Министерство высшего и среднего специального образования СССР

Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
высшее техническое училище имени Н. Э. Баумана

Е.	П. КАМЗОЛОВ, М. В. ПОКРОВСКАЯ,
Н. А. ДОБРОВОЛЬСКАЯ

ВЫПОЛНЕНИЕ ДОМАШНИХ ЗАДАНИИ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Методические указания

Москва

1986
Данные методические указания изДйм.ся в соотмтствжи о
учебный аланом.

Рассмотрены и одобрены кафедрой начертательной геометрии
графики 06,02.06 г,, методической комиссией факультета ОТ
24.02.86 г. X учебнс-методическим управлением 20.04.06 г.

Рецензент к.т.н, доц. Андреев С.

© Московское высшее техническое училище им., Н.Э.Наумана

Приложения составлены Г.4,Бодрадовой

Корректор Л.И.Малютмна

Закае^бО, Объем 3,75п.л./3,5уч.-изд.л./ Тирах 4500 эхэ.

Бесплатно. Подписано в печать 07,07.80 г. План 1985г.,IP 147

Типография МВТУ. 107005, Моск ва,Б-5,2-я Бауманская, 5.
ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указании составлены с целью оказания
помоги студентам в процессе выполнений домашних заданий при изу-
чении курса начертательной геометрии.

Прежде чем приступить к решению любой задача домаакего за-
дания, следует проработать соответствующие разделы курса (по лек-
циям и учебнику) и ознакомиться с данными методическими указани-
ями.

В течение семестра каждому студенту предлагается выполнить
три домашних задания (шесть задач) в соответствии с назначенным
номером варианта. Условия задач м числовые данные для каждого
варианта прилагаютси к методический указаниям, а также вынесены
на стецды кафедры. Числовые данные представлены в виде таблицы
координат x,y,Z точек, определяющих исходные фигуры (прочерк в
таблице означает, что задана лишь одна проекция точки).

Требования к оформлению задачи

Каждая задача вычерчивается на отдельной листа чертежной
бумаги формата АЗ. Рамки и основную надпись выполнит согласно
требованиям ВСКД. Слова от основной надписи следует вычертить
таблицу с координатами заданных точек. Построения нужно выпол-
нять карандашом с применением чертежных инструментов, Ливии по-
строения должны быть сохранены. На линиях связи и линиях постро-
ения можно нанести стрелки, поясняющие последовательность реше-
ния.

При обводке чертежа (после разрежения преподавателя) долж-
ны соблюдаться требования ГОСТ 2.303-63 "Диник". Проекции задан-
ных и найденных фигур вычерчиваются спломнымь толстыми линиями;
ось проекций, линии связи, вспомогательные линии построения -
сплоинмми тонкими. Обозначения проекций фигур должны соответст-
вовать обозначениям курса начертательной геометрии, принятого на
кафедре. Все надписи и обозначения накосят чертехкил шрифтом раи-
не ра 5 в соответствии с ГОСТ 2,304-81 "Шрифты чертежные". Образ-
цы выполнения задач представлены на стендах кафедры.

Порядок консультаций и приема заданий

Консультации и прием домашних заданий производятся в инди-
видуальном порядке преподавателем, ведущим практические занятия.

3
Дли этого выделяется еженедельно два академических часа. На кон-
сультацию следует приносить кроме чертежа задачи конспект лек-
ций, рабочую тетрадь и чертежные инструменты, а также заранее
записанные вопросы, ответы на которые Вы хотели бы получить на
консультации.

При защите домашнего задания Вы должны быть готовы объяс-
нить этапы решении задачи, обосновать их теоретическими положе-
ниями элементарной и начертательной геометрии, к сдаче экзамена
студент допускается при условии защиты всех задач домашнего за-
дания. Комплект выполненных и подписанных преподавателем задач
домашнего задания (как и решенную рабочую тетрадь) необходимо
представить на экзамене.

Методика решения задач

Задачи, решаемые графическим путем с применением правил на-
чертательной геометрии, можно отнести к трем типам: позиционные
(на определение общих элементов или взаимного расположения фи-
гур), метрические (на определение расстояний и углов) и задачи
смешанного типа. Эти задачи могут быть элементарными и комплекс-
ными, состоящими из ряда элементарных.

Рекенме каждой задачи можно разбить на несколько этапов:
анализ задачи; составление плана решения; построения на чертеже.

Цель анализа - выяснить, какими свойствами обладают данные
и искомые геометрические фигуры, а также установить связь между
ними. Для этого следует прочесть чертеж, т.е. уяснить по имею-
щимся на чертеже точкам и линиям (проекциям геометрических фи-
гур), какие фигуры заданы, как они расположены в пространства
(относительно плоскостей проекций) и друг относительно друга.

Далее составляется план радения, устанавливающий содержание
и порядок действий, необходимых для решения задачи. В зависимо-
сти от вида задачи этот план может иметь в основа либо общее
правило (алгоритм), либо индивидуальную схему ременин, опираю-
щуюся на пространственные представлении и теоретические положе-
ния элементарной геометрии.

В соответствии с примятым планом решения следует наметить
на основе теоретических положений начертательной геометрии по-
следовательность построений на чертеже (в проекциях). Правиль-
ность полученного результата зависит как от выбора рационального
пути решения, так и от точности выполнения графических построе-
ний.
В некоторых случаях имеет смысл провести исследование зада-
чи, целью которого является установление возможного числа реше-
ний при заданных условиях.

Доказательством правильности реиения задачи является соот-
ветствие искомого результата поставленным условиям при соблюде-
нии необходимых теоретических положений.

Ниже даны указания к решению каждой из шести задач; разоб-
раны в качестве примеров задачи, подобные задачам домашнего за-
дания, и приведены типовые вопросы при защите задания.

Коллектив авторов выражает глубокую благодарность коллегам,
прочитавшим пособие и сделавшим ряд полезных замечаний.

Задача I. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР

Цель задачи - научиться строить проекции плоских фигур,про-
извольно расположенных в пространстве.

Перед выполнением задачи вспомните основные положении пла-
ниметрии, касаюцнеся свойств плоских многоугольников, и стерео-
метрии - об определении угла между прямой и плоскостью и угла
между двумя плоскостями. Изучите темы курса начертательной гео-
метрии "Инвариантные свойства ортогонального проецирования",
"Точка", "Прямая", "Плоскость*.

Ответьте не вопросы:

Каковы свойства искомой плоской фигуры (треугольника, па-
рвлжелограима, трапеции)?

Что значит "задать точку* на чертеже?

Какиии координатами определяется положение горизонтальной
проекции точки? фронтальной проекции точки?

Как задают на чертеже при ортогональном проекцироваиии пря-
мую? Плоскость?

Каковы свойства проекций прямых частного положения?

Каковы инвариантные свойства ортогонального проецирования,
касающиеся принадлежности точки прямой, параллельности прямых,
частного случая проецирования прямого угла, деления отрезка в
заданном отношении?

Научитесь решать следующие элементарные задачи.

Построить проекции прямого угла при частном расположении
одной из его сторон. 

Определить длину отрезка по ого проекциям и построить отре-

5
гуры (рис. I).

вок заданной длины на прямой общего и частного положения.

Определять углы наклона прямой и плоскости к плоскостям
.проекций.

Указания к решению задачи. Построение проекций плоской фигу-
ры упрощается в том случае, когда плоскость этой уйгуры парал-
лельна какой-либо плоскости проекций. Тогда на ату плоскость фи-
гура проецируется без искажения, и для обоснования любых измере-
ний и построений на этой проекции достаточно только правил пла-
ниметрии. ьсли же плоскость фигуры не параллельна плоскости про-
екций, то фигура отображается с искажением,и построения на чер-
теже требуют применони я правил начертательной геометрии.

Проводя анализ задачи, полезно выполнить для наглядности
планиметрическое изображение искомой фигуры на плоскость, парал-
лельную ей. В данной задаче узловым моментом построения является
проведение высоты под прямым углом к основанию фигуры и построе-
ние прямоугольно!1 о треугольника, ннлнющегцен частью искомой фм-

11 ри чтении чертежа обратите внимание
на то, что одна из сторон этого прямого
угла аанимает частное (параллельное Jlt
иди It2 ) положение. Отсюда следует;
- искомый прямой угол проецируется без
искажения на соответствующую плоскость
проекций;

- отрезки на данной прямой изображаются
без‘искажении на соответствующую плос-
кость проекций.

При нахождении проекций фигуры часть
ее размеров известна из условия задачи, а
остальные могут быть получены путем допол-
нительных построений. Так,например, если
какой-либо искомый отрезок расположен на
прямой общего положения, то его длина мо-
жет быть определена путем построении пря-
моугольного треугольника, одним катетам

которого является проекция отрезка заданной прямой на эту плос-
кость проекций, другим - разность расстояний концов отрезка до
втой плоскости; длина гипотенузы равна длине самого отреэка.При
этом угол между этой прямой и плоскостью проекций равен углу

Рис. I
между катетом-проекцией и гипотенузой
(рис. 2а).

Углы между плоскость® >ригуры и плос-
костями проекции можно определять о по-
мощью линий наибольшего наклона - двух <
прямых, Принадлежащих заданной плоскости
и перпендикулярных к горизонтали или к
фронтами этой_плоскосги:^хЛ ( L^-i-f .
При этом 4/.Л, =9'® определяет угол^ыежду
самой плоскостью « и Л* , a t^./Zг 
= У2 Угоя “в*ДУ и -^2 (Рис* 2 б).

Рассмотрим ь качестве примера реше-
ние одной из подобных задач.	j

ЗАДАЧА. Построить равнобедренный
треугольник АВС с основанием ВС на прямой
UN исходя из условия, что угол при вер-
шине а равен 100°. Определить углы накло-
на высоты, а также плоскости треугольника
к плоскостям проекций (рис. 3).

АНАЛыЗ. Заданы точка А - вернина

треугольника и прямая UN, на которой лежит основание ВС. По
свойству равнобедренного треугольника его высота (обозначим ее
АК), перпендикулярная к основанию, является и медианой и биссек-
трисой. Следовательно, угол при вершине делится высотой пополам
(ВАК * КхС  50°) и основание ВС делится подолам точкой К - точ-
кой пересечения основания и высоты, г.е. |ВК| « iKCl (см,рис.

la).

Прямая мМ - горизонталь, так как ы"Ып II к. Точка А не
принадлежит прямой иЫ, так как аЦч-'N' и A’ill’W". Плоскость
искомого треугольника - общего положения, так как 2д * Zh*Zn
"Уд * Ъ» * У*.

ПЛАВ Рь&ЕНИЙ. I. Проводим высоту АХ X AN .

2.	Находим вершины В и С на примой UN .

3.	Строим А АВС.

4.	Определяем углы наклона АХ к Л/ и Л 2 •

5,	Определяем углы наклоне Л АВС к и JI-2 .

ПОСЛсДОВАТЕДЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЙ НА ЧдРТЕАЕ. I. Для построении
проекций высоты проводим а'к'х u'N1 по теореме о частном случае
проецирования прямого угла, так как АКХ AN и AN II fli . К1 -

горизонтальная проекции основании высоты. находим К” & U"N”
и строим А "К" (рис. 4).

2.	Для нахождения проекций верами В и С определяем графи-
чески длину отрезка ВК из вспомогательного Д АКВ, который мо-
жет быть построен по высоте IAKI и углу при вераине, равному
50° (рис. 5). Поскольку отрезок АК - обцего положений, то |АК1
определяем по правилу прямоугольного треугольника, одним кате-
том которого является проекция отрезка кК на какую-либо плос-
кость проекций, а другим - разность расстояний концов отрезка
АК до этой плоскости, например, из Д а'к* Aj, где а'к4 - гори-
зонтальная проекция отрезка АК, a A' A<j = Д2, при этом
1А0К‘| = IAKI, или из Л A"KnA0, где к" К” - фронтальная проекция
отрезка АК, а АМАО  ду, при этом IKMA(|l » IАКI (рис. А). На
M’N1 по обе стороны от К1 откладываем баз искажения IB'K'I =
= |К‘С’1 = IВКI, так как ilN IlJtf, а затем находим В*1, C"e«*W?

3.	Строим проекции А1 В*С' и м‘'ь'*Си треугольника АВС, после-
довательно соединяй одноименные проекции точек А,В,0»(рис. 6).

4.	Углы наклона высоты АК к плоскостям проекций известны из
построенных треугольников (рио. 4); АК,^ « (f>° из д А1 К1 А0(
АкОТу * <Р° из Д aVa0.

5.	Угол наклона плоскости СХ (АВС) к Лу определяем с по-
мощью линии наибольшего наклона , перпендикулярной к гори-
зонтали h (uC) плоскости а (рис. ?). За £/ доданном случае
может быть принята высота АК. При этой W,0 	равен уже

построенному углу = яК, (см. рис. 4).

Угол наклона плоскости а (АБС) к Tq определяем с по-
мощью линии наибольшего наклона , проведанной, например, че-
рез точку В плоскости а перпендикулярно к фронталм f (СВ).
При этом С-> ± f • Построив на фронтальной проекции ВмГЯс 1-2 •
как _ла катете, прямоугольный ДВяА’"Го , получим угол
 L2 1^2 л	• Иными словами, угол между линией наиоольше-

го наклона (2 “ Нг измеряет угод между самой плоскостью сХ
и плоскостью Л*2 .

Графические построения, показанные на рис. 4,6,? по этапам,
следует выполнять на одном чертежа.

ИССЛЕДОВАНИЕ. Так как в плоскости из точки па прямую можно
опустить только один перпендикуляр, то задача имеет одно ране-
ние.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построенные фигуры есть проекции искомого

9
10
треугольника, так как его элементы удоаг.ехворнот^эаданныы услови-
ям: А - вераина, нКх ВС, юС с: и N ; равенство ВлД = 50° иодгеер-
ждено косвенно построением соответствующего ему катета КВ из

Д АКБ; равенство I нВ I = I «С I обеспечено построением |ВК| « | КС I.

ТйЛОВВь ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ. I. С*орыу лиру Аге инвариантное
свойство частного случаи проецировании прямого угла и покажите,
как Вы применил:: его при решении данной задачи.

2.	Почему построение высоты АК Вы начали о ее горизонталь-
ной проекции н’К(?

3.	Для каких прямых можно непосредственно на чертеже оез
дополнительных построении определить длина отрезков и углы их
наклона к плоскостям проекций г Есть ли такие прямые в данной за-
даче?

4.	Как определить длину отрезка, расположенного на прямой
об де го полома пин по двум его Известным проекциям?

5.	Что называв! линиями наибольшего наклона к плоскостям
проекций? Как расположены их проекции но отношении к проекциям
линий уровня (горизонталям и фронталям)?

Задача 2. ТОЧКА И ЛИНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ

Цель задачи - усвоить принципы образования поверхностей и
способы нх задания на чертеже, научиться строить проекции точек
и линий, принадлежащих поверхности.

Для выполнения задачи Вам следует проработать темы курса
"Образование поверхностей", "Ортогональные проекции поверхности",
"Классификация поверхности".

Ответьте на вопросы:

В чем судность кинематического способа образования поверх-
ностей?

Что такое определитель поверхности и какова его структура?

Как может быть задана поверхность на чертеже?

Что называют образующими, направляющими, каркасом поверх-
ности.-

Какие поверхности называют линейчатыми? Какие виды этих по-
верхностей Вам известны? Как они образуются?

Как образуются поверхности вращения? Какие характерные ли-
нии можно вьщелить на поверхности вращения?

Как образуются винтовые поверхности? От чего зависит вид
винтовок поверхности г
Каково общее правило (алгоритм) задания точки на поверхно-
сти?

Указании к решению задачи. Этот тип относится к позиционным
задачам на принадлежность. Кх решение основано на инвариантном
свойстве принадлежности, а также на знании основ ^орыоооразоьа-
ния поверхностей. Напомним некоторые теоретические положении.

В начертательной геометрии поверхности чаще всего рассмат-
риваются с кинематической точки зрении как множество последова-
тельна* положении движущейся в пространстве линии - образующей.
Образующая может перемещаться по определенному закону (движение
поступательное, вращения или винтовое) или пересекая ряд задан-
ных линий, направляющих ее движение и называющихся направляющими.
Поверхности могут быть систематизированы в зависимости от вида
образующих и направляющих или от закона движения образующей. По-
верхность может быть описана определителем, в который входит ге-
ометрические ригуры, участвующие в образовании поверхности, и
связи между ними. На чертеже поверхность может быть задана про-
екциями этих геометрических фигур или для наглядности очерком по-
верхности. Поверхность считается заданной ыа чертеже, если можно
построить проекции любой точки, ей нрипидлежащеи. Общее правило
построения точки на поверхности таково:

А еа ==> (д'el'с: а') д ;А*^ Iйа"),
г.а. если точка принадлежит поверхности, то проекции точки при-
надлежат одноименный проекциям линии, лежащей на поверхности и
проходящей через эту точку.

В качества таких вспомогательных линий следует выбирать,
если это возможно, линии поверхности, которые проецируются в
виде простейших - прямых и окружностей, удобных дли графических
построений, коли не удается выделить на поверхности такие линии,
то прибегают к помощи произвольной вспомогательной линии, кото-
рую строят из условия принадлежности ее точек каркасу поверхно-
сти. На линейчатых поверхностях в качества простейших иогут быть
взяты прямолинейные образующие, на поверхностях вращениг. - ок-
ружности-параллели.

Очерк проекции поверхности может Оыть построен как огибаю-
щая к проекциям линий каркаса поверхности, образованного рядом
последовательных положений образующей.

Рассмотрим в качества примера следующую задачу.

ЗАДАЧА. Определить недостающие проекции точек А и в, при-
12
надлежащих поверхности цилиндроида, заданного нмыравдл*ыныи Jf
и d2 и плоскостью параллелизма (X , а также построить фрон-
тальный очерк поверхности (рис. 8).

AHAAtlb. Цилиндроид - линейчатая поверхность, прямолиньпная
образующая которой д перемещается по двум криволинейным на-
правляющий с/у и С?2 « пересекая ид, и параллельна некоторой
плоскости параллелизма (X . Это свойство монет быть записано в
виде определителя

<b(g;df,dz,a)[gjП(dhd2)*b л gjoc*0°]

На чертеке поверхность задана проекциями плоских кривых на-
правляющих dt и d2 я гориэонгально-проецируюдей плоскостью
параллелизма а/ , заданной горизонтальный' следом hoot . Про-
стейшими линиями на поверхности являются прямолинейные образую-
щие. Согласно указанию, содержацаму.ся в алгоритмической части оп-
ределителя (gj} й = О°) в частном случае при ос .Ljtj , горизон-
тальные проекции образующих, параллельны ее горизонтальному следу
dost (рис. 9), а фронтальные проекции могут быть построены на
основе второго услоьия определителя - пересечения образующей с
каждой из направлпюдих. фронтальные проекции образующих будут
различно наклонены к оси х, и заранее предсказать их направле-
ние нельзя.

ПЛАН РЕШЕНИЯ определяется общим правилом построения точки
на поверхности.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИИ НА ЧьРТеЖе. Построение недо-
стающей проекции А" точки А (рис. 10).

I.	Через заданную проекцию А* проводим горизонтальную про-
екцию д' образующей параллельно следу Нал плоскости парал-
лелизме ОС до пересечения с проекциями d^ и d2 направляющих
В ТОЧКаХ 1' И 2'. t/ н и Н	fl н и

2.	Построив / е сД и 2 е d2 , проводим <3 э 1 . 2".

*	л V //

3.	Находим искомую проекцию А ед .

Построение недостающей проекции В* точки В (рис. II).

1.	Так как направление фронтальной проекции какой-лиоо об-
разующей ври данном положении ОС заранее предсказать нельзя, то
через заданную проекцию В1' проводим проекцию I произвольной ли-
нии L , принадлежащей поверхности цилиндроида. f

2.	Для нахождения ее горизонтальной проекции I не обходимо
сделать ряд дополнительных построений, а именно, построить кар-
кас из образующих поверхности, например, gt	, согласно

13

наложенному виде. Отметив ^-*..4 э f 91...^	• находим

£_у е 9^- 4 • Через найденные точки проводим кривую I

В. Находим искомую проекцию В в L .

Для построения фронтального очерка поверхности проводим оги-
бающую q“ к фронтальным проекциям образующих.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Точки А и В принадлежат заданному цилиндро-
иду, так как их проекции по построению лежат на одноименных про-
екциях линий, принадлежащих этой поверхности.

ТИПОВЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ. I. Запищите определитель заданной
поверхности. Укажите, какие элементы его геометрической части ве-
даны на чертеже.

2. На какое инвариантное свойство опирается алгоритм постро-
ения точки на поверхности?

8. Как построить фронтальный очерк заданной поверхности?

Задача 3. ПОСТРОЕНИЕ ХИкШИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Цель задачи - научиться строить проекции линии пересечения
поверхностей. Для успешного выполнения этого задания Вы должны
свободно владеть пройденным материалом;

- выделять на поверхности семейства линий (если возможно, про-
стейших);

- строить проекции точек и линий на поверхности;

- знать и применять свойства проекций проецирующих фигур.

Проработайте теоретический материал "Построение линии пере-
сечения поверхностей (общий случай; с помощью вспомогательных
секущих плоскостей; с помощью вспомогательных сферических поверх-
ностей; частные случаи)11.

Ответьте на вопросы:

Как формулируется общее правило (алгоритм) решения задачи
по определению линии пересечения поверхностей?

-На каком основании осуществляется выбор поверхности-посред-
ника?

В каких случаях в качестве вспомогательных секущих поверх-
ностей удобно применять пучок плоскостей (с собственной или не-
собственной осью); семейства концентрических или эксцентрических
сфер?

Почему давно не вводить поверхность-посредник при проециру-
ющем положении хотя бы одной из пересекающихся поверхностей?

Какие точки линии пересечения принимают за опорные?
Суорму лиру Йте условия, при которых линин пересечения по-
верхностей второго порядка распадается на два плоские кривые.

Указания к решению задача. Этот тип задач относится к пози-
ционный задачей на пересечение, т.е. на определение общих элемен-
тов заданных ^игур.

Две поверхности пересекаются в общем случае по пространст-
венной линии, точки которой принадлежат каждой из заданных по-
верхностей. Дли построения линии пересечении находят ряд точек,
обцих для обеих поверхностей, и соединяют их линией с учетом ее
видимости. Общим приемом дня нахождения точек, принадлежащих ли-
нии пересечения, является введении вспомогательных поверхностей-
посредников согласно следующему правилу (алгоритму) (рис. 12):

I)	ввести вспомогательную поверхность Г ;

2)	построить линии пересечения этой по-
м верхности с заданными ЙГ к /3 :

------а - г п а ь - г пр

f	3) найти точку (точки) пересечения яай-

\ с L	ь ) денных линии L/fL^I- аП Ь;

/	^9*) неоднократно повторяя эту операции, по-

ffl у / лучить множество таких точек и провес-

Д, \ /о\	ти через них искомую линию ьересече-

М V/i  ’( »

3 качестве вспомогательных рекомен-
Рис. 12 дуется выбирать поверхности, которые в
• пересечении о данными поверхностями дают
линии, проекции которых являются простей-
шими - прямыми или окружностями г этот выбор зависит ох следую-
щих условий:	*

-	вида заданных поверхностей;

-	взаимного расположения заданных новерхпастей;

-	их положения относительно плоскостей проекций.

Приступая к ремонию задачи, сначала следует охарактеризо-
вать заданные поверхности (их вид, положение в пространства, вза-
имное расположение, семейства простейших линии на этих поверхно-
стях). Далее решение проводят в такой последовательности;

-	находях, если возможно, опорные точки (выешме, низшие,
точки границ видимости и др.);

-	определяют вад вспомогательных поверхностей и зоны их вво-
да на чертеже;
-	находя? несколько промежуточных точек,-
- соединяют найденные точки линией с учетом видимости.
Чаде всего в качестве простейших вспомогательных поверхно-
стей используют плоскости и сдеры.

Напомним, что семейство сфер с постоянным центром и перемен-
ным радиусом (способ концентрических сфер) применяется при по-
строении линии пересечения поверхностей вращения с пересекающи-
мися осями. Общий центр таких сдер денит на пересечении осей
данных поверхностей. В случав если оси поверхностей скрещивают-
ся (причем одна из поверхностей обязательно является поверхно-
стью вращения, а другой достаточно иметь круговые сечения и при
этом обе поверхности имеют общую плоскость симметрии), в качест-
ве вспомогательных можно вводить сдери с переменным центром (спо-
соб эксцентрических сфер). Каждое круговое сечение может быть
принято за параллель сдеры-посредника. Центр сдеры находится на
пересечении пряной, проходящей через центр намеченного кругового
сечения, перпендикулярно к его плоскости, с осью поверхности
вращения.

Цели хотя бы одна из заданных поверхностей занимает проеци-
рующее положение, то роиение упрощается, так как сразу известна
одна из проекций линии пересечения - она совладает со следом
проецирующей поверхности. Вторую проекцию искомой линии опреде-
ляют из условия ее принадлежности другой, непроецируюцей поверх-
ности. Это правило монет заменить общим алгоритм при проецирую-
щем положении одной из поверхностей. Графические построения уп-
рощаются и в некоторых частных случаях, которые описываются ря-
дом теорем (например, теоремой Монжа).

рассмотрим четыре задачи.

ЗАДАЧА А. Построить линия пересечения конической и цилиндри-
ческой поверхностей (рис. 13).

АКАД163. ha чертеже заданы коническая поверхность вращения
а с осью la LJlf и поверхность эллиптического цилиндра уЗ
с круговым основанием и осью • /у? IIЛ2 . Поверхности имеют об-
дув плоскость симметрии JJ Hit? . Простейшими линиями данных
поверхностей являются их прямолинейные образующие и окружности,
плоскости которых параллельны Л{ . Попарное их сочетание (пря-
мые с прямыми, прямые с окружностями. Окружности с окружностями)
определяет .^сколько поверхностей-посредников, простейшей явля-
ется плоскость. Ввести ее можно по-разному. Например, если ока
IB
пройдет через вершину конической и параллельно образующей цилинд-
рической поверхности, то пересечет обе заданные поверхности по
образующим. Однако при заданном расположении поверхностей более
простое графическое решение даст положение вспомогательной плос-
кости, параллельное ftj . в этом случае она пересечет коничес-
кую и цилиндрическую поверхности по окружностям, которые проеци-
руются на л2 как отрезки прямых, принадлежащие следу плоскости
посредника, а на Jlf как окружности.

ПЛАН РЕКЕН11Я соответствует общему алгоритму.

ПОСДВДОВАМЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЙ НА ЧюРТдКв!. Нахождение опор-
ных точек.

Высшая А и низшая В точки линии пересечении поверхностей на-
ходятся на пересечении их главных меридианов, лежащих в общей
плоскости симметрии JJ ИЛ2 • Положение фронтальных проекций
А" и В" очевидно; А‘, В1 е hoji . А" и В* определяют видимость
искомой линии L в проекции на JT2 .

Точки С и D , определяющие видимость линия I в проек-
ции на Jti, лежат на образующих и • аадаюдих го-
ризонтальный очерк поверхности fl . для нахождения, например,
точки С вводим вспомогательную плоскость <5 , проходящую через
образующую и вершину 5 поверхности О( , чтобы д пе-
ресекла ОС по простейшей линии - образующей . Тогда С 
» 9а 9,ftf • Дяя построения да проводим горизонталь
(5.1) плоскости сГ , находим горизонтальный след образующей
ggy - точку I и через нее проводи..! след ho!) // hfi . От-
метив З1  hog О ho» , проводим gL э5', 3*. находим Cz =
псе?;, .

Для построения промежуточных точек, например, Ly/L^). ,
вводим вспомогательную плоскость Г , задав се фронтальным сле-
дом fgf I/ х. Плоскость Г пересекает поверхности Of и /3
соответственно по окружностям dub , фронтальные проекции
которых - отрезки а" , b for . Построив их горизонталь-
ные проекции - окружности а' и Ь , находим Lfl , L'? s
ж а'П Ь', а затем Z./ , С2 е Q1 (или Ь* ).

Введя несколько таких параллельных плоскостей У в зоне
между точками А и В, получим несколько промежуточных точек. Одно-
именные проекции найденных опорных и промежуточных точек соединя-
ем с учето!. видимости плавными кривыми L и С

ЗАДАЧА Б. Построить линию пересечения поверхностей - цилинд-
рической и закрытого тора (рис. 14).
Рио. 14
АНАЛИЗ. Не чертеже заданы две поверхности вращения - закры-
того тора а и цилиндрическая fl . Оси поверхностей пересекают-
ся и параллельны Л*2 • О^ая плоскость симметрии JU II Л2 .
При этих условиях можно применить способ концентрических сфер о
центром в точке О - / д /7 ip ,

ПЛАН РЕШЕНИЯ соответствует общему алгоритму.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОВНИ?..НА ЧЕРТЕЖ. Нахождение проек-
ций высизй А и иизяей Н точек аналогично задаче А.

Определяем проекции обдрго центра вспомогательных сфер:
О" = /д' /7/д , О' 3 i^ . Величине радиуса сферы изменяет-
ся в пределах Rma, >R > Rmn . В данной задаче Rmax опреде-
ляется как \О“А"\^ Rmin иг рвдиус сферы, касательной к по-
верхности тора.

Для нахождении какой-либо промежуточной точки, например
Lj(L2) » вводим вспомогательную оФеру Г , задав ее Фронталь-
ный очерк - окружность радиусом R с центром 0". Построим от-
резки а" и Ь" - Фронтальные проекции окружностей, по кото-
рым Г пересекает соответственно сх и fl . Находим ,
£.у (L'^ = (J П Ь". Горизонтальные проекции L'f и L2 оп-
ределяем на окруимости О. .

Построим аналогичным образом несколько промежуточных точек.
Соединяем одноименные проекции всех найденных точек кривыми С
я L о учетом видимости.

Видимость линии I в проекции на JI2 определяется проекциями
А" и В”. Видимость линии L в проекции на Л/ определяется
проекциями С* и D' точек С и D на очерковых образующих
 fyi •

ЗАДАЧА В. Построить линию пересечения поверхностей открыто-
го  закрытого торов (рис. 1Ь).

АНАЛИЗ. Поверхности открытого а и закрытого fl торов,
заданные на чертеке, являются поверхностями вращения. Оси поверх-
ностей скревиваются, причем ia±j~L2 >	. Поверхности

имеют общую плоскость симметрии V II Jl2 . На поверхности (X
мошо выделить семейство окружностей-параллелей, плоскости ко-
торых параллельны Лг , и окружностей-меридианов, плоскости ко-
торых перпендикулярны Л2 и проходят через ось /«	. Поверх-

ность fl также имеет семейства окрулностей: параллели, плоско-
сти которых параллельны Л/ , и меридианы, плоскости которых
перпендикулярны Л^ и проходят через ось тора ip
пи»
П росте Нагими посредниками, на поверхности которых можно за-
дать семейства пересекающихся окрутаостей, являются плоскости и
сферы. Однако нельзя подобрать яи одной плоскости, которая при
заданном расположении поверхностей пересекала бы их по простей-
им линиям. Поскольку оси заданных поверхностей не пересекаются,
нельзя та к ле применить и семейство концентрических сфер. Наиболее
простым при заданном расположении и характере поверхностей нмя-
ется способ введения эксцентрических сфер.

ПЛАН ЯВЛЕНИЯ соответствует общему алгоритму.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ ИА ЧЕРТЕП. Нахождение проек-
ций выстой А и низ вей В точек аналогично задаче А.

Построение какой-либо промежуточной точки	прово-

дим в следующем порядке.

Видалии на поверхности кольце <Х (см. анализ) окруиость-
мерядиан. Для этого рассечем поверхность а фронтально-проеци-
рующей плоскостью JJ , проходяцей через ось кольца ia :
f ojj	>а • Эта ляоскость пересечет поверхность ск по ок-

ружности-меридиану а , Фронтальная проекция которой а-отрезок
с центром в точке Од .

Через точку Од проводим фронтальную проекцию fl" пря-
мой П 1 Q, на которой расположены центры вспомогательных экс-
центрических сфер, пересекающих поверхность кольца по атой окруж-
ности: п"э Од и л'х а’ .

Чтобы вспомогательная сфера пересекала поверхность /3 по
окружности, ее центр должен принадлежать оси /д этой поверх-
ности. Для этого определяем Фронтальную проекцию Oj центра
оферы X : O^sn"f)ip.	»

Вводил вспоыогательную сферу X . Для этого из точки Оу
проводин ее фронтальную проекцию Xм радиусом Ry 	

• I Оу 2Hl , которая пересекает поверхность /3 по окруиности-яе-
раллели Ь , фронтальная проекция которойЬ-отрезок [З'Ч1’] .

3 пересечении „лин^й (|Q' F [Х"2*] ж Ь* < [3"4"1 по-
лучим точки L/ и Z-2 (Lf = L^) , a L'f и /.J находим на ус-
ловия принадлежности точек Lf и Li окружности-параллели Ь
поверхности/?: L1, L.£Gb .

Построив аналогичным образом проекции нескольких промежу-
точных точек'в зоне между точками А и В, соединим их одношаж-
ные проекции линиями ( и L с учетом видимости. На горизоя-
ТвЛЬНОй ПрООИЦИИ ВСЯ ЛИНИН 118 р 6СОЧОВЯМ Нопядкзао, хттк лол оапрлщ
основанием d поверхности fl .

ЗАДАЧА Г. Построить линию пересечения цилиндрической и сфе-
рической поверхностей (рис. IG).

АНАЛИЗ. На чертеже заданы цилиндрическая поверхность а ,
проецирующая по отновеиию й Jlj , i сферическая fl о центром 0.
Благодаря проецирующему положение цилиндрической поверхности
сразу известна Фронтальная проекция I" искомой линии пересече-
ния. Горжзоительную проекцию этой линии момно построить из усло-
вия принадлежности ее точек поверхности сферы. В качества вспо-
могательных линий на сфере удобно выбирать окоужиостм-параллели,
плоскости которых параллельны Ji< либо Кг .

. ПЛАН РЕЖНИЯ составляется в соответствии о правилом постро-
ения линии пересечения при проецирующем положении одной из по-
верхностей.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ГОС'ГГОЖЫ НА ЧЕРТИК. 1. Поскольку
а х Яг, указываем фронтальную проекцию I- искомой линии;
L" <= а".	.

2.	Отмечаем фронтальные проекции опорных точек линии L ;
к" - высмей, В" - низшей, С” - определяющей видимость кривой в
проекции на , D* - не главном мередиене сферы, 8* - наи-
более удаленной от • (Точка Е X и У 3 О и /д .) Го-
ризонтальные проекции А' и D1 находим на горидои тельной проек-
ции главного меридиана сфер*. Для иехожденм В' , С'проводим
на сфере окрумлостк-пяреля€-г.и Р/ , р% и, кан показано для
точки к', окружиОсть /л . На горизонтальных проекциях втнх ли-
ний находим одноименные проекции отмеченных точек.

Дня построения горизонтальной проекции какой-либо промежу-
точной точки, например L , проводим через L* Фронтальную
проекцию параллели, строим Pj и находим L1 Pj.

Построив таким образом несколько промежуточных точек, сое-
диняем все найденные горизонтальные проекции точек жинне! о уче-
том видимости кривой. Линия С видима на верхнем участке ци-
линдрической поверхности о( от точки д' через L до С ; ос-
тальная ее часть - невидима.

ТИПОВЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЦИТ8. 1. В чем состоит обвее правило
(алгоритм) построения линии пересечения поверхностей?

2.	Какие точки относятся к опорным? Укапте их в данной
задаче,
25
3.	Объясните, нз каких соображений Вы выбрали поверхность-
посредник.

Задача 4

А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ГЕГЕСЙЧЕН'ЛЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Цель задачи - научиться строить проекции точек пересечения
прямой с поверхности). Для этого нужно /меть:

- задавать точку иа поверхности;
- строить линии сечения поверхности плоскостью.
Парад выполнением задания необходимо проработать тему "Оп-
ределение точек пересечения линии и поверхности*.

Ответьте на вопросы:

Хаков общий алгоритм роваиня задачи при определении точек
пересечения линии и поверхности?

Чем следует руководствоваться при выборе вспомогательной
поверхности для определения точек пересечения прямой и поверх-
ности?

Что значит "заключить прямую в плоскость"?

Сколько и каких плоскостей (o6iwro положения, перпендику-
лярных к плоскостям проекций) можно провести через заданную пря-
мую?

Как определяется видимость прямой и поверхности?

Указания к рененмю задачи. Поставленная задача относится к
поаиционным задачам на пересечение. Правило построения точки пе-
ресечения линии и поверхности основано па общем приеме, состоя-
нии в том, что данную линию О заключают во вспомогательную по-
верхность -пос редких у , строят линию ее
i пересечения й с данной поверхностью /3
/~~7~	" определяй* точки Lj пересечения полу-

/ ,|Q * [	ченной линии с данной (рис. 17);

/Л\ L I. 7=а

г.

‘ з. L; = D Ла

Га '"'''"Гр*-*' Вели данная линия - прямая, то в ха-
*-*—	чаотве вспомогательной поверхности целе-

сообразно выбирать простейиую - плоскость.
Прямую можно заключить в множество различ-
ных плоскостей, иными словами, через пря-
мую «окно пронести множество плоскостей,
причем лхоь одну -горизонтально проеци-
рующую , одну - фронтально проецирующую и
множество - обаего положения. Забор плос-
кости-посредника зависит от трех условий:
вида заданной поверхности, взаимного рас-
положений прямой и поверхности и их поло-
жения относительно плоскостей проекций.
Рекомендуется вводить вспомогательную
плоскость так, чтобы линия пересечения
ее с данной поверхностью проецировалась
в виде простейших линий - прямых или
окружностей, а ато требует прежде всего
янания 1к>рмообраяоважин поверхностей,
умения выделять на заданной поверхно-
сти такие линии. Так, например, для ци-
линдрической или конической поверхности
одним из множеств простейших линий яв-
ляется семейство прямых-образующих.
Следовательно, ложно ввести такую плос-

кость-посредник, которая пересечет эти
поверхности по таким образующим. Для
атого она должна быть параллельна об-
разующим цилиндрической или проходить
через вернину конической поверхности 
(рис. 18).

Если невозможно подобрать плос-
кость, пересекающую поверхность по про-
стейшим линиям, то прямую следует за-
ключить в проецирующую плоскость. Гра-
фическое удобство такого выбора в том,
что сразу будет известна одна проекция
линии пересечения Z7 . Она принадлежит
соответствующему следу проецирующей
плоскости. Другую проекцию линии Ь
следует искать из условия принадлежно-
сти ее точек заданной поверхности (рис.
19).

Рис. 19
ряс. го

Видимость прямой ио отношению к по-
верхности устанавливнвт на основе рас-
смотрения конкурирующих точек пересекав-
шихся ^игур.т.е. точек, лежащих на одной
проецирующая прямой. Так, например, точ-
ка К, принадлежащая цилиндрической по-
верхности (рис. 20), лежит перед точкой
L, расположенной на примой И , т.е.
ближе к наблюдатели!, так какук >yL.
Следовательно, на этом участке цилиндри-
ческая поверхность закрывает пряху» в
проекции на Л2 .

В качестве примера рассмотрим реше-
ние следующей задачи.

ЗАДАЧА. Определить точки пересечении прямой Q
стыо открытого тора fl (рис. 22).

с иоверхно-

дЯАДИВ. На чертеже заданы проекции
прямой Q - общего положения и поверх-
ности открытого тора с осью 1л.Лг .
Поверхность fl содержит по крайней ме-
ре два семейства простейших линий - ок-
ружностей. Одно семейство - окружности-
параллели р, плоскости которых перпенди-
кулярны оси / и параллельны Да «ри аа*
данном положении тора. Второе семейство
- оьружностм-меридианы W (образующие
тора), плоскости которых перпендикуляр-
ны JTj и проходят через ось тора (рис,.
21). Данная прямая О. - общего положе-
ния, с осью хора не пересекается и заклю-
чить ее в плоскость, параллельную JT2 *
пересекающую поверхность по параллели,
иди в плоскость, проходящую через ось /
и пересекающую поверхность по меридиану,

не представляется возможным. Поэтому рекбмевдуетси заключить дан-

ную прямую в какую-либо проецирующую плоскость.

ПЛАН РЕШЕНИЯ имеет в основе общий алгоритм.

ПОСЩОВАТВДЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЙ КА ЧЕРТЕЖЕ. I. Заключаем пря-
мую Q в плоскость Z J. Я/ , проводя ее след horsQ'
(рис. 23).

е.. Находим проекции линии пересечении D плоскости % с
поверхностью отк, итого тора ft . Гак как К 1 7ti , то
Й с CIqj • йронтзльную проекцию Ь строим на условия при-
надлежности линии Ь поверхности ft . Сначала определяем ев
опорное точки: А и Е - на меридиане /П , С - на акваторе pf ,
D - на эч ирном о., пииадлалп , охшечнп их горииоятальныо про-
екции на Ь . Фронталыме проекции этих точек стропы на одноимен-
ных проекциях укьэанних линий; а", b"«s/T)"; Ce«=0f" ; D"epz.

Для определения проекций произвольной точки бе U задаем
ео горизонтальную проекцию В , проводим через ное проек-
цию Дв параллели поверхности и, построив фронтальную проек-
цию р"в этой окружности, находим В еР'в

Построив таким образом фронтальные проекции ряда промежуточ
них точек,& проводим через них и через ранее накдоннке опорные
кривую Ь ,

3. На пересечении фронтальных проекции й" и Q" наводим
проекция L t и L 2. » а затем L /, L? G Q'-

Для определении ВИДИМОСТИ точек прямой G и поверхности
ft при проецировании па JXt рассмотрим, например, положение
точки I, принадлежащий О. , и точки 2, принадлежащей ft (рис.
24), длн которых Г1 s 2*. Так как Z, , т.е. точка I рас-
положена выше точка 2, следоватоль.ю, на горизонтальной проекции
этот участок примой окажется видимым.

Длн определения видимости при проецировании на рассмот-
рим точки 3 и 4 s/З , длн которых 3"  4". Так как^лу* ,
т.е. точке 3 расположена ближе к наблюдателю, чем точка 4, следо-
вательно, на фронтальной проекции этот участок прямой является
видимым по отношению к поверлности гора.

Графические построения, показанные на рис. 23 , 24 по этапам,
следует выполнять на одном чертеже.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Найденные точки Lt и Li удовлетворяют
условию задачи: они принадлежат как прямой Q ([!ezQ', Cs Cl"),
так и поверхности ft( L'Ь', L“ G В")	, причем Ь с ft .

Для дополнительной проверки правильности решения можно провести
через найденные точки простейшие линии, принадлежащие поверхно-
сти ft , например, параллели Рз “ Рф (рис. 24).

ТИПОВЫЕ ВОПРОСЫ К 3W-TE. I. Каков общий алгоритм решения
задачи на определение точек пересечения линии и поверхности?

2.	Из каких соображений выбрана поверхность-посредник в
данной задаче.

3.	Как определяется видимость заданиях ригур?

Ь. ЛОС'ГЮьШк. ШОгаСОСТл, КАСдШЬЯОй К НОюьРАНОСТЕ,
it HOPdAAw К ПОВЕРХНОСТИ Ь Ш£К010Р0« ЕЕ ТОЧКЕ

Цель задачи - научиться строить плоскости, касательные к по-
верхности ь некоторой ее точке, и нормали к поверхности.

Для решения этой задачи нужно уметь:

-	строить да поверхности семейства простейлмх линии;

-	проводить прямые, касательные д различным линиям;

~ строить перпендикуляр к плоскости.

Перед выполнением заданий следует проработать таны "Плос-
кость, касательная к поверхности", "Способы построении касатель-
ной и нормали к кривой".

Ответьте на вопросы:

Каково общее правило построении плоскости, касательной к
поверхности в некоторой ее точке?

Каково-инвариантное свойство проецирований прямой, касатель-
ной к линии?

Какова особенность касании плоскости к линейчатым поверхно-
стям?

Зсегда ли можно провести плоскость, касательную к поверхно-
сти в заданной на ней точке?

Что называется нормалью к поверхности?

Указании к иеыенхю задачи. Плоскость, касательную к поверх-
ности, строят на чертеже исходя из того, что она содержит множе-
ство прямых, касательных ко всем линиям поверхности, проходящим
через эту точку. Поскольку касательную плоскость Г* достаточно
задать двумя прямыми, очевидно, на поверхности /3 достаточно
провести через точку L две линии: //и	, а затем прове-

сти два прямые: t< и , касательные к этим линиям в г очко
L (рис. 25). Это общие правило может быть записано в краткая
^орме алгоритма следующим образом:
I• f-1, ^2 C P * h t ^2 & •
a. tfJTlf=L; t21Tl2=L.
3- r(t1ft2).

Решение задачи заключается в первую
очередь в рациональном выборе двух линий
на заданной поверхности. Желательно, что-
бы они проецировались в ваде простейших
- прямых или окружностей, к которым про-
ча провести касательные прямые. Построе-
ние проекции касательных опирается на
известное свойство: касательные к кривой

проецируется в касательные к ее проекциям. Напомним также, что
касательная к прямой совпадает с нее, касательная к плоской кри-
вой расположена в плоскости этой кривой, касательная к окружно-
сти перпендикулярна ее радиусу, проведенному через сочку касания.

Поскольку на линейчатых поверхностях через каждую точку про-
ходит хоти бы одна прямая образующая, то ее удобно использовать

для задания касательной плоскости. 4сли на поверхности через за-

данную точку мхно проьести две прямые (например, у косой плос-

Рис. 26

кости или однололостного гиперболоида),
то именно на них удобно опираться яри по-
строении касательной плоскости.

На поверхности вращения в качестве
простейших удобно выбирать параллели-ок-
ружности и меридианы (особенно если по-
следние являются окружностями или дугами
кривых второго порядка). Обратите внима-
ние, что касательные ко всем меридианам
поверхности вращения в точках, лежащих
на одной параллели, перескаагся в обдай
точка на оси поверхности (рис. 26).

Нормаль к поверхности можно строить,
согласно определению, как перпендикуляр
к касательной плоскости, проходящий че-
рез точку касания. Для поверхностей вра-

щекия решение иногда упрощается благода-
ря тому, что нормали к ним в точках, лв-
жацих на одной параллели, пересекают он в обцей точке на оси по-
верхности (рис. 26).

а качестве примера рассмотрим следуюцую задачу.

ЗАДАЧА. Построить плоскость, касательную к поверхности от-
крытого тора /3 , и нормаль к поверхности в точке L , принад-
лежацей тору (рис. 27).

АНАЛИЗ. Через точку L поверхности тора /3 можно провести
две простейших линии - окружность-параллель р и окружность-ме-
ридиан П) . благодари тому, что ось тора / JL параллель
Проецируется в вида отрезка прямой на 7Г, и в виде окружности
на Jt2 , а меридиан в отрезок прямой на ТГ2 и как эллипс на JTj .
Для того чтобы набежать графических трудностей (строить эллипс и
касательную к нему), можно воспользоваться указанным ь..ле свойст-
вом касательных к меридианам поверхности вращении.

• ПЛАН ОДгёШШ следует общему алгоритму.

ПОаиаЮВАИьЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЙ НА ЧЕРТШ (рис. 27). I. Черев
проекции U и С точки L проводим одноименные проекции ок-
ружности-параллели - дугу окружности Р"и отрезок прямой р' , а
также фронтальную проекцию окружности-меридиана - отрезок при-
мой ГП" , Горизонтальную проекцию меридиана - эллипс ГП' - стро-
ить нецелесообразно.

2. Через проекции точки L проводим проекции прямых, каса-
тельных к одноименным проекциям построенных линий;

tf7TpM=L"; г;7Гр' = Г

Г 2	=?

Для нахождения горизонтальной проекции касательной t2 не-
обходимо сделать ряд дополнительных построений. Повернем плос-
кость, содержащую меридиан ГП и точку Lе /П , до совмещения о
JT< • При этом (П совместится с /7)0 , a L с Lq . Точки L
и Lq лежат на одной параллели р . Черев Lp проводим to каса-
тельно к (Т)‘о до пересечении с проекцией /' оси тора в точке S'.

Точки 5 a L определяют горизонтальную проекцию Т2
касательной к меридиану П) .

3. Проекции касательно.; плоскость), заданы проекциями каса-
тельных прямых rW.t)); T-lt'ifl).

Для построения нормали как прямой, перпендикулярной каса-
тельной плоскости к поверхности в точка L :

- проводим в плоскости Т горизонталь h » 1,2 (рис. 28);

- обозначаем проекции фронтали f , в данном случав совпа-

дающей с касательной ;

-	проводим проекции нормали Л согласно теореме о перпен-
дикулярности примой и плоскости: П‘П'1Л; D"^L", n"lf."

Можно провезти нормаль и другим способом (рис. 28);

-	строим горизонтальную проекцию Oq корнали к поверхности
в точке Lo . лекадей на одной параллели с точкой L , до пере-
сечении в О' с проекцией I1 оси тора; при огон 0" .= / ** ;

-	проводим проекции П' и П" через одноименные проекции
точек 0 и L .

Графический построения, выполненные на рис. 2?, 2« по эта-
пам, следует дать пн одном чертеже совместно с построениями за-
дачи 4А.

ТШЮВЬй. ВОПРОСЫ К ЗАЩИТА. 1. Каков общий алгоритм построе-
ния плоскости, касательной к поверхности в некоторой точке по-
следней?

2.	Какие простейшие линии на поверхности Вы использовали в
качестве вспомогательных длн построения касательной плоскости?

8.	Что называете» нормалью к поверхности? Как вы проводили
нормаль к поверхности в данной задаче?
»

Задача 5. РьйьНИь ЫЫТРИЧБСКИХ ЗАДАЧ КА ОПРтДлЛКНйЕ
РАССТОЯНИЮ и Х1Л03 С НСПОЛЬЗОВАНШМ
СПОСОБОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧКРТШ

Цель задачи - овладеть способами преобразования чертежа и
научиться решать метрические задачи, используя целесообразный
способ преобразования для каждой конкретной задачи.

Для выполнения задания нужно знать определения и правила
элементарной геометрии, касающиеся нахождении расстояний между
точками, прямыми и плоскостями и углов между прямыми и плоскостя-
ми, а также проработать темы курса начертательной геометрии
"Способы преобразования ортогональных проекций", "Метрические
задачи".

Необходимо приобрести навыки решения следующих элементарных
задач:

-	преобразовать чертеж прямой общего положения в чертеж при-
мой частного положения (параллельной плоскости проекций иди про-
ецирующей);

-	преобразовать чертеж плоскости общего положении в чертеж
плоскости частного положения (проецирующей или параллельной

35
плоскости проекций).

Ответив на вопросы:

К какой простейшей задаче сводится задача об определении
расстояния между двумя геометрическими фигурами?

Что определяет расстояние от точки до прямой; от точки до
плоскости; между двумя параллельными плоскостями?

К какой простейшей задаче сводится задача об определении
угла между двумя геометрическими фигурами?

Что определяет угол мехи прямой и плоскостью'? Между двумя
плоскостями?

Какие положении геометрических фигур считаются удобными с
точки зрения графического решении задач?

Каково свойство проекции плоской фигуры» параллельной ка-
кой-либо плоскости проекций?

В чем сущность способа замены плоскостей проекций?

Сколько дополнительных плоскостей проекции нужно ввести,
чтобы пряная общего положении заняла положение линии уровня, про-
ецирующее положение; плоскость общего положения заняла проециру-
ющее положение, положение плоскости уровня?

В чем сущность способа вращения?

Почему удобно при вращении плоской фигуры в качестве оси
вращения выбирать ее горизонталь или ^ронтадь?

Какие задачи рационально решать способом вращения вокруг
линий уровня?

Указания к решению задачи. Решение задач на определение рас-
стояния между двумя геометрическими фигурами сводится к радение
простейшей задачи - определению расстояния между двумя точками,
т.е. к определению длины отрезка, соединяющего эти точки. Реше-
ние задач на определение угла между двумя геоиетрическиыи фигура-
ми сводится к решению простейший задачи - определению угла между
двумя пересекающимися прямыми. Если этот отрезок илы этот плос-
кий угол параллельны какой-либо плоскости проекций, то не эту
плоскость они проецируются без искажения. Если они занимают об-
щее положение, следует преобразовать чертеж так, чтобы они заня-
ли частное положение.

Пщ решении каждой метрической задачи прежде всего следует,
опираясь на правила элементарной геометрии, представить, каким
отрезком измеряется искомое расстояние или каким плоским углом
измеряется угол между заданными ^игурами, а затем выбрать рацио-
Рис. 31
нальный способ преобразования чертежа для графического решения
задачи.

Используя способ враденяя, следует назвать и обозначить на
чертеже все элементы аппарата вращения (вращаемую точку, ось
вращения, плоскость вращении, центр и радиус вращения, плос-
кость совмещения).

При введении дополнительных плоскостей проекций необходимо
четко понимать цель данного преобразовании - какое частное поло-
жение относительно вновь вводимой плоскости проекций должна за-
нять проецируемая уйгура, и в зависимости от этого проводить
новую ось проекций.

Рассмотрим решение следующей задачи.

ЗАДАЧА. Дана призма ДВС£>£Г (рис. 29). Определить: а) вы-
соту призмы; б) истинный вид основания АВС; в) угол иевду реб-
ром AD и плоскостью основания DEF ; угол между плоскостнми-
грани АВвО и оснований АВС.

А. ОПРюДШТЬ ВЫСОТУ ПРИЗМЫ.

АНАЛИЗ. Высота призмы определяется
расстоянием между двумя параллельными
плоскостный - ее оснодзииныи, т.е. дли-
ной перпендикуляра, опущенного из ка-
кой-либо точки одного основания, напри-
мер точки D , на плоскость (J другого
(рис. 32). Этот отрезок проецируется на
какую-либо плоскость проекций оеа иска-
жения, если он параллелен ей, а плоскость
основания при этом занимает проецирующее
положение (рис. 33). Такого положения
можно добиться, вводя, например, допол-
нительную плоскость проекций так, чтобы
плоскость// (АвС) общего положения стала
по отношению к ней проецирующей. Напом-
ним, что для плоскости, перпендикуляр-
ной, например 7Г; , характерным призна-
ком является перпендикулярность оси X
фропгчдьной проекции любой ее фронтали
(рис. 33).

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНА НА
(ЕРТ-ХЕ (рис. 30). I. Вводим доподни-
тельную плоскость Jt3 J. p (ABC), JTjJLTTjh jr3ftjr2=X1t
т.е. от системы X ^переходим к системе	° Для это-

го на чеpress ъ плоскости Д , например, через точку В, прово-
дим фронталь f . В новой системе направление оси X,-L f.

2. Строим проекции плоскости Д и точки D на JTj , Для
этого через фронтальные проекции А’1, В", С" и D*' проаодии линии
связи, перпендикулярно оси Др На этих линиях от оси X, откла-
дываем расстояния, равные расстояниям от горизонтальных проекций
A1, Bz, С*, О’ до оси X основной системы, т.е. координаты у
этих точек. Через проекции А1'4 и Bw проводим приму в - след
[1 плоскости основании (при атом проверкой точности постро-
ения uoser служить принадлежность Снайденному следу).

8. Опускаем пеыгендикулнр ма D1" на след pi"' . „дкна это-
го перпендикуляра	определяет величину искомой вы-

соты.

Б. ОПРЕДЕЛИТЬ ИСТННН1Л ВЦД ОСНОВАНИЯ.

АНАЛИЗ. Если плоская фигура параллельна какой-либо плоско-
сти проекций, то она проецируется без
искажения на последнюю (рио. 34). По-
скольку в данной задаче плоскость //
(АВС) общего положения, то следует
преобразовать чертеж так, чтобы она
заняла положение, параллельное, на-
пример JTi . Наиболее рациональным
преобразованием для этой цели явля-
ется арадские вокруг горизонтали плоско-
сти. При этом достаточно нанти новое по-
ложение лишь для одной точки плоскости,
так как точки на выбранной в качестве
оси горизонтали 1~) при повороте не из-
меняют своего положения. Новое положе-
ние всей плоскости будет задано осью
врацения и новый положением выбранной
точки (рис. 35). Заметны, что для при-
ведения плоской фигуры в положение, па-
раллельное Л2  ь качестве оса враще-
нии удобно выбрать фронталь плоскости. •

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЙ НА
ЧьРТЕХЕ (рис. 31). I. Для преобрааова-
ния чертежа плоскости Ц (АВО) общего положении в положение»
параллельное 7Гу , проводим, например, через точку В горизон-
таль h - ось вращения.

Поворачиваем плоскость Ц вокруг оси h до совмещения
с плоскостью ft II Jtf (при этом f= h ). Хак как точ-
ки	при вращении неподвижны, то для определения нового

положения плоскости Ц достаточно повернуть, например, точку А.
Для этого:

-	задаем плоскость вращения О( _L fl , проводя ее горизон-
тальный след hoa и hoa-Lh ♦	,

-	наводим проекции центра вращения О =ЬсаПЬ и
0"^hHi

-	строим проекции радиуса враденип /? = I лО| и определяем
его величин,,,* например, из треугольника O'a’Aq : R = I О Ао|;

-	строим горизонтальную проекцию &\ нового современного с
плоскостью ft положения точки А, откладывая от проекции О'
центра вращения 0 величину R по направлению следа tlQU . При
этом a"/ s fOp » ,

-	положение С 1 определяем как точку пересечения следа
hoy плоскости вращения точки С и нового положения прямой
Тык как В< В1, достраиваем горизонтальную проекцию нового по-
ложения J АВС. При этом A*, by, CJ'efcp • Тогда А А,В»С< 
= А АВС.

В. ОПРВДШТЬ УГОЛ ладу пряной 4 О Г. ПЛОСКОСТмО ОСНОВА-
НИЯ DEF .

AdA2,J3* Величина угла У>° между
прямой и плоскостью измеряете» величиной
острого угла между прпмои и ее проекцией
на эту плоскость. Более простым путем с
точки зрения графических операций являет-
ся определение вспомогательного угла
между прямой и перпеадикулнром, опущен-
ным из некоторой ее точки на заданную
плоскость. Тогда	(р,1с,36;

Ясли плоскость этого угла параллель-
на кекой-лябо плоскости проекции, то на

PnOe yg	эту плоскость он проецируется без искана

ния.

ВООиДОВАШЬНОСТЬ ПОСТРОЕНА НА
41
ЧЕРТЕЖ (рис. 37). I. Для построения вспомогательного угла <р°
черва точку А прямой АО проводам прямую Л , перпендикулярную
к плоскости 6 ( DEF) . Для определения направления ео проек-
ций аров один в плоскости 6 горизонталь /)$ и дооцталь ffi •

а затем по теореме о перпендикулярности прнмои и плоскости сгно-
им проекции П‘_L tig и П"1Т{; , при этом Л'э/Г и Л"®Д .

2.	Для определении величины вспомогательного угла фа вра-
щаем плоскость У этого угла вокруг горизонтали Лу до совме-
щения с плоскостью XII ]Г< и X =>hy (см. предыдущую задачу).
В результате получим lp°-L'A'lD.

3.	Дополним <//°до -30°. Угол УО° -1р° искомый.

Г. ОПРЕДЕЛИТЬ УГОД М&йДУ ПЛОСКОСТНЫИ-ГРАЯй АВьО И ОСНОВА-
НИЯ АВС.

АНАЛИЗ* Двугранный угол между двумя плоскостями измеряется

величиной его^линейцдго острого угла
(рис. 35»): Ef/d = О,Ь . Реыенле за-
дачи на чертежи упрощается, если за-
данные плоскости перпендикулярны какой-
либо плоскости проекций. При этом вели-
чина проекции двугранного угла на эту
плоскость равна искомой (рис. 40). Дан-
ные плоскости A3ED и АВС - общего по-
ложения. Следовательно, целесообразно
преобразовать чертеж так, чтобы они
стали проецирующими. Для этого необхо-
димо и достаточно, чтобы стала проецг-
рующой линия их пересечения АВ. По-
скольку заданная прямая АВ - общего по-
ложения, то графически эхо можно сделать
двумя последовательными заменами плоско-
стей проекций.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНА НА
ЧЕРТЫЕ (рис. 36). Для преобразования
чертежа прямой АВ - общего положения в

Рис. 40

чертеж прямой уровня:

-. вводим дополнительную плоскость ТС3 II АВ, JC3 J. JCt и
JTjflTti =Xi । ®«е. or системы X переходим к системе
Х< . При этом направление оси X, повод системы параллель-
но горизонтальной проекции прямой Ad: XillA'd1 ;

42
-	строим проекции прямой АВ и плоскостей £ и // на плос-
кость JT3 . Для итого через Af, В', С1, О’ , К4 проводим линии
•связи перпендикулярно оси Откладываем на них от осн
расстояния, равные координатам Z выбранных точек, и строим но-
вые проекции А'", Ъ‘", С"', О'“ ,	. Через них проводин но-

вые проекции прямой АВ и плоскостей £ и р .

Дли преобразования чертежа АВ как линии уровня в чертах
проецируюдей прямой:

-	вводим еце одну дополнительную плоскость Ла Л. АВ ,
•7?д X Jty и ТГд И It у ~ К2 « т »е« от системы Х/-^ переходим
к новой системе Х£ , При этом направление оси Х2 1. А"'^;

-	сгроии проекции ребра АВ и плоскостей £ и pL яа Л*.
Для этого черва проекции А", В**, С"', О'" , Ь *' проводим ли-
нии связи перпендикулярно оси Х2. Откладываем на них расстояния,
измеренные от горизонтальных проекций точек (А1, в' и т.д.) до
оси l)t например, | A1*	« |а,Х< | . Так как эти расстояния

для точек А и В равны и совпадают линии связи, то А1*  в'1',
вследствие чего плоскости € и р спроецируютси в виде отрез-
ков прямых - следов С'1' и р‘* ,

Угод (а)* между этими следами - искомый.

Графические построения рекомендуется разбить на четыре эта-
па согласно четырем поставленным задачам, как показано на ряс.
30, 31, 37, 38, оставляя на каждом чертеже только те элементы
заданной фигуры, которые необходимы при решении каждой из четы-
рех задач,

ТИПОВЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ. I. Объясните последовательность
ре пения задачи при определении расстояния от точки до плоскости.

2.	Каково свойство проекции плоской фигуры, параллельной
какой-либо плоскости проекций?

3.	В чем сущность способа вращения точки вокруг линии уров-
ня?

Задача 6. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

Цель задачи - освоить методику решения комплексных задач
на примере построения пространственной (гранной) фигуры.

Для выполнения задания необходимо вспомнить разделы элемен-
тарной геометрии, касающиеся параллельности и перпендикулярности
прямых и плоскостей, а также понятии о геометрических местах то-
чЗ
че*. Прорастайте темы курса начартахевь^--. ииаыахрмк .и»р«»длы«*—
ность прямых sr плоскостей1’, "Пересечение прямых и плоскостей".

Вспомните решение следующих элементарных задач:

-	построить взаимно караллельныо прямые и плоскости;

-	построить прямив, перпендикулярную плоскости, и плоскость,
перпендикулярную прямой;

-	найти точку пересечения прямой и плоскости;

-	отловить на прямой общего положении отрезок заданной дли-
ны.

Ответьте на зопросы:

Что является множеством точек пространств (геометрическим
местом точек), равноудаленных от концов отрезка/

Что нвляегоя множеством точек пространства, удаленных от
данной плоскости на заданное расстояние?

Что является множеством прямых, проходнцих через точку и
параллельных данной плоскости?

Сформулируете теорему (признак) стереометрии о перпендику-
лярности прямой и плоскости.

Сформулируйте теорему начертательно». геометрии о перпенди-
кулярности прямой а плоскости.

-Каков признак параллельности прямой и плоскости в простран-
стве?

Как построить проекции прямой, параллельной плоскости?

Каков признак параллельности двух плоскостей в пространст-
ве?

Что является признаком параллель пости двух плоскостей на
чертеже?

Каково общее правило (алгоритм) построения на чертеже точ-
ки пересечения прямой к плоскости?

Почему целесообразно заключать прямую в проецирующую плос-
кость яри определении точки пересечения прямой с плоскостью?

Каково правило построении проекций отрезка зада ином длины
на прямой общего положения?

Указания к решению задачи. Этот тип задач относится к комп-
лексным, г.е< состоит из ряда элементарных позиционных (построе-
ние bl амно перпендикулярных и взаимно параллельных прямых и
плоскостей, нахождение точки пересечения прямой к плоскости) и
метрических (определение длины отрезка и построение отрезка за-
данной длины). При ре се н;: и задач этого типа основное затрудне-
нив вызывает правильный анализ задачи и составление затеи плана
решении на основе пространственных представлении и теоретических
оснований элементарной геоиетрии.

В качестве общего подхода к решении таких задач можно реко-
мендовать следующий. На отдельные элементы искомой *игуры нало-
кеи рад условий. Каждому такому условию удовлетворяет некоторое
множество точек (геометрическое месго точек). Каждое ив таких
множеств может быть представлено геокитрической ^щгурой. Иско-
мым элемент, удовлетворяй одновременно всем заданным ддн нею
усдоьиим, должен принадлежать пе^исечению рассмотренных мно-
жеств, т.е. являться пересечением соответствующих им геометри-
ческих фдгир. На основе такого анализа составляется план решения
в пространстве, в котором описывается, как лоследовать..ьно опре-
делив отдельные элементы искомой уйгуры (куба, призмы, пирамиды)
и зная ее свойства, можно достроить всю уйгуру.

Построения на чертеже, опираясь уже на основные положения
начертательной геометрии, шаг за шагом отражают намоченные дейст-
вия в пространстве. Обратите внимание на особенности теоретичес-
ких положений начертательной геометрии по сравнению с теоремами
элементарно,4, касающихся позиционных и метрических характеристик
геометрических ^игур.

Так. признаком перпендикулярности прямой и плоскости в про-
странстве является перпендикулярность ее двум каким-либо пересе-
кающимся прямым плоскости. Однако на чертеже в качестве таких
прямых целесообразно взять горизонталь я фронгаль плоскости,
так как согласно свойству частного случая проецирования прямого
угла угол между перпендикуляром к плоскости и каждой из этих
прямых проецируется без искажения на соответствующие плоскости
проекция.

Если в пространстве не представляет труда определить точку
пересечения прямой и плоскости, то для решения задачи на чертеже
необходимо осуществить рад вспомогательных операций, описываемых
алгоритмом. Напомним его. Для построения проекций точки пересе-
чения прямой Q с плоскостью ft следует (рис. 41):

I)	заключить прямую в плоскость-посредник	;

2)	найти прямую пересечения Ь плоскости )' с данной
плоскостью ft :

b = /flft:
8)	нв пересечении построенной b и
данной Q прямых найти искомую точку L :

L =ьла.

При этом удобно заключать прямую в
проецирующую плоскость, тек как сокраща-
ются графические построении, а именно:
как след плоскости у , так и одна из
проекций вспомогательной прямой Ь сов-
падают с одноименной проекцией данной
прямой благодаря инвариантному свойству
соответствующей проекции проецирующей
плоскости.

Приведем еще один пример. Если в пространстве можио сразу
отложить на прямой отрезок заданной длины, то правило построе-
ния на чертеже требует сначала определить величину некоторого
вспомогательного отрезка на заданной прямой общего положении, а
затем, согласно инвариантному свойству пропорционального деле-
ния, построить проекции отрезка заданной длины.

Рассмотрим следующую задачу.

ЗАДАЧА. Построить наклону ю п/;эму АВСА<В<СО высота кото-
рой равна 40 мм, исходя из условия, что ее основание - равнобед-
ренный треугольник АВС (|АВ|  |АС|) с вершиной А на прямой Q
и основанием ВС, при этом вернина призмы А< расположена на пря-
мой Ф (рис. 42).

АНАДЙЗ. На чертеже заданы скрещивающиеся прямые Q , ID
и отрезок ВС - общего положении.

По условию ВС - основание равнобедренного 4 АВС. На поло-
жение его вернины А налажено два условия;

I)	точка А е Д . Этому условию удовлетворяет множество то-
чек прямой Q (саме прямая Q )♦

2)	точка А равноудалена от точек В и С (до свойству вершины
равнобедренного треугольника). Такому условию удовлетворяет мно-
жество точек плоокостн /J , перцевдикудярной отрезку ВС и про-
ходящей через его середину К. Следовательно, искомая точка А
принадлежит пересечению указанных множеств (прямой Q и плоско-
сти Цо ) (рис. 43).

На положение вершины А, основания А, В( С< также наложено два
условия:

I)	точка AjMsID . Этому условию удовлетворяет множество то-
46
47
чек прямой П) (семе прямяя Л) );

2)	точка А, удалена от плоскости Л АВС на расстояние
40 ы" Стому условию удовлетворяет множество точек плоскости
/3 , араллельной заданной (X (АВС) и отстоящей от нее на
40 им. (Такая плоскость монет бить проведена через конец отрез-
ка перпендикуляра Г) , восста пленного из некоторой точки
плоскости О' и равного 40 ми.) Следовательноt искомая точка А,
лринадлевит пересечению указанных множеств - прямой П) и плос-
кости /3 (рис. 44).

Вершины В, и С, могут быть построены из условия А,В,// АВ,
|A,BJ«|A9|h А(С, II АС , | A, С( | = | АС ( по свойству призмы.

ИССЛЕДОВАНИЕ. Задача имеет два ранения, так как мномеством
точек, удаленных от заданной плоскости (X (АЗС.) на расстояние
40 мы, будут две параллельные плоскости: /3/ и /32 , в пеое-
сечонии с которыми прямая Ш может дать две точки: Л/ и Ag .
Таким образом, можно построить две различные призмы на общем
основании АВС.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. I. Для построения вершины А (рис. 43);

находим точку К : Хе ВС и |ЗК|  | КСI;

проводим плоскость /Л =*К и Д _L ВС:
определяем точку A »Q OjU .

2.	Строим основание АВС.

3,	Для построения во ри ины А, (рис. 44):

проводим, например, через точку А прямую Л 1 (X (АВС) и
откладываем на ней отрезок N А  40 мм;

проводки плоскость РИСК и ft ;

определяем точку А,

4.	Строим второе основание АД С,.

5.	Строим призму АВС А,В,С,.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ НА ЧКРТКЯ. I. Для построе-
ния проекций А' и А" точки А:

находим проекции В'с', так чтобы |в'и'|» |К'С*| и
К"е в"с" при этом | В"КЯ| - I К" С"| (рис. 45);

проводим плоскость Д , задавая ее горизонталью hp н
Фронтакью fр. , проходящими через точку К так, чтобы 1 В' С
г fp ±В"С", согласно теореио о перпендикулярности прямой и
плоскости (рис. 45);

определяем проекции А* и А" на основании обцего алгоритма
о пересечении прямой и плоскости, для чего (рис. 48):

49
заключаем прямую Q в плоскость-посредник у ± Jf, , за-
давая ее следом = Q' ;

находим проекции I' и I" линии пересечения плоскостей

J и р : I £ ho# , I строим по проекциям I" и 2"
точек 1,2, принадлежащих плоскости Д ;

определяем А" « С Л 0."	, а затем fef,

2. Строим проекции А'в'С' и А"В"С" основания, соединяя од-
ноименные проекции его вершин.

8, Для построения проекций А < и А" точки А ;

через точку А плоскости ARC проводим прямую П ± (X (АЧС).
Для определения направления ее проекций проводим в плоскости
(У горизонталь ha и фронталь fa , а затеи, согласно теоре-
ме о перпендикулярности прямой и плоскости, проводим П'^А' ,
П' JL Ь'ы и л"эЛ", П"± V (рис. 47);

находим на прямой П точку Л/ так, чтобы|М1 • 40 мм. дли
чего ограничиваем прямую П произвольной точкой Dl D‘, D“),
определяем величину |А Dl из Л AwO*Do , откладываем на его
гипотенузе от точки А" отрезок A"N0 « 40 мм и находим A/"<s П"
и N'^n' ;

через точку /V проводим плоскость /3//<У , задав ее дву-
мя переев кающимися прямыми, например, горизонталью hp и Фрон-
талью fp так, чтобы hp llh'a , h'p II h а и f'p Ufa ,
fp Ilf* согласно 'мораме о параллельности плоскостей
(рис. 47);

определяем проекции А‘( м А* на основании обдего алгорит-
ма пересечения прямой и плоскости по аналогии с определением
точки А (построение видно из чертежа - рис. 48).

4. Строим проекции основания АДС,. проводя:
а'^па'в' и |д;в;>|а’8'|,	д/елмт « |д’;в;,1-|д"в,,|

д;с;пд'Гм |д;с;|=|д'с'|,	агсиат и iax'Hat'i

о. Достраиваем проекции призмы, соединяя последовательно
соответствующее проекции точек А и А,, В и В,, С и С< с учетом
видимости (рис. 49).

Видимость на фронтальной проекции определяем, например, по
конкурирующим точкам SeAB и 56 А,С,, для которых 5" • б".
Так как Ур > у5 , точка 6 находится Оливе к наблюдателю, сле-
довательно, прямая А^ закрывает прямую АВ в проекции на JT2 .

Видимость на горизонтальной проекции определяем, например,

49
50
по конкурирующим точкам АД i 8 е СО, , для которых 7 = 8
Так как Z7 >Zg , точка 7 расположена вине точки 8, следова-
тельно, прямая А^ закрывает прямую СС< в проекции яа ,
Графические построения, показанные ва рис. 45 ... 49 по
этапам, следует выполнить на одном, чертеже.

ДОКАЗАТВЛЬСТЗО. АВСА^С^ есть искомая призма, так как ее
элементы по построение удовлетворяют заданным условиям: АеД ,
| ЛВI • | АС|, поскольку по построению | АК|  [ КЗ|, Afe /П ,
|W, я 40 им, причем проведенные построения осуществлялись
в соответствии с теоретическими положениями элементарной и на-
чертательной геометрии. Дополнительной графической проверкой
может служить такие параллельность и равенство одноименных про-
екций боковых ребер.

таПОЭЫК ВОПРОСИ К ЗАДИТ8. I. Каков план решения этой зада-
чи в пространстве?

2.	Как формулируется теорема о перпендикулярности прямой
 плоскости в курсе начертательной геометрии? На каком этапе
построений Вы применили ее?

3.	Каково об нее правило определения точки пересечения пря-
мой и плоскости? Почему в качестве плоскости-посредника Вы пред-
почли выбрать проецирующую плоскость?

4.	Сколько решений имеет данная задача и почему?