НЕЙТРОННАЯ
ФИЗИКА
у!
Е

НЕЙТРОННАЯ
ФИЗИКА

Урановый реактор олицетворяет
собой оамое гениальное и
замечательное достижение разума за всю
историю человечества.
Фредерик Содди
ЧАСТЬ I
ФИЗИКА ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРАХ
1.1. ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
Источником энергии во всех действующих в настоящее время
ядерных реакторах является деление некоторых тяжелых ядер.
Деление представляет собой процесс расщепления ядра (Z, A){Z -
заряд и А - массовое число атомного ядра) на два ядра (Zx, Ах)
и (Z2, A2), называемых осколками деления:
(Z,A)^(ZUA1) + (Z2,A2.) (1.1)
При этом Zx +Z2 = Z;A1 + А2 = А.
Различают самопроизвольное (спонтанное) деление и
вынужденное деление атомных ядер. Спонтанным называют такое деление,
которое происходит без предварительного возбуждения атомных
ядер. Вынужденное деление ядер обусловлено внешним
воздействием и может производиться нейтронами, заряженными частицами,
7-квантами и другими излучениями. Всюду далее под вынужденным
делением будем понимать деление, вызываемое нейтронами.
Спонтанное деление энергетически выгодно для ядер, для
которых Z2M > 17, однако обнаружено оно было только для самых
тяжелых из существующих в природе элементов - тория, палладия,
урана. Если Z2/A < 49, деление, хотя и энергетически выгодно
(энергия реакции Q ** 200 МэВ), но маловероятно, так как развалу
ядра препятствует барьер деления Wf, возникающий в процессе
колебательного изменения формы ядра. Барьер деления
сравнительно велик, поэтому вероятность квантово-механического
эффекта проникновения сквозь барьер (т.е. туннельного эффекта)
исключительно мала. Например, среднее время жизни ядра 238U по
отношению к спонтанному делению составляет —10^6 лет, а для 23SU
и 239Ри еще больше. В принципе спонтанное деление может служить
источником нейтронов, инициирующим цепную реакцию в ядерном
реакторе.

Деление ядер нейтронами может быть как пороговым, так и
беспороговым. К беспороговому делению способны нечетные изотопы
тяжелых элементов: 233U, 23SU, 239Pu, 241Pu. Их называют
делящимися нуклидами. В природе существует только изотоп 23SU, причем в
очень небольших количествах
Иэотоп "4U "5U "«U
Атомная концентрация в
естественном уране, % * 0,006 0,7204 99,2739
Остальные делящиеся изотопы могут быть созданы искусственным путем
при захвате нейтронов четными изотопами урана или тория. Четные изотопы
тяжелых элементов: 232Th, 23BU и т.д. имеют порог деления. В
ядерных реакторах эти изотопы используются для получения
нового ядерного горючего, т.е для его воспроизводства.
Способность ядер к пороговому или беспороговому делению
зависит от соотношения между энергией возбуждения,
выделяющейся при захвате • нейтронов ядрами, и высотой барьера деления.
Так, например, барьер деления ядра 236U составляет «6 МэВ, а
энергия, высвобождающаяся при захвате теплового нейтрона
ядрами 235U, равна 6,5 МэВ. Барьер деления для ядра 239U « 6 МэВ, а
энергия присоединения нейтрона к ядру 238U примерно 5 МэВ, т.е.
меньше барьера деления.
Особенностью реакций деления тяжелых ядер является огромная
энергия, высвобождающаяся в этом процессе. Так, при делении
ядер 23SU тепловыми нейтронами полная выделяющаяся энергия
составляет (202,8±0,4) МэВ. Важнейшей особенностью реакций
деления, благодаря которой оказалось возможным осуществление
цепной реакции, является испускание в процессе деления нескольких
новых вторичных нейтронов. Экспериментально было показано,
что новые нейтроны образуются не непосредственно в процессе
деления, а при испускании их возбужденными осколками
деления, которые, как нетрудно заметить, должны быть сильно
перегружены нейтронами.
Вторичные нейтроны образуются как в процессе испарения их
из возбужденных ядер [мгновенные нейтроны деления, времена
испускания их ~10"*7 с), так и при последующих радиоактивных
превращениях осколков деления (запаздывающие нейтроны).
Полное число вторичных нейтронов v* есть сумма двух слагаемых:
среднего числа мгновенных vp и запаздывающих vrf нейтронов:
v/ s vp + V ПРИ Л6™111111 изотопа 23SU тепловыми нейтронами
среднее число нейтронов деления составляет v, = 2,416, а при
делении 239Ри тепловыми нейтронами среднее число нейтронов деления

Рис. 1.1. Схема испускания запаздываю- 87е
щих нейтронов при р-распаде а7Вг
3,Т"80,2с
а7Кг*
еще выше: v/= 2,862. С
увеличением энергии первичных
нейтронов число нейтронов
деления слабо растет.
8ВКг
Запаздывающие нейтроны испускаются продуктами деления,
скорости распада которых лежат в пределах от долей секунды до
нескольких минут. Примером одного из излучателей запаздывающих
нейтронов может служить 87Вг, схема радиоактивных превращений
для которого приведена на рис. 1.1. р-распад в7Вг ведет к
образованию 87 Кг, ядро которого может оказаться в основном или в каком-
нибудь возбужденном состоянии (87Кг*). Во втором случае энергия
возбуждения может превышать энергию присоединения нейтрона
к ядру 86Кг (пунктир на рис. 1.1). Тогда это ядро может снять свое
возбуждение, испустив нейтрон. Эти нейтроны и получили название
запаздывающих. С испусканием запаздывающих нейтронов
конкурирует процесс снятия возбуждения с помощью у -излучения.
Р-Распад. возбужденного ядра 87Кг - очень медленный процесс
(т =* 15,9 лет). По отношению к моменту деления ядра урана
испускание нейтрона ядром 87Кг* задерживается на время, равное
среднему времени жизни ядра 87Вг по отношению к р-распаду, т.е. на
т =s 80,2 с.
На сегодняшний день получена информация примерно о 70
излучателях запаздывающих нейтронов. Общая доля запаздывающих
нейтронов среди всех вторичных нейтронов р = vd/v, при делении
23SU составляет р =0,0065. Остальные нейтроны мгновенные. Ранее,
когда характеристики излучателей запаздывающих нейтронов
были изучены плохо, их объединяли в группы, для которых вводили
усредненные характеристики. Современные данные о некоторых
характеристиках излучателей запаздывающих нейтронов,
образующихся при делении 23SU, приведены в табл. 1.1. Характеристики
объединены в шесть традиционно выделяемых групп.

Таблица 1.1. Y«p|nrwy«rnnCM групп иш^идипщит тйтрпилд
Номер Относительный Постоянная рас-
группы выход запаэды- пада запаэдыва-
вающих нейтро- ющих нейтронов
l/т..Г1
1
2
3
нов р,/р,%
3,8
21,3
18,8
\, = 1/
0,0127
0,0317
0,115
Номер Относительный Постоянная рас-
группы выход запазды- пада запаэдыва-
вающих нейтро- jonmx нейтронов
1/Т.-.С-1
4
5
6
нов
40,7
12,8
2,6
Р,/Р,
%
к,-1
0,311
1,40
3,87
Среднее время жизни запаздывающих нейтронов, вычисленное
по данным табл. 1.1., составляет
<т>= Zp,t,/P=«10c.
i-i
(1.2)
Величина < т > является важнейшей временной константой кинетики
ядерного реактора.
Образующиеся нейтроны уносят часть выделяющейся при делении
энергии. Область энергий нейтронов довольно широка: от очень
низких значений энергии «=100кэВ до 10 МэВ и выше.
Энергетический спектр нейтронов деления слабо зависит от массового числа
делящегося элемента и от энергии первичных нейтронов. Спектр
нейтронов, образующихся при делении 23SU тепловыми
нейтронами, показан на рис. 1.2. Максимум спектра находится при энергии
=« 0,7 МэВ, а средняя энергия мгновенных нейтронов равна
примерно 2 МэВ. Полная кинетическая энергия всех нейтронов деления
составляет около 5 МэВ. Аналитически форма спектра нейтронов
деления для233U,23SU, 239U передается зависимостью
Х(£)= А ехр (-BE) sh y/2E, (1.3)
где А и В - определенные константы для каждого из делящихся
элементов; Е - кинетическая энергия нейтронов, МэВ. Для всех
перечисленных элементов с хорошей точностью можно считать
В = 1, А = 0,48.
6 Е,МэВ
Рис. 1.2. Спектр нейтронов деления 235U
тепловыми нейтронами

Запаздывающие нейтроны, ввиду их малой доли, заметного
влияния на спектр мгновенных нейтронов не оказывают. Они имеют
фиксированные энергии, так как испускающие их ядра характеризуются
определенными энергиями. Энергия запаздывающих нейтронов
заметно меньше энергии мгновенных нейтронов (-250^500 кэВ).
Энергия, высвобождающаяся при делении, выделяется в
различных формах. Основную ее часть составляет кинетическая
энергия осколков деления. Оставшаяся часть высвобождающейся
энергии выделяется в виде кинетической энергии нейтронов,
мгновенного у -излучения и ^-излучения продуктов деления, энергии
Р-частиц и нейтрино, образующихся при распаде продуктов деления.
При делении 23SU тепловыми нейтронами энергия деления
распределяется между продуктами деления следующим образом (значения
энергии даны в МэВ):
Кинетическая энергия осколков деления 166,2±1,3
Кинетическая энергия нейтронов деления 4,8+0,1
Энергия мгновенного у -излучения 8,0±0,8
Кинетическая энергия р-частиц продуктов деления 7,0±0,3
Энергия у-нзлучения продуктов деления 7,2±1,1
Энергия антинейтрино продуктов деления 9,6+0,5
Общее энерговыделение 202,8+0,4
Как видно из приведенных данных, около 87% энергии в
реакторе будет выделяться практически мгновенно в виде
кинетической энергии осколков, нейтронов и ^-излучения. Около 6%
высвобождающейся энергии уносится антинейтрино, т.е. теряется
безвозвратно, так как антинейтрино практически не взаимодействуют
с веществом. Кинетическая энергия осколков будет выделяться
непосредственно в топливе или в окружающей его оболочке, так
как осколки деления быстро теряют свою энергию за счет
ионизации окружающих атомов. Пробег осколков деления равен
нескольким микрометрам. Энергию, выделяемую продуктами деления в виде
р-частиц или у-излучения, необходимо принимать во внимание
при рассмотрении безопасности работы ядерного реактора, так как
эта энергия будет выделяться и в этом случае, когда реактор будет
остановлен.

1.2. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
НЕЙТРОНОВ ДЕЛЕНИЯ С АТОМНЫМИ ЯДРАМИ
При взаимодействии нейтронов деления с атомными ядрами
возможны следующие основные превращения, называемые
нейтронными реакциями:
упругое рассеяние п + (Z, А) - п + {Z, А); (1.4)
неупругое рассеяние n + {Z,A)-*n + {Z, А)*; (1.5)
радиационный захват п + {Z, А) -* у + {Z, А + 1); (1.6)
(п, р)-реакция n+ (Z, A)-p+ (Z-1, А); (1.7)
(п, (х)-реакция п + (Z, А) - а + (Z - 2, А - 3); (1.8)
(п, 2п)-реакция л + {Z, А) - 2п + (Z, А - 1); (1.9)
реакция деления п + (Z, А) - (Zu AJ + (Z2, A2). (1.10)
Здесь символами Z, Z15 Z2 обозначены заряды атомных ядер; А,
-^1' ^2 ~ массовые числа атомных ядер; символ * обозначает ядро
в возбужденном состоянии, остальные обозначения традиционные.
При упругом рассеянии (1.4) ядра-мишени не изменяют своего
внутреннего состояния, а процесс рассеяния сводится к
перераспределению кинетической энергии и импульса сталкивающихся частиц.
Упругое рассеяние нейтронов на ядрах возможно при любых
энергиях нейтронов. Эффективное сечение реакции упругого рассеяния
нейтронов обозначают опп или ое1.
В процессе неупругого рассеяния (1.5) состав ядра-мишени,
как и при упругом рассеянии, не изменяется. Однако в результате
неупругого рассеяния ядро-мишень оказывается в одном из своих
возбужденных состояний. Так как на возбуждение ядра-мишени
необходимо затратить определенную энергию, процесс неупругого
рассеяния возможен не при любых энергиях нейтронов, а только
при таких, которые выше определенной энергии Епо , т.е. неупругое
рассеяние - пороговый процесс (энергия реакции для неупругого
рассеяния Q< 0). Сечение реакции неупругого рассеяния обозначают
опп. или oin. При рассмотрении поведения нейтронов в веществе
вводят также суммарное сечение упругого и неупругого рассеяния:
Рассеяния нейтронов на ядрах - упругие или неупругие -
являются важнейшими процессами, самым существенным образом
влияющими на протекание цепной реакции в ядерных реакторах, особенно
в тех из них, которые работают на тепловых или медленных
нейтронах.
Реакции радиационного захвата (1.6) сопровождаются
поглощением нейтронов и испусканием высокоэнергетического электоомаг-

нитного излучения ^квантов). Реакции радиационного захвата
нейтронов всегда экзоэнергетичны ( Q > 0), поэтому они, так же
как и реакции упругого рассеяния, возможны при любых энергиях
нейтронов. Радиационный захват нейтронов возможен любыми
ядрами, кроме £Не. В отличие от реакций упругого и неупругого
рассеяния радиационный захват изменяет состав ядер, поэтому
его наряду с другими процессами, меняющими состав ядер, относят
к собственно нейтронным реакциям. Эффективное сечение
радиационного захвата обозначают апу.
Радиационный захват самым существенным образом влияет на
физические процессы в ядерном реакторе - на условие
осуществимости самоподдерживающейся цепной реакции, на
воспроизводство ядерного горючего, на изменение изотопного состава
материалов ядерного реактора и др.
Поглощение нейтронов деления атомными ядрами может
сопровождаться испусканием заряженных частиц: протонов (1.7) и
ос-частиц (1.8). Эффективные сечения реакций {п, р) и (п, и) обозначают
соответственно опр и опа. Реакции {п, р) и (п, а) могут быть как
экзоэнергетическими {Q > 0), так и эндоэнергетическими {Q < 0).
Первые возможны при любых энергиях нейтронов, тогда как вторые
возможны только при энергиях, превышающих пороговое значение:
М+т , ,
£пор \<2\, (1-Н)
м
где М - масса ядра мишени; т - масса нейтрона.
Если (п, р)-реакции экзоэнергетичны, то энергия реакции не
может принимать значения большего, чем разность масс нейтрона
и протона с электроном, т.е. Q < 0,78 МэВ. Поэтому (п, р)-реакции
преимущественно эндоэнергетичны, т.е. они характеризуются
определенными порогами, {п, а)-Реакции возможны на средних и
тяжелых ядрах (А й: 40-^-60). На легких ядрах они, как правило,
невозможны. Есть относительно небольшое число легких ядер,
на которых наблюдаются эти реакции. Примерами могут служить
экзоэнергетические реакции: 10В (п, a.) 7Li, 6Li (n, a) t. Указанные
особенности обусловлены общими закономерностями устойчивости
ядер по отношению к а-распаду.
Если даже (п, р)- и {п, а)-реакции на нейтронах деления
энергетически возможны, то они оказываются в значительной мере
подавленными ввиду малой проницаемости кулоновского барьера ядра.
Даже в наиболее благоприятных случаях эффективное сечение
(п, р)- и (tt, а)-реакций оказываются существенно меньше сечения
рассеяния нейтронов.

Реакции с испусканием заряженных частиц под действием
нейтронов необходимо учитывать как один из основных источников
изменения свойств конструкционных материалов ядерных
реакторов.
(п, 2п)-Реакции интересны с точки зрения возможности
размножения нейтронов. Эти реакции всегда эндоэнергетичны и порог
их, как правило, достаточно высок. Примерами этих реакций могут
служить:
п + 9Ве-2а + 2п, Епор- 1,8 МэВ;
л + 1аС-11С + 2п,Епор=« 20МэВ;
п + 6эСи - "Си + 2п, Епор =« Ю МэВ.
Эффективное сечение реакции (1.9) обозначают оп> 2п.
Реакция деления тяжелых ядер под действием нейтронов (1.10),
так же как и спонтанное деление, сопровождается развалом ядра,
как правило, на два осколка. В очень небольшом количестве
случаев (2-10_3) возможно деление с развалом на большее число
фрагментов. Сечение деления обозначают о -. Некоторые характеристики
реакций деления были уже рассмотрены выше.
Сумму сечений всех возможных процессов называют полным
сечением:
°f = °пп + °п„'+ °nv + °пр + °па + °п/ + -
Наряду с сечением рассеяния as = опп + опп» вводят также и
сечение поглощения оа, которое определяют как сумму сечений
всех процессов, которые приводят к поглощению нейтронов:
При этом at= os + aa.
Для делящихся ядер вводят также сечение захвата, которое
представляет собой сумму сечений всех процессов захвата нейтронов,
кроме деления:
Ч = 0пТ + °пр + 0па + -
Для делящихся ядер ав = ас + оп/.
1.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ СЕЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ РЕАКЦИЙ,
ПРОИСХОДЯЩИХ В ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРАХ
Важной особенностью реакций (1.4)—(1.10) в диапазоне энергий,
соответствующих энергиям нейтронов деления, является то, что
каждая из них может, в принципе, осуществляться одним из двух

способов, иными словами, возможны два механизма реакций.
Для первого способа характерно то, что конечные продукты реакции
образуются непосредственно в элементарном акте соударения
нейтрона с ядром. Это - нерезонансный механизм взаимодействия.
Упругое рассеяние нейтронов, происходящее за счет этого механизма,
называют упругим потенциальным рассеянием. При другом
механизме взаимодействия конечные продукты реакции получаются
в два этапа: вначале нейтрон захватьшается ядром и образует
промежуточное составное ядро с массовым числом на единицу
больше массового числа исходного ядра и затем составное ядро
распадается, высвобождая частицы конечного состояния. Этот
механизм реакций называют резонансным. В отличие от первого
механизма резонансные реакции наблюдаются не при любых энергиях
нейтронов, а только при тех, которые соответствуют энергиям
возбуждения промежуточного ядра. Особенностью резонансных
реакций является' то, что их сечение значительно, в некоторых случаях
даже в миллионы раз превосходит геометрическое сечение и
сечение, характерное для нерезонансного механизма взаимодействия.
Формулы, описывающие энергетические зависимости сечений
реакций для резонансного механизма взаимодействия нейтронов
с ядрами, были получены впервые Брейтом и Вигнером и носят
их имена. Если уровни промежуточного ядра изолированные, т.е.
находятся на достаточно большом расстоянии D = Ej-Ek (i, к-
номера уровней) друг от друга D » Г (Г - полная ширина уровня),
то сечение образования промежуточного ядра о* как функция
энергии нейтрона будет иметь вид
o* = gn%2 - , (1.12)
№-£0)а + га/4
2J + 1
где Гп - нейтронная ширина; g = статистический'
(2i +1) (1,21 +1)
спиновый множитель; J - спин возбужденного состояния
промежуточного ядра; i и / — спин нейтрона и ядра-мишени
соответственно; й = Ь/р; р - импульс нейтрона в СЦИ. Величины Е0, Г и Г
называют параметрами резонанса.
Чтобы найти энергетическую зависимость сечений отдельных
реакций, когда они осуществляются через промежуточное ядро,
нужно сечение образования промежуточного ядра (1.12) умножить
на относительную вероятность распада составного ядра ц. = Г./Г
по соответствующему каналу:

Г, - парциальная ширина распада промежуточного ядра по i'-му
каналу. Рассмотрим некоторые примеры.
Упругое резонансное рассеяние, Г, = Гп:
1 п
%n=S^
(£-£)» + Г»/4
Реакции радиационного захвата, Г.- = Г.,:
ony = gnV
гпгт
(Ц-БГ + ТЧА
Реакция резонансного деления, Г,- = Гу
гпг/
(1.13)
(1Л4)
(1.15)
(£-£„)' +Г*/4
Иногда сечения (1.12)—(1.15) записываются через сечение в
резонансе: о0 = о (Е = Е0). В частности, сечение радиационного захвата
нейтронов, записанное через о°т, будет иметь вид
%="
°с„7 (Г/2)а
- ~f~. (U4a)
(£-£о)а + Га/4 V Е
При выводе (1.14а) принято во внимание, что X ~ 1/vE и Гп ~ уЕ.
Обсудим теперь некоторые эмпирические зависимости сечений
от энергии для тех элементов, которые входят в состав материалов,
широко применяющихся в реакторах.
На рис. 1.3 приведена энергетическая зависимость полного
сечения для углерода. В сечении видны два различающихся участка.
0,07 0,1
Рис. 1.3. Полное сечение 1гС
£,МэВ

На одном (до Е «= 2 мэВ) сечение вначале почти постоянно ( ot =
= 4,8-10"** см2) и затем с увеличением энергии медленно
уменьшается. Такой ход энергетической зависимости сечения на этом
участке объясняется тем, что основной вклад в полное сечение
здесь дает сечение упругого потенциального рассеяния. Вклад
другого возможного процесса - нерезонансного радиационного
захвата пренебрежимо мал. В области энергий тепловых нейтронов,
где этот вклад наиболее существен, опу (кТ) * 3,5-Ю-27 см2, тогда
как as(kT) = 4,76 • Ю-24 см3. Таким образом, в области энергий
£52 МэВ о( =* as - опп, т. е. в той области энергий, в которой
заключена энергия основной части нейтронов деления, ядра углерода
будут преимущественно рассеивать нейтроны упругим образом,
но не поглощать их. В силу этого графит и многие углеродсодержа-
щие соединения являются хорошими рассеивателями, т.е.
замедлителями нейтронов деления.
На другом участке (при Е Й: 2 МэВ) в зависимости at {E) имеется
довольно большое число резонансов различной ширины,
расположенных друг от друга на расстояниях порядка нескольких сот кило-
электрон-вольт. В этой области энергий, особенно в начальной ее
части, основной вклад в at также будет двать рассеяние нейтронов,
но уже резонансное, а не потенциальное. При энергиях выше 20 МэВ
резонансы составного ядра не различимы, так как с увеличением
энергии нейтронов растет ширина резонансов и уменьшается
расстояние между ними.
Из всех веществ наилучшими замедляющими свойствами
обладает водород. Водород входит в состав самого легкодоступного
замедлителя - воды, которая используется поэтому в тепловых
реакторах и в качестве замедлителя нейтронов и в качестве
теплоносителя. Энергетическая зависимость сечения рассеяния для
водорода, находящегося в составе воды, представлена на рис. 1.4.
В области энергий от 1 эВ до ~20 кэВ сечение рассеяния нейтронов
водородом очень большое of « 20>10~24см2и практически
постоянно. При Е > 20 кэВ сечение сравнительно быстро уменьшается до
значений порядка единиц и даже долей барн. В области энергий
N ВО
Рис. 1.4. Сечение рассеяния нейтронов воде- £ 0
родом, входящим в состав воды '
Е, эВ

ниже 1 эВ при уменьшении энергии нейтронов сечение растет
и достигает в тепловой области значения as =* 80-Ю-24 см2. Этот
рост объясняется влиянием химических связей водорода в воде.
Так как сечение рассеяния пропорционально квадрату модуля
амплитуды рассеяния, а последняя, как это следует, например, из борновского
приближения, пропорциональна приведенной массе ц, то при рассея-
/ тМ \2 1т \2
нии на свободном водороде о. ~ ц2 = =* —— , тогда
\ т+М \ 2 /
как при рассеянии на связанном водороде as ~ ц** = m , где т -
масса нуклона; М - масса ядра-мишени, т.е. влияние химических
связей водорода в воде увеличивает сечение рассеяния при низких
энергиях приблизительно в 4 раза. Недостатком водорода как
замедлителя нейтронов является относительно высокое по сравнению,
например, с углеродом сечение поглощения замедленных нейтронов:
а"у(кТ)~ 0,33-Ю-24 см2.
Углерод и водород относятся к группе элементов с ярко
выраженными рассеивающими свойствами. Есть группа элементов с ярко
выраженными противоположными - поглощающими свойствами.
Это In, Cd, Ag, В и т.д. Соответствующие вещества называют
поглотителями нейтронов. Для них of - аа.
Характерные особенности поглощения нейтронов подобными
ядрами можно видеть из рис. 1.5, на котором приведена
энергетическая зависимость полного сечения для 1151п. Четко выделена
область изменения сечения по закону 1/v, который должен иметь место
в случае нерезонансного радиационного захвата нейтронов, и
область, в которой наблюдаются несколько ярко выраженных резо-
нансов при энергиях Е ?= 1,46; 3,8; 8,5 эВ и т.д. Другими особенностями
этой зависимости являются:
большое сечение радиационного захвата тепловых нейтронов:
апу{кТ) ^140. Ю-24 см2;
огромное сечение радиационного захвата в резонансах,
особенно в первом из них - при Е = 1,46 эВ оп„ = 2,64-Ю"20 см2.
Для поглотителей нейтронов характерны и такие особенности:
уменьшение в среднем сечения поглощения в резонансе с
увеличением энергии резонанса;
огромные сечения поглощения тепловых нейтронов, когда первый
резонанс находится в области тепловых энергий.
Все отмеченные особенности сечений легко объяснимы с помощью
формулы Брейта-Вигнера (1.14а), если воспользоваться
соответствующими энергетическими зависимостями ширин Гп, Г„, Г.

Рис. 1.6. Сечение поглощения нейтронов
кадмием
Е,ЭВ
Рис. 1.5. Сечение поглощения нейтронов индием
Своеобразную энергетическую зависимостьь полного сечения
имеет кадмий (рис. 1.6), у которого в области энергий тепловых
нейтронов сечение поглощения меняется относительно мало (в
2-3 раза), а при переходе к более высоким энергиям полное сечение
в диапазоне энергий всего несколько десятых электрон-вольт резко
уменьшается, примерно в тысячу раз. Такая зависимость есть следствие
наложения закона 1/v и селективного захвата для изотопа 113Сй, пик которого с
относительно узкой шириной находится при энергии, близкой к энергии;
тепловых нейтронов. Поэтому кадмий хорошо поглощает тепловые
нейтроны и относительно прозрачен к нейтронам более высоких
энергий. Благодаря таким особенностям поглощения кадмий
(содержание изотопа 113Cd в естественной смеси составляет» 12%)
используют иногда в тепловых реакторах в качестве поглощающего
материала для управляющих стержней.
Однако кадмий не является рекордсменом в поглощении тепловых
нейтронов. У 135Хе и 1S7Gd резонансы находятся еще ближе к
тепловой области и сечения поглощения тепловых нейтронов на
них составляют 2,97-10"18 см2 и 3,55-10"19 см2 соответственно.
Огромным сечением захвата тепловых нейтронов ксеноном
объясняется явление, получившее название ксенонового отравления
ядерных реакторов: 135Хе, образующийся при делении урана,
захватывая тепловые нейтроны, способствует затуханию цепной реакции
(см. § 6.3).
Хорошим поглотителем нейтронов является бор, для которого
энергетическая зависимость сечения поглощения медленных
нейтронов в первом приближении следует закону 1/v (рис. 1.7).
Поглощение нейтронов бором осуществляется преимущественно изо-

Рис. 1.7. Сечение поглощения
нейтронов бором
топом 10В, содержание которого в естественной смеси изотопов
бора составляет 19,8%, по реакции
n + *°B-7Li + oc (1.16)
и сопровождается большим энерговыделением в виде кинетической
энергии 7Li и а-частиц. Наблюдаемое в данном случае поглощение
нейтронов по закону 1/v объясняется резонансным захватом,
который происходит быстро и при малой энергии, т.е. с Г =* Гг » |£ - EQ |.
Более точные измерения энергетической зависимости реакции
(1.16) показали, что Гг = 250 кэВ и Е0 «= 100 кэВ. Бор, как и кадмий,
используется в качестве поглотителя нейтронов в стержнях
регулирования ядерного реактора.
Для понимания работы ядерного реактора важно знать
энергетические зависимости сечений различных возможных процессов для
делящихся элементов. На рис. 1.8 показана зависимость сечения
деления 235U от энергии нейтронов. В промежуточной области
энергии (от 1 эВ до 103 эВ) сечение характеризуется наличием
большого числа резонансов. Параметры первых из них приведены в
табл. 1.2.
10 £ 70"' 1 W Ж 10J
Рис. 1.8. Сечение деления 235и нейтронами
7(7'
10' Ю6Еп,эВ

Таблица 1.2. Характеристики ядерных резонансов 33SU
£,-, эВ
0,285
1,135
2,028
2,84
3,145
i
36
42
38
-
44
,мэВ
2*Г„, юВ
0,0032
0,0154
0,0077
0,003
0,028
Г л мэВ
100
115
10
100
116
■Б,-, аВ
3,613
4,845
5,446
5,83
i
37
35
46
-
мзВ
2*4
0,046
0,059
0,022
0,016
мзВ
i
Гл мэВ
50
5
24
75
Сечение радиационного захвата для 235U в основных чертах
повторяет зависимость, приведенную на рис. 1.8, с той лишь
разницей, что сечение захвата существенно меньше сечения деления.
В тепловой области энергий, например, где оба эти сечения следуют
закону 1/v, сечение захвата нейтронов 23SU примерно в 6 раз
меньше сечения деления: saf ** 582- Ю-24 см2, 5апу = 99- Ю-24 см2.
Сечение деления нейтронами изотопа 23BU (рис. 1.9) имеет
зависимость от энергии, типичную для пороговых процессов. Порог
деления для 238U ~ 1 МэВ. За порогом реакции сечение быстро
растет и в области энергий от 2 до 5 МэВ выходит на плато. Высота
плато определяется соотношением о г = о , где о - сечение
г/+г„
образования составного ядра. При последующем увеличении энергии
нейтронов сечение деления 238U нейтронами возрастает
ступеньками, приближаясь к сечению образования составного ядра 239U.
Ступенчатый рост сечения при Е * 6 МэВ объясняется тем, что к
обычному делению составного ядра добавляется деление
возбужденных ядер 238U, которые образуются при неупругом рассеянии
нейтронов, т.е. в реакции (238U (n, ri) 238U*). Возбуждение ядра
238U таково, что оно превышает барьер его деления. Подъем сечения
при энергии нейтронов 13-15 МэВ объясняется добавлением делений
от сильно возбужденного изотопа 237U, образующегося в реакции
238U(n, 2п) 237U*. Аналогичные объяснения могут быть даны и
последующим ступенькам в зависимости от энергии сечения деления
изотопа 238U нейтронами.
Зависимость полного сечения для 238U от энергии нейтронов
в области энергий до порога его деления приведена на рис. 1.10.
Здесь так же, как и для изотопа 23SU, промежуточная область
энергий характеризуется наличием большого числа резонансов,
расстояние между которыми «20 эВ. Вблизи некоторых из резонансов
обнаруживаются явно выраженные провалы в сечениях, обуслов-

Рис. 1.9. Сечение деления нейтронами 23eU
W'1 1 10
Е.МэВ
Ю' 1Q"1 1 10 10
Рис. 1.10. Полное сечение для 23eU
W
W W
*„.»«
ленные вкладом рассеяния в полное сечение и являющиеся
следствием интерференции потенциального и резонансного упругого
рассеяния. Резонансный захват нейтронов ядрами 238U
существенным образом влияет на баланс нейтронов в цепной реакции деления
(см. гл. 4).

Глава 2. ДИФФУЗИЯ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
2.1. ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЙТРОНОВ В СРЕДЕ
В свободном состоянии нейтроны живут, как известно, в среднем
888 с, после чего распадаются с образованием протонов, электронов
и антинейтрино:
n->-p+e~+ve.
Бели же нейтроны оказываются в конденсированной среде, их
поведение принципиально изменяется. Теперь распад нейтронов
становится пренебрежимо мал, а основную роль в их поведении
играют столкновения с ядрами атомов среды.
Проследим характер и судьбу движения нейтронов в среде.
Поскольку нас интересуют физические процессы, происходящие
в ядерном реакторе, будем считать, что нейтроны возникают от
источника, кинетическая энергия нейтронов которого приближенно
равна средней энергии спектра нейтронов деления, т.е. она равна
нескольким миллионам электрон-вольт.
Чтобы понять, что будет происходить с нейтронами, когда они
окажутся в веществе, необходимо знать, какие элементарные
процессы возможны при соударении отдельного нейтрона с ядрами
атомов вещества. Напомним их. При энергиях в несколько мега-
электрон-вольт и менее существенны два типа столкновений
нейтронов с ядрами: рассеяние и поглощение. Рассеяние нейтронов
может быть как упругим, так и неупругим. Поглощение нейтронов,
в свою очередь, сопровождается различными превращениями:
радиационным захватом, испусканием протонов, а-частиц,
делением ядра и т.д. Для дальнейшего рассмотрения поведения нейтронов
в среде несущественно, какой конкретный вид превращения
осуществляется как при рассеянии нейтрона, так и при поглощении. Важно,
что при рассеянии нейтрон как объект наблюдения сохраняется,
а при поглощении он исчезает.
Из сказанного ясно, что судьба нейтронов в среде достаточно
больших размеров предопределена: рано или поздно они будут
поглощены ядрами вещества. Момент, когда это произойдет,
определяется законами теории вероятности, однако среднее время
жизни нейтронов в среде будет зависеть от соотношения между
полными сечениями рассеяния и поглощения нейтронов для данной
среды (уменьшением числа нейтронов, обусловленным их распадом в
среде, можно при этом пренебречь).
В этой книге нас будет интересовать поведение нейтронов в
материалах, получивших название замедлителей. Замедлители

используются в реакторостроении в качестве одного из основных
компонент ядерного реактора на тепловых нейтронах,
предназначенного для уменьшения энергии нейтронов. Основная особенность
их состоит в том, что сечение поглощения нейтронов ядрами
замедлителя мало по сравнению с сечением рассеяния т.е. оа «:os .
Качество замедлителей помимо других факторов, о которых речь
будет идти ниже, определяется тем, насколько os превосходит оа.
Хорошими замедлителями являются обычная вода (Н20), тяжелая
вода (D20), бериллий (Be), углерод (С). Значения сечение
рассеяния и поглощения нейтронов элементами, входящими в состав
некоторых из этих замедлителей, приведены, например, в табл. 2.1
(сечения соответствуют нейтронам тепловых энергий).
Отметим еще одну особенность замедлителей, существенную для
понимания поведения нейтронов в них. Если замедлитель "легкий",
т.е. состоит из элементов с небольшим массовым числом А, то
нейтроны с энергией порядка нескольких мегаэлектрон-вольт и ниже
будут рассеиваться в такой среде преимущественно упруго.
Это обусловлено тем, что для ядер с малым А характерны
относительно большие расстояния между их энергетическими уровнями,
благодаря чему в интересующей нас области энергий сечение
неупругого рассеяния можно считать пренебрежимо малым по сравнению
с сечением упругого рассеяния: оп/). <*: апп и, следовательно, os = с^, .
Если же замедлитель тяжелый (А»1), то в большинстве случаев
неупругое рассеяние будет сказываться на особенностях движения
быстрых нейтронов в такой среде.
Итак, посмотрим, как будет вести себя нейтрон с начальной
энергией в несколько мегаэлектрон-вольт внутри блока
замедлителя достаточно больших размеров (настолько больших, что утечкой
нейтронов можно пренебречь). Поскольку для замедлителей as» aa,
акты столкновения нейтронов в веществе будут преимущественно
рассеивающими. Полное число их в среднем велико. В результате
каждого акта рассеяния нейтрон будет изменять как направление
своего движения, так и свою энергию. При этом законы, по которым
происходят эти изменения, будут зависеть и от типа рассеяния
нейтрона, и от его энергии.
На начальном этапе движения кинетическая энергия нейтрона
будет обязательно уменьшаться до тех пор, пока она не сравняется
с энергией теплового движения атомов среды, среднее значение
з
которой при комнатной температуре Т = 300 К составляет — кТ =* 0,040 эВ
(к - постоянная Больцмана). Затем термализованный нейтрон
продолжит рассеиваться, "блуждать" или, как говорят, диффундировать
до тех пор, пока не будет поглощен.

Стадию движения нейтронов в среде, на которой энергия
нейтронов выше тепловой и постепенно уменьшается, называют
замедлением*, а стадию движения, на которой энергия нейтронов не
изменяется и равна в среднем энергии теплового движения атомов
среды, называют диффузией тепловых нейтронов или просто
диффузией. Этой терминологии мы и будем придерживаться в
дальнейшем**.
Типичная траектория движения нейтрона на этих стадиях с
учетом некоторых ее особенностей, о которых речь будет идти
дальше, изображена на рис. 2.1. Здесь участок траектории от точки
А до В соответствует стадии замедления, а участок от точки В до
С - диффузии.
Возникает вопрос: где граница энергии, выше которой движение
нейтронов в среде нужно рассматривать как замедление, а ниже -
как диффузию? Ответить на него однозначно невозможно, так как
переход от одной стадии к другой - непрерывный, плавный.
Математически эту задачу обычно решают, выбирая некоторую
граничную энергию Е , выше которой движение нейтронов
рассматривают как замедление, а ниже - как диффузию.
Две стадии в истории жизни нейтрона в среде имеют много общего
и в то же время отличаются друг от друга. И замедление и диффузия
представляют собой последовательность большого числа рассеяний
нейтрона. И в том и" в другом случае акты рассеяния - случайные
события. Эти особенности объединяют диффузию и замедление
и при описании этих явлений позволяют в некоторых случаях
получать закономерности замедления как, безусловно, более сложного
явления на основе обобщения закономерностей, полученных для
диффузии.
Различия диффузии и замедления заключены в особенностях
элементарных актов рассеяния. Самое существенное из них состоит
в том, что замедление нейтронов сопровождается постепенным
уменьшением его кинетической энергии (в этом и состоит суть
; явления замедления, открытого Ферми в 1934 г.), в то время как
в процессе диффузии кинетическая энергия нейтронов в среднем
; сохраняется. На стадии диффузии каждый отдельно рассматриваемый
*Из многих важнейших научных открытий, сделанных великим итальянским
физиком Ферми, ои сам наиболее значительным считал открытие явления замедления
нейтронов.
**В литературе замедление и диффузию тепловых нейтронов часто называют
соответственно диффузией быстрых и медленных нейтронов.

Рис. 2.1. Схематическое изображение трв- Рис. 2.2. Энергетическое распределение
ектории замедляющегося нейтрона тепловых (1) и замедляющихся (2) ней-
в среде тронов в замедлителе
нейтрон может либо приобрести кинетическую энергию (если нейтрон
и ядро движутся навстречу друг другу), либо потерять ее (если
нейтрон летит вдогонку ядру-мишени). Однако в среднем тепловые
нейтроны сохраняют кинетическую энергию, равную—-кГ.: Можно
сказать, что нейтроны как бы "блуждают" по максвелловской
кривой, которая описывает распределение термализовавшихся
нейтронов по энергиям. Соответствующее распределение потока
тепловых нейтронов показано сплошной линией на рис. 2.2.
Максимуму этого распределения соответствует скорость нейтронов
v0 = т/2кТ/т\ где т - масса нейтрона. При комнатной температуре
v0 = 2200 м/с, а энергия этих нейтронов Е = кТ = 0,0253 эВ (Т= 293,6 К).
2.2. ОСОБЕННОСТИ ДИФФУЗИИ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
В предыдущем параграфе была отмечена одна особенность
движения тепловых нейтронов в веществе, а именно постоянство
в среднем их скорости или энергии. Другой важной особенностью
диффузии является равновероятность, т.е. случайность всех
направлений движения нейтрона в системе центра инерции реакции (СЦИ)
после любого акта рассеяния. Этот закон есть следствие
предсказываемого теорией и подтверждаемого на опыте 5-рассеяния
медленных частиц свободными ядрами, т.е. рассеяния в состояниях с
орбитальным квантовым числом / = 0. Закон справедлив при
рассеянии тепловых нейтронов на ядрах с любым массовым числом А.
Однако, говоря о поведении в среде тепловых нейтронов, нужно
учитывать, что их кинетическая энергия существенно меньше
энергии связи атомов в замедлителе, особенно если последний

I представляет собой вещество в конденсированном состоянии -
жидком или кристаллическом. Следует также иметь в виду, что
л дебройлевская длина волны тепловых нейтронов сравнима с
межатомными расстояниями в веществе. Оба указанных фактора
обусловливают специфику их взаимодействия с веществом: нейтрон
будет взаимодействовать не с отдельным атомом, а с целым
ансамблем атомов. Иными словами, в случае тепловых нейтронов отдельный
■i рассеивающий акт должен быть отнесен не к одному атому, а к
.; ансамблю атомов. При этом от количества атомов, составляющих
3 ансамбль, будут зависеть особенности рассеяния. Во-первых, можно<
vj считать, что при диффузии система центра инерции и лабораторная
| система (ЛС), где покоится сам замедлитель, совпадают. Действи-
| тельно, ансамбль атомов, с которым взаимодействует нейтрон,
■*' имеет очень большую массу по сравнению с массой нейтрона, и
поэтому скорость СЦИ относительно лабораторной системы будет
ничтожно малой. Следовательно, угловое распределение рассеян-
ных нейтронов в ЛС будет таким же, как и в СЦИ, т.е. сферически-
симметричным. И, во-вторых, при движении теплового нейтрона
в среде энергия может передаваться не отдельным атомам, а всей
кристаллической решетке (или молекуле) в целом. Передаваемая
энергия определяется массой ансамбля атомов и спектром
возбуждения кристалла (фононным спектром) или молекулы. В частности,
в кристаллах возможно такое рассеяние, при котором передаваемая
энергия равна нулю (рассеяние без отдачи). В этом случае
внутреннее состояние кристалла не изменяется, а изменение трансляционной
энергии кристалла (энергии, идущей на его движение как целого)
из-за его бесконечно большой массы М-*-» практически равно нулю.
На существование взаимодействий нейтронов без передачи
энергии кристаллической решетке указал еще в 1939 г. Лэмб,
который развил теорию резонансного поглощения медленных нейтронов
в кристаллической решетке. Явление, аналогичное такому
рассеянию нейтронов, наблюдается, как известно, при рассеянии и
поглощении у-квантов ядрами, находящимися в кристаллической
решетке. Эта аналогия была обнаружена Мессбауэром, который
дал, основываясь на теории Лэмба, правильное описание открытого
им эффекта (эффект Мессбауэра).
Энергетический спектр теплой ых нейтронов, диффундирующих
в конденсированных средах, в силу указанных эффектов будет
отличаться от максвелловского. Однако, как показывает детальное
й рассмотрение, эти отклонения незначительны, а их влияние на ха-
j рактеристики процесса диффузии несущественно. Наибольшее же

влияние на вид спектра тепловых нейтронов в среде оказывает
поглощение нейтронов, которое и является одной из основных
причин установления баланса нейтрснов в среде. Так как сечение
поглощения нейтронов меняется с энергией по закону аа ~ 1/v ~ IhfE,
наиболее интенсивно будут поглощаться самые медленные нейтроны
(из тепловых), тогда как более быстрые нейтроны будут поглощаться
слабее. В итоге спектр нейтронов в реальном замедлителе всегда
будет жестче максвелловского. Тем не менее, даже искаженный
поглощением, он по-прежнему может считаться в первом
приближении максвелловским, но с эффективной температурой, большей
температуры замедлителя.
Далее при описании процесса диффузии мы будем исходить
из двух основных предположений: постоянства скорости и энергии
нейтронов в процессе диффузии и равновероятности всех
направлений движения нейтронов в СЦИ и в ЛС после рассеяния. Эффекты
когерентного рассеяния, кристаллической структуры и химической
связи учитываться не будут.
Для нахождения пространственно-временных распределений
нейтронов в среде будут использоваться два подхода. В первом
подходе - вероятностном - диффузия рассматривается как
последовательность большого числа случайных актов рассеяния. Здесь
удается найти функцию распределения плотности от точечного
источника не только в безграничной среде, не и для точечного
источника в среде, имеющей плоские границы. Удобство этого
подхода заключается в его наглядности, а также в том, что с его
помощью легко понять физический смысл параметров,
характеризующих диффузию.
В другом подходе распределения нейтронов в среде
вычисляются в рамках простой теории диффузии, основанной на решении
дифференциального уравнения - уравнения диффузии, которое в
отличие от точного кинетического уравнения Больцмана, имеющего
йнтегродифференциальный вид, приближенное. Однако точность
его предсказаний во многих практически важных случаях достаточно
высока. Важное достоинство дифференциального уравнения
заключено в сравнительной легкости и простоте, с которыми могут быть
получены его решения. Именно поэтому многие задачи теории
реакторов были решены с помощью дифференциального уравнения
диффузии.
Преимущество второго подхода по сравнению с первым
особенно проявляется тогда, когда в среде задано произвольное
расположение источников, а среда имеет границы произвольной формы.

2.3. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ С ВЕЩЕСТВОМ
Тепловой нейтрон, находящийся в замедлителе, будет
двигаться по прямой линии до тех пор, пока он не испытает столкновения
с каким-либо атомом среды. Это столкновение может, как уже
говорилось, привести либо к упругому рассеянию нейтрона, либо
к его поглощению. Если нейтрон рассеится, то он изменит
направление движения и вновь будет двигаться по прямой до
очередного столкновения с ядром. Так будет продолжаться до тех
пор, пока нейтрон в конце концов не захватится ядром. При этом
сечение рассеяния тепловых нейтронов от столкновения к
столкновению не изменяется. Траектория нейтрона в результате таких
столкновений будет иметь характерный зигзагообразный вид
(рис. 2.1, участок от точки В до С). Расстояние, которое проходит
нейтрон между двумя последовательными рассеяниями, называют
длиной "свободного пробега" до рассеяния {ls), а расстояние от
точки возникновения нейтрона до точки, где он поглотился (по
ломаной линии), называют длиной "свободного пробега" до
поглощения (1а). Ясно, что как ls, так и 1а - случайные величины,
изменяющиеся в пределах от 0 до °° , причем
'.= ££ (2-1)
; где i - номер соответствующего участка свободного пробега; N -
число актов рассеяния нейтрона.
Найдем функцию распределения нейтронов по пробегам. Для
J этого посчитаем вначале вероятность того, что нейтрон пройдет
:i в замедлителе расстояние / без взаимодействия. Разобьем отрезок
• / на к малых участков одинакового размера Д/ = 1/к. Ввиду малости
размеров участков вероятность рассеяния нейтрона на каждом из
них равна
nosAl=lsAl, (2.2)
где п - концентрация атомов среды. Величину Zs = nas называют4
макроскопическим сечением рассеяния. Из (2.2) видно, что Z имеет
смысл вероятности рассеяния, приходящейся на единицу длины.
Вероятность того, что нейтрон пройдет все к участков не
рассеиваясь, (1 - Is Д0 = (1 - Is Д0 . Устремляя Д/ - 0 и пользуясь
I соотношением lim (1 - у) у = ехр (-а), находим, что вероятность
5 у-О
|для нейтрона пройти расстояние f без рассеяния будет равна.

exp (-Ej /). Вероятность рассеяться на участке от I до I + dl можно
найти как произведение двух величин: ехр (-1 /) - вероятности
того, что нейтрон дойдет до / не рассеиваясь, и l$dl - вероятности
того, что он будет рассеян на следующем участке, т.е. И$ dl ехр (-1 I).
Функция / (/) = Is exp (-Zs /) и является плотностью вероятности
иметь пробег, заключенный в пределах от / до / + dl, т.е. искомой
функцией распределения по пробегам.
Средняя длина свободного пробега до рассеяния по определению
среднего равна
_ °° -£.» 1 1
;=1Л,е dl =
О zs n0s
Средний свободный пробег теплового нейтрона в среде является
одной из важнейших характеристик замедлителя. Для него вводят
специальное обозначение
7sXf=l/Zs. (2.3)
С учетом (2.3) функцию распределения по пробегам можно записать
в виде
/(/)= —ехр (-i/g. (2.4)
Второй момент распределения (2.4)
l2=U2f(l)dl = 2kf. (2.5)
о
Аналогичным образом можно ввести функцию распределения
нейтронов по пробегам до поглощения. Подобно (2.4) получим
/(/) ехр НАД
где
K = Wa (2.6)
- средняя длина пробега нейтрона до поглощения; 1 = по -
макроскопическое сечение поглощения, которое имеет смысл вероятности
поглощения, приходящейся на единицу длины пробега нейтрона
в веществе.

Средние длины свободного пробега до поглощения и рассеяния
N ■ -
взаимосвязаны. Усредняя (2.1), получаем /а = I l's или A.fl = NXS, где
i-i
N - среднее число актов рассеяния, приходящихся на один акт
захвата.
Для замедлителей, как уже указывалось, аа «: а$. Из (2.3) и
(2.6) следует, что ка » ks, и поэтому ЛГ » 1.
Поскольку скорость тепловых нейтронов мы полагаем
неизменной, среднее время Ts, которое проходит между двумя
последовательными актами рассеяния, можно найти как Ts = A.s/v, а среднее времж
Г от момента появления нейтрона в среде до его исчезновения,
т.е. время диффузии, как Т = ка/\. Учитывая, что для замедлите-i
лей ks «: ка, заключаем, что Г » Ts. При этом как Г, так и Ts
существенно больше времени взаимодействия теплового нейтрона со
свободными ядрами. Для графита (р = 1,67 г/см3), например, Ts =*
=* .10 мкс, Т = 20мс.
Закон распределения тепловых нейтронов по углам их вылета
в СЦИ для случая 5-рассеяния при однократном столкновении имеет,
как известно, вид
dop^dQ * = const = a# 4 л,
Таблица 2.1. Сечения некоторых элементов для тепловых нейтронов
Элемент
!Н
2Не
ЬС
■Р
,о
»*•
,аРЬ
взШ
Изотоп
»Н
2Н
«Не
1ЯС
"N
1»0
23Na
»°»РЪ
ao»Bi
Содержание в
естественной
смеси, %
—
0,015
-
98,9
99,63
99,762
100
- "
100
оа, 10"а4 смя
0,3326
0,519-10"3
-
3,53-1О"3
1,905*
0,190-Ю"3
0,530
0,170
0,033
0S, 10-" см2
20,491
3,390
0,76
4,746
10,05
3,761
3,025
11,4
9,37
* Для всех элементов, приведенных в табл. 2.1, кроме 4JN, аа = оп«.. Для азота
°а " °пр-

Таблиио 2.2. Нейтронные макроскопические характеристики некоторых веществ
Вещество Плотность р,' Концентрация £s,cm~1 Ед.см"1
нао
D,0
Графит
Натрий
Свинец
Висмут
г/см3
1
1,105
1,67
0,97
11,34
9,75
атомов,
10" см-3
3,343
3,323
8,37
2,54
3,3
2,81
1,496
0,3503
0,3967
0,0768
0,376
0,263
*Т$кТа вычислены для v - 2200 м/с.
где dQ * = sin 8 * с/0 * dtp * (0 * - полярный угол относительно
направления первичного нейтрона; ф* - азимутальный угол). Отсюда
плотность вероятности обнаружить рассеянную частицу в интервале
cos 0 * *• cos 0 * + c/cos 0 * будет равна
do?
/(cos0*) — = 1/2. (2.7)
o^dcose*
Из (2.7) следует, в частности, что для тепловых нейтронов
cos 0* = 0; cosa 0*= 1/3. (2.8)
Экспериментальные значения микроскопических и
макроскопических констант, характеризующих диффузию тепловых нейтронов
в некоторых замедлителях, даны в табл. 2.1 и 2.2.
2.4. ФОРМУЛА ЭЙНШТЕЙНА
Пусть в бесконечной однородной моноизотопной среде находится
точечный источник тепловых нейтронов*. Вычислим, насколько
далеко от источника (начала координат) окажутся нейтроны в
процессе беспорядочного движения.
*Под точечным понимают такой источник, размеры которого малы по сравнению
со средней длиной свободного пробега нейтронов в среде.
1,972 -Ю"2
3,88-10's
2,60-Ю-"
1,196- Ю"а
4,97-10"3
8,2-10-*

X-, см
Х.,см
Г/, мкс
Т„, мкс
0,6684
2,855
2,521
13,02
2,66
3,80
50,73
2,57-10*
3,85-103
83,5
2,0Ы0Я
1,22-10э
3,04
■ 12,9
11,56
59,2
12,1
17,3
230,6
11,68-10*
17,5-103
380
914
5,54-103
На рис. 2.3 изображена проекция пути отдельного нейтрона в
среде на некоторую плоскость, проходящую через источник.
Результирующее смещение нейтрона вдоль выбранной оси х (источник
находится в начале координат, х = 0) можно, как видно из рис. 2.3,
записать как алгебраическую сумму проекций на ось х отрезков
пути х,- между отдельными ядрами, на которых происходило
рассеяние:
N N
х= 2 х,- = X l{ cos 6,,
i-l i-l
(2.9)
где 1{ - свободный пробег и в,- - угол рассеяния нейтрона по
отношению к первоначальному направлению при i-м соударении; N - число
актов рассеяния.
Среднее смещение х в силу независимости движения одной и
той же частииы в промежутках между разными столкновениями
и независимости пробега от угла рассеяния можно найти как
~N~
х = £ /,- cos 6,- = ЛИ,- cos 6;.
i-l
Рнс. 2.3. Траектория нейтрона в процессе
диффузии

Бели сферическая симметрия рассеяния сохраняется и в
лабораторной системе координат (как это имеет место, например, при
столкновении с тяжелыми ядрами или при рассеянии на кристаллах),
то cos 8,-,так же как и cos 8# будет равен нулю и, следовательно,
х = 0. Этот результат очевиден, так как нейтрон после очередного
рассеяния с равной вероятностью может двигаться и в
положительном, и в отрицательном направлении оси х. Отсюда заключаем,
что х является плохой характеристикой смещения нейтрона в
процессе его беспорядочного движения.
Смещение нейтронов удобнее характеризовать положительно
определенной величиной, которая не зависит от того, в какую
сторону от источника движется нейтрон. В качестве такой величины
возьмем х2, которая по определению есть
N
х2 = Ц ifc cos б,- cos6fc.
i,k
Усредним это выражение, выделив в нем явным образом
суммирование по 1 = к и i ф к:
_ • -J7 ■■ jj
х2 = Z /?cos 2е,- + Z l{ lk cos В,- cos 6fc.
i=k i i Ф к
Очевидно, что корень квадратный из х2 и будет мерой смещения
теплового нейтрона от точки его образования.
В силу независимости движения частицы в промежутках между
столкновениями и независимости пробега от угла рассеяния "Зс2
можно переписать как
х~2=jwfeos2 e,.+mt Tk cos е,. cos efc.
Для изотропного рассеяния (cos 8 = 0) сумма по i ф к равна нулю,
а сумма по i = к содержит N одинаковых слагаемых, т.е.
Jc5=M'2cos2e.
Так как р •= 2Х *и cos2 6 = 1/3 [см. (2.5) и (2.8)], то
х2 М.2. (2.10)
з
Поскольку х = 0, х2 будет характеризовать разброс смещений
относительно их среднего значения, т.е. в соответствии с определениями
математической статистики Зс5 является дисперсией величины х.
В (2.10) произведение Nks есть длина пути L, проходимого
тепловым нейтроном по ломаной линии (см. рис. 2.1) в процессе его бес-

порядочных блужданий, т.е.
3^= — Lks. (2.11)
з
Средний квадрат смещения нейтрона можно связать со временем
блуждания t = L/v, тогда
& tvks = 2Dt. Ч (2.12)
з
Здесь символом D обозначена одна из важнейших физических
величин, характеризующих диффузию тепловых нейтронов, которая
называется коэффициентом диффузии. Как видно из (2.12),
коэффициент диффузии D показывает, насколько далеко в заданном
направлении смещается в единицу времени нейтрон в процессе его
беспорядочных блужданий в среде, т.е. он характеризует скорость
смещения теплового нейтрона от источника.
Формула, подобная (2.12), была получена Эйнштейном в 1905 г.,
конечно, не для диффузии нейтронов, а для диффузии броуновских
частиц. Но она остается справедливой в сделанных предположениях
независимо от того, о диффузии каких частиц идет речь. Поэтому
далее на формулу (2.12) мы будем ссылаться как на формулу
Эйнштейна.
Через характеристики нейтрона и среды коэффициент диффузии
тепловых нейтронов выражается формулой
1
D ks\. (2.13)
з
Посчитаем эффективную скорость иэф, с которой тепловой
нейтрон удаляется по гладкой траектории от точки своего
возникновения. Из (2.12) находим
■ffi Гг Ts ' 1
"эф / —" V~~7T-
t v з t V f
Величина u3., как видим, есть функция только времени диффузии
t (A.s и v - постоянные), которая при больших t слабо (как \l\ft)
убывает со временем. Наибольшую скорость удаления нейтрон имеет
в начальный момент, но при этом она не равна «>, как это следует
из формулы для ц,ф, а ограничена сверху значением обычной
скорости v. В самом деле, время диффузии ограничено снизу величиной,
равной At, т.е. t > At = Xs/\, поэтому иЭф ограничена сверху
величиной

"3*V7v2;Sv-
При рассеянии тепловых нейтронов не слишком тяжелыми
ядрами угловое распределение нейтронов, будучи
сферически-симметричным в СЦИ, в лабораторной системе координат несколько
вытянуто вперед (см. гл. 3.2):
соГё = 2/(ЗА). (2.14)
В результате смещение нейтрона в данном направлении оказывается
больше того, которое дается формулами (2.10) - (2.12). Анизотропию
рассеяния можно учесть, введя вместо средней длины свободного
пробега новую величину, называемую средней длиной переноса
или "транспортной длиной". Ее называют также эффективной
длиной перемещения нейтрона в данном направлении. Наиболее
просто транспортную длину A.fr можно посчитать, полагая, что на
каждом шаге пробег нейтрона до рассеяния равен среднему
свободному пробегу A.J3 а косинус угла рассеяния - среднему косинусу,
даваемому (2.8). Более строгое рассмотрение, учитывающее различие
в пробегах и в углах рассеяния, в конечном итоге дает тот же
самый результат. Из рис. 2.4 можно видеть, что
A.fr = ks + ks cos 9 + A.$ (cos 9)2 + ... =
=—^ '-—. (2.i5)
1 - cos 8 1 - 2/(3A)
Обратим внимание на то, насколько сильно эффективное
перемещение нейтрона в данном направлении отличается от A.s.
Так, для обычной воды (рассеяние происходит преимущественно на
ядрах атомов водорода) A.fr и A.s различаются в 3 раза, для тяжелой
воды - в 2 раза. Для углерода различие составляет 5%.
Уточнение формулы для среднего квадрата смещения теплового
нейтрона подразумевает замену \ -► A.fr. Однако нетрудно видеть,
что (2.10), (2.11) и (2.12) при такой замене дадут различный резуль-
Z7 Рис. 2.4. Схема, иплюстрируюшая введение
понятия "транспортной длины"

тат. Физически правильный ответ получается тогда, когда замена
\ - A.fr делается в (2.11) и (2.12), так как длина пробега нейтрона
■ по ломаной L и время блуждания t - L/v, зависящие от v, не зависят
от того, будет ли рассеяние нейтрона сферически-симметричным
или нет. Таким образом, анизотропия рассеяния фактически приводит
к увеличению скорости смещения нейтронов в данном направлении,
т.е. к увеличению коэффициента диффузии:
1 1 X..V
D,-D, = —Xfrv . (2.16)
3 3 1-2/(ЗЛ)
При этом
x~2 = 2Dtt. (2.12а)
Теперь нетрудно найти среднее значение квадрата полного
смещения нейтрона г2. Так как г2 = х2 + у2 + z1 и х2 = у2 = ?, то, не
учитывая анизотропии рассеяния, получим
l2 = bDt = 2\L = 2N\2. (2.17)
Выражение (2.17) представляет собой формулу Эйнштейна для
трехмерного случая.
2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ ОТ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
В БЕЗГРАНИЧНОМ ОДНОРОДНОМ ЗАМЕДЛИТЕЛЕ
В предыдущем параграфе был дан ответ на вопрос, как далеко
от точки образования сместятся тепловые нейтроны в заданном или
произвольном направлении за некоторое время t, или после
прохождения расстояния L, или после N соударений. Ответ можно
; было бы также получить, если бы было известно пространственное
распределение плотности нейтронов, которое обычно находят
составляя уравнение диффузии нейтронов и решая соответствующую
задачу. (В § 2.8 мы так и поступим и найдем функцию распределения
; плотности нейтронов от точечного источника, решая дифференци-
! альное уравнение диффузии.) Существенно, однако, что общий вид
i функциональной зависимости плотности можно найти не решая
| уравнений, а пользуясь самыми общими закономерностями диффу-
»зии - случайным характером соударения нейтрона с ядрами и
! движения его на участках до рассеяния и после рассеяния, а также
\ используя одну из важнейших теорем математической статистики -
i центральную предельную теорему, которая делает утверждение
; о виде распределения величины, являющейся суммой (точнее,
; средним) некоторых случайных величин. Точная формулировка

теоремы такова: пусть случайная величина х имеет среднее значение
ц и дисперсию о2; если о2, конечно, то при стремлении объёма
выборки N к бесконечности распределение выборочного среднего
будет стремиться к нормальному со средним \i и дисперсией a2/N.
Будем полагать, что точечный источник тепловых нейтронов
находится в безграничной однородной среде в точке с координатами
x = y = z = 0 ив момент времени t = 0 испускает очень короткий
импульс нейтронов мощностью N0 . Найдем функцию распределения
нейтронов в зависимости от расстояния от источника г и времени t,
прошедшего после импульса. Будем искать распределение плотности
нейтронов вдоль выделенной оси, т.е. рассмотрим вначале
одномерный случай. В качестве исходной случайной величины, к
которой будем применять центральную предельную теорему, возьмем
смещение х( = 1( cos 8,- нейтрона вдоль выделенной оси между двумя
последовательными актами рассеяния: i-м и («' + 1)-м. Для него
среднее значение х] = ц = /,- cos 9, = /,- cos 8,- в соответствии с (2.8)
будет равно нулю, т.е. ц = 0. Дисперсия же х, по определению равна
D (х,) = £ [(х,- - х|)2] = £(х?)= х2, т.е. среднему квадрату смещения
нейтрона вдоль выделенной! оси между двумя последовательными
актами рассеяния. Символом £|(х) здесь обозначено математическое
ожидание величины х. Принимая во внимание (2.5) и (2.8), находим
_ 2
D (х,) = xf= If cos2 8,- = If cos2 8,- = — A.2.
з
В соответствии с центральной предельной теоремой выборочное
N
-1 *' х
среднее случайной величины х,-, т.е. величина и = —~ = — ,
N N
N
должна следовать нормальному распределению. Здесь х = Z х, обо-
i = i
значает результирующее смещение нейтрона вдоль выделенной оси
за N последовательных актов рассеяния. Таким образом, вероятность
того, что величина и будет заключена в интервале от и до и + du,
равна
("-|j)a
2oa(u)
D Cx,-) 2 \2S
Таккакц=ОиО(и)=о2(и) = = ,то
N 3 N
du Г и2
f{u)du=-
du
тДпа(и)
ехр

или, переходя в этой формуле от переменной и к х,
<** [ Зх2
f(u)du = f{x)dx = =7—ехр -— .
V4nWX.J/3 [ 4ЛГХ.2
Учитывая, что
4хллг a, i l r
— 4 4- 4Dt,
3 3 т 3
где L - средний путь, проходимый нейтроном в среде по ломаной,
v - скорость нейтрона, t - время движения, a D - коэффициент
диффузии, окончательно получаем, что плотность вероятности
обнаружить нейтрон в точке с координатами х + х + dx, спустя
произвольный промежуток времени t, будет равна
и(*Л)--т^Ц-ехр(-—). (2.18)
Это и есть искомая функциональная зависимость плотности
нейтронов от х и t
Как видим, нейтроны, испущенные из начала координат, спустя
время t с равной вероятностью могут оказаться как в точке с
координатой +х, так и в точке с координатой -х, причем абсолютное
значение |х| в среднем тем больше, чем больше коэффициент
диффузии D и время блуждания t.
Подчеркнем важную для последующего описания поведения
нейтронов особенность распределения (2.18). Общий вид его точно
такой же, какой получается при решении хорошо известного
нестационарного уравнения теплопроводности при аналогичных
начальных условиях, т.е. для точечного источника тепла в безграничной
среде. Этот результат наводит на мысль о возможном виде
дифференциального уравнения, описывающего диффузию нейтронов.
Обобщим (2.18) на случай трех измерений, т.е. вычислим
плотность вероятности ш (r, t) обнаружить нейтрон спустя время t на
расстоянии между г и г + dr от источника. В однородной изотропной
среде функции: распределения положения вдоль осей у и z будут
иметь вид, аналогичный (2.18), с соответствующей заменой х на у
или z. Так как движение нейтрона вдоль каждой из осей х, у или z
происходит независимо, то

u (r, t) = ы (x, 0 ы (у, 0 ы (z, 0 =
(4лШ)3
■ехр
xa+ya + z*
4Df
(4nDf)3
■ехр
4Dt
(2.19)
Формулу (2.19), не привлекая центральную предельную
теорему, проще получить из следующих соображений*. В силу
изотропии среды функция (о (г, t) должна быть, очевидно, функцией от
г2 = х2 + у2 + z2, т.е. u (r, f) = (о0 (х2 + у2 + z2, 0- Кроме того, она,
как уже говорилось, должна представлять собой произведение
распределений вдоль каждой из осей, причем последние должны
быть одинаковыми функциями своих переменных : ш0 (х2 + у2 +
+ z2, t) = (о (х, 0 и (у, t) (о (z, f). Прологарифмируем это соотношение
и введем обозначения lnu0 (r2, t) = <р (г2), lnu (х, 0 = / (х2)
(зависимость этих функций от t опущена, поскольку в данный момент
она нас не будет интересовать). В результате имеем
?(x2+y2+z2)=/(x2) + /(y2)+/(z2).
Этому соотношению могут удовлетворять только функции,
линейные относительно своих аргументов, причем cp(x2+y2+z2) = a +
+ Ь (х2 +У2 +z2),/(x2) + Ъх2. Отсюда а0 (г2, г) = А ехр (br2) (А = е").
з
Чтобы найти константы А и Ь (зависящие от 0> воспользуемся
условием нормировки плотности вероятности:
hr3 I л \3'2
l = Sdr.4nr2u0(r2,0 - 4яА J dr г3 е=A , Ь<0
о \ (-Ь) /
и вычислим средний квадрат смещения нейтронов:
Urr'e d br2 3
г2 М = гт—= On I r2 e0r^ dr) = - — b-K
Ydri3
Ьг*
db
Сравнивая r2 (t) с формулой Эйнштейна (2.17), получаем b"1 =- 4Df
l
и из условия нормировки А = ,
(4nDf)3,a
т.е. искомую формулу для a0(r,t).
Одна из замечательных особенностей выражения (2.19)
заключается в том, что оно допускает вполне естественное обобщение на
случай замедления нейтронов.
* Следующий ниже вывод принадлежит М.В. Казарновскому и восходит к выводу
Максвеллом знаменитого закона распределения молекул по скоростям.

В отсутствие поглощения функцию распределения нейтронов
п (г, t) от точечного импульсного источника, испустившего мгновенно
N0 нейтронов, можно найти простым умножением ш (r, t) на N0, т.е.
пМ-
Nn
(4ЛС03
-ехр
4Df
(2.19а)
Из (2.19, а) следует, что в отсутствие поглощения (например, в гелии
*Н) тепловые нейтроны могут смещаться от точки образования
сколь угодно далеко (г2 = 6Df) и единственным параметром,
определяющим смещение, служит коэффициент диффузии.
Если же нейтроны поглощаются средой, то к моменту t от начала
t
импульса из N0 останется N0 ехр
нейтронов (Г- их среднее
время жизни в среде). В этом случае функция распределения
принимает вид
n{r, f)=-
N.
(4лШ);
■ехр
wt
(2.20)
Соответствующая одномерная функция распределения плотности
получается из (2.18):
n{x,t) = -
N
■ехр
t
т
х*
4Df
(2.20а)
Таким образом, при наличии поглощения нестационарное
распределение тепловых нейтронов определяется конкуренцией двух
эффектов: смещения за счет диффузии [ехр (-r2/4Df)] и поглощения
нейтронов [ехр {-t/Tj\. Смещение будет в общем случае функцией
двух параметров: D и Г.
От распределений (2.18), (2.19) и (2.20) довольно просто перейти
к стационарным, которые устанавливаются в том случае, когда
скорость поступления нейтронов в среду от источника сравнивается
со скоростью их исчезновения. Рассмотрим точечный источник
тепловых нейтронов, испускающий каждую секунду Q частиц. В
безграничной среде в равновесии такое же количество нейтронов
Q будут ежесекундно поглощаться атомами среды. В каждый
промежуток dt в любой момент времени t источник создает N0 = Qdt
нейтронов. Пространственное распределение плотности от N0
нейтронов, отдаленных от момента наблюдения временем t, будет иметь
вид либо (2.20) (трехмерный случай), либо (2.20а) (одномерный
случай). Результирующее распределение п (г), сложившееся к мо-

менту наблюдения, можно получить просуммировав все частные
распределения вида (2.20), т.е. проинтегрировав (2.20) по времени
в пределах от 0 до оо:
Q
n{r) = ldf
О (4пГИ)3'я
ехр
4Ш
Вычисление этого интеграла приводится в приложении 1. В итоге
получаем
п(г) = -
'О
4nDr
•ехр
■Jdt
(2.21)
Из (2.21) видно, что форма стационарного пространственного
распределения плотности нейтронов в поглощающей среде
определяется не двумя параметрами в отдельности D и Г, как в
нестационарном случае [см. (2.20)], а одним параметром, являющимся их
произведением. Корень, квадратный из произведения Си Г,
имеющий размерность длины, называют длиной диффузии
Lc=y/DT-
■ К К-
Тогда
п(г) = -
4iU)r
■ехр
(2.22)
(2.21а)
Результат (2.21) [или (2.21а)] очень поучителен. Один сомножитель
в п (г) обусловлен поглощением образовавшегося в процессе
диффузии облака нейтронов как единого целого [ехр (-гДс)]. Другой
сомножитель (1/г) есть следствие диффузии в трехмерном пространстве.
Действительно, если бы среда была непоглощающей (т.е. оа = 0, Lc = °°),
то п (г) ~ 1/г. Отличие этого закона от ожидаемого для вакуума
(1/г2) есть результат диффузии, т.е. результат неоднократного
прохождения каждым_нейтроном одного и того же места.
Средний квадрат г2 расстояния от источника, проходимого
нейтронами (до поглощения), равен
e-r/Lc
i dr- 4Лг4
I dVr2 n (r) 0
I dVn (r)
6Lt
л
Idr-Vli3-
0
-r/lr
= 6ie2 ;
(2.17a)

что и следовало ожидать. Этот же результат получается и из формулы
(2.17), если в нее подставить в качестве времени диффузии
среднее время жизни нейтрона в среде t = Т. Следовательно, если
коэффициент диффузии характеризует скорость
среднеквадратичного смещения теплового нейтрона, то L2 характеризует
результирующее смещение за время его жизни. При этом L2 равен
1/6 части от среднего квадрата смещения нейтрона из той
точки, где он становится тепловым, до той точки, где он
поглощается. Это же соотношение указывает путь экспериментального
определения Lc: необходимо измерить распределение плотности
тепловых нейтронов от точечного источника, вычислить отношение
второго и нулевого моментов этого распределения и взять от него
1/6 часть.
Аналогичным образом с помощью (2.20а) можно вычислить
стационарное распределение плотности вдоль фиксированной оси
(например, оси х) для точечного источника в бесконечной среде:
QT
п{х) = ехр
1U
(2.23)
И здесь так же, как и в (2.21а), распределение плотности нейтронов
определяется длиной диффузии. Как следует из (2.23), плотность
нейтронов на расстоянии х = L от источника уменьшается в е раз.
"Газ" нейтронов в веществе распространится в среднем на
расстояние, равное х = L . Следовательно, L есть такая характеристика
с с
распределения нейтронов в среде, которая определяет длину
поглощения тепловых нейтронов в ней.
Пользуясь определением среднего, вычислим
ldxx2n(x)
х2 = \ 2JL2=2DT.
$dxn(x)
О
_ 1 1 —
Как видим, х2 = — -6DT = — г2. Этого и следовало ожидать, так
з з
как средний квадрат смещения нейтрона в пространстве есть сумма
средних квадратов независимых смещений вдоль каждой из трех
взаимно перпендикулярных осей, заданных в трехмерном
пространстве: г2 = х2 + р + z2-.- Зх2.
В качестве примера вычислим длину диффузии для замедлителя
из графитги для которого ks =* 2,5 см, а А.а = 3800 см. Из (2.22) найдем,
что Lc = Vl/3A.S А.а' =« 55 см. Спрашивается: почему нейтроны, имея

такую большую длину свободного пробега до поглощения А.а,
поглощаются в среде с маленькой длиной Lc «: А.а? Ответ очевиден:
в рассеивающей среде вероятности вылета теплового нейтрона
в переднюю и заднюю полусферу равны, поэтому в среде нейтроны
неоднократно проходят то место, где они впервые появились.
В этом состоит основная особенность процесса диффузии нейтронов.
2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ
Точное описание процесса диффузии возможно лишь методами
■кинетической теории, основу которой образует интегродифферен-
циальное уравнение Больцмана. Это описание даже для простых
физических систем довольно сложно и требует трудоемких
вычислений. На практике интегродифференциальные уравнения
стремятся заменить простыми приближенными уравнениями, каковым
является, например, дифференциальное уравнение диффузии.
Это уравнение можно было бы получить из интегрального, хотя
здесь будет использован более простой, но и более наглядный
вывод.
Дифференциальное уравнение, решение которого даст
пространственное распределение плотности тепловых нейтронов в среде
п (г, t) или их потока Ф (г, t) = vn (r, t) в любой момент времени t,
можно получить записав условие баланса нейтронов в произвольном
элементарном объеме dV. Есть три причины, которые влияют на
баланс нейтронов в любом участке системы: приток нейтронов из
соседних областей за счет градиента плотности (или утечка в
соседние области), поглощение и генерация нейтронов.
Получим вначале выражение для притока нейтронов,
приходящегося на единицу объема, как функцию от пространственной
плотности нейтронов. С этой целью решим следующую задачу: посчитаем
односторонние токи нейтронов через площадку dS, расположенную
параллельно плоскости ху в точке R (рис. 2.5), т.е. число нейтронов,
пересекающих dS, как в положительном, так и в отрицательном
направлении оси z. Чтобы ток был посчитан правильно и одни и те
же нейтроны не учитывались многократно, будем различать все
нейтроны, пересекающие dS, по тому месту, где они рассеялись
в последний раз.
Найдем ток J ~dS, f- плотность тока в отрицательном
направлении оси z. Очевидно, что ток J'dS будут создавать нейтроны, которые
рассеялись в верхнем относительно dS полупространстве. Ток
будет равен проинтегрированному по всему полупространству

Рис. 2.5. Схема, иллюстрирующая
вывод формулы для плотности тока
числу столкновений в секунду в каждом элементе объема,
умноженному на вероятность того, что рассеянные нейтроны будут двигаться
в направлении площадки dS, и умноженному на вероятность того,
что частицы дойдут до dS не рассеявшись. Число столкновений в
т
в секунду в элементе объема dV найдем как п —— dV. Множитель
vAj в этом выражении дает вероятность рассеяния, так как т =
S
= ks/\ есть среднее время между двумя актами рассеяния, т.е.
т
величина, обратная вероятности рассеяния, тогда п — - плотность
числа столкновений в единице объема.
Так как все столкновения предполагаются
сферически-симметричными, то доля нейтронов, движущихся из dV в направлении
контрольной площадки d5, будет пропорциональна телесному углу,
<iS cos в
под которым dS видна из точки рассеяния, т.е. , где 8 -
4ЛГ1
угол между вектором г и нормалью к поверхности dS (направление
нормали выбрано в положительном направлении оси z). Вероятность
того, что нейтроны дойдут до dS без взаимодействия, в соответствии
с (2.4) равна [ехр (-гД5)]. Полный ток получается интегрированием
по всему объему, расположенному выше dS. Тогда
v cos 8
JdS = dS$ dVn [ехр (-rA.)] .
А, 4лг*
В сферических координатах dV = r2 dr sin 8 dQ dcp, поэтому
1 " Л/2 2п v
J'= $dr i dQ J dtpn (r) cos 8 sin 8 exp (- r/k}. (2.24)
4Л 0 0 0 ks

Верхнее полупространство задается пределами интегрирования по
8: 0 *£ 8 *£ л/2. Как видно из (2.24), благодаря множителю ехр {-г/к$)
основной вклад в интеграл дают значения п в тех точках, которые
отстоят от dS на расстояния, равные нескольким длинам
свободного пробега. Это обстоятельство дает возможность упростить
интегрирование. Будем считать, что плотность нейтронов меняется
достаточно медленно на расстоянии, равном средней длине
свободного пробега A.J, т.е. предположим, что выполняется условие
ks gracing п. (2.25)
Это предположение позволяет разложить п в ряд Тейлора вблизи
точки R и ограничиться членами первого порядка малости (при
разложении в ряд считаем, что площадка dS находится в начале
координат, т.е. R= 0):
n(x,y,z)=*n0+x
дп
дх
+ у
дп
ду
+ Z
дп
dz
(2.26)
Приближение (2.26) называют диффузионным. Индекс 0 означает,
что производные должны быть вычислены в начале координат. В
сферических координатах x,yaz имеют соответственно вид (рис. 2.6):
х = г sin 8 cos ф, у = г sin 8 sin cp, z = г cos 8.
Интегрирование (2.24), когда п (г) имеет вид (2.26), проводится
элементарно. Прежде всего, видно, что слагаемые, содержащие
у и х в (2.26), при интегрировании по Ф дают в (2.24), нулевой вклад
поэтому, интегрируя по Ф и преобразуя переменные интегрирования
(t = cos 8, z = г cos 8), получаем
■IdtUz
2\s 0 0
n0*z
дп
дг о
ехр {-zAs t).
(2.27)
Рис. 2.6. Схема, показывающая
взаимосвязь полярных и декартовых
координат

Интегрируя в (2.27) вначале по z, а затем по t, окончательно находим
v I f / Эп \ I n„v yk, I дп \
J= Jd, tn0ks + k?t>[ =^-+—£J .
2ХЯ 0 [ \ Эг /oj 4 6 \ Эг /о
Для площадки dS, расположенной не в начале координат, а в
произвольной точке среды R, J~ можно переписать как
_ п v v \s дп
J - + . (2.28)
4 6 Эг
Аналогичным образом вычисляется ток J+dS в положительном
направлении оси z. Формула для J+ будет отличаться от (2.24) тем,
что интеграл по 6 будет браться в пределах л/2 < 8 *S л. Производя
интегрирование, получаем
nv vX-- Зп
Г= — . (2.29)
4 6 Эг
Выражения для J* и J" отличаются знаком перед вторым
слагаемым. Возникает вопрос: что больше J+ или J"? Ответ зависит
от того, как меняется плотность нейтронов вдоль оси z. Если
плотность растет с увеличением z (dn/dz > 0), то ток нейтронов в
противоположном оси z направлении будет больше, т.е. J" > J*.
Результат очевиден, поскольку диффузия всегда направлена в сторону
меньшей концентрации частиц. Ток нейтронов стремится вырЪвнять
их концентрации.
Если плотность нейтронов постоянна dn/dz = 0, то J* = J~ = nv/4,
т.е. токи нейтронов через контрольную поверхность в
положительном и отрицательном направлениях оси z совпадают и равны nv/4.
Это полностью соответствует беспорядочному движению нейтронов,
при котором не только одинакова плотность нейтронов, но и
равновероятны все направления их движения. Причем
столкновения нейтронов с ядрами не меняют характера этого движения,
так как изменение направления скорости одного нейтрона с равной
вероятностью компенсируется изменением направления скорости
другого на обратное. Данный результат хорошо известен из
кинетической теории газов: в равновесном состоянии (в отсутствие поглощения
и источников) средний ток частиц через любую поверхность в каком-
либо направлении имеет такое же значение, как и в противоположном.
Результирующая, или "балансовая", плотность тока нейтронов
через контрольную поверхность есть
A.,v Зп дп
j = J+-J- = -D . (2.30)
3 dz dz

Множитель, стоящий перед dn/dz в (2.30), есть не что иное, как
1
коэффициент диффузии D = — Ks v, введенный в § 2.4. Видим, что
з
результирующий ток нейтронов всегда направлен в сторону,
противоположную увеличению их плотности, а значение его тем больше,
чем больше градиент плотности и чем больше скорость смещения
нейтронов в заданном направлении, т.е. коэффициент диффузии.
Формулу (2.30) для результирующего тока просто обобщить
на случай произвольной ориентации в пространстве площадки dS.
Если dS - вектор с модулем, равным площади поверхности, и
направленный нормально к ней, то результирующий ток можно
написать в виде
jdS = -DgradndS (2.31)
или
j = -Dgradn. (2.31а)
В кинетике газов уравнение для результирующего тока типа (2.31а)
носит название закона Фика.
Выражения для J* и J" были написаны с сохранением в
разложении для плотности членов первого порядка малости. Нетрудно
показать, что если бы в разложении плотности были сохранены
члены второго порядка малости, то к J+ и J~ добавились бы
одинаковые слагаемые, а для результирующего тока формуле осталась бы
прежней. Таким образом, (2.30) и, значит, (2.31) верны с точностью
до членов третьего порядка малости.
Зная результирующий ток через произвольную замкнутую
поверхность, нетрудно посчитать утечку нейтронов, приходящуюся
на единицу объема. Эти величины связаны теоремой Гаусса-Остро-
градского, которая утверждает, что поток вектора j через замкнутую
поверхность равен" интегралу от дивергенции j по объему,
ограниченному этой поверхностью. Следовательно, утечка на единицу
объема равна div j, а приток на единицу объема (- div j).
Напишем теперь уравнение баланса. Рассмотрим элемент объема
dV и содержащиеся в нем тепловые нейтроны. Полное изменение
плотности нейтронов в dVB единицу времени за счет утечки,
поглощения и генерации нейтронов в" нем можно записать как'
дп п
= -div j +q, (2.32)
dt T

где (—div j) - приток нейтронов в dV за счет диффузии из соседних
областей; п/Т - число нейтронов, поглощаемых в 1 см3 за 1 с (1/Г -
есть вероятность поглощения нейтронов); q - плотность генерации
от источников (если таковые существуют), т.е. число нейтронов,
возникающих от источников в единице объема в единицу времени;
dn/dt - результирующая скорость изменения плотности нейтронов.
Подставляя; из соотношения (2.31а) в уравнение (2.32), получаем
дп п
= div(Dgrad п) + q. (2.33)
dt T
В однородной среде D не зависит от координат, поэтому последнее
уравнение преобразуется к виду
Эп п
=ОД п + q. (2.33а)
3t г
Мы вывели основное дифференциальное уравнение, описывающее
поведение тепловых нейтронов в среде. Оно, конечно, приближенное,
так как было получено в предположении, что выполняется условие
(2.25). Это уравнение позволяет легко решать большое число задач,
для которых применение точного интегродифференциального
уравнения было бы довольно затруднительным.
В стационарном случае {dn/dt = 0) уравнение диффузии
приобретает особенно простой вид:ОГДп — п +qT = 0 или, вводя обозначение
Lf^DT, (2.34)
Цкп-п +qT = Q. (2.35)
Величину Lc, как уже указывалось в § 2.5, называют длиной
диффузии. Для удобства выпишем соотношения, которые связывают
длину диффузии с макроскопическими константами задачи
Ll=DT=-^— —. (2.36)
Отсюда
Lc =ks / К
N
3 V 3\s
Как видим, для диффузии нейтронов характерна общая для всех
стохастических процессов зависимость Lc от числа ударов N. Так
как для всех замедлителей средний путь ка, который проходит
нейтрон, прежде чем он поглотится, значительно больше длины
свободного пробега ks, то N » 1 , поэтому длина диффузии
значительно больше средней длины свободного пробега до рассеяния.

Основные допущения, использованные при выводе диффузион
ного уравнения (2.33), состояли в том, что среда полагалась бес
конечной и однородной. Эти допущения гарантировали возмож
ность плавного изменения функции плотности нейтронов в системе
т.е. возможность выполнения условия (2.25) и, следовательно
перехода к (2.33). Реальные же установки, поведение нейтроноа
в которых описывается (2ДЗ), представляют собой, как правило,
гетерогенные (неоднородные) системы конечных размеров. В этих
системах возможны скачки, т.е. разрывы в макроскопических
константах A.s и А.а, и поэтому поведение нейтронов в области
разрывов необходимо описывать граничными условиями.
Выведем граничное условие, которое имеет место на границе
среда - пустота, т.е. на внешней поверхности среды. Пусть в
полубесконечной среде задано определенное пространственное
распределение п (z) (рис. 2.7). Что можно сказать о п (z) на граничной
поверхности? В первом приближении можно считать, что плотность
нейтронов на внешней границе среды очень мала, т.е.
- 0.
(2.37)
Более точное граничное условие можно получить из выражений
(2.28) и (2.29) для J' и J*. Если слева от среды с выпуклой
поверхностью находится свободное пространство, то J" > 0 (нейтроны
вытекают из замедлителя), a J* = 0 (свободное пространство не
возвращает нейтроны). Следовательно, на границе среды
2 дп
(2.38)
s з . s 3z
Численный коэфффициент в правой части этого выражения на
самом деле не точен. При выводе формулы для J" предполагалось,
что плотность нейтронов меняется слабо, в то время как
действительное изменение плотности вблизи границы нельзя описать в
п-*
Рис. 2.7. Пространственное распределение
тепловых нейтронов в полубесконечной
среде

диффузионном приближении. Точная задача, решенная Винером
и Хопфом в рамках кинетической теории, дает коэффициент 0,71.
Далее мы будем пользоваться коэффициентом 2/3.
Условие (2.38) часто записывают в другой форме. Если ввести
нормаль к граничной поверхности к, то
Эп
■ 0. (2.39)
ns+—"V
Эк
В наиболее простой и наглядной форме граничное условие для
однородной среды конечных размеров дал Ферми. Рассмотрим
плоскую граничную поверхность (см. рис. 2.7). Будем предполагать,
что вблизи границы нейтронная плотность п (z) является линейной
функцией расстояния, т.е.
п = ns + az. (2.40)
2
Подставляя (2.40) в (2.38), находим ns = — ks a, следовательно, а =
з
= Пс- ИЛИ
n = nJl+j-^-\. (2.41)
Экстраполируя зависимость (2.41) в область отрицательных
значений z, приходим к заключению, что плотность нейтронов п (z)
становится равной нулю на расстоянии
z0=- — ks (2.42)
з
от границы поверхности.
Равенствд (2.42) очень важно в двух отношениях. Во-первых,
оно подсказывает мысль о возможности простого измерения
сечения рассеяния тепловых нейтронов в замедлителе. Измеряя
плотность нейтронов в замедлителе вблизи его границы и аппроксимируя
ее линейной зависимостью, можно найти z0, а следовательно, ks и
as (этот метод измерения сечения рассеяния нейтронов впервые
предложил и использовал Ферми). Во-вторых, равенство (2.42)
показывает, что правильным является такое граничное условие, при
котором плотность нейтронов зануляется не на границе тела, а на
несколько расширенных границах,. т.е. правильным будет условие
п[ а+2/3Xf)-Q, (2.43)

где а - размеры тела. Решения (2.33) с граничным условием (2.43)
имеют более простой вид. Поэтому всюду далее при решении любых
задач диффузии действительная поверхность среды будет заменяться
некоторой эффективной, которая находится на расстоянии (2/3) к$
снаружи от действительной поверхности, т.е. под границами тела
будут подразумеваться экстраполированные (увеличенные) на
(2/3) A.s границы.
Укажем теперь услоеия, которым должны удовлетворять решения
уравнения диффузии на границе, разделяющей две среды. Обычно
в задачах подобного рода из других разделов физики требуют
непрерывности физической величины и ее производных. В задачах
диффузии нейтронов граничные услоеия сложнее. Их можно получить
приравняв односторонние токи нейтронов слева и справа от границы
раздела. После сложения полученных равенств найдем, что на
границе двух сред должен быть непрерывным поток нейтронов,
а не их плотность, т.е.
"ivi = n2v2- (2-44)
Индексы I и 2 относятся к соответствующим средам. Физический
смысл условия (2.44) очевиден. Если потоки нейтронов на границе
двух сред не равны, то это означает, что бесконечно тонкая граница
генерирует или поглощает нейтроны, что абсурдно. Из условия
(2.44) следует, что плотность нейтронов на границе обратно
пропорциональна их скоростям в разделенных границей средах. Такое
явление возможно, например, если два соприкасающихся участка
реактора поддерживаются при различной температуре (тепловые
нейтроны на этих участках будут различаться средней скоростью).
Другое условие на границе сред получится при вычитании равенств,
связывающих односторонние токи справа и слева от границы раздела.
Это условие требует непрерывности плотности тока j, т.е.
Зп Зп.
-D L__D _J_. (2.45)
3k 3k
В (2.45), как и в (2.39), символом fl/Эк обозначена производная по
нормали к поверхности. Если бы нейтронный ток испытывал на
границе скачок, то он быстро был бы сглажен диффузией нейтронов
из областей с более высокой плотностью в область с более низкой
плотностью. Следовательно, отношение Эп/Эк на обеих сторонах
границы должно быть обратным отношению соответствующих
коэффициентов диффузии. Равенства (2.43), (2.44) и (2.45) и есть те
граничные условия, которые мы стремились отыскать.

2.7. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА НЕЙТРОНОВ
Основное уравнение диффузионного приближения (2.33а)
достаточно точно описывает распределение плотности нейтронов в
гомогенных или почти гомогенных системах, имеющих большие
размеры. Это описание будет тем более точным, чем дальше
расположен рассматриваемый участок системы от ее границ.
Оказывается, что на основе (2.33а) можно получить более общие
закономерности, которые будут справедливыми даже тогда, когда (2.33а)
применять нельзя.
Допустим, что в некоторой системе стационарное распределение
плотности нейтронов описывается уравнением (2.33а). Будем
считать, что плотность нейтронов в системе всюду постоянна, т.е.
grad n = 0. Тогда из (2.33а) следует, что для любого элемента объема
системы, находящегося далеко от ее стенок, между плотностью
нейтронов и мощностью их генерации существует простая связь
п = qT. (2.46)
Напомним, что в этой формуле Т есть среднее время жизни нейтронов
до поглощения.
Проинтегрируем обе части равенства (2.46) по такому участку
системы конечного объема V, в котором среднюю длину свободного
пробега до поглощения и скорость нейтрона можно считать не
зависящими от координат: l ndV=N= 5 qTdV=T§ qdV или
v v v
N = QT, (2.47)
где N - полное число нейтронов в выделенном участке системы
в произвольный момент времени; Q = 5 qdV - мощность генерации
v
нейтронов (т.е. число генерируемых нейтронов в единицу времени)
в этом же участке в тот же момент времени. Соотношение (2.47)
есть в общем случае не что иное, как уравнение баланса,
показывающее, что в стационарном состоянии в произвольном участке
системы количества вновь возникающих Q и исчезающих нейтронов
N/T в единицу времени должны быть равны.
В действительности (2.47) является более общим соотношением,
справедливым безотносительно к тем допущениям, которые были
сделаны при его выводе. Если по-прежнему иметь в виду системы,
описываемые (2.33а), то можно видеть, что (2.47) применимо к
любому участку этих систем, а не только к такому, который
находится далеко от ее границ. В этом случае под Т в (2.47) следует
понимать среднее время жизни нейтронов не только относи-

тельно поглощения, но и относительно вылета их за пределы
выделенного участка.
Формулу (2.47) можно применить также и к размножающим
системам, каковыми являются, например, ядерные реакторы. В этом
случае под Т следует понимать среднее время жизни нейтронов
относительно всех процессов: поглощения, размножения, вылета
за границы участка.
2.8. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ДИФФУЗИИ В СТАЦИОНАРНОМ СЛУЧАЕ
На практике встречаются два типа задач, в которых требуется
вычислить распределение нейтронов. К первому типу относятся
задачи, в которых интересуются распределением нейтронов как
в пространстве, так и во времени или только во времени
(нестационарный случай). В задачах второго типа баланс нейтронов во времени
не нарушается, предметом исследования здесь является
пространственное распределение (стационарный случай).
Ниже даны примеры решения стационарных задач с помощью
уравнения диффузии для плоского и точечного источников.
Плоский источник. Найдем распределение плотности нейтронов
в однородном веществе, занимающем полупространство (рис. 2.8).
Поверхность среды облучается равномерно тепловыми нейтронами
с интенсивностью S0 нейтронов в 1 с на 1 см2. Благодаря симметрии
задачи плотность нейтронов не будет зависеть от у и г, поэтому
уравнение диффузии запишется в виде
d2n п
=0.
Л» Щ
Рис. 2.8. Распределение плотности нейтронов
для плоского источника

Общее решение его п=А ехр - '■ +J9 ехр , где произволь-
ные постоянные задаются граничными условиями. Из
ограниченности решения на бесконечности следует, что В = 0.
Нормировочный коэффициент А находится из условия равенства
dn DA
диффузионного потока j = -D = ехр I 1 потоку S0 на
dx Lc \ Le
SQLC j x \
границе плоскости (х = 0). Тогда п (х) = ехр . Таким
Я \ Le J
образом, если бесконечное полупространство освещать диффузным,
но постоянным потоком тепловых нейтронов S0, то плотность
нейтронов в самой среде будет экспоненциально убывать при
увеличении расстояния от источника. На расстоянии х = Lq от границы
плотность уменьшится в е раз. Среднее расстояние, на которое
распространится "газ" нейтронов в веществе, х = Lc.
Ход зависимости плотности нейтронов от расстояния до
поверхности получился таким же, как и для распределения плотности вдоль
фиксированной оси [см. (2.23)] для точечного источника в бесконечной
среде. Этого следовало ожидать, так как задачу с плоским источником
можно свести к задаче с точечным источником в бесконечной
среде, удаленным от некоторой фиктивной границы 5 на достаточно
большое расстояние R (R » Lc). Для этого нужно считать, что
источник находится в среде, заполняющей все пространство, а некоторое
плоское сечение его S, задающее исходное полупространство,
удалено от источника на такое расстояние, на котором диффузионный
ток нейтронов равен 50.
Точечный источник тепловых нейтронов в бесконечной
однородной среде. Бели точечный источник нейтронов находится в начале
системы координат, то (2.33а) с q = 0 будет справедливым всюду,
за исключением места расположения самого источника.
Следовательно, для г > 0 плотность нейтронов будет решением уравнения
q Дп - п = 0. (2.48)
В силу сферической симметрии задачи плотность п нейтронов будет
зависеть только от расстояния г до источника. Поэтому (2.48) можно
записать в виде (гп)"- тп \L\= 0 и его общее решение как пт =
= А ехр (- r/Lc) + В ехр {r/Lc), где А и В - произвольные постоянные.
Расходящееся на больших расстояниях решение ехр {r/Lc)
неприемлемо, поэтому коэффициент В нужно положить равным нулю.
Коэффициент А находится из условия, что результирующий ток ней-

тронов через сферу маленького- радиуса, описанную вокруг
источника, равен мощности источника Q. Вычисляя ток нейтронов через
сферу радиуса г
(l+r/Lc)
и полагая S (г) = Q, находим
п(г)=—ехр(--Ц. (2.49)
Распределение (2.49) совпадает с тем, которое было получено ранее
в § 2.5 на основе рассмотрения диффузии как последовательности
бесконечно большого числа случайных актов рассеяния (сферически-
симметричных и не меняющих скорости рассеиваемых частиц).
Оба метода, как и следовало ожидать, дают один и тот же результат.
Однако метод, основанный на решении задачи с помощью уравнения
диффузии, открывает гораздо более широкие возможности. Он
позволяет находить нейтронные распределения в системах, имеющих
границы произвольной формы, при произвольном расположении
источников и при различных условиях на границе*.
2.9. ТЕОРИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОПЫТА
НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ
Экспоненциальные опыты предшествовали работам, в результате
которых была впервые осуществлена управляемая цепная ядерная
реакция в США в 1942 г. (работы проводились под руководством
Ферми) и в СССР в 1946 г. (под руководством И.В. Курчатова).
Поскольку в то время наибольшие шансы на успех связывались с
естественным ураном, предстояло решить трудную задачу
размещения его таким образом, чтобы смогла произойти цепная реакция.
Для решения этой задачи нужно было получить ответы на множество
вопросов. Какой замедлитель обеспечивает лучшие условия для
поддержания цепной ядерной реакции, т.е. какова его эффективность
как замедлителя нейтронов и каковы его поглощающие свойства?
* Для полноты картины отметим, что подход, основанный на вычислении
распределения нейтронов в бесконечной среде, можно было бы развить и для ограниченных
сред. Однако с его помощью могут быть решены только самые простые задачи, например,
задача о вычислении пространственного распределения нейтронов от точечного
источника в призме. Методы решения этих задач такие же, как и в электростатике, например,
метод отражения. ^-«;г
S (г) = 4лг3) (г) = 4nDA
ехр -

Каково оптимальное соотношение между количеством
замедлителя и делящегося вещества? Как влияет относительное
пространственное расположение замедлителя и урана на размножение
нейтронов? При каких размерах сборки из урана и замедлителя цепная
реакция становится самоподдерживающейся и т.д.? Ответы на эти
многочисленные вопросы были получены в экспериментах,
получивших название экспоненциальных опытов.
Особенность первых экспериментов состояла в том, что они
проводились в условиях дефицита необходимых исследуемых веществ,
вызванного сравнительно низким уровнем развития технологии
получения чистых материалов. Поэтому принципиально важным
был вопрос: как при недостатке необходимых материалов сделать
эксперименты, в которых можно измерить параметры реактора?
В работе над американским проектом и при создании первого
советского атомного реактора сведения о поглощающих свойствах
материалов и размножающих свойствах реакторов были получены
с помощью сборок из замедлителя и подкритических сборок, имевших
вид призмы. Вытянутое расположение рабочего вещества
позволило провести измерения нейтронных распределений в одном
направлении и, следовательно, получить точную информацию о
поглощающих и размножающих свойствах исследуемых материалов.
Работу над германским проектом постигла неудача, так как
большая часть измерений размножающих свойств реакторов была
основана на измерении полной интенсивности размножения. Подкри-
тическая сборка в этих исследованиях имела вид шара. Поскольку
на естественном уране интенсивность размножения невелика,
измерения параметров реактора этим методом имели низкую точность.
Как показывают расчеты, данный метод удобнее применять к
обогащенным системам, критические размеры которых малы. Заметим,
кстати, что сам реактор исходя из минимума его критической массы
целесообразно собирать в форме, близкой к сфере.
Здесь мы обсудим американские и советские опыты с
замедлителями, в которых измерялись пространственные распределения
тепловых нейтронов в целях измерения сечений поглощения.
Предположим, что блок замедлителя собран в виде
прямоугольной призмы, имеющей одинаковые размеры а вдоль осей х и у, и
b вдоль z (рис. 2.9), причем Ъ »а (под а и Ь будем подразумевать
размеры, экстраполированные на (2/3) ks). Поместим в центре призмы
(в точке с координатами х= у= z = 0) источник нейтронов. Так как
нас интересуют тепловые нейтроны, которые могут быть получены
только в результате замедления более • быстрых нейтронов от
источника, будем полагать, что размеры призмы вдоль оси z сущест-

Рис. 2.9. Геометрия экспоненциального
эксперимента
венно превосходят расстояния,
необходимые для замедления
нейтронов источника до тепловых энергий.
Будем полагать также, что
продольные размеры призмы в несколько раз
превышают длину диффузии
тепловых нейтронов, т.е. b^> Lc. Тогда на
дальних от источника концах призмы
установится некоторое определенное
распределение тепловых нейтронов, которое будет поддерживаться
потоком нейтронов из центра призмы.
На больших расстояниях от источника плотность нейтронов
в призме должна удовлетворять уравнению (2.48). Будем решать
задачу методом Фурье. Представим функцию плотности нейтронов
в виде произведения трех сомножителей, каждый из которых
зависит только от одной переменной:
n=X{x)Y{y)Z(z).
Подставляя (2.50) в (2.48), получаем
(2.50)
(2.51)
X Ь\ Y Z
Равенство (2.51) возможно лишь тогда, когда обе его части порознь
равны некоторой константе. Обозначим ее -ц2. Тогда
Х"/Х = -ц2, (2.52)
Знак минус перед ц2 выбран исходя из физических
соображений. Если бы знак перед ц2 был бы положительным, решения
соответствующего уравнения не обеспечивали бы правильного их
поведения на экстраполированной границе.
Из двух возможных решений уранения (2.52) (sin цх и cos цх)
пригодным оказывается одно:
X = A cos цх. (2.50а)
где А - произвольная постоянная. Другое решение (sin цх ) не
симметрично относительно замены х ** -х, что противоречит условиям
задачи.

В соответствии с граничным условием (2.43) плотность нейтронов
на экстраполированной границе призмы должна равняться нулю,
а п
т.е. cos ц —= 0. Отсюда ц = (2т + 1) —, где т = 0, 1, 2,... Решение для
2 а
компоненты плотности, зависящей от у, будет аналогичным
r = J?cosvy (2.506)
и v = (2п + 1) л/а, где п = 0,1, 2...
Учитывая (2.51) и явный вид функций X и Y, заключаем, что
функция, описывающая распределение плотности нейтронов вдоль
оси z, должна удовлетворять уравнению
Z" 1
+H2 + v2. (2.53)
Z Щ
Правая часть этого уравнения имеет размерность квадрата обратной
длины. Обозначим ее как 1/Л^„, т.е. введем новый параметр Лтп,
имеющий размерность длины и называемый длиной релаксации.
Поскольку правая часть (2.53) положительна, решение для z-й
компоненты будет отличаться от соответствующих решений для х- иу-
составляющих. Из двух возможных решений, удовлетворяющих
условию на границе (для простоты рассуждений полагаем, что вдоль
оси z призма бесконечна), отвечает одно:
Z-exp(-|z|/Amn).
В действительности учесть конечность призмы не составляет
труда. Для этого нужно воспользоваться граничным условием
(2.43), т.е. равенством плотности нулю на ее экстраполированном
торце Ь.
Общее решение (2.48) для бесконечной призмы имеет вид
п
п (х, у, z) = Z Am> n cos (2m + 1) —х X
(2.54)
Xcos
где
l
Aam„
гпп
(2i
= -
m, гг
п
П + 1) —
а
уехр(-
[(2т+1)2 +
а2
•И/
(2п +
а
ArJ>
1Н+-
1
L2
Наибольшее значение из всех Атп на больших расстояниях, т.е.
при z » a, Lq, имеет Л00, соответствующее главной компоненте
Фурье. Поэтому на больших расстояниях основной вклад в суМму

(2.54) дает компонента с т = п = О, т.е.
п{х, у, z) = A00e °° cos — x cos — у, (2.55)
где
п*
Л„о V а- 1\
(2.56)
В случае призмы, длины сторон основания которой о и Ь различаются,
1 /""л3 п3 Г"1
Из соотношений (2.55) и (2.56) можно заключить, что для
исследования поглощения нейтронов в замедлителе нужно определить
только один из показателей 1/Л 0 0 в двумерном разложении Фурье
для плотности в некотором сечении призмы. При этом следует ожидать
экспоненциального уменьшения скорости счета с увеличением z на
расстояниях z » о, Lc. Именно с таким ходом зависимости плотности
нейтронов от расстояния связано название экспоненциальные
опыты.
Чтобы понять, какая информация может быть извлечена из
экспоненциальных опытов, обсудим некоторые возможные частные
случаи. Предположим, что поглощение в колонне отсутствует,
т.е. Од = 0, и, следовательно, Lc = °°, и пусть в поперечном сечении
колонна имеет конечные размеры а. В этом случае, как видно из
(2.56),
А00=~-, (2.57)
V2n
т.е., несмотря на то, что среда не поглощает нейтроны, плотность
нейтронов вдоль оси z экспоненциально затухает. При этом
скорость затухания определяется только поперечными размерами призмы.
Этот эффект получил название геометрического поглощения или
утечки. Говоря о поглощении, следует понимать условность этого
термина, поскольку затухание плотности нейтронов обусловлено не
захватом их, а вылетом за пределы боковых поверхностей призмы.
Для сравнения напомним, что е бесконечной среде при отсутствии
поглощения (ofl = 0) затухание плотности нейтронов от точечного
источника происходило по закону 1/г (см. § 2.5).
Наличие эффекта "геометрического поглощения" оказывается
исключительно важным для анализа результатов экспоненциальных

опытов как с поглощающими, так и с размножающими средами.
Рассмотрим вначале реальный замедлитель, т.е. среду, имеющую
небольшое, но отличное от нуля сечение захвата тепловых нейтронов
(оа Ф 0). Соотношение (2.56) показывает, что в реальном
замедлителе вследствие захвата нейтронов ядрами скорость затухания
плотности нейтронов 1/Л00 вдоль оси призмы будет выше
"геометрической". Если построить в полулогарифмическом масштабе
ожидаемое для этого случая распределение плотности тепловых нейтронов,
то оно будет иметь вид линейной зависимости (кривая 2 на рис. 2.10)
с, углом наклона, превосходящим угол наклона для чисто
геометрического поглощения (кривая 1 на рис. 2.10). Измеряя наклон линии
2 и зная поперечные размеры призмы, с помощью (2.56) можно
вычислить Ъс. Далее по известному as (измеренному, например, методом,
описанным в § 2.6), пользуясь (2.22), можно найти сечение
поглощения тепловых нейтронов аа.
При неограниченном увеличении размеров призмы (о ->-оо) скорость
затухания плотности нейтронов в реальном замедлителе будет,
как это следует из (2.56), определяться длиной диффузии, т.е.
Л00 - Lc. Этот результат соответствует ожидаемому для бесконечного
замедлителя [см. (2.49)].
Экспоненциальные эксперименты, в которых изучались
поглощающие свойства замедлителей, ставились следующим образом.
Замедлитель (в опытах Ферми и И.В. Курчатова это был графит)
укладывался в виде прямоугольной призмы (см. рис. 2.9), со всех сторон
закрытой кадмием (в опытах Ферми). Кадмий использовался для
уменьшения фона от нейтронов, рассеянных за пределами призмы,
например в стенах лаборатории. В основании призмы
устанавливался парафиновый блок, в центре которого располагался источник
быстрых нейтронов.
На первый взгляд кажется, что рассмотренная выше теория
не адекватна опыту: источник тепловых нейтронов заменен
источником быстрых нейтронов. Однако в парафине происходит
эффективное замедление нейтронов: они превращаются в нем в теп-
1п7
Рис. 2.10. Ожидаемое распределение
плотности нейтронов в экспоненциальных
экспериментах:
/ - замедлитель, ос = 0; 2 — замедлитель,
ос Ф 0; 3 - среда с размножением Z

ловые и далее диффундируют уже как тепловые. Поэтому в призме
из графита диффундируют преимущественно тепловые нейтроны.
Использование парафинового блока, в принципе, не обязательно,
так как замедлителем может служить та часть графитовой
колонны, которая расположена вблизи источника нейтронов. В этом
случае рассмотрение, которое мы провели выше, будет оправдано
на достаточно больших расстояниях от источника.
Полная теория экспоненциального опыта, когда в качестве
источника используется источник быстрых нейтронов, дается в § 3.11.
2.10. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИФФУЗИЯ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Рассмотрим теперь диффузию тепловых нейтронов от источника,
время действия f0 которого очень мало - много меньше, чем
время, за которое плотность тепловых нейтронов претерпевает
заметные изменения. Поскольку в процессе диффузии эти изменения
происходят в результате многих столкновений нейтрона с атомами
замедлителя, t0 можно считать "очень малым", если оно не
превосходит среднее время между двумя последовательными
столкновениями: t0 < Ts = ks/\ (см. табл. 2.2). Источник, время действия
которого удовлетворяет этому условию, будем называть
импульсным. Очевидно, что плотность нейтронов от такого источника не
должна зависеть от его временной структуры и будет определяться
только полным числом нейтронов, испущенных им за время
действия t0, причем она будет такой же, как если бы все нейтроны
были испущены мгновенно. Соответственно в уравнении диффузии
(2.33а) плотность генерации нейтронов от источника можно считать
"мгновенной", т.е. пропорциональной б-функции от t:
q(T,t) = q0(r)b(t). (2.58)
Наиболее важным для практики является случай диффузии
тепловых нейтронов от импульсного источника в замедлителе,
заполняющем ограниченный (причем относительно небольшой)
объем. Для выяснения основных закономерностей диффузии
нейтронов в этом случае решим (2.33а), когда точечный источник
расположен в центре блока замедлителя (начале координат), имеющего
форму параллелепипеда с размерами (экстраполированными) по
осям х, у, z, соответственно равными 2а, 2Ь и 2с.
Так же, как в § 2.9, будем искать решение (2.33а) в виде
суперпозиции функций типа (2.50а) и (2.506). Как и там, из граничных ус-

ловии получим
Мг'0= £■ Aimncos{2l+l)~x><
1,т,п
п п
х cos (2m + 1) — ycos(2n+ 1) — z,
Ь с
(2.59)
причем здесь коэффициенты А. являются функциями времени L
Чтобы их найти, подставим (2.59) в (2.33а), тогда при t > 0 паследнее
выражение примет вид
dAlmn
I
1,т,п
^ Irnn Imn
л п п
Xcos(2/ + l) — xcos(2m + l) — ycos(2n + l) — z=0;
a b с
1
Imn
+ Dn2
(2i + l)a (2m + l)a (2n + l)a
+ + '
(2.60)
(2.61)
Для того чтобы (2.60) выполнялось всюду внутри замедлителя,
необходимо, чтобы обращались в нуль все коэффициенты перед
произведениями косинусов, т.е. dAlmn/dt+ к А. = 0. Решение
этого уравнения тривиально:
Лтп=41еХР(-^п')>
(2.62)
где константы А. ' должны быть определены из начальных услоЕий.
(Легко убедиться, что они равны коэффициентам разложения
пространственной составляющей плотности генерации нейтронов
q0 (r) по этим произведениям косинусов.)
Рассмотрим полученное выражение для плотности нейтронов.
Как видно из (2.61), постоянные А. положительны и возрастают
с ростом значений I, гп, п. Наименьшее из них
(2.63)
п- п" па .
величина и2 = + + называется геометрическим па-
о2 ь2 с2
раметром.
При достаточно большом времени t после нейтронного импульса
в сумме (2.59) все члены, кроме члена с / = m = п = 0, станут
пренебрежимо малыми и плотность нейтронов в блоке замедлителя будет

описываться "асимптотическим" выражением
п (х, y,z) = A^ 0'0 e cos—х cos—у cos — z, (2.64)
с
т.е. устанавливается вполне определенное пространственное
распределение нейтронов, а их полное число будет убывать со временем
по экспоненциальному закону. Поэтому константа А.0 называется
постоянной затухания асимптотической плотности нейтронов. Из
(2.63) видно, что она представляет собой сумму двух членов 1/Г и
Dx2. Первый из них описывает убывание числа нейтронов в
замедлителе за счет их поглощения, а второй за счет их утечки
(геометрического поглощения) из блока замедлителя наружу. В
последнем легко убедиться, если вычислить "балансовый" поток нейтронов
по (2.31а) со всей поверхности замедлителя, - мы действительно
при этом получим скорость убывания их числа внутри блока. Как
и следовало ожидать, утечка нейтронов из блока происходит тем
эффективнее, чем больше коэффициент диффузии и чем меньше
размеры блока.
Если время t невелико, то в сумму (2.59) заметный вклад могут
давать члены, у которых /, т и (или) п отличны от нуля. Эти члены
описывают отклонение пространственной зависимости плотности
нейтронов от асимптотической. Асимптотическая плотность имеет
наиболее "гладкую" пространственную зависимость, а плотность
нейтронов в начальный момент времени может изменяться в
пространстве существенно резче (в рассматриваемом нами случае точечного
источника она имеет вид б-функции от координат). Таким образом,
члены с отличными от нуля l,m, n описывают постепенное
"сглаживание" пространственной зависимости нейтронной плотности,
обусловленное диффузией нейтронов из областей с более высокой
плотностью в области с более низкой плотностью. Отсюда, в
частности, следует, что чем глаже плотность генерации нейтронов в
блоке, тем раньше плотность нейтронов в нем станет
асимптотической.
На основе этих закономерностей поведения тепловых
нейтронов от импульсного источника в ограниченных блоках замедлителя
в начале 50-х годов под руководством И.М. Франка и Ф.Л. Шапиро
в ФИАНе и одновременно и независимо шведскими физиками был
разработан следующий оригинальный метод измерения параметров
диффузии нейтронов в веществе:
берется блок замедлителя и облучается потоком тепловых
нейтронов от импульсного источника (так, чтобы начальное просгран-

ственное распределение нейтронов было бы по возможности близким
к асимптотическому);
с помощью детектора нейтронов, расположенного у поверхности
блока, измеряется зависимость от времени величины,
пропорциональной потоку нейтронов из блока;
определяется момент времени, после которого частота отсчетоЕ
этого детектора убывает со временем экспоненциально, и
определяется соответствующая постоянная затухания, которая, очевидно,
равна А.0 для этого блока;
берутся другие блоки (с другими геометрическими параметрами
и2) из того же замедлителя и для них проделывается та же
процедура;
на основании полученных данных строится график (рис. 2.11)
зависимости А.0 от и2, который согласно (2.63) должен представлять
собой прямую, причем точка пересечения ее с осью ординат равна
1/Г, а тангенс угла наклона равен D.
Таким образом, открылась возможность независимо измерять
оба параметра уравнения диффузии (2.33а), а не только L2C = DT -
параметр, характеризующий стационарную плотность нейтронов.
Результаты измерений таким методом, а также значения Lc,
вычисленные из данных о D и Г и непосредственно измеренные
экспоненциальным методом (см. § .2.9) для наиболее часто употребляемых
замедлителей, приведены в табл. 2.3. Видно, что результаты
независимых измерений удовлетворительно согласуются, что
подтверждает корректность исходных положений, на которых основано
уравнение диффузии тепловых нейтронов.
Однако по мере уточнения экспериментальных данных
выяснилось, что зависимость А.0 от и2 лишь приближенно можно
аппроксимировать прямой линией. С ростом и2 наблюдается отклонение от
прямой типа, изображенного на рис. 2.11 пунктиром. Это явление
обусловлено приближенным характером нашего предположения,
Рис. 2.11. Зависимость асимптотической
скорости релаксации нейтронного распределения
от геометрического параметра к2 для
импульсного источника х2 см-2
1/Т

Таблица 2.3. Характеристики нестационарной диффузии
Замедли- cofl = 1/Г, с"1 £>„, ем^с С, см4/с £с> см £*, см
телъ н
плотность
НаО 4927±8,4 36 240±265 3575±152 2,73± 0,02 2,76±0,03
Be 262+11 (124,2±1,3)-103 (37±2)-104 21,8±0,4 22,1
Графит 75,4+0,5 (214,4±0,4)-103 (24,5±1,5)-105 53±0,3 50
* Значения Lc непосредственно измерены экспоненциальным методом.
что все нейтроны в замедлителе имеют одинаковую энергию, равную
средней энергии теплового движения атомов среды. В
действительности их энергии имеют разброс, причем соответствующее
энергетическое распределение Ф (Ё) может изменяться в
пространстве и со временем. В частности, оно должно быть разным в блоках
замедлителя с разными и2 при больших временах после
нейтронного импульса. Это обстоятельство можно приближенно учесть,
если в (2.33а) под D подразумевать значение коэффициента
диффузии нейтронов, усредненное по их энергетическому распределению:
°° L(£)v оо
D = ldE ф (£) / I dE ф (£). (2.65)
0 3 0
При малых и2 (когда размеры блока замедлителя велики) ф (£)
близко к максвелловскому распределению, а следовательно, Ц
близок к D0 - коэффициенту диффузии максвелловских нейтронов.
С ростом и2 усиливается эффект утечки нейтронов, причем
замедлитель чаще покидают более подвижные нейтроны, т.е. нейтроны, у
которых больше коэффициент диффузии. Поэтому энергетическое
распределение нейтронов с ростом и2 обогащается нейтронами
с меньшим коэффициентом диффузии. При малых и2 этот эффект
линеен по и2, т.е. D-D0- Су.2, где постоянная С всегда
положительна. Она называется коэффициентом диффузионного охлаждения
(поскольку обогащение энергетического распределения нейтронами
с меньшим коэффициентом диффузии сопровождается уменьшением
их средней энергии), а сам эффект-эффектом диффузионного
охлаждения.
Таким образом, кривая зависимости Х0 от и2 должна иметь вид
1
к0 + D0 х2 - Сх4 +..., (2.66)
г
и, как указывалось выше, точка пересечения ее с осью ординат

равна 1/7, тангенс наклона касательной в этой точке D0, т.е. равен
коэффициенту диффузии максвелловских нейтронов, а ее кривизна
в этой точке определяет коэффициент диффузионного охлаждения.
[На практике эту зависимость обычно аппроксимируют кривой
вида (2.66) методом наименьших квадратов.] Полученные таким
путем значения коэффициента С также приведены в табл. 2.3.
В заключение отметим, что эффект диффузионного охлаждения
своим происхождением обязан большой длине свободного пробега
нейтронов в веществе (см. табл. 2.2), в силу чего нейтронный газ
очень медленно приходит в тепловое равновесие со средой - за
время от нескольких микросекунд до «4О3 мкс. Поэтому
ускоренная утечка "горячих" нейтронов из блока малых размеров не
успевает компенсироваться "нагреванием" остающихся за счет
взаимодействия с веществом, и устанавливается энергетическое
распределение, обогащенное "холодными" нейтронами.
2.11. АЛЬБЕДО ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
Интересной задачей теории диффузии является вычисление
потоков нейтронов, которые возвращаются средой при облучении
ее нейтронами. Обратный выход нейтронов зависит от свойств
самой среды и от тех условий, в которых происходило диффузное
отражение (угла падения нейтронов на поверхность, их энергии).
Обратный поток характеризуют с помощью коэффициента,
называемого альбедо. Он равен отношению потока нейтронов,
испускаемого данной средой, к падающему на нее потоку (предполагается,
что источников нейтронов в среде нет).
Очевидно, что вероятность отражения зависит от соотношения
между сечениями рассеяния и захвата нейтронов веществом.
Альбедо будет тем больше, чем меньше вероятность захвата нейтрона
средой, т.е. чем больше соударений успеет совершить нейтрон до
поглощения. Альбедо зависит и от угла падения нейтронов на
поверхность. И для быстрых и для тепловых нейтронов эта
зависимость очевидна: альбедо при скользящем падении будет больше,
чем при нормальном, так как нейтрон совершает первое соударение
в среднем ближе к поверхности, т.е. на меньшей глубине. Для
быстрых нейтронов зависимость от угла более выражена, так как
они имеют тенденцию к сохранению первоначального направления,
поэтому и последующие соударения нейтронов будут располагаться
в среднем ближе к поверхности.
Пусть в среде нет локальных источников тепловых нейтронов,
а поверхность среды равномерно освещается диффузным и постоян-

ным потоком тепловых нейтронов. Тогда альбедо естественно
определить как
P=J_/J+, (2.67)
где J_ и J+ - введенные в § 2.6 односторонние токи нейтронов.
Воспользовавшись решением задачи диффузии для плоского
источника (см. § 2.8) и вычисляя 7_ и 7+ по известному значению
плотности, находим, что Р не будет зависеть (как это и должно
быть) от того, на каком расстоянии от границы вычисляется
отношение односторонних токов нейтронов, и будет равно
2 1
1-
nv
4
nv
Л*
6
wks
дп
dz
Эп
>- г-^ £-^. РЛ)
1 +
4 б dz т/Г -JF
где N = ha/hs - среднее число актов расстояния нейтрона до его
захвата.
При ЛГ» 1 окончательно получаем
4 1 2, 3 2,3 (п (.а\
л/Г л/лГ Viv Vv^7
Точная формула для альбедо, полученная при решении интегродиф-
ференциального уравнения, отличается от (2.69) числовым
коэффициентом при втором слагаемом и имеет вид
VV^-I t/Jv7"— I 2
Р=-__ ^_.^_. (2.70)
Из (2.69) и (2.70) следует, что чем больше N = ^eAs, тем ближе
к единице значение альбедо. Для графита, например, A.s = 2,5 см,
ка а* 3850 см (см. табл. 2.2), следовательно, (2.69) дает Р =* 0,94.
Это значение с очень хорошей точностью (погрешность «1%)
совпадает с альбедо, вычисленным по точной формуле (2.70).
Из (2.70) видно, что если среда абсолютно поглощающая (т.е.
N = 1 или Ка = ks, при первом же соударении нейтрон поглощается),
то Р = 0. Если среда непоглощающая (А.а = »), то она возвращает все
нейтроны: Р = 1. Для пучка, падающего под углом 8 к поверхности,
задача более трудная. Здесь одномерный подход не приемлем.
Ее решение
V^-i
Р(9)=——— . (2.71)
VN + V3cos8

При 9 = 0 оно не совпадает с (2.70). В (2.71) учтено, что даже при
8 = 0 нейтроны не обязаны двигаться вдоль оси х. Возможность
движения под углами к оси х приводит к более длинным путям
нейтронов и, следовательно, к увеличению вероятности их
поглощения и уменьшению р.
2.12. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
ПРИ ВЫЛЕТЕ ИХ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ
Через поверхность среды, в которой находится нейтронный
источник, наружу непрерывно выходят тепловые нейтроны.
Определим приближенно закон углового распределения, который
необходимо бывает знать при решении ряда задач. Наиболее просто его
можно найти, если воспользоваться выведенной в §2.6 формулой
для потока нейтронов в среде в направлении, противоположном
оси х:
J- = -
Jdfid$n($)exp(-$/ft,),
2ks 0 О
где t = cos 9. Пользуясь этой формулой и диффузионным
приближением [т.е. формулой (2.25)] и разлагая функцию плотности
нейтронов вблизи контрольной поверхности в ряд по степеням £
dn
"(£)= п{х) + Ъ + ...,
dx
можно J~ представить в виде
■Г**-
■U
2\s О
ks tn + kft2 ■
dn
dx
• + ...
v 1
— I*
2 0
tn + kst2-
dn
dx
Отсюда следует, что число тепловых нейтроноЕ, покидающих
среду с выпуклой поверхностью по направлениям, которые лежат
в телесном угле dQ = - d cos 9 dtp, пропорционально
F(cos9)= —
2
ncos 8 + к.
dn
dx
cos2 9
Градиент плотности нейтронов и плотность нейтронов на границе
среды 5 связаны выражением
пя = —К
dn
dx

Отсюда угловое распределение нейтронов, вылетающих через
поверхность среды, можно найти как
F(cos9)=-
vn
cos 9 + — cos2 9
2
или
F (cos 9) «С
cos 9 + — cos2 9
2
(2.72)
где С - постоянная.
Более точный закон, найденный при решении интегрального
уравнения диффузии, отличается от (2.72) коэффициентом, который
стоит при cos2 9 (закон Ферми):
F (cos 9) =« С [cos 9 + v^cos3 9]. (2.73)
Как видим, различие между точным (2.73) и приближенным (2.72)
распределениями невелико.
В качестве примера применения (2.72) и (2.73) сравним значения
активации тонкой пластинки детектора толщиной d
плоскопараллельным пучком нейтронов, падающим перпендикулярно к
плоскости детектора, и пучком диффузно рассеянных нейтронов,
выходящих из среды. Очевидно, что в первом случае активация равна
A1 = ^d, где £ характеризует вероятность поглощения нейтронов
при прохождении ими слоя единичной толщины. В другом случае,
как нетрудно видеть, активация будет выше, так как пути
нейтронов в пластинке в среднем будут больше. Пользуясь (2.72), найдем
активность для диффузного облучения пластинки при условии
Id « 1:
1
J*
0
А2~
1-
1
К
0
exp(-S-)
3
f + — t*
l 2 J
dt
■ з I
t + — I3
L 2 -1
с
■=$d
ldtli + -t)
0 \ 2 '
ut[t+— A
0^2'
7
=—ы
4
(2.74)
Таким образом, активность пластинки в диффузном пучке
нейтронов в 1,75 раза выше, чем в плоскопараллельном пучке. Более
точная формула (2.73) дает результат, отличающийся от (2.74)
приблизительно на 2%.

Глава 3. ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
3.1. ОСОБЕННОСТИ ЗАМЕДЛЕНИЯ НЕЙТРОНОВ В ВЕЩЕСТВЕ
Распространение быстрых нейтронов в среде сопровождается
не только уменьшением их энергии, т.е. их замедлением, но и
связанным с этим уменьшением изменением механизма рассеяния
нейтронов в веществе. В силу этого обстоятельства распространение
быстрых нейтронов в среде - явление, безусловно, более сложное,
чем диффузия тепловых нейтронов.
Если в момент возникновения нейтронов их начальная
кинетическая энергия порядка нескольких мегаэлектрон-вольт, то при
распространении в среде энергия нейтронов будет последовательно
пробегать три области, в которых механизмы рассеяния различаются.
Первая область - от начальной энергии Е0 до порога неупругого
рассеяния ,на свободных ядрах. (Если, конечно, Е0 выше порога
неупругого рассеяния. Под порогом неупругого рассеяния понима-
еттся такая энергия, выше которой рассеяние нейтрона на свободном
ядре может идти неупругим образом, т.е. с возбуждением
рассеянного ядра.) Вторая область заключена в пределах от порога
неупругого рассеяния до энергий, сопоставимых с энергией связи атомов
вещества в молекулах или в кристаллической решетке. И третья
область простирается от энергий связи атомов в молекулах или в
кристаллической решетке до энергий теплового движения нейтронов.
Границы этих областей, конечно, условны и зависят они как от
свойств атомов, из которых состоит данное вещество, так и от
структуры вещества.
В области энергий выше порога неупругого рассеяния (от *1 МэВ
до нескольких мегаэлектрон-вольт для легких ядер и от десятков
килоэлектрон-вольт до нескольких мегаэлектрон-вольт для
тяжелых ядер) нейтроны могут рассеиваться как упругим, так и
неупругим образом. Начальная энергия уменьшается и при упругом, и при
неупругом рассеянии, однако при неупругом рассеянии темп
замедления выше, так как энергия расходуется не только на
движение ядра отдачи, но и на его возбуждение. Напомним, что для
легких ядер энергия возбуждения порядка 1 МэВ, а для средних
и тяжелых ядер обычно составляет порядка нескольких сот и
десятков килоэлектрон-вольт. Так как в данной области энергий
энергия нейтрона меняется сильно, то ясно, что она быстро, за
относительно небольшое число соударений (по отношению к числу
столкновений, совершаемых нейтроном до его полного замедления),
станет меньше порога неупругого рассеяния. Поэтому данный ин-

тервал энергий не оказывает существенного влияния на
распространение нейтронов в среде. Исключение составляют водородосодер-
жащие среды.
От энергий, близких к порогу неупругого рассеяния, и до энергий
сравнимых с энергией связи атомов в веществе, нейтроны
рассеиваются на ядрах исключительно упругим образом. При этом,
поскольку энергия нейтронов много больше энергии связи атомов
в веществе и энергии их теплового движения, атомы можно считать
свободными и покоящимися. Основная доля столкновений нейтронов
приходится на этот интервал энергий, и поэтому нейтроны этих
энергий определяют в основном характеристики процесса
замедления. Важной особенностью диффузии нейтронов с этими энергиями
является группировка по скоростям (энергиям)
нейтронов. В результате группировки энергетический спектр
нейтронного импульса будет постепенно сужаться по мере уменьшения
средней энергии нейтронов (если начальный спектр нейтронов был
достаточно широк).
В области энергий ниже энергии связи атомов вещества (т.е.
от =«10 эВ до тепловой) на замедлении нейтронов существенно
сказываются эффекты химической связи и теплового движения.
Процесс диффузии при этих энергиях называют термалиэацией,
а соответствующий интервал энергий областью термалиэации.
Особенность диффузии в области термализации заключается в том,
что скорость замедления нейтронов уменьшается, а спектры
нейтронов, сформировавшиеся на предыдущем этапе замедления,
уширяются, постепенно приближаясь к своей асимптотической (t ■* «>)
равновесной форме, т.е. к максвелловскому распределению (в отсутствие
поглощения нейтронов).
Процесс диффузии быстрых нейтронов, как видим, очень сложное
явление, поэтому описание его в общем случае представляет
весьма непростую задачу. В данной книге описание ведется при
следующих предположениях и ограничениях. Считается, что энергия
нейтронов уменьшается только до некоторой фиксированной
энергии Бгр, а само замедление при любых энергиях нейтронов
происходит только за счет упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды.
Последние, в свою очередь, считаются свободными и покоящимися.
Область термализации, представляющая дополнительные трудности,
не рассматривается; Пренебрежение неупругим рассеянием не
сильно изменяет общую картину замедления, так как, во-первых,
доля неупругого рассеяния нейтронов в области выше порога
неупругости может достигать в максимуме только половины общего
числа рассеяний в этой области (сечение неупругого рассеяния, как

известно, может достигать только половины полного сечения), а
во-вторых, число всех рассеяний в области выше порога неупругости
мало по сравнению с числом рассеяний при замедлении от начальной
энергии Е0 до энергии Е ~ кТ.
Предполагается также, что упругое рассеяние нейтронов
свободными ядрами изотропно в СЦИ реакции (S-рассеяние). Однако S-pac-
сеяние быстрых нейтронов в неподвижной относительно ядер
замедлителя системе координат (ЛС-системе) будет анизотропным.
Это отличает его от S-рассеяния тепловых нейтронов, которое при
упоминавшихся в §2.2 условиях могло быть изотропным в ЛС.
3.2. КИНЕМАТИКА УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
В процессе упругого рассеяния нейтронов ядрами ядро-мишень
испытывает отдачу, т.е. часть кинетической энергии рассеиваемого
нейтрона передается ядру. Ясно, что перераспределение энергии
между сталкивающимися частицами не зависит от того, каков
механизм рассеяния - потенциальный или резонансный. Рассмотрим
кинематику упругого рассеяния нейтронов на ядрах и найдем
закон, которому следует перераспределение энергии между частицами.
Будем считать, что нейтроны с кинетической энергией Е0 (с
начальной скоростью v0) упруго рассеиваются на первоначально
покоящихся ядрах с массовым числом А.
Центр инерции смещается в направлении движения нейтрона
V
со скоростью vc = (полагаем тп = 1). Скорости ядра и нейтрона
1+А
относительно центра инерции будут направлены противоположно
друг другу и соответственно равны и v0 . При рассея-
1+А 1+А
нии значения скоростей в системе центра инерции не меняются,
меняются только направления: оба вектора скорости
поворачиваются на один и тот же угол 9* (рис. 3.1).
Переходя к лабораторной системе координат, мы можем найти
v - конечную скорость нейтрона в ЛС, если сложим (векторно) его
скорость в СЦИ после рассеяния Vg со скоростью движения центра
инерции относительно ЛС (рис. 3.2). Видно: v2 = v^2 + v| + 2v0 vccos 9*.
Здесь 9* - угол рассеяния нейтрона в СЦИ. Учитывая исходные
обозначения, это соотношение легко преобразовать в другое, дающее
связь между энергиями нейтрона до и после столкновения:
£ = : — {l+A2+2Acos9*}. (3.1)
(1+А)»

1+A
Рис. 3.1. Схема упругого рассеяния нейтрона
на свободном ядре в СЦИ
Рис. 3.2. Преобразование скорости
нейтрона при переходе нз СЦИ в ЛС
Ясно, что при В* = 0 нейтрон во время столкновения сохраняет
первоначальную энергию Е0, а при 9* = л, т.е. при лобовом
соударении, потеря энергии достигает максимального значения и,
следовательно, энергия нейтрона будет минимальной:
^макс о>
^мик ~ ^о
9* = 0 (столкновения практически нет);
А-1
А + 1.
, 9* = л (лобовое столкновение).
(3.2)
При столкновениях с водородом (А = 1) энергия нейтрона будет
изменяться в пределах от 0 до Е0, т.е. нейтрон может потерять
всю свою энергию в одном соударении и остановиться. В случае
более тяжелых атомов остановка нейтрона невозможна. Если
пренебречь членами высшего порядка 1/А, то при А » 1 Емин - (1 -
- 4/А) Е0. Отсюда следует, например, что при А = 200 максимальные
потери энергии АЕмакс = Емакс - £мин могут достигать 2%.
Таким образом, сравнение потерь энергии нейтронов при
рассеянии их ядрами легких и тяжелых элементов показывает, что
вещества, состоящие из легких элементов, при прочих равных
условиях обладают лучшими замедляющими свойствами.
При описании замедления нейтронов требуется знать
энергетическое dw/dE и угловое dw/dcos 9 распределения рассеянных нейтронов.
Их можно найти, если известен теоретический закон рассеяния в
какой-либо системе отсчета, например в СЦИ. Допустим, что
нейтроны - медленные. Тогда их рассеяние в СЦИ будет сферически-
симметричным, т.е. закон рассеяния будет иметь вид
dw/dcos 9* = 1/2. (3.3)
С помощью правила замены переменных преобразуем это
распределение в энергетическое распределение в ЛС:

dw dw dcos 8* 1 dcos 8*
dE dcos 6* dE 2 dE
Из (3.1) следует, что dcos Q*/dE = (1 + A)2/2AEQ, поэтому искомая
функция распределения будет иметь вид
ы {Е, Е0) s dw/dE = {А + 1)2/4АЕ0. (3.4)
Получили весьма существенный результат: вероятность того, что
значение энергии нейтрона после соударения будет равно Б, не
зависит от Е. В общем случае {А Ф 1) функция распределения
нейтронов по энергиям после одного соударения показана на рис. 3.3, а.
Для водорода {А = 1) эта зависимость имеет вид прямоугольника,
простирающегося по шкале энергии от начальной энергии Е0 до
£ = 0 (рис. 3.3,6).
Угловое распределение dw/dcos 9 также найдем с помощью
правила замены переменных. Используя (3.3) и переходя от cos 8*
к cos 8, получаем
dw dw d cos 8* Id cos 6*
dcos 8 dcos 8* dcos 8 2 dcos 8
Как видим, для вычисления dw/dcos 9 требуется знать связь
между углами вылета нейтронов в ЛС и в СЦИ. Ее можно установить,
например, из треугольника АОС (см. рис. 3.2), в котором абсолютное
значение скорости рассеянного нейтрона в ЛС может уже считаться
известным. Разрешая треугольник АОС относительно угла 8, получаем
l+Acos8*
cos 9 = —. (3.5)
Vl+Aa+2Acos8*'
В общем случае {А ф 1) производная dcos 8*/dcos 9, вычисляемая
с помощью (3.5), будет иметь сравнительно громоздкий вид. В
частном случае А = 1 связь между 8* и 9, следующая из (3.5), очень
простая: 9* = 29, поэтому для рассеяния нейтронов на водороде:
dcos 9*/dcos 9 = 4cos 9 или
dw
(А = 1) = 2 cos 8.
dcos 8
Рис. 3.3. Спектр нейтронов после одиократ
ного рассеяния на свободном ядре:
а - А + 1; б-А = 1
ае
АФ1
(А+Пг
МЕ„
.
dE
1
Со
Л=1
№
ЕпЕ О
*;,
Ео Е
в)

Получили, что угловое распределение нейтронов в ЛС
вытянуто в направлении движения первоначального нейтрона. Такая
же особенность рассеяния, правда в меньшей степени, имеет место
и при упругом рассеянии нейтронов на ядрах с А Ф 1. Тенденцию
нейтронов к сохранению первоначального направления движения
удобнее всего характеризовать значением среднего косинуса угла
рассеяния в Л С cos 8. По определению
dw „ l+Acos8*
cos 9 = I dcos 8 cos 8 = $
■y/l+A3-
dcosS Vl+A3+2Acose*
dw 1 1+AcosS*
x -dcos8*■ =—$ dcos8*— —. (3.6)
dcazB* 2 -JllA3+2Acoze*
Вычисляя интеграл в (3.6), например, с помощью производящей
функции полиномов Лежандра, получаем
cos8 = 2/(3A). (3.7)
Заметим, что для изотропного рассеяния среднее значение
косинуса угла рассеяния будет равно нулю:
dw
cos 8*= $ dcos 8*' cos 8*=0.
dcos 9*
3.3. СРЕДНЕЕ ЧИСЛО УДАРОВ, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ ЗАМЕДЛЕНИЯ
Как скажется на энергии нейтронов большое число соударений?
Попытаемся понять это на примере рассеяния на водороде. При
одном ударе в водороде нейтрон сохраняет в среднем половину
начальной энергии, т.е. Ех = Е0/2, при двух_ударах Et = EJA и т.д. После
N-ro удара средняя энергия нейтронов EN = E0/2N. Казалось бы, это
соотношение позволяет определить число соударений N,
необходимых для замедления от энергии Е0 до заданной энергии Е, как
N = log2——■. (3.8)
Е
Однако это неверно. Формула (3.8) дает правильный результат
лишь по порядку величины и отличающийся от истинного на 40%.
В чем причина расхождения? Пользуясь (3.4), можно показать, что
с ростом кратности соударений N основная доля нейтронов
замедления будет иметь энергию Е < EN, т.е. средняя энергия нейтронов
является плохой характеристикой процесса замедления.
В данном случае нас интересует не средняя энергия, а среднее
число ударов, которые должен испытать нейтрон при замедлении

Рис. 3.4. Изменение энергии нейтронов в с г с г
среднем при упругих столкновениях с
ядрами водорода
9. _! i£ Z&
•И i I 1 1 1-
до заданной энергии Е. С этой точки зрения шкала энергии не удобна.
Действительно, линейному росту числа столкновений
соответствует уменьшение энергии нейтрона в геометрической прогрессии,
как это изображено, например, на рис. 3.4. В то же время можно
заметить, что если в качестве новой энергетической переменной
взять величину u = In {EJE), то при каждом соударении она будет
меняться на фиксированное значение. Эту новую энергетическую
переменную называют летаргией нейтронов. Посчитаем среднее
значение, на которое изменяется летаргия при одном ударе:
Емакс
dE'ln-~f{E') =
£мин
Ев
<Ш Е- (А + 1)а (А-1)а А + 1
1П 1_: In
4*1 '
Ев Е 4А U А-\
а о
Получили замечательный результат: мы нашли такую переменную,
которая в процессе замедления меняется на фиксированное значение,
характерное для данного замедлителя и не зависящее от энергии
нейтрона Е0. Средняя летаргия, или, по другому говоря, среднело-
гарифмические потери энергии при одном ударе, является одной
из важнейших характеристик замедлителя (наряду со средней
длиной свободного пробега до рассеяния ks и до поглощения А.а и
длиной диффузии Lc). Учитывая важность этой характеристики,
для нее вводят специальное обозначение
(А - 1)а А +1 ■ ,„ „.
Очевидно, что чем больше |, тем лучше (при прочих равных
условиях) замедлитель. В тяжелых замедлителях (А » 1) 5 а 2/А.

Рис, 3.5. Зависимость среднелогарифмичес-
ких потерь энергии нейтронов от массового
числа
Качественно зависимость £ от А
передаётся графиком на рис. 3.5.
Для некоторых замедлителей эна-
Q4j 1 g A ?'D 72 j§ а^ чения £ даны в табл. 3.1.
Таблица ЗА. Среднепогарифмические потери энергии нейтронов при
упругом рассеянии в замедлителях
Элемент Н D Be С А > 1
\ 1 0,725 0,352 0,159 2/А
Зная \, легко найти среднее число ударов для данного
замедления. Так как £ не зависит от энергии нейтроноЕ, то за каждое
соударение нейтроны будут смещаться по шкале летаргии на одно
и то же значение. Если к тому же замедлитель тяжелый, т.е. \ мало,
а полное число столкновений N велико, то замедление нейтронов
можно рассматривать как плавное течение по шкале летаргии.
Метод расчета характеристик замедления на основе такого
представления получил название метода непрерывного спуска.
За N ударов полное перемещение по шкале и составит Д и = ик - ии =
= In (E0/JS) = Щ (u„ = 0). Отсюда
ЛГ- —in —. (3.10)
IE
Для того чтобы с помощью водорода (£ = 1) замедлить мегавольт-
ные нейтроны до тепловых энергий (1/40 эВ), потребуется всего
In (4-107) = 17,5 соударений [вместо 24,5 по (3.8)]. В углероде для
такого замедления потребовалось бы около ПО соударений.
3.4. ПЛОТНОСТЬ ЗАМЕДЛЕНИЯ
В § 3.3 мы нашли среднее число ударов, необходимое для
замедления нейтронов от энергии Е0 до Е. Что можно сказать о
распределении по энергиям замедляющихся нейтронов?
Рассмотрим блок замедлителя, размеры которого настолько
велики, что можно пренебречь утечкой из него нейтронов. Будем
полагать, что поглощения нейтронов в блоке нет (ofl = 0), и
по-прежнему будем описывать замедление более удобной энергетической
переменной - летаргией. Введем новую физическую величину,
которой будем описывать распределение плотности нейтронов с

данной энергией (точнее, с летаргией). Представим себе, что в каждом
кубическом сантиметре замедлителя каждую секунду рождается
q0 нейтронов с энергией Е0 (летаргией и = 0). Будем полагать, что
среднелогарифмические потери энергии нейтронов в одном
соударении малы: 1*^1. Если поглощение отсутствует, то каждую
секунду в 1 см3 до летаргии и будут замедляться все q0 нейтронов.
Величину q0 называют плотностью замедления. Если существует
поглощение, то из интервала du будет уходить меньше нейтронов,
чем приходило, в него, и плотность замедления будет функцией
энергии (летаргии), т.е. q = q {и). В общем случае q {и) определяется
как количество нейтронов, замедляемых за 1 с в 1 см3 от летаргии,
меньшей чем и, до летаргии, большей чем и. Выразим q (u) через
плотность нейтронов. Пусть п (и) = 5 dm (и, г) число нейтронов во
всем замедлителе, которое приходится на единичный интервал
летаргии. Так как эта интегральная плотность не зависит от
пространственного распределения источников нейтронов, ее можно
рассматривать как плотность в бесконечной гомогенной среде, в которой
мощность источников повсюду постоянна. Вероятность рассеяния
нейтрона в единицу времени и, следовательно, вероятность изменения
летаргии равна v/A.^. Тогда произведение п (ц) (vA^) представляет
собой число нейтронов в единичном интервале летаргии, которые
испытают рассеяние за 1 с. Эту величину называют плотностью
столкновений в единичном интервале летаргии:
F(u)=-^-n(u). (3.11)
Так как из (3.9) следует, что среднее изменение летаргии за одно
соударение не зависит от абсолютного значения летаргии, то
плотность столкновений (т.е. число столкновений в единичном
интервале летаргии) будет величиной постоянной:
F{u)= const.
Используя понятие плотности столкновений, нетрудно теперь ввести
и понятие плотности замедления. Так как среднее изменение
летаргии за одно столкновение не зависит от летаргии, то плотность
замедления естественно считать равной плотности столкновений,
умноженной на среднее перемещение нейтронов по оси и, т.е. на £:
ч-(и)зу(и)-£ —п-М. (3.12)
К этому же состношению можно прийти другим способом. Поток
нейтронов вдоль оси и можно представить как произведение ско-

рости течения нейтронов по оси и - vu на плотность нейтронов
п (и), т.е.
q(u) = vun(u). (ЗЛЗ)
По определению vu = du/dt. Делая замену переменной, преобразуем
du dN
vu = du/dt = .
dN dt
Здесь du/dN есть изменение летаргии за одно соударение, т.е. £;
dN/dt - число ударов в единицу времени, т. е. v/ks. Таким образом,
vu = £ —. (3.14)
Подставляя vu в (3.13), вновь приходим к соотношению (3.12).
Чтобы плотность замедления q (и) выразить через обычный
интегральный поток нейтронов во^сем замедлителе Ф (£)=$ с/гФ (г, Е),
перейдем от шкалы летаргии и к шкале энергий Е.
Воспользуемся правилом преобразования переменных: п (Е) dE = п (и) du =
= п (и) dE/E. Отсюда п (Е) = п {и)/Е или
v 9{Б)Б
q = l п(Е)Е = 1 (3.15)
и плотность столкновений
Г(и) = Ф(£)£Д,. (3.16)
Из (3.15) находим
d>{E) = qks/ZE. (3.17)
Зависимость (3.17) описывает распределение замедляющихся
нейтронов по энергиям от точечного источника в непоглощающей
среде. Она носит имя Ферми, который теоретически вывел ее и
экспериментально подтвердил сразу же после открытия им явления
замедления. Практическая значимость распределения (3.17)
исключительно велика. Этому распределению в первом приближении
следует спектр надтепловых нейтронов в реакторе на тепловых
нейтронах.

Из (3.17) видно, что, когда ks = const , распределение нейтронов
замедления подчиняется простому закону:
Ф(£)~1/Е. (3.17а)
В действительности вид распределения нейтронов может быть
значительно более сложным, чем (3.17а), что связано с зависимостью
от энергии среднего свободного пробега до рассеяния. Такая
зависимость к$ от энергии имеет место, например, для рассеяния нейтронов
на водороде.
Качественно отличие реального спектра нейтронов от максвел-
ловского в надтепловой области показано на рис'. 2.2. Пунктиром
здесь указан спектр, удовлетворяющий соотношению (3.17а).
Формулы (3.12) и (3.15)—(3.17) выведены для простых
моноизотопных веществ. К сложным веществам, имеющим к тому же
различный изотопный состав, в общем случае их применять нельзя.
Их можно применять к сложным веществам в частном случае, когда
зависимость сечений рассеяния всех компонент смеси от энергии
одинакова. Тогда в формулах (3.12) и (3.15)—(3.17) под длиной
свободного пробега до рассеяния ks и под среднелогарифмическими
потерями энергии | следует понимать их средние значения для
смеси:
1/\ = I 1Л* ; (3.18)
(=1
ч
I = г % А,,-)/ 2 1А,,-, ' (3-19)
1-1 1=1
где п - полное число компонент смеси; индекс i относится к ядрам
замедлителя различных сортов; А. - - соответствующие длины
свободного пробега до рассеяния.
В случае поглощающей среды формула для плотности замедления
Ч {и) изменится:
v Ф(£)£
q{u)=l— n(u)=SF(u)-S-i-i—. (3.20)
к \
В (3.20), в отличие от (3.12) и (3.15), вместо вероятности рассеяния
v/A. входит вероятность столкновения у/к,
На первый взгляд пропорциональность q (u) в (3.20) полному

числу столкновений F{u) может показаться неправильной, так как
если столкновение нейтрона с ядром завершается его поглощением,
то плотность замедления должна быть равна нулю. В то же время по
определению плотность замедления равна не числу нейтронов с
летаргией и, испытывающих дальнейшее замедление, а числу
нейтронов, пересекающих данное значение и в процессе замедления.
Поэтому точная формула для q(u) имеет вид (3.20). Плотность
столкновений в случае поглощающей среды будет подобным же образом
отличаться от плотности столкновений для непоглощающеи среды
(3.16) заменой ks->k:
F(u) = 4>(E)£A. (3.11а)
Обобщение (3.20) на случай сложного вещества, компоненты
которого имеют одинаковую энергетическую зависимость сечений,
приводится аналогично рассмотренному выше обобщению формул
(3.15)-(3.17).
В этом случае
Uk = z i/\,
1=1
а £ будет даваться формулой (3.19).
Асимптотическая форма спектра, т.е. распределение нейтронов
по энергиям при энергиях, отстоящих далеко от энергии источника,
получается из (3.20). Бели замедлитель имеет бесконечные размеры и
поглощение отсутствует) то, как уже говорилось, значение энергии
Е = Е0 {и = 0) и произвольное значение энергии Е (и) в единицу
времени будут пересекать одно и то же количество нейтронов, т.е.
q (и) = q (u = 0) = const = Q,
где Q - мощность источника. Тогда
*'<E}-Q\JIE. (3.20а)

3.5. ПОГЛОЩЕНИЕ НЕЙТРОНОВ ПРИ ЗАМЕДЛЕНИИ
Рассмотрим теперь более реалистический случай замедления,
когда нейтроны в процессе замедления поглощаются средой. Будем
при этом допускать, что нейтроны могут поглощаться как самим
замедлителем, так и теми материалами, которые используются в
ядерных реакторах наряду с замедлителями. Интерес с этой точки
зрения представляют гомогенные смеси замедлителей и
естественного урана. При описании замедления нейтронов в этих смесях
следует учитывать сильное резонансное поглощение нейтронов,
обусловленное их радиационным захватом изотопом 238U. Будем
по-прежнему считать замедлитель тяжелым (А » 1), размеры его
неограниченными, а источники нейтронов равномерно
распределенными по замедлителю (источником нейтронов могут служить,
например, ядра изотопа 23SU).
Полное число нейтронов из интервала летаргии u-*-u + du, которые
V
будут поглощаться средой в единицу времени, равно п (и) du.
Здесь v/A.fl - вероятность поглощения нейтронов в единицу времени,
а п (u) du - полное количество нейтронов в замедлителе в интервале
u+u + du. В то же время при установившемся равновесии между
поглощением и замедлением полное число нейтронов, поглощаемых
в единицу времени, должно быть в точности равно по абсолютному
значению уменьшению плотности замедления dq (и), т.е.
-dq{u) = n{u) du. (3.22)
Домножим и разделим правую часть этого уравнения на £А., где
1/А. = l/ks + 1/Ха. Тогда (3.22) можно записать в виде
V к к
dq(u) = -ln{u) du = -q{u) du, (3.23)
где при преобразовании правой части (3.23) использовалось
выражение (3.20) для плотности замедления q {и), выведенное с учетом
поглощения нейтронов. Интегрируя полученное простое
дифференциальное уравнение для q {и) по ив пределах от начального значения
и = 0 до некоторого текущего значения и, найдем
q (u) = q (и = 0) ехр
и к
-Уи'-
0 ZK
(3.24)

или через переменную Е
q(£)=q(£0)exp
-t-k
dB'
Б \К
(3.25)'
Используя связь (3.20) между q (£) и Ф (£) и соотношение (3.24),
получаем формулу для плотности потока нейтронов, позволяющую
посчитать поток при энергиях, существенно меньших энергии
источника:
^0
Ф (£) = ехр
Е0 dE1
Е Б
W
(3.26)
Наличие множителя kQ/^E в этом выражении указывает на то,
что если среда обладает явно выраженным селективным
поглощением нейтронов, то у функции Ф (Е) при резонансных энергиях
будут наблюдаться резкие минимумы, т.е. поток нейтронов в среде,
обладающей селективными свойствами, будет обеднен нейтронами
с резонансной энергией. Отметим при этом, что плотность
столкновений F (и) останется в соответствии с (3.11а) гладкой функцией и.
Так как q (и) представляет собой число нейтронов, которые в
процессе замедления переходят за 1 с через данное значение летаргии
и, a q (и = 0) - число нейтронов, возникающих в замедлителе за
1 с, то отношение ср = q {u)/q (и = 0) будет представлять собой долю
нейтронов, которые избегут поглощения в процессе их замедления
до летаргии и, т.е. Ф есть вероятность того, что нейтрон достигнет
значения летаргии и, не будучи поглощенным:
Ф = ехр
и к
■W
о 6\i
= ехр
--$
dB'
| Е Е' (\„ + \s)
(3.27)
В области, где наиболее существенно резонансное поглощение
в.уране {Е й 20 кэВ), сечение рассеяния нейтронов в замедлителе
обычно не зависит от энергии, поэтому ф (Е) можно преобразовать
к виду
Ф (£) = ехр
Б
(3.28)
I Е Е ^+\
Если топливо очень сильно разбавлено замедлителем, т.е. на

один атом поглотителя приходится настолько много атомов
замедлителя, что ks <£ A.fl, то формула для ф (£) еще более упростится:
Ф (£) = ехр
/ *5
ехр
Г Л, £о dB 1]
— I
\ ** £°
-JV./.U1—-S-
=
dfi' 1
k E Е
(3.29)
где Na — концентрация атомов поглотителя.
Из (3.29) видно, что вероятность избежать резонансного
поглощения в сильно разбавленной смеси замедлителя и топлива зависит
от интеграла
4-х-
(3.30)
который представляет собой сечение поглощения, усредненное
по спектру Ферми (3.17а). Этот интеграл называют резонансным
интегралом поглощения при бесконечном разбавлении или просто
резонансным интегралом. Понятие "резонансный" для интеграла
используется потому, что в практически интересных случаях
значение его определяется в основном резонансами в сечениях
поглощения.
В общем случае при произвольном разбавлении поглощение
определяется не разонансным интегралом, а так называемым
эффективным резонансным интегралом
_ *° °а ЧБ'
'эф _ J ~
Е V,N„o„ + l E'
(3.31)
Эффективный резонансный интеграл, как видно, зависит от сечения
рассеяния на замедлителе, приходящегося на один атом поглотителя.
Через /эф вероятность избежать резонансного поглощения
записывается как
Ф = ехр
N,ks
'эф
(3.32)
На практике вероятность избежать резонансного поглощения
во всех компонентах ядерного реактора, кроме 238Ц рассчитывают

по формуле (3.29). Для расчетов используют экспериментально
измеренные значения резонансного интеграла, которые для многих
элементов, представляющих практический интерес, сводят в
таблицы.
Используя введенный таким образом резонансный интеграл,
покажем, что поглощение нейтронов в реакторе на тепловых
нейтронах действительно обусловлено реэонансами в сечениях изотопа
238U. Оценим с этой целью вклад в 1а от той части сечения
поглощения, которая описывается законом 1/v. Диапазон энергий возьмем
от энергии деления Ef до некоторой граничной энергии £гр. Тогда
Ef 1/v dB ■ Ef v. dE - . .,
Л/»- I <V—-=°J S — -ю1^Щ;.
Erp E Ягр у E
Здесь индекс "т" относится к тепловым нейтронам Ет = 0,025 эВ.
Егр принято равным 0,62 эВ. Отсюда 1цу ~ 0,4ofl. Для изотопа 238U аа =
= 2,7-Ю-24 см2; / = 275-Ю-24 см2. Вклад в / от поглощения по закону
1/v составит Д/у// * 0,4%, т.е. действительно очень мал.
3.6. ДЛИНА ЗАМЕДЛЕНИЯ
Пусть точечный источник, испускающий нейтроны с энергией
Е0, расположен в некотором замедлителе. Рассмотрим нейтроны,
которые имеют кинетическую энергию Е< Е0 . Насколько далеко
они в среднем окажутся от источника, иначе говоря, каково их
расстояние г2 (£„,£)?
Общим, что объединяет диффузию и замедление, является то,
что оба эти процесса - стохастические. Воспользуемся этой
аналогией для вычисления rf(E0, E) на основе обобщения формул,
полученных для диффузии тепловых нейтронов. В §2.4 мы вывели
формулу ff=2NcA.2, связывающую средний квадрат смещения теплового
нейтрона от источника г% с числом ударов Nc и средней длиной
свободного пробега до рассеяния ks. Напрашивается подставить
в эту формулу вместо Nc число ударов, необходимое для данного
1
замедления, Ns = — In {E0/E), полученное в § 3.3, й задача решена.
Однако такой подход может привести к ошибке. Есть два
обстоятельства, которые не учитываются при таком подходе. Во-первых,
формула для г2 выведена в предположении, что скорость
нейтронов и, следовательно, средняя длина свободного пробега ks в
процессе диффузии не меняются. В то же время, как уже подчеркива-

лось, диффузия быстрых нейтронов сопровождается непрерывным
изменением (уменьшением) их скорости (и энергии). Меняться будет
и вероятность соударения быстрых нейтронов с ядрами
замедлителя и связанная с ней величина ks, так как сечение рассеяния в
общем случае является некоторой переменной функцией энергии
нейтрона. Особенно сильная энергетическая зависимость Xs (E)
наблюдается для водорода, для которого сечения в тепловой области
и в области высоких энергий (~1 МэВ) различаются приблизительно
в 10-15 раз. И, во-вторых, при выводе формулы для rj?
предполагалось, что рассеяние нейтронов в системе координат, связанной с
замедлителем, является сферически-симметричным. В то же время
в § 3.2 было показано, что для быстрых нейтронов характерна
тенденция к сохранению первоначального направления движения.
Как учесть, что средняя длина свободного пробега нейтронов
меняется в процессе замедления? Представим полное смещение
нейтрона от источника как сумму среднеквадратичных смещений
на отдельных участках Дг^, на каждом из которых энергию £,, а
также ^S(E,-) можно считать постоянными, а при переходе от одного
участка к другому энергия изменяется скачком. Будем считать
также, что на каждом из участков число соударений нейтрона
достаточно велико. При стремлении размеров участков к нулю
сумму можно заменить интегралом:
rj(E0,E) = lArf=2 f kf(E'). (3.33)
i E IE'
Здесь мы воспользовались формулой (3.10) для вычисления dN =
= (№)dE/E. ,
Теперь учтем анизотропию рассеяния. Анизотропия рассеяния
приводит к тому, что каждый следующий пробег быстрого нейтрона
как бы "помнит" направление предыдущего пробега, т.е.
эффективное перемещение нейтронного потока в первоначальном направлении
будет больше. Это обстоятельство можно учесть введением вместо
hs "транспортной длины" ^fr. Можно было бы думать, что для этой
цели в соотношении г£= 2NC X^ достаточно заменить К$ на Ktr. Однако
это неверно. Сначала формулу нужно переписать в виде r£ = 21KS,
где под / следует понимать среднюю длину свободного пробега до
замедления до заданной энергии Е (пробег нейтрона по
зигзагообразной или ломаной линии) и затем уже в этом, новом соотношении
сделать замену ^на К^. Эта замена является физически правильной,
поскольку / не зависит от того, изотропно рассеяние или нет,
"помнит" нейтрон или нет предыдущий пробег.

Делая указанную замену, получаем
Г2= 2N = = 2N —,
1 - cos 8 1 - 2/(ЗА)
т.е. мы вывели формулу Эйнштейна с учетом анизотропии рассеяния.
Окончательное выражение для среднего квадрата смещения
быстрого нейтрона от источника, учитывающее анизотропию и
изменение энергии при рассеянии, принимает вид
2 Бо йВ'
/?(£„,£) = I—ТЩЕ\ ■ (3.34)
6[1-2/(ЗЛ)]Я Б
Как уже отмечалось [см. (2.16)], анизотропия рассеяния
сказывается и на коэффициенте диффузии, который для задачи
замедления будет иметь вид
1 1 А. т
Ds = — \frv = —. (3.35)
3 3 1-2ДЗЛ)
Продолжая аналогию с задачей диффузии тепловых нейтронов,
введем понятие длины замедления. Определим квадрат длины
замедления как 1/6 часть от среднего квадрата смещения нейтрона,
т.е.
1 1 ej> ОБ'
Ll=-rf(E0,E) = 1—-WE1). (3.36)
6 Зб[1-2/(М)] Б Б'
Для замедления Ls является важнейшей характеристикой
замедлителя. Она показывает, как далеко вдоль любой оси смещаются
в среднем нейтроны, которые замедлились от начальной энергии
Е0 до конечной энергии Е.
Расчет длин замедления, выполненный с помощью соотношения
(3.36), показывает, что наименьшими длинами замедления из
реальных замедлителей обладают водородосодержащие среды. Это
понятно, так как для водородосодержащих сред | принимает
наибольшее значение и также велико сечение рассеяния нейтронов на
водороде (os = 20-10"24см2 при £ ;S 104 эВ). Качественно этот
результат согласуется и с экспериментом. Однако нужно иметь в виду,
чтто для воды или водородосодержащего вещества (3.36) неверна.
В водороде изменение энергии нейтрона при столкновении настолько
велико (за одно соударение нейтрон способен потерять всю свою
энергию), что замедление в нем нельзя рассматривать как
непрерывный процесс.
Как видно из (3.36), величина L2S{E), с одной стороны, зависит
от свойств замедлителя (£, A, Xs), а с другой, она есть функция энер-

гии замедления. Справедливо и обратное: энергия нейтронов в
замедлителе есть функция L2, т. е. ее можно измерять не только в
энергетических единицах, но и в единицах площади (см2). Введем
новую величину т =Lj, имеющую размерность площади, и выразим
ее через летаргию
1 "
т = Ц- 1 k2.(u') du\ (3.37)
3U1-2/(34)] о
т называют возрастом нейтронов.
Впервые понятие возраста и теория замедления нейтронов,
основанная на этом понятии и получившая название теории
возраста, были введены Ферми. Впоследствии теория возраста была
названа его именем. Несколько позже независимо от Ферми теория
возраста была построена Я.Б. Зельдовичем. Поэтому правильнее
ее именовать теорией Ферми-Зельдовича. (Напомним, что теория
создавалась во время войны, когда на обмен научной информацией
существовал запрет).
Поясним смысл понятия "возраст нейтрона". Ответим на вопрос,
почему величине, имеющей размерность площади, дано название,
6»
явно содержащее временное понятие. Подставим du = dt, еле-
дующее из (3.14) в (3.37), и сделаем необходимые преобразования.
Тогда
т = i {к*— dt = \d (0 dt', (3.38)
3U1- ШЗА)] 0 ks О
где t - время, необходимое для замедления нейтрона от энергии
Е0 до Е. При выводе (3.38) использовано выражение (3.35) для
коэффициента диффузии при замедлении.
Таким образом, возраст нейтрона есть, в сущности, взвешенное
время замедления. Роль веса играет коэффициент диффузии,
зависящий от времени. Формулы (3.37) и (3.38) означают, что энергию
замедляющегося нейтрона можно измерять не только в единицах
площади, но и в единицах времени.
3.7. ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ ОТ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
В БЕЗГРАНИЧНОЙ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Ранее средний квадрат смещения от источника г ^ (Е0, Е)
нейтрона, замедлившегося от энергии Е0 до энергии Е, был получен
обобщением соответствующей формулы для среднего квадрата
смещения теплового нейтрона. Обобщение основывалось на аналогии

процессов диффузии и замедления как последовательности
случайных независимых актов рассеяния нейтронов. Подобным образом
можно получить не только второй момент функции распределения
быстрых нейтронов г2 {EQ, E), но и в некоторых случаях найти вид
самой функции распределения.
Для тепловых нейтронов функция их распределения по
положениям г от точечного источника в произвольный момент времени
дается выражением (2.19)
1
w {г, t) ■ ехр [- Is- /4Dt], (3.39)
(4п Dtfn
где Д - коэффициент! диффузии, определяемый (2.13) в случае
изотропного рассеяния или (3.35) для анизотропного рассеяния.
Как видно из (3.39), дисперсия о2 (г) функции распределения
w (г, t) определяется не величинами Д и t в отдельности, а их
произведением, которое, в свою очередь (см. § 2.4), с точностью до
численного множителя равно среднему квадрату смещения нейтрона
г2 (?) к моменту времени t, т.е.
1
02(r) = 2Dt=-r2U).
3
Для тепловых нейтронов коэффициент диффузии Д постоянный
(ни скорость тепловых нейтронов, ни средняя длина свободного
пробега до рассеяния, от которых зависит Д не изменяются), поэтому
дисперсия распределения (3.39) в момент времени t пропорциональна
этому времени.
Для быстрых, замедляющихся нейтронов коэффициент диффузии
переменный. Он является функцией энергии и, следовательно,
функцией времени, поскольку энергия нейтрона и время замедления
взаимосвязаны. Изменение коэффициента диффузии обусловлено
тем, что в процессе замедления уменьшается скорость нейтронов,
а также тем, что в некоторых (например, водородосодержащих)
веществах средняя длина свободного пробега нейтрона до рассеяния
заметно изменяется в зависимости от энергии частицы.
Чтобы обобщить (3.39) на случай замедления нейтронов, надо
учесть изменение коэффициента диффузии в процессе замедления.
Разобьем весь интервал времени замедления t на промежутки
длительностью А?,.. . Размеры промежутков выберем настолько малыми,
чтобы коэффициент диффузии Д (t) можно было считать в течение
каждого промежутка приблизительно постоянным и одновременно
столь большим, чтобы число соударений нейтронов было достаточно

велико. При выполнении этих условий функция распределения
нейтронов по пробегам на каждом из маленьких промежутков
Af,- в отдельности будет в соответствии с центральной предельной
теоремой (см. § 2.5) подчиняться нормальному закону, т.е. (3.39)
со своим Dt:. На всем интервале замедления (0 - t) функция
распределения будет также иметь вид нормального распределения,
причем дисперсия ее будет равна сумме дисперсий частных
распределений, т.е.
a2{t) = 2lDi(ti)Ati. (3.40)
Доказательство последнего утверждения проведем для случая
только двух последовательных временных промежутков 0 - tL и
t1 - г2, на первом из которых коэффициент диффузии будем
считать равным D0, а на втором Dv Обобщение на случай многих
участков очевидно.
Итак, пусть плотность генерации нейтронов в начальный момент
времени t = 0 имеет вид 6-функции, т.е. q (г, t) = NQ Ь (г) б (t). Если
нейтрон первоначально (в момент времени t) находился в точке
г', то вероятность обнаружить его в моментт времени t в точке г
дается в соответствии с (3.39) формулой
(г-г')а
w (г, т', t, t') = exp
[*WJt-S)]3"
*D„(t-0.
Функцию плотности распределения нейтронов в произвольный
моментт времени t (0 < t < tx) можно найти просуммировав эти
вероятности с весом, равным начальной плотности генерации, т.е.
вычислив интеграл
tf,a(0 6(f) / (г-г')2
пг (г, 0 = 5 dr'dt' exp -
"о
[4*D0(t-O]3'a \ *D„(t-0
exp [- —). (3.41)
[4лп t}313 \ 4D„ t
о
Для вычисления распределения плотности нейтронов на
промежутке tt < t < t2 нужно знать плотность генерации их в момент
времени t±. Ее можно найти вычисляя пх (г, t) при t = t± и рассматривая
ее как пространственную часть плотности генерации, т.е. полная
функция плотности генерации при t = tt будет иметь вид
"i fc 0 = exp -
[41Ш0 f,]3'a \ 4D01.

Функцию распределения плотности нейтронов п2 (г, t) в
промежутке t± < t < f2 найдем по аналогии с вычислением nL (г, г) на
участке 0 < f < tx, т.е.
N. 6 (t-1.)
ла(г,о-и'л-
ехр
X
[4по0 g3
(r-r1)3
-exp
4D, (t-t*)
= N„ dr
(r-r')a
r"
L 4D0tx J
/
X
Г r" 1
L 4D0J
[4no0ga'a
exp
X
iDjft-t,) -I
UnDjt-t)]*'»
(3.42)
Вычисление интеграла (3.42) удобнее вести в сферических
координатах. Представим дх как di'= -г'2 dr' dcos 8' cftp' (8' и ф' - полярный
и азимутальный углы радиуса-вектора г' относительно направления
вектора г). В силу азимутальной симметрии задачи $ сир... = 2л ...
При интегрировании по полярному углу (3.42) легко приводится
к виду
JV0 exp ■
л, М-
4о,а-д .
X J dr'r'exp -
r[4nD„tlP'4*4)l(t-tl)]»':
г12 г12
2гт'
«Vi
(3.43)
4D,(t-g tojCt-t,)/
Интеграл (3.43) табличный. Вычисление его проводится простыми
алгебраическими заменами переменных. В результате получаем
N.
п2(г, О-
-ехр
4[D0tl+D1(t-f1)]
(3.44)
4n[D0t1 + Dl(t-g]3'3
Обобщение (3.44) на случай к временных интервалов Д£ очевидно:
N.
л (г, г) = -
4Л I I D,At,
4=1
-ехр
4 2 D,- Д(,-
1=1
(3.45)

Рис. 3.6. Пространственное распределение плотности
замедления (т2 > т t)
Выражение (3.45) строго доказывается методом
математической индукции. Осуществляя
предельный переход fc-*oo,Af-*o°B сумме,
входящей в (3.45), находим, что распределение
плотности быстрых нейтронов от точечного
источника к моменту времени t будет иметь вид
^о / г3 \
л (г, г) = ехр .
4л J Ddt'} 4 I Ddt
V 0 ' О
t
Интеграл $ D dt по определению есть возраст нейтрона т (см. § 3.6).
Поэтому °
п (г, т) = ехр [-г2/4т]. (3.46)
(4лт)э/а
Вид функции распределения плотности нейтронов (3.46) при
различных значениях возраста т показан на рис. 3.6. Если т2 > т1,
то вероятность обнаружить быстрый нейтрон возраста т2 на больших
расстояниях г от источника выше, чем вероятность обнаружить там
нейтрон возраста хх. На малых расстояниях, наоборот, с большей
вероятностью можно обнаружить нейтроны возраста т1.
3.8. УРАВНЕНИЕ ВОЗРАСТА ФЕРМИ-ЗЕЛЬДОВИЧА
Продолжим описание пространственного распределения
замедляющихся нейтронов в среде. По-прежнему будем использовать
удобную для задачи замедления шкалу летаргии и = In (EQ/E),
поглощением нейтронов будем пренебрегать. Нас будет интересовать
пространственное распределение нейтронов различных энергий.
Соответственно этому введем плотность нейтронов п (г, и), равную
числу нейтронов с летаргией от и до и + du в точке г = г (х, у, z),
приходящемуся на единичный объем. Рассмотрим элемент объема
dV и содержащиеся в нем нейтроны заданного интервала энергий.
Вместо плотности замедления для всего замедлителя q{u) введем
плотность замедления для элемента объема dV-q (г, и). Очевидно, что
ldVq(t,u) = q(u).

Естественно, что для q (r,. u) справедливо введенное ранее для q (и)
соотношение (3.12), т.е.
q(r,u)= —п(г,и). (3.47)
Существуют два источника поступления нейтронов данной
энергии в объем dV. Это, во-первых, диффузия нейтронов
рассматриваемых энергий из соседних объемов и, во-вторых, замедление
нейтронов более высоких энергий. Полное число нейтронов
энергетического интервала du, диффундирующих внутрь единичного
объема за единицу времени, равно DAndu. Мощность генерации
нейтронов данной энергии за счет замедления пропорциональна
плотности замедления q (г, и). Изменение числа нейтронов в интервале
энергий du можно найти как разность числа нейтронов, вошедших
и вышедших из него, т.е.
dq
-q{c,u + du) + q (г, и) = -> —— (г, и) du.
ди
Результирующее изменение числа нейтронов в заданном объеме
(dV =1) будет описываться уравнением
дп dq
=DAn
dt ди
или в стационарном случае [dn/dt = 0)
aq
DAn (г, и) = (г, и). (3.48)
ди
Две интересующие нас величины л (г, и) и q (r, и) связаны, с одной
стороны, дифференциальным уравнением (3.48), а с другой -
алгебраическим (3.47). Задачу можно свести к одному дифференциальному
уравнению. Преобразуем уравнение (3.48), подставив в него п (г, и),
выраженное через q, из уравнения (3.47). Поскольку ks, v, | не
являются функциями координат, дифференциальные операторы на
них не действуют, следовательно,
DX, dq
Aq= .
v£ ди
Преобразуем это уравнение, сделав в нем замену переменной и на
х = J kf(u)du', где т - есть возраст нейтрона, опреде-
3£[1 -2/(34)] о
ленный ранее [см. формулу (3.37)].

Тогда
dq dq дх dq
ди дх ди дх 3Ul-2/(3A)]
и уравнение принимает простой и хорошо известный классический
вид (вспомним, например, уравнение теплопроводности)
Д<7 = Эд/Эт. (3.49)
Это есть знаменитое уравнение возраста, полученное впервые Ферми
в 1942 г. Приблизительно через 1,5 года это уравнение независимо
вывел Я.Б. Зельдович. (Напомним, что работы по теории и
практическому осуществлению цепной ядерной реакции проводились в
военное время в обстановке строжайшей секретности.)
Уравнение (3.49) есть основное дифференциальное уравнение,
описывающее поведение быстрых нейтронов в замедлителе. Решая
его, можно найти q (г, т) и затем, пользуясь соотношением (3.47),
вычислить п (г, т), т.е. пространственное распределение плотности
нейтронов в замедлителе (заметим, что для одного и того же
возраста т пространственные распределения q и л одинаковы с точ-.
ностью до множителя, зависящего от т). С помощью уравнения
(3.49) было решено большое число задач теории замедления. Для
замедлителей из водородосодержащих материалов это уравнение
неприменимо: нарушается условие плавности течения нейтронов
по шкале u = ln(E0/E), использованное при выводе формулы для
плотности замедления.
Решим уравнение (3.49) для точечного источника. Будем полагать,
что в начале координат находится точечный источник мощностью
Q (нейтр./с), дающий моноэнергетические нейтроны с энергией
Е=Е0. Замедлитель - бесконечный, поглощение - отсутствует.
Решается задача Коши уравнения теплопроводности dq/дх = Aq.
Отыскивается решение q (г, т) при т > 0 по q (г, 0) = / (г). В данном
случае / (г) = Q б (г). В общем случае решение нестационарного
уравнения теплопроводности дается интегралом Пуассона
q(rjT) = _J_fe-(-x)^/(x)dx. •
(4лт)3'3 -<=°
Для источника в виде б-функции
Я (г, г) е /4 , (3.50)
(4пт)э/а
т.е. представляет собой гауссово распределение с полушириной,

пропорциональной \/х. В § 3.7 данное решение было получено без
использования уравнения баланса, каковым является уравнение
(3.49).
Найдем полную генерацию нейтронов для точечного источника:
1q (г, т)с*У=4л1—— е_га/4Т г2 dr = Q. (3.51)
О 0 (4лт)э'а
Она оказалась постоянной и равной мощности источника, т.е. числу
нейтронов, попадающих в систему в единицу времени. Это не
удивительно, так как предполагалось, что поглощение и утечка
нейтронов отсутствуют.
Вычислим, наконец, г2:
^5= — = 6т. (3.52)
00
О
Из сравнения выражений (3.52) и (2.17а) можно заключить, что
по отношению к распределению нейтронов т играет такую же роль
для быстрых нейтронов, какую L2 для тепловых нейтронов, а именно:
т есть 1/6 часть среднего квадрата расстояния, на которое удаляется
нейтрон от источника при замедлении его от энергии Е0 до энергии
Е. Соотношение между т и г2 естественно считать справедливым
и для распределений, отличающихся от гауссова, при этом величину
\/7 целесообразно, как уже указывалось, называть длиной
замедления.
3.9. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЫТЫ НА РЕЗОНАНСНЫХ НЕЙТРОНАХ
Чтобы сделать реактор, в котором деление урана производится
тепловыми нейтронами, нужен хороший замедлитель, т.е. нужно
такое вещество, которое не только слабо поглощает нейтроны, но
и которое эффективно замедляет их. Иначе говоря, это должно
быть вещество, в котором длина замедления нейтронов была бы
достаточно малой. Длина замедления, как нетрудно видеть, самым
существенным образом влияет на критические размеры ядерного
реактора: чем она меньше, тем меньше критические размеры. Таким
образом, возникает задача определения замедляющей способности
различных веществ.
Как показывают (3.36) и (3.37), длину замедления нейтронов
в веществе или возраст тепловых нейтронов тт можно было бы

найти, зная зависимость сечения рассеяния as (E) или среднего
свободного пробега Xs (Е) от энергии нейтрона Е. Такая возможность
вполне реальна, особенно в настоящее время, так как ход сечения
рассеяния нейтронов в зависимости от энергии исследован для многих
элементов в широком диапазоне энергий с достаточно высокой
точностью. Однако нужно иметь в виду, что формулы (3.36) и (3.37)
получены в приближении непрерывности процесса замедления,
которое выполняется не всегда и тем менее справедливо, чем легче
ядра замедлителя. В частности, (3.36) и (3.37) не применимы к водородо-
содержащему замедлителю. Поэтому эти формулы обычно используют
только для грубой оценки. Точные значения длины замедления или
возраста нейтронов обычно находят из опыта.
Первые измерения возраста тх нейтронов в различных
замедлителях, так же как и измерения длины диффузии L%, проводились
в опытах, в которых исследуемое вещество располагалось
вытянутым в одном направлении. Эти опыты, как уже говорилось,
получили название экспоненциальных (см. §2.9). Метод определения
возраста основан на измерении пространственного распределения
нейтронов с известной энергией.
Итак, пусть мы имеем призму из замедлителя (рис. 2.9), в центре
которой (в точке с координатами х = у = z = 0) находится источник,
быстрых нейтронов. Плотность быстрых нейтронов вблизи источника!
описывается с помощью уравнения (3.49).
Как было показано Ферми и И.Я. Померанчуком, точное решение
этого уравнения для точечного источника в использованной
геометрии можно записать в виде
q(z,£) = C(fl,T)e"^/4T, (3.53)
где С (а, т) - быстро сходящийся ряд Фурье по аргументам х и у,
который легко вычисляется при задании поперечных размеров
призмы и положения источника. Видно, что зависимость
распределения нейтронов от z не связана с размерами основания призмы
и совпадает с соответствующим распределением от точечного
источника для бесконечной среды [см. (3.46) и (3.50)].
Для получения основной интересующей нас зависимости числа
резонансных нейтронов от удаления от источника нет необходимости
решать уравнение (3.49). Ввиду того что т, а следовательно, и энергия
нейтрона Е измеряются, как уже указывалось ранее, эффективным
временем замедления, соотношение (3.53) можно получить без
всякой математики. Действительно, нейтроны с энергией Е, где бы
они ни находились на оси z (при фиксированных х и у), характери-

зуются одинаковым временем пребывания их в призме, а
следовательно, и одинаковой вероятностью вылета из призмы. Поэтому,
в отличие от диффузии тепловых нейтронов (для которой
характерны разные времена пребывания нейтронов в призме и,
следовательно, имеет место явление геометрического поглощения), диффузия
резонансных нейтронов в призмах с различными поперечными
размерами приводит только к изменению их числа, но не влияет
на распределение по оси z. В силу этого распределение резонансных
нейтронов по оси z призмы будет таким же, как и в бесконечной
среде. Полагая в (3.46) х = у = const, получаем распределение
нейтронов вдоль оси z, подобное (3.53).
Плотность быстрых нейтронов (3.53), так же как и плотность
тепловых нейтронов (2.55), является,, как видим, экспоненциальной
функцией своего аргумента. Построенная в полулогарифмическом
масштабе как функция г2 зависимость (3.53) будет иметь вид прямой,
по тангенсу от угла которой (1/4 т) можно найти возраст нейтронов
с известной энергией £ (рис. 3-7).
Замедляющие способности вещества характеризуют возрастом
тепловых нейтронов, который часто называют возрастом для данной
среды. Измерить экспериментально возраст тепловых нейтронов
напрямую невозможно, так как детектор не может зарегистрировать
момент, когда нейтрон стал тепловым. Поэтому обычно в
эксперименте измеряют возраст нейтронов, имеющих некоторую фиксированную
энергию £рез, близкую к тепловой, а затем с помощью (3.37)
вычисляют поправку Дт, которая учитывает замедление нейтронов
от энергии £рез до тепловой кТ, т.е.
T(kD = T(£pJ + AT(£pe3-fcr). (3.54)
Пространственное распределение нейтронов, имеющих энергию
£рез, с помощью которого находят т (£рез ), измеряют детектором,
обладающим избирательной способностью захвата по отношению
к нейтронам с определенной (резонансной) энергией £рез, В опытах
Ферми для этой цели использовался родий, имеющий резонансную
Рис. 3.7. Пространственное распределение
плотности резонансных нейтронов в экспоненциальных

энергию около 1 эВ, либо йод с резонансной энергией около 20,5 эВ.
Для исключения тепловых нейтронов детекторы защищают кадмием.
В табл.. 3.2 приведены значения т для тепловых нейтронов,
полученные с помощью (3.54). В это соотношение подставлялся
возраст т (£рез)> измеренный на опыте при энергии индиевого резонанса
(1,4 эВ), и Дт - вычисленный по формуле (3.37), в которой в
качестве нижнего предела интегрирования по энергии принималась
величина £ = 0,025 эВ. . .
Таблица 3.2. Измеренные значения т. „и расчетные
значения тт
Замедлитель т , ша fT> см*
26,48(32) 26,9(4)
111(1) 118(2)
86,60(24) 90(3)
282,50(18) 297(2)
В заключение отметим, что простой экспоненциальный опыт
для определения длины замедления (\/т) согласно простому закону
(3.53) неприменим к водородному замедлителю (например, к обычной
воде), так как для него неприменимо уравнение возраста.
3.10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО СКОРОСТЯМ ОТ ИМПУЛЬСНОГО
ИСТОЧНИКА В ПРОЦЕССЕ УПРУГОГО ЗАМЕДЛЕНИЯ
В процессе нестационарного упругого замедления нейтронов в
тяжелых средах наблюдается очень интересное явление, которое
послужило основой для разработки одного из мощных и
перспективных методов исследования нейтрон-ядерных реакций -
спектрометрии по времени замедления. Это явление называют
фокусировкой нейтронов по скоростям. Суть его состоит в том, что нейтроны,
испущенные в один и тот же момент времени, но имеющие различные
энергии, в процессе их диффузии в среде собираются в группу по
скоростям. Относительная ширина этой группы со временем убывает.
Однако убывание ширины спектра не беспредельное: нейтроны не
собираются в бесконечно узкую линию. Причиной этого служит
явление противоположного свойства - дефокусировка нейтронов,
которая обусловлена вероятностным характером распределения
столкновений нейтронов в среде и изменением энергии при каждом
столкновении.
Обычная вода (НаО)
Тажелая вода (Р30)
Бериллий
Графит

Чтобы получить простейшие закономерности этих явлений,
рассмотрим сначала замедление от точечного моноэнергетического
источника нейтронов и вычислим, как связаны время замедления
t и скорость v нейтронов в процессе их диффузии в бесконечной
однородной непоглощающеи среде с постоянной длиной свободного
пробега до рассеяния х • Пусть источник испускает короткий
импульс нейтронов, скорость которых равна v0 . В процессе
замедления при каждом столкновении нейтроны теряют вполне
определенную энергию, а число столкновений однозначно связано со временем
замедления. Можно ожидать, что спектр нейтронов в произвольный
момент времени t будет представлять собой узкую линию,
перемещающуюся с ростом t в область меньших скоростей. Однако и
изменение энергии в каждом столкновении и полное число
столкновений имеют разброс, вследствие чего реальное распределение
нейтронов по скоростям размывается и становится гладким (хотя и
сконцентрированным в малой области вблизи максимума). Форму этой
асимптотической линии найти весьма непросто, отметим только,
что вблизи максимума функция распределения нейтронов по
скоростям удовлетворительно описывается гауссовой кривой.
Найдем изменение положения средней линии спектра скоростей
как функции t. Строго это вычисление можно было бы провести
усреднив реальный спектр как по скоростям, так и по числу
столкновений. Мы воспользуемся для этого представлениями и
понятиями теории возраста, которая по самому смыслу ее использует
средние величины.
Запишем формулу для возраста нейтронов через летаргию и =
= In {E0/E) и одновременно через время замедления t [см. (3.37) и
(3.38)]:
т lkj(W) du'= Idt'D (f). (3.55)
36 [1-2/(34)] О О
Получившееся соотношение, как видим, связывает и и t. Учитывая
** Еа t
(3.35), из (3.55) при ks = const найдем In * J v Ю dt'. Подставим
l Б О
в последнее равенство Е = ту2/2 и продифференцируем обе части его
2\s di/dt
по времени. Тогда = v или
6 v
2\s / 1 \
"Т"7"А (3-56)

Интегрирование (3.56) дает
1 1 ■ It
2XS
(3.5?)
Таким образом, средняя линия спектра нейтронов от импульсного
моноэнергетического источника смещается с ростом t в область
меньших скоростей по закону (3.57), причем при t » 2A.s/£v0 закон
изменения v особенно простой: скорость нейтронов обратно
пропорциональна времени, а энергия обратно пропорциональна t2.
Рассмотрим теперь немоноэнергетический источник. Ради
простоты будем полагать, что начальный спектр состоит из двух
бесконечно узких линий равной интенсивности. Начальные скорости
нейтронов обозначим v01 и v03. В каждый последующий момент
времени спектр нейтронов будет также состоять из двух узких
(близких к гауссовой форме) линий, смещающихся во времени
согласно (3.57). Относительная ширина такого распределения
нейтронов будет равна
1 1_= / + + . (3.58)
т,(0 + *а(0 \ v03 v0l // \ \, уи т„ /
Как видим, с ростом t относительная ширина спектра стремится
к нулю. Конечно, в пределе t — со ширина реального спектра не
может стать меньше ширины отдельной линии, обусловленной,
как указывалось выше, флуктуациями потерь энергии при
столкновениях и числа столкновений.
Эта своеобразная фокусировка спектра нейтронов вблизи
некоторой средней скорости может быть объяснена на основе
следующих качественных соображений.
Вероятность столкновения нейтронов с ядрами в единицу времени
ws = y/ks (в случае постоянной длины свободного пробега)
пропорциональна скорости. Следовательно, пропорционально скорости
и среднее относительное изменение скорости в единицу времени
(так же, как и изменение летаргии). Таким образом, если нейтрон
обладает скоростью меньше средней, он сталкивается реже, чем
нейтрон со средней скоростью, и относительное изменение скорости
за единицу времени у него меньше, чем у нейтрона со средней
скоростью. В итоге спустя некоторое время он попадает в область
вблизи средней скорости. Наоборот, нейтрон, обладающий скоростью
больше средней, сталкивается чаще. Относительное изменение
скорости у него больше и спустя некоторое время он также попадает
в область средней скорости. Такая фокусировка тем сильнее, чем

больше А, поскольку с ростом А уменьшается разброс скоростей в
каждом отдельном столкновении, а также увеличивается число
столкновений, необходимое для замедления до данной скорости,
т.е. уменьшается разброс скоростей за счет уменьшения флуктуации
в числе столкновений.
3.11. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОПЫТА
Пусть точечный источник моноэнергетических нейтронов с
энергией Е0 и мощностью Q (нейтр./с) установлен в центре
прямоугольной призмы из замедлителя. Будем считать, что призма вытянута
в одном направлении и имеет квадратное сечение. Направим ось z
вдоль длинного ребра призмы, а оси х и у вдоль ее боковых граней
(-Ь/2 < z < Ь/2). Начало системы координат выберем в центре
призмы (см. рис. 2.9).
При отсутствии поглощения быстрых нейтронов установившийся
поток замедления в призме q (г, т) при т > 0 должен удовлетворять
уравнению возраста Ферми:
Э,
—-(r,T) = Aq(r,x). (3.59)
дт
Начальное условие запишется в виде
q(r,0) = Q6(x)6(y)6(z). (3.60)
Решение уравнения возраста будет иметь более простой вид, если
полагать, что плотность замедления q (г, т) обращается в нуль не
на внешней поверхности призмы, а на экстраполированных на
(2/3) A.J границах, т.е.
<?(г,т)
2
= 0. . (3.61)
3
При этом подразумевается, что положение экстраполированной
границы одно и то же для нейтронов любого возраста т (т. е. любой
энергии Е < Еа).
Решение будем искать в виде произведения двух функций,
одна из которых зависит только от г, а другая от возраста нейтронов
т, т.е. в виде
Ч(г,т) = п(г)ф(т). (3.62)
Данное соотношение называют законом подобия.

Представление q (г, т) в виде произведения двух функций п (г)
и ф (т) есть очевидное следствие физического содержания понятия
"возраст" нейтрона. Действительно, где бы ни находились нейтроны
с определенной энергией Et (в центре призмы или вблизи ее границы),
они будут иметь одинаковый возраст xt = т (Е1) и, следовательно,
одинаковое время пребывания в призме и одинаковую вероятность
выйти из призмы. В силу этого пространственные распределения
нейтронов с энергиями Е1 и Ег < Ех будут следовать одному и тому
же закону, хотя полные их количества могут быть различными.
Подставим (3.62) в (3.59) и преобразуем полученное уравнение
1 Э«р Дп
к виду = . Правая и левая части этого равенства суть
«р Эт п
функции различных переменных. Поэтому решение возможно лишь
тогда, когда каждая из них равна некоторой константе. Обозначая
ее - и2, приходим к
d(p/dT=-K2<p (3.63)
и
Дп(г) + и2п(г) = 0. (3.64)
Знак константы здесь выбран отрицательным исходя из
необходимости обеспечения правильного поведения искомых функций на
бесконечности. Величина и2, как видно из (3.64), определяется
исключительно размерами системы, поэтому она будет одинакова
для нейтронов любых энергий.
Решение (3.64) для призмы конечных размеров,
удовлетворяющее граничному условию (3.61), легко может быть найдено методом
Фурье (см., например, § 2.9):
• In ттт пп
п (г) = I A/mn cos х cos у cos z, (3.65)
l,m,n a a b
где I, m, n - нечетные целые числа, а А1тп - произвольные
постоянные, являющиеся в общем случае функциями /, т, п. При получении
(3.65) использовалось то обстоятельство, что решение должно быть
функцией, симметричной относительно центра призмы. Подставляя
(3.65) в (3.64), находим
x?m„ = -V(/2 + m2)+-T-n2. (3-66)

Интегрирование (3.63) для <р (т) с учетом (3.66) дает
/а+та па
Ф/тп=((1/тП(0)ехР]-Л2
где Ф/тп (0) ~ некоторые числовые коэффициенты.
Общее.решение уравнения Ферми можно записать в следующем
виде:
/л тл
Ч(г,Т)= Z C,mncos xcos у*
l,m,n a a
пп
х COS Z ехр
Ъ
-п-
;3 + т3
(3.67)
Из данного выражения видно, что основной вклад в общее
распределение плотности нейтронов любых энергий вдоль оси z будет давать
гармоника, имеющая наименьшие индексы /, т, п, т.е. / = m = п = 1
(основная гармоника).
Произвольные постоянные Qmn в (3.67) вычислим воспользовав-
/'п
шись начальным условием (3.60). Умножим обе части (3.67) на cos —х X
т'л п'л
х cos ycos z и проинтегрируем затем по х, у и z при т =» 0:
а а
all all Ы% ,
/л тл пл
i dx J dy J dzq{x, 0) cos x X cos }'cos 2 =
-o/2 -o/2 -6/2 <> " b .
а о b
= Cl'm'n' — — —
2 2 2
(3.68)
e/2 I'n
В этом выражении учтено, что интегралы вида 5 cos х х
-о/2 в
х cos х dx отличны от нуля только при / = / и равны а/2. Интегри-
а
руя левую часть (3.68) и принимая во внимание (3.60), получаем
С1тп а2 Ь/8 = Q. Итак, искомое решение есть
8g /л тп
q(r,t) = I cos xcos уХ
a3 l,m a a

X exp
-ТТ2
13*т3
nn
■Ecos zexp l-
b n b \ b2
n'n'
(3.69)
Рассмотрим призму, имеющую неограниченные размеры вдоль
оси z. Нетрудно видеть, что в этом случае во второй сумме, входящей
в (3.69), наряду с основной гармоникой (л = 1) будут давать значимый
вклад и все остальные гармоники. Положим fc = л/(Ъ/2)и устремим
Ь/2 к бесконечности. Тогда, заменяя сумму в (3.69) интегралом по
fc, получаем
2 пп
— Zcos
ъ п ь
z ехр -
л'п-т
1 °° nfc / nafcax
-*— \ dk cos zexp
2 0 2 \ 4
Интеграл легко посчитать или взять из таблиц (см., например,
интеграл (3.896) в [7]). Он равен
-Lrexpt-^Ak). (3.70)
улт
Выражение (3.70) задает распределение плотности резонансных
нейтронов вдоль оси z призмы от точечного источника. В § 3.9 такая
же зависимость была выведена на основе физических представлений
исходя из того, что возраст нейтронов т есть эффективное время
их замедления.
Полное выражение для плотности замедления в бесконечной
призме имеет вид
<7(г.т) = -
2Q
'Vnr
ехр -
/л
тп
х cos У ехр
-л"
4т /''т
/а + та
cos-
ХХ
(3.71)
Соотношение (3*71) показывает, что логарифм числа быстрых
нейтронов возраста т (£) [Е < Е0) в зависимости от z2 (x, у -
фиксированы) меняется, как и предсказывалось, линейным образом.
Если в (3.71) подставить т = тт, где тт - возраст тепловых
нейтронов, то, казалось бы, (3.71) может задавать и распределение тепловых
нейтронов в призме. Однако это неверно. В любом выделенном
единичном объеме призмы тепловые нейтроны появляются не только
в результате замедления быстрых нейтронов, но и вследствие диф-

фузии тепловых нейтронов из соседних областей. Поэтому общее
распределение тепловых нейтронов будет представлять собой
интеграл по пространственному распределению точечных источников
тепловых нейтронов, возникающих при замедлении быстрых
нейтронов.
В общем случае диффузия тепловых нейтронов в призме может
быть описана с помощью дифференциального уравнения
Дп-пД2 = -дт/Д (3.72)
где qx задается формулой (3.71), в которой возраст нейтронов следует
положить равным т = тт, qx - определяет число тепловых нейтронов,
образующихся за 1 с в 1 см3 в точке с координатами х, у, z.
Решение (3.72) несложно найти стандартными для математической
физики способами. Для призмы, бесконечной вдоль оси z, в
предположении, что плотность тепловых нейтронов на боковых
поверхностях призмы зануляется,
ПЬ=0'
(3.73)
оно имеет вид
п {х, y,z) = 2 Cjk Лд е
'1'"С
\1К.
1 - erf
Хехр
A/fc
l+erf
!л/т7
где erf (x) есть функция ошибок:
2 х
erf (х) = —— Idu exp (-и2);
уп о
па оа + к1)
1/Лд = —-+1/L2;
2Vt7
V?
A/fc
Vx7
exp -
A/fc
(3.74)
Cjk ~'
Q jn fcn
cos x cos y,
Da2 a a
где j, к - нечетные целые числа. При больших значениях z решение
принимает форму
п (х, y,z)= X Cjk
J, к
A/fc
-exp
exp -
ЛД
(3.75)

Таким образом, в случае точечного источника быстрых нейтронов
вновь возникающие тепловые нейтроны подчиняются распределению
Гаусса (3.71) при т = т„ в то время как распределение общего числа
всех тепловых нейтронов затухает медленнее, а именно по закону
ехр (-z/Лд). Приближенный вывод зависимости (3.75) был дан в
§2.9.
Глава 4. КОЭФФИЦИЕНТ РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ
4.1. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
В конце 30-х годов физики интенсивно- вели поиск новых
трансурановых элементов, к появлению которых, как ожидалось, должно
было приводить облучение ядер тяжелых элементов (в первую
очередь урана) нейтронами. Каково же было их удивление, когда
длительные (около четырех лет) и противоречивые исследования
р-активности, наведенной в уране, завершились в январе 1939 г.
открытием деления урана (Хан и Штрассман). Методами радиохимии
Хан и Штрассман обнаружили, что среди продуктов облучения
урана нейтронами имеется 3,5-часовая активность, носитель которой
не выпадал в осадок в химических реакциях, применявшихся для
осаждения трансурановых элементов. При тщательном
радиохимическом разделении ряда продуктов, образующих цепочки Р-распадов,
удалось отождествить эти продукты с промежуточными
элементами Периодической системы Менделеева и свести все цепочки к
ряду барий-лантан-церий. Это означало, что облучение урана
нейтронами приводит не к образованию трансурановых элементов,
как полагало большинство исследователей, а к делению ядер урана
на два приблизительно равных осколка с массой в 100-140 атомных
единиц.
Мейтнер и Фриш, которым Хан и Штрассман сообщили о своем
открытии, совместно с Бором обсудили смысл этих экспериментов.
Они поняли, что деление становится возможным благодаря тому,
что устойчивость тяжелых ядер понижена вследствие кулоновского
расталкивания протонов. Достаточно небольшой добавки энергии,
чтобы ядро могло поделиться на два осколка. При этом в процессе
деления должно выделиться большое количество энергии (около
200 МэВ).
В январе того же 1939 г. Фриш первым поставил эксперименты
и наблюдал деление физическими методами. Осколки
детектировались по производимой ими большой ионизации в ионизационной

камере, электроды которой были покрыты тонким слоем оксида
урана.
Сам факт деления с выделением энергии 200 МэВ еще не означал,
что найден способ практического использования
высвобождающейся энергии. Однако вскоре стало ясно, что расщепление урана
должно сопровождаться испусканием нейтронов. Они могут быть
испущены либо в момент деления, либо из сильно возбужденных
осколков (большой избыток нейтронов в осколках, снижающий
энергию связи нейтронов, увеличивает вероятность такого
процесса). Последующими экспериментами было показано, что
нейтроны деления вылетают из возбужденных осколков. При этом число
вновь образовавшихся нейтронов может превышать число
поглотившихся. Если бы удалось добиться того, чтобы вновь, появившиеся
нейтроны вызвали новые акты деления, то.процесс мог бы стать
размножающимся. При достаточно благоприятных обстоятельствах
развилась бы цепная реакция и было бы выделено большое количество
энергии.
После уяснения этой возможности начались интенсивные
исследования по определению числа нейтронов, испущенных при
делении. В СССР исследования проводили Г.Н. Флеров и Л.И.
Русинов, во Франции - Жолио, в • США - Ферми, Зинн и Сциллард.
Различными . экспериментами было показано, что при .делении урана
высвобождается приблизительно два-три нейтрона. Такое число
вторичных нейтронов породило надежды на осуществление цепной
реакции с помощью деления урана.
В процессе дальнейших исследований было установлено, что если
бы удалось получить цепную реакцию на естественном уране, то она
могла бы поддерживаться только околотепловыми нейтронами.
Этот вывод был получен на основе анализа энергетических
зависимостей сечений различных процессов для изотопов 23SU и 238Ц и
для их естественной смеси (естественный уран содержит, как
известно, 0,7% изотопа 23SV и около 99,3% изотопа 238U). На рис. 4.1
качественно показана энергетическая зависимость так называемого
приведенного сечения деления урана, т.е. сечения деления,
приходящегося на одно (любое) ядро естественного урана. Эта кривая
получена из уже рассматривавшихся зависимостей сечения деления для
отдельных изотопов.23SU и 238U умножением, соответствующих
.сечений при определенных энергиях на относительное содержание
этих изотопов в естественной смеси. На этом же рисунке изображена
энергетическая зависимость приведенного сечения радиационного
захвата нейтронов естественным ураном. Из сопоставления этих
двух зависимостей видно, что цепная реакция могла бы поддержи-

Рис. 4.1. Энергетическая зависимость приведенных сечений деления и радиационного
захвата для естественного урана
ваться нейтронами из двух областей энергии: выше 1 МэВ, т.е. порога
деления 238U, и ниже 0,1 эВ, т.е. тепловыми нейтронами. В этих
областях энергий сь > ог, в то время как в промежуточной области
сечение захвата больше Of. Однако, как показали Я.Б. Зельдович и
Ю.Б. Харитон, цепная реакция в естественном уране на быстрых
нейтронах невозможна из-за сильного неупругого рассеяния
нейтронов на изотопе 238U, быстро замедляющего нейтроны до энергий
ниже порога деления 238U. В то же время, как показали расчеты,
цепную реакцию можно осуществить в естественном уране, если
практически все образовавшиеся при делении нейтроны удастся
замедлить до тепловых скоростей. Для тепловых нейтронов сечение
деления 23SU столь велико (0^ = 583,5- Ю-24 см2), что его малая
концентрация не препятствует осуществлению цепной реакции.
Итак, для того чтобы осуществить цепную реакцию, уран
необходимо разместить в среде, которая замедляла бы нейтроны до
тепловых скоростей. Какой замедлитель следует выбрать? Казалось бы,
что проще всего применять соединения самого легкого атома -
водорода: воду, парафин и др., для которых эффект замедления самый
сильный. Оказалось, однако, что водород не совсем подходит для
этой цели; он способен заметно поглощать тепловые нейтроны, образуя
при этом ядра тяжелого водорода - дейтерия. Появляется, таким
образом, новый источник паразитного поглощения, который может

уничтожить тот небольшой положительный избыток нейтронов,
необходимый для поддержания цепной реакции.
Были изучены возможности использования в качестве
замедлителей других веществ, в частности графита. Исследовались
характеристики поглощения нейтронов в графите, его эффективность как
замедлителя нейтронов. Эти исследования плюс относительная легкость
получения графита выявили его перспективность как
замедляющего компонента реактора на тепловых нейтронах.
Практическое осуществление цепной ядерной реакции деления
подразумевало и поиск ответов на вопросы о том, какое количество
замедлителя необходимо для эффективного замедления нейтронов
и каким должно быть оптимальное размещение урана и замедлителя.
Исходя из особенностей процесса замедления нейтронов, а именно
из необходимости большого числа рассеяний для замедления
нейтронов от энергии деления до тепловой [в графите это число должно
быть в среднем больше ПО (см. § 3.3)], напрашивалось такое
размещение урана и замедлителя, при котором нейтроны, образующиеся
в процессе деления, сразу оказывались бы в замедлителе и основную
часть времени своего существования проводили бы в нем, замедляясь
до тепловых энергий и затем диффундируя. Простейший вариант
такого размещения - так называемая гомогенная смесь урана и
замедлителя, в которой уран располагается равномерно по всему
объему замедлителя. При этом относительная концентрация
замедлителя в смеси должна значительно превосходить относительную
концентрацию ядер урана, что обеспечивало бы тем самым возможность
эффективного замедления.
Одновременно были проведены работы по определению
избыточного числа нейтронов, испускаемых естественным ураном при
поглощении теплового нейтрона. Измерения показали, что, хотя
размножение нейтронов в гомогенной смеси урана и графита Достаточно
сильное, значение коэффициента размножения недостаточно для того,
чтобы реакция была самоподдерживающейся. Получению цепной
реакции препятствует сильное резонансное поглощение нейтронов
изотопом 2Эви, происходящее во время замедления нейтронов.
Снижения паразитных потерь удалось добиться с помощью расположения
делящегося вещества в виде блоков в решетке определенной
конфигурации. Результатом этих работ было создание двух первых в
мире уран-графитовых реакторов на тепловых нейтронах: один
реактор был запущен в США в 1942 г. под руководством Ферми и другой
в СССР в 1946 г. под руководством И.В. Курчатова.
Рассматриваемая ниже теория ядерного реактора на тепловых
нейтронах основана на идеализированной картине. Задача условно

разбивается на две части: вначале вычисляется коэффициент
размножения нейтронов в бесконечной среде (решетке)- fcoo, а затем
решается задача о нахождении критических размеров
гомогенизированного реактора для среды с данным к . В первом приближении эта
теория дает удовлетворительное описание поведения нейтронов в
ядерном реакторе. К настоящему времени разработаны более тонкие
методы вычислений, например так назьшаемая теория конечного
реактора. В этой теории вычисление к , критического размера и
распределения плотности нейтронов объединены в одну общую
задачу. Теория конечного реактора дает более точное описание
распределения нейтронов по ячейке реактора и, следовательно, более
точные критические размеры.
4.2. КОЭФФИЦИЕНТ РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ
В БЕСКОНЕЧНОЙ ГОМОГЕННОЙ СРЕДЕ
Быстрые нейтроны, образовавшиеся при делении урана, в
результате столкновений (главным образом с атомами замедлителя)
замедляются до тепловых энергий. Достигнув тепловой энергии,
нейтроны диффундируют, пока не поглотятся атомами урана или
замедлителя. Некоторые из поглощенных ураном нейтронов вызывают новые
акты деления, в результате которых появляются новые быстрые
нейтроны и начинается новый цикл замедления, диффузии и
поглощения нейтронов. Цикл, подобный описанному, называют
поколением, так что можно говорить о первичных нейтронах, нейтронах
1-го, 2-го и т.д. поколений.
Основной физической величиной, которая определяет принципи;
альную возможность либо невозможность цепной реакции, является
коэффициент размножения нейтронов. Определить его можно двумя
способами, между которыми нет принципиальной разницы. Можно
считать, что коэффициент размножения есть среднее число новых
быстрых нейтронов, образующихся в одном поколении в бесконечной
среде на один первичный быстрый нейтрон, либо считать, что
коэффициент размножения равен среднему числу новых тепловых
нейтронов, образовавшихся в одном поколении в бесконечной среде на
один первичный тепловой нейтрон. Обозначают его как кх. На один
первичный нейтрон приходится в среднем fc нейтронов в первом
поколении, к2 нейтронов во втором поколении и т.д., всего на один
нейтрон происходит 1 + к + к2 + к3 + ... делений. При к^ < 1 этот
оо со ос со
ряд сходится и сумма его равна . Эта сумма показывает, во
l-fc
оо
сколько раз может быть увеличено первоначальное количество нейт-

ронов. При к Ss 1 ряд расходится, количество делений становится
бесконечно большим. Если такое условие окажется верным для
реактора, то может произойти взрыв.
Для реактора конечного размера вследствие утечки нейтронов
наружу коэффициент размножения уменьшается. Поэтому для
реактора конечных размеров вводят понятие эффективного коэффициента
размножения нейтронов: кэ, = к < к , причем
к = к P{R),
оо
где Р (R) - вероятность нейтрону быть поглощенным в реакторе. Из
общих соображений ясно, что график зависимости Р (R) от размеров
реактора должен иметь вид, показанный на рис. 4.2, а. Очевидно,
что вероятность поглотиться нейтрону в реакторе будет возрастать
с увеличением его размеров ввиду убывания отношения поверхности
реактора к его объему и в пределе при R — <*> будет стремиться к 1.
Соответствующая зависимость эффективного коэффициента
размножения от R при к > 1 приведена на рис. 4.2, б.
ОО
Если для реактора выполнено условие к = к^ Р {R) = 1, то его
называют критическим, а соответствующие размеры Rc - критическими.
При к < 1 реактор называют подкритическим, а при it > 1
надкритическим.
Рассмотрим свойства реактора бесконечных размеров и вычислим
для него коэффициент размножения к . Будем полагать, что для
получения цепной реакции используется естественный уран, а реактор
работает на тепловых нейтронах, т.е. горючим является изотоп 23SU.
Будем считать также, что уран и вещество, используемое для
замедления быстрых нейтронов до тепловых энергий, распределены
по объему реактора равномерно (гомогенный реактор). Обозначим
v^ среднее число вторичных нейтронов, образующихся на акт деления
Рис. 4.2. Зависимость вероятности поглощения нейтронов в реакторе (а) и коэффициента
размножения (б) от размеров реактора

ядерного горючего тепловым нейтроном. Для 23SU, например, \f =
= 2,416, для 239Pu \f = 2,862 (см. главу 1). Вычислим коэффициент
размножения в бесконечной среде как число новых тепловых нейтронов,
возникших в смеси (уран + замедлитель), на один первичный тепловой
нейтрон.
К делению будут приводить не все нейтроны, поглотившиеся в
уране. Часть из них будет захватываться изотопом 238U, который не
делится тепловыми нейтронами. Эта часть нейтронов будет
бесполезной для цепной реакции. Оставшаяся (полезная) часть равна отно-
. шению
где с8 и с5 - концентрации изотопов 238U и 23SU в естественной
смеси; о8, о| - сечения поглощения тепловых нейтронов ядрами
изотопов 23BU и 235U. Очевидно, что о8 = о8; of = о^ + о^. Индексы у и /
означают соответственно радиационный захват и деление. Другая
часть тепловых нейтронов теряется в самом ядерном горючем
вследствие того, что часть ядер 23SU испытывает радиационный захват.
Доля захватов нейтронов 235U, сопровождающихся делением,
°5/
asf+a5y
Таким образом, на один акт захвата теплового нейтрона ураном
возникает
v = v/ f- ' (4.1)
°5/+ °5V 5 Св в
быстрых нейтронов. Для тепловых нейтронов af = 582-10"24 см2,
о| = 99-10~24 см2, а8, = 2,8-Ю-24 см2. Подставив эти значения в
последнюю формулу, получим, что на один тепловой нейтрон в
естественном уране возникает v = 1,33 > 1 новых нейтронов.
Образовавшиеся v быстрых нейтронов будут диффундировать
в смеси и постепенно терять свою энергию до тех пор, пока она не
сравняется с тепловой энергией. Некоторые из этих нейтронов в
процессе замедления будут поглощены смесью, причем поглощение будет
обусловлено преимущественно резонансным радиационным захватом
нейтронов изотопом 238U. (Теория резонансного поглощения нейтро-

нов будет рассмотрена далее в § 4.3, 4.4). Ясно, что вероятность
поглощения нейтронов в смеси будет зависеть от степени разбавления
3,U U з
урана замедлителем: а = с /с , с и с - концентрации урана и
замедлителя в смеси соответственно. Для эффективного замедления
нейтронов необходимо, чтобы выполнялось условие а » 1.
С точки зрения существования цепного процесса в смеси интерес
представляет не вероятность поглощения, а вероятность того, что
нейтрон избежит резонансного поглощения на стадии замедления.
Обозначим эту вероятность ф. Качественный вид зависимости ф от
степени разбавления урана замедлителем а должен быть аналогичным
представленному на рис. 4.3. При малых концентрациях урана (а
велико) мала вероятность резонансного захвата нейтрона и,
следовательно, вероятность избежать резонансного поглощения близка к 1.
Наоборот, при больших концентрациях урана (а мало) большинство
нейтронов будут поглощены ураном, поэтому ф мало.
Нейтрон, ставший тепловым, будет в конечном счете поглощен
либо в уране, либо в замедлителе. Пусть вероятность того, что
нейтрон поглотится в уране, равна 6. Ее можно посчитать как
и и
е=-
U U з :
с а а +с аа
3, U
1 + аа„ /а„
(4.2)
где Од = ву - сечение поглощения нейтронов замедлителем (или сечение
радиационного захвата). Величину 8 обычно называют коэффициентом
использования тепловых нейтронов, вид зависимости 6 от отношения
концентраций а показан на рис. 4.4. При малых а, т.е. малых относительных
концентрациях замедлителя, вероятность поглощения нейтронов
замедлителем мала, а вероятность поглощения нейтронов ураном, наоборот,
велика, поэтому 9*1. При увеличении а вероятность поглощения
Рис. 4.3. Вероятность избежать резонансного Рис. 4.4. Коэффициент использования тепло-
поглощения в системе естественный уран+ вых нейтронов в системе естественный
+ замедлитель как функция степени разбав- уран + замедлитель как функция а
ления урана замедлителем

Рис. 4.5. Зависимость к от степени разбавле- к
со
ния естественного урана замедлителем
О <Х0 of
нейтронов ураном будет уменьшаться. Особенно сильно уменьшение
9 будет происходить при значениях а, сравнимых с величиной, обрат-
з U
ной отношению оа/о„ . При дальнейшем увеличении а 9 будет
продолжать уменьшаться и в пределе а — «> будет стремиться к нулю.
Таким образом, используя введенные параметры v, tp и 6, приходим
к заключению, что при бесконечных размерах активной
(размножающей) среды, представляющей собой гомогенную смесь урана и
замедлителя, коэффициент размножения нейтронов можно записать
как произведение этих трех сомножителей, т.е. как
fc = vcp6. (4.3)
оо т
Соотношение (4.3) имеет исключительно важное значение для
теории ядерного реактора, так как оно позволяет решить вопрос
о принципиальной возможности либо невозможности цепной реакции.
Это соотношение было получено в 1940 г. в уже упоминавшемся
цикле классических работ Я.Б. Зельдовича и Ю.Б. Харитона.
Вид зависимости кх от степени разбавления естественного урана
замедлителем показан на рис. 4.5. Сплошная кривая на этом рисунке
построена с учетом хода соответствующих зависимостей для ф и 6 и
нарисована для случая, когда к^ может быть больше единицы. Видно, ■
что существует оптимальная концентрация ос0, при которой
коэффициент размножения достигает наивысшего значения. Детальный
анализ размножения в гомогенных композициях естественного урана
и различных замедлителей показывает, что только для
уран-тяжеловодного реактора может быть выполнено условие к^ (ос0) > 1. Для
всех других гомогенных композиций замедлителя с естественным
ураном, в том числе и для смеси урана с графитом, коэффициент
размножения к (ос0) пусть и ненамного, но все же меньше единицы.
Возникает вопрос: это принципиальный предел для коэффициента
размножения или можно создать такие условия, при которых к^ (ос0)
все же может стать больше единицы? (Например, если отказаться
от гомогенности в размещении урана и замедлителя.) Чтобы ответить
на этот вопрос, рассмотрим более глубоко физику резонансного
поглощения замедляющихся нейтронов в гомогенных смесях урана и

4.3. РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ НЕЙТРОНОВ В ГОМОГЕННОЙ СИСТЕМЕ
УРАН + ЗАМЕДЛИТЕЛЬ
Впервые теория резонансного поглощения в гомогенных системах,
положившая начало основам теории ядерных реакторов, была
разработана в 1940 г. Я.Б. Зельдовичем и Ю.Б. Харйтоном.
Присутствие изотопа 238U в смеси урана и замедлителя усложняет
процесс замедления нейтронов и предъявляет высокие требования
к качеству замедлителей. Основная причина возникающих
сложностей - поглощение нейтронов в результате их радиационного захвата
изотопом 238U. Особенно "опасна" в этом отношении так называемая
резонансная область от нескольких электрон-вольт до 20 кэВ. В этой
области энергий полное сечение взаимодействия нейтронов с ядрами
урана 238U имеет довольно большое число узких, но интенсивных
резонансов (см. рис. 1.10). В процессе замедления энергия нейтронов
может оказаться очень близкой или в точности равной энергии какого-
нибудь из уровней возбуждения ядра 239U. Если следующее
соударение нейтрона произойдет не с ядром замедлителя, а с ядром 238U,
он может быть поглощен этим ядром и, следовательно, выключен из
цепной реакции. Обозначим р, вероятность поглощения нейтрона
ядрами 238U, когда его энергия будет равна энергии i-ro уровня Et
ядра 239U, а Ф, = 1 - р; вероятность избежать резонансного
поглощения нейтрона ядрами 238U при той же энергии. Так как для
систем, в которых цепная реакция может поддерживаться делением
урана тепловыми нейтронами, должно быть а » 1,то естественно
ожидать, что упругие рассеяния нейтронов ядрами замедлителя будут
более частыми событиями, чем поглощения их ядрами 238U. Это
означает, что поглощение нейтронов изотопом 238U для любого из
резонансных состояний будет случайным событием, не зависящим от
других состояний. Поэтому полную вероятность избежать
резонансного захвата при замедлении нейтрона от некоторой начальной
энергии £0 до тепловой энергии можно найти как произведение
вероятностей избежать поглощения на каждом отдельном уровне, т.е.
N N
Ф = П Ф,= П(1-р,),
1=1 1=1
где N - число уровней. Будем считать, что для каждого уровня
вероятность избежать резонансного захвата близка к единице: ф,- ~ 1,
т.е. р,- «к 1. Логарифмируя формулу для Ф и делая разложение в ряд
по малому параметру Ри получаем
JV JV ■ N
In Ф = X In ф,- = I In (1 - pt) = - Zpt = -p, (4.4)
1=1 Г=1 1=1

где р - полная вероятность захвата нейтрона на всех уровнях. Из
соотношения (4.4) следует
N
(4.5)
Ф = ехр
- Ер,-
1=1
По мере замедления нейтрон будет встречать уровни различной
глубины (или "силы"), вначале более мелкие, затем более глубокие.
Такая закономерность, как известно, следует из формулы Брейта -
Вигнера [см. (1.14)], которая описывает поведение сечения в
зависимости от энергии нейтрона и энергии резонанса и которая через
сечение в резонансе о0 может быть записана как
о(Д£)=-
1 + '
Г/2
Здесь АЕ = Еп - Е0 -. сдвиг по шкале энергий энергии нейтрона Е„
относительно резонансного значения Е0.
Конечно, возможны отклонения от этой общей закономерности,
обусловленные, например, различиями в квантовых характеристиках
уровней, однако в среднем с уменьшением энергии нейтрона глубина,
уровней будет расти. Поэтому при вычислении вероятности избежать
резонансного поглощения можно условно выделить два типа уровней:
слабые и сильные. Сильными будем называть такие уровни, для
которых сечение поглощения нейтрона в резонансе о0 существенно
превышает сечение упругого рассеяния, взвешенное с учетом
относительной концентрации урана и замедлителя, т.е. превосходит
значение ocqs (область / на рис. 4.6). Слабыми будем считать уровни, для
которых о0 меньше aos (область II на рис. 4.6). То есть признаком
деления уровней на сильные и слабые является фактически равенство
друг другу вероятностей конкурирующих процессов: рассеяния
(как правило, на ядрах замедлителя) и радиационного резонансного
захвата. При таком разделении соотношение (4.4) можно записать
в виде
-1п<р=р +р , (4.6)
I И в
где р и р обозначены суммарные вероятности поглощения
нейтронов на сильных и слабых уровнях соответственно.
Рассмотрим вначале случай изолированного слабого уровня.
Введем понятие ширины зоны АЕ = \Е - £0|, на которую смещается
нейтрон при упругом рассеянии на ядре замедлителя и будем пола-

Рис. 4.6. Соотношение между сечениями радиационного захвата и рассеяния нейтронов
изотопом азаи в смеси естественный уран + замедлитель
гать, что начало £0 и конец Е зоны на шкале энергий находятся далеко
от центра пика (уровня энергии), т.е. Л£ з* Г/2. Ширину зоны можно
1 Е0
оценить из формулы для числа соударений N = — In , положив в
£ E
ней N = 1, т.е. вычислив смещение по шкале энергий при одном
соударении (£ - среднелогарифмические потери энергии). Тогда
£ = £0ехр(-|),
откуда в случае | <К 1 получаем Д£ - £0 [1 - ехр (-£)] - ££„.
На рис. 4.7, на котором зависимость сечений от энергии показана
в увеличенном масштабе, видно, что вероятность резонансного
поглощения нейтрона на изолированном слабом уровне можно найти как
отношение площади под пиком (заштрихованная область на рис. 4.7)
к площади прямоугольника, сторонами которого являются ширина
зоны А£ и взвешенное сечение рассеяния aas. Площадь под пиком
по порядку величины равна сечению в максимуме, умноженному
на ширину кривой на половине высоты, т.е. о0Г. Более точные вычис-

Рис. 4.7. Соотношение между сечениями
радиационного захвата и рассеяния нейтронов
изотопом "aU в смеси естественный уран +
+ замедлитель в области слабых уровней
<5Я
£г^
!a6s
U0 i
ления, не учитывающие, правда, слабого изменения сечения по за-
л
кону 1/v в области резонанса, дают площадь, равную —о0 Г.
2
Таким образом, для отдельного слабого (неблокируемого) уровня
°оГ
'-. (4.7)
аоЛБо tEo aas
Отсюда Заключаем, что в области тех уровней, где нет насыщения,
вероятность резонансного захвата обратно пропорциональна
отношению концентрации замедлителя и урана.
Теперь рассмотрим случай изолированного "сильного"
(блокируемого) уровня (рис. 4.8). В предыдущем случае "слабого" уровня,
когда нейтрон приобретал резонансную энергию Е0, вероятность его
поглощения была малой, поэтому нейтрон имел возможность
поглотиться на любом из следующих уровней. В случае сильного уровня
нейтрон будет с большой вероятностью поглощен и, следовательно,
недоступен для поглощения на следующих уровнях. То есть для
сильных уровней имеет место эффект самоэкранирования: атомы урана
мешают друг другу, перехватывая замедляющиеся нейтроны один
Рис. 4.8. Соотношение между сечениями
радиационного захвата и рассеяния нейтронов
изотопом азви в смеси естественный уран +
+ замедлитель в области сильных уровней

у другого. Особенность поглощения нейтронов сильными уровнями
состоит в том, что в этом случае поглощаются все нейтроны,
которые попадают в опасную зону (см. далее). Но больше нейтронов, чем
поступает в нее за счет замедления из надрезонансной области,
поглотиться не может. Поэтому в резонансах, т.е. когда оа (£) имеет
большое значение, поток нейтронов Ф (Е), ввиду ограниченности
плотности замедления q (£) ~ оа (£) Ф (£), будет резко уменьшаться.
Другими словами, спектр нейтронов в реакторе будет "выедаться", т.е.
иметь провалы при резонансных энергиях. В результате ядра 23BU
получат сравнительно мало "съедобных" нейтронов.
Ширину зоны поглощения для сильного уровня, другими словами,
ширину "опасной" зоны АЕГ , можно получить пользуясь формулой
Брейта-Вигнера. Будем полагать, что А£оп > Г/2. Тогда ширина
опасной зоны задается условием равенства сечения поглощения и
рассеяния, т.е.
= ао,,Д£°п = |£-£0|
(A£°V
или
А£°П = Г
Видим, что поглощение нейтронов разыгрывается в зоне, ширина
которой обратно пропорциональна квадратному корню из отношения
концентрации замедлителя и урана, т.е. с ростом концентрации
замедлителя опасная зона уменьшается медленнее, чем в случае слабых
уровней. В этом проявляется эффект самоэкранирования. Вероятность
резонансного поглощения на сильном уровне можно найти как
отношение размера опасной зоны к полной зоне смещения при
соударении, т.е.
оп
Р= = / . (4.8)
6*„ &°
Суммарные (по всем уровням) вероятности поглощения быстрых
нейтронов для области сильных и слабых уровней соответственно
равны

II v
P =2-
Г|
< l£„
ao„
- = 2-
6a,
i" £.
Jor
(4.7a)
Суммирование в этих выражениях проводится по соответствующей
группе уровней. Окончательно для полной вероятности нейтрону
избежать резонансного поглощения в бесконечной гомогенной среде
из урана и замедлителя получаем выражение
-1пф = р+р - А/у/а+В/а. (4.9)
В формулах (4.8а), (4.7а) и (4.9) коэффициентами Л и В обозначены
параметры, которые при данном замедлителе (т.е. при данных | и
Oj) зависят только от свойств ядерных уровней изотопа 239U. Как
видно из (4,9), зависимость ф от а разная для области сильных и
слабых уровней (рис. 4.9), причем в наиболее существенной ее части
(линия ./) она наиболее плавная (-1пф меняется как корень
квадратный из концентрации урана). Следует ожидать поэтому, что даже при
сильном разбавлении урана замедлителем вероятность резонансного
поглощения нейтронов будет уменьшаться слабо.
Вычисление коэффициентов А и В является сложной задачей, так
как в сечении радиационного захвата нейтронов ураном 238U имеется
громадное количество пиков самой различной высоты (см. рис. 1.10).
К тому же, когда велись работы по созданию первых реакторов,
характеристики этих пиков были известны плохо. Вот почему
коэффициенты А и В вначале были измерены макроскопически.
Впоследствии, когда уже сами реакторы использовались как
высокоинтенсивные источники нейтронов, методами нейтронной спектроскопии с
высокой точностью были измерены характеристики уровней изотопов
урана, в том числе и 239Ui Расчет А и В, выполненный на основе этих
измерений, и макроскопические измерения этих величин дали
совпадающие результаты.
Анализ величин, входящих в формулу для коэффициента
размножения (4.3), показал, что во многих смесях естественного урана с.
самыми лучшими замедлителями, например в композициях U + Н20
или U + С (графит), зависимость к- от а имеет вид пунктирной
Рнс. 4.9. Зависимость ф от а для гомогенной
смеси естественный уран + замедлитель в
области сильных (I) и слабых (II) уровней

кривой, показанной на рис. 4.5. Видно, что ни при каком соотношении
концентрации естественного урана и замедлителя не удается получить
к > 1, т.е. ни в одной из этих систем цепную реакцию получить
нельзя. Хотя вода (точнее, водород) является очень хорошим замедлителем
нейтронов, выигрыша в Коэффициенте размножения за счет
увеличения ф получить не удается. Сильное поглощение нейтронов водо-
U
родом (ofl =0,33-10-24 см2) приводит к еще большему уменьшению
коэффициента использования тепловых нейтронов 6, а
следовательно, к уменьшению к^.
Как уже указывалось, единственная гомогенная смесь, для которой
к может быть > 1, - смесь урана и тяжелой воды. Для нее
зависимость кю от и похожа на сплошную линию, приведенную на рис. 4.5.
Так как сечение поглощения тепловых нейтронов дейтерием мало
(оа * 5- Ю-28 см2, см. табл. 2.1), т.е. во много раз меньше, чем в
обычном водороде, коэффициент использования тепловых нейтронов
6 в тяжелой воде выше, чем в обычной. Поэтому при оптимальном
соотношении урана и тяжелой воды можно получить fc^ > 1. Однако
превышение кю над 1 мало и создание реактора на гомогенной смеси
естественного урана и тяжелой воды представляется
малоцелесообразным ввиду его довольно больших размеров. К тому же
необходимо иметь в виду, что тяжелая вода в обычной содержится в
незначительных количествах (1/6000) и выделение ее из обычной воды, так
же как и обогащение урана изотопом 2Э5Ц представляет непростую
задачу.
Необходимо было искать какой-то выход. Заслуживал внимание
подход, связанный с использованием обогащенного урана. В
настоящее время так и поступают. В нашей стране, например, в ядерно-
энергетических установках используют уран, обогащенный 23SU до
3-5%. Однако нужно иметь в виду, что за словом "обогащение"
стоит необходимость получения разделенных изотопов в
промышленных масштабах. Так же как и для тяжелой воды, это подразумевает
наличие соответствующей технологии разделения изотопов и
промышленное ее использование. В 40-е годы, когда создавались первые
ядерные реакторы, методы промышленного получения изотопов
только разрабатывались.
Выход был найден с помощью простой, но остроумной идеи. Вместо
того чтобы равномерно распределять уран по объему замедлителя,
его можно расположить упорядочение в виде массивных блоков,
образующих в замедлителе решетку подходящей конфигурации.
Прослеживая судьбу нейтронов, можно указать три фактора, к
которым приводит переход от гомогенного расположения урана к
блочному.

1. Сильно увеличивается вероятность избежать резонансного
поглощения <р за счет того, что внутренние слои уранового блока
экранированы наружными и вообще не участвуют в поглощении, <р
увеличивается также вследствие того, что поглощаться может только
относительно малая часть резонансных нейтронов, находящаяся в
непосредственной близости от блока. Остальные резонансные
нейтроны имеют возможность замедлиться до тепловых энергий, в
результате чего для них урановый блок (238U) станет прозрачным.
2. Уменьшается коэффициент использования тепловых нейтронов
9 за счет уменьшения плотности нейтронов в урановом блоке.
Средняя плотность нейтронов в блоке ниже, чем в замедлителе, так как
уран является стоком для тепловых нейтронов.
3. Эффективно увеличивается коэффициент размножения из-за
возрастания доли актов деления 238U быстрыми нейтронами.
Детальный анализ показывает, что увеличение коэффициента
размножения в блочной системе за счет размножения на 238U и блок-
эффекта в резонансном поглощении превалирует над уменьшением
коэффициента использования тепловых нейтронов. Именно
благодаря этому обстоятельству первые реакторы были построены на
уран-графитовых системах с блочным расположением
естественного урана.
Идея блочного расположения урана в замедлителе оказалась
настолько удачной, что несмотря на то, что одну из гомогенных систем
с замедлителем из тяжелой воды можно сделать на необогащенном
уране, большинство исследовательских и промышленных
энергетических реакторов построены по блочному принципу.
4.4. РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
В БЛОЧНЫХ (ГЕТЕРОГЕННЫХ) СИСТЕМАХ
Будем полагать, что блоки урана произвольной формы
размещаются внутри замедлителя периодическим образом, образуя так
называемую решетку. Расчеты удобно вести не для решетки в целом,
а для элементарной ячейки, которую легко выделить, проведя
поверхности симметрии через центры соседних блоков. Нетрудно
видеть, что на одну элементарную ячейку в решетке приходится один
урановый блок. На рис. 4.10 пунктиром показана элементарная ячейка
для решетки, состоящей из цилиндрических блоков.
Обозначим £ - средний путь нейтрона в элементарной ячейке в
замедлителе, а / - средний путь нейтрона через блок и введем
отношение объемов замедлителя (У3) и урана (Уи) в элементарной ячейке:
со = У3/Уи. (4.10)

Рнс. 4.10. Элементарная ячейка для решетки из
блоков
В приложении П2.1 показано, что в тепловом реакторе средний
путь нейтрона через блок можно связать с объемом уранового блока
Уи и площадью его поверхности 5и соотношением
/ = 4VU/5U. (4.11)
Аналогичным соотношением можно связать средний путь нейтрона
в замедлителе с геометрическими характеристиками замедлителя:
£ = 4У3/53, так как в силу симметрии скорость попадания нейтронов
в блок равна скорости их выхода из блока (в стационарном
состоянии). Учитывая, что площади поверхности блока и замедлителя в
ячейке равны, получаем
L = 4V3/SU,
или, принимая во внимание (4.10) и (4.11),
4ыУтт
£= -а/. (4.12)
Легко понять причину, вследствие которой применение систем
блоков приводит к уменьшению резонансного поглощения. Прежде
всего, отметим существенную особенность блочных систем,
отличающую их от гомогенных. В гомогенной системе резонансные нейтроны
могли рождаться и поглощаться в любом месте, в блочных же
системах источники и поглотители резонансных нейтронов пространственно
разделены. В блочных системах источником резонансных нейтронов
служит замедлитель, в котором быстрые нейтроны, вылетевшие из
блока, замедляются, постепенно теряя свою энергию. Блок же урана
служит стоком для нейтронов, т.е. он является тем элементом
системы, в котором преимущественно поглощаются резонансные нейтроны.
Заметим, кстати, что точно такой же особенностью обладают блочные
системы по отношению и к тепловым нейтронам. Для тепловых
нейтронов блок будет также стоком, а замедлитель - источником
нейтронов. Для быстрых же нейтронов, в отличие от резонансных и
тепловых, блок служит источником нейтронов, а замедлитель, уменьшаю-

щий энергию нейтронов, можно рассматривать как их поглотитель.
В блочной системе вероятность избежать резонансного
поглощения ф увеличивается за счет сосуществования двух эффектов.
Первый из них состоит в явлении самоэкранировки, о котором
упоминалось при вычислении <р для гомогенных систем в области сильных
уровней. В самом деле, средняя длина свободного пробега
резонансного нейтрона в уране составляет по порядку величины кс0 = (nofl)_l *
* 2-10"э см (концентрация ядер eUn = 5-1022 см"3, сечение захвата в
резонансе о = Ю~20 см2), т.е. резонансные нейтроны поглощаются
удивительно сильно. Если размеры блока, а точнее, средний путь
/ резонансного нейтрона в блоке существенно превосходят Хсо, то
нейтроны будут очень сильно поглощаться поверхностными слоями
урана. Внутренние же атомы блока будут недоступны для поглощения.
Поэтому блок урана будет "черным" для резонансных нейтронов.
В гомогенной системе с тем же самым соотношением количеств
урана и замедлителя нейтрон с резонансной энергией мог образоваться
в произвольной точке смеси, следовательно, любой атом урана мог
поглотить его. Таким образом, эффективно блочное расположение
урана приводит к уменьшению числа атомов урана, которые участвуют
в поглощении резонансных нейтронов. Условие, при котором
наступает самоэкранировка блока, имеет вид
/ > С (4-13)
здесь i - индекс некоторого сильного уровня.
Второй эффект блочного расположения состоит в уменьшении
доли нейтронов, поглощающихся резонансным образом. В гомогенной
системе любой нейтрон, попавший в опасную область энергий АЕ
вблизи резонансного уровня, мог поглотиться ураном. В блочной системе
часть таких нейтронов, в частности тех, которые образовались в
центре ячейки (см. рис. 4.10), могут замедлиться и подходить к блоку
с энергией меньше резонансной. Фактически резонансным образом
могут поглощаться только те нейтроны, которые образуются в области,
отстоящей от блока на расстоянии не более, чем средняя длина
свободного пробега до рассеяния \s в замедлителе. Следовательно, для
блочных систем средний путь нейтрона в одной ячейке замедлителя
должен существенно превосходить Х5, т.е.
£>ке (4.14)
Если хотя бы одно из условий (4.13) либо (4.14) не выполнено,
систему нельзя считать гетерогенной. Пусть, например, выполнено
условие (4.14) и не выполнено (4.13), т.е. размеры блока меньше кс0.

В этом случае урановый блок не самоэкранируется и его можно
считать полупрозрачным для резонансных нейтронов. Резонансные
нейтроны имеют определенную конечную вероятность поглотиться
встретившимися на их пути первым, вторым, третьим и т.д. блоками.
Формально система блочная, но нейтрон, как говорят, гомогенизировал
ее. Аналогичные рассуждения можно провести и для случая, когда
/ > Хс0, а £ < Xs (тесная решетка). Поскольку средний путь нейтрона
в ячейке замедлителя £ меньше длины рассеяния Ks, нейтрон,
попавший в опасную область энергий Д£ вблизи резонанса £,., имеет
возможность выйти из этой опасной зоны лишь после того, как он
пройдет какое-то количество ячеек решетки и затем в какой-то ячейке
испытает рассеяние. Количество ячеек, которые пересечет нейтрон,
зависит от соотношения между £ и \$. Пересекая ячейки, нейтрон
имеет определенную вероятность пройти через встретившиеся на
его пути первый, второй, третий и т.д. блоки и резонансным образом
поглотиться в них;. Таким образом, как и в первом случае, систему
при £ < \s можно считать блочной лишь формально. Вероятность
избежать резонансного захвата в этом случае будет иметь такую же
зависимость от отношения концентраций урана и замедлителя, как
и для гомогенной системы в случае сильных взаимоэкранируемых
уровней.
Вычисление ф начнем с области сильных (блокируемых) уровней.
Для блочной системы так же, как и для гомогенной, вероятность
захвата нейтрона на одном изолированном сильном уровне зависит
от соотношения двух величин: ширины "опасной" зоны А£°п (/),
которая, в отличие от случая гомогенной системы, будет уже функцией
размеров блока, так как вероятность поглощения резонансных
нейтронов будет теперь зависеть от пути, проходимого нейтроном в блоке,
и изменения энергии нейтрона при рассеянии Ь,Е0, т.е. можно было
бы думать, что
р6п=Д£0П(/)/^0.
Однако применительно к блочной системе в этом выражении не
учтено то обстоятельство, что нейтроны, появляющиеся в опасной
области энергий Д£ (/), рождаются во всей ячейке, а поглощаются
блоком из области размером A.s. Очевидно, что опасный для
поглощения объем есть V =\SS,& полный объем V0 = £S. Отсюда
I ^"W -*i , rt
Рви-— -■ H-15)
IE. J-

Для нахождения ширины опасной зоны АЕап [I) воспользуемся
условием (4.13), ограничив предельно возможные значения Кс (Д£)
размерами блока, т.е.
кС0(АЕ°п) = 1.
В свою очередь, А.с (Д£ ) выразим через Ксо в резонансе (Е = Е0) с
помощью формулы Брейта-Вигнера. Тогда при АЕ0П » Г/2
Ч~) ■'■
Отсюда
^E0П(l) = T^fJp^.
Как видим, для блочных систем значение ширины опасной зоны
Д£ (/) очень большое, оно в десятки раз превышает естественную
ширину Г (/ ~ 1 см, А.со ~ Ю-3 см).
Учитывая последнее соотношение, получаем
Рбп = —- /- — ■ (4-15а)
ЪЕа V *
со
Суммарная по всем сильным уровням вероятность резонансного
поглощения есть
К а4Г
Pt„ = Z —. = = г-. (4.156)
В этой формуле так же, как и в формуле (4.8а), для гомогенной
системы коэффициент А объединяет параметры, зависящие (при
данном замедлителе) только от свойств урана 239U, т.е. от свойств
блока. Видим, что при заданном соотношении замедлителя и урана
(ш = const) вероятность резонансного поглощения уменьшается с
увеличением размеров блока /. Для более точных расчетов в формуле
(4.156) нужно сделать замену у/Т-^ /Г, где /Тесть среднее значение
от/Г
Зависимость (4.156) справедлива в той области изменения /,, в
которой выполняются условия существования блочных систем (4.13)
и (4.14), т.е. в области больших I При малых /, где (4.13) и (4.14) не
выполняются, систему нельзя считать гетерогенной, поэтому там
будет верна формула (4.8а). Найдем, при каких / происходит
гомогенизация системы. Положим в формуле (4.15а) Ks/£ = 1, т.е. Ks = £, и
учитывая, что £ = /со, подставим в нее / = к,/ш. Тогда
S'

Рбл {К ±£)=-
К0 ЕВ„ v aK
*,
со ъ о "со
Подставляя сюда Ks и hco, выраженные соответственно через os и
оа, и учитывая связь между и и со:
. з V
э с з„ з. ,
с
U VU сиУи
с и
з U
где сс, сс - соответственно концентрации ядер замедлителя и урана
з и
в смеси; с и с - концентрации ядер замедлителя и урана для
чистых веществ; V3 и 7и - объемы замедлителя и урана, получаем
Рбя (*■»-*)-Р'гом-
Таким образом, характерным размером гомогенизации,
полученным при пренебрежении условием (4.14), является величина
l = \sfa.
Пренебрежение условием (4.13) дает характерный размер
гомогенизации / = Кс0. Максимальное значение /, до которого сохраняется
приблизительное равенство р6п = Ргом, определяется большей из
величин: Кс0 или К3/ы. Дальше начинает сказываться блок-эффект,
т.е. рбп ~ А/у/и Нетрудно видеть, что для уран-графитовой системы
условие (4.13) накладывает более жесткие ограничения на
характерный размер гомогенизации, чем (4.14). Для графита, как известно,
Ks = 2,5 см и, следовательно, ks/u * 5- Ю-2 см (со «= 50). Отсюда A.s/co »
»ХСО*=2.10-Зсм.
В области слабых (неблокируемых) уровней условие (4.13) не
выполняется, так как здесь / ;6 Хсо. Поэтому в данном случае систему,
как уже говорилось выше, можно считать блочной лишь формально.
Фактически она гомогенизирована. Вероятность резонансного захвата
нейтрона на изолированном уровне так же, как и для гомогенного
реактора, будет равна
и _ Гоо
Р -_
££oaV
или, выражая отношение концентраций замедлителя и урана а через
отношение их объемов со [см. формулу (4.16)], а соответствующие

сечения о0 и os через длины пробега, получаем
Г А.,
II _.
££о «*■«
Полная вероятность захвата по области слабых уровней
Р -Ер,- -£
i г
IK
uA.,
Bl
Здесь В - константа, зависящая только от свойств, урана, т. е. от
свойств блока (при выбранном замедлителе).
Таким образом, общее выражение для вероятности резонансного
поглощения нейтрона в блочной системе имеет вид
А^+BI А/т/Т+В
_1пф=р: . (4.17)
£ ы
Первое слагаемое этой формулы представляет блокируемое
поглощение. При заданной концентрации урана в замедлителе оно
меняется как Г1'2. Второе слагаемое формулы (4.17) представляет
неблокируемое поглощение, пропорциональное 1/ш, т.е. не зависящее
при данной концентрации от размера блока. Соответствующий график
зависимости рбп от / для заданного соотношения объемов замедлителя
и урана (со = const) показан на рис. 4.11.
В качестве примера рассмотрим цилиндрические блоки диаметром
d, расположенные в бесконечной квадратной решетке. Отношение
объемов замедлителя и урана в одной ячейке со стороной а, приходящееся:
на один погонный сантиметр высоты блока,
а3 - nd*/4 4а3
со = = 1.
nd3/4
nda
Для большинства реальных систем размеры ячеек заметно
превосходят размеры урановых блоков, т.е. а » d. Следовательно,
со * 4а2/псР. (4Л8)
Рис. 4.11. Зависимость вероятности
резонансного поглощения от размеров блока

Типичные размеры ячеек и блоков уран-графитовых реакторов: а =
= 20-*-25 см, d = 3+3,5 см. Отсюда со = 50.
Для ячейки из цилиндрических блоков средний пробег нейтронов
в блоке / = d, а средний пробег нейтронов в замедлителе £ = со/ =
= 4a2/nd. Отсюда
р = -1пф= (4.17а)
4a3/nd*
или
ada'3 + pd2
Р , (4.176)
а3
где а = Лл/4, Р = Вл/4 так же, как и А и В - суть константы,
определяемые уровнями 239U. Как видно из формулы (4.176), резонансное
поглощение нейтронов в решетке с цилиндрическими урановыми
блоками представляется в виде суммы неблокируемого (~d2, т.е.
пропорционального площади блока) и блокируемого (~d3/2, т.е.
подавленного в yd раз по сравнению с неблокируемым) поглощений.
Из (4.17а) видно, что с увеличением размеров блока (при со = const)
вероятность избежать резонансного поглощения <р растет.* Такая
зависимость наводит на мысль, что добиться роста <р и, следовательно,
сделать реактор критическим можно простым увеличением размеров
блока. Однако в действительности это не так. Размеры блоков не
могут быть ни малыми, ни произвольно большими. Известно, что в
уране 238U резонансные нейтроны имеют малую длину поглощения,
а тепловые - большую, т.е.
Хсо«:^(кГ).
Если блок тонкий (^-с0 <с / < кс (к Г)), то коэффициент размножения
для бесконечной среды можно представить в виде
fc00 = V<P6neroM-
В этом соотношении вместо 66п стоит 0ГОМ, так как для тепловых
нейтронов тонкий блок будет прозрачным [при / < Хс (кТ) нейтрон
имеет определенную вероятность поглотиться внутри любого из
блоков]. Поскольку в этом случае коэффициент использования
тепловых нейтронов не меняется, весь выигрыш в коэффициенте
размножения может быть обусловлен только ростом <р. При малых разме-
* Более строгая теория резонансного поглощения нейтронов в малых блоках
рассмотрена в § 4.8. i ' . . ,

pax блоков этого выигрыша оказывается недостаточно для того,
чтобы в уран-графитовой системе коэффициент размножения стал
больше единицы.
Если урановые блоки делать большими (Кс0 «: Кс (кТ) < I), то можно
добиться существенного увеличения вероятности избежать
резонансного поглощения. Однако при этом падает коэффициент
использования тепловых нейтронов: уран, находящийся в поверхностном
слое, делает блок "черным" для тепловых нейтронов и понижает
тем самым их среднюю плотность на блоке. В результате выигрыш
в значении <р частично компенсирован уменьшением 6. Качественно
характер зависимости <р и 6 от размеров блока показан на рис. 4.12
и 4.13. Из рис. 4.12 видно, что с увеличением размеров блоков
вероятность избежать резонансного поглощения плавно растет (при со =
= const) от значения <ргом, соответствующего гомогенной смеси урана
и замедлителя, до некоторого постоянного значения <рн6п,
определяемого неблокируемым поглощением; последнее, как указывалось
выше, при заданном отношении объемов урана и замедлителя не
зависит от размеров блока. В свою очередь, коэффициент использования
нейтронов 6 медленно уменьшается от значения 6Г0М при малых /
до нулевого при больших / (рис. 4.13). При больших / на уменьшении
9 сказывается как возрастание роли экранирования внутренних
слоев урана внешними, так и увеличение степени неоднородности
поля нейтронов в замедлителе вблизи уранового блока (см. § 4.5).
Из рис. 4.12 и 4.13 можно заключить, что существуют оптимальные
размеры блоков, при которых коэффициент размножения нейтронов
будет иметь наибольшее значение.
Экспериментальные данные о резонансном поглощении в 238U
можно получить либо измерением характеристик всех резонансных
уровней урана 239U и последующим суммированием величин
Г, v'OorV-Eoi" и Г( o0i/E0i, входящих в формулы (4.8а) и (4.7а) соответст-
Рис. 4.12. Зависимость вероятности
избежать резонансного поглощения от
размеров блока
Рис. 4.13. График зависимости
коэффициента использования тепловых
нейтронов от размеров блока

венно, либо измерениями резонансного поглощения непосредственно
в гетерогенном реакторе. В опытах с реакторами измеряется
активность урановой фольги (из 238U), вставленной внутрь какого-либо
из блоков. Измерив активность фольги при различных размерах
блоков, можно вычислить затем а и Р, входящие в формулу (4.176).
4.5. ЗАВИСИМОСТЬ РЕЗОНАНСНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ НЕЙТРОНОВ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Коэффициент размножения fc и реактивность R= (к - l)/fc
изменяются при изменении температуры реактора. Есть множество причин,
которые обусловливают эту зависимость: изменение температуры
нейтронов, изменение плотности замедлителя и отражателя,
изменение вероятности резонансного поглощения нейтронов, изменения
скорости движения атомов среды и т.д. Некоторые из причин приводят
к увеличению коэффициента размножения с ростом температуры
реактора. Но в большинстве случаев температурный эфффект
отрицателен, т.е. коэффициент размножения и реактивность падают при
повышении температуры. Отрицательный температурный эффект
делает возможной саморегулировку реактора, в результате которой
мощность реактора спонтанно Колеблется возле некоторого
заданного уровня.
Посмотрим, как температура реактора будет влиять на
резонансное поглощение нейтронов. При выводе формул (4.9) и (4.17) для
вероятности резонансного поглощения нейтронов предполагалось,
что сечение поглощения описывается формулой Брейта-Вигнера
о(Д£) = Ь , (4.19)
1 + [Д£/(Г/2)]»
где Д£ - сдвиг по шкале энергий энергии нейтрона Еп относительно
резонансного значения Е0. Формула Брейта-Вигнера справедлива
только в том случае, если поглощающие ядра считаются покоящимися.
Тепловое движение ядер 238U будет приводить к изменению формы
линии поглощения, обусловленному эффектом Доплера.
Форма линии резонансного поглощения, полученная с учетом
эффекта Доплера, зависит от того, насколько далеко от резонансной
энергии Е0 находится энергия нейтрона Еп, т.е. насколько велик
сдвиг Д£ = Еп - Е0. Если Д£ » Г, то форма линии, по сравнению с
брейт-вигнеровской, практически не изменяется [о ~ 1/(Д£)2]-
Наибольшее изменение будет при энергиях, близких к резонансной, т.е.
при ДЕ ~ Г. Учитывая максвелловское распределение ядер 238U по
скоростям, можно показать, что сечение поглощения нейтронов,

усредненное по всем возможным значениям энергии ядер, будет
иметь вид
о (ДЕ) *
Л
До
о0ехр
Д£
лО
(4.20)
где Д0 = 2 у/кТЕ0/А - доплеровская ширина линии; А - массовое
число ядра поглотителя. Из-за эффекта Доплера линия поглощения
уширяется, сечение в максимуме падает, при этом площадь линии,
естественно, не изменяется. Отмеченные особенности показаны на
рис. 4.14, на котором сплошной линией показана брейт-вигнеровская
линия поглощения, а пунктиром - линия, полученная с учетом
эффекта Доплера. При больших Д£ доплеровская и брейт-вигнеровская
линии поглощения совпадают, в резонансе доплеровское сечение в
(ул/2 ■ Г/Дд)-1 раз меньше, чем брейт-вигнеровское.
Ясно, что доплеровское уширение линии будет сказываться на
вероятности резонансного поглощения. Во всей ли области
резонансных энергий существенно это уширение? Оказывается, что нет. Для
слабых уровней (см. область II на рис. 4.6), для которых, как
указывалось выше, Хсо > I и блок-эффект отсутствует, вероятность
резонансного поглощения не изменится. Она, как и прежде, будет
определяться площадью под линией поглощения, которая с изменением
температуры остается постоянной. Для сильных уровней (см. область
/ на рис. 4.6), для которых / » \с0 и для которых имеется сильный
блок-эффект, вероятность резонансного поглощения также не
изменится, поскольку для этих уровней поглощение разыгрывается в
области больших Д£, т.е. там, где доплеровская и брейт-вигнеровская
линии поглощения совпадают. Однако между этими двумя областями
существует третья область уровней, назовем ее промежуточной,
для которых выполняется условие
Is* Ко- (4.21)
Именно для этих уровней существенна температурная зависимость.
Рис. 4.14. Влияние эффекта Доплера
(пунктир) на форму резонанса поглощения
(сплошная линия) .

Вероятность резонансного поглощения уровнями промежуточной
области оценим, пользуясь формулой (4.15) для блочных систем, т.е.
PD ■ (4.22)
Здесь Ро обозначена вероятность резонансногр поглощения,
обусловленного доплер-эффектом, а через Д£д - ширина энергетической
области, где существенно поглощение. Ширину опасной зоны Д£д
найдем из условия (4.21), в котором знак порядка заменим знаком
равенства, т.е. из условия
Пользуясь формулой (4.20), вычисляем ^с (Д-Ед). Тогда
Отсюда
ДЕд - Д0 /In (——). (4.23)
Из (4.23) следует, что ширина опасной зоны зависит от температуры
как \/l\ Слабой зависимостью от Г под знаком корня в (4.23) можно
пренебречь.
Учитывая (4.22) и (4.23), вероятность резонансного поглощения
за счет доплеровского уширения можно представить в виде
Pd *" С =с >
где С - некоторая константа. При получении этой формулы мы
пренебрегли также слабой зависимостью b.ED от /.
Таким образом, более общая, чем (4.17), формула для вероятности
резонансного поглощения нейтронов в блочной системе будет иметь
вид
А/т/7+В + Сл/т/1
р = -1пф= . (4.24)
Слагаемое в (4.24), зависящее от температуры, хотя и уменьшается
с ростом ширины блока, однако является конечной величиной.
Именно оно и обусловливает температурную зависимость вероятности
избежать резонансного поглощения в блочной системе. Характер

Рнс. 4.15. Ход зависимости вероятности
избежать резонансного поглощения нейтронов
от температуры
зависимости <р от Г показан на рис. 4.15. Видим, что с ростом
температуры Т вероятность избежать резонансного поглощения падает.
Это, как уже указывалось выше, будет приводить к понижению
реактивности реактора.
4.6. КОЭФФИЦИЕНТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
В БЛОЧНЫХ СИСТЕМАХ
В гомогенном реакторе плотность тепловых нейтронов, конечно,
одинакова во всех частях смеси, и поэтому коэффициент
использования 6Г0М, представляющий собой долю тепловых нейтронов,
поглощенных в уране, определялся как [см. формулу (4.2)]
В.
и
U э
сс a\j+cc а3
1+.
ао3/о0
Здесь си, с3 - ядерные концентрации урана и замедлителя в смеси;
оп и о - сечения поглощения нейтронов соответственно для урана
и замедлителя; а = cf/cj1. Пользуясь (4.16), это соотношение можно
переписать через отношение объемов замедлителя и урана ш:
1
е.
U„3
(4.25)
где /и, I3 - средний свободный пробег тепловых нейтронов до
поглощения в чистых веществах: уране и замедлителе соответственно.
На практике удобнее пользоваться не 6, а величиной
относительного поглощения:
1-8
К
8
-чЧ'-
(4.26)
Для активной зоны, состоящей из урана и замедлителя, [} означает
отношение вероятности поглощения в замедлителе к вероятности

поглощения в уране. Из (4.25) следует, что
1
егом=" •
1 + Ргом
Как изменится коэффициент использования тепловых нейтронов,
если уран в замедлителе будет размещен в виде блоков? Что будет
больше: 6„„w или 6Г„? Чтобы количественно ответить на эти вопросы,
Г ОМ I vT
нужно в первую очередь узнать, как изменится распределение
плотности тепловых нейтронов в гетерогенном реакторе по сравнению
с гомогенным при одинаковом соотношении количеств урана и
замедлителя. В общих чертах новое распределение плотности
представляется очевидным: в урановом блоке плотность тепловых нейтронов
будет ниже, чем в замедлителе.
Обобщение формулы (4.25) на случай гетерогенной системы,
учитывающее различие в плотности нейтронов в блоке и в замедлителе,
очевидно:
еги _ : , (4.27)
'а <Рз>
1 + и
'а3<Ри>
где < Ри > и (р3) - средняя плотность тепловых нейтронов в блоке
и замедлителе соответственно*. Аналогично
и
h <Р3>
р = со . (4.28)
'„3<Ри>
Более точную картину изменения плотности тепловых нейтронов
в гетерогенной системе можно получить на примере простейшей
бесконечной решетки, состоящей из пластинчатых блоков толщиной
2а й расположенных на расстоянии 2А (часть этой решетки показа-
д-а Д
на на рис. 4.16). Для этой решетки со = = 1. Будем, как и
а а
прежде, полагать блоки тонкими, А/а » 1, т.е. со « А/а.
Качественно ясно, как будет выглядеть зависимость плотности
тепловых нейтронов от х. Так как замедлитель поглощает нейтроны
* Формула (4.27) приближенная. При записи ее полагалось, что распределения тепловых
нейтронов по скоростям в блоке н в замедлителе одинаковы н средняя скорость
нейтронов одна и та же. Точную формулу можно получить из (4.27), заменив в ней (р3) и
< Ри > на соответствующие усредненные значения плотности потока тепловых нейтронов.

Рис. 4.16. Распределение плотности тепловых
нейтронов в реакторе при блочном
расположении урана
плохо, а уран хорошо, плотность нейтронов в замедлителе будет выше,
чем в уране. В точках х = 0 и х = А, через которые проходят
поверхности симметрии, плотность имеет экстремальные значения; при
х = Д она максимальна, а при х = 0 минимальна. Между двумя этими
точками плотность нейтронов будет изменяться так, как показано
плавной кривой на рис. 4.16.
Неравномерность в распределении плотности приводит к блок-
эффекту в поглощении тепловых нейтронов. Различают блок-эффект
двух видов:
1) блок-эффект первого рода, или внутренний блок-эффект. Он
обусловлен неравномерным распределением плотности нейтронов
по объему блока. Уран в поверхностных слоях, поглощая нейтроны,
экранирует уран, находящийся в центре блока, и создает тем самым
неравномерное распределение плотности.
Подобно блок-эффекту в поглощении резонансных нейтронов,
внутреннему блок-эффекту в поглощении тепловых нейтронов можно
дать наглядное объяснение. Напомним, что и тепловые, и
резонансные нейтроны рождаются в замедлителе и "стекают" в урановый блок,
который является источником только быстрых нейтронов. Если в
гомогенной системе любое ядро 23SU могло поглотить тепловой нейтрон
с одинаковой вероятностью, то в блочной системе той же
эффективностью поглощения которая была характерна для гомогенной системы,
обладают только те атомы 23SU, которые находятся во внешних
слоях блока. Эффективность поглощения нейтронов ядрами 23SU из
внутренних слоев снижена ввиду того, что к ним поступает меньшее
количество тепловых нейтронов;
2) блок-эффект второго рода, или внешний блок-эффект. Он
обусловлен неравномерным распределением плотности нейтронов в
замедлителе в окрестности уранового блока. Тепловые нейтроны,
как известно, появляются в замедлителе. Став тепловыми
благодаря замедлению, они диффундируют затем по направлению к блокам,
У'
\
0
2
<—
;
н
1*
!
ptTN
! i
i
« 4
i
i
!
1
1
1
*1
1
1
X

которые являются для ни* интенсивными стоками. В результате чем
ближе к блоку, тем больше уменьшается плотность нейтронов и тем
большим будет проигрыш в значении <р3)/<ри), от которого зависит
относительное поглощение.
Области каждого из блок-эффектов отмечены символами / и II
соответственно, на рис. 4.16.
Оба эти эффекта (особенно важна в этом отношении роль второго),
приводят к тому, что 6гет уменьшается по сравнению с 6Г0М.
Вычислим коэффициент использования тепловых нейтронов для
решетки из плоскопараллельных пластин в рамках теории диффузии.
Запишем уравнения для плотности нейтронов в замедлителе и блоке:
1*-^— Р3 + дГ=0; (4.29а)
3
dx
- L%0 Ри = 0, (4.296)
dx1
LC3 и Lco - длина диффузии для замедлителя и урана соответственно;
Г3 - среднее время жизни нейтронов в замедлителе; q - мощность
генерации нейтронов (по-прежнему считаем, что тепловые нейтроны
рождаются в замедлителе, а поглощаются в урановом блоке). Во
втором уравнении (4.296) учтено, что тепловые нейтроны не генерируются
в блоке. Плотности р3 и ри должны удовлетворять условиям
сшивания на границе замедлитель- блок:
dPif
ри (а) = р3 (а); Оц
dx
-*v
(4.30)
dx
и и
и граничному условию на поверхности симметрии:
'Рз
dx
= 0. (4.31)
Д
Введем вначале понятие коэффициента экранировки. Назовем,
по определению, коэффициентом экранировки величину
Q = PuMaKC/pu, (4.32)
макс
где ри - максимальная, а ри - средняя плотность тепловых
нейтронов в блоке.
В силу симметрии задачи распределение нейтронов во внутренней
области блока должно быть четной функцией х. Поэтому при 0 < х =$

=S а решение уравнения (4.296) будет иметь вид
X
Максимальное значение плотности будет на поверхности блока,
т.е.
а
макс . ,
ри = A ch ■
ho
а среднюю плотность можно найти как
Ри = — *P\]{x)dx =
AlCa а
sh-
а 0 a Lco
Из этих вьфажений получаем коэффициент экранировки
д = cth (4.33)
''со ''со
1 / . \2
kjiuQ-1+— —— при « 1.
3 Ueo / ho
Плотность тепловых нейтронов в замедлителе будем искать в
предположении, что плотность источников по замедлителю
постоянна, т.е. q (г, тх) = const. В этом предположении решение уравнения
(4.29а) запишется как
р,-ВсЬ[(х-Д)/1в] + ЧГ„
при этом граничное условие (4.31) выполнено автоматически.
Диффузионные потоки нейтронов в блоке и замедлителе равны
соответственно
DVA х
Ju = sh ; (4.34а)
Lco Lco
Уз- 2—sh- -. (4.346)
LC3 LC3
Величина В, введенная выше, определялась как отношение
скорости поглощения нейтронов в замедлителе к скорости их поглощения
в уране. Ясно, что скорость поглощения нейтронов в уране задается
потоком нейтронов (4.34а), проходящим через поверхность блока,
т.е. у'и (а). В свою очередь, скорость поглощения нетронов в
замедлителе можно найти как разность скорости поглощения нейтронов

во всей ячейке и скорости поглощения в блоке, т.е. как
д(Д - a)-ju (a).
В последнем соотношении принято во внимание, что в
стационарном случае количество нейтронов, поглощаемых в реакторе в
единицу времени, равно количеству генерируемых, т.е. q (Д - а). Тогда
д(Д-а)-;и(а)
Р-
(А-Д) ,
■q 1.
(4.35)
■/'иОО •%(")
Для нахождения q воспользуемся условиями сшивания решений
(4.30) на границе блок-замедлитель. Получим
а-Д
Ach-
=В ch ■
+ ЧГ:
со
Aj Sh"
D3B
и-Д.
sh-
(4.30a)
(4.306)
CO Co C3 C3 .
Выразим q из (4.30а) и (4.306) и подставим вместе с (4.34а) в (4.35):
Р=-
Д-а
"Со
Cth"
■cth-
а-Д
- 1.
(4.36)
% ^со -°з h*
Преобразуем (4.36), выделив в нем явным образом коэффициент
экранировки (4.33):
Р-
Д-а
^orU
з "со
Д-о • Ги
i3c
-cth-
(A-")ie
Гз°з
а-Д
■cth-
--1 =
Д -а Д — д
Cth 1
Д-a In
■Q +
"Си
Д-a
"сз
Д-а
cth 1
*сз
(4.37)
тт" э
так как /„ = Гц v, а /„ = Г3 v, v - скорость теплового нейтрона.
Представим Р в виде Р = Р j + Р2, где
Рг=-
Р2="
Д-а С
Д-а
"сз
Q;
Д-а
■Cth-
-- 1.
(4.37a)
(4.376)

Выделение в Р двух слагаемых удобно в том отношении, что для
определения первого из них достаточно знать Q, т.е. свойства блока,
а для определения р 2 достаточно знать свойства замедлителя.
При условии (Д - a)/LC3«: 1 выражение (4.376) переходит в
1 / Д-а \2
|..-т(—) • («'.)
Заметим, что Р 2 > 0.
Реально пластинчатые блоки, как известно, не применяются.
Формулы (4.37а) и (4.376) можно обобщить для любых решеток с
любой формой блоков, введя понятие эквивалентной ячейки, объем
которой совпадает с объемом истинной ячейки. Этот прием,
заимствованный из теории металлов, где он впервые был использован
Вигнером и Зейтцем для расчета энергии связи в кристаллической
решетке, позволяет упростить математические выкладки, поскольку
при сферической либо цилиндрической геометрии задача решается
гораздо легче. Тогда обобщенные выражения для р, и Р2 примут
вид
у ,и ,и
*з 'а 'а
Рх —Q = co——Q; (4.38а)
^и'а 'а
L Х(аЛсз)
Р2 = ; 1, (4-386)
41я Х(аЛга)
где £ = 4У3/5 - средний путь нейтрона в замедлителе, а X (а/1м) -
линейная комбинация двух линейно независимых решений
уравнения:
Д*-Х#,я-0,
полученная с учетом условия обращения в нуль плотности потока
нейтронов на внешней границе ячейки г = Д и вычисленная при
г = а, т.е. на поверхности блока.
Пусть, например, решетка состоит из бесконечно длинных
цилиндрических блоков диаметром d, расположенных в квадратной
матрице с расстоянием а между блоками. Если решетка достаточно
велика, то все ячейки равноценны и потока нейтронов из одной
ячейки в другую нет. Заменим квадратную ячейку равновеликим
кругом с радиусом R = D/2 (рис. 4.17), в центре которого расположен
блок урана, т.е. введем эквивалентную ячейку, для которой
= со = = const.

Рис. 4.17. Схема, иллюстрирующая введение понятия
эквивалентной ячейки
Полагаем, что на границе вновь введенной ячейки dp/dr =0, т.е.
диффузионный поток нейтронов равен 0. Теперь, пользуясь
уравнениями (4.29а) и (4.296), в которых нужно сделать замену д2/дх2 -»Д2,
можно вычислить распределение плотности и найти интегралы,
входящие в формулу (4.28).
Легко показать, что плотность тепловых нейтронов внутри
уранового блока будет равна
Ри = С/0(г/1С0)
и в замедлителе
р3 = А10 (гДя) + ВК0 (гДя) + qT3,
где 1а и К0 - функции Бесселя и Ханкеля мнимого аргумента.
Находя постоянные из граничных условий и условий сшивания решений,
получаем
»«' ^U i/vu 4IC0 Л («Лео)
P2= 4 '\2Lal Льсз) »UC3 / '\£C3. _t
(LL
C3
V3 h
Сомножитель , входящий в выражение (4.38а),
предки гв3
ставляет собой РГ01Л [см. формулу (4.26)], поэтому суммарное
относительное поглощение нейтронов в ячейке можно записать в виде
Рбл = Ргом + Ргом(2-Ю + Р2-

Величину / = Ргом (Q - 1) + Р2 можно рассматривать как поправку
АРбл к Ргом» обусловленную блочным расположением компонент
реактора. Так как Q >■ 1 и В2 > 0 [см., например, формулу (4.37в) для
пластинчатых блоков], то можно заключить, что. Рбп > РГом и
соответственно 6бп < 6Г0М как вследствие экранировки нейтронов
в блоке [величина Ргом (Q - 1)], так и вследствие блок-эффекта в
замедлителе (величина Р2).
4.7. РАЗМНОЖЕНИЕ НА БЫСТРЫХ НЕЙТРОНАХ
В реакторе на тепловых нейтронах коэффициент размножения
определяется захватом не только тепловых нейтронов, но и
быстрых. Существует определенная вероятность того, что нейтрон будет
поглощен ядром 238U и вызовет его деление. Это будет приводить
к некоторому дополнительному увеличению числа быстрых
нейтронов, т.е. их размножению. Принципиальная возможность такого
явления наглядно демонстрируется на рис.. 4.18, на котором в
произвольном по оси ординат масштабе приведены две зависимости:
спектр нейтронов деления изотопа 23SU(/) и зависимость сечения
деления 238U от энергии нейтрона [2). Из сопоставления этих
зависимостей видно, что некоторая часть быстрых нейтронов с энергией
Е £ 1 МэВ может вызьшать деление ядер a?38U. Как показьшает опыт,
доля таких нейтронов в спектре нейтронов деления составляет
* 0,56.
Размножение на быстрых нейтронах удобно учитывать
множителем, который определим как отношение числа нейтронов,
возникающих при всех делениях, к числу нейтронов, генерируемых
тепловыми нейтронами. Учитывая это размножение, формулу трех
сомножителей (4.2) для коэффициента размножения к в тепловом реак-
торе можно преобразовать в формулу для четырех сомножителей:
fc^-vjupB. (4.39)
Величина ц зависит от относительного содержания и способа
размещения урана и замедлителя, но при любом расположении их
"5"
т
м
Рис. 4.18. Спектр нейтронов деления (1) и энер- ^~
гетическая зависимость сечения деления a3BU$) Q~ 2 Н- Е Мз8

ц 3s 1. В гомогенной смеси выигрыш в к за счет деления быстрыми
нейтронами будет незначительным, так как основная доля
соударений нейтрона приходится на замедлитель и поэтому энергия его
быстро уменьшается до значений ниже порога деления 238U. При
блочном расположении тех же компонент смеси вероятность
соударения нейтрона с ядром U сильно возрастает за счет локального
увеличения концентрации урана. И хотя не все акты взаимодействия
быстрых нейтронов с ядрами 238U сопровождаются делением,
коэффициент размножения на быстрых нейтронах ц, как показывает
опыт, увеличивается. В обычных гетерогенных тепловых реакторах,
где уран собирается в блоки толщиной в несколько сантиметров,
ц * 1,03, т.е. деление 238U быстрыми нейтронами дает трехпроцентную
добавку к первичным нейтронам.
Для количественной оценки ц предположим, что блоки урана
расположены на больших расстояниях друг от друга и их
характерные размеры малы по сравнению со средней длиной свободного
пробега нейтрона в замедлителе. Оба эти условия обычно имеют
место для уран-графитовых реакторов, для которых отношение
объема урана к объему замедлителя и»1.В этих
предположениях быстрый нейтрон, вылетевший из топливного элемента, можно
считать потерянным для размножения, так как за время его
движения в замедлителе он испытает большое число соударений с ядрами
замедлителя и его энергия уменьшится настолько, что при
очередном попадании в блок он уже не вызовет деления 238U. Отсюда
следует, что размножение в каждом топливном элементе не зависит от
размножения в других топливных элементах.
Рассмотрим размножение на быстрых нейтронах в отдельном блоке
решетки. Пусть в какой-либо точке блока разделилось' ядро 23SU и
вылетело sv, быстрых нейтронов. Каждый из этих нейтронов имеет
вероятность р, - вызвать деление ядра 2Э8и и вероятность 1 -pf-
вылететь из блока без деления (при этом нейтроны в блоке могут
упруго либо неупруго рассеиваться на ядрах урана; радиационным
захватом быстрого нейтрона в 238U можно пренебречь, так как его
сечение составляет незначительную долю от полного). Упругие и
неупругие столкновения нейтронов не меняют числа быстрых
нейтронов и могут рассматриваться как размножение с v = 1; деление 23BU
сопровождается вылетом 8v* нейтронов. На один быстрый нейтрон
образуется, таким образом, ц = 1 + (ev, - 1) р, новых быстрых
нейтронов. Обозначим L - среднюю длину пробега нейтрона деления в
блоке. Тогда вероятность р, при условии, что I мало по сравнению
с величиной, обратной произведению с8 о8,, можно приближенно

найти как
pf=LcBaBf = -
L
ч
где Л, = Ус* а* - средний пробег быстрого нейтрона до деления "вц.
Под ав„ здесь понимается сечение деления, усредненное по той части
спектра нейтронов деления (рис. 4.18), которая находится выше
порога деления «ву. Подставляя р в ц, получаем
Ii-l = (ev-l) . (4.40)
Af
Средний пробег I быстрого нейтрона, рожденного в блоке,
рассчитать несложно. Обозначим < /) и < I2 >* первый и второй моменты
распределения хорд в блоке, т.е. моменты распределения длин
пробегов для нейтронов, которые падают на блок снаружи. Легко
показать (см. приложение ПЗ), что между L, (/) и (I2) существует связь
L = </2>/2</>.
Значения ( /) и I для трех наиболее важных форм блоков приведены
ниже:
/ L
Шар (радиуса г) (4/3) г (3/4) г
Бесконечный цилиндр круглого сечения (диа- 2
метра </) d — d
3
Бесконечная пластина (толщины d) 2d °°
Для пластины L имеет большое значение, так как много нейтронов
летит вдоль пластин.-
Соотношение (4.40) показывает, что с ростом размеров блока
можно было бы ожидать существенного увеличения коэффициента
размножения на быстрых нейтронах. Оказывается, однако, что это
не так. При увеличении размеров блока начинает заметно расти
доля неупругих столкновений нейтронов, в результате чего энергия
нейтронов становится ниже порога деления 238U. Поэтому ц при
увеличении! растет, но выходит на плато (рис. 4.19). В то же время,
как уже указьшалось в § 4.6, коэффициент использования тепловых
нейтронов с увеличением размеров блока падает. Поэтому может
оказаться, что при больших размерах блока кх будет меньше 1.
Для цилиндрических блоков при малых d приближенно
ц- 1=0,001 d,
где d выражено в см. Итак, при d = 3 см ц = 1,03. Если на тепловых

Рис. 4.19. Зависимость коэффициента размножения
на быстрых нейтронах от размеров блока
О I
нейтронах в гомогенной среде коэффициент размножения без учета
размножения на быстрых нейтронах был равен кх = 1,04, то с учетом
размножения он становится равным к^ = 1,07. Этого значения уже
достаточно для того, чтобы можно было думать о создании реактора
разумных размеров.
4.8. ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
В МАЛЫХ БЛОКАХ
Выше (см. § 4.3, 4.4) была рассмотрена теория резонансного
поглощения в блоках простым, но наглядным методом опасных зон
поглощения. Этот метод дает правильные качественные результаты, но не
позволяет вычислить безразмерные коэффициенты, которые
связывают вероятность резонансного поглощения со структурой уровней 239U.
В этом параграфе будет рассмотрена более строгая теория
резонансного поглощения в малых блоках.
Напомним прежде всего, что резонансное поглощение в
гетерогенных системах (по сравнению с гомогенными той же концентрации)
будет существенно уменьшено, если одновременно выполняются два
условия (см. § 4.4):
£ = lu*>\3;l>Vo, (4.41)
где / - средний путь нейтрона в блоке; L - средний путь нейтрона в
ячейке замедлителя (со - отношение объемов замедлителя и урана);
А.,- длина пробега рассеяния нейтронов в замедлителе; V = Хс (Е'0) -
длина пробега резонансного нейтрона до поглощения в уране.
Итак, будем полагать, что оба условия (4.41) выполняются и пусть
со » 1. Назовем малыми блоки, которые не возмущают поле
резонансных нейтронов в реакторе и для которых рассеяние нейтронов
ураном не меняет среднего пути нейтронов в блоке /. Тогда очевидно, что
если средний размер блока меньше длины рассеяния в уране и
замедлителе, то блок можно считать малым при любом резонансном
поглощении нейтрона на каждом отдельном уровне урана 239U - большом
или малом. Действительно, условие I < Ks для замедлителя позволяет

пренебречь эффектом возмущения поля резонансных нейтронов
вблизи блока, а такое же условие для урана - считать средний путь
нейтрона в блоке неизменным.
Можно показать, что и в случае / > Ks поле резонансных нейтронов
возмущено слабо, если изменение энергии нейтрона при одном
столкновении Д-Ej больше ширины опасной зоны резонансного поглощения
ДБ, т.е.
где £ - среднелогарифмические потери энергии нейтрона при одном
соударении. Ширину опасной зоны поглощения, являющуюся
функцией размера блока I, можно, как и прежде (см. § 4.4), оценить иэ
условия
\с(Е0±ЬЕ)~1.
Необходимо отметить, что истинное резонансное поглощение
нейтронов будет всегда меньше вычисленного за счет возмущения блоком
поля резонансных нейтронов в замедлителе.
Для малых блоков вычисление вероятности избежать резонансного1
захвата в процессе замедления ф можно провести по образцу
кинетической теории газов, где молекулами служат сами блоки. Введем
понятие средней длины пробега нейтрона по отношению к
столкновению с блоками. Очевидно, что она равна
X-fu = l/cZ, (4.42)
где с - число блоков в единице объема; Е - среднее геометрическое
сечение блока, которое можно найти воспользовавшись формулой
/ = 4 V/S (см. приложение П2). Тогда I = V// = 5/4, где V - объем блока;
5 - площадь его поверхности.
При столкновении нейтрона с блоком он может либо рассеяться
(вероятность рассеяния нейтрона на длине / составляет /Ms), либо
поглотиться (вероятность поглощения на длине / составляет //Лс, где
Лс - длина пробега нейтрона до захвата его блоками). Длину пробега
нейтрона с энергией Е по отношению к захвату его блоками можно
определить как
Kc = Lll(E),
где L - пробег нейтрона до столкновения с блоками, a Z, (Е) -
коэффициент "прилипания" нейтрона к блоку, равный
£ffiMd//W{l-exp[-fAc(E;ib (4.43)

Здесь f(l) - функция распределения пробегов нейтронов в блоке;
Кс (Е) - длина пробега нейтрона с энергией Е до его захвата в блоке.
Выражение в фигурных скобках под знаком интеграла дает
вероятность поглощения в блоке нейтрона, проходящего путь по прямой,
равный /.
Если [?ДС (£)]«: 1,то
tW-jii/fflJs-jJg-. (4*4
Относительную вероятность захвата нейтрона блоком можно
представить в следующем виде:
!/Лс КБ)
р(Е)= = = . (4.44)
i/Ae+l/X, l(E) + Ll\s
Если резонансное поглощение 1 - ф мало, то Ф и р (Е) можно связать
соотношением
- In ф = -L- | р (Б) !j- . (4.45)
Интегрирование в (4.45) ведется по энергетическому спектру
нейтронов реактора. Это соотношение легко получить из формулы
-In ф = I р{ (4.46)
i
[см. (4.4)], если интервал энергий нейтронов разбить на маленькие
участки шириной dE, на каждом из которых число соударений dN
можно считать достаточно большим и затем, воспользовавшись формулой
1 Бо
для числа соударений N = — In , перейти от суммирования в (4.46)
к интегрированию.
Если поле резонансных нейтронов можно считать невозмущенным
и резонансное поглощение малым, то связь между величинами
ф и р (Е) одинакова для гетерогенного и гомогенного случаев.
Вероятность поглощения в гомогенном случае, как было показано Я.Б.
Зельдовичем и Ю.Б. Харитоном, равна
Р(ЕГ
l + Qke(E)/ks

Для блоков с / < Xj/u резонансное поглощение совпадает с
поглощением в гомогенной смеси той же концентрации, так как нейтроны
проходят ряд блоков не меняя энергии. Действительно, в этом случае
средний путь нейтрона по отношению к столкновению с блоками
много меньше длины рассеяния в замедлителе:
■£ = /о « As.
Любопытно отметить, что переход к гомогенности происходит для
блоков с размером I ~ /0 = As/to, для которых эффект
самоэкранирования еще может быть сильно выраженным (7 < As/u, но A.s/u » Кс).
Рассмотрим предельный случай, представляющий наибольший
интерес, - случай достаточно больших блоков:
J» А. /и и I = со I» А. .
S S
Тогда в выражении (4.44) в знаменателе можно пренебречь £ f£) ;S 1
по сравнению с большим значением L / Х5. Таким образом, ф для
блочных систем выражается формулой
-1пф=— ( — t(E) — ■ (4.47)
Подставляя в формулу (4.47) выражение (4.43) для £ (Е), получаем
-И-i-I dlf(l)Kl), (4.48)
% £ J
(i)
где
1(1)= f[l-exp(-/AcffiJ)]-^-. (4-49)
(Е)
Рассмотрим, как и прежде (см. § 4.3), две группы уровней 238U:
первая состоит из сильных не перекрывающихся уровней, для
которых сечение захвата в резонансе велико ("сильные" уровни) и,
следовательно,
/Аео»1, (4-50а)
где кс0 = Хс (Е0) - длина поглощения в резонансе. Ко второй группе
отнесем уровни (их может быть много, и они могут перекрываться),
для которых сечения в резонансе невелики ("слабые" уровни), так что
для них
1/К0 « 1 . (4.506)

Для энергетической области, соответствующей "слабым" уровням
в формуле (4.49), заменим подынтегральное выражение первым
членом разложения, т.е. запишем
I(l) = Il(l)+I1(l)
Г dE I
+
J Е К<В)
(Е)
■1т|-
ехр
К №
(Б)
(4.51)
Предполагая, что уровни первой группы не перекрываются, первый
интеграл lt можно представить в виде суммы интегралов, взятых по
отдельным уровням. Используя для каждого из уровней формулу
Брейта-Вигнера
е-б'
*е(В)'№+**>'* "eft1-
(фактор у Ег0 J E в пределах эффективной зоны резонансного
поглощения i-м уровнем положен здесь равным 1) и пренебрегая доплеров-
ским уширением линий, запишем выражение для It (l) в виде
'.'«-Tf-^H1-
ехр
(4.52)
к* (1 + х2)
со
Из (4.50а) следует, что в интеграле (4.52) существенный вклад вносит
область |к|» 1
л' (1 + ха)
1 и поэтому
1 - ехр -
Делая в (4.53) замену переменной у =
У ха
со
1 1
(4.53)
и интегрируя затем по
частям, получаем
л п;-?
л J
\1
(4.54)

Подставляя (4.54) в (4.51) и (4.51) в (4.48), получаем окончательное
выражение для Ф:
К
In ф =
1£.
- Vo' Г2 Г dE
у/Tn VTl ° ' +Nl\ о (Б)
'К •) Е
(Б)
(4.55)
гдеМ- число ядер 238U в 1 см3 уранового блока. Формула (4.55)
является общей и применима к блокам любой геометрической формы.
Первый член этой формулы представляет блокируемое поглощение,
пропорциональное
УГ/i^l/uvT.
При заданной концентрации урана в замедлителе блокируемое
поглощение меняется как Г1'2. Для низкорасположенных уровней, для
которых нейтронная ширина меньше радиационной, о0' ~ Е1'2 и,
следовательно, в этой области энергий блокируемое резонансное поглощение
одним уровнем пропорционально Е~5/А.
Второй член формулы (4.55) представляет неблокируемое
поглощение, пропорциональное I/L = 1/ш, т.е. не зависящее при данной
концентрации от размера блока.
Как видим, точная формула (4.55) отличается от приближенной
(4.156), полученной методом опасных зон (см. § 4.4), только
множителем VtFв первом слагаемом.
Разбиение уровней 238U на две группы - сильные (блокируемые) и
слабые (неблокируемые), соответствующее обоим членам формулы
(4.55), строго говоря, определяется размерами блоков. Поэтому
формула (4.55) может рассматриваться как интерполяционная для не
слишком широкого интервала их размеров. Подчеркнем еще раз, что
вероятность резонансного поглощения может быть уменьшена, если сразу
одновременно выполняются оба условия (4.41).

Глава 5. КРИТИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ ЯДЕРНОГО
РЕАКТОРА НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ
5.1. постановка задачи. эффективный
Коэффициент размножения
Вычислим критические размеры размножающей среды (для
заданной формы), при которых возможна цепная реакция. Физика здесь
необычайно проста. Если число новых нейтронов к, образующихся на
один поглощенный нейтрон, меньше 1, цепная реакция невозможна
(точнее, она возможна, но будет затухающей). Самоподдерживающаяся
цепная реакция может реализоваться лишь при условии к > 1, так как
только в этом случае возможно увеличение числа нейтронов от
поколения к поколению. При этом под к подразумевается эффективный
коэффициент размножения, учитывающий все "паразитные"
поглощения, происходящие в уране, замедлителе, конструкционных
элементах реактора, а также вылет нейтронов за пределы реактора.
Доля нейтронов, вылетающих за пределы поверхности реактора,
является функцией отношения S/V, т.е. отношения площади его
поверхности S к объему V. Поскольку S/V есть монотонно убывающая
функция размеров, очевидно, что с ростом размеров реактора R доля
нейтронов, вылетающих через его поверхность, будет уменьшаться,
а доля нейтронов, остающихся в реакторе, увеличиваться. Обозначим
через р (R) долю тех нейтронов, которые поглощаются в реакторе
данных размеров R. Очевидно, что эта величина характеризует
вероятность того, что нейтрон, образовавшийся в реакторе, будет поглощен
внутри него. Поскольку при любых размерах (кроме бесконечных,
конечно) р (R) < 1, условие к > 1 является необходимым, но
недостаточным для того, чтобы можно было реализовать цепную реакцию.
Цепная реакция будет самоподдерживающейся в том случае, если
к = кхр(Ю=1. (5.1)
Реактор, для которого выполнено условие (5.1), называют
критическим, а его соответствующие размеры R критическими.
Вычисление критических размеров реактора начнем с решения
вспомогательной задачи. Рассмотрим идеализированный реактор.
Будем полагать, что реактор работает на тепловых нейтронах, т.е.
тепловые нейтроны вызывают деление ядер и они же образуются в
результате деления. В действительности такого реактора не
существует: при делении всегда образуются быстрые нейтроны. Для того чтобы
деление было эффективным, эти быстрые нейтроны нужно замедлить
до тепловых скоростей.

Предположим, что fc<x> >"1, а делящееся вещество равномерно
размещено по всему реактору, т.е. будем рассматривать случай
гомогенизированного реактора. Уравнение, описывающее диффузию нейтронов
в таком реакторе, можно записать по аналогии с уравнением,
описывающим диффузию тепловых нейтронов в замедлителе:
IiL=DAn--+g. (5.2)
at г
В этом уравнении коэффициент диффузии D и среднее время
жизни нейтронов Т относятся уже не к чистому замедлителю, а ко всему
реактору в целом. В частности, под Г понимается среднее время
жизни по отношению к поглощению не только в замедлителе, но и в
делящемся веществе. В уравнении следует определить слагаемое д,
относящееся к источнику нейтронов. Так как 1/Г- вероятность поглощения
нейтронов, топ/Т- количество нейтронов, поглощающихся в единицу
времени в единице объема, а количество ежесекундно рождающихся
в единице объема нейтронов будет равно q = k00 п/Т. Для вычисления
критических размеров достаточно рассмотреть только
стационарный случай, т.е. Эл/Эг = 0 (ни разгон реактора, ни затухание пока не
учитываем). Тогда
к -1
ОДп + -Л = о.
г
Вспоминая, что DT = L*, получаем
boo"1
Д л + л = 0 . (5.2а)
L3
с
Здесь L2, так же как D и Г, относится, естественно, ко всему реактору.
С
Вводя обозначение
к -1
приводим (5.2а) к виду
Д л+ и2 л = 0.
Это общий вид уравнений, которые используются для нахождения
критических размеров ядерных реакторов в диффузионном
приближении. В этом уравнении и2 имеет двойной смысл и соответственно
носит двойное название. Известно, что краевая задача, т.е. уравнение
вида (5.4) с соответствующим граничным условием, может иметь реше-
(5.3)
(5.4)

ние лишь при определенных значениях к2. Эти к2 называют
собственными значениями краевой задачи, а сами решения собственными
функциями. Собственные значения поэтому являются функциями
размеров и формы системы. Учитывая эту зависимость от размеров и
форм системы, которая есть следствие пропорциональности и2=- Дл/л,
величину и2 называют лапласианом. В то же время, как видно из (5.3),
и2 определяется ядерно-фиэическими свойствами среды, в частности
ее способностью к размножению и поглощению нейтронов. Учитывая
эту особенность, ее называют материальным параметром. Подчеркнем,
что материальный параметр не зависит от размеров и формы реактора.
Разрешение указанной двуединости, заключенной в и, и есть решение
задачи на критический размер ядерного реактора.
В заключение отметим важное для понимания существа дела
различие между уравнениями задачи диффузии для поглощающей среды
[см., например, (2.48)] и уравнением (5.4): разница между поглощающей
и размножающей средами состоит в том, что для поглощающей средь:
и2 < 0, а для размножающей и2 > 0.
5.2. КРИТИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ РЕАКТОРА БЕЗ ОТРАЖАТЕЛЯ
В ОДНОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Непосредственное применение уравнения (5.4) для вычисления
критического размера реального реактора на тепловых нейтронах дает
неправильный результат. Уравнение не учитывает важного для реального
реактора фактора - замедления нейтронов. Чтобы обобщить случай
идеализированного реактора на реальный, вспомним, что L2= — < г2), где
с 6 с
< г2) есть средний квадрат смещения теплового нейтрона в процессе
диффузии. Тогда обобщение очевидно. Средний квадрат смещения
нейтрона в реальном реакторе (г2) можно представить как сумму
средних квадратов смещений, обусловленных двумя независимыми
процессами: диффузией и замедлением, т.е.
(г2)=(г2) + <г2). (5.5)
Обозначим
М2 = ( г2 ) / 6 . (5.6)
Величину М2 называют квадратом длины миграции от точки рождения
быстрого нейтрона до точки поглощения теплового нейтрона.
Подставляя (5.5) в (5.6), находим
Ma=La + — <га> = 13 +-т.» (5-7)
с б s с
где тт - возраст теплового нейтрона.

Уравнение, описывающее поведение нейтронов в реакторе с учетом
замедления, приобретает вид
к -1
а соответствующий материальный параметр
' Дп к -1
и2 = - — = .
с т
Таким образом, реальный реактор в первом приближении можно
описывать уравнением (5.8), в котором эффективное перемещение
задается как М2 = L2 + тг Это приближение называют одногрупповым
или теорией одной группы.
Сравнивая (5.7) с соотношением DT = L2 для уравнения (5.2), можно
заключить, что такое описание эквивалентно введению эффективного
коэффициента диффузии:
ДААГ = М2=12+т .
В уравнении (5.8) параметрами задачи, характеризующими реактор
в целом, являются кх, тт (р), L2(p). Символ р в скобках обозначает
параметры, относящиеся к реактору. Резонно задать вопрос: какие
именно параметры должны быть подставлены в него? Ведь заранее
известными можно считать только значения тх(з) и L2(i), измеренные для
замедлителя, например, в экспоненциальных опытах, и коэффициент
размножения, либо оцененный косвенно (см. гл. 4), либо
непосредственно измеренный в экспоненциальных экспериментах (см. § 5.6).
(Символ "з" указывает на принадлежность параметров к
замедлителю).
Пользуясь самыми общими соображениями, можно перейти от
параметров, характеризующих замедлитель тт(з), £>(з), Ь2(з), к
параметрам, характеризующим реактор, т.е. размножающую среду: хг(р),
D(p), L2(p). Чтобы понять, как это можно сделать, ответим на вопрос:
что общего и в чем различие между реактором и эквивалентной ему
по размерам системой, состоящей из чистого замедлителя? Заметим
прежде всего, что уран-графитовый реактор представляет систему,
основной объем вещества которой сосредоточен в замедлителе (выше
уже указывалось, что для типичных уран-графитовых систем
отношение объемов замедлителя и урана со * 50 » 1). Поэтому, очевидно, что
в основном процессы диффузии'и замедления в реакторе и чистом за-
(5-8)
(5.9)

медлителе будут протекать аналогичным образом. Следовательно,
параметры, характеризующие диффузию и замедление в этих системах,
должны быть близкими, т.е. тт (з) «* тт (р) и D (з) * D (р). Различие
реактора и чистого замедлителя обусловлено наличием в реакторе
небольшого количества делящегося вещества, которое, несмотря на его
малость, интенсивно поглощает нейтроны. (Реально ураном поглощается
около 90% нейтронов). Вследствие этого реактор и замедлитель будут
существенно различаться по времени жизни в них нейтронов.
Обозначим Гр - среднее время жизни нейтронов в реакторе, Г3 -
среднее время жизни нейтронов в чистом замедлителе. Найдем связь
между Т и Т3, полагая вначале, что реактор гомогенный. Преобразуем
выражение для коэффициента использования тепловых нейтронов в
гомогенном реакторе [см. формулу (4.2)]:
сио„ с3о /Р
е У. 1 : =i- _!_.
сиои + сяоя ■ . cVou + c*os I3
В последнем соотношении /3 и /р обозначены соответственно: сред-
ний свободный пробег теплового нейтрона до поглощения в чистом
замедлителе и в реакторе. Отсюда
'„Ч3о-в).
Поскольку Т = l/v, получаем
Гр-Г,(1-в). - (5.10)
Из (5.10) видим, что среднее время жизни нейтронов в реакторе
меньше их среднего времени жизни в замедлителе в 1 /(1 - 6) раз.
С уменьшением среднего времени жизни нейтрона связано
уменьшение длины диффузии в реакторе 1с (р), которую можно определить
как
Так как относительная ядерная концентрация урана, как это
обычно, бывает, мала, можно пренебречь рассеянием в нем и считать
В этом случае
Мз)уГэ(1-8) М»)*,'
Ь\(р) ~ = = (1 - В).
с 1 1

Или окончательно
L2c(p) = L*{3)(l-Q). (5-П)
Из вывода формулы (5.11) следует, что она пригодна, вообще
говоря, для гомогенной среды. Однако если число соударений нейтрона
в замедлителе велико (£ / ks»1) по сравнению с числом соударений
в блоке [//А.4(бл)Й. 1], то в первом приближении можно пренебречь
вкладом рассеяния теплового нейтрона в блоке в длину миграции
нейтрона в решетке. Поэтому формулу (5.11) можно распространить
и на случай широких решеток.
Умея, таким образом, находить величины тт, I2 и кт, входящие в
уравнение (5.8), мы можем теперь приступить к решению задачи о
нахождении критических размеров размножающей среды для различных
форм активной зоны.
Критический размер реактора в форме шара (без отражателя).
Найдем критический размер "голого" однородного шарового реактора.
Начало системы координат выберем в его центре. Уравнение (5.8),
описывающее такую систему, ввиду сферической симметрии ее
естественно решать в сферических координатах:
-(Тп/'+и2п = 0.
г
Два линейно независимых решения (тп)у = sin и г и (rn)2 = cos и г
этого уравнения должны удовлетворять двум условиям:
1) плотность нейтронов на экстраполированной [на (2/3Xs)] границе
йс должна равняться нулю;
2) плотность при г = 0 должна быть конечной.
Условию 2 удовлетворяет решение
п=А^. (5-12)
г
Из граничного условия sinM Rc= 0 получаем и Дс= fc л, где fc = 0,1, 2...
Решение с fc = 0 интереса не представляет. Решения с fc = 2, 3 и т.д.
физически абсурдны: в реакторе нет областей с отрицательной
плотностью*. Остается единственное решение с fc = l. Следовательно,
условие критичности для шарового реактора может реализоваться тогда,
* Решения с к = 2,3 и т.д. имеют смысл как члены разложения функции плотности под-
критического реактора.

когда реактор имеет размеры, равные
Кс = -=^ Т=. • (5.13)
Получили исключительно важный физический результат.
Соотношение (5.13) устанавливает связь между критическими размерами
реактора и коэффициентом размножения для бесконечной среды к^.
Видим, что, если превышение кт над 1 невелико, размеры реактора,
в котором можно получить самоподдерживающуюся цепную реакцию,
огромны. И, наоборот, чем больше £«, превосходит 1, тем меньше
критический радиус Re.
Константа А, входящая сомножителем в решение (5.12),
характеризует мощность реактора. Произвольность ее нужно рассматривать как
указание на то, что реактор может иметь различную мощность.
Пример. Оценим критический размер голого шарового
уран-графитового реактора на тепловых нейтронах (уран - естественный). В
графите тт = 3Q0 см2; Lc = 50 см2.
Для хорошего уран-графитового реактора коэффициент
использования тепловых нейтронов 6 » 0,90.
Из формулы (5.11) L*(p) = 2500 (1-0,90) = 250 см2.
Если принять коэффициент размножения для бесконечной среды
равным тому значению fc^ = 1,07, которое ожидалось в оптимальных:
условиях для первого советского уран-графитового реактора, то
критический радиус шарового реактора
л 7250 + 300'
R = ——— «2,8 м.
Другие параметры сферического реактора (объем активной зоны,
объем металлического урана, масса графита и урана), типичные для
уран-графитовой системы без отражателя при R = 2,8 м, приведены в
табл. 5.1.
Критический размер кубического реактора (без отражателя). Пусть
реактор на тепловых нейтронах имеет форму куба со стороной а.
Считаем, что отражателя по-прежнему нет. Начало координат выберем в
центре куба.
Будем решать уравнение (5.8) методом Фурье. Представим
плотность нейтронов в реакторе как произведение трех функций, каждая
из которых зависит от соответствующей переменной, т. е.
n=X(x)Y(y)Z(z),
В силу симметрии задачи имеющие физический смысл решения для

Таблица 5.1. Основные параметры некоторых сферически* реакторов
Радиус Толщина Объемах- Объем Масса Масса
Тип реактора активной графито- тивной урана, урана, т графита,
зоны, м вого от- зоны, мэ м3 т
раясате-
ля, м
92 2,3 44 200
51 1,3 25 115
Типичный
уран-графитовый реактор без
отражателя (кт =1,07,
8 = 0,9)
Типичный
уран-графитовый реактор с
отражателем из
графита (кт = 1.07;
8 * 0,9)
Первый
американский
уран-графитовый реактор
Первый советский
уран-графитовый
реактор
2,8
2,3
3,9
3,0
-
0,5
0,03
0,8
240 - 46,5* 385
ИЗ - 45-50** 250
* Состав урановых блоков включал металлический уран и оксиды урана.
** Основная компонента урановых блоков — металлический уран.
каждой из компонент X, Y, Z даются в виде
X (х) = cos а х;
Y(y) = cosVy; (5.14)
Z (z) = cos у z,
где а, р, у - некоторые постоянные, причем а = р = у. Подставляя
решения (5.14) в уравнение (5.8), получаема2 + $2 + у2 = н2 или За2 = и2.
Отсюда а = и / -/з!
На экстраполированной границе ас 12 должно выполняться условие
cos а = 0.
2
Следовательно,
а ас/2 = (2т + 1) л / 2, т = 0,1,2...
Длят> 1, как нетрудно видеть, получаются нефизические решения.
Поэтому т = 0, а критический размер кубического голого реактора

равен
ас ~ л / ос = л /з7 и .
Сравним критические объемы шарового и кубического реакторов:
у /V ■■ = о. 1,24.
к шар 4 4п
3 , с
Это отношение показывает, насколько велик проигрыш в критическом
объеме (следовательно, и в критической массе) при переходе от
технологически неудобного шарового реактора к более простому -
кубическому.
Реактор в форме бесконечной пластины. Рассмотрим реактор в виде
пластины размера а вдоль оси х и неограниченньгх размеров вдоль
осей z и у. Уравнение (5.8) в этом случае запишется как
d2n/dx2 + H2n = Q.
Решение его имеет вид
п = Ах cos и х + А2 sin и х.
В силу симметрии задачи А2 = 0. Из граничного условия cos (и а /2) = 0
следует, что и может принимать значения ит = л(2т+ 1)/а, где т=
= 0, 1, 2... Физический смысл имеют решения, соответствующие т = 0.
Отсюда
а=л/и.
Видим, что при одном и том же материальном параметре критические
размеры реакторов в виде пластины и шара совпадают. В то же время
нетрудно видеть, что критический объем, а следовательно, и масса
реактора в виде пластины бесконечны, в то время как для шарового
реактора они являются конечной величиной. Критические размеры,
объем реактора и распределения плотности нейтронов, рассчитанные
в одногрупповом приближении для реакторов конечных размеров
различных форм, приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2. Харамсцшттщ, рассчитанные в одногрупповом приближении дня
реакторов различных форы
Форма реактора Критические размеры Объем реактора Распределение плот-
реактора ности нейтронов
Сферический п п-/Т+I^ 4 4 п" sin к г
реактор Д= = _____ — пДэ= р=А
— * У/Г^Т з з хэ , г
0

Продолжение табл. 5.2
Форма реактора Критические размеры Объем реактора
реактора
Распределение
плотности нейтронов

Неограниченно
протяженная
пластина
-ж-
Кубический
реактор
л
н--г
•Й>
Неограниченно
протяженный я = „
цилиндр
Цилиндр
конечной
высоты
Реактор в
форме

раллелепипеда
2,405
2,405
Н°
ль
3-/3п3
ПЯ»Я"
л / 2,405 \2
*, I \ I
ла ла л*
а2 Ь1 с3
п п
п
KiKyHi
р (х) =Л cos хх
Р (*, У. г) =■
X X
=■ A cos —7^ х cos -=,y X
у? /?
X cos -= z
pW=jU0(xrJ,
7„ — функция Бесселя
нулевого аргумента
p(r,z)=AJAxrr)X
х cos(xz^
р (*» У. *) =
"Ccosx^xcosx уХ
X COS Xz2

5.3. РЕАКТОР С ОТРАЖАТЕЛЕМ. ОДНОГРУППОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Вылет нейтронов за поверхность реактора уменьшает эффективный
коэффициент размножения нейтронов. Поэтому ясно, что делать
голый реактор невыгодно. Целесообразно окружить реактор веществом,
которое сильно рассеивает нейтроны и слабо поглощает их, например,
тем же самым чистым графитом. Такие вещества называют
отражателем. Тогда значительная часть тех нейтронов, которые выходят из
активной зоны реактора, может вновь вернуться в активную зону и
быть полезной для поддержания цепной реакции.
Посмотрим, как изменяются критические размеры реактора при
наличии отражателя. Решим вначале задачу в общем случае, для
отражателя конечной толщины d, а затем рассмотрим предельный случай
(d -* °°) и некоторые другие частные случаи.
Пусть сферический однородный реактор радиусом Дс окружен
отражателем толщиной d; Д* = Rc + d - радиус реактора с отражателем
(рис. 5.1). Внутри сферического реактора (г < Rc) плотность нейтронов
в теории одной группы будет описываться уравнением
Д п +и2 п = 0,
где
k_-i
и =
Я'р)*
В отражателе (г > Д,): Д п* - n* / L*0 = 0, где 1с0 - длина диффузии для
отражателя. В области г < Дс решение имеет вид (см. § 5.2)
«in v г
п=А
Sinx г
(5.15)
г
Для т> Rc общее решение можно представить в виде либо суммы
двух экспонент, либо суммы гиперболических синуса и косинуса:
^гтуггу^ А г В г
п* (г) = — ch + — sh .
Это решение должно удовлетворять
граничному условию:
R*=Rc+d
= 0.
Из него находим
(R*-0
Рис. 5.1. Сферический реактор
с отражателем
sh
п*=В
со
(5.16)

Плотности, задаваемые решениями (5.15) и (5.16), нужно сшить" на
границе активной зоны реактора Дс. Так как нас интересуют только
критические размеры реактора, воспользуемся упрощенными
условиями сшивания. Будем полагать, что замедлитель реактора и
отражатель изготовлены из одного вещества, например графита. В этом
случае коэффициент диффузии в реакторе D (р) можно считать
приблизительно равным коэффициенту диффузии в замедлителе: D(p)- D (з)
(отношение объемов замедлителя и. урана в типичном
уран-графитовом реакторе со » 1). Следовательно, условие сшивания потоков
нейтронов можно заменить на условие сшивания производных от
функций (5.15) и (5.16).
Как хорошо известно, сшивание сферически симметричных решений
и их производных равносильно сшиванию решений для
/, =rnt и /2 = гп2.
Действительно, при г = Дс из условия Д = /2 следует
пл=п2, (5.17)
а из условия f[ = f'2 следует пг +Rcn[ =n2 + Rcn'2 или, в силу (5.17),
/ (
"l="2-
Сшивая, таким образом, (5.15) и (5.16) на границе активной зоны
Rc, получаем
AsinM Дc = Bsh -1— ; (5.18)
L
со
И j
и Л cos и Rc= т— ch -r— (5-19)
со со
или, поделив (5.19) на (5.18), приходим к трансцендентному
уравнению, с помощью которого вычисляется Дс:
ctg и Дс = -L- cth -L- . (5.20)
Х Lca Lca
Рассмотрим некоторые частные случаи отражения.
Отражатель, имеющий бесконечные размеры, абсолютно не
поглощающий нейтроны (d-"°°, Lc0 ■* °°). Будем полагать, что отношение d/Lc0
конечно, тогда cth —-— будет также конечной величиной, а правая
часть уравнения (5.20) при Lc0 ■* °° будет стремиться к нулю. Это озна-

чает, что
иДс= л/2, или Дс=п/2и = Дс0/2,
где Дс0 - критический размер голого реактора [см. (5.13)]. Таким
образом, непоглощающий бесконечный отражатель уменьшает критический
размер реактора в 2 раза. Следовательно, критический объем и масса такого
реактора уменьшаются в 8 раз. Этот случай, вообще говоря, не имеет
практического применения.
Бесконечный отражатель с поглощением (1с0 - конечная величина).
d
При d — °° cth — 1. Следовательно,
ctgxflc = - —i-.
В правой части данного равенства стоит константа, зависящая от
свойств реактора (и) и отражателя (Lc0). Эта константа имеет большое
значение, так как и мало. Из графика для котангенса следует, что
большим отрицательным значением функции соответствуют значения
аргумента, находящиеся в области л. Разлагая ctgM Rc в ряд в
окрестности точки л и ограничиваясь первым членом разложения, находим
иДс=л-и1С0
или
Rc~-f-I<co = Rco-Lco. (5.21)
В этом выражении слагаемое л / и представляет собой критический
размер "голого" реактора [см. формулу (5.13)]. Формула (5.21)
показывает, что критический размер реактора с отражателем меньше
критического размера "голого" реактора на длину диффузии в отражателе
Lc0. Заметим, что это уменьшение достаточно большое (для графита
Lco ~ 50 см).
Типичные параметры активной зоны сферического
уран-графитового реактора с отражателем из графита наряду с аналогичными
характеристиками подобного реактора без отражателя приведены в
табл. 5.1. Здесь же указаны параметры первых американского и
советского уран-графитовых реакторов. Как видим, установка отражателя
обеспечивает существенную экономию ядерного горючего.
Реактор, для которого и Ью - малая величина, т.е. xL^, <s: 1. Будем
полагать также, что в (5.20) а = и!со th «: 1. Тогда из равенства

ctgxflc = - 1/oc имеем
и Rc =* л - a = л - и LcQ th -—
или
Дс= ~ " Lco th -f- = Дсо - !„ th -A_ , (5.22)
где Дс0 = л / и - критический размер голого реактора. Величину с/э,, =
d
= Lco th называют эффективной работой или экономией
отражателя. Со
Рассмотрим два частных случая формулы (5.22).
1. d » LCQ - толстый отражатель. В этом случае
th-^-«l и RC = RCQ-LCQ. (5.23)
Так как гиперболический тангенс близок к 1 при аргументе х 2: 2,
то из (5.23) следует, что критический размер реактора в данном случае
будет таким же, как и для бесконечного отражателя, уже при толщине
отражателя, равной двум диффузионным длинам нейтронов в
замедлителе.
2. d «: LCQ - тонкий отражатель.
d d
В этом случае th и
со со
Rc = RCQ-d. (5.24)
На первый взгляд получился парадоксальный результат: экономия
размеров реактора равна толщине самого отражателя, т.е. можно было
бы думать, что реактор будет продолжать работать, если часть
активной зоны его (критических размеров Rc) заменить отражателем.
Однако ничего удивительного здесь нет. Нужно помнить, что формула
(5.24), во-первых, справедлива только для тонких отражателей и, во-
вторых, что она приближенная, так как мы воспользовались тем, что
положили tgx = х. На самом деле, при малых х tgx отличается от х на
величину второго порядка малости, т.е. эквивалентной будет такая
замена, при которой часть активной зоны заменяется отражателем
несколько больших размеров.
Теория одной группы дает только общее представление об
условиях критичности. Она с неплохой точностью позволяет находить
критические размеры реактора, но дает неверный результат для
распределения плотности нейтронов, особенно в отражателе. На рис. 5.2 сплош-

Рис. 5.2. Распределение плотности нейтронов в
реакторе с отражателем:
сплошная линия - одногрупповое
приближение; пунктир - реальное распределение
/?с R*=Re+d.r
ной линией показана функция плотности нейтронов для сферического
реактора с конечным отражателем, которая представляет собой
решение (5.15), плавно переходящее в (5.16). На самом деле функция
плотности имеет более сложный вид. На рис. 5.2 пунктиром представлено
типичное распределение плотности нейтронов, рассчитанное в
приближении двух групп нейтронов: тепловых и быстрых. Наиболее
интересная особенность этого распределения состоит в том, что оно имеет
максимум в отражателе. Всплеск плотности тепловых нейтронов в
отражателе возникает по той причине, что тепловые нейтроны,
генерируемые в нем за счет замедления быстрых нейтронов, поглощаются в нем
значительно слабее, чем в активной зоне. Действительно, если в
отражателе среднее время жизни нейтронов равно Г0, то в реакторе оно
равно Тр = Т0 (1 - 6) * 0,2 Г0, т.е. во много раз меньше Г0 (мы взяли
6 * 0,8). Из уравнения баланса N = Q Г (см. § 2.7), где N - полное число
нейтронов в любом выделенном участке реактора в произвольный
момент времени; Q - мощность генерации нейтронов в этом же
участке в тот же момент времени; Г - среднее время жизни нейтронов в
реакторе, можно заключить, что при одинаковой мощности
генерации тепловых нейтронов в отражателе и реакторе (в реакторе
нейтроны генерируются в основном в замедлителе) полное число нейтронов
в отражателе в любой момент времени должно быть больше, чем в
реакторе. Все это означает, что простые аналитические результаты,
полученные в данном параграфе и в § 5.2, не могут быть использованы
для точных расчетов. На практике используются более сложные
методы.
5.4. КРИТИЧЕСКИЙ РАЗМЕР "ГОЛОГО' РЕАКТОРА
В ВОЗРАСТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В предыдущем параграфе рассматривалась задача о нахождении
критического размера реактора в рамках теории одной группы. Общее
решение этой задачи обязательно требует точного учета нейтронов
всех энергий, а также учета пространственной и угловой неоднород-
"IV
—-^ 'А
>*_L'
I \.
1 \
I
1
1
\
\
\
. \
N. ч
\.\

ностей, возникающих вследствие утечки нейтронов и дискретного
расположения источников и поглотителей нейтронов. Такое решение
под силу лишь современным вычислительным машинам.
Выведем условие критичности реактора, опираясь на теорию
возраста Ферми. Возрастное приближение интересно тем, что оно позволяет
получить аналитическое представление решения.
Рассмотрим однородный реактор без отражателя. Условие
критичности реактора, как уже указывалось (см. § 4.2), можно записать в виде
k = kooP=l,
где Р - вероятность избежать утечки нейтронов.
Поскольку мы полагаем коэффициент размножения к^ заданным,
очевидно, что задача сводится к расчету вероятности избежать
утечки Р. В самом общем случае
JV + 5 '
где N - среднее число нейтронов, поглощаемых в реакторе в единицу
времени; S - среднее число нейтронов, уходящих из реактора через
поверхность в единицу времени.
Величину Р можно представить в виде произведения двух
сомножителей: Ps - вероятности того, что нейтроны деления не уйдут из
системы до того, как замедлятся до тепловой энергии, Рс - вероятности
того, что ставшие тепловыми нейтроны не уйдут из реактора, т.е.
поглотятся в нем. Чтобы найти PsuPc, воспользуемся представлениями
теории возраста Ферми.
Напомним, что поток замедления в реакторе q в общем случае есть
функция возраста нейтронов т, который, в свою очередь, есть функция
энергии Е, а также функция координат г и времени t Когда размеры
реактора равны критическим, он может находиться в стационарном
состоянии. Тогда зависимость от г исчезает и
V Ё
q (г, т, г) = q (г, т) = —- п (г, т),
Ks
где п (г, т) - обычная плотность нейтронов возраста т в точке г. Как
видим, поток замедления q характеризует пространственное и
энергетическое распределения нейтронов в реакторе.
В отсутствие поглощения быстрых нейтронов поток замедления при
т > 0 должен удовлетворять дифференциальному уравнению

dq(r, x) ...
= Aq(r,x). (5.25)
Эх
К этому уравнению нужно добавить начальное условие
q(r,0)= пт(г), (5.26)
Гр
где пт (г) - плотность тепловых нейтронов; кт - число нейтронов
деления, приходящихся на один акт захвата теплового нейтрона, т.е.
kj = v ц 8. Начальное условие (5.26) не учитывает возможного сильного
резонансного поглощения нейтронов.
Плотность тепловых нейтронов должна удовлетворять уравнению
диффузии с источниками
ОДп,- -^ +Ч(г,т1) = 0, (5.27)
где q (г, тт) берется при значении возраста, равном возрасту тепловых
нейтронов.
Кроме начальных условий необходимо определить граничные
условия: q (г, т) и пт (г) должны обращаться в нуль на
экстраполированной границе реактора:
Q (г, т)
= пт(г)
R+JKS
= 0. (5.28)
**7-Ч
При этом мы полагаем, что положение экстраполированной границы
одно и то же для нейтронов всех энергий.
Для однородного реактора без отражателя систему уравнений
(5.25) и (5.27) можно решить, если полагать, что имеет место закон
подобия, т.е.
Ч(г,т) = Чо(г)ф(т). (5.29)
Закон подобия означает одинаковость формы пространственного
распределения для нейтронов всех энергий и одинаковость
энергетических распределений нейтронов в любых точках реактора. В
действительности это предположение не совсем точно, так как в реакторе
всегда есть области сильного поглощения нейтронов.
Подставим (5.29) в (5.25):
д ф
<*о Т7 = Ч> А Чо

Преобразуем это равенство к виду
1 3tp дч0
Т^ ~ • (5-30)
<р Эх q0 У '
Левая часть последнего равенства зависит от переменной т, а
правая от г. Как известно, это возможно тогда, когда обе части его равны
некоторой константе. Обозначая ее и2, приходим к следующим
уравнениям:
— =-и2<р; (5.31)
dx
ДЧо(г) + и2Чо(г) = 0. (5.32)
Знак константы выбран отрицательным исходя из необходимости
обеспечения правильного поведения решений для <р и q0 на
бесконечности. Значение параметра и2, как видно из (5.32), определяется
исключительно размером и формой реактора, поэтому он будет одним и
тем же для нейтронов любых энергий: быстрых, резонансных,
тепловых и т.д.
Интегрирование уравнения (5.31) для <р дает
ф(т) = ф (0)ехр(-иат);
ч(г,т) = чо(г),ф(0)ехр(-и2т).
Из начального условия (5.26) для q находим
чо(г)ф(0)=1^-п1(г), . (5.33)
р
т.е. пространственные распределения быстрых и тепловых нейтронов
идентичны. Подставляя (5.33) в (5.32), получаем уравнение,
описывающее распределение плотности тепловых нейтронов:
Апт(г) + и2пт(г) = 0. (5.34)
Как и следовало ожидать, уравнение (5.34) оказалось аналогичным
уравнению (5.32) для быстрых нейтронов.
Из физических соображений ясно, что интеграл от <?(г, т) по всему
объему в отсутствие поглощения равен мощности источника Q, т. е.
Iq>,T)dV = Q.
Это означает,чч*о q (г, т), в уравнении (5.25) можно (для источника
единичной мощности) рассматривать как плотность вероятности того, что

нейтроны возраста т, рожденные в точке г = О (Е = Е0), окажутся в
точке с координатой г. Поэтому отношение q (г, т) / q0 (г) естественно
интерпретировать как вероятность того, что нейтроны, достигшие
возраста т, останутся в реакторе, т.е. как Ps:
Ps= ф (0) ехр (- и2 т).
Так как все вновь родившиеся нейтроны (т = 0) образуются внутри
реактора, то, очевидно, что
*,(т = 0)-Ч>(0)=1.
Отсюда
Ps=exp(-x2T). (5.35)
Глядя на формулу (5.35), можно лишний раз оценить удобство
введения переменной т - возраста нейтронов, которая, как указывалось,
характеризует эффективное время пребывания нейтронов в реакторе.
Поскольку это время для всех нейтронов одной и той же энергии
одинаково, нейтроны с некоторой энергией Е0 имеют одинаковую
вероятность выйти из реактора безотносительно к тому, в каком месте
реактора они находятся - в центре его или вблизи поверхности. В
результате плотность распределения нейтронов с Е < Е0 будет следовать
тому же закону, что и распределение плотности для нейтронов с
энергией Я0. При этом полное число нейтронов с энергиями Я0 и Е, конечно,
будет различным. Данное рассуждение фактически служит
обоснованием закона подобия (5.29), использованного в качестве
предположения при решении системы уравнений (5.25) и (5.27).
Для вычисления вероятности избежать утечки всем нейтронам
замедления, в формуле (5.35) нужно положить т = тт, где tt=t (EQ, £т) -
возраст тепловых нейтронов; Ет - условная граница, отделяющая
спектр тепловых нейтронов от спектра нейтронов замедления.
Вероятность поглощения тепловых нейтронов в реакторе можно
найти с помощью соотношения
где Nc - среднее число тепловых нейтронов, поглощаемых в реакторе
в единицу времени; 5С - среднее число тепловых нейтронов, вылетаю-

щих через поверхность реактора в единицу времени, Nc и пт (г) связаны
соотношением
J p
где 1/Гр - вероятность поглощения тепловых нейтронов. Интеграл
здесь берется по объему реактора. Вследствие однородности
реактора вероятность поглощения тепловых нейтронов можно считать
одинаковой в любой его точке, тогда
ЛГ = -4" dVnt.
с Гр j
По определению
5С=Ф jdS = - I DgradntdS.
s
Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса и исходя из условия
однородности реактора [D (г) = const], получаем
Sc—D^AnTdV.
V
Подставим А пт из (5.34) в последнее уравнение:
Sc = Dx2 I nTdV.
v
Как видим, обе интересующие нас величины Nc и Sc выражаются
через один и тот же интеграл $ nt d V. Следовательно;
V
Nc 1 1 1
V-
Nc+Sc 1 +5c/iVc 1+ДГрИ3 1+£=Иа
где £2=ВГр - квадрат длины диффузии реактора. Напомним, что./,2
можно связать с длиной диффузии для замедлителя L2Q с помощью
соотношения (5.11).
Окончательно вероятность избежать утечки нейтронов любых
энергий из реактора без отражателя равна

p=ppr
l + и2 I2
с
(5.36)
где т - возраст тепловых нейтронов.
Таким образом, условие критичности голого реактора можно
записать в виде
-и2т
fc e T
1 + и2 I2
с
ИЛИ
И2Т
(5.37)
/сго=е T(l+H2Lc2). (5.38)
Соотношения (5.37) и (5.38) представляют собой трансцендентные
уравнения, с помощью которых по известным значениям к , Lc и тт
может быть рассчитан материальный параметр х2 и затем с
использованием равенства типа (5.13) вычислен критический размер реактора.
Можно показать, что соотношения (5.37) и (5.38) имеют только один
действительный корень.
Рассмотрим несколько важных частных случаев применения
формулы (5.38).
1. Реактор, в котором возникают и поглощаются только тепловые
нейтроны. В этом случае вероятность избежать утечки равна
1
Р = Рй =
1 + И2!2
с
Из условия критичности реактора к = к00Рс = 1 находим
=1
1+И2!2
с
или и2 = (к00 - 1) /L2, т.е. получили формулу, выведенную ранее для
реактора на тепловых нейтронах [см. (5.3)].
2. Реактор с малым коэффициентом размножения fc^, т.е. и2 т <£ 1.
Разложив экспоненту в ряд еи т = 1 + и2 т +... и считая £2и т
величинами одного порядка, получаем
fc00 = l+x2(L2+T).
В этом виде уравнение разрешается относительно и2:
fc -1
и2 = -^— . (5.39)
1г+т

Получили формулу для материального параметра, совпадающую с
выведенной ранее в приближении одной группы нейтронов [см. (5.9)].
Приближения
иат«1; x£J«l, (5.40)
которые использовались при выводе (5.39), соответствуют случаю так
называемых физически больших реакторов. При выполнении этих
условий справедливы и неравенства
и2(т + 1*)-иаМа««1,
или fcoo-- 1 •« 1. Полагая и ~ к/R, где R - характерный размер
критического реактора, находим
(Й/М)а»1,
т.е. для физически большого реактора характерные размеры много
больше длины миграции.
3. Реакторы с большим коэффициентом размножения: и2т~1. Это
случай так называемых физически малых реакторов. Для них и2т~1
и и2М2 ~ 1, т.е. физически малые реакторы имеют характерные
размеры, сравнимые с длиной миграции нейтронов. Для этих реакторов
условие критичности остается прежним (5.38). Если же для физически
малого реактора выполняется неравенство и2 L3<. 1, то условие
критичности можно упростить. Прологарифмируем выражение (5.38):
lnfcoo = H2t + ln(l+H2L2). (5.41)
При и2 L2«: 1 In (1 + и2 L2) * и2 L2. Следовательно,
к2 = -^-. " (5.42)
Это и есть условие критичности для физически малого реактора,
для которого и2 L2«: 1. Так как при fc^ ~ 1 In fc^ * fc^ - 1, то (5.42)
совпадает с (5.39), т.е. она может служить общей экстраполяционной
формулой, пригодной, для оценки критических размеров и физически
больших и физически малых реакторов, для которых и2 L2 <s 1.
5.5. ПОНЯТИЕ О МНОГОГРУППбаОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В процессе работы ядерного реактора происходит постоянное
обновление нейтронов: одни нейтроны исчезают, другие появляются.
Возникающие нейтроны образуются или непосредственно в процессе
деления ядер урана или в процессе замедления нейтронов более высо-

кой энергии. При этом появление нейтронов фиксированной энергии
может быть обусловлено либо одним из этих процессов, либо и тем и
другим одновременно. В соответствии с различным происхождением
нейтронов в реакторе в Их спектре условно можно выделить три
области: быстрых, замедляющихся и тепловых нейтронов. К быстрым
относят те нейтроны, энергия которых выше нижней практической границы
спектра нейтронов Деления Ягр (Ег. * 0,01 МэВ). К замедляющимся
относят те нейтроны, энергия которых заключена в пределах от
некоторого значения Ят, характеризующего верхнюю границу энергии
тепловых нейтронов до Е. Эти нейтроны появляются только за счет
замедления нейтронов более высокой энергии. Тепловыми считают те
нейтроны, которые замедлились до такой степени, что их энергия
сравнялась с энергией теплового движения атомов среды. Так как спектр
тепловых нейтронов не имеет резкой верхней границы, его
ограничивают сверху до некоторой степени произвольно: £, =» 0,5 •*■ 0,625 эВ.
Условность проведенной классификации нейтронов ядерного реактора
по энергиям очевидна. Например, те нейтроны, которые имеют
энергию Е > Я_, могут образоваться не только в реакциях деления,
но и при замедлении более энергичных нейтронов деления.
Природа исчезновения нейтронов определенной энергии в
реакторе также двояка: нейтроны могут как поглощаться в реакциях
захвата их ядрами урана и замедлителя, так и изменять свою энергию в
реакциях рассеяния на ядрах, т.е. в процессе замедления. При этом
исчезновение нейтронов определенной энергии может быть обусловлено
как каждой из этих причин в отдельности, так и одновременно
обеими.
Все отмеченное выше означает, что самый общий метод расчета
ядерного реактора должен обязательно учитывать все многообразие
процессов исчезновения и возникновения нейтронов и,
следовательно, учитывать энергетический спектр нейтронов реактора. Помимо
этого расчет реактора должен учитывать и его неоднородность и
конечность . реальных сред, которые следуют из необходимости решения
как физических, так и технологических задач.
Сколько-нибудь полный учет процессов взаимодействия
нейтронов в столь сложных многокомпонентных системах, каковыми
являются ядерные реакторы, практически невозможен. Поэтому по
необходимости расчеты реакторов должны строиться на определенных идеа-
лизациях. Пример одной такой идеализации уже был рассмотрен
в § 5.3, когда решалась задача о нахождении критического размера
ядерного реактора в одногрупповом приближении. В этом примере пре-
небрегалось неоднородностью расположения сред. Реактор считался

"гомогенизированным", т.е. считалось, что поглощающие,
замедляющие и размножающие свойства системы не зависели от
пространственных координат. Другое упрощение сводило реальную
многоскоростную задачу к односкоростнои: считалось, что все процессы в реакторе
обусловлены нейтронами одной группы энергий - тепловой. Такая
простая идеализация, как мы видели, позволяла получить с неплохой
точностью важнейший параметр ядерного реактора - его критический
размер, но в то же время она неправильно передавала
пространственное распределение плотности нейтронов в реакторе.
Более общее и более точное описание ядерного реактора
основывается на подходе, который получил название многогруппового
приближения. В этом подходе энергетический спектр нейтронов реактора
делится на определенные энергетические интервалы, называемые
энергетическими группами или просто группами, и уравнения баланса
нейтронов составляют для каждой из групп в отдельности.
При этом каждую группу характеризуют интегральным потоком
нейтронов
Фк(г)= с*ЯФ(г,Я) (5.43)
Бк+1
(Ек+1иЕк- граничные значения энергии нейтронов данной fc-й группы),
а также соответствующими этой группе макроскопическими
характеристиками - так называемыми групповыми константами:
коэффициентом диффузии
Ек
Dk-[<bk{t)]~l \ dED(E)<b(t,E); (5.44)
Dk*i
сечением поглощения
Бк
2.ЛМ')]-1 \ dEZ(E)<S>{x,E); (5.45)
'efcl*fcvl'J' и*""а
£fc+l
сечением рассеяния
^fc-t^W]-1 dEl jE)<b(i,E); (5.46)
£i
fc+l

сечением деления
Lfk=1ф*W1"' \ dE*fАУф (г>Б> (5-47)
Ем
и т.д. Основное условие, которое стремятся соблюдать при выборе
границ между группами, сводится к тому, чтобы групповые
константы для элементов, входящих в композицию реактора, достаточно
медленно менялись внутри группы и могли быть адекватно представлены
своими средними значениями.
Многогрупповые уравнения в диффузионном приближении
получают из уравнения, которое описывает баланс нейтронов при
произвольном значении энергии и которое исходно является
дифференциальным по координатам и интегральным по энергиям. Это
уравнение в стационарном случае (д п/д t = 0) имеет вид
div [D (Б) grad Ф (г, Б) ] - Л f (Б) Ф (г, Е) +
+ Ъг(Е')а(Б',Е)Ф{1,Е')(1Е'+
о °°
+ х (Б) f v (Б') Zf(Б') Ф (г, Е) dE'. (5.48)
о
Неупругим рассеянием нейтронов в (5.48) пренебрегаем.
Первый член в (5.48) равен, как и в случае диффузии
моноэнергетических тепловых нейтронов, полному числу нейтронов с энергией Е,
притекающих ежесекундно в единичный элемент объема в точке г за
счет градиента плотности потока нейтронов данной энергии. Второй
член описывает исчезновение нейтронов с энергией Б. Он содержит
два слагаемых: Еа (Е) Ф (г, Е) - полное число нейтронов с энергией Е,
поглощаемых в единичном объеме в единицу времени, и Zs (Е)Ф(т,Е)~
полное число нейтронов с энергией Б, рассеиваемых в единичном
объеме в единицу времени. Полагается, что в результате рассеяния
нейтроны обязательно меняют свою энергию. Здесь Еа и Hs -
макроскопические сечения поглощения и рассеяния нейтронов соответственно;
Е( = Еа+ Е5 - полное макроскопическое сечение. Знак минус перед
вторым членом в (5.48) соответствует убыли нейтронов.
Третий член в (5.48) дает полное число нейтронов с энергией Е,
образующихся за счет замедления нейтронов более высоких энергий.

Физический смысл отдельных сомножителей в нем очевиден:
Zs (Ё) Ф (г, Ё) d E'- полное число рассеивающихся нейтронов с
начальной энергией в интервале от Е' до Б'+ йЁв единичном объеме в
единицу времени; и (Е, Е') - вероятность того, что при рассеянии нейтрона
с энергией Е' он будет иметь энергию после рассеяния, равную Е (см.
§ 1.3); Q (Е, Е') Л5 (Е') Ф (г, Е') d E'- полное число нейтронов в интервале
начальных энергий от Б'до Е'+ dE в единичном объеме в единицу
времени, которые в результате рассеяния приобрели энергию Е.
Последний член в (5.48) описывает образование нейтронов в
процессе деления урана. Полное число делений нейтронами с энергией
от Е'до Е'+ dE в единичном объеме в единицу времени будет равно
lf(E')Q{T,E')dE'.
Так как нейтроны с энергией Е образуют v (E1) новых быстрых
нейтронов, то полное число нейтронов, возникающих при всех делениях
в единичном объеме в единицу времени, равно
оо
v (E') Zf(E')<S> (r, E') d E'. (5.49)
о
Чтобы найти долю нейтронов S(E), которые при делении будут
иметь энергию Е, нужно (5.49) умножить на нормированный на
единицу спектр нейтронов деления х (Е), т.е.
оо
S (Е) = х (Е) \ v (Е') ЛГ(Е')Ф (г, Е') dE'. (5.50)
о
В отличие от уравнений диффузии (2.33) и (5.2), уравнение (5.48)
содержит в качестве зависимой переменной не функцию плотности
нейтронов, а функцию плотности потока, приходящегося на
интервал энергии Е *■ Е + dE. Заметим, кстати, что уравнения диффузии для
моноэнергетических нейтронов можно было записывать как через
функцию плотности нейтронов п (г), так и через функцию плотности
потока Ф (г), так как решения этих уравнений определены с точностью
до произвольной постоянной, а функции п (г) и Ф (г) равны друг другу
с точностью до константы - скорости нейтрона. Ранее
использовавшаяся запись уравнений диффузии (2.33) и (5.2) через плотность
нейтронов диктовалась стремлением использовать такие определения
макроскопических характеристик диффузии, которые традиционно
вводились при описании аналогичных задач переноса массы и которые
имели наглядный физический смысл (см. § 2.3).

В уравнении (5.48), описывающем диффузию нейтронов любых
энергий, баланс нейтронов с энергией Е обусловлен суммированием
различных эффектов поглощения, рассеяния и размножения
нейтронов всех других энергий. Величина этих эффектов, как только
что было показано, определяется не плотностью нейтронов, а
плотностью их потока. Представление Ф (г, Е) в этом случае в виде Ф (г, Е) =
= v п (г, Е) не позволяет, как видно из (5.48), сократить v во всех
слагаемых, так как она будет относиться к нейтронам самой различной
энергии.
В новой, по сравнению с (2.33) и (5.2), записи притока нейтронов в
(5.48) используется отличающееся от ранее введенного определение
коэффициента диффузии. Он теперь выражается в см
ОД=-^ = 77—• . (5.51)
Составим многогрупповые уравнения, воспользовавшись
одним из простых разбиений на группы. В группу с самой
высокой энергией включим нейтронное деление, а в группу с
самой низкой энергией - тепловые нейтроны. В остальные
I = п - 2 групп (п - полное число групп) включим
замедляющиеся нецтроны. Границы между группами замедляющихся
нейтронов выберем так, чтобы при рассеянии в данную энергетическую
группу переходили бы нейтроны только из непосредственно граничащей
с ней более высокоэнергетической группы к - 1. Тогда обмен
нейтронами между группами всегда направлен от группы с более высоким
номером к группе с более низким номером и может быть описан
выражением Es (к - 1 -* к) Фк_! (г), где Es (к - 1 -* к) - сечение перехода
нейтронов из группы к - 1 в группу к. Zs(k-l-* к) представляет
собой соответствующим образом усредненное сечение рассеяния. Здесь
и далее нумерация ведется последовательно от групп с более высокой
энергией к группам с более низкой энергией. Чтобы получить
уравнение, описывающее баланс нейтронов в fc-й группе замедляющихся
нейтронов, проинтегрируем (5.48) по энергии в пределах энергии fc-й
группы Efc+1.< E <Ejc. Получившиеся интегралы преобразуем,
воспользовавшись теоремой о среднем. Тогда интеграл от первого члена
уравнения (5.48) преобразуется к виду
div [Dfc grad Ofc (г) ], (5.52)
а интеграл от второго члена запишется как
-*.|Л-М-*,*•*»). (5.53)-

где Ф&- Dk, Eafc и Zsk даются соответственно формулами (5.43), (5.44),
(5.45) и (5.46). Интеграл от третьего члена (5.48) с учетом
предположения о том, что рассеяние переводит нейтроны только в нижележащие
соседние группы, можно представить в виде
Ек °°
dE I H,(E')q(E',E)9[i,E')-
= Хг(к - 1 - к)Фк_1(т) + 25(к - к)Фк(х),
где Es (к - 1 -» к) - сечение перевода нейтронов из вышележащей
группы к - 1 в данную группу к; Es (к-* к)- та часть усредненного сечения
рассеяния, которая оставляет нейтроны в данной группе. Так как
разность между полным числом рассеиваемых нейтронов Zsk Фк (г) и
числом нейтронов Zs (к -» к) Ф (г), остающихся в группе fc, равна числу
нейтронов, уходящих из данной группы во все остальные группы, т.е.
Zsk Фк (г) - Zs (к - к) Фк (г) = Zs (к - к + 1) Фк (г), (5.54)
то уравнение баланса нейтронов для fc-й группы примет вид
div[Dfcgrad«fc(r)]-Zefc©fc(r) +
+Z5(k- 1->к)Фк_1(т)-Х!(к~к + 1)Фк(т) = 0. (5.55)
При выводе этого уравнения вклад от четвертого слагаемого
уравнения (5.48) не учитывался, так как предполагается, что нейтроны
всех групп, промежуточных между группой тепловых и группой
самых быстрых нейтронов, образуются только за счет замедления
нейтронов более высоких энергий.
Для нейтронов первой группы, т.е. для нейтронов с самой
высокой энергией, уравнение баланса будет иметь вид
Шу[01бгас1Ф1(г)]-2:а1Ф1(г)- (
-2,(1-2)Ф1(г) + ^в2вп-Фп-0. (5.56)
Для нейтронов этой группы в уравнении баланса нет члена,
обусловленного замедлением нейтронов более высоких энергий. Источником
нейтронов первой группы служит поглощение тепловых нейтронов,
сопровождающееся делением ядерного топлива. Смысл слагаемого,
обусловленного источником в (5.56), очевиден: Ф„ - это плотность
потока тепловых нейтронов (выше мы приняли, чтоп - номер группы

тепловых нейтронов); Еап Ф„ - это скорость захвата тепловых
нейтронов в реакторе; 9 Еап Фп- скорость захвата тепловых нейтронов
ядерным топливом и, следовательно, v9Ian<I»n - скорость рождения
нейтронов деления, т.е. нейтронов первой группы. Здесь, как и прежде,
9 - коэффициент использования тепловых нейтронов, a v - число
быстрых нейтронов, образующихся на один акт захвата теплового
нейтрона ураном.
Уравнение баланса для нейтронов тепловой группы записывается
очевидным образом:
div[Dr)grad<&n(r)]-2:fln<&n(r) +
+ 2,(п-1-п)Фп_1(г)-.0. (5.57)
Таким образом, (5.55)-(5.57) представляют собой систему из п
уравнений, решая которую можно найти плотности потоков
нейтронов в каждой группе. Решение этой системы в общем случае
предполагает использование численных методов с применением электронных
вычислительных машин.
Трудности решения системы уравнений (5.55) - (5.57) заключаются
не только в использовании численных методов, но и в том, что
предварительно должны быть определены исходные параметры групп,
от которых зависит решение, т.е. групповые константы. Последние,
как видно из (5.44) - (5.47), являются функциями искомых решений.
Задача упрощается, если рассматривается однородный реактор. В этом
случае энергетические и пространственные переменные разделяются,
т.е. плотности потока в группе можно представлять в виде
произведений:
Ф (г, Б) = Ф (г) Ф (Е).
Тогда групповые константы, как следует из (5.44) - (5.47), не будут
зависеть от координат и будут получаться усреднением
соответствующих макроскопических характеристик только по энергетическому
спектру нейтронов. Например,
Ч
I la(E)*(E)dE
Ек+1
Eafc _ _
к
У d Б 9(E)
£fc+1
(5.58)

При усреднении по энергии на практике чаще всего используют
фермиевское приближение, в котором полагают, что поглощение
замедляющихся нейтронов достаточно слабое, т.е. что плотность потока
в шкале летаргии внутри каждой группы постоянная:
Ф (и) = const или Ф (Е) = const /Б . (5.59)
Тогда, как следует из (5.58), сечение поглощения нейтронов данной
группы будет находиться как
ufc+i
где Aujt = fcfc+i~ uk- Аналогично будут вычисляться и другие
групповые константы.
Нетрудно видеть в таком случае, что суммарное сечение
поглощения нейтронов по всем группам, кроме тепловой, будет равно
резонансному интегралу поглощения бесконечного разведения:
(см. § 3.5). Аналогичные соотношения будут иметь место и для
резонансных интегралов деления и радиационного захвата.
5.6. МНОГОГРУППОВЫЕ УРАВНЕНИЯ В ВОЗРАСТНОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ
В предыдущем параграфе уравнения баланса нейтронов различных
групп энергий записывались в диффузионном приближении. При этом
отмечалось, что на практике решения этих уравнений трудоемки и
требуют численного счета. Многогрупповые уравнения баланса
нейтронов могут быть получены и в так называемом возрастном
приближении, когда описание поведения нейтронов в среде, обладающей
как замедляющими, так и размножающими свойствами, строится на
использовании теории возраста Ферми. Интерес к такому описанию
объясняется возможностью решить некоторые задачи физики
реакторов, используя аналитические методы.
Сформулируем задачу описания поведения нейтронов в реакторе,
основываясь на теории возраста Ферми. Напомним, что в этой теории
важнейшей характеристикой нейтронов, замедлившихся от
начальной энергии Б0 (летаргии и = 0) до Б (летаргии и), служит возраст

нейтрона
т = \ 1 \f(u')du '-величина, корень квадратный из которой
3£(l-2/34)J
о
показывает, насколько далеко смещаются нейтроны от источника в
процессе замедления. Пространственное распределение плотности
нейтронов п (г, т) возраста т [точнее, плотности замедления
нейтронов q (г, т)] в непоглощающей и неразмножающей среде находится
как решение уравнения возраста Ферми - Зельдовича (см. § 3.8)
Aq(r, т)= Эч/Эт (5.60)
при соответствующем начальном условии. Отметим, что при выводе
этого уравнения рассматривался только случай стационарного
распределения нейтронов, поглощение и неупругое замедление нейтронов
во внимание не принимались.
В случае, когда среда поглощает нейтроны, уравнение баланса (5.60)
должно быть дополнено членом, учитывающим поглощение
нейтронов. Для т > 0 получаем
Дч(г,х)- —(г,т)--^ = 0. (5.61)
дх £*(t)
Здесь L2(t)=D(t)/ Еа(т), где D(x) теперь определяется выражением
(5.51), a Efl (т) = 1/А.д (т); Ха (т) - средняя длина свободного пробега до
поглощения нейтронов возраста т. Это уравнение называют
уравнением замедления в возрастном приближении.
Несложно показать, что решение уравнения (5.61) можно свести к
решению уравнения вида (5.60). Пусть начальное условие задано
в виде
q(r,0W(r), (5.62)
где / (г) - некоторое исходное распределение. Будем искать решение
q (г, т) в виде
q(r,T)-q0(f.*)4>(t). (5.63)
Подставим (5.63) в (5.61) и преобразуем полученное уравнение к виду
ОТ'
din ф
+
dx L*(t)
■■ 0. (5.64)

Из (5.64) видно, что левая часть уравнения будет тождественно равна
нулю, если q0 (г, т) будет решением уравнения
Aqo(x,x)-dqo{x,x)/dx = 0 (5.65)
при начальном условии q0 (г, 0) = /(г), а <р (т) будет находиться как
решение уравнения
cfln<p/cfT=- 1/L*(t) (5.66)
при начальном условии Ф (0) = 1.
Решая (5.66), находим
т
Г dx'
<р (т) = ехр - . (5.67)
-
\
0
dx'
км J
Запишем теперь начальное условие (5.62) для реактора в явном
виде. Будем полагать, что новые нейтроны в реакторе образуются
только при поглощении тепловых нейтронов, их энергию будем считать
постоянной и равной средней энергии спектра нейтронов деления.
Делениями, происходящими при поглощении замедляющихся нейтро-i
нов, будем пренебрегать. Условную границу между тепловыми и
замедляющимися нейтронами обозначим Ет. Если поток тепловых
нейтронов (Е< Ет) равен Ф (г), то скорость их захвата будет равна
ЕатФ (г), Еат - макроскопическое сечение поглощения тепловых
нейтронов в реакторе. Так как на один захват теплового нейтрона
приходится 9 захватов в ядерном топливе и при этом на один
захват образуется v быстрых нейтронов, то скорость
генерации нейтронов деления тепловыми нейтронами будет равна
vBIeiG(r),T.e.
/(r)-v8Zei«W = fcIZei«(r). (5.68)
В этом соотношении fcT = v 8 - число быстрых нейтронов, возникших
на один поглощенный в реакторе тепловой нейтрон.
Для полноты описания ядерного реактора уравнение баланса
замедляющихся нейтронов (5.61) должно быть дополнено уравнением
баланса тепловых нейтронов. Оно будет иметь вид
ОАФ-2:атФ + ч(г)тт) = 0, (5.69)
где D - коэффициент диффузии, задаваемый в виде (5.51). Мощность
источников нейтронов в уравнении (5.69) определяется скоростью
генерации тепловых нейтронов в процессе замедления, т.е. она должна

быть равна плотности замедления q (г, тт) в группе, ближайшей к
тепловой, и вычислена при значении х = тт = т (Е0, Ет), где хг - возраст
тепловых нейтронов.
Многогрупповые уравнения в возрастном приближении
получают по аналогии с тем, как получают многогрупповые уравнения в
диффузионном приближении. В группу с самой низкой энергией
включают, как и ранее, тепловые нейтроны. В группах с более высокими
энергиями рассматривают замедляющиеся нейтроны. Быстрые
нейтроны рассматривают только как источники замедляющихся нейтронов.
Разбиение замедляющихся нейтронов на группы проводят по
переменной возраста т.
Для вывода уравнений баланса нейтронов fc-й группы
проинтегрируем почленно уравнение (5.65) пот в пределах tfc < х < xk_v
Преобразуем получившиеся интегралы, воспользовавшись теоремой о
среднем
б Tfc Д < qQ )к - qQ (r, Tfc) + q0 (г, т*.,) = 0.
Здесь ffc
Будем полагать, что (qQ >fc в пределах интервала разбиения б хк
меняется сравнительно слабо. Такое предположение вполне
допустимо при слабом поглощении замедляющихся нейтронов и при
достаточно большом числе разбиений. Тогда ( q0 >fc можно заменить средним
арифметическим значением плотности замедления в интервале бтк
или даже каким-либо ее значением на любом из концов интервала:
< 9о >fc а -у [Ч0 (г, Tfc) ~ Я0 (г, tfc_,) ] =
* goOr.tfc^goOr.Vj).
Тогда многогрупповые уравнения примут вид
6 Tfc Д %М - %М + 4-х W = 0 , fc = 1, 2,..., т-\, (5.70)
где т - полное число групп и использовано обозначение q0 (г,т )э q (r).
В уравнениях (5.70) принят следующий вариант замены среднего
значения:
< Я0 >fc = % (г, тк).

Важнейшая особенность системы уравнений (5.70) заключается
в том, что каждое из ее уравнений, в отличие от исходного (5.65),
которое изначально было уравнением в частных производных по
возрасту и по координате, содержит производные только по координатам.
В результате решение уравнения в частных производных свелось к
решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Каждое из уравнений системы является уравнением баланса
нейтронов в элементе объема dV в интервале возраста 6tfc. Первый член
в них описывает приток нейтронов возраста tfc < т < Tfc_, в элементе
объема d V из соседних областей пространства за счет градиента
плотности нейтронов этого возраста, второй член описывает уход
содержащихся в объеме dV нейтронов возраста tfc < т < Tfc-1 в нижележащие
по возрасту интервалы, а третий член описывает поступление
содержащихся в объеме dV нейтронов из вышележащих по возрасту
интервалов в интервал Ьхк. Систему уравнений (5.70), дополненную
уравнением баланса тепловых нейтронов (5.69), называют системой
многогрупповых уравнений в возрастном приближении.
Оба подхода, которые использовались при выводе групповых
уравнений в диффузионном (см. § 5.5) и возрастном приближениях,
идентичны друг другу. Можно показать, что при выборе адекватных
разбиений на группы и при увеличении количества энергетических групп
групповые уравнения (5.55) будут переходить в уравнения
непрерывного замедления (5.70), т.е. в уравнения, полученные на основе
уравнения возраста Ферми.
5.7. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДВУХ ГРУПП НЕЙТРОНОВ.
РЕАКТОР С ОТРАЖАТЕЛЕМ
Один из простейших примеров применения многогрупповых
уравнений - двухгрупповое приближение. Оно используется, например,
при решении задач о критических размерах ядерных реакторов на
тепловых нейтронах и обладает при этом достаточно хорошей
точностью. Двухгрупповое приближение позволяет правильно описать
распределение плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне,
которое должно быть более пологим по сравнению с распределением
в "голом реакторе", а также объясняет уже упоминавшийся в § 5.3
всплеск плотности потока тепловых нейтронов в отражателе вблизи
границы активной зоны.
Все нейтроны в реакторе разделяются только на две группы -
замедляющиеся и тепловые. Соответствующие уравнения баланса
нейтронов получаются из (5.70) и (5.69). Уравнение баланса для за-

медляющихся нейтронов (первой группы) запишем, положив в (5.70)
Jfc-1:
(Tt- т0)ДЧ1-д.»- q0. (5.71)
Так как эта группа содержит все замедляющиеся нейтроны, то
т t s тт, т 0 = 0. Скорость генерации нейтронов этой группы q0 равна
мощности источников нейтронов деления, т.е. q0 = £тЕатФ [см. (5.68)].
Поскольку речь идет о единственной группе замедляющихся
нейтронов, индекс "1" у плотности замедления далее будем опускать:
T,Aq-q —q0 (5.72)
или
/а- -Мд = - -^-Ф. (5.73)
(Индекс "т" у т далее опущен.)
Уравнение баланса тепловых нейтронов (вторая группа)
получается из (5.69):
D I А- 4-1Ф
где qa (г, т ) - мощность генерации тепловых нейтронов. Так как
тепловые нейтроны возникают в процессе замедления, то в соответствии
с (5.63) q2 (г, тт) = <р qt (г, тт) = <р q (г), где <р - вероятность избежать
поглощение в процессе замедления.
Уравнения баланса нейтронов в отражателе проще всего получить
из (5.73) и (5.74), если учесть, что отражатель не размножает нейтроны
и что резонансного захвата замедляющихся нейтронов в нем нет.
Отмечая звездочками величины, относящиеся к отражателю,
получаем (к*= 0, <р* = 1)
(a--L),*-P; (5.75а)
DA--L U* = -q*. (5.756)
На границе отражателя должны выполняться соответствующие
краевые условия и, кроме того, на границе активной зоны и отражателя
должны выполняться соответствующие условия сшивания.
Найдем вначале пространственное распределение плотности нейтро-

нов в реакторе без отражателя. С этой целью будем решать систему
уравнений (5.73) и (5.74). Подействуем оператором (Д - 1/т) на левую
часть уравнения (5.74):
(a-jl)/a._lU.2!1 Лиф.-^ф.
\ М \ L1 I T D т!2
(5.76)
Произведение кт <р = v <р 9 в (5.76) по определению [см. (4.3)] равно
коэффициенту размножения для бесконечной среды. Перепишем (5.76)
как
Д-
1
Д-
~1
т!2
Ф(т)=0.
(5.77)
Разложим квадратный трехчлен относительно Д на множители и
представим оператор, действующий на Ф (т), в виде
[(д + <х?Ид-<х!)]Ф(г;=о,
(5.78)
где ос2 и а| - коэффициенты разложения. Перемножая Д + ос2 и Д - ос§
и приравнивая в (5.77) и (5.78) коэффициенты при одинаковых
степенях Д, получаем квадратное уравнение относительно ос2 (или ос2).
Решая его, найдем
_1_
2
_1_
2
(*
[ь
ч)
♦+)
1± /1 +
4 (к«, - 1) т Is
(т+12)2
-М -1± /1 +
4 (к,, - 1) т £2
(т +I2)2
(5.79)
(5.80)
Второй корень в (5.79) и (5.80) отбрасываем, так как а2 и ос| -
положительно определенные величины. Рассмотрим случай к„ - 1 <£. 1.
Разлагая корень квадратный из (5.79) и (5.80) в ряд и оставляя члены
первого порядка малости, получаем
т + 12
(5.81)
<x2 = -L + _L
2 т £»
(5.82)

Как видим, параметр а\ совпадает с материальным параметром (5.9),
введенным в теории одной группы.
Пусть X и У решения уравнений:
(Д + а*)Х=0; (Д-ос|)У = 0. (5.83)
Тогда общее решение уравнения (5.78) будет суперпозицией X и У, т.е.
Ф(т) = С1Х+С2У, (5.84)
где С1иС2- произвольные постоянные. Из (5.83) видно, что при fc0o>l
в задачах с одномерной симметрией X есть тригонометрическая, У -
гиперболическая функция аргументов.
Решение для q2 (г) получается из уравнения (5.74), если в него
подставить (5.84):
q2=D/L2(y1ClX-y2C2Y), (5.85)
где
^-l + ajL2: T2 = oc|L2- 1, (5.86)
причем
В приближении £„ - 1 <£ 1 ух ** 1, у2 « L2 / т.
В качестве примера рассмотрим однородный шаровой реактор.
Отметим прежде всего, что в случае сферической симметрии решения
уравнений (5.83) имеют вид [см. (5.15) и (5.16)]
sin a, r sh а, г
Х~ — ; У~ — . (5.87)
г г
Воспользуемся граничными условиями. На экстраполированной
границе реактора должно быть Ф {R) = q (R) = 0, т.е.
С^ХрУ+СаУДО-О; (5.88)
ylClX(R)-y2C2Y(R) = 0.
Решая систему (5.88) относительно У (R), найдем
(Ул + У2) C2Y(R) = 0. (5.89)
sha2R
В соотношении (5.89) у1 + у2 Ф О [см. (5.86)], Y(R) = Ф 0, еле-

довательно С2 = 0, т.е.
sin a% г
Ф&)~ . (5.90)
Таким образом, для реактора без отражателя распределения
плотности тепловых нейтронов, вычисленные в одногрупповом и двух-
групповом приближениях, совпадают [сравните (5.90) и (5.81), с (5.12)
и (5.9)].
Для сферического реактора с отражателем плотность тепловых
нейтронов на границе активной зоны не может быть нулевой, т.е.
С 2 Ф 0. В этом случае радиальное распределение плотности
тепловых нейтронов будет суперпозицией сферически-симметричных
решений X (г) и Y (г). Заметим, кстати, что характерные расстояния, на
которых Y (г) меняется приблизительно в е раз, составляют по порядку
величины г~ 1/ос2. В силу особенностей поведения Х(г) и Y(t) как
функций г каждое из этих решений будет преобладающим для
соответствующей части активной зоны реактора: для центральной части X (г),
ближе к границе активной зоны Y(r). Таким образом, в центральной
части активной зоны большого реактора (R>l/a2) распределение
плотности тепловых нейтронов должно быть близким к
распределению, даваемому одногрупповым приближением. При приближении к
границе активной зоны плотность тепловых нейтронов будет расти как
sh a2 г
. В промежуточной области расстояний г спадающее распреде-
«to «г. ShV
ление *— будет плавно переходить в растущее (см. пунк-
г г
тир на рис. 5.2).
Распределение плотности замедляющихся нейтронов, как видно из
(5.85) и (5.87), во всей области активной зоны будет плавно спадающим
с увеличением г (см. сплошную линию на рис. 5.2).
Пространственное распределение плотности тепловых и
замедляющихся нейтронов в отражателе найдем из (5.75а) и (5.756). Пусть
Я* (г) - решение уравнения (5.75а), а Ф£ (г) - решение однородного
уравнения (5.756). Прямой подстановкой можно убедиться в том, что
функция
Ф* (г) = Ф; (г) - -J- f 1 - -Ь- J"' q* (r) (5.91)
будет решением уравнения (5.756).
В случае шарового однородного реактора с бесконечным
отражателем

«•W= — exp(-r//f); (5.92)
„01. f exp (- fj- -Л (,- -i|' -£ exp (- ^). (5.93)
При получении (5.92) и (5.93) растущие с увеличением г решения
q* (г) ~ ехр (г//?) уравнения (5.75а) и Ф* (т) ~ exp (r/L) однородного
уравнения (5.756) отбрасывались, как не удовлетворяющие условию
ограниченности.
Коэффициенты в (5.92) и (5.93) могут быть найдены из условий
сшивания решений для активной зоны и отражателя. Однако и без их
вычисления видно, что плотность замедляющихся нейтронов в
отражателе будет убывающей функцией расстояния, в которую будет плавно
переходить распределение (5.85) для активной зоны (см. сплошную
линию на рис. 5.2).
Выражения для коэффициентов в распределении тепловых
нейтронов (5.93) даже в простейшем случае однородного реактора с
бесконечным отражателем получаются достаточно громоздкими.
Поэтому проанализируем качественно вид функции плотности тепловых
нейтронов в отражателе, не прибегая к точному вычислению
коэффициентов. Прежде всего отметим, что (5.93) содержит как растущую,
так и убывающую с увеличением г части. Так как на границе
активной зоны и отражателя скачка плотности не должно быть,
распределение плотности тепловых нейтронов в отражателе вблизи границы бу-
sh a t r
дет растущим с увеличением г, как и распределение их в
активной зоне вблизи границы. На больших расстояниях от границы
активной зоны распределение плотности тепловых нейтронов в
отражателе Ф*(г) будет определяться поглощающими способностями
отражателя, т.е. оно будет описываться членом -i- exp (-т/L), убывающим с
г
увеличением г. На промежуточных расстояниях плотность тепловых
нейтронов в отражателе будет плавно, через максимум, переходить из
растущей с увеличением г зависимости в спадающую.
Чтобы оценить масштаб расстояний, на которых плотность
тепловых нейтронов в отражателе достигает максимума, воспользуемся
упрощенным граничным условием. Так как активная зона эффективно
поглощает тепловые нейтроны, будем считать, что на
экстраполированной на (2/3) \s (внутрь, активной зоны) границе плотность потока

тепловых нейтронов будет равна нулю, т.е. Ф* (R) = 0. Тогда решение
(5.93) для Ф* (г) примет вид
Ф*(г)= —
ехр(- "Y^l-exp |-Ц^)|. (5.94)
Для нахождения максимума плотности потока нейтронов
продифференцируем (5.94) по г и приравняем производную нулю. Уравнение
для определения г = гмакс, при котором плотность потока
максимальна, имеет вид
1 + Г„,кг/Л
м«хс
макс'
Г
макс
или
макс ь_^
Для хороших замедлителей L » V?, поэтому
- К « /т In |1 + Гм,кс ) . (5.95)
\ У? /
Так как lnx - слабо меняющаяся функция своего аргумента, то из
(5.95) следует, что максимум распределения плотности тепловых
нейтронов в отражателе будет находиться на расстояниях гмакс - R + \/т,
т.е. на расстояниях порядка длины замедления от границы активная
зона - отражатель. Качественный вид распределения плотности
тепловых нейтронов в реакторе с отражателем приведен на рис. 5.2 (см.
пунктир).
Наблюдаемые распределения плотности для замедляющихся и
тепловых нейтронов согласуются с ходом соответствующих
зависимостей, представленных на рис. 5.2. Таким образом, решение задачи
о диффузии нейтронов в двухкомпонентной системе активная зона -
отражатель в рамках простого двухгруппового приближения и
качественно и количественно передает основные особенности
пространственных распределений нейтронов в реакторе.
Всплеск плотности тепловых нейтронов в отражателе в реакторе
на тепловых нейтронах создает обратный (отраженный)
результирующий ток нейтронов из отражателя в активную зону. Тем самым
отражатель выполняет по крайней мере две функции:

1) уменьшает массу- Топлива, необходимую для обеспечения
критичности реактора;
2) выравнивает распределение плотности потока тепловых
нейтронов в активной зоне по сравнению с "голым реактором" и,
следовательно, делает более равномерным энерговыделение в реакторе.
Это позволяет увеличивать мощность, отводимую из активной зоны,
при заданном расходе теплоносителя в охлаждающей системе и
позволяет эксплуатировать реактор в более благоприятных режимах, при
которых достигается большая равномерность выгорания топлива по
всему объему активной зоны.
5.8. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЫТЫ С РАЗМНОЖАЮЩИМИ СРЕДАМИ
Перед сборкой реакторных систем любого типа необходимо
получить ответы на вопросы: может ли система быть критической в
принципе и, если да, то каковы ее критические размеры? Возникает
задача измерения коэффициента размножения либо связанного с ним
материального параметра и2. Такие измерения могут быть проведены
на подкритических сборках, в которых компоненты исследуемой
системы располагаются вытянутыми в одном направлении (например,
в виде призмы или цилиндра). Преимущества таких экспериментов,
называемых экспоненциальными, заключаются в том, что они дают
сведения о размножающей системе при относительно небольшом
количестве материалов.
Напомним вначале, в чем состоит суть экспоненциальных опытов
с чистыми замедлителями, в которых изучались поглощающие
свойства веществ. В прямоугольной призме квадратного сечения
из исследуемого материала на больших расстояниях от источника
измеряется пространственное распределение нейтронов вдоль оси
z колонны. Это распределение для основной гармоники должно
иметь экспоненциально затухающий вид:
n=n0exp(-z/A00), (5.96)
причем скорость затухания определяется двумя факторами:
"геометрическим" поглощением и поглощением нейтронов в результате
их захвата ядрами замедлителя:
_L_= /IZ7X\ (5.97)
Распределение (5.96) было результатом решения уравнения диффузии

Дп-—=0
с
для квадратной призмы в предположении, что плотность нейтронов
обращается в нуль на боковых гранях призмы.
Аппроксимируя экспериментальные данные зависимостью (5.96),
можно определить Л00 и, следовательно, по заданному поперечному
размеру призмы вычислить длину диффузии Lc.
Что изменится, если среда (при тех же самых условиях опыта) будет
обладать не только поглощающими, но и размножающими
(мультиплицирующими) свойствами? Ясно, что скорость затухания уменьшится
благодаря появлению новых нейтронов, образующихся в делящемся
веществе. Этот вывод следует из уравнения диффузии, которое для
размножающей среды имеет вид (см. § 5.1)
Дп + и2п = 0, (5.98)
где к2 - материальный параметр размножающей среды. Решение
уравнения (5.98) имеет вид, аналогичный (5.96), однако скорость
релаксации отличается от (5.97):
_^= /_2Л!_И2. (5.99)
А.. V «а
Из последнего соотношения, в частности, следует, что Л 5 а / п У? в
зависимости от того, какое условие выполняется: ур- § 0. Это означает,
что результаты измерения Л00 позволяют судить, можно ли получить
цепную реакцию с помощью простого увеличения размеров системы.
Если и2 < 0, в среде преобладает поглощение - систему ни при каких
размерах нельзя сделать критической. Если и2 > 0, коэффициент
размножения системы больше единицы. Найти коэффициент
размножения можно с помощью соотношения (5.9).
Для реактора на тепловых нейтронах соотношение (5.99) в одно-
групповом приближении принимает вид
1 / 2п2
V V "а 1еа+*
При fcro = 0 и в отсутствие замедления это соотношение, как и
следовало ожидать, переходит в (5.97). На опыте материальный параметр
получается в результате измерений Л00 и а.

Экспоненциальные опыты могут быть использованы для
определения материального параметра как гомогенных, так и гетерогенных
систем. В случае гетерогенных систем линейные размеры призмы
должны быть велики по сравнению с размерами ячейки решетки.
5.9. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР
Одним из основных параметров, определяющих коэффициент
размножения и, следовательно, условие критичности реактора,
является v, т.е. количество новых нейтронов, образующихся на один акт
захвата теплового нейтрона ураном. Величина v помимо зависимости
от характеристик самих изотопов, входящих в уран, т.е. от сечений
радиационного захвата и деления изотопа 23SU, а также от сечений
поглощения тепловых нейтронов изотопами 235U и 238U, зависит, как
можно видеть из (4.1), и от относительного содержания их в уране.
Как уже указывалось, в природном уране, добываемом в настоящее
время, смесь изотопов 23SU и 238U такова, что с5 = 0,7%, а с8 = 99,3% и
поэтому v = 1,33. Ясно, однако, что если относительное содержание
изотопов 23SU и 238U в смеси изменить, увеличив долю изотопа 23SU,
то v вырастет и условия осуществимости цепной ядерной реакции
станут более благоприятными. Именно так, как уже говорилось, и
поступают в настоящее время, когда для обеспечения определенного
запаса реактивности обогащают уран изотопом 23SU и тем самым
увеличивают с5 до 3-^-5% и, следовательно, v = 1,77 ■*- 1,89.
Указанное современное соотношение между концентрациями
изотопов 23SU и 238U в природном уране было не всегда. В далеком
прошлом уран был много богаче изотопом 23SU. Дело в том, что и тот и
другой изотоп а-радиоактивные*, причем скорость распада 235U
примерно в 6 раз больше скорости распада 238U (соответствующие
времена жизни изотопов составляют ts = 1,03-109 лет, а тв=6,5-109 лет).
Впервые на этот факт, т.е. на более благоприятный для цепной реакции
состав урана в далеком прошлом, обратили внимание в 1941 г.
Я.Б. Зельдович и Ю.Б. Харитон. Везэрилл и Ингрэм в 1953 г., исходя из
современных концентраций изотопов 235U и 238U в урановой
смоляной руде и зная скорости а-распада изотопов, посчитали, что около
двух миллиардов лет на*ад доля 23SU превышала 3%. Вид зависимости
относительного содержания изотопа 23SU в природном уране от
времени показан на рис. 5.3.
* Изотопы урана являются родоначальниками двух радиоактивных семейств,
конечными продуктами которых являются стабильные изотопы свинца: 23eU ■* 206Pb,
2Э5П _ 207pb

Рис. 5.3. Зависимость относительного содержа- д%,
ния 235U в естественном уране от времени
2
1
0 -2-103 -V109 t,roAti
При столь высокой концентрации изотопа 23SU в природном уране
цепная ядерная реакция деления при соответствующих условиях
могла бы, в принципе, возникнуть спонтанно. Такую возможность
рассмотрел Курода, который показал, что если в далеком прошлом в
подобное месторождение урана могла попасть вода, то условия для
самоподдерживающейся реакции деления могли бы приблизиться к
критическим. Таким образом, в природе случайным образом могли
возникнуть условия, при которых цепная ядерная реакция
становилась незатухающей, т.е. мог существовать так называемый
естественный ядерный реактор.
И доказательства существования такого ядерного реактора были
обнаружены. В 1972 г. во Франции на заводе, производящем
обогащенное топливо, при анализе изотопного состава природного урана в
одной из партий руды концентрация изотопа 23SU оказалась равной не
0,72%, как для обычных земных пород, метеоритов или образцов
лунного грунта, а всего 0,717%. Казалось бы, разница небольшая, однако
после проверки всех возможных источников уменьшения
концентрации изотопа 23SU, связанных с процессом разделения изотопов, было
установлено не только значительное обеднение урана изотопом
23SU (до 0,64% и даже менее), но и отклонение от природного
распределения тех редкоземельных изотопов, которые являются
продуктами деления урана. И тот и другой факты легко объяснимы, если
предположить, что в руде в течение достаточно длительного промежутка
времени существовала самоподдерживающаяся цепная реакция
деления, которая привела как к выгоранию ядерного топлива, так и к
образованию при делении изотопов, имеющих большие сечения
поглощения тепловых нейтронов, например ll3Cd. Таким образом, эти
результаты и являются доказательством существования природного
ядерного реактора. Месторождение, из которого уран поступал на
обогатительную фабрику во Франции, находилось в местечке Окло в
Габоне (Западная Африка).
Методами, основанными на измерениях изотопного состава
выгоревшего урана и изотопного состава элементов, образующихся при

делении, например, Cd или Nd, был определен возраст естественного
реактора и продолжительность его работы. Возраст реактора в Окло
оказался равным t0 = (1,84±0,07)-109 лет, а продолжительность его
работы в простейшей модели (полагалось, что количество урана в
реакторе не менялось за счет его поступления или потерь) составила
d^ 0,6-106 лет.
Результаты анализа рудного месторождения в Окло позволили
воссоздать картину работы естественного ядерного реактора. В
дельте древней реки на базальтовой подложке оседал песчаник, богатый
ураном. Толщина слоя в итоге составила от 4 до Юм, а ширина 600-
900 м.
Уран в руде накапливался неравномерно, об этом говорит
невысокая средняя массовая концентрация урана в руде - всего 0,5%.
Однако локальные концентрации урана, содержащегося в глинистых
отложениях (линзах), достигали значений 20- 40% и более. Эти глинистые
отложения представляют собой компактные рудные тела размерами
от 10 до 20 мв поперечнике и толщиной порядка метра.
Происхождение глинистых отложений в настоящее время не ясно. Под действием
тектонических процессов слой вместе с подложкой опустились на
глубину в несколько километров. При этом опускании урановая жила
растрескивалась и в нее проникали грунтовые воды,. Они-то и создали
ситуацию, благоприятную для образования естественного реактора.
Десятки миллионов лет назад произошло заключительное
поднятие уровня месторождения до современного.
Хотя обычная вода и обладает сравнительно большим сечением
поглощения тепловых нейтронов, определенный запас в v за счет
повышенного содержания изотопа 23SU в уране, а также компактное
расположение богатых ураном линз и создали условия, при которых
fcro в глинистых линзах стал больше 1. Именно в линзах и
происходила цепная ядерная реакция. Всего на расстояниях в несколько
десятков метров обнаружено шесть очагов реакции.
Общее количество наработанной естественным реактором энергии
оценивается в 1,5-104 МВт. Такое же количество энергии два блока
Ленинградской АЭС при 100% загрузке выработают за 2,3 года. Если
принять среднюю продолжительность работы реактора в Окло
«0,6 млн. лет, то средняя мощность его составляла всего 25 кВт.
Поэтому, несмотря на то что флюенс* в отдельных областях зоны
достигал ф = 1,5-1021 нейтр./см2, плотность потока тепловых нейтронов не
превышала 108 нейтр./(см2-с).
t
* Флюенсом называют интегральный по времени поток нейтронов ф = 5 dt' Ф (t')_

Сравнение выхода различных изотопов некоторых элементов Cd,
Sm, Gd, Eu, образующихся при делении урана, и тех же выходов для
проб урановой руды из Окло позволило рассчитать не только флюенс
нейтронов, но и доказать, что цепная реакция протекала именно на
тепловых нейтронах. Так как среди изотопов перечисленных
элементов есть такие, которые очень сильно поглощают тепловые нейтроны
(например, 113Cd или 1S7Gd, имеющие мощные резонансы как раз в
области энергий тепловых нейтронов), то их выход по отношению к
слабопоглощающим изотопам в пробе руды из Окло должен быть
сильно уменьшен за счет выгорания в процессе работы ядерного
реактора. Этот эффект и наблюдался. В массовом распределении
изотопов - продуктов деления урана, измеренном для пробы из Окло,
обнаружены провалы как раз для тех изотопов - 113Cd, ls7Gd и др.,
которые сильно поглощают тепловые нейтроны. Расчет глубины
выгорания этих изотопов подтвердил предположение о том, что реактор
работал на тепловых нейтронах.
При анализе работы ядерного реактора в Окло возник естественный
вопрос: почему, когда коэффициент эффективного размножения к
для данного месторождения стал больше единицы, реактор не
взорвался в первые же моменты его работы? Ответ состоит в том, что
реакторы подобного типа имеют отрицательный пустотный или паровой
коэффициент реактивности. Это означает, что повышение температуры
реактора, обусловленное выделением энергии в процессе его работы,
снижало эффективный коэффициент размножения до к 5 1.
Последующее постепенное охлаждение реактора вновь поднимало его
значение до к й; 1. В результате таких колебаний происходила постепенная
стабилизация цепного процесса на значении fc « 1 и, следовательно,
стабилизация самого реактора на определенной мощности.
Естественный реактор в Окло интересен не только как
удивительное явление, когда природа из многих вариантов компоновки
делящихся и неделящихся веществ смогла выбрать такой практически
единственный вариант, при котором стала возможна цепная
самоподдерживающаяся реакция. Он интересен и тем, что результаты анализа
его работы имеют значение для физики фундаментальных
взаимодействий и для некоторых других областей естествознания и техники.
Так как реактор работал весьма продолжительное время,
сравнимое со временем существования Земли, анализ его работы за столь
длительный промежуток времени дал возможность получить
уникальную физическую информацию об изменении во времени констант
фундаментальных взаимодействий. Если эти константы менялись со
временем, то это означает, что должен был измениться, в частности, и

ядерный потенциал, удерживающий нуклоны в ядрах и
обеспечивающий устойчивость ядер.
Наблюдение изменения ядерного потенциала удобнее всего
производить с помощью хорошо известного явления - резонансного
поглощения нейтронов в ядрах. Вероятность резонансного
поглощения нейтронов ввиду чрезвычайно сильной зависимости ее от
положения и ширины резонанса будет чувствительным индикатором
положения резонансного уровня и, следовательно, индикатором значения
потенциала, действующего на нуклоны в ядре. Особой
чувствительностью к изменению потенциала обладают нуклиды, у которых
резонанс находится в области энергий тепловых нейтронов, где сечения
поглощения будут самыми большими. Это 113Cd, ls7Gd и т.д.
Серия измерений концентрации образующихся при делении
элементов в пробах из Окло обнаружила ожидавшееся массовое
распределение осколков деления с провалами как раз в тех местах, которые
соответствовали сильным поглотителям. Глубина выгорания этих
поглотителей, рассчитанная с учетом современных значений сечений
поглощения, т.е. фактически с учетом современных значений
фундаментальных констант, согласовалась с экспериментальным значением.
Это позволило сделать вывод о том, что почти за два миллиарда лет,
прошедших со времени начала работы ядерного реактора в Окло,
резонансы в сечениях сместились не более чем на 1\, /2, где Г? -
радиационная ширина. Таким образом, средняя скорость смещения
положения уровней ядер не превышала 3-10-11 эВ/год. Это значение на три
с лишним порядка меньше экспериментального предела на скорость
изменения смещения уровней, полученную другими методами.
Предварительные качественные оценки скорости изменения констант
сильного и электромагнитного взаимодействий, рассчитанные на
основе этих данных, подтвердили отсутствие сильной
асимптотической зависимости констант сильного и электромагнитного
взаимодействия от времени существования Вселенной.
С практической точки зрения реактор представляет интерес для
изучения проблемы захоронения отходов ядерной энергетики. Как
показали исследования, сам реактор оказался хорошим хранилищем
радиоактивных отходов. Миграция тяжелых элементов - Th, U и Ри,
редкоземельных элементов и более легких продуктов деления в
течение почти двух миллиардов лет была крайне мала.

Глава 6. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЯДЕРНОМ РЕАКТОРЕ
До сих пор мы рассматривали нереалистический случай
стационарного реактора, т.е. реактора, для которого эффективный коэффициент
размножения в точности равен 1. Реально обеспечить условие
стационарности для цепной реакции- задача непростая. Существует
множество причин, которые оказывают влияние на протекание цепного
процесса: выгорание ядерного топлива, отравление и зашлаковывание
реактора продуктами деления, всевозможные температурные
эффекты и т.д. Все перечисленные явления выводят систему из
критического состояния: поток нейтронов падает или растет в зависимости от
того, в какую сторону от к = 1 изменяется коэффициент размножения -
уменьшается или увеличивается. Помимо этого, есть и другие важные
режимы работы реактора, когда он находится не в критическом
состоянии, - режим вывода его на мощность или режим снижения
мощности и остановки реактора.
Таким образом, возникает необходимость целенаправленного
удержания системы в определенном состоянии, т.е. управления
цепной реакцией. Обычно эта задача решается с помощью управляющих
стержней, изготавливаемых из материалов, сильно поглощающих
нейтроны (например, из В, Cd и т.д.) и вводимых в активную зону
реактора.
С практической точки зрения для управления кинетикой
реактора важно знать - быстрая она или медленная, т.е. важно знать, как
ведет себя во времени некритический ядерный реактор.
6.1. КИНЕТИКА РЕАКТОРА НА МГНОВЕННЫХ НЕЙТРОНАХ
Обсудим поведение реактора во времени. Примем для простоты,
что все нейтроны являются мгновенными. Будем считать, что
эффективный коэффициент размножения немного отличается от единицы и
fc > 1. Задачу решим приближенно, рассматривая не распределение
плотности нейтронов по реактору р (г), а полное число нейтронов в
реакторе N - § р d V. Интеграл здесь берется по объему реактора. Важ-
V
ной временной константой реактора в данном случае является время
_ жизни нейтронов одного поколения Г, которое, очевидно, равно
среднему времени жизни нейтронов между их рождением и
исчезновением.
Баланс нейтронов в реакторе описывается уравнением
= +fc — . (6.1)

Рис. 6.1. Зависимость скорости нарастания мощности
реактора от коэффициента размножения для
реактора на мгновенных нейтронах
1 к
В правой части этого уравнения первый член описывает поглощение
нейтронов, а второй к — - образование новых нейтронов. Решение
г
уравнения (6.1) очевидно:
= iV0exp(ocf) = iV0exp(Wf0)-
1 Г
Здесь введено обозначение tQ = — = . . (6.2)
a fc-1
Величину t0 называют периодом реактора. Она показывает время, в
течение которого мощность реактора изменяется в е раз. Зависимость
величины а, обратной периоду реактора, от коэффициента
размножения показана на рис. 6.1.
Оценим t0 для типичного уран-графитового реактора. Примем
среднее время жизни нейтронов в графите равным Тс = 10"2 с и
коэффициент использования нейтронов В = 0,9. Предположим, что к = 1,001. Это
очень небольшое отклонение от критичности. В этом случае, используя
(5.10), находим
Г = ГС(1 - В) = Ю-3 с, или t0 = = 1 с,
fc —1
т.е. мощность реактора возрастет в е раз за 1 с. Это очень быстрый
рост, особенно для такого небольшого отклонения от критичности.
Поэтому при периоде t0 = 1 с удерживать реактор в критическом
состоянии было бы очень сложно, если бы на его кинетику не
оказывали влияния запаздывающие нейтроны. Запаздывающие нейтроны
обеспечивают повышенную инерционность системы и делают
управление цепной реакцией технически осуществимым.
N = N0 exp
(Ь-Ц

6.2. КИНЕТИКА РЕАКТОРА С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ НЕЙТРОНОВ
Доля запаздывающих нейтронов среди всех нейтронов деления
очень мала, она составляет всего Р =» 0,7%. Однако роль
запаздывающих нейтронов в управлении цепным процессом деления
исключительно велика. Запаздывание нейтронов во времени означает, что не
все нейтроны, генерируемые при делении, сразу же способны к
дальнейшему размножению. Задержка во времени появления
запаздывающих нейтронов либо уменьшает скорость появления новых
нейтронов, если общее число нейтронов увеличивается, либо уменьшает
скорость поглощения нейтронов, если общее число их уменьшается.
Таким образом, кинетика реактора становится более мягкой по
сравнению с той, которая была бы, если бы нейтроны деления сразу
замедлялись и поглощались. Честь открытия особой роли запаздывающих
нейтронов в кинетике реактора принадлежит А.Я. Зельдовичу и
Ю.Б. Харитону(1941г.).
Обсудим кинетику реактора в приближении двух групп
нейтронов: мгновенных и запаздывающих. Для простоты будем считать, что
при делении образуется не шесть групп запаздывающих нейтронов,
как указывалось в гл. 1, а одна группа, причем общая доля нейтронов
е
этой группы равна (3 = Е р,-, где р,- - доля нейтронов i-й группы. Груп-
1 = 1
пу запаздывающих нейтронов будем характеризовать средним
временем жизни источников запаздывающих нейтронов, т.е. осколков
деления т = (t >, а группу мгновенных нейтронов деления по-прежнему
их средним временем жизни в реакторе Г.
Пусть к - полное количество нейтронов, возникающих на один
захваченный ядром урана нейтрон. Тогда к (1 - Р) - количество
мгновенных, a fcp — количество запаздывающих нейтронов, возникающих
на один акт захвата.
Назовем областью мягкой кинетики или кинетики с
запаздывающими нейтронами такие значения коэффициента размножения fc,
которые заключены в пределах Kfc<l+P, а областью быстрой кинетики
или кинетики на мгновенных нейтронах диапазон к >1+ р. Смысл этих
названий станет ясным позднее.
Идея А.Я. Зельдовича и Ю.Б. Харитона состоит в следующем. Пусть
коэффициент размножения реактора находится в области мягкой
кинетики:
К к < 1 + 0 . (6.3)
Тогда, очевидно, что реактор работать будет, так как fc > 1. В то же
время мгновенного нарастания нейтронов, как в случае, рассмотрен^

ном в § 6.1, не будет, поскольку даже при максимальном значении
коэффициента размножения fcMaKc = 1 + Р доля мгновенных нейтронов
будет меньше 1. Действительно, доля мгновенных нейтронов будет равна
fcMBKc (1 - Р) = (1 + Р) (1 - Р) = (1 - Р2) < 1 ■
Таким образом, при выполнении условия (6.3) реактор будет иметь
медленную кинетику. Заметим, кстати, что современные реакторы
работают при fc < 1,0067.
Обозначим C(t) - число радиоактивных ядер, способных испускать
запаздывающие нейтроны, скорость их распада будет равна 1/т. На
каждый поглощенный в реакторе нейтрон будет возникать fcp таких
радиоактивных осколков. Ограничимся рассмотрением такого
промежутка времени, который меньше всех периодов запаздывающих
нейтронов. В течение этого промежутка времени скорость испускания
запаздывающих нейтронов достаточно неизменна и поэтому уравнения
баланса нейтронов и ядер, испускающих запаздывающие нейтроны,
можно записать в виде
dN fc(l-P)-l С
=—= JV+ — ; (6.4а)
dt Т х у '
dC С Jtp
= + — N. (6.46)
Смысл отдельных слагаемых в этих уравнениях очевиден: С /т,
взятое со знаком плюс, есть скорость появления запаздывающих
нейтронов, а взятое со знаком минус, есть скорость убывания осколков,
fc(l-p)-l
испускающих запаздывающие нейтроны; N - скорость
изменения числа мгновенных нейтронов; N/T - скорость их поглоще-
П1-Р)
ния; N - скорость появления новых мгновенных нейтронов;
— N— скорость появления осколков, способных к испусканию
запаздывающих нейтронов, при делении мгновенными нейтронами.
Найти решение системы уравнений (6.4а) и (6.46) не составляет
труда. Положим N = N0 exp (a t) и С = С0 ехр (а t), где N0,C0 -
произвольные постоянные, а а = \/t0 - величина, обратная периоду реактора, и
подставим их в (6.4а) и (6.46):

N0 [fc(l-P)-l] Co
: z ~No+ — >
Получили систему линейных уравнений, решение которой легко
находится методами линейной алгебры. Условием существования
решений этих уравнений является равенство нулю детерминанта из
коэффициентов при N0 и С„.
В области медленной кинетики, где существенно влияние
запаздывающих нейтроноЕ, систему уравнений (6.4) можно решить
приближенно. Следуя Ферми, введем п=ЛГ/Г- число нейтронов, ежесекундно
поглощаемых реактором, и перепишем уравнения (6.4а) и (6.46):
Т — = [ к (1 - Р) - 1 ] п + — ; (6.5а)
dt х
— =-—+fcPn. (6-56)
dt x
Поскольку Г очень мало по сравнению с т и, следовательно, по
сравнению с периодом реактора t0, в первом приближении членом Г —— в
d t
уравнении (6.5а) можно пренебречь. Тогда
— =[i-jfc(l-p)]„; (6.6а)
т
dC С ,
= + fc Р П . (6.66)
dt т
Это приближение хорошо выполняется в области медленной
кинетики, когда определяющим фактором релаксации является значение т.
Из (6.6а) найдем, что
л = . (6.7)
t[l-fc(l-p)]
Подставляя (6.7) в (6.66), приходим к дифференциальному уравнению
dC С fc-l
dt T l-fc(l-p)

в котором, как нетрудно видеть, и числитель и знаменатель являются
положительными величинами. Это означает, что реактор будет
разгоняться. Время разгона, или период, реактора будет равен:
1 t[l-fc(l-p)]
fc-1
(6.8)
Из (6.7) и (6.8) видно, что период реактора г0 = 1/ос и п будут
положительными величинами лишь при выполнении условия fc(l-p)<I,
или р > (к - l)/fc (и одновременно к > 1).
Оценим скорость разгона реактора на конкретном примере. Пусть,
как и прежде, к = 1,001. Тогда при т = 10 с, р = 7-10~3 время, в течение
которого плотность нейтронов в реакторе увеличится в е раз, будет
равно t0 = 60 с. Напомним, что при том же самом значении
коэффициента размножения кинетика реактора на мгновенных нейтронах была
значительно более быстрая {t0 «lc).
Таким образом, если коэффициент размножения нейтронов в
реакторе находится в пределах l<fc<l+p, получается великолепная
кинетика - медленная, доступная автоматическому регулированию.
Общий вид зависимости скорости нарастания мощности реактора
от коэффициента размножения к показан на рис. 6.2. Указаны области
медленной кинетики, где скорость нарастания мощности определяется
формулой (6.8), и быстрой кинетики, где эта скорость дается
соотношением (6.2). Очень быстрое увеличение мощности реактора наступает
тогда, когда коэффициент размножения превысит 1 на значение
вклада запаздывающих нейтронов, т.е. когда к > 1 + р.
Уравнения кинетики (6.4а) и (6.4б) учитывают одну группу
запаздывающих нейтронов, которая характеризовалась общей их долей р и
средним временем жизни т. В общем случае для описания поведения
реактора во времени нужно учитывать запаздывающие нейтроны всех
шести групп. В этом случае кинетика реактора будет описываться
I /Я
7*-_/3
Рис. 6.2. Зависимость скорости
нарастания мощности реактора от коэффициента
размножения с учетом запаздывающих
нейтронов

системой из семи линейных дифференциальных уравнений, решать
которую хотя и просто, но достаточно утомительно.
Обойдем эту трудность, обобщив результат, полученный для
одной группы запаздывающих нейтронов. Введем понятие
реактивности реактора, под которой будем понимать отношение превышения
коэффициента размножения над 1, приходящееся на один нейтрон,
т.е. величину R-(k- l)/fc. Разгон реактора определяется именно его
реактивностью. Реактивность показывает, каков итог баланса
нейтронов в реакторе за счет всех источников. Если источников несколько,
то общая реактивность равна сумме реактивностей от всех
источников.
Для нахождения реактивности в случае одной группы
запаздывающих нейтронов выразим R из формулы (6.8):
fc-l px
R= —-
fo + *
Общая реактивность для / групп запаздывающих нейтронов будет
равна сумме реактивностей от каждой отдельной группы, т.е.
Э, т{
.•=1 Л+х*
Учитывая реактивность на мгновенных нейтронах, получаем
окончательную формулу для реактивности реактора в целом:
R(t0)a-~+ ^ ■ (6.9)
Соотношение (6.9) является основой кинетики реактора. Оно
позволяет рассчитывать как переходные процессы, так и стационарный
режим реактора. Это соотношение получило название уравнения
обратных часов.
Величина R является функцией периода реактора t0 и обладает
следующими свойствами: имеет полюса при t0 = - Г и при всех t0 = - т,-,
монотонна и всюду уменьшается. При больших t0
/?(*„)■=-1(Г + 1 P,t,).
При заданном значении t0 функция R (t0) является универсальной,
зависящей только от вида ядерного топлива (через Р,).
На рис. 6.3 приведена зависимость R от t0. Если значение R задано,
то i+1 корней toi могут быть найдены непосредственно из графика. При

Рис. 6.3. Зависимость реактивности
отг0
I i
L_J I III
-100-80-60-<Ю-20 0 Z0WS0to,c-
Я > О один корень положителен, а все другие отрицательны.
Отрицательные значения toi определяют переходные процессы в реакторе.
Положительное значение tot - это период, с которым реактор
непрерывным образом переходит в стационарное состояние. Его называют
установившимся периодом. Если R очень мало, то установившийся
период Ts можно приближенно найти из формулы
i = 1
6.3. " ОТРАВЛЕНИЕ- ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА
ПРОДУКТАМИ ДЕЛЕНИЯ
Каждое деление ядра урана или плутония в реакторе
сопровождается образованием, как правило, двух новых ядер, которые называют
продуктами деления. Как известно, наиболее вероятно деление на
осколки с соотношением масс 3:2 (при делении тепловыми
нейтронами), но в спектре масс продуктов деления обнаруживаются атомы с
массовыми числами ядер в очень широких пределах; .А » 90ч-105 и А *
и 130-=- 145. Эти продукты деления называются также первичными.
Кроме них образуются также и вторичные продукты деления, которые
возникают при радиоактивных превращениях первичных продуктов.
Всего обнаруживают около 200 различных продуктов деления.
Продукты деления чрезвычайно разнообразны по своим свойствам:
по числу содержащихся в них нейтронов и протонов, по их
стабильности, периоду полураспада и т.д. Различными для них являются и
сечения захвата нейтронов, причем некоторые из изотопов имеют
огромные сечения захвата тепловых нейтронов. Поглощение
нейтронов теми из них, которые образуются при делении урана и плутония
с довольно большой вероятностью и концентрация которых относи-
i <

тельно быстро достигает равновесного значения, .называют
отравлением реактора. Особенно опасными в этом отношении являются ядра
i35Xe и 149Sm, причем особенно опасно отравление ксеноном,
равновесная ядерная плотность которого значительно больше. Поглощение
нейтронов всеми остальными ядрами называют шлакованием, а сами
ядра- шлаками.
Обсудим отравление реактора. При этом будем рассматривать
только отравление ксеноном, как наиболее опасное для устойчивой и
надежной работы ядерного реактора. Напомним, что изотоп 13SXe имеет
первый резонансный уровень поглощения со следующими основными
параметрами: резонансная энергия 0,084 эВ, сечение радиационного
захвата нейтронов в резонансе 2,97- Ю-18 см2. Заметим, кстати, что
именно ввиду того, что резонансный уровень для этого изотопа
расположен в области столь низких энергий нейтронов, сечение
поглощения тепловых нейтронов имеет такое огромное значение.
Изотоп 13SXe образуется как непосредственно в процессе деления,
так и в результате радиоактивного распада осколка деления 1351 в
цепочке:
R~ R-
i3sSn_ i3ssb j^iasxe-^
т=2,45 с 26 с
«?
i3smXe
22,58 мин
83,5%
_► 13S!—-i3sXe - i3scs —- 135Ва(стаб.)
9,54 ч 13,105 ч 4,76-106лет
Выход 13SXe (т.е. та часть делений урана, которая сопровождается
образованием 13SXe) непосредственно в процессе деления небольшой,
всего QXe ~ 0,003. Основная часть l3sXe образуется в указанной выше
цепочке; здесь выход ксенона будет определяться его
предшественниками. Так как скорости распада всех предшественников ксенона
вплоть до 13STe велики, а сечения поглощения ими тепловых
нейтронов малы, выход изотопа 135Хе будет в основном определяться
выходом l3SI, образующегося при распаде 13sTe. Эксперимент дает, что
выход 135Те при делении 23SU тепловыми нейтронами иТе = 0,06.
Следовательно, Qj = QTe = 0,06.
Из приведенной выше цепочки распадов видно, что часть 135Хе
образуется через метастабильное состояние l3smXe. Поскольку доля
таких переходов относительно невелика, а скорость перехода ядра

ксенона из метастабильного состояния в основное велика по
сравнению со скоростью распада основного состояния, переходом через
состояние 13SmXe можно пренебречь и считать, что весь изотоп 1Э5Хе
образуется сразу при 3-распаде 13SI. Тогда можно полагать, что uXe =
= (Jj, а цепочку образования и распада 13SXe упростить:
I —-—- Хе
т = 9,54 ч 13,Ш ч
Найдем, как будет изменяться со временем ядерная плотность
ксенона в реакторе, т.е. как будет происходить отравление ядерного
реактора ксеноном. Используя упрощенную цепочку образования и
распада ксенона, дифференциальные уравнения, описывающие
изменения ядерных плотностей изотопов 1351 (Щ) и 13SXefiVXe) во
времени, можно записать как
dWi/df-OiGo5^,-*.,^; (6.10)
dN^/Ht-kM-k^Nto-lx? NXe. (6.11)
В правой части (6.10) первое слагаемое учитывает скорость
образования 13SI в процессе деления ядер урана 23SU (Ф - плотность потока
тепловых нейтронов в реакторе; Ns - концентрация изотопа 23SU;
обсечение деления изотопа 23SU; Uj - выход иода на один акт деления),
а второе описывает радиоактивный распад иода (A.j - скорость распада
иода). В правой части уравнения (6.11) первое слагаемое описывает
накопление ксенона за счет распада иода, второе - распад самого
ксенона (А.Хе - скорость распада ксенона), а третье - выгорание 135Хе
, Хе
за счет поглощения им тепловых нейтронов (о - сечение поглощения
нейтронов изотопом 135Хе).
В равновесном состоянии, когда образование изотопа 135Хе компеН'
сируется его исчезновением за счет радиоактивного распада и погло
щения нейтронов, йЩ I dt = 0 и cWXe / dt-Q.B этом случае из уравне
ний (6.10) и (6.11) следует, что зависимость стационарной ядерной плот
ности ксенона в реакторе от плотности потока нейтронов Ф и, следова
тельно, от его мощности будет иметь вид
"*- — - -чг^^г ■ (6Л2)

В (6.12) принято, что Uxe - uI; т..е. полагается, что 13SXe полностью
образуется в цепочке В-распадов. Из (6.12) видно, что в стационарном
режиме образуется тем большее количество ксенона, чем больше
плотность потока нейтронов, т.е. чем больше мощность реактора. В пределе
больших мощностей, когда выполняется условие Ф » Фх = А.х /оХе,
ядерная плотность 135Хе в реакторе на тепловых нейтронах будет
практически постоянной и равной
Nv.-=
UXe°/ Ns 0,06 • 580 • 10-"
'Хе J'5
Ле „Хе 3 - 10-1»
а
Характерное значение плотности потока нейтронов, при которой
содержание ксенона в реакторе приближается к насыщению, можно
найти из условия А.Хе / Ф оХе = Ф / Ф ~ 1 или
18
Ф~ФхввЧв/°" = 2.1-10"5/з-10-
<*0,7-1013нейтр./(см2-с). (
Оценим, как сильно будет меняться реактивность реактора из-за
отравления его ксеноном. С этой целью, используя (4.26), представим
формулу для коэффициента размножения в виде
к =\<q\i , (6.14)1
00 l + p I
где В - введенная ранее величина относительного поглощения. Если1
отравление ксеноном не принимать во внимание, то В определяется:
как В = Ее/Еу, Лс = с3аэ + cv аи - полное макроскопическое сечение
радиационного поглощения; Ъ*= с5о5, - макроскопическое сечение
деления. Символ "з", как и прежде, относится к замедлителю.
Стационарное отравление реактора ксеноном можно учесть, добавив к
относительному поглощению В ту долю поглощений ВХе, которая
обусловлена ксеноном. Последняя, как следует из (6.12), будет равна
Pxe = WV*Xe°f /V^Xe^1 + ФХе/ФЬ
где ЕХе - макроскопическое сечение поглощения нейтронов
ксеноном. Тогда формула для коэффициента использования тепловых
нейтронов с учетом отравления ксеноном примет вид

eXe = i/(i + p + pXe),
а коэффициент размножения нейтронов запишется как
. fc*e = v ф ц / (1 + Э +■ Эхе ) • (6.15)
Исходя из (6.14) и (6.15), изменение реактивности реактора в
стационарном режиме за счет отравления ксеноном можно по определению
найти как
fcXe-fc fcXe
д дХе = __Г Г=р / (1 + р +.р- ) = - р _Л_ . (6.16)
fcM Ле v ф ц
Как видим из (6:16), реактивность реактора при отравлении его
ксеноном уменьшается, причем абсолютное уменьшение ее в
стационарном режиме достигает значения AR « - рХе. При Ф » ФХе
Д R * QXe ~ °'06 •
Полученный результат означает, что для нормальной работы
ядерного реактора требуется изначально создать определенный запас
реактивности, который мог бы перекрыть возможное изменение ее за
счёт отравления реактора радиоактивными продуктами.
Дополнительный Запас реактивности требуется также и для компенсации других
эффектов изменения реактивности - температурных, мощност-
ных и др.
Отравление ксеноном влияет на работу ядерного реактора и при
различных переходных режимах, в частности при остановке реактора
или уменьшении его мощности. После остановки реактора, например,
баланс между исчезновением ядер ксенона и их образованием
нарушается в пользу последнего: прекращается поглощение нейтронов
ксеноном, являвшееся в работающем реакторе основной причиной
исчезновения ксенона. Поэтому с момента остановки количество
ядер ксенона в реакторе начинает расти. Рост продолжается до тех пор,
пока не установится новый баланс между появлением ксенона при
распаде иода и исчезновением его при радиоактивном распаде.
Максимальное значение ядерной плотности ксенона устанавливается через
10-12 ч после остановки. При этом, так как скорость исчезновения
ксенона в работающем реакторе и запас атомов иода, превращающихся
в 134Хе, пропорциональны плотности потока нейтронов [см. третье
слагаемое в правой части (6.11)], то максимальное значение ядерной
плотности ксенона будет тем большим, чем больше была плотность

потока нейтронов в работающем реакторе. Спустя 10-12 ч после
остановки доминирующим фактором в изменении плотности ксенона
становится не распад иода, а радиоактивный распад самого ксенона.
Поэтому при t й; 12 ч количество ксенона в реакторе начинает
уменьшаться, достигая в конце концов скорости, равной скорости
распада ксенона.
Рост ядерной плотности ксенона в ядерном реакторе после его
остановки оказывается существенным только при такой плотности потока
нейтронов, при которых поглощение нейтронов становится
конкурирующим процессом процессу распада ксенона. Как следует из
уравнения (6.11), это условие выполняется, если плотность потока нейтронов
в реакторе больше плотности потока, даваемой формулой (6.13), т.е.
если Фй 101э нейтр./(см2-с). При начальной плотности потока
нейтронов Ф ;S 1013 нейтр./(см2-с) роста концентрации ксенона после
остановки реактора не происходит, так как поглощение нейтронов не играет
заметной роли в балансе накопления и исчезновения ксенона.
Отмеченные особенности зависимости ядерной плотности ксенона от
времени после остановки реактора легко могут быть получены при
решении уравнений (6.10) и (6.11), в которых для остановившегося реактора
следует положить Ф = 0.
Увеличение концентрации ксенона в реакторе сразу же после его
остановки означает, что происходит дополнительное по сравнению
со стационарным режимом уменьшение его реактивности. Уменьшение
реактивности будет зависеть как от плотности потока нейтронов
в работавшем реакторе Ф, так и от времени, прошедшего после
остановки реактора (рис. 6.4). Явление увеличения отрицательной
реактивности вследствие отравления реактора ксеноном при его остановке
получило название йодной ямы. Из рис. 6.4 видно, что при плотностях
потоков нейтронов 5-1013 - 1014 нейтр./(см2-с) глубина йодной ямы в
3-4 раза превосходит стационарное значение концентрации
ксенона, а продолжительность ее, т.е. время, спустя которое концентрация
ксенона вновь становится равной стационарному значению,
достигает 20-40 ч в зависимости от значения плотности потока нейтронов Ф
в реакторе до остановки. Я
0,3
0,2
Рис. 6.4. Зависимость реактивности реактора, обуслов- 0,1
ленной образованием 135Хе от времени после его
остановки при различных значениях стационарного потока "

Таким образом, после непродолжительного выключения
ядерного реактора, который не имеет большого запаса реактивности,
повторный запуск его возможен лишь спустя какое-то время (20-40 ч),
определяемое продолжительностью существования йодной ямы.
Реактор может быть запущен и до того, как йодная яма перестанет
действовать, если при остановке его использовать специальные
режимы вывода его с мощности. Например, если остановку реактора
осуществлять ступенчатым образом - постепенным снижением мощности
и продолжительной работой реактора на пониженной мощности. В
этом случае ксенон, образовавшийся при распаде иода, когда реактор
работал на высокой мощности, будет выгорать в результате
поглощения им нейтронов, когда реактор работает на пониженной мощности.
Запустить реактор до момента окончания действия йодной ямы
можно и не прибегая к специальному режиму вывода его с мощности,
но в таком случае реактор должен иметь довольно большой запас
реактивности. К тому же нужно принимать все меры
предосторожности, чтобы при повторном запуске не произошло неуправляемого
разгона реактора.
Образование ксенона в высокопоточных реакторах может
приводить и к пространственным неустоичивостям, которые называют
ксеноновыми колебаниями. Они возникают в больших реакторах в
том случае, если производится локальное изменение мощности
реактора, тогда как критичность поддерживается единым механизмом
управления реактивностью.
6.4. ВОСПРОИЗВОДСТВО ЯДЕРНОГО ТОПЛИВА
Драматический и поучительный опыт создания ядерных реакторов
показал, что столь малое содержание 23SU в естественном уране не
препятствует практическому осуществлению цепной реакции деления.
Однако экономически более выгодным является использование
обогащенного урана. Именно поэтому в большинстве современных
ядерно-энергетических установок в качестве топлива применяется уран,
обогащенный изотопом 23SU до 3-5%.
В процессе работы ядерного реактора топливо выгорает, т.е.
уменьшается количество вещества, которое способно к делению.
Ясно, что ядерное топливо не может быть израсходовано до конца.
Если его количество станет меньше критической массы, то
цепная реакция прекратится. Поэтому в реакторе допускается неполное
выгорание топлива, т.е. выгорание той его части, которая загружается
сверх критической массы. В результате в тепловых реакторах утили-

эируется только очень небольшая часть урана (около 1-1,5%).
Остальные 99% добываемого урана должны уходить в отвал. Это
обстоятельство чрезвычайно сильно ограничивает ресурсы ядерной энергетики,
если она будет базироваться на тепловых реакторах: оказывается,
что если сжигать только один 23SU, то запасы урана, хотя и велики, но
не безграничны.
Однако природа оказалась щедрой к людям: 238U, который в
тепловых реакторах уходит в отвал и который сам не является ядерным
топливом, может служить тем сырьем, с помощью которого можно
получить новый делящийся нуклид 239Ри. Действительно, в любом
реакторе содержащем уран 238U, определенная часть нейтронов будет
поглощаться этим изотопом. При этом основная доля поглощений
приведет к следующей цепочке последовательных превращений:
238U+n _ 239U + 7 -
239JJ ^ 239Np + р- +^ т = 33,9 мин ;
239Np _ 239pu+p- + ^e) Т=3,39СуТ.
Данную цепочку превращений называют плутониевым циклом.
Он является единственным способом получения 239Ри; в природе
239Ри не встречается. Образовавшийся 239Ри обладает двумя
замечательными свойствами. Во-первых, он, в отличие от своих
предшественников - 239и и 239Np, р-стабилен: в исходном 239U два нейтрона
заменились на два протона, в результате чего соотношение между
количеством протонов и нейтронов в ядре стало более благоприятным
для существования р-стабильного ядра. Правда, 239Ри - ос-радиоакти-
вен: 239Ри -* а + 23SU. Однако скорость его распада настолько мала
(т = 24380 лет), что с практической точки зрения 239Ри можно считать
стабильным. С точки зрения радиационной безопасности стабильность
плутония по отношению к р-распаду является весьма существенным
обстоятельством, упрощающим выделение нового топлива из
отработанного урана. Во-вторых, 239Ри хорошо делится тепловыми
нейтронами. Среднее количество нейтронов деления, возникающих при этом,
выше {\f = 2,86), чем для 23SU {\j = 2,42). Отметим также, что если в
тепловом реакторе 238U был "вреден" с точки зрения резонансного
захвата, уменьшавшего эффективный коэффициент размножения, то
с точки зрения наработки нового ядерного топлива он исключительно
полезен.
Известен также еще один основной топливный цикл, приводящий
к образованию делящегося изотопа 233U из достаточно широко рас-

пространенного в природе изотопа тория 232Th. Это реакции:
232Th + л- 233Th + 7;
2ззТп _»2ззра + р-+-^1 т = 32,0мин;
2ззРа _* 2ззи + р-+^е) т~з9сут;
233U - 229Th + а, т = 2,3 ■ 10s лет.
Таким образом, при работе любого реактора, содержащего 238U
(либо 232Th), в общем случае происходит два противоположно
направленных процесса - выгорание старого и появление нового топлива,
т.е. его воспроизводство. Необходимо иметь в виду, что термин
"воспроизводство", строго говоря, предполагает, что выгорающее и вновь
образующееся топливо одно и то же. Такой случай имеет место,
например, в реакторах, в которых исходным делящимся нуклидом
является 239Ри. Если же первичным нуклидом является 23SU, то в
процессе работы он заменяется на 239Ри. Такой цикл называют
конверсионным. В конверсионном цикле, например, 23SU ■* 239Ри,главная
цель превращения состоит в получении чистого делящегося материала
239Ри, который образуется в природном уране и может быть отделен
обычными химическими методами, в то время как делящийся изотоп
235U, который присутствовал изначально, может быть отделен от
238 U только путем более трудоемкого и дорогостоящего процесса
разделения изотопов.
Количественно воспроизводство топлива характеризуют с помощью
коэффициента конверсии или коэффициента воспроизводства (KB):
Скорость образования нового ядерного топлива
KB = . .
Скорость сгорания топлива
На первый взгляд можно было бы подумать, что коэффициент
воспроизводства можно получить сколь угодно большим: для этого
достаточно поместить в реактор побольше сырья. Однако это неверно!
Как мы уже знаем, количество атомов сырья, которое может
находиться в реакторе, далеко не произвольно, оно строго ограничено
условиями баланса нейтронов в цепной реакции.
Посмотрим, от чего зависит коэффициент воспроизводства. Ясно,
что KB в общем случае определяется соотношением изотопов,
находящихся в активной зоне реактора. Все материалы активной зоны
можно отнести к одной из трех групп:
активное ядерное топливо 23SU, 239Pu и т.д.;
пассивное ядерное топливо или сырьевой изотоп 238U, 232Th;

поглотители нейтронов - замедлитель, теплоноситель,
конструкционные материалы, продукты деления и т.д.
При поглощении одного нейтрона в ядерном топливе будет
возникать v* новых быстрых нейтронов:
v* = . (6.17)
Z с' о'
Сумма берется по всем изотопам, являющимся активным ядерным
топливом, включая вновь образующиеся изотопы топлива. Величина
v*, как нетрудно видеть, будет изменяться в процессе работы
реактора в соответствии с изменением концентраций делящихся веществ.
Как следует из (6.17), значение коэффициента v* для определенного
изотопа зависит от отношения Of к оа, которое, в свою очередь, будет
зависеть от спектра нейтронов в реакторе. На рис. 6.5 приведена
зависимость v* от энергии для изотопов 233U, 23SU, 239Pu, вычисленная
из энергетического хода соответствующих сечений Of и оа. Видно, что
для всех трех изотопов максимальное значение v* достигается на
быстрых нейтронах. Плутоний по сравнению с изотопами урана имеет
наиболее ярко выраженную зависимость v* от энергии и для него же
v* на быстрых нейтронах имеет самое большое значение.
Вторичные быстрые нейтроны имеют определенную вероятность
вызвать деление сырьевого изотопа. В результате количество быстрых
нейтронов увеличится до uv*, где ц - коэффициент размножения на
быстрых нейтронах. Коэффициент размножения сильно зависит от
состава активной зоны и спектра нейтронов в реакторе. Ясно, что
наибольшего значения ц достигает в реакторах на быстрых нейтронах. Для
урана и тория ц меняется в пределах:
U(i< !>35 для урана;
1 «S ц sj 1,1 для тория. v
2,7
2,3
Рнс. 6.5. Зависимость числа вторичных ней-
тронов от энергии нейтронов реактора £ ~ к Т Быстрые
-
-
1 2«и
1 .
1
1
/ 1
г 1
1

Предположим, что активная зона реактора имеет неограниченные
размеры. В этом случае утечкой нейтронов можно пренебречь и
считать, что все образовавшиеся вторичные нейтроны поглощаются в
активной зоне (один нейтрон уходит на поддержание цепной реакции,
Р нейтронов захватывается поглотителями, a KB нейтронов
захватывается сырьем) и дают новое топливо. Тогда уравнение баланса
нейтронов запишется в виде
ц v* = l + p + KB
или i
KB = jiv*-l-p. (6.18)
Коэффициент относительного поглощения нейтронов поглотителями
3, входящий в эту формулу, можно выразить через коэффициент
использования нейтронов В с помощью соотношения, аналогичного
соотношению для теплового реактора, т.е.
Из выражения (6.18) следует, что коэффициент воспроизводства
будет выше для такого реактора, для которого произведение jiv*
максимально, ар- минимально.
Посмотрим, какие значения коэффициента воспроизводства можно
получить на реакторах различного типа. Оценим предельные значения
KB, которые получаются, когда паразитное поглощение отсутствует.
Для теплового реактора можно ожидать:
в урановом цикле
ц ;S 1,15, v* = 2,05 и, следовательно, KB 5 1,3;
в ториевом цикле
ц « 1,05, v* = 2,28, KB < 1,4.
Для реактора на быстрых нейтронах:
в урановом цикле
ц = 1,35, v* = 2,7, KB < 2,6;
в ториевом цикле
ц S 1,1, v* = 2,3-2,4, KB 5 1,6.
Естественно, что в реальных реакторах предельные значения
коэффициента воспроизводства не достигаются. Неустранимое
поглощение нейтронов в теплоносителе, конструкционных материалах,
продуктах деления и замедлителе (если таковой имеется) заметно
снижают его. В тепловых реакторах на урановом цикле KB снижается до
значений 0,5- 0,8, в реакторах на ториевом цикле - до значений поряд-

ка единицы. В реакторах на быстрых нейтронах KB можно получить
заметно превышающим 1(1,2-1,4). Таким образом, из приведенных
оценок можно видеть, что наиболее выгодными для воспроизводства
являются урановый цикл на быстрых нейтронах и ториевый цикл на
тепловых нейтронах.
Оценим количество урана, которое может быть сожжено в
реакторах с учетом воспроизводства нового топлива. Пусть первоначальное
количество топлива в реакторе было равно единице, а коэффициент
воспроизводства KB < 1. Тогда после полного сжигания этого топлива
можно получить KB единиц нового топлива, после сжигания
которого, в свою очередь, получается KB2 вторичного топлива и т.д. Всего
можно сжечь
1 + KB + KB2 + ... + —-— единиц .
1-кв
Если взять KB = 0,7, то ресурсы топлива увеличатся в —-— раз, т.е.
1-0.7
в 3,3 раза. При KB > 1 ряд I KB" расходится. Это означает, что почти
л =о
все сырье может быть израсходовано для целей энергетики.
Если KB > 1, то в каждом цикле сжигания будет произведено нового
топлива больше, чем его было загружено, т.е. имеет место
расширенное воспроизводство топлива. Ядерные реакторы, в которых
осуществляется расширенное воспроизводство ядерного топлива, получили
название реакторов-бридеров или реакторов-размножителей.
Из двух возможных типов реакторов реактор-размножитель на
быстрых нейтронах имеет, как уже указывалось, самый высокий
коэффициент воспроизводства. В этом состоит основное преимущество
этих реакторов. Оно дает возможность не только включить в ядерную
энергетику большую часть (-40%) добываемого природного урана, но
и обеспечить высокие темпы развития ядерной энергетики. В
принципе в энергетику могут быть вовлечены все 100% добываемого урана,
однако при радиохимическом выделении нового горючего из
отработанного урана неизбежны потери. Хотя эти потери в каждом отдельном
цикле выделения невелики, при многократном повторении этой
процедуры они становятся значительными.
Посмотрим, что общего и в чем различие между реакторами на
быстрых и тепловых нейтронах. По своей сущности быстрый реактор,
на первый взгляд, мало чем отличается от теплового: при делении в
быстром реакторе образуются одни и те же продукты деления,
выделяется одна и та же энергия, вылетает приблизительно одинаковое
количество вторичных нейтронов. Единственное, но весьма существен-

Рвд. 6.6. Спектры нейтронов в реакторе на
тепловых нейтронах (а), на быстрых
нейтронах (б), спектр нейтронов деления (в)
10~2 1 10г 10* 10* Е,эВ
ное физическое различие, имеющее серьезные технические
последствия, состоит в том, что спектры нейтронов в быстрых и тепловых
реакторах сильно различаются (рис. 6.6). В тепловых реакторах, как уже
говорилось, ядра урана делятся сильно замедленными нейтронами
(спектр а на рис. 6.6). В реакторах на быстрых нейтронах максимум
энергетического спектра нейтронов приходится на область энергий
порядка сотни килоэлектрон-вольт (спектр б). Смещение спектра
нейтронов быстрого реактора относительно спектра нейтронов деления
(спектр в) обусловлено неупругим рассеянием нейтронов.
Различие в спектрах нейтронов приводит к ряду особенностей,
отличающих быстрые реакторы от тепловых. Эти особенности в
основном следующие.
1. Прежде всего быстрые реакторы имеют критическую массу
значительно большую, чем тепловые. Это объясняется тем, что сечение
деления основных делящихся изотопов в области энергий быстрых
нейтронов на два порядка меньше сечения деления в тепловой
области. Для того чтобы быстрые нейтроны не вылетали без взаимодействия
за пределы реактора и не терялись, малость сечения деления
компенсируется увеличением количества закладываемого топлива с
соответствующим возрастанием критической массы.
2. Наличие жесткого спектра нейтронов приводит к необходимости
больших концентраций топлива в топливных элементах. Высокая
концентрация делящегося вещества, в свою очередь, требует высокого
обогащения по сравнению с тепловыми реакторами. В быстрых
реакторах типичными являются обогащения в пределах 15-40%.
(Напомним, что в тепловых уран-графитовых реакторах используется уран,
обогащенный до 2-5% 23SU. В некоторых тепловых реакторах может
использоваться даже природный уран.) Частично высокая
концентрация топлива вызвана уже упоминавшейся необходимостью иметь
большую критическую массу. Главная же причина состоит в другом.
Для быстрых нейтронов отношение вероятности вызвать деление
атома к вероятности быть захваченным атомом сырья в несколько раз
меньше, чем для тепловых нейтронов. Следовательно, чтобы не
нарушались условия поддержания цепной реакции, содержание топлива

в топливной композиции быстрых реакторов должно быть
соответственно больше, иначе большая часть нейтронов будет поглощаться
атомами сырья, а цепная реакция прекратится.
3. Высокая концентрация Ядерного топлива приводит к
сравнительно небольшим объемам быстрых реакторов. Так, например, реактор
тепловой мощностью Ю3 МВт мог бы иметь объем активной зоны
порядка 1 м3.
4. Малые размеры активной зоны при большой длине пробега
быстрых нейтронов приводят к большим: утечкам нейтронов. Чтобы цикл
воспроизводства нового был более эффективным, отражатель реактора
изготавливают из естественного или обедненного (отработанного)
урана или тория. Отражатель или экран быстрого реактора иногда
называют зоной воспроизводства.
5. Требования съема сравнимой с тепловыми реакторами удельной
мощности (с единицы топлива) приводят к тому, что быстрые
реакторы (при малых габаритах активной зоны и большой критической
массе) имеют большую плотность энерговыделения, превышающую
плотность энерговыделения в тепловых реакторах.
6. Чтобы в реакторе на быстрых нейтронах обеспечить высокую
плотность энерговыделения, необходимо быстро отводить
выделяющееся тепло. Для этой цели такие хорошо освоенные теплоносители,
как обычная вода, оказываются непригодными. Вода сильно
замедляет нейтроны и понижает коэффициент воспроизводства. Для
увеличения скорости отвода тепла в быстрых реакторах в качестве
теплоносителя можно использовать расплавленные металлы, например жидкий
натрий, который слабо замедлчет и слабо поглощает нейтроны.
7. Малое сечение деления на спектре нейтронов быстрых
реакторов обусловливает значительно большую, чем в тепловых системах,
плотность потока нейтронов при одной и той же мощности
[=»1016 нейтр.Дссм2) и более], что сильно превышает потоки, обычно
применяемые в тепловых реакторах. Если быстрый реактор запустить
в импульсном режиме, то плотность потока нейтронов можно
получить еще более высокой.
8. Высокая плотность потока быстрых нейтронов, являющаяся
следствием высокого удельного энерговыделения и малого сечения
деления, приводит к быстрому накоплению смещений атомов и,
следовательно, к повышенным требованиям к радиационной стойкости
материалов.
9. Удельные капитальные затраты на единицу электрической
мощности для быстрых реакторов более чем в 1,5 раза выше из-за
использования в качестве теплоносителя жидкого натрия вместо воды.

Глава 7. ХРОНОЛОГИЯ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ
ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА В СССР*
Дается краткая хронология работ по физике ядерного
реактора в СССР. Основные экспериментальные и теоретические
представления о физике ядерного реактора в основном сложились в 1939-1946 гг.
и увенчаны пуском И.В. Курчатовым 25 декабря 1946 г. первого
советского ядерного реактора. Работы последующих лет даны
выборочно и отражают субъективные пристрастия автора.
Обзор ограничен вопросами макроскопических экспериментов и
теории ядерного реактора. Автор не касался важнейшей проблемы
измерения основных для цепной реакции деления микроскопических
ядерных параметров, таких, как число вторичных нейтронов
деления, сечений в тепловой области энергий, нейтронной спектроскопии
и др., считая себя недостаточно компетентным в этой области. Этот
недостаток хронологии может быть компенсирован соответствующим
обзором, наилучшими авторами которого могли быть В.И. Мостовой и
П.Е. Спивак.
1939 г.
1939 г. - год открытия явления деления тяжелых ядер пополнен
ключевыми работами всего мирового сообщества физиков, дабы дать
соответствующий фон советским работам.
1. 6 января в журнале Naturwissenschaften Ган и Штрассманн
сообщают о наблюдении радиоактивного бария, получающегося в
результате бомбардировки урана нейтронами и открывают, таким образом,
явление деления тяжелых ядер.
2. Мейтнер и Фриш объясняют явление деления конкуренцией
короткодействующих ядерных сил и сил электрического отталкивания
(меньшая энергия связи на нуклон в ядрах конца Периодической
системы по сравнению с ядрами ее середины).
3. Фриш непосредственно измеряет энергию деления по ионизации
осколков. Аналогичные опыты выполнены Ферми с сотрудниками.
4. И.В. Курчатов, Л.В. Мысовский и В.Г. Хлопин развертывают
в Советском Союзе широкое изучение физическими и
радиохимическими методами различных аспектов явления деления тяжелых ядер.
5. Бор объясняет деление урана тепловыми нейтронами делением
редкого изотопа 235U.
6. Г.Н. Флеров и Л.И. Русинов получают первые экспериментальные
подтверждения справедливости гипотезы Бора о делении тепловыми
Хронология составлена И.И. Гуревнчем.

нейтронами только 235U. Окончательное решение вопроса дал Нир в
следующем году, разделивший в микроколичествах изотопы урана.
7. Г.Н. Флеров и Л.И. Русинов одновременно с Жолио, Халбаном
и Коварским (Франция), Ферми и Андерсоном (США) и Сцилардом и
Зинном (США) и независимо от них доказывают наличие вторичных
нейтронов и измеряют их число на один акт деления. Результат
Флерова и Русинова: 3 ± 1. Цепная реакция деления возможна.
8. Роберте, Мейер и Воонг открывают запаздывающие нейтроны
деления.
9. Я.И. Френкель независимо от Бора и Уилера стрэит
электрокапельную теорию деления.
10. Перрен дает простейшую диффузионную теорию критического
размера при делении естественного урана быстрыми нейтронами.
11. Пайерлс получает интегральное уравнение односкоростной
диффузии и решает задачу о критическом размере реактора без
отражателя на быстрых нейтронах для любого значения их мультипликации.
12. Я.Б. Зельдович и Ю.Б. Харитон публикуют первую часть
созданной ими теории цепной ядерной реакции деления. Рассмотрены
условия возникновения цепной реакции деления основного изотопа ура?
на при учете замедления нейтронов при неупругом рассеянии ниже
порога деления 238U. Показана невозможность цепной ядерной
реакции на быстрых нейтронах в естественном уране.
1940 г.
13. 26-27 февраля на сессии Отделения физико-математических
наук АН И.В. Курчатов сделал доклад "О проблеме урана", в котором
рассмотрел физику деления и проблему цепной реакции деления.
Резюме Курчатова: "Цепь реальная и жизненна".
14. Г.Н. Флеров и К.А. Петржак открывают спонтанное деление
урана - новый вид естественной радиоактивности.
15. Я.Б. Зельдович и Ю.Б. Харитон развивают теорию цепной
реакции деления. Основополагающие результаты этой теории следующие:
а) введение резонансного поглощения 238U как одного из
определяющих факторов коэффициентов размножения в системах на
медленных нейтронах и получение уравнения для вероятности избежать
резонансного поглощения в гомогенных системах;
б) формулировка истории одного поколения нейтронов и
получение формулы трех сомножителей для коэффициента размножения
в бесконечной среде уран + замедлитель: fc^ = v (p 8;*
* Сейчас п вместо \.

в) введение самоэкранирования атомов урана и получение
корневого закона зависимости резонансного поглощения от концентрации
урана;
г) вывод о невозможности самоподдерживающейся цепной реакции
в системах естественный уран + легкая вода и вывод о
необходимости использования других замедлителей;
д) создание теории кинетики цепной реакции деления и
доказательство основополагающего факта мягкой кинетики в области
запаздывающих нейтронов - факта, делающего возможным
существование ядерных энергетических установок.
16. 20-26 ноября в Москве проведена V Всесоюзная конференция
по физике атомного ядра, на которой заслушано около 50 докладов,
в большей части которых рассматривалась физика деления и
проблема цепной ядерной реакции. Развернутый анализ в целом был сделан
в докладе И.В. Курчатова.
17. Август - обращение советских ученых во главе с И.В.
Курчатовым в Президиум АН СССР с предложением начать практические
работы по "высвобождению энергии атомного ядра".
1941г.
18. Опубликована работа И.В. Курчатова "Деление тяжелых ядер",
в которой всесторонне проанализированы пути к практическому
осуществлению цепной реакции:
а) выбор замедлителя;
б) обогащение 23SU;
в) образование трансурановых изотопов;
г) цепная реакция на быстрых нейтронах в чистом 23SU.
19. Оценена критическая масса 235U с отражателем в цепной
реакции на быстрых нейтронах (Я.Б. Зельдович, Ю.Б. Харитон и И.И. Гу-
ревич).
1943 г.
20. В феврале организована во главе с И.В. Курчатовым
Лаборатория № 2 АН СССР, в дальнейшем Институт атомной энергии.
21. Под руководством И.В. Курчатова в Советском Союзе заложены
теоретические и экспериментальные основы физики ядерных
реакторов (1943-1946 гг.).
22. И.В. Курчатов в качестве замедлителя нейтронов выбирает
графит и предлагает экспоненциальный опыт.
23. И.В. Курчатов совместно с И.С. Панасюком осуществляет серию
экспоненциальных опытов с чистым графитом и в дальнейшем с уран-
графитовыми сборками, позволяющих определить поглощение тепло-

вых нейтронов в графите - диффузионную длину (выбор технологии
изготовления графитового замедлителя), возраст нейтрона и
коэффициент размножения в уран-графитовой системе (1943-1946 гг.).
24. Я.Б. Зельдович строит независимо от Ферми возрастную теорию
замедления нейтронов.
25. И.И. Гуревич получает закон распространения тепловых
нейтронов в экспоненциальных опытах (измерение диффузионной длины),
а И.Я. Померанчук строит полную теорию экспоненциального опыта с
учетом замедления (определение возраста нейтрона).
26. Летом 1943 г. была выдвинута идея гетерогенного
размещения блоков урана в замедлителе в целях уменьшения резонансного
поглощения и Г.Н. Флеровым и В.А. Давиденковым поставлены
опыты по резонансному поглощению.
27. И.И. Гуревичем и И.Я. Померанчуком построена теория
резонансного поглощения нейтронов в гетерогенных системах. Другой
вариант такой теории был независимо построен Вигнером в США.
Формулы Гуревича и Померанчука существенно отличаются от формул
Вигнера и получили название соответственно поверхностного и
объемного приближения. Последующие эксперименты показали
большую адекватность реальной ситуации теории Г.- П.
28. Г.Н. Флеров указал, что деление 238U быстрыми нейтронами
вызывает добавочное увеличение коэффициента размножения в
блочных системах и ввел понятие коэффициента размножения на быстрых
нейтронах. Формула трех сомножителей Зельдовича и Харитона
переходит в формулу четырех сомножителей: fc^ = v ц <р 8.
1944 г.
29. И.Я. Померанчук вывел формулу для критического размера
реактора в возрастном приближении (формула Ферми - Померанчука).
30. И.И. Гуревич и Я.Б. Зельдович построили односкоростную
диффузионную теорию коэффициента использования тепловых
нейтронов в гетерогенных системах и ввели понятие блок-эффекта первого
и второго рода (внутреннего и внешнего блок-эффектов).
1945 г.
31. И.М. Франк и Е.Д. Фейнберг дополнили теорию Г.-П.
резонансного поглощения в гетерогенных системах рассмотрением падения
потока резонансных нейтронов у поверхности блока (блок-эффект
второго рода).
32. И.М. Франк и Е.Л. Фейнберг усовершенствовали диффузионную
теорию коэффициента использования тепловых нейтронов, рассмотрев

различие в энергии нейтронов первого и последующих прохождений
через блок урана, положив начало науке о термализации нейтронов.
33. М.С. Козодаев, основываясь на идее Зельдовича и Харитона о
значении запаздывающих нейтронов для медленной кинетики
реактора, вывел уравнение обратных часов.
34. B.C. Фурсов и независимо А.Д. Галанин выдвинули и
реализовали идею двухгрупповой модели ядерного реактора, положив
начало многогрупповым теориям (1945-1947 гг.).
1946 г.
35. Под руководством А.И. Алиханова основана Лаборатория № 3
АН СССР - впоследствии Институт теоретической и
экспериментальной физики.
36. И.В. Курчатов, основываясь на своих экспоненциальных опытах
с уран-графитовыми сборками и опытах с подкритическими моделями
реактора, нашел оптимальные параметры уран-графитовой решетки
(дающие максимальный коэффициент размножения).
37. 25 декабря И.В. Курчатов осуществляет цепную ядерную
реакцию в первом советском уран-графитовом реакторе Ф-1, ставшим
также первым на континентах Европы и Азии.
38. Основываясь на идее Ландау рассматривать каждый блок урана
как источник быстрых и сток резонансных и тепловых нейтронов
И.Я. Померанчук и А.И. Ахиезер, A.M. Будкер и А.Б. Мигдал, А.Д.
Галанин, СМ. Фейнберг построили, теорию гетерогенного конечного
реактора (1946-1948 гг.).
39. И.М. Франк и Ф.Л. Шапиро продемонстрировали дальнейшие
возможности предложенных И.В. Курчатовым экспоненциальных
опытов и измерили в опытах с уран-графитовыми призмами значения
резонансного поглощения, коэффициента использования тепловых
нейтронов, число вторичных нейтронов на акт захвата теплового
нейтрона ураном и многие другие важные параметры
уран-графитовых решеток (1946-1950 гг.).
40. Г.Н. Флеров выдвигает идею реактора-размножителя, в котором
нарабатывается ядерное топливо в количестве, большем сгоревшего.
1947 г.
41. И.В. Курчатов, И.Ф. Жежерун, Е.Н. Бабулевич, И.С. Панасюк,
В.А. Кулаков и др. провели выбор оптимальной решетки для первого
промышленного уран-графитового реактора.
42. И.Я. Померанчук и А.Д. Галанин произвели полный расчет
тяжеловодного гетерогенного реактора на естественном уране (1947-
1948 гг.).

43. А.Д. Галанин, Е.Л. Фейнберг, СМ. Фейнберг применяют метод
сферических гармоник для расчета поля тепловых нейтронов в
ячейке, что позволяет дать строгий расчет коэффициента использования
тепловых нейтронов в гетерогенных системах.
1948 г.
44. С.Л. Соболев и независимо А.Л. Брудно находят эффективный
радиус черного цилиндра - основной характеристики органов
регулирования реактора.
45. С.Л. Соболев и B.C. Фурсов получают формулы для определения
утечки нейтронов через пустые трубы. Это первая работа, в которой
учитывается влияние гетерогенности реактора на коэффициент
диффузии и, следовательно, на значение длины миграции.
46. В апреле А.И. Алиханов, В.В. Владимирский и С.Я. Никитин
осуществили пуск тяжеловодного гетерогенного реактора на
естественном уране.
47. А.И. Лейпунский показывает, что реактор на быстрых
нейтронах обладает максимальным коэффициентом воспроизводства
ядерного горючего.
1950 г.
48. Ф.Л. Шапиро количественно рассмотрел влияние доплеровского
уширения на резонансное поглощение в блочных системах.
(Качественные оценки содержались в теории Гуревича-Померанчука).
1953 г.
49. М.Б. Егиазаров, B.C. Дикарев и В.Г. Мадеев проводят
подробное экспериментальное изучение резонансного поглощения в
урановых блоках и получают значительно лучшее согласие с моделью
поверхностного поглощения Гуревича-Померанчука, чем с объемной
моделью объемного поглощения Вигнера и определяют абсолютные
значения резонансных-интегралов. Аналогичные измерения
проводит Н.А. Бугров (1952-1955 гг.).
50. В.В. Орлов строит теорию резонансного поглощения в блоках
урана с учетом рассеяния нейтронов и получает формулы для
резонансных интегралов, содержащие как предельные случаи выражения
Гуревича-Померанчука и Вигнера. Этой работе предшествовала
работа А.П. Рудика (1950-1951 гг.), где, не выходя за рамки теории
Гуревича-Померанчука, учитывалось влияние легких ядер внутри блока
на резонансное поглощение. Эти результаты были первым шагом в
определении резонансного поглощения сложными блоками в виде
кластеров и определении "пустотного коэффициента реактивности".

1956 г.
51. И.В. Курчатов делает в Харвелле (Великобритания) доклад
"Некоторые вопросы развития атомной энергетики в СССР", в котором
обращает особое внимание на перспективу водо-водяных реакторов с
обогащенным ураном и сообщает результаты опытов советских
физиков по изучению легкой воды как замедлителя и опытов с
уран-легководными сборками.
1957 г.
52. Ю.В. Петров и независимо В.В. Орлов (1958 г.) обобщают теорию
резонансного поглощения в гетерогенных системах на случай
тесных решеток урана и находят эффекты, учитывающие взаимную
экранировку блоков.

ЧАСТЬ II
НЕЙТРОННАЯ ОПТИКА
Глава 8. ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕДЛЕННЫХ
НЕЙТРОНОВ С ВЕЩЕСТВОМ
8.1. ЧТО ТАКОЕ НЕЙТРОННАЯ ОПТИКА?
Нейтронная оптика - это раздел нейтронной физики, в котором
изучают взаимодействия нейтронов с веществом или полями,
обусловленные их волновой природой. При этом термин "оптика" используют
потому, что явления, обнаруживаемые при этих взаимодействиях,
аналогичны тем явлениям, которые наблюдаются при взаимодействии
электромагнитного излучения соответствующего спектрального
диапазона. Вследствие этого нейтронная оптика использует те же понятия
и представления (волна, длина волны, волновой вектор, показатель
преломления и т.д.), которые используются и в обычной оптике.
Отличие нейтронной оптики от оптики электромагнитного излучения
заключается, естественно, в различии природы излучения,
взаимодействующего с веществом. Это различие сказывается и в методах,
применяемых в соответствующих исследованиях.
Проявление волновых свойств столь массивными частицами,
каковыми являются нейтроны, т.е. частицы с ярко выраженными
корпускулярными свойствами, является следствием универсальности
свойств материи - корпускулярно-волнового дуализма: любой
движущейся частице с импульсом р соответствует волна деБройля* с
длиной волны
Ь-й/р, (8.1)
где h - постоянная Планка. Отметим, что р как мера количества
движения частицы является ее корпускулярной характеристикой.
Соотношение (8.1) подразумевает, что размеры области пространства, в
Понятие о волне, связанной с частицей, впервые было введено де Бройлем в 1924 г.

которой локализована частица, не могут быть меньшими этой длины
волны.
Для медленных нейтронов длину волны де Бройля удобнее
находить из формулы
fc=J^_10-8 CMj (8.2)
где энергию Е нужно брать в эВ.
Волновые свойства медленных нейтронов обнаруживаются как
в явлениях ядерного, так и атомного масштаба. Примером могут
служить хорошо известные явления резонансного поглощения и
рассеяния нейтронов свободными ядрами. На волновую природу их
указывает избирательная способность к поглощению и рассеянию
нейтронов определенной энергии, а также вероятности поглощения и
рассеяния при этих энергиях, намного превосходящие значения, ожидаемые
из простых геометрических соображений. Однако наиболее ярко вол:
новые свойства медленных нейтронов проявляются в процессах
атомного масштаба, что обусловливается соразмерностью длины
волны нейтрона и размера систем (атомов, молекул, кристаллов), с кото
рыми нейтроны взаимодействуют. Так, например, длина волны
тепловых нейтронов, мощными источниками которых являются ядерные
реакторы, составляет
\(7сГ=0,025эВ) = 1,8-10-8см,
т.е. значение,, сравнимое с характерными расстояниями между
атомами в конденсированном веществе. Поэтому во взаимодействии
таких нейтронов с веществом важна роль коллективных эффектов,
когда атомы вещества могут действовать согласованно, т.е.
когерентным образом. Результатом интерференции когерентно рассеянных
волн может быть целый ряд явлений, аналогичных обычным
оптическим явлениям и получивших название нейтронно-оптических -
преломление нейтронов на границе раздела двух сред, полное внешнее
отражение, зеркальное отражение, дифракция (брэгговское
отражение нейтронов) и т.д. Именно в этих явлениях волновые свойства
нейтронов проявляются наиболее ярко.
Экспериментально наиболее полно прослеживается аналогия между
тепловыми нейтронами и рентгеновским излучением: оба излучения
имеют общие законы дифракции на кристаллах, а в тех явлениях,
которые обусловлены преломлением волн, имеют одинаковые
показатели преломления. Кстати, их длины волн имеют близкие значения.
Между оптикой нейтронов и оптикой электромагнитного
излучения есть и весьма существенные различия. Принципиально различа-

ются, например, явления поляризации нейтронов и света.
Особенностью оптики нейтронов является возможность удержания их в
замкнутой области пространства, например, с помощью системы
специально скомбинированных магнитных полей (так называемых магнитных
бутылок). Аналога этому явлению в оптике электромагнитного
излучения нет.
Различия оптики нейтронов и электромагнитного излучения
обусловлены природой и особенностями элементарных взаимодействий
этих излучений; Низкоэнергетическое электромагнитное излучение
взаимодействует в среде, как известно, только с электронными
оболочками атомов, тогда как взаимодействия нейтронов с веществом
гораздо более разнообразны. Для нейтронов (в силу их нейтральности)
в первую очередь существенно их ядерное взаимодействие с атомами
среды. Нейтроны будут испытывать также магнитное рассеяние,
обусловленное наличием у них магнитного момента. В ряде случаев на
движение нейтронов могут оказывать воздействие гравитационные
поля, а в некоторых совсем исключительных случаях - и слабые
взаимодействия. Такое многообразие элементарных взаимодействий
нейтронов, обнаруживаемое в явлениях, имеющих волновую природу,
делает нейтронную оптику мощным средством исследования
вещества.
Сходство оптики нейтронов и электромагнитного излучения
предполагает и схожесть в описании нейтронно-оптических и
электромагнитных явлений. Именно поэтому некоторые неитронно-оптические
явления традиционно описывают на языке обычной геометрической
оптики. Во всех остальных случаях описание взаимодействия
нейтронов в веществе проще проводить методами квантовой механики,
вводя потенциал взаимодействия и решая задачу об отражении
нейтронов от потенциального барьера. Таким способом целесообразно
находить сами неитронно-оптические постоянные - амплитуды
когерентного и некогерентного рассеяния. Оба подхода, как будет видно
далее, вполне эквивалентны и могут быть сведены друг к другу.
Убеждение, что движение нейтрона нужно описывать волновой
механикой, было высказано почти сразу же после открытия
нейтронов. Тогда же были поставлены первые опыты, подтвердившие
существование волновых характеристик нейтронов. Однако
возникновение нейтронной оптики как самостоятельного раздела
экспериментальной физики следует отнести к концу 40-х годов, т.е. к моменту
создания первых ядерных реакторов, сделавших доступными хорошо
сколлимированные пучки медленных нейтронов большой
интенсивности. Наибольший вклад в развитие нейтронной оптики в эти годы
был сделан Ферми и его школой. В 50-е годы исследования проводи-

лись уже в значительных масштабах. И в настоящее время
нейтронная оптика продолжает бурно развиваться. За последние 25 лет были
заложены основы двух новых перспективных направлений:
нейтронной интерферометрии и оптики ультрахолодных нейтронов (УХН),
т.е. нейтронов, имеющих исключительно низкую кинетическую
энергию: Е 7S Ю-7 эВ. Оба направления уже внесли ощутимый вклад в
изучение свойств самого нейтрона как элементарной частицы.
Заманчивыми выглядят и их перспективы: нейтронные интерферометры
обещают быть весьма чувствительными инструментами для изучения
свойств вещества, а использование УХН открывает возможности
создания уникального прибора - нейтронного микроскопа, который, как
ожидают, позволит получать изображение с модуляцией яркости в
зависимости от химического состава деталей объекта (химический
контраст).
8.2. ЯДЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ. ДЛИНА РАССЕЯНИЯ
Основным процессом взаимодействия медленных нейтронов с
веществом является ядерное (сильное) взаимодействие. Напомним
кратко главные его характеристики. Взаимодействие нейтрона- с
ядром может осуществляться двумя путями: либо нейтрон
взаимодействует непосредственно с силовым полем ядра, либо образует с ядром-
мишенью связанную промежуточную систему, так называемое
составное ядро. При этом конечный результат взаимодействия может
быть самым различным. Возможны упругое (потенциальное и
резонансное) рассеяние, неупругое рассеяние нейтронов, радиационный
захват (испускание электромагнитного излучения), различные
реакции с испусканием заряженных частиц (р, ос и т.д.). В области энергий
медленных нейтронов существенны упругое рассеяние, а также
различные реакции поглощения - радиационный захват, захват
нейтронов некоторыми тяжелыми элементами (233U, 23SU, 239Pu) с
последующим делением и захват нейтронов некоторыми легкими элементами
с испусканием заряженных частиц. В большинстве нейтронно-оптичес-
ких явлений поглощение не очень существенно, поэтому при их
описании следует учитывать в основном только процесс упругого
рассеяния (как потенциального, так и резонансного).
Как будет видно из дальнейшего, для описания рассеяния
медленных нейтронов теория ядерных сил не требуется, т.е. не нужно
знать детального вида ядерного потенциала*. Взаимодействие будет
Физически слабая зависимость характеристик взаимодействия от вида потенциала
является следствием двух обстоятельств: малости размеров области ядерного
взаимодействия (~10-12 см) по сравнению с длиной волны медленного нейтрона (А. S Ю-9 см) и
малости энергии нейтрона по сравнению с эффективным значением потенциала.

полностью определяться либо одним параметром (если ядра атомов
вещества бесспиновые), либо двумя (если ядра атомов вещества
имеют отличный от нуля спин). Эти параметры получили название
длин рассеяния. Понятие длины рассеяния впервые было введено
Ферми, когда он занимался молекулярной физикой. Впоследствии
он перенес это понятие и на нейтроны.
Чтобы понять, как вводится длина рассеяния, напомним простые
следствия квантовой теории столкновений в применении к упругому
рассеянию нейтронов [1]. Будем считать, что рассеяние обусловлено
ядерными силами и что ядра-мишени свободны и до соударения
покоятся. Спин ядер будем полагать равным нулю.
Соударение двух частиц в квантовой механике обычно
рассматривается в системе центра масс сталкивающихся объектов. Это сводит
задачу о столкновении двух частиц к задаче рассеяния одной
частицы на силовом неподвижном центре. Энергия этой' частицы Е равна
энергии относительного движения нейтрона и ядра, а ее масса - при-
тМ .. ,
веденной массе ц = , где М - масса ядра (здесь и всюду далее
т+М
символом т обозначена масса нейтрона). Поскольку обычно
рассматривается случай М » т, то ц - т, т.е. приведенная масса равна
приблизительно массе нейтрона.
При рассеянии на силовом центре падающая плоская нейтронная
волна elfcz(к = 2л/\ = 1Д = \/2тЕ/ h - волновой вектор нейтрона;
направление распространения волны выбрано вдоль оси z)
искажается. Результирующая волновая функция нейтрона на больших
расстояниях от рассеивающего центра будет иметь вид [2]
exp (i fc г)
ф(7, 8) = exp(ifcrcos8)+/(8, к) , (8.3)
г
где В - полярный угол рассеяния. Комплексная функция /(в, к)
называется амплитудой рассеяния. Как видно из (8.3), на больших
расстояниях от рассеивающего центра волновая функция нейтрона
представляет собой суперпозицию падающей плоской и расходящейся
сферической волн. Функция / (Q, к) полностью характеризует процесс
рассеяния. Зависимость ее от параметров рассеяния (угла рассеяния и
волнового вектора) определяется видом потенциала рассеяния, а
сама она, в свою очередь, определяет основную физическую
характеристику процесса рассеяния - дифференциальное сечение рассеяния
в интервал телесного угла d Q = sin В d В d<p, <p - азимутальный угол

рассеяния;
cfo = |/(e,fc)|2cfQ. (8.4)
В фазовой теории рассеяния падающую волну представляют в виде
совокупности парциальных волн, каждая из которых соответствует
определенному моменту количества движения /, т.е. в классическом
смысле определенному прицельному параметру, если падающую
частицу считать точечной. Процесс рассеяния приводит к изменению
характеристик этих парциальных волн. Каждая рассеянная волна,
отвечающая данному значению /, приобретает по отношению к падающей
волне определенный сдвиг фаз бг и для каждой из них характерно
определенное угловое распределение. Амплитуда рассеяния для
сферически-симметричного потенциала дается в виде суммы по /
бесконечного ряда:
f(Q,k)=j^-Z_o(2H-l)(em>-i)Pl{cOSQ), (8.5)
где Pj (cos 8) - полиномы Лежандра. Сдвиг фаз зависит от потенциала
взаимодействия. Напомним, что если нейтроны взаимодействуют с
ядрами только упруго, то бг - действительные величины. Если
нейтроны могут поглощаться ядрами, то б; комплексные величины.
Всюду далее, если не оговорено особо, будем считать 6j действительными,
поскольку для большинства веществ, используемых в нейтронной
оптике, поглощение нейтронов мало и его влиянием на нейтронно-опти-
ческие явления можно пренебречь.
Медленные нейтроны взаимодействуют с ядрами в состояниях,
для которых орбитальный момент количества движения / = 0. Это
утверждение доказывается просто. Если нейтрон считать точечной
частицей, то его прицельный параметр р связан с орбитальным квантовым
числом / соотношением: р р = h У I (l+ 1) или р = X. j 1(1+ 1)' (р -
импульс нейтрона). При соударении нейтрона с ядром прицельный
параметр не может превосходить размеров области действия ядерных сил,
т.е. фактически размеров ядра R: р < R. Следовательно, возможные
значения I ограничены l^R/K. Так как для нейтронов с энергией
Е Й 1 эВ длина волны существенно превосходит размеры даже самых
тяжелых ядер, то отсюда следует, что / = 0. С учетом этого
обстоятельства в сумме (8.5) для медленных нейтронов следует сохранить
только одно слагаемое с / = 0, которое, как видно из (8.4) и (8.5),
соответствует сферически-симметричному вылету нейтронов в системе центра
инерции (СЦИ) реакции, т.е. изотропному рассеянию. Рассеяние, при
/ = 0 называют 5-рассеянием. Амплитуда S-рассеяния от угла 8 не зави-

сит и находится как
/о(вД) = /оСс)=^(еа6°-1| =
е " sin 6 „ 1
= -" = (8.6)
к к ctg б 0 - i к
»
где б0 обозначен сдвиг фазы S-волны, а дифференциальное и полное
сечения рассеяния равны соответственно:
do/dcH/J2; (8.7)
I i sin2 * о 4 я
0 = 4л|/0|2 = 4к — = - . (8.8)
fca fc2(l + ctg260)
Из (8.6), в частности, следует, что если сдвиг фазы б0 мал, то ctgS0
велик, а амплитуда /0 (к) почти действительна, причем
^-^4 Д-|б„1«1- (8-9)
Из общих физических соображений ясно, что при заданном
потенциале взаимодействия сдвиг фазы б 0 будет некоторой функцией
волнового вектора fc падающей частицы, определяющей поведение как
амплитуды /0, так и сечения рассеяния. Теория утверждает, что при
предельно малых значениях волнового вектора б;~ fc + , поэтому в
случае S-рассеяния б0 (к) ~ fc. Учитывая (8.9), можно также заключить,
что для медленных нейтронов должен существовать конечный предел
lim /0 (к) = lim !— =- а . (8.10)
к-о it-o fcctg60
Постоянная а, определяемая этим выражением, имеет размерность
длины и называется длиной рассеяния Ферми. Она является одной из
самых важных физических величин нейтронной оптики, поскольку
ею, как будет видно далее, определяется основная нейтронно-опти-
ческая характеристика среды - показатель преломления нейтронов.
Физический смысл длины рассеяния можно понять из соотношения
(8.9), из которого видно, что амплитуда, а следовательно, и длина рас-

сеяния представляют собой фазовый сдвиг рассеянной волны,
выраженный в единицах длины. Принимая во внимание (8.10), из (8.8)
нетрудно получить простейшую энергетическую зависимость сечения
рассеяния нейтронов низких энергий на бесспиновом ядре:
0 = 4n_i_ = Jj^L. (8.11)
fc2 + l/a2 l + fc2a2
В пределе, когда fc -* 0, (8.11) переходит в простую, но
исключительно важную для медленных нейтронов связь между сечением
рассеяния и длиной рассеяния Ферми:
о = 4ла2. (8.12)
Как видим, сечение упругого рассеяния медленных нейтронов
атомными ядрами, спин которых равен нулю, не зависит от параметров
потенциала взаимодействия между нейтроном и ядром, а
определяется только одной константой - длиной рассеяния Ферми.
Длина рассеяния имеет простой математический смысл. Для
выяснения его рассмотрим решение задачи рассеяния для потенциала
притяжения, область действия которого ограничена размерами R.
Ради простоты будем считать потенциал прямоугольным и сферически-
симметричным. Тогда для чистого S-состояния (I = 0) во внутренней
области г^Д решение не будет зависеть от энергии частицы Е, так как
для медленных частиц Е «: | V \ (для тепловых нейтронов, например,
Е « 0,025 эВ, тогда как модуль ядерного потенциала имеет значение
порядка 30- 40 МэВ). Оно будет иметь вид ф (г) ~ , где и =
2m|v|
—з-— . Снаружи ядра функция г ф (г), соответствующая I = О,
меняется с г как г ф = A sin (fcr +б0), где fc = V2mE/ft2; б0 - по
определению сдвиг фазы S-волны; А - произвольная постоянная. При г = Д
внутреннее и внешнее решения должны плавно переходить друг
в друга.
Распространим внешнее решение на область отрицательных и малых
положительных значений г, введя там функцию v(r)=A sin (кг+ 60).
Эта функция при малых энергиях (к R «: 1, где R - радиус ядра),
представляет собой прямую линию:
v (г) = sin fc г cos б0 + cos fc r sin б0 = fc r cos б0 + sin б0 .
Она пересекает ось г в точке г = - 1 / fc ctg б0 = а. Принимая во внима-

ние (8.10), можно заключить, что длина рассеяния - это положение
первого нуля функции v (г) при значениях к, стремящихся к нулю.
Для большинства ядер значения а положительны и находятся в
пределах от 0,3-Ю-12 до МО-12 см. Исключения составляют ядра 1Н, 7Li,
5SMn, 62Ni, 64Ni, 113Cd, ls2Sm, 162Dy, 186W, для которых длины
рассеяния отрицательны. Такое соотношение между числом
положительных и отрицательных значений а можно понять представив
взаимодействие между нейтронами и ядрами с помощью прямоугольной
потенциальной ямы. Тогда, как можно видеть из рис. 8.1, внутренняя
синусоидальная волна, являющаяся решением задачи рассеяния, будет
достигать края ямы чаще всего (рис. 8.1, б) при таких значениях фаз,
при которых касательная к волне (и, следовательно, к внешнему
решению) будет пересекать ось г при положительных значениях р, т.е.
при а > 0. При этом, так как внутри ядра волна сильно осциллирует,
то а ~ R- В тех редких случаях, когда фаза внутренней волны при
t = R будет соответствовать ее гребню так, как показано на рис. 8.1, а
значения а будут отрицательными.
В самом общем случае длина рассеяния - комплексная величина.
Однако ее мнимая часть, описывающая поглощение нейтронов, в
большинстве случаев пренебрежимо мала. Примером ядра, у которого
длина рассеяния имеет большую мнимую часть, является l57Gd. Это ядро
Рис. 8.1. Пояснение математического смысла длины рассеяния:
а-а< 0; б-а>0

при энергии нейтронов «»0,026 эВ имеет резонанс, сечение в котором
достигает « 10"9 см2, что приводит к значению Im а = Ю-13 см.
При выводе (8.11) и (8.12) ядра-мишени полагались свободными и
спин их равнялся нулю. Для реальных конденсированных сред первое
предположение никогда не имеет места, а второе выполняется только
для части ядер, но, конечно, не для всех. Покажем, как можно
распространить (8.11) и (8.12) на более общий случай.
Учтем сначала связанность ядер, находящихся, например, в
кристаллической решетке (спин ядра по-прежнему будем пока считать
равным нулю). Отвлекаясь от усложнений, обусловленных
интерференционными эффектами, будем считать рассеяние некогерентным.
Связанность ядра в кристаллической решетке приводит к
кинематическому эффекту, увеличивающему длину рассеяния. В этом случае
следует заменить длину рассеяния на свободном ядре на длину
рассеяния на связанном ядре Ъ
А + 1
а-Ь= а (8.13)
А
и соответствующее сечение рассеяния медленных нейтронов о =
= 4ла20с--О) на
о = 4лЬ2. (8.14)
Эффект увеличения длины рассеяния на связанном ядре
обусловлен тем, что ядро-мишень связано в кристалле с бесконечно
большой массой. В результате можно считать, что система центра инерции
сталкивающихся частиц совпадает с лабораторной системой. Переход
(8.13) проще всего обосновать воспользовавшись борновским
приближением. Как известно, амплитуда рассеяния в борновском
приближении пропорциональная приведенной массе сталкивающихся частиц,
которая для рассеяния на свободном ядре равна ц =Д/(1 + А) (А -
массовое число ядра-мишени). При рассеянии на связанном ядре
масса мишени как бы бесконечно возрастает, т.е. ц^ = 1. Следовательно,
и амплитуда (длина) рассеяния на связанном ядре больше, чем на
свободном ядре, в (А + 1) / А раз.
Влияние спина ядра на значение сечения рассеяния можно учесть
следующим образом. Пусть спин ядра отличен от нуля. Тогда
рассеяние нейтронов на ядрах будет характеризоваться не одной длиной,
а двумя. Одна из них а+ соответствует параллельной ориентации
спина нейтрона (sn = 1/2) и ядра J, т.е. полному моменту / = J + 1/2, а другая
а_ соответствует антипараллельной ориентации, т.е. полному моменту
J-I- 1/2. Наличие двух различных длин рассеяния является резуль-

татом спиновой зависимости ядерных сил. Чтобы найти сечение
рассеяния нейтрона на ядре со спином /, надо учесть статистический вес
различных спиновых состояний. Число состояний с моментом Jt =
= / + 1/2 есть 2 Jt + 1 = 2 (/ + 1), с моментом J2 = 2 J2 + 1 = 2/. Полное
число всех спиновых состояний (21 + 1) (2-1/2 + 1) = 2 (21 + 1). Отсюда
вероятность реализации состояния с Jt равна g+ = 2 (I + 1) / 2 (21 + 1), а
состояния с J2g_ = 21/2(21+ 1). Следовательно, полное сечение
рассеяния нейтронов на ядрах со спином / определяется как
' 4 л [ а\ + а2 .
2/ + 1 2/ + 1 "/
8.3. МАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЯДЕРНОГО И МАГНИТНОГО РАССЕЯНИЙ
Нейтрон - электрически нейтральная частица, однако, несмотря на
отсутствие электрического заряда, при прохождении его через
вещество помимо ядерного взаимодействия имеют место взаимодействия
электромагнитной природы. Они обусловлены наличием у нейтрона
"аномального" магнитного момента
Ц = V ЦБ = - 1,913 ЦБ = 6 • 10" 3 нэВ/Гс
(цБ = еЛ/2гпс- ядерный магнетон Бора).
Впервые на возможность наблюдения электромагнитных
взаимодействий нейтрона указал в 1936 г. Блох. Допуская существование
магнитного момента у нейтрона (этот факт в то время еще не был
доказан экспериментально), Блох предположил, что при пропускании
пучка нейтронов через намагниченный до насыщения ферромагнетик на
выходе из образца будут наблюдаться различные интенсивности
компонент пучка, имеющих разную ориентацию спина нейтрона
относительно направления намагничивания! Эта гипотеза впоследствии
послужила основой одного из методов~получения пучков
поляризованных нейтронов.
Учитывая структуру вещества, можно указать следующие
возможные процессы взаимодействия нейтронов с веществом^ имеющие
электромагнитную природу:
взаимодействие магнитного момента нейтрона с магнитным
моментом электронной оболочки атома (далее процесс рассеяния нейтронов
за счет этого взаимодействия будем называть магнитным рассеянием);
взаимодействие магнитных моментов нейтрона и ядра;

спин-орбитальное взаимодействие, вызванное движением
магнитного момента нейтрона в кулоновском поле ядра, так называемое
швингеровское рассеяние (в классическом смысле на нейтрон в си
стеме, где он покоится, действует неоднородное магнитное поле
, где Е - электрическое поле ядра, v - скорость найтрона);
с
специфические процессы взаимодействия нейтронов с веществом,
обусловленные свойствами нейтрона как элементарной частицы, т.е.
возможным наличием у нейтрона электрического дипольного
момента, поляризуемости и др.
Принимая во внимание характеристики нейтрона, ядер и атомов,
можно показать, что в области энергий медленных нейтронов самым
существенным из всех возможных процессов электромагнитного
взаимодействия нейтронов является магнитное рассеяние. Так,
взаимодействие магнитных моментов нейтрона и ядер подавлено по сравнению
с взаимодействием магнитных моментов нейтронов и электронной
оболочки приблизительно в Л/Б/цБ« Ю3 раз (Л/Б = 5,8 нэВ/Гс -
электронный магнетон Бора). Более слабые по силе электромагнитные
взаимодействия нейтронов (швингеровское и т.д.) обнаруживаются в спе
циально поставленных опытах.
Теория электромагнитных процессов хорошо разработана, поэтому
вероятности (сечения) перечисленных выше процессов
электромагнитного взаимодействия нейтронов нетрудно рассчитывать. Для
магнитного рассеяния неполяризованных нейтронов на ненамагниченных
атомах со спином S сечения рассеяния имеют вид, напоминающий
формулу Томсона для рассеяния излучения на изолированных
атомах [3]:
^=-^(yr0)2S(S + l)P(q), (8.15)
где у = -1,913; г0 = е2/тес2 = 2,9-Ю-13 см - классический радиус
электрона*; P(q) - так называемый магнитный атомный формфактор,
характеризующий пространственное распределение магнитного
момента в электронном облаке атома. Атомный магнитный формфактор в
случае магнитного рассеяния аналогичен атомному формфактору в
случае рассеяния электронов и рентгеновского излучения. Атомный
магнитный формфактор является функцией импульса, переданного
* Под классическим радиусом электрона понимают расстояние, на котором его куло-
новская энергия сравнивается с энергией покоя.

нейтроном атому, т.е. функцией q = k0 - к (k0 и к - волновые векторы
падающего и рассеянного нейтронов). Для рассеяния нейтронов строго
вперед, а в случае достаточно медленных нейтронов (с X й 10~7 см)
для рассеяния на любой угол магнитный формфактор равен 1 и
дифференциальное сечение магнитного рассеяния принимает вид [4]
^=f (Vr0)2SrS + l). (8.16)
Соотношения (8.15) и (8.16) называют сечением ларамагнитного
рассеяния, поскольку эти формулы описывают не только рассеяние
неполяризованных нейтронов на ненамагниченных атомах, но также и
на парамагнетиках. В парамагнетиках спины отдельных атомов
ориентированы хаотически, поэтому атомы парамагнетика с точки зрения
магнитного рассеяния могут рассматриваться как индивидуальные
рассеиватели.
Полное сечение магнитного рассеяния медленных нейтронов
(к 55 10" 7 см)
0 = Т (Vo)2S(S+1) = 1,26S(S + 1)10-24cm2. (8.17)
Нейтрон, движущийся в среде и взаимодействующий с каким-либо
отдельным ее атомом, испытывает как магнитное, так и ядерное
рассеяние одновременно. Это подразумевает существование
интерференции между магнитным и ядерным рассеяниями, причем если учесть
значения сечений каждого из процессов, то из (8.14) и (8.17) можно
заключить, что эффект интерференции может быть достаточно большим.
Амплитуду рассеяния нейтрона на отдельном ядре следует поэтому
представлять в виде
Я-Ь±|/т|, (8.18)
где Ъ - длина рассеяния Ферми на связанном ядре, т.е. с точностью
до обратного знака - амплитуда ядерного рассеяния; fm - амплитуда
магнитного рассеяния. Два знака перед амплитудой магнитного
рассеяния в (8.18) соответствуют двум возможным ориентациям спина
нейтрона s и момента количества движения атома S: параллельной и
антипараллельной.
Дифференциальное сечение рассеяния на атоме с учетом (8.18)
будет иметь вид da/dQ = \b±\ fm\ |2 = Ь2 +Рщ± 2b\fJ, где Ь2 и /^
описывают соответственно чисто ядерное и чисто магнитное рассея-

ния, а слагаемое ± 2b|/m| - интерференцию между ними. Как видим,
сечения рассеяния нейтронов на атоме для различных возможных
ориентации спинов нейтрона и атома различаются, причем сечение
рассеяния для одной ориентации отличается от сечения рассеяния
для другой ориентации на величину 4b fm.
Реально эффект интерференции будет наблюдаться не всегда. Пусть,
например, пучок нейтронов не поляризован, а среда не намагничена.
Тогда половина столкновений нейтронов с атомами будет происходить
в состоянии, когда спин нейтрона ориентирован вдоль направления
намагничивания атома, а половина столкновений будет в состоянии,
когда спин нейтрона противоположен направлению намагничивания
атома. Для определенности будем считать, что первым из них в (8.18)
соответствует знак плюс, т.е.
do/dQ. = b2+f2m + 2b\fm\,
а вторым соответствует знак минус, т.е.
do/dQ = b*+Pm-2b\fm\.
Экспериментально измеряемое сечение является результатом
усреднения по столкновениям с взаимно параллельной и взаимно
антипараллельной ориентациями спинов s„ и S. Учитывая их
равновероятность, получаем
da 1 da l da
_ = _ + — =b2+/2
<Ш 2 dQt 2 dQ_ m
т.е. в случае неполяризованного пучка и ненамагниченной мишени
имеет место простое сложение интенсивностей, а эффект
интерференции между ядерным и магнитным рассеяниями не проявляется.
Аналогичный результат получится и в том случае, когда пучок
нейтронов поляризован, но атомы не намагничены.
Эффект интерференции ядерного и магнитного рассеяния
нейтронов можно обнаружить, пропуская пучок неполяризованных
нейтронов через намагниченный образец. В этом случае нейтроны со спином
вдоль направления намагничивания будут рассеиваться сильнее, т.е.
будут выбывать из пучка [этим нейтронам в (8.18) соответствует знак
плюс], в то время как нейтроны со спином против направления
намагничивания рассеиваются слабее, т.е. в меньшей степени подвержены
выбыванию из пучка [этим нейтронам в (8.18) соответствует знак
минус]. В результате пучок, прошедший образец, будет обогащен
нейтронами со спином, противоположным направлению намагничивания,

т.е. он будет поляризован. (Подробнее о получении поляризованных
нейтронов пропусканием их через намагниченные образцы см. в
§11.1).
8.4. КОГЕРЕНТНОЕ И НЕКОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ
Как уже отмечалось, медленные нейтроны имеют длину волны,
сравнимую с межатомными рассеяниями в конденсированной среде
(жидкости или твердом теле) или даже существенно превосходящую
их, если энергия нейтрона достаточно мала. Это означает, что
двигаясь в среде, медленные нейтроны будут взаимодействовать уже не с
отдельными атомами, а сразу с целой группой. При этом, говоря о
рассеянии нейтронов (как упругом, так и неупругом), следует иметь в
виду, что оно может происходить двояким образом.* В одном случае
все атомы группы будут действовать на нейтрон каждый сам по себе,
т.е. как набор отдельных центров, рассеивающих нейтроны
независимо друг от друга. Такое рассеяние нейтронов называют
некогерентным. В другом случае все атомы группы будут действовать на
нейтроны согласованно, т.е. как единый ансамбль. Это рассеяние называют
когерентным. Подобное определение когерентности и
некогерентности рассеяния используют и в обычной оптике, в которой
когерентным называют такое рассеяние, при котором соблюдается
постоянство фазовых соотношений между волнами от различных
рассеивающих центров. Некргерентным рассеянием волн называют такое,
которое приводит к нерегулярным, хаотическим сдвигам фаз. Ясно, что
Всюду далее под рассеянием нейтронов в веществе мы будем понимать, если не
будет оговариваться особо, только упругое рассеяние. Заметим, кстати, что упругое и
неупругое рассеяния нейтронов связанными и свободными ядрами принципиально
различаются. При упругом рассеянии нейтронов свободными ядрами внутреннее состояние ядра
не меняется и энергия рассеиваемых нейтронов может изменяться в зависимости от
соотношения между энергиями сталкивающихся частиц и в зависимости от угла рассеяния.
Упругое рассеяние нейтронов атомами, связанными в веществе, не меняет внутреннего
состояния рассеиватепя, каковым является группа атомов. Так как рассеиватель имеет
практически неограниченную массу, то энергия рассеиваемых нейтронов в результате
взаимодействия не изменяется. Такое упругое рассеяние называют также абсолютно
упругим. При абсолютно упругом рассеянии происходит только передача импульса, но не
происходит передачи энергии.
Под неупругим рассеянием нейтронов свободными ядрами понимают такие
взаимодействия, которые сопровождаются изменением внутреннего состояния ядра. Масштаб
изменения энергии рассеиваемых частиц ДВ определяется в этом случае энергией
возбуждения ядер: Д Е ~ VJ Й 100 кэВ. При неупругом рассеянии нейтронов атомами, связанными в
веществе, изменяется внутреннее состояние рассеивателя как ансамбля атомов. Масштаб
изменения энергии рассеиваемых нейтронов в этом случае определяется энергией
возбуждения молекул ипи энергией коллективных возбуждений в твердом теле: Д Е Й доли эВ.

согласованное действие атомов на нейтроны будет также приводить
к постоянству фазовых соотношений, т.е. одинаковости сдвигов фаз
нейтронных волн и, следовательно, одинаковости амплитуд
рассеяния, а несогласованное действие атомов на нейтроны будет приводить
к случайным сдвигам фаз, к различию амплитуд рассеяния и,
следовательно, к некогерентности рассеяния.
Вследствие этого сечение рассеяния нейтронов веществом должно
представляться в виде суммы двух слагаемых - когерентного оког и
некогерентного онеког:
0 = °ког + °неког ■
Поскольку при некогерентном рассеянии рассеивающие центры
действуют независимо, сечение некогерентного рассеяния будет
определяться арифметической суммой сечений рассеяния на каждом
отдельном центре ансамбля, т.е.
N
°неког~ 2 КК
1=1
где N - число рассеивающих центров в ансамбле; Ь{ - амплитуда
рассеяния нейтронной волны на отдельном /-м рассеивающем центре.
Если полагать сечения рассеяния для всех рассеивающих центров
одинаковыми, т.е. | b,|2 = const - Oj, то
N
1= i
При когерентном рассеянии сдвиги фаз рассеянных атомами волн
одинаковы. В результате образуется единая волна, которую можно
рассматривать как волну, рассеянную коллективом атомов как
целым. Амплитуда этой волны А равняется сумме амплитуд волн от
N
отдельных центров, т.е. А = Е bit а квадрат амплитуды А2 определя-
i = i
ет когерентную составляющую сечения рассеяния
о ~ z ьА2.
ког I 1=1 'I
Считая амплитуды рассеяния нейтронных волн отдельными
центрами равными, а сдвиг фаз рассеянных волн одинаковым для всех
атомов, получаем
°кОГ~ |^Ь,|2=ЛР|Ь,.|2-ЛР01
Как видно из полученных выражений, существенное различие
между когерентным и некогерентным рассеяниями состоит в том, что

сечение некогерентного рассеяния пропорционально числу
рассеивающих центров, а сечение когерентного рассеяния пропорционально
квадрату числа рассеивающих центров. Заметим при этом, что при
когерентном рассеянии нельзя принципиально указать, на каком именно
центре ансамбля происходит рассеяние. При некогерентном
рассеянии, когда рассеивающие центры действуют порознь, независимо
друг от друга, центр рассеяния в принципе может быть указан.
Другое важное отличие когерентного от некогерентного
рассеяния состоит в их различной зависимости от угла рассеяния. Сечение
некогерентного рассеяния медленных нейтронов практически не
зависит от угла рассеяния, так как изотропия, характерная для
рассеяния медленного нейтрона на отдельно взятом центре рассеяния (см.
§ 8.2), должна иметь место и для совокупности независимо
действующих центров. Для когерентного рассеяния характерна очень резкая
зависимость сечения от угла рассеяния, что является следствием
интерференции падающей и рассеянных нейтронных волн,
распространяющихся в среде.
Можно указать два типа явлений, обусловленных
интерференцией когерентно рассеянных волн: явления, которые возникают
от интерференции волн, распространяющихся в направлении
первичного пучка, и явления, которые возникают от интерференции
волн, распространяющихся под некоторым углом к первичной волне.
Эти явления и получили название нейтронно-оптических.
К явлениям первого типа относятся преломление и полное
отражение нейтронных волн, аналогичные преломлению и полному
внутреннему отражению в обычной оптике. Для этих явлений
характерны два вида интерференции: интерференция падающей нейтронной
волны и волн, рассеянных в направлении вперед (под углом 0°) на
каждом из рассеивающих центров, и интерференция волн, рассеянных
вперед, от различных рассеивающих центров. В результате
интерференции при прохождении нейтронной волны через вещество
изменяется ее волновой вектор. Возможность возникновения когерентных
эффектов в этом случае может быть результатом одинаковости амплитуд
рассеяния нейтронов ядрами в направлении вперед, т.е. одинаковости
соответствующих сдвигов фаз нейтронных волн.
К явлениям второго типа относится дифракция нейтронов (брэг-
говское отражение). Нейтронные волны, когерентно рассеянные
атомами в различных направлениях, интерферируют друг с другом,
усиливаясь в направлении, под некоторым углом к направлению
первичного пучка. Возможность возникновения когерентных эффектов в
этом случае может быть результатом одинаковости амплитуд
рассеяния и упорядоченности в расположении атомов рассеивателя.

При рассеянии нейтронов на коллективе атомов возможны
различные причины возникновения некогерентности. Рассмотрим причины
некогерентности, возникающей за счет ядерного рассеяния нейтронов,
отвлекаясь ради простоты от магнитного рассеяния, которое может
быть как когерентным, так и некогерентным. В этом случае можно
указать несколько различных типов некогерентности; некоторые из
них свойственны также свету и рентгеновскому излучению, другие
не свойственны им. Примером некогерентности, присущей как
нейтронам, так и рентгеновскому излучению, является известное диффузное
рассеяние, обусловленное тепловыми колебаниями атомов в узлах
кристаллической решетки.
Однако есть два типа некогерентности, свойственные только
нейтронам. Один из них - изотопическая некогерентность - вызван
тем, что даже простое вещество, состоящее из атомов только одного
химического элемента, содержит различные изотопы этого элемента.
Амплитуда же рассеяния нейтронов на ядрах разных изотопов
различна (см. приложение 4J. Хаотическое распределение изотопов по
положениям в рассеивателе служит причиной отклонения от
упорядоченности и тем самым приводит к некогерентному рассеянию. Другой тип
некогерентности - спиновая некогерентность. Природа ее - спиновая
зависимость ядерных сил. Происхождение спиновой некогерентности
двоякое. Во-первых, она связана с хаотичностью ориентации спинов
ядер рассеивающего образца (если образец неполяризован) или с
хаотичностью ориентации спинов нейтронов (если пучок нейтронов
неполяризован). В этом отношении спиновая некогерентность
аналогична изотопической. Во-вторых, спиновая некогерентность может
быть обусловлена переопрокидыванием спина нейтрона при рассеянии
и, следовательно, в силу закона сохранения момента количества
движения, переориентацией спина ядра. В этом случае можно в принципе
указать то ядро, которое привело к нарушениям коллективного
порядка в рассеянии нейтронов. Когда нейтроны поляризованы и ядра
намагничены, спиновая некогерентность может быть связана только с
переопрокидыванием спина.
В заключение отметим, что понятие некогерентности,
используемое в нейтронной оптике, не вполне согласуется с определением
некогерентности, даваемым квантовой механикой. В квантовой
механике некогерентным рассеянием называют такое, при котором меняется
квантовое состояние рассеивающего центра. Под это определение не
подходит, например, изотопическое некогерентное рассеяние, так как
оно совсем не связано с изменением внутреннего состояния рассеива-
теля. В то же время в нейтронной оптике неупругость рассеяния не

исключает его когерентности: возможно рассеяние, при котором
внутреннее состояние рассеивателя изменится, а рассеяние при этом будет
когерентным. Однако.отмеченные противоречия не принципиальные,
они лишь отражают специфику рассеяния медленных нейтронов.
8.5. КОГЕРЕНТНАЯ И НЕКОГЕРЕНТНАЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
Когерентное и некогерентное ядерное рассеяние нейтронов можно
характеризовать соответственно когерентной и некогерентной
амплитудами рассеяния. Соответствующие части сечения рассеяния
определяются ими как
о = 4 л Ь2 ; а = 4л Ь2 ,
ког ког' неког неког '
где Ьког и Ь находятся из соотношений
Ьког = (Ь>; (8.19а)
Ьнеког = (<Ь2>-<Ь>2)1/2- (8Л96)
Символ (>в (8.19) обозначает усреднение по спиновым состояниям
нейтрона и ядра и, кроме того, по всем изотопам данного химического
элемента.
Чтобы доказать правильность соотношений (8.19), вспомним, что
в соответствии с (8.9) и (8.10) длина ядерного рассеяния медленных
нейтронов определяется фазовым сдвигом рассеянной волны. Ясно
поэтому, что если фазовые сдвиги рассеянных в среде волн совершенно
беспорядочны, то средний фазовый сдвиг и, следовательно, средняя
длина рассеяния будут равны нулю, а когерентное рассеяние будет
отсутствовать. Если же рассеяние будет определенным образом
упорядочено, то средний фазовый сдвиг будет отличен от нуля, а средний
фазовый сдвиг (и средняя длина рассеяния) будут характеризовать
когерентную часть рассеяния: Ъ = ( Ь >. Некогерентная
составляющая сечения связана с неупорядоченностью фазовых сдвигов
(амплитуд). В качестве меры неупорядоченности естественно взять среднее
квадратичное отклонение амплитуд рассеяния на отдельных центрах
относительно их среднего значения, т.е. определить Ьнеког как (8.196).
Допустим, что некогерентность рассеяния обусловлена только
возможностью реализации различных спиновых состояний нейтрона
и ядра. Тогда усреднение по спинам делается легко (аналогичным
образом проводилось усреднение по спинам в § 8.2 при выводе
формулы для сечения рассеяния нейтронов на изолированном ядре с отлич-

ным от нуля спином J):
где Ь+ и Ь_ - длины рассеяния Ферми, отвечающие состояниям с
параллельной и антипараллельной ориентацией спинов нейтрона и ядра
/+l I
соответственно: е. = : в = . Так как по определению
+ 2/+1 2/+1
( Ъ2 ) = g+b2 + g_ Ы, то
Ьнеког= J(b*)-(b)2' - J(b+-b_)*g+g_. (8.21)
Соотношения (8.20) и (8.21) можно получить и для случая рассеяния
нейтронов на отдельных свободных ядрах. Преобразуем полученное
ранее выражение для сечения рассеяния на изолированном ядре
о = 4л&+а2 + £_а2.), (8.22)
воспользовавшись легко проверяемыми тождествами
/(1+1) /ff+1)
g+ а\ = fe+ a+)2 + ——- a2;g_ at = (g. a.)2 + a? .
2i + l 2/+1
Добавляя и вычитая к (8.22) слагаемое 2g+ g_ o+ o_, можно представить
его в виде о = 4л [(g+ a+ + g_ o_)2 +g+g_ (o+ - a_)2] или 0=4^(0^ +
+ анекоЛ где аког и анеког имеют вид, аналогичный Ьког и Ьнеког [см.
(8.20) и (8.21)], и представляют собой соответственно когерентную и
некогерентную амплитуды для отдельного ядра.
Таким образом, разделение рассеяния медленных, нейтронов на
когерентную и некогерентную составляющие возможно не только для
коллектива ядер, но и для отдельного ядра. Такое разделение есть
результат интерференции падающей и рассеянной нейтронных волн.
Когерентная часть рассеяния в этом случае обусловлена постоянством
фазовых соотношений между падающей и рассеянной волнами для
совокупности рассеивающих актов; произошедших на отдельных ядрах.
Некогерентная составляющая рассеяния обусловлена хаотическим
чередованием актов рассеяния, имеющих различную взаимную
ориентацию спинов нейтрона и ядра.
Длины рассеяния Ь+ и Ъ_ имеют фундаментальное значение в
физике малонуклонных систем. С их помощью исследуются
характеристики потенциалов нуклон-нуклонных взаимодействий и проверяются
теории малонуклонных систем. На опыте измеряются, как известно,
полное сечение 0=оког+о11еког= 4л (g+ b2 +g_ b2.), длина когерентного

рассеяния Ьког =g+ b+ + g_ Ъ_ (например, с помощью гравитационного
рефрактометра, - см. § 9.3) и некогерентное сечение онеког = 4л Ь*
= 4л£+ g_ (b+ - Ь_)2 (пропусканием через поликристаллические
образцы нейтронов, имеющих энергию, меньшую энергии брегговского
скачка, - см. § 10.6). Из этих трех соотношений лишь два являются
независимыми. Так как сечения квадратично зависят от длины
рассеяния, то любой паре независимых уравнений удовлетворяют два
набора длин. Выбор между ними делают обычно с помощью
поляризационного эксперимента. Напомним, что такими экспериментами при
исследовании пр-рассеяния были опыты с орто- и пароводородом;
ГлаваЭ. ПРЕЛОМЛЕНИЕ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН
9.1. ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Преломление нейтронных волн аналогично известному явлению
преломления в световой оптике. Суть его состоит в том, что при
распространении нейтронов в веществе за счет их рассеяния атомами
внутри вещества возникает сложная волновая картина. Падающая и
рассеянные волны, интерферируя друг с другом, образуют
результирующую волну, которая, так же как и первичная волна, может быть с
хорошей точностью описана плоской волной, но с измененным
волновым вектором.
Возможны два подхода к описанию преломления нейтронов.
В первом подходе, который называют чисто оптическим, вводят
понятие показателя преломления п, а распространение нейтронной
волны в среде описывают по аналогии с преломлением света. Так,
например, задачу об отражении нейтронов от поверхности раздела вакуум -
среда решают по аналогии с задачей Френеля об отражении света,
пользуясь граничными условиями для волн и находя амплитуды и
фазы отраженной и преломленной волн. (Решение этой задачи дано,
например, в § 9.4.)
В другом подходе особенности взаимодействия медленных
нейтронов со средой описывают с помощью так называемого
эффективного (или оптического) потенциала U, действующего на нейтроны в
среде. В этом случае решается квантово-механическая задача об
отражении нейтронной волны от потенциального барьера и вычисляются
коэффициенты отражения и поглощения волн. Потенциал U играет
роль работы выхода, т.е. энергии, которую нужно сообщить нейтрону

для того, чтобы он мог покинуть среду. Оба способа описания
взаимодействий медленных нейтронов полностью эквивалентны.
Введем понятие показателя преломления для нейтронов. В
световой оптике, как известно, для объяснения явления преломления
пользуются волновым представлением, и показатель преломления
определяют через отношение фазовых скоростей в пустоте и среде.
Нейтронам, которые рассматриваются как волны де Бройля, нельзя
приписать определенную фазовую скорость, поэтому при описании
их преломления обычно пользуются групповой скоростью (которая
равна механической скорости частицы) и длиной волны, т.е.
величинами, имеющими более ясный смысл.
Преломление нейтронов можно рассмотреть классически и получить
закон, аналогичный закону преломления для света. Пусть из пустоты
на поверхность среды под углом скольжения к поверхности 8 со
скоростью v0 падают нейтроны (рис. 9.1). Двигаясь в среде, нейтроны
испытывают действие потенциала, что приводит к отклонению их от
первоначального направления. Это отклонение будет направлено в
сторону нормали к поверхности раздела сред, если скорость частицы в
среде v превосходит скорость движения ее в пустоте, или в сторону
от нормали к поверхности в противоположном случае (именно этот
случай изображен на рис. 9.1). При переходе из одной среды в другую
продольная (вдоль оси х) составляющая скорости частицы не
изменяется, так как силы, действующие на нейтроны со стороны среды в
продольном направлении, взаимно уравновешиваются. Изменению
подвержена только поперечная составляющая скорости, которая для
потенциала отталкивания (U > 0) уменьшается, а для потенциала
притяжения и< 0, наоборот, увеличивается. Непосредственно изри»;. 9.1
можно получить закон преломления нейтронов:
(9.1)
Так как скорость связана с
волновым вектором
соотношением fc = ту/Ь, то
п = к/к0. (9.2)
Рнс. 9.1. Преломление нейтронных волн
в среде
cos 6
смф

Здесь fc и fc0 - волновые векторы нейтронов в среде и пустоте
соответственно. Соотношение (9.1) представляет собой закон преломления
нейтронных волн, являющийся аналогом известного закона Снеллиу-
са в обычной оптике. Как видим, волновое число в среде меняется по
сравнению с волновым числом в вакууме. Это изменение приводит к
сдвигу фазы волны, прошедшей через вещество, по сравнению с
фазой волны, распространяющейся в вакууме. Сдвиг фаз Д <р
определяется соотношением
Д ц>=к(п- 1)1
(I - толщина слоя вещества, проходимого нейтроном). Изменение
волнового числа на границе раздела приводит к преломлению волны и к
появлению отраженной волны.
Ради удобства перепишем закон преломления нейтронных волн
(9.2) ввиде
п2 = к2/к20. (9.3)
Связь между показателем преломления и потенциалом
взаимодействия нейтронов с веществом или полем следует из уравнений Шре-
дингера, описывающих распространение нейтронов в среде
дф + -!^.(Б-£/;Ф-0 (9.4)
и вне ее
д,р+1^£ф=0. (9.5)
2
h
1жкакк2 = 2т(Е-и)/П2 и к%= ~ Е, то
n2=<(E-U)/E=l-U/E. (9.6)
В (9.4) - (9.6) через Е обозначена кинетическая энергия нейтрона, а
через U- средний потенциал, действующий на нейтрон в среде.
Соотношение (9.6) исключительно важно, так как оно указывает
на взаимосвязь оптической характеристики взаимодействия
нейтрона с веществом - показателя преломления с потенциальной энергией
взаимодействия частицы с внешним полем. Исходя из (9.6)
потенциал U естественно называть оптическим. Задание потенциала U, как
видим, полностью характеризует оптическую среду для частицы.

9.2. ЗАКОН ДИСПЕРСИИ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН
ДЛЯ НЕПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ
В (9.6) характеристики среды входят через средний потенциал
взаимодействия нейтронов с ядрами. Это не совсем удобно, так как
непосредственно наблюдаемыми на опыте величинами являются
энергия или импульс нейтрона (и, следовательно, связанные с ними
длина волны нейтрона К или волновой вектор k)j а также сечение
упругого рассеяния нейтронов ядрами или длина рассеяния. Найдем
связь между показателем преломления нейтронов и
характеристиками нейтрона и среды, непосредственно наблюдаемыми на опыте. Эту
связь установим двумя способами: вначале, воспользовавшись бор-
новским приближением, выразим средний потенциал U, действующий
на нейтрон в среде, через амплитуду когерентного рассеяния, а затем
решим простую задачу о прохождении плоской волны через тонкий
слои однородного вещества. Для простоты будем считать, что
нейтроны взаимодействуют с веществом только за счет ядерного
взаимодействия. Поглощением нейтронов в среде будем пренебрегать (оа = 0).
В борновском приближении амплитуда рассеяния нейтронов /а(е)
на ансамбле атомов, содержащем v центров рассеяния, запишется в
виде
Здесь к0 и к - волновые векторы начального и конечного состояний;
q = k0 - k - переданный импульс; ц - приведенная масса нейтрона и
рассеивателя, которую с хорошей точностью можно считать равной
массе нейтрона, т.е. ц = гп; (/1 ... | i > - матричный элемент перехода
рассеивателя из начального состояния |i> в конечное состояние |/>;
V - потенциал взаимодействия нейтрона с атомами ансамбля.
Формула (9.7) прямым образом связывает знаки амплитуды
рассеяния и потенциала взаимодействия нейтронов с веществом. Так как
потенциал взаимодействия нуклонов с отдельными ядрами
отрицательный, то можно было бы думать, что в соответствии с (9.7)
амплитуда рассеяния будет положительной. Однако, как уже отмечалось в
§ 8.2, реальные длины рассеяния и связанные с ними соотношением
(8.10) амплитуды рассеяния различаются для разных ядер не только
по значению, но и по знаку. Поэтому, чтобы избежать несоответствия

теории и эксперимента, при вычислении физических характеристик
взаимодействия нейтронов с веществом в качестве потенциала берут
не усредненный реальный потенциал нуклон-ядерного
взаимодействия, который всегда притягивающий, а так называемый
псевдопотенциал Ферми. Понятие псевдопотенциала впервые ввел Ферми,
который показал, что единственной формой потенциала, который в
борновском приближении дает изотропное рассеяние (что необходимо
в случае S-рассеяния), является потенциал в виде б-функции:
V(r) = (2 л h2 /т)Ь б (г -R), (9.8)
где R - радиус-вектор ядра; Ь - длина рассеяния Ферми на связанном
ядре. Как видно из этой формулы, знак псевдопотенциала зависит от
знака длины рассеяния для данного ядра.
При рассеянии нейтронов на ансамбле атомов формула (9.8) для
потенциала взаимодействия естественным образом обобщается:
V(r)= Z V.-=-^- I Ь.'Мг-R;). (9.8а)
j -1 ' m j'"• I ' '
Здесь сумма берется по BceMv атомам ансамбля.
Будем считать рассеяние нейтрона абсолютно упругим (|k|=|k0 |),
тогда рассеиватель не может приобрести или потерять энергию и,
следовательно, останется в исходном состоянии. Поэтом/
Л.СЮ =— </| Г d,e»,r v|/>. (9.9)
2nh2 J
Найдем амплитуду рассеяния нейтрона на угол 0°:
'.<"-■^«lJ-'Ф
Как видим, fa (0°) определяется интегралом от рассеивающего поля по
всему объему рассеивателя. Вводя эффективный потенциал U и
пользуясь теоремой о среднем, получаем
где Q - объем рассеивателя. Отсюда
2пЬ> ГаЮ
т а

Опыт показывает, что амплитуда рассеяния нейтрона отдельным
ядром мала по сравнению с межатомными расстояниями d в рассеивате-
ле: /(0°) = - Ъ «: d (см. приложение 4). В этих: условиях амплитуда
волны, рассеянной каждым из ядер, как это следует из (8.3), будет мала
в тех точках, где находятся другие ядра. Тогда амплитуду рассеяния
можно свести к сумме амплитуд рассеяния отдельными ядрами.
Аналитически это сведение можно осуществить, если V в (9.8) представить
v
как V = Е V:, где V,- - псевдопотенциал взаимодействия с j-u ядром
j-i
рассеивателя. Получим
v
'■•"---^«l «Д/,!»-
~- Z
</| \dxVj\n-l fj(ff), (9.10)
j=! 2 п ft2 J ' j= i
где fj (0°) - амплитуда рассеяния нейтрона на угол 0° для отдельного
ядра. Если ядра моноизотопные и бесспиновые, то с учетом (9.8)
Л (0°) = /2 (0°) - ... - fj (0°) а / (0°) — Ь или /fl (0°) = - v Ьког. Следова-
тельно,
аяй» /в (в") 2ПЛа t , ч
1/ = ■—— = NbK0T. (9.11)
m R_ m
Здесь N"\/Q обозначает концентрацию атомов среды. Подставляя
полученное выражение в (9.6), находим
О
.>-!+— _=1-__Ьког. (9.12)
То, что показатель преломления определяется амплитудой
рассеяния на угол 0е, наглядно показывает, что преломление нейтронов
обусловлено интерференцией волн, распространяющихся вдоль
направления падающего пучка.
Получим теперь (9.12) другим способом. Рассмотрим прохождение
плоской волны через бесконечно тонкий слой однородного вещества.
Пусть волна падает под углом 90° к поверхности слоя (рис. 9.2).
Толщину слоя I будем считать малой по сравнению с длиной волны:,' «: X.
Будем полагать также, что рассеяние нейтронов в среде обусловлено

Рис. 9.2. Иллюстрация к выводу
формулы для показателя преломления
У,
0
i
1
1
1
i
^^>
^\
г
i
только ядерным
взаимодействием, причем среду, как и
прежде, будем считать непогло-
щающей (оа = 0), ядра
бесспиновыми, жестко
зафиксированными и распределенными в
пределах слоя с плотностью N.
Не следует думать, что если нейтроны проходят через слой
вещества, то они не испытывают никакого взаимодействия. На самом деле
распространение нейтронной волны в среде связано с ее интенсивным
упругим рассеянием и это сказывается на сдвиге фазы прошедшей
ikz
волны. Если на слои падала плоская нейтронная волна е , то после
прохождения слоя волна примет вид
exp [i п fc / + i fc (z - I)] = exp {ikz) exp [i kl(n- 1)].
Здесь nfc/ - фаза, набираемая волной при прохождении слоя вещества
толщиной / (волновой вектор нейтрона в среде пк); k(z-I) - фаза,
набираемая на пути z - I за слоем при свободном движении.
Прошедшую нейтронную волну можно выразить и через
характеристики рассеяния нейтронов на ядрах, образующих слой. Ясно,
что она будет представлять собой суперпозицию падающей волны
и сферических волн, упруго рассеянных ядрами:
ФЮ-
ikz
V
+ Z /;
ifcr,-
где Tj - расстояние от ядра, на котором происходит рассеяние, до
точки наблюдения; v - число ядер, участвующих в рассеянии; /,- -
амплитуда рассеяния. Если рассеяние происходит на изолированном
свободном ядре, то/,- есть известная амплитуда рассеяния на ядре:/,- = -а
(а - длина рассеяния Ферми). Если нейтрон рассеивается на
изолированном, но жестко связанном ядре, то коэффициент /, есть амплитуда
А + 1
рассеяния на связанном ядре Ь: /,■ =-Ь = -а . Поскольку мед-

ленные нейтроны рассеиваются в среде не на отдельных атомах, а на
их ансамблях, действующих когерентно, сферические волны,
расходящиеся от каждого из ядер, естественно охарактеризовать
когерентной амплитудой рассеяния, т.е. /(. = - ькот. Поэтому
v ikrj
$(r) = elkZ- I bKor-^-. (9.13)
i i
Чтобы найти результат сложения сферических волн, разобьем слой
вещества на кольца толщиной dy и перейдем от суммирования в (9.13)
к интегрированию. Обозначим d\ число атомов, содержащихся в
кольце толщиной dy, тогда
со
fifcr
dvb№- . (9.14)
Верхний предел интегрирования в (9.14) выбран бесконечным, так как
в рассеянии участвует достаточно большое число ядер слоя. В свою
очередь, dv =d VN = 2nydylN, где dV- объем кольца с внутренним
радиусом у, толщиной dy и длиной образующей /. Следовательно,
$(r) = eikz-2nlNbKor[dy^reikr.
Так как г2 = z2 + у2 и ydy = rdr, последнее выражение можно
переписать в виде
00
ф (г) = exp {ikz)-2nlN Ьког J exp (i к г) dr.
Z
Интеграл в правой части этой формулы вычисляется известным
способом:
-п*г
I drexp(ifcr)= lim I eifcr e"p r dr = -
z п>..г
PJ-0
exp (i for}
Приравниваем теперь друг к другу оба выражения для нейтронной
волны, прошедшей сквозь рассматриваемый слой:.
exp (ifcz) exp [ifc/(n - 1)]= exp (ifcz)
1 2n' »ri_
1-, -—NbKor

Ввиду тонкости слоя [kl{n- 1) <sc 11,
exp (i fc z) exp[ifc/(n- 1)] * [1 + \kl(n - 1)] exp (ifcz),
отсюда
n = l~ ~77Nb™'
2 Л
т.е. другим путем пришли к тому же самому закону дисперсии
нейтронных волн (9.12).
Формулу (9.12) легко обобщить на случай рассеивателей, состоящих
из центров различного типа (под типом рассеивающего центра
понимаются: определенный элемент, определенный изотоп данного
элемента, определенное состояние нейтрона и ядра). Вводя раздельное
суммирование по различным типам рассеивающих центров, можно
записать
/(О*)- I Vjp'. х)Ч(1кЮ, (9.15)
a ikj -ft j i]K
где v - число ядер 1-го элемента в объеме ft рассеивателя; р' - веро-
ятность найти fc-й изотоп среди 1-го элемента; X • - вероятность
реализации j'-го спинового состояния для fc-ro изотопа 1-го элемента; /lfc- (п*)-
амплитуда рассеяния на угол 0° для j'-ro спинового состояния fe-ro
изотопа 1-го элемента. В частном случае уже рассмотренного
моноизотопного кристалла, ядра которого имеют спин /, суммирование по j с
учетом (8.20) приводит к когерентной амплитуде рассеяния:
/„ (0°) = v [g+ Д (0е) + g_ А (О")] е - v Ьадг,
где g+ = v+/v,£-=v_/v- соответственно доли ядер в кристалле,
имеющих взаимно параллельную и взаимно антипараллельную ориентацию
спинов нейтрона и ядра; А и /- ~ амплитуды рассеяния на угол 0° для
состояний с параллельной и антипараллельной ориентацией спинов
нейтрона и ядра.
Формула, аналогичная (9.12), впервые была выведена великим
итальянским физиком Ферми, которого по праву считают
основателем теоретической и экспериментальной нейтронной оптики. Исполь^
зуемое Ферми выражение отличается от написанного здесь тем, что
длина рассеяния в нем заменена на \J os /4л, где as - сечение
рассеяния.
Как видно из (9.12), показатель преломления различен для
нейтронов с разной энергией и определяется длиной когерентного рассеяния

и атомной плотностью среды. От деталей атомной структуры
показатель преломления не зависит.
Для веществ, состоящих из различных химических элементов,
(9.12) переходит в формулу
где iV- - концентрация ядер /-го элемента.
- Подчеркнем то Обстоятельство, что показатель преломления
определяется длиной когерентного рассеяния для связанного ядра, а не
для свободного. Такую зависимость легко объяснить, если принять
во внимание, что преломленная волна возникает как результат
интерференции падающей волны и волн, рассеянных под углом 0". Но
при рассеянии вперед отдачей ядра можно пренебречь, т.е. ядра можно
считать жестко связанными.
Как показывает опыт, длина когерентного рассеяния может быть
как положительной (для большинства элементов), так и
отрицательной. Это означает, что для нейтронов большинство сред являются
оптически менее плотными (п < 1) и только некоторые среды (Н,
7Li,ssMn,61Ni и т.д.) оптически более плотные. Напомним, что для
рентгеновского излучения фаза рассеяния положительна, т.е. все
среды для них являются оптически менее плотными.
Если в закон дисперсии (9.12) подставить значения Ьког, типичные
для большинства элементов (см. приложение 4), то в довольно широком
диапазоне длин волн показатель преломления нейтронов будет очень
близок к 1. Эта особенность преломления проявляется для основной
части диапазона длин волн тепловых нейтронов и даже в области
энергий холодных нейтронов. Так, для нейтронов с А. = 10"7 см в
бериллии (Ьког= 7,8 фм) п отличается от единицы всего на 10"3. Отличие
от единицы настолько мало, что отклонение нейтронного пучка в
среде не превышает нескольких угловых минут (именно это
обстоятельство после обнаружения другого волнового явления - дифракции -
долгое время препятствовало наблюдению преломления нейтронов).
Малость второго слагаемого в (9.12) по сравнению с единицей
позволяет упростить формулу для показателя преломления:
2п
1-Тг"ЬК0Г. (9.17)
Другая замечательная особенность преломления наблюдается при
очень больших длинах волн. Как видно из (9.12), в средах, для
которых Ьког > 0 при длине волны нейтронов, большей некоторого гранич-

ного значения А.гр, т.е. приА > А.гр, значение п2 может стать равным
нулю или даже отрицательным, а показатель преломления мнимым.
Это означает, что нейтронная волна не может распространяться в
веществе и, следовательно, отражается от поверхности уже независимо
от угла падения. Нейтроны с длиной волны, большей к , были
названы ультрахолодными.
Формула (9.17) учитывает только ядерные взаимодействия
нейтронов в веществе. Однако на движение нейтрона в среде влияют также
магнитные и гравитационные поля. Потенциал взаимодействия
нейтрона с внешним магнитным полем В равен U = ± ц. В, где ц = 2? цБ5п -
магнитный момент нейтрона; знак плюс соответствует ориентации
спина нейтрона вдоль поля, а знак минус противоположной ориентации.
Следовательно, на нейтроны в намагниченной среде, например в
ферромагнетике, будет действовать потенциал
2nb2Nb
U= — ±цВ-
т
Соответственно показатель преломления примет вид
п = 1-\2
Nb _
ког т
+
2п 4пяЙя
I
- \iB
(9.18)
Различие в показателях преломления для двух направлений
поляризации означает, что для нейтронов в ферромагнетике должно
наблюдаться явление двойного лучепреломления*. На практике это
явление используется для получения пучков поляризованных
нейтронов (подробнее - см. § 11.2).
Для парамагнитных веществ магнитное рассеяние не оказывает
влияния на показатель преломления, поскольку средняя амплитуда
магнитного рассеяния, обусловливающая преломление, равна в
данном случае нулю. Заметим также, что (9.18) получена в рамках модели
Швингера, в которой предполагается, что магнитный момент нейтрона
обусловлен внутренними токами.
* Явление двулучепреломления должно наблюдаться и в тех случаях, когда
магнитное взаимодействие иейтроиов отсутствует, ио длина рассеяния Ьког зависит от
направления поляризации. Это возможно, в частности, при рассеянии иейтроиов иа ядрах со
спином, отличным от нуля. В этом случае двулучепреломление будет проявляться во
вращении плоскости поляризации по мере проиикиовения пучка поляризованных иейтроиов
в поляризованную мишень.

При движении нейтрона в графитационном поле на него
оказывает влияние потенциал U= mgz (g - ускорение свободного падения,z -
высота). Поэтому самый общий потенциал, действующий на нейтрон
в среде, должен включать все три поля - ядерных сил, магнитное и
гравитационное:
U= ±H*L NbKor±\iB + mgz . (9.19)
т
Гравитационный потенциал оказывает существенное влияние на
движение нейтронов только при очень низкой энергии порядка
нескольких сотен наноэлектрон-вольт. Особенность оптики нейтронов
столь низких энергий состоит в том, что показатель преломления,
как следует из (9.19), переменный, т.е. это оптика неоднородных сред.
В самом общем случае потенциал взаимодействия нейтронов с
веществом содержит и четвертое слагаемое, обусловленное слабым
взаимодействием нейтронов с нуклонами атомных ядер. Это
слагаемое будет весьма малой добавкой к потенциалу (9.19), но ее наличие
в силу несохранения пространственной четности в слабом
взаимодействии может обнаруживаться в виде Р-нечетных эффектов в
соответствующих неитронно-оптических явлениях: двойном лучепреломлении
и дихроизме. В этом случае двойное лучепреломление должно
проявляться как вращение спина нейтрона вокруг его импульса по мере
проникновения пучка в глубь вещества, а дихроизм должен
проявляться как зависимость прозрачности вещества от спиральности
нейтронов. Соответствующие Р-нечетные эффекты недавно были
обнаружены на опыте (см. § 9.5).
Существование явления преломления нейтронных волн открыло
возможности создания неитронно-оптических устройств,
аналогичных обычным оптическим устройствам: призм, линз, зеркал,
микроскопов и т.д. Сложности их изготовления возникают из-за того,
что для диапазона длин волн тепловых нейтронов, широко
используемых в экспериментах, показатель преломления нейтронов, как
уже указывалось, очень близок к 1. Как отмечал Ферми,
"фокусирующие линзы, сделанные из вещества с п, несколько большим 1,
должны были быть чудовищно выпуклыми, чтобы пригодиться хоть
на что-нибудь. Фокусирующая линза из вещества с п < 1 выглядела бы
как рассеивающая оптическая линза. Такие линзы в принципе
осуществимы, но ввиду крайней малости п- 1 совершенно непрактичны".
Однако ввиду специфической зависимости показателя преломления
от длины волны нейтрона возможности изготовления неитронно-
оптических устройств для очень медленных нейтронов - холодных

и ультрахолодных — уже не выглядят пессимистическими. В
последние годы фокусирующие двояковогнутые линзы и призматические
монохроматоры уже использовались в экспериментах с холодными
нейтронами.
9.3. ПОЛНОЕ ВНЕШНЕЕ ОТРАЖЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
Как уже указывалось, большинство веществ являются для
нейтронов оптически менее плотными средами по сравнению с вакуумом
(т.е. для них Ьког > 0 и п < 1). Это означает, что нейтронный луч,
падающий из пустоты на границу среды, преломляясь в среде, будет
отклоняться в сторону от нормали к ее поверхности. Если угол
скольжения 9 (см. рис. 9.1) станет меньше некоторого критического угла 9кр, то
нейтронная волна не будет проникать в среду, а будет целиком
отражаться от ее поверхности. Это явление, аналогичное
соответствующему явлению в световой оптике, называют полным внешним
отражением*.
Критический угол скольжения можно найти из (9.1), считая угол
преломления нейтронной волны фкр равным 90", т.е.
cos 9Кр = п cos фкр = п cos (90°- (ркр) = п . (9.20)
К этому соотношению можно прийти также пользуясь
корпускулярным языком. Разложим вектор скорости v0 падающего нейтрона на
продольную и поперечную составляющие: v, = v0 sin 9, v., = v0 cos 9.
Кинетическую энергию нейтрона условно можно представить в виде
двух компонент - поперечной и продольной:
£±= -2-^ = —2^ sin2 9= £ sin2 9 ;£,, = £ cos3 9. (9.21)
Для полного внешнего отражения необходимо, чтобы поперечная
компонента кинетической энергии Е. была меньше средней
потенциальной энергии отталкивания нейтронов в среде (энергии нейтронов
недостаточно, чтобы преодолеть отталкивание), т.е.
£1=£sin29Kp<C7. (9.22)
* В отличие от обычной оптики, в которой явление полного отражения света от
границы раздела сред называют полным внутренним отражением, в нейтронной оптике
аналогичное явление называют полным внешним отражением, так как термин
"внутреннее отражение" по отношению к нейтронной волне, падающей из вакуума и отражающейся
вновь в вакуум, представляется не совсем оправданным.

Отсюда следует, что cos2 9Kp «S 1 - U/E = п2 и cos 9кр= п. Из закона
дисперсии (9.17) видно, что показатель преломления для тепловых и
холодных нейтронов весьма незначительно отличается от 1, т.е.
cos 9Kp * 1. Это предполагает малость критического угла и поэтому
косинус может быть разложен в ряд по степеням 9К Ограничиваясь
двумя первыми членами разложения, получаем 1 - 9 2 / 2 = п или
вКр-[2(1-П)Г2. (9.23)
Если магнитным и гравитационным взаимодействием нейтронов
можно пренебречь, то в соответствии с (9.12) выражение для
критического утла скольжения может быть записано в виде
Для отражения от намагниченных зеркал критический угол
скольжения
9кр = *
*Ьког
2паЙ*
ЦВ
1/2
(9.25)
Изменение интенсивности отраженного пучка в зависимости от
угла скольжения 9 для моноэнергетического пучка нейтронов показано
на рис. 9.3 (схема измерений изображена в верхней части рисунка).
По оси ординат отложено отношение интенсивностеи отраженного и
падающего пучков. Видно, что для 9 < 9кр интенсивности отраженного
и падающего пучков равны, а для 9 > 9кр интенсивность отраженного
пучка практически равна нулю. В области углов скольжения, близких
к 9К , распределение интенсивностеи имеет резкий край. Это
позволяет проводить точные измерения критического угла скольжения и,
следовательно, точные измерения нейтронно-оптических
характеристик среды. Если первичный пучок нейтронов не моноэнергетйческий,
то распределение интенсивностеи отраженного пучка будет
наложением распределений, изображенных на рис. 9.3, причем каждое из
складываемых распределений будет иметь свое значение
критического угла, соответствующее своей длине волны. Качественный характер
результирующего распределения показан на рис. 9.4. В этом случае
переход от максимальной интенсивности отраженного луча к
нулевой более плавный и форма его зависит от энергетического спектра
падающих нейтронов. Возможность измерения критического угла
данным методом основана на точном знании спектра первичных нейтро-

*отр
Iпа.А
Манохроматор
-»-:—\1^ Зеркало
О-В
Ч
кр
Рис. 9.3. Зависимость вероятности
отражения от угла скольжения нейтронов
для моноэнергетического пучка
Рис. 9.4. Зависимость вероятности
отражения от угла скольжения для немоно-
энергетического пучка
нов. Таким способом можно измерить, например, показатель
преломления для холодных нейтронов.
Применение явления полного внешнего отражения в физике
нейтронов весьма многообразно. Его можно использовать как очень
точный метод измерения фундаментальных ядерно-физических
характеристик вещества - амплитуд ядерного рассеяния нейтронов (длин
рассеяния Ферми) и, следовательно, сечений когерентного рассеяния.
Для этой цели может служить, например, соотношение (9.24). Заметим,
кстати, что при современном состоянии теории ядерных сил
теоретические вычисления амплитуд когерентного рассеяния не
представляются возможными.
Показатель преломления нейтронов можно было бы измерить по
отклонению (в среде) пучка нейтронов от первоначального
направления. Однако этот метод существенно менее точный, чем метод
измерения критического угла' скольжения. В самом деле, вычитая из
единицы обе части равенства (9.1) и полагая углы падения и
преломления близкими, получим, что изменение угла при преломлении
Д 1 = 9 - ф будет равно
А (= —— (1-п).
sin 9
(9.26)
Из (9.26) видно, что отклонение пучка при преломлении
увеличивается от Д i = 0 (при угле скольжения 9 = 90°) до Д f^^ = ——— (при
sin 9
кр
9 = 9К ). Максимальное отклонение
кр

т.е. равно половине критического угла полного внешнего отражения.
Для тепловых нейтронов в бериллии это значение равно 6 мин.
Поэтому лучшим методом измерения показателя преломления является
определение критического угла полного внешнего отражения,
поскольку в этом случае наблюдаемый эффект максимален и, кроме
того, нейтроны не проходят через вещество, т.е. не уменьшается их
интенсивность.
Явление полного внешнего отражения (ПВО) можно наблюдать
на тех веществах, для которых длина когерентного рассеяния
положительна. Это обстоятельство позволяет определить знак длины
рассеяния просто исходя из факта наличия или отсутствия
зеркального отражения. Метод ПВО является единственным методом, с
помощью которого производится прямое экспериментальное
наблюдение знака когерентной длины рассеяния. В других методах
определение знака неизвестной длины рассеяния производится путем
сравнения с известной длиной рассеяния.
Другое достоинство метода полного отражения (помимо
возможности прямого определения знака длины рассеяния) обусловлено
прямой связью между критическим углом и длиной когерентного
рассеяния материала зеркала. Поскольку, как отмечалось выше,
преломление обусловлено интерференцией волн, рассеянных на угол
О", структурно-динамические характеристики вещества не будут
сказываться на длине рассеяния, определенной методом полного
внешнего отражения. Поэтому метод ПВО дает длину рассеяния
безотносительно к тому, в каком агрегатном состоянии находится вещество:
жидком, газообразном или твердом. Это Означает также, что метод
не пригоден для изучения структуры и динамики вещества.
Измерения критических углов скольжения требуют хорошо скол-
лимированных пучков нейтронов, угловая расходимость их должна
быть существенно меньше критического угла, который обычно сам
по себе мал. Учитывая квадратичную связь длины когерентного
рассеяния и критического угла рассеяния (9.24), следует иметь в
виду, что погрешность определения длины будет в два раза хуже
погрешности измерения 9кр, а погрешность измерения сечения
когерентного рассеяния будет хуже в 4 раза.
Принимая во внимание характеристики спектров нейтронов,
получаемых в самых мощных источниках нейтронов - ядерных реакторах,
следует указать на возможность применения двух вариантов ме-

тода полного внешнего отражения. В первом из них используются
моноэнергетические нейтроны, получаемые, например, отражением от
монокристаллов (отметим, что длина волны нейтронов,
соответствующая максимуму максвелловского распределения, к = 2-Ю-8 см
сравнима с характерными расстояниями между атомами в кристалле). В
другом варианте используется пучок нейтронов, проходящий
поликристаллический фильтр. Наличие в спектре отфильтрованных
нейтронов резкой границы со стороны малых длин волн (подробнее см.
§ 10.6) позволяет при тщательной постановке опытов определять
критические углы скольжения с погрешностью порядка 0,5%. Недостаток
второго варианта метода — немоноэнергетичность пучка -
компенсируется выигрышем в его интенсивности.
Примером современных установок, предназначенных для
прецизионного измерения длины когерентного рассеяния, может служить
гравитационный рефрактометр. Принцип его работы показан на
рис. 9.5. Нейтрон, вылетевший со скоростью v в горизонтальном
направлении и пролетевший расстояние L, опустится на высоту Я и
приобретет при этом дополнительную энергию Е = mgH, где т -
гравитационная масса нейтрона, g - ускорение свободного падения.
Высоту Я можно найти из хорошо известного соотношения Я = — — I .
Если на пути нейтрона поместить зеркало из исследуемого вещества,
то возможность проникнуть в среду или отразиться от нее будет
зависеть от того, превосходит или нет приобретенная в свободном падении
кинетическая энергия нейтрона Е. потенциальную энергию
отталкивания в веществе U, т.е. условие отражения при падении на зеркало
под критическим углом, как и прежде [см. (9.22)], имеет вид E-^^U.
Поэтому потенциальную энергию нейтрона в среде можно принять
равной U = Е = mgH. Поскольку 1 - п2 = U/E = X2Nb/n, уравнение
для определения длины когерентного рассеяния приобретает вид
2nNb2
Я.
Рис. 9.5. Схема измерений на
гравитационном рефрактометре:
1 — активная эоиа реактора; 2 —
коллиматоры; 3 — зеркало; 4 — детектор
^

Рнс. 9.6. Результаты измерений
интенсивности отражения нейтронов от
поверхности тяжелой воды
Все величины в правой части этого уравнения либо хорошо
известные константы, либо могут быть измерены очень точно. Это
обеспечивает высокую точность определения длины когерентного рассеяния.
Для висмута, например, погрешность измерения Ьког не превышала
0,017%.
На рис. 9.6 в качестве примера приведены результаты
эксперимента на гравитационном рефрактометре, полученные при отражении
нейтронов от поверхности тяжелой воды. Теоретическая кривая
(плавная линия) построена для Я = 1,61 м.
9.4. КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ
Отражение нейтронов от поверхности раздела сред возможно, в
принципе, при любых углах скольжения. Однако если при угле
скольжения, меньшем или равном критическому, отражаются практически
все нейтроны, то при углах скольжения, больших 9кр, интенсивность
отражения сильно уменьшается. Это явление имеет аналог в
геометрической оптике. Задачу об отражении света от плоской границы в
начале прошлого столетия решил Френель.
Рассмотрим задачу об отражении и преломлении
моноэнергетических нейтронов от плоской границы раздела двух однородных сред.
Пучок нейтронов будем считать направленным из среды / в среду II
(см. рис. 9.1). Волновые векторы падающей, отраженной и
преломленной волн будем отмечать индексами 0, 1, 2 соответственно. В качестве
оси z системы координат выберем направление нормали к плоскости
раздела. В силу однородности сред в плоскости, перпендикулярной
ochz, т.е. в плоскостиху, волновые векторы всех трех волн ко, lq, k2
будут иметь одинаковые в обеих средах компоненты кх -а к Это
означает, что направления распространения волн лежат в одной плоскости;
е качестве ее возьмем плоскость zx. Волновая функция, описывающая
распространение нейтронных волн в среде /, является решением урав-
ШН.м

нения типа (9.4) и представляет собой суперпозицию двух волн -
падающей и отраженной. Не нарушая общности, ее можно записать в виде
Фх
ik.r
= е
+ Т|е
ik,r
(9.27)
Здесь амплитуда падающей волны выбрана равной 1, а отраженной ц.
Поскольку обе волны распространяются в одной среде, волновые
векторы их должны быть равны по абсолютному значению; при
отражении меняется только направление распространения, т.е. к0 =' kt = к.
Волновой вектор преломленной волны будет меняться как по
направлению, так и по значению, т.е. к2 Ф к. Аналогичное решение для
преломленной волны может быть представлено как
Ф2 = £е1аГ, (9.28)
где Z, - ее амплитуда.
Для нахождения амплитуд преломленной и отраженной волн
необходимо воспользоваться условиями сшивания решений, которые
предполагают непрерывность функций и их производных на границе
сред:
(9.29а)
(9.296)
(9.29в)
Фх(0)
ЭФ,
дх
Эф,
dz
-Фя(0);
ЭФ2
о дх
ЭФ2
о dz
Представим скалярные произведения, входящие в показатели
экспонент в решениях (9.27) и (9.28), в виде суммы компонент:
к0 г = к (х cos 9 - z sin 9);
кг г = к (х cos 9 + z sin 9);
кд г = к2 (х sin ф - z cos ф), ф = 90° - ф ,
где ф и 9 обозначены соответственно углы преломления и скольжения
(см. рис. 9.1). В этих выражениях учтено, что угол падения волны
равен углу отражения. Тогда из условий сшивания получим
соотношения, связывающие интенсивности всех волн:
l+n=S;
(9.30а)

fccos9(l + n) = £*:2cosij); (9.306)
к (1 - Л) sin 9 = I k2 sin ф . (9.30в)
Подставляя (9.30а) в (9.306), приходим к полученному ранее [см.
(9.1)] закону преломления Снеллиуса для нейтронов:
•5lL-A_-n. (9.31)
cos ф fc
Равенство (9.30в) с учетом (9.30а) легко преобразуется в
i »
sin 9- yn2- cos2 9 ,„„„4
П • (9.32)
sin 9+ -/n2- cos2 9'
_ sin (9 - ф)
Другая форма записи: Т| = .
sin (9 + ф)
Учитывая (9.27) и (9.28), интенсивность отраженной волны можно
найти как квадрат модуля коэффициента, стоящего перед exp (i kxr ),
т.е.
Я(9)=|п(в)|2, (9-33)
а интенсивность преломленной волны как
£>(9) = 1-Я(9). (9.34)
Полученный результат в точности совпадает с формулой Френеля
для света, поляризованного нормально к плоскости падения.
Как видно из (9.32) и (9.33), интенсивность отраженного пучка
максимальна при 9 = 0° и минимальна для пучка, падающего на
поверхность под углом 9 = л 12, т.е.
я(0°) = 1;
Я(л/2) =
1 + п
(9.35)
Поскольку, как уже отмечалось, в большинстве случаев показатель
преломления нейтронов близок к 1, коэффициент отражения для
нормального падения нейтронов будет очень мал. Качественно ход
зависимости R от 9 показан на рис. 9.7. Если в (9.32) положить 9 = 9К , то
коэффициент отражения обращается в 1; нейтроны, так же как и при
9 = 0°, полностью отражаются от поверхности.

Рис. 9.7. Зависимость коэффициента отраже- R(B)
ния нейтронов от угла скольжения ' Г
и 2
Заметим, что (9.32) и (9.35) верны для отражения как от оптически
более плотных сред (п > 1), так и для оптически менее плотных сред
(п < 1), тогда как формула Я(9кр)= 1 верна только для сред с
показателем преломления меньше 1. Формула (9.35) для R (л/2) полезна при
рассмотрении отражения УХН, так как с ее помощью можно выяснить
условия, при которых нейтроны будут отражаться от поверхности
материалов независимо от их угла падения.
9.5. КОГЕРЕНТНОЕ НАРУШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЧЕТНОСТИ
Так как вероятность когерентного рассеяния нейтронов
пропорциональна квадрату числа рассеивающих центров, а вероятность
некогерентного рассеяния пропорциональна числу рассеивающих
центров, то очевидно, что когерентные явления по сравнению с
некогерентными должны быть более чувствительными к деталям
процессов взаимодействия нейтронов с нуклонами, отдельными
ядрами или атомами. Именно это обстоятельство создает уникальные
возможности применения нейтронно-оптических явлений как
когерентных макроскопических эффектов для изучения очень тонких
эффектов слабого взаимодействия нуклонов в ядрах, для изучения
формирования возбужденных состояний атомных ядер и т.д. Одна
из таких возможностей заключается, в частности, в применении
явления преломления нейтронных волн для изучения нарушения
пространственной четности. Этот эффект, проявляющийся как
результат согласованного, т.е. когерентного воздействия рассеивающих
центров, получил название когерентного нарушения четности.
Исследования несохранения четности при взаимодействии
нейтронов с ядрами имеют давнюю историю. Впервые эффекты
нарушения четности в ядерных взаимодействиях были открыты в
экспериментах, выполненных группой Ю.Г. Абова более 20 лет назад в
Москве в ИТЭФе, когда в радиационном захвате тепловых нейтронов

наблюдалась анизотропия углового распределения у -излучения по
отношению к направлению спина захваченных нейтронов. Родственное
этому явление, открытое В.Н. Лобашевым с сотрудниками,
наблюдалось при захвате тепловых нейтронов неполяризованными ядрами.
В этом процессе установлена небольшая циркулярная поляризация
образующегося "уизлучения. Неожиданными оказались Р-нечетные
эффекты при делении, которые проявились в асимметрии вылета
легкого (тяжелого) осколка деления ядра по отношению к направлению
спина захваченного нейтрона. Считалось, что такие эффекты при
делении должны быть подавлены по сравнению с эффектами при
радиационном захвате, ввиду того что эффект при делении должен
усредняться по большому числу отдельных переходов. Особенность
обсуждаемых ниже эффектов когерентного нарушения четности состоит в
том, что эти эффекты проявляются в упругом канале
взаимодействия нейтронов с ядрами.
Когерентные эффекты, обусловленные несохраняющим Р-четность
слабым взаимодействием нейтронов с веществом, возникают из-за
различия показателей преломления для нейтронных волн, имеющих
различные спиновые состояния. Напомним, кстати, что именно вектор
спина, преобразующийся при дискретной операции
пространственной инверсии как аксиальный вектор, задает в пространстве
выделенное направление, по отношению к которому выявляются и
наблюдаются корреляции физических величин, обусловленные
несохранением четности.
Как уже отмечалось (см. § 9.2), показатель преломления п для
нейтронов связан с когерентной длиной ядерного рассеяния ЬКог
соотношением
п-1+ —/(0 =1- —-Ьког.
2 Л 2 Л
Если нейтроны взаимодействуют с веществом не только за счет
одного ядерного взаимодействия, но и за счет слабого, то амплитуду
когерентного рассеяния следует считать состоящей из двух частей:
bK<x = bPC+bNPC> (9-36)
где Ьрс часть амплитуды, обусловленная взаимодействием,
сохраняющим пространственную четность, т.е. сильным взаимодействием;
bNPC = -G'— (9-37)
sp

- часть амплитуды, обусловленная взаимодействием, не
сохраняющим Р-четность, т.е. слабым взаимодействием. В (9.37) s - спин
нейтрона; р - его импульс; G'- комплексная константа, сравнимая по
порядку величины с константой слабого взаимодействия. Вид амплитуды
bNPC выбран таким, чтобы она имела равные и противоположные по
знаку значения для различных спиральностей нейтрона, т.е. чтобы
амплитуда меняла знак при изменении направления спина на
противоположное, как это и должно быть для процессов, не сохраняющих
четность. Двузначность амплитуды рассеяния (9.37) означает в
соответствии с (9.12) различие в показателях преломления для нейтронов,
имеющих противоположные по знаку спиральности. Поэтому
естественно ожидать, что при прохождении нейтронов через вещества,
которые не обладают какими-либо специфическими свойствами, -
способностью к намагничиванию или к поляризуемости, в веществах
будет распространяться не одна волна, а две, каждая со своим
показателем преломления: п+ и п_, т.е. будет наблюдаться явление двулуче-
преломления. Поскольку различие в показателях преломления п+
и п_ исключительно малое, а сами показатели преломления для той
области длин волн, которая представляет интерес, не сильно
отличаются от 1, наблюдать эффект двулучепреломления по
пространственному разделению лучей не представляется возможным. Его можно
наблюдать по вращению поляризации вокруг импульса нейтрона.
Связь между п+ и п_ и углом поворота поляризации нейтрона ф вокруг
импульса можно получить из следующих соображений. Пусть нейтрон
движется вдоль оси z и при z = О, когда нейтрон проникает в среду,
его спин направлен вдоль оси х. Для падающих нейтронов проекция
спина на направление их движения (ось квантования) может
принимать оба возможных значения sz= ± 1/2 с равной вероятностью.
Поэтому их спиновая волновая функция представляет собой спинор — 11 | •
После прохождения нейтронами слоя вещества толщиной / каждая из
волн с показателями преломления п+ и п_ приобретает фазу, равную
АФ+ = к/п+. Соответственно компоненты спинора приобретают
разные фазы:
j/expIfcn.A _1_ " ( j/ 1 \ (9.38)
^ \expifcn./j yj \ в"1*/
гдеф = Ы1*е(г1+- п_ ).

Воспользовавшись преобразованиями спиноров при вращении,
можно показать (см., например, задачу 5.12 из [5]), что полученный в
результате спинор соответствует спину, повернутому вокруг оси z на
угол ф. Следовательно, двойное лучепреломление должно вызывать
вращение нейтронной поляризации вокруг импульса нейтрона по мере
проникновения его в вещество.
Другое Р-нечетное нейтронно-оптическое явление, естественным
образом связанное с зависимостью амплитуд упругого рассеяния
нейтронов от их спиральности, - дихроизм, т.е. зависимость
прозрачности мишени от спиральности нейтронов. Проще всего
возникновение дихроизма можно объяснить, если воспользоваться оптической
теоремой
о -.!Л_1т/(0"), (9.39)
' fc
связывающей мнимую часть амплитуды рассеяния вперед f (0°) с
полным сечением взаимодействия. Так как противоположным
значениям спиральности нейтрона соответствуют различные амплитуды
рассеяния, то им в соответствии с (9.39) будут соответствовать и
различные значения полных сечений:
сГ=-^-1т/+аП.
' fc -
Это означает, что при прохождении неполяризованного пучка
нейтронов через неполяриэова"нную мишень компоненты пучка с
противоположной спиральностью будут ослабляться по-разному, т.е.
прошедший пучок нейтронов станет продольно поляризованным.
Степень поляризации пучка будет пропорциональна разности сечений
Д о = of+- о-= — Im [Д (0°) - /_ (0')] = 8 л ImC'. (9.40)
r ' fc
Для вычисления возможных когерентных эффектов нарушения
четности в ядрах в качестве первого приближения рассматривают
эффективный одночастичный потенциал вида
U=V+W,
где V сохраняет пространственную четность, а W нарушает ее.
Пользуясь размерными соображениями, одночастичный потенциал слабого
взаимодействия нуклона в ядре можно записать в виде
W -G -P- sp,

где р - плотность нуклонов в ядре (в системе единиц Ь = с= 1); G =
= 10"s/m2 - фермиевская константа слабого взаимодействия; т -
масса протона. Чтобы получить оценку амплитуды смешивания слабым
взаимодействием состояний с противоположной четностью, нужно
соотнести этот потенциал с характерными энергиями, в качестве
которых можно взять расстояния между одночастичными уровнями
противоположной четности. Оценкой масштаба расстояний может служить
характерная энергия нуклонов в ядре 0) «= р21 2 т. В ядре р « тп и р =*
58 mn> mn - масса л-мезона. Тогда безразмерный параметр F,
характеризующий относительное значение слабого взаимодействия нуклонов
в ядре и, следовательно, масштаб смешивания будет равен
F-i-e-j.^j.j-ia-. (9.4.)
Если наблюдать эффекты нарушения пространственной четности
в условиях, когда в рассеянии преобладают одночастичные процессы,
например потенциальное рассеяние, то и угол поворота плоскости
поляризации ф и продольная поляризация исходно неполяризованно-
го пучка, пропорциональная (9.40), должны были быть одного
порядка. Вследствие этого эффекты нарушения четности, если бы они были
пропорциональны только вкладу слабых сил, были бы практически
необнаружимы в нейтронно-оптических явлениях. Однако в
сложных ядерных процессах, которые по сути своей являются
многочастичными, эти эффекты могут либо усиливаться, либо подавляться. Анализ
возможных усилений эффектов нарушения четности был выполнен
Де Хаазом и др., Блин-Стойлом и И.С. Шапиро. Они обнаружили, что
если при взаимодействии медленных нейтронов с ядрами при какой-то
энергии нейтронов образуются компаунд-ядра в состояниях с
противоположной по знаку четностью, но с одним и тем же значением
спина, то слабое взаимодействие будет приводить к смешиванию этих
состояний и, следовательно, к усилению эффектов нарушения
четности. Соответствуют.: й механизм усиления нарушения четности
получил название динамического. Квантовая механика
предсказывает, что параметр смешивания а будет пропорционален
a ~ —L_ , (9.42)
Et-Ej
где Et, Е- - энергии соответствующих невоэмущенных состояний
противоположной четности. Если уровни с противоположной четностью
имеют близкие значения энергий Е( ** £;, то знаменатель в (9.42) мал

и параметр а существенно возрастает. Эффект несохранения четности
может, как оказалось, усиливаться при этом до миллиона раз и
становиться значительным. Как показывает теория и подтверждает
эксперимент, обсуждаемый эффект должен быть особенно заметен для тех
элементов, для которых в области энергий медленных нейтронов
наряду с обычными 5-резонансами (I = 0) наблюдаются Р-резонансы (I = 1),
т.е. резонансы с противоположной четностью. Именно в рамках таких
представлений О.П. Сушкову и В.В. Фламбауму удалось объяснить
и большой поворот спина и большую асимметрию в пропускании
продольно поляризованных нейтронов противоположных спиральностей,
наблюдаемые на ядрах * * 7Sn.
Из всех экспериментов по наблюдению когерентного нарушения
четности остановимся на том, который, хотя и не является самым
точным, но в котором впервые были обнаружены эти эффекты.
Эксперимент проводился в институте Лауэ-Ланжевена (ILL) в Гренобле на
пучке холодных нейтронов с образцами из олова и свинца. Энергия
нейтронов 1,7 мэВ. Пучок нейтронов формировался селектором по
скоростям, отбиравшим нейтроны с длинами волн, большими брэгговс-
кой граничной длины волны нейтронов для олова и свинца. Такая!
селекция позволяла исключить возможность эффектов
дифракционного рассеяния в исследуемых образцах.
Схема установки представлена на рис. 9.8. Установка, в сущности,
представляет собой нейтронный поляриметр, в котором
используются скрещенные поляризатор и анализатор. Оба поляризационно-
чувствительных элемента / и 9 собирались из стопок вертикально
расположенных и вертикально намагниченных Fe-Co-зеркал (см. § Ю).
Поперечная поляризация нейтронов, получавшихся отражением от
зеркал /, имела значение Рп х 0,9.
Рнс. 9.8. Схема установки для измерения вращения нейтронной поляризации за счет
нарушения Р-четности:
1 — поляризатор; 2, 7 - катушкн, обеспечивающие неадиабатический спиновый
переход; 3 - вспомогательная катушка; 4 — п/2-катушка; 5 - образец; 6 - магнитный экран;
8 - шины для коррекции поля; 9 - анализатор; 10 — детектор

В промежутке между зеркалами располагались две идентичные
специальной формы катушки, обеспечивавшие неадиабатический
переход из области с высоким магнитным полем 2 и из области низкого
поля в область высокого поля 7. Катушка 7 повернута относительно
катушки 2 вокруг пучка на угол 90°. За катушкой 7 магнитное поле
плавно (адиабатически) снова поворачивалось к направлению
вертикальной оси с помощью тонких железных пластин- шимов 8, так,
чтобы оно совпадало с направлением магнитного поля в анализирующих
зеркалах. Регистрация нейтронов осуществлялась сцинтилляционным
детектором нейтронов с литиевым стеклом 10. Таким образом,
катушка 7, стопка зеркал 9 и сцинтилляционный детектор 10 представляли'
собой устройство, которое обнаруживало поворот нейтронной
поляризации вокруг направления пучка. Изменение направления тока в
выходной катушке 7 на противоположное приводило к
переориентации направления исследуемой компоненты поляризации
относительно анализирующего поля. О значении угла поворота спина в мишени
судили по различию скоростей счета при изменении направления
тока в выходной катушке 7.
Область низкого магнитного поля защищалась от внешних
магнитных полей трехслойным магнитным экраном из пермаллоя 6. В
области низкого поля на пути пучка располагались исследуемый
образец 5 (на рис. 9.8 штриховой линией показаны два возможных
положения образца) и две вспомогательные катушки 3 и так называемая
л-катушка 4. Катушка 3 предназначалась для создания продольной
поляризации и использовалась в экспериментах по измерению
зависимости полного сечения от спиральности нейтронов. Создаваемое
л-катушкой поле было вертикальным, а напряженность поля
подбиралась такой, чтобы за время пролета катушки спин нейтронов за счет
парморовскои процессии поворачивался вокруг вертикальной оси на
угол 180°.
Во время эксперимента в пучок нейтронов перед л-катушкой и
после нее попеременно вводились два одинаковых исследуемых
образца. Так как л-катушка изменяла на обратную у-компоненту
нейтронной поляризации и не влияла на поляризацию нейтронов в
области за катушкой, то, очевидно, что при различных взаимных
положениях л-катушки и образцов должен быть различным и знак эффектов,
обусловленных процессами в образце. Поэтому вычисление разности
отсчетов детекторов 10 для этих двух положений образцов, с одной
стороны, удваивало исследуемый эффект и, с другой стороны,
отделяло исследуемый эффект от аппаратурного, возникающего от
вращения спина в остаточном поле. Если л-катушка выключалась, то
искомый яЛЛркт игиачятт и изменялась лишь тэибогшая асимметоия.

Угол поворота спина нейтронов ф находился как
N -N
+ -
sin ф = ,
где зтф - проекция единичного вектора спина нейтрона на ось у в
плоскости выходной катушки; N+ (N_) - скорость счета нейтронов
при прямом (обратном) направлении тока в выходной катушке 7; Рп и
Р'п - поляризующие эффективности поляризатора и анализатора.
В контрольном эксперименте л-катушка выключалась. В этом
случае поворот спина нейтронов для двух положений образцов был
одинаковым и сокращался, когда вычислялась разность отсчетов для
двух положений мишени.
В режиме измерений эффекта направление тока в катушке 7
изменялось каждую секунду на 180°. Мишени менялись один раз в минуту.
Раз в пять суток образцы в первом и втором положениях менялись
местами, менялась также их ориентация в пространстве: входной
торец заменялся выходным. Результат для 117Sn оказался равным
ф (117Sn) = (- 37,0 ± 2,5 ■ Ю-6) рад/с .
Измеренное значение ф (117Sn) хорошо согласуется с оценками,
которые были сделаны О.П. Сушковым и В.В. Фламбаумом, а также Сто-
дольским в предположении, что большое значение эффекта
обусловлено близостью к тепловой области Р-волнового компаунд-резонанса.
У 117Sn Р-волновой резонанс наблюдается при энергии 1,32 эВ.
Измерения зависимости полного сечения от спиральности
нейтронов были намного проще. При этих измерениях катушка 7 и зеркала 9
убирались из пучка, а перед л-катушкой устанавливалась
дополнительная катушка 3, создававшая горизонтальное поле. Образец
постоянно находился за л-катушкой. Продольно поляризованные
нейтроны получались поворотом поперечной поляризации нейтронов из
вертикального положения в горизонтальное с помощью катушки 3 и
последующим доворотом горизонтальной поляризации до
продольного положения катушкой 4. Спиральность пучка менялась на
противоположную изменением направления тока в катушке 4.

Глава 10. ДИФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ
10.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
Медленные нейтроны, рассеивающиеся на отдельных атомах,
могут вылетать в любом направлении по отношению к направлению
первичного нейтрона (см. § 8.2). Если же пучок нейтронов падает на
кристалл, который представляет собой систему упорядоченно
расположенных рассеивателей, то законы рассеяния могут измениться.
Согласованное действие атомов кристалла может приводить к тому,
что рассеянные нейтронные волны будут вылетать не в произвольных
направлениях, а в строго определенных, задаваемых, как и в случае
рентгеновского излучения, условием Брэгга-Вульфа* Это явление
получило название дифракции нейтронов.
Сущность явления дифракции заключается в том, что при
определенных условиях (при определенных энергиях нейтронов)
когерентно рассеянные отдельными атомами под разными углами
нейтронные волны интерферируют друг с другом. Интерференция усиливает
волну, распространяющуюся в направлении, задаваемом условием
Брэгга-Вульфа (отраженная волна), и погашает ее во всех прочих
направлениях. Ясно, что характеристики отраженной волны в сильной
степени зависят от расстояний между атомами кристалла, т.е. от его
структуры, и поэтому дифракционное рассеяние нейтронов может быть
использовано для изучения структуры вещества. Характеристики
отраженного пучка нейтронов будут в значительной мере зависеть
и от динамических свойств рассеивателей, поэтому дифракционное
отражение используется для изучения динамических свойств
вещества.
Наряду с отраженной волной будет наблюдаться еще одна
распространяющаяся в кристалле волна - преломленная. Особенности
распространения преломленной волны, как и отраженной, в кристалле:
зависят от многих факторов: энергии нейтронов (их длины волны),
взаимной относительной ориентации пучка нейтронов и кристалла,
степени совершенства кристалла.
Условия наблюдения дифракционно отраженного пучка
нейтронов наиболее просто и наглядно можно получить интерпретируя
рассеяние нейтронов как отражение нейтронных волн от определенного
семейства кристаллических плоскостей*. Усиление двух нейтронных
* Под кристаллической плоскостью понимают плоскость, проведенную через любые
три узла кристаллической решетки. Набор взаимно параллельных плоскостей, отстоящих
друг от друга на одинаковом расстоянии, образует семейство.

волн (1 к 2 на рис. 10.1), отраженных от двух соседних плоскостей,
произойдет в том случае, если разность из хода 2х будет равна целому
числу длин волн. Как видно из рис. 10.1, 2х = 2d sin 9, поэтому условие,
при котором будет наблюдаться усиление волн, имеет вид
2d sin 9 = п к
(10.1)
Это и есть хорошо известное из рентгеновской оптики условие
Брэгга-Вульфа. В соотношении (ЮЛ) целое положительное число
п = 1, 2, 3... называют порядком отражения; d - есть межплоскостное
расстояние.
Из условия Брэгга-Вульфа следует, что для заданного семейства
кристаллических плоскостей в данном направлении будут отражаться
нейтроны разных длин волн
К'
2dsin9
(10.2)
и, следовательно, разных энергий Еп = п2 h2 [8m d2 sin2 8]-1.
В формуле Брэгга-Вульфа, записанной в виде (10.2),
подразумевается, что длина волны рассеиваемых нейтронов должна быть меньше
2d. Если же нейтроны будут иметь длину волны, превышающую более
чем в 2 раза максимальное межплоскостное расстояние dMaKC (для
кубической ячейки, например, dMaKC = а0), то они просто не будут
испытывать дифракционного отражения и будут проходить через кристалл,
рассеиваясь только некогерентным образом. Это свойство нейтронов
с длиной волны большей 2dMaKC используется для получения
холодных нейтронов (см. далее § 10.6).
Если пучок падающих на кристалл нейтронов полихроматический
("белый") то, как следует из (10.1), из него будут отбираться
нейтроны с подходящими длинами волн и рассеиваться в направлениях,
определяемых этим равенством. На использовании этого
обстоятельства основан один из важных методов монохроматизации медленных
4^1
ч/4*
в(
^А
X
\s(e
X
Рнс. 10.1. К выводу условия Брэгга-
Вульфа из геометрических соображе-

нейтронов с помощью монокристаллов. Так как угол 0, входящий в
(10.1), может быть брэгговским углом для нейтронов с различной
энергией, соответствующей отражениям различного порядка, то на
практике стремятся использовать отражение только первого
порядка, интенсивность которого максимальна, а от отражений остальных
порядков пытаются избавиться. Эта задача обычно решается
подбором соответствующего монокристалла либо посредством
использования механических прерывателей и фильтров в сочетании с
монокристаллами.
Если наблюдать дифракцию на ферромагнитных монокристаллах,
то можно создать такие условия, при которых получающиеся
моноэнергетические пучки нейтронов будут поляризованными. Степень
поляризации таких пучков может быть близка к 100%, а максимальная
энергия нейтронов достигать при этом значений » 1 эВ.
На опыте отраженные лучи получают двумя способами,
различающимися ориентацией кристаллических плоскостей в кристалле
и установкой кристалла по отношению к первичному пучку. В первом
способе, который, собственно, и рассматривался нами,
кристаллические плоскости ориентированы параллельно поверхности кристалла,
отраженные нейтроны выходят со стороны падающего пучка
(рид. 10.2, а). Этот способ установки кристалла называют геометрией
Брэгга (на отражение). В другом способе, называемом геометрией
Лауэ (на прохождение), отраженные нейтроны проходят через
кристалл и выходят со стороны, противоположной падающему пучку
(рис. 10.2, б). Межкристаллические плоскости в этом случае
ориентированы в направлении, перпендикулярном поверхности кристалла.
На рисунках отражающие плоскости заштрихованы.
Ярко выраженная угловая зависимость брэгговского рассеяния
нейтронов отражает особенности атомной структуры и динамики рассеи-
вателя и поэтому широко используется для их изучения. Эта область
исследований получила название структурной нейтронографии.
Однако для определения кристаллической структуры одной угловой
зависимости недостаточно, нужно также измерять интенсивность
нейтронов при различных отражениях.
Рнс. 10.2. Два способа установки
кристалла по отношению к пучку нейтронов:
а — геометрия Брэгга; б — геометрия
Лауэ
3Vv
1 \
*■;

Чтобы понять, как из результатов исследований дифракционного
отражения может быть извлечена информация о
структурно-динамических характеристиках вещества, остановимся кратко на структурно-
динамических особенностях кристаллов и на вычислениях
интенсивности отражения.
10.2. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ
Кристаллы - одна из форм равновесного состояния твердых тел,
в котором атомы или ионы образуют упорядоченную периодически
повторяющуюся в трех измерениях структуру, называемую
кристаллической решеткой. По своей крупномасштабной структуре
различают идеальные (совершенные), реальные (несовершенные или
мозаичные) кристаллы и поликристаллы.
Идеальными являются такие кристаллы, которые имеют
правильное периодическое расположение составляющих их частей
(элементарных ячеек) по всему объему кристалла. Примером
совершенных кристаллов могут служить монокристаллы. Реальные кристаллы
состоят из небольших блоков идеальных кристаллов. Толщина блоков
составляет ~10~5 см. Каждый блок повернут относительно соседних
блоков (мозаичность кристалла) на небольшие углы, значения
которых находятся в пределах от.нескольких секунд до градуса.
Поликристаллы представляют собой агрегаты из большого числа
маленьких кристаллических зерен, хаотически ориентированных
относительно друг друга. Большинство технических материалов являются
поликристаллами.
Точки кристаллической решетки, в которых располагаются
атомы, называют узлами решетки. Для описания структуры всего
кристалла достаточно знать расположение атомов в его
элементарной ячейке. Элементарная ячейка представляет собой минимальный
объем кристалла, параллельные перемещения (трансляции) которого
в трех измерениях позволяют построить всю кристаллическую
решетку. В общем случае элементарная ячейка имеет форму
параллелепипеда, образованного тремя исходящими из какого-нибудь узла
векторами трансляции ъ.г, а2, аэ (периоды трансляции). При выборе
элементарной ячейки обычно исходят из требования, чтобы ячейка в
максимальной степени обладала той симметрией, которая присуща самому
кристаллу.
Для описания структуры кристаллов наряду с понятием
кристаллической структуры вводят понятие пространственной решетки.
Пространственная решетка - это математический образ кристалла, отра-

жающий его симметрию. Простейшую пространственную решетку
можно получить путем всевозможных трансляционных повторений
данного узла элементарной ячейки в пространстве. Эту решетку
называют решеткой Браве или простой решеткой. В природе встречается
14 типов решеток Браве, различающихся абсолютными значениями и
взаимной ориентацией векторов трансляций. Решетки Браве
распределяются по семи кристаллографическим системам (сингониям).
Моноатомные решетки произвольного вида можно составить из
нескольких подрешеток Браве, вставленных друг в друга*. Положение
любого узла решетки Браве можно задать уравнением
R = m1 at + m2a2 + тэ аэ, (10.3)
где mv m2, т3 - целые числа, а тройка векторов а1, а2, вд образуют
элементарную ячейку.
Напомним общепринятые обозначения узлов, направлений и
плоскостей в кристаллических структурах. И первые, и вторые, и третьи
обозначают тройками чисел, причем для узлов тройки чисел
указываются без скобок, для направлений тройку чисел заключают в
квадратные скобки [...], а для плоскостей - в круглые скобки (...). При
этом координаты узлов измеряются в единицах постоянной данной
решетки (периода решетки), координаты направлений задаются
наименьшими числами, относящимися друг к другу как компоненты
вектора, характеризующего данное направление. Тройку чисел для
плоскости называют индексами Мюллера- Вульфа. Чтобы найти индексы
плоскости, берут обратные значения отрезков т, п, р, отсекаемых
плоскостью на координатных осях, т.е. Цт, 1/п, 1/р, и подбирают
наименьшие целые числа л, к, I, которые относятся между собой так же, как и
эти обратные значения. Если плоскость пересекает отрицательное
направление координатной оси, то соответствующий индекс
отмечается чертой над ним. Плоскость, параллельная какой-либо из
координатных осей, обозначается индексом 0. Пример: (010) - плоскость,
параллельная (xz); (011) - плоскость, параллельная оси ос. Если индексы
плоскости л, к, I, то межплоскостные расстояния d для кубической
элементарной ячейки с ребром а0 можно найти как
d . (10.4)
(Ti' + fc' + f1)1'2
* Структура кристаллических решеток, состоящих из атомов различных элементов,
более сложная; см., например, Гуревич И.И., Тарасов Л.В. Физика медленных нейтронов.
М.: Физматгнз, 1965.

10.3. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА
Описание дифракции нейтронов, как, впрочем, и дифракции
рентгеновского излучения, сильно упрощается, если ввести понятие
обратной решетки. Это чисто геометрическое понятие, связанное с
трансляционной симметрией реальной решетки. Введение этого понятия
облегчает как понимание условий, при которых возможна дифракция,
так и расчеты взаимного расположения источника нейтронов,
кристалла (межкристаллических плоскостей) и детектора излучения.
Обратная решетка вводится в пространстве волновых векторов. Пусть одно-
узельная элементарная ячейка Браве задается векторами alt а2, аэ.
Определим векторы обратной решетки рх, р2, Р3 по правилу
Pi=^[a2a3]; Pa-£[a,a1];P3--J-[aia*b (Ю-5)
где V = a1 [a2 аэ] - объем элементарной ячейки прямой решетки. Эти
соотношения можно переписать и как
а1 = -^г[Р2Рз];а2=-^-[РэР1];а3=^-,[Р1Р2], (10.6)
где V* = Pt [Р2 Рэ] - объем элементарной ячейки обратной решетки.
Из (10.5) и (10.6) следует, что
P,afc-6ifcftk = 1,2,3),
т.е. прямая и обратная решетки взаимно сопряжены и произведение
объемов их элементарных ячеек равно 1.
Из (10.5) видно, что оси обратной решетки Plt Р2 и Р3
перпендикулярны плоскостям а2а3, а1а3 и at а2 прямой решетки, поэтому для тех
кристаллических систем, оси которых ортогональны (например, для
кубической), направления векторов ах и Pj, а2 и Р2, а3 и Р3 совпадают.
Назовем вектор т, идущий из начального узла обратной решетки в
узел с некоторыми индексами hkl, вектором обратной решетки. С
единичными векторами обратной решетки т связан как
T = ftP1 + kP2 + /p3. (10.7)
Покажем, что вектор обратной решетки т перпендикулярен плоскости
(hkl) прямой решетки, а длина его обратно пропорциональна
межплоскостному расстоянию семейства плоскостей прямой решетки, т.е.
xhki=l/dhkr

Действительно, пусть периоды прямой решетки равны а, Ь, с Тогда
отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) от осей координат, равны a/h,
Ъ/к, с/1. Уравнение плоскости (hkl) в отрезках будет иметь вид
Х +-4- + -т-=1- (Ю.8)
a/h Ъ/к с/1
Преобразуем это уравнение к нормальному виду:
xcos a +y cosP +2С05? - р = 0. (10.9)
Соотнеся (10.8) с (10.9), получим
Ъс
cos а =
/Vc* а3!'
fci / ■ +
V к3 I2 h3l
3 а2Ъ3
+
Is h3k3
h/a
J(h/a)2 + (k/b)2 + (l/c)3
ac
cosP =
/ b2c2
hi
fc/b
-J(h/a)3+(k/b)2
cost =
0 s C2
+ +
h2l3
+ (l/c)1'
ab
a2b2
h*k2
hk
fb3c2 а3 с3 а3 Ь'П
■v k2l3 h2l3 h3k3
l/c
(10.10)
V (h/a)3 +(k/b)3 + (l/c)3''
a расстояние от начала координат до плоскости (другими словами,
межплоскостное расстояние) равно
P = l/J(h/a)2 + (k/b)2 + (1/с)2 . (10.11)
В соответствии с определением обратной решетки (10.5) вектор т,
идущий в узел с индексами hkl, имеет компоненты x1 = h/a, х2 = к/Ъ,

т3 = l/с и модуль т = y/(h/а)2 + (к/Ъ)2 + О/с)*. Следовательно, в
уравнении плоскости с индексами (hkl), cosoc, cosf3 и cosy являются
компонентами единичного вектора т/т, т.е. вектор т в соответствии с
векторной записью уравнения (10.9) является нормалью к плоскости
(hkl). При этом длина вектора thfc( обратно пропорциональна
межплоскостному расстоянию dhfc[, так как
1 1
р = ак = = _ .
■J(h/a)2 + (k/b)2 + fl/c)2 4kl
Таким образом, семейству плоскостей (hkl) в реальной решетке
соответствует направление, задаваемое вектором обратной решетки ThfcJ.
С помощью понятия обратной решетки удобнее интерпретировать
условие дифракционного отражения нейтронов от кристаллов
2dhfc,sin8 = nA.. (10.12)
В самом деле, пусть пучок нейтронов падает на семейство плоскостей
(hkl) под углом 8 (рис. 10.3). В соответствии с только что сказанным
выше- узел обратной решетки этого семейства будет находиться на
нормали к плоскостям (hkl) на расстоянии ВС = xhkl = 1 /dhfc( от
начального узла, в качестве которого выберем точку пересечения
направления пучка с какой-либо из плоскостей (hkl) (точка В на рис. 10.3). На
направлении АВ отметим точку 0, отстоящую от точки В на расстоянии
1 А, и из этой точки проведем сферу радиусом 1 Д. Полученную сферу
называют сферой Эвальда. Узел С обратной решетки может оказаться
Рнс. 10.3. Упругое рассеяние нейтронов в
пространстве обратной решетки

либо на поверхности этой сферы, либо вне ее. Если узел будет
находиться вне сферы, условие Брэгга- Вульфа выполняться не будет и,
следовательно, дифракционное отражение нейтронов невозможно.
Если же узел попадает на поверхность сферы, то под углом отражения,
равным углу падения 8, будет наблюдаться дифракционный
максимум отражения. Действительно, из рис. 10.3 видно, что если узел С
находится на поверхности сферы, то треугольник АСВ будет
прямоугольным, и так как угол ВАС равен углу падения, то ВС = АВ sin 8 или
т.е. выполняется условие Брэгга-Вульфа (10.12), в котором п = 1.
Из рис. (10.3) видно, что если диаметр сферы Эвальда АВ = 2/к
меньше длины вектора обратной решетки т = 1/d, т.е. к > 2d, то ни при
каких поворотах кристалла относительно направления первичного
пучка узел обратной решетки не пересечет сферу Эвальда. Другими
словами, для нейтронов с к >2d, что уже отмечалось в § 10.1, дифракция
в принципе не возможна. Если же диаметр сферы Эвальда больше
вектора обратной решетки, то при некотором угле 8 (брэгговском угле
0_ между направлением пучка и плоскостью кристалла) узел обратной
решетки обязательно окажется на поверхности сферы Эвальда. Этот
угол соответствует условию (10.12). Нетрудно показать, что при
этом же самом угле 8Б узлы обратной решетки, расположенные на
расстояниях от поверхности кристалла, кратных l/d, т.е. на
расстояниях 2/d, 3/d, 4/d и т.д., могут оказаться на поверхности сфер, радиус
которых соответственно кратен 1/к, т.е. равен 2/к,3/к и т.д. Эти
случаи соответствуют, как указывалось выше, более высоким порядкам
отражения.
Условие дифракционного отражения нейтронов (10.12) записано
через характеристики прямой решетки. При вычислениях
интенсивности отражения нейтронов от кристаллов его удобно переписать
через параметры обратной решетки. Будем считать рассеяние нейтронов
абсолютно упругим, тогда модуль вектора рассеяния нейтронов х
будет равен и = 2fcsin9. С учетом того, что й= 1/т, условие
Брэгга-Вульфа (10.12) запишется как
х= 2лтп,п = 1,2,3... (10.13)

10.4. СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ
Пусть кристалл содержит N рассеивающих центров.
Дифференциальное сечение рассеяния da/dQ^f нейтронов кристаллом в интервал
телесного угла dfi = sin 9 d 9 d (p, при котором кристалл переходит из
1-го квантового состояния в /-е, можно записать используя первое бор-
новское приближение. В системе центра инерции нейтрона и кристалла
do
/lW(9)|2, (10.14)
где/,-„у имеет вид (9.7)
''-/"' TTF*'' [ dre~ikr(vC Vv) eiV|,>- (10Л5)
В (10.14) fc0 и fc - волновые векторы нейтрона до и после
столкновения, ц - приведенная масса нейтрона и кристалла. Символом </|...
...|/> обозначен матричный элемент перехода рассеивателя из началь-
i • ' i N ■
ного состояния 1>в конечное состояние />; V= I V - потенциал
v = i v
взаимодействия нейтрона с кристаллом. Наличие в (10.15)'суммы по
всем рассеивающим центрам кристалла означает возможность
когерентного рассеяния нейтронов.
Представление дифференциального сечения в виде (10.14)
предполагает, что изменения энергии нейтрона и энергетического
состояния кристалла при рассеянии связаны законом сохранения энергии:
+ Et = +Ef. (10.16)
2m 2m
Здесь Б( и Ef - энергии начального и конечного состояний кристалла.
Обозначая е = Ei - Ef, соотношение (10.16) можно переписать как
e = ^-(fc2-fcg). (10.17)
2m
Условие (10.17) можно явным образом включить в (10.14), введя
бго
дважды дифференциальное сечение и записав его в виде

d'o = _fc_ / |i_
dQdt^f fc0 \ 2nfi =
(f\\ dre-,kr( I yv)X
v = 1
X elk«r|,->|26
2m
Если теперь проинтегрировать (10.18) по е, то б-функция исчезнет и эта
формула перейдет в (10.14). При этом должно будет выполняться
условие, при котором аргумент 6-функции равен нулю, т.е. (10.17).
Прежде чем сравнивать (10.17) с экспериментально измеряемыми
сечениями рассеяния нейтронов, его нужно просуммировать по всем
возможным конечным состояниям рассеивателя |/> и усреднить по
начальным состояниям 11>. Считая, что состояния нейтронов
задаются помимо энергии ориентацией их спина, а состояния кристалла
задаются изотопным составом ядер и ориентацией их спинов» получаем
следующий общий вид сечения рассеяния нейтронов кристаллом:
dQdz fc0 I 2nfi* / /,./, '• '■ If>Jf ' f' "J
-iki
ЛГ
X ( I Vv) e1^'!/,-, ^-> |=6
v=l
e- — (k2-fc0)
2m
(10.18)|
Здесь Wj. представляет собой распределение плотности начальных
спиновых состояний нейтронов и ядер; X/. ~ распределение плотности
начальных изоспиновых состояний ядер кристалла. Суммирование в
(10.18) проводится по спиновым /и изоспиновым / переменным
начального 11 > = | Jit /,- > и конечного |/ > = | Jf, If > состояний кристалла.
Рассмотрим рассеяние нейтронов кристаллом, в котором ядра
абсолютно жестко закреплены в узлах решетки. Это так называемый
случай замороженной решетки. Использование приближения
замороженной решетки позволяет наглядно выявить особенности
интерференционных явлений, которые будут наблюдаться при рассеянии
нейтронов кристаллами, их зависимость от структуры кристаллов.
В случае замороженной решетки обмена энергий между нейтроном
и рассеивателем не происходит. Поэтому к = к0 и ц = т. Используем
для потенциала взаимодействия нейтрона с ядром приближение псев-

допотенциала, т.е. запишем Vv в виде (9.8)
2nfia
Vv--S-bve(f-R,),
где Ь - амплитуда рассеяния на связанном ядре v; Ry -
радиус-вектор этого ядра. Тогда интеграл по пространственным переменным в
(10.18) берется легко:
I -^~ fdrexpHkrJb^r-Rj X
2nfia
X exp(ik0r)= I bvexp(-i*Rv). .. (10.19)
В (10-19) x = k - k0 есть вектор рассеяния. С учетом (10.19) сечение
рассеяния (10.18) преобразуется к виду
d2a к ,1
= I Xi.Wj. 2 \<If, Jf\ 2 bv X
"°"« . fco h.Ji l ll{,Jf\ f Л v v
X exp (-i x Rv) |/,-, /,->|26
При рассеянии нейтронов кристаллом, в котором ядра жестко
связаны, ни энергетическое, ни спиновое состояния рассеивателя не
изменяются. Поэтому для этого случая в (10.20) следует положить
| к| = | к0 |, а суммирование по конечным состояниям опустить. Тогда
— = Z X;.% I exp[-ix(Rv-Rv.)]x
dQ li,Ji ' »v,v'
x uh jt\ ъ;,ъч\ iu jt>. (Ю.21)
Поменяем в (10.21) порядок суммирования и введем обозначение
<b;,bv)= i х/.wJf<h jtI ь* bvI ib jt>.
В итоге
-^- = ^exp[-ix(Rv-Rv,)]<b;,bv>. (10.22)
e -
2m
(fc2-fcg)
(10.20)

Если рассеиватель состоит из атомов одного и того же элемента и
v Ф v'.to < Ь;, bv > = < Ъ*,) < bv > = | ( Ь > |2. При v = v' ( Ь^ > = ( | bv |2 >.
При произвольных v и v'
<b;,bv>=|<b>|2 + (<|b|2>-|<b>h6vv„ (10.23)
где 6v,v'- символ Кронекера.
Учитывая (10.23), сечение (10.21) можно представить в виде
суммы двух слагаемых
do do do
+
dQ dQKor dQHeKor
= |<b>|2 |lexp(-ixRv)|2+iV(<|b|2>-|(b>|2). (10.24)
v
Первое из этих слагаемых
do
""ког
= |<b>|2 llexpHMRjl2 (10.25)
имеет интерференционный характер, оно самым существенным
образом зависит от атомной структуры рассеивателя и поэтому его
естественно интерпретировать как когерентную составляющую сечения
рассеяния нейтронов кристаллом. Когерентная часть сечения, как видно
из (10.25), будет самым существенным образом зависеть от ориентации
вектора рассеяния нейтронов х по отношению к атомам кристалла.
Другое слагаемое
do
dQ
неког
= N((|b|2>-|(b>|2) (10.26)
не зависит от ориентации вектора рассеяния х по отношению к атомам
кристалла, т.е. сечение (10.26) изотропно. Это слагаемое естественно
рассматривать как некогерентную часть сечения рассеяния нейтронов
кристаллом. Некогерентное рассеяние обусловлено, как уже
указывалось в § 8.4, неупорядоченностью в распоряжении изотопов данного
элемента и хаотичностью ориентации спинов ядер рассеивателя.
Атомная структура кристаллической решетки не отражается на этой части
сечения рассеяния.
Проанализируем формулу (10.25) для когерентной части сечения
рассеяния. Будем рассматривать решетки Браве. Учитывая (10.3),
нетрудно заключить, что экспоненциальные слагаемые, которые
входят в сумму по v в формуле (10.25), могут достигать максимального

значения ехр (-i x R,) = 1, когда х = 0, или х = 2 л т. Случай х = 0
соответствует распространению нейтронных волн в кристалле в
направлении первичной волны, а случай х = 2лт соответствует
дифракционному отражению нейтронов.
Можно показать, что для одноатомной элементарной ячейки
суммирование в (10.25) в предельном случае N-* °° дает
| I exp(-ixRv)|2= -^-3ЛГ6(х-2лтт), (10.27)
v v0
где V0 - объем элементарной ячейки прямой решетки; т - вектор
обратной решетки; m - любое целое число, в том числе и 0. Подставляя
(10.27) в (10.25), получаем
da ■ . (2п)3
= (Ь> 2 N6(x-2ntrrt). (10.28)
Как видим, рассеяние нейтронов кристаллами характеризуется
ярко выраженной анизотропией. Интенсивность рассеянных
нейтронов отлична от нуля только тогда, когда вектор обратной решетки и
вектор рассеяния нейтронов связаны соотношением
и=2лтт, (10.29)
где т = 0, 1, 2 и т.д. При т = 1, 2, 3 и т.д. (10.29) есть условие Брэгга-
Вульфа, т.е. условие дифракционного отражения нейтронов.
Полученная бесконечная узость линии дифракционного отражения
нейтронов является следствием приближения N-* <*>,
использованного при выводе (10.27). Реальные же кристаллы имеют конечные
размеры, и поэтому N имеет, хотя и большое, но конечное значение.
Вследствие этого брэгговская линия отражения имеет не бесконечно малую,
а конечную угловую ширину. Интервал углов, в котором будет
наблюдаться дифракционное отражение, имеет значение порядка (K/L)2,
где L - линейные размеры кристалла; X - длина волны нейтрона.
В общем случае, когда элементарная ячейка содержит несколько
атомов и при этом атомы могут быть разного сорта, дифференциальное
сечение рассеяния нейтронов кристаллами удобнее представлять
зависящим как от положения элементарной ячейки в
кристаллической решетке, так и от положения каждого атома в элементарной
ячейке. В результате в формуле для сечения рассеяния появится
дополнительный множитель \F(x) |2, который будет определяться
структурой элементарной ячейки и зависеть от длины рассеяния нейтронов
ядрами (см. [1]):

do , , | (2n)3
F(h)|2 ЛГ6(х-2лт). (10.30)
dnKor ^o
Множитель |F (и)|2 называют обобщенным структурным фактором
элементарной ячейки. В частном случае моноатомной решетки он
принимает вид
И*)|2 = ь=0Г|Мх)|2,
где |FX(х) |2 называют структурным фактором элементарной ячейки.
И |F(x) |2, h|Fj (x) |2 определяются расположением атомов в
элементарной ячейке.
Итак, для моноатомной решетки сечение когерентного рассеяния,
отнесенное к одному атому образца, будет равно
da ... i „ , »u Р")
з
bLr Fi (*> Г 6 (x - 2 л т). (10.31)
Явный вид выражения для структурного фактора в (10.31)
аналогичен множителю (10.27), но отличается тем, что вместо положения
атомов в решетке Rv в него должны входить положения атомов в
элементарной ячейке Ру, т.е.
|Fi(x)|2=-L| i exp(-ixp;)|2 =
г У-1
= —| I exp (-2 л it p) |2,
г У = 1 J
(10.32)
з
где r - число атомов в элементарной ячейке. Так как р}- = I p! а,-
з i-i
(а, - векторы прямой решетки) и т = I п,- Р, (Р, - единичные векторы
i=i
обратной решетки, щ - миллеровские индексы плоскости), то
F1(T)=F1(n1,n2,n3), (10.33)
т.е. структурные факторы элементарной ячейки зависят от миллеров-
ских индексов кристаллической плоскости, определяемой вектором т.
Отметим, не приводя примеров, любопытные свойства кристаллов,
обусловленные особенностями расположения атомов в элементарных
ячейках. Анализируя зависимость (10.31) от миллеровских индексов
плоскости, можно показать, что для некоторых типов решеток и для

определенного семейства плоскостей в них структурный фактор может
обратиться в нуль. Это означает, что отражение нейтронов от
кристаллов будет отсутствовать даже тогда, когда брэгговское условие
отражения соблюдается.
Формула (10.32) дает структурный фактор в приближении
замороженной решетки. В реальной кристаллической решетке атомы
находятся в непрерывном тепловом движении, причем амплитуды их
колебаний относительно положений равновесия того же порядка, что и
межплоскостные расстояния. Поэтому тепловое движение должно
оказывать влияние На дифракционную картину. Это влияние
сказывается двояко: уменьшается интенсивность брэгговского отражения и
появляется так называемое диффузное рассеяние, искажающее
обычную картину брэгговского рассеяния. Влияние тепловых колебаний
теоретически можно учесть с помощью так называемого
температурного коэффициента (фактора) Дебая- Валлера, на который должна быть
умножена когерентная амплитуда для связанных атомов. Делая в
(10.30) замену
bj-*bjexp
-Dj
sin в
гдеD,- постоянная, зависящая от температуры рассеивателя и
частотного спектра колебаний решетки, получаем формулу для
структурного фактора реальной решетки
F(t)= I Ьуехр
i
sin В
-D;
^ X
exp[2ni (hxj + kyj + lzj)]. (10.34)
Соотношение (10.34) является ключевым при изучении динамики
кристаллических решеток методами нейтронографии.
Рассмотрим теперь интересный с практической точки зрения случай
дифракционного отражения нейтронов от поликристаллических
образцов. Напомним, что поликристаллы представляют собой
агрегаты, состоящие из большого числа маленьких кристаллических зерен,
хаотически ориентированных относительно друг друга. Для
поликристаллов имеет смысл определять лишь интегральное сечение отражения
оког, так как хаотичность в расположении зерен кристалла по
отношению к пучку не позволяет выделить какого-нибудь иного
направления, кроме направления первичного пучка. Чтобы найти интегральное
сечение когерентного рассеяния нейтронов поликристаллами, нужно
дифференциальное сечение do/dQKor усреднить по всем возможным

ориентациям вектора обратной решетки по отношению к вектору
рассеяния (при фиксированном значении т), проинтегрировать по
телесному углу и просуммировать по всем допустимым значениям т.
Будем считать вначале, что вектор т имеет фиксированную длину
и проведем усреднение по направлениям т относительно X. Так как
структурный фактор не зависит от направления вектора рассеяния х,
усреднение по направлениям не влияет на него и сказывается только
на б-функции в (10.30). Направим полярную ось z по вектору х. Тогда
компоненты вектора т в сферических координатах будут находиться
как
тх=т sin 9, cos фт;
ху= х sin 9, sin ф,;
хг=х cos9T.
Считая все направления вектора т равновероятными, находим
\ б (х - 2 л т) sin 9, d 9, d фт =
--Ч1
16л3 J .1
б (тх) б (т ) б (и - 2 л тг) sin 9, d 9, d фт =
^■j j б(тх)б(ту)б(и-2лт,)
9т*
3 8,
д\
3 8,
9ту
Эф, Эф,
dxxdxy =
16лэт J J
ЬххИху
8(тх)6(ту)«(х-2лУта-т»-т» ) _
" х у
1
б (Х- 2лт).
16п3та
Следовательно, при фиксированном т
do
."«кот ' К°Г
= Ъ±__ I Fx (т) |2 -^г б (и - 2 л т ),
(10.35)
2V0ta

Проинтегрируем теперь (10.35) по телесному углу
°«-ь«1Мт>1а "7^7 J в-(ч-2"0»1пв'|*вс/».
= Ь-ог| ^ (х) |- ^^r j б (2fcsir
g
sin — - 2л т |х
х — 12 к sin — Id [2 к sin — | d <p «=
= 2n2b^|F1(x)h -4r-. (10.36)
КОН » w, ^^
Для любого семейства межкристаллических плоскостей (т -
фиксировано) сечение когерентного рассеяния нейтронов о т меняется с
энергией по закону 1/fc2. Co стороны низких энергий эта зависимость обры-
(л*т)а
вается, так как при энергиях Е < Бп = (т - масса нейтрона) ус-
* 2т
ловие Брэгга-Вульфа для данного семейства межкристаллических
плоскостей не может бьпъ выполнено ни при каких углах падения
нейтронов. Вклад различных семейств плоскостей в интенсивность
отраженного пучка тем больше, чем меньше т. Чтобы получить
интегральное сечение отражения нейтронов от поликристаллических
образцов, нужно просуммировать выражения (10.36) по всем возможным
значениям т от минимального для данной решетки тмин = l/dMaKC до
максимального тмакс = fc/л, получающегося из условия отражения
Брэгга-Вульфа. В результате имеем
а fc/n
2Л Ь» I | П(0|а — • (Ю-37)
V„fca когт-т ' * ' т
'о
С помощью формулы (10.37) можно объяснить основные
особенности энергетической зависимости сечения рассеяния нейтронов
поликристаллическими образцами (рис. 10.4). При £<£, =
мин
2т

Рис. 10.4. Энергетическая зависимость сечения
рассеяния нейтронов поликристаллами
и, значит, при т<тмин дифракционное отражение невозможно. В этой
области энергий рассеяние нейтронов только некогерентное и онеког =
= 4 л Ь2 . При Е> Е становятся возможными эффекты дифракци-
неког мин
онного отражения, обусловливающие, как уже указывалось, острые
пики в энергетической зависимости сечения рассеяния. По мере
увеличения энергии нейтронов в отражение включается все большее
число новых межкристаллических плоскостей со все меньшими
межплоскостными расстояниями. Так как число семейств новых
межкристаллических плоскостей неограниченно растет, а вклад их в
интенсивность отражения с ростом энергии уменьшается, пики на кривой
сечения становятся чаще и мельче и кривая сечения сглаживается. При
энергиях, при которых длина волны нейтронов становится меньше
межатомных расстояний, когерентные эффекты становятся
невозможными и сечение рассеяния в этом случае стремится к постоянному
значению о = 4л (Ь* + Ь* ).
10.5. ОСОБЕННОСТИ ОТРАЖЕНИЯ НЕЙТРОННЫХ ВОЛН КРИСТАЛЛАМИ
Чтобы лучше уяснить характеристики отражения нейтронов,
обсудим особенности распространения их в кристаллах. Для
определенности рассмотрим вначале распространение нейтронов в
монокристаллах. Пусть нейтроны с фиксированной энергией падают на
поверхность кристалла под брэгговскими углами к
межкристаллическим плоскостям. В соответствии с условием Брэгга-Вульфа каждая
межкристаллическая плоскость будет отражать нейтроны под
углами отражения, равными углу падения (см. рис. 10.1). При этом
амплитуда отраженной волны будет составлять =»10~5 амплитуды
падающей волны. Как видим, амплитуда отраженной на каждом слое
волны мала по сравнению с амплитудой падающей волны, но при
достаточно большом числе отражающих слоев («10", что соответству-

ет толщине кристалла порядка Ю-4 см) амплитуды отраженной и
падающей волн станут сравнимыми. Когда это произойдет, ослабление
первичной волны станет более резким. Это является следствием того,
что первично отраженные волны, для которых, как нетрудно видеть,
условия дифракционного отражения также выполняются, будут
испытывать вторичное отражение и, следовательно, распространяться
вдоль направления падающей волны. Деструктивная интерференция
падающей волны и вторично отраженных волн и приводит к
заметному уменьшению амплитуды падающей волны. Это дополнительное
ослабление нейтронного пучка при его прохождении через
монокристалл получило название первичной экстинкции.
Несколько по-иному ослабляется первичный пучок при
прохождении его через реальные кристаллы. В мозаичных кристаллах эффект
первичной экстинкции в значительной степени подавлен из-за
небольших размеров микрокристаллов (отдельный блок мозаичного
кристалла имеет размеры обычно порядка нескольких тысяч ангстрем
каждый). Из-за разориентированности блоков мозаики в кристалле волны,
идущие от различных блоков, не складываются когерентно друг с
другом и первичная волна дополнительно не ослабляется. Но на своем
пути нейтроны могут встретить блоки, имеющие одинаковую по
отношению к пучку ориентацию. Тогда когерентное сложение падающей
волны и волн, отраженных вторично от идентично ориентированных
блоков, приведет к ослаблению интенсивности пучка. Это явление
называют вторичной экстинкцией.
Расчет интенсивности дифракционного отражения нейтронов
от кристалла, а также геометрии дифракционной картины рассеяния
проводят в рамках либо кинематической, либо динамической
теории дифракции. В кинематической теории кристалл
предполагается настолько тонким, что можно учитывать только однократное
дифракционное рассеяние и считать, что при прохождении пучка
нейтронов через кристалл интенсивность первичного пучка не изменяется,
т.е. амплитуды волн, падающих на любую межкристалличёскую
плоскость, одинаковы, как, впрочем, одинаковы и амплитуды рассеянных
волн. Ввиду малости амплитуды отраженных волн по сравнению с
амплитудой падающей волны, взаимодействием падающей и
отраженной волн пренебрегают. Характерным параметром, разделяющим
кристаллы на тонкие и толстые, является длина первичной
экстинкции. Кинематическая теория применима, если расстояния,
проходимые в кристалле и падающей, и дифрагированными волнами, много
меньше длины экстинкции.

Чтобы с помощью кинематической.теории вычислить интенсивность
/ нейтронов, отраженных от монокристалла, нужно полное сечение
рассеяния нейтронов данным семейством плоскостей от (с данным т),
ко г
приходящееся на одно ядро кристалла, просто умножить на число
атомов в кристалле Л/, т.е.
ког
Интегрирование (10.30) по телесному углу в случае монокристалла
дает
И*(т)|2
от
ког 2V„sina9
Тогда
I~Nalm о'- , (10.38)
ког уо ког 2V2sinSe
где б V - объем кристалла; 9 - брэгтовский угол рассеяния для
данного отражения.
Интенсивность пучка нейтронов, отраженных от реального
кристалла, значительно (на два-три порядка) выше интенсивности пучка
нейтронов, отраженного от монокристалла, так как совершенный
кристалл отбирает нейтроны строго определенной длины волны. В
мозаичном же кристалле каждый блок, являясь совершенным кристаллом,
отражает падающие нейтроны. независимо от других блоков. Из-за
разориентации блоков относительно друг друга отраженные
нейтроны не будут монохроматическими и даже при идеальной коллимации
будут иметь угловой разброс порядка угловой разориентации блоков.
В этом случае при подсчете интенсивности рассеянных кристаллом
нейтронов суммируют интенсивности, а не амплитуды волн,
рассеянных каждым отдельным блоком. Решение этой задачи в рамках
кинематической теории рассеяния приводит к следующему вьфажению для
интенсивности рассеяния:
\»|f(t)|»
б V.
VJsin28
Обозначения величин здесь те же, что и в (10.38).
В динамической теории учитывается многократное рассеяние из
падающей волны в дифрагированную и обратно, особенно
существенное в толстых кристаллах. Геометрия дифракционной картины, рас-

считанная по динамической теории, практически не отличается от
геометрии, полученной с помощью кинематической теории. Например,
отклонение истинного угла отражения от брэгговского составляет
Д 9^2(1- n)/sin2 9B,
где п-показатель преломления, и равно, по порядку величины Д9«1".
Зависимость коэффициента отражения от угла скольжения при
отражении нейтронов от плоскопараллельной пластинки
совершенного кристалла приведена на рис. 10.5. Как видно, кривая отражения
("дарвиновский столик") сосредоточена в основном в очень узкой
области углов, причем в области от 9Б до 9Б + Д9 коэффициент
отражения равен 1. Вне этого диапазона отражение резко уменьшается с
обеих сторон.
Интенсивности же, рассчитанные по двум теориям, могут
различаться более чем в десятки раз. Кроме того, динамическая теория
предсказывает ряд эффектов, которых нет в кинематической теории.
Это, в частности, - очень узкие пики при отражении от совершенных
монокристаллов и так называемый маятниковый эффект (Pendel-
lbsung). Только с помощью динамической теории дифракции может
быть дано описание работы нейтронных интерферометров,
изготавливаемых из единого блока совершенных монокристаллов (см. гл. 13).
К тому же нужно подчеркнуть, что динамическая теория позволяет
дать единое толкование как явлениям, связанным с интерференцией
в среде волн* которые распространяются в направлении первичной
волны, т.е. преломлению, полному отражению и т.д., так и явлениям
дифракции.
Обсудим некоторые результаты, которые получаются с помощью
динамической теории. В качестве первого примера рассмотрим
отражение нейтронов от тонкой пластинки совершенного кристалла. При
этом будем считать, что условие Брэгга- Вульфа не выполняется,
Рис. 10.5. Отражение нейтронов от совершенного
кристалла

т.е. сфера Эвальда не проходит ни через один узел, кроме начального.
Естественно было бы полагать, что в данном случае, как и при
прохождении нейтронов через пластинку, не обладающую периодической
структурой расположения атомов, на границах пластины будет
происходить только преломление и отражение нейтронных волн, а
разрешенным волновым вектором в кристалле будет лишь вектор
преломленной волны к = к0п; к0, как и прежде, волновой вектор падающих
нейтронов. Однако более строгое рассмотрение распространения
нейтронных волн для этого случая, проведенное в рамках динамической
теории дифракции, показывает, что волновой вектор в среде будет
принимать не одно, а два близких значения kt и kj. Поэтому волновая
функция нейтронов в кристалле будет иметь вид
ф (r) = a1expik1r+a2expik2r. (10.39)
Волновая функция нейтронов, прошедших плоскопараллельную
пластинку кристалла, будет иметь вид
ф (r) = aexpik0r. (10.40)
Константы а, и а2 (в 10.39) и а в (10.40) должны находиться из
граничных условий. Решая эту задачу о распространении нейтронных волн
подобно тому, как это делалось при вычислении коэффициента
отражения в § 9.4, можно получить, что интенсивности и отраженных, и
прошедших через кристалл нейтронов будут не плавными, а
периодическими функциями угла падения 9. Эти осцилляции возникают как
результат интерференции волн с волновыми векторами kt и к2,
распространяющихся в кристалле. Период осцилляции будет тем больше,
чем больше длина волны нейтронов и чем меньше толщина
кристаллов. Однако даже для сравнительно длинноволновых нейтронов и
очень тонких кристаллов период осцилляции оказывается настолько
малым, что заметить его экспериментально не представляется
возможным. Предсказываемый динамической теорией рассеяния вид
угловой зависимости интенсивности отражения нейтронов с
к = 10_7см от кристалла кремния толщиной ^ = 0,001 см для нейтронов,
падающих под углами скольжения близкими к критическому (фкр),
показан на рис. 10.6. Область углов л/2- 9 «S 3,44', не показанная на
рисунке, соответствует полному зеркальному отражению нейтронов
(R = 1). Огибающая осциллирующей зависимости, изображенная
пунктиром, качественно соответствует той закономерности, которая была
получена в § 9.4 методом Френеля (см. рис. 9.7) без учета
интерференции распространяющихся в кристалле волн.

0,75
0,25 -
3,¥t 3M 151 З'.вО 3,75 5,97 \3Q *•>? 5,755Г/2"в ,ми»
Рис. Ю.б. Зеркальное отражение нейтронов от кристаллов по динамической теории
Если же угол скольжения больше критического, то и
интенсивность отраженного пучка и модуляции интенсивности и
отраженного, и проходящего пучков будут пренебрежимо малыми.
В качестве другого примера обсудим прохождение нейтронов
через пластинку совершенного кристалла, когда условие Брэгга- Вульфа
выполняется для одного вектора обратной решетки. В этом случае,
как показывается в теории динамической дифракции,
установившееся в кристалле волновое поле будет получаться когерентным
сложением четырех волн: две из них с волновыми векторами, близкими по
значению и направлению к волновому вектору первичной волны,
распространяются, как и в предыдущем случае, в направлении
первичной волны, а две другие, имеющие волновые векторы к, + т и kj + т,
распространяются в направлении, определяемом условием Брэгга-
Вульфа.
Если нейтроны проходят через плоскопараллельную пластину
совершенного кристалла, то на глубине t пластинки интенсивность
волн, дифрагирующих под брэгговскими углами, дается выражением
sin"*
ktv.
cos 9F
(10.41)
где VT =
2mN
h2k2
d г V (r) exp i т г ; V (г) - потенциал взаимодействия
нейтрона с кристаллом; N - число элементарных ячеек в 1 см3. Из этой
формулы видно, что интенсивность пучка дифрагирующих нейтронов
зависит от глубины проникновения нейтронов в кристалл периодичес-

ким образом с периодом
2 л cos 9Б 2 л cos 9Б
Г- . (10.42)
kVT .JVXF(t)
В (10.42) Ут выражена через структурный фактор с помощью
соотношения
к
На любой точке плоскости, параллельной входной граничной
плоскости и отстоящей от нее на расстоянии t, интенсивность
дифрагированных нейтронов будет одной и той же и равной (10.41). Первый
максимум интенсивности дифрагированного пучка (10.41) приходится на
глубину
_ п cos 8Б
макс 4 2N\F{x)
Величину
n'cos ВБ
Л^=2'макс:
NXF(T)
называют длиной экстинкции.
Аналогично периодическим образом, причем с тем же самым
периодом, меняется интенсивность нейтронов, распространяющихся в
направлении первичной волны. Различие в распространении дифрагит
рованной и прошедшей волн заключается в том, что там, где
амплитуды дифрагированных волн имеют максимум, амплитуды прошедших
волн имеют, минимум, и наоборот, т.е. структура волнового поля
такова, что энергия непрерывно перекачивается из одной волны в
другую. Это явление, аналогичное колебаниям двух слабо связанных
маятников, получило название маятникового решения задачи
рассеяния. Указанные особенности распространения волн,
предсказываемые динамической теорией рассеяния, используются при расчетах
конструкций интерферометров, изготавливаемых из единых
монокристаллических блоков и широко применяемых в нейтронной
интерферометрии. Расчеты проводятся исходя из необходимости иметь
разделенные пучки нейтронов с полностью идентичными
характеристиками и без относительного ложного сдвига фазы между
нейтронами, проходящими различные пути в интерферометре.

10.6. ТЕПЛОВАЯ КОЛОННА ФЕРМИ
Первые опыты, подтвердившие гипотезу о том, что движение
нейтронов должно описываться волновой механикой, были сделаны
практически сразу же после открытия нейтронов (точнее, в 1936—
1937 гг.). Однако наиболее впечатляющие и убедительные опыты были
поставлены только после появления первых атомных реакторов.
Благодаря реакторам были заложены основы нейтронной оптики.
Наибольший вклад в развитие нового направления был сделан Ферми и
его школой.
Задавшись целью получить относительно чистый пучок
замедленных до тепловых скоростей нейтронов без примеси нейтронов более
высоких энергий, Ферми и коллеги соорудили колонну из графита,
разместив ев в непосредственной близости от активной зоны
реактора. Она и получила название тепловой колонны. Опыты с ней привели
к новому открытию. Пучок нейтронов, выходивший из графита, имел
не ожидавшееся максвелловское распределение, а был обогащен
медленными нейтронами. Были поставлены новые опыты, в которых
была измерена эффективная температура нейтронов. Она оказалась
равной 18 К, хотя графит находился при комнатной температуре, т.е.
графит оказывал фильтрующее действие, удаляя из максвелловского
распределения его высокоэнергетическую часть. Причины этого
эффекта были довольно быстро поняты. Так как графит является
поликристаллическим веществом (т.е. материалом, состоящим из
микрокристаллов - зерен, хаотически ориентированных в пространстве),
то нейтроны с длиной волны, меньшей удвоенного максимального
межплоскостного расстояния, на своем пути через графит встречают
множество зерен, которые по отношению к направлению движения
нейтрона ориентированы так, что условие брэгговского отражения
удовлетворяется. Брэгговское рассеяние на таких зернах приводит
к выбыванию нейтронов из пучка. Нейтроны малой энергии проходят
через графит потому, что их длина волны больше максимального
расстояния между соседними плоскостями решетки в микрокристаллах
графита.
Опыты Ферми с тепловой колонной позволили разработать метод
получения пучка холодных нейтронов, основанный на фильтрации
обычных тепловых нейтронов блоком поликристаллического
вещества. Вид соответствующего устройства изображен на рис. 10.7. В
отверстие в защите реактора, окружающей активную зону, вставляется
призма из вещества, имеющего малое сечение поглощения, например
из того же графита. Для увеличения интенсивности нейтронов при
сохранении хорошей коллимации пучка в призме конструируется кол-

Рис. 10.7. Схематическое изображение
тепловой колонны Ферми
лимирующий канал. Дно канала располагается вблизи активной зоны
реактора. В канале размещают узкий и длинный фильтр из
поликристаллического вещества, размеры которого должны в несколько раз
превышать длину диффузии теплового нейтрона в этом блоке. В
качестве материала фильтра обычно применяют графит, бериллий и
оксид бериллия с граничными длинами волн 0,669; 0,395 и 0,44 нм
соответственно. Боковые поверхности канала и призмы выстилают
материалами, сильно поглощающими нейтроны, например кадмием. Для
уменьшения влияния неупругого рассеяния фильтр обычно
охлаждают азотом (температура сжижения 77 К). Задача устройства состоит в
том, чтобы вывести из пучка все нейтроны с длиной волны, меньшей
граничной, поглотить их (эти нейтроны составляют основную часть
максвелловского спектра - будет называть их тепловыми) и
пропустить без поглощения те нейтроны, длина волны которых больше
удвоенного максимального межплоскостного расстояния. Решение этой
задачи определяет выбор оптимального значения длины фильтра Я.
Она должна удовлетворять условию
1с«Я«/в, (10.43)
где Lc и 1а - длина диффузии тепловых нейтронов и средняя длина
свободного пробега нейтрона до поглощения соответственно. Если
выполнено первое условие (Lc ■& H), то поток тепловых нейтронов будет
сильно ослаблен. Действительно, как следует из решения
соответствующей задачи диффузии, закон ослабления нейтронов имеет вид
-H/Lc
Ф/ Ф0 =* е (Ф0, Ф - плотность потока нейтронов до и после
фильтра). Для фильтра из графита длиной 5 м плотность потока тепловых
и/т
нейтронов ослабляется в е. = е5/0'5:« 2-Ю" раз*.
Соблюдение второго условия (Н «: 1а) необходимо для сохранения
потока холодных нейтронов. Как следует из (10.2), при к > 2d условию
Брэгга- Вульфа нельзя удовлетворить даже для главного порядка
* Напомним, что для графита средняя длина свободного пробега до рассеяния Xs=
=2,5 см, средняя длина свободного пробега до поглощения ,'„=3850 см и, следовательно,
£„ = 57 см.

отражения. Это означает, что нейтроны с такой длиной волны,
когерентно взаимодействуя с группой атомов, практически Не испытывают
рассеяния, т.е. можно считать, что средний свободный пробег до
рассеяния ks обращается в бесконечность. Поэтому закон ослабления
для холодных нейтронов будет равен ехр(-Н//а), а не exp(-H/Lc).
Отсюда заключаем, что если размеры фильтра удовлетворяют условию
Н « /а, то интенсивность проходящих через него холодных нейтронов
практически не изменится.
На рис. 10.8 показан энергетический спектр нейтронов до и после
(заштрихован) прохождения поликристаллического фильтра;
отмечена граничная энергия £гр, соответствующая нейтронам с длиной волны
к = 2d. Так как k = h/p = h/^2mE\ то Етр = л Л2 12тп&.
На рис. 10.9 в качестве примера представлены результаты
измерения спектра нейтронов, отфильтрованных поликристаллическим
бериллием. Для этой зависимости характерно пренебрежимо малое
значение интенсивности в области малых длин волн, резкое возрастание
интенсивности до максимального значения со стороны малых длин
волн (брэгговский скачок) и далее постепенное убывание с
увеличением длины волны.
Ниже даны значения граничных длин волн и соответствующих им
граничных энергий нейтронов для некоторых наиболее
употребительных в экспериментах фильтров:
Материал
фильтра .
Хгр, нм . .. .
£гр> Ю-з эв .
Бериллий Оксид

бериллия
0,395 0,44
5,2 4,2
Свинец Графит Висмут
0,57
2,5
0,67
1,83
0,80
1,28
1
О £гр Е=кТ/2
0,4- 0,5 0,Б 0,7 А,нм
Рис. 10.8. Энергетический спектр
нейтронов, пропущенных поликристалличес-
ким фильтром (заштрихован)
Рис. 10.9. Спектр нейтронов,
отфильтрованных поликристаллическим
бериллием

Тепловая колонна как способ получения холодных нейтронов
представляет в настоящее время лишь исторический интерес. На
современных реакторах она уступила место источникам, в которых в
качестве фильтра используется жидкий водород или дейтерий.
Значение тепловой колонны для физики нейтронов состоит в том, что с ее
помощью были поставлены эксперименты, доказавшие
существование волновых эффектов при взаимодействии нейтронов с
веществом.
Глава 11. ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ НЕЙТРОНЫ
11.1. ПОЛУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ НЕЙТРОНОВ МЕТОДОМ
ПРОПУСКАНИЯ ИХ ЧЕРЕЗ НАМАГНИЧЕННЫЕ ФЕРРОМАГНЕТИКИ
В пучках нейтронов, с которыми проводятся исследования в
нейтронной оптике или в ядерной физике, представлены два физически
различных состояния, отличающихся одно от другого ориентацией
спина нейтрона (s = 1/2) относительно некоторого физически
выделенного направления в пространстве (например, направления
магнитного поля или направления нормали к плоскости реакции и т.д.). Доля
каждого из состояний в пучке, характеризующая степень поляризации
пучка, может быть различной. Обозначим п+ и п_ - число нейтронов
в пучке, спин которых ориентирован вдоль и против выделенного
направления в пространстве соответственно. Тогда степень
поляризации пучка можно определить как
п - п
р=-1—. (11.1)
п + п
+ -
Если п+ = п_, то пучок нейтронов, как видно из (11.1), будет непо-
ляризован (р = 0), если же п+ или п_ по отдельности равны нулю, то
пучок нейтронов будет иметь 100%-ную поляризацию: р = +1 для п_ = 0
и р = -1 для п+ = 0. При любых других соотношениях между п+ и п.
пучок будет частично поляризован.
Известны несколько способов получения пучков поляризованных
нейтронов: пропусканием их через намагниченный ферромагнетик
или через поляризованную ядерную мишень, отражением от
намагниченного зеркала, дифракцией на ферромагнитных кристаллах. Все эти
способы различаются степенью достижимой поляризации,
возможностью поляризовать нейтроны данной длины волны, техническими ре-

шениями и т.д. Ниже рассматриваются характеристики двух простых
способов поляризации медленных нейтронов: метода пропускания
через намагниченный ферромагнетик и метода отражения от
намагниченных зеркал.
Метод пропускания нейтронов через намагниченные
ферромагнетики основан на использовании явления интерференции ядерного и
магнитного рассеяния нейтронов.
Дифференциальные сечения взаимодействия нейтронов с
отдельными атомами можно записать в виде (см. § 8.3)
1±-=Ь> + Гт±2Ь\Гт\, (11.2)
+
где Ь - амплитуда ядерного рассеяния (длина рассеяния Ферми);
fm - амплитуда магнитного рассеяния. Знаки плюс и минус в формуле
относятся к рассеянию нейтронов, спины которых направлены вдоль
и против направления намагничивания соответственно.
Полное сечение рассеяния нейтронов можно представить в виде
суммы двух слагаемых
о = о0±о15 (11.3)
одно из которых 00 = S dfi (b2 + /^) - сумма ядерного и чисто
магнитного рассеяния, а другое ох ^ 5 d П 2b| fm \ - часть полного сечения,
обусловленная их интерференцией. Так как полное сечение рассеяния
нейтронов с ориентацией спина вдоль направления намагничивания
превосходит полное сечение для другой ориентации спина на значение
удвоенного интерференционного слагаемого [см. (11.3)], то при
прохождении нейтронов через вещество из пучка сильнее будут выбывать
нейтроны, спин которых направлен вдоль направления
намагничивания. Другая компонента пучка будет ослабляться медленнее.
Пользуясь законом ослабления пучка нейтронов в среде: J = J0 exp (-по х),
где п - концентрация ядер вещества, легко посчитать поляризацию
пучка нейтронов на выходе из образца толщиной d:
-nfa^ajd -n(a0 + ai)d
p(d)=— — =thnotd. (11.4)
-n(o-a)d -n(a+o)d
e l + e ° l
Формула (11.4) наглядно демонстрирует, что поляризация
нейтронного пучка, прошедшего через намагниченный образец, физически
обусловлена интерференцией между ядерным и магнитным рассея-

нием: если интерференционное слагаемое ot в полном сечении о будет
равно нулю, то поляризация пучка также обратится в нуль. Для
тонких образцов и при малых значениях d выражение (11.4) упрощается:
p(d) = thn Oj d^n 01 d.
Изменение поляризации в зависимости от толщины образца,
даваемое законом (11.4), показано на рис. 11.1. С увеличением толщины
поляризации быстро растет и при значениях d~ (3-M)L = (3-H)/not
выходит на насыщение, где р-1. На практике 100%-ную поляризацию
нейтронного пучка получить не удается, так как при увеличении
размеров образца не только растет поляризация, но и ослабляется
пучок за счет поглощения нейтронов в образце [поглощение нейтронов
при выводе (11.4) не учитывалось]. Реально достижимые значения
поляризации составляют р =» 0,5 -*- 0,6.
Есть еще одно неудобство метода пропускания, которое сводится
к требованию намагничивания образца практически до полного
насыщения. Если насыщение неполное, то различия в ориентации,доменов
приводят к значительной деполяризации пучка. В экспериментах
используют поля напряженностью порядка 8-10" А/м.
Недостатком метода является также его непригодность для
поляризации холодных нейтронов, для которых намагниченные образцы
будут прозрачными при любых ориентациях спина нейтрона
относительно направления намагничивания. Как указывалось в § 10.1, в силу
когерентности рассеяния холодные нейтроны проходят
поликристаллические образцы не рассеиваясь.
Для измерения степени поляризации прошедшего пучка может
быть использован эффект двукратного прохождения. Пучок нейтронов
последовательно пропускают через два намагниченных до насыщения
образца, один из них служит поляризатором, а другой анализатором.
Измеряют интенсивность прошедшего образцы пучка в двух опытах:
когда поляризатор и анализатор намагничены в одном направлении
(1Г) и когда они намагничены в противоположных направлениях (12).
Зная /t и /2, легко рассчитать сечение ot и затем, используя (11.4),
определить степень поляризации пучка.
Р .
Рис. 11.1. Зависимость степени поляризации пучка от /
толщины мишени в метоле пропускания |£
0 cL

. В заключение заметим, что в опытах, в которых нейтроны
пропускались через образец намагниченного железа, а затем рассеивались
другим намагниченным образцом, впервые было показано, что нейтроны
обладают магнитными свойствами.
11.2. ОТРАЖЕНИЕ НЕЙТРОНОВ ОТ НАМАГНИЧЕННЫХ ЗЕРКАЛ
Впервые на возможность использования нейтррнно-оптических
явлений (двулучепреломления и полного внешнего отражения) для
поляризации медленных нейтронов указали И.Я. Померанчук и
А.И. Ахиезер. Экспериментально эта возможность была реализована
Юзом и Берджи.
Пусть на плоскую поверхность намагниченного ферромагнетика
падает пучок неполяризованных нейтронов (вначале будем
рассматривать общий случай падения, когда угол скольжения превышает
критический). Тогда в среде этот пучок в соответствии с формулой
для показателя преломления нейтронов
л = 1 - к2
Nb
ког т _
± —5-v M
2п 4л2Ь2
(11.5)
расщепится на две компоненты. В одной из компонент спин всех
нейтронов будет направлен вдоль поля [знак плюс в (11.5)], в другой
спин нейтронов будет ориентирован против направления
намагничивания [знак минус в (11.5)]. Каждая компонента будет иметь свой
показатель преломления. Если интересоваться зависимостью
характеристик расщепленных пучков только от свойств среды, то из (9.1) и (11.5)
можно сделать вывод, что направление распространения нейтронных
волн в среде и, следовательно, угловая расходимость компонент
пучка определяются двумя факторами: длиной когерентного рассеяния
нейтронов в среде и значением магнитной индукции. При заданном
значении Ьког угловая расходимость преломленных пучков будет тем
больше, чем больше магнитная индукция, но даже При индукции,
соответствующей насыщению, она не настолько велика, чтобы само по
себе явление магнитного двулучепреломления можно было бы
использовать для получения заметно разделенных в пространстве
поляризованных пучков.
Однако, как видно из той же формулы (11.5), между ядерным и
магнитным слагаемыми возможно такое соотношение, при котором
показатель преломления для нейтронов с одной проекцией спина на
направление намагничивания станет больше единицы (nt > 1), а для
нейтронов с другой проекцией - меньше единицы (п2 < 1). Это означает,

что нейтроны, для которых выполнено условие п2 < 1 при углах
падения первичного пучка на образец, меньших критического, будут
отражаться от его поверхности, тогда как нейтроны, для которых nt>l,
пройдут его насквозь. Вторичные пучки нейтронов будут заметно
разделены в пространстве, и нейтроны в них будут иметь различную
ориентацию спина относительно направления намагничивания. В этом
и состоит принцип метода получения поляризованных нейтронов с
помощью намагниченных зеркал.
Условие, при котором в ферромагнетике можно получить два
пучка - один с nt > 1, а другой с п2 < 1, имеет вид
NbKor<\iBm/2nh2. (11.6)
Из известных природных ферромагнетиков (Fe, Co, Ni) только
кобальт имеет самую маленькую положительную длину когерентного
рассеяния ЬКОг = 2,78 фм (см. таблицу приложения 4), поэтому для него;
условие (11.6) выполняется при относительно небольшом намагничи-'
вании В ~ 0,65 Внвс (Виас - значение магнитной индукции,
соответствующее насыщению). При намагничивающем поле, удовлетворяющем
условию (11.6), кобальтовое зеркало отражает практически все
нейтроны, спин которых направлен по полю, и пропускает те нейтроны, спин
которых направлен против поля.
Максимальная степень поляризации отраженного пучка, которую
удалось получить в экспериментах с кобальтовыми зеркалами,
составила 98%. Невозможность получения стопроцентной поляризации
можно объяснить несовершенством кристаллической структуры зеркала
и его поверхности. Прошедший пучок, имеющий поляризацию
противоположного знака, в экспериментах не используется, так как ему
присущи все недостатки пучка, полученного методом пропускания (см.
§11.1).
Метод получения поляризованных нейтронов при помощи
отражения от намагниченных зеркал применим к нейтронам любой
энергии, в том числе и к холодным нейтронам. Со стороны высоких
энергий метод имеет ограничение, связанное с уменьшением критического
угла скольжения при увеличении энергии нейтронов.
С помощью кобальтовых зеркал можно получать пучки нейтронов
как с продольной, так и с поперечной поляризацией. Если вектор
намагничивания зеркала параллелен его поверхности и лежит в
плоскости падающего и отраженного пучков, то получаются нейтроны с
продольной поляризацией (рис. 11.2, а). Если вектор В параллелен
отражающей поверхности и перпендикулярен к плоскости падающего и
отраженного пучков, нейтроны будут поперечно поляризованными

ml*t\ ku
Phc. 11.2. Варианты отражения нейтронов от намагниченного зеркала
(рис. 11.2, б). Для полноты картины укажем еще один возможный
случай отражения, в котором вектор магнитной индукции
перпендикулярен поверхности зеркала (рис. 11.2, в). В этом случае поверхность
зеркала не является магнитной границей, для нейтронов и поэтому
магнитное взаимодействие не будет оказывать влияния на отражение
нейтронов, т.е. поляризованные нейтроны получить нельзя. Этот
результат, как будет видно далее (см. § 11.3), является подтверждением
швингеровской модели нейтрона, в которой магнитный момент
нейтрона считается обусловленным внутренними токами.
Степень поляризации нейтронного пучка, отраженного от зеркала,
можно измерить, если на пути пучка поставить другое зеркало,
играющее роль анализатора (рис. 11.3). Аналогичным образом измеряется
поляризация в методе пропускания (см. § 11.1). При совпадении
направлений намагниченности первого зеркала (поляризатора) и
анализатора счет детектора D будет максимальным. Если направления
намагничивания поляризатора и анализатора противоположны, счет
детектора будет близок к нулю. Данная постановка опыта дает
возможность наблюдать все изменения, которые могут происходить с
нейтронами на пути между двумя зеркалами. Именно в такой постановке
было выполнено множество исследований, в которых изучались как
свойства самого нейтрона, так и характеристики его взаимодействий.
В 1967 г. был предложен прямой способ измерения степени
поляризации нейтронного пучка по наблюдению эффекта разделения
его в сильном неоднородном магнитном поле (аналог опыта Штерна-
Герлаха). В этом способе пучок нейтронов, отраженный от зеркала
поляризатора, пропускался через зазор в магните, создававшем
резко неоднородное магнитное поле. Направления полей в зазоре и в
зеркале выбирались одинаковыми. За зазором пучок нейтронов расщеп-
Анализатор

Рис. 11.4. Разделение поляризованного
пучка нейтронов в неоднородном магнитном
поле:
пунктирная линия соответствует не-
вклточенному полю
-2 0 2
Смешение детектора, мм
лялся на две компоненты в соответствии с двумя проекциями спина
на направление поля. Отклонение пучка регистрировалось с помощью
системы коллиматоров. На рис. 11.4 приведен результат опыта по
отклонению в сильном магнитном поле пучка, поляризованного с
помощью зеркала. Профиль пучка, входящего в поле, показан
пунктиром. Степень поляризации нейтронного пучка можно определить по
отношению площадей под правым Sn? и левым 5Л (относительно
нулевого положения) максимумами:
Р =
Snp-Sn
*пр + *л
A-SJS
пр
1+SJS
пр
Заметим, кстати, что наблюдение двух максимумов в данном опыте
с частично поляризованным пучком, отраженным от зеркала,
показывает, что спин нейтрона равен 1/2.
11.3. ПРИРОДА МАГНИТНОГО МОМЕНТА НЕЙТРОНА
Если полагать нейтрон и протон точечными частицами, то теория
Дирака предсказывает, что их магнитные моменты должны быть
равны соответственно 0 и 1 (в ядерных магнетонах ЦБ).
Экспериментальные же значения магнитных моментов не совпадают с теоретическими:
магнитный момент нейтрона имеет большое отрицательное значение
цп = - 1,91 цБ, а магнитный момент протона, хотя и положителен, но
аномально большой цр - 2,79 цБ. При этом "аномальные" магнитные
моменты нейтрона и протона (цэксп- \ireov) приблизительно равны по
. абсолютному значению. Данное несоответствие теории Дирака и
эксперимента недвусмысленно говорит о том, что нейтрон (как и протон)
имеет сложную внутреннюю структуру, которой, в сущности, и
определяется его магнитный момент.

Факт существования магнитного момента у нейтральной частицы,
каковой является нейтрон, долгое время казался непонятным, и это
обстоятельство породило проблему природы магнитного момента.
Впоследствии она была разрешена экспериментально. Первые попытки
ее теоретического разрешения относятся к моменту появления работы
Блоха (1936 г.), в которой было указано, что наличие у нейтрона
магнитного момента должно приводить к появлению магнитного
рассеяния. Оно обусловливает специфическую добавку к сечению рассеяния
в ферромагнетике, зависящую от спина нейтрона (см. § 8.3).
Приблизительно через полгода Швингер подтвердил основные выводы,
содержащиеся в работе Блоха, однако получил отличные от него значения
сечения магнитного рассеяния. Еще через полгода ленинградский физик
М.Б. Бронштейн получил новые результаты для сечений,
отличавшиеся от двух предыдущих работ. Вскоре появилась новая работа Блоха,
в которой все эти различия были объяснены. Оказалось, что при
вычислении сечений во всех трех работах использовались разные
гамильтонианы взаимодействия. Если представить энергию магнитного
взаимодействия в виде
£/ = -д(Н + 4лсМ), (11.7)
где М - магнитный момент единицы объема среды; с - некоторый
параметр, то модели Блоха соответствует с = О, модели Швингера с = 1 и
модели Бронштейна с= 1/3. Физически это означает, что Блох
рассматривал нейтрон в виде точечного магнитного диполя (истинного
диполя), Швингер сопоставлял нейтрон элементу тока (магнитный момент
нейтрона был обусловлен стационарным распределением тока),
Бронштейн представлял нейтрон в виде равномерно намагниченного шара
конечных размеров.
В послевоенные годы проблеме магнитного момента нейтрона
был посвящен еще ряд теоретических работ, но лишь с появлением
работы Мигдала была теоретически обоснована швингеровская
модель тока. Окончательный выбор варианта модели мог быть сделан,
конечно, только в эксперименте. Такие эксперименты стали
возможными с появлением ядерных реакторов, являющихся интенсивными
источниками нейтронов.
Прежде чем перейти к экспериментальным доказательствам
швингеровской модели магнитного момента, сделаем небольшое
отступление. Заметим, что двум полярным в физическом отношении
моделям т. точечного магнитного диполя и стационарного тока -
соответствуют разные энергии магнитного взаимодействия: - ц (Н +

+ 4лМ) = -цВв модели тока и - ц Н в модели диполя*. В
ферромагнетиках В на несколько порядков больше Н, поэтому энергии
магнитного взаимодействия очень сильно различаются для этих двух моделей.
Отсюда очевидно, что возможность выбора правильного варианта
модели может быть основана на наблюдении явлений, чувствительных
к энергии магнитного взаимодействия. Примером таких явлений
может служить полное внешнее отражение нейтронов
ферромагнетиками. Действительно, как уже указывалось ранее (см. § 9.3), полное
внешнее отражение может наблюдаться только в веществах, для
которых Ьког > 0. Если к тому же это вещество является ферромагнетиком,
то при намагничивании его показатель преломления изменится.
Особенности изменения преломления нейтронов и, следовательно,
изменения условий наблюдения полного внешнего отражения зависят от
вида магнитного взаимодействия нейтрона с веществом. Допустим,
что справедлива модель тока, т.е. энергия магнитного
взаимодействия равна - ц В. Тогда из формулы для критического угла скольжения
(9.25) следует, что при соответствующей длине волны нейтронов и
при достаточно сильном намагничивании зеркала критические углы
скольжения могут весьма заметно отличаться от тех, которые
возможны при наличии только ядерного рассеяния. Главное же, однако,
состоит в том, что при определенных ориентациях вектора
намагниченности должны наблюдаться два критических угла скольжения, а не
один, как при чисто ядерном рассеянии. Существование их
обусловлено особенностями поведения вектора индукции на границе раздела
двух сред.
Граничные условия для нормальных компонент магнитного поля
получаются интегрированием уравнения Максвелла divB = 0 по
некоторому объему, включающему участок поверхности раздела двух
сред. В результате получается В1п = В2п или \i2 H2n=\i1 Hln. Это
означает, что нормальные компоненты индукции непрерывны, а
нормальные компоненты магнитного поля терпят разрыв на поверхности
раздела сред.
Граничные условия для тангенциальных компонент магнитного
поля получаются интегрированием другого уравнения Максвелла:
* Энергия взаимодействия магнитного момента нейтрона с магнитным полем в модели
тока есть — цВ, так как ток i, создающий магнитный момент, равный iS (S — площадь,
охватываемая током), является макроскопической величиной. В среде на этот ток
воздействует макроскопическое поле, которое по определению есть В. Напротив, в модели
диполя энергия взаимодействия магнитного момента с полем равна — |»Н, так как нз-за
отсутствия размеров диполь в среде будет чувствовать только микроскопическое поле,
которое по определению есть Н.

Рис. 11.5. Поведение компонент Н (в) и В (6)
на границе среды
4п 1 3D „
rot Н = 70 + — . Из него следует, что тангенциальные компо-
с с dt
ненты магнитного поля непрерывны, а тангенциальные компоненты
магнитной индукции претерпевают разрыв на поверхности раздела
сред, т.е. H2f = HJf или B2f/\i2 = В^/щ. Схематически поведение
различных компонент магнитного поля и индукции показано на
рис. 11.5, а, б соответственно. Длина векторов на рисунке
характеризует значения индукции поля.
При ориентации вектора намагниченности, соответствующей
случаям, изображенным на рис. 11.2, а, б, поверхность тела будет
магнитной границей сред (в данном случае пустоты и зеркала), поэтому
возможно зеркальное отражение. В случае, изображенном на
рис. 11.2, в, поверхность тела не является магнитной границей для
нейтронов, поэтому условия распространения нейтронов при переходе
из одной среды в другую не меняются.
Если бы, энергия магнитного взаимодействия нейтронов с
веществом определялась не индукцией В, а полем Н (как.в модели
точечного диполя), то, учитывая особенности поведения на границе
вектора Н, можно было бы показать, что два критических угла наблюдались
бы в случае, изображенном на рис. 11.2,в. В случаях, показанных на
рис. 11.2, а, б, среда не влияла бы на распространение нейтронов в ней.
Правильность швингеровской модели тока была экспериментально
доказана в 1951 г. работами Юза и Берджи, Шалла и др.
В опытах Юза и Берджи изучалось отражение холодных нейтронов
от намагниченного железа. Холодные нейтроны получались
фильтрацией нейтронов от реактора через оксид бериллия. Вектор
намагниченности зеркала был параллелен его поверхности. Измерения
критического угла скольжения проводились при двух ориентациях вектора
намагниченности относительно плоскости падения: параллельной к
плоскости и перпендикулярной к ней. Результаты измерений
интенсивности отражения приведены на рис. 11.6. Данные для параллельной
и перпендикулярной ориентации вектора намагниченности отмечены
соответственно крестиками и точками. Плавные кривые -
результаты вычислений по модели истинного диполя и по модели швингеровс-
кого тока.
0
4/1
ПП
В'Л it
о
КгщгЩ \\*2п—с®

Результаты эксперимента однозначно указывают на соответствие
их модели тока. Наблюдаются, как видно из рис. 11.6, два критических
угла скольжения: один при 15 и другой при 30 угловых минутах. Для
выбранных направлений намагниченности зеркала два критических
угла скольжения возможны лишь в том случае, когда энергия
магнитного взаимодействия имеет вид ц В. Теоретическая кривая для
модели диполя имеет, как и следовало ожидать, только один максимум.
Отметим также совпадение данных для двух использовавшихся в
опыте ориентации вектора намагниченности. Это согласие указывает на
равноправность обоих вариантов намагничивания зеркала.
В опыте Шалла и др. изучалась дифракция нейтронов от
намагниченного образца - магнетита Fe304. Измерялась интенсивность
брэгговского отражения при различных направлениях намагничивания
образца. Не вдаваясь в детали сравнительно громоздкого вьюода
формулы для сечения магнитного рассеяния на кристаллах, отметим,
что зависимости интенсивности отражения от угла р между
направлением намагничивания и вектором рассеяния нейтрона должны быть
различными. В модели тока интенсивность брэгговского отражения
пропорциональна sin2 Э> а в модели диполя cos2f3. На рис. 11.7 приведены
экспериментальная и теоретические зависимости интенсивности
брэгговского отражения плоскостью (111) в магнетите от направления
намагничивания. Сравнение эксперимента и теории, как видно из
рис. 11.7, свидетельствует в пользу модели тока.
В заключение отметим, что прямым и самым ярким свидетельством
в пользу модели тока, безусловно, является факт наблюдения
поляризованных нейтронов, получаемых при отражении нейтронов от
намагниченных зеркал. Если бы энергия магнитного взаимодействия опре-
х]Г
1
ШХ±
i
Диполь
*"^>ч^7"ок
1
10
20
зо е,мин
Рис. 11.6. Результаты эксперимента по
отражению холодных нейтронов от
намагниченного железа
3D ВО
А гра-А
Рис. 11.7. Результаты эксперимента
(точки) н теоретические предсказания (1 -
модель диполя; 2 — модель тока) для
интенсивности отражения нейтронов от
намагниченного кристалла Fe О

делялась значением цН (как в модели диполя), то при
намагничивании зеркала вдоль поверхности получить поляризованный пучок
нейтронов было бы невозможно: зеркало не служило бы оптической
границей для нейтронов (см. §11.2).
Еще одно замечание сделаем относительно возможности
вычисления магнитного момента нейтрона. Строгой теории, которая могла бы
предсказать эту величину, сегодня не существует. Есть, правда,
феноменологические подходы, позволяющие качественно объяснить
приблизительное равенство аномальных магнитных моментов нейтрона и
протона. Так, в рамках мезонной теории нуклоны можно представлять
состоящими из "голого" нуклона и облака мезонов, окружающих его:
р»*л + л+, пг1р + п". В этом случае магнитный момент нейтрона
можно найти как сумму магнитного момента "голого" протона с
магнитным моментом ц„ = (1Б и магнитного момента, обусловленного
орбитальным движением отрицательного л-меэона. Вводя параметр,
характеризующий время, которое нуклоны проводят в
диссоциированном состоянии, можно объяснить приблизительное равенство
аномальных магнитных моментов нейтрона и протона.
В последние годы наилучшие предсказания для магнитных
моментов нуклонов были сделаны в рамках нерелятивистской кварко-
вой модели. В предположении, что магнитный момент кварков
пропорционален их заряду и обратно пропорционален их массе
т„ (т„ =* 1/3 т) и оператор магнитного момента нуклона является
.суммой операторов магнитных моментов всех кварков, составляющих
нуклон, было посчитано отношение магнитных моментов протона и
нейтрона, которое оказалось равным Цр/ц„ = - 3/2.
Глава 12. УЛЬТРАХОЛОДНЫЕ НЕЙТРОНЫ (УХН)
12.1. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УХН
Выделению физики УХН в самостоятельное направление
способствовала необычность свойств нейтронов очень низких энергий.
Будучи направленными на поверхность большинства сред, они
отражались от поверхности вне зависимости от того, под каким углом
они на нее попали. Нейтроны, испытывающие такое полное отражение,
и были названы ультрахолодными. Заметим, кстати, что эффект
полного отражения имеет, как будет показано далее, сугубо волновую
природу. Становление физики УХН стало возможным лишь после того,
как ученые научились создавать пучки этих столь необычных частиц.

На существование явления полного отражения нейтронов очень
низких энергий и на вытекающую из него возможность длительного
хранения нейтронов в специальных емкостях, получивших название
"нейтронных бутылок", указал в 1959 г. Я.Б. Зельдович в работе
"Хранение медленных нейтронов". Для удержания нейтронов в замкнутом
сосуде Я.Б. Зельдович предложил использовать тот факт, что с
уменьшением энергии нейтрона, т.е. с увеличением его длины волны,
действительная часть показателя преломления уменьшается и, начиная
с некоторой характерной (граничной) для данного материала длины
волны А.гр и энергии Егр, становится равной нулю. Это означает, что
нейтроны с длиной волны большей к (и Е < Ег ) в среде
распространяться не могут и будут отражаться от поверхности среды при любых
углах падения на нее. Это обстоятельство и может быть использовано.
для удержания нейтронов в герметических емкостях.
Энергия нейтронов, удерживаемых в бутылках, исключительно
мала. Эффективная температура нейтронного газа составляет всего
Г« Ю-3 К. Столь низкая температура и определила термин
"ультрахолодные нейтроны", под которыми стали подразумевать нейтроны с
энергией «Ю-7 эВ и менее. Ранее термином "ультрахолодные
нейтроны" обозначали нейтроны с энергиями =«10"4 эВ. Применять его в
нынешнем обозначении, подразумевая под УХН нейтроны, способные
испытывать полное внешнее отражение, предложили И.М. Франк и
Штайерл.
Замечательная особенность хранения нейтронов в сосудах состоит
в том, что газ УХН с температурой Ю-3 К может храниться в сосуде с
температурой стенок - 300 К.
В течение длительного времени после появления работы Я.Б.
Зельдовича ни теоретические, ни экспериментальные исследования УХН
практически не проводились. Причин, сдерживающих их развитие,
было две. Во-первых, эксперименты с УХН казались безнадежными
ввиду исключительно сложных фоновых условий, которые ожидались
при регистрации УХН (доля УХН в спектре обычного теплового
реактора составляла всего примерно Ю-12 полного потока тепловых
нейтронов). И, во-вторых, не было физических задач, которые
стимулировали бы использование УХН. В 60-е годы появилась задача, решение
которой требовало использования нейтронов очень низких
энергий, - проблема поиска электрического дипольного момента у
нейтрона. Интерес к ней был обусловлен тем, что решение ее давало
возможность независимым путем подтвердить обнаруженное в 1964 г. в
опытах Фитча и Кронина явление несохранения СР-четности в слабых
взаимодействиях. Использовать УХН для решения этой задачи предло-

жил Ф.Л. Шапиро. Это стимулировало работы по получению и
хранению УХН, й впервые они были зарегистрированы в 1968 г. группой
Ф.Л. Шапиро на импульсном реакторе ИБР-1. Практически
одновременно Штайерл получил УХН на стационарном реакторе в Мюнхене.
С тех пор за прошедшие годы физика УХН добилась больших
успехов. Были разработаны простые и эффективные способы их получения,
регистрации и вывода через биологическую защиту ядерного реактора.
Осуществлены опыты по хранению нейтронов как в нейтронных
бутылках, так и в магнитных бутылках, предложенных В.В.
Владимирским. ,
В физике УХН используются специфические методы исследований,
разработанные специально для УХН и отличающиеся от традиционных
методов нейтронной физики, например, гравитационные
спектрометры. Принцип их действия основан на существенной зависимости
энергии УХН от высоты подъема его в поле тяготения Земли.
Энергетическое разрешение гравитационного спектрометра Штаиерла составляет
всего 2 нэВ.
Наряду с развитием экспериментальной техники сложился и круг
разнообразных физических задач, которые могут быть решены с
помощью УХН. Эти задачи относятся как к области фундаментальных
исследований, так и прикладных. Ведутся работы по поиску
электрического дипольного момента нейтрона, вопрос о существовании
которого тесно связан с проблемами нарушения симметрии микромира.
Изучаются связанные состояния нейтронов в полях различной
природы. Эти исследования служат проверкой основных положений и
выводов квантовой механики. Изучаются свойства пленок из различных
материалов, поверхности твердых тел и т.д. Особо следует выделить
работы по созданию нейтронного микроскопа, идею которого
выдвинули Ф.Л. Шапиро и И.М. Франк. В настоящее время эти работы из стадии
проектов перешли в область практической реализации. Все сказанное
позволяет говорить о развитии нового самостоятельного
направления - физики УХН. Значительный вклад в формирование его внесли
работы советских ученых. Особенно велики заслуги Я,Б. Зельдовича,
высказавшего идею о возможности накопления УХН, и Ф.Л. Шапиро,
доказавшего возможность экспериментальных исследований с УХН.
12.2. ОПТИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ
В гл. 9 мы познакомились с явлением полного (внешнего)
отражения медленных нейтронов от поверхности конденсированных
веществ. Сущность этого явления состоит в том, что нейтронные волны,

падающие на плоскую поверхность оптически менее плотной по
сравнению с вакуумом среды (показатель преломления среды п < Г), при
определенных углах скольжения, меньших критического 8кр, будут
практически полностью отражаться от поверхности. Для углов
скольжения, больших критического, нейтронные волны будут преломляться
внутрь среды. Значение критического угла скольжения можно найти
из закона преломления нейтронных волн, являющегося аналогом
закона Снеллиуса для света
п = cos, 8 / cos ф ,
(12.1)
где 8 и ф - соответственно углы скольжения нейтронов в пустоте и
среде. Подставляя сюда угол скольжения ф = 0е, получаем cos 8К = п
или 9_,n = arccos п.
В рамках оптического подхода также была найдена зависимость
интенсивности отраженных волн от угла падения (9.33):
Я (9) =
-/n2- costs'- sin 8
■/n2-cos2B + sin 9
VcosseKp-cos28 -sin в
Vcos2eKp-cos:18 +sin8
Из формулы для R (9) следует, что зависимость коэффициента
отражения от утла скольжения очень резкая: при 8 > 8кр доля отраженных
нейтронов близка к нулю, а в интервале углов 0 < 8 < 8кр от
поверхности отражаются все нейтроны (R = 1).
Поскольку показатель преломления нейтронов зависит от свойств
нейтрона, среды и характеристик взаимодействия нейтронов с
атомами, логично предположить, что в принципе возможна ситуация, при
которой
n=cos8Kp = 0, (12.2)
т.е. 9кр = л/2 и, следовательно, R = 1 для всех углов падения: 0 < 8 <
< л/2. В этом случае нейтроны не могут войти в вещество, они всегда
будут отражаться от поверхности среды, под каким бы углом они
на нее ни попали.
В каких случаях показатель преломления для нейтронов может
стать равным нулю?
Из (9.12) прежде всего видно, что оптически менее плотными
(п < 1) и, следовательно, допускающими явление ПВО будут те среды,
для которых Ьког > 0. Как показывает опыт, длина когерентного
рассеяния может быть как положительной, так и отрицательной. Боль-

шинство же сред являются оптически менее плотными, ъе. для них
ЬКог > 0 и соответственно п < 1 (см. таблицу приложения 4).
Итак, допустим, что для рассматриваемой среды Ьког > 0. В этом
случае, как следует из (9.12), с увеличением длины волны нейтронов
квадрат показателя преломления монотонно уменьшается и при
характерной (граничной) для данного материала длины волны А.гр
становится равным нулю. Полагая п = 0, получаем
**-[■%■)"'■ <■"»
Равенство нулю показателя преломления означает, что скорость
нейтронов в среде в соответствии с (9.1) также будет равна нулю, т.е.
нейтронная волна в среде распространяться не может. Все нейтроны
с длиной волны, большей граничного значения
*>V (12.4)
проникнуть в среду не могут и будут отражаться от стенок сосуда.
Для нейтронов с X > Хгр, т.е. для УХН, квадрат показателя
преломления отрицательный и, следовательно, сам показатель преломления
чисто мнимый. Значения граничной энергии, длины волны и скорости
для некоторых веществ приведены в табл. 12.1.
Говоря о полном отражении УХН от поверхности, мы
предполагаем, что коэффициент отражения всегда равен 1. В реальных условиях
R незначительно отличается от 1, так как часть нейтронов
обязательно будет поглощаться поверхностью. Однако если сравнивать
отражение нейтронов и света поверхностью тел, то можно' увидеть, что при
однократном отражении потери света на поверхности гораздо выше,
чем потери УХН.
Таблица 12.1. Значения Б. А. и т для некоторых веществ
Вещество
А1
Си
С (графит, плотность 2 г/ем3)
Be
ВеО (2,9 г/ем3)
DaO (1,105 г/см3)
Нержавеющая сталь (1Х18Н9Т)
Стекло
Свинец
£гр,нэВ
0,54
1,68
1,73
2,43
2,62
1,66
1,82
0,9
0,87
\гр,нм
123
69,8
68,7
58
55,8
70,2
67,0
95,3
96,9
v^.m/c
3,22
5,'67
5,75
6,81
7,08
5,63
5,90
4,15
4,08

12.3. КОРПУСКУЛЯРНОЕ УСЛОВИЕ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ
' Полное отражение нейтронов от поверхности веществ и условия,
при которых оно осуществляется, проще всего понять при
классической корпускулярной формулировке условия отражения. Пусть в
вакууме нейтрон движется со скоростью v0. В среде он будет иметь
другую скорость уф v0. Это различие естественно приписать действию
на нейтрон в среде со стороны ее ядер эффективного потенциала U,
который и изменяет характеристики его движения. Будем считать
пока, что среда непоглощающая, т.е. потенциал U есть действительная
величина. Закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось
условие
mvjj тч2
+1/. (12.5)
Из этого соотношения видно, что при переходе нейтрона в среду
энергия и скорость его меняются скачком, причем при переходе в
среду с отрицательным потенциалом скорость нейтрона и энергия его
возрастают, а при переходе в среду с положительным потенциалом
скорость и энергия нейтрона уменьшаются.
Далее будем рассматривать только те среды, для которых
потенциал взаимодействия нейтронов с атомами положительный: U > 0, т.е.
сила, действующая на нейтрон со стороны атомов среды,
выталкивающая. В этом случае при переходе нейтрона в среду его скорость
уменьшается, причем
v2=vo-v™- <116)
о гр
Здесь v обозначена величина
W^"' (12Л)
представляющая собой то значение скорости, при котором
кинетическая энергия свободного нейтрона в среде равна его потенциальной
энергии. Учитывая (9.11), соотношение (12.7) можно записать в виде
v* = • (12.8)
Если v0 > vrp, то при переходе в среду скорость нейтрона
уменьшается скачком в соответствии с (12.6). Если выполняется обратное

неравенство
v0<vrp, (12.9)
то при любом угле падения нейтроны проникнуть в среду не смогут,
так как квадрат их скорости в среде v2 будет меньше нуля.
Соотношение (12.9) и есть классическое условие полного отражения. Величину
vrp называют граничной скоростью для данного вещества. Для
большинства твердых веществ ее значение находится в диапазоне
нескольких метров в секунду (см. табл. 12.1).
Подчеркнем существенную особенность взаимодействия
нейтронов с веществом: при переходе из вакуума в среду из трех компонент
скорости скачком меняется только компонента vz, нормальная к
поверхности среды. Эта особенность есть следствие того, что сила,
действующая на нейтроны вблизи границы среды, направлена по нормали
к ее поверхности; силы, действующие на нейтрон в любом
направлении, лежащем в плоскости ху, уравновешивают друг другая
Переписывая (12.6) в виде
v*+ vy+ s\= vo*+ vSy + v%z- v2p
и принимая во внимание, что \х= vox, vy= voy, получаем
v,2=v2,-v^. (12.10)
Из (12.10) видно, что для проникновения нейтрона в среду
необходимо, чтобы voz > vrp, т.е. равенство voz= vrp определяет угол ПВО для
нейтронов с любым v0. При v0 > vrp полное отражение будет
происходить при углах, меньших критического 8кр (см. § 9.3). С уменьшением
скорости критический угол растет и при v0 < vrp полное отражение
возможно при любых углах падения. Это и есть случай УХН.
Граничной скорости vrp можно сопоставить соответствующую
граничную энергию. £Гр = т у2р/2> которая, как это следует из (12.7), будет
равна эффективному потенциалу взаимодействия нейтронов со
средой: £гр = U. Если на нейтроны в среде действуют только ядерные силы,
то
V -Г- - -i^r = -^- • (12.П)
В соответствии с определением (9.1) показатель преломления для
нейтронов можно записать в виде
n2 = k2/k2 = v2/v2,

или, учитывая (12.6), как
"2 = 1--Г-- (12.12)
"о
Из (12.12) заключаем, что для непоглощающей среды, имеющей
Ьк0г > ° ^Ьког ~ действительная величина), значение п2 при
уменьшении скорости нейтронов убывает и при v0 < v n2 - отрицательно, а
сам показатель преломления мнимый. Это и определяет особенности
оптики УХН.
От корпускулярного языка легко перейти к волновому. Обозначая
fc2 = m2 v2n / Л2 и принимая во внимание (12.8), получаем к2 =4nNbr„.
гр гр гр ког
Так как fc = mv/fi, fc0 = mv0/ft, уравнения (12.6) и (12.10) перепишутся
в виде
k2 = kl-k2Tp = k2-4nNbK0T; (12.13а)
fc2=fc«- fe^-kSi- 4nNbKor. (12.136)
Из (12.136) по аналогии с (12.10) следует, что полное отражение
(случай УХН) будет происходить при ког > fcrp. Важно подчеркнуть, что
если Ьког - постоянная величина (не зависящая от fc), то скачок z-тл
компоненты волнового вектора тоже постоянный. Эта особенность
преломления определяет закон дисперсии нейтронных волн. Действительно,
при угле скольжения 8
k%z = fc2 sin2 9 = fc2 (1 - cos2 9); (12.14a)
fc2=fc2sin2i|) = fc2n2sin2ij). (12.146)
Вычитая (12.146) из (12.14а) и принимая во внимание соотношение
п2 sin2 ф = п2 - cos2 9, следующее из закона преломления (12.1),
получаем k%z - fc2 = fc2. (1 - п2). С другой стороны, эта же разность, как
видно из (12.136), равна 4лЛ/"ЬК0Г, т.е.
*S«-*?-*S(l- n2) = 4nNbKor. (12.15)
Отсюда следует, что если Ьког - постоянная, не зависящая от fc, то
1- п2 будет пропорциональна А.2.
Так как в преломлении и отражении нейтронных волн
существенны только нормальные к поверхности компоненты скорости и
волнового вектора, удобно вместо волны, падающей под углом 9 к
поверхности, рассматривать волну, распространяющуюся по нормали к
поверхности и имеющую скорость voz и волновой вектор fcor. Для этой

волны по определению nz = kz/k0z, а зависимость показателя
преломления от скорости нейтрона получается из (12.12) заменой v0 на voz, т.е.
к -2 - -Ч- ■ <12-16)
12.4. ПОГЛОЩЕНИЕ УХН
Выше уже не раз говорилось о том, что УХН при любых углах
падения на твердое тело будут отражаться от его поверхности. Почему
же все-таки возникает вопрос о поглощении УХН? Чтобы это понять,
нужно более тщательно проанализировать особенности отражения и
распространения медленных нейтронов в среде. До сих пор
предполагалось, что поглощение нейтронов средой отсутствует, а нейтроны
только упруго рассеиваются атомами среды. Именно рассеянием и
объяснялись явления преломления и отражения нейтронов.
На самом деле прохождение медленных нейтронов через среду
сопровождается не только интенсивным рассеянием,
характеризуемым сечением оког = 4 л Ь£ (всюду далее символ "ког" у когерентной
амплитуды рассеяния будем опускать), но и процессами захвата и
неупругого рассеяния, характеризующимися соответствующими
сечениями оа и о1П. С точки зрения описания распространения волн это
означает, что если ранее значения эффективного потенциала, длины
когерентного рассеяния, скорости и волнового вектора нейтрона
в среде и, следовательно, показатели преломления считались
вещественными, то теперь их следует брать комплексными, т.е.
U = U'-iU"; b = b'-ib";
V2 = у2 _ у2 + j v?; fc2 = fc2 _ £2 + j fc2-
Jfc^Jfc^-Jfc^ + ik2; n2=e' + ie". (12.17)
Обозначения действительных и мнимых частей перечисленных
величин очевидны.Здесь
V =
гр
fc= -
h2
т v
Nb'
п
fco =
v.=
m'v0
ft
h2 Nb" ш
ma л
т2ч2
. и- ГР
' > ft*
= 4лЛГЬ';

к2 4лЛГЬ". (12.18)
Обычно Ь очень мало по сравнению с Ь'. В самом деле, b' во многих
случаях составляет ~10~12 см (для меди b'= 7,718 ■ 10~13 см - см.
таблицу приложения 4). Что касается значения Ь", то его можно оценить из
оптической теоремы. В случае рассеяния нейтронов на
изолированных ядрах оптическая теорема имеет вид
of= — Im/(0), (12.19)
к
где 0( = о a+os- полное сечение; /(0) - амплитуда упругого рассеяния
нейтрона на угол 0*. Из теории упругого рассеяния нейтронов следует,
что / (0) связана с длиной рассеяния Ферми а соотношением / (0) =
= - а (1 - i fc а). Если наряду с рассеянием нейтронов возможен их
захват, то а - комплексная величина. Так как при fc -* 0 oa~l/fc, а 0^=*
- const, то ot* oa и /(0) - - а. Подставляя эти значения в (12.19),
находим
oe=^lm/(0)=-^fl"
fc к
к
или а"= о (а"- мнимая часть длины рассеяния). Обобщая это со-
4п
отношение для среды, получаем Ь = оа. Поскольку в среде кроме
захвата существенно и неупругое рассеяние, то о = -г— Of = — (оа + ain).
Полагая, что для меди при энергиях тепловых нейтронов 0^
- 10~23 см3, получаем Ь"= 0,3-10"ls см, что, как видим, составляет
менее одной тысячной Ь'. Аналогично соотносятся и t/'и U", которые в
соответствии с (9.11) определяются значениями Ь'и Ъ", умноженными на
одинаковый числовой коэффициент, т.е. t/'» U". Поэтому в
большинстве явлений, связанных с медленными нейтронами, b"(U") можно пре- ,
небрегать и считать b(U) вещественными.
Однако для УХН следует учитывать b"(U"), так как если этого не
делать, то коэффициент отражения УХН окажется равным 1, т.е. для
физики УХН крайне существенен учет b"(U").
Именно мнимая часть эффективного потенциала обусловливает
в соответствии с общими положениями квантовой механики
затухание волновой функции нейтрона в среде. Действительно, умножая

уравнение Шредингёра на комплексно сопряженную волновую
функцию ф*, а комплексное сопряженное ему уравнение .на ф и
комбинируя их,находим
#~J>>K (I2.20)
at n
т.е. плотность нейтронов в среде в зависимости от времени будет
уменьшаться с характерным временем жизни т, определяемым U":
'■-775* • ' <12'2,)
т и, следовательно, U" можно связать с характеристиками среды и
взаимодействия нейтронов со средой. Известно, что сечения захвата
нейтронов свободными атомами о„ меняются по закону 1/v. Для среды
этот закон нужно преобразовать, заменив в соответствии с (12.6)
скорость нейтронов в вакууме на эффективную скорость нейтронов в
среде: (v2 - v2 )1/2. Отметим, то в таком случае сечения приобретают
особенность при v0 = v^. Для УХН при v0 < v_ сечения становятся
мнимыми, т.е. теряют физический смысл. В то же время произведение
0„ (v2 - v2 )1/2 не имеет особенности при v0 = v_ и может быть измерено
на опыте. Если его умножить на концентрацию атомов в среде N, то
оно будет равно т-1, т.е. обратному времени жизни нейтронов в среде.
Поэтому
U"= JLjvoJvg-v2 )1/2.
Время жизни УХН в среде ограничивает не только захват, но и
неупругое рассеяние нейтронов на тепловых колебаниях среды. Поэтому
U", как показывают детальные исследования, следует писать в виде
U"= -^ N (ов + 01П) (v2 - v2p) Уа . (12.22)
Использование комплексного эффективного потенциала с мнимой
частью (12.22) позволяет рассчитывать все особенности
взаимодействия УХН со средой.
Рассмотрим теперь некоторые особенности распространения УХН
в поглощающих средах в рамках оптического подхода: Показатель
преломления для УХН в соответствии с (9.1) и (12.17) будет так же, как

и U, комплексным:
п2 = 1 - -2- + i ~ ■ (12-23)
При этом его действительная часть будет обусловлена когерентным
рассеянием волн, а мнимая - поглощением частиц.
По аналогии с (12.8) v? можно выразить через Ъ":
, h3 Nb"
v2= — — . (12.24)
Принимая во внимание оптическую теорему (12.19), где под ot
подразумевается ot = oa + oin, т.е. сумма сечений захвата нейтрона и их
неупругого рассеяния, приводящего к нагреву, получаем
, h1 Nb" % ЛГ , .
vf ~ JVo(v0) v0 .
Подчеркнем, что если сечение о (v0) следует закону l/v0, то v,- и b"
постоянные величины.
Найдем теперь, чему равны действительная п' и мнимая п"части
показателя преломления: n=n'+in". Возводя в квадрат п и сравнивая
с (12.23), получаем
Vs
е'=(п'*-п"2)=1 £-; (12.25)
е"= 2„' п"= -3- = -^ -^ • (12.26)
VS т vo
Здесь б' и е- действительная и мнимая части квадрата показателя
преломления.
Если v < V-, то е'- отрицательна, т.е. мнимая часть показателя
преломления больше действительной: п"> п'. Из (12.25) и (12.26) следует,
что е"= (1-е') v?/v2 . Так как ь"« Ь'и, значит, v2« v2 , то для всего
диапазона скоростей УХН | е"| -С | е' |. Такие особенности характерны
для оптики металлов. Разрешая (12.25) и (12.26) относительно п' и п",
имеем
e' + Ve's + e"2' „„ „„.
п'2 = — ; (12.27)

-e' + A'a + e"2
n"2 = . (12.28)
2
Аналогичные формулы используются в оптике металлов. Заметим,
кстати, что в обычной оптике уравнения, описывающие
распространение плоской гармонической волны в проводящей среде (металлах),
отличаются от соответствующих уравнений для диэлектриков знаком
б'. Такое же различие, как видно из сравнения (12.23) и (12.12),
существует и между оптикой УХН и оптикой медленных нейтронов.
Учитывая существенность только vz в распространении нейтронных
волн в среде, перейдем от п2 к п2. Заменяя, как и в случае отсутствия
поглощения (см. 12.16), v0 на voz, получаем
V2 V?
П,= 1 —• +1 .
* „2 „2
То же самое проделаем и для (12.27) и (12.28):
„'» ; (12.29)
v?p-vW(v0Vy*p)* + y;'
nf . (12.30)
В (12.29) и (12.30) при извлечении корня берется его положительное
значение.
Так как b"-^ b', то v?-^ v2 . Следовательно, за исключением очень
узкой области изменения voz, выполняется условие (v2^ - v2 ) » v2. В
этом приближении легко получаются значения nz и n'z\ Для УХН, т.е.
для vor < vrp, из (12.29) и (12.30) следует
Na(o(v„>v„)2 .., vr2p-v«
_'2 _ i _ v о 'о' . „2 _
п i— п. —
z 4v2 fvs -vs ) 4mv2 v2 - vs • z v2
Yoz^Trp YozJ "oz . ',-p Yoz 02
Зная п' и n" нетрудно теперь посчитать ослабление плотности пото-
ка падающих на поверхность УХН, т.е. плотность потока нейтронов,
уходящего в среду. Очевидно, что она будет пропорциональна
произведению двух величин: вероятности обнаружить нейтрон в среде
и вероятности поглощения нейтрона средой.

Пользуясь (12.21) и (12.22), вероятность поглощения нейтрона
средой найдем как
н>~ 1 /т =iV(vg - vr2p)^ о ( | v2 - v'J1'3 ) .
Если о (v0) не зависит от скорости нейтронов, то W ~ 1/т = Na (v0) v0.
Затухание волны в среде определяется мнимой частью
показателя преломления п"г, т.е. волна затухает как ехр (- fe02 n"z). Поэтому
вероятность обнаружить нейтрон в среде будет определяться квадратом
этой величины:
Р~е 2k°'""z = е " - " . (12.31)
Из (12.31) видно, что нейтронная волна затухает в приповерхност-
ном слое на глубине порядка z ~ и
2m Vv2 -v2
При v0, «:
гр
< vrp (или, что то же самое, при fe0 «: 4viNb) глубина слоя равна по
порядку величины граничной длине волны А.^ для УХН.
Таким образом, нейтронная волна не может проникнуть глубоко в
среду и этот результат, как показывает детальный анализ, есть
следствие интерференции падающей и отраженной волн.
Вид волновой функции нейтрона при отражении от границы
вакуум-среда, полученный в рамках потенциального подхода, приведен
на рис. 12.1. Волновая функция имеет узел вблизи поверхности,
причём I ф |2 ~ (^гр/ ^)2, т.е. с уменьшением скорости нейтрона (с
увеличением его длины волны) узел волновой функции смещается дальше
от поверхности (ср. кривые на рис. 12.1). На первый взгляд этот
результат может показаться парадоксальным, так как чем меньше скорость
Рис. 12.1. Вид волновой функции нейтрона
вблизи границы вакуум-среда:
сплошная линия У=0,4С/гр; пунктир U =
= 0,8 и,
гр

нейтрона, тем, казалось бы, должно быть больше его время
взаимодействия с поверхностью и, следовательно, больше вероятность
поглощения. На самом деле здесь ничего противоречивого нет. Как уже
отмечалось, это есть результат интерференции падающей и отраженной
волн, вследствие чего вероятность нахождения нейтрона вблизи
поверхности уменьшается.
12.5. СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ НЕЙТРОНОВ В ВЕЩЕСТВЕ
Для УХН вещество с Ь > 0 представляет потенциальный барьер
высотой равной £ . Если УХН рождается в тонком слое вещества в поре
или микротрещине с поперечным размером г~ А. « Ю-6 см, причем
толщина слоя сравнима с длиной волны нейтрона, то он может
образовать в них квазисвязанные состояния. Впервые на такую возможность
связывания нейтрона в веществе указал Ю.М. Каган.
Было показано, что появление квазисвязанных состояний в
микрополостях практически не обнаруживаемо. Для создания и
исследования состояний, им подобных, А.А. Серегин предложил использовать
системы многослойных пластин, в которых отдельные слои
различаются значениями граничной энергии Е . Эти системы по принципу
действия аналогичны известным в оптике интерференционным фильтрам
или интерферометру Фабри-Перо.
Определим характеристики состояний, которые могут возникнуть
в трехслойной пленке-мишени (рис. 12.2, а). Пусть первый и третий
слои мишени изготовлены из одного и того же вещества с длиной
когерентного рассеяния bt =ЬЭ> 0 и имеют толщину соответственно dt
и d3, а второй слой толщиной d2 изготовлен из материала с длиной
когерентного рассеяния Ь2, причем Ь2 < bt и Ь2 может быть даже
отрицательной. Тогда для нейтрона, падающего перпендикулярно плоскости
такой мишени, эффективная потенциальная энергия представляет
двугорбый барьер с ямой
посередине (рис. 12.2, б). При достаточно
большой глубине и
соответствующей ширине ямы в ней могут
возникнуть квазисвязанные
состояния нейтрона.
Рис. 12.2. Трехслойная мишень (а) к
соответствующий ей эффективный потенциал (б)

Энергия этих состояний ввиду возможности экспоненциального
просачивания через стенки барьеров будет неопределенной
величиной, а не дискретной, т.е. Е = Е0 + i Г/2.
Здесь, как это обычно принято, Е0 характеризует положение
уровня энергии, а Г - его ширину, т.е. время жизни состояния.
Ради простоты сделаем грубое приближение и оценим энергию
состояний, полагая, что яма бесконечно глубокая и имеет ширину d.
В этом случае нужно решить уравнение Шредингера
Д ф + к2 ф = 0 , (12.32)
где к2 = 2mE/h2. При этом на границах ямы должны выполняться
условия ф (d) = ф (0) = 0. Общий вид решения уравнения (12.32) хорошо
известен: ф = A sin кх + В cos кх. Так как ф (0) = 0, то В = 0. Другое
граничное условие ф (d)=A sinfcd = 0 выполняется, если kd = nn, п =
= 0,1, 2, 3..., или
пЧ* .
" Imd1
В яме конечной глубины энергию нужно отсчитывать от дна ямы
Цлин» поэтому
Е =U + -^- п2. (12.33)
" ми" 2md2
Приближение бесконечно глубокой ямы, в рамках которого
получено (12.33), весьма грубое. Более точное решение для ямы
конечной глубины можно получить в рамках квазиклассического
приближения. Оно дает
Из выражения для энергии видно, что в яме конечной глубины
количество образующихся квазисвязанных состояний конечно и
определяется глубиной и шириной ямы: чем яма глубже и шире,
тем большее количество квазисвязанных состояний образуется
в ней.
Наряду с энергиями квазисвязанных состояний может быть
посчитана и проницаемость барьера. Нетрудно показать (например,
в рамках квазиклассического приближения), что проницаемость
такого барьера будет самой большой в том случае, если энергия пада-

ющего нейтрона совпадает с энергией квазисвязанных состояний.
Поэтому зависимость числа отраженных или прошедших через
многослойную мишень нейтронов будет иметь ярко выраженный
резонансный характер. Это обстоятельство благоприятствует возможности
экспериментального наблюдения квазисвязанных состояний (см.
§ 12.8) и использования многослойных мишеней в экспериментах в
качестве фильтров УХН.
Варьируя количество слоев, материалы, из которых
изготавливаются как внутренние, так и внешние слои мишени, их размеры,
можно экспериментально изучать особенности квантово-механичес-
ких систем различного вида. Удобство такого изучения состоит в том,
что оно проводится на образцах, имеющих макроскопические
размеры.
Многослойные мишени кроме чистр научного интереса могут
найти и практическое применение. В настоящее время очень острым
является вопрос об измерениях энергетического спектра УХН.
Выделение узких линий с помощью различных трехслойных мишеней
позволяет решить задачу их сепарации по энергиям.
12.6. СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ НЕЙТРОНОВ В ПОЛЕ
ТЯГОТЕНИЯ НАД ОТРАЖАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В предыдущем параграфе была продемонстрирована возможность
существования связанных состояний нейтрона, когда нейтрон
находится в яме, создаваемой скачками эффективного потенциала на
границе вакуум-среда, либо на границе двух сред с различными U.
Аналогичные состояния будут образовываться и в том случае, если роль
одной из стенок будет играть поле тяготения. Поле тяготения
представляет для нейтронов барьер, который определяется высотой подъема
в нем нейтрона. Задача о квантовании уровней УХН в гравитационном
поле была решена В.И. Лущиковым и А.И. Франком.
Пусть первоначально покоящийся нейтрон падает с высоты Я на
поверхность среды, для которой Ь > 0, и пусть высота подъема
нейтрона над поверхностью не превышает того значения, при котором
энергия поля тяготения равна эффективному потенциалу для среды.
Если Я»А, то движение нейтрона будет происходить по
классическим законам: нейтрон упадет на поверхность, вновь поднимется
на первоначальную высоту, опять упадет и т.д. Количество подскоков
(~Ю3 -г 104), которые сделает нейтрон, будет определяться
поглощающими свойствами среды.
Если же энергия УХН такова, что высота подскока будет сравнима
с его длиной волны, т.е. Н ~ к, то движение нейтрона будет опреде-

ляться законами квантовой механики. При этом энергия нейтрона
может принимать не любые, а только фиксированные (квантованные)
значения. Решение этой классической для квантовой теории задачи
хорошо известно.
В потенциальной, яме, которая в данном случае имеет вид,
приведенный на рис. 12.3, возникают стационарные состояния, волновые
функции которых представляются функциями Эйри. Из граничных
условий для волновых функций так же, как и в предыдущей задаче с
прямоугольной ямой, получаются энергии этих состояний. При
п » 1, где п = 1, 2, 3..., энергии состояний даются выражением
£„ =
2ml3
Зп
4
2л-
Здесь / - характерная длина, задаваемая тем слагаемым в уравнении
Шредингера, которое содержит потенциальную энергию U = mgH.
Скорость вертикального движения нейтрона и его энергию в
основном состоянии можно оценить не решая квантово-механическую
задачу, а приравняв высоту подъема нейтрона в поле тяготения H=v2/2g
его дебройлевской длине волны к = h/m v. Отсюда
2gh
i/э
» 1 см/с;
*i-
т v*
2-
10 -12 эВ = 10-э нэВ.
Точное квантово-механическое решение задачи о движении
нейтрона в поле тяготения дает энергию первого урорня £1=1,4-10-12 эВ
(второй уровень имеет энергию Е2 = 2,45-10"12 эВ), т.е. сделанная
нами простейшая оценка дает близкий к точному результат.
Энергии рассмотренных стационарных состояний, как видим,
существенно ниже (приблизительно на пять порядков) граничной
Рис. 12.3. Потенциальная яма,
создаваемая гравитационным полем и
отражающей стенкой

энергии для многих веществ. Работать с нейтронами, энергия которых
будет равна энергии этих состояний, конечно, чрезвычайно трудно,
так как от спектра нейтронов теплового реактора они будут
составлять ничтожно малую часть. Но какие удивительные физические
явления могут быть изучены в этом случае!
Предположим, что поток УХН течет вдоль гладкой отражающей
(Ъ > 0) горизонтальной поверхности. Вблизи поверхности состояния
нейтронов могут быть только квантованными. Волновая функция
их качественно изображена на рис. 12.4. Поставим на пути,
ультрахолодных нейтронов около поверхности поглотитель на расстоянии,
приблизительно равном одной длине волны де Бройля состояния
нейтрона с энергией Е±. Очевидно, что все нейтроны с энергиями
Е> Et будут локализованы по вертикали выше нейтронов,
находящихся в основном состоянии, и поэтому они захватятся поглотителем.
Нейтроны же с энергией Е *» Et пройдут зазор беспрепятственно.
(Высота зазора определяется размером области, в которой
локализована волновая функция основного состояния нейтрона. Расчет дает,
что эти размеры составляют 0-19 мкм).
Нейтроны, которые прошли в щель, будут течь по поверхности,
при этом они не будут отрываться от нее даже в том случае, если
поверхность достаточно плавно (адиабатически) отклоняется от
горизонтальной. Такое выделение представляет собой способ получения
нейтронов с минимально возможной энергией вертикального
движения, т.е. способ монохроматизации нейтронов самых низких энергий.
Если форма поверхности изменяется резко, например
ступенькой, то при течении нейтронов вдоль нее будет скачком изменяться
вертикальная составляющая импульса нейтрона. Это будет приводить
к переходам нейтрона из основного состояния с энергией Et во все
другие состояния с Е > Et.
I \| Поглотитель |
Рис. 12.4. Вид волновой функции
нейтронов в поле тяготения вблизи
отражающей поверхности

12.7. ПОЛУЧЕНИЕ И НАБЛЮДЕНИЕ УХН
Общие принципы получения УХН. В 1959 г., когда Я.Б. Зельдович
впервые высказал идею о возможности длительного хранения УХН в
герметичных сосудах, эксперименты с ними казались весьма
проблематичными. Причины для пессимизма были серьезными. Доля УХН
в спектрах нейтронов от самых мощных источников, каковыми
являются ядерные реакторы, ничтожно мала. Действительно, если полагать
спектр нейтронов от теплового реактора максвелловским (рис. 12.5)
с температурой Г, равной температуре замедлителя:
/ m
mv
Э/2
я (v) = 4 л п0 — е 2kr V2 (12.з5)
\ 2л кТ I
где п0 - плотность нейтронов; п (v) - плотность нейтронов, имеющих
скорость от v до v + dv, то долю потока УХН можно найти как
V V
ср ггр
J d v Ф (v) j dv n (v) v
„ = Л = J . (12.36)
oo oo
J d v Ф (v) J d v n (v) v
о о
Здесь Ф (v) - дифференциальная плотность потока нейтронов в
интервале от v до v< +dv; vrp - граничная скорость для УХН.
Интегралы в (12.36) вычисляются просто. Интегрирование по частям:
интеграла, стоящего в знаменателе, дает 1 d v п (v) v = 4 п0 / , а
| V 2nm
о
для вычисления интеграла, стоящего в числителе (12.36),
воспользуемся тем, что для v < vrp mv2/2 <К кТ. Полагая ехр (- т\2/2кТ) = 1,
получаем
1 / "1у2 \2
Л-— И. .
8 \ кТ J
При к Т «0,025 эВ (Т =300 К) и v =5,67 м/с (граничная скорость для
меди) доля УХН в потоке тепловых нейтронов составит всего Л ~ 10"11.
На рис. 12.5 часть спектра нейтронов теплового реактора,
относящаяся к УХН, заштрихована.

Рис. 12.5. Спектр нейтронов теплового реактора:
область энергий УХН заштрихована
Принимая во внимание возможные потери при выделении УХН
из всего спектра (за счет их поглощения или нагревания при
столкновении со стенками), следует ожидать, что даже при максимальной
мощности реакторов потоки УХН будут невысокими [напомним, что
полная плотность потока тепловых нейтронов от реакторов средней и
высокой мощности составляет ~ю13-15 нейтр./(см2-с)]. Так оно
вначале и оказалось. Когда группа физиков из Дубны под руководством
Ф.Л. Шапиро начала в 1968 г. эксперименты по извлечению УХН из
реактора и удержанию их в емкости, полученная ими плотность потока
составляла всего 0,1 нейтр./(см2-с). Получаемые в настоящее время
значения плотности потока УХН приблизительно на. пять порядков
выше тех, с которыми проводились первые работы. Так, на реакторе
ЛИЯФ средней мощности с плотностью потока тепловых нейтронов
1014 нейтр./(см2-с) получена плотность потока УХН 6-Ю3 нейтр./(см2с),
а на реакторе института имени Макса Лауэ и Поля Ланжевена в Гренобле
потоки УХН достигают «104 нейтр./(см2-с). Разительный прогресс всего
за два десятилетия исследований! В перспективе ожидается, что
потоки УХН за счет улучшения технологии выведения пучков возрастут
по крайней мере еще на два-три порядка.
Итак, в спектрах тепловых реакторов УХН очень мало. В то же
время подавляющая часть нейтронов в этих спектрах имеет энергию,
близкую к fcT. Естественно попытаться увеличить выход УХН за счет
замедления нейтронов более высокой энергии. Этого можно было бы
добиться, например, торможением нейтронов в гравитационном поле,
неоднородном магнитном поле или действием сил, которые вызваны
эффективным потенциалом, обусловливающим отражение нейтронов
от поверхностей движущихся материалов. Однако из законов
термодинамики следует, что замедление нейтронов до энергий, которые
ниже температуры источника частиц, с помощью внешних полей или с
помощью механических систем будет неэффективным. Этот вывод
основан на теореме Лиувилля, которая утверждает, что фазовый
объем, занимаемый группой частиц, а следовательно, и плотность частиц
в определенной области фазового пространства не изменяются, если
Энергия

частицы движутся в потенциальных полях. Поэтому сокращение
пространственного объема, занимаемого нейтронами (т.е. увеличение
их плотности), при потенциальном воздействии будет
сопровождаться увеличением разброса частиц по энергиям и, наоборот, увеличение
плотности частиц в импульсном подпространстве приведет к
ухудшению геометрических характеристик пучка.
Плотность частиц в фазовом пространстве можно увеличить, если
заставить их взаимодействовать с такой подсистемой, объем фазового
пространства которой увеличится в результате взаимодействия. Это
может происходить, например, при диффузном рассеянии нейтронов в
замедлителе, имеющем более низкую температуру, чем температура
источника. Нужно иметь в виду, однако, что охлаждение всего
замедлителя в ядерном реакторе неэффективно из-за сильного разогрева
его быстрыми нейтронами и электромагнитным излучением. Поэтому
на практике обычно используют дополнительные охлаждаемые
замедлители небольших размеров - конверторы, устанавливаемые
внутри нейтроноводов.
Другой путь повышения плотности нейтронов состоит в
использовании таких способов замедления, к которым теорема Лиувилля
будет неприменима. В обычных способах замедления (к которым
применима теорема Лиувилля) в состоянии равновесия скорость
поступления нейтронов в энергетический диапазон, соответствующий УХН,
Rin должна быть равна скорости Rout, с которой нейтроны покидают
этот диапазон, т.е. Rin = Rout. Если каким-то образом удастся
повысить Rin и (или) понизить Rout, то можно добиться увеличения
плотности УХН. Такие условия можно создать, например, при
прохождении нейтронов через сверхтекучий гелий или при рассеянии нейтронов
на поляризованных ядрах, сопровождающемся переворотом спинов
нейтрона и ядра.
Ниже рассмотрены принципы некоторых методов получения и
транспортировки УХН, которые получили наибольшее
распространение в экспериментах, а также способы регистрации УХН.
Конверторы. При работе с УХН замедлитель активной зоны
ядерного реактора соединяют с экспериментальным залом с помощью
нейтроноводов. Однако для получения УХН одного такого соединения
недостаточно, так как нейтроны с энергией Е < Е" (Е* - граничная
энергия материала, из которого изготовлен нейтроновод), не смогут
проникнуть внутрь нейтроновода. Чтобы восстановить
низкоэнергетическую часть спектра нейтронов, внутри нейтроноЕода вблизи
замедлителя активной зоны устанавливают дополнительный замедлитель-

ЖЩМММУМШ
ш//>/////////т/ж
Рис. 12.6. Устройство простейшего
конвертора:
1 - замедлитель; 2 - нейтроновод
Рис. 12.7. Спектр нейтронов,
генерируемых конвертором
конвертор. Назначение конвертора - регенерировать УХН из
нейтронов с более высокой энергией. Регенерация осуществляется за счет
неупругого рассеяния нейтронов, при котором часть их энергии
передается тепловым колебаниям решетки. Один из простейших вариантов
конструкции конвертора изображен на рис. 12.6. Здесь конвертор (/)
являет собой тонкий слой замедлителя, закрепленного в начальном
участке нейтроновода {2).
Энергетический спектр нейтронов, получаемых с помощью
конверторов, представлен на рис. 12.7. В спектре нет нейтронов с
кинетической энергией Е < £* (Ек - граничная энергия материала конвертора),
так как той выходе из конвертора в вакуум все нейтроны в
соответствии с (12.5) приобретут дополнительную кинетическую энергию,
равную их эффективной потенциальной энергии в среде, т. е.
Е* . В спектре отсутствуют также нейтроны с энергиями Е > Е" , так
как, попадая на стенки нейтроновода, эти нейтроны будут проникать
через них и поглощаться или самими стенками, или материалами,
окружающими нейтроновод.
Выход УХН из конвертора зависит от его толщины. При достаточно
малых размерах конвертора выход нейтронов будет пропорционален
его толщине. Однако делать конвертор толстым нельзя, так как с
ростом толщины растет доля поглощаемых в нем нейтронов и, самое
главное, растет вероятность нагревания образовавшихся УХН.
Оптимальная толщина конвертора сравнима со средней длиной свободного
пробега УХН в материале конвертора
1 1
WK + 0ln> VSln

где N - концентрация атомов среды; оа и о1П - микроскопические, а
1а и 11П - макроскопические сечения захвата и неупругого рассеяния
нейтронов соответственно. Для водородосодержащих веществ длина А.
по порядку равна 1 мм и менее. Поэтому конвертор обычно
представляет собой слой вещества толщиной 1 мм.
Материал конвертора должен удовлетворять ряду требований:
быть радиационно стойким, иметь низкое сечение захвата нейтронов
и иметь малую граничную энергию Е . В экспериментах в качестве
конверторов испытывались алюминий, магний, водородосодержащие
вещества - вода, гидрид циркония и др. Результаты этих работ
показали, что для неохлажденных конверторов горизонтальных нейтроно-
водов оптимальным с точки зрения выхода УХН, радиационной
устойчивости и других характеристик является гидрид циркония.-
С помощью этого конвертора на реакторе СМ-2 с плотностью потока
тепловых нейтронов Фт=2^4-1014 нейтр./(см2-с) при Tfc = 350K была
достигнута плотность потока УХН «55 нейтр./(см2-с) (полный поток
«3500 нейтр./с).
При использовании вертикальных нейтроноводов для выделения
УХН круг возможных материалов расширяется. Так как при подъеме
в поле тяготения нейтроны замедляются, то для получения УХН
могут использоваться материалы с высокой граничной энергией,
например бериллий, обладающий по сравнению с гибридом циркония
большей радиационной устойчивостью.
Так как размеры конвертора по пучку незначительны,
относительно просто может быть решена задача охлаждения его до азотной или
даже гелиевой температуры. Охлаждение, как показывают оценки,
может привести к увеличению выхода УХН в десятки раз.
Результаты проведенных к настоящему времени исследований позволяют
заключить, что на стационарных реакторах с плотностью потока
тепловых нейтронов Фт~ 1014 нейтр./(см2-с) низкотемпературные
конверторы из бериллия и намороженной воды дают возможность довести
плотность выводимых потоков УХН примерно до 104 нейтр.Дсм2. с).
Нейтроноводы. УХН проще всего извлечь из активной зоны
ядерного реактора с помощью изогнутых трубопроводов, называемых ней-
троноводами. Они изготавливаются из материалов, для которых Ь > 0
и эффективная потенциальная энергия имеет сравнительно высокое
значение.
Нейтроноводы выполняют сразу несколько функций. Главные
из них: транспортировка УХН от источника через биологическую
защиту к месту расположения аппаратуры и фильтрация УХН от более

быстрых нейтронов и других нежелательных излучений. Эти
задачи решают нейтронов оды любого типа: горизонтальные (рис. 12.8, а),
наклонные или вертикальные (рис. 12.8, б).
В наклонных и вертикальных нейтроноводах помимо этого
происходит и замедление нейтронов за счет изменения их энергии в
поле тяготения.
Нейтроны со скоростью v < v и соответственно с энергией
Е < Е (v и Е - граничные значения скорости и энергии для
материала, из которого изготовлен нейтроновод) при движении их внутри
нейтроновода будут многократно отражаться от его стенок, а
траектория движения нейтронов будет следовать изгибам нейтроновода.
Нейтроны со скоростью v > v выйдут из нейтроновода либо сразу за
конвертором после первого же соударения со стенкой (если условия
полного внешнего отражения не будут выполнены), либо в месте
изгиба нейтроновода после нескольких отражений их на
прямолинейных участках.
При движении по нейтроноводам УХН неизбежно теряются как
в соударениях с ядрами атомов остаточного газа, так и в соударениях
со стенками нейтроновода. И в том и в другом случае причина
потери - или поглощение, или нагревание их (и последующий уход через
стенки) за счет неупругого рассеяния. УХН теряются также
вследствие диффузного (незеркального) отражения нейтронов,
обусловленного недостаточной,гладкостью поверхностей нейтроновода. Дефек-
4 - заслонка; 5 - детектор; 6 — защита

ты микроскопического масштаба будут приводить к большим
случайным изменениям направления вектора скорости нейтрона и, как.
следствие этого, к возврату, многих нейтронов к источнику (без
достижения ими места назначения).
Для уменьшения потерь нейтронов внутреннее пространство ней-
троновода вакуумируется, причем остаточное давление газа должно
быть не выше 1,33-10"2 Па. Для уменьшения потерь УХН на стенках
внутренние поверхности нейтроноводов электрополируются. В
качестве материала стенок обычноиспользуют медь или нержавеющую сталь.
В типичных экспериментах .по надлежащим образом обработанным
нейтроноводам за биологическую защиту реактора выводится ~10%
УХН от начального потока на конверторе.
Распространение УХН по нейтроноводам аналогично течению
разреженного газа по трубам, и поэтому для описания его используют
элементарную теорию диффузии. Отличие от течения газа
заключается в том, что молекулы газа отражаются от стенок всегда диффузно
и не теряются на них. Как и в обычной диффузии, распространение
УХН характеризуют длиной диффузии Lc = у DT', где D - коэффициент
диффузии, определяемый степенью зеркальности поверхности; Т -
время жизни нейтрона в нейтроноводе по отношению ко всем
процессам: поглощению нейтронов стенками и их нагреванию при
столкновении со стенками. Интенсивность УХН в зависимости от расстояния
до конвертора дается известным экспоненциальным законом,
получающимся в результате решения уравнения диффузии: ехр (- l/Lc). Для
электрополированных нейтроноводов диаметром 2R~10 см
экспериментальные значения Lc составляют «5-МО м и соответствуют
коэффициенту диффузии D^ 1,7-^2,5 м2/с. Этот коэффициент на порядок
больше значения D = 2Rv/3, относящегося к полностью диффузному
рассеянию нейтронов. Вероятность зеркального отражения УХН,
полученная из сопоставления этих величин, составляет порядка
0,8-0,9.
Механические устройства для получения УХН. В экспериментах
с УХН использовались различные варианты механических устройств,
предназначенных для торможения нейтронов.
Примером может служить нейтронная турбина Штайерла
(рис. 12.9). Принцип действия турбины основан на преобразовании
спектра тех медленных нейтронов, которые достигли диапазона
энергий очень холодных нейтронов (ОХН). Замедление с помощью
турбины аналогично охлаждению пара, вращающего газовую турбину:
нейтроны, так же как и пар, отдают свою энергию на вращение турбины,
теряя скорость при последовательных соударениях с вращающимися
ТТГ1ПЯГ»ТО»ДМ

В турбине Штайерла 660 изогнутых лопастей укреплены на ободе
вращающегося колеса диаметром 1,7 м. Колесо вращается с окружной
скоростью «*25 м/с. Нейтроны с начальной скоростью около 50 м/с
направляются из неитроновода на лопасти под таким углом, чтобы они
зеркально отражались от поверхностей лопастей. Относительная
скорость нейтронов (т.е. скорость в системе координат лопасти)
составляет приблизительно 25 м/с. После нескольких последовательных
соударений нейтроны будут двигаться в направлении почти
противоположном первоначальному. В результате их скорость при выходе из
турбины в лабораторной системе координат станет почти равной нулю.
Соответствующие треугольники скоростей на входе в турбину (о) и
на выходе из нее (б) показаны на рис. 12.10 (vT - скорость движения
лопасти; vK - конечная скорость нейтрона).
Недостатком механических устройств является ухудшение
геометрических характеристик нейтронного пучка при торможении.
В полном соответствии с теоремой Лиувилля на выходе из турбины
значительно увеличиваются сечение пучка (в несколько раз) и его
апертура (нейтроны будут вылетать почти изотропно в телесный угол
2л). Поэтому механические замедлители не дают выигрыша по
сравнению с выделением "готовых" УХН из реактора с помощью
вертикальных и горизонтальных нейтроноводов. Тем не менее на практике
они оказываются полезными в тех случаях, когда нужно избежать
нагромождения экспериментальных установок вблизи активной
зоны ядерного реактора. Установка турбины вблизи экспериментальной
аппаратуры уменьшает потери нейтронов, которые имеют место в ней-
троноводах. Измерения показали, что полные потери нейтронов в
турбинах из-за несовершенства отражающих поверхностей составляют
приблизительно половину начальной интенсивности.
Рис. 12.10. Сложение скоростей на входе в турбину
Рис. 12.9. Турбина Штайерла Штайерла (а) и на выходе из нее (б)

Аналогичное торможение можно осуществить от более высоких
начальных скоростей нейтронов, используя брэгговское отражение
нейтронов от монокристаллов. Если нейтроны со скоростью 400 м/с
направить на кристалл, убегающий от них со скоростью 200 м/с, то в
результате отражения нейтроны оказываются почти покоящимися в
лабораторной системе координат. Этому способу торможения присущ
тот же недостаток, что и торможению с помощью турбин.
Замедление нейтронов в сверхтекучем гелии. В 1977 г. английские
физики Голуб и Пендльбери предложили получать УХН, замедляя
нейтроны со скоростью *» 450 м/с в жидком сверхтекучем гелии. Гелий в
сверхтекучем состоянии представляет собой квантовую жидкость,
в которой нейтрон с конечной вероятностью может создать единичное
тепловое возбуждение (звуковой фонон). При этом нейтрон потеряет
сразу почти всю свою энергию и скорость его упадет практически
до нуля.
Принцип замедления поясняет рис. 12.11, на котором приведены
кривая дисперсии для фононовз сверхтекучем гелии (1) и зависимость
кинетической энергии свободного нейтрона от волнового вектора (2).
Кривая дисперсии при малых значениях волнового вектора линейна
(область звуковых волн). Зависимость Е (к) имеет вид парабольъ Обе
зависимости пересекаются в некоторой точке E = Et.
Так как- сверхтекучая жидкость во взаимодействии участвует
как единое целое (она вся описывается одной волновой функцией),
то при прохождении через нее нейтроны будут рассеиваться
когерентно. При этом рассеяние может быть как упругим, при котором ни
энергия нейтрона, ни его волновой вектор не меняются по модулю, так
и неупругим. Если через сверхтекучий гелий пропускать нейтроны с
максвелловским (тепловым) спектром, то большинство нейтронов
будет рассеиваться когерентно и упруго, в результате чего они будут
испытывать преломление в соответствии с законом (12.1). Нейтроны
же с энергией Е = Et помимо упругого рассеяния будут рассеиваться
Рис. 12.11. Кривая дисперсии для сверхтекучего
гелия (1) и зависимость Е (к) для свободного
нейтрона (2)

неупруго, возбуждая в гелии звуковые волны. За один акт
неупругого рассеяния нейтрон потеряет практически всю энергию.
Вероятность обратного процесса - передачи энергии от звуковой волны к
УХН - будет ничтожно малой. С точки зрения общих принципов
замедления нейтронов рассматриваемый механизм, как видим,
заключается в подавлении скорости потерь УХН по сравнению со скоростью
их генерации. Степень подавления задается больцмановским
фактором ехр (- &Е/Т), где Д£ - энергия, передаваемая нейтронами
жидкости, а Г - температура замедлителя. Если Д£» Т, как это имеет
место в жидком гелии, степень подавления скорости потерь будет
очень высокой. Заметим, кстати, что гелий является идеальным
материалом для замедления нейтронов указанным способом, так как
помимо когерентности процессов рассеяния в нем (и, следовательно,
их большой вероятности) он обладает еще одним очень важным
свойством: изотоп ■'Не, составляющий основную массу природного гелия,
является единственным элементом в природе, не поглощающим
нейтронов.
Предложенный английскими физиками источник УХН
представляет собой криостат, заполненный жидким гелием. Стенки сосуда
изготовлены из материала с Ь> 0 с высоким значением & Сосуд
помещается в поток тепловых нейтронов. Основная их часть пролетает
сквозь стенки и жидкость, не задерживаясь. Нейтроны с А. > X
проникать в сосуд не будут. В сосуде будут захватываться и
удерживаться за счет полного отражения только те нейтроны, которые возбудят
в гелии кванты звука. Поскольку гелий не поглощает нейтронов,
УХН будут хорошо храниться в сосуде.
Трудность реализации такого источника УХН заключается в том,
что природный гелий, основную массу которого составляет изотоп
4Не, содержит примеси, поглощающие нейтроны. Основную опасность
представляет изотоп эНе, доля которого по отношению к 4Не
составляет «10-s%. Но эта трудность, по крайней мере в принципе,
преодолима. В настоящее время уже разработаны методы изотопной очистки
жидкого гелия, позволяющие уменьшить долю изотопа эНе до
Ю"9-*- 10-1О%.
С этим источником УХН были проведены пробные эксперименты.
Сосуд с техническим гелием (т.е. без изотопной очистки от эНе)
помещался в горизонтальный нейтронный поток. Специальные меры для
удержания в сосуде получающихся УХН не предпринимались,
наоборот, предусматривался их выход из жидкого гелия к нейтронному
детектору. Эксперимент проводился с обычным гелием в
сверхтекучем состоянии. Было установлено, что при охлаждении гелия до сверх-

текучего состояния число УХН возрастало не менее чем в 50 раз.
В настоящее время проектируется эксперимент, в котором надеются
получить рекордную плотность УХН 106-109 нейтр./см3.
Регистрация УХН. Детектирование ультрахолодных нейтронов
проводится традиционными методами. В основе их - регистрация
заряженных частиц, возникающих либо при захвате нейтронов легкими
ядрами (1°В, эНе, 6Li), либо при делении урана 23SU. Как известно,
для соответствующих реакций 10В (п, a)7 Li, 3Не (л, р) t, 6Li (n, a) t
зависимость сечения от энергии в широком диапазоне энергий следует
закону 1/v, и уже в области энергий тепловых нейтронов сечение
достигает очень больших значений. Так, для реакции 3Не (л, р) t oa (Е=
= кТ) = 5,3-Ю-21 см2. Нетрудно видеть, что в области энергий УХН
сечение захвата нейтронов будет иметь колоссальное значение порядка
о = а{Е = kT)(vkT/vyXH) * 53°0 * 500 = 2,6 • Ю-18 см3. Поэтому ясно, что
счетчики на основе перечисленных реакций должны быть
высокоэффективными.
Однако детектирование УХН имеет и свои особенности. Они
обусловлены тем, что потоки УХН весьма низкие, сечения поглощения
нейтронов очень большие и практически все вещества (за
исключением некоторых, упоминавшихся ранее) эффективно отражают
нейтроны. Эти особенности накладывают ограничения на конструкцию
счетчиков. Так, если счетчик имеет входное окноГ то его необходимо
делать из тонкого, слабо поглощающего нейтроны материала, для
которого эффективный потенциал либо Мал, либо знак его
отрицательный (Ь < 0). Если окно изготовлено из материала с Ъ > 0, то в
соответствии с (12.11) нейтроны с энергией £<£гр регистрироваться не
будут*.
Большое сечение поглощения УХН позволяет резко уменьшить*
толщину чувствительного слоя детектора. Тщательным подбором ее
можно, сохраняя, эффективность регистрации УХН, эффективно
подавить фон от быстрых нейтронов. Сам материал чувствительного слоя
должен иметь низкий эффективный потенциал. Это необходимо для
того, чтобы спектральная чувствительность детектора к нейтронам
различных энергий в пределах диапазона УХН была по возможности
одинаковой.
* Чтобы счетчик регистрировал любые частицы, в том числе и с энергией Б> £гр (Вгр -
граничная энергия материала окна), нейтроны предварительно ускоряют в поле
тяготения, направляя их в счетчик с некоторой высоты по вертикальному нейтроноводу. Падая,
нейтроны приобретут дополнительную эиергию н преодолеют барьер, обусловленный
входным окном.

Можно указать также ряд других требований к детекторам,
связанных с особенностями проведения опытов на пучках нейтронов,
реактора: необходимость большой поверхности чувствительной области
детектора, высокая устойчивость к радиационным воздействиям и др.
В соответствии с этими требованиями в экспериментах с
нейтронами очень низких энергий использовался ряд детекторных систем:
пропорциональные счетчики, наполненные BF3 и 3Не, сцинтилляцион-
ные детекторы на основе LiOH-H20 + Zn(As), счетчики деления и др.
Наилучшими среди детекторов по таким параметрам, как высокая
эффективность, надежность, низкофоновые условия и простота,
оказались пропорциональные счетчики.
12.8. СПЕКТРОМЕТРИЯ УХН
Спектрометрия обычного света проводится с помощью
устройств, основанных на преломлении и дифракции света. Это - призмы,
пространственно разделяющие белый свет на компоненты различной
длины волны, или дифракционные решетки, выбирающие из пучка
света волны определенной частоты. Устройства аналогичного типа,
основанные на тех же самых явлениях, созданы в настоящее время
и для спектрометрии нейтронных волн, однако эти устройства
непригодны для УХН, так как они испытывают зеркальное отражение
от большинства материалов.
Принципиально простейшие спектрометры УХН можно было бы
создать используя тот факт, что каждое из веществ имеет свое
значение граничной энергии. Помещая на пути пучка нейтронов тонкие
пластинки из материалов с разными значениями Е', можно найти
эффект от воздействия нейтронов с энергией Е> Е' и по разности
соответствующих показаний детекторов вычислить эффект,
произведенный нейтронами интересующей нас энергии. На практике в
спектрометрии УХН используется то обстоятельство, что энергия свободного
нейтрона при весьма небольших изменениях высоты его в поле
тяготения Земли сравнима с энергией гравитационного взаимодействия
и прямо связана с величиной поля U = mgH соотношением
_ mva mv2 „
Е= + U = +mgH
2 2
Поэтому спектрометрия УХН проводится в различного рода
устройствах, основанных на измерении изменений энергии нейтронов в
гравитационном поле.

Интегральный гравитационный спектрометр. Самый простой
гравитационный спектрометр представляет собой горизонтальный ней-
троновод имеющий П-образное колено (рис. 12.12). Участок колена,
параллельный его оси, отстоит от оси на расстоянии Н. Сам нейтро-
новод как целое может вращаться вокруг оси. На его входе
устанавливается конвертор, а на выходе - детектор нейтронов.
Особенности распространения УХН в спектрометре определяются
положением изогнутого участка в пространстве. Будем считать, что
угол поворота колена ф отсчитывается от горизонтальной плоскости.
Тогда наибольшее возможное смещение по вертикали для нейтрона,
оказавшегося в изогнутом участке, h0 = H sin ср.
Пусть вначале Ф = 0° или ф = 180°. В этом случае до детектора
дойдут все УХН, которые вышли из конвертора. Энергетический спектр
этих нейтронов будет ограничен сверху и снизу значениями Е^^ и
£маке. где Еитс= Е - граничная энергия для материала стенок ней-
К
троновода; ЕШ[И=Е - граничная энергия для материала конвертора
(см. рис. 12.7).
Если колено повернуто на угол 0° < Ф < 180°, то нейтроны,
попавшие в изогнутый участок, будут при движении в нем замедляться в
поле Земли. Достичь детектора смогут нейтроны с энергией Е > Е0 =
= mgh0 =mgH sin ф. Для нейтронов с Е < Е0 колено будет представлять
непреодолимый энергетический барьер.
Если колено повернуто на угол 180° < Ф < 360°, то нейтроны в
изогнутом участке будут ускоряться. Детектора достигнут нейтроны,
энергия которых E<mg(Ниакс- \h0\), гдеНмакс= v*p/2g-
максимальная высота подъема в поле Земли нейтронов, имеющих энергию, рав- .
ную граничной энергии для материала нейтроновода, т.е. ETp=mgHuaKc.
Нейтроны с энергией Е> mg(HuaKl.- \h0\), падая на дно колена,
приобретут энергию, большую чем £гр, и поглотятся стенками.
Результаты измерений спектра УХН в нейтроноводе,
изготовленном из меди (Егр= 165 нэВ, н" =165 см), с конвертором из алюминия
Рис 12.12. Интегральный
гравитационный спектрометр

Рис. 12.13. Спектр УХН, измеренный с
помощью интегрального гравитационного
спектрометра
-100 -50 0 50 100 Л, см
(Егр = 54нэВ, Я^1 =54 см) приведены на рис. 12.13. Как видно, спектр
УХН в основных чертах повторяет теоретически ожидаемый. В области
h > 0 спектр простирается до значения Я= 165 см, точно
соответствующего граничному значению, энергии для меди. В области h < 0 спектр
доходит до значения h * - ПО см, хорошо согласующегося с
посчитанным для разности граничных энергий меди и алюминия. При h > О
есть плоский участок, заканчивающийся как раз при значении,
соответствующем граничной энергии для А1. Сам факт существования
плоского участка свидетельствует об отсутствии в спектре нейтронов
с энергией от 0 до £ (А1).
В областях h > 0, начиная с h = Ягр (А1), и h < 0 с увеличением | h |
зависимость скорости счета детектора УХН J (h) - спадающая:
справа - плавно и слева - резкоспадающая, причем в обоих случаях J (h)
имеет вид, близкий к параболе. Уменьшение J(h) обусловлено
обрезанием исходного линейного спектра (см. рис. 12.7) со стороны
малых h (в случае h > 0) и со стороны больших h при h < 0. Зависимость
J(h) представляет собой, в сущности, исходный спектр,
проинтегрированный в соответствующих пределах. Поэтому спектрометр, с
помощью которого получена J(h), называют интегральным. Чтобы найти
форму исходного спектра, зависимость J(h) нужно
продифференцировать по Я.
Гравитационный спектрометр Штайерла. Спектрометр, созданный
Штайерлом и его коллегами из Мюнхенского технического
университета, представляет собой систему зеркал и диафрагм, определенным
образом расположенных в пространстве. Принцип действия его
основан на отборе параболических траекторий нейтронов, свободно
движущихся в поле тяготения Земли.
Нейтроны от источника попадают в прибор через нейтроновод /,
отражаясь от входного зеркала 2 и проходя систему входных
диафрагм 3 (рис. 12.14). Система диафрагм отбирает только такие
нейтроны, которые движутся горизонтально. В самом приборе нейтроны
будут вначале свободно падать, а после трех отражений от зеркал или

Рис. 12.14. Устройство гравитационного спектрометра Штайерла
других устройств 4-6, установленных в положения А, В и С,
свободно подниматься, равномерно смещаясь с начальной скоростью в
сторону детектора. Детектор состоит из системы выходных диафрагм 7,
зеркала 8, нейтроновода 9 и счетчика 10. Чтобы увеличить
эффективность регистрации детектора, счетчик нейтронов, входное окно
которого изготовлено из А1, опущен по отношению к выходной щели.
Зеркала или устройства, устанавливаемые в положении А, В, С, могут
перемещаться как в горизонтальном, так и в вертикальном
направлении. В приборе меняется также положение выходной щели
относительно входной (по вертикали). Габаритные размеры спектрометра 2,2 м.
В отличие от спектрометра, описанного выше, спектрометр
Штайерла - дифференциальный, так как через систему входных и выходных
диафрагм могут пройти нейтроны только с вполне определенной
энергией (в некотором интервале от Е до Е + Д Е).
При проведении экспериментов на спектрометре исследуемые
образцы помещают либо в положение А, либо в положение В (опыты
на отражение), либо на пути от зеркала А к зеркалу В (опыты на
пропускание). Рассмотрим некоторые основные опыты, выполненные на
спектрометре Штайерла.
Опыт по интерференции нейтронных волн. В положениях А и С
устанавливались зеркала, а в положении В - стеклянная пластинка с
напыленным на ней слоем золота толщиной d = 460 нм. Так как
толщина слоя сравнима по порядку с длиной волны нейтронов и с глубиной
проникновения в вещество нейтронных волн, то следует ожидать,
что часть нейтронов отразится от внешней поверхности слоя, а часть
от внутренней поверхности. Отраженные волны будут сдвинуты по

во
БО
§*"■
Ц20-
30
""^^Wa
i i
\х
* \г
Рис. 12.15. Результаты наблюдений
интерференции УХН при отражении от тонкого
слоя золота
700 770 120
Высота падения,ем
фазе относительно друг друга (сдвиг фазы, как и в обычной оптике,
зависит от толщины слоя), и поэтому в месте их встречи, т.е. на
выходной щели, должна наблюдаться интерференционная картина.
Измеренная на опыте зависимость интенсивности отраженных волн от
разности высот входной щели и пленки показана на рис. 12.15.
Отчетливо наблюдаются характерные интерференционные минимумы и
максимумы, по которым, зная толщину слоя, можно определить длину
волны нейтронов. Этот опыт наглядно демонстрирует возможности
изучения тонких пленок и поверхностей твердых тел путем
наблюдения интерференции УХН.
On ыт по дифракции нейтронных волн. В положении С к В
устанавливались зеркала, а в положении А - обычная оптическая отражающая
дифракционная решетка с горизонтальными штрихами (1200
штрихов на 1 мм). Интенсивность счета в зависимости от относительного
положения выходной и входной щелей приведены на рис. 12.16. Явно
выделяются дифракционные максимумы нулевого, первого и минус
первого порядка отражения (дифракции). Положение максимумов
точно соответствует тому изменению вертикальной составляющей
скорости нейтрона, которое ожидается из соотношения Брэгга-Вульфа
2dm vz = n h*. Из опыта по чистому отражению, когда в позициях А, В, С
установлены зеркала, можно оценить энергетическое разрешение
спектрометра Штайерла. В соответствии с рис. 12.15 оно составляет
2 нэВ. Столь относительно высокое разрешение достигнуто, как
видно из конструкции спектрометра, весьма простыми средствами.
Опыт по отражению УХН от поверхности. В этом опыте в качестве
отражающей поверхности использовалась стеклянная пластинка, ус-
Напомним, что в обычной записи условие Брэгга-Вулыра имеет вид 2dsin 9 = п X.
[см. (10.1)]. Из него в силу X =h/mv и vz = v sin9 легко получается Приведенное выше
соотношение для вертикальной составляющей скорости нейтрона.

/7 = 7 n~0
•
• •
•\V' \ •..£.
~~ • • • •*
i i i i i i i
f7=7
•
• •
•• •
III
I -30-20
Относительное положение
Входной и Выходной, щелей, см
-70
10 20
Е
750
100
50
* 4
t '
1
ч
V
О ВО 90 100 ПО
Высота, падения
нейтронов, см
Рис. 12.16. Результаты наблюдения
дифракции УХН на оптической
дифракционной решетке
Рис. 12.17. Результаты измерений
интенсивности отраженных УХН от
поверхности стеклянной пластины
тановленная в положение В. Экспериментальная зависимость (точки
на рис. 12.17) отличается от ожидаемой (плавная линия) для
прямоугольного потенциального барьера высотой, равной граничной энергии
для стекла. Чтобы объяснить расхождение теории и эксперимента,
приходится допустить, что поверхность стекла описывается
барьером с размытым краем. Причина размытия барьера в настоящее время
до конца не ясна. Обнаруженный эффект отчасти может быть объяснен
теми эффектами, которые приводят к аномалии во времени хранения
нейтронов в "бутылках", поскольку в обоих случаях
рассматривается одно и то же явление - отражение нейтронов от границы вакуум-
среда.
Наблюдение квазисвязанных состояний нейтронов в веществе.
Измерения проводились с различного вида многослойными мишенями.
В одном из опытов мишень представляла собой ряд напыленных
друг на друга слоев металлов A3 и Си: А1 (П)-Си (24) - А1(86) - Си(24).
В скобках указана толщина слоя в нанометрах. Слои
последовательно наносились на стеклянную подложку, и вся пластинка целиком
устанавливалась в положение В (опыт на отражение).
Данная мишень имитирует двугорбый потенциальный барьер или
потенциальную яму конечной глубины (см. рис. 12.2). Положение
дна ямы определяется эффективным потенциалом для А1-54 нэВ, а
высота стенок - граничной энергией меди - 168 нэВ. Из формулы
(12.34) легко посчитать, какие квазисвязанные состояния будут
наблюдаться для данного "сэндвича". Подставляя в (12.34) d = 86 нм,
получаем
ЕП ~ 54 + 25
п +
нэВ,

т. е. можно наблюдать только первое (п = О, Е0 = 62 нэВ) и второе
(п = 1, Е1 = ПО нэВ) квазисвязанные состояния.
Экспериментальная зависимость интенсивности отражения как
функции высоты падения z для данной мишени показана на рис. 12.18.
При 2=108,5 см наблюдается минимум, глубина которого почти
достигает уровня фона. Этот минимум соответствует образованию
первого (п = 1) кваэисвязанного состояния. Напомним еще раз, что
подъем нейтрона на высоту 1 см соответствует изменению его энергий на
1 нэВ. Сплошная линия на рисунке - расчет интенсивности отражения,
полученный точньш решением одномерного уравнения Шредингера
для многоступенчатого потенциала с учетом собственного
разрешения спектрометра.
Наблюдаемая ширина линии 2Г = 7,5 см (7,7 нэВ), что
соответствует времени жизни состояния х = Ь /Г» 2-10"7 с.
Подобная зависимость интенсивности отражения от высоты
наблюдалась и для второго (п = 2) квазистационарного состояния. Для этого
опыта была изготовлена мишейь, в которой внутренний слой А1 имел
почти удвоенную толщину. И в том и в другом опыте положение и
ширина уровней согласуются с теорией.
В опыте на прохождение мишень приготавливалась напылением
А1 (11) - Си (18) - А1 (167) - Си (18) - А1 (11) на кристалл кремния
толщиной 0,25 мм. Выбору кремния в качестве подложки способствовали
его низкое сечение поглощения нейтронов и хорошие механические
свойства, позволяющие его отполировать при достаточно малой
толщине. В исследуемом диапазоне длин волн кремниевая пластинка
пропускала 70% общего потока нейтронов. Мишень устанавливалась
на высоте 16 см над зеркалом В, что позволяло разделить прошедший
и отраженный пучки.
90 110 130
Высота падени.я, см
Рис. 12.18. Результаты опыта на
отражение УХН от двугорбого
потенциального барьера

Результаты измерения интенсивности прошедшего сквозь мишень
нейтронного потока от энергии (высоты падения) нейтронов
приведены на рис. 12.1.9.
Наблюдаются, как и следовало ожидать, два резких максимума,
соответствующих образованию второго (п = 1) и третьего (п = 2)
связанных состояний. Теоретические предсказания (сплошная линия)
хорошо согласуются с экспериментальными результатами.
Благодаря высокому энергетическому разрешению спектрометра
Штайерла (Д Е *> 2 нэВ) с его помощью удалось наблюдать такие
Удивительные явления, как расщепление уровней нейтронов в двух
одинаковых потенциальных ямах, соединенных между собой барьером
конечной ширины и высоты, и многократное расщепление уровней
нейтронов в ямах рсцилляторного вида (т.е. формирование, как в
металлах и полупроводниках, разрешенных и запрещенных "зон").
Требуемая функциональная зависимость потенциала от координат
создавалась в этих опытах многослойными мишенями из
чередующихся слоев А1 (Етр = 54 нэВ) и Си (Егр = 165 нэВ).
Опыт с расщеплением уровня на два подуровня ставился как в
геометрии на отражение, так и в геометрии на прохождение. Для опыта
на прохождение мишень изготавливалась из четырех тонких слоев
А1 и трех слоев Си (рис. 12.20), наносившихся испарением в вакууме
на тонкую, полированную с двух сторон кремниевую пластинку.
Внешний слой А1 защищал медные слои от окисления, а самый внутренний
слой, равный по толщине внешнему, предназначался для уменьшения
эффекта асимметричности потенциального распределения,
обусловленного кремниевой подложкой. Распределение потенциала,
создаваемое данной мишенью, является моделью потенциала взаимодействия
для огромного числа двухуровневых квантово-механических систем
(лазеров, мазеров, молекулярного иона водорода, .системы К0, К0
и т.д.).
70 80^ 90 100 110
Высота падения,см
Рис. 12.19. Результаты опыта на
прохождение УХН через двугорбый потенци-'
альный барьер
Рис. 12.20. Многослойная мишень для
наблюдения расщепления уровней и
создаваемый ею градиент потенциала

Если бы обе рассматриваемые ямы имели бесконечно высокие
стенки и были разделены барьером бесконечной высоты, нейтроны не
смогли бы проникнуть из одной ямы в другую. Характеристики
состояний нейтронов в этих ямах (волновые функции, энергии состояний,
расстояния между уровнями) при одинаковых формах ям также были
бы идентичны.
' Для простоты будем считать, что в каждой из ям в отдельности
нейтроны образуют только одно связанное состояние, задаваемое
волновой функцией ф и энергией £„. Так1 как ямы соединены
барьером конечной ширины и высоты, то у нейтрона, находящегося в левой яме,
появится некоторая амплитуда (вероятность) того, что он проникает сквозь
энергетический барьер. Аналогичная возможность будет и у нейтрона,
первоначально оказавшегося в правой яме. В соответствии с общими
положениями квантовой механики наличие возможности перехода между двумя
состояниями, относящимися к разным ямам, приводит к тому, что
каждое из возможных состояний нейтрона с энергией Е0 "расщепится"
на два стационарных состояния, обладающих различными энергиями
и четностью. Доказательство различия четности состояний
проводится просто. Действуя оператором пространственной инверсии Р
на волновые функции отдельных состояний фп и фп (индексы л и п
относятся к левой и правой ямам соответственно), получаем Рфп = фп;
Рфп = фп. Комбинируя эти соотношения и вводя волновые функции
Фл+Фп Фп-Фл
стационарных состоянии ф+= ——— и i|)'= . получаем
Рф+ = ф+; Рф- = -ф-. Расщепление уровня, как можно показать,
будет расти с увеличением прозрачности центрального барьера.
Зависимость вероятности прохождения УХН через описываемую
мишень от высоты падения нейтронов в спектрометре приведена на
рис. 12.21. При высоте падения z *» 80 см (Е * 80 нэВ) отчетливо видны
два пика, соответствующие расщеплению уровня. Расщепление
составляет Д = 6,3 нэВ. Для сравнения на
рисунке приведен расчет вероятности
прохождения нейтронов через
многоступенчатый потенциал вида, иэобра-
Рис. 12.21. Результаты эксперимента по
пропусканию УХН через многослойную мишень, изо-
70 80 90 Е,нэВ браженную на рис. 12.20

женного на рис. 12.20, для слоев номинальной толщины.
Положения пиков экспериментального и теоретического распределения
хорошо совпадают друг с другом, однако высота
экспериментальных пиков приблизительно раза в два меньше ожидаемой. Учет
экспериментального разрешения, наличия оксидной пленки и
микроскопических неоднородностей поверхностей слоев улучшает
согласие теории и эксперимента.
12.9. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ УХН
Удержание УХН ловушками. Одна из самых привлекательных
особенностей УХН состоит в возможности удержания нейтронного газа
в пространственно ограниченных областях с помощью "нейтронных
бутылок" или "магнитных бутылок". На возможность осуществления
удержания первого типа указал, как уже говорилось, Я.Б. Зельдович,
второго - В.В. Владимирский. В настоящее время оба способа
удержания нейтронов реализованы.
Интерес к удержанию нейтронов в бутылках различного - типа
обусловлен возможностью прямого измерения скорости уменьшения
нейтронов вследствие р-распада и, следовательно, возможностью
более точного измерения времени жизни нейтрона по сравнению с
традиционными способами, в которых время жизни измеряется по
наблюдению относительного числа распавшихся нейтронов. Это, в свою
очередь, позволяет, с одной стороны, получить более точную
информацию о константах слабого взаимодействия - векторной gv и аксиальг
ной gA и, с другой стороны, позволяет сопоставить измеренное время
жизни с астрофизическими наблюдениями в целях определения числа
возможных сортов легких нейтрино Nv (mv ;S 10 МэВ).
Прежде чем остановиться на результатах экспериментов по
хранению нейтронов, ответим на такой немаловажный вопрос: а как много
нейтронов можно удержать в емкости? Ответ очевиден.
Принципиальный предел плотности нейтронов в некотором замкнутом объеме,
который' ограничен потенциальным барьером U, задается
статистикой Ферми: энергия нейтронов на границе распределения Ферми
должна быть меньше U. Для материальных "нейтронных бутылок"
предел можно найти, полагая U = £гр. Он оказывается очень высоким:
в сосуде из бериллия предельная плотность может быть ~4Х
х Ю16 нейтр./смэ. Максимально достижимая плотность УХН, которая
может быть получена с самыми мощными источниками нейтронов -
импульсными ядерными реакторами, по оценкам составляет

~107 нейтр./смэ, т.е. она значительно меньше принципиально
возможной плотности.
Нейтроны, заключенные в замкнутом объеме, не будут в нем
храниться бесконечно долго; их число постепенно будет уменьшаться.
Причин для исчезновения две: одна связана с В-распадом свободных
нейтронов, а другая - с взаимодействием нейтронов со стенками
сосуда, если речь идет о нейтронной бутылке Я.Б. Зельдовича, или с
утечкой нейтронов через области, где В = 0 из удерживающего их
неоднородного магнитного поля, если речь идет о магнитной бутылке
В.В. Владимирского.
Число нейтронов, удерживающихся в замкнутом объеме, будет
уменьшаться со временем по закону
ЛГ = ЛГ0е~'/Т, (12.37)
где т - среднее время жизни нейтронов. При этом полную вероятность
исчезновения нейтронов из сосуда можно представить как сумму
парциальных вероятностей
w = 1/t = 1/t* + 1/t0.
Здесь т* - среднее время жизни нейтрона по отношению к
поглощению стенками (за счет захвата нейтронов ядрами или нагревания их
при неупругом рассеянии и за счет утечки через нулевые области
удерживающего поля в случае магнитной бутылки); т0 - среднее
время жизни свободного нейтрона.
Вероятность поглощения нейтрона стенками w* = 1/т* в случае
материальной бутылки можно выразить через средний пробег нейтронов
в сосуде / = 4 V/S, где V - объем сосуда; S - площадь стенок (вывод
формулы для 7 дан в приложении 2) и их скорость v:
w*= -г- Ц .
Здесь 1/v - есть среднее время, прошедшее от одного столкновения
со стенкой до другого, и, следовательно, у/Т- вероятность
соударения со стенками; ц - вероятность потери нейтрона при его
столкновении со стенкой. Тогда
w=_L = 4-|i+ — . (12.38)
Из (12.37) и (12.38) можно сделать вывод, что если v = const, то
зависимость числа исчезнувших в единицу времени нейтронов от време-

ни t должна быть экспоненциальной. Реально сосуд будет заполнен
нейтронами различных скоростей. Так как вероятность поглощения
нейтронов (см. § 12.4) зависит от энергии нейтрона, затухание числа
нейтронов следует ожидать неэкспоненциальным. При соударении со
стенками быстрее погибают более быстрые нейтроны, поэтому спектр
УХН с течением времени будет смягчаться и время т*, так же как и т,
увеличиваться.
Эксперименты по хранению УХН в замкнутых сосудах. Все опыты
с "бутылками" проводились примерно по одной и той же схеме
(рис. 12.22, а). Сосуд 2 представлял собой удлиненный участок нейтро-
новода из исследуемого материала. Через вентиль 1 он заполняется
нейтронами из канала УХН. После закрытия вентиля 1 нейтроны
выдерживаются в сосуде в течение времени t, затем открывается
вентиль 3 и сосуд 2 соединяется с детектором нейтронов 4. Снимается
зависимость скорости счета детектора от времени выдержки t. На
рис. 12.22, б приведены две экспериментальные кривые: / - для
бутылки из борсодержащего стекла (т = 20 с), 2 - для бутылки из
безборного стекла (т = 100 с). Сравнение кривых наглядно демонстрирует
рассмотренный выше эффект влияния стенок на поглощение УХН.
В данном случае к неэкспоненциальности зависимости dN/dt от t
(кривая 1) приводит присутствие бора, очень сильно поглощающего
нейтроны.
И для борного и для безборного стекол среднее время жизни
нейтронов в сосуде сильно отличается от времени жизни свободного
нейтрона. Подобные расхождения наблюдались и во всех других
экспериментах, проводившихся с нейтронными бутылками из самых разных
материалов. Отличие экспериментального и теоретически ожидаемого
времени хранения нейтронов настолько велико, что его нельзя
объяснить только поглощением нейтронов стенками или нагреванием их
при соударении со стенками. Параметр ц, извлекаемый из сопоставле-
1 2 3
«О
700
АН
it
10
Рис. 12.22. Один из вариантов нейтронной
бутылки (а) и результаты эксперимента по ' W
хранению нейтронов в ней (б)
Р

ния (12.38) с экспериментом, оказывается значительно большим, чем
рассчитанный по теории с экстраполированными в диапазон
энергий УХН сечениями оа и о1П. Предпринимались попытки связать
аномально быструю утечку УХН из сосудов с наличием примесей на
стенках с процессами квазиупругого рассеяния, приводящими к
энергетическому размытию спектра УХН, и др. Однако ни один из этих
эффектов полностью аномальную утечку не объяснял.
В ряде работ аномальную утечку УХН удалось объяснить наличием
тонкого слоя водорода на стенках бутылок. Однако опыты с
хранением нейтронов в "динамически чистых сосудах" поставили под
сомнение и эту гипотезу*.
К настоящему времени в экспериментах по хранению нейтронов
в материальных бутылках достигнут существенный прогресс. В
лучших из них время хранения практически приближается к времени
жизни свободного нейтрона. При этом удается прямым образом учесть
эффект влияния стенок сосуда на поглощение нейтронов. Возможность
такого учета видна из (12.38), из которой следует, что время хранения
нейтронов должно быть пропорционально 1/7. Так как 7= 4У/5, то
изменяя отношение объема сосуда V к площади его поверхности 5,
можно получить зависимость w как функцию 1 /Г, которая при v = const
должна быть линейной. Экстраполируя эту зависимость к 1 /Т-+ 0,
можно найти т0. Подобным способом время жизни нейтрона было измерено
в опыте дмитровградской группы: то = 900±11 сив эксперименте в
институте Лауэ-Ланжевена в Гренобле: т0 = (886±3) с. Кстати,
последний результат, сопоставленный с данными астрофизических
наблюдений, дает самое жесткое ограничение на число возможных сортов
легких нейтрино Nv = (2,6 ±0,3).
Эксперимент в Гренобле проводился с помощью бутылки,
представлявшей собой прямоугольный ящик с размерами 30 см по высоте,
40 см по ширине и с переменной длиной L 5; 60 см. Погрешность
установления длины была лучше 0,05 мм. Отражающими поверхностями
для УХН служили тонкие пленки специального масла, нанесенные на
стеклянные поверхности стенок ящика. Как было показано, это масло
обладает прекрасными отражающими свойствами для УХН:
вероятность потери нейтронов при их отскоке от поверхности составляет при
комнатной температуре всего (2-3)-10_s.
Для полноты картины укажем и результат измерения времени
* В "динамически чистых сосудах" в процессе хранения нейтронов на стенки
термически напыляются спои разных металлов. Напыленные слои экранируют постоянно
конденсирующиеся примеси из остаточного газа в сосуде.

жизни нейтронов гатчинской группой: т = (870 ± 8) с, который был
получен методом хранения нейтронов в гравитационной ловушке.
Удержание нейтронов неоднородным магнитным полем.
Эффективность хранения нейтронов можно повысить, если от ядерного
удержания перейти к магнитному. Идея магнитного удержания основана
на способности нейтронов отражаться от областей с высокой
напряженностью магнитного поля. Из (9.6) следует, что квадрат показателя
преломления нейтронов в магнитном поле
п* = 1±-^ ' (1139)
будет двузначной функцией В (г), что обусловлено зависимостью
энергии взаимодействия нейтронов от ориентации спина (и связанного
с ним магнитного момента) по отношению к направлению поля В.
Нейтронам со спином, ориентированным по полю, в (12.39)
соответствует знак плюс, т.е. для них всегда п > 1. Это означает, что
магнитное поле является оптически более плотной средой по сравнению
с вакуумом и явление отражения в этом случае невозможно.
Нейтронам, спин которых ориентирован против поля,
соответствует (12.39) со знаком минус, т.е. магнитное поле будет оптически менее
плотной средой по сравнению с вакуумом. В этом случае возможно
явление ПВО, а для нейтронов с энергией Е < ц В - полное отражение при
любых углах падения по отношению к направлению вектора В.
(Показатель преломления для нейтронов с ориентацией спина против поля
с энергией Е < ц В будет комплексным).
Отсюда следует, что, подобрав определенную конфигурацию
магнитных полей В (г), можно ограничить движение очень медленных
нейтронов некоторой пространственной областью, т.е. создать
ловушку, которая будет удерживать нейтроны. Вариантов таких ловушек
известно в настоящее время достаточно много. Некоторые ловушки
заимствованы из тех областей физики, где применяют удержание
заряженных частиц. Примером может служить магнитная пробка,
предложенная П.Е. Спиваком для опытов по р-распаду нейтрона, и
магнитная пробка, предложенная A.M. Будкером для удержания плазмы в
системах управляемого термоядерного синтеза.
Одна из простых конфигураций удерживающего нейтрон поля
может быть осуществлена, например, с помощью тороидального
накопительного кольца (рис. 12.23, о), создающего шестиполюсное
магнитное поле. На поверхности тора укладываются шесть обмоток,
направления тока в любых двух соседних обмотках выбираются
противоположными. Топология поля в любом сечении тора показана на

ного поля в ней (б)
рис. 12.23кб. Хотя форма поля сложная, напряженность его меняется
простым образом: на оси тора всюду равна нулю и от центра к
периферии растет как квадрат расстояния. Траектория движения нейтронов
в этом шестиполюснике будет винтовой линией, ось которой совпадает
с осью тора.
Утечка нейтронов из магнитных ловушек обусловлена
возможностью деполяризации, т.е. изменения проекции спина нейтрона
относительно направления поля. Деполяризация приведет к изменению
знака энергии взаимодействия нейтрона с полем и, значит, в
соответствии с (12.39) к изменению показателя преломления. Нейтроны с
новой ориентацией спина уже не будут удерживаться полем. Поэтому
необходимым условием удержания является сохранение ориентации
спина на направление поля. Это условие будет выполняться в том
случае, если в системе координат, связанной с нейтроном, направление
магнитного поля будет меняться адиабатически, т.е. достаточно
медленно. Условие адиабатичности в данном случае имеет вид
u«:uL = 2(iB/ft,
где v>L - ларморовская частота процессии спина нейтрона; со - угловая
скорость вращения вектора поля. Отсюда видно, что опасными с
точки зрения нарушения адиабатичности являются те точки поля, где
В = 0.
К настоящему времени выполнено несколько экспериментов с
магнитными накопителями. В работе Ю.Г. Абова и др. доказано, что в
простой односвязной области, образованной сочетанием
неоднородного магнитного поля и гравитационного поля, возможно удержание
нейтронов со временем хранения большим 700 с. Наилучшие
результаты получены с тороидальной магнитной ловушкой, в которой маг-

Рис. 12.24. Кривая удержания нейтронов в магнитной л/
бутылке 80
ВО
W
20
70
О 5 10 15 20 25
Время накопления, мин
нитное поле создавалось шестью кольцевыми сверхпроводящими
обмотками. Максимальная напряженность поля была равна 3 Тл. Кривая
удержания нейтронов, полученная в этом эксперименте (рис. 12.24),
имеет начальный участок с малым временем удержания и кривую с
неизменяющимся наклоном при больших временах удержания.
Начальный участок обусловлен утечкой нейтронов с большой
поперечной компонентой импульса. Для прямолинейного участка
характерное время удержания практически совпадает со временем жизни
свободного нейтрона (т0 =* 900 с).
В заключение заметим, что реализация магнитного удержания,
так же как и реализация удержания нейтронов в материальных
бутылках, дает возможность провести прямой эксперимент по
измерению времени жизни свободного нейтрона методом затухания
плотности нейтронов со временем. Лучший на сегодня результат,
полученный этим способом, равен
то=(8787±20)с.
Измерение электрического дипольного момента нейтрона.
Некоторые нейтральные частицы, обладающие собственным механическим
моментом (спином), обладают и связанным с ним магнитным
моментом. Магнитный момент есть и у нейтрона, спин которого Ь/2.
Спрашивается, а может ли нейтральная частица обладать электрическим ди-
польным моментом? Для структурных частиц,"какими являются,
например, молекулы, ответ будет положительным (впервые дипольное
излучение молекул наблюдал еще Дебай). Для элементарных частиц,
структурные компоненты которых не выделены в свободном
состоянии (как, например, для -нейтрона), вопрос в течение долгого
времени оставался открытым.
Впервые вопрос о дипольном моменте элементарных частиц
рассмотрел в 1950 г. Парселл. Он показал, что у элементарной частицы со
спином s должен отсутствовать статический электрический диполь-
ный момент (ЭДМ), если взаимодействие этой частицы с полем инвари-

антно относительно операции пространственной инверсии Р.
Действительно, вектор спина частицы s выделяет в пространстве единственную
ось, вдоль которой (по или против) может быть направлен дипольный
электрический момент. Другого выделенного направления нет, т.е.
d=as, (12.40)
где a - коэффициент пропорциональности между s и d. При операции
пространственной инверсии векторы s и d преобразуются по-разному:
Pd = -d, Ps = s, т.е. d, как обычный вектор, меняет знак, а вектор
спина, как псевдовектор, знака не меняет. Комбинируя эти равенства,
заключаем, что для того, чтобы законы, описывающие
взаимодействие частицы со спином s с полем, были инвариантными относительно
пространственной инверсии, необходимо, чтобы a = 0 или в
соответствии с (12.40) d=0.
В 1956 г. еще до эксперимента By и др. Л.Д. Ландау высказал
глубокую идею о том, что несимметрию пространства, в котором мы живем,
создают сами частицы, и предложил физическим считать такое
зеркало, которое не только осуществляет пространственное отражение,
но и меняет все частицы на античастицы (и наоборот), т.е. законы
взаимодействия должны быть инвариантными относительно
комбинированной инверсии: пространственного отражения и зарядового
сопряжения (зарядовой инверсии). Эту операцию обозначают как СР, а
соответствующее ей сохраняющееся квантовое число называют СР-чет-
ностыо. В этой же работе, в которой была высказана гипотеза о
сохранении СР-четности, Ландау показал, что если Р-четность не
сохраняется, а СР-четность сохраняется, то электрический дипольный момент
частицы со спином s должен равняться нулю. Для доказательства
теоремы Ландау воспользуемся важнейшим положением квантовой
теории поля, так называемой СРГ-теоремой, доказанной Швингером,
Людерсом и Паули. Согласно этой теореме все взаимодействия
инвариантны относительно последовательности трех операций С, Р и Т,
выполненных в любом порядке. Из СРГ-теоремы следует, что если
СР = 1, то Т = 1, т.е. взаимодействия должны быть инвариантными
относительно обращения времени. Поскольку при инверсии времени
векторы спина и электрического момента преобразуются как Td = d, Ts =-s,
то для сохранения Г-симметрии необходимо, чтобы d = 0.
Соответственно в случае нарушения Г-симметрии (ТФ 1) d Ф 0.
Таким образом, для того чтобы элементарная частица со спином s
имела отличный от нуля электрический дипольный момент,
необходимо, чтобыРФ1,ТФ1и{всилу СРГ-теоремы) СРФ 1.
До 1964 г. все взаимодействия считались инвариантными
относительно операции СР. С- и Р-симметрии по отдельности нарушались в

слабых взаимодействиях, но СР-инвариантность, казалось, не
нарушается. В 1964 г. Фитч и Кронин обнаружили, что в распадах долгоживу-
щего К°-мезона наряду с СР-нечетными распадами на Зл-меэона
наблюдаются СР-четные распады на 2л-меэона. Нарушение СР-симметрии
было хотя и небольшим (с вероятностью ~0,2%), но надежно
установленным. Впоследствии СР-неинвариантные эффекты нашли и в
некоторых других распадах К°-мезонов. Попытки обнаружить подобные
эффекты в каких-либо иных процессах успеха не имели. Поэтому
обнаружение электрического дипольного момента у нейтрона служило бы
прямым доказательством универсальности явления нарушения
Г-инвариантности.
Экспериментальные поиски ЭДМ нейтрона проводились еще до
обнаружения нарушения С- и Р-симметрий. Однако долгое время эти
работы интереса не вызывали из-за глубокой убежденности "физиков
в нерушимости закона сохранения Р-четности. После открытия
нарушения Р-четности количество измерений ЭДМ нейтрона резко выросло.
Постоянно совершенствовалась техника измерений и соответственно
неуклонно поднимались ограничения на допустимое значение ЭДМ.
Чтобы понять, почему возникла необходимость в постановке
опытов на УХН, рассмотрим вкратце некоторые особенности
постановки ранее выполненных экспериментов. Большинство измерений
ЭДМ нейтрона проводилось магнитореэонансным методом, суть
которого такова. Поляризованный пучок нейтронов пропускают через
область, к которой приложено однородное магнитное поле Н и
однородное электрическое поле, совпадающее по направлению с Н. Спин
нейтронов перпендикулярен направлению поля Н.
Если ЭДМ отсутствует, то спин нейтрона прецессирует относительно
направления Н с ларморовой частотой ql = 2\i H/tt. При наличии ЭДМ
частота процессии меняется: со .• = (aL- 2dE/h в случае Е,
параллельном Н, и cdj, = QL + 2dE/h при Е, антипараллельном Н.
Соответствующая схема энергетических уровней нейтрона с электрическим й и
магнитным ц моментами в параллельных и антипараллельных
электрическом и магнитных полях показана на рис. 12.25. Разность частот
прецессии До = со и - co+ = 4d£/fi зависит от энергии взаимодействия
электрического момента с полем и может быть обнаружена по
изменению фазы прецессии в некоторой точке при выходе нейтрона из поля.
На опыте измеряют изменение фазового угла при изменении на
обратное относительной ориентации магнитного и электрического полей,
т.е. величину Д ф = Д ы-t = 4dEt/h, где t - время пребывания нейтрона
в установке.
Наилучший результат, полученный магнитореэонансным методом

со,, =
2р.Н 2d Е.
Л-1/2
i
-1/2
»~"й"
Tj^Tl s т +1/2
-1/2
2р.Н
со =-v—
Е\\Н EJfrH
Рис. 12.25. Схема энергетических уровней нейтрона в параллельных (Е||Н) и
антипараллельных (В # Н) электрическом н магнитном полях
с пучком холодных нейтронов, на сегодня таков: | dn \ < 3,0 • 1 (h24 e • см
(на 90%-ном уровне достоверности). По сравнению с первой работой,
опубликованной свыше 20 лет назад, верхняя граница для возможного
значения ЭДМ нейтрона уменьшена почти на четыре порядка. Есть
два обстоятельства, которые препятствуют дальнейшему повышению
чувствительности этого метода. Во-первых, ограниченность размеров
установок, а следовательно, конечность времени пребывания
нейтронов в них. И, во-вторых, "паразитные" магнитные эффекты. Влияние
их существенно, так как энергия взаимодействия дипольного момента
с полем dE исключительно мала. При d/e~ Ю-24 см в поле «10s В/см
она равна ««Ю-19 эВ. Эта величина на шесть-семь порядков меньше
энергии взаимодействия магнитного момента нейтронов с магнитным
полем Земли. Ложный эффект возникает за счет взаимодействия
движущегося магнитного момента с электрическим полем. Энергия этого
тХЕ
взаимодействия W «= ц , а наблюдаемый ложный эффект
с
ЦТ
d sin Р, где (3 - угол между направлениями магнитного и элек-
с
трического полей.
Для устранения указанных трудностей Ф.Л. Шапиро предложил
использовать УХН, которые позволяют значительно увеличить время
пребывания нейтронов в области полей и, главное, практически
исключить "паразитные эффекты", пропорциональные скорости
нейтронов. Эти эффекты уменьшаются главным образом благодаря
усреднению скорости по направлению в процессе хранения. При этом
средняя скорость становится близкой к нулю.
Измерения ЭДМ нейтрона с помощью УХН были проведены
группой В.М. Лобашова в Ленинграде. Установка представляла собой
двойную камеру хранения, в каждой из частей которой направления
вектора Е были противоположными. Она включала (рис. 12.26) магнитный
экран 1, катушку Гельмгольца 2, камеру спектрометра и высоковольт-

Рис. 12.26. Схема эксперимента группы
ЛИЯФ по поиску электрического дипольного
момента нейтрона
В
ный электрод 3, катушку с осциллирующим полем 4, поляризатор 5,
анализаторы 6, детекторы 7. Детекторы могли регистрировать
одновременно нейтроны с противоположной поляризацией от каждой из
частей камеры в отдельности. Такая конструкция установки при
периодическом изменении направления поля в камере симметриэовала
установку и уменьшала случайные искажения. Время хранения
нейтронов составило «55 с. Наилучший результат, полученный в
ленинградском эксперименте: | d \ I е = (1,4 ± 0,6) ■ 10" 2 5 см, или | d \ I е < 2,6 х
х Ю-25 см на 95%-ном уровне достоверности.
Нужно отметить, что столь высокая точность измерения получена
на реакторе, дающем не самую высокую интенсивность нейтронного
пучка, поэтому есть основания надеяться, что в ближайшем будущем
точность измерения ЭДМ нейтрона повысится. Это представляется
исключительно важным с точки зрения проверки предсказаний
большого числа теоретических моделей, часть из которых предсказывают
для ЭДМ нейтрона значение порядка 10"25 см.
В аналогичном магнитореэонансном эксперименте, выполненном
в институте Лауэ-Ланжевена в Гренобле, для измерений ЭДС
использовалось накопление УХН. Результат этого эксперимента для
ЭДМ составил: d/e=-(0,3±0,5)-10-2S см и|^|/е<1,2-10-25 см на 95%-ном
уровне достоверности.
Нейтронный микроскоп представляет собой прибор,
предназначенный для получения изображения предметов в нейтронных лучах.
В обычном микроскопе световая волна, зондирующая объект,
взаимодействует с электронными оболочками атомов. В нейтронном
микроскопе волна взаимодействует с атомными ядрами. Исходя из этого
различия следует ожидать, что при просвечивании объектов
нейтронами его изображение будет формироваться за счет специфического
нейтронного контраста, обусловленного различием во
взаимодействиях нейтронов с ядрами. Наибольший контраст, как это можно
заключить из закона дисперсии нейтронных волн (9.16), должен
проявляться при использовании очень медленных нейтронов: УХН с энергией
* К)"7 эВ и очень холодных (ОХН) с энергией «= 10"5 эВ. УХН и ОХН,
как уже говорилось, по-разному взаимодействуют с веществом: УХН

практически полностью отражаются от поверхности среды, а ОХН
помимо частичного отражения испытывают преломление в среде.
Эти особенности взаимодействия определяют принципы построения
нейтронно-оптических элементов микроскопа. В микроскопе на УХН
должны использоваться зеркала, т.е. устройства, основанные на
зеркальном отражении нейтронов*, а в микроскопе на ОХН должны
применяться устройства, основанные на преломлении, т.е. линзы и
призмы. Заметим, кстати, что первым обратил внимание на возможность
создания линз и призм Ферми. Правда, сам Ферми считал линзы и
призмы совершенно непрактичными и мало пригодными "хоть на что-
нибудь" ввиду незначительности их фокусирующих и дефокусиру-
ющих свойств. Бго мнение основывалось на очень малом отличии
от единицы показателя преломления для тепловых нейтронов, т.е.
для единственно доступных в то время пучков медленных нейтронов.
Впоследствии ядерные призмы и линзы были созданы для холодных
нейтронов.
Возникает естественный вопрос: какие системы являются более
перспективными с точки зрения получения нейтронного
изображения - преломляющие или отражающие? Однозначного ответа на этот
вопрос нет. И те и другие с точки зрения использования их в
микроскопии имеют свои преимущества и недостатки. Большим недостатком
нейтронно-оптических элементов, основанных на преломлении,
является их ахроматичность в силу (9.16). Необходимость устранения
хроматических аберраций заставляет использовать дополнительные
оптические элементы, т.е. усложняет конструкцию микроскопа.
Зеркала же сами по себе ахроматичны. Однако хроматические
аберрации будут возникать и в зеркальной системе из-за воздействия на
траекторию нейтронов силы тяготения Земли.
Немаловажен вопрос: какая область энергий наиболее подходит
для использования в микроскопии - область УХН или ОХН? Область
УХН, для которой возможна зеркальная фокусировка, дает, как это
следует из закона дисперсии (9.16), самый высокий химический
контраст. При переходе к области ОХН, для которых возможна как
зеркальная фокусировка (но с неполным отражением нейтронов), так и
линзовая фокусировка, химический контраст уменьшается. Однако
при этом падает длина волны и растет интенсивность нейтронов, что
позволяет, в принципе, получить лучшее пространственное
разрешение.
* На возможность получения нейтронного изображения с помощью вогнутых зеркал
впервые обратил внимание И.М. Франк. Ои же выдвинул идею создания нейтронного
микроскопа, использующего этот метод получения нейтронного изображения.

Самым существенным препятствием на пути получения
нейтронного изображения долгое время была (и остается сегодня) низкая
интенсивность существующих пучков нейтронов низких энергий.
Первые нейтронно-оптические изображения объектов с их
визуализацией были получены группой А.И. Франка на новом
высокоинтенсивном пучке УХН Ленинградского института ядерной физики. В
экспериментальной установке этой группы одновременно
присутствуют все необходимые составляющие нейтронного микроскопа:
объект, просвечиваемый нейтронами, зеркальная оптическая система,
создающая его изображение, и система регистрации, визуализирующая
нейтронное изображение (рис. 12.27).
Оптическая часть прибора состоит из двух вогнутых сферических
зеркал 3 с радиусами кривизны примерно 20 и 30 см. Расстояние
между зеркалами выбрано таким, чтобы происходила компенсация
гравитационного хроматизма в первом порядке как по увеличению,
так и по положению. Объект 5 располагался в фокусе первого
зеркала, изображение формировалось в плоскости, где располагался
чувствительный слой детектора изображения. Оптическое увеличение
системы т * 1,4х. Зеркала изготавливали нанесением на сферическое
стекло слоя сплава S8Ni-Mo с граничной скоростью для нейтронов
8 м/с. Защита от прямого пучка осуществлялась с помощью экрана 4.
Детектор 2 представлял собой сцинтилляционный детектор УХН
с электронно-оптическим преобразователем (ЭОП) 1 и фотоаппаратом.
Свет от сцинтилляций, возникающих при захвате УХН, выводился из
вакуумной камеры по волокнистому световоду, усиливался ЭОП на
основе микроканальной пластины с ( ]
волоконной оптикой на входном и П
выходном окнах, а затем регистриро- 1 —
вался на пленку.
Микроскоп присоединялся к
выходному нейтроноводу 6 источника
УХН. Плотность потока нейтронов на
выходе составила 6-Ю3 нейтр./(см2• с).
Использовалась геометрия
освещения на просвет.
Рис. 12.27. Многозеркальный оптический
прибор для УХН

Одно из первых изображений, полученное с помощью этого
микроскопа, приведено на рис. 12.28. Тест-объект представлял собой очень
тонкую кремниевую пластинку, на которую методом фотолитографии
наносился рисунок из никеля. Шаблон, с которого изготавливался
тест-объект, показан справа от рисунка. Изображение получено при
экспозиции 2,5 ч. Представление о разрешении микроскопа можно
получить из толщины линии, которая составляла «200 мкм. Заметим,
что оптимизация настройки прибора в ходе эксперимента не
проводилась.
Недавно в институте Лауэ-Ланжевена в Гренобле был опробован
нейтронный зеркальный микроскоп с увеличением т ;5 280х.
Разрешающая способность этого микроскопа также ограничена
гравитационным хроматизмом, который для нейтронов со скоростями в
диапазоне от 5,5 до 6,7 м/с составлял несколько миллиметров в плоскости
изображения, или несколько десятков микрометров в плоскости
объекта.
Решение проблемы гравитационного хроматизма облегчается в
недавно предложенном и уже испытанном горизонтальном нейтронном
микроскопе. При горизонтальном расположении прибора имеет место
только один вид хроматических искажений - смещение изображения
как целого при изменении скорости нейтрона. Предложены способы
компенсации такого хроматизма. Как было оценено, горизонтальные
системы могут иметь разрешение в несколько микрометров. В
эксперименте с первым горизонтальным микроскопом разрешающая
способность прибора составила 17 мкм.
Возможные области использования нейтронных микроскопов еще
предстоит проанализировать, однако уже сейчас ясно, что они могут
Рис. 12.28. Изображение объекта в нейтронном свете

найти применение при исследованиях биологических структур. Как
известно, органические молекулы состоят преимущественно из атомов
С, N, О, Н и различаются в основном содержанием водорода в них.
Так как для ядер С, N, О длина рассеяния положительна, а для
водорода отрицательна, то различные белковые вещества будут сильно
различаться граничной энергией. Это позволяет надеяться, что при
исследованиях биологических объектов будет наблюдаться
достаточно сильный химический контраст. Нейтронные микроскопы могут
принести пользу и при исследованиях белковых веществ методом дей-
терирования. Для дейтерия Ъ > 0, поэтому замещение водорода
дейтерием будет менять граничную энергию веществ и, следовательно,
менять химический контраст.
Глава 13. НЕЙТРОННАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
13.1. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОННЫХ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
Интерферометры - класс приборов, основанных на использовании
явления интерференции волн самой различной природы. Известны
акустические интерферометры и интерферометры электромагнитного
излучения: оптические, рентгеновские и радиоинтерферометры.
В последние годы к этим приборам добавился новый класс
интерферометров, основанный на наблюдении интерференции волн иной
природы - волн "материи", или нейтронных волн. Область исследований,
где применяют эти приборы, получила название нейтронной
интерферометрии.
Нейтронная интерферометрия бурно прогрессирует. Ее развитие
стало возможным в результате применения интерферометров на
совершенных монокристаллах, созданных первоначально для
рентгеновской интерферометрии. Это обстоятельство не должно удивлять, так
как нейтронные волны, как уже указывалось, по своим
характеристикам ближе всего к рентгеновскому диапазону электромагнитного
излучения.
Принцип действия интерферометров един для волн любой природы.
Он состоит в том, что первичную волну расщепляют на некоторое
количество когерентных волн (чаще всего на две волны), заставляют
расщепленные волны проходить различные пути с целью набора
определенной разности фаз и затем сводят их вместе в некоторой
пространственной области и наблюдают интерференционную картину.
Полученная таким способом интерференционная картина зависит от

способа расщепления первичной волны на когерентные волны, от
числа и относительной интенсивности интерферирующих волн, от
размеров источника и т.д.
Учитывая особенности взаимодействия нейтронов с веществом,
нетрудно предположить, за счет чего в нейтронном интерферометре
может возникнуть разность фаз волн. Она может возникнуть,
например, при ядерном рассеянии нейтронов, при взаимодействии
магнитного момента нейтрона с внешним магнитным полем, при
взаимодействии гипотетического дипольного момента с внешним электрическим
полем, наконец, она может быть следствием того, что когерентные
пучки нейтронов движутся в различных гравитационных или
"слабых" полях.
Будем рассматривать двухлучевой нейтронный интерферометр.
Допустим, что одна из когерентных нейтронных волн движется в
интерферометре свободно, а другая волна движется в поле с
потенциалом U заданной природы. Тогда разность фаз двух когерентных
пучков нейтронов в общем случае можно найти как
Р к0\~кх хо ■ % ц ц '
где х0 и х, fc0 и к, Х0 и\1,р0 и р - соответственно длины пути,
волновые векторы, длины волн и импульсы нейтронов, движущихся
свободно (индекс 0) и в потенциале U (без индекса). При одинаковых
геометрических путях пучков (х0 = х) разность фаз будет (3 =х0 Др/А, где
д р - изменение импульса нейтронов, обусловленное действием
потенциала [/.
В силу закона сохранения энергии изменение кинетической энергии
нейтронов Д Т должно быть равно по абсолютному значению
изменению их потенциальной энергии Д V. Если до попадания в область
внешнего поля потенциальная энергия взаимодействия нейтронов с полем
равна нулю, то изменение потенциальной энергии при прохождении
ими области действия поля будет равно потенциалу взаимодействия
U, усредненному по области действия поля, т.е. Д Т = Д V = U. Так как
для медленных нейтронов Д Т = vД р, окончательно находим
p=x£//ftv. (13.1)
Формула (13.1) показывает, что сдвиг фаз, набираемый двумя
когерентными волнами, определяется потенциалом взаимодействия
нейтронов с внешним полем. Эта связь использовалась в очень
тонких опытах с нейтронными интерферометрами, в которых были про-

демонстрированы и изучены целый ряд существенно квантовоме-
ханических явлений.
Напомним, что сдвигом фаз определяются особенности
наблюдаемой интерференционной картины. Если разность хода волн
Д = -г— Р кратна целому четному числу полуволн, т.е. Д = 2тА./2,
то результирующая волна будет усиливаться, а интенсивность ее будет
максимальной; в том же случае, когда разность хода волн равна
нечетному числу полуволн, т.е. Д = (2т + 1) к /2, результирующая
волна ослабляется, а интенсивность ее минимальна. Целое число т
называют, как известно, порядком интерференции.
Первый интерферометр для нейтронов был построен Майер-Лейб-
ницем и Шпрингером на основе одного из простых оптических
устройств, аналогичном бипризме Френеля (рис. 13.1). Роль источника в
этом интерферометре играла узкая входная щель 3, в месте
расположения которой фокусировались нейтроны от реактора I, отраженные
параболическим зеркалом 2 (угол полного внешнего отражения для
зеркала, использованного в этих экспериментах, составлял ^0,1°).
Два когерентных нейтронных пучка образовывались в результате
преломления исходного пучка бипризмой 4. Интерференционная
картина наблюдалась в области перекрывания пучков при перемещении
детектора совместно со сканирующей щелью 7 в поперечном
относительно пучка направлении. Типичная интерференционная картина,
полученная в опытах с этим интерферометром, показана на рис. 13.2.
Как видим, наблюдаются всего лишь два порядка интерференции:
нулевой и первый.
С помощью интерферометра на бипризме Френеля были сделаны
первые попытки определения показателей преломления некоторых
элементов и их изотопов. С этой целью на пути каждого из пучков за
Рис. 13.1. Схема интерферометра на бипризме Френеля

Рис. 13.2. Интерференционная картина, полученная
мощью интерферометра на бипризме Френеля
-Б0 -20 20 60
Положение
сканирующей. щёла,пм
бипризмой устанавливались образцы 5 и 6 (см. рис. 13.1) из
исследуемых материалов. Однако все попытки наблюдать интерференцию как
с различными образцами, установленными на пути обоих
когерентных пучков, так и с образцами из одного и того же материала
оказались безуспешными. Причина неудачи была связана с основным
недостатком интерферометра на бипризме. Он заключался в том, что для
использованных в эксперименте нейтронов с длиной волны порядка
0,1-0,2 нм показатель преломления нейтронов для бипризмы, как и
следовало ожидать из (9.17), незначительно отличался от 1.
Вследствие этого пространственное разделение когерентных пучков было
незначительным, всего около 60 мкм. Указанного недостатка лишены
интерферометры на совершенных монокристаллах.
13.2. ИНТЕРФЕРОМЕТРЫ НЕЙТРОНОВ НА СОВЕРШЕННЫХ
МОНОКРИСТАЛЛАХ
Во многих действующих в настоящее время нейтронных
интерферометрах когерентные пучки получают с помощью совершенных
кристаллов. Они позволяют развести пучки на расстояние порядка 1 см
и наблюдать несколько сот порядков интерференции.
Конструктивно нейтронные интерферометры могут различаться
выполнением основных элементов: расщепителя, зеркала (устройства,
сводящего воедино расщепленные пучки) и анализатора. Эти элементы
могут быть независимыми частями конструкции и применяться как
в геометрии Брэгга (на отражение), так и в геометрии Лауэ (на
прохождение). Однако наиболее удачными оказались конструкции,
изготовленные из единого монокристалла кремния.
Функциональными элементами большинства интерферометров
на совершенных монокристаллах являются три
плоскопараллельные пластины, находящиеся на общем основании. Эти
интерферометры имеют форму буквы Ш (рис. 13.3, о). Все три пластины по отно-

Рис. 13.3. Один из вариантов конструкции
интерферометра на монокристалле (а) и
ход лучей в интерферометре (б)
Рис. 13.4. Один из вариантов
интерферометра на совершенном монокристалле с
отражением расщепленных пучков отдельными
пластинами
шению к пучку находятся в геометрии Лауэ. Первая пластина (S)
служит для расщепления нейтронного пучка на две когерентные
составляющие, вторая (М) играет роль зеркала, а третья (А) является
анализатором.
В ряде экспериментов использовались интерферометры на
совершенных монокристаллах, в которых зеркалом для каждого из
расщепленных пучков служили отдельные пластины (рис. 13.4).
Если на расщепитель (рис. 13.3, б) под брэгговским утлом к
межкристаллическим плоскостям 9Б направить нейтронный пучок, то за
пластиной он разделится на две части: одна будет двигаться в
направлении первоначального пучка, а направление другой будет
определяться условием Брэгга-Вульфа (10.12) (дифракционно отраженный
пучок). Угол между пучками за расщепителем составит 29g. При этом
важно отметить, что, как и в случае обычной оптики, фаза нейтронной
волны для прошедшего пучка не изменится, а фаза дифракционно
отраженных волн изменится на угол л. После прохождения зеркала
каждым из расщепленных пучков будут наблюдаться уже четыре
пучка: два распространяющихся в направлении падающих - I и 4
(прошедшие пучки) и два дифракционно отраженных- 2 и 3 (рис. 13.3, а, б).
Два прошедших пучка для интерференции не существенны и в
эксперименте обычно используются для абсолютной привязки (норми-

ровки) результатов. Нейтроны в этом случае регистрируются,
например, счетчиком С1. Два дифракционно отраженных пучка 2 и 3
сходятся в том месте, где расположен анализатор. Последний, в свою очередь,
расщепляет каждый падающий на него пучок на две аналогичные
компоненты. В результате за интерферометром нейтроны будут
вылетать в двух направлениях: в направлении первичного пучка (назовем
этот пучок прямым или О-пучком) и в направлении дифракционно
отраженного (отклоненный или Я-пучок). Прямой пучок является, как
видно, результатом когерентного сложения дифракционно
отраженных волн пучка 3 и прошедших волн пучка 2, а отклоненный -
результатом когерентного сложения дифракционно отраженных волн
пучка 3 и прошедших волн пучка 2. Нейтроны прямого пучка
регистрируются счетчиком Сэ, а отклоненного - соответственно
счетчиком С2.
Из рис. 13.3, б нетрудно видеть, что отклоненный пучок получается
наложением волн двух типов: одни из них распространяются вдоль
пути II и поэтому испытывают только отражения, а другие
распространяются вдоль пути J и поэтому испытывают одно отражение и два
преломления. Общее изменение фазы этих волн по отношению к
первичному пучку и в том и в другом случае составляет л. Прямой пучок
является наложением волн одного типа. Эти волны, распространяясь
и по пути J, и по пути II, испытывают по одному преломлению и по два
отражения. Так как одно отражение изменяет фазу на угол л, то волны
О-пучка не будут иметь сдвига фаз по отношению к первичному
пучку.
Интерференцию нейтронов как в прямом, так и в отклоненном
пучках можно наблюдать, если между волнами, следующими по путям
J и II, создать относительный сдвиг фаз, например, введением в одно
из плеч интерферометра (I или II) локальной области с ядерным,
магнитным или гравитационным потенциалом.
При расчетах интерферометров толщину пластин {S, М и А)
выбирают из условия равенства интенсивностей нейтронов в прошедшем
и дифракционно отраженном пучках. Обе эти величины являются
периодическими функциями толщины пластин, причем максимальные
значения амплитуд дифракционно отраженных волн совпадают с
минимальными значениями амплитуд прошедших нейтронных волн
и наоборот.
Качество получаемой интерференционной картины зависит от
соблюдения ряда основных требований к конструкции
интерферометра и к характеристикам пучка, а именно: 1) от строгой одинаковости
взаимной ориентации межкристаллических плоскостей во всех трех

пластинах интерферометра, необходимой для обеспечения
последовательного отражения под брэгговскими углами нейтронных волн,
падающих на расщепитель; 2) от строгой плоскопараллельности
каждой из пластин в отдельности и строгой взаимной параллельности
пластинок, необходимых для той же самой цели и, кроме того, для
уменьшения расфокусировки пучка и исключения возможного
случайного сдвига фаз; 3) от степени монохроматичности пучка нейтронов
и т.д.
Первое требование можно удовлетворить, если интерферометр
изготовлен из совершенного монокристалла, выращенного из
чистого исходного материала. Выполнение второго требования зависит
от качества механической обработки, при которой, как показывают
расчеты, следует соблюдать микрометровую точность.
В качестве примера приведем характеристики нейтронного
интерферометра, с помощью которого был выполнен ряд прецизионных
измерений на высокопоточном реакторе в г. Гренобле. Интерферометр
изготовлен из совершенного монокристалла кремния диаметром 80 и
длиной 70 мм. Толщина пластин была одинаковой и составляла
d = (4,3954 ± 0,0008) мм. Расстояние между пластинами а = (27,2936 ±
± 0,0009) мм. Нарезка пластин проводилась алмазной пилой с
последующим их травлением и шлифовкой. Пластины нарезались так, чтобы
плоскости, используемые для брэгговского отражения, были
расположены вертикально и перпендикулярно поверхности пластин.
Измерения проводились на вертикально щелевом пучке
монохроматических нейтронов (5 X 2,5 мм2) с длиной волны К = 0,1835 нм. При
эксплуатации прибора применялись меры предосторожности в целях
предохранения его от вибраций на уровне 10"3-10""g. При настройке
интерферометра выравнивались механические напряжения, возникающие в
нем от изгиба отдельных частей интерферометра под действием
собственной массы.
Как показывает расчет, интенсивности нейтронов, попадающих в
детекторы Сэ и С2, являются периодическими функциями
относительного сдвига фаз (3, набранного нейтронами на пути J и II:
/1 = a(l + cosp); (13.2)
/2 = у + a cos (л + Р) = у - a cos P , (13.3)
где а и у - некоторые постоянные. [Вывод формулы (13.2) см. далее
в § 13.3.] Соотношение (13.2) для интенсивности нейтронов прямого
пучка легко получить из элементарных геометрических соображений.
Так как каждая из компонент нейтронных волн, образующих прямой
пучок, при пересечении всех пластин испытывает одинаковые прев-

ращения (по два отражения и по одному преломлению), то
результирующая интенсивность прямого пучка может быть найдена простым
сложением двух гармонических колебаний одинаковой амплитуды,
имеющих относительный сдвиг фазы (3 (сдвиг фазы (3 может
возникнуть только из-за взаимодействия одной из компонент с внешним
полем). Хорошо известно, что результат такого сложения имеет вид
(13.2). Соотношение (13.3) так же просто объяснить нельзя. Однако
можно понять появление знака "минус" перед косинусом. Он
возникает из-за того, что волны, составляющие отклоненный пучок при
прохождении всех пластин интерферометра испытывают нечетное
число отражений (либо одно, либо три), каждое из которых меняет
фазу прошедшей волны по отношению к падающей на угол л. Поэтому
ясно, что по отношению к волнам прямого пучка волны
отклоненного пучка будут сдвинуты по фазе на угол л.
Соотношения (13.2) и (13.3) показывают, что интерференционную
картину можно наблюдать как детектором С3, так и детектором С2.
Однако интерференционный эффект можно усилить. Возьмем
разность показаний этих двух детекторов:
Jt -/2 = (сс- у) +2 a cos P .
Тогда интерференционный эффект, как видим, увеличивается вдвое.
Заметим, кстати, что при сложении показаний детекторов, т.е. Jt + /2 =
= а + у = const, интерференционный эффект исчезает.
В реальных интерферометрах, в отличие от идеальных,
зависимости интенсивности от сдвига фазы будут несколько отличаться от тех,
которые даются соотношениями (13.2) и (13.3). На этих зависимостях
будут сказываться: несовершенство кристаллической структуры
кристалла, из которого изготовлен интерферометр; отклонения от
плоскопараллельности пластин и различие их в толщине; искажения,
которые вносятся устройствами, устанавливаемыми на пути
интерферирующих пучков в целях создания сдвига фаз; разброс в длине
волны интерферирующих пучков и т.д.
В частности, для прямого пучка зависимость интенсивности от
сдвига фаз будет иметь вид
i~A+Bcos(p+ p0),
где А, В и Р0 - параметры, характерные только для данного
интерферометра. Если интерферометр сбалансирован достаточно хорошо,
то эта зависимость будет близка к (13.2).

13.3. ТЕОРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ИНТЕРФЕРОМЕТРА
Допустим, что пучок монохроматических нейтронов падает на
пластину - расщепитель кристаллического интерферометра под брэг-
говским углом к оси интерферометра и, следовательно, под тем же
углом к межкристаллическим плоскостям в каждой из трех пластин
интерферометра (S, М, А на рис. 13.3, б). На выходе из интерферометра,
как уже указывалось, будут наблюдаться два пучка: прямой и
отклоненный. Волновые функции нейтронов этих пучков задаются
соотношениями ф0 = $q+ ф" и фд = ф^+ ф^1, где индексы О и Я относятся
соответственно к прямому и отклоненному пучкам, а индексы 1 и 11
обозначают, те волны, которые проходят интерферометр по пути I и II
соответственно. Если фазовые сдвиги по пути 1 и II отсутствуют и
вращения спина нет, то
ф£-*о- (13-4>
Соотношение (13.4) очевидно, поскольку каждая из волн прямого
пучка при прохождении пластин испытывает одинаковые
воздействия: каждая из волн дважды отражается от межкристаллических
плоскостей и один раз проходит их насквозь.
При заданной интенсивности первичного пучка суммарная
интенсивность прямого и отклоненного пучков есть величина постоянная.
Поэтому ясно, что интенсивность и поляризация одного из выходящих
пучков, например отклоненного, будут определяться интенсивностью
и поляризацией другого (т.е. прямого пучка). По этой причине далее
будет рассматриваться только прямой пучок.
Результирующее изменение фазы нейтронной волны при движении
ее в комбинированном потенциале самого общего вида можно
согласно квантовой механике описать унитарным оператором
ip -i(pn —
[7 = е е 2 , (13.5)
где 3 - сдвиг фазы, обусловленный ядерным или гравитационным
потенциалом; (р - угол поворота спина нейтрона в магнитном поле В
вокруг направления, задаваемого единичным вектором п = В/В; о -
спиновый вектор Паули с компонентами
„ /о i\ /о -i\ /i о\ тл

Без потери общности можно полагать, что фазовый сдвиг и
вращение спина действуют на пучок только на пути J. Тогда две
парциальные волны, выходящие из интерферометра в направлении прямого
пучка, будут иметь вид
♦о0'- *о"
-1(РП
ф£;
(13.7а)
(13.76)
(здесь штрихованные символы используются для обозначения тех
волн, которые подвержены действию потенциалов, тогда как нештри-
хованные символы используются, когда воздействия потенциалов
нет).
Используя (13.4) и (13.7), волновую функцию нейтронов прямого
пучка можно записать как
а
—1(0 п •
i I' II' iB 2
^о = К^о=& е
♦J+фр-
+1 К-
/ IP -i<pn-
= е е
Последнее соотношение можно преобразовать, представив оператор
/ о \
поворота спина Un = exp j-i ф п -у- j в виде линейного по матрицам
Г
/
Паули выражения U„ = cos —— i n о sin -~- . Тогда
* 2
Фо= е
<P . . Ф"
COS -J- - 1 П 0 Sin -j-
2 2
+ 4*o-
По определению интенсивность пучка дается выражением
/-Ф^Ф'о-ф^о + ^Ъа + ^Ф^.
(13.8)
(13.9)
Используя (13.8) и (13.9), /' можно переписать как
'•--'
1 +cos p cos -*- j + nPsin p sin JL
(13.10)

где введены обозначения для начальной интенсивности /=ф£ф0 =
I* i
= Фо ^о и начальной поляризации Р = Ф^ о Ф0/Фо Ф0~ ° °
*о *о
Поляризация Р пучка, выходящего из интерферометра, дается
выражением Р'= ф^,+ о ф'0/ Фо* ф[, = ф£+ (1 + [); ) о (1 + Уп) ф V /; в
котором
(1 + £};)о(1 + [}п)=]1+ехрИр)
Ф . • — . (О
COS — + I О П Sin —
О X
xjl+exp(iB)
ф ■ Ф
cos —— ion sin —
2 2
нетрудно сосчитать, используя соотношения (on) o=n+i[o хп] и o(on)=
= n - i [о х п]. Следуя этому, окончательно получим
'-ТР
ф ф
COS2 + COS COS В
2 2
Р +
Ф
sin2 — (n P) + sin В sin
2 2
п +
ф ф ф
cos В sin — + cos — sin —
2 2 2
[nxP]
Если пучок падающих нейтронов неполяризован (Р = 0),
интенсивность нейтронов для прямого пучка может быть найдена как
/'(Р = 0)= — [l+cosBcos<p/2],
(13.11)
а поляризация
sin fl sin ф /2
Р'(Р = 0) =
(13.12)
1 + cos p cos ф/2
Когда фазовый сдвиг обусловлен только сильным взаимодействием

нейтронов или гравитацией (Ф = 0), (13.11) переходит в
/'(P=0)=i-[H-cosp]. (13.13)
Это соотношение было выведено ранее [ср. с (13.2)] из простых
геометрических соображений.
При наличии только вращения спина (р = 0) формула (13.11)
преобразуется в
/'(P = 0)--i
9
1 + cos —
2
(13.14)
13.4. ОПЫТЫ ПО ИНТЕРФЕРЕНЦИИ НЕЙТРОНОВ
Точное измерение длины рассеяния. Нейтронные интерферометры
на совершенных монокристаллах являются тонкими приборами,
позволяющими (при качественном их изготовлении и адекватной
постановке всего эксперимента в целом) провести очень точные
измерения определенных характеристик веществ: показателя преломления
или связанной с ним соотношением (9.17) длины когерентного
рассеяния. Высокая точность опытов достигается благодаря наблюдению
многих (около нескольких сот) порядков интерференции.
Возможности применения кристаллических интерферометров для этих целей
довольно разнообразны, хотя и имеются определенные ограничения,
обусловленные конечными геометрическими размерами
интерферометров и геометрией расщепленных пучков в них. В уже
выполненных исследованиях проводились измерения показателей
преломления некоторых твердых материалов, жидкостей и газообразных
веществ (например, эНе).
В опыте по определению показателя преломления твердых тел
плоскопараллельная пластинка из исследуемого материала определенной
толщины г устанавливается либо между расщепителем и зеркалом,
либо между зеркалом и анализатором (рис. 13.5). Метод измерения
основан на вращении образца вокруг оси: при повороте пластинки
меняется длина пути, проходимого в образце каждым из конкретных
пучков J и II (для одного она увеличивается, а для другого уменьшается)
и соответственно появляется относительный сдвиг фаз.
Пусть б - угол поворота пластинки относительно положения
симметрии. Из рис. 13.5 видно, что длина путей, проходимых каждым
нейтронным пучком через образец, будет отличаться от путей / и II на

Рис. 13.5. Схема опыта по измерению показателя
преломления нейтронов с помощью нейтронного интерферометра
s
Ам
и
\is^b
•
А
величину
Дг = Г
TV
) н
cos (в + е) cos (9 - е)
(13.15)
где 9 - угол брэгговского отражения.
Соответствующий этой разности относительный сдвиг фаз
нейтронных волн можно записать как
3 = /с Д f-k0 Дг,
(13.16)
где fc - волновой вектор нейтрона в веществе исследуемого образца;
к0 - волновой вектор нейтрона в пустоте. В соотношении (13.16)
первое слагаемое есть разность фаз, набираемая волнами в среде на пути
Д*, а второе - разность фаз, набираемая на том же пути в пустоте.
Знак минус появляется из-за того, что относительное удлинение
пути одной из волн в среде сопровождается точно таким же
сокращением пути другой волны в пустоте, а геометрически, как видно из
рис. 13.5, длина путей для пучков J и II равны.
Так как fc = к0 л, a fc0 = 2л/X, где X - дебройлевская длина волны
падающих нейтронов, то
Р=^(п-1)Дг.
(13.17)
Сдвиг фаз р можно переписать через так называемую X-толщину
tk = X(n - 1), т.е. толщину, которая, как видно из (13.17), приводит к
сдвигу фаз, равному 2л:
р = 2лДг/^.
Принимая во внимание связь (9.17), формулу для (3 можно записать
также в виде
р=ЛГ\ ЬД f. (13.18)
Как видно из (13.17) и (13.18), сдвиг фаз является функцией Д* и,
следовательно, учитывая (13.15), функцией е. Поэтому интенсивность

нейтронов прямого пучка в соответствии с (13.13) будет
периодической функцией Дг:
Nkb Д t
I = I0 cos2 л (1 - п)
= I0 cos2
Для примера экспериментальные зависимости интенсивности от
Дг в прямом и отклоненном пучках для алюминия приведены на
рис. 13.6. Видно, что максимумы интенсивности для прямого пучка
и минимумы для отклоненного пучка находятся, как и следовало
ожидать из (13.2) и (13.3) при одних и тех же значениях At. Поскольку
в экспериментальном спектре наблюдают большое количество
пульсаций, то фурье-анализ его позволяет с высокой точностью найти
коэффициент
A=Nkb/2 = -n{l-n)/k (13.19)
перед переменной в аргументе косинуса и, следовательно, Ъ или п.
Конечно, для этого, как видно из (13.19), длина волны падающих
нейтронов должна быть известна с той же точностью, с какой желательно
определение Ъ или п.
Как видно из приложения, в котором длины волн рассеяния,
измеренные с помощью интерферометра, обозначены звездочкой,
средняя погрешность метода определения Ъ ограничена значением
ДЬ/Ь~ Ю-3. Анализ показывает, что основной вклад в погрешность
измерения вносят дефекты поверхности образца и некоторый
постоянный начальный сдвиг фаз, зависящий от качества изготовления
самого интерферометра. Оценки показывают также, что устранение
влияния этих погрешностей, в особенности начального сдвига фаз,
позволит на порядок улучшить точность измерений.
Кристаллический интерферометр можно использовать для
определения длин рассеяния и показателей преломления веществ,
Рис. 13.6. Осцилляции интенсивности в
прямом и отклоненном пучках при
изменении разности пути нейтронов в
веществе
; о. SOO0
^*?гооо
*. -о
i ь-
I о
Ы-пучок
VvVVvY'-
О-пучок
-•"/••/V\-V\-
о гоо ш воо воо
Разность 8 длине пути.

Рис. 13.7. Результаты измерений с
помощью нейтронного интерферометра
показателя преломления в сильно
поглощающих нейтроны веществах (эНе)
сильно поглощающих нейтроны. На рис. 13.7 представлены
результаты наблюдения интерференции нейтронов в газообразном эНе, сечение
поглощения нейтронов которым оа [К° = 0,18 нм) = 5,3-Ю-21 см2
составляет основную часть полного сечения. На рисунке отложены
зависимости интенсивности в О- и Н-пучках от давления газа в сосуде,
установленном на пути одного из пучков. Наблюдается резкое
затухание зависимостей 10 (р) и 1Н (р) с увеличением давления р,
обусловленное поглощением нейтронов, и характерное расположение
максимумов и минимумов на кривых 10 (р) и 1Н (р). Погрешность измерения
длины рассеяния a = b A была улучшена на порядок: ранее была
А + 1
а = (4,57 ± 0,45) фм, стала а = (4,29 ± 0,04) фм. Улучшение точности
измерений позволило провести более качественное сравнение
эксперимента и теоретических методов расчета задач многих тел в применении
к системе п + эНе.
Проверка принципа эквивалентности гравитационной и инертной
масс нейтрона. Равенство гравитационной и инертной масс связано с
принципом эквивалентности поля ускорения полю тяготения.
Экспериментальная проверка его проводилась как для макроскопических
объектов (опыты Этвеша и уточненные опыты Дике и В.Б.
Брагинского), так и для самых различных элементов и элементарных частиц: для
атомов Al, Pt, К и др., для электронов и фотонов. Методика
измерений - традиционная; она основана на наблюдении подъема или
падения частиц в поле тяготения. Проводились также опыты по
наблюдению падения в гравитационном поле и для нейтронов, однако
результаты экспериментов сравнивались с теорией, опираясь на формулы
классической механики, в которой свойства нейтрона как волны
фактически не использовались (т.е. формулы, описывающие движение
нейтронов, не содержали постоянной Планка h).
а
г
«20
■«Г
е
и
о
з
и
е
5 5
ряСосуд с 3Не
\ **
i
^~\J± t
20 s
Давление, 10 Па.
W

Впервые проверка принципа эквивалентности в области квантово-
механических явлений была сделана с помощью уже упоминавшегося
гравитационного рефрактометра (см. § 9.3). С появлением
кристаллических нейтронных интерферометров были поставлены более точные
опыты, доказавшие справедливость этого принципа. Обсудим эти
опыты более подробно.
Посмотрим, как на движение нейтрона в интерферометре будет
влиять гравитационное поле Земли. Если интерферометр
ориентирован в пространстве так, что плоскость ABCD, образованная лучами J
и П (рис. 13.8) не горизонтальна, то когерентные пучки нейтронов,
движущихся по путям / и II, будут набирать относительный сдвиг фаз,
обусловленный различием во взаимодействии нейтронов с
гравитационным полем. Если плоскость ABCD параллельна поверхности
Земли, то никакого сдвига фаз, обусловленного гравитацией, нейтронные
волны не приобретут. Относительный сдвиг фаз, зависящий от
среднего потенциала, действующего на нейтроны на путях J и II, можно
менять, изменяя положение интерферометра в пространстве, например
вращая его целиком вокруг горизонтальной оси. Тогда в
соответствии с (13.2) и (13.3) интенсивность прямого и отклоненного пучков
будет некоторой функцией угла поворота интерферометра.
Проще всего связь между углом поворота интерферометра и
сдвигом фаз найти в том случае, когда первичный пучок
горизонтален, а интерферометр вращается вокруг направления первичного
пучка (т.е. так, как это схематически показано на рис. 13.8). Тогда
ясно, что на пути АВ и CD, где изменения гравитационного потенциала
одинаковы, фаза каждой из нейтронных волн будет изменяться
синхронно, поэтому относительного сдвига фаз не будет. Относительный
сдвиг фаз парциальных волн, приходящих на анализатор, будет
приобретаться тогда, когда нейтроны будут проходить горизонтальные
участки AD и ВС, расположенные в области действия различных
гравитационных потенциалов. Разность гравитационных потенциалов
для этих участков
U=mBgH,
(13.20)
где те - гравитационная масса нейтрона; g - ускорение свободного
Рис. 13.8. Изменение ориентации
плоскости, образованной интерферирующими
пучками, при повороте интерферометра
вокруг направления первичного пучка

падения, соответствующее месту проведения эксперимента; Я -
разность высот участков AD и ВС.
В соответствии с (13.1) относительный сдвиг фаз, приобретаемый
парциальными волнами, равен
V=xmggH/hv.
Если плоскость ABCD повернуть на угол ф вокруг направления
первичного пучка относительно своего вертикального положения, то
гравитационный сдвиг фазы будет
хт g/cos(p
р=-
где 1 - расстояние между отрезками ВС и AD. Делая несложные
преобразования, получаем
mmegSh mmggSb
Р" S2mv C0S(f = —JTp coscp = p0cos<p, (13.21)
В S
где ро - mm* g \ — ; m - инертная масса нейтрона. В (13.21) 5
обозначена площадь параллелограмма ABCD. Как видим, вращение прибора
вокруг AD изменяет сдвиг фазы (3 по закону (13.21), что в конечном
итоге приводит к изменению скоростей счета детекторов С2 и С3
согласно (13.2) и (13.3).
Результаты измерений в одном из опытов показаны на рис. 13.9.
Наблюдается периодичность скорости счета детекторов (на рисунке
отложена разность /с - /с ), обусловленная изменением
гравитационного потенциала. Осцилляции позволяют рассчитать гравитационный
сдвиг фазы (13.21) и, следовательно, найти л]тте. Наиболее точные
измерения дали значение т*=(1,675 + 0,003)-Ю-24 г. Сравнение
полученного результата со значением массы нейтрона, найденным из
энергетического баланса ядерных реакций, т = 1,6747- Ю-24 г доказывает
равенство инертной и гравитационной масс нейтрона: т = т8, а значит,
Рис. 13.9. Осцилляции интенсивности
нейтронов при повороте интерферометра
вокруг направления первичного пучка a: ""-jo -20 ~10 0 10 о> гра г

тождественность принципа эквивалентности полей тяготения и
инерции в области микроскопических явлений. Заметим, что точность,
с которой проверен принцип эквивалентности в области
микроскопических явлений, существенно ниже той точности, которая была
получена в опытах В.Б. Брагинского и Дике. Этот факт вполне
объясним, так как относительная погрешность измерений масс обратно
пропорциональна массе исследуемых объектов.
Экспериментальная проверка 4п-симметрии волновой функции
нейтрона. В последние годы с помощью кристаллических
интерферометров был выполнен ряд экспериментов, в которых сдвиг фаз
когерентно расщепленных пучков нейтронов создавался
взаимодействием одного из них с магнитным полем. Интерес к этим
исследованиям был вызван в значительной степени тем, что нейтронные
интерферометры являются инструментами, допускающими
экспериментальную проверку трансформационных свойств спиноров. В
любых других экспериментах возможность изучения свойств самих
волновых функций исключается, поскольку физически наблюдаемыми
являются величины, содержащие квадрат модуля волновой функции.
Напомним вначале, каковы трансформационные свойства спиноров
по отношению к операциям вращения в пространстве. Вращение в
пространстве на конечный уголл ф можно, как известно, описать с
помощью унитарного оператора U, явный вид которого легко
получается, если вращение на угол ф рассматривать как сумму вращений на
бесконечно малый угол бф. Так как оператор поворота на угол бф
вокруг направления, задаваемого единичным вектором п, равен по
определению 1 - 1бф ns, где s - оператор момента количества движения,
то оператор поворота на полный угол вокруг того же направления
0 = ехр (- шбф). Для частиц со спином 5= 1/2 s = а/2, где о - матрицы
Паули [см. (13.6)].
Оператор U, как и любую функцию матриц Паули, можно в
этом случае записать как Ё?(ф) = со5ф/2 + ino sin ф/2. При вращении
вокруг оси z
Uz (ф) = cos ф / 2 + i ог sin ф / 2 . (13.22)
Действуя оператором (13.22) на волновую функцию частицы,
являющуюся спинором первого ранга, получаем следующий закон
преобразования компонент спинора ф t и ф 2:
Фж = Фх в ; 1|>3 = ф3е * . (13.23)
Из (13.23) видно, что при повороте системы координат или
изменении ориентации спина в пространстве на угол ф = 2л ^\ = - ф^ и ф'2 =

= - ф2, т.е. компоненты спинора меняют знак, а при двух полных
оборотах вокруг оси z (ф = 4л) ф', = ф х и ф'2 = ф2, t.q. компоненты
спинора восстанавливаются.
Трансформационные свойства волновой функции нейтрона и
связь этих свойств с величинами, извлекаемыми из эксперимента,
легче всего понять на примере задачи о поведении спина нейтрона в
магнитном поле. Решим предварительно эту простую квантово-меха-
ническую задачу, полагая, что магнитное поле перпендикулярно
направлению движения нейтронрв. Будем считать, что ось х
направлена вдоль поля Н, т.е. Н = (Нх, 0, 0), а ось z совпадает с направлением
движения нейтрона, и что в начальный момент времени спин
нейтрона (а следовательно, его магнитный момент) был ориентирован вдоль
направления движения. Найдем поляризацию и волновую функцию
нейтрона как функцию времени.
Для данной задачи гамильтониан имеет вид H = -]iall = -\xaxH,
где цо - оператор собственного магнитного нейтрона, а ц = - 1,91 цБ.
Уравнение Шредингера записывается следующим образом:
1Й-^=7(ф=-цохЯф.
Представляя ф как столбец ф = I 1 . . 1 и используя явный вид
матрицы ах, получаем систему из двух уравнений:
dt
с/фа
-г-Ч'2=0;
Г Ф4-о.
(13.24)
dt
Общее решение для компонент ф! и ф2 очевидно: exp(iuf)- Тогда
из характеристического уравнения системы
det
*
ft
= 0
получаем, что со может принимать два значения и = ± цЯ/ft. Непосред-

ственной подстановкой в (13.24) убеждаемся, что самым общим
решением системы будет
ЦН \1Н.
ilUftf-Aie * +л2 е А ;
ФаГО-^е Ъ -А2е * .
Воспользуемся теперь начальным условием, которое требует,
чтобы спин нейтрона в начальный момент времени был ориентирован
в положительном направлении осих, т.е. состояние нейтрона
описывалось бы функцией ф (0) = [ }.
Из него следует A t +Л2 = \;А1 - А2 = 0илиА1 =А2 = 1/2.
Окончательно имеем
*-/*! ?М =(«*а' \. (13.25)
ф ^ф2 (t) J \ i sin со f /
Представим полученное решение в форме, в которой явным обра-
л
зом выделены собственные состояния оператора о2. Тогда
ф ft} = cos со t I „ } + i sin to t { . . (13.26)
Здесь [ „ 1 и | . j - чистые спиновые состояния, отвечающие строго
определенным проекциям спина нейтрона на выделенное направление в
пространстве: соответственно +Л/2 и -Л/2. Коэффициенты a(t) =
= cos со t и Ь (t) = i sin со t при собственных функциях ! } и { J
являются амплитудами вероятности состояний. Квадраты их модуля дают
вероятности найти нейтрон в состояниях с определенной проекцией
спина на ось z: г (t) = | a (t)\2 = cos2 со t - вероятность состояния с
проекцией +fi/2 и q (t) =| Ъ (t)\2 = sin2 to t - вероятность состояния с
проекцией -Ъ /2.

Поляризацию нейтронов в произвольный момент времени можно
найти как среднее значение проекции спина на выделенное
направление. Пользуясь определением квантово-механического среднего
r(t)(+t,/2)+q(t)(-~\
P(t) = sz = ty + (t) sz ф (t) или обычного среднего Р (t) = ,
легко находим Й / 2
Р (t) = cos2 со t - sin2 to t = cos 2 со t = cos aL t. (13.27)
Формула (13.27) показывает, что при движении нейтрона в
постоянном и однородном поперечном магнитном поле среднее значение
проекции спина на выделенную ось будет периодическим образом
меняться или, как говорят, прецессировать с частотой wL = 2\iH/ti,
называемой ларморовой*. Для иллюстрации поведения поляризации во
времени удобно пользоваться классическим представлением о спине
как о векторе определенной длины, вращающемся вокруг
направления поля** с частотой со^. В этом случае вращение можно задать с
помощью угла прецессии
(f=4t=2±lLt> (13.28)
а поляризацию нейтронов находить как функцию этого утла P(t)=cosq>.
Выражение (13.26) для волновой функции нейтрона в магнитном
поле через угол прецессии запишется как
i|)ft) = coscp/2 (M + isincp/2 l°X (13.29)
при этом
г (t) = cos 2 ф /2 ; q (t) = sin2 cp / 2 . (13.30)
Как видно из (13.29), любое возможное состояние нейтрона
задается не полным углом прецессии, а его половиной ср /2. Поскольку этот
угол однозначно определяет состояние нейтрона, его называют фазой
нейтронного состояния.
* Напомним, что для каждого отдельно взятого нейтрона в любой момент времени
проекция croiHai на выделенную ось согласно квантовой механике может иметь одно нз
двух возможных значений +Й/2 или —fi/2. Поляризация же нейтронов есть среднее
значение спнна по нейтронному ансамблю.
** В действительности нейтроны прецессируют даже в том случае, когда магнитное
попе неперпендикулярно начальному спину. Частота прецессии определяется
напряженностью поля н не зависит от ориентации спина нейтрона.

К этому же самому выводу можно было бы прийти, сравнив
значение угла прецессии (13.28) с фазой, набираемой нейтронной волной
на ее пути в магнитном поле. В самом деле, при U = -\iH из (13.1)
получаем
р = -г- = t 4— = - .
Изобразим наглядно следующие из (13.29) и (13.30) характеристики
нейтронных состояний для некоторых частных случаев. Прецессию
спина будем изображать классически, представляя ее как поворот
вектора определенной длины (hi2) вокруг поля Н на угол ф от своего
начального положения.
Проекция этого вектора на ось будет давать значение поляризации
нейтронов в произвольный момент времени. Волновые функции
нейтронов - векторы состояний будем отображать на диаграмме
спиновых состояний. Проведем в некотором абстрактном пространстве
(пространстве спиновых состояний) две взаимно перпендикулярные
оси и будем откладывать на одной из них амплитуды вероятности
состояний с проекцией спина вдоль оси z, а на другой- амплитуды
вероятности состояний с проекцией против оси z. Тогда все возможные
состояния нейтронов будут изображаться точками, расположенными
на круге единичного радиуса. Начальному состоянию на диаграмме
состояний соответствует точка, находящаяся на пересечении
окружности с вертикальной осью.
Произвольное состояние нейтрона на диаграмме состояний будет
тогда характеризоваться точкой, радиус-вектор которой образует с
вертикальной осью угол р = ф/2. Рассмотрим разные варианты
диаграмм спиновых состояний. '
ф = 0*
В соответствии с классическим случаем (рис. 13.10, о) вероятность
найти нейтрон в состоянии с проекцией спина +Л/2 на ось z г Сф = 0*) =
Рнс. 13.10. Ориентация вектора спина (а)
н вектора" состояния нейтрона (б) для
случая ф = 0°

= 1, а вероятность найти нейтрон в состоянии с противо-
(р-0"
положной проекцией спина q (ф = 0°) = 0 (рис. 13.10, б). Волновая
функция начального состояния (р (0):
1
0/'
Ф =п/2
Поворот вектора спина на угол ф = 90е от оси z в классическом
случае (рис. 13.11, а) дает проекцию спина, равную нулю. Согласно
квантовой механике (см. 13.30) при повороте на 90* нейтрон приходит в такое
состояние, при котором вероятность зарегистрировать спин вдоль и
против оси одинаково равна 1/2 (рис. 13.11,6). Измерение проекции
спина для нейтронного ансамбля даст, как и следовало ожидать, в
сумме проекцию, равную нулю, т.е. в соответствии с классическим
результатом.
Ф = л
Функция (13.29) при ф =л определяет состояние с проекцией -Ь/2
■ i \ ■ I °\ л / И ■ ■ п. /0
на осьх: ф (л) = 1 | | = cos — | |+isin
и г(ф = л) = 0; (?(ф = л) = 1 (рис. 13.12, а, б).
Рис. 13.11. Ориентация вектора спина (а)
и вектора состояния нейтрона (б) . для
случая ф = л/2
Ь 1
Рис. 13.12. Ориентация вектора спина (а)
н вектора состояния нейтрона (б) для
случая ф = л
ь
а,
ф'ХЦ
(с "
к
0 \
*)

Ф =2п
На первый взгляд кажется, что при повороте спина науголф=2п
(рис. 13.13, а) вновь возвращаемся в исходное состояние, так как
вероятности найти нейтрон в состоянии с проекциями спина на ось z,
равными +fi/2 и - Ь/2, будут такими же, как и для начального состояния
(рис. 13.13, б):
р(ф=2л) = р(ф=0в)=1; д(ф = 2л) = д(ф = (П = 0.
Однако это не так. Как видно из (13.29), амплитуда состояния
нейтрона с проекцией спина вдоль поля меняет знак, т.е. волновая функция
нейтрона не восстановилась:
ф (2л) = cos rt ( | + i sin
,[•).-
-ш(ог
Интерференция нейтронов, находящихся в состоянии со спином,
повернутым на угол ф = 2л с когерентными нейтронными волнами, не
испытавшими воздействия поля, будет деструктивной.
ф = 4л
После двух полных оборотов спина (рис. 13.14, а, б) амплитуды и
вероятности, как следует из (13.29) и (13.30), возвращаются к исходным
значениям, т.е. состояние нейтрона полностью восстанавливается
лишь при повороте спина на угол 720е:
Ф (4л) = cos 2л + i sin 2л
= Ф«П.
Рис. 13.13. Ориентация вектора спииа (а)
и вектора состояния нейтрона (б) для
случая ф = 2л
Рнс. 13.14. Ориентация вектора спина (а)
н вектора состояния нейтрона (б) для
случая ф = 4л

Когерентное сложение двух волн - первоначальной и волны,
поляризация которой при прецессии во второй раз вернулась к исходному
значению, приведет к конструктивной интерференции. Следовательно,
в нейтронном интерферометре, одно плечо которого находится в
магнитном поле, ожидаемый период осцилляциии должен быть
равен 720'.
Схема одного из опытов, в котором была проверена 4л-симметрия
волновой функции нейтрона, приведена на рис. 3.15. Во избежание
возможного гравитационного сдвига фаз интерферометр был
ориентирован в пространстве так, чтобы плоскость, образованная когерентно
расщепленными пучками, была горизонтальной. На пути от
расщепителя к зеркалу один из расщепленных пучков проходил через
магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом. Сдвиг фазы,
набираемый этим пучком, в соответствии с (13.1) будет равен
0=/t//fiv = 2nvnBm\.B///j, (13.31)
где I - размер области, в которой сосредоточено поле. Учитывая
числовые значения констант, входящих в (13.31), легко посчитать индукцию
поля, необходимого для создания сдвига фазы, равного 2 л:
ВI = 2720 / К. ' (13.32)
Здесь В дается в Гс, / - в см, X - в нм. Если поле неоднородное, то в
(13.32) произведение В1 нужно заменить на его среднее значение, т.е.
SBd/ = 2720/\. (13.33)
Главная проблема данных экспериментов состоит в том, чтобы
найти такой способ создания в ограниченном пространстве однородного,
но изменяющегося магнитного поля (в пределах от 0 до 2000 Гс), при
котором это поле не нарушало бы работу интерферометра за счет
выделения тепла или каких-либо других причин. В некоторых опытах
эта задача была решена с помощью двух маленьких постоянных
магнитов, изготовленных из сплава самария с кобальтом. Индукция в
этом магните изменялась перемещением одного магнита
относительно другого.
Рис. 13.15. Схема эксперимента до де- ^s?
моистрации 4 л-симметрии волновой
функции нейтрона с помощью
нейтронного интерферометра
$
в
F
>
л

Рис. 13.16. Осцилляции интенсивности нейтронов
при изменении магнитного потока
100 300 5О0
A$3-cLS,rccM
На рис. 13.16 приведены результаты одного из экспериментов,
который проводился на неполяризованном пучке нейтронов с длиной
волны К = 0,182 нм. Для этих нейтронов, как следует из (13.33),
чередование максимумов (или минимумов интенсивности), соответствующее
сдвигу фазы, равному 2л (углу прецессии, равному 4л), должно
наблюдаться при полях, для которых §Bdl= 149Гс-см. Как видно из
рис. 13.16, наблюдаемый период осцилляции интерференционных
картин для прямого и отклоненного пучков действительно
соответствует этому значению. Значение угла прецесии, соответствующее
конструктивной интерференции и полученное в наиболее точных
экспериментах, оказалось равным <р = (716±3)°. Этот результат и
доказывает справедливость рассмотренных выше трансформационных
свойств спиноров.
13.5. СПИНОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ НЕЙТРОНОВ
Описанные выше эксперименты естественно рассматривать как
чистую демонстрацию принципов нейтронной интерферометрии на
совершенных монокристаллах. В самые последние годы нейтронная
интерферометрия получила новое развитие. Кристаллические
интерферометры все шире используются как новый и во многих
отношениях уникальный подход для изучения проблем фундаментальной
физики, ядерной физики и физики твердого тела. Достаточно назвать,
например, ставшее уже рутинным использование интерферометров
для точных измерений длины когерентного рассеяния на ядрах с
помощью твердых образцов, жидкостей и газов. Нейтронные
интерферометры начинают применять для изучения макроскопических
характеристик материалов, обладающих магнитными свойствами; продемон-
. еооо
| 5000
*о
о
X
Qj
Р
tj *.
X
«и
е
* Н-000
5
3000
\ А
\\
\ L Л
\г V,
V/ Ч
-л /
г fi Т
/ L 1
/г /
/' \ J
Т \ /
/ \/
A ft'Y
Л/У
L \4 W
к 17 V
w
—
} fl Л 1
4 А1 т J
1 Li 11
л г Л 1 1
I f V / I
г г \ У 4*
I/ \/ь
U V>T V
1 1 1

стрированы значительные преимущества метода нейтронной
интерферометрии по сравнению с традиционными методами.
Особое место в нейтронной интерферометрии занимают
исследования с поляризованными нейтронами. Интерес к ним связан с тем
обстоятельством, что впервые появилась возможность в
макроскопическом масштабе опытным путем проверить главные принципы, которые
были положены в основу квантовой механики и которые, как
известно, весьма труднодоступны для интуитивного человеческого
восприятия. Собственно, описанный только что эксперимент по
наблюдению 4л-симметрии волновой функции нейтронов и был первым из
этого ряда экспериментов, доказавшим такое квантово-механическое
свойство нейтрона, как спинорный характер его волновой функции.
Впоследствии аналогичные особенности интерференции нейтронов
наблюдались и при совместном действии на нейтрон ядерного и
магнитного потенциалов.
В экспериментах с поляризованными нейтронами
демонстрируется другое важнейшее положение квантовой механики - принцип
суперпозиции состояний. Рассмотрим подробнее суть этих
экспериментов.
Пусть на пластину расщепителя интерферометра (рис. 13.17) падает
полностью поляризованный в направлении оси z пучок нейтронов.
Между расщепителем и зеркалом каждая из компонент пучка будет
также полностью поляризованной, причем направление поляризации
в них будет совпадать с направлением поляризации исходного пучка.
На пути одного из пучков (например, J) между пластинами зеркала и
анализатора поместим устройство, которое будет поворачивать спин
нейтронов на угол 180° вокруг оси у, перпендикулярной плоскости
z х к, к - волновой вектор нейтронов, т.е. будет переориентировать
направление спинов нейтронов на противоположное. Этим
устройством может быть, например, обычная катушка постоянного тока.
Сам интерферометр поместим в ведущее постоянное магнитное по-
2
х
Рис. 13.17. Принцип эксперимента по -*—
спиновой интерференции нейтронов
со статическим спин-флиппером

ле BQ, направление которого совпадает с направлением оси z. Ясно
тогда, что на анализаторе будут сходиться пучки нейтронов с
противоположно направленными спинами (рис. 13.17). В рамках классических
представлений пучок нейтронов за анализатором должен был бы
представлять собой обычную смесь накладываемых друг на друга
пучков и поэтому следовало бы ожидать, что при равной
интенсивности интерферирующих компонент прошедшие анализатор пучки
были бы неполяризованными. Однако, поскольку нейтроны являются
квантово-механическими объектами и для них нельзя указать, по
какому из путей в интерферометре (I или II) будет добираться до
детектора каждый нейтрон, истинный результат сложения компонент с
равной интенсивностью, но с противоположной поляризацией
оказывается иным: прошедшие интерферометр нейтроны будут
поляризованными, причем вектор их поляризации будет лежать в плоскости ху,
которая перпендикулярна оси г.
К этому результату несложно прийти аналитически. Напомним,
что взаимодействие пучка нейтронов с пластинами интерферометра
можно рассматривать по аналогии с взаимодействием света с
полупрозрачным зеркалом, т.е. считать, что при прохождении нейтронов
через зеркало фаза волны не изменяется, а при отражении фаза волны
меняется на л. Или, другими словами, волновая функция
отраженной от пластины волны отличается от волновой функции
падающей волны множителем е1 .
Инверсию спина нейтронов естественно рассматривать как обычное
вращение на угол л, т.е. для получения волновой функции нейтронов,
спин которых поворачивается на 180е вокруг оси у, нужно в
соответствии с (13.5) подействовать на волновую функцию падающих нейтро-
-iovn/2
нов оператором е у
Обозначим волновую функцию чистого по спину состояния, в
котором находятся нейтроны исходного пучка, как | Т >. Тогда, волновая
функция прошедших интерферометр нейтронов прямого пучка будет
даваться выражением
l 1 I 1 -10уЛ/2| 1 | 1.1
|о> = т1т*>+т"е Iv-tIV + t'V- <13-34)
Решение простейшей квантово-механической задачи на
собственные функции и собственные значения операторов ох, ау и az
показывает, что полученная волновая функция является собственным
состоянием оператора ах, т.е.

I0)-tIV+tI1*>"^IV- 03-35)
где символом \\х) обозначено чистое по спину состояние нейтрона с
проекцией спина на ось х, равной +Ь /2.
Аналогичным образом можно получить, что волновая функция
нейтронов отклоненного пучка будет иметь вид
1 2*2 г
■=ylV--fk>^=r|i*>- аз.36)
Символом \1Х) обозначено чистое по спину состояние, имеющее
проекцию спина на ось х, равную - fi/2.
Если поляризация интерферирующих пучков была равна
соответственно
P1f<ljo|li> = (0,0,-0;
PII = <tJo|t^>=(0,0J + l), (13.37)
то поляризация прошедших интерферометр пучков будет равна
Ро = <о|о|о) = (1,0,0);
Рн = <я|о|я> = (-1,0,0). (13.38)
Таким образом, при сложении двух пучков равной интенсивности,
но с противоположно ориентированными относительно оси z
спинами, получается пучок, вектор поляризации которого
перпендикулярен направлению начальной поляризации. Это свойство, как уже
указывалось, противоречит ожидаемому для обычной статистической
смеси пучков, для которой получающийся пучок должен быть
полностью неполяризованным.
Аналогичные особенности интерференции нейтронов получаются
в случае, когда на пути одного из пучков ставится дополнительно
пластинка из какого-нибудь вещества, которая не меняет
направление поляризации, но создает сдвиг фазы, обусловленный ядерным
взаимодействием (скалярный или ядерный фазовый сдвиг). Действие
пластинки на волновую функцию нейтронов сводится к умножению

ее на фазовый множитель е1Х, где X определяется показателем
преломления п. С учетом (9.17), находим
X = — Ас (1 — n)kt=-NkbAt,
где Д г - эффективная толщина пластинки.
В этом случае состояния нейтронов прямого пучка будут
описываться функциями
|0>=-L|T > + J-e^e"i0yn/2|T,> = -l-|t>+J-e«|i> =
I 2ljt2 ' * 2*2 z
. X
Таким образом, чистое начальное состояние |Тг>, как и прежде [см,
(13.35) и (13.36)], преобразуется в чистые конечные состояния It > и
i x
\\ >. В (13.39) принято, что пластинка, создающая ядерный сдвиг
фазы, устанавливается на пути нейтронов # пучка.
Векторы поляризации прямого и отклоненного пучков, так же как
и для случая, когда ядерный сдвиг отсутствует, будут
ориентированными в плоскости ху, т.е. перпендикулярно первоначальному
направлению спинов нейтронов, а значение поляризации будет равно
Po = <o|o|o>//o = (cosx,sinx,0);
PH=<H|o|H>//o = (-cosx,-smx,0). (13.38а)
Как видим, угол вектора поляризации в плоскости ху относительно
оси х определяется ядерным сдвигом фазы. Так же, как и в опыте,
в котором отсутствовал ядерный сдвиг фазы, интерференционная
картина проявится только в том случае, когда анализ поляризации
проводится в плоскости ху. Если же анализ поляризации проводить
исходя из того, что поляризация направлена вдоль оси z, то никакой
модуляции интенсивности наблюдаться не будет. Это означает, что
конечное состояние имеет свойства, которые не имели интерферирующие
состояния, и поэтому они не могут рассматриваться как классическая
смесь состояний.
Схема эксперимента по наблюдению интерференции различных
спиновых состояний, в котором применялся статический
спин-флиппер, показана на рис. 13.18. Установка включала в себя поляриза-

Рис. 13.18. Схема эксперимента по спиновой интерференции нейтронов
тор нейтронов /, интерферометр на совершенном монокристалле 2,
пластинку из алюминия, создающую ядерный сдвиг фазы, 3,
статический спин-флиппер 4, две катушки - ускоряющую 5 и л/2-катушку 6,
хесслеровский кристалл, используемый для анализа поляризации
нейтронов 7 и два детектора нейтронов 8 и 9 - один для регистрации
нейтронов прямого пучка и другой для регистрации нейтронов
отклоненного пучка. Вся установка помещалась в магнит, создающий
однородное магнитное поле.
Для получения поляризованных нейтронов пучок от реактора
пропускали через воздушный зазор электромагнита 1, имеющего
полюсные наконечники в форме призмы. Нейтроны с различной
ориентацией спина на ось поля по-разному отклоняются в магнитном
поле, при этом угловое расхождение пучков с различной проекцией
спина на ось поля составляет порядка нескольких угловых секунд,
что существенно больше ширины кривой брэгговскрго отражения для
каждого из расщепленных пучков. В итоге при соответствующей
ориентации интерферометра относительно первичного пучка можно
добиться того, что брэгговское условие будет выполняться только для
одной из компонент расщепленного пучка. Другая компонента пучка
будет проходить пластины интерферометра, не отражаясь и не
создавая помех для регистрации. В целях сохранения оси квантования,
которая задается направлением магнитного поля в призме, вся аппара-

тура помещалась во внешнее ведущее магнитное поле. Пластинка из
алюминия, создававшая относительный ядерный сдвиг фазы,
перекрывала оба расщепленных пучка.
При включении спин-флиппера волновые функции нейтронов
прямого пучка в соответствии с (13.39) уже не будут собственными
функциями по отношению к направлению магнитного поля, а будут
собственными функциями по отношению к какому-нибудь направлению в
плоскости ху. Поэтому за интерферометром соответствующий вектор
поляризации будет прецессировать с ларморовой частотой вокруг
направления ведущего магнитного поля.
Ускоряющая катушка 5 генерировала переменное во времени
магнитное поле, параллельное ведущему полю. Частота процессии спина
нейтронов в магнитном поле этой катушки могла изменяться в
соответствии с изменением в ней тока. В результате вектор поляризации
нейтронов, выходящих из интерферометра, можно было довернуть на
некоторый дополнительный угол а и заставить его принять любое
желательное направление в плоскости ху.
п/2-катушка поворачивала вектор спина нейтронов вокруг оси k х z
(ось х) на угол 90°. Если перед входом в л/2-катушку вектор
поляризации нейтронов с помощью ускоряющей катушки был довернут до
оси у, то л/2-катушка поворачивала его далее на угол 90° вокруг оси х
и он ориентировался либо по оси z, либо против нее.
Последующий анализ поляризации проводился с помощью хессле-
ровского монокристалла-анализатора, который с высокой
эффективностью отражал только те нейтроны, спин которых параллелен
направлению намагниченности самого кристалла, т.е. в данном случае оси z.
В эксперименте изучались зависимости скорости счета
детектора 8 от дополнительного угла прецессии а (т.е. от тока в ускоряющей
катушке) при различных углах поворота алюминиевой пластины
относительно пластин интерферометра (т.е. при различных значениях
скалярного сдвига фаз,). Обе экспериментальные зависимости должны
иметь интерференционный характер лишь в том случае, когда анализ
- проводится с учетом того, что вектор поляризации нейтронов лежит
в плоскости ху- На рис. 13.19, а приведены экспериментальные данные
для одной серии измерений, в которой значение тока ускоряющей
катушки фиксировано, а меняется лишь ядерный сдвиг фазы. Для этой
зависимости, как, впрочем, и для зависимости от а, наблюдается
практически не затухающая интерференционная картина.
Экспериментально наблюдаемая частота осцилляции соответствует теоретически
ожидаемой для алюминия. Независимой проверкой того, что
скалярный фазовый сдвиг приводит к вращению вектора поляризации в плос-

Рис. 13.19. Зависимость интенсивности
нейтронов от ядерного сдвига фазы в эксперименте со
статическим спин-флиппером:
а - л/2-катушка включена; б -п/2-катушка
выключена
-
в
-
,*,
в
1
••*.■*■• • •
1 1
f)
. .,...•?.
О
.1 1
о гоо too
Разность длин
путей. ДЛ.мкм
кости ху, могут служить измерения скорости счета детектора при
выключенной n/2-катушке. В этом случае интенсивность нейтронов не
должна зависеть от х» так как хесслеровский кристалл настроен на
отражение нейтронов, спин которых параллелен ведущему полю, т.е.
оси z. При включенной же л/2-катушке вектор поляризации
нейтронов ориентирован в плоскости ху. Экспериментальные данные
подтверждают это заключение (рис. 13.19, б).
Эксперименты со статическим спин-флиппером имеют
существенную особенность. Дело в том, что флиппер, переворачивая спин
нейтронов, меняет их кинетическую энергию и, следовательно, их длину
волны. Действительно, сразу за расщепителем нейтроны пучков / и II
имеют-одну и ту же полную энергию во внешнем ведущем поле В, так
как спин их относительно этого поля ориентирован одинаково.
Флиппер, воздействуя на один из пучков, не меняет эту энергию, так как
изменение знака проекции спина нейтрона на направление ведущего
поля осуществляется за счет прецессии вектора спина нейтронов
вокруг вектора магнитного поля флиппера. В то же время
потенциальная энергия нейтронов, прошедших флиппер, изменяется во внешнем
поле ВнаД[/ = ±цВ. В результате на эту же величину изменится
кинетическая энергия нейтронов (так как полная энергия нейтронов
должна сохраняться в силу закона сохранения энергии), и соответствующим
образом изменится длина волны нейтронов.
Различие в длинах волн интерферирующих пучков сказывается
на особенностях распространения нейтронов в тех пластинах
интерферометра, которые нейтронам еще предстоит пройти после спин-флип-
сиии

пера, т.е. в зеркале и в анализаторе. Как следует из теории
динамической дифракции, описывающей распространение нейтронов в
монокристаллах (см. § 10.5), от длины волны нейтронов существенным
образом зависит направление распространения волны в кристалле, если
пластина интерферометра находится в положении Лауэ, как это и
имеет место в кристаллическом интерферометре, и если для
падающего пучка выполняется условие Брэгга-Вульфа. В итоге когерентность
интерферирующих пучков в экспериментах со статическим спин-
флиппером должна быть нарушена. Хотя этот эффект и мал (в поле
порядка 10 мТл изменение энергии нейтрона составит всего * 1 нэВ), но
он наблюдаем. Эффект в принципе не устраним, так как ведущее поле
используется для задания спиновых состояний.
Чтобы обойти эту трудность, вместо статического флиппера можно
использовать радиочастотный резонансный спин-флиппер Раби.
Когда частота радиочастотного поля будет совпадать с резонансной
(0рез = 2цВ/й, соответствующей переходам между зеемановскими
уровнями энергии, спин нейтронов, проходящих через флиппер,
может изменить свое направление на противоположное. При этом
изменится и полная энергия нейтронов, она станет равной £±йсорез. Здесь
знаки "+" и "-" зависят от начальной ориентации спина
нейтрона относительно ведущего поля. Так как при перевороте спина
нейтрона его кинетическая энергия не изменяется, то для каждого из
интерферирующих пучков длина волны будет одной и той же. Поэтому
когерентность сложения волн в пучках J и II не нарушается.
Действие радиочастотного флиппера на состояния нейтронов
сводится к умножению их волновой функции на фазовый множитель
exp[-i(OpMr]. Учитывая это, волновую функцию нейтронов прямого
пучка для случая резонансного спин-флиппера нетрудно получить
обобщением формулы (13.39), заменив в ней х на х - wpe3f, т.е.
|0>=i-|t,> + eixe-iQ-f|^>= ' .
(—i—) i •-*-'— (—i—) I *-»:.-
а поляризацию выходящих пучков - обобщением соответствующих
формул (13.38):
Р0 = [cos (х - сорез f); sin (х - сорез О; 0 ];
PH=[-cos(x-cope3f); -sin(x-cope30;0]. (13.40)
Пх-Цре,^
л/?

Как и следовало ожидать, вектор поляризации нейтронов
оказывается ориентированным, так же как и в случае со статическим
флиппером, в плоскости ху, а направление его прецессирует в этой плоскости
с резонансной частотой (А^.
Постановка эксперимента со спин-флиппером Раби должна
учитывать то обстоятельство, что поляризация нейтронных пучков,
выходящих из интерферометра, является явной функцией времени. Это
предполагает необходимость синхронизации работы нейтронного
детектора с фазой радиочастотного поля и использование
стробоскопического метода измерений.
Результаты экспериментов, выполненных с радиочастотным спин-
флиппером, аналогичны результатам экспериментов со статическим
спин-флиппером (рис. 13.20, а). Модуляция интенсивности пучков
нейтронов, выходящих из интерферометра, наблюдается только в том
случае, когда анализирующие устройства настроены на возможность
возникновения поляризации в плоскости ху. Если же они настроены
на анализ поляризации в направлении оси z (л/2-катушка выключена),
то скорость счета нейтронов оказывается не зависящей от разности
фаз пучков, создаваемой ядерным потенциалом (рис. 13.20, б).
Заметим, кстати, что в опытах с резонансным флиппером нет
необходимости использовать подворачивающую (ускоряющую) катушку, так
как стробоскопический режим измерения позволяет
синхронизировать работу нейтронного детектора и радиочастотной катушки и
установить не зависящий от времени вклад в интенсивность при
вычитании и последующем усреднении
скоростей счета в соседних
подынтервалах разбиения промежутков времени
измерения. zoo-
ш
,■*-»
1
^
*-ч
-200
-Ш
too
200
- - . • < •
.. 1 1 1,
а)
*
1 1
Рис. 13.20. Зависимость интенсивности
нейтронов от ядерного сдвига фазы в эксперименте
с резонансным спин-флиппером:
а — л/2-катушка включена; 6" — п/2-катуш-
ка выключена
-«70
-300-200 -W0 0 100 ZO0

Из экспериментальных зависимостей, наблюдавшихся в опытах
с резонансным флиппером (рис. 13.20, а), видно, что свойства
когерентности интерферирующих пучков сохраняются, несмотря на то что
нейтроны и радиочастотная катушка обмениваются энергией.
Другими словами, этот обмен энергией нельзя автоматически трактовать
как процесс измерения (установления пути нейтрона в
интерферометре). Если бы это можно было сделать, то наблюдаемые зависимости
соответствовали бы простой статистической смеси складываемых
пучков.
Несложно доказать, что обменный фотон не может быть использован
для установления пути нейтрона в интерферометре без нарушения
его квантовой природы. Это можно доказать с помощью различных
соотношений неопределенности. Во-первых, с помощью соотношения
неопределенности, связывающего неопределенность в числе обменных
фотонов и неточность в фазе радиочастотного сигнала. Это
соотношение в данном случае в упрощенном виде может быть записано как
ДЛГДФ>2л. (13.41)
Чтобы с помощью стробоскопической регистрации нейтронов
преобразовать зависящую от времени интерференционную картину в
стационарную, фаза радиочастотного поля должна быть известна с
погрешностью не хуже чем 2л, т.е. ДФ < 2л. Тогда в соответствии с
(13.41) среднее число зарегистрированных фотонов будет известно с
погрешностью AJV> 1. Это означает, что одновременная регистрация
интерференционной картины и переходов с испусканием одиночных
фотонов невозможна.
Во-вторых, можно воспользоваться и соотношением
неопределенности для энергии-времени. Для проведения стробоскопических
измерений нужно, чтобы интервалы временных промежутков, в течение
которых проводится счет интенсивности, были по крайней мере
меньше половины периода радиочастотного поля Г., т.е.
Trf I 2л
2vr/. 2uf/. 2ttoff 4цВ 2АБ
(13.42)
илиД£Дг<Л/2.
Здесь Д£ = 2цВ обозначена энергия уносимого или поглощаемого
кванта радиочастотного поля. Условие (13.42) противоречит
соотношению неопределенности для энергии-времени, что также указывает на
невозможность одновременного наблюдения интерференционной
картины и установления пути нейтрона в интерферометре по энергии,
которой обмениваются нейтроны и радиочастотная катушка.

Естественным продолжением исследований по спиновой
интерференции нейтронов стали эксперименты, в которых на пути обоих
пучков в интерферометрах устанавливались радиочастотные катушки.
Катушки могли переориентировать спин нейтронов в каждом из
пучков. В этих экспериментах возможны несколько способов действия
спин-флипперов. Чтобы уяснить их суть, обозначим частоты
осцилляции и начальные фазы электрических сигналов для каждой из
катушек Uj, со2 и 61Э б2 соответственно. По-прежнему будем считать
первичный пучок нейтронов поляризованным в направлении оси z.
Эффективную длину радиочастотных катушек будем полагать
одинаковой.
Возможны следующие варианты:
а) катушки действуют на одной и той же частоте ы1 = со2 = со,
сдвига фазы радиочастотных сигналов относительно друг друга нет: 6t = б2;
б) катушки действуют на одной и той же частоте со t = со 2 = со с
зафиксированным фазовым сдвигом б = бх — б2 между ними;
в) катушки действуют на одной и той же резонансной частоте со 1 =
= со2 = со, относительная фаза радиочастотных сигналов меняется
случайным образом.
Аналогично тому, как это делалось при выводе формул (13.38),
(13.38а), (13.40), несложно показать, что поляризация нейтронов,
выходящих из интерферометра, будет противоположна по знаку
начальной и не зависеть ни от х, ни от б, а интенсивность нейтронов прямого
пучка будет меняться по законам:
a)/0oc/ + cosx ;
б) /0ocl+cos(x-6); (13.43)
в) IQ = < J0 (t) > = const.
Если на интерферометр направлять пучок неполяризованных
нейтронов, то в случае "а" выходящие пучки будут также неполяри-
зованными, а зависимость интенсивности от х останется без
изменения. В случае "б" выходящие из интерферометра пучки будут
поляризованными:
10 ~ 1 + cos х cos б ; (13.44)
Р0 -sinxsin6e2, (13.45)
о
где Cj - единичный вектор поляризации в направлении оси z. To есть
совместное действие ядерного сдвига и радиочастотных сигналов приве-

дет к поляризации выходящих пучков в направлении,
противоположном оси z.' Эта поляризации исчезает при определенных значениях
X = ±тпл (тп = 0,1,2,3...). В случае "в" интерференционных
эффектов нет вне зависимости от того, поляризован первичный пучок или
нет.
Особый интерес представляет случай, когда обе радиочастотные
катушки действуют от двух раздельных генераторов и при этом частоты
их полей слабо отличаются друг от друга. Если к тому же разность
частот полей Д(0 = со1-со2 много меньше, чем ширина резонансной
кривой, то для первично поляризованного в направлении оси z пучка
/0 ~ 1 + cos (х ~ б ~ Дм г); (13.46)
P0 = -V (13.47)
Как видим, в противоположность всем трем рассмотренным выше
случаям интерференционная картина не стационарна и наблюдается
картина биений, хорошо известная из теории колебаний, когда два
гармонических колебания с разными частотами накладываются друг
на друга. Период биений равен Т= 2л / Д ш.
Если исходный пучок нейтронов не поляризован, то биения будут
наблюдаться как для интенсивности, так и для поляризации:
/0~ 1 +cosx cos(Acof + 6 ); (13.48)
Р0 = ипхип(Дсог + 6)е^. (13.49)
Из (13.48) и (13.49) следует, что, подбирая соответствующим образом
ядерный сдвиг фазы, можно создать такие условия, при которых
картина биений будет наблюдаться либо для интенсивности, либо для
поляризации нейтронов.
Физическая природа возникающих биений заключается в том,
что состояния нейтронов для каждого из интерферирующих пучков
имеют разную энергию и, следовательно, различающуюся зависимость
от времени. Неустранимый постоянный фазовый сдвиг,
обусловленный конечностью времени пролета нейтронов через катушки
Д со Д f/2 = Д со 1/2у, составляет всего Ю-6 и поэтому не может заметно
сказаться на картине биений.
Все особенности спиновой интерференции нейтронов, следующие
из формул (13.43)—(13.49), были подтверждены экспериментально.
На рис. 13.21 в качестве лишь только одного, но очень яркого примера
приведена картина интерференции, наблюдавшаяся на пучке первично
поляризованных нейтронов, когда резонансные частоты флипперов

■"" . II
III
i III
m
i i
. _.——•— - —
г ■ . - —•— i+
0,1 Sk
4
«
I
0 100 ZOO 300 fOO t,c
Рис. 13.21. Картина спиновой интерференции при близких значениях частот резонансных
спин-флипперов
были близки к значению 71,89979 Гц и различались всего на 0,02 Гц.
Чтобы получить столь малое различие частот, обычные
синусоидальные генераторы были заменены на два высокоточных цифровых
синтезатора частоты с высокой стабильностью (Д \ / v * 10"7). Период
колебаний экспериментальной зависимости как функции времени
Т = (47,90± 0,15) с хорошо совпал с теоретически ожидаемым.
Использованное в эксперименте различие" в частотах резонансных
флипперов в 0,02 Гц эквивалентно различию в энергии нейтронов
интерферирующих пучков в АЕ = Ь(и>2- и>1) = 8,6-Ю-17 эВ, а
соответствующая энергетическая чувствительность эксперимента, как можно
заключить из данных, приведенных на рис. 13.21, составила 2,7 X
х Ю-19 эВ. Это значение на много порядков превосходит
энергетическое разрешение, которое до сих пор удавалось получить с помощью
дифракции нейтронов от кристаллов, методом времени пролета или
методом спинового эха. Заметим, кстати, что столь высокое
разрешение тем более удивительно, что монохроматичность нейтронного
пучка составила всего Д£г« 5,5-Ю-4 эВ при энергии нейтронов Ет =
= 0,023 эВ. Заметим также, что полученная с помощью нейтронных
интерферометров энергетическая чувствительность значительно
превосходит чувствительность всех известных в настоящее время
методов измерения энергии, в том числе и бывшего до настоящего времени
рекордным метода мессбауэровской спектроскопии. Конечно, при
более аккуратном рассмотрении удивляться высокой
чувствительности метода при столь низкой монохроматичности пучка не следует,

так как наблюдавшаяся в нейтронном интерферометре
интерференционная картина есть результат самоинтерференции. Природа устроена
таким образом, что каждый нейтрон представляет собой такой объект
микромира, положение которого на том или ином отрезке пути в
интерферометре характеризуется амплитудами вероятности, а
вероятность обнаружить его за интерферометром находится как квадрат
модуля суммы этих амплитуд. Это утверждение, собственно, и
составляет содержание квантово-механического принципа суперпозиции.
Есть основания полагать, что высокая энергетическая
чувствительность экспериментов по спиновой интерференции нейтронов может
найти применение в фундаментальной, ядерной физике, в физике
твердого тела, в частности, в исследованиях электрического заряда,
электрического дицольного момента и поляризуемости нейтрона,
в исследованиях гравитационных волн, в исследованиях эффектов
подавления излучения из-за многократного рассеяния в
конденсированном веществе и т.д.

Приложение 1. Вычисление вспомогательного интеграла
Дан интеграл
со
dt -t/T Wt
е е
(4 лГ))3'* t3'2
Р
Введем обозначения о = 1/ГиЬ = r2/4D и сделаем замену переменной
z = у?, тогда
J J0,
(4nD)3'a . °
где
00 2
-az1 - -
о
Полагая ya/b z = x, получаем
оо
е
/0=Vo7b dx . (П1.1)
о
Если в (П1.1) сделать замену х -* 1 /х, то /0 преобразуется к виду
/„=7^7? dxe V . (Ш.2)
о
Представим /0 как полусумму выражений (П1.1) и (Ш.2), тогда
1 4/——t / djc \
jo= -У^Ь*
2
'«•♦4
X
е +

Г -л[аЬ\хг + -1-
+ | dxe
-L «/ —
г J ь
1 \ -^hi)
dx[l + -Ue '. (Ш.З)
о
Полагая у = х , преобразуем (Ш.З) как
+ 0О
j_4/TTrdye-^?6'2 + 2)=-l /Ie-2^
0 2 V Ь I " ' 2 у/ Ь
Окончательно находим / = е * -
4nDr
Приложение 2. Средняя длина пробега нейтрона
в блоке и в замедлителе
Пусть решетка реактора состоит из выпуклых однородных блоков
объема V. Докажем, что средний путь теплового нейтрона в блоке
можно вычислить с помощью соотношения
J-4V/S, (П2.1)
где 5 - площадь поверхности блока.
Воспользуемся уравнением баланса N = QT (см. §2.7),
справедливым в стационарном случае для системы произвольного вида:
размножающей, замедляющей либо поглощающей нейтроны; в этой формуле
N - есть полное число нейтронов в данном объеме в любой момент
времени; Q - мощность генерации; Т - среднее время пребывания
нейтрона в заданном объеме V. Г можно найти как Г= J/v, где / - средний
путь нейтрона в выделенном объеме; v - скорость нейтрона; Т
представляет собой среднее время жизни за счет всех процессов, которые
могут происходить в заданном объеме, - поглощения, размножения,
вылета за границы объема.

Формула (П2.1) может быть получена из следующих наглядных
геометрических соображений. Будем полагать, что урановый блок
заменен прозрачной оболочкой, имеющей те же размеры, что и блок
(рис. 172.1). Оболочка не поглощает нейтроны, поэтому плотность их р
внутри оболочки такая же, как и на ее поверхности. Следовательно,
полное число нейтронов внутри оболочки равно
JV-pV.
Р v
Каждую секунду извне в оболочку попадает Q=jS= 5
нейтронов*. 4
Если J - путь в блоке нейтрона, падающего на блок снаружи, т.е.
хорда, соединяющая точки входа и выхода нейтрона из блока, a v -
скорость нейтрона, то из уравнения баланса следует
pV=-£Is_L, (П2.2)
4 у
откуда и вытекает (П2.1).
Из вывода,.на первый взгляд, кажется, что формула (П2.1) будет
верна, если нейтроны на их пути в блоке не будут рассеиваться. В
действительности же формула (П2.1) будет верна и в более общем случае,
т.е. при произвольном рассеянии в блоке, если при этом поглощением
в блоке можно пренебречь. Данное заключение есть следствие того
обстоятельства, что рассеяние в блоке не меняет плотности нейтронов
и не влияет на их баланс [уравнение (П2.2)]. Поэтому в общем случае
(при отсутствии поглощения) под / следует, понимать среднюю длину
* Нетрудно показать, что в стационарном случае при р = const потоки нейтронов,
пересекающих произвольную поверхность во взаимно противоположных направлениях,
одинаковы по значению и равны pv/4 (см. § 2.6).

пробега нейтрона в блоке (т.е. среднюю длину по ломаной линии).
Примеры: 4 ■
4 — л г3
3 4
I. Для шара радиусом г / = = — г
4 л г* 3
II. Для цилиндра диаметром d = 2 г,
высотой Я [площадью торца, в си- л d2
лу ее малости (Я» г), пренебре- 4 ~ н
гаем] .."...' I" "d
г-птн
III. Для пластинки толщиной 6
(площадь поверхности пластинки равна
удвоенной площади одной из
сторон). / = =26
Аналогичные рассуждения можно использовать по отношению к
объему замедлителя Узш в элементарной ячейке. Обобщая формулу
(172.1) на случай замедлителя, получаем
£ = JLsL . (П2.3)
Sstu
Здесь £ - средний путь нейтрона через одну ячейку замедлителя;
5зам - площадь поверхности замедлителя. Нетрудно видеть, что
5 = 5зам, так как в силу симметрии ячейки количество нейтронов,
выходящих из ячейки в блок, равно количеству ; нейтронов, входящих
из блока в ячейку.
Отсюда
4 v 4 ы v,
' зам _ >
S S
£ = __i!i! = -и = и /, (П2.4)
где w = V3aM/Vu.
Приложение 3. Средний пробег нейтрона деления в блоке
Для вычисления среднего пробега нейтрона в блоке
воспользуемся наглядными геометрическими соображениями. Обозначим I путь в
блоке нейтрона, падающего на блок снаружи, a L путь нейтрона
деления в блоке (рис. П3.1). Соответствующие функции распределения

пробегов пусть будут ф (I) (функция распределения хорд) и ф (L).
Если нейтроны деления и нейтроны, падающие на блок снаружи,
распределены в пространстве изотропно, то Ф (I) и ф (L) можно связать с
помощью простого и очевидного соотношения
макс
$(L) = c $ v(i)di (пзл)
L
где С - некоторая постоянная; LMaKC - максимальное значение L для
блока данной формы.
Соотношение (ПЗЛ) показывает, что при изотропном распределении
в пространстве отрезков / плотность вероятности обнаружить L
(которое для фиксированного направления всюду меньше хорды 0 равна
просуммированной по всем / > L (т.е. от L до LMaKC) вероятности
обнаружить отрезок /.
Вычислим п-й момент распределения (ПЗЛ), который по
определению равен
макс
(Ln) = C S Lnty(L)dL =
о
макс макс
= С$ L"dL S $(l)dl. (П3.2)
° L
В формуле (П3.2) пределы интегрирования образуют область на
диаграмме (I, L), заштрихованную на рис. П3.2. Изменим порядок
интегрирования в (П3.2). Новые пределы интегрирования возьмем в
соответствии с рис. П.3.2. Тогда
Рис. П3.1. Путь через блок нейтрона, па- Рис. П3.2. Область интегрирования ц
дающего снаружи (I), и путь в блоке (П3.2) (заштрихована)
нейтрона деления (L)

^макс I ' п+1
(Ln) = C I v(l)dlSdLLn- С . (ПЗ.З)
о о л+ 1
Из условия нормировки для нулевого момента распределения
(П3.1) получаем
Z° = l = C/\
Следовательно, С =1/1.
Для л = 1 из (ПЗ.З) находим
L = W/2T. (П3.4)
Область применимости формулы (П3.4) ограничивается случаем,
когда рассеянием нейтронов в блоке можно пренебречь.
Действительно, как нетрудно видеть, формула (П3.1), использованная при выводе
(П3.4), верна лишь для тех путей нейтронов в блоке, которые
пронизывают его насквозь.
Приложение 4. Таблица длин когерентного рассеяния
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Элемент
Н
D
Т
эНе»
«Не
Ц
Be
В
С
N
О
F
Ne
№
Mg*
Al*
Si
P
S
CI
Ac
К
Ьког- *м
-3,7409(11)
6,674(6)
5,0(3)
5,73(5)
3,0(2)
-2,03(5)
7,8(4)
5,35(6)
6,6484(13)
9,36(2)
5,803(5)
5,66(2)
4,6
3,63(2)
5,375(4)
3,449(5)
4,1491(10)
5,13(1)
2,847(1)
9,5792(8)
1,8(2)
3,71(2)
Z
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Элемент
Ca
Sc
Ti*
V*
Cr
Mn .
Fe
Co
Ni
Cu* ■
Zn*
Ga
Ge
As
Se
Bt
Kr
Rb
Sr
Y
Zr
Nb*
ьког- Ф«
4,90(3)
12,15(13)
-3,438(2)
-0,3824 (12)
3,532(10)
-3,73(2)
9,54(6)
2,78(4)
10.3(1)
7,718(4)
5,680(5)
7,2(1)
8,1858(36)
6,73(2)
7,95(4)
6,77(2)
7,91 (15)
7,08(2)
6,88(13)
7,75(2)
7,0(1)
7,054(3)

Продолжение прилож. 4
Z
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
65
Элемент1
Мо
Те
Ru
Ph
Pd
Ag*
Cd
In
Sn*
Sb
Те
I
Xe
Cs
Ba
La
Ce
Pt
Nd
Tb
ьког> Фм
6,95(7)
6.8(3)
7,21(7)
5,88(4)
6.0
5,932(6)
3,8 ±1,2»
4,08(4)
6,228(4)
-5,641(12)
5,43(4)
5,28(2)
4,88(3)
5,42(2)
5,28(5)
8.27(5)
4,83(4)
4,45(5)
7.80 (7)
7,38(3)
Z
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
■ 81-.
82
83
90
92
93
Элемент
Dy
Ho
Et
Tm
Yb
Lu
Hf
Та
W
Re
Os
Ir
Pt
Au
Hg
Tl
Pb
Bi
Th
U
Np
Ьког,фм
17,1(3)
8,5(2)
8,03(3)
7,05(5)
12,62(12)
7,3(2)
7,77(14)
6,91(7)
4.77 (5)
9,2
10,8
10,6(2)
9,5(3)
7,63(6)
12,66(2)
8,89(2)
9,4003(14)
8.5256(14)
10,08(4)
8,61(4)
10,6

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Часть I
1. Вайвберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов: Пер. с англ. М.:
Изд-во иностр. лит., 1961.
2. Де Бсведепи С. Ядерные взаимодействия: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1968.
3. Ферми Э. Ядерная физика: Пер. с англ. М.: Иэд-во иностр. лит., 1951.
4. Ферми Э. Научные труды: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. Т. 1, 2.
5. Судак Г., Юшпбеид Э. // УФН. 1985. Т. 48. С. 93.
6. Худсон Д. Статистика для физиков: Пер. с англ. М.: Мир, 1970.
7. Градштейи И.С, Рыхик ИМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.
М.: Физматгиз, 1963.
8. Шапиро ФЛ: Физика нейтронов: Собрание трудов. T.l. M.: Наука, 1976.
9. Исаков ЯЛ., Казарновский МЛ., Медведев ЮЛ., Метелкин ЕЛ. Нестационарное
замедление нейтронов. М.: Наука, 1984.
10. Зельдович ЯЛ., Харигсн ЮЛ. // ЖЭТФ. 1939. Т. 9. С. 1425.
11. Зельдович ЯЛ., ХарнгонЮЛ. // ЖЭТФ. 1940. Т. 10. С. 29.
12. Зельдович ЯЛ., Харнгон ЮЛ. // ЖЭТФ. 1940. Т. 10. С. 477.
13. Гаданнн АЛ- Теория ядерного реактора иа тепловых нейтронах. М.: Изд. ГУ по
использованию атомной энергии при СМ СССР, 1959.
14. Гаданий АЛ. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах. М.:
Эиергоатомиздат, 1984.
15. Основы теории и методов расчета ядерных энергетических реакторов / Под ред.
Г.А. Батя. М.: Эиергоатомиздат, 1982.
16. Файнберг СМ., Шихов СБ., Троянский ВЛ. Теория ядерных реакторов. Т. 1. М.:
Атомиздат, 1978.
17. Гуревич ИЛ., Померанчук ИЛ. // Некоторые труды ИАЭ им. И.В. Курчатова.
Т. 1. М.: 1982. С. 28.
18. Петров ЮЛ. // УФН. 1977. Т. 123. Вып. 3. С. 473.
19. Камерон И. Ядерные реакторы. М.: Эиергоатомиздат, 1987.
20. Шихов С Л., Хромов ВЛ., Сдееарев И.С., Шмелев АЛ. Реакторы на быстрых
нейтронах, работающие в бридерном режиме. М.: Изд. МИФИ, 1971.
21. Ананьев ВЛ-, Блохинцев ДЛ., Булкин ЮМ. и др. // ПТЭ. 1977. Т.5. С. 17.
22. Katuda К., Kobayoshi К., Okamoto S., Shibata TV/ NIM. 1978. Т. 148. P. 535.
23. Казачковский ОХ // Природа. 1980. Т. 2. С. 16.
Часть П
1. Гуревич ИЛ., Тарасов ЛЛ. Физика нейтронов низких энергий. М.: Наука, 1965.
2. Блохинцев ДЛ. Осяовы квантовой механики. М.: Высшая школа, 1961.
3. Ландау ЛЛ., Лившиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.
4. Юз Д. Нейтронная оптика: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

5. Александров ЮЛ., Шарапов 3JL, Чер Л. Дифракционные методы в нейтронной
физике. М.: Энергоиздат, 1981.
6. Александров ЮЛ. Фундаментальные свойства нейтрона. М.: Энергоатомиздат, 1982.
7. Франк АЛ. // УФН. 1982. Т. 137, С. 5; сб. Нейтрон. К 50-летию открытия. М: Наука, 1983.
8. Франк ИМ. // УФН. 1991. Т. 161. С. 109.
9. ФранкILM.//УФН. 1991. Т. 161. С. 95.
10. Лущиков ВЛ. Улырахолодные нейтроны // Нейтрон. К 50-летию открытия. М.:
Наука, 1983.
11. Серегин АЛ. // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. С. 1634.
12. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике: Пер. с англ.
М.: Мир, 1978. Т. 8, 9.'
13. Арзуманов С.С, Карасева ИЛ., Кудряшов ЮЗ. н др. Горизонтальный нейтронный
микроскоп. Препринт ИАЭ-4968/14.1989.
14. Арзуманов С.С., Масловнч СВ., Стрепетов АЛ., Франк АЛ. // Письма в ЖЭТФ.
1986. Т. 44. Вып. 5. С. 213.
15. Golub R., Pendlebury J.M. II Rep. Prog. Phys. 1979. T. 42. P. 439.
16. Морозов ВЛ. Экспериментальные исследования с ультрахолодными нейтронами.
Дмитровград: Изд. науч.-исслед. ин-та атомных реакторов им. В.И. Ленина, 1980.
17. Морозов ВЛ. Хранение УХН в замкнутых сосудах. Дмитровград: Изд. науч.-исслед.
ин-та атомных реакторов им. В.И. Ленина, 1982.
18. Steyerl A., Ebisawa Т., Strinhamtr K.-A. ел. // Z. Phys. В - Condensed Matter. 1981.
Vol. 41. P. 283.
19. Алтарев R.C., Борисов ЮЛ., Боровикова HJB. и др. // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 44.
Вып. 8. С. 360.
20. Абов Ю.Г., Васильев ВЛ., Владимирский BJB., Рожшга HJ5. // Письма в ЖЭТФ. 1986.
Т. 44. Вып. 8. С. 369.
21. Лущиков ВЛ., Франк АЛ. // Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 28. С. 607.
22. франк ILM.//Природа. 1972. №9. С. 24-30.
23. Франк АЛ. // УФН. 1987. Т. 151. Вып. 2. С. 229
24. БернсгейнК., Фндднпс Э. // УФН. 1982. Т. 136. С. 665.
25. Франк АЛ. Нейтроииая микроскопия иа упьтрахоподных нейтронах // Некоторые
проблемы современной ядерной физики. М.: Наука, 1989.
26. Аяфимеиков B.IL, Пихельнер Л.Б. Нарушение пространственной четности в
нейтронных реэонаисах // Некоторые проблемы современной ядерной физики. М.: Наука, 1989.
27. Франк И.М. // УФН. 1986. Т. 149. С. 689.
28. Сушков О.П., Фламбаум В.В. // УФН. 1982. Т. 136. С. 3.
29. Алфименков В.П. // УФН. 1984. Т. 144. С. 381.
30. Бэкон Дх. Дифракция нейтронов: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.
31. Steyerl A., Ebisawa Т., Gutsmiedl ел. II Некоторые проблемы современной ядерной
физики. М.: Наука, 1989.
. 32. Rauch H. Neutron Intecferometry // Некоторые проблемы современной ядерной
физики. М.: Наука, 1989.
33. Siimmhammer L, Badurek G., Rauch H. e.a. // Phys. Rev. 1983. Vol. 27. P. 2523.
34. Rauch H. // Contemp. Phys. 1986. Vol. 27. P. 345.
35. Badurek G., Rauch H., Tuppinger D. // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34, N 4.
36. Paul W., Anton F., Paul L. e.a. // Z. Phys. С Particles and Fields. 1989. Vol. 45. P. 2600.
37. Арзуманов С.С, Масловнч СВ., Сабельников АЛ. и др. // Письма в ЖЭТФ. 1990.
Т. 52. С. 981.
38. Крутицкий ПЛ. Фундаментальные исследования с поляризованными
медленными нейтронами. М.: Энергоатомиздат, 1985.