/
Author: Антонов В.И. Лагунова М.В. Лобкова Н.И. Максимов Ю.А. Семёнов В. М. Хватов Ю.А.
Tags: математика основы математики математическая логика линейная алгебра аналитическая геометрия геометрия издательство москва
ISBN: 978-5-392-01333-3
Year: 2011
Text
_________МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ___________
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. И. Антонов, М. В. Лагунова, Н. И. Лобкова,
Ю. А. Максимов, В. М. Семёнов, Ю. А. Хватов
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Опорный конспект
я
• ПРОСПЕКТ*
МОСКВА
2011
УДК [512.8+516.01(075.8)
ББК 22.12я73
Л59
Авторы:
В. И. Антонов — д-р техн, наук, проф.;
М. В. Лагунова — канд. физ.-мат. наук, доц.;
Н. И. Лобкова — канд. физ.-мат. наук, проф.;
Ю. Д. Максимов — канд. физ.-мат. наук, проф.;
В. М. Семёнов •— канд. физ.-мат. наук, доц.;
Ю. А. Хватов — канд. техн, наук, проф.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный
Л59 конспект: учебное пособие. — Москва : Проспект, 2011. — 144 с.
ISBN 978-5-392-01333-3
Книга представляет собой учебное пособие по курсу линейной алгебры
и аналитической геометрии. В ней собраны и объяснены базовые понятия, оп-
ределения и формулировки, а также содержатся разобранные примеры, типо-
вые задачи и вопросы для самопроверки.
Учебное пособие предназначено для начального и быстрого ознакомле-
ния с курсом линейной алгебры и аналитической геометрии, а также для по-
вторения и закрепления ранее изученного материала.
Для студентов и преподавателей вечерних, заочных и дневных отделений
как технических, так и экономических вузов.
УДК [512.8+516.0](075.8)
ББК 22.12я73
Учебное издание
Антонов Валерий Иванович,
Лагунова Марина Витальевна,
Лобкова Наталья Ивановна и др.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ
Учебное пособие
Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет»
www.o-maket.ru; тел.: (495) 726-18-84
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.004173.04.09 от 17.04.2009 г.
Подписано в печать 01.08.10. Формат 60x90 */16.
Печать офсетная. Печ. л. 9,0. Тираж 1000 экз. Заказ №1459.
ООО «Проспект»
111020, г. Москва, ул. Боровая, д. 7, стр. 4.
Отпечатано в ОАО «Домодедовская типография»,
г. Домодедово, Каширское ш., д. 4, к. 1.
9'785392 013333
© Коллектив авторов, 2011
©ООО «Проспект», 2011
ПРЕДИСЛОВИЕ
Понятие опорного конспекта прочно вошло в педагогическую ли-
тературу, начиная с работ донецкого учителя-новатора Шаталова.
Здесь опорный конспект по математике понимается расширительно
в той мере, в какой он может заменить минимальный конспект для
учащихся. Самое главное ~ это конспект, т. е. учебник, а не справоч-
ник. В нем вводятся и разъясняются все базисные понятия и методы.
Даются иллюстрирующие примеры, контрольные вопросы для са-
мопроверки, решаются типовые задачи. Материал располагается в
той же последовательности, что и на лекциях, но без доказательств.
Даются только определения, формулировки и пояснения теорем, их
геометрическая и физическая интерпретация, чертежи, выводы, пра-
вила. Второстепенные вопросы опущены.
Опорный конспект целесообразно использовать для первичного,
быстрого ознакомления с курсом математики, а далее нужно продол-
жить изучение отдельных тем теории по учебнику, где все изложено
с достаточной полнотой и доказательно. Опорный конспект полезен
и для закрепления изученного материала, для восстановления в па-
мяти нужных понятий при изучении последующих разделов курса
и других дисциплин, опирающихся на математику.
Опорный конспект предназначен для заочников, вечерников, экс-
тернов и будет также полезен студентам дневной формы обучения.
Настоящий вариант опорного конспекта ориентирован на студен-
тов, изучающих математику в объеме и на уровне, предназначенных
для общетехнических специальностей и направлений. Нумерация
формул, таблиц, рисунков и прочих элементов текста в каждом па-
раграфе — двухпозиционная, в виде номера параграфа и порядково-
го номера по параграфу. Начало и конец доказательства или вывода
формулы отмечаются знаками ► ◄. Материал, не обязательный для
изучения, помечен знаком *.
Основная работа по подготовке опорного конспекта была проде-
лана группой преподавателей кафедры высшей математики Санкт-
Петербургского государственного политехнического универси-
тета — инициаторами проекта — профессорами Лобковой Н.И.,
Максимовым Ю.Д., Хватовым Ю. А.
Опорный конспект по математике состоит из введения и 15 раз-
делов:
1. Линейная алгебра.
2. Векторная алгебра.
М459
Предисловие
3. Аналитическая геометрия.
4. Введение в математический анализ.
5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
6. Комплексные числа, многочлены, рациональные дроби.
7. Интегральное исчисление функций одной переменной.
8. Дифференциальное исчисление функций нескольких пере-
менных.
9. Дифференциальные уравнения.
10. Числовые и функциональные ряды.
И. Ряды и интеграл Фурье.
12. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
13. Теория поля.
14. Теория вероятностей.
15. Математическая статистика.
Разделы указаны в порядке, рекомендуемом при изучении курса
математики.
В настоящее издание «Математика. Выпуск 1. Опорный конспект»
включены введение и первые три раздела.
Введение к курсу математики
Г. Математика как наука, ее предмет и метод. Определение
математики как науки. Математика — это наука, исследующая
пространственные формы, количественные отношения, аксиома-
тические структуры и вопросы доказательства путем построения
абстрактных моделей действительного мира.
Моделью реального объекта, процесса, явления называет-
ся описание его существенных свойств на каком-либо языке.
Математическая модель — это абстрактная модель, основанная
на математических понятиях и математической символике, т. е. за-
писанная на языке формул, функций, уравнений, неравенств, ал-
горитмов и т. д. Для решения своей основной задачи — построения
математических моделей реального мира — математика использу-
ет метод абстракции, т. е. совершенно отвлекается от конкретных
физических свойств предметов и явлений, исследует только сами
количественные отношения, пространственные формы, теоретико-
множественные структуры.
2°. Роль математики в других науках. Математизация — харак-
терная черта любой современной науки. В принципе область при-
менения математических методов ничем не ограничена. Особенно
велика роль математики в естествознании и технических науках.
4
Предисловие
Математическая модель, в отличие от моделей в других науках,
дающих лишь качественное описание явлений, позволяет получить
количественный прогноз, т. е. описать явление более точно.
Функции математики:
— средство расчета;
— универсальный язык науки;
— метод исследования.
3°. Источники и критерии истинности математического знания.
Источником математического знания является практика, т. е. ма-
тематика строит свои абстрактные понятия на основе конкретных
задач исследования природы, жизни, производства. Понятия длины,
площади, объема, производной, интеграла вошли в математику бла-
годаря потребностям измерения, решения задач о скорости, о пути,
о работе и т. д.
Критерием истинности всякой науки также является практика.
Математика не является исключением. Математические знания, соз-
данные для решения практических задач, практикой и проверяются.
4°. Единство математики. Элементарная, высшая, вычислитель-
ная, чистая, прикладная, конструктивная и другие виды матема-
тики являются лишь ветвями, частями единой науки математики.
Под элементарной математикой понимается математика, изучаемая
в средней школе. Вся остальная математика условно называется выст
шей. Есть общие черты у всех ветвей математики, обеспечивающие
единство математики:
1) дедуктивный (доказательный) абстрактный метод построения
знаний;
2) общность математических понятий и символики. Наме-
тившаяся тенденция аксиоматизации всех математических знаний;
3) все части математики охватываются одним и тем же опреде-
лением математики.
5°. Математика как дисциплина высшего технического учебного
заведения. Математика как дисциплина отличается от математики
как науки прежде всего наличием технологии преподавания, к ко-
торой относятся методика преподавания, учебно-методические по-
собия, вычислительная лаборатория, учебные планы и программы.
Основными целями преподавания математики во втузе являют-
ся математические знания и умения, развитие и мышление, доста-
точные для решения задач по будущей технической специальности.
Математика втуза должна в первую очередь обеспечить потребности
общенаучных дисциплин — физики и механики. Ее положение среди
дисциплин втуза можно изобразить цепочкой: математика — обще-
5
Предисловие
научные дисциплины — общетехнические дисциплины ~ специальные
технические дисциплины.
Математика, как и всякая дисциплина, имеет свой базис. Его со-
ставляют базисные понятия (число, уравнение, множество, произ-
водная, интеграл и т. д.), основные задачи, возникающие на основе
базисных понятий, и базисные методы решения основных задач.
6°. Краткие исторические сведения о развитии математики.
Начало зарождения математики невозможно отметить. Счет предме-
тов появился вместе с человеком. Элементарная геометрия сложи-
лась в IV—III вв, до н.э. в античной Греции. Зарождение элементар-
ной алгебры как науки относится к началу IX в. Тригонометрия как
учение о тригонометрических функциях и их свойствах сложилась в
XVII—XVIII вв., хотя отдельные тригонометрические знания в связи
с астрономическими наблюдениями имелись в древние времена в
античной Греции, Вавилоне, Египте.
Аналитическая геометрия в основном была разработа-
на французскими математиками Декартом и Ферма в XVII в.
Основоположниками дифференциального и интегрального исчис-
ления являются английский математик Ньютон (1642—1727) и не-
мецкий математик Лейбниц (1646—1716). Период математики пере-
менных величин можно очертить рамками XVII — середины XIX в.
Периодом современной математики условно считается промежуток
с середины XIX в. по настоящее время.
7°. Развитие математики в России. Начало математических ис-
следований в России связано с деятельностью Петербургской ака-
демии наук, Петербургского университета (1724), а также с именем
Л. Эйлера (1707—1783), внесшего огромный вклад в развитие мировой
математики.
Большое значение для науки и преподавания математики име-
ла деятельность отечественных ученых Н. И. Лобачевского (1799—
1856), П.Л. Чебышева (1821-1894), А.М. Ляпунова (1857-1918),
А. Н. Колмогорова (1903—1987) и др.
Современные математики в России работают практически во всех
областях этой науки.
6
Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Возникновение алгебры относится к глубокой древности. Ее зада-
чи и методы создавались постепенно под влиянием нужд обществен-
ной деятельности в результате поисков общих приемов для решения
однородных арифметических и геометрических задач. Уже в древнем
Вавилоне (2-е тысячелетие до н. э.) решались задачи, содержащие
уравнения 1 и 2-й степени. Неизвестные величины в них трактова-
лись как длина, ширина, высота, площадь и т. д. и обозначались сло-
вами из шумерского языка, вышедшего из употребления уже к концу
3-го тысячелетия до н. э. Буквенная символика в алгебре впервые
появилась у александрийского математика Диофанта (III в.н. э.), но
решающий шаг в этом направлении был сделан французским мате-
матиком Ф. Виетом (1540—1603). Современная символика идет от
Р. Декарта (1596-1650) и И. Ньютона (1642-1727).
До второй половины XIX в. алгебра понималась как наука об
алгебраических уравнениях различных степеней и системах таких
уравнений. Во второй половине столетия в ней была выделена часть,
названная линейной алгеброй, включающая в себя теорию систем
линейных уравнений и связанную С ней теорию определителей и
матриц.
Значение систем линейных уравнений объясняется не только тем,
что они являются простейшими системами алгебраических уравне-
ний, но и тем, что их решение составляет существенную часть реше-
ния разнообразных практических задач. Матрицы и определители
были введены в рассмотрение для решения и исследования систем
линейных уравнений. Однако оказалось, что их роль этим не ис-
черпывается, и они стали предметом самостоятельного изучения.
В наши дни теория матриц находит обширное применение в вычис-
лительной математике, физике, экономике и других областях науки.
7
Предисловие
Глава 1. Определители и системы линейных
уравнений
§ 1. Системы линейных уравнений.
Основные понятия. Метод Гаусса
1°. Основные понятия. Равносильные системы.
Определение 1.1. Система линейных алгебраических уравнений
(или система линейных уравнений) имеет вид
jXj + U^2X2 4" • • • 4" ^пХп — 1»
а21х1 4-022*2 +
(1.1)
4- ат2х2 + • • • + атпхп — Ьт,
при этом хх,х2,...,хп называются неизвестными; aik, i = l,2,...,m ,
& = 1,2,..., я — коэффициентами при неизвестных, или коэффици-
ентами системы, причем индекс i означает номер уравнения в си-
стеме (1.1), а индекс k — номер неизвестного. Величины bx,b2,..., Ьт
называются свободными членами. Иногда систему (1.1) будем на-
зывать линейной системой.
Замечание 1.1. Если система (1.1) содержит не более четырех не-
известных, то они часто обозначаются буквами х, у, z, t без индексов.
Если т — п, т. е. число уравнений равно числу неизвестных, то
систему (1.1) называют квадратной. При b t — b2 =... = Ьт = 0 система
(1.1) называется однородной, в противном случае — неоднородной.
Например,
Зх —4г/= 5,
. — неоднородная квадратная линейная
2х4-эг/ = 7
система из двух уравнений с двумя неизвестными х и у.
Определение 1.2. Решением системы (1.1) называется такой упо-
рядоченный набор чисел at, a2,..., , который при подстановке в
систему (1.1) вместо неизвестных хр х2,..., хп превращает ее в си-
стему верных тождеств:
«1 1«1 + а12а2 + • • • + alnan = bl>
й21а1 + а22а2 + • • • + а2пап ~ ^2 >
(1-2)
°ml«l + йт2а2 + • • • + °тпап = Ьт
8
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
Решение системы (1.1) принято обозначать следующим образом:
(ava2,..., an) или = ар х2 = а2,..., хп =ап.
Определение 1.3. Система (1.1) называется совместной, если она
имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
Совместная система называется определенной, если она имеет един-
ственное решение, и неопределенной в противном случае.
Пример 1.1. Система
Зх-4г/ = -1,
2х+5у = 7
имеет единственное решение
х = 1, у = 1, поэтому является совместной определенной системой.
Пример 1.2. Система
Зх-4г/ = -1,
—6.x + 8 г/ = 2
имеет более одного реше-
ния, например ее решениями являются: х = 1, у = 1; х = 2, у — 7/4;
х = 5, у = 4. Эта система является совместной неопределенной си-
стемой.
Пример 1.3. У системы
Зх—4г/ = —1,
нет решении, т. е. она не-
— 6x + 8z/ = 7
совместна.
Решить систему (1.1) — это значит найти все ее решения или до-
казать, что она не имеет решений. Для этого систему преобразуют в
более простую, решения которой легко найти или доказать ее несов-
местность. При этом центральным понятием является равносиль-
ность двух систем.
Определение 1.4. Две линейные системы с неизвестными
хх,х2,..., хп называются равносильными, если они обе несовмест-
ны, или же они обе совместны и каждое решение одной системы
является решением другой и наоборот.
Зх—4у = —1,
и
2х+5г/ = 7
ибо х = 1, у = 1 — решение и той, и другой системы, а других решений
они не имеют.
Пример 1.4. Системы
х 4“ у = 2,
’ равносильны,
х—у —О
Пример 1.5. Системы
Зх - 4г/ = -1,
Зх—4г/ = 7
х + у = 2,
также являются
х + у = 0
равносильными, поскольку обе они несовместны.
Число уравнений в равносильных совместных системах может
быть различным, но они должны содержать одни и те же неизвестные.
9
Раздел 1. Линейная алгебра
ваний можно из системы
2°. Теорема об элементарных преобразованиях в системе линей-
ных уравнений.
Определение 1.5. Элементарными преобразованиями над систе-
мой линейных уравнений вида (1.1) называются:
1) перестановка местами двух любых ее уравнений;
2) умножение всех членов любого уравнения системы на любое
отличное от нуля число;
3) почленное сложение любых двух ее уравнений.
На практике обычно объединяют последние два элементарных
преобразования в одно и рассматривают два основных типа:
1-й тип — перестановка местами уравнений системы;
2-й тип — почленное сложение двух любых ее уравнений, все
члены одного из которых предварительно умножены на одно и то
же число.
Теорема 1.1. Конечное число последовательно выполненных эле-
ментарных преобразований этих типов приводят систему (1.1) к
равносильной системе.
Пример 1.6. Показать, что при помощи элементарных преобразо-
х-Ь# = 2,
х — у = 0.
► Проведем последовательно следующие элементарные преоб-
разования.
1. Умножим первое уравнение исходной системы на 3, а второе —
9х —12# = —3,
14x4-35# = 49.
Зх-4# = -1,
_ получить систему
2x4-5# = 7
на 7, получим равносильную систему
2. К первому уравнению прибавим второе:
23х + 23# = 46,
14x4-35# = 49.
3. Первое уравнение умножим на 1/23, а второе — на 2/7:
х + у = 2,
4х + 10# = 14.
4. Ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на -7:
х + у — 2,
- Зх + 3# = 0.
5. Второе уравнение умножим на -1 /3:
х+у — 2,
х-у — 0.
10
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
3°. Расширенная матрица системы. Ступенчатая матрица. Метод
Гаусса. Коэффициенты aik системы (1.1) удобно объединить в пря-
моугольную таблицу, называемую матрицей системы. Для матрицы
принято обозначение:
«и «12 ••• ain
а21 а22 а2п
,ат1 ат2 атп,
Матрица А содержит т горизонтальных рядов, называемых стро-
ками, и п вертикальных рядов, называемых столбцами, числа aik,
г=1, 2,..., т; k— 1,2,..., п называются ее элементами. Таким образом,
первый индекс i элемента aik — это номер строки (номер уравнения
системы (1.1)), а второй индекс k — номер столбца (или номер неиз-
вестного xk, коэффициентом при котором является aik в i-м уравне-
нии системы (1.1)).
При т = п матрица А называется квадратной матрицей г?-го
(или ги-го) порядка и обозначается Ап (индекс — это порядок ма-
трицы). У квадратной матрицы число строк и столбцов одинаково.
Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы ай = 1,
i = 1,2,..., п, а все остальные элементы равны нулю.
(3 О
-Л
Например, матрица А3 = 0 1
-2 — квадратная матрица 3-го
1 2
порядка, а матрица Е2— — единичная матрица 2-го порядка.
Если к матрице А добавить (п 4- 1)-й столбец из свободных членов,
то получим так называемую расширенную матрицу Л* системы, со-
держащую всю информацию о системе:
йц «12 ••• а1п
а21 а22 — а21
^2
аот1 ат2 ... атп Ьт
11
Раздел 1. Линейная алгебра
Для системы из примера 1.1 матрицей системы является
3 -4
А =
L а расширенной матрицей этой системы является мат-
рица Л* =
3 -4 -1
2 5 7 ’
На практике элементарным преобразованиям подвергают не саму
систему, а ее расширенную матрицу. Преобразованиям двух типов
над системой (1.1) соответствуют два типа элементарных преобра-
зований над строками матрицы А*:
1-й тип — перестановка местами двух любых ее строк;
2-й тип — сложение соответствующих элементов двух любых
строк, все элементы одной из которых предварительно умножены
на одно и то же число.
Целью элементарных преобразований является приведение расши-
ренной матрицы Л* системы (1.1) к так называемой ступенчатой форме.
Определение 1.6. Матрица называется ступенчатой, если для нее
выполняются следующие условия:
1) если какая-либо строка данной матрицы состоит из нулей, то
и все последующие строки также состоят из нулей;
2) если aik — первый ненулевой элемент i-й строки, а ам т — пер-
вый ненулевой элемент (г + 1)-й строки, то т > k.
О 0 1 2 3 4 5'
0 0 0 0 2 1 3
Так, например, матрица Л=0000042 является сту-
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0,
пенчатой.
Матрица из одной строки считается ступенчатой по определению.
Теорема 1.2. Любую матрицу Л конечным числом элементарных
преобразований первого и второго типов можно преобразовать в
ступенчатую матрицу.
Пример 1.7. Привести к ступенчатому виду матрицу
1 0 2
Л* =
-13 0
1 1 1
-5
4
/
12
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
► Выполним следующие элементарные преобразования над ма-
трицей А*:
1) к элементам второй строки прибавим элементы первой строки
и из элементов третьей строки вычтем элементы первой строки, в
результате Л* преобразуется к виду:
1 0 2
2) переставим вторую и третью строки: Л* О 1 -1
8'
-4 ;
3
0 3 2
3) из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку,
(1
умноженную на 3, получим: А* —> Л,= 0
0 2
1 -1
0 5
0
На приведении расширенной матрицы Л* системы (1.1) к ступенча-
той матрице А1 основан метод Гаусса, или метод последовательного
исключения неизвестных. Система линейных уравнений с расширен-
ной ступенчатой матрицей A J называется ступенчатой системой, по
теореме 1.1 она будет равносильна соответствующей системе в фор-
ме (1.1). Приведение системы (1.1) к ступенчатой форме называется пря-
мым ходом метода Гаусса. Решение полученной ступенчатой системы
называется обратным ходом метода Гаусса. Он может быть выполнен
как в форме последовательного определения неизвестных, начиная с
последнего уравнения ступенчатой системы, так и в форме преобразо-
вания матрицы A j к ступенчатой матрице В’ специального вида.
Пример 1.8. Решить методом Гаусса систему уравнений
х, 4- 2х3 s= 8,
-xt + 3х2 =-5,
х1 + х2 4-х3 =4.
' 1
► Л*= -1
1
— расширенная матрица системы.
0 2 8
3
0
1 1 4
13
Раздел 1. Линейная алгебра
Прямой ход метода Гаусса. В примере 1.7 матрица А* при помощи
элементарных Преобразований приведена к ступенчатой матрице
Теперь матрице А{ сопоставим систему, для которой она будет
расширенной матрицей:
Xj +2х3 =8,
' х2-х3=-4:,
5х3 = 15.
Обратный ход метода Гаусса.
1-й способ. Имеем: х3 = 3; х2 = -4 + х3 = -4 + 3 = -1 => х2 = -1;
х1=8-2х3=8-6 = 2.
2-й способ. Умножим последнюю строку матрицы A j на 1 /5, сло-
жим со второй строкой, после чего к первой строке прибавим послед-
нюю, умноженную на (-2), с целью получить нули в третьем столбце:
10 2 8' 10 2 00 '10 0 2
АН 0 1 -1 —4 —> 0 1 0 -1 —> 0 1 0 -1 II Ьз *
0 0 1 \ СО 0 0 1 \ со 0 0 1 \ 3
Напишем систему с расширенной матрицей В*:
х = 2,
y=-i,
z — 3.
Ответ: система совместная и определенная, она имеет единствен-
ное решение: хх — 2, х2 = -1, = 3. ◄
§ 2. Определители 2 и 3-го порядков
1°. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Понятие определителя 2-го порядка. Метод Гаусса не дает явных
формул, выражающих решение системы линейных уравнений через
элементы ее расширенной матрицы. Проблема отыскания таких фор-
мул приводит к понятию определителя. Рассмотрим систему двух
линейных уравнений с двумя неизвестными:
14
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
а1хЧ-й1г/ = с1,
(2-1)
гдех, у — неизвестные; av а2, bv b2, ср с2 — известные величины.
Если ахЬ2 — а2Ь^ 0 , то система (2.1) имеет единственное решение,
выражаемое формулами
*0 = (с^2 - С2Ь1 )/(«А - а2Ь1)’
Уд = («1^2 ~а2с1)/(а1Ь2 -в2^1).
(2.2)
Это утверждение называется теоремой Крамера (1704—1752)
для системы двух уравнений с двумя неизвестными, а равен-
ства (2.2) — формулами Крамера. Далее эта теорема будет сформу-
лирована в общем виде для системы из п линейных уравнений с п
неизвестными.
При аф2-а2Ьх~ 0 система (2.1) может быть совместной и неопре-
деленной (при условии схЬ2 -с2Ь1 = a tc2 -а2сх — 0 ) или несовместной
(при условии сф2 ~С2Ь1 ф 0 ИЛИ (2^2 -«2С1 Ф ® )•
Очевидце, что при решении системы (2.1) особую роль играют
разности сА""с2^р aic2~~a2c\ > построенные из элемен-
тов расширенной матрицы этой системы. Эти разности называются
определителями 2-го порядка.
Определение 2.1. Пусть дана квадратная матрица 2-го порядка
б?2
ьл ~ п
. Определителем 2-го порядка, соответствующим ма-
ь2}
трице Л (или определителем Л), называется число aib2-a2b1, кото-
рое принято обозначать одним из символов:
а1
а2
det Л, |Л|, А.
^2
Таким образом, по определению
Й1 Z. и
= 0^-0^.
а2 ^2
(2-3)
Числа Oj, а2, Ьр Ь2 называются элементами определителя;^, Ь2
образуют главную диагональ определителя, а Ьх, а2 —побочную диа-
гональ, следовательно, определитель 2-го порядка равен разности
произведений его элементов, находящихся на главной и побочной
диагоналях.
15
Раздел 1. Линейная алгебра
Так, определитель
3 4 = 3(-1)-4-2 = -11. ◄
2—1 v
В силу определения 2.1 формулы Крамера (2.2) можно записать
в виде:
*0=Дх/Д-
(2.2 а)
А — определитель матрицы системы (2.1); Ах, А^ — определители
матриц, полученных путем замены первого и второго столбцов ма-
трицы А соответственно на столбец свободных членов.
Пример 2.2. Решить по формулам Крамера (2.2 а) систему
’Зх + 4г/ = 7,
2х-# = 1.
► Вычислим все нужные определители:
Теперь находим решение системы по формулам (2.2 а): х = 1,
г/= !.◄
2°. Свойства определителей 2-го порядка.
Свойство 1. Определитель с двумя одинаковыми строками равен
нулю.
Свойство 2. Определитель, в котором все элементы одной из строк
являются суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей,
у которых в рассматриваемой строке находятся соответствующие
слагаемые. Например,
Ъ[ + Ь[
а2 ^2
4 Ц + а?
а2 ^2 #2
V
Z>2
Свойство 3. Общий множитель элементов какой-либо стро-
ки определителя можно выносить за знак определителя.
Например,
^2
а2
#2
bi
^2
16
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
Свойство 4. При замене строк столбцами величина определителя
не изменяется:
а2
bl Ьг
«1 bi
а2
Замечание 2.1. Операция замены строк столбцами называется
транспонированием. Благодаря свойству 4 все свойства опреде-
лителя, справедливые для его строк, будут справедливы и для его
столбцов.
Свойство 5. Определитель единичной матрицы 2-го порядка равен 1.
Свойство 6. При перестановке двух строк (столбцов) определи-
тель меняет знак, оставаясь неизменным по абсолютной величине.
Например,
а2 ^2 __ а1
ai а2 Ь2
Свойство 7. Определитель не изменяется при элементарных пре-
образованиях второго типа над его строками (столбцами). Например,
а^-^~'Ка2 by\-\b2
а2 Ь2
Cl bi
а2 ^2
Замечание 2.2. Все перечисленные свойства определителей 2-го
порядка доказываются с помощью определения 2.1. Однако не все
они являются независимыми. Например, свойства 6—7 следуют из
свойств 1—5. Первые пять свойств далее будем называть основными.
3°. Определитель 3-го порядка и его свойства. К понятию опре-
делителя 3-го порядка приводит процесс отыскания формул, вы-
ражающих решение системы из трех линейных уравнений с тремя
неизвестными через ее коэффициенты и свобддные члены.
Определение 2.2. Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка
А =
аа
а21
<*31
а\2 а13
а22 а23
а32 й33>
(2.4)
Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А (или
определителем Л), называется число
^11^22^33+^12^23^31 + а13а21а32 “*^11^23^32 ~a\2a2\a33~a\3a22a3V
17
2-1459
Раздел 1. Линейная алгебра
которое обозначается одним из следующих символов:
а\1 а\2 й13
а21 а22 «23 > detX,| А|, Д3, Д.
Й31 а32 йзз
Таким образом, по определению
Й11 а12 й13
Й21 «22 й23
Й31 й32 й33
— «11«22йЗЗ + ^12^23^31 +
(2-5)
+ «13«21а32 “^11^23^32 ~а12а21а33 ~а13а22а31-
Элементы матрицы А из формулы (2.4) называются также эле-
ментами detyl. Элементы atl, а22, а33 образуют главную диагональ
этого определителя, а элементы а13, а22, «31 — его побочную диа-
гональ.
Правило Саррюса. Определитель 3-го порядка равен сумме про-
изведений его элементов, находя-
щихся на главной диагонали и в
вершинах равнобедренных треу-
гольников с основаниями, парал-
лельными главной диагонали, ми-
нус сумма произведений элементов,
находящихся на побочной диагона-
ли и в вершинах равнобедренных
треугольников с основаниями, па-
раллельными побочной диагонали (рис. 2.1, а, б).
Вычислим по правилу Саррюса определитель:
1 2 3
-1 0 2 = 1-0 (-1) + 4-2-2 + 3 (-1)-5-3-0-4 +
4 5-1
+ (-1)(-1)-2-1 -2-5 = 0 +16-15-0-2-10 = -11.
Сгруппировав слагаемые в правой части (2.5), это равенство с
учетом (2.3) можно переписать в виде
18
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
а11
«21
«31
«23
«33
«12
«22
«32
«13
«23
«33
= det А =
«22
«32
«21 «23 + «13 «21 «22
“ «12 «31 «33 «31 «32
(2.6)
Для исследования свойств определителя 3-го порядка введем
новые понятия минора и алгебраического дополнения элемента ма-
трицы Я.
Определение 2.3. Минором Mik элемента aik квадратной матрицы
3-го порядка из (2.4) называется определитель матрицы 2-го поряд-
ка, полученной из матрицы (2.4) путем вычеркивания ее г-й строки
и k-ro столбца, на пересечении которых находится aik.
Например, Л/п =
«22
«32
«23 _ «21 «23 _ «21 «22
„ ’ M12 — „ „ ’ М13 — „
«33 «31 «33 «31 «32
Используя три последних равенства, формулу (2.6) можно пере-
писать в виде
«и а12 а13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
— «цЛ£ц -«12^21 +«13Л/31.
(2.7)
Определение 2.4. Алгебраическим дополнением элемента aik ма-
трицы А называется число
Aik = (-l)i+kMik. (2.8)
Так, А11 = (-l)1+1Aftl = MU; Д2 = (-1)2+Ч2 = ~Л/12; Аз =
= (-1)1+3М13=М13.
' 1
Пример 2.4. Дана матрица Л = -1
2
2
О
3
31
Найти А32 и М23.
► По определению 2.3 имеем: М23 =
= 3-4 = -!, а в силу
формулы (2.8) и определения 2.3 Л32 =(-1)3+2М32 = -
= -(4+3) = -7. «
19
2*-1459
Раздел 1. Линейная алгебра
Заменяя в (2.7) миноры на алгебраические дополнения, в соот-
ветствии с определением 2.4 получим:
Й11 й12 й13
Й21 й22 й23
Й31 й32 й33
— det — й1 1У11 J *4" й12'**^12 "Р й13^13 * (2*9)
Каждое из равенств (2.6), (2.7), (2.9) называется разложением
det А по элементам его первого столбца.
Теорема 2.1 (теорема о разложении определителя по элементам
какой-либо его строки или столбца). Определитель квадратной ма-
трицы А третьего порядка равен сумме произведений элементов
какой-либо его строки или столбца на их алгебраические допол-
нения.
Пример 2.5. Используя разложение определителя по строке или
столбцу, вычислить определитель
1 2 3
-10 4
2 3-1
► Выберем строку или столбец, где есть нули. Разложим данный
определитель, например, по второму столбцу:
2
0
3
1
-1
2
+0.(-1)2+2
3
4
-1
1
2
= 2-(-1)1+2
3
-1
-1
2
4
-1
+ 3. (-1)3+2
1
-1
3
4
= - 2(1-8) + 0-3(4 + 3) = 14-21 = -7.
Свойства определителей 3-го порядка
Свойство 1. Если определитель содержит две одинаковые строки
или два одинаковых столбца, то он равен нулю.
Свойство?. Определитель, в котором все элементы одной из строк
(одного из столбцов) являются суммой двух слагаемых, равен сумме
двух определителей, у которых в рассматриваемой строке находятся
соответствующие слагаемые. Например,
20
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
«1'1 + <41 «12 + «12 «13 + «13
Й21 а22 «23
«31 а32 «33
«1'1 «12
«21 а22
«31 «32
«13
«23
«33
«1'1
«21
«31
л" fl"
«12 «13
«22 «23
«32 «33
Свойство 3. Общий множитель элементов какой;либо строки
определителя можно выносить за знак определителя.
Свойство 4. При транспонировании квадратной матрицы 3-го по-
рядка величина ее определителя остается неизменной.
Свойство 5. Определитель единичной матрицы 3-го порядка равен 1.
Свойство 6. При перестановке местами двух любых строк или
двух любых столбцов определителя его величина меняет знак.
Свойство 7. Величина определителя не изменяется при элемен-
тарных преобразованиях второго типа над его строками (столбцами).
Свойство 8. Сумма произведений элементов какой-либо строки
(столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элемен-
тов другой строки (столбца) равна нулю.
Свойство 8 также называется теоремой аннулирования.
Применение свойств существенно упрощает вычисление опреде-
лителя.
Пример 2.6. Используя свойства определителя, вычислить
-5 3
-5 2
6 -1
. ► Выполним последовательно следующие преобразования.
1. Ко второй строке прибавим первую, а из третьей вычтем пер-
вую строку, умноженную на 4, величина определителя при этом не
1 -5 3
меняется: Д = 0 -10 5
0 26 -13
2. Из второй строки вынесем общий множитель -5, а из третьей —
множитель 13: Д = - 65 •
-5
2
2
3
-1
-1
= 0, ибо получился определи-
1
О
О
тель с равными строками. •<
21
Раздел 1. Линейная алгебра
§ 3. Определители высших порядков
1°. Понятие определителя и-го порядка и его основные свой-
ства. Обобщим теперь рассуждения предыдущего параграфа nat
случай произвольного натурального п. Определители 2 и 3-го по-
рядков были введены как числовые функции, ставящие в соответ-
ствие квадратным матрицам 2 и 3-го порядков некоторое число.
Эти функции обладают пятью основными свойствами (см. свой-
ства 1—5 из § 2, п. 2°, 3°), из которых следуют свойства 6,7 (см. пун-
кты 2°, 3° § 2).
Положим, рассуждая индуктивно, что введено понятие определи-
теля для квадратной матрицы А-го порядка, k < п -1 как функции,
ставящей в соответствие этой матрице некоторое вещественное чис-
ло и обладающей вышеназванными пятью основными свойствами
(а также свойствами 6,7, следующими из них). Рассмотрим квадрат-
ную матрицу я-го порядка
^11 *’* а1п
А==
(3.1)
&п1 апп.
Если из матрицы (3.1) удалить элементы i-й строки и j-го столб-
ца, i, j = 1,..., п, то получим квадратную матрицу (п -1) -го порядка,
существование определителя у которой предположено выше. По
аналогии с определением 2.3 назовем этот определитель минором
элемента ai} матрицы Л, находящегося на пересечении i-й строки и
j-го столбца. Минор элемента ау будем обозначать Му.
Определение 3.1. Определителем п-го порядка, соответствующим
п
матрице Л из (3.1), называется число, равное У^(-1)*+1 aikMxk иобо-
£=1
значаемое одним из символов: det Л, Д, Дп,
**’ а1п
ап1 ’ ’ ’ апп
Таким образом, по определению
п
^A = ^-\)k+laikMik. (3.2)
i=l
22
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
Замечание3.1. При я = 3 формула (3.2) совпадаете равенством
(2.7) для определителя 3-го порядка, а при я = 2 из формулы (3.2)
после некоторых преобразований можно получить равенство (2.3)
для определителя 2-го порядка. Таким образом, формула (3.2) (и, сле-
довательно, определение 3.1) обобщает на случай произвольного на-
турального п закономерности, вытекающие из способа построения
определителей 2 и 3-го порядков.
Свойства определителя я-го порядка аналогичны свойствам опре-
делителей 2 и 3-го порядков из § 2, п. 2°, 3°.
Свойство 7. Если матрица А из (3.1) содержит две одинаковые
строки, то det Л = 0 .
Свойство 2. Если элементы какой-либо строки матрицы А явля-
ются суммами двух слагаемых, то det А = det А! + det Л", где
% а1п «и ’ а\п «и " а1п
А = ^snA^sn ,А' = «51 а$п , А" = <1 • < .(3.3)
< ап1 апп ; ап1 апп > апп,
Свойство 3. Общий множитель элементов какой-либо строки ма-
трицы А можно выносить за знак определителя.
Свойство 4. det А — det АТ, где А — матрица из формулы (3.1), а Ат —
матрица, полученная из матрицы А заменой строк на столбцы, т. е.
«и «21 ’ ап1
АТ = «12 «22 ' ап2 (3.4)
.«In «2п апп >
Замечание 3.2. Замена строк столбцами называется операцией
транспонирования матрицы, а сама матрица Лг называется транс-
понированной по отношению к матрице Л.
Свойство 5. Определитель единичной матрицы n-го порядка ра-
вен 1.
Свойство 6, При перестановке двух любых строк в матрице А
из формулы (3.1) для полученной матрицы Л' справедливо ра-
венство
det Л'= —det А (3.5)
23
Раздел 1. Линейная алгебра
Свойство 7. Величина определителя матрицы А не меняется при
элементарных преобразованиях второго типа над строками матрицы А.
Для определителя n-го порядка справедливы также теоремы, ана-
логичные теореме 2.1 и свойству 8 для определителя 3-го порядка
(§2,п. 3).
Теорема 3.1 (теорема о разложении определителя п-го порядка
по элементам какого-либо столбца или строки). Определитель ма-
трицы А из формулы (3.1) равен сумме произведений элементов
его любого столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Теорема 3.2 (теорема аннулирования). Сумма произведений эле-
ментов какого-либо столбца (или строки) матрицы А из формулы
(3.1) на алгебраические дополнения к элементам другого столбца
(или строки) равна нулю.
2°. Примеры вычисления определителей n-го порядка.
Пример 3.1. Вычислить определитель 4-го порядка
1-12 3
12-30
А =
-2 4 0 6
3 0 0 3
► Вынесем последовательно из третьей строки общий множи-
тель 2 и из последнего столбца — общий множитель 3, по свойству
3 имеем:
-1 2 1
2-3 0
2 0 1 ‘
О 0 1
Пользуясь теоремой 3.1, разложим полученный определитель по
элементам последней строки:
1
+ 0-(-1)4+3 1
-1 2
24
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
-1
= -18 2
2
-3
О
2
-3
О
2
Вычислив определители 3-го порядка по правилу Саррюса, по-
лучим:
Д = -18(3 + 6-4) + 6(-3 + 4 + 4 + 6)=-24. ◄
Пример 3.2. Доказать, что определитель n-го порядка
«и «12 «13 ’
0 «22 «23 а2п
дя = 0 0 «33 ” а3п
0 0 0 • &пп
п
= йцв22 ’ •" ’апп = Пай'
1=1
► Доказательство проведем методом математической индукции.
1. Проверим наличие базы для индукции. При п = 2 имеем:
Д2 _
«11
О
«12
«22
— «ц«22 “«12 ’0 —ОцЙ22-
2. Выдвигаем индукционную гипотезу: пусть справедливо ра-
венство х
«И «12 «1,и-1
0 «22 " ’ «2,п-1
^п-1 ~ — «11«22 - ‘«п-1,п-1
О 0 вя-1>я_1
3. Докажем законность индукционного перехода. Разложим опре-
делитель Дя по элементам последней строки. Имеем
«11
О
О
«12 «13 " «1п
«22 «23 " «2п
О а33 ••• а3п
= аяп(-1)"+пДя_1 =аяяДя_1.
ООО- апп
25
Раздел 1. Линейная алгебра
Используя индукционное предположение, окончательно полу-
чим:
п
= апп^п-1 =: ^11^22 * ••• 'ап-1, п-\апп = ◄
2=1
В примере 3.2 показано, что определитель от треугольной матри-
цы, или треугольный определитель, равен произведению элементов,
находящихся на главной диагонали. Вычисляя определитель высше-
го порядка, удобно с помощью свойств определителя привести его к
определителю от треугольной матрицы.
Пример 3.3. Вычислить определитель из примера 3.1, приведя его
к определителю от треугольной матрицы.
► Вычтем из второй строки определителя первую строку, к тре-
тьей строке прибавим первую строку, умноженную на 2, а из послед-
ней строки вычтем первую, умноженную на 3. Величина определи-
теля при этом не изменится.
1 -1 2 3 1 -1 2 3
А 1 2 -3 0 0 3 -5 -3
ZA — -2 4 0 6 0 2 4 12
3 0 0 3 0 3 -6 -6
Из третьей строки вынесем общий множитель 2, а из четвертой —
множитель 3, после чего переставим местами вторую и третью стро-
ки, при этом величина определителя изменит знак:
> II 1 о 1-12 3 0 12 6 0 3-5-3 0 1-2-2
Из последней строки вычтем вторую, а из третьей строки вычтем
вторую строку, умноженную на 3, после этого вынесем из последней
строки общий множитель -4 и переставим две последние строки,
получим:
Д = -24 1-12 3 0 12 6 0 0 12 0 0 -И -21
26
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений
Чтобы получить определитель от треугольной матрицы, осталось
к последней строке прибавить третью, умноженную на 11:
При вычислении определителей п-го порядка часто пользуют-
ся рекуррентными соотношениями, выражающими определитель
и-го порядка через определитель меньшего порядка, имеющий ту же
структуру. Поясним этот способ на примере вычисления определи-
теля Вандермонда.
Пример 3.4. Вычислить определитель Вандермонда n-го порядка.
1 1 1 • •• 1
xt Х1 х3 • •• хп
Д„(х1гх2,.. ->Хп) = J2, ^2 2 Х3 •• X2 при .. ,хп е R.
^п-1 л । л>2 гп-\ хз ^.п-1 Лп
► Из каждой строки, начиная со второй, вычтем предыдущую,
умноженную нахр величина определителя при этом не изменится:
1 1 0 x2-xi 1 1
Дя(х1,х2,...,х„) = 0 x2(x2-xt) X3(X3-Xj) • ~ *^1)
О х2 2(x2-xi) х3 2(х3-х1) ••• х* 2(хп-х1)
Разложим полученный определитель по элементам первого столб-
ца и после этого вынесем из каждого столбца полученного опреде-
лителя общий множитель (хг- - х1), где i = 2,3,..., и,
1 1-1
(*1 ...хп ) = <Х2 “ х\ )(*з “ Х1) ‘ - • (хп ~ Х1)
27
Раздел 1. Линейная алгебра
Заметим, что определитель в правой части последнего равенства
является определителем Вандермонда (п — 1)~го порядка. Таким об-
разом, получаем рекуррентное соотношение:
Дя(х1(х2,... ,*я) = П(х> ~Xi)-Дя-1(хг>*з>... ,хя).
i=2
Используя это соотношение, имеем
п п п
Дя(*1>*2> - ,хп) = ‘П~Х2)• ••• • П (Xi ~Хп-2)М*Я-1’ХЯ)
i—2 :=3 i=n-l
Учитывая,что Д2(хя_1,хя) =
1
•*п-1
1
хп
= хп — х„_1г приходим к ра-
венству:
Сх1>х2’ ' хп) П (xi xj)•
2<i<n
Таким образом, заключаем, что определитель Вандермонда ра-
вен произведению всевозможных разностей (х,-Ху), где i> j.
Определитель Вандермонда обращается в нуль тогда и только тогда,
когда среди чисел хр х2,..., хя есть равные. ◄
Глава 2. Матрицы и действия с ними
§ 1. Линейные операции с матрицами и их свойства
В гл. 1 было введено понятие числовой матрицы А как прямо-
угольной таблицы чисел (см. гл. 1, § 1, п. 3°)- Матрица
Я12 ••• а1п
«21 «22 " а2п
,ат1 ат2 " атп1
(1-1)
содержит т строк и п столбцов. Говорят, что она имеет размер тхп,
для нее принято также обозначение Атхп. Элементы матрицы А обо-
значают малыми латинскими буквами с двумя индексами, первый
из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а вто-
рой — номер столбца; так, например, элемент стоит в i-й строке и
в j-м столбце матрицы А.
Определение 1.1. Две матрицы АиВ называются равными, если
они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы
равны, т. е.
Алхп
m = k,
п = 1,
aij — 2, ...
m,j = 1, 2,...
п.
При т = п матрица (1.1) называется квадратной. Квадратная ма-
трица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю,
кроме находящихся на главной диагонали (т. е. кроме элементов
ай,г = 1, 2 п ). Единичные матрицы — частный случай диагональ-
ных матриц, в них все элементы, находящиеся на главной диагонали,
равны 1. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется
нулевой матрицей или нуль-матрицей.
С =
(1 2
Пример 1.1. Даны матрицы Л= ,
/-Ч I3 4J
1 V7
-5 О
к 2
1 -5 я
/7 0 2 ’
В =
(1 О О'
,D=0 2 О
0 0 3
29
Раздел 1. Линейная алгебра
а) Указать размер каждой матрицы;
б) какие матрицы являются квадратными, диагональными?
Ответ:
а) размеры матриц: Л — 2x2, В — 2x3, С — 3x2, D — 3x3;
б) квадратными являются матрицы А и D, а диагональной — толь-
ко матрица D.
Определение 1.2. Суммой двух матриц Л и В одинакового размера
т х п называется матрица С того же размера, элементы которой суть
суммы соответствующих элементов матриц-слагаемых, т. е.
4- bih i = 1, 2,..., т, j = 1, 2,..., п.
Принято обозначение С = А + В.
[«и -
Таким образом, если А = •
.«ml
а1п ^11
• ,В= •
«тп \^ml
С=А+В=
«И + ^11
aml 4"^ml
«1п+^1л
атп 4* ^тп,
Пример 1.2. Найти сумму матриц А =
'1 2 3 4'
= 4 3 2 1/
-21
О J
-1 2 3 -21 [1 2 3 4'
3-3 2 О J + [4 3 2 1
-1 + 1 2 + 2 3 + 3 -2+41(0 4 6 2'
.3 + 4 -3+3 2 + 2 0 + 1 J |7 0 4 1/
Определение 1.3. Произведением матрицы Л размера т х п на ве-
щественное число X называется матрица того же размера, обозна-
чаемая АЛ, элементы которой есть произведения соответствующих
элементов матрицы Л на число А.
3
2
и
Таким образом, АЛ — А
«и
,ат1
а1п
атп ,
А$ц •••
famt ^атп,
30
Глава 2. Матрицы и действия с ними
Пример 1.3. Дана матрица А из примера 1.2. Найти ЗА.
-1 2 3 -2'
.3 -3 2 О
-3 6 9 -6
9-960
Определение 1.4. Операции сложения матриц и умножения ма-
трицы на вещественное число называются линейными операциями
с матрицами.
Свойства линейных операций с матрицами.
1. А+В=В+А — коммутативность (переместительный закон)
сложения.
2. (А + В)+С — А+(В+С) — ассоциативность (сочетательный
закон) сложения.
3. Для любой матрицы А существует единственная матрица, рав-
ная нуль-матрице О, такая что А+О — А .
4. Для любой матрицы А существует единственная матрица (-А),
называемая противоположной, такая что А + (-А) = О, где О — нуль-
матрица.
5. 1-А = А.
6. X(pA) = (Wl-
7. (X 4~ р.) А = АА+рА.
8. А(А + 5) = АА + АВ.
Замечание 1.1. Во всех перечисленных выше свойствах А, р —
произвольные вещественные числа, а А, В, С, О — такие матрицы, для
которых осуществимы указанные в этих свойствах операции. При
этом все перечисленные выше равенства понимаются в том смысле,
что если определена правая часть равенства, то определена и левая, и
наоборот, при этом матрицы в левой и правой частях равенств равны
между собой.
Замечание 1.2. Матрица (-А) из свойства 4 равна (-1)-А.
Пример 1.4. Для матрицы А из примера 1.2 найти противополож-
ную, а также проверить, что 2А+ЗА = 5А.
(—1 2 3 -2) ( 1 -2 -3 21
-А = (-1)А = (-1)^3 _3 2 0 ] = |_3 з _2 о]’
2А + ЗА = 2 -1 2 .3 -з 3 -21 -1 3 2 -3 3 ; 2 -2 0, = -2 4 6 -4' 6 -6 4 0. +
2 оГ
-3 6 9 "6]_ -5 10 15 - -10’ — с -1 2 3 ~2) 'Л 4 „ л =5А. * 2 0)
о 1 со 6 oj~ Д5 -15 10 0 t — э 3 -3
31
Раздел 1. Линейная алгебра
§ 2. Операция умножения матриц и ее свойства
Для прямоугольных матриц А и В произведение определено, если
длины строк первого сомножителя А равны длинам столбцов второ-
го сомножителя В, т. е. если число столбцов матрицы А равно числу
строк матрицы В. 1
Определение 2.1. Произведением матрицы А размера т х k на ма-
трицу В размера kxn называется матрица С размера т х п, элемент
которой, стоящий в i-й строке и в j-м столбце, равен сумме про-
изведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A nj-ro
столбца матрицы В:
k
cij ~ailblj +ai2^2j+---+aik^kj=^2ai^li}-
ц=1
Принято обозначение C=AB.
Рассмотрим частный случай произведения матриц. Пусть
даны матрица-строка А1хп=[а1 а2 ... ап) и матрица-столбец
А)
В»* ~
Ь2
Матрица С=АВ имеет размер 1x1, причем ее элемент
п
си = aibi +a2b2 + ...+ a„b„ = Yjlibi, или
2=1
Пример 2.1. Найти произведение матрицы-строки Я = (>/2 0 -3)
на матрицу-столбец В —
п
1
Л
► АВ = (у/2 0 -3)- п
1
= (>/2-л/2+0 л + (-3)1) = (-1). ◄
32
Глава 2. Матрицы и действия с ними
Правило для вычисления про-
изведения матриц схематично про-
иллюстрировано на рис. 2.1.
Замечание 2.1. При умножении
матриц обычно говорят, что эле-
мент Су матрицы С—АВ, стоящий в
z-й строке и в j-м столбце, является
«произведением i-й строки матри-
цы А и j-ro столбца матрицы В».
Пример 2.2. Даны матрицы
4 к
f
К определению произведения
матриц
А, В из примера 2.1, а также матрицы С —
4 0 -1'
3 2 О
1
5
4 2'
з 4
2
3
D =
и
. Установить, для каких матриц определена операция
умножения, и найти эти произведения.
► Имеем: 41х3, В3х1,С2х2,Р2х2>-^2хЗ- Сравнивая размеры данных
матриц, убеждаемся, что определены следующие произведения: АВ,
BA, CD, DC, CF, DF, FB. Произведение AB было найдено в примере 2.1.
ВА = 'V2' Л (72 0 -3) = ТГ72 72-0 яТ2 л-0 Т2-(-3)' л-(-З) ' 2 лЛ 0 -372' ! 0 -Зя
1 \ / 1- 72 1-0 1-(-3) 72 0 -3
CD = 4 2 4 2 1-1 + 2-5 12 + 2-3' 41 8'
з 4 5 3 34 + 4-5 3-2+4-3 23 18,
г>с — А 2 4 2 1-1 + 2-3 12+2-4' г7 10"
— 5 3 3 4 / 51 + 3-3 5-2+3-4 44 к 22> г
fl
О -f| fl-l + 2-З 10 + 2-2 1-(-1) + 2-0
2Y1
Дз
3
2 0) [3 1+4-3 3 0 + 4-2 3-(-1) + 4-0)
7 4 -1)
15 8 -3
\
Произведения DFn FB найдите самостоятельно. «
Замечание 2.2. Как видно из примера 2.2, при перестановке ма-
триц результат умножения может получиться различным (сравните
АВ и BA, CD и DC). Кроме того, легко заметить, что. хотя определено
33
3'1459
Раздел 1. Линейная алгебра
произведение CF, произведение FC не определено. В общем случае
свойство коммутативности при умножении матриц не имеет места.
I Определение 2.2. Матрицы А и В, для которых АВ=ВА, называ-
• ются коммутирующими.
Чтобы матрицы были коммутирующими, необходимо, чтобы они
были квадратными матрицами одинакового порядка, однако, как по-
казывают приведенные выше примеры, это условие не является до-
статочным, так как матрицы С и D из примера 2.2 не коммутируют.
Пример 2.3. Показать, что матрицы А =
0 4'
6 б
/
ком-
1 2
3 *
и В =
мутируют.
АВ =
'1 2'
3 4
X /
О 4) р-0+2-6
6 6) (3-0+4-6
1-4 + 2-6'|_[12
3-4+4-6/ (24
16'
36/
ВА =
О 4У1 2'
6 б|з 4
'0-1+4-3 0-2+4-4) (12 161
6-1+6-3 6-2+6-4J-[24 36/
т. е. АВ = ВА,значит,матрицыАиВкоммутируют. ◄
Свойства действия умножения матриц.
1. (АВ)С=А(ВС) (ассоциативность умножения).
2. (АЛ)В = Л(ХВ) = Х(ЛВ).
3. (At+A2)B = AtB +А2В.
4. AfBi+B^ = АВ] +ЛВ2.
5. Если матрица Л имеет размер т хп, то равенство Е„А =АЕп=А
справедливо, только если Ет, Еп — единичные матрицы т-го и д-го
порядка.
Все перечисленные свойства трактуются таким образом, что если
одна из частей равенства имеет смысл, то имеет смысл и другая, и
они равны.
Теорема 2.1. Если А и В — квадратные матрицы n-го порядка, то
det АВ = det Л • det В.
(2-1)
Упражнение. Доказать самостоятельно для случая матриц 2-го
порядка.
§ 3. Операция транспонирования матриц и ее свойства
Определение 3.1. Если в матрице Л размера т х п заменить строки
на столбцы, то получится матрица размера п х т, называемая транс-
понированной по отношению к матрице Л.
34
Глава 2. Матрицы и действия с ними
Транспонированная матрица обозначается Аг; таким образом,
если
аи
а21
а12
а22
а11
aln
— a2n тпАТ_а\2
, TO /1 —
а21 ”• ami
а22 " am2
ат1
ат2
Так, если А =
-5
о
a2n ‘ * * amn,
Jl
0 . ◄
тс 2
aln
[ 1 .
, то AT — -5
amn,
л
2,
А =
1
Диагональная матрица совпадает со своей транспонированной.
Для двух матриц А и Ат всегда определена операция умножения.
Свойства операции транспонирования.
1.
2.
3.
4.
(АГ)Т=А.
(А+ВУ=АГ+ВТ.
(М)Г=МГ.
(AB)T—BTAT.
§ 4. Обратная матрица
1°. Понятие обратной матрицы. Существование и единственность
обратной матрицы. Присоединенная матрица.
Определение 4.1. Пусть А — квадратная матрица порядка п.
Матрица В называется правой обратной для матрицы Л, если
АВ—Еп, где Еп — единичная матрица порядка п. Матрица С назы-
вается левой обратной для матрицы Л, если СА=Еп. Матрица, яв-
ляющаяся одновременно правой и левой обратной по отношению
к матрице А, называется обратной к матрице А.
Для матрицы, обратной к матрице Л, принято обозначение Л"1.
Замечание 4.1. В силу определения 2.1 матрицы В и С из опреде-
ления 4.1 также должны быть квадратными матрицами порядка п.
Определение 4.2. Квадратная матрица А называется невырож-
денной (неособенной), если det Л 0. В противном случае матрица
Л называется вырожденной (особенной).
Теорема 4.1. Если квадратная матрица Л имеет правую или левую
обратную матрицу, то она невырожденная.
Следствие из теоремы 4.1. Если матрица Л вырожденная, то она
не имеет обратной.
35
3*-1459
Раздел 1. Линейная алгебра
Теорема 4.2 (о существовании и единственности обратной ма-
трицы). Всякая невырожденная квадратная матрицах n-го порядка
имеет единственную обратную матрицу А"1, для которой справед-
ливо равенство:
Ац Х21 ••• Ani
Л-1 1 Аг Аг ••• Ап2 '
det Л • •
.Ап ^2.11 Ап.
где Ау — алгебраические дополнения элементов определителя
матрицы А.
Аг
Определение 4.3. Матрица
А1
Аг
Ai
из правой части
.An Ап Ап,
соотношения (4.1) называется присоединенной по отношению к ма-
трице Л и обозначается Лу.
Формулу (4.1) можно переписать в виде Л 1 =-----Лу.
det Л
1 0 21
Пример 4.1. Найти матрицу, обратную к матрице Л = -1 3 О
(1 1 1.
► det Л =—5 0 =^-матрица Л неособенная и имеет обратную.
Вычислим алгебраические дополнения ее элементов.
ЛцЧ-1)1' м 3 1 0 1 = 3, Л21=(-1)2+1 0 1 2 1 = 2;
А1=(-03+ 1 0 3 2 0 = -6; Л12 =(-1)1+2 -1 1 1 1 , 1
Аг=(-1)2+2 1 1 2 1 = = -1, Л32=(-1)3+2 1 -1 г ( > )
36
Глава 2. Матрицы и действия с ними
Аз = (-1)3+3
1 о
-1 3
= 3.
Обратной матрицей является матрица
А-1
1
det Л
А1
Аг
Дз
Ai
Аг
Аз
Ai
Аг
Аз,
' 3
1
-4
2 -6'
-1 -2
-1 3
/
1
5
Сделаем проверку. Покажем, например, что А 1А — Е.
► л-1л = -|
О
'3
1
-4
2 -6tf 1 0 2
-1 -2-13 0
-13 111
/ /
0 + 6-6 6 + 0-6
0-3-2 2 + 0-2
0-3+3 -8+0+3
Свойства обратной матрицы
1. detX-1 = (detX)~1.
2. (АВу=В-^А-\
3. (А~^=А.
4. (Л7)-1 = (Л-1)7’.
2°. Обращение матрицы методом элементарных преобразований.
Для матрицы большого размера вычисление обратной матрицы по
формуле (4.1) связано с трудоемкими вычислениями. В этом случае
используется метод элементарных преобразований. Вместо данной
квадратной матрицы А порядка п рассматривается прямоугольная
матрица размера п х 2п, первые п столбцов которой являются столб-
цами матрицы Л, а вторые п столбцов — столбцами единичной матри-
цы Е того же размера (обычно она отделяется от исходной матрицы
чертой). После этого при помощи элементарных преобразований над
строками эта матрица приводится к виду (£ |В). Тогда Л"1 = В.
Пример 4.2. Методом элементарных преобразований найти ма-
трицу, обратную к матрице А из примера 4.1.
► Припишем к матрице А справа единичную матрицу 3-го по-
рядка, получим матрицу С и проведем последовательно такие эле-
ментарные преобразования:
37
Раздел 1. Линейная алгебра
1) из третьей строки матрицы С вычтем первую, а ко второй стро-
ке прибавим первую и после этого поменяем местами вторую и тре-
тью строки:
'10 2 1 0 О' '1 0 2 1 0 0
с= -13 0 0 1 0 —> 0 3 2 1 1 0
1 1 1 к 0 0 1 0 1 -1 -1 0 1
1 0 2 1 0 О'
> 0 1 -1 -1 0 1
0 3 2 1 1 о.
2) из последней строки вычтем вторую, умноженную на 3:
'1 О
О 1
О О
2 1 О О'
-1-10 1
5 4 1-3
/
3) последнюю строку разделим на 5:
10 2 1 0 0 '
0 1 -1 -1 0 1
0 0 1 к 4/5 1/5 -3/5
4) ко второй строке прибавим третью, а из первой строки вычтем
третью строку, умноженную на 2:
С-+
'10 0
0 1 0
0 0 1
-3/5
-1/5
4/5
-2/5 6/5'
1/5 2/5 ,
1/5 -3/5
Матрица, стоящая справа от черты, и будет являться обратной к
матрице Л:
(-3/5 -2/5
Л-1 = -1/5 1/5
6/5'
2/5
4/5 1/5 -3/5
2 -6'
-1 -2
-1 3
Получен тот же результат, что и в примере 4.1. ◄
38
Глава 2. Матрицы и действия с ними
§ 5. Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы
Определение 5.1. Минором порядка k матрицы Атт п))
называется определитель k-ro порядка, составленный из элементов
этой матрицы, находящихся на пересечении любых ее k строк и k
столбцов. Обозначение: Mk.
(2013)
Пример 5.1. Дана матрица А — -1
1 -1 2 . Определить число
0
2 4 3
/
1 3
-1 2
М2 =
ее миноров 2-го порядка и найти какой-нибудь один из них.
► В соответствии с определением 5.1 матрица А может иметь
несколько миноров данного порядка. Число N миноров 2-го по-
рядка М2 данной матрицы равно где Nt — число способов,
которыми можно выбрать две строки из трех, a N2 — число спосо-
бов, которыми можно выбрать два столбца из четырех. Поскольку
=3, ЛГ2=6, то ЛГ= 18. Так, одним из миноров М2 будет определитель
= 5, составленный из элементов этой матрицы, находя-
щихся на пересечении ее первой и второй строк с третьим и четвер-
тым столбцами.-^
Определение 5.2. Базисным минором матрицы А размера т х п
называется любой ее минор порядка г (г <min(m,n)), если он от-
личен от нуля, а все миноры порядка (r+1) либо равны нулю, либо
не существуют. Порядок г базисного минора называется рангом
матрицы А, а ее строки и столбцы, входящие в базисный минор,
называются базисными.
Для ранга матрицы Л приняты обозначения: rang Л, rank Л, г(Л).
Ранг нулевой матрицы принимается равным нулю.
Пример 5.2. Найти ранг матрицы Л из примера 5.1.
► Ранг матрицы Л равен 3, так как у нее есть минор А/3 * О,
а миноров 4-го порядка она не имеет. 4
39
Раздел 1. Линейная алгебра
Пример 5.3. Найти rang А, если А = 3
4
зм2 = *
2 3
о
-1
=—1 * О => rang4 > 2.
О -1'
-1 О
-1 -1
/
Данная матрица имеет только один минор третьего порядка
1
О -1
-1 О
-1 -1
1 0 -1
0-13
0-13
= 0=>rang?l = 2. ◄
Теорема 5.1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых
строк.
(1-10 2 1)
Пример 5.4. Найти rang А, если А —
2-110
0 0 3 1
(0 0 0 0 0)
► Матрица Л — ступенчатая (см. определение 1.6, гл.1), у нее
три ненулевые строки, поэтому ее ранг в силу теоремы 5.1 ра-
вен 3. ◄
Можно доказать, что прц элементарных преобразованиях над
матрицей ранг не изменяется, т. е. ранг полученной матрицы равен
рангу исходной.
Это утверждение вместе с теоремой 5.1 положено в основу вы-
числения ранга матрицы методом элементарных преобразований,
при этом матрицу А преобразуют к ступенчатой форме ЛР Такая
операция всегда возможна согласно теореме 1.2 гл. 1. Ранг А} опре-
деляется по теореме 5.1, а ранг матрицы А получают из равенства
rang Л — rang Л р
Пример 5.5. Методом элементарных преобразований найти
2 -2 0 4 2
rang А, если А = 1 1 -1 3 1
0 2 -1 4 1
1 1 -1 6 2
► Выполним следующие элементарные преобразования:
40
Глава 2. Матрицы и действия с ними
1) переставим цервую и вторую строки, после чего из четвертой
строки вычтем первую, а из второй — первую, умноженную на 2, по-
лучим:
Т 1 -1 3 1'
t 0-42-20
Л-» ;
02-141
0 0 0 3 1,
2) переставим вторую и третью строки, затем из третьей строки
вычтем вторую, умноженную на 2, в полученной матрице переставим
третью и четвертую строки:
11-13 О'
0 2-141
0 0 0 3 Г
0 0 0 6 2
ч /
3) из четвертой строки вычтем третью, умноженную на 2,
11-13 О'
„ . 0 2-141
Л-» Л, =
1 0 0 0 3 1
0 0 0 0 0,
Поскольку Ах — ступенчатая матрица, имеющая три ненулевых
строки, то по теореме 5.1 rangXt=3. Но тогда и rang А — rang A t=3. ◄
41
Глава 3. Общая теория линейных систем
§ 1. Крамеровские системы линейных уравнений
1°. Матричная форма записи системы линейных уравнений.
Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными
х2,..., хп :
+ #12^2 + ♦ • • + ЯхпхП — ’
й21х1 + а22х2 + • • • + а2пхп ~ ^2 ’
атХхХ + ат2х2 + • • • + атпхп = •
(1.1)
С введением понятия матриц и операций над ними (см. § 1—2
гл. 2) появляется возможность записать систему (1.1) в более ком-
пактном виде, а именно в виде так называемого матричного урав-
нения.
Сопоставим с системой (1.1) следующие матрицы:
Матрица Л — это матрица коэффициентов системы (см. § 1 гл. 1),
матрицах называется столбцом неизвестных, а матрица В — столб-
цом свободных членов. Вычислим произведение матриц А и X:
,ат1
атп)\хП;
ЯцХ* а^пхп
,ат1х1 + • • • + атпхп >
(1.2)
Элементами столбца из правой части (1.2) являются левые части
уравнений системы (1.1). Используя определение равенства двух ма-
триц (определение 1.1 гл. 2), перепишем эту систему в виде
аих1 +... + а^пхп
,атхх\ + • • • + атпхп >
42
Глава 3. Общая теория линейных систем
Заменяя в последнем соотношении его левую, часть в силу (1.2) на
ДХ а правую — на В, приходим к соотношению
АХ—В. (1.3)
Равенство (1.3) называется матричным уравнением, соответству-
ющим системе (1.1). Решением матричного уравнения (1.3) называ-
ется такой столбец X который при подстановке в это уравнение об-
ращает его в матричное тождество. Понятно, что решение матричного
уравнения (1.3) эквивалентно решению системы (1.1).
2°. Крамеровские системы. Теорема Крамера. Рассмотрим систе-
му из п уравнений с п неизвестными х2,...,
fljtXi + а,2х2 + ... + аХпхп = Ьх,
й21Х1 + а22х2 +... + а2пхп = Ь2,
ап1х1 "I" ап2х2 + • • • + аппхп ~ Ьп •
(1.4)
Система (1.4) называется квадратной. Матрица Л этой системы —
квадратная матрица га-го порядка,
“in
апп,
Определитель матрицы А называется главным определителем
системы и обозначается Д. Таким образом,
A = det/ =
*“ а\п
“п! ’ ’ ’ апп
Наряду с главным определителем системы Д рассмотрим так на-
зываемые вспомогательные определители г — 1, 2,..., п, которые
получаются из главного путем замены его г-го столбца на столбец
свободных членов:
а1п
i = 1,... , П.
ап1
ап,г-1
ап,г+1
апп
43
Раздел 1. Линейная алгебра
Теорема 1.1 (теорема Крамера.) Если главный определитель Д
системы (1.4) отличен от нуля, то эта система имеет единственное
решение, определяемое равенствами
Xi = &i/&, i = 1, 2,..., п. (1.5)
Равенства (1.5) называются формулами Крамера, а система (1.4)
при Д * 0 называется крамеровской системой.
Пример 1.1. Используя формулы Крамера, решить систему
х + 2г = 8,
• -х + Зу = -5,
х + г/ + г = 4.
► Для отыскания решения системы по формулам (1.5) вычислим
главный определитель системы Д и вспомогательные определители
Дт, Д^, Дг, получающиеся из Д путем замены его первого, второго
и третьего столбцов соответственно на столбец свободных членов:
Теперь находим решение системы по формулам (1.5):
х = Дт/Д = 2; у = = — 1; г = Д2/Д = 3. ◄
Замечание 1.1. При доказательстве теоремы Крамера излагается
метод обратной матрицы, позволяющий выразить решение краме-
ровской системы в матричной форме:
44
Гл^ва 3. Общая теория линейных систем
Х=А-'В,
(1-6)
где Л'1 — матрица, обратная к матрице системы А;В — столбец сво-
бодных членов.
Пример 1.2. Используя матричную форму записи, решить систему
уравнений из примера 1.1.
► Через А обозначим матрицу системы, через В — столбец сво-
1 0 21
бодных членов, а через X — столбец из неизвестных: А = -1 3 О
Рассматриваемой системе соответствует уравнение (1.3), где ма-
трицы АиВ имеют указанный смысл. Матрица А имеет обратную
(см. пример 4.1 гл. 2), Л 1 = -
'3
1
-4
\
2 -6)
-1 -2 . С помощью (1.6) найдем
-1 3J
решение системы:
' 3-8 + 2 (-5) + (-6)-4 '
1-8 + (-1)(-5) + (-2)-4
-4-8 + (-1)(-5) + 3-4
Таким образом, система имеет единственное решение: х— 2, у=-1,
z=3. ◄
Замечание 1.2. Систему уравнений с квадратной неособенной
матрицей (крамеровскую систему) можно решать тремя способами:
Методом Гаусса, по формулам Крамера (1.5), а также методом обрат-
ной матрицы по формуле (1.6) (см. примеры 1.8 гл. 1, примеры 1.1 и
1.2 настоящего параграфа).
45
Раздел 1. Линейная алгебра
§ 2. Решение произвольных систем линейных уравнений
Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных
уравнений, число неизвестных в которых совпадает с числом уравне-
ний. В настоящем параграфе исследуются системы, в которых число
линейных уравнений и число неизвестных произвольны. Такие систе-
мы будем называть произвольными системами линейных уравнений.
Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными
Жр Х<^ ••• > Xfl*
ЯцХ^ + #12х2 4“ • • • “I" &1пхп == »
й21х1 + а22Х2 + • • • + &2пхП — ^2>
amixi 4" ат2х2 4" • • • 4- атпхп — Ьт,
где т и п — произвольные натуральные числа. Через Л и Л* обозначим
матрицу коэффициентов системы и ее расширенную матрицу,
ain
• , Л* = •
атп
а1п I
атп J
(2.2)
Выполнив конечное число элементарных преобразований, матри-
цу Л* всегда можно привести к ступенчатой матрице At (см. теоре-
му 1.2 гл. 1):
L(i) “и 0 aW «12 aW «22 • • а(1) «1г .. а™ а2г ai,r+i aW «2,г+1 •• й(1) а1п й(1) «2и
Л*->Д* = 0 0 • а(1) игг д(1) • аг,г+1 •• й(1) ит . (2.3)
0 0 • •• 0 0 • •• 0 Ad) °г+1
0 0 • 0 0 • •• 0 0
, 0 0 • 0 0 • •• 0 0 ,
Можно считать, что ни один из элементов 0$,..., матрицы A J
не равен нулю, в противном случае этого можно добиться перестанов-
кой столбцов матрицы Л*, изменив при этом нумерацию неизвестных.
46
Глава 3. Общая теория линейных систем
Первые п столбцов матрицы А\ соответствуют матрице по-
дучающейся при указанных преобразованиях из матрицы А. При
г<т матрица At имеет г ненулевых строк, а в матрице А^ число
таких строк равно (r+1) или г в зависимости от величины ее элемента
При г^т число ненулевых строк в матрицах At и А{ одинаково
й равно г.
Случай 1. г < т, 0, число ненулевых строк в матрицах Ai и
At различно и равно г и (r+1) соответственно.
Матрица А % является расширенной матрицей следующей систе-
мы линейных уравнений:
«114 + «12>х2 + - + «£Ч + аКг+1Хг+1 + + а1пХп =
а22х2 +...+а£хг + а^+1хг+1 +... + а£>хп = Ь$\
a^xr + «S+ixr+i + - + атхп = 6г(1)>
O-Xj + 0-х2 + • • • + О-хп=Ь^1,
O-Xj + 0-х2 + • • • + 0-хп=0,
O-Xj + 0-х2 +
+ Ох„ =0.
Система (2.4) несовместна, поскольку ее (г+ 1)-е уравнение не
имеет решений. Так как в силу теоремы 1.1 гл. 1 системы (2.1) и (2.4)
равносильны, то несовместной оказывается и система (2.1).
Пример 2.1. Решить систему уравнений
2xt +3х2 -2х3 =1,
Xj - х2 + х3 = О,
3xj 4- 2х2 - х3 = 2.
► Рассмотрим расширенную матрицу этой системы:
-2 1'
1 О
-1 2
Первые три столбца этой матрицы образуют матрицу Л — матри-
цу системы. Подвергнем А* следующим элементарным преобразова-
Циям. Переставим первую и вторую строки, затем последовательно
47
Раздел 1. Линейная алгебра
умножим первую строку на (-2) и на (-3) и сложим со второй и тре-
тьей строками, после чего из третьей строки вычтем вторую:
'1 -1 1 О' fl -1 1 О'] 1 -1 1 О'
А*-4 2 3-2 1 —•> 0 5-4 1 —> 0 5 -4 1 = А1
00 ьо 1 2 ) 0 5-4 \ ьо ° 0 0 1
Матрица Л при этом преобразуется в матрицу Л р составленную
из первых трех столбцов матрицы А%.Матрице Af соответствует
система
Х1 ~ х2 + х3 = О’
5х2 ~4х3 = 1,
О • %3 = 1,
которая является несовместной, так как
ее последнее уравнение не имеет решений. Поэтому несовместна pi
равносильная ей исходная система. ◄
Случай 2. г < т, Ь^х = 0 или г= т. Число ненулевых строк в ма-
трицах Ах и Л^ одинаково и равно г
В этом случае с матрицей Ах сопоставляется следующая система:
^11^1 + ^12^2 + ••• + “I" ^l,r+lXr+l ”1“ ••• \
«22 х2 +(-- + «2г xr +%,г+1хг+1+ - + «2пхп ~$2 ’ W
д(1)г +л(1) г 4- + Л = М1>
urr лг ' иг,г+1лг+1 ' •” 'ит лп иг >
равносильная системе (2.1) в силу теоремы 1.1 из гл. 1.
Система (2.5) (а следовательно, и система (2.1)) будет иметь раз-
личное число решений в зависимости от соотношения между чис-
лами г и и.
Частные случаи
2.1. г=п. Система (2.5) имеет вид
Х1 + с$х2 +... + ($хп = ,
а^х2+... + а^хп=Ь^\
а
(1)г
тлп
48
Глава 3. Общая теория линейных систем
л является крамеровской (она квадратная и ее определитель Д 0 ),
Й11 й12 а1п
д= 0 й22 ’ а2п — 1а22 ’ — ‘ 0-
0 0 агг
(2.7)
Система (2.6) имеет единственное решение, которое можно найти
по формулам Крамера (1.5), но естественнее и проще выполнить об-
ратный ход метода Гаусса, который заключается в том, что сначала
из последнего уравнения системы (2.6) находят хп — Ь^/, потом
из предпоследнего уравнения находят хп_{ после подстановки в него
найденного значения хп. Аналогичные операции производят до тех
пор, пока из первого уравнения не будет найдено .
Пример 2.2. Решить систему уравнений
хг - х2 4- х3 = -2,
2хх + х2 -Зх3 =7,
х1-2х2 4-х3 = -4,
-2х2-х3 =1.
► Выпишем расширенную матрицу этой системы А*:
1 -1 1 \-2'
2 1 -3 ; 7
1-2 1 [-4
4 -2 -1 • 1,
и подвергнем ее элементарным преобразованиям. Умножим первую
строку на числа 2, 1, 4 и вычтем ее последовательно из второй, тре-
тьей и четвертой строк, после чего поменяем местами вторую и тре-
тью строки, получим:
1 -1
О 3
О -1
О 2
1 2 i -1 1 !-2
-5 И 0 -1 0 [-2
0 -2 0 3 -5 ; И
-5 9. о 2 -5’9
‘’-1459
49
Раздел 1. Линейная алгебра
Умножим теперь вторую строку на числа 3,2 и сложим ее после-
довательно с третьей и четвертой строками, получим:
1 -1 1 !-2'
О -1 0 ;-2
О 0 -5 ; 5
О 0 -5 • 5,
Наконец, умножим вторую строку на -1, третью строку вычтем
из четвертой, после чего умножим третью строку на -1 / 5, получим:
'1 0 -1 1 1 ! -2' о; 2
Л*-^ЛГ = 1
1 0 0 1; -1
0 \ 0 0'0,
Матрице соответствует система
х1-х2 +х3 =-2,
х2 = 2, кот°-
х3=-1,
рая является крамеровской, так как ее главный определитель
-1 1
1 О
О 1
= 1*0.
Она имеет единственное решение: х1 = 1, х2 = 2, х3=-1. ◄
2.2. г<п. Перенесем члены с неизвестными хг+1,... ,хп в правые
части уравнений системы (2.5), получим:
+ й|2^2 Н” •" ^ir^r ) al,r+l^r+l •"
а22 Х2 + ... + а\)хг —Ь2^— ^2,г+1^г+1 ~ — ~ ®2п %п ’
(2.8)
я(1)г -А(1)_й(1) г _ _й(1)г
игг лг иг иг,г+1лг+1 ит лп'
Относительно неизвестных xit...,xr система (2.8) является
крамеровской (число ее уравнений равно числу неизвестных, и е<
определитель Д отличен от нуля (см. (2.7)). Поэтому из системы (2.8
50
Глава 3. Общая теория линейных систем
можно единственным образом выразить неизвестные xit..., хг через
неизвестные хг+1,..., хп по формулам Крамера или осуществив об-
ратный ход метода Гаусса:
Xj Pi + ацХг+1 "!"••• "Ь®1,п-гхп’
х2 =02 +а21*г+1 + -+а2,п-гхп’
(2.9)
хг — Pr + ccriXr_|_i 4-... + агп_гхп.
Числа р,., а,у = г, j = l,...,n-r) получаются в ре-
зультате арифметических операций над коэффициентами
«(р, i = l,..., г, k = i,...,n и свободными членами =
системы (2.8) в процессе вычислений. Для них можно записать и
явные выражения в виде
Р1=А;/Д, а,у = —Ду/Д,/ = !,..., r,j = t,...,n-r, (2.10)
где через Д;,Д;; обозначены определители, полученные из Д путем
* У Т Т
замены его i-ro столбца на столбцы ..., и [а$,..., а^) ,
j = 1,..., п - г. Равенства (2 ДО) являются следствием формул Крамера
и свойств определителей.
В равенствах (2.9) неизвестные хг+1,...,хп принимают произ-
вольные значения, поэтому их называют свободными неизвестными, а
неизвестные х1,..., хг — базисными. Используя для свободных неиз-
вестных традиционные обозначения xr+i — , хг+2 = С2,..., хп — Сп_г,
перепишем (2.9) в виде
— Pi 4-(ХцС1 +... + ain_rCn_r,
х2 “02 + a21Q +••• + а2,я-/'«-г»
Xr “Pr + — + Ckr n_rCn_r,
xr+l = G К,
(2.И)
Xn “ ^n-r
, При частных значениях Cif C2t..., Cn_r правые части равенств
(2.11) определяют все решения системы (2.1).
51
4*-1459
Раздел 1. Линейная алгебра
I Определение 2.1. Совокупность правых частей системы равенств
(2.11) называется общим решением системы (2.1).
Пример 2.3. Найти все решения системы
Xj - х2 + х3 - х4 = 2,
2xj - х2 + 4х3 - Зх4 = 5,
3xj - 2х2 + 5х3 - 4х4 = 7,
х2 2х3 — х4 — 1.
► Выпишем расширенную матрицу системы
1 -1 1 -1 2
2-14-35
3-25-47
О 1 2-11
\ /
Подвергнем матрицу А* элементарным преобразованиям.
Умножим первую строку на числа -2 и -3 и сложим последователь-
но со второй и третьей строками:
1
[О
-1 1 -1
1 2 -1
1 2 -1
1 2 -1
2'
1
1
1,
Вычтем теперь вторую строку из третьей и четвертой:
1
О
О
О
-1 1 -1
1 2 -1
ООО
ООО
2'
1
О
О
/
Матрице Af соответствует следующая система:
х4 - х2 + х3 - х4 = 2,
х2 +2х3-х4 =1,
равносильная данной. Неизвестные хр х2 примем за базисные
а неизвестные х3, х4 — за свободные. Перенесем члены со сво
52
Глава 3. Общая теория линейных систем
бедными неизвестными в правые части уравнений последней
системы:
х1-х2 = 2-х34-х4,
х2 = 1-2х34-х4.
Отсюда имеем:
х2 = 1-2х3 + х4,
xt = 2-х3 + х4 +х2 = 3-3х3 4-2х4.
Приняв обозначения х3 = е R, х4 = С2 G R, получаем совокуп-
ность всех решений данной системы в виде
Х| == 3 — ЗС4 4- 2С2,
х2 ~ 1 — 2С^ 4- С2,
х3 = G R,
х4 — С2 G R.
• Резюмируя вышеизложенное, заключаем, что при решении про-
извольной системы линейных уравнений (т. е. системы (2.1)) реали-
зуется один из следующих случаев.
1. Система (2.1) не имеет решений (т. е. она несовместна), если не
совпадает число ненулевых строк в матрицах Aj и Ар полученных
в результате приведения матрицы системы А и ее расширенной ма-
трицы А* к ступенчатой форме.
2. Система (2.1) имеет единственное решение (т. е. является со-
вместной и определенной), если число ненулевых строк в ма-
трицах Aj и Aj одинаково и равно числу неизвестных. В этом
случае система (2.1) — крамеровская или равносильна такой
системе.
3. Система (2.1) имеет бесчисленное множество решений
(т. е. является совместной и неопределенной), если число не-
нулевых строк в матрицах А, и А4 одинаково и меньше числа
неизвестных.
Пример 2.4. Дана система линейных уравнений
(Л. — 2)х4 4- х2 4- х3 = 1,
• Xj 4- (X - 2)х2 4- х3 = 1,
Xj 4“ х2 -}- (X — 2)х3 = 1.
53
Раздел 1. Линейная алгебра
При каких значениях параметра 1 она: а) не имеет решений;
б) имеет единственное решение; в) имеет бесчисленное множество
решений?
► Рассмотрим матрицы
1 1 (к-2 1 1 1'
к-2 1 иЛ* = 1 к-2 1 1
1 к-2 1 1 к-2 1
/
Для приведения матрицы А* (и тем самым матрицы А) к ступен-
чатой форме Л1 выполним над Л* следующие элементарные преоб-
разования.
1. Переставим местами первую и третью строки:
' 1
Л*-+ 1
к-2
1 к-2 1'
к-2 1 1
1 1 1
2. Последовательно вычтем из второй строки первую и из тре-
тьей — первую, умноженную на (X—2), получим
Л*->
1
О
о
1 к-2 1
Х-3 3-Х О
3-Х -Х2+4Х-3 3-Х
3. К третьей строке прибавим вторую, имеем
4
Л*->Л^= О
О
1 к-2
к-3 3-Х
О -Х2+ЗХ
1
О
3-Х
и, следовательно,
1 1 к-2 '
л->л1= 0 х-з 3-Х
0 0 -х2+зх
При -X2 + ЗХ * 0 (т. е. X О, X * 3 ) матрицы Л j и Л J имеют по три
ненулевых строки, причем число ненулевых строк совпадает с числом
54
Глава 3. Общая теория линейных систем
неизвестных в системе. Итак, в этом случае рассматриваемая система
является крамеровской и имеет единственное решение.
При Х = 0
А =
'1
о
о
1
-3
о
-2
3
О
/
иА*1=
1
-3
о
-2
3
О
1
О
О
1
о
3,
Число ненулевых строк в матрицах Аг и
при Х = 0 система не имеет решений.
При Х = 3 имеем:
различно, поэтому
1'
о
о
1
О
О
1'
О
О
/
иА;=
1
о
о
1
о
о
о
о
А =
1'
о
о
/
Число ненулевых строк в матрицах Л, и Л| одинаково, и оно
меньше числа неизвестных в системе. Система имеет бесчисленное
множество решений.
Ответ: а) система не имеет решений при X = 0;
б) система имеет единственное решение при X О, X * 3;
в) система имеет бесконечное множество решений при X = 3. ◄
Замечание 2.1. Поскольку в силу теоремы 5.1 гл. 2 число не-
нулевых строк в матрицах А, и Л£ совпадает с их рангами и, как
было отмечено в § 5 гл. 2, справедливы равенства rangЛ1=rangЛ,
rang Л i= rang Л*, то приведенное выше резюме о числе решений си-
стемы (2.1) перефразируется следующим образом:
1) если rang Л rang Л*, то система (2.1) несовместна;
2) если rang Л = rang Л* = г, и г=п, то система (2.1) имеет един-
ственное решение;
3) если rang Л — rang Л* = г и г < п, то система (2.1) имеет бесчис-
ленное множество решений.
§ 3. Однородные системы линейных уравнений
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
+ й|2^-2 "I" " "Р ^1п^п ~ 0’
...................................... (3.1)
ат1%1 + ^т2^2 Л" — + О'тп-^п
55
Раздел 1. Линейная алгебра
где т.и п — произвольные натуральные числа. Обозначим через А и
Л* матрицу и расширенную матрицу системы (3.1):
а1п а\1
• , л* = •
атп) \ат1
Р'
атп : О,
Система (3.1) всегда совместна, ибо при любых значениях ее ко-
эффициентов она имеет так называемое нулевое (или тривиальное)
решение: xi =... = хп = 0. Решение системы (3.1), не совпадающее с
тривиальным, называется ненулевым. Система (3.1) является част-
ным случаем.произвольной системы линейных уравнений (2.1), она
получается из этой системы при bi= 0, i = 1,..., т. Поэтому к ней мож
но отнести результаты исследований упомянутой системы.
Расширенная матрица однородной системы при помощи конечно-
го числа элементарных преобразований может быть приведена к виду
(а(1) “11 0 ат “12 Л) а22 • д(1) “1г ••• ат а2г “1,г+1 й(1) • “2,г+1 •• й(1) “1и а2п о' 0
А*- 0 0 ... Й(О игг а(1) • “г,г+1 0
0 0 ... 0 0 • •• 0 0
0 0 ... 0 0 • 0 0,
при этом первые п столбцов матрицы A J образуют матрицу Лр по-
лучающуюся из матрицы Л при выполнении указанных преобразо-
ваний. Очевидно, число ненулевых строк в матрицах Л! и Л J всегда
совпадает, поэтому при решении однородной системы реализуется
один из следующих двух случаев.
1. Нулевое решение системы (3.1) единственно, если число г не-
нулевых строк в матрице Л* совпадает с числом неизвестных (г = п).
В этом случае рассматриваемая система является крамеровской или
равносильна такой системе. Для квадратной однородной системы
условие г = п эквивалентно условию Д 0, где Д — главный опреде-
литель этой системы.
2. Система (3.1) имеет наряду с тривиальным бесчисленное мно-
жество ненулевых решений, если число ненулевых строк в матрице
56
Глава 3. Общая теория линейных систем
Д J меньше числа неизвестных (г < п). Общее решение такой системы
выражается системой равенств (2.11) при условии рг = 0, i — 1, 2,..., г:
Х1 ~ allQ +... + <х^п_гСп_г,
х2 == а21^1 + - +а2,п-Л-г>
ХГ H_rCw_r,
xr+l ~C\£R,
Xn Cn-r
Для квадратной однородной системы условие г<п эквивалентно
равенству Д = 0, где Д — главный определитель этой системы.
Пример 3.1. Дана система
xt + 2х2 - х3 — О,
2Х| “ х2 Ч- Зх3 = О,
3xt + &х2 Ч~ 2х3 = 0.
Найти значения параметра р, при которых: а) нулевое решение
этой системы единственно; б) данная система имеет ненулевые ре-
шения.
► Данная система является квадратной. Вычислим ее главный
определитель Д:
а) нулевое решение xt = х2 = х3 = 0 единственно, если Д 0. Это
Условие выполняется в случае р 1;
б) поскольку система имеет ненулевые решения при Д — 0, то для
параметра р получаем условие р — 1.
Ответ: а) нулевое решение системы единственно в случае р 1;
б) система имеет ненулевые решения при р = 1. ◄
57
Раздел 1. Линейная алгебра
Дополнение к разделу 1 «Линейная алгебра»
Характеристика раздела и требования к усвоению тем
раздела
А. Общая характеристика раздела. В разделе развиваются идеи ре-
шения систем уравнений, известные из элементарного курса алгебры.
Линейная алгебра применяется в аналитической геометрии, векторной
алгебре, теории дифференциальных уравнений, численных методах.
А1. Темы раздела. 1. Матрицы. 2. Определители 2,3-го и и-го по-
рядков. 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
А2. Базисные понятия. 1. Матрица. 2. Определитель. 3. Система
линейных алгебраических уравнений.
АЗ. Основные задачи. 1. Решение матричных уравне-
ний. 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
3. Исследование систем линейных алгебраических уравнений.
А4. Базисные методы. 1. Метод Гаусса. 2. Метод Крамера.
3. Метод обратной матрицы.
В. Знания и умения, которыми должен владеть студент
В1. Знания на уровне понятий, определений, описаний,
формулировок
1’ Определители 2,3-го, n-го порядков.
2. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение
матриц.
3. Обратная матрица.
4. Минор, ранг матрицы.
5. Определенные, неопределенные, совместные, несовместные
системы линейных алгебраических уравнений.
6. Матричная запись систем линейных алгебраических уравне-
ний.
7. Решение линейных алгебраических систем уравнений методом
Гаусса.
В2. Знания на уровне доказательств и выводов
1. Свойства операций сложения, вычитания, умножения матриц
(выборочно).
2. Свойства определителей 3-го порядка.
58
Дополнение к разделу 1
3. Существование обратной матрицы, ее конструкция.
4. Метод обратной матрицы решения квадратной системы линей-
ных алгебраических уравнений.
5. Теорема Крамера.
ВЗ. Умения в решении задач
Студент должен уметь:
1) вычислять определители 2,3-го и старших порядков;
2) находить сумму, разность, произведение матриц;
3) находить ранги матриц;
4) решать произвольные системы линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса;
5) решать квадратные системы методом Крамера.
С. Образцы зачетных (экзаменационных) задач
1.1. Вычислите определители:
а)
1 2 -7
-1 2 -3
О 7 1
б)
12 3 4
-2 1-43
3-4-1 2
4 3-2-1
1.2. Пусть даны две матрицы:
2 2 3' '0 7 3'
А = 1 -1 0 to II -1 2 -1
-1 2 1 \ / 0 1 2 к /
Найдите матрицу С, удовлетворяющую уравнениям:
а) А-В + ‘к-С = А; Х^О;
б) А-С = Е.
1.3. Решите систему уравнений методом Гаусса:
xt - 2х2 + х4 = 1,
- 2х2 +• х3 - х4 = -1,
Xj-2х2 + х3 4-5х4 = 5.
59
Раздел 1. Линейная алгебра
1.4. Решите систему уравнений по формулам Крамера:
—• Xj + %2 "F 2х3 = — 1,
2хх -х2 + 2х3 = -4,
4xt + х2 4- 4х3 = -2.
1.5. Исследуйте на совместность систему уравнений:
2хх - х2 + Зх3 = 3,
3xt + х2 - 5х3 = О,
4xt - х2 + х3 — 3,
хх + Зх2 - 13х3 = -6.
Ответы к образцам зачетных (экзаменационных) задач.
1.1 а) 74; б) 900.1.2. а) С = Л(£-В)Д; б) С = Л'1.1.3. хх= 2х2;
х2 — любое число; х3=0;х4=1; 1.4.х1 = 1;х2 = 2;х3 =-2.1.5. Система
совместна, хх = х3=1;х2 = 2.
60
РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Предметом изучения в векторной алгебре являются векторные
величины (векторы) и действия с ними. Примерами таких вели-
чин могут служить скорость и ускорение движущейся точки, сила
и т. п. Они характеризуются не только своими численными значе-
ниями, но и направленностью.
Начальные сведения о векторах и некоторых действиях с ними
(сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное про-
изведение векторов) содержатся в школьном курсе элементарной
математики. В данном разделе на основе дальнейшего развития и
углубления этих сведений вводятся новые понятия линейной зависи-
мости и линейной независимости векторов, базиса на некоторых мно-
жествах векторов, а также рассматриваются новые действия с век-
торами — векторное и смешанное произведения. Изучение свойств
операций с векторами приводит к алгебраизации геометрических
высказываний, т. е. к замене геометрических утверждений некоторы-
ми векторными равенствами. Введение понятия координат вектора
заменяет действия с векторами действиями с числами. Построенная
таким образом теория, называемая «векторная алгебра», служит ма-
тематическим аппаратом для построения аналитической геометрии
и других разделов математики, а также имеет многочисленные при-
ложения в физике, теоретической механике и различных техниче-
ских дисциплинах.
На основе понятия так называемого прямоугольного базиса
вводится прямоугольная декартова система координат, названная
именем великого французского ученого Р. Декарта (1596—1650).
В Дальнейшем (см. разд. 3) она служит основой для построения ана-
литической геометрии.
61
Глава 1. Линейные операции над векторами
§ 1. Понятие вектора. Равные векторы.
Коллинеарные и компланарные векторы
Определение 1.1. Геометрическим вектором (или вектором) на-
зывается направленный прямолинейный отрезок, для которого
указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, а
какая — концом. Начало вектора называют также точкой его при-
ложения.
Если точки А и В — начало и конец данного вектора, то сам вектор
обозначается символом АВ или а (рис. 1.1).
Пусть выбрана какая-либо система измерения длин прямолиней-
ных отрезков, иначе говоря, масштаб. Длиной вектора, или его моду-
лем, называется длина отрезка, образующего вектор. Обозначение:
|ЛВ|, |а|.
Определение 1.2. Два вектора называются равными, если они ле-
жат на параллельных прямых (или на одной прямой), одинаково
направлены и имеют равные длйны.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуле-
вым, или нуль-вектором. Нуль-вектор не имеет определенного на-
правления, а его модуль равен нулю. Таким образом, можно считать
все нуль-векторы равными и ввести для них единое обозначение: 0.
Определение 1.3. Векторы et, е2,..., еп называются коллинеарны-
ми, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных
прямых.
Для обозначения коллинеарных вркторов а и b (рис. 1.2) исполь-
зуется символ параллельности: а || Ь.
Определение 1.4. Векторы et,e2,... ,еп называются компланарны-
ми, если они расположены на прямых, параллельных одной и той
же плоскости.
Рис. 1.2. Коллинеарные векторы
62
Глава 1. Линейные операции над векторами
Определение 1.5. Вектор, кол-
линеарный данному вектору а,
одинаково направленный с ним и
имеющий единичную длину, на-
зывается ортом вектора а и обо-
значается Йо (рис, 1.1).
§ 2. Операция сложения векторов
и ее свойства
Действие сложения векторов
определим с помощью так называе-
мого правила треугольника.
Определение 2.L Пусть даны
два вектора а и Ь. Приложим
вектор b к концу вектора а. Тогда
вектор, начало которого совпадает
с началом вектора 5, а конец — с
концом вектора Ь, называется
суммой векторов а и b и обозна-
чается а + b (рис. 2.1).
Вектор а + b можно также полу-
Рис. 2.2. Сложение векторов по
правилу параллелограмма
чить по правилу параллелограмма, построив на векторах а и Ь, как
на сторонах, параллелограмм (рис. 2.2).
Свойства операции сложения векторов
1. а+b = Ь + а — коммутативное (переместительное) свойство.
2. (а + й) + с —а+(Ь +с) — ассоциативное (сочетательное) свой-
ство.
3. Существует единственный вектор, равный нуль-вектору О,
т&кой что а + 0 = а для любого вектора а.
4. Для любого вектора а существует единственный вектор (-5),
называемый противоположным, такой что а + (-я) = 0.
Понятие суммы двух векторов обобщается на случай сложения п
векторов ах,а2,^^ ап (рис. 2.4).
I Определение 2.2. Разностью двух векторов а иЬ называется
I вектор с такой, что Ь+с~а (рис. 2.5). Обозначение: а-Ь.
63
Раздел 2. Векторная алгебра
(а + Ь) + с=а + (Ь + с)
Рис. 2.3. Ассоциативное свойство
Рис. 2.4. Сложение векторов
сложения векторов
Рис. 2.5. Разность векторов
Для любых двух векторов а и Ь
разность существует и выражается
формулой с ~а-Ь = 5+ (-£).
Из определений 2.2 и 2.1 следу-
ем что разность а-b векторов а и
Ь, приведенных к общему началу,
представляет собоц вектор, идущий
из конца вектора b (вычитаемого)
в конец вектора а (уменьшаемого).
§ 3. Операция умножения вектора на число и ее свойства
Определение 3.1. Произведением вектора а на вещественное
число X называется вектор b , определяемый следующими тремя
условиями:
1)1ЖЖ2|; .
2) вектор Ь коллинеарен вектору а\
3) векторы а и Ь одинаково направлены, если X > 0, и противо-
направлены, если X < 0.
Для введенной операции применяется обозначение: Ха, т. е.
b = Ха. При а = 0 или X = 0 из условия 1) следует | Ха |= 0, т. е. Ха = 0.
При Х = получаем вектор К = р-| = а0 — орт вектора а.
Противоположный вектор (—а) = (—!)• а.
Теорема 3.1 (свойство коллинеарных векторов). Для того чтобы
два ненулевых вектора а и b были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство
64
Глава 1. Линейные операции над векторами
Ь = Ха (3.1)
при некотором вещественном X.
ЗамечаниеЗ.1. Число X в равенстве (3.1) определяется единствен-
ным образом. Его можно найти из соотношения Х = где знак
Iа I
«+» выбирается в случае, если векторы а и b сонаправлены (2П^)>
и знак «-», если они противонаправлены (а П Ь).
Свойства операции умножения вектора на число
1. 1-5 = а.
2. Х(ца) = (Хц)а (свойство ассоциативности относительного ска-
лярного множителя).
3. (Х + ц)а = Хя (свойство дистрибутивности умножения
вектора на сумму вещественных чисел).
4. Х(а + Ь) = ка + №) (свойство дистрибутивности умножения
вещественного числа на сумму векторов).
Замечание 3.2. Операции сложения векторов и умножения
вектора на число называются линейными операциями над векто-
рами.
Пример 3.1. Показать, что середины сторон произвольного четы-
рехугольника являются вершинами параллелограмма.
► Обозначим середины сторон четырехугольника ABCD бук-
вами Е, F, G, Н (рис. 3.1). Тогда для Иектора EF имеем равен-
ство EF = EB + BF = -(АВ + ВС). Аналогично HG==-(AD + DC)
2 2
1 —* —► —*
— -—(CD+DA). Поскольку АВ +
+ ВС+СО + Й4==б,то, очевидно,
EF — HG = б, т. е. EF = HG. Послед-
нее равенство означает равенство
Длин и параллельность двух про-
тиволежащих сторон четыреху-
гольника EFGH. Следовательно,
^ак известно из планиметрии, он
является параллелограммом. ◄
65
5г1459
Раздел 2. Векторная алгебра
§ 4. Понятие линейной зависимости и линейной независимости
системы векторов
Пусть даны векторы , е2,..., еп.. Линейные операции над векто-
рами позволяют определить так называемую линейную комбинацию
векторов.
Определение 4.1. Линейной комбинацией векторов ех,е2,...,еп на~
зывается вектор а , равный сумме произведений данных векторов
на произвольные вещественные числа Xj,... , Хл.
Таким образом, линейная комбинация векторов ех,е2,...,еп имеет
вид
Xi?i + Х2е2 + ... + Хиеп, (4.1)
где Xf € Я, i = 1, • • •, и. Здесь под R понимается множество всех веще-
ственных чисел. Очевидно, линейная комбинация векторов также
является вектором.
Определение 4.2. Линейная комбинация (4.1) векторов
ех,е2,...,еп называется нетривиальной, если не все числа Хр
i = l,..., п равны нулю, т. е. Xf+Х2 +...4-Х^ >0. Если все Xf=0,
i = 1,..., п, то линейная комбинация (4.1) называется тривиальной.
Заметим, что тривиальная линейная комбинация любых векторов
является нуль-вектором. Действительно, 0 • + 0 ♦ е2 +... + 0 • ё?п = 0.
Определение 4.3. Векторы eit е2,..., еп называются линейно зави-
симыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация,
равная нуль-вектору, иначе данные векторы называются линейно
независимыми.
Для линейно зависимых векторов равенство
Xi#i + Х2е2 +...+Хпвп = 0 (4.2)
выполняется при некоторых Xt, Х2,..., Хп, удовлетворяющих условию:
Xf + Х2 +... + Х^ > 0, а для линейно независимых векторов равенство
(4.2) справедливо только при Xt = Х2 =... = Хп — 0.
Свойства линейно зависимых векторов
1. Если хотя бы один из векторов ех,е2,...,еп — нулевой, то эти
векторы линейно зависимы.
2. Если какие-то k (k<ri) векторов из п векторов ех,е2,...,еп ли-
нейно зависимы, 2 < k < п,, то и все векторы et, е2,..., еп линейно за'
висимы.
66
Глава 1. Линейные операции над векторами
3. Векторы е2,...,еп линейно зависимы тогда и только тогда,
когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией всех
остальных.
§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости векторов
Один вектор линейно зависим тог^а и только тогда, когда он нуле-
вой. Действительно, равенство Ха = 0 при X 0 справедливо только
при а — 0.
Теорема 5.1. Для того чтобы два вектора и е2 были линейно
зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы два вектора были не-
коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно
независимы.
Пример^.!, а и b — неколлинеарные векторы. Доказать, что век-
торы а + 2Ь и а-ЗЬ линейно независимы.
► Приравняем к нуль-вектору линейную комбинацию данных
векторов: Хх(а + 2fe) + X2(a-3Z>) = 0. Перегруппируем члены в левой
части этого равенства: (А^Хз) я + (2Х1-ЗХ2)й = 0. Векторы а и b не-
коллинеарны и, следовательно, линейно независимы (следствие из
теоремы 5.1), их линейная комбинация, равная нуль-вектору, может
быть только тривиальной. Для X, и Хз получаем следующую систему
уравнений:
X j + Х2 = о,
224-3x2=0.
Так как главный определитель X этой си-
стемы отличен от нуля (Д = -3 - 2 = -5 Ф 0), то по теореме Крамера ее
нулевое решение Х1 = Х2 = 0 единственно. Итак, показано, что линей-
ная комбинация данных векторов, равная нуль-вектору, может быть
только тривиальной, поэтому эти векторы линейно независимы по
определению 4.3. ◄
Теорема 5.2. Пусть даны два неколлинеарных вектора ег и е2.
Любой компланарный с ними вектор а можно представить в виде
линейной комбинации этих векторов:
а = Х1е1 + Х2е2, где Хр Х2 е /?,
(5.1)
причем разложение (5.1) единственно.
Пример 5.2. Даны векторы =ОЛ; e2 =ОВ; а = ОС; 1^11=2;
|е21=3; \ а |=4; угол АОВ — прямой, а угол СОВ равен л/3 (рис. 5.1).
Разложить вектор а по векторам и е2.
67
5*-1459
Раздел 2. Векторная алгебра
► Из точки С опустим перпендикуляры на прямые ОА, ОВ, по-
лучим точки A J,B1 (рис. 5.1). Тогда а — ОС = ОА1 +OBt, при этом
|ОЛ! | = |a|sin j = 4 • = 2л/3; |о^11 = |а|cos= 4 • | = 2.
Так как OAt И ei и ОВ1 ff е2, то в силу (3.1) имеем
— + д^2- ◄
Для вектора а получаем разложение а
Теорема 5.3. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы,
необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Следствие из теоремы 5.3. Для того чтобы три вектора были не-
компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно
независимы. Доказательство — от противного.
Теорема 5.4. Любой вектор а можно разложить по трем неком-
планарным векторам е1, е2, <?3,,т. е. представить в виде
а — 4-А.2^2 4~А.3£3, где Aq, А>2,
(5.2)
причем разложение (5.2) единственно.
Рис. 5.2. К примеру 5.3
68
Глава 1. Линейные операции над векторами
Пример 5.3. Векторы et=OA; е2=ОВ; е3=ОС попарно перпен-
дикулярны, на них, как на ребрах, построена треугольная призма
(рис. 5.2). Вектор а = OD, где точка D — середина отрезка С(С2, при
этом точки С) С2 делят соответствующие ребра призмы в отношении
1:3. Разложить вектор а по векторам ev е2, е3.
► а=ОСу + С{Ь = ОАХ + ОД + CXD, где точки Ар Вх — основания
перпендикуляров, опущенных из точки С\ на прямые ОА и ОВ (рис. 5.2).
Поскольку OAi = ДоА = OBt = — OB = ^е2; CXD = — С1С2 = — е3, то
4 4 4 4 2 2
_ _ 1 _ 1 _ .
для вектора а получаем разложение а = ~ех + ~е2 +
| Теорема 5.5. Любые четыре вектора линейно зависимы.
§ 6. Базис и координаты вектора.
Прямоугольная декартова система координат
Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраи-
зируют геометрические высказывания, т. е. заменяют геометриче-
ские утверждения векторными равенствами. Используя результаты
предыдущих параграфов, приведем теперь действия с векторами к
Действиям с числами, т. е. арифметизируем векторно-алгебраические
соотношения. Для этого введем понятия базиса на данном множестве
векторов как упорядоченного набора из п его линейно независимых
векторов, где п равно максимально возможному числу линейно не-
зависимых векторов этого множества, а также системы координат на
прямой, плоскости и в пространстве.
1°. Случай прямой линии и множества Vt векторов, параллельных
данной прямой. Пусть дана прямая I и множество Vt векторов, парал-
лельных /, Vi — это множество коллинеарных векторов. Любая пара
векторов из Vt по теореме 5.1 линейно зависима, а любой ненулевой
вектор а из Vv как было отмечено в § 5, линейно независим. Поэтому
максимально возможное число линейно независимых векторов в Ц
равно 1.
Определение 6.1. Любой вектор а^О из называется базисом
в Vi и на данной прямой L.
Для любого вектора b из Vt в силу теоремы 3.1 справедливо ра-
венство
b = xa, хе Ry (6.1)
69
Раздел 2. Векторная алгебра
которое называется разложением вектора Ъ по базису а, а число х —
координатой вектора Ъ в базисе а. Выбор базиса в Vt вводит взаимно
однозначное соответствие между векторами из и вещественными
числами.
Выбор базиса Jz на прямой I задает на ней направление и пре-
вращает ее в ось /. Дусть а = е, | е ]^= 1, вектор е называется ортом
данной оси. Тогда b = хе, а х = ± |Z> |, как это следует из определе-
ния 3.1. Знак «+» соответствует сонаправленности векторов b и е,
а «-» — противонаправленностц. Число х в этом случае называется
координатой вектора b на оси I.
2°. Случай плоскости и множества V2 векторов, параллельных
данной плоскости. Пусть дана некоторая плоскость и множество V2
векторов, ей параллельных. Итак, V2 — множество компланарных
векторов. Любая тройка векторов из V2 линейно зависима по теореме
5.3, а любая пара неколлинеарных векторов из V2 линейно независи-
ма по следствию из теоремы 5.1. Поэтому максимально возможное
число линейно независимых векторов в V2 равно 2.
Определение 6.2. Любая упорядоченная пара неколлинеарных
векторов et и е2 из множества V2 векторов, параллельных данной
плоскости, называется базисом в V2 и на данной плоскости.
Любой вектор а из V2 по теореме 5.2 можно представить един-
ственным образом в виде
a = xei + уе2, х, y^R. (6.2)
Числа хи г/ называются координатами вектора а в данном базисе
(вр е2), а равенство (6.2) называется разложением вектора а подан-
ному базису. Выбор базиса в V2 устанавливает взаимно однозначное
соответствие между векторами из V2 и упорядоченными парами (х, у)
вещественных чисел. Так, для вектора а из примера 5.2 числа л/з,
2/3 — его координаты в базисе (е1г е2).
Пример 6.1. а и b - неколлинеарные векторы. При каких значе-
ниях параметра а векторы а + 2Ь и За 4- ab образуют базис в мно-
жестве V2?
► В силу определения 6Д2 найдем значения параметра а,
при которых векторы а + 2Ь и За+ab линейно независимы.
Приравняем к нуль-вектору линейную комбинацию данных век-
торов: Xj (а + 2Ь ) + Х2 (За + а/>) = 0. Перегруппируем члены в левой
части этого равенства: (Xt 4- ЗХ2 )а 4- (2Xj 4- aX2 )b = б. Линейная ком-
бинация векторов а и b , равная нуль-вектору, может быть только
тривиальной, так как эти векторы неколлинеарны и, следовательно,
70
Глава 1. Линейные операции над векторами
динейно независимы (следствие из теоремы 5.1). Поэтому для А, и А^
получаем следующую систему уравнений:
-|- ЗХ2 — о,
2A.J “Ь ссА*2 = 0.
Теперь за-
дача формулируется так: найти значения параметра а, для которых
нулевое решение этой системы единственно. В силу теоремы Крамера
это условие выполняется только в том случае, если главный опреде-
литель А системы отличен от нуля. Поскольку А=а - 6, то приходим
к выводу, что нужные значения параметра а определяются неравен-
ством а Ф 6. ◄
3°. Случай пространства и множества V3 всех векторов простран-
ства. Любые четыре вектора из V3 линейно зависимы по теореме 5.5,
а три некомпланарных вектора из V3 линейно независимы по след-
ствию из теоремы 5.3. Поэтому максимально возможное число ли-
нейно независимых векторов в У3 равно 3.
. Определение 6.3. Любая упорядоченная тройка некомпланарных
векторов (cj, е2, е3 ) из множества V3 всех векторов пространства на-
зывается базисом в V3 и в пространстве.
Любой вектор а из V3 согласно теореме 5.4 можно единственным
образом представить в виде
а = xev + уе2 + ze3, х, у, ze R. (6.3)
Числа х, у, z называют координатами вектора а в данном ба-
зйсе (ер е2, е3), а равенство (6.3) называется разложением вектора
а по данному базису. Выбор базиса в V3 устанавливает взаимно-
однозначное соответствие между векторами из V3 и упорядо-
ченными тройками (х, у, г) вещественных чисел. Для вектора
а из примера 5.3 числа 3/4, 1/4, 1/2 — его координаты в базисе
(ei,e2,e3).
Обобщая вышесказанное, заключаем, что на пути арифметиза-
ции векторно-алгебраических соотношений сделан важный шаг —
установлено взаимно-однозначное соответствие между векторами
из множеств Vif V2, V3 и упорядоченными наборами действительных
чисел. Для достижения поставленной цели осталось установить пра-
вила выполнения линейных операций с векторами, заданными раз-
ложениями в некотором базисе.
Правило 6.1. При сложении векторов, заданных разложениями в
некотором базисе, складываются их соответствующие координаты.
Правило 6.2. При умножении вектора, заданного разложением
в некотором базисе, на вещественное число X все его координаты
умножаются на это число.
71
Раздел 2. Векторная алгебра
Рис. 6.1. Прямоугольный базис и
прямоугольная декартова система
координат
Свойство координат коллинеарных векторов. Соответственные
координаты коллинеарных векторов в любом базисе пропорцио-
нальны.
Поставленная в начале параграфа задача решена — линейные опе-
рации с векторами сведены к арифметическим операциям (сложению
и умножению) над действительными числами.
4°. Прямоугольный базис. Прямоугольная декартова система
координат. Особую роль в аналитической геометрии играет так на-
зываемый прямоугольный базис, в котором векторы попарно перпен-
дикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обо-
значения: в2=У; е3=^. Векторы i, J, k называются ортами
прямоугольного базиса. С прямоугольным базисом связано понятие
о прямоугольной декартовой системе координат.
Определение 6.4. Прямоугольной декартовой системой координат
в пространстве называется совокупность некоторой точки О и пря-
моугольного базиса. Точка О называется началом координат; прямые
Ох, Оу, Oz, проходящие через начало в направлении ортов базиса, на-
зываются координатными осями —
абсцисс, ординат и аппликат соот-
ветственно (рис. 6.1). Плоскости,
проходящие через какие-либо две
координатные оси, называются
координатными плоскостями и
обозначаются Оху, Oyz и Oxz со-
ответственно. Прямоугольными
координатами произвольной точ-
ки Мпространства называются ко-
ординаты ее радиуса-вектора ОМ
в данном прямоугольном базисе
(рис. 6.1). Их пишут в скобках по-
сле обозначения точки, например
М(х, у, z), при этом х называется
абсциссой, у — ординатой, аг — ап-
пликатой точки М.
Выбранное определение прямоугольных координат точки про-
странства устанавливает взаимно-однозначное соответствие между
точками пространства и упорядоченными тройками действительных
чисел (х, у, z). __>
Пусть заданы точки Л(хр г/р 2j) и В(х2,г/2^2)>ДлявектоРа АВ имеем:
АВ = (х2 - х, )i + (г/2 - г/j)j + (zt - z2 )k. (6.4)
72
Глава 1. Линейные операции над векторами
Замечание 6.1. Координаты вектора в прямоугольном базисе ча-
сто пишут в скобках после обозначения вектора и знака равенства.
Например,
АВ = (х2 - xt, у 2 - ух, z2 - .
§ 7. Полярная система координат
Прямоугольная декартова система координат не является един-
ственным способом установления взаимно-однозначного соответ-
ствия между точками плоскости и упорядоченными парами действи-
тельных чисел. Во многих задачах более удобна так называемая по-
лярная система координат.
При введении полярной системы координат на плоскости выби-
рают некоторую точку О, называемую полюсом, и исходящий из нее
луч ОР с выбранным на нем масштабом, называемый полярной осью
Полярными координатами точки М называются полярный радиус
г = \ОМ| и полярный угол ф, определяемый как угол поворота полярной
оси до совмещения с лучом ОМ (рис. 7.1). Очевидно, для любой точки
плоскости г > 0. Полярный угол ф обычно измеряется в радианах и
считается положительным, если поворот осуществлен в направлении
против часовой стрелки, и отрицательным — в противоположном слу-
чае. Итак, определение полярного угла совпадает с определением угла
в тригонометрии. Очевидно, что любая пара действительных чисел
(г, ф) при условии г > 0 определяет на плоскости единственную точ-
ку. Обратное утверждение неверно.
Так, две различные пары (2,л/4) и
(2,9л/4) определяют на плоскости
одну и ту же точку. Однако если
условиться брать полярный угол ф в
Рис. 7.2. К установлению связи
между прямоугольными и по-
лярными координатами точки
плоскости
Рис. 7.1. Полярная система
координат
73
Раздел 2. Векторная алгебра
границах —я < ф < я или 0 < ф < 2я (так называемое главное значение
полярного угла), то тогда между точками плоскости (кроме полюса) и
упорядоченными парами вещественных чисел (г,ф) устанавливается
взаимно-однозначное соответствие (при условии г > 0). В полюсе г= 0,
а ф — любое.
Для установления связи между полярными и прямоугольными
координатами одной и той же точки плоскости введем прямоуголь-
ную систему координат специальным образом, а именно поместим ее
начало в полюс О, а ось Ох направим вдоль полярной оси ОР (рис. 7.2).
Определения тригонометрических функций синус и косинус приво-
дят к следующим соотношениям:
х = гсовф,
г/ = г8Й1ф.
По формулам (7.1), выражающим прямоугольные координаты
(х, у) точки М через ее полярные координаты (г, ф), осуществляет-
ся переход от полярных к прямоугольным координатам.
Пример 7.1. Точки Мх и М2 заданы полярными координатами
^(2,^/3), М2(а/2,Зл/4). Найти их прямоугольные координаты.
► Пусть хр ух и х2, у2 — прямоугольные координаты данных точек
Мх и М2. По формулам (7.1) имеем:
xt = 2cos(tc/3) = 2 • (1/2) = 1.^ = 2- sin(%/3) = 2 • (>/з/2) = 73;
х2 = 42 cos(3rc/4) = 42 (-42/2) = -1.у2=42 sin(37t/4) = 42 (42/2) = 1;
Mi(l, 43), М2(-1, 1). ◄
Разрешив равенства (7.1) отно-
сительно г и <р, получим формулы
перехода от прямоугольных коор-
динат точки М к ее полярным ко-
ординатам:
г — ^х2+у2,
tgq>=--
х
(7-2)
Угол ф с помощью второго из
равенств (7.2) определяют с учетом
четверти, в которой находится дан-
74
Глава 1. Линейные операции над векторами
ная точка, или выбирают его значение так, чтобы sincp имел тот же
знак, что и ордината у.
Пример 7.2. Точки Ми М? М3, МА заданы их прямоугольными ко-
ординатами: Мх (-Тз, 1), М2^-1,лМ), М3(-1,-1), М4(2,-2) (рис. 7.3).
Найти их полярные координаты.
►Пусть rf, <р, — полярные координаты точки Mit г=1,2,3,4. Для г,
и <pt-, г = 1,2,3,4 из (7.2) имеем:
г1=5/(73)2+12=2, tgcp^lM => Ф1=7с/6;
r2 = ^(—I)2 +(>/3)2 = 2, tg<p2 = —\[3 => ср2 = 2л/3;
г3=>/(-1)2+12 =V2, tgq>3=l => ф3=5л/4;
г4=А/22+(-2)2 =2^2, tgq>4=-l => <р4=7л/4,
при этом значения полярных углов данных точек выбраны с уче-
том четверти, в которой они находятся. Таким образом, Л//2, тс/6),
М2(2, 2л/3), М3 (>/2,5л/4), М4 (2>/2,7л/4). ◄
§ 8. Задача о делении отрезка в данном отношении
Пусть на некоторой прямой / заданы три различные точки А, В,
С. Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему ко-
ординат Oxyz. ЕслихЛ, уА, zA и хв, ув, zB — координаты точек А и В, то
координаты точки С определяются из равенства
„ _ ХА +^ХВ . .. _УА + ^Ув . _ _ZA + ^ZB /о п
Хс~ 1+Z • <8Л)
где % = ± | АС |/| СВ |, причем знак «плюс» берется, если векторы
АС и СВ сонаправлены, а «минус» — в противном случае (рис. 8.1,
8.2). В обоих случаях число X называется отношением, в котором
точка С отрезок АВ, хотя в первом из них она не принадлежит
I А в С
Рис. 8.1. Задача о делении отрез-
ка в данном отношении. Случай
Х<0 (Х = -2).
I А СВ
..•----- -X " "X--
Рис. 8.2. Задача о делении отрез-
ка в данном отношении. Случай
Х>0 (Х = 2).
75
Раздел 2. Векторная алгебра
этому отрезку. Заметим, что в принятой постановке задачи Х^О,
X —1.
Замечание 8.1. В случае, когда точка С делит отрезок АВ пополам,
X = 1 и формулы (8.1) принимают вид
_Уа+Ув.7 _za+zb
хс~^—'Ус-----— с~^~
(8-2)
Пример 8.1. Даны вершины треугольника: Л(хр yv zt),
В(х2, у2, 22), С(х3> у3, z3). Найти координаты точки пересечения
его медиан.
► Пусть точки КпМ— середины сторон АС и В С данного треу-
гольника, тогда ВК и AM — его медианы, a L — точка их пересечения
(рис. 8.3). Из планиметрии извест-
Рис. 8.3. К примеру 8.1
1ZT 4
и°, что 2^=2
Координаты точки
К найдем по формулам (8.2):
*1+*з. „ _У1+Уз.
9 ’ Ук~ ч >
а координаты точки L — по форму-
лам (8.1), приняв X = 1 / 2. Имеем:
хк _ (xt +х3)/2 + х2/2 _ xt + х2 + х3
1+1/2 ~ 3/2 3
Проведя аналогичные вычисления для yL и zL, получим равенства
Уъ =
У\ + Уг + Уз.
3
_z1+z2+z3
-- -------
L 3
76
Глава 2. Операции умножения векторов
§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства
Определение 1.1. Проекцией точки Р на ось / называется осно-
вание Q перпендикуляра, опу-
щенного из точки Р на прямую /
(рис. 1.1).
Определение 1.2. Компонентой
любого вектора АВ вдоль оси I
называется вектор ДД , где Ар
В{ —^проекции точек Л и В на
ось I (рис. 1.2).
Пусть е — орт оси (рис. 1.2),
тогда
= (1.1)
Определение 1.3. ^Проекцией
вектора АВ на ось I называет-
ся длина его компоненты AiBi,
взятая со знаком «+», если компо-
нента сонаправлена с е , и со зна-
ком «-», если компонента и ось I
Рис. 1.1. Проекция точки на ось
Рис. 1.2. Понятие компоненты
вектору вдоль оси
противонаправлены.
Обозначение: пр-ЛВ или пр-5.
Из определения 1.3 и соотношения (1.1) следует равенство
АХВХ =щ)~АВ-е. (1.2)
^Определение 1.4. Угол между друмя ненулевыми векторами а и
b , приведенными к общему началу, называется наименьшим углом,
на который надо повернуть один из этих векторов так, чтобы его на-
правление совпало с направлением второго вектора. Обозначение:
(а, Ь).
Угол между векторами не является направленным углом (т. е. он
не зависит от направления поворота) и принимает любое значение
между 0 и к.
77
Раздел 2. Векторная алгебра
Свойства проекций векторов
1. Пр-а есть координата на оси / компоненты вектора а вдоль
этой оси.
2. Проекции вектора а на оси прямоугольной декартовой систе-
мы координат являются координатами а в прямоугольном базисе
(ЛЛ определяющем эту систему.
3. np^(a + £) = npz-42 + npz-7>.
4. пр-(ХЙ) = Х-пруЙ.
5. np-a=|a|cos(5,K),
Пример 1.1. Дан вектор а — АВ,, где Л(1, -1, 0), В(-1, 2, 3). Найти
его проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат.
►По свойству 2 проекции а на оси координат — это его ко-
ординаты в базисе В силу формулы (6.4) гл. 1 имеем
а = АВ = -2i + 3j 4- 3k, отсюда прОхв = -2; пр^о = 3; npOza = 3. ◄
§ 2. Скалярное произведение двух векторов
Определение 2.1. Скалярным произведением двух векторов а и
b называется произведение длин этих векторов на косинус угла
между ними.
Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними
не определен (т. е. может принимать любое значение между 0 и л).
Однако косинус этого угла ограничен, и в соответствии с определени-
ем 2.1 скалярное произведение таких векторов существует и равно 0.
Скалярное произведение двух векторор а яЬ принято обозна-
чать так: а-b, иногда (а, Ь). Таким образом, по определению
ab =|а || £ |cos(a,K),
где (а,Ь) — угол между векторами а и Ь.
Скалярное произведение применяется в физике при вычислении
работы Л, затрачиваемой при движении материальной точки из по-
ложения Pj в положение Рг в поле действия силы F,
A = F-I\P2. (2.1)
Свойства скалярного произведения
1. a-b=b-a.
2. a-Z> =|«|-пр=£=|£|-прга.
“ о
78
Глава 2. Операции умножения векторов
3. а-(Ь +с) = а-Ь +а-с.
4. a(‘kb) = ‘k(ab).
5. а-а=\а\2.
6. а • b = 0 <=> либо |а| • |К| = 0, либо а ± b при |а| • |К| * 0.
Замечание 2.1. Свойства 3—4 называются линейными свойствами
скалярного произведения.
Если векторы а и b заданы разложениями в прямоугольном
базисе
a = ari +a,.j +a,k,
_ \ \ \ (2.2)
то b=bxi+byj+bzk,
a-b = axbx+ayby+azbz. (2.3)
В частном случае, при а = Ь имеем а а = |а|2 =ах +ау +а%, т. е.
\a\ = ylax+ay+a2z- (2-4)
В равенстве (2.4) длина вектора а выражена через его коорди-
наты. Если а = АВ, А(х},yi,zi), В(х2, у2, ?2), то а = АВ = (х2 -xt)i +
+(у2 ~У\)1 +(z2 ~zi)£ (см. формулу (6.4) гл. 1), и в силу (2.4) имеем:
|а| = |ЛВ| = 5/(х2-х1)2+(г/2-г/1)2+(22-21)2. (2.5)
Соотношение (2.5) является формулой для определения расстоя-
ния между точками Л и В по известным прямоугольным координатам
этих точек.
Из определения 2.1 с учетом (2.3) и (2.4) следует формула для
косинуса угла между данными векторами:
С05(Д)_-±^= °А+°А+°А (26)
|5|.|Ы ^+4+а2,-^+Ь1+Ы
Полагая в (2.6) поочередно b = i,b = j,b = k, получаем формулы
для направляющих косинусов вектора а, под которыми понимают
косинусы углов, образованных данным вектором с векторами прямо-
угольного базиса i, j, k, или, что то же самое, с осями прямоугольной
системы координат. Имеем:
79
Раздел 2. Векторная алгебра
а-г ах а-1 %
cos(a, г) =------— — г—; cos(a, ;) =------=~г = г~т;
|5|-|i| |«| Ia|.|j| |5|
л_
cos(a, k) =
ak _ az
|a|-|£| |e|
cos2 (a, i) + cos2 (a, j )+cos2 (a, k) = 1.
Направляющие косинусы вектора a — это координаты его орта
а0 = р-г. Наконец, для проекции вектора а , заданного первым из
Iа I
разложений (2.2), на ось / с ортом е справедливо равенство
пр-а = а • е = ах cos a + a^cosP + ^cosy,
где cosa, cosр, cosy — направляющие косинусы вектора е.
Пример 2.1. Точки А(1, -1, 0), В(3, -3, 1), С(2, 1, 2), — вершины
треугольника. Найти его внутренний угол при вершине В.
► Угол треугольника АВС при вершине В образован век-
торами ВА и ВС (рис. 2.1). Их координаты найдем, вычитая
из координат концов координаты начала (формула (6.4), гл. 1):
ВА = (-2,2, -1), ВС = (-1, 4,1), а их длины по формуле (2.4):
| ВА| = 7(-2)2 +22 +(-1)2 = 3; | ВС |= 7(-1)2+42+12 = Зл/2. Для cos £
из (2.6) имеем равенство
* _(ВА,ВС) (-2)(-1) + 2-4+(-1)-1=: 1
|БЛ||ВС| 3-35/2 42
откуда заключаем, что В — п/4.4
Рис. 2.1. К примеру 2.1
Рис. 2.2. К примеру 2.2
80
Глава 2. Операции умножения векторов
Пример 2.2. Найти длины диагоналей параллелограмма, по-
строенного на векторах а и b как на сторонах, если 2 = Зр4-2^;
b = 2p-q-, |р| = 4; |<?| = 3; (р, £) = 2л/3. _ _
► Длины диагоналей параллелограмма равны | а + b | и | а - b |
(рис. 2.2), a + b = 5p + q, a — b = p + 3q. По свойству 5 | а + b | =
= ^(а + Ь)2, поэтому | а + b |= yl(5p + q)2 = ^25р2 + iOpq + q2 . Так как
p9 = |p||^|cos(p, д) = 4-3соз(2п/3) = -6; р2 = |р|2=16; q2 =|#|2=9,то
| а + b |= >/25 • 16 - 60 + 9 = 7349. Аналогично ^(a-ft)2 = ^(р + З#)2 =
= 7р2 + 6р?+9£2 = 716 - 36 + 9-9 = 761. 4
Пример 2.3. Найти работу, совершаемую при прямолинейном
движении материальной точки из положения Р,(1, — 1, 3) в положе-
ние Р2(2,1,1) в поле действия силы F = (-2, 3, -5). _ ___(
► Согласно (2.1) для работы А имеем равенство A — (F, Р^)-
Поскольку PtP2 = (1, 0, - 2), тоА=(-1)-1+3-0+(-5)(-2)=8 (ед. энергии). -4
§ 3. Векторное произведение двух векторов
Определение 3.1. Упорядоченная тройка некомпланарных век-
торов а, Ь, с, приведенных к общему началу, называется правоори-
ентированной, или правой (соответственно левой), если поворот от
вектора а к вектору b на наименьший угол виден из конца вектора
с происходящим против (по) часовой стрелке (рис. 3.1,3.2).
Замечание 3.1. Угол <р поворота от а кЬ в этом определении,
очевидно, равен по величине углу между векторами a п Ь ,<р = (а, Ь),
и поэтому 0 < ср < тс. Он не может быть равным 0 или л, так как
Рис. 3.2. Тройка векторов а,Ь,с —
левая
81
6-1459
Раздел 2. Векторная алгебра
a, by с — некомпланарные векторы и, следовательно, а, b —некол-
линеарные векторы.
Замечание 3.2. В соответствии с ориентацией ортов декартовой
прямоугольной системы координат последняя называется правой
или левой. В дальнейшем, если не оговорено противное, использу-
ется правая система координат.
Определение 3.2. Векторным произведением вектора а на век-
тор Ь называется вектор с , удовлетворяющий следующим трем
условиям:
1) | с 1=1 а || b | sin(5, К);
2) вектор с перпендикулярен векторам а и Ь;
3) векторы а, Ь, с образуют правукмгройку.
Замечание 3.3. Если векторы а и b коллинеарны или хотя бы
один из них нулевой, то их векторное произведение с равно нуль-
вектору. В самом деле, в этом случае | с |= 0, так как либо sin(a, b) = О,
либо | а |= 0, либо | b |= 0.
Для векторного произведения векторов а и b принято обозна-
чение axby иногда [а,Ь]. _ _
Пример 3.1. Даны два вектора a — i + j, =-i + J, где i, j —орты
прямоугольного базиса. Используя определение 3.2, найти векторное
произведение а х b и изобразить его на чертеже.
► Рассмотрим прямоугольный базис (г, j, k) и построим
векторы а иЬ (рис. 3.3). Так как (а, Ь) = л/2 и |Й|=|£|=>/2> то
| а х b |=| а || b | sin(5,Z>) = 2. Вектор k перпендикулярен векторам а и
by а тройка 5, by k — правая (рис. 3.3). Поэтому векторы axb и k
—♦ , i w ас
коллинеарны и сонаправлены и а хо = ।
Рис. 3.3. К примеру 3.1
О
Рис. 3.4. К понятию момента
силы F относительно точки О
82
Глава 2. Операции умножения векторов
Векторное произведение применяют, например, в физике для
вычисления момента М силы F относительно данной точки О,
который по определению равен rxF, где г — радиус-вектор точки
р — точки приложения силыГ, отложенный от точки О (рис. 3.4).
Таким образом,
М —rxF. (3.1)
Свойства векторного произведения
1. Модуль векторного произведения двух неколлинеарных век-
торов численно равен площади параллелограмма, построенного на
этих векторах как на сторонах.
2. Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда
и только тогда, когда его сомножители коллинеарны (линейно за-
висимы).
Следствие:^ х а = 0 для любого вектора а.
3. axb — —bxа (антикоммутативность).
4. (ка)# b = Х(5 х £).
5. ax(b +c) = axb +ахс (дистрибутивность).
Пример 3.2. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах a = 2p-q и b = p + 3qf если |р| = 2, |д| = 3, а(Д?) = я/6.
. ► Искомая площадь 5 = |ях£| (свойство 1),
axb = (2p-q)x(p + 3q). Используя свойство 5, раскроем скобки в
правой части последнего равенства: axb = (2p)xp-qxp+(2p)x
x(3g)-gx(3g). по следствию из свойства 2 имеем
(2p)xp = qx(3q) = Q, а по свойству 4 — (2p)x(3q) = 6(pxq). В ре-
зультате получаем равенство
axb =-qxp + 6(pxq). (3.2)
Поменяем местами сомножители в первом слагаемом в правой ча-
сти (3.2). В силу свойства 3 это слагаемое изменяет знак._После при-
ведения подобных членов приходим к соотношению axb =7(pxq).
Теперь имеем
S = |7(рх<?)| = 7|рх= 7|р||^|sin(р, q) = 7 2-31/2 = 21 (кв. ед.).◄
§ 4. Смешанное произведение векторов
Пусть дана тройка векторов а, Ь, с. Так как а х b есть вектор, то
Можно рассматривать скалярное произведение этого вектора на век-
тор с.
83
6'-1459
Раздел 2. Векторная алгебра
Определение 4.1. Скалярное произведение (3x6)-с вектора 3x6
на вектор с называется смешанным произведением векторов сцЬ^с.
Очевидно, смешанное произведение (а х 6) • с есть число.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение (3x6)-с трех некомпланарных Нек-
торов 3, 6, с по модулю равно объему ^параллелепипеда, построен-
ного на данных векторах, как на ребрах.
2. Тройка векторов 3, 6, с является компланарной тогда и Только
тогда, когда их смешанное произведение (3x6) с равно нулю.
3. Тройка некомпланарных векторов 3, 6, с является правой (ле-
вой) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (3 х 6) • с
положительно (отрицательно).
4. Смешанное произведение векторов а,Ьус не изменяется при
циклической перестановке сомножителей, т. е. справедливы равен-
ства.
(Зхб)-с = (6 хс)-3 = (сх3)-6, (4.1)
(Зхб)с = с(3х6) = 3-(6хс) = 6-(сх3). (4.2)
Замечание4.1. Равенство (Зхб)с = 3-(6хс) из (4.2) позволяет
обозначать смешанное произведение векторов 3, 6, с в виде 363,
не указывая при этом, какая пара из них перемножается векторно.
Пример 4.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на
векторах ауЬ,с> как на ребрах, если |3| = 2, |б| = 3, |с| = 3, (3, —
с 1а, с 1b.
► Обозначим объем данного параллелепипеда через Vnap,
Kap=l^c| (свойство 1). Векторы 3x6 и с коллинеарны, так как
каждый из них перпендикулярен векторам 3 и 6; кроме того,
|3 х б| = 2 • 3sin j = 3>/2.
Поэтому
- г . |3x6L 3\/2- ,
а х 6 = ±± -тг-с = ± V2 с.
с 3
84
Глава 2. Операции умножения векторов
Тогда abc — (axb)c =(±42с,с) = ±>/2с2 =±9-72 и Vnap =
± 9>/2 ,|= 9^2 (куб. ед.). ◄
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов, заданных
разложениями в прямоугольном базисе
Пусть векторы а, Ь, с заданы разложениями в прямоугольном
базисе:
a~axi + ayj + azk,
b = bxi + by] + bzk,
c = cxi+cyj+czk.
Для axb и abc имеем:
axb = (aybz -azby )t -(axbz -azbx)j + (axby -aybx)k, (5.1)
^Ь C (dybz tizby ^z^x 'fey T(@х&у &у^х У^г’ (^.2)
Записывая разности в круглых скобках в формулах (5.1) — (5.2)
как определители второго порядка (см. формулу (2.3) гл; 1 разд. 1), а
также используя теорему 2.1 из упомянутой главы, получаем:
k,
Для компактной записи а х b введем формальный определитель
3-го порядка, у которого первая строка состоит не из чисел, а из век-
торов г, у, k. По аналогии с упомянутой теоремой по определению
примем
85
Раздел 2. Векторная алгебра
тогда векторное произведение a xb записывается в виде
axb =
J k
аУ а2
^У
(5.4)
Пример 5.1. Сила F = 3i -2j +k приложена в точке Р(1, 1, 2).
Найти момент этой силы относительно точки Q(2, —1,2)._(
► Пусть М — искомый момент. По формуле (3.1) М = QPxF. Так
как QP(-1,2,0), то
Пример 5.2. Доказать, что векторы а, Ь, с компланарны, если
а —2г -3j + k; b — i + j-2k и c = 3i -2j-k.
► Вычислим смешанное произведение abc по формуле (5.3):
2
abc= 1
-3
1
-2
1
-2
-1
= 2-
1 -2
-2 -1
-(-3).
-2
-1
+ 1-
1
-2
3
1
3
1
3
= -10 + 15-5 = 0.
Поскольку abc = Q, то векторы a,b,c — компланарны. ◄
Пример 5.3. Дан тетраэдр, вершинами которого являются точки
4(1, -1,2), В(2,1,2), С(1,1,4), £>(6, -3,8). Найти объем тетраэдра Ти
длину высоты h, опущенной из вершины D на грань АВС.
В
Рис. 5.1. К примеру 5.3
► Рассмотрим векторы
АВ = (1, 2, 0), ЛС = (0, 2, 2),
АО = (5, -2, 6).
Они служат ребрами тетраэдра
ABCD и одновременно ребрами
параллелепипеда с основанием
АВЕС (рис. 5.1). Очевидно, тетра-
86
Глава 2. Операции умножения векторов
эдр и параллелепипед имеют одну и ту же высоту h, а объем те-
траэдра VT составляет одну шестую часть объема параллелепипеда
Уп. Действительно,
VT = h = -^[t^Sabec = |vn.
Так как
Vn =| AB AC AD I, SABEC =\ABxAC\,h — -A- =
^abec |АВхЛС|
то здесь более рационально сначала вычислить АВх АС:
г j k
1
О
1 2
О 2
АВхАС=
?2 О
2 2
-J
= 4г — 2j + 2k,
2
2
О
2
= г
? 1 О
О 2
+ k
тогда ABACAD = (АВхАС) AD = (it-2j+ 2k)(5i -2j + 6k) = 36 =>
=J>Vn=36 и VT =|-36 = 6; S^c = 742 + (-2)2 + 22 = V24 = 2>/б;
h = -^= = 3j6.<
87
РАЗДЕЛ 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Аналитическая геометрия — раздел математики, в котором гео-
метрические фигуры изучаются с помощью алгебраического ана-
лиза. При этом геометрическим фигурам по некоторому способу
сопоставляются алгебраические уравнения. Это способ, называе-
мый методом координат, был создан независимо друг от друга дву-
мя великими французскими математиками XVII в. — Р. Декартом
(1596—1650) и П. Ферма (1601—1665). Метод координат дал возмож-
ность определить положение точки с помощью чисел и тем самым
выразить геометрические свойства фигур в свойствах их уравнений.
Сопоставляя геометрическим фигурам уравнения, аналитическая
геометрия решает две основные задачи: 1) получить уравнение (или
систему уравнений) данной геометрической фигуры и с его помо-
щью исследовать ее свойства; 2) данному уравнению сопоставить
геометрическую фигуру и с его помощью изучить ее свойства. В трех
главах настоящего раздела решаются эти задачи для прямых, пло-
скостей, некоторых кривых и поверхностей, традиционно изучае-
мых в аналитической геометрии. При этом понятия точки, прямой
и плоскости считаются начальными, а под кривой (линией) и по-
верхностью понимаются некоторые множества точек, обладающие
общим геометрическим свойством. Такой подход к этим понятиям
соответствует элементарной планиметрии и стереометрии и обеспе-
чивает непрерывность и преемственность изучения математики в
школе и в вузе.
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
§ 1. Понятие об уравнении плоской линии. Алгебраические
линии. Теорема об инвариантности порядка
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система ко-
ординат Оху и некоторая линия Г.
Определение 1.1. Уравнение F(x, г/) = 0 с двумя переменными х и
у называется уравнением плоской линии Г, если ему удовлетворяют
координаты х, у любой точки Г и не удовлетворяют координаты то-
чек, не принадлежащих Г.
В аналитической геометрии под функцией F(x, у) от двух пере-
менных х, у понимают, как правило, многочлен.
88
Глава 1, Геометрия прямых и плоскостей
Рис. 1.1. Окружность с центром в
точке А и радиусом г
Равенство
(х-а)2 +(у-Ь)2 =г2 (1.1)
является уравнением окружности с центром в точке А(а, Ь) и ради-
усом г (рис. 1.1), так как ему удовлетворяют координаты любой ее
точки и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих ей.
Уравнению (х - а)2 + (у-Ь)2 = О
удовлетворяют координаты един-
ственной точки Л (а, Ь), а уравнению
(х - а)2 + (у - Ь)2 = -1 не удовлетво-
ряют координаты ни одной точки
плоскости.
Две основные задачи
аналитической геометрии на
плоскости
1. По описанию общего геоме-
трического свойства всех точек
линии Г получить уравнение Г в
выбранной системе координат и по
нему изучить такие ее свойства, как
форма, место расположения на плоскости и т. д.
2. Данному уравнению F(x, у) — 0 соотнести множество точек
плоскости, в частности линию Г, и с помощью свойств уравнения
исследовать свойства Г.
Для окружности, задаваемой уравнением (1.1), рассмотре-
на первая из этих задач, а для уравнений (х-а)2 +(г/-&)2 =0 и
(х - а)2 + (у - Ь)2 = -1 — вторая.
Уравнение с двумя переменными не является единственным спо-
собом задания линии Г с помощью уравнения. В некоторых случаях
представляется удобным выразить координаты точек этой линии че-
рез третью вспомогательную переменную (или параметр) t.
Определение 1.2. Система уравнений
х = x(tY „
v 7 teT
y = y{t)>
(1.2)
называется параметрическими уравнениями линии Г, если для любой
ее точки А/0(х0, г/0) найдется такое значение параметра tQ е Г, что ее ко-
ординаты определятся из этой системы при t — : xQ — х(£0), yQ=y(t^),
а для точек, не принадлежащих ей, такого значения t не существует.
89
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Под х(£) и y(f) в правых частях уравнений системы (1.2) понимают-
ся некоторые функции параметра t, например такие, которые выра-
жаются через элементарные функции, изученные в школьном курсе
алгебры и начал анализа.
В соответствии с принятым определением система уравнений
x = rcos^ + a,
2/ = rsin£ + Z>,
t е [0, 2 л]
задает рассмотренную выше окружность. Параметр t в данном случае
является углом поворота вектора АВ, коллинеарного оси Ох, до со-
вмещения с вектором AM, где М(х, у) — произвольная точка окруж-
ности (рис. 1.1).
При задании параметрическими уравнениями траектории Г дви-
жущейся по плоскости точки М за параметр t принимается время,
прошедшее от начала движения. Тогда функции х(£) и y(t) из уравне-
ний (1.2) определят координаты точки М на любой момент времени t
из промежутка Т.
Определение 1.3. Плоская линия Г называется алгебраической
линией порядка п, если в некоторой прямоугольной декартовой си-
стеме координат Оху она может быть задана уравнением вида
Аххк'у1 + ... +Asxksyls =0, (1.3)
где все показатели степени — неотрицательные целые числа; п —
степень этого уравнения, равная наибольшей из сумм kt + i =
= 1,..., s, при этом отличен от нуля хотя бы один коэффициент At,
для которого kt + lj = n.
На плоскости можно выбрать бесчисленное множество прямо-
угольных декартовых систем координат, поэтому возникает вопрос
о зависимости порядка данной алгебраической линии от выбора си-
стемы координат. Ответом на этот вопрос служит теорема об инва-
риантности порядка.
Теорема 1.1. Порядок алгебраической линии инвариантен по
отношению к выбору прямоугольной декартовой системы коор-
динат.
Замечание 1.1. Все линии, не являющиеся алгебраически-
ми, называются трансцендентными. Таковыми будут, например,
графики логарифмической, показательной, тригонометрических
функций.
90
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
§ 2. Прямая как линия первого порядка.
Общее уравнение прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору
Введем на плоскости прямоугольную декартову систему коорди-
нат Оху и рассмотрим уравнение первой степени относительно х, у*.
Ах+Ву+С=0, А2+В2 * 0. (2.1)
Теорема 2.1. Любая прямая на плоскости может быть задана в
произвольной прямоугольной декартовой системе координат урав-
нением вида (2.1).
Теорема 2.2. Любое уравнение вида (2.1) определяет на плоскости
прямую.
Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что прямая на плоскости и только она
является линией первого порядка.
Уравнение (2.1) называется общим уравнением прямой на плоско-
сти. Его коэффициенты Л и В имеют определенный геометрический
смысл, а именно они являются координатами вектора и, перпенди-
кулярного прямой, определяемой этим уравнением. Этот вектор на-
зывается вектором нормали, или нормальным вектором, к данной
прямой. Уравнение
Л(х - х0) + В(у - г/0) = 0 (2.2)
при различных значениях коэффициентов Л, В задает все прямые
плоскости, проходящие через точку М0(х0, yQ). Оно называется
уравнением пучка прямых с центром в точке MQ. Выбор конкретных
значений Л и В в (2.2) приводит к
уравнению прямой пучка, проходя-
щей через точку MQ перпендикуляр-
но заданному вектору п = (А, В)
(рис. 2.1).
Если один из коэффициентов Л,
В равен нулю, то уравнение (2.1) за-
дает прямую, параллельную одной
из осей координат, а именно при
Л = 0 — прямую, параллельную оси
Ох, при В = 0 — оси Оу. При С = 0
уравнение (2.1) задает прямую, про-
Рис. 2.1. К уравнению пучка
прямых
ходящую через начало координат.
91
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Пример 2.1. Написать уравнение прямой Z, проходящей через
точку Мо(-1,2) перпендикулярно вектору п = (3, - 2).
► Напишем уравнение пучка прямых с центром в точке Мо(-1,2):
Л(х + 1) + В(г/-2) = 0. (2.3)
Коэффициентами уравнения (2.3), как отмечено выше, являются
координаты вектора нормали к прямой I, каковым здесь можно счи-
тать вектор Й = (3, -2) из условия задачи. Подставив в (2.3) вместо
Ап В координаты вектора п, после очевидных преобразований по-
лучаем уравнение прямой L: Зх - 2у + 7 = 0. ◄
Пример 2.2. При каком значении параметра а прямая *
Z:(a -4)х + (а2-3а + 2)у+а-4 = 0; 1) параллельна оси абсцисс;
2) параллельна оси ординат; 3) проходит через начало координат?
► Параметр а 2, иначе коэффициенты при х и у в данном урав-
нении обращаются одновременно в нуль, и оно не определяет ника-
кой прямой.
1. а2-4 = 0 и а^2, отсюда а = -2. Уравнение L имеет вид
»=1/2.
2. а -За + 2 = 0, а 2, отсюда а = 1. Уравнение L имеет вид
х = -1.
3. а = 4, ее уравнение имеет вид 2х+у = 0. 4
§ 3. Различные виды задания прямой на плоскости
1°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Выберем на
плоскости прямоугольную декартову систему координат Оху и
прямую L, определяемую уравнением (2.1). Пусть в этом уравнении
В * 0. При этом условии прямая L не параллельна оси Оу, а упомя-
нутое уравнение приводится к виду
y = kx + b, (3.1)
где k^-A/B, Ь = -С/В.
Коэффициент b из уравнения (3.1) называется начальной орди-
натой прямой L. Он равен ординате точки пересечения этой пря-
мой с осью Оу (у = Ь прих = 0). Для геометрической интерпретации
коэффициента k введем понятие угла наклона данной прямой к
оси Ох.
Определение 3.1. Углом наклона <р прямой L к оси Ох называется
наименьший угол поворота этой оси, производимого вокруг точки
пересечения Ох и L в направлении против часовой стрелки до со-
вмещения Oxc L (рис. 3.1).
92
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
Угол ф принимает значения из промежутка [0, к), при этом ф = О,
если прямая L и ось Ох параллельны или совпадают.
Коэффициент k из правой части уравнения (3.1) равен тангенсу
угла наклона ф прямой L к оси Ох. Он называется угловым коэффици-
ентом этой прямой, а уравнение (3.1) — уравнением прямой с угловым
коэффициентом.
Замечание 3.1. Уравнением с угловым коэффициентом нельзя
задать прямую, параллельную оси Ог/, так как она определяется
уравнением вида (2.1) при В = 0 и, следовательно, не имеет углового
коэффициента.
Уравнение
У-Уо = к(х-Хо) (3-2)
при всевозможных значениях k вместе с уравнением
х - х0 = 0 (3.3)
задает все прямые пучка с центром в точке М0(х0, у0).
Если известны координаты двух точек М0(х0, у0) и М/Хр у^) пря-
мой L, то ее угловой коэффициент k определяется из равенства
к=_У1 -Уо
*1 - х0 ’
(3-4)
которое можно получить из (3.2), подставив туда координаты точки Мх.
Пример 3.1. Найти угол между осью Оги прямой L: V3x + у - 2 = 0.
► Обозначим искомый угол через <р. Преобразуем уравнение L к
виду (3.1): у = —73х + 2, отсюда & = tgcp = —Уз и <р = 2л/3. ◄
Пример 3.2. Луч света проходит через точку Л(6,2) и, отразив-
шись от оси Ох в точке В, проходит через точку С(-4,3). Найти аб-
сциссу точки В.
► Как известно из физики, угол падения равен углу отражения.
Для угловых коэффициентов kx и k2 прямых Lx и L2 (рис. 3.2) спра-
ведливо равенство
Рис. 3.1. Угол наклона прямой к Рис. 3.2. К примеру 3.2
оси Ох 1
93
Раздел 3. Аналитическая геометрия
^=-^, • (3.5)
поскольку <р2 =71 ” Ф1 и tgq>2 = _^8Фр Для и k2 из (3.4) имеем:
а = Ул-Ув = 2 ь = Ус~Ув_ 3
хА - хв 6 - хв ’ хс - хв -4-хв’
где хв — абсцисса точки В (рис. 3.2), отсюда с учетом (3.5) получаем
2
6- хв
3
4 + хв
=£ хв 2. ◄
2°. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение
х-х0 _У-Уо
I т
(3.6)
называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Оно
определяет прямую L, проходящую через точку М0(х0, у0) параллель-
но вектору q = (I, т), называемому ее направляющим вектором (рис.
3.3, точка М(х, у) — текущая точка прямой).
Если заданы две точки А/0(х0, у0) и Мх(х\, г/,), принадлежащие дан-
ной прямой, то ее уравнение можно записать в виде
(3.7)
x-Xq у-у0
х1-х0 У1~Уо’
ибо за направляющий вектор q здесь можно принять вектор
МОМГ (Xj “Хп,^ -у0). Уравнение (3.7) называется уравнением
прямой, проходящей через две данные точки.
Рис. 3.3. К заданию прямой на плоско-
сти каноническим уравнением
Рис. 3.4. К примеру 3.3
94
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
Пример 3.3. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки А(2, —1) на прямую L: Зх - 2у + 5 = 0.
► За направляющий вектор q перпендикуляра АР примем п —
вектор нормали к прямой L (рис. 3.4): q = п = (3, -2). Уравнение АР
имеет вид:
х-2_ У + 1
3 -2
Пример 3.4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки
Л(2,-1)иВ(1,3).
► Подставим координаты точек А и В в уравнение (3.7), получим:
х-2_у+1 х-2_у+1
1-2 “3 + 1^ -1 ~~Т~' 4
3°. Параметрические уравнения прямой. Приравняем каждое из
равных отношений в (3.6) параметру t.
I ’ т '
Выражая хи у из равенств (3.8), приходим к следующей системе:
(3.8)
x = lt+x0,
y = mt + y0,
t € JR,
(3.9)
которая называется параметрическими уравнениями прямой на
Плоскости.
Система (3.9) допускает механическую интерпретацию, а имен-
но она определяет координаты точки, движущейся равномерно по
данной прямой, причем числа I и т являются координатами вектора
скорости, а параметр t трактуется как время, прошедшее с начала
движения.
Пример 3.5. Точка движется по прямой из положения (1,0) с по-
стоянной скоростью v — (2, 3). Написать уравнение траектории дви-
жения.
► Из системы (3.9) получаем параметрические уравнения тра-
ектории Г: х = 2£ +1, # = 3£, £ > 0, где за параметр t принято время.
Исключение из этих уравнений параметра t приводит к канониче-
скому уравнению траектории: х % * = . И наконец, после очевид-
ных преобразований получим уравнение траектории в виде общего
уравнения прямой: Зх-2у — 3 = 0. ◄
95
Раздел 3. Аналитическая геометрия
§ 4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Вычисление угла между двумя прямыми
Две прямые на, плоскости могут либо совпадать, либо пересе-
каться в одной точ:ке, либо не иметь ни одной общей точки, т. е. быть
параллельными. :
Пусть прямые Lx и L2 заданы следующими уравнениями с угловым
коэффициентом/: Zt: г/ = А1х + й1; L2: y = k2x + b2.
Условие параллельности таких прямых следует из условия ра-
венства углов .наклона cpj и Ф2 этих прямых к оси Ох, Поскольку
tg(pi= tg ф 2, то приходим к следующему утверждению:
Z1 ||Z2 4^ = &2.
Для угла ф между прямыми Lx и L2, понимаемого как угол поворо-
та в направлкении против часовой стрелки прямой Zt до совмещения
с прямой L2 (рис. 4.1), имеем формулу
* ki
*’=Щ? <4Л>
где = t.gфх, Л2 = tgф2г
Если 1 + ^^2=0, то ^ф = 0, следовательно, угол ф равен л/2 и
данные/прямые перпендикулярны. Итак, любое из следующих ра-
венств:»
кхк2 + 1 — 0 или ^=-1/^2,
является условием перпендикулярности прямых, заданных уравне-
ниями с угловым коэффициентом.
Рис. 4.1. К формуле для тангенса
угла между прямыми
Пример 4.1. Написать уравнение
прямой L, проходящей через точку
(2,3), если она: а) параллельна пря-
мой Ц: г/ = -2х+5; б)перпендику-
лярна прямой L2: у — Зх -1; в) пер-
пендикулярна прямой Z3:^ = l;
г) образует угол я/4 с прямой
Z4: # = Зх + 5.
► Пусть ^2, &3, k4 — угло-
вые коэффициенты прямых
L р L 2, Z 3, Z4 , — -2; ^2 “ == 3,
k3 = 0, а & — угловой коэффициент
прямой!. Напишем уравнение пуч-
96
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
ка прямых с центром в точке (2, 3): у - 3 = k(x - 2), х = 2, и опреде-
лим k так, чтобы удовлетворить условиям а) — г):
a) k = kl = -2, тогда L: г/-3 = -2(х-2)=>£: у = -2х + 7;
б) ^ = -1/^=-1/3, тогда L: y-3 = -(x-2')/3=>L: у — -х/3 +
+ И/3.
, в) прямая Z3 параллельна оси Ох, следовательно, прямая L пер-
пендикулярна этой оси и не имеет углового коэффициента. Данному
условию удовлетворяет прямая L: х = 2 из рассматриваемого пучка;
г)
из (4.1) имеем равенства tg<p = 1 =
k-3
i + 3k
. < з-л
“’’'ШТ
откуда для k получаем два уравнения:
i + 3k = k-3, \k = -2,
i + 3k = 3-k, \k = i/2.
. Итак, данному условию удовлетворяют две прямые:
L: у-3 = -2(х-2) => L: у = -2х +7;
L: у - 3 =-^(х - 2)=> L: у = -^х+ 2. ◄
§ 5. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Пусть на плоскости введена
Прямоугольная декартова систе-
ма координат и заданы прямая L:
Ах + Ву + С = 0 и точка М0(х0, у0),
йе принадлежащая L.
Расстоянием d от точки Мо
до прямой L называется, как из-
вестно, длина отрезка M0N, где
Ух) ~ проекция точки Мо на
Данную прямую (рис. 5.1). Для d
имеем формулу
_ I Агр +-&/0 +С| j.
х]а2+в2
Рис. 5.1. К понятию расстояния
от точки MQ до прямой L
Рис. 5.2. К примеру 5.1
97
^1459
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Пример 5.1. Найти'длину стороны квадрата, если одна из его
сторон расположена на прямой L: у = -х 4- 3 , а одна из вершин на-
ходится в точке Л(3, 6).
►Точка А не принадлежит прямой L, так как ее координаты
не удовлетворяют уравнению L, Поэтому длина стороны ква-
драта равна расстоянию d от точки А до прямой L (рис. 5.2).
Преобразовав уравнение L к виду х 4- у - 3 = 0, найдем d по фор-
муле (5.1):
j = l3+.6 3L-L = 3>/2.<<
71М7 >/2
§ 6. Понятие об уравнении поверхности. Алгебраические
поверхности. Теорема об инвариантности порядка
Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова система
координат Oxyz и задана некоторая поверхность (5), понимаемая как
множество точек пространства, обладающих общим геометрическим
свойством.
Определение 6.1. Уравнение jF(x, у, z) = 0 с тремя переменными
х, г/, z называется уравнением данной поверхности 5, если ему удо-
влетворяют координаты х, г/, z любой точки 5 и не удовлетворяют
координаты точек, не принадлежащих ей.
Под функцией F(x, г/, z) = 0 в аналитической геометрии понима-
ются в основном многочлены.
Равенство (х - а)2 4-(z/ — b)2 + (z- с)2 — г2 является уравнением
сферы с центром в точке А(а, Ь,
Рис. 6.1. Сфера с центром в точ-
ке Л и радиусом г
с) и радиусом г (рис. 6.1), так как ему
удовлетворяют координаты любой
точки этой сферы и не удовлетво-
ряют координаты точек, не принад-
лежащих ей.
Уравнению (х - а)2 + (у -
- Ь)2 + (z - с)2 = 0 удовлетворя-
ют координаты единственной
точки А(а, Ь, с), а уравнению
(х-а)2 +(y-b)2 +(z~c)2 = -1 не
удовлетворяют координаты ни
одной точки пространства.
98
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
Две основные задачи аналитической геометрии в пространстве
1. По описанию общего геометрического свойства точек поверх-
ности 5 получить ее уравнение в данной системе координат и с его
помощью изучить такие ее свойства, как форма, расположение в про-
странстве и т. д.
2. Данному уравнению F(x, y,z) — О соотнести множество точек
пространства, в частности поверхность 5, и с помощью уравнения
изучить свойства S.
Для вышерассмотренной сферы решена первая из этих
"задач, а для уравнений (x-d)2 + (y-b)2 + (z-c)2 =0 и
(х ~ а)2 + (у - Ь)2 + (z - с)2 = -1 — вторая.
Определение 6.2. Поверхность S называется алгебраической по-
верхностью п-го порядка, если в некоторой прямоугольной декарто-
вой системе координат Oxyz она может быть задана уравнением вида
A^y'z”1' +... + Asxksyl*zms =0,
где все показатели степени — неотрицательные целые числа, а п —
степень этого уравнения, равная наибольшей из сумм 1.+ mif
i = 1,..., s, при этом отличен от нуля хотя бы один коэффициент
для которого + li+mi — n.
Для алгебраической поверхности, так же как и для алгебраиче-
ской плоской линии, справедлива теорема об инвариантности по-
рядка.
Теорема 6.1. Порядок алгебраической поверхности инвариантен
по отношению к выбору прямоугольной декартовой системы коор-
динат.
Замечание 6.1. Все поверхности, не являющиеся алгебраически-
ми, называются трансцендентными.
§ 7. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее
уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через
данную точку перпендикулярно заданному вектору
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему коор-
динат Oxyz и рассмотрим уравнение первой степени относительно
Ax + By + Cz = Q,A2 + B2 + (?*Q. (7.1)
I Теорема 7.1. Любая плоскость может быть задана в произвольной
прямоугольной декартовой системе координат уравнением вида (7.1).
99
7*-1459
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Точно так же, как и в случае прямой на плоскости, справедлива
теорема, обратная теореме 7.1.
I Теорема 7.2. Любое уравнение вида (7.1) задает в пространстве
I плоскость.
Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что плоскость и только она является
поверхностью первого порядка.
Уравнение (7.1) называется общим уравнением плоскости. Его
коэффициенты Л, В, С трактуются геометрически как координаты
вектора п, перпендикулярного плоскости, определяемой этим урав-
нением. Этот вектор п = (Л, В, С) называется вектором нормали к
данной плоскости. Уравнение
Л(х-хо) + В(у-г/о)+С(г-го) = О (7.2)
при различных значениях коэффициентов А, В, С задает все плоско-
сти, проходящие через точку М0(х0, у0, z0). Оно называется уравне-
нием связки плоскостей. Выбор конкретных значений Л, В, С в (7.2)
означает выбор плоскости Р из связки, проходящей через точку Мо
перпендикулярно вектору п = (А, В, С) (рис. 7.1).
Пример 7.1. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через
точку Л(1,2,0) параллельно векторам а — (1, 2, -1), b = (2, 0,1). _
► Вектор нормали п к Р ортогонален данным векторам а и b
(рис. 7.2), поэтому за п можно взять их векторное произведение:
Подставим координаты точки Мо и координаты вектора п в (7.2),
получим уравнение плоскости:
Р: 2(x-l)-3(y-2)-4z = 0=>P:2x-3y-4z + 4 = 0. ◄
Рис. 7.1. К уравнению связки пло-
скостей
Рис. 7.2. К примеру 7.1
100
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
Если два из коэффициентов A, В, С уравнения (7.1) равны нулю,
оно задает плоскость, параллельную одной из координатных пло-
скостей. Например,при А = В = 0, С^О — плоскость Рх:Cz + D == О
или Рх: z — - Она параллельна плоскости Оху, ибо ее вектор нор-
мали пх = (О, О, С) перпендикулярен этой плоскости. При А = С = О,
5^0 или B — C — Q, А^О уравнение (7.1) определяет плоскости
P2:By + D = 0 и Р3: Ax + D = 0, параллельные координатным пло-
скостям Oxz и Oyz, так как их векторы нормали п2 = (О, В, 0) и
п3 = (Л, 0, 0) им перпендикулярны (рис. 7.3). Если только один из
коэффициентов Л, В, С уравнения (7.1) равен нулю, то оно задает пло-
скость, параллельную одной из координатных осей. Так, плоскость
Р: Ах + By + D = 0 параллельна оси Oz, поскольку ее вектор нормали
п = (Л, В, 0) перпендикулярен оси Oz, Заметим, что она проходит
через прямую L : Ах + By = 0, лежащую в плоскости Оху (рис. 7.4).
При D = 0 уравнение (7.1) задает плоскость, проходящую через на
чало координат.
Пример 7.2. Найти значения параметра X, при которых уравнение
Хх + (Х^ + 2Х)^/ 4~ (Х^ 4“ X — 2)z 4~ X — 3 — 0
определяет плоскость Р: а) параллельную одной из координатных
плоскостей; б) параллельную одной из координатных осей; в) про-
ходящую через начало координат.
►Запишем данное уравнение в виде
л Хх 4~ Х(Х 4” 2)г/ 4“ (X 4~ 2)(Х — l)z4-X — 3 = 0. (7.3)
Рис. 7.3. Плоскости, параллель-
ные плоскостям координат
Рис. 7.4. Плоскость Р: Ax+By+D—0,
параллельная оси Oz
101
Раздел 3. Аналитическая геометрия
При любом значении X уравнение (7.3) определяет некоторую
плоскость, так как коэффициенты при х, у, z в (7.3) не обращаются в
нуль одновременно:
а) при X = 0 уравнение (7.3) определяет плоскость Р, параллель-
ную плоскости Оху, Р: z = -3/2, а при X = -2 оно определяет пло-
скость Р, параллельную плоскости Oyz,P\x = -5/2. Ни при каких
значениях X плоскость Р, определяемая уравнением (7.3), не парал-
лельна плоскости Oxz, поскольку коэффициенты при х, z в (7.3) не
обращаются в нуль одновременно;
б) при X = 1 уравнение (7.3) определяет плоскость Р, параллель-
ную оси Oz, Р: х + Зу - 2 = 0. При остальных значениях параметра X
оно не определяет плоскости, параллельной только одной из коор-
динатных осей;
в) при X — 3 уравнение (7.3) определяет плоскость Р, проходящую
через начало координат, Р: Зх + 15г/ + 10z = 0. ◄
§ 8. Расстояние от точки до плоскости
Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова система
координат, задана плоскость Р, определяемая уравнением
Лх + 2%/ + С? + £)==0, (8.1)
и точка Mq(xq, у0, z0), не принадлежащая Р.
Расстоянием d от точки Мо до плоскости Р называется, как из-
вестно, длина отрезка MQN, где N(xp yv zt) — проекция точки Мо на
плоскость Р (рис. 8.1). Для величины d справедлива формула
1^о +^Уо +£го +
>/л2 + В2 + С2
Рис. 8.1. К понятию расстояния
от точки MQ до плоскости Р
Рис. 8.2. К примеру 8.1
102
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
Пример 8.1. Найти длину ребра куба, если одна из его граней рас-
положена в плоскости Р: х - 2у - 2z + 2 = 0, а одна из его вершин — в
точке Д(4,-1,-2).
► Точка Л(4, -1,-2) не принадлежит плоскости Р, поскольку ее
координаты не удовлетворяют уравнению Р. Следовательно, длина
dребра куба равна расстоянию от точки А до плоскости Р (рис. 8.2).
Найдем это расстояние по формуле (8.2):
|4-2(-1)-2(-2) + 2| 12 . .
d - ' = — = 4. ◄
712 +(-2)2 + (-2)2 >/9
§ 9. Уравнения линии в пространстве
Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова система
координат Oxyz и задана линия Г, понимаемая как множество то-
чек пространства, обладающих общим геометрическим свойством.
Таким свойством, например, может служить принадлежность любой
ее точки одновременно двум поверхностям, что соответствует зада-
нию Г как линии пересечения этих поверхностей.
Определение 9.1. Система из двух уравнений с тремя перемен-
ными х, у, z вида
(9.1)
[F2(x,y,z) = 0
называется уравнениями линии Г, если координаты любой ее точки
удовлетворяют этой системе, а координаты точек, не принадлежа-
щих Г, ей не удовлетворяют.
Под функциями Fx(x, у, z), F2(x, у, z) в аналитической геоме-
трии понимают, как правило, многочлены от трех переменных
x,y,z.
Каждое из уравнений системы (9.1) задает некоторую поверхность,
а Г является линией пересечения этих поверхностей. Например, си-
стема уравнений
x2 + z/2+z2=r2,
у = 2
(9-2)
определяет в пространстве окружность как линию пересечения сфе-
ры (5): х2 +у2 +z2 =г2 иплоскостиР:^ = г(рис.9.1).
103
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Одна и та же линия может быть пересечением различных пар
поверхностей. Поэтому ее можно задавать различными системами
уравнений вида (9.1). Так, вышеупомянутая окружность являет-
ся также линией пересечения плоскости Р: у = z и поверхности 5^
х2 + 2 г/2 — г2, которая (см. гл. 3, § 6) называется цилиндром (рис. 9.2).
Поэтому система уравнений
х2 + 2г/2 =г2,
z/ = z
также, наряду с (9.2), является уравнениями данной окружности.
Для линии Г, определяемой системой (9.1), можно найти уравне-
ние ее проекции Г' в ту или иную координатную плоскость. Пусть,
например, точка М'(х, у, 0) — проекция точки М(х, г/, г), принадлежа-
щей Г, в плоскость Оху (рис. 9.3). Очевидно, что абсциссы и ординаты
этих двух точек равны. Поэтому исключение координаты z из урав-
нений (9.1) дает ту связь между хи у, которая и характеризует ли-
нию Г' ~ проекцию Г в плоскость Оху, т. е. приводит к уравнению Г'.
Так, при исключении z из уравнений (9.2) приходим к уравнению
х2 +2у2 — г2, определяющему проекцию Г данной окружности Г в
плоскость Оху, которая, как мы увидим ниже (гл. 2, § 2), является
эллипсом (рис. 9.3). Аналогично может быть рассмотрен вопрос об
Рис. 9.1. Окружность Г как линия
пересечения сферы S и плоскости Р
Рис. 9.2. Окружность Г как линия
пересечения цилиндра и плоскости Р
104
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
уравнении проекции данной линии
в другие координатные плоскости.
Система из двух уравнений с
тремя переменными х, у, z не яв-
ляется единственным способом
задания линии в пространстве с
Помощью уравнений. В некото-
рых случаях представляется более
удобным выразить координаты ее
точек через третью вспомогатель-
ную переменную (или параметр) t.
Определение 9.2. Система урав-
нений
|х = х(£),
• У = У(Л
\z = z(t),
Рис. 9.3» Линия Г' — проекция ли-
нии Г в плоскость Оху
teT,
(9-3)
называется параметрическими уравнениями линии Г, если для лю-
бой точки А/0(х0, у^ z0) g Г найдется такое значение параметра tQ g Т,
что ее координаты определятся из этой системы при tQ: х0=x(Q,
yQ = y(t^), zQ = z(to)t tQeT,a для точек, не принадлежащих Г, такого
значения параметра не существует. *
Под х(0, y(t), z(t) в правых частях уравнений системы (9.3) по-
нимают некоторые функции параметра t, например, выражающиеся
через элементарные функции, из школьного курса алгебры и начал
анализа. Так, вышеупомянутую окружность можно задать такими
параметрическими уравнениями:
x = Rcost,
• y = (R/j2)smt, t е[0,2л] .
z = (7?/V2)sin£,
За параметр £принят угол поворота вектора О А до совмещения с
радиусом-вектором ОМ точки Мокружности (рис. 9.1). В самом деле
подстановка этих уравнений в (9.2) обращает каждое из уравнений
этой системы в тождество.
Если линия Г есть траектория движущейся точки, то за параметр
t принимают время, прошедшее от начала движения. Функции х(£),
y(t), z(t) из уравнений (9.3) определят координаты этой точки на лю-
бой момент времени t^T.
105
Раздел 3. Аналитическая геометрия
§ 10. Различные виды уравнений прямой в пространстве
Введем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz.
1°. Общие уравнения прямой. Пусть прямая L является ли-
нией пересечения двух плоскостей P^Aix + Biy + CtZ + D^ =0 и
Р2\ А2х + В2у + C2z + D2 =0. Система:
А ]Х 4~ Вху 4“ С xz 4- — 0,
4“ В2у 4“ C2z 4- D2 =0
(10.1)
называется общими уравнениями прямой L. При этом равенства
А _ _ G
^2 &2 ^2
не имеют места хотя бы для одной из пропорций, что следует из усло-
вия параллельности плоскостей.
2°. Канонические уравнения прямой. Любую прямую L в про-
странстве можно задать принадлежащей ей точкой М0(х0, yQ, z0) и
ненулевым вектором #(/, т, п), коллинеарным ей и называемым ее
направляющим вектором (рис. 10.1), причем и точка Мо, и вектор q
могут быть выбраны произвольно.
Уравнения
х-х^ у-уь z-
— о=£^о=-----------о (Ю.2)
I тп п
называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Рис. 10.1. К заданию прямой в
пространстве каноническими
уравнениями
Рис. 10.2. К примеру 10.1
106
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
Пример 10.1. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного
из точки А(1, - 2,1) на плоскость Р: х + 2у - z + 2 — 0.
► За направляющий вектор q перпендикуляра АВ к плоско-
сти Р можно взять вектор нормали п к плоскости Р (рис. 10.2):
q = п = (1, 2, -1). Уравнения АВ имеют вид:
х —1 у + 2 z-1 *
~Г~ Т"-— 4
3°. Параметрические уравнения прямой. Параметрические урав-
нения прямой в пространстве получим так же, как для прямой на
плоскости, приняв за параметр t равные отношения в уравнениях
(10.2):
x-xo_t/-yo z-zo_^
/ т п
(10.3) .
Приравнивая каждое отношение в (10.3) к t и выражая из полу-
ченного равенства соответствующую координату, получим:
x — lt + x0,
y = mt + y0, teR.
z = nt + z0,
(10.4)
Данная система называется параметрическими уравнениями пря-
мой в пространстве. Она имеет такое же механическое истолкование,
как и система (3.9).
4°. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Задание
прямой каноническими уравнениями позволяет легко установить их
взаимное расположение в пространстве.
Так, пусть прямые Lx и 12 заданы следующими уравнениями:
L . x-xt у — ух _z-zx L . x - x2 у-y2 z — z2
p /t nx ’ 2' /2 m2 n2
Их направляющие векторы — q1=(l1,m1,n1) и q2=(l2, m2, n2)
соответственно.
Условие параллельности прямых L{ и L2 сводится к условиям кол-
линеарности векторов <ii и q2, заключающимся в пропорциональ-
ности их координат:
107
Раздел 3. Аналитическая геометрия
12~~ т2~ п2
(10.5)
Условие перпендикулярности этих прямых эквивалентно
условию ортогональности векторов q^ и q2, которое, в свою оче-
редь, приводит к условию выполнения равенства qx -q2 =0, или
lxl2 + т{т2 = 0.
Понимая угол (р между прямыми Zt и L2 как угол между их на-
правляющими векторами, получаем для coscp следующую формулу:
’?2 hh + ^lm2 +^2
I#i l’i#2 I ^/2 + т2 +п% -ф2 +т2 + п22
(10.6)
Условием совпадения прямых Zt и Z2 является совместное выпол-
нение равенства (10.5) и равенства
х2 - xt = z/2 - z -
/j mi
выражающего условие принадлежности точки М2(х2, y2,z2) прямой
Z2, а также и прямой Lv
Пример 10.2. Найти значения параметров X и ц так, чтобы прямые
т • _z — 2 е х — 1 у — 2 2
2 “ -2 “ 1 > 2‘ 3 “ X “ц
были: а) параллельны, б) перпендикулярны.
► Обозначим через qx и q2 направляющие векторы данных пря-
мых, qx — (2, - 2,1), q2 = (3, X, ц):
а) 11^2 11?2 ~ ~ _ i => X — —3, Ц — ;
б) Xi J_Z2 о ^<7г#2 =0=>6-2Х + ц = 0=ф
ц = 2Х-6,
XER, НЭПРИ'
мер X — 1, ц = —4. ◄
Пример 10.3. Найти угол ср между прямыми
. ~Ь 1 2. т . х 4- 2 У 1 z -f-1
’ 2 “ -2 “Г 2’ 1 “ -4 ~ -1 ’
108
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
► Обозначим через qlt q2 направляющие векторы данных пря-
мых = (2, -2,1), q2 = (1, -4,1). Из (10.6) имеем
21-2(-4) + 1-1 9 1 л
722+(-2)2+12.а/12+(-4)2+12 79-л/18 5/2 4 я
5°. Переход от общих уравнений прямой к ее каноническим
уравнениям. Задание прямых в пространстве каноническими
уравнениями позволяет исследовать их взаимное расположе-
ние по простым формулам, приведенным выше. Поэтому важно
уметь переходить от общих уравнений прямой L вида (10.1) к ее
v каноническим уравнениям вида (10.2). Координатами точки Мо,
принадлежащей Z, может служить любое решение системы (10.1).
Предположим, что
Л2 в2
(Ю.7)
Координате z придадим произвольное значение, например z — 0.
Из системы (10.1) получим:
Aix-\-Biy~-D
A2x + B2y — -D2.
(10.8)
Ввиду условия (10.7) система (10.8) имеет единственное реше
ние. Обозначим его через (х0,#0).
лежит Z, так как ее координа-
ты удовлетворяют уравнениям
(10.1) этой прямой. Чтобы найти
направляющий вектор q , заме-
тим, что q ±.пг=(Ар Bv Сг) и
q ±п2 = (И2, В2, С2), где пх и п2 —
векторы нормали к плоскостям Рх
и Р2> определяемым уравнениями
системы (10.1) (рис. 10.3), поэтому
за q можно принять векторное
произведение нормалей и п2,
q = nx хп2. После того как найде-
ны координаты q, пишут канони-
ческие уравнения L в форме (10.2).
Пример 10.4. Перейти от общих
уравнений прямой Z,
Точка MQ(xQ, yQ, 0) принад-
Рис. 10.3. К переходу от общих
уравнений прямой L к ее канони-
ческим уравнениям
109
Раздел 3. Аналитическая геометрия
2x-# + z + 4 = 0,
х + 2у — 2 + 7 = 0,
(10.9)
к каноническим.
► В уравнениях (10.9) положим z = 0, приходим к системе
2х- г/+ 4 = 0,
х + 2у + 7 = 0,
из которой получим: х = -3, у = -2. Таким образом, мы нашли точ-
ку Мо(-3, -2, 0)е£. За направляющий вектор q прямой £ примем
векторное произведение щ xify, пг =(2, -1,1), п2 = (1,2,-1) — векторы
нормалей к плоскостям, определяем уравнениями системы (10.9). Его
найдем по формуле (5.4) гл. 2 разд. 2:
1 = -i+3j+5k.
Теперь, используя соотношение (10.2), напишем канонические
уравнения данной прямой:
г х + 3_у + 2_ z
‘ -1 ~ 3 ~5
§ И. Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая и плоскость в пространстве могут быть параллельными,
прямая может принадлежать плоскости, а также может пересекать
ее в некоторой точке. Пусть плоскость Р задана общим уравнением
P:Ax + By+Cz + D = 0, А2+В2+С2*0,
а прямая £ — каноническими уравнениями
Г.Х-ХО у-у0 Z — Zq
I т п '
110
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей
Тогда й=(Л, В, С) — вектор нормали к Р, вектор q — (l, т, п) —на-
правляющий вектор прямой!, а точка М0(х0, г/0, z0) принадлежит!.
Условие параллельности прямой ! плоскости Р сводится к усло-
вию ортогональности векторов п и q (рис. 11.1), заключающемся
в равенстве нулю их скалярного произведения: n*q — G, что в с^ою
очередь приводит к соотношению:
Л/ + 5тп + Си = 0. (11.1)
Если к равенству (ИД) присоединить условие принадлежности
точки М0(х0, z/0, z0) прямой ! плоскости Р, т. е. равенство
Ах q + Ву$ + Cz q + D = 0, (11.2)
то система равенств (11.1) и (11.2) выражает условие принадлежности
прямой ! плоскости Р.
Условие перпендикулярности прямой ! и плоскости Р равносиль-
но условию коллинеарности векторов п nq (рис. 11.2), выражаемо-
му равенством
Л = 5 = С
I т п'
(И.З)
Пример 11.1. Найти значение параметра X, при котором прямая
x-l_y+l_z~2
и плоскость P:2x-z/ + z + 5 = 0 параллельны.
► Обозначим через q направляющий вектор прямой !,
9 = (2, 3, X), а через п — вектор нормали к плоскости Р, n = (l, -1,1).
Прямая ! и плоскость Р будут параллельны, если векторы q и п
будут ортогональны (рис. 11.1). Поскольку последнее условие эк-
Рис. 11.1. Прямая! параллельна
плоскости Р
Рис. 11.2. Прямая ! перпендику-
лярна плоскости Р
111
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Бивалентно равенству (q, п)~0, то для X получаем уравнение
2-2 + 3•(-!) + Л. = 0, откуда находим Х = -1. ◄
Пример 11.2. Найти значения параметров Z и ц, при которых пря-
т Х + 2 y-i z + l п о , т . 1 с л
мая Z: —-— = ...= —— и плоскость Р: 2х + + pz + 5 = О перпен-
дикулярны.
► Пусть q - направляющий вектор прямой L,q = (1, 3, 2), а п —
вектор нормали к плоскости Р, п = (2, X, ц). Прямая L и плоскость Р
будут перпендикулярны, если векторы q и п будут коллинеарны
(рис. 11.2). Из (11.3) имеем соотношения
Х = |, ц = 4. ◄
1=3 = 2
2 X ц
, откуда находим:
За угол ср между прямой L и плоскостью Р, не перпендикулярной
Z, примем, как в стереометрии, угол между Z и ее проекцией на пло-
скостьР(рис. 11.3). Очевидно, <р = 0, если прямая L принадлежит
плоскости Р. В случае, когда L перпендикулярна Р, будем считать
Ф = я/2. Имеем
л_*
sincp =|cos(w, q)\—
| n - | ___\Al+Bm+Cn\____
I ” I • I £ I Ja2+B2+C2 Ф2 +m2+n2
(11.4)
Рис. 11.3. Прямая L образует
угол (p с плоскостью Р
Пример 11.3. Найти угол между
прямой
т. х + 2_у ~~ 1_z + 2
2 -1 ~ -2
и плоскостью Р: 4х + у - z - 5 = 0.
► Вектор й —(4,1,-1) — век-
тор нормали к плоскости Р, а
# = (2, —1,-2) — направляющий
вектор прямой Z. Понимая угол ср
между L и Р в вышеописанном
смысле, из формулы (11.4) имеем:
л
sin(р = | cos(n, q)\ =
|4-2+l-(-l)+(-l)-(-2)| _ *
V(-4)2+12+(-1)2 -722+(-1)2+(-2)2 V2 4'
112
Глава 2. Кривые второго порядка
§ 1. Общее уравнение линии второго порядка.
Классификация линий второго порядка
/
Определение 1.1. Линией второго порядка называется линия,
определяемая в произвольной прямоугольной декартовой системе
координат O'x'y1 алгебраическим уравнением второй степени, т. е.
уравнением вида
Ах'2 + 2Вх'у'+Су'2 +Dx' + Ey'+F = 0, (1.1)
где А2 + В2+С2^0.
При подходящем выборе системы координат уравнение (1.1) мож-
но привести к одному из следующих девяти видов:
» |Н + о II (1-2) у2 = 2рх; (1-7)
^-+^- = -1; а2 Ъ2 (1-3) у2-а2 = 0; (1-8)
О II см |см + CM IcN (1-4) у2 + а2 = 0; (1.9)
т—* II СМ 1сЧ 1 CM 1 СМ (1-5) У2 =0- (1.10)
О II см |см 1 СМ |еч (1.6)
Предполагается, что а, Ь, р > 0 в каждом из уравнений (1.2) — (1.9).
Уравнения (1.3) и (1.9) не задают никакого множества точек; говорят,
что они определяют мнимые линии второго порядка. Уравнение (1.4)
задает одну точку — начало координат. Уравнения (1.6), (1.8), (1.10)
определяют пару пересекающихся прямых, пару параллельных и
пару совпадающих прямых соответственно. Эти пары прямых на-
зываются вырожденными линиями второго порядка. Остаются три
Уравнения: (1.2), (1.5) и (1.7), которые определяют невырожденные ли-
нии второго порядка (или невырожденные кривые второго порядка),
Называемые эллипсом, гиперболой и параболой. Именно эти кривые и
ИЗ
8-1459
Раздел 3. Аналитическая геометрия
будут изучаться в настоящей главе. При этом будет решаться вторая
из двух основных задач аналитической геометрии на плоскости — ка-
ждому из этих уравнений будет сопоставлена линия и с его помощью
будут изучены ее свойства.
§ 2. Эллипс и его свойства
Определение 2.1. Эллипсом называется кривая второго порядка,
определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе ко-
ординат уравнением
2 2
^-+^- = 1, а>Ь>0. (2.1)
a
Равенство (2.1) называется каноническим уравнением эллипса.
Свойства эллипса
1. Эллипс — осесимметричная и центрально-симметричная фи-
гура. Осями симметрии эллипса являются оси координат, а центром
симметрии — начало координат.
2. Эллипс — ограниченная кривая. Построение эллипса. Эллипс
заключен внутри прямоугольника D = {(х,г/) :| х |< а, | у |< Z>}, а так-
же внутри окружности х2 + у2 = а2 с центром в начале координат и
радиусом а (рис. 2.1).
На рис. 2.1 заштрихована та часть плоскости Оху, в которой рас-
положен эллипс.
Эллипс получается из рассматриваемой окружности путем ее
равномерного сжатия к оси Ох с коэффициентом bja, при этом
№
Рис. 2.1. К расположению эллип-
са на координатной плоскости
Рис. 2.2. Эллипс как фигура, по-
лучаемая при сжатии окружности
(&/а=2/5)
114
Глава 2. Кривые второго порядка
Рис. 2.3. Точки Fx и F2 — фокусы
эллипса; гх и г2 — фокальные ра-
диусы его точки
Рис. 2.4. К примеру 2.1
ордината каждой ее точки Mt(x, У) умножается на одно и то же
число bl а, получающаяся при этом точка М2^х,~У^ принадле-
жит данному эллипсу (рис. 2.2). Построив таким образом дугу
эллипса в первом квадранте (х>0 , г/>0 ), остальные его части
получим, используя его симметрию относительно осей координат
(рис. 2.2).
Как следует из уравнения (2.1), точки 0), А2(а, 0), Вх(0, —b)
и В2(0, Ь) принадлежат эллипсу. Они называются его вершинами.
Отрезки АХА2 и ВХВ2, а также их длины 2а и 2Ь называются большой
и малой осями эллипса соответственно, а числа а и b — большой и
малой полуосями (рис. 2.2).
3. Фокусы эллипса. Свойство фокальных радиусов точки эллипса.
Точки Bi(-c, 0) и В2(с, 0), где с = ча2 - Ь2, находящиеся на большой оси
эллипса, называются его фокусами, а расстояния гх и г2 произволь-
ной точки эллипса М(х, у) до этих точек — фокальными радиусами
точки М (рис. 2.3).
Свойство фокальных радиусов
ri+r2 = 2a. (2.2)
4. Эксцентриситет эллипса.
Определение 2.2. Отношение расстояния между фокусами эллип-
са к длине его большой оси называется эксцентриситетом эллипса
и обозначается е.
8М459
115
Раздел 3. Аналитическая геометрия
По определению е — 2с/2а = с1а, откуда следует, что ее [0,1), так
как 0 < с < а. Если е — 0, то с=0 и, следовательно, b — а, в этом случае
эллипс есть окружность с центром в начале координат и радиусом а,
а оба его фокуса сливаются в один в начале координат.
Пример 2.1. Эллипс задан уравнением 16х2 + 25г/2 =400. Найти
его полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет. Изобразить этот
эллипс на чертеже.
► Разделим обе части уравнения эллипса на 400, получим равен-
ство х 725 + 1/716 = 1, сравнив которое с уравнением (2.1) заключа-
емого я2 =25, Ь2 =16, откуда а = 5, 6 = 4, с = ^а2 -62 =3. Точки
jFj(-3, 0), Е2(3, 0) — фокусы эллипса, эксцентриситет е-с/а-УЪ.
На рис. 2.4 изображен данный эллипс: Л1 А2 — его большая ось,
Xt(-5, 0), Л2(5, 0); BtB2 — малаяось; В/О, -4), В2(0, 4). ◄
§ 3. Гипербола и ее свойства
Определение 3.1. Гиперболой называется кривая, определяемая
в некоторой прямоугольной декартовой системе координат урав-
нением
2 2
^--^- = 1; а, Ь>0. (3.1)
а 1г
Равенство (3.1) называется каноническим уравнением гиперболы.
Свойства гиперболы
1. Гипербола — осесимметричная и центрально-симметричная
кривая. Осями симметрии являются оси координат, а центром сим-
метрии — начало координат. ,
2. Точки гиперболы принадлежат множеству G = j(x,z/): |х|>а,
|у| < Ы}- Гипербола — неограниченная кривая.
У гиперболы две бесконечные ветви, расположенные в левой и
правой полуплоскостях координатной плоскости. На рис. 3.1 за-
штрихованы части плоскости Оху, в которых расположены ветви
гиперболы.
Из уравнения (3.1) следует, что точки At(—a, 0), А2(а, 0) принад-
лежат гиперболе. Отрезок Л(Л2 и его длина 2а называется действи-
тельной осью гиперболы (рис. 3.2). Гипербола не пересекает ось Оу-
116
Глава 2. Кривые второго порядка
Рис. 3.1. К расположению гиперболы на координатной
плоскости
Рис. 3.2. Построение гиперболы; прямые Zt и
L2 — асимптоты гиперболы
3. Фокусы гиперболы. Свойство фокальных радиусов точки ги-
перболы. Точки F^—c, 0), F2(c, 0), где c = >Ja2 + b2, находящиеся на
действительной оси гиперболы, называются ее фокусами, а расстоя-
ния гр г2 произвольной точки М(х, у) до этих точек — фокальными
радиусами точки М (рис. 3.1).
Свойство фокальных радиусов
ki~r21=2й-
117
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Рис. 3.3. К примеру 3.1
4. Асимптоты гиперболы.
Построение гиперболы. Прямые
Т b т b
Lf. у = —х и ь2 : у =—х игра-
а а
ют важную роль в исследовании
и построении гиперболы. По мере
удаления точки М(х, у) от начала
координат по гиперболе эта точка
приближается сколь угодно близко
к одной из этих прямых (но никог-
да не пересекает ее (рис. 3.2 и свой-
ство 2)). Прямые и L2 называются асимптотами гиперболы. Они
проходят через противолежащие вершины прямоугольника, огра-
ниченного прямыми х = ±а, у = ±Ь, называемого основным прямоу-
гольником гиперболы (рис. 3.2).
5. Эксцентриситет гиперболы.
Определение 3.2. Отношение расстояния между фокусами ги-
перболы к длине ее действительной оси называется эксцентриси-
тетом гиперболы и обозначается е.
По определению е = 2с/2а = с/я, откуда следует, что е>1, по-
скольку для гиперболы с>
Пример 3.1. Гипербола задана уравнением 9х2-16г/2 =144.
Найти ее полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения
асимптот. Изобразить гиперболу на чертеже.
► Разделим обе части данного уравнения на 144, получим ра-
венство = 1, сравнив которое с (3.1), заключаем, что а2 = 16,
Ь2 = 9, откуда а = 4, b = 3, с = у/а2 +62 = 5. Точки Fx (-5, 0), F2 (5, 0) —
фокусы гиперболы, а ее эксцентриситет
с 5
е = — = Асимптоты ги-
а 4
перболы Z1 и L2 имеют уравнения у = Основной прямоуголь-
ник гиперболы образован прямыми х = ±4, у = ±3, прямые Lx и L2
проходят через вершины этого прямоугольника (рис. 3.3). На этом
рисунке изображена данная гипербола, ее действительная ось At А2,
At(—5,0), А2(5,0), отрезок ВХВ2, называемый мнимой осью, Bt(0, —4),
В2(0,4), точки Ft, F2 — фокусы гиперболы. ◄
118
Глава 2. Кривые второго порядка
§ 4. Парабола и ее свойства
Определение 4.1. Параболой называется кривая второго поряд-
ка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат уравнением
у2 = 2 рх, р>0.
(4.1)
Равенство (4.1) называется каноническим уравнением параболы.
Свойства параболы
1. Парабола — осесимметричная кривая. Ось Ох является осью
симметрии параболы. Других осей симметрии и центра симметрии
парабола не имеет.
2. Парабола вся расположена в правой полуплоскости и являет-
ся неограниченной кривой. Как следует из уравнения (4.1), начало
координат 0(0, 0) принадлежит параболе. Эта точка называется
вершиной параболы.
3. Фокус и директриса параболы. Точка F(j9/2,0), находящаяся
на оси параболы, называется фокусом, а прямая О: х~-/?/2 — ди-
ректрисой.
Расстояние г от любой точки параболы др фокуса F называется
фокальным радиусом этой точки. Для фокального радиуса г спра-
ведливо равенство
119
Раздел 3. Аналитическая геометрия
где х — абсцисса точки параболы. Отношение фокального радиуса г
к расстоянию d от данной точки параболы до директрисы D (рис. 4.1)
равно 1,т. е. г/б? = 1.
4. Параметр параболы. Построение параболы. Число р из урав-
нения (4.1) называется параметром параболы. При х = р/2 из (4.2)
имеем
г = р. (4.3)
Таким образом, параметр параболы равен фокальному радиусу
точки параболы, расположенной на перпендикуляре, восставленном
из ее фокуса к оси Ох (это свойство вместе с предыдущими позволяет
построить параболу (рис. 4.2)).
Пример 4.1. Парабола задана уравнением у2 = 8х. Найти ее па-
раметр, координаты фокуса, уравнение директрисы. Изобразить эту
параболу на чертеже.
► Сравнив данное уравнение с (4.1), имеем 8 = 2р, откуда р = 4.
Точка F(2, 0) — фокус параболы, а х = -2 — уравнение ее директри-
сы!). Построим на чертеже точки Мх(2, -4) и М2(2, 4). Теперь про-
ведем параболу через эти точки и ее вершину — начало координат
(рис. 4.3). ◄
Пример 4.2. Найдите координаты фокуса параболы
у2 - 2у = 4х + 3 и постройте эту кривую.
120
Глава 2. Кривые второго порядка
► В левой части уравне- У/к
ния выделим полный квадрат:
у2 - 2г/ + 1 = 4х + 4 или (у -1)2 — 4(х
= 4(х +1), и перейдем к новым пря-
моугольным координатам х', у1 по
формулам xf = х +1, yf = у -1, полу-
чим: у'2 == 4х'. В системе координат
Ofxfyf — это каноническое уравне-
нием параболы вида (4.1). Имеем
4 = 2р, откуда р — 2. В новой си-
стеме координат фокус параболы
имеет координаты (1,0), а его старые
координаты можно найти из формул
перехода: F(0,1). Вершина параболы
находится в точке О', следователь-
но, в системе Оху она имеет коорди-
наты (-1,1). Далее строим параболу,
используя свойство параметра (рис.
4.4). ◄
Замечание 4.1. Наряду с парабо-
лой, определяемой уравнением (4.1),
рассмотрим параболу, задаваемую
уравнением
х2 =2ру, р>0. (4.4)
Ось симметрии такой парабо-
лы — ось Ог/, ее фокус находится в
точке Д0,/)/2), а директриса D имеет
уравнение у——р/2 (рис. 4.5). В этой
параболе читатель, очевидно, узнает
D
Рис. 4.5. Парабола, определяе-
мая уравнением х2 = 2ру, р>0
график квадратной функции у — ах2 ( а > 0 ) из курса элементарной
математики (а = -р).
Замечание 4.2. Ветви парабол, определяемых уравнениями (4.1)
и (4.4), направлены вправо и вверх соответственно. Параболы с про-
тивоположным направлением ветвей определяются уравнениями
у2—-2рх, р>0, (4.5)
х2 = -2ру> р>0.
(4.6)
121
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Осью симметрии параболы,
определяемой уравнением (4.5),
является ось Ох, ее фокус находит-
ся в точке F(-p/2,0), а директри-
са D имеет уравнение D : х — р/2
(рис. 4.6). Осью симметрии пара-
болы, определяемой уравнением
(4.6), является ось Ог/, ее фокус
находится в точке F(0, -р/2), а
директриса D имеет уравнение
D: у = р/2 (рис. 4.7).
Пример 4.3. Найти параметр,
Рис. 4.7. Парабола, определяемая
уравнением х2 = -2ру, р > О
координаты фокуса и вершины, а также уравнение директрисы па-
раболы х1 - 2х = -4 г/ - 3.
► В левой части уравнения выделим полный квадрат:
(х -1)2 = -4(г/ +1) . Перейдя к новым координатам х',у1 по форму-
лам х' = х -!,//' = г/ + 1, получим уравнение: х'2 = -4г/', которое в си-
стеме координат О'х'у’ имеет вид (4.6). Поскольку 4 = 2р, то р — 2.
Координаты фокуса параболы в новой системе координат есть (0, —1),
а его старые координаты можно найти из формул перехода: F(l, —2).
Вершина параболы находится в точке О', следовательно, в системе
Оху она имеет координаты (1, —1). Уравнение директрисы Р: у = 0. ◄
ГЛАВА 3. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Общее уравнение поверхности второго порядка.
Классификация поверхностей второго порядка
Определение 1.1. Поверхностью второго порядка называется
множество точек, координаты которых в некоторой прямоугольной
декартовой системе координат Oxyz удовлетворяют алгебраическо-
му уравнению второй степени
Ах2 + Ву2 +Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz+Gx + Ну + Iz+J = 0, (1.1)
где А, В, C, D, E, F, G, H,I,JeR,a A2 + B2 +C2 +D2 + E2 +F2 *0.
Можно показать, что при надлежащем выборе прямоугольной си-
стемы координат множество точек, определяемое уравнением (1.1),
будет задано одним из нижеперечисленных уравнений:
2 2 £. У_ „2 д2 а о (1-2) у2 — 2рх‘, (1.10)
а2 Ь2 (1.3) » 1 н 1 О N5 II О (1.11)
CN |СЧ О + СЧ |см Н| С -г-' (1.4) х2 —а2 =0; (1.12)
2 2 £ JL 2 а и -и (1.5) О II CN [см ^| О + н| с (1-13)
2 2 Р <1 = 2z, р, q>0; (1.6) » |н bo| N3 + О N?[ ГО + О 1 N to| to II О (1.14)
*rs I Н 43 1 tO 1 J № = 2z, р, q>0; (1-7) » |H to] to + о to| to + П | N to| to II 1 (1-15)
й |н toj tO + го| to =1; (1-8) 2 2 X , У A UZ_ —_ J; ^2 ’ a о (1.16)
2 2 х у_ 2 /2 а b = 1; (1-9) x2 — = -l. 2 a (1-17)
123
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Последние три из этих уравнений задают пустые множества
точек, уравнение (1.13) задает ось Oz (х — 0, г/= 0, zeR), уравне-
ние (1.14) — начало координат (х = 0, у = 0, z = 0). Уравнения (1.11)
и (1.12) определяют пару пересекающихся и пару параллельных (или
слипшихся) плоскостей соответственно. Геометрические образы, за-
даваемые уравнениями (1.2) — (1.10), называются невырожденными
поверхностями второго порядка, а уравнения (1.2) — (1.10) — их ка-
ноническими уравнениями. Форма и некоторые свойства этих поверх-
ностей, вытекающие из их уравнений, изучаются в следующих пара-
графах с помощью так называемого метода параллельных сечений.
§ 2. Эллипсоид
Определение 2.1. Эллипсоидом называется поверхность второго
порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой
системе координат Oxyz уравнением вида
(2.1)
Уравнение (2.1) называется каноническим уравнением эллип-
соида. Эллипсоид обладает центральной симметрией относительно
начала координат и симметрией относительно координатных пло-
скостей.
Рис. 2.1. Эллипсоид
124
Глава 3. Поверхности второго порядка
Эллипсоид — ограниченная поверхность. Он находится внутри
шара радиусом а с центром в начале координат.
В сечении эллипсоида плоскостью z = 0 получается эллипс
с полуосями а и Ь (рис. 2.1), а сечения эллипсоида координатными
плоскостями х = 0 и у = 0 являются эллипсами Г2 и Г3 с полуосями
Ъу с и ау с соответственно (рис. 2.1). Числа ау Ь, с называются полуосями
эллипсоида, а точки Ах(-а, 0, 0), А2(ау 0, 0), В^О, — Ьу 0), В2(0, 6, 0),
Ct(0, 0, —с), С2(0, 0, с) — его вершинами (рис. 2.1).
§ 3. Гиперболоиды
Определение 3.1. Поверхности второго порядка, определяемые
в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz
уравнениями
2 _.2 Л
______
2 "l2 2
а b с
х2 у2 z2
7 +
(3.1)
(3.2)
(а > 6 > 0, с > 0), называются однополостным и двуполостным ги-
перболоидами соответственно.
Характер симметрии этих поверхностей такой же, как у эллип-
соида. Числа а, Ьу с называются их полуосями.
У °. Однополостный гиперболоид. В сечении плоскостью z = 0
2 2
X U
получаем так называемый горловой эллипс Г<: —+ -~- = 1 с по-
а2 Ь2
луосями а и Ь, а в сечении плоскостями х = 0 и у = 0 ~ гиперболы
„2 л л
Г2:7Т-^=1иГ=:г2"Т- = ‘<Р”с-ЗЛ>-
Ъ с а с
2°. Двуполостный гиперболоид. Поверхность расположена вне
части пространства, лежащей между плоскостями z = ±с, где | z |< с.
Точки С,(0,0, —с) и С2 (0,0, с) называются вершинами двуполостного
гиперболоида (рис. 3.2).
Сечения данной поверхности координатными плоскостями х=0 и
2 z2 х2 z2
у=0 являются гиперболами Г4: —х- = 1; Г5: —т-х- = 1 (рис. 3.2).
b с1 а с2
125
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Рис. 3.1. Однополостный
гиперболоид
Рис. 3.2. Двуполостный
гиперболоид
§ 4. Конус второго порядка
Определение 4.1. Алгебраическая поверхность n-го порядка назы-
вается конической поверхностью (конусом), если в некоторой пря-
моугольной декартовой системе координат Oxyz она может быть
задана уравнением вида
F(x,y,z) =0, (4.1)
где F(x, у, z) = 0 — многочлен относительно переменных х, у, z та-
кой, что сумма показателей степени при х, у, z в каждом его члене
постоянна и равна п\
F(x,y,z) = A1xklyliz1ni + ... +Asxksylszms,
ki+li+mi = ... ~ks+ls+ms~n, kif m^neN,Vz = 1, 2, ..., s.
Начало системы координат 0(0,0,0), очевидно, принадлежит ко-
нусу. Если точка М(х, у, z) лежит на конусе (рис. 4.1), то прямая, про-
ходящая через точки О и М, лежит на этом конусе (рис. 4.1). Любая
коническая поверхность, определяемая уравнением вида (4.1), об-
разована прямыми, проходящими через одну и ту же точку О (на-
126
Глава 3. Поверхности второго порядка
Рис. 4.1. К понятию конической
поверхности
Рис. 4.2. Конус второго порядка
чало координат). Эти прямые называются ее образующими, а точка
О — ее вершиной.
Определение 4.2. Поверхность второго порядка, определяемая
в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz
уравнением
а2 Ь2 с2
(4-2)
называется конусом второго порядка.
Характер симметрии этой поверхности такой же, как у эллип-
соида. Ее сечение плоскостью Р: z=z0 (z0 0) представляет собой
эллипс Г (рис. 4.2). Образующими конуса второго порядка, опреде-
ляемого уравнением (4.2), являются прямые, проходящие через на-
чало координат — вершину этого конуса и пересекающие эллипс Г,
называемый его направляющей.
§ 5. Параболоиды
Определение 5.1. Поверхности второго порядка, определяемые
в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz
уравнениями
2 2
—+— = 2z, p,q>b,
Р Я
(5-1)
127
Раздел 3. Аналитическая геометрия
параболоид
Рис. 5.2. Гиперболический
параболоид
2 2
-——=2z, p,q>0, (5.2)
Р q
называются эллиптическим и гиперболическим параболоидами со-
ответственно.
Данные поверхности симметричны относительно координатных
плоскостей Oxz и Oyz. В отличие от ранее изученных поверхностей,
эллиптические и гиперболические параболоиды не обладают ни
центральной симметрией, ни симметрией относительно плоско-
сти Оху.
/*. Эллиптический параболоид. При принятом предположении
/?, q > 0 вся поверхность расположена в полупространстве, где z > 0.
Начало координат принадлежит эллиптическому параболоиду и на-
зывается его вершиной.
Сечение эллиптического параболоида плоскостью
Р: z — z0 (z0 > 0) — эллипс Ft с полуосями yj2pzQ и ^2qzQ (рис. 5.1),
а в сечении координатными плоскостями х — 0 и у = 0 имеем пара-
болы Г2 : у2 = 2qz и Г3: х2 — 2pz (рис. 5.1).
2°. Гиперболический параболоид. Сечения этой поверхности
плоскостями х —0 и у —0 —параболы Г\: у2 =-2qz^i Г2 : х2 = 2pz
(рис. 5.2). Сечение плоскостью х = х0 (х0 0) — парабола Г3 с вер-
шиной на параболе Г2, а сечение плоскостью у = у$ \Уо^ 0) — пара-
бола Г4 с вершиной на параболе Ft (рис. 5.2). Параболы Г3 и Г4 можно
получить путем параллельного переноса парабол Fj и Г2 соответ-
ственно. Название «гиперболический параболоид» объясняется тем,
что в его сечении плоскостью z ±= z0 (z0 & 0) образуется гипербола Г5
(рис. 5.2).
128
Глава 3. Поверхности второго порядка
§ 6. Цилиндры второго порядка
Определение 6.1. Алгебраическая поверхность я-го порядка на-
зывается цилиндрической поверхностью (или цилиндром), если в
некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz она
может быть задана уравнением вида
F(x,y) = Q, (6.1)
где F(x, у) — многочлен n-й степени относительно переменных х,
у, не содержащий переменной z. Кривая Г, определяемая уравнени-
ем (6.1) в плоскости Оху, называется направляющей этого цилиндра
(рис. 6.1).
Если точка М(х, у, 0) принадлежит Г (и, следовательно, данно-
му цилиндру), то все точки М'(х, у, z), где z — любое вещественное
число, тоже ему принадлежат, ибо координаты Мг удовлетворяют
(6.1). Все эти точки расположены на прямой L, проходящей через точ-
ку М(х, у, 0) параллельно оси Oz (рис. 6.1). Итак, данный цилиндр
образован прямыми, параллельными оси Oz и пересекающими его
направляющую Г. Эти прямые называются его образующими.
Замечание 6.1. Цилиндры с образующими, параллельными осям
Ох и Оу, определяются уравнениями вида G(y, z) = 0 и Н(х, z) = 0.
Определение 6.2. Поверхности второго порядка, определяемые
в некоторой прямоугольной декартовой системе координат урав-
нениями вида
Рис. 6.1. К понятию цилиндриче- Рис. 6.2. Эллиптический цилиндр
ской поверхности
9-1459
129
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Рис. 6.3. Гиперболический цилиндр
2 2
^5—^- = 1, а,Ь>0,
а b
(6.3)
у2 = 2рх,р>0,
(6-4)
Рис. 6.4. Параболический
цилиндр
называются цилиндрами второго
порядка, или эллиптическим, ги-
перболическим и параболическим
цилиндрами соответственно.
Направляющими этих цилин-
дров служат эллипс, гипербола и
парабола, определяемые уравне-
ниями (6.2) — (6.4) в плоскости
Оху. Их образующие, как было
установлено выше, параллельны
оси Oz (рис. 6.2 — 6.4).
§ 7. Поверхности вращения
второго порядка
Определение 7.1. Алгебраическая поверхность называется по-
верхностью вращения, если в некоторой прямоугольной декартовой
системе координат она может быть задана уравнением вида
F(x2 + y2,z) = 0, (7.1)
где F(x2 +y2,z) — многочлен от х2+у2, z.
130
Глава 3. Поверхности второго порядка
Замечание 7.1. Данное определение является конструктивным
в том смысле, что позволяет выделить поверхности вращения по
виду их уравнений из множества всех алгебраических поверхно-
стей. Так, например, в соответствии с этим определением уравнения
2(х2 + г/2) + г = 0 и (x2 + z/2)2-b4z2= 1 задают алгебраические поверх-
ности вращения.
Теорема 7.1. Поверхность 5, определяемая уравнением (7.1), об-
разуется при вращении вокруг оси Oz кривой Г, являющейся линией
пересечения S с плоскостью Oyz.
► Пусть Л/о(О, г/0, zQ) — любая точка Г (рис. 7.1). В силу (7.1) имеем
Г(г/о-2о) = °-
(7.2)
Проведем через Мо плоскость Р: z = z0, перпендикулярную оси
Oz, и рассмотрим в ней окружность с центром в точке Oj(0, 0, z0)
и радиусом |О]М0 |=|уо| (рис. 7.1). Пусть точка М(х, у, z0) — про-
извольная точка этой окружности. Так как |OjTVf |2=|О1Л/012, то
х2 + У2 =Уъ- Подставляя координаты точки Мв уравнение (7.1), с
учетом последнего равенства и равенства (7.2) имеем
F(x2 + у2,20) = F(yl, z0) = 0.
Таким образом, показано, что координаты произвольной точ-
ки М упомянутой окружности удовлетворяют уравнению (7.1).
Следовательно, эта точка принадлежит (5). Тем самым установлено,
что поверхность S образуется при вращении линии Г вокруг оси Oz
(рис. 7.1). ◄
z А
Рис. 7.1. Поверхность вращения
9М459
131
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Следствие из теоремы 7.L Алгебраические поверхности, опреде-
ляемые уравнениями G(x, г/2+z2) = 0 и Я(х2 Н-z2, г/) = 0, образу-
ются при вращении некоторых кривых вокруг оси Ох и оси Оу со-
ответственно.
Из вышеприведенного определения следует, что уравнение по-
верхности вращения второго порядка в некоторой прямоугольной
декартовой ситеме координат имеет вид
А(х2 +j/2) + Cz2 +/z +J = 0. (7.3)
Сопоставляя равенство (7.3) с каноническими уравнениями эл-
липсоида, гиперболоидов, конуса второго порядка, эллиптического
параболоида и эллиптического цилиндра из § 2—6, заключаем, что
эти поверхности являются поверхностями вращения при условии
p~q для эллиптического параболоида и а = b для всех остальных
поверхностей. Сопоставление этого равенства с цилиндров из § 6
приводит к выводу, что эти поверхности не могут быть поверхно-
стями вращения ни при каких значениях констант. Итак, уравнения
2,2 о 2,2 о
х +У . Z2 _4. х + У z2 4
„2 ^2 ’ „2 „2 ’
определяют алгебраические поверхности вращения второго поряд-
ка, а именно: эллипсоид вращения, гиперболоиды вращения, конус
вращения второго порядка (или прямой круговой конус), параболоид
вращения (или круговой параболоид) и цилиндр вращения второго
порядка (или прямой круговой цилиндр) соответственно. Каждая из
этих поверхностей образуется при вращении вокруг оси Oz кривой,
являющейся пересечением данной поверхности с плоскостью Oyz.
Так, например, вышеуказанный эллипсоид вращения образуется при
вращении вокруг оси Oz линии Г2 (рис. 2.1).
132
Дополнение к разделам 2—3
Дополнение к разделам 2—3.
«Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия»
Характеристика раздела и требования
к усвоению тем раздела
А. Общая характеристика раздела
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии изуче-
ны в школе. Векторный и координатный методы решения геометри-
ческих задач, развитые здесь далее, — важнейшие в математическом
анализе и его приложениях.
А1. Темы разделов. 1. Векторная алгебра. 2. Аналитическая гео-
метрия на плоскости. 3. Аналитическая геометрия в пространстве.
А2. Базисные понятия. 1. Геометрический вектор. 2. Базис на
плоскости и в пространстве. 3. Декартова прямоугольная система
координат. 4. Полярная система координат. 5. Координаты точки и
вектора. 6. Уравнение поверхности в пространстве. 7. Линии и по-
верхности 1 и 2-го порядков.
АЗ. Основные задачи. 1. Выполнение операций над векторами.
2. Изучение взаимного расположения векторов. 3. Построение урав-
нений прямых и плоскостей по различным данным. 4. Исследование
взаимного расположения прямых и плоскостей. 5. Построение кри-
вых и поверхностей 2-го порядка, цилиндрических поверхностей и
поверхностей вращения по их уравнениям. 6. Построение уравнений
кривых и поверхностей 2-го порядка по различным данным.
А4. Базисные методы решения основных задач.
1. Использование типовых задач и готовых формул ана-
литической геометрии. 2. Использование векторной
алгебры. 3. Преобразование системы координат при исследовании
уравнений. 4. Использование канонических уравнений кривых и по-
верхностей 2-го порядка. 5. Метод сечений в исследовании формы и
расположения поверхностей 2-го порядка по их уравнениям.
В. Знания и умения, которыми должен владеть студент
В1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, фор-
мулировок
Раздел 2. Векторная алгебра.
1. Понятие геометрического вектора. Сложение и вычитание век-
торов, умножение вектора на скаляр, свойства линейных операций
над векторами.
133
Раздел 3. Аналитическая геометрия
2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
3. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве. Декартова
прямоугольная система координат. Координаты вектора.
4. Скалярное произведение векторов.
5. Векторное произведение векторов.
6. Смешанное произведение векторов.
Раздел 3. Аналитическая геометрия.
1. Различные уравнения прямой на плоскости (типовые задачи
по составлению уравнения прямой).
2. Уравнение пучка прямых.
3. Кривые второго порядка — эллипс, гипербола, парабола (ка-
нонические уравнения).
4. Общее уравнение кривых 2-го порядка.
5. Полярная система координат, ее связь с декартовой.
6. Плоскость. Различные уравнения плоскости (типовые задачи
по составлению уравнения плоскости).
1. Цилиндрические поверхности.
2. Поверхности вращения.
3. Поверхности 2-го порядка. Метод сечений.
В2. Знания на уровне доказательств и выводов
1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости
системы ненулевых векторов.
2. Единственность разложения вектора по базису.
3. Свойства скалярного произведения; вычисление скалярного
произведения через координаты векторов.
4. Свойства векторного произведения (выборочно); вычисление
векторного произведения через координаты векторов.
5. Свойства смешанного произведения; геометрический смысл;
вычисление смешанного произведения через координаты векторов.
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
7. Общее уравнение прямой на плоскости; его исследование.
8. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
9. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпенди-
кулярности прямых.
10. Вывод канонического уравнения эллипса.
И. Плоскость. Общее уравнение плоскости.
12. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку пер-
пендикулярно данному вектору.
13. Канонические и параметрические уравнения прямой в про-
странстве.
134
Дополнение к разделам 2—3
ВЗ. Умения в решении задач
Студент должен уметь:
1) составить уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки, через одну точку в заданном направлении (на плоскости и в
пространстве);
2) составить уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку перпендикулярно данному вектору;
3) находить углы между прямыми и плоскостями;
4) находить сумму (разность) векторов, их скалярное, векторное
и смешанное произведения;
5) строить кривые 2-го порядка, заданные каноническими урав-
нениями;
6) строить (по точкам) стандартные кривые, заданные уравне-
ниями в полярных координатах;
7) делать приближенные чертежи поверхностей 2-го порядка, за-
данных каноническими уравнениями;
8) делать приближенные чертежи цилиндрических поверхностей
вида /(х, у) = 0, /(х, z) = 0, /(г/, z) = 0 и поверхностей вращения.
С. Образцы зачетных (экзаменационных) задач
1. Даны векторы а = -5г + 2j -7 k, b = 3i -j +k. Найдите: а) про-
екцию вектора Й_на направление вектора Ь; б) косинус угла между
векторами а и b ; в) площадь параллелограмма, построенного на
векторах а и Ь •
2. Даны четыре точки: Л(1,-1, 3), В(0, 7, 9), С(5,-4,1),
Z)(2, -2, 3). Найдите объем тетраэдра ABCD.
3. На плоскости Оху даны прямая Z: х- 2у + 2 = 0 и точка
Л(2,-1). Найдите:
а) проекцию точки А на прямую £; б) уравнение прямой, прохо-
дящей через точку А параллельно прямой L; в) расстояние от точки
А до прямой L.
4. Даны плоскость Р: Зх-2г/+7 = 0 и точка Л(2,-1,3). Найдите
проекцию точки А на плоскость Р
5. Постройте кривую 4х2 - 2х + у2 -1 = 0.
6. Постройте поверхности, определенные следующими уравне-
ниями:
а) х = 3; б) х2 =4(х + г/); в) х2 + г/2 -z2 = -1.
135
Раздел 3. Аналитическая геометрия
Ответы к образцам зачетных (экзаменационных) задач
1.а) -24/Л1; б) — 24/(>/78-VTT); в) л/282. 2.10/3.3. а) (4/5; 7/5);
б) х-2г/-4 = 0; в) бД/5. 4. (-19/13; 17/13; 3). 5. Эллипс с центром
С(1/4; 0). Оси симметрии эллипса параллельны координатным осям.
Длины полуосей: V5/4, -75/2. 6. а) плоскость, перпендикулярная
оси Ох и отсекающая от нее отрезок, равный 3; б) параболический
цилиндр с образующими, параллельными оси Oz; в) двуполостный
гиперболоид вращения. Ось гиперболоида — ось Oz.
136
ЛИТЕРАТУРА
1. Боревич З.И. Определители и матрицы. СПб.: Лань, 2004.
2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.:
Наука, 1985.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
М.: Физматлит, 2007.
4. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Физматлит,
2007.
5. Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч. / под ред. А. В. Ефимова,
А. С. Поспелова. Ч. 1 [4-е изд., перераб. и доп.]. М.: Физматлит, 2004.
137
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.....................................................3
Введение к курсу математики.....................................4
Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА......................................7
Глава 1. Определители и системы линейных уравнений..............8
§ 1. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса.8
§ 2. Определители 2 и 3-го порядков..........................14
§ 3. Определители высших порядков............................22
Глава 2. Матрицы и действия с ними.............................29
§ 1. Линейные операции с матрицами и их свойства.............29
§ 2. Операция умножения матриц и ее свойства....................32
§ 3. Операция транспонирования матриц и ее свойства..........34
§ 4. Обратная матрица..................t........................35
§ 5. Понятие о ранге матрицы. Ранг ступенчатой матрицы.......39
Глава 3. Общая теория линейных систем..........................42
§ 1. Крамеровские системы линейных уравнений.................42
§ 2. Решение произвольных систем линейных уравнений..........46
§ 3. Однородные системы линейных уравнений................. 55
Дополнение к разделу 1 «Линейная алгебра»....................58
Раздел 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА....................................61
Глава 1. Линейные операции над векторами.......................62
§ 1. Понятие вектора. Равные векторы. Коллинеарные
и компланарные векторы.......................................62
§ 2. Операция сложения векторов и ее свойства...................63
§ 3. Операция умножения вектора на число и ее свойства.......64
§ 4. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы
векторов........................................................66
§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости векторов.........67
§ 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система
координат....................................................69
§ 7. Полярная система координат..............................73
§ 8. Задача о делении отрезка в данном отношении................75
Глава 2. Операции умножения векторов...........................77
§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства...................77
§ 2. Скалярное произведение двух векторов....................78
§ 3. Векторное произведение двух векторов....................81
§ 4. Смешанное произведение векторов.........................83
138
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов,
заданных разложениями в прямоугольном базисе.................85
Раздел 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ..............................88
Глава 1. Геометрия прямых и плоскостей.........................88
§ 1. Понятие об уравнении плоской линии. Алгебраические линии.
Теорема об инвариантности порядка..................‘.........88
§ 2. Прямая как линия первого порядка. Общее управление прямой
на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору............................91
§ 3. Различные виды задания прямой на плоскости..............92
§ 4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление
угла между двумя прямыми.....................................96
§ 5. Расстояние от точки до прямой на плоскости....:.........97
§ 6. Понятие об уравнении поверхности. Алгебраические поверхности.
Теорема об инвариантности порядка............................98
§ 7. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение
плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору............................99
§ 8. Расстояние от точки до плоскости.......................102
§ 9. Уравнения линии в пространстве.........................103
§ 10. Различные виды уравнений прямой в пространстве........106
§ И. Взаимное расположение прямой и плоскости................110
Глава 2. Кривые второго порядка................................ИЗ
§ 1. Общее уравнение линии второго порядка. Классификация
линий второго порядка........................................ИЗ
§ 2. Эллипс и его свойства..................................114
§ 3. Гипербола и ее свойства.................................116
§ 4. Парабола и ее свойства..................................119
Глава 3. Поверхности второго порядка..........................123
§ 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Классификация
поверхностей второго порядка................................123
§ 2. Эллипсоид..............................................124
§ 3. Гиперболоиды........................................ 125
§ 4. Конус второго порядка..................................126
§ 5. Параболоиды.......................................... 127
§ 6. Цилиндры второго порядка...............................129
§ 7. Поверхности вращения второго порядка...................130
Дополнение к разделам 2—3 «Векторная алгебра» и
«Аналитическая геометрия»...................................133
ЛИТЕРАТУРА....................................................137
СОДЕРЖАНИЕ....................................................138