с «5,23.
14. Найти приближенные значения произведения и частного чисел а « 2,05, Л » 12
•- х
15. Найти значение выражения — .если х « 437.5,у « 0,32, z « 84.8.
yz
16. Найти значение а3, если а «3,4.
17. Найти объем комнаты, если се размеры следующие: высота Л « 2,8 м, ширина
a w 3,4 м, длина/ «4,6 м.
49
18. Сколько весит воздух, содержащийся в комнате, размеры которой указаны в
предыдущей задаче, если 1 м3 его весит (1,29 ± 0,01) кг?
19. Расстояние между двумя точками на карте I » 14,3 см. Определить действитель-
нее расстояние между этими точками, если масштаб карты 1 : 2 50С ООО.
20. Найти сопротивление участка цепи, напряжение на концах которого равно 127 в,
а сила тока равна 2,30 а.
РАЗДЕЛ П
2
21. Найти границы (с точностью до десятых долей) значения выражения —, если
6<х<7. 2
22. Найти абсолютную погрешность округления числа — с избытком и с недостат-
ком. 2
23. Представить число х = — в виде десятичной дроби и округлить ее до десятых,
сотых, тысячных долей. В каждом из случаев найти абсолютную погрешность.
24. Округлить число х = 15.28 ± 0,05 до первой справа верной цифры
25. В чем разница между записями 8 кг и 8,0 кг?
26. Числа 28,4501; 28,450; 28,5500 округлить до десятых долей.
27. Записать число 15,12 • 10’ и число у «8,3 • 10"’ с помощью границы абсо-
лютной погрешности.
28. Найти приближенные значения суммы а + Ь и разности а - Ь чисел: а) а « 12,3
и2>«8,121; б) а «13,6 ик «6,7378.
29. Найти значение выражениях+у + z, если х « 13,81,у * 4,6, z «5,197.
30. Найти значение выражения ab - с, если4 » 2,9, & « 13,5, с « 7,563.
31. Найти значение выражения-г.еслих «04,4,3» « 21,25, z «4,15.
ab
32. Найти значение выражения — , если а « 14,2, b « 0,2215, с «4,8-
с
12 3
33. Найти сумму 1у + — + — с двумя точными десятичными знаками.
34. Вычислить приближенное значение выражения, ограничиваясь при обращении
обыкновенной дроби в десятичную точностью до 0,01:
35. Найти значение \[х, если х « 13,24.
36. Сторона квадрата равнял = 2,52 х 0,01 см. Вычислить площадь квадрата.
37. Найти периметр и площадь прямоугольника длиной а и шириной Ь, если а «
«4,8 см, Ь « 14,5 см.
38. На окраску пола в комнате длиной а «5,2 м и шириной b «4,8 м затрачено
2,35 кг краски. Сколько кг краски потребуется цля окраски пола в комнате длиной
/ <6,1 ми шириной^ «5,0 м?
39. Найт силу тока на участке цепи, если его сопротивление R « 3,2 ом и напряже-
ние на этом участке 1/« 0.3 в.
40. Вычислить путь, пройденный телом при равноускоренном движении, по форму-
ет2
лет = — — , если а « 4,3 м/с2, г «4 с.
50
ГЛАВА 4
СТЕПЕНИ И КОРНИ
Кроме арифметических действий для действительных чисел устанавли-
ваются также действия возведения в степень и извлечения корня.
§ 1. Степень с натуральным показателем
Пусть а - действительное число, п - натуральное число.
Определение. Степенью числа а с натуральным показателем
п (и > 2) называется произведение п сомножителей, каждый из которых
равен а:
д" = дл... д, .
л раз
Полагают а 1 = а .
Таким образом, по определению
да. ;. д, если п> 2.
л раз
д , еслип = 1.
При этом число а называют основанием степени, число п — показателем
степени, результат возведения в степень (д") называют степенью с натураль-
ным показателем.
Для второй и третьей степеней числа используются сокращенные назва-
ния: д2 =дд называют квадратом числа д (или а в квадрате), д3 4 5 ~ааа
называют кубом числа а (или а в кубе).
Из определения вытекает:
1) четная степень отрицательного числа есть число положительное;
например, (-5) 20 >0;
2) нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное;
/ 2 \ 15
например, — ) < 0;
3) любая степень положительного числа есть число положительное:
ап >0, если д> 0;
4) при возведении нуля в степень с любым натуральным показателем
получается нуль: 0” = 0;
5) при возведении единицы в степень с любым натуральным показате-
лем получается единица, 1" = 1.
Рассмотрим основные свойства степени с натуральным пока-
зателем.
5)
1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней складываются, т.е.
ат ап = ат+п (т, п - натуральные числа) .
Доказательство.
ат • ап = (аа .. . а') (аа .. . а) - аа ... а
т раз «раз (т+и)раэ
(по сочетательному свойству умножения) . Отсюда а"1 -ап =ат+п.
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели сте-
пеней вычитаются, т.е.
ат
= ат « (<2=/=0; т, п - натуральные числа, пг>п).
Доказательство.
т раз
1, 5 1 сз 1 аа. .. а
а" аа. .. а
п раз
Сократим дробь и получим
(т -и)раз
ат _ аа . . .а
ап ~ 1
п— т
ат 1
Замечание. Если т < п, то — =------
ап ап"т
Таким образом, для натуральных т и п
если т>п,
если т = п, (а^О).
если т < п
ат
сели т=п, то ----= 1
а
3) При возведении степени в степень показатели степеней умножаются,
т.е.
(am )" =атг> (т, п — натуральные числа) .
Доказательство.
«раз
(ст)” = дт ат ,, .ат = + ...+«
п раз
52
(г.о свойству умножения степеней с одинаковыми основаниями). Отсюда
(Дм)и=ати
ап, если п - четное,
4) (-Д)" =
-а , если п - нечетное.
Это свойство сразу вытекает из определения степени с натуральным пока-
зателем
5) При возведении в степень произведения в эту степень возводится
каждый множитель, т.е.
(ab)n =апЬп (п - натуральное число) .
Доказательство.
(ab)n = (ab) (ab) ... (ab) = (аа.. .а) (Ь Ъ ... Ъ)
п раз и раз п раз
(по сочетательному и переместительному свойствам умножения). Отсю-
да (ab)n=an -Ьп.
6) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель
и знаменатель дроби, т.е.
(Ь 0, п - натуральное число).
Доказательство.
п раз
а _ а а а _аа.. .а
Ъ ) ~ Ъ b ’ " b ~ bb...b
п раз п раз
(по правилу умножения дробей). Отсюда
а\п ап
b ) ~ Ъп
Покажем применение этих свойств.
15s -212
Пример 1. Вычислить: — --------— .
Н 352 • З4
153 • 212 _ (3 • 5)3 • (3 • 7)2
352 • З4 (5 7)2 • З4
Решение.
3s •53 • 72
Пример 2. Найти значение выражения (—1,4) 3
З3 53-32 -72
52 • 72 • З4
/ 4 \3
13-1.
\ 7 /
53
з
= —(1,4)3 •
25
7
3
, / 4
Решение. (-1,4)313 —
/ 14 25 \3
-I----—) =- (5)3 =-121
\ 10 7 /
(-2) • (—З)17 — ( —З)16
Пример 3 Выполнить действия: ---------——-----------
25 \
1,4------1
7 /
Решение.
(-2) • (-3)
97 • 15
(_2) • (-3)17 - З16
97 • 15
3*6 (2 3 - 1) _ 31б(6 - 1) _ З16_5 _
(З2)7 -3-5 З14 3 • 5 ' З15 • 5 ”
2 З17 -З*6
97 15
Пример 4 Расположить в порядке возрастания следующие числа:
,0,32, (—1,2)2.
Решение. Найдем
/ т\ з з 27
"" 64 ’
2
2 4
= — =0,16,
25
(0,3)2 = 0,09, (-1,2)2 = (1,2)2 = 1,44.
2 \ 2
-) <(-1,2)2.
Пример 5. Какое из чисел больше:
а) 2300 илиЗ200; б) 544 или 21’2; в) (0,4) 4 или (0,8) 3?
Решение, а) 2,0° = (23)100 =8100, З200 = (32)1Л0 =9100; отсюда
б) 544 = (2 -27)4 = (2 З3)4 = 24 -З12, 2112 = (3 -.7)12 =312 -712 =
= (73)4 -З12 = 3434 -З12; отсюда 2112 >54“;
з
3
в) (0,4)4 = = у, (0,8)3
(— ) 8; отсюда (0,8) 3 > (0,4) 4.
з
23 =
54
§ 2. Степень с целым показателем
Обобщая понятие степени, вводят степени с нулевым и с целым отрица-
тельным показателями.
Определение. Если л У10, то а° = 1.
Выражение 0° не имеет смысла.
Опр еде лени е. Если а =£ 0 ип - натуральное число, то
ап
можно
ап ’
Выражение 0 ~п не имеет смысла
Свойство степени с натуральным показателем
а т~п, если т>п,
1, если т = п, (а *0).
1
—, если т<л
ап~т
»рь, используя понятия степени с пулевым и с целым отри-
цательным показателями, записать в виде
ат
— =ат~п (в=А0)
а
для любых натуральных показателей тип.
Справедливы следующие свойства степени с любым целым пока-
зателем:
1)ц₽-aq=ap*q-,
2)(ap)q =apq ,
4) (ab)p =арЬр;
/а\р ар
5)1-) = -----= ,
V/ ър
где а^О и Ъ # 0 - любые числа, риц — любые целые числа.
Докажем, например, справедливость равенства 4) при р< 0. Пусть
р=—п, где п — натуральное число. Тогда, используя определение степени
с отрицательным целым показателем и свойства степени с натуральным
показателем, получаем
(ab)p = (ab)~n = —— =—-----= — • — =а-пЬ~п =ар1>р.
(ab)n апЬп апЪп
55
18’3-37
П ри м е р 1. Вычислить:——— .
18“3-З7 2s • З7 2s-З7 2s • З7
Решение.------= ——х— = ——= —т—г = 22-3 = 12.
2-5 183 (2-32)3 23-З6
Пример 2. Найти значение выражения: 1,7“3 • 9°: 5,1“3 • 6-3.
Решение. 1,7-3-9° 5,Г3-6’3 = 1,7'3-1 : 5,Г3-6‘3 =
-з
/6 V3 , 1
[ — ) = 2’3 = —.
к 3 / 8
Пример 3. Записать в виде apbq (р, q — целые) выражение
(ай)4
(а2Ь3у3
(а* О, Ь-£0).
Решение.
И)4 _ а4Ь4 _ а4-Ь4 _
(и2-Ь3у3 \а-2у3 -(Ь3)3 аУЬ'9 ° '
§ 3. Квадратный корень. Арифметический квадратный корень
Пусть а — действительное число.
Определение. Квадратным корчем из числа а называется такое
число, квадрат которого равен а.
Например, 7 является квадратным корнем из 49, так как 72 = 49, а
12 является квадратным корнем из 144, так как 122 = 144.
Число —7 также квадратный корень из 49, так как ( — 7 ) 2 = 49; число
—12 - квадратный корень из 144, так как (—12)2 =144.
Вообще, если а > 0 и Ъ - квадратный корень из а, то и - Ъ также являет-
ся квадратным корнем из а: если Ь2 = а, тс и (- ft)2 = fc2 = а; если а = О,
то b = 0.
Действие нахождения квадратного корня из числа называется извле-
чением квадратного корня. Это действие является обратным к возве-
дению в квадрат.
Возводить в квадрат можно любые действительные числа, по извле-
кать квадратные корни можно не из любого действительного числа. На-
пример, нельзя извлечь квадратный корень из числа —4.
В самом деле, если бы такой корень существовал, то, обозначив его
буквой х, мы получили бы наверное равенство х2 = — 4, так как слева
стоит неотрицательное число (х2 > 0 для любого действительного числа
х), а справа - отрицательное.
Вообще, если а < 0, то квадратный корень из числа а не существует
(на множестве действительных чисел).
56
Для того чтобы из числа а можно было извлечь квадратный корень,
необходимо, чтобы а было неотрицательным числом (а > 0), т.е. поло-
жительным чистом или нулем.
Определение. Арифметическим квадратным корнем из неотри-
цательного числа а называется неотрицательное число Ъ, квадрат которого
равен а.
Например, числа 2 и --2 являются квадратными корнями из числа 4.
При этом число 2 является арифметическим квадратным корнем из 4,
а число —2 не является арифметическим корнем
Арифметический корень обозначается так: \/а (а> О).
Например, = 7, = 2, х/б"= 0. Знак ^называется знаком ариф-
метического квадратного корня; а называется подкоренным выраже-
нием (или подкоренным, числом). Выражение \/а'читается так: арифме-
тический квадратный корень из числа а или, короче, корень квадратный
из с (а > 0).
Таким образом, Ъ - \[а есть арифметический квадратный корень из
числа а (а> 0), если Ь> Он Ь2 =а.
Из определения арифметического квадратного корня следует:
1) выражение х^Гимеет смысл только при д>б;
2) доя любого числа а > 0 выполняется неравенство \'а > 0, так как
\/Г>0приа>0и -\ДГ=О;
3) доя любого числа 0 выполняется равенство (\4г)2 -а.
Для того чтобы доказать, что Ъ является арифметическим квадратным
корнем из числа а > 0, надо проверить выполнение двух условий:
1) Ъ > 0; 2)Ь2=а.
Например, \/25 = 5, так как 52 = 25 и 5 > 0.
Теорема Из любого действительного числа а > 0 можно извлечь
арифметический квадратный корень и притом только один.
Мы не станем доказывать, что у/a (а > 0) существует (доказательство
этого утверждения трудное). Докажем единственность арифметического
квадратногокорня.
Пусть \-а = bi и . а = Ь2, где а > 0, bi > 0, Ь2 > 0. Тогда b2 = b2 ~а.
Если bi =# Ъ2, например, bi < b2> то Ь2 < Ь2 по свойству неравенств
с неотрицательными числами, и мы пришли к противоречию с равенством
Ь2 = Ь2. Из полученного противоречия следует единственность арифмети-
ческого квадратного корня, т.е. = b2.
Теорема. Для любого действительного числа а
у/а^- la I.
Доказательство. Рассмотрим два случая
1) если а ^0, то по определению арифметического квадратного корня
\42 =а;
57
2) если а < 0, то - а > 0. ___
Число - а положительно, и (— а ) 2 = а2. Поэтому /а2 = - а.
Таким образом,
[' а, если а > 0,
| -а, если а < 0,
а -Ь, если я > Ь,
b — а, если а < Ь.
или по определению модуля действительного числа = I а I, чю и утверж-
далось.
Например, >/(—5)2 = 1—51 =5; /(а - b)2 = I а - b I =
Равенство у/а2 - la I выполняется при любых значениях а. Говорят,
что это равенство является тождеством на множестве действительных
чисел.
Подставляя в тождество у/а2 = I а I число а ~Ьп (п - натуральное число),
получаем тождество
Vif7r=ifc’’l или Vft2" = lil".
Если b > 0, то имеем >Д2" = Ьп. Например, V?4" = 52 = 25, V (—3)* =
= I (-3) 31 = 27.
Рассмотрим свойства арифметического квадратного корня.
1) Корень из произведения неотрицательных множителей равен про-
изведению корней из этих множителей, т.е.
y/ab - у/а • y/b (а > 0, & > 0).
Доказательство. Нужно установить, что
х'а • у/Ь > 0 и (у/а y/b)2 - ab.
Так как а > 0 и £ > 0, то по определению арифметического квадратного
корня ( у/a)2 = а, ( y/b)2 = Ъ. Квадрат произведения равен произведению
квадратов. Поэтому
(чб • y/b)2 = (у/а)2 (y/b)2 = ab.
Так как у/а> 0, \rb> 0, то у/а • y/b > 0. Свойстве доказано. Отсюда сле-
дует, что
у/а~ y/b-y/ab (а>0, д>0).
В частности,
(\/д)п = у/а" (а > П, п - натуральное число).
2) Корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным
знаменателем равен корню из числителя. деленному на корень
58
из знаменателя, т.е.
л
Доказательство. Нужно установить, что
fa \2 а
) ~~b'
'а
Так как а > 0 и b > 0, то по определению арифметического квадратного
корня (х/а)" -a, (х/^)2 = b. Возводя дробь в квадрат, получаем
.а V (VS)2 ч
) = (W ~~Ь '
г- г-
Так как х/а > 0, \'Ъ > 0, то > 0. Свойство доказано. Отсюда сле-
дует, что
Va
-= = (а>0, &>0).
\!Ь и
а
Заметим, что при п < 0 и Ь < 0 дробь —
b
-а
—— > 0. В этом случае
а
~Ъ
'-а
— (в<0, £<С).
— b
\/а < v'fe. Тогда, возводя обе
< Ь, что противоречит условию
Доказательство. Допустим, что
части неравенства в квадрат, получаем а
Поэтому \''а> \^Ь. Отсюда следует, что
если а>0, £>0ихл > \/Ь~, то а>Ь.
Рассмотрим преобразования квадратных корней.
Вынесение множителя из-под знака корня. Так называется преобразо-
вание вида
:амом деле, ya* b = у/а2 \^b = I а I • \/Ь - а
Замечание. Если а < 0, b > 0, то
так как I а ! - - а при а < 0.
59
Внесение множителя под знак корня. Так называется преобразование вида
ах/^-х/^Ь (д>0, 6 >0)
или
a \ ~ — х/а^Ь (п<0, 6>0).
Покажем применение свойств и преобразований арифметических квад-
ратных корней при выполнении действий над ними.
Пример 1. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
х/4а2Ь3
Решение. Имеем
л/4д263 =х/4 х/*2 • х'Ь3 -2 la 1-\/Ь2 x^b-
= 2 \а I- 16 Ix/b.
Так как д < 0 и 6 > О, то I д I = — а, 1 6 I = Ь. Поэтому = — 2аЬ x/b,
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
\Лбд4 *66с,э, гдеб < 0, с> 0.
Решение. Чисто а2 всегда неотрицательно; >а2 I = а2. Так как
6 < 0 и с > 0, то 1б31 = - 63, 1с I = с. Поэтому х/ 1ба4Ь(с3 =
= 4! а2 I • |Ь3 I • I с I • х/с = — 4агЬ3с\Гс. г-
Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении ,
У
гдех> 0, у < 0
Решение. Так как у < 0, то х'У2 = IУ i “ — У- Значит, у = — *Jy2 •
Поэтому
Пример 4. Выполнить действия: \'343 - х/УУ! — \^Г.
Решение. Заметим, что 343 = 49-7, 252 = 36-7. Поэтому
343 - х/252 - х/7 -- 7 х/7 - 6x47- хг7’= 0.
Пример 5. Сравнить числа: 3 х& и 4
Решение. Внесем множители 3 и 4 под знаки корней и получим
3 х/5 - V9-5 = л/45~, 4х/Г=х/Гб^З’=к/4^
Так как 45 < 48, то по свойству сравнения корней получаем, что х/45 <
< >Д8 или Зу?< 4-уЗ .
60
П р и м е р 6. Упростить выражение- у — . —
У х
Решение. Корень у — имеет смысл только при у > 0, а корень
у — - при одинаковых знаках х и у. Поэтому для данного выражения
х > 0 и у > 0 Имеем у— . .— = \!х, где х > 0, у > 0.
У х у х
§ 4. Существование иррациональных чисел.
Приближенное вычисление квадратных корней
Мы знаем, что арифметический квадратный корен; ут существует для
любого действительного числа 0. Таким образом, х/а — действительное
число, рациональное или иррациональное. Уже при извлечении квадратного
корня из рационального числа не всегда получается рациональное число.
Налримср, не существует рационального числа, равного квадратному
корню из 2. Докажем, это.
Предположим, что - рациональное число:
7= —
п
где тип - натуральные числа. Дробь —будем считать несократимой
(этого всегда можно добиться, применяя основное свойство дроби).
Тогда
/ \ 2
/ \
( —) -2 или т2 = 2и .
V «/
Так как правая часть равенства делится на 2, то и левая его часть должна
целиться на 2. Поэтому число тг и, следовательно, число т - четное:
нг = 2ш1,гдет1 - натуральное. Тогда (2m,)2 = 2н2 или пг-2т2, т.е.
п — также четное число, п = 2и(, где — натуральное. Следовательно,
т 2т\
дробь— = ------ сократима.
п 2пг
Допустив, что уТ есть рациональное число, выраженное несократимой
т
дробью —, мы получили, что тип целятся на 2, т.е. мы пришли к про-
тиворечию.
Из полученного противоречия следует, что\/2 пс является рациональным
числом. Поэтому х]2 есть иррациональное число.
61
Использовано доказательство способом от противного. Этот способ
заключается в следующем: строится отрицание утверждения, сформули-
рованного в теореме (предположение ”от противного”). Затем на основа-
нии построенного отрицания приходам к выводу, который либо неверен,
либо противоречит сделанному отрицанию. Тем самым из двух логически
возможных случаев (верно либо данное утверждение, либо его отрицание)
остается только один — верно данное утверждение.
Отметим, что этим способом доказательства мы уже пользовались в § 3.
Кроме \/2 примерами иррациональных чисел могут служить квадратные
корни из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных
чисел:
\/3,л/5, л/6. л/8? \/ПГ,...
Эти числа выражаются бесконечными непериодическими десятичными
дробями.
Определение Рациональное число Ъ > 0 называется приближенным
значением квадратного корня \'а (а > 0) с недостатком с точностью до а
(а — положительное рациональное число), если
< а < (b + а)2.
При этом число Ь + а называется приближенным значением квадратного
корня yfa с избытком с точностью ди а.
Можно доказать, что приближенные значения квадратных корней из
положительных чисел всегда существуют для любого рационального числа
а> 0.
r 1
Пример!. Извлечь V 2 с точностью до — .
2 72 98 V9S
Ре ше ни е. Заметим, что 2 = —-— = — ,у 2 = .____• =---. Поэто-
72 49 V49 7
му достаточно извлечь корень\'>8 с точностью до 1 и разделить полученное
число па 7. Так как \/9S«9 (с недостатком с точностью до 1),то\/2* —
/ 1 \
I с точностью до — I. В самом деле.
\ 7 /
1
Замеру точности а чаше всего принимают — (л — некоторое натуральное
число), а за приближенное значение квадратного корня принимают десятич-
ную дрсбь с п знаками после запятой.
62
П р и м е р 2. Извлечь \!2 с точностью до 0,01.
Решение. Заметим, что 1 <л/2<2. Рассмотрим десятичные дроби
1,1; 1,2; . . 1,9. Будем последовательно возводить эти дроби в квадрат,
иска не получим числа, большего 2. Получим, что
1,42 <2; 1,52 >2.
Следовательно, 1,4< 2 < 1,5.
Рассмотрим теперь дроби 1,41; 1,42;
1,49. Получим, что
1,412<2; 1,422 >2.
Следователык ,
1,41<х/2< Ь42.
Таким образом, \J1 «1,41 с точностью до 0,01 с недостатком
Полученная точность вполне достаточна для многих практических
вычислений.
Например,-\/3 «1,73 с точностью до 0,01 с недостатком. Рассмотрим
на примерах другой способ приближенного вычисления квадратных корней.
ПримерЗ. Извлечь х/72,6115 с точностью до 0,01.
Решение, Выполним следующие действия:
1) число под корнем разобьем на грани ло две цифры; целую часть
разобьем на грани справа налево от запятой, а дробную часть — слева напра-
во: \?72^Г15;
2) извлечем с точностью до 1 квадратный корень из первой грани, т.е.
из числа 72, и перенесем вторую грань (61) :
^/727ГбТ?15 = 8,... ,
-64
I 861
3) удвоим найденный корень и запишем результат слева:
х/72',61'15 = 8,...,
-64______
16 I ~861
4) к числу 16 припишем справа такую наибольшую цифру, чтобы произ-
ведение полученного трехзначнего числа на эту цифру не превосходило 861.
Этой цифрой будет 5:
165 • 5 = 825 < 861, а 166 6> 861.
63
Получим
165
5
^72', 61'15" = 8,5 ... ,
—64
8бТ
~825
36
5) удвоим найденный корень, перенесем третью грань (15) и поступаем
так же, как в п. 4) :
165
5
1702
2
\/72\”бГ15 = 8,52..
64
861
“825
361Z
"3404
211 (остаток).
Корень -*/72,6115 я» 8.52 (с недостатком с точностью до 0,01), т.е. 8,52? <
< 72,6115 < (8,52 Ю,01)2.
П р к м е р 4. Найти приближенное значение \/113,5 с точностью до 0,01.
Решение. Запишем /113,5 = \/1'] 3', 50'00. Далее, действия выпол-
няются аналогично действиям при решении примера 3:
vra, 50'00 = 10,65 ...
-1
20 13
206 1350
6 ’ 1236
2125 11400
5 ~ 10625
775
Корень х/ИЗ,5 ~ 10,65 (с недостатком с точностью до С,01).
Для практических вычислений составляются специальные таблицы, в
которых приводятся квадраты и кубы чисел и приближенные значения
квадратных и кубических корней (например: Брадис В.М. Четырех-
значные математические таблицы. — М.: Просвещение, 1981). Приближен-
ные вычисления производятся также с помощью микрокалькулятора
или логарифмической линейки.
64
§ 5. Арифметический корень л-й степени.
Корень нечетной степени из отрицательного числа
Пусть а - действительное число, п > 2 — натуральное число.
Определение. Корнем п-й степени из числа а называется число,
л-я степень которого равна а.
Если и = 2, то имеем квадратный корень. Если п = 3, го корень называют
кубическим. Например, ’2 является кубическим корнем из 8, так как
23 = 8, а 3 является корнем четвертой степени из 81, так как 3Л = 81. Число
-3 — также корень четвертой степени из 81, так как (-3)4 = 81.
Вообще, если а > 0 и b — корень четкой л-й степени (л — четное натураль-
ное число) из а, то и -Ь также является корнем л-й степени из а: при п
четном если Ьп = а, то (—Ь)п = Ьп = а.
Действие нахождения корня л-й степени из числа называется извлечением
корня п-й степени. Это действие является обратным к возведению в л-ю
степень.
Возводить в л-ю степень можно любые действительные чиста, но извле-
кать корни л-й степени можно не из любого действительно числа. Например,
нельзя извлечь корень шестой степени из числа —64
В самом деле, если бы такой корень существовал, то, обозначив его
буквой х, мы получили бы неверное равенство х6 = —64, так как слева
стоит неотрицательное число (х£ > 0 для любого действительного числах),
а справа - отрицательное.
Вообще, если а < 0, то корень четной л-й степени из числа а не сущест-
вует (на множестве действительных чисел).
Определение. Арифметическим корнем п-й степени из неотрица-
тельного числа а называется неотрицательное число Z>, л я степень которого
равна а.
Например, числа 3 и —3 являются корнями четвертой степени из числа 81.
При этом число 3 — арифметический корень четвертой степени из 81, а число
—3 не является арифметическим корнем.
Арифметический корень л-й степени обозначается так: \,'а (а > 0). Число
а называется подкоренным выражением, а натуральное число л (л > 2) —
показателем корня.
Если л = 2, то имеем арифметический квадратный корень; в этом случае
показатель корн я не пишется. _
Например, вместо %/1 пишут %/?•
Таким образом, b = есть арифметический корень л-й степени из числа
а (а > 0), если Ъ > 0 и Ьп = а.
Например, ^/8 = 2, ^81 = 3, 0 ~ 0.
Т е о р е м а. Из любого действительного числа а > 0 можно извлечь
арифметический корень п-й степени и притом только один.
Единственность арифметического корня л-й степени доказывается
анало1ично случаю арифметического квадратного корня.
65
Мы знаем, что корень четной степени из отрицательного числа не сущест-
вует. Для корня нечетной степени из отрицательного числа имеет место
другое утверждение.
Пусть а > 0. Тогда b - *i/a~ — арифметический корень из числа а:
Ь>0 и Ьп = а.
Если п — нечетное натуральное чисто (и > 3), тс
(-£)" - - Ьп - - а.
Следовательно, отрицательное чисто — Ъ = — ^йявляется корнем нечетной
л-й степени из отрицательного чиста —а. Этот корень единственный и обо-
значается так же, как и арифметический корень.
Например,
^/Тб4 = _^б4 = -4,
{/Тз2™_ {/32 =-2.
Корень нечетной л-й степени из отрицательного числа а связан с арифме-
тическим корнем из числа -<i = | а | следующим равенством: »
где а < 0, л - нечетное натуральное чисто (л > 3).
В дальнейшем запись видака будет «начать арифметический корень,
когда а > 0, или корень нечетной л-й степени из отрицательного чиста,
когда а <0.
§ 6. Свойства арифметическою коряя л-й степени
Рассмотрим свойства арифметического корня л-й степени.
1) Основное свойство арифметического корня,
Величина арифметического корня не изменится, если показатель корня
умножить на любое натуральное число к и одновременно подкоренное
выражение возвести в степень с тем же показателем к, т.е.
<^="^ (а>0).
Доказательство. Пусть Ь (Ь > 0) Это означает, что Ь" = а.
Тогда по свойству степени
(Ъп)*=ЬпК=ак.
Отсюда следует, что b = п^'лк. Поэтому
Свойство доказано.
66
2) При умножении арифметических корней с одинаковыми показателя-
ми подкоренные выражения умножаются, а показатель корня остается
прежним, т.е.
tya- ^/Ъ'=^/аЬ (д>0, &>0).
Д с к аз а тел ьств о. По свойству степени имеем
(W- УБ)п = (W = ab,
так как (tya)n=a, (tyb)n = b при О, b > 0. Отсюда, согласно определе-
нию арифметического корня, следует, что
tyab = (/я • \'Ь или {J/Т- ЦД-= Ч/ab .
Свойстве доказано.
В частности, Ь =Ч/ап tyb = atyb, где а > С, Ъ >0 (вынесение множи-
теля из-под корня).
3) При делении арифметических корней с одинаковыми показателями
подкоренные выражения делятся, а показатель корня остается прежним,
т.е.
-^=V - (д>0, £>0)
'b ь
Этс свойство доказывается так же, как и предыдущее свойство. В част-
ности,
4) При возведении арифметического корня в степень с натуральным
показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показа-
тель корня остается прежним, т.е.
У/а)”1 - \/ат (а > 0, т — натуральное число).
Это свойство вытекает из свойства умножения корней.
5) При извлечении корня из корня умножаются показатели корней,
а подкоренное выражение остается прежним, т.е.
’\J\fa - тх/а (а > 0; т.п — натуральные числа, т > 2, п > 2).
В самом деле, согласно свойству возведения корня в степень, имеем
(VW"" =#(ty?)m" =^(<j£)n)m.
Отсюда
C4fi/a)mn =Уат = a (a>Q).
67
Пэ определению арифметического корня имеем
^7= т$а',
что и требовалось доказать.
Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:
если a>b> ^,ro4/a>1ijrb, и обратно, если \/а> \/b (а> 0,b>‘.)t то а> b ,
Око вытекает из свойств неравенств. Например, \/0Д *^</0Д Чтобы
доказать это, сначала, применяя основное свойство арифметического
корня, приведем \/б,01 и уОД к общему показателю 6 (наименьшему обще-
му кратному показателей данных корней):
х/0Т=-^,П3’, =<Л0?)*
Так как (0,1 )3 < (ОД)2, то по свойству сравнения арифметических корней
получим, что </ (0,1)3 «/(ОД)2 или ч/бд «'ОД .
Замечание. Для корня нечетной степени из отрицательного числа
справедлива формула
(а>0).
С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2) — 5) ариф
метических корней справедливы также и для корней нечетной степени с
отрицательными подкоренными выражениями.
В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметиче-
ские, так и корни нечетной степени из о-длщательного числа, эти свойства
неверны. Например, для произведения применение свойств 1) и 2)
приводит к неверному результату:
уД %-3 = </(-3)2 = ^/Т2.
Правильное решение : так как</—3 = —</3, то
VT-tf-3 = - (уТ «3) = - (У^-Уз’2) = - W
В случае арифметического квадратного корня было доказано, что\Д2 =
= I а | для любого действительного числа а. Аналогично получим, что
=
а |, если п > 2 — четное натуральное число,
а, если п > 3 - нечетное натуральное число.
Например,
У? =х, |, </**”= |х|;
в преобразованиях
V*3 = Vx (х > 0), V*r= УЖ = VTxT,
*ЧЛ5У\Ж=5УГ и т.п.
68
/ 1
Пример 1. Внести множитель под знак корпя в выражении a vl +т >
я
где а Ф 0.
Решение. Так как а = Х/а3, то _____
а -1- = \/а3 — = <*6/1 + -, ^ = <^+1.
а_ _________ а3 \ а3 /
Прим е р 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
, где а < 0.
Решение. Мы знаем, что tya6 = | а | = — а, так как а <. 0. Поэтому
Пример 3. Выполнить действия: WHZ2.
Реш е ни е. Преобразуем: 'l''. Поэтому у/2^/Т~ v^24 ~
(по основному свойству арифметическою корня). Отсюда
=</</? =-?/2г =\/57
§ 7. Степень с рациональным показателем
Понятие и свойства степени с любым целым показателем были рассмот-
рены в § 2. Введем теперь степень с дробным показателем.
Определение. Если а > 0 и х — рациональное число, представленное
т
дробью —, где т —целое, а « > 2 — натуральное число, то
п
tn
ах = ап = ^г,
если а = 0 и х > 0, тс ах = 0.
2 __
Например, а5 =^а2 при любом а>0; b 4 =^/Ь~3 или b 4
1 1
при Ь > 0.
Л4
т
Рациональное число представляется в виде дроби — неоднозначно, так
тк
как----
пк
тк
апк
т
= — при любом натуральном к Покажем, что
п
т
= а~.
69
В самом деле,
тк
т
апк = nkj^ =ап
(использовано основное свойство арифметического корпя).
т
Если а> 0 их - целое число, представленное дробью —, где т — целое
т п
а и>2 — натуральное число, то равенство ап =tyaM также верно, но не
по определению степени с дробным показателем, а по определению арифме-
т
тического корня. В самом деле, если — = х, то = ах(а > 0), так как
п
по свойству степени с целым показателем
(ах)п = апх = ат яах>0.
Значит,
гг
что и утверждалось для случая целого числа х.
т
Таким образом, для любого рационального числа х = — (дробного или
п
целого)
т
ах^а~ (а>0),
где т — целое, л > 2 — натуральное число
Стедовательно, степень о* определена для любого рационального показа-
теля х и положительного основания а. Если д= 0 их> С, то ах = 0.
Свойства степени с целым показателем распространяются и на степень
с любым рациональным показателем и положительным основанием.
Например, для любых рациональных чисел р и q
ар-ач = ар+ч (а>0).
Это вытекает из свойств корней.
Приведем примеры на применение свойств степе шт.
jl 3 17
Пример 1. Вычислить: 83 83 — 16: 164 +(97)2.
11112 з
Решение. 83 • 83 = 83 3 = 83 = <^г=^'/64; 16 : 16 4 =
1 17 17 1
= 16 4 =-^16; (9 7 )2 = 9 7 2 = 9 2 =у/9.
10
з
161”4
Поэтому данное выражение разно
<64*—<1б~+ <Г=4- 2 + 3 = 5.
1
П р и м е р 2. Найти значение выражения:(0,04)"1,5-(0,125) 3-(__) 3
, \121/
1 "" 1 - - 3 4
Ре ше ние.(0,04)-1’5=^—) 2=^-, ’ 2 =(5'2) *=5’;(О,125) 3 =
G)' ’=(4)' (ГЭ)‘ ’’2,'(ы)' ’ =(тр)’*<"< 2 ’
Поэтому данное выражение равно
53-24 - 11 = (5 -2)3-2-И =2000-11 = 1989
Пример 3. Выполнить действия:
_£ / 1 Y’
2- 4“2 + (81 1 ) 3ЛТ )
125'з (jj-У + (v5jD-0-)"2
Решение. 1) 2-4‘2 + (81 2)3.^—J = 2 • . 93=
2,125 3 (4)1‘тйвг,5!+ь2,"4 х
\ Э / \ At / 1ХЭ D
Х52 +22 =5 + 4 = 9;
9 1 1
3)—:9 = —. Дробь равна— .
5 8. Решение задач
Пример 1. Доказать, что 16s + 2*5 делится на 33.
Решение. 16S + 21S = (24)5 + 215 =220 +213 =2i5(2s + 1) =2ts -33.
Пример 2. Доказать,что иррационнальное число.
71
Решение. Предположим, что уЗ - иррациональное число:
где тип — натуральные числа. Дробь — будем считать несократимой.
Согласно определению корня
(т
п
- 3 или ш2 = Зл2.
Отсюда следует, что т делится на 3: т = 3mlt где — натуральное число.
Тогда (ЗтП1) 2 = Зл2 или л2 = 3/л2. Значит, л также делится на 3 ' л =
т Зпц
= ЗЛ1, где Л1 — натуральное число. Следовательно, дробь---=-----ео-
л 3л1
кратима.
Допустив, что У3~ есть рациональное число, выраженное несократимой
т
дробью —, мы получили, что и т и л делятся на 3, т.е. мы пришли к про-
л
тиворечию. Из полученного противоречия следует, что \3 — иррацио-
нальное число.
Заметим, что мы использовали следующее утверждение: если квадрат
натурального числа делится без остатка на 3, то и само число делится
без остатка на 3. Предоставим читателю доказать это утверждение.
/2* /з - __________________
Пример 3. Упростить выражение: Зл/— — 2 у------------ + +\/150.
/2 /3 _ ___ /2 /3
Решение. Зу— — 2\— + \'б + у150 = уЗ2 -------у 22------+
3 2 3 2
+ Уо+ \/25 •б = у/б’-\/б + л/б + 5^/б=в\/б.
Пример 4. Упростить выражение: л/ (х - 1) 2 - \Дх + 1) 2.
Решение. у(х- I)2 — V(x + I)2 = lx — 1 I - I x + 11 .По определе-
нию модуля
lx-ll=( x-1, если x-l>0, x-1, еслих> 1,
l-(x —1), еслих —l<0, I - (x-1), еслих< 1;
... f x+1, еслих + 1>0, । ... f x+1, еслих> —i,
x + 11 ={ z . « и™ lx + iI ={ z ,
(- (x+1), еслих+ 1 < 0, |-(х + 1),еслих< - 1.
72
Точки х = — 1 и х = 1 разбивают числовую ось на три промежутка:
(-«*; — 1), (-1; 1), (1; +°°) (рис.6).
1______о____;
Рис. 6
+/+ТЛ<_1,то |л -11 -|л+л=- (x-о - (~(*+о)=-х+1+
Если - 1 <х< 1,то 1х — 11 - 1х + 11 = -(х- 1) _ (х+ 1) =
Если х> 1, то 1х —11 - 1х+ 11 = х-1- (х+1) =-2.
Таким образом,
\/(х- I)2 ->/(х +1)2
2, если
- 2х, если
- 2, если
х<-1,
- 1 <х<1,
х> 1.
Пример 5. Доказать, что верно неравенстве 3 V2 + 2 у/1 > 3 «/3 + 4.
Решение. Внесем множители под, знак корня и запишем исходное
неравенство так: '/З2 • 2 + \/22 7 > \132 3 + V16 или \/18 + лД"8 > \^7 +
+ \/16. Это неравенстве верное, оно получается сложением двух верных
неравенств: х/18 > у/16, > >Д7._
II р и м е р 6. Доказать, что х/а + b < у/а + у'Ь, если а > О, Ь > 0.
Решение. (у/а + Ъ) 2 = а + Ь, (у/а + \/b) 2 - а + b + 2 y/ab\ если а > О,
Л > О, тоО<а + Ь<а + Ь + 2 у/ab или 0 < ( у/а^Ь) 2 < (-,'Г+ у/о}2 Отсю-
да по свойству сравнения корней следует, что у/а + Ь < va + y/b, если
а>0,Ь>0.
Пример 7. Расположить в порядке возрастания числа \/з, \/4 1/5.
Решение. Заметим, что \/4~= \F$F=у/Т. Сравним сначала 3>/з и у/1.
Приведем их к ебшему показателю 6: \Гз~ % З2 = б>/9, \z2 = =
= b\f 8, следовательно;3 V3 > у/1.
Сравним теперь \'2 и Ч 5 . yfi = °\'г25-= 1<\'г32, \Г$ = 10\Л5^ = 1О%'25,
следовательно, > SV5. Поэтому \/5 < 4>/4< З\^3.
Пример8. Найти значение выражения:
при а - 125.
73
Решение. Сначала упростим данное выражение:
При а = 125 получим х/125 = 5.
П р и м е р 9. Упростить выражение:
Решение. Имеем
х 2 • у~2 - - . если х>0, 7=Л0;’
у у х
5
" Т 4 1 1
х л . у 4 = -----=--------— , если х > 0,у Ф С;
у4>ДГ Х2у4\/х
/ 2 -у 1 1
'/х у -—, еслих^0,у>0.
ух2 V7 IxlVy
Данное выражение А имеет смысл при х > 0,у > 0, Получим
_ _ 1 Vx4y4 _ Vx4y3
х \/у х уУ х
если х > 0, у > 0.
74
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Вычислить:
(3 • 2” + 7 • 2*’) -52
(13 • 8*)3
, ’ 5 2*-2 + 10 • 2*-1
2. Упростить:-----------------
JO*”2
3. Докатать, что значение выражения 333* * * + 555’ 33 кратно 37.
4. Доказать, что 2ОО330 > 3001 ”.
5. Доказать иррациональность чисел \'3 и \/2.
____ ._____ 1 _____________
6. Упростить выражение: (>/14 - 2 >/35) • ~v? + >/20.
7. Вычислить с точностью до 0,01:
8. Извлечь квадратный корень с точностью до 0 01:
а) у/У2Т, б) >/0^54 .
9. Сравнить значения выражений - ч/бЗ и -i->/80.
10. Доказать неравенство: у/2Л + у/Ь + 1 > 48.
11. Доказать, что
X + У + у/(Х~У? =
2х, если
2у, если
X у,
х < у.
12. Внести множитель под знак корпя:
(1 - х) у/------, если х > 1.
х- 1
13. Упростить выражение путем вынесения множителя из-под знака корня:
(2 -а} у/- , если а < 2.
(я - 2)
14. Доказать, что \fab = t >-а \j-b , если а < 0, Ъ < 0.
15. Упростить выражение:
a *y[a*b*L
при а > 0, b < 0.
75
16, Выполнить действия:
b -Jab \/ab
a \/а*Ь*^аЬ
17, Выполнить умножение корней: %? • V- 3.
18. Упростить;
1 1
4а3 в*
4 1 11
<г3 -4<z3 с3 - 4а 3
19. Упростит ь выражение:
20, Найти значение выражения:
при х - 3.
РАЗДЕЛ И
,, 63’ • 35’
21. Вычислить: — р——— .
22. Вычислить: ( - 2,2)5 (1 yj •
23. Сравнить числа:
а) 5”’ и 2”°; б) 10” и 40”.
24. Расположить в порядке возрастания числа:
25. Доказать иррациональность чисел -JT и 3-v’5-
26. Может ли сумма двух положительных иррациопнальных чисел быть числом ра-
циональным ?
27. Может ли прсизвздснис двух неравных иррациональных чисел быть числом ра-
циональным?
111
28. Найти • 3 с точностью до —; до —; до - .
5 10 100
76
29. Найти %/153, 213, л/0/487 с точностью цо 0,01.
30. Вычислить с точностью до ——т—:
а) х/7 + б> V"
31. Приняв х-6« 2,45, вычислить:
32. Найти арифметические корчи:
а) ч(-З)1; б)7с=7Г; в)7а-х/3)2; г) J(JT-2)2 .
33 (устно). При каких значениях х справедливы равенства:
а) <ус-2)’ = х —2; б) х/(х-4)2 = 4 - х; в) V(5x - 8)1 = ! 5х - 8С ?
34. Доказать, что
х-у -х/(х-у)2~=
0, если х > у,
2(х - У), если х < у.
35. Вынести множитель из-под знака корня в выражении —- - , если а < 0,
Ъ < 0, О 0,
36. Внес ги множитель под знак корня в выражении Зх’у >Jxy2, если х > 0,_ у < 0.
37. Выполнить действия:
х/12 - 2 х/27-- 3 ^48 + 2 х/тГ+ 3 х/Г ОТ
38. Выполнить действия:
39. Сравнить числа:
40. Вычислить корни:
’х/_ — : "х/П; V^OOO; V~H257
41. Вынести множитель из-под знака корня:
а) Зх/в‘6“; б) ; в) 3^27х‘у4; г) 3х/-?’,°/^а
«у 2V633 i n/s2n44fl6n+3
77
42. Сравнить значения выражений:
43. Выполнить действия:
а) <0,2 Vx’y*) 3; 6) Ь - V18 + -1- Vi)’ ; в) V™7;
44. Выполнить действия.
45. Упростить зыэаженчс:
(№*’ ’
46. Упростить выражение:.
47. Вычислить:
а) 1024' 0,6; б) 9-0’5 — 2 • й 3 + (0,25) 2
4Ь. Выполнить действия:
49. Упростить выражение и записать ответ, используя степень с дробными
показателями:
50. Упростить выражение:
51 .Упростить выражение:
4 4
<т6.
78
52. Упростить выражение:
53. Найти значение выражения:
3 - х + \/(2 - х)’ при 15.
54. Найти значение выражения:
ГЛ4&4 5
ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
Числовым выражением называют выражение, составленное из дейст-
вительных чисел и знаков действий над ними. Например, 48 : 12, з/52 — З2,
3 -(102 + 1), ( >/Т — 1) • ( \/2 + 1). Выражением иногда называют и от-
дельное чисто.
Если в чистоьом выражении можно выполнить все указанные в нем
действия, то полученное и результате чисто называют числовым значением
данного числового выражения, а о числовом выражении говорят, что оно
имеет смысл. В приведенных примерах первое и второе числовое выра-
жения имеют числовое значение 4, третье - 303, а четвертое — 1.
Числовое выражение не имеет числового значения, если не все указан-
ные в нем действия выполнимы; о таком числовом выражении говорят,
что оно не имеет (лишено) смысла. Например, числовые выражения
5 i-------------- о
--------,79-25, (4 — 4) лишены смысла.
6-3-2
Вместо чистовых выражений часто удобнее рассматривать выражения,
в которых чиста обозначаются буквами.
Алгебраическим выражением называют выражение, составленное из
чисел (обозначенных буквами или цифрами) при помощи алгебраических
действий (сложения, вычигаштя, умножения, деления, возведения в сте-
пень и извлечения корня) *).
*) Предполагается, что указанные действия применяются конечное число раз.
79
Алгебраическое выражение, содержащее величины х, у, . . . , z, сокра-
щенно записывав гея в виде А (х, у,.. ., z). Числовое значение алгебраичес-
кого выражения — это число, полученное в результате вычислений после
замены букв числами,
Значения величин х, у, . . . , z, при которых выполнимы все действия,
указанные в выражении А (х, у, . .. , z), называются допустимыми значе-
ниями. Они образуют область определения или область допустимых зна-
чений (сокращенно ОДЗ) выражения А. Примеры алгебраических выра-
жений:
X3 - у3 3 ,---------
а + Ь, ----------, у/ 2ху + Зх2у — 1.
Z
При совместном рассмотрении нескольких алгебраических выражений
нужно брать общую часть их областей определения. Например, рассматри-
вая совместно выражения
х у
А = ------ и В = -----------,
х + 1 х{у + 2)
считают, что х — 1, х^О, у =#-2.
Два алгебраических выражения А и В, соединенные злаком равенства
(=), образуют равенство А = В. При любом конкретном выборе значений
величин (из общей части областей определения выражений Л и В~) равенство
А ~ В обращается в числовое равенство. Полученное числовое равенство
может быть справедливым (верным) или несправедливым (неверным).
Например, равенство х2 + 1 = — х4 является несправедливым для любого
действительного чиста х, так как х2 + 1 > 1, а( —х4) <0. Например, ра-
венство у/х1 = х справедливо при х > 0 и несправедливо при х < 0.
Алгебраические выражения подразделяются на рациональные и ирра-
циональные.
Алгебраическое выражение называется рациональным относительно
какой-нибудь величины, входящей в это выражение, если над этой вели-
чиной производятся только действия сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень с целым показателем.
Алгебраическое выражение называется иррациональным относитель-
но какой-нибудь величины, если оно содержит эту величину под знаком
корня.
4
х ~У
Например, выражения 2х - х + 3, —----------- — — рациональные,
х + у + 1
а выражения у/х2 + 1, у2 -Jx* + 1 + у К/х2^- иррациональные относи-
тельно х, и последнее из них — рациональное относительно у
80
§ 2. Отношения чисел и однородных величин.
Проценты
При сравнении двух положительных чисел иногда нужно узнать, во
сколько раз одно число больше (меньше) другого или^какую часть одно
чисто составляет от другого. Например, 15 составляет часть от 45 или
45 больше 15 в три раза. В этом случае часто говорят иначе: ’’отношение
1
15 к 45 равно — ”, ’’отношение 45 к 15 равно 3”.
3 а
Вообще, отношением числа а к числу Ъ называется частное — чисел
а тлЬ.
Например, отношение 12 к 10 равно 1,2, так как 12 : 10 = 1,2; огно-
3 3
шение 3 к 7 разно — , так как 3:7=-—.
Отношением называют не только результат деления одного числа на
другое, но и само выражение. Например, отношения 12 : 10, 3 : 7. Чиста,
входящие в отношение, называют членами отношения.
В математике, физике и других науках часто используют отношения
однородных величин. Отношением величины а к величине с (того же рода)
называется число, которое получится при измерении величины а, если
за единицу измерения принять величину е. Отношение однородных вели-
чин равно отношению чисел, получающихся при изменении этих величия
одной и той же единицей; оно не зависит от выбора единицы измерения.
Например, масштаб карты 1 : 2000000 Это отношение означает, что на
карте расстояние в-20 км изображается отрезком длиной J см.
Иногда рассматривают отношения разнородных величин, например
отношение пути ко времени, отношение массы к объему и т.д. Такие отно-
шения представляют собой новую величину: скорость, плотность и т.д.
Отношение разнородных величин зависит от выбора единицы измерения.
Например, найдем скорость движения поезда, если поезд прошел 360 км
за 3 ч. Отношение пути ко времени движения дает скорость: 360 : 3 =
= 120 (км/ч). Если выразить данные в других единицах, например
360 км =360 000 м и 3 ч = 10 800 с, то получим другое отношение:
1
360 000 : 10 800 = 3 — (м/с).
Отношение двух положительных чисел часто выражают в сотых долях.
В этом случае сотую долю числа называют процентом.
Например, отношение 4:5 = 0,3, с,8 равно 89 сотым. Данное отноше-
ние составляет 80 процентов. Если слово ’’процент” непосредственно идет
после числа, то вместо него ставят знак %. Огсюда 4 : 5 = 0,8 или 80 %.
Говорят, что число 4 составляет 80 % от числа 5.
81
Чтобы выразить отношение двух чисел и процентах, надо значение этого
отношения умножить на 100-
Пусть отношение числа а к числу Ъ равно г (%). Тогда
а
г- — • 100
Ъ
Рассмотрим три основные задачи на проценты.
Задача 1. Нахождение процентов отношения чисел.
Из группы в 25 человек на занятиях присутствовало 22 человека. Сколь-
ко процентов учащихся группы присутствовало на занятиях?
22
Решение. Так как а = 22, Ъ = 25, то г =---- 100 = 88 (%).
25 v ’
Задача 2. Нахождение процентов данного числа.
При перегонке пефти получается 30 % керосина. Сколько керосина полу-
чается при перегонке 360 т нефти?
а
Решение. Используем формулу г = — -100. Так как г = 30, b = 360,
а
то 30 =---- 100; отсюда а = 108 (т).
360
Задача 3. Нахождение числа по его процентам.
За один час машина прошла 48 км, что составляет 12% всего пути.
Какоп весь путь?
а
Решение. Используем формулу г =— -100. Так как г =12, а -48,
Ъ
48
то 12 =---- • 100; отсюда b - 400 (км).
b
Рассмотрим решение более сложных задач.
Задача 4. Турист прошел весь маршрут за три для. В первый день
он прошел 30% всего пути, во в торой — 60% остатка, после чего ему оста-
лось пройти на 1 км меньше, чем он прошел в первый день. Какова длина
всего маршрута?
Решение. Пусть длина всего маршрута равна х (км) Тогда в пер-
вый день пути турист прошел 0,3 х (км) (30% от х составляют 0,3 х),
и после первого дня остаток пути составил 0,7х (км) (х — 0,3 х=0,7х).
Во второй день турист прошел 0,42х (км) (60% от 0,7х составляют
',6 • 0,7х = С,42х), и ему осталось пройти в третий день 0,28х (км)
(0.7х — 0,42х = 0,28х). По условию задачи турист прошел в третий день
на 1 км меньше, чем оп прешел в первый день. Значит,
0,Зх — 0,28х = 1.
Решая уравнение, получим 0,02х = 1, откуда х = 50 (км).
Задача 5. Цена товара повысилась ка 25%. На сколько процентов
надо снизить новую цену товара, чтобы получить первоначальную цепу?
82
Решение. Пусть а — первоначальная цена товара. После повышения
цены товар стал стоить а + 0,25а = 1,25а. Найдем отношение первоначаль-
ной цепы товара к его новой цене и выразим эго отношение в процентах:
а
-------100 = 89 (%).
1,25 а
Значит, новую цену товара надо снизить на 20 % (100% — 80 % = 20%).
Задача 6. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие со-
держат 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих
грибов?
Решение. По условию свежие грибы содержат 90% воды. Поэтому
22 кг свежих грибов без воды имеют массу 2,2 кг (т.е. 10% от 22 кг). Так
как сухие грибы содержат воду (12%), то 22 кг составляют 88% от массы
сухих грибов, полученных из 22 кг свежих грибов Отсюда
2 2
— -100 = 2,5 (кг)
88
— масса сухих грибов.
Задача 7. После двух последовательных снижений цен на одно и то
же число процентов цена товара снизилась с ар. до b р. (Ь <а).Еа
сколько процентов снижалась цена товара каждый раз?
Решение. Пусть х — искомое число процентов. Тогда в первый раз
ах
цена товара снизится на----р., и его новая цена будет
(X \ X
I — 7^77 ) ’ Р’’и пена това-
ра. после .двух снижений будет
/ х \ / х \ х / х х2
al I----)-а( 1-----)• -- =а{ 1-----) .
\ 100/ \ 100/ 109 \ 100 /
По условию она равна b р. Поэтому
Чтобы решить это уравнение, запишем его в вице
83
и извлечем арифметический квадратный корень:
Так как х < 100, то
х
1--------
100
х
= 1 - ----. Следовательно
100
§ 3. Проперции
Определение. Пропорцией называется верное равенство вида
а _ с
7'7’
где числа а, b, с, d не равны нулю.
Пропорцию можно записать иначе:
а : I) = с : d.
Пропорция читается так: а относится кЬ,как с относится к d.
Числа and называются крайними членами пропорции, а числа b и с -
ее средними членами.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропор-
ции равно произведению ее средних членов,
а с
Это означает, что если — = —, то ad = be.
b d
a c
Для доказательства умножим ooe части данного равенства — = — на
b d
bd и получим
а с
-bd=--bd
b d
или ad = be, что и утверждалось.
Верно и обратное утверждение, если произведение двух чисел а и d
равно произведению двух других чисел b и с (а 0, £ =# 0, с ¥= 0, d #= 0),
а с
го из этих чисел можно составить пропорцию — = —.
b d
Действительно, пусть ad = be. Разделим обе части этого равенства па
bd и получим
ad Ьс ас
— =-----или — = — ,
bd bd b d
что и утверждалось.
84
be be
Из основного свойства пропорции следует, что а = — к d = — (край-
d а
ний член пропорции равен произведению средних членов, деленному на
ad ad
известный крайний член пропорции), b = — и с = — (средний член про-
с b
порции равен произведению крайних членов, деленному на известный сред-
ний член пропорции).
Пусть дана пропорция
Согласно основному свойству пропорции
ad = be. (2)
Разделив обе части равенства (2) на cd, получим
а b
~=~- (3)
С d
Пропорция (3) получается из пропорции (1) перестановкой се сред-
них членов.
Точно так же, разделив обе части равенства (2) па ab, получаем
Пропорция (4) получается из пропорции (1) перестановкой ее край-
них членов.
Итак, в пропорции можно переставить: а) средние члены; б) крайние
члены.
Пропорции (3) и (4), образованные из членов данной пропорции (1),
называются производными пропорциями.
Например, составим пропорцию из чисел 15, 18, 35 и 42 Это возможно,
15 35 42 35 42 18
так как 15 - 42 = 18 35. Поэтому — = — или — = —, или— = —,
18 42 18 15 35 15
15 18 15 35
или — = —. Для пропорции — f — остальные полученные пропор-
ции являются производными пропорциями.
Вообще, если верна пропорция (1), то верна производная пропорция
вида
ка + lb кс + Id
-------- = -------. (5)
та + по тс + nd
85
где а Ф О, b Ф 0, с О, d ФО, та + nb ФО, тс + nd #= О, ка + lb Ф О, кс +
+ Zd^O.
В самом деле, нетрудно проверить, что
(Ла + lb) (тс + nd) = (кс + Id) (mu + nb),
если использовать равенство ad = be (т.е. основное свойство пропорции). Придавая числам к, 1, т и и различные значения, получаем частные
случаи п роизводной пропорции (5). Например,
a -t Ъ b а — Ь b а + Ь а-Ь с + d = — (к= 1,1= 1, т = 0, и = 1), с - d = —— (к= 1,/ = — 1, т = 0, п = 1), с + d = (к = 1,1= 1,т = 1,п = — 1). с - d
Справедливо также свойство равных отношений (равных дробей): из равенств 01 °2 а” — = — = .. . = — (6) ъ2 Ьп
следуют равенства
а»+л2+...+аи ai аз _ ап
bi + Z>2 + • •+ bn bi Ъ2 Ъп
Действительно,
ai т аг + . . + аи aj
b\ + Z>2 + • • • + bn ,bi ’
так как из условия (6) нетрудно получить равенство
(at + а2 + ..+ а„)г>! =(£>!+Z>2 + ...+ Z>„)aj,
что и доказывает справедливость равенств (7).
Кроме того, из равенств (6) следуют равенства
4 к2а2 4*... 4* кл а,, а2 и2
kibi + к2Ь2 + ... + knbfl b2 b2 bn
Действительно,
aj k2a2 a2 k2a2 a,, k^ a,i
bi kibi' b2 k2b2’ ’ bn knbn'
86
Тогда по свойству равных отношений получаем
+ Р-2&2 1" • • • 4 @2 &П
4 ^2^2 4 . . . *Ь АГд Uf^ Ь ^2
что и утверждалось.
С помощью пропорций решают различные задачи.
Задача 1. Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен
процент всхожести семян?
Решение. Пусть всхожесть семян равна г (%). Тогда один процент
всхожести семян можно найти так: разделить 1800 на г или 2000 на 100.
Отсюда 1800 - г = 2000 : 100. Найдем неизвестный средний член этой про-
порции:
1800 • 100
Задача 2. Чертеж составлен в масштабе 2:5. Чему будет равна длина
болта на чертеже, если в натуре длина болта 60 мм?
Решение. Пусть х (мм) - длина болта на чертеже. Так как масштаб
показывает отношение длины отрезка на чертеже к длине отрезка в нату-
ре, то получим пропорцию х : 60 = 2:5. Найдем неизвестный крайний
член этой пропорции:
60 2
х~— -— - 24 (мм).
Рассмотрим решение более сложных задач.
Задача 3. Мясо при варке теряет 35 % своей массы. Сколько получит-
ся вареного мяса из 2 кг сырого? Сколько потребуется сырого мяса для
получения 2,6 кг вареного?
Решение. Пусть из 2 кг сырого мяса получится х (кг) вареного
мяса. Тогда х : 2 = 65 : 100 (так как при варке сохраняется 65% массы).
Отсюда
65-2
х =------ = 1,3 (кг).
100
Пусть для получения 2,6 кг вареного мяса потребуется у (кг) сырого
мяса. Тогда 2,6 : у = 65 : 100. Отсюда
2,6 • 100
У = ——-------- (кг) .
о 5
Задача 4. Собственная скорость моторной лодки 20 км/ч, а скорость
течения реки 4 км/ч. Двигаясь по течению, лодка прошла 120 км. Какое
расстояние пройдет за это же время моторная лодка при движении против
течения?
87
Решение. Скорость лодки при движении по течению реки равна
20 + 4 = 24 (км/ч), а при движении против течения равна 20 - 4 = 16 (км/ч).
Поэтому 120 : 24 = х : 16. Отсюда
120-16
х= -------
24
= 80 (км)
- искомое расстояние.
§ 4. Одночлены и многочлены'
Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами,
называют одночленом.
Степень числа с натуральным показателем и произведение степеней чи-
сел с натуральными показателями также называют одночленами, так как
в виде степени можно записать произведение равных множителей. Каждое
число а есть также одночлен, так как а = а • 1.
Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называются число-
выми множителями этого одночлена, а множители, обозначенные буква-
ми, называются буквенными множителями.
Стандартный вид одночлена — это такая запись одночлена, в которой
есть только один числовой множитель, стоящий па первом месте, а затем
различные буквенные множители или их степени с натуральными пока.
затепями.
В стандартном виде одночлена нет одинаковых букв Любой одночлен
можно записать в стандартном виде. Для этого нужно умножить все чис-
ловые множители и поставить их произведение на первое место, а затем
произведения одинаковых буквенных множителей записать в виде степе-
ни. Числовой множитель одночлена, записанною в стандартном виде,
называется коэффициентом этого одночлена.
Например, приведем к стандартному виду одночлен За2Ьс2 • (-2аЬ‘ с)3
По свойствам степени с натуральным показателем получим
За2Ьс2 -(-2д&2с)3 =
= За2Ьс2 • (—2)3а3(й2)3с3 =За2Ъс2 -(-8)а36бс3.
Теперь, используя переместительное и сочетательное свойства умноже-
ния, а также свойство степени с одинаковыми основаниями, получим
3a2bc2 -(-2ab2c)3 - -24asd7cs.
Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличают-
ся только коэффициентами.
Одночлены умножаются по правилам умножения чисел. Для возведения
одночлена в степень с натуральным показателем нужно возвести в эту
степень каждый его множитель.
При умножении одночленов или возведении в степень с натуральным
показателем снова получается одночлен.
88
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней его бук-
венных множителей. Если одночленом является число, то степень такого
одночлена считается равной нулю. Числу 0 как одночлену не приписыва-
ется никакой степени,
Например, 5х2 — одночлен второй степени, 5x3y7z - одночлен шестой
степени, 5 - одночлен нулевой степени.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов,
т.е. алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность
двух или нескольких одночленов.
Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом много-
члена. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами.
Если все члены многочлена записать в стандартном виде и привести
подобные члены, то получится многочлен стандартного вида.
Например, приведем к стандартному виду мною член
Зх (~2ху2) + 4х Sxy2 - (5ху2)2 + 8х2у4.
Для этого надо записать все одночлены в стандартном виде и привести
подобные члены:
Зх (~2ху2) + 4х • 5ху2 - (5ху2)2 + 8х2у4 =
= -6х2у2 + 20х2у2 —25х2у4 +8х2у4 = 14х2у2 — 17х2у4.
В зависимости от чиста членов многочлены называют двучленами, трех-
членами и т.д. Одночлен также можно рассматривать как многочлен, сос-
тоящий из одного члена.
'' Степенью многочлена называют наибольшую степень одночлена, входя-
щего в этот многочлен.
Например, в многочлене 2х2у +5х4у3 - ху + 6 наибольшую степень,
равную 7, имеет одночлен 5х4у3. Значит, степень этого многочлена тоже
равна 7.
При сложении и вычитании нескольких многочленов надо привести по-
добные члены. В результате снова получается многочлен.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый
член одного многочлена на каждый член другого многочлена. В резуль-
тате снова получается многочлен; его нужно записать в стандартном виде.
Например,
(Зх — 2у + z) • (5х - 2z) = 15х2 — 6xz -- Юху + 4уг + 5xz - 2z2 =
= 15х2 - xz - Юху + 4yz - 2z2.
В результате сложения, вычитания, умножения и возведения в степень
с натуральным показателем нескольких одночленов и многочленов снова
получается многочлен. В перечисленных действиях пет действия деления.
Выражения, содержащие деление, будут подробно рассмотрены в § 7.
Иногда в результате деления также получается многочлен. Результат
деления можно проверить умножением: целимое должно равняться дели-
телю, умноженному на частное.
89
Например, при делении одночлена 28а3Агс4 на одночлен 4а2Ьс3 полу-
чим labc,так как
28а3Ь2с4 = (4а2Ьс3) (labc).
Деление (28а3й2с4) : (4а 2 Ас3) = labc выполнено верно.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочле-
на разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.
Например, (45х2у4 — З6х3у3):Зх2у3 = (45х2у4) : (3x2j>3) +
+ (-З6х3у3) : (Зх2у3) = 15у- 12х
§ 5. Формулы сокращенного умножения
1. Квадрат суммы; (а + А)2 = а 2 + 2ab + А2.
Пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен, получаем
(а + Ь)2 = (а + b) (а + b) = а2 + ab + ab + b2 = а2 + 2аА + b2, и формула для
квадрата суммы доказана. В этой формуле можно считать, что а и b —
любые числа. Поэтому ее формулируют так: квадрат суммы двух чисел
равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа
на второе плюс квадрат второго числа.
2. Квадрат разности: (а - b)2 = а2 - 2аЬ + Ь2, т.е. квадрат раз-
ности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произве-
дение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Доказывается аналогично: (а - о)2 = (а - b) (а - b) -а2 - ab - ab +
+ Ь2 =а2 —2аЪ + Ъ2.
3. Куб суммы: (а + Ь)3 = а3 + За2 Л + ЗаЬ2 + Ь3, т.е. куб суммы
двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квад-
рата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа
на квадрат второго плюс куб второго числа.
Действительно, (а + А)3 = (а + b)2 (а + h) = (а2 + 2аЬ + Ъ2) (а + Ь) =
= а3 + a2b + 2а2 b + 2ab2 +ab2 + Ь3 ~а3 + За2А + ЗаЬ2 'Ь3.
4. Куб разности: (а- А)3 =а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ъ3.
Словесную формулировку и доказательство формулы для куба раз-
ности предоставим читателю.
Замечание. Полученные формулы можно записать иначе:
а2 + Ь2 = (а + Ь)2 — 2аЬ,
а2 + Ь2 = (а - Ь)2 + 2аЬ,
(а + Ь)3 = а3 + А3 + ЗаЬ (а + Ь),
(а - Ъ)3 = а3 - Ь3 — ЗаЬ (а - Ь).
а3 + Л3 = (а + Ь)3 - ЗаЬ (а + Ь),
а3 - Ь3 = (а - Ь)3 + ЗаЬ (а - Ь).
5. Разность квадратов, (а + Ь) (а - Ь) =а2 - Ь2
В самом деле, (а + b) (а - b) =а2 -ab+cb -Ь2 =а2 -Ь2.
90
Равенство а2 — b2 = (а + Ь) {а - Ь) удобно для запоминания в следую-
щий формулировке: разность квадратов двух чисел равна произведению
суммы этих чисел на их разность.
6. Сумма кубов: (а + Ь) (а2 — ab 4 Ъ2) = а3 + Ь3.
Доказательство этой формулы предоставим читателю. Для запомина-
ния: сумма кубов двух чисел равна произведению суммы зтих чисел на
неполный квадрат их разности.
7. Р а з и о с т ь кубов (а - b) (а2 + ab +1 2) =а3 — Ь3.
Словесную формулировку и доказательство этой формулы предоста-
вим читателю.
Формулы 1 — 7 называются формулами сокращенного умножения.
Они справедливы для любых чисел а и Ь. Поэтому говорят также, что эти
равенства являются тождествами.
Пользуясь формулами для квадрата суммы и квадрата разности, по-
лучим
(а - b + с)2 = а2 + Ъ2 + с1 — 2аЪ + 2ас - 2Ьс.
Действительно, (а - b + с)2 = ((д - Ь) + с)2 = (а - Ь)2 + 2(а - Ь)с + с2 =
= а2 — 2аЬ + Ъ2 + 2ас - 2Ъс + с'2, что и ухверждалось.
Аналогично можно получить
(а + Ь + с + d)2 =а2 + Ь2 +с2 + Ф2 + 2ab + 2ас + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.
Для доказательства надо записать выражение в виде ((а + Ь) + (с + d))2
и применить формулу для квадрата суммы.
Формулы сокращенного умножения часто применяются для упрощения
ныражении.
Например,
(д + 1)(д - 1) (д4 + д2 + 1) + (д2 - а + 1)(д 4 1) =
= (д2 - 1)(д4 4д2 4 1) 4 (д 4 1)(д2 - а + 1) = (дб - 1) + (д’ 4 1) = дб 4Д3.
Здесь последовательно использовались формулы для разности квад-
ратов, разности и суммы кубов
Формулы сокращенного умножения можно применить и для приближен-
ных вычислений.
Воспользуемся формулой (1 4 д)2 = 1 4 2л 4 д1, Отсюда (1 + д)2 *
* 1 4 2а. По этой формуле можно находить приближенное значение числа
(1 4 a)2 d тех случаях, когда д — положительное или отрицательное число,
модуль которого мал по сравнению с единицей.
Например, 1,0022 = (1 + 0,002)’ *14 2 -0,002 = 1,004 (с точностью
до 0,001); 0,9972 = (1 - 0.003)2 * 1 — 2 • 0,003 = 0,994 (с точностью до
0,001).
Отбрасывая а2 в формуле (и 4 д)1 = п2 4 2па 4 а2, получаем (п 4 а)2 *
*л2 4 2па.
У1
Например, 4,9972 = (5 - 0,003)2 «52 - 2 • 5 • 0,003 = 24,97.
По формуле для разности квадратов имеем
(1 + а) (1 — а) = 1 -а2 « 1,
т.е. с точностью до с2 получаем (1 +а) (1 — в) «1. Отсюда ---- « 1 — в.
1 + а
Например,
1 1
--- «1 -0,004 = 0,996; -«1+0,01 = 1,01.
1,004 0,99
§ 6. Разложение многочлена на множители
Определение. Преобразование многочлена к виду произведения
двух или нескольких многочленов ненулевой степени называется разло-
жением многочлена на множители. Если многочлен может быть разложен
на множители, то он называется приводимым', многочлен называется
неприводимым, если его нельзя разложить на множители.
Например, х2 - а2 — приводимый многочлен, так как
х2 - а2 = (х + д)(х --а).
Очевидно, что многочлен х + 1 неприводим. Многочлен х2 + 1 также
неприводим *).
Задача о разложении многочлена на множители аналогична задаче о раз-
ложении натуральных чисел на множители. Здесь неприводимые много-
члены играют роль простых чисел, а приводимые многочлены - составных
чисел.
Рассмотрим различные приемы разложения многочленов на множите-
ли. В общем случае эти частные приемы не могут установить разложи-
мости или неразложимости данного много-1лена, На практике отдельные
приемы используются в различных комбинациях.
1) Вынесение общего множителя и 2) способ груп-
пировки. При использовании этого способа иногда целесообразно
применить ’’искусственные” преобразования - разбить отдельные члены
на подобные слагаемые или ввести взаимно уничтожающиеся члены.
Пример 1. Разложить на множители а2 — 2bc + 2ас - ab.
Решение, а2 - 2bc + 2ас - ab = (а2 + 2ас) - (26с + ab~) -а(а + 2с) -
-6(2с + а) = (а 1-2с) (д - 6).
Пример 2. Разложить на множители х2 - Зх + 2.
Решение, х2 - Зх + 2 = х2 - х - 2х + 2 = (х2 - х) - (2х - 2) =
= х(х - 1) — 2(х - 1) = (х- 1)(х-2).
') Точнее, многочлен х3 + 1 неприводим на множестве действительных чисел.
92
3) Применение формул сокращенного умножения.
С помощью формул сокращенною умножения часто значительно облег-
чается разложение на множители
Пример 3. Разложить на множители 5а5х3 + 5а2х9.
Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель 5а2х3,-а
затем применим формулу для суммы кубов:
5asx3 + 5а2ха = 5а2х3(а3 + х6) = 5а2х3 (а3 + (х2)3) =
= 5а2х3(а+х2)(а2 - ах2 + х4).
Пример 4. Разложить на множители многочлен Р(х) -х3 - Зх - 2.
Решение.Р(х) =х3 -Зх-2=х3 -х-2х-2=(х3 -х) -(2х+2) =
= х(х2 - 1) - 2(х + 1) =х(х+ 1) (х — 1) -2(х+ 1) = (х + 1)(х2 - х-2).
Так как
х2 - х - 2 =х2 - х - 1 - 1 = (х2 - 1) - (х + 1) =
= (х + 1) (х - 1) - (х + 1) = (х + 1) (х - 2),
то
Р(х) = (х + 1)2(х - 2).
Иногда полезно выделение полного квадрата.
Пример 5. Разложить на множители х4 + 4.
Решение, х4 + 4 = х4 + 4х2 + 4- 4х2 = (х2 + 2)2 - (2х)2 =
- (х2 + 2х + 2) (х2 - 2х + 2).
Для разложения на множители оказалось удачным выделение полного
квадрата d выражении x4+4=(x7V+22 (использована формула а2 +
+ b2 = (a + b)3— 2аЬ).
Пример 6. Разложить на множители многочлен
Р = х4 +у4 + z4 — 2х3у2 — 2x2z2 — 2y3z2.
Решение. Выделяя полный квадрат, имеем
Р = (х2 -у2 -г2)2 - 4/2z2 - (х2-у2 - z2 -2yz)(x2 -у2 - z2 +2yz) =
= (х2 - О +z)2) (X2 - (у - Z)2 ) =
= (х +у +z) (х - у - г) (х + у - z) (х - у +z).
Пример 7. Разложить на множители многочлен
Р = (х-у)3 + (у -z)3 + (z-x)3.
Решение. Представим z - х в виде
z-x = (z-y)-(x-y)
и применим формулу (а - Ъ)3 = (а3 - Ь3} - ЗаЬ (а - Ъ). Тогда получим
Р= (х-у)3 + (у - Z)3 + ((Z-у)3 - (х-у)3) -
-- 3 (z - у) (х - у) (z - у - X + у) = 3 (х - у) (у - z) (z - х).
93
4) Разложение квадратного трехчлена на множи-
тели. При использовании формулы (см. § 4 гл. 6)
ах2 + Ьх + с = а(х - Х\) (х - х2) (а =# О,D = Ь1 — Лас > 0),
где Xj и х2 — корни трехчлена ах2 + Ьх + с, иногда удобно ввести вспомо-
гательные неизвестные.
Пример 8. Разложить на множители многочлен
Р(х) = (х2 + х + 1) (х2 +х + 2) - 12.
Решение. Р(х) = (х2 + х+ 1) ((х2 +х + 1) + 1) - 12- (х2 +х + I)2 +
+ (х2 + х + 1) — 12. Пусть х2 + х + 1 -у. Тогда имеем у2 +у - 12 =
= (у + 4) (у - 3), так кок корни трехчлена у2 + у - 12 равны - 4 и 3. Пе-
реходя от у к х, получаем
Р(х)-(х2 + х+5)(х2 +х-2).
Так как трехчлен х2 + х - 2 = (х - 1) (х + 2), то
Р(х) - (х - 1) (х + 2) (х2 +х + 5).
Используя разложение на множители, удобно вычислять значения неко-
торых выражений.
Пример 9. Найти значение выражения: А = х3 +х3 у - ху2 - у3 при
Х = 3,6,7 = - 2,6.
Решение. Выполним сначала преобразование:
А = (х3 +х2у) - (ху2 + у3) = х2(х + у)-у* (х +7) =
= (х +J) (х’ - У2) = (х +у)2 (х - у).
Подставляя теперь х = 3,6,7 = - 2,6, получим
А = (3,6 - 2,6)2(3,6 + 2,6) = 6,2.
Пример 10. Вычислить значение выражения: А ~ х3у + ху3, если
х - у =4,Х7 = 3.
Решение. Имеем
А = ху(х2 +72) = х7((х2-2х7 + 72) + 2х7) = х7((х-7)2 +2ху).
Отсюда Л = 3(16+ 6) = 66.
§ 7. Алгебраические дроби
Многочлен л-й степени относительно х имеет вид
Р(х)~аохп +aixn~1 + ... + a„_tx + a„,
где л0 И, « > 0 - целое число, ДсДт,... ,ап - постоянные (коэффициен-
ты многочлена), буква (величина) х может принимать любые числоьые
значения.
94
Многочлен Р(х) записан в стандартном виде по убывающим степеням х.
Тот же мноючлеп Р(х) можно расположить и в ином порядке, например,
по возрастающим степеням х.
Два многочлена Р(х) и Pi (х) считаются равными:
Р(х) = Л(х),
если при всех значениях х они принимают одинаковые значения. Выражение
вида
Р(х)
Q(x) ’
где Р(х) и Q(x) - многочлены, называется алгебраической дробью, причем
многочлен Р(х) называется числителем алгебраической дроби, а много-
член 0(х) - ее знаменателем.
Если вместо буквы х, входящей в алгебраическую дробь, подставить
некоторое число, го после соответствующих вычислений получится число-
вое значение этой алгебраической дроби. Поэтому в дальнейшем дробь
Р(х)
---- рассматривается только для допустимых значении входящей в нее
Q(x)
величины (буквы) х, т.е. для тех значений х, при которых 2(х) - знаме-
натель этой дроби, не равен нулю
Например, для дроби
2х + 3
х2 -1
считаем, что х2 - 1 =£0, т.е.х ¥= 1,х ¥= - 1.
Из арифметики нам известно основное свойство дроби, а также пра-
вила выполнения действий лад обыкновенными дробями.
Р(х) Pi(x)
Определение. Алгебраические дроби --------- и —-— считаются
2(х) Qi (х)
равными.
Р(х) = А(х)
2(х) 21 (х) ’
если для многочленов выполняется равенство
p(x)2if«)=A(x)-e(x).
Например,
х 1-1 1
так как (х+ 1) • (х -1) = 1 • (х2 - 1)
95
(2(х)=#0, ВД#=О)
Из определения равенства дробей вытекает, что алгебраическая дробь
не изменится, если чиститель и знаменатель умножить на один и тот же
многочлен К (х) :
Р(х)_ _ Р(х)К(х)
Q(x) 2(х)ВД
(основное свойство алгебраической дроби)
Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую
дробь на общий множитель (многочлен, входящий в разложение числителя
и знаменателя одновременно) и приводить дроби к общему знаменателю.
Например,
х2 -1 (х - 1) (х + 1) х + 1
X3 - 1 (х - 1) (х2 - Х + 1) X2 - х + 1
Сложение и умножение алгебраических дробей определяются по следую-
щим правилам:
Р(х) , Л(Х) _ P(x)Gi(x)+Pi(x)Q(x)
Gi (х) 2wetw
6(х)
р&)_ Л(х) _ fWf>(x)
е(х) Gi(x) " 2(x)2i(x) ’
где2(х)¥=0к 2i О)/0.
Вычитание и деление алгебраических дробей определяются как дейст-
вия, обратные соответственно сложению и умножению. Из этого определе-
ния выводятся правила вычитания и деления:
Р(Х) _ Р1(х) _ Р(х)21(х)-А(х)2(х)
2(х) 21 (х) ’ 2(х)21(х)
_Р_(х)_ Л(х) Р(х)21(х)
2(х) 2i(x) ’ Р,(х)2(х) ’
где 2(х) 0,21 (х) 0 и, кроме того,в случае деления Рг (х) =£ О
Для алгебраических дробей сохраняются основные свойства арифме-
тических действий. Практически для выполнения слежения или вычита-
ния дроби приводят к общему знаменателю. Разложив знаменатели дробей
на множители, принимаю! за ебший знаменатель произведение всех полу-
ченных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят
в знаменатели данных дробей,. Очевидна аналогия с арифметическими
дробями.
Точно так же определяются равенство и действия для алгебраических
Р(х,у,...,z)
дробей вида ------------ , где Р и Q - многочлены.
2(x,y,...,z)
96
Две равные алгебраические дроби образуют пропорцию
Р ..Р'
Q ~ Qi’
где Р, Q, Л > Qi - многочлены, причем Q г 0, <21 =# О
Во всякой пропорции произведение крайних членов пропорции равно
произведению ее средних членов, т.е.
P-Qi=PiQ. р
Верно и обратное: если Р • Qi = Pi ’ Q, то дроби — и
—— образуют
пропорцию —=- , где Q =# 0, Qi ^0
Q Qi
Из пропорции — = — (Q 0, ¥ 0) можно получить производную
Q Qi
пропорцию
KP + LQ _ KPi +LQ1
MP+NQ ~ MPi +NQ1
(0^0, Qi #=0, MP + NQ^C, МРХ +NQi ^0)
(сравните с § 3 о пропорциях для чисел)
Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.
Пример 1. Выполнить действия:
/ *х2-2ху+у2 \ / Зх 2х+у \
х2 - у2 / \ 2х - у х /
Решение. Сначала выполним действия в скобках:
х2-2ху+у2 х2-у2+х2 - 2ху+у2 2х2—2ху
^*^*2 2 2 2 22
X -у X -у X -у
2х(х-у) 2х
(х-у}(х+у) х+у
Зх 2х +у _ Зх2 -4х2 +у2 у2 -х2
2х-у х (2х -у)х х(2х-у)
Затем умножим полученные дроби:
2х у2 -х2 2х(у-х)(у +х) _ 2(у-х) 2(х - у)
х+у х(2х-у) х(х +у)(2х-у) 2х-у 2х-у
Допустимые значения:х#= у, хФ-у, х^О, 2х-~уФ0.
97
Пример 2. Упростить выражение:
/ х х2 х2 - 2х + 4 \ 8 х2 + х + 6
| ------ + —--- . ---------- । ; ---------- _ -------- .
\х — 2 х3 +8 2-х ! х2 -4х+4 4х + 8
Решение. Порядок выполнения действий над алгебраическими дробя-
ми такой же, как для действий над числами: сначала выполняют возведе-
ние в степень, затем — умножение и деление и, наконец, сложение и вычита-
ние; при наличии скобок прежде всею выполняют действие в скобках.
В данном примере:
х2 х2-2х + 4 _ х2(х2 - 2х + 4) х2
^х3+8 2— х (х + 2)(х2 — 2х+4)(2-х) (х + 2)(2-х)
Использовано тождество д3+Ь3 = (д + б) (a2 -ab + b2) и сокращение
дроби.
X X2 X х2
2) +------------- = - — — " — " =
х-2 (х + 2)(2—х) х-2 (х + 2)(х-2)
х(х+2)-х2 2х
" (х + 2)(х-2) " (х + 2)(х-2) ’
2х 8 2х(х2 - 4х + 4)
} (х + 2)(х - 2) ’ х2 —4х+4 ~ 8(х + 2)(х-2) '
2х(х-2)2 _ х(х-2)
" 8(х + 2)(х —2) ~4(х + 2) ’
х(х-2) х2+х + 6 х2 - 2х -х2 - х - 6 -3(х + 2) _ 3
4)4(х + 2)~ 4х + 8 ’ 4(х + 2) 4(х + 2)~ " 4 '
Полученные результаты справедливы для всех значений х, удовлетворяю-
щих условиям х3 + S + 0, х - 2 Ф 0, т.е. при х ¥ - 2, х =# 2.
с4 -16
Пример 3. Сократить дробь: —;——-------------------- .
д4 - 4д3+8д2 - 16д + 16
Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители-
а4 - 16 = (в2)2 - 42 = (а2 + 4)(д2 - 4) = (а2 + 4)(д + 2)(д - 2),
а4 — 4а3 + 8д2 — 16д + 16 = (а4 + 8д2 + 16) - (4д3 + 16а) =
= (а2 + 4)2 - 4а(а2 + 4) = (а2 + 4)(д2 + 4 - 4а) = (а2 + 4)(д - 2)2
Поэтому данная дробь равна дроби
(д2 + 4)(д + 2)(д - 2) с + 2
(д2+4)(д-2)2 =Т^2’ гцед:#2-
98
Пример 4. Найти числовое значение выражения:
1 4 4
х2 + 4х + 4 х4 + 4х3 + 4х2 х5 + 2х2
при х = 0,5.
Решение. Сначала преобразуем данное выражение:
1 4 4 _х2-4+4(х + 2)
х2(х + 2)2
(х 4- 2)2 1
х2 (х + 2)2 х*
(х + 2)2 х2 (х + 2)2 х2 (х + 2)
х2 — 4 + 4х + 8 х2 + 4х + 4
х2(х + 2)2 х2(х + 2)2 ..
Следовательно, искомое числовое значение выражения равно - — = 4.
Пример 5. Бассейн наполняется одной трубой за а часов, а другой —
за b часов. За сколько часов наполнится бассейн, если одновременно от-
крыть обе трубы?
Решение. Пусть объем бассейна равен V. За час первая труба запол-
V V
ниг объем, равный —, вторая — объем, равный --, а вместе трубы за
а b
V 7\
—+ — I. Пусть t — искомое время. За t часов обе трубы
а b /
час заполняют
( V v \
заполнят весь бассейн, т.е. I—+ — I • t = V. Сумма дробей, стоящих в
\ а b /
Г(д + Ь) Г(д + £)
скобках, равна--------. Следовательно,-------------- t = V или, сокращая
ab ab
а + b ab
на V,--------- t = 1, откуда t ----(часов).
ab а + Ь
§ 8. Иррациональные выражения
Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно со дер
жит какую-нибудь величину (букву) под знаком корня.
Преобразования иррациональных алгебраических выражений произво-
дятся на основании общих правил арифметических действий (таких же.
как в случае алгебраических дробей) и действий над корнями. Специфи-
ческим является только "уничтожение иррациональности” в числителе или
Р
знаменателе иррационального выражения вида А = —, где хотя бы одно
из выражений Р или Q содержит корни.
4*
99
Пусть S — данное выражение, содержащее корни.
Определение. Сопряженным множителем относительно S назы-
вается всякое выражение К. не равное тождественно нулю, такое, что вы-
ражение S • К не содержит корней.
Знание сопряженного множителя позволяет представить выражение
А = в виде выражения, не содержащего корней либо в числителе, либо
в знаменателе:
РКХ РК2
QK, " QK, ’
где Кх — сопряженный множитель числителя Р, Kt — сопряженный мно-
житель знаменателя Q. Это преобразование и называется уничтожением
иррациональности (соответственно в числителе или в знаменателе).
Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного множа
теля.
1. Для выражения вида
S = y/xPY9 ...Z1 (Х>0, У>0,..., Z>0),
где p,q, -. , / — натуральные числа, меньшие п (и> 2), сопряженный мно-
житель К есть
“/Хп~Р уп~я .
так как SK = XY .. Z.
2. Для выражения вида
S=VX+y/Y (Х>0, У>0)
сопряженный множитель есть
К=х/Г-vT
так как
5 К = (VX)2 - (\/У)2 = X - - У.
Для выражения вида
S = VT-V<y (У>0, У>0)
сопряженный множитель К = \fX + \/Y.
3. Для выражения вида
S= y/X+y/Y
сопряженный множитель
к= x/F- Vx¥+
так как
SK = ( \/Х)3 +(l/Y)3 =X+Y
для любых Л-и У.
100
Для выражения вида
сопряженный множитель
К= x/F+ 3JXY + \
для любых X и Y.
Пример 1. Выполнить действия:
о 22 1
—7 ... + ----------------.
5-у'7 7+VT у'У+х/Т
Решение. Сначала освободимся от иррациональности в знаменателе.
Для этого умножим числителе и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное знаменателю. Для 5 - у/Тсопряженным множителем будет
5 + yfT, для 7 + х/5 сопряженный множитель есть 7 - х/5, а для х/У + >/5
сопряженный множитель равен у/1 — \/5- Поэтому.
9 22 1 _ 9(5+х/7)
5Т^7+7+х/Г х/Т+х/Г (5 — л/7) (5 + х/7)
22(7 -х/5)
(7+х/5)(7-х/5)
9(5 +\/7) 22(7 - х/5) у7?-у/У
25 -7 49 -5 " 7-5
5+V7 7—х/5 х/7-уТ
=-------+ ------_----------=
2 2 2
Пример 2. Упростить выражение
/ __ у/ху+ у \( \'х
х ------------ ||---------
v 5 - у'7 +х/5
--------------= 6
2
'У 1\гху \
----+ ---------).
\ГХ-\Гу х-у /
Решение. Выражение имеет смысл при 0, у > 0. х^у (условия
существования квадратного корня и дроби). Заметим, что дробь
V-Чл У л / *2
---------- можно сократить: так каку > 0, то у = уу и
уУ'х/Г
х/г(х/*+\/г) =
то:
Отсюда выражение, стоящее в первой скобке, равно \гх — \^~у.
Выполним действия, указанные во второй скобке. Заметим, что выра-
жение х — у можно разложить на множители:
х - у=у/х*-yjy1 = (vST+л/у) (v^"“V5’) (x>0,y>0)
Тогда
л/Г + 2\/ху
\Z* - х 7 (у7+у/у)(у/х- х/у)
\~хХу/х - х/у) + у/у(^/х + х/у) + 2х/ху
(х/х + у/у)(\/х-у/у)
у/х^ -у/ху +\ху + х>’" +2у/ху _ (у^+х/7)2
{у/х+у/у)(у/х -y/у) {у/х^у/у)(у/х-\^у)
Теперь остается найти произведение выражений у.г-х/7и
Получим
= \'Х + у/у,
гдех>0, у >0, х^у.
Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
1
Решение. Сопряженный множитель для выражения v 3 - 2 равен
(х/3)2+ уТ х/2"+(\/2)2 = \/9+ ^6 + \/4Поэтому
1 _ х/9+ л/6+ у/4__________
С/3- у/2 “ (^3- ^2) (^9+ ^6+ ^4)
(использовано тождество (а - b)(a2 +ab +Ьг) = а3 - fe3)
102
§ 9. Алгебраические преобразования (решение задач)
Пример 1. Доказать тождество
1 + а* 2 + а а - а2___1
Т?” + (Г-7)Г " (1 -а)2
Решение. Обозначим леьую часть доказываемого тождества через Л.
Тогда
1 +а +а2 а(1 -а) 1 а
д =---------------- + —--------------+---------=
(1 - д)(1+д+ а2) (1 -а)3 1 -а (1 -а)2
1-а+д 1
(1-«)2 ’
Ь2
— , ДЛЯ
что и требовалось доказать. Тождество справедливо для всех а Ф 1.
а2 + Ь2 а2 а b
Пример 2. Доказать, что —----------— = —- , если— - — .
Ь2 + с2 b2 b с
а b а2
Решение. Из данной пропорции — =— следует, что —— =
b с b с1-
а2 +Ь2 а2
которой можно образовать производную пропорцию * '2 > чт0
и требовалось доказать.
Пример 3. Упростить выражение:
b-с с-а
А — " +--------------
(д - Ь)(а — с) (Ь - с)(Ь - а)
а -Ь
(с - а) (с - Ь)
Решение. Допустимыми являются те значения а,Ь нс, для которых
(а - Ь) (Ь—с) (с — а) =#0. Преобразуем сначала первое слагаемое, раз-
бивая его на две дроби:
b - с (а - с) + (Ь - а) 1 1
(а-Ъ){а-с) (ц-Ъ)(а-с} а-b а-с
Аналогично,
с - а _ (Ь - а) + (с-Ь) _ 1 1
(b - c)(b - а) (b-c)(b-a) b - с Ъ - а ’
а-b (с -b) + (а-с) 1 1
(с - а)(с - b ) (с - а)(с - Ь) с - а с -Ь
Поэтому
2 2 2
А = ---- + ----+------
а-Ь Ъ- с с-а
103
П ример 4. Вычислить:
47
: \Лб- х/7)-( х/100 + х/70 + хД9)
(Зх/16 - Зх/Тб)* 1 2 7 —- +^У
\ 3 3 /
1,62 - 1,6-0,8+0,42
1,42 — 0,22
Решение. 1)
? - 152
47
47
/ / ре • 1 / • 4/ /------- .________
/2+V------ ---------- V2+V68 • 17 =\/2 + 2 • 17 = 6;
,, $16 - </7) -(^Тоо + ^70 + \Л 9) (<Л0)3 - (х/7)3
3х (х/16 - хДО)2 (1) (хЛб + х/10)г (б/1б)г - (хЛо)2 )2
10-7 _ 3 _ 1
(16 - 10/ “ 36 ” 12 ’
1,62 - 1,6 • 0,8 + 0,42
3)—-------:—.
1,42 - 0,22
1,22 1,2
”1,2- 1,6
1
(1,6 — 0.4)2
1,6
3
(1,4 — 0,2)(l ,4 + 0,2)
3
4 '
4
12
Тб
1
4) 6+---------=5-.
12 4 3
1
Ответ. 5 —.
3
П p и м e p 5, Вычислить 50% от А = х/4 + 2\-'3"— хА - 2\/3
= 'Л + 1 )2 и, аналогично, 4 - 2х/3 = (х/З - I)2.
2) Поэтому 4 = Г+ТУ — Vva/3 - I)2
3) 50% от А составляют
A 2
-----50=-----50=1.
100-100
Ответ. 1.
104
П р и м е р 6. Упростить выражение: А = <&/) + 4х/5 +-^/2 + \/5) ‘^х/5”-- 2.
Решение. 1) Выделим квадрат: 9 + 4\/5"в4 + 2-2v^ + 5 = 22 + 2*2-\/5 +
+ (\/5)3 = (2 + х/5)г. Поэтому 4 Л = + >Л)2 = \/Г+\Т
2)Теперь А=2 \/Т У>/5-2 = 2^(\/5 +2)(>/5 - 2) = 2^(\Д)2 - 22 =
= 2
Пример 7. Дано: \/х + Зх/у~- \rz~ = 0. Доказать, что (х + у - z)3 =
= - 27 xyz.
Решение. Из условия следует, что Зх/х + = 3V^- Возведем обе
части этого равенства в куб:
х + у + 3 Зх/ху (//х + \5“) " 2
(по формуле (а + 6)3 = а3 + b3 + ЗаЬ(а +/>)). Отсюда х +у - z = -3%/ху X
Х( Л/Г + Зх/у) или х +у - z = - 3\Лxyz, т.е.
(х + у - z)3 = -27 xyz.
П ри м е р 8. Упростить выражение: ,
/ a - 4b а - 9b \ b 2
\ а + yaF -6b а + 6x/ab + 9b / L 2.
а2 - 3fc2
Решение. Обозначим все выражение через А, первую дробь - В,
вторую - С и третью — D. "Тогда А = (В - QD . Очевидно, должно быть
а > 0, Л > 0. Поэтому \'ab =\/a\Jb. Рассмотрим
а + \/ab - 6b = a + x/ab - 2b - Ab = (а - 4d) + x/b(y/a — 2yjb) =
- (х/о + 2x/i>')(x,ii — 2\/b) +^Б(х/а — 2 x/b} =
= (у/а - 2х/Ь)(уД + Зх/b).
Имеем
(\‘а — 2х/Ь)(у/а ‘г 2х/Ь) \/а + 2х/Ь
(х/а - 2\/Ь')(уа + Зх/b) х/S + ЗуЬ
(х/а 2x/b или а Ф 4Ь),
(v'c + Zy/b^QiJa — 3\/b) х/а — Зх/b
(v а + Зх/b)2 х/а + Зх/b
yja + 2x/b х/а — 3\jb 5\/b
ya + Зх/b ya + 3\/b x/a + 3\/b
D = 1 (у/а Ф Зу/b или а Ф 9 b)
y/b(y/a - 3Vft)
105
Следовательно.
Syfb 1 5
у/а + 3\fb y/b(y/a — Зу/b) a — 9 b
если a>0, fc>0, а^4Ь, аФ9Ъ.
Пример 9. Упростить выражение :
Решение. Выражение А имеет смысл при а + 0. Так как
/в2-1\2 _(а2 — I)2 + 4а2 _ (а2 + I)2 _/а2 + 1\2
\ 2а ) 4а2 4аг \ 2а /
то
а2 + 1 а2 + 1 | а |
А -----J-----=-----г---= 2 ---
а2 + 1 а2 + 1 а
а ------ а- — —
2а 2|а |
или
А =
2, если а > 0,
-2, если а<0.
Пример 10. Упростить выражение:
1 1
(гп +х)2 + (т - х)2
(т+х)2 -(т - х)2
2тп
если х = -- - причем т > 0, 0 < п < 1.
Решение. Имеем
2тп pn^i1 + 1) + 2тп
п2+1 п2 + 1
(п * О2
п2 + 1
106
Т---------)
аналогично, (т - х) = \'т - х = у—-------. Поэтому данное выражение
______________________ п + 1
/m(ii + I)2 pr^i - I)2
_ п‘ + 1 п2 + 1 _ у/(п + 1)? + х/(и - О2
Мп + >fr-D2
V п2 + 1 V п2 + 1
(при т > 0 подкоренное пыражение положительно). Отсюда А =
|л + 1 |+1л - 1 |
=----------------. По условию 0 <п<1. Следовательно, п + 1 > О,
Н + 11-ln-ll
п -1 <0и, значит, | п + 1 | = п + 1, | п - 1 | = - (и - 1). Получим
(и + 1) - (п - 1) _ 2 _ 1
(л + 1) + (л — 1) 2л л
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Ленту длиной 1,98 м разрезали на лье части так, что сдна часть оказалась на
20% длиннее другой. Найти длину каждой части.
2. На карте расстояние между двумя пунктами равно 3.5 см. Каково расстояние
между этими пунктами в действительности, если масыпаб карты 1 : 2 000 000?
3. Рабочий изготовил 480 деталей, выполнив задание на 120%. Сколько деталей
изготовил бы рабочий, если бы он выполнил задание на 110 %?
4. Объем монтажных работ увеличится на 80%. На сколько процентов надо увели-
чить число рабочих, чтобы выполнить работу за то же время, если производительность
труда при этом будет увеличена на 20 %?
5. Неву товара снизили на 20%, а затем новую цену снизили еще на 15 % и, нэко
нец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего
снизили первоначальную цену товара?
6. Найти неизвестный член пропорции:
14 11
а) х : 0,3 - 3- - : — ; б) 9 - : 14 - = х 0,75.
3 9 2 4
Разложить на множители (№ 7 - 12):
7. Зх3 + х3-х - 3.
9. х* - Зх3 + 9.
11.x4 ч-у4.
8 аг +агс +abe +Ь3.
10.a* + 3e’ft3 +4h4.
12. (а-ЬУ + (b-с)3 + (с-а)3.
13. Освободиться от иррациональности в знаменателе:
б)4^-3^; В)
107
14. Освободиться от иррациональности в числителе:
а)-------; б)----------------------.
2 5
15. Сократить дроби:
х’ -Зху+2у3 (а* + 1)(<?4 - а2 + 1) а4 + 2а262 + 9Ь4
а)------------- ; б;---------------==---; в)---------------—
х3-ху-2у3 (а6 + DCs1 - av2-1] а3 - lab + 3b'
1 — 8aJ 2a + 3\/ab — 96
r) ; д) ----------—------ .
>/4a2 - 4a + 1 a + 5\'a6 + 66
Упростить выражения (N“ 16 - 35) :
a2 + 9
16.------------
a2 - 6a + 9
/ b 2b \ ( b 1 \
17.1-----+-----| 61 +1------------1:Z> 1.
\6 + l 62-l/ \6-l b'-b)
X2 - y1 X3 - y3
18.---------------.
X - у X3 - у3
x 2 / Зх + x3
19.------------------------11+---------
ax - 2a2 x’+x--2ax—2c \ 3 + x
108
a +d ab
3a-ab a-rb,
34. yfc + 4a + 4 + y/^4a + 4,
если -2 < a <2.
y/a + bx + y/a - bx
35.-------------------—
yl/a + bx - y,a - bx
если
2<jn
x -----------, a > 0, b #• 0, 0< I m I < 1.
b(l + m3)
36. Доказать тождества:
a) (.x + >) (x ->’) (x1 +>’) (x‘ + 7*) =x’ - y*;
6) (a + b + c)’- a} -b3 - c3 =3(a +i)(J> + c)(c * fl).
199
х1 - 1 1 - Зх
37. Доказать, что сумма дробей ------+------------ раина сумме их кубов,
(х-1)х+1 (l-x)x-l
38. Проверить равен л в: -
б) \Д/2 - 1 =
г) J19 - 12>/5 - + 12ч/5 = - 6.
Доказать тождества (№ 39 - 45) :
39. (2 + ху + х + у)2 + (2 - ху + х - у)2 =2(х + 2)2 F 2у2(у + I)2.
а2 (а + х)2 (а + у)2
40. — +----------------=1.
ху X2 - ху ху - у2
( с + 4\ / 3 \
41.16с2 + 5с — 1 +---I - I За — 2 4-|= 2с + 3, где а + - 1.
\ с +1 / \ с + 1/
~ а-а'2 1 - а'2 2
42'а ' I—~ + + 7 =0’
с2 + 1 1
43-----у- :-з-------с = -1.
а + с 2 + 1 я2 —1
Вычислить значения данных выражений (№ 46 - 50) :
7x4-1 х - 1\ /х2 + 1 х2 - 1 \ 3
46 .1---------1 --------------I при х = - 3- .
\х-1 х + 1 / \х2 - 1 х2 + 1 / 4
110
a' - 2e F 1 /(a + 2)’ - а’ 3 \
47. • |---------------------) при fl = - 0,01
fl - 3 \ 4fl’ - 4 fl’ - a)
л + b — c _
48. (a’ - b1 - c’ f26c):---------при л+с=2, 6=v3.
a + b f c
49. (a + l)"1+(6 + 1)"‘ при в^р + ч/З)'1, b ~ (.2 - .
3 3 2
a2 + 6 2 fl 3 \'a - b 3
SO. =• : —=---------— ~ при e = 1,2, b = —.
2 5
(a’-flh)3
51. Найти число, если 5 % его составляют
„1,5 . Л.5
“ Ъ 0,5.0,5
«°>5 + 6°-5 260,5
~Ь + fl“^7?-s
52. Найти число х, если 40 % его равны
А = + <т20 - 14>Д
РАЗДЕЛ П
53. Найти 110% от 47 р. 20 к ; 80 % от 1 ч 15 мин.
54. Найти число, если 35 % его составляют 63.
55. Тот ар со скидкой в 12% был продан за 44 р. Какова была первоначальная
стоимость толара?
56. В 20 л раствора, содержащего 4% соли, добавили 15 л воды. Какова стала
концентрация соли в попом растворе?
57. Масштаб топографической карты 1 : 50 000. Каково расстояние на мссткости,
если на карте оно составляет 1,5 мм; 2,8 см?
58. Цена товара снизилась на 20%. На сколько процентов надо повысить новую
цену товара, чтобы получить его первоначальную стоимость?
59. В сберкассу па срочный пклад было положено 500 р. (через год размер вклада
увеличивается на 3%). Какая сумма будет на сберкнижке через 2 года?
60. Улучшение организации производства повысило производительность труда
на 10%, а рационализаторские предложения повысили производительность еше на
20%. На сколько процентов повысилась производительность труда по сравнению
с первоначальной?
61. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов
цена товара снизилась с 25 р. до 16 р. На сколько процентов снижалась цена товара
каждый раз?
62. Макет здания выполнен в масштабе 3 : 140 и имеет высоту 75 см. Какова
планируемая высота здания?
63. Высез семян пшеницы составит! 5 000 090 зерен иа 1 га. Сколько растений
будет на 1 м’, если всхожесть семян 96 %?
Разложить на множители (№ 64 - 68):
64. 4в’ - cl - lac - с3. 65. х3 + 2х’- Зх.
66.д4 +464. 67. (х-у)3 - 8у3. 68. х’+х+1.
111
69.Сократить дроби:
аг - 1 х3 + 5х’ + 7х + 3 а~ъ
а) а3 + 2с - 3 : б) 2х‘ +5х*+4х + 1 ; В) a-^ib-2b '
Упростить выражения (№ 70 - 93):
ь Y 2Ь
2с -24 / с- - Ъ1 ’
Ьх + с\ / аг - Ьг а2 +Ь‘‘ \
b-а / \ х3 — 1 : х- 1 /
_____4с3 \ / 2а 1
4а’ +4аЬ +4>’/ \ 4а’ - b* b - 2а I
f 2а
”• -
112
89.
у/ а* 1 -ау/И + 2
2в - 8
т > 0, п > 1.
91.
тп - -Jm2 - 1 • \jn2 - 1
тп + -jm2 - I • -Jn2 -1
если 2m = x + — , 2n = v + —, x < -1, x< -1.
x У
i 2_
92. (t + x-’) 1 +(1 -х-')-»,если x = (l -n-1)2 (1+И-*) 2,|n|>l.
1
7
93.
у
, если x = 4(а - 1), 1 <a < 2.
113
94. Проверить равенство :
\--— + ----—(5/6 + 11) = -115.
\7б + 1 s/6-2 3 -V6 /
95. Проверить равенство:
3У9 - 5ч/3 уТ-1
9 + 5vT у/З + 1
96. Преобразовать и вычислить без таблиц:
a) 7* - 2>/б : (( 7J+ V5) • ( 7? - Т^));
б) ТСх/З+ТЕ)3 + хА - 2уТ - 75;
в) Зх/5Т2’+ 7 - ’7(72-I)3.
Доказать тождества (№ 97 - 103) :
97. ----------+
а (а -Ь)(а - с)
„„ х3+х-2
98‘ ‘
99. С"";?-----6*(4Ь3 -в3)*) :[2ar:5 + 3an+t —— ) =ап~гЬ
\a + 2b / \ ia-b /
1 1 1
-------------- + -------------- =---- .
Ь(Ь-а)(Ь~с)---с(.с-а}(с-Ь] аЬс
+ 2)3 - х3 3 \ х + 2
101.
Вычислить значения данных выражений (№104 - ПО):
при х-0,5
114
in« v(x + 2}’-8x
105. при x=l,21.
- 2
V* _ ~~
•\/X
£
x -1 x2 +1 2
106. j-- : '----- + -----=--- при x = 1,9.
x+x2 +1 x2 -1 x 2
107 ( Х~2У + У • Х* ~ХУ* • 2yt
\X3 fy’ X3 -X 2y + xy2 / X3 + y2 Xs + x2y+xy2 +у*
при х =0,2, у - 0,8
108. +---------------------+--------------
а(а - Ь)(а - с) b(b-a)(b~c) с(с-а)(с-Ь)
при
110. А-а* + Ь4 + с* при а +Ь + с = 0, аг+Ь2+с2-1.
111. Найти число, если 25% его составляют
155
ГЛАВА 6
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Уравнения с одним неизвестным.
Корень уравнения
Буквенные величины, входящие в равенство двух выражений А нВ:
А-В,
по условию задачи могут Сыть неравноправными. Одни из них считаются
известными, или параметрами. Они могут принимать все свои допусти-
мые значения. Другие буквенные величины являются неизвестными.
Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами,
называется уравнением.
В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, рассмат-
ривают уравнения с одним, с двумя и т.д. неизвестными.
Неизвестные величины в уравнениях обычно обозначают буквами х,
у, z,..., а известные (или параметры) - буквами а, Ь, с,...
Будем сначала рассматривать уравнение с одним неизвестным х:
Л(х) = В(х).
Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются
левой и правой частями уравнения. Каждое слагаемое части уравнения на-
зывается членом уравнения.
Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью опре-
деления уравнения А(х) = В(х) называется множество всех числовых
значений неизвестного х, при каждом из которых имеют смысл выражения
А (х) и В (х) одновременно.
Определение. Корнем (или решением) уравнения называется то
значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное
равенство.
Очевидно, что корень уравнения принадлежит ОДЗ этого уравнения.
Решить уравнение - это значит найти все его корки или установить,
что их нет.
Например, уравнение 2х = 2 имеет единственный корень х = 1; урав-
нение х2 + 1 = 0 не имеет корней: для любого действительного числа х
всегда х2 + 1 > 0.
Определение. Два уравнения называются равносильными (зквш
валентными), если всякий корень одного уравнения является корнем
другого, и наоборот. Если оба уравнения нс имеют корней (решений),
то оки также считаются равносильными.
Иначе говоря, равносильными называются уравнения, множества кор-
ней которых совпадают.
116
Если уравнения А = В и A j = В^ равносильны, то пишут
A =B^Ai -Bi-
Например, х2 — 1 = 0 ** (х + 1) (х — I) - 0; х2 + 1 = 0 » х2 + 4 = 0, так
как эти уравнения не имеют действительных корней. Ясно, что уравнения
х {х + 1) = 0 и (х + 1) {х - 1) = 0 неравносильны.
При решении уравнения путем различных преобразований стараются
заменить его более простым, равносильным ему уравнением. Однако та-
кая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая:
1. При переходе к новому уравнению может произойти потеря кор-
ней. Например, при переходе от уравнения х(2х - I) = х2 к уравнению
2х - 1 = х сокращением на неизвестное х происходит потеря корня х = 0.
Поэтому при переходе к новому уравнению надо учитывать возможность
потери корня данного уравнения.
2. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корнями
данного уравнения (так называемые посторонние корни) Например,
при переходе от уравнения v 2х - 1 = \/х - 1 к уравнению 2х - 1 = х - 1
возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения получим х - 0 —
посторонний корень этою уравнения. Поэтому часто делают проверку кор-
ней, подставив их в данное уравнение
Напомним, что числовые равенства обладают следующими свойствами:
1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить
одно и io же число;
2) числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или
разделить ка одно и то же число, отличное от нуля.
Из свойств числовых равенств и понятия равносильных уравнений вы-
текают следующие основные свойства уравнений:
1) Уравнение А = В равносильно уравнению А + С= В + С, где С - число
или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых зна-
чений (т.е. на ОДЗ) уравнения А =В.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части урав-
нения в другую с противоположным знаком.
Например, А=В*>А-В = 0.
2) Уравнение А = В равносильно уравнению А - С = В - С, где С - число
или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых зна-
чений уравнения А = В и не обращающееся на нем в нуль.
Следствие. Обе части уравнения можно сокращать на общий мно-
житель, не обращающийся в нуль на множестве допустимых значений
данного уравнения.
Действительно, уравнение А - С = В С ** АС-
равносильно уравнению Я = В.
ч А Вх
3) Уравнение — -— равносильно уравнению At • В2 = А2 • #i> рсс-
А2 В2
сматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения
117
— =------ или ни споем множестве при дополнительном условии А2 Ф О,
А2 В2
в2 #0.
Эти свойства используются при решении уравнений.
§ 2. Линейные уравнения
Спр е де л е к и е. Уравнением первой степени с одним неизвестным
называется уравнение вица
ах + Ь = 0,
где а,Ь — заданные числа, причем а -А 0, а х — неизвестное
При этом число а называется коэффициентом при неизвестном х, чис-
ло b - свободным членом уравнения.
Это уравнение равносильно уравнению ах = -Z>, из которого получаем,
Ь
что х = - — . Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единст-
о b
венный корень х = .
а
Уравнение первой степени является частным случаем линейного
уравнения ах + b - сх + d, где a, b, с, d — заданные числа, а х —
неизвестное.
Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида
к - х = I, где к и I — известные числа, При этом число к — коэффициент
при неизвестном х, может оказаться равным нулю, в отличие от коэффи-
циента при неизвестном в уравнении первой степени
Решим, папример, линейное уравнение
Зх.-5 = 10 —2х.
Тогда имеем Зх + 2х = 10 + 5 и, значит, данное линейное уравнение равно-
сильно уравнению первой степени 5х = 15; х = 3 - единственный корень.
Мсжет оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет
бесконечное множество корней.
Пример 1. Показать, что уравнение 2(х - 1) + 1 = 3 - (1 — 2х) не
имеет корней.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
2х - 2х ~ 2 + 1 или 0 • х ~ 3.
Это уравнение не имеет корней, так как левая часть 0 • х равна нулю при
любом х, а значит, не равна 3.
Пример 2. Решить уравнение ах = а.
Решение. Это уравнение содержит параметр а (переменную, которая
в условии данной задачи сохраняет одно и то же значение).
118
a
Если a 0, то ax - a x = —, т.е. х = 1 — единственный кореш уравне-
а
ния. Если a = 0, то уравнение принимает вид 0 • х = 0 и его корнем являет-
ся любое действительное число х.
Пример 3. Решить уравнение а* 2 3х = а (х + 2) - 2.
Решение. Перенося члены с неизвестным в одну часть уравнения;
а известные члены — в другую, получаем равносильное уравнение
а (а - 1)х = 2 (а - 1).
Если а (а - 1) О, т.е. a # 0, a =# 1, то имеем уравнение первой степени,
2
их = — — единственный корень.
а
Если a = 0, то данное линейное уравнение принимает вид 0 • х = - 2 и,
значит, не имеет корней.
Если a = 1, то уравнение принимает вид 0 - х = 0 и его корнем являет-
ся любое число.
Пример 4 Решить уравнение
Здх - 5 За-11 2х + 7
+ ——— = — - - ,
(а - 1)(хн 3) а - 1 х + 3
Решение. 1) После приведения дробей к общему знаменателю
(а - 1) (х + 3) получим линейное уравнение
Зах - 5 + (За - 11) (х + 3) = (4 - 1) (2х + 7),
равносильное исходному, при условии, что
(а - 1) (х + 3) Ф 0, т.е. а Ф 1, х Ф - 3.
2) После приведения подобных членов и сведения полученною урав-
нения к стандартному для линейного уравнения виду кх = b имеем
(4a - 9)х = 31 — 2a. (*)
3) А) Если 4a - 9 Ф 0 =>а Ф 2 -, то х = • ТсяеРь необходимо
' ' 4 4а - 9
исключить те значения параметра а, при которых найденное значение х
равно — 3, чего не может быть по области определения (ОДЗ) исходного
31 -2a
' уравнения. Приравняем дробь------к — 3:
4a - 9
31-2a 2
-------= — 3, 31 -2а = - 12a + 27, 10a = -4 =>a = - -.
4a - 9-5
119
2 '
Таким образом, при а = — — полученное в результате преобразования
линейное уравнение имеет корень х = — 3, посторонний для исходного
уравнения.
1
Б) Если а = 2 —, то уравнение (*) примет вид
4
9 1
0-х = 31— 2-— или 0 = 26 —
4 2
- неверное равенство, т.е. уравнение (*) не имеет корней.
Вообще, если уравнение не имеет корней, то говорят также, что мно-
жество корней уравнения пустое, и обозначают ф.
1 2
Ответ. 1) При а Ф 1, а 2 — маФ - — уравнение имеет, единственное
4 5
31 - 2а
решение х = --------; 2) при а = 1 данное уравнение нс имеет смысла;
4а - 9
1 2
3) при а = 2 — и а = — — нет решений.
Ответ можно записать короче:
2 1 31 - 2а 2 1
1) если а Ф - -, 1, 2—, то х -------; 2) если а ----, 1, 2 —. то ф.
5 4 4а-9 7 5 4
S 3. Квадратные уравнения.
Теорема Виета (прямая и обратная)
Определение. Квадратным уравнением (или уравнением второй
степени) называется уравнение вида
ах2 + Ьх + с ~ 0,
где а.Ъ,с — заданные числа, причем а ¥= 0, а х — неизвестное. Числа а, Ь, с
называются коэффициентами квадратного уравнения: а — коэффициент
при квадрате неизвестного, b — коэффициент при неизвестном в первой
степени, с — свободный член.
Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 называется неполным, если хо-
тя бы один из коэффициентов Ъ или с равен нулю.
Неполное квадратное уравнение - это уравнение одного из следующих
видов-
ах2 = 0 (а ¥=0),
ах2+с = 0 (а#=0, с¥=0),
ах2 + Ьх = 0 (а Ф 0, b Ф 0).
12С
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.
1. Уравнение ах2 =0 (в #= 0) имеет единственный корень х = 0.
2. Уравнение ал2 + с = 0 (а =/= 0, с =# 0) равносильно уравнению х2 =
с
= Возможны два случая.
а
с с ' с
Если — > 0, то---< 0, и поэтому уравнение х2 -----не имеет дей-
а а а
ствительных корней.
с с с
Если —< С,то > 0, и уравнение х =- — имеет два корня:
а а а
Действительно, перенося в уравнении х2 = - — величину - — в левую
4 ’ а 'а
часть, получаем
с с / Г~с\2
Так как--->0, то--= |v----) .Поэтому
а а \ а/
-О
-о.
Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим
Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей
равен нулю.
/ с с
Рассматризаях - v- — = 0, получим xt = у-—; рассматривая х +
д а
с с
+ V - — = О, находим х2 = - у - —.
а ? с
Следовательно, уравнение ах2 + с = 0 при — < 0 имеет два корпя;
а
[с с
Xi = V----, х2 = — у— —, что и утверждалось. Ответ часто записывается
а а
в виде
(с
а
>0
121
Например, неполное квадратное уравнение х2 + 4 = 0 не имеет действи-
тельных корней, Для неполного квадратного уравнения х2 — 4 = 0 по-
лучаем
(х - 2) (х+ 2).= 0=*Xi = 2, х2=—2, х1>3=±2.
Эго уравнение можно решить по-другому:
х2 = 4, |х | = v'4 = 2=*х1 = 2, х2 = -2, xii2 = ± 2.
3. Уравнение ах2 + Ъх = 0 (а Ф О, Ъ Ф 0) можно решить с помощью
разложения его левой части на множители. Очевидно, что ах2 + Ьх = 0
Ъ >
о х(ах + Ь) =0, откуда Xi = 0, х2 = - —.Например, Зх1 + 8х = 0<»
а
8
х (Зх + 8) = 0, откуда Xi = 0, х2 = — —.
В общем случае для решения квадратных уравнений применяется метод
выделения полного квадрата.
Применение этого метода поясним сначала на примерах.
Пример 1. Решить квадратное уравнение х 2 — 4х - 5 = 0.
Решение. Запишем левую часть уравнения в виде
х2 - 4х - 5 - (х2 - 2 • 2х + 22) - 5 - 24 = (х - 2)2 - 9.
Эти преобразования выполнены с целью выделения полною квадрата
(х-2)2.
Исходное уравнение можно записать в виде
(х-2)2 -З2 =0
или ((х - 2) - 3) ((х — 2) +3) = 0. Следовательно, х — 2 - 3 = 0 или х - 2 +
+ 3 = 0, откуда
Xi = 5, х2 = -1.
Заметим, что уравнение (х - 2)2 -9 = 0 или (х - 2)2 = З2 имеет корни
xt — 2 = 3 их2 - 2 = - 3.
Вообще, уравнение видах2 -а (а > 0) имеет корни Xj(2 =±\/а. В самом
деле, х2 = а х2 - (\/й)2 = 0 или. (х - \Го) (х + у а) = 0, откуда и следует
справедливость утверждения.
Пример 2. Решить квадратное уравнение Зх2 + 2х - 5 = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на 3:
, 2 5
х2 + —х - — = 0.
3 3
Применим метод выделения полного квадрата;
122
Поэтому получим
/ 1\2 16 I 1V
х + — - — = 0*»(х + —I
\ 3/ 9 \ 3/
16
Т’
1 4
откуда х + — = + — . Следовательно,
Можно выделить полный квадрат в исходном уравнении и без предва-
рительного деления на 3 (коэффициент при квадрате неизвестного):
/ , 2 \ / , 1 /1\2 /1\2\
3х2 +—х|-5 = 3. х2 + 2 х — +1 — I — I — I 1 — 5 =
\ 3 / \ 3 \Д/ \3/ /
/ 1\2 1 / П2 16
= 31х +—) —3— — 5“3(х+ — I —— .
\ 3/ 9 \ 3/ 3
Поэтому
/ 1\2 16 / 1 \2 16
31х + — 1 -— =O«’|x-t - г =— ит.д.
\ 3/ 3 \ 3/ 9
Рассмотрим теперь квадратное уравнение общего вида
ах2+Ьх + с = 0 (а^О). (1)
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого запишем ле-
вую часть уравнения в следующем виде:
2 L / 2 b \
ах +ох + с’ = д1х + —х)+с =
\ а /
/ , ь I ъ \2 / ь \2\ / ъ \2 ь2
= а\х +2 х-—+1 — I -I—) +с-а х+ —I----------------+ с.
\ 2а \2а / \2а / / \ 2а / 4а .
Поэтому
/ b X2 b2 ' b \2 Ь2 - 4сс
\ 2д/ 4а \ 2а) Ааг v
Дальнейшее решение зависит от знака правой части полученного урав-
нения (2).
Так как 4а2 >0 (а Ф 0), то знак правой части совпадает со знаком вы-
ражения b2 - 4ас.
Определение. Выражение Ь2 — 4ас называется дискриминантом
квадратного уравнения ох2 + Ьх + с - 0 (а Ф 0) и обозначается буквой D:
DAV,2 -4ас.
123
Рассмотрим три случая: D>£.D~Q,D< 0.
1. D = &* — 4вс> 0.
В этом случае уравнение (2) можно записать так:
/ b \ 2 ( \/о1 — 4ас \2
I х + — I =1-----------I ;
\ 2а) \ 2а /
следовательно,
b хГь2 — 4ас
х + — = ±-------------
2а 2а
откуда
-Ь ±-\А2 - 4 ас
*1,2 = ------------- (3)
2а
или
-b + \/D
*1,2 =---~-----> (4)
la
где D — дискриминант уравнения (1).
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т е. при Ь2 —
— 4ас > 0, уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет два различных корпя, которые
можно найти по формуле (3) или (4),
2.D=b2 -4ас = 0.
В этом случае уравнение (2) принимает вид
b b
откуда х + — = 0, т.е. х = — —.
2а 2а
Таким образом, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ас = 0, то урав-
b
нение имеет единственный корень х = —— .
2а
Заметим, что формула (3) или, что то же, (4) применима и в случае
D = 0. В самом деле, эта формула дает единственный корень уравнения (1).
Говорят также, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных
b
корня: Хл = х2 = — —. Такое соглашение освобождает нас от специальных
2а
оговорок, относящихся к этому случаю при формулировке свойств квад-
ратных уравнений, а в дальнейшем (в гл. 7) — свойств квадратичных
функций.
3. D = Ь2 — 4ас < б.
124
В этом случае в правой части уравнения (2) стоит отрицательное число,
а в левой части - неотрицательное (положительное или равное нулю).
Следовательно, если Ъ2 — 4ас < 0. то уравнение (2), а значит, н уравнение
ах2 -i to + с = 0 не имеют действительных корней.
Вывод. Квадратное уравнение ах2 + to + с ~ 0 имеет действительные
корни только при дискриминанте D = Ь2 — 4ас > 0; если D > 0. то корни
различные; если D = 0, тс корни равные. Формула корней квадратного
уравнения имеет виц (3) или (4),
По этой формуле можно находить и корни неполных квадратных урав-
нений, но кроше вычислять их путем разложения левой части неполного
квадратного уравнения на множители, как было показано.
Замечание 1. Если коэффициент b — четное число, т.е. Ъ = 2к, то
формула корней квадратного уравнения примет вид
— 2к ±х[4к2 —4ас -к ±х/к2 - ас
*1.2 = ---------------- = -------------.
2а а
Например, вычислим корни уравнения Зх2 — 6х - S = 0 (заметим, что
уравнение имеет действительные корни, так как D= (- 6)2 - 4 • 3 • (- 5) >
>0):
3±х/9 + 15 З+х/24 3±2\/'б"
X12 =------------=--------=------------•
’ 3 3 3
Замечание 2. Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение
принимает вид х2 + рх + q = 0, Такое квадратное уравнение называется
приведенным квадратным уравнением. Всякое квадратное уравнение
ах2 + to + с = 0 можно привести к виду х2 + рх + q = 0 делением обеих
частей уравнения на а 0.
Найдем корни приведенного квадратного уравнения. В формуле (3)
полагаема = l,b =р,с = q. Тогда
- формула корней приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.
Например, решим уравнение х 2 + 4х - 5 = 0-
Х\,2 = - 2 ±\/4 -(-5) = -2 ± VT=-2 + 3,
огкудаХ( = 1,х2 = —5.
В § 5 гл. 7 будет рассмотрен графический способ решения квадратного
уравнения.
Пример 3. Решить уравнение
2 х-4 1
х2 - 4 х2 + 2х х2 - 2х
125
Решение. Разложив знаменатели на множители, имеем
2 х-4 ____1
(х + 2) (х - 2) х (х + 2) х (х - 2)
После приведения дробей к общему знаменателю х(х2 — 4) получим
уравнение
2х + (х - 4) (х - 2) =х + 2
или х2 - 5х + 6 = 0, равносильное исходному уравнению, при условии,
что х(х2 - 4) Ф 0, т.е. х #= С,х Ф ± 2. Находим корни приведенного квадрат-
ного уравнения:
откуда х2 = 3, х2 =2. Так как х2 = 2 не удовлетворяет ограничениюх Ф 2
(не входит в ОДЗ исходного уравнения), то, следовательно, исходное урав-
нение имеет единственный корепьх - 3.
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет
b
действительные корни х2 и х2, то их сумма равна-и произведение
а
с
равно —:
а
b с
Х1+Х2=-~, ХГХ2= —. (5)
а а
Формулы (5) называются формулами Виета.
Доказательство. По условию дискриминант квадратного урав-
нения D = Ь2 - 4ас > 0. Тогда по формуле (4) уравнение имеет два корня:
Найдем сумму и произведение корней:
-b+^/D - b -s/D b
+ х2 = --------------- - —,
2а а
(-d+^)(-i-V®) b2-D Ь*-(Ь2-4ас) с
Xi • Х2 =------;-------- = -----— = ----э------ = — .
4а2 4а2 4а2 а
и формулы (5) получены.
Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного урав-
нения и его коэффициентами.
126
Для приведенного квадратного уравнения
х3 + рх + q = О
с дискриминантом/) =р2 — 4q > G формулы (5) принимают вад
х!+х2=-р, х2-х2=д. (6)
Полученные для приведенного квадратного уравнения формулы Вие-
та читаются так: сумма корней приведенного квадратного уравнения
равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с про-
тивоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену.
Если корни квадратного уравнения действительные (£>>0), то фор-
мулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения определить
знаки корней. Например, если а > О, b > 0, с < 0 (и, следовательно, D =
2 ч с
= b — 4ас > 0), то • х2 = — < 0 и корни имеют разные знаки. Так как
а
b
при этом Xi + х2 - -— < 0, то отсюда следует, что больший по моду-
а
лю корень отрицателен (сумма двух чисел разных знаков отрицатель-
ная’).
Теорема (обратная теореме Виета). Если числа xitx2, р, q таковы,
что
х2 + х2 = -р, Xi х2 = q,
ТОХ) и х2 - корни уравнения х2 + рх + q = 0.
В теореме Виета для приведенного квадратного уравнениях2 +рх + q = 0
утверждалось, что для его корней х2, х2 и коэффициентов р, q справед-
ливы формулы (6).
В обратной теореме Виета утверждается: если для чисел х2, х2, р, q
справедливы формулы (6), то х2 и х2 — корни приведенного квадратного
уравнения х2 + рх + q - 0.
Доказательство. Рассмотрим
(X-Xj)(X-X2)
и получим
(х -Х1) (х - х2) = х2 - (х. +х2)х +Х1Х2 =х2 +px + q.
Очевидно, что х2 их2 - корни уравнения
(х — х2) (х -х2) =0
и, значит, уравнения х2 4 рх + q = 0.
Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении
различных задач.
127
Пример 4. Не решая уравнения х2 - 452х + 987 = 0, определить зна-
ки его корней.
Решение. Дискриминант этого уравнения положителен, так как
D
— = 226 2 - 987 >0.
4
Следовательно, уравнение имеет действительные корни Xi их2. По теоре-
ме Виета xtx2 = 987 > 0; корпи имеют одинаковые знаки. Так как по тео-
реме Виста Хх + х2 = 452 > 0, тс корни Xj и х2 — положительные.
Пример 5. Составить приведенное квадратное уравнение, корни
которого Хд = 2,х2 - 3.
Р е ш е н и е. По обратной теореме Виета
р- — (xi +х2) = - 5, <?=х1х2=6.
Искомое уравнение х2 — 5х + 6 = 0.
Пример 6. Не вычисляя корни Xj и х2 уравнения Зх2 — 2х — 6 = 0,
11 , , ,
найти: а)— +— ; б) xj + х2; в) xj +х2.
Xt х2
Решение. Дискриминант D = 22 - 4-3-(-6)> 0. По формулам Виета
b 2 с
Xj + х2 =---= — , xjx2 ~— - - 2.
а 3 а
/ 2 \2 40
б) xj +х2г =(х! + х2)2 -2х!Х2 =1- - ) -2 (-2)= — ;
в) Х1 +х! =(Х1 + Х2)(Х2 -Х1Х2 + х2) =
= (х, +Х2)((Х1 +х4)2 -3xiX2) = — J -3-(-2)j= -у .
Пример 7, Найти р, если сумма квадратов корней уравнения х2 +
+ рх - 3 = 0 равна 10.
Решение. Очевидно, что дискриминант D > 0. По формулам Виета
для приведенного квадратного уравнения
Xi + х2 - -р, XjX2 - — 3.
Так как х2 + х2 = (xt +х2)2 — 2xjx2 = р" + 6, тор2 + 6 = 10, откудар2 = 4
и, следовательно, р = 2 или р = — 2.
128
§ 4. Разложение квадратного трехчлена на множители
Рассмотрим квадратный трехчлен
ах2 +Ьх + с (at 0).
Квадратный трехчлен - это многочлен второй степени. Значения х,
при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются кор-
нями квадратного трехчлена.
Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квад-
ратное уравнение ах2 +Ьх + с = 0.
Мы уже знаем, что число действительных корней квадратного урав-
нения, а значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта
D-b2 — 4 ас.
Пусть дан квадратный трехчлен
ах2 + Ьх +с (а ¥= 0)
с неотрицательным дискриминантом/) ~ Ь2 — 4ас > 0.
Теорема. Если х2 и х2 - корни квадратного трехчлена ах1 + Ьх +
+ с, тс
ах2 +bx + c=а(х - х} )(х - х2) (а =# 0). (7)
Доказательство. Так как х2 и х2 — корни квадратного урав-
нения ах2 + Ьх + с - 0 с дискриминантом D > 0, то по теореме Виета
b с
Х2 + Х2 =---, XjX2 ~.
а а
Поэтому
/ , b с \
ах + Ьх + с = а[ х + — х +— ; = а(х — (х- +х2)х + XjX2) =
X а а /
= а((х2 -Xtx)-(х2х-х1х2)) =
= д(х(х-хг) - х2(х - х2))=а(х - х2)(х - х2)
Полученное равенство (7) называется формулой разложения квадрат
него трехчлена на линейные множители.
2х2 - 5х + 2
П р и м е р 1. Упростить выражение--5-----.
4-х
Решение. Для квадратного трехчлена 2х2 — 5х + 2 дискриминант
D = 25 — 16 > 0 Найдем корни трехчлена, решив квадратное уравнение
2х2 — 5х + 2-О. Получим Xj = 2 и х2 = у. Поэтому по формуле (7)
129
2х2-5х +2=2(х-2) (х —— ) = (х - 2) (2х - 1). Следовательно,
2х2 - 5х + 2 _ (х - 2)(2х - 1) 2х - I
4—х2 (х-2)(х + 2) х + 2
Пример 2. Пусть х = 2 — корень квадратного трехчлена 4х2 - Их + q.
Найти q и разложить трехчлен на множители.
Решение. Так как х = 2 — корень трехчлена, то
4-22 - 14-2 + 4=0,
откуда q = 12. По теореме Виета для квадратного уравнения 4х2 — 14х +
12 3
+ 12 = 0 имеем х2х2 = — = 3, а так как xt = 2, то х2 = Поэтому
, / 3\
4х2 - 14х + 12 = 4(х - 2)1х - —\ = 2(х - 2)(2х - 3).
Примерз. Доказать, что выражение
( 4у - 5 90-3) 4у2 — 17у + 15 7
\ у2 - 9 15 - 1у - 4у2‘ у - 2 у + 3
при всех допустимых значениях у есть величина постоянная.
Решение. 1) Разложим знаменатель второй дроби на линейные мно-
жители.
Решив уравнение 15 — 1у - 4у2 = 0 4у2 + 1у — 15= 0, найдем у j 2 =
-7 ± 17 5
= --------- =» У1 = — 3,у2 =----- . Получаем разложение квадратного
8 4
трехчлена:
15—7у-4у? = -4О+3)1у-----------) = -О + 3)(4у- 5).
\ 4 /
4у-5 ( 90-3) _ 4у - 5 9(у-3)
} у2—9 + 15-7у-4у2 “ О-3)О + 3) -(у + 3)(4у-5)
(4у - 5)2 - (3(у - З))2 _ (4у-5-3(у-3))(4у-5 + 3(>--3))
(у-3)(у + 3)(4у-5) " (y-3)(y + 3)(4y-5)
7Си + 4)(у-2)_____
(у - 3)0 + 3)(4у - 5)
13G
7(y + 4)(y-2) 4/-17ут15
3) 0721x773X4^5)' 7^2
7^ + 4)Cr-2)-4(j-3^-— J 7>) + 28
O-3)(y+3X^-s)(r-2) = ~7+з" ’
7.y + 28 7 77+21 7(7 + 3)
4) 7 + 3 7 + 3 7 + 3 7 + 3 7
— величина, постоянная при всех допустимых значениях 7 (т ,е. при любых
5 \ \
значениях7, для которых 7 =# ± 3,7 =# — ,у Ф 2 ].
4 /
§ 5. Уравнения, приводимые к линейным и квадратным
Уравнение вида
аохп + а1хп~1 + ... +a„_jX + д„ =0 (д0 т+0, и - натуральное)
называется алгебраическим уравнением п-й степени. Его левая часть -
многочлен п-й степени относительно х. Уравнение первой степени и квад-
ратное уравнение являются его частными случаями при п = 1 и п = 2 соот-
ветственно.
Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня, назы-
ваются иррациональными.
Рассмотрим примеры решения некоторых алгебраических уравнений
степени и > 3, а также иррациональных уравнений.
II р и м е р 1. Решить уравнения:
а) х3 -8 = 0, б) х3 +8 = 0.
Р е ш е н и е . Сба уравнения можно решить разложением левой части
на множители. Проще поступить по-другому:
а) х3 - 8 = 0 *=»х3 = 8 <= х = VT = 2;
б) х3 + 8 = 0«=>х3 =-8<=>х = V^¥=-2
Пример 2. Решить уравнение
х3 + 2х - 3 = 0.
Решение. Используем разложение на множители:
х3 + 2х - 3 = х3 + 2х — 2 - 1 = (х3 - 1) + 2(х — 1)
или
х3 + 2х - 3 = (х - 1)(х2 +х + 3).
13<
Поэтому (х — 1) (х2 + х + 3) - 0, откуда х - 1 = 0 и х2 + х + 3 = 0. Полу-
чим х = 1; дискриминант квадратного уравнения D = 1 — 12 < О; следо-
вательно, квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Значит, х = 1 — единственный действительный корень данного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение
(х2 — 5х)2 — 30(х2 — 5х) — 216 = 0.
Решение. Заметим важную особенность уравнения- его левая часть
содержит неизвестное х в виде выражения х2 — 5х. Поэтому дня решения
этого уравнения используем метод введения нового неизвестного. Пусть
х2 - 5х =у, где у — повое неизвестное Тогда данное уравнение приводится
к квадратному уравнению относительно у:
у2 -ЗОу-216 = 0.
Решая его,Получаем У1 = — 6, у2 = 36
Теперь найдем х. Решая уравнение
х2 - 5х = — 6 или х2 — 5х + 6 = 0,
получаем х2 =2, х2 = 3.Решая уравнение
х2 — 5х ~ 36 или х2 — 5х — 36 - 0,
получаем х3 = — 4,х4 = 9.
Итак, Хт = 2, х2 = 3, х3 = — 4, х4 = 9 — вес корни данного уравнения.
Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное урав-
нение четвертой степени было бы затруднительно.
П р и м е р 4. Решить уравнение
х(х2 — 1 )(х + 2) + 1 = 0.
Решение. Имеем
х(х + 1 )(х - 1)(х + 2) + 1 = 0 или (х2 + х) (х2 + х - 2) + 1 = 0.
Полагаем х2 + х =у. Тогда получим
у(у-2) + 1=0 или (у —1)2=С,
откуда у! ~у2 =1. Теперь из уравнения х2 + х = 1 или х2 + х - 1=0
находим
-1 +
*1.2 =
5 -1-V5
2 " ' *3'4 '--~
Пример 5. Решить уравнение
х2
х* +--------=- =3.
(х + 1)2
132
Решение. Выделив полный квадрат, запишем уравнение в виде
/ х V Л х
(х----------I + 2х---------=3
\ х +1 ' х +1
или
/ х* 2 3+х-х V 2х2 / X2 \2 х2
---------- + --------- -3 = 0, I ---------- +2--------------3 = 0.
\ X + 1 / X + 1 \ X + 1 / X 4- 1
Полагаем —— -у. Тогда у2 + 2.у - 3 ~ 0,откуда 71 = 1,7г = - 3.
Решая уравнение
х2
------ = 1 или х -х - 1 = 0,
х + 1
1 ±х/Г
получаем xltj = ----- . Для уравнения
------= — 3 11ли х2 + Зх + 3 = 0
х + 1
дискриминант D< 0, т.е. действительных корней нет.
1 + VT
Итак, Xi,2 = ——---- - все корни исходного уравнения.
П р и м е р 6. Решить биквадратное уравнение
ах4 + Ьх2 + с = 0 (а Ф 0).
Решение. Биквадратное уравнение — важный частный случай уран-
нения четвертой степени. Заменой х2 = у биквадратное уравнение приво-
дится к квадратному уравнению ay2 + by + с = 0, которое имеет действи-
тельные корни только в случае, когда его дискриминант О = Ь2 — 4ае
неотрицательный. Тогда возможны следующие случаи .(в зависимости ст
корней71,72 вспомогательного квадратного уравнения) :
1) 71 ** 0,72 > 0; биквадратное уравнение имеет четыре действительных
корня:
*1,2 =±VZi,
*3,4 =±V72.
2) 7j >0,72 < 0; бикванратнос уравнение имеет два действительных
корня:
*1,2 =±V7i-
Очевидно, аналогично и при 71 < 0, > 0.
3) 71 < 0>7г < 0; биквадратное уравнение не имеет действительных
корней.
133
Например, решим биквадратное уравнение х4 - 8х2 - 9 =0Лолагаем
х2 = у. Тогда у2 — 8у - 9 = 0; дискриминант/) > 0; корниу! = 9,у2 = - 1.
Решая уравнение х2 = 9, получаем х:2 = ± 3. Уравнение х2 = — 1 действи-
тельных корней не имеет.
Пример 7. Решить уравнение (16 — х2') \!х - 3 ~ 0,
Решение. 1) Квадратные корни существуют только из неотрицатель-
ных чисел. Поэтому х - 3 > 0 =*х > 3 (ОДЗ уравнения) .
2) Произведение двух сомножителей в данном случае равно нулю,
если каждый из них порознь равен нулю (при условии, что другой сущест-
вует) . _____
Имеем два варианта: А) 16 — х2 = 0 или Б) \/х - 3 = 0,
А) 16 - х2 = 0, х2 = 16, ! х I =4 =>Xi = 4,xi = - 4.
Заметим, что х = 4 входит в ОДЗ уравнения, а х = — 4 не входит в ОДЗ
уравнения и не может быть корнем исходного уравнения.
Ь) \'х - 3 = 0, х-3 = О'*х = 3.
Ответ, х, = 4, х2 = 3.
П р и м с р 8. Решить уравнение х/х- х — 2.
Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения:
х = х2— 4х + 4 или х2 — 5х +4 = 0,
откуда X] = 4, х2 = 1. Выполненное преобразование может привести к
появлению посторонних корней. Поэтому проверим, являются ли полу-
ченные числа решениями исходного уравнения. При подстановке числа
х = 4 в данное уравнение получаем верное равенство = 4 — 2. При под-
становке же числа х = 1 получаем неперное равенство 1 = — 1; следова-
тельно, х = 1 — посторонний кооень. Корнем иррационального уравнения
V"x = х - 2 явл яется только число х =_4._
П р и м е р 9. Решить уравнение \/х2 — 2 = \/х .
Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения:
х2-2 = х или х2-х-2 = 0,
откуда X! = 2, х2 = — 1. При подстановке х = 2 в данное уравнение полу-
чаем верное равенство х/22 — 2 = \^2?Следовательно, х = 2 — корень урав-
нения. Число х = — 1 не является корнем уравнения, оно нс принадлежит
области определения уравнения (не зходит в ОДЗ уравнения).
Пример 10. Решить уравнение х/х2 + 1 — \^2х2 + 5 = 1.
Решение. Так как х2 + К2х2т5 для любого действительного числа х,
то \/х2 + 1 < \6х2 + 5 и, значит, данное уравнение действительных корней
не имеет.
Ответ, ф .
134
ПримерП. Решить уравнение V3x + 1 — л/х - Г = 2.
Решение. Запишем уравнение в виде
\/Зх +1 = х —1+2
и возведем обе части его в квадрат:
Зх + 1 ~ х - 1 + 4\/х -1+4 или 2>/х - 1 = х - 1,
откуда 4(х — 1) = (х - I)2, т.е. (х - 1) (х — 1 - 4) = 0. Следовательно,
Xi = 1, х2 = 5. Проверка показывает, что числа х = 1, х = 5 удовлетворяют
исходному уравнению.
Ответ X! = 1, х2 =5.
Пример 12. Решить уравнение \'х + 2 = 3.
Решение. Пусть \ х = у. Тогда имеем 2у2 +у — 3 = 0, откудау! = 1,
3 з /— 3 з 3
У2 = - у . Если у = 1, ТО ух = l,Xj = 1.Если у-- — , ТО VX = - — ,
27
х2 - •
Пример13. Решить уравнение s/x1 _^х + 5 + х2 = Зх + 7.
Решение. Запишем уравнение в виде
Полагаем л/х2 - Зх + 5 = у (у > 0). Тогда имеем у + у2 = 12 или у2 +у -
— 12 = 0, откуда у 1 = 3, у2 = — 4. Если у = 3, то \/х2 - Зх + 5 = 3 или х2 —
- Зх - 4 = 0, откуда xt = 4,х2 = - 1. Значение у = — 4 непригодно.
§ 6. Уравнения с несколькими неизвестными.
Системы уравнений
У равнение может содержать несколько неизвестных. Например, х + 2у =
= 3 — уравнение с двумя неизвестными, х2 + у2 = z2 — уравнение с тремя
неизвестными и т.д.
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. неизвестными будем назы-
вать пару (х; у), тройку (х; у; г) и т.д. значений неизвестных, обращаю-
щих это уравнение в верное равенство.
Например, решениями уравнения х + 2у = 3 являются пары !0;
(3; 0), (1; 1) и другие. Вообще, придавая х произвольное значение, можно
найти соответствующее значение у. Обпщй вид решения этого уравнения
/ 3 -х \
1х;
2
135
Решениями уравнениях2 + у2 = z2 являются тройки чисел (0; 1; 1),
(0; 1; — 1), (3; 4, 5) и другие. Общий вид решения этою уравнения
(х, у; ±\/х2 +у2).
Уравнение х2 + (у — I)2 + (z + I)2 = 0 имеет единственное действи-
тельное решение (0; 1; — 1). В самом деле, сумма квадратов действитель-
ных чисел равна нулю в том и только в том случае, когда каждое из них
равно нулю, т.е. в нашем примере при х = 0,у — 1=^0, z + l=0.
Уравнение х2 +у2 -г 1 = 0 действительных решений не имеет.
Уравнения с несколькими неизвестными имеют те же свойства, какие
имеют уравнения с одним неизвестным.
Пусть задано несколько уравнений с одним, двумя, тремя или большим
числом неизвестных.
Совокупность этих уравнений называют системой уравнений. Ре-
шение системы - число, пара чисел, тройка чисел и т.д., являющихся ре-
шением всех данных уравнений этой системы.
Например,
(х-1 =0,
| х2 + х - 2 = О
— система двух уравнений с одним неизвестным. Число х = 1, удовлет-
воряющее обоим уравнениям, является решением системы;
(х+у = 2,
(х-у = 0
- система двух уравнений с двумя неизвестными. Пара чисел х = 1 и
и у = 1, удовлетворяющих уравнениям системы, является решением
системы.
Число уравнений в системе не обязательно равно числу неизвестных.
Например,
( x+y=z,
(2х -у - 2z
— система двух уравнений с тремя неизвестными. Решением этой систе-
мы является тройка чисел (х; у; z) , обращающих каждое уравнение сис-
темы в верное равенство. Например, (1; 0; 1) — решение системы, (1; 2; 3)
не является решением системы.
Две системы уравнений называются равносильными, если любое ре-
шение одной системы является решением другой, и наоборот. Если обе сис-
темы уравнений не имеют решений, то они также считаются равно-
сильными.
Если система не имеет решений, то говорят, что она ппотиворечивая,
или несовместная. Решить систему — это значит найти множество всех ее
решений.
136
§ 7. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид
{Й!*+ Z>ty = Ci, .
а2х + Ь2у - с2,
где а2, bi, сьа2, b2, с2 — заданные числа, ах ну — неизвестные.
Решением этой системы называют такие два числа х и у, которые при
подстановке в систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство.
Решить систему уравнений — эго значит найти все ее решения или устано-
вить, что их нет. В дальнейшем будем считать, что коэффициенты аь 2>i и
л2,й2 соответственно не обращаются в нуль одновременно. Тогда полу-
чим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными -
частный случай системы двух линейных уравнений.
Рассмотрим способы ее решения.
Способ подстановки Этот способ заключается в следующем:
1) из одного уравнения системы нужно выразить одно неизвестное че-
рез другое, например у выразить через х,
2) найденное выражение подставить в другое уравнение системы; по-
лучится одно уравнение с одним неизвестным*;
3) решив это уравнение, найти значение*;
4) подставив полученное значение * в выражение для у, найти зна-
чение у,
Решим способом подстановки систему уравнений
(2* + 5у = 1«,
|з* + 8у = - 1.
1) Из первого уравнения находим
15-2*
2) подставим выражение для у во второе уравнение системы;
8
3* + —(15-2*) = -1;
3) решаем это уравнение:
15х + 120 — 16* = — 5, *= 125,
4) подставляя * = 125 в выражение для у, получаем
15 -2 • 125
у =----------- = —47.
Ответ, х = 125,у = — 47,
137
Способ алгебраического сложения. Этот способ состоит в следующем:
1) сначала нужно уравнять модули коэффициентов при каком-нибудь
неизвестном;
2) складывая или вычитая почленно полученные уравнения, найти одно
неизвестное;
3) подставляя найденное значение в одно из уравнений системы, найти
втооое неизвестное.
Этот способ оказывается удобным в тех случаях, когда у обоих урав-
нений коэффициенты при каком-нибудь неизвестном одинаковы или
отличаются только знаком.
Решим способом алгебраического сложения систему уравнений
I 2х + 5у = 15,
I 4х + Зу = - 5.
1) Оставляя второе уравнение без изменения, умножим обе части пер-
вого уравнения на 2:
| 4х + 10у = 30,
I 4х + Зу = - 5;
2) вычитая из первого уравнения полученной системы второе уравне-
ние, находим
7у“35, у = 5;
3) подставляя у = 5 в первое уравнение исходной системы, получаем
2х + 5 • 5 = 15, х = - 5.
Ответ, х = - 5, у = 5.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить систему
( 5x+j =7,
‘ 2х - Зу = - 4
Решение, а) Способ подстановки. Из первого уравнения на-
ходим у = 7 — 5х и подставляем это выражение во второе уравнение сис-
темы.
2х - 3 (7 - 5х) = - 4, откуда х = 1.
Поэтому д> = 7- 5-1=2. Система имеет единственное решение (1; 2)
(оно записано в виде упорядоченной пары тесел).
б) Способ алгебраического сложения Уравняем модули
коэффициентов при у. Оставим второе уравнение без изменения и умно-
жим обе части первого уравнения системы на 3:
(15х + Зу = 21,
I 2х-Зу = -4.
138
Складывая почленно эти уравнения, находим
17х = 17, откуда х = 1.
Тогда из первого уравнения данной системы получим
5 • 1 +у = 7, откуда у = 2.
Пример 2. Решить систему
j 2х -у = 1,
I 4х - 2у = 2.
Решение. Из первого уравнения находим у = 2х — 1. Подставляя
во второе уравнение, имеем
4х—2(2х-1)=2 или 2 = 2.
Полученное тождество означает, что система имеет бесконечное мно-
жество решений, определяемых по формуле у = 2х - 1, где х — любое
число.
Пример 3. Решить систему
I 2х + Зу = 4,
I 6х + 9у = 2.
Решение. Применяя способ алгебраического сложения, уравняем
коэффициенты при х:
• 6х + 9у = 12,
I бх + 9у = 2.
Вычитая из первою уравнения полученной системы второе уравнение,
приходим к неверному равенству 0 = 10. Полученное противоречие озна
чает, что исходная система несовместна, т.е. она не имеет решений.
о § 5 гл. 7 будет рассмотрен графический способ решения систем
двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
§ 8. Уравнения и системы уравнений (решение задач)
При решении уравнений или систем уравнений нужно следить за равно-
сильностью выполняемых преобразований.
Если уравнение или система уравнений содержит параметр, то надо
исследовать решение: в зависимости от значений параметра уравнение
(система уравнений) может иметь одно или несколько решений, а может
и не иметь решений.
При решении уравнений или систем уравнений часто используется введе-
ние новых неизвестных.
139
Пример 1. Решить уравнение
х + 1 4х + 1 10
2х2 - Зх 4х2 + 6х 4х2 - 9
х +1 4х +1 10
Решение. 1)--------------------------------------= 0.
х(2х - 3) 2х(2х + 3) (2х - 3)(2х + 3)
2) Найдем общий знаменатель дробей и допустимые значения х:
3
2х(2х - 3)(2х + 3), где х #= ±— и х =# 0.
3) Тогда
(2х + 2)(2х + 3) - (4х + 1)(2х- 3) — 10-2х = 0<=>
<=> 4х2 + 6х + 4х + 6 - 8х2 + 12х - 2х + 3 — 20х = 0 '=»
— не годен по области определения уравнения, так как х¥=±— . Исходное
уравнение корней не имеет.
Ответ, i>,
П р и м е р 2. Решить уравнение
ах - b Ьх + а а2 + Ь2
а + b а - b а2 - Ъ2
Решение. При а2 - Ъ1 ¥ 0
(a -b)(ax - b)+ (а + b)(bx + d) = a2 + Ъ“,
откуда после упрощений имеем (а2 +£2)х = 0. Поэтому при а2 - Ь2 # 0
получим х = 0 — корень уравнения Ьсли а2 - Ъ2 = 0, то уравнение теряет
смысл.
ПримерЗ. Решить уравнение
(а2 + а - 2)х2 + (2а2 + а + 3)х + а2 - 1 = 0.
Ре ш е ни е. Пусть сначала а2 +а - 2 0, т.е. а Ф 1, а Ф — 2. Тогда имеем
квадратное уравнение с дискриминантом D = (2а2 + а + З)2 -
- 4(а2 + а - 2)(.“ - 1) = 4аА + а2 + 9 + 4а3 + 12а2 + 6а — 4(а4 - а2 + а3 -
- а - 2а2 + 2) = 25а1 + 10а + 1 = (5а + I)2. Так как 2)>0, то находим
корни:
_-(2а2 + а + 3) + (5а + 1) _ -2(а- I)2 _ а-1
2(а2 + а - 2) 2(а - 1)(а + 2) ~ а+ 2 ’
(2а2 + а + 3) — (5а +1) — 2(а + 2)(а +1) а + 1
Хг 2(а2 +a-2} 2(я - 1)(а + 2) " а - 1 ’
149
разложив на множители квадратные трехчлены
а1 + а — 2 = (а — 1)(а + 2), а2 + За + 2 = {а + 2)(а + 1).
При а = 1 исходное уравнение принимает вид
6х = 0 или х - 0;
при а = - 2 исходное уравнение имеет вид
1
9 х + 3 = 0 или х =----.
3
а - 1 а + 1
Ответ. Если а Ф 1 и а 4= — 2. то х, =---, х2 =-------;если а = 1, то
i а + 2 а-1
х - 0; если а = 2, то х =-.
3 ___
П р и м е р 4. Решить уравнение Vх + а = а - ух.
Решение Имеем х +а > 0, х > 0. Заметим, что при а < 0 уравнение
корней не имеет' его левая часть неотрицательна (т.е. больше или равна
нулю), а правая часть отрицательна. При а = 0 уравнение принимает вид
\/х = - у/х, откудах = 0.
Рассмотрим случай а> 0. Возведем в квадрат обе части уравнения. Тогда
х + а = а2 — 2ayfx + х, откуда после сокращения на а ¥= 0 получим 2у/х =
= а — 1 или х =-----:—. Проверка показывает, что х =------- является
4 4
корнем уравнения только при а > 1.
(л - I)2
Ответ. Если а = 0, то х = 0: если а > 1, то х =--
4
П р и м е р 5. Решить систему уравнений
х + ay = 1,
ах — Зау = 2а + 3.
Решение. Используем способ подстановки: х = 1 — ау. Тогда
д(1 — ау) - Зау = 2а + 3 или а(а + 3)у = - (а + 3).
1 / 1А
Если й=А0ид:#-3. то у =-------, х ~ 1 - а I----I = 2.
а \ а/
Если а = 0, то 0 • у = — 3 и система несовместна.
Если а = - 3, то 0 у = 0, т.е. у — любое число, а х = 1 + Зу.
Ответ. Если а^Оиа^-З, го система имеет единственное решение
' 1 \
2;----I; если а = 0, то система не имеет решений; если а = — 3, то система
< а /
141
имеет бесконечное множество решений, определяемое формулой х = 1 + Зу,
где у — любое число.
И р и м е р 6. Решить систему уравнений
( 2х2 - ху + Зу2 - 7х - 1+ 1=0,
I х - у +1 = 0.
Решение. 1) Из второго уравнения системы имеем х = у — 1.
2) fl ? ’ ) =* 2(у - I)2 - (у — 1)у +
U 2х2 - ху + Зу2 - 7х - 12у + 1 = 0/
+ 3у2 -2 {у- 1)- 12у + 1 = 0
(применили способ подстановки). Упрощая, получаем 2у2 — Пу + 5 = 0,
1
откуда У1 = — , у2 = 5.
11 11
3) Поэтому xt = у] - 1 = — — 1 = — —, т.е. Xj = - — , уг = — ; х2 =
= Уг - 1 = 5-1=4, т.е.х2 = 4,у2 = 5.
/ i 1 \
Ответ. I--; — |, (4; 5).
\ 2 2/
Пример 7. Решить систему уравнений
I х2 + у2 + х + у = 18,
( х2 - у2 +х - у = 6.
Решение. Складывая почленно и вычитая уравнения данной системы,
получаем равносильную систему
( х2 + х - 12 = 0,
| у2 + у - 6 = 0.
Решая первое уравнение,найдемх = — 4 их = 3; решая второе уравнение,
найдем у=—Зиу = 2.
Ответ. (-4; -3), (-4; 2), (3; -3), (3; 2).
Пример8. Решить систему уравнений
‘ х2у3=8,
I х3у2 = 4.
Решение. 1) Умножив почленно уравнения системы, найдем
(ху)5 =32 =>ху = 2.
2
2) Тогда у = —.
х
142
3) Подставив найденное выражение для у, например, в первое уравнение
данной системы, получим
откуда х = 1. Поэтому у = 2.
Ответ. (1, 2).
Пример?. Решить систему уравнений
f (х + у)2 - 2(х + у) = 15,
[ ху = 6.
Решение. Пусть х +у = и, где и — вспомогательное неизвестное. Тогда
первое уравнение системы примет вид и2 — 2и— 15 = 0, откуда «,= 5,
и2 ~ - 3.
Исходная система распадается на две системы:
[ х +у ~ 5, г х +у = - 3,
1 и >
I ху = 6 I ху = 6,
Для каждой из этих систем можно применить способ подстановки.
Например, для первой системы найдем из ее первого уравнения у = 5 - х
и подставим во второе уравнение :х (5 -х) = 6.
Поступим иначе. Будем рассматривать х и у как корни приведенного
квадратного уравнения
z2 + pz + q = 0.
По формулам Виета р = — (х +7), q = ху.
Для системы
। х + у = 5,
I ху~ 6
имеем z2 - 5г + 6 = 0,откуда Zi = 3,z2 = 2. Следовательно, Xj - 3, у2 = 2;
х2 =2,у2 =3.
Для системы
. х+у = -3,
I ху = 6
имеем z2 +3z^6 = 0 с дискриминантом 2? = 9 — 4 • 6 < 0. Это уравнение
и, следовательно, сама система уравнений действительных решений пе имеет.
Ответ. (3; 2), (2; 3).
ПримерЮ. Решить систему уравнений
( ху(х2 +у2) = 10,
I ху + х2 + у2 = 7.
143
Решение. Пусть ху = и, х2 + у2 ~ v (у > 0), где и и и — новые неизвест-
ные. Тогда
( ии=10,
I и + и-7.
Будем рассматривать и a v как корни приведенного квадратного уравне-
ния z2 —7z + lC =0, составленного при помощи формул Виета. Находим
Zi = 2, z2 = 5. Следовательно, ut = 2,ut = 5; и2 = 5, v2 = 2.
А) Дня системы
( х2+у2 =5,
! ху = 2
имеем равносильную систему
г х2 + у2 = 5, ( (х +у)2 = 9,
’ или {
I 2ху = 4 I (х - у)2 = 1,
откуда х + у = ± 3, х-у = ±1.
Решая способом алгебраического сложения системы
I х+у = 3, (х+у = 3, tx+y = -3, (х+у = — 3,
I х - у = 1; I х - у ~ - 1; I х - у =1; I х - 7 = — 1,
получим соответственно четыре решения исходной системы:
(2; 1),(1; 2), (-1; -2), (-2; -1).
Б) Для системы
I х2 + у2 = 2,
I ху = 5
имеем равносильную систему
[ х2 + у2 = 2, ( (х + у)2 = 12,
1 « или t
I ^ХУ I (х - у)2 - — 8,
из второго уравнения которой следует, что действительных решений нет.
Ответ. (2; 1), (1; 2), (-1; -2), (-2; -1).
Пример 11. Решить систему уравнений
| 2х2 - Зху + у2 -3 = 0,
I х2 + 2ху - 2у2 - 6 ~ 0.
Решение. Запишем систему в виде
| 2х2 - Зху +у2 = 3,
; х2 + 2ху - 2у2 = 6
144
и выполним деление:
2х2 - Зху+у2 3
х2 + 2ху — 2у2 6
у
Полагаем — = t или у =xt, где t — новое неизвестное. Получим
х
№(Д-ЗГ + Г2) __1_
х2(1 +2Г-2Т2) ” 2 ’
откуда 4 - 6t + 2r2 = 1 + 2t — 2t2 или 4Т2 - 8f т 3 = 0.
3 1
Решая это уравнение, находим = — , t2 = — .
3 3
Если t = — , то у = — х. Подставив, например, в первое уравнение исход-
ной системы, получим уравнение
9 9
2х2----х2+ — х2-3 = 0 или .№ + 12 = 0,
2 4
которое не имеет действительных корней.
1 1
Если t = — , то у - --х. После подстановки в первое уравнение системы
получим
, 3 , 1 ,
2х*----х2 + — х2 -3 = 0 или х2 -4 = 0,
2 4
откуда Xi =2, х2 = — 2; следовательно, yi = 1, у2 =— 1.
Огвет. (2; 1), (-2; -1).
П р и м е р 12. Решить систему уравнений
(1 13
х у 2
1 1 _ 5
х2 у2 4
1 1
f'e ше ни е. Пусть — = и, — = и, Тогда получим
х у
3
и + н = — ,
2
5
и2 + v2 = — •
4
145
Из первого уравнения найдем v =-----и к подставим во второе уравнение:
/3 V 5
и1 +(----а] =— или 2w2 - Зи + 1 = О,
\2 / 4
1 1
откуда «2 = 1, к2 = — ; следовательно, = — , v2 = 1. Поэтому Xi =1,
2 2
=2; х2 = 2, у2 = 1.
Ответ. (1; 2), (2; 1).
П р и м е р 13. Решить систему уравнений
I х2 + у2 - ху = 61,
х+у - s/xy = 1.
Решение. 1) Область допустимых значений неизвестных определяется
неравенством ху>0.
2) Полагаем х+у = и, \/xy = v(y>0). Тогда, представив первое урав-
нение в виде (х + у)2 - Зху = 61, получаем систему
( ц2-3и2=61, / ( и2 - Зи2 - 61 = 0,\
( и - и = 7, \ Iw = v + 7 /
=>( и+ 7)2 — Зв2 - 61 = 0 или и2 - 7 и + 6 - О,
откуда Vi = 1, и2 = 6; следовательно, и2 = 8, и2 = 13.
3) Теперь исходная система распадается на две простые:
; х + у = 8, ( х +у = 13,
{ и {
( ху = 1 I ху = 36.
Решая эти системы, получаем
X 4 + \Д5 4-х/15 9 4
У 4—х/15 4+х/15 4 9
Ответ. (4 + %/ГЗ; 4->/15), (4 - х/15; 4 +х/15), (9; 4), (4; 9).
§ 9. Задачи на составление уравнений
Для решения таких задач надо ввести неизвестные и выразить условия
задачи соответствующими уравнениями. При этом большое значение имеет
удачный выбор неизвестных и эффективность способа решения. Не всегда
целесообразно выбирать в качестве неизвестного именно то, что требуется
найти в задаче.
Если в условии задачи нигде не встречается выбранная единица длины
(времени, скорости и т.д.), то можно эгу единицу выбрать произвольно.
146
В задачах на составление уравнений иногда бывает полезно сделать
чертеж, поясняющий условие задачи.
В отдельных задачах число уравнений может оказаться меньше числа
неизвестных, входящих в них, но эти уравнения таковы, что позволяют
получить ответ на поставленный вопрос.
Пример 1. Двузначное число в четыре раза больше суммы и в три раза
больше произведения своих цифр, Найти это число.
Решение. Пусть х — число десятков, у — число единиц искомого
числа. Тогда само число будет равно 10х + у. Согласно условию имеем
систему уравнений
J 10х +у = 4(х +у),
I 10х+у = Зху.
Из первого уравнения выразим у через х: у = 2х, и подставим во второе
уравнение системы:
10х + 2х = 6х2,
откуда х = 2 (значение х = 0 не удовлетворяет условию задачи), тогда
у = 4. Искомое число равно 24.
П р и м е р 2. Велосипедист проезжает расстояние от А до В за 3 ч. Чтобы
проехать за го же время расстояние от Л до С, он должен проезжать каждый
километр на 1 мин быстрее, так как расстояние от Л до С’на 30 км больше
расстояния от А до В. Найти расстояние от Л до В.
Решение. Обозначим скорость велосипедиста через х км/ч. Тогда
расстояние отЛ до В будет равно Зх км, аот Л до С— Зх + 30 (км).
Так как велосипедист проезжает х км за час или 60 мин, то эн затрачи-
60
вает на 1 км — мин. Новая скорость велосипедиста при движении от Л до
х
Зх + 30 60
С будет равна —-— = х + 10 (км/ч); следовательно,—мин — затра-
та времени на 1 км. По условию задачи
60 60
----- =-------1.
х + 10 х
После упрощений получим х2 + 10х — 600 = С, откуда х = 20 (км/ч) (вто-
рой корень уравнения отрицательный и непригоден). Искомое расстояние
равно 20 > 3 = 60 (км).
Пример 3. Из городов А и В, расстояние между которыми равно
180 км, отправлены в одно и то же время два поезда навстречу друг другу.
После их встречи поезд, вышедший из Л, прибывает в В через 2 ч, а другой
поезд приходит в Л через 4 ч 30 мин. Найта скорость каждого поезда (ско-
рости считать постоянными).
147
Решение.!) Анализ зависимостей. В задаче две зависимости:
одна очевидная, другая содержится в скрытой ферме, а именно:
(время II поезда, вышедшего из Я) — (время I поезда, вышедшего
1 1
из А) - 4 — ч - 2 ч = 2 — ч.
2 2
1 и II поезда отправились одновременно, поэтому время до встреч? у
них одинаковое
2 ) Задача допускает несколько способов решения.
Рассмотрим один из них. Предоставим читателю найти другие способы
решения и сравнить их.
Обозначим одинаковое для обоих поездов время движения до встречи
за х ч, где х > 0. Этметим на чертеже время движения после встречи;
Рпоез?
А
Лпоезд
Рис. 7
сверху — для 1 поезда, вышедшего из А, снизу - для II поезда, вышедшего
из В (рис. 7). 1 поезд идет с постоянной скоростью. Поэтому пройденные
АС х
им пути пропорциональны времени движения. Отсюда—- = —. Аналогично
1
4 —
АС 2
для II поезда имеем--=-----. Сравнивая эти равенства, получим
ВС х
х 9
— = — или х2 = 9,
2 2х
откуда х - 3 ч (второй корень отрицательный).
Теперь легко находятся скорости обоих поездов.
На путь АВ = 180 (км) поезд, отправленный из города А, затратит вре-
мени х+2=3+2=5 (ч); следовательно, его скорость равна 180 : 5 =
180
= 36 (км/ч), а скорость поезда, отправленного из города В, равна-- =
х + 4 —
180 180-2 2
7-
2
148
П р и м е р 4. Из А в В по течению пароход идет два дня, обратно - три
дня. Определить, сколько дней будет плыть плот из Л в Я, если скорость
плота равна скорости течения.
Решение. Пусть S — расстояние от А да В, х — собственная скорость
парохода,у — скорость плота.
S
Требуется определить — — время, за которое плот будет плыть из А
У
в В.
По условию задачи
S = 2(x+y),
S=3(x-y).
Поэтому
3 (х - у) = 2(х +у) или х - 5у.
S
Отсюда S = 2(х + у) = 12у. Следовательно, искомое время — =12 (дней).
У
Пример 5. В бассейн проведены три трубы. Первые две, действуя
совместно, наполняют бассейн за то же время, за которое наполняет бассейн
одна третья труба. При этом вторая труба, действуя одна, наполняет бассейн
на 5 ч быстрее первой трубы и на 4 ч медленнее третьей. За какое время
наполняет бассейн каждая труба отдельно?
Решение. Пусть V—объем бассейна, х ч -время наполнения бассейна
второй трубой. Тогда (х + 5) ч — время наполнения первой трубой, а
(х —4) ч — третьей трубой. Производительности каждой из труб соответ.
Г К У
ственно равны----, --, — •
х + 5 х х -4
По условию
V V V
---- + — =----- *
х + 5 х х—4
откуда, сокращая на V, получим уравнение х2 — 8х — 20 = 0 Решая его,
находим х = 10 (ч) (х = — 2 не годится).
Ответ. 15 ч, 10 ч, 6 ч.
Пример 6. Два рабочих могут выполнить некоторую работу за 6 ч.
Если бы один первый выполнил 60% всей работы, а -затем один второй —
оставшуюся часть, то они затратили бы 12 ч. Сколько времени нужно
каждому для того, чтобы выполнить эту работу одному?
Решение. Пусть а — величина работы,х ч — время, за которое первый
рабочий может выполнить эту работу, у ч — время, за которое второй рабо-
149
a
чий может выполнить всю работу. Тогда---производительность первого,
а х
——производительность второго рабочего.
У
По условию
(а а \
— + —) • 6 = а,
л у)
0,6х +С,4у = 12
или
1 1 _ 1
X у 6 ’
Зх + 2у = 6С
Решим полученную систему способом подстановки Из в горого уравнения
системы выразим у через х:
60-Зх
Подставляя эго выражение в первое уравнение системы, г случаем
12 _ 1
"х 3(20 -х, ~6
или, после упрощений, х2 — 22х + 120 = 0, откудах! = 12,х2 = 10. Следова-
тельно, - 12,у2 = 15.
Задача допускаег два ответа: 12 ч и 12 ч; 10чи15ч.
Пример 7. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья
бригады обработали древесины в два раза больше, чем вторая, а вторая и
третья — в три раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом
соревновании?
Решение. Пусть х, у, z — количество древесины, обработанное соот-
ветственно первой, второй и третьей бригадами.
По условию
| x + z = 2y,
| у + z = Зх.
Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем
х - у = 2у — Зх или 4х = Зу.
4
Отсюда у= — х >х. Значит, победила вторая или третья бригада Подстав-
4 3
ляя у = — х в первое уравнение системы, находим
8 5
x + z =—х или Z =— X.
3 3
150
4 5
Сравним у = — х и z = — х. Заключаем, что г>у. Победила третья
бригада.
Пример 8. Имеется два сплава золота и серебра; в одном количество
этих металлов находится в отношении 2 : 3, в другом — в отношении 3:7.
Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержа-
щий те же металлы в отношении 5:11?
Решение. Пусть третий сплав содержит х частей первого и у частей
второго сплавов, т.е. на х кг первого сплава приходится у кг второго
сплава. 2 3
В х кг первого сплава будет содержаться — х кг золота и — х кг серебра,
3 5 7 5
а в у кг второго сплава - ~У кг золота и — у кг серебра. Поэтому в
2 3 \° / 3
— х + —у I кг золота и I —х+
5 10 / \5
10'
(х + у) кг третьего сплава будет
серебра По условию
2 3
— х + — у
5 10 _ 5
3 7 "ТГ '
— X + — у
5 10
7 \
— У I КГ
10 /
х
Пусть — = z или х -yz. Тогда
У
/2 3 \ 2 3
y[~z +— I — z + —
\5 J0 / 5 5 10 5
--------------- — или --------- = — ,
/3 7 \ 11 3 7 11
у — z +— —z +—
\5 Ю / ! 5 10
откуда находим z = — ; следовательно,* : у = 1 : 7.
7
Ответ. На одну часть первого сплава нужно взять семь частей второго
сплава.
§ 10. Неравенства и их свойства
Два действительных числа или два алгебраических выражения, соеди-
ненные знаком > (больше) или < (меньше) (а также знаком > или <)
образуют неравенство
А >В, А<В, А > В, А <В.
Неравенство состоит из двух частей: левой части А и правой части В.
151
Если в неравенстве содержится знак > или <, то оно называется стро-
гим. Неравенство, содержащее знак > или <, называется нестрогим.
Б неравенствах выражения А и Й рассматриваются на том множестве,
где А и. В одновременно имеют смысл. Это множество называют областью
допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью определения не-
равенства.
При конкретных значениях буквенных величии из области допустимых
значений неравенство обращается в числовое неравенство, которое может
быть верным (справедливым) или неверным (несправедливым).
Два или несколько неравенств называются неравенствами одинакового
смысла ичи знака, если они содержат един и тот же знак > или <. Два
неравенства называются неравенствами противоположного смысла или
знака, если в одном стоит знак >, а в другом — знак < . Например, нера-
венства А>В и OD имеют одинаковый знак, а неравенства А <В и
С> D — противоположный знак.
Пусть a nb — действительные числа.
Говорят, что число а больше числа Ь(а>Ь), если разность а - b поло-
жительна.
Аналогично говорят, что число а меньше числа b(a<b), если разность
а - b отрицательна
Для любых двух действительных чисел а и b только одно из следующих
соотношений является верным: а - Ь.а> Ь,а < Ь.
Будем рассматривать нестрогие неравенства а > Л маКЬ
Неравенство а > Ъ означает, что а>Ь или а = Ь, т.е. а не меньше Ь.
Неравенстве a </> означает, что а < b или а = Ь, т.е. а не больше Ь.
Например, нестрогие неравенства 15>11,7>7, 3<5,4<4 -верные,а
4 > 6,5 <3 — неверные.
Рассматриваются также двойные неравенства
a<b<c, a<b <с, а<Ь <с, а<Ь<с.
Например, двойное неравенство а < Ъ < с означает, что одновременно
а<. Ь и Ъ < с; двойное неравенство а<Ь<с означает, что одновременно
a <zb,b < с.
Свойства числовых неравенств.
1) Еслиа>Ь,то b < а, и, обратно, если b <а, то а>Ь.
Доказательство. Если а > Ь, то разность а - Ь — положительное
числе. Тогда b - а - отрицательное число, т.е. b < а.
И обратно, если/? < а, то b - а < 0 и, значит, а - Ь>0, т.е.а> Ь.
2) Если а>Ь и Ъ>с, то а > с.
Доказательство. Рассмотрим разность а - с = (а - Ь) + {Ь - с).
По условию а -Ь>0иЬ — с > 0. Следовательно, а - с > 0, т.е. а > с.
3) Если а>Ь, то при любом с а. + с>Ь + с, т.е. неравенство остается
справедливым, если к обеим его частям прибивать одно и то же число.
Доказательство. Рассмотрим разность
(а + с) - (/> + с) = (а - Ь) + (с - с) = а - Ь.
152
По условию а > b и, значит, а — b > 0. Следовательно,
(а + с) — (Ь + с) >0, т.е. а + с>Ь + с.
Следствие. Любое число можно перенести из одной части нера-
венства в другую, изменив при этом знак переносимого числа на про-
тивоположный.
В самом деле, пусть а + Ъ > с. Прибавляя к обеим частям неравенства
число — Ь, получаем
а > с - Ь,
т.е. число b перенесено из левой части неравенства в правую с противопо’
ложным знаком,
4) Если а>Ь и с> 0, то ас>Ьс; если а>Ь и с < 0, то ас<Ьс, т.е.
при умножении обеих частей неравенства на одно и то же положительное
число знак неравенства не изменится; при умножении обеих частей не-
равенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства изменит-
ся на противоположный.
Доказательство. Пусть а>Ь и с>0. Докажем, что ас>Ьс.
Рассмотрим разность ас - Ъс - (а - Ь)с. Так как а - b> С и с> 0, то
ас - Ъс = (а - Ь) с> 0. Следовательно, ас>Ьс. Аналогично, если а>Ь
нс < 0, то ас - Ъс - (а -Ъ) ₽< 0. Следовательно, ас < Ъс.
5) Если а>Ь и с> d, то а + c>b + d\ если а>b и c<d, то а - с> b -d,
т.е. два неравенства одинакового знаки можно почленно складывать;
два неравенства противоположного знака можно почленно вычитать,
оставляя знак того неравенства, из которого вычитали другое нера-
венство.
Доказательстве. Пусть а > Ъ и c>d Докажем, что а + с>Ъ + d.
Запишем разность (а + с)— (b+d) в виде (a-b) + (c — d). Так как
а-Ь>0кс-а>С, то
(а + с) - (b + d) > 0 и, значит, а + с > b + d.
Пусть а > b и с < d. Тогда d> end — е > 0. Поэтому разность
(а-с)= +
т.е.а - c>b - d, свойство доказано.
6) Если a, b,c,d - положительные числа и a>b, с>d, то ас> bd, т.е.
неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положи
тельны, можно почленно умножать; при этом получается неравенство того
же знака,
Доказательство. Имеем
ас - bd = (ас - Ьс) + (be - bd) = (а - b)c +(с - d'jb,
где a-b>0, с > 0, с-d>0,b>0. Отсюда ас - bd > 0 или ас > bd, что
и утверждалось.
153
7) Если а и b - положительные числа и а>Ь, то при любом натураль-
ном п выполняется неравенство ап > Ьп.
Доказательство. Если а > Ъ > 0, то по свойству 6) а • а > Ъ • Ъ,
т.е. а2 >Ь2‘, если а2 >Ъ2 и а >6 > 0, то а2 а>Ъ2 -Ъ, т.е. а3 > Ь3, и т.д.
Последовательно применял свойство 6), получим ап>Ьп, ’гео и утверж-
далось.
8) Если а и b - положительные числа и а~>Ь, то при любом натураль-
ном п>2 выполняется неравенство п\/а >Л\'Ь.
Доказательство. Предположим, что пу[а < n\fb. Тогда по свойст-
ву 7) имеем
('’•^)"<(М)". т е- а <Ь,
что противоречит условию. Очевидно, что нельзя предполагать и то, что
п\[а =n\fb (тогда а = Ь).
Следовательно, п\Га> n-\f~b, что и утверждалось.
Свойства 1) - 8) справедливы и для нестрогих неравенств. Это сле-
дует из справедливости свойств 1) - 8) для строгих неравенств и извест-
ных свойств числовых равенств
Например, если а> Ь,то b <д, и, обратно, если Ь <а, то а > Ь. В самом
деле, утверждение справедливо для строгих неравенств; кроме тою, извест-
но, что аналогичное утверждение справедливо и для равенств, т.е. если
а = Ь,то b -а. и, обратно, если Л - а, то а = Ь.
Свойства 1) —8), установленные для числовых неравенств, сохраняют-
ся и для любых неравенств вида
А>В, А<В, А>В, А<В,
где 4 и В — любые алгебраические выражения.
Определение. Два неравенства называются равносильными, если
из справедливости одного из них следует справедливость другою, и наобо-
рот. Если два неравенства являются несправедливыми, то они также счи-
таются равносильными.
Равносильность неравенств обозначается так же, как и равносильность
уравнений, т.е. с помощью знака <=>.
Свойства 3) и 4) выражают равносильность неравенств:
А>В<=*А + ОВ + С,
а>В^АС>ВС (С>0),
где выражения А, В, С рассматриваются в обшей части их областей допус-
тимых значений.
Установленные свойства неравенств используются при доказательстве
неравенств и при решении различных задач.
154
§ 11. Доказательство неравенств
Рассмотрим сначала доказательство некоторых основных неравенств.
а2 + Л2
1) a +b > lab или —---------> ab, причем равенство достигается
только при а - Ъ. В самом деле, разность а2 + b2 - 2аЬ = (а - Ь)2. Очевид-
но, что (а - Ь)2 > 0и, значит,а2 + b2 > lab.
2)|a + Z>|C|a|+|Z>|, причем равенство достигается лишь в случае,
когда числа а и b имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно
нулю.
Так как
•.л2 = |а|, '/Ь2=|/?1, V(л + о)2 = Iв + I,
то доказываемое неравенство принимает вид
xj(a +b)2 ^х/с2 + х/ь2,
а это неравенство приводится возведением в квадрат к равносильному;
а1 + lab + b2 < a2 + l\^a2b2 + b2, ab <\[а2Ь2,
т.е. ab < | ab i, что очевидно. Неравенство доказано.
Это неравенство справедливо и для любого числа слагаемых;
|«1 +й2 + ... +д„ | < |й1 I + Ui ! + • • • + I ап |.
3) | а - b | > | а | - | fr | . В самом деле,
а = (а -b) + b.
Поэтому 1д | = | (a -b) + b | < |л - Z>| + I 6 I или \а -b \ > \а I - |Z> |.
4) ах2 + Ьх + с> 0, если а>0 и D = b2 - 4ас<0. Равенство достигается
b
лишь в случае, когдаD - 0 и х = — — (см. доказательство в § 12).
2а
а + b .____
5} —— > x/ab, если а > 0, b > 0, причем равенство достигается лишь
при а = Ь.
а + b
Число ———называется средним арифметическим чисел а я Ь, а число
x/ab — их средним геометрическим.
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их
среднего геометрического.
Для доказательства рассмотрим разность
д+й — (у/а-у/Ь)2
---- — yab = ----------- > 0.
2 2
155
arb ________
Значит, —— >x/ab, причем равенство достигается только при (х/а -
— 2 - С, что возможно только при а = Ь.
Приведем также i еометрическое доказательство этою важного нера-
венства. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике длина медианы,
проведенной из вершины прямого угла, равна половине длины гипотену-
зы, а длина высоты, опушенной из вершины прямого угла па гипотенузу,
равна среднему геометрическому длин отрезков, на которые она делит
гипотенузу. В прямоугольном треугольнике А ВС (рис 8) длина медианы
а + Ъ .__
ОС =------, длина высоты CD = x/ab‘, очевидно, что при а^Ь ОО CD.
2
при а = Ь ОС~ CD.
Понятия среднего арифметического и среднего геометрического вво-
дятся и для п неотрицательных чисел Ц\,а2,...,ап\ это числа
«т + а2 + ... + ап -------------
---------------- и х/а^г .. ап\ в этом общем случае справедливо
п
неравенство
ai +а2 + • + ап ------------------
-----------------> х/а .. .ап ,
п
причем равенство достигается лишь при а, -аг =.. ,=ап.
а b
6) — +—> 2, если а>Ь, Ь>0, причем равенство достигается лишь
b а
а Ъ
при а = Ь. В самом деле, числа — и — положительны. Поэтому среднее
b а
а b
арифметическое чисел — и — не меньше их среднего геометрического
b а
а b
— + — --------------
b а а b а Ъ
------- >х/ — — или — + — 2* 2
2 Ъ а b а
156
a b
(равенство только в случае —= — j т.е. при а = Ь, так как а и Ь положи-
тельны) . а
Можно доказать иначе:
a b a2—2ab+b2 (а — Ь)2
— + — - 2 ------------- ------> О,
b a ab ab
а Ь
так как а > О, Ь > 0, Значит. — ч- — 2.
Ь а
7) а3 + Ь3 > ab (а + Ъ}, если а > О,Ъ > 0, причем равенство достигается
лишь при а -Ь.
В самом деле, а3 + b3 —ab(a+b) = (а + b) (a2 -ab + b2) -ab(a + Ь) =
= (a + b) (а2 - 2аЬ + Ь2) = (а + Ь) (а - Ь}2 > С, что и требовалось доказать.
Перейдем к доказательству более сложных неравенств. Способы их
доказательства состоят в следующем.
1. Доказываемое неравенство путем преобразований, основанных на
свойствах неравенств и сохраняющих их равносильность, сводят к нера-
венству, справедливость которого известна.
2. Путем равносильных преобразований очевидное или известное не-
равенство сводят к доказываемому неравенству.
3. Комбинируют первый и второй способы, т.е. преобразуют как из-
вестное, так и доказываемое неравенства.
Применение этих способов покажем на следующих примерах.
Пример 1. Доказать, что a2 +b2 +с2 > аЬ Ч Ьс Ч- ас.
Решение!-й способ Доказываемое неравенство равносильно не-
равенству 2а2 + 2Ь2 + 2с2 — 2ab — 2Ьс - 2ас > 0 или (а - Ь)г + (Ь - с)2 +
+ (а-с)2>0. Последнее очевидно. Равенство достигается только при
а = Ь = с.
2-й с п о с о б. Складывая три известных неравенства:
а2 + Ь2 Ь2 + с2 а2 +с2
-------->ab,----------> Ьс, ------------>ас,
2 2 2
получаема2 +b2 +с2 >ab +Ьс +ас.
Пример 2. Доказать, что (а + &)(& + с) (а + е) > 8аЪс, если а> 0.
&>0,с>0
Решение. Умножая неравенства
(а + Ь) > 2\/аЬ, (Ь + с) > 2y/bc, (а + с) > 2 у/ас,
получаем
(а ч Ь)(Ь + с) (а Ч с) > 8аЬс,
так как \,гаЬ хЪс \fac- аЬс.
157
Пример 3. Доказать, что
а а 4 с
b b +с
если с > 0 и 0<а<й.
Решение Используем равносильность неравенств:
а а + с
— <---------<=> ab +ac<ab + Ьс*=*ас<Ьс<=*а<.Ь.
b b +с
Пример 4. Доказать, что при любых значениях х верны неравенства;
а) х2 - 2x4-2 >0; б) 2х2 4- 3x4-5 >0.
Решение. Используем приведенное выше неравенство 4) для квад-
ратного трехчлена: у данных квадратных трехчленов коэффициенты при
квадрате х положительны, а дискриминанты отрицательны; например,
для трехчлена 2х2 4 3х+5 дискриминант Z>=9-40<C. Неравенства
доказаны. Заметим, что х2 -2x4-2 = (х- I)2 + J, откуда ясно, что х2 -
- 2x4- 2 > 0 для любого значения х.
Пример 5. Доказать, что для любых хну
X2 4- 5у2 - 4ху 4- 2х - бу 4 3 > 0.
Решение. Рассматривая левую часть неравенства как квадратный
трехчлен относительно х, имеем
х2 + 2(1 - 2у)х 4- (5/ - бу 4- 3).
Так как дискриминант
£> = 4(1 _2у)2 -4(5у2 - бу 4-3) = —4(у2 -2у 4-2) =
= -4((у-1)24-])<С
для любых у, а коэффициент при х2 положителен, то квадратный трех-
член х2 4- 2(1 — 2у)х4- (5 — бу 4 3) положителен для всех х и у, что и
требовалось доказать.
Пример 6. Доказать, что для любых чисел ai,a2,bi,62, удовлетво-
ряющих условиям Д24’Д2 = 1, ^i+b2 = l, справедливо неравенство
| 4-a2fe2 | СП
Решение Используем доказанные ранее неравенства 2) и 1). Имеем
д2 4-Ь2 al + Ь2
4-а2&2 К a,bx 14- 'а2Ь2 К ----------- 4--------•
2 2
Так как
a2 + b2 al+bl a2 +а2 b2+b2
2 2 ~ 2 2 ~ ’
то | chbi + aibz К 1, что и требовалось доказать.
При доказательстве некоторых неравенств удобно использовать замену
данных величин другими.
158
Пример 7. Доказать, что
если«>0, Ъ>0.
Решение. Полагая \/а =х, =у, запишем доказываемое неравенст-
во в виде
X2 V2
— +—>х+у (х>0, 7>0),
У х
равносильное известному х3 +у3 > ху(х + у) (см. неравенство 7)). Не-
равенство доказано.
Пример 8. Доказать, что для любых чисел а и Ь, удовлетворяющих
условию а + b = 2, справедливо неравенство а4 + b 4 > 2.
Решение. Пусть а = 1 + с. Тогда 6=2— а = 1 — с. Поэтому
а4 + b4 = (1 + с)4 + (1 - с)4 = ((1 + с)2)2 + ((1 - с)2)2 =
= (1 +2с + с2)2 +(1 -2с+с2)2
или
а4 + b4 = (1 + 4с2 + с4 + 4с + 2с2 + 4с3) +
+ (1 +4е2 + с4— 4с + 2с2 — 4с3) = 2 + 12с2 +2с4>2,
что и требовалось доказать.
§ 12. Решение линейных и квадратных неравенств
с одним неизвестным
Будем рассматривать неравенства с одним неизвестным
Определение. Решением неравенства называется то значение не-
известного, при котором это неравенство обращается в верное числовое
неравенство.
Решить неравенство — это значит найти все значения неизвестного, при
которых данное неравенство является верным, или установить, что таких
значений неизвестного нет.
Два неравенства называются равносильными, если всякое решение
одного из них является решением другого, и наоборот. Если оба неравенст-
ва не имеют решений, то они также считаются равносильными. Например,
х2 + 1 < 0<=*х4 +.4 < 0.
Решая неравенство, заменяют данное неравенство другим, более прос-
тым, но равносильным данному. При этом используются основные свойства
неравенств.
Линейные неравенства. Линейным неравенством называется неравенство
вида
ах +h V 0,
159
где а и b — заданные числа, х — неизвестное, а символ V может обозначать
.’побей из злаков >,<,>, <.
Если а=£0, то имеем неравенство первой степени — частный случай ли-
нейного неравенства.
Для определенности рассмотрим решение неравенства первой степени
вида
ах + Ъ > 0 (а =£ 0). ,
и
Это неравенство запишем в виде ах> —Ь. Отсюда получаем х>---------,
а
b
если а > С,их<-----, если а < 0.
а
b
Другая запись: если д>С, то ах + b > 0<=>х>------; если п<0, то
b а
a*+b*=*x<-------.
а
Например, решим неравенство
2(х - 3 ) — 1 > 3(х — 2) — 4(х + 1).
Упростим обе части неравенства; раскроем скобки и приведем подобные
члены. Получим
2х — 6 — 1 > Зх — 6 — 4х — 4,
2х - 7 > —х - 19,
откуда
Зх> —3;
значит, х> — 1 — решение неравенства первой степени. Множество всех
чисел х, удовлетворяющих неравенству х> — 1, на числовой оси изобра-
жается лучом (-1; + °0) (см. § 5 гл. 2) .
В этом примере после упрощения неравенства получили неравенство
первой степени, в котором коэффициент при неизвестном не равен нулю.
Для некоторых линейных неравенств с одним неизвестным этот коэффи-
циент может оказаться равным нулю.
Пример 1. Решить неравенство
2(х - 1) + 1 > 3 - (1 — 2х).
Решение. Упрощая неравенство, получаем
2х--2 + 1>3 — 1 + 2х,
2х-2х >2 + 1 или 0-х>3.
Это неравенство не имеет решений, так как его левая часть 0 • х равна
нулю при любом х, а неравенство 0 > 3 — неверное.
160
Ответ можно коротко записать так: д (нет решений).
В случае неравенства 2 (х — 1) + 1 < 3 - (1 — 2х) имели бы 0-х<3
или 0< 3; следовательно, любое значение х является решением нера
венства.
Пример 2. Решить неравенство ах > а.
Решение. Данное неравенство содержит параметр а. Если д>0, то
ах>а<^х> 1; если а < 0, то ах>а <=*х < 1; если а = 0, то решений
нет (ф).
Квадратные неравенства. Квадратным неравенством или неравенством
второй степени называется неравенство вида
ax2+bx+cV0 (а^О),
где а,Ь,с — заданные числа, причем а Ф 0, х — неизвестное, а символ V
может обозначать любой из знаков >,<,>,<.
Другими словами, квадратное неравенство — это неравенство, в левой
части которого стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль.
Рассмотрим квадратный трехчлен
y~ax2+bx + c (a^-Q).
Вынося а за скобки и выделяя полный квадрат, запишем квадратный
трехчлен я виде
/ 2 b \
у-ах + Ьх +с = alx + — х 1+ с =
\ а /
/ b \2 Ъ2 // b \2 Ь2 -4ас \
= п(х +— I — — +с=а|(х+ — I ------------------I
\ 2а / 4а \\ 2а / 4а2 /
или
гдеD = b2 - 4ас - дискриминант квадратного трехчлена.
Возможны следующие случаи:
I b \2 D
1. D< 0. Так как I х+ — I >0 для любого х, а — • — >0 при D< 0,
\ 2а) 4л2 Н
то выражение в скобках (8) положительно, и, следовательно:
1) если а > 0, то ах2 + bx+ с> С для всех х;
2) если а < 0, то ах2 + Ьх + с < 0 для всех х.
Таким образом, если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен,
то для всех х квадратный трехчлен принимает значения одного знака,
совпадающего со знаком коэффициента при х2.
Отсюда следует, что в случае D-b2 -4лс<0 квадратные неравенст-
ва ах2 + дх+с>0и ах2 + Ьх + с > 0 имеют решением все действительные
числа х при а > 0 и не имеют решений при а < 0.
161
Аналогично, в случае D-b2 -4яс<0 квадратные неравенства ах1 +
+ (>х+с<0и ах2 +hx+c<0 нс имеют решений при а>0 и имеют реше-
нием все действительные числа х при а < 0.
2. D = 0. В этом случае, согласно равенству (8), квадратный трехчлен
представим в виде
<f Ъ \ 2
х + — ) (О = 0).
k 2л /
Следовательно, если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю,
Ъ
то квадратный трехчлен для всех хФ — — принимает значения одного
2я
, Ъ
знака, совпадающего со знаком коэффициента при х ; при х= — —он
2д
принимает значение, равное нулю. Поэтому в случае Л = 0:
, b
1) неравенство ах + Ьх + с>0 имеет решением любое х^— ~—, если
а > 0, и не имеет решений, если а < 0; Ъ
2) неравенство ах2 + Ьх+ с < 0 имеет решением любое хФ — ——, если
а < 0, и не имеет решений, если а > 0;
3) неравенство ах2 +Ьх 0 имеет решением любое х, если а>0, и
b
единственное решение х= - — , если а < 0;
2а
4) неравенство ах2 +Ьх+с<0 имеет решением любое х, если а<0,
b
и х = — —1, если а > 0.
2а
3. D> 0. В этом случае квадратный трехчлен можно разложить на множи-
тели:
ах2 + bx + с~а(х - Xi)(x - Хъ), (9)
где Хх их2 - действительные и различные корни квадратного трехчлена
ах2 •+ Ьх + с (см. § 4 гл. 6).
Будем считать, что Xi<x2. Очевидно, что (x-xi) (х-х2) > 0 для
х< Xj и х> х2 (оба множителя одного знака: соответственно отрицатель-
ны или положительны) и (х — Xi) (х - х2) < О для Xi < х < х2 (первый
множитель положителен, а второй отрицателен).
При x = Xi или х = х2, очевидно. (x-Xj) (х-х2) =0. Поэтому, соглас-
но формуле (9), в случае а>0 квадратный трехчлен ах2 +bx+ с положи-
телен для всех х вне отрезка [xj; х2] и отрицателен для всех значений х
из интервала (xi; Хг) • В случае а < 0 - наоборот.
Полученные результаты дают способ решения квадратного неравенства
ах2 +bx + c V 0,когдаО = Ь2 -4ас>0.
162
Рис. 9
Приведем геометрическое истолкование. Графиком квадратного трех-
члена у = ах2 + Ьх+ с (а ¥=0) является парабола (см § 4 гл. 7). Располо-
жение этой параболы относительно оси Ох для различных случаев пред-
ставлено па рис. 9.
Графический способ решения квадратных неравенств будет рассмотрен
в § 7 гл. 7.
П р и м е р 3. Решить неравенства: а) х2 — 5х + 6 > 0; б) -2х2+х+1>
> 0; в) -2х2+х- 1 < 0: г) Зх2 - 4х+ 5 < 0; д) 4х2 + 4х+ 1 > 0.
Решение, а) Дискриминант D = 25 - 4 • 6>0; корни квадратного
трехчлена действительны и различны: х1 = 2, х2 = 3.
Следовательно, х2 — 5х+6 - (х — 2) (х — 3), и данное неравенство при-
нимает вид (х - 2) (х - 3) > 0.
Решением неравенства являются числа х< 2 (оба множителя отрица-
тельны, и произведение их положительно), а также числа х>3 (оба мно-
жителя положительны, и произведение их положительно).
Ответ. х< 2,х>3.
б) Дискриминант D- 1 - 4 • (-2) = 9 > 0: корни квадратного трехчлена
действительны и различны:
-1 ± V9 _ — 1 ± 3
" 2-(-2) —4
откудах! = - — ,х2 = 1, и, следовательно. -2х2 +х+ 1 = -2(х + -) (х- 1).
Имеем —2( л + — I (х - 1) > 0 или I х+ — I (х ~ 1) <0 (при делении обеих
\ 2 / \ 2 /
частей неравенства на отрицательные число знак неравенства меняется на
163
противоположный). Неравенству удовлетворяют все числа из отрезка
Г 1 1
L 2 J
1
Ответ. — — < х < 1.
2
в) Дискриминант D=1 — 4- (—2) (—1) <0; коэффициент при х2 от-
рицателен. Квадратный трехчлен -2х2 + х — 1 для любого х принимает
только отрицательные значения.
Ответ, х — любое число.
г)Л=16-4-3-5<0; коэффициент при х2 положителен. Квадрат-
ный трехчлен Зх2 -4х+5 для любого х принимает только положитель-
ные значения. Неравенство Зх2 — 4х+ 5 < 0 не имеет решений.
Ответ, ф.
д) £) = 16 — 4 4 = 0 Квадратный трехчлен 4х2 + 4х ь 1 представляет
собой квадрат (2х + I)2, и данное неравенство принимает вид
(2х + 1)2 >0,
откуда следует, что решениями неравенства являются все действитель-
1
ные числах, кроме х= — .
Ответ. хФ- —.
2
Пример 4. Решить неравенство (а - 2) х2 - х - 1 > 0.
Решение . При а = 2имеем -х- 1 > 0илих<- 1.
При а¥=2 неравенство является квадратным. Находим дискриминант
+4(а —2) = 4а-7.
7
Если D~ 4а - 7 < 0, т.е, а < — , то коэффициент а - 2 < 0 и, следо-
вательно, неравенство решений не имеет (для любого х его левая часть
отрицательна).
7 х2
Если а = — , т.е. D ~ 0, то неравенство принимает вид - — - х - 1 > 0
4 4
или — (х + 2) 2 > 0. Следовательно, его решением будет толькох= — 2.
7
Если а > — и аФ 2, то находим корни квадратного трехчлена:
4
1 +\/4д -7 1 -\/4а -7
Xi =------------И Х2 =--------------•
2(а - 2) 2(а-2)
Неравенство запишем в виде (а - 2)(х - xj(x - х2) > 0.
164
7
В случае —< а < 2 коэффициент а - 2 < 0, и неравенство равносильно
4
неравенству (х — Xi) (х — х2) ^0- В этом случае Xj <х2. Поэтому реше-
нием неравенства являются все числа отрезка |х2; х2], т.е. Xi <х<х2.
В случае а > 2 неравенство равносильно неравенству (х —xj (х-х2) > 0.
В этом случае Xi >х2 Поэтому решением неравенства будут все числа
вне интервала (х2; Х1),т.е.х<х2,х>х1.
7 1 +\/4а -7 1-5/4л^Т 7
Ответ, х = — 2, если а - —;--------<х <-------------, с ели — <
4 2(а - 2) 2(а - 2) 4
1 - \/4а - 7 1 + у/4а - Т
<а< 2; х < —1, если а = 2; х<------------и х> ------------, если
2(а—2) 2(а —2)
7
а> 2; ф , если а < — .
4
При решении квадратных и более сложных неравенств используется
также метод интервалов (см. § 14).
§ 13. Системы неравенств с одним неизвестным.
Неравенства, содержащие модуль
Пусть задано несколько неравенств с одним неизвестным.
Совокупность этих неравенств называют системой неравенств с одним
неизвестным. Решение системы — то значение неизвестного, при котором
все неравенства системы обращаются в верные чистовые неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти все решения этой системы
или установить, что их пет.
Две системы неравенств называются равносильными, если всякое реше-
ние одной из них является решением другой, и наоборот. Если обе системы
неравенств не имеют решений, то они также считаются равносильными
Пример 1. Решить систему неравенств
Зх - 4 < 8х + 6,
2х — 1 > 5х - 4,
Пх-9 < 15х + 3.
Решение. Решим первое неравенство:
Зх - 4 < 8х + 6,
-5х < 10,
х > -2.
Оно выполняется при х> —2.
165
Решим второе неравенство:
2х —1 > 5х - 4,
-Зх > -3,
х < 1.
Оно выполняется при х < 1.
Решим третье неравенство:
Лх-9 < 15х + 3,
—4х < 12,
х >-3.
Оно выполняется при х> —3.
Все три данных неравенства верны при -2 < х< I (рис. 10)
Ответ. -2< х< 1.
2х- 1
Пример 2. Решить неравенство -------- < 1.
х+ 1
Решение. Имеем
2х - 1 х - 2
---------- I < 0 или ------< 0
х+1 х+1
Дробь отрицательна только в тех случаях, когда ее числитель и знамена-
тель имеют разные знаки. Поэтому полученное неравенств"' равносильно
совокупности двух следующих систем неравенств:
(х—2>0, (х-2<0,
I х + 1 < 0 ( х + 1 >0.
Это означает, что решение исходного неравенства состоит из решений каж-
дой из этих систем.
Решая первую систему неравенств, получаем
1х>2,
1х< -1.
Очевидно, решений нет (неравенства противоречивы).
Решая вторую систему неравенств, получаем
(х< 2,
|х>—1,
т.е. -1 < х< 2.
Ответ. - 1 < х< 2.
Неравенства, содержащие модуль. Установим следующие свойства:
1) Неравенство
(Ю)
166
гдеа> 0, означает то же самое, что и двойное неравенство
-а<х
(П)
т.е. при с>0неравенство (10) равносильно неравенству (И).
Действительно, еслих> 0, то | х | = х; неравенство | х| примет вид
хСс. Следовательно, все числа отрезка [0; а] являются решениями нера-
венства (10).
Если же х<0, то | х| = -х; неравенство | х| <а примет вид -х<а,
откуда х> -а. Следовательно, все числа полуинтервала f—а; 0) также
являются решениями неравенства (10).
Объединяя полученные результаты, заключаем, что все числа отрезка
-а; л] удовлетворяют неравенству (10). Неравенство (11) установлено.
Таким образом, из неравенства (10) следует неравенство (11).
И обратно, пусть выполнено неравенство (11). Имеются две возможнос-
ти; х> 0 и х< 0. Если х> 0, то , х| =х, и вместо х<д можно написать
| х| т.е. справедливо (10)
Если же х < 0, то f х | = -х, и вместо -а <х или а > — х можно написать
I х| ,т.е.опять справедливо (10).
Таким образом, из неравенства (11) следует неравенство (10). Свойство
доказано
Геометрически неравенство (10) или равносильное ему неравенство
(11) означает, что число х лежит на отрезке между числами —а и а, т.е.
расстояние от точки х до точки О не больше а (рис. 11).
Точно так же получим, что неравенство | х | < а, где а > 0, означает то
же самое, что и двойное неравенство -а < х< а, т е при а> 0 неравенство
1 х | < а равносильно двойному неравенству — а < х< а.
В случае а < 0 приходим к неверным (или противоречивым) неравенст
вам | х | <а и х | < а, так как всегда 1 х | > 0. •
2) Неравенство
|х|>д, (12)
где а > 0, означает, что х> а или х < -а.
В самом деле, если х> 0, то | х| =х и из (12) следует х>а; если же
х< 0, то | х| =-хи из (12) следует, что -х>а или х< -а.
И обратно, еслих>а (а > 0), то, очевидно, | х| >а\ еслих< -а(а> 0),
тс -х>а или | х | >а.
Таким образом, условие | х | > а (а > 0) означает, что на числовой оси
точка х лежит либо справа от точки а, либо слева от точки -а (рис. 12).
167
Если | х [ > а, где а > 0. то х > а или* < -а.
Очевидно, что при а < 0 неравенства | х | > а и 1 х | > а выполняются
для любого значения х.
Пример 3. Решить неравенство | 2х - 3 | <5
Р е ш е н и е. По свойству 1) данное неравенство равносильно двойному не-
равенству
-5<2х-3<5.
Так как двойное неравенство -5<2х-3<5 означает краткую запись
х<-а
-а
х>а
О ах
Рис. 12
двух неравенств -5 <2х — 3 и 2х - 3 <5, то можно применить основные
свойства неравенств..
Прибавляя к каждой части неравенства -5<2х~3<5 число 3, полу-
чаем -2<2х<8, откуда делением каждой части неравенства на число 2
находим, что -1 <х<4. Множеством решений является отрезок [-1; 4].
Ответ. -1 <х<4.
Пример 4. Решить неравенство 1 1 — х | > 3.
Решение. Так как | 1 -х | = | х - 1 |, то имеем | х - 1 | > 3. По
свойству 2) это неравенство выполняется только в случае, кот да х— 1 > 3
или х - 1 < —3, т.е. при х> 4 или х< -2. Множество решений изображает-
ся на числовой оси двумя лучами.
Ответ. х> 4, х< -2.
Пример 5. Ретдить неравенствох2 + 4х + 4 < 25.
Решение. Запишем неравенство в виде
(х + 2)2 <25.
Извлекая из обеих частей неравенства арифметический квадратный
корень, получаем равносильное неравенство
|х+2|<5
или —5 < х+ 2 < 5. откуда —7 < х< 3. Множеством решений является ин-
тервал (-7; 3).
Ответ. -7 <х< 3. ___________
Пример 6. Решить неравенство уУх2 + 6х + 1 < 2 - х.
Решение. Запишем неравенство в виде
х/(3х + I)5 <2—х
или
| Зх + 1 |<2-х,
168
равносильное совокупности двух систем неравенств:
(Зх + 1 > О, ( Зх + 1 < О,
{ и {
(Зх + 1<2-х 1-(Зх +1)<2 — х. J
Решением первой системы является полуинтервал I —у; —Реше’
/ 3 1 \
нием второй системы - интервал I ; - — I. Следовательно, реше-
/ 3 1 \
нием исходного неравенства является интервал | — —; — I.
31 \ 2 4/
Ответ. — <х< —.
2 4
§ 14. Задачи на уравнения и неравенства.
Метод интервалов
Рассмотрим несколько задач, связанных с выявлением определенных
свойств уравнений и неравенств и их решений.
Пример 1. Найти коэффициенты квадратною уравнения
х2 + рх + р = 0,
если его корни равныpaq-
Решение. Если дискриминант уравнения D = р1 - 4? > 0, то по фор-
мулам Виета
Xt+X2=-p, XjX2=Q.
Пусть Xj -р, хг =q. Тогда
(р+?=-Д
\РЧ = 4-
Эта система имеет два решения: pt = 0, q, = 0; р2 = 1, q2 = -2- Если р = 0,
q = 0, то D= 0; еслир = 1,q = -2, то В> 0
Ответ. Pi = 0, = 0: р2 = 1, q2 = -2
Пример 2 В уравнении х2 — 2х + с = 0 определить то значение с,
при котором его корни xt и х2 удовлетворяют условию 7х2 -4xi =47.
Решение Если дискриминант D= 4 - 4с > 0, то по формулам Виета
Xi +х2 =2, XjX2 ~с.
Рассмотрим систему уравнений
Xi +х2 =2,
XtX2 = С,
7х2 -4xi =47.
169
Решая линейную систему
fxi + х2 = 2,
1 7х2 -4xj = 47,
получаем.Х1 = -3,х2 = 5. Поэтому с =xix2 =—15 и£*> 0.
Ответ, с ~ -15.
Пример 3. При каких значениях a оба корня уравнениях2 - (а + 1)х +
+ а + 4 = 0 отрицательны?
Р е ш е н и е. Найдем дискриминант уравнения
D - (а + I)2 - 4(а + 4) = а2 — 2а - 15.
Пусть 7) > 0. Решая квадратное неравенство а2 — 2а — 15 > 0, получаем
-3, а> 5.
Выясним, при каких значениях и из этих промежутков оба корня урав-
нения отрицательны.
Обозначим произведение корней через Р, а их сумму -5. По формулам
Виста
Р-ххх2=а + 4. 5 = х1+х1=д + 1.
Условие отрицательности обоих корней квадратного уравнения: дискри-
минант D> 0,произведение корней Р > 0 и сумма корней S < О
Имеем Р>0, т.е. а + 4>0 или а>-4. Если -4<а<-3, то D> О,
Р>0, S =а + 1 < О - корни отрицательны; если д> 5, то D> О, Р>0,
S > 0 — корни положительны.
Ответ. Оба корня отрицательны при -4 < а < -3.
Пример 4. При каких значениях а неравенство
выполняется для всех значений х?
Решение. Квадратный трехчлен х2 — х+1 принимает только поло-
жительные значения, так как его дискриминант D = 1 - 4< 0 и коэффи-
циент при х2 больше нуля. Получаем равносильное дзойпое неравенство
—Зх2 + Зх — 3 <х2 +ах — 2 < 2х2 — 2х + 2
или систему неравенств
(-Зх2 + Зх - .3 <х2 + ах - 2,
I х2 +ах - 2 < 2х2 — 2х + 2,
или
J 4х2 + (а - 3)х + 1 > С,
I х2 - (а + 2)х + 4 > 0.
17С
Каждое из этих неравенств Судет выполняться при всех значениях х,
если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен:
(D1 = (а-3)2 —16 < О,
t£>2 =(д + 2)2 —16 <0.
Находим
I (а — З)2 < 16, Не —3|<4,
< „ или {
l(a + 2)2<16 I |а + 2[<4,
те.
(-4<а-3<4, f—i<a<7,
{ или i
I—4<е+2<4 I—6<а<2;
следовательно, -1 < а < 2.
Ответ. -1 < а< 2.
Пример 5. Решить неравенство | х2 - 5 х | > 6.
Решение. Данное неравенство, содержащее модуль, означает, что
х2 -5х>6 или х2-5х<-6.
Решая неравенствох2 -5х-6> 0,получаемх<-1, х> 6
Решая неравенство х2 - 5х+ 6 < 0, получаем 2 <х<3.
Ответ, х С-1, 2<х<3, х> 6.
Пример 6. Доказать, что если между коэффициентами уравнений
X2 +Р1Х+<?1 =0 и х2 + р2Х + <?2 =0
выполняется соотношение ptp2 = 2 (q2 + q2), то по крайней мере одно из
этих уравнений имеет действительные корни.
Решение. Покажем, что при данном соотношении хотя бы один из
дискриминантов
Z>i =pl -4<й и D2 -pl - 4?J
неотрицателен. В самом деле,
Pi +D2 = р2 +р2 -4(<h +<?2)
иля
2>i +2>г =Pi +р! -2Р1Рг =(Р1 -р2)2 >0.
Если сумма двух чисел неотрицательна, то хотя бы одно из них неотри-
цательно. Из дискриминантов и Г)2 хотя бы один больше или равен
нулю, что и требовалось доказать.
Пример 7 Исследовать корни уравнения (а - 2) х2 - 2ах 1 2а - 3 = 0
в зависимости от параметра а.
Решение. Если а = 2, то уравнение является линейным: -4х + 4 - 3 =
1
= 0; оно имеет положительный корень х = — .
171
При аФ2 уравнение является квадратным с дискриминантом
D = Ь? - 4(а - 2)(2д - 3) = -4(д - 1)(д - 6),
если разложить на множители квадратный трехчлен относительно а.
Если а< 1 или д>6, то D< 0 и уравнение не имеет действительных
корней.
Если 1 Сд <6(а =£ 2), то 0 По формулам Виета
/ з\
21 а-----------------------I
2а - 3 \ 2 / 2с
P = XjX2 = ----- = --------- - , S = xt + х2 = .
д - 2 д-2 д-2
Найдем на числовой оси интервалы знакепостоявства величин D,P и 5
(рис. 13).
При д= 1 имеем D~ О, Р> 0, 5 < 0, и, следовательно, корни равные
(0=0), одинакового знака (Р > 0) и притом отрицательные (5 < 0).
3
На интервале 1 < с < -- имеем D> 0, Р> 0, 5 < 0, и, следовательно,
корни различные и оба отрицательные
3
При а = — имеем D>0- Р = 0, S < 0 - один корень равен нулю, а дру-
2
гой - отрицательный.
3
На интервале — <д<2 имеем £>> 0, Р < 0, S < 0 - корпи разных
знаков (Р<0), причем больший по модулю корень отрицательный
(5<0).
~ В>0 Jl<0
0~~Т 2 6 ~я
Р>0 Р<0 Р>0
*0 Гг *
2
8>0 8<0 8>0
«----о-------------->-
О 2 х
Рис. 13
На интервале 2 < д < 6 имеем D> 0, Р > 0. S > 0 — корни различные,
о ба положительные.
При д-6 имеем 22=0, Р>0, 5>0 — корни разные, положительные.
Метод интервалов, Этот метод используется для решения неравенств
вица
Р(х)
—— V 0,
(13)
172
где Р (х) и Q (х) - многочлены, а символ V означает любой из знаков >,
Метод интервалов основан на следующем свойстве многочленов.
Число х0 называется корнем многочлена Р(х), если при значении х = х0
многочлен принимает значение, равное нулю, т.е. Р(х0) =0. Приведем
без доказательства свойство действительных корней многочлена: если
Xi и x2(xi<x2) - два соседних корня многочлена, т.е. в интервале
(Xi; х2) других корней многочлен не имеет, то в этом интервале много-
член сохраняет знак: для любого числа х из интервала (xt; х2) многочлен
Рис. 14
Рис. 15
принимает значения одинакового знака. Чтобы установить этот знак, дос-
таточно установить его для какого-нибудь числа из этого интервала (’’проб-
ной точки”).
Это свойство многочлена можно сформулировать так: многочлен Р (х)
может изменить знак только при переходе через точку х = х0, где х0 -
действительный корень многочлена.
Поясним на следующих примерах. Рассмотрим квадратный трехчлен
(т.е. многочлен второй степени) х2 — Зх+2. Найдем его корни Xj = 1 и
х2 = 2 и разложим квадратный трехчлен на множители:
х2 - Зх + 2 = (х - 1)(х - 2).
Точки х = 1 и х = 2 разбивают числовую ось на три интервала. Из разло-
жения квадратного трехчлена следует, что в каждом из этих интервалов
трехчлен сохраняет знак. Если двигаться вдоль числовой оси слева напра-
во, то знак квадратного трехчлена будет меняться: плюс, минус, плюс,
причем смена знака происходит только при переходе через корень трех-
члена. Последовательность знаков указана на рис. 14.
Квадратный трехчлен х2 — 2х+ 1 = (х — I)2 при переходе через точку
х = 1 (корень трехчлена) не меняет знака (рис. 15).
Для решения неравенств вида (13) методом интервалов надо:
1) найти все действительные корни многочленов Р(х), Q(x);
2) оставить из найденных корней только те, которые не являются од-
новременно корнями многочленов Р(х) и Q(x), и расположить эти корни
в порядке возрастания: Xj < х2 < ... < х„;
3) отметить на числовой оси точки х,, х2,..., х„, разбивающие числовую
Р(х)
ось на интервалы, в каждом из которых дробь--------- сохраняет знак;
Q(x)
4) выбрать в каждом из этих интервалов ’’пробную точку” и установить
Р(х)
по знаку дроби ----- в этой точке ее знак в соответствующем интервале;
Q(x)
173
5) изобразить последовательность знаков дроби и получить все решения
неравенства (13) в зависимости от значения символа V.
Пример 8. Решить методом интервалов неравенство
(х2 - Зх + 2) (х2 + 2х 4 2)
(х-3)(х-1 — 2х2)
Решение Заметим, что дискриминанты квадратных трехчленов
х2 +2х+2 и — 2х2 1 отрицательны. Поэтому трехчлены принимают
значения одною знака, сов падающего со знаком коэффициента при х2 :
х2 + 2х + 2>0, — 2х2+х— 1<0 для любого х. Получаем неравенство,
равносильное данному:
х2—3x4-2 (х-1)(х-2)
----------< 0 или----------- < 0.
х - 3 х - 3
Отметим на числовой оси точки х= 1,х= 2, х = 3 (рис. 16). Для интер-
валов х< 1, 1 <х<2, 2<х< 3,х>3 в качестве ’’пробных точек” можно
3 3 (х-1)(х-2)
взять х=0, х = —, х =—, х = 4. В точке х = 6 дробь----------------
2 2 (х - 3)
2
= — — < 0; значит, при х< 1 эта дробь отрицательна Аналогично посту-
паем для остальных интервалов.
Последовательность знаков дроби указана на рис. 16.
Рис, 16
В точках х = 1 и х = 2 дробь обращается в нуль; следовательно, х = 1 и
х = 2 - решения данного нестрогою неравенства. При х=3 дробь теряет
смысл.
Получаем решение исходного неравенства: х< 1,2 «Сх< 3.
Пример 9. Решить неравенство
(х2 - Зх + 2)(х + 2)3х2
(х2 -1)(х-3)4 >0'
Решение. Запишем неравенство в виде
(х - 1)(х - 2)(х 4-2)3х2 >о
(х — 1)(х 4-1)(х — З)4
Заметим, что х2 > 0, (х-3)4 > 0, (х4- 2)3 совпадает по знаку с (х4-2)
для любого х;х = 0 — решение данного неравенства, а прих=1,х = —1,
х = 3 дробь теряет смысл.
174
Получаем неравенство
(х-2)(х + 2) >q
х + 1
(*)
и решаем его методом интервалов (рис. 17). Имеем -2 <х< -1.
Рис. 17
Чтобы получить решения исходного неравенства, надо исключить из
найденных решений неравенства (*) точку х = 3 и добавить х - О-
Ответ. -2<х< -1,х= 0, 2 Сх< 3,х> 3
Упражнения
РАЗДЕЛ I
а)
1. Какие из чисел 3, 0 и - 1 являются решениями уравнений;
О
а)2х + 7=5; б) Ох + 4 = - 3; в) 0 • х = О?
2. Равносильны ли уравнения:
2х - 1 4-х , х -• 3 „ , ,
------------х=1 +—-— и О х-4=1;
3 2 6
б)
в)
5х + (х - 1)’ = (х + 2) (х - 2) + Зх + 5 и —~ = 2;
2 (х - 2,5) , 1 4х + 7 - 0,5 (2х - 10) „„
-7-3- + 1 = — и --------—4-----------=0?
3. Решить уравнения относительно х (№з) - в) - устно):
а) ах = 1; б) ах1 -а* =0; в) (д’ - 1)х = а + 1;
, ti-i’x . в’(х-1) д + 3(х-3)
i^')—------------7Тз~^ + ,;
а Ъ
ж) ах + b = х; з) --— = -- (ab * 0).
1 - bx 1 - ex
4. Решить уравнения:
а) 5х2 - 80 = 0, б) х2
4-х = 0; в) 10(х - 2) + 19 = (5х - 1)(5х+1);
5х2 + 9 4х2 - 9
г) —------------------ =3; д) х2 + 8х + 12 = 0; е) 4х2 - 17х - 15 = 0:
о 5
ж) Зх2 - 4х - 4 = 0.
175
5. Резкость корней уравнения 25х3 - 3f,x + с = 0 равна 2. Найти с.
6. Отношение корней уравнения З2х3 + Ъх + 75 = 0 равно 6. Найти коэффициент Ь.
7. Один кз корней уравнения Зх1 + Ьх + с = 0 равен - 1 —, а другой равен Ъ. Най-
ти коэффициенты этого уравнения,
8. Корни х, и х2 уравнения х3 + рх + 12 = 0 обладают свойством xt - х2 =1. Най-
ти р.
9. Составить квадратное уравнение, корки которого были бы больше соответст-
ьуютцих корней уравнения Зх1 - 11х + 2 = 0 на 1.
10. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы равны соответ-
ственно сумме и произведению корясй уравнения Зх1 + 2х - 15 = 0.
11. Не решая уравнения х1 - Зх - 10 = 0, вычислить сумму кубов его корней.
12. Не решая уравнения х’ - 5х + 6 = О, составить квадратное уравнение, корни
которого обратны корням данного.
13. Корни Xt и х3 уравнения х’ - Зах + а* = 0 таковы, «то х3 + х3 = 1,75. Найти
значение а.
14. При каком значении а один из корней уравнения х3 - (2в + 1)х + «3 + 2 = О
в два раза больше другого?
15. Составить биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого рав-
на 50, а произведение корней равно 144,
16. При каких значениях коэффициентов или при каких соотношениях между
ними в уравнении ах3 + Ьх + с = 0 (а ч* 0) :
а) сумма корней равна их произведению;
б) корни равны по модулю, но противоположны по знаку;
в) один корень равен нулю;
г) оба корня равны нулю;
д) отношение корней равно 3?
Решить уравнения (№17-20):
4 + 7 _ 37 3(9х- 3) Зх+ 1 .
а х + 2 + х + 3 х*+ 5х + б' 9х - б Зх - 2 ’
х + 1 _ х + 2 + 4 _ 2 + £ _ 4
х - 1 х + 3 х3 + 2х - 3 ’ Г' 2 - х 2 2х - х3 ’
х + 2 х (х - 4) х-2 4 (1 + х)
Ж х - 2 + х1 - 4 х + 2 . 4-х’
ч Ь а „ „ х 2д+х 16в3
18. а) -+ ----- = 2; б) — ------— - ——---$.
х-а х - h 2а+х х - 2а 4с3 - х3
19. а) (х3 -5х + 7)3 - (х-2) (х-3) =1; б)х3+х3-2=0;
в) хА = 16; г) х* = - 32; д) 4х4 - 5х3 + 1 = 0.
20 а) (х’ - 1) V2x —1=0; б) (9-х3) УГ^У=0;
в) V1 - х (9х3 - 15) = 0; г) </Зх - 1 (х3 - 4х) = 0.
21. Сократить дроби:
x3j- бх - 91 а1 + 9аЬ + 14/>’ 6с’ + 11с + 3
а) х3 + 8х - 105 ’ ' с3 +uft - 2с — ’ В) 3+5< - 12с3 ‘
176
22. Доказать, что при всех допустимых значениях букв, заданные выражения -
постоянные числа:
/ 4 а -Ы \ 15а- 12 2
ч5а2+а-4 - 9(5е-4)/ а + 7 а + 1’
6}
/ Збт’ 5Г-2 1
\5Га + 13 — б Т+3 /
ИТ-2 28т - Т2
Т2 — 2т — 15 " 2 — 5Т ’
23. Решить уравнения:
а) >/х + 2 - у/х-6 = 2; б) -Jx + 1 + ф.х +3 = 1;
в) х2 + 11 + >/х’ + 11= 42; г)
д) х = а - >/г2 - х\/х2 + а’
х + 2 _ 7
2х + 2 = 12 ’
Решить системы уравнений (№ 24 -26):
( х2 + ху + у2 = 13, (х2 + 2ху - 4у2 -5x4 4 = 0,
24. а) б) в)
1х+у = 4; (х-у = 2;
2х - у + 9
4
х2 + у2 = 5;
- +2. = 11
У х 16 ’
,х+у =5;
[х3 +у3 = 35,
Д) 1
(х+у = 5;
{х-у = 5,
ху = 14.
2 +2L-11
у х " 12 ’
х2 -у2 = 7;
{х + ху +у = 11,
хгу + ху2 = 30;
25. а)
х 3 3
Т+Гг;
(у1 -ху = -12,
г)
( х2 - ху = 28;
</ху + 2х = 2,
х+у = 13,
2х-у= 12,5;
( (а - 1)х + 2ау = - 2,
г)
I 2ех + (о - 1) у -а - 1;
f (а • 1)х + (2а - 3)у =а + 2,
«)1
( (а + J)x +(а + 3)у = За + 1;
। ах+у = 3,
е)<
I 4х + 2у = Ъ.
177
27. Найти целые решения системы:
| 2х* -ху + у1 =2,
1.x’ +2у’ = 3;
{х - \[ху + у = 7,
Г- Г-
'А + '7? =5.
Решить задачи на составление уравнений (№ 28-52) :
28. Найти двузначное число, если известно, что сумма квадратов его цифр равна
53, а сумма его цифр в три раза меньше искомого числа.
29. Сумма двух чисел раина 15, а их среднее арифметическое на 25 % больше сред-
него геометрического. Найти эти числа.
30. Произведение цифр двузначнох'о числа в два раза больше суммы этих цифр.
Если к этому двузначному числу прибавить 27, то получится число, написанное теми
же цифрами но в обратном порядке. Найти это число.
31. Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан у семафо-
ра на 10 мин. Увеличив скорость после этого на 10 км/ч, он прибыл на место назна-
чения с опозданием на 2 мин. Определить первоначальную скорость поезда.
32. Расстояние от пунка А до пункта В равно 19 км. Из Л в В выехал велосипе-
дист. Через 15 мин в том же направлении выехал автомобиль. Через 10 мин после вы-
хода он догнал велосипедиста, доехал до В и, повернув обратно, встретил велосипе-
диста через 50 мин после своего выхода из А Определить скорости велосипедиста
и автомобиля.
33. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 84 км, выехал
велосипедист, а через 2 ч навстречу ему из В в А выехал мотоциклист, скорость ко-
торого на 48 км/ч больше скорости велосипедиста. Найти их скорости, если известно,
что к моменту встречи велосипедист проехал на 16 км меньше, чем мотоциклист.
34. Расстояние от А до Б по течению моторная лодка проплывает за 8 ч, а от В
до А против течения - за 12 ч. За сколько часов проплывет расстояние от А по В
плот? Скорость плота равна скорости течения.
35. Дорога от Л до В длиной 11,5 км идет сначала в гору, потом по ровному месту
и затем под гору. Пешеход, идя из Л в В, прошел всю дорогу за 2 ч 54 мин, а па обрат-
ную дорогу затратил 3 ч 6 мин. Скорость ходьбы: в гору 3 км/ч, по ровному месту
4 км/ч, под гору 5 км/ч. Па каком протяжении дорога идет по ровному месту?
36. Две бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней. Сколько
дней нротребсвалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной бри-
гаде для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?
37. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на одно
и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем вы-
пускаемой продукции возрос в два раза.
33. Дее машинистки получили для перепечатки рукопись. После двух часов сов-
местной работы одна из машинисток получила другое задание, и вторая, оставшись
одна, закончила работу через 1 ч 20 мин. За сколько часов могла бы перепечатать
рукопись каждая машинистка, если второй на это понадобилось бы на 1 ч 10 мин
больше, чем первой?
39. Уборку урожая с участка начал один комбайнер. Через 2 ч к нему присоеди-
нился второй комбайнер, и после 8 ч совместной работы они убрали 80% урожая.
За сколько часов мог бы убрать урожай с участка каждый комбайнер, если известно,
что первому на это понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?
40. За 3,5 ч работы один штамповочный пресс может изготовить 42% всех зака-
занных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может изготовить 60% всех деталей,
а скорость выполнения работы на третьем прессе относится к скорости выполнения
работы на втором, как 6 : 5. За какое время будет выполнен весь заказ, если все три
пресса будут работать однсьременпо?
178
41. Основание прямоугольника больше высоты на 10 м. Найти периметр прямо-
угольника, если его площадь равна 1200 м’,
42. Одна сторона прямоугольника в три раза больше, а другая на 4 см меньше сто-
роны квадрата. Найти площадь квадрата, если она больше площади прямоу! олыш-
ка на 10 см’.
43. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его площадь 96 см2.
Найти дайны сторон треугольника.
44. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй 0,6 кг безводной
серной кислоты, соединили имеете и получили 10 кг раствора серией кислоты. Найти
массу первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что в первом
растворе безводной, серной кислоты содержится на 10% больше, чем зо втором раст-
воре.
45. Имеется два различных сплава меди. Процент содержания меди в первом спла-
ве на 40 меньше, чем во втором сплаве. После того как их сплавили ь.мсстс, получили
сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меда в первом и
во втором силанах, если известно, что меди в первом сплаве 6 кг, а во втором 12 кг.
46. Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем
вещества В составляет одну пятую часть суммы объемов веществ А и С. Найти отно-
шение объема вещества С к сумме объеме? веществ Лий,
47. Кусок материи стоит 35 р. Если бы в куске было на 4 м материи больше, а каж-
дый метр стоил на 1 р. дешевле, то стоимость куска материи осталась бы прежней.
Сколько метров материи было в куске?
48. Четыре года назад отец был в шесть раз старше сына; через 16 лет отел будет
вдвое старше сына Сколько лет каждому?
49. Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый; при этом было 44 попадания,
остальные промахи. Сколько раз попал каждый, если известно, что у первого стрел-
ка на каждый промах приходилось в два раза больше попаданий, чем у второго?
50. Продают три куска ткани. Из первого продали половину, из второго 2/3, а тре-
тий кусок, в котором было 1/3 всей ткани, продали весь. Сколько процентов ткани
продано, если всего осталось вдвое меньше, чем было во втором куске?
51. Ипеются две бочки бензина разной цены. В одной 220 л, а в другой 180 л.
Из каждой берут по одинаковому количеству бензина и переливают в другую, после
чего цена лигра бензина в каждой бочке слала одинаковой. Какое количество лит-
ров было перелито?
52. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 р. Однако
в последний момент двое отказались участвовать в покупке, и поэтому каждому
из оставшихся пришлось внести на 1 р. больше, чем предполагалось. Сколько стоит
магнитофон, если студенты платили поровну?
53. Решить системы неравенств:
1 7 (х + 1) - 2х > 9 - 4х,
а){
I 3 (5 - 2х) - 1 > 4 - 5х;
[ 5х - 2 > 2х + 1,
ь)1
I 2х+ 3 < 18 - Зх;
( 2х+ 1 > Зх + 4,
6)
I 5х + 3>8х + 21;
Зх < 5 - бх,
г) 4х - 1 > 1 - Зх,
7-2х>2х + 9.
54. Решить неравенства:
а) х’ +5х- 14 >0; б) 2х’- 5х - 3 <0; в)—>1;
х
г)
Зх - 2
х -2
<0;
д) 5 - х - — >0,
х
£
2 ’
179
Ж) —- < -Ц;
х + 2 х - 3
з) 0 <
2х
3- 2х
<1.
55. Решить неравенствам
а) (х- 1)(х + 2)(х-5) <0; б) (х +1) (3-х) (х - 2)2 > 0;
Зх’ - 10х + 3 „ х* - 7х + 12 л х2 - Зх +
В) х2 - .Ох + 25 > °; Г) х1 - 2х - 3 > °: х2 + Зх +:
е) 5х - 20 < х2 < Вх; ж) х’ < х.
> 1;
56. Решить уравнения и неравенства, содержащие модуль:
а)|х-1| = 3; б) |х-1 | = |х + 2|; в) I х - 2 I - I х - 1 I = 1;
г) х2 — 2 I х — 1 | = 2; д)х|х-3| = 2; е) |х2-4х +2 | <2;
ж) |х-2|>|х+11-3; 3?|т72~|<1: и) I 2х2 - 9х + 15 I > 20
57. Доказать неравенства
a) д’(1+6’) + Ь2(1+с2) + с2(1 + а1)>6зЬс;
б) (а + Ь + с)(— + i + — )> 9, сслид >0, b > 0, с >0;
\д о с/
д + b + с + d .—-
а) ----т---> tjabed, если а > 0, b > 0, с > 0, d > 0;
г)
х2 +2
vT+I
>2; д) д’ + Ь3 < с3, если ак b - длины катеров, с - длина гипотенузы.
53. Решить неравенство (а + 1)х + 4 < (3 - 2д)х - 1.
59. При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х2 + 2 (д + 1)х + 9д - 5
отрицательны?
60. При каких значениях а квадратный трехчлен дх2 - 7х + 4д (д Ф 0) принимает
отрицательные значения для любых действительных значений х?
х2 - дх - 2
61. При каких значениях д неравенство > - 1 выполняется при лю-
бом х?
62. При каких значениях а корни уравнения (д + 1)х2 - Здх + 4д = 0 (д ч4 - 1)
действительны и больше 1?
РАЗДЕЛ II
63. Равносильны ли уравнения:
а) -—— = 6 + —J— и 2х - 10 - 5;
х - 5 х - 5
х + 1 2(х+ 1) _ £ 1 _ 1
х-1 3(х-3) 3 И х- 1 х + 1’
в) х3 = 1 и (х - I) (х2 + х + 1) = 0;
г) 7xs - 2х =3х3 и 7х - 2 = Зх2?
180
Решить уравнения (№64-66):
64. а) (х + 2) (я - 1) + 1 =я2; б) b(bx- 1) = 3 (Зх + 1);
с’(х- 1) 2(с + 1)
В> х - 5 х - 5
65. а) х1 + 0,4х = 0; б) (х - 7) (х + 3) + (х - 1) (х + 5) = 102;
8х2 +3 9х2 + 5 , 4 , 1 1
В) 5. + 4 -1’ Г) х2 - Юх + 25 25 -х* х + 5 ’
д) 36-12х=-х2; е) 7х2 = 25х - 23; ж) 7 = 0,4х + 0,2х2.
66. а) (х2 + 4х)»/хтТ= 0; б) (х2 - х)</х-'2 = 0;
в) (9 - х2 )</2+Т = 0; г) (х2 - 4х) УП“х = 0
67. Найти значение дроби, предварительно сократив ее:
а) т—;—т----т . если х = 5,5;
' 2х2 + Зх - 2
6)
Зх1 -7х —20
Зх2 + 11х + 10
, если х = 1;
ч 5х» - 7х - 24
в) т:-7—тт . если х = 0.
24х - 9 - 7х2
68. .Решить уравнения:
2х+1 х’-1 х+3 4 + х
а)------- =---------------;
х+3 х’-9 3-х 3+х
х2 + 10х _4___ ___4X-I-21 1_____
х4 - 1 + х2 + 1 х’+х2+х + 1 х3-х2+х-1’
х + 6 х2 + 17 х + 36 х + 1
в)--------— — --------------------
х-1 х2 + х + 1 хэ - 1 х2+х+1’
г) (я2 -6’)х‘ + я6 = (я2 + 62)х;
а + 46 а - 4b 4Ь
х + 2Ь х - 2Ь а '
69. Доказать, что при всех допустимых значениях букв заданные выражения
постоянные числа:
21 х2 - 25 , 6 х
а)---- +-------• |-----+-----------
4х + 6 х + 2 \25-x3 2х’-7х-15
2 у t-4
б)-----+------
2-у у-1
/ 9(у- 1)
\3у ♦ 4
(2у - 7)2
3/ -1» - 4
181
70. Решить уравнения:
а) (х’ + Зх)’ + 2(х’ + 3х)₽24;
1 18 18
б) +------------------- =-----------;
х’ + 2х - 3 х’ + 2х + 2 х’ + 2х + 1
4х Зх
в) +------------------------ = 1;
4х’-8х + 7 4х’-10х + 7
г) ’<£*+ 2^7- 3=0; д) х/2Т7Г - = 2;
е) у/Зх - 3 + \/5х - 19 = у/Зх + 4; ж) у!г + у/х"- yja — у/х= у/а".
Решить системы уравнений (№ 71 - 73) :
(2х-3у = 12, [ 0,2х + 3,1у =--2,3, I 12,Зх - 4,7 у = 5,
71. а)< б) < в) {
1,х + 2у = -1; ( х+ 15,5у = - 11,5; I 36,9х - 14,1у = 16,1;
। (л - 2)х + (а - 5)у = 36,
Г)
I (с + 2)х + (а - 1)у = 24;
f (к + 3)х + 2у = 4,
Д) <
I 2х — у = к-,
I (к + 2) х+3у = 6,
е) j
I х+ку = 2.
(х +1)(у- 3) = 4;
72 а)
71а)
<ху-- 16;
х’у3 + х3у* =12,
х2у2 - х2 у2 =4;
( 2х2 - Зху + 5у = 5,
в) j
I (х - 2)(у - 1) = 0;
<£+37=3,
<7 -tfxy *\Jy2 =3;
( </7-<7= 1,
Г) (
I х/х - х/у - 5.
74. а) Считая, что xJ( х, - хорки уравнения х2 + рх + q =0, составить уравнение,
1 1
корни которого ---И----
X, X,
б) считая, что х t и х, - хорни уравнения ах2 + Ьх + с =0 (а * 0), составить ураьне-
1 1
ние, корни которого — и —.
х, х,
75. Выразить сумму квадратов корней уравнения х’ +рх + q = 0 через коэффициен-
ты р и q.
f82
76. Выразить сумму кубов корней уравнения к1 + рх + q = 0 через коэффициенты
рИф
77. Решить уравнение х + рх + 45 = 0, зная, что квадрат разности его корней ра-
®ен 144.
78. В уравнении xi -6х + q = 1 найти значение q, при котором его корни и х2
удовлетворяют условию Ззг, + 2х2 = 20
Решить задачи на составление уравнений (№ 79 - 99):
79. Сумма двух чисел равна 15, а сумма их квадратов равна 125. Найти эти вдела.
80. Среднее арифметическое двух чисел равно 20. а среднее геометрическое 12.
Найти эти числа.
81. Найти двузначное число, если число ею единиц на 2 больше числа десятков,
а произведение этого числа на сумму его цифр равно 144.
32. Трехзначное число оканчивается цифрой 3 Если эту цифру перенести влево
(т.е. поставить в начале), тс новое число будет на 1 больше утроенного первоначаль-
ного числа. Найти это число.
83. Экскаватор роет котлованы объемом 20 м3. После того как был вырыт первый
котлован, производительность экскаватора уменьшилась на I м3/ч. Известно, что
1
через 6 — ч после начала работы было вырыто полтора котлована. .Определить перво-
начальную производительность экскаватора.
84. Два подъемных крана разгрузили баржу за 40 ч совместной работы. Если бы
половину баржи разгрузил один кран, а затем другую половину - второй, то на раз-
грузку баржи ушел бы 81 ч. За сколько времени может разгрузить баржу каждый
кран, работая один?
85. Из двух двигателей одинаковой мощности первый израсходовал 600 г бензина,
а второй, работавший на 2 ч меньше, 384 г. Если бы первый двигатель расходовал
в час столько бензина, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то за это
же время расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковый. Сколько бензина
ь час расходует каждый двигатель?
86. Два тракториста при совместной работе обрабатывают поле за 45 мин. Сколько
времени потребовалось бы .одному первому трактористу на обработку поля, если
известно, что один второй тракторист обрабатывает все попе на 2 ч дальше, чем
первый?
1
87. Три рабочих, работая вместе, могут выполнить всю работу за 2—ч. Первый
7
может выполнить эту работу вдвое быстрее второго и на 1 ч быстрее третьего. За
какое время каждый рабочий может выполнил» эту работу?
88. Половину пути мотоциклист ехач с одной скоростью. Затем задержался на
5 мин, а поэтому, чтобы наверстать потерянное время, увеличил скорость на 10 км/ч.
Найти первоначальную скорость мотоциклиста, если весь путь, пройденный им, равен
50 км.
89. Моторная лодка прошла против течения реки 38 км, а затем по течению реки
34,5 км, затратив на весь путь 3,5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Найти собственную
скорость моторной лодки.
90. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В.
При встрече в пункте С оказалось, что первый прошел на 6 км больше ыорого.
Продолжая движение с прежними скоростями, первый турист пришел в В через 4 у-ч,
а второй - в А через 8 ч после их истречи в пункте С. Каково расстояние между пунк-
тами А и С?
91. Из А в В вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из А выехал
велосипедист и через час был на расстоянии 1 км позади пешехода, а еще через час
183
велосипедисту осталось до В ьдвье меньшее расстояние, чем пешеходу Найти скоро
сти пешехода и велосипедиста, если известно, «то расстояние АВ равно 27 км.
92. Два поезда ьышпи из города 4 в юрод В, и весь путь каждый из поездов про-
шел с постоялкой скоростью. Второй поезд вышел на 5 ч позже первого и прибыл в В
одновременно с первым поездом. За один час до прибытия В расстояние между
поездами составило 30 км, а когда первый поезд находился в середине пути, то второй
отставал от пего на 225 км. Найти скорости поездов и расстояние между городами.
93. Высота прямоугольника составляет 75 % его основания. Найти периметр этою
прямоугольника, если площадь прямоугольника равна -18 м*.
94. От квадратного листа отрезали полосу шириной 3 см, после чего площадь
оставшейся части листа стала равней 1С см1. Определить первоначальные размеры
листа.
95. Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см, а его площадь 54 см1.
Найти длины сторон треугольника.
96. На плоскости отмечено несколько точек. Каждые две из них соединены отрез-
ком. Всего отрезков оказалось 10. Сколько точек отмечено на плоскости?
97. 800 кг руды содержат некоторое количество железа, После удаления иг руды
400 кг примесей, содержащих 12,5 % железа, процент содержания железа в оставшейся
руде повысился на 25 %. Определить, сколько кг железа содержится в 800 кг руды.
98. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего концент-
рация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал расгвср?
99. В двух колоннах, состоящих из 28 автомобилей в каждой, было 11 "Жигулей”,
остальные - ’’Москвичи”. Сколько ’’Москвичей" было в каждой колонне, если извест-
но, что в первой из них на каждую машину ’’Жигули" приходилось в два раза больше
’’Москвичей”, чем во второй?
1U0. Решить системы неравенств:
а) 5х - 2 > 2х + 1, б) ' 2х + 1 > Зх + 4,
, 2х- к 3 < 18 - Зх; 5х + 3 > 8х + 21
в) 5х 4 2хн 6х - 1 4х + 1 < , 4 12 И 2-х г) с’ - 4х + 3 > G, х’ - бх + 8 < 0.
5 3
Решить нсраненства (№ 101 - 104) :
101. а) х1 - 5х +6 < 0; б) - 2х3 +х + 1< 0; ь) - 2хг + х - 1 > 0;
г) Зх’ - 4х + 5 > 0; д) х1 + 2х + 1 > 0.
102. а) 11-2x1 > 3 - х; б) I х + 8 I < Зх - 1;
в) I 2х + 3 | > I 4х - 3 I; г) \/х(х + 6) + 9 - л/х’ - 6х + 9 > 1.
103. а) (х + 3)(х -2)(х + 5) > 0; б) (х + 2)(х - 3)(х - 5)* > 0;
6 - Зх (х - 1)(х - 2)(х - 3)
в)------------<0; г)----------------------->0,
Зх’ + 2х -5 х’ + 1
(х+1)’(х ь2)(х’+х + 1) Зх’-17х+18
д)-----------------------< 0; е)---------------- < 2;
(х —1)(х—3) х’-5х + 4
ж) х’> х.
184
х Зх-2
104. а) 0 <--<1; 6) 1 <----- < 3;
3--х х+1
/5-2х /1+4х
в) V----->1; г) V--------- < 1.
х х
10.S. Доказать неравенства:
1 х у
а) |л I--> 1 при а < - 1; б) — + — >2 при ху> 0;
а ух
1 х2 - х + 1
г) х’ + у2 + z1 + 3 > 2(х +у + гУ, г) —<-----< 3;
3 х2+х + 1
д) 8 (а* + />*)> (а + Ь)4, если в > О, Ь > 0.
ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§ 1. Прямоугольная система координат на плоскости
Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси (или
координатной прямой) (см. § 5 гл. 2).
Пусть Xi и х2 — действительные числа, a ЛЛ (Xj) и М2 (х2) — соответст
вующие им точки, расположенные на числовой оси.
Справедлива формула для расстоя-
ния между любыми двумя точками на
числовой оси:
M2M2 = l х2 -xd, (1)
где М2М2 - длина отрезка М2М2 (см.
§ 5 гл. 2) .
Перейдем от прямой к плоскости.
Две взаимно перпендикулярные чис-
ловые оси с общим началом О образуют
прямоугольную систему координат на
плоскости. Горизонтальная ось назы-
вается осью абсцисс или осью Ох, верти-
кальная — осью ординат или осью Оу
(рис. 18). Плоскость, на которой вы-
брана система координат, называют
координатной плоскостью.
185
Координатам плоскость делится осями на четыре части, называемые
координатными четвертями или квадрантами. Их нумерация показана на
рисунке. Прямые углы, образуемые осями координат, называют коорди-
натными углами.
Пусть М — произвольная точка координатной плоскости. Спроектируем
ее на ось абсцисс и ось ординат, т.е. опустим из этой точки перпендикуляры
на оси координат (см. рис. 18).
Определение. Координата проекции точки М на ось Ох называется
абсциссой точки М, координата проекции точки М на ось Оу называется
ординатой точки М.
Абсциссу и ординату точки М называют координатами точки М. При
этом записывают Л/(х; у) (на первом месте всегда пишут абсциссу).
Таким образом, каждой точке М координатной плоскости соответствует
упорядоченная пара чисел (х; у) - ее координаты. И обратно, каждой паре
чисел х иу соответствует единственная точка М координатной плоскости с
координатами (х; у). Значит, координаты х и у определяют положение
точки на плоскости.
В самом деле, на оси абсцисс отметим точку с координатой х и проведем
через нее перпендикуляр к этой оси, на оси ординат - точку с координатой
у и проведем через нее перпендикуляр к оси ординат. Пересечение этих
перпендикуляров и дает искомую точку М (на рис. 18 показан случай,
когда х > 0 и у > 9).
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю. Если точка
лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. Справедливы и обратные
утверждения. Начало координат имеет абсциссу и ординату, равные пулю:
0(0; И).
Пусть на координатной плоскости даны течки М2 (х±; yj иМ2 (х2; у2).
Для нахождения расстояния между ними справедлива следующая формула:
М2М2 = V(x2 - xt)2 + (у2 - у 1 )2. (2)
Для доказательства рассмотрим прямоугольный треугольник M2M2N, в
котором, согласно формуле (1), длина катета M\N равна |х2 - х21 и
длина катетаЛ12.Мравна |у2 -yt 1.По теореме Пифагора
МХМ2 =^{M2NY + (M2jV)2 =
= VEx2 -Х1 I* + 1У2 -У112 = /(Х2 -X,)2 + (у2 -У1)2.
Формула (2) верпа и в том случае, когда xt=x2 или yj = у2. Тогда эта
формула дает либо
MlMt =\{уг - У1)2 = \У2 -У1 I,
либо
MtM2 = \/(х2 - XО2 = | х2 - Xj |.
186
Например, найдем расстояние между точками Л/т(1; 3) иМ2(-3; 0).
Согласно формуле (2)
М>М? = V(-3-l)’ + (0-3)г = >/25 = 5.
Если точка Мимеет координаты (х; у), то ее расстояние от оси Ох равно
i у |, расстояние от оси Оу равно | х |, а ст точки О — \'х2 + у2:
JWP^lyl, М2=|х|, ОМ = \/х21~у2.
§ 2. Понятие функции. Способы задания функции
При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельно-
сти иам приходится рассматривать величины различной природы: длину,
площадь, объем, массу, температуру, время и т.д, В зависимости от рассмат-
риваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения,
у других эти значения переменные. Такие величины соответственно назы-
ваются постоянными и переменными
Математика изучает зависимость между переменными в процессе их
изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его пло-
щадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависи-
мости от изменения его радиуса.
Математическим выражением взаимной связи реальных величин являет-
ся идея функциональной зависимости. Понятие функции — важнейшее
понятие математики.
Пусть переменная х принимает числовые значения из некоторого мно-
жества.
Если каждому значению х из некоторого множества действительных
чисел доставлено в соответствие по определенному правилу число у, то
говорят, что на этом множестве задана функция от переменной х, и записы-
вают у = f(x) или у(х). При этом х называют независимой переменной
или аргументом функции, а у - зависимой переменной или функцией.
Множество значений х, для которых определены значения у (х), называют
областью определения функции и обозначают D (у) или D(f). Множество
значений, принимаемых переменной у, называют множеством значений
или областью изменения функции и обозначаютЕ(у) или E(f).
Запись у = /(х) или у (х) означает, что у зависит отх. Буква f символи-
зирует правило, ио которому получается определенное значение у, соответ-
ствующее данному значению х из множества Л.
Вместо букв х, D, у, f(x), Е используются и другие буквы и обозначения.
Задать функцию у = /(х) на множестве D — это значит указать правило,
по которому дчя каждого х из D получается соответствующее ему значе-
ние у.
Рассмотрим основные способы задания функции.
1) Функция может быть задана формулой.
187
При этом функция может быть задана одной формулой во всей ее обла-
сти определения или несколькими, различными для разных частей области
ее определения. Например,
{х, если х < О,
х , если х > 0.
Такой способ задания функции называется аналитическим.
В общем случае, если нет специальной оговорки, за область определения
функции, заданной аналитически, принимают область существования соот-
ветствующего аналитического выражения, т.е. множество тех значений х,
для которых это выражение имеет смысл. Например, функция у = х2
определена на всей числовой оси, как и задающее ее аналитическое выраже-
ние. Но если эта функция выражает зависимость площади квадрата от
длины его стороны, то функция у ~х2 задана для любого х > 0.
2) Функция может быть задана таблицей.
Записываются в виде таблицы значения аргумента Xj, хг, . . . , хп и
соответствующие им значения функции у2, у2, . . , уп. Такой способ
задания функции называется табличным.
Табличный способ задания функции часто применяется во время опытов,
когда исслелуется зависимость между величинами
Табличное задание функции у - f (х) неудобно тем, что значения функ-
ции определяются только для тех значений х, которые приведены в таблице.
3) Функция может быть задана с помощью ее графика.
На координатной плоскости Оху (см. § 1) для каждого значениях из
множества D (области определения функции) строится точка М(х; у),
абсцисса которой равна х, а ордината — соответствующему значению функ-
ции >’(х). Построенные точки образуют некоторую линию, которую назы-
вают графиком данной функции.
Вообще, график функции у = f(x), заданной на множестве D, есть
множество точек Af(x; /(х) ) координатной плоскости (при этом х прини-
мает значения из О).
Способ задания функции с помощью графика называют графическим.
Чтобы по заданному графику найти значение функции у(х) при каком-то
определенном значении х, поступим следующим образом. Проведем через
точку х оси абсцисс перпендикуляр к этой оси и найдем точку пересечения
его с графиком данной функции. Ордината точки пересечения и дает соот-
ветствующее значение функции.
Графический способ задания функции широко используется в научных
исследованиях и d современном производстве. Самопишущие приборы
автоматически вычерчивают графики изменения различных величин.
Кроме рассмотренных трех основных способов задания функции, исполь-
зуются и другие способы ее задания.
Функция может быть задана описательно. Такова, например, функция
у = [х], где [х] — целая часть х, т.е наибольшее целое число, которое
188
меньше или равно х. Эта функция задана для любого действительного х
Г51 Г 31
Например, [3] = 3, I. j = 2, — j F — 2,
При вычислении значений функции па ЭВМ применяется удобная вычис-
лительная схема (алгоритм). Такой способ задания функции называется
алгоритмическим. Напрпмер, для вычисления значений функции у = ах2 +
+ Ьх + с (пять операций) запишем ее в вице у = х {ах + Ъ) + с, и алгоритм
вычисления состоит уже из четырех операций.
Мы будем чаше всего рассматривать функции, заданные аналитически,
причем область отгределения их представляет собой промежуток (отрезок,
интервал или полуинтервал).
Пример!. Найти область определения функций :
1 1----т 1
а)у=—------------ ; б) у=у 4-х; в)у =-------------.
х2—Зх + 2 "
Решение. а) Функция задана для всех значений х, кроме тех, дня
которых х2 — Зх + 2 - 0. Решая это квадратное уравнение, находим х =1
и х = 2. Таким образом, область онределешя функции состоит из трел
интервалов: ( —°°; !),(!; 2) и (2; + «»).
б) Область определения функции находится из условия 4 - х2 > 0
Решая зто неравенство, получаем — 2 < х С 2. Таким образом, область
определения функции есть отрезок [ — 2, 2J.
в) Область определения функции находится из условия х - 1 0, от-
куда х =# 1. Следовательно, область определения функции состоит из интер-
валов (-«>; 1) и (1; +°°).
Пример 2. Найти область определения D(y) и множество значений
£(у) функции у = у/- 2х2 - Зх + 2.
Решение. 1) Так как для действительных чисел корпи четной сте-
пени существуют только из неотрицательных чисел, то — 2х2 — Зх + 2 > 0
Решая это квадратное неравенство (например, методом интервалов)
1
получаем - 2 <х < — .
2) Чтобы найти Ь(у), найдем х из условия у = у - 2х2 - Зх + 2. где
у > 0. Возведя в квапрат, получим у2 = — 2х2 - Зх + 2 или 2х2 + Зх ч
+ (у2 — 2) = 0, откуда
- 3 ± <9 - 4 • 2(у2 - 2) -3±л/25^8/
Это возможно, если
25-8/ >0
189
5/2
Учитывая условие у > О, имеем 0 <у < - ——
§3. Свойства функции
Четные и нечетные функции. Числовое множество назовем симмет-
ричным относительно начала координат, если этому множеству вместе
с числом х принадлежит и противоположное ему число - х. Примерами
таких множеств являются любой отрезок вида [-а; а], любой интервал
(— а; а), вся числовая ось (— °°; °°)
Пусть область определения функции у = f(x) является множеством,
симметричным относительно начала координат. Функция у = /(х) назы-
вается четной, если/Х— х) -У(х) для любого х из области определения
функции. Функция у = /(х) называется нечетной, если /( - х) = ~/(х)
для любого х из области определения функция.
Примеры четных функций: у = х2, у ~ х2 +3, у = — Зх2 + 1, у = I х I,
у = 4, В самом деле, (~х)2 =х7, (-х)2 + 3=<х2 + 3, -З(-х)2 + 1 =
= -Зх2 + 1, |-х | = |х j, у- 4 для любогох.
Сумма, разность, произведение и частное четных функций также есть
четная функция. х
Примеры нечетных функций; у = х3, у =х3 +х, у = ——. В самом деле,
х2 +1
( — X
(~Х)3= -X3, (-х)3 + (-х) = - (х3+х), - - -=--т-7
( - X)2 +1 X + 1
для любою X.
Сумма и разность нечетных функций есть функция печетная, а произ-
ведение и частное двух нечетных функций — функция четная.
Не следует считать, что каждая функция является четной или нечетной.
Большинство функций свойством четности или нечетности не обладает.
Например, такова функция у = х3 J х2. В самом деле, ( — х)3 + (— х)2 =
= - х3 + х2, т.е. ( - х)3 + ( — х)2 #:х3+х2итакже ( -х) ' + ( -х)2 =#=
=#-(х3+х2).
Из определения четных и нечегных функций следует, что график четной
функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной--относительно
начала координат.
Действительно, пусть точка М(хо; Уо) является точкой графика четной
функции у — У (х) у0 =/(х0). Рассмотрим точку N(-x0 ; у0) (рис. 19),
симметричную точке М(х0; у0) относительно оси Оу. В силу четности
190
дашюй функции
Я-хо)^/(хо)=Уо,
а это означает, что точка V( - х0; Уо) также принадлежит графику функ-
ции у =f(x).
Симметрия графика нечетной функции относительно начала координат
следует из того, что наряду с точкой М(хо, Ус) графика нечетной функции
y-f(x) этому графику принадлежит и точка N(-x0> -Уо): в силу
нечетности функции
Я-Хо) = -Я*о) = -Уо-
Точка N(- х0; -у2 ) симметрична точке М(л0; уо) относительно начала
координат. Точка О - середина отрезка MN (рис. 20).
Монотонные функции. Функция у = /(х) называется возрастающей
в некотором промежутке, если для любых двух значений х из этого про-
межутка большему значению аргумента соответствует большее значение
функции, т.е. из условия Xj < х2 следует, что /(х2) < /(х2) для лю-
бых их2 из данного промежутка.
Ордината графика возрастающей функции возрастает с возрастанием
х (рис. 21).
Функция у = f(x) называется убывающей в некотором промежутке,
если дня любых двух значений х из этого промежутка большему значе-
нию аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. из условия
Xi < х2 следует, чго/(х!) >/(х2) для любых Xi и х2 из данного проме-
жутка.
Ордината графика убывающей функции убывает с возрастанием
х (рис. 22).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функ-
циями.
191
При исследовании функции на возрастание или убывание в некотором
промежутке скачала надо проверить, задана ли функция в этом проме-
жутке. Чаще всего функция у - f(x) не является возрастающей (или убы-
вающей) во всей области ее определения, но из области определения обыч-
но можно указать промежутки, на которых функция является возрастаю-
щей (или убывающей). Их называют промежутками монотонности
функции.
Промежутки знаке постоянства и корни функции. Промежутки, в ко-
торых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или
отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.
Например, функция у = х2 + 1 положительна на всей оси Ох-, функция
у = х3 положительна при х > 0 и отрицательна при х < 0, ес промежутки
знакопостоянства — интервалы (0; + =») и ( - 0); следователь нс,
график функции у = х3 расположен выше оси Ох при х > 0 и ниже оси
Ох при х < 0.
Значения аргумента х, при которых f(x) = 0, называются корнями
(или нулями) функции f(x). Таким образом, корень функции/(х) - то
же, что и корень уравнения /(х) = 0. Геометрически корни функции -
сто точки пересечения ее графика с осью Ох.
Корнем функции у = хэ является х = 0. Функция у = х2 + 1 действитель-
ных корней не имеет.
5 4. Свойства и трафики некоторых простейших функций
В общем случае исследование функции .у = f (х) проводится по следую-
щему плану:
1. Находят область определения функции и множество сс значений.
2. Проверяют, является ли функция четной или нечетной.
3. Находят промежутки монотонности и промежутки зкакопостоянст-
ва функции.
4. Определяют точки пересечения графика с осями координат и другие
характерные точки.
После этого можно построить график функции. В некоторых случаях
проще построить график функции, а затем по его виду выяснить свойства
функции.
192
Линейная функция у = кх + b и ее график. Линейной функцией назы-
вается функция вида
у = кх + Ъ,
где к и b — заданные числа.
1J Рассмотрим частный случай, когда к = 0. Тогда
у = Ь.
Эта функция задана на всей оси Ох и дня каждого х принимает одно
и то же значение Ь, Следовательно, се график — прямая, параллельная оси
Ох и отстоящая от нее на IЪ I единиц (вверх, если b > 0, и вниз, если Ъ < 0
(рис. 23)). При b ~ 0 графиком функции у = 0 является прямая, совпадаю-
щая с осью Ох.
2) Если b = 0, то у - кх. При к Ф 0 функция у = кх называется прямой
пропорциональной зависимостью.
Эта функция задана всюду; Она монотонно возрастает при к > 0 и
убывает при к < 0 на всей оси Ох. Докажем монотонность функцииу = кх.
Возьмем два каких-нибудь значения аргумента Xj и х2. Найдем для
них соответствующие значения функции у j иу2:
У1 =kxi, у2 -кх2.
Вычитая из у2 значение у,, получаем
У2 -У1 =к(х2 -Х1).
Если х2 > Xi и к > 0 , то уг - yi> 0; тогда у2 > у15и функция у = кх
возрастает на всей оси Ох.
Уп
_________Ь_____________у-Ь
(б>0)
О х
Рис. 23
Если х2 > хх и к < 0, то у2 - yi <0; тогда у2 < У1 и функция у = кх
убывает на всей оси Ох.
Следовательно, функция у = кх является монотонной.
Если х = 0,то значение функции у -кх также равно нулю, следовательно,
точка 0(0; 0) принадлежит графику функции. При к > 0 знаки х иу
совпадают; при к < 0 знаки х иу противоположны.
Отсюда заключаем, что при к > 0 точки графика функции у = кх принад-
лежат первой и третьей координатным четвертям, а при к < 0 — второй
и четвертой.
193
Докажем, что графиком прямой пропорциональности у = кх (к Ф 0)
является прямая, проходящая через начало координат.
Возьмем х = 1. Тогда д' = к. Прямая, проходящая через точку Р(1; к)
и начало координат О (0; 0), - график функции у = кх (рис. 24).
В самом деле, пусть к > 0.
Треугольники M0N и POQ подобны при любом положении точки
М (х; у) на построенной прямой. Из подобия следует, что
MN PQ у к
---- ------ или — = — , т.е. у = кх.
ON OQ х 1
Результат сохраняется и для любой точки М на рассматриваемой прямой,
расположенной в третьей координатной четверти (в этом случае ее рас-
стояния от осей Ох и Оу соответственно равны I у I = - у и 1x1 = - х,
так как у < 0, х < 0).
Тем самым доказано, что любая точка на прямой, проходящей через
точки Р(1; к) и 0(0; 0), принадлежит графику функции у = кх. Ника-
кая другая точка Mi, не лежащая на этой прямой, не может принадлежать
графику у = кх (см. рис. 24). Если допустить, что точка Mi (х; yi) принад-
лежит этому графику, то должно быть у j = кх. Вместе с тем точка М(х; у),
полученная при пересечении прямой, проведенной через точку Mi парал-
лельно Оу, с прямой ОР, по доказанному принадлежит искомому гра-
фику. Значит, у = кх, что противоречит равенству yi = кх: их правые части
равны, а левые — различны, так как у У1. Следовательно, график функ-
ции у - кх есть прямая ОР.
Аналогично рассматривается случай к < 0. Отметим, что графиком
функции у = х (к = 1) является биссектриса первого и третьего коорди-
натных углов. В самом деле, при к = 1 угол POQ равен 45 (см. рис. 24).
Графиком функции у = - х (к = - 1) является биссектриса второго и чет-
вертого координатных углов.
3) Общий случай: у = кх + Ъ. Каждая точка графика этой функции полу-
чается сдвигом на I b I единиц вдоль оси Оу (вверх, если b > 0, и вниз,
если b < 0) соответствующей точки графика функции у = кх. Поэтому
194
графиком линейной функции является прямая, параллельная прямей
у - кх (рис. 25, b > 0).
Коэффициент к называется угловым коэффициентом прямой у = кх.
Этот коэффициент определяет угол наклона с этой прямой к оси Ох:
к = tga. Если к > 0. то угол а — острый; если к < 0, то yi ол а — тупой.
Ордината точки пересечения прямой у = кх + Ь с осью Оу равна Ь.
Таким образом, графиком линейной функции у = кх + b является пря-
мая, расположение котором на координатной плоскости зависит от зна-
чений углового коэффициента к этой прямой (к = tga; а — угол наклона
прямой к оси Ох) ,яЬ — ординаты точки пересечения с осью Оу.
При к > 0 функция у = кх + Ъ возрастает на всей оси Ох, а при
к < 0 убывает.
Практически для построения графика линейной функции надо построить
две течки графика, а затем провести через эти точки прямую.
1
Например, построим график функции у = — — х + 1.
При х = 0 у = 1; при у = 0 х = 2. Соединяя прямой найденные точки,
ч 1 1
получаем график дайной функции (рис. 26). Здесь к = — — , tga = — —
и a - тупой угол, b - 1.
к к
Функция у =----- и ее график.Функция вида у ~ — , где к Ф 0 — за-
X X
данное число, называется обратной пропорциональной зависимостью.
Рассмотрим случай к > 0;
1) функция задана всюду, кроме х = 0, т.е. область ее определения
состоит из интервхлов ( —°°; 0) и (0, +°°);
2) функция нечетная, так как
к к
_ =_ _ =_Дс)
-X X
к
для любого х -А 0; следовательно, график функции у = — симметричен
X
7* 195
относительно начала координат, и поэтому дальнейшее исследование функ-
ции проводим, для х > 0;
3) знак у совпадает со знаком х;
4) функция убывающая на интервале (0; + °°), так как при 0 <Xi <х2
имеем
к к k(xt -х2)
--------= - —--------- <0 (fc > 0)
*2 Xj XjXj
(очевидно, что при к > 0 функция убывает и на интервале ( — 0)).
к
Используя эти свойства, строим график функции у = — при к > О
X
(рис. 27}. Полученная кривая называется гиперболой. Она состоит из
двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях.
к
Аналогично доказывается, что в случае к < 9 функция у = — являет-
х
ся монотонной: она возрастает на каждом из интервалов (-00; 0) и
(0; + °°). График также называется гиперболой. Ее ветви расположены
во второй и четвертой координатных четвертях (см. рис. 27).
к
Таким образом, графиком обратной пропорциональности у = — (к =f= 0)
х
является гипербола, расположение которой на координатной плоскости
зависит от значений к. Например, на рис. 28 изображены гиперболы
196
1 2
у =------и у =-------; начало координат — центр симметрии эых
X X
гипербол.
Квадратный трехчлен и ею график. Квадратный трехчлен есть функция
вида
у = ах2 +Ьх + с,
где а, Ь, с - заданные числа и а Ф 0. Эту функцию называют также квадрагач-
ной функцией или функцией второй степени.
Мы уже встречались с квадратными трехчленами при решении квадрат-
ных уравнений и неравенств, а также при разложении квадратного трехчле-
на на линейные множители (гл. б). Рассмотрим сначала его частные случаи.
1.Квадратичная функция у = ах2.
При а = 1 имеем у = х2. Для построения графика функции у = х2 сос-
тавим таблицу ее значений:
1 1
х -3 -2 -1-----0 — 12 3
2 2
1 1
у 9 4 1 — 0 — 149
4 4
График функции у = х2 изображен на рис. 29 и называется параболой.
При х = 0 значение функции у = х2 равно нулю. При х Ф 0 значения
функции положительны. Оказывается, что парабола у = х2 касается
оси Ох в начале координат. Остальные точки параболы лежат выше
оси Ох.
Парабола у = х2 симметрична относительно оси Оу, так как функция
у = х2 является четной. Точка пересечения параболы с се осью симметрии
197
называется вершиной параболы. Вершиной параболы у = х2 является
начало координат.
Сравним теперь функцииу = 2х2 ну = х2. При одном и том же х значение
функции у = 2х‘ в два раза больше значения функции у = х2. Следователь'
но, график функции у = 2х2 можно получить растяжением парабол ы у =х2
в два раза вдоль оси Оу.
Вообще, т рафик функции у = ах2 при а > 0 можно получить растяжением
параболы у = х2 в а раз вдоль оси Оу (точнее, растяжением при а > 1,
сжатием при 0< а < 1). Отметим следующие свойства функции у -ах2
прид>0:
1) функция задана для любого х, причем у = ах2 > 0; следовательно,
наименьшее значение функции равно пулю и достигается при х = 0;
2) функция четная, так как /(- х) = а( — х2) = ах2 = /(х) для любого
х, поэтому ось Оу является осью симметрии графика;
3) функция возрастает на интервале (0; + °°) и убывает на интервале
Докажем возрастание функции при х > 0. При 0 < хк < х2 имеем ах2 <
< ах2 (а > 0) (по свойству неравенств), и, значит, функция у = ах2 — воз-
растающая при а > 0 на интервале (0; + °°). Убывание функции при х < 0
следует из четности функции и се возрастания при х > 0.
Сравним функции у = -х2 и у =х2. При одном и том же х значения
этих функций равны по модулю и противоположны по знаку,
Следовательно, график функции у = —х2 можно получить симмет-
рией относительно оси Ох параболы у = х2. Говорят, что ветви па-
раболы у = х2 направлены вверх, а ветви параболы у = —х2 направле-
ны вниз.
График функции у = ах2 при любом ц#=0 также называют параболой.
Осью симметрии является ось Оу, вершиной параболы — начало коор-
динат. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 — вниз
(рис. 30).
2. Квадратичная ф у нк ци я у = а(х - х0) 2.
Сравним функции у = 2(х - I)2 и у = 2х2Функция у = 2(х - 1)2при-
нимает такое же значение, что и функция у = 2х2, но при увеличении соот-
ветствующего значения аргуменга на единицу. Следовательно, график
функции у = 2(х — I)2 можно получить сдвигом параболы у ~ 2х2 вдоль
оси Ох вправо на единицу. В результате получим параболу у = 2(х - I)2,
ось симметрии которой параллельна оси Оу, а вершиной является
точка (1; 0)
Аналогично получим параболу у = 2(х + I)2, ось симметрии которой
параллельна оси Оу, а вершиной является точка (—1; 0), в результате
сдвига параболы у = 2х2 вдоль оси Ох влево на единицу.
Вообще, графиком функции у = а(х - х0)2 является парабола с верши-
ной (х0; 0) и осью симметрии — прямой, проходящей через вершину па-
раболы параллельно оси Оу.
198
Эху параболу можно получить сдвигом параболы^ = ах2 вдоль оси Ох
на |х0 I единиц (вправо, сслих0 > 0, и влево, еслих0 < 0) (рис. 31).
3. Квадратичная функция у =ах2 + с.
Графиком функции у = ах2 + с является парабола с вершиной (0, с)
и осью симметрии — осью Оу. Эту параболу можно получить сдвигом
параболы у = ах2 вдоль оси Оу на |с| единиц (вверх, если с > 0, и вниз,
еслис < 0) (рис. 32).
4. Общий случай: квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с (а Ф 0).
Выделяя в квадратном трехчлене ах2 + Ьх + с полный квадрат (см. фор-
мулу (8) гл. 6), запишем функцию у = ах2 + Ьх-сз виде
у = а(х-х0)2 +у0.
Из рассмотренных ранее частных случаев следует, что графиком квадрат-
ного трехчлена является парабола с вершиной в точке С(х0; Уо) и осью
параболы - прямой, проходящей через ее вершину параллельно оси Оу.
Ветви параболы у = ах2 + Ьх + с направлены вверх, если а > 0, и направ-
лены вниз, если а < 0, Отметим, что абсциссу х0 вершины параболы у =
= ах2 + Ьх + с можно найти по формуле
Ордината ус вершины этой параболы равна
у о =ахо +Ьх0 +с.
График квадратного трехчлена можно построить, используя следующую
схему:
1. Методом выделения полного квадрата привести квадратный трех-
член к виду у = й(х - х0)2 +^с-
2. Построить вершину параболы — точку С(ху; у0) и провести через
нее прямую, параллельную оси Оу, - ось симметрии параболы.
199
3. Построить точку пересечения параболы с осью Оу.
4. Найти действительные корни квадратного трехчлена, если они есть,
и построить на оси Ох соответствующие точки параболы.
5. Провести через построенные точки параболу с направлением ветвей
вверх, если а > 0, и вниз, если а < О
Замечание. Легко проверить, что абсцисса вершины параболы
Х1 + х2
"0 = “?-’
где и х2 — корни квадратного трехчлена.
Так как у = ах2 +Ьх + с-а(х -х0)2 + у0, то имеем:
1) Если а > 0, то квадратный трехчлен принимает при х = х0 наимень-
шее значение, равное уо. В самом деле, если а > 0, тс дчя любого х
а(х-х0)2 >0,
Поэтому у > у о, причем у = у0 только при х = х0 • Графически это озна-
чает, что из всех точек параболы у = ах2 + Ьх + с при а > 0 наименьшую
ординату имеет точка С(х0; Уо) — вершина параболы (рис. 33)
2) Если а < 0, то квадратный трехчлен принимает при х = х0 наиболь-
шее значение, равное у0. В самом деле, если а < 0. то для любого х
а(х -Хо)1 <0.
Поэтому у <уо, причем у = у0 только при х =х0. Графически это озна-
чает, что из всех точек параболы у = ах2 + Ьх + с при а < С наибольшую
ординату имеет точка С(х0; Уо) — вершина параболы (рис. 34).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Данное положительное число а представить в виде сум-
мы двух слагаемых, чтобы их произведение было наибольшим,
Решение. Обозначим через х одно из искомых слагаемых. Тогда
другое слагаемое будет равно а - х. Их произведение х(а - х) является
200
квадратным трехчленом. Преобразуем трехчлен, выделив полный квадрат:
2 / Л2 *2
х(п-х) = -х“ +ох = -(х- — . + —.
\ 2/ 4
а
Отсюда видно, что при х = — квадратный трехчлен принимает наибольшее
а2 а
значение, равное —. Итак, каждое из искомых слагаемых разно —.
4 2
Пример 2. Построить графики функций: а) у = х2 + 2х + 3; б) у-
= -2х2 + 4х + 1; в) у = -2(х - 1) (х + 3).
У
—lafefai+l
Рис. 36
>?2.
Решение, а) Выделим полный квадрат: у =х2 + 2х + 3 = (х + I)2 + 2.
Следовательно, вершина параболы С(~ 1; 2); (0; 3) — точка пересечения
с осью Оу; ветви параболы направлены вверх (рис 35).
б) Преобразуем трехчлен: у = —2х2 + 4х + 1 = —2(х2 - 2х) + 1 =
= —2(х2 — 2х + 1 — 1) + 1 = -2(х - I)2 + 3. Отсюда вершина параболы
<7(1; 3); (0; 1) — точка пересечения с осью Оу; ветви параболы направлены
s /з А
вниз (рис. 36) Корпи трехчлена: Xi = 1 — = 1 + v —.
в) Корнями трехчлена у = - 2(х - 1) (х + 3) являются xt = 1, х2 = — 3,
1 - 3
и, следовательно, х0 = ——— = — 1 — абсцисса вершины параболы С. На-
ходим ее ординату у0: у0 = - 2(-1 - 1) (-1 + 3) =8. Поэтому С(-1; 8)
(рис. 37).
Степенная функция с целым показателем и ее график. Степенной функ-
цией с целым показателем называется функция вида
у=хп,
где п ± 0 — любое целое число.
201
Эга функция задана для любого х (кро-
ме х = 0 при п <0).При л = 1, л = 2,
л = — 1 соответственно имеем у = х, у = хг,
у = x~J = —; их графики - прямая (бис-
х
сектриса первого и третьего координатных
углов), парабола и гипербол?..
Если л—нечетное число,то для любою до-
пустимою* степенная функция у =хп явля-
ется четной функцией: (-*)"=•(*") для любо-
го* (крсмех^Оприл< 0). Если л—нечетное
число, то функция у = хп является нечетной
функцией. (-*)" = -(*"). Следовательно, гра-
фик функции у-хп симметричен относитель-
но оси Оу при четном и и симмет ричен отно-
сительно начала координат при нечетном и.
Если л > 2 — натуральное число, то гра-
фик функции у = х" называется параболой л-й степени. При л = 2 это па-
рабола, при л = 3 - кубическая парабола, при л = 4 - парабола 4-й степени
и т.д. Если л > 2, то по свойству неравенств из условия 0 < *t < *2 следует
*1 < *", т.е. функция у = хп, где п — натуральное число, возрастает на ин-
тервале (0; +°°); следовательно, на интервале 0) при четном л она
убывает, а при нечетном и возрастает на всей оси Ох. Графики функции у =
= *4 и у =х3 приведены на рис. 38,39.
Вообще, график степенной функции у = *" с целым положительным
показателем выглядит при четном и > 2 так же, как и график функции
у =*2, а принечетном л >3 так же, как и график функции у =х3.
Рис. 38
Рис. 39
202
Рассмотрим теперь степенную функцию у = хп с целым отрицательным
1
показателем п. Если л = — 1, то имеем гиперболу у = — (рис. 40). Если
х
п - — 2, то имеем функцию у = х~2 =—-, график которой изображен на
рис. 41. х
Вообше, график степенной функции у = хп с целым отрицательным по-
казателем выглядит при нечетком п < 0 так же, как и график функции
у =х~1, а при четком л < 0 так же, как и график функции у =х"2.
График функции у = у/х. Функция у = и ее график. Мы уже знаем
(§ 3 гл. 4) свойства арифметического квадратного корня. Отсюда имеем
следующие свойства функции у = у/х:
1) функция задана для всехх > 0;
2) значение функции равно пулю только при х = 0 и положительно
для любого х > 0;
3) функция монотонная - она возрастает во всей области определения.
График функции у = у/х изображен на рис. 42. Так каку = у/х<> у2 =х
при у > 0, то графиком функции у = у/х является одна (верхняя) ветвь
параболы у2 = х с вершиной в начале координат и осью симметрии —
осью Ох
Рассмотрим функцию у = tyx, где и > 3 — натуральное число. Эта функ-
ция задана для всех х > 0, когда л - четкое число, к для любых х, когда
л — нечетное число (см. § 5 гл. 4).
Мы уже знаем ( § 6 гл 4) свойства арифметического корня л-й степени.
Отсюда делаем вывод, что функция у = \х, где и > 2 - четное натураль-
ное число, имеет такие же свойства, как и функция у = у/х, и график ее
выглядит так же, как и график функции у = у/х.
2G3
Функция у = tyx, где п > 3 — нечетное натуральное число, задана на всей
оси Ох и является нечетной, так как при п = 2к + 1 имеем
2*+Лг^_ 2-+v'^
для любою х. Ее график симметричен относительно начала координат.
Эта функция возрастает на всей оси Ох. График ее выглядит так же, как
Графики функций, содержащих модуль.
( х>
1)у = 1х| = | х
если х >0,
если х < 0.
Мы знаем, что прямая у = х — биссектриса первого и третьего коорди-
натных углов, а прямая у = - х — биссектриса второго и четвертого коор-
динатных углов. Получаем график данной четной функции у = |х|
(рис. 44)
2) у = | 2х + 1 | =
2х + 1, если х > - —,
2
-(2х + 1), если х< — —
Построим скачала прямые у = 2х + 1иу = -2х-1, определив их то тки
пересечения с осями координат. На прямой у = 2х + 1 возьмем только точ-
1 1
ки с абсциссой х > - —, а на прямой у = — 2х - 1 - точки сх < — —. По-
2 2
лучаем график функции у = 12х + 11 (рис. 45).
/ «—. „ л
3)у=х|х|= { ’
I - х , если х < 0.
204
Функция нечетная; трафик симметричен относительно точки О (рис. 46).
4) у = \/|х I, у = -У[х]. Обе функции заданы для любого х и принимают
только неотрицательные значения.
Данные функции четные; при х > 0 у = \/х и у = Отсюда способ
построения их графиков (рис. 47).
Пример 1. Построить графики функций: а) у = |х2 - 11; б) у =
= х2 + 2|х |.
Р е ш е н и е. а) Построим сначала параболуу =х2 - 1. Так как lx2 — 11 =
= х2 - 1 при х2 - 1 > 0 и !х2 — 11 = — (х2 - 1) прих2 — 1 < 0, то поступим
следующим образом. Часть параболы у = х2 — 1, лежащую под осью Ох,
отобразим симметрично этой оси. График функции^ = !х2 - 11 изображен
на рис. 48.
6) Данная функция является четной, так как
(-х)2 + 2 |-х | =х2 4 2 I х|
для любого х. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Оу.
При х > О имеем у = х2 + 2х = (х + I)2 - 1 - параболу с вершиной
205
Рис 49
(—1; — 1). Все ее точки с абсциссой х > > являются также точками графи-
ка функции у =х* + 2 |х | (рис. 49).
Пример 2. Построить график функции}» = |х + 11 - |х - 2|.
Решение. По определению модуля
{х +1,еслих> — 1, ( х-2, еслих>2,
|х — 2 | ={
— (х + 1), еслих < -1; I ~(х - 2), ослих < 2.
Точки х = — 1 и х = 2 разбивают всю числовую ось на три интервала:
(-«,-!),(-!; 2) и (2; +«>).
Рассмотрим данную функцию на каждом из промежутков.
Пустьх <— 1. Тогда .у = — (х + 1) — (— (х — 2)) = — 3.
Если — 1 <х < 2, то у =х + 1 — (- (х - 2)) = 2х — 1.
При х > 2 у -х + 1 - (х-2) = 3.
Следовательно, данную функцию можно записать в виде
— 3, если х < - 1,
2х - 1, если — 1 <х < 2,
3, если х > 2.
Отсюда ясно, что на каждом из рассматриваемых промежутков графи-
ком функции служит часть соответствующей прямой (рис. 50).
206
§ 5. Графический способ решения уравнений
и систем уравнений.
Уравнения прямой и окружности
Рассмотрим уравнение с одним неизвестным
Лх) = о,
где /(х) - заданная функция переменной х.
Дли графического решения этого уравнения надо построить график
функции у = /(х) и найти его точки пересечения с осью абсцисс. Абсциссы
этих точек дают значения действительных корней уравнения /(х) = 0.
В частности, графический способ можно применить для решения линейно-
го уравнения ах + b = 0 и квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 (а 0).
В некоторых случаях удобно преобразовать уравнение /(х) - 0 к равно-
сильному уравнению вида g (х) = h (х) 3 таких случаях строят графики
функций у = g (х) и у = h (х) и находят абсциссы их точек пересечения.
Пример 1. Решить графически уравнение х2 + х - 2 = 0.
Решение. Можно построить параболу у ~х2 + х ~ 2 и найти абсциссы
ее точек пересечения с осью Ох. Однако проще поступить по-другому.
Запишем данное квадратное уравнение в виде
х2 =2-х.
Построим параболу у = х2 и прямую у = 2 — х. Найдем абсписсы их
точек пересечения: х = — 2, х = 1 (рис. 51).
Значит, данное уравнение имеет корни Xj = — 2, хг = 1.
Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными х и у. Графиком уравне-
ния с двумя неизвестными называется множество всех точек (х; у) коор-
динатной плоскости, координаты которых обращают данное уравнение
в верное равенство.
Пусть, например, дано уравнение 2х - Зу = 6. Преобразуем его к ви-
2 2
ду у = —х - 2 и построим график линейной функции у = —х - 2, Полу-
ченная прямая есть график уравнения 2х - Зу = 6.
207
Рассмотрим теперь произвольное линейное уравнение
ах + by = с, (3)
где а, Ь, с - заданные действительные числа, причем хотя бы одно из чи-
сел а и b нс равно нулю.
Пусть b Ф 0. Тогда уравнение (3) можно преобразовать к виду
а с
у = — —х + —.
Ь Ъ а с
Графиком линейной функции у = - — х + — является прямая. Она и бу-
b b
дет графиком уравнения ах + by = с в случае b Ф 0.
Пусть теперь b = 0. Тогда уравнение (3) принимает вид ах - с или х =
с
= — (если b = 0, то из условия следует, что а Ф 0). Множество точек плос-
а
с
кости, координаты которых удоьлетверяют уравнению х = —, есть прямая,
а
параллельная оси Оу (рис. 52).
Таким образом, графиком любого линейного уравнения ах + by = с,
где а и Ъ одновременно в нуль не обращаются, является прямая линия.
с
В частном случае, когда а = 0, by = с, и, значит, у = — (Ь =# 0) — прямая,
b
параллельная оси Ох.
Пусть дано уравнение^ = — 1. Преобразуем его к виду у = — — и постро-
х
им график функции у = — — (рис. 53). Полученная гипербола является
графиком уравнения ху = -1.
208
В рассмотренных выше примерах по данному уравнению мы находили
егс график и получали на плоскости соответствующую линию — прямую
и гиперболу.
Возникает обратная задача, для данной линии на плоскости составить
уравнение, графиком которого является эта линия.
Решим эту задачу для случаев прямой и окружности и составим их урав-
нения.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху
и дана некоторая линия L.
Определение, Уравнением линии L на плоскости нгзывается урав-
нение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты
любой точки линии £ и не удовлетворяют координаты никакой точки, не
принадлежащей этой линии.
Уравнение прямой. Докажем, что любая прямая на плоскости имеет
в прямоугольной системе координат уравнение вида
ах + by = с, (3)
где а и b одновременно в нуль не обращаются.
Пусть h — произвольная прямая на плоскости Оху. Проведем какую-
нибудь прямую, перпендикулярную прямой й, и отложим на ней от точки
пересечения В с прямой h равные о грезки BA t и ВА 2 (рис. 54).
Пусть ау,Ьу — координаты точки А.-_ и я2, i2 — координаты точки Л2.
Мы знаем, что любая точка М(х; у) прямой h равноудалена от точек А 2
и Л2 (из равенства прямоугольных треугольников A 2 ВМ и А2ВМ следует
равенство А2М = A2Af). Применяя формулу (2) для расстояния между
двумя точками на плоскости, имеем
\f(x- Oi)2 + (у- bi)2 = ^(х-а2)2 + (у - Ь2)2
или
(x-at)2 +(y-bi)2 =(х- а2)2 + (у-Ь2)2 (*)
для любой точки М(х; у) прямой h.
Если же точка М(х; у) не принадлежит прямой А, то для нее А2М
=# А2М и, следовательно, координаты такой точки не удовлетворяют урав-
209
нению (*). Таким образом, уравнение (*) является уравнением прямой h.
После упрощений это уравнение примет виц
2(дг -ai)x + 2(ft2 -Ь1)^=С2 + b2 -a2 -bl,
где коэффициенты при х и у одновременно в нуль не обращаются, так как
точки Л] иЛ2 различны.
Полученное уравнение прямой h имеет вид (3), что и утверждалось.
Таким образом, всякая прямая ка плоскости определяется линейным
уравнением (3) А ранее было доказано, что всякое линейное уравнение
(3) является уравнением прямой.
Пример 2, Составить уравнение прямой, проходящей через точки
Л(1; 0) и 5(2; 1).
Решение. Прямая имеет уравнение вида ах + by = с. Точки Л и В ле-
жат па прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению.
Отсюда
а • 1 + ft • 0 = с, а • 2 + ft • 1 = с
или а = с, 2а + b = с. Выразим Ь через с:
Ь=с — 2а = с - 2с = - с.
Подставляя выражения для а и ft через с в уравнение ах + by = с, полу-
чаем
сх - су = с или X - у = 1
- уравнение прямой, которая проходит через точки Л(1; 0) и 3(2, 1).
Уравнение окружности. Докажем, что окружность с центром в точке
С(а; ft) и радиусом, ранным г, имеет в прямоугольной системе координат
уравнение
(х - а)2 + (у - Ь)2 = г2. (4)
Пусть М(х; у) — произвольная точка данной окружности (рис. 55).
Ее расстояние от центра окружности С равно радиусу окружности: СМ = г.
С друюй стороны, по формуле (2) имеем
СМ = \/(х -а)2 + (у- Ь)2.
210
Поэтому
V(x - а)2 + (у - Ь)2 = г или (х - а)2 + (у - й)2 = г2.
Таким образом, координаты любой точки данной окружности удовлет-
воряют уравнению (4). Если же точка не принадлежит данной окружности,
то ее координаты не удовлетворяют уравнению (4).
В самом деле, тогда j СЛ/| г, у(х - а)2 + {у - Ь ')2 Ф г и (х - а)2 +
+ (у - Ь)2 Фг2.
Отсюда следует, что уравнение (4) является уравнением окружности
с центром С (а; Ь) и радиусом г.
В частности, окружность с центром в начале координат имеет уравнение
х2 +у2 = г2.
Для графического решения системы двух уравнений с двумя неизвест-
ными надо построить в одной системе координат графики данных урав-
нений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
Пример 3. Решить графически систему уравнений
( х? +у2 = 25,
1х+у = 5.
Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений
х2 + у2 = 25 и х + у = 5. Графиком уравнения х2 + у2 = 25 является ок-
ружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5, а графи-
ком уравнения х + у = 5 —прямая (рис. 56). Окружность и прямая
пересеклись в точках А (0; 5) и 5(5; 0). Следовательно, данная система
имеет два решения: (0; 5) и (5; 0).
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
хиу:
(atx +Ь1у = с1,
(tf;X +b2y=C2,
где а\, bi, Ci, а2, b2, с2 — заданные действительные числа, причем хотя
бы одно из чисел ai и bi и хотя бы одно из чисел а2 и Ь2 не равно пулю.
211
Чтобы графически решить эту систему, надо построить прямые, кото-
рые являются графиками уравнений системы. Решение системы (5) за-
висит от взаимного расположения на гол скости двух прямых.
Две прямые на плоскости могут пересекаться — в этом случае система
(5) будет иметь единственное решение, определяемое координатами точки
пересечения, могут быть различны и параллельны •- в этом случае система
(5) не будет иметь решений, и, наконец, прямые могут совпадать - в
этом случае система (5) будет иметь бесконечное множество решений -
решением являются координаты любой точки на совпавших прямых.
Таково геометрическое истолкование решения системы двух линей-
ных уравнений с двумя неизвестными.
Пример 4. Решить графически систему уравнений
| х-2у = 1,
| 2х - 4у = 4.
Решение. Построим прямые х-2у = 1и2х-4у = 4 (рис. 57)
Эти прямые параллельны, и, значит, система не имеет решений.
§ 6. Построение графиков (решение задач)
Рассмотрим примеры на пистроение графиков функций и уравнений.
Пример 1. Построить график
если
если
х<0,
х>0.
Решение. График этой функции, заданной разными формулами
на разных промежутках изменения аргумента, состоит из биссектрисы
третьего координатного угла и одной ветви параболы у = хг (рис. 58).
212
Ir I
Пример 2. Построить график у = ----- .
Решение. Функция задана для любого х 0. При этом
I 1, если х>0,
У = )
I - 1, если х < 0.
Г рафик функции изображен на рис. 59.
Пример 3. Построить график у = — у/х2 - 4х + 4.
Решение.Так какх2 — 4х + 4 = (х - 2)2,то у = — Iх - 21. Имеем
[ х - 2, если х > 2,
1х-21 =
( — (х-2), если х<2.
Следовательно,
_____________ (- (х - 2), если х > 2,
У~—х/х2—4х+4=\
z I (х - 2), если х < 2.
Построим прямые у = — (х - 2) и у = х - 2, на первой из них возьмем
точки с абсциссой х > 2, на второй — с х < 2 и получим i рафик данной
функции (рис. 60). Заметим, что график у = — I х - 2 I можно также
получить сдвигом графика у = I х I вдоль оси Ох вправо па 2 и затем отоб-
разить симметрично оси Ох.
Пример 4. Построить график ly I =lxi.
Решение. Данное уравнение распадается па два равенства: у = х
и у = — х, так как при равенстве двух чисел по модулю сами числа либо
равны, либо отличаются только знаком. График уравнения \у I = 1x1
состоит из биссектрис координатных углов (рис. 61).
213
Пример 5. Построить график lx 1 + ly I =1.
Решение. Так как I --х I = 1x1, то если (х; у) - точка графика,
то точкой графика будет и ( — х ; у). Значит, график симметричен от-
носительно оси Оу. Уравнение содержит у только под знаком модуля,
и, следовательно, вместе с точкой (х; у) графика его точкой будет и точка
(х; -у), т.е. график симметричен также оси Ох.
Пусть х > 0, у > 0. Тогда для точек первой координатной четверти
уравнение принимает вид х + у = 1. Построив прямую х + у = 1, возьмем
на ней только точки, расположенные в первой координатной четверти.
Получим отрезок и затем используем симметрию графика относительно
осей координат. График уравнения Ixl + lyl = 1 — контур квадрата
(рис. 62).
Пример 6 Построить график Ixl + I у I =0.
Решение. Так как lx I > 0 и \у I > 0, то данному уравнению удов-
летворяют только чиста х = 0 и у = 0. График состоит из одной течки —
начала координат.
Пример 7. Построить график х2 + 2х - 3 = 0.
Решение. Решая квадратное уравнение х2 + 2х - 3 = 0, находим
его корни Xi = — 3 и х2 = 1. Поэтому график уравнения х2 + 2х — 3 = 0
состоит из двух прямых х = — Зих = 1, параллельных оси Оу (рис. 63)
214
x-1
Пример 8. Построить график у =--------.
х
1
Решение. Имеем у - 1-----------. Поэтому график данной функции
х
1
можно получить сдвигом гиперболы у =-------вдоль оси Оу вверх на
X
1 (рис. 64).
Пример 9. Построить график у =х3 -х.
Решение. Данная функция является нечетной:
(-х)3 - (—х) =- (х3 -х)
для любого х; следовательно, график симметричен относительно начала
координат.
Пусть х > 0. Так как у ~ х3 - х = х(х + 1) (х — 1), то при 0 <х < 1
имеем < 0; при х > 1 имеем у > 0. Б точках х = 0, х = 1, х = — 1 гра-
фик будет пересекать ось Ох. Учитывая нечетность функции и промежутки
знакопостоянства, строим график функции (рис. 65).
Примерю. Построить график у = \/1 — х2 .
Решение. Возведем обе части в квадрат и получим
у2=1-х2 или х2+у2 = 1.
Так как у = V1 — х2 > 0, го, построив график уравнениях2 + у2 = 1,
нужно оставить только точки с ординатой у > 0. График уравнения
х2 + у2 = 1 — окружность с центром в начале координат и радиусом, рав-
ным 1. Следовательно, графиком функции у = V1 — х2 является
’’верхняя” полуокружность (рис. 66).
215
Пример 11. Построить график у = lx2 + 2lx I - 31.
Решение. Данная функция - четная; ее график симметричен отно-
сительно оси Оу. При х > 0 имеем у = I х2 + 2х - 3 I Отсюда способ пост-
роения заданной функции: сначала построим параболу у = х2 + 2х — 3,
затем - график функции у = 1х2 + 2х - 31 (рис. 67) и, наконец, график
функции у = 1х2 + 21x1—31 (рис. 68). График у = х2 + 2х - 3 =
= (х + I)2 — 4 — парабола с вершиной (—1; — 4), направлением ветвей
-10 1 х
Рис. 68
вверх и ординатой —3 точки пересечения параболы с осью Оу. Решая квад-
ратное уравнение х2 + 2х - 3 = О, находим его корни Xj = - 3, х2 = 1 -
абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох.
Пример 12. Сколько решений имеет уравнение
Их - 11-11 =а
при различных значениях параметра al
Решение. Очевидно, что при а < 0 уравнение решений не имеет.
Пусть а > 0. Будем решать уравнение графически, построив графики
функцийу = 11х — 11 -11 иу=а.
График функции у = I 1х — 11 — 1| можно получить сдвигом графика
у = 1x1 вдоль оси Ох вправо на 1, затем сдвигом полученного графика
у = 1х - 11 вдоль оси Оу вниз на 1 и, наконец, симметрией относительно
оси Ох части графика у = I х — 11 — 1, расположенной под осью Ох.
График функции у = а - прямая, параллельная оси Ох. Абсциссы точек
пересечения графиков функций у = I I х — 11 — 11 и у = а являются кор-
нями уравнения 11 х - 11 — 11 = а (рис. 69).
Ответ. Если а = 0, то два решения; если 0 < а < 1, то четыре решения;
если а = 1, то три решения; если а > 1, то два решения; если а < 0, то ре-
шений нет.
216
§ 7. Применение графиков к решению неравенств
Умение построить параболу — график квадратного трехчлена — мож-
но использовать для графического способа решения квадратных нера-
венств
Пример!. Решить графически неравенство — Зх2 — 5 х + 2 > 0.
Решение. График трехчлена у = — Зх2 — 5х + 2 — парабола, ветви
1
которой направлены вниз. Находим корни трехчлена: Xi = — 2 их2 = — .
Поэтому парабола пересекает ось Ох в этих точках (рис. 70).
Неравенству — Зх2 — 5х + 2 > 0 удовлетворяют те значения х, при ко-
торых точки параболы лежат выше оси Ох, т.е. такие чиста х, что
1
— 2<х< —.
3
Можно решить графически и систему неравенств с одним неизвестным.
Пример 2. Решить графически систему неравенств
(х-1>0,
13- х>0.
Решение. Построим в одной системе координат графики функций
у - х - 1 и у = 3 — х (рис. 71). Оба трафика лежат Выше оси Ох при зна-
чениях х из интервала (1; 3) — решения системы неравенств.
Покажем, как применяются графики к решению неравенств и систем
неравенств с двумя неизвестными.
Пример 3. Решить графически неравенство х + 2у - 1 > 0.
Решение. Чтобы графически решить неравенство х + 2у - 1 > 0
1 1
или у > — — — х, сначала построим график линейной функции
217
Рис. 72
Рис. 73
у = —-----— х. Множество решений неравенства х + 2у - 1>0 состоит
1 1
из точек плоскости, лежащих нац прямой у =----- - х (рис. 72).
2 2
Пример 4. Решить графически систему неравенств
(х+у < 1,
I 2х-у < 2.
Реш е ние.Так как х +.v <1, то у < 1 -х, так как 2х - у < 2, го
у> '2х — 2. Множество решений неравенства х+у< 1 состоит из точек
плоскос ти, лежащих под прямей.^ = 1 — х, а неравенства 2х-у < 2 — из течек,
лежащих над прямой у = 2х - 2 (рис. 73), т.е. множество решений каждого
из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Графически решение
данной системы неравенств есть пересечение полуплоскостей.
Рис. 74
218
11 ри ме р 5. Изобразить множество точек, заданное системой не-
равенств
I х21 +у<1,
[у -- 1.
Решение. Имеем неравенства у < 1 — х2, у> х - 1. Построим пара-
болу у = 1 — х2 и прямую у ~х - 1. Множество, заданное системой не-
равенств, состоит из точек, лежащих на параболе у = I — х2 или
под ней и одновременно на прямой у = х — 1 или над ней (рис. 74).
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Найти длины сторон треугольника с вершинами Л (1; 1).В(,2; 3)иС(5; -1).
Найти область определения функций (№ 2 —11) :
2.у = >/1 -х. 3.у = V1 -х. 4.у = ^4х - х2. 5. у = V1 - х - 2х2.
6. у в . 1 • 7. у = v 6х - х1 + У*—£
V | Х| - X X - 6
8. у = *. 1-х +
9. у = V* - 2 + V 3 - х. 10. у - \/х - 3 + \[1 - х.
11. У = ^/7^2 + ч/'2ТТ.
12. Найги область огрецелеиия Р(у) и множество значений Е(у) функции:
а) у = >/3 + 4х - 4х2; б) у = V*2 + 2х - 3.
Определить, какие из данных функций являются четными, какие нечетными
и какие свойством четности или нечетности не обладают (№ 13 —18):
13.у = 2хэ - Зх. 14. у =х4 — х2 +х+ 2. 15. у = 3 х .
16.y = Vx + 2x5. 17. y=x2+v7. 18. у = 2х - 2~х.
19. Найти промежутки монотонности и знакокостоянства функции:
а) у = 1 -х; б) у = 1 -х’;в) у = (х - I)1.
1
20. Найти наибольшее значение функции у= - —х2+2х.
2
1
21. Найти наименьшее значение функции у = х +-, если х > 0.
х
22. Доказать, что из всех прямоугольников с периметром, равным 4м, наиболь-
шую площадь имеет квадрат.
219
Построить i рафики функций и уравнений (М 23 -43):
I 1
23. у =---------х-1
I 2
24. у = - Зх1 + 6х + 1. 25. у = - х2 + 4х - 4.
1
26. у = х3 - |х |. 27. у = -х |х|. 28. у = - .
1х I
29. у = - V 4 - х3. 30. 2х + 3у = 6 31. х3+у3₽4.
32. x’ + 2х+у2 -2у~0. 33. х3 - Зх + 2 = 0. 34. 1у 1 = х.
35. |х|- 1у 1 = 1. 36.у = 73ГП. 37. у =VxVT. 38. у =--------.
х
39. у= 13-х I. 40. 1у 1 = 0. 41.»/х - 1у 1=Д. 42. ху = 0
43.у = [х] (целая чать х).
Решить графически уравнения и системы уравнений (№ 44 -50):
44, 2х3+х - 3 =0. 45. х*=6х-5. 46. х’=х.
47. ПНх 1-21-11-21=2.
х3 +у2 = 100,
х+у = - 2.
( х3 + у2 = 25,
49. <
!. ху =' 12.
( х3 + у2 =25,
50. I
( у2 - х = 5.
51. Сколько решений имеет уравнение 11 х + 11 - 2 I =в при различных значениях
параметра й?
Изобразить на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворя-
ют неравенству или системе неравенств (№ 52 - 59) :
2
52. х-у - 4 > 0. 53. у >-----. 54. у < I х |.
х
55. х1 + у2 < 4.
56.
у > х3,
у<2-х3.
х-у + 1 >0,
х + у- 3 <0,
х + Зу + 1 > 0.
х - 2у > 1,
2х - у > 1,
х-у <0,
х > 0, у > 0.
59.
х3 + у3 с 100,
х3 + у3 > 64,
ху >0.
РАЗДЕЛ II
60. Найта длину отрезка АВ, если
а) Л (0; -2), Л(-3; 2); б)Л(-3; -1), В(-8; 3).
220
Найти область определения функций (№ 61-70)
1 __________________ _______________ ______________________
61. у = —. 62. у={/х-2. 63. у = 1/бх-хг. 64. у = >/24 + 10х - хг.
х/2-х
1 /1-х Г~х ,___________
65. у =--------• 66. у = >/---. 67. у -х/----- + х/ 4х - 3.
I х - 11 - 2 х - 6 х - 0,5
68. у = х/Зх - 1 + х/5 - х. 69. у-х/х + х/-^х. 70.у = х/х-х3.
71. Найти область определения D(y) и множество значений Г (у) функции:
а) у =х/^хг + 2х + 3; б) у = х/х1 + 2х + 2.
Определить, какие из данных функций являются четными, какие нечетными и ка-
кие свойством четности или нечетности не обладают (№ 72 - 77):
1 х г
72. у =-х-15х’. 73. у =----- .74. у =2х.
3 х2 + 5
75. у=4~х\ 76.у = 2*+2~х 77. у =х‘- Зх3 + 1.
78. Найти промежутки монотонности и знакопсстоянства функции:
а)у-2х+4; б) у = х3 -4; в) у = (х + 2)3.
79. Найти наименьшее значение функции у = х2 - 2х + 11.
80. Найти наибольшее значение функции у = 2 - 4х - х2.
Построить графики функций и уравнений (№ 81 - 97):
1
81. у =--х2+4х-1. 82. у = Зх’- 9х +4. 83. у=|3-2х|.
84. у=1 х2- 11.
85, у = 2х2 + |х|.
86. у = I - х2 + 2.x + 3 I.
91. Зх - 4у = 12.
1
88. у =-------
|х I
92. |у| = 2х+1.
х - 3 ______
89. у =-------. 90. у = xj4 - х2.
х
93. у = I х + 3 I + I х - 1 |.
1
94. у = (I х + 11 + 1)(х - 3). 95. у = - (I х + 31 - 3)(х - 2).
96. у = х2 - I х |(х + 4) + 2. 97. у ={х } (дробная часть х).
Решить графически уравнения и системы уравнений (№ 98 - 103):
98. 2х - 3 = - х2. 99. х’ = х/х.
100. 1x4-214-1x1+ |х-2 1=4. 101. Их-II-11 = 2.
( X2 + у2 = 169,
102.
1х-у = 7.
103.
х2 -у = 7,
ху = 6.
221
104. Сколько решений имеет уравнение , I х - 2 I - 3 I =а при различных значениях
параметра al
105. Сколько решений имеет уравнение 11 х - 1 I - xl = b при различных значениях
параметра!»?
Изобразить на координатной плоское ли точки, координаты которых удовлетворя-
ют неравенству или системе неравенств (№ 106 - ill) :
106. 3+ у - х < 0. 1О7.х1+у’>9. 108.
х* + у’ <25,
3
у < — X
(у>№ г У > IX-11,
109. х > ха. 110. ’ 111. {у <2,
ly<vx. (х<1.
ГЛАВА 8
ПРОГРЕССИИ
s I. Числовая последовательность
Пусть каждому натуральному числу п отвечает по некоторому правилу
число ап. Говорят, что задана числовая последовательность
й1; аг; ...; а„; ...
Числа ат; a3; . .. называются членами последовательности; ап — и-й или
общий член последовательности. Саму последовательность будем сбсэпа'
чать так: (д„). Таким образом, числовой последовательностью (а„) (или,
короче, последовательностью) называется функция, заданная па множестве
натуральных чисел.
Часто последовательность задастся формулой ес и-го (или общего) члена:
ап=№) («=1,2,3,...),
позволяющей ло номеру члена последовательности вычислять этот член.
Например, если известно, чти ап = и2 при любом я, то «1=1; а? = 4;
а3 = 9 и т.д.
Формула п-го члена может быть и более сложной. Например, формула
я, если п = 2к,
! (*=1,2,...),
" —, если п~2к- 1
. п
222
задает последовательность
1 1 1
1; 2; 4;...;---------; 2Л; -----;...
3 2к -1 2к+1
Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, позволяю-
щей находить члены последовательности по известным предыдущим.
При рекуррентном способе задания последовательности обычно ука-
зывают:
1) первый член последовательности (или несколько первых членов);
2) формулу, которая позволяет определить любой член последователь-
ности по известным предыдущим членам.
Например, рассмотрим последовательность (ап), первый член которой
равен 1, второй 2, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух
предыдущих членов:
Ci=l; а2 = 2; ап + 2 = ап +ап + 1-
Тогда «э = 1+ 2 = 3; = 2+ 3 = 5; д5=3 + 5 = 8и т.д. Значит, последова-
тельность (а„) задана.
Не всякую последовательность можно задать формулой л-го члена или
рекуррентной формулой. Например, можно образовать последовательность
приближенных значений (с недостатком) числа \/2:
1, 4; 1,41; 1,414; 1,4142;...
или последовательность простых чисел (в порядке возрастания) :
2; 3; 5; 7; 11; 13; ....
хотя формулы и-го члена или рекуррентной формулы в обоих случаях мы
не имеем. Для каждой последовательности должно быть задано правило,
по которому можно получить любой ее член. В каком виде приведено это
правило, в принципе не имеет значения.
§ 2. Арифметическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем
же числом, называется арифметической прогрессией.
Если последовательность (д„) — арифметическая прогрессия, то по
определению
ах — ах = а$ — а2 = ... = ап+ у — ап = .. .,
т.е. разность между любым членом и предыдущим с ним равна одному и
тому же числу, Оно называется разностью арифметической прогрессии и
обозначается буквой d.
Таким образом, арифметическая прогрессия (ал) определяется усло-
виями:
223
1) ai -а, где a — некоторое число.
2) an +! = an + d для любого n > 1.
Если, например, ai = 1 и d = 1, то мы имеем арифметическую прогрес-
сию, членами которой являются последовательные натуральные числа’
1; 2; 3; 4;...
Арифметическая прогрессия обладает следующим характеристическим
свойством: любой член ее, начиная со второго, является средним арифмети-
ческим предыдущего и последующего членов.
Доказательство. По определению арифметической прогрессии
«л + 1 =«и + <Л
ап + 2 + i +d
или пп+!-д„ = й„ + 2-a„ + i,откуда
ап + ап + 2
1----------- •
Справедливо и обратное: если некоторая последовательность такова,
что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим
предыдущего и последующего членов, то эта последовательность - ариф-
метическая прогрессия.
В самом деле, пусть для любых трех соседних членов некоторой последе
вателыюсти (ап) выполняется соотношение
ап + ап + 2
ап + I-----7-------
(1)
(л>1).
Тогда 2artfl = а„ + ап+2 или ап+j -ап =ап + 2 ~ ап + г, т-е- разность
между любым членом последовательности и предыдущим с ним равна
одному и тому же числу. Значит, (ап ) — арифметическая прогрессия.
Таким образом, установленное свсйстао присуще арифметической
прогрессии и только ей.
Пусть (п„) — арифметическая прогрессия, at — ее первый член, a d -
разность прогрессия.
Выведем формулу для л-го члена арифметической прогрессии. Имеем
д2 =а1 + <4
а3 ~ а2 + &>
а а, =а3 + d,
an-i =ап_2 + d,
ап =a„_t + d.
224
Складывая почленно эти и — 1 равенств, получаем
(а2 +а3 + д4 + ... 4 ah-i) + e„ =
= aj + (а2 + а3 + ... + ап-2 + дп-1) + (п ~ 0^»
откуда
ап = а2 4-(л - l)d. (2)
Формула (2) позволяет найди любой член арифметической прогрессии,
если известны ее первый член и разность. Поэтому она называется форму-
лой общего члена арифметической прогрессии.
Выведем теперь формулу для суммы п первых членов арифметической
прогрессии.
Обозначим сумму п первых членов арифметической прогрессии (ап)
через S„ и запишем эту сумму дважды, изменив во втором случае порядок
слагаемых на обратный:
S’n = Дд + а2 + а3 +... + an-i + лп,
+ «„-1 + ди_2 + • • • + «*2 +^i.
Складывая почленно эти равенства, получаем
25n s (Д1 + л„) + (а2 + л„_ j)+... + (д„_t+ а2) + (ап + а2).
В правой части равенства сумма двух чисел в каждой скобке равна
Я] + ап. В самом деле,
+an-i =(«1 + O + («n- d) = fli +<?„;
Дз +«w-2 = 0*2 +<0 + («n-i -d) = a2 + an-i = ai + ап и т.д.
Число слагаемых, заключенных в скобки, равно п. Поэтому
25„ = (ах + ап) • п,
откуда
_ («,__
2
-формула суммы первых п членов арифметической прогрессии.
Заменим в этой формуле член ап его выражением а3 + d(n — 1). Тогда
2a: + din - 1)
Sn---------------п. (4)
По этой формуле сумма первых л членов арифметической прогрессии
(ап) выражается через первый член, разность и число членов.
225
§ 3. Геометрическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, первый член которой
отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему
члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется
геометрической прогрессией.
Если последовательность (а„) — геометрическая прогрессия, то по
определению
а3 ап _ ап + 1 _
ат п2 ^n-i ап
т.е. отношение любого члена к предыдущему равно одному и тому же
числу. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и
обозначается буквой <?.
Таким образом, геометрическая прогрессия (д„) определяется усло-
виями:
1) П1 = а, где а Ф С — некоторое чисто;
2) ап + х = ап q (q У= 0) для любого и > 1.
Если, например, = 1 и q = 2, то мы имеем геометрическую прогрессию
1; 2; 4; 8; .. .
1
Условиями ах =4, q =-----задается геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия (ап) обладает следующим характеристиче-
ским свойством: квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произ-
ведению предыдущего и последующего членов:
an + i=anan + 2 (5)
Доказательство. По определению геометрической прогрессии
ап + 1 аП + 2
-----= ------- = а,
ап ап+1
откуда а„+] = а„ап^ г.
Справедливо и обратное: если некоторая последозателъностъ (ап) тако-
ва, что n„ + i ~апап + 2 1), ai =£0, <j2 =#0, то эта последовательность
(ап) - геометрическая прогрессия.
В самом деле, пусть для любых трех соседних членов некоторой последо-
вательности (д„) выполняется соотношение (5). Тогда
+1 ди + 2
ап ап + 1
226
т.е. отношение любого члена последовательности (ап) к предыдущему
равно одному и тому же числу Значит, (ап) - геометрическая прогрессия.
Таким образом, установленное свойство присуще геометрической про-
грессии и только ей.
В случае геометрической прогрессии с положительными членами соотко
шение (5) можно записать в виде
ап + 1=\/апап + 2 (п>1). (6)
Геометрическая прогрессия с положительными членами обладает следую-
щим характеристическим свойством: любой ее член, начиная со второго,
является средним геометрическим предыдущего и последующего членов,
Пусть (аг„) — геометрическая прогрессия, — ее первый член, a q -
знаменатель прогрессии.
Выведем формулу для n-го члена геометрической прогрессии. Имеем
ai =
аз ~ aiq.
“п-1 = ап-2Я,
an = cn-iq-
Умножая почленно эти п — 1 равенств, получаем
(а2а3а4 ... ап_})ап ~(а2а3... an_2an_i')aiq1'
Так как а2#3д4 ... ап _i ^Х), то после сокращения имеем
an = a1q"~1. (7)
Формула (7) позволяет найти любой член геометрической прогрессии,
если известны ее первый член и знаменатель. Поэтому она называется
формулой общего члена геометрической прогрессии.
Выведем теперь формулу для суммы п первых членов геометрической
прогрессии
Обозначим сумму п первых членов геометрической прогрессии (а„)
через Sn:
+а2 + ... + й„_! + ап. (*)
Если знаменатель прогрессии q равен 1, то Sn = па2.
Если q I, то поступим следующим образом. Умножим равенство ( * )
почленно на q:
qSn=a,q + a2q + ... + ап_^ + anq.
Так как a2q = а2, a2q ~ а3, a3q = aA,..., an_2q = ап> то
qSn = а2 + а3 + .. . + ап + anq.
8*
227
Вычитая почленно из этого равенства равенство ( * ), получаем
qSn - Sn = anq- а1г (q - 1)5„ = anq -aif
откуда
sn=^lZ^L (^1) (8)
ч- 1
— формула суммы п первых членов геометрической прогрессии со знамена-
телем q Ф 1.
Заменимв этой формуле член его выражениемaiqn~1. Тогда
Выведем формулу
хп - 1 = (х - 1)(х" 1 +хп 2 + ... + 1),
где п — натуральное число.
Очевидно, формула верна при х = 1.
Пусть х Ф 1. Рассмотрим геометрическую прогрессию, у которой Ci = 1,
q = х (х ¥= 1). Тогда для суммы п членов
.и—2 . „п-1
по формуле (9) находим
1(х" - 1) хп - 1
—-- = -------— (х*1).
X - 1 X — 1
Отсюда
х" - 1 = (х - 1)(х"-1 + хп~2 + ... + 1)
дня любого х и натурального п.
В частности, при п - 2 получим
х2 — 1 = (х - 1)(х + 1) (разность квадратов),
а при п ~ 3
д ’ — 1 = (х - 1)(х2 тх + 1) (разность кубов).
§ 4 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Определение. Геометрическая прогрессия ai; а2; • • ; ап;. . .
называется бесконечно убывающей, если модуль се знаменателя меньше
единицы.
228
Например, геометрическая прогрессия, заданная формулой л-го члена
2 2 2
ап =---.является бесконечно убывающей. В самом деле, = — ,aj ,
3” 3
1 2 2 2
— ; геометрическая прогрессия — ...
З2’
«2
откуда q = —
ai
’’ 3"
. — бесконечно убывающая, гак как 1 q ' < 1.
Г еометрическая прогрессия
2
2
1
у которой q = — — , также является бесконечно убывающей, так как
I q I = — < 1.
2
Рассмотрим теперь произвольную числовую последовательность (х„).
Если с возрастанием номера п члены последовательности приближаются
к нулю (становятся по модулю сколь угодно малыми), то говорят, что
зта последовательность стремится к нулю. При этом пишут хп -> 0 при
п -* °0 (читается: х„ стремится к пулю при п, стремящемся к бесконеч-
ности) . В этом случае говорят также, что последовательность (х„) имеет
предел, равный нулю, и пишут
lim хп = О
(читается: предел хп при п, стремящемся к бесконечности, равен нулю)
Например, \
1 1
Um --- =0. lim — =0,
2 И м
п -» “> И
' (-1)" 1
Um---------= 0, Um ——- =0.
и -► ХО П и “ Л + 1
Можно доказать, что
lim qn=0,
если It? I <1.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия обладает сле-
дующим свойством: ее л-й член стремится к нулю при л -*°°. Это означает,
229
что ton а„- ton (<Zi9”- 1) = 0,если I9I <1. Примем это свойство
п -* 00 п -** °°
без доказательства.
2 / 1 \ "-1 (—I)""1
Например, lim —— = 0, lim---------I = lira -----------------= 0.
n —> 3 F2► OO \ Z / n -r 00 Z
Вообще говорят, что последовательность (х„) стремится к числу а, если
(х„ - а) -* 0 при п -* °°. В этом случае число а называют пределом после-
довательности Xi; х2; ...; хп; ... и пишут lim хп = а. Например,
и “► оо
lim
п -»«“
п-1
п-1
так как -- — 1=
п
1
- — 0 при л
п
Понятие предела числовой последовательности позволяет определить
сумму членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Определение Суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии называют предел суммы п первых членов этой прогрессии
нрип-»-00:
5= lim Sn.
п -> «
Выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической про-
грессии^; a2q; a^q2, ...; .
По формуле (9)
_ aj(?n -1)
ъп---------;---
<7-1
откуда
находим
_ Л а-
1-q 1 - <7 1-9
Так как I q I < 1, то qn -> 0 при п -* °°,и поэтому -— qn-*0 при п -+°°.
1 -Я
Следовательно, S,t ->---- при п -> °°. Таким образом, сумма S бсско-
1 -9
нечно убывающей геометрической прогрессии равна
5= ——
1 -9
(Ю)
230
1
В частности, при Я] =1 получаем 5 = ----------. Эго равенство записывают
1
так:
1
1 +q + q2 <•... + qn~r
1 -а
или
(1 -9)(1 +<7+<72 + ... + qn~l
Пример 1. Найти сумму
1 1
прогрессии 1; — — ; — ;
бесконечно убывающей геометрической
1
" ~8 ’ ' ’ ’
1
Решение. Так как = 1 и q ~ то по формуле (10) получим
2
"з
1
5 =-------
/ 1
1 - --
\ 2
П р и м е р 2. Записать периодическую дробь Ъ = 0,(3) = 0,333... в виде
обыкновенной дроби.
Решение Составим следующую последовательность приближенных
значений данном бесконечной дроби.
3 3 3
=0,3 = —; fc =o,33 = —
10 10 102
3
Ьз - 0,333 = — + —— +
3 10 ю2
3 3
1G2 ”10*
+...
3 3 3
ю2 ’ io1’”'’bn '10
Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь
можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической
3 1
прогрессии, у которой = —, ? = —:
3 3 3 3
Ь — + —- + —: + . . . +---
10 102 103 10"
По формуле (J0) получим
3
Тб 3 1
Ь=--------= - = - .
1 9 3
1-----
10
231
Обобщая решение примера 2, можно показать, что смешанная периоди-
ческая дробь 0, Ьг (Ьг Ь3 ) представима в виде
fri
0Л(Мз)=-
/>1^3 Ь2Ь3
"io5” ю5 ’' ”
где члены правой части, начиная со второго, образуют бесконечно убываю-
щую геометрическую прогрессию с Cj =
(10), нетрудно получить, что
Ь2Ъ3 1
—- и q = Применяя формулу
0,Z>i(Z*2&3) —
b\b2b3 —
и правило обращения периодических дробей, сформулированное в §5 гл. 1,
доказано.
§ 5. Задачи на прогрессии
Пример 1. Доказать, что последовательность, заданная формулой л-го
члена ап = 5 - 2 и, является арифметической прогрессией.
Решение. Составим разность
ап + J - ап = (5 — 2(л + 1)) — (5 — 2 л) = 5 — 2л — 2 - 5 + 2 л = — 2 = d.
Эта разность не зависит от номера л > 1; следовательно, (д„) по опреде-
лению является арифметической прогрессией; при этом ее первый член
01 = 3 и разность d = — 2.
Пример 2. Между числами 3 и 19 вставить три средних арифметиче-
ских.
Решение. Требуется найти такие три числа а2, а3, а*, чтобы в последо-
вательности 3; а2; а3; а4; 19 каждый член был равен среднему арифмети-
ческому предыдущего и последующего членов. Эта последовательность
является арифметической прогрессией (по ее характеристическому свой-
ству).
Пусть разность этой прогрессии равна d. Ио формуле (2) общего члена
арифметической прогрессии имеем 19 = 3 + 4d (л = 5); отсюда находим
d = 4. Получена прогрессия 3; 7; 11; 15; 19. Искомые числа: 7; 11; 15.
Пример 3. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии
10; 15; 20, . .., чтобы их сумма была равна 2475?
Решение. По условию в арифметической прогресии ах = 10, d = 5,
Sn = 2475. Применив формулу (4):
2fli + d(n — 1)
=--------------- - л ,
232
получим
20+ 5 (л-1)
2475 =----------- • п или п2 + Зл - 990 - О,
2
откуда Hi = — 33, иг = 30. Так как л — натуральное число, то л = 30.
П р и м е р 4. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел.
Решение. Числа 10; 11; 12; . . . ; 98; 99 образуют арифметическую
прогрессию; при этом а. = 10. ап = 99, d = 1. Тогда ап = + d{n — 1), т.е.
99 = 10 + л — 1 или и = 90. По формуле (3)
П р й м е р. 5. Решить уравнение
х - 1 х-2 х - 3 1 7
----- + -• —"к— +-X-+ . . . + —• = —,
х2 х3 х2 х2 15
где х Ф 0 — целое число.
Решение. Имеем
(х —4) + (х —2) + (х — 3) + ... + 1 = _7_
х2 15 * '
В числителе дроби сумма членов арифметической прогрессии, у которой
Я1 = х — 1, ап = 1, d = (х - 2) - (х — 1) = — 1 •
По формуле общего члена а п- ах + d(n — 1) получим
1 = (х - 1) - 1 (л — 1) или 1 = х — 1 - л + 1, л = х — 1.
Данное уравнение принимает вид
откуда х = 15.
Пример 6. Числа а2; Ь2; с2 образуют арифметическую прогрессию
1 1 1
Доказать, что числа -- ; ----;------ также образуют арифметическую
b + с а + с а + b
прогрессию.
233
Р е ш е и и е. По условию Ъ2 - а2 = с2 - Ь2. Рассмотрим
1 1 b - а _ Ъ2 - а2
а + с b+с (q + c)(b+c) (а + с)(Ь + с) (а + 6)
1 1 с -- b _ с2 - Ь2
a + b а + с (a + Z?)(a + c) {а I Ь)(Ь + с)(а + с)
1111 I
Отсюда следует, что----=-------:— и, значит, числа- ;
а+с b+ca+b а + с b + с
1 1
---; --- образуют арифметическую прогрессию.
а+с а+Ъ
Пример 7. Найти все последовательности, которые являются одно-
временно и арифметическими, и геометрическими прогрессиями.
Решение. Пусть последовательность (л„) одновременно является
и арифметической,и 1 еометрической прогрессиями.
Так как (ап) — арифметическая прогрессия, то
Так как (ап) — геометрическая прогрессия, то, применяя формулу (7)
общего члена а„ = ах qn~1, где а-, =# 0, q ± 0, получаем
а^п '+axqn^
=----
или, после сокращения на Д1</" 1 #• О,
1 + q2
т.е. (д — I)2 =0. Отсюда q = 1, и данная последовательность есть последо-
вательность равных чисел Дт; Пт; fli; ...; а\; ...
Пример 8. Доказать, что последовательность, заданная формулой
n-го члена Ьп = 1,5 2”, является геометрической прогрессией.
Решение. Составим отношение
ьп + 1 _ 1,5 •2л + 1 _ 2”+1
~b'n 1,5-2" 2^“
Это отношение не зависит от номера п > 1; следовательно, (brt) — гео-
метрическая прогрессия; при этом ее первый член Ьх = 1,5 • 2 = 3 и знамена-
тель q = 2.
Пример 9. Между числами 1 и 256 вставить три средних геометриче-
ских.
234
Решение. Требуется пайти такие три числа аг, аз, а^, чтобы в последо-
вательности 1, я2; яз; я4; 256 каждый член был равен среднему геометри
ческому предыдущею и последующего членов. Эта последовательность
является геометрической прогрессией (по ее характеристическому свой-
ству).
Пусть знаменатель этой прогрессии равен q. По формуле (7) общего
члена геометрической npoiрессии имеем 256 = 1 • q4 (л = 5); тогда 4 4 = q4,
откуда q = 4. Получена прогрессия 1; 4; 16, 64; 256. Искомые числа:
4; 16; 64.
Пример 10. В геометрической npoiрессии сумма первых четырех
членов равна 15, а сумма членов от второю до пятого включительно равна
30 Найти прогрессию.
Р е ш е н и е. По условию S4 = 15, Ss - at = 30. По формуле (9) получим
<7-1
/ 5 14 ИЛИ
------------я, = 30
<7-1
gi(Q4-l) =15
?-1
<?1<7(?4 ~ О =3()
? - 1
Решая эту систему, находим q = 2, ах = 1; следовательно, найдена про-
грессия 1; 2; 4; 8; 16.
Пример 11. Три положительных чиста образуют геометрическую
прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет ариф-
метической. Но если после этого увеличить третье число на 64, тс прогрес-
сия снова станет геометрической. Найти эти числа.
Решение. Обозначая числа я; aq -aq2, имеем
a + aq2
. (о? + 8)2 = с(ж?1 + 64).
Упрощая второе уравнение системы, получаем
aq + 4 — 4а = 0.
Тогда.
( я(1 +<72 — 2q)= 16,
\я(4 —</) = 4,
откуда <72 + 2<7 — 15 = 0 Получаем q = 3 (отрицательное значение отбрасы-
ваем) . Тогда а = 4. Искомые числа: 4; 12; 36.
Пример 12. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
профессии (я„) равна 56, а сумма квадратов ее членов равна 448. Найти
первый члени знаменатель прогрессии.
235
Ре ш е ни е. По условию
fft + а2 + ... + <7И + ... = 56, а2 + а2 + . .. + а2 + ... ~ 448.
Слагаемые второй суммы образуют также бесконечно убывающую геомет-
рическую прогрессию с первым членом а} и знаменателем q2. Поэтому
-2_=56, ---------=448 (|g|<l).
\-q \-q2
Из первого уравнения находим Cj =56(1 —q) и подставим во второе
уравнение
562(l-g)g
(1 -g)(l +g)
= 448,
откуда 56(1 -q) = 8(1 +q) или q = — .Поэтому = 5611--I = 14.
4 \ 4/
Пример 13. Записать периодическую дробь в виде обыкновенной
дроби: а) 0/5); б) 0,(12); в) 0,1(23).
Решение. 5
5 5
а ) 0,(5) =0,555 ...= —+ —
10 102
10 5
Г” ?
1-----
10
12 12
б ) 0,(12) =0,121212. .. = — + —г
7 V 102 10
12
То6
12
Го:
~Т
1 —
ю2
12 _ 4
99~ ” 33 ’
23
23
в) 0,1(23) = 0,1232323... = 0,1 + — . с
103 4 10s
23
+ io2
1
То
23
i(P
1
1 ~io2’
1 23 122 61
---- +----. -----
10 990 990 495
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Числовая последовательность (в„) задана формулой и-го члена: ап = пг - п - 6.
Является ли число 104 членом этой последовательности?
2. Последовательность (ли) задана формулой л-го члена: ап = 10 - Зл. Доказать,
что (а„) - арифметическая прогрессия.
236
3. При каких значениях х числа \Х',\/5х + 4; + 13; . .взятые в указанном
порядке; образуют арифметическую прогрессию?
4. Межлу числами 113 и 163 вставить 9 средних арифметических.
5. Сколько надо взять членов арифметической прохрессии 18; 16; 14; ... .чтобы
их сумма была равна нулю?
6. Решить уравнения:
х - 1 х - 2 х - 3 1
а) 1+6+11+... + *- 148; б)---- +-----+-------+ ...+ —« 3,
ххх х
где х -целое положительное число.
7. Найти сумму всех четных натуральных чисел от 96 до 128 включительно.
8. Найти сумму двадцати членов арифметической прогрессии, у которой а1 + at +
+ д, = 45 и д4 • дб = 315-
9. Дана арифметическая прогрессия 7; 9; 11; . . . Найти: а) восемнадцатый член
Этой прогрессии; 6} сумму восемнадцати первых членов прогрессии.
10. Доказать справедливость равенства:
1 - 1 + .. .+ (3 -2л) = (2 -п}п,
где п - натуральное число.
11. Доказать, что если положительные числа а, Ъ, с составляют арифметическую
прогрессию, то
1 1 2
------- и--------------=---------
12. Сумма п первых членов последовательности (с„) определяется по формуле
Sn = 2л’ + Зл. Доказать, что (в„) - арифметическая профессия.
13. Существует ли такая арифметическая прогрессия, у которой сумма любого
числа ее членов равна квадрату числа членов?
14. При каких значениях х числа \/х;.Ух';^х",’ззять,е в указанном порядке, состав-
ляют: а) арифметическую прогрессию; б) одновременно арифметическую и геометри-
ческую прогрессии?
15. Доказать, что последовательность (Ьп), заданная формулой л-го члена Ьп =
= 0,5 3”, является геометрической прогрессией.
16. Дана функция у = 3х. Показать, что если аргументу придать последовательность
значений, образующих арифметическую прогрессию, то соответствующие значения
функции образуют геометрическую прогрессию.
17. Между числами 31 и 496 вставить ; ри средних геометрических.
18. В геометрической прогрессии д, = 256, q = 2. Найти 5,.
19. В геометрической прогрессии at + <z2 + с3 = 6, а цг + e3 + at = - 3. Найти эту
прогрессию
20. Доказать равенства:
а) 1+2+4...+ 2"-1=2"-1;
/1\” / /1\п\
б) 8 + 4 + 2+... + 16 1-1 = 16(1-1-1 )>
где л - натуральное число.
21. Найти четыре числа, образуючще геометрическую прогрессию, у которой третий
член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
22. Определить чисто членов геометрической прогрессии (а„), если в2 = 3. ап = 96,
Sn = 189.
23. Решить уравнение 1 + х + х3 + х3 + ... + *‘’° =0.
237
24. Найти сумму 1 + 11 + 111 + .. . + 111 ... 1.
п раз
25. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметической
прогрессии, равна 21. Если второе числе уменьшить на 1, а третье увеличить на 1, го
получатся три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти эти числа.
26. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 56. Если
из них вычесть соответственно 1, 7, 21, то вновь полученные чиста составят арифме-
тическую прогрессию. Найти эти числа.
27. Най1и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если извест-
но, что сумма ее первого и четвертою членов равна 54, а сумма второго и третьего
членон равна 36.
28. Определить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, в которой
1
второй член равен 6, а сумма членов равна — суммы квадратов ее членов.
8
29. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех ее членов,
стоящих на нечетных местах, равна 36, а сумма всех членов, стоящих на четных
местах, равна 12. Найтч эту прогрессию.
РАЗДЕЛ II
30. Числовая последовательность (ап) задана формулой n-го члена: ап = л’— п- 12
Является ли число 60 членом этой последовательности?
31. Доказать, что последовательность (чи), заданная формулой ап =- 5 п + 4, являет-
ся арифметической прогрессией.
32. Последовательность (ал) задана формулой ап = и’ - 1. Доказать, что (ап) не
является арифметической прогрессией.
33. При каких значениях х числа:
а) 2х’, х*; 24;...; б) 4х~ 1; х/бЗГП; с/12х +1; ...,
взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию?
34. Между числами 3 к 24 вставить 6 средних арифметических так, чтобы образо-
вавшаяся числовая последовательность являлась арифметической прогрессией.
35. Сколько членов арифметической прогрессии 2; 5; 8; ... надо взять, чтобы их
сумма была равна 100?
36. Сколько членов арифметической прогрессии 3; 5; 7; .. надо взять, чтобы их
сумма была больше 143?
37. Найти сумму всех двузначных чисел от 21 до 50.
38. Решить уравнения:
а) 1+7 + 13 + ... + х = 280; б) (х + 1) + (х + 4) + ... + (х + 28) = 155.
39. Дана арифметическая прогрессия 3; 7; 11; ...Найти я16 и5и.
40. В арифметической прогрессии а3 + а, + а, = 60, as • ае = 300. Найти S.,.
41. Существует ли такая арифметическая прогрессия, у которой сумма любого
числа ее членов равна кубу числа членов?
42. Доказать справедливость равенств:
а) 6+4 + 2+... + 2(4-к)=п(7-л);
б) 4 + 2+0 + .. . + 2(3 -л)=и(5 - и),
где п - натуральное число.
43. Третий член арифметической профессии равен 25, а десятый - 3. Найти первый
член и разность.
44. Найти разность арифметической прогрессии, перьый член которой равен 100, а
сумма шести первых членов в пять раз больше суммы последующих шости членов.
238
45. Доказать, что последовательность (х„), заданная формулой n-го члена:
„ 1 г
а)х„ = 0^-2л-2; б)х„=рф
является геометрической прогрессией.
46. Первый член геометрической прогрессии равен 1. Сумма третьего и пятого
членов равна 90. Найти знаменатель прогрессии.
47. При каких значениях х числа 1; х2; 6 - х2, взятые в указанном порядке,
образуют геометрическую прогрессию?
48. Между пт стами 3 и 24 вставитьдва средних геометрических.
49. Я геометрической прогрессии и4 - 88, а </ = 2. Найти S,.
50. В геометрической прогрессии а3 + а, = 180, а в, + а.3 = 20. Найти эту про-
грессию.
51. Решить уравнение 1 +х + х2 + х3 + .. . + л” = 0.
52. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их
квадратов р^вка 189. Найти а, и ц.
53. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, если первое
чисто больше второго на 36, а третье болиде четвертого на 4.
54. Если из четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, вычесть
соответственно 2, 7, 9 и 5, го полученные числа составят геометрическую прогрессию.
Найти члены арифметической прогресии.
55. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической проресин, сумма первого
и пятого членов которой равна 34, а произведение первого и девятого членов равно 4.
56. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4,
а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
57. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у
которой каждый член относится к сумме последующих членов как 2 : 3.
ЧАСТЬ II
ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 9
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
§ 1. Основные понятия геометрии
В школьном курсе геометрии приняты как основные или начальные
понятия следующие четыре понятия: 1) точка; 2) прямая; 3) плоскость;
4) расстояние от одкой точки до другой. Эти понятия являются неопреде
лязмыми, такими же, как и понятия множества, натурального числа и
величины з арифметике и алгебре.
Точки обозначаются буквами А, В, С,.. ., а прямые - буквами а, Ъ, с,...
Для расстояния от точки А до точки В принято обозначение АВ.
239
Всякая геометрическая фигура составлена из точек. Свойства геометри-
ческой фигуры выражаются аксиомами и теоремами. Аксиома — это пред-
ложение, принимаемое без доказательства. Теорема — это предложение,
истинность которого устанавливается путем логического рассуждения, т.е.
доказательством.
Аксиомы выражают основные свойства простейших фигур, которые
являются отправными свойствами в доказательстве других, более сложных
свойств. Мы не будем приводить всех аксиом и ограничимся некоторыми
из них.
Аксиома 1. Для любой прямой существуют точки, принадлежащие
прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
Если А — точка и а — прямая, тс либо А принадлежит а. либо А не
принадлежит а. Коротко это записывают так: А € а, А $ а. В первом случае
говорят, что прямая а проходит через точку А, во втором случае — прямая
а не проходит через точку Л
Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и толь-
ко одна прямая.
Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей
точки.
Говорят, что две прямые пересекаются, если они имеют только одну
общую точку.
Аксиома 3. Если две различные точки прямой принадлежат некото-
рой плоскости, то эта прямая принадлежит этой плоскости.
Сформулируем основные свойства расстояний.
1) Расстояние от точки А до точки В положительно, если эти точки
различны, и равно нулю, если они совпадают:
AB>Q, если АФВ, и АВ = 0, если А=В,
2) Расстояние от точки А до ючки В равно расстоянию от точки В до
точки А:
АВ-ВА.
3) Для любых трех точек А, В, С расстояние АС меньше или равно сумме
расстояний АВ и ВС:
АС < АВ + ВС.
Эти свойства расстояний принимаются без доказательства и являются
аксиомами.
Теорема 1. Для любых трех точек А, В, С расстояние АС больше
или равно разности расстояний АВ и ВС:
АС >АВ - ВС.
Доказательство. По свойству расстояний
АВ < АС + ВС.
240
Вычитая из обеих частей этого неравенства ВС, получаем
АВ - ВС < АС.
т.е,
АО АВ-ВС.
Среда понятий геометрии, которые выбраны за основные, нет понятия
’’лежать между”. Его можно определить, используя понятия ’’точка” и
’’расстояние”.
Определение. Точка М лежит между точками А и В, если эти три
точки различны и AM + МВ ~ АВ.
Будем считать, что три точки принадлежат одной прямой тогда и только
тогда, когда одна из них лежит между двумя другими (рис. 75).
Теорема 2 (неравенство треугольника). Для любых точек А, В и С,
не принадлежащих одной прямой, расстояние АС меньше суммы расстояний
АВ и ВС:
АС< АВ + ВС
(рис. 76).
Доказательство. Но свойству расстояний
АС < АВ + ВС,
т.е. либо АС<АВ + ВС, либо АС - АВ + ВС. Равенство АС = АВ + ВС в
нашем случае выполняться не может.
В самом деле, это равенство означает, что точка Л лежит между точками
А и С. Но тогда А, В и С принадлежали бы одной прямой. Это противоречит
условию. Следовательно,
АС< ЛВ+ВС.
§ 2. Геометрические фигуры
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и
прямая. Рассмотрим следующие геометрические фигуры: отрезок, луч,
ломаная, угол, многоугольник, окружность и круг.
Отрезок. Отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая
из двух различных точек Л и В и всех точек, лежащих между ними, и обо-
241
значается АВ. Точки А и В называются концами отрезка АВ. Отрезок АВ
является частью прямой а, на которой лежат точки А и Я (рис. 77).
Длиной отрезка называется расстояние между его концами. Длина
отрезка ЛЯ обозначается так же, как и расстояние между его концами Л и
В' АВ.
Полуплоскость и луч. Основными свойствами расположения точек на
прямой и плоскости назовем следующие свойства:
1) Из трех различных точек на прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.
2) Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы
какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не
пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полу-
плоскостям, то отрезок пересекается с прямой (рис. 78).
д
Рис. 78
7>Б
Рис. 77
Возьмем на прямой а точку А и проведем через точку Л какую-нибудь
прямую Ь, отличную от а (рис 79). Прямая Ь разобьет плоскость на две
полуплоскости. Часть прямой а, лежащая в одной из этих полуплоскостей,
называется лучом или полупрямой. Точка А называется началом луча.
Лучи прямой а, на которые она разбивается точкой Л, называется дополни-
тельными.
Ломаная. Ломаной Л1Л2Л3. . . Ап называется фигура, состоящая из
отрезков Л^ Л2, Л2 Л3,..., Л„_1/1„, причем любые два отрезка, имеющие
общий конец, не принадлежат одной прямой.
242
Точки At, А2, А3,.. ,А„ называются вершинами ломанойЛ i Л2 А3 . , .
. . .А„, а отрезки A i Л2, А2 А 3,... ,A„_tA„ -звеньями ломаной. Ломаная
называется простой, если она не имеет самопересечений. На рис. SG изобра-
жена простая ломаная, а на рис. 81 — ломаная с самопересечением в точке В.
Дайной ломаной или периметром называется сумма длин ее звеньев.
Теорема1. Дейна ломаной больше расстояния между ее концами.
Доказательство. Рассмотрим, например, случай, когда ломаная
состоит из трех звеньев (рис. 82). Точки /It, А2 и А3 по определению
ломаной не лежат на одной прямой. Согласно теореме 2 § 1 имеем
Л1Л2 + Л2Л3> Л1.Лз-
По свойству расстояний
AiAз + А3А4 5s А1Л4.
Поэтому
Л1Л2 + А2Л3 + А3А 4 > А1А4,
что и требовалось доказать.
Угол. Углом называется фигура, которая состоит из двух различных
лучей с общим началом. Эта начальная точка называется вершиной угла,
а лучи — сторонами угла. Если стороны угла являются дополнительными
лучами одной прямой, то угол называется развернутым.
Угол обозначается тремя большими буквами, из которых средняя ста-
вится у вершины, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, или одной
буквой, поставленной у вершины: LAOB или L О (рис. 8Э).
Говорят, что луч с началом в вершине LAOB проходит между сторонами
этого угла, если он пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах
угла (рис. 84). В случае развернутого угла будем считать, что любой луч
с началом в вершине угла, отличный от его сторон, проходит между сторо-
нами угла.
Рис. 82
Рис. 83
Рис. 84
Измеряя отрезок, мы находим его длину. Измеряя угол при помощи
транспортира, мы находим его величину или градусную меру. Величина
угла АОВ обозначается L АОВ
Основные свойства измерения отрезков:
1) каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля;
2) если точка С прямой АВ лежит между точками Л и 2?, то длина отрез-
ка Л Б равна сумме длин отрезков АС и ВС.
243
Основные свойства измерения углов:
1) каждый угол имеет определенную величину (или градусную меру),
бб.лшую нуля; величина развернутого угла равна 180 градусам;
' 2) если луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, то величина угла
АОВ равна сумме величин углов АОС и ВОС.
Угол величиной в один градус (1°) — это угол, величина которого
меньше величины развернутого угла в 180 раз Применяются и другие
единицы для измерения углов: минуты и секунды. Одна минута (1' )
1 1
составляет—часть градуса. Одна секунда (1 ) составляет —часть мину-
1 60 60
ты или—— часть градуса.
Угол, в два раза меньший по величине но сравнению с развернутым, назы-
вается прямым углом (рис. 85). Углы АОС и ВОС — прямые: L АОС = 90°,
LBOC = 90°. Величину прямого угла часто обозначают буквой <1.
Два отрезка называются ризными, если они имеют одинаковую длину.
Два угла называются разными, если они имеют одинаковую величину
(или градусную меру). На любом луче из его начала можно отложить
отрезок, равный данному, и притом только один. Из двух неравных отрез-
ков будем считать большим тот, который имеет большую длину. От любого
луча в данной полуплоскости можно отложить угол, равный данному, и
притом только один. Из двух неравных углов будем считать большим тот,
который имеет большую величину.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а дру-
гие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рис. 86
углы АОВ и ВОС - смежные.
Теорема 2. Сумма величин смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (см. рис. 86) проходит между сторона-
ми развернутого угла. ПоэтомуДЛОД + LBOC= 180°, что и утверждалось.
Из теоремы 2 следует, что если два угла равны, то смежные с ними уг-
лы также равны.
Ява угла называются вертикальными, если стороны одного угла являют-
ся дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и
244
АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикаль-
ными (рис. 87).
Теорема 3. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD
(см. рис. 87). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ
и COD. По теореме 2
LAOB + LBOD= 180°, /. COD +/BOD =180°.
Отсюда заключаем, что LAOB ~ L COD. Равенство углов доказано.
Из теоремы 2 следует также, что угол, с.мсжный с прямым углом, есть
прямой угол.
Угол, величина которого меньше 90°, называется острым. Угол, вели ища
которого больше 90°, называется тупым. Так как сумма величин смеж-
ных углов равна 180°, то угол, смежный с острым, тупой, а смежный с
тупым, острый.
При пересечении двух прямых образуется четыре угла. Если один из
углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае прямые на-
зываются взаимно перпендикулярными (рис. 88).
Запись aLb обозначает перпендикулярность прямых а и Ь. Каждая
из двух взимно перпендикулярных прямых называется перпендикуляром
к другой из них. Через каждую точку прямой можно провести и притом
только одну прямую, перпендикулярную к ней (свойство единственности
перпендикуляра к прямой). В самом деле, от луча прямой а с началом в
точке А (см. рис. 88) можно отложить и притом только один угол, рав-
ный 90°.
Многоугольник. Ломаная называется замкнутой, если у нее концы
совладают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником.
При этом вершины ломаной называются вершинами многоугольника,
а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие
вершины многоугольника, не принадлежащие одной его стороне,
называются диагоналями многоугольника
Во всяком многоугольнике число вершин равно числу сторон. Много-
угольники разделяются на виды в зависимости от числа сторон. Много-
245
Рис. 89
Рис. 90
Рис. 91
угольник с тремя сторонами называется треугольником, многоугольник с
четырьмя сторонами — четырехугольником и т.д.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полу-
плоскости относительно любой его стороны и се продолжения. На рис. 89
изображен выпуклый пятиугольник, а на рис. 90 - невыпуклый четырех-
угольник. В выпуклом'чстырехугольнике диагонали пересекаются.
Фигуру, образованную многоугольником вместе с его внутренней об-
ластью, называют многоугольной областью (на рис. 91 заштрихована много-
угольная область). Для выпуклого многоугольника отрезок, соединяю-
щий любые две точки многоугольной области, целиком ей принадлежит.
Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.
Окружность и круг. Окружностью с центром О и радиусом R называ-
ется фигура, точками которой являются все точки плоскости, находя-
щиеся на расстоянии R от точки О.
Окружность можно определить как множество точек плс скости,
равноудаленных от данкей точки, называемой ее центром.
Радиусом называют также любой отрезок ОМ, соединяющий точку
М окружности с ее центром О. Отрезок, соединяющий две точки окруж-
ности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности,
называется диаметром окружности. На рис. 92 ОМ — радиус окружности,
АВ — хорда, CD - диаметр.
Кругом ридиуса R с центром О называется часть плоскости, все точки
которой находятся от точки О на расстоянии, не большем R (рис. 93).
Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.
Геометрия разделяется на планиметрию и стереометрию. Планиметрия
изучает свойства фигур на плоскости, а стереометрия — свойства фигур
в пространстве. Мы будем изучать планиметрию.
Рис. 92
Рис. 93
246
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Отрезок АВ разделен на три отрезка, длины которых относятся как 2 3:4.
Расстояние между серединами крайних частей равно 5,4 см. Найти длину отрезка А А
2. Доказать, что если М - внутренняя точка отрезка АВ, то AM < АВ.
3. На сторспах ВМ и BN неразаернутого угла MBN взяты соответственно точки
4, D и С, Е, причем BA > В11 и ВС> BE. Доказать, что АВ + ВС >AD + DE + ЕС.
4. На прямой а от точки О отложены отрезки ОА и ОВ, причем ОА = 12 см и ОВ =
= 16 см. Каким може> быть расстояние между серединами отрезков ОА. и ОВ1
5. Из вершины тупою угла проведены перпендикуляры к его сторонам; угол
4
между этими перпендикулярами равен —d. Найти величину тупого угла.
6. Сумма величин двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых,
равна 40°. Найти величины этих углов.
7. Найти смежные углы, если их градусные меры отазсятся как 3 : 2.
8. Величина одного из углоь, которые получаются при переселении двух прямых,
в три раза больше величины другого. Наити эти углы.
РАЗДЕЛ II
9. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 см, АС - 1,3 см,
ВС = 3 см?
10, Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пе-
ресекать каждую его сторону?
11. Отрезок, длина которого равна 36 см, разделен иа четыре не равные друг дру-
гу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найти расстояние
между серединами средних частей.
12. Чему равен угол, если величины двух смежных с ним углов составляют в сум-
ме 100’?
13. Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 3 : 7.
14. Величина о дного из углов, которые получаются при пересечении двух прямых,
на 40° меньше величины другою. Найти эти углы.
ГЛАВА 10
ПРЯМАЯ
§ 1. Треугольники
Треугольник и его элементы. Треугольником называется фигура, кото-
рая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно
соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами треугольника,
а отрезки — его сторонами. Треугольник с вершинами А, В, С и сторо-
нами ЛА, ВС, А С обозначается САЕС (рис. 94),
Углом (или внутренним углом) ДА АС при вершине А называется угол,
образованный лучами АВ и АС. Так же определяются углы треугольника
при вершинах Б и С.
241
Если продолжить о,дну из сторон за вершину треугольника, то получим
внешний угол треугольника. На рис. 95 L.BAD - внешний угол LABC.
Любой внешний угол является смежным с одним из внутренних углов
треугольника.
Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний
угол треугольника пополам и проведенный из вершины до пересечения с
противоположной стороной.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вер-
шины треугольника иа противоположную сторону или на ее продолжение
(рис. 96,а, б) На рис. 96 отрезок ВО — высота LABC.
Замечание. В этом параграфе будет доказано, что из любой точки,
не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую
и притом только один.
В любом треугольнике можно провести по три биссектрисы, медианы
и высоты. В общем случае биссектриса, медиана и высота, проведенные
из одной и той же верлшны треугольника, не совпадают.
Треугольники подразделяются на виды по сравнительной длине их сто-
рон или по величине их углов. В зависимости от длины сторон различают-
ся разносторонние треугольники, когда все стороны различной длины,
и равнобедренные, когда две стороны равны; в частности, равнобедрен-
ный треугольник называется равносторонним или правильным, когда
все три его стороны равны между собой.
Рис. 96
248
В зависимости от величины углов различаются остроугольные треу-
гольники, когда вес углы острые, прямоугольные, когда среди углов
треугольника есть прямой, и тупоугольные, когда среди углов треуголь-
ника есть тупой. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие
прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая против вершины
прямого угла, — гипотенузой.
Признаки равенства треугольников Свойства равнобедренного треу-
гольника. Треугольники АВС и A1B1Ci называются равными, если LA =
= LAt,LB = LB1,LC = LC1,AB=AiB1,BC^BlC1,AC^AiC1 (рис. 97).
А С А1
Рис. 97
Для обозначения равенства треугольников используется запись: LABC=
= 7\AlBlCi. При этом имеет значение порядок, в котором записывают-
ся вершины треугольника. Согласно определению равенство /\АВС =
= Л Д jT?! С: означает, что L А = LA±,. ^. ,АС = А^С^. А равенство Л АВС =
= Ь.ВХА\С\ означает уже другое: LA = LB\,..., AC ~ B^Ci *). Таким
образом, в равных треугольниках против равных углов лежат равные сто-
роны и, обратно, против равных сторон лежат равные углы.
Первый признак равенства треугольников. Если у
двух треугольников АВС и А^ЕЕС^ LA = LAX, АВ = Д16,, АС = AjCb
то эти треугольники равны, т.е. LB = LB,,LC = LCx,BC-B1Cl.
Этот признак принимается без доказательства и является аксиомой.
Пользуясь им, будем доказывать другие признаки равенства треугольни-
ков. Можно сформулировать первый признак равенства треугольников
следующим образом:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответствен-
но равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Теорема 1 (второй признак равенства треугольников). Если у
треугольников АВС и AiBlCi аВ = AiBlt LA = LAlr LB = LBi, то треу-
гольники равны, т.е. АС=А1С1, ВС ~B^Ci, LC = LCt (рис. 93).
Доказательство. Отложим на луче АС отрезок АС?, равный
отрезку AlС). Треугольники Aи АВС? равны по первому признаку
равенства: АВ =AtBi и LA aLAt по условию,АС? =AiCi по построению.
Из равенства этих треугольников следует равенство углов A ^В? С\ иАВС?,
а угол А х В? Ci равен углу АВС по условию.
*) Общее определение равенства сеометрю:ес-сих фигур приводится а § 2 гл. 13.
249
Углы АВС и ABCt отложены в одной полуплоскости от луча ВА. Из ра-
венства углов следует, что их стороны ВС и ВС2 совпадают; значит, точ-
ки С и Cj совпадают. Таким образом, А ЛВС совпадает с А АВС2, а знаьит,
равен АЛ jB, Q. Теорема доказана.
Можно сформулировать второй признак равенства треугольников так:
Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соот-
ветственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треу-
гольника, то такие треугольники равны.
Пусть А ЛЯС — равнобедренный с равными сторонами АС и ВС. Эти
равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона АВ
называется основанием треугольника (рис. 99).
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны.
Доказательство. А САВ = А СВ А по первого признаку равенства
треугольников. В самом деле. СИ = СВ, СВ = СА, LC = LC. Из равенства
треугольников следует, что LA=LB. Теорема доказана.
С
А П В
Рис. 100
Теорема 3. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник
равнобедренный.
Дано: LA = LB (см. рис. 99) Требуется доказать, что А ЛВС - равно-
бедренный.
Доказательство. С. АВС = А ВЛ Спо нторому признаку равенства
треух ельников. В самом деле, АВ = BA, LB = LA, LA = Z.B. Из равенства
треугольников следует, что АС = ВС. Теорема доказала.
Теорема 3 является обратной теореме 2.
250
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная
к основанию, является биссектрисой и высотой.
Дано: СА = СВ, CD - медиана (рис. 100). Требуется доказать, что ме-
диана CD есть биссектриса и высота А АВС.
Доказательство. Д CAD = Д CBD по первому признаку равенства
треугольников. В самом деле, СА = СВ по условию, LCAD = LCBD по тео-
реме 2, AD = BD, так как CD - медиана. Из равенства треугольников сле-
дует, что Z. ACD = LBCD, LADC = LBDC. Так как LACD = L BCD, то CD —
биссектриса. Так как углы ADC и BDC — смежные и равные, то они пря-
мые и, значит, CD — высота треугольника. Теорема доказана.
Теоремы 2, 3 и 4 выражают свойства равнобедренною треугольника.
Теорема 5 (третий признак равенства треугольников). Если у треу-
гольников АВС и A jB^C j АВ = , АС = A 1С2, ВС = 51Q, то треуголь-
ники равны, т.е. LA=LAi, LB = LBU LC = LCy.
Доказательство. Если LA = LAi или LB = LB2 (рис, 101), то
&АВС = Д А1В! Сх по первому признаку равенства треугольников. Допус-
тим, что LA ¥• LAi, LB =/= LB2. Отложим от луча АВ в полуплоскость,
где лежит точка С, угол, равный LA2, и на его стороне отложим отрезок
ЛС2, равный AiQ. ^AiBiCt = ЛАВС2 по первому признаку ра-
венства треугольников: AiBt =АВ по условию, А^ =АС2 nLBiAiCi =
= LBAC2 по построению. Из равенства треугольников следует, что ВС2 =
=В2С2
Треугольники СС2А и СС2В - равнобедренные с обшим основанием
СС2. Пусть D - середина отрезка СС2. Точка D не лежит па прямой АВ,
так как отрезок СС2 не пересекает эту прямую. Следовательно, прямые
AD и BD различны.
По теореме 4 прямые ADи BD как медианы в равнобедренных треуголь-
никах перпендикулярны прямой СС2. Однако через точку О можно про-
вести только одну прямую, перпендикулярную прямой СС2 (свойство
единственности перпендикуляра к прямой). Допустив,что LA Ф LA2 и
LB Ф LBi, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Итак, если три стороны одного треугольника равны трем сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
251
Соотношения между углями и сторонами треугольника.
Теорема 6. Сумма величин любых двух внутренних углов треуголь-
ника меньше 180°
Доказательство Докажем, что сумма величин углов при верши-
нах ВпС ЛАУС меньше 180° (рис. 102).
Через середину О стороны ВС проведем мсдиаку АО и на се продолже-
нии отложим отрезок OD, равный отрезку АО, По первому признаку ра-
венства треугольников САОВ - 1\ГА)С углы при вершине О равны, как
вертикальные, О А = OD и ВО - ОС по построению. Из равенства треуголь-
ников следует, что LABO = LOCD. Величина угла ДСП равна сумме вели-
чин углов АСВ и OCD, так как луч СО проходит между сторонами угла
ACD. Так как L OCD = LABC, то
LACD = L АВС Ы АСВ.
Угол ACD — неразвеснутый, так как точка D не лежит на прямой АС
Значит, LACD < 180°. Поэтому LA.BC + LACB < 180°. Теорема доказана.
Следствие. В любом треугольнике два внутренних угла острые.
Теорема 7. Внешний угол треугольника больше любого внутренне-
го, не смежного с ним.
Доказательство. Докажем, что внешний угол BCD ЛАВС боль-
ше любого из внутренних углов А и В, не смежных с этим внешним
(рис. 103).
По свойству смежных углов LBCD + L АСВ = 18С°.
По теореме 6 l.ACB + LBAC < 180°, / АСВ + LABC < 180°. Отсюда
следует, что LBCD> LBAC. LBCD> LABC. Теорема доказана.
Между сравнительной величиной углов треугольника и сравнительной
длиной ею сторон существуют соотношения. Мы уже знаем, что против
равных сторон в треугольнике лежат равные углы и, обратно, против
равных углов в треугольнике лежат равные стороны (свойства равнобец-
реннною треугольника).
Теорема 8. Против большей стороны в треугольнике лежит боль-
ший угол, и, обратно, против большего угла в треугольнике лежит боль-
шая сторона.
Доказательство. Пусть в Д АВС (рис. 104) сторона АВ больше
стороны ВС, т.е. АВ > ВС. Требуется доказать, что угол С больше угла
A,t.e.LBCA> LBAC.
252
Отложим на большей стороне ВА от вершины В отрезок BD, равный
меньшей стороне ВС, и соединим точки С и D отрезком CD. Тогда полу-
чим равнобедренный LDBC, у которого углы при основании равны, т.е.
LBDC - LBCD. Угол BDC, как внешний по отношению к L.ADC, больше
угла А; значит,и угол В С/) больше угла Л. Угол ВСА больше угла BCD', следо-
вательно, угол ВСА больше угла А. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть з к АВС угол С больше утла А. Докажем, что сторона АВ боль
ше стороны ВС.
Допустим, что у тверждение неверно. Тох да либо АВ = ВС, либо АВ < ВС.
В первом случае LABC - равнобедренный и, следовательно, углы А и С
при его основании равны. Но эго противоречит условию: угол С больше
угла А. Во втором случае АВ < ВС л по доказанному угол Л больше угла С,
что также противоречит условию. Поэтому АВ > ВС. Теорема доказана
полностью,
Из теоремы следует, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше катета.
Из свойств расстояний (§ 1 гл. 9) следует, что в любом треугольнике
каждая стерона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
Признаки равенства прямоугольных треугольников. В прямоугольных
треугольниках углы между катетами всегда равны, как углы прямые.
Поэтому прямоугольные треугольники равны:
1) если катеты одного тоеугольника соответственно равны катетам
другого',
2) если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника
соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу дру-
гого треугольника.
Эти два признака не требуют доказательства, так как спи представляют
собой частные случаи общих признаков равенства треугольников. Дока-
жем два следующих признака, относящиеся только к прямоугольным
треугольникам.
Теорема 9. Прямоугольные треугольники равны:
1) если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответствен-
но разны гипотенузе и острому углу другого треугольника или
2) если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны
гипотенузе и катету другого треугольника.
Доказательство. Пусть АВС и А^В^С^ — прямоугольные тре-
угольники с прямыми углами С и С2.
1) Дано: АВ = AkB ,LA = LAt. Докажем, что L.ABC = LAjBiCt.
Если при этом АС = AiCi, то треугольники равпы по первому призна-
ку равенства треугольников.
Допустим, что ЛС¥= HjCi, например, Л jС\ <АС. Отложим отрезок ЛС2,
равный AiCi (рис. 105). /\АВС2 = кА2В2С2, так как АВ = ArBi, LA =
= LA2 но условию, АС2 ~Ait\ по построению. Из равенства треугольников
следует, что LAC2B — прямой. Значит, LCC2B — прямой, как смежный
253
Рис. 106
к прямому углу. Мы пришли к противоречию: в Д СВС2 два прямых угла,
а это невозможно. Отсюда АС ~ АХСХ, а в этом случае ДАВС = ДА&С^
2) Дано: АВ =AiBlt ВС -B2Ci. Докажем, что Д АВС - Д A i Bj Cj.
Если при этом АС = А] С2, то треугольники равны по третьему призна-
ку равенства треугольников.
Допустим, что АС =# HjQ, например, AiCi < АС. Отлежим отрезок
СА2, равный CjXi (рис. 106). ДА2ВС - ДА^С^ так как углы Си Ci —
прямые, ВС = В'Ct по условию, А2С = А2С2 по построению. Из равенства
треугольников следует, что ВА2 = В равнобедренном ДАВА2 угол
при вершине А2 — тупой, как смежный к острому углу прямоугольного
ДВСА2. Значит, ДА — тоже тупой, а это невозможно. Поэтому АС = A iCt
и, следовательно, ДИДС = ДА1В1С1.
Предоставим читателю доказать следующий признак равенства пря-
моугольных треугольников: треугольники АВС и AiBjCi с прямыми уг-
лами С и Ci равны, если ВС = В) Ci и ДА =ДА2.
Перпендикуляр и наклонная. Пусть а - прямая, В — точка вне прямой
и А — точка на прямой а (рис. 107). Отрезок ВЛ называется перпендику-
ляром, опущенным из точки В на прямую а, если прямые а и АВ перпенди-
кулярны; при этом точка А называется основанием перпендикуляра.
Теорема 10. Из точки вне данной прямой можно провести перпен-
дикуляр к этой прямой и притом только один.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и В - точка, не лежа-
щая на этой прямой (рис. 108). Рассмотрим на прямой а какие-нибудь
точки С и D. Если прямая ВС перпендикулярна прямой CD, то отрезок
ВС и есть перпендикуляр к прямой CD,
254
Допустим, что прямая ВС не перпендикулярна к прямой CD. Прямая а
разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка В лежит в одной из
них. Отложим в другой полуплоскости от прямой CD угол, равный углу
BCD, и отложим на стороне этого угла отрезок СВХ, равный СВ. Отрезок
ВВ1 пересекает прямую а в некоторой точке А. Л САВ - Д САВГ, так как
у них сторона АС - общая, LBCA = L.B^CA и СВ - СВ 1 по построению.
Из равенства треугольников следует равенство смежных углов ВАС и.
В^АС. А если смежные углы равны, то они прямые. Следовательно, отре-
зок ВА - перпендикуляр к прямой а.
Допустим теперь, что из точки В можно пронести два перпендикуляра
В А и BAj к прямой а. Тогда у ВВААХ будет два прямых угла: L А и
LAit но это невозможно. Значит, из точки В можно провести перпенди-
куляр к прямой а и притом только один. Теорема доказана.
Пусть ВА - перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С -
любая точка на прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклон-
ной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 109) Точка С называется
основанием наклонной, а отрезок АС - проекцией наклонной. Из прямо-
угольного ДВА С с прямым углом А видим, что наклонная больше перпен-
дикуляра: в этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а перпен-
дикуляр — катетом.
Расстоянием от точки В ди прямой а, не проходящей через точку В, на-
зывается длина перпендикуляра, опущенного из точки В па прямую а.
Так как перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки,
то расстояние от точки В до прямой а является наименьшим из расстоя-
ний от точки В до любой из точек прямой а.
Теорема 11. Если из одной и той же точки вне прямой проведены
к этой прямой перпендикуляр и наклонные, то
1) если основания двух наклонных одинаково удалены отоснования
перпендикуляра, то такие наклонные равны-,
2) если основания двух наклонных неодинаково удалены от основания
перпендикуляра, то та из наклонных больше, основание которой даль-
ше отстоит от основания перпендикуляра (рис. 110).
255
Справедлива и обратная теорема. Формулировку обратной теоремы
и доказательства обеих теорем предоставим читателю.
Свойства серединного перпендикуляра к отрезку и биссектрисы угла.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпенди-
кулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
Теорема 12 (о свойствах серединного перпендикуляра). 1) Каж-
дая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от кон-
цов этого отрезка-,
2) и, обратно, каждая точка плоскости, равноудаленная от концов от-
резка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство. 1) Пусть р - серединный перпендикуляр к or
резку >42? и точка О -середина отрезка А В (рис 111).
Рассмотрим произвольную точку М на серединном перпендикуляре
р. Проведем отрезки AM и ВМ. LAOM = Д ВОМ, так как углы при верши-
не О — прямые, катет ОМ — общий, а катет О А равен катету О В по усло-
вию. Из равенства треугольников следует, что AM = ВМ.
2) Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ, т.е. AM = ВМ.
Тогда ЛАМВ — равнобедренный. Проведем через точку М и середину
О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равно-
бедренного Д АМВ, а следовательно, и высота, т.е. прямая р есть середин-
ный перпендикуляр к отрезку А В. Теорема доказана.
Таким образом, множество всех точек плоскости, равноудаленных
от концов данного отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому от-
резку.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины,
проходит между его сторонами и делит угол пополам.
Теорема 13 (о свойствах биссектрисы угла). 1) Если точка лежит
на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла;
2) если точка луча, проведенного между сторонами угла, равноудале-
на от сторон этого угла, то она лежит на его биссектрисе.
256
Доказательство. 1) Пусть I — биссектриса углаАОВ (рис. 112).
Рассмотрим произвольную точку М на луче I. Опустим из точки М пер-
пендикуляры МС и MD на стороны угла АОВ. Д ОМС = Д OMD-. у них гипо-
тенуза ОМ — общая, а углы СОМ и DOM равны по условию. Отсюда следу-
ет, что МС = MD.
2) Пусть точка М на лу те I рав ноудалеча от сторон угла А ОВ (см. ркс. 112),
т.е. перпендикуляры МС к МО к сторонам этого угла равны. Тогда Д ОМС =
= ДОЛ/Z? по признаку рвенства прямоугольных треугольников. Отсюда
LCOM = LDOM, til, следовательно, луч ОМ является биссектрисой углаЯОБ.
Теорема доказана,
§ 2. Основные геометрические построения
В задачах на построение будем рассматривать построение геометричес-
кой фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.
Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в ре-
шении вопроса о тем, как это сделать, и соответствующем доказательстве.
С помощью линейки можно провести произвольную прямую; произ-
вольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую
через две данные точки.
С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность
данного радиуса. Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой
из данной точки.
Основные задачи на построение.
Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, Ь, с
(рис. 113),
Решение. С помощью линейки проводам произвольную прямую и
возьмем на пей произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а,
списываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пере-
сечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность
Рис. ИЗ
из центра В, а раствором циркуля, равным Ь, — окружность из центра С.
Пусть Л — точка пересечения этих окружностей. LABC имеет стороны, рав-
ные а, Ь, с.
Задача имеет решение только в том случае, когда каждый из отрезков
а, Ь, с меньше суммы двух других отрезков, но больше их разности.
Задача 2. Отложить на данном луче в данную полуплоскость угол,
равный данному углу (рис- 114).
257
Решение. Проведем произвольную окружность с центром в верши-
не А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторо-
нами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О —
начальной точке данного луча. Точку пересечения этой окружности с дан-
ным лучом обозначим С\. Опишем окружность с центром и радиу-
сом ВС, Точка Вг пересечения двух окружностей в указанной полуплос-
кости лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства LABC =
= LGBlCl.
Задача 3. Построить биссектрису данного неразверчутого угла
(рис. 115).
Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим
окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечении со
сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности.
Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Луч АР делит угол И попо-
лам. Эго следует из равенства LABD = LACD.
Задача 4. Разделить данный отрезок пополам (рис. 116).
Решение. Из концов А и В данного отрезка АВ описываем окруж-
ности радиусом АВ. Пусть С и В - точки пересечения этих окружностей.
Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АЛ. Отрезок CD
пересекает прямую АВ в некоторой течке О. Эта точка и есть середина
отрезка АВ. В самом деле, LCAD = LCBD. Отсюда LACO = LBCO. Поэто-
258
му ДИС'О = LBCO и, следовательно, АО = В0. Таким образом, О — сере-
дина отрезка АВ.
Задача 5. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку,
Решается так же, как задача 4; прямая CD — серединный перпенди-
куляр к отрезку АВ (см. рис. 116).
Задача 6, Из данной точки провести перпендикуляр к данной прямой.
Решение. Возможны два случая-
1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 117);
2) данная точка О не лежит на данной прямой а (рис. 118).
Рассмотрим оба случая.
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность Она
пересекает прямую а в двух точках Л и В. Из точек А мВ проводим окруж-
ности радиусом АВ. Пусть С — точка из пересечения. Получаем ОС 1 АВ.
В самом деле, 1\АСВ — равнобедренный, СА = СВ. Отрезок СО есть медиана
этого треугольника, а следовательно, и высота.
2) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересе-
кающую прямую а в точках А и В. Из точек Л и В тем же радиусом прово-
дим окружности. Пусть О t — точка их пересечения, отличная от О. Полу
чаем 0011 АВ. В самом деле, точки О и Oi равноудалены or концов
отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к это-
му отрезку
§ 3. Параллельные прямые
Определение параллельных прямых. Две различные прямые либо имеют
только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. В первом
случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые
не пересекаются. Дадим определение, соответствующее второму случаю
взаимного расположения двух прямых на плоскости.
Определение. Две прямые на плоскости называются параллель-
ными, если они не пересекаются.
9* 259
Параллельность прямых а и b обозначается так: а II Ь.
Пусть две прямые а и Ъ пересечены третьей прямой с (рис, 119) Пря-
мая с называется секущей по отношению к прямым а и Ь, если она пересе-
кает их в двух различных точках. При пересечении прямых а и b секу-
щей с образуется 8 углов, которые на рис. 119 отмечены цифрами. Опреде-
ленные пары углов имеют специальные названия: соответственные углы 1
и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7; накрест лежащие углы 3 и 5,4 и 6; односторонние
углы 4 и 5,3 и 6.
Признаки параллельности двух прямых.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
1) накрест лежащие углы равны, или
2) соответственные углы равны, или
3) сумма величин односторонних углов равна 180е,
то прямые параллельны (рис 120).
Доказательство. 1) Пусть при пересечении прямых а и b секу-
щей АЙ накрест лежащие углы равны:/. 4 = /.6. Докажем, что а II 2>.
Предположим противное: прямые а и Ь не параллельны. Тогда они пе-
ресекаются в некоторой точке М, и, следовательно, один из углов 4 или 6
будет внешним углом LABM. Пусть для определенности Z.4 — внешний
угол LABM, a Z.6 — внутренний. По теореме о внешнем угле треугольника
Z.4 больше L 6, а это противоречит условию. Значит, прямые а и b не могут
пересекаться, поэтому они параллельны. Признак параллельности двух пря-
мых для этого случая доказан.
260
2) Пусть при пересечении прямых а и Ъ секущей с соответственные
углы равны. Например, L. 2 = L 6. Докажем, что а IIЪ,
Вертикальные углы 2 и 4 равны. Значит, накрест лежащие утлы 4 и 6
равны. Отсюда следует, что а Ий.
3) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма величин одно-
сторонних углов равна 180°. Например, А 3 + А 6 = 186°. Докажем, что а IIЬ.
Углы 3 и 4 - смежные. Поэтому L3 + А4 = 18С' , Из равенств АЗ + А6 =
= 180° и L3 + А 4 = 180° следует равенство накрест лежащих углов 4 и 6:
А 4 = А 6. Поэтому а II Ъ. Теорема доказана полностью,
Следствие. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные
к одной и той же прямой, параллельны.
Пусть прямые а и Ъ перпендикулярны прямой р (рис. 121). При пересе-
чении прямых а и b секущей р накрест лежащие углы 4 и 6 - прямые, по-
этому они равны. Отсюда следует, что а IIЬ.
Задача. Построить прямую, проходящую через данную точку М
и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение Проводим через точку М прямую р, перпендикулярную
прямой а — задача 6 § 2 (рис. 122). Затем проводим через точку М пря-
мую b перпендикулярно прямой р. Прямая Ъ параллельна прямой а соглас-
но следствию из теоремы 1.
Свойства параллельных прямых. Из рассмотренной задачи следует
важный вывод: через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно
провести прямую, параллельную данной.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома о параллельных прямых. Через данную точку,
не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллель-
ная данной прямой.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, вытекающие
из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пере-
секает и другую (рис. 123).
Пусть a II b и прямая с пересекает прямую Ъ в точке М. Если бы пря-
мая с не пересекала прямую а, то через точку М проходили бы две различ-
261
ные прямые Ъ и с, параллельные прямой а. Так как это противоречит аксио-
ме о параллельных прямых, то прямая с пересекает и прямую а.
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны (рис. 124),
Допустим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются
в некоторой точке М Через точку М преходили бы две различные пря-
мые а тлЬ, параллельные прямой с. Это противоречит аксиоме о параллель-
ных прямых. Поэтому наше допущение неверно, и прямые а и b парал-
лельны.
Докажем теорему об углах, образованных двумя параллельными пря-
мыми и секущей, обратную теореме 1.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
1) накрест лежащие углы равны;
2) соответственные углы равны;
3) сумма величин односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть параллельные прямые а и Ъ пересечены
секущей с.
Допустим, что L I #= L 2 (рис. 125). Построим луч МР так, чтобы LPMN
и L2 были накрест лежащими при пересечении прямыхМРи b секущей MN.
Причем LPMN- L2. Так как зги накрест лежащие углы равны, то прямые
МР и Ъ параллельны. Тогда две различные прямые МР и а проходят через
точку М и параллельны прямой Ь. Это противоречит аксиоме о параллель-
ных прямых. Значит, наше допущение неверно, и LI = L2. Из равенства
накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов и ра-
венство суммы величин односторонних углов 180 градусам. Теорема до
казана.
Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух парал-
лельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Доказательство. Пусть а II b и с 1 а (рис. 126). Прямая с пере-
секает прямую а; значит, ока пересекает прямую Ь, параллельную а. При
пересечекии двух параллельных прямых а и Ь секущей с образуются рав-
ные накрест лежащие углы L 1 = Z.2, Так как с 1 а, то L1 ~ 90°, поэтому
£2 = 90° т.е. ci Ъ.
262
Предоставим читателю доказать следующие две теоремы.
Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого
угла (т.е. принадлежат параллельным прямым), то величины этих углов
или равны, или в сумме составляют 180°: LI = L2 или /.1+2.3 = 180*
(рис. 127).
Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторо-
нами). Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторо-
нам другого угла, причем оба угла принадлежат одной и той же плоскости,
то величины этих углов или равны, или в сумме составляют 18 Э°: LI -L2
или L 1 + L 3 = 180° (рис. 128).
Сумма величин внутрегаих углоп треугольника и многоугольника.
Теорема 3. Сумма величин внутренних углов треугольника рав-
на 180°.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 129).
Докажем, что LA + LB + 1-С~ 180°.
Рис. 129
Через середину О стороны ВС проведем медиану АО и на ее продолже-
нии отложим отрезок OD, равный отрезку Л О. По второму признаку ра-
венства треугольников ЕАОВ = EDOC- углы при г.ершине О равны, как
вертикальные, АО = OD и ВО = ОС по построению. Из равенства треуголь-
ников следует, что LABO = LOCD. Так как эти углы являются равными
накрест лежатцими углами при пересечении прямых АВ и CD секущей ВС,
то прямые АВ и CD параллельны.
Рассмотрим луч СЕ, дополнительный к лучу СА. Угол А равен углу ПСЕ,
как соответственные углы при параллельных прямых АВ и CD Так как
L DCE + LOCD + LACO ~ 180°, то LA + LB + LC ~ 180°. Теорема доказана.
263
Следствия. 1) Внешний угол треугольника равен сумме двух внут-
ренних углов, не смежных с ним,
В самом деле, из равенств LA + LB + LC = 180 иLВСЕ + LACB = 180°
получаем, что LBCE = LA + LB.
2) Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника рав-
на
3) В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый
угол имеет величину в 45°,
4) В равностороннем треугольнике каждый угол имеет величину в 60°.
5) Длина катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла
в 30°, равна половине длины гипотенузы.
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом Л ylLABC =
= 30°
(рис. 130). Докажем, что АС = — ВС, Так как / АВС + LC = 90е,
то lC = 60L. Рассмотрим луч AD, дополнительный к лучу АВ, и отложим
на нем отрезок AD. равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники
АВС и ABD равны: катет АВ — общий, а катеты АС и /Неравны по построе-
нию. Из равенства треугольнике:? следует, что LD = LC = 60°, LABD =
= LABC = 30°, и поэтому LDBC = 60°. Значит в LBCD утлы DBC и В DC
равны (LDBC = LBDC = 60’), и, следовательно, DC = ВС, Так как АС =
1 1
= — DC, то АС = — ВС, что и требовалось доказать.
Предоставим читателю доказать обратное утверждение: если в прямо-
угольном треугольнике длина катета равна половине длины гипотенузы,
то величина угла, лежащего против этого катета, равна 30’
Теорема 4. Сумма величин внутренних углов выпуклого много-
угольника, имеющего п сторон, равна 180е (п - 2). Сумма величин внеш-
них углов любого выпуклого многоугольника равна 360°.
Доказательство. Пусть А гАг ... Ап - данный выпуклый много-
угольник (рис. 131). Из какой-нибудь его вершины, например из верши-
ны А1, проведем диагонали многоугольника. Тогда получим п — 2 треуголь-
ника А1А2А3, А1А3Ал,..., AlA„_iAn. Сумма величин внутренних углов
треугольника равна 180°. Поэтому сумма величин внутренних углов дан-
ного многоугольника равна 180° (и — 2).
264
В частности, при п ~ 4, т.е. для выпуклого четырехугольника, сумме ве-
личин внутренних углов равна 369 (рис. 132).
Внешним углом многоугольника является угол, смежный внутреннему
(рис. 133). Так как сумма величин смежных углов равна 180°п, то сумма
величин внешних углов многоугольника равна 180°и — 180° (и — 2) = 36G' .
Теорема доказана.
§ 4. Четырехугольники
Будем рассматривать выпуклые четырехугольники с параллельными
сторонами: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, тралению.
Параллелограмм.
Определение. Параллелограммом называется четырсхугольник,
у которого противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на парал-
лельных прямых (рис, 134).
Теорема 1 (о свойстве сторон и углов параллелограмма). В парал-
лелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы
равны и сумма величин углов, прилежащих к одной стороне параллело-
грамма, равна 180°.
Доказательство. В данном параллелограмме А В CD проведем
диагональ АС и получим два треугольника АВС и ADC (рис. 135). Эти
треугольники равны, гак как Z.1=Z.4, 2.2=2 3 (накрест лежащие углы
при параллельных прямых), а сторона АС - общая. Из равенства LAB С =
?65
= LADC следует, что АВ - CD, ВС = AD, LB = LD, LA = LC, Сумма ве-
личин углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна
180°, как односторонних при параллельных прямых. Теорема доказана.
Замечание, Равенство противоположных сторон параллелограмма
означает, что отрезки параллельных, отсекаемые параллельными, равны.
Следствие. Если две прямые параллельны, то все точки одной пря-
мой находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой.
Доказательство. Пусть а С b (рис. 136). Проведем из каких-
нибудь двух точек В и С прямой b перпендикуляры ВА и CD к прямой а.
Так как АВ II CD, то четырехугольник ABCD — параллелограмм и, следо-
вательно, АВ = CD.
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется рас-
стояние от произвольней точки одной из прямых до другой прямой. По
доказанному оно равн длине перпендикуляра, проведенного из какой-
нибудь точки одной из параллельных прямых к другой прямой.
Теорема 2 (признак параллелограмма). Если в выпуклом четырех-
угольнике:
1) противоположные стороны равны между собой, или
2) две противоположные стороны равны и параллельны, или
3) диагонали е точке пересечения делятся пополам,
то такой четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. 1) Пусть АВ CD — четырехугольник, у которого
АВ = CD, ВС = AD (см. рис. 135), Докажем,чтоABCD— параллелограмм:
АВ II CD, ВС WAD.
Проведем диагональ АС и получим треугольники АВС и ADC. LABC =
= A4DC, так как АС — ебшая сторона, АВ = CD и ВС = AD по условию.
11оэтому LI = Z. 4, L 2 = L 3, а из равенства накрест лежащих углов следует
параллельность прямых: ВС II AD, АВ “ CD,
2) Предлагается доказать читателю.
3) Пусть ABCD — данный четырехугольник и О — точка пересечения
его диагоналей (рис. 137). АЛОВ = LCOD: у них углы при вершине О
равны, как вертикальные, О А = ОС nGB ~ OD по условию. Следовательно,
АВ = CD, LOAB = LOCD. Эти углы являются накрест лежащими при пря-
мых АВ и CD и секущей АС; значит, АВ II CD Итак, АВ = CD и АВ " CD.
Поэтому ABCD — параллелограмм.
266
Теорема 3 (обратная теореме 2, п. 3)). Диагонали параллелограмма
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство, Пусть АВ CD — данный параллелограмм
(рис. 138). Проведем его диагональ BD; точка О — середина диагонали BD.
На продолжении отрезка АО отложим отрезок ОСг, равный АО По теоре-
ме 2, п. 3), четырехугольник ABC^D — параллелограмм. Следовательно,
прямая /непараллельна прямой AD. Согласно аксиоме о параллельных пря-
мых через точку В можпо провести только одну прямую, параллельную AD.
Поэтому прямая BCi совпадает с прямой ВС. Так же доказывается, что
прямая DC\ совпадает с прямой DC Так как прямые ВС и DC имеют толь-
ко олну общую точку С, то точка Q совпадает с течкой С. Параллелограмм
ABCiD совпадает с параллелограммом A.BCD. Поэтому диагонали парал-
лелограмма АВ CD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Прямоугольник, ромб, квадрат. Прямоугольником называется парал-
лелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми
свойствами параллелограмма; например, в прямоугольнике противопо-
ложные стороны равны, диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
Предлагается читателю доказать следующие особые свойства
прямоугольника и ромба:
1) диагонали прямоугольника равны: АС - BD (рис. 139);
2) если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм яв-
ляется прямоугольником;
3) диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба
пополам (рис-140).
Квадратом называется прямоугольник, вес стороны которого равны.
Квадрат является ромбом, у которого все углы прямые. Поэтому он обла-
дает свойствами прямоугольника и ромба. Основные свойства
квадрата: диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, в точке
пересечения делятся пополам и делят его углы пополам (рис. 141).
Теорема Фалеса. Свойство средней линии треугольника.
Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить после
дователъно несколько равных отрезков и через их концы провести па-
257
раллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на
вюрой прямой равные между собой отрезки.
Доказательство, Пусть и /2 — данные прямые Ъсли прямые
li и /2 параллельны, то утверждение теоремы сразу следует из свойства
параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны.
Остается доказать теорему для случая, когда прямые li и 12 не парал-
лельны.
Рассмотрим на прямой /] равные отрезки A ,Br h^iCj и через их концы
проведем параллельные прямые а, b и с, которые пересекают прямую 12
соответственно в гочкахХ2, В2 и С2 (рис. 142). Докажем,что Л252 =В2С?-
Проведем через точку В2 вспомогательную прямую I, параллельную
прямой /1. Она пересекает прямые лиев точках А и С. Четырехугольники
A2AB2Bi иВ\В2СС\ являются параллелограммами, поэтому 4 j/Ij =АВ2,
Bi Ci ~ В2С. Следовательно, АВ2 - В2С, т.е. точка В2 — середина отрез-
ка АС.
Рассмотрим треугольники АА2В2 и СС2В2. Эти треугольники равны,
так как АВ2 = В2С, LAB2A2 = LCB2C2, как вертикальные углы,
£Д2/1Й2 = LC2CB2, как накрест лежащие углы при пересечении параллель-
ных прямых а и с и секущей Z; следовательно, А2В2 = В2С2.
Точно так же доказывается, что В2С2 = C2D2, если BtCt = C\Di,m тд.
Теорема доказана.
Задача. Разделить данный отрезок АВ на п равных частей.
Решение Проведем из точки А произвольный луч А С, не принадле-
жащий прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно п рав-
ных отрезков AAi. AiA2, ..., A^^tAn (рис. 143). Проведем через точки
268
Ап и В прямую. Прямые, параллетьные прямой АпВ и проходящие через
точки А2, А2,..., An^lf пересекают отрезок АВ в точках В2, В2, ..
..., Bn-i, которые и делят отрезок АВ на п равных частей. Это следует
из теоремы Фалеса.
Определение. Средней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух его сторон.
Теорема 4 (о свойстве средней линии треугольника). Средняя ли-
ния треугольника параллельна третьей его стороне, а длина ее равна поло-
вине длины этой стороны.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, a MN —
средняя линии, соединяющая середины сторон АВ и ВС (рис. 144). Дока-
жем, что MN Р АС и MN= — АС
2
Проведем через точки В и М прямые b и пг, параллельные прямой Л С.
Точка М — середина отрезка АВ, поэтому, согласно теореме Фапеса, пря-
мая т проходит через середину N отрезка ВС, т.е. совпадает с прямойMN.
Значит, MN IIЛ С.
Еровелем через точки N и С прямые лис, параллельные прямой АВ
Точка N - середина отрезка ВС, поэтому прямая п проходит через сере-
дину отрезка АС — точку Р. Четырехугольник AMNP — параллелограмм,
так как AM II PN, MN II АР. Поэтому MN = АР или MN = - АС. Итак.
1 2
MN II АС и MN= - АС. Теорема доказана.
Трапеция. Свойство средней лилии трапеции Трапецией называется вы-
пуклый четырехугольник, у которого две противоположные стороны па-
раллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции (AD и ВС) называются ее основания-
ми, непараллельные (АВ и CD) — боковыми сторонами (рис. 145). Трапе-
ция называется равнобочной, или равнобедренной, если боковые стороны
равыы (рис. 146). Трапеция, один из углов которой прямой, называется
прямоугольной (рис. 147).
269
В равнобочной трапеции углы при основании равны.
Докажем, например, что LA = LD (см. рис. 146). Из точек В и С прове-
дем перпендикуляры ВР и CQ к основанию AD. Так как ВС II A D, то
BP = CQ. Прямоугольные треугольники АР В и DQC равны: у них ДР = CQ,
а АВ = CD по условию. Из равенства треугольников следует, что LA =LD.
Верно и обратное утверждение: если углы (например, А и D) при осно-
вании трапеции равны, то трапеция является равнобочной.
В любой трапеции сумма вели-яш углов, прилежащих к боковой стороне,
равна 180° (по свойству односторонних углов, образованных при пересе-
чении двух параллельных прямых и секушей).
Определение. Средней линией трапеции называется отрезок,
соединяющий середины ее боковых сторон.
Теорема 5 (о свойстве средней линии трапеции). Средняя линия тра-
пеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.
Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция, a MN — ее сред-
„ 1
кяя линия (рис. 148). Докажем, что MN WAD hMN=- - (AD + BC)
Проведем через середину М стороны АВ прямую тп, параллельную осно-
ваниям AD и ВС. Согласно теореме Фалеса прямая tn проходит через сере-
дину отрезка CD — точку N, т.е. совпадает с прямой MN. Значит, MN М£>.
Проведем диагональ BD и обозначим точку ее пересечения со средней
пинией трапеции через Р. По теореме Фалеса точка Р - середина отрезка BD.
Отрезки МР и PN — средние линии треугольников ABD и BDC. Ио свойству
средней линии треугольника
1 1
MP=-AD, PN=-BC.
2 2
Следовательно,
1 1 1
MN = MP+PN= -AD + - ВС= - (AD+BC).
2 2 2
Итак, MN IIAD и MN = — (AD + ВС). Теорема доказана.
270
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Доказать, что в равнобедренном треугольнике две медианы равны, две биссек-
трисы равны, две высоты равны.
2. Доказать, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, отсекает от его сто-
рон равные отрезки.
3. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного тре-
угольника параллельна основанию.
4. Доказать, что множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой
на расстояние й, состоит нз двух прямых, параллельных этой прямой и отстоящих от
нес на й.
5. Доказать, что в прямоуго.тьном TpeyrojibHHKe медиана, проведенная к гипоте-
нузе, равна ее половине. (Указание. Продолжить медиану на отрезок, равный ме-
диане.) Доказать обратное утверждение: если медиана равна половине стороны, к ко-
торой она проведена, то треугольник прямоугольный.
6, Построить треугольник: а) по стороне и прилежащим к ней углам; б) по двум
сторонам и углу между ними; в) пс двум сторонам и углу, противолежащему одной
из них.
7. В данном треугольнике построить его медианы, высоты и биссектрисы.
8. Построить треугольник, если доны середины его сторон.
9. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущен-
ной на боковую сторону.
10. Построить треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма
двух других сторон.
11. Найти величины углов треугольника, зная, что внешние углы при двух его вер-
шинах равны 100° и 130°.
12. Величины углов треугольника относятся как 1 :2 : 3. Бо.тьшая сторона имеет
длину 8 м. Найти длины меньшей стороны и медианы большей стороны.
13. Найти величину угла между; а) двумя биссектрисами равностороннего тре-
угольника; б) биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника
14. Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются верши-
нами параллелограмма.
15. Доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
И обратно, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
16- Доказать, что всякий отрезок с концами на основаниях трапеции делится сред-
ней Линией трапеции пополам.
17. Построить прямоугольник: а) по стороне и сумме его диагоналей; б) по диаго-
нали и углу между диагоналями.
18. Построить ромб: а) по стороне и диагонали; б) по стороне и углу; в) по диаго-
нали и высоте.
19. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна
6 см. Найти длины сторон треугольника, если его периметр равен 32 см.
20. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 1,4 м.
Найти длины сторон.
21. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат гак, что две его
вепшины находятся на гипотенузе, а две другие - на катетах. Найти сторону квадрата,
если известно, что гипотенуза равна 6 см.
22. Углы, образуемые диагона1Имп ромба с одной из его сторон, относягся как
5 : 4, Найти величины углов ромба.
23, Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды,
которые удалены от центра на 3 см и 5 см. Наити их длины
271
24. Меньшее основание равнобочной трапеции равно боковой стороне, а диагональ
перпендикулярна боковой стороне. Найти величины углов трапеции.
25. Основания трапеции относятся как 2 : 3, а средняя линия равна 10 и. Найтп
основания.
РАЗДЕЛ II
26. Каждгя из сторон равностороннего треугольника АВС продолжена: АВ за вер-
шину В, ВС за вершину С, СА за вершину А, и на продолжениях сторон отложены
отрезки одинаковой длины, через их концы В,, С,, А, и соответственно вершины С,
А, В проведены прямые В,С, С,А нА1В. Определить вид треугольника, полученного
пересечением этих прямых.
27. Доказать, что длина каждой стороны треугольника меньше его полупериметра.
28. Доказать, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, опу-
щенная на гш 'стснузу, равна ее половине.
29. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. До-
казать, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой
точке пополам.
30 Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, паралле-
лен основаниям к равен полуразности оснований.
31. Построить равносторонний треугольник по его высоте.
32. Даны угол и точка, ГГрсвести через эту течку прямую, которая отсекает от
сторон угла равные отрезки.
33. Даны три точки: А, В, С. Построить точку, которая одинаково удалена от
точек А и В и находится на данном расстоянии ст течки С.
34. Построить треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и раз-
ность двух других сторон.
35. Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и
гипотенузы.
36. Построить треугольник, если даны его периметр и два угла.
37. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан
прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найти периметр прямо-
угольника.
38. Периметр параллсло:рамма ABCD равен 46 см, АВ = 9 см. Какую сторону па
раллелограмма пересечет биссектриса угла А ? Найти длины отрезков, которые полу-
чатся при этом пересечении.
39. Середины В и Е сторон АВ п CD параллелограмма ABCD соединены прямыми
соответстгенно с вершинами D и В. Доказать, что эти прямые деляг диагональ АС на
три равные части.
40. Стороны ромба образуют с его диагоналями углы, разность которых равна
3
— а. Найти величины углов ромба.
41. В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона рав
на ] м, угол между ними 60°. Найтп меньшее основание.
42. Построить квадрат: а) по двум вершинам; б) по данному периметру; в) по
цанно ti дпагенали.
43. Построить трапецию: а) по основаниям и боковым сторонам; б) по основаниям
и диагоналям.
272
ГЛАВА П
ОКРУЖНОСТЬ
§ 1. Взаимное расположение прямой и окружности.
Касательная к окружности
Пусть R — радиус окружности и d - расстояние от центра окружности
до прямой р (т.е. длина перпендикуляра, опущенною из центра на прямую).
Возможны три случая:
а) если R > d, то прямая имеет две общие точки с окружностью
(рис. 149, а);
б) если R=d,TO прямая имеет только одну общую точку с окружностью
(рис. 149, б);
в) если R < d, то прямая не имеет общих точек с окружностью
(рис. 149, в)
Доказательство. Примем центр окружности за начало координат,
а прямую, перпендикулярную данной прямой р, за ось Ох. Тогда уравне-
нием окружности будет х2 + у2 = Я2, а уравнением прямой р будет х = d
( § 5 гл. 7). Для того чтобы прямая и окружность имели общие точки, надо,
чтобы система двух уравнений
<х2+у2 = R2,
I х = d
имела решение. И обратно, всякое решение этой системы дает координаты
(х; у) общей точки прямей и окружности. Решая систему, получаем
у2 = R2 — d2 .
Из этого выражения для у видно, что система имеет два решения, если
R > d. Система имеет одно решение, если Л = d. Система не имеет решения,
если R < d *).
Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну об-
щую точку, называется касательной к окружности, а общая точка прямой
и окружности - точкой касания
*) Нас интересуют действительные решения системы.
273
На рис. 149» б прямая р — касательная к окружности,Л — тачка касания.
Таким образом, при R > d прямая и окружность пересекаются; при
R - d прямая и окружность касаются; при R < d прямая и окружность
не пересекаются.
Рассмотрим свойства касательной к окружности.
Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу
этой окружности, проведенному в точку касания.
Доказательство. Пусть р — касательная к окружности, А —
точка касания (см. рис. 149, б). Докажем, что О А 1 р.
Допустим, что это не так. Тогда радиус О А является наклонной к пря-
мой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, мень-
ше наклонной О А, то расстояние от центра О окружности до прямой р
меньше радиуса. Значит, прямая р пересекает окружность. Но зю проти-
воречит условию. Наше допущение неверно, и О A 1 р.
Теорема 2 (обратная теореме 1). Если прямая перпендикулярна
радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности,
то она является касательной к этой окружности.
Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.
Задача 1. Построить касательную к данной окружности, параллель-
ную данной прямой.
Решение. Опускаем на данную прямую а из центра О перпендикуляр
ОА и через точки В и С, в которых этот перпендикуляр пересекается с
окружностью, проводим прямые b и с параллельно а (рис. 150). По тео-
реме 2 b и с — искомые касательные.
Задача 2. Через данную точку провести касательную к данной окруж-
ности.
Решение. Рассмотрим два случая.
1) Данная точка 4 лежит на данной окружности (рис. 151). Тогда про
водим радиус О А и из его конца Л построим перпендикуляр ВС к этому
радиусу. По теореме 2 ВС — искомая касательная.
2) Данная точка А лежит вне данной окружности (рис. 152). Тогда,
соединив точку А с центром окружности О, делим отрезок АО пополам
в точке О^. Затем с центром и радиусом ООх проводим окружность.
274
Эта окружность пересекается с данной. Через их точки пересечения В и В i
проводим прямые АВ кАВ^ Эти прямые и будут касательными, так как
углы ОВА и OBiA, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, пря-
мые (см, § 2).
Следствие. Отрезки двух касательных, проведенных к окружности
из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей
эту точку с центром.
Это свойство касательных к окружности следует из равенства прямо-
угольных треугольников АОВ и AOBt: АВ = ABit LOAB = LOABt
(см. рис. 152)
§ 2. Углы в окружности
Пусть А и В — две точки окружности (рис. 153). Проведем через них
прямую. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Части окруж-
ности, лежащие в этих полуплоскостях, называются дугами окружности.
Если АВ — диаметр, то дуги окружности называются полуокружностями.
Чтобы различить две дуги окружности с общими концами А и В, на каждой
из них отмечают промежуточную точку, например L и М, и обозначают
дуги тремя буквами: oALB и ^АМВ.
Если хорда АВ не является диаметром, то дуга AM В лежит в полуплос-
кости, которая содержит центр окружности. Говорят, что эта дуга больше
полуокружности, а дуга ALB меньше полуокружности.
Рис. 153
Центральным углом, отвечающим данной дуге окружности, будем
называть фигуру, которая состоит из лучей, исходящих из центра окруж-
ности и пересекаюших эту дугу.
Для центральных углов определяем градусную меру по следующему
правилу. Если соответствующая дуга АВ меньше полуокружности, то за
величину центрального угла АОВ принимаем обычную меру угла, образо-
ванного полупрямыми О А и ОВ. Если дуга равна полуокружности, т.е.
АВ — диаметр, то угловую меру полагаем 180°. Если дуга больше полуок-
ружности, то за угловую меру принимаем 360° — а, где а — градусная мера
дополнительного угла (меньшею полуокружности).
275
Введем понятие градусной меры дуги окружности. Будем считать, что
градусная мера дуги равна угловой мере центрального угла, который со-
ответствует этой дуге. w w
Градусные меры дуг ALB и АМВ будем обозначать так: ALB и АМВ.
Тогда АТ.В = LAG В = а, АМВ = 360° - а (см. рис. 153) Сумма градусных
мер двух- дуг с общими концами равна 360°.
Две дуги называются равными, если они принадлежат одной и той же
окружности или разным окружностям с равными радиусами и их градус-
ные меры равны.
В
м
Рис. 154
Отметим два свойства равенства дут:
1) если центральные углы данной окружности равны, то соответствую-
щие им дуги попарно равны',
2) если две дуги одной окружности равны, то центральные углы, отве-
чающие этим дугам, также равны.
Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным.
На рис. 154 угол АВС — вписанный. Говорят, что этот угол опирается
на дугу АМС (цуга АМС — та из двух дуг с концами Ап С. которой не при-
надлежит вершина В вписанного угла). Центральный угол, отвечающий
дуте АМС, называется центральным углом, соответствующим данному
вписанному углу АВС.
Теорема 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на кото-
рую он опирается.
Доказательство Пусть LABC — вписанный угол окружности
с центром О (рис. 155). Обозначим через '-'АС ту дугу с концами А и С,
1 -
на которую опирается угол А В С. Докажем, что LABC - - АС.
Рассмотрим три возможных случая.
1) Одна из сторон вписанного угла является диаметром (см. рис. 155, а).
В этом случае дуга АС меньше полуокружности. Поэтому центральный
угол, соответствующий вписанному углу АВС, равен углу А ОС.
Так как LAOC является внешним углом равнобедренного треугольника
АО В, то LAOC = L О АВ + LOBA. Углы О АВ и ОБА при основании этого
276
Рис. 155
1
треугольника равны. Поэтому LAOC = 2LOBA, т.е. LABC - — LAOC или
1 w
LABC = — АС, что и утверждалось.
2
2) Стороны утла АВС разделяются диаметром BD (см. ркс. 155, б).
1 м
В этом случае LABC = LABD + LDBC. По доказанному LABD = — AD,
1 - 1 - 1 - 1 ~
LDBC= — DC, поэтому LA ВС = —AD+ — DC или LABC = — AC.
2 2 2 2
3) Стороны угла АВС не разделяются диаметром BD (см. рис. 155, е).
1 - 1 -
В этом случае LABC = LABD — LCBD. Поэтому LABC = — AD — — CD
2 2
1 v
wwiLABC = — AC. Теорема доказана.
2
Таким образом, вписанный угол равен половине соответствующего
центрального угла.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,
равны (рис. 156).
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -
прямой (рис. 157).
Пусть АВ — хорда окружности (рис. 158) Проведем касательную к
окружности в точке А. Точка А разбивает касательную на две полупрямые,
Рис. 156 Рис. 151 Рис. 158
277
полукасательные. Рассмотрим угол между полукасательной и хордой и
центральный угол, отвечающий той из луг А В, которая лежит в одной по-
луплоскости с полукасательной относительно прямой АВ.
Теорема 2. Угол между хордой и полукасательнсй равен половине
соответствующего центрального угла.
Доказательство. Возьмем сначала угол ВАС между хордой и
полукасательной, соответствующий меньшему центральному углу (см.
рис. 158). В этом случае LBAC = 90r — LCAB Так как 2LOAB + LAOB =
о о 1 1
= 180 , то LOA.B = 90------L АОВ и, следовательно, LBAC = — LAOB,
2 2
т.е. утол ВАС равен половкне соответствующего центрального угла.
Угол BAD между хордой и другой полукасательной будет смежным
и поэтому равен 180° — — LAOB. А это и есть половина величины допол-
нительно! о центрального угла. Теорема доказана.
§ 3. Свойства хорд и диаметров окружности
Теорема 1. Диаметр есть наибольшая из хорд.
Доказательство. Пусть АВ — хорда, не проходящая через центр
окружности, CD — диаметр (рис. 159). Рассмотрим LAOB. В треугольнике
каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Поэтому АВ < О А +
+ ОВ. Так как О А и О В — радиусы, то АВ < CD. Значит, диаметр больше
всякой хорды, не проходящей через центр окружности, Но гак как диаметр
есть тоже хорда, то диаметр — наибольшая из хорд.
Рис. 159 Рис. 160
Говорят, что хорда стягивает дугу окружности, если она соединяет
концы этой дуги.
Теорема 2. Две равные хорды окружности стягивают попарно рав-
ные дуги, и, обратно, если две дуги окружности равны, то стягивающие
их хорды также равны.
Докажем только первое утверждение.
Пусть в окружности с центром О хорды АВ пА,Вг равны (рис. 160).
Если эти хорды являются диаметрами, то наше утверждение очевидно.
278
Поэтому рассмотрим случай, когда хорды АВ и AjBj не являются диамет-
рами. LAOS - isAiOBi, так как ОА = ОАХ, OB = ОВХ, АВ = AiBx.
Поэтому центральные углы АО В и АХОВХ, отвечающие дугам ALB и
AXLXBX, равны. Отсюда следует, что дуги равны: '-'ALB = -'A1L1Bx.
Теорема 3. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду попо-
лам, И обратно, диаметр, проведенный через середину хорды, не проходя-
щей через центр окружности, перпендикулярен к этой хорде.
Доказательство. Пусть АВ — данная хорда и М — ее середина
(рис. 161). Проведем диаметр через точку М Д О AM = Д ОВМ: у них сто ро-
ны О А и О В равны, как радиусы, сторона ОМ — общая, AM -МВ, так как
М- середина отрезка АВ.
Рис. 161 Рис. 162
Из равенства этих треугольников следует, что LOMA = LOMB. Эти рав-
ные углы смежные и, значит, прямые. Поэтому диаметр CD, проведенный
через точку М, перпендикулярен хорде АВ и делит ее пополам.
Другого перпендикулярного хорде АВ диаметра не существует, так
как через течку О можно провести только одну прямую LAB. Первое
утверждение теоремы доказано.
Пусть диаметр CD проходит через середину М хорды АВ (см рис. 161).
Докажем, что CD 1 АВ. LAOB — равнобедренный (ОА = О В), и отрезок
ОМ является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, прове-
денная к основанию, является также высотой треугольника. Поэтому
ОМ L АВ или CD L АВ. Теорема доказана.
Задача. Через точку М пересечения двух окружностей с центрами
О и Ох проведены два отрезка: АВ, параллельный СОХ, и CD, не парал-
лельный 001 (рис. 162). Доказать,что АВ >CD.
Решение. Из центров О и О х опустим на АВ перпендикуляры О В и
01Q. В прямоугольнике OPQO-, имеем PQ = 00 х. По теореме 3 Р и Q —
середины хорд AM и МВ. Поэтому АВ = 2PQ, т.е. АВ = 200 j.
Выполним аналогичное построение для CD и получим прямоугольную
трапецию OPi<2i#i» в которой PXQX < 001 и, значит, CD < 200t.
Поэтому АВ >CD.
279
§ 4. Вписанные и описанные многоугольники
Определение. Многоугольник, все вершины которого лежат
на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность —
описанной около этого мноюутольника. Многоугольник, все стороны
которого касаются окружности, называется описанным около этой окруж-
ности, а окружность — вписанной в этот многоугольник.
Докажем для треугольника существование описанной и вписанной
окружностей.
Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность
и притом только одну. Центром этой окружности является точка Пересе-
чения серединных перпендикуляров сторон треугольника,
Д > к а з а т е льств о. Пусть ЛВС — данный треугольник (рис. 163).
Проведем через середины сторон АВ и АС треугольника прямые, перпен-
дикулярные к этим сторонам Они пересекаются в некоторой точке О.
Если бы они были параллельны, то прямые АВ и АС, как перпендикуляр-
ные параллельным, были бы тоже параллельны, а они пересекаются
(в точке А)
Из равенства прямоу! ольных треугольников АО Bi и СОВ{ следует,
что ОА = ОС. Из равенства прямоугольных треугольников AOCt и ВОС\
следует, что О А = ОВ. Поэтому окружность с центром О и радиусом О А
проходит через все три вершины LABC и, следовательно, является описан-
ной окружностью.
Точка О равноудалена от концов отрезка ВС, и, значит, она лежит также
на серединном перпендикуляре стороны ВС треугольника.
Рис. 163
Рис. 164
Таким образом, серединные перпендикуляры трех сторон треугольника
пересекаются в одной точке, и эта точка является центром окружности,
описанной около треугольника. Теорема доказана.
Согласно теореме через три точки, не лежащие на одной прямой, можно
провести окружность и притом только одну.
Будем говорить, что точка лежит внутри LABC, если она лежит по
одну сторону с точкой А относительно прямой ВС, по одну сторону с точ-
кой В относительно прямой АС и по одну сторону с точкой С относительно
прямой АВ.
220
Предоставим читателю убедиться, что центр описанной окружности ле-
жит внутри треугольника только тогда, когда треугольник остроугольный;
в тупоугольном он лежит пне треугольника, а в прямоугольном — на сере-
дине гипотенузы.
Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность и при-
том только одну. Центром этой окружности является точка пересечения
биссектрис треугольника.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 164).
Проведем две биссектрисы треугольника при вершинах А и В. Они пере-
секаются в некоторой точке О внутри треугольника. (То, что биссектрисы
пересекаются, доказывается дословно так же, как то, что пересекаются
медианы, — см. далее § 5; то, что точка пересечения биссектрис всегда
лежит внутри треугольника, примем без доказательства.)
Опустим из точки О перпендикуляры OAt, OBt и ОС\ на прямые ВС,
АС и АВ. Прямоугольные треугольники AOBi и АОС^ равны: у них гипо-
тенуза АО - общая, а углы OABt и OACi равны, так как.4(2 - биссектри-
са. Следовательно, OBi = ОСг. Из равенства прямоугольных треуголь-
ников ВОСХ и ВОАХ следует, что (2С, = ОАХ Значит, окружность с цент-
ром О и радиусом ОА v проходит через точки A t, Вх и С).
Эта окружность касается сторон LABC в “очках Alt В\ и Cit так как
стороны в этих точках перпендикулярны радиусам в их концах и, следо-
вательно, являются касательными к окружности (см, § 1). Существова-
ние окружности, вписанной в LAB С, доказано
Точка О равноудалена от сторон угла АСВ, а значит, СО — биссектриса.
Таким образом, три биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке, и эта точка является центром окружности, вписанной в треуголь-
ник. Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем (или правильном) тре-
угольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают; эта
точка называется центром равностороннего треугольника.
Рассмотрим теперь вопрос о существовании описанной и вписанной
окружностей для случая выпуклого четырехугольника.
Теорема 3. 1) Если около выпуклого четырехугольника можно
описать окружность, то сумма его противоположных углов равна двум
прямым углам.
2) Если в выпуклом четырехугольнике сумма его противоположных
углов равна двум прямым углам, то около четырехугольника можно
описать окружность.
Доказательство. 1) Пусть ABCD — данный выпуклый четырех-
угольник, около которого описана окружность (рис. 165). Докажем, что
LA + LC = 180°, LB+LD- 180°.
Так как сумма величин всех четырех углов выпуклого четырехугольника
равна 360 , то достаточно доказать только одно из этих равенств.
281
в
Докажем,например,что LA +LC= 180и.
По теореме о вписанном угле
1 - 1 -
LA = - BCD, LC = — DAB.
2 2
Следовательно, L А + LC = — (BCD + DAB) = 180е, так как сумма
градусных мер двух дуг BCD и DAB с общими концами равна 360°.
2) Пусть A BCD — выпуклый четырехугльник, у которого 1А + LC =
= 180° и, следовательно, LB -t LD = 180° (рис. 166). Требуется доказать,
что около такого четырехугольника можно описать окружность.
Проведем через точки А, В, С окружность (это всегда возможно). До-
пустимо лишь одно из трех положений: точка D лежит внутри этой окруж-
ности; вне окружности; на окружности.
Предположим, что точка D лежит внутри окружности. Тогда LB + LD =
= 180° (по условию теоремы), LB + LE = 180^ (по доказанному). Отсюда
LD = LE, что неверно, так как внешний угол D LEDC больше его внутрен-
него ут ла Е. Следовательно, точка D не может находиться внутри построен-
ной окружности.
Аналогично доказывается, что вершина D не может лежать и вне стой
окружности (рис. 167).
2В2
Следовательно, точка D лежит на окружности, проведенной через верши-
ны А, В, С данного четырехугольника, т.е. около четырехугольника ABCD
можно описать окружность. Теорема доказана.
Следствие 1. Из всех параллелограммов только около прямо
угольника можно описать окружность.
Следствие 2. Около трапеции можно описал окружность только
тогда, когда трапеция равнобочная, и, обратно, если около трапеции описа-
на окружность, то эта трапеция является равнобочной.
Теорема 4. 1) Если в четырехугольник.можно вписать окружность,
то суммы длин его противоположных сторон равны.
2) Обрито, если суммы длин противоположных сторон выпуклого
четырехугольника равны, тс в этот четырехугольник можно вписать окруж-
ность.
Доказательство. 1) Пусть ABCD — данный четырехугольник,
в который вписана окружность (рис. 168). Требуется доказать, что
АВ + CD = BC + AD.
Стороны четырехугольника касаются окружности в точках М, N, Р, Q.
По свойству касательных, проведенных из одной течки (см. § 1), имеем
AM = AQ, ВМ = BN, CN = СР. DP = DQ.
Следовательно,
AM +МВ + СР +PQ = AQ + QD +BN+NC,
т.е.
AB + CD = AD+BC
Второе утверждение теоремы примем без доказательства.
Следствие 1. Из всех параллелограммов только в ромб можно
вписать окружность', ее центром является точка пересечения диагоналей
ромба, так как диагонали ромба делят его углы пополам.
Следствие 2. В трапецию можно вписать окружность в том и толь-
ко в том случае, если сумма боковых сторон трапеции равна сумме ее
оснований.
283
Из теорем 3 и 4 следует, что в квадрате центры вписанной и описанной
окружностей совпадают; эта точка называется центром квадрата. Центр
квадрата — точка пересечения его диагоналей.
Задача. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма
катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
Решение. Диаметр 2R окружности, описанной около прямоуголь
кого треугольника АВС, равен гипотенузе АВ (рис. 169, а). Диаметр 2г
вписанной окружности равен МС + CL, так как MOLC - квадрат
(рис. 169, б). По свойству касательной к окружности
AM = АК, BL = ВК.
Поэтому
АС + ВС = (AM + МС) + (BL + LC) = (МС + CL) + (АК + ВК) = 2г + 2Я.
§ 5. Четыре замечательные точки треугольника
В § 4 доказано, что
1) серединные перпендикуляры трех сторон треугольника пересекают-
ся в одной точке, и эта точка является центром списанной окружности;
2) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта
течка является центром вписанной окружности.
Следующие две теоремы дают еще две замечательные точки треуголь-
ника:
3) точку пересечения трех медиан и
4) точку пересечения трех высот.
Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке;
эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство. Пусть А ВС — данный треугольник (рис. 170)
Проведем его медианы АА j и ВВ1 и докажем, что они пересекаются.
Точки С и Bi лежат в одной полуплоскости относительно прямой ЛЛ,.
Точки С и В лежат в разных полуплоскостях. Следовательно, точки В
и В, лежат в разных полуплоскостях. Поэтому медиана ВВг пересекает -
284
ся с прямой АА р Точно так же доказываем, что медиана АА-, пересекает-
ся с прямой ВВ2. Так как прямые АА2 uBBt пересекаются только в одной
точке, то эта точка принадлежит медиане АА i и медиане ВВ,, т.е. медианы
пересекаются. Пусть О — точка их пересечения.
Проведем среднюю линию А}Вг LABC и среднюю линию А2В2 LAOB.
Обе они параллельны стороне АВ и равны половине этой стороны. Отсюда
следует, что четырехугольник АВ}А.2В2 — параллелограмм. По свойству
диагоналей параллелограмма Вл О = ОВ2, и ОВ2 = ВВ2 по построению.
Рис. 170
Следовательно, медиана 441 пересекает медиану ВВ: в точке О, которая
делит медиану ВВ} в отношении 2:1, считая от вершины В. Тсчпо так же
доказывается, что точка О делит медиану АА} в отношении 2:1, считая
от вершины А.
Медиана СС2, проведенная из вершины С, пересекает каждую из медиан
АА} и ВВ, в точке, которая делит эти медианы в том же отношении. Зна-
чит, медиана СС} проходит через точку О и делится этой точкой в отноше-
нии 2 : 1, считая от вершины С. Теорема доказана.
Из физики известно, что течка пересечения медиан треугольника есть
его центр тяжести; он всегда лежит внутри треугольника.
Теорема 2. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересека-
ются в одной точке.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, АН}, ВН2,
СН3 — высоты (рис. 171). Через каждую вершину LABC проведем прямую,
параллельную противоположной стороне. Получим вспомогательный
АЛ^С.. Так как четырехугольники АСВС} пАВСВ} - параллелограм-
мы, то АС. = ВС = АВ}. По построению ВС | В}СГ, поэтому AH} 1 В,С{
Следовательно, прямая АН} является серединным перпендикуляром отрез-
ка B}Ct. Точно так же доказывается, что прямая ВН2 — серединный пер-
пендикуляр отрезка А}СХ, а СН3 - серединный перпендикуляр отрезка
А}В}. Так как серединные перпендикуляры грех сторон АЛ^С; пере-
секаются в одной точке, то прямые АН}, ВН2 и СН3> содержащие высоты
А АВС, пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
3 амечание. Точка, в которой пересекаются высоты треугольника
(точнее, прямые, содержащие высоты), называется его ортоцентром.
285
Задача. Построить треугольник по трем медианам.
Решение. Построим треугольник, зная отрезки, равные его ме-
дианам.
1) Анализ. Предположим, что задача решена. Пусть ЛЯС - треуголь-
ник, медианы которого равны данным отрезкам (рис. 172). Медианы пере-
секаются в точке О. На продолжении медианы ВВХ отложим отрезок В2В2,
равный 051, и соединим точку В2 с вершинами Л и С. В четырехугольни-
ке АОСВ2 диагонали в точке пересечения Вх делятся пополам: АВХ = В2С
В
Вг
Рис. 172
по условию, ОВ - В1В2 по построению. Следовательно, АОСВ2 — нарал-
2 2
лелограмм. Поэтому В2С = АО ~ — ААХ. Кроме того, 0В2 = ~ BBlt
2
СО = — ссх.
3
Таким образом, в ходе анализа мы получим А СОВ2 с известными сто-
ронами.
2) Построение. Выберем произвольную точку С и построим
&СОВ2, стороны которого равны 2/3 каждой из медиан искомого тре-
угольника. Пусть В2 — середина стороны В20. На продолжении отрезка
СВ2 отложим отрезок ВХА, равный СВХ, а на продолжении отрезка В2О —
отрезок ОВ, равный В20. Соединив точку В с точками Л и С, получим
искомый А ЛВС.
3) Доказательство. Соединим точку А с точками О и В2. Че-
тырехугольник АОСВ2 — параллелограмм. Следовательно, АО = В2С.
По построению ВВХ — медиана АЛ ВС, а О — точка пересечения его медиан.
Переход от А СОВ2 приводит к С АВС с данными медианами.
4) Исследование опускаем. Очевидно, что не любые три отрезка
могут быть медианами одного и того же треугольника.
286
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Построить касательную к данной окружности, перпендикулярную данной
прямой.
2. Доказать, что дуга окружности, заключенные между параллельными хордами,
равны.
3. Что представляет собой множество вершин прямых углов, стороны которых
проходят через, две данные точки?
4. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного
треугольника, отсекает от него треугольник, углы которого равны углам данного
треугольника.
5. Доказать, что если основания высот треугольника соединить прямыми, то по-
лучится новый треугольник, для которого высоты первого треугольника служат
биссектрисами.
6. Провести окружность, которая касается сторон данного угла, грилем одной
из них в данной точке.
7. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной
из вершины прямого угла па гипотенузу.
8. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной
окружности.
9. Около данной окружности описать равнобедренный прямоугольный тре-
угольник.
10. Построить ромб по цанней стероне и радиусу вписанной окружности.
11. Вписать квадрат в данную окружность.
12. Дана окружность. Найти ее центр.
13. Доказать теорему: угол (АВС, рис. 173), вершина которого лежит внутри
окружности, измеряется полусуммой цву* дут (АС и DE), одна из которых за-
ключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон.
14. Доказать теорему: угол (АВС, рис. 174), вершина которого Лежит вне
окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью
Двух дуг (АС н DE), заключенных между' его сторонами.
15. Диаметр АВ и хорда АС образуют угол в 30е. Через С проведена касатель-
ная, пересекающая продолжение АД л точке D. До казать, что Д ACD - равнобедренный.
16. Даны отрезок АВ к угол а. Построить множество всех точекМ таких, что
/. АМВ - а.
17. Концы диаметра удалены от касательной на 18 см и 12 см. Найти длину диа-
метра. X
287
18. Окопа трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 30 см, а средняя
линия равна 9 см. Найти длину каждой из боковых сторон трапеции.
19. Вершины вписанного четырехугольника целят последовательно окружность
на дуги, пропорциональные числам 2; 5; 7; 4. Найти ьеличины углов этого четырех
угольника.
20. Сторона треугольника равна 20 см, а противолежащий ей угол - 150°
Найти радиус описанной окружности.
раздел п
21. Отрезок АВ является диаметром окружкости, а хор/ibi ВС и AD параллельны.
Доказать что хорда CD является диаметром.
22. Доказать, что середины параллельных хорд окружности лежат на одном
диаметре.
23. Построить треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
24. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей
стороне
25. Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
26. Даны окружность и/точка, лежащая внутри окружности. Построить хорду
згой окружности так, чтобы данная точка была ее серединой.
27. Даны прямая а и точки А и Б такие, что А 6 а, Б а Построить окруж-
ность, проходящую через течку В и касающуюся прямой а в точке А.
28. Из данной точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу
окружности. Найти величину угла между диаметром и хордой.
29. Вер дины А АВС лежат на данной окружности, причем АВ - диаметр. Дока-
зать, что lC>LAhLC>L В.
30. Вершины Б АВС, где АВ = 5 м, ВС = 3 м, СА = 5 м, лежат на окружности.
Доказать, что ни одна из сторон треугольника не является диаметром.
31. Хорды окружности AD и ВС пересекаются, /.АВС - 50’, /.A CD = 86° Най-
ти L CAD.
32. Найти величины углов, образованных касательной и гордой, если хорда де-
лит окружность на две части, относящиеся как 3 : 7.
33. Окружность разделена на три части, которые относятся как 5 6 : 7, и через
точки деления проведены касательные. Найти величины углов полученного треуголь-
ника.
34. Периметр описанной трапеции равен 6 м. Найти длину ее средней линии.
35. Три стороны описанного четырехугольника, взятые в последовательном по-
рядке относятся как 3:4:5, а периметр четырехугольника равен д8 см. Найти
длины сторон этого четырехугольника.
36. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна длина хорды АС, если LABC =
= 30°, а диаметр окружности 10 м?
37. Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке.
Прямая АВ касается одной окружности в точке Л, а другой - в точке В. Доказать, чго
точкаМ лежит на окружности с диаметром АВ.
38. Даны две параллельные прямые и точка, нс лежащая ни на одной из них. Пост-
роить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
288
ГЛАВА 12
ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
§ 1. Пропорциональные отрезки
Каждый отрезок имеет определенную длину. Длина отрезка зависит
от выбора единицы измерения и выражается положительным рациональ-
ным или иррациональным числом.
Аксиома измерения отрезков. При переходе от одной
единицы измерения к другой длины всех отрезков умножаются на одно
и то же число.
Отсюда следует, что отношение длин двух отрезков не зависит от выбора
единицы измерения.
В дальнейшем для краткости будем говорить об отношении двух отрез-
ков, понимая под этим число, равное отношению длин этих отрезков.
Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам A
и CiDi, если пропорциональны их длины;
AB CD
Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков.
Теорема. Если стороны угла с вершиной в точке О пересечены па-
раллельными прямыми АВ и MN (рис. 175), то отрезки ОА и ОВ
пропорциональны отрезкам ОМ и ON, т.е.
ОА OR
ОМ ON '
(О
Доказательство. Рассмотрим случай, когда имеется такой от-
резок EF, что ОМ — mEF, М4 = nEF, где тип — целые числа. Говорят,
что отрезок EF в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число
раз без остатка. Разделим отрезок ОМ на т равных частей, а отрезок МА
па и равных частей. Каждый из полученных отрезков будет равен EF.
Примем отрезок EF за единицу измерения. Тогда ОМ = т, МА = п. До-
28?
пустим для определенности, что точка М лежит между точками О к А.
Тогда ОА = ОМ +МА -т + п.
Проведем через точки деления отрезков ОМ и МА прямые, параллель-
ные прямой АВ По теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок ON на
т равных отрезков, а отрезок NB на п равных отрезков. Если t — длина
каждого из этих отрезков, то ON = mt, NB = nt, поэтому OB = ON+ NB =
= (m +n)t. Таким образом,
ОА _ m+n 05 (m+ri)t m+n
OM m ’ ON mt m
OA OB
Отсюда следует, что -= ----- .
OM ON
Не для любых отрезков ОМ и МА существует такой отрезок EF, ко-
торый в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число раз
без остатка. Но и в этом случае можно доказать, что равенство (1) вы-
полняется
Следствие. Если стороны угла с вершиной О пересечены параллель-,
ными прямыми АВ и MN (см. рис. 175), го отрезки МА и NB пропорцио-
нальны отрезкам О А и ОВ, т.е.
МА NB
----=-----• (2)
ОА ОВ
Доказательство. Допустим для определенности, что точка М
лежит между точками О и А. Тогда
ОМ = ОА МА, ON = ОВ - NB. (3)
ОМ ON
Из равенства (1) следует, что Подставив сюда значения
ОМ и ON из (3), получим
ОА-МА OB-NB МА NB
--------= или 1 =1 ,
ОА ОВ------------------------------------ОА-ОВ
и равенство (2) доказано.
Задача. К трем отрезкам A iBit А2В2 иА3В3 построить четвертый
пропорциональный, т.е. построить отрезок PQ, удовлетворяющий условию
А3В,
А2В2 PQ
Решение. На стороне произвольного угла с вершиной О отложим
последовательно отрезки ОА и AM, равные соответственно отрезкам
AiBj и А2В2, а на другой стороне — отрезок ОВ, равный отрезку А3В3
290
4
Рис. 17а
(рис. 176). Затем проводим прямую АВ и строим прямую MX, проходя-
щую через точку М и параллельную прямой АВ. Полученный отрезок ВХ
будет искомым, так как по следствию из теоремы о прогорцисналыых
отоезках
ОА OB АуВ^ A^Bj
----= ---- или ------- = —:---
AM ВХ АгВг BQ
§ 2. Подобные треугольники
Определение. Треугольники А ВС и A iBiCv называются подобны-
ми, если
LA=LAU LB = LBlt LC = LCt и
AB ВС _ СЛ
А^В^
Если треугольники АВС и A iBiС, подобны, го пишут LABC^LA \В\С}
В подобных треугольниках углы одного треугольника соответственно
равны углам другого треугольника, а стороны одного пропорциональны
соответственным сторонам другого (т е. сторонам, которые лежат против
соответственно разных углов).
Из определения вытекают простейшие свойства подобных тре-
угольников,
1. Если два треугольника равны, то они подобны.
2. Если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник
подобен первому.
З.Если первый треугольник подобен второму, а второй - третьему,
то первый треугольник подобен третьему треугольнику.
Докажем сначала лемму (вспомогательную теорему) о подобных тре-
угольниках, а затем, применяя эту лемму, докажем признаки подобия
треугольников.
Лемма. Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника
и пересекающая две другие стороны, отсекает от него треугольник, по-
добный данному.
10' ' 291
Доказательство. Пусть А ВС — данный треугольник, а Л1Л' -
прямая, параллельная стороне АС (рис. 177). Докажем, что LMBN ~
<* ДЛДС. Углы LMBN соответственно равны углам ДДЯС: 1В — общий,
LM = LA и LN - LC, как соответственные углы при пересечении парал-
лельных прямых ММнАС секущими.
S
Рис. 177
Докажем, что соответственные стороны CMBN к LABC пропорцио-
нальны.
Равенство
ВМ _ BN
ВА ВС
следует из теоремы о пропорциональных отрезках ( § 1).
Докажем, что
BN MN
ВС ~ АС
Проведем через точку ТУ прямую NP || АВ. Применяя следствие из теоремы
о пропорциональных отрезках к углу АСВ и параллельным прямым NP
и АВ, получаем
РА LB
СА ~ СВ
Так как AMNP — параллелограмм, то А4 = MN, поэтому
BN _ MN
ВС АС ‘
Значит,
ВМ _ BN _ MN
ВА ~ ВС " АС ’
т.е. соответственные стороны LMBN и LABC пропорциональны. Лемма
доказана
Теорема 1 (первый признак подобия треугольников). Если два
угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
292
Доказательство. Пусть ABC nAiB1C1 - треугольники, у ко-
торых LA = LAi, LB = LBi и, следовательно, LC = LCt. Докажем, что
LABC ~ kAiBiCt (рис. 178).
Отложим на луче ВА от точки В отрезок ВА2, равный В2А2, и через
точку А2 проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пере-
сечет луч ВС в некоторой точке С2. LA2B\C2 = /\А2ВС2". AiB2 = А2В
по построению, LB = LB2 по условию и LA2 = LA2, так как LAi = LA по
условию, a LA = LA2, как соответственные углы при параллельных
прямых. По лемме о подобных треугольниках имеем LA2BC2 ~ LABC-,
значит, LABC ~ LA2B2C2. Теорема доказана.
Рис. 178
Теорема 2 (второй признак подобия треугольников). Если две
стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны,
то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А2В2С2 - треугольники (см.
рис. 178), у которых
Отложим на луче ВА от точки В отрезок ВА2, равный отрезку B2Alt
и через точку А2 проведем прямую, параллельную прямой АС, которая
пересечет луч ВС в точке С2.
По лемме о подобных треугольниках имеем ЛА 2ВС2 ~ А ЛВС. Поэтому
ВА _ ВС
ВЛ з ВС2
(4)
Сравним это равенство с данным по условию равенством
(5)
Л,В, В, С,
Так как по построению А2В = AiB2, то из равенств (4) и (5) следует,
что BjC, = ВС2. Значит, АХВ2 = А2В, В2С2 = ВС2, LB2 = LB, поэтому
А Л J В Ci = А Л 2 ВС2.
293
Так как ДДЛС~ДД25С2 иДЛ2ВС2 = Д А2В2С2, то LABC ~ ДА^С^
что и требовалось доказать.
Теорема 3 (третий признак подобия треугольников). Если три
стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть ЛДСи Л1В1С1 — треугольники, стороны
которых пропорциональны (см. рис. 178):
АВ ВС АС
----= ------~ . (6)
A^Bi В\С\ AfCj
Сделав построение, такое же, как и прежде, имеем ДА2ВС2 ~ А АВС.
Поэтому
АВ ВС АС
----= ------= ----- . (7)
А2В ВС2 А 2 С2
По построению А2В = А1В1. Тогда из отношений (6) и (7) вытекает,
чтоЛС2 =BtC!, А2С2 =А1С1 и, значит, ДА2ВС2 = Д Л^Ср
Так как ДАВС ™ДА2ВС2 иДА2ВС2 =AAiB1C1,toAABC ~ ДА^С^
что и требовалось доказать.
Рассмотрим признаки подобия прямоугольных треугольников.
Из доказанных признаков подобия треугольников следует:
если в двух прямоугольных треугольниках
1) острый угол одного равен острому углу другого или
2) катеты одного пропорциональны катетам другого,
то такие треугольники подобны.
Теорема. Если гипотенуза и катет одного треугольника пропорцио-
нальны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники
подобны.
Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.
Теорема 4. В подобных треугольниках отношение двух соответ-
ственных сторон равно отношению двух соответственных высот, биссек-
трис, медиан.
Доказательство предоставим читателю.
Задача 1. Длины оснований трапеции ABCD равны а и Ь. Найти длину
отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, если этот отрезок па-
раллелен основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей.
Решение. Пусть MN - отрезок, длину которого требуется найти;
ВС = a, AD = b (рис. 179). Обозначим МО = х, ON = у; h2 и h - длины
высот, проведенных из вершины В, в треугольниках МВО и ABD соот-
ветственно.
Так как ДМВО <» AABD и Д OCNДАСО, то
х = _Й1_ У _ .
b h ' Ъ h ’
294
следовательно. х=у. Так как ВАМО^МАВС, то
х h-hi х ht
— =------- или — =1----------.
ah ah
х х
Поэтому — =1-------.
а b
ab 2аЪ
Решая это уравнение, получаем х =---. Отсюда ММ = 2х = ----.
а + Ъ а + b
Задача 2. В Д АВС точка К делит медиану BD в отношении 1 : 2,
считая от вершины (рис. 180). Прямая, проведенная через точки А и К,
пересекает сторону ВС в точке L. В каком отношении точка L делит сто-
рону ВС?
Решение. На продолжении медианы BD отложим отрезок DDlt
равный отрезку KD. Соединим точку D, с вершинами А и С, а точку
К — с точкой С. Четырехугольник AKCDi — параллелограмм; следо-
BL ВК
вательно, АК ||DYC. Поэтому MKBL ~ LDYBC, -------= ------ . По усло-
ВС BDi
ВК 1 ВК 1 BL 1 BL 1
вию -----= — ; значит. -----= —, ------= — . Отсюда -------- — .
KD 2 BDi 5 ВС 5 LC А
§ 3. Теорема Пифагора
Определение. Отрезок х называется средним пропорциональным
(или средним геометрическим) между отрезками а и Ь, если для их
длин выполняется равенство а: х -х : Ь, т.е. х - \fab.
Теорема. Если в прямоугольном треугольнике проведена высота
из вершины прямого угла, то
295
высота есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые
она делит гипотенузу;
катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежа-
щим к этому катету отрезком гипотенузы.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный Д АВС (рис. 181).
Проведем из вершины прямого угла С высоту CD и обозначим ее дли-
ну через h. Требуется доказать, что h2 = CiC2, b2 = cclt a2 = cc2.
Имеем три пары подобных треугольников:
ДАИС 90 ДАСВ (угол А — общий, LD = LC);
ДАСВ ~ ACDB (угол В — общий, LC = LD);
EADC *= ДСЛД (угол LA = LDCB LADC = LBDC).
Так как ДADC~ Д CDB, то fj : h = h :с2, т.е. h2 = ctc2.
Так как ДАВС& ДАСВ. то et : b = b : с, т.е. bl f=cet.
Так как ДАСВ «» Д CDB, то с : а = а . с2, т.е. а2 - сс2.
Теорема доказана.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство. В прямоугольном ДА ВС проведем из верши-
ны прямого угла С высоту CD (см. рис. 181). Требуется доказать, что
с2 = а2+Ъ2.
Ио предыдущей теореме получаем Ь2 ~ сс{ и а2 = сс2. Сложив почленно
эти равенства, получим
b2 + а2 = ccj +сс2 = с (с; +с?)
или Ь2 +а2 = с2, так как ct + с2 - с.
Итак, с1 = и2 + Ь2, что и требовалось доказать.
Теорема (обратная теореме Пифагора). Если в треугольнике АВС
квадрат длины стороны АВ равен сумме квадратов длин двух других
сторон, то треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине С.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, у которо-
го ЯД2 =АС2 + ВС1.
Рассмотрим вспомогательный прямоугольный ДА^В^С^ (рис. 182),
катеты которого HjCj и ВХСХ соответственно равны сторонам АС и ВС
данного ДАВС. По теореме Пифагора А кД2 = А{С2 + ВуС2. Отсюда сле-
296
дует, что АхВг =АВ. Поэтому САВС = ЬА^В^С^ и, значит, LABC — прямо
угольный с прямым углом при вершине С.
Согласно этой теореме треугольник со сторонами, длины которых
равны 3, 4 и 5, является прямоугольным. Действительно, 52 = З2 + 42.
Прямоут дльными треугольниками являются также треугольники со сторо-
нами 5, 12, 13, или 8, 15, 17, или 7, 24, 25 и др., так как в каждом из этих
треугольников квадрат длины большей из сторон равен сумме квадратов
длин двух других сторон. А такие треугольники по теоэеме, обратной
теореме Пифагора, являются прямоугольными.
Задача 1. Доказать, что в прямоугольном С АВС (см. рис. 181)
ab b2 Ci
h= — , — =
с а с-1
Решение. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоуголь-
ном треугольнике
Л2 = CiC-2, Ъ2 = сс^, а2 = ссг.
Поэтому
Ь2 а2
Cl = — , сг = — .
с с
Следовательно,
b2 a2 b2 cci
h2 = — • — . — = —
с с а сс2
и, значит,
а2Ь2 Ь2 Ci
л2 = —г . — = —
с2 а2 с2
или
ab b2 Ci
h = —,
с а с2
Задача 2. Построить отрезок, средний пропорциональный между
отрезками а и Ь.
Решение. Па произвольной прямой (рис. 183) отложим отрезки
АВ = а и ВС - Ь; на отрезке АС, как на диаметре, опишем полуокруж-
297
ность; из точки В проводим до пересечения с ней перпендикуляр BD.
Этот перпендикуляр — искомый отрезок, средний пропорциональный
между отрезками АВ и ВС.
Действительно, соединив точку D с точками А и С, получим прямо-
угольный EADC (LD — прямей, как вписанный угол, опирающийся на
диаметр). В /\ADC отрезок BDявляется высотой, проведенной из вершины
прямого угла, и, значит, BD2 =АВ- ВС или АВ : BD = BD: ВС.
Задача 3. Построить отрезок, длина которого равна \z7.
Решение. Возьмем а = 7 и b = 1 (см. рис. 183). Так как h2 = ab,
Toh= y/~ab = л/7; BD — искомый отрезок.
8 4. Свойство биссектрисы треугольника.
Пропорциональность отрезков хорд и секущих
Теорема 1. Биссектриса треугольника при любой вершине делит
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
Доказательство. Пусть А ВС -- данный треугольник, BD — бис-
сектриса при вершине В (рис. 184). Требуется доказать, что
AD DC AD АВ
---= --- или ------ = --- .
АВ ВС DC ВС
Опустим перпендикуляры АЕ и СЕ на прямую BD. EAED «> ECFD:
углы Е и Г — прямые, а углы при вершине D оавны, как вертикальные.
Д АВЕ ~ Д CBF: углы Е и F — прямые, а углы при вершине В равны, так
как BD — биссектриса. Из подобия треугольников AED и C&D следует
пропорция
АЕ АР
CF DC
Из подобия треугольников АВЕ и CBF следует пропорция
АЕ _ АВ
CF ~ ВС
Сравнивая обе пропорции, получаем
АР АВ
DC ' ВС ’
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд
равны: если хорды АВ и CD пересекаются в точкеМ, то AM- ВМ = СМ- DM
(рис. 185),
298
Рис. 185
о
Доказательство. Рассмотрим треугольники AMD и ВМС и до-
кажем, что они подобны. Углы А и С равны, так как они вписанные и
опираются на одну и ту же дугу BD Углы AMD и ВМС равны, как верти-
кальные. Из подобия треугольников AMD и ВМС следует, что
А М _ DM_
СМ ’ ВМ
или AM - ВМ = CM - DM. Теорема доказана.
Теорема 3. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату
длины отрезка касательной: если через точку М проведена секущая к
окружности и касательная, причем А и В - точки пересечения окружно-
сти с секущей, а С - точка касания, то AM - ВМ = СМ2 (рис. 186).
Доказательство. Рассмотрим треугольники МАС и МСВ и до-
кажем, что они подобны. У них угол М — общий. Угол САВ, как вписан-
ный, равен половине центрального угла, отвечающего дуге BNC. Угол
ВСМ, как угол между хордой и полукасательной, измеряется половиной
того же центрального угла (§2 гл. 11). Значит, углы САВ и ВСМ равны.
Из подобия треугольников МАС и МСВ получим
AM _ СМ
СМ ВМ
или AM• ВМ = СИ2. Теорема доказана.
299
Следствие. Произведения длин отрезков секущих, проведенных
из одной точки вне окружности, равны.
Задача 1. Биссектриса, проведенная из вершипы прямого угла
треугольника, делит гипотенузу в отношении m : п. Доказать, что
высота, проведенная из той же вершины, делит гипотенузу в отноше-
нии т2 : п2.
Решение. Пусть CD — высота, СЕ — биссектриса в прямоугольном
Д АВС (рис. 187). По условию АЕ : BE = т ; п. По свойству биссектрисы
треугольника имеем, что АС : ВС = т : п. Из свойств высоты, проведенной
из вершины прямого угла, следует, что AD : BD = АС2 : ВС2 (см. § 3,
задача 1). Поэтому AD : BD = т2 : и2, что и требовалось доказать.
Задача 2. Точка внутри окружности отстоит ог ее центра на расстоя-
нии d. Хорда, проходящая через эту точку, делится в ней на отрезки длины
анЬ. Найти радиус окружности.
Решение Дано: ОМ = d, AM = а, ВМ = Л (рис. 188) Пусть г-иско-
мый радиус. Проведем через точку М диаметр CD. Тогда CM = r —d, DM =
= г + d. По свойству пересекающихся хорд получаем (г — d) (г 4 d) = ab,
откуда r= y/ab + d2.
Задача 3. Расстояние от точки А до центра окружности радиуса г рав-
но 2г. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность
в точках В к С. Найти А С, если точка В делит отрезок АС пополам.
х
Решение Пусть АС = х; тогда АВ = —. По условию АО = 2г и, значит,
АЕ - г (рис. 189) По свойству секущих, проведенных из одной точки А,
имеем
АЕАС=АЕ-ЛЕ.
Поэтому — х = г Зг, откуда х -r\jb> .
300
§ 5. Подобные многоугольники
Рассмотрим два выпуклых многоугольника с одинаковым числом
сторон, а следовательно, и вершин.
Определение. Два многоугольника называются подобными, если
углы одною многоугольника соответственно равны углам другою много-
угольника, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.
Например, два квадрата всегда подобны, а два ромба подобны, если
имеют по равному острому или тупому углу.
Рис. 190
В § 2 доказано, что два треугольника подобны, если стороны едкого из
них пропорциональны сторонам другого. В случае многоугольников с чис-
лом сторон, большим трех, пропорциональности их соответственных сторон
уже недостаточно для подобия этих многоугольников. Например, квадрат
не подобен ромбу, один из углов которого острый, хотя их стороны про-
порциональны.
Недостаточно для подобия многоугольников и равенства их соответствен-
ных углов. Например, квадрат не подобен прямоугольнику, не все стороны
которого равны.
Отношение длин соответственных сторон двух подобных многсугольни
коб называется коэффициентом подобия этих многоугольников.
Пусть многоугольники ABCDE и АфЗ^Сфдф^ подобны (рис. 190)
Тогда пишут ABCDE ^>AiB\CiDxEi. Из подобия следует, что
АВ ВС _ CD DE ЕА
А{В^ В\С-у C^D\ D^E\ EjA^
= к,
где к — коэффициент подобия. Отсюда
AB = k'A1Bl, BC-k-BiC!, CD = kC1Di,
DE - к- DvEi. EA= к - Е^А^.
(8)
Теорема. Отношение периметров подобных многоугольников равно
коэффициенту подобия этих многоугольников.
Доказательство. Пусть ABCDE и А — данные подоб-
ные многоугольники (см. рис. 190). Сложив почленно равенства (8),
301
полушм
АВ тБС+ .. ,+EA~-k(AlB1 + BiC1 + ...+Е1АЛ, (9)
где к - коэффициент подобия. Равенство (9) означает, что Р = к Pit где Ртл
Pi - периметры данных многоугольников. Отсюда Р : Рх = к, что и требова-
лось доказать.
Пусть ABODE ~ AiBiCiPiEi. Проведем из соответствующих вершин
А и Ai диагонали (рис. 191). Тогда &АВС ~ ДИiJSjCi, так как, согласно
подобию многоугольников, АВ и ВС пропорциональны AiBt и BiClt
a LB = LBt. Из подобия этих треугольников следует, что диагонали
АС и А1С1 многоугольников пропорциональны их соответственным сто-
ронам, a LACB = LAjCiBi и, значит, LACD = LA^Di. Поэтому
к ACD &.AiCiDx. Аналогично доказывается, что L.ADE«> ДЛt-DjEj .
Таким образом, проведя диагонали из двух соответствующих вершин
подобных многоугольников, можно разложить эти многоугольники на
подобные треугольники.
Задача. В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его
вершины лежали на боковых сторонах треугольника, а две другие — на
основании треугольника.
Решение. В данном к АВС возьмем на стороне АВ произвольную
точку М и проведем MN 1 АС (рис. 192). На отрезке MN построим квад-
рат MNPQ. Прямая AQ пересекает отрезок ВС в некоторой точке <2,.
Проводя из этой точки прямые, параллельные сторонам квадрата MNPQ,
получаем искомый квадрат M^N^i Qx.
302
Действительно, Д AMi Q.i 50Д aMQ, полому
AQx
MQ AQ ’
Д АРг Qj ~ Д APQ, поэтому
Л<21 = AQi .
PQ AQ ’
следовательно,
MiQi _ P1Q1
MQ PQ
Задача была решена методом подобия: выполнено подобное преобразо-
вание квадрата MNPQ в квадрат MiN^P^Qi; точка А — центр подобия, а
коэффициент подобия к - —выбран так, чтобы вершина нового квадра-
та (2;, соответствующая вершине (?, оказалась на стороне RC.
На рис. 193 выполнено подобное преобразование четырехугольни-
ка ABCD с коэффициентом подобия к. Центр подобия О выбран произволь-
но; любая точка X переходит в точку Х\ того же луча GX так, что ОХ_ =
=к-ОХ.
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Разделить данный отрезок в отношении 2 : 3.
2. Через точку А, медианы AM ЬАВС проведены прямые, параллельные сторонам
АВ и АС, которые пересекают сторону ВС в точках Я, и С,. Доказать, что A ,М - меди-
ана ДА ,2?! С,.
3. Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции,
проходит через точку пересечения диагоналей.
4. Доказать, что биссектриса треугольника лежит между медианой и высотой,
проведенными из той же вершины угла с неравными сторонами.
5. Доказать, что из двух хорд окружности больше та, которая ближе к центру.
6. Длины катетов прямоугольного треугольника равны а и Ъ. Найти длину бис-
сектрисы прямого угла.
7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов ра-
вен 10 см. Найти проекцию друтого катета на гипотенузу.
8. В равнобочной трапеции боковая стерона равна 41 см, высота 40 см, а средняя
линия 45 см. Найти основания трапеции.
9. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 см, а боковая сторона 30 см.
Найти радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние между их центрами.
10. Отрезок AD является биссектрисой ДА2?С. Найти CD, если АВ = 30 м, BD = 20 м,
AD = 16 м v.I ADC =LC.
11. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катета-
ми 24 м и 18 м.
303
12. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника
соответственно равны 2 м и 5 м. Найти катеты треугольника.
13. Найти диагональ и боковую сторону равнобочной трапеции с основания-
ми 20 см и 12 см, если центр описанной окружности лежит на большем основании
трапеции.
14. В окружности по разные стороны от центра проведены параллельные хорды,
равные 36 мм и 48 мм; расстояние между ними 42 мм. Найти радиус окружности.
15. Внутри окружности радиуса 13 см взята точка М на расстоянии 5 см от центра.
Через точку М проведена хорцаДЯ = 25 см. Найти длину отрезков, на которые хор-
да АВ делится течкой М.
16. Сумма периметров двух подобных мншоугольников равна 50 м. Их соответ-
ственные стороны относятся как 3 . 7. Найти периметры этих многоугольников.
17' . Построить треугольник по двум углам и биссектрисе третьего угла.
18. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.
19. В данный треугольник вписать ромб с данным острым углом так, чтобы две его
вершины лежали на боковых сторонах треугольника, а две другие - на основании
треугольника.
РАЗДЕЛ II
2С. Биссектриса внешнего угла при вершине С А АВС пересекает прямую АВ в
AD АС
точке О. Доказать, что ——- = —— •
ВО ВС
21. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности целит ги-
потенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти длины катетов.
22. Радиу с окружное™, описанной около прямоугольного треугольника, равен 15 м,
а радиус вписаш.ой в пего окружности равен 6 м. Найти длины сторон треугольника.
23. В трапеции ABCD (ВС IIAD) диагональ BD образует со стороной угол ABD,
равный углу BCD. Определить длины АВ и AD, если ВС = 10 см, CD = 15 см, BD = 20 см.
24. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD продолжены до пересечения в точ-
ке М. Определить СМ, если АВ = 1 м, CD - 1,5 м и ВМ = 0,8 м.
25. Высота равнобедренного треугольника равна 40 см, основание 60 см. Найти
боковые стороны и радиусы вписанной и описанной окружностей.
26. Диагонали ромба равны 48 см и 14 см. Найти его сторону и радиус вписанной
окружности.
27. Стороны одного треугольника равны 6,3 м, 8,4 ми 10,5 м. Определить стороны
подобного ему треугольника, зная, что его периметр больше периметра данного
треугольника на 15,6 м.
28. Секущая АВ проведена через центр окружности и равна 32 см, а касательная АС
равна 24 см. Определить длину отрезка ВС-
29. В данный треугольник вписать прямоугольник, в котором стороны относятся
как т и, если две его вершины лежат на боковых сторонах треугольника, а две дру-
гие — на основании треугольника.
30. Построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
31. На продолжении боковой стороны ВС равнобедренного ВАВС взята точка D
так, чти точка С лежит между точками В и D. Отрезок AD пересекает биссектрису
угла АВС в точке М. Доказать, что AM < MD.
304
ГЛАВА 13
РАВЕНСТВО И ПОДОБИЕ ФИГУР
§ 1. Примеры преобразования фигур
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то
мы получим новую фигуру. Говорят, 'гго эта фигура получена из данной
преобразованием. Рассмотрим примеры.
Симметрия относительно точки.
Определени е. Две точки А и A i называются симметричными отно-
сительно точки О, если О — середина отрезка АА i. Точка О называется
центром симметрии точек А и A i. Тогда О симметрична самой себе.
Пусть F — данная фигура и О — некоторая точка плоскости (рис. 194).
Возьмем произвольную то'псу М фигуры F. Отложим на продолжении от-
резка ОМ за точку О отрезок OMi, равный отрезку ОМ. Точка Mi сим
метричиа точке М относительно точки О. Построив все точки, симметрич-
ные точкам фигуры F относительно точки О, получим фигуру Fi. Преобра-
зование фигуры F в фигуру Fj есть симметрия относительно точки О.
Определение. Точка О называется центром симметрии фигуры, если
для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О
также принадлежит этой фигуре.
Если течка О является центром симметрии фигуры F. то говорят, что
фигура F симметрична относительно точки О\ при этом сама фигура F
называется центрально-симметричной.
Симметрия относительно центра центрально-симметричной фигуры
переводит эту фигуру в себя.
Фигура может иметь один или несколько центров симметрии. Например,
окружность симметрична относительно своего центра. Других центров
симметрии окружность не имеет Параллелограмм также является
центрально-симметричной фигурой; центр симметрии параллелограмма —
точка пересечения диагоналей.
Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии.
Простейшей из таких фигур является прямая: любая точка прямой есть ее
центр симметрий. Существуют фигуры, которые не имеют ни одного центра
симметрии. К таким фигурам относится треугольник.
305
Симметрия относительно прямой.
Определение. Точки А и A i называются симметричными относитель-
но некоторой прямой р, если эта прямая перпендикулярна отрезку АА t и
проходит через его середину. Прямая р называется осью симметрии
точек А и Л;. Каждая точка оси симметрии симметрична самой себе.
Пусть F — данная фигура и р - некоторая прямая (рис. 195). Возьмем
произвольную точку М фигуры F. Опустим из точки М перпендикуляр МР
и па продолжении перпендикуляра за точку Р отложим отрезок PMi, рав-
ный МР. Точка Mi симметрична точке М относительно прямой р. Построив
все точки, симметричные точкам фигуры F относительно прямой р, полу-
чим фигуру Л, Преобразование фигуры F в фигуру есть симметрия
относительно прямой р.
Определение. Прямая р называется осью симметрии фигуры, если
для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой р
также принадлежит этой фигуре.
Если прямая р является осью симметрии фигуры F, то говорят, что
фигура F симметрична относительно прямой р.
Симметрия относительно оси симметрии фигуры переводит эту фигу-
ру в себя
Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Например,
неразвернутый угол имеет только одну ось симметрии — прямую, содер-
жащую биссектрису угла. Осями симметрии отрезка являются сам отрезок
и его серединный перпендикуляр. Равнобедренный треугольник (но не
равносторонний) имеет только одну ось симметрии — прямую, которая
содержит высоту, проведенную к основанию треугольника. Прямые, на
которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии. Квад-
рат имеет четыре оси симметрии: прямые, на которых лежат его .диагона-
ли, а также прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей
квадрата параллельно его сторонам.
Существуют фигуры, которые имеют бесконечно много осей симметрии.
Так, любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью
симметрии. Существуют фигуры, которые не имеют оси симметрии. К таким
фигурам относится разносторонний треугольник.
Гомотетия.
О и р е д е л е н к е.Гомотетией с центром О и коэффициентом Л>0
называется такое прсобоазование, при котором произвольная точка М
306
любого луча, исходящего из точки О, переходит в точку Мг того же луча,
причем ОМХ = к • ОМ.
Пусть F — данная фигура, О — некоторая точка, к — заданное положи
тельное число (рис. 196). Возьмем произвольную точку М фигуры F.
Проведем луч ОМ и отложим на нем отрезок OMi. равный к ОМ. Получим
точку Mi новой фигуры Fi. Преобразование фигуры F в фигуру F\ есть
гомотетия с центром О и коэффициентом к. Фигуры F и F\ называются
гомотетичными.
Центральная симметрия, осевая симметрия и гомотетия — примеры
преобразования фигур.
Задача. Даны прямая р и две точки А и В з одной полуплоскости с
границей р (рис. 197). На прямой р построить точку М так, чтобы сумма
длин отрезков AM пМВ была наименьшей.
Решение. На прямой р требуется построить точку М так, чтобы нера-
венство AM I МВ < АХ < ХВ выполнялось для любой точки Xпрямой р,
отличной ОТ ТОЧКИ М.
Построим точку 5к, симметричную точке В относительно прямой р.
Отрезок A Bi пересечет прямую р н искомой точке М.
Действительно, МВ = МВ,, ХВ = ХВх. Поэтому AM + MB ~ AM + MBt =
= A Bi, ЛХ + ХВ =АХ + XBi. В A AXBi имеем АХ + ХВх > АВХ.
§ 2. Движение. Равенство фигур
Определение Преобразование фигуры F в фигуру Fj называется
движением, если оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит
любые две точки М и N фигуры F в точки М\ и Nx фигуры F\ так, что
MN^MiN;.
Теорема 1. Преобразования симметрии относительно точки или отно-
сительно прямой являются движениями.
Доказательство. Рассмотрим сначала преобразование симметрии
относительно точки (рис. 198) Пусть М и N — две произвольные точки
фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки О переводит
их в точки Mi и Ni. dkMON = ЛМ^ОХр. углы при вершине О равны, как
307
вертикальные, а ОМ = OMi, ON = 0Nt по определению симметрии относи-
тельно тотеи О. Из равенства треугольников следует равенство сто
ронMN=MtNi Значит, симметрия относительно точки О есть движение.
Рассмотрим преобразование симметрии относительно прямой (рис. 199).
Пусть М и N — две произвольные точки фигуры F. Преобразование симмет-
рии относительно прямой р переводит их в точки Mi и Nr. Четырехуголь-
ник MNN\Mi есть либо прямоугольник, либо равнобочная трапеция, и,
следовательно, MN = MiNy. Значит, преобразование симметрии относитель-
но прямой есть движение. Теорема доказана.
Теорема 2. Если при движении три точки А. В, С, лежащие на пря-
мой, переходят в точки Alt Bif Ct, то эти точки также лежат на прямой.
Если точка В лежит между А и С, то точка Вх лежит между A i и Ct.
Доказательство Пусть точка В лежит между точками А и С
Если точки Л,, Bi, Ci не лежат на прямой, го они являются вершинами
треугольника. Поэтому AtCi <AiBx + BiC\. По определению движения
отсюда следует, что АС<АВ + ВС. Однако по свойству измерения отрез-
ков АС = АВ + ВС. Мы пришли к противоречию. Первое утверждение тео-
ремы доказано.
Покажем теперь, что точка В i лежит между At и Ct.
Допустим, что Ai лежит между В j и Сг. Тогда At.Bi +А1С1 =BiCt и,
следовательно, АВ тАС = ВС, что противоречит равенству АВ + ВС=АС.
Значит, точка At не может лежать между Bt и (\. Так же доказывается,
что точка Ci не может лежать между A i и Вi. Поэтому точка В i лежит
между Ах и Ct. Теорема доказана полностью.
Таким образом, при движении точки, лежащие на прямой, переходят
в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного распо-
ложения.
Рассмотрим также следующие свойства движений:
1) При движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полу-
прямые, отрезки - в отрезки.
Это следует из теоремы 2.
2) При движении сохраняются углы между полупрямыми.
Действительно, пусть АВ и АС — две полупрямые, исходящие из общей
точки 4 и не лежащие на одной прямой. При движении эти полупрямые
перейдут в некоторые полупрямые A,Bi и AtCi. Так как движение сох-
раняет расстояния, то LAB С' = ЛА 1В i , как треугольники, имеющие по
308
три равные стороны. Из равенства треугольников следует равенство углов
ВАС и BiAyCi-
3) Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение.
Пусть фигура F переводится движением в фигуру Fx, а фигура F} пере-
води! ся движением в фигуруF2. Преобразование фигуры F в фигуру F2,
полученное в результате двух движений, выполненных последовательно,
сохраняет расстоя;1ие между точками и, следовательно, является движе-
нием.
4) Преобразование, обратное движению, является также движением.
Эго означает следующее. Пусть преобразование фигуры F в фигуру Ft
переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры Ft. Пусть
произвольная точка М фигуры F при этом преобразовании переходит в
точку Mi фигуры Fi. Преобразование фигуры F\ в фигуру F, при котором
точка Mi переводится в точку М, называется преобразованием, обратным
данному. Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому пере-
водит различные точки в различные. Значит, преобразование, обратное дви-
жению, также является движением.
Кроме центральной симметрии и осевой симметрии рассмотрим еще
два частных вида движений: поворот и параллельный перенос.
Пусть О - заданная точка, а а — величина некоторого угла
Определение. Поворотом около точки О на угол а называется та-
кое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки О, поворачи-
вается на угол а в одном и том же направлении (по часовой стрелке или
против часовой стрелки, рис. 200).
Центральная симметрия есть поворот на 180°. Движение, при котором
каждый луч, исходящий из точки О, остается неподвижным, также считает-
ся поворотом около точки О (поворотом на нулевой угол).
Определение. Параллельным переносом называется такое движе-
ние, при котором точки смезцаются по параллельным прямым на одно и то
же расстояние. Это значит, что если точки А и В фигуры F переходят в точ-
ки А1 и Вk фигуры Fi, то лучи АА} и ВВ. имеют одно направление, а
отрезки AAi и BBf равны (рис. 201). Движение, при котором все точки
остаются неподвижными, также считается параллельным переносом.
309
Параллельный перенос определяется заданием точки Ait в которую
переводится точка Л данной фигуры.
Теорема 3. Для любых точек А и Ах существует и притом единст-
венный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку A t.
Доказательства этой теоремы не приводим.
Определение. Фигуры F и F\ называются равными, если они дви-
жением переводятся одна в другую.
В главе 9 были рассмотрены понятия равенства отрезков, а также углов:
отрезки называются равными, если они имеют равные длины; углы назы-
ваются равными, если они имеют одинаковую величину (или градусную
меру) . В главе 10 было введено понятие равенства треугольников.
Можно доказать, что понятия равенства отрезков, углов и треуголь-
ников, введенные в главах 9 и 10, полностью согласуются с новым поня-
тием равенства фигур. Действительно, имеет место следующая теорема,
которую приведем без доказательства.
Теорема 4. Равные отрезки, углы и треугольники совмещаются дви-
жением.
Свойства равенства фигур.
1) Каждая фигура равна самой себе.
2) Если фигура F равна фигуреFu то фигура Fx равна фигуре F.
3) Если фигура Fравна фигуре Fа фигура F\ равна фигуреF2, то фи-
гура F равна фигуре F2.
§ 3. Подобные фигуры
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру Ft называет-
ся преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния
между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и
то же число раз. Это значит, что если произвольные точки М и Nфигуры F
при этом преобразовании переходят в точки Mi и фигуры Ft, то MtNi -
= k -MN; число к называется коэффициентом подобия. При к - 1 преобра-
зование подобия, очевидно, является движением.
Так же, как и для движения, доказывается, что при преобразовании по-
добия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки
А1,В!, Ci, также лежащие на одной прямой. Причем, если точка В лежит
между точками А и С, то точка В j лежит между точками A t и Ci.
Отметим также следующие свойства преобразования подобия:
1) Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые-
в полупрямые, отрезки - в отрезки.
2) Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Действительно, пусть угол с вершиной С переводится преобразованием
подобия в угол с вершиной Ci (рис. 202). Возьмем на стороне а угла С
произвольную точку Я, а на его стороне b - произвольную точку В. Пре-
образование подобия переводит их в точки At и Bi на сторонах аг и bt
310
угла Ci Имеем
CtA i ~ к • СА, С\Вj = к • СВ, А \В\ = к A R,
где к — коэффициент подобия. ААСВ™ ДАхС^В^, как треугольники с
тремя пропорциональными сторонами. Из подобия треугольников сле-
дует, что/. C-L Ct.
Определение. Две фигуры называются подобными, если они пере
водятся друг в друга преобразованием подобия.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур
соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорцио-
нальны.
В главе 12 было рассмотрено подобие многоугольников.
Теорема. Гомотетия есть преобразование подобия.
Доказательство. Пусть точки М и N переходят при гомотетии
относительно точки О в точки Мг и (рис. 203) &MGNAMiONi
узел О - общий, а
MiG NXO
—-— =—-— = к
МО NO
(к — коэффициент гомотетии).
Из подобия треугольников следует, что
MjNj =
MN
I со рема доказана.
На рис. 204 изображены подобные треугольники АВС и Ajtf Cj . Но они
не гомотетичны, так как прямые А4Ь ВВ,, CCt не проходят через одну
точку
311
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Даны отрезок АН и точка О, не лежащая на прямой АВ. Построить фигуру,
симметричную отрезку АВ относительно точки О.
2, Сколько центров симметрии у фигуры, состоящей из двух параллельных пря-
мых? Где они расположены?
3. Доказать, что если две прямые симметричны относительно некоторой точки и
одна из них не проходит через эту точку, то прямые параллельны.
4. Даны две пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постро-
ить отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке.
5. Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой прямой. Построить фигуру, сим-
метричную прямой а относительно точки О.
6. Доказать, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный
и осью симметрии является серединный перпендикуляр основания.
7. Доказать, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные осп симметрии,
то она имеет также центр симметрии.
8. Даны две прямые а и Доказать, что прямую а1 можно получить движением
из прямой а.
9. Даны точка О и две окружности. Построить отреэск так, чтобы точка О была его
серединой, а концы отрезка принадлежали данным окружностям.
10. Даны острый угол АВС и точка Р внутри этого угла Построить на сторонах
угла точки Ми Атак, чтобы Д MNP имел наименьший периметр.
11. Построить равносторонний треугольник, у которого одна вершина задана,
а две другие вершины лежат па двух данных прямых.
J2. Даны две параллельные прямые а и Ь. Доказать, что прямую Ь можно получить
параллельным переносом из прямой а.
13. Доказать, что две окружности одинаковою радиуса равны.
14, Доказать, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
15. Даны угол и внутри него точка А. Построить окружность, касающуюся сторон
угла и проходящую через точку А.
РАЗДЕЛ II
16. Доказать, что перпендикуляры, проведенные из середин двух симметричных
отрезков, симметричны.
17. Доказать, что две прямые, проходящие через точки А и А,, симметричные
относительно оси MN и образующие ратные углы с отрезком MN, симметричны отно-
сительно оси MN.
18. Даны точки А, В к С, не лежащие на одной прямой. Доказать, что оси симметрии
трех пар этих точек (А и В, В и С, С и А) пересекаются в одной точке.
19. Доказать, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью
ось симметрии.
20. По.строить оси симметрии двух пересекающихся прямых.
21. Даны две непараллельные прямые а и b и отрезок АВ. Построить прямые а1 и
Ь,, которые получены из прямых а и b параллельным переносом, заданным точками
АиВ.
22. Построить треугольник, симметричный данному относительно точки пересече-
ния его медиан.
23. Построить равносторонний треуюльник, вершины которого лежат на трех
данных параллельных прямых.
24. Доказать, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совме-
щаются движением.
25. Доказать, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
26. Построить ромб по данному отношению его диагоналей и данной высоте.
312
ГЛАВА 14
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Векторы. Сложение и вычитание векторов
Многие физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характе-
ризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величи-
ны называются векторными.
Векторную величину геометрически изображают с помощью отрезка
определенной длины и определенного «направления.
Вектором будем называть направленный отрезок (рис. 205) Направле-
ние вектора указывается стрелкой. Течка А называется началом, а точка
Bi
Рис. 205 Рис. 206
В - концом. Векторы обозначаются буквами а, Ь, с,..., а также АВ, CD,...
(на первом месте ставится начало вектора).
Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или
модулем вектора. Длина вектора а обозначается \а |.
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых,
называются коминеарными.
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным
переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который
переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец
другого вектора (рис. 206)
Два вектора называются одинаково направленными (противоположно
направленными), если они коллинеарны и у равных им векторов, имеющих
общее начало, концы располагаются по одну сторону от начала (соответст-
венно по разные стороны от начала).
Равные векторы одинаково направлены и имеют равные длины. И обрат-
но, если векторы одинаково направлены и имеют равные длины, то они
равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом
только один.
К векторам будем относить и нулевой вектор, начало и конец которого
совпадают. Нулевой вектор обозначается 0. Его длина равна нулю. Нулевой
313
вектор считается коллинеарным любому вектору, так как ок не имеет
определенного направления. Все нулевые векторы равны.
Определение. Суммой вектора АВ и вектора ВС называется вектор
АС: АС = АВ + ВС. Суммой вектора АВ и произвольного вектора PQ назы-
вается сумма вектора АВ и вектора ВС, равного PQ (рис. 207) (правило
треугольника).
По определению для любого вектора а и нулевого вектора 0
а + 0 = 0+ д=а.
Если а =а1г b = blt то а + b = а ь + d t. Это следует из определения суммы
векторов и равенства векторов.
Свойства сложения векторов
1) Сочетательное свойство: (а + Р) + с = а + (Л + с).
Доказательство. Отложим вектор а от некоторой точки А:
а = АВ. Вектор Ъ отложим от точки В, а вектор с — от точки С (рис. 208):
b = ВС, с-CD.
Пользуясь правилом треугольника, получим
а + b = АС , (а + Ъ ) + с = АС + CD ~ AD.
b + с = BD, а + (Ь + с ) - АВ + BD = AD.
Следовательно, (а + Ь) + с =а + (Ь +с). Свойство доказано. Поэтому мож-
но записывать без скобок:
(а + b )+с - а + (Ь + с) = а + b +с.
2) Переместительное свойство: а + b = b + а. _
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда векторы а п_Ь
пеколлинеарны (рис. 209). Тогда при откладывании их от точки А (а = АВ,
b = AD ) получим, что точки А, В и D не лежат на одной прямой. Построим
четвертую вершину С параллелограмма ABCD. Имеем а = АВ =ЬС,
b =AD =вс.
По правилу треугольника
а + Ь =АВ + ВС = АС, b+a^AD-DC = AC
и, следовательно, а + 0 = b+ а.
314
Рассмотрим теперь случая коллинеарных векторов алЬ ._3аменим век-
тор b суммой любых двух неколликеарных а векторов Z>j и d2: b = b2 + b2
(рис. 210). По доказанному
а + b2 = bi + ~а, ~a + b2=b2+'a.
Тогда
а + b -~а + (bi + й2) = и + + b2 ~ Ь\ 4 a + b2~bi+b2+H=b + ~а.
Свойство доказано полностью-
Сложение двух кскол линеарных векторов а и b можно выполнять по
правилу параллелограмма: векторы ~а и b откладываются от одной точки Л
(см. рис. 209) и строится параллелограмм со сторонами АВ и АО. Тогда
АС = а' + Ь.
Задача. Доказать, чю |<Г+ b | < | а~ | + | b I, причем равенство имеет
место, если У и £ коллинеарны и направлены одинаково или хотя бы един
из векторов avA равен нулю.
Решение предоставим читателю.
Вектором, противоположным вектору АВ, называется вектор ВА:
ВА = - АВ. По определению вектор, противоположный нулевому вектору,
есть нулевой вектор. Очевидно, а + (—У) =0. _
Разностью векторов У и b (обозначаетсяУ - b ) называется сумма векто-
ра а и вектора — Ь, противоположного b : У-b -д'+ (—Ъ ).Имеем
b + (а - b) =а, т.е. вычитание — действие, обратное сложению.
Если векторы а и b отложены от одной точки О (рис. 211), то_для на-
хождении разности а - b удобно пользоваться -аким правилом: ОА~ ()В =
= ВА.
В
Рис. 210 Рис. 211
Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС.
Углом между любыми двумя векторами а и b называется угол между
равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направ-
ленными векторами считается равным нулю.
Таким образом, если — градусная мера угла между векторами а и Ь,
то 0° <<р <180°.
315
§ 2. Умножение вектора на число
Определение. Произведением ненулевого вектора а на действитель-
ное число х^О называется вектор, длина которого равна произведению
длины вектора а на модуль числа х, а направление совпадает с направле-
нием вектора а при х > 0 и противоположно направлению а при х < 0.
Произведение вектора а на число х обозначается ха (числовой множи-
тель пишется слева). По определению
1 ха | = | х | • I а |.
Если вектор а — нулевой или число х равно нулю, то полатают
х • 0 = 0 для любого числа х,
О а = 0 для любого лектора а.
Свойства умножения вектора на число.
1) Сочетательное свойство: (ху) а = х(уа').
2) Первое распределительное свойство: ха + уа = (х +у)а.
3) Второе распределительное свойство: ха +xb = х(а + Ъ ).
Нетрудные доказательства этих свойств опускаем.
Теорема. Ненулевые векторы а и Ь_ коллинеарны тогда и только
тогда, когда существует такое число х, что b =ха\
Доказательство. Докажем сначала, что если существует такое
число х. что Ъ = ха, то ненулевые векторы а и Ъ коллинеарны. Но это
очевидно: по определению произведения вектора на число векторы а и ха
имеют либо одинаковые (если х > 0), либо противоположные (если х <0)
направления и, следовательно, коллинеарны.
Докажем теперь обратное утверждение: если ненулевые векторы а нЬ
коллинеарны, то существует число х такое, что b = ха. По определению
ненулевых коллинеарных векторов направления векторов а и b либо
совпадают, либо противоположны. , , ,
_ — — _ I о |
Если векторы а и b направлены одинаково, то b =ха при х = -=- .
\а I
Если же направления векторов а и Ъ противоположны, то b = ха при
|Ь’|
х =-------. Теорема доказана.
la I
316
Задача. С помощью векторов доказать теорему: три медианы
треугольника пересекаются в одной точке, причета точка пересечения делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение. Пусть АВС — данный треугольник, О — точка медианы АА j
и ОА : OAi = 2 (рис. 212). Возьмем произвольную точку М и рассмотрим
векторы ОА - МА — МО, А^О ~МО — МАi. Так как МА: — медиана &МВС,
— 1 _ _ __________________________ ____ 1 _____ _____.
то МА 1 = — (МВ + МС). Поэтому А ] О = МО — — (МВ + МС). Так как
О А = 2 А г О, то получим
МА -МО = 2МО- (МВ+МС)-
__________ 1 _ ________ ____
отсюда МО = — (МА + МВ + МС).
3
Если (?i - точка медианы ВВг и ОгБ : CjBi = 2, то MOi =
1 ____ _____ ____ ___________________ _______
= — (МА +МВ+МС"1; следовательно, МО\ - МО, и точки б?, и О совпа-
3
дают . Задача решена.
§ 3. Координаты вектора на плоскости
Вектор, длина которого принята за единицу измерения длины, называют
единичным. Обозначим через i и / единичные векторы, отложенные от
точки О в положительных направлениях на осях Ох и Оу прямоугольной
системы координат (рис. 213).
Единичные векторы i и /(I i |=| /1 = 1), имеющие направления положитель-
ных координатных полуосей, называются координатными векторами или
ортами.
Т^ о р е м а 1 (о разложении вектора по осям координат). Любой век-
тор г на плоскости Оху можно представить в виде
г^гх7 + гуТ (1)
и притом единственным образом.
317
Доказательство. Рассмотрим вектор ОМ, равный г. Если вектор
ОМ не коллинеарен вектору i и не коллинеарен вектору /, то проведем
через точку М прямые, параллельные осям координат (см. рис. 213).
Векторы OMi и ОМ2 коллинеарны соответственно векторам i и j . Следо-
вательно. но теореме §2 существуют такие числа гх и гу, что ОМ2 = гхТ
и ОМ2 = гу/ . По правилу параллелограмма ОМ - ОМХ + ()М2 ; значит, 7 =
= rj+r/ _ _ _
Допустим теперь, что вектор г коллинеарен одному из векторов i и /,
например i. Тогда! = rxi, а число гу в этом случае равно нулю.
Итак, всегда найдутся для вектора 7 такие числа гх и rv, что 7 = гх1 +
+ryL
Докажем единственность представления (1).
Допустим, что
7 =rxi + Гу/.
Тогда
rj + ryJ=rxl + ГуТ
и, следовательно,
(гх-гх)Т + (гу-Гу)/~=0.
Но это равенство возможно только при гх - т'х- 0,гу - гу ~ 0, так как
векторы i и j неколлинеарны. Поэтому г'х - гх,гу = гу. Единственность
представления (I) доказана.
Если вектор 7 представлен в виде! = rxi + ryj, то говорят, что вектор 7
разложен по векторам i и/. Векторы7Х = rxi n7y = ryj называют состав-
ляющими вектора г по осям Ох и Оу. Коэффициенты гх и гу разложения
вектора 7 по единичным векторам i и j называют координатами вектора
г в данной системе координат Оху и записывают 7 (гх;г,,). Тогда I 7 | =
Из единственности разложения (1) следует, что равные векторы имеют
равные соответствующие координаты, и, обратно, если у векторов обе
соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Пусть дана точка М(х; у). Тогда
7 ~ОМ = xi + у / , (2)
где х и у — координаты точки М, т.е. 7(х; у), 17 | = \/х2 + у2, г (1; 0),
А(0; 1).
Теорема 2. Каждая координата суммы векторов а и Ь равна сумме
соответствующих координат этих векторов; каждая координата произве-
дения вектора а на число к равна произведению соответствующей коорди-
наты этого вектора на число к.
318
Доказательство. Пусть
а = axi + avj, b = bxi + byj
Пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на
число, лолучаем
а + Ь = (ахГ + ауТ) + (bxT + bуj ) = (ax + bx)T + (ау + by)j,
к(ахТ + ауТ) = (ках) i + (кау)].
Значит, координаты векторе д’ + b равны ах + Ъх и ау + Ъу> координаты
вектора ка равны ках и кау. Теорема доказана.
Теорема 3. У коллинеарных векторов соответствующие координаты
пропорциональны. И обратно, если у двух векторов соответствующие
координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны.
Доказательство. Пусто a (a . ;а2) и b (bi. Ь2) — данные векторы.
Допустим, что векторы а и b коллинеарны. Из теоремы § 2 следует, что
существует такое число^, что один из данных коллинеарных векторов,
например Ь, равен ka : b = ка. По теореме 2 имеем
Ь\=ка{, Ь2=ка2.
&i Ъ2 _ —
Отсюда — = - •, т.е. координаты векторов а и b пропорциональны.
Л1 аа
Пусть теперь у векторсв а и b координаты пропорциональны. Докажем,
что векторы коллинеарны. Имеем
bi _ Ъ2
а1 а2
Обозначая общее значение этил осношений через к, получаем bx = ка2,
b2 = ка2. Отсюда следует, что b = ка. Л это значит, что векторы а и b колли-
неарны. Теорема доказана.
Задача. Даны точки А (х;; у i) и В (х2; у2). Доказать, что
АВ(х2 -хг, у2 -yi)_= (X2_-Xi)i + (у2 -yi)/’.
Ре ше ни е. Имеем АВ = 'ОВ - G.I (рис. 214). Так как dA(xr,yi),
ОВ(х2 ;у2), то по теореме 2
АВ (х2 -хг, У2 -yi) = (х2 -xi)7 +(У2-У1)Т-
319
Итак, чтобы найти координаты вектора АВ, надо из координат ею конца
В(х2; у2) вычесть соответствующие координаты его начал а А (х^ у.). При
этом
\АВ [=у/(х2 - Х2)2+(у2 - У})2.
§ 4. Повороты на утлы любой величины
Поворот как вид движения определяется заданием: 1) центра О', 2) угла
поворота а (0° < а < 180°); 3) направления поворота.
Выберем какое-нибудь направление поворота в качестве положительного,
а противоположное направление будем считать отрицательным. Обычно
считают положительным направление поворота против часовой стрелки.
Поворот на а градусов против часовой стрелки будем называть поворотом
на а, а поворот на а градусов по часовой стрелке — поворотом на —а. При
таком соглашении поворот полностью определяется заданием: 1) его
центра О', 2) угла поворота а (—18С° < а < 180°).
Угол поворота теперь является направленным, его величина может быть
как положительной, так и отрицательной или нулем.
Рассматривая повороты как результат вращения, введем теперь поворо-
ты и на углы, лежащие вне пределе > от -180' до 180°. Если /3 = а + 360° и
(и — целое число,—18G <a<180t), то поворотом около точки О на
угол 3 называется поворот около точки О на угол а.
Например, поворот на 315° есть попорот на —45°, так как 315е = —45° +
+ 360е (рис. 215)
Градусная мера угла поворота может быть равной любому действитель-
ному числу
Рассмотрим повороты около точки О с данным лучом ОА. Для каждого
поворота лучу ОА будет соответствовать луч ОВ, положение которою
определяется углом поворота а (рис. 216). Луч ОА считается неподвижным
(начальным) лучом поворота, а луч ОВ — подвижным, совершившим
данный поворот.
Будем считать, что при повороте подвижного луча ОВ вокруг точке. О от
неподвижного луча ОА образован угол а. Точку О назовем вершиной
320
угла а, неподвижный луч ОА — началом отсчета утла а, подвижный луч
()В — подвижным луиом, задающим угол а. Ерли а к /? — такие углы, что
0 = а + 36С°п (и — целое число),то их подвижные лучи совпадают.
§ 5. Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс угла)
Определение и свойства тригонометрических функций. Рассмотрим
прямоугольную систему координат Оху. Окружность с центром в начале
координат и радиусом, равным 1, будем называть единичной окружностью
(рис. 217). Ее уравнение: х2 + у2 = 1.
Примем за вершину любого угла начало координат — точку О. Положи-
тельную полуось абсцисс примем за неподвижный луч ОА, т.е. за начало
отсчета любого угла а. Этот луч пересечет единичную окружность в точке
/*(1; 0). Подвижный луч О В пересечет единичную окружность в точке
М(х; у). Точка М(х; у) получена иовирогом точки Р( 1; 0) на угол а.
Условимся в дальнейшем говорить: точка М(х: у) единичной окруж-
ности соответствует углу а.
Определения.
Синусом угла а называется число, равное ординате соответствующей
точки единичной окружности: sin a ~у.
Косинусом угла о называется число, равное абсциссе соответствующей
точки единичной окружности: cos а = х.
Тангенсом угла а называется число, равное отношению синуса угла а к
sin а у
косинусу угла a: tga =--- = —.
cos а х
Например, sin 0° = 0, cos 0 =1, так как точка М совпадает с точкой Р,
и поэтому tg 0° = 0; sin 90° = 1, cos 90° = 0, так как точка М совпадает с
точкой Q, и поэтому tg 90° не существует.
Аналогично находим
sin 180° = 0, cos 180е = -1, tgl80°=0,
sin 270° = - 1, cos 270° = 0, tg270° не существует.
321
Сикус и косинус являются функциями угла- для любого угла а сущест-
вуют и притом единственные значения синуса и косинуса этого угла. Функ-
ции sin а и cos а определены для любого угла, а множеством их значений
является отрезок [-1; 1], так как координаты точки М(х\ у) единичной
окружности могут принимать все зна«епия от —1 до 1. При увеличении
угла а от 0° до 90° значения функции sin а увеличиваются от 0 до 1, а
значения функции cos а уменьшаются от 1 до 0.
Функция tg а определена дня тех углов а, для которых cos а Ф 0. Напри-
мер, на отрезке [—180°; 180°] имеются два угла, для которых cos а = 0;
это углы 90г и - 90°, Следовательно, tg 90е и tg(—9С°) пе существуют.
Установим некоторые свойства тригонометрических функций.
1) Для любого угла а
sin(—а) - - sin а, cos(— а) = cos а,
tg(-a) = — tga (cosa=#0).
Действительно, точки М и Д единичной окружности, соответствующие
углам а и -а, симметричны относительно оси Ох (рис. 218). Если точка М
имеет координаты х и у, то координаты точки Д'равных и -у. Поэтому
sin(- а) ~ - у ~ — sin a, cos(- а) = х = cos а,
sir. (—а) — sin а
tg(- а) = ------ =---------= - tg а (cos а Ф 0).
cos(-a) cos а
Первое из этих равенств означает свойство нечетности синуса, второе —
свойство четности косинуса, а третье — свойство нечетности тангенса.
2) Для любого угла а
sin (а + Э60°л) - sin а, cos(a + 360°п) = cos а,
где п — любое целое число.
Эти равенства следуют из совпадения подвижных лучей для углов а и
а+ 360' п при любом целом п. Они означают, что функции sin а и cos а —
периодические с периодом 360е. Очевидно, что
tg(a +360°и)= tga (cosa=#0),
322
где л — любоецелое число. Оказывается (см. § 10), чю
tg(a+ 180°rt) = tgc (coso^O)
при любом целом л. Поэтому функция eg а - периодическая с периодом
180°
Вычисление координат вектора; угловой коэффициент прямой. В § 3
было доказано, что каждый вектор на плоскости можно разложить по
единичным векторам i и / прямоугольной системы координат (рис. 219),
т.е. представить любой вектор с в виде
с -cxi + су/,
где сх и Су — координаты вектора с. Выразим координаты вектора с= ОС
через его длину | с | и угол а между лучом ОС и положительным направле-
нием оси абсцисс.
Пусть е - единичный вектор, направление которого совпадает с направ-
лением данного вектора с. Тогда с = | с | • ё. Координаты вектора ё равны
cos ак sin а (по определению синуса и косинуса), т.е. ё = cos а • Г + sin о /.
Значит,
с = | с | ё = | с |(cos a- i + sin а • / ) = | ё | cos а • i +1 с I sin а /.
Сравнивая с равенством с = сх i + су /, получаем
сх = | с | cos а, су = | с | sin « (3)
— формулы для вычисления координат вектора па плоскости. Рассмотрим
применение этих формул.
Пусть прямая ! проходит через начало координат и не совпадает с осью
Оу (рис. 220). Ее уравнение: у = кх Коэффициент к называется угловым
коэффициентом этой прямой.
Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой I. Ее координаты х =
= | (9Л/| cos а,у = \ ОМ | sin Координаты точки М удовлетворяют уравне-
нию прямой I. Поэтому ! ОМ | sin а = к | ОМ , cos а. Отсюда
sin а
к =------ или fc=tga.
cos а
II* 323
Прямые с уравнениями у ~ кх н у - кх +Ь параллельны; их угловые
коэффициенты равны. Верно и обратное: если угловые коэффициенты
двух прямых равны, то эти прямые параллельны.
Знаки тригонометрических функций. Углу а соответствует определенная
точка М(х; у) единичной окружности. Эта точка находится в координатной
четверти. Говорят, что угол а лежит в той четверти, в которой лежит соот-
ветствующая ему точка .И. Например, если а — острый угол, т.е. 0° < а <
< 90°, то говорят, что угол а лежит в первой четверти.
Число sin а — это ордината соответствующей точки М (х; у). Поэтому
siri а> 0, если точка расположена выше оси Ох, т.е. угол а лежит в первой
или второй четверти (рис 221) . Если эта точка лежит ниже оси Сх, то ее
ордината отрицательна, т.е. sin а < 0 в третьей и четвертой четверти.
Число cos а — это абсцисса соответствующей точки М(х; у). Поэтому
cosa>0, если точка лежит правее оси Оу, т.е. в первой или четвертой
четверти (рис. 222). Если же точка лежит левее оси Оу, т.е. во второй или
третьей четверти, то cos а < 0.
sin а
Но определению tg а =----.Поэтому tg а> 0, если sin а и cos а имеют
cos а
одинаковые знаки, и tg а<0, если sin а и cos а имеют противоположные
знаки. Из рис. 221 и рис. 222 видно, что tg а> 0 в первой и третьей четверги
и tg а < 0 во второй и четвертой четверти (рис. 223).
Некоторые тригонометрические тождества.
1) Для любого а
»
sir.2 а + cos2 а1 (4)
(основное тригонометрическое тождество).
Доказательство. По определению
sin а = .у, со$а = х,
гдех и у - абсцисса и ордината точки М единичной окружности для данного
угла а (см. рис. 217).
324
Точка М принадлежит единичной окружности. Поэтому ее координаты
(х; у) удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 1 этой окружности. Следова-
тельно, sin2 а + соз а = 1. Тождество (4) доказано.
Оно устанавливает зависимость между синусом и косинусом одного и
того же угла.
Из равенства (4) можно выразить sin а через cos а, и наоборот:
sin а ~ ± — cos2 a, cos а = ± — sin2 а,
где знак перед корнем определяется знаком тригонометрической функции,
стоящей в левой части этих формул.
2) Для любого а
1 + tg2 а =—J-z-er, (5)
cos а
если cos а ¥= 0.
Доказательство, По определению
sin а
tga =----- (соза^О).
cos а
Применяя основное тригонометрическое тождество (4), получаем
, sin2 a cos2a + sin2a 1
1 + tg2a = 1 +--— =--------------=----— •
cos a cos a cos'1 а
Тождество (5) доказано. Око устанавливает зависимость между танген-
сом и косинусом одного и того же угла.
3) Для любого a
sin (90° - а.) - cos cl, cos(90° — a) = sin a,
sin (180' -- a) = sin a, cos(180n - a) = — cos a.
Для случая острого угла а (0е <а<9С°) доказательства этих тождеств
будут приведены в § 6.
Предоставим читателю проверить их справедливость при a - 0° и а = 9С°.
Доказательства этих тождеств в обшем случае будут рассмотрены в § 10.
Пример!. Доказать, что
1 1
1 + —— = —— (sin а#; 0, cosa=A0).
tg2a sin2 а
Решение. Действительно,
1 cos2 a sin2 а + cos2 а 1
1 + ~Д~ = 1 + -'г =-----~------~ ~~ >
tg a sin a sin a sin а
если sin а =#0, cos а ¥= 0. Доказанное тождество устанавливает зависимость
между тангенсом и синусом одною и того же угла.
325
Пример 2, Найти cosa и tga. если sina = 0,6,0° < а < 90е.
Р е ш е н и е. Из тождества sin2 a + cos2a = 1 следует, что
cos2 a = 1 — sin2 а или cos a = Vl ~ sin2 a.
Если 0° < a < 90°, to cos a > 0; значит, I cosa| = cos а. Поэтому
I----— /-------- sin a 0,6
cosa = yl — sin2a = vl -0,36 = 0,8, Tga =-- = -— = 0,75.
cosa 0,8
Пример 3. Найти cos a и tg a, если sin a = 0,8 90° < a< 180°.
Решение. Мы знаем, что 'cosal = Vl — sin2 a. Если 90° < a < 180°,
to cosa <0: значит, Icosa! = - cosa. Поэтому
cosa = —у 1— sin2 a = — Vl — 0,64 = -0,6
sin a 0,8 4
tga=----- =------= -—.
cos a - 0,6 3
2
Пример 4. Найти sina и tga, если cosa = — —, 90° < a < 180°.
Решение. Мы знаем, что I sin a| = Vl - cos2 a. Если 90° < a < 180°,
to sina >0; значит, |sina|= sina. Поэтому
.----у- / 4 V5~
sin a = Vl — cos a = у 1 — — = — ,
9 3
sina —V5
tga = — = ——.
cos a 2
Пример 5. Найти sinaи cosa, если tga = - 2, 90° < a < 180°
P e ш e н и e. Из тождества
, 1
1 + tg2a = —;—
cos a
следует, что
, 1 1
cos a= -----:— или Icosa! = .. .
1 + tg2a V 1 + tg2a
Если 90° < a < 180°, io sina > 0, cos a < 0; следовательно, | sina|=sin a,
I cos a | = — cos a. Поэтому
1 1
COS a = — = — ——,
Vl + tg’-a VS
sir a = Vl - cos2a = —=.
326
§ 6. Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника.
Значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°
Рассмотрим прямоугольный LABC с катетами а и & и гипотенузой с.
Выберем прямоугольную систему координат Оху так, как показано на
рис. 224. В этом случае числа b и а являются координатами вектора Ъ'в
(Ь — абсцисса, а — ордината точен В), с - длина век тора ОВ (Ь; а).
Рис. 224
Применяя формулы (3) § 5 для вычисления координат вектора, полу-
чаем
b = ccosLA, a = cwnLA\
следовательно,
а Ь
sinZ.A =—, cosZ-Л =—.
с с
Отсюда
sm L А а
tgLA = ------ =
cos L A b
Аналогично находим, для угла В:
п b а b
smLB =—, co&LB~—, tgLB =—.
с с а
Итак.
а b
sin А А = —, sinLВ - —,
с с
b а
cosZX =—, cosZ.B=—
с с
tgLA = ~ tgLB = JL
ь а
Формулы (6) можно прочитать так:
(6)
327
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
противолежащего катета к прилежащему катету.
Запишем формулы (6) в виде
а= csinLA, b~ csinLB,
b= с cos/. Л. а= cco&LB., (7)
а = btgLA, b= a tgLB.
Формулы (7) можно прочитать так:
Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на
sin а.
Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos а.
Катет, противолежащий углу а, равен произведению прилежащего
катета на tg а.
Эти правила выражают соотношения между сторонами и углами пря-
моугольною треугольника. Значение этих правил заключается в том, что
они позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и ост-
рый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить ост-
рые углы.
Для sina, coso и tga составлены специальные таблицы. Эти таблицы
позволяют для данного острого угла а найти sina, cos а и tga, а по данным
значениям sina, cos а и tga найти соответствующий острый угод а. В
школе употребляются четырехзначные математические таблицы В.М. Бра-
диса.
В прямоугольном А А ВС имеем
LA+LB = 90°, а2+Ьг=с2
(теорема Пифагора)
Решим несколько задач на вычисление элементов в прямоугольном
треугольнике по двум его известным элементам.
Задача 1. Дано: а и Ь. Найти: LA,L.B, с.
а
Решение. 1) tgZ-Л = —(формулы 6); величину угла А находим
b
из таблиц.
2) LB = 90’ - LA.
3) с = ---- (формулы 6) или с = '/а1 + h1.
sin АЛ
Задача 2. Дано- а и с Найти: LA, LB, Ь.
328
Решение. 1) sin Z.4 = — (формулы 6); величину угла А находим из
с
таблиц.
2) LB = 90° - СА.
3) b = с sin LB или Ъ = с cos L А (формулы 7), или b = \[с2 -а2.
Задача 3. Дано: a W.LB. Найти: LA, Ь. с.
Р е ш е н и е. 1) СА = 90° — СВ.
2) b = a tgLB (фоомулы 7).
3) с =-----(формулы 7) или с = у/а2 +Ь2,
cosZ-Я
Задача 4. Дано: с hZ.4. Найти: LB,a, b.
Р е ш е н и е. 1) LB ~ 90° - СА.
2) а = с sinZ..4 (формулы 7).
3) Ъ = ссо$СА (формулы?) или b = у/с2 - а2.
Теорема 1. Для любого острого угла а
sin (90° — а) = cos а, cos (90° — а) = sin а.
Доказательство. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с
острым углом а п^и вершине А (см. рис. 224). Тогда острый угол при
вершине В будет 90° — а.
Из формул (6) следует, что
о Ь о а
sin (90° — а) - — = cos а, cos (90° — а) = — = sin а.
с с
Теорема доказана.
Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60е.
Пусть LA = а. Тогда LB = 90° — а
о 1
Если а = 30 , то а - —с, так как длина катета прямоугольного треуголь-
ника, лежащего против угла в 30°, равна половине длины гипотенузы
(§3 гл. 10). По теореме Пифагора
Поэтому
sin 30 =—, cos 30 ~. tg 30 = —72.”--------.
2 2 у/3 3
Если а = 45°, то С А = LB и А ВС - равнобедренный прямоугольный
треугольник, а = Ъ. По теореме Пифагора гипотенуза с = у а2 + Ъ2 = а\[з..
329
Поэтому
sin 45°= —т=, cos 45°= —т= , tg45° =
а-Д! a\'2 a
или
1 x/2 1 \/T
sin 45° = —, cos 45° = —p. = -------, tg 45 3 = 1.
V2 2 <2 2
Если a = 60°, то по теореме 1
sin 60° = cos 30°, cos 60 = sin 30°;
следовательно,
v/3- 1 _
sin 60° =--, cos 60° = —, tg 60J = y/3.
2 2
Теорема 2. Для любого угла а (0 < а. < 180°)
sin(180° — a) = sin a, cos(180° — a) = — cos a.
Доказательство. Пусть a - острый угол (рис. 225). Тогда sin а = у,
cos a = г. А ОММХ = A ONNi (равны по гипотенузе и острому углу). По
этому М/И, =Л%, OMt = ONi. Так как точка М имеет координаты х и у,
то точка Л' будет иметь координаты -х и у. Следовательно
sin (180° — о) =у = sin a, cos (180° - a) = -x = — cos a.
В случае, когда а -тупой угол, доказательство ничем не отличается от
приведенного (соответствующие точки М и N симметричны относительно
оси Оу). Теорема доказана.
330
Например,
л/у
sin 120° = sin (180° — 60°) = sin 60° = ——,
cos 120° = cos (180° - 60°) = — cos 60° = — —,
tgl20° = -VT
3 7. Теорема синусов и теорема косинусов.
Решение греугольников
Пусть Л ВС - произвольный треугольник (рис. 226)
Теорема синусов. В любом треугольнике отношение стороны
к синусу противолежащего угла есть величина постоянная, равная
диаметру описанной окружности.
а
sin а
b с
sin в sin 7
= 2/?.
Доказательство. Опишем окружность около
ника ЛВС (рис. 227). Пусть R - ее радиус.
Возьмем одну из вершин треугольника, например А;
гих вершин, например через В, проведем диаметр BAt
пости. Д/^ВС - прямоугольный, так как вписанный
ется на полуокружность. Из этого треугольника найдем
данною треуголь-
через одну из дру-
описанной окруж-
угсл А1 СВ опира-
a-7R sinai.
Если а - острый угол, то a = at, так как вписанные углы А и А, опи-
раются на одну и ту же дугу (см. рис. 227, а). Значит,
sin а = sin a..
Если а — тупой угол, то из теоремы о вписанном угле следует, что
а + al = 180° или «1 = 180° — а (см. рис. 227, б). Значит,
sin = sin (180° — a) = sin a.
331
Поэтому
а = 27? sin а.
Если а — прямой угол, то а = 27? (см. рис. 227. в), sin 90° = 1 и равенст-
во а = 2R sin а также справедливо.
Аналогичные равенства найдем и для углов £ и у. Итак,
а = 27? sin a, b~2Rs'mp, с = 27? sin 7.
Поэтому
а Ъ с
-----= -----=------= 27?
sin a sin 3 sin 7
Теорема синусов доказана.
Теорема косинусов. Квадрат стороны любого треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними-
а2 = 7>2 + с2 — 2Ьс cosa.
Доказательство. Введем прямоугольную систему координат с
началом в точке А, как показано на рис. 228.
По формулам (3) § 5 найдем координаты вектора ОВ
ОВ (с cos а; с sin а);
следовательно, точка В имеет координаты (с cos а; с sin а). Очевидно,
В fccosac; с sin а)
Ъ CfaO)*
Рис. 228
что точка С имеет координаты (Ь; С). По формуле расстояния между
двумя точками получаем
ВС2 = а2 = (/> - с cos а)2 + с2 sin2 а =
= Ь2 — 2 be cos о + с2 cos2 а + с2 sin2 а =
- Ь2 — 2 be ccs а + с2 (sin2 а + cos2 а).
Отсюда
а2 = Ъ2 + с2 — 2bc cos а.
Теорема косинусов доказана.
332
Записав формулу а2 = Ь' + с2 — 2Z>ccosa в виде
Ь2 ас2 -а2
cos а = -----------,
2Ьс
заметим, что
1) если а2 = Ь2 + с2, то cos а = 0 и а = 90°; следовательно, если квадрат
стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон,
то этот треугольник прямоугольный (теорема, обратная теореме Пифа-
гора) ;
2) если а2 < Ь2 + с2, то cos a > 0 и 0 < a < 90°; следовательно, если
а - большая сторона и а2 < Ъ2 + с2, то треугольник остроугольный;
3) если а2 > Ь2 + с2, то cos a < 0 и 90° < а < 180°, т.е. в этом случае
треугольник тупоугольный.
Т е о р е м а. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сум-
ме квадратов его сторон.
Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм (рис 229).
Применим теорему косинусов к треугольникам ABD и АВС. Получим
BD2 = АВ2 ¥AD2 -2АВ- AD cosct,
AC2 -АВ1 ABC2 -2 АВ- ВС- cos В
Так как 0 = 180° — а, то, складывая эти равенства и учитывая, что cosfl =
= cos(180° -a) = —ccsa, AB = CD, BC = AD, получаем
BD2 A AC2 = AB2 ABC2 A CD2 A AD2.
Теорема доказана.
Применяя теоремы синусов и косинусов,рассмотрим решение произволь-
ных треугольников Решением треугольника называется нахождение всех
его шести элементов, т.е. трех сторон и трех углов по каким-либо трем
данным элементам.
Так же, как и для прямоугольных треугольников, рассмотрим четыре
основные задачи на решение произвольных треугольников.
Задача 1. Даны три стороны треугольника. Найти его углы.
Решение. По теореме косинусов находим углы треугольника; их сум-
ма равна 180°. Эта задача имеет решение, если большая из сторон меньше
суммы двух других.Единственность решения следует из третьего признака
равенства треугольников.
333
Задача 2. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий
угол и остальные две стороны
Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий
угол вычисляется через заданные углы.
Имея сторону и все три угла, по теореме синусов находим две осталь-
ные стороны. Задача всегда имеет решение и притом единственное. Ко кеч
по, сумма двух данных углов должна быть меньше 180°. Единственность
решения следует из второго признака равенства треугольников.
Задача 3. Даны две стороны, например а и Ь, и угол у, противолежа-
щий третьей стороне. Найти остальные два угла и третью сторону.
Решение. По теореме косинусов находим сторону с. Теперь, имея
три стороны, по теореме косинусов можно найти еще один угол, напри-
мер а. Тогда £ = 180 - а - у. Задача всегда имеет решение и притом един-
ственное. Единственность решения следует из первого признака равенства
треугольников.
Задача 4. Даны две стороны, например а и Ь, и угол, противолежа-
щий одной из них, например а. Найти остальные два угла и третью сторону.
b sin а
Решение. По теореме синусов находим sin ft =--------. По значению
а
sin /5 находим отвечающие ему углы 31 и fti (данному значению синуса
отвечают два угла иа отрезке от 0° до 180°; это следует из формулы
sin(180° - а) = sina). Выбираем из них один или оба, учитывая, чго против
большей из сторон а и b лежит больший угол. Зная углы а и ft, находим
угол у = 180° - a- ft, а затем сторону с по теореме синусов.
Эта задача может не иметь решения, иметь одно решение или два реше-
ния. (При исследовании рассматриваются случаи а > b и а < Ь; в случае
а < Ъ результат исследования зависит от соотношения между а и b sina.)
Отметим, что предложенные способы решения этих задач не являются
единственными.
§ 8. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
Определение. Скалярным произведением двух векторов называет-
ся число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между
ними. _ _ __
Скалярное произведение векторов а и b обозначается а b (или а о).
Пусть ip — угол между векторами а и Ъ. По определению а b =
= | а | • I b | • cos <р.
Скалярное произведение а - а обозначается а2. Очевидно, а2 = |л | ,
так как = 0 и cos 0 = 1.
Свойства скалярного произведения.
1) Переместительное свойство: а b = b • а.
2) Сочетательное свойство относительно умножения вектора на число-,
(ка) • b ~к(а- Ь).
334
3) Распределительное свойство относительно сложения векторов:
а • (Ь + с) = а • b + а • с.
Свойство 1) очевидно; а • b = i а | • | b | • cos
b ‘a = \b | • | a 1 • cos = ] a | • I b I • cos <p = a • b.
Для доказательства свойств 2) и 3) используем свойства проекции
вектора на ось.
Назовем осью прямую с выбранным на ней направлением и масшта-
бом. Пусть на плоскости заданы ось I с единичным вектором ё и произ-
вольный вектора =АВ.
Рассмотрим вектор Л j , началом которого является точка Л! - проек-
ция точки А на ось /, а концом - точка В — проекция течки В на ось I
(рис. 230). __
Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется число,
равное А . Bt (длине вектора А , если направление вектора A i5j совпа-
дает с направлением оси Z, и равное —А • В: (длине вектора А ХВ\ со знаком
минус), если направление вектора противоположно направлению
оси I.
Используется обозначение пр; АВ (или пр; а ).
Теорема 1. Проекция вектора а на ось I равна длине вектора а,
умноженной на косинус угла между вектором и осью:
r.pi а = | а | cos
где <р — угол между вектором а и единичным вектором ~ё оси I.
Рис. 230
Доказательство. Если - 0°, то а =АСА,5, (см. рис. 239);
очевидно, пр/ a = | а | = | а I cos 0. Если у> = 90°, то пр, а = 0, так как точки
А1 hBj совпадают и Л = 0; npz a = 0 = | a leos 90°.
Если 0° < <^ < 90', то вектор А^Вх и ось / одинаково направлены (см.
рис. 230); пр, ' = \А1Вг | = |ДС|, и из прямоугольного Д А ВС получим,
что АС = | AiBi | = | АВ | cos «р.
335
Если 99° < <р < 180°, то вектор A i3t и ось I противоположно направ-
лены (ряс. 231); пр/а = — | Л/В/ |.
Так как cos (180° — <р) = -cos у>, то и в этом случае получим пр, а =
= | а | cos <р. Доказательство предоставим читателю.
Следствие. Пусть вектор а задай своими координатами (at; а2).
Тогда
а = a2t + a2j.
где i и j - единичные векторы координатных осей Ох и Оу. По фор-
муле (3) § 5 имеем а2 =\а jeoso, где а-угол между а и i. Следова-
тельно, npOjc а ~ Ci. Аналогично доказывается, что пр^у а = а2.
Таким образом, проекция вектора на координатную ось равна соот-
ветствующей координате этого вектора.
Свойства проекции вектора на ось:
1) npz (а + Ь ) = пр( а » прг b ;
2) npz(fca) = Лпр/Я.
Справедливость этих свойств следует из теоремы 2 § 3 о действиях
над векторами, заданными своими координатами.
Проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направле-
нием вектора а, выражается формулой пр- b = | Ъ |cos<^, где у — угол
между векторами а и Ь.
Поэтому скалярное произведение а и Ь:
а • b = | а | | b |cosip = | а | пр- b .
Аналогично получается формула а • b = |пр-^а.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произ-
ведению длины одного из них и проекции второго вектора на направле-
ние первого.
Применяя свойства проекции вектора на ось, получаем
(ка ) • b = | Л | пр^ (ка) = I b j к пр-a = к(а b ),
а • (Л + ё) = | a | пр (Ъ +с) = а(пр - Ъ + пр^с) =
= |а | пр-b + |а | пр-ё = а b +а - с.
336
Свойства 2) и 3) скалярного произведения доказаны.
Теорема 2. Скалярное произведение двух векторов равно сумме
произведений соответствующих координат зтих векторов.
Пусть a(ai;a2) и b(bt; Ъ2). Докажем, что
а b = а2Ъх +а2Ьг. (8)
Доказательство. Так как
а = аД +a2j, b = ЬД + b2j,
то, используя свойства скалярного произведения, получаем
а • b = (аД + аД)ДЬД +b2j ) =
= (аДДг г + (ajZ>2 + а2ЬД1 J + (а2Ь2Д2-
Очевидно, что i2 = I j I2 = 1, /2_= I j I2 = 1, i • j = 0 (векторы i и
j перпендикулярны, i • j = I i I • I / I • cos 90° = 0). Поэтому
a' • b = a^bi +a2b2
— формула для вычисления скалярного произведения в координатах.
Из определения скалярного произведения следует, что если векторы
перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно,
если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы
перпендикулярны.
Таким образом, для векторов д’(Д1; а2) Hb(bt; b2) равенство
ajZ>t + а2Ъ2 = 0
является условием перпендикулярности этих векторов.
Если векторы a n b — ненулевые, то
а Ь
cosy? =---------- ,
la I • 1Ы_
где — угол между а и b.
Пусть векторы а и b заданы своими координатами:
d(at;a2), b(b2‘, b2).
Тогда
I а | = Да'х +а2, | b ! = +Ь2.
Применяя формулу (8), получаем Формулу для вычисления косинуса
угла межпу векторами:
+ а2Ь2
cos<p = ---- . (9)
х/д2 +а2 • y/bj +b2
Так как (Г < <£ < 180°, то формула (9) определяет угол между вектора-
ми однозначно.
337
Пример 1. С помощью векторов доказать теорему косинусов.
Решение. ВЛ АВС рассмотрим векторы (рис. 232). Имеем а = b - с.
Поэтому в2 = (& - с)2 ~ b 2 - 2 b с + с2 или а2 =Ь2 +. с2 — 2Ъс cos а.
Пример 2. Найти величины углов и длины сторон треугольника
/ 3 х/3~ \
с вершинами А (0; V3), В(2; л/З ), С ( — ; - ).
\ 2 2 /
Решение. Сделаем схематичный чертеж (рис. 233). Мы зиасм (§ 3),
что для вычисления координат вектора АВ надо из координат его конца В
вычесть соответствующие координаты его начала А. Поэтому А В (2; 0),
| АВ | =2. Аналогично находим
По формуле (9) подучаем
cos Л Л =
АВ АС
(АВ | • |ЛС |
следовательно, LA = 30' . Так как ВА = -АВ, то ~ВА{—2; 0). Имеем
___/ 1 >/3\ — /1 з“
ВС(-----;-------), | ВС | = V — + — = 1- Поэтому
\ 2 2 / 4 4
ВА • ВС
cos Л В =---------
\ВА | • |ВС|
следовательно, LB = 60°. Тогда LC = 180° — (LA + LB) = 90°. Итак,
2.Л = ЗО°, ЛВ = 60°, ДС=90\ ЛВ~2, ВС=1, ЛС = л/3.
Пример 3. Найти проекцию вектора b (-2; 1) на направление
вектора 7(3: —4).
338
Решение. Известно, что
пр5д =
Поэтому
а • b
TFT
np-Z> =
3 • (-2) + (-4) • 1 _2
л/зП^
§ 9. Формулы сложения
Формулами сложения называют формулы, выражающие cos (а ± ft)
и sin (а ± (3) через косинусы и синусы углов а и ft.
Теорема. Для любых а и ft справедливо равенство
cos (а - ft) = cos а cos ft + sin a sin ft. (10)
Доказательство. Пусть точки Л10 и Mp получены поворотом
течки Р(1; 0) на углы а и ft соответственно (рис. 234, а). Тогда векторы
ОМа и ОМр имеют следующие координаты:
OMa(cosa; sina), OMp(cosft; sinp).
Пусть — угол между векторами ОМа и ОМд; 0п < 18Ээ.
Рис. 234
Применяя формулу (9), получаем
cos a cos 3 + sin a sin ft
cos ----------- - — ---- = cos a cos ft + sin a sin ft.
Vcos2 a + sin2 a s/cos2/? + sin2 ft
Поворот на угол a — ft есть полорот около точки О на угол либо на
угол -<р (рис. 234, б).
Поэтому a — ft = ip + 360°n либо а — ft = --р + 360°и, где п — некоторое
целое число. По свойству периодичности косинуса с периодом 360° имеем
cos (a — ft) = cos (<p + 360°n) = cos
339
либо
cos (а — 0) = cos(— у? + 360эл) = cos( —<^) = cosy?
(по свойству четности косинуса).
Значит, для любых а и(5 получаем cos (а - р) - cos Поэтому
cos (а — 0) = cos a cos 0 + sin a sin fl.
Теорема доказана.
Так как а + fi = а — (-0), то из формулы (10) вытекает, что cos (а + 0) =
= cos(a — (-fi)) = cos a cos(—fi) + sin a sin(—fi), откуда в силу четности
косинуса и нечетности синуса получим равенство
cos (а + 0) = cos а cos fi — sin a sir. fi, (11)
также справедливое для любых а и р.
При а = 90° из формулы (10) получаем
cos (90° —fi) = cos 90° cos fi + sin 90° sin 0 = sin fi
для любого fi. Отсюда в свою очередь следует справедливость для любого 0
равенства
cos fi = cos (90э - (90° - fi)) = sin (90° - fi).
Используя полученные равенства, имеем
sin (а + 0) = cos (90° - (а + 0)) = cos ((90° — а) — 0)) =
= cos (90° — а) cos 0 + sin (90° — а) sin 0,
т.е.
sin (а 4-0) = sin a cos 0 + cos a sin 0. (12)
Так как a — 0 - a + (— 6), то из формулы (12) получим
sir. (a — fi) = sir. a cos 0 — cos a sin fi. (13)
Формулы (12) и (13) справедливы для любых о и 0. Таким образом,
получены формулы сложения (10) — (13).
Выведем формулы сложения для тангенса. Из определения тангенса
и формул (11), (12) следует, что
sin (с-. + 0) sin a cos fi + cos a sin 0
tg (a + 0) = -------— =------------------------- .
cos (a + 0) cos a cos fi — sin a sin 0
Разделив числитель и знаменатель этой дроби на cos a cos 0, получаем
sin a cos 0 cos c sin 0
-----------
cos a cos в cos a cos в tg a + tg в
tg (« + 0) =-----------------------— = - ---------— .
cos a cos 0 sin a sin 0 1 — tg a tg fi
cos a cos 0 cos a cos 0
340
Итак
ig а + tg 3
tg(a + 0) = —— ----— ,
1 - tg a tg 0
если cos a ¥• 0, cos 3 0, cos (a + 3) 0-
Аналогично можно получить
(14)
tga-tg3
tg (u - 3) = ——---—~ >
1 + tg о ig 3
(15)
если cos а Ф 0, cos 3 Ф 0, cos (a — 3) 0.
Пример 1. Вычислить cos 15°.
Решение, llo формуле (10)
cos 15° = cos (45° - 30“) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
/2 x/T y'2
--- . ----- + ------
2 2 2
'б’ч- ф.’
4
Пример 2. Вычислить sin 240°.
Решение. По формуле (12)
sin 240° - sin (180° + 60°) = sin 180° cos 60’ + cos 180° sin 60c =
1
= 0 • - + (-1)
1
2
Пример 3. Вычислить tg 135°.
Решение. По формуле (15)
tg 135° = tg (180° -45°) =
tg 180° -1g45°
1 + tg 180’ tg 45°
= -1.
§ IG. Формулы приведения
Формулами приведения для синуса называют следующие шесть формул:
sin (90е + a) = cos a, sin (90° — а) = cos а,
sin (180° + а) - —sin a, sin (180°—а) = sin а, (16)
sin (270° + «) = —cos a, sin (270° — а) = —cos а
Вес эти формулы выводятся с помощью формул сложения для синуса.
Например,
sin (90° + a) = sin 90° cos a + cos 90° sin a = cos a.
341
С помощью формул сложения для косинуса получаются шесть формул
приведения для косинуса:
cos (90° + a) = —sin a, cos (180° + a)= —cos a, cos (270° + a) = sin a, cos (90' — a) = sin a, cos(180°-a) = —cosa, (17) cos (270° — a) = —sin a.
Например
cos (180°+а) = cos 1 80° cosa — sin 180° sina = —cosa.
Формулы (16) и (17) справедливы для любых значений а.
Чтобы записать любую из формул приведения (16) и (17), применяют-
ся следующие правила:
1) Если для приводимой функции угол равен 90° ± а или 270° ± а, то
синус заменяется на косинус и наоборот.
Если для приводимой функции угол равен 180° ± а, то функция не
меняется.
2) Перед приведенной функцией ставится тот зкак, который имеет
исходная приводимая функция при условии, что a - острый угол.
Например, напишем формулу приведения для sm(270° — а). Согласно
первому правилу синус меняется на косинус. Если a — острый угол, то
угол 270° — а принадлежит третьей четверти, в которой синус отрицателен.
Поэтому по второму правилу перед косинусом нужно поставить знак
минус:
sin (270° — a) = —cos a.
Пример 1. Вычислить sin 240° и cos 240°.
х/3
Решение, sin 240° = sin (180J + 60°). = -sin 60’ =-, cos 240° =
= cos (180° + 60°) = -cos 60° = - у .
Пример 2. Доказать, что tg (a + 180°) = tg a (cosa=A0).
. sin (180° + a) —sina
Решение, tg (a + 180 ) = ---—------- = ------= tg a.
cos (180 + a) —cosa
Следовательно, 180° — период функции tg a.
Используя периодичность тригонометрических функций и формулы
приведения, при составлении таблиц для sin a, cos а и tg а достаточно знать
их значения лишь для углов, взятых от 0 до 45°.
Пример 3. Вычислить с помощью таблиц sin 651°.
Решение, sin 651° = sin (360° + 291°) f sin 291° = sin (270° + 21°) =
= -cos 21° «-0,93.
’42
§ 11. Формулы двойного и половинного углов
Из формулы
sin (а +0) = sin a cos (i + cos а sin [}
кри 0~а получаем
sin 2а = 2sin а cos а. (18)
Аналогично, из формулы
cos (а + 0) = cos а cos 0 — sin а sin 0
при в - а получаем
cos 2а = cos2a — sin2 а. (19)
Используя основное тригонометрическое тождество sin2 а + cos' а = 1,
из равенства (19) получаем следующие формулы:
cos 2 a = 2 cos2 a — 1, cos 2a = 1 — 2 sin2 a. (20)
Из формулы
tg (a + 0) =
1g a + tg /3 1
1 - tg a tg 0
при 0 = a получаем
tg 2a =
2 tga
1 - tg2a
(21)
Формулы (18) —(21) называют формулами синуса, косинуса и танген-
са двойного угла.
Формулы (18) и (19) справедливы для любых а, а формула (21) —
длг тех а, при которых обе части равенства имеют смысл.
Примеп 1. Вычислить sin 2a и cos 2a, если sin а = — 0,8 и 180°< а<
< 270°.
Решение, Так как 180е <а < 270°, то cos а < 0 и поэтому
cos а = — \/1 — sin2 а = ->/1 - 0,64 = -0,6.
Следовательно
sin 2а = 2sinacosa = 2 • (-0.8) • (—0,6) = 0,96,
cos 2а = cos2a-sin2a = 0,36-0,64 = -0,28.
1
Пример 2. Вычислить tg 2а, если tg а =-------.
343
/ 1
2 • (---
2 tg a \ 2
• Решение, tg 2a = -------t— =----------
1 - tg2a 1
1-----
4
Из формул (20):
cos2x = 2cos2x-l, cos2x = 1 -2sin2x
a
при x = — получаем
1 + cosa = 2cos2 —, 1 - cos a = 2sir? — .
2 2
Формулы (22) можно записать так:
a
2
cos —
2
1 + cos a
2
sin2
1 — cos a
2
Формулы (23) называют формулами синуса и косинуса половинного
угла. Эти формулы иногда называют также формулами понижения степени.
а а
Если задан cos а, то по формулам (23) можно найти sin — и cos -
с точностью до знака. Знак можно определить, если известно, в какой чет-
a
верти лежит угол — .
Пример 3. Вычислить tg —, если cos a = 0,6 и 180° < a < 360°.
Решение. Из формул (23) следует, что
2 1 + cos a 1 + 0,6 4
По условию 130° < a < 360°, поэтому 90° < —< 180° и tg —< 0.
« Л 1 2 2
Следовательно, tg —= — у — =------.
2 4 2
a
Так как a = 2 • — , то согласно формулам (18) и (19)
a a а л а
sina = 2sin—cos — , cos a = cos2--sir? —.
2 2 2 2
344
Поэтому
а а а а
2sin — cos — 2sin — cos —
2 2 2 2
cos2 — + sin2 —
2 2
a a a a
cos2 — — sin — cos2-------------sin2
2 2 2 2
cos a - ------------------- =---------------------- .
1 , a a
cos — +sin —
2 2
a
Разделив числитель и знаменатель каждой из этих дробей на cos2 —,
получаем
a , a
2tg— 1-tg2 —
sin a = ---------- , cos a = -----------, (24)
, a „a
1+tg2 — 1+tg2 —
a
если cos —¥= 0.
2
По формулам (24) тригонометрические функции угла а рационально
а
выражаются через tg —, т.е. с помощью только четырех арифметических
действий.
Из формул (24) следует, что
a
2<g-
tga =
a
если cosa#=0, cos — Ф 0.
2
sin a al
Пример 4. Вычислить-------------, если tg — = — .
2 — 3 cos a 2 2
a 1
Решение. Так как tg -= —, то по формулам (24) находим
4 3 sin a
sina = —, ccsa . Следовательно,---------------= 4.
5 5 2 — 3 cos a
345
§ 12. Тригонометрические преобразования
Преобразование суммы и разности
произведение: для любых а и 3
тригонометрических функций в
а + 3 а — 3
sin а + sin 3 = 2sin — -• cos ------
2 2
а — (3 a + fi
sin а — sin 3 = 2 sin --— cos-----
2 2
a + 3 a — 3
cos a + cos 3 = 2 cos---- cos-------
2 2
a 4 3 3- n
cos a —cos 3~ 2 sin ----- sin-------
2 2
(25)
a + 3
—2 sin -------
2
a - 3
sin--------
2
Для доказательства представим а и 3 в виде
с + З а — 3 а + 3 а - 3
а =--------+------- , 3 =--------------------
2 2 2 2
и применим формулы сложения:
/ а + 3 а — 3 \
sin а = sin ( ----+ ------ ) =
\ 2 2 /
а + 3 а—3 а + З а — 3
= sin ----- cos-------- + cos --- sin-------
2 2 2 2
/а + З a - 3 \
sin 3 = sin (-------------) =
\ 2 2 /
a+3 a—3 a+3 a — 3
= sin------cos---------— cos ----sin--------
2 2 2 2
Почленно складывая и пычитая эти равенства, получаем
. а . п + & °
sin а т sin 3 = 2 sin----cos--------.
2 2
(формула суммы синусов),
a — 3 а + 3
sin а — sin 3 = 2 sin --- cos-------
2 2
(формула разности синусов).
Аналогично получаются формулы суммы косинусов и разности ко-
синусов.
346
sin За + sin а
Пример 1. Упростить выражение------------
cos За + cos а
Решение
За + а За — а
2 sin ---------cos ------------
sin За + sin а 2 2
cos За + cos а . За-i-a За —а
2cos ------- cos -------
2 2
2 sin 2а cos а
= -------------- = tg2a.
2cos 2a cos a
Пример 2. Доказать равенства
sin (a + /3) sin (a - 3)
tg a + tg 3 =-------: > tg a - tg 3 =---------“
cos a cos 3 cos a ccs 3
Решение.
cos a cos 3
sin a cos 3 + cos a sin 0 sin (a + 3)
cos a cos 3 cos a cos 3
sin a sin 3
tga-tg0 -------------------- -
cos a cos 2
sin a cos 3 — cos a sin 3 sin (a — 3)
cos a cos 3 cos a cos 3
Пример 3. При каких значениях а и (3 справедливо равенство
sina+ sin 3 = sin (a +3)?
Решение. Имеем
a + 3 а — 3
sin a + sin 3 = 2 sin ---cos ------- ,
2 2
a+3 ot + 3
sin (a + (3) = 2 sin — cos —-— .
Поэтому равенство приводится к виду
а + 3 / а — 3 а + 3 \
sin---------1 cos--------cos-------- 1 = О
2
2
2
347
или
sin
а + (3
• 2 sin—sin —= О,
2 2
а + 0 а 0
sin------sin—sin — = О
2 2 2
Отсюда получаем
sin----— = О, а +13 = 360° • к,
2
sin —= 0. а = 360° • I,
1
в
sin — = О, 0 = 360° • т.
2
Итак, равенство возможно в трех случаях:
а + 0 = 360°-к, а = 360° • I, 0 = 360°-те.
где к,1,т— любые целые числа.
Иногда для преобразования в произведение вводится вспомогательный
угол.
Пример 4. Преобразовать в произведение 1 — 2sin а.
/ 1 \
Решение. 1 — 2 sin а = 2( — — sin о ] = 2 (sin 30 — sina) =
30° - а 30° + а / о ах / о ах
= 4sin--------cos ------- = 4sinl 15------) cost 15 + — 1.
2 2 \ 2/ \ 2/
Пример 5. Преобразовать в произведение сумму a sin a + b cosa,
где а и b — заданные числа.
Решение. Имеем
a sina ft cosa = -Ja2 it ' —------ - sin a f—........ cosa I,
\ y/a2 + b2 y/a2 + b1 /
где хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю.
Рассмотрим точку М с координатами а и Ь. Она лежит на окружности
радиуса R = х/а" + Ь1 с центром в начале координат. Отсюда ясно, что
348
существует такой угол <р, для которого
а а Ъ b , , s
cos = — = — — , sin <г = — = —(а + b 2 =# 0).
R y/a2+b2 R -^а2.Ъ2
Поэтому
a sin а + b cos а = у/а2 + b2 (sin a cos р + cos а sin <р) =
= у/а1 + b2 sin (а + р).
Отсюда следует, что сумма a sir. а + b cos а имеет наибольшее значение,
равное у/а2 + Ь2, и наименьшее значение, равное — у/а2 + Ь2.
Например, 3sin а ь 4cos а = у/32 + 42 sin (а + <р) = 5sin (а + <р), где <р —
3 4
вспомогательный угол, для которого cosр = — , sin р = —. Наиболь-
шее значение суммы 3sin а + 4cos а равно 5, а наименьшее —5.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
и разность: для любых а и 0
sin (а + 0) + sin (а - 0)
sin а cos 0 ---------------------- ,
2
cos (а + 0) + cos (а — в)
cos a cos 0 =--------------------- , (26)
cos (а - 0) — ccs (а + £)
sin а sin 0 = -------------------- .
2
Для доказательства применим формулы сложения:
cos (а - (Г) = cos a cos 0 + sin а sin 0,
cos (а + 0) = cos а cos 0 — sin а sin 0,
Почленно складывая и вычитая эти равенства, получаем
cos (а — 0) + cos (а + 0) = 2cos tt cos 0,
cos (а - 0) - cos (а + 0) = 2sin а sin 0.
Отсюда получаем формулы преобразования произведений cos« cos 0 и
sin a sin 0. Аналогично получается формула для sin a cos 0.
Пример 6. Доказать тождество
sin 5а cos За — sin 2а = sin За cos 5а.
349
Решение.
sin (5а + За) + sin (5а — За)
sin 5а cos За — sin 2а =-------------------------------------------sin 2а =
sin 8а + sin 2а sin 8а - sin 2а
— sin 2а =
8а — 2а 8а + 2а
2 sin ---------- cos -------
2 2
= sin За cos 5а.
Тождество доказано.
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Какой вид имеет четырехугольник ABCD. если известно, что a) AD = ВС;
б) векторы AD и ВС коллинеарны?
2. Доказать с помощью векторов теорему о средней линии треугольника.
3. Длина вектора а (5; и)_ равна 13 Найти и.
4. Векторы а (1; -1) и Ъ (-2; и) коллинеарны. Найти л.
5. Даныточки А(0; 1), 5(1; 0), С(1; 2), Р(2; 1). Доказать, что АВ - CD.
6. Дан вектор а (4; 3). Найти вектор Ь (Ъ1; Ьг), имеющий в два раза большую
длину и направленный с вектором а ;
а) одинаково; б) противоположно.
7. Даны вершины треугольника Л(1; 1), 5(1; 4), С(5; 4). Найти косинусы уг-
лов треугольника.
8. Даны векторы а (1; 0) и Ъ (1; 1). Найти такое число х, чтобы вектор а + xb
был перпендикулярен вектору а.
9. Доказать с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
10. Найти проекцию вектора а (1; 1) на направление вектора Ъ (4; -3).
11. Вычислить: a} cos а и tgo-, если sin а - 0,8. 0° <а<90°,
в) sin о и cos а, если tg а = — , 180е < а < 270°
г) cos а и tga, если sin« = -0,6, 270° <«< 360°.
12. Найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов 120°, 135°, 150°,
210’, 225°. 2^0°.
3
13. У треугольника АВС: АВ = 15 см, АС = 10 см. Может ли sin LB = — ?
4
14. Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними а. Найти сторо-
ны параллелограмма.
15. У треугольника дзе стороны 20 м и 21 м, а синус угла между ними ра-
вен 0,6. Найти третью сторону.
35С
16. Не вычисляя величины углов треугольника, указать вид каждого и? тре-
угольников (относительно углов.), если его стороны равны:
а) 7; 8; 12; б) 0,3; 0,4; 0,5; в) 8; 10; 12.
17, Доказать теорему: если две стороны одного треугольника соответственно
равны двум сторонам другого треугольника, а утлы между этими сторонами не
равны, то против большего угла лежит большая сторона.
18. В параллелограмме острый угол равен 60° Найти стороны параллелограм-
ма, если его периметр равен 22 см, а меньшая диагональ равна 7 см.
19. В треугольнике АВС: .ВС~ 6 см, ~ 60°, LB = 45е Найти .длины сторон
АВ и АС.
20. Найти все элементы прямоугольного треугольника с прямым утлом С, если
известно, что а) а = 6,4, b = 50, б) b = 65, с = 69; в)а = 114,LA = 34°45'; г) а = 18,
5 9
ДВ=84°50’; д) с = 5----, LA = 71°48'; е)с = 3--, 4Д=19°52'.
19 17
21. Даны три стороны треугольника. Найти его углы, если а = 55, b = 21, с = 38.
22. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две
стороны, если с ~ 14, с = 64°, 0 = 48°.
23. Даны две стороны и угол, противолежащий третьей стороне. Найти осталь-
ные два угла и третью сторону, если а = 24, с = 18, 0=15°.
24. У треугольника заданы две стороны а, b и угол а, противолежащий сторо-
не а. Найти остальные углы и сторону треугольника, если а = 6, 5 = 8, а = 30°.
Вычислить (№25-40):
25. cos (—420°). 26. *g570°. 27. ein (-3630°). 28. sin 75°. 29. ig 105°.
30. sin (a +0), если sin a = 0,6, 0° < a < 90°, cos 0 = 0,28, 270° < 0 < 360°.
3
31. sin (60е - о), если tg a = — , 180° < a < 270°.
32. tg (a - 0), если tg a = 3, tg 0 - 2.
33. tg 180Cr - sin 495° + ccs 915°.
34. 3ccs 3660° + sin (-1560°) + cos (-450°).
a a
35. sm - и cos -,
2 2
4
если sina = ——, 270е <a< 360°.
36. sin a + cos a, если sin 2a = 0,96.
37. tg . если cos a = 0,8, 180° < a < 360°.
2
____4 + 5 cos 2a
38. --——--------, если tg a = 3.
sin 2a
39. sin 105° - sin 75° 40. tg 265° + tg 95°.
Доказать тождества (№ 41-46):
41. sin a + sin (a + 120°) + sin (a + 240° ) = 0.
42. sin'a + ccs6a + 3sin’a cos2 a = 1.
43- (sin a - cos a)2 = 1 - sin 2a.
3
44.cos2a+ cos2(120° +a) + cos2(120“ -a) = — .
_ sin 2a - sili 3a + sin 4 a
45.----------------------------------- tg 3a-
cos 2a - cos 3a + cos 4a
46. tg2a - tg10
sin1 a - sin20
cos2acos20
Преобразовать в произведение (№ 47-52):
351
47. v3 - 2 cos a. 48. 1 - sin a. 49 1 + cos a + sin a.
50. 2sin2a + V"2 sin 2a - 1. 51. 1 t- sin a : + cosa + tg a
52. Vtg 4a + sin 4a + Vtg 4a - sin 4a, если 45° < a < 67,5°.
РАЗДЕЛ II
53. В параллелограмме ABCD точки M и N - середины сторон CD и AD. Вы-
разить вектор MN через векторы СВ =а и DC = b.
54. Доказать, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место неравенство |ЛС| <
< I АВ | + I ВС |.
55. Длина вектора Ь(т; 24) равна 25. Найти т.
56. Найти единичный вектор, коллинеарный вектору а (8; 6), одинаково с ним
направленный.
57. Найти координаты вектора АВ, если точки А и В имеют следующие коор-
динаты: а) А (3; 1), В{5, 0); б) А (-1; 3), В(-2; 1); в) А (3; 1), 8(-1; -3).
58. 0т точки А отложен вектор АВ=а . Найти координаты точки В, если
а) А(0; 0), в 4-2; 1); б) 4(-1; 5), а (1; -3); в) А (2; 7), а (-2; -5)
59. Даны координаты вершин д. В, С параллелограмма ABCD. Найти коорди-
наты вершины D, если
а) А (2; 3), 8(1; 4), С(0, -2); б) А (-2; -4). 8(3; 0), С(1; -2).
60. Даны векторы а и 5. Найти длину вектора а + b и угол между векторами
а на + Ь, если известно, что длины векторов а и В равны 1, а угол между
ними 50°.
61. Точки А (1, 2), 8(2; 4), С (4, 5) и 8>(4; 2) являются вершинами четырех-
угольника. Найти величину угла между диагоналями четырехугольника.
62. Точки А (1; 2), 8(2; 4), (. ; 4^ и Р(6; 2) являются вершинами тра-
пеции. Найти косинусы углов трапеции ABCD. _
63. При каком значении т векторы а (3; 4) и b (т; 2) перпендикулярны?
64. Даны точки А (0; 0), В (-1; 1), С(0; 2), 27(1; 1). Доказать, что четырех-
угольник АВСО - прямоугольник.
65. Найти проекцию вектора Ъ (-1; 2) на направление ьсктсра а (6; -8,.
66. Вычислить, а) sina и tga, если cosa = -0,8, 90° <a<180’;
5) sina и cosa, если tga = -3, 90“ < a < 180°;
Bjcosa и tga, если sina=-0,6, 180° < a < 270’.
67, Найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов 300’ 315°, 330°.
68. Найти все элементы прямоугольного треугольника с прямым углом С, если
известно, что а) а = 12 — ,
1 3
5 = 3—; б) в = — , с = 1; в) 5 = 1,012, L В = 30’24';
6 5
г) b = 2,46, LA = 34’56'; д)с = 4,18, lA = 71’18’; е) с =0,119, £8 = 29’14'.
69. Диагонали параллелограмма имеют длины 5 см и 8 см; угол между диаго-
налями равен 77’18'. Найти длины сторон параллелограмма.
70. Даны три стороны треугольника. Найти его углы, если а = 23, b = 17, с = 39.
71. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две
стороны, если 6=12, a = 36°, £ = 25°.
72. Даны две стороны и угол, противолежащий третьей стороне. Найти осталь-
ные два угла и третью сторону, если а = 32, с = 23, 0 = 152’
352
73. У треугольника заданы две стороны а, Ь и угол а, противолежащий сторо-
не а. Найти остальные уп.ы и сторону треугольника, если а = 34, b - 12, о. = 164°.
Вычислить (№ 74-86):
74. cos (-360°). 75. t£ (-180°). 76. sin (-75G°). 77. sin 15°. 78.tg75“.
3 „ 8
79. cos (a + Д) и cos (a - .3), если sin a = — 270 < a < 360 и sin fl = -jy ,
83. sin ~,
0° < Д < 90°.
80. cos 2a, если sin a = 0,3. 81. sin 2a, если sin a = -0,6, 180'
82 tg(45° + a). если tga = 2.
ot cc 3 o o
cos —, tg — , если sin a = — ,90 < a < 180
2 2 5
a 1
cos a, если tg — = — — .
85. sin 165“ + sin 105°. 86. cos 105° + cos 75°.
Доказать тождества (№87-93):
sin a 1 — cos a
sin a
a < 270°.
84. sin о и
87.
88.
tea.
= tg 2a.
1 + cos a
sin a + tg a
1 + cos a
„ sir. a + sin 3a
89.-----------—
cos a + cos 3a
90. (sir. a + cos a)2 =1 + sin 2a.
91. cas4a — sin4 a + sin 2a = cos (2a - 45“).
ccs a + sin a ,r.
92. -----------= tg (45° + a).
cos a - stn a
___ cos22a - 4cos3a + 3 .
93 —n —i—Г =
cos3 2a 4 cos a — 1
Преобразовать в произведение (№ 94-99)
94.1 + 2sin a. 95.1 + sin a. 96. + 2cos a.
97.1 - cos a — sin a. 98,2cos’2a + 3cos4c — 3.
99. cos 2a + sir. 4a — cos 6a.
100. Найти наибольшее и наименьшее значения суммы 5 sin a + 12 cos a.
ГЛАВА 15
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Многоугольник, или простая замкнутая линия, разбивает множество
точек плоскости, не принадлежащих многоугольнику, на две области —
внутреннюю и внешнюю. Во внешней области найдется прямая, которая
вся расположена в этой области. Во внутренней области такой прямой нет.
Точки внутренней области называются внутренними, а точки внешней
области — внешними относительно много угольника.
353
Фигуру, образованную многоугольником вместе с его внутренней обла-
стью, называют многоугольной областью (или пополненным многоуголь-
ником) .
В повседневной жизни, когда говорят о площади треугольника, четырех-
угольника или о площади любого многоугольника, имеют в виду площадь
той части плоскости, которая ограничена многоугольником. Будем посту-
пать так же, т.е будем говорить о площади многоугольника, понимая под
этим площадь многоугольной области.
§ 1. Понятие площади; основные свойства площадей
Понятие площади аналогично понятию длины отрезка.
Если выбрана единица измерения, то каждый отрезок имеет длину.
Равные отрезки имеют равные длины. Если отрезок АС точкой В между
А к С разделен на два отрезка АВ и ВС, то длина отрезка АС равна сумме
длин отрезков АВ и ВС. Длина отрезка выражается положительным
числом.
Точно так же, если выбрана единица измерения (например, квадрат),
то каждый многоугольник имеет площадь.
Сформулируем условия, которые позволят площади многоугольников
выразить положительными числами. Они называются основными
свойствами площадей.
1) Если два многоугольника равны, то их площади равны.
2) Если многоугольник составлен из неперекрывающихся многоуголь-
ников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Поясним свойство 2). Говорят, что многоугольник F составлен из
неперекрывающихся многоугольников Flt F2, . . . , Fn, если каждая точка
многоугольника F принадлежит хотя бы одному из многоугольников
Fi,F2, . . . , Fn и никакие два из этих многоугольников не имеют общих
внутренних точек.
Согласно основному свойству 3) число, выражающее площадь квадра-
та, а следовательно, и любого другого многоугольника, зависит от выбора
единицы измерения отрезков. Например, если за единицу измерения отрез-
ков принят 1 см, то за единицу измерения площадей принимают квадрат
с длиной стороны 1 см. Площадь этого квадрата обозначают 1 см2 и в
этом случае площадь любого многоугольника выражают в квадратных
сантиметрах. Таким образом, каждый раз рядом с числом, выражающим
площадь многоугольника, указывают единицу измерения: мм2, смг, м2,
км’ и т.д.
Кроме многоугольников будем рассматривать простые фигуры. Фи-
гура называется простой, если ее можно разбить на некоторое число не-
перекрывающихся треугольников. В частности, такие фигуры, как парал-
лелограмм, трапеция, любой выпуклый многоугольник, являются просты-
ми. Площадь фигуры/’ обозначаетсяSp.
354
Для простых фигур, а также белее сложных фигур (например, крута)
справедливы общие свойства площадей.
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Если фигура Ь\ составляет часть фигуры F, то SFt < SF.
3) Если фигура F с помощью прямой разделена на части Ft и F2, то
sF = sFi +sFi.
Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими. Рав-
ные фигуры всегда равновелики. Обратное неверно • если две фигуры
имеют равные площади, то они не обязательно равны.
§ 2. Площади прямоугольника, параллелограмма,
треугольника и трапеции
Площади прямоугольника и параллело! рамма. Сначала используем
свойства площадей многоугольников для вывода формулы площади
прямоугольника.
Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности прямоуголь-
ника, называть основанием, а перпендикуляр, проведенный к прямой,
содержащей эту сторону, из любой течки противоположной стороны, —
высотой.
Для краткости будем часто говорить ’’основание"’ и ’’высота”, понимая
под этим их длины.
Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произведению его
основания на высоту
Рис. 235
Доказательство. Пусть ABCD — данный прямоугольник, a S —
его площадь (рис. 235, а). Примем сторону АВ за основание, a AD — за
высоту и обозначим АВ - a, AD = h.
Дополним прямоугольник ABCD до квадрата AEFL, как показано на
рис. 235, б. Так как ЛА' = AL = а + h, то по основному свойству 3) площа-
дей SAEpi = ( а + Л)2, квадрат AEFL составлен из четырех кеперекрываю-
щихся четырехугольников: данного прямоугольника ABCD с площадью S,
равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1) площадей) и
двух квадратов с площадями a2 uh2 (свойство 3)).По свойству 2) площа-
'/*12* 355
дей многоугольников
(а + й)2 = S + S + a2 +h2
или
(а+й)2 = 25 +а2 + й2.
Отсюда получаем 5 = ah. Теорема доказана,
Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна поло-
вине произведения длин его катетов.
Доказательство. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с
прямым утлом С, S — его площадь, ВС = Ь, АС ~ а (рис. 236). Достроим
Рис, 236
его до прямоугольника. Тогда SBKAC = S+SAKB или Sg^AC = 25,
так как треугольники АВС и АКВ равны и, следовательно, имеют равные
площади. Отсюда, применяя теорему о площади прямоугольника, получаем
1 1
5 = — ВС • АС или S = — ab,
2 2
что и утверждалось.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Эта теорема была доказана в § 3 гл. 12 с помощью подобия треуголь-
ников. Пользуясь свойствами площадей многоугольников, приведем
другое доказательство.
Пусть ЛВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С
(рис. 237, а). Докажем, что с2 - а2 + Ь2.
Рис. 237
356
Достроим Д АВС до квадрата со стороной а + b так, как показано на
рис. 237, б. Площадь S этого квадрата равна (а + Ь)2. Этот квадрат состав-
лен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого
1 1
из которых равна — ab, и квадрата со стороной с. Поэтому 3 = 4 • — ub +
+ с2 = 2uh + с2. Таким образом, (а + b)2 ~ 2аЬ + с2, откуда с2 - а2 ± Ь2.
Теорема доказана.
Пользуясь формулой для вычисления площади квадрата, можно дать
следующую формулировку теоремы Пифагора: площадь квадрата, по-
строенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме
площадей квадратов, построенных на его катетах.
Теорема 2. Площадь параллелограмма равна произведению его
основания на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм, а
5 — его площадь (рис. 238). Если он не является прямоугольником, то
один из его углов, А или В, острый. Пусть, например, угол А — острый.
Проведем высоту ЛЕ. Обозначим АВ = а, ВС = Ь, ЛЕ = Л. Площадь тра-
пеции АВСЕ равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треуголь-
ника Л ДО.
Проведем высоту BE. Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме
площадей прямоугольника ABFE и треугольника BCF. Прямоугольные
треугольники ADE к BCF равны и, значит, имеют разные площади. Отсюда
следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоуголь-
ника ABFE, т.е. S = ah. Теорема доказана.
Следствие. Площадь параллелограмма равна произведению его
смежных сторон на синус угла между ними.
Доказательство. Пусть LA = LC=a. Из прямоугольного треугольни-
ка BCF (см. рис. 238) получим, что BF = ВС sin а, т.е. h - b sin ос. Результат
ff а А
С F П Е
Гис. 238
не изменится, если взять тупой угол В: если {.В-ос, то LA - 180° - а, а
sin (180° — а) = sin а. Поэтому S-ab sin а.
Площадь треугольника. Условимся одну из сторон треугольника назы-
вать основанием, а перпендикуляр, проведенный из противоположной
вершины к прямой, содержащей эту сторону, — высотой.
Теорема 3. Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту.
357
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, a S — его
площадь (рис. 239). Достроим треугольник АВС до параллелограмма.
Площадь параллелограмма А КВ С равна сумме площадей равных треу-
гольников АВС и АВК. Поэтому площадь параллелограмма равна удвоен-
ной площади треугольника АВС: ~ 2S = ah, так как высота па-
раллелограмма, соответствующая стороне ВС, равна высоте треугольни-
ка А ВС, проведенной к ВС. Отсюда
(1)
где ВС = a, AD = h. Теорема доказана.
А Н
С Л В
Рис. 239
Следствие. Площадь треугольника равна половине произведения
двух сторон на синус угла между ними.
Доказательство. Пусть в треугольнике АВС длины стороны рав-
ны а, Ь, с, а противолежащие им углы а, {3, у (рис. 240). Примем
сторону АС за основание и проведем высоту BD. То1да
1 1
S = - AC BD = - bh.
2 2
Выразим высоту h = BD через сторону с и синус угла а. Из прямо-
угольного треугольника ABD получаем Л = с sin а, если угол а — острый
(рис. 240, а); h - с sin (180° -- а) = с sin а, если угол а — тупой (рис. 240, б);
h = с - с sin а, если угол а = 90° (рис. 240, в). В любом ’ случае Л =
= с sin <i.
Рис. 240
358
(2)
Следовательно.
1
S = — be sina.
2
Например, если а — сторона равностороннего треугольника, то его
площадь
а\Т
S = —— .
4
Действительно, по формуле (2) при Ъ = с = а, и = 60° получаем S =
1 . о д2ч/Г 0 у/Т
= — a sin 60 = —— , так как sin 60 --------. Кроме формул (1) и
(2), рассмотрим и другие формулы дли вычисления площади треугольника.
(3)
Площадь треугольника равна произведению его полу периметра на ра-
диус вписанной окружности',
S = рг,
1
где р = — (а+ Ь+ с).
Доказательство. Пусть О — центр окружности, вписанной в
треугольник, г — ее радиус (рис. 241).
Соединив центр О с вершинами А, В, С, получим треугольники АОВ,
ВОС и АОС с высотами, равными г. По свойству площадей имеем
Д'длвс = S&AOB + ^ДДОС + $&АОС =
111г
= — ст + — ат + — Ьг = — (а + b + с) = рг,
2 2 2 2
что и утверждалось.
Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, деленно-
му на учетверенный радиус описанной окружности',
abc
S = -----
4Л
(4)
359
Доказательство. Согласно формуле (2)
1
S = — be sin а.
2
По теореме синусов
sin а sin (3 sin у
где R — радиус окружности, описанной около треугольника. Из равенства
а а
------= 2R следует, что sina s. Подставляя выражение для sina в
sina--2R
abc
формулу (2),получаем S = .
Формула Герона. Площадь треугольника
S = \/р(р-аУ(р-Ь)(р-с}, (5)
а + b ьс
где р = ------- - полупериметр треугольника.
2
1
Доказательство. Из формулы 5 = ~Ьс s*n Л находим
2S
sina = --- ;
be
по теореме косинусов а2 = о2 + с2 - 2be cos а, откуда
b2 + с2 - а2
cos a = ---------.
2 be
Используем основное тригонометрическое тождество sin2a + cos’a = 1. По-
лучим
/ 2S\2 /Ь2+с2-а2\2
( — I (------------— ) = 1 •
\ be / \ 2bc /
Отсюда, применяя формулу для разности квадратов, имеем
„2 4h2c2 -(b2 +с2 -а2)2
о — ----- --=
16
(2Ьс +Ь2 + сг — а ) (2Ьс - Ь2 - с2 + а2)
16
= + -а2)(а2 ~(Ь ~с)2)
16
360
a + b+ с b + c- a a+ b -c a+c-b
2 2 2 2
= P(P - a) (p - ft) (p - c), S = Vp(p — a)(p — b) (p-c).
Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника по его
трем сторонам.
Итак, для вычисления площади треугольника получены формулы
(1)-(5).
Формулы (3) и (4) можно использовать для вычисления радиусов
вписанной и описанной окружностей, если известны стороны треугольна
ка. Тогда его площадь можно вычислить по формуле Герона, а затем найти
Задача 1. Разделить треугольник иа две равновеликие части прямой,
проходящей через данную точку его стороны.
Решение Пусть ЛВС — данный треугольник и М — данная точка
на его стороне АС (рис. 242). Если М — середина стороны АС, то ВМ —
медиана и S&arm -$ьвсм- Пусть М не является серединой стороны АС,
например AM < МС. Проведем медиану BD, соединим точки В и М, при-
ведем £W|| ВМ. Прямая MN — искомая. Докажем ото.
Имеем
Si\mnc ~ + Sdonc-
В трапеции BNDM треугольники MOD и BON разновелики:
$/\MOD 4 ^ДЗШ! = ^ДЛ/ВГН S^riON + = SfrMBN)
но S^mbd = так как треугольники имеют общее основание и
равные высоты. Значит,
- 1
S&MNC ~ S&BON + SdONC ~ S^BDC ~ ~ $ЛАВС-
36\
Задача 2. Медианы треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см. Найти
площадь треугольника.
Решение. Пусть AAlt BBit СС2 — медианы треугольника АВС, О —
точка их пересечения (рис. 243). Получим шесть равновеликих треуголь-
ников:
S&AQB, ~ S£BtOC>
1 1
= т^О-PjOsina = -
1 1
S^boa, = -BO-AiOsina = -
4 Лл
2 1
• АЛ, • -• ЛД, sin а,
3 3
2 1
• — ВВ, • — A4,sin о.
3 3
Следовательно, Яд л он, = <$днол, и ьд.
Выполним построение, такое же, как при решении задачи в § 5 гл. 11.
Каждая из сторон ДСО32 равна 2/3 соответствующей медианы ДЛВС
Площадь Д СОВг с данными сторонами можно найти но формуле Герона,
а затем найти Вдлвс = 35дсов,-
В данном случае стороны Д СОВ2 равны 6 см, 8 см и 10 см. Заметим,
что б2 + 82 = !02 и, значит, по теореме, обратной теореме Пифагора,
Д СОВ2 — прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. Поэтому
1
= ~ 6 • 8 = 24 (см2), Вдлвс = 72 (см2).
Площадь трапеции. Высотой трапеции назовем перпендикуляр, про-
веденный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей
другое основание.
Теорема 4. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее
оснований на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция, а и b — ее
основания, h — высота (рис. 244). Проведя диагональ АС, получим два
треугольника. Примем за основание треугольника ACD отрезок АО, а за
основание треугольника АВС — отрезок ВС. Высоты этих треугольников
равны h — высоте трапеции. Поэтому
_ bh _ ah
sbACD--— • Ядлнс —~ •
362
Тогда площадь трапеции
ah bh a+b
SABCD-— + - —‘К
Следствие. Площадь трапеции равна произведению средней линии
трапеции на высоту.
Задача 3. Основания трапеции равны а и Ь, Найти длину отрезка,
параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.
S а С
х Е/
b М Р Л
Рис. 245
Решение. Пусть отрезок KL = х делит площадь трапеции ABCD
(ВС = a, AD = Ь) пополам (рис. 245). Проведем Обозначим:
Л — высота &CEL, Я —высота трапеции ABCD. Так как LCEL ~ Д CMD,
то
EL CF х - a h
-----= ---- или --------= — .
MD СР b-а Н
1
По условию SKBCL = —В ABCD- Поэтому
а4х 1 a+b h 1 b+a
. h = __ . . W ..Г,., --- = _ . ----
Значит,
х-а 1 Ь+а
b - а 2 х + а
+ ьг
откуда 2 • <х -а ) = b -а , т.е. х = ------
§ 3. Площадь многоугольника.
Отношение площадей подобных многоугольников
Для вычисления площади произвольного многоугольника разбивают
этот многоугольник на нсперекрывающиеся треугольники и находят пло-
щадь каждого треугольника. Тогда сумма этих площадей будет равна тшо-
щади S данного многоугольника (рис. 246),
363
Теорема. Отношение площадей подобных многоугольников равно
квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Пусть ABCDE и A i Вг (\DiEi — данные подоб-
ные многоугольники (§ 5 гл. 12) Проводя диагонали из вершин Л иАь
разложим эти многоугольники на подобные треугольники. Рассмотрим
подобные треугольники ЛВС и В подобных треугольниках ст-
Рис. 246
ношение двух соответственных высот равно отношению двух соответствен-
ных сторон (§ 2 гл. 12). Поэтому
1
с — А1 В\ h\
2 _ ABt Jii AiB? 2
Sла вс 1 Л Alt2 * 4 S
bABC -AB h
2
где h и hx — соответствующие высоты, k — коэффициент подобия. Следо-
вательно,
4 i В, ClDlb j
------------- = V.
SAВС DE
-Теорема доказана.
Задача. Доказать, что площадь любого выпуклого четырехугольника
равна половике произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение. Четырехугольник ABCD диагоналями АС и BD разбива-
ется на четыре треугольника (рис. 247). Пусть АС = с. BD = d. Обозначим
АО ~х, ВО -у. СО =z, DO ~ t; тогда х + z = с, у +1 = d. Имеем
1 1 о 1
Slaob = ~ ^ysinc, SLDOC = - jz«in(180 - a) = - yz sin
1 1 o 1
S&CO D~~ zt sin a> S^DOA ~ ~ tx 80 — a) = — IX sinot.
364
Следовательно,
$А BCD ~$ЛАОВ $йВОС +&&COD +^b.DUA ~
1 1
= — sma(y -(х 6z) + 7 (z + x)) = — (x -f-z)(.y+ r)sbi<y
2 2
или
$abcd = ~ casino. (6)
В частности, площадь трапеции раина половине произведения ее диаго-
налей на синус угла между ними.
Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то при a = 90°
из формулы (6) следует: площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей.
Упражнения
РАЗДЕЛ 1
1. Найти стороны прямоугольника, если его стороны относятся как 4 : 9, а площадь
равна 144 м’.
2. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти острый
угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
3. Квадрат и ромб имеют ощшаковые периметры. Какая из фигур имеет боль-
шую площадь?
4. Доказать, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наиболь-
шую площадь имеет ромб.
5. Найти площадь ромба, если его высота равна 12 дм, а меньшая диагональ 13 дм.
6. Длины высот параллелограмма равны 3 см и 6 см, а периметр его равен 36 см.
Найти площадь параллелограмма.
7. Найти площадь параллелограмма, если его большая диагональ 5 м, а высоты
2 м и 3 м.
8. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенуз ой в.
9. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен г, а опи-
санной - R. Найти ппоша,1ь треугольника.
1С. Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность
радиуса R.
11. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен г. Най^и
площадь треугольника.
12. Доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего тре-
угольника до его сторон постоянна.
13. Доказать, что треугольник с двумя равными высотами является равнобедрен-
ным.
14. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треуголь-
ника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади вто-
рого треугольника?
15. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14 см, 15 см.
16. Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см. Найти радиусы вписанной
и списанной окружностей.
17. Найти площадь треугольника, основание котсрого равно а, а углы при основа-
нии 60" и 45°.
365
18. Найти отношение катетов прямоугольного треугольника, зная, что площадь
этого треугольника вдвое меньше площади равностороннего треугольника, построен-
ного на гипотенузе прямоугольного.
19. Найти площадь трапеции, у которой основания 69 см и 20 см, а боковые сторо-
ны 13 см и 37 см.
20. В трапеции основания равны 84 см и 42 см, а боковые стороны 39 см и 45 см.
Через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям проведена прямая.
Определить площади получившихся трапеций.
21. В равнобочной трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м
и диагональ 39 м. Ошзедели^кплощадь трапеции.
22. Найти площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 2 см и
4 см, а один из углов 60°.
23. Диагонали равнобочной трапеции взаимно перпендикулярны, а ее площадь
равна 5. найти высоту трапеции.
24. Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD взаимно перпенди-
кулярны. Найти сто площадь, если АС = a, BD ~ Ъ.
25. Найти площадь равнобочной трапеции, зная ее диагональ I и угол а между
этой диагональю и б с'льшим основанием,
РАЗДЕЛ II
26- Найти площадь прямоугольника, если сторона прямоугольника относится
к его диагонали как 3 : 5, и другая сторона равна 8 см.
27, Найти стороны прямоугольника, если отношение одной из его сторон к диаго-
нали равна 3/5, а площадь равна 192 см*.
28. Найти диагональ прямоуго.гьника, если ею периметр равен 14м, а площадь
12м*.
29. Площадь параллелограмма равна 36 см1, а острый угол 45°. Одна из выест
равна 3 см. Найти вторую высоту.
30. Параллелограмм и прямоуго.ъник имеют одинаковые стороны. Найти отно-
шение площади прямоугольника к площади параллелограмма, если острый угол па-
раллелограмма равен 45°.
31. Какую часть площади треугольника, считая от вершины, отсекает его сред-
няя пиния?
32. Доказать, что из всех треугольников, у когорых одна сторона равна с, а дру-
гая - Ь, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.
33. Доказать, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного тре-
угольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
34. найти площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 50 дм,
а основание меньше боковой стороны на 1 дм.
35. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна
313 см, а один из катет ох 312 см.
36. Найти сторону ромба, если его диагонали относятся как 3 • 4, а площадь равна
24 дм1,
37. Найти основания трапеции, если ее площадь равна 144 см1, а основания отно-
сятся как 4 ; 5 и высота равна 16 см.
38. Найти площадь трапеции, если диагонали трапеции равны 20 м и 15 м, а высота
ее 12 м.
39. Найти площадь трапеции, у которой основания 16 см и 44 см, а боковые сторо-
ны 17 см и 25 см.
40. Баковые стороны равнобочной трапеции при их продолжении пересекаются под
прямым углом. Определить все стираны трапеции, если ее площадь равна 12 см1,
а высота 2 см.
366
4i. Найти площадь четырехугольника, диагонали которого равные к и I образуют
угол, равный 30е.
42. Площадь четырехугольника равна S. Найти площагь параллелограмма сторо-
ны которого равны и параллельны диагоналям четырехугольника.
43. Найги площадь равнобочной трапеции, если ее средняя линия а я диагонали
взаимно перпендикулярны.
ГЛАВА 16
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
ДЛИНА ОКГУ<КНОС1И И ПЛОЩАДЬ КРУГА
§ 1. Правильные многоугольники
Определение Правильным многоугольником называется выпук-
лый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы раины.
В любом выпуклом и-угольнике сумма г-сличин внутренних углов
равна 180° (п - 2) (§3 гл. 10). Поэтому величина внутреннего угла пра-
вильного многоугольника равна
180° • (и - 2)
а = --------------
п
(л>3).
Теорема 1. Около нового правильного многоугольника можно опи-
сать окружность и притом только одну. В любой правильный многоуголь-
ник можно вписать окружность и притом только одну.
Рис. 248
Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины правиль-
ной многоугольника (рис. 248). Проведем биссектрисы углов многоуголь-
' а а
ника из вершин А и В. Они пересекутся, так как — + — < 180 (а —
величина внутреннего угла многоугольника). Точку О пересечения этих
биссектрис соединим с остальными вершинами данного многоугольника.
367
Треугольник АОВ - равнобедренный с основанием АВ и углами при
а
основании, равными — . LABO = ССВО-. у них сторона ОВ — общая,
стороны ЛВ и ВС равны, как стороны правильного многоугольника, а
а
углы яри вершине В равны — . Из равенства треугольников следует, что
а
ЬОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным — . Значит, СО —
биссектриса угла С многоугольника.
Точно так же докажем, что CCOD — равнобедренный и DO — биссектри-
са угла D многоугольника, и т.д.
Таким образом, каждый треугольник, у которого одной стороной яв-
ляется сторона данного правильного многоугольника, а противолежащей
вершиной — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники
имеют одинаковые боковые стороны.
Отсюда следует, что все вершины правильного многоугольника нахо-
дятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам
треугольников. Эта окружность описана около данного многоугольника.
Все стороны многоугольника будут касаться окружности с центром О
и радиусом, равным высотам треугольников, проведенных из вершины О.
Эта окружность вписана в данный многоугольник. Описанная окружность
только одна: через вершины многоугольника А, В, С проходит только од-
на окружность. Вписанная окружность только одна: ее центр равноудален
от сторон многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересе-
чения биссектрис многоугольника, а радиус равен расстоянию от точки О
до сторон многоугольника. Теорема доказана.
Центры вписанной и описанной около правильного многоугольника
окружностей — одна и та же точка (см. рис. 248). Эта точка называется
центром правильного многоугольника.
Отрезок ОМ (рис. 249) перпендикуляра, проведенного из центра пра-
вильного многоугольника к его стороне, называется апофемой правиль-
ного многоугольника (апофема равна радиусу вписанной окружности);
368
отрезок ОА, соединяющий центр правильного многоугольника с его вер-
шиной, равен радиусу описанной окружности.
Теорема 2. Площадь правильного многоугольника равна половине
произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
1
S=—Pr, (])
2
где Р — периметр многоугольника, аг— радиус вписанной в него
О
А а„ М S
Рис 250
окружности; площадь правильного п-уголъника равна также
1 , 360°
S ~ — nR1 2 sin- > (2)
2 п
где R — радиус описанной окружности.
Доказательство. Разобьем правильный и-угольник на п треуголь-
ников, соединяя его вершины с центром вписанной окружности (см.
рис. 248). Согласно теореме 1 эти треугольники равны. Площадь каждого
1
из них равна —апт, где ап — сторона правильного многоугольника
(рис. 250), ]
Площадь 5 многоугольника равна — апгп, но апп = Р. Следовательно,
1
5 = —Рг, и формула (1) доказана.
1
С другой стороны, = - ОА • OBsinLAOB. Но ОА = ОВ = R,
360°
LAOB = ------ Поэтому
п
1 1 . 360°
Ядлов - ” fp‘sin --- •
2 и
369
Следовательно, плсшадь S' многоугольника равна
1 , 360'
S = — nR2 sin----
2 п
и формула (2) доказана.
Для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса впи-
санной окружности применяются формулы
180е
ап = 2/? sin--> (3)
п
180°
г =Rcos------ • (4)
Л 1
Для вывода этих формул используем рис. 250. ТогдаLAOM = —LAOB =
1 360° 180°
= — • -----= -------- Поэтому из прямоугольного треугольника А ОМ по-
2 и п
лучим
LAOM 180°
AM = АО sin---------- Я sin -•
2 п „
180
Следовательно, АВ = 2АМ = 2/? sin----» и формула (3) доказана.
и
Из треугольника АОМ получим также
LAOM 180°
£Ж = .4(7со8 ---- или г - R cos------•
2 п
Из формул (3) и (4) можно найти радиус R описанной окружности и
радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со сто-
роной а и числом сторон п:
а а 180е а
R =-----— , г -----— • ccs-= ----— •
180° 180° п 180°
2sin- 2sin------ 2tg--
ии и
Из формулы (3) при и = 3, 4 и 5 получим выражения для сторон пра-
вильного треугольника, квадрата и правильною шестиугольника:
„ v3~ г-
а3 =22?sin60 =2Я- — = Ях/з?
х/Г —
а4 = 2Якп45° = 2Я • ---= Я х/2,
2
а6 = 2Я81п30о = 2Я-у =Я.
37С
§ 2. Длина окружности
Мы не станем приводить строгого определения понятия длины окруж-
ности, так как опо основано на понятии предела числовой последователь-
ности, которое изучается в 9 классе.
Из наглядных соображений естественно считать, что длина окружности
сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее выпуклого
многоугольника с достаточно малыми сторонами. Исходя из этого пред-
положения, докажем некоторые свойства длины окружности и получим
формулу для вычисления длины окружности.
Теорема. Длины двух окружностей относятся как их радиусы или
диаметры.
Доказательство. Пусть R2 и R2 — радиусы двух окружностей,
а С\ и С2 — длины окружностей. Впишем в эти окружности правильные
многоугольники с достаточно большим числом сторон п
Найдем периметры Р2 и Р2 этих многоугольников. По формуле (3)
§ 1 имеем
180° 180°
Р2 =2Risin----- п, Р2 = 2/?2sin--- • п.
п п
Следовательно,
Р2 Т?2
Если и достаточно велико, то из формулы (3) следует, что сторона пра-
вильного многоугольника будет достаточно малой, и значит, по предполо-
жению, периметр Ру сколь угодно мало отличается от С5, а периметр Р2 —
Pi Ri
от С2. Поэтому отношение-----> равное сколь угодно мало огли-
Pi Ri
Ci
чается от----отношения длин окружностей.
С2
Ri Ci
Ко----и — - — вполне определенные числа. Если они отличаются
R2 С2
сколь угодно мало, то они равны. Поэтому
С2 Ri Di
— (5)
С2 Ri D2 v 1
где £>- и D2 — диаметры окружностей. Теорема доказана.
Из равенств (5) следует, что
Cj _ С2
Di D2
371
т.е. отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окруж-
ности. Это отношение принято обозначать буквой я (читается ”пи”). Число
я — иррациональное, 3,1416.
Итак, длина окружности вычисляется по формуле
C=itD = 2irR. (6)
Число я можно найти с любой наперед заданной точностью, исходя из сле-
дующего допущения: длина окружности больше периметра любого вписан-
ного в нее многоугольника и меньше периметра любого описанного около
нее многоугольника.
Рассмотрим окружность диаметра D = 1. Be длина равна я. Обозначим
периметр вписанного в эту окружность правильного н-угольника через р„,
а периметр описанного — через qn. Тогда по сделанному допущению
Pn<7r<4„- (7)
Пусть ап = АВ — сторона правильного n-угольника, вписанного в окруж-
ность радиуса R (рис. 251), bn = CD - сторона правильного и-угольника,
описанного около этой окружности.
Из треугольников АОМ и CON находим
Я
АМ = — = Rsin
2
т.е.
180°
ап = 2R sin------>
п
----CN=— =/?tg ,
п---2 п
180°
bn = 2/ttg-----
п
(8)
Если D = 2R = 1, то
180°
ап = sin-----, b„ = tg-------
п п
Отсюда следует, что
Рп пап ап 180е
-----= ----= — = cos---------
Яп пЬп Ьп п
372
или
180° / . 180° -------
так как cos----= у 1 — sin ----- = У 1 — ап.
п п
Увеличивая п, можно сделать ап сколь угодно малым, а корень
\/1 — — сколь угодно близким к 1.
Неравенства (7) и (9) означают, что с помощью неравенств рп < л< qn
число я оценивается при достаточно большом п со сколь угодно большой
точностью.
Например, при и =12 получим
а12 =sin 15°, bi2=tgl5°.
Следовательно,
12sinl5°< я< 12tgl5°.
Из таблиц значений тригонометрических функций находим sin 15° и
tg 15°; тогда
3,10595 < я< 3,21554.
Точно так же, принимая п = 36, получили бы
3,14134 < п< 3,14284,
т.е. оценили бы число л с довольно большой точностью
Задача. Доказать, что 3 < л< 4.
Решение. В окружность диаметра D = 1 впишем правильный шести-
угольник и опишем около окружности квадрат (рис. 252). Тогда по фор-
муле (8) а6 = R = —, Ьц = 2R = 1; следовательно, 6а6 < л < 4д4 или
3<я<4. 2
373
§ 3. Длина дуги окружности. Радианное измерение углов
Пусть радиус окружности равен R. Найдем длину дуги окружности, от-
вечающей центральному углу в а
Развернутому углу соответствует полуокружность, а ее длила равна rR.
nR
Следовательно, углу в один градус соответствует дута длиной ------j >
180
а углу в а° соответствует дуга длиной
лЛ
/= -----
180
(10)
• a,
где « - градусная мера дуги.
Кроме градусной меры применяются и другие единицы измерения уг-
лов. Часто используется радианная мера угла.
Определение. Центральный угол, опирающийся на дугу, длина
которой равна радиусу, называется углом в 1 радиап (рад).
Рассмотрим окружность радиуса R с центром в точке О (рис. 253).
По определению мера угла ЛОВ считается равной 1 радиану.
Из формулы (10) при I =R следует, что
/ 180\°
1 рад=( ---1 •
X к /
Так как я «3,14, то 1 рад приближенно равен 57,3° или 57J18'
Рис. 253
180
Угол в а рад имеет градусную меру --- • а градусов, т.е.
я
(И)
Например, подставляя ь формулу (11) а = я, получаем
град= 180°,
т.е. развернутый угол содержит я рад. Поэтому прямой угол содержит
я
— рад. Обычно при обозначении меры угла слово радиан ’ опускают.
374
Приведем таблицу наиболее часто встречающихся углов в градусной и в
радианной мере
Градусы 0 30 45 60 90 160 270 360
я Я я Я 3
Радианы 0 г т т я 2Я 2я
Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности,
Так как угол в 1 радиан стягивает дугу, длина которой равна радиусу R,
то угол в а радиан стягивает дугу длиной
l = aR, (12)
где а — радианная мера дуги.
§ 4. Площадь круга и его частей
Строгое определение понятия площади круга основано на понятии
предела числовой последовательности. Из наглядных соображений будем
считать, что плошадь круга сколь угодно мало отличается от площади впи-
санного в его окружность выпуклого многоугольника с достаточно ма-
лыми сторонами.
Пусть R — радиус круга, а С — длина его окружности. Впишем в окруж-
ность правильный многоугольник с достаточно большим числом сторон п.
Площадь этого многоугольника по формуле (1) равна
1
Sn = -А-,
где Р — периметр многоугольника, а г - радиус вписанной в него окруж-
ности. При возрастании числа его сторон п периметр Р сколь угодно мало
отличается от числа С, а радиус г — от числа R, Говорят, что при возраста-
нии п периметр Р стремится к длине окружности С, а площадь Sn — к пло-
щади круга S. Поэтому
1 1
S = — CR=— 2r.R-R = -nR\
2 2
Итак, площадь круга вычисляется по формуле
S=<nR1 2, (13)
где R — радиус круга (число я « 3,14)
Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и дву-
мя радиусами, соединяющими концы дуги с центром крута (рис. 254).
375
Площадь сектора, ограниченного дутой в 1°, равна площади
круга Поэтому площадь сектора, ограниченного дугой с градусной ме-
irR2
рой а, равна —а
Итак, площадь кругового сектора вычисляется ио формуле
TtR2
S = ----а, (14)
360
где R — радиус круга, а а - градусная мера соответствующего централь-
ного угла.
Рис. 254
Рис. 255
Круговым сегменгом называется часть крута, ограниченная дугой и
стягивающей ее хордой (рис. 255).
Площадь сегмента, нс равного полукругу, вычисляется по формуле
я/?2 z .
S-—(15)
где а — градусная мера соответствующего центрального угла, а 5д —
площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов,
ограничивающих соответствующий сектор. В формуле (15) знак минус
надо брать в случае, когда а< 180е (рис. 255,а), а знак плюс в случае,
когда а > 180е (рис. 255, б)
Формулы (14) и (15) упрощаются, если использовать радианную ме-
ру угла.
Если а — радианная мера центрального уг ла, то площадь кругового
сектора равна
1 ,
S = — R2a. (16)
1
Площадь кругового сектора в я рад (полукруга) равна — itR , Поэто-
яЯ2 1 2
му площадь сектора с углом в 1 рад будет равна —— я =~Л .Сле-
довательно, площадь сектора с углом в а рад равна — R2 а. Формула
(16) доказана
376
Упражнения
разделi
1. Доказать, что серединные перпендикуляры любых двух сторон правильного мно-
гоугольника не могут быть параллельными.
2. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
3. Доказать, что сторона правильного восьмиугольника вычисляется по формуле
а, = R \J2 - yfl, где R - радиус описанной окружности.
4. При каких значениях п сторона правильного л-угольника: а) больше радиуса
описанной окружности; б) равна радиусу описанной окружности; в) меньше радиуса
описанной окружности?
5. В окружность радиуса R вписаны и около нее описаны правильные г:-угольники.
Найти отношение: а) их периметров; б) их площадей для п = 3,4, 6.
6. По данной хорде а найти длину дуги, если центральный угол: а) 60° , б) 90°;
в) 120°.
7. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: а) 135°; б) 150°;
в) 75°; г) 100’; д) 140°.
я 2
8. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: а) — > 9) ; я; в) 2;
г) 3; д) 1,5.
9. Найти Площадь той части круга, которая расположена вне вписанного квадрата.
Радиус круга равен R.
10. Угловая величина дуги сегмента равна 120°. длина этой дуги I. Найти длину
окружности, вписанной в этот сегмент.
11. Около треугольника с данными углами а и /3 списан круг. Найти отношение
площади треугольника к площади круга.
12. Имеется квадрат и равновеликий ему круг. Что больше: длина окружности
или периметр квадрата?
13. В ромб вписан круг. Каждая сторона ромба точкой касания делится на отрез-
ки, длины которых а и Ъ. Найти площадь круга.
14. В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг. Найти радиус
вписанного круга, если радиус данного круга равен R.
15. Найти площадь круга, вписанного в равнобочную трапецию, если ее большее
основание равно а, а угол при меньшем основании равен 120°.
16. Нгйти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга содержит 120°.
РАЗДЕЛ II
17. Дан правильный «-угольник. Построить правильный 2л-уго:д>ник.
18. Доказать, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле
fli г = R \/2 —V3, где R - радиус описанной окружности.
19. Даны два круга. Построить круг, площадь которого равна сумме площадей
данных кругов.
20. Сторона квадрата равна а. Найти длину окружности: а) вписанной в него;
б) описанной около него.
21. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан
круг, а в этот круг вписан квадрат. Найти сторону этого квадрата.
22. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если сумма всех его внут-
ренних углов равна: а) 1080°; б) 1620°; в) 22d?
23. Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 ем. Найти градусную
меру центрального угла.
24. Площадь круга, радиус которого 5,4 дм, разделена двумя концентрическими
окружностями на три части, площади которых относятся как 4:3.2. Найти радиусы
этих окружностей.
377
25» На сколько процентов следует увеличить радиус крута, чтобы площадь круга
стала больше на 96 %?
26, Из круга раду ус которого 10 м, вырезан сектор с дугой в 60'. Вычислить пло-
щадь оставшейся части крут а.
27. Найти площадь круга, если длина окружности равна 8 м.
28. Найти длину окружности, если площадь круга равна 18 см.
г~ а
29. Найти площадь кругового сегмента с основанием а УЗ и высотой —
30. В сектор радиуса R с центральным углом а вписан круг. Определить его радиус.
31. Найти длину' окружности, вписанной ь ромб, диагонали котоосго равны 6 м
и 8 м.
ГЛАВА 17
ЗАДАЧИ
Рассмотрим примеры решения некоторых геометрических задач. Реше-
ние этих задач, различных по трудности, требует комбинированного приме-
нения основных теорем и формул геометрии на плоскости (планиметрии).
Задача 1. Две окружности пересекаются под прямым углом (т.е.
их касательные, проведенные в одной из точек пересечения, взаимно пер-
пендикулярны). Найти длину отрезка обшей касательной к этим окруж-
ностям, если их радиусы равны Лиг.
Решение. Пусть <9j и Ог — центры данных окружностей, М - одна
из точек их пересечения, АВ — общая касательная (рис. 256). (Построение
общей касательной к двум окружностям предоставим читателям).
Рис. 256
Из условия пересечения окружностей код прямым углом следует, что
OpWl О2М. Поэтому OVO2 = \Z~R2 + Г2.
Допустим, что R > г. Проведем ВС !l Ог и рассмотрим RABC (угол
А — прямой). По теореме Пифагора
АВ = х/ ВС2 - АС2 = s/'R2^ г2 - (R - г): = \[2Rr.
Если R = г, то АВ = ОХО2 = R \/2 ,и результат содержится в ранее найден-
ном Итак, АВ = \/ ?.Rr.
378
Задача 2. Длины сторон треугольника равны 25, 24 и 7. Определить
площади вписанного и описанного кругов.
Решение. 1) Обозначим длины сторон треугольника а.Ьис
(рис. 257). Пусть а = 7, b = 24, с = 25.
2) Определим виц LABC. Так как а2 + Ь2 = 62.5 и с2 - 625, т.е а2 + Ь2 =
= с2, то но теореме, обратной теореме Пифагора, LABC — прямоугольный.
3) Центр О, окружности, описанной около треугольника, лежит в точке
пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам
С
Рис. 257
треугольника. Для прямоугольного треугольника такой точкой является
с
середина гипотенузы, т.е. R = — = 12,5.
4) Центр О окружности, вписанной в треугольник, лежит в точке пере-
сечения биссектрис этого треугольника.
5) По свойству отрезков касательных, проведенных из точки вне окруж-
ности, имеем BD=BF- х, AF = АЕ=у.
6) По условию ВС = а = 7 или г +х = 7, АС = Ь = 24 или г + у = 24. Скла-
дывая эти оавенства, находим
2г+(х+у) = 31 или 2г+ЛВ = 31, 2г + 25 = 31,
откуда г = 3.
7) Пусть 5, - площадь вписанного круга, - площадь описанного кру-
га. Тогда
, , 625
Si = тг = 9тг (кв.ед.), S2 = ttR‘ = ---- п (кв. ед.).
4
625
Ответ. Si = 9л (кв.ед.), S2 =---я (кв.ед.).
4
Замечание. 1) Радиус R описанной окружности можно найти, ис
abc
пользуя формулу 5длвс = - > откупа
4R
abc
R =----
45
- = 12,5.
2
abc
1
4 • — ab
2
2) Радиус г вписанной окружности можно найти из формулы S =рг, где
р - полулериметр:
- ab
2
5
ab 7-24
----=------- = 3.
pl a -f b т c 56
— (a + b + c)
Задача 3. Найти отношение радиусов вписанного и описанного кру
гсв для равнобедренного треугольника с углом а при основании.
D
Puc. 258
Решение. Пусть АВС — равно бедренный треугольник, L А = L С = а
(рис. 258). Обозначим А С = Ь. По теореме синусов
Ь
, п =2R,
smZ.5
где R — радиус описанного крута.
Так как угол при основании равен а, то
L В = Йо° - 2а, sin L В = sin (180° - 2а) = sin 2а.
Значит,
2 sin 2а
Пусть 6 - центр вписанного круга.
38С
a a b a
Тогда LOAD = — .поэтому r = QD=AD tg — = — tg — .
Отсюда
r a
— = sin 2a tg — .
R 2
Задача 4. В треугольнике ABC даны стороны а, b и с. Найти его ме-
дианы та, mh и тс (рис 259)
Решение i-й способ Для вычисления медианы ть = 8В1 про-
должим ее па отрезок B^D, равный S/?1( и соединим точку/)с вершина-
ми Л и С Полученный четырехугольник ABCD— параллелограмм, так как
диагонали А С и BD делятся в точке пересечения пополам. Сумма квадра-
тов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, т.е.
Ь2 + (2т = 2а2 + 2с2, откуда ть = — у/ 2а2 + 2с2 — Ь2. Аналогично вы-
числяются та итс.
2-й способ. Пусть LABtB - а. Тогда/. BBiC- 130° — а. По теоре-
ме косинусов
Ь2 b
с = — + nil — 2ть — cos а,
4 2
, *2 Ъ о
а2 = — + т‘ь — 2ть • — cos (180 - а).
4 2
Складывая эти равенства и учитывая, что cos (180° - a) = —cos а, на-
ходим mb.
Рис, 260
Задача 5. В треугольнике АВС даны медианы та, ть и тс. Найти
его стороны а, Ъ и с (рис. 260).
Решение. Для вычисления стороны а продолжим отрезок ААх на
1
расстояние a rF = — та и точку F соединим с вершинами ВпС Пусть О —
точка пересечения медиан А АВС. Четырехугольник OBFC - параллечо-
331
2 ,
-mJ = 2
грамм. По свойству диагоналей параллелограмма
,2 2 X2 / 2 V
— mb j +21 — тс] ,
3 7 \3 7
a2 +
откуда следует, что
2 ------------------г
а = — V 2mj + 2т2 - та .
Аналогично находим Лис.
Задача 6. Доказать, что квадрат биссектрисы треугольника равен
произведению двух прилежащих сторон треугольника без произведения
С
Л Ьг D а, В
Рис. 261
отрезков, на которые она делит противолежащую сторону (рис. 261), т.е.
l2c = ab-a^.
Решение Рассмотрим треугольники ACD и BCD. По теореме коси-
нусов.
Л? = Ь2 + I2 - 2ЫС cos а, а\ = а2 +12 - 2alc cos а,
LC
где а = —у. Отсюда следует, что
2ЫС cos a b2 + I2 - Ь2
2alc cos а а2 + I2 - а2
т.е.
I2 (Л - а) - ab(b - а) — (ад2 - а2 Ь). (*)
По свойству биссектрисы треугольника
а
— =— , т.е. аЬг = и^Ъ.
b
Тогда
ab\ - а2Ъ = - а^Ь^а = Uibi(b - а)
382
и равенство (*) принимает вид
I2 (b - а) = ab(b -a)-atbi(b - а)
или I2 = ab-aibi при условии, что Ъ =£ а.
с с2
Если b = а, го bi = at = — , I2 = а2 - — -, что согласуется с ранее най-
денным при а = Ь. Итак, всегда I2 = ab - .
Задача 7. Основания трапеции равны 4 м и 16 м (рис. 262). Найти
радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если
известно, что зги окружности существуют.
Решение. Описать окружность около трапспии можно только при
условии, что трапеция является равнобочной: АЕ = CD (см. § 4 гл. 11).
Вписать окружность в трапецию ABCD можно только при условии, чю
АВ + CD = ВС + AD (см. § 4 гл. 11).
16-4
Пусть ВС = 4 м, AD = 16 м. Тогда АВ = CD = 10 m,AE = ED =---=
= 6 (м), BE = у/аВ1 -АЁ2 = V 100 - 36 = 8 (м), BD = \/ ВЁ2 + DE =
= V 64 + 100 = 2 \/~41 (м). Так как 2r = ВЕ = 8 м, то радиус вписанной
окружности г = 4 м.
Найдем площадь S треугольника ABD:
S = -AD-BE = - - 16 8 = 64 (м2).
2 2
Используем формулу для радиуса окружности, описанной около трс-
abc
угольника: R = .
Для треугольника A BD получим
16-10 -2х/44 5
4-64 4
л/44 (м).
Радиус окружности, описанной около EABD, и есть радиус окружнос-
ти, описанной около трапеции A BCD.
Пусть М и .V- середины оснований ВС и ДО. Очевидно, что центр впи-
санной окружности лежит посередине отрезка MN, а центр описанной
383
окружности находится на прямой MN. Предлагаем читателям доказать,
что центр описанной окружности лежит внутри данной трапеции.
Задача 8.В окружности радиуса 5 м проведены хорды, длина кото-
рых равна 8 м. Найти геометрическое место середин этих хорд.
Решение. Рассмотрим множество точек, которые являются середи-
нами хорд длиной 8 м в данной окружности.
Возьмем какую-нибудь хорду АВ (АВ - 8 м) с серединой в точке М
(рис. 263). По теореме Пифагора ОМ = V 25 — 16 = 3 (м). Значит, все
Рис. 263
такие точки и только они удалены от центра данной окружности на расстоя-
ние в 3 м. Искомое геометрическое место точек представляет собой окруж-
ность радиуса 3 м с центром О.
Задача 9. Дан греуюльник АВС, площадь которого равна 1
(рис. 264). На медианах АК, BL и CN LABC взяты соответственно точки
Р, Q и R так, что
АР BQ _ 1 CR _ 5
РК ~ ’ QL ~ ~2 ’ ~RN ~ 7‘
Найти площадь треугольникаPQ.R.
Решение. Пусть О - точка пересечения медиан Д АВС Тогда 5 д ао в =
1 1
= 5двос = S&AOC = - S&ABC = - (СМ. задачу? § 2 гл. 15).
Рассмотрим LPOQ'.
2 1 1
ОР = - АК - — АК- — АК,
3 2 6
2 1 1
ОО = — BL - — BL = — BL.
3 3 3
384
Так как
S/^pqq — ~ OP • GQ. sinLPOQ,
О В
1
= — ОА • ОВ - sin LAOB,
2
то
S&POQ,
^ддол ОА ОВ
i-AK- v BL
о 5
2
- АК-
3
1
2 8
- BL
3
Следовательно,
_ 1
SBPOQ ~ ~ S&AOB-
О
Аналогично получаем, что
1
S&QOR ~ ~ $ДВОС.
1
S&POR ~ ~ $ЬАОС-
Поэтому
_ 1 / i 1 1 \ _ 1
Sbpqr 3 g + 12 + 24/ ~ 12 ’
Задача J 0. Доказать, что множество всех точек М, для которых
IM42 -МД2| = kSbMAB,
где А к В - данные точки, к > 0 — постоянная, - площадь треуголь-
никаМДД, есть две прямые.
Решение. Применим метод координат. Пусть АВ = а. Выберем систе-
му координат (рис. 265). Тогда А (0; 0), В(а; 0),М(х; у).Поэтому
МА2 = х2 +у2, МВ2 =(х-а)2 +у2;
385
следовательно,
МА1 - МВ2 = х2 + у2 - (х - а)2 -у2 = 2ах - а2,
IMA2 - MB21 = \2ах - л2| = и|2х - а\.
Высота ЛЛ£4В равна модулю ординаты точки М, а основание треуголь-
ника равно а. Поэтому
$к.МАВ - Y Д1 >'I-
По условию
откуда
2х - а = — у, 2х - а = — — у
2 2
- уравнения двух прямых.
3 адача 11. Доказать, что если длины сторон треугольника образуют
арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот тре-
угольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной
средней по длине стороне треугольника
Решение. Пусть а, Ь, с — длины сторон LABC, причем а < b < с,
О - центр вписанной окружности, М - точка пересечения медиан (рис. 266).
Так как а, Ъ, с образуют арифметическую прогрессию, то b-a = c- b или
а + с = 2Ь. Поэтому незиметр LABC
3
2р = 3£> или р = Ь.
Для решения задачи покажем, что точки О и М находятся на равных
расстояниях от стороны АС. Имеем
ОС! = г = - —
р ЗЬ
(г — радиус вписанной окружности, S — плошадь треугольника, р — его
4 6 М.О. С
Рис. 266
386
1
полупериметр). Находим = — hb (hb — высота SABC), так как
1
МО = — BD. Поэтому
1 1
ММг = -hb = -
3 3
2S _ 25
b 3b '
Следовательно, OOX = ММ,, и прямая ОМ параллельна стороне АС-
Рис. 267
Задача 12. В данный треугольник вписать прямоугольник, имеющий
заданную диа) ональ, так, что две вершины прямоугольника лежат на осно-
вании треугольника, а две другие - на его боковых сторонах.
Решение. Допустим сначала, что АВС - прямоугольный треугольник
с прямым углом С (рис. 267, а). Тогда из вершины С раствором циркуля,
равным длине данной диагонали, строим точку D на гипотенузе АВ. Полу-
чим прямоугольник DECF с данной диагональю СО.
Пусть h — высота, проведенная из вершины С на гипотенузу. Если CD~h,
то задача имеет единственное решение; если CD > h, то решения два;
если СО < h, то решения нет.
Пусть АВС - произвольный треугольник (рис. 267, б). Рассмотрим вспо-
могательный треугольник А^.Су с прямым углом Ci такой, что AjCi =
= AC,aBiCi ~ ВН (ВН — высота Д АВС)
Впишем и треугольник H^jCj прямоугольникDiExCiFl с заданной
диагональю. Тогда DEKF - искомый прямоугольник. В самом деле, DF =
= DiFx, а из равенства
DE _ Oigj
АС А1С1
следует, что ОА’= так как AC = A!Ci. Поэтому КР-СхРх.
387
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Дс казать, что треугольник с двумя равными медианами является равнобедрен-
ным.
2. Доказан», что в любом ipeугольнике АВС расстояние от центра описанной окруж
нести до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения
высот до вершины Л.
3 Точка М лежит внутри треугольника иа расстоянии х, у и z от его сто-
X у Z
рон ВС, АС и Ав, Доказать, что -— + -— + -—“ 1, где ha, h^, hc - высоты Треугольни-
ка /!{, пс
ка, проведенные из вершин Л, В к С соответственно.
4. 3 треугольнике АВС даны его стороны а, Ъ и с. Найти: а) его высоты; б) его
биссектрисы.
5. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на
отрезки дайной 30 см и 40 см. Найти длины катетов.
6. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит
гипотенузу на отрезки длиной в 5 см и 12 см. Найти длины катетов
7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов
равен а. Определить радиус вписанного крута.
8. Определить синусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что радиус
списанного около него круга относится к радиусу вписанного круга как 5 : 2.
9. Доказать, что в треугольнике АВС, длины сторон которою АВ = 4 см, ВС = 3 см
и ЛС =\А см, медианы ЛА и CL взаимно перпендикулярны.
10. В треугольнике АВС пчошадью 1 кв.ед. на медиане ВК взята точка М так,
что МК = — ВК. I (рямая AM пересекает сторону ВС в точке L. Найти площадь треуголь-
ника AL С.
11. В равнобедренном треугольнике высста, опущенная на основание, в полтора
раза меньше радиуса описанной окружности. Найти отношение основания к боковой
стороне.
12. Даны две концентрические окружности. Касательная к окружности меньшего
радиуса делит окружность большего радиуса в отношении 1 : 5. Найти отношение
площадей кругов, ограниченных этими окружностями.
13. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны соответ-
ственно 2, 3 и 4, вписана окружность радиуса 1,2. Найти площадь этого четырехуголь-
ника.
14. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция дру-
гого катета на гипотенузу равна 16 см. Определить расстояние от центра вписанной
окружности до высоты, проведенной к гипотенузе.
15. В треугольник АВС вписан круг радиуса 4 см. Сторона АС делится точкой
касания на отрезки длиной 6 см и 8 см. Найти: а) длины двух других стерон; б) дли-
ну биссектрисы, проведенной из вершины угла В.
16. Около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого вдвое больше
основания, описана окружность радиуса 1. Найти радиус окружности, вписанной в
этот треугольник, и расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
17, В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а. Высота, опущен-
ная на основание, больше радиуса вписанного круга па т. Определить основание
треугольника и радиус описанного круга.
18. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 3 м и 6 м. Найти длину
биссектрисы прямого угла.
19. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежа-
щий катет на отрезки длиной 4 см и 5 см. Найти площадь треугольника.
388
2f). Б равнобочной трапеции ABCD АВ = CD, основание AD = 7, LBAD = 60°. На
диагонали BD расположена точка М так, что ВМ : MD = 3:5, Какую из сторон трапеции
ВС или CD пересечет продолжение отрезка AM'l
21. Около круга радиуса г описана прямоугольная грапеция, наименьшая из сторон
3
которой равна —г . Найти площадь трапеции.
22. Около равнобочной трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7 см,
описан круг. Найти площадь этою круга.
23. Большее основание трапеции равно а, меньшее основание равно Ъ\ углы при
большем основании 30° и 45°. Найти площадь трапеции.
24. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию с тупым уг-
лом 150° и средней линией, равной 40 см.
25. Найти стороны и площадь прямоугольной трапеции, если центр вписанной
окружности удален от концов ее боковой стороны на расстояние 3 см и 9 см.
26. Трапеция ABCD такова, что в нее можно вписать окружность и вокруг нее
можно описать окружность. Определить, где находится г.енто описанной окружности
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей, если AD = 10, ВС = 2.
27. Точка 4(1; -1) является вершиной квадрата ABCD, диагонали которого
пересекаются в точкеЛ7(5; 0). Найти координаты остальных вершин квадрата.
28. На плоскости заданы точки А (-6; 3), В(-7; 7), С(-3; 6) иР(-2; 2). Дока-
зать, что ABCD ремб, и вычислить его площадь.
29. Век торы а и Ь образуют угол . Зная, что а | = \/з, IЛ 1= I, вычисли ть коси-
_ 6 _
нус угла а между векторами p = a+ bnq=a-b.
30. Из точки А данной окружности проведены всевозможные хорды. Что пред-
ставляет ссбой геометрическое место их середин?
31. Доказать, что площадь вписанного четырехугольника 5 =
= V(P - «)(р - Ь)(Р ~ с)(р - d), где a, b, с, d - стороны четырехугольника, а 2р -
его периметр.
32. Построить квадрат по заданной вершине и двум точкам, которые лежат на двух
сторонах или их продолжениях, не проходящих через эту вершину.
33. Построить треугольник АВС, если даны два его угла А и В и сумма двух его
сторон а и Ъ.
РАЗДЕЛ П
34. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключаю-
щих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.
35. Доказать, что отношение площади треугольника АВС к площади другого
треугольника, стороны которого равны медианам треугольника АВС, равно
4
У
36. Чему разнс отношение площадей круга, вписанного в правильный треугольник,
и круга, описанного около него?
37. Высота травильного треугольника равна 6\У Найти сторону, радиусы описан-
ной и вписанной окружностей и площадь этого треугольника.
.38. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если один его катет равен а
и сторона равновеликого квадрата равна 6.
39. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1 : 2, меньший
катет равен а. Найти радиус описанной окружности.
40. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника
соответственно равны 4 см и 10 см. Найти периметр треугольника.
41. Найти длины сторон прямоугольного треугольника, если известно, что его
периметр равен 12 м, а радиус вписанной в него окружности равен 1 м.
42. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу
в отношении 3 : 4, радиус вписанного круга равен 7. Найти стероны треугольника.
389
43. Один из катетов прямоугольною треугольника равен 15 см. а проекция другого
катета на гипотенузу равна 16 см. Найти отношение радиусе вписанной и описанной
окружностей.
44. В квадрат вписана окружность, а н эту окружность вписан правильный треуголь-
ник Найти отношение площадей квадрата, круга и треугольника.
45. Радиус дуги сектора ЛОВ равен В, центральный угол АОВ равен а. В этот сек-
тор вписан правильный треугольник так, что одна из его вершин совпадает с серединой
дуги АВ, а две другие лежат соответственно на радиусах ОА и ОВ. Найти сторону
треугольника.
46. В правильный треугольник вписана окружность радиуса г = 5\/3 м и через
центр окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника.
Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
47. Около крута радиуса В описан равнобедренный треугольник с углом в 120°.
Определить его стороны.
48. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол при вершине а. Найти
площадь описанного около него круга.
49. Центр вписанной окружности делит высоту равнобедренного треугольника,
опущенную на основание, на отрезки 5 см и 3 см, счигат, ог вершины. Найти стороны
треугольника.
50. В равнобедренном треугольнике основание 16 см, боковая сторона 10 см. Найти-
а) радиус описанной окружности; б) радиус вписанной окружности; в) расстояние
между центрами этих окружностей; г) площадь треугольника.
51. Центр окружности лежит ка большей стороне треугольника, равней 18 см.
Окружность касается остальных сторон треугольника, равных 12 см и 15 см. В каком
отношении нентр круга делит бо'гьшую сторону треугольника?
52. В равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно 1 м, вписана окруж-
ность радиусом 1 м. Найти плошадь трапеции.
53. Около круга описана равнобочная трапеция, у которой средняя линия равна т.
Определить периметр тралении и длину боковой стороны.
54. В равнобочную трапецию, площадь которой равна 20 смг, вписана окружность
радиуса 2 см. Определить стороны тралении.
55. Доказать, что если высота равнобочной трапеции есть среднее геометрическое
ее оснований, то в трапецию можно вписать круг.
56. Прямоугольная трапеция описана окопе окружности. Найти радиус окружнос-
ти, если основания трапеции равны а и Ъ.
57. Найти диагональ и боковую сторону равнобочной трапеции с основаниями
20 см и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем
основании.
58. В круг радиуса Я вписана трапеция, у которой боковая сторона равна верхнему
основанию, а дуге,, стягиваемая этим основанием, равна а. Найти плошадь трапеции,
зная, что центр крута лежит внутри трапеции.
59. Транецця ARCD с а снованиями ВС = 1 и AD = 3 такова, что в нее можно вписать
окружность и вокруг нее можно описать окружность. Определить, где находится
центр описанной окружности, и найти также площадь о писанного круга.
60. Одна сторона треугольника равна 52 см, а две другие относятся между собой
как 8 : 15. Угол, заключенный между ними, равен 60°. Найти эти стороны
61. D параллелограмме острый угол равен 60°. Найти стороны параллелограмма,
если его периметр равен 22 см, а меньшая диагональ равна 7 см.
62. В треугольни ке ЛВС АС = 13 см, АВ + ВС = 22 см, величина угла АБС равна 60° .
Найти длины сторон АВ и ВС.
3 5
63. Синусы двух острых углов треугольника равны — и — . Радиус описанной
окружности равен 32,5 см. Определить стороны и площадь треугольника.
390
''64. Дан треугольник, дайна основания которою равна а, угол при вершине а. Най-
ти радиус окружности, проходящей через центр вписанного в этот треугольник круга
и концы основания треугольника.
;6 5. В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна 2%/3~дм и
удалена от центра окружности иа 1 дм. Определить угол, лежащий против этой сто-
роны.
66. Дан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ -ВС -5 ал, LABC .
Построить сумму векторов АВ и ВС, найти длину вектора АВ + ВС.
67. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть р = 4 = ^ЙС. Выразить
векторы CD, DE, EF и FA через векторы р и ~q
68. Треугольник задан координатами своих вершин Л(0; 0), ЖЗ; 1) и С(1; 7).
Доказать, что этот треугольник — прямоугольный.
69. Векторы а и b образуют угол = —.
Зная, что | а | = 2, | b | = 3, найти: b • а,
а1, Ьг, I а - b |, |(а -- 2 6)(а - 4 6} |; пр- 6; пр а.
70. Даны окружность и ее хорда. Рассматриваются все треугольники, вписанные в
окружность и имеющие основанием данную хорду. В каждом треугольнике взята
точка пересечения высот. Найти геометрическое место этих точек.
71. Построить треугольник, если даны разность сторона — b и два угла А и В.
ГЛАВА 18
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО АРИФМЕТИКЕ, АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ
Вариант 1
1. Найти значение выражения
1 48
0,5 +—+0,1(6) +0, 125 (3.75 - 0 625)---
4 125
---------------—-----+ —------—---- -
12,8-0,25
14
0,(3) + 0,4 + —
15
2. Построить график функции у - 2х2 3 4 - х - 1 и определить, при каких
значениях х функция принимает отрицательные значения.
3. Решить уравнение \/х + 34 - \/х -3=1.
4. В равнобочной трапеции длина средней линии равна 5 м, а диагонали
взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
391
Вариант 2
1. Найти х из пропорции
/11 \
9(1-----------------------------0,945:0,9 '
х \ 20 /
10,5 • 0,24 - 15,15 : 7,5 3 3
1----<4—:7
40 8
2. Решить систему уравнений
j |х- 1|+|у - 5,'= I,
! у = 5 +х - 1.
л 1
3. Найти sin4 a + cos4а, если известно, что sina - cosa = — .
2
4. Даны окружноегь и точка, лежащая внутри окружности. Построить
хорду згой окружности так, чтобы данная точка была ее серединой.
Вариант 3
1. Доказать, что длялюбых чисел а, Ь, удовлетворяющих условию/? + 62 =
= 1, выполняется неравенство! а + b | <-/2.
2х+7 15 5х — 8
2. Решить уравнение---+ — -------------.
х + 1 х2 - 1 х - 1
3 Найти сумму всех трехзначных чисел, целящихся на 7.
4. В правильный треугольник вписан круг, а в круг вписан квадрат.
Найти отношение площадей треугольника, круга и квадрата.
Вариант 4
1. Упростить выражение 6 — х + ->/16 - 8х +х2, если х >5.
2. Решить графически систему неравенств
х + 2у >Q,
х-у <0,
х - 4у * 6 > 0.
3. Из пунктов / и Я выехали одновременно навстречу друг другу мото-
циклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от В, и в мо-
мент прибытия мотоциклиста в В велосипедист находился на расстоя-
нии 15 км от А. Определить расстояние от / до В (скорости мотоциклиста
и велосипедиста постоянны)
2
4. Даны две стороны Ь и с треугольника и его площадь S = — Ьс. Найти
третью сторону а треугольника.
392
Вариант 5
1. Упростить выражение
2+х/Г 2-х/3~
х/2 + V2+1/F ч/2~- чЛ-л/З
2. Решить систему уравнений
f х2 + ху - 6’0,
1у2 + ху - 3 = 0.
. . 1
3. Вычислить sin х + cos х, если sinx cosx =-.
2
4. Определить площадь треугольника, если две стороны соответствен-
но равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны равна 26 см.
Вариант 6
1. Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делит
сяна9.
2. Найти область определения функции у = —------.
х2 - 6х + 5
3. Найти пятый член геометрической прогрессии (ап), если а2 - = 18,
а3 -ах =42.
4. Высота треугольника равна 4 м; она делит основание на две части,
относящиеся как 1:8. Найти длину отрезка прямой, параллельной высоте и
делящей треугольник па две равновеликие части.
Вариант 7
1. Доказать, что если а, Ь. с — попарно различные числа, то при любых
значениях х выполняется равенство
(х - Ь)(х с) (х-с)(х-я) । (х-а)(х-Ь) *
(а - Ь)(а - с) (Ь - с)(Ъ - а) (с - а)(с - Ь)
2. Решить уравнение
х2 - 4х - 6 -\/1х2 - 8х + 12.
3. Решить неравенство | х - 7 | > 2.
4. В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол при основа-
нии а. Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.
393
Вариант 8
1. Смешали 30-процентный раствор соляной кислоты с Юпроцентным
и получили 60U г 15-прбцентпого раствора. Сколько граммов каждого
раствора было взито?
2. Решить уравнение х4 = 6 -- х2. ___ _
3. Построить график функции у = - \/х2 - 6х + 9.
4. В треугольнике АВС проведены медианы АК, BL, СМ. Доказать,
что ~АК BC + BL • С4 + СМ- АВ = 0.
Вариант 9
1. Вычислить значение выражения
(2а - Ь? + 2Ь2 - ЗаЬ 4а2 - ЗаЬ 7
--------;---т------:--------:—при а = 0,78, Ь = —.
2а~х+Ъ2 2-\аЬ2 25
х2 + 2х - 8
2. Решить неравенство --------> 0
F х2 - 2х - 3
3. Построить график функции у=|х-3| + |2-х|.
4. Около круга радиуса R описана равнобочная трапеция с острым
углом а при основании. Найти периметр трапеции.
Вариант 10
1. Первый рабочий обрабатывает одну деталь быстрее второго па 6 мин.
Сколько деталей обрабатывает каждый из них за 7 ч, если первый обрабаты-
вает за сто время на 8 деталей больше второго?
2. Найти все значения а, при которых корки уравнения
ах2 +2(а + 3)х + а + 2 = 0 неотрицательны.
3 Доказать тождество
sina - sin 3a + sin 5a
--------------------= tg 3a.
cosa — cos3a + cos 5a
4. На оси Ox найти точку, равноудаленную от точек (-2; 4) и (6; 8).
Вариант 11
1. Сумма квадратов корней уравнения х2 — 4 ах + 7a2 = 0 равна 2. Най-
ти а.
2. Решить неравенство у/х + 5 < 2х
sin4a + cos4a - 1 2
3. Доказать тождество —---—-------= —
sin6a + cos6a - 1 3
394
4. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: Л(3; -7)
В(8; —2),С(6; 2).
Вариант 12
1. Доказать, что для любых положительных чисел a, b, с, d справедливо
неравенство VG2 + <-’)(£ + <0 > V® + \/cd.
2. Решить систему уравнений
'2ху-хг =3,
1х2 +2/ = 17.
6 sina - 7 cosa + 1 а
3. Вычислить---------------, если tg—= 4.
8sina + 9cosa - 1 2
4. Длина основания равнобедренного треугольника 12 дм, а боковой
стороны 18 дм. К боковым сторонам треугольника проведены высоты.
Найти длину отрезка с концами в основаниях высот.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ И ЗАДАНИЯМ
1 1
Часть!. Гл. 1. 12.0. 13. 7. 17. — 18. 4. 19. 12. 20. 4000. 21.x =1. 22. х = 1 —.
16 8
25. 4, 26.Частное увеличится на 2, остаток не изменится. 27.5. 31. У • 3’ • 5; 2’ • 3s 7.
1 5
32. а) 13; б) 14. 33. а) 5670; б) 3SOO. 36.1. 37.—. 38. — < 0,11; 11* > 9' 10 12- 14.
2 118 £ 42 2
39. 0,(27); 2,4(6). 40. 1 - ; 5 —.41. 36 —. 42. —. 43. 7200.44.14 -. 45.18’..
3 495 6 33 7
1 2
46,1 —. 47.x = 48. х = 11 —. 49.14,5 км/ч. 50.4 галки, 3 палки.
96 3
Гл. 2.1.0. 2. -1. 3. Равенство верное. 4. Равенство неверное. 7. а) х > 0; б) х < 0;
в) х >0; г) х < 0. 8. а) х> С. б) х = 0; в) х >0; г) х < 0. 9. а)х = 0 их = 2; б)х= 1
их = - 5; в) х - любое неотрицательное число. 12.1.13.-5000. 14. Равенство верное.
15. Равенство неверное.
1 5 х
Гл. 3. 1. 0 <-2 < 1. 2. 7 < х +7 < 9, 2 < х -у <4, 10 < ху < 18, —<— < 3.
х 3 у
3. Абсолютная погрешность 0,04 (с недостатком), 0,06 (с избытком). 4. 22,2 < х <
<23,2. 5. х =8,443 ± 0.001. 6. Второе измерение точнее. 7. « 2,2%. 8. 0,1608; х =40,2 ±
±0,2. 9. « 0,12%. 10. Верные цифры 8 и 3. 11.x =2,1 • 1СЭ ± 0,1 • 10’, у =3,9 10"’ ±
± 0,1 • 10"’. 13.18,7.15. 16. 16. 39. 17.44 м’. 18. 57 кг. 19.358 км. 20. 55,2 ом.
2 1 3
21. 0,2 < — <0,4. 22.---- (с недостатком),- (с избытком). 26. 28,5; 28,4; 28,6.
х 175 700
27. х= 15,12 • 10’ ±0,1 • 10’, v =8,3-10-’ ±0,1 • 10 *. 29. 23,6. 30. 33,4. 31. -1,12.
33. 1,89. 34. 1,4.35.3,639.37.."- 38.6 см; 5 = 72 см’. 39.10 а. 40.40 м.
1 1
Гл. 4. 1. -. 2.--- • 3. 3335*4 + 555’” = 3s” • 111’” + 5”’- 111’”;111 крат-
8 16-5*
нс 37. 4, Извлечь из обеих частей неравенства корень 100-й степени и доказать, что
1 1 _ _______ Ъ
200’>ЗС04.6.<2.9.— ч/бТ> - -л/80. 12. -х/х(х- 1). 13.1 15.-5. 16.—при
3 4 а
2 1
ab > 0. 17. - 4/646. 18. -1. 19.а7 Ь2 . 20. 6. 21. 0,12. 22. -1375.26, Да. Например.
396
(3 - -Л) + (7 + 72) = 10. 27. Да. Например, (3 - Т?) • (3 + 7?) = 7. 28. - ; 1,7* 1,73.
. 1 5
а х /а\х
33.-27144.0. 46.-.48.— . 49.1 - Г . 5O.xyz. 51.0. 52.676. 53.1. 54.2. (
9
Гл. 5. 1. 1,1 м и 0,88 м. 2. 70 км. 3. 440 деталей. 4. На 50%. 5. На 38,8%. 6. а) —;
4
б) 0,5. 7. (х - 1) (Зх2 + 4х + 3). 9. (х2 - Зх + 3) (х2 + Зх + 3). Данное выражение
записать сначала в виде (х2 + 3)2 - (Зх)2 . 10. (в2 + ab + 262) (с2 - ab + 262)
11. (х2 +ху\/'1:+з'2)(х2-xy\Jl + у2). Выделить полный квадрат: (х2 + у*)г -
- (\^2ху~)}. 12. 3(а — 6)(6 - с) (с — а). Первые два слагаемых разложить по формуле
4Тз"+ ЗТ2~ 1 х -у ai+a\/2’+l
суммы кубов. 13. б) ---------. 14.6)-----------15. а)-----; б) -----------;
30 5«/з'-75) х+У <j’ + i
1 1
в) а2 4 2ab + 362; г) 4 а2 + 2e + 1, если а < —; - (4а2 + 2а + 1), если а > —. 16. 1.
2 2
62 ху 1 X -у X - 1
17.----. 18.-----. 19. —. 20.----. 21.---------. Разложить х’ + х - 2 = (х’ - 1) +
6-1 х'+у а х х2-х-1
+ (х - 1) = (х - 1) (х2 + х + 2). 22. 1. 23. a^b(iJa+^/b). 24. 27. 25. 3. 26. $/а. 27. 0.
28. 7^ Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на 2: представить 4+ 2^/3 =
= (75+ I)2, 4 - 27з = (73 - I)2. 29. 9а. 30. 0 31. - Ь?. 32.33. 0. 34. 4.
\ 1
35.—. 38. в) Представить 17 + 124Q = (3 + 2v/2)’, 17- 1272 = (3 - 272?. г) Обо-
т
значить левую часть доказываемого равенства через х; показать, что х < 0 и х2 = 36.
46. - 4 —. 47. 101. 48. (а + с)2 - 62; 1- 49. 1. 50. 2,52. 51.20. 52. х = 10. Каждое из
60
подкоренных выражений представить в виде куба: 20+ 1472= (2 + 72)3. 20 - 1472=
= (2 -72)’. 53.51 р. 92 к.; 1 ч. 54. 180. 55.50 р. 56. 2-%. 58. Па 25 %. 59.530 р. 45 к.
7
60. На 32%. 61. На 20%. 62. 35 м 63.480 растений. 68. (х2+х + х)(х3 -х2 + 1).
х + 3
Данное выражение записать сначала в виде (х5 -х*) + (х2 + х+ 1). 69. б) -- .
2х + I
_ 7^-1 _ _
71. 1. 73. х -у. 75. -4^х. 77. —=—. 79. -1. 80.4-Jab при а > 0, b > 0; -4х/аЬ при
-Jab
1 _ _ 1
а <0,6 < 0 81. - 82. 6. 83. 3 -73. 84. 2^с. 85. Vx- Kjy. 87,72.88.1. 89.-,если
2 2
r 1 г — х2 + у2 2
а > 7+;----, если а < 72. 90. - 1. 91_________ 92. г.(п - 1). 93.-. Записать
2 х1у1 + 1 2-а
а + 2va~ = (7<ГП + I)2,а - 2^Т = (7а - 1 - I)2; при 1 < а < 2 разность
7а - 1 - 1 отрицательна. 96. а) 1; б) -1; в) 2. 104. 2. 105-- 1,1. 107.1.108. 2. НО
1 2
А =—. Выделитыголные квадраты в вырач:ении А. 111.— . 112. 20%.
2 3
397
Гл. 6.1. а) - 1; б) никакое; :е) все данные числа являются решениями; решением
уравнения является любое действительное числе. 2. а) Да. Оба уравнения корней не
имеют; б) нет. 3. г) Если л * 2, то х = д + 1; если а = 2, го решений нет; д) при Ь Ф ± 2
1
и Ь 0 — х =-----; при Ъ =2нЬ = 0 -ф (решений пет); при Ъ = - 2- х - любое число,
1 г~ь 1 1
но х Ф — ; э) если Ъ * ± а, то х --; если Ъ =а, то х - любое, х Ф — ; если b = - а,
2 а + Ь а
то решений нет. 5. с = -16. б.Ь = ± 140.7.b = 1; с =- 4 8.р = ± 7. 9. Зх1 - 17х + 16 =0.
1
10. Зх1 +17Х+10 -- 0. 11.117.12.6х2— 5х + 1 = 0. 13. а = ± - . 14. а = 4. 15. х4 - 25 х2 +
2
+ 144 = 0. 16. а) Ъ - -с; б) Ъ = 0, ас < 0; д) 36’ = 16ас, ас > 0. 17. а) х = 1; б) х -
2
любое, х * ; в)решений нет; г)х = 4. 18. а)Если ab Ф 0 и Ъ Фа, то х, = а + b•, X, =
3
= —; б) если а = 0, то х - любое, х Ф 0: если а Ф 0. то решений нет. 19. а) хх = 2,
2
х, = 3. Положить х’ - 5х + 7 = у; б) х = 1. Разложить: хэ +х2 - 2 = (х! - 1) + (х2 - 1);
1 1
в) х = ± 2; г) х = - 2; д) XJ j - ± — ;*з 4 = 1 I- Положить х2 =у. 20. а) х, = —, ха = 1;
’ 2 1’ 1 2
б) х, = - 3, х3 = 2,х3 = 3; в) х, = - 1 —. х3 = 1; г) х, =0,х3 =—,х3 =4. 23.а)х-7;
3 3 ,____
Записать систему в виде
Ц) (2; 3),
3), (3; 2).
г) (7; 3),
(8; 2). 27.
б) х = - 1; в) х = ± 5. Положить ^/х2" + 11 = у; г) х = 7. Положить \/-= у; д) если
3
а > 0, то х, = С. х2 ау если а = 0, то х любое, х < 0; если а < 0, то решений нет.
4
24. а) (3; 1), (1; 3); б) (3; 1), (4; 2); в) (-2, 1); г) (2; 3), (3; 2);
х
(3; 2). 25. а) (4; 3), (-4; -3). Положить —= Г; б) (5; 1), (1; 5), (2;
У
(х + у) + Ху = 11,
и положить х + у = и, ху = и;
ху (х + у) = 30
У (у - X) 12
(-7; -3). Использовать уравнение --------=------; д) (-2; -4); е)
х(х — у) 28
а) (1; 1), (-1; -1). 28. 27. 29. 3 и 12. 30. 36. 31,50 км/ч. 32. 12 км/ч и 30 км/ч,
33. 12 км/ч и 60 км/ч. 34. 48 ч. 35. 10 км. 36. 10 дней, 15 дней. 37. 100(х/2”- 1) %.
3
38. 4 ч 40 мин и 5 ч 50 мин. 39. 25 ч и 20 ч. 40. 3 - ч. 41.140м. 42. 25 см2. 43.12 см,
4
16 см и 20 см. 44. 4 кГ и 6 кг. 45. 20% и 60%. 46. 1 : 1. 47. 10 м. 48.34 и 9. 49. 24 и
20 попаданий. 50. 75 %. 51. S9 л. Если х л - искомое количество, ар. - цена литра
(220 -x)i/ + bx (18С - х) b * ах
бензила в первой бочке, b р. - во второй, то
220
180
и уравнение приводится к виду 20(Ъ - а)х = 1980(Ь--с), где а Ф Ь. 52. 180 р. Пусть
х р. - иена магнитофона, у - число студентов. По условию 170 < х < 195, Уравнение
398
X X .~
------=— +1 приводится к уравнению у1 - 2у - 2х = 0, откуда у = 1 +>Д + 2х. Так
У -2 у
как 341 < 1 + 2х < 391 и у - целое, то 1 + 2х = 361 (единственное целое число из
2
отрезка [341;391], из которого извлекается корень). 53. а) — <х < 10; б) х < - 6;
S
г) 1 С х < 3; г) решений нет. 54. а) X < - 7, х > 2; в) 0 < х < 1; д) х < 0, 2 < х < 3;
е) х - любое, х * 2; з) х > 0. 55. б) -1<х<2. 2<х<3;г)х<
< - 1, х > 4; д) х < -2,-1 < х < 0; ж) х < -1. 0 < х < 1. 56- а)
1 1
х, = - 2, х, = 4; б) х --; в) х < 1; ж) х < 2; и) х <-,х >5 57. а) Данное нера-
2 2
венство равносильно неравенству (s — Z>c)’+(h - ас)1 + (с- ай)1 > 0; б) данное нераьен-
(а Ьх /Ь с\ /с a, a+S+c+d
— +—1+1 — + —) + (—+—[ ^6; в)------------ =
Ъ а / ' с Ъ / \с с ) 4
a +b c + d
— + —~
=-------------, использовать неравенство между средним арифметическим и средним
- ____________________________________________________ 1
геометрическим двух чисел; г) записать неравенстве в виде 1 + 1 +— > 2;
х/х* + 1
д) сложить очевидные неравенства а3 <а2си Ь3 <Ь*с; учесть, что а1 + Ь3 =с’. 58.
2 5 2 5 2
Если а < —, то х > -; если а > — , то х <—---; если а = —, то решений нет.
3 2-За 3 2-За 3
5 7
59, — <а< 1, а > 6. 60. с <-.По условию задачи а < 0 и D = 49 - 16а3 <0. 61.
9 16 4
- 7 < а < 1.62. - — < а < - 1. По условию задачи имеем систему неравенств
7
f 27 = 9с1 - 16а(а + 1)>0,
j *i •> 1»
( хг > 1
и заменяем равносильной системой
D ^>0,
(х, - 1) + (х2 - 1) > 0,
(х2 - 1)(х2 -1)> 0.
Применяем затем формулы Виета. 64. а) если а # 1, то х = а - 1; если а = 1, то ф;
1
б) если Ъ Ф ± 3, то х = - ; если Ъ = 3, то 6; если Ь = - 3, то х - любое число.65. е) ф;
ь -з р
66. а) х = 3; б) х2 - 0, х2 = 1, х3 = 2.67. а) —. 68.6) х - 4 70. а) Положитьх2+3х = ур
1 7 2
б) положить х’ + 2х = у\ в) х, = — , х2 = —. Разделит числитель и знаменатель каждой
2 2
399
4
3
дроби на х + 0. получим равносильное уравнение-+ --------- = 1, для
7 7
4х - 8 +— 4х - 10 + --
х х
7 За2
решения которого положить 4х + —=у, д)х = 6; ж) х =—прид>0. 71.в) ф; г) х =
х 4 /з \
-а + 7, у =-а - 10 при любом а. 72. а) (1; 5), (-3,1); в) (0; 1),^— ; 1 J, (2; 3); е) (3; 1).
(-3; -1), ^12; ^-12; . 73. а) (4; 64), (64, 4). 74. a) qxl + рх + 1 = 0.
75. р2 - lq. 76. р(3? - р2). 77. 3 и 15 или -15 и -3. 78. q = - 16. 79. 10 и 5.
80.36 и 4. 81.24. 82.103.83.5 м’/ч.84.72чи 90 ч. 85.60 г и 48 г. 86.1 ч. 87. 5 ч, 10 ч
и 6 ч. 88. 50 км/ч. 89. 21 км/ч. 90. 24 км. 91.5 км/ч и 11 км/ч. 92. 60 км/ч, 90 км/ч
и 900 км. 96. 5. 97. 200 кг. 98. 160 г. 99.24 и 21. 100. в) х> 2; г) 3 <х <4. 101. а)
2 < х < 3; в) ф; г) х - любое число; д) х - любое, кроме х= - 1. 102. в) 0 <х < 3;
1 ._________________I
г) х > —. Левую часть данного неравенства залисатьввиде \/х2 + 6х + 9 -\Jx2- 6х + 9 -
2 _______
= \J(x + З)2 — \/(х — 3) 2 = I х + 3 I - I х - 3 |. 103. а) - 5< х < - 3,х > 2. Использо-
3
вать метод интервалов; г) 1 <х < 2, х > 3; д) х < - 2,1 < х < 3. 104. а) 0 < х < —;
3.511 2
б)х> —; в) 0<х< —; г)---<х<-----.
2 3 3 4
Гл. 7.4. О < х < 4. 6. х < 0. 7. 0 < х < 1. 10. Функция не определена. 11. х =2.
12. а) Р(у) = ; 1—1, £(у) = [0;2] ;б) Zl(j') = (-»;-3J и 11; +»),£(/) = [0; + ~).
1-2 2 *
15. Четная. 16. Нечетная. 18. Нечетная. 19. в) Возрастает на всей оси Ох; положительна
а +Ъ
при х> 1, отрицательна при х < 1. 20. 2. 21. 2. Использовать неравенство — >
>xjab, если а > 0, b > 0. 22. Пусть х - основание прямоугольника. Тогда его высота
2-х. Площадь прямоугольника S = х (2 - х). Задача состоит в отыскании наибольше-
го значения трехчлена 2х-х2. 29. ’’Нижняя” полуокружность с центром в начале
координат и радиусом, равным 2. 32. Окружность с центром (-1; 1) и радиусом \/2.
Записать данное уравнение в виде (х + 1)2 - 1 + (у -1)2 -1=0, или (х + I)2 +
+ (у _ 1) 2 = 2. 33. Прямые х = 1 и х = 2, параллельные оси Оу. 40. Начало координат.
41. Парабола у=х2.42. Прямые, совпадающие с осями координат. 47.x, =- 7. х2=
= -3, х3 =- 1,Х4 =1,х, =3,х, =7. 48. (6; -8); (-8; 6). 49. (3; 4); (4; 3);
(_ 3; -4); (-4; -3).50. (-5; 0); (4; - 3); (4; 3). 51. Если а =0, то два решения;
если 0 < а < 2, то четыре решения; если а = 2, то три решения; если а > 2, то два ре-
шения: если а < 0, то решений нет. 64. - 2 < х < 12, или [- 2; 12]. 65. х - любое
число, кроме х = 3их=-1.66.1<х < 6, или ]1;6), 70.x < - 1,0 <х < 1. 71. а)
D(y) = [-1;3] ,£(у) - [0;2] ;б) D(y} = (- «>;+ ~), Е(у) = [!; + “]. Записать функцию
в виде у = V(x + I)2 + 1. 73. Нечетная. 76. Четная. 78. б) Убывает при х < 0. возрастает
при х >0; положительна при х < - 2 и х > 2, отрицательна при - 2 < х < 2. 79. 10.
100. х = 0. 101. х, = - 2, х2 = 4. 104. Если а = 0, то два решения; если 0 < а < 3, то
четыре решения; если а = 3, то три решения; если а > 3, то два решения; если я < 0,
то решений нет. 105. Если Ъ =0, то одно решение; если 0 < b < 1. то два решения; если
b = 1, тс бесконечное множество решений; если b > 1, то одно решение; если b < 0, то
решений нет.
400
Гл. 8. 3. х, = 1,х2 = 9.4.d = 5. 5. л = 19.6. a) х = 36; б) х =7. 7. 1904. 8. 690.
9. а,, =41;,$,, =432. 13. Да; 1, 3,5,... 14. а) х, = 0; х2 = 1; б) х =1.17.62, 124;
248. 18. 5 0Р- 19. 8; -4; 2; -1; ...21. 3; - 6; 12; - 24. 22. и = 6.23. <?. 24. Sn =
1 /10 (10"- 1) \
= —{-----------------п]. 25. 3, 7; 11 или 12; 7; 2. 26. 8; 16; 32 и 32; 16; 8. 27. 96.
9 \ 9 /
32 32
23. 12, 6, 3,... 29. 32. —, — 33. а) х =± 2; б) х. =2,х2 =10. 34-6; 9; 12; 15;
3 9
18; 21.35. «= 8. 36. «> 11.37.1065 . 38. а) х = 55; б) х = 1.З9.ац, = 63; У,,^560.
40 S„, = 75-41. Нет. 43. а, =33. d=-4. 44.J =- 10.46. q =± 3.47.к, =- v'2, х, =
= 72“ 48.6 и 12.49. S, =341.50. 2, 6; 18; 54; ... или 2; -6; 18; -54; ...51.x =
= - 1. 52. в, = 3, <? = 3 или а, = 12, q = у. 53. 27; -9; 3; -1 или 54; 18; 6; 2. 54. 5.
13; 21; 29. 55. 64 или у.56.а, = 6, q = -у. 57. q = р
3 „
Часть II. Гл.9.1. АВ = 8,1 см.4,14 см, 2 см. 5.1 —d. 7.108 , 72 . 11.12 см.
7 3
Гл. 10. 11. 80°, 30°, 70°. 12. 4 м, 4 м. 21.2 см. 24.60°, 120°. 37.12 см. 40.1 —d;
17
14 ।
r-d. 41.1,7 м.
17
Гл. 11. 17. 30 см. 18. 6 см. 19. 120°, 110°, 60°, 70°. 20. 20 см. 28. 60°. 31. 50’.
32.54°, 126°. 33.40°, 60°, 80°. 34.1,5 м. 35.9 см, 12 см, 15 см, 12 см 36. 5 м.
& </ 2
Гл. 12, 6. —— - . 7. 21 см. 8. 36 см и 54 см. 9, R = 25 см, г = 8 см, d = 15 см; R -
а + Ь
радиус описанной окружности, г - радиус вписанной окпужности, d - расстояние
между их центрами. 10. 1( - м. 11. 9^/5 м и 8у/10 м. 12. 6 м и S м. 13. 8>/5 см и
см. 14.’30 мм. 15. 16 см и 9 см. 16. 15 м и 35 м. 21. 8 см и 15 см. 22.18 м, 24 м,
30 м. 23. 30 см, 40 см. 24. 1,2 м. 25. 50 см, 15 см, 31,25 см. 26. 25 см, 6,72 см. 27.
10,2 м, 13,6 м, 17 м 28.11,2 см.
Гл. 13. 2. Бесконечное множество. На прямой, параллельной данным и равноот-
стоящей от них. 4. Указание. Использовать преобразование симметрии относитель-
но данной точки. 7. Указание. Доказать, что точка пересечения осей симметрии
является центром симметрии. 8. Указание. Если alia,, то использовать централь-
ную симметрию, а если а/ at - осевую симметрию 9. Указание. Рассмотреть
окружность, симметричную одной из данных окружностей относительно точки О.
10. Указание. Использовать точки Р, и?,, симметричные точке F относительно
прямых ВА и ВС. 11. Указание. Использовать поворот около данной вершины
на 60°. 15. Указание. Использовать гомотетию относительно вершины угла.
19. Указание. Сначала доказать, что если треуюльник имее, ось симметрии, то
он равнобедренный. 23. Указание. Использовать поворот на 60°.
Гл, 14. 1. а) Четырехугольник ABCD - параллелограмм; б) четырехугольник
ABCD - параллелстрамм или трапеция. 2. Указание. Пусть Е и F - середины
— 1 —
сторон АВ и ВС Д ABC; EF = уЛС. 3. п = 12, и = - 12, 4. « = 2. 5. Указание. Если
A(xt; у,), В(х2; у2), то ЛВ(х2 - х,; у2 - #,). 6. а) b (8; 6); б) Ъ (-8; -6).
7. cosZ-Я = 0,6, costs = 0, cost С = 0,8. 8.x = -1. lO.npja = i-. 11. a) cosa = 0,6
tga =у; 6)sina = 2”-,tga =-2\/2;B)sin a = - -jp^.cos a = - — ".; r)cos a = 0,8, tga =
401
\'С* + d1 ±2cd cosa
= -0,75. ГЗ.Неможет. 14. ----- ----------- . 17< У x а з а н и e. Применить теоро-
му косинусов. 18. 3 см и 8 см. 19.ЛВ = <6 + Зх/2 см.ЛС = 2<Уб"см. 20. а) с«50,4,
44 - 7“ 18', LB « 82“42'; б) а « 23, LB « 79“23', lA « 19’37'; в) с * 200, Ъ <* 164,
L.B = 55’ 15'; г) с « 200, b « 149,3, LA = 5’10'; д) а « 5, b « 1,644, LB = 18’12';
е) а « 3,319, Ъ «1,200, 44 = 70° 8'. 21. а « 135’ 35', & * 15’30', у -28“ 55'. 22. у =68’,
а « 13,57, Ь •> 11,22. 23. а « 129’50', у « 35’10', b « 8,09. 24. с « 11,40, 0 «41’49',
у « 108“ 11' или с « 2,46, (3 « 138’11' у « 11’49’. 28. Указание. 75’ =45’ +30°;
применить формулу синуса суммы. 29. У к а з а_н и е. 105° = 60’ >45’; применить
„ . , 3-4\/J . а х/5 а 2уТ
формулу тангенса суммы. 30. - 0,6. 31. -----. 35. sin у = ; cos — =---—.
36. sina + cosa = 1,4 или sina + cos a = - 1,4.
37. tg у =
у. 38.0. 39. 0.40. 0.
47. 4sin^-+ 15’Jsir^y - 15’J. 48. 2sin’(45° - a). 50. 2ein(2a - 30’). 52.
2sin(2a - 45’)v'tg4a: 53. МУ = у a - yi. 55. m = t 7. 56. (0,8; ~0j). 58.2/(0; 2).
59. a) D(l; -3). 60.«Л; 30’. 61.90‘ .65.-2,2. 66.в) cosa = -0,8,Iga = 0,75.68.a) c«
«13,1.44 « 75е 58', l.B «14’2'; 6)6=^-,44 «36’51*, LB «53’8’; в) c «2, a «1,725,
44 = 59’36'; г) c « 3, a « 1,72, LB = 55’4'; д) a « 3,96, b « 1,34 LB = 18’42';' e)
a « 0,104, b « 0,058, 44 = 60’46'. 70. a « 14’58', & « 11’, у « 154’2'. 71. у « 119°,
a « 16,69, c « 24,83. 72. a « 16’ 20’, у « 11’40’, tr « 53.41. 73. c « 22,30, Д « 5° 35',
7 « 10’25'. 77. 7 < Указание. 15’ = 45’ - 30’. 79. 81. 0,96.
4 85 ’ 85
a 3 ala
82. - 3. 83. sin у = w cos y= -7~, tg y= 3. 85.
-y. 96. 4cos^l5° +
X ccs^l5’- y). 97. 2s/l- sin у sin(y - 45’). 98. 8sin(30° + 2a) • sin(30’ - 2a).
99- 4sin4a • sin (a + 15’) cos (a - 15°). 100.13; - 13.
Гл. 15. 1. 8 м и 18 м. 2. 30°. 3. Квадрат. 5. 2G2.8 дм1. 6. 36 см1. 14. He следует.
Например, треугольник со сторонами 13,13, 24 имеет площадь = 60, а равносторон-
ний треугольник со стороной 12 имеет плогцадь S, = 36^3 > 60. 15. 11, 2 см. У к а-
эание. Применить формулу Гсрона. 16. Радиус описанной окружности Л = 12,5 см,
радиус вписанной окружности г = 3 см. Указание. Данный треугольник прямо-
S За2
угольный; найти г по формуле г = —. 17. ----т^=-. 19. 480 см1. 21. 540 м1. 22.
р 2(3 + <3 )
6у/3 см1. 23. у/’s. 24. 25, yZ’sina. 26. 48 см1. 27. 16 см и 12 см. 28. 5 м. 29.
6\/2 см. ЗО.х/2. 34. 120 дм1. 35. 39 дм1. 36. 5 дм. 37. 8сми10см. 38. 150м1.39.
450 см1.41. 1 kl. 42. S. 43. й1.
4
Гл. 16. 1.Указание. Серединный перпендикуляр любой стороны правильного
многоугольника проходит через центр описанной окружности. 4. а) При и < 6; б) при
. . х г \ 1 V 2 0/3 -.1 1 3 , . Яй „ Яй . 2 Яй _5
п = 6; в) л > 6. 5. а) —, — , — ; б) у. 6. а)—; б)—-;в)—— .7.6) х-я;
2 2 2 4 2 4 3 2х/2 Зх/З 6
д) 1я. 8. а) 20°; г) ИГ 9. (я - 2) Я1. 10. |/. 11. 2sina • sin^n (i + g)
9 \ я / 4 я
402
. 16. — -—. 19. Указание. Использовать теорему Пифагора.
12 4(2я+3<3)
21.'.’-^?. 22. а) 8; б) 11; в) 13. 23. 144°, 24. 4 дм и 2,5 дм. 25. На4и%. 29.
а
г- R- sin —
_ Xi Изо.----------.31. у-я 15,1м.
' а
1+siny
Гл. 17. 4. а) йв = — *Jp(p - а) (р ~ Ь) (р - с), р = ° + — ; б) 1С =
___________________а 2
Jab (a + b + о) (а + Ь - с) „ „ с sir.a * cos а _
=--------------------------. 5. 42 см и 56 см. 6. 8 см и 15 см 7. --;-------. 8.
а + о l + sina-cosa
3 4 2 3
sir.a = sin/J -у. 10. у. Ц.Vj. 12.-. 13.7,2. 14.1 см. 15.а)13сми15см; б) |->/бГ
,, .3 _1
1 g Р ~ 2 'Г радиус вписанной окружности, р - расстояние между центрами
окружностей. 17. Основание равно ?.wcosa. д = —”—. 2х/2 м 19. 54 см’
tgj 4s: в’у
20. CD. 21. 2-r’. 22. 25я см’. 23. '°' ~ ***> . 24. 100я см’. 26. Вне трапе-
2 4
R 3 .— 2 1
«ни; “= - V14. 27.В(4; 4), С(9; 1), £>(6; -4). 28.У = 15. 29. cos 0- = ^-;, .36.
_ . а
2 Т
40 . 48 см. 41. 3 м, 4 м и 5 м. 43. —, 44.16 : 4я : 3\/3. 45.----------,46.20 м.
5 . Л о а\
sin; 30 + — I
\ 2/
itS 1 2
48. -----------. 49. 10 см, 10 см и 12 см. 50. а) 8 — см; б) 2 — см; в) 5 см; г)
. , а 3 3
sin’а • Ig -
48 см’. 51.4 : 5. 52.5 м’. S3.4m.rn. 54. 2 см, 5 см и 8 см. 56.-. 58. 2Я£sin’a. 59.
а + Ъ
7 а
Внутри трапеции; S = — я. 60. 3 см, 8 см. 64.-------. 69. прт-в = 1. 70. Окружность,
3 , а °
2 • cos —
2
симметричная с данной окружностью относительно данной хорды.
Гл. 18. В а р и ант. 1, 1.1. 3. х, = - 61. хг - 30. 4. 25 м’. В ар и а и т 2. 1.x = 5. 2.
1 11 3 11 23 л л 1
*а =2’> У1 = —Y’X1 = Т’ Уг = 3‘ ‘зг*’ Вариант 3. 2. X, = 4, х, = -1 у.
3. 70336. 4. 3\ 3 : п : 2. Вариант 4. 1. 2, 3. 20 км. 4.а =\/Ьг + с’ — у Ьс или
а = ч4>’ + с’ + уЬс. Вариант 5. 1. -^2. 2. хг = 2, j>i = 1; х, = -2, yt = - 1. 3.
1 2
у. 4. 270 см’. Вариант 6 2. 1 < х < 5; х > 5. 3, 170 — . 4, Зм. В ар и ант 7.
403
2. х, = 6, х2 = - 2. 3. х < 5, х > 9. 4. ^-x/tg2a т 9. Вариант 8. 1. 150 г и 4JQ г'.
1 8Л
2. х. , = ± х/Т. Вариант 9. 1. —. 2, х < - 4, -1 < х < 2, х > 3. 4. —. За-
*•* 2 sina
риант 10, 1. 28 и 2и деталей, 2. - 2,25 <а <-2. 4. (5; 0). Вариант 11 1.
а,=1, а,=-1. 2. х> 1,25. 4. (х-3)* + (у + 2)2 = 25. Вариант 12. 2.
и.,. , а- та (Y ( 85 л 28
(3,2), (-3; 2), -; —); ( - —; - — ). 3. - -. 4. — «м.
СПИСОК ФОРМУЛ
1. Действия с обыкновенными дробями:
а с ad ¥ Ъс а с _ ас
Т 1 ~d bd ’ Т ' ~d~ ~bd’
а с _ ad - be а с aj
Ъ d bd ’ b ' d be '
2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
(а, если а > 0,
-а, если а < 0;
> a I 'al
lab |= |a| -I*!; - =— (b * 0);
I b I |6,
la + b I <= 'al + 111; la - b ' < |a'l + |Z>|.
3. Свойства степени с рациональным показателем:
ар a^ap+q (a > 0); (ap^=ap«;
„р
— =иР~Ч (a * 0); (abf=apbp;
а4 т
, \ р р —
=±_ (^0); ап = (а>0);
\Ь/ hP
а~п = (а*0); а° = 1 (а*0).
а
4. Действия с корнями:
VaJ = la I; х/й2” = |Z> l"; <a& = ya"• x/F (a > 0, b > 0),
x/~^- = (a > 0, b > 0); yja^b = la I sjb (o > 0);
b \/b
(fl > 0).
(W" = (а> 0); Т
Еслц а > 6 > О, sja > -jb .
Если \fa > \/ъ' (а > 0, b > 0), то а > Ь.
2^ 11 ___ 2к - 1 ___
\J-а = - sja (к > 1, к - натуральнее число).
5. Пропорции: а с
Основное свойство пропорции: если — = —, то ad~bc.
о а
(производная пропорция); в частности:
„ а с ка + lb кс + Id
Если — = —, го --------- = -------—
b d та + nb тс + nd
а + Ь _ c+d а - b -с- d . а + b _ с + d
b d ' b d ’ а - Ь с - d '
Если в1 _ "а _ °п . ТО кхах + к2аг + .. + кпа,п . ai _ а2
Е, Ъ2 ktbt + кгЬ2 + ... + ^nbrl Ь, Ьг
a,+<j, +...+дл а а ип
в частости: ------;-------— =~г- = -г1 = — = т—-
bt + Ь2 + ... + bn b2 b2 Ьп
«л
6. Формулы сокращенного умножения:
(в + 6)’ =в’ + 2аЬ + Ь3;
(а-ЬУ =а3 -2ab + b3;
(а + Z>)J =а3 + 3a3b + Зеб1 + Z>3;
(a-b)3 =e’ - 3e1d + 3fl&1 - b3;
(a + b)(a - b) = a3 - b3,
(a + b)(a3 - ab + b3) = a3 + b3;
(a-b)(a3 +ab + b3) = u3 -b3;
(a - b + <•)’ = a3 + b3 + c3 - lab + lac - 2bc;
a3 + b3 =(e + d)’ - lab;
a3 +b3 = (a - d)3 + 2ab.
7. Квадратное уравнение-
- b 14 (D
ax3 + bx + c = 0 (а * 0), x, , = — , -- (D-b3 - 4ac > 0);
* 2a
~k \/к~~ ac~
ax3 + 2kx *c = 0 (a ¥= 0), xx , =------------- (к3 ~ ac > 0);
* >7
x3+px + q-G, xlt
A b
Формулы Виета: x, +xa = —
a
Формулы разложения квадратного трехчлена на линейные множители:
ах3+bx хс-а(х - х,)(х - х2) (в*0).
8. Профессии:
формула общего члена арифметической прогрессии:
а„ =а, + (п - l)d;
405
формула суммы первых п членов арифметической прогресии.
_2в1+<Кп-1)
---------2------
формула оощсго члена геометри^ескоГ. прогрессии.
an = a,qn~1 (<7 * 0, п > 1),
формула суммы первых п членов геометрической прогрессии со знаменателем
<7*1:
anq - а,
Sn^ q-1 '
формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S=-^— (<7*1).
1 - Я
9. Тригонометрические функции. Свойства тригонометрических функций:
для любого угла в
1) sin(-u) = -sina;
cost—a) = cosa;
tg(-a) = -tga (cosa ¥ 0);
2) для любою целого числа п
sin(a + 360 ° n) = sina;
cos(a + 360’и) = cosa;
tg(a + 360°n) - tga (cosa * 0).
10. Некоторые тригонометрические тождества:
для любого угла a
sin3 a + cos3a = 1 (основное тригонометрическое тождество);
1 t- tg’ a =-г— (cosa * 0).
cos3 a
11. Теорема синусов, теорема косинусов:
а _ Ъ _ с _ .
sina sin(j sin?
в’ - b1 +c3 - 2bc cosa.
12. Свойства скалярного произведения:
а • Ь = Ь • а;
(ка) • Ъ = к(Ь • а);
а (6 +с) = ab t-ac;
если a(at;a2/, b(bi;b2'),ioab =albi +агЬ2; _
а, Ъ2 +a}bt = 0 - условие перпендикулярности векторов а иЬ;
Л, б, Р 2 1 — —
cosy» = ~7~./~_ 7 " . д " vp~ уг°л между векторами а и b).
13. Формулы сложения:
cos(a - /?) - cosacos(3 + sina sinj3;
ccs (a + /5) = cosa cos/J - sina sin£;
406
sin (a + p) = sina cosp + cosa sin0;
sin (a - 0) = sina cos0 - cosa stop;.
tga + tg/?
tg(a + /?) = ------------ (cosa * 0, cos/? Ф 0, cos (a + /?)=£ 0);
1 - igatgp
tga — tg/?
tg(a — /?) =------------- (cosa Ф 0, cos/? 0, cos (a — /?)=£ 0).
1 + tga tgp
14. Формулы приведения:
для любых значений a
s:r.(9C° + а) = cosa; sin(90° - a) = cosa;
sin(180° + a) = -sina; sin(18Ci° - a) = sina;
sin(270° + a) = -cosa, sin(270° - a) = -cosa;
cos.(90u + a) = - sina; cas(90° - a) = sina,
cos(180° + a) = --cosa; cos(180° -- a) = - cosa;
cos(27G° + a) = sina; cos(270° - a) - - sina.
15. Формулы двойного и половинного углов:
для любых а
sin 2а = 2sinaccsa: cos2а = cos’a - sin’a;
cos2a = 2cos’a - 1; cos 2a = 1 - 2sin’a;
tg2a =
2tga
1 - tg’a
для тех а, при которых обе части равенства имеют смысл.
16. Тригонометрические преобразования;
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций и произведение:
для любых аир
. „ а + 0 а - 0
sina + sinp = 2 sin —-— cos —-—
2 2
. a ~ - 0 a *• 0
sina - sin0 = 2 sm —-— cos —-—
2 2
„ ». a + 0 . P-а . . a+0 . a-0
cosa - cosp = 2 sin-sm-- - 2sm-sin-
2 2 12 2
. a+0 a-0
cosa + cos0 = 2 cos—-—cos—-—
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность:
для любых а и 0
sin(a + 0) + sin(a - 0)
sma cos0 =----------2~~--------’’
cos(a + 0) + cos(a - 0)
cosa cosfl = -----------------------
cos(a - 0) - cos (a + 0)
sina sin0 =-------------------------
407
17. Площади многоугольников:
площадь прямоугольника с основанием а и высотой b: S - ab;
площадь параллелирамма с основанием а и высотой h.S = ah-,
площадь треугольника с основанием а и высотой h. S = -\ ah-,
площадь треугольника со сторонами с, Ь, с:
S = у be sina, где a - угол между сторонами Ь л с\
S = рг, где р = ~ (а + Ъ + с), г - радиус вписанной в треугольник окружности;
abc
S -------, где А - радиус описанной около треугольника окружности;
4Я
формула Герона: $ = \'р(р а)(р Ь)(р - с), где р = у (а + Ъ + с);
2 Л:
- периметр многоугольии
площадь трапеции с основаниями а, Ь и высотой Л. S =-
площадь правильного многоугольника: 5 = — Рг, где Р
ка, г - радиус вписанной в него окружности;
„ 1 . 360°
площадь правильного n-угольника. S= —nR2s-.n------,rueR — радиус списанной
2 п
окружности.
Сторона правильного и-угольника;
„„ . 180° „ 180°
un = 2R sin---; г = R cos-----;
и п
в, =2Asin60° =As/3; в4 = 2R sin45° = Ry/2;
а, = 2R sin30° = А
18. Окружность, круг:
длина окружности: С = nD = 2 т/?;
длине дуги окружности, отвечающая центральному углу в а : 1 =--- а;
180
площадь круга. S-irR2;
irR3
площадь кругового сектора: S = а;
360
площадь сегмента с радианной мерой центрального угла a: S = ^rR2o-