fullscreen zoom_in fast_forward share cloud_download
Text
                    А. К. СУШКЕВИЧ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ КУРС
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ХАРЬКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
ИМЕНИ А. М. ГОРЬКОГО
Харьков 1954


Ответственный редактор — проф. М. Н. Марчевский
ПРЕДИСЛОВИЕ Основой для настоящего учебника элементарного курса теории чисел послужило 2-е издание моего украинского учебника «Теор1я чисел», ДНТВУ, 1936. Первые пять глав остались в основном те же, что были и в украинском издании. В первой главе не- несколько расширены параграфы о простых числах; в остальных главах исключены параграфы, напечатанные мелким шрифтом, содержание которых выходит за рамки обычного элементарного курса теории чисел. Шестая глава украинского издания («Квадра- («Квадратичные формы») исключена совершенно, ибо она не входит в офи- официальную программу курса теории чисел. Вместо неё даны две новые главы: гл. VI — «Некоторые сведения о квадратичных фор- формах» и гл. VII — «Работы по теории чисел русских и советских математиков». В основном в настоящий учебник включен тот материал, кото- который имеется в официальной программе по теории чисел для фи- физико-математических и механико-математических факультетов го- государственных университетов, изд. 1952 г. (автор А. Гельфонд). Предназначается этот учебник для начинающих изучать теорию чисел студентов физико-математического факультета, математи- математического отделения университета или пединститута,— будущих преподавателей математики в средней школе. Поэтому изложение курса — элементарное, насыщенное многочисленными числовыми примерами, уясняющими теорию. В конце каждой главы, кроме седьмой, даются упражнения, в большей своей части тоже вы- вычислительного характера. Обращено внимание на вещи, обычно не входящие в учебники теории чисел, но необходимые для препода- преподавателей математики средней школы, например, десятичные периоди- периодические дроби, признаки делимости; подробно изложена теория цепных (непрерывных) дробей. Последняя, седьмая глава имеет характер обзора; только об оценке числа простых чисел Чебышева сказано довольно подробно. В заключение считаю своим приятным долгом выразить бла- благодарность профессору Г. И. Дринфельду, который оказал мне любезность, просмотрев рукопись и сделав ряд ценных замечаний. Проф. А. Сушкевич ларьков, 1 августа 1953 г.
ГЛАВА 1 О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ § 1. В дальнейшем под буквами а, Ь, с, ... х, у, ... а, |3, ... мы будем подразумевать только целые числа, которые могут быть положительными или отрицательными, известными или неизвест- неизвестными, постоянными или переменными. Из элементарной арифме- арифметики известно, что сумма, разность и произведение целых чисел — тоже целые числа, тогда как частное двух целых чисел в исклю- исключительных только случаях есть целое число. Мы докажем для целых чисел следующую основную теорему: Теорема 1. Если а и b два любых целых числа и Ъ Ф О, то можно найти такие целые числа q и г, что будет: a = bq + r, A) при этом 0^г<|6|*); г и q определяются однозначно. Доказательство. Предположим сначала, что а > Ъ > 0. Рас- Рассмотрим кратные числа 6, т. е. числа: 1.й=6, 2.6, 3.6, ... вообще k.b. В силу известной аксиомы Архимеда, при доста- достаточно большом k будет: k.b> а. Следовательно, найдется такое натуральное число q, что окажется: bq^a, тогда как b (q + 1) > а« Обозначим: а — bq = г; очевидно, г > 0; отсюда: а = bq + г, но 6 (^ + 1) = bq + 6 >а, т. е. bq + b > bq + г\ таким образом: г < Ь. Для этого случая теорема доказана. Если а = b > 0, то <7 = 1» а = 0; если 6 > а > 0, то ^ = 0, г = а. Если а < 0, 6 > 0, то найдем: \а\ = bq + г, а следова- следовательно: а = Ь(—q)—г; при г = 0 формула A) доказана. При г > 0 обозначим: 6 — г = гг; 0 <гг<Ь\ г = b — гг и получим: а = 6 (—9) — 6 + /*! = 6 (—? — О + гг\ это — та же формула A), ибо 0<гг<Ь. Наконец, при b < 0 имеем по доказанному: *) Через I х I мы, как обычно, обозначаем абсолютную величину числа х, при*>0 [*| = *; при х<0 \х\ = •— х; |0[ = 0. т. е. при х >
следовательно: a = b (—q) + r% т. е. получаем опять формулу A). Докажем теперь, что q и г определяются однозначно. Пусть мы нашли двумя способами: а = Ьц + г = Ьцх+гъ где 0Sr<|6|, отсюда: bq — bq1=r1 — r; b{q — qx) == гг — г. Здесь правая часть меньше, чем \Ь\ по абсолютной величине, тогда как левая часть делится на Ь\ следовательно, гг — г = О, гг = ry qi = q и теорема 1 доказана вполне. Замечание. Нахождение чисел q и г при данных (положи- (положительных) а и b — обычное «деление с остатком» натуральных чисел, которому учит элементарная арифметика. Здесь мы строго доказали существование чисел q и г для произвольных целых чисел а и b; q — неполное частное, г — остаток от деления а на Ь. Деля обе части равенства A) на Ь, получим: Здесь левая часть (при | а \ > b > 0) — неправильная дробь, тогда как ~ всегда правильная дробь; формула B) представляет выделение целой части из неправильной дроби; q — целая часть дроби -г-; она обозначается: Замечание. Вообще, если х — любое вещественное число (рациональное или иррациональное, положительное или отрица- отрицательное), то его целой частью [х] или Е (х) называется такое це- целое число [х], что: [х] ^х < [х] + 1. При х — целом [х] = х. Подобно же вводится обозначение: {х) = х—[х]; {х} — дробная часть числа х\ всегда {х)>0. Наконец, через (х) обозначают расстояние числа х до ближайшего к х целого числа, т. е. абсо- абсолютную величину разности между х и ближайшим целым числом к х, т. е. наименьшее из чисел: {х} и 1 —{х}. Интересен случай, когда г = 0; тогда формула A) дает а = bq, или у = q, В этом случае говорят: а делится на b (т. е. делится без остатка), b — делитель или множитель числа а\ а — крат- кратное числа 6. § 2. Теорема 2. Если а делится на 6, a b делится на с, то и а делится на с.
Доказательство, Это вытекает из ассоциативного закона для умножения: имеем: а = bq, b = сдг, следовательно: Теорема 2 выражает так называемый «закон транзитивности» для делимости. Теорема 3. Если аъ а2, ... ak делятся на с, а хъ х2> ... xk любые (целые) числа, то и аххг + а2х2 + .. . -f #Л делится на с. Доказательство. Это вытекает из дистрибутивного закона: аг = сЬъ a2 = cb2> ... ak = cbk\ отсюда: й2х2+ ... + bhxk). Теорема 4. Если а делится на 6, то вообще +а делится на +6, в частности \а\ делится на \Ь\. Доказательство. а = bq = (—6) (—q)\ —а = & (—q) = (—6) 9. Теорема 5. Каждое число делится само на себя. Доказательство. а = а • 1. Теорема 6. +1 — делитель всякого числа; кроме +1 нет чи- чисел, имеющих такое свойство. Доказательство, а = 1 • а = (—1)(—а). Если а — делитель вся- всякого числа, то и 1 делится на а; но 1 делится только на +1. Теорема 7. О делится на всякое число; кроме нуля нет чисел с таким свойством. Доказательство. О = а • 0; если а Ф 0, то а не может делиться на а + 1. Теорема 4 позволяет в вопросах делимости ограничиться только положительными числами. В данной главе мы поэтому будем под буквами подразумевать не только целые, но и положительные числа. Говоря, например, о делителях числа, мы будем иметь в виду его положительные делители. Вообще в вопросах дели- делимости числа а и —а играют одну и ту же роль; такие числа (различающиеся знаком или множителем —1) называются ассо- ассоциированными. § 3. Общее наименьшее кратное. Пусть аъ а2у ... ап — дан- данные (целые, положительные) числа; их произведение ага2 ... ап делится на каждое из них, т. е. является их общим кратным. Таких общих кратных — бесчисленное множество, ибо 1гага2 ... ап при любом целом k — тоже общее кратное данных чисел; число 0 тоже их общее кратное. Следовательно, существует наименьшее положительное кратное этих чисел. Это — так называемое общее наименьшее кратное; обозначим его через т. Обозначают: т = Ь\(аъ а2, ... ап) = {а1,а2, ... ап). Очевидно, 0 < т^а1а2 ... ап. Пусть тх какое-нибудь иное общее кратное тех же чисел tfi,#2> ••• ап\ Делим тг на т и получаем по теореме 1: тг = mq + r\
Отсюда г = тг — mqy и по теореме 3 мы выводим, что г — тоже общее кратное чисел аг,а2, ... ап. Но г < m, a m — наи- наименьшее общее кратное; следовательно, г = О, и мы получаем: Теорема 8. Среди всех кратных нескольких данных чисел всегда найдется такое, которое является делителем всякого дру- другого общего кратного этих чисел; это — общее наименьшее крат- кратное. § 4. Общий наибольший делитель. Любые п (целых положи- положительных) чисел всегда имеют общий делитель, равный 1. Если кроме 1 (лучше сказать,— кроме ^1) они не имеют общих дели- делителей, то такие числа называются взаимно-простыми. Но может случиться, что кроме 1 данные числа имеют другие общие дели- делители (например, если все они четные, то 2 — тоже их общий делитель). Во всяком случае число общих делителей данных чи- чисел конечно, ибо каждый из них (по абсолютной величине) не может быть больше наименьшего из данных чисел. Пусть d', d", d!", ... все (положительные) общие делители данных чисел и d-M(d', d",d'",...). Каждое из данных чисел аъ a2t .. . ап — общее кратное всех делителей d', d", d'", ... , а следовательно (по теореме 8), де- делится и на d. Таким образом, d — тоже общий делитель всех данных чисел, т. е. входит в совокупность чисел d', d", d", ... При этом d, очевидно, наибольший из всех этих делителей, ибо он делится на каждый из них. Обозначим: d = D (аъ а2, ... ап) = (аъ а2, ... ап). Итак: Теорема 9. Между всеми общими делителями данных чисел имеется такой, который делится на всякий другой общий дели- делитель этих чисел: это — общий наибольший делитель данных чисел. Теорема 10. Число d тогда и только тогда общий наибольший делитель чисел аъ а2, ... ап, когда частные тг > "т » • • • ~т — взаимно-простые. Доказательство. 1. Пусть d = D(alf a2f ... ап) и пусть част- частные ~, ^, . .. ?j имеют общий делитель S > 1. Тогда, следова- тельно, частные ^, ~, ... ¦? — целые числа, т. е. аъ а2, ... ап имеют общий делитель db > d, а это противоречит тому, что d — общий наибольший делитель. 2. Пусть теперь числа а~у ^, ... ~ взаимно-простые; пусть d не наибольший общий делитель; тогда по теореме 9 D (аъ а2, . .. ап) имеет вид: d8, где Ь > 1. Но тогда | = aj- : 8, | = ^ : S, . . .g = = -j : 8 — целые числа, т. е. Ь > 1 — общий делитель чисел ^ ,
~, ... ~г, что противоречит тому, что эти числа — взаимно- простые. Теорема 11. Если d = D(al9 а2, ... ап), то D(a1kf a2ky ... ank) = = dk, ?ч%, %, ... -г) = -г (последнее — в том случае, если k — один из общих делителей чисел аъ а2, ... ап). Доказательство. Это следует из того, что -г = -тг = -тгт на и (Хк и, \ и, основании теоремы 10. § 5. Рассмотрим случай, когда даны два числа а и Ь. Пусть т = М(а, Ь)\ по теореме 8 ab делится на т. Обозначим: т ' отсюда: а т b т ~d ~~ Т ; 1 ~~И% Правые части, а значит, и левые — целые числа, следовательно, d — общий делитель чисел а и Ь. Пусть d' — какой-нибудь дру- другой их общий делитель, тогда: т. е. т' = ~ — общее кратное чисел а и Ь. Оно по теореме 8 делится на т: т' ab tab d H'~~dr:~d~"drt Это — целое число, т. е. d делится на d\ значит (см. теорему 9) d — общий наибольший делитель чисел а и Ь. Итак: Теорема 12. Если т = М(а, 6), d = D(a, b), то ab = md. C) При d = 1 из C) непосредственно вытекает: Следствие. Числа а и b взаимно-простые тогда и только тогда, когда их общее наименьшее кратное равно их произведению. Заметим, что если число данных чисел больше двух, то эта теорема неверна: общее наименьшее кратное взаимно-простых чисел может и не равняться их произведению. Например: DF, 4, 9) = 1, тогда как МF, 4, 9) = 36 < 6 - 4 • 9. В дальнейшем мы к этому еще вернемся (см. теорему 17). § 6. Теорема 13. Чтобы найти общий наибольший делитель нескольких чисел, можно сначала найти общий наибольший дели- делитель каких-нибудь двух из данных чисел, затем найти общий наибольший делитель этого найденного и какого-нибудь третьего из данных чисел, далее найти общий наибольший делитель этого
найденного во второй раз и какого-нибудь четвертого из данных чисел и т. д. Последний из найденных таким образом делителей и есть общий наибольший делитель всех данных чисел. Доказательство. Достаточно доказать эту теорему для трех данных чисел а, 6, с. Аналогично она доказывается и для боль- большего числа данных чисел. Итак, пусть D(a, b) = e, D(ef с) = d\ по теореме 2 а и Ь делятся на d, т. е. d — общий делитель для а, 6, с. Пусть d' — какой-нибудь другой общий делитель тех же чисел; тогда (по теореме 9) е делится на d', а следовательно (по той же теореме 9), и d делится на d\ т. е. d — общий наиболь- наибольший делитель чисел а, Ь, с. В виде формулы: D(a, b, c)^D{D{ay b\ с). Аналогичная теорема существует и для общего наименьшего кратного. Теорема 14. Чтобы найти общее наименьшее кратное несколь- нескольких чисел, можно сначала найти общее наименьшее кратное двух из них, затем найти общее наименьшее кратное этого найденного и третьего из данных чисел и т. д. Последнее из найденных кратных и есть общее наименьшее кратное всех данных чисел. Эту теорему тоже достаточно доказать только для трех данных чисел а, Ь, с. Доказательство, вполне аналогичное доказательству теоремы 13 (только вместо теоремы 9 приходится ссылаться на теорему 8), мы предоставляем читателю. И эту теорему можно выразить формулой: (а, 6), с). Таким образом, нахождение общего наибольшего делителя (или общего наименьшего кратного) нескольких чисел сводится к нахождению общего наибольшего делителя (или общего наи- наименьшего кратного) только двух чисел. О практическом способе нахождения общего наибольшего делителя двух чисел мы скажем в следующей главе. § 7. Теорема 15. Если ab делится на с, а а и с взаимно- простые, то b делится на с. Доказательство, ab делится на а и на с, а следовательно (по теореме 8), и на их общее наименьшее кратное, которое по след- следствию из теоремы 12 равно их произведению: М(а, с) = ас, сле- аЬ Ъ довательно, — = целое число. Теорема 16. Если а и с — взаимно-простые, то: D(ab, c) = D(bf с). Доказательство. Пусть D(b, с) = d; тогда и ab делится на d. Обратно, пусть D(ab, с) = d; имеем D(at d) = 1, ибо иначе (по теореме 2) а и с не могли бы быть взаимно-простыми. Следова- Следовательно: ab делится на d, но а и d — взаимно-простые; по тео- теореме 15 в таком случае и b делится на d. И теорема доказана.
Заметим, что теорема 15 —частный случай теоремы 16,— при d = с. Если не только D(a, с) = 1, но и D(bf с) = 1, то теорема 16 дает: D(ab, с) = 1. Значит: Следствие 1. Если с взаимно-простое с а и с 6 отдельно, то с взаимно-простое и с произведением ab. Это следствие непосредственно обобщается и на несколько множителей. Следствие 2. Если каждое из чисел аъ а2, ... ат взаимно- простое с каждым из чисел Ьъ 62, ... bnt то и произведения аха2 ... ат и Ьф2 ... Ьп взаимно-простые. Если а1 = а2 = ... = ат и Ьг = Ь2 = ... = Ьп, то получаем: Следствие 3. Если а я b взаимно-простые, то и всякая сте- степень а взаимно-простая со всякой степенью b *). § 8. Исследуем теперь, в каких случаях общее наименьшее кратное нескольких чисел равно их произведению. Пусть даны три числа а, 6, с. По теореме 14, чтобы найти М(а, 6, с), мы сначала находим М(а, Ь)\ если М(а, b)<^ab, то и М(а, 6, c)<abc. Следовательно, должно быть М(а, b) = ab, а поэтому (по след- следствию из теоремы 12) D(a, b) = 1. Далее, будем иметь: М(а, 6, с) = М(а&, с); чтобы это равня- равнялось abc, должно быть D(ab,c)= 1, а отсюда, очевидно, D(a, с) = 1, D(b, c)= 1. Таким образом, каждая пара чисел а, 6, с взаимно- простая, или, как говорят, числа а, Ь, с «попарно взаимно- простые» . Обратно, пусть теперь дано, что числа а, 6, с попарно взаимно- простые; в таком случае М(а, b) = ab. По следствию 1 из тео- теоремы 16 ab и с тоже взаимно-простые, значит: М(а, 6, с) = М(й ) & ( ) Это непосредственно обобщается и на несколько чисел. Итак: Теорема 17. Общее наименьшее кратное нескольких чисел тогда и только тогда равно их произведению, когда эти числа попарно взаимно-простые. Следствие. Если число с делится на каждое из чисел аъ а2, ... ап, а эти числа попарно взаимно-простые, то с делится и на произ- произведение аха2 . .. ап. Это вытекает непосредственно из теорем 17 и 8. § 9. Некоторые приложения. 1. Пусть х — целое число; дока- жем, что если ух не целое число, то этот корень не может быть и рациональной дробью. Предположим, что |/ х = -г , где -г — несо- ¦) При этом, конечно, подразумевается, что показатели всех наших сте- степеней — целые положительные числа. 10
кратимая дробь, т. е. D(a, b) = 1. Тогда х= ^, и по след- следствию 3 теоремы 16 дробь |^ тоже несократима, а следовательно, не может равняться целому числу х при b > 1. Вообще, алгебраическое уравнение п-й степени с целыми коэф- коэффициентами и с коэффициентом при высшей степени равным еди- единице не может иметь рациональных дробных корней. Пусть хп + а^-1 + а2хп~2 + . .. + ап = 0 D) такое уравнение и х — ~г его рациональный корень, причем D(a,b) = 1. Подставляя это значение х в уравнение D) и умно- умножая обе части на 6П"~\ получим: у + ахап~х + афап~г + ... + anbn~x = 0. Здесь при b > 1 первое слагаемое — дробь (по тому же след- следствию 3 из теоремы 16), а все остальные — целые числа; такая сумма не может равняться нулю. Следовательно, должно быть 6 = 1, т. е. х = а — целый корень. Заметим, что корни уравнения типа D), если они не рацио- рациональны, называются целыми алгебраическими числами. 2. Рассмотрим биномиальный коэффициент: а ) = 1 • 2 • 3 . .. а при 6 > а. Имеем: обозначают еще: (г)-1- Непосредственным вычислением легко вывести формулу: ( Отсюда методом полной индукции выводим, что ( ] всегда целое число. Далее, имеем: Пусть Ь>а и D(at 6)=1. Из формулы F) следует, что Ь • ( ~~ ) делится на а, а следовательно, по теореме 15 (ь"~}) \а— 1/ г \а— 1/ делится на а. Но тогда из формулы F) вытекает, что ( ь ) делится на Ь. 11
Таким образом, при взаимно-простых а и Ь ( ) делится на Ь. §10. Простые числа. Среди всех целых чисел выделяются числа +1 и 0; +1 имеет только один делитель 1 *); 0 делится на всякое целое число, т. е. имеет бесчисленное мцожество дели- делителей. Всякое другое целое число а имеет по крайней мере двух делителей: 1 и \а\\ если оно кроме этих двух делителей не имеет больше ни одного (целого) делителя, то называется простым) в про- противном случае оно составное. Если р — простое число, а а — какое-нибудь другое (целое) число, то общий наибольший делитель чисел аир равен или р или 1, ибо иных делителей р не имеет. Отсюда получаем: Теорема 18. Всякое целое число или делится на данное про- простое число р, или взаимно-простое с р. А отсюда по теореме 15 следует: Теорема 19. Произведение (двух или нескольких чисел) делится на простое число р тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей делится на р. Это весьма важное свойство простых чисел может служить новым их определением. Ибо легко видеть и обратное: если про- произведение двух чисел делится на р тогда и только тогда, когда один из сомножителей делится на /?, то р — простое число. Действительно, пусть p~ab\ но р, т. е. ab делится на р> т. е. один из сомножителей, например а, делится на ру т. е. а = dzP> ^ = :Ы» иных разложений р не может иметь, оно — простое. Очевидно, что всякое составное число а (а Ф 0) имеет конеч- конечное число делителей. Пусть q — наименьший делитель числа а, который >1; легко видеть, что q — простое число, ибо всякий делитель k > 1 числа q был бы делителем и a, a q — наименьший делитель числа а. Таким образом: Теорема 20. Всякое целое число кроме единицы имеет по крайней мере один простой делитель. Итак, пусть а делится на простое число /?, а = раг\ аг тоже имеет по теореме 20 простой делитель q, аг = qa2i откуда: а = pqa2\ подобно же и а2 имеет простой делитель г: а2 = га3, а = pqra3; и т. д. Очевидно: а > аг > а2 > ... Но множество целых поло- положительных чисел, меньших определенного числа ау конечно. Зна- Значит, некоторое ak будет = 1, а ак^г — простое число. Итак, каж- каждое составное число есть произведение конечного числа простых чисел: а = pqr ... Докажем, что такое представление числа а возможно только одним способом. Пусть мы нашли два представления: а = рдг... = Plqiri. . . ; G) *) Мы имеем в виду только положительные делители. 12
здесь: p,q,ry ... ръ qlt гъ ... — простые числа. Из G) видно, что PiQiri ••• делится на р\ следовательно, по теореме 19 один из еомножителей ръ qlt r1 ... должен делиться на р. Пусть это бу- будет рх\ но Рх — простое число, значит, рх = р, и на р можно сокра- сократить обе части G). Получим: qr ... =q1r1. .. и аналогично заключим, что q равно одному из чисел ql9 rly ... , например, q = qx\ и т. д. Таким образом: Теорема 21 (основная теорема). Всякое целое число раскла- раскладывается, и только одним способом, на простые множители. Конечно, среди множителей р, q> /*, ... могут быть и одина- одинаковые; соединив одинаковые множители в степени, получим раз- разложение вида: а = где р, q, г, ... —различные простые числа, а а, р, у» • • • — нату- натуральные числа > 1. § 11. Проблема действительного разложения данного числа на простые множители — одна из труднейших проблем математики; еще не существует практического способа ее разрешения. Прихо- Приходится просто применять способ испытаний. Специальный случай этой задачи — выяснить, является ли данное число простым. В связи с этим стоит такая задача: найти все простые числа в данном интервале. Еще Эратосфен (в III ст. до нашей эры) предложил следующий способ нахождения всех простых чисел, меньших данного предела А. Выпишем все целые числа, начиная с 2, до числа А; в полученной таблице вычеркнем каждое второе число после 2, каждое третье после 3 (причем надо считать и те числа, которые уже вычеркнуты ранее), каждое пятое число после 5, каждое седьмое число после 7, и т. д. Заметим, что после каждого этапа таких вычеркиваний первое, остающееся незачеркнутым, число обязательно простое, именно,—следующее простое, после которого надо снова начинать вычеркивание. Числа, остающиеся невычеркнутыми в нашей таблице после всех таких вычеркиваний, и будут всеми простыми числами, меньшими, чем А* Ибо ведь мы вычеркнули все составные числа, меньшие, чем А. Этот метод, называемый «решетом Эратосфена», имеет тот не- недостаток, что, несмотря на некоторые упрощения, он очень длин- длинный, если число А велико, а потому и весьма непрактичный. Сделаем еще два замечания об этом методе. 1. Достаточно выписать все нечетные числа, меньшие, чем Л, оставив только вначале 2 (единственное четное простое число), и производить указанные выше вычеркивания, т. е. вычеркивать каждое третье число после 3, каждое пятое после 5 и т. д. 2. Дойдя до первого простого числа, которое >}/Д следует остановиться: все числа, остающиеся невычеркнутыми,— до са- самого Л, будут простыми. Это следует из теоремы: 13
Теорема 22. Всякое составное число а непременно делится на некоторое число, которое *§ V а. Доказательство. Если а = Ьс, то из чисел 6, с олпо>\^а, а другое <.Va, за исключением случая, когда а — точный квадрат; тогда может случиться, что b = с = У а. Эта теорема уменьшает число испытаний при определении, является ли данное число простым, или при разложении числа на простые множители. Пример на решето Эратосфена. Пусть А = 100; имеем таблицу: 2,3,5,7^IU3,t&J 33,35,37,39,41,43,4 Здесь У А =10; следовательно, надо вычеркнуть каждое третье число после 3, каждое пятое после 5, каждое седьмое после 7 и на этом остановиться. Все числа, оставшиеся невычеркнутыми, — простые. Мы видим, что их в первой сотне 25. § 12. Сколько же всего имеется простых чисел? Еще Эвклид за 300 лет до нашей эры доказал такую теорему: Теорема 23. Множество простых чисел бесконечно. Доказательство Эвклида. Возьмем произведение всех простых чисел, начиная от 2 и кончая некоторым простым числом р, и прибавим к этому произведению единицу: Р = B-3.5-7 ... р) + 1. Число Р не делится ни на 2, ни на 3, ... ни на /?, ибо пер- первое слагаемое делится на все эти числа, а второе — не делится (оно = 1). Следовательно, Р делится на простые числа, большие, чем р (или само Р простое число). Значит, существуют простые числа, большие, чем любое простое число р, т. е. ряд простых чисел беспределен. Замечание. Вместо того чтобы прибавлять 1 к произве- произведению 2 • 3 • 5 ... /?, можно было отнять 1 от этого произведе- произведения; можно было распределить все простые числа от 2 до р на два произведения и взять сумму или разность этих произведений: число | Рг | < Р или простое, или делится на простые числа > р (за исключением случая, когда \Р1\= 1, что может случиться при знаке—). Доказательство Эйлера. Пусть рх — простое число; имеем: F- (8) Рк Этот ряд сходящийся, как сумма членов геометрической про- прогрессии с знаменателем — < 1. Предположим, что множество простых чисел конечно; пусть 14
Pi, P2> •<• Рп —все простые числа. Напишем ряды (8) при X = 1, 2, ... п и перемножим почленно полученные п формул. По известной теореме из теории бесконечных рядов произведение конечного числа сходящихся рядов с положительными членами находят как произведение конечных сумм, умножая каждый член каждого сомножителя на каждый член каждого из остальных сомножителей. Получаемый таким образом ряд — тоже абсолютно- сходящийся, следовательно, его члены можно расположить в лю- любом порядке. Общий член этого ряда имеет вид: 1 « - • • Р*пп> (9) где <хъ а2, ... ап — любые целые показатели > 0. Но по теореме 21 всякое целое положительное число можно представить, при этом однозначно, в виде р\*ра2* . . . рапп, ибо ведь мы предположили, что существует только п простых чисел ръ /?2, ... рп. Следовательно, (9) имеет вид: —, где т — любое натуральное число, и произ- /72 ведение рядов (8) можно представить в виде: значит, этот ряд — сходящийся. Но из теории бесконечных рядов известно, что этот так называемый «гармонический» ряд — расхо- расходящийся, и мы имеем здесь противоречие. Таким образом, наше предположение о том, что множество простых чисел конечно, — неверно; это множество — бесконечно. Замечание. Метод, примененный в доказательстве Эйлера, состоит в том, что мы пользуемся понятиями и теоремами из анализа. Это — метод так называемой аналитической теории чисел (простейший пример аналитического метода); эта ветвь теории чисел в своих исследованиях применяет анализ бесконечно малых и с помощью анализа доказывает наиболее глубокие теоремы, относящиеся к числам, в частности, к простым числам. § 13. Формула Эйлера. Дадим еще один пример применения аналитических методов к теории чисел, — именно, выведем одну формулу Эйлера, стоящую в связи с приведенным выше его дока- доказательством теоремы о бесчисленном множестве простых чисел. Если р\ — любое простое число, a k>\, то имеем: Р\ Возьмем все простые числа, не превышающие данного числа N; пусть это будут: рг = 2, р2 = 3, ps = 5, ... рп. Напишем для них формулы A0) и перемножим эти формулы почленно; так как в правой части A0) — сходящийся ряд с положительными чле- членами, то мы имеем право перемножить эти ряды как обычнее
<:уммы и расположить члены произведения в убывающем порядке. Получим: Д 1 т ь Р Так как ръ р2, ... рп— все простые числа, меньшие, чем А\ то ясно, что в правой части формулы A1) первые N членов будут те, что написаны. Далее N < Nr < N2 < ... , но вообще N1>zN -f U N2>N1 + \t ... , т.е. уже не все натуральные числа, идущие за Л/, будут встречаться среди Nlf N2, .. . Но при k > 1 ряд 1 + -? + -й + •.. — сходящийся, а потому лри произвольно-малом е > 0 можно найти такое натуральное N, что будет: Jл1, <?. а значит, и подавно: Л1 ^2 Л/3 " ' ' Следовательно, при беспредельном возрастании значка п у рП9 т. е. и при беспредельном возрастании Af мы получим из фор- оо мулы A1), что бесконечное произведение | | р будет сходя- щимся и таким образом: оо оо Теорема 24. ТТ * = V ± A2) Xl ll Это и есть формула Эйлера. По существу она выражает, что всякое натуральное число однозначно представляется как произ- произведение простых чисел. Выведем еще одно важное следствие из формулы A1). Заме- Заметим, что она (как и формула A0), из которой A1) выведена) верна и при k=l. Из нее следует: Пусть теперь N увеличивается беспредельно; тогда и п будет тоже беспредельно возрастать. Но при iV-^-oo в правой части AЭ) мы получим гармонический ряд, который, как известно, расходя* J6
щийся. Следовательно, и бесконечное произведение Иг± П Х=1 Р\ оо расходится, т. е. расходится и ряд— \ In A J, при этом его сумма —» +°°. Но _1пA + г? + 1-7] оо оо < 2т] при т] < 1. Значит, ряд 2 V —, т. е. и ряд V — x=i x=i I + =J~, где р расходится. Итак: Теорема 25. Ряд: \ + I + i- + j- пробегает все простые числа,— расходящийся. § 14. Мы видели, что в интервале от 1 до 100 (в «первой сотне») имеется 25 простых чисел. Далее, простые числа распре- распределяются следующим образом: Всего в во в » » » » Всего от От 101 201 301 401 501 601 701 801 901 До 200 300 400 500 600 700 800 900 1000. первой тысяче (от второй » третьей » четвертой » пятой » шестой » седьмой » восьмой » девятой » десятой » 1 до 10000 (* (* (» (у> (* (» (* (» (» 1 до 1001 » 2001 » 3001 » 4001 » 5001 » 6001 » 7001 » 8001 » 9001 » 1000) 2000) 3000) 4000) 5000) 6000) 7000) 8000) 9С00) 10000) Простых чисел 21 16 16 17 14 16 14 15 14 168 простых чи 135 > 127 1 120 а 119 > 114 > 117 ) 107 j ПО з > ) > ) 112 » j 1229 про сел > стых чисел. Из этих таблиц видно, что простые числа распределены по от- отдельным сотням и тысячам весьма неправильно, но вообще, если итти от предыдущих до последующих сотен или тысяч, то коли- количество простых чисел постепенно уменьшается. Вопрос о распреде- распределении простых чисел в ряде натуральных чисел — один из сложней- 17
ших вопросов в теории чисел. Знаменитый русский математик П. Л. Чебышев доказал, что количество простых чисел, меньших, чем х, приближенно дается функцией: х J TrTJ- 2 (Подробно об этом см. гл. VII). Этот интеграл представляет собой особую трансцендентную функцию,— так называемый «интеграль- «интегральный логарифм»,— которую нельзя выразить через элементарные функции (алгебраические, тригонометрические, показательную и логарифм). Интересна задача: найти пределы, между которыми находится по крайней мере одно простое число. В 1845 г. Бертран (Вег- trand) высказал предположение, что при 2а > 7 между а и 2а — 2 лежит по крайней мере одно простое число. Это предположение доказал П. Л. Чебышев в 1852 г. Высказывались и другие пред- предположения; так, Дебов (Desboves) предположил, что между п2 и (п -f IJ лежит не меньше двух простых чисел. Гаусс обнаружил, что 26379-я сотня не содержит ни одного простого числа, тогда как 27050-я сотня содержит 17 простых чисел, т. е. больше, чем 3-я сотня. Вообще, можно найти как угодно большие интервалы, совсем не содержащие простых чисел. Так, если р — любое простое число и Р = 2-3«5«7 ...р — про- произведение всех простых чисел, кончая числом р, то Р + 2, Р + 3, Р + 4, ... Р -f p — все составные числа. Единственный случай двух соседних простых чисел — это числа 2 и 3, ибо из двух соседних чисел одно — четное. Но числа вида /?, р -f 2 (т. е. соседние нечетные числа) могут быть оба простыми, например, 11, 13; 17, 19; 29, 31; 41, 43; 59, 61; 71, 73; 101, 103; 107, 109. Такие пары называются «простые числа-близнецы». Найдены такие пары и весьма больших чисел, например: 109619, 109621; 10009871, 10009873; 1000061087, 1000061089. Есть осно- основания предполагать, что таких пар «близнецов» бесчисленное мно- множество, но это до сих пор не удалось доказать. В 1919 г. Брун (Brun) доказал интересную теорему: если простых чисел-«близнецов» и бесчисленное множество, то беско- бесконечный ряд Уу—[—тг^)' взя™й Аля всех паР Р> Р + 2 про- простых чисел-близнецов,— сходящийся. (Напоминаем, что бесконеч- бесконечный ряд V—» взятый по всем простым числам,— расходящийся, как доказано в теореме 25). Интересно обобщение теоремы Бруна, которое дал советский математик Б. И. Сегал в 1930 году. Возьмем пары всех простых чисел р, р -f 2m, отличающихся друг от друга на определенное четное (вообще — произвольное) число 2т; ряд У1 1 2 ¦¦-), 18
взятый по всем таким парам (конечный он или бесконечный),— сходящийся. Упомянем еще о так называемой проблеме Гольдбаха. Хри- Христиан Гольдбах A690—1764) — математик, работавший в Петер- Петербургской Академии наук в 1725—1742 гг. 7 июня 1742 г. в письме к Эйлеру он заметил: «повидимому, всякое число, большее, чем I, есть сумма трех простых чисел». 30 июня 1742 г. Эйлер ему ответил: «что всякое четное число есть сумма двух простых чисел, я считаю вполне верной теоремой, хотя я и не могу ее доказать». Эта знаменитая проблема Гольдбаха, над решением которой безуспешно бились многие специалисты по теории чисел, была ре- решена в 1937 г. выдающимся советским математиком Иваном Мат- Матвеевичем Виноградовым. Он именно доказал, что всякое нечетное, достаточно большое число представляется как сумма трех простых чисел. § 15. Иная проблема, относящаяся к простым числам,— найти функцию от переменного х, которая при всех натуральных зна- значениях х давала бы простые числа (хотя бы не все). Еще Эйлер подбирал такую целую рациональную функцию; его пример: f(x) = = х2 -f- x -f- 41. Эта функция при х = 0, 1, 2, ... 39 дает простые числа, но при х = 40: /D0) = 1681 = 412. Найдены еще функции: х2 + х + 17 (имеет простые значения при х = 0, 1, 2 ... 15); 2х2 + 29 (имеет простые значения при х = 0, 1,2, /.. 28). Но имеет- имеется такая теорема: Теорема 26. Никакая целая рациональная функция от х с це- целыми коэффициентами не может для всякого натурального значе- значения х равняться простому числу *). Доказательство. Пусть при х = а (натуральное число) / (х) = = f(a) = + р (р — простое). При любом целом z f(a + zp) делится на р, ибо если f(x)^aoxm + a1xm-*+ ... +am, то f(a + zp) - / (a) = a0 [(a + zp)m - a>»\ + ax [(a каждый член правой части делится на р и f (а) делится на р. Следовательно, f(a + zp) = + р, и f(a + zpJ — /(aJ = 0 для бес- бесчисленного множества значений z, т. е. и тождественно: f(x) = f (a) (ибо х = а + zp при любом z может равняться любому числу). Ферма (Fermat, 1601 — 1665) высказал предположение, что все числа вида 2 + 1 (при натуральном п) простые. Но это оказа- оказалось неверным: при п = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа действительно про- простые; но при л = 5: 225+1 =4294967297 =641 -6700417, как доказал Эйлер в 1732 г. *) Здесь, конечно, исключается случай, когда функция /(х) = р = const,— постоянно равна простому числу. 19
При п = 12: 2212 + 1 делится на 7 • 214 + 1 = 114689; при я = 23: 2223 + 1 делится на 5 • 225 + 1 = 167772161. Эти случаи По разобрал Иван Михеевич Первушин в 1878 г. Число 2" + 1 содер- содержит 2525223 цифры. Для напечатания этого числа обыкновенным шрифтом понадобилась бы строка длиною в 5 км или книга обыкно- обыкновенного формата в 1000 страниц. Зельхоф (Seelhof) в 1886 г. показал, что при /2 = 36 число 2238 + 1 не простое: оно делится на 5 . 239 + 1 = 2748779069441. Люка (Lucas) вычислил, что это число 22 + 1 содержит более 20 миллиардов цифр; строка с этим числом длинее экватора. Число 261—1 =2305843009213693951—простое, как доказал И. М. Первушин в 1883 г.; оно долгое время считалось самым большим из известных простых чисел. В настоящее время из- известно, что и числа 289— 1 и 2107— 1 простые. Самое большое из известных в настоящее время простых чисел: 2127 —1 = 170141183460469231731687303715884105727. Упомянем еще об одной важной теореме, относящейся к про- простым числам: если а и Ь целые взаимно-простые числа, а пере- переменная х пробегает целые значения, то форма ах + Ь бесчисленное множество раз будет равняться простому числу. Эту теорему до- доказал Лежен-Дирикле (Lejeune-Dirichlet) в 1837 г. методом аналитической теории чисел. Выражение ах + Ь есть общий член арифметической прогрессии с первым членом бис разностью а. Теорема Дирикле, таким образом, показывает, что среди членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность — взаимно-простые числа, имеется бесчисленное множество простых чисел. Частные случаи этой теоремы: при а = 4 существует бесчис- бесчисленное множество простых чисел вида 4/2+1 и бесчисленное множество простых чисел вида 4/2 + 3 (вместо 4/2 + 3 можно взять 4/г—1); при а = 3 существует бесчисленное множество простых чисел вида 3/2 + 1 и бесчисленное множество простых чи- чисел вида 3/1 + 2 (или 3/2—1). Заметим, что так как простые числа (кроме 2) нечетны, то в формах 3/2+1/2 должно быть чет- четным и вместо 3/2 + 1 можно взять форму 6/2+1, а вместо 3/2—1 форму 6/2 — 1 (ИЛИ 6/2 + 5). § 16. Пусть т = paq$ri... — разложение положительного чис- числа т на простые множители; пусть d — делитель числа т. Тогда, очевидно (см. теоремы 2, 19), d не может иметь иных простых множителей, кроме тех, которые входят в т, и каждый из них не может входить в d с показателем, большим, чем тот, с кото- которым он входит в т. Следовательно, d имеет вид: d = p*qlr*... , A4) 20
Обратно, всякое число вида A4), очевидно, делитель т. Итак: Теорема 27. Число т вида т = p^q^n.. . делится на d тогда и только тогда, когда d имеет вид A4) (с указанными там усло- условиями для х, X, ja, ...). Отсюда легко найти число всех делителей данного числа т (включая и 1 и само число т)\ именно, в A4) % может принимать а + 1 значений, X может иметь р + 1 значений, р. - y + 1 значе- значений, и т. д. При этом разные комбинации значений х, X, ^, ... дают и разные числа d. Всего у нас (а + 1)(р + 1)(Y+ 0 ••• разных комбинаций. Следовательно: Теорема 28. Число всех возможных делителей данного числа т = p*qhi .. . есть: х (т) = (а + 1) (Р + 1) (Y + 1) * • • т(га) — функция от т, определенная только для целых поло- положительных значений т\ такие функции называются арифметиче- арифметическими. Заметим, что i{m) зависит только от показателей а, р, y ..., а не от самих простых множителей р, q, г, ... Если d = pxqxr^ ..., то ^ = pct~~xqV~~in-?' ...; это — так назы- называемый дополнительный к d делитель числа т. Если ш = dft, то очевидно: а = х^, р = Ik, y = l1^» ... и обратно. Таким образом: Теорема 29. Число т = р*^7 • • • тогда и только тогда точная k-я степень целого числа, когда а, р, y> • • • все делятся на k. В частности: Следствие. Число т тогда и только тогда точный квадрат, когда показатели a, j3, y, • • • все четные. § 17. Найдем теперь сумму всех делителей данного числа т. Для этого рассмотрим произведение A+Р + Р2+ ... +P*)(l+q + q2+ ... +<Ж1 +/* + + /*+... +гт) ... . A5) Каждый из его сомножителей — сумма членов геометрической про- прогрессии. Применяя известную из элементарной алгебры формулу для этой суммы, найдем, что произведение A5) равно: р—1 ' q—\ ' г—1 С другой стороны, применяя известное правило перемножения многочленов, найдем, что A5) имеет вид: 2 рхя1^ • • •, х, X, {л, ... где % = 0, 1,2, ...а; X = 0,1,2, ...р; ji = 0,1,2, ... у; т. е. A5) равно сумме $] d всех делителей числа т. d Следовательно: 21
Теорема 30. Сумма всех делителей числа т = p^q^r^ .. . есть: v/ р — 1 q — 1 г — 1 ' Пример: /тг = 60 = 2J • 3 • 5; здесь: хF0) = 3-2. 2= 12; S F0) = J^y-- ^Еу • fcj =7 -4-6= 168. Действительно, делители числа 60 следующие: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Их сумма равна 168. Само число т есть тоже один из делителей самого себя. Все остальные делители числа т называются истинными делителями числа т; их сумма есть S(m) — т. Если для двух чисел a, b сумма истинных делителей каждого из них равняется другому, то такие числа называются друже- дружественными ; для них S (а) — а = b, S(b) — b = а, т. е. S (а) = S(b) = Число, равное сумме своих истинных делителей, называется совершенным; для такого числа S (т) — т = т, или S (т) — 2т. Понятия о дружественных и совершенных числах были введены еще в Пифагорейской школе древней Греции (в VI в. до нашей эры). Пифагорейцам была известна пара дружественных чисел: 220, 284; были им известны три совершенных числа: 6, 28, 496. Позднее древне-греческие математики нашли еще совершенное число: 8128. Дальнейшие совершенные числа, найденные уже в новое время: 33550336; 8589869056. До сих пор не найдено ни од- одного нечетного совершенного числа, но и не доказано, что они не существуют. Л. Эйлер A707—1783) нашел 65 пар дружественных чисел. Вот одна из найденных им пар: 18416 = 24 • 1151 и 17296 = = 24 . 23 • 47. § 18. Рассмотрим теперь такую задачу: найти высшую степень простого числа р, на которую делится число т\— 1 -2 ... т. Для этого сначала докажем лемму Лемма. Чтобы найти неполное частное от деления т на ab, можно сначала т разделить на о и неполное частное от этого деления разделить на Ь\ неполное частное этого второго деления и будет неполным частным от деления т на ab. В виде формулы лемма выразится так: Г т ab *) Эту функцию обозначают также знаком j* (m) и называют числовым ин- интегралом от т, взятым по делителям. Такое обозначение ввел Эйлер. **) Напоминаем, что все наши числа мы считаем не только целыми, но и положительными.
Доказательство. Пусть т = aq -\- r; q — \т- , 0 <^г < а, т. е. 0<г<а—\. Пусть, далее, ? = &<7i + /V, <7i = т L 0<rx< 6-1. Подставляя выражение для q в формулу для т, получим: т = а {bq1 + гг) + г = (ab) qx + (аг1 + г). Здесь: 0 < агг + г < а(Ь — 1) + а — 1 = ab — 1, т. е. 0<агг + -f- г < aby а это значит, что агг -f г — остаток, q1 — неполное част- ное от деления т на ab (см. теорему 1). Так как qx = I [ а \ , то LT\ наша лемма доказана. Замечание. Доказанная лемма верна и при а=^Ь. Пусть теперь р — данное простое число; при р>т очевидно, что т\ не делится на р. При р<т в т\ входят множители: р, 2р, Зр, ... —- Р- Кроме них, в т\ нет множителей, деля- делящихся на р; эти же дают произведение: [-1 Таким образом т\ делится на /n p j и, кроме того, на ту степень числа р, которая входит в — ! Но, применяя здесь те же рассуждения, найдем, что множители в — !, делящиеся на р, дают произведение: р . 2р . Зр. .. ибо по предыдущей лемме мы имеем: т» Г tn I . 1еперь применим те же рассуждения к —И; его множи- множители, делящиеся на р, дают произведение: ибо 23
И т. д., пока не дойдем до такого показателя X, что рх>т. Итак: Теорема 31. Наибольший показатель, с каким простое число р входит множителем в ш!, есть: где pk^m, но ph+1 > т. Если уже р > т, то т\ совсем не де- делится на р. Пример. Найти наивысшую степень числа 2, на которую делится 50! 1Л 50 , [501 . [50] , Г50] . Г501 Ап Имеем: ^ +[TJ + [Т] + [Гб\ + [32J = 47. (Мы пишем просто у, а не к- , ибо у — целое число). Следовательно, 50! делится на 247. Замечание. Так можно разложить т\ на простые множи- множители, беря за р последовательно все простые числа < т. УПРАЖНЕНИЯ 1. Доказать, что т тогда и только тогда общее наименьшее кратное чисел аъ а2, ... ап, когда частные —, —,...— вза- имно-простые. (Указание. Доказательство от противного; применить тео- теорему 8, § 3). 2. Доказать, что ТА(агк, a.2klt ... ank) = klA(aly a2, ... ап)\ V k k k ] k Последнее — при условии, что k — общий делитель чисел аъ #2, ... аи. (Доказательство аналогично доказательству тео- теоремы 11, § 4). 3. Проверить, что ( j) делится на 12, (д) делится на 8, ( g) делится на 14 (§ 7). 4. Испытаниями (имея в виду теорему 22) выяснить, какие из чисел 437, 509, 811, 1849, 953, 1079, 10519, 17357,2027 простые, какие составные; последние разложить на простые множители (§ 10). Ответ. Простые числа: 509, 811, 953, 2027. 5. Применить решето Эратосфена в интервале от 2 до 500 (§ 11), 6. Найти числа Р = B ¦ 3 • 5 ... р) ± 1 при р = 5, 7, 11, 13; выяснить, какие из них простые, какие составные; последние разложить на простые множители (§ 12). 24
Ответ. Составные: 2-3-5-7— 1 = 209 =11- 19; 2 - 3 - 5 х X 7 . 11 • 13 + 1 = 30031 = 59 • 509; остальные — простые. 7. Найти все простые числа-близнецы < 500 (§ 14). Ответ. Начиная с числа 11, их 22 пары. 8. Опытным путем найти все представления чисел 64, 100, 466 в виде сумм двух простых чисел (§ 14). Ответ. Для 64 имеется 5 таких представлений; для 100 их 6; для 466 их 12. 9. Выяснить, сколько простых чисел до 500 имеют форму 4я + 1, сколько вида 4/г + 3, сколько вида Зп -f 1, сколько вида Зп + 2 (§ 15). Ответ. 44 числа вида 4лг + 1; 50 чисел » 4п + 3; 45 » » Зп + 1; 50 » » 3/2 + 2. 10. Вычислить т(т) для т= 1, 2, 3, ... 20 (§ 16). 11. Найти т(96), хA68), тB55) (§ 16). Ответ. 12, 16, 8. 12. Доказать, что ъ(т) — всегда четное число, за исключением случаев, когда т — точный квадрат (§ 16). 13. Вычислить S(m) для m = 1, 2, 3, ... 20 (§ 17). 14. Найти SB5), SD8), SG2), SA00) (§ 17). Ответ. 31, 124, 195, 217. 15. Обозначив через Sk(m) сумму k-x степеней всех делителей числа т = /?7^т ... , вывести формулу: -1-^^-1... (§17) Указание. Рассмотреть произведение: 1 + Рк + P2k + ... + р**)A + gk + q-k + 2k 16. Найти S2A2), S2A6), S8(8) (§ 17). Ответ. 210, 341, 585. 17. Доказать теорему: чтобы найти общий наибольший дели- делитель нескольких чисел, разложенных на простые множители, нужно выписать общие всем данным числам простые множители, каждый с наименьшим показателем, с каким он имеется в разложениях данных чисел. Произведение этих степеней простых множителей и есть общий наибольший делитель данных чисел. (Указание. Принять во внимание теорему 27 § 16). 18. Доказать теорему: чтобы найти общее наименьшее кратное нескольких разложенных на простые множители чисел, надо вы- выписать каждый простой множитель, который входит в разложение 25
хоть одного из данных чисел, с наибольшим показателем, с каким он имеется в разложениях данных чисел. Произведение всех этих степеней простых чисел и есть общее наименьшее кратное этих чисел. 19. Разложением на простые множители найти: DB737, 9163, 9639) и МB737, 9163, 9369). (См. упражнения 17 и 18). Ответ. 119, 17070669. 20. Разложить на простые множители 100! (§ 18). 21. Найти высшие степени чисел 3, 7, 11, 23, на которые делится число 250! (§ 18). Ответ. З123; 740; И24; 2310.
ГЛАВА И АЛГОРИФМ ЭВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ДРОБИ § 19. Для практического нахождения общего наибольшего дели- делителя двух чисел существует способ, независимый от разложения данных чисел на простые множители,— это способ последователь- последовательного деления или алгорифм Эвклида *). Пусть г и гг данные (целые, положительные) числа и г > rv Делим г на гг и обозначаем част- частное через qly остаток через г2; делим, далее, гх на г2 и обозначаем частное через q2y остаток через гг\ далее, делим г2 на г3, и т. д. Мы имеем: гг > г2 > г3 > ... > 0. Следовательно, в конце концов, после п-го деления мы получим остаток, равный нулю: гп+1 = 0. Таким образом, мы получим равенства (см. A) в § 1): Из первого равенства A6) видно, что всякий общий делитель чисел г и гг является делителем и числа г2 (см. § 2, теорема 3); из второго равенства A6) видно, что этот делитель является дели- делителем и числа г3у и т. д.; наконец, из предпоследнего равенства A6) мы найдем, что этот общий делитель чисел г и гх (следовательно, и чисел г2, г3, . . .) является делителем и числа гп. С другой стороны, последнее равенство A6) показывает, что /•„_! делится на гп\ предпоследнее (по теореме 3, § 2),— что гп—2 делится на гп, и т. д.; наконец, из второго и первого равен- равенства A6) мы найдем, что г и гх делятся на гп. Следовательно, гп — *) Словом «алгорифм» в математике обозначают способ вычислений, состоящий из отдельных звеньев, где каждое следующее звено вычисляется по тем же правилам, как и предыдущее. Это слово — искаженное прозвание узбекского математика первой половины IX века н. э.: Мухаммед ибн Муза аль-Ховаризми (т. е. из Хорезма). 27
общий делитель чисел г и гъ который делится на всякий другой общий делитель этих чисел. Такой делитель и есть общий наи- наибольший делитель чисел г и гх (см. § 4, теоремы 9). Следова- Следовательно: Теорема 32. Чтобы найти общий наибольший делитель двух чисел, надо большее из данных чисел делить на меньшее; если будет остаток, то следует, далее, меньшее делить на этот остаток; далее, этот первый остаток делить на второй остаток (от второго деления); второй остаток делить на третий остаток и т. д., пока не дойдем до деления, где остаток будет равен нулю. Делитель этого последнего деления (или последний, неравный нулю, оста- остаток) и есть общий наибольший делитель двух данных чисел. Пример. Даны числа: г = 76501, гг = 29719. Найдем: 76501 =2.29719+ 17063 29719= 1 • 17063+ 12656 17063= 1 • 12656+ 4407 12656 = 2- 4407+ 3842 4407 = 1 • 3842 + 565 3842 = 6- 565 + 452 565= 1 • 452 + 113 452 = 4. 113 Таким образом: D G6501, 29719)= 113. Чтобы найти общее наименьшее кратное двух чисел, можно воспользоваться теоремой 12 (§ 5), которая дает: В предыдущем примере найдем: ш 7А^П1 9Q71Q М G6501, 29719) = ш = 20119763. Наконец, чтобы найти общий наибольший делитель или общее наименьшее кратное нескольких чисел, можно воспользоваться теоремами 13 и 14 (§6). § 20. Из формул A6) получим, деля обе части первой на гъ обе части второй на /*2, третьей — на г3 и т. д. г2 28
отсюда : ¦? = ?1 + 7Г = <71+-Ц- = <71 + ——Ц— и т. д. f Чг+j- Таким образом, — представляется так: + Правая часть есть так называемая цепная (или непрерывная) * ,1.1 дробь; она состоит из отдельных звеньев: qly ^ , -\ ,...и Яг Яг сокращенно обозначается так: ~ = (Чъ Чъ Чз> • • • Чп), Чъ Чъ Чз> • •« Чп называются частными знаменателями цепной дроби. Таким образом, мы разложили — в цепную дробь. Если дана правильная дробь —, то мы, очевидно, получим такое разложе- разложение: Гх 1 1 1 = @, Чи Чъ • • • Чп) ¦¦-к (в скобках непременно надо писать 0 на первом месте). Наконец, если дана отрицательная дробь, то ее всегда можно представить так: где k > 0 — целое число, а —— правильная положительная дробь. Таким образом: —^ + tl=(—*, Чъ Чъ ... <7п)> где все звенья, кроме первого, положительны. Следовательно: Теорема 33. Всякое рациональное число можно и только одним образом разложить в цепную дробь, в которой все частные зна- знаменатели— целые числа и, начиная со второго,— положительные (первый может быть > 0, или < 0, или = 0) и последний — больше единицы. 29
Замечание 1. Всякое целое число можно рассматривать как цепную дробь, имеющую только одно звено; например: 3 = C). Дробь вида — можно рассматривать как цепную дробь с двумя звеньями: — = @, а). Замечание 2. Если не поставлено условие, что последний частный знаменатель qn > 1, то можно данное рациональное число разложить в цепную дробь двумя способами: если один есть (Яъ <72> • • • Яп)> и?п>1, то другой: (ql9 q2, ... qn—l, 1). Здесь число звеньев увеличивается на единицу, и последний частный знаменатель равен единице. Пример 1. (См. пример § 19). = 2 + 1 =B, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 4). 6 + Пример 2. Имеем: Находим: Следовательно: 1 Разложить в 48 109" 109 = 61 = 48 = 13 = 9 = 4 = 48 -Г 1 1 по V *> + 1 Т цепную 1 1 3 1 2 4 1 1 1 1 i •61 + • 48 + • 13 + • 9 + • 4 + • 1 , 1, 3, дробь число — 61 109 • 48 13 9 4 1 1, 2, 4). 109" Возникает обратный вопрос: если дана цепная дробь, то как ее обратить в обычную? Очевидно, что всякая конечная цепная дробь равна некоторому рациональному числу, ибо она является выраже- выражением, в котором над данными целыми числами (частными знаменате- знаменателями) требуется выполнить конечное число рациональных действий. Вычислить конечную цепную дробь не трудно; вычислим, на- например, цепную дробь в примере 1. Делаем так (с конца): 141 А . 1 . JL i • я 4 ! • 1 • А • 34 ~~ 34 ; : 34 ~~ 39 ' "•" 39 ~~ 39 ' ; 39 112* — — — - 1 • 151 — —- 14-———- 1 • ~ — — 112 ГГ2 * ] : ГТ2 151 ' + 151 ~ 151 ; : 151 263 L51 _ 677 263 ~" 263 * 30
Следовательно: B 1 1 9 1 6 1 4) — — Заметим, что мы получили значение цепной дроби сразу в про- простейшем виде, как несократимую дробь. Чтобы получить способы быстрого вычисления цепных дробей, нужно подробнее исследовать их и алгорифм Эвклида, служащий их основою. Эти исследования приведут нас и к важным теоре- теоретическим выводам. Мы ими займемся в § 22. § 21. Подобно рациональному числу мы можем и иррациональ- иррациональное (вещественное) число разложить в цепную дробь. Для этого нужно только иметь средства выделить целую часть [х] числа х. Пусть требуется разложить в цепную дробь число а. Находим [а] = аг; тогда а = аг + — , где ах > 1. Далее, находим [ах] = а2; тогда olx = а2 Н , где а2 > 1; следовательно, <х = а±-\ 1 аз Пусть, далее, [а2] = а3; а2 = а3-] ; а3 > 1; и т. д. Получаем: а3 а = fli + *?- , _L = (Ob «2э «з, • • •)• « + Конечно, при а-иррациональном этот процесс никогда не кончится, и мы получим бесконечную цепную дробь. Здесь возни- возникает вопрос: что же понимать под такою бесконечною дробью? Как определить ее сходимость и как ее приближенно вычислить? Все эти вопросы мы разберем в дальнейших параграфах. Сейчас только заметим, что разложить в цепную дробь можно и неизвест- неизвестные нам числа а, например, корни алгебраических или трансцен- трансцендентных уравнений; нужно только уметь выделять целые части корней таких уравнений. Пример 1. Разложить в цепную дробь У28. Имеем: 1/28 = 5+-^; а > 1. Отсюда: 4 1/28 8 ' 8 ^J ]/28 —5 ибо мы уже имели: ]/28 = 5-J . Таким образом, далее повто- 31
ряются те же самые знаменатели: а, {}, у, S, и цепная дробь по- получается периодическая. Получим: 1/S5 F ' ' =E, C, 2, 3, 10)). 3+ 1 3+1 10 + 1 3+1  Мы видим, что это дробь смешанная периодическая; ее период 3, 2, 3, 10 начинается только со 2-го звена. В дальнейшем мы увидим, что эта периодичность здесь не случайна. Пример 2. Разложить в цепную дробь положительный ко- корень уравнения: х4 — х— 1 =0. Легко видеть, что положительный корень этого уравнения лежит между 1 и 2; следовательно, можно допустить: ^ у где у > 1. Разложим левую часть нашего уравнения по степеням — = = х—1; для этого применим известный из алгебры так называе- называемый алгорифм Горнера (Ногпег): 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 0 1 3 6 j 0 3 ] —1 Таким образом, имеем: 1 +4- ±-а у у i-.-o, или уравнение для у: у* _ Зу3 — 6у2 — 4у — 1 = 0. Корень этого уравнения лежит между 4 и 5; следовательно, можно взять у = 4 -\— и разложить левую часть уравнения по степеням у — 4 = — : 4 4 4 4 1 1 1 1 1 —3 1 5 9 13 —6 2 18 54 —4 — 12 60 —I —49 32
Таким образом, получим уравнение для г\ 49г4 — 60z3 — 54z2 — 13г — 1=0. Это уравнение имеет корень между 1 и 2. Подставляем z— 1 = _ 1 t и вычисляем 1 1 1 1 49 49 49 49 49 — 60 — 11 38 87 136 54 —65 —27 60 — 13 — 78 — 105 — 1 —79 Получаем уравнение для t: 79г4 + Ю5/3 — 60/2 — 136/ — 49 = 0. Это уравнение тоже имеет корень между 1 и 2. Берем t — 1 = = — и вычисляем | 79 105 — 60 —136 —49 1 1 1 1 79 79 79 79 184 263 342 421 124 387 729 - 12 —61 375 Получаем уравнение для и: 61^4 — 375и3 -729и2 — 421^ — 79 = 0, которое имеет корень между 6 и 7 На этом остановимся. Таким образом, для корня х данного уравнения имеем: х = 1 + 1 4+ 1 1 + 1 6+ ... Эта цепная дробь не периодическая. Способ вычисления корней алгебраических уравнений при по- помощи цепных дробей принадлежит Лагранжу (La^range. XVIII в.). Пример 3. Разложить в цепную дробь корень показатель- показательного уравнения: 2х = 5. Очевидно, что х лежит между 2 и 3; пусть х = 2 ^— ; у > 1. Имеем: аз
испытаниями находим, что у лежит между 3 и 4; следовательно, где z > 1. Получаем: 125 /\*- /\T 2 2 r=T или A.024)* =1,25. Испытаниями найдем, что z лежит между 9 и 10. Таким обра- образом, получаем: х = lg2 5 = 2 + 1 3+1 9+ ... Так мы можем приближенно вычислять логарифмы при помощи цепных дробей; но этот способ весьма неудобен вследствие боль- больших вычислений § 22. Алгорифм Эйлера. Обобщим теперь алгорифм Эвклида сле- следующим образом: пусть г и гг —два данных числа, a kl9 k2f... kn— какие-нибудь п постоянных или переменных величин (мы будем считать их целыми положительными числами, но все наши даль- дальнейшие алгебраические выводы остаются правильными, если числа г, гъ Ьъ k2, ... kn — любые, не только целые положительные). Найдем теперь числа г2, г3, ... гп, гп+1 из следующих уравнений; г = Vi + г2 Гт—\ — гт+2 rn_t = knrn A7) rn+1 Эти уравнения A7) отличаются от уравнений A6) только темг что здесь къ k2, ... kn — не частные от делений г на гъ гг на г2 и т. д., как в A6) <7ъ ^2» ••• Qn- Нахождение чисел г2, г3, ... гп+1 при данных г, гх и kx и есть алгорифм Эйлера. Очевидно, чта алгорифм Эвклида — частный случай алгорифма Эйлера, поэтому все следствия из последнего остаются верными и для первого. Очевидно также, что в алгорифме Эйлера мы можем остановиться на любом из уравнений A7), т. е. каждое из них считать по- последним. Но мы можем каждое из уравнений A7) считать и первым, например, уравнение rm = km+1rm+l + rm+2, рассматривая гт и гт+1 как данные числа вместо г и гг. Отсюда далее найдем гт+29 •.. /"п+1* 34
Легко видеть, что и предыдущие п : гт_и /"т_2» • • • гъ г опреде- определяются через гт и гт+}; вообще, все числа гк однозначно опре- определяются через любые два соседние из них. Найдем, как выра- выражается г через гт, гт+1. Имеем: г = kxrx + r2 = kx (k./2 -f- r3) -f r2 — {кхк.г + I)r2 -f ^Л- Подставляя вместо r2 его выражение k3r3-\-r^ найдем г в за- зависимости от г3 и /*4 и т. д. Мы видим, что г — линейная одно- однородная функция от гт и гт±х, коэффициенты которой — целые функции от къ k2i ... kin. Обозначим: r = Grm + Hrm+l A8) и подставим сюда вместо гт его выражение km+lrm+1 -\- гт+2. Тогда найдем г в зависимости от /*т+1 и гт+2: г = (Gkm+l + H)rm+t + Grm+2. A9) Но т — любой индекс из ряда 1, 2, ... п. Назовем G в урав- уравнении A8) первым, а Н в A8) вторым коэффициентом, A8) — предыдущим, A9) — последующим уравнением. Из уравнений A8) и A9) выводим такие общие заключения: 1. Второй коэффициент последующего уравнения равен пер- первому коэффициенту предыдущего уравнения. 2. Первый коэффициент последующего уравнения определяется через коэффициенты предыдущего уравнения как такое выражение: Gkm+l + Н. B0) Мы видим, что этот коэффициент зависит от km+l, следова- следовательно, G, как первый коэффициент предыдущего уравнения, за- зависит от km, тогда как И — первый коэффициент уравнения, пре- предыдущего уравнению A8) — не зависит от km, но зависит от &m_i. Таким образом, вообще G за°исит от къ k2, ... km. Мы обозначим: G = [ki9 k2, ... k,n] и назовем этот символ скобками Эйлера. Это — некоторая целая рациональная функция от ku k2, ... km. При таком обозначении уравнение A8) примет вид: г = \k , k f ... k ]r -\- \k k , ... k i]r , B1) ибо Я, как первый коэффициент уравнения, предыдущего по отно- отношению к уравнению A8), следует обозначить через [&ь /г2» ... &] Далее, выражение B0) дает такую рекуррентную формулу: [*Ь К •-. *m+l]=[*l, К ... К\К + Х + \К К ... km-ll B2) Эта формула дает возможность постепенного вычисления скобок Эйлера, если только нам известны эти скобки с одним и с двумя аргументами. Но ведь мы имеем: г = (&,/?2 + \)r2 + kxr3; это дает l*iJ = *i; L*i, ?2] = ?A+1. B3) 35
Пример. Вычислить [Зг 1, 2, 4, 1, 2J. Вычисляем последо- последовательно: [3] = 3; [3,1] = 3.I-fl=4; [3, 1, 2J = 4 . 2 + 3 = 11; [3, 1, 2, 4) = 11 • 4+ 4-48; [3, К 2, 4, 1] = 48- 1 + 11 -59; [3, 1, 2, 4, 1, 2] = 59-2 + 48- 166. Обычно вычисления располагают так: в первой строке пишут числа, данные в скобках: 3, 1, 2, 4, 1, 2; во второй строке слева пишут число 1; под первым числом первой строки (у нас 3) пишут то же число C); далее, его умножают на следующее число первой строки A) и к произведению прибавляют предыдущее число 2-й строки A); результат D) пишут под вторым числом 1-й строки; этот результат умножают на следующее число 1-й строки B) и прибавляют предыдущее число 2-й строки C); результат пишут под следующим числом 1-й строки и т. д.: 3 12 4 1 2 1 3 4 11 48 9 Гбб* § 23. Считая за первое число не г, а гъ имеем аналогично B1): Н = \К *8. • • • km]rm + [Л2, кг> ... km__urm+1. B4) Так же получаем и для г2: г2 = !/г3, . . . km\rm + [k3y .. . &,„__!] rm+1. B5) Подставляя выражения для гг и г2 из B4) и B5) в первое уравнение A7), получим. + [*8, ... K-i\)rm+1. B6) Ho rw и гт+1 можно считать независимыми переменными; сле- следовательно, г только одним образом представляется как линейная однородная функция от гт и гт+1. Таким образом, сравнивая B6) с B1), получим: [К К • • • К\ = К \К . .. km\ + [К .. . km]. B7) Эта формула позволяет вычислять скобки Эйлера «с конца» — сначала \km\t затем |/гт__ь k.n] и т.д. Но fAm] = km, \km__ly km] = — km_1km + 1. Далее, по формуле B7) вычисление идет так же, как и по формуле B2); иными словами, мы вычисляем \къ . . . km] по B7) так же, как \km> ... kx\ no B2); а это означает, что: [*ь ... km] = \km, ... Ах]. B8) Это — важное свойство скобок Эйлера. Замечание. Формула B7) не имеет смысла при т = 2, ибо в этом случае сксбок [/?3, • • • km\ не существует. Условились считать, что в этом случае мы имеем «пустые» скобки Эйлера, которые равны 1 Тогда форму л я B7) остается верной и в этом случае,— она просто совпадает со второй формулой B3). 36
Имеем далее (аналогично с B1)): гт = [km+l9 ... kn] rn -f- [km+l9 . .. kn__x] /\,+1; Гт + 1 ~ L^m+2» • • • кп] Гп ~f~ [кт+2> • • • кп—l] Гп+1' Подставляя эти значения в B1), получим: Г = Рь . . . km] [km+1, ... *„] + IK . . • &m-ll \km+2> • • • К])ГП + + {[*ь • - • km] [km+1, . .. kn^] + [kl9 . . . km^\ [km+2i . . . kn^\)rn +1. С другой стороны, формула B1) непосредственно дает (при т = п): г = [kl9 . .. kn] rn + [kl9 .. . kn_x] rn+1. Из двух последних равенств выводим (так как гп и гп+1 не- независимы): [kl9 .. . kn] = [klf ... km\ [km+l9 ... kn] + + [kl9 . .. km_x\ [km+29 ... kn]. B9) Здесь m—какое-нибудь (целое) число между 1 и п. Эта формула является обобщением формул B2) и B7). Из формул A7) получаем непосредственно (начав с конца): Лг + 1 == ^г/^п "Г '"n—I I *2 = — K'l+r. ) Эти уравнения того же типа, что и A7), и только знаками у kK отличаются от A7); следовательно, все формулы, получен- полученные нами для скобок Эйлера, остаются правильными и для C0), если заменить k,, через —kK. Но мы имеем: [-К] = -[kn]; \-К -К~Л - (-К) i-K-i) + 1 = = knkn-i + 1 = [kn> К-А- Пусть доказано, что: \-къ -К ... -*m] = (-i)w-[*i> К ... U; C1) тогда B2) дает: [—kl9 —k2, ... — km+1] = [—kl9 ... —km] (—km+1) + + [-*!• -.- -*т-1] = (~1Г[*Ь .-• *m](-*m+l) + + ("IT [Ль • • • km-l] = (~l)m + 1 - {[&i, . . . U km+1 + + [kl9 ... *m-i]} = (-Dm+1-[*b К ... ftm+1], и формула C1) доказана для всякого т. Исходя теперь из формул C0), определим гп по формуле B1) в зависимости от ^ иг: Гп = [ Кп—19 • • • ^lJ rl "Г L &п—1» • • * ^2J г* или, согласно формулам C1) и B8): /V. = 1-1 Г1*ь ... ^i]^i + (-l)nfe ... *»-i]^ C2) 37
Подставляя сюда выражения для г и гг через гп и гп+г по формулам A7) и сравнивая коэффициенты при гп в обеих частях полученного тождества, найдем: или: [klt ... kn] [k2, ... ?„_,] — [ki9 ... kn_x] [k2, ... kn] = (—l)n. C3) § 24. Если числа kl% k2, ... kn все целые положительные, то очевидно, что и скобки Эйлера \kb k2, ... kn] — целое положи- положительное число; при этом \kly .. . kin] > \k2, . . . kin\ > [k3, ... km]. Следовательно, формула B7) при т~п показывает, что k± — частное, a [k3y ... kn] — остаток от деления \къ ... kn] на [*,, •.. К]. Подобно же, k2 — частное, а [?4, ... kn] — остаток от деления [k2> . . . kn] на [k3i . .. kn) и т. д. Если мы возьмем г = \ku . . . kn]9 ri = f^2» ••• ^т,], то no B7) получим: r2 = \k3, ... k,] и далее так же: г3 = [kv .. . &„], .. . г„_.2 — [&„_,, /г,], /-„_, = \kn] = kn9 а далее: /•„= 1, г„+1 = 0. И алгорифм Эйлера совпадает с алго- алгорифмом Эвклида, причем г„ — D(ry г,). По формуле C3) получаем, что г = [/?!, ... &„] и r± = [k2, ... &п] взаимно-простые, поэтому и получается гп = 1. Итак: Теорема 34. Всякие п целых положительных чисел kl4k2f . .. kn можно рассматривать как неполные частные в алгорифме Эвклида, примененном к числам \)гъ . .. k,,\ и \k2, .. . krt\. Эта теорема не дает нам ничего принципиально нового: она показывает только, что всякую конечную цепную дробь (с целыми положительными частными знаменателями) можно всегда обратить в обыкновенную дробь. Действительно, формула B7) дает: h b Л А ' \h h 1 ' «2, ... «VftJ 1^2» • • * пП\ [kz, ... kn] но так же найдем [К ... kn\ _ , 1 l*i. • • • kn) - K2 i- [k%t ,., kn] 1*4. • • • *nf и т. д. Таким образом: fe.. ...*n] ~ 1T. , «2 Т" C4) Это дает способ вычисления цепных дробей. Пример 1. Вычислить дробь C, 5, 1, 1, 2). Пишем данные 38
частные знаменатели в обратном порядке и вычисляем скобки Эйлера (способом, данным в конце § 22): 2 115 3 1 2 3 5 28 89" Последнее из полученных чисел будет числителем, а предпо- предпоследнее — знаменателем нашей дроби. Итак: C, 5, 1, 1, 2) = |. Действительно, мы имеем: 89 =[2, 1, 1, 5, 3]-[3, 5, 1, 1, 2]; 28 =[2, 1, 1, 5] = [5, 1, 1, 2] (см. формулу B8)). Пример 2. Вычислить: 1 2+1 2+1 3+J_ 4 Здесь имеем: 4 3 2 2 О 1 4 13 30 73 30* Следовательно: @, 2, 2, 3, 4) = |. Замечание. Заметим, что этот способ вычисления цепных дробей — просто упорядоченный элементарный способ, о котором мы упоминали в конце § 20. Но это упорядочение дало нам опре- определенный метод быстрого вычисления цепных дробей. Как уже было сказано, можно прекратить алгорифм Эйлера на каком угодно из уравнений A7), хотя бы на т-м (т < п)\ тогда получим по C4) В правой части C5) мы имеем только часть нашей цепной дроби C4), а именно, т первых ее звеньев. Числовое значение этой части, т. е. дробь [,ь '' * ™] называется m-ой подходящей дробью данной цепной дроби. При т= 1, 2, ... п мы получаем первую, вторую и т. д. подходящие дроби. Вычисляя скобки Эйлера [ku ... fep] и \k2, ... kn\% мы получаем последовательно числители и знаменатели всех подходящих дробей нашей цепной дроби. Но для этого следует эти две скобки вычислять отдельно,— нельзя применить формулу B8). 39
Вернемся опять к нашим примерам ] и 2 и вычислим там все подходящие дроби. Для дроби C, 5, 1, 1, 2): 3 5 112 1 3 16 19 35 89 I 5 6 11 28 Во второй строке этой таблицы — числители, а в третьей — знаменатели подходящих дробей. Третья строка строится точно так же, как и вторая (при использовании первой строки), только начиная со второго числа (с 5). Таким образом, подходящие дроби следующие: 3_ 16 19 35 89 Т' 5"' 6 ' И' 28' Для дроби @, 2, 2, 3, 4): 0 2 2 3 4 Г~0~1 2 7~30 1 2 5 17 73 1 2 7 30 И подходящие дроби: 0, у, g-, jy» ^. Обозначим рт = \къ k2, ... km], qm = [k2, ... km]; тогда т-п подходящая дробь будет —. Но формула C3) дает (если заменить Qm там п через т) PmQm-l — Pm—lQm = (~ 1)Ш- C6) Из этой формулы видно, что рт и qm взаимно-простые, т. е. подходящие дроби — несократимы. Деля C6) на 9m—i?m> получим: Qm Рт Рт—1 ( 1)т Qm Qm—i Qm—iQm ' Таким образом, абсолютная величина разности двух соседних подходящих дробей уменьшается с возрастанием т (ибо и qm воз- возрастает), а знаки этих разностей попеременно + и —. Мы до- докажем следующее: Теорема 35. Точное значение цепной дроби всегда находится между двумя соседними подходящими дробями, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби. Доказательство. Пусть дана цепная дробь Обозначим: у = km+1 + ^ + .
тогда: х ¦¦ и мы имеем: 1 t + 7 РтУ + Pm—l ЯтУ + Ят—1 : ибо х (т -\- 1)-я подходящая дробь, если считать у последним част- частным знаменателем (см. формулу B2)). Отсюда имеем: xqmy + xqm_x = рту y(xqm — рт) = рт_г yqm\x — Чт Чт—1 чт—1 х C8) но х — qm>qm-i>0> т. e. yqm>qm-i\ из C8) получаем: Рт—1 Qm—\ — X и знаки у х —- — и Рт 1 — х одинаковы. J Ят Ят~1 Это и доказывает нашу теорему. Отсюда имеем на основании формулы C7): Ят Ргп Ят ЯтЯ C9) Эта формула дает верхний предел погрешности приближенного значения — для х. Мы видим, что — с возрастанием т действи- Ят Ят тельно все более подходит к х\ отсюда и название: подходящая дробь. Имеем: Ят+1 = qmkm+1 + Qm-1 ^Qm + Qm~l > Qm- Следовательно: 1 1 .1 ЯтЯт + i — Ят (Ят + Ят—г) ^ q2 Таким образом, в правой части C9) вместо 1 1 ЯтЯ ¦ можно взять или ~, как верхние пределы нашей погрешности; 1 Ят (Ят + im—i) они хотя и не так точны, как , но более простые, ЯтЯт+1 Итак: Теорема 36. Есчи вместо точного значения цепной дроби взять ее га-ю подходящую дробь, то за верхний предел погрешности можно принять: ИЛЙ ЯтЯт+\ ИЛЙ _ Ят (Ят + Ят—\) § 25. Пусть теперь нам дана бесконечная цепная дробь, т. е. бесчисленное множество (бесконечная последовательность) частных 41
знаменателей ku &2, k3t ...; обозначим ее (ku k2, ks> ...). Пусть при этом все /гЛ—целые положительные числа. Тогда молено по- построить бесчисленное множество подходящих дробей —; но фор- формула C7) остается верною, ибо для ее вывода нужны только т первых звеньев цепной дроби. Очевидно, что при беспредельном возрастании т qm (а также и q,n+i) тоже беспредельно возрастает, ибо все km—целые положительные числа; следовательно: Jim /??_?™±!) = o. D0) т->~ \Ят Ят + i/ x С другой стороны, та же формула C7) дает: р2т Ргт~\ Ргт Ргт + \ РгтЛ-ч Ргт+i Ягт Ягт~\ Ягт Яът + г Я2ГП + 2 Яът + х ибо q2m-iQim<^ ?2m92m+i - Qim+i42m+*'> следовательно: Pirn—I P2m + l . P2m Рът + ъ Ягт—l Qzm+i Ячт Ячт + 2 Таким образом, мы имеем два ряда дробей: El ^ Рз ^ Рь <^ • В* ~->Р*^Ръ -^ ЯгЯъ^Яь •"' Яг Я, Я, '" числа первого ряда возрастают, числа второго ряда убывают. Из формулы C7) следует, что числа первого ряда остаются меньше соответственных чисел второго ряда; следовательно, числа первого и числа второго ряда стремятся к пределам. Из формулы D0) следует, что эти пределы равны; значит, существует единый пре- предел ряда подходящих дробей: jc= lim ^. m->oo Ят Определение. Этот предел ряда подходящих дробей мы и определяем как значение бесконечной цепной дроби: Теоремы 35 и 36 непосредственно обобщаются на случаи бес- бесконечных цепных дробей, ибо доказательства их совсем не требуют чтобы цепная дробь была конечна,-—требуется только, чтобы она имела определенное значение. Таким образом, бесконечная цепная дробь (с целыми положи- положительными частными знаменателями) всегда сходящаяся; ее легко вычислить с какой угодно точностью. Пусть погрешность должна быть < е; вычисляем последовательные подходящие дроби ^, пока Ят (при некотором определенном т) не получим, что q~m>?~1. В та- таком случае соответственная дробь — и есть приближенное значе- Ят ние цепной дроби с точностью до г,— с недостатком при т нечетном и с избытком при т четном. 42
Для иллюстрации вернемся к примерам 1, 2, 3 § 22. 1. Мы имеем: У 28 = E, C, 2, 3, 10)); пусть требуется вычис- вычислить У28 с точностью до 0,0001. Составляем таблицу: 5 3 2 3 10 3 2 ... 1 5 16 37 127 1307 1 3 7 24 247 1307 1307 Остановимся на-^47» ибо 2472> 10000; следовательно, -^f и есть |^28 с точностью до 0,0001 с недостатком, ибо это — пятая * ^ 1307 подходящая дробь, т. е. с нечетным номером. Обратим -нту в де- десятичную дробь, т. е. разделим 1307 на 247, беря 4 десятичных знака; эту десятичную дробь мы должны взять с избытком. Итак: 1/28^5,2315; но мы не знаем, будет ли это значение для корня с избытком или с недостатком. 2. Для положительного корня уравнения х4 — х—1=0 мы нашли цепную дробь: х = A, 4, 1, 1, 6, ...). Мы можем здесь найти пятую подходящую дробь: 14 116 1 1 5 6 И 72 14 5 9 59 72 59 72 592:>1000, следовательно, ™ Дает корень нашего уравнения с 72 точностью до 0,001 тоже с недостатком. Обратив ~ в десятичную 72 дробь, получим x^gg^ 1,221; но мы не знаем, с избытком ли это или с недостатком. 3. Мы имели: Ig25 = B, 3, 9, ...); находим: 2 3 9 1 2 7 65 1 3 28 282>100; следовательно, lg2 5^^=^2,33 —с точностью до 0,01, но неизвестно, с избытком или с недостатком. Теорема 37. Если х — точное значение цепной (конечной или бесконечной) дроби, а у ее приближенное значение, которое ближе к х, чем подходящая дробь —, то b > qm. Чт Доказательство. При данных условиях и по теореме 35 -^ ближе к ^-^, чем р~\ следовательно: Qm-j-l Qm Ят+х \Pjn__ Prn±i\ \Ят Ят-tx Г 43
Но правая часть по C7) равна ; следовательно; ЯтЯт + г Пусть b<qm, а следовательно: bqm+1<kqmqm+1; отсюда: Но левая часть здесь— целое число >0; следовательно: Щт+1 — Ьрт+1 = О, Ь Ят + l ' Здесь правая часть — несократимая дробь; следовательно, &><7m+i><7m> что противоречит нашему предположению: b<qm. Этим теорема доказана. Эта теорема имеет большое значение; она доказывает, что под- подходящие дроби — наилучшие приближения к данному числу xt т. е. наиболее простые приближения с данной точностью или наиболее точные приближения со знаменателем, не превышающим данного предела. В приложениях математики вообще употребляют десятичные дроби, посредством которых приближенно выражарот ве- величины. Но есть вопросы, в которых приходится применять простые дроби для приближенных выражений величин. В таких случаях именно подходящие дроби и являются наиболее простыми и точными. § 26. Некоторые применения цепных дробей. 1. Зубча- Зубчатые колеса. Пусть требуется соединить два вала зубча- зубчатыми колесами так, чтобы отношение их угловых скоростей равнялось данному числу а. Угловые скорости колес обратно- пропорциональны числам зубцов; значит, обратное отношение чисел зубцов равно а. Но числа зубцов — целые и не очень боль- большие, тогда как а может быть и иррациональным Следовательно, нашу задачу можно решить только приближенно, взяв для а при- приближенное значение в форме простой дроби с не очень большим знаменателем. Из предыдущего вытекает, что наиболее выгодно взять одну из подходящих дробей цепной дроби, в которую рас- раскладывается число а. 2. Календарный стиль. Из астрономии известно, что год имеет 365,24220... так называемых «средних» суток. Конечно, такое сложное отношение года к суткам в практической жизни совершенно неудобно; нужно заменить его более простым, хотя бы и менее точным. Разложив 365,24220. .. в цепную дробь, получим: 365,24220... = 365 + 1 ] 1+J 3+ 44
Первые подходящие дроби здесь будут: 365; 365-J-; 365 ~; 365 3|. Приближение 365— было известно еще древним народам (егип- (египтянам, ассиро-вавилонянам, китайцам), хотя они не имели регу- регулярных високосных годов. 7-го марта 238 года до нашей эры вышел Канопский декрет Птоломея Эвергета, которым предписы- предписывалось, чтобы каждый четвертый год имел не 365, а 366 суток. Но через 40 лет этот декрет был забыт, и только в 47 году до н. э. Юлий Цезарь, при участии Сосигена, возобновил его, вставив в каждом четвертом году лишний день в феврале. Этот день назвали bissextiiis, откуда происходит и наше название «висо- «високосный» год. Это — так называемый старый, или Юлианский стиль. 97 Новый, или Григорианский стиль дает приближение 365^; 7 8 оно немного больше, чем 365 о~ и 365^. Этот стиль отличается от Юлианского тем, что в нем каждый сотый год — не високосный, кроме тех, число сотен которых делится без остатка на 4. Так, 1700-й, 1800-й, 1900-й годы — не високосные, тогда как 1600-й, 2000-й годы — високосные, т. е. 400 лет имеют 97 лишних суток, а не 100 суток, как в Юлианском стиле. Уже в XV столетии было замечено отставание Юлианского стиля (тогда на 10 суток) и были предложения реформировать ка- календарь. Но эта реформа была проведена только в конце XVI сто- столетия. В католических странах она была осуществлена буллою папы Григория XIII от 1 марта 1582 года. 10 суток — с 5-го по 14 октября были вычеркнуты, т. е. вместо 5-го сразу было ве- велено считать 15 октября 1582 г. Наиболее точный календарь ввел в Персии в 1079 году пер- персидский астроном и математик (он же и поэт) Омар Альхайями. Он ввел цикл из 33 лет, в котором семь раз високосный год счи- считался четвертый, а восьмой раз високосный год был не четвертый, а пятый. Таким образом, здесь имеется 8 лишних суток в 33 года, о т. е. для каждого года 365™ суток; это как раз четвертая под- подходящая дробь. § 27. В примере 1 § 21 мы видели, что К28 раскладывается в периодическую цепную дробь. Докажем теперь, что вообще |/а, где а — целое положительное число, раскладывается всегда в перио- периодическую цепную дробь. Пусть [|/aj = k0 ^целая часть корня), У а = k0 + j- ; *i "> 1; имеем: X = 1 = У а + ?р 45
Обозначим: ко = ръ a — k^q^ тогда: 0<рх<]/а; <7i>0; рх и qx — целые числа; qx <. Ка + ръ ибо ^ > 1; Аналогично имеем: И вообще: д + Р2 __ a i ! . *, __. Гг 1- Л-2 I ^" » ^2 — LX2J > Докажем, что рт и дт при всех т — целые положительные числа. Мы видели, что это верно для ръ q±; пусть это уже дока- доказано для /?х, <7х ПРИ всех ^S/w. Имеем: — ТЛ* + (^m^m — Рт) . следовательно: п —Ь л п • п _ a — (kmqm — ртJ __а — Pm+im (АП Рт+1 = КтЯт ~ Рт» Ят+1 = ~ = " 1 D1; Чт Чт отсюда: а = Рт+1 + УтЧт+1- Но заменив m на т— 1, мы так же получим: следовательно: Рт + Ят-lQm = Рт+1 + ?т?т+1 == (^т?т — РтJ + qmQm+ll отсюда Рт + Ят~1Ят = ^hn ~ ^тРтЧт + Рт + ЯтЯт+Ъ или, сократив на р^ и на ?т: Ят+1 = <7m-i + 2kmpm — k2mqm. D2) Из первой формулы D1) и из формулы D2) видно, что рт+1 и Ят+г тоже целые числа. Далее, имеем: хт — кт — ^Rm *> и> V Чт следовательно: l/"fl + pm-fem^m>0. D3) _С другой стороны: а = рт +qm_1qm>p2mi т. е. Va>pm, Уа-рт>0; V^-Pm + kmqm>0. D4) 46
Перемножив D3) и D4) и приняв во внимание первую фор- формулу D1), найдем: а — (k,tlqm - РтJ = я — Р*т f 1 ^> О, а отсюда по второй формуле D1) получим: <7т+1 > 0. Пусть pm+i = kmqm — pm<0; тогда: qm<kmpm<pm<Va-r следовательно: Ъ + Рт] ^ \kmqm + Ят\ _ и II <7m J > [ ~Ъп J ~ кт + 1> т. е. мы пришли к противоречию; значит, рт+1^>0. Итак, рт и qm для всякого т — целые положительные числа. Мы имеем: D5) ибо хт = а Рт > 1. Из неравенств D5) видно, что всего комби- Ят наций целочисленных значений рт и qm меньше, чем V а • 2 У а = 2а„ Отсюда следует, что меньше чем через 2а шагов значения рт и qM будут повторяться. Но если рт+х = рт, qm+x = qm, то и xm+x=xmf И /?т+Х = /гт, И Ят+х+1 = *т + ь И pm4-X + i = Рт + Ъ и и т. д. Т. е. наша цепная дробь периодическая. С другой стороны, мы имеем (по формулам D1)): == Ят+i Ят+ЛУа + Pm+i) У а-\- kMqm —pm Va — pm Ят ибо 1 а — рт ^ q Ят ^ Далее: у а — рт j, 1 У а + Pm+i __. <7m+i т Ят ' '" Ят Va-pm по тем же формулам D1). Но мы уже доказали: Уа — Рт . 1. ' Ят~< lf следовательно, D6) Из формулы D6) видно, что при данных qm+^ и pw+} km одно- однозначно определено, а при данных km и ^т+1 и рт, и дт тоже однозначно определены Следовательно, из pw+x~ pw> qm+\ = qm вытекает, что и рт+х_1 = рт^,, <7т+х_, = ?m-i. а далее: pw+x_2 = 1=1 Рт-2> 9т+^~2 = ?т~2» и Т- А- Но формула D6) верна только 47
при w>0; следовательно, для k0 она уже неверна. Таким обра- образом период нашей цепной дроби начинается с къ т. е. со второго звена. И гак: Теорема 3(8. Квадратный корень из целого числа всегда рас- раскладывается в периодическую цепную дробь, период которой начи- начинается со второго звена. Более глубокие исследования в этой области показывают, что вообще всякая вещественная квадратная иррациональность, т. е. вещественный корень квадратного уравнения с целыми коэффи- ь Л- а , циентами или выражение вида , где а, о, с—целые числа, и а > 0 раскладывается в периодическую цепную дробь,— чистую или смешанную. Очень просто доказать обратную теорему. Теорема 39. Всякая периодическая цепная дробь есть квад- квадратная иррациональность. Доказательство. Предположим, что данная цепная дробь чисто- периодическая: л: =[(&ь /е2, ... km)]\ тогда можно написать: X = ki -\~ -fc"t~lT == (л> &2> • • • Кт> X), или: x^^j^r^zt^ Pm> Pm-v Ят> Ят-i ~ Целые положительные числа; следовательно, Ян,** + (Qm-l — Ргп) * — Рт-1 = О- Таким образом, х удовлетворяет этому квадратному уравнению (с вещественными корнями). Предположим теперь, что наша цепная дробь — смешанная пе- периодическая: х = (аъ а29 . . . аь (kl9 k2, . .. km)). Обозначим: у = ((klf k2, .. . km))\ тогда: х = (аъ а2, . .. аь у). Следовательно: х = Pil + Rbzl • qiy 4- qi-\ ' г/, как значение чисто-периодической дроби, есть квадратная иррациональность; как уже доказано: Подставляя это выражение для у в х, найдем: qib + gi-ic -jrgi^a " 48
Уничтожая иррациональность, в знаменателе, найдем для х выражение формы: т. е. и х — квадратная иррациональность. § 28. Вернемся к § 23, формуле C2). Пусть мы имеем алгорифм Эвклида для данных чисел г и гх\ гп — общий наибольший дели- делитель для г и гъ и формула C2) показывает, что неопределенное уравнение rx -f гху = гп всегда имеет целое решение: * = (-1)"-1 [К ... kn_x]\ у = (-\)п [К ... К-Л D7) Но эти значения х и у не оба положительны. Они имеют разные знаки. В частности, если г и гх взаимно-простые, то следующее уравнение имеет целое решение х, у: Изменим наше обозначение. Пусть а и Ъ данные целые (не непременно положительные) числа и D(at b) = d. Рассмотрим не- неопределенное уравнение: ах + by = с, D8) где с — тоже данное целое число. При любых целых значениях х и у левая часть уравнения D8) делится на &\ следовательно, если с не делится на ds то уравнение D8) не имеет целых реше- решений Пусть с делится на d: с = de\ тогда уравнение ах + by = d, как мы видели, имеет целое решение х1у у1 (то, что здесь а и b не обязательно положительны, отражается только на комбинации знаков у хг и yY)\ но тогда ххе и ухе представят целое решение уравнения D8). Докажем теперь, что таких целых решений бесчис- бесчисленное множество. Пусть х0, у0 — одно целое решение уравне- уравнения D8), а х, у — какое-нибудь иное решение того же уравнения; имеем: ах0 + Ьу0 = с; ах + by = с; отсюда: а (х — х0) + b (у — г/0) = О, или: а(х — хо) = — Ь(у — г/0); сократим на d: ±(х-хо) = -±(у-уо). D9) Левая, а значит, и правая часть формулы D9) делится на ~т ; но -т и - взаимно-простые, следовательно, у — у0 делится на - (по теореме 15 § 7); следовательно, у — у0 = ~t. Подставляя это значение в формулу D9), найдем: x—~xQ = —~rt. 49
Итак; х = х0 — -t I E0) где t — целое число SO. Обратно, при любом целом / выраже- выражения E0) будут целыми числами, удовлетворяющими уравнению D8), в чем убедимся непосредственно, подставив эти значения для х и у в D8). Таким образом, мы получили следующую основную теорему: Теорема 40. Неопределенное уравнение D8) имеет целые реше- решения тогда и только тогда, когда его правая часть делится на d = D(a,b)— при этом бесчисленное множество целых реше- решений, которые даются формулами E0). В частности, уравнение ах + by = d имеет решение D7) (с точностью до знаков). Если d=l, уравнение D8) всегда имеет целые решения; в частности, в этом случае имеет целые решения и уравнение: ах + Ьу= 1. E1) Практически мы найдем решение D7), применяя к числам а и Ь алгорифм Эвклида или разлагая Щ (пусть \а\ > \Ь\) в цепную дробь и беря за \х\ и \у\ — знаменатель и числитель предпослед- предпоследней подходящей дроби [,ь ''' ,п~~1\. При | а \ > \ b | должно быть |#1<1#|> знаки же у х и у берутся так, чтобы ах и by имели разные знаки и чтобы было: ах\ — \by\\ — 1 Вычисляя послед- последние цифры в произведениях \ах\ и \Ьу\9 легко сообразить, какие должны быть знаки у х и у. Пример 1. Найти целые решения уравнения: \5х+ \9у= 1. Применив алгорифм Эвклида, найдем: 19: 15= 1 15: 4 =3 jy3 = 1 3:1=3 Последнее частное C) отбрасываем, ибо оно=г?п, а в фор- формулы D7) kn не входит. Все остальные частные пишем в обрат- обратном порядке: &„_!, &п_2» • • • &ъ применяя формулу B8) 1 3 1 114 5' Следовательно, JдгJ = 5, |#| = 4 (ибо здесь х с меньшим ко- коэффициентом). Для определения знаков у х и у вычисляем послед- 50
ние цифры произведений 15-5 и 19 • 4; они здесь 5 и 6. Но 6 — 5== 1, следовательно, х = —5, у = +4. Общее решение есть: * = —5 + 19/; y = 4HF 15/. (Мы написали двойной знак у t> ибо всегда можно написать — t вместо t). Пример 2. Найти целые решения уравнения: 126*— 102*/= 18. Здесь DA26, 102) = 6, но 18 делится на 6; сократив на 6, получим: 21*— 170 = 3. Решим сначала уравнение: 2\х—17у= 1. Имеем: 21:17=1 17:4 = 4 j-i-j; 4:1=4 Следовательно, ]*| = 4, |у| = 5. Вычисляем последние цифры произведений 21 • 4; 17 • 5; они 4 и 5; но —21 - 4 -J- 17-5 = 1. Значит, должно быть: л: = —4, у = —5. Для уравнения: 21*—17у = 3: х = — 4 • 3 = —12, у = — 5 • 3 = —15. Общее решение данного уравнения: * = — 12+Ш; y = —l5±2lt. (Здесь мы оба раза пишем +, так как коэффициенты нашего уравнения имеют разные знаки). Беря знак + и t= 1, получим положительное решение: * = 5, у = 6. § 29. Обобщим теперь теорему 40 на случай нескольких неизвест- неизвестных. Пусть аъ а2> ... ат — данные целые числа и D (аъ а2,... ат)= = d; пусть уже доказано, что уравнение + а2х2 + ... + атхт = d E2) имеет целое решение xltx2y.. ,хт. Пусть нам дано еще одно целое число ат+1. Докажем, что тогда и уравнение агих + а2и2 + ... + атит + ат+1ит+1 = S, E3) где 5 = D (аъ а2у... атУ ат+1), тоже имеет целое решение ulY и2, ... umi wm+i. По теореме 13, § 6, 5 = D(d, am+1), следовательно, по теореме 40 уравнение dy + ат+1ит+1 = 6 имеет целое решение у, ат+1. Под- Подставляя сюда вместо d его выражение агхг + а2х2 + ... + ат*т 51
из E2) и обозначая их = хху, и2 = х2у,... ит = xwy, найдем целое решение уравнения E3). Этим доказано, что уравнение E2) имеет целое решение при всяком т. Далее, как и в случае двух неизвестных, непосредственно выводится, что общее уравнение «Л + а2*2 + ... + атхт = с E4) имеет целое решение тогда и только тогда, когда с делится на d. Обозначим в этом случае: с= dx; тогда по E4) имеем: агхг + а2х2 + .. . + атхт = dx. E5) Всякой системе целых чисел хъ х2у ... хт соответствует опре- определенное целое число х. Но и обратно: каждому целому х со- соответствует система (даже бесчисленное множество таких систем) целых значений хъ х2, .. . хту удовлетворяющая уравнению E5). Иными словами: всякое целое число, представляемое в форме агхг + а2х2 + ... + атхт (при целых хъ х2у ... хт), представимо и в форме dx (при целом х)\ и обратно. Это выражают, говоря, что обе эти формы эквивалентны. Итак: Теорема 41. Линейная однородная форма (с целыми коэффи- коэффициентами) от какого угодно числа переменных всегда эквивалентна линейной однородной форме от одного переменного (тоже с целым коэффициентом). Эта теорема весьма важна. Покажем на примерах, как найти целые решения неопреде- неопределенного линейного уравнения с несколькими неизвестными. Пример 3. Дано уравнение: Делим все коэффициенты левой части на наименьший из них, т. е. на 7, и берем неполные (или полные, если деление ока- окажется без остатка) частные. Обозначим: Зх — y + z = u; (I) умножаем это снова на 7 и вычитаем из данного уравнения: 4х — 6у= 4 — 7и, или: Ах — 6у + 7и = 4. Но это уравнение с неизвестными х, у, и того же типа, что и данное, только наибольший коэффициент здесь = 7, тот же, что в данном уравнении, — наименьший. Делим здесь левую часть на 4 и обозначаем: х — y + u = v\ (II) умножаем на 4 и отнимаем: —2у + 3u = 4 — 4v9 52
или: —2у + Ъи + 4v = 4. Делим здесь левую часть на 2 и обозначаем: -y + u + 2v = w; (III) умножаем на 2 и отнимаем: и = 4 — 2ш. Подставляя это значение для и в (III), находим: —У + 4 — 2w -f- 2а = до, или: # = 4 + 2у — Здо. (IV) Подставляя значения для и и у во (II), находим: * — 4 — 2а + Зш + 4 — 2w = у, или: * = 3v — до. (V) Наконец, подставляя в (I) значения для х, у, и, находим: 9v — 3w — 4 — 2v + Зш + г = 4 — 2до, или: z = 8 — 7о — 2до. (VI) Очевидно, что при произвольных целых значениях v и до и *, t/, z будут целые. Таким образом (IV), (V), (VI) и дают общее целое решение нашего уравнения; оно зависит от двух целых параметров v и хю. Этот способ можно применить и к уравнениям с двумя неиз- неизвестными. Пример 4. Дано уравнение: 7хг + 4х2 — 2л;3 + Зх4 = 2. (I) Делим все коэффициенты левой части на наименьший из них (по абсолютной величине) и берем неполные (или полные, когда деление без остатка) частные; обозначим: гх1 + 2х2 — хг + хА = и. (II) Обе части этого равенства множим на 2 (т. е. на тот коэффи- коэффициент, на который мы делили) и результат отнимаем от данного уравнения (I). Получим: хг + х4 = 2 — 2и; отсюда: *i = 2 — 2и — х4. (НО Подставляя это выражение для хг в (II), найдем: 6 — 6и — Зх4 + 2х2 — х3 + х/к = и, или: X3 = 6 — 7u — 2Xt+2x2. (IV) 53
Мы видим из (III) и (IV), что, давая для и, х±, хх произволь- произвольные целые значения, мы получим и для хг и хг целые значения. Таким образом, формулы хх = 2 — 2и — v, x2 = wy x3 = 6 — 7u — 2v + 2wy x^ = v и дают нам общее целое решение уравнения (I). Оно зависит от трех целых параметров иу vy w (случайно здесь два из этих па- параметров— наши неизвестные х2 и х4). При и = v = w = 0 имеем частное решение: хх = 2, х2 = 0, х3 = 6, х& = 0. § 30. Теорема 40, особенно та ее часть, где говорится о су- существовании целых решений уравнения ах + by = d = D (a, b)y является основной в теории делимости целых чисел. Она непо- непосредственно вытекает из алгорифма Эвклида, который сам основан на теореме 1 о делении с остатком двух целых чисел. Основываясь на теореме 40, можно построить всю теорию де- делимости целых чисел,— вывести все теоремы о делимости, которые мы имели в главе I. Например, пусть а и с взаимно-простые; тогда по теореме 40 существуют такие целые числа ху у, что ах + су = 1. Умножим это на b: abx + cby = b. E6) Пусть ab делится на с; тогда из E6) видно, что вся левая часть, а значит и правая, т. е. 6, делится на с; это — теорема 15, кото- которую мы, таким образом, еще раз доказали. Далее, из E6) ясно, что всякий общий делитель ab и с является также делителем для 6, а следовательно, D(aby c) = D(by с); это — теорема 16. Из теоремы 15 непосредственно вытекает теорема 19, а на этой теореме основана теорема об однозначности разложения числа на простые множители (у нас — теорема 21). § 31. Применим теорию цепных дробей к доказательству одной важной теоремы о простых числах вида 4s-\-l. Пусть р такое простое число. Рассмотрим дроби ~, -~ , ... ~ ; все они > 2 и не- несократимы. Разложим каждую из них в цепную дробь. Пусть q — одно из чисел 2, 3, ... 2s и пусть: Р 1 i 1 1Л1» ^2> • • • ^п\ (К1\ 7 = /г1 + ^т. , ~ [*•. ¦¦¦ kn] ' ( ' Здесь kx ^ 2, kn > 1, n > 1, ибо — — не целое число. По фор- формуле C3) § 23 дробь в правой части E7) несократимая; следова- следовательно: p=[kl9 k2, ... kn]; q=[k29 ... К]. Обратно, если мы нашли каким-нибудь способом представ- представление р скобками Эйлера р = [kly k2t ... kn],
где kx > 1, кп > 1, п > 1, то, написав -^ = fex + ~ мы будем иметь: q = [&2, ... kn] < у, ибо — > 2, т. е. <7 —• одно из чисел 2, 3, ... 2s. Но по формуле B8) § 23 также Р == l^n» kn—Ъ • • • ^1J> следовательно, если обозначим: ~ = kn + г т , то #' = = [^Г7—1> ••• &i] — тоже одно из чисел 2, 3, ... 2s. Таким образом, эти числа распределяются по парам — таких чисел, как q к q'\ по всего этих чисел 2s—1 — нечетное число. Следовательно, непременно встретится и такой случай, когда q' = qy т. е. kn = klt kn_} = k2, ... Рассмотрим этот случай. Пусть п = 2т +1 — нечетное число; тогда: Р == 1%> ^2» • • • ^т—1> ^т> или, применяя формулы B9) и B8) § 23: Р == L^l> • • • ^mj L^m+1» ^т? • • • ^1J "г* L^l> m = IK . . . km] • { [*1. • • • ^m+lJ + \K • • • Но это значит, что р разложено на два целых множителя и каж- каждый из них > 1; этого не может быть, ибо р — простое число. Следовательно, п = 2т — четное, и мы получим по тем же форму- формулам B9), B8) § 23: р = [klt ... kmi km9 ... kx] = \kl9 ... km] \kmt ... kx] + + [kl9 ... km^] [km^ly ... kx\ = [kl9 ... km]2 +• [kl9 ... Т. е. мы доказали следующее: Теорема 42. Всякое простое число вида 4s + 1 может быть представлено как сумма двух квадратов*). Пример. Пусть р = 73; при q = 27 имеем: Здесь я = 6, ^ = fte = 2, fe2 = fc5 = 1, ks = kt = 2; следовательно: 73 = [2, 1, 2]2 + [2, I]2 = 82 + 32. *) В дальнейшем (в гл. VI, § 71) мы докажем, что это представление одно- однозначно. 55
УПРАЖНЕНИЯ. 22. Посредством алгорифма Эвклида найти: a) DE49, 387); б) DE89, 343); в) D( 12606, 6494) (§ 19). Ответ, а) 9; б) 1; в) 382. 23. Разложить в цепные дроби следующие обыкновенные дроби: а> S1 • б> 2>3547; в) ш «20)- Ответ, а) A, 1, 3, 3, 3, 1, 5, 4, 4, 1, 3); б) B, 2, 1, 4, 1, 1, 6. 1, 20, 2); в) @, 1, 1, 2, 1, 1, 6, 2). 24. Разложить в периодические цепные дроби и вычислить с точностью до 0,0001: a) j/; б) 1^13; в) /42; г) /59 (§ 21, 24, 25). Ответ, а) B, D))«2,2361; б) C, A, 1, 1, 1, 6))«3,6056; в) F, B,12))-6,4807; г) G, A, 2, 7, 2, 1, 14))« -7,6812. 25. При помощи цепных дробей вычислить с точностью до 0,0001 оба корня уравнения Зх2 - 7х — 3 = 0 (§ 21, 24, 25). Ответ. *! = (B, 1, 2))-2,7032; *2 = (—1, 1, 1, A, 2, 2))« « _ 0,3699. 26. При помощи цепных дробей вычислить оба корня уравне- уравнения х2 + 9л: + 6 = 0 с точностью до 0,0001 (§ 21, 24, 25). Ответ. *,=(—1Д A, 1, 1, 3, 7, 3))- —0,7250; лг2 = (—9, 1, 2, A, 1, 1, 3, 7, 3))- —8,2750. 27. При помощи цепных дробей вычислить все корни уравне- уравнения у?~х% — 2х + 1 == 0 с точностью до 0,0001 (§ 21, 24, 25). Ответ. х1 = (\у 1, 4, 20, )« 1,8019; *2 = @, 2, 4, 20, ...)~ 0,4450; х3 = (—2, 1, 3, 20, 2, ...)« —1,2469. 28. Вычислить скобки Эйлера: а) [1, 0, 2, 0, 3]; б) 1, -^, у, 2|; в) [2, -2, 3, -3, 1, -4]; г) [а, р, Т, 5]; д) [з, 0, ~, 0, 0, l] (§ 22). Ответ, а) 6; б) 5; в) —26; г) сфу§ + а|3 + yS -f aS + 1; Д) 4- 29. Проверить на примере [1, 2, 1, 3, 2, 3, 2] формулу B9) § 23 при т = 3 (§ 23). 30. Найти первые пять подходящих дробей разложения в цеп- цепную дробь числа 1г = 3,1415926535897... (§ 24, 25). Ответ 1- *?• 2??. 355. 103993 wtbgt. 2 , 7 » 106 ' 113 • 33102 ' 56
31. Найти первые пять подходящих дробей разложения в цеп- цепную дробь числа е = 2,71828182845904 ... (§ 24, 25). п 9 о 8 11 19 итвет. z, j, ^ > 4 * 7 * 32. В каких уравнениях корни разлагаются в следующие цеп- цепные дроби: а) (B, 4, 1, 3)); б) (A, 2, 4, 6)); в) B, 1, 2, A, 1, 3)); г) D, A, 1, 2, 1, 1, 8))? (§ 27). Ответ, а) 19х2 —37х—11 = 0; б) 56х2 — 72* — 13 = 0; в) 2х2— 15jc + 26 = 0; г) л;2 —21 =0. 33. Найти все целые решения уравнения 253* — 449# = 1 (§ 28). Ответ. х = — 126 + 449/; у = — 71 +253/. 34. Найти целые решения уравнения 53л: + 47у = 11 (§ 28). Ответ. Л'= — 6 + 47/; у = 7 — 53/. 35. Найти целые решения уравнения fa, р, у, Ь]х— [р, у, Ь] */ = = 1, где a, p, y, 8 — целые числа (§ 28). Ответ. *=[р, т] + [3. Т» 81'; У = К Р. Т] + К р, Т, 6]/. 36. Найти целые решения уравнений: а) 24х + 56г/= 64; б) 8\х — 48у = 33; в) 22% + 32г/ = 48; г) 36а:— \5у = 8 (§ 28). Ответ: а) х=— 2 + 7/, y = 2 — 3t; б) х=1 + 16/, # = = 1 +27/; в) х = — 8+ 16/, у = 7— 11/; г) целых решений нет. 37. Найти целые решения уравнения 6х — Ъу + 3z = 1 (§ 29). Ответ. х = и, у=\—3a, z = 2 — 2и — 5v. 38. Найти целые решения уравнения 5^ + 4д:2 — 7х3 — Зх4 = 5 (§ 29). Ответ. хх = и, х2 = 5 — 2и — 3v + w, x3 = wy л:4 = 5 — и — — 4у — w, 39. Способом § 31 представить число 61 как сумму двух квад- квадратов (§ 31). Ответ. у[ = E, 1, 1, 5); 61 = 52 + б2. 40. То же самое для числа 137 (§ 31). Ответ. ^ = C, 1, 2, 2, 1, 3); 137 = 42 + И2.
ГЛАВА III СРАВНЕНИЯ § 32. Пусть т — данное целое положительное число; вместе с ним рассмотрим и все его кратные km, где k — любое целое число ^ 0 или = 0. Система всех этих кратных есть так назы- называемый «модуль» *). Если разность двух целых чисел а и Ь де- делится на т или принадлежит к модулю т, то такие числа назы- называются сравнимыми по модулю т. Это обозначается таким сим- символом: E8) Некоторые авторы обозначают короче: а = b (m). Такое соотношение между числами а и Ъ называется сравне- сравнением или конгруенцией. Из него видно, что числа а и b при де- делении на т дают одинаковые остатки. Теорема 43. Для сравнений выполнены три основных закона равенств: симметрии, транзитивности и рефлексивности. Разъяснение. Закон симметрии говорит, что при а = Ь и b = а; закон транзитивности: из а = b, b = с следует а = с; закон рефлексивности: а = а. Если для некоторого соотношения выполнены эти три закона, то говорят, что это соотношение имеет характер равенства. Таким образом, теорема 43 говорит, что сравнение имеет характер ра- равенства. *) Вообще модулем называется система М чисел, имеющая следующее свой- свойство: если а и Ь принадлежат к М, то и а + Ь тоже принадлежат к М (иными словами: М — группа относительно сложения). Легко доказать, что в области целых рациональных чисел всякий модуль есть система кратных некоторого целого числа т > 0. Действительно, пусть т — наименьшее поло- положительное число данного модуля М, а п — какое-нибудь другое число из М. Делим п на т и обозначаем через q — частное, через г — остаток этого деле- деления. Имеем: 0<?г</п; п — qm^r. Отсюда видно, что г тоже принадлежит к М, следовательно, г = 0 (ибо т — наименьшее положительное число из М)9 т. е. п = mq. 58
Доказательство. 1) Если а — О делится на т, то и b — а тоже делится на т; таким образом, из а==6*) следует b = a (modm). 2) Если а — b и b — с делятся на т, то (а — Ь) + (Ь — с) = = а — с тоже делится на т\ т. е. из a=bt b^c следует а = с (modm). 3) а — а = 0 делится на всякое целое число т\ следовательно, а = a (modm). Замечание. Формула а = 0(modm) говорит, что число а де- делится на т; формула а = 6(modm) равнозначна с формулой а — & = 0(modm). Всякое (целое) число сравнимо по модулю т со своим остатком от деления этого числа на т. Но от деления на т могут полу- получиться только следующие остатки: или 0, или 1, или 2, ... или m— 1. Никакие два из этих остатков не сравнимы друг с другом по модулю т. Иными словами, все целые числа распределяются по т классам; первый класс составляют все числа, которые де- делятся на т (т. е. этот класс и составляет самый модуль т); второй класс составляют все числа, которые при делении на т дают остаток 1, и т. д.; последний класс (m-й) состоит из чисел, дающих при делении на т остаток т—1. Итак: Теорема 44. Все целые числа распределяются относительно данного модуля т на т классов так, что все числа одного и того же класса сравнимы друг с другом по модулю т, тогда как числа разных классов не сравнимы друг с другом по мо- модулю т. Заметим, что такое распределение чисел на классы относи- относительно данного соотношения возможно тогда и только тогда, когда для этого соотношения выполнены три основных закона теоремы 43. Если из каждого из т классов, на которые распадаются все целые числа по модулю т, взять по одному числу, то эти т взятых чисел составляют полную систему вычетов по моду- модулю т. Полная система вычетов имеет два характерных свойства, а именно: I. Никакие два числа из полной системы вычетов по модулю т не сравнимы друг с другом по модулю т. II. Всякое целое число непременно сравнимо по модулю т с одним (и только с одним) числом из полной системы вычетов по модулю т. Каждое из этих двух свойств вполне определяет данную си- систему т чисел, как полную систему вычетов по модулю т. Примеры полной системы вычетов по модулю т: 1) 0, 1, 2, 3, ... т—1; это — так называемые наименьшие положительные вычеты (остатки от деления чисел на т)\ *) Если рассматривают несколько сравнений по одному и тому же мо- модулю т, то обозначение (mod m) часто пропускают. 59
2) 0, —1, —2, —3, ... —(m—1); это наименьшие отрица- отрицательные вычеты; 3) 0, +1, +2, ... + ^у- , если т нечетное; nil to 1 (т Л t m I т I т\ О, ±1, ±2, ... ±\j—1)' +T (или ~Т вместо + 2/» если m — четное; это — абсолютно-наименьшие вычеты. 4) Если а —какое-нибудь целое число, то числа а, а+1, а + 2, ... а -\- т — 1 образуют полную систему вычетов по мо- модулю т, ибо свойство I для нее выполнено. 5) Если а — взаимно-простое с т, то числа 0, а, 2а, ... (т — \)а (вместо 0 можно взять та) образуют полную систему вычетов по модулю т, ибо свойство I здесь выполнено: если *а = Ха (mod/я), то, следовательно, ха — 1а = (% — X) а делится на т; но D (а, т) = = 1. значит (по теореме 15, § 7) % — А делится на m; но | % — А | < т, следовательно, при % Ф \ этого не может быть. Таким образом, в зависимости от модуля т всякое целое число непременно представляется одною из форм: km, km-\-\, km-\- + 2, ... km -f m— 1, или: km, km— 1, km — 2, ... km — m + 1. Например, при т = 2 имеем две такие формы: 2k, 2k + 1 (или 2k— 1). Первая — форма четных чисел, вторая — форма нечетных чисел. При т = 3 имеем три формы: ЗА, 3&+1, 3k + 2 (или 3k — 1). При т = 4 имеем четыре формы: 4&, 4& + 1» 4& + 2, Ak + 3 (или 4?— 1). И т. д. § 33. Основные свойства сравнений. Эти свойства являются просто следствиями соответствующих теорем о делимости (глава I). Теорема 45. Если а = b (mod т) и т делится на k, то и a = b (mod k). Это следует непосредственно из теоремы 2, § 2. Теорема 46. Если а = 6 (mod ^), а = 6 (mod &2)> ... a = b (mod &л) и Mft, &2, ... k-n) = m, то а = 6 (mod га). Это вытекает из теоремы 8, § 3, ибо а — Ъ — общее кратное для klf k2, ... kn. Теорема 47. Если a = &(mod/ra), то ас ^ be (mod] тс \). Действительно: ас — be а — Ь тс т Следствие. Если a = 6(modm), то a?~6c(modm). Это вытекает из теорем 47 и 45. Теорема 48. Сравнения с одним и тем же модулем можно почленно складывать. Доказательство. Пусть а = b (mod т), аг = 62 (mod m), т. е. а — b и а1 — Ь1 делятся на т. Но тогда и их сумма (а — Ь) + + (#! — 6j) = (а + аг) — (Ь + 6i) делится на /я, следовательно а + аг = b + bx (mod m). 60
Это непосредственно обобщается и на несколько сравнений. Следствие 1. Сравнение с одним и тем же модулем можно почленно вычитать. Действительно: из ax = bx (mod т) следует: — ах = —Ь1(тоАт) (см. следствие из теоремы 47 при с = —1); следовательно, а — аг = Ь — bx (mod т). Следствие 2. Можно прибавить к обеим частям или отнять от обеих частей сравнения одно и то же число: если а~ b (mod /л), то a + c = b + c (mod m), так как с = с. Отсюда непосредственно выводим: Следствие 3. В сравнениях, как и в равенствах, можно пере- переносить члены из одной части в другую с противоположными знаками. Теорема 49. Сравнения с одним и тем же модулем можно по- почленно перемножать. Доказательство. Пусть а = b (mod т), ах = bx (mod m); тогда (по следствию из теоремы 47) аах = Ьаъ bax= bbx (mod га). Отсюда (по закону транзитивности) ааг == bbx (mod m). Это непосредственно обобщается на несколько сравнений. Следствие. Обе части сравнения можно возвысить в степень с одним и тем же натуральным показателем. Теорема 50. Если ас = be (mod m) и D(c, m)= d, тоа = 6 (mod^-J. Доказательство. Пусть c=c1d, m — mxd\ тогда: ас — be (а — Ь) с (а — Ь) С\ ^ , us = — = —-. Это — целое число, т. е. (а — Ь) сх mm тх ' v / i делится на тх\ но сх и тх — взаимно-простые (по теореме 10, §4), следовательно (по теореме 15, §7), а — b делится на тъ т. е. a = b (mod mx). Важны следующие два предельных случая этой теоремы. Следствие 1. Если d = с, т. е. т делится на с, то из ac = bc(modm) следует: а = 6 mod-^-j. Иными словами: обе ча- части сравнения и модуль можно сократить на их общий множитель. Следствие 2. Если d= 1, т. е. т и с взаимно-простые, то из ac^bc{modm) следует: a = 6(mod/72). Иными словами: обе части сравнения можно сократить на их общий множитель, если только он взаимно-простой с модулем. Например: 24 = 4(modlO), но 6 'Ф 1 (mod 10). Замечание. Таким образом, в области действий умножения и деления нет полной аналогии сравнений с равенствами. Из предыдущих теорем и следствий вытекает следующая общая теорема: Теорема 51. Пусть /(а, Ьу с, ...) — произвольная целая рацио- рациональная функция от целых чисел а, 6, с, ... (постоянных или пере- переменных, известных или неизвестных) с целыми коэффициентами. Если а = аъ b = bx. c~clf ...(modm), то и / (а, Ь9 с, .. .) = /(%, ьъ си ...) (mod m). 61
Иначе: сравнение не нарушится, если числа, входящие в ка- какую-нибудь его часть, заменить какими-небудь сравнимыми с ними числами по тому же самому модулю. (Очевидно, что обе части сравнения только и могут быть целыми рациональными функциями от целых чисел). Доказательство. Пусть f{a,b, с, ...) = ^Caab^ ..., где С — какие-нибудь целые коэффициенты. Имеем по следствию из тео- теоремы 49: \ а по самой теореме 49 и по следствию из теоремы 47: CaWd ... =Ca\b\c\ ...; наконец, по теореме 48: и теорема 51 доказана. Доказанная теорема позволяет заменить в сравнении все постоянные известные коэффициенты их наименьшими вычетами,— положительными, или абсолютно-наименьшими поданному модулю. В частности, все числа, делящиеся на модуль, можно заменить нулями. Можно при желании все коэффициенты в сравнении сде- сделать положительными. Заметим, что теоремы 48 и 49 определяют действия сложения и умножения над классами по данному модулю т, ибо если число а принадлежит к классу Л, а число b принадлежит к классу В, то A -f- В можно определить как класс, к которому принадлежит а-\-Ь. По теореме 48 этот класс определяется однозначно, т. е. не- независимо от выбора представителей a, b его слагаемых А и В. Подоб- Подобно же, класс АВ определяется как класс, к которому принадлежит число ab; по теореме 49 он тоже определяется однозначно. § 34. Некоторые частные случаи. Теорема 52. Квадрат всякого нечетного числа сравним с единицей по модулю 8. Доказательство. Всякое нечетное число имеет вид: 4k i 1. Беря сравнение по модулю 8, имеем: Dk ± IJ = 16?2 ± 8k + 1 == 1 (mod 8), и наша теорема доказана. Теорема 53. Нечетное число вида 4k + 3 нельзя представить как сумму двух квадратов (целых чисел). Доказательство. Пусть х и у — любые целые числа. Если они оба четные или оба нечетные, то х2 + у2 — четное. Если же, на- например, х — четное, а у—нечетное, то х2 делится на 4, т. е. #2 = 0 (mod 4), а по теореме 52 у2= 1 (mod 8), т. е. и у2= 1 (mod 4). Следовательно (по теореме 48): x2 + y2=l(mod4). 62
Таким образом, никогда не бывает, чтобы х2 + у2 было = 3(mod4), чем и доказана наша теорема. Замечание. Теорема 53 применима для всех чисел формы 4& -f 3, в частности, и для простых чисел такой формы. Таким образом, она является дополнением к теореме 42, относящейся к простым числам формы Ak + 1 (но только к простым числам такой формы). § 35. Функция ср(т)*). Через ср(т) обозначается число (целых положительных) чисел, меньших данного (целого положительного) числа т и взаимно-простых с т. Кроме того, дополнительно определяется ср A) = 1. Эту функцию с?(т) можно еще определить так: она есть число классов чисел по модулю т взаимно-простых с т, или — число чисел, взаимно-простых с ту из какой-нибудь полной системы вычетов по модулю т**). Выведем формулу для вычисления функции <р(т). Если т = р — простое число, то очевидно, что все целые числа >0 и <^р — взаимно-простые с р\ следовательно, ?(/>) =/>-1. E9) Если m = pri — степень простого числа, то из чисел > 0 и <ра делятся на р только следующие: р, 2р, Ър, ... (р*~1—1)р; их число: р%—х—1. Все остальные числа :> 0 и <: ра не делятся на р, следовательно, — взаимно-простые с ра. Таким образом: -1) = Pa(l-}) • F0) Для дальнейшего необходима следующая вспомогательная тео- теорема: Теорема 54. Если переменная х пробегает полную систему вычетов по модулю а, а переменная у пробегает полную систему вычетов по модулю Ь и а и b взаимно-простые, то z = ау -{- Ьх пробегает полную систему вычетов по модулю ab\ z тогда и только тогда взаимно-простое с aby когда х взаимно-простое с at a у взаимно-простое с 6. Доказательство, х принимает а значений, у принимает b значе- значений; комбинируя каждое значение хс каждым значением у, получим аЬ значений для z. Докажем, что никакие два из этих значений z не сравнимы по модулю аЬ. Пусть *i = аУ\ + Ьхъ z2 = ау2 + Ьх2 и пусть ауг + Ьхг = ау2 + bx2 (mod ab); тогда (по теореме 45): аух + Ьхг = ш/2 + bx2 (mod а); ауг + Ьхг = = о>Уъ + bx2(modb). *) Эту функцию ввел и исследовал Эйлер. **) Легко видеть, что все числа данного класса по модулю т имеют один а тот же общий наибольший делитель с т. 63
Отсюда (по теореме 51): Ьхг = bx2 (mod а); ауг = ау2 (mod 6) и по следствию 2 из теоремы 50: хх = х2 (mod а); */х = у2 (mod 6). Но хх и х2 числа из полной системы вычетов по модулю а; если они различны, то они несравнимы по модулю а, следова- следовательно, хг = х2. Аналогично найдем: уг = у2у т. е. гх = z2. Этим доказана первая часть нашей теоремы. Пусть z = ay -\- bx взаимно-простое с ab, а следовательно, и с а и с b отдельно; тогда z— ay = bx взаимно-простое с а, т. е. и х взаимно-простое с а. Аналогично, z — bx = ay взаимно- простое с by т. е. иг/ взаимно-простое с 6. Пусть теперь, обратно, х — взаимно-простое с а, а у — с Ь\ тогда, очевидно, z взаимно-простое исаисб, следовательно, и с ab (по следствию 1 теоремы 16, § 7). Этим доказана и вторая часть теоремы 54. Но в полной системе вычетов по модулю а имеется ср(а) зна- значений ху взаимно-простых с а, а в полной системе вычетов по модулю b имеется срF) значений у, взаимно-простых с Ь\ следо- следовательно, всего у(а)у(Ь) значений г, взаимно-простых с ab. Но ведь все значения z образуют полную систему вычетов по модулю ab, значит: Следствие 1. Если D(a, b) = 1, то y(ab) = y(a)®(b). Это непо- непосредственно обобщается на случай нескольких сомножителей, если они попарно взаимно-простые (на основании следствия 1 теоремы 16, § 7): ведь если а — взаимно-простое с b и с с, то а взаимно- простое и с be; отсюда а если b и с взаимно-простые, то: ср (be) = ср (Ь) ср (с), следовательно: ср(а6с) = ср(а)срF)ср(с) и т. д. Если данное число т разложено на простые множители т = paq$n ..., то ра, q$, П> ... попарно взаимно-простые; следо- следовательно: ср(щ) = ср (р*)ср(q>)ср(/-т) ... Применяя формулу F0), получим: Следствие 2. Для любого целого т>0 имеем: 64
Пример: 60 = 22 • 3 • 5; следовательно: Заметим, что у(т) всегда четное число, за исключением слу- случаев, когда т—\ и т = 2. Всякий делитель числа т по формуле A4) § 16 имеет вид: d = pyqxr^ ..., где % может иметь значения 0, 1, 2, ... а; X может иметь зна- значения 0, 1, 2, ... р и т. д. Построим такое произведение [1+?(р)+?(р2) + ... + ?(Ра)][1+Т(?) + Т(?2) + ...+Т(??)]..^ F2) Перемножив эти суммы по обычному правилу умножения многочленов, найдем: 2 т(р*М?х)?(**).¦•= 2 ?(pV^...J х, X, р., ... х, X, р., ... d где сумма берется по всем делителям d числа т. С другой стороны, имеем: точно так же: 1 + 9(Я) + ?(<72) + • • • + ?(?р) = <73 и т. д. Отсюда получаем, что выражение F2) имеет значение: p*qh*\... = m. Итак: Теорема 55. Если d пробегает все делители данного числа т>0, то Z?(d) = m. F3) d Это — формула Гаусса. § 36. Определим еще одну арифметическую функцию —- так называемую функцию Мебиуса (Moebius) следующим образом: |хA) = |лх = 1; если m=p*qht.. разложение т на простые мно- множители и хоть один из показателей а, р, у, ... > 1 (т. е. если т делится на некоторый квадрат > 1), то [г(т) = 0. Если же т = ргр2 ... рр, где plf p2, ... р9 все различные простые числа, то |i(m) = |im = (—1)р. Таким образом, если т = pyq0>n ... и р — число различных простых чисел р, у, г то мы получим (если d пробегает все делители числа т): 2 fti == Рх + (IS + [Ч + [V + • • •) + (Ире + ^рг+^аг + • • О + d (р)() ••• = A — i)p = о. 65 Только при т = 1 2 ^d =: l^m = 1*1 = 1- d
Итак: Теорема 56. Для всякого целого числа т>\ 2iAd = 0; ПРИ а /72= 1 YiV-a = 1- (^ пробегает все делители числа т). d Выведем теперь одну общую формулу, относящуюся к арифме- арифметическим функциям,— так называемую «формулу обращения» Дедекинда (Dedekind) и Лиувилля (Liouville). Пусть Ф(т) какая-нибудь арифметическая функция; определим другую арифметическую функцию F (т) следующим образом: F4) d где d пробегает все делители числа т. Пусть d какой-нибудь делитель числа т\ напишем формулу F4) для числа -^-: ()I> F5) здесь Ь пробегает все делители числа —г . Умножим обе части F5) на \id и просуммируем относительно всех делителей d числа т; получим: () F6) Здесь d и Ь такие делители числа т, что —^ — целое число, т. е. d можно считать делителем числа -у-. Суммируя в правой части F6) сначала по d, а затем по 5, получим: Но по теореме 56 $] \id = 0, за исключением случая, когда d у=1, т. е. 5 = т. Следовательно, в правой части F7) только одно слагаемое внешней суммы не равно нулю, а именно, при 5 = /72; оно равно Ф(т). Итак, из F6) и F7) имеем: (f) F8) Таким образом: Теорема 57. Если арифметическая функция F (т) определяется через Ф (т) формулой F4), то, обратно, функция Ф (т) тоже одно- однозначно определяется через F (т) формулой F8). Формула F8) и есть формула Дедекинда и Лиувилля. Обозначают: F(т) = \Ф(т); Ф(т) = DF(m). F(т) называют 66
числовым интегралом от Ф(т), взятым по делителям; Ф (ал) назы- называют числовою производною от F (т). Пример 1. Если Ф(т) = т, то F(m) = S(m) (§ 17); если Ф(/и)=1, то F (т) = х (т) (§ 16). Пример 2. Если Z7 (/л) = т = prjq^r^... , то по формуле F8): ф(,И)= Yp ™ ==/п-—----- ... + -^- + -^- + d А h ••• • • • = mil 1 1 ... = ср(tn) ~ qr ' P^r \ pj \ q l\ r } rv; (no F1), § 35). Таким образом, мы снова вывели формулу Гаусса (§ 35, тео- теорема 55). § 37. Теорема Ферма-Эйлера. Пусть т — данный модуль, а число а взаимно-простое с т. Обозначим: ср (т) = р. Существуют точно \х классов чисел, взаимно-простых с т\ пусть аъ а2, . . . ах — представители этих классов. Возьмем произведения: ага> а2а, ... а^а. F9) Все они тоже взаимно-простые с т (см. § 7, следствие 1 из тео- теоремы 16) и никакие два из них не сравнимы друг с другом по модулю т, так как из ад = п\а получается <см. § 33, следствие 2 из теоремы 50) a* = aA(modm), а числа аъ а2, ... ах несравни- несравнимы по модулю т. Следовательно, числа F9) — тоже представи- представители всех классов чисел, взаимно-простых с ш, значит, каждое из них сравнимо с одним и только с одним из чисел аъ а2, . .. а^. Таким образом, мы имеем |х сравнений по модулю т\ здесь alf а$, ... а} — все числа аъ а2, ...а, только в каком- нибудь ином порядке. Перемножив все эти сравнения (по тео- теореме 49, § 33), получим: аха2 ... я;а • № = аа#з ••• ш (mod/я). G0) Но ааа$ . . . щ == аха.2 ... а9. (так как произведение не меняется от перестановки сомножителей), и на это произведение можно сократить обе части сравнения G0) (по следствию 2 из теоремы 50, § 33); получим (написав снова <р(/и) вместо |х): Теорема 58. Если а взаимно-простое с /и, то ). G1) Частный случай. Если р — простое и а не делится на /?, то ap-x=l (modp), G2) так как <р (р) = р—1. Этот частный случай нашел Ферма (в XVII стЛ; его доказал и обобщил Эйлер (в XVIII ст.). Поэтому эта общая теорема 58 и называется теоремой Ферма - Эйлера. 67
Пример 1. Пусть т = 7; имеем: 26 = 64= 1 (mod 7); 36 = 729=1 (mod 7). Пример 2. Пусть т=12; фA2) = 4; имеем: 54 = 625 = == 1 (mod 12); 74 = 2401 = 1 (mod 12). Другое доказательство теоремы Ферма-Эйлера. Пусть а — взаимно-простое с т\ возьмем ряд степеней а: а, а2, а3, ... Их бесчисленное множество и все они — взаимно-простые с т. Но ведь имеется всего только у (т) классов чисел, взаимно-простых с т, следовательно, все степени а не могут быть несравнимыми по модулю т. Пусть ax = al (mod/я) и х>Х; в таком случае это сравнение можно сократить на а1 (следствие 2 из теоремы 50, § 33) и мы получим: ах~х = 1 (mod m). Следовательно, между степенями а имеются такие, которые сравнимы с 1 по модулю т. Пусть п такой наименьший положи- положительный показатель, что ап = 1 (mod пг); число п называется показателем, к которому принадлежит а по модулю т. Пусть еще: an*= I (mod/и), пг > п\ деля пг на п> найдем (§ 1, теоремы 1): п± = nq -\- г; 0^г<п. Следовательно: 1 == а** == ап^Т = anq - ar^ar (mod m). т. е. ar = 1 (mod m). Ho r<n, a n — наименьший положительный показатель, для ко- которого ап=\ (mod/и); значит, г = 0, и п± делится на п. Если теперь: ах = ах (mod/я), % > X, то следовательно, >t — X делится на п> или х = Х (mod я). Очевидно, что и обратно: если % — X делится на п, то ах~х = = 1 (modm); умножив обе части этого сравнения на а\ получим: ау' = ах (mod/я). Итак: Теорема 59. Для всякого числа а, взаимно-простого с т, най- найдется такое натуральное число п (показатель, к которому принад- принадлежит а по модулю пг), что: 1) an=l (mod яг), 2) ау = ах (modm) тогда и только тогда, когда % = Х (modn). Отсюда следует, что никакие две степени из ряда а°= 1, а, а\ а\ ... ап~х G3) не сравнимы друг с другом по модулю т (или, как говорят, все степени G3) различны по модулю т), так как при 0Sx<az, 0S^<n, % фХ % — X не может делиться на п. Следовательно, 68
степени G3) являются представителями различных классов по мо- модулю т, взаимно-простых с т. Если п = ф (т), то теорема 58 уже доказана. Если же я<<р(т), то, значит, имеется еще число 6, взаимно-простое с т и не сравнимое ни с одной из степеней G3). Возьмем произведения: Ь, Ьау Ьа\ .. . Ьап~х\ G4) все они взаимно-простые с т и различны по модулю т, так как из bax = bax (mod m) следует (следствие 2 из теоремы 50, § 33): ax = ax(modm), что неверно. Никакое произведение G4) не сравнимо и с степенью G3), ибо из bax = ах (mod m) при X > % вытекает: Ь = ах-х (mod m), а при X < % следует (умно- (умножая на an~x): 6 = an+x-x(modm), но ведь 6 не сравнимо ни с какой степенью а. Отсюда следует, что числа G3) и G4) являются представителями различных классов по модулю т, взаимно-простых с т\ следова- следовательно, у(т)>:2п. Если ср(т) = 2я, то теорема 58 доказана, ибо тогда art™) = a2n = I (mod/и). Если же <р(/я)>2я, то имеется еще по крайней мере один класс чисел, взаимно-простых с т. Пусть с — представитель этого класса; тогда берем произве- произведения: с, са, са2, ... сап~1 G5) и доказываем, что эти п чисел — представители новых п классов чисел, взаимно-простых с /л, а следовательно, ср (т) > 3/г. Для этого следует доказать, что: 1) все числа G5) различны по модулю т; 2) числа G5) не сравнимы с числами G3); 3) числа G5) не сравнимы с числами G4). Но 1) и 2) доказывается также, как и для ряда G4). Докажем 3). Пусть сах = bax (mod m)\ отсюда при Х>% следует: с = bax~x (mod т), а при X < % с = Ьап+х~х (mod т). Оба раза получается, что с сравнимо с одним из чисел G4), а это неверно; т. е. 3) доказано. Подобно же продолжаем и далее. Таким образом, при kn<y (т) мы выводим, что (k + 1) и ^ ? (ал). Но этот процесс должен закончиться, так как все наши числа целые и у(т) конечно. Следовательно, при некотором натураль- натуральном k будет ср (рг) = kn, и теорема 58 доказана. Из предыдущих рассуждений следует такое дополнение к тео- теореме 59: Показатель, к которому принадлежит а по модулю /и, есть де- делитель числа у(т). Следствие из теоремы 58. Если р — простое, а a — любое целое число, то G6)
Ибо при а, не делящемся на р, мы получим G6) умножая обе части G2) на а. Если же а делится на р, то сравнение G6) оче- очевидно: каждая его часть сравнима с нулем по модулю р. Заметим, что и обратно: при а, не делящемся на ру из G6) следует G2). § 38. Тождественные и условные сравнения. Если в сравнение входят неопределенные величины (буквы), то подобно тому, как в равенствах, могут быть два случая: 1. Сравнение остается верным при всех (целых) значениях вхо- входящих в него букв; эти буквы — переменные. Данный случай со- соответствует тождеству. 2. Сравнение верно только при некоторых определенных зна- значениях входящих в него букв; эти значения надо найти; буквы — неизвестные. Данный случай соответствует уравнению. Такое сравне- сравнение назовем условным. Однако аналогия с равенствами здесь неполная: во-первых, кроме двух частей сравнения, здесь есть еще и модуль, который тоже может быть неизвестным. Но такое сравнение мы в даль- дальнейшем не будем рассматривать. Во-вторых, относительно мо- модуля т у нас всего только т различных чисел, или различных классов. Таким образом, чтобы найти все решения данного сравне- сравнения, нужно каждому неизвестному придать только т различных значений, т. е. произвести только конечное число испытаний, так как из теоремы 51 (§ 33) следует, что вместе с числом а и все числа, сравнимые с а по данному модулю, удовлетворяют нашему сравнению или все не удовлетворяют ему. Обе части сравнения — целые рациональные функции от букв (неизвестных или переменных) с целыми коэффициентами. Если мы перенесем все члены в сравнении в левую часть так, чтобы с правой оказался нуль, то получим сравнение такого вида: /(х, у, z, ...) = 0 (mod/72), G7) где f(x, у, г, ...) целая рациональная функция от х, у, г, ... с целыми коэффициентами. Но здесь имеется отличие от равенств: если равенство f(x, у, z, . . .) = 0 есть тождество, т. е. верно для всех значений я, у, г, . . . то все коэффициенты левой части должны быть равны нулю; очевидно и обратное. В сравнении же G7), конечно, если все коэффициенты левой части делятся на т, то всякие целые значения переменных х, у, г, ... этому сравнению удовлетворяют. Однако не обратно, как следует из такого при- примера: мы видели, что сравнение G6) удовлетворяется всяким целым значением а, но ведь-это сравнение вида ар — a = 0(modp); в левой его части коэффициенты 1 и —1 не делятся на р. В дальнейшем мы будем считать тождественным сравнением такое сравнение вида G7), в котором все коэффициенты левой части делятся на т. Таким образом, бывают сравнения, удовлетворяю- удовлетворяющиеся любыми (целыми) значениями переменных, но не тожде- тождественные. 79
Условные сравнения бывают с одним, с двумя, с тремя и т. д. неизвестными. Наивысшая степень неизвестного в условном сравне- сравнении (после всех его упрощений) называется степенью сравнения. Мы рассмотрим сравнения только 1-й и 2-й степени с одним не- неизвестным. Решения сравнения называются его корнями. Как мы уже говорили, корни сравнения тоже определяются по данному модулю т, т. е. вместе с данным корнем х0 все числа класса, к которому принадлежит х0, тоже являются корнями того же сравнения. Такие корни мы не считаем отличными от х0; иными словами, мы считаем корнем весь класс, представителем которого является х0. Следовательно, если мы говорим, что хх и х2 — раз- различные корни данного сравнения (по модулю т), то это значит, что хх и х2 не сравнимы друг с другом по модулю т. § 39. Сравнения 1-й степени. Общий вид такого сравнения: ах = b (mod m), G8) где а и Ъ — данные (целые) коэффициенты. Рассмотрим сначала случай, когда D(a, т) — 1. Пусть х про- пробегает полную систему вычетов по модулю т\ в таком случае и ах тоже пробегает полную систему вычетов по модулю т, так как из сравнения ахх = ах\ (mod т) следует (§ 33, теорема 50, след- следствие 2): хх = Хх (mod m) (ср. также § 32, пример 5). При некотором единственном х = х0 вычет ах0 из этой системы принадлежит к тому же классу, что и Ь, т. е. шго = 6 (modm), и это решение х = х0 (mod m) единственное. Пусть теперь D (а, т) = d > 1; если ах — Ъ = ту (т. е. делится на т), то b должно делиться на d. Следовательно, если b не де- делится на d, то наше сравнение G8) не имеет решений. Пусть b делится на d: b = dbx\ обозначаем еще: a = daly m~dmx\ тогда (по следствию 1 из теоремы 50, § 33) сравнение G8) равносильно (т. е. удовлетворяется теми же самыми значениями неизвестных) сравнению: ахх = Ьг (mod тх). G9) Здесь D(ai, тг) = 1 (по теореме 10, § 4) следовательно, сравне- сравнение G9) имеет одно и только одно решение по модулю тх\ x^x^modm!) или x = xo-{-kmlt где k — любое целое число. Все эти значения х удовлетворяют и сравнению G8), но только здесь мы их рассматриваем по модулю т. Легко видеть, что при k = 0, 1, 2, ... d—1 мы получим решения: *о. *o + f , *o + 2f , ... xo + (d-l)f , (80) различные по модулю т, тогда как при всех других (целых) зна- значениях k числа х0 -f kmx = х0 + k-r будут все сравнимы с чис- числами (80) по модулю т. Следовательно, в этом случае сравнение G8) имеет d решений. 71
Таким образом: Теорема 60. Сравнение 1-й степени вида G8) имеет решения тогда и только тогда, когда b делится на d = D(a, m), и в этом случае — точно d решений. В частности, при d = 1 сравнение G8) имеет всегда и только одно решение. Относительно практического решения сравнений заметим, что хотя конечным числом испытаний можно всегда найти все реше- решения, однако при большом модуле т этот способ практически весьма громоздок. Мы дадим два более удобных способа. 1) Сравнение вида G8) — только иначе выраженное уравнение 1-й степени с двумя неизвестными: ах — b — ту, или ах —ту = Ь. Мы уже знаем, как решить в целых числах это уравнение при помощи алгорифма Эвклида или цепных дробей (§ 28). Мы знаем также, что если х0 — частное решение, то общее решение есть: х = х0 -f- k-r , где d = D(a, m)\ это то же, что нам дают и фор- формулы (80). Пример 1. Решить сравнение 58* еее 87 (mod 47). Сначала заменим коэффициенты их наименьшими положитель- положительными вычетами по модулю 47: llA;=40(mod47). Затем решим сравнение \\х'=: 1 (mod47). Для этого по пра- правилу § 28 применим алгорифм Эвклида к числам 47 и 11: 47: 11 =4 Вычислим скобки Эйлера [1, 3, 4], беря И :3~=3 в них все наши частные, кроме последнего: 3^:2"= 1 1 3 4 2:1=2 1 1 4 17 Очевидно, |х'| = 17; чтобы определить знак у х\ найдем по- последние цифры в произведениях: 11 . 17 и 47 • 4. Они будут 7 и 8: но должно быть \\х' — 47г/'=1, следовательно, х' = —17, у' = = —4 (значение у' нам не нужно). Чтобы найти х> надо хг умно- умножить на правую часть нашего сравнения, т. е. на 40; получим; х = —680, или правильнее: х = —680 (mod 47). «Приведем» — 680 по модулю 47 (т. е. найдем наименьший положительный или абсо- абсолютно-наименьший вычет) и получим: ^ = 25 (mod 47). 1равой части ср* лчет по модулю 4/ = (—17) (—7) =119 = 25 (mod 47). Лучше было бы в правой части сравнения вместо 40 взять абсолютно наименьший вычет по модулю 47, т. е. —7; мы нашли бы: 72
Это решение — единственное. Пример 2. 78л: = 57 (mod 93); здесь DG8, 93) = 3; 57 де лится на 3, т. е. решения имеются. Сократив на 3, найдем: 26x=19(mod31). Сначала решим сравнение: 26х' ==1 (mod 31); имеем: 31_: 26 = 1 5 1 26:5 = 5 15 6 5:1 = 5 | х' | = 6. В произведении 26 • 6 последняя цифра 6, а в про- произведении 31 • 5 последняя цифра 5, следовательно, х' = +6; отсюда: *==6. 19=114==—10 (mod 31). Относительно же модуля 93 имеем три различных решения: *! == — 10 (mod 93); х2 = 21 (mod 93); xs = 52 (mod 93). 2) Способ Эйлера. Пусть в сравнении G8) а — взаимно-простое с т\ тогда по теореме 58 (Ферма-Эйлера): а^™) = а • а^™)-1^ 1 (mod m)\ а (а^™)-1 . b) = b (mod m). Следовательно, x = ^fflH.J (81) и есть корень нашего сравнения G8) (при D(a, т) = 1). Недостаток этого способа тот, что при большом ср(т) прихо- приходится возвышать а в степень с большим показателем ср (т) — 1. Вычисления упрощаются, если возводить в степень «по данному модулю», т. е. одновременно приводить результат по модулю, как мы покажем на примерах. Пример 3. 1 \х= 15(mod24). Здесь DA1, 24)= 1. Находим: ср B4) = 8; нужно найти II7. Будем вместо равенств писать сравне- сравнения по модулю 24. Найдем: 112= 121 = 1, следовательно, 114=1, 116=1, II7 =11. Далее: 11-15= 165 = —3, следовательно, х = — 3 (mod 24). Пример 4. 196я = 77(mod91). Приводим по модулю 91: 14* ==77 (mod 91). Здесь D A4, 91) = 7. Сократим на 7: 2* =11 (mod 13); ср A3) = 12. Имеем (по модулю 13): 22 = 4, 24 = 16 = 3, 28 = 9, 2П = 28.22.2 = 9.4.2 = 72 = 7; 7- 11 =77 = —1. Сле- Следовательно, имеем семь решений по модулю 91: —1, 12, 25, 38, 51, 64, 77. Заметим, что проще было бы в сравнении 2х= 11 (mod 13) вместо 11 взять наименьший отрицательный вычет —2; сократив на 2, мы сразу получили бы: л; = —1 (mod 13). Вообще при небольших коэффициентах и модулях часто бывает возможно решить данное сравнение элементарным путем, применяя 73
элементарные свойства сравнений, выведенные в § 33. Покажем это на примере. Пример 5. 39л; = 19 (mod 53). Берем наименьшие отрицатель- отрицательные вычеты: —14х = —34 (mod 53). Сокращаем на —2: 7л;=17 = = 17 + 53 = 70 (mod 53); сокращаем на 7: *= 10(mod 53). Это и есть искомое решение. § 40. Теорема Вильсона. Пусть наш модуль — простое число р > 3. Сравнение: ax= I (modp) при а, не делящемся на р, имеет одно и только одно решение: х = Ь (mod р); поэтому аЬ == 1 (mod р). (82) Числа а и b можно взять из ряда: 1, 2, 3, ... р— 1; следо- следовательно, каждому числу а из этого ряда соответствует определен- определенное число Ь из того же ряда такое, что выполнено сравнение (82). Посмотрим, может ли быть b = a\ тогда бы мы имели: а2 = 1 (mod р), или: а2 —1 =(я_1)(а+ 1) = 0 (modp). Следовательно (по теореме 19 в § 10), один из множителей а—1 или а + 1 делится на р (оба вместе они не могут делиться на р, так как их разность = 2 — не делится на р). Таким образом, или а = 1 (mod р), или а = — 1 (mod р), т. е. или а = 1, или а = р — 1. Во всех остальных случаях, т. е. когда а = 2, 3, ... р — 2, всегда b Ф а и b — тоже число того же ряда. Т. е. все эти числа 2, 3, ...р — 2 распределяются по парам таких чисел а и 6, что #6= 1 (modp); таких пар всего ^-у-. Перемножив почленно ^:- сравнений (82), получим: 2, З...(р — 2) =1 (modp). Имеем кроме того: р— 1 =¦—1 (modp). Перемножив почленно эти два сравнения, найдем: (р—1I = —1 (modp). (83) Эта формула и выражает теорему Вильсона. Мы предположили, что р > 3; но легко непосредственно убедить- убедиться, что формула (83) верна и для р = 2 и для р = 3: 1!=-I(mod2); 2! = —I(mod3). Если р не простое, то формула (83) неверна, ибо в этом слу- случае (р — 1)! имеет с р общий множитель > 1, а потому (р — 1)! + 1 не может делиться на р. Итак: Теорема 61. Если р — простое число, то в этом и только в этом случае (р— 1)!+ 1 делится на р. 74
Таким образом, формула (83) характерна для простых чисел и, пользуясь ею, можно было бы узнавать, простое ли данное число. Но к сожалению, этот способ совершенно непрактичный, так как даже для сравнительно небольших р произведение (р—1)! — огромное число. § 41. Десятичные дроби. Пусть дана обычная правильная дробь -J-; 0 < а < b — целые, взаимно-простые числа, Предполо- Предположим сначала, что Ь и 10 — взаимно-простые. Обратим эту дробь в десятичную; для этого делим 10а на Ь: 10а = Ьах + /у, 0 < гх < Ь. Теперь делим Югг на Ь: 10/j = ba2 + r2; 0 < r2 < b. Далее делим 10/*2 на Ь: \0r2 = ba3+r3; 0<r3<b; и т. д. 10rm_! = bam + rm; 0 < rm < b. Ни один остаток гт не равен нулю, ибо \0гт__г и b взаимно- простые. Имеем далее: 6 """ 10 ' 106 ' Zl _ f2 _! iA . 6 "" Ю "^ 106 J ~~1T = To" 106' Отсюда найдем: ^ == 70" + 102 + • • • + Jom •" 10^6 #> lim y^ = O, следовательно, ряд (84) при m-+°° будет сходящимся. Умножив обе части (84) на 10т6 и перенеся последний член в левую часть, получим: " -* + ...+ат)Ь. (85) До сих пор т было произвольным натуральным числом; пусть теперь т — показатель, к которому принадлежит 10 по модулю b (§ 37, теорема 59). Тогда 10m= I (mod b) и, написав (85) как сравнение по модулю 6, получим: а — гт = 0 (mod 6). Но а и гт — целые положительные числа < Ь\ следовательно, а = гт. Но тогда, продолжив деления, найдем: rt = rmi.1, r2 =rm+8, 75
а гакже: ах = ат+1, а2 = ат+2, ..., т. е. дробь 0, ага2а3 ...*) будет периодическая с периодом: аха2. .. ат. Докажем что этот период наименьший **). Пусть наименьший период имеет т' цифр; можно написать (85), заменив т на т'\ 10т'а - гт. - (а, 10-'-1 + а210-'-2 + ... + пт>) Ь. Но здесь rm' = a; следовательно: A0m'— I)a = 0(mod6). Но D(a, &)= 1; следовательно (по теореме 15): 10w'=l(mod6); следовательно (§37, теорема 59) т' делится на т. Но т'^т; значит, т! = т, и найденный нами период наименьший. Мы видим, что т зависит только от знаменателя в нашей дроби (и, конечно, от основания нашей системы счисления, т. е. от числа 10). Чтобы найти т при данном 6, надо 10—1=9, ЮО—1 =99, 1000—1 = 999, и т. д. делить на 6, пока не по- получим деления без остатка (а его мы непременно получим, если D(b, 10)= 1). Число девяток в этом делении и равно искомому числу т. Практически мы сначала пишем столько девяток, чтобы полученное число было больше, чем Ь, а затем делим как деся- десятичную дробь, приписывая к остатку каждый раз не 0, а 9. Пример 1. b = 37; делим: 99 74 259 259 37 027 В частном три цифры (считая и 0, который соответствует пер- первой девятке); следовательно, т = 3. Пример 2. b = 13; делим: 99 91 13 076923 89 78 119 117 29 26 39 39 Следовательно, т = 6. *) Легко видеть, что аъ а2, а3,. .. все «цифры», т. е. однозначные числа; это следует из того, что b > а, Ь> гъ Ь> г2, ... **) Например, периодическую дробь 0,D7) можно представить и так: 0,D747), или так: 0,D74747), и т. д. Здесь и 4747 и 474747 — периоды, но не наименьшие; наименьший период здесь 47. 76
Если дробь у неправильная, т. е. а > 6, то надо сначала вы- выделить из нее целую часть. Пусть теперь дробь попрежнему несократима, но b и 10 не взаимно-простые, т. е. b имеет множители 2 или 5, или и 2 и 5. Пусть b = 2а • 93 • Ьъ где D(bi, 10) =1. Обозначим через у наибольшее из чисел а и р и возьмем число: Ъ ~~ Ьх ' дробь ~— несократима и знаменатель ее Ьх — взаимно-простой с 10. Обратим эту дробь в десятичную периодическую по пре- предыдущему правилу: |L = k, (с\с2. . . ст). здесь k — целая часть, а сгс2... ст — период дроби. Чтобы полу- получить дробь у, нужно у- разделить на 10т, т. е. перенести запя- запятую на у знаков влево; получим: Это — смешанная периодическая дробь; между запятой и перио- периодом находится у цифр. Рассмотрим теперь обратную задачу: найти обыкновенную дробь, представляющую значение данной периодической дроби. Заметим, что бесконечная десятичная дробь — не что иное, как бесконечный сходящийся ряд, и нам нужно найти его сумму. Пусть дана чистая периодическая дробь: х = k, {аха%. . . ат)\ следовательно: г~ b 4-(^L 4-^- 4- 4- JOhl) 4- — (?L J- ^ 4- I пт ) 1- л — к Т I ю ' Ю2 * ' ' ' ' 10т/ • 0"» \ 10 •" 102 ' * * ' ' 10"» / * i ю2т \ 10 "• 102 ^ ' * ' ' 10m/ ~* * e ' am) (^ + яш + или: В последних скобках — сумма членов убывающей геометрической прогрессии с первым членом = т^ и со знаменателем = у^ . Эта сумма равна: 1 . Л 1 ) _ 1 . \Qrn- \1 ют) Ют—-1 ' число 10т—1 изображается т девятками. Итак, имеем: 77
Таким образом, чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, надо период дроби сделать числителем, а в зна- знаменателе написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и полученную дробь прибавить к целой части. Пусть теперь дана смешанная периодическая дробь: х = k, Ьф2 ¦.. ЬЛ (схс2. . . ст)\ ее можно представить так: х = [kbxb2. .. bv (Clc2. .. ст)] : 10т = [kbxb2 . . . 6Т Ц§^\ : Ют = = h 10? 10^.A0^ — 1) или: х _ k _|_ [F110m+T~1 -f 6210т+т~~2 -f .. . + 6T10w + + Cl10—+...+Cm)-(M0^I+W0T-2 + ...+6T)]. ______ . Отсюда получаем таксе правило: чтобы обратить смешанную пе- периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего между запятой и вторым периодом (т. е. из числа bxb2. .. b^cxc2. . . ст), вычесть число, стоящее между запятой и первым периодом (т. е. число bxb2...b^), и эту разность сделать числителем; в знамена- знаменателе написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и после них — столько нулей, сколько цифр между запятой и первым пе- периодом, и эту дробь прибавить к целой части. Пример 1. Дана чистая периодическая дробь: О435 О145 Пример 2. Дана смешанная периодическая дробь: гоЯт .384-38 .346 ,173 5,38D) = 5—дод- = 5Ш = 5WQ . Замечание. Можно сразу обратить периодическую дробь в обыкновенную неправильную дробь (не выделяя целой части); для этого следует цифры целой части считать как цифры, стоящие до периода, и применить правило для обращения смешанной пе- периодической дроби в обыкновенную. При этом при построении знаменателя цифры целой части не следует учитывать. Например: _ 2435-L? „ 2433 _ 811 . — 99д — д99 — 333 , 5384 — 538 4846 2423 § 42. Признаки делимости. Проблема построения признаков делимости состоит в следующем: пусть УУ данное натуральное число, a d — данный делитель (тоже натуральное число); надо 78
построить арифметическую функцию /(Л/), имеющую только целые значения, с такими условиями: 1) N и f(N) одновременно делятся или одновременно не делятся иа d; 2) \f(N)\<N, кроме случаев, когда N достаточно мало; 3) при данном N функция f(N) вычисляется более или менее просто. Если требуется определить, делится ли N на d, то вычисляем f(N); если \f(N)\ еще довольно велико, то вычисляем f(\f(N)\) и т. д., пока не получим достаточно малого числа, так что можно непосредственно видеть, делится ли оно на d. Заметим еще, что нам достаточно найти признаки делимости только на числа d = ра, где р — простое число, так как по следствию из теоремы 17 в § 8 число N делится на d = paq^n ... (ру q, /*,... — различные простые числа) тогда и только тогда, когда оно делится на /?а, на q?, на П и т. д. Переходим к способам построения функции f(N). Способ Паскаля. Всякое натуральное число N в десятичной системе счисления имеет вид: N = а0 + lO(h + 102а2 + ... + ЮпаП1 где а0, аъ а2> ... ап— «цифры», т. е. целые числа > 0 и < 10. Исследуя делимость или неделимость этого числа на d, можно заменить его числом М, сравнимым с N по модулю d, при этом удобнее взять М как можно меньшим. Построим М, заменяя в N степени числа 10 их абсолютно наименьшими вычетами по модулю d. Пусть для 10ft абсолютно наименьший вычет по модулю d есть ск\ тогда: М = а0 + ахсг + а2с2 + ... + апсп\ а2с2 + ... + апсп (mod d). Заметим, что d может быть любым натуральным числом. Здесь М = f(N) = N (modd); это — больше, чем нам требуется: для нас важно только, что М и N одновременно делятся или не делятся на d. Частные случаи. 1. d=2. Здесь ck = 0 (k = 1, 2, ...); следовательно, N~a0 (mod 2); это — известный признак делимости на 2. 2. d = 3. Здесь ck = 1 (?=1,2,...); следовательно, N = a0 + + #i + ... + an (mod3); это — тоже известный признак делимости на 3. 3. d = 4. Здесь сг = +2, с2 = с3 = ... = 0; следовательно, iV = flfo±2a! (mod 4). Этот признак делимости на 4 удобнее обычного (что две последние цифры образуют число, делящееся на 4). Примеры: 1) 76 делится на 4, ибо 6 + 2*7 = 20, или 6 — 2 • 7 = —8 делится на 4; 2) 366 не делится на 4, ибо 6+12=18 или 6— 12 = —6 не делится на 4. 79
4. d = 6. Здесь сг = с2 = с3 — ••• = —2; следовательно, N = ao — 2(a1 + a2+ ... + aj (mod 6). Пример. 138 делится на 6, ибо 8 — 2 • A + 3) = 0. 5. d = 7. Здесь сг = 3, с2 = 2, с3 = —1, с4 = — 3, съ = — 2, с6 = 1, с7 = 3 и т. д. периодически; следовательно, А^ = (ао + + Заг + 2а2)-(а3 + За, + 2аъ) + ... (mod7). Примеры: 1) 343 делится на 7, ибо 3 + 3 . 4 + 2 • 3 = 21 — делится на 7; 2) 24829 делится на 7, ибо 9 -f 2 • 3 + 8 • 2 — 4 — — 2-3 = 21 — делится на 7. 6. d = 8. Здесь сг = 2, с2 = +4, с3 = с4 = . . . = 0; следова- следовательно, N = а0 + 2аА + 4а2 (mod 8). Пример. 5792 делится на 8, ибо 2 + 2 • 9 — 4 • 7 = —8 де- делится на 8. 7. d = 11. Здесь ci = —1, с2 = +1, ^з = —1» С4 = +1 и т- Дм следовательно, N = a0 — ах + а2 — а3 + • • • (mod 11). Пример. 5841 делится на 11, ибо 1 — 4 + 8 — 5 = 0. Способ Жбиковского *). В этом способе требуется чтобы дели- делитель d был взаимно-простой с основанием счисления, т. е. с чис- числом 10, т. е. не делился ни на 2, ни на 5. В таком случае всегда имеет решение сравнение WM = N (modd) (87) с неизвестным М. Из этого сравнения видно, что если N делится на d, то и 10 М тоже делится на d. Но D (d, 10) = 1, следовательно (по тео- теореме 15, §8), М делится на d. Обратно, если М делится на d, то, очевидно, и N делится на d. Мы и берем: f(N) = M. Находим М так: сначала решим сравне- сравнение: 10?=1 (modd); тогда M = kN (modd) и будет решением сравнения (87). Но мы имеем: kN = k(ao+ lOflx + 102а2 + . .. + Юпап) = ka0 + 10kax + 10A 10 ^101 to ) 2 + + n @ + 1) + + 10a2 + ... + lO^-X (mod d). Поэтому мы и берем: М = ka0 + ax + 10а2 + ... + 10n~xan. Очевидно, что при большом числе hi И меньше, чем N при- приблизительно в 10 раз. С М мы поступаем дальше так же, как с N. Заметим, что k зависит только от d, но не от N, и опреде- определяется однозначно по модулю d; за k можно взять наименьший положительный или абсолютно наименьший вычет. Заметим еще, что М не сравнимо вообще с Л/ по модулю d; они только одно- одновременно делятся или не делятся на d. Частные случаи. 1. d = 3. Здесь k=l; следовательно, М = а0 + аг + 10а2 + Ю2а3 + • • • Но взяв М вместо N, мы по- *) А. К. Ж б и к о в с к и й. Относительно делимости чисел. «Вестник мате- математических наук», т. 1, № 1 A86]), стр. 5—6. См. также Н. В. Бугаев. К теории делимости чисел. Математический сборник, т. 8 A877), стр. 501—505. 80
добно же найдем: kM^M1 = а0 + аг + а2 + \0а3 + ... , и т. д. Получаем по существу обычный признак делимости на 3. 2. d = 7. Здесь k = 5 или k = —2; следовательно, /И = 5а0 + + flx + Юа2 + ... , или: М = ах — 2а0 + 10а2 + ... . Примеры: 1) Л^ = 343, М = 34+ 15 = 49 или М = 34 — 6= = 28. 2) Л/= 24829; находим последовательно: 2482 + 45 = 2527; 252 + 35 = 287; 28—14=14 (лучше было бы от числа 2527 просто откинуть семерку и взять 252; мы бы нашли: 25 — 4 = 21). 3. d=ll. Здесь k = —\ (или 10); М = — а0 + аг + 10я2 + + 102а3 + ... Но взяв М вместо /V, найдем далее: М = а0 — аг + + а2 + 10а3 + ... , и т. д.— получаем по существу тот же при- признак, что и способом Паскаля. 4. d = 13. Здесь Л = 4; М = 4а0 + а2 + 10а2 + 102а3 + ... Пример. N = 182; строим: М = 18 + 8 = 26 — делится на 13. Заметим, что иногда уже внешний вид числа N позволяет упростить вопрос о его делимости на d. Если начало или конец числа N (при d — взаимно-простом с 10) образует число, деля- делящееся на dy то его можно просто откинуть. Например, чтобы опре- определить, делится ли число 358542 на 7, можно откинуть две пер- первые и две последние его цифры, так как 35 и 42 делятся на 7, и исследовать число 85, которое, очевидно, не делится на 7; сле- следовательно, и данное число не делится на 7. Заметим, что при умножении всех однозначных цифр на одно- однозначное число, взаимно-простое с 10 (т. е. на 1, 3, 7, 9), мы по- получаем каждый раз полную систему вычетов по модулю 10 (§ 32, пример 5), т. е. последние цифры в произведениях будут все циф- цифры 0, 1, 2, ... 9, и каждая по одному разу. Это дает возможность при небольшом d с цифрою единиц 1, 3, 7 или 9 исследовать делимость числа N на dy деля «с конца». Например, при N = 458346, d = 7: 458346 56 829 49 78 28 55 35 42 42 7 65478 Рассуждаем так: если данное число делится на 7, то послед- последняя цифра частного непременно равна 8, ибо только произведение 7 • 8 имеет последнюю цифру 6. Отнимем от данного числа 56 и зачеркнем последний нуль; получим 45829. Здесь последняя Цифра 9; следовательно, предпоследняя цифра частного равна 7, ибо только 7 • 7 имеет последнюю цифру 9, и т. д.
В нашем примере данное число делится на 7, так как в ре- результате деления мы получили остаток равный 0. Конечно, при выяснении делимости числа на 7 нам не нужны цифры частного; надо только знать произведения 7 • 2, 7 • 3, 7 • 4 ... , а это из- известно из обычной таблицы умножения. Рассуждаем так: число 458346 оканчивается цифрой 6; отки- откинем эту цифру, а от 34 отнимем 5, получим 29; откинем 9, а от 82 отнимем 4, получим 78; откинем 8, а от 7 отнимем 2, полу- получим 5; откинем 5, а от следующей слева цифры 5 отнимем 3, получим 42, а это делится на 7. Вместо того чтобы отнимать, мы могли бы прибавлять допол- дополнения до 7. Так, возьмем опять число 458346; отнимем 6, а к 4 прибавим 2, получим 45836; далее откинем 6, а к 3 прибавим 2; получим 4585; откинем 5, а к 8 прибавим 4, получим 462; отки- откинем 2, а к 6 прибавим 3, получим 49, которое делится на 7. По существу это только вариант (а иногда и упрощение) спо- способа Жбиковского. Пример. Найти, делится ли 42315 на 13. Откинем 5, а от 31 отнимем 6, получим 25; опять откинем 5, а от 22 отнимем 6, получим 16; откинем 6, а от 41 отнимем 2, получим 39,— делится на 13. Замечание. Оба изложенных общих способа можно приме- применять не только для десятичной, но и для любой системы счисления (с любым основанием Л). Конечно, признаки делимости на отдель- отдельные числа d будут тогда совсем иными (см. упражнения в конце этой главы). § 43. Система сравнений с разными модулями. Этот случай не имеет аналогии в теории уравнений. Общая задача следующая: даны несколько сравнений 1-й степени с одним и тем же неизвест- неизвестным, но с разными модулями: ш:= 6 (mod га), агх= bx (mod тг), ... Требуется определить число х> удовлетворяющее всем этим сравнениям. Прежде всего заметим, что каждое из этих сравнений можно решить отдельно, заблаговременно, т. е. с самого начала взять сравнения в таком виде: x = c(modm), х^ас^то&т^), ... , так как если хоть одно из данных сравнений не имеет решения, то задача вообще невозможна. Рассмотрим сначала случай двух сравнений: .*;=?! (mod тх), x = c2(modm2). (88) Первое из этих сравнений дает: х = сг + тг1; подставляя это вместо х во второе сравнение (88), получим: сх + mxt = с2 (mod m2), или ^c2 — c-l (mod m2). (89) Это сравнение имеет решение t тогда и только тогда, когда С2 — ^1 делится на d = D (тх, т2) (теорема 60, § 39) и общее ре- 82
шение имеет вид: / = t0 + *~ и (§ 39, (80)), где tQ — какое-нибудь частное решение сравнения (89), а и — произвольное целое число. Подставляя это значение t в формулу х = сг + mxt, получим: х = сх + mxt0 + ~^и; но ^~ = М = М (тъ т2) E, теорема 12). Обозначив еще сг + mto~xo, получим общее решение сравнений (88): x==xQ(modM), (90) где х0 — частное решение (при и = 0). Итак: Теорема 62. Система сравнений (88) имеет решения тогда и только тогда, когда c2 = c1(modD(ml9 m2)); все решения сравнимы друг с другом по модулю М(/яь т2). В частности, если т1 и т2 взаимно-простые, то система (88) всегда имеет решение,— един- единственное по модулю т1т2. Пример 1. х = 7(mod 33), а:= 13(mod 63). Здесь условие 7=13 (mod D C3, 63)) выполнено, ибо D C3, 63)= 3. Первое сравнение дает: л:=7 + 33/; подставляя это во второе сравнение, получим: 33/ = 6 (mod 63), или: Ш = 2 (mod 21). Мож- Можно взять *0 = 4; тогда х0 = 7 + 33 • 4 = 139, и общее решение есть х =139 (mod 693), так как М C3, 63) == 693. Обобщение. Если нам даны несколько сравнений вида (88), то мы сначала решим первые два из них, т. е. заменим эти два сравнения одним вида (90); далее возьмем это полученное сравне- сравнение и еще одно из данных и решим их, и т. д. С каждым таким шагом мы уменьшаем на одно число сравнений; в конце концов, получим одно сравнение вида (90), где Л4, как легко видеть, бу- будет общим наименьшим кратным всех модулей. Конечно, если на одном из этих этапов окажется, что взятые два сравнения не имеют решений, то и вся задача невозможна. Важно, когда все данные модули попарно взаимно-простые; в этом случае система всегда имеет решение,— единственное по модулю, равному произ- произведению всех данных модулей. Пример 2. Дана система: x=3(mod 11), х = — 2(mod 13), х== 5 (mod 7). Первые два сравнения дают: х= 3+ Ш; Ш = — 5 (mod 13), или 2/ = — 8, / = — 4 (mod 13) и решение двух первых сравне- сравнений есть: х = Ъ— 4 • И =—41 (mod 143). Теперь берем это решение и последнее из данных сравнений: x=_41(mod 143), x=5(mod7); это дает: * = — 41 + 143zr, 143w = 46 (mod 7), или (приводя по модулю 7): Зи = — 3(mod 7), г/ = — 1, следовательно: *= —41 — — 143 = — 184 и общее решение: х===— 184 (mod 1001). 83
Приведем еще один способ решения такой системы сравнений, когда модули попарно взаимно-простые. Пусть дана система сравнений: х = сх (mod /rzx), x = с2 (mod m2)r ... x^ck (mod mA). Пусть хъ х2У ... *A решения следующих вспомогательных сравнений: т2т3 ... ткхх=. 1 (mod mx)\ т1т3 .. . mhx2= I (modm2); В таком случае решение данной системы есть: х = т2т3 . .. ткххсх + т-^т^ . . . ткх2с2 + .. d 2 ... тк). Ибо очевидно, что определенное таким образом число х сравнимо с сх по модулю тх с с2 по модулю т2 и т. д. Пример 3. Старая китайская задача: найти число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 дает оста- остаток 3, при делении на 7 дает остаток 2. В нашей символике эта задача сводится к такой системе сравнений: 2(d3), x = 3(mod5), XE=2(mod7). Мы имеем здесь такие вспомогательные сравнения: 35*! == 1 (mod 3), 21*а=1 (mod 5), 15x3= 1 (mod 7); это дает: хх — 2, х2= 1, х3= 1. Таким образом * = 35-2.2 + 21 • 1 -3+ 15- 1 -2= 140+ 63 + 30- =-233 (mod 105), или (приводя по модулю 105) * = 23(mod 105). § 44. Сравнения высших степеней с простым модулем. Общий вид такого сравнения n-й степени есть: аохп + alXn-i + ... + ап^ x + an = 0 (mod p); (92) р — простое число, а0 — не делится на р, следовательно, суще- существует такое число а, что аох = 1 (mod p) (§ 39, теорема 60). Умножив (92) на а и заменив аоа единицей, получим: хп + Ьххп-1 + ... + Ьп^х + bn = 0 (mod p). (92a) Следовательно, можно всегда считать коэффициент высшего члена равным единице. Обозначим левую часть сравнения (92) или (92а) через f(x) 84
и пусть сравнение / (х) = 0 (mod р) имеет корень х ее хх (mod р). Делим f(x) на я— хх; по теореме Декарта имеем: (93) но ведь /(x!)^0(modp), следовательно, написав (93), как сравне* ние по модулю р> получим: f(x) = (x^x1)<?(x)(modp). (94) Говорят, что f(x) делится на х — хъ по модулю р. Очевидно, б 9 /O что и обратно: из сравнения (94) вытекает, что /(^)^ т. е. хх—корень сравнения (92). Итак: Теорема 63. Сравнение (92) имеет корень х~хх тогда и только тогда, когда левая его часть делится на х — хх по данному мо- модулю р. Заметим, что эта теорема верна и для составного модуля т. Возьмем теперь сравнение (п— 1)-й степени ср (х) = 0 (mod /?), где у(х)— та же функция, что и в (94). Пусть это сравнение имеет корень х = л:2; тогда мы так же выведем следующее тож- тождественное сравнение: ср (х) ^{х — х2) ф (х) (mod р). Подставляя отсюда значение cp(x) в правую часть формулы (94), найдем: / (х) = (* - хх) (х - х2) ф (х) (mod р), (95) где ф (х) — целая рациональная функция (п — 2)-й степени. (95) по- показывает, что /(х2) = 0, т. е., что х2 — тоже корень сравнения (92); если х2 = хх (mod р), то корень х— кратный. Обратно, если х = х2— корень сравнения (92) и х2ф хх (mod p), то х2 непременно корень и сравнения ср(я) = О (modp), так как тогда (94) дает; (х2 — хх) ср (х2) = 0 (mod p). Следовательно, произведение (х2 — хх) ср (х2) делится на р; тогда (по теореме 19, § 10) по крайней мере один из сомножителей де- делится на р\ но х2 — хх не делится на р, значит, ср (х2) = 0 (mod p). Пусть и сравнение ф (х) = 0 (mod p) имеет корень х3; тогда подобно же выведем: / (*) ==(х — хх) (х — х2) (х — *8) w (х) (mod p)t где to (х) — целая рациональная функция (п — 3)-й степени, и т. д. Но здесь мы не всегда придем к разложению функции f(x) п-й степени на п линейных множителей по модулю р, ибо здесь не действительна теорема о том, что всякое сравнение любой степени имеет корень. Таким образом, в конце концов мы придем к сле- следующей формуле: x2) ... (x — xk)g(x)(modp), (96) 85
где g(x) — целая рациональная функция (п — &)-й степени и сравне- сравнение g (х) = 0 (mod р) совсем не имеет корней (конечно, n — k> 1). Данное же сравнение /(х) = 0 (mod р) имеет всего k корней: хъ х2, ... хк\ они не непременно все различны по модулю р. Но иных корней, кроме этих, сравнение / (х) = 0 (mod p) не может иметь, так как если х — какой-нибудь корень этого сравнения, то при этом значении х правая часть (96) делится на р, а следовательно, по крайней мере один из сомножителей этой части делится на р (§ 10, теорема 19). Но g(x) не делится на р, так как сравнение g(x) = 0 не имеет корней; следовательно, х сравнимо с каким- нибудь Х\. Заметим, что этот вывод правилен только для простого мо- модуля р, ибо теорема 19 в § 10 верна только для простых дели- делителей. В частности, может случиться, что в (96) k = я, т. е. что функция f(x) п-й степени раскладывается по модулю р на п ли- линейных множителей. В этом случае g(x) — постоянная величина (не зависит от х)у и легко видеть, что g (х) = а0 (mod p), так как это— коэффициент при хп в правой части (96), т. е. можно взять g = aQi и мы имеем в этом случае: f (х) = а0 (х — хг) {х — х2) ... (* — хп) (mod p). (96а) Это тождественное сравнение показывает, что сравнение (92) имеет в этом случае п корней: хъ х2, ... xnt которые могут быть и не все различны по модулю р. Кроме этих корней сравнение (92) иных корней не может иметь. Итак: Теорема 64. Сравнение п-й степени по простому модулю р не может иметь больше, чем п корней, различных по модулю р. Если оно имеет п корней, то левая его часть раскладывается по мо- модулю р на п линейных множителей. Заметим, что для составного модуля эта теорема совсем не- неверна; например, сравнение 2-й степени: х2 =1 (mod 8) имеет четыре различных по модулю 8 корня: 1, 3, 5, 7. Следствие. Сравнение п-й степени по простому модулю р, имеющее больше чем п различных по модулю р корней,— тож- тождественное, т. е. все коэффициенты его левой части делятся на р. Доказательство. Если наше сравнение п-й степени /(#) = = 0(modp) имеет п-\- 1 различных по модулю р корней: хъ х2... •.. хп, хп+1, то (96а) дает «о(*n+i — *i)(*n+i — x2)... (xn+i — хп) = 0(modp). Но ни одна из разностей хп+1 — ху не делится на р, так как хп+1 ф Х\\ следовательно, а0 делится на р, т.е. a0 = 0(modp), и данное сравнение не n-й, а более низкой степени. Если уже известно, что наше следствие верно для сравнений степени </г, то мы получили, что это следствие верно и для сравнений п-й 86
степени. Но для сравнений 1-й степени следствие верно, ибо если хг и х2 различные (по модулю р) корни сравнения ах + b = 0 (mod р), то ахг-\-Ь==ах2 + Ь\ a(x1 — x2)^0t т. е. а == 0 (mod р), а отсюда и 6 = 0(modp). Таким образом, наше следствие доказано методом полной индукции. Частный случай. Рассмотрим сравнение xv-1— l=0(modp). (97) По теореме Ферма - Эйлера (§ 37, теорема 58) это сравнение имеет как раз р—1 различных корней 1, 2, 3, ... р—1; следова- следовательно, по теореме 64 мы имеем тождественное сравнение: xv-1— 1==(*— 1)(* — 2) ... (х — р+ l)(modp). Отсюда при х=0 получим: или: —1 = (# При р > 2 р — 1 четное, следовательно, (р — 1)! = — l(modp). Это — теорема Вильсона (§ 40, теорема 61 или формула (83)), которую мы, таким образом, еще раз доказали; это доказательство принадлежит Лагранжу. Теорема 65. Если сравнение п-и степени / (х) = 0 (mod p) имеет п различных корней, и f(x) по модулю р раскладывается на два множителя ср(х) и ф(х) k-и и 1-й степеней (k -f- / = ri)y т. е. тожде- тождественно /(#) = ср (х)ф(х)(ггнх1р), то сравнение ср (л;) = 0 (mod р) имеет k различных корней, а сравнение ф (х) ^ 0 (mod p) имеет / различных корней. Доказательство. Каждый корень сравнения /(х) = 0 является корнем одного из сравнений ср(х) = О, ф(х) = 0; если бы сравне- сравнение ср(л;) = О имело меньше чем k различных корней, то ф(х)^0 имело бы больше чем / различных корней, так как общее число корней =п = й + /. Но это невозможно по теореме 64, следова- следовательно, ср(д;) = О имеет точно k различных корней, а <]>(х) = 0 имеет точно / различных корней. Иными словами, все корни сравнения f(x) = O распределяются между сравнениями ср(х) = О и ф(*)==0. Теорема 66. Сравнение п-й степени /(x) = 0(modp) при я>р равносильно с некоторым сравнением степени меньшей чем р. Доказательство. Умножив обе части сравнения (97) на х, по- получим сравнение: xv — * = 0(modp), (98) имеющее р корней: х=0, 1, 2, ... р—1; т. е. это сравнение удовлетворяется всяким целым числом. Разделим функцию f{x) на xv — x: f (х) = (xv - х) ср (х) + ф (х) (mod p); 87
степень ф (х) < р. Для всякого целого числа х в силу сравнения (98) имеем: следовательно, и корни сравнений /(л:) = 0 и ф(х) = 0 одни и те же, так как при /(*!) = () и ф(х1)^0, и обратно. Замечание. Мы можем только утверждать, что сравнения /(х) = 0 и ф(л;) = О имеют одни и те же корни; но об их крат- кратности теорема 66 ничего не говорит. Может случиться, что крат- кратный корень сравнения /(#) = 0 будет простым для ф(л;) = О, однако может быть и наоборот. Пример. Дано сравнение: f(x) = х5 + л;4 + х3 — х2 — 2 = 0 (mod 5). Делим /(#) на л:5 — х и получаем: л:5 + *4 + *3 ~ х2 — 2 = (х5 — х) • 1 + (*4 + *3 — л:2 + х — 2); следовательно, ф (х) = х4 + *3 — х2 + д; — 2. Корни данного сравнения: Arx^= 1, л:2^2, л'3^3; они удовле- удовлетворяют и сравнению ф (.*;) = О (mod 5). Но легко проверить, что х5 + х* + х3 — х2 — 2=е(х—1)Цх — 2J(x-~3)(mod5), тогда как л;4 + хв_х2 + х_2 = (х— 1)(х —2)(x~-3J(mod5), т. е. для сравнения / (х) ^ 0 корни 1 и 2 — двойные, а 3 — про- простой, а для сравнения ф(л;)==О корни 1 и 2 простые, а 3 — двойной. Следствие, Сравнение / (х) = 0 (mod p) тогда и только тогда удовлетворяется всяким целым значением хЛ когда ф (х) = 0 (mod р)— тождественное сравнение, т. е. все коэффициенты функции ф (х) делятся нар (или иначе: когда f(x) делится на хр — х без остатка по модулю р). Доказательство. Ибо в этом случае сравнение ф (х) = 0 (mod p) степени <р имеет р различных корней (см. следствие из тео- теоремы 63). Замечание. В § 38 мы указывали, что существуют нетожде- нетождественные сравнения, которым удовлетворяет всякое целое значение неизвестного. Теперь мы нашли и общий вид такого сравнения с одним неизвестным по простому модулю: это — сравнение /(x)EEEO(modp), где f(x) делится по модулю р на д:р — х без остатка. Таким образом, в теории сравнений с простым модулем р функция хр — х играет особую роль. Теорема 67. Сравнение /(х) = 0(modp) степени п<р тогда и только тогда имеет п различных корней, когда все коэффициенты 88
остатка от деления хр — х на f(x) делятся на р (иными словами, если хр — х делится по модулю р на f(x) без остатка). Доказательство. Пусть. х* - х = f (х) ср (х) + ф (х) (mod p). (99) 1) Пусть сравнение /(л:) = 0 имеет п различных корней хъ х2... ... хп\ но ведь эти корни удовлетворяют и сравнению (98), сле- следовательно, и сравнению ф(л:) = О, а значит (по следствию из теоремы 64) сравнение ф(л:) = О тождественное, т. е. все коэффи- коэффициенты функции ty(x) делятся на р. 2) Пусть теперь нам дано, что все коэффициенты в ф(х) де- делятся на р; в таком случае (99) дает: xv — x = /(x)cp(;t)(modp), и мы по теореме 65 заключаем, что сравнение f(x) = O имеет п различных корней. УПРАЖНЕНИЯ 41. Образуют ли степени 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 вместе с числом 0 полную систему вычетов по модулю 11? (§ 32). Ответ. Образуют. 42. Привести к простейшему виду функцию: 14л:5— 25л;4 + + 35л:3 + 15л;2— 19* + 5 по модулю 7 (§ 33). Ответ. Зл:4 + л:2 + 2л: —2. 43. Подставляя в выражение z = Ъу + Зл: значения л: = 0, 1, 2, 3, 4; # = О, 1, 2, проверить, что мы получим для z полную систему вычетов по модулю 15 (§ 35, теорема 54). 44. Вычислить ср(/л) для т = 1, 2, 3, ... 20 (§ 35). 45. Проверить формулу Гаусса для т = 30 (§ 35, теорема 55). 46. Вычислить 7 G2), ср G5), <рA25), <рA001) (§ 35). Ответ. 24, 40, 100, 720. 47. Найти |x(m) для т= 1, 2, 3, .. . , 20 (§ 36). 48. По формуле Лиувилля - Дедекинда найти «числовую производ- производную» Ф (т) для функции F (т) = 1 (для всякого т) (§ 36, формула F8)). Ответ. ФA) = 1; для т > 1 Ф(/я) = 0. 49. Проверить формулы: 5?<24> == 1 (mod 24), 2^33> = 1 (mod 33), 3е? <20> = 1 (mod 20) (возводя в степени по модулям) (§ 37). 50. Найти показатель, к которому принадлежит: а) 5 по мо- модулю 12; б) 2 по модулю 25; в) 4 по модулю 33; г) 3 по мо- модулю 28 (§ 37). Ответ, а) 2; б) 20; в) 5; г) 6. 51. Решить сравнения: а) 7л;= 10 (mod 18); б) 25л: = 1 (mod 17); в) 13* = 32 (mod 28); г) 132л:= 11 (mod 59) (§ 39). Ответ: а) 4; б) —2; в) —4; г) 5. 52. Решить сравнения: а) 28л: = 21 (mod 35); б) 38л: = 4 (mod 26); в) 112л:ее=45(пк^ 119); г) 36л: = 54(пк^ 18); д) 286х= 121 (mod 341) (§ 39). Ответ, а) 2, 7, 12, 17, 22, 27,32; б) —4,9; в) решений нет; г) сравнение тождественное; д) 4, 35, 66, 97, 128, 159, 190, 221, 252, 283, 314.
53. Если ах = b(modт) и D(a, т)=\, то решение (един- (единственное) этого сравнения символически обозначится как дробь: * = — (modm). Найти: i-, -3-, т, у, -g-(mod7) (§ 39). Ответ. 4, 5, 2, 3, 6. 54. Найти i(mod93), g(mod50), ^(modl21) (обозначение как в задаче 53) (§ 39). Ответ. 2; 29; 42. 55. Доказать, что — = ^,(modm), если и а и &-—взаимно- простые с т (обозначение как в задаче 53). 56. Вывести формулу: —* + -—- =а* * ~ ai 2 (mod m) (обозначе- (обозначение как в задаче 53; аъ а2 взаимно-простые с т). 57. Вывести формулу: — • — = —2(modm) (дроби — симво- лические, как в задаче 53; аъ а2— взаимно-простые с т). 58. Вывести формулу: -^- : -^- = ^(modm). Здесь ^;^- — корень сравнения —х= —- (modm); дроби — символические, по а2 п\ модулю т\ аъ а2, Ь2 — взаимно-простые с т. 59. Проверить теорему Вильсона при р = 5ир = 7(§ 40). 60. Найти число цифр в периоде десятичных дробей, в которые обращаются обыкновенные дроби со знаменателями: 3, 7, 11, 17, 19, 21 (§ 41). Ответ. 1, 6, 2, 16, 18, 6. 61. Обратить следующие периодические дробив обыкновенные: 0,35F2); 5,1E38); 3,B7); 11,12C1) (§ 41). П 3527 . 51487 . 36 . 110119 итвет. ; ; ; n ; g9(X) . 62. Разложить на простые множители числа: 2717, 7567, 1813, 9971, 1309 (§ 42). Ответ. 11-13- 19; 7 . 23 . 47; 72. 37; 132 . 59; 7- И . 17. 63. Найти признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 7, 9 для восьми- восьмиричной системы счисления (т. е. для системы с основанием 8) (§ 42). Ответ. На 2 делится число, оканчивающееся четной цифрой (включая и 0); на 3 и на 9 делится число, для которого разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 3 или на 9; на 4 делится число, оканчивающееся нулем или цифрой 4; на 5 делится число а0 + 8аг + 82а2 + 83а3 + ... , если выражение а0 — 2ах — а2 + + 2а3 + «4 — 2а5 — а6 + ... делится на 5; на 7 делится число, сумма цифр которого делится на 7. 64. Найти признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13 для двенадцатиричной системы счисления (§ 42). 90
Ответ. На 2 делится число, оканчивающееся четной цифрой (включая иО); на 3 делится число, оканчивающееся цифрой 0, 3, 6 или 9; на 4 делится число, оканчивающееся цифрой 0, 4 или 8; на 5 делится число а0 + 12ах + 122а2 + • • • » если число а0 + 2аг — — а2 — 2а3 + «4 + 2а5 — ... делится на 5; на 6 делится число, окан- оканчивающееся нулем или цифрой 6; на 7 делится число а0 + 12ах + + \22а2 + ... , если число а0 — 2ах — За2 — а3 + 2а4 + Заь + а6 — — 2а7 — За8 + . •• делится на 7; на 8 делится число ао + 12ах + + \22а2 + ... , если число #0 + 4аг делится на 8; на 9 делится то же число, если число а0-{-Зах делится на 9; на 11 делится число, сумма цифр которого делится на 11; на 13 признак делимости тот же, что в десятичной системе на И. 65. Решить систему сравнений: a) x~l (mod 7), л: = 3(mod 5), л; =5 (mod 9); б) х = 5(mod48), х= 17(mod36); в) л;ее; 1 (mod25), х = 2 (mod 4), XE=3(mod7), x = 4 (mod 9) (§ 43). Ответ, а) х= 113(mod315); б) х = 53(mod 144); в) *== = 4126 (mod 6300). 66. Решить систему сравнений: а) Зх ^ 5 (mod 4), 5л: ее: 2 (mod 7); 6L^E=3(mod25), 3x = 8(mod20); в) jc = 8(mod 15), x = 5(mod 18), XE=13(mod25) (§ 43). Ответ. a)x==—1 (mod28); б) решений нет; в)л=113(mod450). 67. Разложить на множители по модулю 7 следующие функции (найдя пробами их корни по модулю 7): а) Зд:4 -f- х2 + Ъх — 2; б) 2*3 + 5л;2 — 2х — 3; в) х* — 2х2 + х+1 (§ 44). Ответ, а) (х—l)Cx3 + 2х2 — Зл: + 2); б) неприводима; в)(х — — 2)(х — 3)(х2 — 2х + 3). 68. Разложить на множители по модулю 11 следующие функ- функции: а) 2х* + х* — Зх2 — 2х — 2; б) х* + х + 4 (§ 44). Ответ, а) 2(х — 2)(х— 3)(х2 — 2); б) (х — 2J(х — 3)(х —4). 69. Привести сравнения: а) х1 — 6 = 0 (mod 5); б) Xs + 2х7 + + хъ — jc4 — х + Зее^О(mod 5) к сравнениям степеней <5 (§ 44). Ответ, a) r* = l(mod5); б) 2х3 + 3^0(mod5). 70. Применяя теорему 67 (§ 44), найти, имеют ли сравнения х2-\- 2х— lE^0(mod7), xs + х — 3 = 0 (mod 7) — первое два раз- различных корня, второе — три различных корня. Ответ. Первое имеет, второе — нет.
ГЛАВА IV КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ § 45. Сравнения по сложному модулю. Теорема 68. Если т = = тхт% ... nik, где все т\ попарно взаимно-простые, то сравнение: /(*) = 0(mod/H) A00) эквивалентно системе сравнений: f(x) == 0(mod/Hi), f(x) = 0(modm2), ... /(а:) = 0(modmk) A01) и число решений (по модулю т) сравнения A00) равно произве- произведению чисел решений сравнений A01) (каждое из решений — по соответствующему модулю). Доказательство. Всякое решение сравнения A00) удовлетво- удовлетворяет каждому из сравнений A01) (по теореме 45, § 33). Обратно, если х0— общее решение сравнений A01), то х0 удовлетворяет и сравнению A00) (по теореме 46, § 33 и теореме 17, §8). Пусть, далее, хх— корень первого сравнения A01), х2— корень второго сравнения A01) и т. д. В таком случае всегда можно найти число х0 (§ 43, обобщение теоремы 62) так, чтобы было: jc0^A:1(modm1), х0 = х2(modm2), ... xo = Xk (mod nik). Число х0 определяется по модулю т\ оно является общим корнем всех сравнений A01), а следовательно, и сравнения A00). Этим доказывается и последняя часть теоремы 68. Следствие 1. Если хоть одно из сравнений A01) не имеет решений, то и сравнение A00) тоже не имеет решений. Следствие 2. Решения сравнений с каким-нибудь модулем т сводятся к решениям сравнений, модули которых — степени про- простых чисел. Доказательство. Ибо т = paqhi..., где р, qy г, .. . различные простые делители числа ту и /Л q$y п, ... попарно взаимно- простые. § 46. Квадратные сравнения. Общий вид такого сравнения: ах2 + bx + c = 0 (mod m). A02) 92
Это сравнение эквивалентно такому: 4а2х2 + Aabx + Аас = 0 (mod 4am) A02а) (§ 33, теорема 47 и следствие 1 из теоремы 50). Сравнение A02а) можно легко преобразовать к виду Bах + ЬJ е=Ь2 — Аас (mod 4am) или, обозначив D = b2 — Аас, у = 2ш; + Ьу у2 = D (mod 4am). A03) Обратно, если мы нашли решение t/ сравнения A03), то для реше- ния х сравнения A02) имеем: х==^^—-; если у — b делится на 2а (что не всегда бывает), то получаем решение х сравнения A02). Таким образом, среди решений у сравнения A03) бывают такие, которым соответствуют решения х сравнения A02). Однако могут быть и такие, которым не соответствуют решения х\ может слу- случиться, что различным по модулю 4am решениям у соответствуют решения х, не различные по модулю т. Но, исследуя таким обра- образом все решения сравнения A03), мы наверно найдем все решения х сравнения A02), ибо каждому решению сравнения A02) непре- непременно соответствует решение у сравнения A03). Если A03) совсем не имеет решений, то и A02) тоже не имеет решений. Таким образом: Теорема 69. Квадратное сравнение общего вида A02) всегда можно привести к двучленному сравнению вида A03). Укажем два случая, когда приведение сравнения A02) к дву- двучленному упрощается. 1. Пусть а взаимно-простое с т; тогда можно найти а из сравнения aa=l(modm) (§ 39, теорема 60); умножив на а обе части сравнения A02) и заменив aa единицей, получим: х2 + Ьгх + ^1 = 0 (mod m). A026) Умножив обе части и модуль на 4 и обозначив 2х + Ьг = у% получим сравнение для у. у2 ==D (mod 4m), A03а; где D = 6J — Acv Здесь мы можем утверждать, что каждое реше- решение у сравнения A03а) непременно дает и решение х сравнения A026) (только различным у по модулю 4т могут соответствовать одинаковые х по модулю т), ибо х — у ~^ *, а у — Ьх всегда чет- четное, как видно из A03а): у2 — Ьг ?==—4c1(mod4m). 2. Пусть Ь = 21 — четное число; тогда имеем сравнение: ах2 + 2lx + c = 0 (mod m). A02в) Чтобы свести его к двучленному, достаточно умножить все три его части только на а и обозначить: ах + 1 = у. Получим для у: y2 = D (mod am), A036) 93
где D = /2 — ас. Этот случай имеет место всегда, если модуль т нечетный, так как тогда, если b — нечетное, можно заменить b через b + т — четное число. Конечно, оба эти случая могут быть одновременно: b — четное и а взаимно-простое с т\ наше сравнение в этом случае: x2 + 2lx + c = 0(modm). Обозначим: х + 1 = у; получим для у: y2^D (mod m), где D — I2— с. Этот случай представляется, например, тогда, когда модуль т = р — нечетное простое число. Итак, из теорем 68 и 69 следует: Следствие. Всякое квадратное сравнение сводится к системе сравнений вида x2 = a(modpa), A04) где р — простое число. В дальнейшем мы рассмотрим следующие случаи сравнения A04): I. Сравнение A04) при р простом, нечетном и а= 1; II. Сравнение A04) при р простом, нечетном и при любом целом a > 1. III. Сравнение A04) при р = 2. § 47. Итак, переходим к исследованию сравнения: A04а) где р — простое нечетное число. Теорема 70. Если a = 0(modp), то сравнение A04а) имеет только одно решение: # = 0(modp). Доказательство. При а = 0 имеем .x;2 = 0(modp), а отсюда по теореме 19 (§ 10) имеем: x = 0(modp). Теорема 71 (критерий Эйлера). Если а не делится на р (а сле- следовательно, взаимно-простое с р), то сравнение A04а) имеет или два решения, или не имеет ни одного,— в зависимости от того, будет ли 0^=1 (mod р)9 A05) или: ~- A05а) Доказательство. Докажем сначала, что а непременно удов- удовлетворяет одному и только одному из сравнений A05) и A05а). Именно, по теореме Ферма-Эйлера (§ 37, теорема 58) отсюда: 94
По теореме 19 (§ 10) отсюда следует, что по крайней мере один Ег-1 рц1 из сомножителей а 2 — 1 или а 2 + 1 делится на р. Оба одно- одновременно не могут делиться на р, так как их разность = +2 не делится на нечетное число р. Следовательно, а удовлетворяет одному и только одному сравнению A05), A05а). Пусть сравнение A04а) имеет решение х\ тогда и —х или р — х — тоже решение, ибо (—хJ = x2 = a(modp). Эти два ре- решения различны по модулю р: ху очевидно, не делится на р (ибо х2 — а делится на р). Если бы было х = — х (mod р), то мы имели бы: 2л; = 0 (mod p), а этого не может быть, так как ни 2, ни х не делятся на р (§ 10, теорема 19). Больше двух решений сравнение 2-й степени с простым модулем не может иметь (§ 44, теорема 64). Возведя обе части сравнения A04а) в (^-^-J-ю степень, по- получим (§ 33, следствие из теоремы 49): Но по теореме Ферма-Эйлера х^1^ 1 (modp), следовательно, если сравнение A04а) имеет корни, то а непременно удовлетво- удовлетворяет сравнению A05). С другой стороны, если найти квадраты чисел 1, 2, 3, ... р— 1, то среди этих квадратов будут только р~1 чисел, различных по модулю р, так как числа а и р — а = — а дают одинаковые (по модулю р) квадраты, и кроме этих двух чисел ни одно из чисел 1, 2, ... р— 1 не даст такой же квадрат (иначе сравнение A04а) имело бы больше двух различных корней). Обозначим эти различ- различные по модулю р квадраты чисел 1, 2, ... р—1 так: аъ а2У ... Др^. A06) 2 Если а равно одному из чисел A06), то сравнение A04а) имеет решение, следовательно, все числа A06) удовлетворяют сравне- сравнению A05). Но сравнение A05) не может иметь больше чем ~— различных (по модулю р) решений, следовательно, оно имеет как раз ?^р- различных решений, и при а, равном любому из них, сравнение A04а) имеет решения. Отсюда же следует, что и сравне- сравнение A05а) имеет тоже -^Т- различных (по модулю р) решений, и при а, равном любому из этих решений, сравнение A04а) не имеет решений. Этим теорема 71 доказана. Определение. Если сравнение A04а) имеет решения, то а называется квадратичным вычетом числа р; в противном случае а называется квадратичным невычетом числа р*). *) Иногда пропускают слово «квадратичный» и говорят просто «вычет» и «невычет». 95
Из доказательства теоремы 71 получается: Следствие. Для нечетного простого р число его квадратичных вычетов всегда равно «шслу его квадратичных невычетов, а имен- 1 но: Теорема 72 (теорема Эйлера). Произведение двух квадратичных вычетов или двух невычетов есть вычет; произведение же вычета на невычет есть невычет. Доказательство. Это непосредственно следует из критерия Эйлера: если а и b не делятся на р, то: а 2 =±l(modp), 6 2 ^± Перемножив эти сравнения, найдем: Здесь в правой части будет знак -f, если в правых частях обоих предыдущих сравнений — одинаковые знаки, и знак —, если в предыдущих сравнениях разные знаки. § 48. Символ Лежандра. Если р — простое нечетное число и а не делится на р, то символ I — ) означает +1, если а — квадра- квадратичный вычет числа р, и —1, если а — квадратичный невычет числа р; этот символ ввел Лежандр (Legendre). Таким образом, вместо A05) и A05а) можно написать: A056) Мы выведем ряд свойств символа Лежандра, которые дадут возможность быстро вычислять его, а следовательно, определять, является ли а квадратичным вычетом или невычетом числа р, т е. имеет ли решение сравнение A04а) или не имеет. На этот вопрос дает ответ и критерий Эйлера, но если р — велико, то возводить а в (^у-)-ю степень весьма неудобно, тогда как вычислить символ Лежандра, как мы увидим дальше, весьма просто. Свойства символа Леэюандра. I. Если a = 6(modp), то — ) = ( — Это следует из общего закона, что в сравнениях можно каждое число заменить любым сравнимым с ним по данному модулю чис- числом (§ 33). тт lab\ (а\(ь\ * х II. I — I = I — 11 — I; это непосредственно обобщается на не- несколько сомножителей, в частности: 96
Это свойство — просто символическое выражение теоремы Эйлера (теорема 72). / 1 \ ^ III. ( — ) =-fl, ибо 1 2 = 1, т. е. единица — квадратичный вычет для всякого р. IV. ( —)=(—1) 2 ; критерий Эйлера здесь дает: (—) = ¦=(—1) 2 (mod р). Но так как каждая часть этого сравнения равна +1, а р>2, то обе части сравнения должны быть равны. Это свойство словесно выражается так: —1 квадратичный вы- вычет всех простых чисел вида 4k + 1 и квадратичный невычет всех простых чисел вида 4k + 3 (или 4k — 1). Ибо при р = 4k -f I показатель 2 = 2/г—-четный, а прир = 4k + 3 показатель и—^— = = 2^+1 — нечетный. Свойство II сводит вычисление символа Лежандра (—) при любом целом а к вычислению следующих символов Лежандра: (--), (— ) , ( — )» (—) (ПРИ нечетном простом q Ф р). Свойства III и IV дают формулы для/(—) и (—) • Для (—) имеется такая формула: / о \ Р2-1 V. [^)=z(—1) g (мы докажем эту формулу в следующем параграфе). По модулю 8 р имеет одну из таких форм: 8k + I, 8& + 3, 8k + 5 (или 8k — 3), 8k + 7 (или 8k ~- 1). Если р = 8k±lt то '~— = 8k2 + 2k — четное, следовательно, (—1) 8 = +1. Если же й Р'2 | р = 8k + 3, то —g— = 8k2 + 6? + 1 нечетное; следовательно, I — 1) 8 ==—1, Таким образом, свойство V словами выражается гак: 2 — квадратичный вычет всех простых чисел вида 8k-\- \ и 8^ + 7 (или 8k — 1) и квадратичный невычет всех простых чисел вида 8k + 3 и 8k + 5 (или 8k — 3). Что касается символов (—), где р и q различные нечетные простые числа, то существует формула, которая связывает символы \~\ и ( —) и известна под именем закона взаимности. Суще- Существует много доказательств этого закона; мы дадим доказательство, основанное на следующей теореме: Теорема 73 (лемма Гаусса). Если а не делится на простое нечетное число р, то 97
где jx — число отрицательных вычетов в ряде абсолютно-наимень- абсолютно-наименьших вычетов произведений 1а, 2а, ... р~ а по модулю р. Доказательство. Обозначим через: аъ а2, ... ах, —Ьъ — 6а, ... —Ь^ A08) абсолютно-наименьшие вычеты чисел а, 2а, ... ^у-# по модулю р. Мы считаем все а^ и все &.. положительными, так что из чисел -А И A08) X положительных, \i — отрицательных, и X + ^ = Р~^ \ кроме того, все ах < —¦ и все Ьу<-^. Числа A08) не сравнимы друг с другом по модулю р, так как и числа а, 2а, ... P~Z а не сравнимы: из fea^/a(modp) следует (§ 33, теорема 50, след- следствие 2), что & = /(modp), а это возможно только при k = ly ибо и ^ и / < т. Но и числа ах и 6^ не сравнимы друг с другом по модулю р: именно, пусть ax = by (mod р); но ведь ax = &a(modp), —by = la (mod p), следовательно, &a = — /a (mod p), ka-\-la — = (k ~{- l)a = 0 (mod р), а значит & -f / = 0 (mod р), чего не может быть, так как k и / положительные и меньшие чем -|; следова- следовательно, k + / < р и положительно, потому и не мо&ет делиться на р. Таким образом, числа аъ а2, ... ах, 62, 62, ... Ь^ A08а) все целые, положительные, различные по модулю р и каждое из них < y ; их число: X + |л = ^~ ¦ . Но ведь всего только и имеет- имеется ^~" целых полол<ительных чисел, меньших чем —• , а именно: 1, 2, 3, ... р~ . Следовательно, числа A08а) и есть все числа 1, 2, 3, ... ?JZ_ , только, может быть, расположены они в дру- другом порядке; их произведение г (^J) (Ю9) Каждое из чисел A08) сравнимо с одним и только с одним произведением ka A ^ k S ^ ) и обратно. Написав все эти сравнения и перемножив их, получаем, принимая во внимание A09): сократив обе части на множитель 1Р~1 ) !, взаимно-простой с р, 98
получим: Отсюда и из формулы A056) получаем: ( —] =(—1)*\ что и тре- требовалось доказать. § 49. Закон взаимности. Так называется следующая теорема: Теорема 74. Если р и q — два различных нечетных простых числа, то: = (— \) г (ПО) Мы уже знаем, что ^-^ четное или нечетное, в зависимости от того, что число р вида Ak -f- 1 или Ak + 3; то же самое и отно- относительно q~T ¦. Произведение р—^— • ^—к— четное, если хоть один из сомножителей четный. Таким образом, закон взаимности можно выразить так: Если хоть одно из чисел р, q вида Ak -f 1, то если же р, q оба вида 4k -f 3, то (f )--(*)• Доказательство закона взаимности. Пусть а —целое число, не делящееся на р\ делим а, 2а, ... ^—а на р: 2а = ха = qxp + гх A11) Здесь 0 < гх < р\ гх — наименьшие положительные вычеты; беря те же обозначения, что и при доказательстве леммы Гаусса, можно убедиться, что числа гъ г2, ... rv__^ те же самые, что и 2 аъ а2, ... ах, р — Ьъ р — Ь2, ... р — Ь^\ следовательно: р—1
где обозначено: tfi + «2 + • • • +ах = А; Ьг + Ь2+ ... +Ь[Х = В. Заметим еще, что: Теперь сложим почленно все равенства A11) р—1 > i Qx + ^P + Л — В. A12) Но ведь числа аъ а2, ... av Ъъ 62, ... Ь^ — это все числа 1, 2, ... ^"Г (см. доказательство леммы Гаусса), значит, их сумма: Следовательно, A12) дает (если перенести р 7" в левую часть): V—1 P_i (a_|) = pV qx -|_ jxp _ 2B. A12a) 1. Пусть а = 2; написав A12а), как сравнение по модулю 2, получим (приняв во внимание, что р= 1 (mod 2)): Но в этом случае все qy = 0, так как 1 • 2, 2 • 2, 3 • 2, ... р 2 • 2 все <р, т. е. при делении на р дают частные =0. Таким образом: ^-=^ = |x(mod2), а отсюда по лемме Гаусса: ?)-(-»*• Таким образом, свойство V символа Лежандра (см. предыду- предыдущий параграф) доказано. 2. Пусть теперь а = q — нечетное простое число, отличное от р; тогда A12а) дает, как сравнение по модулю 2: р—1 0=Y <7* + ^(пюс12), x=l 100
или: Ho qx — неполное частное от деления xq на р, т. е. qx = следовательно: эс = 1 Отсюда по лемме Гаусса получаем: аналогично найдем: и, следовательно, Нам нужно вычислить сумму: для этого рассмотрим выражение: -^ —-, A13) яр v ; где х = 1, 2, ... ^—; у = 1, 2, ... ^-й-—. Таким образом всего у нас ?-о—¦ ^Т значений разности A13); ни одна из них не равна нулю. Определим, сколько из них положительных и сколько отрицательных. Пусть — — — > 0, т. е. х<—; при данном г/, сможет иметь значения 1, 2, 3, ... — ; а у имеет значения от 1 до ^-^—вклю- ^-^—включительно. Следовательно, существует всего У — положительных 101
значений выражения A13). Пусть теперь — — —<0; тогда у<—, V—1 2 и мы так же найдем, что имеется всего Л — отрицательных значений выражения A13). А так как выражение A13) имеет всего ?_ZL_ . 9~~ . значений, каждое из которых непременно или поло- положительно или отрицательно, то Р—1 д—1 2 2 х=1 у=1 Отсюда непосредственно следует формула (ПО), т. е. закон вза- взаимности доказан. Закон взаимности первый открыл Эйлер в 1783 году, но не доказал его; снова нашел этот закон Лежандр в 1785 году, но доказательство, данное Лежандром, было неудовлетворительно. В 1798 году Лежандр выразил закон взаимности формулой A10) при помощи введенного им символа. Первый строго доказал закон взаимности Гаусс в 1796 году; это доказательство методом полной индукции помещено в знаменитой монографии Гаусса «Disquisitio- nes arithmeticae» («Арифметические исследования»), изданной в 1801 году. В дальнейшем Гаусс дал еще шесть доказательств закона взаимности. Доказательство, приведенное нами,— третье доказа- доказательство Гаусса с кое-какими упрощениями; последняя его часть принадлежит Кронекеру (Kronecker). После Гаусса было дано еще много доказательств закона взаимности; в настоящее время их насчитывается около 50. Закон взаимности вместе с другими свойствами символа Ле- жандра дает возможность вычислять этот символ, как мы покажем на примерах. D3S\ =^ . Сначала разложим числитель 438 на простые множители: 438 = 2 • 3 • 73; далее имеем по II, § 48: /438\ /j\/3\ (Щ \593/ — \Ь9з) V593/ \593/ ' Вычислим отдельно каждый символ правой части: 1593 102
ибо по V, § 48, 593 = 8-74+1. Для вычисления E93) сначала применим закон взаимности, а затем I, § 48: (о \ / спо\ / О \ _) — I _) — I А.) 593/ ~~ \ 3 / "" V 3/' Здесь мы перевернули символ Лежандра без перемены знака, ибо 593 вида 4й+ 1. Далее: / —J =—1, ибо 3 вида 8& + 3 (V, § 48). Следовательно, \593/ = ' Далее (по закону взаимности и по I и II § 48): V593/ "^ (3 j = \73/ = \73/ = \73/ =+1# Следовательно, Таким образом, сравнение х2 = 438 (mod 593) не имеет решений. Можно было бы в этом примере поступить так: 438 = = —155 (mod 593); 155 = 5 • 31, следовательно, /438 \ _ /—155\ _ /—1W 5 \ / 31 \ / 5 Ь 31 \ /--l\ _ 1 \593/ ~~ [ 593 / "~ \593/ \593/ \Ь93) ~ \593J \593/' И°° \593/ ~~ + Далее: \593 \593^ ~ \,"ЗГУ — \3l/ Следовательно, ^593; B023\ tkqj]- Сначала приведем числитель по модулю 1231: /2023\ _ /792\ \ 1231/ ~ V1231/* разложим 792 на простые множители: 792 = 23 • З2 • 11; (Ж) - f JL) (JL) (JL) - (ЛЛ (М\. \123l/ ~ \1231/ \1231/ \ 1231 - U231/U231/' ' = +1, ибо 1231 вида 8Й + 7. 11 \ _ _ /123П 1231/ ~~ V 11 Г 103
ибо здесь оба числа 1231 и 11 вида 4? + 3; далее: (~) = (=у) = -1, ибо 11 вида 4/е + 3 (см. § 48, IV). Следовательно, 1^ 1231 т. е. сравнение х2 = 792 (mod 1231) имеет решения. § 50. Символ Якоби. При вычислении символа Лежандра наи- наибольшую трудность представляет разложение числителя на простые множители; в случае, если числитель весьма большое число, раз- разложение может оказаться практически невыполнимым. Чтобы избе- избежать этого разложения, Якоби обобщил символ Лежандра на случай, когда знаменатель — составное нечетное число; это обоб- обобщение и называется символом Якоби. Пусть Р — любое нечетное положительное число и а взаимно- простое с Р; пусть Р = рр'р"'.. . разложение числа Р на простые множители (р, р\ //', ... не обязательно все различны). В таком случае определим: где ( —), (~7/» (~*)> ••• обычные символы Лежандра (а, будучи взаимно-простым с РУ взаимно-простое и с /?, и с р\ и с р", ...); символ f ~ J и есть символ Якоби. Пусть а = qq'q". . . разложение числа а на простые множители (q, q'', q", .. . все отличны от /?, //, /?", ... так как а и Р взаимно- простые). Тогда (по I, § 48): Следовательно, Р, Я. Произведение здесь берется по всем числам р, р\ р'\ ... и по всем числам q, q\ q'\ .. . (так что каждое q комбинируется с каж- каждым р). Соединяя в A14а) все множители с одним и тем же q, затем все множители с одним и тем же qr и т. д., получим (по определению символа Якоби): (*)-№№(#•- а это непосредственно приводит к свойству II, § 48: (*)-(*)(!)¦ <> 104
которое, таким образом (со всеми следствиями), доказано и для символов Якоби. Из самого определения символа Якоби вытекает еще такое его свойство: если Рг и Р2 взаимно-простые с а; это непосредственно обобщается и на несколько сомножителей в знаменателе. Из определения A14) при а— 1 непосредственно вытекает: Докажем теперь следующую лемму: Лемма. Если Р и Р' нечетные числа, то: 1) ^=1^Р^}^р^1{тоА2); A18) 2) Щ=± = ?^± + Г1=1.{т<*2). A19) Доказательство. 1) (Р— 1)(Р'— 1) делится на 4; имеем: (Р_ \)(Р' - \)=:РР' —Р — Р' + 1 = - (РР' — 1) — (Р — 1) - {Р* — 1) = 0 (mod 4); РР' — 1 == (Р — 1) + (Р' — 1) (mod 4), а отсюда, разделив обе части и модуль на 2, получим A18). 2) Имеем (по теореме 52, § 34): Р2— 1 и Я/2— 1 делятся на 8, следовательно, (Р2—\)(Р'2—1) делится на 64. Таким образом: (Р2 — 1) (Р/2 — 1) = Р2Р'2 — Р2 — Р'2 + 1 - - [{PPff— 1]-(Р2— 1) — (Р/2— 1) = 0 (mod 64). Деля обе части и модуль на 8, получим: а значит это сравнение верно и для модуля 2, и мы получим A19). Обе формулы A18) и A19) непосредственно обобщаются на слу- случай нескольких нечетных чисел. Таким образом, если нечетное положительное число Р разложено на простые множители Р = рр'р"..., то: ^ P=1==Z=1 (mod 2); A18а) A19a) 105
При помощи этих формул легко доказать, что и свойства IV и V § 48 остаются верными для символов Якоби. Именно: = (-1) * ; (-1)8 -(-1) — 8 = (—1)^ 8 -(—1) 8 . Легко доказать для символа Якоби и закон взаимности: пусть Р и Q два положительных нечетных, взаимно-простых числа; Р = рр'р" . . .; Q = qq'q" ... — их разложения на простые мно- множители. Имеем по формуле A14а): Ф)Ш V, Q V, Q V, Q V, Я. VH^9— "i V^H1 Vtli P-1Q-1 = (—1)p,« =(_ 1)p e =1—U {по формуле A18а), примененной для Р и для Q); это и есть закон взаимности. Докажем и свойство I § 48 для символа Якоби. Если Р = рр'р" . .., а — взаимно-простое с Р и а = Ъ (mod P), то, оче- очевидно, и 6 взаимно-простое с Р и верны такие сравнения: &d), a = b (mod p')y a = b(modp") и т. д.; следовательно, Перемножая эти равенства, найдем по A14): что и требуется доказать. Итак: Теорема 75. Для символов Якоби верны свойства I—V § 48 и закон взаимности. Таким образом, символы Якоби вычисляются по тем самым правилам, что и символы Лежандра. Вообще, при вычислении нам не нужно отличать символы Якоби от символов Лежандра, являю- являющихся просто частными случаями символов Якоби. Этим мы при вычислении символов Лежандра избавились от необходимости разложения числителей на простые множители; нужно только выделить множители =2. Замечание. Теорема 75 доказывает, что для обобщения Якоби символа Лежандра выполнен так называемый «принцип а 06
перманентности». Этот принцип требует, чтобы при обобщении данного понятия оставались верными основные свойства этого поня- понятия. Можно было бы полагать, что более натуральным обобщением символа Лежандра для составного знаменателя являлось бы такое: считать f-^-j = +1, если сравнение x2 = a(modP) имеет решение; /853 \ _ /1409\ _ /556\ ___ /_2^_\ /139\ __ / \1409/ "" \ 853/ \853/ "~ '853/ \853/ ~~ \ в противном случае считать ( —) = —1. Но тогда не был бы вы- выполнен принцип перманентности и такое обобщение не имело бы никакого практического значения. Заметим, что для символа Якоби условие (-^-1 = 4-1 необходимо, но недостаточно для того, чтобы сравнение x2 = a(mod P) имело решение (см. ниже, § 57, теорему 81). Пример 1. Вычислить (ттло I • Вычисляем, не заботясь о том, ка- какие промежуточные символы мы получаем,— Лежандра или Якоби. A39\ __ /853\ _ /_НГ (853/ — \139/ ~~ \139/ V19/ \19/ ~" V19/ \3J \3/ ГТ О D /5381\ 1Л Пример 2. Вычислить (§277). Имеем: /5381\ _ /—89б\ _ (^2^) (%?_) (_7__) __ /_2_^ /_7_\ __ _ /б277\ __ \6277/ ~ \6277/ ~~ \6277/ \6277/ \6277/ ~~ \6277 \6277/ "" \ 7 / —DJ—Ш—(!)-+'• § 51. Символы Лежандра и Якоби дают ответ на вопрос: воз- возможно ли сравнение: ' ' * A04а) где р — простое, а не делится на р. При данных числах аир требуется только вычислить символ Лежандра (— ). Пусть теперь одно из чисел а, р неопределенное (переменное); в таком случае возникают такие две задачи: 1. Дано число р; найти все числа а, для которых ( —) = +1, т. е. сравнение A04а) возможно; иными словами, найти все квад- квадратичные вычеты числа р. Эта задача конечна, ибо а вообще может иметь только р— 1 различных значений (по модулю р): 1, 2, 3,. . . ... р — 1. Каждое из этих значений а следует испытать, вычислив для него символ Лежандра I —); половина этих значений а будут квадратичными вычетами числа р, половина — невычетами. Можно поступить и так: возвысить в квадрат каждое из чисел 1, 2, 3, ... р— 1 и взять наименьшие положительные вычеты этих квадратов по 107
модулю р. Эти вычеты и являются всеми квадратичными вычетами числа р; каждый из них встретится при этом два раза, ибо Х2 = (р — XJ; различных имеется как раз . хЧожно даже взять не все числа 1, 2, . . . р — 1, а только первые —у- чисел: i, 2, 3, ... -^~ ; их квадраты и дадут все квадратичные вычеты числа /?, и каждый по одному разу. Примеры: 1) р = 3; /? — 1=2; здесь имеется только один квадратичный вычет, а именно, 1 и один невычет = 2. 2) р = 5; для а имеется 4 значения: 1, 2, 3, 4; из них 1, 4 — вычеты, а 2, 3 — невычеты (заметим, что квадраты — всегда вычеты). 3) р == 7; а= 1, 2, 3, 4, 5, 6; беря квадраты чисел 1, 2, 3, найдем вычеты 1, 4, 9 = 2; невычеты: 3, 5, 6. 2. Гораздо труднее вторая задача: дано число а; найти все (нечетные простые) числа р, для которых а — квадратичный вычет, т. е. для которых сравнение A04а) возможно. Иными словами, найти все (простые нечетные) числа р, которые могут быть дели- делителями формы х2 — а (при различных целых значениях х). Вместо формы х2 — а возьмем однородную форму t2 — аи2, где t я и переменные (принимающие целые значения). Очевидно, что делители формы х2 — а являются также делителями однородной формы t2 — аи2\ следует только взять г = х, и=\у чтобы свести эту последнюю форму к первой. Но если поставить условие D(t, и)— 1, то можно сказать, что и обратно: при этом условии простые делители формы t2 — аи2 будут также делителями неодно- неоднородной формы х2 — а. Действительно, пусть при некоторых целых, взаимно-простых t и и форма t2 — аи2 делится на простое число/?: A20) число и не делится на р, так как иначе и t делилось бы на р> Hunt не были бы взаимно-простыми. Следовательно, можно найти v так (§ 39, теорема 60), чтобы было: uv= I (mod/?). Умножим обе части A20) на v2 и заменим u2v2 единицей; получим: следовательно, при х = tv х2 — а делится на р. Итак: Теорема 76. Формы х2 — а и t2 — аи2 при D (Л и) = 1 имеют одни и те же простые делители. Таким образом, нашу задачу можно формулировать так: найти все простые делители формы t2 — аи2 (при D(ty u)= 1). Множество этих делителей бесконечно, поэтому эта вторая задача сложнее, чем первая Ее можно решить, пользуясь символами Лежандра и Якоби, как мы покажем на примерах. Заметим, что при а = —1 108
и а = 2 она уж$ решена: свойства IV и V (§ 48) символов Ле- жандра и Якоби дают ее решения для а=-1и а = 2. Простыми делителями формы t2 + и2 при D(t, и) = 1 являются все простые числа вида 4* + 1 (а также и число 2 — при / = 1, и = 1). Простыми делителями формы t2 •— 2и2 при D(t, и) = 1 являются все простые числа вида 8* + 1 и 8* + 7 (и число 2 — при ? = 0, и = 1). Пример 1. Найти все простые делители формы t2 — Зи2 (при D(t,u)= 1). Здесь а = 3; надо найти все простые числа р так, чтобы было: (~ 1 = +1. Следует рассмотреть два случая: 1) р вида 4/72+1» тогда по закону взаимности 3, = +1 только если p=l(mod3) (см. выше, пример в этом параграфе). Следовательно, для р у нас такие условия: р == 1 (mod 4), р == 1 (mod 3). Решим эту систему сравнений (§ 43); найдем общее решение: /?== 1 (mod 12), т. е. р = 12* + 1. 2) р вида 4/72 + 3; тогда по закону взаимности ~ = —1 при p = 2(mod3). Следовательно, имеем: p = 3(mod4), p = 2(mod3). Общее решение: p=ll(mod 12), т. е. р= 12*+ 11. Кроме того, следует особо рассмотреть число 2 и простые дели- делители числа а (в данном случае 3), ибо найденные нами числа р — нечетные и взаимно-простые с а. Но t2 — Зи2, очевидно, делится на 2 при t = и = 1 и на 3 при t = 0, и = 1. Таким образом, форма t2 — Зи2 имеет такие простые делители: 2, 3, 12*+1, 12*+11 (или 12*—1). Пример 2. Найти простые делители формы t2 + 7u2 (при D(t, и) = 1). Здесь а = —7; следовательно, нужно исследовать символ ( —). Имеем (по свойству IV § 48 и по закону взаимности): р—1 Р—1 7—1 P^l+зЕИ1 )-(-')" №(-0'¦-(-')' *•(*)- 109
/ ,2 (р—1) / р\ ( р \ = I — 1) [у) = ! у). Но, как мы видели в этом же параграфе, (у/ = +1 при р=1, 2, 4(mod 7). Следовательно, р имеет одну из таких форм: 7k-\- 1, 7& + 2, 7& + 4; все простые числа этих форм являются делителями формы t2 + 7w2. Кроме того, делите- делителями этой формы являются числа 2 (при t = и = 1) и 7 (при / = 0, и= 1). § 52. Что касается фактического решения сравнений вида A04а), т. е. нахождения их корней, то до сих пор не существует прак- практического способа этого решения без специальных таблиц. Ко- Конечно, можно всегда найти х хотя бы простыми пробами, ибо количество этих проб ограничено (надо испробовать только р—1 чисел 1, 2, ... р—1 при данном модуле р); но при большом модуле этот способ оказывается совершенно непрактичным. Мы укажем два случая, когда самый критерий Эйлера дает общую формулу для нахождения решений сравнения A04а): I. Пусть р = Ak + 3; когда ^— = 2k + 1, и по формуле A05) § 47 получим (предполагая, что наше сравнение имеет решения): a2h+1=l(modp). Умножая обе части на а, найдем: a2k+2 = a(modp) или: Следовательно, x=Hraft+1 — искомое решение сравнения A04а). II. Пусть p = 8k + 5; тогда р-^± = 4& + 2. Формула A05) дает: или: Если произведение делится на простое число р, то (по тео- теореме 19, § 10) по крайней мере один из сомножителей должен делится на р\ оба они вместе делиться на р не могут, так как их разность = 2 — не делится на р. Следовательно, должен иметь место один из следующих двух случаев: 1) a2k+1 — 1 = 0 (mod р), т. е. a2h+1 = I (mod p); но тогда +2 = a(mod р) и x= + aft+1 — решение сравнения A04а). 2) a2k+1 +1=0(mod р), т. е. a2h+1 = —1 (mod p); но тогда Возьмем какой-нибудь квадратичный невычет числа р; так как р = 8k + 5, то простейший такой невычет = 2 (§ 48, V). Имеем по A05а): 2^=2*к+2==— l(modp)J по
перемножив почленно два последних сравнения, найдем: или Следовательно, x = 4:22fe+1 • ah+l — решение сравнения A04а). Но надо заметить, что при большом р эти решения практи- практически так же неудобны, как и применение критерия Эйлера. § 53. При р = 8k + 1 нет готовой формулы для решения сравнения A04а). В следующей главе мы увидим, что сравнения вида A04а) легко решить при помощи так называемых индексов, но для этого требуются специальные таблицы. Есть еще способ А. Н. Коркина решения двучленных сравнений вида хп = a (mod p), но этот способ требует тоже наличия специальных таблиц. В общем виде он изложен в учебнике Д. А. Граве «Элементарный курс теории чисел» (Киев, 1913, гл. IV). Мы изложим частный случай способа Коркина — для квадратных сравнений вида A04а), где р вида 8k + 1. Положим для общности где X > 3, k — нечетное. Рассмотрим ряд сравнений: г\==—l(modp); z2*==—l(modp)-9 z** == — 1 (mod/?);... 1 ... zL-i =—1 (modp). > Пусть / — квадратичный невычет числа р\ по A05а), § 47, имеем: fT- = f*-*h = _i (mod р)# A22) Это можно написать так: {f*-*h)* = -l (mod р); следовательно, и11:^рх~2к и и12 = —^—8л являются решениями первого сравнения A21). Оба эти решения различны: если бы f2x~-2k = — pK—2k (mod p), то 2/aX~2ft делилось бы на р тогда как ни 2, ни / на р не делится. Напишем теперь A22) в следующем виде: (рх-*ь)*== — l(modp). Отсюда видно, что %^/2~3feHw22^ — m2i являются решениями второго сравнения A21); как и перед тем, докажем, что эти ре- решения различны. Но и и23 = иии21У и u2i = — ипи21 тоже реше- 22 22 ния второго сравнения A21), так как и21 = —1, ни = +1 (mod pX 111
Все найденные четыре решения различны: пусть и21 = -j^ u23 (mod р) или и21^+ипи21 (mod р); сократим на и21 (ибо и21 не делится на р)\ получим: ?/1:l = + l (mod р), что неверно, так как тогда было бы: ^= + 1, а на самом деле и2п = —1. Написав теперь A22) в виде (/2х-4*J3 = _ l(modp), найдем решения третьего сравнения A21): &31 = /2Х"~4/г, «32 =— изг- Остальные шесть решений третьего сравнения A21) найдутся умножением и31 на все решения предыдущих двух сравнений A21). Как и в предыдущем случае, можно доказать, что все найденные таким образом восемь решений 3-го сравнения A21) различны. Вообще, чтобы найти все решения jx-го сравнения A21) zf= —l(modp), A21а) перепишем A22) таким образом: Отсюда видно, что ulxl=f2X~ll'~~lk, wa2 = — ип являются решениями сравнения A21а); остальные его решения найдутся умножением Upi на каждое решение всех предыдущих сравнений. Всего полу- получим, таким образом, 2 + 22 + 23 + ... + 2м" = 2^ — 2 решения; вместе с двумя решениями щъ и^2 это даст 2^ решений. Все они различны по модулю р. Пусть именно: ипи*х = ипи9, (mod p), где % < [i, p < |х. Так как и^г не делится на р, то полученное сравнение можно на щг сократить: но это сравнение невозможно: при % = о и X Ф а их\ и uXQ раз- различные по модулю р решения %-го сравнения A21), а при ъфр% например, при % < р их\ и и9а не сравнимы по модулю р, потому что u29v=: — 1, тогда как ul\= +1 (mod p). Абсолютно-наименьшие вычеты решений всех сравнений A21) Коркин назвал квадратичными характеристиками числа р. Он составил их таблицы для простых чисел р < 5000, К. А.. Поссе продолжил их для р < 10000. Мы будем обозначать эти абсолютно- наименьшие вычеты буквою и с двумя значками, из которых пер- первый есть номер сравнения A21). Возьмем все |л-е квадратичные характеристики: Ищ, и[Х2, . . . и^\ A23) очевидно, что их квадраты удовлетворяют сравнению 112
т». е. сравнимы с (|i—1)-ми квадратичными характеристиками: -К A23а) Посмотрим, в каком случае и^х = и^х (mod р). Для этого должно быть: (tyi* — и»х) («it* + Цхх) = 0 (mod р), т. е. или щх=:11ух (это одна и та же характеристика), или йаХ = — M^x(modp). С другой стороны, — ^ ведь тоже решение сравнения A21а), отличное от и^ т. е. сравнимое с некоторой характеристикой A23). Следовательно, квадраты всех характери- характеристик A23) являются всеми 2(Л~1 решениями ([л—1)-го сравне- сравнения A21). Отсюда следует: всякая (\ь—1)-я квадратичная характери- характеристика A23а) непременно сравнима с квадратом некоторой рь-ой характеристики A23) (даже не одной, а двух). Обратимся теперь к нашему сравнению: х2 = a (mod р), где p = 2xk + 1; k — нечетное. Пусть I— )= +1, т. е. по крите- р—1 рию Эйлера а 2 = a2X~~lft = 1 (mod p). Докажем, что или ah = 1 (mod p), или в ряде непременно найдется число, сравнимое с—1 по модулю р. Именно из критерия Эйлера следует: Д2*-1* _! = (a2^2k _j) (а2*-2ь + i) = о (mod p); один из сомножителей левой части должен делиться на р (оба они одновременно не могут делиться на р> так как их разность = 2). Если а2Х~~2/г+1 делится на р> то наше утверждение доказано. Если же а2Х~2/г—1 = (a2X~~Bh—l) (a2X~~8ft +l) делится на р, то или а2^-3й ^ j делится на р и наше утверждение доказано, или а2^-\—j = (a2>v"~ft — 1) (a2X^~4ft -f-1) делится на р, и мы далее рас- рассуждаем подобно же. Т. е., в конце концов, мы найдем, что или a2A~Sfe 4-1 делится на р (где s — одно из чисел 2, 3, ... X), или ок —1 делится на р. Разберем такие случаи: ( ^) 1) aft=l(modp), тогда: ak+1 = [а 2 /=a(modp) (k — нечет- ft+i ), т. е. + а 2 —решения нашего сравнения. ( шJ 2) ak = — 1 (mod p); [а 2 ) = — a (mod p). Пусть / — любой р—1 квадратичный невычет числа р; тогда / 2 =/2Х~1/г^—-1 (modp); 113
¦i±i\ . 2 h±l a 2 I ~a (mod p), т. e. + f2 ha 2 — решения нашего сравнения. 3) a2X"~Sft =—l(modp), где 2<rs<X, или иначе: (aftJX~s ^ —1 (mod p). Следовательно, ak — одно из решений (X — s)-ro сравнения A21) и по доказанному выше ak = b2 (mod р)у A24) где b — решение (к — s+ 1)-го сравнения A21). Умножая A24) на а, найдем: \а 2 ) = a b2 (mod р). Найдем t из сравнения Ы ^ 1 (mod p) (t существует, так как b не делится на р) и получим: 2 • t) ^ т.е. ±fl2*/ и являются решениями данного сравнения. Пример 1. Решить сравнение х2 = 11 (mod 43). Вычисляем: D3) = — 1 тт) == — (тг) ^ "Ь^» следовательно, сравнение имеет решение. Здесь 43 = 4 • 10 + 3; мы имеем случай 1; k = 10, ?+1 = 11, следовательно, х^ +11u (mod 43). Вычисляем: И2 = 121 =—8(mod 43); 114 6421 ; П^=— 8- 11 = — 88 = — 2; llu=—22 = 21; следовательно, л:^ +21 (mod 43). Пример 2. Решить сравнение х2 = 7 (mod 29). Здесь: 29 = 8 • 3 + 5; мы имеем случай II; k = 3. Вычисляем: 72 = 49 = — 9 (mod 29); 7* = 81=—6; 7е = (-9) (-6) = 54 = -4; 77 = — 28=+1; следовательно, x^^7ft+1 =+74, или х ^ + 6 (mod 29). Пример 3. Решить сравнение Л2 = 23(mod 101). Здесь: Ц) = (^) = (|) = +1. Далее: 101=8-12 + 5 (слу- (случай II); 114
k =12, 2?+l=25, k+ 1 = 13. Имеем: 232 =529 = 24 (mod 101); 234 = 576 = —30; 2312 = —27000 = —33; 2313 = —33 • 23 = —759 = 49; 2325 = —33- 49 = —1617 = —1; следовательно, x= ±22k+1 . 23fe+1 = +225 . 2313; 25 = 32; 21»- 1024= 14(mod 101); 220=196 = —6; 225 = —6.32 = —192=10; таким образом, х= ±10 • 49 = +490 = + 15(mod 101). Пример 4. Решить сравнение *2 = 2 (mod 17). Здесь: ^| = +1; 17 = 24 • 1 + 1. Имеем сравнения A21) z* = —1 (mod 17), zf ==—1 (mod 17), zf == —1 (mod 17). Здесь / = —3 квадратичный невычет по модулю 17. По критерию Эйлера (—З)8 = (—3J3 = —1 (mod 17);(—3L = —4; следовательно, //Х1 = 4, и12 = —4; (—3J = 9 = —8; следовательно, и2Х = 8, «23=s es —8, w23 == 32 == —2, r/24 ^ 2. Наконец: uzl == 3, ^32 == —3, «33 e^ 7, uM=:— 7, ^35^6, w36^—-6, г/37 = 5, i/33^— 5. У нас а = 2; на- находим: 222=— 1 (mod 17); следовательно, 2 сравнимое квадратом 23 одного из решений сравнения z3 е^—1 (mod 17). Найдем: 2 = б2 (mod 17); так как здесь k == 1, то сразу получаем решение: ^=±6 (mod 17). Пример 5. Решить сравнение x2 = 5(mod 41). ())( +1; 41 =2» • 5+1; ft-5. Легко убедиться, что /= 3 — квадратичный невычет по модулю 41. Имеем сравнения A21): ^ = —1 (mod 41), zf = — I (mod 41); решения их: ^еее^Э; ,г2 = 4:3, +14. Далее: а^ = 55 = 3125 = 9 (mod 41); а2Л = 5хо = —lf т.е. 92 = —1, 6-3. Теперь решаем сравнение: 3/=1 (mod 41); находим: ?=14; а 2 =53= 125 = 2; х = 2 - 14 = 28 = —13; следовательно, § 54. Рассмотрим теперь сравнение вида A04) 115
где а > 1 — целое число, ар — простое нечетное число. Рассмот- Рассмотрим случай, когда а не делится на р, т. е. когда D(a,p7)=l. Если сравнение A04) имеет решения, то эти решения удовлетво- удовлетворяют и сравнению 2(d\ A04а) так как х2 —а, делясь на ра, делится и на р. А сравнение A04а) имеет решения тогда и только тогда, когда следовательно, это условие необходимо для разрешимости сравне- сравнения A04). Мы докажем, что оно и достаточно. Пусть оно выпол- выполнено; тогда сравнение A04а) имеет решение, следовательно, или: Ь2 — а = kp9 где k — целое число. Возвышая обе части последнего равенства в а-ю степень, найдем: ^t A25) Имеем (по формуле бинома Ньютона): [b + Уа)а =b« + ocb*-1 У а + ( \ ) Ь*~2а + Можно соединить отдельно все члены, не имеющие корня, и от- отдельно все члены, имеющие множитель У а; получим такое выра- выражение: ( y)=t + vya, A26) где t и v — целые числа. Взяв b — У а вместо Ь-\~Уа, мы только изменим знаки у всех членов, которые имеют множитель У а, следовательно, (b — ya)a = t — иУ'а, A26а) а отсюда, перемножив A26) и A26а), получим: Подставляя это в A25), получим: t2 — да2 еее 0 (mod pa), или: /2 = w2(modpa). A27) 116
Докажем, что t, а значит и v, не делятся на р. Для этого сложим почленно A26) и A26а): t = | \{Ь + Vaf + (b -Vaf] = f (a, 6). Мы обозначили правую часть через f(a,b)\ это — некоторая целая рациональная функция от а и Ъ с целыми коэффициентами, ибо, как легко видеть, члены, имеющие множитель j/a, сокращаются, а члены без множителя |Лз удваиваются. Но Ь — корень сравне- сравнения A04а), т. е. 62 = a(modp), а потому: t = f(a9 b) = f{b\ 6) (mod/?) (§ 33, теорема 51). Но при а — Ь2 получаем: / Ф\ Ь) = 1 [(b + by + (Ь-ЬУ] = \ BЬУ = 2—16-; таким образом, 216 Правая часть этого сравнения 2а~-1Ь* взаимно-простая с р, ибо р нечетное, а Ь, как корень сравнения A04а), где а не делится на р, — тоже взаимно-простое с р. Следовательно^ и / и v взаимно- простые ср, а значит, и с ра. Таким образом, сравнение tu = a (mod р*) имеет решение и (§ 39, теорема 60); отсюда: t2u2 = a2 (mod pa). Умножив на и2 сравнение A27), получим, заменив t2u2 через а2, а2 = av2u2 (mod pa), или, сократив на а, взаимно-простое с /?а: Следовательно, x = uv(mod р«) A27а) и есть решение сравнения A04), которое, таким образом, имеет решение. Найдем число различных решений сравнения A04). Пусть с — одно из решений; очевидно, что —с — тоже решение, отличное от с; ибо, если бы было с=—c(modpa), то оказалось бы 2c = 0(modpa), а это неверно, так как ни 2, ни с не делятся на р, т. е. взаимно-простые с ра. Пусть теперь х — какое-нибудь решение сравнения A04); в таком случае x2 = a(modpa), но в то же время и с2 = a (mod pa). Отсюда: х2 — c2=;0(modpa), или: (х — с) (х + с) == 0 (mod pa). 117
Пусть их— с и х-\-с делятся на р\ в таком случае и их раз- разность +2с должна делиться на р, а это, как мы уже видели, наверно. Следовательно, из этих двух двучленов один делится на ра, а другой взаимно-простой с ра, т. е. или х — с = О, х = с (mod ра), или: х + с = 0, х = — c(modpa). Кроме этих двух решений, иных нет. Таким образом: Теорема 77. Сравнение A04) при а взаимно-простом с ра имеет решения тогда и только тогда, когда сравнение A04а) имеет ре- решения, т. е. когда (~);:=+1, и при этом всегда два решения: +х, где х находится по формуле A27а). Мы получили одновременно и способ нахождения решений сравнения A04), если известно решение b сравнения A04а). Пример 1. Решить сравнение х2 = 7(mod27). Сначала возьмем сравнение x2=^7(mod 3), или (сводя 7 по модулю 3) A;2=l(mod3). Это сравнение разрешимо; одно из его решений: b=l. Теперь находим по формуле бинома Ньютона: (l+/7K = 1 + 3/7 + 21 +7J/7-22+ 10/7; следовательно, t = 22, v = 10. Далее решим сравнение 22« = 7 (mod 27) или — 5а == — 20 (mod 27). Сократив на —5, получим: w = 4(mod27); ш? = 40=13; следовательно, х=.± 13 (mod 27). Пример 2. Решить сравнение х2^39(mod625). Здесь: 625= = 54. Возьмем сравнение х2^ 39 (mod 5) или х2 = 4 (mod 5); одно из его решений: 6 = 2. Далее находим: B + |/9L =_16 + 32/39 + 24 - 39 + 8 • 39/39 + 392 = = 16 + 32 /39 + 936 + 312 /39 + 1521 = 2473 + 344 /39; следовательно, / == 2473, v = 344. Затем решаем сравнение 2473^ = 39 (mod 625), или: — 27а = 39 (mod 625). Сокращаем на 3: 9и~—13 (mod 625), прибавляем к правой части 625: 9^=612 (mod 625). Сокращая на 9, найдем: и = 68 (mod 625); uv == 68 • 344 = 23392 = 267. 116
Следовательно, *= +267 (mod 625). § 55. Теперь рассмотрим сравнение, у которого модуль — сте- степень двух, вида 2 (d2a); A28) а — нечетное число, т. е. взаимно-простое с модулем. Рассмотрим отдельно следующие случаи: 1) а = 1, т. е. х2еее а (mod 2). Здесь только и может быть a=l(mod2) (это и показывает, что а — любое нечетное число). Но тогда и х должен быть нечет- нечетным, ибо х2 — а — четное, т. е. x=l(mod2). Но все нечетные числа образуют только один класс по модулю 2; следовательно, решение х= 1 (mod 2) — единственное. 2) а = 2, т. е. *2 = a(mod4). Здесь возможны два случая: а^\ или a = 3(mod4). Очевидно, что х должно быть нечетным; но по теореме 52 (в § 34) квадрат всякого нечетного числа сравним с единицей по модулю 8, а следовательно, и по модулю 4. Отсюда следует, что при я ^3 (mod 4) наше сравнение не имеет решений, а при а= 1 (mod 4) ему удовлетворяют все нечетные числа х. Но по модулю 4 все нечетные числа образуют два класса, представителями которых служат числа 1 и 3; следовательно, в этом случае мы имеем два решения: х=1 и x=3(mod4). 3) а = 3, т. е. x2 = a(mod8). Для а возможны значения: а=1, 3, 5, 7(mod8); х — нечет- нечетное; т. е. по той же теореме 52 (§ 34) х2^ 1 (mod 8). Следовательно, при a=l(mod8) сравнение имеет четыре решения: х=1, 3, 5, 7 (mod 8); в остальных же случаях, т. е. при а = 3, 5, 7 реше- решений нет. 4) а > 3. Если сравнение A28) при а>3 имеет решения, то эти решения удовлетворяют тому же сравнению по модулю 8 (ибо х2 — а, делясь на 2а при а > 3, делится и на 23). Но для этого должно быть, как мы видели в случае 3, a=l(mod8). A29) Таким образом, это условие необходимо и при a > 3. Мы до- докажем, что оно и достаточно. Но сначала выясним, сколько всего решений имеет сравнение A28), если оно вообще имеет ре- решения. Пусть Ь — некоторое определенное его решение, а х — ка- какое-нибудь его решение. Имеем: 62 = следовательно, или: (х— b) (x + &)== 0 (mod 2% Пусть: 119
где k и / нечетные; тогда, складывая и деля на 2, получим: х = 2X""^ + 2X~Y Но я, как решение сравнения A28), должно быть нечетным; сле- следовательно, или х — 1 или X — 1 равно нулю, т. е. одно из чисел %, X равно единице, а другое ^ а—1 (ибо произведение (х — Ь) (х + Ь) делится на 2а). Пусть Х= 1, тогда х-^а—1, и мы имеем: х — Ь = 2Г\ где s — какое-нибудь (не обязательно нечетное) число, или х = Ь+ 2Г\ или, наконец, 1 (ибо решения сравнения A28) определяются по модулю 2а). При четном s x = b (mod 2а), при нечетном s х = 6 + 2а~~г (mod 2а); эти два решения различны по модулю 2а. Пусть теперь % = 1, а следовательно, Х^а—1, и мы имеем: х + b = 2a~xs, где s — целое (не непременно нечетное) число. В этом случае, как и в предыдущем, мы найдем еще следующие два решения: х = — Ъ (mod 2a), x = —Ъ + 2а~х (mod 2a). Таким образом, сравнение A28) имеет всего четыре решения: 6, Ь + 2а~~\ —Ъу — ft + 2е (или —Ь -2я-1); эти все решения различны по модулю 2я, в чем легко убедиться. Докажем теперь, что условие A29) и достаточно для существо- существования решений сравнения A28) при a > 3. Мы видели, что это условие достаточно при a = 3; следовательно, можно применить метод полной индукции. Пусть достаточность условия A29), дока- доказана для сравнения a~1), A28а) т. е. при а= 1 (mod8) это сравнение имеет решения. Если с — одно из его решений, то, как мы видели, остальные будут: с + 2*~\ —с, —с + 2*-2. Итак, с2 = а (mod 2a""x), т. е. с2 — а делится на 2*"" или с2 — а = = 2а~~1й. Если k четное, то с2 — а делится и на 2а, т. е. с — реше- решение и сравнения A28), и наше утверждение доказано. Если же к — нечетное, то возьмем (с + 2а~J — а; эта разность тоже де- 120
лится на 2а \ ибо с + 2а тоже решение сравнения A28а). Но мы имеем: (с + 2«~2J-а = (с2 -а) + 2*-гс + 22а~4= 2а~Ч + 2*~хс + 22а~4; при а > 3 2а — 4 >:а; следовательно, (с + 2*~2J - а = ?~х (k + с) (mod 2*). Но А и с нечетные (k — по условию, с—как решение сравнения A28а) при нечетном а), следовательно, их сумма четная, а значит т.е. с-\-Т 2 — решение сравнения A28); наше утверждение дока- доказано и в этом случае. Таким образом, одно из решений сравнения A28а) является непременно и решением сравнения A28). Обозначим это решение через Ь\ остальные решения сравнения A28), как мы видели:—6, у _]_ 2а~~1, —Ъ + 2а~1. Все эти решения удовлетворяют и сравне- сравнению A28а), только для A28а) Ь и b + 2а~1 (а также —Ь и —Ь + + 2а~1) не различны, тогда как для сравнения A28) они различны; но решения b и —b различны и для A28а). Итак: Теорема 78. Сравнение A28) при нечетном а имеет: 1) всегда одно решение при а = 1; 2) два решения при <х = 2 иа=1 (mod 4) и ни одного при а = 2и a = 3(mod4); 3) при а^З (и нечетном а) сравнение A28) имеет решения только при а= 1 (mod8), и в этом случае четыре различных решения; два из них непременно удов- удовлетворяют и сравнению Jt2 = a(mod 2*+1). Предыдущие рассуждения дают и метод решения сравнений A28) при а>3. Пример 1. х2 = 33 (mod 64). Здесь а = 33 = 1 (mod 8), следо- следовательно, решения имеются. Для нахождения их рассмотрим сравнения: х2 = 33=1 (mod 8); x2E=33EE=l(modl6); Решения первого: 1, 3, 5, 7; из них 1 и 7 удовлетворяют и второму; остальные решения второго: 1 + 23, 7 + 23, т. е. все ре- решения второго: 1, 7, 9, 15; из них 1 и 15 удовлетворяют тре- третьему; остальные решения третьего: 1 + 24, 15 + 24, т. е. все ре- решения третьего: 1, 15, 17, 31; из них 15 и 17 удовлетворяют и четвертому; остальные решения четвертого: 15 + 25, 17 + 25. Таким образом, все решения данного сравнения: 15, 17, 47, 49. 121
Конечно, не нужно обязательно начинать со сравнения с мо- модулем 8; следует начинать со сравнения с модулем 2а, для кото- которого нам известно хоть одно решение (остальные три решения легко найти). В данном примере это — третье сравнение, имеющее, очевидно, корень — 1. Пример 2. x2 = 89(mod256). Здесь а = 89 = 1 (mod8), т. е. решения имеются. Имеем: 89 = 9 (mod 16), 89 = — 7 (mod 32), 89 = = 25 (mod 64); 25 —точный квадрат. Заметим, что если в сравне- сравнении #2 = a(modm) с любым модулем а — точный квадрат, то та- такое сравнение всегда имеет решение: л; = ]/а. Значит, и у нас сравнение: х2еее 25 (mod 64) имеет решение 5, и можно начать именно с этого сравнения. Все его решения: 5, —5, 5 + 32 = 37, —5 + 32 - 27. Легко проверить, что из этих решений 37 и 27 удовлетворяют и сравнению х2 = 89 (mod 128); в частности, 37 удовлетворяет и сравнению х2 = 89 (mod 256). Таким образом, все корни этого последнего сравнения: 37, —37, 37+ 128= 165, —37+ 128-91. § 56. Рассмотрим теперь случай, когда правая часть а нашего сравнения не взаимно-проста с модулем. Мы будем рассматривать вместе сравнения (J04) и A28), т. е. будем считать р каким-ни- каким-нибудь простым числом,— нечетным или равным двум. Пусть в сравнении A04) имеем: а = рха1у гдеа2 не делится на р. Рассмотрим два случая: I. ^i^a, следовательно, a = 0(modp) и наше сравнение имеет вид: *). A30) Здесь мы тоже различим два случая: 1) а = 2C — четное; чтобы х2 делилось на ра, нужно чтобы х делилось на /?Р, т. е. л; = & . рЦтойр*). При k = 0, 1, 2, ... р$— 1 мы получаем различные (по модулю ра) решения: 0, р\ 2рК ...(p*—l)p? = p* — pt; число их есть рК При других целых значениях k мы получим решения, сравнимые с уже найденными. Таким образом, в этом а случае сравнение A30) имеет р2 различных решений. 2) а = 2р + 1 — нечетное; чтобы х2 делилось на р\ х должно 122
делиться на pP+1; x = kp$+l (modpa). При ? = 0,1, 2, ...рР—1 мы получим различные решения (по модулю ра): О, pP+i, 2рР+1, ... (рР—1)рР+1 = р* —рР+*; а—1 их число: рР = р 2 . При других целых значениях ? получим ре- решения, сравнимые с уже найденными. Всего в этом случае сравне- а—1 ние A30) имеет р 2 различных решений. Итак: Теорема 79. Сравнение A30) при любом простом р (включая и р = 2) имеет pL2 -I различных по модулю ра решений (ибо ~ равно ~ при четном а и ^-к— при нечетном а). II. Пусть теперь Х<а; наше сравнение имеет вид: х2 = рх • a^modp»), A31) где ах не делится на р. Здесь мы тоже различим два случая: 1) X = 2[i — четное; из A31) видно, что х2 делится на рЛ, следо- следовательно, х должно делиться на р{Х. Пусть х = р*г\ в таком случае pKz2 = ркаг (mod pa); сокращаем обе части и модуль на рх: fl~'k). A31а) Если A31) имеет решения, то и A31а) тоже имеет решения, и обратно. Но для разрешимости A31а) необходимо и достаточно, чтобы при р простом нечетном было: ( —) = +1, а при р = 2, a — Х>2 должно быть: ^^^modS) (§ 35, теорема 78). Пусть z — одно из решений сравнения A31а); оно дает бесчис- бесчисленное множество значений z + kpa~k. Все они (при любом це- лом k) — представители одного и того же решения z (по мо- модулю ра~~х). Но, умножив эти значения на р^, мы найдем решения х сравнения A31); при этом различных по модулю ра решений бу- будет р!\ а именно: При других значениях k мы не получим иных (по модулю ра) ре- решений сравнения A31). Следовательно, всякое решение сравнения A31а) дает р^ различных (по модулю ра) решений сравнения A31). Пусть zx и z2 — два различных (по модулю ра~х) решения сравне- сравнения A31а). Докажем, что ни одно решение сравнения A31), полу- получаемое из zlf не сравнимо (по модулю ра) ни с одним решением сравнения A31), получаемым из z2. Пусть: Plx (*i + rp*~x) = р^ (г2 + spa~x) (mod pa). 123
Сократим все три части на р*: zx + г/?а-х = г2 -f spa~l (mod р*-*1); zx — z2 = (s — г) ра~х (mod ра~^). Но а — X < а — ;л, следовательно: Zx — z2 = (s — г) ра~х (mod ра~х), или: Zi — z2 = 0 (mod ра~х), zx = z2 (mod ра~х), т. е. гъ z2 не различны по модулю ра~~х, что противоречит условию. Таким образом, если сравнение A31а) имеет решения, то сравне- Л ние A31) имеет 2р2 решений при р нечетном, или р = 2, а — X = Л Л = 2, 4/?2 решений при р = 2, а — Х>2 и р2 решений при/?=2, а —Х= 1. 2) X = 2pt + 1 нечетное; из A31) видно, что х должно делиться на р**1. Пусть x = plx+1z; тогда A31) получит вид: или, сократив на Но это сравнение не имеет решений, так как ах не делится на р, т. е. из него нельзя определить даже z2 (§ 39, теорема 60). Сле- Следовательно, в этом случае и сравнение A31) не имеет решений. Итак: Теорема 80. Сравнение A31) при X < а и при ai9 не делящемся на р, имеет решения только при четном X и при (— ) = +1 (при р — простом нечетном), или при а± = 1 (mod 4) (при р = 2, a — X = 2), или при ах = 1 (mod 8) (при р = 2, a — Х>2) и всегда при р = 2, a — Х= 1 (при четном X). В этих случаях оно имеет: к х р2 решений при р — 2, а — Х = 1; 2р2 решений при р нечет- _х_ ном простом, или при р = 2, a — Х = 2; Ар2 решений при р = 2, а—Х>2. Пример 1. x2 = 0(mod81); здесь р = 3, а = 4 — четное. По- Получаем решения: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72; всего девять решений, различных по модулю 81. Пример 2. х2 = 0 (mod 128); здесь р = 2, а = 7 нечетное. Получаем решения: 0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112; всего восемь решений, различных по модулю 128. Пример 3. х2 = 36(mod 81); здесь р = 3, а = 4, a = 36 = 32-4; следовательно, X = 2 — четное; ах = 4. Положив д: = Зг, получим для z сравнение z2 = 4(mod 9); оно, очевидно, имеет решения 124
zx^2, z2 —— 2 = 7. Следовательно, получаем такие решения дан- данного сравнения: 3-2 = 6, 3 • B + 9) = 33, 3 • B + 18) = 60; 3-7 = 21, 3 • G + 9) = 48, 3 ¦ G + 18) = 75; всего шесть решений, различных по модулю 81. Пример 4. х2= 164(mod 512); здесь р = 2, а = 9, а = 164 = = 22 • 41; следовательно, X = 2 четное, аг = 41 = 1 (mod 8). Поло- Положив х = 2г, получим для г: 22 = 41 (mod 128); имеем: 41 = = 9 (mod 32). Таким образом, сравнение 22 = 41 =9 (mod 32) имеет решения: 3, —3, 3+16=19, —3+16=13. Из них 19 и 13 удовлетворяют и сравнению 22 = 41 (mod 64), а 13 удовлетворяет также сравнению 22 = 41 (mod 128). Следовательно, для этого сравнения имеем решения: 13, —13, 13 + 64 = 77У —13 + 64 = 51. А данное сравнение имеет следующие решения: 2- 13 = 26; 2.A3+ 128) = 282; 2-(—13) = —26; 2- (—13 + + 128) = 230; 2 . 77 = 154; 2 - G7 + 128) = 410; 2 - 51 = 102; 2 • E1 + 128) = 358; всего восемь решений, различных по модулю 512. Пример 5. х2 = 16 (mod 32); здесь р = 2, а = 5, а =16 = = 24 • 1; следовательно, X = 4 — четное, ах = 1. При х = 4г полу- получим для z\ 22=l(mod2); отсюда для z только одно решение: г=1. Решения данного сравнения следующие: 4-1=4; 4 • A + 2) = 12; 4 • A + 2 . 2) = 20; 4 . A + 3 . 2) = 28; всего четыре решения, различных по модулю 32. § 57. Рассмотрим теперь сравнение: x2 = a(modm), A32) где модуль т — какое-нибудь составное (положительное) число. Если т = p*qhi... разложение числа т на простые множители, то по следствию 2 теоремы 68, § 45 сравнение A32) распадается на следующие: 2 (p) ) Jt2===a(mod<7p), > A33) 2d) J и имеет решения тогда и только тогда, когда все сравнения A33) имеют решения. При этом число различных по модулю т решений сравнения A32) равно произведению чисел различных по соответ- соответствующим модулям решений сравнений A33). В частности, если т нечетное и а взаимно-простое с т, то сравнения A33) тогда и только тогда имеют решения, когда все символы Лежандра ( — ], (— j , f — J, ... равны +1; тогда каж- 125
дое из сравнений A33) имеет два решения. Но тогда символ Якоби Ш=A)ШТ ••¦=+¦• Это условие необходимо для разрешимости сравнения A32), но недостаточно, ибо из (—) =+1 не следует, чтобы все сим- (а\ (а\ (а\ . , волы [-), \-^) , [у] , ... равнялись +1. Число всех решений (различных по модулю т) сравнения A32) при нечетном т можно представить так: Действительно, если хоть один из символов ( —), (~), (—),... равен —1, то соответственный множитель равен нулю; но тогда сравнение A32) не имеет решений (т. е. число решений =0). Если же все символы (—), ( —), f ~), ... равны + 1, то каж- каждый множитель в A34) равен 2. Но тогда каждое из сравнений A33) имеет два решения, а число всех решений сравнения A32) есть 2Р, где р — число различных простых множителей числа т\ но то же нам дает и формула A34). Итак: Теорема 81. Необходимое (но недостаточное) условие разреши- разрешимости сравнения A32) при нечетном т и при а взаимно-простом с т есть: I —) = +1. Число различных по модулю т решений сравнения A32) дает выражение A34), где р, q, r, ... — различ- различные простые делители числа т. Решим несколько общих примеров. Пример 1. х2 = 46(mod 105). Здесь 105 = 3-5-7 — нечетное; D D6,105)= 1. Данное сравнение распадается на три сравнения: *2 = 46=El(mod3), ;c2=46=l(mod5), x2 = 46 = 4(mod 7). Очевидно, что все они разрешимы; их решения: x= + l(mod3), *=-j-l (mod5), x = ±2(mod7). Эти решения мы комбинируем всеми возможными способами и по- получаем всего восемь решений данного сравнения. Возьмем сначала такую комбинацию: х= 1 (mod 3), х= 1 (mod 5), x = 2(rnod7); первые два сравнения дают: x=l(modl5), или х ==1 + 15/. Подставляя это в третье сравнение, получим: 1 + + 15/ = 2(mod 7), или 15/ = /= 1 (mod 7); следовательно, х= 1 + 4-15-1 = 16 (mod 105); это наше первое решение. Легко видеть, что комбинация х =—I(mod3), х = — 1 (mod 5), х = —2(mod7) дает решение: х~—16(modl05). 126
Возьмем теперь комбинацию: лгее 1 (mod 3), х=е= — 1 (mod 5), х ее 2 (mod 7); первые два сравнения дают: х = 1 + З&ее— 1 (mod 5); Ъи е= —2 ее 3 (mod 5), и = 1, я = 4 (mod 15), * = 4 + 15/. Подстав- Подставляем это в третье сравнение, получим: 4 + 15/ее 2 (mod 7), или / = —2, хее4—15 • 2 ее—26 (mod 105). Таким образом, третье решение: х = —26 (mod 105), и сразу же найдем четвертое решение при «противоложной» комбинации: л; ее+26 (mod 105). Теперь берем: XEEl(mod3), #=l(mod5), х^—2(mod7). Первые два сравнения дают: х = 1 (mod 15); х= 1 + 15/ = ее—2 (mod 7), t = —3(mod7); x = — 44 (mod 105); это пятое реше- решение; шестое решение есть: #= + 44(mod 105). Теперь берем: #EEl(mod3), # =—1 (mod 5), х^—2(mod7). Первые два сравнения дают, как мы уже видели, х =4 (mod 15); следовательно, 4+15/ее—2(mod 7), /ее—6(mod 7), или /ее ее 1 (mod 7); следовательно, х^ 19 (mod 105). Это— седьмое реше- решение; а восьмое: х^—19(modl05). Таким образом, наши восемь решений следующие: + 16, ±19, +26, +44(modl05). Пример 2. х2ее 17(mod 104). Здесь 104=23-13; DA7, 104)-1. Данное сравнение распадается на следующие: x2EEl7=l(mcd8); x2^ 17 = 4(mod 13). Оба сравнения разрешимы; решения первого: +1, +3, вто- второго: +2. Имеем опять восемь комбинаций. Берем: A;=l(mod8), XEE2(modl3); это дает: #=1+8/ = = 2(modl3); 8/ = 1 ее—12(mod 13); 2/= —3ее 10(mod 13), t = = 5(modl3); следовательно, х= 41 (mod 104). Это — первое реше- решение; второе решение: х~—41 (mod 104). Теперь берем комбинацию: ;t=l(mod8), а;ее—2(mod 13); это дает: *= 1 + 8/ее— 2 (mod 13); 8/ее-Зее— 16 (mod 13); t = ее —2 (mod 13); следовательно, х^е\ —8-2 = —15 (mod 104). Это — третье решение, а четвертое: х^ 15 (mod 104). Теперь берем комбинацию: хее3(mod 8), XEE2(mod 13); это дает: х -3 + 8/ = 2(mod 13); 8/ее~-1ее12; 2/ееЗее— 10; 1~ ее—5 (mod 13); следовательно, хееЗ — 8 • 5ее — 37 (mod 104). Это пятое решение, а шестое; х^37(mod 104). Наконец, берем: jCEE3(mod8), х = —2(modl3); это дает: л: = 3 +8/ее— 2(mod 13); 8/ее—5 = 8, /ее 1 (mod 13); следова- следовательно, х= 11 (mod 104). Это седьмое решение; а восьмое: # = = — И (mod 104). Таким образом, восемь решений данного сравнения следующие: + 11, +15, +37, +41 (mod 104). Пример 3. Решить сравнение х2 — Ъх + 16 = 0 (mod 24). По- Помножая все три его части на 4 (§ 46, случай 1), получаем: 4х2 — 20* + 64 == 0 (mod 96), 127
или: Bх - 5J = 25 — 64 (mod 96). Пусть 2х—5 = у, тогда: У2 = — 39 (mod 96). (а) Это сравнение сводится к следующим: у2 = —39 = —7 (mod 32); у2 = —39 = 0 (mod 3); первое сравнение имеет четыре решения: 5, —5, 5+16 = 21; —5+ 16= 11; второе имеет одно решение 0. Следовательно, для решения у сравнения (а) имеем четыре комбинации. Одна из них: t/ = 0(mod3), у = 5 (mod 32), или у = 3^ = 5 = — 27 (mod 32); t = —9; следовательно, у = —27 (mod 96). Это первое решение сравнения (а); второе, очевидно, есть: у = +27(mod 96). Возьмем, далее, комбинацию: t/ = 0(mod3), у = 21 (mod 32); находим: у = 3^ = 21 (mod 32), т. е. /==7, у = 21 (mod 96). Это третье решение сравнения (а), а четвертое: у = —21 (mod 96). Итак, имеем четыре решения сравнения (а): #=±21, ±27(mod96). Каждое из этих значений у подставляем в формулу 2х — 5 = у и каждый раз определяем соответствующее значение х\ получаем для х значения: 13, —8, 16, —11. Они все целые, ноне все раз- различны по модулю 24, именно: 13 = —11, 16 = —8 (mod 24). Сле- Следовательно, данное сравнение имеет только два решения, различ- различных по модулю 24: ^=13 (mod 24), *2=16(mod24). Пример 4. Решить сравнение Зх2—16л: + 12 = 0 (mod 36). Чтобы свести это сравнение к двучленному, умножим все три его части на 3 (§ 46, случай 2): 9л:2 — 48* + 36 = 0 (mod 108), или: (Зх — 8J = 64—36 (mod 108). Обозначим: Зл; — 8 = у; тогда: у2 = 28 (mod 108). Это сравнение сводится к следующим: у2 = 28 = 0 (mod 4); */2 = 28=l(mod27); первое имеет два решения: 0 и 2; второе — тоже два решения: +1. Имеем всего четыре комбинации; берем сначала: y = 0(mod4), t/=l (mod 27); это дает: #=4*=1 (mod 27); / = 7, у = 28 (mod 108). Это — первое решение; второе, очевидно, у = —28 (mod 108). Далее 128
берем комбинацию: у = 2 (mod 4), z/= I (mod 27); это дает: у = 2 + + 4/= 1 (mod 27); 4/ = — 1 (mod 27); t = —7; у = 2 — 4 • 7 = —26(mod 108). Это — третий корень, а четвертый, очевидно, y = 26(mod 108). Таким образом, для у имеем значения: +26, +28. Подставляем каждое из них в формулу Зл: — 8 = у и каждый раз вычисляем х; но значения г/ = -f-26 и у = —28 дают для х дробные значения, которые нам не подходят. Значения же у = —26 и у = +28 дают: х = —6 и л: =+12,— различные значения по модулю 36. Таким образом, данное сравнение имеет два решения. Пример 5. Решить сравнение 5л:2 + х + 4 = 0 (mod 10). Чтобы свести его к двучленному, умножим все три его части на 4 • 5 = 20: 100л:2 + 20* + 80 = 0 (mod 200), или: A0*+ 1J= 1—80 (mod 200). Обозначим: 10х-\-1=у; тогда: у* = — 79 (mod 200). (а) Это сводится на у2 == —79 = 1 (mod 8); у2 = —79 = — 4 (mod 25). Первое из этих сравнений дает четыре решения: г/= + 1, +3. Чтобы решить второе сравнение, берем сначала: У2 = — 4=1 (mod 5); одно из решений этого сравнения г/=1. Берем (§ 54). A + V^Af = 1 + 2 }/ =4 — 4 = —3 + 2 |Л=4. Решим сравнение —Ъи = —4 (mod 25), или Ъи = —21 (mod 25), и = —7. Следовательно, у = —7-2 =—14= 11 (mod 25). Итак, сравнение у2 = —4 (mod 25) имеет решения: +11. Таким образом, мы имеем здесь восемь комбинаций. Берем одну из них: у= 1 (mod 8), у= 11 (mod 25); следовательно, у = 1 + +8^=11 (mod 25), 8^=10; 4^ = 5 = —20; f = —5; y=l — 8- 5 = ^—39 (mod 200). Это одно решение сравнения (а); другое, оче- очевидно, у == + 39 (mod 200). Теперь берем комбинацию: у= 1 (mod 8), г/= —11 (mod 25); следовательно, у=1+ & = —11 (mod 25); 8* = —12; 2/ = —3=22, ^^11, у=\ +8* 11 =89 (mod 200). Это третье решение сравне- сравнения (а); четвертое решение есть: у = — 89 (mod 200). Теперь берем комбинацию: r/ = 3(mod8M г/= 11 (mod 25); сле- следовательно, у = 3 + 8/= 11 (mod 25); 8^ = 8; /= 1; у = 3+8 • 1 = = 11 (mod 200). Это пятое решение сравнения (а), а шестое решение: у = —11 (mod 200). Наконец, берем комбинацию: ^/^3(mod8), y = —11 (mod 25); следовательно, у = 3 + 8/ = — 11 (mod 25); 8/ = —14; 4/ = —7=18; 2^ = 9 = —16; ^ = —8; у==3 — 8 • 8 = —61 (mod 200). Это седьмое 129
решение сравнения (а), а восьмое решение: у = -f-61 (mod 200). Таким образом, имеем восемь решений сравнения (а): + 11, +39, +61, +89. Каждое из этих решений подставляем в формулу 10х+ 1 = у и определяем х. Но значения —11, +39, —61, +89 дают дроб- дробные значения для х, которые не годятся. При г/ ===== —J—11» —39, + 61, —89 получаем: х= 1, —4, 6, —9. Но по модулю 10 не все они различны: 1 = —9, 6 = —4. Следовательно, имеем только два различных по модулю 10 решения данного сравнения: хг=\ (mod 10); x2 = 6(modl0). Замечание. Три последних примера можно было бы решить иным способом: вместо того чтобы сначала свести квадратное сравнение к двучленному (по § 46), а затем заменить это двучлен- двучленное сравнение несколькими сравнениями, модули которых — сте- степени простых чисел (по § 45), можно поступить и наоборот: сна- сначала заменить наше сравнение несколькими сравнениями, модули которых - степени простых чисел, а затем уже каждое из этих сравнений сводить к двучленному. Иногда такой способ более выгодный Решим этим вторым способом сравнение примера 5: 5x2 + x + 4 = 0(mod 10); оно сводится к таким: 5х2+ х + 4 = 0 (mod 5); Ъх2 + х + 4 = е^ 0 (mod 2), или, приводя коэффициенты первого по модулю .5, а второго по модулю 2: х— 1=0(mod 5); х2 + х = х(х + I) = 0(mod2). Второе сравнение удовлетворяется всяким числом х, ибо х{х-\- 1) всегда четное; первое же дает x=l(mod5). Следовательно: 1) при x = 0(mod2), *=l(mod5) найдем: x=6(mod 10); 2) при дг = 1 (mod 2), х = 1 (mod 5) найдем: х = 1 (mod 10). Мы видим, что в разобранном примере этот способ оказался более простым, чем первый. УПРАЖНЕНИЯ 71. Сравнение 8х4 — 9л'3 + 12х2 — 8 = 0 (mod 72) заменить систе- системой сравнений, модули которых — степени простых чисел (§ 45). Ответ. х2(х — 4) = 0(mod 8); х4 — Зх2 — 1 = 0(mod9). 72. Привести следующие квадратные сравнения к двучленным: а) 4х2— Их— 3 = 0(mod 13); б) Ъх2— 11* + 16 = 0 (mod 45); в) 12х2 + 8х— 15 = 0 (mod 44) (§ 46). Ответ, а) у2 = 0 (mod 13); у = х — 3; б) у2 = — 16(mod 225); у = 5х+ 17; в) #2 = 49(mod 132); у = 6х + 2. 73. Пользуясь критерием Эйлера, определить: а) которые из чисел 2, 3, 5 — квадратичные вычеты, которые — невычеты по 130
модулю 13; б) которые из чисел 5, 7, 8 — квадратичные вычеты, которые — невычеты по модулю 17 (§ 47). Ответ, а) 2 и 5 — невычеты, 3 — вычет; б) 5 и 7 — невычеты, 8 — вычет. 74. Проверить лемму Гаусса на примере р = 19, а== 5 (§ 48). Ответ. ц = 4; (^) = +1. 75. Вычислить символы Лежандра: а) (щ) ; б) (^j ; в) (g=); / /2115 \ ч / 589 \ /х? ,пч )' е) \J (§ 49) Ответ, а), в), д), е) +1; б), г) —1. 76. Вычислить символы Лежандра и Якоби: а) ч /131 \ ч /П6\ ч ,328\ /jC -т В) Ы*' Г) Ы; Д) F25/ (§ 5°)' Ответ, а), в) —1; б), г), д) +1. E21 Р2с , а затем проверить, разложив его на символы Лежандра и вычислив их (§ 50). Ответ. —1. 78. Найти все квадратичные вычеты числа р: а) р = 11; б) р= 13; в) р = 17; г) р= 19 (§ 51). Ответ, а) 1, 3, 4, 5, 9; б) 1, 3, 4, 9, 10, 12; в) 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16; г) 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17. 79. Доказать, что при р = 4k -f 1 числа аир — а одновре- одновременно квадратичные вычеты или невычеты, а при р = 4k + 3 из чисел аир — а одно квадратичный вычет, а другое — невычет (§ 48). 80. Найти все простые делители формы t2 — 7и2 (§ 51). Ответ. 2, 7, 28Й+1, 28? + 3, 28/г + 9. 81. Найти все простые делители формы t2—14а2 (§ 51). Ответ. 2, 7, 56ft ±1, 56/г + 5, 56/г + 9, 56ft-?11, 56/г+13, 56ft + 25. 82. Найти все простые делители формы t2 + 5и2 (§ 51). Ответ. 2, 5, 20ft + 3, 20ft + 7, 20ft + 9. 83. Решить сравнения: а) х2= 19(mod 31); б) х2= 15(mod 53); в) x2=ll(mod59); г) х2 = 3(mod 37) (§ 52). Ответ. a)xEEE:f9; б) jceee+ 11; в) решений нет; г) #=4: 15. 84. Решить сравнения: a) x2 = 65(mod 101); б) x2 = 7(mod83); в) x2EEE43(mod 109) (§ 52). Ответ, а) х=±4\\ б) * = +16; в) х=±32. 85. Решить способом Коркина сравнения: а) х2= 11 (mod313); б) jc2 = 8(mod641) (§ 53). Ответ, а) х= + 18; б) х = ±]34. 86. Решить сравнения: а) х2 = 24 (mod 125); б) х2 = 18 (mod 343); в) х2 =13 (mod 243) (§ 54). Ответ, а) +32; б) +19; в) +16. 131
87. Решить сравнения: а) х2ее= 57(mod 512); б) х2^=4] (mod 1024); Ъ) х2 = 17 (mod 16384) (§ 55). Ответ, а) +85; +171; б) +205, +307; в) +1769; +6423. 88. Решить сравнения: а) х2 = 0 (mod 625), б) х2 = 0(mod 1331) (§ 56). Ответ, а) 25 решений вида 25&, где /г = 0, 1, 2, ... 24; б) 11 решений вида 121&, где k = 0, 1, 2, ... 10. 89. Решить сравнения: а) х2 = 19(mod 90); б) x2 = 98(mod 343); в) *2 = 81(mod729); г) х2 = 2500 (mod 3125); д) *2 = 27(mod243); е) *2 = 192 (mod 512) (§ 56). Ответ, а) ±17; +37; б) +21, ±28, ±70, ±77, ±119, ±126, ±168; в) ±9; ±72, ±90, ±153, ±171, ±234, +252, +315, ±333; г) +50; ±75, ±175, ±200, ±300, ±325 и т. д., всего 50 решений, учитывая двойные знаки; д) и е) не имеют решений. 90. Решить сравнения: а) х2 = 34 (mod 495); б) х2 = 48 (mod 416) (§ 57). Ответ, а) ±23, ±32, ±67, ±122; б) ±36, ±68, ±140, ±172. 91. Решить сравнения: а) 8л:2 + 15х —6 = 0 (mod 56); б) \2х2 — — 11*—1 = 0(mod 30). Ответ, а) 2; 18; б) 1; 7. 92. Решить сравнение: х2 + Ш— 18 = 0(mod 342) (§ 57). Ответ. 12, —30, 84, —102, 126, —144. 93. Решить сравнение: х2 + х + 4 = 0 (mod 32) (§ 57). Ответ. 12, —13. 94. Решить сравнение: х2 + 8х — 20 == 0 (mod 45) (§ 57). Ответ. 2, 5, 17, 20, 32, 35.
ГЛАВА V ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ § 58. В § 37 мы ввели понятие о показателе п, к которому принадлежит данное число а по модулю т\ в теореме 59 гово- говорится, что такой показатель п существует для всякого числа а, взаимно-простого с т. Из второго доказательства теоремы Ферма - Эйлера следует: Теорема 82. Показатели, к которым принадлежат все числа ау взаимно-прсстые с т, по модулю ту являются делителями числа ср (т). Если теорема Ферма - Эйлера доказана независимо от теоремы 59, то теорема 82 непосредственно следует из теоремы 59 и из тео- теоремы Ферма-Эйлера, ибо в силу последней а?<т) = а°(тос1/я), а вторая часть теоремы 59 говорит, что ср (т) == 0 (mod ri), т. е. ср (т) делится на п. Как уже было выяснено (§ 37), все степени: а°= 1, а1, а2, ... .. . ап~1 различны по модулю т и являются корнями сравнения: ), A35) ибо, очевидно (ax)n = (an)x = I (modm). Определим, к какому показателю принадлежит а1 по модулю т. Пусть (ak)k = аХк = 1 (mod т); тогда (по теореме 59): Х& = = 0 (mod п). Обозначим: D (X, п) = d; n = dnly X = d\x\ тогда получаем, что d\±k делится на dnly т. е. Хгк делится на пг. Но D(Xly пг) = 1 (§ 4, теорема 10), следовательно, k делится на пх (§ 7, теорема 15), k = nxz, где z — целое число. С другой стороны: (a')ni = ad/»n' = ax*dni = ax*n=l (mod m); это доказывает, что пх—наи- пх—наименьший показатель, для которого (ax)ni= I (modm), т е. пх и есть показатель, к которому принадлежит а1 по модулю т. Итак: Теорема 83. Если а принадлежит к показателю п по модулю т, х то ах принадлежит к показателю jy^-—: по тому же модулю. Следствие 1. ах принадлежит по модулю т к тому же самому показателю п, что и а тогда и только тогда, когда X и п взаимно- простые. 133
Определение. Корень х сравнения A35) называется перво- первообразным корнем этого сравнения, если он принадлежит к пока- показателю п по модулю т. Из предыдущего следует: Следствие 2. Если известно, что сравнение A35) имеет один первообразный корень, то оно имеет по крайней мере ср (п) перво- первообразных корней. Из теоремы 82 следует, что сравнение A35) только тогда мо- может иметь первообразные корни, когда п — делитель числа ср(т). Но отсюда еще не следует, что для всякого делителя п числа ср (т) сравнение A35) непременно имеет первообразные корни, т. е. что для всякого делителя п числа ср (т) существуют числа а, которые принадлежат к показателю п по модулю т. Среди делителей числа ср (т) имеется и само число ср (т). Определение. Первообразные корни сравнения A35) при п = ср (т) (если они существуют) называются первообразными кор- корнями самого числа т. Исследуем, у каких чисел существуют первообразные корни. Сначала докажем следующую лемму. Лемма. Если aKi = 1 (mod mx), ak* = 1 (mod m2), ... aXk = d (X X X) ( 2) = 1 (mod mft), то a^EEE 1 (mod M), где |i = M(Xb X2, ... XA), M = = M (mb m2, ... mk). Доказательство. Если ^^lfmodm,), то и ахХ* = 1 (mod ma) при любом целом положительном %. Следовательно, а^= 1 (modma) при а = 1, 2, . . . fe. Но если а^— 1 делится на тъ т2, . . . mk, то а'^—1 делится и на М (по теореме 8, § 3); следовательно, а*=\ (mod M). Пусть теперь т = р q$r^ ... разложение т на простые мно- множители. Имеем: т = М.(р\ ^\ г\ . . .); ибо степени pat q\ Пу ... попарно взаимно-простые (§ 8, теорема 17). Если число а взаимно-простое с ш, то оно взаимно-простое и с каждой степенью: р\ др, Пу ... Пусть а принадлежит к по- показателю х по модулю р\ к показателю X по модулю q$, к по- показателю |1 по модулю П и т. д. и пусть ? = М(%, X, [х, . . .); тогда в силу доказанной леммы а^= 1 (mod/я). Если а — первообразный корень числа т, то ? = ср(/я). Но, с одной стороны, ф (лп) = ср (ра) ср (9s) ср (г'О . . . (§ 35, теорема 54, следствие 1); с другой стороны, по теореме 82, % — делитель числа ср(ра), X — делитель числа ср (q$)9 |л — делитель числа <р(гт), ... Следовательно, х<:ср(ря), Х</.?(<7Р), ^<ф(/*т), ... Если бы только в одной из этих формул имел место знак неравенства, то было бы: УиХ|х... <ср (ра) <р (9Р) ср (г0 . . . Но ? < хХ[х ... ; значит, было бы ? <ср (ш). Следовательно, должно быть: х = ср (ра), X = ср (qfP), jx = ср (г?), ..., т. е. а должно быть первообразным корнем и для ра, и для q$, и для /•?, ... Кроме того, должно быть: ? = %Х[х ... , т. е. <р(ра), 134
••• должны быть попарно взаимно-простыми. Но если р и q — два различных нечетных простых числа, то ср (/г*) = = р°~1 (р — 1), ср (q$) = 93" (q — 1) — оба четные, т. е. не взаимно- простые. Следовательно, т не может иметь двух различных не- нечетных простых делителей, т. е. т должно иметь вид: т = 2р • ра. Но ведь фBр) = 2р~~1; при р>1 2?~1—четное и, значит, не вза- взаимно-простое с ф (ра). Следовательно, первообразные корни у числа т возможны только, если т = р\ или т = 2р\ или т = 2к Но легко выяснить, что в последнем случае должно быть р = 1 или 2. Действительно, пусть р>2 и а — нечетное, т. е. взаимно-про- взаимно-простое с 2?; следовательно, а имеет вид: a — Ak + 1, и мы имеем: а2? = 1 ± 29k + 2р+W, где N — какое-то целое число, или: С другой стороны, ср Bр) = 2Р-1, т. е. 2р~2 = у? Bр)> и для всякого числа а, взаимно-простого с 2?: * /оРч a2" ;=l(mod2P), т. е. первообразных корней для числа 2р не существует. Таким образом: Теорема 84. Первообразные корни могут существовать только для чисел: 2, 4, ра, 2ра, где р — нечетное простое число, а а — какой-нибудь целый положительный показатель. Мы увидим, что для таких чисел первообразные корни дей- действительно существуют. § 59. Рассмотрим случай простого нечетного модуля р. Если а принадлежит к показателю п по модулю р, то сравнение xn=l(modp) A35а) кроме корней 1, а, а2, ... ап~1 не имеет иных корней (по мо- модулю р)\ это следует из теоремы 64, § 44. Следовательно, если сравнение A35а) имеет хоть один первообразный корень, то оно имеет точно ср(п) первообразных корней; это — уточнение след- следствия 2 из теоремы 83 в § 58. В данном случае (по теореме 82) п должно быть делителем числа у(р) — р—1. Возьмем сравнение: p1l(d); A356) по теореме Ферма-Эйлера это сравнение удовлетворяется всяким числом, не делящимся на р, а следовательно, и всеми корнями сравнений A35а), где п — какой-нибудь делитель числа р— 1, т. е. и всеми первообразными корнями этих сравнений.
Но всякое число а, не делящееся на р> т. е. всякий корень сравнения A356), непременно принадлежит к некоторому показа- показателю п по модулю р, и этот показатель — делитель числа р—1. Найдем все делители d, d't d'\ ... числа р—1 (включая и единицу и само число р—1) и обозначим через ф(й), Ф(^')> ф(й"), .. . количества чисел, принадлежащих к показателям d, d\ d'\ ... по модулю р. Но мы знаем, что ф (d) = cp (d), или ф (d) = 0; то же и для ф(бС), ф(сГ)> ... С другой стороны, Yi$(d) = Р — U d так как всякое число, не делящееся на р, т. е. всякий корень сравнения A356), непременно принадлежит по модулю р к пока- показателю d, или d\ или d" ... . Но по формуле Гаусса (§ 35, теорема 55) 2 <Р (Ф = р — 1, сле- d довательно, ^Ф(^) = 2?(^)» 3Десь каждое слагаемое левой части d d равно или нулю, или соответствующему слагаемому правой части. Но ведь суммы равны, значит, и соответствующие слагаемые должны быть равны. Следовательно, ни одно из чисел ф (d) не равно нулю, но при всяком d ф (d) = у (d). В частности, при d = р — 1 ф (р — 1) = = *(/7— 1), или. Теорема 85. Для всякого нечетного простого числа р суще- существуют первообразные корни; число их =%(р — 1). Практического способа нахождения первообразных корней (т. е., по крайней мере, одного первообразного корня) данного простого числа не существует, приходится просто применять способ испы- испытаний, который можно только немного упорядочить. § 60. Рассмотрим теперь случай, когда наш модуль есть степень нечетного простого числа: т = р*\ первообразный корень числа ра — такое число а, взаимно-простое с ра (т. е. не делящееся на р)у которое принадлежит к показателю ср (ра) = ра~1 (р—1) по мо- модулю ра. Пусть число а принадлежит к показателю п по модулю р; сле- следовательно, an=l(modp), т. е. ап = 1 -\~pN. Отсюда: anpa-i = A + pNy*~l = 1 + р«Му где М — целое число, ибо все члены разложения A -f pN)^ по формуле бинома Ньютона, начиная со второго, делятся на /?\ Таким образом, Но при п < р — 1 ведь пр*—1 < ра~~г (р — 1) = 9 (ра), т. е. при п< р — 1 число а не может быть первообразным корнем числа р*. Следовательно, первообразные корни числа р^ (если они суще- существуют) должны быть первообразными корнями и числа р. Пусть g — первообразный корень числа р, имеем: 136
т. е. g73" = ] -{- Np\ N — целое число. Рассмотрим случай, когда N не делится на р, т. е. когда g1^1—1, делясь на р, не де- делится на р2. Имеем: gv(P-i) = A + Npf = 1 + Np2 + Мр3, где М — целое число, не делящееся на р (как и N), так как все члены разложения A + Np)p по формуле бинома Ньютона, начиная с третьего, делятся на р3, а начиная с четвертого, делятся на р\ Таким образом, можно написать: gV(V-l) = ! + Lp2f где L — целое число, не делящееся на р. Возведя обе части по- последнего равенства снова в степень р, найдем: g.p4P-i> = A + Lpy = 1 + Lp3 + Кр\ где К — целое число; т. е.: где Н — целое число, не делящееся на р, и т. д. Так, мы найдем общую формулу (методом полной индукции): ^ 1 +Ррх+\ A36) где Р — целое число, не делящееся на р. Или, иначе: но g*^-1) не = 1 (mod р*)9 если jx > X + 1. Пусть п — показатель, к которому принадлежит g по модулю ра; следовательно, g"= 1 (mod ра;, а следовательно, и g" l= I (mod p). Значит, п делится на показатель, к которому принадлежит g по модулю р, т. е. на р—1. С другой стороны, по теореме Ферма- Эйлера g-^^—D = 1 (mod pa), a следовательно, р*~* (р—1) де- делится на п. Таким образом, п имеет вид: п = р' (р — 1), где 0 < t < ol — 1. Но если бы было /<а—1, то мы бы имели: gVCP-D = 1 {mod p.)f а в силу формулы A36) это сравнение неверно. Следовательно, / = а—1, и g—первообразный корень числа ра. Исследуем теперь случай, когда gf'~l — 1 делится на р2. Пусть gp~x— 1 = p2.V, или grj~x = 1 + Л/р2; в таком случае найдем: Л/р2)^ = 1 + Мр\ где М — целое число; значит: V = 1 (mod p«)t 137
Следовательно, g— не первообразный корень числа ра, так как по модулю ра он принадлежит к показателю <ра~2(р— 1) < ф(ра). Вместе с g все числа вида / = g + kp при любом целом k являются первообразными корнями числа р. Все эти числа сравнимы друг с другом по модулю р. Но по модулю р* числа / не все сравнимы друг с другом: при k = 0, 1, 2, ... ра~1—1 числа f = g -\- kp различны по модулю ра, тогда как при других целых значениях k соответствующие значения / будут сравнимыми с теми, которые мы получили при k = О, 1,2, ... ра~1— 1, т. е. несравни- несравнимых друг с другом по модулю ра значений / всего р°-~1. Иссле- Исследуем, какие из этих значений / будут первообразными корнями числа ра. Для этого надо исследовать, в каких случаях fp~x—1, делясь на р, не делится на р2. Пусть gv~x — 1 = N • р; тогда: /р-1 _ 1 = {g + kpf-i - 1 = (?*-* _ 1) + р (р _ 1) kg*-* + Lp\ где L — целое число, или: /р-1 _ 1 = Np + р (р _ 1) kgv-2 + Lp2t Умножим обе части этого равенства на g(g — не делится на р): (Г*1- 1)? = Mgp + p(p-\)kg^ + Lgp*; ео gv~1 = 1 + AT?, следовательно, (Г'1 - 1) g - Ngp + p (p - 1) k (Np + 1) + Lgp\ ели, иначе: (Г'1- l)g=(Ng~k)p + Kp2, A37) где К — некоторое целое число. Здесь мы различим два случая: 1. N не делится на р (т. е. g^—1 не делится на р2). Для того чтобы правая часть A37) не делилась на р2, надо, чтобы u = Ng — k не делилось па р\ k = Ng — и. Пусть и принимает значения меньшие, чем ра~1 и не делящиеся на /?; число таких значений: ^ (р00) = ра~~2(р—1). Найдем для них соответствующие значения k, подставим их в формулу / = g + kp и получим те зна- значения /, которые являются первообразными корнями числа ра, ибо fp~ 1 — j дЛЯ этих значений / не делится на р2. 2. Пусть теперь А^ делится на р (т. е. g0— 1 делится на р2); в этом случае правая часть A37) не делится на р2, если только k не делится на р. Следовательно, здесь мы просто даем для k все <р (ра~1) значений, меньших, чем ра~г и не делящихся на р. Со- Соответствующие значения для / и будут первообразными корнями числа р\ Таким образом, в обоих случаях первообразный корень g числа р дает ^(Р*-1) различных по модулю ра первообразных корней числа р\ Очевидно, что два различных (по модулю р) первообразных корня g± и g2 числа р дадут и все различные (по модулю ра) первообразные корни числа ра, так как /х = gx + kxp 138
и /2 = g2 + hP несравнимы друг с другом даже по модулю р. Таким образом, всего существует ср (р- 1) • ср(р«-1) = ср(р«-1(р_ 1)) = <р(ср (/>*)) A38) различных по модулю />а первообразных корней числа ра, ибо первообразных корней числа р всего ср(р—1) и каждый из них дает ф(ра~х) первообразных корней числа ра; а так как р—1 и ра~~х взаимно-простые, то можно применить следствие 1 из тео- теоремы 54 (§ 35). Итак: Теорема 86. Степень ра простого нечетного числа р всегда имеет первообразные корни; их число <р (?(/?*)). Каждый первообразный корень числа р дает ср (ра~1) различных по модулю ра первообраз- первообразных корней числа ра. Сам первообразный корень g числа р тогда и только тогда является первообразным корнем числа ра, когда gv~1 — 1, делясь на р, не делится на р2. Пример 1. Найти первообразные корни числа 27. Здесь р = 3, а = 3, <р B7) = 27 ¦-§¦ = 18, <рA8)= 18 • ~ • | = 6; следо- следовательно, существует шесть первообразных корней числа 27. Далее, ср (р—1) = срB) = 1, т. е. существует только один первообразный 2 корень числа 3; он = 2; р*—1 = З2 = 9; ср(9) = 9-^ = 6. Следо- Следовательно, этот корень 2 должен дать все шесть корней числа 27. Имеем: 22— 1—3-1, т. е. N = 1 не делится на 3, и мы здесь имеем случай 1. Для и даем ср(9) = 6 значений <9 и взаимно- простых с 9; это: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Соответствующие значения k найдем по формуле k = Ng — и = 2 — и; получим, k = 1, 0, —° —3, —5, —6. Наконец, вычислим значения / по формуле / = g -+- + kp = 2 + 3k\ получим все шесть первообразных корней числа 27: 5, 2,—4 = 23,—7 = 20,—13=14,—16 = 11. Пример 2. Найти первообразные корни числа 25. Здесь р = 5, а-2, ср B5) = 25- 4-=20, <р B0) = 20 • 1 • ¦§-= 8; следо- следовательно, существует восемь первообразных корней числа 25. Каждый первообразный корень числа 5 дает четыре первообразных корня числа 25, ибо ра~г = 5, ср E) = 4. Число 5 имеет ср D) = 2 первообразных корня, именно, 2 и 3. Имеем: 24— 1 = 5 • 3; N = 3 не делится на 5, т. е. здесь у нас случай 1; k = Ng — и = 6 — и\ и = 1, 2, 3, 4; следовательно, k = 5, 4, 3, 2; / = g + kp = 2 + 5/г; это дает: /t = 27 = 2, f2 = 22 = —3, /8=17 = —8, U=\2. Для корня 3 имеем: З4— 1 = 5 • 16; N = 16 не делится на 5, т. е. у нас опять случай 1; k = Ng — и = 48 — и; #=1,2,3,4; k = 47, 46, 45, 44, или по модулю 25: k = —3, —4, —5, —6; / = 3 -f 5k; это дает: /б = -12=13, /в = -17 = 8, /7 = 3, /8 = -2 = 23. § 61. Рассмотрим теперь случай модуля т = 2ра, где р — про- простое нечетное число. 139
Теорема 87. Нечетное число а, не делящееся на ру принадле- принадлежит к одному и тому же показателю как по модулю /?а, так и по модулю 2ра. Доказательство. Пусть an=l (modpa), г. е. ап—1 делится на ра; но ап — 1 делится и на 2 (ибо разность двух нечетных чисел — четное число), следовательно, ап — 1 делится и на 2ра (по следствию из теоремы 17, § 8). Таким образом, ап= 1 (mod 2pa). Обратно, если ап—1 делится на 2ра, то оно делится и на ра. Это и доказывает нашу теорему. Итак, всякий нечетный первообразный корень числа ра является первообразным корнем и для числа 2ра. Это вытекает из того, что <р Bра) = <р B) ср (/?a) = cp(pa), так хак ср B) = 1 и если a«p<pa>== = 1 (mod pa), то, следовательно, а^2г>A) = 1 (mod 2pa) (при нечет- нечетном а). Если же а—четный первообразный корень числа ра, то а _|_ ра — нечетное число, являющееся тоже первообразным корнем числа ра, а значит, первообразным корнем и числа 2ра. Числа а и а + Ра не различны по модулю ра, но различны по модулю 2ра, и одно из этих чисел четное, а другое — нечетное. Следовательно, число первообразных корней числа. 2ра такое же, как и число перво- первообразных корней числа ра, т. е.: Пример. Для числа 54 число первообразных корней такое же, как и для числа 27, т. е. 6 (см. пример 1, § 60). Для 27 пер- первообразные корни, как мы видели, 2, 5, 11, 14, 20, 23; следовательно, для числа 54 первообразные корни: 2 + 27 = 29, 5, 11, 14 + 27 = = 41, 20 + 27 = 47, 23. Остается еще рассмотреть случаи модулей 2 и 4. При т = 2 существует только один класс чисел, взаимно-про- взаимно-простых с модулем; его представителем можно считать единицу. Еди- Единицу можно считать и первообразным корнем числа 2, ибо <рB)= 1, т. е. ГB)=1 (mod 2). При т = 4 существует два класса чисел, взаимно-простых с мо- модулем, их представители 1 и 3. Здесь ср D) = 2 и З'^4*^ 1 (mod 4), следовательно, 3 и является первообразным корнем числа 4, он — единственный (по модулю 4). Но ср(. D)) = a B) = 1, т. е. и здесь число первообразных корней есть ср (ср D)) подобно тому, как в пре- предыдущих случаях. Итак: Теорема 88. Для числа 2ра (р — простое, нечетное) существует <р(срBр*)) первообразных корней; всякий нечетный первообразный корень числа ра является первообразным корнем и числа 2ра. Теорема 89. Для числа 2 и 4 существуют первообразные корни; число 2 имеет единственный первообразный корень = 1; число 4 имеет единственный первообразный корень = 3. Итак, для чисел, для которых, как говорится в теореме 84, 140
могут существовать первообразные корни, эти первообразные корни действительно существуют. § 62. Пусть наш модуль т есть одно из чисел, для которых существуют первообразные корни, т. е. т = 2, или 4, или рау или 2р? (р— простое нечетное, а — целое положительное; в част- частности, а= 1). Пусть g — один из первообразных корней числа т\ следовательно, все степени g, g2, g3,. . . g9im) различны по модулю т (§37 и § 58). Но все они, как и g, взаимно-простые с т, значит, они являются представителями всех >р (т) классов чисел по модулю т, взаимно-простых с т. Таким образом, если а — какое-нибудь число, взаимно-простое с т, то существует один и только один показа- показатель а A<^а^ср(т)) такой, что: g« = a (mod/я). A39) Можно поставить и такое условие для а: 0<а<ср(т)— 1, ибо g*9^ = g° = \ (modm). Без этих условий показатель а в A39) определен бесконечно-многозначно, так как вместе с а сравнение A39) удовлетворяется и всеми показателями а + ky (m), где k — лю- любое целое число. Вообще, если g* = g* (mod m), то а = р (mod <р (m)), или р = а + /гср (т) *). Таким образом, между классами чисел по модулю /я, взаимно- простых с т, и между всеми классами чисел по модулю у. (т) су- существует взаимно-однозначное соответствие: если а — представитель класса чисел по модулю ту взаимно-простых cm, a a — предста- представитель соответствующего класса чисел по модулю -ср(т), то всегда: a^g* (modm), где g — некоторый, вполне определенный первообразный корень числа т. Число а (и весь класс, к которому принадлежит а по модулю ср (т)) называется индексом числа а (и всего класса по модулю т, к которому принадлежит а). Обозначают: а = ind a (mod ср (т)), или, точнее. a = indga (modcp(m)), так как индекс зависит и от взятого за основание первообразного корня g. Теорема 90. Индекс произведения сравним (по модулю ср (т)) с суммой индексов отдельных множителей **). Доказательство. Пусть ind a = a, ind&=p (modcp(m)); сле- следовательно, a = gxy b = g} (modm). Но тогда ab^g(X+^ (modm), *) Можно ввести и степени с отрицательными показателями; такая степень х = g—n означает решение сравнения* gnx~ I (modm); можно проверить, что наши выводы остаются верными и для отрицательных показателей (см. упраж- упражнения 99—101 в конце этой главы). **) Иногда говорят: индекс произведения равен сумме индексов отдель- отдельных множителей; но это неточно: в системе индексов мы имеем не равенства, а сравнения по модулю ср (т). 141
или: ind (ab) = a + C = ind a + ind b (mod сэ (m)). Это непосредственно обобщается и на несколько множителей. Если все множители равны, то получаем: Следствие. Индекс степени (с натуральным показателем) сравним (по модулю ср (га)) с индексом основания степени, помноженным на показателя степени. Или, в виде формулы: ind (ап) = п • ind a (mod ср (га)). Теорема 91. Индекс дроби по модулю га: — (mod га), т. е. индекс решения сравнения: ax = b (mod га) (см. упражнение 53 в конце главы III), в частности, индекс обычного частного —-, если b делится на а, сравним (по модулю ср (га)) с разностью инде- индексов числителя и знаменателя. Доказательство. Предполагается, конечно, что а и b взаимно- простые с га. Если ax = b (mod га), то и х взаимно-простое с га. По теореме 90* ind а + ind х = ind b (mod ^ (га)); следовательно, ind * = ind b — ind a (mod ср (га)), что и требовалось доказать. Теорема 92. Индекс единицы всегда сравним с нулем, индекс основания (т. е. самого первообразного корня g) сравним с еди- единицей, индекс числа —1 (или га—1) сравним с-^-ср(га). Или: ind 1 = 0 (modcp(ra)); indg=l (modcp(ra)); ind(—1) = = ind (m—l) = ycp(ra) (modcp(ra)). Доказательство. Первые два сравнения непосредственно выте- вытекают из следующих: g°=l (mod га), gx = g (mod га). Выведем третье сравнение: имеем: g"?(m)=l (mod га), или: « '"W2 M?- ^ V = 0 (mod/и). Если т = pa (p — простое, нечетное), то оба множителя не могут одновременно делиться на р, так как их разность =2 не делится на р; следовательно, один из этих множителей (и только один) делится на ра. Но g2 —I не может делиться на ра, так как g — первообразный корень числа т = ра, т. е. принадлежит к по- показателю ср(га) по модулю ра; следовательно: g-T*(m)+l=0 (modpa), или: g.-2-<p(m)=_i (modpa), а это и показывает, что уср(га)^ ind (—1) (modcp(ra)). 142
_L_ cp(m) Если т = 2pa, то g2 +1 тоже делится на pa и, кроме того, четное, ибо g— нечетное; следовательно, и здесь третье сравнение верно. При т = 4 проверяем непосредственно: yfD) = l, g = 3, 3! = —1 (mod 4). Наконец, при т = 2 третьего сравнения не имеется, так как здесь <р B) = 1, i-? B) — не целое. Теорема 93. За исключением случая, когда т = 2, первообраз- первообразный корень числа m всегда квадратичный невычет для т. Доказательство. Если a — квадратичный вычет для т, то, следовательно, имеется такое целое число л*, что x2 = a (modm); х, как и а, взаимно-простое с т. Возводя обе части последнего сравнения в степень у^ (т), получим: хЛ }^аг (mod/и). Но по теореме Ферма - Эйлера **m)=l (modm), следовательно, а1 = 1 (modm). Таким образом, а принадлежит к показателю <-9^(т) по модулю т и поэтому не может быть первообразным корнем числа т. § 63. Мы видим, что индексы имеют много аналогии с лога- логарифмами; можно сказать, что индексы — это логарифмы по модулю. Они имеют и такие же приложения, как логарифмы, на основе теорем 90—92, а именно, приложения к решению сравнений, как мы покажем на примерах. Для этих приложений необходимо иметь таблицу индексов, составленную для различных модулей, т. е. таблицу, по которой можно было бы для всякого данного числа (класса), взаимно-простого с данным модулем, найти его индекс, и обратно: по данному индексу найти число. Такие таблицы индексов составлены для простых модулей до 2000; в конце этой книги дается часть этих таблиц (для простых модулей < 100). Для каждого модуля имеется двойная таблица: одна ее часть (под буквою I—Index) дает возможность находить индексы для данных чисел; другая часть (под буквою N — Nume- rus) позволяет находить числа по данным индексам. Каждая из таблиц расположена в виде прямоугольника; в за- заглавной строке стоят цифры 0, 1, 2, ...9; в заглавном столбце — тоже цифры 0, 1, 2. . . ; сначала (для небольших модулей) их не- немного. Чтобы найти индекс данного числа, мы ищем десятки этого числа в заглавном столбце, а единицы — в заглавной строке. На 143
пересечении строки и столбца, идущих от этих десятков и единиц, внутри таблицы и находится искомый индекс данного числа. Ана- Аналогично находим и число по данному индексу. Пример 1. Пусть наш модуль =67; найти ind 37; в левой таблице (под буквой I), соответствующей числу 67, ищем в заглав- заглавном столбце (слева) цифру 3, а в заглавной строке (сверху) цифру 7. На пересечении строки и столбца, идущих от 3 и 7, имеем число 44; следовательно, ind 37 = 44, или, правильнее: ind 37 = 44 (mod 66). Пример 2. Пусть наш модуль =73 и дано: ind х = 65; найти х. В правой таблице (под буквой N), соответствующей числу 73, ищем: в столбце слева 6, в строке сверху 5. На пере- пересечении строки и столбца, которые начинаются этими цифрами 6 и 5, стоит число 39; следовательно, х = 39, или, правильнее: jc = 39 (mod 73). Конечно, в каждой таблице по модулю р имеются только числа 1, 2, ... р— 1 и индексы тоже от 1 до р— 1 (индексы можно было взять от 0 до р — 2), т. е. и для чисел и для индексов берутся только их наименьшие положительные вычеты. Таким образом, чтобы пользоваться таблицами, надо сначала найти наименьшие положительные вычеты тех чисел, индексы которых мы будем на- находить по таблицам. Чтобы составить таблицу индексов для данного простого мо- модуля р, нужно иметь и основание составляемой системы индексов, т. е. тот первообразный корень g числа р, показателями которого и являются наши индексы. Это основание для каждого модуля р указывается в таблицах. Кроме того, в таблицах для каждого модуля даны и все остальные его первообразные корни. Имея систему индексов по данному модулю с данным основа- основанием, можно всегда переменить основание, т. е. перейти к системе индексов, если за основание взят какой нибудь другой первообраз- первообразный корень того же самого модуля. Рассмотрим эту задачу в об- общем виде. Пусть g и gx — два первообразных корня числа т и число а — взаимно-простое с т\ пусть: a = g* = g*i (modm) A40) т. е.: a = indga (modcp(m)), o^sind^a (mod?(m)). По следствию из теоремы 90 из сравнения A40) найдем. aEEE-e^indgg! (mod? (m))9 ax = aindgig (mod f (m)), или indg a == indgl a • indg gx (mod <f (m)) ) indgla=indga • indglg (mod^(m)) ) \ > Первая формула A41) дает возможность перейти от системы с основанием gx к системе с основанием g; вторая формула A41) дает переход от системы с основанием g к системе с основанием gx. 144
Положив в первой формуле A41) a~g и приняв во внимание, что indgg-=l (теорема 92), получим: indgl g • indg gt = 1 (mod <p (m)). A42) Формулы A41) и A42) аналогичны формулам для перехода от одной системы логарифмов к другой (с иным основанием); выра- выражение indgl g или indg gj аналогично с тем, которое в теории ло- логарифмов называется «модуль». Пример 3. В таблицах для модуля 59 мы найдем: indlo43^ = 13 (mod 58); найти ind6 43. Для этого найдем по таблицам: indlo6 = 57; следовательно, по формулам A41) 13 = 57ind643(mod58). Решив'это сравнение 1-й степени, найдем: ind643 = —13 = 45 (mod 58). Решим еще несколько примеров на применение теории индексов. Пример 4. Решить сравнение: 36х = 57 (mod 83). Как при применении логарифмов мы «логарифмируем» данное выражение или обе части данного уравнения, так и здесь мы, можно сказать, «индексируем» данное сравнение, т. е. переходим к соотношению между индексами: ind 36 + ind x= ind 57 (mod 82). Из таблицы индексов находим: ind 36 = 28, ind 57 = 29; сле- следовательно, 28 + ind x~ 29 (mod 82), или: ind x = 29 — 28=1 (mod 82). Из правой части таблицы (под буквой N) найдем: х= 50 (mod 83). E0 здесь основание системы индексов; индекс основания равен единице). Пример 5. 8л: =— И (mod 37); здесь сначала заменяем: — 11=26; т. е.: 8x = 26(mod37). Переходим к индексам: ind 8 + ind x = ind 26 (mod 36), или: 33 + ind x = 24 (mod 36) ind x = — 9 = 27 (mod 36), x = 31 (mod 37). Прежде чем переходить к индексам, мы могли бы сократить обе части сравнения на 2; получили бы: 4*= 13 (mod 37), а отсюда: 22 + indx=13(mod36) и снова: indx=— 9 = 27 (mod 36). 145
Пример 6. х2= 31 (mod 43); переходим к индексам: 2 ind х = ind 31 = 32 (mod 42), indx= 16(mod21J; а по модулю 42 имеем для ind x два различных значения: ind хг = 16 (mod 42), ind x2 = 16 + 21 == 37 (mod 42). Отсюда: xt=\7(mod 43), x2 = 26 (mod 43) — два решения, причем 26 = — 17(mod43). Пример 7. x2 = 23(mod 47), имеем. 2 ind x == ind 23 == 39 (mod 46). Но это сравнение не имеет решений, ибо модуль и коэффициент при неизвестном делятся на 2, тогда как свободный член 39 не делится на 2 (§ 39, теорема 60). Следовательно, и данное квад- квадратное сравнение не имеет решений, т. е. 23 — квадратичный не- невычет по модулю 47. Проверим это, вычислив символ Лежандра: /23)- -I4!)- -A) -_1 47/ ~ \23/ ~ \23/ ~~ § 64. При помощи индексов легко решить всякое двучленное сравнение п-й степени (в частности, квадрг.тное) или доказать, что данное сравнение не имеет решений. Исследуем это в общем случае. Дано сравнение: п &)\ A43) мы считаем, что т имеет первообразные корни и а — взаимно- простое с т. Переходим к индексам: п ind х = ind a (mod у (т)). Пусть D(n, ф (/72)) = d\ необходимое и достаточное условие раз- разрешимости этого сравнения состоит в том, чтобы ind а делился на d: ind a = kd. В таком случае можно сократить на d все три части нашего сравнения: Это сравнение имеет одно и только одно решение по модулю ^-~ ; но по модулю ср (/72) оно имеет d различных решений ind «к, а сравне- сравнение A43) имеет d различных по модулю т решений х. Мы имеем: grind a^gkd^a (mod /72), если g—основание нашей системы индексов. Возввюив обе части Ф [tn) этого сравнения в степень л-Ь-?» получим: у (т) g*9(m)^a d (modm). 146
Но по теореме Ферма-Эйлера левая часть сравнима с 1, следова- следовательно, 9 (т) " a"=l(modm). Обратно, пусть теперь выполнено условие A44); имеем: gJn(laE==a(modm). Возводим обе части в степень -^У ; на основании A44) получим: = 1 (mod m); следовательно, —™ ind а делится на ср (т), т. е. ind а делится на df а отсюда следует, что сравнение A43) имеет решения. Итак: Теорема 94. Если модуль т имеет первообразные корни, то сравнение A43) п-й степени при D(my a) = 1 имеет решения тогда и только тогда, когда выполнено условие A44), где d = D(n, <p(m)), при этом d различных по модулю т решений. В частности, при т = р(р — нечетное, простое) условие A44) имеет вид: у—1 a d = I (modp). A44а) При п = 2 всегда и d = 2 (ибо р — 1 — четное), и условие A44а) обращается в критерий Эйлера (§ 47, A05)). Следствие 1. Если D(n, ь(т))=\, то сравнение A43) при всяком а, взаимно-простом с т, имеет одно и только одно решение. Следствие 2. При всяком основании индексы квадратичных вычетов всегда четные, а индексы квадратичных невычетов — не- нечетные. Это следует из доказательства теоремы 94. Пример 1. #5= 14 (mod 41). Переходим к индексам: 5 ind х == ind 14 = 25 (mod 40), или: ind x^5 (mod 8). Следовательно, имеем пять решений: ind #! = 5 (mod 40;, ind x2e= 13 (mod 40), indx3 = 21 (mod 40), ind х^== 29 (mod 40), ind*5E=37(mod 40) отсюда: лгх = 27, x2eee 24, x3 = 35, x4ee=22, x5zee 15 (mod 41). Условие A44а) здесь имеет вид: 148= 1 (mod 41); оно выполнено. Пример 2. г5 = 42 (mod 53). Здесь: D C, 52) = 1; следова- следовательно, наше сравнение имеет одно и только одно решение. Пере- Переходим к индексам: 3 ind х = ind 42 == 20 (mod 52); найдем: ind x = 24 (mod 52); следовательно, л; Е= 49 е=— 4 (mod 53). 147
Пример 3. л'6 = 22 (mod 59). Здесь: DF, 58) = 2; следова- следовательно, наше сравнение имеет два решения, если только ind 22 — четный. Имеем: 6 ind х = ind 22 = 12 (mod 58), или. 3 ind r = 6 (mod 29), incb = 2 (mod 29); ind Xi = 2 (mod Do,, ind x2 = 31 (mod 58); xx = 41 (mod 59), x2 eez 18 (mod 59). § 65. Рассмотрим теперь случай модуля т = 2а при а > 2. Мы видели, что всякое нечетное число удовлетворяет сравнению: а2? = l(mod2a); ^ cp Ba) = 2a~2. Таким образом, для 2х не су- существует первообразных корней. Но мы докажем, что существуют числа, принадлежащие к показателю 2а~2 по модулю 2а; таким числом, например, является 5. Имеем: 5 = 1 + 22; 52 = 1 + 23 + 24= 1 (mod 23), но &ф ^к 1 (mod 24). Далее: б2' = E2J = 1 + 24 + 25 + ... = 1 (mod 2*), но 522 5^1 (mod 25). Пусть доказано, что 52х~а = 1 (mod 2х), но б2*" ф 1 (mod 2X+1); следовательно, 52Х-2 = j + 2% где k — нечетное число. Тогда: 52Х~Х = E2>~2J = 1 + 2x+1fe + 22Хй2, а это значит, что 52Х~Х = 1 (mod 2X+1), но б^ ф 1 (mod 2Х+2). Таким образом, при всяком a > 2 52a~2=l(mod2a). Но при v<a — 2, 52V^6 I (mod 2a); это и доказывает, что 5 при- принадлежит к показателю 2а~~2 по модулю 2а. Таким образом, числа 5°=1, 5, 52, 53, ... 52СС~"—1 не сравнимы друг с другом по модулю 2а. Числа —1, —5, —52, —53, ... —520С~'—1 тоже не сравнимы друг с другом, а также не сравнимы и с числами 5х по модулю 2а, так как числа 5Л вида 4& + 1» а числа —5^ вида 4k + 3, следовательно, они не сравнимы уже по модулю 4. Итак, мы имеем 2 • 2а~~2 = 2а~~1 = ср Bа) чисел вида: все они — нечетные, т. е. взаимно-простые с 2а и различные по модулю 2а. Следовательно, они — представители всех классов чисел, 148
1 0 0 3 1 3 5 0 1 7 1 2 9 1 0 2 1 13 1 0 1 3 15 1 0 взаимно-простых с 2а (или нечетных). Всякое нечетное число а сравнимо с одним и только с одним произведением (—1)х • 5х с не- некоторыми х и X, определенными % — по модулю 2, а X — по мо- модулю 2а~2. Таким образом, всякому нечетному числу соответствуют два индекса — х и X. Легко проверить, что для этих индексов верны теоремы 90,91 (для каждого индекса отдельно). Можно составить и таблицу индексов (только каждому числу соответствуют два индекса — х и X) и пользоваться ею для решения сравнений. Пример. Пусть модуль = 24 = 16. Составляем таблицу ин- индексов: Числа: Индексы %: Индексы X: Решим сравнение: 5х= 11 (mod 16); переходя к индексам, на- находим: для индекса % : 0 + %= 1 (mod 2); для индекса X : 1 + ^ = 1 (mod 4). Отсюда: x=l(mod2), X = 0(mod4), а следовательно: *=15== —1 (mod 16). § 66. Пусть теперь т — какой-нибудь составной модуль; m = ==р^р2* ¦•• Р*п —его разложение на простые множители. Пусть gx — какой-нибудь первообразный корень числа ptx (если рх — не- нечетное; если же рх = 2 и ах > 2, то вместо gt берем два числа: — 1 и 5). Пусть, далее, а — какое-нибудь число, взаимно-простое с т\ в таком случае а — взаимно-простое и с каждым из чисел plx. Следовательно, существует такой показатель vx (определенный по модулю <р(р"х)), что: а = glx (mod ptx) (если pi = 2, аг > 2, то вместо g]1 имеем произведение: (—l)Vl • 5ii^ так, что а = = (— l)Vl • 5V'' (mod 2а0). Таким образом, мы имеем п таких показателей или «индексов»: vi> V2» • • • vn (если рх = 2, olx > 2, то имеем п + 1 индексов: vlf vi> V2» • • • vn)#» они образуют систему индексов числа а. Вместо чисел gx возьмем числа ах, определяемые следующим образом: ах = gx (mod р"х), ах = 1 (mod р^) при |х Ф X; каждому g"x соответствует число ах, однозначно определенное по модулю р\хр\* . .. Рпп = т (§ 43, теорема 62, обобщение). И мы имеем (для случая, когда все рх нечетные): это дает: a = gxx(mod p*x), как и должно быть. Н9
Числа аъ а2, ... ап образуют базис чисел, взаимно-простых с ал по модулю т. Всякое число а, взаимно-простое с т, сравнимо по модулю т с произведением вида: где каждое из чисел vx определяется однозначно по соответствую- соответствующему модулю <р(рхх). Давая для vx значения vx == 0, 1, 2, ... ср (р*х) — 1 (X = 1, 2, ... л), мы получим ср (р) ср (p"f) .., ср (рУ) = ср (т) чисел а, взаимнс-гтро- стых с m и не сравнимых друг с другом по модулю т, т. е. пред- представителей всех ср(т) классов чисел, взаимно-простых с т. Если рг = 2, <хг = 1, то просто ^ = 1. Если рг = 2, ах = 2, то g"! = 3. Если рх = 2, ах > 2, то вместо одного g"x имеем два числа: — 1 и 5, как уже было указано. При рх = 2, яг> 2 вместо одного числа аг мы определяем два числа: аг = — 1 (mod 2а*), ах ^ 5 (mod 2а*); % ^ а^ = 1 (mod рхх) при X Ф 1. Для определенной таким образом системы индексов теоремы 90, 91 остаются верными. Например, если а = аХ ... апп (mod /я), 6 = а^а ... то, очевидно: ^n (mod m), при этом vx + рх можно свести по модулю y(pl) Здесь тоже можно составить таблицу индексов, только каждому числу (взаимно-простому с т) будут соответствовать п (или п+ 1) индексов. Этой таблицей можно пользоваться при решении дву- двучленных сравнений, если только коэффициенты в них взаимно- простые с т. Пример. /и= 105=3.5.7; ср(т)=срA05) = 105 • \ . 4- • 4-= = 48, т. е. здесь имеется 48 классов чисел, взаимно-простых с 105. Каждое число, взаимно-простое с 105, имеет три индекса — отно- относительно чисел 3, 5, 7. Берем glt = 2, g2 = 2, g3 = 3 (первообразные корни чисел 3, 5, 7) и составляем таблицу: Числа: I 1 2 4 8 11 13 16 17 19 22 23 индексы относительно 3 Числа: индексы относительно 3 0 1 01 02 0 1 1 230 404 0 0 30 32 0 0 1 213 502 >но 3 5 7 26 1 0 5 29 1 2 0 31 0 0 1 32 1 1 4 34 0 2 3 37 0 1 2 38 1 3 1 41 1 0 3 43 0 3 0 44 1 2 2 46 0 0 4 ISO
Числа: индексы относительно 3 Числа: индексы относительно 3 Числа: индексы относительно 3 47 52 53 58 59 61 62 64 67 68 71 ьно 3 5 7 1 1 5 0 1 1 1 3 4 0 3 2 1 2 1 0 0 5 1 1 3 0 2 0 0 1 4 1 3 5 1 0 0 173 74 76 79 82 83 86 88 89 92 ьно 3 5 7 0 3 1 1 2 4 0 0 3 0 2 2 0 1 5 1 3 3 1 0 2 0 3 4 1 2 5 1 1 0 ьно 3 5 7 94 0 2 1 97 0 1 3 101 1 0 1 103 0 3 5 104 1 2 3 Найдем еще базис чисел по модулю 105, т. е. определим аъ а2, аъ из следующих сравнений: аг = 2 (mod 3), ах = 1 (mod 5), аг = 1 (mod 7); а2 = 1 (mod 3), а2 = 2 (mod 5), а2 = 1 (mod 7); а3 == 1 (mod 3), я3 = 1 (mod 5), а3 = 3 (mod 7). Найдем: ^ = 71 (mod 105), a2 = 22(mod 105) я3 = 31 (mod 105). Таким образом, всякое число а, взаимно-простое с 105, пред- представляется по модулю 105 в виде где vt = 0, или 1; v2 = 0, 1, 2, или 3; v3 = 0, 1, 2, 3, 4, или 5. Пользуясь составленной таблицей, решим сравнение: x2 = 46(mod 105). Обозначим через vlf v2, v3 индексы числа х (относительно 3, 5, 7). Тогда, переходя к индексам,— сначала по модулю 3, а затем по модулю 5, далее пс модулю 7,— найдем для vb v2, v3, сле- следующие сравнения: 2vx = 0 (mod 2), 2v2 = 0 (mod 4), 2v3 = 4 (mod 6). Каждое из этих сравнений имеет два решения: Vl = 0; I; v2 = 0; 2; v3 = 2; 5. Мы можем комбинировать каждое значение vx с каждым зна- значением v2 и с каждым значением v3; получим восемь следующих комбинаций индексов: 0, 0, 2; 0, 0, 5; 0, 2, 2; 0, 2, 5; 1, 0, 2; 1, 0, 5; 1, 2, 2; 1, 2, 5. 151
Для каждой из этих комбинаций найдем в нашей таблице со- соответствующие значения: 16, 61, 79, 19, 86, 26, 44, 89. Это — все восемь корней нашего сравнения. УПРАЖНЕНИЯ 95. Найти показатели, к которым принадлежат по модулю т все числа, взаимно-простые с т, при: а) т = 5, б) т = 8, в) т — 10, г) т= 11, д) т = 24 (§ 58). Ответ, а) 2 и 3 —к 4; 4 —к 2; б) 3, 5, 7 —к 2; в) 3 и 7 —к 4; 9 —к2;г) 2, 6, 7, 8 —к 10; 3, 4, 5, 9 —к5; 10 —к2; д) 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23-к 2. 96. Найти все первообразные корни числа: а) 7; б) 17; в) 29; г) 47 (§ 59). Ответ, а) 3, 5; б) 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14; в) 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27; г) 5, 10, 11, 13, 15, 19, 20, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45. 97. Найти все первообразные корни числа: а) 49; б) 125; в) 121; г) 81 (§ 60). Ответ, а) 3, 5, 10, 12, 17, 19, 24, 26, 38, 40, 45, 47; б) 2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23, 27, 28, 33, 37, 38, 42, 47, 48, 52, 53, 58, 62, 63, 67, 72, 73, 77, 78, 83, 87, 88, 92, 97, 98, 102, 103, 108, 112. 113, 117, 122, 123; в) 2, 6, 7, 8, 13, 17, 18, 19, 24, 28, 29, 30, 35, 39, 41, 46, 50, 51, 52, 57, 61, 62, 63, 68, 72, 73, 74, 79, 83, 84, 85, 90, 95, 96, 101, 105, 106, 107, 116, 117; г) 2, 5, 11, 14, 20, 23, 29, 32, 38, 41, 47, 50, 56, 59, 65,68, 74, 77. 98. Найти все первообразные корни числа: а) 14; б) 22; в) 50; г) 162 (§ 61). Ответ, а) 3. 5; б) 7, 13, 17, 19; в) 3, 13, 17, 23, 27, 33, 37, 47; г) 5, 11, 23, 29, 41, 47, 59, 65, 77, 83, 95, 101, 113, 119, 131, 137, 149, 155. 99. Доказать, что (а")" = (а")~' (mod m), где а — взаимно-про- взаимно-простое с т\ степени с отрицательными показателями — по модулю т (§ 62). 100. Доказать, что формулы: ah • al:=ah+l(rno& m), (#*)* = ^ак((шоАт) остаются верными и для отрицательных показателей по модулю т(а предполагается взаимно-простым с т) (§ 62). 101. Доказать, что при а взаимно-простом с таа = а^ (mod m) тогда и только тогда, когда а = р (mod п), где п — показатель, к которому принадлежит а по модулю т, при любых целых а и ф — положительных или отрицательных (§ 62). 102. Перестроить таблицу индексов для простого числа 11 (в конце этой книги), взяв за основание первообразный корень 7 (§ 63). 152
103. Перестроить таблицу индексов для простого числа 19, взяв за основание первообразный корень 2 (§ 63). 104. При помощи индексов решить сравнения: а) 18л: = 42 (mod 89); б) 1 \х= 13 (mod 31); в) 35* + 15 = 0 (mod 97) (§ 63). Ответ, а) 32; б) 4; в) 55. 105. При помощи индексов решить сравнения: а) х2 = 59 (mod 83); 6)x2 = 32(mod43); в)х2 = — 17(mod53); г) х2еее 26 (mod 67) (§ 63). Ответ, а) +15; б) нет решений; в) +6; г) +19. 106. При помощи индексов решить сравнения: а)х3 = 15(mod 41); б) jc5=17(mod29); в) %7 = 3(mod 61)* (§ 64). Ответ, а) 7; б) 17, в) 27. 107 При помощи индексов решить сравнения* а) х3 = 22 (mod 43); б) x6=15(mod53); в) х4еее 11 (mod 59); г) х8= 13(mod 23); д) л* = = 8 (mod 89) (§ 64). Ответ, а) 19, 28, 39; б) +4; в) нет решений; г) +9; д) +6; + 17, +26, +44. 108. Составить таблицу индексов для модуля 27, взяв за осно- основание первообразный корень 2; с помощью этой таблицы решить сравнения: a) 5x=13(mod27); б) х2 = 10 (mod 27) (§ 60, 62, 63). Ответ, а) 8; б) +8. 109. Составить таблицу индексов для модуля 50, взяв за осно- основание первообразный корень 3; с помощью этой таблицы решить сравнения: a) 17xEE=39(mod50); б) х2 = 29 (mod 50) (§61, 62, 63). Ответ, а) 17; б) + 23. 110. Составить таблицу индексов для модуля 24 и найти базис по этому модулю (§ 66). Ответ. Базис 7, 13, 17. 111. То >хе самое для модуля 36. Ответ. Базис 19, 29.
ГЛАВА VI НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ § 67. Бинарной квадратичной формой называется выражение вида ср (х, у) = ах2 + Ьху + су2у т. е. квадратная однородная функция от двух переменных. В тео- теории чисел рассматриваются такие формы с целыми коэффициента- коэффициентами а, 6, с, и переменным х, у даются только целые значения. Квадратичная форма вполне определяется своми коэффициентами а, Ь, с; ее сокращенное обозначение: <Р = (а, Ь, с). Главная задача теории квадратичных форм — определить, «пред- «представляется» ли данное целое число т данной квадратичной фор- формой (а, Ьу с) и если представляется, то найти все эти «представле- «представления» или, иными словами, выяснить, имеет ли неопределенное уравнение ах2 + Ьху -\- су2 = т целые решения х, у и если имеет, то найти все эти целые решения. В связи с этой основной задачей стоят и дальнейшие задачи: найти все целые числа, которые представляются данной квадра- квадратичной формой, и обратно,— найти все квадратичные формы, ко- которыми представляется данное целое число. Эти задачи сводятся к следующей: найти квадратичные формы, представляющие одни и те же числа; такие формы называются эквивалентными. Дока- Доказывается, что такие и только такие формы могут быть преобра- преобразованы друг в друга линейным преобразованием переменных х, у с детерминантом, равным + 1. Но теория квадратичных форм не ограничивается указанными задачами; она находится в тесней связи и с теорией квадратных иррациональностей, и с теорией цепных дробей, и даже с теорией эллиптических функций. Выражение D = Ъ2 — 4ас называется дискриминантом формы (а, Ь, с). Общий наибольший делитель s коэффициентов а, Ь, с J54
данной формы называется делителем формы (а, 6, с); если а = sa\ Ь = s&', с = sc\ то (а, 6, c) = s(a', Ь\ с'). Форма (а', Ь\ с')у коэффициенты которой взаимно-простые, назы- называется первообразною. Очевидно: D = б2 — 4ас = s2 (б'2 — 4а V). Пусть целое число k представляется формой (а, Ь, с), т. е. существуют такие целые числа а, у, что аа2 + ЬТ + cf = k. A45) Пусть D(a, у) = s; при s>\ представление несобственное; если же s = 1, т. е. а и у взаимно-простые, то представление — собственное. Пусть a = sa', y = sy'; тогда из A45) найдем: и представление числа kf собственное. Заметим еще, что если форма (а, 6, с) не первообразна, и s — ее делитель, то всякое число &, представляемое этой формой, должно делиться на s: k = skly и kx представляется первообразной формой (а!\ Ь\ с') (где a = sa\ b = sb\ c = sc'). Таким образом, достаточно исследовать только первообразные формы и собственные представления чисел такими формами. § 68. Разложимые формы. Квадратичная форма (с целыми коэф- коэффициентами) называется разложимой, если ее можно представить как произведение двух линейных форм тоже с целыми коэффи- коэффициентами. Лемма. Если квадратичная форма с целыми коэффициентами представляется как произведение двух линейных форм с рацио- рациональными коэффициентами, то она — разложима, т. е. представля- представляется как произведение двух линейных форм с целыми коэффици- коэффициентами. Доказательство. Пусть ср = (а, 6, с) = (а'х + $'у) (у'х + %'у), где а', р', y'> 5' — рациональные дроби. Приводим эти дроби к общему знаменателю s*) и умножаем на него обе части нашего равенства: ( b где а, р, у, Ь — целые числа; при этом, сокращая, мы можем до- достигнуть того, чтобы было: D(a, p, s) = 1, D(y, 5, s)= 1. Тогда: sa = aY, s6 = aS + pT» sc = p5. A46) Пусть p > 1 —простой делитель числа s; первое равенство A46) говорит, что а или у,— например, а делится на р\ третье равен- равенство A46) подобно же говорит, что р или 5 делится на р. Но по- *) Собственно s есть произведение общего знаменателя чисел а', {*' на об- общий знаменатель чисел f', Ъ'. 155
скольку а делится на р, то р не может делиться на р, ибо D(a, 3, s) = 1; следовательно, о делится на р. Но тогда второе ра- равенство A46) показывает, что ру Делится на р, что неверно, так как ни р, ни у не делятся на р(у— не делится на р, ибо D(y, 5, s) = 1). Отсюда следует, что s=l, т. е. ср = (ах + ру) (ух + 8#) с целыми а, р, у, 5; и лемма доказана. Теорема 95. Квадратичная форма ср(а, 6, с) тогда и только тогда разложима, когда ее дискриминант D — точный квадрат. Доказательство. Пусть ср = (ах + Р#) (т* + %У) > тогда a = ay, 6 = a§ -f- ру, с = p5; следовательно, D = 62 — 4ac = (a5 + руJ — 4apy5 = (aS — pyJ. Обратно, пусть D = e2 — точный квадрат; при а Ф 0 имеем: 4дф = 4a (ax2 + 6л:у + су2) = Bах + byJ — Dy2 = = [2ах + F + е) у] [2ах +(Ь-е)у]. Исходя из этого: ср = I [2ах + F + в) у] [2ах + F - е)^], а отсюда по предыдущей лемме следует, что форма ср разложима. Если а = 0, то D = Ь2; у = у(Ьх -{- су). Специальный случай мы имеем, когда квадратичная форма яв- является квадратом линейной формы. Для этого случая мы докажем следующую теорему: Теорема 96. Квадратичная форма тогда и только тогда есть квадрат линейной формы (помноженный на постоянный множитель), когда ее дискриминант D = 0. Доказательство. Пусть ср = s(ax + $уJ = sol2x2 + 2s<tf>xy-\- s$2y2; тогда: D = 4s2a2p2 — 4sa2 - s$2 = 0. Обратно, пусть теперь D = 0; в таком случае по теореме 95 форма ср разложима (ибо 0 — точный квадрат). Пусть причем D(a, р) = 1 и D(y, 8) = 1; имеем: D = s2(a5 — PyJ = 0; Конечно, s Ф 0, следовательно, а5 — ру = 0 или: а8 = Рт- A47> Мы считаем, что ср не равна тождественно нулю; следовательно, при a = 0 р Ф 0. Но тогда A47) дает: у = 0, и наша форма имеет вид: <р = spa. у2. Аналогично, при 5 = 0ир=0, и тогда ср = y Пусть теперь а, р, у, Ъ все отличны от нуля; по A47) осЪ де- делится на у, но у и 5 взаимно-простые, следовательно, а делится 156
па у. Так же из A47) мы найдем, что и у делится на а, т. е. а = i T- Мы можем считать а и у положительными, изменив, если это потребуется, знак у s. Следовательно, а = у, а тогда из A47) найдем: р = 8, т. е. ср = s (осх + pz/J, что и требовалось доказать. Если ср = (хх + ру) (-{X + 8у) разложимая форма, то при х: у = = Ъ : —у или при jc : t/ = р : —а будет ср = 0, т е. уравнение ср = О имеет целые решения х, у, не равные одновременно нулю; например, х = +[3, у = —а. Обратно, пусть ср == 0 при некоторых целых, не равных одновременно нулю, значениях х и у, т. е.: 4а (ах2 + &**/ + су2) = Bах + 6уJ — Dy2 = 0. A48) При у = 0 это дает: 2ал: = 0; но так как тогда х ф 0, то а = 0, и форма у = уфх-\-су) разложима. Если же уфО, то A48) дает = /2ах т. е. D — точный квадрат, и, следовательно (по теореме 95), фор* ма ср — разложима. Итак: Теорема 97. Квадратичная форма ср тогда и только тогда раз- разложима, когда существуют целые значения х у, не равные одно- одновременно нулю, при которых ср обращается в нуль Пример 1. ср=г5л;2 — бху — 8у2 — разложимая форма, так как для нее D = 36 + 4 • 5 • 8 = 196 = 142 — точный квадрат. Действительно: 4 • 5 • <р = 100а;2 - \20xy - 160#2 = (Юх - 6уJ - A4f/J - = A0* — 20у)(\0х + 8у). Отсюда: При х = 2, у = 1 ср = 0; подобно же, при х = —4, у = 5 ср=О. П р и м е р 2. ср = 18х2 - 24ху + 8у2; здесь D = 242 — 4-18 8-0, следовательно, ср — квадрат (с точностью до постоянного множи- множителя). Действительно: ср = 2 C* — 2уJ. § 69. Пусть теперь форма ср = (а, 6, с) с дискриминантом D неразложима. Мы имели формулу: 4аср = Bах + byJ — D#2. A49) Различим два случая: 1) D<0; пусть D = — А; Д > 0; тогда A49) имеет вид. 4аср = Bа* + byJ + At/2. A49a) 157
Правая часть (а значит, и левая) этого равенства положительна при всех целых значениях х, у\ следовательно, форма ? при вся- всяких целых значениях ху у имеет всегда один и тот же знак,— тот же, что и а (и что и с, ибо а и с в этом случае имеют оди- одинаковые знаки). Такая форма называется определенною,— положи- положительною при а > 0 и отрицательною при а < 0. 2) D>0; тогда из A49) имеем: при х = Ьу у = — 2а \аь = —ADa2 < 0; при х = а, у = 0 4аср = 4а4 > 0. Следовательно, такая форма при целых ху у может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Такая форма назы- называется неопределенною. Замечание. Разложимые формы — определенные при D = 0 и неопределенные при D Ф 0. § 70. Рассмотрим квадратичную форму вида х2 + ау2, где а—целое число; при а>0 она определенная положительная, при а < 0 она неопределенная. Для х и у мы будем давать целые значения, причем только такие, чтобы х и ау были взаимно- простыми. Теорема 98. При D (ху ау) = 1 всякий простой делитель р > 2 формы х2-\-ау2 должен удовлетворять условию ("~~~) = Ч~ 1 - Доказательство. Теорема 98 непосредственно следует из тео- теоремы 76 в § 51. Но легко ее доказать и непосредственно: если х2 + ау2 делится на простое число р > 2, т. е. х2 4- ay2 = 0(mod р)у то х2= — ay2 (mod р); следовательно, —ау2 квадратичный вычет числа р, т. е. что и требовалось доказать. Пусть а > 0 и а < р, где р>2 простое; возьмем уравнение: х2 + ау2 = р. A50) Теорема 99. Если при названных условиях уравнение A50) раз- разрешимо в целых числах х, у, то х и у взаимно-простые (т. е. ре- решение х, у — собственное), и это решение единственное. Замечание. Очевидно, что вместе с (х, у) решениями урав- уравнения A50) будут также (—х9 у), (х9 —у)> (—#, —у); эти че- четыре решения мы считаем за одно решение. Доказательство. Числа х9 уу удовлетворяющие уравнению A50), очевидно, взаимно-простые, так как иначе они должны были бы делиться на /?, но тогда х2 + ау2 было бы > р. Пусть (хъ уг) и (х2, у2) — два решения уравнения A50), т. е. х21 + ау1 = Р, xl + ayl = p. A51) 158
Положим сначала а> 1. Умножаем обе части первого уравне- уравнения A51;на#2> а °бе части второго — на у\ и вычитаем почленно. (хгу2 — х2уг) (хгу2 + х2уг) = р(у1 — у2х). Отсюда следует, что или хгу2— x2ylt или хху2-\-х2ух делится на р\ оба эти выражения одновременно не могут делиться на ру так как их сумма 2хгу2 не делится на р. Перемножив почленно равенства A51), найдем: (х±х2 + ау^J + а (хгу2 — х2ухJ = р\ A52) или: (хгх2 — ауху2J + а (хгу2 + х2ухJ = р2. A52а) 1) Пусть хгу2— х2у1 делится на р; тогда из A52) найдем: Х1У2 — х2Уг — 0 (ибо ведь а> 1), или: *1 = *г Ух Уг Но ведь обе дроби несократимы, следовательно, х2 = хъ у2 = ух. 2) Пусть теперь ху2 + х2уг делится на р; но х±у2 + х2ух > О (ибо мы можем считать хъ у1у х2, у2 все положительными); следо- следовательно, хгу2 + х2ух = пр, где ^2>1; а это по A52а) при а> 1 невозможно. Пусть теперь а== 1, т. е. уравнение A50) имеет вид: х2 + у2 = р. A53) Как и при а> 1, мы найдем, что или хху2 — х2уъ или хху2 + + х2ух делится на р; имеют место и формулы A52), A52а) при а = 1. И мы найдем: 1) при х^2 — л:^, делящемся на р: л:^ — х2у1 = 0, х2 = х1у 2) при хху2-\- х2уъ делящемся на р: хгу2 + х2ух = р. Но тогда по A52а): хгх2 — угу2 = 0, jL. = MLt Xl = y2y Ух = х2. Но очевидно, что если (х, у) — решение уравнения A53), то и (у, х) тоже решение того же уравнения. Такие два решения мы не счи- считаем различными, т. е. и здесь по существу имеется только одно решение. Следствие. Если уравнение A50) разрешимо в целых числах, Это следует из теоремы 98, так как для всякого целого реше- решения (х, у) х и ау взаимно-простые. § 71. Переходим теперь к решению (в целых числах) уравнения A50) для некоторых частных значений а. Для этого выведем сна- сначала одну общую теорему. По следствию в конце § 70 необходи- необходимое условие разрешимости уравнения A50) есть ( —) = +1, т. е. сравнение t2 = —a (mod p) должно иметь решения. Обозначим че- 159
рез t то решение, для которого 0 < i < ~. Разложим — в цеп- цепную дробь: Pi 0 р2 1 Ps + i * и ооозначим: — — -г > ¦—• = —, ... ^—^ = подходящие дро- Я\ а Яг а\ <7s+i P би. Всегда найдутся две таких соседних подходящих дроби — Яп и Еа±1, ЧТо: <7 Имеем (см. C9), § 24): I tqn— ppn | Отсюда: Яп ЯпЯп+1 ~ (tqn — ррпJ + aq2n< р + aq2n < р + ар = (а + I)р. Раскрывая скобки в левой части, найдем: (tqn - ррп? + aql = (t* + a) q\ + pNy где N — целое число. Но t% + а делится на р, ибо ведь ^2 = ^ — a (mod p); следовательно, вся левая часть последнего неравен- неравенства делится на р. Итак: Теорема 100. Если t — решение сравнения t2 = — a (mod p), причем 0 < t < ~> и -- — та подходящая дробь разложения — в цеп^ ную дробь, для которой qn < ]//?, тогда как gn+1 > ]/p, то: + aq2n<(a+l)p, A54) причем левая часть этого неравенства делится на р. Разберем теперь частные случаи. 1) а=1; имеем уравнение A53): х2 + у2 == р. Необходимое условие его разрешимости в целых числах: (—)=+1,т. е. (§48, IV) р должно быть вида 4k + 1; ^ — решение сравнения: t2 = — l(modp). Формула A54) принимает здесь вид: ICO
Но левая часть делится на р и отлична от нуля, следовательно она равна р: {tqn-PPn? + q\=P, A55) и мы получили снова теорему 42; только теперь доказано, что целое решение х, у уравнения A53) — единственное и дан способ, как его найти. Пример 1. Дано уравнение: х2 + у2 = 53; здесь t = 23; t 23 1 ^ 2. Найдем здесь: Рп = Рз = 3» <7п = <7з = 7 и по формуле A55): л: = 23 • 7 — 53-3 = 2, у =7; 22 + 72 = 53. 2) а = 2; имеем уравнение: х2 + 2#2 = р. Необходимое условие его разрешимости в целых числах: / —1 = +1, или: (~i')(vj== = +1; следовательно, оба символа (—) и (—jодного знака, т. е. оба равны +1 или оба равны —1. Но [т)={т) = +Х* еСЛИ Р=4&+ 1 =8/± 1, а (=^) = = (-)=— 1, если p=4fe + 3 = 8/ + 3 (§ 48, IV, V); следова- следовательно, р должно быть вида 8/ + 1 или 8/ + 3. Это необходимое условие для разрешимости в целых числах нашего сравнения; мы докажем, что оно и достаточно. Формула A54) дает: т. е. левая часть (делящаяся на р) равна или /?, или 2р. Если (tqn — ррпJ + 2ql = р, то наше уравнение решено. Если же (tqn — — РРпJ + 2?п = 2р, то мы заключаем, что tqn — ррп = 2v четное число. Но тогда, сокращая на 2, найдем: т. е. наше уравнение опять решено: х = qn\ у = v. Пример 2. Дано уравнение: х2-\-2у2 = 43\ 43 — вида 8/+ 3, следовательно, наше уравнение имеет целочисленное решение. Для / имеем сравнение: t2 = —2 (mod 43); найдем /=16 и, разла- разлагая ~^ == 43 в цепную дробь, получим. рп = 1, qn = 3. Далее: tqn — ррп = 5; 52 + 2 • З2 = 43, т. е. решение: х = 5, у = 3. 3) я = 3; наше уравнение: х2 + Зу2 = /?. Необходимое условие 161
его разрешимости в целых числах: I — 1 =+1. Но (по закону взаимности и по § 48, IV) р 1\ 2 * 2 = 4-1 при р = 3k + 1, а так как р нечетное, то это равно- равносильно тому, что р вида 6k + 1. Докажем, что это условие и до- достаточно для целочисленной разрешимости нашего уравнения. Фор- Формула A54) дает: т. е. левая часть (делящаяся на р) равна р, 2р или Зр. Обозна- Обозначим: tqn — ррп = X. Если X2 + 3ql = р, то наше уравнение решено. Случай X2 + 3qun = 2р невозможен: если X и qn четные, то X2 + + 3q2n делится на 4; если же X и qn нечетные, то Х2 = <72=1 (mod 4) (§ 34, теорема 52). Но тогда X2 + 3q2n = О (mod 4), a 2q не делится на 4. Если X2 + 3<7п = Зр, то отсюда следует, что X делится на 3: X = 3\ь, следовательно, 9ja2 + 3ql = Зр; q\ + За2 = р. Пример 3. Дано уравнение: x2 + 3r/2 = 37; 37—вида 6k + 1, т. е. условие разрешимости в целых числах выполнено. Сравнение 1 ГУ для t: /2 = —3 (mod 37); найдем: ^ = 16. Раскладывая ^ в цеп- цепную дробь, получим: qn = 2t рп = 1. Далее, tqn — ррп = —5; 52 + 3 • 22 = 37, следовательно, решение: х = 5, у = 2. Итак, мы доказали следующие теоремы: Теорема 101. Всякое простое число вида 8k + 1 или 8k -f- 3 (и только этих видов) может быть представлено в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата и только одним образом. Теорема 102. Всякое простое число вида 6k + 1 (и только этого вида) может быть представлено в виде суммы квадрата и утроен- утроенного квадрата и только одним образом. Эти теоремы, равно как и теорему 42 (§ 31), высказал Ферма; доказал их Эйлер. § 72. Сделаем еще некоторые замечания: В формуле A54) мы взяли тот корень / сравнения ^2 = = — a (mod р), который < -—-. Второй корень этого сравнения (т. е. его наименьший положительный вычет): p — t>-j. Мы могли бы взять его вместо t. Посмотрим, какой будет цепная дробь для р — t: если 1 = 1, где z = а, + ^ 162
p— t 1 1 или: = = r Р 1+ 1 Z («!— 1) + Так как t < ~ , то — < у» т- е- ах — 1 > 0. Таким образом, разложение р-^— в цепную дробь имеет на одно звено больше, чем разложение — . k-й частный знаменатель раз- разложения ^^~ тот же, что (k—1)-й частный знаменатель разло- разложения — при &>3. Что касается подходящих дробей, если обо- обозначить через — k-ю подходящую разложения — , а через Щ Як Р Як k-ю подходящую дробь разложения ?^— , то легко проверить, что: При обозначениях теоремы 100 (§ 71) мы имеем: (j>—t)q'n+l — PPn+l = — *Чп+1 + Р Wn+l — P'n + l) = —*<Гп + PPn = == — (tQn — PPn) у следовательно, левая часть формулы A54) не изменится, если вместо корня t возьмем корень р —1> т. е. и вся формула A54) останется верной. Таким образом, в разобранных в § 71 случаях, когда а= 1, 2, 3, мы можем найти единственное решение уравнения A50), взяв вместо корня t корень р — t. § 73. Поставим теперь вопрос о разрешимости в целых числах уравнения х2 + у2 = ГПу A56) где т — составное нечетное число. Из теоремы 98 заключаем, что всякий простой делитель р числа т должен удовлетворять усло- условию: ( —) = +1, т. е. быть вида 4k + 1. Это условие необходимо для разрешимости в целых числах уравнения A56). Докажем, что оно и достаточно. Если оно выполнено, то из § 57 следует, что сравнение t*== — l(modm) A57) имеет решения; число всех различных решений по модулю in есть 2Р, где р — число различных простых делителей числа т. Но если не считать существенно различными решения вида t и —t = т — t, то мы скажем, что число существенно различных 163
решений сравнения A57) есть 2Р г. Раскладывая — (где t — одно из решений A57)) в цепную дробь и обозначая и здесь через — ту подходящую дробь, для которой qn<Vm, тогда как qn+1>^ >|Ля, мы и здесь выведем формулу A55), где только вместо р — составное число т. (tqn — mpnJ + q2n = m. А это и дает решение уравнения A56), Пример 1. Дано уравнение х2 + У2 = 1369. Условие для его разрешимости в целых числах выполнено, так как 1369 = 372, а 37 — вида 4k + К Решаем сравнение t2 = — 1 (mod 1369), а для этого по способу, изложенному в § 54, решим сравнение Ь2=— 1 (mod 37); получим b = 6. Теперь берем: F +V—iy = 35+ 12/~1, решаем сравнение 35и = — 1 (mod 1369); получим: и = 352. После этого найдем; / = 352- 12 = 4224=117. Разложим щд в цепную дробь: 117 1 1369 Вычисляя подходящие дроби, найдем: qn = 35, рп = 3. Далее, еайдем: tqn — трп= 12; следовательно, наше решение: *= 12, у = 35. Действительно: 122 + 352 = 372 = 1369. Пример 2. Дано уравнение х2 + у2 = 1105. Условие для его разрешимости в целых числах выполнено, так как 1105 = 5 • 13 • 17, а все эти простые множители вида 4k + 1. Решаем сравнение /2 = — l(mod 1105), (*) которое сводится к системе (§ 57)? /2 = — 1 (mod 5), /2=—1 (mod 13), ?2 = — 1 (mod 17). Решения этих сравнений: ^ = +2(mod5), * = +5(modl3), * = ±4(mod 17). Комбинируя их всевозможными способами друг с другом, най- найдем восемь решений сравнения (*): + 268, ±463, +47, +242. Существенно различных решений четыре, а именно: 268, 463, 47, 242 (здесь р = 3, следовательно, 4 = 2Р~1). 164
1) Берем / = 268; находим: ^ = @, 4, 8, 8, 4);qn = 33, р„ = 8; tqn — трп = 4; следовательно, одно решение: л; = 4, у = 33. 2) При * = 463 найдем: щ§ = @, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1,2,2); <7„ = 31, рп = 13; tqn — трп = 12; следовательно, второе решение: х= 12, г/ = 31. 3) При / = 47 найдем: ^ = @, 23, 1, 1, 23); qn = 24, рп = 1; /<7п — тРп = 23; следовательно, третье решение: дг = 23у У = 24. 942 4) При / = 242 найдем: -^ = @, 4, 1, 1, 3,3, 1, 1, 4); qn = = 32, рп = 7\ tqn — трп = 9; следовательно, четвертое решение: х = 9, у = 32. Можно было бы доказать и в общем случае, что найденные 2?~х (в нашем случае 4) решений различны и иных решений не существует. Итак: Теорема 103. Нечетное число т > 0 тогда и только тогда соб- собственно представляется в виде суммы двух взаимно-простых квад- квадратов, когда оно делится только на простые числа вида 4& + 1. Если р — число различных таких простых делителей т, то число различных представлений т в виде суммы двух квадратов есть 2р~х. Рассмотрим теперь уравнение A56) при четном т. Пусть оно имеет собственное решение (т. е. х и у — взаимно-простые); в та- таком случае х и у оба нечетны. По теореме 52, § 34 имеем: х2 = = у2 = 1 (mod 8), т = х2 + У2 = 2 (mod 8), т. е. т вида 2шь где ntx вида 4& + 1, т. е. в виде суммы двух взаимно-простых квадра- квадратов могут быть представлены только числа, не делящиеся на 4„ Далее, очевидно, что при 2/тгх = х2 + у2 мы получим: т. е. и нечетное число т1 представляется в виде суммы двух квадратов, а для этого оно должно удовлетворять условию тео- теоремы 103. Обратно, если: тг = u2 + v2, то 2/72! = (U + VJ + {U — VJ. Очевидно, что различным представлениям числа тг соответ- соответствуют и различные представления числа 2т1; и обратно. Итак: Теорема 104. Четное число тогда и только тогда собственно представляется в виде суммы двух квадратов, когда оно вида 2т, 165-
где т — нечетное число, делящееся на простые числа только вида 4k + 1 • Число различных представлений числа 2т — то же, что и числа т. Пример. Имеем: 61 = 52 + 62; отсюда: 122 = F + 5J + F — ~5J- 112+ I2. § 74. Те сведения из теории чисел, которые излагались в пер- первых пяти главах этой книги, принадлежат к так называемой «мультипликативной» теории чисел*), ибо за основное действие над числами там берется умножение (а также деление, как дей- действие, обратное к умножению), и большинство теорем относится к делимости чисел,— к представлению чисел в виде произведений. Вся теория сравнений по существу рассматривает только более сложные случаи делимости. В настоящей же, шестой главе рассматриваются представления чисел в виде сумм, т. е. основную роль здесь играет действие сложения; эти вопросы относятся к так называемой «аддитивной» теории чисел **). Эта область теории чисел более сложна и не так закончена, как мультипликативная теория чисел. Конечно, обе области тесно связаны между собой и много теорем относятся одинаково как к той, так и к другой. Докажем еще одну важную теорему, относящуюся к аддитив- аддитивной теории чисел. Эта теорема тоже принадлежит Ферма. Теорема 105. Всякое натуральное число может быть представ- представлено как сумма четырех квадратов. Доказательство. Возьмем следующее тождество: ac + bd —{a'd — b'c) ad' — be1 a'c' + b'd' или иначе a b' —b a' с d' -d с {aaf + bb') {cc' + dd') = (ac + bd) (a'c' + b'd') + + {ad' — bc'){a'd — b'c). A58) Положим здесь: a = x0 + ix±; b = x2 + ix3\ с = y0 — iy\\ d = r/2 — iyz\ a' = x0 — ixx; b' = x2 — ix3; c' = y0 + iyx; d' = y2 + iy3. В таком случае: aa' = x20 + x\y bb' = x\ + x\, cc' = y20+ y\, dd' = y\ + y\, и формула A58) принимает вид: + y\ + y\ + y$ = zl + z\ + zl + zl A59) где: Zq — хцУо + Х\У\ ~т~ хъУъ \ хз Уз » ^i — хоУ1 — х1Уо ~г х2Уз — хзУ2» 2 — 0У2 ~~" 2^/0 I зУ\ ~~~ \Уз ' з — оУз ~~~ зУо ~ ас -{- bd = z0 — izx\ a'c' -f ft'd' = г0 + ^; ad' — 6c' = z2 — /z3; a'd — 6'c = г0 + iz3. *) От латинского слова multiplicatio — умножение. **) От латинского слова additio — сложение.
Формула A59) непосредственно обобщается на произведение не- нескольких сумм четырех квадратов. Итак: Лемма. Произведение нескольких сумм четырех квадратов тоже представляется как сумма четырех квадратов. Отсюда следует, что достаточно доказать теорему 105 для про- простого числа р. При р = 2 имеем: 2 = I2 + I2 + О2 + О2. Пусть р > 2, т. е. простое нечетное число. Рассмотрим два случая: 1) р вида 4k + 3, т. е. — 1 = р — 1 квадратичный невычет числа р. В таком случае в ряду 1, 2, 3, . .. , р—\ обязательно встретятся два соседних числа а и а + 1 таких, что а — квадра- квадратичный вычет, а а + 1 — невычет числа р (ибо ведь первое число I — вычет, а последнее р —1 — невычет). Но тогда (—1) (а + 1)= —а—1 — квадратичный вычет (как произведение двух невычетов). Следова- Следовательно, существуют такие целые числа х, у, что: х2 ееее a (mod р), у2 = — а — 1 (mod р), причем 0 < л; < ~, 0 < г/ < ^ . Складывая почленно эти два сравнения, получим: x2 + y2+\=0 (mod /?), x2 + y*+l=pq. При этом: pq = * + f+l< ибо р>3. Отсюда: 2) Пусть теперь р вида 4fe+ 1, т. е. — 1 квадратичный вычет числа р\ следовательно, существует такое целое положительное число x<y> что х2 = — l(modp); т. е. и здесь q < ~ . Итак, в случае 1) pq = О2 + х2 + у2 + 1; в случае 2) pq = 02+ + О2 + х2 + 1; в обоих случаях 9 < у • Если <7= 1, то теорема 105 для числа р доказана. Пусть q > 1; /?# = *о + х\ + -^ + х\\ хо> хъ хъ хъ ~ взаимно- простые (ибо и в случае первом и в случае втором, как мы видели, один из квадратов = 1). Возьмем за г/0, уъ r/2, yz абсолютно-наи- абсолютно-наименьшие вычеты чисел х0, хъ х2, xs по модулю q, т. е. у\ = Хх (mod q), 167
- 1 < Ух^ + | (X = О, 1, 2, 3). Тогда: ? у« = 2^(mod ?), или; х=о х=о 3 2 у\ = pq = 0 (mod 9); следовательно: Х*=О Цу\ = дг; но lii/^Mv =?2, т. е. ?K?2,r<?. х=о х=о \ * I ~~ Если г = q, то каждое у\ должно быть равно своему наиболь- наибольшему значению, т. е. —-; но тогда, значит, каждое Хх = ух = = ~^0(mod-|-), т. е. каждое лгх делится на -|-. Но ведь все х\ взаимно-простые, следовательно, -|-=1, q = 2. Следовательно^ ), т. е. все Хх нечетные, и Xx=l(mod8) (§34, тео- з з рема 52). Но тогда $] х\ = 4 ^ 0 (mod 4), т. е. ^ xl= pq == х=о х=о = 2p^0(mod4), а это неверно, так как р — нечетное. Следова- Следовательно, г < q. Из чисел Х\, ух составляем числа z\ так, чтобы было согласна доказанной лемме: 3 3 3 И *х • ? у\ = S ^ = до • ?/* = р^2/-. х=о х=о х=о Но Есе числа Z\, делятся на q, так как: го = у1 + у1 + у1 + у1 = дг = О (mod q), *i = У0У1 - У1У0 + У2У3 ~ У3У2 = 0 (mod q) и подобно же z2 и z3. Пусть DB:o, zl9 z2, z3) = qd\ Z\ = qdx[ (X = 0, 1,2, 3); Тогда: рг делится на d2, но г < q < ¦— , значит, d2^pr < /?2, d< р. Так как /? простое, то d — взаимно-простое с р; следовательно, /¦ делится на d2: 168
Если <7' = 1, то теорема 105 доказана. Если суждая так же, найдем: q' > 1, то, рас- и т. д. Но ряд убывающих натуральных чисел q > q' > q" > ... конечен, т. е. после конечного числа таких шагов мы предста- представим р в виде суммы четырех квадратов. Теорема 105, таким обра- образом, доказана. УПРАЖНЕНИЯ 112. Найти, разложимы ли формы: а) D, 5, —9); б) A2, —4, —5); в) B, 1, —3); г) C, 10, 3); д) B5, —70, 49) и в случае разложимости разложить формы на линейные множители (§ 68). Ответ, а) DХ + 9у) (х - у); б) Bх + у) F* - Ъу); в) Bх + Ъу)(х-у)\ г) (Зх + у)(х + 3у); д) Eх-7уJ. ИЗ. Найти, при каких целых значениях ху у обращаются в нуль формы: а) D, 5, —9); б) A, 8, 7); в) B, 5, —8) (§ 68). Ответ, а) при х = у и при x=9t, y=—4t, где /-—про- /-—произвольное целое число; б) при х = —у и при х= —1у\ в) только при х = у = 0. 114. Представить в виде суммы двух квадратов числа: а) 97; 6) 113; в) 157, г) 233 (§ 71). Ответ, а) 42 + 92; б) 72 + 82; в) 62+112; г) 82+132. 115. Представить в виде суммы квадрата и удвоенного квад- квадрата числа: а) 41; б) 131; в) 193; г) 267 (§ 71). Ответ. а) 32 + 2-42; б) 92 + 2-52; в) II2+ 2-б2- г) 132 + 2 • 72. 116. Представить в виде суммы квадрата и утроенного квад- квадрата числа: а) 43; б) 151; в) 157; г) 307 (§ 71). Ответ, а) 42+3 . З2; б) 22+3 • 72; в) 72+3 . б2; г) 82+3 . 92. 117. Решить в целых числах уравнение х2 + у2 = т, где т — а) 841; б) 3721; в) 5329; г) 2197; д) 625 (§ 73). Ответ, а) 20; 21; б) 11; 60; в) 48; 55; г) 9; 46; д) 15; 20. 118. Решить в целых числах уравнение х2 + У2 = ^2» гДе т== а) 305; б) 377; в) 629; г) 697 (§ 73). Ответ, а) 4,17; 7,16; б) 4,19; 11,16; в) 2,25; 10,23; г) 11,24;. 16,21. 119. Решить в целых числах уравнение х2 + у2 = 1885 (§ 73). Ответ. Четыре решения: 6,43; 11,42; 21,38; 27,34. 120. Эмпирическим путем представить в виде суммы четырех квадратов числа: 126, 374, 593, 1000 (§ 74).
ГЛАВА VII РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ РУССКИХ И СОВЕТСКИХ МАТЕМАТИКОВ § 75. Теория чисел еще в дореволюционной России стояла очень высоко. Исследования русских математиков по теории чисел и результаты, ими полученные, были первостепенной важности. Можно сказать, что в нашей стране теория чисел впервые офор- оформилась (в трудах Эйлера) как наука; в нашей же стране получили свое начало и отдельные отрасли теории чисел — аналитическая, алгебраическая и геометрическая. В Советском Союзе теория чисел развилась еще больше; появилась и новая ее отрасль — теория трансцендентных чисел. В настоящей главе мы изложим вкратце главнейшие результаты в теории чисел, которые были найдены русскими математиками в доре- дореволюционное время и советскими математиками. Несколько подробнее мы остановимся на исследованиях в теории чисел П. Л. Чебышева. Начнем наш обзор с трудов Эйлера по теории чисел. Имя Эйлера встречалось уже в предыдущих главах этой книги в связи с важнейшими теоремами и задачами. Леонард Эйлер A707—1783), самый гениальный математик XVIII столетия, большую часть своей жизни прожил в нашей стране, был членом Петербургской Академии наук, печатал свои многочисленные научные труды в изданиях нашей Академии; он действительно является основоположником теории чисел. Из 756 работ Эйлера, относящихся ко всем отраслям математики и ее приложений, около сотни относятся к теории чисел. Эти работы Эйлера были переизданы в 1849 г. в двух томах под заглавием «Commentationes arithmeticae collectae» («Собранные арифмети- арифметические сочинения») на латинском языке, на котором и писал Эйлер. Содержание этих работ весьма разнообразно. Многие из них посвящены решению в целых числах неопределенных уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени. В частности, рассмотренные нами в гл. VI теоремы о представлении чисел в виде сумм двух квадратов, или квадрата и удвоенного квадрата, или квадрата и утроенного 170
квадрата доказаны Эйлером (высказаны эти теоремы были Ферма в XVII ст.) Ряд работ Эйлера посвящен простым числам. Эйлер опрозерг предположение Ферма о том, что все числа вида 22>п + 1 (при натуральном п) простые, доказав, что уже при п = 5 число 22* + 1 делится на 641. Эйлер ввел числовую функцию, названную его именем и обозначаемую через ср(ш). Мы рассматривали ее в гл. III, там же была изложена и так называемая малая теорема Ферма, обобщенная и доказанная Эйлером. Эйлер дал решение в целых числах так называемого уравнения Пелля: ах2 + 1 = у2. Попутно он дал разложение квадратного корня в цепную дробь и ввел функции, известные под именем «скобок Эйлера» (мы их рассматривали в гл. II). Целый ряд работ Эйлера посвящен теории квадратичных вы- вычетов простого числа. Он дал критерий для квадратичных вычетов (так называемый «критерий Эйлера» — см. гл. IV, § 47), теоремы о произведении квадратичных вычетов и невычетов, правила сво- сводящиеся к формулам для ( —), ( —), наконец, он первый высказал (но не доказал) знаменитый квадратичный закон взаимности. Понятия о первообразных корнях и об индексах тоже даны Эйлером (см. гл. V). Эйлер доказал невозможность рациональных решений уравне- уравнений х3 + у3 = z3, jc4+i/4 = z2 и др. (это — частные случаи так называемой великой теоремы Ферма о том, что уравнение хп + уп = гп при натуральном п > 2 не имеет целых решений). Наконец, Эйлер первый начал применять методы анализа в исследованиях по теории чисел, и в этом смысле он является осно- основоположником так называемой аналитической теории чисел. Так, в гл. 1, §§ 12, 13 мы привели доказательство Эйлера теоремы о бесконечности множества простых чисел и вывели формулу Эйлера (в § 13, теорема 24). Аналитические методы Эйлер применяет и в других местах, например, при выводе интересной формулы: j J J (Я _ 2) — J (л — 5) — J (/г — 7) + [(я-12) + J (/г — 15) — J (л — 22) — ... " A60) где \п означает сумму всех делителей числа п (см. § 17), а вычи- вычитаемые 1, 2, 5, 7, 12, 15, ... содержатся в формуле z 9—г, причем многочлен правой части обрывается, когда п — х становится < 0. Считается 0 = п. Например: Следует отметить еще большое количество разнообразных инте- интересных таблиц, встречающихся в различных работах Эйлера по теории чисел. 171
§ 76. Пафнутий Львович Чебышев A821 —1894) — величайший математик XIX столетия, учился в Московском университете, в 1847 г. переехал в Петербург, был профессором Петербургского университета, а с 1859 г.— ординарным академиком. Он имеет важные работы во многих областях математики и ее приложений — в теории чисел, в теории вероятностей, в анализе,— является соз- создателем новой отрасли математики — теории апроксимации или наи- наилучшего приближения функций. В 1849 г. вышла докторская диссертация Чебышева «Теория сравнений»; в своей основной части (первые шесть глав) это учеб- учебник элементарного курса теории чисел. Но весьма ценны ее послед- последние главы G-ая и 8-а5() и дополнения, где изложены результаты исследований самого Чебышева. Последнее C-е) дополнение: «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной вели- величины»,—представляет собой отдельную научную монографию. Оста- Остановимся на нем подробнее. Заметим, что во 2-м издании своей «Теории чисел» (Theorie des nombres», 1808 г.) Лежандр (во 2-м томе, 4-й части, § 8) при- приводит формулу, которая с достаточно большой точностью дает число простых чисел, находящихся между единицей и данным пре- пределом х, именно: Далее, Лежандр проверяет эту формулу на таблицах простых чисел от 10000 до 106 и находит довольно хорошее совпадение значения у в A61) с числом простых чисел, меньших х. .Таким образом, Лежандр не доказывает формулы A61), а только эмпи- эмпирически ее проверяет. Чебышев в вышеуказанном «дополнении» к «теории сравнений» доказал, что формула A61) неверна. Мы изложим подробно исследования Чебышева. Теорема I. Если ср(х) означает число простых чисел, меньших чем xt п — любое натуральное число, р > 0, то функция при р, стремящемся к нулю, стремится к конечному пределу. Доказательство. Докажем сначала, что при р —>0 все производ- производные выражений: A64) (I65) *) \ппх означает (\пх)п. 172
по р стремятся к конечным пределам. Здесь при суммировании т пробегает все натуральные числа от 2 до <х>, а р — все простые числа от 2 до оо. Имеем: JT_. = У,е~тх (т пробегает целые числа от 2 до оо). оо оо Отсюда: J -?z^jX? dx = V \е-тхх? dx. о о оо оо Но I е~тхх? dx = —гг- \ е~хх? dx (что получится если положить J m I+pJ т о тх = г), следовательно, * « j г&*р^-1эт • j *-•***• A66> о о Далее оо оо jV-xjT-1+P rfx = 1 ( г-^р dx: A67) это получается, если применить формулу интегрирования по частям, dx, с = 0. положив и = е~х, dv = лг~1+р dx, следовательно, v = —, и приняв во внимание, что Р Jo Вычитаем почленно равенства A66) и A67), получаем — 1 / . A68) Из A68) видно, что производная п-го порядка по р от выра- выражения A63) выражается дробью, у которой знаменатель есть i e~xx?dx Lo J CO а числитель — целая функция интегралов j f _ { — — j g-JCA:P dxy о rr-t) rtP ln * ^ • • OO 00 1 ег*хР \nxdx, ... I е~хл:Р lnn x dx. о 173
Эта дробь при р—^0 стремится к конечному пределу, так как знаменатель ее стремится к единице, а интегралы в числителе при р —> О остаются конечными и непрерывными. Переходим к выражению A64). Имеем по формуле Эйлера (см. § 13, теорему 24): 1 + И^ логарифмируем обе части: прибавляем к обеим частям Inp: Левая часть этого равенства и есть выражение A64). Это ра- равенство показывает, что производные по р выражения A64) выра- выражаются конечным числом дробей с знаменателями: а числители этих дробей — целые функции от р, от выражения A63) и от его производных по р. Номы доказали, что выражение A63) и его производные по р при р —* 0 стремятся к конечным пределам, в частности: Отсюда следует, что и выражение A64) и все его производные стремятся к конечным пределам при р—> (). Переходим к выражению A65); его первая производная по р: 1 lnfx его высшие производные выразятся конечным числом членов вида: УН 1 III? [А1 2 1 зЛ где р, г, s не < 0. Но все эти члены при р > 0 и при р = 0 имеют конечную величину, так как под знаком суммы — выражение, бесконечно-малое относительно — не ниже 2-го порядка. Следова- Следовательно, при р —> 0 эти выражения стремятся к конечным пределам. 174
Таким образом, доказано, что производные выражений A63), A64), A65) при р—>0 стремятся к конечным пределам. Следовательно, стремится к конечному пределу и выражение: ¦ + которое после упрощений принимает вид: A69) Но выражение A62) равно разности выражений: Sin" х \л In" p, ос=2 In"-1 х Y1 In"-1 m 2 т. е. выражению A69) со знаком +. Таким образом, и выражение A62) при р ~^0 стремится к конечному пределу, и значит, теорема 1 доказана. Имеем далее: х+1 1 J Г dx_ __ J 1 __ 1 In* j In* In* In(* + 6) ~ inx In(* 4- 0) » X где 0< б < 1. Это выражение при #-->°o — бесконечно малая 1-го порядка относительно — ; следовательно, выражение * ДС + ] dx_ \ \ппх \пх j xi+? при х —»°° есть бесконечно малая порядка 2 -f- p относительно — и сумма Х + 1 \ J Г dx \ In" л: / In л: J In л: х=2 \ х / VI / J / ,11 In 2 \ конечна. Сложив ее с выражением A62), получим: 175
Следствие. Выражение: при р, стремящемся к нулю, стремится к конечному пределу. § 77. Теорема II. От х= 2 до * = °о функция ср(х), означаю- означающая число простых чисел, меньших х, удовлетворяет бесконечное множество раз и неравенству •и неравенству X dx , ax (I7Ja) при каком угодно малом а и при каком угодно большом нату- натуральном п. Доказательство. Мы докажем теорему для неравенства A71а); для неравенства A71) она доказывается аналогично. Допустим противное, т. е. что неравенству A71а) удовлетво- удовлетворяет конечное число чисел х. Пусть а — целое число такое, что а > еп и больше наибольшего значения х, удовлетворяющего не- неравенству A71а). В таком случае при х > а будет: X dx , ах 2 из а > еп следует: In x > п. Следовательно, Но в таком случае, как мы докажем, выражение A70) при р_+0 беспредельно возрастает, тогда как мы доказали, что оно стремится к конечному пределу. Выражение A70) можно написать в виде ?(*+l)_,p(,)_f ?№. A70а) а Предполагая, что s>a, выражение справа от знака Ika можно представить в виде s г х+1 1 с+ V T(,+ ,,_tW_J ?!?. A73, 176
х+1 где С—имеет конечное значение и при р > 0 и при р = 0. К выражению A73) мы применим следующую формулу, кото- которую легко проверить: S S Положим: dx Inn X в таком случае выражение A79) преобразуется в следующее: S + 1 ( _1_ 1 \ [ ^х i ^ ' ' I 1 хл v \ а+1 1 ГТ+р Имеем: x=a-'r\ L 2 \пп х 1п"(лс—1) A73а) У2+Р Применяя теорему о среднем значении Лагранжа, найдем: Г In" л 1п^(х— 1I Г1 п I In" (x — 6) где 0<6<1; б, конечно, зависит от х. И выражение A73а) примет вид: S+1 /"• / i 1 \ ( dx С — -f (a + I) — г— dx 111 X In" a In" s V ln"(x —6) A736) Обозначив два первых члена этого выражения через F и за- замечая, что по A72а) третий его член > 0, мы заключаем, что все выражение A736) больше, чем: 177
Из тех же неравенств A72а) заключаем, что функция, стоящая под знаком суммы в A74), в пределах суммирования положительна; и, кроме того, l~rP in (л: — 6) ^ х \па> так как р > О, х^а+ U б<1. Далее: ибо по первому неравенству A72а) левая часть A75) не меньше ах тт ах а (х — 6) \ппх \пп (х — 0) ' что следует из того, что функция yir возрастает вместе с х, так как ее производная (по второму неравенству A72а)). Итак выражение A74) больше, чем: г , V *(Х— 6) Л П \\ПП(Х-Ь) Zj 1п^ (jc — в) \ 1па/ (Х qJ+p * Упростив это выражение, получим: а это — больше, чем для s явв оо это будет: Но аналогично формуле A66) легко вывести, что 00 00 00 Г е~ах \П 1 С \ ~z—г х?ах = > —тт- • 1 & \ qX — J / | m P ) О ш=гза+1 О 178
Следовательно, выражение A76) представляется в виде: x9dx Г е~ах 1 ——i Но при р —> О это выражение беспредельно возрастает, так как интеграл в знаменателе стремится к 1, а интеграл в числителе беспредельно возрастает. Отсюда следует, что и выражение A70) при р —+ 0 беспредельно возрастает, а это противоречит теореме 1. Таким образом, теоре- теорема II доказана. § 78. Теорема III. Выражение —^Ц—1пл: при х—*оо не может иметь пределом количество, отличное от —1. Г х I Доказательство. Пусть L = lim —г-. — Inх\ ; тогда при доста- точно большом x>N будем иметь: ^L + e A77) при как угодно малом е > 0. Но по теореме II неравенства A71) и A71а) удовлетворяются при бесчисленном множестве значений х, а следовательно, и при некоторых (бесчисленном множестве) значениях х > N. Для таких значений A77) дает: — lnx>L — s; dx ax In х lnn x U + e. dx Отсюда 2 получим: X J 1 dx \nx (Cdx KVnx ax \nnx «\ \nn x ] + «; 1 dx , In jc In jc lnn л: С dx ax J hue ~*~ In" л: 2 179
Из этих неравенств видно, что [ L + 1 | не превосходит абсо- абсолютной величины одного из выражений: /1 1ч / С dx _ ах -±s. A78) dx _ ах In л: lnn x 2 Но s может быть взято каким угодно малым; что же касается дроби в выражении A78), то при х—»оо она стремится к нулю. Мы найдем это, продифференцировав отдельно числитель и знаме- знаменатель и найдя (по правилу Лопиталя) предел отношения полу- полученных производных. Но производная знаменателя: 1 -д- а , \пх » \ппх — па а производная числителя: + * 1 Г ^ , а , | а ~~ ^J ^Пс ~ Ш^л: — In"-1 2 _ТГ4 л: 1п^ л: ' \пх + 1п^ л: ~ х \пп+1 х х С 1 1 С dx | а И" ла 4- па ~~ ТгГл; Т J Тп^ — 1пп~1 х » хЛяГЧс ~ л; ln^ Берем отношение производной числителя к производной знамена- знаменателя: х In л: С dx , а — /2а , /га х J In л: — 1пп~2 * "• дс 1пп~х д; ~ х \пп х A79) ^ 1пп~х л: — х \пп х При х —»оо знаменатель полученной дроби стремится к 1; в числителе же 3-й, 4-й и 5-й члены стремятся к нулю. Что ка- касается выражения: \пх Cdx С dx х х J \пх J In х ' In х J 2 то для нахождения его предела при х—>°° применим снова пра- правило Лопиталя: 180 ,. (\пхС dx\ г Г 1 Inд:— 1] .. / \пх \ 1 hm — \ 1— = hm h— : —!-=— = hm A -А = 1. \ 2 /
Итак, предел дроби A79) при л:—>°о равен нулю. Таким образом, получаем, что | L + 1 | может быть сделано каким угодно малым при достаточно большом х\ а так как L -f- 1 не зависит от х, то заключаем, что L-\-\ =0, L = —1, и тео- теорема III доказана. Доказанная теорема опровергает формулу Лежандра (см. A61)), по которой при больших значениях х можно принять; ? W "~ In х— 1,08366 > откуда: * In х = ~ 1,08366. Таков и предел этого выражения при х-+<х>, а по теореме III этот предел, если он существует, должен быть равен — 1. Но существующие таблицы простых чисел слишком малы, чтобы х усмотреть из них превосходство формулы Чебышева 1^ перед 2 формулой Лежандра A61). Оба эти выражения в пределах суще- существующих таблиц мало разнятся друг от друга. Но разность: х _ Г dx In*—1,08366 J In* 2 (l,08366J имеет минимум при х = е °»08366 ^ 1247689; при дальнейшем воз- возрастании эта разность беспредельно возрастает. В конце рассматриваемой работы Чебышев исправляет две формулы, которые при применении предположения Лежандра имели неправильный вид. Именно: T + i + i+T + lT+ ••• +± = С + \ (а не С + In (In x — 0,08366)); \а Не In * - 0,08366 ] * Здесь С и Со — определенные постоянные, не зависящие от х. § 79. Упомянем теперь о других работах Чебышева по теории чисел. В работе «О простых числах» A850 г.) Чебышев вводит и исследует арифметическую функцию 6 (х) = Yi In p (сумма берется по всем простым числам р^х). При помощи этой функции он доказывает постулат Бертрана (мы о нем упоминали в § 14): «при а > 3 между а и 2а — 2 находится по крайней мере одно простое число». 181
Чебышев доказывает его для чисел а>160; при a;gl60 этот постулат проверяется непосредственно. В этой же работе доказывается и следующая теорема: «Если при достаточно большом х функция F (х) положительна, то не- необходимое и достаточное условие сходимости ряда $] F (р) (где р v пробегает все простые числа) есть сходимость ряда > -р—; (т про- 2 т=2 бегает все натуральные числа, начиная с 2)». Таким образом, например, получается, что ряд \ -— расходя- v щийся, тогда как ряд Х~ТгГ сходящийся. v Е. Ландау заметил, что из результатов Чебышева получается более общая теорема, чем постулат Бертрана, а именно: «При s > -g- между х и A + е)х находится, начиная с определенного ху по крайней мере одно простое число; начиная с определенного (большего) х,— по крайней мере два простых числа и т. д.; на- начиная с определенного х,— по крайней мере q простых чисел при произвольном натуральном д. Отсюда следует: если рп п~е простое число, то рп — Б В 1896 г. Адамар и независимо от него Валле-Пуссен допол- дополнили результаты Чебышева, доказав, что существуют пределы: lim ^ и lim -^ . Из исследований Чебышева следует, что С—> оо % Х-> оо -^ если эти пределы существуют, то они оба =1. А из существования этих пределов следует, что: lim 1, П-> со Рп где рп, как и раньше, п-е простое число. В работе «О квадратичных формах» A851 г.) Чебышев рассмат- рассматривает формы вида х2 — Dy2 и ставит задачу: найти критерий простоты числа N в зависимости от его представления такой фор- формой. Он доказывает теоремы: 1. Если уравнение х2 — Dy2 == + N имеет две различных системы целых решений х, у в пределах для х от 0 до I/ ^а~2— и для у ОТ О ДО у +2?> N ' Т0 N ~ составное- Здесь а, C — наименьшее положительное решение уравнения 2D?2 1 182
2. Если все делители формы х2— Dy2 имеют форму Хх2— \iy2y а N, взаимно-простое с D, имеет вид одного из делителей квадра- квадратичной формы + (х2 — Dy2), то N простое число, если в пределах У уШШЕ х = 0, Х = У&±Ш. „у = 0, у==уШШЕ ИМеется только одно решение уравнения + (х2 — Dy2) = N при х, у взаимно-про- взаимно-простых. Во всех иных случаях число N — составное (а — то же, что и в первой теореме). Чебышев приводит таблицу форм: + (х2 — Dy2) при D — 2, УШ 3, ... 33 вместе с пределами уЩШ- , УЩШ и с линей- ными делителями этих форм. Под конец он исследует число 8520191 при помощи формы Ъу2 — х2 и выявляет, что это число простое. Это число Чебышев взял из одного примера Лежандра (Theorie des nombres, t. II, part IV, § 17). Лежандр, следуя правилу мате- математика Табит-ибн-Курра (IX в., родом из Месопотамии) образо- образования «дружественных чисел» (см. § 17), приводит числа: А = 28 • 8520191, В = 28 . 257 . 33023. Эти числа дружественные, если числа 257, 33023, 8520191—про- 8520191—простые. Лежандр знал, что 257 и 33023 — простые числа, но не знал, простое ли число 8520191; простоту этого числа и доказал Чебышев. § 80. От изучения свойств целых чисел теория чисел, есте- естественно, обратилась к изучению иных родов чисел. Дроби не пред- представляют собой ничего сложного и давно уже были изучены как частные целых чисел. Гораздо более сложными являются иррацио- иррациональные числа. Уже давно было обращено внимание на два рода иррациональных чисел: числа алгебраические, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, и числа транс- трансцендентные, не являющиеся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Еще Эйлер в своей книге «Введение в анализ» A744 г.) высказал утверждение, что при ра- рациональном основании а логарифм любого рационального числа й, не являющегося рациональной степенью числа а, не может быть даже числом «иррациональным» (т. е. алгебраическим) и должен относиться к количествам трансцендентным. Это утверждение до- доказано только в наше время. Только в 1844 г. Лиувиль доказал существование трансцен- трансцендентных чисел, дав необходимый признак для алгебраического числа, а следовательно, и достаточный признак трансцендентности числа. Алгебраические числа, как более простые, были изучены уже в XIX столетии. При этом, говоря об алгебраических числах, имели в виду корни алгебраических уравнений с целыми коэффи- коэффициентами,— независимо от того, вещественны ли эти корни или ком- комплексны. Обычные рациональные — целые или дробные числа — тоже являются частным случаем алгебраических: это — корни алге-
браических уравнений 1-й степени с целыми коэффициентами. Имеет место следующая теорема: Сумма, разность, произведение и частное алгебраических чи- чисел — тоже алгебраические числа. Т. е. все алгебраические числа составляют поле или область рациональности. Среди алгебраических чисел особенно важное значение имеют те, которые являются корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами и с высшим коэффициентом, равным единице. Корни таких уравнений называются целыми алгебраическими чис- числами, причем доказывается, что сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел — тоже целые алгебраические числа, т. е. совокупность всех целых алгебраических чисел есть область целости. Частное двух целых алгебраических чисел — не всегда целое число. Поэтому в области целых алгебраических чисел возникает вопрос о делимости: целое число а делится на целое число р, если частное ~ тоже целое число. Но здесь следует обратить вни- внимание на два обстоятельства: Во-первых, в области всех целых алгебраических чисел нет никакого аналога простым числам, т. е. нет «неразложимых» чисел, так как если а — целое число, то У а тоже целое число и а = ]/а • J/&. Поэтому нецелесообразно рассматривать целые алге- алгебраические числа во всей своей совокупности. Рассматривают обычно целые алгебраические числа, являющиеся рациональными функциями (с рациональными коэффициентами) от корня а некоторого непри- неприводимого уравнения F (х) = 0 с целыми коэффициентами, или, как говорят, целые числа в алгебраическом поле Р (а), полученном от присоединения числа а к области Р всех обычных рациональных чисел. Во-вторых, существуют целые алгебраические числа, которые являются делителями всякого целого алгебраического числа. Это именно делители единицы, т. е. такие целые числа г, что и целое число; такие числа называются «алгебраическими еди- единицами». В области целых рациональных чисел таких единиц только две: 1 и —1. В алгебраическом же поле Р (а) алгебраических единиц вообще бесчисленное множество. В вопросах делимости единичный множитель роли не играет, ибо если целое число а де- делится на целое число C, а ег и s2 — любые алгебраические еди- единицы, то ае2 делится на (Зг2. Такие числа, как ос и asb т. е. отли- отличающиеся друг от друга единичным множителем, называются ассоциированными; в вопросах делимости они играют одну и ту же роль и могут быть заменены одно другим. В алгебраическом поле Р (а) существуют «неразложимые» целые числа, т. е. такие, которые делятся только на «единицы» и на ассоциированные с собой числа. Легко доказать, что всякое целое число а из Р (а) представляется как произведение таких «нераз- 184
ложимых» чисел. Но такое представление вообще не однозначно, поэтому аналогии этих неразложимых чисел с обычными простыми числами нет. Например, в области Р (]/ — 11) имеем два разло- разложения числа 15: 15 = 3 • 5 = B + К:=Т!) B — |/~^ТТ); числа 3, 5, 2 + "|/" — 11; 2 — У — 11 неразложимы и не ассоции- ассоциированы друг с другом. Еще Гаусс в 1832 г. в работе «Теория биквадратичных выче- вычетов» *) рассмотрел целые числа в поле Р (/), т. е. числа вида а + Ы («комплексные числа Гаусса»), где а и Ь — обычные целые числа. Эйзенщтейн **) рассмотрел целые числа в поле Р(ы), где w = _ 1 + / \/г „ л « * _ *. так называемый первообразный кубический корень из единицы, т. е. числа вида а + 6о>, где а, Ь — обычные це- целые числа. Обе эти теории — и целых чисел Гаусса, и целых чисел Эйзен- Эйзенштейна — вполне аналогичны теории делимости обычных целых чисел. В каждой из них имеется теорема о делении с остатком, верен алгорифм Эвклида, есть понятие об общем наибольшем де- делителе, а на этом основана однозначность разложения числа на неразложимые множители, которая, таким образом, имеет место и в поле Р (/) и в поле Я(<о). Заметим, что в поле Р (I) имеется всего четыре алгебраических единицы: + 1 и +/, а в поле P(w) — шесть алгебраических единиц: +1, + w, + со2. Куммер в 1847 г.***) в связи со своими исследованиями вели- великой теоремы Ферма рассмотрел целые числа в поле Р (s), где 2тс| е = еп —первообразный корень п-й степени из единицы. Оказа- Оказалось, что в поле Р (е) при произвольном натуральном п неверна теорема об однозначном разложении на неразложимые множители. Но ее справедливость восстановится, если ввести подходящим об- образом некоторые алгебраические числа, не принадлежащие к полю P(s), которые Куммер назвал «идеальными» числами. Но общую теорию целых чисел в любом алгебраическом поле Р (а) разработал: Егор Иванович Золотарев A847—1878) в своей док- докторской диссертации «Теория целых комплексных чисел с прило- приложением к интегральному исчислению» (СПб., 1874). Е. И. Золотарев родился и учился в Петербурге; в 1867 г. кончил Петербургский университет. С 1868 г. преподавал в Петер- Петербургском университете в качестве приват-доцента, в 1876 г. был избран профессором Петербургского университета и в том же году — адъюнктом Академии наук. Летом 1878 г. Е. И. Золотарев траги- трагически погиб, попав под паровоз. *) Theoria residuorum biquadraticorum. (Ges. Werke, том II). •*) В журн. Crelle, т. 27 и 28. ***) Theorie der idealen Primfaktoren der komplexen Zahlen... Журн. Crelle, т. «35. 185
«Целыми комплексными» числами Золотарев называет целые алгебраические числа. Докторская диссертация Золотарева раз- разделяется на четыре главы: Гл. I. «О функциональных сравнениях». Гл. II. «О комплексных единицах». Гл. III. «Идеальные множители комплексных чисел». Гл. IV. «Приложение теории комплексных чисел к одному во- вопросу интегрального исчисления». Последняя глава к теории чисел не относится. В гл. I изла- излагается общая теория разложения целочисленных многочленов на простые (т. е. неприводимые) множители по модулю р (р — про- простое число). В гл. II Золотарев дает свое доказательство теоремы Дирикле об алгебраических единицах. Самая важная гл. III, пред- представляющая собственные исследования Золотарева. Если Р (а) — данное алгебраическое поле, а — корень неприво- неприводимого уравнения F (х) = О с целыми коэффициентами и высшим коэффициентом = 1, а р — обычное простое число, то может слу- случиться, что ^(л;)— простой (неприводимый) многочлен по модулю р. В этом случае, как доказывает Золотарев, произведение целых чисел из Р(ос) тогда и только тогда делится на /?, когда один из сомножителей делится на р и число р простое и в области Р(а). В противном же случае будет: где V, Уъ ... Vs — многочлены, простые по модулю р. Если хоть один из показателей ту тъ ... ms больше 1, то, как показывает Золотарев, р — делитель дискриминанта D много- многочлена F. Если среди простых делителей р дискриминанта D име- имеется такой, для которого Fx(x) делится по модулю р хоть на один множитель Vx (при т1 > 1), то такой многочлен F (х) Золотарев назвал «особенным». Случай «особенного» многочлена он рассмот- рассмотрел позднее; этот случай изложен в его работах «О комплексных числах» («Sur les nombres complexes», 1878) и «О теории комплекс- комплексных чисел» («Sur la theorie des nombres complexes», 1885,— посмертная работа). Если обычное простое число р — не простое в поле Я (а), то Золотарев представляет р состоящим из идеальных простых мно- множителей : т тл тч Р = TU 7ГХ Х . . . TCS S. Золотарев доказывает, что каждое целое число из поля Р (а) содержит идеальные множители только тех простых чисел, которые являются делителями его нормы. Так всякое целое число из Р(а), однозначно раскладывается на простые идеальные множители. Этой своей фундаментальной работой Золотарев положил ос- основу общей теории алгебраических чисел. Заметим, что только четыре года спустя после Золотарева, в 1878 г. Дедекинд построил на других основах теорию алгебраиче- 186
ских чисел,— так называемую «теорию идеалов» (в приложении к 3-му изданию лекций Дирикле по теории чисел). Профессор Петер- Петербургского университета И. И. Иванов A862—1939) в своей ма- магистерской диссертации «К теории целых комплексных чисел» A893 г.) установил эквивалентность теорий алгебраических чисел Золотарева и Дедекинда. Упомянем еще о совместных работах Золотарева и Коркина*) о минимумах положительных квадратичных форм. § 81. Георгий Федосеевич Вороной A868—1908) родился в Полтавской губернии, учился в Петербургском университете. В своих диссертациях — магистерской и докторской — он разработал теорию кубических иррациональностей, т. е. алгебраических чисел, являю- являющихся корнями кубических уравнений с целыми коэффициентами. Магистерская диссертация Г. Ф. Вороного <Ю целых алгебраи- алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (СПб., 1894), состоит из трех глав. Гл. I. «О комплексных числах по модулю р. Приложение их к решению сравнения X3 — гХ— s = 0 (mod/?) при р простом. Некоторые вспомогательные величины». Здесь дается способ решения сравнений 3-й степени X3 — гХ — — s = 0 (mod р) по простому модулю р. Вводятся «комплексные числа по модулю р», т. е. числа вида X + X'i, где X, X* — це- целые, а / не существующее число, удовлетворяющее сравнению: /2 = jV (modp), где N квадратичный невычет числа р. Доказы- Доказывается теорема: «Если дискриминант данного сравнения 3-й сте- степени —Д = 4/*3 — 27s2 — квадратичный невычет числа р, то сравне- сравнение имеет всегда и только одно решение по модулю р; если же этот дискриминант — квадратичный вычет числа р, то сравнение или имеет три решения, или не имеет ни одного решения». Гл. II. «Разыскание трех основных алгебраических чисел, из которых сложением и вычитанием получаются все целые алге- алгебраические числа, зависящие от корня уравнения р3 = rp + s». Здесь доказывается основная теорема: «Все целые алгебраиче- алгебраические числа, зависящие от корня неприводимого уравнения р3 = rp + s, заключаются в форме: " S2--/--Hp-f-p2 щ , где X, Х\ X" — любые целые рациональные числа; 5 — единствен- единственное решение по модулю Ьо сравнений ?3 — rg —s==0 (mod^V), 3?2 — r = 0 (mod S2a)». (Целые числа S и a, постоянные для данного поля, находятся опре- определенным образом). *) Александр Николаевич Коркин A837—1908) был профессором Петер- Петербургского университета. О его способе решения сравнений мы уже говорили в § 53. 187
Гл. III. «Идеальные множители целых алгебраических чисел, зависящих от корня уравнения p3 = rp + s». Здесь даются разложения на простые идеальные множители всех целых чисел кубической области. Докторская диссертация Г. Ф. Вороного «Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей» (Варшава, 1896) состоит иа пре- предисловия я трех отделов. Отд. I. «Последовательные относительные минимумы системы ковариантных форм ш = XX + Я'р и to' = XX' + X'[i/ при целых рациональных значениях переменных». Здесь рассматриваются обыкновенные цепные дроби, но с новой точки зрения, которая кладется в основу их обобщения. Отд. II. «Последовательные относительные минимумы системы ковариантных форм w = XX + Х'|л + X"v и а>' = X (/' -f /"/) + + X' (т' + m"i) -Ь X" (п* + n"i) при целых рациональных значениях переменных». Здесь выводятся необходимые и достаточные условия эквива- эквивалентности систем ковариантных форм. Полученные результаты при- применяются к системам форм, зависящих от корней уравнения 3-й степени с отрицательным дискриминантом. Доказывается, что при преобразовании таких систем введенным Г. Ф. Вороным алгорифмом получается ряд периодически повторяющихся приведенных форм. Приводится способ получения основной алгебраической единицы и способ определения числа классов неэквивалентных идеалов в дан- данной кубической области. Отд. III. «Последовательные относительные минимумы системы ковариантных форм со = XX + Х> + X"v, а>' = XX' + Ху + XV и и" = XX" + X'{i" + XV при целых рациональных значениях переменных». Здесь дается алгорифм преобразования системы ковариантных форм, коэффициенты которых зависят от корней уравнения 3-й степени с положительным дискриминантом. Доказывается, что по- получается ряд периодически повторяющихся приведенных систем. Выводится способ для получения основной системы алгебраических единиц и для определения числа классов неэквивалентных идеалов данной области. В своих исследованиях по теории чисел Г. Ф. Вороной широко при- применял геометрические средства. Этот геометрический метод приме- применялся им и в других его работах, а именно: «О некоторых свой- свойствах совершенных положительных форм» A907) и «Исследования о первообразных параллелоэдрах» A908); там излагается теория квадратичных форм с п переменными. Таким образом Г. Ф. Во- Вороной разделяет с Г. Минковским приоритет по созданию так называемой геометрической теории чисел. Большое значение имеет работа Г. Ф. Вороного «Об одной задаче из теории асимптотических функций» A908). Здесь рас- т сматривается приближенное вычисление суммы: Хх(^)> гдет.(&) — 1&S
число всех делителей числа k (см. § 16). Геометрически это сво- сводится к определению количества точек с целыми положительными координатами в части плоскости, ограниченной осями координат и верхней частью гиперболы ху = п. Дирикле дал следующую формулу: где С = 0,57721 ... — так называемая Эйлерова постоянная. С помощью довольно сложных вычислений Вороной вывел более точную формулу: m 3 ? т (k) = m (In/я + 2C — 1) + О (Ут In/я) . fe=i К работам Вороного тесно примыкают работы советских мате- математиков: первые работы И. М. Виноградова, некоторые работы Делоне, Житомирского, Венкова. Как большого специалиста по теории чисел дореволюционного времени следует назвать еще академика Андрея Андреевича Мар- Маркова A856—1922); он имеет важные работы во многих областях математики: и в теории алгебраических непрерывных дробей, и в теории конечных разностей, и в теории функций, наименее укло- уклоняющихся от нуля, и в особенности в теории вероятностей. В теории чисел очень важные работы Маркова — о верхнем пределе мини- минимумов неопределенных квадратичных форм. § 82. В советское время в нашей стране теория чисел разви- развивалась еще быстрее во всех своих отраслях. Выдающимся специали- специалистом по теории чисел является Иван Матвеевич Виноградов — один из крупнейших современных математиков. И. М. Виноградов родился в 1891 г., окончил физико-математический факультет Петербургского университета; в 1915 г. написал свою первую работу о сумме зна- значений символа Лежандра. В 1918—1920 гг. он жил в Перми, состоя сначала доцентом, а затем профессором Пермского универ- университета. В конце 1920 г. И. М. Виноградов вернулся в Петроград; с 1925 г. он был профессором Ленинградского университета; в ян- январе 1929 г. избран действительным членом Академии наук. Вместе с Академией наук И. М. Виноградов переехал в Москву, где ра- работает и в настоящее время. В 1941 г. за книгу «Новый метод в аналитической теории чисел» ему была присуждена Сталинская премия 1-й степени, а в 1945 г. присвоено звание Героя Социалисти- Социалистического Труда. *) Символ О (g (х)) означает такую функцию /(*), что при *-> оо' ¦' остается ограниченным, т. е. существует такое постоянное число М > О, что ({ < М. Здесь х — вещественная переменная, / (х) — вещественная или комплексная функция, g (х) — вещественная функция > 0. 189
И. М. Виноградов работает главным образом в аналитической теории чисел; он ввел в эту область свои, новые методы, оказав- оказавшиеся очень плодотворными. Первые работы Виноградова посвящены задачам о вычислении погрешности приближенных формул, содержащих различные число- числовые функции. Такова задача Дирикле о числе целых точек в об- области, ограниченной осями координат и гиперболой ху = п, и за- задача о числе целых точек в круге х2 + у2 < п. Эти задачи решал Вороной. Виноградов дал более простой метод, приложимый к широкому классу контуров. Первый общий метод решения задач такого типа приведен в работе Виноградова «Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций» («Известия АН СССР», 1917). Группа работ Виноградова относится к распределению вычетов и невычетов данной степени, первообразных корней и т. д. в ариф- арифметических прогрессиях или в интервалах заданной длины. При помощи оценок тригонометрических сумм Виноградов выводит ряд относящихся сюда теорем. Например: 1. Наименьший положительный квадратичный невычет для про- простого модуля р меньше, чем 2. Наименьший положительный первообразный корень простого числа меньше, чем 22hV~p\np, где k — число различных простых делителей числа р — 1. Весьма важные результаты Виноградов получил в так назы- называемой проблеме Уоринга (Waring). В 1770 г. Уоринг высказал такое утверждение: «Для всякого целого показателя я>2 существует такое г = г (/г), что всякое целое N > 0 может быть представлено в форме с целыми х-г > 0». Первое общее доказательство этой теоремы было дано только в 1909 году Гильбертом (Hilbert). Но его метод дает слишком большие значения для г. С 1920 по 1926 г. Харди и Литльвуд опубликовали шесть мемуаров под заглавием «Some Problems of Part it io Numerorum» *), где применяют новый общий метод для решения аддитивных проблем теории чисел; мемуары I, II, III, IV посвящены проблеме Уоринга. Обозначим через G (п) наименьшее значение г при данном п, т. е. такое число, что при всяком N > No (т. е. для достаточно больших N) при г = G (п) представление A80) имеет место, тогда как при r<G(n) представление A80) не имеет места для бесчис- *) «Некоторые проблемы разложения чисел». 190
ленного множества чисел N. Легко доказывается, что G (п) > п> Харди и Литльвуд нашли, что G{n)<{n — 2) .2й-1+ 5. И. М. Виноградов начал заниматься проблемой Уоринга с 1924 г. В 1934 г. он открыл новый метод, который позволил резко снизить оценку для G (п). Систематическое изложение этого ме- метода И. М. Виноградов дал в книге «Новый метод в аналитиче- аналитической теории чисел» A937 г.). Формулы, выведенные Виноградовым, следующие: G(n) <6n(lnn+ 1) при п>9, A81) С {п) < 2 Г* (*-2) In 2-0,5 1 + 2п + 5 (]82) 2 - 0,5 1 Вторая формула верна и при п<9; v = —. Формула A81) дает G(n) = 0(n\nn). Из формулы A82) получаем: GC) < 13, GD)<21, GE)<31, GF)<45, GG)<63, G(8)<81. При nfg 17 формула A82) точнее, чем A81); при /г>17 наоборот. Для небольших зцачений п функция G (п) исследовалась особо. Так, в 1927 г. Э. Ландау доказал, что GC)<8; в 1936 г. Эстер- ман, Давенпорт и Хейльброн показали, что GD)^17. В гл. VI, § 74 мы видели, что GB) = 4; это точное значение для GB), ибо числа вида 8k + 7 не представляются в виде сумм трех квад- квадратов. Наконец, как уже упоминалось в конце § 14, И. М. Виногра- Виноградов в 1937 г. решил и знаменитую проблему Гольдбаха, доказав теорему о том, что всякое нечетное число N> большее некоторого предела Л^о, может быть представлено в виде суммы трех про- простых чисел. Отсюда непосредственно следует, что всякое четное число Мг большее некоторого предела Л/ь может быть представ- представлено в виде суммы четырех простых чисел. Эта теорема в течение почти двухсот лет не поддавалась усилиям весьма больших специалистов; в 1912 году Э. Ландау высказал мнение, что проблема Гольдбаха недоступна средствам современной математики. В 1930 году советский математик Лев Генрихович Шнирельман A905—1938) доказал, что всякое целое число > 1 есть сумма огра- ограниченного числа простых чисел; однако граница для этого числа была очень велика. В последующем эта граница была уменьшена до 67; но результат Виноградова снизил ее до 4. 191
Идея доказательства Виноградова следующая: известно, что интеграл A83) где h — целое число, равен нулю при А^О и равен 1 при h = 0. Пусть дано любое нечетное число N > 0 и пусть ръ р2У р3 три простых числа, меньших чем N. Возьмем h = рг + р2 + ръ — N и подставим в A83), если полученный таким образом интеграл ока- окажется отличным от нуля, то это будет означать, что N = pi~\~ р2 + Возьмем теперь сумму: p^N p-i^N pa<N О 0 p<N где р пробегает все простые числа <ЛЛ Если мы докажем, что этот интеграл In положителен (не равен нулю), то тем самым бу- будет доказано, что всякое целое число N > 0 представляется как сумма трех простых чисел. Если, кроме того, мы найдем прибли- приближенное значение интеграла In9 to этим будет найдено приближенно и число различных представлений N в виде суммы трех простых чисел. Виноградову удалось доказать, что In > 0, и найти его приближенное значение для всех достаточно больших целых чисел N>N0. Относительно числа No («постоянная Виноградова») К. Г. Бо- роздкин в 1939 г. показал, что Н. Г. Чудаков в 1938 г. доказал, что «почти все» четные числа представляются как суммы двух нечетных простых чисел. Это озна- означает: если v (#) — число тех четных чисел < х, которые не пред- представляются как суммы двух простых чисел, то limv-^ = 0. Ю. В. Линник в 1946 г. дал иное доказательство теоремы Гольд- Гольдбаха — Виноградова. § 83. В начале § 80 мы упоминали о трансцендентных числах, о том, что их существование было доказано Лиувиллем в 1844 г. Другое доказательство существования трансцендентных чисел дал Георг Кантор (в 70-х годах XIX в.), доказав, что множество всех алгебраических чисел — счетное, тогда как множество всех вещест- вещественных чисел даже в данном конечном интервале (хотя бы от О до 1) несчетное. Отсюда следует не только существование транс- трансцендентных чисел, но и тот факт, что их множество несчетное, т. е. их, так сказать, гораздо «больше», чем алгебраических чисел. 192
В 1873 г. Эрмит доказал, что е (основание натуральных лога- логарифмов)— число трансцендентное. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа тс. Русский математик Андрей Андреевич Марков в 1883 г. упростил эти доказательства. После этого в течение свыше 40 лет почти никаких результа- результатов в области теории трансцендентных чисел не было получено. В 1900 г. на Всемирном конгрессе математиков Д. Гильберт по- поставил 23 математических проблемы, решение которых требовало разработки новых методов. Седьмая из этих проблем Гильберта следующая: если аф 1—любое алгебраическое число, а р — лю- любое алгебраическое иррациональное число, то будет ли аР алге- алгебраическим или трансцендентным числом? В частности, являются ли 2 и е% — трансцендентными числами? Упомянем еще статью Д. Д. Мордухай-Болтовского A876—1952) «К теории трансцендентных чисел» A919), где доказывается транс- трансцендентность корня уравнения: а0 — а±х + а2 ~- — а3 —^ + ... in inf. = 0, где все а{ > 0 целые и F <а{<Е (аг ограничены сверху и снизу). В 1929—30 гг. московский математик Александр Осипович Гель- фонд (род. в 1906 г.) доказал, что если а— алгебраическое число, a D > 0 целое число, то aiVD — трансцендентное число. В том же 1930 г. ленинградский математик Родион Осиевич Кузьмин A891 — 1950) показал, что результат Гельфонда распространяется на слу- случай вещественного показателя, т. е. при алгебраическом а и целом D > 0 число а D трансцендентное. Этим была доказана трансцен- трансцендентность чисел 2 и ек (ибо е% ~ (—\)~{) К В 1934 г. Гельфонд, углубив свой метод, дал доказательство трансцендентности чисел аР, где а — алгебраическое число, отлич- отличное от 0 и 1, а р — алгебраическое иррациональное число; этим седьмая проблема Гильберта была полностью решена Гельфондом. § 84. Из других советских математиков, работавших в области теории чисел, назовем следующих: Борис Николаевич Делоне (род. в 1890 г.) еще в 1922 г. дал пол- полное решение уравнения ахг + у3 = 1 (а — целое число), доказав, что кроме тривиального решения (х = 0, у == 1) оно может иметь не более одного решения в целых числах. Весьма большой не только теоретический, но и практический интерес имеют исследования Де- Делоне по приложению теории тройничных квадратичных форм к кри- кристаллографии, а также его исследования по геометрии чисел (ряд работ 30-х годов). Николай Григорьевич Чеботарев A894—1947), выдающийся со- советский алгебраист, имеет работы, относящиеся и к теории чисел. Он доказал существование бесконечного числа простых идеалов алгебраического поля, принадлежащих к данной подстановке. Это *) Трансцендентность числа е% доказал уже Гельфонд. 193
является обобщением известной теоремы Дирикле о бесчисленном множестве простых чисел в арифметической прогрессии (см. ко- конец § 15). Александр Яковлевич Хинчин (род. в 1894 г.) имеет ряд важных работ в так называемой метрической теории Диофантовых прибли- приближений. Большим специалистом по теории чисел является также Борис Алексеевич Венков (род. в 1900 г.), имеющий важные исследования в теории тройничных форм и в арифметике кватернионов. Известна также его обзорная монография «Элементарная теория чисел» A937 г.) Желающим подробнее ознакомиться с достижениями советских математиков в области теории чисел можно рекомендовать книгу «Математика в СССР за тридцать лет» A917—1947), раздел «Тео- «Теория чисел».
УЧЕБНИКИ И ПОСОБИЯ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. И. В. Арнольд. Теория чисел. Пособие для пединститутов. Учпедгиз, 1939. И. Г. Башмакова. Обоснование теории делимости в трудах Е. И. Золота- Золотарева. «Историко-математические исследования», вып. IJ, стр. 233—351. В. П. Вельмин. Введение в теорию алгебраических чисел. Варшава, 1913. Б. А. Венков. Элементарная теория чисел. ГТТИ, 1937. И. М. Виноградов. Основы теории чисел. 6-ое изд. 1953. И. М. Виноградов. Новый метод в аналитической теории чисел. Изд. Ака- Академии наук СССР, 1937. Э. Гекке. Лекции по теории алгебраических чисел. ГТТИ, 1940. А. О. Гельфонд. Трансцендентные и алгебраические числа. ГТТИ, 1952. Д. А. Траве. Элементарный курс теории чисел. Киев, 1913. Д. А. Граве. Арифметическая теория алгебраических величин. Том I, Квадратичная область. 1909—10 г. Киев, 1910 (литогр.) Б. Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. Изд. Академии наук СССР, 1947. Л. Е. Диксон. Введение в теорию чисел. Вып. 1. Изд. Академии наук Грузинской ССР, 1941. П. Г. Лежен-Дирикле. Лекции по теории чисел в обработке и с добавле- добавлениями Р. Дедекинда. Перев. с немецкого под ред. Б. И. Сегала с приложе- приложением статьи Б. Н. Делоне «Геометрия бинарных квадратичных форм». ОНТИ, 1936. Г. И. Дринфельд. Трансцендентность чисел тс и е. Изд. Харьковского гос. университета, 1952. Д. Ф. Егоров. Элементы теории чисел. ГИЗ, 1923. И. И. Иванов. Теория чисел. Литогр. изд. СПб., 1910. А. Е. Ингам. Распределение простых чисел. Перев. с англ. Райкова. ОНТИ, 1936. Ю. В. Сохоцкий. Высшая алгебра. Часть вторая. Начала теории чисел. СПб., 1888. А. Я- Хинчин. Великая теорема Ферма. Изд. 2-е. ГТТИ, 1932. А. Я- Хинчин. Три жемчужины теории чисел. Гостехизд., 1947. П. Л. Чебышев. Теория сравнений. Изд. III. СПб., 1901. Н. Г. Чудаков. Введение в теорию L-функций Дирихле, Гостехизд., 1947.
ТАБЛИЦЫ ПЕРВООБРАЗНЫХ КОРНЕЙ И ИНДЕКСОВ Простое число 5. Первообразные корни: 2, 3. Основание 2. I. N. I. 12 3 4 4 13 2 1. N. N. 1 2 2 4 3 3 4 1 Простое число 7. Первообразные корни: 3, 5. Основание 3. N. I. 1 б 1. 2 2 3 1 4 4 5 5 б 3 I. N. 1 3 N. 2 2 3 6 4 4 5 5 6 1 Простое число П. Первообразные корни: 2, 6, 7, 8. Основание 2. I. N. I. 1 10 2 1 3 8 4 2 5 4 6 9 7 7 8 3 9 6 10 5 I. N. 1 2 2 4 3 8 N. 4 5 5 10 6 9 7 7 8 3 9 6 10 1 Простое число 13. Первообразные корни: 2, 6, 7, П. Основание 6. I. N. 0 1 0 2 1 12 11 2 5 6 3 8 4 10 5 9 6 1 7 7 8 3 9 4 I. 0 1 0 4 1 6 11 2 10 1 3 8 N. 4 9 5 2 6 12 7 7 8 3 9 5 Простое число 17. Первообразные корни: 3, 5, б, 7, 10, 11, 12, 14. Основание 10. N. N. 0 1 0 1 1 16 13 2 10 15 3 11 12 4 4 3 5 7 2 6 5 8 7 9 8 14 9 6 I. 0 1 0 2 1 10 3 2 15 13 3 14 11 4 4 8 5 6 12 6 9 1 7 5 8 16 9 7
Простое число 19. Первообразные корни: 2, 3, 10, 13, 14, 15. Основание 10. N. 0 1 0 1 1 18 б 2 17 3 3 5 13 4 16 11 5 2 7 6 4 14 7 12 8 8 15 9 9 10 N. I. 0 1 0 9 1 10 14 2 5 7 3 12 13 4 6 16 5 3 8 6 11 4 7 15 2 8 17 1 9 18 Простое число 23. Первообразные корни: 5, 7, 10, И, 14, 15, 17, 19, 20, 21. Основание 10. I. N. N. 0 1 2 0 1 9 1 22 3 19 2 8 14 И 3 20 12 4 16 7 5 15 13 6 6 10 7 21 17 8 2 4 9 18 5 I. 0 1 2 0 16 3 1 10 22 7 2 8 13 1 3 11 15 4 1-8 12 5 19 5 6 6 4 7 14 17 8 2 9 9 20 21 Простое число 29. Первообразные корни: 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27. Основание 10. I. N. N. 0 1 2 0 1 12 1 28 23 19 2 11 21 6 3 27 2 24 4 22 3 4 5 18 17 8 6 10 16 13 7 20 7 25 8 5 9 14 9 26 15 I. 0 1 2 0 6 7 1 10 2 12 2 13 20 4 3 14 26 11 4 24 28 23 5 8 19 27 6 22 16 9 7 17 15 3 8 25 5 1 9 18 21 Простое число 31. Первообразные корни: 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24. Основание 17. N. 0 1 2 3 0 2 14 15 1 30 29 17 2 12 7 11 3 13 23 21 4 24 16 19 5 20 3 10 б 25 18 5 7 4 1 9 8 6 8 28 9 26 22 27 N. I. 0 1 CM 3 0 25 5 1 1 17 22 23 2 10 2 19 3 15 3 13 4 7 20 4 5 26 30 6 6 8 14 9 7 12 21 29 8 18 16 28 9 27 24 11 197
Простое число 37. Первообразные корни: 2, 5, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 35. Основание 5. 1. N. N. 0 1 2 3 0 12 23 10 1 36 6 26 27 2 11 20 17 19 3 34 13 21 4 4 22 3 31 16 5 1 35 2 29 6 9 8 24 18 7 28 5 30 8 33 7 14 9 32 25 15 1. 0 1 2 3 0 30 12 27 1 5 2 23 24 2 25 10 4 9 3 14 13 20 8 4 33 28 26 3 5 17 29 19 15 6 11 34 21 1 7 18 22 31 8 16 36 7 9 6 32 35 Простое число 41. Первообразные корни: 6,7, И, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35. Основание 6. I. N. N. 0 1 2 3 4 0 8 34 23 20 1 40 3 14 28 2 26 27 29 10 3 15 31 36 18 4 12 25 13 19 5 22 37 4 21 6 1 24 17 2 7 39 33 5 32 8 38 16 И 35 9 30 9 7 6 1. 0 1 2 3 4 0 32 40 9 1 1 6 28 35 13 2 36 4 5 37 3 11 24 30 17 4 25 21 16 20 5 27 3 14 38 6 39 18 2 23 7 29 26 12 15 8 10 33 31 8 9 19 34 22 7 Простое число 43. Первообразные корни: 3, 5, 12, 18, 19, 20, 26, 28, 29, 30, 33, 34. Основание 28. I. N. N. 0 1 2 3 4 0 2 41 19 38 1 42 6 24 32 18 2 39 11 3 27 21 3 17 40 20 23 4 36 4 8 13 5 5 22 10 12 6 14 30 37 28 7 7 16 9 35 8 33 31 1 26 9 34 29 25 15 I. 0 1 2 3 4 0 25 23 16 13 1 28 12 42 18 20 2 10 35 15 31 1 3 22 34 33 8 4 14 6 21 9 5 5 39 29 37 6 11 17 38 4 7 7 3 32 26 8 24 41 36 40 9 27 30 19 2 Простое число 47. Первообразные корни: 5, 10, 11, 13, 15, 19, 20, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45. Основание 10. I. N. N. 0 1 2 3 4 0 1 31 19 15 1 46 27 10 5 25 2 30 32 11 12 40 3 18 3 39 45 37 4 14 22 16 26 41 5 17 35 34 9 7 6 2 28 33 4 23 7 38 42 8 24 8 44 20 6 13 9 36 29 43 21 I. 0 1 2 3 4 0 21 18 2 42 1 10 22 39 20 44 2 6 32 14 12 17 3 13 38 46 26 29 4 36 4 37 25 8 5 31 40 41 15 33 6 28 24 34 9 1 7 45 5 И 43 8 27 3 16 7 9 35 30 19 23 198
Простое число 53. Первообразные корни: 2, 3, 5, 8, 12, 14, 18, 19, 20, 21, 22, 26, 27, 31, 32, 33, 34, 35, 39, 41, 45, 48, 50, 51. Основание 26. I. N. N. 0 1 2 3 4 5 0 4 29 13 2 35 1 52 46 47 45 33 51 2 25 7 19 21 20 26 3 9 28 39 3 30 4 50 11 32 15 44 5 31 40 10 17 49 6 34 48 1 16 12 7 38 42 27 22 8 8 23 43 36 14 5 9 18 41 6 37 24 I. 0 1 2 3 4 5 0 25 42 43 15 4 1 26 14 32 5 19 51 2 40 46 37 24 17 1 3 33 30 8 41 18 4 10 38 49 6 44 5 48 34 2 50 31 6 29 36 52 28 и 7 12 35 27 39 21 8 47 9 13 7 16 9 3 22 20 23 45 Простое число 59. Первообразные корни: 2, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 18, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 47, 50, 52, 54, 55, 56. Основание 10. I. N. N. 0 1 2 3 4 5 0 1 26 33 51 35 1 58 45 18 7 2 46 2 25 24 12 9 43 15 3 32 23 27 19 13 28 4 50 11 49 39 37 5 5 34 8 10 20 40 21 6 57 42 48 56 52 3 7 44 14 38 41 53 54 8 17 31 36 47 16 29 9 6 22 4 55 30 I. 0 1 2 3 4 5 0 25 35 49 45 4 1 10 14 55 18 37 40 2 41 22 19 3 16 46 3 56 43 13 30 42 47 4 29 17 12 5 7 57 5 54 52 2 50 11 39 6 9 48 20 28 51 36 7 21 8 23 44 38 6 8 15 21 53 27 26 1 9 32 33 58 34 24 Простое число 61. Первообразные корни: 2, 6, 7, 10, 17, 18, 26, 30, 31, 35, 43, 44, 51, 54, 55, 59. Основание 10. I. N. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 48 43 35 15 30 1 60 45 5 13 18 31 2 47 16 32 55 52 54 3 42 26 39 27 41 51 4 34 10 3 36 19 53 5 14 56 28 37 38 59 6 29 8 7 58 26 44 7 23 49 6 33 40 4 8 21 11 57 9 50 12 9 24 22 25 2 46 17 N. I. 0 1 2 3 4 5 6 0 14 13 60 47 48 1 1 10 18 8 51 43 53 2 39 58 19 22 3 42 3 24 31 7 37 30 54 4 57 5 9 4 56 52 5 21 50 29 40 И 32 6 27 12 46 34 49 15 7 26 59 33 35 2 28 8 16 41 25 45 20 36 9 38 44 6 23 17 55 199
Простое число 67. Первообразные корни: 2, 7, 11, 12, 13, 18, 20, 28, 31, 32, 34, 41,44,46, 48, 50, 51, 57, 61, 63. Основание 12. I. N. N. 0 1 2 3 4 5 6 0 2 31 И 60 41 40 1 66 61 16 43 19 17 5 2 29 1 24 13 45 15 6 3 9 23 20 4 63 3 25 4 58 36 30 37 53 56 42 5 39 48 12 46 57 34 62 6 38 50 52 10 49 28 33 7 7 8 27 44 64 35 8 21 47 65 55 59 51 9 18 26 22 32 14 54 I. 0 1 2 3 4 5 6 0 36 23 24 60 16 40 1 12 30 8 20 50 58 11 2 10 25 29 39 64 26 65 3 53 32 13 66 31 44 43 4 33 49 22 55 37 59 47 5 61 52 63 57 42 38 28 6 62 21 19 14 35 54 1 7 7 51 27 34 18 45 8 17 9 56 6 15 4 9 3 41 2 5 46 48 Простое число 71. Первообразные корни: 7, 11, 13, 21, 22, 28, 31, 33, 35, 42, 44, 47, 52, 53, 55, 56, 59, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69. Основание 62. I. N. N. 0 1 2 3 4 5 б 7 0 2 60 20 48 16 8 35 1 70 43 51 13 55 25 37 2 58 64 31 10 39 3 1 3 18 27 5 61 44 59 69 4 46 21 52 65 19 42 68 5 14 32 28 47 50 57 41 6 6 22 15 12 63 67 49 7 33 7 54 30 17 56 11 8 34 24 9 26 40 62 53 9 36 38 4 45 66 29 23 I. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 32 30 37 48 45 20 1 1 62 67 14 22 65 21 33 2 10 36 16 15 54 24 58 3 52 31 69 7 11 68 46 4 29 5 18 8 43 27 12 5 23 26 51 70 39 41 34 6 6 50 38 9 4 57 49 7 17 47 13 61 35 55 56 8 60 3 25 19 40 2 64 9 28 44 59 42 66 53 63 Простое число 73. Первообразные корни: 5, 11, 13, 14, 15, 20, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 39, 40, 42, 44, 45, 47, 53, 58, 59, 60, 62, 68. Основание 5. I. N. N. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 9 17 15 25 10 23 42 1 72 55 39 11 4 27 58 44 2 8 22 63 40 47 3 19 36 3 6 59 46 61 51 53 45 4 16 41 30 29 71 26 48 5 1 7 2 34 13 56 60 6 14 32 67 28 54 57 69 7 33 21 18 64 31 68 50 8 24 20 49 70 38 43 37 9 12 62 35 65 66 5 52 I. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 50 18 24 32 67 65 38 1 5 31 17 47 14 43 33 44 2 25 9 12 16 70 69 19 1 3 52 45 60 7 58 53 22 4 41 6 8 35 71 46 37 5 59 30 40 29 63 11 39 6 3 4 54 72 23 55 49 7 15 20 51 68 42 56 26 8 2 27 36 48 64 61 57 9 10 62 34 21 28 13 66 200
Простое число 79. Первообразные корни: 3, 6, 7, 28, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 43, 47, 48, 53 54, 59, 60, 63, 66, 68, 70, 74, 75, 77. Основание 29. I. N. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 6 56 77 28 40 49 25 1 78 70 12 76 21 2 75 33 2 50 15 42 16 62 18 48 58 3 71 74 52 63 47 7 5 4 4 22 69 65 59 14 29 66 73 5 34 27 68 53 20 26 30 61 6 43 44 46 8 24 13 35 32 7 19 9 57 23 55 3 54 11 8 72 36 41 60 37 51 31 39 9 64 10 1 67 38 17 45 N. I. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 19 45 65 50 2 38 11 1 29 77 41 68 28 58 75 3 2 51 21 4 76 22 23 42 8 3 57 56 37 71 6 35 33 74 4 73 44 46 5 16 67 9 13 5 63 12 70 66 69 47 24 61 6 10 32 55 18 26 20 64 31 7 53 59 15 48 43 27 39 30 8 36 52 40 49 62 72 25 1 9 17 7 54 78 60 34 14 Простое число 83. Первообразные корни: 2, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 34, 35, 39, 42, 43, 45, 46, 47, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 66, 67, 71, 72, 73, 74, 76, 79, 80. Основание 50. I. N. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 5 54 8 1 57 26 11 1 82 72 76 32 38 56 34 17 44 2 3 58 75 15 79 73 35 31 41 3 52 67 16 42 49 13 46 43 4 6 27 61 7 78 77 18 63 5 81 51 80 23 21 71 66 50 6 55 12 70 28 19 33 45 65 7 24 4 74 60 69 29 53 14 8 9 25 30 62 64 39 10 40 9 22 59 36 37 48 20 68 47 N. I. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 68 59 28 78 75 37 26 25 1 50 80 45 72 82 15 24 55 5 2 10 16 9 31 33 3 38 11 1 3 2 53 35 56 73 67 74 52 4 17 77 7 61 81 30 48 27 5 20 32 18 62 66 6 76 22 6 4 23 70 29 63 51 65 21 7 34 71 14 39 79 60 13 54 8 40 64 36 41 49 12 69 44 9 8 46 57 58 43 19 47 42 201
Простое число 89. Первообразные корни: 3, 6, 7, 13, 14, 15, 19, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 41, 43, 46, 48, 51, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 70, 74, 75, 76, 82, 83, 86. Основание 30. I. N. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 74 1 58 20 73 9 42 1 88 4 6 57 67 81 19 26 84 2 72 55 76 8 78 33 41 38 51 3 87 65 31 3 59 10 5 68 27 4 56 79 39 66 60 69 80 61 62 5 18 17 36 25 16 22 83 35 12 6 71 24 49 54 15 47 75 21 43 7 7 82 85 77 34 52 32 И 28 8 40 70 63 37 23 13 50 48 44 9 86 53 29 64 14 45 30 46 N. I. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 53 5а 69 8 68 44 18 64 1 30 77 76 23 62 82 74 6 51 2 10 85 55 67 80 57 84 2 17 3 33 58 48 52 86 19 28 60 65 4 11 49 16 47 88 36 39 20 81 5 63 46 35 75 59 12 13 66 27 6 21 45 71 25 79 4 34 22 9 7 7 15 83 38 56 31 41 37 3 8 32 5 87 72 78 40 73 42 1 9 70 61 29 24 26 43 54 14 Простое число 97. Первообразные корни: 5, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 21, 23, 26, 29, 37, 38, 39, 40, 41, 56, 57, 58, 59, 60, 68, 71, 74, 76, 80, 82, 83, 84, 87, 90, 92. Основание 10. I. N. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 87 3 77 12 89 54 67 5 1 96 82 55 26 71 21 32 25 8 40 2 86 78 72 46 45 63 16 70 61 59 3 2 83 79 84 44 14 57 20 91 28 4 76 43 68 9 62 92 36 31 35 50 5 И 13 22 64 15 93 94 24 30 38 6 88 56 73 80 69 23 74 7 34 48 7 53 19 6 41 60 29 51 39 49 8 66 90 33 17 58 37 95 75 52 9 4 27 47 85 10 65 81 42 18 N. I. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 49 73 85 91 94 47 72 36 18 1 10 5 51 74 37 67 82 41 69 83 2 3 50 25 61 79 88 44 22 11 54 3 30 15 56 28 14 7 52 26 13 55 4 9 53 75 86 43 70 35 66 33 65 5 90 45 71 84 42 21 59 78 39 68 6 27 62 31 64 32 16 8 4 2 1 7 76 38 19 58 29 63 80 40 20 8 81 89 93 95 96 48 24 12 6 9 34 17 57 77 87 92 46 23 60 202
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие 3 Глава I. О делимости чисел § 1—2. Элементарные теоремы о делимости 4 § 3. Общее наименьшее кратное 6 § 4. Общий наибольший делитель 7 § 5—8. Дальнейшие теоремы о делимости и о взаимно-простых числах . 8 § 9. Некоторые приложения 10 § 10. Простые числа; разложение на простые множители 12 §11. Решето Эратосфена 13 § 12. Теорема о бесконечном множестве простых чисел 14 § 13. Формула Эйлера 15 § 14—15. О распределении простых чисел 17 § 16—17. Делители целых чисел 20 § 18. Разложение на множители числа т\ 22 Упражнения 24 Глава II. Алгорифм Эвклида и цепные дроби § 19. Алгорифм Эвклида 27 § 20. Цепные дроби 28 § 21. Бесконечные цепные дроби и их применение 31 § 22. Алгорифм Эйлера 34 § 23. Свойства скобок Эйлера 36 § 24—25. Вычисление цепных дробей 38 § 26. Некоторые применения цепных дробей 44 § 27. Периодические цепные дроби 45 § 28—29. Неопределенные уравнения 1-й степени 49 § 30. Некоторые замечания 54 § 31. Теорема о простых числах вида 4s + 1 54 Упражнения 56 Глава III. Сравнения § 32. Определения о8 § 33. Основные свойства сравнений 60 § 34. Некоторые частные случаи 62 § 35. Функция <р (т) 63 § 36. Функция Мебиуса; формула Дедекинда и Лиувилля 65 § 37. Теорема Ферма-Эйлера 67 § 38. Тождественные и условные сравнения 70 § 39. Сравнения 1-й степени 71 § 40. Теорема Вильсона 74 § 41. Десятичные дроби 75 § 42. Признаки делимости 78 § 43. Система сравнений с разными модулями 82 § 44. Сравнения высших степеней с простым модулем 84 Упражнения 89 203
Глава IV. Квадратичные вычеты Стр. § 45. Сравнения по сложному модулю 92 § 46. Квадратные сравнения 92 § 47. Критерий Эйлера 94 § 48. Символ Лежандра 96 § 49. Закон взаимности 99 § 50. Символ Якоби 104 § 51. Две задачи в теории квадратичных вычетов 107 § 52—53. Решение квадратных сравнений; способ Коркина 110 § 54. Случай, когда модуль — степень простого нечетного числа .... 115 § 55. Случай, когда модуль — степень числа 2 119 § 56. Случай, когда свободный член не взаимно-простой с модулем ... 122 § 57. Общий случай 125 Упражнения 130 Глава V. Первообразные корни и индексы § 58. Первообразные корни 133 § 59. Случай простого модуля 1<85 § 60. Случай, когда модуль — степень нечетного простого числа .... 136 § 61. Случай, когда модуль — удвоенная степень простого нечетного числа 139 § 62. Общие свойства индексов 141 § 63—64. Вычисления с индексами 143 § 65. Индексы в случае, если модуль — степень числа 2 148 § 66. Индексы для сложного модуля 149 Упражнения 152 Глава VI. Некоторые сведения о квадратичных формах § 67. Определения 154 § 68. Разложимые формы 155 § 69. Определенные и неопределенные формы 157 § 70. Форма вида х2 + ау2 158 § 71. Решение некоторых неопределенных уравнений 159 § 72. Замечание 162 § 73. Уравнение х2 + у2 = т 163 § 74. Представление целого числа в виде суммы четырех квадратов . . . 166 Упражнения 169 Глава VII. Работы по теории чисел русских и советских математиков § 75. Л. Эйлер 170 § 76—79. П. Л. Чебышев 172 § 80. Е. И. Золотарев 183 § 81. Г. Ф. Вороной 187 § 82. И. М. Виноградов 189 § 83. А. О. Гельфонд 192 § 84. Другие советские математики 193 Учебники и пособия по теории чисел 195 Таблицы первообразных корней и индексов 196 Техредактор Г. П. Стецюк Корректор К. Летуновская Подписано к набору 19/11 1954 г. Подписано к печати 7/VI 54 г. БЦ 12840. Тираж 10 000. Бумага 60 х Э^/^.Бум. л. 6,38. Печ. л. 123 . Учет.-изд. л. 14. В 1 печ. л. 43 000 зы. Зак. 476. Цена 4 руб. 20 коп. Отпечатано с матриц книжной ф-ки им. Фрунзе Главиздата Министерства культуры УССР в 4-й тип. Углетехиздата. Харьков, ул. Энгельса, 11. Зак. 2065.
Стра- Страница 19 37 61 87 131 132 153 153 159 162 Строка 13 снизу 6 сверху 14 . 15 . 13 снизу 3 . 15 и 16 сверху 6 снизу 15 сверху 14 „ ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ Напечатано аоКа + грГ- гт+1 сравнение (у— i)i 2, 5, 20? + 12, —13. г) +9; д) +6; ±26; +44 б) +23. ху* + х2уг 2q не делится -ат) 3, + 17; на 4. Должно быть а.Ца + грГ-а"] Гп + 1 сравнения (р — 1)! 2, 5, 20ife+l, 20&+3, 12, —13, 19, 44. г) ±9; д) ±6; ±17; ±26; ±44. б) ±23. хм + х%уг 2/7 не делится на 4. А. К. Сушкевич. „Теория чисел"