ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ СО СТОРОНЫ КРУГЛОЙ СТРУИ,
НА РАСПОЛОЖЕННОЕ СООСНО ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ СО СТОРОНЫ КРУГЛОЙ СТРУИ НА
РАСПОЛОЖЕННОЕ СООСНО ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ.

Цель задачи: исследовать экспериментально зависимость силы,
действующей со стороны струи на обтекаемое ею препятствие от пара-
метров струи и препятствия. Вывести теоретическую формулу для этой
силы, используя интегральные законы сохранения массы и изменения
количества движения, сравнить результаты теоретического расчета в
рамках идеальной жидкости с результатами эксперимента.

I. ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЯ.

Вытекающая из насадка с постоянной скоростью вертикально вверх
круглая струя несжимаемой жидкости, см.рис.I, натекает на расположена
ное соосно с ней осесимметричное препятствие, например конус с полу-
углом раствора об и длиной образующей . Взаимодействие струи с
конусом имеет место на боковой его поверхности вплоть до кромки осно-
вания, где происходит отрыв жидкости от конуса. При установившемся
движении жидкости сила, действующая со стороны струи на конус, обус-
ловлена изменением количества движения в струе в направлении исходно-
го движения жидкости, связанным с преодолением инерции частиц жид-
кости в струе при отклонении их конусом в стороны и необратимыми поте-
рями из-за наличия вязких напряжений в жидкости при обтекании конуса.

П. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ СО СТОРОНЫ СТРУИ
НА КОНУС, С ПОМОЩЬЮ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ, ВЫРАЖАЮ-
ЩИХ СОБОЙ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ И ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВЖЕНИЯ
("МЕТОДОМ КОНТРОЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ”).

Чтобы в точной постановке найти теоретически силу, действующую
на конус, можно было, бы поступить следующим образом: написать полную
систему дифференциальных уравнений, описывающих движение вязкой
жидкости во всей области, занятой струей, написать соответствующие
краевые условия и решить полученную математическую задачу, найдя
таким образом распределение скоростей и напряжений во всех точках
жидкости, в том числе, на поверхности конуса. Напряжения (поверхност-
ные силы), действующие на конус, равны по величине и обратны по знаку
напряжениям, действующим в жидкости вдоль поверхности конуса, т.е.
известны из решения полной задачи. Проинтегрировав затем напряже-
ния на поверхности конуса по всей поверхности конуса, получим иско-
мую величину полной силы. Однако такой путь является очень слож-
ным.

В тех случаях, когда не требуется знать детально движение во
всей области, занятой жидкостью, когда интерес представляют лишь
интегральные характеристики (в данном случае - полная сила, дейст-
вующая на конус, а не детальное распределение давления по поверх-
ности конуса) для установившихся движений ответ можно получить
существенно проще и быстрее, применяя законы сохранения массы и
изменения количества движения (а в нужных случаях - также момента
количества движения и энергии) в интегральной форме следующим обра-
зом.

_Метод_крнтрюльныХ-Поверхност ей._

Выберем в области, занятой жидкостью, некоторый неподвижный
объем V , ограниченный замкнутой контрольной поверхностью Z.

Напишем интегральные, соотношения для индивидуального подвижного

объема жидкости

который в данный момент времени находит-

ся в контрольном объеме V,

м

плотность внешних массовых сил

нения на площадке с нормалью

- закон сохранения массы

- уравнение количества движения

Здесь

- вектор напря


Так как, согласно известной формуле дифференцирования интегра-

законы сохранения массы и изменения количества движения могут

быть переписаны в форме

I и

Если плотность внешних массовых сил - известная функция

координат, то объемный интеграл может быть вычислен (например, в
случае силы тяжести он равен	) * Характеристики движения

входят в эти уравнения только в виде интегралов от их значений на
контрольной поверхности. Если контрольная поверхность выбрана так,
что на части ее скорости и напряжения известны (точно или прибли-
женно) , то из соотношений (I), (2) можно найти интегральные харак-
теристики на остальной части контрольной поверхности.

В задаче о струе, обтекающей конус, для определения силы,

действующей на конус, удобно выбрать контрольную поверхность так,

как указано пунктиром на рис.1.
Рис. I
Поверхность ZL состоит из

2?о- поперечного сечения струи вдали от конуса, равного So

- кольцевого поперечного сечения струи на кромке основания
конуса, нормального к поверхности конуса;

2С - свободной поверхности струи между сечениями 2О 'и Zj

2 - смоченной поверхности конуса

/С

Напишем соотношения (I), (2) для такой контрольной поверхности,
сделав следующие упрощающие предположения: г 

I.	Рассматривая препятствия не очень протяженные по сравнению
с диаметром струи, но сильно изменяющие направление движения частиц
в струе, можно по сравнению с инерционными силами не учитывать силы,
связанные с трением, т.е. жидкость считать идеальной.

Тогда	ph- , где р -давление.

2.	Считая скорость в струе достаточно большой, а протяженность
тела по вертикали относительно незначительной, можно пренебречь
изменением скорости, связанным в наличием поля сил тяжести, т.е.
считать жидкость невесомой, сл, У = 0.

При сделанных предположениях отношение (2) будет иметь вид:

Удобно переписать это соотношение, добавив к правой части тождест-
венно равный нулю для любой замкнутой поверхности и любого постоян-
ного ро интеграл J pon.d_6" ; нам удобно взять в качестве

ро давление в окружающей струю среде (атмосферное давление).
Имеем .


Рассмотрим интеграл

. Он представляет собой

силу, действующую на жидкость $о стороны рассматриваемой части

конуса. Поэтому на конус, обтекаемый струей, действует сила
( ГЪ во всех формулах - единичный вектор нормали к 2,

внешний по отношению к объему, занятому жидкостью). При отсутствии
струи на действует атмосферное давление ро , поэтому инте-
ресующая нас сила, связанная с динамическим воздействием струи,
равна	— г ~

Ч

Из симметрии задачи ясно, что сила направлена вдоль оси конуса,
которую дальше обозначим через ось ЭС

Таким образом соотношение (2) в проекции на ось ЭС может быть
записано в виде

Теперь надо использовать граничные условия. На свободный поверхнос-
ти струи, т.е. на	:

(кинематическое условие, граница струи неподвижна),
р=ро - (динамическое условие)

На поверхности конуса, *.

/7^ =0( условие непроницаемости).

Примем, кроме того, что в достаточно удаленных от вершины конуса
сечениях 2О и	величины скорости и давления постоянны по

сечению.

Эти предположения тем точнее выполняются для конуса с заданным
углом , чем меныиЕ отношение диаметра натекающей струи oLQ
к длине образующей конуса С , ибо в этом случае по мере удаления
вдоль конуса от носика его давление в поперечных сечениях струи
скорее выравнивается и стремится стать равным атмосферному, после
чего струя не оказывает дополнительного динамического воздействия
на поверхность конуса. Имеем:

IWO , р-ро.	1	= £

17-	} р=ро ? $г~	~ taScL нсь2^

Таким образом, typh О только на 2О и ZLi , а р^Ро
только на	; поэтому из (I) и (2; ) получаем



- площадь сечения2^ . (Уравнение (I)
дает постоянство расхода вдоль струи
при установившемся движении)

Дополнительная связь между Vo И Й

получается с помощью

интеграла Бернулли: при установившемся движении несжимаемой жидкости

в отсутстви/1*массовых
VpJL

г. ?

сил вдоль линий тока сохраняется величина

-I---constвдоль линии тока

2 _Р

Рассмотрим линию тока,
свободной поверхности струи
кой линии тока 17—
а формула (л) для силы

идущую по поверхности струи. Вдоль
р-ро — zonit , поэтому на та-

. Отсюда следует, что Vo— 1%

принимает вид:

P=poSopt°^	С4)

Замечание:

poj

При выводе формулы (4) фактически не испольвалось, что обтекае-
мое тало есть конус. Использовалась лишь осевая симметрия и то,
что существует сечение Z, где скорость и давление выравнива-
ются по сечению, а угол скорости по отношению к скорости набегающей
струи равен оС . Поэтому формула (4) годится не только для
отрывного обтекания, где - угол схода струй с поверхности
тела, но и для безотрывного симметричного обтекания любых бесконеч-
ных или ограниченных осесимметричных тел, например^ изображенных
на рис.З. В частности, из этой формулы следует парадокс Даламбера,
который применительно к рассматриваемому случаю может быть сформули-
рован следующим образом: при безотрывном установившемся обтекании
конечного осесимметричного тела струей идеальной жидкости сила,
действующая на тело со стороны струи, равна 0.

Ш. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИЛЫ J С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ.

Представляет интерес выяснить, что дает теория размерности

для этой задачи.

При сделанных предположениях параметрами, определяющими вели-
чину искомой силы являются; скорость и площадь сечения
набегающей струи и /5О вдали от конуса (на бесконечнос-
ти) , плотность жидкости j9 , угол об , задающий раствор
конуса, и длина его образующей С , т.е.

Параметры 1УО 7 J>o , J0 имеют в классе систем единиц измерения
-[LtlT} независимые размерности, cL - безразмерная.На основа-
нии К -теоремы

Таким образом.

зависит от

можно найти либо из

теория размерности позволяет определить, как

р и	. Зависимость 5$

у

экспериментов с разными конусами, либо с °
помощью более фундаментальной теории.

Изложенная выше теория, основанная на
ных соотношений, дала для функции

использовании интеграль-

выражение

Отсутствие

зависимости от аргумента

связано со сделанным

при выводе

предположением о выравнивании давлении и скоростей в

нормальном сечении кольцевой струи, проходящем через кромку основа-
ния конуса независимо от того, чему равно значение £	•

Как уже отмечалось, это предположение является естественным при

. При конечных и малых значениях этого отношения

/X	(Ofr г )	е

зависимость функции	J от параметра -j-—. может

быть существенной.	°	X

1У. СХЕМА УСТАНОВКИ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

На специальной державке (см.схему установки) могут устанавли-
ваться тела различной формы. Снизу на установленное препятствие
направляется круглая струя воды, диаметр которой может изме-
няться с помощью навинчивания на подающую воду трубу насадков с
разными выходными сечениями. Скорость струи может меняться с по-
мощью крана. Схема установки показана на рис.2.
к прибору

Рие. 2 .
- II -

Державка связана с закрепленной жестко с одного конца пластинкой,
на которую наклеены тензодатчики. Шток с обтекаемым телом предва-
рительно уравновешивается с помощью разновесов. Тензоэлемент вос-

принимает лишь силу, связанную с динамическим воздействием струи.
В задаче требуется измерить силу, действующую на препятствия раз-
личной формы (с различными углами с4 ) со стороны струй различно-
го диаметра и различной начальной скорости. В процессе эксперимен-
та скорость струи определяется с помощью измерения расхода по фор-
муле	О.

где Q - объем воды, вытекающей за время л~С ,

- начальная площадь сечения струи (которая считается сов-
падающей с площадью выходного сечения насадка). Сила,
действующая на препятствие, измеряется при помощи тензодатчика,
который предварительно тарируется. Показания тензодатчика фиксиру-
ются на измерительном приборе (вольтметре). Измерение и результа-
ты заносятся в следующую.таблицу:

н	е  (си)	я  (см2)	Q  (си3)	at  (сек)		Ср tJ ЭКСП-,	«ЭКСП,.	<р  <5.	«'ЭКСП. ^leap. у G) /о */эксп.
				-					

Кроме того, требуется представить графики зависимости величины

5^	/

а „ от угла оС для различных препятствий и струй с разными

J

диаметрами при различных скоростях. При этом теоретический график
рисуется сплошной линией, а экспериментальные точки наносятся
на этот график. Для обозначения экспериментальных точек, соот-
ветствующих разным сериям измерений (в серии об и <5О фик-
сированы, Uo - меняется), следует применять различные обо-
значения ( <Э , △ , X , И и т.п.).

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ.

I.	Формулировка законов сохранения массы и изменения ко-
личества движения для конечного индивидуального объема сплош-
ной среды расположенного внутри конечного неподвижного прост-
ранственного объема (ограниченного "контрольной поверхностью").

2.	Применение метода контрольных поверхностей к выводу
формулы для силы, действующей со стороны струи на препятствие.

3.	Вывод формулы для силы, действующей со стороны струи
на препятствие в виде конуса, с помощью теории размерности.

4.	Интеграл Бернулли.

5.	Экспериментальное определение силы, действующей со сто-
роны струи на обтекаемый ею конус.

ЛИТЕРАТУРА.

I.	Л.И. СЕДОВ. Механика сплошной среды. Т. П гл. УШ § 7, 8.

2.	Н.Е. КОЧИН, И.А. КИБЕЛЬ, Н.В. РОЗЕ. Теоретиеческая гидро-
механика. т. I гл. П § 13.