РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННЫХ НАУК
СЕКЦИЯ ЭКОНОМИКИ
Экономическая наука
современной России
№2,
2004 г.
Основатели журнала:
Торгово-промышленная палата РФ
Всероссийский институт научной и технической информации
Институт экономики РАН
Центральный экономико-математический институт РАН
Государственный университет управления
Волгоградский государственный университет
Экономическая наука современной России
№ 2, 2004 г.
О некоторых методах формирования и
управления портфелем активов. Часть 2*
© М.З. Берколайко, И.Б. Руссман, 2004
Задача формирования портфеля активов решается по аналогии с конструированием на-
дежных схем из ненадежных элементов. При управлении портфелем риск трактуется как
степень угрозы недостижения цели и вычисляется на основе математического аппарата, фор-
мирующего понятие «трудность достижения цели».
... У меня был талантливый учитель — мои
проигрыши. Психологи утверждают, что у
многих трейдеров тяга к проигрышам зало-
жена на подсознательном уровне. Я не из их
числа. Я всегда считал проигрыши своего ро-
да платой за образование, которое позволит
мне стать первоклассным трейдером.
Томас Р. Демарк
«Технический анализ — новая наука»
3. Управление портфелем активов.
Прогнозирование изменения
рыночного индекса
3.1. В этом разделе мы придадим точный
смысл введенному ранее пониманию риска как
степени угрозы потери управляемости. Нач-
нем с общих положений, имеющих отношение
не только к управлению портфелем активов.
Допустим, что за время tp[ нам нужно добить-
ся результата, количественное выражение ко-
торого есть Ар1. Предположим также, что су-
ществует минимальная скорость Fmjn его дви-
жения во времени (это минимальная скорость
производства результата) и максимальная ско-
рость Ктах (Бабунашвили, Бермант, Руссман,
1969). На рис. 2 уравнение прямой ОБ есть
Я = Pmax t, уравнение OD описывается форму-
лой А — Fmin t.
Если в процессе движения объект попадает
в треугольник DXCD, то достижение цели в за-
данное время становится невозможным, поэ-
тому данный треугольник становится запрет-
ной областью и приближение к нему увеличи-
вает угрозу потери управляемости. Ясно, что
риск, отражающий величину этой угрозы, дол-
жен стремиться к бесконечности при прибли-
жении точки к прямой С/Д.
Будем считать, что область, лежащая ниже
прямой ODb также является запретной, хотя
Продолжение. Начало см.: Экономическая наука современной России, 2004. № 1.
25
26
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
теоретически из точки, принадлежащей этой
прямой, мы могли бы достичь цели в плано-
вый срок. Тем не менее, минимальная ско-
рость «производства» результата (она может
быть и отрицательной, если рассматривается
не только наращивание результата, но допус-
кается и его уменьшение) понимается нами
как оценка надежности объекта. Движение с
еще меньшей скоростью следует понимать как
возникновение маловероятных чрезвычайных
обстоятельств, которые могут привести и к
разрушению самого объекта. Поэтому при
приближении объекта к отрезку ODX наше ко-
личественное определение риска должно
стремиться к бесконечности. Таким образом,
ломаная ODjC (рис. 2) является границей зап-
ретной зоны.
Согласно (Берколайко, Руссман, 2004), за
величину риска для точки М с координатами
(/], tIj) принимаем расстояние:
r(7W) = max<{ In
4-е'(1-*Ч
HlO-El)
1 - d} ’ i-d2
^ = е2(1-ц2)^
Ц2(1-е2)
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
где е, =|£1£2|,
при этом 1 - Ej = |F2F3|, 1-ц1 =|F3M|,
i-e2=|f2f3|, 1 - ц2 = |f3m| .
Поясним смысл точек 7\ и Г2 на рис. 2.
Очевидно, что в задачах управления, когда
состояние объекта описывается в терминах
«время - результат», очень важно найти точки
контроля, которые одновременно являются и
моментами времени принятия решения о при-
менении управляющих воздействий или пе-
ресмотра параметров цели.
Организация системы контроля должна
удовлетворять двум противоречивым требова-
ниям: точек контроля не должно быть ни
слишком много (за это приходится платить),
ни слишком мало (чтобы не возникла ситуа-
ция, когда что-либо менять уже поздно).
Теоретически объект мог сразу двигаться с
максимальной скоростью по прямой ОБ и к
моменту 1\ попасть в точку после чего да-
же движение с минимальной скоростью позво-
ляет вовремя достичь цели. Очевидно, что до
момента 7\ контролировать объект не имеет
практического смысла. После момента Т2
объект может оказаться в запретной области и
контроль потеряет смысл. В дальнейшем, ре-
шая задачу о целесообразности реорганизации
портфеля активов, будем искать первый мо-
мент времени для принятия решения на отрез-
ке [Т15 ТД.
3.2. Простейший метод формирования пор-
тфеля (двухсторонних оценок) ранее уже был
рассмотрен. Теперь опишем алгоритм форми-
рования и управления портфелем, позволяю-
щий объединить принципы (Берколайко, Рус-
сман, 2004, разд. 2) и п. 3.1. Как будет следо-
вать из дальнейшего изложения, практически
на каждом шаге возникают возможности изме-
нения (обобщения, усложнения) алгоритма
(некоторые возможные модификации мы ука-
жем в разд. 4).
Шаг 1. Задаем N активов, из которых мы
хотели бы выбрать п активов, формирующих
портфель.
Шаг 2. Задаем границу надежности у.
Шаг 3. Выбираем «-схему с функцией
Шеннона h(p) > у при достаточно малых значе-
ниях вероятности р. Составляем закон распре-
деления для числа реле в маршрутах, по кото-
рым может пройти ток.
Шаг 4. Обозначим через р0 минимальное
значение р, при котором h(p) > у, и проведем
первый этап формирования портфеля. Пусть
а/} - ансамбль п активов из общего набора N ак-
тивов. Для каждого ансамбля введем Ry... ,Rn-
доходы единиц актива за время tp/, которые мо-
гут быть получены с вероятностью, не мень-
шей чем рц.
О некоторых методах формирования и управления...27
Пусть Sj - стоимость единицы актива i, mt -
искомое количество этих единиц, В - бюджет,
отпущенный на формирование портфеля. Ре-
шаем следующую задачу оптимизации:
<В,
fa	mk&N.
min { mkRk } —> max,
Замечание. Разумеется, что полный пере-
бор всех вариантов выбора и активов из N за-
данных (шаги 1-4 алгоритма) практически не-
осуществим. Поэтому необходимо пользовать-
ся некоторыми специальными методами, су-
щественно ограничивающими перебор. Оста-
новимся лишь на двух из них.
1)	Ранжируем N активов по неубыванию:
у. - J^min
pz-max _ prmin ’
где Vj - средняя скорость изменения дохода за
одну торговую сессию для актива i; Р/™*,
jzjnin _ максимальная и минимальная скорости
для этого актива, соответственно. Рассматри-
ваем первые наилучшие (п + к) активов, где к
сравнительно невелико, и перебираем все
Спп+к= Скп+к вариантов.
2) Для набора С}} рассматривается разум-
ное с вычислительной точки зрения число ак-
тивов, выбор которых осуществляется с помо-
щью ЛПт-последовательностей (Соболь, Стат-
ников, 1981), обладающих свойствами равно-
мерности.
Прежде чем перейти к описанию следую-
щих шагов алгоритма, остановимся на некото-
рых важных моментах. Из каждого ансамбля
aft получаем допустимый портфель Pft , для
которого через R(Pft) обозначим экстремум,
найденный на шаге 4.
Для каждого допустимого портфеля счита-
ются выполненными условия, при которых
справедлив принцип существования подпор-
тфеля с почти гарантированным доходом,
сформулированный в (Берколайко, Руссман,
2004, разд. 2), и может быть построен аналог
схемы движения к цели (рис. 2). При этом за
Fmin принимается m R{Pft)ltpt, а за Apl ma
быть принято, например, число R(Pft)X, где
X - математическое ожидание случайной ве-
личины, рассмотренной на шаге 3. За Итах
можно принять величину n R(Pft)/tpi.
При этом отдельного обсуждения заслужи-
вает выбор «-схемы Шеннона (шаг 3). Он дол-
жен в той или иной степени удовлетворять
нескольким условиям. Во-первых, желательно
минимизировать п, но получить при этом как
можно большее т. Во-вторых, схема тем удоб-
нее, чем меньше значение р*, являющееся кор-
нем уравнения h(p) > у; уменьшение р* позво-
ляет в свою очередь добиться увеличения чис-
ла т R(Pft).
Например, табулирование некоторых фун-
кций Шеннона дает такие результаты. Пусть
й(р) - функция Шеннона 8-элементной схемы,
получающаяся, как суперпозиция функции
р* 2(2 -р2) и функции р(2 - р). Тогда Л(0,6) = 0,91,
й(0,7) = 0,97. 8-элементная схема удобна, напри-
мер, для российского рынка «голубых фишек»,
однако значительный доход с вероятностью 0,6,
а тем более 0,7, получить весьма трудно.
Если же h(p) — функция Шеннона 12-эле-
ментной схемы, получающаяся, как суперпо-
зиция функции р2(2 - р2) и функции X' “77)3 * * *,
то Л(0,45) = 0,907, Л(0,51) = 0,951, что позволя-
ет повысить R(Pft). Еще лучший результат
(Л(0,42) = 0,916, Л(0,47) = 0,951) дает функция
Шеннона 20-элементной схемы, получающаяся
суперпозицией функций 2 jp — 5	+ 2 р2 + 2р2
и р(1 -X3-
Рассмотрим вопрос о практическом вычис-
лении вероятностей, используемых в подборе
схемы Шеннона. Можно наметить два разных
подхода:
-	обрабатывается массив данных с перио-
дом /0, где tpi = ktQ,k- натуральное число;
-	обрабатывается массив данных с перио-
дом tpk
Эти подходы действительно разные. Допус-
тим, например, что /0 - это один день торговой
сессии, tpi- 30 дней, а обрабатывается массив за
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
28
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
300 дней. Пусть также среди этих 300 дней один
был форс-мажорным, с резким падением курса.
При первом подходе значимость этого дня неве-
лика. При втором, когда используется суммар-
ный доход идущих подряд 30 дней, сдвигаясь
каждый раз на один день, влияние «негативно-
го» дня возрастает, поскольку он фигурирует в
30 массивах из имеющихся 270. В итоге выбор
метода зависит от склонности инвестора к рис-
ку; можно рекомендовать использовать оба под-
хода и ориентироваться на более пессимисти-
ческий результат. Могут быть использованы
разнообразные методы обработки временных
рядов и технического анализа (Энциклопедия
технических индикаторов рынка, 1997); оценка
целесообразности применения того или иного
метода выходит за рамки этой работы.
Шаг 5. Для каждого допустимого портфе-
ля находим аналоги точек Ту и Т2. Точка Ту
есть абсцисса точки пересечения прямых:
nR(p^\
ОВ-.А = —^LLt,
^р!
ВуС:А = Ар1 +	_ mR(P^,
lpi
t^X-m)
т.е. = -------.
п-т
Аналогично: .
Jpl(n-X)
п — т
Замечание. Координаты точек Tt (i = 1, 2)
зависят от tpi, числа т, полученного из принци-
па сопоставления, и, кроме того, еще от вероят-
ности, найденной на шаге 4. Отметим, что при
уменьшении этой вероятности R(ct$) растет, од-
нако при этом мы ограничены условием h(p) > у.
Шаг 6. Для каждого допустимого портфеля
Р/} находим величину
р(^'):=^4^«)=
1 .1
= min max (In-----In----------
'4ВД]	l-^(W))
где M(t) - точка на прямой
Лр, r(p;)x
/1 — I —-	I.
tpl lpl
Шаг 7. Среди всех допустимых портфелей
выбираем тот, который доставляет решение
двухкритериальной оптимизационной задачи:
-> max.
Шаг 8. У найденного на предыдущем шаге
портфеля есть точка I* из промежутка [Г15 Т2],
в которой достигается описанный выше опти-
мум. Необходим мониторинг состояния каждо-
го актива до этого момента времени. Цель мо-
ниторинга — проверка выполнения для активов
условий предыдущих шагов. Если эти условия
хотя бы для одного из активов не выполняют-
ся, то необходимо сразу повторить все преды-
дущие шаги алгоритма с целью переформиро-
вания портфеля.
Шаг 9. Если все активы до момента време-
ни f удовлетворяли описанным выше требова-
ниям, то все шаги алгоритма повторяются в
момент f. При этом переформированный пор-
тфель может и совпасть с предыдущим.
Замечание. Момент переформирования
портфеля рассматривается как момент t = 0 с
задачей достижения в оставшееся время остав-
шейся доли от запланированного результата.
Замечание. Очевидно, что, если цель зада-
на точкой, как на рис. 2, то моментов возмож-
ного переформирования может быть бесконеч-
но много. Однако на практике (и это обеспечи-
вает конечность процесса) цель всегда указы-
вается как некоторая область (подробнее об
этом см. в следующем разделе).
Замечание. Условие принадлежности точ-
ки M(t) прямой
. МчИ,
/1 —	I
1р!
(шаг 6) не является, разумеется, единственно
возможным. Можно рассматривать, например,
О некоторых методах формирования и управления...
29
лежащий между вертикалями t = 1\ (7=1,2) от-
резок прямой А = Vav t, где Vav - средний доход
портфеля Pfh за один период, посчитанный на
основе статистических данных. Можно также
рассматривать любую ломаную (или кривую),
отражающую волатильность портфеля.
3.3.	Опишем схематично метод, позволяю-
щий прогнозировать с помощью схем Шеннона
изменение рыночного индекса. Предположим
для простоты, что прогноз составляется на пе-
риод, равный одному дню. Предположим так-
же, что множество мощности N единичных ак-
тивов (акций), включаемых в определение ин-
дексов (например, S&P5OO, N= 500; FTSE2500,
N=2500), удовлетворяет следующему усло-
вию: существует разбиение (X; N, п) множества
N на и агрегированных единичных активов
(элементарных портфелей), каждый из которых
принесет доход одного и того же знака.
Шаг 1. Зададим надежности у, (i = 1, 2) и
длину промежутка неопределенности D.
Шаг 2. Подберем «-схему Шеннона, фун-
кция h(p) которой удовлетворяет условие:
с - a < Л, где h(a) = уь Л(с) = у2.
Шаг 3. Рассмотрим всевозможные разбие-
ния (X; N, и), такие, что каждый их агрегиро-
ванный единичный актив (элементарный пор-
тфель) может принести в течение следующей
торговой сессии доход, не меньший, чем с
вероятностью, большей, чем с, и доход, не
меньший, чем Rg) с вероятностью меньшей,
чем а. При положительности доходов
7?р) > А^1); а при отрицательности 1?£2) < А^1).
Шаг 4. Среди всех разбиений шага 3 выбе-
рем то, у которого
М-1’ = max fAy’l.
Шаг 5. Воспользуемся принципом сущес-
твования подпортфеля с почти гарантирован-
ным доходом m 7?SQ). Пересчитаем этот доход в
почти гарантированную на следующую торго-
вую сессию доходность рыночного портфеля
(что аналогично доходности исходного мно-
жества N единичных активов). Укажем прог-
нозное значение изменения индекса на следу-
ющую торговую сессию.
Комментарий 1. Известно, что крупные
аналитические агентства публикуют прогнозы
изменения рыночных индексов, причем это
имеет значение не только для рынка базовых
биржевых инструментов, но и для рынка дери-
вативов, для которых индекс сам является ба-
зовым инструментом. К сожалению, нам неиз-
вестно какими методами пользуются агентства
для своих прогнозов и какова степень обосно-
ванности этих методов. Предлагаемая нами
схема позволяет, с одной стороны, почти га-
рантированное изменение индекса, а с другой
стороны, согласно теореме Шеннона, дает воз-
можность найти изменение, которое может
произойти лишь с очень малой вероятностью.
Промежуток между двумя этими значениями
как раз и соответствует промежутку неопреде-
ленности для схем Шеннона. Разумеется, мож-
но указать набор уровней изменения индекса и
оценить их вероятности. Подробнее об этом
мы надеемся рассказать в других публикациях.
Комментарий 2. Методы классификации
(Миркин, 1976) позволяют осуществить разби-
ение N активов на п групп, с равными средни-
ми значениями. Однако в нашем случае ис-
пользование этих методов ограничено выпол-
нением двух дополнительных условий. Во-
первых, групп должно быть не меньше, чем
количество элементов, необходимое для соот-
ветствующей схемы Шеннона. Во-вторых, ве-
роятности, с которыми элементарные портфе-
ли приносят примерно один и тот же доход,
должны быть такими, что их минимум удов-
летворяет условиям шага 3 алгоритма.
Комментарий 3. Рассмотренный алгоритм
без существенных изменений может быть
обобщен и на случай нескольких периодов.
Отметим лишь, что оценка вероятности при
изменении рыночного портфеля должна учи-
тывать весьма существенное отличие отдален-
ных периодов от близлежащих.
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
30
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
4. Некоторые модификации и
направления развития
4.1.	Схемы Шеннона и схемы Бернулли.
Под «-схемой Бернулли мы понимаем располо-
жение п активов следующим образом:
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
Такое расположение мы будем называть
схемой Бернулли, поскольку случайная вели-
чина - число сработавших элементов такой
схемы - распределена по биномиальному зако-
ну. Заметим, что доказанная в (Берколайко,
Руссман, 2004, прилож. 1, утверждение 4)
оценка допускает следующее уточнение:
(/?) < 1 - Ё с„у pJ (1 - р)п~',
;=о
где hn(p) соответствует «-схеме Шеннона, в ко-
торой кратчайший маршрут содержит ровно к
элементов.
Возникает естественный вопрос: зачем
привлекать для формирования портфеля из «
активов «-схемы Шеннона, если при стремле-
нии сделать вероятность срабатывания близ-
кой к единице «-схема Бернулли дает лучшие
результаты для небольших/>? Существует мно-
го аргументов в пользу схем Шеннона, здесь
мы приведем лишь два основных, в двух же
следующих пунктах обсуждаются дополни-
тельные соображения.
1.	Свойства функций Шеннона дают воз-
можность добиться того, что вероятность сра-
батывания прир> с близка к единице, но од-
новременно при р < a (a < с) уже близка к ну-
лю. При этом за счет конструирования схем
Шеннона можно добиться того, что промежу-
ток [а, с] располагается в любой заранее задан-
ной части интервала (0, 1). Ясно, что схема
Бернулли таким свойством принципиально об-
ладать не может. Это означает, что, привлекая
для образования портфеля схемы Шеннона,
можно вместо игры на повышение использо-
вать игру на понижение (например, короткие
продажи или пут-опционы), если р (вероят-
ность срабатывания одного актива) уменьшит-
ся сколь угодно незначительно.
2.	Множество маршрутов в n-схеме Шен-
нона существенно уже множества возможных
комбинаций в схеме Бернулли, что привлека-
тельно с точки зрения управления портфелем.
4.2.	Расположение активов в аналоговой
«-схеме. На протяжении всей работы мы пред-
полагали, что каждый из п активов «-схемы
Шеннона должен приносить доход не мень-
ший, чем одна и та же величина R. При таком
допущении не имеет никакого значения способ
соответствия активов элементам «-схемы
Шеннона, т.е., грубо говоря, неважно, на каком
месте схемы мы располагаем тот или иной ак-
тив. Этот подход, с одной стороны, упрощал
проблему формирования портфеля, но с дру-
гой - заставлял решать «лишнюю» оптимиза-
ционную задачу подбора величин пгк (шаг 4).
Отказ от этого допущения может дать, напри-
мер, возможность увеличения почти гаранти-
рованного дохода за счет оптимального «рас-
положения» активов на аналоговой схеме.
Для иллюстрации рассмотрим простой
пример. Возьмем 4-элементную схему, когда
на каждой из двух ветвей расположены по два
актива. Пусть значения доходов различны и
равны, например, 1, 2, 3, 4. Тогда существуют
три отличающихся друг от друга способа рас-
положения активов по элементам схемы. Они
изображены на рис. 3.
Из приведенной далее таблицы выбирается
оптимальное решение, столбцы Fb F2, Fj соот-
ветствуют трем возможным вариантам сраба-
тывания схемы:
- срабатывают обе ветви;
О некоторых методах формирования и управления...
31
Рис. 3
-	первая срабатывает, а вторая нет;
-	первая не срабатывает, а вторая срабаты-
вает.
Над столбцами записаны вероятности со-
ответствующих событий. При этом, согласно
принципам сопоставления и существования
подпортфеля с почти гарантированным дохо-
дом, не учитывается возможность несрабаты-
вания обеих ветвей, так как это событие имеет
вероятность 1 - h(p), величина которой для
рассматриваемых значений р пренебрежимо
мала. Строки матрицы Еъ Е2, Е3 соответству-
ют трем способам расстановки активов, сог-
ласно рис. 2. На пересечении данных строки и
столбца стоит величина получаемого дохода,
зависящая от способа расстановки и варианта
срабатывания схемы. Продолжением основной
таблицы служат результаты выбора наилучше-
го решения о расстановке активов по пяти раз-
личным критериям: ММ - maxmin - критерий,
предписывающий выбор решения, для которо-
го минимальный по каждой строке результат
максимизируется; HW - критерий Гурвица, по
которому устанавливается некоторый 0 < а < 1
уровень «оптимизма» и выбирается решение с
максимальным значением выпуклой линейной
комбинации между максимальным и мини-
мальным элементами в каждой строке; BL -
критерий Байеса-Лапласа, по которому выби-
рается максимальная величина математическо-
го ожидания выигрыша по каждой строке; 51 -
критерий Сэвиджа — минимизирует макси-
мальное «сожаление» от принятого решения,
которое вычисляется как разность между мак-
симальным и реальным доходом по столбцу;
П- критерий произведения, требующий пе-
ремножения элементов каждой строки и выбо-
ра решения, соответствующего максимуму по-
лученных величин.
Заметим, что сумма вероятностей для со-
бытий Fj, F2, F2 равна h(p). По трем критери-
ям (ММ, HW, П) оптимальным оказывается
третий вариант расстановки активов, выравни-
вающий суммы доходов по ветвям. Критерий
BL не позволяет осуществить какой-либо вы-
бор, а по ^-критерию наилучшая расстановка
соответствует решению Е2. Оптимальные зна-
чения отмечены в соответствующих столбцах.
Можно было рассмотреть и другие крите-
рии выбора (Мушик, Мюллер, 1990), но уже из
рассмотренного примера видно, что главным
является выбор самого критерия, а способ рас-
Таблица
k р	р	Р2(1 -Р)	Р2(1 -Р)								
\ F е\	Fi	f2	F3	ММ	HW	BL	S			max	П
Et	10	3	7	3	10 а + 3 (1 -а)	Ю h(p)	0	2	0	2	210
е2	10	4	6	4	10 а + 4 (1 -а)	10h(p)	0	1	1	1	240
У1	10	5	5	5	10 а+ 5(1 - а)	Wh(p)	0	0	2	2	250
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
32
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
становки активов по элементам схемы портфе-
ля является вторичной задачей.
4.3.	Декомпозиция портфелей. Мотива-
цией к декомпозиции портфеля могут служить
следующие соображения (для наглядности
рассмотрим портфель из восьми активов, в ко-
тором 8-элементной схемой Шеннона служит
4-элементная схема (Берколайко, Руссман,
2004, прилож. 3):
- для объединения двух портфелей (вер-
хняя и нижняя ветки) минимальной скоростью
служит величина 4 RJtpl, в то время как для
первоначального, не подвергшегося декомпо-
зиции портфеля, минимальная скорость равна
2 R/tpt. В то же время максимальная скорость
не изменится, т.е. угол между прямыми OD и
ОБ уменьшится;
- в описании алгоритма мы говорили о не-
обходимости переформирования всего портфе-
ля, если хотя бы один из активов перестал быть
приемлемым; при декомпозиции нам достаточ-
но переформировать один из подпортфелей.
Число подобных аргументов можно легко
увеличить, задача об оптимальной декомпози-
ции представляется весьма интересной, но в
данном случае следует остановиться подроб-
нее на другом аспекте этой проблемы. Речь
идет о мостиковой последовательно-парал-
лельной схеме (МППС), например, мостико-
вая схема из пяти элементов (Берколайко, Рус-
сман, 2004, прилож.З), которая, как представ-
ляется на первый взгляд, декомпозицию не до-
пускает.
Здесь, однако, можно воспользоваться ра-
венством Шеннона: h(p) = р ftp) + (1 - /?) g(p),
где ftp) — функция Шеннона для схемы с пере-
мычкой, a g(p) - функция Шеннона для 6-эле-
ментной схемы (Берколайко, Руссман, 2004,
прилож. 3). Использовать это представление
можно, например, в следующем варианте: счи-
тая, что каждый актив в 5-элементной МППС
разбивается на две доли и и(1 - о), 0 < со < 1,
после чего следует рассмотреть управление
двумя портфелями (рис. 4).
Заметим, что математическое ожидание
числа маршрутов срабатывания первой схемы
(рис. 4) при любой вероятности р строго боль-
ше, чем для второй схемы; поэтому можно за
счет подбора доли со сделать раздельное управ-
ление портфелями более выгодным, с точки
зрения достижения цели, чем управление с по-
мощью 5-элементной МППС. При такой де-
композиции актив, лежащий на перемычке, не
учитывается. Однако есть еще одна возмож-
ность декомпозиции МППС, при которой он
начинает играть самостоятельную роль. Она
основана на том, что любую МППС можно
представить как ППС при условии, что допус-
кается появление одних и тех же активов на
разных ветках. Поясним это на примере все
той же 5-элементной МППС:
Используя представление в виде дизъюн-
ктивной нормальной формы, можно показать,
что эквивалентной ППС является схема:
Рис. 4
О некоторых методах формирования и управления...
33
Один из вариантов декомпозиции пред-
ставлен ниже.
4.4.	Другие виды оценок управляемости.
В разд. 1 и 3 приводились аргументы в пользу
рассмотрения проективного расстояния до
запретной области (в качестве меры угрозы по-
тери управляемости). При этом проективное
расстояние до запретной области определяется
через трудность достижения цели d(e, ц). Сох-
раняя основы этого подхода, мы можем нес-
колько видоизменить способы вычисления
трудностей. В частности, в работе (Леденева,
1999) были рассмотрены модификации фор-
мул для свертки трудностей, позволяющие
включать в портфель недостаточно хорошие
активы, но за счет других составляющих ха-
рактеристика целого портфеля останется при-
емлемой для достижения цели.
Необходимость включения в портфель ап-
риори не очень качественных активов может
возникнуть, например, тогда, когда количество
«хороших» активов недостаточно для сопос-
тавления портфеля с «-схемой Шеннона (и -
велико), либо, если «хорошие» активы слиш-
ком дороги и не могут быть использованы из-
за бюджетных ограничений.
4.5.	Расстояние, информация, стоимость.
Упомянутое ранее проективное расстояние
In (1/(1 - dj) имеет также прозрачную анало-
гию с шенноновским определением информа-
ции (Шеннон, 1963), которое в нашем случае
является информацией о положении системы
относительно запретной зоны.
Как известно, Шеннон ввел свое определе-
ние информации как In /г1, основываясь на
том, что мера информации должна быть адди-
тивна, в отличие от вероятностей, которые яв-
ляются мультипликативными для совместно
происходящих событий. Свойству аддитив-
ности удовлетворяет еще одна важнейшая ха-
рактеристика — стоимость. В этом случае дол-
жна просматриваться цепочка соответствий:
проективное расстояние как информация о
трудности достижения цели эквивалентна ин-
формации о положении системы относительно
запретной области; эквивалентна риску как
мере угрозы потери управляемости и эквива-
лентна стоимости (затратам) на сохранение
управляемости а, следовательно, стоимости
возможности достижения цели.
Придание этой цепочке строгого формаль-
ного и модельного смысла представляется
весьма интересной задачей, решение которой
позволило бы трактовать портфель активов как
систему, рыночная стоимость которой находит-
ся в функциональной зависимости от затрат на
ее управление. При этом согласно формуле (1):
<р(Дг71, d2S) = <p(di) + <p(^i), «стоимость» управ-
ления по совокупности факторов равна сумме
«стоимостей» управления по каждому.
4.6.	Качество исходной информации. Ра-
зумеется, что по своей сути описанные методы
являются стохастическими. Однако если па-
раллелограмм (рис. 2) уже построен и не меня-
ется во времени, то управление носит детерми-
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
34
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
нированный характер. При этом процесс пос-
троения параллелограмма существенно зави-
сит от вероятности р. В связи с этим решаю-
щее значение приобретает точность оценки р,
а это означает тщательный и возможно доро-
гостоящий анализ большого количества акти-
вов. Здесь важен не только выбор метода ана-
лиза временных рядов, но и качество информа-
ции, по которой производится оценка.
Для применения теоремы Шеннона необ-
ходимо, чтобы события, вероятность которых
равна р, были независимыми. В то же время,
даже теоретически, невозможно представить
себе два актива, корреляционное отношение
для которых равно нулю. Но именно эвристи-
ческий характер предложенных процедур мо-
ниторинга и реорганизации портфеля позволя-
ет переформировать его как только вероят-
ность р значимо уменьшилась. До этого мо-
мента мы всегда предполагаем, что гипотеза о
независимости событий верна.
4.7.	Нерелейные схемы. Представляется
весьма перспективным использование в тео-
рии управления портфелем аналоговых схем,
элементами которых являются, например,
усилители. Если допустить, что на одной из
веток схемы расположены два актива, причем
прибыль, полученная от первого, инвестиру-
ется во второй, то общий доход ветки будет
равен:
k2(kx -1)Х] +(&2	>(^1 -1)*1 +(Л2
ще > 1, к2 > 1 - коэффициент наращивания
(усиления) стоимости первого и второго акти-
вов соответственно, ах} и х2 — стоимости акти-
вов. Можно также рассмотреть схему из двух
усилителей с обратной связью (рис. 5).
®--------<£)-^
У1
Рис. 5
Финансовый поток на выходе у разделяется
на две части у=yt +у2, гдеу2 = ау(0<а<1) —
инвестиционная составляющая, направленная
на вход первого элемента схемы. Легко полу-
чить выражение:
кхк2х
У 1 - акхк2 ’
при а ку к2 < 1 вся схема работает как эффек-
тивный усилитель.
Нам неизвестен метод построения надеж-
ных схем из элементов этого типа, но, очевид-
но, что появление таких методов повлечет за
собой возникновение новых эффективных
стратегий управления портфелем активов.
4.8.	Стоимость переформирования, ре-
зервы. В описании алгоритма формирования
и управления портфелем (разд. 3) мы не оста-
навливались подробно на затратах, связанных
с переформированием портфеля. Оценить
первоначально эти затраты затруднительно.
Здесь можно предложить следующий доста-
точно простой, но, как нам представляется,
эффективный способ. К набору критериев оп-
тимизации (или к набору ограничений) можно
добавить еще один. Рассмотрим прямую
Л = Vm t, гдеЕот - имеет для портфеля тот же
смысл, что и Vlav для актива в разд. 3. Пусть
заданы числа 0 < а < р <1 и должно быть вы-
полнено условие a Bjor < Bres < р Bjot^ здесь
Bjor ~ бюджет формирования портфеля, Bres —
бюджет резерва.
Положение точки A/av(Z*) на прямой А = Vmt
определяет долю бюджета формирования, от-
пущенную на бюджет резерва. Для каждого
портфеля момент t* имеет тот же смысл, что и
точка оптимума (шаг 8 алгоритма).
4.9.	Вершины параллелограмма управ-
ления. Мы определяли вершины Въ С и па-
раллелограмма на рис. 3, исходя из того, что
АР1=	, a Emax = п R(Pff)/tpl. Разумеется,
за Api можно принимать, например, наиболее
вероятный (а не средний) доход, а за Fmax дру-
О некоторых методах формирования и управления...
35
гую величину, вероятность появления которой
выше, чем рп.
4.10.	Управление по отклонениям. Легко
увидеть, что «отклонение от границ опасных
зон» выступает как один из основных принци-
пов управления портфелем. Отсюда следует,
что при любом способе вычисления Кт1П, Ктах
и Ар/ минимизация трудности сохраняет свою
главенствующую роль, т.е. эти параметры не
обязаны вычисляться с помощью схем Шенно-
на. Кроме того, для осторожного инвестора
можно рекомендовать оценку состояния пор-
тфеля во времени более частую, чем это следу-
ет из алгоритма. Сигналом для переформиро-
вания портфеля может служить, например, его
попадание в область, лежащую ниже прямой
Л — (Ар/ /tpi) I
Отметим, что в определении минимизируе-
мой величины г(7И(/)) (см. шаг 6, п. 3.2) мы при-
давали одинаковый вес угрозе приближения к
прямой CZ>i и к прямой OD], хотя на самом де-
ле попадание в CDDX делает ситуацию безна-
дежной, а область, лежащая ниже прямой ODX,
оставляет маловероятную возможность дости-
жения точки С. По-видимому, естественнее бы-
ло бы рассматривать как выпуклую ком-
бинацию двух расстояний, причем расстояние
до CD] имеет больший вес, чем расстояние до
ODX. Но нам пока неизвестны никакие априор-
ные соображения, которые позволили бы найти
коэффициенты этой комбинации.
4.11.	Портфель как замкнутая термоди-
намическая система. Брокер как демон
Максвелла. Максвеллу принадлежит идея
следующего мысленного эксперимента. В зам-
кнутом объеме, разделенном на две части пе-
регородкой, «демон» открывает дверцу, про-
пуская в одну из частей быстрые молекулы, и
закрывает эту же дверцу перед медленными.
Тогда через некоторое время можно было бы
достичь значительной разности температур и
за этот счет удалось бы проделать некоторую
работу. Только в 50-е годы стало окончательно
понятно, что такой эффект невозможен, пос-
кольку энергия, требуемая на оценку скорости
молекул (по доплеровскому смещению), пре-
вышает энергию, которую можно было бы по-
лучить за счет разностей температур в двух
частях объема.
Символично, что примерно в это же время
появились первые работы Марковица по проб-
лемам фондового рынка. Однако на самом де-
ле аналогия между фондовым рынком и термо-
динамикой замкнутых и открытых систем зна-
чительно более глубокая.
Допустим, что мы хотели бы поручить бро-
керу работу демона Максвелла, т.е. отбор самых
«хороших» активов и отсев всех «плохих». Оче-
видно, что затраты на такое распознавание
(сбор информации, анализ и прогноз) превысят
(при отсутствии доступа к инсайдерской ин-
формации) возможный гарантированный доход.
В предыдущем изложении одним из подтвер-
ждений этого был тот факт, что сужение проме-
жутка неопределенности влекло за собой уве-
личение трудности d. Другим подтверждением
является то, что приближение к цели (см.
рис. 2) влечет за собой и приближение к запрет-
ной области, т.е. увеличение энтропии
In (1 - dp1. В этом смысле второй закон термо-
динамики действует весьма наглядно; только
попадание за время, меньшее чем tpl, на прямую
С£], позволяет приближаться к цели без увели-
чения энтропии. Однако очевидно, что движе-
ние по такой траектории крайне маловероятно
и, если даже может быть осуществлено, то со
значительными затратами на оптимизацию от-
бора и на частые переформирования портфеля.
Кроме того, из общих соображений понятно,
что цель брокера состоит в минимизации энтро-
пии портфеля, а рынок же в целом (как внешняя
среда) стремится энтропию увеличить.
Эти соображения показывают, что качес-
твенным формальным аналогиям между фон-
довым рынком и термодинамикой больших
систем следует придавать строгий смысл.
Экономическая наука современной России ♦ № 2, 2004
36
Берколайко М.З., Руссман И.Б.
4.12.	Соотношение неопределенности.
Очевидно, что вычисление всех параметров,
определяющих положение портфеля как точки
на плоскости (A, t), невозможно производить
со сколь угодно большой точностью. Это отно-
сится и к вычислению значений R и р, и к оп-
ределению стоимости портфеля в любой точке
переформирования (из-за транзакционных за-
паздываний). Отсюда следует, что и сама цель
формирования и управления портфелем акти-
вов является не точкой, а некоторой областью
на плоскости (A, [). Заметим, что это соображе-
ние позволяет сделать процесс управления ко-
нечным, так как в противном случае (точечной
цели) количество необходимых переформиро-
ваний бесконечно.
В связи с этим возникает естественная ана-
логия с принципами неопределенности в кван-
товой механике и в гармоническом анализе,
которые, в самом общем смысле, утверждают,
что одновременная локализация объекта по
определяющим его параметрам невозможна.
Это приводит к соотношениям неопределен-
ности, которые, например, в квантовой меха-
нике, дают оценку снизу для произведения
приращений координат и импульса. Аналог та-
кого соотношения для фондового рынка, ско-
рее всего, должен выглядеть как ограничение
снизу на размер области плоскости (A, t), в ко-
торой может находиться каждый актив и пор-
тфель в целом. По нашему мнению, не следует
ожидать, что в качестве такого ограничения
будет выступать некоторая универсальная кон-
станта хотя бы только потому, что степень во-
латильности рынка окажет существенное вли-
яние на размеры области неопределенности.
Отметим в заключение, что, согласно нера-
венству Рао-Крамера (Крамер, 1948), одновре-
менное точное вычисление дисперсии и мате-
матического ожидания случайной величины на
основании статистических данных невозмож-
но, поэтому область неопределенности возни-
кает даже при использовании классической
модели Марковица — Тобина — Шарпа.
Литература
Бабунашвипи М.К., Бермант М.А., Руссман И.Б.
Контроль и управление в организационных систе-
мах И Экономика и математические методы,. 1969.
T.V. №2.
Берколайко М.З., Руссман И.Б. О некоторых мето-
дах формирования и управления портфелем акти-
вов И Экономическая наука современной России.
Ч. 1. 2004. №1. С. 18-32.
Крамер Г. Математические методы статистики. М.:
Изд-во иностранной литературы, 1948.
Леденева Т.М. Моделирование процесса агрегиро-
вания информации в целенаправленных системах.
-Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1999.
Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков. — М.:
«Статистика», 1976.
Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия техничес-
ких решений. - М.: Мир, 1990.
Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных
параметров в задачах со многими критериями. -
М.: Наука, 1981.
Шеннон К. Математическая теория связи. Работы
по теории информации и кибернетике. — М.: Наука,
1963.
Энциклопедия технических индикаторов рынка. -
М.: Издательский дом «Альпина», 1997.
Рукопись поступила в редакцию 2.12.2003 г.