российская академия наук
ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННЫХ НАУК
СЕКЦИЯ экономики
Экономическая наука
современной России
№1, 2004 г.
Основатели журнала:
Торгово-промышленная палата РФ
Всероссийский институт научной и технической информации
Институт экономики РАН
Центральный экономико-математический институт РАН
Государственный университет управления
Волгоградский государственный университет
Экономическая наука современной России
№ 1, 2004 г.
О некоторых методах формирования
и управления портфелем активов. Часть 1
© М.З. Берколайко, И.Б. Руссман, 2004
Задача формирования портфеля активов решается по аналогии с конструированием на-
дежных схем из ненадежных элементов. При управлении портфелем риск трактуется как
степень угрозы недостижения цели и вычисляется на основе математического аппарата, фор-
мирующего понятие «трудность достижения цели».
«Однажды я спросила опытного опционно-
го трейдера, какой совет он может дать
будущим трейдерам. «Я всегда советую им
углублять свои познания в философии или
физике» — таков был ответ... Он имел в ви-
ду, что выдающийся трейдер должен и ви-
деть картину в целом, и концентрировать-
ся на деталях.»
Рей К.И. «Рынок облигаций»
Введение
Базовые идеи теории управления портфе-
лем активов (далее - портфель) первоначально
были сформулированы Г. Марковицем (Marko-
witz, 1952), а затем получили развитие в рабо-
тах Дж. Тобина (Tobin, 1965) и У. Шарпа
(Шарп, Александер, Бэйли, 1997). Теория
Марковица-Тобина-Шарпа решает следую-
щую задачу: портфелю активов ставится в со-
ответствие случайная величина, зависящая от
доходностей составляющих его активов. При
этом трейдер стремится к увеличению ожида-
емой доходности (в данной теории это эквива-
лентно максимизации математического ожида-
ния доходности) и к уменьшению риска (это, в
свою очередь, равносильно уменьшению дис-
персии доходности портфеля).
На теорию Марковица-Тобина-Шарпа
опираются:
1.	Теория арбитражного портфеля (Шарп,
Александер, Бэйли, 1997; Cannor, Korajczyk,
18
1995), позволяющий снизить риск за счет
уменьшения влияния на портфель некоторых
выделенных факторов.
2.	Модификация оценок риска (Маршал,
Бансал, 1998; Mulvey, Armstrong, Rothberg,
1995; Chaumeton, Connor, Curds, 1998; Берко-
лайко, Руссман, 2003).
3.	Многошаговые процедуры принятия ре-
шений при управлении портфелем, подробно
проанализированные в работе (Ерешко, 2002).
Во всех этих подходах процедуры умень-
шения риска рассматриваются либо как огра-
ничения в оптимизационных задачах, либо не-
зависимо от критерия наращивания прибыли.
В данной работе и формирование, и управле-
ние портфелем рассматриваются как процесс
достижения цели системой переменной струк-
туры, а риск, в свою очередь, трактуется как
степень угрозы недостижения цели и является
функцией положения системы относительно
этой цели. Это означает, что мы должны:
1) в рамках заданного объема средств
(бюджета) в фиксированный промежуток вре-
мени, формируя портфель и реорганизуя его,
получить при закрытии позиции запланиро-
ванный адекватно конъюнктуре рынка доход;
2) если (например, в связи с резким изме-
нением конъюнктуры) достижение цели ока-
зывается невозможным, то необходимо обна-
ружить это как можно раньше и изменить па-
О некоторых методах формирования и управления...	19
раметры цели так, чтобы она стала достижи-
мой; изменение может выражаться в уменьше-
нии величины дохода, в увеличении времени
до момента достижения цели, или одновре-
менно в том и другом.
Отметим, что здесь мы говорим именно о
доходе, а не о доходности, поскольку, как это
будет показано ниже, нам требуется аддитив-
ная величина, а доходность таковой не являет-
ся. Что же касается второго ключевого понятия
различных портфельных теорий, а конкретно
риска, то угроза недостижения цели связана и
концептуально, и формально, с изменяющими-
ся во времени «трудностями», возникающими
при ее достижении и вызванными сопротивле-
нием внешней среды, низким качеством ис-
пользуемых ресурсов и собственными ограни-
ченными возможностями.
Вторая часть работы, посвященная форми-
рованию портфеля, основана на результатах
К. Шеннона (1963) в области конструирования
надежных электрических схем из ненадежных
элементов. Результатом процесса формирова-
ния портфеля становится подпортфель с почти
гарантированным доходом, и в этом заключа-
ется трудность.
Полученные результаты используются в
третьей части, посвященной проблеме управ-
ления портфелем. В частности, приводится
описание многошаговой процедуры, позволя-
ющей найти решение ранее сформулирован-
ных задач.
Наконец, четвертая часть содержит описа-
ние некоторых возможных модификаций моде-
лей, рассмотренных во второй и третьей час-
тях, и формулировки задач, представляющихся
нам актуальными (третья и четвертая части бу-
дут опубликованы в следующем номере — ред.).
Отметим, что привлечение аксиоматики
трудностей к оценке риска недостижения це-
ли, с одной стороны, позволяет сохранять тра-
диционно вероятностную интерпретацию рис-
ка, идущую от Марковица, а с другой - тракту-
ет риск как меру несоответствия реального ка-
чества актива качеству, диктуемому постав-
ленной целью.
Как известно, вероятностная интерпрета-
ция риска вызывает у практических инвесто-
ров некоторое недоверие. В этом смысле оцен-
ка риска как «трудности» позволяет формали-
зовать вполне житейское соображение о том,
что достижение цели тем более гарантировано,
чем более высокое качество в сравнении с ми-
нимальными требованиями имеют использо-
ванные ресурсы.
Работа носит преимущественно теоретичес-
кий характер, приводимые примеры в основном
иллюстративны. В настоящее время разрабаты-
вается программный продукт, позволяющий
применить предложенные модели к реалиям
фондовых рынков России и зарубежья.
Авторы выражают признательность про-
фессору Ф.И. Ерешко (ВЦРАН), профессору
Я.М. Миркину (Финансовая академия при
Правительстве РФ) за полезные дискуссии, а
также к.ф.-м.н. Р.Л. Болдыреву и к.ф.-м.н.
К.С. Демченко за помощь, оказанную в пос-
троении примеров.
Трудность достижения цели.
Аксиоматика и основные соотношения
Процесс достижения цели трактуется
авторами как процесс управления. Из общих
же принципов управления (Захаров, Поспелов,
Хазацкий, 1977) вытекает, что при этом прихо-
дится отвечать, в частности, на два вопроса:
1. Если изначально имеются ресурсы дос-
таточно хорошего качества, то следует ли из
этого, что при некотором разумном управле-
нии возможно получить результат хорошего
качества?
2. Если изначально ресурсы плохого качес-
тва, то возможно ли в процессе управления до-
биться «хорошего» качества результата?
Примерно так же, как интуитивному поня-
тию «полезность» в общеизвестных трудах
Дж. фон Неймана был придан строгий фор-
мальный смысл, можно дать количественную
трактовку всеми осознаваемому понятию
«трудность достижения цели». Введение этой
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
20
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
характеристики и построение для нее матема-
тического аппарата позволит придать фор-
мально-логический смысл и ответам на пос-
тавленные вопросы.
Интуитивно ясно, что тем труднее достичь
поставленной цели, чем меньше запас наших
возможностей по отношению к требованиям,
которые диктует желаемая цель. При этом ко-
личественная шкала оценки «трудностей» уже
содержится в семантике: мы говорим, что цели
достичь невозможно, если качество и количес-
тво наших ресурсов меньше требуемого; мы
говорим, что цели достичь очень трудно, если
этот запас лишь незначительно превышает
требования и т.д.
Таким образом, основное условие, которо-
му должна удовлетворять оценка трудности,
состоит в том, что трудность монотонно убы-
вает при возрастании расстояния между оцен-
ками требований и ресурсной обеспеченности.
Понятно также, что качество результата
(цели) и качество ресурсов - это понятия ком-
плексные, зависящие от многих факторов.
Итогом исследования такой многофакторной
характеристики и должна быть «трудность
достижения цели», про которую в этом контек-
сте уместно говорить, что она зависит от мно-
гих факторов. Помимо этого мы можем, разу-
меется, рассматривать и специфические труд-
ности, порожденные каждым фактором в от-
дельности. Поэтому возникает естественная
проблема взаимоотношения между набором
локальных трудностей и агрегированной труд-
ностью, порожденной комплексом этих специ-
фических факторов.
В работе (Каплинский, Руссман, Умыва-
кин, 1991) эти соотношения описываются сле-
дующей системой аксиом. Пусть db d2 - спе-
цифические трудности, ad-порожденная ими
агрегированная трудность.
1.	Агрегированная трудность не зависит от
каких-либо других факторов, кроме заданных,
т.е. d=fidb d2) := d{ X d2. В дальнейшем/бу-
дем называть сверткой трудностей.
2.	Коммутативность свертки: до примене-
ния управляющего воздействия порядок воз-
никновения трудностей не существенен (если
система предоставлена самой себе, то не име-
ет значения, накладывается ли первая труд-
ность на вторую, или наоборот), т.е. dx X d2 =
d2 X (Zp
3.	Отсутствие иерархии факторов (все факто-
ры относятся к одному уровню), что выражается
условием ассоциативности: (dx X d2) X dy =
= di X (d2 X dj.
4.	Условие нормировки: 0 < dx, d2, d < 1;
/0, 0) = 0,/l, 1)=1.
5.	При отсутствии трудности по второму
фактору свертка совпадает с трудностью по
первому фактору, T.e.fldx, 0) = dx.
Еще в начале XIX в. Н. Абель доказал, что
общий вид функции / (при выполнении усло-
вий 1-3) задается формулой:
/Ц, б72) = ср-1[<р(<71) + ср(б/2)],	(1)
где ср - монотонная непрерывная функция. Для
выполнения условий 4-5 на <р накладываются
ограничения <р(0) = 0, ср( 1) = 00 . Если теперь в
качестве функции <р выбрать In (1/(1 -d)\ то
f^dx,d2) = dx + d2-dxd2.	(2)
В той же работе показано, что этот вид
свертки единственный в классе многочленов
от двух переменных.
Таким образом, если понятие трудности
удовлетворяет условиям 1-5, а в качестве гене-
рирующей выбрана функция (2), то выражение
для агрегированной трудности совпадает с
формулой вероятности суммы независимых
событий. Отсюда следует, что трудность мо-
жет быть охарактеризована в вероятностных
терминах (см.: Каплинский, Руссман, Умыва-
кин, 1991; Леденева, 1999), где трудность воз-
никает как условная вероятность недостиже-
ния цели при условии, что качество ресурса
удовлетворяет первоначально сформулирован-
ным ограничениям). В ситуации управления
активами это означает, что «благонадежная»
предыстория актива не является гарантией его
«хорошего» поведения в дальнейшем.
Если cp(J) трактовать как затраты на прео-
доление трудности d, то соотношение (2) мож-
О некоторых методах формирования и управления...
21
но записать в виде: затраты на преодоление об-
щей трудности равны сумме затрат на преодо-
ление пофакторных трудностей, поскольку ра-
венство d = <р-1 [ф(^) + <p(J2)] эквивалентно
<p(d) = <р(с7]) + cp(J2). Сказанное позволяет сде-
лать вывод о том, что экономические сообра-
жения подтверждают разумность выбора усло-
вий 1-5.
Перейдем к определению трудности через
оценки качества ресурса. Пусть ц е (0, 1] -
безразмерная оценка качества ресурса с усло-
вием «чем больше, тем лучше», а е е [О, 1) -
нижняя граница требований к качеству ресур-
са. Ресурс считается допустимым, если ц>е.
Трудностью назовем величину, задаваемую со-
отношением
 „£0~р)
ц(1-е)’
(3)
Ц > Е.
Ясно, что d е [0, 1]. Кроме того, d = 0, когда от-
сутствуют требования к качеству ресурса
(е = 0) и для ресурса идеального качества
(ц=1). Трудность максимальна (d= 1) при
ц = е. Легко увидеть, что трудность, задавае-
мая соотношением (3), удовлетворяет всем
сформулированным условиям.
Формула (3) допускает очевидную вероят-
ностную интерпретацию: введем два случай-
ных события: А, — не выполнено требование к
качеству результата i; Bj — не выполнено требо-
вание к качеству ресурса j. Тогда dg выступает
как вероятность P(aJВJ недостижения ре-
зультата i при использовании ресурса j, удов-
летворяющего исходным требованиям. Выра-
жение (3) становится формулой Байеса, если
принимается одна из двух возможных интер-
претаций:
D е,=р(я,), („=/>(*,/4);
2)е₽=Р(я,/4),
В обоих случаях естественно предполо-
жить выполнение условия Р(А^В]) = 1, т.е. при
некачественном ресурсе результат всегда не
достигается. Легко проверить, что ц;-. > е и
Hz>Eir
В разд. 3 будет показано, что риск (угроза
потери управляемости) неограниченно возрас-
тет вблизи некоторой границы, за которой сис-
тема становится принципиально неуправляе-
мой. Это естественно приводит к введенной
Гильбертом и Клейном проективной метрике
на плоскости Лобачевского-Клейна (Пробле-
мы Гильберта, 1969). Для удобства изложения
приведем здесь все необходимые сведения.
Изобразим плоскость Лобачевского-Клейна
как единичный круг, любая хорда которого
трактуется как бесконечная прямая.
Расстояние р(В, С) между точками В и С
стремится к бесконечности при С -> D или при
В -> А. Это расстояние задается формулой
In (1/<Д, где d=(AB X CD)/(AC X BD) - ангар-
моническое отношение четырех точек. Похо-
жее выражение с логарифмом уже встречалось.
Разница между ними связана с тем, что, в моде-
ли Клейна-Гильберта р(В, С) = 0 эквивалентно
В - С. В наших построениях совпадение точек
В и С означает, что качество ресурса ц равно
нижней границе требований к нему е и при
этом трудность d максимальна и равна 1 (более
подробно об этом изложено в разд. 3). Таким
образом, выражение для трудности имеет оче-
видные аналогии с проективным расстоянием.
Как известно, это расстояние является в проек-
тивной геометрии единственным, сохраняю-
щим обычные правила сложения отрезков на
прямой, что вполне соответствует принципу
сложения затрат.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
22
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
Упомянем также, что выражение вида (3)
фигурирует в описании операторов нечеткой
импликации (Леденева, 1999), которые возни-
кают при оценке осуществимости вывода о
том, что при выполнении определенных усло-
вий можно получить требуемый результат.
2. Портфель активов и
надежность схем Шеннона
2.1.	Разнообразные методы управления
портфелем активов в той или иной форме реа-
лизуют одно и то же базовое требование: пор-
тфель в целом должен быть доходнее, чем без-
рисковый актив, но при этом более надежным,
чем составляющие его высокодоходные акти-
вы. Во всех подходах понятию надежности не
придается «двоичный» смысл, который, в то же
время, вполне уместен, если цель управления
портфелем сформулирована однозначно. Здесь
под двоичным смыслом понимается существо-
вание лишь двух вариантов: а) хороший вари-
ант (цель достигнута); б) плохой вариант (цель
не достигнута). На первый взгляд такой подход
представляется значительно обедненным по
сравнению с традиционным, когда каждый ак-
тив и портфель в целом рассматриваются как
случайные величины со своими законами рас-
пределения. Тем не менее, он имеет очевидное
преимущество и позволяет привлечь хорошо
разработанные методы теории управления, тео-
рии контроля и теории принятия решений.
Коль скоро портфель и составляющие его
активы рассматриваются в двоичной логике
(актив хорош или плох; портфель как совокуп-
ность активов хорош или плох) и при наличии
требования увеличения надежности (вероят-
ность того, что портфель хорош, должна быть
больше вероятности того, что хороши отдель-
ные активы) напрашивается аналогия с элек-
трическими схемами, состоящими из реле.
Напомним, что реле — это элемент, который
может находиться в двух состояниях: ток про-
пускается или нет. Соответственно схема, сос-
тоящая из реле, имеющая один общий вход и
один выход, также может находиться лишь в
двух состояниях. Отказ некоторой совокупнос-
ти элементов схемы пропустить ток не означа-
ет, что вся схема не пропускает ток, т.е., если
рассматривать схему как проводящее устройс-
тво, она может обладать большей или меньшей
надежностью по сравнению с надежностью
каждого элемента. Одной из самых значитель-
ных работ в теории надежности электрических
схем является работа К. Шеннона (1963).
Шеннон рассматривает реле, которое сра-
батывает с вероятностью р е (0, 1), и «конс-
труирует» электрические схемы из набора та-
ких независимых реле, которые срабатывают с
вероятностью Ыр). Из теоремы, являющейся
основным результатом работы (Шеннона,
1963), вытекает, что сколь угодно надежная
схема может быть сконструирована из сколь
угодно малонадежных элементов (т.е. при
сколь угодно малом р), равно как и сколь угод-
но ненадежная схема - из сколь угодно надеж-
ных элементов (последнее совсем очевидно,
если рассмотреть п последовательно соеди-
ненных реле, то в этом случае Ыр) = рп). Разу-
меется, физический смысл исследований Шен-
нона состоит в повышении, а не в понижении
надежности схем по сравнению с надежнос-
тью составляющих их реле. Тем не менее, в
финансовых аналогиях при исследовании ме-
ханизма коротких продаж можно решать и
противоположную задачу.
Теорема Шеннона. Для любых a, с (а < с,
а, с е (0, 1)) и любого сколь угодно малого б > 0
существует функция Шеннона Ыр), обладаю-
щая следующими свойствами'.
1)	Ыр) — монотонно возрастает и Ыр) = р
не более чем в одной точке интервала (0, 1);
кроме того, А(0) = 0 и Л(1) = 1;
2)	Ыр) < 5 для любогор е [0, а], Ыр) > 1 - d
для любогор е [с, 1].
Определение. Назовем последовательно-
параллельной схемой (ППС) схему, сформиро-
ванную по принципу прямоугольной матрицы,
составленной из строк вида (1, ..., 1; 0,..., 0),
где каждая строка матрицы соответствует па-
раллельной ветке схемы, а единицы в этой
О некоторых методах формирования и управления...
23
строке соответствуют последовательно соеди-
ненным реле.
Определение. Мостиковая ППС (МППС) -
это ППС, в которой некоторое количество со-
седних параллельных веток соединены пере-
мычками, содержащими по одному реле, при-
чем контакты каждой перемычки расположе-
ны между двумя соседними реле.
Определение. Схемами Шеннона являют-
ся различные суперпозиции ППС и МППС.
Определение. Назовем функцией Шен-
нона функцию /?(/?), р е [0, 1], которая пред-
ставляет собой вероятность срабатывания
схемы Шеннона, где р - вероятность сраба-
тывания каждого из составляющих ее незави-
симых реле.
Очевидно, что h(p) для суперпозиции схем
с функциями Шеннона h\(p) и h2(p) равна
Л2(Л^)).
Рассмотрим несколько простейших приме-
ров. Для каждой четырехэлементной ППС и
для пятиэлементной МППС приведем функ-
цию h(p) и опишем их поведение вблизи 0 и 1.
Пример 1.
h(p) =Р\ h(p)~pfi при р 0;
1 - Л(р) ~ 4(1 - р) при р 1.
Пример 2.
h(p) = р2 (2 - р2), h(p) -2 р2 при р -> 0;
1 - h(p) ~ 4( 1 - р)2 при р -> 1.
Пример 3.
h(p) = 1 - (1 - у?)4, h(p) ~ Ьр при р -> 0;
1 - h(p) - 3(1 -р)2 при р -> 1.
Пример 4.
А(р) = /?(1 + р2 -р3), h(p) ~ р при р -> 0;
1 - h(p) - 3(1 -р)2 при р 1.
Пример 5.
Л(р) = 2 р5 -5 J94 + 2/?3 + 2/т2, h(p) -Ip2- при р -> 0;
1 - h(p) - 2(1 -р)2 прир 1.
В приложении 1 приведены утверждения,
которые оценивают поведение функции Шен-
нона в окрестности 0 и 1. В приложении 2 по-
казано, что выражения вида (3) для трудности
возникают и в теории надежности схем и мо-
гут быть истолкованы как трудность повыше-
ния (по сравнению с р) надежности схемы при
вероятности срабатывания каждого реле, рав-
ной р.
2.2.	Покажем, каким образом портфель ак-
тивов может рассматриваться как система, об-
ладающая большей надежностью по сравне-
нию с надежностью активов, из которых она
состоит. Для этого ответим на два вопроса: как
формируется цель управления портфелем и
почему составляющие портфель активы могут
рассматриваться как независимые?
Определение. Целью управления портфе-
лем будем называть получение заданной вели-
чины дохода Jrui в течение заданного времени
и при заданном бюджете на формирование
портфеля Впл.
Поясним, почему мы говорим о заданной
величине дохода, а не о доходности. Происхо-
дит это потому, что под активом здесь понима-
ется некоторая совокупность одинаковых инс-
трументов (и, быть может, даже некоторый
первичный портфель), а доход, в отличие от
доходности, является аддитивной характерис-
тикой совокупности активов. Для того чтобы
считать такие обобщенные активы независи- г1
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
24
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
мыми, называем случайное событие благопри-
ятным для актива, если актив изменяет свою
стоимость за время /пл не менее чем на некото-
рую заданную величину. Даже если два актива
абсолютно коррелированны, то их коррелиро-
ванность означает только одинаковость трен-
дов (совпадение знака производной), но не
достижение заданного приращения стоимости
в один и тот же промежуток времени — что и
позволяет считать их независимыми.
Получив ответ на заданные вопросы, пе-
рейдем к поэтапному установлению аналогии
«портфель» <-» «схема».
1.	«Актив» ♦* «реле». Реле пропускает по-
лезный сигнал с вероятностью р, а актив дает
не менее чем заданное изменение стоимости
(доход) в заданное время с вероятностью не
меньшей, чем р.
Здесь и далее доходом будем называть по-
ложительное изменение стоимости при игре
на повышение или отрицательное изменение
стоимости при короткой продаже.
2.	«Последовательность активов»** «вет-
ка схемы», т.е. последовательно соединенные
реле. Под последовательным соединением ре-
ле, как известно, понимается схема, пропуска-
ющая сигнал тогда и только тогда, когда его
пропускает каждое реле. Вероятность
тывания - рт, где т - число реле на ветке. В
булевой алгебре это соответствует конъюн-
кции «и».
Последовательность активов считается
принесшей результат тогда и только тогда, ког-
да каждый актив принес не менее чем заплани-
рованный доход за время /пл. Таким образом,
последовательность активов в нашей трактовке
либо не приносит дохода вообще, либо с веро-
ятностью рт приносит доход, равный сумме до-
ходов от каждого актива последовательности.
3.	«Независимо управляемые последова-
тельности активов» ** «параллельное сое-
динение веток». Параллельно соединенные
ветки схемы соответствуют логической ди-
зъюнкции «или». Две независимо управляе-
мые последовательности активов могут при-
нести доход, равный доходу либо одной после-
довательности, либо другой, либо их сумме.
Очевидно, что вероятность получения дохода
по одной последовательности рт, по другой рп,
а хотя бы по одной из них 1 - (1 -рт) (1 -рп) =
= рт + рп ~рт+п.
Пример. Рассмотрим портфельную анало-
гию пятиэлементной МППС.
Особенностью этой схемы по сравнению с
пятиэлементными ППС является существен-
ное увеличение числа маршрутов, по которым
может пройти ток. Их 10:
Х4, Х2	Aq Х3 Х$9 Х2 Х3 Х4, Xj Х3 Х^ Х4, Х2 Х3 Х4 Х^7
Xj х4 х2 Х5, Xi х2 *3 Х5, X1X2X3 х4, Xj х2 х3 х4 х5.
Если вместо реле рассматривать активы, то
получим 10 последовательностей активов.
Считая, что для каждого из них пороговое зна-
чение дохода, достигаемое с вероятностью р,
есть R, получим закон распределения дохода
соответствующего портфеля:
X	 0	R	2R	3R	4Я	5R
р	1-й(р)	0	2р20-р)2(2р+1)		5/(1-/’)	Р’
Здесь h(p) = 2 р5-5 р4 + 2р^ + 2р? - фун-
кция Шеннона пятиэлементной МППС.
4.	«Функция Шеннона портфеля» ♦-►«функ-
ция Шеннона схемы». Если число р е [0, 1]
имеет описанный выше «портфельный»
смысл, то /г(р) - это вероятность того, что хотя
бы одна из последовательностей активов даст
запланированный доход в запланированное
время.
При этом необходимо отметить следую-
щее. В схемах Шеннона принципиально важно
прохождение полезного сигнала, т.е., если в
ранее рассмотренной пятиэлементной МППС
«сработал», например, маршрут х4, то уже
не играет роли срабатывание или несрабатыва-
ние любого другого маршрута. В портфельном
же аналоге «срабатывание» любого актива,
О некоторых методах формирования и управления...
25
пусть даже не участвующего в «несработав-
шем» маршруте, увеличивает общий доход
портфеля.
Сказанное выше позволяет сформулиро-
вать общий принцип сопоставления портфелю
активов аналоговой схемы Шеннона (функции
Шеннона).
Здесь и ниже н-схемой Шеннона называет-
ся любая схема Шеннона, содержащая ровно п
реле.
Принцип сопоставления. Каждому набо-
ру из п активов, приносящих за время /пл доход
(изменение стоимости), не меньший, чем 7?, с
вероятностью, не меньшей, чем р, сопоставля-
ется аналоговая и-схема Шеннона, функция
Шеннона h(p) которой в точке р равна вероят-
ности того, что найдется последовательность
активов (маршрут в аналоговой н-схеме), при-
носящая за время /пл доход (изменение стои-
мости), не меньший, чем mR, где ш<п — число
элементов в самых коротких последователь-
ностях активов (маршрутах).
Например, для схем, рассмотренных в п. 2.1.,
mR равно, соответственно: 47?, 27?, 7?, 7?, 27?.
Замечание. Подчеркнем, что в принципе
сопоставления речь идет лишь о том мини-
мальном изменении стоимости, которое обес-
печивается с надежностью h(p). При этом из
рассмотрения исключаются случаи, когда, нап-
ример в пятиэлементной МППС активы х2,
х3 приносят запланированный доход, не мень-
ший чем 7? («срабатывают»), а активы х4, х5 -
нет («не срабатывают»), поскольку в аналого-
вой схеме нет маршрута X] х2 х3 прохождения
сигнала.
Замечание. Требование, чтобы все активы
приносили доход, не меньший, чем одно и то
же фиксированное значение, представляется
на первый взгляд сильным ограничением, но,
как показывают простейшие рассуждения, это
не так.
Рассмотрим, для примера, четыре актива
X], х2, х3, х4, которым приписывается доход: 1,
2, 3,4. Пусть этой совокупности сопоставляет-
ся схема из примера 2 (п. 2.1). Поскольку к(р) -
это вероятность получения дохода хотя бы по
одной последовательности, то расположение
активов, дающее наибольший минимальный
доход, выглядит так:
Таким образом, выравниваются суммарные
доходы последовательностей активов.
Кроме того, всегда можно добиться того,
что число 7? одинаково для каждого актива -
это будет обосновано при описании метода
формирования портфеля.
2.3. Пусть n е 7V. Рассмотрим совокуп-
ность п активов, единицы которых (одна ак-
ция, один опцион, один баррель и т.д.) за вре-
мя /пл с вероятностямиръ ... ,рп приносят до-
ход, не меньший, чем 7?ь ... , 7?„. Пусть числа
к, таковы, что в рамках бюджета можно приоб-
рести kj единиц актива /.
Введем обозначения:
p0=min{p,k 7? - min{^,7?,|.
Тогда каждый актив р§ с вероятностью 7? при-
носит доход, не меньший, чем 7?. Здесь и ниже
подпортфель портфеля из п активов - это пос-
ледовательность активов, соответствующая
маршруту в аналоговой н-схеме Шеннона. Из
принципа сопоставления вытекает следующее
утверждение.
Принцип существования подпортфеля с
почти гарантированным доходом. Пусть
у < 1 - заданная надежность. Рассмотрим
н-схему Шеннона Smax с функцией надежности
/г( ), такую что:
1)^0)>у;
2) количество реле (обозначаемое через
mn) в любом минимальном маршруте схемы
5тах не меньше, чем количество реле в мини-
мальных маршрутах любой другой н-схемы
Шеннона, удовлетворяющей условию 1.
Тогда совокупность {к, единиц актива z}"(=1
представляет собой портфель, в котором по
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
26
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
крайней мере один подпортфель с вероятнос-
тью (надежностью) у принесет за время tnsi до-
ход, не меньший, чем mR.
Замечание. Числа R,, 1 <i <п, можно счи-
тать положительными, например, по следую-
щим соображениям:
•	если изменение стоимости некоторого ак-
тива отрицательно, то этот актив может участ-
вовать в короткой продаже;
•	если изменение стоимости некоторого ак-
тива прогнозируется отрицательным, то вмес-
то него при формировании портфеля можно
рассматривать опцион пут с соответствующей
ценой исполнения.
Замечание. Не следует считать, что соглас-
но сформулированному принципу, портфель
обязан принести доход с надежностью у, не
меньший, чем mR. Возможен и максимально
негативный исход, когда весь портфель в целом
принесет убыток. Однако при у, близких к еди-
нице, можно утверждать, что почти наверное
любой негативный исход будет демпфирован
положительным доходом, превосходящим mR.
В последующем будут рассматриваться ме-
тоды формирования и управления портфелем,
которые позволяют существенно хеджировать
риски получения негативного исхода. Напом-
ним, что подпортфель и количество составля-
ющих его активов определяются не любой воз-
можной их комбинацией, а лишь той, которая
соответствует маршруту прохождения сигнала
в аналоговой н-схеме Шеннона.
Из соображений двойственности вытекает,
что можно сделать вероятность существования
подпортфеля, о котором говорится в сформу-
лированном выше принципе, не сколь угодно
близкой к единице, а, напротив, сколь угодно
близкой к нулю. Это означает, что почти навер-
ное ни одного подпортфеля, приносящего по-
зитивный результат, нет.
Перейдем теперь к описанию метода двух-
сторонних оценок - одного из возможных ме-
тодов формирования портфеля. Разобьем отре-
зок [0, 1] на три части ./ь J2, Jy.
1)J1 = [0, a) — где функция Шеннона
h(p) < 5, т.е. если каждый актив портфеля при-
носит доход, превышающий R, с вероятностью
меньшей чем а, то вероятность существования
подпортфеля с гарантированным доходом пре-
небрежимо мала;
2)	./2 = с] — промежуток неопределен-
ности; если актив срабатывает с вероятностью,
значение которой находится в этом промежут-
ке, то мы не можем ни принять, ни отвергнуть
гипотезу о минимальном доходе портфеля;
3)J3 = (c, 1] - где функция Шеннона
h(p) >1—6, т.е. искомый подпортфель сущест-
вует почти достоверно.
Суть метода двухсторонних оценок состо-
ит в поиске значений R, Pq ч п таких, чтобы п
было минимальным, mR — максимальным, а
р0 е J3 при заранее заданном 6 >0.
Отметим, что первые два условия противо-
речивы и совместно образуют двухкритери-
альную задачу оптимизации, что же касается
последнего условия, то оно подразумевает вы-
бор соответствующей функции Шеннона для
н-схемы 5тах, которая фигурирует в принципе
существования подпортфеля с почти гаранти-
рованным доходом.
Рассмотрим один из возможных подходов
к построению искомой функции Шеннона. До-
пустим, что рн е (0, 1) - единственная непод-
вижная точка функции Шеннона h(p)
(h(pH) = рн). Очевидно, что итерации функции
h(p) обладают свойством:
Л1*’(p)=h(hu-«(/>))>//‘-“(р). Р>Р«-.
Ли)(р)<Ли-1)(р), р>ри для VPeM
Таким образом, всегда можно добиться вы-
полнения нужных свойств функции Шеннона
с помощью увеличения к.
Основываясь на этом замечании, можно
предложить набор функций Шеннона, имею-
щих неподвижные точки в разных частях от-
резка [0, 1], а затем подбором р и п добиться
заданной надежности для подпортфеля с почти
гарантированным доходом mR.
В приложении 3 приводится один из воз-
можных наборов модельных функций Шенно-
на. Он иллюстрирует тот факт, что надежность
О некоторых методах формирования и управления...
27
схем существенно повышается (неподвижная
точка приближается к нулю), если использует-
ся суперпозиция схем, рассмотренных ранее в
примерах 1-6, с параллельным соединением
двух или более элементов. Это позволяет зна-
чительно уменьшить число элементов по срав-
нению с описанным методом итераций.
Замечание. Использование схем и функций
Шеннона позволяет учитывать склонность ин-
вестора к риску. Поясним это на примере. Пусть
при решении оптимизационной задачи в качес-
тве оптимальной была получена схема
= ^(?))’ гДе ^(?) “ функция Шеннона
схемы 2 из приложения 3. Легко вычислить, что
/264(0,5) = 0,99, /г^ОД) = 0,95. Инвестору, не
склонному к риску, необходима надежность
у = 0,95. Для него естественно разбить отрезок
на промежутки = [0; 0,4), J3 = [0,5; 1), проме-
жуток неопределенности J2 = (0,4; 0,5). Для
другого инвестора надежность 0,95 вполне дос-
таточна и в этом случае промежутки изменяют-
ся. Однако для обоих инвесторов минимальный
гарантированный доход один и тот же - 4R.
Замечание. Остановимся еще на вопросе
определения величиныр0. В принципе сущест-
вования портфеля вероятность выбиралась как
минимальная из вероятностей для отдельных
активов. Такой подход представляется доста-
точно грубым, поскольку любой из активов с
достаточно малой вероятностью равноправен
с активом, для которого эта вероятность значи-
тельно выше, что заставляет уменьшать значе-
ние R. При достаточно малых и этот недоста-
ток не играет большой роли, так как речь идет
о подборе небольшой группы активов, но при
увеличении п для большей устойчивости про-
цедуры по отношению к случайным колебани-
ям можно предусмотреть, например, агрегиро-
вание активов и при этом внутри каждой груп-
пы выбирается средневзвешенная вероят-
ность. В этом случае р§ является минимумом
таких средневзвешенных вероятностей.
2.4. В своей работе Шеннон обращает вни-
мание на то, что величины а и с, участвующие
в формулировке основной теоремы, позволяют
рассматривать схему как «большое» реле. Для
этого величинам а и с придается физический
смысл, поясняемый следующей диаграммой.
Нет полезного
сигнала
Есть полезный
сигнал
Реле (элемент)
пропускает сигнал
Реле (элемент)
не пропускает сигнал
Замечание. Шеннон употребляет другие
термины, которые мы заменили (не изменяя
смысла) для того, чтобы дальнейшие финансо-
вые аналогии были более прозрачны.
Замечание. Отсутствие полезного сигнала,
конечно, не следует понимать как отсутствие
сигнала вообще, т.е. в схеме могут циркулиро-
вать возбужденные (случайные) токи, однако
на них элемент реагировать не должен. На вы-
ходе такие случайные сигналы не должны по-
являться, так как сама схема, как «большое»
реле, эти сигналы не пропускает.
Смысл теоремы Шеннона как раз и состоит
в том, что схема должна быть «двухсторонне»
надежной. Это означает, что вероятность про-
хождения полезного сигнала должна быть
близка к единице (схема действует как надеж-
ный проводник), а вероятность прохождения
случайного сигнала близка к нулю (схема дейс-
твует как надежное запирающее устройство).
В соответствии с диаграммой и основной
теоремой Шеннона представляется уместным
назвать отрезок [а, с] промежутком неопреде-
ленности, поскольку в этом промежутке схема
теряет свойство «двухсторонней» надежности.
Физический смысл сближения а и с состо-
ит в том, что каждое реле становится все менее
надежным, поскольку оно с близкими вероят-
ностями пропускает и полезный, и случайный
сигналы. Нетрудно понять, что при фиксиро-
ванном с и при a -> с количество элементов в
схеме Шеннона неограниченно возрастает, по-
этому величина с > а, стремящаяся к 1 при
а~>с может быть истолкована как трудность
(е = а, ц - с), которая стремится к максималь-
ному значению при уменьшении промежутка
неопределенности.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
28
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
Это соображение будет играть существен-
ную роль при переходе к портфельным анало-
гам схем Шеннона. Уместно также высказать
гипотезу о том, что числа а и с могут быть ана-
логами е и ц в определении трудности дости-
жения цели, т.е. трудности преодоления неоп-
ределенности.
2.5. Обсудим теперь финансовую интер-
претацию величин а и с в рассуждениях Шен-
нона. Под величиной с естественно следует
понимать нижнюю границу тех значений веро-
ятности р, с которыми рассматриваемые акти-
вы будут полезными при формировании пор-
тфеля. Тогда величину а необходимо рассмат-
ривать в качестве верхней границы значений
вероятности, при которых портфель становит-
ся значительно менее надежным, чем каждый
из составляющих его активов. При этом про-
межуток [а, с] можно называть промежутком
неопределенности.
Поясним сказанное на примерах. Положим
с = 0,7. Исследуя активы, мы обнаружили, что
существует п активов, с помощью которых
можно сформировать портфель, аналогичный
схеме Шеннона, для которой h(p) > 0,99 при
р > 0,7. В процессе управления этим портфе-
лем выясняется, что для данных п активов ми-
нимальное значение р уменьшилось и стало
равным 0,65 или 0,6 или 0,55. Функция h(p)
при этом принимает значения меньшие, чем
устраивающий нас уровень надежности 0,99.
Если бы мы знали, что уже при р < 0,6 величи-
на h(p) < 0,01, то это было бы сигналом, что
портфель подлежит существенной реконс-
трукции.
Таким образом, промежуток неопределен-
ности находится между двумя крайними вари-
антами:
1) портфель явно хорош (h(p) > 0,99);
2) портфель явно плох (Ыр) < 0,01), был бы
равен с - а = 0,1.
Разумеется, значение /?(/?), при котором
портфель считается явно плохим, не обяза-
тельно должен равняться 0,01, но метод конс-
труирования схемы Шеннона (как и сама тео-
рема Шеннона) предусматривает возможность
задавать вблизи нуля и единицы различные по-
роговые значения для h(p). Например, нетруд-
но посчитать, что для пятиэлементной МППС
достаточно пяти итераций для того, чтобы
/?(0,55) было больше, чем 0,9, а й(0,45) мень-
ше,чем 0,1. В то же время требуется 6 итера-
ций для схемы из примера 2 (разд. 2.1) для то-
го, чтобы Л(0,55) было меньше, чем 0,1, а
Л(0,65) больше, чем 0,9.
В первом случае требуется 3125 «активов -
реле», а во втором - 4096. Это означает, что
сложность схемы может зависеть не только от
длины промежутка [а, с], но и от его располо-
жения на отрезке [0, 1].
Все сказанное позволяет так же, как и в
случае схемы Шеннона, назвать величину
с(1 -а)
трудностью преодоления неопределенности
для портфеля активов.
Приложение 1
Приведем ряд утверждений, которые оце-
нивают поведение функции Шеннона в ок-
рестностях нуля и единицы.
Утверждение 1. Пусть ППС соответствует
матрице с к строками и I полностью состоящи-
ми из единиц столбцами, тогда:
1) h(p) = ]-(!- pty '-кр1 при р	0;
2) 1 - h(p) ~ А(1 - р)к при р 1;
Доказательство сводится к непосредствен-
ным вычислениям.
Утверждение 2. Если к ППС из утвержде-
ния 1 добавить параллельную ветку с одним
реле, то:
1) h(p) ~(к + 1)р прир	0;
2)1-Л(р)~<
lk(l-p)k+l, l = 2r,
(2r)*(l-p)*+1, / = 2г + 1,
при р -> 1.
Доказательство основано на теореме сло-
жения вероятностей.
О некоторых методах формирования и управления...
29
Утверждение 3. Если в ППС из утвержде-
ния 1 на какой-нибудь ветке добавить еще од-
но реле, то:
При р->О
кр', если добавленное реле не увели-
, . . чит количество состоящих толь-
Мр) ~
ко из единиц столбцов;
крм, в противном случае.
При р—>1
(I+ \)1к (Л-pf , 1 = 2г,
. к
(/ + 1)(2г) (1-р) , / = 2г + 1.
Доказательство очевидно.
Замечание. Эти утверждения показывают,
что ни «хорошо» заполненная ППС, ни добавле-
ние к таким ППС по одному элементу не могут
обеспечить «симметрично хорошее» поведение
h(p) и вблизи нуля, и вблизи единицы. Как вид-
но из приведенных примеров, что единствен-
ную возможность обеспечить симметрию пове-
дения в этом случае дают только МППС.
Эти соображения позволяют утверждать,
что ни ППС, ни МППС не могут обеспечить
свойств функции Шеннона. Выполнение этих
свойств можно обеспечить только за счет су-
перпозиции, что приводит к степенному росту
числа элементов в схеме.
Достаточно грубой, но полезной оценкой
функции Шеннона является следующее утвер-
ждение.
Утверждение 4. Пусть h(p) функция Шен-
нона, соответствующая ППС, составлена из к
ППС. И если ht(p) соответствует ППС г,
i = 1, ..., к, то имеет место система неравенств:
Птах(р, h, (р)) < h(p) < 1 - П (1 - min(p, h, (р))).
Доказательство. Воспользуемся методом
индукции по к. Разобьем доказательство на два
этапа: на первом - будем рассматривать схемы
из элементов, а на втором - «схемы схем».
Пусть hQj^p) - функция надежности для
схемы из к параллельных элементов, по одно-
му на каждой из к веток; hk{p) - функция для
произвольной схемы к элементов, соединен-
ных последовательно на каждой параллельной
ветке. Покажем, что из /?о,л(Р) — (при к = 1
получим равенство), из которого следует, что
/г0 к+\(р) > ^+i(p). Действительно, возможны
лишь два способа присоединения к схеме эле-
мента к + 1:
1) появление дополнительной параллель-
ной ветки, состоящей из одного элемента;
2) последовательное подсоединение эле-
мента к + 1 к элементам любой ветки.
В первом случае
hk+\ (Р) = hk (Р) + Р- phk (рУ>
К ш (Р) = ^ок(р) + р- р^ к (р);
ho.k (Р) + Р~ Pho,k (P) hk (р) + р - phk (р),
а это неравенство сводится к
^,*(Р)(1-р)^^(р)(1-р),
т.е. справедливому по предположению индукции.
Покажем теперь, что добавление последо-
вательно соединенного элемента на ветке при-
водит к функции надежности новой схемы
Ш для которой ЙГ(Р)>СГ
Имеем
h? (Р) = С1 (к) + ^ст.вет. (к) ~ hMh^. (Л
С1 (р) = С1 (р) + вет (р) - (рКввет (р).
Неравенство пь ^Р) - пк+\ сводится к нера-
венству Лствет.(р) > ^нов вет.(р), справедливому
всегда, так как при добавлении элемента на
ветку растет степень вероятности р (р < 1) и,
следовательно, уменьшается величина h(p).
Кроме того, имеет место монотонность функ-
ции h по числу элементов. Для h0 к(р) справед-
ливо неравенство
^Л+1(р) = 1-(1-рГ+1	=ho,k{p),
но отсюда следует, что
ho.M (Р) ho к (р) > Л" (р) > hk+l (р).
Доказательство утверждения для «схемы
схем» производится аналогично. Следуез
лишь учесть особенности новых обозначений.
Для функции надежности /гол(р) схемы, сос-
тавленной из к параллельных веток, на каждой
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
30
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
ветке i (/= 1,... ,k) с функцией надежности
йг(р) будем иметь
7=1
а для схемы из к последовательно соединен-
ных схем
ЙОА(Р) = ПЛ(Р).
7=1
С учетом этих обозначений доказательство,
рассмотренное выше, может быть использова-
но без изменений, тогда для «схемы схем» с
функцией надежности hk(p) получим
_	к
яа(^)<аЬл(^) = 1-П(1-ЛШ
7=1
Объединив оба рассмотренных случая,
придем к ограничению сверху из формулиров-
ки утверждения 4. Ограничение снизу получа-
ется автоматически при переходе к двойствен-
ным схемам, т.е. при замене «и» на «или» и
«или» на «и».
Обобщение этой теоремы на МШ1С и про-
извольные схемы Шеннона совершенно оче-
видно.
Приложение 2
Покажем, что выражение трудности при
аксиоматических построениях появляется так-
же и при изучении шенноновских схем.
График любой шенноновской функции h(p)
пересекает диагональ единичного квадрата в
единственной точке. Для доказательства этого
факта (Шеннон, 1963) приводится следующее
утверждение.
Лемма Шеннона. Имеет место неравенство
для всех ре(0,1).
р(1-р)
Покажем, как из этого дифференциального
неравенства возникают выражения для труднос-
тей. Рассмотрим дифференциальное уравнение
,,, х W)(l-W))
 Ц1-рГ-
Общее решение этого уравнения задается со-
отношением
p(y~Wi)_c	(4)
Легко показать эквивалентность условий
^(р)>7?<=>0<С<1.
Пусть пара (р0, h^tp)) задает начальные ус-
ловия задачи Коши. Обозначим hQ(p) -р0 := <т0.
Нетрудно проверить, что функция
С(о v )- р° O-aJ-q
C^Pg)-1-Po Ро+о
убывает по <т, Vo е [0, 1 - /?0] и по р0 при вы-
полнении условия р0+ h0(p) > 1, т.е., например
при pq е [0,5; 1]. Очевидно также, что при
р -» 1 — имеется эквивалентность двух беско-
нечно малых величин 1 - h0(p) и С(1 —р).
Тогда при наличии естественных ограниче-
ний р < ho(p) <1 V р е [0,5; 1) величина
С(о, Pq) выступает как «трудность стремления
й0(р) к 1 при р -> 1», причем
С(0,р0) = 1, С(1-ро,ро) = О VAg[0,5, 1).
Из общей теории дифференциальных нера-
венств (Михлин, Смолицкий, 1965) вытекает,
что для любой шенноновской функции, удов-
летворяющей условию h(po) > h0(pQ~), выполня-
ется неравенство
/?(/>) >/io(/0 Vpe[p0, 1].	(5)
По аналогии с предыдущими рассуждения-
ми при каждом р е [р0, 1] величину
^(1-ад)
ЬМУ-Р)
можно трактовать как «трудность повышения
по сравнению с надежностью шенноновской
схемы в точкер». При этом из (5) вытекает, что
такая трудность меньше, чем С. Нетрудно при-
вести аналогичные утверждения и для С > 1,
при этом очевидно, что р >h(p).
О некоторых методах формирования и управления...
31
Приложение 3
№ 1/П	Неподвиж- ная точка	Схема								Кр)		Минималь- ный доход
1	0,06	•—		ЕяЗ"	17 =	12	Zcy.			(р3 -Зр2 + 3р)‘(	2-(p3-3p2+3p)‘)	2R
2	0,06			1-	=8=	П =	15	уу	—		2qs - 5q4 + 2q3 + 2q^, где q(p) = p3 -Зр1 + 3p		2R
3	0,12			г—°-	п —	1 10			—•	2p5(2-p)5-5p4(2-p)4 + +2p’(2 —p)3+2p2(2 —p)2		2R
4	0,15	..		—о—	п =	= 8			—♦	P2 (2 - P)2	[2-/(2-p)2]	2R
5	0,5	•			—о- —о-	п	= 5		—*		2p5 - 5p4 + 2p3 + 2p2		2R
6	0,62	«—		—о- —о-	п	= 4		—♦		P2(l-P2)		2R
7	0,755	•—		—0-	п	= 5			*		p3 +p2 - p3		2R
Экономическая наука современной России ♦ № 1, 2004
32
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Литература
Берколайко М., Руссман И. Новые модели управле-
ния ресурсами банка // Банковское дело в Москве.
2003. № 6 (102). Июнь.
Берколайко М.З., Руссман И.Б. Управление портфе-
лем активов. / В сб. науч, трудов международной
конференции «Современные сложные системы уп-
равления». — Воронеж. 2003.
Захаров В.Н., Поспелов ДА., Хазацкий В.Е. Систе-
мы управления. - М.: Энергия, 1977.
Ерешко А.Ф. Методы декомпозиции и локально-оп-
тимальные стратегии в задачах управления портфе-
лем ценных бумаг. ВЦ РАН. 2002.
Каплинский А.И., Руссман И.Б., Умывакин В.М. Мо-
делирование и алгоритмизация слабоформализо-
ванных задач выбора наилучших вариантов систем.
- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991.
Леденева Т.М. Моделирование процесса агрегиро-
вания информации в целенаправленных системах.
-Воронеж: Изд-во ВГУ, 1999.
Маршал Дж. Ф., Бансал В.К. Финансовая инжене-
рия. - М.: ИНФРА-М, 1998.
Михлин С.Г, Смолицкий ХЛ. Приближенные мето-
ды решения дифференциальных и интегральных
уравнений. - М.: Наука, 1965.
Проблемы Гильберта / Под редакцией П.С. Алек-
сандрова. — М.: Наука, 1969.
Шарп У., Александер Г., Бэйли Д. Инвестиции. - М.:
ИНФРА-М, 1997.
Шеннон К. Надежные схемы из ненадежных реле.
Работы по теории информации и кибернетике. — М.:
Изд-во иностранной литературы, 1963.
Cannor G., Korajczyk R.A. The Arbitrage Pricing The-
ory and Multi — Factor Models of Asset Returns. -
North Holland, 1995.
Chaumeton L., Connor G., Curds R. A Global Stock
and Bond Model. Coll. Worldwide Asset and Liability
Modeling. - Cambridge: University Press, 1998.
Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance.
1952. 7 March.
Mulvey J.M., Armstrong J., Rothberg E. T. Total Integ-
rative Risk Management H Risk Special Supplement.
1995. June.
Tobin J. The Theory of Portfolio Selection. Coll. Inte-
rest Rates. London: Macmillan, 1965.
Рукопись поступила в редакцию 2.12.2003 г.