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MATHÉMATIQUES POUR LE 2 E CYCLE
Collection dirigée par Charles-Michel MARLE et Philippe PILIBOSSIAN
THÉORIE
DE
GALOIS
Ivan GOZARD
Ancien élève de l'E.N.S.E.T.
Agrégé de l'Université

Présentation de la collection Mathématiques pour le 2 e cycle
Cette collection se propose de ITIettre à la disposition des étudiants de licence et de
ITIaîtrise de ITIathélTIatiques des ouvrages couvrant l'essentiel des progralTImes actuels
des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étu-
diants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous: les sujets traités sont présen-
tés de manière sÎlTIple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur
ITIathématique. Chaque volulTIe comporte un exposé du cours avec des démonstrations
détaillées de tous les résultats essentiels, et de nOITIbreux exercices.
Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des
mathématiques au niveau supérieur.
Nous avons apporté le plus grand soin à la présentation et à la ITIise en page des
textes de ces livres; le choix du logiciel TEX de Donald E. Knuth s'est ÎlTIposé pour ce
travail.
Nous SOITIITIeS heureux de présenter dans cette collection le livre de Monsieur Ivan
. Gozard qui a pour sujet la théorie de Galois. Cette théorie est une des plus belles
constructions de l'esprit hUITIain. Elle illustre, de ITIanière tout particulièrelTIent frap-
pante, la puissance des mathématiques: grâce à l'emploi de concepts algébriques abs-
traits, elle a perlTIis de répondre, de manière cOITIplète et définitive, à certaines questions
faciles à forlTIuler en terlTIeS sÎlTIples, posées depuis l'Antiquité grecque ou la
Renaissance. Par exelTIple : certaines constructions à la règle et au COITIpaS (quadrature
du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube) sont-elles possibles? Quelles sont
les équations algébriques résolubles par radicaux?
Le livre de Monsieur Ivan Gozard donne de cette théorie un exposé clair, accessible
aux étudiants de second cycle. Nul doute que cet ouvrage contribuera à faire aÎlTIer les
ITIathématiques.
Dans la même collection
 Topologie, Gilles CHRISTOL, Anne COT, Charles-Michel MARLE, 192 pages.
 Calcul différentiel, Gilles CHRISTOL, Anne COT, Charles-Michel MARLE
(à paraître en 1997).
 Analyse convexe et va ria tionn elle , Dominique AZÉ (à paraître en 1997).
ISBN 2-7298-5673-0
@ ellipses / édition marketing S.A., 1997
32 rue Bargue, Paris (ISe).
La loi du Il mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'Article/41, d'une part, que les
« copies ou reproductions strictement réservées à l'usage prjvé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans
le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». (Alinéa 1er de
l'Article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
l'éditeur ou du Centre français d'Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.

AVANT-PROPOS
A un ITIOment où la COITImunauté MathélTIatique redécouvre le génie de Galois et la
puissance de sa théorie, à l'occasion du rôle essentiel qu'elle joue dans la délTIonstration
par A. Wiles du célèbre théorèlTIe de FerlTIat, il ITI'a selTIblé qu'un ouvrage spécialisé
ITIais abordable sur ce sujet, écrit en Français, pourrait avoir quelque utilité.
Ce livre s'adresse bien sûr aux étudiants de deuxièlTIe cycle en Mathématiques, et
aux candidats aux concours de recrutelTIent de Professeurs.
Il ÎlTIporte toutefois de signaler qu'il a aussi été conçu pour intéresser les étudiants
de prelTIier cycle et des classes préparatoires aux Grandes Écoles Scientifiques, à la
recherche d'une prelTIière approche; et des enseignants en poste désireux de redécou-
verte. Il contient en effet une part ÎlTIportante de rappels de prelTIier cycle, afin de
pouvoir être accessible avec un ITIinimulTI de connaissances préalables (de bons acquis
en Algèbre générale, et en particulier en Algèbre linéaire, suffisent pour l'aborder).
J'ai travaillé avec le double objectif d'offrir un livre qui soit cOITIplet et pédagogique.
Toutes les délTIonstrations sont entièrelTIent rédigées. Le lecteur a donc entre les ITIains
un ouvrage autonOITIe. Les nécessaires instruments théoriques ne sont introduits qu'au
fur et à mesure des besoins, et aussitôt utilisés et/ou illustrés d'exemples. Les chapitres 1
à 7 abordent quelques problèlTIes et situations classiques en travaillant le plus possible
« à la ITIain », la théorie de Galois n'est exposée que dans une seconde partie. De sorte
que le lecteur puisse découvrir progressivelTIent sa puissance, et sa beauté, en la voyant
appliquée à des situations qu'il ITIaîtrise. J'ai essayé de procéder par généralisations
successi ves, quitte à créer quelques longueurs et une certaine redondance.
Les chapitres d'introduction donnent toutes les définitions et propriétés de base élé-
mentaires, en les illustrant; puis exposent des sujets tels que les nOITIbres algébriques,
les problèlTIes classiques de constructibilité à la règle et au COITIpaS, la construction du
corps des racines d'un polynôlTIe, les racines de l'unité dans le corps des nOITIbres
complexes, les corps finis. De sorte que le lecteur puisse aborder la théorie de Galois en
connaissant son contexte historico-ITIathéITIatique.
La théorie de Galois elle-mêlTIe est ensuite présentée avec de nOITIbreux exelTIples
concrets, entièrelTIent développés.
Dans une troisième partie, après de nécessaires cOITIplélTIents de théorie des groupes
(p sous-groupes de Sylow, groupes résolubles), on aborde quelques-unes des applica-
tions de la théorie de Galois, en particulier le critère de constructibilité à la règle et au
compas d'un polygone régulier à n côtés, le théorème de d'AleITIbert-Gauss, la non réso-
lubilité de l'équation « générale» de degré supérieur ou égal à 5.
On trouvera aussi, tout au long du livre, des résultats intéressants donnés « au pas-
sage », comme la transcendance de 1t, le théorème de Wedderburn, un cas particulier du
théorèlTIe de Dirichlet (existence d'une infinité de nOITIbres prelTIiers de la forme kn + 1),
la loi de réciprocité quadratique, le test de Pépin concernant les nOITIbres de FerlTIat, le
théorème de Stickelberger.
La plupart des chapitres s'achèvent par une liste d'exercices de difficulté variée,
avec souvent des indications.
Je souhaite que ce livre rende service aux étudiants dans leur préparation aux
concours et puisse participer à la forlTIation de leur Culture MathélTIatique. Je veux ex-
prÎlTIer ici ma gratitude à G. Joubert et C.-M. Marie, qui ont bien voulu relire le ITIanUS-
crit et ITIe faire part de leurs relTIarques pertinentes. Et je ne saurais terminer sans
relTIercier les éditions Ellipses pour le soin apporté à la fabric:ltion de ce volume.

Table des matières
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . VII
"" " ,..
Chapitre 1. GENERALITES: ANNEAUX, CORPS, POLYNOMES . . ]
] Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Caractéristique d'un anneau, d'un corps . . . . . . 7
3 Polynômes irréductibles. . . . . . . . . . . . 9
4 Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Appendice: fonction indicatrice d'Euler 18
6 Exercices ............ . . . . ] 9
Chapitre II. EXTENSIONS DE CORPS . . . . . . . 21
] Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 2]
2 Groupe de Galois d'une extension . . . . 24
3 Exercices ............ . . . . 28
"
Chapitre III. EXTENSIONS ALGEBRIQUES ET TRANSCENDANTES 30
] Structure des extensions monogènes . . . . . . . . . . 30
2 Eléments conjugués. . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
3 Extensions algébriques . . . . . . . . . . . . 37
4 Nombres algébriques réels, complexes . . . .. 39
5 Théorèmes de Hermite et de Lindemann . . . . . . 4]
6 Exercices ............... . . . . . . . . . 46
" "
Chapitre IV. CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES A LA REGLE ET AU COMPAS 47
] Points constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Nombres constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Application des résultats précédents aux problèmes grecs classiques 52
4 Compléments ............ . . . . . . . . . 55
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chapitre V. ADJONCTION DE RACINES . . . . . . . . . 57
] Corps de rupture d'un polynôme . . . . . . . . 57
2 Corps de décomposition d'un polynôme . . . . 59
3 Clôture algébrique d'un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Exercices .............. . . . . .. .... 66
Chapitre VI. CORPS CYCLOTOMIQUES .... . . . . 67
] Corps cyclotomiques. Polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . 67
2 Sous-corps réel de Q(lU n ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Construction de polygones réguliers à la règle et au compas . . . . 74
4 Appendice: quelques polynômes cyclotomiques 76
5 Exercices .................. ......... 79

Table des matières
v
Chapitre VII. CORPS FINIS . . . . . . . . . . . . .
1 Structure de IF p-e. v. Commutativité .......
2 Existence et unicité d'un corps de cardinal primaire . .
3 Groupe des automorphismes d'un corps fini
4 Polynômes irréductibles sur IF p .............
5 Sous-corps d'un corps fini . . . . . . . . .
6 Clôture algébrique d'un corps fini . . . . . . . .
7 Carrés dans un corps fi ni .... . . . . . . .
8 Exercices ............ ....
1 Suites normales, suites de composition
2 Suite dérivée d'un groupe . . .
3 Groupes résolubles . . . . . .
4 Groupes simples. Applications .
5 Groupes symétriques . . . . . .
6 Sous-groupes de Sylow .
7 Exercices .......
81
. . . . 81
. . . . . 85
. · . . .. 86
. · . . . . . 87
· · . . . . . . . 9]
. . . . . . 92
. · · . . . 93
. . · . . . 94
. . . . 95
. . . · . · . . . . . 95
. . . . 96
· . . . . . 97
. . . . . . 1 00
. . 1 02
. . . . . . 1 04
. . . . . . . . . . . . 1 04
. . . . . . 1 05
. . . . . . . . . 110
. . . . . . .111
. 113
. . .1]6
. . . . . . . . . ] 22
. . . . . . . .. . 124
. 124
. 125
. . 126
. ] 27
. . . . . . . . . . . ] 29
. . 130
. ] 30
. . ] 33
. . . . . . . 136
. . . . . . . ]38
. . . . . . 148
. . . . . . . 150
. . . . . . . . 150
. . . . . . . . . 153
. . . . . . .. . ] 56
. 157
. . . . . . . . . . . . ] 57
. . . . . . . . . . . . ]58
. . . . . . . . . . . . ]59
. . . . . . . . . . 1 60
. . . . . . . . . 1 62
. . ] 65
. ] 68
,
Chapitre VIII. EXTENSIONS SEPARABLES . .
1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . .
2 Polynômes séparables. . . . . . . . . .
3 Eléments séparables. Extensions séparables. . . . . .
4 Degré séparable d'une extension algébrique
5 Exercices ........................
Chapitre IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT . .
1 Rappels d'algèbre linéaire . . . . . . . . . . .
2 Définitions et propriétés élémentaires ....
3 Transitivité de la norme et de la trace: complément
4 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Discriminant d'un polynôme .........
6 Résultant, déterminant de Sylvester, discriminant
7 Exercices .............
Chapitre X. EXTENSIONS NORMALES . . . . . .
1 Résultats et concepts fondamentaux . . . . . .
2.Extensions normales finies et corps de décomposition
3 Normalité dans les tours d'extensions ........
4 Clôture normale d'une extension algébrique .....
5 Exercices .....................
,
Chapitre XI. THEORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
] Extensions galoisiennes finies . . . . . . .
2 Correspondance de Galois. . . . . . . . . . .
3 Groupe de Galois d'un polynôlTIe . . . . .
4 Applications et exemples . . . . .
5 Exercices ...........
,
Chapitre XII. RACINES DE L'UNITE
1 Corps des racines n-ièmes de l'unité . . . . . .
2 Résidus quadratiques. Loi de réciprocité quadratique
3 Exercices .....................
,
Chapitre XIII. NOTIONS DE THEORIE DES GROUPES

vi
Table des matières
. . 169
. 169
. 172
. . 175
. . 176
. . 178
. . ] 78
. . 182
. . 184
. 187
. . 188
. . ] 88
. . . 1 90
. . 1 94
. . 195
. . ] 95
. . 196
. ] 97
. 198
. 201
. . . . . . . . . . . . 202
. . 205
. . . . . . . . . 205
. . . . . . . . 207
. . 208
. . . . . . . . .21]
. . . . . .213
 
Chapitre XIV. EQUATIONS RESOLUBLES PAR RADICAUX. . . . . . . .
1 Extensions galoisiennes finies à groupe de Galois cyclique. .
2 Extensions par radicaux . . . . . . . . . . . . . .
3 Exemples d'équations non résolubles par radicaux ....
4 Exercices ..............................

Chapitre XV. DEGRE DE TRANSCENDANCE .
1 Dépendance algébrique . . . . . . . . .
2 Degré de transcendance . . . . .
3 Théorème de Lü roth .. . . . . . . .
4 Exercices .............
"   
Chapitre XVI. LE POLYNOME GENERIQUE DE DEGRE n
] Le polynôme générique de degré n. . . . . . . .
2 Résolution des équations algébriques de degré < 4
3 Exercices ................

Chapitre XVII. COMPLEMENTS ....... ..........
] Caractérisation des nombres constructibles. ....
2 Une démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss
3 Théorème de Stickelberger . . . . . . . .
4 Bases normales d'un corps fini. . . . . . . . .
5 Groupe de Galois d'un polynôme de degré 4 . . . . . . . . . . . . .
6 Réduction modulo p ......
Chapitre XVIII. PROLONGEMENTS. . . . . . . .
] Théorie de Galois constructive. . . . . . .
2 Généralisations de la théorie de Galois classique
3 Théorie de Galois différentielle . . . .
Bibliographie . . . . . .
Index terminologique .......

NOTATIONS
V : pour tout
3 : il existe
t.q. : abréviation pour "tel que"
1 : abréviation pour "tel que"
si et ssi : abréviation pour "si et seulement si"
E \ F (où E et F sont deux ensembles) : ensemble E privé de F, Le. {x E E lx ft F}
P(E) : ensemble des parties de l'ensemble E
FE (où E et F sont deux ensembles) : ensemble des applications de E dans F
id : identité (où application identique)
idx : identité de X (= application identique de l'ensemble X dans lui-même)
8 : symbole de KRONECKER (8 a b = 1 si a = b, et 8ab = 0 si a i= b) ,-
fiA (où f est une application et A une partie de son domaine de définition) : restriction de f à A
fiA (où f est une application et A une partie de l'ensemble d'arrivée contenant l'ensemble image de f) :
corestriction de f à A
Card : cardinal
C : nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments
max : maximum
min: minimum
sup : borne supérieure
inf: borne inférieure
N : ensemble des entiers naturels
N* : ensemble des entiers naturels f:. 0
lE : ensemble des entiers relatifs
IE* : ensemble des entiers relatifs f:. 0
Q : ensemble des nombres rationnels
Q+, Q - : ensemble des nombres rationnels > 0 [resp. < 0]
Q+, Q : ensemble des nombres rationnels> 0 [resp. < 0]
A : corps des nOlnbres algébriques (cf. 111.55)
IR : ensemble des nombres réels
IR+, IR_ : ensemble des nombres réels > 0 [resp. < 0]
IR+, IR : ensemble des nombres réels> 0 [resp. < 0]
C : ensemble des nombres complexes
IHI : corps des quaternions
IF q : corps fini à q éléments (cf. 1.11, VII.18)
U(A) (où A est un anneau) : ensemble des éléments inversibles de l'anneau A
A * (où A est un anneau) : ensemble A \ {O} des éléments non nuls de A
(a) : idéal de l'anneau A engendré par l'élément a « a) = aA)
1I.J : ensemble des nombres complexes de module 1
1I.J n (où n E N*) : ensemble des racines n-ièmes de 1 dans C
Pn(C) : ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité (cf. VI.I)
e( z) : partie réelle du nombre complexe z
m( z) : partie imaginaire du nombre complexe z
[.,], [., [, ]., .], ]., .[: intervalles dans N
IP : ensemble des entiers naturels premiers
alb : a divise b
a Ab : a ne divise pas b
mod. : modulo
P.G.C.D, : plus grand commun diviseur
P.P.C.M. : plus petit commun multiple
a /\ b: P.G.C.D. de a et de b
<p : indicatrice d'EuLER (cf. 1.12)

viii
Notations
Vp (n ) (où p E !ID et n E N*) : exposant de p dans la décomposition de n en produit de puissances de nombres
premiers
rv : isomorphe à
lm : image
ker: noyau
IGI : ordre (=cardinal) du groupe G
< X > : sous-groupe engendré par la partie X
< 9 > : sous-groupe engendré par l'élément 9
Z (G) : centre du groupe G
D(G) : groupe dérivé du groupe G (cf. XIII.8)
[G : H] : indice dans le groupe G du sous-groupe H
H <] G : H est un sous-groupe distingué du groupe G (cf. X1.22)
N G (H) : normalisateur dans le groupe G du sous-groupe H
6(X), ou S(X) : groupe des permutations de l'ensemble non vide X
Sn, ou Sn (où n E N*) : groupe des permutations de l'ensemble [1, n]
Un, ou An (où n E N*) : groupe des permutations paires de l'ensemble [1, n]
(al ... an) : cycle (de longueur n) qui envoie al sur 0.2,..., an-l sur an et an sur al
€( s) : signature de la permutation s (cf. XII1.22)
Aut(A) : ensemble des automorphismes de A
Car(A) ou caract(A) : caractéristique de l'anneau A (cf. 1.27)
irr(a., K, X) : polynôme minimal de l'élément a algébrique sur le corps K (cf. 111.8)
deg( P) : degré du polynôme P
val(P) : valuation du polynôme P
Diser( P) : discriminant du polynôme P (cf. IX.3D, IX.51)
4>n,K (X) : n-ième polynôme cyclotomique sur le corps K (cf. V1.5, XII. 10)
[L : K] : degré de l'extension L du corps K (cf. 11.5)
Gal(L/ K) : groupe de Galois de l'extension L du corps K (cf. II.28)
Fix(H), ou Inv(H) : corps fixe par le sous-groupe H (cf. II.36)
K-e.v. (où K est un corps) : K-espace vectoriel
K(I) (où K est un corps, et 1 un ensemble non vide) : K-espace vectoriel des familles (ai)iEI d'éléments
de K à support fini (i .e. telles que l'ensemble {i E 1/ ai f:. D K } soit fini)
Vect(X), ou VectK(X) : sous-espace vectoriel engendré par la partie X d'un K-e.v.
dÎlnK (E) (où K est un corps et E un K -e.v.) : dimension du K -espace vectoriel E
£ K (E, F) (où K est un corps, et E et F sont des K -e, v.) : K -e, V. des applications K -linéaires de E dans F
E* (où K est un corps et E un K-e.v.) : (=£K(E, K) espace dual de E
£K(E) (où K est un corps et E un K-e.v.): (=£K(E, E) K-algèbre des applications K-Iinéaires de E
dans E
GLK(E) (où K est un corps et E un K-e.v.): groupe linéaire de E
Mn ,p (K) : ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K
Mn(K) : (=Mn,n(K) ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans K
GLn (K) : groupe des matrices carrées inversibles de taille n à coefficients dans K
Mat(u, e, f) : matrice dans les bases e (au départ) et f (à l'arrivée) de l'application linéaire u
det : déterminant
tr : trace

CHAPITRE 1
GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
Sauf exceptions explicitement signalées, tous les anneaux considérés dans ce ]ivre seront
des anneaux commutatifs et unitaires (c'est-à-dire dotés d'un neutre multiplicatif distinct
du neutre additif) et tous les corps étudiés seront commutatifs.
Nous donnons dans ce chapitre quelques rappels de premier cycle et résultats concernant
des structures sur lesquel1es porte cet ouvrage: anneaux et corps; et quelques notions sur
les polynômes. Le lecteur pourra aussi consulter son cours de premier cycle favori.
1. Anneaux et corps
1.1 Généralités
Proposition 1.1 [et définition]. - Soit A un anneau.
. Soit a E A.
- On dit que a' est un inverse de a si, et seulernent si, aa ' = a' a = lA.
- On dit que a est inversible lorsque a admet un inverse. Celui-ci est alors
unique : on le note a -1 .
. L'ensemble U(A) des éléments inversibles de A, muni de la multiplication,
est un groupe, appelé groupe des unités de A.
Preuve : Soient a un élément inversible de A et a' et ail deux inverses de a. Alors
ail = lAd ' = (a'a)a" = a'(aa") = a'lA = a'.
U(A) est non vide (car lA E U(A)) et la multiplication définit bien une loi de composition
interne dans U(A) puisque clairement, si (a, b) E U(A)2, b- 1 a- 1 est un inverse de ab.
Evidemment cette loi est associative et lA est neutre pour la multiplication dans U(A).
Enfin si x E U(A), l'inverse x- 1 de x est dans U(A) (son inverse est x), donc x- 1 est le
symétrique de x dans (U(A), .).
EXEMPLE 1.2. - U(Z) = {-l, l}.
Définition 1.3. - Soient A et B deux anneaux, f une application de A dans B.
On dit que f est un homomorphisme d'anneaux si, et seulement si :
(V'(x, y) E A 2 , f(x + y) = f(x) + f(y) et f(xy) = f(x)f(y)) et f(lA) = lB.
Le noyau ker(f) de f est alors un idéal de A.
Propriété 1.4. - Soient A et B deux anneaux, f un homomorphisrne d'anneaux
de A dans B. Alors f(U(A)) C U(B) et (V'x E U(A), (f(X))-l = f(x- 1 )).

2
"" , "
CH. 1. GENERALITES: ANNEAUX, CORPS, POLYNOMES
En effet, pour x E U(A), on a :
1B = f(lA) = f(xx- l ) = f(x)f(x- l ) = f(x-Ix) = f(x- l )f(x).
Proposition 1.5 [et définition]. - Soit k un anneau. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) tout élément non nul de k est inversible (k* C U(k));
(ii) l'ensemble k* = k\ {O} des éléments nOll nuls de k, muni de la multiplication,
est un groupe.
Si elles sont vérifiées, on dit que k est un corps.
Proposition 1.6. - Soit k un corps. Alors k est un anneau intègre':
Preuve: Tout élément de k*, étant inversible, est régulier pour le produit.
Remarquons que la réciproque de cette proposition est bien sur fausse (Z. . .), mais qu'on
verra plus tard (VII. 1 ) qu'elle est vraie pour un anneau intègre fini.
Proposition 1.7. - Soit k un anneau. k est un corps si, et seulement si, les .seuls
idéaux de k sont (0) et k.
Preuve: Soit k un corps et J un idéal de k, avec J -=1 (0). Fixons i E J \ (0). Alors, pour
chaque x E k, x = (xi-l)i E J. Donc J = k.
Soit k un anneau ayant (0) et k pour seuls idéaux. Pour x E k*, (x) est un idéal de k non
réduit à (0), donc égal à k. En particulier 1 E (x), c'est-à-dire: il existe y E k tel que
yx = xy = 1.
REMARQUE 1.8. - Cette proposition est fausse si l'on supprime l'hypothèse (ici
implicite) de commutativité de l'anneau k. Par exemple, pour n > 2, l'anneau
Mn(K) des matrices carrées de taille n à cofficients dans un corps commutatif
K a pour seuls idéaux (0) et lui-même, mais n'est certes pas un corps.
Corollaire 1.9. - Soit k un corps. Tout homomorphisme d'anneaux f de k dans
un anneau A (en particulier tout homomorphisme de corps f de k dans un corps
OC) est injectif. (On dit parfois que f est un monomorphisme).
Preuve: ker(f) est un idéal de k et comme f(lk) = lA -=1 0, il est distinct de k. Donc
(proposition précédente) ker(f) = (0).
Proposition 1.10. - Soit A un anneau intègre, K un corps. Soit u un homomor-
phisme d'anneaux injectif de A dans K. Frac(A) désignant le corps des fractions
de l'anneau A, u peut être prolongé en un homomorphisme de corps (injectif) de
Frac(A) dans K.
Preuve: On définit U de Frac(A) dans K de la façon suivante:
Vr E Frac(A), si r = z/d où (z, d) E A x A*, U(r) = (u(z))(u(d))-l.
On vérifie alors que cette définition est légitime (Le. que U (r) ne dépend pas de l'écriture
en fraction choisie). En effet si r = a/b = al/bl, alors ab l = alb dans A, donc

9 1. Anneaux et corps
3
u ( a) u ( b 1 ) = U ( ab 1 ) = u ( a 1 b) = u ( al) u ( b) , d'où u ( a ) ( u ( b ) ) -1 = U ( al) ( u (b 1 ) ) -1 .
On montre aisément que U est un homomorphisme d'anneaux de Frac(A) dans K, et
prolonge u: Vz E A, U(z) = U(z/l) = u(z)(u(l))-l = u(z).
1.2 Anneau ZlnZ. Indicateur d'EuLER
Proposition 1.11. - Soit n un entier naturel, n > 2, a E N, et a la classe de a
modulo n. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(1) a et n sont premiers entre eux (soit: a 1\ n = 1);
(2) a est un élément régulier de l'anneau ZlnZ;
(3) a est un élément inversible de l'anneau ZlnZ;
(4) a est un g'énérateur du groupe additif ZlnZ.
Preuve: . (3) =? (2) est trivial.
. (2) =? (3) : a est un élément régulier de l'anneau ZlnZ si, et seulement si, l'application
f de ZlnZ dans lui-même, qui à x associe xa, est injective. L'ensemble de départ et
l'ensemble d'arrivée étant finis de même cardinal, f est bijective, donc surjective, et en
particulier l a un antécédent par f : il existe v E ZlnZ tel que av = 1, soit a E U(ZlnZ).
. (1) <=> (3) : D'après le théorème de Bezout, n est premier avec a si, et seulement si, il
existe (u, v) E Z2 tel que nu + va = 1. Or cela équivaut à : (3(u, v) E Z2 tel que, dans
ZlnZ, l = fiu + va = va), soit à : (3v E ZlnZ t.q. av = 1), soit à: a E U(ZlnZ).
. (3) <=> (4) : (a E U(Z/nZ)) <=> (3t E ZlnZ t.q. ta = 1) <=> (3t E Z t.q. ta = 1) <=>
(Vk E Z,3z E Z t.q. za = k) <=> (Vk E ZlnZ,3z E Z t.q. za = k) <=> (a engendre le
groupe additif ZlnZ).
Proposition 1.12. - Soit n EN, n > 2. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) n est un nombre premier;
(ii) ZlnZ est un anneau intègre;
(iii) Z/nZ est un corps.
REMARQUE 1.13. - Terminologie : Pour p nombre premier, Z/pZ est noté JF p . JF p est
donc un corps fini, de cardinal p.
Preuve: . (iii) =? (ii) résulte de 1.6.
. (H) => (i) Si n n'est pas premier, n = ab où 1 < a, b < n. Alors, dans ZlnZ, a et b sont
distincts de 0 et 0 = fi = ab.
. (i) => (Hi) Soit x E (Z/nZ)*, z un représentant de x. n ne divise pas z (sinon x serait nul),
donc puisque n est premier, n est premier avec z. Donc, d'après la proposition précédente,
x = Z E U(ZlnZ).
Définition 1.14 [Indicateur d'EuLER]. - Pour tout entier naturel n > 1, on note
G n l'ensemble des entiers naturels x tels que (1 < x < n et x 1\ n = 1).
On définit l'application <p de N* dans N* appelée fonction indicatrice d'EuLER par:
Vn E N*, <p(n) = Card(G n ).

4
CH.I. GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
Propriétés 1.15. - <p(1) = 1. Si n > 2, <p(n) est le nombre de générateurs du
groupe Z/nZ (donc, par isomorphisme, <p(n) est le nombre de générateurs de tout
groupe cyclique d'ordre n); et <p(n) est l'ordre du g'roupe U(Z/nZ) des éléments
inversibles de l'anneau Z/nZ.
Proposition 1.16. - Soit p un nombre premier et n E N*. On a :
1 cp(pn) = pn - pn-l.1
Preuve : Comme p est premier, Gpn est l'ensemble des entiers naturels x tels que
(1 < x < pn et x 1\ p = 1); son complémentaire est l'ensemble des multiples de p
compris entre 1 et pn, c'est-à-dire l'ensemble des pd, d compris entre 1 et pn-l : il a donc
pour cardinal pn-l.
Théorème 1.17 [EULER]. - Soit n > 2 un entier naturel. Soit a un entier relatif
premier avec n. Alors a<p(n) = 1 [modo n].
Preuve : On considère l'élément a du groupe U(Z/nZ) des éléments inversibles de
l'anneau Z/nZ. D'après le théorème de Lagrange, son ordre divise <p(n). Donc a<p(n) = 1,
soit a<p(n) = 1 [modo n].
REMARQUE 1.18. - Comme lorsque p premier, <p(p) = p - 1, ce théorème est une
généralisation du petit théorènle de FERMAT, dont nous rappelons l'énoncé:
Soit p un nombre premier. Soit a un entier relatif non divisible par p. Alors
a P - 1 = 1 [modo p].
Théorème 1.19 [des restes chinois]. - Soient m et n deux entiers naturels> 2,
premiers entre eux. Les anneaux Z/mnZ et Z/mZ x Z/nZ sont isomorphes.
Preuve: x étant un entier relatif, on note r(x) [resp. s(x)] la classe de x dans Z/mZ [resp.
'L/nZ]. Si x = x' [mod. mn], soit si x - x' est divisible par mn, alors x - x' est divisible
par m et par n, soit r(x) = r(x') et s(x) = s(x'). Cela permet de définir l'application f
de Z/mnZ dans Z/mZ x Z/nZ par:
VC E Z/mnZ, f(C) = (r(x), s(x)) où x est un élément de C.
Clairement f est un homomorphisme d'anneaux. Si C E ker(f) et si k est un élément de
C, alors k est divisible par m et par n, donc par leur P.P.C.M.; lequel P.P.C.M. est le produit
mn puisque m et n sont premiers entre eux, donc C = k = O. Ainsi f est injective.
Donc, l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée étant finis de même cardinal, f est
bijective. 0
Corollaire 1.20. - Soient m et n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2,
premiers entre eux. Alors <p(mn) = <p(m)<p(n).
Preuve: Les anneaux Z/mnZ et Z/mZ x Z/nZ sont isomorphes, donc les groupes
U(Z/m,nZ) et U(Z/mZ) x U(Z/nZ) sont isomorphes, donc ont même ordre.

9 1. Anneaux et corps
5
Proposition 1.21. - Soit n > 2 un entier naturel. Soit n = Pl QI . . . Pk Qk (les Pi
premiers distincts, les ai E N*) une décomposition de n en produit de facteurs
premiers. Alors
¥'( n) = n (1 - :1 ) · · · ( 1 - :k ).
Preuve: Raisonner par récurrence sur le nombre k de facteurs et utiliser 1. 1 6 et 1.20.
Lemme 1.22. - Soit n > 2. Le groupe ZlnZ possède, pour chaque diviseur d de
n, un et un seul sous-groupe d'ordre d : ce sous-groupe est < (nld)I >, il est
cyclique.
Preuve: . Existence: Notons n = kd, et G =< kÏ >= {zkÏ, z E Z}. On a dkÏ = 0, et
pour chaque i E [1, d - 1], ikI -1 0 car 1 < ik < (d - l)k < n. Donc kÏ est d'ordre d,
et G =< kl > est cyclique d'ordre d.
. Unicité: Notons s : Z  ZlnZ la surjection canonique. Soit G un sous-groupe
d'ordre d de ZlnZ. S-I(G) est un sous-groupe de Z, donc il existe kEN tel que
S.-I(G) = kZ. n E S-I(G) = kZ, donc k (est non nul et) divise n, donc nZ C kZ.
Il vient G = S(S-I(G)) = kZlnZ =< kÏ >, d'où l'unicité (d'où aussi (cf. partie
"existence") le fait que k = n/.
Proposition 1.23 [Formule de GAUSS]. - Pour n E N*, n = Ldln <p(d).
Preuve: Notons Dn l'ensemble des entiers naturels diviseurs de n; et notons, pour d E Dn,
Yd le sous-groupe d'ordre d de ZlnZ et Ed l'ensemble des générateurs de Qd : d'après
1.15, Card(Ed) = <p( d).
Si d -1 d', les éléments de Ed étant d'ordre d et ceux de Ed' d'ordre d', Ed et Ed' sont
disjoints. Soit x E ZlnZ. Soit d l'ordre de x. D'après le théorème de LAGRANGE, d E Dn.
Vu le lemme, < x >= Qd. Donc x E Ed.
Ainsi les Ed, d E Dn, forment une partition de ZlnZ. Donc
n = L Card(Ed) = L ¥,(d).
dEDn dEDn
Théorème 1.24. - Soit G un groupe fini d'ordre n, noté multiplicativement,
d'élément neutre e, dans lequel pour chaque diviseur d de n, l'équation x d = e, à
l'inconnue x E G, a au plus d solutions distinctes. Alors G est un groupe cyclique.
Preuve : Pour d diviseur de n, notons Td = {x E G 1 x d = e}, Od l'ensemble des éléments
d'ordre d de G et 'l/;(d) = Card(Od). Clairement Od C Td.
. Supposons 'l/;(d) > 1. Soit x E Od. Alors x E Td, par conséquent < x > C Td (car
< x >= {xi,O < i < d -1} et (xi)d = (xd)i = e i = e). Comme d = Card« x » et
Card(Td) < d, il vient < x >= Td. Donc Td est un groupe cyclique d'ordre d. Il a donc
exactement <p(d) générateurs, c'est-à-dire <p(d) éléments d'ordre d. Or Od C Td. Donc

6
CH. 1. GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
1/J( d) == <p( d). Ainsi:
(1) pour d di viseur de n, le nombre 1/J (d) d'éléments d'ordre d de G est 0 ou <p ( d).
. Or les [!d, d diviseur de n, forment une partition de G (car ils sont clairement disjoints,
et il résulte du théorème de Lagrange que leur union recouvre G). Donc
(II) n == Ldln 1/J(d).
. De (1), (II) et de la formule de GAUSS n == Ldln <p( d) découle: pour tout diviseur el de n, le
nombre 1/J (d) d' élémen ts de Gd' ordre d est égal à <p( d). En particuHer 'l/J ( n) == <p ( n) > 1.
Donc G est cyclique. D
1.3 Sous-corps
Proposition 1.25 [et définition]. - Soit k un corps. Soit P une partie de k. Les
conditions suivantes sont équivalentes:
(i) P est non vide, est une partie stable (pour + et x) de k, et P muni des
lois induites par celles de k est lui-même un corps;
(ii) P est un sous-anneau de k, 1 E P, et (x E P =? x- 1 E P);
(iii) P est un sous-groupe de (k, +) et P* == P \ {O} est un sous-groupe du
groupe multiplicatif (k* , x).
On dit alors que P est un sous-corps de k.
EXEl\1PLES 1.26. - Q est un sous-corps de IR, IR est un sous-corps de C.
Proposition 1.27. - Soit k un corps. Toute intersection de sous-corps de k est un
sous-corps de k.
Preuve: Soit (Fi)iEI une famille de sous-corps de k. 0 et 1 appartiennent à chacun des Fù
donc à l'intersection F de tous les Fi. Donc F est non vide. Soit (a, b) E F 2 . Pour chaque
i El, (a, b) E Fi 2 , donc a + b E Fi et ab E Fi. Par conséquent a + b et ab appartiennent
à F. Soit x E F avec x -=1 O. Alors pour chaque i E l, x E Fi \ {O}, donc x- 1 E Fi.
Donc x- 1 E F.
Proposition 1.28 [et définition]. - Soit k un corps. Soit T une partie de k.
L'ensemble E des sous-corps de k qui contiennent T est non vide, et possède,
au sens de l'inclusion, un élément minirIlum : ce minimum est appelé le sous-corps
de k engendré par T.
Preuve: E est non vide car k E E. Clairement, l'intersection des éléments de E est le
plus petit élément de E (au sens de C ).

9 2. Caractéristique d'un anneau, d'un corps
7
2. Caractéristique d'un anneau, d'un corps
2.1 La caractéristique. Ses propriétés
Définition 1.29 [Caractéristique d'un anneau]. - Soit A un anneau. Il existe un
unique homomorphisme d'anneaux de Z dans A : l'application f définie par
(Vn E Z) f(n) = nIA, ker(f) est un idéal de Z; donc il existe un entier naturel
c, et un seul, tel que ker(f) = cZ. Comme f(l) == lA i= 0, c est distinct de 1. Ce
nombre c est appelé la caractéristique de l'anneau A et l'on note c = caract(A).
REMARQUES 1.30. - 1) Im(f) == {ZIA, z E Z} = ZIA est un sous-anneau de A
(c'est d'ailleurs le sous-anneau engendré par lA) et la décomposition canonique
de l'homomorphisme f montre que Im(f) est isomorphe à Z/cZ.
2) Si caract(A)i= 0, alors caract(A) est l'ordre additif de l'élément lA.
3) Un anneau et un quelconque de ses sous-anneaux (en particulier un corps et un
quelconque de ses sous-corps) ont la même caractéristique.
EXEMPLE 1.31. - La caractéristique de l'anneau Z/nZ est n.
Proposition 1.32. - Soit A un anneau fini. Alors caract(A) i= 0 et caract(A) divise
le cardinal de A.
Preuve : Si caract(A) était nulle, Im(f) serait isomorphe à Z donc infini : ce qui est
absurde puisque Im(f) est inclus dans A fini. La seconde affirmation résulte de la dernière
remarque faite et du théorème de Lagrange.
Proposition 1.33. - Soit A un anneau intègre. Alors caract(A) est ou bien nulle,
ou bien un nombre premier.
Preuve: Comme A est intègre, le sous-anneau Inl(f) J'est aussi. Or lm(f) est isomorphe
à Z/ caract(A)Z, donc Z/ caract(A)Z est intègre. Donc caract(A) est 0 ou un nombre
premIer.
Corollaire 1.34. - Soit k un corps. Alors caract( k) est ou bien nulle, ou bien un
nombre premier.
Preuve: Un corps est un anneau intègre...
Proposition 1.35. - Soit p un nombre premier et A un anneau de caractéristique
p. Alors:
V(a, b) E A 2 , (a + b)P = a P + b P .
Preuve: Soit k E [1, p - 1] : alors aucun des naturels 1, 2, . . . , k n'est divisible par p;
donc, puisque p est premier, ils sont tous premiers avec p; donc leur produit k! est premier
avec p; orpdivise k!C; = p(p-1) . . . (p- k+ 1); donc (théorème de GAUSS) pdivise C;.
La formule du binôme de NEWTON (a + b)P = E=o C;akb p - k donne alors le résultat
annoncé.

8
CH.I. GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
2.2 Sous-corps premier d'un corps
Définition 1.36 [Corps premier]. - Un corps ]( est dit premier si, et seulement si,
K n'a pas d'autre SOlls-corps que lui-même.
EXEMPLES 1.37. - 1) Q est un corps premier. En effet tout sous-corps de Q contient
nécessairement le sous-corps de Q engendré par 1, qui n'est autre que Q lui-nlême.
2) Pour chaque p E IP, JF p est un corps premier. En effet soit k un sous-corps de
JF p . k est en particulier un sous-groupe additif de JF p , donc vus le théorème de
Lagrange et le fait que p admet 1 et p pour seuls diviseurs, k est égal à {Ü} ou à
IF p' Comme l E k, le premier cas est exclu.
Définition 1.38. - Soit K un corps. Notons P le sous-corps de K engendré par
1K, c'est-à-dire l'intersection de tous les sous-corps de K. Le corps P est bien sûr
un corps premier. On l'appelle le sous-corps premier de K.
REMARQUES 1.39. - 1) K est un corps premier si, et seulement si, P = K.
2) Un corps et l'un quelconque de ses sous-corps ont le même sous-corps premier.
Proposition 1.40. - Soit K un corps, P son sous-corps premier, et c sa
caractéristique. On a :
(> Ou bien c = 0 et alors P est isomorphe à Q.
(> Ou bien c est un nombre premier p et alors P est isomorphe à JF p'
..,
REMARQUE 1.41. - Dans tous les cas, que K soit ou non commutatif, Pest
commutatif.
Preuve : Reprenons l'unique homomorphisme d'anneaux de Z dans K, à savoIr
l'application f : z  z 1 K. Deux cas se présentent:
(> Si c est un nombre premier p, alors la décomposition canonique de 1 'homomorphisme
......, ......,
f fournit un isomorphisme d'anneaux f de JF p dans Im(f). Im(f) = f(IFp) est donc un
sous-corps de K, donc P est inclus dans (donc est un sous-corps de) lm(f). Mais lm(f),
étant isomorphe à JF p , est un corps premier, donc P = lm(f).
(> Si c = 0, f est injectif. Donc f se prolonge de façon unique en un homomorphisme
de corps F de Q dans K (cf. 1.10 : Vr E Q, si r = z/d, où (z, d) E Z x N*, F(r) =
(ZlK)(d1K)-1).lm(F) = F(Q) est donc un sous-corps de K, donc P est inclus dans
(donc est un sous-corps de) Im(F). Mais Im(F), étant isomorphe à Q, est un corps
premier, donc P = Im(F).
Proposition 1.42. - Soit p un nombre premier. Tout corps fini de cardinal pest
isomorphe à JF p'
Preuve: Soit K un corps fini. Il résulte de 1.32 et 1.34 que c = caract(K) est un nombre
premier qui divise Card(K). Si Card(K) = p premier, i1 vient caract(K)= p. Appliquant

9 3. Polynômes irréductibles
9
1.40, on voit que P est isomorphe à 1Fp. L'égalité des cardinaux montre que P = K. Donc
K est isomorphe à 1Fp.
3. Polynômes irréductibles
Définition 1.43 [Polynôme irréductible]. - Soit A un anneau. Un polynôme P de
A[X] est dit irréductible dans A[X] si, et seulement si, son degré est supérieur ou
égal à 1 et ses seuls diviseurs dans A[X] sont les polynômes uP, où u E U(A), et
les éléments de U(A).
REMARQUE 1.44. - Rappel: Soit K un corps. L'anneau K[X] des polynômes à
coefficients dans K est euclidien donc principal (tout idéal non réduit à (0) étant
engendré par un élément non nul de degré minimum) donc factoriel.
Définitions 1.45. - Soient k un sous-corps de K et P E k[X]. Une racine (ou un
zéro) de P dans K est un élément a de K tel que P(a) = O.
La multiplicité de a comme racine de P est le plus grand n E N tel que (X - a)n
divise P(X) dans K[X].
La somme des multiplicités des racines de P dans K est inférieure ou égale au degré
de P. Il y a égalité si, et seulement si, P est, dans K[X], totalement factorisable,
c'est-à-dire produit de son coefficient dominant et de polynômes du premier degré
dans K[X]. On dit dans ce cas que P(X) est scindé sur K.
Proposition 1.46 [Irréductibilité des polynômes de K[X]]. -
(1) Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
(2) Tout pol.ynôme irréductible de degré> 1 n'a pas de racine dans K.
(3) La réciproque de (2) est fausse. Par exemple (X 2 + 1)2 n'a pas de racine
dans Q, mais est réductible dans Q[X].
(4) Toutefois la réciproque de (2) est vraie pour les polynômes de degré 2 ou
3. Les polynômes irréductibles de degré 2 ou 3 sont exactement ceux qui n'ont pas
de racine dans K.
Preuve: (1) est clair.
(2) Si P a une racine a dans K, il est divisible par X - a dans K[X].
(4) Si P de degré 2 ou 3 est réductible, alors il admet nécessairement un diviseur aX + (3
de degré 1 dans K[X] : mais alors -(3/a E K est racine de P.
REMARQUES 1.47. - 1) Si k est un sous--corps de K et si P E k[X], alors P E K[X].
- Si P est irréductible dans K[X], il est a fortiori irréductible dans k[X].
- Par contre l'irréductibilité de P dans k[X] n'a aucune raison de subsister
dans K[X]. Par exemple P(X) = X 2 + 1 E JR[X] est irréductible dans JR[X], mais
P(X) = (X - i)(X + i) est réductible dans C[X].
2) Soit A un anneau factoriel, 1< son corps des fractions. Si f(X) E K[X] \ {O},

10
"" , "
CH.I. GENERALITES: ANNEAUX, CORPS, POLYNOrvIES
il existe a E A* tel que af(X) E A[X] : cela résulte de la réduction au même
dénominateur des coefficients non nuls de f(X). Or clairement l'irréductiblité de
f(X) dans K[X) est équivalente à l'irréductibilité de af(X) dans K[X). On est
ainsi ranlenés à l'étude de l'irréductiblité dans K[X] des polynômes de A[X).
Proposition 1.48. - Soit P(X) == anX n +. . . +a1 X +ao un polynôme à coefficients
dans Z, avec an -=1 0 et ao -=1 O. Si le rationnel a est zéro de P(X), notant a == p/q
une écriture irréductible de a (i.e. (p, q) E Z* x N* avec P.G.C.D.(p, q) == 1), alors
p divise ao et q divise an.
n
Preuve: P(a) == P() == an +... + a1() + ao == 0, donc qnp() == anpn +
71,-1 71,-1 + n 0 0 d " 71, + 71,-1 + + 71,-1
a n -1P q+. . · +a1pq aoq == . r p IVlse anp a n -1P q. .. a1pq ==
-aoqn, donc, comme p est premier avec q, p divise ao.
Et q divise a n _ 1p n-1 q + ... + a1pqn-1 + aoqn == -anpn, donc, comme q est premier
avec p, q divise an.
Définition 1.49. - Soit A un anneau factoriel. Pour tout polynôme non nul
P E A[X], on appelle contenu de P et on note ,(P), le P.G.C.D. des coefficients de
P. P est dit primitif si, et seulement si, ,( P) == 1.
Lemme 1.50 [GAUSS]. - a) Le produit de deux polynômes primitifs est primitif.
b) V(P, Q) E (A[X) \ {O})2, ,(PQ) == ,(P),( Q).
Preuve: a) Soient P et Q non nuls dans A[X), avec ,(P) == ,(Q) == 1. Supposons
,(PQ) -=1 1; il existe donc un élément p irréductible de A divisant tous les coefficients de
PQ. Comme p est irréductible et A factoriel, l'anneau-quotient B == A/pA est intègre,
donc l'anneau B [X] est intègre. Soit 1/J a surjection canonique de A sur B, qui est un
""'"
morphisme d'anneaux. On la prolonge de façon naturelle en 1/J : A[X] --+ B[X) qui
""'"
à E ÀkX k associe E 1/J(Àk)X k . On voit facilement que 1/J est encore un morphisme
d'anneaux. On a 0 == ;j(PQ) == ;j(P)(Q), donc (P) == 0 ou (Q) == O. Mais cela
contredit,(P) == ,(Q) == 1.
b)OnpeutécrireP == ,(P)RetQ == ,(Q)S,où RetS E A[X) avec,(R) == ,(S) == 1. Il
vientPQ == ,(P),(Q)RS, avec, d'aprèsa),,(RS) == 1.0nadonc,(PQ) == ,(P),(Q).
Théorème 1.51. - Soit A un anneau factoriel, K == Frac(A) le corps des fractions
de A. Soit P un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans A.
P est irréductible dans A[X] si, et seulement si, P est irréductible dans K[X) et
,(P) == 1.
Preuve: . Supposons P irréductible dans A[X). Comme ,(P) divise P dans A[X), il
vient ,(P) E U(A), soit ,(P) == 1. Supposons P == QR, où Q et R sont des éléments de
degré > 1 de K[X). Soit a un multiple commun à tous les dénominateurs des coefficients
non nuls de Q et de R. Alors (1) a 2 P == (aQ)(aR) == UV, où U == aQ et V == aR
E A[X]. (1) entraine a 2 ,(P) == ,(a 2 P) == ,(UV) == ,(U),(V). Ecrivons U == ,(U)U 1

3 3. Polynômes irréductibles
Il
et V = ,(V)V 1 , alors U 1 et VI E A[X] et ,(U 1 ) = ,('11) = 1. Reportant dans (1), il
vient a 2 P = ,(U),(V)U 1 VI, soit a 2 P = a 2 ,(P)U 1 VI, soit encore, puisque a E A* :
P = ,(P)U 1 Vi' Ce qui est absurde puisque ,(P)U 1 et VI sont des éléments de degré > 1
de A[X]. Ainsi P est irréductible dans K[X].
. Supposons P irréductible dans K[ X] et primitif. Si P == Q R où Q et R sont des éléments
de A[X], . . . donc de K[X], il vient Q ou R E K*. Pour fixer les idées, Q E K*. Donc
Q E A*, donc Q divise ,(P). Or P primitif, donc Q E U(A). Ainsi P est irréductible
dans A[X]. D
Théorème 1.52 [Critère d'EISENSTEIN]. - Soit A un anneau factoriel, K == Frac(A)
Je corps des fractions de A. Soit P(X) = 2:=0 aiXi un polynôme de degré n > 1,
à coefficients dans A. On suppose qu'il existe un élément p irréductible de A tel
que p divise tous les ak sauf an, et p2 ne divise pas ao. Alors P(X) est irréductible
dans K[X].
Preuve: Soit B l'anneau-quotient A/pA.
. Raisonnant par l'absurde, on suppose que P = UV où U et V sont des éléments de
degré > 1 de K[X]. Procédant comme dans la démonstration de 1.51 [=}], on en déduit
P = RB, où R et t3 sont des éléments de degré > 1 de A[X], qu'on peut écrire:
R(X) = 2: - 0 biX i et B(X) = 2:;=0 cjXj avec brc s = an f:. 0, r > 1 et s > 1; d'où
aussi, puisque r + s = n, r < n - 1 et s < n - 1.
Soit'ljJ la surjection canonique de A sur B, qui est un morphisme d'anneaux. On la prolonge
--
de façon naturelle en 'ljJ : A[X]  B[X] qui à 2: ÀkXk associe 2: 'ljJ(Àk)X k . On voit
--
facilement que 'ljJ est encore un morphisme d'anneaux. Il vient
r s
{f(P(X)) = {f(R(X)){f(S(X)) = L 'ljJ(bi)X i L 'ljJ(Cj)X j ,
i=O j =0
--
. Comme tous les 'ljJ(ak), 0 < k < n - 1, sont nuls, on a 'ljJ(P(X)) = 'ljJ(an)xn. La
considération du terme de degré 0 montre que 'ljJ( bo)'ljJ (co) = O. Comme p est irréductible
et A factoriel, l'anneau-quotient B = A/pA est intègre, donc l'anneau B[X] est intègre.
Donc 'ljJ(b o ) = 0 ou 'ljJ(co) = O. On n'a pas 'ljJ(b o ) = 'l/J(CO) = 0, sinon b o et Co seraient
divisibles par p, et ao = boco serait divisible par p2. Pour fixer les idées, supposons
'ljJ(b o ) = 0 et 'ljJ( co) f:. O. Si tous les 'ljJ(b i ) étaient nuls, on aurait en particulier 'ljJ(b r ) = 0,
donc 'ljJ (an) = 'ljJ (b r )'ljJ (cs) = 0, ce qui est exclu.
D'où l'existence d'un unique entier i E [0, r - 1] tel que 'ljJ(b o ) = ... = 'ljJ(b i ) = 0
et 1/J(b i + 1 ) =F O. On a donc 'ljJ(ai+l) = 2:'ljJ(bk)'ljJ(Ci+1-k) = 'ljJ(b i + 1 )'ljJ(Co). Or
1/J(b i + 1 ) =F 0 et 1/J(co) =F 0, donc 'ljJ(ai+1) =F O. Ce qui est absurde puisque, comme
i + 1 < r < n, 1/J(ai+1) est nul. D
Proposition 1.53. - Pour chaque naturel premier p, le polynônle
<PP,Q(X) = 2: f Xi est irréductible dans Z[X].

12
CH.1. GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
Preuve: Il est équivalent de démontrer que p,Q(X + 1) est irréductible dans Il[X].
Remarquons que (X - l)p,Q(X) == XP - 1, par conséquent
( X + l ) P - 1 p-1
 ( X + 1 ) == == """ c i + 1 Xi
p,Q X  p .
i=O
Pour i E [0, P - 2], p divise C;+l (raisonner comme dans la preuve de 1.35). p2 ne divise
pas le terme constant C == p, et p ne divise pas le coefficient dominant C == 1. Donc,
d'après le critère d'Eisenstein, p,Q(X + 1) est irréductible sur Q. Comme son contenu
est 1 , d'après 1.51, il est irréductible dans Il [X]. t
Théorème 1.54. - Soit A un anneau factoriel, K = Frac( A) le corps des fractions
de A. Soit P(X) == 2: 1. 0 aiXi un polynôme de degré n > 1, à coefficients dans A.
Soit l un idéal premier de A, B == Ail l'anneau quotient (qui est donc intègre),
--
L = Frac(B) le corps des fractions de B. On suppose an <t l. Si le réduit 'ljJ(P) de
p modulo l est irréductible dans L[X], alors P est irréductible dans K[X].
Preuve : . On reprend mot pour mot le premier point de la démonstration du critère
d'Eisenstein.
. On conclut ainsi : l est premier donc l'anneau-quotient B == AI l est intègre. La
considération du terme de degré n montre que 'ljJ(b r )'ljJ( cs) == 1/J( an) f:. 0, donc 'ljJ(b r ) f:. 0
-- -- --
et 'ljJ(c s ) f:. 0, donc deg('ljJ(R)) == r et deg('ljJ(S)) = s. Comme le réduit 'ljJ(P) de P
modulo l est irréductible dans L[X], il vient r == 0 ou s = 0 : absurde.
EXEMPLE 1.55. - On peut appliquer ce théorème avec A == Il et l = (p) 011 pest
un nombre premier (alors K == Q et B == IF p = L).
Par exemple P(X) == X 3 - 127 X 2 + 3608X + 19 est irréductible dans Il[X],
puisqu'il est primitif et irréductible dans Q[X] puisque son réduit modulo 2,
{f(P)(X) = X 3 - X 2 + Ï, est irréductible dans IF 2 [X] (car :($(P)(X) n'a pas de
racine dans IF 2)'
4. Polynômes symétriques
Définitions 1.56. - Soit A un anneau. On note A[X 1 ,. .., Xn] l'ensemble des
polynômes à n indéterminées à coefficients dans A. Muni de l'addition et de la mul-
tiplication usuelles, A[X 1 ,. .. , Xn] est un anneau (commutatif et unitaire), intègre
si, et seulement si, A l'est. L'ensemble A[X 1, . . . , Xn] est aussi un A-module. On
dit que A[X 1 ,. . . , Xn] est une A-algèbre.
Les éléments P de A[X 1, . . . , Xn] sont les sommes de monômes du type aXfl . . . Xn,
où a E A et les ai EN.
Si a E A*, le degré (total) du monôme aXfl . . . Xn est 2: ai.
Si P -1 0, le degré (total) de P est le maximum des degrés des monômes non nuls
dont il est la somme.

3 4. Polynômes symétriques
13
Proposition 1.57. - On pose :
tI 0' E Sn, tI P E A [X 1 , . . . , X n], (a. P) ( Xl, . . . , X n) == P ( X a ( 1) , . . . , X a ( n ) ) .
1) Pour a E Sn fixé, l'application Ua : P  a.P est un automorphisme de A-
algèbre de A[X 1 , . . . , X n ].
2) L'application a  Ua définit une opération du groupe Sn sur A[X 1 ,..., X n ].
Preuve : t) est clair.
2) On voit facilement que, pour chaque (s, t) E Sn X Sn, on a :
(tlP E A[X 1 ,..., Xn] 8.(t.P) == (8 0 t).P), soit Us 0 Ut == U.sot.
Ainsi a  Ua est un morphisme de groupes de Sn dans le groupe des permutations
S ( A [Xl, . . . , X n]) de A [Xl, . · . , X n] .
Proposition 1.58 [et définition]. - Soit G un sous-groupe de Sn. L'ensemble
A[X 1 ,...,X n ]G == {P E A[X 1 ,...,X n ]/tlg E G,g.P == P} des polynômes fixes
sous l'action de G, est une sous-algèbre de A[X 1 ,. . ., Xn], appelée sous-algèbre
invariante par G.
Preuve: A[X 1 ,... , Xn]G = n gEG A[X 1 ,..., Xn]9, où, pour chaque g, A[X 1 ,..., Xn]9
désigne l'ensemble {P E A[X 1 ,...,X n ]jg.P == P} des polynômes invariants sous
l'action de g. Il suffit donc de vérifier que pour chaque a E Sn, A[X 1 ,... , Xn]a est une
sous-algèbre de A[X 1, . . . , X n ], ce qui est clair.
REMARQUE 1.59. - Si T est une partie génératrice de G, on a :
A[X 1 ,... , Xn)G == n 9ET A[X 1 ,..., Xn]9.
Proposition 1.60 [et définition].- Soit P E A[X 1 ,.. ., X n ). Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) Pour chaque a E Sn, P(X a (l)'. .. , Xa(n») == P(X 1 ,... , X n )
(ii) Pour chaque (i,j) E [1, n]2, avec i < j, on a :
P(X 1 ,..., Xi,"" Xj,..., X n ) = P(X 1 ,.. ., Xj,..., Xi,"" X n ).
On dit alors que P est un polynôme symétrique.
L'ensemble A[X 1 , . . . , xn]Sn des polynômes synlétriques est une sous-algèbre de
A[X 1 ,... , X n ].
Preuve : L'équivalence (i) {=} (ii) résulte de la remarque précédente et du fait que
l'ensemble des transpositions engendre Sn. La seconde affirmation découle de la proposi-
tion précédente (avec G = Sn).
EXEMPLES 1.61. - TIih (Xi - X j ) = (_lt(n-l)/2(TIi<j (Xi - Xj))2 est un
polynôme symétrique.
Pour tout e EN, Se = Xi + X 2 .+ . . . + X est un polynôme symétrique.

14
CH.I. GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
Définition 1.62 [Polynômes symétriques élémentaires]. - Les n polynôrnes suiv-
ants :
n
El = LXi, E 2 = L XiX j , · · · , Ek = LXii · · · X ik , · · · , En = Xl' · · X n
i=l i<j lil<...<ikn
sont symétriques. On les appelle les fonctions symétriques élémentaires, ou les
polynômes symétriques élémentaires de A[X 1, . . . , X n ].
Propriétés 1.63. - Chaque Ek est la somme de C monômes de degré k, est
homogène et a pour degré partiel 1 par rapport à chacune des indéterminées
Xl,'" ,X n .
Définition 1.64. - Soit un monôme aXfl . . . Xn, où a E A * et les ai EN. On
appelle poids de ce monôme l'entier 2:  liai.
Soit P un polynôme non nul de A[X I , . . . , Xn] : on appelle poids de P le maximum
des poids des monômes non nuls dont il est la somme.
EXEMPLE 1.65. - Le poids de Ek est nk - k(k - 1)/2.
Proposition 1.66. - Soit P(X 1 ,..., X n ) un polynôme non nul de A[X I ,..., X n ],
'Fr SOIl poids. Alors le polynôme Q(X 1, . . . , X n ) == P( El, . . . , En) est un polynôme
symétrique de A[X l, . . . , Xn], de degré < 'Fr.
Preuve: Pour chaque monôme aXfl . . . Xn, où a E A * et les ai E N, le polynôme
aEI Ql . . . En Qn est clairement symétrique et homogène de degré 2: iai' D'où, par
sommation, le résultat annoncé concernant Q(X I , . . . , X n ).
REMARQUE 1.67. - Soit P E A[X I ,.. . , Xn] un polynôme symétrique. Alors P a le
même degré partiel par rapport à chacune des indéterminées Xl,' .. , Xn. Ce degré
partiel commun est appelé le degré partiel (tout court) de P et noté dp(P).
Lemme 1.68. - Soit P E A[XI,...,XnJ tel que pour tout.} E [l,n],
P(X I ,... , X j - l , 0, X j + l ,... , X n ) = O. Alors P est divisible par En == Xl . .. X n
dans A [X 1 , . . . , X n] .
Preuve: Notons P = 2: aQXfl .. . X;:n, les a Q E A*, et les a = (al"" , an) E Nn.
Soit} E [l,n]. PosantNj == {a E Nn/ aj == O}, on a
P(Xl,'" , X j - l , 0, X j +l,..., X n ) = L aa II Xia;,
i;f;j
la sommation portant sur les a E N j (et eux seulement).
Comme P(X I ,..., X j - 1 , 0, Xj+1"." X n ) = 0, il vient: \fa E N j , a Q == O.
Appliquant cela successivement avec} == 1, . . . , n, il vient:
si a == (al, . . . , an) E Nn vérifie (3) t.q. aj == 0), alors a Q = O.
Soit, en contraposant: a Q =1= 0 =} a = (al" .. , an) E (N*)n.
Donc P == En 2: a Q I1 - 1 XiQi-1 est divisible par En.

9 4. Polynômes symétriques
15
Le théorème suivant 1.69, tout-à-fait fondamental, montre que les polynômes symétriques
élémentaires permettent d'obtenir tous les polynômes symétriques de A[X 1 ,. .. , X n ].
Théorème 1.69. - Soit P E A[X 1 ,..., Xn] un polynôme symétrique de degTé
k. Il existe un unique polynôme Q E A[XI,...,X n ] tel que P(XI,...,X n ) ==
Q(EI'" . , En). Ce polynôme Q est de poids k et de degré égal au degré partiel de
P par rapport à l'une (quelconque) des indéterminées Xl,'" , Xn.
EXEMPLE 1.70. - Le polynôme 8 2 == xl +. . . + X;, symétrique de degré 2, est égal
à Ef - 2E 2 (on obtient ici Q(X 1 ,... , X n ) = xl - 2X 2 ).
Preuve: . Distinguons le cas P = 0 (Q = 0 est l'unique solution).
. Existence: On procède par récurrence sur le nombre d'indéterminées n.
Pour n E N* et dEN, notons H(n, d) la propriété: "Pour tout P E A[X I ,..., Xn]
symétrique de degré d, il existe Q E A[XI,...,X n ] tel que P(XI,...,X n )
Q(E 1 , . . . , En), et poids(Q) < d et deg(Q) < dp(P)".
1> H(l, d) est vraie pour tout d : c'est clair, car El = Xl et Q == P convient.
1> Supposons que: tld E N, H(n - 1, d) est vraie.
Pour montrer que (tld E N, H(n, d) est vraie), on procède par récurrence sur d.
- H(n, 0) est vraie: c'est clair, car Q == P convient.
- Supposons que: tlj E [0, d - 1], H(n, j) vraie.
Soit P E A[X 1, . . . , Xn] symétrique de degré d.
Considérons P(X I ,... , X n - l , 0) E A[X I ,..., X n - l ] : c'est un polynôme symétrique
de degré < d, de degré partiel < dp(P). Donc, comme (tlj E N, H(n - 1,j) est vraie), il
existe QI E A[X I ,... , X n - l ] tel que:
- --
(1) : P(X 1 ,..., X n - l , 0) == QI (El, ..., E n - l ),
poids(Q1) < d et deg(Q1) < dp(P); où El" . . , En-l désignent bien sOl' les polynômes
symétriques élémentaires de A[X I ,. . . , X n - 1 ]. Remarquons d'ailleurs que, pour tout k,
-
Ek = Ek(X I ,.. ., X n - 1 , 0).
Posons
(II) : PI(X I ,..., X n ) == P(X 1 ,..., X n ) - QI(E 1 ,..., En-l)'
Pl est un polynôme symétrique. IJe poids de QI étant < d, le degré de QI (El, . · . , E n - 1 )
est < d, donc le degré de Pl est < d. Comme deg(QI) < dp(P), on a dp(P I ) < dp(P).
Par construction Pl (Xl, . . . , X n-1, 0) == o. Pl étant symétrique, on a donc aussi :
tlj E [1, n], Pl (Xl, ..., X j - 1 , 0, Xj+l"'" X n ) = O. D'après le lemme, il existe donc
P 2 E A [X l, . . . , X n] tel que
(III) :
PI(X I ,..., X n ) == E n P 2 (X I ,... , X n ).
Pl et En sont symétriques, on a donc:
tla E Sn, En,(P2(Xcr(I)"'" Xcr(n)) - P 2 (X t ,..., X n ))
0, soit, sans aucune

16
CH.1. GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
hypothèse sur A : \;fa E Sn, P 2 (X cr (1)," ., Xcr(n)) - P 2 (X l ,. .. , X n ) = O.
Donc P 2 est symétrique. De (III) résulte deg(P 2 ) < d - n et dp(P 2 ) < dp(Pl)-I.
Comme (\;f j E [0, d - 1], H (n, j) vraie), il existe Q2 E A[X 1, . . . , Xn] tel que poids( Q2)
< d - n, deg(Q2) < dp(P 2 ) et
(IV) : P 2 (X l ,. .. , X n ) = Q2(E l ,.. . , En).
De (II), (III) et (IV) résulte:
P(X l ,.. . , X n ) = Ql(E 1 ,..., E n - l ) + E n Q2(E l ,... , En) = Q(El,"', En),
en posant Q(X 1 ,... , X n ) = QI (Xl,'" , X n - l ) + X n Q2(X l "", X n ).
On a poids(Ql) < d et poids(Q2) < d - n, donc poids(Q) < d; deg(Ql) < dp(P) et
deg(Q2) < dp(P) - l, donc deg(Q) < dp(P).
Ainsi H(n, d) est vraie.
. Unicité: Montrons que si Q E A[X l , . . . , Xn] vérifie Q(El, . . . , En) = 0, alors Q = O.
On procède par récurrence sur le nombre d'indéterminées n.
- Si n = 1 , c'est clair (El = Xl)'
- Supposons la propriété vraie pour n - 1.
Soi t Q E A [X 1 , . . . , X n] avec Q ( El, . · · , En) == O.
Notons Q == E QkX, où les Qk appartiennent à A[X l ,.. . , X n - l ].
Procédons par l'absurde, en supposant Q f=. 0, c'est-à-dire: (::Ji t.q. Qi f=. 0).
Posons p = min{ i EN/Qi f=. O}. Il vient
o = Q(E 1 ,. ., , En) = Eh' L Qk(El,... , En-l)E-P,
kp
donc, s8n aucune hypothèse sur A, Ekp Qk(El,. . . , En-l)E-P = 0, d'où, faisant
--  --
X n = 0 : Qp(E l ,. .. , E n - 1 ) = 0, où, pour tout j, Ej == Ej(Xl,'" , X n - l , 0) est bien
sûr le polynôme symétrique élémentaire d'indice j de A[X 1 , . . . , X n - 1 ]. Donc, d'après
l'hypothèse de récurrence, Qp(X l ,. .. , X n - l ) = O.
Puisque p = min{i EN/Qi f=. O}, c'est absurde. Donc Q = O.
Ainsi la propriété est vraie au rang n.
. Soit P E A[X l ,... , Xn] un polynôme symétrique de degré k.
D'après la partie "existence", il existe Q E A[X 1, . . . , Xn] tel que poids(Q) < k, deg(Q)
< dp(P) et
(V): P(X 1 ,...,X n ) == Q(E 1 ,...,E n ).
Notant 7r = poids(Q) et 8 = deg(Q), on a alors d'après 1.66 et (V) : deg(P) < 7r, et
clairement d'après (V) : dp(P) < 8. Donc 7r = deg(P) et 8 = dp(P). Ce qui achève la
démonstration. 0
Théorème 1.71 [Relations entre coefficients et racines d'un polynôme]. - Soit A
un anneau (commutatif unitaire). Soit P E A[X]. Soit (al"", an) E An. Les
conditions suivantes sont équivalentes:

9 4. Polynômes symétriques
17
(i) P(X) == (X - al) . . . (X - an)
(ii) P(X) = X n + a n _ I Xn-1 + .. . + ao, où :
\;fi E [1, n], an - i == (- 1 ) i 17 i ( al, . . . , an) .
Preuve : En développant par distributivité, on obtient
(X - al)'" (X - an) == X n - alX n - 1 + a2xn-2 -... + (-l)n an ,
Où, pour chaque k E [1, n], ak est la somme des C produits des aj pris k à k, soit
O"k= L ai1...aik=Ek(ab...,a n ).
lil <...<ikn
Proposition 1.72. - Soient A et B deux anneaux (c.u.), avec A C B. Soit
P(X) E A[X] un polynôme unitaire qui est scindé sur B, i.e. (3( al, . . . , an) E B n
t.q. P(X) == (X - al) . . . (X - an)). Alors pour tout polynôme S symétrique de
A[XI,...,X n ], S(al,...,a n ) E A.
Preuve : Soit f3 E A [X l, . . . , X n] un polynôme symétrique. D'après 1.69, il existe
Q E A[X I ,. . . , Xn] tel que S(X I ,... , X n ) = Q(EI" .. , En). Par conséquent, notant
pour chaque k E [1, n], O"k = Ek(a1,..., an), on a : S(a1,"', an) = Q(al,"', an).
Or notant P(X) = xn + an_IXn-1 + ... 1- ao, où les ai E A, on a d'après 1.71
\;fi E [1, n], an _ i = (-1) i 17 i ( al, . . . , an) == (-1) i ai.
Donc S(al,'" , an) == Q( -an-l, a n -2,... , (-l)n ao ). Donc S(al,'" , an) E A.
Corollaire 1.73. - Soient A et B deux anneaux (c.u.), avec A C B. Soit
P(X) E A[X] un polynôme unitaire qui est scindé sur B, i.e. (3( al, . . . , an) E B n
t.q. P(X) = (X - al) . . . (X - an)). Alors pour tout e E N, L  1 ai E A.
Preuve: Appliquer 1.72 au polynôme Se = Xi + . . . + X, qui est bien un polynôme
symétrique de A[X I , . . . , X n ].
Corollaire 1.74. - Soient A et B deux anneaux (c.u.), avec A C B. Soit
P(X) E A[X] un polynôme unitaire qui est scindé sur B, i.e. (3(al,'" , an) E Bn
t.q. P(X) = (X - al) ... (X - an)). Pour tout t E [1, n], on considère les
"Ut = L aj,
jEJ t
J t décrivant l'ensemble des parties à t éléments de [1, 'n]. Il existe un polynôme
unitaire Qt(X) à coefficients dans A dont l'ensemble des zéros coïncide avec
l'ensemble des 'YJ t .
Preuve: Notons P(X) == xn + an_IXn-1 + . . . + ao, où les ai E A. On a d'après
1.71 : \;fi E [1, n], an-i = (_l)i Ei(al,"', an) == (-l)iai' Soit t E [1, n]. Notons pour
abréger k le nombre C de parties à t éléments de [1, n], et {Pl,' . . , Pk} l'ensemble des
parties à t éléments de [1, n] ,et pour chaque i E [1, k], (i == LjEP i aj'

18
,,, , '"
CH.1. GENERALITES: ANNEAUX, CORPS, POLYNOMES
Posons Qt(X) (X - (1) . . . (X - (k) E B[X] : Qt est un polynôme unitaire dont
l'ensemble des zéros coïncide avec l'ensemble des ,J t .
D'après 1.71, Qt(X) = Xk + bk_1Xk-1 + . . . + b o , où pour chaque i E [1, k], bk-i =
( -1 ) i  ( (1 , . . . , (k), où ,...,  désignent bien sûr les polynômes symétriques
élémentaires de A[X 1 , . . . , Xk].
Considérons, pour chaque i de [1, k], le polynôme
R i (X 1 ,...,X n ) =  ( 2: Xj,..., 2: Xj ) E A[X 1 ,...,X n ].
JEP l jEPk
Clairement Ri est un polynôme symétrique de A[X 1 ,..., X n ], donc d'après 1.69,
il existe U i E A[X 1 ,...,X n ] tel que R i (X 1 ,...,X n ) = U i (E 1 ,...,E n ). Ainsi,
pour chaque i de [l,k], bk-i = (-l)i((l,"',(k) = (-1)i Ri (a1,...,a n ) =
( -1 ) i U i ( - an -1 , an _ 2, . . . , ( -1 ) n ao) E A.
Donc Qt(X) E A[X]. 0
5. Appendice: fonction indicatrice d'Euler
Le tableau suivant donne les valeurs de <p( n) pour n E [l, 199].
L'indice de ligne est le chiffre des dizaines, l'indice de colonne le chiffre des unités (de sorte que l'on lit
<p(10 * i + j) à l'intersection de la ligne i et de la colonne j ).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 * 1 1 2 2 4 2 6 4 6
1 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
2 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
3 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
4 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
5 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
6 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
7 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
8 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
9 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60
10 40 100 32 102 48 48 52 106 36 108
Il 40 72 48 112 36 88 56 72 58 96
12 32 110 60 80 60 100 36 126 64 84
13 48 130 40 108 66 72 64 136 44 138
14 48 92 70 120 48 112 72 84 72 148
15 40 150 72 96 60 120 48 156 78 104
16 64 132 54 162 80 80 82 166 48 156
17 64 108 84 172 56 120 80 116 88 178
18 48 180 72 120 88 144 60 160 92 108
19 72 190 64 192 96 96 84 196 60 198

 6. Exercices
19
6. Exercices
(1-1) - Soit A un anneau tel que: 'Vx E A, x 3 = x.
a) Montrer que: 'Vx E A, 6x = a.
b) On suppose de plus que: 'Vx E A, 2x = a. Montrer que: 'Vx E A, x 2 = x. En déduire que A est commutatif.
c) On suppose cette fois que: 'Vx E A, 3x = a. Montrer que A est commutatif.
d) On revient au cas général. Montrer que B = 2A et C = 3A sont des idéaux bilatères de A. Montrer que A
est commutatif.
(1-2) - Idéaux de Mn(K)
Soient K un corps commutatif et n E N*. Montrer que les idéaux de l'anneau Mn(K) sont les sous-espaces
vectoriels / de Mn (K) qui vérifient:
'VA E /, 'VB E Mn(K), AB E J et BA E /.
Montrer que les seuls idéaux de Mn(K) sont {a} et Mn(K).
(Indication.' On montrera que si / idéal de Mn(K) vérifie / =F {a}, alors / = Mn (K). On utilisera la célèbre
formule qui donne Ei,j Ek ,l pour (i, j, k, l) E [1, n]4).
(1-3) - Former un tableau donnant, pour n variant de 1 à 12, l'ensemble G n et la valeur de <p(n).
(1-4) - Soit n un entier > 2. Montrer que si k E G n alors n - k E G n . En déduire que, pour n > 3, <p( n) est
un nombre pair et n<p(n) = 2 L:xEG n x.
(1-5) - Soit A un anneau (commutatif). Montrer que l'anneau A[X] est principal si, et seulement si, A est un
corps.
(1-6) - Soit K un corps de caractéristique différente de 2. Soit P(X) = aX2 + bX + c E K[X] un polynôme
du second degré. Montrer que: P(X) est irréductible dans K[X] <==> ('V8 E K,8 2 =F b 2 - 4ac).
(1-7) - Ecrire les polynômes Pl (X) = X6 + 1 et P2(X) = X8 + X4 + 1 comme produits de polynômes
irréductibles sur IR.
(1-8) - On note, pour n E N, Pn(X) = L:=o ! Xk.
1) Montrer que Pn(X) n'a que des racines simples dans C.
2) Déterminer selon la valeur de n le nombre de racines réelles du polynôme Pn(X).
(1-9) - Soient n entiers relatifs distincts al, a2, . . . , an. Montrer que le polynôme
P (X) = (X - al) . .. (X - an) - 1
est irréductible dans Z[X].
(1-10) - Soient n entiers relatifs distincts al, a2, . . . , an. Montrer que P(X) = 1 + I1=1 (X - ak)2 est un
polynôme irréductible dans Z[X].
(1-11) - Soit P(X) un polynôme à coefficients dans Q, non constant. On suppose P(X) irréductible dans Q[X].
Montrer que P(X) n'a que des racines simples dans C.
(1-12) - Soit P(X) = X3 + X + 1.
a) Montrer que P n'a pas de racine dans Q (raisonner par l'absurde).
b) Montrer que P est irréductible dans Q[X].
c) Montrer que P(X) a une racine unique w dans IR.
d) Trouver tous les diviseurs de P(X) dans IR[X].
(1-13) - Soit K = {al, a2, . . . , an} un corps fini commutatif.
On pose B(X) = (X - al). .. (X - an), et on considère l'idéal/ = (B(X)) = B(X)K[X] de K[X].
a) Montrer que, pour deux polynômes P(X) et Q(X) de K[X] : P(X) et Q(X) fournissent la même fonction
polynômiale de K dans 1< si, et seulement si, P(X) - Q(X) E /.
b) En déduire que l'anneau des fonctions polynômiales de K dans K est isomorphe à l'anneau quotient K[X]j J.

20
CH. 1. GÉNÉRALITÉS: ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES
Toutes les équations aLgébriques considérées dans Les exercices suivants sont à coefficients compLexes.
(1-14) - Soient 01,02, a3 les racines de X3 + mX2 + pX + q = O. Calculer, pour chaque i de [1,5], la
somme Si = 01 i + a2 i + 03 i en fonction de m, p, q.
2 2 2 2 2 2
(1-15) - Soient al, 02,03 les racines de X3 + X2 + 1 = O. Calculer S = QI +2 + QI +3 + Q2 +3 .
Q3 Q2 QI
Même question pour le polynôme X 3 + pX + q, où (p, q) E C x C*.
(1-16) - Soient 01,02,03 les racines de X3 + pX + q = 0, où (p, q) E C x C*. Calculer A =
2:=1 (Ok + Qlk ) .
(1-17) - On considère l'équation à l'inconnue z E C : z3 + pz + q = 0, où p et q sont réels. Trouver une
condition nécessaire et suffisante portant sur p et q pour que cette équation ait une racine de module 1.
(1-18) - Trouver une C.N.S. portant sur le nombre complexe À pour que l'équation z4 - 2z2 + Àz + 3 = 0 ait
deux racines dont le produit soit 1. Résoudre alors l'équation.
(1-19) - Soit P(X) = X5 - X - 1 E Z[X]. On note Xl, . . . ,X5 les cinq racines de P(X) dans C. Après avoir
constaté que 'Vi E [1, 5], Xi =F 0, calculer la somme 2:i#j  (20 tennes).
(1-20) - Soit (x, y, z) E C3 le triplet des racines du polynôme P(X) = X3 - 01X2 + 0'2X - 0'3. Montrer
que les conditions suivantes sont équivalentes:
1) x, y, z sont en progression géométrique
2) 0'2 3 = 0'30'1 3 .
(1-21) - CNS pour le polynôme X4 + 2pX2 + 4qX - 3 ait un zéro triple. Trouver alors ses zéros. (Les couples
(p, q) cherchés sont au nombre de quatre).
(1-22) - CNS sur a, b, e pour que l'une des racines de l'équation X3 + aX2 + bX + e = 0 soit la somme des
deux autres. (Remarquer que ceci équivaut à dire qu'un certain nombre est racine).
(1-23) - Trouver t pour que les racines de (X3 + 2X2 - 7 X + t = 0) vérifient Xl 2 = X2 2 + X3 2 :
a) en opérant par élimination.
b) en formant l'équation aux carrés, et en appliquant l'exercice précédent.
(1-24) - Déterminer une CNS pour que les images des zéros de X 4 + aX3 + bX 2 + eX + d dans le plan
complexe fonnent un parallélogramme.
(1-25) - Trouver t pour que les racines de (8X 3 - 12X2 - 2X + t = 0) soient en progression arithmétique.
Résoudre alors l'équation.
(1-26) - On note a, b, e les racines de l'équation X3 + 3X2 + X + 1 = O. Calculer S = a 2 b 2 + a 2 e 2 + b 2 e 2 :
a) en exprimant S au moyen des O'i.
b) en transfonnant l'équation par (y = x2).
c) en fonnant l'équation adlnettant pour racines ab, ae, be .
(1-27) - On note Zl, Z2, Z3 les racines de l'équation ((3 + pX + q = O. Calculer 2:=1 Zkk+p :
a) en utilisant les relations entre coefficients et racines.
b) en transformant l'équation par (y = X / (x2 + p)).
(1-28) - Xl, X2, X3 désignant les racines de l'équation X3 + 2X2 - 3X + 1 = 0, former l'équation admettant
pour racines XlX2/X3, XIX3/X2, X2X3/Xl
a) en calculant les 0' i de cette équation.
b) en effectuant une transformation d'équation.
(1-29) - Transformer l'équation algébrique (E) : x4 + x3 - 4x2 - 4x + 1 = 0 par y = 2 - x2. Résoudre (E)
sur C.

CHAPITRE Il
EXTENSIONS DE CORPS
On rappelle que l'expression "espace vectoriel", en elle-même, n'a aucune signification.
Aussi on précisera systématiquement quel est le corps considéré. (Exemple : "IR-espace
vectoriel" ou "espace vectoriel sur IR").
Soit k un corps (commutatif). On appelle k-algèbre, ou algèbre sur k, un k-espace
vectoriel A muni d'une application k-bilinéaire de A x A dans A appelée produit et
notée (x, y)  x.y telle que ce produit est une opération associative et admet un élément
neutre bilatère 1 A différent de O.
Il est équivalent de dire que A est un ensemble muni de deux lois de composition internes
+ (addition) et . (produit) et d'une "loi externe" à domaine d'opérateurs k (produit par un
scalaire) vérifiant:
- muni de l'addition et du produit par un scalaire, A est un k-espace vectoriel
- muni de l'addition et de la multiplication, A est un anneau unitaire
- VÀ E k, V(a, b) E A 2 , (Àa).b = a.(Àb) = À(a.b).
Dans ce chapitre, partant de la constatation qu'un corps est une algèbre sur un de ses sous-
corps, nous considérons la dimension de cette algèbre (degré de l'extension); et son groupe
des automorphismes, ou groupe de Galois de l'extension. Des considérations classiques
d'algèbre linéaire permettent d'obtenir quelques résultats importants: en particulier on
retiendra le "théorème de la base télescopique", et la majoration de l'ordre du groupe de
Galois.
1. Généralités
1.1 Degré d'une extension
Définition II.1 [Extension d'un corps]. - Soit k un corps. On appelle extension
de k tout corps OC tel qu'il existe un homomorphisme de corps j de k dans OC. La
notation abréviative "OC/ k", dont nous userons et abuserons dans la suite, signifie:
le corps JI{ est une extension du corps k.
REMARQUE II.2. - . Si k est un sous-corps de OC, alors OC est une extension de k
(considérer l'injection canonique i : k  OC).
. Réciproquernent un homomorphisme de corps j : k ---+ OC est forcément
injectif (cf. 1.9). Par conséquent, le sous-corps k' = .i(k) de OC est isomorphe à k.
Identifiant k et k', on peut dOllC dire que k est un sous-corps de OC.
. En conclusion, aux notations abusives (...bien pratiques) près:
OC est une extension de k <==> k est un sous-corps de OC.
EXEMPLES II.3. - C est une extension de IR, IR est une extension de Q.
- Tout corps K est une extension de son sous-corps premier P. Par suite
tOllt corps de caractéristique nulle est une extension de Q, et tout corps de
caractéristique p est une extensiOll de Fp.
- Le corps k(T) des fractions rationnelles à coefficients dans k est une
extension de k.

22
CH. II. EXTENSIONS DE CORPS
Proposition II.4. - Soient k un corps, IK une extension de k : il existe un
homonl0rphisme de corps j de k dans IK. Muni du "produit par un scalaire" défini
par: (VÀ E k, Vx E IK, Àx = j(À).x), IK est une k-algèbre.
Preuve: Simple vérification des définitions, triviale.
Définition II.5 [Degré d'une extension]. - Soient k un corps, IK une extension de
k. On appelle degré de l'extension IK de k (ou IKI k) et on note [JI{ : k], la dimension
de IK comme k-espace vectoriel: [IK : k] = dimkIK.
REMARQUE II.6. - Pour IK extensiOIl de k, on a : [IK : k] = 1 <==} k = OC.
En effet si [IK : k] = 1, comme (1) est k-libre, c'est UIie base de IK comme k-e.v.;
donc (Vx E IK, 3À E k t.q. x = Àl), soit OC C k.
REMARQUE II.7. - Le degré d'une extension peut être fini (par exemple [C : IR] = 2)
ou infini (par exemple [IR : Q] = +00 car Q est dénombrable et IR ne l'est pas,
autre exemple: [k(X) : k] = +00).
Théorème II.8 [de la "base télescopique"]. - Soient IK un corps, k un sous-corps
de IK. Soit E un IK-espace vectoriel. Soient (ei)iEI une base de E en tant que IK-
espace vectoriel, et (aj)jEJ une base de IK en tant que k-espace vectoriel. Alors
(ajei)(i,j)EIXJ est une base de E en tant que k-espace vectoriel.
Preuve: . Soit (Àij)(i,j)EIxJ E k(IxJ) telle que Li,j Àijajei = O. Alors
LEI (LJ Àijaj)e i 0, donc pU.isque (ei)iEI base du OC-e.v. E, on a :.
(V'l E l, LjEJ Àijaj - 0), donc pUisque (aj )jEJ base du k-e.v. IK, on a .
Vi E l, Vj E J, À ij = O. Ainsi (ajei)(i,j)EIXJ est k-libre.
. Soit x E E. Comme (ei)iEI base du IK-e.v. E, il existe (Pi)iEI E IK(I) tel que x =
LiEI Piei. Comme (aj )jEJ base du k-e.v. IK, pour chaque ide l il existe (À ij )jEJ E k(J)
telle que Pi = LjEJ Àijaj. Notons S = Supp (Pi)iEI = {i E Il Pi =1= O} : S est un
ensemble fini. Les ensembles Si = Supp (Àij)jEJ = {j E JIÀ ij =1= O}, i E l, sont tous
finis. Donc S x UiE I Si est un ensemble fini. Or on a : (i, j) fi. S X UiE I Si => À ij = O. Donc
(Àij)(i,j)EIXJ E k(IxJ). Or x = LiEI Piei = LiEI (LjEJ Àijaj)ei = Li,j Àijajei.
Ainsi (ajei)(i,j)EIXJ est génératrice du k-e.v. E. D
Corollaire II.9 ["Multiplicativité du degré"]. - Soient IK un corps, k un sous-corps
de IK. Soit E un OC-espace vectoriel. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) E est un k-espace vectoriel de dimension finie;
(ii) E est un IK-espace vectoriel de dimension finie et IK est un k-espace vectoriel
de dimension finie.
On a alors: 1 dimk E = dimK E.dimk OC 1 .
Preuve: . (i) => (ii) - Soit (bp)IPd une base de E comme k-espace vectoriel. A fortiori
(b p ) I < <d est une famille génératrice de E comme OC-espace vectoriel. Donc E est un
-p-
OC-espace vectoriel de dimension finie.
- Comme E est un k-espace vectoriel de dimension finie et que OCb l est un sous k-espace
vectoriel de E, IKb l est un k-e. v. de dimension finie. Or clairement l'application de IK dans
IKb l définie par À  Àb 1 est un isomorphisme de k-e.v. Donc IK est un k-espace vectoriel
de dimension finie.
. (ii) => (i) Soient (ei)iEI une base de E en tant que IK-espace vectoriel, et (aj )jEJ une
base de IK en tant que k-espace vectoriel. Alors (ajei)(i,j)E]XJ est une base de E en tant
que k-espace vectoriel. l est fini de cardinal dimocE et J fini de cardinal dimkIK, donc

 1. Généralités
23
l x J est fini de cardinal dimIKE.dimkOC. Donc E est un k-espace vectoriel de dimension
finie dimIKE.dimkIK. 0
Définition II.10. - On appelle tour d'extensions toute suite finie de corps croissante
pour l'inclusion. Si KI c K 2 C ... C Kr est une tour d'extensions, alors :
(V(i, j) E [1, r]2) i < j => Kj est une extension de Ki.
1.2 Sous-extensions d'une extension de corps
Définition II.11. - Soient L un corps, k un sous-corps de L. On appelle sous-
extension de L/k, ou corps intermédiaire de l'extension L/k, tout sous-corps H de
L qui contient k, c'est-à-dire tout corps H tel que k C H C L.
Proposition II.12 [et définition]. - Soient L un corps, k un sous-corps de L, P
une partie de L. L'ensemble des sous-corps de L qui contiennent k et P adnlet,
au sens de l'inclusion, un plus petit élément. Ce plus petit élément est noté k(P)
et appelé la sous-extension de L/k engendrée par P.
Preuve: L'ensemble E des sous-corps de L qui contiennent k et P est non vide car LEE.
On vérifie aisément que l'intersection des éléments de E est le plus petit élément de E au
sens de l'inclusion.
REMARQUE ÎI.13. - Lorsque P = {al"", an} est une partie finie de L, on note
k ( al , . . . , an), au lieu de k ( { al, . . . , an} ), la sous-extension de L / k engendrée par
P.
Propriétés II.14. - L'application P  k(P) de l'ensemble des parties de L dans
l'ensemble des sous-corps de L qui contiennent k est surjective et possède les
propriétés suivantes :
P C k(P)
Pl C P 2 => k(P I ) C k(P 2 )
k(k(P)) = k(P)
k(P I )(P 2 ) = k(P I U P 2 ) = k(P 2 )(P I ).
(Vérifications triviales, laissées au lecteur)
Proposition II.15. - Soient L un corps, k un sous-corps de L, P une partie de L.
Soit k[P] la sous k-algèbre de L engendrée par P. Le corps k(P) est le corps des
fractions de l'anneau k [P].
Preuve: Remarquons que toute sous k-algèbre de L contient 1 et est stable par combinaisons
linéaires à coefficients dans k, donc contient k. Donc k[P] est l'intersection des sous-
algèbres de L contenant k et P. Donc, puisque k(P) est une sous-algèbre de L contenant
k et P, on a k[P] C k(P).
Le corps des fractions F = {ab -1 , a E k [P], b E k [P] \ (o)} de l'anneau intègre k [P] est
donc contenu dans k(P).
Comme F est un sous-corps de L contenant k et P, et comme k(P) est l'intersection des
sous-corps de L contenant k et P, on a k(P) C F.
EXEMPLE II.16. - Soient k un corps, L une extension de k, a E L. Le sous-corps de
L engendré par k et a est: k(a) = {f(a)/ g(a), f E k[X], 9 E k[X] avec g(a) =1= O}.
On dit parfois que le corps k(a) est obtenu en adjoignant à k l'élément a.
Définition II.17. - Soit k un corps, L une extension de k. On dit que L est une
extension de type fini de k si, et seulernent si, il existe une partie finie {al, . . . , an}
de L telle que L = k(al,'" ,an).

24
CH. II. EXTENSIONS DE CORPS
Proposition II.18. - Une extension L de degré fini de 1< est de type fini sur K,
REMARQUE II.19. - La réciproque est fausse (par exemple K(X) est de type fini
sur K et n'est pas de degré fini sur K). On verra cependa.nt, au chapitre III, que
si L est de type fini sur K et algébrique sur K, alors L est de degré fini sur K.
Preuve: Si (Xl" . . , X q ) est une K -base de L, alors tout élément de L est de la forme
alXl + .. . + aqx q , où les ai E K. Donc L == K[X1,'" , x q ] == K(Xl,'" , x q ).
Définitions II.20. - Soit k un corps, L une extension de k. On dit que L est une
extension monogène (ou une extension sinzple) de k si, et seulement si, il existe un
élément a de L tel que L == k(a).
Remarquons qu'il n'y a pas alors unicité de a. Tout élément u de L tel que L == k( u)
est appelé un élément primitif de L/k.
EXEMPLE II.21. - K est une extension monogène de lui-même et pour tout a E K,
K (a) == K : tout élémeIlt est primitif.
Proposition II.22 [Extensions de degré premier]. - Soient k un corps, Lune
extension de k avec [L : k] premier. Alors L est une extension monogène de k.
Preuve: Notons [L : k] == p. Soit a E L \ k. Clairement k C k(a) C L, donc
(multiplicativité du degré) [L : k(a)][k(a) : k] == [L : k] == p.
Comme p premier, il vient ([L : k(a)], [k(a) : k]) = (l,p) ou (p, 1). Le second cas est
exclu, car: [k(a) : k] == 1 {:} k(a) == k {:} a E k. Donc [L : k(a)] == 1, c'est-à-dire
L == k(a).
2. Groupe de Galois d'une extension
2.1 Généralités
Définition II.23. - Soient L et M deux extensions d'un mênle corps K. On appelle
K-homomorphisme (de corps) de L dans M tout homomorphisme (de corps) de L
dans M qui laisse invariant chaque élément de K, c'est-à-dire toute application
f : L ---+ M qui vérifie :
- V(x, y) E L 2 , f(x + y) == f(x) + f(y) et f(xy) == f(x)f(y)
- f(l£) == lM
- Vu E K,f(u) == u.
. Lorsque L == M, on dit que f est un K-endomorpl1isme de L.
. Lorsque f est bijective (c'est--à-dire surjective), on dit que f est un K-
isomorphisme de L dans M.
REMARQUE II.24. - f K-homomorphisme de L dans M <=> f homo morphisme de
K -algèbres de L dans M.
Définition II.25 [Automorphisme de corps]. - Soit K un corps. On appelle
automorphisme du corps K tout homomorphisme de corps de K dans K qui est
bijectif, c'est-à-dire toute application bijective a : K ---+ K qui vérifie:
- V(x, y) E K 2 , a(x + y) == a(x) + a(y) et a(xy) == a(x)a(y)
- a(lK) == 1K.
Proposition II.26. - L'ensemble Aut(K) des automorphismes du corps K forme
un groupe pour la loi 0 de conlposition des applications. "
Preuve: Il est facile de montrer que Aut(K) est un sous-groupe du groupe S(K) des
permutations de K.

 2. Groupe de Galois d'une extension
25
Définition II.27. - Soient k un corps, L une extension de k. On appelle k-
automorphisme du corps L tout k-isomorphisme de L dans lui-rnêrne, c'est-à-dire
tout automorphisme de k-algèbre de L, c'est-à-dire tout automorpl1islne du corps
L qui laisse invariant chaque élérnent de k, c'est--à-dire toute application bijective
a : L ---+ L qui vérifie:
- V(x, y) E L 2 , a(x + y) == a(x) + a(y) et a(xy) == a(x)a(y)
- a(I£) == IL
- Vu E k, a(u) == u.
Proposition II.28 [et définition]. - On note Gal(L/k) l'ensemble des k-autolnor-
phismes du corps L. Gal(L/k) est un groupe pour la loi 0 de composition des
applications. On l'appelle le groupe de Galois de L sur k.
Preuve: On montre aisément que Gal(L/k) est un sous-groupe du groupe Aut(L) des
automorphismes de L.
Lemme II.29. - Soit f un endomorphisme de corps de K. L'ensemble {x E
K / f (x) == x} est un sous-corps de K. On le note Fix(f) ou Inv(f).
Preuve: f(l) == 1, soit: 1 E Fix(f).
Soit (a, b) E (Fix(f))2. f(a) == Q, et f(b) == b, donc f(a + b) == f(a) + f(b) == a + b et
f(ab) . f(a)f(b) == ab. Par conséquent a + b et ab appartiennent à Fix(f).
Soit x E Fix(f) avec x =1= O. Alors f(x) == x. Or f(x- 1 ) == (f(X))-I. Donc
f(x- 1 ) == X-l, c'est-à-dire x- 1 E Fix(f).
Proposition II.30. - Soit K un corps, P son sous-corps premier.
Aut(K) == Gal(K/ P).
Preuve: Evidemment Gal(K/ P) C Aut(I().
Soit f E Aut(K). Fix(f) est un sous-corps de K donc, puisque P est le plus petit sous-
corps de K, P C Fix(f), c'est-à-dire: (Vx E P, f(x) == x). Ainsi f appartient à
Gal(K/ P).
Proposition II.31 [et exemple]. - Aut(1R) == Gal(IR/Q) == {id}.
Preuve: . Comme le sous-corps premier de IR est Q, on ad' après la proposition précédente:
Aut(IR) = Gal(IR/Q).
. SoitfunQ-automorphismedeIR. Pour x > O,onaf(x) == f((..jX)2) == (f(..jX))2 > 0,
et comme x non nul et f injectif, f (x) =1= O. Ainsi x > 0 => f (x) > O. Il vient
(a > b => f(a) - f(b) == f(a - b) > 0) : f est strictement croissant. Soit x E IR \ Q.
Supposons f(x) i= x. '
- Si f(x) < x, il existe r E Q tel que f(x) < r < x. Appliquant f, il vient
f(f(x)) < f(r) == r < f(x). Ainsi f(x) < r et r < f(x) : absurde.
- Si x < f(x), il existe r E Q tel que x < r < f(x). Appliquant f, il vient
f(x) < f(r) = r < f(f(x)). Ainsi r < f(x) et f(x) < r : absurde.
On a donc (Vx E IR \ Q, f(x) == x). Donc (Vx E IR, f(x) = x); soit f == id.
2.2 Ordre du groupe de GALOIS
Théorème II.32 [Lemme de DEDEKIND]. - Soient G un groupe, K un corps.
Soit (ai)iEI une famille d'homomorphismes de groupes de G dans K*, tous
distincts. Alors (ai)iEI est libre sur K. (C'est-à-dire: si (Ài)iEI E K(I) vérifie
(Vg E G, LiEI Àiai(g) = 0), alors (Vi E l, À i = 0)).

26
CH. II. EXTENSIONS DE CORPS
Preuve : . Montrons par récurrence sur n E N* la propriété £( n) : "Si al, . . . , an sont n
homomorphismes distincts de G dans K* , alors (ai) 1 <i<n est une falnille libre du K -e. v.
KG = F(G, K) ". - -
[> £(1) est vraie: en effet si À E K et a E Hom(G, K*) vérifient Àa = 0, soit
(Vg E G, Àa(g) = 0), alors À = Àa(e) = O.
[> Supposons £( n - 1) vraie.
Soient al, . . . , an n homomorphismes distincts de G dans K*. Soit (À l , . . . , Àn) E I{n
tel que 2:  1 Àiai = 0, Le. (Vg E G, 2:  1 Àiai(g) = 0).
Il vient (V(x, y) E G 2 , 2:  1 Àiai(XY) = 0), soit, compte tenu de ce que les ai sont des
homomorphismes,
(1)
n
V(x,y) E G 2 , LÀiai(x)ai(Y) = O.
i=l
Or
n n
(II) \I(x,y) E G 2 , LÀi<7i(X)<7n(Y) = (LÀiI7i(X))<7n(Y) = O<7 n (Y) = O.
i=l i=l
Effectuant (11)-(1), il vient:
n-l
\I(x, y) E G 2 , L ÀiI7i (x)(<7n (y) - <7i(Y)) = 0,
i=l
soit, puisque K commutatif:
n-l
\ly E G, \Ix E G, L Ài(<7n(Y) - <7i(Y))<7i(X) = O.
i=l
Or, d'après £(n - 1), (ai)lin-l est une famille libre du K-e.v. KG, donc
(Vi E [1, n - 1], Vy E G, Ài(an(y) - ai (y)) = 0).
Or pour chaque i E [1, n - 1], ai =1= an donc (3y E G Lq. an (y) - ai (y) =1= 0).
Donc Àl = . . . = Àn-l = O. Reportant dans 2:=1 Àiai = 0, il vient Ànan = 0, donc,
vue £(1), Àn = O. Donc (Vi E [1, n], À i = 0).
Ainsi £( n) est vraie.
. Si (a i) iE 1 était une famille liée du K -e. v. KG, elle admettrait une sous-famille finie
liée, ce qui est absurde d'après ce qui précède. 0
Théorème II.33 [Ordre du groupe de GALOIS]. -- Soient k un corps, L une extension
de degré fini de k. Alors Il Gal(L/k)1 ::; [L : k] 1 .
Preuve: Raisonnons par l'absurde: notant n = [L : k], supposons 1 Gal(L/k)1 > n.
Alors il existe n + 1 k-automorphismes distincts al, . . . , an+l de L.
Soit (Xl"", X n ) une base du k-espace vectoriel L. Considérons la matrice M
(aj(xi)) E Mn,n+l(L). Les vecteurs-colonnes CI,"" C n + l de M sont n + 1 vecteurs
du L-e.v. Ln de dimension n et sont donc liés:
n+l
3(Àt, · · · , Àn+d E Ln+! \ {O} t.q. L ÀjC j = 0,
j=l
c'est-à-dire tel que ((Vi E [1, n]) 2: ;+ 11 Àjaj (Xi) = 0).
L'application k-linéaire 2: ;+ ; Àjaj de L dans lui-même prend la valeur 0 sur chacun des
vecteurs de la famille (Xl, . . . , x n ) qui est une base du k-espace vectoriel L. Elle est donc
nulle. Ainsi (À 1 ,... , Àn+d E Ln+! \ {O}, et 2:7: Àj<7j = O.
Or remarquons que al, . . . , an+l sont en particulier n + 1 homomorphismes distincts
du groupe multiplicatif L * dans le groupe multiplicatif L *; donc, d'après le lemme de
DEDEKIND, ils forment une famille libre sur L. La contradiction est manifeste. 0

9 2. Groupe de Galois d'une extension
27
Définition II.34. - Soit k un corps. On appelle extension galoisiennefinie de k toute
extension L de k de degré fini vérifiant 1 Gal(L/k)1 = [L : k].
EXEMPLES II.35. - 1) Tout corps est une extension galoisienne finie de lui-même
(puisque Gal(k/k) = {idk} et [k : k] = 1).
2) IR n'est pas une extension galoisienne de Q.
Lemme II.36 [et définition]. - Soit II une partie non vide de l'ensemble des
endomorphismes de corps de K. Alors l'ensemble {x E /</\:/f E H, f(x) = x} des
éléments de K invariants par tous les endomorphislnes de H est un sous-corps de
K. On l'appelle le corps fixe de H ou le corps des invariants de H, et 011 le note
Fix(H) ou Inv(H).
Preuve: Fix(H) = nhEH Fix(h) est un sous-corps de K car intersection d'une famille
de sous-corps de K d'après 11.29.
Définition II.37. - Soient k un corps, L une extension de k. L'ensemble
F = {x E L/\:/g E Gal(L/k), g(x) = x} est un sous-corps de L et F contient
k. F est appelé le corps fixe de Gal(L/k).
Preuve: F est un sous-corps de L d'après le lemme précédent, et il est clair par définition
de Gal(L/k) que k C F.
Propriété II.38. - Avec les notations précédentes, on a Gal(L/k) = Gal(L/ F).
Preuve: - Si l'automorphisme a de L laisse fixe tous les éléments de F, alors puisque
k C F, a laisse fixe tous les éléments de k. Ainsi Gal(L/k) => Gal(L/ F).
- Si 9 E Gal(L/k), alors par définition même de F, l'automorphisme 9 de L laisse fixe
tous les éléments de F, donc 9 E Gal(L/ F). Ainsi Gal(L/k) C Gal(L/ F).
Théorème II.39. - Soient k un corps, L une extension de degré fini de k, F le
corps fixe de Gal(L/k).
a) 1 Gal(L/k)1 = 1 Gal(L/ F)I = [L : F]
b) L est une extension galoisienne finie de k <==> k = F.
Preuve: a) Supposons 1 Gal(L/ F)I < [L : F]. Notons [L : F] = n, et soit (Xl" · · , X n )
une base du F-espace vectoriel L de dimension n. Notons Gal(L/ F) = Gal(L/k) =
{gl,. · . , gq}. Considérons la matrice M = (gj(Xi)) E Mn,q(L).
Soit V le sous L-espace vectoriel du L-espace vectoriel Lq engendré par la famille
(LI, . . . , Ln) des vecteurs-lignes de At!. Notons r = dimL V : alors 1 < r < q <no
Extrayons de (LI, . . . , Ln) une L-base de V : quitte à réindexer, on peut supposer que
(LI, . . . , Lr) est une telle L-base.
Comme Lr+1 E V, il existe (À 1 , . . . , Àr) E Lr tel que Lr+1 = E  1 ÀiLi, soit tel que:
r
\/j E [1, q], gj(x r +1) = L Àigj(Xi),
i=l
ou encore :
(1)
r
\/g E Gal(Ljk),g(xr+d = LÀi9(Xi).
i=l
Par conséquent pour chaque f E Gal(L/k), pour chaque 9 E Gal(L/k),
U 0 g)(xr+d = f(g(xr+d) = f (t, Ài9(Xd) = t, f(ÀdU 0 g)(Xi)'

28
CH. II. EXTENSIONS DE CORPS
Or f étant fixé dans Gal(L/k), 9  f 0 9 est une permutation de Gal(L/k).
On a donc :
r
(II) Vf E Gal(L/k), Vg E Gal(L/k), g(Xr+l) = Lf(Ài)g(Xi)'
i=l
Soustrayant (1) à (II), il vient:
r
VI E Gal(L/k), Vg E Gal(L/k), L (f(À i ) - Ài)g(xd = 0,
i=l
ou encore :
r
Vf E Gal(L/k), L (f(À i ) - Ài)L i = O.
i=l
Puisque (LI, . . . , Lr) est L-libre, il vient:
Vf E Gal(L/k), Vi E [l,r], f(À i ) - À i = O.
Autrement dit: (Vi E [1, r], À i E F).
Or, réécrivant (1) en prenant en particulier 9 = idL, on obtient: Xr+l = E  1 ÀiXi. Ce
qui montre que (Xl"" , Xr+l) est F -liée. A fortiori (Xl"", X n ) est F -liée. Comme
(Xl, . . . , X n ) est une base du F -espace vectoriel L, c'est absurde.
b) On a la tour d'extensions k C F C L, donc, d'après II.9 :
( * ) [L : k] = [L : F] [F : k].
L est une extension galoisienne finie de k {==> 1 Gal( L / k ) 1 = [L : k] {==> 1 Gal( L / F) 1 =
[L : k]; ce qui équivaut, compte tenu de a) et de (*) à : [L : F] = [L : F] [F : k], soit à
[F : k] = 1, soit à k = F. 0
3. Exercices
(11-1) - Soient K un corps et L une extension de K de degré fini. Soient Hl et H 2 des corps tels que K C Hi C L
(i = 1,2). Montrer que si [Hl: K] et [H2 : K] sont premiers entre eux, Hl n H2 = K.
(11-2) - Soient K un corps et L une extension de K de degré pren1ier. Montrer que tout élément appartenant à
L mais non à K engendre, avec K, la totalité de L.
(11-3) - Pour quels nombres premiers p, q a-t-on Q(..JP) C Q( W)?
(11-4) - Soit K un corps, L une extension de K. On considère l'ensemble des corps intermédiaires de LI K,
c'est-à-dire des corps F tels que K ç F C L. Montrer que cet ensemble est un treillis; c'est-à-dire montrer
que, étant donnés deux corps intermédiaires Fl et F2, il existe un corps intermédiaire maximal parmi ceux
contenus dans Fl et F2, et un minimal parmi ceux contenant à la fois Fl et F2. (Indication .' on montrera que
ce sont respectivement Fl n F2 et le sous-corp,f Fl F2 de L engendré par Fl U F2).
(11-5) - Soit f un endomorphisme de groupe de nt c'est-à-dire une application f de IR dans IR telle que:
'tex, y) E R2, f(x + y) = f(x) + f(y).
1) Montrer que f est Q-linéaire.
2) On suppose que f a (au moins) une des propriétés suivantes:
a) f est continue
b) f est continue en 0
c) il existe (a, b) E ]R2 avec a < b tel que f est bornée sur ]a, b[
d) f est monotone.
Montrer que f est IR-linéaire. En déduire que f est une homothétie (3k E IR t.q. 'tx E IR, f(x) = kx).

9 3. Exercices
29
3) Quels sont les automorphismes de corps de IR ?
(11-6) - Soit K un corps, K(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K. Soit G le groupe de
Galois de K(X) sur K. Montrer que si K est de caractéristique 0, G est infini. Montrer que si K est infini, le
corps fixe de G est !(. (Indication .. on pourra utiliser la sub.rtitution par X + 1, F(X) ..-..+ F(X + 1).
(11-7) - Soit K un corps. Soit G un groupe fini d'automorphismes de !(, F le corps fixe de G. Montrer que
pour chaque 9 E G, il existe un unique auto morphisme g' de K(X) tel que ('Vk E K,g'(k) = g(k)) et
g' (X) = g(X). Montrer que l'ensemble des 9', 9 E G, constitue un groupe isomorphe à G d'auto morphismes
de K(X); et que le corps fixe de G' est F(X).
(11-8) - Montrer que la famille suivante d'applications de IR dans C : (x ..-..+ eax)aEC est une famille libre du
C-espace vectoriel C.
(11-9) - Caractères d'un groupe.
Soit G un groupe (noté multiplicativement). On appelle caractère du groupe G tout homomorphisme de groupes
-..
de G dans C * . On note G l'ensemble des caractères de G.
-..
1) Montrer que, muni du produit usuel des applications à valeurs complexes, G est un groupe abélien. Ce groupe
est appelé le groupe dual de G.
-..
2) Montrer que si G est fini, G C V G (c'est-à-dire: tout caractère est à valeurs dans le groupe V des complexes
de module 1).
3) Montrer que, pour n E N*, le groupe dual de 'Il/n'Il est isomorphe à 'Il/n'Il. En déduire que si G est abélien
-..
fini, G est isomorphe à G.
-..
4) On revient au cas général. Montrer que G est une partie libre du C-espace vectoriel CG.

CHAPITRE III
EXTENSIONS ALGÉBRIQUES
ET TRANSCENDANTES
L'étude des extensions monogènes (ou simples) est facile à mener et fait apparaître la
notion d'élément algébrique. Par exemple, un réel est algébrique lorsqu'il est racine d'un
polynôme non nul à coefficients entiers. On étudie alors les extensions algébriques, c'est-
à-dire celles dont tous les éléments sont algébriques.
1. Structure des extensions monogènes
1.1 Eléments algébriques, éléments transcendants
Soient k un corps, OC une extension de k.
Pour tout polynôme P(X) = E :- ÀiXi de k[X] et tout a deOC, on note P(a) l'élément de
OC défini par: P(a) = E :- Àia i (où (ai)iEN est définie par récurrence par a i + 1 = aa i )
(avec la convention aD = loc).
Clairement, a étant un élément fixé de OC, l'application eV a de k[X] dans OC qui à P(X)
associe P( a) est un homomorphisme de k-algèbres.
eD'oùlefaitqueI(a) = {P E k[X]/P(a) = O} estunidéaldek[X]. Cet idéal est appelé
l'idéal annulateur de a. Il est évidemment distinct de k[X] (car (VÀ E k, eVa(À) = À)).
. Notons k[a] le sous k-espace vectoriel du k-espace vectoriel JI( engendré par {an, n E N}
(k[a] est l'ensemble des éléments de OC de la forme Q(a), Q(X) décrivant k[X]).
Comme k[a] = Im(ev a ), k[a] est une sous k-algèbre de la k-algèbre OC. loc = aD, donc
k = klIK = eV a (k) est contenu dans k[a] (donc est une sous k-algèbre de k[a]).
Définitions 111.1. - On est dans une et une seule des deux situations suivantes:
- ou bien I(a) =1= (0), c'est-à-dire eV a n'est pas injective, c'est-à-dire: il existe
P(X) E k[X] \ {O} tel que P(a) = O.
On dit alors que a est un élé,nent algébrique sur k.
- ou bien I(a) = (0), c'est--à-dire eV a est injective. On dit alors que a est un élément
transcendant sur k.
1.2 Cas d'un élément transcendant
Supposons a transcendant sur k : I( a) est réduit à (0).
eV a : k[X]  JI{ est un morphislne injectif de k-algèbres. On peut (cf. 1.10) prolonger
ev a en ev : k(X)  OC en posant, pour f(X) = P(X)/Q{X) où Q(X) =1= 0,
ev(f) = P(a)Q(a)-l, noté f(a).
ev : k(X)  JI{ est un morphisme injectif de k-algèbres, sa restriction à k[X] est
ev a . Im(ev) est un sous-corps de OC isomorphe à k(X), Im(ev) contient ev(k) =
eva(k) = k, et a = eva(X) = ev(X); donc k(a) C Im(ev). L'inclusion dans l'autre
sens étant évidente, il vient Im(ev) = k(a).
Théorème 111.2. - ev : k(X)  k(a), f(X)  f(a) est un isomorphisme de
k-algèbres.
Corollaire 111.3. - [k ( a) : 1.;] == +00.

9 1. Structure des extensions monogènes
31
1.3 Polynôme minimal d'un élément algébrique
Supposons a algébrique sur k : !(a) n'est pas réduit à (0).
Rappelons que k[X] est un anneau euclidien donc principal. Plus précisément (rappelons
qu'un polynôme non nul P(X) de k[X] est dit unitaire si, et seulement si, le coefficient
de son terme de plus haut degré est l'élément 1 de kt,), le résultat classique sur les idéaux
de k[X] montre qu'il existe un unique polynôme unitaire Ma(X) de k[X] tel que !(a)
soit l'ensemble (Jvla(X)) == Ma(X)k[X] des multiples de Ma(X) dans k[X], autrement
dit: (lVla(X) E k[X] est unitaire, Ma(a) == 0, et tout polynôme R(X) de k[X] vérifiant
R(a) == 0 est un multiple de Ma (./Y) dans k[X]).
Définition 111.4. - Ma(X) est appelé le polynôme minimal de a.
EXEMPLE 111.5. - deg(Ma(X)) == 1 {:} a E k. On a alors lvla(X) == X-a.
Proposition 111.6. - Soit P(X) E k[X]. P egt le polynôme minimal de a si,
et seulement si, (P(X) est unitaire, P(a) == 0, et pour tout polynôme R(X) de
k[X] \ {O} vérifiant R(a) == 0, on a deg(P) < deg(R)).
Preuve: . [=}] est trivial.
. [Ç=] Comme Ma(X) E k[X] \ {O} et Ma(a) == 0, deg(P) < deg(M a ). Comme
P(X) E k[X) et P(a) == 0, on aJJar définition du polynôme lninimal : Ma(X) divise
P(X). Vus les degrés, il vient: 3u E k* t.q. P(X) == ulvla(X). Comme Ma(X) et P(X)
sont tous deux unitaires, P(X) == Ma(X).
Proposition 111.7. - Soit P(X) E k[X]. P est le polynôme minimal de a {:} (P(X)
est unitaire, P(a) == 0, et le polynôme P(X) est irréductible dans k[X]).
Preuve: . [=}] Soit D(X) un diviseur de Ma(X) dans k[X) : Ma(X) == D(X)G(X)
où (D(X), G(X)) E (k[X))2. Alors D(a)G(a) == Ma(a) == O. Donc D(a) == 0 ou
G(a) == O. Si D(a) == 0, alors Ma(X) divise D(X); comme D(X) divise Ma(X),
(3'x E k* t.q. D(X) == 'xlvla(X). Si G(a) == 0, alors Ma(X) divise G(X); comme
G(X) divise Ma(X), (3p, E k* t.q. G(X) == p,Ma(X). Donc D(X) == 1/ p, E k.
. [Ç=] Comme P(X) E k[X) et P( a) == 0, Ma (X) divise P(X). Or P(./Y) est irréductible,
donc (3'x E k* t.q. P(X) == 'xMa(X). Comme Ma(X) et P(X) sont tous deux unitaires,
P(X) == Ma(X).
Corollaire III.S [notation]. - On note en g'énéral irr( a, k, X) le polynôme minima.l
de a sur k.
EXEMPLE 111.9. - On considère l'extension IR. du corps Q. Soit n E N et a == 21/n.
Alors irr(a,Q,X) == x n - 2.
En effet P(X) == x n - 2 E Q[X] est unitaire, vérifie P( a) == 0, et P est irréductible
sur Q d'après le critère d'EISENSTEIN.
REMARQUEIII.10.- SUppOSOI1S a t/:. k. Le polynôme minimal irr(a, k, X) de a sur k,
qui est irréductible dans k[X], ne l'est pas dans k(a)[X] (car deg(irr(a, k, X)) > 1
et irr(a, k, X) a une racine a dans k(a)).
Proposition 111.11. - On note m == deg(irr(a, k, X)). Alors la famille (a i )iEITo,m-1D
est une base de k[a) en tant que k-espace vectoriel.
Preuve: Notons Ma(X-) == irr(a, k, X).
- La falnille (ai )iE ITO,m-1D est libre. En effet si elle était liée, il existerait P(X) E k[X) \ {O}
tel que P(a) == 0 et deg(P) < deg(Ma) : impossible d'après 111.6.
- Soit b E k[a) : il existe P(X) E k[X] tel que b == P(a). Effectuons la division

32
CH. III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES
euclidienne de P(X) par lvla(X) dans k[X] : (Q(X), R(X)) E (k[X])2 tel que
(P(X) == Q(X)Ma(X) + R(X) et deg(R) < m,). Il vient b == R(a), donc b E
Vect{ai,i E [O,m - 1]}. Ainsi la famille (ai)iEITO,m-lD est une famille génératrice de
k[a] en tant que k-espace vectoriel.
Proposition 111.12. - k(a) == k[a].
Preuve: . Clairement k[a] C k(a).
. Comme k (a) est le plus petit sous-corps de JI( contenant k et a, il suffit, pour montrer
k(a) C k[a], de prouver que k[a) est un sous-corps de JI( contenant k et a. Déja
k[a] est un sous-anneau de JI( contenant k et a. Soit b E k[a) avec b i- O. Notons
Ma(X) == irr(a, k, X). Il existe P(X) E k[X] tel que b == P(a). Comme b i- 0, Ma(X)
ne divise pas P(X). Comme Ma(X) est irréductible, Ma(X) et P(X) sont premiers
entre eux. Donc, d'après le théorème de Bezout : (U(X), V(X)) E (k[X))2 tel que
U(X)Ma(X) + P(X)\/(X) == 1. Il vient bV(a) == 1. Donc b- 1 == V(a) E k[a].
Remarque: on peut aussi considérer]' application k-linéaire x  bx de k[a) dans lui-
même: elle est injective, donc aussi surjective puisque dimkk[a] < +00. Donc (c E k[a)
t.q. bc == 1). Donc b- 1 == c E k[a).
Corollaire 111.13. - Soient k un corps, JI( une extension de k. Si a E JI(* est
algébrique sur k, alors a- 1 E k[a).
Preuve: a algébrique entraine k(a) == k[a), or a- 1 E k(a).
Remarquons que le polynôme minimal irr(a, k, X) de a sur k permet alors d'exprimer
a -1 sous la forme d'une combinaison linéaire à coefficients dans k des ai, i E N.
Notons en effet Ma (X) == À o + À 1 X +. . . + Ànxn (où les À i E k et Àn == 1) le polynôme
minimal de a sur k. Comme a i- 0, (Ào,. .. , À n - 1 ) i- (0,. .. ,0). Comlne Ma(X) est de
degré minimum parmi les éléments de l'idéal annulateur de a, À o f=. 0 (Si Ào == 0, notons
p=val(Ma(X)) alors p > 1 et Ma(X)j X appartient à l'idéal annulateur de a). Ma(a) ==
o <=> a( -À 1 - À 2 a - . .. - Ànan-1) == À o {::} a.À o -1( -À 1 - À 2 a - . . . - Àn an - 1 ) == 1.
Donc a- 1 == -Ào -1 À 1 - Ào -1 À 2 a - . . . - Ào -1 Àn an - 1 (donc a- 1 E k[a).
Proposition 111.14. - Notons I1 a (X) == irr(a, k, X).
L'application de k[X)jIla(X)k[X) dans k(a) qui à P(X) associe P(a) est un
isomorphisme de k-algèbres.
Preuve: L'application eva. : k[X)  JI(, P(X)  P(a) est un homomorphisme de
k-algèbres, Im(ev a ) == k[a) et ker(ev a ) == I1 a (X)k[X). Donc on peut factoriser eV a à
travers la surjection canonique d e k [Xl sur k [X) jIla (X) k [X] et considérer l'application
ev : k[X)jIla(X)k[X)  OC, P(X)  P(a).
ev est un morphisme injectif de k-algèbres et lm( ev) == Im( ev a) == k[a]. Or le polynôme
I1 a (X) est un élément irréductible de k[X), anneau qui est euclidien donc principal, donc
I1 a (X)k[X) est un idéal maximal de k[X), c'est-à-dire: k[X)jIla(X)k[X) est un corps.
Donc Im( ev) est un sous-corps de OC, d'où puisque Im( ev) contient ev (k) == eV a (k) ==
k et a == eva(X) == ev(.X) : k(a) C Im(ev). Comme Im(ev) == k[a) C k(a), on a
finalement Im(ev) == k[a) == k(a). .
REMARQUE 111.15. - Terminologie: degré d'un élément
Soient k un corps, JI( une extension de k, a E JI( algébrique sur k. Le degré du
polynôme minimal irr(a, k, X) de a, qui est aussi, d'après qui précède, le degré
[k(a) : k] de l'extension k(a) de k, est appelé le degré de a sur k.

9 1. Structure des extensions monogènes
33
1.4 Récapitulation
Théorème 111.16 [Récapitulatif: structure des extensions monogènes]. - Soient k un
corps, JI( une extension de k, a E JI(.
- Ou bien a est transcendant sur k, et alors k(X)  k(a), f(X)  f(a) est un
k-isomorphisme de corps et [k(a) : k] == +00
- Ou bien a est algébrique sur k, et alors k(a) == k[a], l'application de
k[X]/(irr (a, k, X)) dans k(a) qui à P(X ) associe P(a) est un k-isomorphisme de
corps, et [k(a): k] == deg(irr(a, k, X)) .
Théorème 111.17 [Caractérisation des éléments algébriques]. - Soient K un corps, L
une extension de K, a E L. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(1) a est algébrique sur K (3P(X) E K[X] \ {O} t.q. P(a) == 0)
(2) le SOU8-e. v. K[a.] == {P( a), P(X) E K[X]} de L est de dimension finie sur K
(3) le sous-e.v. K(a) de L est de dimension finie sur K
(4) K[a] == K(a)
(5) (si a =1 0) a- 1 E K[a]
(6) il existe T corps, avec K C T C L, a E T, et dimKT finie
(7) 3V sous K -algèbre de L, avec K C V C L, a EV, et dimK V finie.
Démonstration: . On a vu que (1) entraine (2) (111.11), (4) (111.12), donc aussi (3),
puisque ((2) et (4» =} (3); et, comll1e a- 1 E K(a), (4) entraine (5).
. (3) =} (6) : prendre T == K( a).
. (6) =} (7) : prendre V == T.
. (7) =} (2) : si V sous K-algèbre de L avec K C V et a E V, alors K[a] C V.
. (2) =} (1) : si K[a] == VectK{ an, n E N} est de dimension finie, alors la famille (an )nEN
est K-liée, soit: 3P(X) E K[X] \ {O} t.q. P(a) == O.
. (5) =} (1) : si a -1 E K[a], il existe Q(X) E K[X] tel que a -1 == Q( a). Alors le
polynôme P(X) == XQ(X) - 1 de K[X] est non nul et vérifie P(a) == O.
1.5 Corps quadratiques
Proposition 111.18. - Soit dEN, d > 2. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(1)   Q
(2)   N
(3) il existe p E IfD tel que v p (d) impair
(4) [Q() : Q] == 2.
Preuve: . (1) =} (2) est trivial.
. (2) =} (3) : par contraposition : si pour tout p E IfD, v p ( d) est pair, alors  ==
I1 pE IP pV p (d)/2 E N.
. (3) =} (1) : par contraposition : si  E Q, notons  == z/q où (z, q) E (N*)2. Il vient
z2 == dq2, donc: Vp E IfD, vp(d) == v p (z2) - V p (q2) == 2(v p (z) - vp(q)) E 2N.
. (1) {::} (4) Ou bien  E Q et alors Q() == Q, soit [Q() : Q] == 1. Ou bien   Q
et alors [Q() : Q] == 2, comme le prouve ce qui suit.
EXEMPLE 111.19. - Soit dEN avec   Q. Le polynôme X 2 - d E Q[X] est
unitaire, irréductible dans Q[X], et s'annule en , donc irr(, Q, X) == X 2 - d.
 est donc algébrique de degré 2 sur Q. L'extension Q() rv Q[X]/ (X 2 - d)
est donc un Q-espace vectoriel de dimension [Q() : Q] == 2, dont une base est
(1, ).

34
CH. III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES
Chaque élément lX de Q( -Id) s'écrit de façon unique sous la forme lX == X + y-ld, où
(x, y) E Q2. On a : lX f=. 0 {::} (x, y) f= (0,0) {::} x 2 - dy2 f= 0; l'inverse de lX est alors
(x - y-ld)/(x 2 - dy2). lX est élément primitif {::} [Q(lX) : Q] == 2 {::} lX  Q {::} y f= 0;
le polynôme minimal de lX est alors égal à X 2 - 2xX + x 2 - dy2.
Définition 111.20. - On appelle corps quadratique toute extension de degré 2 de Q
dans C.
Théorème 111.21. - Soit L un corps quadratique. Il existe d E Z \ {O, 1}, d sans
facteur carré, tel que L == Q( -Id) (oÙ -Id désigne un complexe dont le carré est
égal à d).
REMARQUE 111.22. - Terminologie: Le corps Q( -Id) est appelé quadratique réel si
d > 0 (car c'est alors un sous corps de 1R), et quadratique complexe si d < O.
Preuve: . Pour x E L, [Q(x) : Q] divise [L : Q] == 2, donc est égal à 1 ou 2. Or
[Q(x) : Q] == 1 {::} x E Q, donc x E L \ Q {::} [Q(x) : Q] == 2 {::} L == Q(x). Fixons
u E L \ Q, notons M(X) == X 2 + bX + c, où (b, c) E Q2, son polynôme minimal
irr(u, Q, X). M(X) == (X + b/2)2 - (b 2 - 4c)/4, donc v == 2u + b vérifie v 2 == b 2 - 4c,
et clairement L == Q(u) == Q(v).
. Or b 2 -4c E Q. Notons b 2 -4c == r / s, où (r, s) E Z* x N*, alors w == sv vérifie w 2 == rs
et L == Q( v) == Q( w). Dans Z*, rs se décompose ainsi: rs == m 2 d, où (d, m) E Z* x N*,
et d ne possède pas de facteur carré. L == Q(w) == Q(w/m) et comme d == (w/m)2, on a
L == Q( -Id) == Q( --Id). Enfin d  {O, 1} car L f=. Q.
Proposition 111.23. - Soient K un corps de caractéristique f=. 2, L une extension
de K. [L : K] == 2 {::} (3 E K \ K2 et 8 E L t.q. 8 2 ==  et L == K(8)).
Preuve : . [=}] Reprendre le premier point de la démonstration du théorème précédent
en remplaçant Q par K. Poser  == b 2 - 4c, et 8 == v. Alors  E K, 8 E L, 8 2 == 
et L == K ( 8). Si  E K 2 (c'est-à-dire si  est un carré dans K), prenant tEK tel
que t 2 == , on a l'égalité dans L : t 2 == 8 2 , soit 8 E {-t, t}. Donc 8 E K, donc
L == K(8) == K. Ce qui est exclu car [L : K] == 2.
. [Ç=]  == 8 2  K 2 , donc 8  K, donc L == K(8) vérifie [L : K] > 1. X 2 -  E K[X]
et annule 8, donc irr(8, K,.X) divise X 2 - , donc [L : K] == deg(irr( 8, K, X)) < 2.
Ainsi [L : K] == 2, et irr(8, K, X) = X 2 - .
REMARQUE 111.24. - Le résultat [Ç=] reste vrai lorsque caract(K) == 2.
Proposition 111.25. - Soient K un corps avec caract(K) f= 2, L extension
de degré 2 de K : L == K (8) avec 8 2 ==  E K \ K 2 . Alors le groupe de
Galois Gal( L / K) est {id L , a}, o'Ù a : L  Lest l'application définie par :
V(x, y) E K 2 , a(x + y8) == x - y8. Il est isomorphe à Z/2Z.
Preuve: [L : K] == 2. (1, 8) est une base de L comme K -e, v. Tout élément 9 de Gal( L / K)
vérifie: V(x, y) E K 2 , g(x + y8) == x + yg(8). irr(8, K, X) == X 2 -  a pour racines
8 et -8 dans L. Si 9 E Gal(L/ K), (g(8))2 == g(8 2 ) == g() ==  == 8 2 , c'est-à-dire
g(8) == 8 ou g(8) == -8. Ainsi Gal(L/K) C {id L , a}. Or on vérifie aisément que a est
un !{ -automorphisme de L. D'où le résultat annoncé.
EXEMPLE 111.26. - Gal(C/1R)
Prenant K == IR, L == C, 8 == i, il vient: le groupe Gal(C/IR) des IR-automorphismes
de C est {ide, a}, où a est la conjugaison (z  z).

9 2. Eléments conjugués
35
EXEMPLE 111.27. - Gal(Q( Vd) /Q)
L'étude du groupe de Galois de l'extension Q(Vd) (où d E Z \ {O, 1}, d sans
fa.cteur carré) de Q se traite de la même façon. Gal(Q(Vd)/Q) == {id, a}, où
(j : x + YVd  x - yVd, (x, y) E Q2.
Exercice: construction de Q( .J2, V3)
[Q(.J2) : Q] == 2 et (1, .J2) est une base de Q(.J2) comme Q-e. v. Q(.J2) est l'ensemble
des réels de la forme unique a + b.J2, (a, b) E Q2.
Montrons que V3  Q(.J2) : si V3 E Q( .J2), (x, y) E Q2 tel que V3 == x + y.J2. y est
non nul car V3  Q. Multipliant les deux membres par .J2 on obtient J6 == 2y + x.J2,
donc x est non nul car J6  Q. Elevant au carré il vient 3 == x 2 + 2 y 2 + 2xy.J2 soit
.J2 == (3 - x 2 - 2y2) /2xy, ce qui est absurde car .J2  Q.
Comme V3  Q(.J2), comme X 2 - 3 E Q[X] C Q(.J2) [X] et que ce polynôme est nul
en V3, on a X 2 - 3 == irr( V3, Q( .J2), X). Donc [Q( .J2)( V3) : Q( .J2)] == 2 et (1, V3)
est une base de Q(.J2) (V3) comme Q(.J2) espace vectoriel.
Le théorème de la base télescopique montre que:
[Q( .J2)( V3) : Q] == [Q( .J2)( V3) : Q( .J2)][Q(.J2) : Q] == 4, et (1,.J2, V3, .J2V3) est
une base de Q( .J2) ( V3) COlnme Q-e. v.
Ainsi Q(.J2, V3) est l'ensemble des réels de la forme unique:
a + b.J2 + cV3 + dJ6, (a, b, c, d) E Q4.
2. Eléments conjugués
2.1 Deux lemmes fondamentaux
Les deux lemmes suivants, bien que faciles, nous seront très utiles dans toute la suite de
ce livre.
Proposition 111.28. - Soient K un corps, L et M deux extensions de K.
Vg K-morphisme de L dans M, VP E K[X], Va E L, g(P(a)) == P(g(a)).
a est une racine de P(X) {::} g(a) est une racine de P(X).
Preuve: Notons P(X) == anX n +. . . + a1X + ao, où les ai E K. g(P(a)) == g(ana n +
.. .+a1 a + a O) == g(an)g(a)n+.. .+g(a1)g(a)+g(ao) == ang(a)n+.. .+a1g(a)+ao ==
P(g(a)), car (Vi, g(ai) == ai)' Comme 9 est un morphisme de corps, il est injectif, donc
P(a) == 0 {::} g(P(a)) == O. D'où le second résultat annoncé.
Proposition 111.29 [Prolongement des isomorphismes]. - Soient K et K' deux
corps. On suppose ql1 'il existe un isomorphisme i : K  K'. Cet isomorphisme
se prolonge de façon naturelle en l'application i : K[X]  K'[X] qui à L ÀkX k
associe L i(Àk)X k , et on voit facilement que i est un isomorphisme d'anneaux.
1) Soit f(X) un polynôme irréductible de K[X]. Alors i(f(X)) est un polynôme
irréductible de K' [X].
2) Soient L et L' des extensions respectives de K et K', a et a' des racines
respectives de f(X) et i(f(X)) dans L et L'. Il existe un unique isomorphisme j
de K(a) sur K'(a') prolongeant i et tel que j(a) == 0:'.
Preuve: 1) Si on a la décomposition i(f) == AB, où (A, B) E (K'[X])2, alors,
 -1  -1  -1
appliquant l'isomorphisme (i) aux deux membres, il vient f == (i) (A)(i) (B),
" -1  -1 2
avec ((i) (A), (i) (B)) E K[X] , donc l'un de ces deux polynômes est de degré 0;
mais alors son image par i est de même degré O.
2). Unicité: Si j est un morphisme de K (a) sur K' (a') prolongeant i, alors, pour chaque
( ao, . . . , an - 1) E K n ,
j(ao + a1a + . . . + a n _la n - 1 ) == i(ao) + i(a1)j(a) + . .. + i(a n _1)(j(a))n-1.

36
CH. III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES
Comme f( 0'.) == 0 et que f(X) est irréductible à coefficients dans [{, le polynôme
minimal irr(O'., K, X) de 0'. est (à un facteur de K* près) f(X). Donc, notant n == deg(f),
(1, 0'., . . . , an -1) est une base du K -e. v. K (0'.). Donc, pour j et j' morphismes de K (0'.)
sur K' (0'.') prolongeant i : (j (0'.) == j' (0'.) =} j == j').
2). Existence: L'application <(JI de K[X]/(f) dans K(a), Q(X)  Q(O'.) est un K-
isomorphisme de corps.
L'application <(J2 de K' [X]/ (z(f)) dans !(' (0'.'), Q(X)  Q( 0'.') est un K' -isomorphisme
de corps.
Clairement l'application 'I : K[X)/(f)  K'[X]/(i(f)) déduite de i par passage aux
quotients est un isomorphisme de corps qui prolonge i.
Posons j == <{J2 0 'I 0 (<(JI) -1 . j est un isomorphisme de K (0'.) sur K' (0'.') qui prolonge i,
et j (0'.) == <{J2 ('I( (<(JI) -1 (0'.))) == <(J2 ( X ) == 0'.'. Remarquons que j est défini explicitement
par : V ( aü, . . . , an - 1) E Kn,
. ( n-1 ) . ( ) . ( ) , + . ( )( ' ) n-1
J aü + al 0'. + . . . + an -1 0'. == 1, aü + 1, al 0'. +... 1, an - 1 0'. .
Corollaire 111.30. - Soient K un corps, L une extension de K, 0'. et (3 deux éléments
de L, tous deux algébriques sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(1) irr( 0'., K, X) == irr({3, K, X)
(2) il existe un K-isomorphisme de K(O'.) sur K((3) envoyant 0'. en {3 (cet isomor-
phisme est alors unique).
Preuve : (2) =} (1) : Sig est un tel K -isomorphisme, alors d'après 111.28 : (V P E
K[X), g( P( 0'.)) == P(g( 0'.)) == P({3). Par conséquent 0'. et {3 ont le même idéal annulateur,
donc le même polynôme minimal.
(1) =} (2) : appliquer 111.29 en prenant K == K', i == idK, (3 == 0'.', et f(X) = irr(O'., K, X).
Définition 111.31 [Eléments conjugués d'une extension]. - Lorsque les conditions
précédentes sont remplies, on dit que 0'. et (3 sont conjugués sur K.
EXEMPLES 111.32. - K == Q, L == IR, .J2 et -.J2 sont conjugués sur Q.
K == IR, L == C, i et -i (où i 2 == -1) sont conjugués sur IR.
2.2 Groupe de GALOIS d'une extension monogène de degré fini
Soient K un corps, L une extension monogène de degré fini de K : L == K (0'.) où 0'. E L
est algébrique sur K. Notons P(X) == irr(O'., K, X) E K[X] et n == deg(P) == [L : K).
Proposition 111.33. - 1) Pour tout 9 E Gal(L/ K), g(O'.) est une racine de P.
2) Réciproquement, pour chaque (3 E L racine de P, il existe un unique 9 E
Gal( L / K) tel que (3 == g( 0'.).
Corollaire 111.34. - Les K -automorphismes de L correspondent bijectivement
aux racines du polynôme P qui sont dans L.
(Donc 1 Gal(L/ K)I = nombre de racines de P dans L < deg(P) = [L : K), et on retrouve
dans le cas particulier des extensions monogènes de degré fini le résultat général sur l'ordre
du groupe de Galois vu au chapitre II). Par conséquent:
L extension galoisienne finie de K {::} P(X) a n racines distinctes dans L {::} P(X)
est scindé à racines simples dans L.
Preuve: 1) Si 9 E Gal(L/ K), alors P(g(O'.)) == g(P(O'.)) d'après 111.28. Or P(O'.) == 0,
donc P(g(O'.)) == g(P(O'.)) == g(O) == O.
2) Soit (3 E L tel que P({3) == O. Comme P(X) est irréductible à coefficients dans
K et unitaire, cela entraine P(X) = irr({3, K, X). Donc [K({3) : K) = deg(P) = n. Or

3 3. Extensions aJgébriques
37
K C K((j) C L == K(a), et n == [K(a) : K) == [1«(0:) : K(,B)][K({3) K]. Donc
[K(a) : K({1)) == 1, soit K(a) == K((3). Ainsi K(a) == K(r,) == L. AppJiquant 111.29
avec K == K', i == idK et a' == (3, on voit qu'il existe un unique K-automorphisme g de
L tel que g( a) == (j. Remarquons que 9 est défini expIicitement par:
V ( ao, . . . , an -1) E K n , 9 (ao + a 1 lX + . . . + an -1 Q n -1) == ao + al (3 + . . . + an _ 1 (3n - 1 .
EXEMPLE 111.35. - La proposition précédente fournit une seconde démonstra.tion
du résultat 111.25 sur le groupe de Galois Gal(L/ K) d'une extension quadratique
(Le. de degré 2) L d'un corps K de caractéristique f= 2.
Par exemple Gal(<C/IR) == {ide, a}, où a est la conjugaison (z  z), et
Gal(Q(Vd)/Q) == {id, a}, où a: x + YVd  x - yVd, (x, y) E Q2.
3. Extensions algébriques
Proposition 111.36. - Soient L un corps, K un sous-corps de L. L'ensemble A
des éléments de L qui sont algébriques sur K est un sous--corps de L qui contient
K. A est appelé la fermeture algébrique de K dans L. Lorsque A == K, K est dit
algébriquement fermé dans L.
Preuve: Tout u de K est racine du polynôme X - u, donc A contient K, donc 0 et 1
appartiennent à A.
. Soient a et b E A. Les sous K-e.v. K[a] et K[b) de L sont de dimensions finies. Soit
(1,a,...,a P - 1 ) [resp. (1,b,... ,b Q - 1 )] une base du K-e.v. K[a] [resp. K[b]]. Notons
V le sous K-e.v. de L engendré par la famille (ambn)(m,n)EP' Pour chaque mEN
[resp. n EN], am [resp. b n ] est une combinaison linéaire à coefficients dans K de
(1, a, . . . , a P - 1 ) [resp. (1, b, . . . , b Q - 1 )]. Par conséquent, pour tout (m, n) E N 2 , amb n est
une combinaison linéaire à coefficients dans K des aiiJl, (i, j) E [0, P - 1] x [0, q - 1],
donc V est de dimension finie sur K. Or V contient les sous K-e.v. K[a + b] et K[ab).
a + b et ab sont donc des éléments de A. A ce stade A est un sous-anneau de L.
. Soit x E A avec x f=. O. Alors x est algébrique sur K. D'après 111.13, x- 1 E K[x]. Or
K[x] est de dimension finie sur K. Donc x- 1 E A. A ce stade A est un sous-corps de L.
Définitions 111.37. - Soient JI( un corps, k un sous-corps de JI(.
- On dit que OC est une extension algébrique de k si, et seulement si, tous les éléments
de OC sont algébriques sur k, soit si, et seulement si, la fermeture algébrique de k
dans OC est JI( lui-même.
- Sinon, c'est-à-dire s'il existe au moins un élément de JI( qui n'est pas algébrique
sur k, on dit que JI( est une extension transcendante de k.
EXEMPLE 111.38. - La fermeture algébrique de k dans JI( est la plus grande sou-
extension de JI(/ k qui soit algébrique sur k.
Proposition 111.39. - Soit L une extension algébrique de K. Soit A une K -algèbre
intermédiaire (K C A e L). Alors A est un corps.
Preuve : Il s'agit de démontrer que si a E A *, alors a -1 E A. Soit a E A *. A fortiori
a E L, donc a est algébrique surK, donc K(a) == K[a),donca- 1 E K[a].OrK[a] C A.
Donc a- 1 E A.
Proposition 111.40. - Soit k un corps. Toute extension de degré fini de k est
algébrique sur k.

38
CH. III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES "
Preuve: Soit JI( une extension de degré fini de k. Notons n = [JI( : k]. Pour x E JI(, la famiIJe
(1, x, . . . , x n ) est une famille de (n + 1) vecteurs du k-espace vectoriel JI( de dimension n,
donc elle est k-liée: il existe (ao,.. . , an) E kn+l \ {O} tel que ao +a1x+. .. +anx n = O.
Le polynôme ao + a1X + . . . + anX n est non nul et appartient à l'idéal annulateur de x,
donc x est algébrique sur k.
REMARQUE 111.41. - Comnle [JI( : k] = [JI( : k(x)][k(x) : k], le degré (k(x) : k] de x
sur k divise n.
REMARQUE 111.42. - La réciproque de la proposition précédente (c'est-à-dire le
résultat : "Soit k un corps, JI( une extension de k. Si JI( est algébrique sur k, alors
JI( est de degré fini sur k ") est fausse.
Par exemple considérons k = Q et JI( = la fermeture algébrique de Q dans C.
Alors JI( est une extension a.lgéprique de Q (clair) et JI( est une extension de degré
infini de Q. En effet supposons JI(/Q de degré fini. Notons n = [JI( : Q]. Clairement
a = n+ E JI( et irr(a, Q, X) = xn+1 - 2. Par conséquent [Q(a) : Q] = n + 1,
plus précisément (1, a,. . ., an) est une base du Q-espa.ce vectoriel Q(a). Comrrle
Q(a) est un sous-corps et donc un sous (Q-e.v. de JI(, (1, a,. . ., an) est donc une
famille libre de (n + 1) vecteurs du Q-espace vectoriel JI( de dimension n : c'est
absurde.
Proposition 111.43. - Soit L = K(a1,"', as) une extension de type fini de K. Si
les ai sont algébriques sur K, alors L est de degré fini sur K et L = K[a1,' .. , as].
Preuve: Notons Ko = K et, pour 1 < i < S, Ki = K(a1,...,ai)' On a la tour
d'extensions Ko C KI C ... C Ks = L. Or pour 1 < i < S, Ki = Ki-1(ai) et ai
est algébrique sur K, donc a fortiori ai est algébrique sur Ki -1, par conséquent [Ki :
K i - 1 ] < +00 et Ki = Ki-1[ri]' Il vient [/(8 : K] = Il : 1 [Ki: K i -- 1 ] < +00. Enfin
on montre, par récurrence sur i, que Ki = K[al, . . . , Qi]; donc Ks = K[al, · · · , as].
REMARQUE 111.44. - Il Y a donc équivalence, pour une extension L de K, entre
" LI K est algébrique et de type fini" et "LI K est de degré fini". On dit alors que
L est une extension finie de K.
Proposition 111.45. - Soit K un corps. Soit L une extension algébrique de K.
Tout K -endomorphisme de L est un K -au tom orphisme.
Preuve : Soit J : L  L un K -endomorphisme. J est injectif. Soit Q E L. Notons
P(X) = irr( a, K, X), et soit L' le sous-corps de L engendré par les racines de P(X) qui
appartiennent à L. On a K C K(a) C L' C L, et L' est une extension algébrique de type
fini, donc (111.43) de degré fini, de K. Comme (111.28) l'image par J d'un zéro de P(X)
est un zéro de P(X), J(L') C L'. J induit donc un K-endomorphisme J' de L'. J est
injectif donc J' l'est aussi. Comme L' est un K -e. v. de dimension finie, J' est surjectif.
Donc a possède un antécédent par J', donc par J. Ainsi J est surjectif.
Proposition 111.46. - SoieIlt K un corps, L une extension de K. Les conditions
suivantes sont équivalentes:
(1) L est algébrique sur K
(2) Yn E N*, V(X1,' . . , x n ) E Ln, la sous K -algèbre K[X1, . . . , x n ] de L est, en
tant que K -espace vectoriel, de dimension finie sur K
(3) Yn E N*, Y(X1,"', x n ) E Ln, le sous-corps K(X1,"', x n ) de L est, en tant
que K -espace vectoriel, de dimension finie sur K.

3 4. Nombres algébriques réels, complexes
39
Preuve: (3) =} (2) est clair (car pour toute partie P de L, K[P] C K(P).
(2) =} (1) car (2) entraine en particulier que : (V x E L, [K [x] : K] < +00), donc tout
x E L est algébrique sur K.
(1) =} (3) Soit n E N*, (Xl"" ,X n ) E Ln. Alors K(X1"" ,x n ) est une extension de
type fini de K et les Xi appartiennent à L donc sont algébriques sur K, donc (111.43)
[ K ( Xl, . . . , X n) : K] < + 00 (et K ( Xl, . . . , X n) = K [Xl, . . . , X n]).
Théorème 111.47 [Transitivité de l'algébricité]. - Soit K C L C M une tour
d'extensions.
(1) Si M est algébrique sur K, alors IvI est algébrique sur L et L est algébrique
sur K.
(2) Si M est algébrique sur L et L algébrique sur K, alors M est algébrique sur
K.
Preuve : (1) est trivial: (Vm E M, 3P E K[X] \ {O} t.q. P(m) = 0) entraine
CVm E M, 3P E L[X] \ {O} t.q. P(m) = 0) et (Vm E L, 3P E K[X] \ {O} t.q.
P(m) = 0).
(2) Soit a E M. Notons f(X) = irr(a,L,X) = E _ oaiXi. Considérons N =
K ( ao, . . . , an)' Les ai appartiennent à L donc sont algébriques sur K. Donc d'après
111.43, N est une extension de degré fini de K. Comme K C N C N(a) et que N(a) est
une extension algébrique simple donc de degré fini de N, il vient [N(a) : K] = [N(a) :
N][N : J<] < +00. Or K C N, donc K(a) C N(a), donc [K(a) : K] < [N(a) : K].
Donc [K (a) : K] < +00. Ainsi a est algébrique sur K.
4. Nombres algébriques réels, complexes
Rappelons, sans démonstration, une définition et trois résultats classiques.
Définition 111.48. - Soit E un ensemble. Les cOllditions suivantes sont équivalentes:
- E peut être mis en bijection avec une partie de N ;
- Il existe une injection de E dans N ;
- Il existe une surjection de N dans E.
I.Jorsqu'e11es sont vérifiées, on dit que E est dénombrable.
Propriété 111.49. - Toute partie d'un ensemble dénombrable [resp. fini} est un
ensemble dénombrable [resp. fini}.
Propriété 111.50. - Soient q E N* et soient El, . . . , Eq des ensembles dénombrables.
Alors El x . . . x Eq est un ensemble dénombrable.
Propriété 111.51. - Soient l un ensemble dénombrable et (Ei)iEI une famille
d'ensembles dénombrables. Alors UiEIE i est un ensemble dénombrable.
Propositi,on 111.52 [CANTOR]. - L'ensemble Q des nombres rationnels est infini
dénombrable.
Preuve: Z = N U (-N*) est une réunion finie d'ensembles infinis dénombrables,
donc (111.51) Z est infini dénombrable. Donc (111.50) Z x N* est infini dénombrable.
Or l'application de Z x N* dans Q qui à (z, d) associe z / d est surjective. Donc Q est
dénombrable: . . . Et Q n'est pas ,fin}, car sinon (111.49) N le serait aussi.
Proposition 111.53 [CANTOR].'  L'ensemble IR. des nombres réels n'est pas
dénombrable.

40
CH. III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES
Preuve: Soit S l'ensemble des suites (an)nEN* d'entiers vérifiant:
(Vn E N*, 0 < an < 9) et (VN E N*, n > N t.q. an f=. 9).
L'application 8 de [0, 1[ dans S, qui à x associe la suite (an)nEN* définie par (Vn E
N, a n +1 == E(10n+1x) - 10E(10 n x)), est une bijection et vérifie:
Vx E [0,1[, x == E=l a n l0- n ("développement décimal d'un réel").
Supposons IR. dénombrable. Alors (111.49) [0, 1 [ est dénombrable, donc est infini dénombrable
puisqu'il contient les 10- n , n E N*. Il existe donc une bijectjon b : N  [0,1[. Pour
chaque n E N, b(n) admet un développement décimal b(n) == El a n ,k l0 -k.
Pour chaque k de N, posons: ak == 0 si an,k f= 0, et ak == 1 si an,k == O.
Alors x == El ak l0 - k est le développement décimal d'un réel x de [0,1[. x n'a pas
d'antécédent par b (en effet: Vn E N, x f= b(n) puisque an f= an,n). La contradiction est
manifeste!
Corollaire 111.54 [CANTOR]. - L'ensemble C des nombres complexes n'est pas
dénombrable.
Preuve: Utiliser 111.53, le fait que IR. C C et 111.49.
Proposition 111.55 [et définitions]. - Soit z E C [resp. IR}. Les conditions suivantes
sont équivalentes:
(a) z est algébrique sur Q
(b) il existe P(X) E Z[X] \ {O} tel que P(z) == O.
On dit alors que z est un nombre algébrique complexe [resp. réel}.
L'ensemble A des nombres algébriques complexes, fermeture algébrique de Q dans
C, est un sous-corps de C qui contient Q.
L'ensemble A n IR. des nombres algébriques réels, fermeture algébrique de Q dans
IR., est un sous-corps de IR. qui contient Q.
Preuve: (b) => (a) est trivial.
(a) => (b) Considérer II(X) == irr(z, Q, X) E Q[X] \ {O}, et prendre un P.P.C.M. m E N*
des dénominateurs des coefficients non nuls de II(X).
Alors P(X) == mII(X) appartient à Z[X] \ {O} et vérifie P(z) == O.
Les deux dernières affirmations résultent de 111.36.
Théorème 111.56. - Soit K un corps, L une extension de K. Si K est dénombrable,
la fermeture algébrique K L de K dans L est dénombrable.
Preuve : Notons, pour dEN, Kd[X] l'ensemble des polynômes de degré < d à
coefficients dans K. L'application de K d + 1 dans Kd[X] qui à (ao,..., ad) associe
adXd + ad_1Xd-1 + . . . + a1X + ao étant clairement bijective, Kd[X] est en bijection
avec K d +l, donc d'après 111.50, Kd[X] est dénombrable.
Par conséquent, d'après 111.51, K[X] == UdENKd[X] est dénombrable. Donc d'après
111.49, K[X] \ {O} est dénombrable. Ainsi, il existe une surjection s de N dans K[X] \ {O}.
Pour chaque n de N, notons Zn == {x E LI s(n)(x) == O}, ensemble des racines dans L
du polynôme s(-n) : Zn e.st fini de cardinal < deg( s( n)). Il en résulte, d'après III.51, que
K L == UnENZn, union dénombrable d'ensemble finis, est dénombrable.
Remarquons que si K est infini, K L l'est également, puisque K C K L .
Corollaire 111.57. - A et PA n IR. sont infinis dénombrables.
Preuve : 111.52 et 111.56 entrainent PA dénombrable, donc (111.49) PA n IR. est lui aussi
dénombrable. Enfin comme Q C A n IR. C PA, 111.49 entrai ne PA et PA n IR. infinis.

9 5. Théorèmes de Hermite et de Lindemann
41
REMARQUE 111.58. - La considération des résultats 111.53 et 111.57 montre qu'il
existe dans IR (donc aussi dans C...) une infinité non dénombrable de nombres
transcendants, c'est-à-dire de nombres qui ne sont pas algébriques.
Cette démonstration existentielle de CANTOR (1888) ne fournit pas d'exemples
effectifs. Répondre à la question de savoir si un nombre donné est algébrique
ou transcendant requiert une technicité redoutable. Quelques-uns des problèmes
ouverts les plus ardus en Mathélnatiques sont des questions de ce type. En 1844,
LIOUVILLE avait décrit explicitement des nOInbres réels transcendants (nombres de
LIOUVILLE, cf. exercices). On trouvera dans la section suivante deux théorèmes
intéressants.
5. Théorèmes de Hermite et de Lindemann
Théorème 111.59 [HERMITE (1873)]. - e est transcendant.
Théorème 111.60 [LINDEMANN (1882)]. - 1r est transcendant.
Lemme 111.61 [Intégration par parties généralisée]. - Soient f et 9 deux applications
de classe en de [a, b] dans C.
b [ n -1 ] b b
1 j(t)g(n)(t) dt =  (_I)k j(k)gCn-1-k) a + (_I)n 1 jCn)(t)g(t) dt.
Preuve: Immédiate, en procédant par récurrence sur n E N*.
Lemme 111.62. - Soient a E C et P(X) E C[X]. On pose Q(X) = LkEN p(k) (X).
On obtient ainsi un polynôme Q(X) E C[X], qui vérifie: eOQ(O) = Q(a)+R(a),
,
ou
R(a) = e a 1 1 ae- ax P(ax) dx
Preuve: Pour k > deg(P), p(k)(X) = O. Donc LkEN p(k)(X) est une somme finie, et
cette formule fournit un polynôme à coefficients complexes.
- Le résultat annoncé est évident si P = 0 (alors Q = 0), ou si a = O.
- Si P =1 0 et a =1 0, on applique l'intégration par parties généralisée en prenant a = 0,
b = l, n = 1 + deg(P), f(x) = P(ax) etg(x) = -n11 e-o x . Il vient
11 ae- ax P(ax) dx = [ - I: p(k) (ax)e-ax ] 1 + a 11 pCn) (ax)e- ax dx = Q(O) -
o k=O 0 0
e-OQ( a) car p(i) = 0 pour i > n. D'où, multipliant les deux membres par eO:, le résultat
,
annonce.
Démonstration du théorème d'HERMITE:
. Supposons e algébrique: il existe A(X) E Z[X] \ {O} tel que A(e) = O. Notons
n = deg(A), et A(X) == anxn + . . . + ao. Quitte à diviser A(X) par Xval(A), on peut
supposer Q.o =1 o.
. Soit p un nombre prelnier (supérieur ou égal à 2) arbitraire. Considérons le polynôme
Xp-1
P(X) = (p _ 1)! (X - I)P(X - 2)P · .. (X - n)P.

42
,
CH. III. EXTENSIONS ALGEBRIQUES ET TRANSCENDANTES
D'après le théorème sur les dérivées successives d'un produit de n + 1 fonctions (dont la
démonstration est aisée, par récurrence sur n) (pour n = 1, formule de LEIBNIZ) :
p(r) (X) = 1 , L .,. Ir! . , (Xp-l )(i o ) ((X _ l)p)(il . . ((X _ n)P)(in).
(p - 1). . . 20 · 1, 1. · · · 1, n .
O+"'+n=r
Donc, notant Kr = {(io,... ,i n ) E Nn+l/io+.. .+in = r,io < p-1,il < p,... ,i n <
p} :
1 , ( 1) ' X P-l-io n ,
p(r) ( x ) =  r. p - · TI p. ( X _ . ) p-i j
( 1) '  . ,., . , ( 1 . ) , ( . . ) ' J
P - . 1,0.1,1. · · . 'ln. P - - 1,0 · J . = 1 P - 1, J .
(io,...,in)EKr
soit
,
p(r)(x)= r.  C;lCl...C;nxp-l-iO(X-1)P-il...(X-n)P-in.
(p-1)! 
(io,..., i n ) E Kr
Or, pour r > p, (P!I)! est un entier multiple de p. Donc
(Hl) pour r > p, p(r) (X) est à coefficients entiers divisibles par p.
Chaque j de [1, n] est zéro de multiplicité p de P(X), donc zéro de p(i) (X) pour
i E [O,p - 1].
(H2) Ctlr E [0, P - 1], \lj E [1, n], p(r) (j) = 0).
Posons T(X) - fI ;- 1 (X - j)P : alors T(X) E Z[X] et deg(T) = np. P(X)
(PI)! XP-IT(X), donc, d'après la formule de LEIBNIZ: (\lk E N) p(k)(X)
1 "' Ci ( XP-l ) (i)T(k-i) ( X )
(p-l)! L.J=0 k '
s oitP(k) ( X ) = 1 ",in(k,p-l)Ci (p-l).! Xp-l-iT(k-i) ( X ) .
(p-l)! L.J=0 k (p-l-)!
Donc p(k)(O) = 0 si k E [O,p - 1[, et p(k)(O) = Ck-1T(k-p+l)(0) si k > p - 1.
En particulier p(p-l)(O) = T(O) = fI ; 1 (-j)P = (-l)n p (n!)P.
(H3) (\Ir E [O,p - 2], p(r)(o) = 0), et p(p-l)(O) = (-l)n p (n!)P.
On a donc aop(p-l)(O) = ao(-l)n p (n!)P.
Supposons p > max(n,lao!). Comme p est un nombre premier, il vient: puisque
1 < laol < p, p 1\ ao = 1, et puisque (\lj E [l,n], 1 < j < p), p 1\ n! = 1; a
fortiori p 1\ (ao( -l)n p (n!)P) = 1.
(H4) pour p premier assez grand, ao p(p-l) (0) n'est pas divisible par p.
Nous supposerons dans toute la suite cette condition remplie.
. Soit Q(X) (et R(a) définis à partir de P(X) comme dans le lemme précédent.
Alors (\lj E [0, n], Q(j) = e j Q(O) - R(j). Donc E 7 0 ajQ(j) = Q(O) E 7- 0 aje j -
E ; 0 ajR(j) = Q(O)A(e) - E;'=o ajR(j). D'où, puisque A(e) = R(O) = 0,
n n
L ajQ(j) = - L ajR(j).
j=O j=1
- Pour j E [1, n], Q(j) = Ek>O p(k) (j) = Ek> p(k) (j) vu (H2); or, pour k > p, vu
- -P
(HI), p(k) (j) est divisible par p; donc p divise Q(j). Comme les aj appartiennent à Z, il
vient: E7=1 ajQ(j) est divisible par p.
(H5)

9 5. Théorèmes de Hermite et de Lindemann
43
- Et aoQ(O) = ao EkO p(k) (0) = a o p(p-1) (0) + ao Ekp p(k) (0) d'après (H3); or,
vu (HI), pour k > P, p(k) (0) est divisible par P; donc P divise ao Ek> p(k) (0). Donc,
vu (H4), aoQ(O) n'est pas divisible par p. -P
- Comme E ; 0 ajQ(j) = aoQ(O) + E;=l ajQ(j), j] vient: E 7 0 ajQ(j) n'est pas
divisible par 1). Ainsi
n
pour p premier assez grand, on a L ajQ(j) > 1.
j=O
. - Notons F(X) = Il;=l (X - j). Soit t E [0, n] \ [0, n]. 3!k E [0, n - 1] tel que
t E]k, k + 1[. On a alors Itl < k + 1; pour j E [1, k], It - jl < k + 1 - j; et pour
j E [k + 1, n], It - jl = j - t < .i - k. Par conséquent IF(t)1 = Il;=llt - jl <
II;=l (k + 1- j). Il j k+l (k - j) = k!(n - k)! = 1 < n!, et ItF(t)1 = Il j 0 It - jl <
Il;=o(k + 1 - j). Il j- k+1 (k - j) = (k + 1)!(n - k)! = (tJl' < nI.
n+l
CommeP(X) = (p2l)! (XF(X))P-lF(X),ilvientIP(t)1 < (p 2 l)! (n!l.Cetteinégalité
est encore vraie pour t E [0, n] (car alors P(t) = 0).
Ainsi \lt E [0, n], IP(t)1 < (Pl)! (n!)P.
1 j
- Soit j E [1, n]. R(j) = e j 1 e- jx P(jx)j dx = e j 1 e- t P(t) dt (changement
de variable t = jx), donc IR(j)1 < e j l j e-tIP(t)1 dt < en ln e-tIP(t)1 dt <
n {n IF( )1 d n {n 1 ( , ) P d n (n!)P
e Jo t.t < e Jo (p _ 1)! n. t = ne (p _ 1)1'
D 1 n R( . ) 1 < n 1 l n (n!)P n (n!)P n 1 1 -
onc wj=l aj J _ Lij=l aj ne (p-1)! = ne (p-1)! wj=l aj - u p .
Or (\lp) , U+l = n p ! , donc il existe Pl tel que: (p > Pl => U+l < ). Alors (récurrence
P P
immédiate) (p > Pl => 0 < U p < U P1 ()P-Pl), donc (principe des tampons) u p  0
quand p  +00. Ainsi 1 E ; 1 ajR(j)1  0 quand p  +00, p E P. Donc
(86)
n
(H7) pour p premier assez grand, on a L ajR(j) < 1.
j=l
La contradiction entre (H5), (H6) et (H7) est manifeste!
o
Démonstration du théorème de LINDEMANN :
. Supposons 1r algébrique. Alors i1r est algébrique: il existe A(X) E Z[X] \ {O} tel que
A(i7r) = O. Notons n = deg(A), et A(X) = anxn + .. . + ao. Quitte à diviser A(X)
par Xval(A) , on peut supposer ao =1 O.
Posons c = an et B(X) = xn + E -  aka-l-k X k . Alors c E Z*, B(X) est
unitaire à coefficients dans Z, et on a B( iC1r) = (a n i1r)n + + E -  aka-l-k (an i1r)k =
a-l A(i7r) = O.
On notera (C{31, . . . , c{3n) la liste des racines de B(X), chacune étant répétée un nombre
de fois égal à sa multiplicité.
. Comme B(ic1r) = 0,' il existe qo E [1, n] tel que {3qO = i1r. On a donc 1 + e{3qo. = O. A
fortiori Il ;- l (1 + e{3q) = O.
Développant ce produit, on obtient Il ;- l (1 + e/3q) = 1 + E r l e UJ , où Ut, . . . , U2 n -l
est la liste des 2 n - 1 sommes {3il + ... + {3ik' {il,.' ., ik} E (P([l, n]) \ {0}).

44
CH. III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES
Posons E = 1 + Card.{j E [1,2 11 - l]/uj = O}, et notons al,." , as la liste de ceux
parmi U1, . . . , U2 n -1 qui sont non nuls. Alors E E N*, (al, . . . , as) E (<C*)S, et
(LO)
n s
o = II (1 + e/3q) = E + L e a ; .
q=l i=l
. Soit p un nombre premier (supérieur ou égal à 2) arbitraire. Considérons le polynôme
_ (CX)p-1 s P
P(X) - ( _ 1)! II (eX - caj) ·
p . 1
J=
Il découle de 1.74 que, pour chaque t E [1, n], il existe un polynôme unitaire Bt (X) E
Z[X] dont l'ensemble des zéros coïncide avec l'ensemble de ceux qui sont non nuls parmi
les (J t = EjEJ t c{3j, J t décrivant l'ensemble des parties à t éléments de [1, n]. [Prendre
B;(X) = Bt(X)/ ..,yval(Bd].
Par conséquent il existe un polynôme unitaire U(X) E Z[X] dont l'ensemble des zéros
est l'ensemble {caj, j E [1, s]}, autrement dit: T(X) = Il;=1 (X - caj) E Z[X].
Notons Pl (Y) = P(  ). Alors
(p-1)!P 1 (Y) = (P-1)!P(  ) = yp-1 (J1(Y -caj))P = YP-1(T(Y))P E Z[Y],
et ce polynôme est clairement unitaire. Donc
(LI)
(p - l)!P(X) = (p - 1)!P 1 (cX) E Z[X].
o est zéro de multiplicité p - 1 de P(X); et pour chaque j de [l,s], aj est zéro de
multiplicité supérieure ou égale à p de P(X), donc
(L2) ("tir E [O,p - 2], p(r) (0) = 0) et ("tir E [O,p - 1], \lj E [1, s], p(r) (aj) = 0).
D'après (LI), il existe une suite (Zk)kEN avec {k E N/Zk i:- O} fini, telle que
(p - l)!P(X) = EkEN Zk Xk . (On a clairement (k < p - 2 => Zk = 0) et
(k > p(s + 1) => Zk = 0».
Il vient: \Ir E N, (p - l)!p(r)(x) = Ek>r zkk(k - 1)... (k - r + l)x k -r =
"'"' k' X k-r , "'"' C r x k-r-
L..Jk?r Zk (k -'r)! = r. L..Jk?r Zk k ·
Donc, pour r > p, p(r) (0) = (P!l)! Zr est un entier divisible par p, car Zr E Z et ( !1)!
est un entier divisible par p. P
(L3) pour r > p, p(r) (0) est un entier divisible par p.
"'"'S p(r) ( . ) _ "'"'S r! "'"' cr k-r _ r! "'"' cr ",",S k-r
L..Jj=l a J - L..Jj=l (p-1)! L..Jk?r Zk kaj - (p-1)! L..Jk?r Zk k L..Jj=l a j .
Or \lk E [r, +00[, Zk et C k appartiennent à Z, et il résulte de 1.73 que E;=l a;-r E Z.
Par conséquent, on a : ('ïlr E N) Ekr zkCI E;=1 a;-r E Z. Et, pour r > p, ( !1)! est
un entier naturel divisible par p. Donc p
(L4)
S
pour r > p, L p(r) (aj) est un entier divisible par p.
j=l
. Soit Q(X) (et R(a) définis à partir de P(X) comme dans le lemme précédent.

9 5. Théorèmes de Hermite et de Lindemann
45
Alors (Vj E [1, s], eOjQ(O) == Q(aj) +R(Qj), donc E;=1 Q(aj) == Q(O) E;=l e Qj -
E;=l R(aj). Donc, vu (LO),
s s
(L5) EQ(O) + LQ(aj) = - LR(aj).
j=l j=1
p(p-l)(O) = Zp-l = c p - l nj=l (-caj)P = (-lr p c sp + p - l (nj=l aj r.
Comme T(X) == n;=1 (X - ca)) appartient à Z[X], et comme c et les aj sont non nuls,
d = T(O) = n;=1 (-caj) appartient à Z*.
Supposons p > max(IEI, Ici, Id!). Alors comme p est un nombre premier et 1 <
lEI, Ici, Idl < p - 1, p est premier avec chacun des relatifs c, d, E. Donc p est premier avec
l'entier relatif EP(p-l)(O) = Ec p - 1 d P . Ainsi, pour p premier assez grand, EP(p-l)(O)
est un entier non divisible par p.
D'après (L2),
s s
EQ(O) + L Q(aj) = EP(p-l) (0) + EL p(k)(O) + L L p(k)(aj).
j=1 kp kpj=1
Or il découle de (L3) [resp. (L4)] que le second [resp. troisième] terme de cette somme
est un entier divisible par p. Donc, vu le résultat précédent concernant EP(p-l) (0) : pour
p premier assez grand, EQ(O) + E;=1 Q( aj) est un entier non divisible par p. Donc
(L6)
pour p premier assez grand,
s
EQ(O) + L Q(aj) > 1.
j=1
Notons H = SUPjE[l,S]lajl.
-Soitj E [l,s].Pourtoutx E [O,l],ona(Vk E [l,s], lajX-akl < lajl+lakl < 2H),
et donc :
IP(ajx)1 = (p  1)! Icajxl P - l ( g Icajx - ca kl ) p < (p  1)! (lcIH)P-l(21cIHr p ·
Comme R(aj) = aj 1 1 eO<j(l-x) P(ajx) dx, et comme (Vx E [0,1], leO<j(l-x)1 =
e(l-x)e(oj) < e(l-x)lojl < e 10jl < eH), il vient:
rI rI 1
IR(aj)1 < lajl Jo leO<j(l-X) IIP(ajx) 1 dx < He H Jo (p _ 1)! (1cIH)P-l(21cIHr p dx.
Ainsi Vj E [1, s], IR(aj)1 < He H (p2 l )! (1cIH)P-l(21cI H )SP.
- Donc
s
1 L R(aj)1 < sHe H (p  1)! (1cIH)P-l(2I c I H r p = u P '
J=1
Or
U p +l _ IcIH(2IcIH)S
u p p
et on montre en raisonnant comme dans la démonstration du théorème de HERMITE, que
u p  0 quand p  +00. Donc 1 E;=1 R(aj)1  0 quand p  +00, P E JP>. Donc
(Vp)

46
CH. III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES
s
(L 7) pour p premier assez grand, on a L R( Qj) < 1.
j=l
La contradiction entre (L5), (L6) et (L 7) est manifeste!
o
6. Exercices
(111-1) - Déterminer le polynôme minimal de :
a) l'élément i de C sur Q
b) l'élément i de C sur IR
c) l'élément V2 de IR sur Q
d) l'élément (1 + VS)/2 de IR sur Q
d) l'élément (i + VS)/2 de C sur Q.
(111-2) - Soit r = i + V2 E C.
a) Montrer que r est algébrique sur Q, et que l'anneau Q[r] est un sous-corps de C de degré 4 SUI' Q.
b) Montrer que r est algébrique sur IR, et que l'anneau IR[r] est un sous-corps de C de degré 2 sur IR.
(111-3) - l étant un intervalle de IR, déterminer les sous-algèbres de CO (1, IR) qui sont de dimension finie.
(Indication .' f étant un éLément d'une telle sous-algèbre, Inolltrer qu'il existe un polynôI11e P(X) E IR[X] teL
que('Vx E 1,P(f(x)) = 0), etendéd"ireque!estcollstante).
(111-4) - Soit K un corps commutatif. Soit A une K -algèbre. On suppose que A est intègre et que A est, en tant
que K -espace vectoriel, de dimension finie. Montrer que A est un corps.
(111-5) - Soient K un corps, L une extension de degré fini de K.
1) On suppose que [L : K] est un nombre premier p. Montrer que (\Ix E L \ K, L = [«(x). En déduire que,
si le polynôme irréductible f(X) E K[X] admet x E L \ [( pour racine, alors deg(f) = p.
2) Soit x E L un élément de degré n sur K. Montrer que tout élélnent de [( (x) est algébrique sur K, et que son
degré divise n.
(111-6) - Soit A un anneau intègre, K son corps des fractions, L une extension de degré fini n de K. Soit () un
élément de L, et f(X) = irr((), K, X).
1) Comparer n au degré de f.
2) On suppose que tous les coefficients de f appartiennent à A. Soit M un idéal maximal de A. On note fie
polynôme, à coefficients dans A, dont les coefficients sont les classes modulo M des coefficients de f. Comparer
les degrés de f et de f.
(111-7) - Soit a un élément algébrique de degré ilnpair sur le corps K. Montrer que K( a) = K( a 2 ).
(111-8) - Soient d et d' deux éléments de Z \ {O, 1}, libres de carrés et distincts. Montrer que Q( -Id) et Q( #)
ne sont pas isomorphes.
(111-9) - Soient K un corps, et L = K(u), où u est transcendant sur K. Soit M un sous-corps de L, avec
[( C Met K  M. Montrer que u est algébrique sur M.
(111-10) - Trouver une extension Q C K C IR avec Q  K  IR, et IR algébrique sur K, donc K non dénombrable.
(Indication .' prendre, en utilisant Le théorème de Zorn, K maximal tel que V2  K).
(111-11) - Nombres de Liouville.
1) Soient a un réel algébrique (sur Q), et P( X) = Eo CiXi un polynôme de degré n > 1, à coefficients dans
Z,vérifiantP(a) = O.OnposeJ.L = max({lci/cnl,i E [O,n-l]}).Montrerque: lai < J.L+1.Endéduirequ'iI
existe N E N* vérifiant: \I(p, q) E Z2 tel que (q > N et la-  1 < ), on a (P( ) = 0 ou la-  1 > qnl )'
2) On considère l'ensemble E des suites (ak)kEN* d'éléments de [0,9] telle que {k E N* /ak  O} soit
infini. O.n appelle nombre de Liouville tout réel de la forme : E ak 10- k !, où (ak) kEN* E E. Montrer
que tout nombre de Liouville est transcendant.
3) Montrer que l'ensemble L des nombres de Liouville n'est pas dénombrable. (Indication: on considèrera
les deux applications 1/J de E dans L qui à (ak)kEN* associe E ak10-k!, et <p de E dans ]0, 1] qui à
(ak)kEN* associe E ak 10 - k , et on montrera qu'elles sont bijectives).

CHAPITRE IV
, ,
CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES
À LA RÈGLE ET AU COMPAS
Le sujet de ce chapitre, les constructions géométriques à la règle et au compas, est d'un
intérêt historique considérable. Comme en témoignent par exemple les Eléments d'Euclide,
les mathématiciens grecs se sont intéressés très tôt à ces constructions. C'est donc dès
l'époque hellénique que furent posés des problèmes qui sont restés célèbres parce qu'ils
sont restés un sujet de recherche jusqu'au XIX-ième siècle, au cours duquel ils furent
résolus ... par la négative. On démontra en effet l'impossibilité de réaliser certaines
constructions à la règle et au compas. Citons en particulier les trois problèmes dont nous
traiterons dans ce chapitre:
. La quadrature du cercle consiste à construire à la règle et au compas un carré de surface
égale à celle d'un disque donné.
. La duplication du cube consiste à construire à la règle et au compas l'arête d'un cube
ayant un volume égal au double du volume d'un cube donné.
. La trisection de l'angle consiste à construire à la règle et au compas les demi-droites
partageant un angle donné en trois angles égaux.
Nous aborderons également, au chapitre VI, le problème de la construction à la règle et au
compas d'un polygone régulier à n côtés.
1. Points constructibles
Notations. - Nous emploierons, dans tout le chapitre, les notations suivantes:
P désigne un plan affine euclidien orienté. R = (0, i,j) est un repère orthonormé direct
de P, 1 = 0 + i, J = 0 + j. On s'autorise à identifier chaque point M de P avec le couple
(x, y) E }R2 de ses coordonnées dans R [Le. le couple (x, y) tel que M = 0 + xi + yj],
par exemple 0 = (0,0) et 1 = (1,0).
Définition IV.I. -. Soit X une partie de P, avec Card(X) > 2. On considère:
a) les droites affines (AB), (A, B) E X 2 , A =1 B, passant par deux points distincts
de X
b) les cercles C(A, IIABII), (A, B) E X2, A =1 B, centrés en un point de X et
passant par un autre point de X.
OIl dit que M E P est constructible (sous-entendu: à la règle et au compas) en un
pas à partir de X si, et seulement si, il existe :
- ou bien deux droites distinctes de type a)
- ou bien deux cercles distincts de type b)
- ou bien une droite de t,ype a) et un cercle de type b)
dont M soit un point d'intersection.
REMARQUE IV.2. - Comme Card(X) > 2, chaque point de X est constructible en
un pas à partir de X.
En effet, soit A EX: fixant B E X \ {A}, on voit que A est un point d'intersection
de la droite (AB) et du cercle C(B, IIABI!) de (centre B passant par A, donc A est
constructible en un pas à partir de X.

48 CH. IV. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES À LA RÈGLE ET AU COMPAS
Définition IV.3 [Point constructible]. - Soit Ba une partie de P, avec Card(Bo) >
2. (Les éléments de Ba sont appelés les points de base).
. On définit pa.r récurrence: 'Vi E N*, Bi == l'ensemble des points constructibles
à la règle et au compas en un pas à partir de B i - l . Bi est appelé l'ensemble des
points constructibles à la règle et au compas en i pas à partir de Ba. D'après la
remarque précédente, (Bn)nEN est une suite croissante au sens de c .
. Pour 1\11 E P, les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) M E unENB n
(ii) il existe une suite finie Ml, . . . , Mn de points de P telle que, notant Ao == Ba
et, pour chaque i E [1, n], Ai == A i - l U {Mi}, on ait:
Mn == M et (Vi E [1, n], Mi est constructible en un pas à partir de A i - l ).
Lorsqu'elles sont vérifiées, on dit que M est constructible à la règle et au compas à
partir de Ba.
REMARQUE IV.4. - Notation : Dans toute la suite, on prendra Ba == {O, J}.
Afin d'abréger, on emploiera simplement l'expression "constructible" au lieu de
"constructible à la règle et au compas à partir de {O, I}" .
Proposition IV.S [. . . Un peu de géométrie. . . ]. - 1) Si M est constructible, son
symétrique par rapport à l'origine 0 l'est également.
2) Si A et B constructibles distincts, alors le milieu de [A, B] est constructible et
on peut construire à la règle et au compas la médiatrice de [A, B].
3) J == (0,1) est constructible.
4) Si A et B constructibles distincts et C constructible, on peut construire à la
règle et au compas la perpendiculaire à (AB) passant par C.
5) Si A et B constructibles distincts et C constructible, on peut construire à la
règle et au compas la parallèle à (AB) passant par C.
Preuve: 1) Si M f=. 0, le symétrique de M par rapport à 0 est un des points d'intersection
de (0 M) et du cercle de centre 0 passant par M.
2) Cette construction que l'on apprend dans les écoles primaires est tout à fait fondamentale
pour notre théorie. Notant U et V les deux points d'intersection du cercle de centre A
passant par B et du cercle de centre B passant par A, la médiatrice de [A, B] est la droite
(UV). Le point d'intersection de (UV) et de (AB) est le milieu de [A, B].
3) On construit par 1) le symétrique J' de J par rapport à 0, puis par 2) la médiatrice de
[J, J'], qui n'est autre que l'axe (Oy). J est l'un des deux points d'intersection de cette
droite et du "cercle unité" (cercle de centre 0 passant par J).
4) Comme A et B distincts, on a par exemple A =1 C. Le cercle de centre C passant par A
et la droite (AB) ont deux points d'intersection A et A'. A' est donc lui aussi constructible.
Si A == A', la perpendiculaire à (AB) passant par C est la droite (AC). Si A =1 A', la
perpendiculaire à (AB) passant par C est la médiatrice de [A, A'], que l'on peut, par 2),
construire à la règle et au compas.
5) - Si C E (AB), la parallèle à (AB) passant par C est la droite (AB) . . . !
- Si C i:. (AB), on construit à la règle et au compas, par 4), la perpendiculaire à (AB)
passant par C. Le point d'intersection C' de cette droite et de (AB) (c'est-à-dire le projeté
orthogonal de C sur (AB) : il est donc distinct de C) est donc constructible. On construit
à la règle et au compas, par 4), la perpendiculaire à (CC') passant par C : cette droite est
la parallèle à (AB) passant par C.
Proposition IV.6. - Si l'on remplace, dans la définition IV.l, les cercles de type b)
par les cercles de type b') : les cercles C(M, IIPQII), M E X, (P, Q) E X 2 , P =1 Q,

3 2. Nombres constructibles
49
centrés en un point de X et de rayon la distance entre deux points distincts de
X ; alors l'enselnble des points constructibles obtenu dans la définition IV.3 est
inchangé.
Preuve: Notons rI' ensemble des points constructibles avec a) et b), r' l'ensemble des
points constructibles avec a) et b').
. Comme tout cercle de type b) est un cercle de type b'), r c r'.
. Pour montrer que r' c r, il suffit de prouver que si M, P, Q sont trois points distincts
de r, alors r contient un point du cercle C(M, IIPQII).
- Si M i:. (PQ), on construit à la règle et au compas au sens de a) et b) la parallèle à (PQ)
passant par M et la parallèle à (M P) passant par Q. Ces deux droites se coupent en un
point N. Alors N E r et IIM Nil = IIPQII.
- Si M E (PQ), on construit à la règle et au compas au sens de a) et b) la perpendiculaire
dl à (PQ) passant par P et la perpendiculaire d 2 à (PQ) passant par Q, puis, toujours à
la règle et au compas au sens de a) et b), les deux points d'intersection P' et P" de dl et
du cercle de centre P passant par Q, et les deux points d'intersection Q' et Q" de d 2 et du
cercle de centre Q passant par P. P', P", Q', Q" appartiennent à r. Or l'une des distances
IIP'Q'II et IIP'Q"II est égale à IIPQII (et l'autre égale à J5I1PQII). Quitte à changer les
noms, IIP'Q'II = IIPQII. Comme M i:. (P'Q'), on est ramenés au cas précédent.
2. Nombres constructibles
Proposition IV.7 [et définition]. - Soit x E IR. Les conditions suivantes sont
équivalentes:
- le point (x,O) est constructible
- le point (0, x) est constructible.
Lorsqu'elles sont vérifiées, on dit que x est un nombre constructible.
Preuve: C'est clair pour x = 0 . . . Si x f=. 0, on remarque que (x, 0) [resp. (0, x)] est un
des points d'intersection de la droite (01) [resp. (OJ)] et du cercle de centre 0 passant par
(0, x) [resp. (x, 0)], donc la constructibilité de (0, x) entraine celle de (x, 0) et vice-versa.
Proposition IV.S. - Tout élément de Q est constructible.
Preuve : Il est clair que tout élément z de Z est constructible (car le point (z, 0) est
constructible). Soit (p, q) E Z* x N*. Les points P = (p,O) et Q = (0, q) sont
constructibles, donc on sait construire à la règle et au compas la parallèle à (PQ) passant
par J. Le point d'intersection de cette droite et de (01), qui est (p/q, 0) (THALÈS...) est
donc constructible, donc p / q est constructible.
Proposition IV.9. - M = (x, y) est constructible si, et seulement si, x et y sont
constructibles.
Preuve: . Si M = (x, y) est constructible, alors le point d'intersection (x, 0) de (01) et
de la parallèle à (OJ) passant par M est constructible, donc x est constructible; et le point
d'intersection (0, y) de (OJ) et de la parallèle à (01) passant par M est constructible,
donc y est constructible.
. Si x et y sont constructibles, alors les points (x,O) et (0, y) sont constructibles, donc
M = (x, y), point d'intersection de la parallèle à (0 J) passant par (x, 0) et de la parallèle
à (01) passant par (0, y), est constructible.
Théorème IV.I0. - L'ensemble JE des nombres réels constructibles est un sous-
corps de IR stable par racine carrée (i.e. : 'Vx E JE n IR+, VX E lE).

50 CH. IV. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES À LA RÈGLE ET AU COMPAS
Preuve: - 0 et 1, abscisses respectives de 0 et l, sont dans lE.
- Soit x E lE. (x,O) est constructible, donc son symétrique (-x, 0) par rapport à 0 l'est
également, donc -x E lE.
- Soit (u, v) E lE 2 . La droite passant par les points (0, u) et ( _'U, 0) et la droite passant par
les points (v, 0) et (v, v) ont pour point d'intersection (v, u + v), donc lU + v E lE.
- Soit (u, 'U) E lE 2 . D'après ce qui précède, v + 1 et v + ,1 - u appartiennent à lE. La droite
passant par les points (v + 1 - u, v + 1) et (v, v) et la droite (01) (alias l'axe (Ox) ont
pour point d'intersection (uv, 0), donc uv E lE.
- Soit x E lE \ {O}. La droite passant par les points 1 et (x, -1) et la droite passant par les
points 0 et (1,1) ont pour point d'intersection (x-l, X-l), donc x- l E lE.
A ce stade lE est un sous-corps de IR. (lE est donc de caractéristique 0, donc contient Q
d'après 1.40, d'où une seconde démonstration de IV.8).
- Enfin soit x E E avec x > O. Comme lE sous-corps de, (x + 1)/2 E E. Le cercle de
centre ((x + 1)/2,0) passant par 0 et la droite passant par les points (x, 0) et (x, x) ont
pour points d'intersection (x, VX) et (x, -VX), donc VX E E.
Proposition IV.II. - Soit F un sous-corps de IR. On note U = F x F l'ensemble
des points à coordonnées dans F, D l'ensemble des droites passant par deux points
distincts de U, C l'ensemble des cercles centrés en un point de U, de rayon égal à
la distance de deux points distincts de U.
l)a) Si d E D, d admet au Inoins une équation à coefficients dans F.
l)b) Si , E C, , admet au moins une équation à coefficients dans F.
2) Si dl et d 2 sont deux droites distinctes de D sécantes en un point M, alors
ME U.
3) Soit M un point commun à une droite d de D et un cercle, de C. Alors:
- ou bien NI E U
- ou bien il existe G extension quadratique de F telle que les coordonnées de
NI appartiennent à G.
4) Soit M un point commun à deux cercles distincts'l et ,2 de C. Alors:
- ou bien M E U
- ou bien il existe G extension quadratique de F telle que les coordonnées de
M appartiennent à G.
Preuve: 1) a) Notons d = (AB), où A = (al, a2) et B = (b l , b 2 ) éléments distincts de
U. Alors:
x - al b l - al
(x, y) E d {::} b = 0 {::} (b 2 - a2)x - (b l - a1)Y + a2 b 1 - a l b 2 = O.
y - a2 2 - a2
On a ainsi une équation de d à coefficients dans F.
1) b) Notons, = C(A,IIPQII), où A = (al, a2) E U, et P = (b l , b 2 ) et Q =
(CI, C2) sont deux éléments distincts de U. Les Ci et les b j sont dans F, donc R 2 =
(CI - b l )2 + (C2 - b 2 )2 E F. (x, y) E , {::} (x - al)2 + (y - a2)2 = R 2 <=}
x 2 + y2 - 2alX - 2a2Y + ai + a - R 2 = O. Cette dernière équation est une équation de
, à coefficients dans F.
2) Soit, pour i E {l, 2}, UiX + ViY + Wi = 0 une équation de di à coefficients dans F.
. { UlX + VlY = -Wl Ul VI
Notant M = (x, y), on a : + Le déterminant 6. = de ce
U2 X V2Y = -W2 U2 V2
, ., F * A -Wl VI A Ul -W1 . , F 0
systeme appartIent a . l = et 2 = appartIennent a . l'
-W2 V2 U2 -11112
(formules de CRAMER) x = l/ 6. et y = 6. 2 /6.. Donc M = (x, y) E F 2 = U.
3) Soit ux + vy + W = 0 une équation de d à coefficients dans F.

9 2. Nombres constructibles
51
Soit x 2 + y2 - 2ax - 2by + C = 0 une équation de 1 à coefficients dans F.
{ ux + vy + w = 0
NotantM=(x,y),ona: 2 + 2 2 2b 0
x y-ax- y+c=
(u, v) =1= (0,0), et x et y jouent des l'oIes symétriques dans cette affaire, donc on peut
supposer v =1= O. Il vient y = -(u/v)x - (w/v) d'où, reportant dans l'autre équation:
(1 + (u/v)2)x 2 + 2(wu/v 2 - a + bu/v)x + c + 2bw/v + (w/v)2 = O.
Ainsi x est zéro d'un polynôme de la forme P(X) = X 2 + ÀX + J-L, où (À, J-L) E F2.
- Si P(X) n'est pas irréductible dans F[X], il se décompose en produit de deux polynômes
unitaires de degré 1 à coefficients dans F; donc x, zéro de l'un d'entre eux, est dans F; a
fortiori y = -(u/v)x - (w/v) E F.
- Si P(X) est irréductible dans F[X], alors P(X) = irr(x, F, X), donc G = F(x) est
une extension de degré deg(P) = 2 de F, c'est-à-dire une extension quadratique de F,
et bien sûr x E G et y = -(u/v)x - (w/v) E G.
4) Soit, pour i E {1,2}, x 2 + y2 - 2aix - 2b i y + Ci = 0 une équation de Ii à
{ x2 + y2 - 2a1 x - 2b 1 Y + CI = 0
coefficients dans F. Notant M = (x, y), on a : 2 2 soit
x + y - 2a2 x - 2b 2 Y + C2 = 0
{ 2(a2 - a1)x + 2(b 2 - bl)y + (CI - C2) = 0
x 2 + y2 - 2a2x - 2b 2 y + C2 = 0
(a2 - al, b 2 - b 1 ) =1= (0,0) (car sinon on aurait: ou bien CI = C2 donc Il = /2, exclu;
ou bien CI =1= C2 donc Il n 12 = 0, exclu), donc la première équation est une équation de
droite à coefficients dans F et nous sommes ramenés au 3).
Théorème IV.12 [W ANTZEL (1837)]. - Soit t E IR. t est constructible si, et seulement
si, il existe une suite finie (Lo, LI"", Lp) de sous-corps de IR vérifiant:
Lo =Q
Vi E [0, P - 1], Li+1 est une extension quadratique de Li
t E Lp
REMARQUE IV.13. - Ternlinologie : Une suite finie (Lo, LI, . . . , L p ) de corps
vérifiant : Vi E [0, P - 1], Li+1 est une extension quadratique de Li est appelée
une tour d'extension quadratique.
Preuve: . Supposons t constructible, c'est-à-dire M = (t, 0) constructible. Il existe une
suite finie Ml, . . . , Mn de points de P telle que, notant Ao = {O, I} et (Vi E [1, n],
Ai = A i - 1 U {Mi}), on ait Mn = M et (Vi E [1, n], Mi est constructible en un pas à
partir de A i - 1 ).
Notons, pour chaque i E [1, n], Mi = (Xi, Yi). Posons Ko = Q et (Vi E [1, n],
Ki = K i - 1 (Xi, Yi)) (Le. Ki = Q(XI, YI,"" xi, Yi)). Alors (Ko, KI"", Kn) est une
suite de sous-corps de IR croissante au sens de C , et t = X n E J<n.
Soit i E [1, n]. Mi est constructible en un pas à partir de A i - l donc, appliquant la
proposition précédente avec F = K i - 1 :
- ou bien Xi et Yi appartiennent à K i - l
- ou bien il existe G extension quadratique de K i - l telle que Xi E G et Yi E' G.
Dans le premier cas, il vient Ki == K i - l . Dans le second, il vient Ki = G, donc
[Ki: K i - l ] = 2.
Nous avons ainsi une suite (Ko, KI, . . . , Kn) de sous-corps de IR, croissante au sens de
C et vérifiant: Ko = Q, (Vi E [1, n], [Ki: K i - 1 ] = 1 ou 2), et t = x n E Kn.
Il suffit alors d'extraire de cette suite une suite (Lo,..., L p ) strictetllent croissante, en ne
conservant dans la suite initiale que les corps extension quadratique du précédent (avec

52 CH. IV. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES À LA RÈGLE ET AU COMPAS
La = Ka et Lp = Kn). On obtient une suite finie (La, LI,. .. , Lp) de sous-corps de]R
qui remplit les trois conditions annoncées.
. Réciproquement, supposons qu'il existe une tel1e T.E.Q. Notons JE le corps des nombres
réels constructibles. Montrons par récurrence sur j E [0, p] la propriété: Lj C JE.
- La = Q donc La C JE.
- Supposons Lj C JE. Soit x E Lj+1' Comme [Lj+l : Lj] = 2, (1, x, x 2 ) est Lj-liée :
3(a, b, c) E LJ \ {(O, 0, O)} t.q. ax 2 + bx + c = O. Si a = 0, i1 vient x = -c/b E Lj, donc
x E JE. Si a =1= 0, il vient x E {( -b :f: V b 2 - 4ac)} donc, comme JE est un sous-corps
de ]R stable par racine carrée, x E JE. Ainsi Lj + 1 C JE.
En conclusion Lp C JE. Donc t est constructible. 0
Théorème IV.14 [corol1aire du précédent]. - Soit x un réel.
Si x est constructible, il existe e E N tel que [Q(x) : Q] = 2 e .
Preuve: Si x constructible, alors, d'après le théorème précédent, il existe une suite finie
(La, LI, . . . , Lp) de sous-corps de ]R vérifiant: [.Jo = Q, x E Lp, et Vi E [0, P - 1], L i + 1
est une extension quadratique de Li. D'après 11.9, [L p : Q] = I1 f 1 [Li: L i - 1 ] = 2 P . Or,
toujours d'après 11.9, [Lp : Q] = [L p : Q(x)][Q(x) : Q]. [Q(x) : Q] divise [L p : Q] = 2 P ,
donc (3e E N t.q. [Q(x) : Q] = 2 e ).
REMARQUE IV.15. - La réciproque du théorème précédent est fausse (cf. plus
loin IV.33)). En utilisant la théorie de Galois, on donnera au chapitre XVII une
caractérisation des nombres constructibles.
Corollaire IV.16. - Tout nombre constructible est algébrique.
Preuve: Cela résulte de suite du théorème précédent et de IIl.l?
REMARQUE IV.17. - Notant, comme au chapitre III, A n IR le corps des nombres
algébriques réels, on a Q C JE C A n ]R C IR.
- La considération des nombres J2, (cf. plus loin IV.22), et e, montre que ces
inclusions sont strictes.
- Comme A n IR est dénombrable, JE est lui aussi dénombrable.
3. Application des résultats précédents aux problèmes grecs classiques
3.1 Impossibilité de la quadrature du cercle
La quadrature du cercle est devenue une expression du langage courant pour désigner un
"casse-tête" sans solution. Ce problème consiste à construire à la règle et au compas un
carré ayant même aire qu'un disque donné. Si R désigne le rayon du disque, la longueur
d'un côté du carré voulu est donc RVi.
Lemme IV.tS. - Soit a E IR+. a transcendant <===> va transcendant.
Preuve: Contraposant, il s'agit de prouver: a algébrique {::} va algébrique.
. [=}] Si a algébrique, notant P(X) = irr(a, Q, X) et posant Q(X) = P(X 2 ), on voit que
Q(X) E Q[X] \ {O} et Q( va) = 0, donc va algébrique.
· [{:::] Si va algébrique, [Q(va) : Q] < +00. Or a E Q(va), donc Q(a) C Q(va),
donc [Q(a) : Q] < [Q(va) : Q]. Donc [Q(a) : Q] < +00 et a est algébrique.
Théorème IV.19 [LINDEMANN]. - Vi est transcendant.
Preuve: Cet énoncé est, d'après le lemme précédent, équivalent à 111.60.

9 3. Application des résultats précédents aux problèmes grecs classiques
53
Corollaire IV.20. - -Ji n'est pas constructible.
Preuve: résulte de IV.19 et IV.16.
REMARQUE IV.21. - Donc LINDEMANN, en démontrant en 1882 la transcendance de
7r, a prouvé l'impossibilité de la quadrature du cercle.
Le théorème de LINDEMANN permet aussi de démontrer l'impossibilité de la rectifica-
tion du cercle (ce problème consiste à construire, à la règle et au compas, un segment
de droite ayant même longueur qu'un cercle donné). En effet, si la rectification du
cercle était possible, 7r serait un nombre constructible, donc algébrique.
3.2 Impossibilité de la duplication du cube
La duplication du cube consiste à construire, à la règle et au compas, l'arête d'un cube
ayant un volume double de celui d'un cube donné. Si a désigne la longueur d'une arête du
cube de départ, la longueur d'une arête du cube voulu est donc a.
Proposition IV.22. -  n'est pas constructible.
Preuve : Le polynôme P(X) = X 3 - 2 E Q[X] est nul en , et irréductible
(pour le justifier, on peut ou bien lui appliquer le critère d'EISENSTEIN 1.52, ou bien
utiliser 1.46-(4) et remarquer qu'aucune de ses racines .if2,j, j2  n'appartient à
Q). Donc P(X) = irr(, Q, X). Donc, d'après 111.16, [Q() : Q]=deg(P)= 3. Donc
[Q() : Q] n'est pas une puissance de 2, d'où, d'après IV. 14, le résultat annoncé.
3.3 Impossibilité de la trisection de l'angle
La construction à la règle et au compas des bissectrices d'un angle est bien connue.
Examinons maintenant le problème célèbre de la trisection de l'angle.
La donnée d'un angle () équivaut à celle d'une demi-droite d d'origine 0 (() et d étant liés
---
par: ([01(, d) = ()); et la constructibilité, à la règle et au compas, d'une telle demi-droite
d, équivaut à la constructibilité de son point d'intersection AB = (cos( ()), sin( ())) avec le
cercle de centre 0 passant par l (cercle unité).
Proposition I23 [Angle constructible]. - AB = (cos( ()), sin( ())) est constructible
<===> cos( ()) est constructible.
Preuve: . [=}] résulte de IV.9.
. [<=] Si cos( ()) est constructible, (cos( ()), 0) est constructible, donc AB, qui est l'un des
points d'intersection de la parallèle à (0 J) passant par (cos( ()), 0) et du cercle de centre
o passant par l, est constructible.
Définition IV.24 [Angle trisectable]. - Soit () E IR.
- On dit que le point !vI de Pest ()-constructible si, et seulement si, M est
constructible à la règle et au compas à partir de Bo = {O, l, AB} au sens de
la définition IV.3. '
- On dit qu'un nombre réel est ()-constrllctible si, et seulement si, il est l'une des
coordonnées (dans le repère (0, l, J)) d'un point ()-constructible.
- On dit que l'angle () est trisectable si, et seulement si, le point AB/3 est ()-
constructible, c'est-à-dire si, et seulement si, cos( () /3) est ()-constructible.
Propriétés IV.25. - . Les résultats entre IV.5 et IV.ll restent parfaitenlent val-
ables en remplaçant partout "constructible" par "()-constructible". En particulier
l'ensemble JE o des nombres réels ()-constructibles est un sous-corps de]R stable par
racine carrée, et Q( cos( ())) C JEn.

  "
54 CH. IV. CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES A LA REGLE ET AU COMPAS
(E11 effet le dernier point résulte de ce que JEo est un sous-corps de IR. donc contient
Q, et cos(O) E JEo).
. IV.12 et IV.14 restent vrais en remplaçant partout "constructible" par "0-
constructible", JE par JEo, et Q par Q( cos( 0)) respectivement.
REMARQUE IV.26. - Si cos(O) est constructible, alors il y a identité entre la notion
de constructible et la notion de O-constructible.
Cela résulte des définitions IV.4 et IV.24 elles-mêmes.
Remarquons que comme {O, l} c {O, l, Ao }, on a toujours (sans aucune hy-
pothèse sur 0) : constructible =} O-constructible. Si on suppose de plus que cos( 0)
est constructible, c'est-à-dire que le point Ao = (cos( 0), sin( 0)) est constructible,
alors la O-constructibilité entraine la constructibilité tout-court.
Corollaire IV.27. - Si cos(O) est constructible, alors 0 est trisectable si, et
seulement si, cos( 0/3) est constructible.
Proposition IV.28. - Soit 0 E IR. De la formule de trigonométrie:
cos(3cp) = 4cos 3 (cp) - 3cos(cp) résulte que x = cos(0/3) est racine du polynôme
4X3 - 3X - cos( 0), soit que 2x = 2 cos( 0 /3) est racine du polynôme
Po (X) = X 3 - 3X - 2 cos(O).
Ces résultats vont nous permettre de donner des exemples et suffiront pour démontrer
l'impossibilité de la tri section de l'angle en général. Nous donnerons ensuite seulement
une caractérisation de la trisectabilité d'un angle.
EXEMPLES IV.29. - Les angles 7r et 7r /2 sont trisectables.
Preuve: Comme cos( 7r) = -1 et cos( 7r /2) = 0 sont constructibles, on peut utiliser IV.27.
cos( 7r /3) = 1/2 est constructible, donc 7r est trisectable.
Comme on le voit en construisant successivement à la règle et au compas J, le milieu JI
de [0, J], la parallèle à (01) passant par JI, puis le point d'intersection A7r/6 de cette
droite et du cercle de centre 0 passant par l, cos( 7r /6) = V3/2 est constructible. Donc
7r /2 est trisectable.
Théorème IV.30. - L'angle 7r /3 n'est pas trisectable.
Preuve: Pour 0 = 7r /3, on obtient Po(X) = X 3 - 3X - 1 E Q[X]. Or ce polynôme
est irréductible sur Q (pour le justifier, on peut ou bien utiliser 1.46-(4) et montrer qu'il
n'a pas de racine dans Q (on commencera par montrer avec 1.48 que si a E Q vérifie
Po (a) = 0, alors Q E {-l, 1} ), ou bien utiliser la méthode de "réduction" 1.54 : l'image
de X 3 - 3X - 1 dans IF 2 [X] est X3 - X-l, qui n'a ni 0 ni l pour racine, donc est
irréductible dans IF 2 [X]).
Donc irr(2cos(7r/9),Q,X).= x 3 - 3X - 1. Donc [Q(2cos(7r/9)) : Q] = 3. D'où,
puisque bien sûr Q(2cos(7r/9)) = Q(cos(7r/9)), [Q(cos(7r/9)) : Q] = 3. Donc
[Q(cos(7r/9)) : Q] n'est pas une puissance de 2, donc, d'après IV.14, cos(7r/9) n'est
pas constructible. Comme cos(7r /3) = 1/2 est constructible, on peut utiliser IV.27. Ainsi
l'angle 7r /3 n'est pas trisectable.
Proposition IV.3I. - Soit 0 E IR. L'ang-Je 0 est trisectable si, et seulement si, le
polynôme Po (X) = Xi - 3X - 2cos(0) a une racine dans Q(cos(O)).
Preuve: Nous noterons, pour abréger, x = cos(), Qo = Q(cos(O)),
et K = Q(cos(O))(cos()) = Q(cos(0))(2cos()) = Qo(2x).

9 4. Compléments
55
. On sait que () trisectable <==> x est ()-constructible <==> iJ existe une suite finie
(Lo, LI, . . . , L p ) de sous-corps de IR vérifiant:
Lo == Qo
Vi E [0, p - 1], L i + 1 est une extension quadratique de Li
xE Lp
et que cela entrai ne : (:Je E N t.q. [K : Qo] == 2 e ).
. 2x == 2cos(()/3) est racine du polynôme Po(X) == X 3 - 3X - 2cos(()) E Qo[X] de
degré 3.
. Si le polynôme Po (X) == X 3 - 3X - 2 cos(()) n'a pas de zéro dans Qo, alors il est
irréductible sur Qo, donc Po (X) == irr(2x, Qo, X) donc [K : Q] == deg(Po) == 3 n'est
pas une puissance de 2, donc () n'est pas trisectable.
. Si le polynôme .Po(X) == X 3 - 3X - 2 cos(()) a un zéro dans Qo, alors il est réductible
sur Qo, donc M(X) == irr(2x, Qo, X), qui est un diviseur irréductible de Po (X) dans
Qo[X] a pour degré 1 ou 2. Or [K : Qo] == deg(M).
- Si deg(M) == 1, x E Qo, donc x est ()-constructible.
- Si deg(M) == 2, K est une extension quadratique de Qo, donc x == cos(()/3) est ()-
constructible.
Dans les deux cas () est trisectable.
EXEMPLE IV.32. - 7r / 4 est trisectable.
En effet, pour () == 1r/4, Po (X) == X 3 -3X 2 - /2 admet une racine dans Q(/2/2),
car Po (X) == (X + /2)(X 2 - /2x - 1).
4. Compléments
Proposition IV.33. - La réciproque de IV.14 est fausse: il existe des non1bres
algébriques réels dont le degré sur Q est une puissance de 2 mais qui ne sont pas
constructibles. .
Preuve: On va montrer qu'il existe un réel r vérifiant deg(r; Q) = 4 et r non constructible.
Pour cela on considère P(X) == X 4 - 4X + 2 et on va montrer successivement:
1) Que le polynôme P n'admet pas de racine rationnelle, mais qu'il a exactement deux
racines rée]]es que l'on notera: rI et r2.
2) Qu'il existe (a, b, e, d) dans IR 4 vérifiant: P(X) == (X 2 + aX + b)(X 2 + eX + d).
3) Que pour toute factorisation du type précédent, le réel t == b + d est algébrique de degré
3 sur Q. (En montrant successivement: que t est racine d'une équation du 3ième degré à
coefficients dans Q, que t  Q, que deg(t; Q) = 3).
4) Que P est irréductible sur Q. Que (Vi E {l, 2}, [Q(ri) : Q] == 4).
5) Que l'un au moins des deux réels ri, i E {l, 2}, n'est pas constructible.
. 1) D'après 1.48, si a == pl q (écriture irréductible) E Q est racine de P(X), alors p divise
2 et q divise 1. Or on vérifie aisément qu'aucun des quatre nombres 1, -1,2, -2 n'est
racine de P(X). Donc P(X) n'admet pas de racine rationnelle. P'(X) == 4(X 3 - 1).
Sur le tableau de variation de la fonction numérique d'une variable réelle x  P(x)
(que le lecteur se chargera de dresser), on voit qu'elle est strictement décroissante sur
] - 00, 1], strictement croissante sur [1, +00[, admet pour minimum P(l) == -1 sur JR.,
que P(x) ---t +00 quand x ---t -00 et P(x) ---t +00 quand x ---t +00. L'application
(x  P(x)) étant bien sûr continue, les théorèmes classiques montrent qu'il existe
exactement deux réels rI et T2 annulant P(X), avec pour fixer les idées rI < 1 < r2.
. 2) Posons a == -(rI + r2) et b == r1T2. X 2 + aX + b == (X - r1)(X - r2) divise
P(X) dans JR.[X], donc (compte tenu de ce que deg(P{X)) == 4), iJ existe (e, d) dans JR.2

S6 CH. IV. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES À LA RÈGLE ET AU COMPAS
vérifiant: P(X) == (X 2 + aX + b)(X2 + eX + d).
. 3) Clairement P(X) == (X2 + aX + b)(X 2 + eX + d) équivaut à : (a + e == 0,
b + d + ae == 0, ad + be == -4, et bd == 2), soit à : (e = -a., b + d == a 2 , a( d - b) == -4 et
bd == 2). Notantt == b+d == a 2 ,ilvientt(d-b)2 == l6,or(d-b)2 == (d+b)2-4bd == t 2 -8,
donc t(t 2 - 8) == 16. Ainsi t est racine de M(X) == X 3 -8X -16 E Q[X]. D'après 1.48, si
a == p/ q (écriture irréductible) E Q est racine de M(X), alors p divise 16 et q divise 1. Or
on vérifie aisément qu'aucun des dix nombres =FI, =F2, =F4, =F8, =F16 n'est racine de 1\11 (X) ,
Donc M(X) n'admet pas de racine rationnelle. Donc comme deg(M(X)) == 3, M(X)
est irréductible sur Q. Donc M(X) = irr(t, Q, X). Donc [Q(t) : Q] == deg(M(X)) == 3.
. 4) Supposons que P est réductible sur Q. Comme P(X) n'admet pas de racine
rationnelle et deg(P(X)) == 4, il en résulte qu'il existe (a, b, e, d) dans Q4 vérifiant:
P(X) == (X2 + aX + b)(X 2 + eX + d). Alors, bien sûr, t == b + d E Q. Or on
a vu que pour toute factorisation de ce type, t == b + d est algébrique de degré 3 sur
Q. La contradiction est manifeste! Ainsi P( X) est irréductible dans Q[X]. On a donc,
Vi E {l, 2}, P(X) = irr(ri, Q, X). Donc, Vi E {l, 2}, [Q(ri) : Q] == deg(P(X)) == 4.
. 5) Raisonnons par l'absurde, en supposant que les deux réels rI et r2 sont constructibles.
Reprenons la décomposition P(X) == (X 2 +aX +b)(X 2 +cX +d), avec a == -(rI +r2)
et b == rI r2, du 2). Comme rI et r2 sont constructibles, b == rI r2 est constructible, donc
d == 2/b est lui aussi constructible, donc t == b + d est constructible. Or on a vu au 3) que
t vérifie [Q(t) : Q] == 3. C'est absurde d'après IV. 14.
REMARQUES IV.34. - En guise de conclusion:
Nous revieIldrons sur les problèmes de construction à la règle et au compas au
chapitre VI (construction d'un polygone régulier à la règle et au compas) et au
chapitre XVII, dans lequel la théorie de Galois nous permettra de donner une
caractérisation des nombres constructibles.
Il existe beaucoup d'autres problèmes de construction à la règle et au compas.
Citons pour terlniner l'un d'entre eux, énoncé par Napoléon Bonaparte et résolu
par le mathématicien italien MASCHERONI : déterminer, à l'aide du compas seul, le
centre d'un cercle donné.
Le lecteur à la recherche de compléments de nature historique, géométrique,
pédagogique, concernant les problèmes de construction à la règle et au compas,
pourra consulter le livre [41], auquel ce chapitre doit beaucoup.
5. Exercices
(IV-l) - Démontrer que JE est le plus petit sous-corps de IR stable par racine carrée.
(IV-2) - Démontrer que JE( i) est le plus petit sous-corps de C stable par racine carrée. (Un sous-corps K de C
est dit stable par racine carrée si, et seulement si, Va. E K, les racines du polynôme X 2 - a. sont dans K).
(IV-3) - Soit CI un cercle.
1) Placer un point A sur le cercle CI.
2) Construire un cercle C2 de centre A coupant CI en deux points distincts B et C.
3) Construire les cercles C3 = C(B, AB) et C4 = C(C, AC). Ils se coupent en A et en K.
4) Le cercle Cs de centre K passant par A coupe le cercle C2 en deux points J et L.
5) Construire les cercles C6 = C( J, AJ) et C7 = C(L, AL). Ils se coupent en deux points A et S.
6) Que représente S pour le cercle CI ? Le démontrer.

CHAPITRE V
ADJONCTION DE RACINES
Ce chapitre est consacré à des travaux de construction d'extensions.
Un polynôme à coefficients dans un corps K peut ne pas avoir de racine dans K. Cependant,
il est toujours possible d'associer, à un polynôme P de degré > 1 à coefficients dans K,
une extension de K qui est la plus petite dans laquel1e P se décompose en un produit de
facteurs du premier degré: on l'appelle corps de décomposition du polynôme.
Nous donnons ensuite plusieurs démonstrations du théorème de Dt ALEMBERT-GAUSS.
(Signalons qu'on en trouvera encore une, basée sur la théorie de Galois, au chapitre XVII).
En fin de chapitre, nous démontrons le théorème de STEITZ qui affinne l'existence et
l'unicité à isomorphisme près d'une extension algébrique K d'un corp K telle que tout
polynôme à coefficients dans K admet au moins une racine dans K. K, appelée clôture
algébrique de K, est un "fourre-tout" très comtnode d'un point de vue théorique. Même
si son introduction n'est pas indispensable à l'étude de la théorie de Galois des e.xtensions
finies, et d'ailleurs notre démarche ultérieure ne s'appuiera pas sur le théorème de STEINITZ.
1. Corps de rupture d!un polynôme
L'étude des extensions algébriques simples peut être considérée d'un autre point de vue.
Nous avons vu que si L est une extension algébrique simple de K, alors £ est isomorphe
à K[X]/(P), où P est un polynôme irréductible de K[X].
Réciproquement, étant donné un polynôme P irréductible de K[X], de degré> 1 (donc P
n'a pas de racine dans K), existe-t-il une extension de K dans laquelle P a au moins une
racine À (donc est divisible par X - À , donc n'est plus irréductible)? Plus généralement,
si f est un polynôme sur K, y-at-il des extensions du corps K où f a une racine?
Définition V.I. - Soit K un corps. Soit f E K[X] un polynôme irréductible dans
K[X]. On dit que le corps £ est un corps de rupture de f si, et seulement si, £ est
une extension simple de K engendrée par K et une racine, notée a, du polynôme f.
REMARQUE V.2. - £ est alors une extension algébrique simple de K (puisque
L == K ( a) et f ( a) == 0 . . . ).
EXEMPLE V.3. - Si deg(f) == 1, K est un corps de rupture de f.
Théorème V.4. - Soit K un corps et f un polynôme irréductible dans K[X].
(1) Il existe un corps de rupture de f.
(2) Si L == K(a) et £' == K({3) sont deux corps de rupture du polynôme f, alors
L et L' sont I{-isomorphes. Plus précisément, il existe un unique K-isomorphisme
t : £ -+ L' tel que t(a) == (3.
Preuve : . Existence d'un corps de rupture: On considère l'anneau quotient £ ==
K[X]/(f), où (f) est l'idéal de K[X] engendré par f. Puisque f est irréductible, l'idéal
(f) de K[X] est maximal; donc l'anneau quotient £ = ]/(f) est un corps. La
surjection canonique s : K[X]  K[X]/(f), P(X)  P(X) est un homomorphisme
d'anneaux, et la restriction de s à K est clairement injective, donc s induit un isomorphisme
de K sur s(K) = ensemble des classes modulo (f) des polynômes de degré 0 ou nuls. £
a pour sous-corps s(K) isomorphe à K, donc £ est une extension de K.

58
CH. V. ADJONCTION DE RACINES
Notons a == 8(X) == X . Soit tEL: il existe P E K[X] tel que t == s(P) == P(X).
Comme 8 morphisme d'anneaux, il vient t == P( X ) == P(a ). Ainsi L == K[a] == K(a)
est une extension simple de K. Enfin f(a) == f( X ) == f(X) == 8(f) == O.
L est une extension algébrique simple de K contenant une racine de f.
. "Unicité" du corps de rupture: Appliquer 111.29 en prenant K == K', i == id K , et
a' == (3. Remarquons que, notant n == deg(f), t est défini par:
V(ao,..., an-l) E K n , t(aO+ala+.. .+an_la n - 1 ) == aO+al(3+.. .+a n __l(3n-l. D
REMARQUE V.5. - Comme f(a) == 0 et que f est irréductible dans K[X], f(X)
== irr(a,K,X). Donc [L: K] == deg(f): en tant que K-espace vectoriel, L est de,
dimension égale à TL == deg(f). Plus précisément une base de L sur K est formée
de la famille (1, a, . . . , a n - 1 ) des classes modulo (f) de 1, X, . . . , xn-l.
REMARQUE V.6. - Cette méthode purement algébrique de construction d'un corps
de rupture est dûe à CAUCHY, et fut généralisée ultérieurement par KRONECKER. On
l'appelle" méthode de l'adjonction symbolique" .
EXEMPLE V.7. - Construction du corps C des nOlnbres complexes: Le polynôme X 2 + 1
est irréductible sur le corps JR des nombres réels. Le corps JR[X]/(X 2 + 1) est un
corps de rupture du polynôme X 2 + 1. Notons C == JR[X]/(X 2 + 1) et i la classe
de X. Chaque élément z de C s'écrit de façon unique z == a + ib, où (a, b) E JR.2.
L'addition et la multiplication sont les lois-quotients, d'oll : V(a, b, a', b') E JR4,
(a+ib) + (a' + ib ' ) == (a+ a') + i(b+ b') et (a+ib)( a' +ib ' ) == (aa ' - bb ' ) +i(a'b+ ab ' ).
De plus i est une racine de X 2 + 1 et donc i 2 == -1.
EXEMPLE V.8. - Construction d'un COlpS à 4 éléments: Le polynôme X2 + X + 1
est irréductible sur IF 2, car il est de degré 2 et n'a pas de racine dans IF 2. Soit j
l'image de X par la surjection canonique IF 2 [X]  IF 2 [X]/(X 2 + X + 1). Alors
irr(j, IF 2 , X)== X2 + X + 1 et IF 2 (j) rv IF 2 [X]/(X 2 + X + 1). IF 2 (j) est un IF 2 -espace
vectoriel de dimension 2, (1, j) en est une base, donc chaque élément de IF 2 (j)
s'écrit de manière unique a + bj, (a, b) E (IF 2)2. IF 2 (j) == { O , 1, j, j2 == l + j}, et les
tables d'opérations sont:
+ 0 1 J '2
J
0 0 1 J '2
J
1 1 0 '2 J
J
J J '2 0 1
J
'2 '2 J 1 0
J J
x 0 1 J '2
J
0 0 0 0 0
1 0 1 J '2
J
J 0 J '2 1
J
'2 0 '2 1 J
J J
Corollaire V.9.- Soit K un corps. Soit P E K[X] un polynôme de degré supérieur
ou égal à 1. Il existe une extension algébrique simple L de K dans laquelle P
possède (au moins) une racine.
Preuve: Dans l'anneau factoriel K[X], le polynôme P a (au moins) un facteur irréductible
f. Le corps de rupture K[X]/(f) de f est une extension algébrique simple de K dans
lequel le polynôme f a une racine, . . . qui est donc aussi racine de P.
REMARQUES V.10. - 1) Si P E K[X] est arbitraire, l'anneau quotient K[X]/(P)
n'est pas toujours intègre.
2) Toute ..extension de K oÙ P a une racine contient un sous-corps K-isomorphe
au quotient de K[X] par l'idéal engendré par un facteur 1rréductible de P. Mais
en général, il n'y a pas d'extension minimum (à K-isomorphisrne près) où P a une
racine.

3 2. Corps de décomposition d'un polynôme
59
Corollaire V.II. - Soit K un corps. Soient Pl, . . . , Pn des polynômes de K[X],
tous de degré > 1. Il existe une extension de degré fini E de K dans laquelle chaque
polynôme Pj possède (au moins) une racine.
Preuve: Raisonnons par récurrence sur n.
- La propriété est vraie pour n == 1 (cf. corollaire précédent).
- Supposons la propriété vraie au rang n - 1. Soient Pl, . . . , Pn des polynômes de K[X],
tous de degré > 1. Par J'hypothèse de récurrence, iJ existe une extension de degré fini
E de 1< dans laquelle chaque polynôme Pj, 1 < j < n - 1, a une racine. Remarquons
que Pn E E[X]. IJ existe donc une extension algébrique simple E(a) de E dans laquelle
Pn a une racine. Alors E( a) est une extension de degré fini de K dans laque]]e chaque
polynôme Pj, 1 < j < n, a (au moins) une racine. La propriété est vraie au rang n.
Proposition V.12. - Soit P(X) E K[X] un polynôme de degré 'n. P(X) est
irréductible dans K[X] {::} P(X) n'a pas de racine dans les extensions £ de K
telles que [£ : K] < n/2.
Preuve: . [=}] Si P(X) est irréductible sur K et si a E £ est une racine de P, alors K(a)
est un corps de rupture de P, donc (V.5) [K(a) : K] == n, donc [£ : K] > n.
. [<=] Procédons par contraposition. Si P n'est pas irréductible, il existe (Q, R) E K[X]2
tel que P == QR et 1 < deg(Q), deg(R) < n. Quitte à changer les noms, deg(Q) < n/2.
Soit f un facteur irréductible de Q, £ == K(a) un corps de rupture de f. Alors a E £ est
une racine de P(X), et [£ : K] == deg(f) < n/2.
1
Proposition V.13. - Soit P(X) E K[X] un polynôme irréductible de degré n.
Soit L une extension de degré m de K, avec P.G.c.D.(m, n) == 1. Alors P(X) est
irréductible dans £[X].
Preuve: Supposons P(X) réductible dans £[X]. Soit f un facteur irréductible de P dans
L[X], alors 0 < d == deg(f) < n. Soit !vI == £(a) un corps de rupture de f. Alors K(a)
est un corps de rupture de P sur K, donc (d'après V.5) [1«(a) : K] == n, donc [M : K] ==
[M: K(a)][K(a): K]estdivisibleparn.Or [lVI : K] == [M: £][£: K] == dm. Comme
P.G.c.D.(m, n) == 1, il vient n divise d : c'est absurde.
2. Corps de décomposition d'un polynôme
Définition V.14. - Soit K un corps et E une extension de K. Soit P E K[X],
avec deg(P) == n E N*. On dit que E est un corps de décolnposition de P sur K ou
un corps de dislocation de P sur K si, et seulement si :
(i) 3a E E et (al"", an) E En tel que, dans E[X], P(X) == a(X -al)... (X -an)
(ii) E == K(a1," ., an)'
REMARQUE V.IS. - E est, vu 111.43, une extension algébrique de degré fini de K.
REMARQUE V.16. - Si K C £ C E et s'il existe b E £ et ((31, . . . , (371.) E £71. tels que,
dans £[X], P(X) == b(X - (31) . .. (X - (371.), alors £ == E.
En effet b, coefficient dominant de P, appartient à K; P(X) == b(X - (31) . . . (X -
(371.) est une décomposition de P en produit de facteurs irréductibles dans E[X]
et l'unicité, à l'ordre près des facteurs, d'une telle décomposition, ITlontre qu'il
existe a E Sn tel que (Vi E [1, n], ai == (3a(i))' Donc (Vi E [1, n], ai E £), donc
E == K ( al, . . . , an) C £.
Ainsi un corps de décomposition de P sur K est une extension minirnale de K telle
que P ait deg(P) racines (distinctes ou confondues) dans cette extension.

60
CH. V. ADJONCTION DE RACINES
EXEMPLES V.17. - - K est un corps de décomposition sur K de tout polynôme de
degré 1.
- Soit K un corps de caractéristique différente de 2. Soit P(X) = X2 + bX + c E
K[X] irréductible, c'est-à-dire n'ayant pas de racine da.ns K. Soit K(u) un corps
de rupture de P(X) sur K. Alors () = 2u + b vérifie ()2 = b 2 - 4c, et K(u) = K(()),
et dans K(u) [X] on a : P(X) = (X + (b + ())/2)(X + (b - ())/2). K( u) est donc un
corps de décomposition de P(X) sur K.
Par exemple: C = IR( i) est un corps de décomposition sur ]R de X 2 + 1, et Q( V2)
est un corps de décomposition sur Q de P(X) = X 2 - 2.
Théorème V.IS. - Soit K corps, soit P E K[X] un polynôme de degré > 1.
(1) Il existe un corps de décomposition  de P sur K, avec [ : K] < n!
(2) Si  et ' sont deux corps de décomposition de P sur K, alors il existe un
K -isomorphisme de  sur '.
REMARQUE V.19. - Terminologie: On note DK(P) "le" corps de décomposition de
P sur K. Gal(DK(P)/ K) est appelé le groupe de Galois de l'équation P(x) = 0
(ou du polynôme P) sur K.
Preuve: -(1) Existence: Procédons par récurrence sur deg(P)
- Si deg(P) = 1, le résultat est clair, puisque  = K convient.
- Supposons le résultat démontré pour tout corps K et pour tout polynôme P tel que
deg(P) = n-1. Soit P E K[X] un polynôme de degré n. Soit f un polynôme irréductible
de K[X] qui divise P dans K[X] (éventuellement f = P). D'après V.4, il existe une
extension algébrique simple L = K (a) de K dans laquelle f admet au moins une racine a.
On a [L : K] = deg(f) < n. A fortiori a est racine de P, donc (X - a) divise P dans L [X] :
P(X) = (X-a)Q(X),Q(X) E L[X].Alorsdeg(Q) =n-1,doncd'aprèsl'hypothèse
de récurrence il existe une extension  de L, corps de décomposition de Q sur L, de la
fonne  = L(a2,' . . , an), avec [ : L] < (n -l)L Clairement  = K(a, a2,. . . , an) est
un corps de décomposition de P sur K, et [ : K] = [ : L][L : K] < (n - l)!n = nL
La propriété est vraie au rang n.
-(2) "Unicité", à K -isomorphisme près. On va démontrer un lemme un peu plus général:
Lemme V.20. - Soient K et K' deux corps. On suppose qu'il existe un
isomorphisme i : K  K'. Cet isomorphisme se prolonge de façon naturelle
en l'application i: K[X]  K'[X] qui à I:ÀkX k associe I:i(Àk)X k , et on voit
facilement que i est un isomorphisme d'anneaux. Soit P(X) un polynôme de K[X].
Soit  [resp. '} un corps de décomposition de P sur K [resp. de i(p) sur K'}. Il
existe un isomorphisme j de  sur ' prolongeant i. j transforme toute racine de
P en une racine de i(p) (résulte de 111.28).
Preuve du lemme: On procède par récurrence sur le degré n = [ : K].
- Pour n = 1, c'est trivial (j = i convient).
- Supposons 'n > 2 et le résultat vrai pour tous les corps de décomposition de degré < n -1.
Soit P E K[X],  un corps de décomposition de degré n = [ : K] de P sur K. Soit
A le produit des facteurs de degré 1 de P dans K[X] (A correspond aux racines de P
dans K, chacune comptée un nombre de fois égal à sa multiplicité). On a P = AB où
(A, B) E (K[X])2 et B n'a pas de racine dans K. Si deg(B) = 0, alors toutes les racines
al,..., a r de P sont dans K, donc  = K(a1,"', O'r) = K ettn = 1, ce qui est exclu.
On a donc deg(B) > 1. COITtme B n'a pas de racine dans K, il vient deg(B) > 2.
Soit f E K[X] un facteur irréductible de B. Alors d = deg(f) > 2. Soit a une racine

9 3. Corps de décomposition d'un polynôme
61
de f (donc de P) appartenant à . Comme f(a) = 0 et que f(X) est irréductible dans
K[X], irr(a, K, X) est égal, à un facteur de K* près, à f(X), donc [K(a) : K] = d. i(f)
divise i(p) dans K'[X]. Soit a' E ' une racine de i(f). D'après 111.29, on peut prolonger
i (de manière unique) en un isomorphisme il : K(a)  K'(a') tel que i1(a) = a'.
Il est clair que  et ' sont respectivement des corps de décomposition de P et i(p) sur
K(a) d'une part et K'(a') d'autre part. Comme [ : K(a)] = nid < n, l'hypothèse de
récurrence montre qu'on peut prolonger il en un isomorphisme j :   '. A fortiori
j prolonge i. Ainsi la propriété est vraie au rang n.
. Fin de la preuve de V.18 : Il suffit d'appliquer V.20, en prenant K' = K et i = idK. D
Théorème V.21. - Dans les conditions de V.20, le nombre d'isomorphismes de
 dans ' prolongeant i est < [ : K]; et si de plus i(p)(X) n'a que des racines
distinctes dans son corps de décomposition ', alors il existe exactement [ : K]
isomorphismes de  dans ' prolongeant i.
Preuve: Démontrons ce résultat par récurrence sur le degré n = [ : K].
- Pour n = 1, c'est trivial.
- Supposons n > 2 et le résultat vrai pour tous les corps de décomposition de degré < n -1.
Soit P E K[X],  un corps de décomposition de degré n = [ : K] de P sur
K. Comme n > 2, les racines de P(X) ne sont pas toutes dans K, donc P(X) a
au moins un diviseur irréductible dans K[X]. Soit f E K[X] un facteur irréductible
de P. On a d = deg(f) > 2. Alors i(f) divise i(p) dans K'[X]. Comme  et
' sont respectivement des corps de décomposition de P et i(p) sur K et K', on
peut écrire: f(X) = u(X - al) .. . (X - ad), P(X) = a(X - al) .. · (X - an),
i(f)(X) = v(X - (31).. · (X - (3d), i(p)(X) = b(X - (31)... (X - (3n).
Considérons L = K(a1)' Comme f(a1) = 0 et que f(X) est irréductible dans K[X],
irr( al, K, X) est égal, à un facteur de K* près, à f(X), donc [L : K] = d. D'après 111.29,
il existe exactement m homomorphismes il, . . . , i m de L dans ' qui prolongent i, où m
est le nombre d'éléments distincts dans la liste (31, . . . , (3d. (Donc, si les (3q, 1 < q < d,
sont tous distincts, on a m = d). Mais il est clair que  et ' sont respectivement des
corps de décomposition de P et i(p) sur L d'une part et iq(L) d'autre part. Comme
[ : L] = nid < n, l'hypothèse de récurrence montre qu'on peut prolonger chaque iq en
un isomorphisme   ' et que le nombre de tels prolongements est < ni d, et que si
i (P) (X) a des racines distinctes dans ', il est égal à nid. Chacun de ces prolongements,
a fortiori, prolonge i. Comme les prolongements de iq distincts sont des prolongements
distincts de i, nous avons donc obtenu au plus d[ : L] = n isomorphismes de  dans
' prolongeant i, et si i(p)(X) a des racines distinctes dans ', nous en avons obtenu
exactement n.
Reste à montrer que cette méthode fournit bien tous les isomorphismes de  dans ' qui
prolongent i. Or si j est un isomorphisme de  dans ' prolongeant i, sa restriction à L
est un homomorphisme de L dans ' qui prolonge i, donc est l'un des i q , 1 < q < m.
Ainsi la propriété est vraie au rang n. D
Corollaire V.22. - Soit P(X) E K[X]. 1 Gal(DK(P)1 K)I < [DK(P) : K], et si
P(X) n'a que des racines distinctes dans son corps de décomposition DK(P), alors
1 Gal(DK(P)IK)1 = [DK(P) : K].
Preuve: Appliquer le théorème précédent avec K' = K et i = idK.

62
CIL V. ADJONCTION DE RACINES
3. Clôture algébrique d'un corps
Proposition V.23 [et définition]. - Soit K un corps. Les conditions suivantes sont
équivalentes:
(1) Tout polynôme de degré > 1 de K[X] est scindé sur K
(2) Tout polynôme de degré > 1 de K[X] admet au moins une racine dans K
(3) Les seuls polynômes irréductibles de K[X] sont ceux de degTé 1
(4) Toute extension algébrique de K est identique à K lui-même.
On dit alors que K est algébriquement clos.
Preuve: . (1) => (2) => (3) est évident.
. (3) => (1) résulte de la factorialité de l'anneau I<[X]. (Si le lecteur préfère, il pourra
démontrer (2) => (1) en raisonnant par récurrence sur le degré, et (3) => (2) en invoquant
le fait qu'un polynôme de degré > 1 a au moins un diviseur irréductible. . .)
. (1) => (4): Soit E une extension algébrique de K, a E E. irr(a,K,X) E K[X] donc
est scindé sur K, donc puisqu'irréductible est de degré 1, donc a E K.
. (4) => (2) : Soit P E K[X] avec deg(P) > 1, f un facteur irréductible de P dans K[X].
Par V.4, il existe un corps de rupture de f sur K, c'est-à-dire une extension algébrique
simple L = K(a) de L dans laquelle f admet au moins une racine a. Vu (4), L = K donc
a E K; et bien sûr a est racine de P.
EXEMPLES V.24. - Q n'est pas algébriquement clos, car par exemple X 2 - 2, X 2 + 1
et X 2 + X + 1 n'ont pas de racine dans Q.
IR n'est pas algébriquement clos, car par exemple X 2 + 1 et X 2 + X + l n'ont pas
de racine dans IR.
Proposition V.25. - Tout corps algébriquement clos est infini.
Preuve: Si K est le corps fini K = {al, . . . , a q }, le polynôme (X - al) . . . (X - a q ) + 1
de K[X] est de degré q > 2, et n'a pas de racine dans K.
Théorème V.26 [D'ALEMBERT-GAUSS]. - Le corps C des nombres complexes est
algébriquement clos.
Preuve: Soit P(X) E C[X] un polynôme de degré n > 1.
Notons P(X) = anX n + . . . + alX + ao, les ak E C, an -1 O.
Pour z E <C*, IP(z)1 = lanllzl n Il + a:: n - Z 1 +... + a:n 1, donc IP(z)1 ---+ +00 quand
Izl  +00, donc il existe R > 0 tel que: (izi > R => IP(z)1 > IP(O)I + 1).
Or z  IP(z)1 est continue sur C, et K = {z E C/izi < R} est un fenné borné donc
un conlpact de C. Donc la restriction de z  IP(z)1 à K admet une borne inférieure m
atteinte en au moins un point Zo de K. Pour z fi. K, IP(z)1 > IP(O)I + 1 > IP(O)I > m,
et pour z E K, IP(z)1 > m; donc: (1) Vz E C, IP(z)1 > m.
Par la formule de TAYLOR, il existe (b o ,..., b n ) E cn+1 tel que
P(zo + X) = bnxn + . . . + blX + bo.
On a alors b o = P(zo), et b n -lOcal' deg(P) = n.
Soit k = min{j E [1, n]/b j -1 O}. Supposons b o -1 O. Fixons w une racine k-ième du
nombre cOlTIplexe -bo/b k . Alors P(zo +wt) = b o (l- t k +t k €( t)), où € est clairement une
fonction de limite nulle en O. Donc il existe et > 0 tel que: Itl < a => 1€(t)1 < 1. Prenant
t réel avec 0 < t < 1 et t < a, on a IP(zo + wt)1 < Ib o l(l - t k + tkl €(t)l) < Ibol = m,
ce qui contredit manifestement (1). . . Ainsi b o = 0, c'est-à-dire P(zo) = O. D
Autre démonstration [C'est la démonstration "standard" que l'on voit en Licence, dans
le cadre du cours sur les fonctions holomorphes, on pourra consulter le livre de Cartan

9 3. Clôture algébrique d'un corps
63
(cf. bibliographie)] : Soit P(X) E C[X] un polynôme de degré > 1. Supposons que
P(X) n'a pas de racine dans C. Alors la fonction z  1/ P(z) est entière (= holomorphe
dans tout le plan complexe). Comme elle tend vers 0 quand Izi tend vers +00, elle est
bornée. Par conséquent, d'après le théorème de LIOUVILLE (théorème qui dit qu'une fonction
holomorphe dans tout le plan et bornée est constante), cette fonction est constante. Donc
la fonction z  P(z) est constante sur C. C'est absurde, puisque deg(P) > 1.
REMARQUE V.27. - On trouvera une autre démonstration, basée sur la théorie de
Galois, au chapitre XVII.
Corollaire V.28. - - Les polynômes irréductibles de C[X] sont ceux de degré 1.
- Les polynôlnes irréductibles de [X] sont les polynômes de degré 1, et les
polynômes de degré 2 qui n'ont pas de racine réelle.
Preuve: Le premier point est évident. Pour le second énoncé, il est clair que ceux proposés
sont bien irréductibles. Inversement si P E [X] est irréductible, ou bien P a une racine
réelle et est alors de degré 1; ou bien P n'a pas de racine réelle.
Dans ce cas on prend a racine complexe (non réelle) de P, on voit que le conjugué a est
aussi racine de P. P est divisible dans C[X], donc aussi dans [X], par (X - a) (X - a ) ==
X 2 - 2 Re(a)X + lal 2 , donc puisque P est irréductible, il existe À E * tel que
P(X") == À(X 2 - 2 e(a)X + 10:1 2 ), et P est un polynôme de degré 2 sans racine réelle.
Définition V.29. - Soit K un corps, L une extension de K. On dit que Lest
une clôture algébrique de K si, et seulement si, L est algébrique sur K et Lest
algébriquement close.
EXEMPLE V.30. - C est une clôture algébrique de .
Proposition V.3I. - Soit E un corps algébriquelnent clos, K un sous-corps de E.
La fermeture algébrique K de K dans E est une clôture algébrique de K.
Preuve: - Evidemment K est algébrique sur K.
- Soit f E K [X] un polynôme de degré > 1. Alors f possède une racine a dans E. a est
algébrique sur K , donc par transitivité algébrique sur K. Donc a E K et f possède une
- -
racine dans K. Ainsi K est algébriquement close.
EXEMPLE V.32. - La fermeture algébrique A de Q dans C est une clôture algébrique
de Q.
REMARQUE V.33. - Terminologie: Il résulte de 111.40 et de V.32 que toute extension
de degré fini de Q est (Q-isomorphe à) un sous--corps de A : une telle extension
est appelée un corps de nombres algébriques.
Théorème 34 [STEINITZ]. - (1) Tout corps commutatif K admet une clôture
-
algébriqEe K. _
(2) Si KI et K 2 sont deux clôtures alg'ébriques de K, alors il existe un K-
- -
isolnorphisme de KI sur K 2 .
Démonstration de 34-( J ) .' existence.
- Construisons d'abord une extension El de K dans laquelle tous les polynômes de degré
> 1 à coefficients dans K ont une racine.
A chaque f E K[X] de degré > 1, associons une indéterminée X f, et notons S l'ensemble
de ces indéterminées X f. Soit D == K [S] l'anneau des polynômes, à coefficients dans K,
en les indéterminées X f (chacun de ces polynômes ne contient qu'un nombre fini de telles

64
CH. V. ADJONCTION DE RACINES
indéterminées); et soit A l'idéal de D engendré par les polynômes f(Xf), f E K[X],
deg(f) > 1. L'élément unité 1 du corps K n'appartient pas à A. Sinon il existerait r
polynômes gl,. . . , gr E K[S] tels que: glfl (XfI) + .. . + grfr(Xfr) = 1. Notons
Xi = X fi' Les r polynômes gl, . . . , gr E K[S] ne font intervenir qu'un nombre fini
d'indéterminées, que nous noterons Xl,' .. , X m (où m > r). La relation précédente
s' écri t :
(*) L:  1 gi (X 1, . . · , X m) fi ( Xi) = 1.
Par V.II, il existe une extension de degré fini F de K dans laquelle chaque polynôme fi
possède (au moins) une racine Qi. Posons en outre Qi = 0 pour r < i < m, et remplaçons
chaque Xi par Qi dans la relation (*) : on obtient 0 = 1 (dans F), ce qui est absurde. Ainsi
A est inclus strictement dans K [S].
Donc d'après le théorème de KRULL (rappelons que la démonstration de ce théorème
repose sur le lemme de ZORN), il existe un idéal maximal M de K[S] tel que A C M.
Alors A = K [S] / M est un corps. La restriction à K de la surjection canonique a de
K[S] sur A est injective (si ker(a) = M contenait un élément de K* = U(K[S]), il
serait égal à K[S]), donc K et a(K) sont deux corps isomorphes et A est une extension
de K. Pour f E K[X], deg(f) > 1, notons xf = a(X f ), classe de X f modulo M.
f(Xf) E A C M = ker(a), donc f(xf) = a(f(Xf)) = 0, et xf E A est une racine du
polynôme f(X). El = K( {x f, f E K[X], deg(f) > 1}) est une extension algébrique
de K, et tout polynôme de degré > 1 de K[X] a une racine dans El,
- Par récurrence, on construit, pour chaque n E N*, En+1 à partir de En comme on a
construit El à partir de K. On obtient ainsi une suite croissante (En)nEN* de corps telle
que: Vn E N*, En+l est une extension algébrique de En, et tout polynôme de degré > 1
de En [X] a une racine dans E n + 1.
- Considérons l'union E = UnEN* En de tous ces corps. E est un anneau, car si x et y sont
deux éléments de E, il existe n E N* tel que x et y appartiennent à En et nous pouvons
définir x + y et xy comme somme et produit dans En. E est un corps, car si x est élément
de E*, il existe n E N* tel que x appartienne à E et nous pouvons définir x- l comme
inverse dans En. Ces constructions sont clairement indépendantes du choix de n, et on
voit aisément qu'on définit bien ainsi une structure de corps sur E. Il est clair que E est
une extension algébrique de K.
Enfin E est algébriquement clos. En effet, pour P E E[X] de degré > 1, il existe n E N*
tel que P E En[X] : P a donc une racine dans E n + 1 , donc une racine dans E.
Lemme V.35. - Soient K un corps, L une extension de K, E un corps
algébriquement clos, a : K  E un homomorphisme. Soit x E L un élément
algébrique sur K. Alors il existe un homomorphisme al : K(x)  E prolongeant a.
Preuve: Notons II(X) == irr(x, K, X) E K[X]. L'homomorphisme a se prolonge de
façon naturelle en l'application â: K[X]  E[X] qui à L:ÀkXk associe L:a(Àk)X k ,
et on voit facilement que â est un homomorphisme d'anneaux. â(II(X)) E E[X] et E
algébriquement clos, donc â(II(X)) admet une racine y dans E. Clairement â(II(X))
est irréductible dans a(K)[X], donc â(II(X)) == irr(y, a(K), X). D'après le lemme de
prolongement 111.29, il existe un homomorphisme al : K (x)  a (K) (y) prolongeant a.
Lemme V.36. - Soient K un corps,  une extension algébrique de K, E un
corps algébriquement clos, a : K  E un homomorphisme. Alors il existe un
homomorphisme T :   E prolongeant a.
Preuve : Soit F == {(L, 'l/J), où L sous-corps de  contenant K et 'l/J : L  E
homomorphisme prolongeant a}. Nous définissons une relation d'ordre < sur F par:

9 3. Clôture algébrique d'un corps
65
(L, 'l/J) < (L', 'l/J') {==> (L C L'et la restriction de 'l/J' à Lest 'l/J). F n'est pas vide car
(K, a) E F. Soit (Li, 'l/Ji)iEI une famille totalement ordonnée d'éléments de F : posons
L = UiE1L i et définissons 'l/J: L  Epar 'l/J(x) = 'l/Ji(X) si x E Li. Alors (L,'l/J) est
clairement le plus petit majorant de la famille (Li, 'l/Ji)iEI' Ainsi F est inductif.
D'après le théorème de ZoRN, F possède un élément maximal (L, T). Si L -1 , soit
x E  \ L : alors d'après le lemme précédent, il existe un homomorphisme Tl : L( x)  E
prolongeant T; clairement (L(x), Tl) majore (L, T), ce qui contredit (L, T) maximal.
Donc L =  et T est bien un homomorphisme de  dans E qui prolonge a.
Lemme V:37. - Soient K et K' deux corps, C et C' des clôtures algébriques
respectives de K et K'. On suppose qu'il existe un isomorphisme s de K sur K'.
Alors il existe un isomorphisme t : C  C' prolongeant s.
Preuve: Notant i [resp. i'] l'injection canonique de K dans C [resp. de K' dans C'], on voit
que i' 0 s : K  C'est un homomorphisme. Comme C est une extension algébrique
de K, on peut appliquer le lemme précédent: il existe t homomorphisme C  C'
prolongeant i' 0 s. On a la tour d'extensions K' = s(K) = t(K) C t(C) C C'. C'est
algébrique sur K', donc sur t(C). Or le corps t(C), isomorphe à C, est algébriquement
clos. Donc t( C) = C'. Ainsi t, qui est injectif (car morphisme de corps) et surjectif, est
un isomorphisme de corps.
Fin de la démonstration du théorème de STE/N/1Z 34-(2) : unjcité. __
Appliquer le lemme précédent avec K = K', S = id K , C = KI et C' = K 2 . D
Corollaire V.38 [et définition]. - Le théorème de STEINITZ permet une seconde
démonstration de l'existence du corps de décomposition d'un polynôme. Soit K
un corps et n la clôture algébrique de K. Soit P E K[X] un polynôme de degré
supérieur ou égal à 1. Le sous-corps de n engendré par K et les racines de P dans
n est clairement un corps de décomposition de P sur K. On l'appelle corps des
racines de P sur K. .
REMARQUE V.39. - En général, DK(P) est strictement plus grand que l'extension
de K engendrée par une seule racine de P (qui est un corps de rupture), et cela
même si P est irréductible dans K[X]. Par exemple pour K = Q, P(X) = X3 - 2,
notant a = , les corps de rupture Q(a), Q(ja) et Q(j 2 a) sont strictement inclus
dans le corps des racines DQ(P) = Q(a,ja,j 2 a) = Q(a,j).
-- ...,
Proposition V.40. - Soient K corps, L extension algébrique de K. Alors K = L
(à K -isomorphisme près).
Preuve: On a K C L C L, et LI L est algébrique, donc, par transitivité (111.47), LI K est
algébrique.
-- --
Proposition V.41 [Eléments de K conjugués sur K]. - Soit K un corps, K une
clôture algébriq':!,e de K.
Soient a et b E K. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(1) a et b ont même polynôme minimal
(2) il existe un K-automorphisme t de K tel que b = t(a).
On dit alors que a et b sont conjugués sur K.
Preuve: . (2) =} (1) : Raisonner comme dans 111.30.
. (1) <= (2) : D'après 111.30, il existe un K-isomorphisme T de K(a) dans K(b) tel que
T(a) = b. D'après la proposition précédente, K(a) et K(b) ont tous deux même clôture

66
CH. V. ADJONCTION DE RACINES
algébrique K. D'après V.37, il existe un automorphisme t : K  K qui prolonge T.
-
Donc t est un K -automorphisme de K et t( a) == b.
4. Exercices
(V-1) - Irréductibilité de XP - a.
Soient K un corps, a E K, et p un nombre premier. Démontrer que XP - a est irréductible sur K si, et seulement
si, il n'a pas de racine dans K. (Indication .' si XP - a = P(X)Q(X), oÙ (P(X), Q(X)) E K[X]2, avec
a < deg(P) = n < p, montrer en décomposant XP - a enfacteurs de degré J que an = b P , où b est, au signe
près, le tertne de degré a de P(X). Conclure en utilisant le théorème de Bezout.)
(V-2) - Soit P(X) E K[X], E un corps de décomposition de P sur K. Soit L un corps avec K C L C E.
Montrer que E est un corps de décomposition de P sur L.
(V-3) - Soit 1F2 le corps premier de caractéristique 2. Montrer que f(X) = X 3 + X + 1 est irréductible dans
1F2[X], e que son corps de décomposition est E = 1F2[X]/(f).
(V-4) - Des polynômes irréductibles différents peuvent avoir des corps de décomposition égaux; donner un
exemple sur Q. (Indication .' comparer les corps de décomposition sur Q des polynômes X2 + X + 1 et
X 2 + 3...).
(V-5) - Soit P(X) E K[X], avec deg(P) = n E N*. Montrer que [D J( (P) : P] divise nI.
(V-6) - Soient K un corps commutatif, et P(X) = 2:=o aiX'i un polynôme de degré n à coefficients
algébriques sur K. Montrer qu'il existe Q(X) E K[X] \ {a} tel que P divise Q. (Indication.' prendre un corps
de décomposition D de P(X) sur K(ao, . . . ,an), et Xl, . . . ,Xn les n racines de P(X) dans D. Montrer que
chaque Xi est algébrique sur K, puis poser Q(X) = ll=l irr(xi, K, X)).
(V-7) - Anneau de décomposition d'un polynôme unitaire.
Soient A un anneau. Soit P(X) E A[X] un polynôme unitaire. Montrer qu'il existe un anneau B contenant A
comme sous-anneau tel que, dans B[X], P(X) = ll=l (X - ai), et B = A[al, . . . , an].
(V-8) - Soient K un corps, n une extension algébriquement close de K, et K la fermeture algébrique de K dans
n.
a) Montrer que tout élément de n \ K est transcendant sur K et sur K .
b) Soit f un K-automorphisme de n. Montrer que f( K ) = K .
(V-9) - Théorème de D'Alembert-Gauss: démonstration de Lagrange.
1) Montrer que, pour prouver que le corps C des nombres complexes est algébriquement clos, il suffit d'établir
que tout polynôme de degré > 1 à coefficients réels admet une racine dans C.
(Indication .' associer à P(X) E C[X] le produit de P(X) par son conjugué).
2) Soit f(X) E IR[X], avec deg(f) = m > 1. Démontrer, par récurrence sur l'entier n = V2 (m) (c'est-à-dire
l'entier n tel que m = 2 n m', avec m'impair), que f(X) a une racine dans C.
Etudier le cas n = a. (Montrer qu'alors f(X) a une racine dans IR).
Supposer n > 1 et le résultat démontré pour n - 1. Prendre un corps de décomposition K de f(X) sur C, et
Xl, . . . ,Xm les m racines de f(X) dans K. Pour a E IR et 1 < i < j < m, on pose y) = Xi + Xj + aXiXj.
Démontrer que le polynôme g(X) = 111< ' < ' < (X - ya.» est à coefficients réels (Indication .' utiliser
_ J_m ,J
les propriété' des fonctions symétriques); et que son degré est de la forme 2 n - 1 h, avec h impair. Déduire de
l'hypothèse de récurrence que pour tout a E IR, il existe i(a),j(a) avec 1 < i(a) < j(a.) < m tel que
y;('2),j(a) E C. Démontrer qu'il existe au moins deux réels a et a' distincts tels que les couples (i(a), j(a)) et
(i(a'), j(a ' )) ayant cette propriété soient égaux. En déduire que Xi(a) et Xj(a) appartiennent à C.
(V-10) - Montrer que toute extension finie du corps IR des nombres réels est soit égale à IR lui-même, soit
isomorphe au corps C des nombres complexes.
(V-11) - Montrer que le corps C des nombres complexes n'a pas d'extension finie non triviale.
(V-12) - Soit 014 une C-algèbre de dimension finie et intègre. On note lA le neutre multiplicatif de A. Montrer
que A = C1/\' En déduire que A est isomorphe à C.
(V-13) - Les éléments suivants de C sont-ils conjugués sur IR? sur Q? :
a)ietv2 b)i-vI2eti+vI2.

CHAPITRE VI
CORPS CYCLOTOMIQUES
Les racines (entières) de l'unité dans le corps des nombres complexes sont bien connues
du lecteur. Nous considérons dans ce cl1apitre les sous-corps de C qu'elles engendrent,
ou corps cyclotomiques; et leurs polynômes minimaux (polynômes cyclotomiques). Cette
étude est ensuite appliquée au problème de la constructibilité à la règle et au compas d'un
polygone régulier.
1. Corps cyclotomiques. Polynômes cyclotomiques
Définition VI.! [Racines prirnitives de l'unité dans C]. - Soit m E N*. Con-
sidérons l'ensemble V m = {z E C/zm = 1} des racines m-ièmes de l'unité dans C.
V m est un groupe cyclique d'ordre m pour la multiplication (le lecteur vérifiera que
l'application Z/mZ  V m , Ji;  exp(2i7rk/m) est un isomorphisme de groupes).
On appelle racine primitive m-ième de l'unité tout générateur de V m , c'est-à-dire
tout élément ç de V m tel que çd -11 pour 1 < d < m. On notera Pm(C) l'ensemble
des racines primitives m-ièmes de l'unité.
Propriété VI.2. - Pm(C) = {exp(2i7rk/m), 1 < k < m, k premier avec m} a pour
cardinal <p( m).
Proposition VI.3. - Soit m E N*. Soit ç une racine primitive m-ième de l'unité
dans C. Alors les racines primitives m-ièmes de l'unité sont les çk, où 1 < k < m
et k est premier avec m.
Preuve: Commeç est d'ordre m, l'application Z/mZ  V m , Ji;  çk est un isomorphisme
de groupes. D'où de suite, d'après 1.11, le résultat annoncé.
Définition VI.4. - Le sous-corps Q(ç) de C ne dépend pas de la racine m,-ième
primitive ç de l'unité dans C considérée. Le sous-corps Q(V m ) de C engendré par
les racines m-ièmes de l'unité, qui est Q(ç) où ç est une racine primitive m-ième
quelconque, est appelé corps cyclotomique d'indice m.
Définition VI.S [Polynômes cyclotomiques]. - Soit m E N*. On appelle m-ième
polynôme cyclotomique le polynôme
<I>m,(J>(X) = Il (X - Ç).
çE'P m (C)
<Pm,Q(X) est un polynôme unitaire de degré <p(m) à coefficients dans C.
Lemme VI.6. - Soit m E N*. Les Pd(C), d décrivant l'ensemble des diviseurs de
m dans N*, forment une partition de 1L1m.
Preuve: Si d divise m, Pd(C) C Vd C V m . Chaque racine m-ième de l'unité dans C a
un unique ordre (multiplicatif) qui est un diviseur de m d'après le théorème de Lagrange;
autrement dit chaque élément de V m appartient à un et un seul des Pd(C), d diviseur de
m.

68
CH. VI. CORPS CYCLOTOMIQUES
Proposition VI.7. - 1 xm - 1 = Ildlm <I>d,tQ>(X) 1 .
Preuve: Cela résulte de suite du lemme précédent.
Lemme VI.S. - Soient P, A, B trois éléments non nuls de Q[X]. On suppose que
P E Z[X], que P == AB, et que P et A sont unitaires. Alors A et B appartiennent
à Z[X].
Preuve: Clairement B est lui aussi unitaire. Notons A(X) == X n + 2: -o l aiXi, les
ai E Q. Pour chaque i, notons ai == Pif qi où Pi E Z et qi E N* sont premiers entre
eux. Soit q un multiple commun à qo,. . . ,qn-l' Alors A(X) = X n +  2: -o l ZiXi, les
Zi E Z. Quitte à diviser Zo,..., Zn-l et q par P.G.C.D.(ZO,..., Zn-l, q), on peut supposer
que P.G.C.D.(Zo,... , Zn-l, q) == 1.
nI' ( l
Notant Al (X) == qxn + 2:i O ZiX, on a : Al (X) E Z[X], A X) == fi Al (X), et
le polynôme Al (X) est primitif (,(Al) == 1). De même il existe r E N* tel que
B(X) == BI(X), où le polynôme BI(X) E"'Z[X] est primitif (,(BI) == 1). Il vient
qrP == AlBI, et d'après le lemme de GAUSS (1.50), le polynôme AlBI est primitif.
Or ,( qr P) == qr,( P) == qr car P est unitaire. Donc qr == 1, soit q == r == 1. Ainsi
A == Al E Z[X], et B == BI E Z[X].
Proposition VI.9. - (Vn E N*) n,Q(X) E Z[X].
Preuve : On procède par récurrence sur n.
- Pour n == 1, 1,Q(X) == X - 1 E Z[X].
- Supposons la propriété vraie jusqu'au rang n - 1, où n > 2.
Posons F(X) == Ildln, d<n d,Q(X). Par l'hypothèse de récurrence, F(X) E Z[X].
F(X) est unitaire (clair). Le polynôme xn-1 est un polynôme unitaire de Z[X]. L'égalité:
xn - 1 == F(X)n,Q(X) montre d'abord que n,Q(X) E Q[X] (effectuer la division
euclidienne de x n - 1 par F(X) dans Q[X]), puis, appliquant le lemme précédent, que
n,Q(X) E Z[X]. Ainsi la propriété est vraie au rang n.
REMARQUES VI.IO. - - La formule xn - 1 == Ildln d,Q(X) permet le calcul des
n,Q(X) par récurrence:
<I>n tQ>(X) = (X n - 1) .
, Ildln, d<n d,Q(X)
- De cette formule résulte également que pour P premier,
XP - 1 == 1,Q(X)p,Q(X) == (X - l)p,Q(X),
Ainsi pour P premier,
p-l
cI>p,tQ>(X) = (XP -1)/(X -1) = LXi.
i=O
- Plus généralement soient P premier et n E N*. Notant q == p n , on a :
cI>q,tQ>(X) = (xq - 1)/ Il cI>d,tQ>(X).
dlq, d<q
Or Ildlq,d<q <I>d,tQ>(X) = Il -o l cI>pi,tQ>(X) = Ildlpn-l cI>d,tQ>(X)
n ( n-l ) P
xq - 1 == XP - 1 == XP - 1, donc
p-l .
cI>pn,tQ>(X) = L (Xpn-l) t.
i=O
n-l
XP - 1 et
,

9 1. Corps cyclotomiques. Polynômes cyclotomiques
69
Théorème VI.II. - (Vn E N*) n,Q(X) est irréductible dans Q[X].
REMARQUE VI.12. - On trouvera, dans la bibliographie, la référence d'un article
de J.M. Arnaudiès qui donne une démonstration astucieuse, due à LANDAU, de ce
résultat. La démonstration suivante est classique.
Preuve : Soit W une racine primitive n-ième de l'unité dans C. Notons f(X) =
irr(w, Q, X). Clairement f(X) divise X n - 1 dans Q[X] : X n - 1 = j(X)h(X), où
h(X) E Q[X]. X n - 1 E Z[X] et f(X) étant unitaires, VI.8 montre que h(X) E Z[X].
. Montrons que si u est une racine de f, et p nombre premier ne divisant pas n, u P est
aussi racine de f.
Comme f(X) divise xn - 1 dans Q[X], on a un - 1 = O. u est une racine n-ième de
l'unité dans C, donc u P aussi: 0 == (uP)n -1 = f(uP)h(u P ). Supposons f(u P ) -1 O. Alors
h( u P ) = O. Or u est racine de f irréductible dans Q[X], donc f(X) == irr( u, Q, X). Donc
f(X) divise h(XP) dans Q[X] : h(XP) = j(X)g(X), où g(X) E Q[X]. h(XP) E Z[X]
et f(X) étant unitaires, le lemme VI.8 montre que g(X) ]. Réduisons modulo
p l'égalité: h(XP) = f(X)g(X). Il vient: (h(X))P = h(XP) = J(X)g(X) dans
1F P [X]. Soit () E IF P [X] un facteur irréductible de J. Alors () divise JiP donc divise Ji dans
IFp[X], donc ()2 divise fh == xn - 1 dans IFp[X]. Pa!-conséquent x n - 1 E IFp[X]
possède une racine double dans une clôture algébrique 1F P de IF P : ce qui est absurde car
xn - 1 est premier avec sa dérivée nX n - 1 dans IFp[X] (comme le prouvent l'égalité
(ljn)XnX n - 1 - (xn - 1) = 1 et le théorème de Bezout). Ainsi f(u P ) == O.
. Comme west racine de f, et comme toute racine primitive n-ième de l'unité dans C,
c'est-à-dire toute w k où k premier avec n, peut être obtenue par élévations successives de
w à des puissances p, où p premier ne divise pas n; le résultat précédent montre que toute
racine primitive n-ième de l'unité dans C est racine de f. Donc deg(f) > <p(n). Or f(X)
divise n,Q(X) dans Q[X], deg(n,Q) = <p(n), et f et n,Q sont tous deux unitaires.
Donc n,Q(X) = f(X) = irr(w, Q, X). Donc n,Q(X) est irréductible dans Q[X]. D
Corollaire VI.13. - Soit n E N*. Le polynôme minimal sur Q de toute racine
primitive n-ième W n de l'unité dans C est n,Q(X), Donc [Q(V n ) : Q] = <p(n).
Preuve: Soit W n une racine primitive n-ième de l'unité dans C. n,Q(wn) = 0 et <I>n,Q(X)
est irréductible dans Q[X]. Donc n,Q(X) = irr(w n , Q, X). Comme deg(n,Q(X)) =
<p( n), il vient [Q( w n ) : Q] = <p( n).
Théorème VI.14 [Groupe des automorphismes d'un corps cyclotomique]. - Soit n E
N*. Aut(Q(V n )) == Gal(Q(Vn)jQ) est isomorphe à U(ZjnZ).
REMARQUE VI.IS. - Par conséquent Gal(Q(Vn)jQ) est d'ordre <p(n), est toujours
abélien, et il est cyclique si, et seulement si, U(ZjnZ) est cyclique. (On verra au
chapitre VII que si n est premier, U(ZjnZ) est cyclique).
Preuve : Soit W n une racine primitive n-ième de l'unité dans C. Q est le sous-corps
premier de Q(w n ), donc d'après 11.30, Aut(Q(w n ) = Gal(Q(wn)jQ). Appliquant 111.34,
on voit que les Q-automorphismes de Q(w n ) correspondent bijectivement aux racines de.
<I>n,Q(X) dans Q(w n ), c'est-à-dire aux w, où 1 < k < n et k est premier avec n. Plus
précisément, à chaque x de U(ZjnZ), on associe l'unique automorphisme (J'x de Q(w n )
tel que {J'x (w n ) = w (où x = k).
[Remarquant que (l,w n ,w;,... ,w(n)-l) est une base du Q-e.v. Q(w n ), {J'x est donné
par : \1 ( ao, . . . , a <p ( n ) -1) E Q <P ( n) ,
(J'x(ao + a1Wn +... + a<p(n)_lW(n)-l) = ao + a1w +... + a<p(n)_lW(<P(n)-l)].

70
CH. VI. CORPS CYCIJOTOMIQUES
o : U(Z/nZ)  Aut(Q(w n )), x  a J : est bijective. 0 est un homomorphisme de groupes,
car, notant x == k et y == [: (a x oa y ) (w n ) == (w)k == wl == axy(w n ), donc a x oa y == a xy'
Donc 0 est un isomorphisme de groupes.
Lemme VI.16. - Soient k un corps, L une extension de k, F et K deux corps
intermédiaires (i.e. k C K C Let k C F e L). On note K F le sous-corps de L
engendré par K et F. Alors [KF: F] < [K : k].
Preuve: K F = K(F) = F(K) est l'ensemble des éléments de L de la forme E UiVi,
les Ui E K, les Vi E F. Notons [K : k] = n et (Xl"," X n ) une base de K comme
k-e.v. Clairement (Xl, . . . , X n ) est une famille génératrice de K F comme F -e.v., donc
[K F : F] < n.
Lemme VI.17. - Soit G un groupe (noté multiplicativement, neutre e). Soient m
et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Soient X et y deux éléments
de G d'ordres respectifs m et n, qui comnlutent entre eux. Alors xy est d'ordre
mn.
Prl/uve : D'après le théorème de Lagrange, l'ordre du sous-groupe < X > n < y >
de G divise 1 < X > 1 = m et 1 < y > 1 = n. Comme P.G.c.D.(m, n) = 1, il vient
< X > n < y >= {e}. (xy)mn = (xm)n(yn)m = ene m = e. Si (xy)k = e, soit si
xk = y-k, alors xk = y-k E< X > n < y >= {e}, donc m divise k et n divise k, donc
P.P.C.M.(m, n) == mn divise k. Ainsi xy est d'ordre mn.
Proposition VI.IS. - Soient m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre
eux. Soit a [resp. /3J une racine primitive m-ième [resp. n-ièrneJ de l'unité dans C.
Alors Q(a, /3) == Q(V mn ) et Q(a) n Q(/3) = Q.
Preuve: Posons w = a/3. D'après le lemme précédent, west une racine primitive (mn)-
ièmedel'unitédansC.w E Q(a,/3),doncQ(w) C Q(a,/3).Commep.G.C.D.(m,n) = 1,
an [resp. /3 m ] est une racine primitive m-ième [resp. n-ième] de l'unité, donc Q( a) =
Q(a n ) [resp. Q(/3) = Q(/3m)], or an == w n E Q(w) [resp. /3m = w m E Q(w)],
donc Q(a) C Q(w) [resp. Q(/3) C Q(w)]. Donc Q(a, /3) C Q(w). Ainsi Q(a)Q(/3) =
Q( a, /3) = Q(w) == Q(V mn ). Donc d'après VI.13, [Q( a )Q(/3) : Q] = <p(mn). Or met 71,
sont premiers entre eux, donc <p(mn) = <p(m)<p(n). Il vient <p(m)<p(n) = [Q(a)Q(/3) :
Q] = [Q(a)Q(/3) : Q(/3)][Q(/3) : Q] soit, puisque (VI.13) [Q(/3) : Q] = <p(n), <p(m) =
[Q(a)Q(/3) : Q(/3)]. Donc vu VI. 16, notant k = ij(a) n Q(/3) : <p(m) < [Q(a) : k].
Comme (VI.13) [Q(a) : Q] = <p(m), il vient [Q(a) : Q] == [Q(a) : k], et k == Q.
2. Sous-corps réel de Q(V n )
Lemme VI.19 [Polynômes de TCHEBYTCHEFF]. - On considère la suite (Tn(X))nEN
de polynômes à coefficients réels définie par: To(X) = 1, Tl (X) = X, et la relation
de récurrence: (\/71, E N) T n + 2 (X) = 2XT n + 1 (X) - Tn(X).
a) \/n E N, Tn(X) est un polynôme à coefficients dans Z, de degré 71" de coefficient
dominant 2 n - 1 si n -1 0 (et 1 si n = 0), et Tn( -X) = (-l)nT n (X).
b) Soit V; : C*  C, z  z + . \/n E N, \/z E C*, V;(zn) = 2T n (V;(z)/2).
c) Vn E N, \/0 E IR, cos(nO) == Tn(cos(O)).
d) \/n E N*, les racines du polynôme Tn(X) sont les cos((2k + 1)7r /(2n)),
k E [0, n - 1].
Preuve: a) Démonstration aisée, par récurrence sur n.
b) Procédons par récurrence sur n :

9 2. Sous-corps réel de Q(UJ n ) 71
- C'est clair pour n == 0 et pour n == 1.
- Supposons la propriété vraie jusqu'au rang n, où n E N*. Comme \/z E C*,
'lp ( zn + 1 ) == 'ljJ ( Z ) 'ljJ ( Zn) - 'ljJ ( Zn - 1 ), il vie nt:
'ljJ(zn+l) == 2 (2('ljJ(z)/2)T n ('ljJ(z)/2) - T n - l ('l/J(z)/2)) == 2Tn+l('l/J(z)/2).
Ainsi la propriété est vraie au rang n + 1.
c) Appliquer b) avec z == e iB .
d) De c) résulte que les cos((2k + 1)1r/(2n)), k E [0, n - 1], sont des zéros de Tn(X).
Comme ils sont tous distincts (puisque la restriction de cos à [0,1r] est strictement
décroissante donc injective), et comme Tn(X), de degré n, a au plus n zéros; ce sont
les zéros de Tn(X).
EXEMPLES VI.20. - On calcule successivement :
To(X) == 1
Tl (X) == X
T 2 (X) == 2X 2 - 1
T 3 (X) == 4X 3 - 3X
T 4 (X) == 8X 4 - 8X 2 + 
Ts(X) == 16X s - 20X 3 + 5X
T 6 (X) == 32X 6 - 48X 4 + 18X 2 - 1
T 7 (X) == 64X 7 - 112X s + 56X 3 - 7X
Proposition VI.21 [Sous-corps réel de Q(UJ n )]. - Soit n E N*. Soit W n une racine
primitive n-ième de j'unité dans C.
Pour tout fEZ premier avec n, Q(w n ) n IR == Q(cos(21rf/n)).
Si n > 3, [Q( cos(21rf/n)) : Q] == <pn) .
Preuve: Notons Çn == exp(2i1rf/n), alors Q(w n ) == Q(çn).
. cos(21rf/n) == (çn + çn ) == (çn + ç )' donc cos(21rf/n) E Q(çn), donc
Q(cos(21rf/n)) C Q(çn) nIR.
. Soit z E Q ( ç n ). z réel {:} z == Z {:} z ==  (z + z).
Or 3(ao, . . . , a<p(n)-l) E Q<p(n) t.q. z == ao + alÇn + . . . + a<p(n)_lÇ(n)-l.
Il vient:
_ 1 _ _ 1 - 1 <p(n)-l -<p(n)-l
z- 2 (z+z)-a o +a 1 2 ((n+(n)+...+acp(n)-1 2 (Çn +(n ).
Or Vk E [O,cp(n) - 1], (( + (n k) = (( + (;;:k) = (exp(2iPk1r/n) +
exp( - 2ifk1r / n)) == cos(2fk1r / n) == Tk (cos(2f1r / n)).
Donc
<p(n)-l
Z = L akTdcos(2P1r/n)) E Q[cos(2P1r/n)] C Q(cos(2P1r/n)).
k==O
. La considération de la tour d'extension Q C Q(cos(2f1r/n)) C Q(çn) montre que
<p(n) == [Q(çn) : Q] == (Q(çn) : Q(cos(2f1r/n))] [Q(cos(2f1r/n)) : Q]. Notons
d == [Q( çn) : Q( cos (2f1r / n))], le degré de Çn sur Q( cos (2f7r / n)). Comme cos(21rf / n) ==
(çn + ç )' Çn est racine du polynôme de degré 2: X 2 - 2cos(2f1r/n)X + 1 E
Q( cos(2f1r /n)) [X], et on a d == 1 ou 2.
d == 1 {:} Çn est réel {:} sin(2f1r ln) == 0 {:} 2f1r /11 E 1rZ {:} nl2f {:} nl2 (car f premier
avec n).
Donc pour n > 3, d == [Q(çn) : Q(cos(2f1r/n))] == 2, et donc [Q(cos(2f1r/n)) : Q] ==
<p(n)/2.

72
CH. VI. CORPS CYCLOTOMIQUES
Proposition VI.22 [et définition: équations réciproques]. - Soit P(X) == anxn +
. · · + alX + ao E C[X], avec n > 1, an -=1 0 et ao -=1 o. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
a) Pour tout z zéro (complexe) de P(X),  est aussi zéro de P(X) avec la même
multiplicité.
b) ou bien (1) Vk E [0, n], an-k == ak
ou bien (2) Vk E [0, n], an-k == -ak
On dit alors que P(X) est un polynôme réciproque, ou que l'équation algébrique
(P(z) == 0) est une équa.tion réciproque, du 1er type dans le cas (1), et du 2ème
type dans le cas (2).
""
Preuve: Considérons le polynôme P(X) == xn P(l/ X) == aoxn + . . . + an-IX + an.
""
a) <=> P(X) et P(X) ont les mêmes zéros, avec pour chacun la même multiplicité <=>
(::lÀ E C* t.q. Vk E [0, n], an-k = Àak). On a alors an = Àao et ao == Àa n , donc
À 2 == 1, soit À == =FI. Par conséquent a) {:::::::} b).
REMARQUE VI.23. - Si P(X) est réciproque du 2ème type, P(l) == O.
Proposition VI.24. - Soit n E N, n > 3. <I>n,Q(X) est réciproque du 1er type, et
son degré cp(n) est pair. Notons pour abréger cp(n) =: 2m et notons
<I>n,Q(X) == b 2m (X 2m + 1) + b 2m _ l (x 2 m-l + X) + ... + bmxm (alors b 2m == 1).
Alors pour tout f E [1, n] premier avec n,
irr(cos(2f1r/n), Q, X) == 2 (b m + E  l 2b m + i T i (X)).
Preuve: . Les zéros de <I>n,Q(X) sont les exp(2i1rk/n), 1 < k < n, k premier avec n,
tous simples. Comme (1 < k < n - 1 et P.G.c.D.(k, n) == 1) Ç:} (1 < n - k < n - 1 et
P.G.c.D.(k, n - k) == 1), il vient: z zéro de <I>n,Q(X) {:::::::} 1/ z zéro de <I>n,Q(X), Donc
<I>n,Q(X) est réciproque. <I>n,Q(l) -=1 0, donc <I>n,Q(X) est réciproque du 1er type. Si z
racine de <Pn,Q(X), z2 #- 1 soit z -=11/ z. On peut donc grouper les racines de <Pn,Q(X)
par paires {z, 1/ z}, donc deg( <I>n,Q(X)) est pair.
· Notons Gn(X) == 2 (b m + El 2b m + i T i (X)). Alors (VI.19 et VI.21), Gn(X) E
Q[X], est unitaire, et deg(G n ) == m == <p(n)/2 == [Q(cos(2f1r/n)) : Q]. On a
}m <I>n,IQ(X) = b 2m (X m + }m )+b2m_l(xm-l+ X-l )+.. .+b m + 1 (X +  )+bm'
DeVI.19résulte:VsEN,Xs+ }s ==2Ts((X+ l )).
Donc xlm <I>n,Q(X) == 2mGn((X +  )).
Notons Çn == exp(2if1r/n), alors cos(21rf/n) == (çn + çn ) == (çn + ç )' donc
G n (cos (2f.1r ln)) = 2 ç <I>n,IQ((n) = O. Ainsi G n (X) = irr( cos (2f.1r ln), Q, X).
EXEMPLES VI.25. - . <I>4,Q(X) == X 2 + 1, donc G 4 (X) == irr(cos(21r/4),Q,X) ==
Tl(X)==X.
. <I>6,Q(X) = X 2 - X + 1, donc G 6 (X) == irr(cos(21r/6),Q,X) == (2Tl(X) -1) ==
X _l
2 .
. Soit p premier impair. <I>P,Q(X) == E f- Xi, donc, avec n == P;l :
Vf E [1, p - 1], irr( cos (2f1r /p), Q, X) = Gp(X) = 2 (1 + E : l 2T i (X)).
Par exemple G 3 (X) = irr(cos(21r/3),Q,X) = (1 + 2T l (X)) = X +,
Gs(X) = irr( cos(21r /5), Q, X) = i (1 + 2Tl (X) + 2T 2 (X)) = X 2 +  - i,
et G 7 (X) = irr(cos(21r/7), Q, X) = l(l + 2T l (X) + 2T 2 (X) + 2T 3 (X)) = X 3 +
l X 2 - l x _ l
2 2 8'

9 2. Sous-corps réel de Q(UJ n )
73
REMARQUE VI.26. - G 5 (X) = X2 +  -  a pour racines -1V5 et -1"4 V5 .
Comme les racines de G 5 (X) sont cos(27r /5) et cos(47r /5), et comme cos(47r /5) <
o < cos(21r /5), il vient: 1 cos(21r /5) = -1v'5 .1
Proposition VI.27 [GAUSS, 1796]. - cos( ; ) est égal à
116 ( -1 + v'f7 + yl 34 - 2v'f7 + V 68 + 12v'f7 + 2(-1 + v'f7) yl 34 - 2v'f7 -16 y1 34 + 2v'f7)
Corollaire VI.28. - Le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et
au compas.
En effet, comme lE est un sous-corps de IR stable par racine carrée, la formule précédente
montre que cos(27r /17) E lE.
Preuve: . Notons 0 = 27r /17 et u = exp(iO). L'ensemble PI7(CC) des racines primitives
17-ièmes de l'unité est P I7 (CC) = UJ l7 \ {1} = {u k , k E [1, 16]}. On sait que
<I>17,Q(X) = Il zE P 17(C) (X - z) = I:  o Xi.
Rappelons que pour tout k E [0,16], u l7 - k = ü k = u- k , et
(Rl) ,  (é + u- k ) =  (exp(ikO) + exp( -ikO)) = cos(2kO), et que
1
(R2) V( a, (3) E JI.2, cos a cos {3 = 2 (cos( a + (3) + cos( a - (3)).
. Posons al = u + u 9 + u l3 + u l5 + u l6 + uS + u 4 + u 2 ,
et a2 = u 3 + u lO + u 5 + U ll + u l4 + u 7 + U l2 + u 6 .
Comme <I>17,Q(U) = 0, al + a2 = -1. D'après (RI), al = 2(cosO + cos 80 + cos 40 +
cos 20) et a2 = 2(cos30 + cos 70 + cos 50 + cos 60). Développant le produit ala2, puis
utilisant (R2), on obtient: al a2 = 4( al + a2), soit al a2 = -4. Ainsi al et a2 sont les
racines de l'équation du second degré X 2 + X - 4 = 0, soit {al, a2} == {! ( -1 =F /17)}.
On a 0 < 0 < 20 < 30 < 40 < 7r /2 < 50 < 60 < 70 < 80 < 7r, et la fonction cos est
strictement décroissante sur [0, 7r] (R3).
Donc les cos( kO), k E [1,4] [resp. k E [5, 8]] sont> 0 [resp. < 0]. cos 30 + cos 60 =
2 cos(90 /2) cos(30 /2), or 0 < 30/2 < 7r /2 < 90/2 < 7r, donc cos 30 + cos 90 < O.
Donc a2 < O. Ainsi al = ! ( -1 + /17) et a2 = ! (-1 - /17).
. Posons b l = u + u l3 + u l6 + u 4 , b 2 = u 9 + u l5 + uS + u 2 , b 3 = u 3 + u 5 + u l4 + u 12 ,
et b 4 = u lO + U 11 + u 7 + u 6 . Alors b l + b 2 = al et b 3 + b 4 = a2. D'après (RI),
b l = 2( cos 0 + cos 40) et b 2 = 2( cos 80 + cos 20) et b 3 = 2( cos 30 + cos 50) et b 4 =
2( cos 70 + cos 60). Développant le produit b l b 2 [resp. b 3 b 4 ], puis utilisant (R2), il vient:
b l b 2 = 2I:=1 cos(kO) = al + a2 = -1 [resp. b 3 b 4 = 2I:=1 cos(kO) = -1]. Donc
b l et b 2 [resp. b 3 et b 4 ] sont les racines de l'équation du second degré X 2 - alX - 1 = 0
[resp. X 2 - a2X - 1 = 0], so it:
{b l , b 2 } = {! (al =F yi 4 + aI)} (resp. {b 3 , b 4 } = {! (a2 =F yi 4 + a) } ).
De (R3) découl e b l > b 2 et b 3 > b 4 . Par con séquent: b l = ! ( al + yi 4 + aI) et
b 2 = !(al - yl4 + aI) et b 3 = 1(a2 + yl 4 + a) et b 4 = !(a2 - yl 4 + a).
. Posons CI = U + u l6 et C2 = u 1 + U 13 . Alors CI + C2 = b l . D'après (R 1), CI = 2 cos 0 et
C2 = 2 cos 40. (R2) entraine CI C2 = 2( cos 30 + cos 50) = b 3 . Donc CI et C2 son t les raci nes
de l'équation du second degré X 2 - blX + b 3 = 0, soit {CI, C2} = {! (b l =F yl bI - 4b 3 )}.

74
CH. VI. CORPS CYCLOTOMIQUES
(R3) entraine CI > C2, donc CI = !(b l + y' bi - 4b 3 ).
. al = !(-1 + v'ï7) et ai + al - 4 = 0 entrainent b l !(al + y' 4 + aî)
i( -1 + v'ï7 + y' 34 - 2v'ï7). De même a2 = !( -1 - v'ï7) et a + a2 - 4 = 0
entrainent b 3 = ! (a2 + y' 4 + a) =  (-1- v'ï7 + y' 34 + 2v'ï7). Enfin cos (211" 117) =
!CI = i(b l + y' bi - 4b 3 ), d'où le résultat annoncé.
REMARQUE VI.29. - Nous expliquerons pourquoi les calculs ont été ainsi menés
après avoir exposé la théorie de Galois, au chapitre XI (XI.50).
3. Construction de polygones réguliers à la règle et au compas
Proposition VI.30 [et définition]. - Soit 0 E IR. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) Le point AB = (cos( 0), sin( 0)) est constructible
(ii) Le réel cos( 0) est constructible
(Ui) Le réel sin( 0) est constructible.
Lorsqu'elles sont remplies, on dit que 0 est un angle constructible.
Preuve: . (i) =} (ii) et (i) =} (iii) résultent de IV.9.
. (ii) =} (i) : Si cos( 0) est constructible, (cos( 0), 0) est constructible, donc AB, qui est
l'un des points d'intersection de la parallèle à (OJ) passant par (cos( 0),0) et du cercle de
centre 0 passant par l, est constructible.
. (iii) =} (i) : Si sin( 0) est constructible, (0, sin( 0)) est constructible, donc AB, qui est
l'un des points d'intersection de la parallèle à (01) passant par (0, sin( 0)) et du cercle de
centre 0 passant par l, est constructible.
Proposition VI.3I. - L'ensemble des angles constructibles est un sous-groupe de
(IR,+).
Preuve: Evidemment cos(O) = 1 E lE, donc l'angle nul est constructible. . .
Soient a et (3 deux angles constructibles. Les réels cos( a), sin( a), cos({3), et sin({3)
appartiennent à lE. Or d'après IV.lO, lE est un sous-corps de IR. Donc cos(a - (3) =
cos( a) cos({3) + sin( a) sin({3) E lE. Ainsi l'angle a - (3 est constructible.
Définition VI.32 [Polygone construct.ible]. - Soit n E N*. On dit que le polygone
régulier à n côtés est constructible si, et seulement si, l'angle 211"1 n est constructible.
Lemme VI.33. - Soit m et n deux entiers naturels > 1, prelniers entre eux. Le
polygone régulier à mn côtés est constructible si, et seulement si, les polygones
réguliers à m. côtés et n côtés sont tous deux constructibles.
Preuve: . Si l'angle 211"1 (mn) est constructible, soit si a = cos (211" 1 (mn)) E lE, alors
comme cos(211" lm.) = Tn(a) et cos (211" ln) = Tm(a) appartiennent à Z[a] donc à Q(a),
ils appartiennent à lE, et les angles 211" lm et 211" 1 n sont tous deux constructibles.
. Supposons les angles 211" lm et 211" ln tous deux constructibles. met n sont premiers entre
eux, donc d'après le théorème de Bezout il existe (u, v) E Z2 tel que mu + nv = 1. Il
vient r: = U 2: + v ;: . Donc d'après la proposition précédente, l'angle 211"1 (mn) est
constructible.
Lemme VI.34. - Soit n un entier naturel > 2. Soit; n = pfl p2 . . . pk (les ]Ji
premiers distincts, les ai E N*) une décomposition de n en produit de facteurs
prenliers. Le polygone régulier à n côtés est constructible si, et seulement si, les
polygones réguliers à pfi côtés, 1 < i < k, sont tous constructibles.

9 3. Construction de polygones réguliers à la règle et au compas
75
Preuve: Découle du lemme précédent, en raisonnant par récurrence sur k.
Proposition VI.35 [et définition: Nombres de FERMAT]. - Pour q E N, on a :
2 q + 1 est premier =} q == 0 ou q est une puissance de 2.
On pose Vn E N, Fn == 2 2n + 1. Fn est appelé le nombre de FERMAT d'indice n.
Preuve : Supposons que q E N* et q n'est pas une puissance de 2. Il vient q == k2 b ,
où k naturel impair > 3 et b naturel, soit q == (2a + 1)2 b , où (a, b) E N* x N. Par
conséquent, notant D == 2 2b : 3 < D + 1 < 2 q + 1, et 2 q + 1 = D 2 a+1 _ (_1)2a+1 ==
(D + 1) E;o (_l)i D 2 a-i est divisible par D + 1. Donc 2 q + 1 n'est pas premier.
REMARQUE VI.36. - Les cinq premiers nombres de FERMAT sont: Fo == 3, FI == 5,
F 2 == 17, F3 = 257, F4 == 65537. Ils sont tous premiers. FERMAT aurait conjecturé
que tous les Fn sont premiers, mais EULER découvrit en 1732 que Fs == 2 25 + 1 est
divisible par 641, donc non premier.
Erltre cette date et aujourd'hui (1991), on a testé (souvent à l'aide d'ordinateurs)
les Fn pour n < 21 et pour quelques autres valeurs de n, sans découvrir d'autre
nombre prernier que les cinq ci-dessus. La conjecture ouverte à l'heure actuelle est
que, pour n > 5, tous les Fn sont composés, c'est-à-dire non premiers.
Proposition VI.37. - a) Pour a E N*, le polygone régulier à 2 Q côtés est
constructible.
b) Soit P un nombre premier > 3, a E N*. Le polygone régulier à p Q côtés est
constructible si, et seulement si, (a == 1 et P est un nombre premier de FERMAT).
Preuve: a) On procède par récurrence sur a.
- C'est clair pour a = 1, car cos(21r /2) == -1 E lE.
- C'est clair pour a = 2, car cos(21r / 4) == 0 E lE.
- Supposons la propriété vraie pour a > 2, c'est-à-dire supposons que le point A 27r /20; est
constructible. On en déduit que le milieu B de [I, A27r/2°;] est constructible, puis que le
point d'intersection A 27r / 2 0;+1 de (OB) et du cercle unité C(O, 1) est constructible. Ainsi
la propriété est vraie pour a + 1.
b) . Soit P un nombre premier, et soit a E N*. Supposons que le polygone régulier à
pQ côtés est constructible, c'est-à-dire que cos(21r /pQ) est constructible. Alors d'après
IV. 14, 3e E N t.q. [Q(cos(21r/pQ)) : Q] == 2 e . Or d'après VI.21, [Q(cos(21r/pQ)) : Q] ==
<p(pQ) == pQ-1(p _ 1). Il vient pQ-1(p - 1) == 2 e + 1 . Si a > 2, p divise pQ-1(p - 1)
donc 2 e + 1 . P étant premier, il vient p = 2. Par conséquent, si p > 3, on a a == 1.
pQ -1 (p _ 1) = 2 e + 1 donne alors p == 2 e + 1 + 1, donc p est un nombre premier de FERMAT.
. II reste à démontrer la réciproque de ce résultat, à savoir: Si p est un nombre premier de
FERMAT, alors le polygone régulier à p côtés est constructible.
Nous admettons provisoirement ce résultat, qui sera démontré au cours du chapitre XI
(XI.50).
Théorème VI.38 [GAUSS (1801)]. - Soit n E N, n > 2. On peut construire le
polygone régulier à n côtés à la règle et au compas si, et seulement si :
- ou bien il existe a E N* tel que n = 2 Q
- ou bien il existe a E N et Pl, . . . , Pk nombres de FERMAT premiers et distincts
tels que n == 2 Q p1.. .Pk'
Preuve : Découle du lemme VI.34 et de la proposition précédente.
EXEMPLES VI.39. - Pour n E {2, 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17, 20}, le polygone
régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas.

76
CH. VI. CORPS CYCLOTOMIQUES
Pour n E {7, 9, Il, 13, 14, 18, 19}, le polygone régulier à n côtés n'est pas con-
structible à la règle et au compas.
EXEMPLES VI.40. - Construction effective de quelques polygones réguliers
On reprend les notations de IV et on note, pour n E N*, Un l'ensemble
{O+e(z)i+m(z)j, z E Un} == {0+cos(2k7r/n)i+sin(2k7r/n)j,0 < k < n-1}
des sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dans C(O, 1) dont un sommet est 1.
. Pour n == 2, U 2 == {l, l'} == C(O, 1) n (01). (l' désigne le point (-1,0).
. Pour n == 3, comme cos(27r/3) == -1/2, U 3 == {l, JI, J 2 } où JI et J 2 sont les points
d'intersection de C(O, 1) et de la médiatrice de (01'). La construction est facile.
. Pour n == 4, U 4 == {l, J, l' , J'}, où {J, J'} == C ( 0, 1) n (0 J). La construction est
triviale.
. Remarque utile: Soit n E N, n > 3. Notons, pour chaque k, Mk == 0 + cos(2k7r /n)i +
sin(2k7r/n)j, de sorte que Un == {Mo == l, Ml"", M n - l }.
Alors: Vk, IIMkMk+lll == 1 exp(2i(k + l)7r/n) - exp(2ik7r/n)1 == Il - exp(2i7r/n)1 ==
IIMoMll1 == III MIll. Ayant construit Ml à la règle et au compas, on peut alors construire
successivement, au compas, chaque Mk+l comme le point d'intersection autre que M k - l
du cercle unité C(O, 1) et du cercle C(M k , III MIl!).
. Pour n == 6, on peut remarquer que
III Ml 11 2 == Il - exp(2i7r/6)1 2 == (cos(7r/3) - 1)2 + sin 2 (7r/3) == 2 - 2cos(7r/3) == 1.
Par conséquent, on a C(O, 1) n C(l, 1) == {Ml, Ms}, C(O, 1) n C(M l , 1) == {l, M 2 },
C(O, 1) n C(Ms, 1) == {l, M 4 }, et C(O, 1) n C(M 2 , 1) n C(M 4 , 1) == {M 3 } (d'ailleurs
M3 == l'). La construction est aisée au moyen du compas seul.
. Pour n == 5, rappelons que cos(27r /5) == -11 V5 (cf. VI.26). So it D le milieu de [ 0, l']
(c'est-à-dire le point (-, 0). D'après Pythagore, IIDJII = ) IIOJII 2 + IIODII 2 , soit
IIDJII == . Le point d'intersection Ede [0,1] et de C(D, IIDJI!) a donc pour abscisse
-  + IIDJII == -lt VS . Le milieu F de [0, E] a donc pour abscisse cos(27r /5).
On peut donc utiliser le procédé suivant:
- construire (à la règle et au compas) l'
- construire le milieu D de [0, l']
- construire le point d'intersection E de [0,1] et de C(D, IIDJI!)
- construire le milieu F de [0, E]
- construire la perpendiculaire à (01) passant par F : ses points d'intersection avec
C(O, 1) sont Ml et M4
- construire enfin les cercles C(M l , III MIll) et C(M 4 , III MIl!) :
on a C(O, 1) n C(M l , III MIl!) == {l, M 2 } et C(O, 1) n C(M 4 , III MIll) == {l, M 3 }.
4. Appendice : quelques polynômes cyclotomiques
l,Q(X) = x - 1
2,Q(X) = x + 1
3,Q(X) = x 2 + x + 1
4,Q(X) = x 2 + 1
5,Q(X) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
6,Q(X) = x 2 - x + 1
7,Q(X) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
8,Q(X) = x 4 + 1
9,Q(X) = x 6 + x 3 + 1

9 4. Appendice: quelques polynômes cyclotomiques
77
10,Q(X) = x 4 - x 3 + x 2 - X + 1
ll,Q(X) = x lO + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + X 5 + x 4 + x 3 + x 2 + X + 1
12,Q(X) = x 4 - X 2 + 1
12 .
13,Q(X) = L.Ji=O X
14,Q(X) = x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + X 2 - X + 1
15,Q(X) = x 8 - X 7 + x 5 - x 4 + X 3 - X + 1
16,Q(X) = x 8 + 1
16 .
17,Q(X) = L.Ji=O X
18,Q(X) = x 6 - X 3 + 1
18 .
19,Q(X) = L.Ji=O X
20,Q(X) = x 8 - x 6 + X 4 - X 2 + 1
21,Q(X) = X 12 - XlI + x 9 - X 8 + X 6 - X 4 + X 3 - X + 1
22,Q(X) = x lO - x 9 + x 8 - X 7 + X 6 - X 5 + X 4 - x 3 + x 2 - X + 1
22 .
23,Q(X) = L.Ji=O X
24,Q(X) = x 8 - X 4 + 1
25,Q(X) = x 20 + X 15 + Xl0 + x 5 + 1
26,Q(X) = X 12 - XlI + x lO - x 9 + x 8 - x 7 + x 6 - x 5 + X 4 - x 3 + x 2 - X + 1
27,Q(X) = X 18 + X 9 + 1
28,Q(X) = X 12 - x lO + X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1
28 .
29,Q (X) = L.Ji=O X
30,Q(X) = x 8 + X 7 - x 5 - x 4 - X 3 + X + 1
30 .
4>31,Q(X) = L.Ji=O X
32,Q(X) = X 16 + 1
33,Q(X) = x 20 _X 19 +X 17 _X 16 +X 14 _X 13 +Xll_Xl0+X9 -X 7 +X 6 _X4+X3 -X +1
34,Q(X) = X 16 - X 15 + X 14 - X 13 + X 12 - XlI + X 10 - X 9 + X 8 - X 7 + X6 - x 5 + x 4 -
x 3 + x 2 - X + 1
35,Q(X) = X 24 - X 23 + X19 - X 1 8 + X 1 7 _ X 16 + X 14 _ X 13 + X 12 - XlI + X i o - x 8 +
x 7 - X6 + X5 - X + 1
36,Q(X) = X 12 - X6 + 1
36 .
37,Q(X) = L.Ji=O X
38,Q(X) = X 18 - X 17 + X16 - X 15 + X 14 - X 13 + X12 _ XlI + Xio - X9 + X8 - X7 + X6-
x 5 + x 4 - x 3 + X 2 - X + 1
39,Q(X) = X 24 - X 23 + X21 - x 2 0 + X 1 8 _ X17 + XI5 - X 14 + X12 - Xl0 + X9 - X 7 +
x 6 - x 4 + X3 - X + 1
40,Q(X) = X 1 6 - X 1 2 + X8 - X 4 + 1
40 .
41,Q(X) = Lii=O X
42,Q(X) = X 12 + XlI - x 9 - x 8 + X 6 - X 4 - x 3 + X + 1
42 .
43,Q(X) = Lii=O X1,
44,Q(X) = x 2 0 - X 1 8 + X 1 6 - X 14 + X12 - X 1 0 + x 8 - X 6 + X 4 - x 2 + 1
45,Q(X) = X 24 - X 21 + X 15 - X 12 + x 9 - X3 + 1
22 .
46,Q(X) = Lij=o(-X)J
46 .
47,Q(X) = Lii=O X
48,Q(X) = X 16 - x 8 + 1
49,Q(X) = X 42 + X 35 + X 28 + X 21 + X 14 + X 7 + 1
50,Q(X) = X 20 - X 15 + x lO - X5 + 1
51,Q(X) = X32 - X31 + X 2 9 - X 2 8 + X26 _ X 25 + X 23 _ X 22 + X 20 - X 1 9 + X 17 _ X 16 +
X 1 5 _ X 1 3 + X 12 - x lO + X9 - X7 + X6 - x 4 + x 3 - X + 1
52,Q(X) = X 24 - X 22 + X 20 - X 18 + X 16 _ X 14 + X 12 - X 10 + X 8 - X 6 + X 4 - x 2 + 1
52 .
53,Q(X) = Lii=O X
54,Q(X) = X 1 8 - X9 + 1
55,Q(X) = x 40 - X39 + X35 - X 3 4 + X30 _ X 28 + X 25 _ X 2 3 + x 20 _ X17 + X 15 - X 12 +
Xl0 - X 6 + X5 - X + 1

78
CH. VI. CORPS CYCLOTOMIQlTES
56,Q(X) = X 24 - x 20 + X l6 - X l2 + X8 - X4 + 1
57,Q(X) = X 36 - X 35 + X 33 - X 32 + X30 _ X29 + X 27 _ X 26 + X 24 _ X 2 : 3 + X 21 _ X 20 +
X 18 _ X l6 + X l5 - X l3 + X l2 - X IO + X9 _ X7 + X 6 _ X 4 + X3 - X + 1
28 .
<I>s8,Q(X') = L.Jj=O( _Y)J
58 .
<I>59,Q(X) = L.Ji=O X
<I>60,Q(X) = X l6 + X l4 - X IO - X8 - X 6 + X 2 + 1
60 .
61,Q(X) = L.Ji=O X
30 .
<I>62,Q(X) = L.Jj=O( -X)J
63,Q(X) = X36 - X 33 + X 27 - X 24 + X 1 8 - X l2 + X9 - X3 + 1
<I>64,Q(X) = X32 + 1
<I>65,Q(X) = X48 - X47 + X43 - X 42 + X38 _ X37 + X35 _ X34 + X3 3 - X32 + X30 _ X 2 9 +
X28 _ X27 + X 2 5 _ X 24 + X23 _ X21 + X20 _ X 19 + X 18 _ X 1 6 + X 15 _ X 14 + X 1 3 _ XlI +
Xl0 - X6 + X5 - X + 1
<I>66,Q(X) = X20 +X 19 _X17 _X16 +X14 +X13 _XlI _XIO -X9 +X7 +X6 -X4 -X3 +X + 1
66 .
<I>67,Q(X) = L.Ji=O X t
68,Q(X) = X 32 - X 30 + X 28 - X 26 + X 24 _ X 22 + X 2 0 _ X 18 + X I6 _ X I4 + X 12 _ XIO +
X8 - X6 + X 4 - X2 + 1
69,Q(X) = X4 4 - X 43 + X 41 - X 4 0 + X 3 8 _ X37 + X35 _ X34 + X32 _ X 31 + X 2 9 _ X28 + X 26 _
X 25 +X 23 _X22+X21_X19 +X 18 _X16+X 15 _X13 +X12_X 10 +X 9 -X 7 +X 6 - X4+X 3 -X + 1
70,Q(X) = X 24 + X23 - X19 - X 1 8 - Xl7 _ X16 + XI4 + Xl3 + X12 + XlI + X 1 0 - X8 _
X7 - X6 - X 5 + X + 1
70 .
71,Q(X) = L.Ji=O X
72,Q(X) = X 24 - X12 + 1
72 .
73,Q(X) = L.Ji=O X
36 .
74,Q(X) = L....,i=O (-X)
75,Q(X) = X 40 - X35 + X 25 - X20 + Xl5 - X5 + 1
<I>76,Q(X) = X36 - X34 + X 32 - X30 + X 2 8 _ X 2 6 + X 24 _ X 22 + X 2 0 _ X 1 8 + X16 _ X 14 +
X 12 _ Xl0 + X8 - X6 + X4 - X2 + 1
<I>77,Q(X) = X 60 - X 59 + X 53 - X 52 + X 49 _ X 48 + X 46 _ X 45 + X 42 _ X 41 + X39 _ X37 +
X35 _ X34 + X 32 _ X 30 + X 28 _ X 26 + X 2 5 _ X 2 3 + X 21 _ X l9 + X 1 8 _ X 1 5 + X14 _ X 12 +
XlI - X8 + X7 - X + 1
78,Q(X) = X 24 + X 23 - X 21 - X 2 0 + X18 + X l 7 _ X 15 _ X 14 + X 12 - X 1 0 - X 9 + X 7 +
X6 - X 4 - X3 + X + 1
78 .
79,Q(X) = L....,i=O X
80,Q(X) = X 32 - X 24 + X 1 6 - X8 + 1
81,Q(X) = X54 + X 27 + 1
40 .
<I>82,Q(X) = L.Ji=O( -X)
82 .
83,Q(X) = L.Ji=O X
84,Q(X) = X 24 + X 22 - X I8 - X 1 6 + X12 - X 8 - X 6 + X 2 + 1
<I>85,Q(X) = X64 - X63 + X59 - X58 + X54 _ X53 + X 4 9 _ X 4 8 + X 47 _ X46 + X 4 4 _ X 4 3 +
X 42 _ X 41 + X39 _ X 38 + X37 _ X36 + X 34 _ X 33 + X32 _ X31 + X 30 _ X 2 8 + X27 _ X 26 +
X25 _ X23 + X 2 2 _ X 21 + X20 - X 1 8 + X 1 7 _ X 1 6 + X 1 5 - XlI + Xl0 - X6 + X5 - X + 1
42 .
86,Q(X) = L.Ji=O( -X)
87,Q(X) = X56 - X55 + X 5 3 - X52 + X50 _ X 49 + X 47 _ X 4 6 + X 44 - X 43 + X 41 _ X 40 +
X38 _ X37 + X35 _ X34 + X32 _ X31 + X 2 9 _ X28 + X27 _ X25 + X24 _ X 22 + X21 _ X 1 9 +
X 1 8 _ X 16 + X 15 - XI3 + X l2 - X 10 + X 9 - X 7 + X6 - X 4 + X 3 - X + 1
88,Q(X) = X40 - X36 + X32 - X28 + X24 - X 2 0 + X16 - X 12 + X8 - X 4 + 1
88 .
<I>89,Q(X) = L....,i=O X
90,Q(X) = X 24 + X 21 - X 15 - X 12 - X9 + X 3 + 1
91,Q(X) = X72 - X71 + X65 - X64 + X59 _ X57 + X 52 _ X50 + X46 _ X 4 3 + X39 _ X36 +
X33 _ X 2 9 + X 26 - X 22 + X20 - X 1 5 + X 1 3 - X8 + X 7 - X + 1

9 5. Exercices
79
<I>92,Q(X) = X4 4 - X42 + X40 - X38 + X36 - X34 + X32 - X30 + X28 _ X26 + X 24 _ X22 +
X20 _ X l 8 + X16 - X l4 + X 12 - Xl0 + X8 - X6 + x 4 - x 2 + 1
93,Q(X) = X60 - X59 + X57 - X56 + X54 - X53 + X51 _ X50 + X48 - X47 + X 45 _ X44 +
X 42 _ X 41 + X39 _ X 38 + X 36 _ X 35 + X 33 _ X32 + X30 _ X 28 + X 27 _ X 2 5 + X24 _ X22 +
X 21 _ X19 + X l 8 - X16 + X15 - X13 + X12 - Xl0 + X9 - X7 + X6 - X4 + X3 - X + 1
46 .
94,Q(X) = L--i=O( -X)1.
<I>95,Q(X) = X72 - X71 + X 67 - X66 + X62 - X61 + X 57 _ X56 + X53 - X51 + X48 _ X46 +
X 43 _ X41 + X 38 _ X 36 + X34 _ X31 + X29 _ X26 + X24 _ X21 + X19 _ X16 + X15 _ XlI +
X IO - X 6 + X 5 - X + 1
96,Q(X) = X32 - X l6 + 1
96 .
97,Q(X) = L--i=O X1.
98,Q(X) = X42 - X35 + X28 - X 2 1 + X l 4 - X 7 + 1
99,Q(X) = X60_X 57 +X51_X48+X42_X39+X33_X30+X27 -X21+XI8_XI2+X9_X3+1
IOO,Q(X) = X40 - X30 + X 20 - Xl0 + 1
100 .
101,Q(X) = L--i=O X
I02,Q(X) = X32 + X31 - X29 - X28 + X26 + X25 _ X23 _' X 2 2 + X 20 + Xl9 _ Xl7 _ Xl6 _
X l5 + Xl3 + Xl 2 - Xl0 - X 9 + X7 + X6 - X 4 - X3 + X + 1
I02 .
<I>I03,Q(X) = L--i=O X
I04,Q(X) = X 48 - X 44 + X40 - X 36 + X32 - X 28 + X 24 - X 20 + X l 6 - X l 2 + X 8 - X 4 + 1
I05,Q(X) = X 4 8 + X 47 + X46 - X 43 - X42 - 2 * X41 _ X 40 _ X 39 + X36 + X 3 5 + X34 + X33 +
X 32 + X31 _ X28 _ X26 _ X 24 _ X 2 2 _ X 2 0 + Xl7 + X l 6 + X l 5 + X14 + X13 + X12 _ X9 _
X8 - 2 * X7 - X6 - X5 + X2 + X + 1
5. Exercices
(VI-l) - Montrer que tout sous-groupe fini de C* est cyclique. (Indication .' Soit G un sous-groupe fini de C*.
Montrer d'abord que G C lU. Utiliser le morphisme surjectifx  e ix de IR dans lU et lefait qu'un sous-groupe
de IR est dense ou monogène pour prouver que G est cyclique). Montrer que les sous-groupes finis de C* sont
les lUn, n E N*.
(VI-2) - Montrer que la somme des puissances q-ièmes des racines n-ièmes de l'unité est nulle si q n'est pas
multiple de n, et égale à n si n divise q.
(VI-3) - Soit P(X) E C[X] un polynôme de degré n tel qu'il existe M E IR+ vérifiant: \lz E lU, IP(z)1 < M.
Montrer que chacun des coefficients du polynôme P(X) à un module inférieur ou égal à M. (Indication .' on
pourra considérer w = exp( 7rI )' et étudier les P(w k )).
(VI-4) - 1) Soit (QI"", Qn) E cn, et soit 1\1 E IR+ avec: \Ii E [1, n], IQil < M. On considère le polynôme
P(X) = rr=l (X - Qi) = X n + E=l (-l)iO"i xn -i. Montrer que: \lp E [1, nD, 100pi < CMP.
2) On considère l'ensemble E des polynômes unitaires de Z[X] de degré n fixé qui vélifient P(O) =F 0 et
((\lz E C) P(z) = 0 => Izl < 1).
a) Montrer que l'ensemble E est fini.
b) Soit P E E, soit (Zl, . . . , Zn) la liste de ses racines complexes (chacune répétée un nombre de fois égal à sa
multiplicité). Pour k E N*, on pose Pk (X) = rr= 1 (X - Zi k). Montrer que Pk (X) E E.
c) Montrer enfin que: \lP E E, toutes les racines de P(X) sont des racines entières de l'unité.
("1-5) - Soient (n + 1) nombres complexes distincts Zo, Zl, . . . , Zn vérifiant:
n
\:IP E iCn-dX], P(zo) =  '2: P(Zk)'
k=l
En notant <I>(X) = rr;=l (X - Zk), calculer pour k donné (avec 1 < k < n), l'expression
 ( Zo )
(zo - Zk)<I>'(Zk) .

80
CH. VI. ,CORPS CYCLOTOMIQUES
Montrer que (X) =  (X - zo)<I>' (X) + (zo).
On se place dans le plan complexe. Montrer que Zl, . . . , Zn sont les sommets d'un polygone régulier de centre
zoo
(VI-6) - Soit w une racine primitive n-ième de l'unité. Montrer que <Q(w) est le corps des racines du polynôme
X n - 1.
(VI-7) - a) Montrer que pour n E N avec n impair et n =F 1, 2n,Q(X) = n,Q( -X).
b) Montrer que pour n E N avec n pair, 2n,Q(X) = <I>n,Q(X2).
(VI-8) - Soient n E Net P un nombre premier. Montrer que, si PAn, <I>n,Q(XP) = np,Q(X)<I>n,Q(X); et
que, si vin, n,Q(XP) = <I>np,Q(X),
(VI-9) - Soit n un entier naturel, avec n > 2. Soit n = Pl eq . . . Pk Ctk (où les Pi premiers distincts,
les Qi E N* ) une décomposition de n en produit de facteurs premiers. Soit r = Pl . . . Pk. Montrer que
n,Q(X) = r,Q(xn/r).
(VI-10) - Calculer n,Q(l) et n,Q( -1) pour n E N*.
(VI-11) - Soit n E N*. Montrer que n,Q(X) = Ild'n (Xd - l)JL(n/d), où J.L désigne la fonction de Mobius
(voir VII.33).
(VI-12) - Nombres de FERMAT.
1-1) Soient a et n deux entiers naturels. Montrer que a 2n + 1 + 1 est divisible par a + 1.
1-2) En déduire que si n = k2 e , où k naturel impair et e naturel, alors 2 n + 1 est divisible par 2 2e + 1.
1-3) En déduire: 2 q + 1 est premier ==> (q = 0 ou q est une puissance de 2).
On pose: Vn E N, Fn = 2 2n + 1.
II) Montrer que: Vn E N, Vk E N*, Fn divise 2 F n - 2.
111-1) Montrer que: Vn E N, Vk E N*, Fn divise Fn+k - 2.
111-2) Montrer que: V(m, n) E N2, m =F n ==> Fm et Fn premiers entre eux.
(VI-13) - Montrer que le théorème selon lequel il n'existe qu'un nombre fini d'entiers n tels que chacun des
nombres n et n + 1 n'admette qu'un diviseur premier est équivalent au théorème selon lequel il n'existe qu'un
nombre fini de nombres de Mersenne (de la forme 2 m - 1, mEN) premiers, et qu'un nombre fini de nombres
de Fermat premiers.
(VI-14) - Soit 8 E 1r<Q : 8 = 1r E , où P E Z, q E N*, et P.G.C.D.(p, q) = 1. On suppose que cos(8) E <Q.
q
1 )a) On suppose q impair. Montrer que cos( 8) est de la forme :f:2- e, avec e EN; puis démontrer, en considérant
cos(28), que e = 0 ou 1. (Indication .' On commencera par considérer Tq( cos(8)), où Tq(X) est le polynôme
de Tchebytcheff d'indice q).
l)b) Montrer que cos(8) E {O, :f:, :f:1}.
2) Déterminer tous les x E <Q tels que cos( X1r) E <Q.
(VI-15) - Soit P(X) = E=o akXk E C[X] de degré n.
1 27r
1) Calculer pour k E Il, h = 2; 0 P(ei9)e-ik9 d6,
2) Montrer que: Vk E [0, nD, lakl < sUPzEuIP(z)l.
3) Notant Zl,..., Zn+lles racines (n + l)-ièmes de l'unité dans C, calculer, pour q E Z, Bq = E;: zf.
Montrer que: Vp E [0, n], lapi < kE[+ID IP(Zk)l.
Comparer avec le résultat obtenu au 2).

CHAPITRE VII
CORPS FINIS
Nous avons rencontré, dès le chapitre 1, les corps finis JF p , p nombre premier. Dans ce
chapitre, on effectue une étude systématique de tous les corps finis. Le premier résultat
important est le théorème de WEDDERBURN, qui affirme qu'ils sont tous commutatifs. On
démontre ensuite l'existence et unicité à isomorphisme près d'un corps fini àpn éléments
(p premier, n naturel non nul). On établit que le groupe des automorphismes d'un corps fini
est cyclique, en exhibant explicitement un générateur: l'endomorphisme de FROBENIUS. La
fin du chapitre est consacrée à des compléments, que le lecteur pourra omettre en première
lecture.
1. Structure de JF p.e. v. Commutativité
Nous nous affranchissons provisoirement, jusqu'à la fin de la démonstration du théorème
de WEDDERBURN, de l'hypothèse de commutativité des anneaux et corps considérés.
Proposition VII.l. - Tout anneau intègre ayant un nombre fini n > 2 d'éléments
est un corps.
(N.B. : On ne suppose pas ici que l'anneau est commutatif ni qu'il est unitaire).
Preuve: Soit A un tel anneau.
. Pour a E A*, considérons l'application L(a) de A dans A définie par: \/x E
A, L(a)(x) = aXe De la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition découle
le fait que L(a) est un endomorphisme de groupe de (A, +). Comme A est intègre, L(a)
est injectif. Puisque L(a) est une application de A dans A et que A est fini, L(a) est donc
bijectif.
. Fixons a E A *, L( a) étant bijective, il existe un unique e de A tel que L( a) (e) = a.
L'élément e est non nul, sinon a le serait aussi.
- Pour tout x de A, L(a)(ex) = a(ex) = (ae)x = ax = L(a)(x), donc ex = X.
- Pour tout x de A, (xe - x)a = (xe)a - xa = x(ea) - xa = xa - xa = 0, donc A étant
intègre et a non nul, xe - x = 0, soit xe = X.
A ce stade A est un anneau unitaire. (e est neutre multiplicatif).
. Soit x E A * . L( x) étant bijective, il existe un unique y de A tel que L( x) (y) = e. (Alors
y est non nul, sinon e le serait aussi). On a L(x)(yx) = x(yx) = (xy)x = ex = x =
xe = L(x)(e), donc yx = e. Ainsi tout x de A* est inversible pour la multiplication.
Théorème VII.2. - Soit F un corps fini. Alors:
- Sa caractéristique est un nombre premier p.
- Son sous-corps premier est isomorphe à JF p.
- Il existe n E N* tel que Card(F) = pn.
REMARQUES VII.3. - 1) Pour p premier, le corps JFp(X) des fractions rationnelles
à coefficients dans JF p est un corps infini de caractéristique p.
2) Pour tout corps fini F, le nombre d'éléments de F est de la forme pn, où pest
premier et n E N*. Par exemple il n'existe pas de corps à 6 éléments, ni de corps
à 3(2859433 - 1) éléments.

82
CH. VII. CORPS FINIS
Preuve : Comme F est intègre, caract(F) est a ou un nombre premier, et comme F est
fini, caract(F) est non nulle. Ainsi caract(F) = p E JP>. La décomposition canonique
du morphisme f : Z --t F, z  ZIF nous fournit 'ljJ : Z/pZ == JF p --t F
morphisme d'anneaux donc de corps injectif, avec 'ljJ(I) == f(l) == IF. Ce qui prouve
que le sous-corps premier de F est 'ljJ(JF p) isomorphe à JF p et que F est un JF p-espace
vectorie1. Comme F' est fini, F est un JF p-espace vectoriel de dimension finie. Notons
n == [F : JF p ] == dimIFpF E N* : alors les JFp-espaces vectoriels F et (JFp)n sont
isomorphes, donc en bijection. D'où C ard(F) == Card((JFp)n) == pn.
Théorème VII.4 [WEDDERBURN]. - 1 Tout corps fini est commutatif. 1

Lemme VII.S [Equation des classes]. - Soit G un groupe fini noté multiplicative-
ment, soit Z(G) son centre (Z(G) == {x E G/Vy E G, xy == yx}). Soit n l'ensemble
des classes de conjugaison non réduites à un singleton. Soit, pour chaque x de G,
Sx == {g E G/g- 1 xg == x} le stabilisateur de x.
Alors ICI = IZ(C)I + 2.: CE o ,lf'l (somme dans laquelle on prend un et un seul
élément x dans chacune des classes C de D).
Preuve: On fait opérer G sur lui-même par les automorphismes intérieurs {g : G --t
G, x  g-lxg, 9 E G. On obtient ainsi une partition de G en un nombre fini d'orbites
(on appelle orbite de x la partie { {g (x), 9 E G} de G). L'orbite de x est réduite à {x } si, et
seulement si, x E Z (G). Il existe donc 1 Z ( G) 1 orbites réduites à un singleton; l'ensemble
des autres constitue D. Pour chaque C de D, prenant x E C, on a C == {, 9 (x), 9 E G}
et l'application G  C,g  (g(x) est surjective. Or chaque tranche est de la forole
gSx donc a pour cardinal ISxl, donc Card(C) == IGI/ISxl est égal à l'indice dans G du
sous-groupe Sx stabi1isateur de x. D'où la formule annoncée.
Lemme VII.6. - Soit n > 1. Pour tout diviseur d de n distinct de n, le polynôme
<I>n,Q(X) divise le polynôme (xn - l)/(X d - 1) dans Z[X].
Preuve: Cela découle de suite des formules: xn - 1 == TI81n <I>6,Q(X) et X d - 1
TI61d <I>6,Q('X), et du fait que : Vrr E N*, <Pm,Q(X) E Z[X].
Démonstration du théorème de WEDDERBURN :
Soit F un corps fini, évidemment non supposé commutatif. Le centre Z == {x E F /Vy E
F, xy == yx} de F est un sous-corps commutatif de F. Notons q == Card(Z). Soit p la
caractéristique de Z. Alors Z est un JFp-e.v. de dimension nécessairement finie. Notons
f == [Z : JF p]. Alors Card( Z) == pl. F est un Z-e. v. de dimension nécessairement finie.
Notons n == [F : Z]. Alors Card(F) == qn.
Pour x E F* == F\{a},considéronsC(x) == {y E F/xy == yx}: C(x) est un sous-corps
de F contenant Z, donc C(x) est un Z-e.v. de dimension nécessairement finie. Notant
8(x) == [C(x) : Z], on a Card(C(x)) == q8(x). On applique l'équation des classes au
groupe multiplicatif F* de cardinal qn - 1, dont le centre n'est autre que Z* == Z \ {a} de
cardinal q - 1, en remarquant que pour x E F*, Sx == {y E F* /xy == yx} est le groupe
multiplicatif C(x)* du corps C(x), donc Card(Sx) est égal à q6(x) - 1. (Donc q6(x) - 1
divise qn - 1, donc 8(x) divise n. Et 8(x) == n équivaut à x E Z). Il vient
n qn - 1
(*) q - 1 = q - 1 + L q6(x) _ 1
xER
(somme dans laquelle x parcourt un ensemble R formé d'un représentant de chacune des
classes non réduites à un singleton).

9 ]. Structure de JF p-e. v. Commutativité
83
On a : R = (/) {::} F = Z {::} [F : Z] = 1 {::} n == 1.
Supposons n > 1. <I>n,Q(q) divise qn - 1 et, d'après le lemme précédent, <I>n,Q(q)
divise chacun des termes de la somme de l'égalité (*). Donc <I>n,Q(q) divise q - 1. D'où
l<I>n,Q(q)1 < q - 1. Mais <I>n,Q(q) = TIçE'Pn(C) (q - ç), où Pn«C) est l'ensemble des
racines primitives n-ièmes de l'unité, donc une partie du cercle unité V. Pour chaque
ç E Pn(<C), Iq - çl > q - lçl == q - 1, avec égalité si, et seulement si, ç == 1. Or n > 1,
donc un au moins des ç de Pn(<C) est différent de 1, donc un au moins des facteurs Iq - çl
est>q-1.
D'où l<I>n,Q(q)1 = TIEPn(q Iq - çl > TIEPn(q (q - 1) = (q _1)<p(n) > q - 1.
La contradiction avec l<I>n,Q(q) 1 < q - 1 est manifeste.
Ainsi n = 1, soit F == Z : F est commutatif. 0
Théorème VII.7. - Soit K un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe
multiplicatif K* est cyclique.
Preuve : Soit G un sous-groupe fini de K*, n son ordre. Soit d un diviseur de n. Le
polynôme X d - 1, de degré d à coefficients dans le corps commutatif K, admet au plus d
racines dans K. Donc l'équation x d == 1, à l'inconnue J; E G, admet au plus d solutions
distinctes. De 1.24 résulte que G est cyclique.
Corollaire VII.8. - Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
Preuve: Si F est un corps fini, il est commutatif d'après WEDDERBURN. F* est évidemment
fini. Il est donc cyclique d'après le théorème précédent.
REMARQUES VII.9. - 1) Par exemple, pour p E JP>, JF p * est cyclique. Le tableau
suivant donne, pour p premier avec p < 100, la valeur de
9 = min {k E [1,p-1]/k engendre JF p *} :
p 2 3 5 7 Il 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
9 1 2 2 3 2 2 3 2 5 2 3 2 6 3 5 2 2 2 2 7 5 3 2 3 5
2) On ne sait pas, en généra.l, déterminer explicitement un générateur du groupe
multiplicatif d'un corps fini. ç'est domrnage, ca.r un tel générateur est bien utile,
comme le montre par exemple la proposition suivante :
Proposition VII.I0. - Soit F un corps fini de caractéristique p, ç un générateur
de F*. Alol's F = JFp(ç) == JFp[ç], et, notant n = [F: JF p ],
F = JF p EB JF pç EB . . . EB JF pÇn - 1 .
Preuve: . Notons n == [F : JF p] et q = Ca.rd(F) = pn. Comme ç est un générateur de
F*, on a F* = {1,ç,ç2,... ,çq-2}, donc F == {O, 1,ç,ç2,... ,çq-2}.
. Notons V le sous-JFp-e.v. de F engendré par (1,ç,ç2,... ,çn-l). Montrons par
récurrence sur kEN la propriété C(k) = "çk EV".
- Clairement C (k) est vraie pour 0 < k < n - 1.
- Comme F est un JFp-e.v. de dimension n, la fanlille (1,Ç',ç2,... ,çn) est JF p -liée:
(1) 3(ao,. . . , an) E (JF p )n+l \ {O} tel que ao + a1ç + . . . + anÇn == O.
Posons m = max {i E [0, n] / ai i: O} : multipliant par a 1 Çn-m les deux membres de (1),
il vient: Çn == -aoalçn-rn - ala,;;"lçn-m+1 - . . . - am_lalç'n-l,
donc Çn E V.
- Supposons C(k) vraie, soit: 3(À o ,..., À n - 1 ) E (JFp)n \ {O} tel que (II) : çk
Ào + À 1 ç + . . . + Àn_lç'n-1. Multipliant par ç les deux membres de (II), il vient çk+l ==

84
CH. VII. CORPS FINIS
'xoç +'x1 ç2 +. . . + 'xn_ 2Ç n-1 + 'xn-I çn. Or les deux vecteurs 'xoç +'x1 ç2 +. . . + 'xn_ 2Ç n-l
et 'xn_lÇn sont dans V, donc çk+1 E V, et C(k + 1) est vraie.
. Comme F = {O, 1, ç, ç2, . . . , çQ-2}, il vient V = F, c'est-à-dire: (1, ç, ç2,. . . , çn-1)
est une famille génératrice du JF p-e. v. F. Comme cet JF p-e. v. est de dimension n, il vient:
(1, ç, ç2, . . . , çn-1) est une base du JFp-espace vectoriel F.
. Par conséquent F C JF p [ç] C JF p (ç). D'où l'égalité.
REMARQUE VII.II. - La réciproque de cette proposition est fausse:
Avec les notations précédentes, on peut avoir F = JFp[O] = JFp(O) sans que 0 soit
un générateur du groupe cyclique F*.
Théorème VII.12 [de l'élément primitif pour les corps finis]. - Soit K un corps fini.
Soit L une extension de degré fini de K. Alors Lest monogène. (Autrement dit,
il existe ç E L tel que L = K(ç) : un tel élément ç est appelé un élément primitif
de l'extension L de K).
Preuve: Notons m = [L : K] E N*. L est un K-espace vectoriel de dimension m,
donc est isomorphe en tant que K -e. v. à Km, donc est en bijection avec Km. Il vient
Card(L) = (Card(K))m, et L est un corps fini. Par conséquent, d'après VII.8, le groupe
multiplicatif L * est cyclique. Soit ç un générateur de L * . Soit p la caractéristique commune
à K et L. On a la tour d'extensions JF p C K C L. D'après la proposition précédente,
L = JFp(ç). Mais puisque JF p C K, JFp(Ç') C K(ç). Donc L C K(Ç'). Et comme
évidemment K(ç) C L, l'égalité.
Proposition VII.13 [Cas particulier du théorème de DIRICHLET]. - a) <I>n(X)
désigne le n-ième polynôme c}"c1otomique. Si un nombre premier p divise <I>n(a),
où a est entier, mais aucun <I>d(a) où d décrit l'ensemble des diviseurs stricts de n,
alors p = 1 [modo n].
b) Il existe une infinité de nombres premiers de la forme 'xn + 1, ,\ E N*.
Preuve: a) Notons JF p le corps 7l/p71. Si p divise <I>n(a), p divise an - 1, soit (a)n = l
dans JF p, soit (a E JF p * et l'ordre w de a dans JF p * divise n). Comme a W -1 = TIdlw <I>d( a),
si w < n, il existe d diviseur strict de n tel que p divise <I> d (a) : exclu. Ainsi w = n. a est
d'ordre n dans le groupe JF p * d'ordre p - 1, donc (théorème de Lagrange) nlp - 1, soit
p = 1 [mod. n].
b) . Soit N E N*. Posons a = 3NL <I>n (a) est entier et
1 <I>n (a) 1 = II la - exp(2ik1r-jn) 1 > II (a - 1) > a - 1 > 2.
Soit p un diviseur premier de <I>n (a).
- Si p < N, alors p divise a, donc divise tout entier de la forme L:=1 Ziai, les Zi E 7l,
et en particulier p divise <I>n(a) - <I>n(O). Par suite p divise <I>n(O) = ::i:1 : absurde. Ainsi
p"'> N.
- Supposons qu'il existe 8 diviseur strict de n tel que p divise <P 8 (a) : coml11e xn - 1 =
TIdln <Pd(X), a est racine de multiplicité > 2 du polynôme xn - l de JFp[X]. Par
conséquent X n - l E JFp[X] possède une racine multiple: ce qui est absurde car xn - l
est premier avec sa dérivée fixn-1 dans JF p [X] (comme le prouvent le théorème de Bezout
et l'égalité (1/n)Xnxn-1 - (xn - 1) = 1).
Ainsi p divise <I>n(a), mais aucun <Pd (a) où d décrit l'ensemble des diviseurs stricts de n.
Donc (cf. a» p = 1 [mod. n].
. En conclusion : V N E N*', 3p premier tel que p > N et p = 1 [modo n]. Et on peut
énoncer: il existe une infinité de nombres premiers de la forme 'xn + 1, ,x E N*. 0

9 2. Existence et unicité d'un corps de cardinal primaire
85
2. Existence et unicité d'un corps de cardinal primaire
Proposition VII.14. - Soit K un corps de caractéristique p E JP>. L'application F :
K  K, x  x P est un IFp-endomorphisme du corps K, appelé endomorphisme
de FROBENIUS de K.
- Si K est fini, F est un automorphisme.
- Si K = IFp, F est l'identité.
Preuve: . Montrons que le FROBENIUS F est bien un endomorphisme de corps de K. Il
est trivial que F(lK) = 1K. Il découle de la commutativité de K que: \I(a,b) E K 2 ,
F(ab) = F(a)F(b). Comme caract(K) = p, la formule du binôme de NEWTON montre que
(\I(x, y) E K 2 , F(x + y) = F(x) + F(y). (cf. 1.35).
. Comme IFp * est un groupe d'ordre p - 1, on a d'après le théorème de Lagrange:
(\Ix E IFp *, x p - 1 = 1); d'où de suite: (\Ix E IFp, x P = x).
. Comme F est un endomorphisme de corps de K, F est injectif. Si K est fini, F est une
application injective de K ensemble fini dans lui-même, donc F est bijectif.
Corollaire VII.15. - Dans un corps fini de caractéristique p, chaque élément
admet exactement une racine p-ième.
Corollaire VII.16 [Petit théorème de FERMAT]. - Soit p un nombre premier. Alors:
\lz E Z, zP = z[mod.p].
Preuve: Traduit le fait que, dans IF p, F = id.
Théorème VII.17. - Soient p un nombre premier et n E N*. On note q = pn .
(1) Il existe un corps fini à q éléments. Il est corps de décomposition sur IFp du
polynôme xq - X.
(2) Si F et F' sont deux corps à q éléments, ils sont IFp-isomorphes.
REMARQUE VII.18. - Terminologie: Pour tout nombre premier p et tout n E N*, il
Y a donc existence et unicité, à isomorphisme près, d'un corps à pn éléments. Ce
corps est noté IF pn' ou GF[pn] (GF est le sigle de "Galois Field" , c'est-à-dire" corps
de Galois" dans la langue de WEDDERBURN, ce qu'on traduit parfois par "champ de
Galois") .
Preuve : . Soit K un corps à q éléments. Comme caract(K) est un nombre premier qui
divise q, caract(K) = p et le sous-corps premier de K est IFp. (K*, x) est un groupe
à q - 1 élél11ents, donc (théorème de Lagrange) (\Ix E K*, x q - 1 = 1), d'où de suite
(\Ix E K, x q = x). Or le polynôme xq - X E IFp[X], qui est de degré q, admet au plus q
racines distinctes dans K. Comme tout élément de K est une racine de ce polynôme, on
a bien K = D IFp (xq - X) (et xq - X a q racines distinctes).
. De ce résultat et de J'unicité à IFp-isomorphisme près du corps DJFp(X q - X) (V.18)
découle (2).
. Réciproquement soit K = D JFp (X q - X), et soit k J'ensemble des racines dans K
de X q - X. L'application 9 de K dans K : t  t q n'est autre que l'automorphisme de
FROBENIUS itéré n fois, ;:n, donc 9 est un automorphisme de K. Par suite, k = {x E
K / g(x) = x} = Inv(g) est un sous-corps de K. Donc k contient IF p, sous-corps premier
de K. Le dérivé du polynôme X q - X est qXq-1 - 1 = -1 (car p divise q), qui est
évidemment premier avec xq - X. Donc toutes les racines de xq - X sont simples.
Ainsi Card( k) = q : k est un corps à q éléments (et, reprenant le premier point de cette
démonstration, k = K = D JFp (xq - X). 0

86
CH. VII. CORPS FINIS
Corollaire VII.19. - Le produit des é1élnents de JF est égal à -1.
Preuve: En effet, on a, notant JF q = {ao, al, . . . , a q -1} où ao = 0 :
Xq-1 - 1 = TIi==-ll (X - ai), donc -1 = a1a2 . . . a q -1'
Corollaire VII.20 [Théorème de WILSON]. - Soit pEN, P > 2.
p est premier {::} (p - 1)! + 1 = O[mod. p].
Preuve: . [=>] Si p est premier, le produit des éléments de JF p * est égal à -1, c'est-à-dire
(p - 1)! = -l[mod.p].
. [<=] Soit C E (71/p71) * , a un élément de 7l représentant de C. Quitte à remplacer a par
son reste dans la division euclidienne par p, on peut supposer que 1 < a < p - 1. Comme
(p - 1)1 = -l[mod.p], on voit que C est inversible dans 7l/p71, d'inverse - TIf==-ll,ita 2.
3. Groupe des automorphismes d'un corps fini
Théorème VII.21. - Soit F un corps fini, de caractéristique p, de cardinal
q = pn. Le groupe des autolTIorphisInes de F est d'ordre n = [F : JF p] ==
logcaract(F)card(F). Il est cyclique. Il est engendré par l'automorphisme de
FROBENIUS: F: F  F, x  F(x) = x p .
Preuve: . Tout élément a de Aut(F) vérifie a(lF) = IF et donc laisse fixe le sous-corps
premier JF p de F : c'est donc un JFp-automorphisme de F. Ainsi Aut(F) = Gal(F/JF p ).
Or F est un espace vectoriel sur JF p et [F : JF p ] = n. Le théorème sur l'ordre du groupe de
Galois (théorème 11.33) montre que 1 Gal(F/JF p )1 < [F : JF p ]. Ainsi IAut(F)1 < n.
. Le FROBENIUS F est un automorphisme de corps de F d'après VII. 14.
. On montre aisément par récurrence que: \/k E N, \/x E F, Fk(x) = x Pk .
L'ordre de F estw = min{ k E N* /\/x E F, Fk(x) == x}. F* est un groupe d'ordre pn -1,
donc (théorème de Lagrange) (\/x E F*, xpn-l = IF), donc (\/x E F, x pn == x), soit
Fn = id F . Ainsi w divise n. Or : FW = id F {::} (\/x E F, x pw = x). Le polynôme
XPw - X à coefficients dans le corps commutatif F et de degré pW a donc Card(F) = pn
racines, donc pW > p11., soit w > n. Ainsi w = n.
Proposition VII.22. - Soient p premier, n E N*, et q = pn. Pour chaque
application f de JF q dans JF q, il existe un unique polynôme P de degTé < q - 1
à coefficients dans JF q tel que f soit la fonction po1ynômia1e associée à P :
P(X) = LUElF q f(u)[l - (X - U)q-l] (formule de LAGRANGE).
Preuve: . Soient P(X) et Q(X) E JFq[X]. P et Q définissent la même fonction
polynômiale sur JF q {::} (Vu E JF q , P(u) = Q(u)) {::} (Vu E JF q , (P - Q)(u) = 0)
{::> (TIuEIF q (X - u)I(P - Q)(X)) {::} (xq - XI(P - Q)(X)), car nous savons que
TIuEIF q (X - u) = xq - X (cf. VII. 17).
La considération de la division euclidienne par xq - X dans JFq[X] permet d'établir un
isomorphisme de IF q-espaces vectoriels (donc une bijection) entre l'espace des fonctions
polynômiales de JF q dans JF q et l'espace (JF q )q_1[X] des polynômes de degré < q - 1
de JF q [X]. Cet espace étant JF q-isomorphe à (JF q)q, le nombre de fonctions polynômiales
distinctes de JF q dans JF q est qq. Or l'ensemble (IF q) IF q des applications de JF q dans IF q a lui
aussi pour cardinal qq. D'où le premier résultat annoncé.
. Soit f une application de IFq dans IFq. Posons P(X) = I:uElF q f(u)[l - (X - U)q-l].
Alors P(X) E (JF q )q_1 [X]. Du théorème de Lagrange découle: Vy E JF, yq-1 = 1.
Donc pour chaque t E IFq, P(t) = I:uElF q f(u)[l - (t - U)q-l] = f(t). Ainsi f est la
fonction polynômiale associée à P(X).

9 4. Polynômes irréductibles sur IF p
87
Proposition VII.23. - Soient p premier, n E N*, et q == pn. Les sous'-groupes
(additifs) de JF q sont les SOllS-JF p-espaces vectoriels. Ils sont au nombre de
n (pn _ 1)(pn-1 _ 1). . . (pn-s+l - 1)
t; (ps - 1) (ps -1 - 1) . . . (p - 1)
Preuve: . Evidemment tout sous-JF p-espace vectoriel de JF q est un sous-groupe! Soit G
un sous-groupe de JF q' G est un Z-module, et comme JF q est de caractéristique 1), on a
(\Ix E G,px == 0). On peut donc poser, pour À E JF p et 9 E G : Àg == zg, où z E Z
est un représentant quelconque de À. On voit aisément qu'on définit ainsi une structure de
JF p-espace vectoriel sur G. Donc G est un sous-JF p-espace vectoriel de JF q'
. Pour s E [0, n], dénombrons les sous-JF p-e. v. de dimension s. Il faut pour cela dénombrer
les systèmes libres à s éléments.
Le premier vecteur étant choisi non nul : pn - 1 possibilités.
Le second, non colinéaire au premier: pn - p possibilités.
Le troisième, non lié aux deux premiers: pn - p2 possibilités.
Le s-ième, non Hé aux précédents: pn - ps-1 possibilités.
Il y a donc (pn - 1) (pn - p) . . . (pn - pS-1) systèmes libres à s éléments.
. Raisonnant de même, on voit qu'un sous-JF p-e. v. de dimension s de JF q admet (pS -
1) (pS - p) . . . (pS - pS-1) bases. Le nombre de sous-JF p-e. v. de dimension s de JF q est
donc
(pn _ 1)(pn - p) . . . (pn - pS-1) _ (pn - 1)(pn-1 - 1) . . . (pn-s+1 - 1) 0
(ps _ 1) (ps - p) . . . (ps - pS -1) - (ps - 1) (ps -1 - 1) . . . (p - 1) .
4. Polynômes irréductibles sur JF p
Le théorème suivant justifie l'intérêt de l'étude des polynômes irréductibles sur JF p'
Théorème VII.24. - Soient p prelnier, n E N*. N OtOllS q == pn. IF q = JF p [X] j (1f),
où 1f est un polynôme irréductible quelconque de degré n sur JF p .
Preuve et précisions: . Rappelons que si 1f polynôme irréductible de degré n sur K, le
corps de rupture K[X]j(1f) de 1f sur K est une extension algébrique simple de degré 'n
de K. En particulier si p est premier et 1f un polynôme irréductible quelconque de degré
n sur JF p, son corps de rupture JF p [X] j (1f) est une extension algébrique simple de degré n
de JF p , donc un corps de cardinal pn. Ainsi JF p [X]j(1f) == JF q .
. Réciproquement JF q peut toujours être ainsi obtenu. Soit en effet Ç' un générateur du
groupe cyclique JF. On sait qu'alors JF q == JFp[ç] == IFp(Ç'). Notons 1f(X) == irr(ç, JF p , X).
Comme JF p [X]j(1f) rv JFp(ç), il vient deg(1f) == [JFp(ç) : JF p ] == n. Comme (Lagrange)
çq-1 == 1, 1f(X) divise Xq-l - 1 dans JFp[X].
Corollaire VII.25. - . Il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans
JFp[X].
. Si 1f est un polynôme irréductible de degré n sur JF p , alors 1f(X) divise X pn - X
dans JFp[X], donc est scindé sur JFpn, donc son corps de rupture JFpn == JF p [X]j(1f)
est aussi son corps de décomposition.
Preuve: Le premier point résulte de VII. ] 7 et du théorème précédent. Soit 1f un polynôme
irréductible de degré r sur JF p . Si 1f(X) i- X (ce qui est automatique si n > 2), alors
soit D un corps de décomposition de 1f(X) sur JF p , et soit () une racine de 1f(X) dans D.
() est un élément non nul du corps JF p ( ()), isomorphe à JF p [X] j ( 1f) d'après 111.14, donc

88
CH. VII. CORPS FINIS
à JF n d'après le théorème précédent. Il vient (Lagrange) (}pn -1 = 1; donc 1f (X) divise
XP -1 - 1 dans JF p[X]. Donc (aussi pour 1I"(X) = X) 1I"(X) divise Xpn - X dans JF p [X],
or ce polynôme est scindé sur JF pn (cf. VIL 17), donc 11"( X) l'est aussi.
Lemme VII.26. - Soit A un anneau c.u.i. euclidien. Soient a E A \ U(A), u et v
entiers naturels non nuls. u divise v (dans N) {::} aU - 1 divise a V - 1 (dans A).
Preuve : - Effectuons la division euclidienne de v par u : v = qu + r. Il vient
a V - 1 = (a uq - l)a T + a T - 1 = (aU - 1) LJ =  a UHT + a T - 1. Donc les diviseurs
communs à a V - 1 et aU - 1 sont les diviseurs communs à aU - 1 et a T - 1.
- Itérant cette démarche et effectuant le calcul du P.G.C.D. (dans N) de u et v, notant TN
le dernier reste non nul (alors TN+1 = 0), on obtient finalement: le P.G.C.D. (dans A) de
a V - 1 et aU - 1 est P.G.c.D.(a TN - 1, a TN + 1 - 1) = P.G.c.D.(a TN - 1,0) == a TN - 1.
Ainsi P.G.c.D.(a U - 1, a V - 1) = aP.G.C.D.(u,v) - 1.
- Donc u divise v {::} P.G.C.D.(U, v) = u {::} aP.G.C.D.(u,v) - 1 = aU - 1 {::}
P.G.C.D.(a U - 1, a V - 1) = aU - 1 {::} aU - 1 divise a V - 1.
Théorème VII.27 [Facteurs irréductibles de Xpn - X]. - Soient p premier, 11, E N* .
Notons q = pn. Pour j E N*, on note IC(p, j) l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de degré j sur JF p ' Alors Xpn - X = TIdln TIQEK:(p,d) Q(X).
Preuve : . Soit d un diviseur de n. D'après le lemme précédent (avec A = Z), pd - 1 divise
pn - 1. Donc, toujours d'après le lemme précédent, appliqué cette fois avec A == JFp[X],
XPd_ 1 - 1 divise Xpn-1 - 1. Or d'après le corollaire précédent, tout élément Q de
IC(p, d) (sauf Q(X) = X, qui est dans IC(p, 1) divise XPd_ 1 - 1. Donc tout élément Q
de IC(p, d) divise Xpn - X dans JFp[X]. Les polynômes Q, Q E IC(p, d), d diviseur de "!,
étant premiers entre eux deux à deux, il vient: TIdln TIQEK:(p,d) Q(X) divise Xpn - X.
. Notons (1) Xpn - X = H(X) TIdln TIQEK:(p,d) Q(X). Supposons deg(H) > 1. Soit
F un facteur irréductible de H, d = deg(F). Alors F divise Xpn - X, et d'après le
corollaire précédent, F divise XPd - X. Donc il divise leur P.G.C.D. (X). Or notant
8 = P.G.C.D.(n, d), on a d'après le lemme précédent:
(X) = XP.G.C.D.(Xpn- 1 - 1, XPd_1 - 1) == X(XP.G.c.D.(pn-l,pd_1) - 1) =
X( XP 6_ 1 - 1) = XP6 - X. Ainsi (X), polynôme de degré pÔ à coefficients dans
JF p donc dans le corps de rupture Fp[X]/(F) rv JFpd, a pd racines dans ce corps; donc
pd < pf>, soit d < 8, soit d = 8, soit: d divise n. Par suite F(X) E IC(p, d), donc, vu (1),
F(X)2 divise Xpn - X dans JFp[X]. Ceci est absurde, puisque Xpn - X est sans facteur
carré. Ainsi deg(H) = O.
La considération des coefficients dominants des deux membres de (1) montre que H(X) =
1. Ce qui achève la démonstration.
Définition VII.28 [et théorème]. - Soient p premier, n E N*. Notons q = pn. Pour
j E N*, on note I(p, j) = Card(IC(p, j)) le nombre de polynômes irréductibles
unitaires de degré j sur JF p . Alors pn = Ldln dI(p, d).
Preuve : Prendre les degrés des deux membres dans la formule finale du théorème
précédent.
REMARQUE VII.29. - Clairement IC(p, 1) == {X - a, a E JF p }, donc I(p, 1) = p.
Partant de I(p, 1) = p connu, la formule précédente permet de calculer les I(p,j)
par récurrence. Par exemple :
I(p,2) = (p2 - I(p, 1))/2 = p(p - 1)/2.
I(p,3) = (p3 - I(p, 1))/3 = p(p - l)(p + 1)/3.

9 4. Polynômes irréductibles sur IF p
89
EXEMPLES VII.30. - Examinons les cas :
[> P = 2, n = 2 : le polynôme irréductible de degré 2 sur IF 2 est X 2 + X + 1.
IF4 = IF 2 [X]/(X 2 + X + 1)
[> P = 2, n = 3 : les 1(2,3) = 2 polynômes irréductibles de degré 3 sur IF 2
sont X3 + X + 1 et X3 + X 2 + 1 (il suffit de vérifier que les 6 autres polynômes
de degré 3 ne sont pas irréductibles).
IFs = IF 2 [X]/(X 3 + X + 1)
[> P = 3, n = 2 : les 1(3, 2) = 3 polynômes unitaires irréductibles de degré 2
sur IF3 sont X 2 + 1, X 2 + X - 1 et X 2 - X - 1 (il suffit de vérifier que les 6 autres
polynômes unitaires de degré 2 ne sont pas irréductibles).
IF g = IF 3 [X]/(X 2 + X - 1)
Proposition VII.31 [et définition]. - On désigne par 8 l'ensemble de toutes les
applications de N* dans C. 8 est muni canoniquement d'une structure de C-espace
vectoriel (on munit 8 de l'addition usuelle des applications et on pose, pour À E C
et u E 8, Àu : N*  C, n  Àu(n)). On définit dans 8 la loi de composition
interne * par : pour tous u, v E 8 et n E N*,
(u * v)(n) = L u(a)v(b) = L u(n/d)v(d) = L u(d)v(n/d)
ab==n dln dln
* est appelé le produit de convolution. On ne confondra pas ce produit avec le
produit usuel des applications de N* dans C, qui, lui, n'est pas utilisé dans ce
contexte. Alors (8, +, .,*) est une C-algèbre commutative unitaire.
Preuve: Il est clair que 8 est un C-espace vectoriel.
Trivialement le produit * est commutatif, (u, v)  u * v est une application C-bilinéaire,
et l'application X E 8 définie par x(n) = 8 1 ,n (c'est-à-dire X(l) = 1 et x(n) = 0 si
n > 2) est neutre pour *.
Le seul point non trivial est de montrer que la loi * est associative, ce que le lecteur est
invité à vérifier en calculant, pour (u, v, w) dans 8 3 , u* (v*w) et (u*v) *w (On obtient:
(u * (v * w))(n) = ((u * v) * w)(n) = 2: abc =n u(a)v(b)w(c).
Proposition VII.32. - f E 8 est inversi ble dans 8 si, et seulemen t si, f (1) i- O.
Preuve: - Si f est inversible dans 8, f(1)f-1(1) = (f * f-1)(1) = X(l) = 1, donc
f(l) =1 O.
- Si f(l) =1 0, définissons 9 : N* --+ C par: g(l) = 1/ f(l), et par récurrence: pour
n > 1, g(n) = -(1/ f(l)) 2:dln,dt1 f(d)g(n/d). Il est alors immédiat que f * 9 = X.
Définition VII.33 [et proposition]. - On définit la fonction J.L (fonction de MOBIUS)
par:
J.L(I) = 1
J.L(P1 · · · Pk) = (_l)k si Pl, . . . , Pk sont des nombres premiers distincts
J.L( n) = 0 sinon (c'est-à-dire s'il existe P E JP> tel que p2In).
Alors J.L = (1) -1 (J.L est l'inverse de la fonction constante 1).
Preuve:lls'agitdedémontrerqueJ.L*1 = X.Or(J.L*I)(l) = J.L(1)1(1) = 1 2 = l;sip E JP>
et e E N* on a (J.L* 1)(p e ) = 2:dlpe J.L(d) = 2: : 0 J.L(pi) = J.L(1) + J.L(p) = 1 + (-1) = 0;
enfin soit n E N* avec n > 2 : notant n = pl . . . pk sa décomposition en produit
de puissances de nombres premiers distincts, on voit que dans la somme (J.L * 1) (n) =
2:dln J.L( d) = 2: J.L(pl · · · p%k), 0 < al < el,. . . , 0 < ak < ek, seuls sont susceptibles
d'être non nuls les 2 k termes pour lesquels on a (al, . . . , ak) E {O, 1} k, et que pour chacun
de ces termes J.L(pl . . . p%k) vaut ( -1 )Ea i , donc (J.L * 1) (n) = O.

90
CH. VII. CORPS FINIS
Théorème VII.34 [Formule d'inversion de MÔBIUS]. - Supposons que f et g de S
vérifient: \/n E N*, f(n) = Ldln g(d). Alors
Vn E N*, g(n) = LJ.l(d)f(n/d).
dln
Preuve : f = 1 * 9 {::} 9 = (1) -1 * f {::} 9 = J.L * f.
Corollaire VII.35. - \/n E N*, <p(n) = Ldln dJ.L(n/d).
Preuve : Appliquer, à la formule de GAUSS n = Ldln <p( d) concernant la fonction
indicatrice <p d'EuLER (1.23), la formule d'inversion de MOBIUS.
Corollaire VII.36. - \/p E JP>, Vn E N*,
1 1
I(p,n) = n LJ.l(d)pn/d = n LJ.l(n/d)pd.
dln dln
Preuve: p étant fixé, notons f la fonction n  pn et 9 la fonction n  nI(p, n). D'après
VII.28, f et 9 vérifient: \/n E N*, f(n) = Ldln g(d). D'où le résultat annoncé, en
appliquant à f et 9 la formule d'inversion de MÔBIUS.
Proposition VII.37.- Soient p premier, n E N*, et q = pn. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) JF q = JFp[O] = JFp(O)
(ii) (1,0,0 2 ,..., on-1) est une base du JFp-espace vectoriel JF q
(Hi) (1,0,0 2 ,.. . , on-1) est JFp-libre
(iv) deg(irr(O, JF p , X)) = n.
Preuve: . (ii) {::} (iii) résulte de ce que [JF q : JF p] = n.
. 0 E JF q, extension de degré fini donc algébrique de JF p' donc 0 est algébrique sur
JF p , donc JFp[O] = JFp(O) rv JFp[X]/(irr(O, JF p , X)) et, notant d = deg(irr(O, JF p , X),
(1, 0, 0 2 , . . . , Od-1 ) est une base du JF p-espace vectoriel JF p (0).
D'où de suite (i) {::} (ii) {::} (iv).
Corollaire VII.38. - nI(p, n) est le nombre d'éléments de JFpn qui ne sont dans
aucun sous-corps propre de JF pn .
Définition VII.39 [et lemme]. - Soient p premier, n E N*, et q = pn. Soit s la
surjection canonique de Z sur JF p, qui est un morphisme d'anneaux. On la prolonge
de façon naturelle en s : Z[X]  JFp[X] qui à L kXk associe L S(Àk)X k , et on
voit faci1elnent que s est encore un morphisme d'anneaux surjectif. On note pour
i E N*, <I>i,IFp(X) = S(<Pi,Q(X)) (polynôme cyc1otomique d'indice i sur JF p ). Alors:
\/m E N*, X m - 1 = rI <Pd,IF p (X).
dlm
Preuve: Appliquer S aux deux membres de l'égalité dans Z[X] :
xm - 1 = TIdlm <I>d,Q(X).
Théorème VII.40. - Soient p premier, n E N*, q = pn.
. Les générateurs de JF sont les zéros de <Pq-l,lF p (X).
. Les polynômes irréductibles des générateurs de JF sont les diviseurs irréductibles
de <I>q-1,IF p (X) dans JFp[X]. On les appelle les polynômes primitifs de JF q . Ils sont
tous de degré n. Chacune de leurs racines engendre le groupe JF.

9 5. Sous-corps d'un corps fini
91
Preuve : . Soit ç un générateur du groupe cyclique lF. On sait qu'alors lF q = lF p [ç] =
lFp(ç). Notons 7r(X) = irr(ç, lFp, X). Comme lF p [X]j(7r) l'V lFp(ç), il vient deg(7r) ==
[lFp(ç) : lFp] = n. Comme (Lagrange) çq-l = 1, 7r(X) divise J'yq-l - 1 dans lFp[X]. Or
Xq-l - 1 = I1dlq-1 <I>d)lFp(X). Donc il existe d diviseur de q - 1 tel que 7r(X) divise
<I>d)lF p (X) dans lFp[X]. Si d < q - 1, alors comme <I>d)lF p (X) divise X d - 1 dans lFp[X],
on aurait çd - 1 = 0 et ç serait d'ordre < d < q - 1 dans lF : exclu. Donc d = q - 1.
Ainsi 7r(X) divise <I>q-l)lFp(X) dans lFp[X]. Donc <I>q-1)lF p (Ç) = O.
. Réciproquementsoitç E lFq un zéro de <I>q-1)lF p (X) (ce qui équivaut à : 7r(X)=irr(ç, lFp, X)
divise <I> q-1)1F p (X) dans lF p [X]). <I> q-1)1F p (X) divise Xq-1 -1 dans lF p [X], donc çq -1 = 1,
donc ç E lF.
Soit w l'ordre de ç dans lF : w divise q - 1 et 7r(X) divise XW - 1 dans lFp[X]. Comme
XW - 1 = I1dlw <I>d)lF p (X), il existe d diviseur de w (donc de q - 1) tel que 7r(X) divise
<I> d)1F p (X) dans IF p [X].
Si w < q-1, alors d < q-1, et comme 7r(X) divise <I>q-1)lF p (X) et <I>d)lF p (X) dans lFp[X],
(7r(X))2 divise Xq-1 - 1 = I16Iq-l <I>Ô)lF p (X). Ceci est absurde, puisque Xpn - X est
sans facteur carré dans lF p [X]. Donc w = q - 1 et ç est un générateur du groupe cyclique
F. D
Corollaire VII.41. - Soient p premier, n E N*. n divise r.p(pn - 1).
Preuve : Décomposer <I> q -1)1F p (X) en produit de facteurs irréductibles dans lF p [X],
remarquer que, par le théorème précédent, ces facteurs irréductibles sont tous de degré n,
et prendre le degré des deux membres.
Théorème VII.42 [GALOIS]. - Soit P(X) E IFp[X] un polynôme de degré n, avec
P(O) -1- O. Il existe m E [l,pn[ tel que P(X) divise xm - 1.
.

Preuve: Notons q == pn.
. Si P(X) est irréductible sur lFp, alors on a vu (cf. VII.25) que P(X) divise Xq-1 - 1.
. Supposons P(X) réductible sur lF p'
- Considérons, pour k E [1, q], le reste Rk(X) de la division euclidienne de Xk - 1 par
P(X) dans lFp[X] : X k - 1 = Qk(X)P(X) + Rk(X), Si, pour a < b, Ra = Rb, alors
xa(xb-a - 1) = P(Qb - Qa), donc P(X) divise X b - a - 1. Si P(X) ne divise aucun
des Xk - 1, il existe donc q polynômes Rk(X) de degré < n - 1 et non nuls dans lFp[X].
Comme le nombre de polynômes de degré < n - 1 et non nuls de lFp[X] est q - 1, c'est
absurde. Ainsi il existe m E [1, q] tel que P(X) divise xm - 1.
- Si P(X) divise xq - 1 = (X - l)q, alors P(X) = (X - l)n. Soit m la plus
petite puissance de p supérieure ou égale à n : pet-1 < n < pet = m. Alors
P(X) == (X - l)n divise (X - l)m = xm - 1. Or on montre aisément par récurrence
que: \Ii E N*, i < pi-1. Donc n < pn-1, d'où Q < n - 1, donc m == pet < q. En
conclusion il existe m E [1, q[ tel que P(X) divise X m - 1.
5. Sous-corps d'un corps fini
Théorème VII.43. - Soient p premier, n. E N*, et q = pn.
(1) K SOUS-COI1JS de IF q =* il existe d diviseur de n tel que Card( K) = pd.
(2) Pour chaque diviseur d de 1, lF q a un et un seul sous-corps de cardinal pd. Ce
sous-corps est isomorphe à lFpd (d'après VII.17).
Preuve: (1) Comme lF q est fini, K est lui aussi fini. K est un sous-corps de lF q donc lF q est
un K -espace vectoriel. Comme lF q est fini, lF q est un K -espace vectoriel de dimensionfinie.

92
CH. VII. CORPS FINIS
Notons e = [IF q : K] = dimK (IF q) E N* : alors les K -espaces vectoriels IF q et Ke sont
isomorphes, donc en bijection. Il vient pn = q = Card(IF q) = Card( Ke) = (Card( K))e.
Donc il existe d diviseur de n tel que Card(.K) = pd. (Et nid = e = [IFq : K]).
. (2) Unicité : On montre en raisonnant comme au VILI7, que si K est un sous-corps à
pd éléments de IFq, on a K = DJFp(X Pd - X).
. (2) Existence : ici aussi, on raisonne comme au VILI7. Réciproquement, soit K
l'ensemble des racines dans IF q de XPd - X. L'application 9 de IF q dans IF q : t 1---+ t Pd n'est
autre que l'automorphisme de FROBENIUS itéré d fois, ;::d, donc 9 est un automorphisme
de IFq, donc K = {x E IFqlg(x) = x} = Inv(g) est un sous-corps de IFq. Le dérivé du
polynôme XPd - X est pd XPd -1 - 1 = -1 qui est évidemment premier avec XPd - X.
Donc toutes les racines de X Pd - X sont simples. Donc Card(K) = pd. Donc K est un
sous-corps à pd éléments de IF q' D
Corollaire VII.44. - Lorsque d divise n (c'est-à-dire lorsque pn est une puissance
de pd), on peut identifier canoniquement IFpd à l'unique sous-corps à pd éléments
de IF pn. On peut donc énoncer:
IF q est un sous-corps de IF q' <=} q' est une puissance de q.
Corollaire VII.45. - Soit q un nOlnbre primaire donné. Les corps finis d'ordre qi,
i E N*, forment un treillis pour c . Le Sup et l'Inf de IF qa et IF qb sont respectivement
IFqm et IFqd, où m = P.P.c.M.(a, b) et d = P.G.c.D.(a, b).
6. Clôture algébrique d'un corps fini
On a vu au V.25 qu'aucun corps fini n'est algébriquement clos. Aussi la question de la
construction de la clôture algébrique d'un corps fini se pose naturellement. Commençons
par remarquer qu'il est suffisant de connaître la clôture algébrique de IF p, p premier.
Lemme VII.46. - Soient p premier, n E N*. La clôture algébrique de IF pn coïncide
avec celle de IFp.
Preuve: Notons C la clôture algébrique de IF pn. On a la tour d'extensions IFp C IF pn C C.
C est algébriquement clos, et C est algébrique sur IF pn. Or IF pn est algébrique sur IF p, donc
par transitivité (111.47), C est algébrique sur IF p' Donc C est une clôture algébrique de IF p'
D'où, vue la partie "unicité" du théorème de STEINITZ (V.34-(2)), le résultat annoncé.
Théorème VII.47. - Soit p premier. IFp = UiEN",IFpi = UiEN",IFpi!. (La clôture
algébrique de IF pest l'union filtrante des corps finis de caractéristique p).
Preuve : . Commençons par démontrer la seconde égalité annoncée : :J est trivial, C
résulte de ce que, pour tout i E N*, i divise i! donc IF pi C IF pi! .
. Posons C = UiEN*IF pi. C est un anneau, car comme l'union C est filtrante, si x et y sont
deux éléments de C, il existe i E N* tel que x et y appartiennent à IF pi et nous pouvons
définir x + y et xy comme somme et produit dans IF pi.
C est un corps, car si x E C*, il existe i E N* tel que x appartienne à IFpi et nous pouvons
définir x- 1 comme inverse dans IFpi.
Ces constructions sont clairement indépendantes du choix de i, et fournissent bien une
structure de corps sur C. Le corps C est de caractéristique p (clair, vu que IFp C C).
. Soit P un polynôme de degré > 1, à coefficients dans C. P(X) a tous ses coefficients
dans le Sup des corps finis de caractéristique p contenant chacun de ses coefficients,
donc (3n E N* t.q. P(X) E IFpn [X]). Soit f(X) un facteur irréductible de P(X).
Soit IF pn (a) = IF pn [X] 1 (f) un corps de rupture de f (X) sur IF pn. Alors IF pn (a) est une

9 7. Carrés dans un corps fini
93
extension algébrique simple de degré deg(f) de IF pn, donc (à l' identi fication par IF pn-
isomorphisme près) IFpn(a) = IFpndeg(f) donc IFpn(a) C C. Le polynôme f a au moins
une racine a dans C. a est aussi racine de P. Ainsi C est algébriquement clos.
. Montrons enfin que C est algébrique sur IFp. Soit x E C. Il existe n E N* tel que
x E IF pn. Si x = 0, il est clair que x est algébrique sur IF P' Aussi supposons x non nul.
x E (IFpn)* donc d'après le théorème de Lagrange, xpn-l = 1. x est racine du polynôme
Xpn-l - 1 E IFp[X], donc x est algébrique sur IFp. D
REMARQUE VII.48. - Tout élément non nul de la clôture algébrique de IF p est racine
de l'unité. En effet nous venons de démontrer ce résultat "au passage" .
Remarquons qu'on peut préciser que si x E C*, on a d'après VII. la : IFp(X) = IFpn
pour n = [IFp(x) : IFp] ; et donc x est d'ordre multiplicatif pn-1, où n = [IFp(x) : IFp].
REMARQUE VII.49. - Dans ce qui précède, nous n'avons à aucun moment utilisé
la partie "existence" du théorème de STEINITZ (V.34-(1)). La démonstration du
théorème précédent n'utilise pas le théorème de ZORN.
7. Carrés dans un corps fini
Proposition VII.50 [et notation]. - Soient p premier, n E N*, q = pn. On pose
IF = {x 2 , x E IF q}, et IF2 = IF n IF. IF2 est clairement un sous-groupe de IF.
Proposition VII.51. - Soient p premier, n E N*, q = pn.
a) Si p = 2, IF = IFq donc IF2 = IF.
b) Si p > 2, alors:
. IF*2 est un sous- g rou p e d'indice 2 de IF* . donc I IF*2 1 = 1=1. et I IF2 1 = q+l
q q' q 2 q 2'
. IF2 est le noyau de l'endomorphisme x  X(q-1)/2 de IF.
. (-1 E IF2) <===} q = 1 [mod. 4].
Preuve : a) Le FROBENIUS F : x  x 2 est un endomorphisme de corps de IF q, il est
donc injectif, soit ker(F) = {a}. Or (décomposition canonique) Im(F) est isomorphe à
IFq/ker(F). Ainsi IF = Im(F) est isomorphe à, donc égal à, IFq.
b) . Clairement f : x  x 2 est un endomorphisme de groupe de IF. IF2 = Im(f) est
donc un sous-groupe de IF, et est par décomposition canonique isomorphe à IF/ ker(f).
Or ker(f) = {x E IF q/x 2 = 1} = {-l, 1}, et 1 -1- -1 car p -1- 2. Donc IF2 est un sous-
groupe d'indice 2 de IF. D'où IIF21 = IIFI/2 = q;l ; puis, puisque IF = IF2 U {O},
IIF 1 = q 1 ·
. Clairement u : x  x(q-1)/2 est un endomorphisme de groupe de IF. Du théorème
de Lagrange résulte: \:Ix E IF, (u(x))2 = x q - 1 = 1, donc Im(u) C {-l, 1}. Si
Im(u) = {1}, on aurait (\:Ix E IF, u(x) = x(q-l)/2 = 1),etlepolynômeX(q-1)/2-1 de
degré (q - 1) /2 de IF q [X] aurait q - 1 racines: impossible. Donc Im( u) = {-l, 1}. D'où
1 ker(u)1 = q;l . Comme IF2 C ker(u) et comme IIF21 = q;l , il vient IF2 = ker(u).
. (-1 E JF;2) {:} (-1 )(q-1)/2 = 1 {:} 2;1 est pair {:} q = 1 [modo 4]. 0
Corollaire VII.52. - Il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 1.
En effet soit n E N* \ {1}, et soit p un diviseur premier de (n!)2 + 1. p est impair (car
(n!)2 + 1 est impair) et on ap > n (sinon pin!). Dans IFp, (n!)2 + 1 = 0, donc -1 = (n!)2
est un carré, donc d'après ce qui précède p = 1 [mod. 4]. Ainsi: pour tout n E N*, il existe
p premier tel que p > n et p = 1 [modo 4].

94
CH. VII. CORPS FINIS
Remarque finale: Cette étude des carrés dans IF q sera complétée au chapitre XII par la
démonstration de la célèbre "loi de réciprocité quadratique".
8. Exercices
(VII-l) - Déterminer tous les polynôlnes de degré 2 ou 3 irréductibles sur le corps IF 2. Donner les tables d'addition
et de multiplication d'un corps à 4 éléments.
(VII-2) - Déterminer tous les polynômes de degré 2 irréductibles sur le corps IF 3. Donner les tables d'addition
et de multiplication d'un corps à 9 éléments.
(VII-3) - Construire un corps ayant 8, resp. 16 éléments.
(VII-4) - Décrire les corps finis de cardinal 4,8,9,16; en particulier déterminer l'ordre (multiplicatif...) des
éléments non nuls et leur polynôme minimal sur le sous-{;orps premier.
(VII-5) - L'objet de cet exercice est de proposer une autre démonstration du théorème VII.7.
Soient K un corps commutatif, G un sous-groupe fini de K*, n son ordre. Soit t E G un élément d'ordre
maximum m.
a) Soit x E G d'ordre s ne divisant pas m. Montrer qu'il existe p premier, u et e naturels avec u < e, s' et m'
1 u
non divisibles par p, tels que s = pe s' et m = pUm'. Quel est l'ordre de X S t P ? (On pourra utiliser le lenlnle
VI.17).
b) Montrer que l'ordre de tout élément de G divise m.
c) Montrer que m = n.
d) Montrer que G est le groupe cyclique < t > engendré par t.
(VII-6) - Démontrer que toute extension finie d'un corps fini est une extension simple.
(VII-7) - Donner du théorème VII.21 une démonstration qui n'utilise pas le lemme de DEDEKIND Il.33. {On
pourra procéder ainsi: prendre un générateur (de F*, montrer que (1, (, . . . ,(n-l) est une base de F sur IF P'
montrer que P(X) = irr(, IFp, X) est de degré n, puis que 0/g E Aut(F), P(g()) = 0), en déduire que
/Aut(F)/ < n).
(VII-8) - Soient p premier, n E N*, q = pn. Montrer que pour toute application f de IF q dans lui-même, il existe
un unique polynôme de degré < q - 1, à coefficients dans IF q, tel que (C) Vt E IF q, f(t) = P(t). (Indication .'
on pourra traduire la condition (C) par un systèlne linéaire de q équations à q inconnues, dont la matrice est
une nlatrice de Vande1'1nonde).
(VII-9) - Soient K un corps fini et n E N*. Démontrer qu'il existe un polynôme irréductible de degré n sur !(.
(VII-I0) - Montrer que la fonction de Mobius définie au VII.33 est multiplicative au sens de l'arithmétique,
c'est-à-dire qu'elle vérifie:
V(m, n) E (N*)2, P.G.C.D.(m, n) = 1 => J.L(mn) = j.t(m)j.t(n).
(VII-11) - Montrer que dans un corps fini K, tout élément est somlne de deux carrés. (Indication .' notant
q = Card(K), on traitera d'abord le cas oÙ q est pair; pour q inlpair, on caLcuLera Les no'nbre' de vaLeurs
prises par Les jonctions x 1---+ x 2 et y 1---+ a - y2, où a E K est fixé).
(VII-12) - Soient p un nombre premier, n E N*. Soit r un entier naturel non nul.
a) Montrer que si r est premier avec pn - 1, tout élément de IF pn est une puissance r-ième.
b) Montrer que si r divise p'fl. - 1, on a pour Q E IF pn * :
Q est une puissance r-ième Ç=} Q(pn-l)/r = 1.
(VII-13) - Soit p un nombre premier. Montrer que le polynôme X2 + 1 est irréductible sur IF p si, et seulement
si, p = 3[rnod. 4]. On suppose ceci vérifié. Soient i une racine dans C de X 2 + 1, et w la classe de X dans
IFp[X] modulo (X 2 + 1). Montrer que Z[i] l'V Z[./Y]j(X 2 + 1), puis que Z[X]j(p, X2 + 1) l'V Z[i]j(p) l'V
IF p ( w) l'V IF p2 .
(VII-14) - Soit p un nombre premier. Montrer que, pour (a, b) E Z2, le polynôme X4 + aX 2 + b 2 n'est jamais
irréductible sur IF]J'

CHAPITRE VIII
EXTENSIONS SÉPARABLES
La présence de racines multiples d'uneéquation algébrique irréductible a pour conséquence
que le corps des racines associé "n'a pas assez d' automorphismes". Ce chapitre est consacré
à l'étude de ces problèmes dits d"'inséparabilité".
Enonçons un corollaire de la proposition VIII.t9 : le lecteur qui ne s'intéresse qu'à des
corps de caractéristique nulle et à des corps finis n'aura pas d'ennui de ce type; il peut
donc passer aux chapitres suivants.
Enfin signalons ce résultat important qu'est le théorème de l'élément primitif (VIII.23),
qui montre que toute "bonne" extension finie est monogène.
1. Préliminaires
Proposition VIII.I. - Soient K un COlpS, L une extension de K. Soient A et
B E K[X]. Alors AIB dans K[X] <===} AIB dans L[X].
Preuve : . [=}] est évident.
. [{=] Par hypothèse (3C E L[X] t.q. B == AC). Effectuons la division euclidienne de B
par A dans K[X] : 3(Q, R) E K[X]2 t.q. B == QA + R et (R == 0 ou deg(R) < deg(A).
Donc (Q, R) E L[X]2, B == QA + R et (R == 0 ou deg(R) < deg(A)). Par conséquent
Q et R sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de B par A
dans L[X]. Donc Q == C et R == O. Ainsi C E K[X], et A divise B dans K[X].
Proposition VIII.2. - Soit K un corps, L une extension de K. Soient f et
9 E K[X]. Alors f et 9 ont le même P.G.C.D. dans K[X] et dans L[X].
Preuve: On calcule le P.G.C.D. de f et de 9 dans K[X] en utilisant l'algorithrne d'Euclide
dans K[X]. On remarque qu'à chaque pas le quotient et le reste de la division euclidienne
dans K[X] sont respectivement égaux au quotient et au reste de la division euclidienne
dans L[X]. Donc l'algorithme d'Euclide dans K[X] fournit la même suite de quotients et
de restes que l' algori thme d' Eucl ide dans L [X]. En particul ier le dernier reste non nul est
le même, c'est-à-dire:
P.G.C.D. de f et de 9 dans K[X] = P.G.C.D. de f et de 9 dans L[X].
Définition VIII.3 [Dérivée (formelle)]. - Soit K un corps. Soit f E K[X] :
f(X) == anxn + . . . + a1X + ao, les ai E K. On appelle dérivée (formelle) de f et
on note f' le polynôlne de K[X] donné par: f' (X) == na n X n - 1 +. . . + 2a2X + al.
Propriété VIII.4. - L'application de K[X] dans K[X] : f  f' est K-linéaire et
vérifie: \:I(f, g) E K[X]2, (fg)' == f' 9 + fg'.
Proposition VIII.S. - Soit K un corps, L une extension de K. Soit f E K[X] un
polynôme de degré > 1. Soit a E L.
a est racine simple de f <===} (f(a) == 0 et f'(a) =1 0).
Preuve: Soit a E L une racine de f : f(X) == (X - a)g(X), où 9 E L[X]. Alors
f'(X) == g(X) + (X - a)g'(X), donc f'(a) == g(a).
Ainsi a est simple <===} g(a) =1 0 <===} f'(a) =1 O.

96
"
CH. VIII. EXTENSIONS SEPARABLES
Proposition VIII.6.- Soit K un corps. Soit P E K[X] un polynôme de degré > 1.
On note DK(P) le corps de décomposition de P sur K. Les conditions suivantes
sont équivalentes:
(1) P et P' sont premiers entre eux dans K[X];
(2) P et P' n'ont pas de racine commune dans DK(P);
(3) Dans toute extension L de K, P et P' n'ont pas de racine commune;
(4) P n'a pas de racine multiple dans DK(P);
(4') P a deg(P) racines distinctes dans DK(P);
(5) P n'a que des racines simples dans toute extension L de K.
Preuve: . (4) <=> (4') est clair, ainsi que (5) =} (4) et (3) =} (2).
. (5) <=> (3) et (4) <=> (2) découlent de ce que: a est racine multiple de P si, et seulement
si, a est racine commune de P et P'.
. (1) =} (3) : Soit L une extension de K. P et P' ont 1 pour P.G.C.D. dans K[X], donc
aussi dans L[X]. Donc P et P' n'ont pas de racine commune dans L. (Sinon, si a E L
vérifie P(a) == pl(a) == 0, alors X - a divise P(X) et PI(X) dans L[X]).
. (2) =} (1) : Raisonnons par contraposition. Supposons qu'il existe F(X) E K[X] tel
que deg(F) > 1, F divise P et F divise P' dans K[X]. On peut supposer F irréductible
dans K[X]. Soit K(u) un corps de rupture de F sur K. Comme FIP, P(u) == 0, donc
DK(P) est une extension de K(u). Comme FIP I , PI(U) == O. Ainsi u E DK(P) est
racine commune à P et P'.
2. Polynômes séparables
Définition VIII.7 [Polynôme séparable]. - Soit K un corps. Soit P E K[X] un
polynôme de degré > 1. On dit que P est séparable si, et seulement si, il vérifie
les conditions équivalentes de la proposition précédente, et inséparable dans le cas
contraire.
EXEMPLES VIII.S. - X 2 + 1 E Q[X] est séparable, X 2 + l E IF 2 [X] est inséparable.
Proposition VIII.9. - Soit f E K[X] un polynôme irréductible. f est inséparable
<===} la dérivée formelle f' est nulle.
Pr. euve : . [{=] Si f' == 0, alors f et f' ont un zéro commun dans D K (f) · · ·
. [=}] f étant inséparable, a une racine multiple u dans D K (f). Alors irr( u, K, X) divise
f(X) et f' (X). Puisque f est irréductible, il vient: 3À E K* Lq. f(X) == À irr( u, K, X).
Donc f divise f'. Comme deg(f') < deg(f) - 1, cela entraine f' == O.
Corollaire VIII.I0. - Soit K un corps de caractéristique nulle. Tout polynôme
irréductible de K[X] est séparable.
Preuve: Comme caract(K) = 0, P' == 0 entraine P E K.
Corollaire VIII.II. - Soit K un corps de caractéristique p E JP>. Soit f un polynôme
irréductible de K[X]. f est inséparable <===} f(X) E K[XP].
Preuve: Notons f(X) == anXn + . . . + a1X + ao, les ai E K.
Alors f'(X) == na n Xn-1 + . .. + 2a2X + al. Donc f' == 0 <=> (\fi E [1, n], iai == 0)
<=> (\fi E [1, n], i = O[mod. p] ou (inclusif) ai == 0) <=> (f est de la forme f(X)
E 7 0 bjXpj, les b j E K) <=> (f est de la forme f(X) == g(XP), 9 E K[X]).

9 3. Eléments séparables. Extensions séparables
97
3. Eléments séparables. Extensions séparables
Définition VIII.12 [Elément séparable]. - Soit L extension de K. A tout élément
a E L, avec a algébrique sur K, on associe son polynôme minimal irr(a, K, X),
qui est un élément irréductible de K[X]. On dit que a est séparable (sur K) si,
et seulement si, le polynôme minimal irr( a, K, X) est séparable; et que a est
inséparable (sur K) dans le cas contraire.
REMARQUE VIII.13. - a est séparable <===} (3P E K[X] \ {O}, P séparable, tel que
P(a) = 0).
Définition VIII.14 [Extension séparable]. - Soit L une extension algébrique de
K. On dit que L est une extension séparable (ou algébrique séparable) de K si, et
seulement si, tout élément de L est séparable sur K.
Proposition VIII.IS. - Soit K C L C M une tour d'extensions algébriques. Si M
est séparable sur K, alors M est séparable sur L et L est séparable sur K.
REMARQUE VIII.16. - On verra plus loin (VIII.3I) que la réciproque est vraie.
Preuve: - Comme L C M et que tout élément de M est séparable sur K, tout élément de
L est séparable sur K, ainsi LI K est séparable.
- Soit a E M. Clairement irr( a, L, X) divise irr( a, K, X) dans L[X], donc puisque
irr( a, K, X) est séparable, irr( a, L, X) l'est aussi. Ainsi MI L est séparable.
Proposition VIII.17 [et définition]. - Soit K un corps. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) Tout polynôme irréductible de K[X] est séparable;
(ii) Toute extension algébrique de K est séparable sur K ;
(iii) K (clôture algébrique de K) est une extension séparable de K.
On dit alors que K est un corps parfait.
Preuve : (i) =} (ii) Soit L extension algébrique de K. Pour f E L, irr( f, K, X) est un
polynôme irréductible de K[X], donc d'après (i) est séparable.
(ii) =} (i) Soit P(X) un polynôm irréductible de K[X]. Soit L = K(a) = K[X]/(P)
un corps de rupture de P(X) sur K. L étant une extension algébrique de K, d'après (ii)
L est séparable sur K, donc a est séparable sur K; donc irr( a, K, X) = P(X) unitarisé
est séparable.
(H) =} (iii) évident. .-
(iii) =} (i) Soit P(X) un polynôme irréductible de K[X]. Soit a E K une racine de P(X).
Comme KI K est séparable, a est séparable sur K; donc irr( a, K, X) = P(X) unitarisé
est séparable.
Proposition VIII.lS. - Soit K un corps de caractéristique p E JP>. Les conditions
suivantes sont équivalentes:
(a) K = KP, c'est-à-dire: l'endomorphisme F: x  x P est surjectif
(b) K est parfait.
Preuve: . (a) =} (b) : Soit f(X) E K[X] un polynôme irréductible inséparable. D'après
VIII.11, f est de la forlne f (X) = L "; 0 b j xpj, les b j E K. Comme F est surjectif, on
a : \/,j E [0, m], 3aj E K t.q. b j = a.

98
"
CH. VIII. EXTENSIONS SEPARABLES
Il vient f(X) = E T'- o aXpj = ET=o (ajXj)P, soit utilisant l'endomorphisme j de
K[X] canoniquement associé à F :
f(X) = ( f ajXj ) P,
)==0
Ce qui contredit l'irréductibilité de f.
. (b) => (a) : Soit a E K. Soit L un corps de décomposition du polynôme XP - a E K[X].
L est une extension algébrique de K, donc puisque K est parfait, L est séparable sur K.
Soit bEL une racine du polynôme XP - a. Alors b P = a. Le polynôme irr(b, K, X)
divise XP - a dans K[X] donc dans L[X], et comme L est de caractéristique p, on a dans
L[X] : XP - a = XP - b P = (X - b)P. Comme LI K est séparable, irr(b, K, X) est
séparable. Donc irr(b, K, X) = X - b. Donc b E K.
Proposition VIII.19. - Si K est fini, ou algébriquement clos, ou de caractéristique
0, alors K est parfait.
Preuve: - Si K de caractéristique 0, alors K est parfait: cf. VIII. 1 O.
- Supposons K de caractéristique p E P. Si K est fini, alors (VII. 14) K = KP. Si K est
algébriquement clos, alors pour tout a E K, le polynôme XP - a E K[X] a au moins une
racine dans K, soit: 3b E K t.q. b P = a; donc K = KP. Donc (proposition précédente)
K est parfait.
EXEMPLE VIII.20. - P E P, T une indéterminée. Le corps IFp(T) n'est pas parfait.
En effet, soit M(X) = XP - T E IFp(T) [X]. IFp(T) est le corps des fractions
de l'anneau IFp[T], qui est un anneau principal (donc factoriel). Or T est un
élément irréductible de l'anneau IFp[T], divise dans cet anneau tous les coefficients
de M(X) sauf son coefficient dominant, et T 2 ne divise pas le terme de degré
o de M(X), donc d'après le critère d'EISENSTEIN (1.52), M(X) est irréductible
dans IFp(T) [X]. Soit D un corps de décomposition de M(X) sur IFp(T). Soit
t E D une racine de M(X). Comme D de caractéristique p, on a dans D[X] :
M(X) = XP - t P = (X - t)P; donc NI(X) a une racine multiple dans D, donc est
inséparable.
Lemme VIII.21. - Soit K un corps infini. Soit L = K(a1,"', an) une extension
algébrique de type fini de K. Si au moins (n - 1) des éléments QI, . . . , an sont
séparables, alors L est une extension monogène de K.
Preuve: On procède par récurrence sur n, avec S(n) = énoncé du lemme.
. S (1) est vraie : trivial!
. S(2) est vraie: Soit K un corps infini. Soit L = K( a, (3) une extension algébrique de
type fini de K, avec (quitte à changer les noms) (3 séparable.
Notons P(X) = irr(a, K, X), m, = deg(P), Q(X) = irr({3, K, X), n = deg(Q). Soit
M = DK(PQ) le corps de décomposition de PQ sur K. On a K C L = K(a, (3) C M.
Notons al, . . . , am les racines de P(X) dans M, avec al = a. Notons {31, . . . , (3n les
racines de Q(X) dans M, avec {31 = {J. Comme le polynôme Q est séparable, les (3j,
1 < j < m, sont distincts.
Il existe c E K tel que: (*) (\:Ii E [1, m]) (\:Ij E [2, n]) ai + c{3j -1- a + c{3. 1
En effet les éléments c de K qui ne vérifient pas (*) sont les c = (Q - ai) 1 ({3j - (3),
(i, j) E [1, m] x [2, n] : ils sont en nombre fini, et le corps K est infini. Posons alors
, = a + c{3. Evidemment K(,) C K(a,{3). Montrons que (3 E K(,). Il en découle
a = , - c{3 E K(,), puis K(a, (3) C K(,), d'où l'égalité K(a, (3) = K(,) et le fait
que Lest monogène.

9 3. Eléments séparables. Extensions séparables
99
fjestracinedeQ(X) E K[X] C K(,)[X].OnaP(a) == P(,-cfj) == 0, donc fjest racine
du polynôme R(X) == P(,-cX) E .K(,)[X]. Posons (X) == P.G.C.D.(Q(X), R(X)) :
alors (X) E K(,) [X] et il découle du théorème de Bezout que fj est racine de .
(X) divise Q(X) dans K(,)[X], donc (X) divise n7==1 (X - fjj) dans M[X]. Si
deg() > 1, il existe j E [2, n] tel que (fjj) == 0 : mais alors R(fjj) == 0, soit
P(, - cfjj) = 0, soit (3i E [1, m] t.q. , - cfjj = ai), ce qui est impossible d'après (*).
Ainsi deg() == 1, donc puisque fj est racine de, fj E K(,).
. Supposons S (n) vraie. Soit K un corps infini. Soit L == K (al, . . . , a n + 1) une extension
algébrique de type fini de K telle qu'au moins n des éléments al, . . . , a n + 1 sont séparables.
Quitte à changer d'indexation, on peut supposer a2, . . . , a n + 1 séparables. D'après S (n),
L' = K(a1,'" , an) est une extension monogène de K, soit: il existe a E L' tel que
L' = K(a). Il vient L = L'(a n +1) = K(a, a n +1) avec a algébrique sur K et Œ n +1
séparable, donc d'après S(2), L est une extension monogène de K. Ainsi S(n + 1) est
vraie. 0
Définition VIII.22 [Elément primitif]. - Soit E une extension de degré fini (donc
algébrique) de K. On dit que x E E est un élément primitif de El K si, et seulement
si, E = K(x). L'existence d'un élément primitif de El K signifie donc que E est une
extension monogène de K. Les élélnents primitifs de El K sont alors les éléments
de E dont le degré sur K est égal à [E : K].
Théorème VIII.23 [de l'élément primitif]. - Soit L une extension de degré fini
(donc algébrique) et séparable de K. Alors LI K a un élément primitif (c'est-à-dire
est monogène).
Preuve : Si I( est fini, appliquer VII. 12. Si K est infini, utiliser le lemme précédent.
Théorème VIII.24. - Soit L une extension de degré fini (donc algébrique) de K.
Alors: LI K a un élément primitif {=::=} l'ensemble des sous-corps de L contenant
K est fini.
Preuve: Si K est fini, alors L est aussi fini (et Card(L) == (Ca.rd(K))[L:K)). LIK a un
élément primitif d'après VIL12, et d'après VIL7, L* est cyclique, donc n'a qu'un nombre
fini de sous-groupes, donc Ln' a qu'un nombre fini de sous-corps. On peut donc supposer
que K est infini.
. [{=] On montre par récurrence sur n E N* la propriété S( n) = "Soit K un corps infini.
Soit L = K(a1, . . . , an) une extension algébrique de type fini de K telle que l'ensemble
des sous-corps de L contenant K est fini. Alors L est une extension monogène de K."
- S (1) est vraie : trivial!
- S (2) est vraie: Soit K un corps infini. Soit L = K (QI, a2) une extension algébrique de
type fini de K, telle que l'ensemble des sous-corps de L contenant K est fini. A fortiori
l'ensemble des sous-corps de L de la forme K(a1 +xa2), x E K, est fini. Donc, comme K
est infini, il existe CI et C2 distincts dans K tels que K( al +C1 a2) == K( al +C2a2). Posons
a = a1+c1a2.Alors(C2-c1)a2 E K(a), donc a2 E K(a),puisa1 = a-C1a2 E K(a).
Donc L = K(a1,o2) C K(a). D'où l'égalité L == K(a).
- Supposons S( 111) vraie. Soit K un corps infini. Soit L = K (al, . . . , a n + 1) une extension
algébrique de type fini de K telle que l'ensemble des sous-corps de L contenant K est
fini. A fortiori l'ensemble des sous-corps de L' == K (al, . . . , an) contenant K est fi ni.
Donc d'après S(n), L' == K(a1,' . . , an) est une extension monogène de K : il existe
a E L' tel que L' = K(a). Il vient L = L'(a n +1) = K(a, a n +1); donc d'après S(2), L
est une extension monogène de K. Ainsi S(n + 1) est vraie.

100
"
CH. VIII. EXTENSIONS SEPARABLES
. [ =} ] Supposons L extension monogène de K. Notons L = K (a). Pour F sous-corps de L
contenantK, notonsIIF(X) == irr(a, F, X): cepolynômediviseIIK(X) == irr(a, K, X)
dans F[X] donc dans L[X]. Notons J( l'ensemble des sous-corps de L contenant K, V
l'ensemble des diviseurs unitaires de IIK(X) dans L[X], et considérons l'application
f : J( -4 V qui à F associe IIF(X). Soit (F, F') E J(2 avec IIF(X) == IIF, (X).
Notons ao, . . . , an les coefficients de IIF(X) et H == K(ao, . . . , an). H E J( et comme
H C F, le polynôme IIF(X) qui est irréductible dans F[X] est aussi irréductible dans
H[X], donc IIH(X) == IIF(X), Or L == F(a) == H(a), donc [L : F] == deg(IIF(X))
et [L : H] == deg(IIH(X)), Donc [L : F] == [L : H]. Donc F == H. De même F' == H,
donc F == F'. Ainsi f est injective. Comme V est fini, il vient: J( est fini. 0
4. Degré séparable d'une extension algébrique
Théorème VIII.25 [et définition]. - Soient K un corps, L une extension algébrique
de K. Pour j 110momorphisme de K dans un corps algébriquement clos 0
algébrique sur j(K), on note Pj)O, l'ensemble des homomorphismes de L dans 0
qui prolongent j. Le cardinal de Pj)O, ne dépend pas du couple (j, 0). Ce cardinal
est noté [L : K]s et appelé le degré séparable de LI K.
Preuve: Soit j'un homomorphisme de K dans un corps algébriquement clos 0' algébrique
1
sur j'(K). La corestriction j1 [resp. j1] de j [resp. j'] à j(K) [resp. j'(K)] est un
isomorphisme de corps. D'après V.37, il existe () isomorphisme de 0 sur 0' qui prolonge
j 0 (jl) -1 . Alors clairement l'application f  () 0 f est une bijection de Pj)O, sur Pjl )0,/.
Proposition VIII.26 [Multiplicativité du degré séparable]. - Soit K C L C M une
tour d'extensions algébriques. Alors [M : K]s == [M : L]s[L : K]s.
Preuve: Soit j un homomorphisme de K dans un corps algébriquement clos 0 algébrique
sur j(K). Notons Pj)O, l'ensemble des homomorphismes de L dans 0 qui prolongent
j : alors [L : K]s == Card(Pj)O,). Pour f élément de Pj)O" notons Pf)O, l'ensemble des
homomorphismes de M_ dans 0 qui prolongent f : alors [M : L]s == Card(Pf)O,).
Clairement l'ensemble Pj)O, des homomorphismes de M dans 0 qui prolongent j est
l'union}es Pf)O" f décrivant Pj)O" et ces ensembles Pf)O, sont deux à deux disjoints. Donc
Card(Pj)O,) == Card(Pj)O,) Card(Pf)O,). C'est-à-dire [M : K]s == [M : L]s[L : K]s.
Proposition VIII.27 [Cas d'une extension algébrique monogène]. - Soit K un corps.
Soit L == K(a) une extension algébrique monogène de K.
a) [K(a) : K]s est le nombre de racines distinctes de II(X) == irr(a, K, X)
dans un corps de décomposition de II(X) sur !(.
b) [K(a) : K]s < [K(a) : K]
c) Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) [ K ( a) : K] s == [K ( a) : K]
(ii) K(a) est séparable sur K
(iii) a est séparable sur K.
Preuve: a) Soit 0 une clôture algébrique de K(a). D'après V.40, 0 est une clôture
algébrique de K. L'injection canonique j de K dans 0 est un homomorphisme. Pj)O, est
l'ensemble des K-homomorphismes de K(a) dans O. Notant R l'ensemble des racines
distinctes de II(X) dans DK(II) C 0, on a, d'après 111.28, l'application eV Q : Pj)O, -4
R, f  f (a). Cette application est injective (raisonner comme dans 111.29-2) partie
"unicité"); et surjective car pour {J E R, il existe d'après V.41 un K -automorphisme f de
o (qui fournit, par restriction, un élément f de Pj)O,) tel que f( a) == {J.

S 4. Degré séparable d'une extension algébrique
101
b) Résulte immédiatement de a), puisque [K(a) : K]s est le nombre de racines distinctes
de II(X) = irr(a, K, X), et [K(a) : K] = deg(II(X)).
c). (ii)  (iii) est évident.
. (i) <=> (iii) : De a) résulte que [K(a) : K]s = [K(a) : K] équivaut au fait que
II(X) a deg(II(X)) racines distinctes dans D K (II), soit au fait qu'il est séparable. Donc
[K(a) : K]s = [K(a) : K] <=> a séparable sur K.
. (i)  (ii) : Supposons (i) vérifié, alors [K(a) : K]s = [K(a) : K] et a est séparable
sur K. Soit (3 E K(a). [K(a) : K] = [K(a) : K((3)] [K((3) : K] (1) et, par
VIII.26, [K(a) : K]s = [K(a): K((3)]s[K(t3) : K]s (II). a est séparable sur K et
irr(a, K((3), X) divise irr(a, K, X) dans K((3) [X], donc a est séparable sur K((3), donc
[K(a) : K((3)]s = [K(a) : K((3)]. Reportant cette égalité et (i) dans (1) et (II), il vient
[K((3) : K]s = [K((3) : K], donc (3 est séparable sur K.
Proposition VIII.28 [Cas d'une extension de degré fini]. - Soit K un corps. Soit L
une extension de degré fini de K.
b) [L : K]s < [L : K]
c) Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) [L : K]s = [L : K]
(ii) L est séparable sur K.
Preuve: b) On démontre par récurrence sur n E N* la propriété S(n) = "Soit K un
corps. Soit L = K(al,"', an) une extension algébrique de type fini de K. Alors
[L : K] s < [L : K] ".
- S(l) est vraie: cf. proposition précédente.
- Supposons S(n - 1) vraie, où n > 2. Soit K un corps. Soit L = K(al"'" an)
une extension algébrique de type fini de K. Posons F = K( al, . . . , an-l), de sorte
que K C F C L = K(a n ). D'après S(n - 1), [F: K]s < [F : K]. D'après
S(l), [L: F]s < [L : F]. Comme [L : K] = [L : F][F : K], et (VIII.26)
[L : K]s = [L : F]s[F : K]s, il vient [L : K]s < [L : K]. Ainsi S(n) est vraie.
c) . (i)  (ii) : par contraposition. Supposons L non séparable sur K : il existe a E L,
a non séparable sur K. D'après la proposition précédente, [K(a) : K]s < [K(a) : K].
Comme [L : K] = [L : K(a)][K(a) : K], [L : K(a)]s < [L : K(a)] et (VIII.26)
[L : K]s = [L : K(a)]s[K(a) : K]s, il vient [L : K]s < [L : K].
. (ii)  (i) L est une extension algébrique de type fini de K. Notons L = K(al,"', an),
et considérons la tour d'extensions finies Ko C KI C ... C Kn = L, où Ko = K
et ('Vi E [l,n], Ki = Ki-l(ai)). Compte tenu de la multiplicativité du degré et
de la multiplicativité du degré séparable (VIII.26), [L: K]s = [L : K] équivaut à
('Vi E [l,n], [Ki: Ki-l]s = [Ki: K i - l ]), soit d'après la proposition précédente à :
'Vi E [1, n], ai est séparable sur K i - l . Or si L est séparable sur K, alors ('Vi E [1, n], ai
est séparable sur K), donc, puisque irr ( ai, Ki -1 , X) divise irr ( ai, K, X) dans Ki -1 [X],
on a : 'Vi E [1, n], ai est séparable sur Ki -1.
REMARQUE VIII.29. - Reprenant cette dernière démonstration, on voit que l'on
peut énoncer: Si L = K( al, . . . , an) est une extension algébrique de type fini de
K, et si ('Vi E [1, n], ai est séparable sur K), alors LI K est séparable.
Proposition VIII.30 [Cas général, d'une extension algébrique]. - Soit K un corps.
Soit L une extension algébrique de K. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) Pour toute sous-extension de degré fini FI K de LI K, [F : K]s = [F : K]
(ii) L est séparable sur K.

102
CH. VIII. EXTENSIONS SÉPARABLES
Preuve:. (ii)  (i) Soit FI K une sous--extension de degré fini de LI K. D'après VIII. 15,
FI K est séparable, donc (proposition précédente) [F : K]s = [F : K].
. (i)  (ii) Soit a E L. K (a) 1 K est une sous--extension algébrique l11onogène, donc de
degré fini, de LI K. Donc (i) [K(a) : K]s = [K(a) : K]. Donc (VIII.27) a est séparable
sur K.
Théorème VIII.31 [Transitivité de la séparabilité]. - Soit K C L C M une tour
d'extensions algébriques. MIK est séparable <===> MIL est séparable et LIK est
séparable.
Preuve: . [] vu in VIII. 15.
. [<=] Cas d'extensions .finies. On a [M : K] = [M : L][L : K], et (VIII.26)
[M: K]s = [M: L]s[L: K]s. Si MIL est séparable et LIK est séparable, alors d'après
VIII.28, [M : L]s = [M : L] et [L : 1<]s = [L : K], donc [M : K]s = [M : K]. Donc
d'après VIII.28, MI K est séparable.
. [<=] Cas général. Supposons que MIL est séparable et LI K est séparable. Soit a E M.
Il existe une sous--extension algébrique de type fini L' 1 K de LI K telle que irr( a, L, X)
appartienne à L' [X] (considérer L' = K ( ao, . . . , an) où les ai sont les coefficients du
polynôme irr( a, L, X) de L[X]). Comme LI K est séparable, L' 1 K est séparable. Posons
M' = L'(a). L' C L, donc irr(a, L, X) divise irr(a, L', X) dans L[X]. Puisque ces deux
polynômes sont à coefficients dans L', irr(a, L, X) divise irr(a, L', X) dans L'[X], donc,
le second étant irréductible dans L'[X], irr(a, L, X) = irr(a, L', X). Donc irr(a, L', X)
est séparable, et a est séparable sur L'. Donc (VIII.27) M' est séparable sur L'. M' 1 L' et
L' 1 K sont de degrés finis et séparables, donc d'après le cas particulier traité précedemment,
M' 1 K est séparable. Donc a est séparable sur K. 0
Théorème VIII.32. - Soit L une extension algébrique de K, engendrée par une
famille (ai)iEI. Si ('Vi E l, ai est séparable sur K), alors L est séparable sur K.
Preuve: Soit x E L. Il existe un sous-corps F de L de type fini sur K, de la forme
F = K(ail" .. , ain)' tel que x E F. D'après VIII.29, FI K est séparable. Donc x est
séparable sur K.
Corollaire VIII.33. - Soient LI et L 2 deux extensions de K, toutes deux sous-
corps de M. Si Ll1 K et L21 K sont séparables, LIL21 K est séparable.
Preuve: Tout élément de LI est séparable sur K, donc séparable sur L 2 . Comme LI L 2 1 L 2
est engendré par la famille des éléments de LI, on a donc d'après le théorème précédent:
L1L21 L 2 est séparable. Comme L21 K est aussi séparable, on a donc par transitivité
(VIII.31) : L1L21 K est séparable.
5. Exercices
(VIII-l) - Soit P(X) E Q[X) un polynôme irréductible de degré 2. Montrer, sans utiliser VIII.6, que les racines
de P(X) sont distinctes.
(VIII-2) - Soit P(X) E Q[X), avec deg(P) > 2, et D(X) = P.G.C.D.(P(X), P'(X)). Montrer que
P(X)/ D(X) est un polynôme qui a les mêmes racines que P(X), et qui n'a pas de racine multiple.
(VIII-3) - Soit K un corps de caractéristique p premier, L une extension finie de K avec [L : K] premier avec
p. Montrer que L est séparable sur K.
(VIII-4) - Soit L / K une extension algébrie séparable. Montrer que l'élément x de L est dans K si, et seulement
si : pour tout K -morphisme u de L dans K, u(x) = x.

S 5. Exercices
103
(VIII-5) - Donner explicitement un x E C tel que Q(x) = Q(i, j, J2).
(VIII-6) - Soit K un corps commutatif, P(X) E K[X] un polynôme séparable sur K, D K (P) le corps des
racines de P(X) sur K. Démontrer que D K (P)I 1< est séparable. Démontrer que le nombre de corps compris
entre K et D K (P) est fini.
(VIII-7) - Soient K un corps de caractéristique nulle, L une extension de degré fini de K. Démontrer que le
nombre de corps compris entre K et L est fini.
(VIII-8) - Soit K un corps de caractéristique nulle.
1) Montrer que, pour L extension de K, on a: [L ; K] < n ==> (\Ix E L, [K(x) : K] < n).
2) Donner un exemple dans lequel on a à la fois [L : K] = +00 et (\Ix E L, [K(x) : K] < +00).
3) Si K est de caractéristique p premier, montrer que le résultat démontré au 1) n'est plus valable.
(VIII-9) - Soient a et b deux rationnels, avec va ft Q et v'b ft Q.
Montrer que: vaJj ft Q {::::::} va ft Q( Vb) {::::::} Vb ft Q( va).
On suppose dans toute la suite cette condition vérifiée. Montrer que Q( va, Vb) est une extension de degré 4 de
Q, dont une base est (1, va, Vb, vaJj). Montrer que Q( va, Vb) = Q( va + Vb). Montrer que le polynôme
minimal de va + Vb sur Q est X 4 - 2(a + b)X 2 + (a - b)2.
(VIII-I0) - Montrer que toute extension algébrique d'un corps parfait est un corps parfait.
(VIII-11) - Soient K un corps, L une extension algébrique de K.
a) Soit E un ensemble d'éléments de L séparables sur K. Montrer que K(E)I K est une extension séparable.
b) Montrer que l'ensemble S des éléments de L séparables sur K est un corps intennédiaire de l'extension LI K,
et que SI K est une extension séparable. (S est appelée lafermeture algébrique séparable de K dans L).
c) Montrer que tout élément de L \ S n'est pas séparable sur S.
(VIII-12) - Soient K un corps de caractéristique p premier, et LI K une extension algébrique. Montrer que les
conditions suivantes sont équivalentes:
1) tout élément de L \ K n'est pas séparable sur K
e
2) \Ix E L, 3e E N tel que x P E K
3) le cardinal de l'ensemble HomK (L, K) des K -morphismes de L dans la clôture algébrique de K est égal
à1.
(Lorsqu'elles sont vérifiées, on dit que LI K est purement inséparabLe, ou radicieLle).

CHAPITRE IX
TRACE, NORME, DISCRIMINANT
Le discriminant est essentiellement un outil numérique. On le calcule à partir des
coefficients d'un polynôme, et sa nullité est équivalente à la présence de racines multiples.
On peut définir le discriminant de deux façons (qui se rejoignent et conduisent au même
objet) :
- à partir d'un point de vue de type "théorie des corps", on a une méthode qui consiste à
définir d'abord le discriminant d'une extension
- une méthode au fond plus formelle (mais que le lecteur trouvera peut-être plus facile
pour l'avoir abordée en premier cycle), basée sur le déterminant de SYLVESTER, est exposée
en fin de chapitre.
1. Rappels d'algèbre linéaire
DéfinitionsIX.l.- Soient K un corps (commutatif), n E N*. L'application trace:
n
Mn(K) ----+ K, M = (aij) 1------+ tr(M) = Laii
i=l
est une forme K-linéaire sur Mn(K) et vérifie:
\I(A, B) E (M n (K))2, tr(AB) == tr(BA).
L'application détenninant :
n
Mn(K) -t K , l'vI = (aij)  det(M) = L e(l7) II aia(i)
aES n i=l
vérifie (\I(A, B) E (M n (K))2, det(AB) == det(A) det(B)), det(In) == 1, et on a :
M E U(Mn(K)) == GLn(K) {=::} det(M) # O.
REMARQUE IX.2. - Soit V un K -espace vectoriel de dimension finie n E N*.
Soit e une base de V. L'application .cK(V) --+ Mn(K), u  Mat(u; e) ==
(ei(u(ej)))li,jn qui à un endomorphisme u du K-e.v. V associe sa matrice dans
la base e est un isomorphisme de K -algèbres.
Pour u E .cK(V), tr(Mat(u; e)) et det(Mat(u; e)) ne dépendent pas de la base
e de V considérée. On les note respectivement tr(u) et det(u), et on les appelle
respectivelnent trace et déterminant de u.
Définition IX.3. - Soit P(X) == xn + an_1xn-l + . . . + a1X + ao E K[X] un
polynôme unitaire. On appelle matrice-compagnon (ou matrice de FROBENIUS) du
polynôme P, l'élément C(P) == (Cij) de Mn(K) défini par:
Cij == 1 si 1 < j < n - 1 et i == j + 1
Cij == -ai-l si 1 < i < n etj ==n
Cij == 0 sinon.
Proposition IX.4. - La matrice-compagnon d'un polynôme unitaire P(X) de
degré n a pour polynôme caractéristique det(C(P) - Xl n ) == (-l)n P(X), et pour
polynôme minimal P(X).

S 2. Définitions et propriétés élémentaires
105
Preuve: Développant le déterminant det( C(P) - X ln) selon sa dernière colonne, on voit
qu'il est égal à (-I)n P(X).
Soit e = (el"", en) la base canonique de Kn. Soit U l'endomorphisme de Kn
dont la matrice dans la base e est C(P). Alors ('Vj E [1, n - 1], u(ej) = ej+1), et
(1) u(e n ) = -aOe1 - ... - an-1en' On a donc (récurrence finie aisée) (2) ('Vj E
[1, n], u j -1 (el) = ej). Reportant (2) dans (1), il vient P( u) (el) = 0, donc 'Vi E
[1, n], P ( u ) ( ei ) = P ( u) ( U i -1 (el) ) = [ P ( u) 0 U i -1 ] (el) = [ u i -1 0 P ( u ) ] (el) =
u i - 1 (P(u)(e1)) = u i - 1 (0) = O. Ainsi P(u) = 0, c'est-à-dire: le polynôme minimal
II(X) de C(P) divise P(X) dans K[X].
Soit (Ào,. . . , À n - 1 ) E Kn tel que L: -0 1 ÀiU i = 0 : alors en particulier
n-1 n-1
(L Àiui)(eI) = L À i e i+l = 0,
i=O i=O
donc puisque e est une base de Kn, (Ào,..., À n - 1 ) = (0,...,0). Ainsi (ui)0in-1
est K-libre. Par conséquent deg(II(X)) > n. Comme II(X) divise P(X) dans K[X],
et deg(P(X)) = n, et comme II(X) et P(X) sont tous deux unitaires, il vient
II(X) = P(X).
2. Définitions et propriétés élémentaires
Proposition IX.5 [et définition]. - Soient K un corps, L une extension de degré
fini n de K. Pour tout u E L, on note J-L(u) l'application: L --+ L, x  ux qui
réalise la multiplication par u.
a) J-L ( u) est K -linéaire : J-L ( u) E L K (L ) .
b) J-L est un homomorphisme injectif de K-algèbres de L dans LK(L).
c) Pour tout élément u de L, u et J-L(u) ont le même polynôme minimal.
Preuve: a) La K -linéarité de J-L( u) résulte de la K -bilinéarité du produit dans la K -algèbre
L.
b) La K -linéarité de J-L résulte de la K -bilinéarité du produit dans L. Il est clair que
J-L( 1) = id L . De l'associativité du produit dans L résulte:
'V(u, v) E L 2 , J-L(u) 0 J-L(v) = /-l(UV). Si u E ker J-L, alors 0 = J-L(u)(I) = ul = u.
c) Utilisant le fait que J-L homomorphisme de K -algèbres, on voit que: 'Vu E L, 'V P E
K[X], P(J-L(u)) = J-L(P(u)). J-L étant injective, il vient: P(J-L(u)) = 0 {=::} P(u) = O.
Par conséquent u et J-L( u) ont le même idéal annulateur, et donc ont le même polynôme
minimal.
REMARQUE IX.6.- On peut donc identifier L avec le corps J-L(L) de LK(L), et donc,
puisque LK(L) est isomorphe à Mn(K), représenter L par un corps de matrices
carrées de taille n à coefficients dans K.
DéfinitionsIX.7.- Soient K un corps, L une extension de degré fini n de K. Soit
x E L. On appelle trace de x relativement à K, et on note trLIK(x), la trace de
J-L(x). On appelle norme de x relativement à K, et on note N LI K(X), le déterminant
de J-L(x). On appelle polynôme caractéristique de x relativement à K, le polynôme
caractéristique det(J-L(x) - Xid L ) de J-L(x). On le note Car(x, LI K, X).
Propriétés IX.S. - Soient K un corps, L une extension de degré fini n de K.
'Vx E L, trLIK(x) E K et NLIK(x) E K.
trLIK : L --+ K, x  trLIK(x) est une forme linéaire sur le K-e.v. L.

106
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
Pour x E K, trL/K(X) = nx.
L'application N L / K : L --+ K, x  NL/K(X) vérifie:
\I(x,x') E L 2 , NL/K(XX') = NL/K(X)NL/K(X')
Pour x E K, NL/K(X) = x n
(\Ix E L) NL/K(X) = 0 {=::} x = o.
Preuve: Soit e = (el"", en) une base quelconque, fixée, de L comme K -e.v. Pour
x E L, notons Mat(J.L(x); e) = (aij(x))li,jn' Alors trL/K(x) = L:=l aii(x), et
NL/K(X) = det(aij(x)). En particulier si x E K, Mat(J.L(x); e) = diag(x,... , x), donc
trL/K(x) = nx et NL/K(X) = x n .
Enfin (\Ix E L) : N L/ K (x) = 0 {:} det(J.L(x)) = 0 {:} J.L(x) fi. GL K (L) {:} J.L(x) n'est
pas injective {:} x n'est pas régulier dans L {:} x = O.
EXEMPLES IX.9. - . Corps quadratiques.
Soit d E Z avec Vd  Q. L'extension C = Q( Vd) de Q est de degré 2, une base
est (l,Vd). Soit Q E Q(Vd) : 3!(x,y) E Q2 t.q. Q = X + yVd. \I(x',y') E Q2,
(x + yVd)(x' + y'Vd) = (xx' + dyy') + (xy' + x'y)Vd; donc la matrice de
f.L(x + YVd) dans la base (1, Vd) est (: a;), donc trc/lQ(x + YVd) = 2x,
Nc/Q(x + YVd) = x 2 - dy2, et Car(x + yVd, C IQ, T) = T 2 - 2xT + x 2 - dy2.
. Corps C = ]R( i) des nombres complexes.
L'extension C = ]R(i) de ]R est de degré 2, une base est (1, i). \lz E C, 3!(x, y) E ]R2
t.q. z = x + iy. \I(x', y') E ]R2, (x + iy) (x' + iy') = (xx' - yy') + i(xy' + x' y), donc la
matrice de f.L(x+iy) dans la base (1, i) est (: y) donc trc/lR(z) = 2x = 2 !Re(z),
NCC/JR(z) = x 2 + y2 = Iz1 2 , et Car(z,C/]R,X) = X 2 - 2xX + x 2 + y2 =
X 2 - 2e(z)X + Iz1 2 .
Remarquons que, (]' désignant la conjugaison (z  z), c'est-à-dire le ]R-
automorphisme de C distinct de idcc, on a :
\lz E C, trcc/JR(z) = z + a(z) et Nc/JR(z) = za(z).
Corollaire IX.lO. - Soient K un corps, L une extension de degré fini n de K.
L'application: L 2  K, (x, y)  trL/ K(XY) est une forme K -bilinéaire symétrique.
Preuve: La symétrie résulte de la commutativité du produit dans L. La K -bilinéarité résulte
de la K -linéarité de la trace tr LI K et de la K -bilinéarité du produit dans la K -algèbre L.
Proposition IX.ll. - Soient K un corps, L une extension de degré fini n de K.
Soit u E L. Si Car(u, LI K, X) = (-l)n(xn + Àn_lX n - l + . .. + À o ), les Àj E K,
alors trL/K(u) = -À n - l et NL/K(U) = (-l)n,xo.
Preuve : Soit e = (el"", en) une base quelconque, fixée, de L comme K -e. v. Pour
U E L, notons A( u) = (aij (u) )li,jn = Mat(J.L( u); e). Cette matrice a pour polynôme
caractéristique Car(u, LI K, X), égal à
det(A(u) - Xl n ) = (_l)n(X n - tr(A(u))X n - l +... + (_l)n det(A(u))).
Donc trL/K(u) = tr(A(u)) = -À n - l et NL/K(U) = det(A(u)) = (_l)n Ào.
Proposition IX.12. - Soient K un corps, L une extension de K. Soit x un
élément de L a.lgébrique sur K, irr(x, K, X)=X7n + a m _ l X7n-l + . . . + ao (les
ai E K) son polynôme minimal. Alors Car(x, K(x)1 K, X) = (_l)m irr(x, K, X) =
(_l)[K(x):K] irr(x, K, X), tr/«(x)/K(X) = -am-l, et NK(x)/K(X) = (-l)mao.

S 2. Définitions et propriétés élémentaires
107
Preuve: (1, X,. . . , xm-1) est une base du K-espace vectoriel I«x).
La matrice de l'endomorphisme J.L(x) de K(x) dans cette base est la matrice compagnon
C(irr(x, K, X)) du polynôme minimal de x.
Donc d'après IX.4, Car(x, K(x)/ K, X) = (-l)m irr(x, K, X). Donc, d'après la propo-
sition précédente, tr K(x)/ K (x) = -a m -1 et N K(x)/ K (x) = (-1) m aQ.
.-
Proposition IX.13. - Soit K un corps, K sa clôture algébrique. Soit Lune
extension de K. Soit X un élément de L algébrique sur K.
Si irr(x, K, X) = n :' l (X - Xi) dans K[X], alors:
\fQ E K[X], trK(x)/K(Q(X)) = 2:  1 Q(Xi) et NK(x)/K(Q(X)) = n  l Q(Xi)'
Preuve: Notons L = K(x) et II(X) = irr(x, K, X). Alors 7n = [L : K] = deg(II(X)).
B = (1, x, . . . , xm-1) est une base du 1< -espace vectoriel L.
Comme J.L est un homomorphisme injectif de K-algèbres de L dans .cK(L), on a :
\fQ E K[X], J.L(Q(x)) = Q(J.L(x)).
Par conséquent: \fQ E K[X], Mat(J.L(Q(x)); B) = Q(Mat(J.L(x); B)).
Or clairement Mat (J.L(x ); B) = C(II), matrice-compagnon de II(X).
D'après IX.4, C(II) a pour polynôme caractéristique (-l)mII(X).
Ce polynôme caractéristique est scindé dans K[X], dOEc, d'après un théorème classique
d'algèbre linéaire, C(II) est trigonalisable dans Mm(K).
Plus précisément, comme II(X) = n :n 1 (X - Xi) dans K[X], il existe P E GLm(K)
telle que P- 1 C(II)P soit triangulaire supérieure, et P- 1 C(II)P ait pour diagonale:
(X1,"',X m ). .
Une récurrence immédiate montre alors que: \fi E N, (P-1C(II)P) = P- 1 C(II)i Pest
triangulaire supérieure, avec pour diagonale: (xi, . . . , x).
Donc pour chaque Q E K[X], P- 1 Q(C(II))P = Q(P- 1 C(II)P) est triangulaire
supérieure, avec pour diagonale: (Q(X1),'" , Q(x m )).
Donc: \fQ E [([X], tr(Q(C(II))) = tr(p-1Q(C(II))P) = 2: :' 1 Q(Xi)
et det(Q(C(II))) = det(p- 1 Q(C(II))P) = n :' l Q(Xi), c'est-à-dire, pUIsque
Q(C(II)) = Mat(J.L(x); B)) = Mat(J.L(Q(x)); B) :
\fQ E K[X], trK(x)/K(Q(X)) = 2:1 Q(Xi) et NK(x)/K(Q(X)) = n :n 1 Q(Xi)'
REMARQUE IX.14. - Prenant Q(X) = X, il vient trK(x)/K(X) = 2: :' 1 Xi et
N K(x)/ K (x) = nl Xi. Appliquant à irr(x, K, X) les relations entre coefficients
et racines d'un polynôme, on retrouve les résultats concernant trK(x)/K(X) et
NK(x)/K(X) donnés en IX.12.
Théorème IX.15 [Transitivité "faible" des traces et normes]. - Soient trois corps
emboités K C L C M, chacun extension de degré fini du précédent. On a les
applications "traces" trL/K : L  K, trM/L : M  L et trM/K : M  K, et de
même les applications "normes". Alors (\fx E L) : trM/K(x) = [M : L]trL/K(x),
[ M . L] ) [1\1' L]
NM/K(X) = (NL/K(X)) . , et Car(x,IVf/K,X) = (Car(x, L/K, X ) . .
Preuve: . Notons [L : K] = r et [M : L] = s.
Soit e = (el, . . . , e r ) une base du K -espace vectoriel L.
Soit 1 = (11, . · · ,18) une base du L-espace vectoriel M.
Alors d'après 11.8, B = (eilj)1ir,1j8 est une base du K-espace vectoriel M.
Ordonnons cette base lexicographiquement:
B = (e 111, · · · , e r Il , el 12, . · · , e r 12, · · . . . · , el 18' · · · , e r 18) .
Pour u E L, notons J.L(u) : L  L, t  ut et A(u) = (aij(u)) = Mat(J.L(u), e).
Pour v E M, notons p(v) : M  M, t  vt.

108
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
. On a: \fj E [1, r], J.l(x)(ej) = xej = E:=l aij(x)ei, donc
r
Vj E [1, rD, Vk E [1, s], p(x)(ejfk) = xejfk = L aij(x)edk'
i=l
Donc la matrice de p( x) dans la base B est diag( A( x), . . . , A( x)), matrice diagonale par
blocs formée de s = [M : L] blocs diagonaux A(x), les autres éléments étant nuls. D'où
de suite les trois résultats annoncés. 0
Théorème IX.16. - Soient K un corps, L une extension de degré fini de K. Soit
x E L. Car(x,LIK,X) = (-l)[L:K](irr(x,K,X))[L:K(x)]; et Car(x, LIK, X) =
(_l)[L:K] irr(x, K, X) si, et seulement si, L = K(x), c'est-à-dire si, et seulement
si, x est un élément primitif de LI K.
Preuve: - Appliquant le théorème précédent à la tour d'extensions finies
K C K(x) C L, il vient: Car(x, LI K, X) = (Car(x, K(x)1 K, X))[L:K(x)].
Or, d'après IX.12, Car( x, K (x) 1 K, X) = (-1) [K(x):K] irr( x, K, X).
Donc Car(x, LI K, X) = (_l)[K(x):K][L:K(x)] (irr(x, K, X) )[L:K(x)],
soit Car(x, LI K, X) = (_l)[L:K] (irr(x, K, X))[L:K(x)].
- Par conséquent la propriété Car(x,LIK,X) = (-l)[L:K]irr(x,K,X) équivaut à
(irr(x, K, X))[L:K(x)] = irr(x, K, X), soit à [L : K(x)] = 1, soit à L = K(x).
Théorème IX.17. - Soit L une extension de degré fini n et séparable du corps K.
Soit 0 la clôture algébrique de L (donc aussi de K, cE. V.40). D'après VIII.28, il
y a n K-homomorphismes distincts 0"1,.. . ,O"n de L dans O.
On a alors: \fx E L, trL/K(x) = E=l O"i(X) et NL/K(X) = fI  10"i(X).
Preuve:. Traitons d'abord le cas où x est un élément primitif de LIK, c'est-à-dire où
L = K(x).
Notons II(X) = irr(x, K, X). Comme LI K est séparable, II(X) a n = deg(II) racines
distinctes dans O. Or : \fi E [1, n], II(O"i(x)) = O"i(II(x)) = O"i(O) = O. Et les O"i(X),
1 < i < n, sont distincts, puisque, comme L = K(x), O"p(x) = O"q(x) entraine :
\ff E L, O"p(f) = O"q(f). Donc les racines de II(X) dans 0 sont les O"i(X), 1 < i < n.
Donc II(X) = fI - l (X - O"i(X)) dans O[X].
Donc d'après IX.] 2 et les relations entre coefficients et racines d'un polynôme:
n n
trL/K(x) = L O"i(X) et NL/K(X) = II O"i(X).
i=l i=l
. Occupons nous maintenant du cas général.
Soit x E L. On a la tour d'extensions K C K (x) C L, et d'après VIII.31, puisque LI K
est séparable, K (x) 1 K et LI K (x) sont séparables.
- Notons m = [K(x) : K] et q = [L : K(x)]. D'après VIII.28, il existe
m K-homomorphismes distincts SI,..., Sm de K(x) dans 0, et il existe q K(x)-
homomorphismes distincts t1, . . . , t q de L dans O. Le cas particulier traité précédemment
montre que (notant IT(X)= irr(x, K, X), II(X) = fI  l (X - Si (x)) dans O[X],
trK(x)/K(X) = E  l Si (x) et NK(x)/K(X) = fI  l Si (x).
- Par V.36, chacun des Sj peut être prolongé en un endomorphisme Sj de O. Comme Sj
est un K -morphisme, Sj est encore un K -morphisme. Sj est un morphisme de corps donc
est injectif. Donc Sj (0), isomorphe à 0, est algébriquement clos. On a la tour d'extension
K C Sj(K) C Sj(O) C 0, donc comme 0 est algébrique sur K, 0 est algébrique
sur Sj (0). Comme Sj (0) est algébriquement clos, il vient Sj (0) = O. Ainsi Sj est un
K -automorphisme de O.

S 3. Définitions et propriétés élémentaires
109
- Les Si otj, i E [1, m], j E [1, q], sont des K -homomorphismes de L dans O. Remarquons
que: 'i(i,j) E [1, m] x [1, q], (Si 0 tj)(X) = Si (X). Les Si 0 tj, i E [1, m], j E [1, q],
sont distincts. En effet Si 0 tj = Sp 0 tk  Si (X) = (Si 0 tj)(X) = (Sp 0 tk)(X) =
Sp(x)  Si = Sp  i = p, d'où Si 0 t j = Si 0 tk, d'où Silo Si 0 tj = Si- 1 0 Si 0 tk soit
tj = tk soit j = k. Ils sont au nombre de mq = n. Ainsi les Si 0 tj, i E [1, m], j E [1, q],
sont les n K -homomorphismes 0"1, . . . , 0" n de L dans O.
- D'après la transitivité de la trace et de la norme IX.15,
trL/K(x) = [L : K(x)]trK(x)/K(X) = qtrK(x)/K(X)
et
NL/K(X) = (NK(x)/K(X))[L:K(x)] = (NK(x)/K(X))q.
- Finalement:
n m q m
L lTi(X) = L L (Si 0 tj)(X) = q L Si (X) = qtrK(x)/K(X) = trL/K(X),
i=l i=lj=l i=l
et
n m q m
II lTi(X) = II II (Si 0 tj)(X) = II (Si(X))q,
i=l i=lj=l i=l
d'où
"
n ( m ) q
g lTi(X) = g Si (X) = (NK(x)/K(X))q = NL/K(X).
REMARQUE IX.lS. - D'après IX.16, Car(x, LI K, X) = (-l)n(irr(x, K, X))q. Donc
Car(x, L/K,X) = (-l)n ( g (X - Si (X))) q,
soit
m q n
Car(x, L/ K, X) = (-lt II II (X - (Si 0 tj )(x)) = (_1)n II (X - lTi(X )).
i=lj=l i=l
Donc la liste des zéros dans 0, chacun répété un nombre de fois égal à sa
multiplicité, du polynôme caractéristique de x est: O"l(X)"", O"n(x). Autrement
dit, c'est la liste formée en répétant q = [K(x) : K] fois chacun des zéros
Sl(X)"", sm(x) du polynôme minimal de x dans O.
Théorème IX.19. - Soient K un corps, L une extension de degré fini n de K. Si
L n'est pas séparable sur K, trL/K = O.
Preuve: Comme LIK n'est pas séparable, d'après VIII. 19, K est infini et caract(K)= p
est un nombre premier. Soit x E L. Notons f(X) = irr(x, K, X).
. Si x n'est pas séparable sur K, alors (VIII.11) f(X) E K[XP]. Donc notant
m = deg (f (X) ), le coefficient de degré rr - 1 de f (X) est nul. Donc d'après IX.12,
trK(x)/K(X) = O. Or d'après IX.15, trL/K(x) = [L: K(x)]trK(x)/K(X).
Donc trL/K(x) = O.
. Si x est séparable sur K, alors, d'après VIII.27, K(x) 1 K est séparable. Donc LI K (x)
n'est pas séparable (sinon, d'après VIII.31 , LI K serait séparable). Soit y un élément
de L non séparable sur K(x). Soit g(X) = irr(y, K(x), X). Alors, d'après VIII.11,
g(X) E K[XP]. Donc p divise deg(g(X)) = [K(x)(y) : K(x)]. Or [K(x)(y) : K(x)]
divise [L : K(x)]. Donc p divise [L : K(x)]. Comme caract(L) = caract(K) = p, on a
donc: 'it E L, [L: K(x)]t = O. Or d'après IX.15, trL/K(x) = [L: K(x)]trK(x)/K(X).
Donc trL/K(x) = O.

110
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINAN'T
3. Transitivité de la norme et de la trace : complément
LemmeIX.20.- Soit K un corps. Soit R une sous-algèbre cOlnmutative de Mr(K).
Al l Al s
, ,
Soit M =
E MT,s(K), oÙ les A ij E R.
As,l As,s
On a M E Ms(R) : le déterminant de M comme élément de Ms(R) est
D.(M) = L:aESs €(a)Ala(l) . . . Asa(s) E R. Alors det(D.(M)) = det(1VI).
Preuve: On procède par récurrence sur 8 (r étant fixé).
. La propriété est trivialement vraie pour 8 = 1.
. Supposons la propriété vraie pour 8 - 1.
- Si AI,1 E GLr(K). Raisonnant comme en III.] 3, en utilisant le polynôme minima] de
AI,I, on voit qu'il existe Q E K[X], avec deg(Q) < r -1, tel que A = Q(AI,I). Donc
Al E K[AI,I] C R.
,
Ir -AAI,2 -AlAI,s
,
0 Ir 0 0
Posons P = E Ms(R).
0
0 0 Ir
AlI 0 0
,
A 21 A 22 A 2s
, , , E Ms(R),
Alors MP =
As,l A:,2 . .. A:,s
avec Ai,l = AI,1 et : \f( i, j) E [2,8]2, Ai,j = Ai,j - Ai,IA AI,j.
Comme det(M P) = det(M) det(P), et comme P est triangulaire supérieure à diagonale
formée de 8 fois Ir, det(P) = 1. Donc det(M) = det(M P).
De même, raisonnant avec le déterminant D. = detR, on a D.(MP) = D.(M)D.(P), et
comme P est triangulaire supérieure à diagonale formée de 8 fois Ir, D.(P) = Ir. Donc
D.(M) = D.(M P).
Notant N = (AiJ2i,jS E MS-l (R), on a d'une part det(M P) = det(A1.d det(N),
et d'autre part D.(M P) = AIID.(N) (où D.(N) désigne le déterminant de N comme
élément de MS-I (R) : D.(N) = L:aEs s - l €(a)A,I+a(l) ... A:,l+a(s-l) ER).
D'après l'hypothèse de récurrence, det(D.(N)) = det(N).
Donc det(D.(M)) = det(D.(M P)) = det(AI,ID.(N)) = det(AI,I) det(D.(N))
det(AI,I) det(N) = det(M P) = det(M).
- Si AI,1  GLr(K). Remplaçons le corps de base K par K(X), où X est une
indéterminée; remplaçons la sous-algèbre R de Mr(K) par la sous-algèbre R[X] de
M 1 ,(K(X)) formée des polynômes à coefficients dans R (comme R est commutative,
R[X] est commutative); remplaçons la matrice AI,1 par AI,1 (X) = AltI - X Ir (qui
appartient bien à R[X]); M est alors remplacée par M(X). Comme det(AI,I(X)) =
det(AI,1 - XI r ) = (-l)rxr + ... + det(AI,I) -1 0, AI,I(X) E GLr(K(X)),
donc d'après le cas précédent, on a (*) det(M(X)) = det(detR[X](M(X))) (où
detR[X](M(X)) désigne le déterminant de M(X) comme élément de Ms(R[X]) :
detR[X](M(X)) = L €(a)A1,a(1)(X), · · As,a(s) E R[X]).
aES s

9 4. Discriminant
111
(*) est une égalité entre deux éléments de K(X) qui s'avèrent être tous deux des polynômes
en X à coefficients dans K. Elle entrai ne donc l'égalité des coefficients de degré 0 de ces
polynômes, c'est-à-dire det(M) = det((M)).
Ainsi la propriété est vraie pour s. 0
Théorème IX.21 [Transitivité "forte" des traces et normes]. - Soient trois corps
emboités K C L C M, chacun extension de degré fini du précédent. On a les
applications "traces" trL/K : L -4 K, trlvl/L : M -4 L et trM/K : M -4 K, et de
même les applications "normes".
(\Ix E M) trl'd/K(X) = t.rL/I«( tr l\1/L(X)), et NM/K(X) = NL/K(NM/L(X)).
REMARQUE IX.22. - Ce qui généralise les résultats fournis par le théorème
IX.15, ca.r on a pour x E L, vu IX.8, trM/L(x) = [M : L]x et Nl\1/L(X) =
x[M:L]. On obtient, en reportant respectivement dans les formules "fortes"
trM/I«(x) = trL/K(trl\1/L(x)) et NM/K(X) = N L / K (Nl\1/L(X)), les formules
"fa.ibles" trl\1/K(X) = [M: L]trL/K(x) et Nl\1/I«(X) = (NL/K(X))[M:L].
Preuve : . On reprend mot pour mot le premier point de la démonstration du théorème
IX.15 de transitivité "faible".
. Notons, pour v E M, B(v) = (bij(V))li,jS = Mat(p(v); f) la matrice du L-
endomorphisme p(v) dans la base f du L-espace vectoriel M. Soit a E M.
On a : \lj E [1, s], p(a)(fj) = alj = 2::=1 b ij (a)fi7 donc: (\I(j, k) E [1, r] x [1, s]),
p(a)(ejfk) = afkej = 2::=1 bik(a)fiej = 2::=1 2:;=1 apj(bik(a))epfi,
chaque bik(a), étant dans L, vérifiant: bik(a)ej = 2:;=1 apj(bik(a))e p .
A(b 11 (a)) A(b 1s (a))
A(b s1 (a))
A(bss(a))
Donc la matrice de p( a) dans la base B est
Notons U cette matrice.
Il vient trl\1/K(a) == tr(U) = 2::=1 tr(A(bii(a))) 2::=1 trL/K(bi.i(a))
trL/K(2::=l bii(a)) = trL/K(trM/L(a)), et NM/K(a) = det(U).
Or L -4 Mr(K), u  A(u) = Mat(J-t(u); e) est un morphisme de K-algèbres, donc
l'ensemble des matrices de Mr(K) de la forme A(u),u E L, constitue une sous K-
algèbre commutative R de Mr(K), et bien sûr les r 2 blocs A(b ij (a)) sont dans cette sous
K -algèbre. On peut donc appliquer le lemme précédent.
Il vient N A1 / I «(a) = det(U) = det(detR(U)). Or comme A est un homomorphisme
de K-algèbres, detR(U) = A(det(bij(a))) = A(det(B(a))) = A(NM/L(a)). Donc
NM/K(a) = det(A(NM/L(a))) = N L / K (Nl\1/L (a)). 0
4. Discriminant
Définition IX.23. - Soient K un corps, L une extension de degré fini n de K. Pour
(Xl, . . . , X n ) E Ln, 011 appelle discriminant du système (Xl, . . . , x n ) relativement à
K, et on note discL/ K(X1, . . . , x n ), l'élément de K défini par discL/ K (Xl, . . · , X n ) =
det(trL/K(XiXj)), c'est-à.-dire le déterminant de la matrice de GRAM du système
(Xl, . . . , X n ) pour la forme K -bilinéaire symétrique (u, v)  tr L/ K (uv ) (cf.
IX.lD ).
Proposition IX.24. - Si (YI,..., Yn) E Ln est un autre système d'éléments
de L vérifiant (tIj E [l,n], Yj == 2:1 aijXi), oÙ A == (aij) E Mn(K), alors
disCL/K(Y1,... ,Yn) == (det(A))2disCL/K(X1"" ,x n ).

112
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
Preuve : Un calcul classique sur les matrices de GRAM permet de voir que YpYq =
El E 7- 1 aipxiajqxj,d'oùtrL/K(YpYq) = E : 1 E7=1 aiptrL/I«(xiXj)ajq,autrement
dit Gram(y)= tA Gram(x) A, où t A désigne bien sûr la transposée de la matrice A. D'où
le résultat annoncé en prenant les déterminants des deux membres.
REMARQUE IX.25. - En particulier si x = e et y = e' sont deux bases du
K-e.v. L, et si A = P est la matrice de passage de e à e', on obtient :
discL/K(e ' ) = (detp)2discL/K(e). Or P E GLn(K), soit det(P) E K*. Donc
(detp)2 E (K*)2. Par conséquent discL/K(e) dépend de la base e du K-e.v. L
considérée, mais la nullité de discL/I«e) et, si K est un sous-corps de JR, le signe
de discL/K(e), n'en dépendent pas.
Proposition IX.26. - Soit L une extension de degré fini n et séparable du corps
K. Soit n la clôture algébrique de L (donc aussi de K, cf. V.40). D'après VIII.28,
il existe exactement n K -homomorphismes distincts 0"1, . . . ,O"n de L dans n. On
a alors: \I(X1,'" ,x n ) E Ln, disCL/K(X1,... ,X n ) = (det(O"i(xj))2.
Preuve: D'après IX.17 : \Ix E L, trL/K(x) = El O"i(X), Donc (\11 < i,j <
n)trL/K(xiXj) = E=lO"k(XiXj) = E=lO"k(Xi)O"k(Xj), Le. Gram(x) = tMM, où
M désigne 1 a matrice (0" i ( X j )) E Mn (n), et bien sûr t M désigne sa transposée. D'où le
résultat annoncé en prenant les déterminants des deux membres.
Théorème IX.27. - Soit L une extension de degré fini n et séparable du corps
K. Alors la forme K-bilinéaire symétrique (u, v)  trL/K(uv) est non dégénérée
(c'est-à-dire: si x E L vérifie (tIy E L, trL/K(xy) = 0), alors x = 0).
Preuve: Soit e = (e1,...,e n ) une base de L comme K-e.v. D'après la proposition
précédente, discL/K(e) = (det(O"i(ej))2. Montrons que discL/K(e) =1 O. Raisonnons par
l'absurde. Si discL/K(e) = 0, alors det(O"i(ej)) = 0, soit (O"i(ej))  GLn(K). Donc
il existe (U1,"',U n ) E Kn\{(O,...,O)}telque:V'j E [l,n],EluiO"i(ej) =0.
Par K -linéarité, il vient (\If E L, E  l UiO"i (f) = 0), soit El UiO"i = O. La famiIle
(0"1, . . . , O"n) est donc K -liée: c'est absurde d'après le lemme de DEDEKIND 11.32.
Corollaire IX.28. - En conservant les hypothèses et les notations du théorème
précédent, si e = (el, . . . , en) est une base de L comme K -e. v., il existe une base
e' = (e, . . . , e) de L telle que: (\11 < i, j < n, tr L/ K (eie) = 8 ij ).
Preuve: Comme (u, v)  tr L/ K (uv) est non dégénérée, l'application K -linéaire cf; de L
dans son dual L * = .c K (L, K), qui à chaque x associe la forme K -linéaire tr L/ K (xe) =
(y  trL/K(xy)), est injective. Comme dimK(L*) = dimK(L) = n = [L : K], cf; est
donc un isomorphisme de K -espaces vectoriels. Soit e* = (ei,..., e) la base de L *
[ ] ' 1 1"
duale de e. Posant (\Ii El, n , e i = cf;- (ei ), on obtient e = (el" . . , en) base de L
,
telle que: \11 < i,j < n, trL/K(eiej) = 8 ij .
Proposition IX.29. - En conservant les l1ypothèses et les notations du théorème
précédent, on a pour tEL:
- si K(t) i= L, disCL/K(1,t,...,t n - 1 ) = 0
- si t est un élément primitif de LI K, i.e. si K(t) = L, alors
discL/ K(l, t,. . . , t n - 1 ) = (_1)n(n-1)/2 NL/K(f'(t)), où f(X) = irr(t, K, X) et
f' (X) désigne le polynôme dérivé de f(X).
Preuve: e D'après IX.26, discL/K(l, t,..., t n - 1 ) = (det(O"i(t j )))2.
Or (0" i ( t j )) = ((0" i (t) )J) est la matrice de VANDERMONDE du n-uplet (0"1 ( t), . . . , 0" n ( t) ) .

9 5. Discriminant d'un polynôme
113
Donc det((O"i(t j )) = TIi>j (O"i(t) - O"j(t)). Par conséquent
discL/K(l, t,... ,t n - 1 ) = (D ( 17 i(t) _ 17 j (t))) 2
n(n-l) IT n(n-l) IT IT
= (-1) 2 (O"i(t) - O"j(t)) = (-1) 2 (O"i(t) - O"j(t)).
ij i ji
. Si K(t) i= L, (1, t,..., t n - 1 ) est K-liée : 3(Ào,..., À n - 1 ) E K n \ {(O,..., O)} Lq.
E O l Àit i = O. Donc Cvj E [0, n - 1], E O l Àitit j = 0), d'où, par K-linéarité de
trL/K,Cvj E [O,n-l],Eol ÀitrL/K(tit j ) = 0). Donc la matrice de GRAM du système
(1, t,..., t n - 1 ) est de rang < n. Le déterminant discL/K(I, t,..., t n - 1 ) de cette matrice
est donc nul.
(Remarquons qu'on n'utilise pas, dans ce point de la démonstration, l'hypothèse LI K
séparable ).
. Soit t un élément primitif de LI K. Notons f(X) = irr(t, K, X). On a vu (cf. début de
la démonstration de IX.17) que, dans O[X], f(X) = TIl (X - O"i(t)).
Donc
n
f'(X) = LIT (X - O"j(t)).
i=l ji
t/i E [1, n], O"i(f'(t)) = f'(O"i(t)) = IT (O"i(t) - O"j(t)).
ji
Par conséquent disCL/K(I,t,...,t n - 1 ) = (-I)n(n-l)/2TI10"i(f'(t)). Or, d'après
IX.17, (t/x E L, NL/K(X) = TI  l O"i(X)). Donc
discL/K(I, t,..., t n - 1 ) = (_I)n(n-l)/2 NL/K(f'(t)).
Donc:
5. Discriminant d'un polynôme
Théorème IX.30 [et définition]. - Soit K un corps. Soit f(X) E K[X] un
polynôme de degré n > 2. Le discriminant Discr(f) de f sur K est défini par : si
j(X) = >. TI=l (X - ri) dans K[X], alors Discr(f) = >.2n-2 (TIi>j (ri - rj)) 2 =
(_I)n(n-l)/2 À 2n - 2 TIij (ri - rj) = (_I)n(n-l)/2 Àn-2 TIl f'(ri)'
Discr(f) E K, et : (Discr(f) = 0 {:::=:> f(X) n'est pas séparable sur K).
Preuve : . f(X) = À TIl (X - ri) dans K[X], donc À, coefficient dominant de f,
appartient à K, et f'(X) = À E  l TIji (X - rj).
Par conséquent (_I)n(n-l)/2 Àn-2 TI  l f'(ri) = (_I)n(n-l)/2 À 2 n-2 TIij (ri - rj) =
>.2n-2 (TIi>j (ri - rj) f.
eLepolynômeS = (_1)n(n-l)/2>.2n-2 TIih (Xi - Xj) = >.2n-2(TIi>j (Xi - Xj)f
est clairement un polynôme symétrique de K[X 1, . . . , X n ]. D'après 1.69, il existe Q E
K[X1,...,XnJ tel que S(X1,...,X n ) = Q(El,...,En). Par conséquent, notant
(t/k E [1, n], O"k = Ek(rl,"', r n ), on a: Discr(f) = S(rl,'" , 1n) = Q(O"l,'" , O"n).
Or notant f(X) = À(xn + an_1Xn-l + . .. + ao), où les ai E K, on a d'après 1.71 :

114
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
\Ii E [1, n], an-i == (-l)i Ei(rl,.. . ,r n ) = (-l)iO"i'
Donc Discr(f) = Q( -an-l, a n -2, . . . , ( -1 )nao). Donc Discr(f) E K.

. - Si f(X) n'est pas séparable sur K, alors f(X) a une racine multiple dans K, donc
TIi#j (ri - r.i) = 0, donc Discr(f) = O. 
- Si f(X) est séparable sur K, alors toutes les racines de f(X) dans K sont simples, donc
TIi#j (ri - rj) i= 0, donc Discr(f) i= O. 0
EXEMPLE IX.31. - Discriminant de <I>P,Q(X), p E JP>
Soitp un nombre premier > 3, et f(X) = <I>P,Q(X) = (XP - l)/(X -1) le polynôme
cyclotomique d'indice p. Notons w = exp(2i7r/p). Les racines de f(X) dans <C sont les
w k , k E [l,p - 1].
f(X) = (XP - l)/(X - 1) =} f'(X) = (pXp-l(X - 1) - (XP - l))/(X - 1)2.
Donc: \lk E [l,p - 1], f'(w k ) = p(wk)P-l/(w k - 1) = p/(wk(w k - 1)).
Donc TI r::  J'(w k ) = pp-lj (TI t::  w k . TI :::  (w k -1)).
Or les relations entre coefficients et racines d'un polynôme montrent que:
TI:  w k = (-1 )p-l ; et que, puisque les w k - 1, k E [1, p - 1], sont les racines dans <C
du polynôme f(X + 1), TI: (w k - 1) = (-l)p-lp. Donc TI: f'(w k ) = pp-2. Donc
Discr(f) = (_1)(P-l)(p-2)/2 TI: f'(w k ) = (_1)(p-l}(p-2)/2 p p -2.
Remarquons que p = 1 + deg(f(X)) est > 3 donc impair, donc 41(p - l)(p - 3), donc
(_1)(p-l)(p-2)/2 = (_1)(p-l)/2.
Finalement Discr(<I>p,Q(X)) = (_1)(P-l)/2 p p -2.
REMARQUE IX.32. - Avec les notations du théorème précédent, considérons la
matrice de VANDERMONDE V = (rf-l)l<i "<n E Mn(.K).
_ ,J_
Clairement tvv = (8i+j-2)1i,jn' où (\lk) 8k = r + . . . + r.
Or on sait que det(V) = TIi>j (Ti - rj).
Donc Discr(f) = À 2n - 2 (det(V))2 = À 2n - 2 det(tVV) = À 2n - 2 det (8i+j-2).
Pour kEN, notons Sk(X l ,..., X n ) = Xf + . . . + X : Sk est clairement
un polynôme sYInétrique de K[Xl,...,XnJ, donc, par 1.69, il existe Qk E
K[X l ,..., Xn] tel que Sk(X l ,..., X n ) = Qk(E l ,..., En).
Puisque Discr(f) = À 2 n-2 det(8i+j-2), il vient
Discr(f) = À 2n - 2 det(Qi+j-2(0"1,. . . ,O"n)),
soit Discr(f) = À 2n - 2 det(Qi+j-2(-a n -l,a n -2,..., (-l)n ao )).
D'où une seconde démonstration du fait que Discr(f) E K, mais surtout, si les
polynôlnes Qo, QI, · · . , Q2n-2 sont connus, un moyen de calculer explicitement une
expression de Discr(f) en fonction (polynômiale) de À et ao, al, . . . , an-l (en notant
(rappel) f(X) = À(xn + an_lX n - l + . . . + ao)).
EXEMPLES IX.33. - G n = 2, f(X) = À(X 2 + alX + ao) = À(X - rl)(X - 1'2).
On a 0"1 = 1'1 + 1'2 = -al et 0"2 = 1'11'2 = ao, donc 80 = 2, 81 = 0"1 = -al, et
82 = ri + r = O"i - 20"2 = ai - 2ao.
Donc Discr(f) =.x 2 80 81 =.x 2 2 2 -al = .x2(a - 4ao).
81 82 -al al - 2ao
Notant À = a, Àal = b et Àao = c, on obtient l'illustre for mule:
1 Discr(aX 2 + bX + c) = b 2 - 4ac.1

9 6. Discriminant d'un polynôme
115
. n = 3, f(X) = À(X 3 + a2 X2 + a1X + ao) = À(X - r1)(X - r2)(X - r3)'
0"1 = rI +r2 +r3 = -a2, 0"2 = r1 r 2 +r1 T 3 +r2 r 3 = al, et 0"3 = r1 r 2 r 3 = -ao, donc
80 = 3, 81 = 0"1 = -a2, 82 = ri + r + r = O"i - 20"2 = a - 2a1.
Utilisant f(r1) = f(r2) = f(r3) = 0, on voit que : \le E N, \lk E [1,3],
rZ+3-0"1r+2+0"2r+1-0"3rk = O. D'où, prenant e = 0 puis e = 1 et additionnant:
83 = 0"1 8 2 - 0"2 8 1 + 0"3 8 0 et 84 = 0"1 8 3 - 0"2 8 2 + 0"3 8 1' Il vient 83 = O"r - 30"10"2 + 30"3,
puis 84 = O"ï - 40"i0'2 + 40"10"3 + 20". (Soit 83 = -a + 3a1a2 - 3ao, puis
84 = a - 4aa1 + 4a2aO + 2ai).
80 81 82
Donc Discr(f) = À 4 81 82 83 = À4(38284 + 2818283 - 8 - 38 - 8i 84) (Sarrus)
82 83 84
est égal à À 4 ( -4ar0"3 + O"iO" + 180"10"20"3 - 40" - 270") soit à. À 4 ( -4aao + aia +
18aoa1a2 - 4ay - 27a6).
Donc Discr(aX 3 + bX 2 + cX + d) = -4b 3 d + b 2 c 2 + 18abcd - 4ac 3 - 27a 2 d 2 .
En pa.rticulier, pour ( a, b, c, d) = (1, 0, p, q), on obtient:
1 Discr(X 3 + pX + q) = _4 p 3 - 27 q2 .1
La proposition suivante et IX.29 justifient l'emploi de la terminologie "discriminant".
Proposition IX.34. - Soit K un corps. Soit f(X) E K[X] un polynôme unitaire
irréductible de degré n > 2. Discr(f) = (-1)n(n-1)/2N K (t)//«(f'(t)), oÙ t est une
.......
racine de f(X) dans la clôture algébrique K de K.
Preuve: . Si f(X) n'est pas séparable sur K, alors Discr(f) = 0, et (d'après VIII.9)
f'(X) = 0, donc f'(t) = 0, donc NK(t)/K(f'(t)) = O.
. Si f(X) est séparable sur K, alors K(t) est une extension de degré fini n et séparable
de K, et il suffit d'appliquer IX.29 en prenant L = K(t) pour obtenir l'égalité annoncée.
EXEMPLE IX.35.- Soit f(X) un trinôme de K[X], de la forme f(X) = xn+ax +b
(où n > 2 et (a, b) E 1(2), avec f(X) irréductible sur K. f'(X) = nxn-1 +a, donc
f'(t) = nt n - 1 + a, donc la matrice de J-t(f'(t)) dans la base (1, t,..., t n - 1 ) du
K-espace vectoriel K(t) est l'éléInent (aij) de Mn(K) défini par:
aij = a si i = j = 1
aij = n si i = n et j = 1
aij = -(n - l)a si 2 < j < n et i = j
aij = -nb si 2 < j < n et i = j - 1
aij = 0 sinon.
Donc NK(t)//«(f'(t)) = det(aij) = (_1)(n-1)(n - 1)(n-1)a n + nnb n - 1 (développer
le déterminant selon sa première colonne).
Donc Discr(f) = (_1)n(n-1)/2((_1)(n-1)(n - 1)(n-1)a n + nnb n - 1 ).
On a donc, pour n = 2 : Discr(X 2 + aX + b) = a 2 - 4b,
et a.ussi, pour n = 3 : Discr(X 3 + aX + b) = -(4a 3 + 27b 2 ).

116
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
6. Résultant, déterminant de Sylvester, discriminant
Définition IX.36 [Résultant]. - Soient m et n E N*. On apppelle résultant d'ordre
(m, n) le polynôme R de l'anneau K[Am, . . . , Ao, Bn, . . . , Bo] défini par:
Am (0) Bn (0)
A 7n Bn-l
Bn
R ( Am, . . . , Ao, Bn, · . · , Bo) = Ao Am Bn-l
Ao Bo
(0) Ao (0) Bo
C'est donc le déterminant de taille m + n dont les éléments sont les m + n + 2
indéterminées de K[Am, . . . , Ao, Bn, . . . , Bo] disposées de la façon suivante: on a
disposé sur la première colonne Am, . . . , Ao, et on a complété par des zéros. On a
décalé alors cette colonne n -1 fois vers la droite et vers le bas, de façon qu'après la
dernière opération Ao soit sur la dernière ligne. On a recommencé avec la colonne
Bn, . . . , Bo, en opérant m - 1 fois.
EXEMPLES IX.37. - . ordre (1,1) :
Al
R(AI' Ao, BI, Bo) = A
o
BI = AIBo - AoBI'
Bo
. ordre (1,2) :
Al 0
R(AI,Ao,B2,BI,Bo) = Ao Al
o Ao
B 2
BI = Al2 Bo + Ao2 B 2 - AIAoBI'
Bo
. ordre (2,2) :
A 2 0 B 2 0
Al A 2 BI B 2
R(A 2 , Al, Ao, B 2 , BI, Bo) = Ao Al Bo BI
o Ao 0 Bo
(A2 B o - AoB2)2 - (A 2 B I - AIB2)(AIBo - AoBI)'
Théorème IX.38. - Le résultant d'ordre (m, n) est un polynôme à m + n + 2
indéterminées à coefficients dans K, de degré m + n, homogène de degré n par
rapport aux m + 1 indéterminées Ao, . . . , Am' homogène de degré m par rapport
aux n + 1 indéterminées Bo,..., Bn. A un monôme ÀA i1 ... AirBjl ... Bjs' où
À E K*, on associe son poids il + . . . + i r + jl + . . . + js : alors tous les monômes
de R ont le même poids mn.
Preuve : Cela résulte de suite de la définition même du déterminant:
m+n
det(xij) = L £(0-) II Xu(k)k
uES m + n k=l
REMARQUE IX.39. - R possède :
- un seul terme contenant Am n : le monôme Am n Bo m
- un seul terme contenant Bo m : le monôme Am n Bo m
- un seul terme contenant Ao n : le monôme (-1) mn Ao n Bn m
- un seul terme contenant Bn m : le monôme (-1) mn Ao n Bn m

9 6. Résultant, déterminant de Sylvester, discriminant
117
Lemme IX.40. - Soient f(X) et g(X) deux polynômes de k[X], de degrés
respectifs deg(f) = m E N* et deg(g) = n E N*. Les conditions suivantes sont
équivalentes:
(i) f(X) et g(X) ont un diviseur commun de degré > 1 dans k[X]
(ii) deg(p.G.C.D.(f(X), g(X)) > 1
(iii) f(X) et g(X) ne sont pas premiers entre eux dans k[X]
(iv) Il existe <I>(X) de degTé < n - 1 et \l1(X) de degré < m - 1 et non nuls dans
k[X] tels que <I>(X)f(X) = \l1(X)g(X)
(v) Il existe une extension K du corps k telle que f(X) et g(X) ont une racine
commune dans K.
Preuve: . L'équivalence des 3 premières conditions est triviale.
. (i) Ç:} (v) est facile.
. (ii) =} (iv) : Notons D(X) le P.G.C.D. de f(X) et g(X). Alors il existe deux polynômes
<I>(X) et \l1(X) de k[X] non nuls tels que f(X) = D(X)\l1(X) et g(X) = D(X)<I>(X).
Clairement <I>(X)f(X) = \lJ(X)g(X). Si deg(D(X)) > 1, alors deg(\lJ(X)) ,<
deg(f(X)) - 1 = m - 1 et deg(<I>(X)) < deg(g(X)) - 1 = n - 1.
. (iv) =} (iii) : Supposons (iv) réalisé. Supposons f(X) et g(X) premiers entre eux
dans k[X]. D'après le théorème de Bezout, il existe (U(X), V(X)) E k[X]2 tel que
U(X)f(X) + V(X)g(X) = 1.1) vient <I>(X) = g(X)(\lJ(X)U(X) + <I>(X)V(X)). Si
\lJ(X)U(X) + <I>(X)V(X) est nul, alors <I>(X) = 0 : exclu. Si \lJ(X)U(X) + <I>(X)V(X)
non nul, alors deg( <I>(X)) > deg(g(X)) = n, ce qui est exclu. On aboutit ainsi à une
absurdité. C'est donc que f(X) et g(X) ne sont pas premiers entre eux dans k[X].
Définition IX.41. - Soient m et n E N*. Soient f(X) = amXm + . . . + ao E k[X]
et g(X) = bnxn + . . . + b o E k[X], avec am i= 0 et b n i= O. Notons S le système de
m + n vecteurs de l'espace km+n-l [X] :
S = (X n - 1 f(X),. . .. . . , X f(X), f(X), Xm-1g(X),. .... . , Xg(X), g(X)),
et S E Mm+n(k) la matrice de ce système dans la base canonique C
(xm+n-l-p)opm+n_l de km+n-1[X]. S est appelée la matrice de Sylvester de
f(X) et g(X).
am (0) b n (0)
am b n - 1
b n
S= ao am b n - 1
ao b o
(0) ao (0) b o
[dans les n = deg(g(X)) premières colonnes apparaissent les coefficients de f(X), et
dans les m = deg(f(X)) dernières colonnes apparaissent les coefficients de g(X), les
autres éléments étant nuls].
Définitions IX.42. - Le déterminant de S est appelé le déterminant de SYLVESTER
de f(X) et g(X). Remarquons que si R est le résultant d'ordre (m, n), on a :
det(S) = R(a m ,. . . , ao, b n ,. . . , b o ).
Pour cette raison, det(S) est appelé le résultant de f(X) et g(X), et on note
det(S) = R(f,g).

118
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
EXEMPLES IX.43. -
- Résultant de deux polynômes de degré 1, f(X) == aX +b et g(X) == a' X +b '
1
R(f, g) =  , = ab' - a'b.
- Résultant de deux polynômes du second degré, f(X) == aX2 + bX + c et
g(X) == a' X 2 + b ' X + e'
a 0
R(f,g)=  
o c
a' 0
b ' a' 2
c' b' = (ac' - ca') - (ab' - ba')(bc' - cb').
o e'
Théorème IX.44. - rg(S) == m + n - deg(p.G.C.D.(f(X), g(X))).
Preuve: Considérons l'application F : kn-I[X] x km-I[X]  km+n--I[X] qui à
(P(X), Q(X)) associe P(X)f(X) +Q(X)g(X). F est clairement linéaire, et si B désigne
la base ((xn-l, 0),.. . , (1,0), (0, xm-l),.. . , (0,1)) de k n - l [X] x k m - l [X] etC la base
canonique de km+n-l [X], on a Mat(F, B, C) == S.
Notons D(X) le P.G.C.D. de f(X) et g(X). On a Im(F) == {P f + Qg, (P, Q) E
k n - l [X] x k m - l [X]}. Comme {P f +Qg, (P, Q) E k[X] x k[X]} == (f) + (g) == (D) ==
Dk[X], il est clair que Im(F) C {TD,T E k[X],deg(T) < m + n - 1 - deg(D)}.
Nous allons démontrer que cette inclusion est en fait une égalité.
Soit R E k[X] avec deg(R) < m + n - 1 - deg(D). Il existe P et Q dans k[X] tels
que RD == P f + Qg. Effectuant la division euclidienne de P [resp. Q] par 9 [resp. f],
on obtient: 3(H I ,H 2 ,R I ,R 2 ) E k[X]4 tel que: P == HIg + RI,Q == H 2 f + R 2 ,
(RI == 0 ou deg(RI) < deg(g) == n), et (R 2 == 0 ou deg(R 2 ) < deg(f) == m). Il vient
RD == (Hl + H 2 )fg + RIf + R 2 g. Or RD,Rlf et R 2 g appartiennent à km+n-I[X],
donc aussi (Hl + H 2 )fg. D'où, puisque deg(fg) == m + n, Hl + H 2 == O. Donc
RD == RIf + R 2 g == F(R I ,R 2 ) E Im(F).
Ainsi Im(F) == {T D, T E k[X], deg(T) < m + n - 1 - deg(D)}.
Donc Im(F) est isomorphe à km+n-I-deg(D) [X], et rg(S) == m + n - deg(D). 0
Corollaire IX.4.5. - A vec les notations précédentes, les conditions suivantes sont
équivalentes:
(i) f(X) et g(X) ont un diviseur commun de degré > 1 dans k[X]
(vi) le systèrne S est k-lié
(vii) S  GLm+n(k)
(viii) R(f, g) == O.
Preuve: . L'équivalence des trois dernières conditions est triviale.
. COlnme rg(S) == n + n - deg(p.G.C.D.(f(X), g(X))), on a de suite: (ii) {:::> (vii).
Proposition IX.46. - Soit A un anneau factoriel, k == Frac(A) son corps des
fractions. Soient f(X) E A[X] et g(X) E A[X] : f(X) == a 7n Xm +. . . + ao, m E N*,
les a'i E A,a m E A*, g(X) == bnX n +... + bo,n E N*, les b j E A,b n E A*.
2
Il existe (P(X), Q(X)) E (A[X]) , avec deg(P) < n et deg(Q) < m, tel que
R(f,g) == Pf + Qg.
Preuve: Notons S == (Uij )O:::;i,j:::;m+n-l la matrice de Sylvester de f et g. On a vu que
S == Ivlat(F,B,C). Considérons N =tcom(S) == (Vij)oi,j:::;m+n-l' Comme S est à

9 6. Résultant, déterminant de Sylvester, discriminant
119
coefficients dans A, N aussi. On a SN == R(f,g)Im+n. Notons B == (ej)Ojm+n-1 et
C == (xm+n-1-i)0im+n_1 la base canonique de km+n-1[X].
m+n-1
\.J' [0 1] F( ) '" X m + n - 1 - i
v JE, m + n - , ej ==  Uij
i=O
Donc
m+n-l
t/cE[O,m+n,-l], L vjcF(ej)==
j=o
7n+n-1
L Vjc
j=o
m+n-1
'" X m + n - 1 - i
 Uij ==
i=O
m+n-1 m+n-1 m+n-1
L ( L UijVjC)x m + n - 1 - i = L 8ic'R(j,g)xm+n-l-i = 'R(j,g)xm+n-l-c
i=O j=o i=O
En particulier pour c == m + n - 1 :
m+n-1 m+n-1
'R(j,g) = L VjcF(ej) = F( L Vjcej) =
j=o j=O
71-1 m+n-l 71-1 m-l
F(L Vjc xn - 1 - j , L Vjcxm+n-l-j) = F(L Vn-l-s,c XS , L Vm+n-l-t,c Xt ).
j=O j=n s=O t=O
Donc P(X) == E; Vn-l-s,c Xs et Q(X) == E  l Vm+n-1-t,cXt conviennent.
Corollaire IX.47. - Soit n E N, avec n > 2, un naturel fixé. L'ensemble des
nombres premiers de la forme Àn + 1, À E N, est infini.
Preuve: Soit <I>n(X) le n-ième polynôme cyclotomique: <I>n(X) E Z[X].
X n -1
Soit Pn(X) = il il (X - w) = il <I>d(X) = <I>n(X) E Z[X].
dln,d<n o(w)=d dln,d<n
(Dans <C, les racines de <pn(X) sont les w d'ordre n, et les racines de Pn(X) sont les w
d'ordre un diviseur strict de n).
SoitT n == R(<I>n, Pn) E Z*. D'après la proposition précédente, il existe (Un, V n ) E Z[X]2
tel que Tn == Un<I>n + VnPn.
. On va montrer que pour N E N tel que N > ITnl et a == N!, tout diviseur premier p de
<pn(a) vérifie p > N et p = 1 [mod. n].
Soit p un diviseur premier de <I>n(a). Alors, comme <I>n(X) divise xn - 1 dans Z[X], p
divise an - 1, donc a E U(ZjpZ). Par conséquent, p ne divise pas a == N!, donc p > N.
Notons d l'ordre de a dans U(ZjpZ). p divise an -1, donc d divise n. p divise ad -1, donc
a est racine de X d - 1 == I161d <I>6(X), donc il existe 8 diviseur de d tel que <I>6(a) == O.
Si d < n, il existerait donc 8 diviseur de n, avec 8 < n, tel que <I> 6 (a) == 0, soit tel que
pl<I>t) (a). A fortiori p diviserait Pn(a); comme p divise aussi <I>n(a), p diviserait donc Tn;
ce qui est exclu car p > N et N > ITnl. On a donc d == n.
Comme IU(ZjpZ)1 == p - 1, il vient, d'après le théorème de Lagrange, nlp - 1, c'est-à-
dire p = 1 [mod. n].
. Le résultat annoncé s'en déduit immédiatement.
Lemme IX.48. - Soient f(X 1 ,...,X r ,X) E k[X1,...,Xr,X] un polynôme
homogène de degré m, et g(X 1 ,...,X r ,X) E k[X 1 ,...,X r ,X] un po1ynôrne
homogène de degré n. Le résultant Rx (f, g) de f et 9 considérés comme po1ynônles
en X à coefficients dans k(X 1 ,..., X r ) est un polynôme 11omogène de degré mn
dek[X 1 ,...,X r ].

120
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
Preuve: Notons f(X 1 ,...,X r ,X) = 2:::oai(X1,...,Xr)Xi, où, pour tout i,
ai(X 1 ,...,X r ) E k[X 1 ,...,X r ] est un polynôme homogène de degré m - i, et
g(X 1 ,..., X r , X) = 2:7=0 b j (X 1 ,..., Xr)X i , où, pour tout j, b j (X 1 ,..., X r ) E
k[X 1 ,... ,X r ] est un polynôme homogène de degré n - j. Rx(f,g) est une somme
de termes du type Àail . . . ai n b j1 · . . b jm , À E k*.
Chacun de ces produits est un polynôme de k(X 1 ,.. ., X r ], homogène de degré m - il +
.. .+m-i n +n- j1 +. . .+n- jm = 2mn- (il +. . .+in + j1 +. .. + jm) = mn, puisque
tous les monômes de R ont le Inême poids mn. D'où le résultat concernant Rx (f, g).
Théorème IX.49. - Soient f(X) et g(X) deux polynômes de k[X], de degrés
respectifs deg(f) = m E N* et deg(g) = n E N* .
On suppose f(X) et g(X) scindés sur k :
f(X) = am n::1 (X - ai), et g(X) = b n n ;- l (X - (3j). Alors:
m n
R(f,g) = amnb n m Il Il (ai - (3j).
i=l j=l
Preuve: Considérons F = am n:: 1 (X - Xi), et G = b n n7=1 (X - Yj). F [resp. G]
E k[X 1, . . . , X m , YI, . . . , Y n , X] est un polynôme homogène de degré m [resp. n]. Donc,
d'après le lemme, le résultant R x (F, G) de F et G considérés comme polynômes en X
à coefficients dans k (X 1 , . . . , X m, YI, . . . , Y n ) est un polynôme homogène de degré mn
de k [Xl, . . . , X m, YI, · · . , Y n ].
Or,dansk(X 1 ,... ,X m , YI"'" Yn)(X],lesdeuxpolynômesFetGsontscindés,delistes
respectives de racines (Xl,' . . , X m ) et (YI,' . . , Y n ). En substituant l'indéterminée Xi à
l'indéterminée Yj, dans le polynôme R x (F, G), nous écrivons que les deux polynômes
F et G ont la racine commune Xi = Yj, et donc que leur résultant R x (F, G) est nul :
ainsi Xi - Yj divise Rx(F, G) dans k(X 1 ,... , X m , YI,." , Y n ].
Donc n::1 n7=1 (Xi - Yj) divise Rx(F, G) dans k[X 1 ,..., X m , YI,'" , Y n ].
Vue l'égalité des degrés: il existe c E k tel que
m n
Rx(F, G) = c Il Il (Xi - Yj).
i=l j=l
Un terme particulier permet de calculer c. Par exemple, le terme en (YI' . . yn)m est égal
à (-1)mn(Y 1 ... yn)m dans n  l n ; 1 (Xi - Yj), et à
a m n (b n (-1)n(y 1 ... yn))m = (-1)mnamnbnm(Y1'" yn)m
dans R x (F, G) (car R x (F, G) est un déterminant dont la diagonale contient n fois am
et m fois b n n 7- 1 (- Yj ).
Ainsi Rx (F, G) = am nb n m n : 1 n7=1 (Xi - Yj).
Revenant aux polynômes f et g, on voit que:
R(f, g) = Rx(F, G)(a1,'" , am, (31,'" , (3n).
D'où le résultat annoncé.
o
Corollaire IX.50. - Soient f(X) et g(X) deux polynômes de k[X], de degrés
respectifs deg(f) = m E N* et deg(g) = n E N*, am le coefficient dominant de f,
b n le coefficient dominant de g.
a) Si f est scindé sur k, f(X) = am n::1 (X - Qi), alors
m
R(f,g) = a m n Ilg(ai).
i=l

3 6. Résultant, déterminant de Sylvester, discriminant
121
b) Si 9 est scindé sur k, g(X) == b n rr;=l (X - /3j), alors
n
R (f, g) == (- 1 ) 7n 11 b n m fI f (,6 j ) .
.7=1
c) R(f, g) == (_l)mnR(g, f).
d) Pour tout a de k, le résultant de f(X) et g(X) est égal au résultant de
f(X + a) et g(X + a).
Preuve : a) Il existe une extension K de k qui est un corps de décomposition pour le
polynôme g(X). Dans cette extension, f et 9 sont scindés, donc, d'après le théorème
précédent, le résultant de f et de 9 a pour expression am nb n m rrl rr;=l (Qi - ,6j).
Or cette expression est égale à a rn n rrl g( Qi), qui est calculable dans k, puisque
g(X) E k[XJ et (Vi, Qi E k).
b) Démonstration analogue: travailler dans un corps de décomposition du polynôme f(X)
sur k.
c) et d) Il existe une extension K de k dans laquelle f(X) et g(X) sont scindés, par
exemple la clôture algébrique de k. On se place dans K pour calculer R(f, g), et R(g, f)
pour le c), et R(f (a + .), g( a + .)) pour le d), en utilisant le théorème précédent.
Définition IX.51 [Discriminant d'un polynôme]. - Soit f(X) E k[X], avec deg(f) ==
rn > 2, a rn le coefficient donlinant de f(X). On apppelle discrinÛnant de f(X), et
on note Discr(f), l'él ément de k défini par:
R(f, f') == (_1)m(m-1)/2 arn Discr(f).
EXEl\IPLES IX.52. - . discriminant du polynôme f (X) == aX 2 + bX + c, avec a f:. 0 :
a 2a 0
R(f, f') == b b 2a == a(4ac - b 2 ), d'où Discr(f) == b 2 - 4ac.
cOb
. discriminant du polynôme f(X) == X3 + pX + q :
10300
o 103 0
R(f, f') == pOp a 3 == 4 p 3 + 27 q 2, d'où Discr(f) == _(4 p 3 + 27 q 2).
q pOp 0
o q 0 0 p
. discriminant du polynôme f(X) == xm + pX + q (où m > 2) :
La matrice de Sylvester de f(X) et f'(X) est:
Im-1 m1m-1 0
s==
p 0
q
o
o
m
o
pl m - 1
o
a 0 q p
o 0 q 0 p
Effectuant pour j E [m,2m - 2], l'opération C j f-- C j - mC j -(m-1), pUIS
développant selon la dernière colonne, on obtient :
R(f, f') == (_1)m-1pm(m - 1)m-1 + m1nqm-1.
Donc Discr(f) == (_1)m(m-1)/2 [( _1)m-1pm(m - 1)m-1 + mmqm-1 J. Remarquons
que, pour m == 3, on retrouve le résultat précédent.
o

122
CH. IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT
Proposition IX.53. - Soit J(X) E k[X] avec deg(J) > 2. Les conditions suivantes
sont équivalentes:
(a) Discr(J) == 0
(b) deg(p.G.C.D.(J(X), J' (X))) > 1
(c) Il existe une extension K du corps k telle que J(X) et J'(X) ont une racine
C01Tlmune dans K.
(d) Il existe une extension K du corps k telle que J(X) a (au DJoins) une racine
multiple dans K.
Preuve: . (c)<=> (d) : On sait que être racine commune à J(X) et J' (X) est équivalent à
être racine multiple de J(X).
. (b)<=> (c) : Appliquer à J(.LY) et J' (X) le lemme qui précède la définition de la matrice
de Sylvester.
. (a)<=> (c) : Discr(J) est nul si, et seulement si, R(J, J') == O. Or on a vu que la nullité du
résultant de deux polynômes à coefficients dans k équivaut à l'existence d'une extension
de k où ceux ci ont une racine commune.
Exercice: Soit k corps (commutatif) avec caract(k)  {2, 3}, soit J(X) E k[X] avec
deg(f) == 2 ou 3.
Montrer que: Discr(f) == 0 {:::=::} f(X) a une racine multiple dans k.
Proposition IX.54. - Soit J(X) E k[X] a.vec deg(f) > 2. On suppose J(X) scindé
s ur k. On note f(X) == am rr::1 (X - ai)' Alors
Discr(J) = a m 2m - 2 II (ai - aj)2 = a m 2m - 2 (_1)m(m-l)/2 II (ai - aj).
li<jm ifj
Preuve: Comme J(X) est scindé sur k, on a R(J, J') == a m m - 1 rr::1 f'(ai)'
Or J'(X) == am 2:;:1 rr qfp (X - a q ), donc, pour chaque i E [1, m],
m
J' (ai) == am 2: II (ai - a q ) == am II (ai - aj).
p==l qfp jfi
Donc
m
R(J, J') = am 2m-l II II (ai - aj) = am 2m-l (-1 )m(m-l)/2 II (ai - aj)2.
i==l jfi li<jm
7. Exercices
(IX-!) - On fixe un nombre premier p.
a) Le polynôme X3 - p E Q[X] est-il irréductible sur Q?
Dans toute la suite, on fixe une racine a E C de ce polynôme et on pose ]( = Q( a).
b) Quel est le degré de l'extension K de Q?
c) Comparer les extensions K et Q(a 2 ).
( a pc pb )
d) Montrer que K est Q-isomorphe à l'ensemble des matrices de la forme b a pc ,(a, b, c) E Q3.
C b a
En déduire que l'équation X3 + py3 + p2 Z3 - 6pXY Z = 0 admet (0,0,0) pour unique solution dans Q3.
e) Quel est le polynôme minimal de a 2 sur Q?
(IX-2) - Soit f(X) = X3 + X + 1 E Q[X].

9 7. Exercices
123
a) Montrer que le polynôme J(X) a une unique racine réelle, puis qu'il est irréductible sur Q.
b) Soit x E e une racine de J, et soit K = Q(x). Quel est le degré du polynôlne minimal de x 2 sur Q? Calculer
la trace de x 2 , déterminer ce polynôme.
c) Pour z E K, calculer tr K /Q (z ).
(IX-3) - Soit L = K(O) une extension algébrique simple de degré n du corps K, et J(X) = irr(O, K, X).
Montrer que pour a E K, N L/ K(O - a) = (_I)n J(a).
(IX-4) - Soit L = K(O) une extension algébrique simple de degré n du corps K, et J(X) = irr(O, K, X).
,""n-l .
On pose J(X) = (X - 0) L.Ji=O aiY, où (ao,... ,an-l) E Ln. Montrer que la base duale de la K-base
(1,0,. .., on-l) de L est la K-base (aol J'(O),... ,an-II J'(O)).
(IX-5) - Soit L une extension de degré fini et séparable du corps K. l\10ntrer que la trace tr L / 1< est un
homomorphisme de groupes surjectif de (L, +) dans (K, +).
(IX-6) - Soit n > 2,0 une racine primitive n-ième de l'unité dans e, et K = Q(O).
a) Montrer que si n = pT (où p premier et r E N*), on aN K/Q(1 - 0) = p.
b) Montrer que si n a (au Inoins) deux diviseurs premiers distincts, on a N K /Q(l - 0) = 1.
(IX-7) - Remarquer que IX.5, IX.?, IX.8 (sauf la dernière propriété NL/K(X) = 0 <===} x = 0), IX.IO (sauf
la symétrie) et IX.]] se généralisent en prenant pour L, au lieu d'une extension finie de K, une K -algèbre
(associative) de dimension finie (en tant que K -e.v.). Quels autres résultats de la suite du chapitre peuvent-ils
être généralisés de la même façon?
(IX-S) - Soit K un corps commutatif. Soit n > 2 fixé. Soit A la K-algèbre quotient j<[X]/(xn - 1) :
notant 0 la classe de X modulo (X n - 1), B = (1,0,..., on-l) est une base de A comme K-e.v. Soit
(QO, QI,..., Qn-l) E K n , et P(X) = QO + QIX + ... + Qn_Ixn-1 E K[X]. Montrer que la matrice
de J-L( P( 0)) dans la base B est la transposée de la matrice circulante :
QO QI Q2 Qn-I
Qn-l QO QI Qn-2
A= Qn-2 Qn-l QO Qn-3
QI
Q2
Q3
QO
On suppose que K est une extension de Q(UJ n ). Montrer que, notant w une racine primitive n-ième de l'unité,
NA/K(P(O)) = rr: P(w k ).
(Indication .' on pourra considérer V = ( w(P-I)(q-I) ) , montrer que det(V) i= 0, et calculer A V).
l::;p,q::;n

CHAPITRE X
EXTENSIONS NORMALES
Le fait qu'un polynôme possède une racine dans une extension ne suffit pas à garantir
qu'il a toutes ses racines dans cette extension. Aussi la notion de normalité est tout à fait
essentielle en théorie des équations algébriques. Ce chapitre lui est consacré. On montre
qu'un corps des racines est toujours une extension normale. Signalons que la notion de
clôture normale ("plus petite sur-extension normale d'une extension donnée") ne sera pas
utilisée avant le chapitre XIV.
1. Résultats et concepts fondamentaux
Définition X.l [Extension normale]. - Soient K corps, L extension algébrique
de K. On dit que L est une extension normale (ou quasi-galoisienne) de K si, et
seulement si, à chaque fois qu'un polynôme f(X) irréductible de K[X] a une racine
dans L, f(X) a toutes ses racines dans L (c'est-à-dire f(X) est scindé sur L).
REMARQUE X.2. - On emploie parfois la notation K <J L pour signifier : Lest
une extension normale de K. On remarquera la similitude du vocabulaire et de la
notation avec ceux utilisés dans la considération d'un sous-groupe distingué (ou
normal) d'UI1 groupe. Ce n'est pas un hasard, et nous préciserons plus loin (cf.
XI.25) le lien existant entre les deux notions.
EXEMPLES X.3. - 1) Le corps K est normal sur lui-même.
2) Toute clôture algébrique de K est normale sur K.
Proposition X.4. - Toute extension quadratique (==de degré 2) d'un corps K est
normale.
Preuve: Soit L une extension de 1< avec [L : K] == 2. Soit P(X) un polynôme irréductible
de K[X], ayant une racine a E L. Mo:(X) == irr(a, K, X) divise P(X) dans K[X], or
P(X) irréductible dans K[X], donc: 3u E K* t.q. P == uMo:.
- Si a E K, Mo: (X) == X -- a est de degré 1, et P == uMo. est scindé sur K . . . donc sur
L.
- Si a  K, Mo:(X) est de degré 2 : 3(b, c) E K 2 t.q. Mo:(X) == X 2 + bX + c. Il vient
Mo:(X) == (X - a)(X - (-b - a)), donc P(X) == u(X - a)(X - (-b - a)) est scindé
sur L.
REMARQUES X.S. - a) Si K C KI C Let si L est normale sur K, il n'y a
aucune raison pour que KI soit normale sur K. Par exemple le corps des racines
L == Q( ij2, j ij2, j2 ij2) du polynôme P(X) == X 3 - 2 est normal sur K == Q, et
KI == Q( ij2) en est une sous-extension non normale sur Q (car le polynôme P(X),
irrédllctible sur Q, n'a qu'une racine dans KI)'
b) La normalité n'est pas une notion transitive. Par exemple le corps des racines
D == Q( J2) du polynôn1e X 2 -2 sur Q est une extension quadratique donc normale
de Q, et le corps des racines Dl == D() du polynôlne X 2 - J2 sur D est une
extension quadratique donc normale de D, mais DI/Q n'est pas normale (car le
polynôme X 4 - 2, irréductible sur Q, n'a que deux racines =F dans Dl, les deux
autres =Fi  ne sont pas dans Dl)'
1

9 2. Extensions normales finies et corps de décomposition
125
Théorème X.6. - Soit K un corps. Soit L une extension algébrique de K. Les
conditions sui,rantes sont équivalentes:
(NOR 1) L est une extension normale de K
(NOR 2) Pour tout x E L, les conjugués de x dans L par rapport à K appartiennent
tous à L
(NOR 3) Pour toute extension M de K contenant L, pour tout K -morphisme a
de L dans M, on a a(L) C L
(NOR 3') Pour tout K-morphismè a de L dans L, on a a(L) C L
(NOR 4) Pour toute extension M de K contenant L, tout K -morphisme a de L
dans M est un K -automorpllisme de L
(NOR 4 ') Tout K -morphisme a de L dans L est un K -automorphisme de L.
(Rappelons que V.40 montre que Lest K -isomorphe à K).
Preuve: . (3) => (3'), (4) => (4'), (4) => (3) et (4') => (3') sont triviaux.
. (1) => (3) : Soit x E L. Soit IT(X) == irr(x, K, X) son polynôme minimal. Pour
a E HOffiK(L, M), on a comme IT(X) E K[X] : Vf E L, a(l1(f)) == IT(a(f)). Donc
l1(a(x)) == a(IT(x)) == a(O) == 0 : a(x) est une racine de IT(X). IT(X) E K[X] est
irréductible, a une racine (x) dans L, et LI K est normale, donc IT(X) est scindé sur L :
IT(X) == (X - Xl)'" (X - Xd), où les Xj E L. a(x) E {Xl,"" Xd}, donc a(x) E L.
. (3) => (4) : Il suffit de prouver que L C a(L).
- Si [L : K] < +00, comme a est une application K -linéaire injective de L dans a(L),
[a(L) : K] == [L : K]. Comme K C a(L) C L, on a:
[L : K] == [L : a(L)] [a(L) : K]. Il vient [L : a(L)] == 1, soit a(L) == L.
-Si[L: K] == +oo:Soitx E L.SoitIT(X) == irr(x, K,X) son polynôme minimal. Soient
Xl == X, X2, . . . , Xs celles des racines distinctes de IT(X) dans 1\11 qui appartiennent à L.
Alors pour chaque i, a(xi) E Let a(xi) est une racine de IT(X), donc :3j t.q. a(xi) == Xj.
Ainsi a induit une application, nécessairement injective, de l'ensemble fini {Xl, . . . , X S }
dans lui-même. Cette application est donc aussi surjective, d'où: 3p t.q. X == a(x p ). Donc
xEa(L). _
. (3') => (2) : Soit X E L. Soit y E L un conjugué de X sur K. Il existe un K-
isomorphisme i : K (x)  K (y 2 tel que i (x) == y. Par V.36, on peut prolonger i en
un homomorphisme a de L dans L. a, prolongeant i, est donc un K-homomorphisme. Il
vient y == i(x) == a(x) E a(L) C L.
. (2) => (1) : Soit P(X) E K[X] un polynôme irréductible, ayant une racine a dans L.
Soit /3 E L une racine de P(X). Alors /3 est un conjugué de a sur K, donc est dans L
d'après (2). Toutes les racines de P(X) sont dans L. Ainsi LI K est normale. 0
2. Extensions normales finies et corps de décomposition
Théorème X.7. - Soit K un corps. Soit L une extension de degré fini de K. LI K
est normale <=> L est corps de décomposition d'un polynôme de K[X] sur K.
Preuve: . [{=] Soit P(X) E K[X] tel que L == D K (P) : P(X) == À(X -Tl) . . . (X -T n )
et L == K(T1, . . . , Tn). Soit a : L  L un K -homomorphisme. Comme P(X) E K[X],
on a: Vf E L, a(P(f)) == P(a(f)). Donc pour chaque i, P(a(Ti)) == a(P(Ti)) == a(O) ==
o : a(Ti) est une racine de P(X), soit (3j t.q. a(Ti) == Tj), donc a(Ti) E L. Comme
L == K (Tl, . . . , Tn), on a donc a (1.1 ) C L. D'après (NOR 3'), LI K est normale.
· [=>] L est une extension de type fini de K : notons L == K (al, . . . , as). Pour chaque
i de [1, S], notons ITi(X) == irr(ai, K, X). ITi(X) est un polynôme irréductible de
K[X] et a une racine ai dans L et LI K est normale, donc ITi(X) est scindé sur L.

126
CH. X. EXTENSIONS NORMALES
Prenons P(X) = le produit des éléments distincts dans la liste III (X), . . . , IIs(X).
P(X) E K[X] et est scindé sur L. Notons U l'ensemble des racines de P(X) et
D == K(U) le corps de décomposition de P(X) sur K. Comme P(X) est scindé
sur L, U C L donc D == K(U) C L. Comme al"", as appartiennent à U,
L == K(a1,"', as) C K(U) == D. Ainsi L == D est le corps de décomposition de
P(X) sur K.
EXEMPLES X.S. - . Soit a une racine du polynôme P(X) == X 3 - 2 irréductible de
Q[X]. (Q(a,j) == Q(a,ja,j 2 a) est une extension normale de Q car elle est le corps
des racines de P(X) sur Q. (Par contre Q(a) n'est pas normale sur Q, car P(X)
a une racine a dans (Q(a) mais n'est pas scindé sur (Q(a)).
. n fixé E N*, w une racine primitive n-ième de l'unit.é. Q(w)/Q est normale, car
Q( w) == (Q(1, w, w 2 , . . . , w n - 1 ) est un corps de décomposition sur Q du polynôme
xn - 1.
Corollaire X.9. - Soit K un corps, L une extension de degré fini de K. Si Lest
normale et séparable, L est le corps de décomposition d'un polynôme séparable de
K[X] sur K.
Preuve : On reprend la démonstration précédente de [=}] en supposant de plus que LI K
est séparable. Alors pour chaque i E [1,8], IIi(X) == irr(ai,K,X) est séparable. Si a
est racine multiple de P(X), alors comme tous les IIi(.X") sont séparables, il existe i et
j distincts tels que IIi (a) == Hj (a) == O. Comme Il i (X) et IIj (X) irréductibles, il vient
IIi(X) == irr(a, K, X) et IIj(X) == irr(a, K, ..X"). Donc IIi(X) == IIj(X) : absurde.
Ainsi P(X) est séparable.
Proposition X.lO. - Soit K un corps, L une extension de degré fini de K. Si Lest
normale et séparable, L est le corps de décomposition d'un pol,ynôme irréductible
séparable de K[X] sur K.
Preuve: D'après le théorème de l'élément primitif VIII.23, il existe a E L tel que
L == K(a). Posons M(X) == irr(a, K, X). Alors deg(M) == [L : K] == n. M(X)
est un polynôme irréductible de K[X] et a une racine (a) dans L, donc, comme LI K est
normale, M(X) est scindé sur L: M(X) == (X - al)'" (X - an), OÙ al == a et les
aj E L. Il vient L == K(a) == K(a1,' . . , an), donc L == DK(M). (Remarquons que
comme LI K est séparable, M(X) est séparable, et al, . . . , an sont tous distincts).
3. Normalité dallS les tours d'extensions
Proposition X.ll. - Soit K un corps, L une extension norInale de K. Pour tout
corps intermédiaire F (i.e. corps F tel que K C F e L), L est une extension
normale de F.
Preuve directe: Soit f(X) un polynôme irréductible de F[X] ayant une racine u E L.
LI K est algébrique donc u est algébrique sur K. Notons g(X) == irr(u, K, X) E K[X].
g(X) a une racine (u) dans L et LI K est normale, donc g(X) est scindé sur L. Or
(3À E F*t.q.f(X) == Àirr(u,F,--,Y).Etcommeg(X) E K[X] C F[X]etqueg(u) == 0,
irr( 1L, F, X) Ig(X) dans F[X]. Donc f(X) Ig(X) dans F[X]. Donc f(X) Ig(X) dans L[X].
Donc f (X) est, lui aussi, scindé sur L. ...,
Preuve utilisant X.6 : Soit a : L  L un F -homomorphisme. A fortiori a est un K-
homomorphisme, donc LI K étant normale, a(L) C L. Ainsi LI F vérifie (NOR 3'), donc
est normale.

9 4. Clôture normale d'une extension algébrique
127
EXEMPLE X.12. - Reprenons l'exemple X.8 précédent : Q( a, j) IQ est normale,
donc Q(a,j)/Q(a) est normale. (Par contre Q(a)/Q n'est pas normale).
REMARQUE X.13. - Sous les hypothèses de la proposition précédente, l'extension
FI K n'est pas forcément normale (cf. exemple précédent). La proposition suivante
permet de préciser la. situation.
Proposition X.14. - Soit K C F C L une tour d'extensions algébriques avec LI K
normale. FI K normale {::=:} (tIg E Ga.l(LI K), g(F) == F).
- ---
Preuve: D'après V.40, Let F sont F-isomorphes (donc K-isomorphes).
. [=}] Soit 9 E Gal(LI K). 9 définit par restriction un K -homomorphisme de F dans L.
Comme FI K est normale, g( F) == F d'après (l'!0R 4').
. [{=] Soit a un K -homomorphisme de F dans L. Par V.36, il existe un homomorphisme
9 : L  L prolongeant a. Comme 9 prolonge a, 9 est aussi un K -homomorphisme. LI K
étant normale, (NOR 4') montre que 9 E Gal(LI ](). Donc g(F) == F. Donc a(F) == F.
Ainsi FIK vérifie (NOR 3').
4. Clôture normale d'une extension algébrique
Définition X.15 [Clôture normale]. - Soient K un corps, L une extension de K.
On dit que N est une clôture normale de LI K (ou de l'extension L de K) si, et
seulement si :
(i) N est une extension de L
(ii) NIK est normale
(iii) L C N' C N avec N' 1 K normale =} N' == N.
Ainsi une clôture normale de LI K est un élément minimal de l'ensemble des
extensions de L qui sont normales sur K.
Le théorème suivant, d'existence et unicité à L-isomorphisme près de la clôture normale
d'une extension finie, figure ici parce que sa démonstration est élégante et ne fait pas appel
au théorème de STEINITZ. Il sera redémontré et généralisé en X.19 et X.20.
Théorème X.16. - Soient K un corps, L une extension de degré fini de K.
a) LI K admet une clôture normale N
b ) NI K est de degré fini
c) Si M est une clôture normale de LI K, alors M et N sont L-isomorphes.
Preuve: . L est une extension de type fini de K : notons L == K (al, . . . , as). Pour chaque
ide [1, S], notons IIi(X) == irr(ai, K, X). Posons P(X) == III (X) . . .I1s(X) E K[X].
Soit N un corps de décomposition de P(X) sur L : N == L(/31, . · · , /3r) où :
(1) P(X) == (X - /31) . . . (X - /3r) dans N[X], les /3j E N.
Il vient N ==/ K (al, · . . , as) (/31, . . · , /3r) == K (al, . . . , as, /31, . · · , /3r) donc N
K (/3I, . . . , /3r) puisque chaque ai est une racine de P( X) dans L donc dans N, donc
chaque ai est un /3j. Donc N est un corps de décomposition de P(X) sur K. Donc N est
une extension de degré fini de K, et d'après X.7, NI K est normale.
.SoitL C N' C NavecN'IKnormale.Pourchaquei E [1,8], I1 i (X) est un polynôme
irréductible de K[X] et admet au moins une racine (ai) dans N'; donc, comme N' 1 K est
normale, IIi(X) est scindé sur N'. Donc P(X) == III (X) .. . IIs(X) est scindé sur N' :
(II) P(X) == (X - 11)''' (X - Ir) dans N' [X], les 1j EN'.
(1) et (II) sont deux décompositions de P(X) en produit de facteurs irréductibles dans

128
CH. X. EXTENSIONS NORMALES
N[X], donc il existe a E Sn tel que: Vi, (3i == la(i)' Donc les /3i appartiennent à N'.
Donc N == K (/31, . . . , /31') C N'. Et finalement N' == N.
. Soit M une clôture normale de LI K. Pour chaque i E [1, S, ITi(X) est un polynôme
irréductible de K[X] et admet au moins une racine (Qi) dans IvI; donc, MI K étant
normale, ITi(X) est scindé sur M. Donc P(X) == IT 1 (X)... ITs(X) est scindé sur M :
P(X) == (X - 8 1 )", (X - 8r) dans M[X], les 8j E l\tl. D == K(8 1 ,... ,8r) est un
corps de décomposition de P(X) sur K. Comme chaque Qi est une racine de P(X) dans
L C M, chaque Qi est un 8j, donc L == K(Q1,"', QS) C D. Donc L C D C M, avec
DI K normale d'après X.7.
Comme M clôture normale de LI K, il vient M == D. D == L( 8 1 , . . . , 8r) est aussi un
corps de décomposition de P(X) sur L. N étant lui aussi un corps de décomposition de
P(X) sur L, il existe un L-isomorphisme de M dans N. 0
EXEMPLE X.17. - Soient K un corps, Lune extensioIl de degré fini de K.
LI K est normale <=> L est la clôture normale de LI K.
EXEMPLE X.18. - La clôture normale de Q( ) IQ est Q( \0/2, j , j2 ).
Théorème X.19. - Soient K un corps, L une extension algébrique de K.
a) LI K admet une clôture normale N
c) Si M est une clôture normale de LI K, alors M et N sont L-isomorphes.
Preuve: . Soit L une clôture algébrique de L (donc aussi de K, vu V.40). Notons pour
abréger Hl' ensemble HomK (L, L) des K -h_omomorphismes de L dans L. Une idé
naturelle est de considérer le sous-corps de L engendré par toutes les racines dans L
des polynômes minimaux sur K de tous les éléments de L. Or pour x E L, l'ensemble
des racines dans L de irr(x, K, X) est d'après V.41 : Rx == {a(x), a EH}. Donc
UxELR x == UxEfUaEH{a(x)} == UaEHa(L). Posons N == K(UaEHa(L)). Clairement
K C L C N C L.
- - -
.Soitt: N  LunK-morphisme.Pourtouta E H,toaestunK-morphismedeLdans
L, donc (toa)(L) C N, soit t(a(L)) C N. Par conséquent t(N) == t(K(UaEHa(L))) ==
K(UaEHt(a(L))) C N. Ainsi NIK vérifie (NOR 3'), donc est normale.
. Soit L C N' C N, avec N' 1 K normale. Soit a E H. D'après V.36, il existe un
homomorphisme al : N'  L qui prolonge a. al est encore un K -morphisme. Comme
N'IK est normale, on a d'après (NOR 3') al (N') C N', donc a(L) == a1(L) e N'.
Ainsi UaEHa(L) C N', donc N C N'. A ce stade N est une clôture normale de LI K.
. Soit M une extension de_ L telle que MI K soit normale. L'injection canonique i est un
L-morphisme de L dans L. D'après V.36, i peut être prolongée en un morphisme j de
M dans L. j est alors aussi un L-morphisme. Comme M est une extension algébrique de
,.." ............... - ...............
L, L et M sont L-isomorphes d'après V.40. Il existe un L-isomrphisme () : L  M.
() 0 j est un L-morphisme donc un K-morphisme de M dans M, donc, d'après (NOR
4'), () 0 j est un K -automorphisme de M. j(M) est l'image de M par le L-morphisme j,
donc: j (M) est une extension de L, et (puisque j est a fortiori un K -morphisme et MI K
normale) j(M)IK est normale. Soit a E H. D'après V.36, il existe un homomorphisme
al : j (M)  L qui prolonge (J. al est encore un K -morphisme. Comme j (M) 1 K est
normale, on a d'après (NOR 3') al (j (M)) C j (M), donc a(L) == al (L) C j (M). Ainsi
UaEHa(L) C j(M), donc N C j(M).
. Si M est une clôture normale de LIK, on a mieux. j(M) est l'image de M par le L-
morphisme j de M, qui est une clôture normale de LI K, donc j (M) est une clôture normale
de LI K. Comme L C N C j(M) et NI K normale, il vient N == j(M). Reportant dans

9 5.
....... .
exercIces
129
(0 0 j)(M) == M, il vient O(N) == M. Ainsi le L-isomorphisme 0 : L  Ni induit un
L-isomorphisme de N dans M.
Proposition X.20 [et définition]. - Soient K un corps, L une extension algébrique
de K, N la clôture normale de LI K.
a) Si LI K est de degré fini, NI K est de degré fini.
b) Si LI]( est séparable, NI K est séparable.
Dans ce cas b), N est parfois appelée la clôture galoisienne de LI K, ou lafermeture
galoisienne de LI K.
Preuve: a)Si LIK est de degré fini, L == K(Q1,'" ,Qq),oùlesQj sont algébriques sur K.
Alors N == K(U aE Ha(L)2 est égal à K(R), où R == U aE HU {- l {a(Qi)} est l'ensemble
de toutes les racines dans L des polynômes minimaux de tous les Qi, i E [1, q]. R est un
ensemble fini dont tous les éléments sont algébriques sur K, donc (111.43) N = K(R) est
une extension de degré fini de K.
b) Supposons LIK séparable. Pour montrer NIK séparable, il suffit d'après VIII.32
de prouver que tout élément y de UaEHa(L) est séparable. Soit donc y == a( f), où
a E H et f E L. Comme LI K est séparable, rr(X) == irr(f, K, X) est séparable.
rr(y) == rr(a(f)) == a(rr(f)) == a(O) == 0, donc rr(X) == irr(y, K, X). Ainsi irr(y, K, X)
est séparable, donc y est séparable.
5. Exercices
(X-l) - Dans le théorème "NOR" (alias Théorème X.6), délnontrer directement (1) ===} (2) et (2) ===} (3'),
(X-2) - Construire un corps K et une extension L de K tels que LI K ne soit pas normale et Gal(LI K) soit
isomorphe à Z/2Z. (Indication .' on pourra penser à Q et à ij2...).
(X-3) - Soient L un corps et H un ensemble quelconque d'automorphismes de L. Montrer que l'ensemble des
éléments de L invariants par tous les automorphismes de H est un sous-corps K de L. Montrer que LI K est
nonnale.
(X-4) - Soient K un corps, L une extension normale de K. Soit P{X) E K[X] un polynôme irréductible sur
K. Montrer que les facteurs irréductibles de P(X) dans L[X] ont tous le même degré.
(X-S) - Soient K un corps, L une extension algébrique de K. Montrer que la clôture normale de LI K est
l'intersection des sous-extensions de LI K qui contiennent L et sont normales sur K.
(X-6) - Soient K un corps, L une extension algébrique de K. Montrer que si N est la clôture nonnale de LI K,
et M une extension de L telle que MI K soit normale, il existe un L-morphisme de N dans M. (Indication .'
on pourra pour conznzencer reprendre le troisiènze point de la démonstration de X.19).
(X-7) - Soient F un corps, E une extension séparable de degré n de F, KIF la clôture normale de El F.
Montrer que le nombre de F -morphismes de E dans I( est n.

CHAPITRE XI
THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
Ce chapitre est consacré à l'étude de la théorie de Galois proprement dite. Dans un
premier temps, nous donnons les diverses caractérisations, toutes utiles, d'une extension
galoisienne finie. Puis nous abordons le résultat essentiel de la théorie de Galois finie: le
théorème qui affirme que, pour une extension galoisienne fi nie KI k, il Y a isomorphisme
(au sens des treillis) entre les sous-corps de K qui contiennent k et les sous-groupes du
groupe de Galois de cette extension. Cet isomorphisme de treillis, appelé correspondance
de Galois, a une propriété essentielle: il fait correspondre les sous-extensions qui sont
galoisiennes aux sous-groupes distingués.
On s'intéresse aux équations algébriques: le groupe de Galois du corps des racines peut
alors être représenté par un groupe de permutations (des racines).
On donne enfin des applications classiques de la théorie de Galois : aux corps cyclo-
tomiques, aux corps finis (on retrouve alors facilement des résultats des chapitres VI et
VII); et plusieurs exemples concrets, entièrement développés.
1. Extensions galoisiennes finies
Théorème XI.I. - Soit K un corps. Soit L une extension algébrique de K. LI K
est normale et séparable <=> K == Inv(Gal(L/ K)).
Remarquons que la propriété" L 1 K est normale et séparable" équivaut à :
Vx E L, irr(x, K, X) est scindé sur L et a toutes ses racines simples.
Preuve: . [=}] Supposons LI K normale et séparable. Soit x un élément delnv(Gal(L 1 K)).
Comme x E L, x est algébrique sur K.
Notons rr(X) == irr(x, K, X). Ce polynôme irréductible de K[X] a au moins une racine
(x) dans L, et LI K est normale, donc rr(X) est scindé sur L :
rr(X) == (X - Xl) . . . (X - x n ), où les Xi E L, Xl == X.
Comme L/ K est séparable, I1(X) == irr(x, K, X) est séparable: Xl, . . . , X n sont tous
distincts. Chaque Xj a le même polynôme minimal I1(X), donc d'après V.41, les Xj sont
....., -
conjugués dans K == L par rapport à K.
Par conséquent: Vj, 3aj E Gal(£IK) t.q. Xj == aj(x). Appliquant (NOR4') à la re-
striction à L de chaque aj, on obtient: Vj, 3g j E Gal(LI K) t.q. Xj == gj(x). Comme
X E Inv(Gal(LI K)), il vient: Vj, Xj == x. Comme Xl,' .. , X n sont tous distincts, on a
donc n == 1. Donc rr(X) == X-x. Donc X E K.
. [{=] Supposons Inv(Gal(LI K)) == K. Soit X E L. Soient Xl == X, X2, . . . , X n les racines
distinctes de irr(x, K, X) dans L. Posons P(X) == (X - Xl)" . (X - X n ) E L[X]. Alors
P(X) == X n - 81xn-1 + ... + (-l)n sn , où les Sj sont les fonctions symétriques
élémentaires des racines: SI == 2:7==1 Xi, S2 == 2:i<j XiX j, .. ., Sn == X1 X 2 . . · Xn.
Chaque élément 9 de Gal(LI K) induit une permutation de l'ensemble {Xl," . , x n },
par conséquent: Vg E Gal(LI K), Vi E [1, n], g(Si) == Si. Autrement dit: Vi E
[1, n], Si E Inv(Gal(LI K)). Comme Inv(Gal(LI K)) == K, il vient (SI, . . . , Sn) E K n ,
donc P(X) E K[X]. Donc irr(x, K, X)IP(X) dans K[X]. Comme par construction
deg(P(X)) < deg(irr(x, K, X)) et P(X) unitaire, il vient P(X) == irr(x, K, X). Ainsi
irr(x, K, X) a toutes ses racines simples et contenues dans L.

 1. Extensions galoisiennes finies
131
Corollaire XI.2 [Une caractérisation des corps parfaits]. - K....., désignant la clôture
algébrique de K, I( est parfait si, et seulement si, Inv(Gal(K 1 K)) == K.
.....,
Preuve: Osait que K est une extension algébrique nOflllale de K (cf. X .3 ). On sait que K
parfait {:> f( 1 K est séparable (VIII. 17). Par conséquent: K parfait {:> KI K est normale
et séparable. D'où, vu le théorème précédent, le résultat annoncé.
Proposition XI.3. - Soit K un corps. Soit G un groupe fini d'automorpl1ismes de
K. Soit F == Fix(G) le corps fixe de G. Alors:
a) KIF est algébrique, normale et séparable
b ) KI F est de degré fini
c) [K : F] == IGI et G == Gal(KI F).
Preuve: G est évidemment un sous-groupe de Gal(KI F). Notons IGI == n.
. Soit x E K. L'orbite n == {g(x), 9 E G} de x sous l'action de G est formée de m
éléments distincts Xl == x, X2, . . . , X m de K, avec bien sûr m < n. Suivant une idée
déja utilisée, considérons le polynôme P(X) == (X - Xl) . . . (X - x m ) E K[X]. Alors
P(X) == X"n - 8 l xm-1 + ... + (-1)m 8m , où les 8j sont les fonctions symétriques
élémentaires du m-uplet (x l, . · . , x m ).
Chaque élément 9 de G est injectif et laisse globalement invariante l'orbite n de x, donc
induit une permutation de l'ensemble (fini) n. Par conséquent les coefficients de P(X)
sont tous invariants sous l'action de G, donc appartiennent à F, donc P(X) E F[X].
Comme P( x) == 0, X est algébrique sur F.
----4 A ce stade, on a prouvé que KI F est algébrique.
De plus irr(x, F, X) IP(X) dans F[X]. Donc irr(x, F, X) a toutes ses racines simples et
contenues dans K.
----4 A ce stade, on a prouvé que KI F est normale et séparable.
. On déduit de ce qui précède que chaque élément X de K vérifie [F(x) : F] < m < n ==
IGI. Montrons que cela entrai ne KI F de degré fini et [K : F] < n.
Pour cela, considérons un élément x de K dont le degré [F(x) : F] sur F est maximal.
(Donc [F(x) : F] < n). Pour y E K, .L(x, y) est d'après III.43 de degré fini sur F, et
puisque KIF est séparable, F(x,y) est d'après VIII. 15 séparable sur F. Donc d'après
le théorème de l'élément primitif VIII.23, il existe z E K tel que F(x, y) == F(z). Or
F(x) C F(x, y) == F(z), donc [F(z) : F] > [F(x) : F]. Comme [F(x) : F] est maximal,
il vient F(z) == F(x), donc y E F(x). Ce raisonnement valant pour chaque y E K, il
vient K == F(x).
----4 Ainsi KIF est de degré fini et [K : F] < n.
. On a finalement [K : F] < n == IGI < 1 Gal(KI F)I < [K : F]. (La seconde
inégalité résulte de ce que G est un sous-groupe de Gal( KI F), et l'on peut, pour justifier
la troisième, soit invoquer 11.33, soit utiliser 111.34, soit raisonner ainsi: comme KIF
est normale, il y a d'après (NOR 4') identité entre Gal(KI F) et l'ensemble des F-
.....,
homomorphismes de K dans K, donc 1 Gal(KI F)I == [K: F]s' et comme KI F est
de degré fini et séparable, [K : F]s == [K : F]).
Donc ces trois inégalités sont des égalités, et c) en découle de suite. 0
Définition XI.4. - Soit K un corps. On dit que L est une extension galoisienne de
K si, et seulement si, L est une extension algébrique, normale et séparable de K.
On dit que L est une extension galoisienne finie de K si, et seulement si, L est une
extension galoisienne et finie de K.
EXEMPLE XI.S. - Toute extension de degré fini et normale L du corps Q est
galoisienne finie car LIQ est séparable car Q est de caractéristique 0 donc parfait.

132
CH. XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
REMARQUE XI.6. - Le théorème suivant montre que cette définition XI.4 est
cohérente avec celle donnée en II.34.
Théorème XI.7 [Extensions galoisiennes finies]. - Soit K un corps. Soit Lune
extension de degré fini de K. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(1) LI K est normale et séparable
(2) K == Inv(Gal(LI K))
(3) 1 Gal(LI K)I == [L : K].
Preuve : . (1) <=> (2) : cf. théorème précédent XI. 1.
. (2) <===> (3) résulte de 11.39.
. (1) => (3) : Reprenons un raisonnement déja signalé: Comme LI K est normale, il y
a d'après (NOR 4') égalité entre Gal(LI K) et l'ensemble des K-homomorphismes de
L dans £, donc 1 Gal(LI K)I == [L : K]s, et comme LI!{ est de degré fini et séparable,
[L : K]s == [L : K].
. (3) => (2) : Notons F == Inv(Gal(LI K)). Alors clairement K C F. D'après la
proposition précédente, [L : F] == 1 Gal(LI K)I. Or (3) 1 Gal(LI K)I == [L : K]. Donc
[L : F] == [L : K]. Donc F == K. 0
Théorème XI.8 [Extensions galoisiennes finies et corps de décomposition]. - Soit K
un corps. Soit L une extension de degré fini de 1(. Les conditions suivantes sont
équivalentes:
(1) LI K est normale et séparable
(4) il existe P(X) E K[X], P séparable sur K, tel que L == DK(P)
(5) 3M(X) E K[X], M irréductible et séparable sur K, tel que L == DK(M).
Preuve : . (5) => (4) est trivial.
. (1) => (5) : cf. X.l O.
. (1) => (4) : cf. X.9.
. (4) => (1) : Remarquons que LI K est une extension de degré fini (cf. V.14), et qu'elle
est normale vu X.7. Notons P(X) == À(X - QI)" . (X - Qn), L == K(Ql,"', Qn).
Comme P(X) est séparable sur K, toutes ses racines Qj sont séparables, donc (VIII.29)
L == K (QI, . . . , Qn) est une extension séparable de K.
REMARQUE XI.9. - Avec les notations des deux théorèmes précédents,
(5) => (3) résulte de 111.34, et (4) => (3) résulte de V.22.
Les ouvrages de théorie de Galois qui ne veulent ni trop "tirer la couverture" du
côté de l'Algèbre linéaire, ni exposer la notion de degré séparable, adoptent en
général une de ces deux démarches.
Proposition XI.I0. - Soit K un corps parfait (par exemple K corps de car-
actéristique 0, ou K corps fini). Soit P(X) E K[X]. Alors DK(P)I K est galoisi-
enne finie.
Preuve : D K (P) 1 K est de degré fini par V.14, normale par X.7, et séparable d'après
VIII. 17-(ii).

3 2. Correspondance de Galois
133
2. Correspondance de Galois
Définitions XI.l1 [et notations]. - Soient K un corps, L une extension de K,
Ga.I(Lj K) le groupe de Galois.
On note M l'ensemble des corps intermédiaires de l'extension, c'est-à-dire
l'ensemble des corps !vI tels que K C !vI C L.
On note 9 l'ensenlble des sous-groupes de Gal(Lj K).
- Pour M E M, on note MO == {g E Gal(LjK)jVm E !vI, g(m) == m} l'ensemble
des K -au tom orph ism es de L qui laissent M invariant point par point. Clairement
1\11° == Gal( L j M) est l'ensemble des M -au tomorph iSln es de L, et !vIO est un sous-
groupe de Gal( L j K).
- Pour H E 9, on note Hf (ou parfois LH) le corps fixe par H : Ht == Fix(H) ==
{x E LjVh E H, h(x) == x}. Clairement Ht est un corps intermédiaire de
l'extension Lj K.
On définit ainsi deux applications 0 : M  9 et t : 9  M.
Proposition XI.12. - Les deux applications 0 : M  9 et t : 9  M
sont décroissantes lorsque M et 9 sont ordonnés par inclusion, et vérifient
(VM E M, M C Mot) et (VH E 9, H C Ht O ).
Preuve: On montre aisément les propriétés suivantes:
.V(M I ,M 2 ) E M 2 , Ml C M 2 => M C IvI 1
. V(H I , H 2 ) E 9 2 , Hl C H 2 => HJ C HI
. VM E M, !vI C l\IIo t
. VH E 9, H C Hto
REMARQUES XI.13. - On voit facilement que KO == Gal(Lj K), LO == {id L },
{idL}t == L, et que K C (Gal(LjK))t.
REMARQUE XI.14. - Par cOIltre, comme le montre l'exemple suivant, on n'a pas
nécessairement K == (Gal(LjK))t.
EXEMPLE XI.IS. - Q( <12) jQ
irr( <12, Q, X) == X3 - 2, Q( <12) est une extension de degré 3 de Q, (1, <12, (<12)2)
est Ulle base du Q-e.v. Q( <12).
- Soit 9 E Gal(Q(<I2)jQ). Alors: V(x,y,z) E Q3, g(x+y<l2+Z(<I2)2) ==
x+yg( <12) +z(g( <12)) 2 . Or (g( <12)) 3 == g(2) == 2 et, puisque Q( <12) C IR, g( <12) est
réel; donc g( <12) == <12. Par conséquent 9 == id Q ( ij2)' Ainsi Gal(Q( <I2)jQ) == {id}.
Donc 9 == {{id}}.
- Si M est un corps intermédiaire, 3 == [Q( <12) : Q] == [Q( <12) : M] [M : Q], donc
(3 étant premier) ou bien [Q() : M] == 1 soit M == Q( <12), ou bien [M : Q] == 1
soit !vI == Q. Ainsi M == {Q, Q( <12)}.
- On a (Gal(Q( <I2)jQ)) t == {id} t == Q( <12) =1= Q.
- Card(9) == 1 =1= Card(M) == 2, donc ni l'application 0 ni l'application t n'est
bijective.
- Remarquons, pour conclure l'étude de cet exemple, que Q( <I2)jQ est séparable
mais n'est pas normale, donc n'est pas galoisienne...
Définition XI.16 [Correspondance de Galois]. - Le théorème suivant nl0ntre
que, lorsque Lj K est galoisienne finie, les deux applications 0 : M  9
et t : 9  M sont bijectives réciproques l'une de l'autre. On a ainsi une
correspondance biunivoque entre M et 9, appelée correspondance de Galois.

134
CH. XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
Théorème XI.17. - Soit K un corps. Soit L une extension de degré fini, normale
et séparable de K. Les deux applications 0 et t sont décroissantes bijectives et
réciproques l'une de l'autre.
CorollaireXI.18.- Dans ce cas, (Gal(L/K))t == Kot == K.
Preuve: . Soit M E M. L/Ai est de degré fini, normale (d'après X.l 1) et séparable
(d'après VIII. 15), donc, d'après XI. 1, A1 == Inv(Gal(L/ NI), soit M == Mot. Remarquons
qu'on a donc, vu XI.7, [L : M] == 1 Gal(L/M)I, soit [L : M] == 11\1[°1, ou encore
[M : K] == [L : K]/IMol.
. Soit H E 9. D'après XI.7, Ga.I(L/ K) est fini et 1 Gal(L/ K)I == [L : K]. Donc H est
fini. Donc H est un groupe fini d'automorphismes de L. D'après XI.3, L/ Ht est de degré
fini, normale et séparable et [L : Ht] == IHI, et H == Gal(L/ Ht) . . . soit H == Hto. 0
Définition XI.19 [Sous-corps conjugués]. - Soit K un corps. Soit L une extension
de K. Soient Ml et 1\11 2 deux sous--corps de L contenant K. On dit que Ml et
M 2 sont conjugués sur K si, et seulernent si, il existe 9 E Gal(L/ K) tel que
g(M l ) == M 2 .
Proposition XI.20. - Soit K un corps. Soit L une extension de degré fini, normale
et séparable de K. Soient Ml et M 2 deux sous-corps de L contenant K. Les
conditions suivantes sont équivalentes:
(i) Ml et M 2 sont conjugués sur K
(ii) Ml == Gal(L/M l ) et M 2 == Gal(L/M 2 ) sont deux sous-groupes conjugués
de Gal(L/ K).
Lemme XI.21. - \/g E Gal(L/ K), \/M E M, (g(M))O == gMog- l .
\/g E Gal(L/K), VH E 9, (gHg-l)t == g(Ht).
Preuve du lemme: a E (g(M))O {:> \/x E g(M), ax == x {:> \/m E M, agm == gm, {:>
\/m E M, g-lagm == m {:> g-lag E MO {:> a E gMOg- l .
x E (gHg-l)t {:> \/0' E (gHg- l ), ax == x {:> \/h E H, (ghg-l)x == X {:> \/h E
H, (hg-l)x == g-lx {:> g-lx E Ht {:> x E g(Ht).
Preuve de la proposition: . (i) => (ii) Soit 9 E Gal(L/ K) tel que g(M l ) == M 2 . Il
vient d'après le lemme M 2 == gMIg- l , soit Gal(L/M 2 ) == gGal(L/Ml)g-l. Donc
Gal(L/ Ml) et Gal(L/ Ml) sont conjugués dans Gal(L/ K).
. (ii) => (i) Soit 9 E Gal(L/K) tel que Gal(L/M2) == gGal(L/Ml)g-l. Il vient,
d'après le lemme, Gal(L/M 2 )t == g((Gal(L/Ml))t), soit Mt == g(Mt), soit, d'après
le théorème fondamental XI. 17, M 2 == g( Ml)'
Définition XI.22 [Sous-groupe distingué]. - Soient G un groupe et H un sous-
groupé de G. H est dit distingué dans G, ou normal dans G, si, et seulement si,
une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée:
- \/g E G, \/h E H, g-lhg E H
- \/g E G, gH == Hg
- H est le noyau d'un homomorphisme de G dans un groupe G ' .
On note H <J G pour : H est un sous-groupe distingué de G.
REMARQUE XI.23. - Clairement si G est commutatif, tous ses sous-groupes sont
distingués.
Propriétés XI.24. - Si H est un sous-groupe distingué de G, alors la relation
d'équivalence: (xRy {=:::} xy-l E H) est compatible avec la loi du groupe G ; en

 2. Correspondance de Galois
135
posant xi} == xy , on définit une structure de groupe sur l'ensemble GIR, que l'on
note G 1 H (groupe quotient).
Théorème XI.25. - Soit K un corps. Soit L une extension de degré fini, normale
et séparable du corps K. Soit M un corps intermédiaire: K C M C L.
1) Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) M est une extension normale de K
(i') M est une extension galoisienne finie de K
(ii) MO == Gal(LI M) est un sous-groupe distingué de Gal(LI K)
(iii) 'ig E Gal(LI K), g(M) == M.
2) Si elles sont remplies, Gal(M 1 K) est isomorphe au groupe quotient
Gal(LI K)IMO == Gal(LI K)I Gal(LIM).
3) Mieux: si elles sont remplies, l'application qui à un élément de Gal(LI K) associe
sa restriction à M définit un isomorphisme de groupes de Gal(LIK)/Gal(LINI)
sur Gal(MI K).
Preuve : . LI K est de degré fini et séparable, donc MI K est de degré fini et séparable
d'après VIIL15; d'où (i) {:> (i').
. (ii) {:> (iii) : MO <J Gal(LI K) {:> \/g E Gal(LI K), gMog- 1 == MO {:> \/g E
Gal(LI K), (g(M))O == MO {:> \/g E Gal(LI K), (g(M))ot == Mot {:> \/g E
Gal(LI K), g(M) == M. (La seconde équivalence résulte du lemme XL21, la troisième
et la quatrième du théorème fondamental XLI7).
. (i) => (iii) : Soit x E M. Notons P(X) == irr(x, K, X) son polynôme minimal.
Pour 9 E Gal(LI K), 0 == g(O) == g(P(x)) == P(g(x)) : g(x) est aussi une racine
de P(X). Or P(X) est un polynôme irréductible de I([X] qui a au moins une racine (x)
dans M, et MI K est normale. Donc P(X) est scindé sur M. Donc g(x) E M. Ainsi
('ig E Gal(LI K), g(M) C M). D'où l'égalité puisque, 9 étant un automorphisme du
K-e.v. L, [g(M) : K] == [M : K].
. (iii) => Ci) Supposons que pour tout 9 E Gal(LI K), g(M) == M. L'application
'ljJ : Gal(L 1 K)  Gal( MI K), 9 r---+ gl M est alors un morphisme de groupes,
avec clairement ker('ljJ) == MO == Gal(LIM). La décomposition canonique de 'ljJ
montre que Im('ljJ) l'V Gal(LI K)INIo. Donc 1 Im('ljJ) 1 == 1 Gal(LI K)I/IMol. Or on a
remarqué, lors de la démonstration du théorème fondamental XLI7, que [M : K] == [L :
K]/IMOI == 1 Gal(LI K)I/IMol. Donc 1 Im('l/J) 1 == [NI: K]. Et on sait, d'après 11.33, que
1 Gal(MIK) 1 < [M: K].AinsiIIm('ljJ)1 == [M: K] > 1 Gal(MIK)I. CotnmeIm('ljJ) est
un sous-groupe de Gal(M 1 K), il vient Im('ljJ) == Gal(M 1 K) et 1 Gal(M 1 K) 1 == [M : K]
donc, d'après XL7, MI K est normale.
. La considération de 'ljJ fournit la démonstration de 2) et 3). 0
Définition XI.26. - Soient K un corps, L une extension de K. Si LI K est
galoisienne finie et si de plus Gal(I,1 K) est abélien [resp. cyclique), on dit que
L est une extension galoisienne finie et abélienne [resp. cyclique) de K, ou que L
est une extension abélienne [resp. une extension cyclique) de K.
Propriété XI.27. - Comme tout sous--groupe d'un groupe abélien [resp. cyclique)
est disting'ué et abélien [resp. distingué et cyclique), tout corps intermédiaire M
d'une extension LI K galoisienne finie et abélienne [resp. cyclique) est une extension
galoisienne finie et abélienne [resp. cyclique) de K.

136
CH. XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
3. Groupe de Galois d'un polynôme
Définition XI.28 [et notations]. - Soit K un corps. Soit P(X) E K[X] un
polynôme unitaire de degré n > 2. Soit L == DK(P) le corps des racines de P
sur K. On note al, . . . , an la liste des racines (chacune répétée un nombre de fois
égal à sa multiplicité) de P(X) dans L : P(X) == TI 7 l (X - ai) dans L[X], et
L == K(al,' . . , an). On note Discr(P) le discriminant de P :
Discr(P) = (g (ai - a j )) 2 = (_1)n(n-l)/2  (ai - aj)
= (_lt(n-l)/2 II P'(ai).
1,
Quitte à réindexer, on peut supposer que al, . . . , a r est la liste des racines distinctes
de P(X) dans L. Par conséquent l'ensemble des racines de P(X) dans Lest
R == {a l, . . . , a r } == {a l, . . . , an}, et L == K ( al, . . . , a r ) .
On notera G le groupe de Galois de L sur K. G == Gal(LI K) est aussi appelé
le groupe de Galois du polynôme P(X) sur K (ou le groupe de Galois de l'équation
algébrique P(x) == 0 sur K).
Proposition XI.29. - Chaque élément 9 de G induit une permutation de R, et 9 est
complètement déterminé par cette pernlutation. G est isomorphe à un sous-groupe
de S(R) rv Sr. L'ordre IGI de G divise donc r!
Preuve: . Soit 9 E G. D'après 111.28, g(R) C R: 9 induit donc une application de R
dans R. Comme 9 est bijective et R fini, 9 induit une permutation de R (autrement dit: le
groupe G agit sur R).
. On dispose donc de l'application p : G  Sr qui à 9 associe l'élément p(g) de
Sr défini par: Vi E [1, r], p(g)(i) est l'indice j tel que g(ai) == O'.j (autrement dit:
Vi E [1, r], g( ai) == ap(g)(i))' Il est clair que p est un homomorphisme de groupes.
Comme L == K (al, . . . , a 1 ,), P est injectif (autrement dit: le groupe G agitfidèlement sur
R). Donc G est isomorphe au sous-groupe p(G) de Sr.
Proposition XI.30. - 1) Les trois conditions suivantes sont équivalentes:
la) Discr(P) 1- 0
1b) P(X) est séparable sur K
le) r == n.
2) Les trois conditions suivantes sont équivalentes:
2a) LI K est séparable
2b) LI K est galoisienne finie
2c) [L : K] == IGI.
3) Si les conditions du 1) sont vérifiées, alors celles du 2) le sont également.
Preuve: . l)b) {:} l)c) est trivial vues les notations employées, et 1 )a) {:> l)b) a été établi
au chapitre IX.
.2) : Remarquons que LI K est de degré fini (cf. V. 14), et qu'elle est normale d'après X.7.
D'où de suite a) {:> b). Et b) {:> c) résulte de XL7.
. 3) : l)b) => 2)b) résulte de X1.8.
. Remarquons que la réciproque de 3) est fausse: par exemple P(X) == (X 2 + 1)2 n'est
pas séparable sur IR, bien que L == C soit une extension séparable de K == 1R.

3 3. Groupe de Galois d'un polynôme
137
Corollaire XI.3I. - Discr(P) E K.
Preuve: - Si P(X) n'est pas séparable sur K, Discr(P) == O.
- Supposons P (X) séparable sur K. Alors r == net 1.1 1 K est galoisienne finie. Pour chaque
9 E G,
g(Discr(P)) = g(( _1)n(n-l)/2 II (ai - aj)) = (_lt(n-l)/2 II (g(ai) - g(aj))
ij ij
est égal à (_1)n(n-l)/2 IT i #) (ai - aj) = Discr(P) car g définit une permutation de
R == {QI"", Qn}. Ainsi Discr(P) E Inv(G). LI K étant galoisienne finie, on a (XL7)
Inv(G) == K. Donc Discr(P) E K.
Théorème XI.32. - On reprend les hypothèses XI.28 en supposant de plus que
caract(K) 1- 2 et que P(X) est séparable sur K. On note d(P) l'élément de L*
défini par: d(P) == ITi<j (Qi - Qj). Alors: \lg E G, g(d(P)) == €(p(g))d(P).
Le sous-corps de L associé au sous-groupe G n p-l (An) par la correspondance de
Galois est K(d(P)) (où An désigne le groupe alterné (permutations paires)).
Preuve: . Faisons opérer Sn sur K[X l ,... , Xn] de la façon classique vue au 1.57, c'est-
à-dire posons :
\la E Sn,\lP E K[X l ,..., Xn], (a,P)(Xl,"', X n ) == P(Xa(l)"'" Xa(n))'
Soit r le polynôme ITi<j (Xi - X j ) E K[X l , . . . , X n ].
Soit t == (uv) (où u < v) une transposition.
Alors t.f == t. ITi<j (Xi - X j ) == ITi<j (t,X i - t.X j ).
1er cas: i tJ. {u, v} et j tJ. {u, v}, alors t.X i - t.X j == Xi - X j
2ème cas: pour p < u, t.X p - t.X u == X p - Xv et t.X p - t.X v == X p - Xu
3ème cas: pour p > v, t.X u - t.X p == Xv - X p et t.X v - t.X p == Xu - X p
4ème cas: pour u < p < v, t.X u - t.X p == -(X p - Xv) et t.X p - t.X v == -(Xu - X p )
5ème cas: i == u et j == v, alors t,X i - t,X j == - (Xi - X j )
Il Y a donc exactement 2( v - u -1) + 1 multiplications par -1, provenant des 4ème et 5ème
cas. Donc t.f == -f. Ainsi, notant T l'ensemble des transpositions: \lt E T, t.f == €(t)f.
Or Sn opère sur K[X l ,... , Xn], la signature € est un homomorphisme de Sn dans
({ -1, 1}, x), et T engendre Sn. Donc: \ls E Sn, s.f == €(s)f. Par conséquent:
\lg E G, p(g).f == €(p(g))f.
. Par suite, prenant la valeur en (QI, . . . , Qn) des deux membres:
\lg E G, g(d(P)) == €(p(g))d(P).
. Le sous-groupe (K(d(P)))O == Gal(LI K(d(P))) == {g E GIg(d(P)) == d(P)} de G
est donc ker( € 0 p), égal (puisque ker( €) = An) à G n p -1 (An). Donc le sous-corps de L
associé au sous-groupe G n p-l(An) par la correspondance de Galois est K(d(P)). 0
Corollaire XI.33. - On reprend les hypothèses XI.28 en supposant de plus que
caract(K) 1- 2 et que P(X) est séparable sur K. On note Discr(P) le discriminant
de P : Discr( P) = (ITi<j (ai - aj) ) 2 .
Alors: p( G) C An {:> Discr(P) est un carré dans K*.
Preuve: Comme Discr( P) == (d( P) ) 2 , il vient: Discr( P) E K* 2 {:> d( P) E K*. Comme
d(P) 1- 0, il vient: Discr(P) E K*2 {:> d(P) E K. LI K étant galoisienne finie, on a
(XI.7) Inv(G) == K. Donc d(P) E K {:> (\lg E G, g(d(P)) == d(P)). Or on a vu que:
\lg E G, g(d(P)) == €(p(g))d(P). Donc:
Discr(P) E K*2 {:> (\lg E G, €(p(g)) == 1) {:> p(G) C ker(€) == An.

138
CH. XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
Proposition XI.34. - /,oit P(X) E IR [X] un polynôme unitaire de degré n > 2,
séparable sur IR. Si P(X) a m racines réelles et 2q racines dans <C \IR (m+ 2q == n),
alors le signe de Discr(P) est (-l)q.
Preuve: . Si P(X) est scindé sur IR, soit si (m == net q == 0), alors ( -l)q == 1 et Discr( P)
est un produit de carrés de réels non nuls, donc Discr( P) E IR.
. Si P(X) n'est pas scindé sur IR, alors le corps des racines L == DJR(P) de P sur IR
est <C. Le groupe de Galois de P sur IR est donc G == {id, a} où a est la conjugaison
(z r----+ a( z) == z). a laisse fixe chacune des m racines réelles, et transpose chacun
des q couples (z, z) de racines complexes non réelles, don c p( a) est un produit de q
transpositions disjointes. D'après le théorème précé dent, d(P) == a(d(P)) == (-l)Qd(P).
Donc Discr(P) == (d(p))2 == d(P)(-l)Qd(P) == (-1)Qld(P)1 2 . Donc ]e signe de
Discr(P) est (-l)Q.
Théorème XI.35. - On reprend les hypothèses XI.28 en supposant de plus que
P(X) est séparable SUl' K. P(X) est irréductible dans K[X] si, et seulement si, G
agit transitivernent sur R.
Preuve: Rappe]ons que l'on dit que l'opération de G sur R est une action transitive, ou
que G agit transitivement sur R si, et seulement si :
V(x, y) E R 2 , 3g E G Lq. g(x) == y.
. Supposons P(X) irréductible. Il vient: Vi E [1, n], P(X) == irr(ai, K, X). Soit
(i,j) E [1,n]2. ai et aj ont ]e même polynôme minimal P(X), donc d'après V.41,
sont conjugués dans K == £ par rapport à K, par conséquent il existe a E Gal(£j K)
tel que aj == a(ai), d'où, appliquant (NOR4') à la restriction à L de a, l'existence de
9 E Gal(Lj K) tel que aj == g(ai)' Ainsi G agit transitivement sur R.
. Supposons que G agit transitivement sur R. Soit f(X) un facteur irréductible de P(X)
dans K[X]. P(X) est scindé sur L, donc f(X) l'est aussi. Soit a une racine de f(X)
dans L. Alors a E R. Comme G agit transitivement sur R, (Vi E [1, n], 3g i E G Lq.
ai == gi(a)). 1] vient f(ai) == f(gi(a)) == gi(f(a)) == gi(O) == O. Toute racine de Pest
racine de f, donc P(X) divise f(X) dans L[X], donc (VIII. 1 ) P(X) divise f(X) dans
K[X]. Il vient P(X) == f(X), donc P(X) est irréductible dans K[X]. 0
4. Applications et exemples
4.1 Fractions rationnelles symétriques
Soit K un corps. Soit R == K ( Xl, . . . , X n) le corps des fractions rationnelles à
n indéterminées sur le corps K (c'est-à-dire R=]e corps des fractions de l'anneau
K[X 1, . . . , Xn] des polynômes à n indéterminées sur K).
Proposition XI.36. - On pose
Va E Sn, Vf E K(X 1 ,... , X n ), (a.f)(Xl," · , X n ) == f(Xa(l)" . . , Xa(n))'
Pour a E Sn fixé, l'application Ua : f r----+ a.f est un automorphisme de K -algèbre
de R == K ( Xl, . . . , X n ). a r----+ Ua est un 110momorphisme injectif de groupes de
Sn dans le groupe Gal(Rj K) des autornorphismes de K -algèbre de R.
Preuve: - Le premier point est clair.
- On voit facilement que pour chaque (8, t) E Sn X Sn, on a :
Vf E K(X 1 ,..., X n ), 8.(t.f) == (8 0 t).f, soit Us 0 Ut == Usot. Ainsi a  Ua est un
morphisme de groupes de Sn dans Gal(Rj K).
- Il est injectif, car Ua == idR entraine que]' on a en particulier:
Vi E [1, n], Xa(i) == Ua (Xi) == Xi, soit a( i) == i.

 4. Applications et exemples
139
Définition XI.37.- Notons G == {ua, 0' E Sn}' G est un sous-groupe de Gal(R/ K),
G est isolnorpl1e à Sn. Soit E le corps fixe de G : E == {f E R/Vg E G, g.f == f} ==
{f E K ( Xl, . . . , X n ) /V 0' E Sn, f ( X a ( l ) , . . . , X a ( n )) == f ( Xl, . . . , X n ) } .
Les éléments de E sont appelés les fractions rationnelles symétriques et E est appelé
le corps des fractions rationnelles symétriques.
Théorème XI.38. - Soit f E I«(X I , . . . , X n ) une fraction rationnelle sYlnétrique.
Il existe une fraction rationnelle <p E K (YI, . . . , Y n ) telle que f (X l, . . . , X n) ==
<p ( El, . . . , En).
Preuve: On a évidemment R == E(X I ,..., X n ). G étant fini, R est d'après XI.3 une
extension galoisienne de degré IGI == n! de E, et Gal(R/ E) == G.
Considérons dans R[X] le polynôme: S(X) == (X - Xl)'" (X - X n ).
On a S(X) == X n - EIX n - 1 + E 2 xn-2 - . .. + (_l)n En, où, pour chaque k E
[l,n],Ek == EI<il<...<ik<nXil",Xik est le polynôme symétrique élémentaire de
degré k de K[X I , .-' . , X n ]. -
Comme, pour chaque 0' E Sn, S(X) == (X - Xa(l)) . . . (X - Xa(n)), les coefficients
de S(X) sont invariants sous l'action de G : (Vg E G, Vj E [l,n], g(Ej) == E j ),
c'est-à-dire: Vj E [1, n], E i E Inv(G) == E.
Notant E == K(EI' . . . , En), il vient: E C E.
On a donc la tour d'extensions K C E C E C R.
R == K (X l, . . . , X n) == K (El, . . . , En, Xl, . . . , X n) == E (X l, · · · , X n), donc R est
le corps de décomposition sur E du polynôme S(X) E E[X]. Comme les racines de ce
polynôme sont simples, il résulte de XI.8 que R/E est galoisienne.
- Comme E C E C R, G == Gal(R/ E) C Gal(R/E).
- Soit ( E Gal(R/E) : alors pour chaque i E [1, n], 0 == ((0) == ((S(X i )) == S(((X i ))
donc ((Xi) E {Xl," ., X n }. (induit une application de {Xl,'" , Xn} dans lui-même,
nécessairement injective, donc bijective puisque cet ensemble est fini de cardinal n; par
suite: 3g E G tel que Vi E [1, n], ((Xi) == g(X i ). D'où, comme R == K(X I ,... , X n ),
( == g. Ainsi Gal(R/E) C G.
- On a donc Gal(R/E) == G.
Récapitulons : IGI == [R : E], E C E C R donc [R : E] == [R : E] [E : E],
1 Gal(R/E)1 == [R : E], et Gal(R/E) == G. Il vient E C E et [E : E] == 1, soit:
E == E. 0
4.2 Extensions de degré 2
Proposition XI.39. - Soient K un corps avec caract(K) 1- 2, L une extension
quadratique (c'est-à-dire de degré 2) de K. Alors L == K (8) avec 8 2 ==  E K \ K 2 ,
L/ K est galoisienne, et le groupe de Galois Gal(L/ K) est {id L, O'}, où 0' : L  1,
est l'application définie par: V(x, y) E K 2 , O'(x + y8) == x - y8. Il est isomorphe à
Z/2Z.
Preuve: D'après 111.23, il existe  E K \ K 2 et 8 E L tels que 8 2 ==  et L == K(8). Le
polynôme P(X) == X 2 -  E K[X] est de degré 2 et n'a pas de racine dans K, donc (1.46)
est irréductible sur K. L == K(8, -8) est le corps de décomposition sur K de P(X). Les
racines 8 et -8 de P(X) dans L sont distinctes (sinon 8 == 0, donc  == 8 2 E K)
donc P(X) est séparable sur K. Par conséquent (XI.8), L/ K est galoisienne. Donc
1 Gal(L/ K)I == [L : K] == 2. Comme tout élément de Gal(L/ K) induit une permutation
de l'ensemble {8, -8} des racines de P(X) dans L, il vient Gal(L/ K) == {id L, a}, où
(V (x, y) E K 2 , O'(x + y8) == x - y8).

140
CH. XI. THÉORIE DE GAL,OIS DES EXTENSIONS FINIES
REMARQUE XI.40. - Soit !VI un corps intermédiaire, alors M == K si 8  1\1,
et M == L si 8 E IvI. On a donc 9 == {{idL},Gal(LjK)} et M == {K,L}. On
voit directement que les applica.tions 0 et t sont bijectives et réciproques l'une de
l'autre, avec: {idL}t == L, Gal(LjK)t == K, 1(° == Gal(LjK), LO == {id L }.
EXEMPLE XI.41. - CjIR.
Prenant K == IR, L == C, 8 == i, il vient: CjIR est galoisienne de degré 2, Gal(CjIR)
est le groupe cyclique {ide, a }, où a est la conj uga.ison (z  z).
EXEMPLE XI.42. - Q( Vd) jQ.
Soit d E Z \ {O, 1}, d sans facteur carré. Prenant K == Q, L == Q( Vd), 8 == Vd, on
obtient: Q(Vd) est une extension ga.loisienne de degré 2 de Q, et Gal(Q(Vd)jQ)
est le groupe cyclique {id, a}, où a: x + YVd  x - yVd, (x, y) E Q2,
4.3 Equations de degré 3
Théorème XI.43. - Soit K un corps de caractéristique tj. {2,3}. Soient P(X) ==
X 3 + pX + q un polynôme unitaire de degré 3 sur K, L son corps des racines
sur K, G == Gal(Lj K) son groupe de Galois sur K, Discr(P) == -4 p 3 - 27 q 2 son
discriminant, Q une racine de P( X).
1) P(X) n'a pas de racine dans K <===? P(X) est irréductible dans K[X].
2) Supposons cela vériné. Alors:
- ou bien Discr(P) E K 2 et alors L == K(Q) est de degré 3 sur K, .et G est
un groupe cyclique, isomorphe à A3
- ou bien Discr(P) tj. K 2 et alors L == K( V Discr(P), Q) est de degré 6 sur
K, et G est isomorphe à 8 3 ,
Preuve: Supposons que P(X) n'a pas de racine dans K, alors (1.46) P(X) est irréductible
dans K[X]. Caract(K) 1- 3, donc P'(X) == 3X 2 + p n'est pas nul, donc (VIII.9) P(X)
est séparable sur K. __
Notons QI, Q2, Q3 les racines de P(X) dans K (elles sont distinctes), alors L ==
K (QI, Q2, (3), et Discr( P) == ((QI - (2) (QI - (3) (Q2 - (3)) 2 == -4 p 3 - 27 q2.
Lj K est galoisienne finie d'après XI.8. Donc [L : K] == IGI. [L : K] == IGI divise 3! == 6,
et [L : K] est divisible par [1«(Q1) : K] == deg(irr(Q1' K, X)) == deg(P(X)) == 3, donc
[L : K] == 3 ou 6.
Considérons d(P) == (QI - (2)(Q1 - (3)(Q2 - (3) E L. P(X) est irréductible, donc
(XI.35) G agit transitivement sur { QI, Q2, Q3}, donc p( G) est un sous-groupe transitif de
8 3 . Or les seuls sous-groupes transitifs de 8 3 sont A3 et 8 3 .
. 1er cas: Discr(P) est un carré dans K (soit: d(P) E K).
Alors p(G) C A 3 , donc p(G) == A3. Donc G est isomorphe à A3, donc' à Zj3Z, et
[L : K] == 3 (donc L == K( QI ).
. 2ème cas: Discr(P) n'est pas un carré dans K (soit: d(P) tj. K).
Alors G est isomorphe à8 3 , et [L : K] == 6 (donc L 1- K(Q1)' P(X) irréductible sur K a
une racine dans K(Q1) et n'est pas scindé sur K(Q1), donc K(Q1)j K n'est pas normale.
Nous allons montrer successivement: d(P) tj. K(Q1), L == K(d(P), QI)'
On a dans L[X] : P'(X) == (X - Q2)(X - a3) + (X - (1)(2X - (Q2 + (3)), donc
P'(Q1) = (QI - (2)(Q1 - (3), donc d(P) = (Q2 - (3)P'(Q1).
Or (Bezout) il existe (U(X), V(X)) E K[X]2 tel que P'(X)U(X) + P(X)V(X) = 1.
Il vient P'(Q1)U(Q1) == 1, d'où Q2 - Q3 == d(P)U(Q1)'
Par ailleurs Q2 + Q3 = al - QI = -QI. Donc Q2 = (d(P)U(Q1) - QI) et
Q3 . (-d(P)U(Q1) - QI)'

9 4. Applications et exemples
141
Par suite d(P)  K(al) (sinon a2 et a3 appartiendraient à K(al), donc L serait égal
à K(al)), soit deg(irr(d(P), K(al), X)) > 1. Or le polynôme X 2 - Discr(P) E
K[X] C K(al)[X] et annule d(P), donc irr(d(P), K(al), X) divise )(2 - Discr(P).
Donc irr(d(P), I«(al), X)) == X 2 - Discr(P), d'où [I«(d(P), 0'1) : K(Ol)] == 2.
Il vient [K(d(P), al) : K] == [K(d(P), al) : K(al)][K(al) : K] == 6 == [L : K], donc
L == K(d(P), al)' 0
EXEMPLES XI.44. - - Soient K == Q et P(X) == X3 - 3X + 1. P(X) est irréductible
dans Q[X] (utiliser 1.48 et 1.46), et Discr(P) == 9 2 , donc le groupe de Galois est
isomorphe à A3'
- Soient K == Q et P(X) == X 3 - 2. P(X) est irréductible dans Q[X] (utiliser 1.48
et 1.46), et Discr(P) == -108  Q2, donc le groupe de Galois est isomorphe à S3'
REMARQUE XI.45. - Dans le cadre de ce second exemple (fort classique.. .), il
est facile de décrire explicitement M et g. Effectuons cette description, à titre
d'exemple de correspondance de Galois.
Comme Discr(P) == -108 == (6J3i)2, il est commode d'introduire le nombre j ==
exp(2i7r /3) == (-1 + iJ3)/2. On notera a == .
Le corps des racines de P(X) sur Q est L == Q(a,ja,j 2 a) == Q(a,j). L/Q est
galoisienne de degré [L : Q] == 6. Le polynôme minimal de j sur Q(a) est X 2 + X + 1, .
donc [L : Q(a)] == 2, et (1,.1) est une base de L comme Q(a)-espace vectoriel. Le
polynôme minimal de a sur Q est X 3 - 2, donc [Q( a) : Q] == 3, et (1, a, a 2 ) est une base
de Q(a) comme Q-espace vectoriel. Donc (11.8) (1,a,a 2 ,j,ja,ja 2 ) est une base de L
comme Q-e. v.
Chaque élément a de Gal(L/Q) est entièrement déterminé par les valeurs de a( a) et a(j).
(Plus précisément, a est défini par: V(xo, . . . , xs) E Q6, a(xo + Xl a + X2a2 + xaj +
x4ja + xsja 2 ) == Xo + Xl a( a) + X2 (a( a))2 + X3 a (j) + X4 a (j)a( a) + xsa(j) (a( a) )2).
Comme (a(a))a - 2 == 0, on a a(a) E {a,ja,j 2 a}. Comme (a(j))2 + a(j) + 1 == 0,
on a a(j) E {j,j2}. Comme 1 Gal(L/Q)1 == IS31 == 6, Gal(L/Q) est déterminé par le
tableau ci dessous :
a id L CI C2 t l t2 ta
a(a) a Ja j 2 a a Ja j 2 a
a(j) J J J '2 '2 '2
J J J
ordre 1 3 3 2 2 2
(remarque: j 2 a == -a - ja)
Les sous-groupes de Gal(L/Q) sont:
{idL}, Ti == {idL, ti} (i == 1,2,3), A == {idL, CI, C2}, et Gal(L/Q).
Par conséquent, d'après XI.I7, L a exactement 6 sous-corps qui sont:
{ id L } t == L, (GaI ( L / Q) ) t == Q, At et les T i t (i == 1, 2, 3).
- Comme Cl(j) == C2(j) == j, Q(j) C At. Or A est un sous-groupe d'indice 2 donc
distingué de Gal(L/Q), donc (XI.25) At /Q est galoisienne et son groupe de Galois est
isomorphe à Gal(L/Q)/A, donc àZ/2Z. Donc [At : Q] == 2. Donc [At : Q] == [Q(j): Q].
Ainsi, At == Q(j).
- Pour chaque i de [1,3], L/T/ est galoisienne de groupe de Galois Ti, donc [Tit : Q] ==
[L : Q]/[L : T/] == 6/ITil == 3. (Remarquons que comme Ti n'est pas distingué dans
Gal(L/Q), Tit /Q n'est pas normale d'après XI.25).
Il suffit alors de bien observer le tableau précédent.

142
CH. XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
- Comme tl(a) == a, Q(o) C TI.
Or [Q(a) : Q] == deg(irr(a, Q, X)) == 3. Donc Tl == Q(a).
_ Comme t 2 (j 2 a) == j 2 a, Q(j 2 a) C Tl.
Or [Q(j 2 a) : Q] == deg(irr(j 2 a, Q, X)) == deg(?(X)) == 3. Donc Tl == Q(j 2 a).
- Comme ta(ja) == ja, Q(ja) C TJ.
Or [Q(ja) : Q] == deg(irr(ja, Q, X)) == deg(?(X)) == 3. Donc TJ == Q(ja).
En conclusion, les sous-corps de L sont: {idL}t == L, (Gal(L/Q))t == Q, At == Q(j),
TI == Q(a), Tl == Q(j 2 a), et TJ == Q(ja).
4.4 Le groupe de KLEIN comme groupe de GALOIS
Proposition XI.46. - Q( i, V2) /Q est galoisienne de degré 4, et le groupe de Galois
Gal(Q(i, V2)/Q) est isomorphe au groupe de KLEIN (71/271)2.
Preuve: Notons L == Q(i, V2). Le polynôme minimal de i sur Q est X 2 + 1, donc,
notant F == Q(i), [F : Q] == 2, (1, i) est une base de F comme Q-espace vectoriel,
et (XI.39), Gal(F/Q) == {idF,a}, où a : F  F est l'application définie par:
V(x, y) E Q2, a(x + yi) == x - yi.
Le polynôme minimal de V2 sur F est X 2 - 2, donc [L : F] == 2, (1, V2) est une base
de L comme F-espace vectoriel, et (XI.39) Gal(L/F) == {id,S}, où S : L  Lest
l'application définie par: V(a, b) E F 2 , S(a + bV2) == a - bV2.
Donc (11.8) (1, i, V2, iV2) est une base de L comme Q-e.v., et [L : Q] == 4.
D'autre part nous disposons à ce stade de quatre Q-automorphismes de L : id L , '1, '2, 'a
respectivement définis par:
V(a, b) E F 2 , 'l (a + bV2) == S(idF(a) + idF(b)V2) == a - bV2
V(a, b) E F 2 , '2 (a + bV2) == idL(a(a) + a(b)V2) == a +"bV2
V(a, b) E F2, 'a (a + bV2) == S(a(a) + a(b)V2) == a - "bV2,
c'est-à-dire respectivement définis par:
V(x, y, z, t) E Q4, 'l (x + yi + zV2 + tiV2) = x + yi - zV2 - tiV2)
V(x, y, z, t) E Q4, '2 (x + yi + zV2 + tiV2) == x - yi + zV2 - tiV2)
V(x, y, z, t) E Q4, 'a (x + yi + zV2 + tiV2) == x - yi - zV2 + tiV2).
Chaque élément 9 de Gal(L/Q) est entièrement déterminé par les valeurs de g( i) et g( V2).
(Plus précisément, 9 est défini par:
V( a, b, c, d) E Q4, g( a + bi + cV2 + diV2) == a + bg( i) + cg( V2) + dg( i)g( V2).
Or comme (g(i))2 + 1 == 0, on a g(i) E {i, -i}, et comme (g(V2))2 - 2 == 0, on a
g( V2) E {V2, -V2}. Donc 1 Gal(L/Q)1 < 4. (On peut aussi invoquer 11.33).
Ainsi Gal(L/Q) == {idL, '1, '2, la}, et l'effet des éléments de Gal(L/Q) sur i et V2 peut
être figuré par le tableau ci dessous :
a id L 'l '2 '3
a(i) 1, 1, -1, -1,
a( V2) V2 -V2 V2 -V2
De ce tableau, on déduit aisément la table du groupe Gal(L/Q) :
id L 'l '2 '3
id L id L 'l '2 '3
'l 'l id L 'a '2
'2 '2 '3 id L 'l
'a 'a '2 'l idL

9 4. Applications et exemples
143
L'observation de cette table montre de suite que Gal(L/Q) est isomorphe au groupe de
Klein (71/271) 2. 0
4.5 Corps cyclotomiques
Théorème XI.47. - Soit n E N*, n > 3. Le corps c,yclotomique Q(1U n ) d'indice
n est le corps des racines du polynôme CPn,Q(X) sur Q. Q(1U n ) est une extension
galoisienne de degré cp(n) de Q. Gal(Q(1U n )/Q) est isomorphe à U(71/n71).
Preuve : Soit ( une racine primitive n-ième de l'unité dans C. On sait (cf. VI.3,
VI.4) que Q(1U n ) == Q(() et Pn(C) == {(k,l < k < n, kpremieravecn}. Donc
Q(1U n ) == Q{Pn(C)).
Comme (VI.9) le polynôme CPn,Q(X) == TI(EPn(C) (X - () E Q[X], Q(1U n ) est le
corps des racines du polynôme CPn,Q(X) sur Q. Comme les racines de ce polynôme
sont distinctes, il est séparable, donc (XI.8) Q(1U n ) est une extension galoisienne finie de
Q. Or on sait (VI.t3) que [Q(1U n ) : Q] == cp(n). Donc Gal(Q(1U n )/Q) est d'ordre cp(n).
Soit 9 E Gal(Q(1U n )/Q). g est caractérisé par g(() qui est un zéro de CPn,Q(X),
donc g(() = (i(g), où i(g) E [l,n] et i(g) premier avec n. Comme pour chaque
(g, h) E (Gal(Q(lU n ) /Q)2, (g 0 h) (() = g( (i(h») = (g( ()i(h ) = ((i(g») i(h) = (i(g)i(h),
l'application () : Gal(Q(1U n )/Q)  U(71/n71), 9  i(g) est un homomorphisme de
groupes. () est clairement injectif, donc, les deux groupes considérés étant de même ordre
cp( n), () est un isomorphisme de groupes. 0
Corollaire XI.48. - Gal(Q(1U n )/Q) est d'ordre cp(n), est toujours abélien et il est
cyclique si, et seulement si, U(71/n71) est cyclique.
Si n est premier, alors (VII.8) U(71/n71) = (71/n71)* == IF est cyclique.
REMARQUE XI.49. - Comme tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué
et abélien, tout sous-corps d'un corps cyclotomique est extension abélienne de
Q. Réciproquement, on démontre que toute extension abélienne de Q est un
sous-corps d'un corps cyclotomique (théorème de KRONECKER-WEBER: cf. remarque
XII.32).
4.6 Fin de la démonstration du théorème de GAUSS
Pour achever la démonstration du théorème de GAUSS (VI.38), il nous reste à établir le
résultat suivant:
Proposition XI.50. - Soit p un nOlnbre premier de FERMAT. Le polygone régulier à
p côtés est constructible.
Preuve:pestunnombrepremierdeFERMAT,doncilexisten E Ntelquep = Fn == 2 2n +1.
Nous noterons, pour abréger, 2 n = N.
Considérons le corps cyclotomique Q(1U p ) d'indice p. Q(1U p ) est une extension galoisienne
de degré cp(p) = p - 1 = 2 N de Q, et G = Gal(Q(1U p )/Q) est isomorphe à
U(71/p71) == IF;. Donc G est un groupe cyclique d'ordre cp(p) = p - 1 == 2 N .
Soit 9 un générateur de G. Considérons, pour i E [0, N], le sous-groupe
G i ==< g2i > de G engendré par g2i. Comme 9 est d'ordre 2 N , g2i est d'ordre 2 N -i donc
IGil = 2 N - i . On a ainsi une suite finie (Go, G I ,..., G N ) de sous-groupes de G, avec
G = Go :) G 1 :) . . . :) G i :) G i + l :) . . · :) G N = {id}.
Pour i E [0, N], considérons le sous-corps Ki = Fix(G i ) = Gl de Q(1U p ). Clairement
Ki = {z E Q(1U p )/g2 i (z) = z}. Evidemment KN == Q(1U p ). Comme Q(1U p )/Q est
galoisienne, Ka == Fix( G) = Q. Comme la correspondance de Galois est décroissante et
bijective, on a : Q = Ka C KI C . .. C Ki C Ki+l C . . . C KN == Q(1U p ).

144
,
CH. XI. THEORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
Comme G est abélien, tout sous-groupe de G est distingué dans G, donc (d'après XI.25)
pourchaquei E [O,N], Ki/Qest galoisienne de degré [Ki : Q] == IGI/IGil == 2 i .D'où:
Vi E [0, N - 1], [Ki+l : Ki] == [Ki+l : Q]/[K i : Q] == 2.
KN-I == {z E Q(1U p )/ J(z) == z}, où J == g2N-1.
Soit w une racine primitive p-ième de l'unité dans C. Alors Q(1U p ) == Q(w). J E
Gal(Q(w)/Q) donc J(w) == w q , où q E [l,p] et q premier avec p. J2 = id, donc
J2 (w) == w, soit w q2 == w, soit p divise q2 - 1, soit if.2 == 1 dans IF p, soit if. == 1 ou
if. == -1 dans IFp. Si if. == 1, on aurait J(w) == w q == w, d'où, puisque Q(1U p ) == Q(w),
J=id, ce qui est exclu puisque 9 est d'ordre 2 N . On a donc if. == -1, soit q == P - 1.
Ainsi J(w) == w p - l == w- l . Prenantw == exp(2i1r/p), il vient J(cos(21f/p)) == J((w +
w- 1 )) == (J(w) + J(w)-l) == (W-l +w) == cos(21f/p), soit cos(21r/p) E KN-I' Par
conséquent Q(cos(21f/p)) C K N - I .
Comme [KN-I : Q] == 2 N - l et (VI.21) [Q(cos(21r/p)) : Q]
Q(cos(21r/p)) == KN-I'
On a donc une suite (K 0, . . . , K N -1) de sous-corps de IR vérifiant :
Ko == Q, (Vi E [0, N - 1], [Ki+1 : Ki] == 2), et cos(21r/p)) E KN-1.
Donc, d'après IV. 12, cos(21r/p) est constructible.
REMARQUE XI.51. - Sur le calcul VI.27 de cos(21r /17)
La démonstration précédente explique pourquoi la "stratégie" adoptée pour mener
les calculs au VI.27 a pu aboutir.
En effet, pour p == 17, Q(1U 17 ) est une extension galoisienne de degré 16 de Q,
et G == Gal(Q(1U 17 )/Q) est isomorphe à U(71/1771). Or U(71/1771) == IFi7 est un
groupe cyclique d'ordre 16, et 3 est un générateur de ce groupe (vérification aisée).
Donc 9 : z  z3 est un générateur de G. .
On considère, pour i E [0,4], le sous-groupe G i ==< g21 > de G et le sous--corps
Ki == Fix(G i ) == G! == {z E Q(1U 17 )/g2 i (Z) == z} de Q(1U 17 ).
On a ainsi G == Go :> G I :> G 2 :> G 3 :> G 4 == {id}, et Q == Ko C KI C
K 2 C K3 C 1<4 == Q(1U 17 ), avec pour chaque i E [0,4], Ki/Q galoisienne de degré
[Ki: Q] == IGI/IG i 1 == 2 i , d'où (Vi E [0,3], [Ki+1 : Ki] == [Ki+l : Q]/[K i : Q] == 2).
011 a Q( cos(21r /17)) == K 3.
Reprenant les notations de VI.27, on voit successivement que:
. al == E J og2i(U) vérifie g(al) -1 al et g2(al) == al, donc al E KI \ Q (il en va
de Inême pour a2)' Comme [KI: Q] == 2, il vient KI == Q(al)'
. b 1 == E : og4i(u) vérifie g2(b l ) -1 b l et g4(b l ) == b l , donc b l E K 2 \KI (de même
pour b 2 ,b 3 et b 4 ). Comme [K2 : KI] == 2, il vient K 2 == Kl(b l ).
. CI == E:=ogBi(u) vérifie g4(Cl) -1 CI et gB(CI) == CI, donc CI E K3 \K2 (de même
pour C2)' Comme [K3 : K 2 ] == 2, il vient K3 == K 2 (Cl).
La méthode développée au VI.27 consiste à déterminer successivement les polynômes
minimallX des aj sur Q, des b j sur KI, de CI sur K 2, et calculer ces éléments comme
racines d'équations du second degré.
cp(p) == 2 N - l
2 '
o
4.7 Théorie de GALOIS des corps finis
Théorème XI.52. - Soit K == IFq un corps fini (q == pl, avec p premier). Soit L
une extension de degré fini n de K. L/ K est galoisienne de degré n. Gal(L/ K) est
un groupe cyclique, engendré par a. Un sous-groupe de Gal(L/ K) est un groupe
cyclique H engendré par ad, oÙ d est un diviseur de n; H est d'ordre n/ d (cf.
1.22). Le corps des invariants de H est le corps IFqn/d, et H en est le groupe de
Galois sur K.

9 4. Applications et exemples
145
Preuve: En tant que K -e, V., L est isomorphe à Kn, donc Card( L) = qn, et d'après VII. 17,
L = IFqn. L/ K est galoisienne : elle est normale car (VILI7) [.1 = D JFp (xqn - X), a
fortiori L = D K (xqn - X), et elle est séparable car K est parfait. Il résulte de VIL14 que
a = FI : x  x q est un automorphisme de L. Comme (VILI7) K = D JFp (xq - X),
on a I( = {x E L/xq = x} = Inv(a). Donc a est un K-automorphisme de L :
a E Gal(L/ K).
Donc Z  Gal(L/ K), z  a Z est un homomorphisme de groupes. Le noyau de ce
morphisme est nZ. En effet: \:Ij E N, \:Ix E L, aj(x) = x qj (récurrence aisée). Or
(VII. 17) L = DJF p (xqn - X), donc an = idL. Et pour 1 < j < n - 1, a j -1 id L car
IF qj -IF qn . Donc a est d'ordre n.
Comme (11.33) 1 Gal(L/ !{)I < [L : K] = n, il vient:
Gal(L/ K) =< a >= {id L , a, . . . , a n - 1 } est un groupe cyclique d'ordre n. 0
4.8 Le groupe diédral d'ordre 8 comme groupe de GALOIS
Définition XI.53 [Groupe diédral d'ordre 8]. - Le groupe diédral d'ordre 8 est le
groupe, noté D 4 , des isométries du plan affine euclidien la.issant invariant un carré.
Notons 0 le centre de ce carré, et 1,2,3,4 ses sommets. On vérifie alors aisément que D4
a huit éléments, qui sont:
id : l'application identité {id}
R : la rotation de centre 0 et d'angle +1r /2 { (1234) }
R 2 : la symétrie centrale de centre 0 {(13) (24)}
R 3 : la rotation de centre 0 et d'angle -'Ir /2 {(1432)}
S : la réflexion d'axe la droite (13) {(24)}
RS : la réflexion d'axe la médiatrice de [1,2] {(12)(34)}
R 2 S : la réflexion d'axe la droite (24) {(13)}
R 3 S : la réflexion d'axe la médiatrice de [1,4] {(14)(23)}.
On identifie D4 à un sous-groupe du groupe symétrique 8 4 en identifiant respectivement
chaque isométrie de D4 avec la permutation écrite ci-dessus sur la même ligne qu'elle. Il
est facile de dresser la table de D 4 (on utilise les règles : R 4 = id, S2 = id et RS RS = id;
soit R 4 = id, S2 = id et SR = R3S).
On montre aisément que D4 a exactement 10 sous-groupes:
- {id} et D4
- trois sous-groupes d'ordre 4 : {id, R, R 2 , R 3 } (cyclique), {id, R 2 , RS, R 3 S} (Kleinien)
et {id, R 2 , S, R 2 S} (Kleinien)
- cinq sous-groupes d'ordre 2 engendrés respectivement par R 2 , S, RS, R 2 S, et R3 S.
Il est facile d'interpréter géométriquement chacun de ces sous-groupes. Remarquons que
les cinq premiers sous-groupes cités sont distingués, et que parmi les sous-groupes d'ordre
2, seul {id, R2} est distingué (il est le centre du groupe D 4 ).
Proposition XI.54. - Soit p un nombre premier fixé. Gal(Q(i, vrP)/Q) est
isomorphe à D 4.
Preuve: Le polynôme f(X) = X 4 - p de Q[X] est irréductible d'après le critère
d'EISENSTEIN. Soit L le corps de décomposition de f(X) sur Q. L est une extension
galoisienne de Q (XI. 10). Notons u = vrP E JR, alors les quatre racines de f(X) dans C
sont u, iu, -u et -iu. Donc L = Q(u, iu, -u, -iu) est égal à Q(i, u).
. f(X) = irr(u, Q, X) donc [Q(u) : Q] = deg(f(X)) = 4, et (1, u, u 2 , u 3 ) est une base
de Q( u) comme Q-espace vectoriel. i est imaginaire pur ( !) donc de degré > 2 sur Q( u),
corps réel, donc irr(i,Q(u),X) = X 2 + 1, donc [L: Q(u)] = 2 et (l,i) est une base de

146
CH. XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
L comme Q( u )-espace vectoriel. La considération de la tour Q C Q( u) C Q( u, i) == L
montre que [L : Q] == 8 et (1, 1.l, u 2 , u 3 , i, iu, iu 2 , iu 3 ) est une base de L comme Q-e.v.
. Chaque élément x de L s'écrit de manière unique x == Xo + Xl U + X2u2 + X3u3 + X4i +
xsiu + X6iu2 + X7iu3, où (xo,. . . , X7) E Q8. Par suite chaque Q-automorphisme a de
L est complètement déterminé par les valeurs a( i) et a( u) qu'il prend en i et en u. Or
a laisse invariant le polynôme X 2 + 1, donc a(i) E {i, -i}. Et a laisse invariant f(X),
donca(u) E {u,iu,-u,-'iu}.
Il y a donc au plus huit Q-automorphismes de L, donnés par le tableau suivant:
a idL
a(i) 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1,
a(u) u 'lU -u -'lU U 'lU -u -'lU
. Comme L/Q est galoisienne, 1 Gal(L/Q)1 == [L : Q] == 8, donc le tableau précédent
donne exactement les éléments de Gal(L/Q). Notons a l'élément de Gal(L/Q) tel que
a(i) == i et a(u) == iu, et b l'élément de Gal(L/Q) tel que b(i) == -i et b(u) == u. On voit
qu'alors Gal(L/Q) est donné par le tableau suivant:
a idL a a 2 a 3 b ab a 2 b a 3 b
a(i) 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1,
a(u) u 'lU -u -'lU U 'lU -u -'lU
ordre 1 4 2 4 2 2 2 2
. On vérifie aisément que : V f E { a 4 , b 2 , abab}, f ( i) == i et f (u) == u. Ainsi
a 4 == b 2 == abab == id L . Donc Gal(L/Q) est isomorphe au groupe diédral d'ordre 8,
. 0
REMARQUE XI.55. - i + u a 8 images distinctes par les huit éléments de Gal(L/Q),
donc i + u est un élément primitif de l'extension L de Q.
EXEMPLE XI. 56. - Etude de la correspondance de Galois :
Poursuivons l'étude de L/Q, en donnant tous les sous-corps de L == Q(i, {IP). Il
s'agit de déterminer le corps fixe de chacun des dix sous--groupes de Gal(L/Q).
Clairement {idL}t == L, et (XI.7) (Gal(L/Q))t == Q.
o Si H sous-groupe d'ordre 4 de Gal(L/Q), H est d'indice 2 donc distingué
dans Gal(L/Q), donc (XI.25) Ht /Q est galoisienne et son groupe de Galois est
isomorphe à Gal(L/Q)/ H, donc à 7l/271; donc [Ht : Q] == 2.
. a(i) == i, donc Q(i) C {id L ,a,a 2 ,a 3 }t == < a >t. Comme [< a >t : Q] == 2 ==
[Q(i) : Q], il vient < a >t == Q(i).
. Clairement u 2 E {idL, a 2 , b, a 2 b} t, et irr( u 2 , Q, X) == X 2 - p, donc Q( 'l/,2) C
{idL,a 2 ,b,a 2 b}t et [Q(u 2 ): Q] == 2, donc Q(u 2 ) == {id L ,a 2 ,b,a 2 b}t.
. Clairement iu 2 E {id L ,a 2 ,ab,a 3 b}t, et irr(iu 2 ,Q,X) == X 2 +p, donc Q(iu 2 ) C
{id L ,a 2 ,ab,a 3 b}t et [Q(iu 2 ) : Q] == 2, donc Q(iu 2 ) == {idL,a 2 ,ab,a 3 b}t.
o Si H sous-groupe d'ordre 2 de Gal(L/Q), alors (XI.17) L/ Ht est galoisienne de
groupe de Galois H, donc [Ht : Q] == [L : Q]/[L : Ht] == 8/IHI == 4.
. b(u) == u et irr(u, Q, X) == X 4 - p, donc Q(u) C < b > t et [Q(u) : Q] == 4, donc
< b >t == Q(u).
. a 2 b(iu) == iu et irr(iu, Q, X) == X 4 _-p, donc Q(iu) C < a 2 b >t et [Q(iu) : Q] == 4,
donc < a 2 b > t == Q(iu).
. ab( (1 +i)u) == (1 +i)u et irr( (1 +i)u, Q, X) == X 4 +4p, donc Q( (1 +i)u) C < ab > t

9 4. Applications et exemples
147
et [Q((l + i)u) : Q] == 4, donc < ab > t == Q((l + i)u).
. a 3 b((1 - i)u) == (1 - i)u et irr((l - i)u, Q, X) == X 4 + 4p, donc Q((l - i)u) c
< a 3 b > t et [Q((l - i)u) : Q] == 4, donc < a 3 b > t == Q((l - i)u).
. i et u 2 sont fixes par a 2 , donc Q(i,u 2 ) C < a 2 >t. Or Q(i,u 2 ) est le corps de
décomposition de X 4 - p2 sur Q, et il est de degré 4 sur Q (raisonner comme au
début de XI.54). Donc < a 2 > t = Q(i, u 2 ).
Remarquons que < a 2 > t == DQ(X4 - p2) est une extension galoisienne de Q, ce
qui n'est pas le cas pour les corps fixes des quatre autres sous-groupes d'ordre 2
de Gal(L/Q).
REMARQUES XI.57. - . - Comme a 2 b == a-1ba, les sous-groupes < b >== {idL, b}
et < a 2 b >== {id L , a 2 b} sont conjugués. Les corps correspondants Q(u) et Q(iu)
sont conjugués. Leurs éléments primitifs u et iu ont d'ailleurs le même polynôme
minimal X 4 - p sur Q.
- Comme a 3 b == a-1(ab)a, les sous-groupes < ab >== {idL,ab} et < a 3 b >==
{id L , a 3 b} sont conjugués. Les corps correspondants Q((l + i)u) et Q((l - i)u)
sont donc conjugués. Leurs éléments primitifs (1 + i)u et (1 - i)u ont d'ailleurs le
même polynôme minimal X 4 + 4p sur Q.
. < a 2 >t == {idL,a 2 }t == Q(i,u 2 ). On vérifiera que ce corps est égal à Q(i + u 2 ),
et que irr(i+u 2 ,Q,X) est égal à (X +i+u 2 )(X -i-u 2 )(X -i+u 2 )(X +i-u 2 ) ==
X 4 - 2(p - 1)X 2 + (p + 1)2.
. La chaîne descendante de sous-groupes :
Gal(L/Q) :) < a >== {idL,a,a 2 ,a 3 } :J < a 2 >== {idL,a 2 } :J {idL} correspond à la
chaîIle ascendante de sous-corps: Q C Q( i) C Q( i, yfJ) C Q( i, u) == L.
Une telle chaîne ascendante de sous-corps fournit une méthode de résolution de
l'équation donIlée X 4 - p == 0, par adjonctions successives des racines d'équations
plus" commodes" : X 2 == -1, y2 == p, Z2 == yfJ. Cet exemple est représentatif de
l'importance des sous-groupes de son groupe de Galois pour la résolution d'une
équation algébrique.
EXEMPLE XI.58. - Tableau de la correspondance de Galois :
sous-groupe:
corps fixe: polynôme minimal
d'un élément
primitif:
Gal(L/Q) l'V D4 Q X
< a >== {id L ,a,a 2 ,a 3 } Q(i) X 2 + 1
{idL,a 2 ,b,a 2 b} Q(u 2 ) X 2 _p
{id L ,a 2 ,ab,a 3 b} Q(iu 2 ) X 2 +p
< b >== {id L , b} Q(u) X 4 - P
< a 2 b >== {id L , a 2 b} Q(iu) X 4 - p
< ab >== {id L , ab} Q((l + i)u) X 4 + 4p
< a 3 b >== {idL, a. 3 b} Q((l - i)u) X 4 + 4p
< a 2 >== {id L , a 2 } Q(i, u 2 ) X 4 - 2(p - 1)X 2 + (p + 1)2 X 4 _ p2
{id L } L irr('i+u,Q,X) X 4 _p
éventuellement :
polynôme dont
le corps est
corps des racines :
X
X2+1
X 2 _p
X 2 +p

148
CH. XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES
EXEMPLE XI.59. - Treillis des sous-groupes de Gal(L/Q) :
Il est donné par le diagramme suivant, dans lequel les flèches symbolisent des inclusions:
___________ Gal( t /Q)
{idL, a 2 , b<b} dL' a,t 2 , a /' a2,}
{idL'  {idL, b} _____ { id L (2} {idL, ab} {idL, a 3 b}
{idL}
EXEMPLE XI.60. - Diagramme des sous-corps de L :
L == Q(i, u)
Q(iu) Q(U) Q(i,tU2))U) Q((l - i)u)
/ t____
Q(u 2 ) Qti Q(iu 2 )
Q
REMARQUE XI.61. - On voit 1'" effet miroir" entre les deux diagrammes: c'est cela,
la correspondance de Galois.
5. Exercices
(XI-l) - Soit LI K une extension galoisienne finie de degré N, G le groupe de Galois de LI K. Soit u E L.
Montrer que u est un élément primitif de LI K si, et seulement si, l'orbite {g(u), 9 E G} de u sous l'action de
G est formée de N éléments distincts. Montrer qu'on a alors: irr(u, K, .X") = TI9EG (X - g(u)).
(XI-2) - Soit L une extension galoisienne finie (c'est-à-dire de degré fini, normale et séparable) d'un corps K,
G le groupe de Galois de LI K. Soit M un corps intermédiaire (Le. K C M ç L). Montrer que [M : K] est
égal à l'indice de MO dans G.
(XI-3) - Soient w = V2 + )3, et K = Q(w).
1) Montrer que K = Q( V2, )3).
2) Déterminer [K : Q]. Donner une base de K sur Q.
3) Déterminer le polynôme minimal de w sur Q.
4) Déterminer Gal(K IQ). f( IQ est-elle une extension galoisienne?
(XI-4) - Décrire en détailla correspondance de Galois (sous-groupes +---+ sous-corps) pour l'extension Q( i, V2)
de Q (cf. XI.46).
(XI-S) - Soit f(X) E Q[X] un polynôme de degré n. Soit D le corps des racines de f(X) sur Q. Montrer que,
si Gal(D IQ) = Sn, f(X) est irréductible sur Q.
(XI-6) - On note f(X) le polynôme X 3 - 2, K le corps Q(1lJ3), et L = D K (f) le corps des racines de f(X)
sur K. Déterminer le degré de L sur K. Etudier le groupe de Galois du polynôme f(X) sur K. Donner une
représentation de chaque élément de Gal(L/ f() par une permutation de l'ensemble des racines de f. Décrire en
détailla correspondance de Galois (sous-groupes -+ sous-corps) pour l'extension L de K.
(XI-7) - Démontrer que f(X) = X 4 - 3 est irréductible sur Q(i). Quel est le groupe de Galois de f(X) sur
Q( i)?
(XI-8) - On note f(X) le polynôlne XS - 7, f( le corps Q(1lJs), et L = DK(f) le corps des racines de f(X)
sur K. Déterminer le degré de L sur K. Etudier le groupe de Galois du polynôlne f(X) sur K. Donner une
représentation de chaque élément de Gal(LI f() par une permutation de l'ensemble des racines de f.

9 5. Exercices
149
(XI-9) - On suppose que le polynôme f(X) = xn - a est irréductible sur le corps K = Q(1lJ n ) des racines
n-iènles de l'unité dans C. On note L = D 1< (f) le corps des racines de f(X) sur K, u une racine de f(X), w
une racine primitive n-ième de l'unité. Montrer que L = Q(u, w). Montrer que [L : K] = n. Démontrer que le
groupe de Galois de L/ K est cyclique d'ordre n, engendré par le K-automorphisme a de L tel que a(u) = wu.
(XI-10) - On note f(X) le polynôme X3 - 5, D = DQ(f) le corps des racines de f(X) sur Q. Déterminer le
degré de D sur Q. Etudier le groupe de Galois du polynôme f(X) sur Q. Donner une représentation de chaque
élément de Gal(D /Q) par une permutation de l'ensemble des racines de f.
(XI-11) - On note f(X) le polynôme (X2 - 2)(X2 - 3). Quel est le corps des racines L = DQ(f) de f(X)
sur Q? Déterminer le groupe de Galois Gal(L / K), et tous les sous-corps de L.
(XI-12) - Soient Pl, . . . , Pn des nombres premiers distincts. Déterminer le groupe de Galois du polynôme
(X2 - Pl )....(X2 - pn) sur Q.
(XI-13) - Soit L une extension galoisienne finie d'un corps K, soient Ml et M2 deux corps intermédiaires (Le.
l\ C Mi C L, pour i = 1, 2).
a) Montrer que Gal(L/l\1[l) n Gal(L/M2) =Gal(L/M1M2).
b) Montrer que Gal(L/(Ml n M2)) = < Gal(L/M1)U Gal(L/M2) >.
(XI-14) - On suppose que L/ K est cyclique de degré n. Montrer que, pour chaque diviseur d de n, il existe
exactement un corps intermédiaire M de degré d; et que deux tels corps intermédiaires sont contenus l'un dans
l'autre si, et seulement si, le degré de l'un d'entre eux est divisible par le degré de l'autre. (Indication .' utiliser
la correspondance de Galois et le résultat classique 1.22 .fur les sous-groupes d'un groupe cyclique).
(XI-1S) - A l'aide de la théorie de Galois (et, plus précisément, de l'exercice précédent...), reprendre l'étude des
sous-corps de IF pn faite au chapitre VII.
(XI-16) - On suppose que L/ f( est galoisienne de degré 4 avec pour groupe de Galois (71/271) x (71/271), et
que K n'est pas de caractéristique 2. Montrer que L = K(o:, (3), où 0: 2 , {32 E K.
(XI-17) - Réciproquement, si K n'est pas de caractéristique 2 et si 0: 2 = a E K, (32 = b E K, et aucun des
éléments a, b, ab n'est un carré dans K, montrer que K(o:, (3)/ K est gal'Jisienne de degré 4 avec pour groupe
de Galois (71/271) x (71/271).
(XI-18) - Soient F un corps fini, f(X) un polynôme irréductible de F[X], L = F( 0:1, . . . , O:n) le c0rps de
décomposition de f(X) sur F. Démontrer que, quitte à réindexer 0:1, . . . , O:n, le groupe de Galois de f(X) sur
F est le groupe cyclique engendré par le n-cycle (1 . . . n).
(XI-19) - Soient F un corps fini, f(X) un polynôme unitaire de F[X], f(X) = fI (X) . .. fr(X), où (Vi, fi
irréductible de degré ni), la décomposition de f(X) en produit de polynômes irréductibles de F[X]. On note
L = F(Q1, . . . , O:n) le corps de décomposition de f(X) sur F. Montrer que n = deg(f) = nI + . . . + nr.
Démontrer que, quitte à réindexer 0:1, . . . , O:n, le groupe de Galois de f(X) sur F est le groupe engendré par
le produit des r cycles:
( 1, . . . , nI), (n 1 + 1, . . . , nI + n2), . . . . . . , (n 1 + . . . + nr - 1 + 1, . . . , n).
(XI-20) - Soient G un groupe, H un sous-groupe. On pose Nc(H) = {g E G/g- 1 Hg = H}. Montrer que
N G (H) est un sous-groupe de G, et que c'est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H soit un sous-groupe
distingué. Ne (H) est appelé le normalisateur de H dans G.
Soit L une extension galoisienne finie du corps K, et soit F un corps intermédiaire entre K et L. Soit A
le sous-groupe de Gal(L / K) formé des élélnents qui laissent F globalenlent invariant. Montrer que A est le
nonnalisateur de Gal(L/ F) dans Gal(L/ f().
(XI-21) - Soit K une extension finie séparable de k, de degré premier p. Soit (J E K tel que K = k( (J), et soient
(JI, . . . , (Jp les conjugués de (J sur k dans une clôture algébrique. Soit (J = (JI. Si (J2 E k( (J), montrer que K est
une extension galoisienne, et en fait cyclique, de k.

CHAPITRE XII
RACINES DE L'UNITÉ
On a étudié au chapitre VI les racines de l'unité dans le corps des nombres complexes.
L'objet de ce chapitre est de généraliser certains résultats au cas d'un corps qui n'est pas
forcément C. On démontre ensuite la célèbre loi de réciprocité quadratique.
1. Corps des racines n-ièmes de l'unité
Définitions XII.I. - Soit K un corps, soit P le sous-corps premier de K. Soit
n E N* (avecn > 3). On considère le polynôme Xn-l E P[X] C K[X]. On appelle
corps des racines n-ièmes de l'unité sur K, et on note n(K), le corps des racines
.-,.,
du polynôme X n - 1 sur K (c'est--à-dire le sous-corps de la clôture algébrique K
de K engendré par les racines de ce polynôme).
L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité dans K est noté {Ln (K) :
{Ln(K) = {x E Klxn = 1}. Une racine de l'unité dans K est une racine n-iènle
de l'unité dans K pour un certain n. L'ensemble des racines de l'unité dans K est
{Loo(K) = UnEN*{Ln(K) (c'est le groupe de torsion de K*).
REMARQUE XII.2. - On fera bien attention à ne pas confondre les notions de racirle
n-ième de l'unité sur K et de racine n-ième de l'unité dans K.
EXEMPLES XII.3. - {Ll(K) = {l}, {L2(K) = {-l, l}, 1(K) = E 2 (K) = K.
{Ln(C) = {exp(2ik7r ln), k E [0, n - l]} = Un (c chap VI). .-,.,
Soit p E P. On a.-,.,: \:ln E N*, IF pn = Epn -1 (IF p), IF; = UiEN* {Li (IF p),
et IF;n = {Lpn_l(IFp) (cf. VII.17 et VII.48).
REMARQUE XII.4. - La dérivée de xn - 1 est nX n - 1 .
. Si caract(K) = 0 (Le. P l'V Q), la seule racine de nX n - 1 est 0, qui n'annule pas
xn - 1, donc x n - 1 est séparable.
. Si caract(K)= p (Le. P l'V IF p ), alors
- ou bien p ln et alors (même raisonnement) X n - 1 est séparable
- ou bien pin et alors notant n = pk n ' avec n' premier à p, on a par la formule
k
du binôme X n - 1 = (X n ' - l)P , et xn - 1 n'est pas séparable (remarquer
que les racines n-ièmes de l'unité sont alors les racines n'-ièmes de l'unité,
{Ln ( K) = {Ln' ( K) ) .
REMAR QUE XII.S. - Dans toute la suite, on supposera que:
ou bien caract(K)= 0, ou bien caract(K)= p ne divise pas n.
Proposition XII.6. - {Ln (En (K)) est un groupe cyclique d'ordre n.
Preuve: - On vérifie aisément que si L corps, L *  L *, x  x n est un endomorphisme
de groupes. Donc {Ln (L), noyau de cet endomorphisme, est un sous-groupe de L * .
- Comme le polynôme xn - 1 a au plus n racines dans L, /-Ln(L) est fini d'ordre < n.
Donc d'après VII. 7, /-Ln (L) est cycl ique.
- Comme X n - 1 est séparable sur K, il a n racines distinctes dans son corps de
décomposition En(K), donc l/-Ln(En(K))1 = 71. D'où le résultat annoncé.

9 1. Corps des racines n-iènles de l'unité
151
Proposition XII.7. - /-ln(K) est un groupe cyclique d'ordre un diviseur de n.
Preuve: - Reprenant les deux premiers points de la démonstration précédente, on voit que
/-ln (K) est un sous-groupe cyclique de K*.
- Comme /-ln(K) C /-lnC2n(K)), il existe d diviseur de n tel que /-ln(K) rv Z/dZ.
Définition XII.8 [Racine primitive de l'unité]. - On appelle racine prilnitive n-ième
de l'unité-tout générateur du groupe /-lnC2n(I()), i.e. tout élélnent ç de /-lnC2n(K))
tel que çd =1= 1 pour 1 < d <no On note /-l (n (K)) l'ensemble des racines primitives
n-ièmes de l'unité. /-l(n(K)) a pour cardinal <p(n) (cf. 1.15).
Proposition XII.9. - Soit ç- une racine primitive n-ième de l'unité. Alors les racines
primitives n-ièmes de l'unité sont les Ç-T, où 1 < r < n et r est premier avec n.
Preuve: Comme ç- est d'ordre n, l'application: Z/nZ -4 /-ln(n(K)), Je  ç-k est un
isomorphisme de groupes. D'où de suite, d'après 1.11, le résultat annoncé.
Définition XII.I0 [Polynôme cyclotomique]. - Soit n E N*. On appelle polynôme
cyclotomique d'indice n sur K le polynôme
<I>n,K(X) == II (X - ç).
çEJL (En (K))
<Pn,K(X) est unitaire de degré cp(r) à coefficients dans n(K).
LemmeXII.ll.- Soit n E N*. Les /-ldC2d(K)), d décrivant l'ensemble des diviseurs
de n dans N*, forment une partition de /-ln (n (K)).
Preuve: - Soit E E /-ln (n (K)). E a un unique ordre (multiplicatif) d qui est un diviseur
de n d'après le théorème de Lagrange; c'est donc une racine primitive d-ième de l'unité:
E E /-ld(d(K)).
- Réciproquement soit E E lJ,d(d(K)) avec d diviseur de n. Alors En == 1 : E est une
racine n-ième de l'unité.
Proposition XII.12. - xn - 1 == Ildln <I>d,K (X)
Preuve: Résulte de suite du lemme précédent.
Théorème XII.13. - Soit s le morphisme canonique d'anneaux de Z sur K.
On le prolonge de façon naturelle en s : Z[X] -4 K[X] qui à L ÀkXk associe
L S(Àk)X k , et on voit facilement que s est encore un morphisme d'anneaux. Alors
Vn E N*, <I>n,K (X) == s( <I>n,Q(X)).
Preuve : On procède par récurrence sur n.
- Pour n == 1, <Pl,K (X) == X - l == s( <I>l,Q(X)).
- Supposons la propriété vraie jusqu'au rang n - 1, où n > 2.
On a l'égalité dans Z[X] : xn - 1 == Ildln <I>d,Q(X) == F(X)<pn,Q(X) (où F(X)
Ildln,d<n <I>d,Q(X) E Z[X]). Appliquant aux deux membres S, qui est un morphisme
d'anneaux, on obtient l'égalité dans K[X], donc dans n(K)[X] : xn - 1 == s(xn -
1) == s(F(X))s(<I>n,Q(X)), Or de l'hypothèse de récurrence résulte: s(F(X)) ==
Ildln,d<n s( <I>d,Q(X)) == Ildln,d<n <I>d,K (X). '
Donc xn - 1 == s(<I>n,Q(X)) Ildln,d<n <I>d,K(X). Comme (proposition précédente)
xn - 1 == Ildln <I>d,K(X), et comme n(K)[X] est intègre, il vient <I>n,}{-(X) ==
s( <I>n,Q(X)). Ainsi la propriété est vraie au rang n.
Théorème XII.14. - Soit f( un corps, soit P le sous-corps premier de K.
VrL E N*, <I>n,K(X) E P[X].

152
CH. XII. RACINES DE L'UNITÉ
'" ,.....
Preuve: On a la tour d'extensions P C K C K. Notons QI,.", an les racines dans K
du polynôme xn - 1 E P[X]. Alors P,n CIn (K)) == {al,. . . , an}. Quitte à réindexer,
on peut supposer que P, (n (K)) == {al, . . . , acp( n)}'
Considérons E == P(al,"', an). (Ne pas confondre E avec n(K) == K(al,"', an) :
l'inclusion E C n (K) peut être stricte). Le polynôme
<I>n,K(X) == II (X - ç:)
çEJL (En(K))
est à coefficients dans E. Comme E == Dp(xn - 1), E/P est normale (X.7). Comme
X n - 1 E P[X] est séparable sur P, E == P( al, . . . , an) OÙ les ai sont tous
séparables, donc (VIII.29) E / P est séparable. Ainsi E / Pest galoisienne finie. Donc
Inv(Gal(E/P)) == P.
Soit 9 E Gal(E/ P). Pour chaque j E [1, <p(n)], on a (g(Cij))n == g(aj') == g(1) == 1,
et pour d diviseur strict de n, comme aj =1= 1 et 9 injective, (g( aj))d == g( aj) =1-
g(l) == 1; donc g(aj) est une racine primitive n-ième. de 1, soit g(aj) E P,(n(K)) ==
{ al, . . . , a<p( n)}' Ainsi chaque élément 9 de Ga.l( E / P) est injectif et laisse globalement
invariant P, (n (1<)), donc induit une permutation de cet ensemble (fini).
Or <I>n,K(X) == X<p(n) - SlX<p(n)-l +... + (-l)<p(n)s<p(n), où les Sj sont les fonctions
symétriques élémentaires de al, . . . , a<p(n) :
81 = L  ) ai, 82 = Li<j aiaj, · . ., 8",(n) = al . . · a",(n)'
Chaque élément 9 de Gal(E / P) induit une permutation de l'ensemble {al, . . . , a<p(n)}'
donc on a : Vg E Gal(E/ P), Vi E [1, cp(n)], g(Si) == Si. Autrement dit: Vi E [1, <p(n)],
Si E Inv(Gal(E/ P)). Ainsi les coefficients de <I>n,K(X) sont tous invariants sous l'action
de Gal(E/ P), donc appartiennent à P, donc <I>n,K(X) E P[X]. D
Remarquons que <I>l,IF p (X) == X - 1 et <I>2,IF p (X) == X + 1 sont irréductibles sur IF p'
Théorème XII.15. - Soient n E N avec n > 3, et p E JP> avec P.G.C.D.(n,p) == 1.
<I>n,IFp(X) est irréductible sur IFp <===} fi est d'ordre <p(n) dans U(Z/nZ).
Preuve : Il résulte de V.12 que: <I>n,IF p (X) est réductible sur IF p si, et seulement si, il
existe m E N* avec m < <p( n) /2 tel que <I> n,IF p (X) ait une racine dans JF pm. Comme IF;m
est cyclique d'ordre pm - 1 et comme les racines de <I>n,IF p (X) sont les éléments d'ordre
(multiplicatif) n, cela équivaut à : (m E N* avec m < cp( n) /2 Lq. nlpm - 1), soit à :
l'ordre de fi dans U(Z/nZ) est < <p(n)/2, ou encore à : l'ordre de fi dans U(Z/nZ) est
< <p( n). D'où, en contraposant, le résultat annoncé.
Corollaire XII.16. - Soient n E N avec n > 3, et p E JP> avec P.G.C.D.(n,p) == 1.
<I>n,IFp (X) est irréductible sur IFp =} U(Z/nZ) est cyclique.
EXEMPLE XII.17. - Vp E JP>, <I>8,lF p (X) == X 4 + 1 est réductible sur IFp.
En effet: - pour p == 2, X 4 + 1 == (X + 1)4 est donc réductible sur IF 2 .
- Pour p impair, on peut: ou bien utiliser directement ce qui précède: fi n'engendre
pas U(Z/8Z), puisque U(Z/8Z) est isomorphe à (Z/2Z)2 donc n'est pas cyclique;
ou bien remarquer que comme IF;2 est cyclique d'ordre p2 - 1, et 81 p 2 - 1 (cf. plus
loin lemme XII.26), IF;2 a un élément d'ordre 8, donc <I>s,IFp(X) a une racine dans
IF p2, donc (V .12) n'est pas irréductible sur IF p'

9 2. Résidus quadratiques. Loi de réciprocité quadratique
153
2. Rés idus quadratiques. Loi de réciprocité quadratique
p désigne, dans toute la suite de ce chapitre, un nombre premier impair.
Définition XII.18 [Symbole de LEGENDRE]. - On définit le symbole de LEGENDRE
(  ) P our x E JF* P ar: ( :f. ) == 1 <===> x E JF*2 et ( :f. ) == -1 <===> x d JF*2
P , p' p p , p "'F p'
Définition XII.19. - Soit d un entier premier à p (i.e. d E Z \ pZ). On dit que d
est un résidu quadratique modu1o p si, et seulement si, () = 1; et que d est non
résidu quadratique modu1o p si, et seulement si, () = -l.
Proposition XII.20. - \Ix E JF;, () = x(p-1)/2; et l'application JF; ---+ {-l, 1},
x 1----+ () est un homomorphisme de groupes non constant.
Preuve: Résulte de suite de VII.51-b).
REMARQUE XII.21. - Noter l'intérêt pratique de ce résultat: comme x 1----+ ()
est un homomorphisme de groupes, il suffit de connaître la valeur de () pour les
facteurs premiers de a:
Lemme XII.22. - Soient G un groupe (multiplicatif), L un corps, et soit X un
caractère non trivial de G à valeurs dans L, i.e. un homomorphisme de G dans L * ,
distinct de l'application constante 1. Alors L9EG X(g) == O.
Preuve : Il existe go E G tel que X(go) =1= 1. 9  gog étant une bijection de G
dans lui-même, LgEG X(g) == L9EG X(gog). Or L9EG X(.gog) == LgEG X(go)X(g) ==
X(go) L9EG X(g). Donc (X(go) - 1) L9EG X(g) == 0, d'où le résultat annoncé.
Définition XII.23 [Sommes de GAUSS]. - Soit K un corps de caractéristique
différente de p, soit w une racine primitive p-ième de l'unité sur K. On peut
considérer, p'0ur x E JF;, W X (défini par W X == w k , où k est un élément quelconque
de x). Pour a E JF;, on pose s(a) = LXEIF; () wax E Ep(K). s(a) est appelée la
somme de GAUSS (sur K) associée à a.
Propriétés XII.24. -
(1) \la E JF;, s(a) = ( ; ) s(l).
(II) (s(1))2 = ( pl ) p = (-1) (p-1)/2 p .
Preuve : . Clairement s(a) = LYEIF; ( a!11.. ) w Y = LYEIF; ( a;! ) (*) w Y
( a;! ) s(l) = () -1 s(l) = (:) s(l), car (:) E {-l, 1} donc () -1 = (:).
. (s(1))2 = (LXEIF; () W x ) 2 = Lx,y () (*) W X + Y = Lx,y () w X + Y .
D'où, posant y == tx : (8(1))2 == L (  ) 2 ( 1 ) w(l+t)x == L ( 1 ) w(l+t)x
x,t p P x,t P
'" ( t ) '" (l+t)x
L,tEIF; p L,XEIF; W ·
Or, comme w(1+t)p = l, LxEII"; w(1+t)x = -1 + Lj =  (w 1H )j vaut -1 si w1+t i= 1

154
CH. XII. RACINES DE L'UNITÉ
soit si t =1= -1, et p - 1 si w 1 + t == 1 soit si t == -1.
Donc (s(I))2 = ( 1 ) (p - 1) - Lt#-ï () = ( l ) P - LtEW; ().
Or d'après XII.20 et XII.22, LtEW; () = O.
Donc (s(I))2 = ( 1 ) P = (_I)(p-1)/2 p .
Théorème XII.25 [Loi de réciprocité quadratique (LEGENDRE-GAUSS)].-
Soient p et q deux nombres premiers impairs distincts. Alors
( : ) ( ; ) = (_I)(P-1)(q-1)/4
(Il est équivalent d'avoir p résidu quadratique modulo q ou q résidu quadratique
modulo p, sauf si p = q = 3[mod.4], auquel cas ces propositions s'excluent
mutuellement J.
Preuve: On considère les sommes de GAUSS 8 sur IF q' Comme IF q est de caractéristique q,
on a: (s(I))q = (LXEW; () W X r = LXEW; (rwqx.
Chaque () étant =FI et q impair, on a: \Ix E IF;, (r = ().
Donc (s(I))q = LXEW; () w qx = s(q) (en identifiant q et sa classe modulo p).
Or s(q) = () s(l) d'après (1), donc (s(I))q = () s(I).
Or (8(1))2 == (_1)(p-1)/2 p d'après (II), donc 8(1) =1= O.
Donc () = (s(l) )q-1 = (( s(I))2) (Q-l)/2, soit encore d'après (II) :
() = (( -1) (p-1)/2 p ) (Q-l)/2 = (_1)(P-1)(Q-1)/4 p (Q-l)/2.
Comme (XII.20) p(Q-1)/2 = () [modo q], il vient () = (_I)(p-1)(Q-1)/4 (), soit,
puisque () -1 = (), la formule annoncée. 0
Lemme XII.26. - Pour tout p E IP, p > 2, 8 divise p2 - 1.
Preuve: On a p2 - 1 == (p - 1) (p + 1), et comme p - 1 et p + 1 sont deux nombres pairs
consécutifs, l'un est divisible par 4.
Proposition XII.27. - Pour tout nombre premier p impair, 0) = (_1)(p2 -1)/8.
Preuve: (L'écriture ( -1) (p2 -1) /8 est légitime vu le lemme précédent).
Considérons le groupe U == U(Z/8Z) == {l, 3,5, 7}. H == {1,7} est un sous-groupe
de U. Considérons le caractère X : U  {-l, 1} défini par x( x) == 1 si x EH,
et X( x) == -1 si x t/:. H. Soit K un corps de caractéristique p tel que (K*, x) ait un
élément w d'ordre 8. (Par exemple, K == IF; et w une racine de X 4 + 1, ou, remarquant
que (p == 2m, + 1 => p2 - 1 == 4m( m + 1) et rappelant que IF;2 est cyclique (VII. 7),
K == IF p2 ).
On considère, pour a E U, la somme de GAUSS 8(a) == LXEU X(x)w ax E K. On voit que,
comme dans XII.24, 8(a) == x(a)8(1), et que, comme dans la démonstration de la LRQ,
(8(1))P == 8(15). Or 8(1) == w - w 3 - w 5 + w 7 == w(l - w 2 )(1 - w 4 ) == 2w(1 - w 2 ) car,
w étant d'ordre 8, w 4 == -1. Donc (8(1))2 == 4w 2 (1 - 2w 2 + w 4 ) == -8w 4 == 8. Donc
(s(I))p-1 = ((S(I))2)(P-1)/2 = 8(p-1)/2 = () = or = ().

9 3. Résidus quadratiques. Loi de réciprocité quadratique
155
Or (s(l))P == s(p) == X(p)s(l), soit, puisque s(l) =1= 0 : (s(1))p-1 == X(p).
Il vient X(p) = 0). Or (calcul direct facile) on a pour x E {l, 3, 5, 7} : X(x)
(_1)(x 2 -1)/B. D'où le résultat annoncé.
EXEMPLE XII.28. - La loi de réciprocité quadratique permet de ramener le calcul du
symbole de LEGENDRE, par réductions successives, à quelques calculs élénlentaires.
Par exemple (  ) == (_1)11.29 (  ) == - (  ) == -( _1)6.11 ( î ) == - (  ) ==
- ( 13 ) ( 1 5 3 ) == - ( - 1 ) 21 ( i3 ) == .( -1 ) 12 ( 15 3 ) == ( ) == (- 1 ) 2 () == (  ) == - 1 ,
et (  I ) == (-1) 8 .20 (  i ) == ( 1 7 7 ) == (-1) 3 . B ( V ) == () == (-1) 3 () == -- () == -1.
ThéorèmeXII.29.- Pour tout dE Z\{O, 1}, d libre de carrés, il existem E N*\{l}
tel que Q( Vd) C Q(UJ m ). Toute extension quadratique de Q est contenue dans un
corps cyclotomique.
Preuve : . Soit w une racine primitive 8-ième de l'unité dans C. Alors clairement
w 4 == -1, soit w 2 == -w- 2 . On a donc (w + W- 1 )2 == w 2 + w- 2 + 2 == 2. Ainsi
V2 == =F(w + w- 1 ) E Q(w), donc Q(V2) C Q(w). Remarquons qu'on a aussi i E Q(w)
(car w 2 == =Fi), donc Q(i, V2) C Q(w).
. Soit p un nombre premier impair. Soit w une racine primitive p-ième de l'unité dans C. On
considère les sommes de GAUSS s( a) = 2:::xEIF; () Wax, pour a E IF;. On a s(l) E Q(w),
et (XII.24) (s(1))2 = ( l ) P = (_1){p-l)/2 p . Donc .jP = =f s (l) ou v'P = =fis(l),
donc v'P E Q(w) ou v'P E Q(i,w). Donc Q(.jP) C Q(w) ou Q(.jP) C Q(i,w).
. Soit d E Z\ {O, 1}, d libre de carrés. On ad == =F2O:p1 . . . Pr, où a vaut 0 ou 1, a+r > 0,
et les Pj premiers impairs distincts. Donc Q( Vd) C Q( i, V2, .JPï, . . . , Vfi;). Par
conséquent d'après l'étude précédente et vu VI. 1 8, Q( Vd) C Q(1U m ), où rr == 8P1 · . . Pro
Proposition XII.30 [Test de PÉPIN (1877)]. - Soit n E N*. Fn est premier si, et
seulernent si, 3(F n -1)/2 + 1 = O[mod. Fn].
Preuve: Remarquons que 2 2 = 1 [mod. 3], donc (Vk E N, 2 2k = 1 [mod. 3]), donc
Fn = 2[mod. 3], donc Fn et 3 sont premiers entre eux.
. Supposons 3(F n -1)/2 + 1 = O[mod. Fn]. Notons w l'ordre de 3 dans U(Z/ FnZ).
(3)(F n -1) = (_1)2 == 1, donc wlFn - 1. Si w diviseur strict de Fn - 1, on a puisque
(3)W == 1, (3) (Fn -1)/2 == 1, soit 3(F n -1)/2 + 1 == 2[mod. Fn]. Ainsi l'ordre de 3 dans
U(Z/ FnZ) est Fn - 1, donc IU(Z/ FnZ)1 == Fn - 1, donc (1.12) Fn est premier.
eSiFnestpremier,d'aprèslaloideréciprocitéquadratique, ( ;J = (_1){Fn- 1 )/2 ( n ).
Or (Fn -1)/2 est pair, donc ( ;J = (lf-). Or Fn = 2[mod. 3], donc (lf-) = (). Donc
( ;J = -1. Or 3{Fn- 1 )/2 = ( ;J [modo Fn]. Donc 3{F n -l)/2 + 1 = O[mod. Fn].
REMARQUE XII.31. - Le théorèlne précédent est un cas particulier du théorème
suivant:
Théorème XII.32 [KRONECKER-WEBER]. - Si le corps cornmutatif K est une
extension de degré fini abélienne (c'est-à-dire galoisienne finie de groupe de Galois
abélien) de Q, alors il existe 71 E N* \ {1} tel que K C Q(1U m ).
On trouve une démonstration de ce théorème dans le livre de P.Ribenboim "Algebraic
Numbers" (voir bibliographie).

156
CH. XII. RACINES DE L'UNITÉ
3. Exercices
(XII-l) - Soient p et q deux nombres premiers distincts. Montrer qu'il existe une racine primitive q-ième de
l'unité dans IF pq-l.
(XII-2) - Dans quelles extensions Q( Vd), d E Q, y-a-t-il des racines de l'unité autres que 1 et -1 ?
(XII-3) - Soit w E C racine primitive d-ième de l'unité, où d > 1, et soit k = Q(w). Démontrer que les racines
de l'unité appartenant à k sont:
- les racines d-ièmes si d est pair.
- les racines 2d-ièmes si d est Ï111pair.
(Indication: Considérer le groupe G = J..Loo (k) des racines de l'unité dans k. Montrer que G estfini. Si IGI = n,
prendre une racine primitive n-ième ex de l'unité, et remarquer que Q(ex) C Q(w).
(XII-4) - Soit p un nombre premier impair. Montrer que le corps cyclotomique Q(U p ) a un unique sousorps
E qui soit une extension quadratique de Q. Montrer que E est réel (c'est-à-dire E C IR) ou non réel selon que
p est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
(XII-S) - Si pin, 4>n IF (X) n'a aucun sens, mais on peut étudier le réduit modulo p de 4>n Z(X), que l'on note
1 p 1
4>n (X).
Montrer que si pin, 4>n (X) est réductible sur IFp, sauf, éventuellement, si p = 2 et n = 2qm, avec q premier
impair. En déduire une généralisation du théorème XII.I5.
(XII-6) - On considère le nombre p = 1093. Montrer que p est un nombre premier. Montrer que 2 P - 1
l[mod. p2]. (On pourra montrer, successivement, les égalités suivantes dans Z/p2Z : 3 14 = 4p + 1,
3 2 2 26 = -469p - 1, 3142182 = -4p - 1, 2 182 = -1). Montrer que 4> p 2 IF (X) est réductible sur
1 2
IF2.
(XII-7) - Quels sont les nombres premiers p tels que ( 5 ) = 1 ?

CHAPITRE XIII
NOTIONS DE THÉORIE DES GROUPES
La théorie de Galois permet, on l'a vu, d'établir une correspondance entre sous-corps
et sous-groupes du groupe de Galois. Nous donnons dans ce chapitre un certain nombre
de résultats de théorie des groupes, que nous serons amenés à utiliser, au moyen de la
correspondance de Galois, par la suite.
On a vu au chapitre XI qu'en suivant la façon dont les divers automorphismes échangent les
racines d'une équation, on obtient une représentation du groupe de Galois d'une équation
par un groupe de permutations. On étudie donc le groupe symétrique, en vue de démontrer
le théorème affirmant la simplicité du groupe alterné An pour n > 5. C'est là le résultat
majeur de ce chapitre.
Dans tout le chapitre, G désigne un groupe noté multiplicativement, e désigne le neutre de
G. On note < X > le sous-groupe engendré par X.
1. Suites normales, suites de composition
Définition XIII.I. - Une suite normale de G est une suite finie décroissante
(Gi)O<i<n de sous-groupes de G vérifiant:
:- Go == G et G n == {e}
- Vi E [0, n - 1], G i + 1 est un sous-groupe distingué (=normal) de G i .
REMARQUE XIII.2. - Terminologie: Les sous-groupes Go, . . . , G n sont appelés les
termes de la suite. Les groupes quotients Go/G 1, G 1/ G 2 , . . · , G n - 1 / G n sont appelés
les facteurs de la suite normale.
REMARQUE XIII.3. - Il n'y a aucune raison pour que les G i , i E [2, n - 1], soient
distingués dans G. En effet, la propriété" (A <] B et B <] C) =} A <] C" est fausse.
Définition XIII.4 [Raffinement d'une suite normale]. - Soient S == (G == Go =:)
. .. =:) G n == {e}) et S' == (G == G' a =:) .. . =:) G' m == {e}) deux suites normales de
G. On dit que S'est un raffinelnent de S si, et seulement si, tout terme de S est
un terme deS', soit si, et seulement si, {G O ,G 1 ,...,G n } C {G'O,G'l,...,G'm}'
Définition XIII.S. - Une suite de composition de G est une suite normale strictement
décroissante {e} == G n ; G n - 1 ; . . . ; Go == G de G. L'entier n est alors appelé la
longueur de la suite de composition.
REMARQUE XIII.6. - Si G =1= {e}, à partir d'une suite normale, il est facile de
fabriquer une suite de composition (il suffit de supprimer les termes" en trop").
EXEMPLES XIII.7. - a.) Soit G un groupe non réduit à {e}. {e} == G 1 ;G o == G
est une suite de composition de longueur 1 de G. Toute suite normale de G est
un raffinement de cette suite. De plus, si G est simple, c'est la seule suite de
composition de G qui existe. (On rappelle que G est dit simple si, et seulement si,
ses seuls sous-groupes distingués sont {e} et G).
b) Pour n > 3, {id}; An ; Sn est une suite de composition de longueur 2 de Sn.

2. Suite dérivée d'un groupe
Définitions XIII.S. - - Pour (x, y) E G 2 , xyx- 1 y-l est noté [x, y] et appelé le
commutateur de x et y. (Il vaut e si, et seulement si, x et y commutent).
- Soient H et K deux sous-groupes de G. On appelle sous-groupe des commuta-
teurs de H et K, et on note [H, K], le sous-groupe de G engendré par les [h, k],
(h,k) EH x K. [Ii,K] ==< {[h,k],h E H,k E K} >.
- En particulier, [G, G] est appelé groupe des commutateurs de G, Oll groupe dérivé
de G, et souvent noté D(G).
REMARQUES XIII.9. - Ve E G, [x, e] == [e, x] == [x, x] == e;
et V(x, y) E G 2 , [x, y]-l == yxy- 1 x- 1 == [y, x].
Lemme XIII.IO. - Soient H et K deux sous-groupes de G. Alors:
(i) [H, K] == [K, H]
(ii) VG ' groupe, Vf E Hom(G, G ' ), f([H, K]) == [f(H), f(K)]
(iii) H <] G et K <] G => [H, K] <] G
(iv) (corollaire) D(G) == [G, G] <] G
(v) K C Nc(H) => [H, K] C H
(vi) [H, H] C H.
Preuve: (i) Il découle de la remarque précédente que, pour chaque (h, k) E H x K,
[h, k] == [k, h]-l E [K, H] et [k, h] == [h, k]-l E [H, K],
Par conséquent [H, K] C [K, H] et [K, H] C [H, K].
(ii) Remarquons que (V(a, b) E G 2 , f([a, b]) == [f(a), f(b)]). Notant S == {[h, k], h E
H, k E K} et S' == {[a, b], a E f(H), b E f(K)}, il vient: f(S) == S'. Donc
f([H, K]) == f( < S » ==< f(S) >==< S' >== [f(H), f(K)].
(iii) Soit f un automorphisme intérieur de G. Vu (ii), f([H, K]) == [f(H), f(K)]. Or
H <] G et K <] G, donc f(H) == H et f(K) == K. Donc f([H, K]) == [H, K]. Ainsi
[H, K] <] G.
(iv) résulte de (iii) et du fait que G <J G.
(v) Si 1< C Nc(H) == {z E Gjz- 1 Hz == H}, alors pour tout (h,k) de H x K,
[h, k] == h(kh- 1 k- 1 ) E H, donc [H, K] C H.
(vi) résulte de (v) et de ce que pour chaque H sous-groupe de G, H C Nc(H).
Proposition XIII.II. - a) G est abélien (==commutatif) <===} D(G) == {e}.
b) Pour H sous-groupe distingué de G, Gj H abélien <===} D(G) C H. (Ainsi D(G)
est le plus petit sous--groupe disting'ué de G tel que le quotient soit abélien).
Preuve: a) est évident.
b) Déterminons l'ensemble C des COlTImutateurs dans G j H, Le. l'ensemble
C == {xyx- 1 y-l, (x, y) E (Gj H)2}.
Soit (x, y) E (Gj H)2 : il existe (a, b) E G 2 tel que x == aH et y == bH. Alors (loi
quotient. . .) x- 1 == a- 1 H et y-l == b- 1 H, donc [x, y] == xyx- 1 y-l == aba- 1 b- 1 H ==
[a,b]H. Par suite, C == {[a,b]H, (a,b) E G 2 }.
Donc: (GjH) est commutatif <=> D(GjH) == {H} <=> C == {H} <=> V(a,b) E
G 2 , [a, b]H == H <=> V(a, b) E G 2 , [a, b] EH<=> D(G) C H.
Proposition XIII.12 [et définition]. - On définit la suite (Di(G))iEN par:
Do(G) == G, et Vi E N, Di+l(G) == D(Di(G)) == [Di(G), Di(G)]. (En particulier
D 1 (G) == D(G)).
a) Vi E N, Di(G) <] G

9 3. Groupes résolubles
159
b) La suite (Di(G))iEN est décroissante
c) Vi E N, Di(G)/ Di+l (G) est abélien.
Preuve: a) Immédiat par récurrence sur i en utilisant (iii) du lemme précédent.
b) Conséquence immédiate de (vi) du lemme précédent.
c) Conséquence immédiate de b) de la proposition précédente.
3. Groupes résolubles
Définition XIII.13. - Une suite abélienne de G est une suite normale de G dont
tous les facteurs sont commutatifs. Une suite de composition abélienne de G est une
suite de composition de G dont tous les facteurs sont cOlnmutatifs.
Théorème XIII.14 [et définition]. - Soit G un groupe. Les conditions suivantes
sont équivalentes:
a) G admet une suite abélienne, c'est-à-dire 3{ e} == G n <] G n - 1 <] . . . <] Go == G avec
(Vi E [0, n - 1], G i /G i + 1 abélien)
b) (Si G =1= { e }) G admet une suite de composition abélienne, c'est-à-dire
3{ e} == G n ; G n - 1 ; .. . ; Go == G avec (Vi E [0, 'n - 1], G i /G i + 1 abélien)
c) Il existe n E N tel que Dn(G) == {e}
d) Il existe une suite finie décroissante (Gi)O<i<n de sous-groupes de G véri1J.ant .'
- Go == G et G n == {e} - -
- Vi E [0, n], G i est un sous-groupe distingué de G
- Vi E [0, n - 1], G i /G i + 1 abélien
Lorsqu'elles sont vérifiées, on dit que G est un groupe rés 0 lubie .
Preuve : d) =} a) est trivial.
b) =} a) est évident (une suite de composition abélienne est une suite normale abélienne) .
a) =} b) est facile (Si G =1= {e}, à partir d'une suite normale abélienne, il est facile de
fabriquer une suite de composition abélienne (supprimer les termes "en trop"».
a) =} c) Si on a une suite abélienne comme au a), alors, d'après XIII. 1 1 :
Vi E [0, n - 1], D(G i ) C G i + 1 . On montre alors par récurrence (finie) sur i E [0, n] la
propriété P(i) = " Di (G) C G/'.
- P(O) est vraie car Do(G) == G == Go.
- Si pei) est vraie, soit Di(G) C Gi, alors D(Di(G)) C D(G i ), soit Di+l(G) C D(G i ),
d'où, puisque D(G i ) C G i + 1 , Di+l (G) C G i + 1 et pei + 1) est vraie.
Finalement Dn(G) C G n == {e}, soit Dn(G) == {e}.
c) =} d) D'après XIII. 12, la suite (Di(G))iEN est décroissante et vérifie:
Vi E N, Di(G) <] G et Di(G)/Di+l(G) est abélien. Donc si Dn(G) {e}, la suite
(Di (G) )Oin vérifie d).
Proposition XIII.15. - Tout groupe abélien est résoluble.
Preuve : Soit G un groupe abélien. Alors (XIII. 1 1 -a» D( G) == {e}, donc (théorème
précédent, c» G est résoluble. [Autre démonstration, si l'on préfère: alors {e } <] G est une
suite abélienne, donc (théorème précédent, a» G est résoluble].
Théorème XIII.16. - Soit G un groupe.
1) Si G est résoluble, alors tout sous-groupe de G est résoluble, et si H est un
sous-groupe distingué de G, G / H est résoluble.
2) Réciproquement si H est un sous--groupe distingué de G, et si H et G / H sont
résolubles, alors G est résoluble.

160
CH. XIII. NOTIONS DE THÉORIE DES GROUPES
Preuve : 1) Supposons G résoluble.
. Soit H un sous-groupe de G. Montrons par récurrence sur i E N la propriété D(i)= "
Di(H) C Di(G)".
- D(O) est vraie car Do(H) == H C G == Do(G).
-Si D(i) est vraie, soit Di(H) C Di(G),alorsD(Di(H)) C D(D i (G)),soitD i + 1 (H) C
Di+1 (G), et D(i + 1) est vraie.
Comme G résoluble, il existe n E N tel que Dn(G) == {e}. Il vient Dn(H) == {e}, donc
H est résoluble.
. Soit H un sous-groupe distingué de G. Notons s : G  G 1 H la surjection canonique.
Montrons par récurrence sur kEN la propriété
P(k) = "D k (G 1 H) == S(Dk (G) )".
- P(O) est vraie car Do(GI H) == GI H == s(G) == s(Do(G)).
- Supposons P(k) vraie, Î.e. Dk(S(G)) == S(Dk(G)).
Alors Dk+l (s(G)) == [Dk(S(G)), Dk(S(G))] == [S(Dk(G)), S(Dk(G))] est égal, d'après
XIII. IO-(ii), à S([Dk(G), Dk(G)]), c'est-à-dire à S(Dk+l(G)), et P(k + 1) est vraie.
Comme G résoluble, il existe n E N tel que Dn (G) == {e}.
Il vient Dn (G 1 H) == s(Dn (G)) == s( {e}) == {H}, donc G 1 H est résoluble.
2) Soit H un sous-groupe distingué de G, avec H et G 1 H résolubles. Comme G 1 H
résoluble, il existe n E N tel que Dn(GI H) == {H}. Or Dn(GI H) == s(Dn(G)), donc
s(Dn(G)) == {H}, c'est-à-dire Dn(G) C H.
On montre alors facilement par récurrence que: Vk E N, Dn+k(G) C Dk(H). Or H est
résoluble, donc il existe q E N tel que Dq (H) == {e}. II vient D n + q ( G) == {e}, donc G
est résoluble. 0
4. Groupes simples. Applications
Définition XIII.17. - Soit G un groupe. On dit que G est un groupe simple si, et
seulement si, G =1= {e} et les seuls sous-groupes distingués de G sont {e} et G.
Proposition XIII.lS. - Soit G un groupe abélien. G est simple <===> il existe p E JP>
tel que G est isomorphe à ZlpZ.
Preuve: [Ç::] S'il existe p premier tel que G soit isomorphe à ZlpZ, alors d'après le
théorème de Lagrange, les seuls sous-groupes de G sont {e} et G.
[=}] Supposons G abélien simple. Fixons x E G \ {e}. Le sous-groupe < x > engendré
par x est distinct de {e}, et distingué dans G car G est abélien. Comme G est sirriple,
< x >== G. G n'est pas isomorphe à Z, car Z ayant des sous-groupes distingués non
triviaux (par exemple 2Z) n'est pas simple. Ainsi G est cyclique: il existe pEN, avec
p > 2, tel que G est isomorphe à ZlpZ. D'après 1.22, p est premier.
Proposition XIII.19. - Soit G un groupe résoluble. G est simple <===> il existe
p E JP> tel que G est isomorphe à ZlpZ.
Preuve: [Ç::] cf. proposition précédente.
[=}] Supposons G résoluble simple. G est simple et (XIII. IO-(iv» D( G) est un sous-
groupe distingué de G. On a donc ou bien D(G) == G, ou bien D(G) == {e}. Le premier
cas est exclu, car on aurait alors (récurrence immédiate) : Vn E N, Dn(G) == G; donc
(Vn EN, Dn (G) =1= {e}) : contredit G résoluble.
Ainsi D( G) == {e}, donc (XIII. Il-a» G est abélien. On applique alors la proposition
précéden te.

3 5. Groupes simples. Applications
161
Lemme XIII.20 [Théorème d'isomorphisme d'E. NOETHER]. - Soient G un groupe,
N un sous-groupe distingué de G, s : G  G / N la surjection canonique. On
note N l'ensemble des sous-groupes de G qui contiennent N, et Q l'ensemble des
sous-groupes de G/N. L'application N  Q, U  s(U) == U/N est une bijection
croissante, on a pour U EN: (U <JG <===? s(U) <JG / N); et pour un tel sous-groupe
U, G/U est isomorphe à (G/N)/s(U).
Preuve: . Notons f l'application N  Q, U  s(U).
s(U) == s(V) entraine (Vu E U, 3v E V t.q. v-lu E N C V), et permutant les l'oIes
V C U, donc U == V.
Pour T E Q, s-l(T) est un sous-groupe de G contenant N, c'est-à-dire un élément de
N, avec bien sur f(s-l(T)) == s(s-l(T)) C T. D'autre part si t == xN E T, t == s(x)
... avec alors x E s-l(T), donc t == s(x) E s(s-l(T)). Ainsi f(s-l(T)) == T.
A ce stade f est bijective, et la bijection réciproque est l'application Q  N,
T  s-l (T). f et f- l sont clairement croissantes.
. Soit U E N.
U <JG Ç} Vg E G, gUg- l == U => Vg E G, s(g)s(U)(s(g))-l"== s(U) Ç} s(U) <JG/N.
Réciproquement supposons s(U) <J G / N. Notons S la surjection canonique de G / N dans
(G / N) / s(U). Alors cp == Sos est un homomorphisme de groupes surjectif de G dans
(G/N)/s(U), et x E ker(cp) Ç} S(s(x)) == s(U) Ç} s(x) E s(U) <=> x E s-l(s(U)). Or
s étant surjective, s-l(s(U)) == U. Ainsi ker(cp) == U, donc U, noyau d'un morphisme
de groupes, est distingué dans G. La décomposition canonique du morphisme cp montre
que G/U est isomorphe à (G/N)/s(U).
Théorème XIII.21. - Soit G un groupe fini non réduit à {e}. G est résoluble
<===? il existe une suite normale {e} == Hm i Hm-l i . . . i Ho == G avec (Vi E
[0, m - 1], Hi/ Hi+l est cyclique d'ordre premier).
Preuve : . [<=] est clair, car une telle suite est une suite de composition abélienne.
. Démontrons [=>] par récurrence sur l'ordre N de G.
- Pour N == 2 ou 3, c'est trivial (la suite {e} i G convient).
- Supposons la propriété vraie jusqu'à l'ordre N -1, où N > 4. Soit G un groupe résoluble
d'ordre N.
Ou bien G est simple, donc puisqu'il est résoluble, G est cyclique d'ordre premier, et la
suite {e} i G convient.
Ou bien G n'est pas simple, on prend alors un sous-groupe distingué H distinct de {e}
et de G : {e} i H i G. Comme G est résoluble, H et G / H sont résolubles. Comme
{e} =1= H =1= G, les ordres de H et de G / H sont dans [2, N - 1], et on peut appliquer
l' hypothèse de récurrence: il existe une suite normale {e} == Ap i Ap-1 i . . . i Ao == H
de H telle que (Vii E [0, p-1], Ai/ Ai+1 est cyclique d'ordre premier), et il existe une suite
normale {ë} == C q i C q - 1 i . . . i Co == G / H de G / H telle que (Vi E [0, q-1], C i /C i + 1
est cyclique d'ordre premier).
Des applications successives du théorème d'isomorphisme d'E, NOETHER (en commençant
par CI <J Co ..) fournissent une suite H == Bq <J Bq-1 <J . . . <J BI <J Ba == G telle que
(Vi E [0, q - 1]), Bi/ Bi+1 est isomorphe à C i /C i + 1 , donc est cyclique d'ordre premier.
Il suffit alors de poser m, == p + q, et Hi == Bi pour i E [0, q - 1] et Hi == A i - q pour
i E [q, q + p], pour avoir une suite normale de G qui vérifie la condition annoncée. Ainsi
la propriété est vraie à l'ordre N.

162
CH. XIII. NOTIONS DE THÉORIE DES GROUPES
5. Groupes symétriques
Commençons par quelques rappels sans démonstration : le lecteur pourra consulter son
cours de premier cycle favori.
Définitions XIII.22. - Pour n E N*, l'ensemble Sn des bijections de [1, n] dans
lui-même (permutations de [1, n]), nluni de la loi 0 de composition des applications,
est un groupe appelé le groupe symétrique d'indice n.
Sn est fini d'ordre nI. SI == {id}, aussi dans la suite de ce rappel on suppose n > 2.
L'application € : Sn ---+ {-l, 1}, (J 1---7 I1i<j (T(i=;(j) est un homomorphisme de
groupes, appelé la signature. Son noyau ker(€) est un sous-groupe d'indice 2 (donc
d'ordre n!/2), on le note An et on l'appelle le groupe alterné d'indice n.
Un k-cycle, ou cycle de longueur k est d'ordre k et de signature (_1)k-1.
Sn est engendré par l'ensemble des transpositions (==2-cycles). Chaque élément de
Sn \ {id} s'écrit, de manière unique à l'ordre près des facteurs, comme produit de
cycles disjoints.
Proposition XIII.23. - Le centre Z(A n ) du groupe alterné d'indice n est égal à
An si n E {2,3}, et à {id} si n > 4.
Preuve: - Si n == 2, A 2 == {id} donc Z(A 2 ) == {id} == A 2 .
- Si n == 3, A3 est d'ordre 3 donc isomorphe à Z/3Z donc abélien, donc Z(A 3 ) == A3.
- Si n > 4 : soit f E An \ {id}. Alors il existe i E [1, n] tel que f(i) i= i. On fixe j et
k dans [1, n] tels que i, j, k, f (i) soient tous distincts (ce qui est loisible puisque n > 4).
Alors f(ijk)f-l == (f(i)fCi)f(k)) i= (ijk) car f(i)  {i,j, k}. f ne commute pas avec
le 3-cycle (ijk), élément de An. Donc f  Z(A n ).
Lemme XIII.24. - Pour n > 3, le groupe alterné An est engendré par les 3-cycles
de la forme (12i), i E [3, n].
Preuve: . Si n == 3, notant c == (123), on a (213) == c 2 = c- 1 , id = cO == c 3 , et
A3 = {cO, CI , c 2 } .
. Supposons n > 3. Soit a E An. On peut écrire a comme produit d'un nom-
bre pair de transpositions : a = tl'" t2p. Notant a = (12), il vient : a ==
(t 1 a) (at2) (t3 a) . . . (t2p-l a) ( at2p). Montrons que pour toute transposition t, ta et at
sont des produits de cycles du type (12i). Soit t une transposition: t == (ij), où i < j.
- Si i == 1 et j = 2, t = a donc ta == at = a 2 = id = (123)2.
- Si i = 1 et j > 2, ta = (lj)(12) == (12j), et at = (12)(lj) = (lj2) == (12j)2.
- Si i = 2, ta = (2j) (12) == (lj2) == (12j)2, et at = (12)(2j) = (12j).
- Si i > 2, ta = at = (12)(ij) = (ij)(12) = (12i)(21j)(12i) (il suffit de vérifier que
1,2, i, j ont même image par ces permutations), or (21j) == (12j) -1 = (12j)2, donc
ta = at = (12i)(12j)2(12i).
Corollaire XIII.25. - Pour n > 3, le sous-groupe de Sn engendré par les cycles
d'ordre 3 est An.
Preuve : Notant G le sous-groupe de Sn engendré par les 3-cycles, comme tout 3-cycle
est une permutation paire G C An, et d'après le lemme précédent An C G.
Lemme XIII.26. - Soit n E N avec n > 5. Si H <] An et si H contient un 3-cycle,
alors H = An.
Preuve: Soit (ij k) un 3-cycle de H. Nous allons montrer que:
Vr E [3, n], (12r) E H. D'après le lemmme précédent, cela entraine H = An. Soit
a E Sn tel que a(i) == 1, a(j) = 2, et a(k) == r.

9 5. Groupes symétriques
163
. 1er cas: a E An. Comme H <J An, il vient (12r) == a(ijk)a- l E H.
. 2ème cas : a  An. Comme n > 5, on peut fixer l et m tels que i, j, k, l, rn
soient 5 éléments distincts de [1, n]. Alors (ij k) et (lm), cycles de supports disjoints,
commutent. Posons a' == a(lm). Alors a' E An et (a') -1 == (lrr )a- l . Comme H <J An,
a' ( i j k ) ( a') -1 EH.
Ora'(ijk)(a,)-l == a(lm)(ijk)(lm)a- l == a(ijk)a- l == (12r). Ainsi (12r) E H.
Lemme XIII.27. - Soit n E N avec n > 5. Si H <J An et si H contient un produit
de 2 transpositions distinctes, alors H == An.
Preuve: Soit (ij) (kl) un produit de 2 transpositions distinctes, élément de H. Comme
( i j) i= (k l), Card ( { i, j, k, l}) > 2.
. 1er cas: Card( {i, j, k, l}) == 3.
Quitte à changer les noms, on peut supposer: l == j, et k  {i, j}. Il vient (ij) (j k) == (ij k),
donc H contient un 3-cycle, donc (lemme précédent) H == An.
. 2ème cas: Card( i, j, k, l) == 4 (<===? i, j, k, l tous distincts..).
Comme n > 5, on peut fixer m tel que i, j, k, l, m soient cinq éléments distincts de
[1, n]. Alors (i j ) ( k l) ( i j m ) ( i j) ( k l) ( i j m ) - 1 == (i j) ( k l) ( i j m ) ( i j ) ( k l) ( m j i) == (i j m ) .
Or (ij)(kl) E H, donc, puisque H <J An, (ijm)(ij)(kl)(ijm)-l E H, donc H contient
le 3-cycle (ijm), donc (lemme précédent) H == An.
Théorème XIII.28. - Soit n E N avec n > 5. Le groupe alterné An est simple.
Preuve: Soit H un sous-groupe distingué de An, avec H i= {id}. Soit a E H \ {id}. a
a une décomposition en produit de cycles disjoints: a == CI . . . Cr, OÙ (V j E [1, r]) Cj est
un cycle de longueurl(cj), et l(Cl) > l(C2) > ... > l(c r ).
Nous sommes alors dans un et un seul des quatre cas suivants:
- cas A : tous les Cj sont des transpositions.
- cas B : CI est un 3-cycle et pour j E [2, r], Cj est une transposition.
-casC:l(cl»3.
- cas D : l(Cl) == l(C2) == 3.
.A)Notonscl == (ij)etc2 == (kl).Commea E HetH<JA n , (jkl)a(jkl)-la- l EH.
Or, comme des cycles disjoints commutent, on a: (jkl)a(jkl)-la- l ==
(j kl)a( lkj)a -1 == (j kl) (ij) (kl)C3 . . . Cr (lkj)c; 1 . . . c 3 1 (kl) (ij) ==
(j k l) ( i j ) ( k l) ( l k j ) ( k l) ( i j) == (i l) (j k ) .
Ainsi H contient (il) (jk), produit de 2 transpositions distinctes, donc (lemme précédent)
H == An.
. B) Comme des cycles disjoints commutent, on a a 2 == cIc . . . c;. D'où, comme le carré
de toute transposition est id, a 2 == CI. Or CI est un 3-cycle (ij k), donc cI est aussi un
3-cycle (( ikj) ). Ainsi H contient le 3-cycle a 2 == CI, donc (XIII.26) H == An.
. C) Notons CI == (Xl", X p ), où p > 3. Comme a E If et H <J An, C ==
(X1x2x3)a(xlx2x3)-la-l E H. Or d'une part les Cj, cycles disjoints, commu-
tent entre eux; d'autre part chacun des cycles Cù pour i E [2, n], est disjoint
des cycles (XlX2X3) et (X1X2X3)-1 == (XlX3X2) donc commute avec eux. Il vient
C == (X1X2X3)Cl (X1X3X2)Cl-1 == (XlX2X3)(Xl... Xp)(XlX3X2)(XpXp-l .. . Xl)
(X1X2X4). Ainsi Ji contient le 3-cycle (XlX2X4), donc (XIII.26) H == An.
. D) Notons CI == (ijk) et C2 == (lmp). Comme a E H et H <J An, C
(jkl)a(jkl)-l a - 1 E H. Or d'une part les c q , cycles disjoints, commutent entre eux;
d'autre part chacun des cycles c q , pour q E [3, n], est disjoint des cycles (j kl) et (j kl) -1 ==

164
CH. XIII. NOTIONS DE THÉORIE DES GROlJPES
(jlk) donc cOlnmute avec eux. Il vient c == (jkl)(ijk)(lrnp)(jlk)(ijk)-l(lmp)-l ==
(jkl)(ijk)(lmp)(jlk)(ikj)(lTJm) == (iljkrn). Ainsi H contient le 5-cycle (iljkrn), donc
nous sommes ramenés au cas précédent C, donc H == An. D
Proposition XIII.29. - Vn E N avec n > 2, D(Sn) == An.
Preuve: . Comme la signature € est un morphisme de Sn dans ({ -1, l}, x) et que ce
groupe est commutatif, on a pour (x, y) E Sn X Sn :
€([x, y]) == €(xyx- 1 y-1) == €(x)€(y)(€(x))-l(€(y))-l == €(x)(€(X))-l€(y)(€(y))-l ==
1. Par suite: V(x, y) E Sn X Sn, [x, y] E An. Donc D(Sn) C An.
. - S2 est d'ordre 2 donc isomorphe à Z/2Z donc abélien, donc D(S2) == {id}, donc
D(S2) == A 2 .
- Supposons n > 3. Soit (abc) un 3-cycle. Alors:
(abc) == (abc)-l(bc)(abc)(bc)-l == [(abc)-l, (bc)], donc (abc) E D(Sn)'
Comme les 3-cycles engendrent An, il vient An C D(Sn)'
Proposition XIII.30. - Vn E N avec n > 5, D(An) == An.
Preuve directe : Soit (abc) un 3-cycle. Comme n > 5, on peut fixer d et e tels que
a, b, c, d, e soient 5 éléments distincts de [1, n]. Alors (de) commute avec (abc) et avec
(bc), doc (abc) == (abc) -1 (bc) ( abc) (bc) -1 == (abc) -1 (bc) ( de ) ( abc) { (bc) ( de ) } -1 ==
[( abc) -1 , (bc) ( de )], donc (abc) E D (An). Comme les 3-cycles engendrent An, il vient
An C D(A n ), soit An == D(A n ).
Preuve utilisant XIII.28: n > 5, donc (XIII.28) An est simple. Comme D(An) <] An, on
a donc D(An) == {id} ou D(An) == An. Or D(An) == {id} équivaut (XIII.l1-a» à An
commutatif, ce qui est faux pour n, > 4 comme on l'a vu au XIII.23.
Proposition XIII.3I. - D(A 4 ) est le sous-groupe
V == {id, (12) (34), (13) (24), (14) (23) }
de A4.
REMARQUE XIII.32. - V est isomorphe au groupe de Klein (Z/2Z) x (Z/2Z), donc
abélien (la lettre V est l'abrévia.tion de Vierergruppe).
Preuve : Remarquons que les 12 éléments de A4 sont : l'identité; huit 3-cycles; trois
produits de deux transpositions disjointes (12)(34), (13)(24), (14)(23). Soit b une de ces
trois "bitranspositions": Vf E 8 4 , fbf-1 E A 4 , et fbf-1 a même ordre que b, c'est-à-
dire 2, donc fbf-1 est aussi une ''bitransposition''. Ainsi V <] S4. A fortiori V <] A4. A 4 /V
est d'ordre 3, donc isomorphe à Z/3Z, donc abélien. Donc (XIIt"ll-b» D(A4) C V. Donc
D(A 4 ) est d'ordre 1,2 ou 4.
Mais 1 D (A4) 1 == 1, soit D (A4) == {id}, équivaut (XIII.l1-a» à A4 abélien, ce qui est faux
(XIII.23 ).
Et si ID(A 4 ) 1 == 2, D(A 4 ) == {id, b} où b est une des 3 "bitranspositions" : comme
D(A 4 ) <] A 4 , et comme les 3 "bitranspositions" sont conjuguées dans A4 (comme le
prouvent les formules: (132)(12)(34)(132)-1 == (13)(24) et (123)(12)(34)(123)-1 ==
(14)(23), cela est impossible.
Ainsi ID(A 4 )1 == 4, et D(A 4 ) == V.
Théorème XIII.33. - Pour n E [1, 4], Sn est résoluble. Pour n > 5, Sn n'est pas
résoluble.
Preuve : . Le cas n == l est trivial.
. Pour n == 2, S2 est d'ordre 2, donc isomorphe à Z/2Z, donc abélien, donc résoluble
(D(S2) == A 2 == {id}).

9 6. Sous-groupes de Sylow
165
. Pour n == 3, on a (XIII.29) D(S3) == A 3 , or A3 est d'ordre 3, donc isomorphe à Z/3Z
donc abélien, donc D(A 3 ) == {id}. Ainsi D 2 (S3) == {id}, et S3 est résoluble.
. Pour n == 4, on a (XIII.29) D(S4) == A 4 , puis (proposition précédente) D(A 4 ) == V. Or
V est abélien, donc D (V) == {id}. Ainsi D3 (S4) == {id}, et S4 est résoluble.
. Pour n > 5, il résulte de XIII.29 et XIII.30 que (\lp E N*, Dp(Sn) == An), donc
(\lp EN, Dp(Sn) t= {id}), et Sn n'est pas résoluble.
6. Sous-groupes de Sylow
Proposition XIII.34. - Soit G un groupe abélien fini. Soit p un diviseur premier
de IGI. G possède au moins un élément. d'ordre p.
Preuve: Montrons par récurrence sur n > 21a propriété D(n) =" Si G abélien fini d'ordre
TL, pour tout p diviseur premier de n, G possède au moins un élément d'ordre p ".
- Clairement pour chaque p E JP>, DCP) est vraie.
- Supposons que: \lj E [2, n - 1], D(j) est vraie. Soient G abélien fini d'ordre n et p
diviseur premier de n. Si 7L est premier, p == n et G rv Z/pZ, et le résultat est trivial.' On
suppose donc n non premier. D'après XIII. 18, G n'est pas simple. Soit !vI un sous-groupe
propre de G dont l'ordre m est maximal. Soit x E G \ M, et q l'ordre du sous-groupe
< x > engendré par x. M < x > est un sous-groupe de G, et M  M < x >, donc par
maximalité M < x >== G. Or lM < x > 1 == IMII < x > I/lMn < x > 1, donc p
divise mq. Si p divise m, d'après D(m), M possède au moins un élément d'ordre p. Si P
divise q, x q / Pest d'ordre p. Ainsi D( n) est vraie.
Définition XIII.35 [Groupe opérant sur un ensemble]. - Soient G un groupe et
X un ensemble non vide. On dit que le groupe G opère (ou agit) sur l'ensemble X si,
et seulement si, il existe une application G x X  X, (g, x)  g.x, qui vérifie:
(1) \Ix E X, e.x == x
(2) \1 x EX, \1 (g, h) E G 2 , g. ( h. x) == (g h ) . x
REMARQUE XIII.36. - Il est équivalent de dire qu'il existe un morphisme cp de G
dans le groupe S(X) des permutations de X, le lien entre ces deux définitions étant
donné par: \I(g, x) E G x X, g.X == [<p(09)] (x).
Proposition XIII.37 [et définition]. - Soit G groupe opérant sur X ensemble non
vide. La relation binaire R définie sur X par: aRb <===? (3g E G /b == g.a) est
une relation d'équivalence. Pour x EX, la classe d'équivalence selon R de x est
G.x == {g.x, g E G}. On l'appelle l'orbite de x et on la note G.x ou w(x).
Preuve : triviale, laissée au lecteur.
Proposition XIII.38. - Soit G groupe fini opérant sur X ensemble non vide. Soit,
pour chaque x de G, Sx == {g E G/g.x == x} le stabilisateur de x. Sx est un sous-
groupe de G, et le cardinal de l'orbite de x est égal à l'indice de son stabilisateur:
Card(w(x)) == [G : Sx] == IGI/ISxl.
Preuve: On montre facilement que Sx est un sous-groupe de G. Considérons l'application
G -+ w(x), g  g.X. Elle est surjective, et chaque tranche est de la forme gSx donc a pour
cardinallSxl. Donc Card(w(x)) == IGI/IS"xl est égal à l'indice dans G du sous-groupe
Sx stabilisateur de x.
Théorème XiII.39 [BURNSIDE]. - Soient p E JP> et n E N*. Soit G un groupe d'ordre
pn. Alors p divise l'ordre IZ(G)I de son centre Z(G).

166
CH. XIII. NOTIONS DE THÉORIE DES GROUPES
Preuve : On peut supposer G t= Z( G) (ce qui entraine n > 2). On fait opérer G sur
lui-même par conjugaison en posant: g.X == g-lxg. Rappelons l'équation des classes
VII.5 : !1 désignant l'ensemble des classes de conjugaison non réduites à un singleton,
ICI = IZ(G)I + ECEr! l'fIl (somme dans laquelle on prend un et un seul élément x dans
chacune des classes C de !1).
Pour C E f2, on a pour x E C, x  Z(G) soit Sx t= G, soit IGI/ISxl > 1. Or comme
1 GI == pn, il existe (d'après Lagrange..) un naturel m( C) < n tel que 1 Sx 1 == pm( C) ; donc
il existe e( C) E N* tel que IGI/ISx 1 == ])e(C). Ainsi p divise chacun des termes de la
somme ECEr! Ilf . Comme il divise aussi ICI. il divise IZ(C)I. 0
Proposition XIII.40. - Soient p E JP> et n EN. Soit G un groupe d'ordre pn. Il
existe une suite décroissante de sous-groupes distingués de G, {e} == G n C G n - l C
... C G I C Go = G, telle que: Vi E [O,n], IGil == pn-i.
Preuve : p étant fi xé, on procède par récurrence sur n.
- Pour n == 0, c'est trivial.
- Supposons la propriété vraie pour n - 1, où n E N*. Soit G un groupe d'ordre pn.
D'après le théorème de BURNSIDE, p divise IZ(G)I. D'après XIII.34, Z(G) possède au
moins un élément x d'ordre p. Le sous-groupe < x > engendré par un tel élément
est distingué dans G, puisque < x > C Z (G). Le groupe quotient G 1 < x > est
d'ordre pn-l. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe une suite décroissante de sous-
groupes distingués de GI < x >, {ë} == Hn-l C ... C Hl C Ho == GI < x >,
telle que: Vi E [0, n - l],IH i l == pn-1-i. D'après le théorème d'isomorphisme
de NOETHER XIII.20, il existe une suite décroissante de sous-groupes distingués de G,
< x >== G n - 1 C ... C G I C Go == G, telle que: Vi E [O,n - l],G i l < x > rv Hi.
Il vient (Vi E [0, n - 1], IGil == pn-i), et, posant G n = {e}, on voit que la propriété est
vraIe pour n.
Corollaire XIII.41. - Soient p E JP> et n EN. Tout groupe d'ordre pn est réso1ub1e.
Preuve : En effet une suite telle que celle de la proposition précédente est une suite
abélienne, puisque, pour chaque i E [0, n - 1], Gil G i + 1 est d'ordre p donc cyclique donc
abélien.
Définition XIII.42. - Soit G un groupe fini. Soit p un nombre premier, a = vp(n)
l'exposant de p dans la décomposition de n en produit de puissances de nombres
premiers: IGI == pO:m, où m est premier avec p. Un p-sous-groupe de SYLOW de G
est un sous-groupe d'ordre pO: de G.
EXEMPLE XIII.43. - A3 est un 3-sous--groupe de SYLOW de 8 3 ,
Lemme XIII.44. - Soient p E JP> et n E N*. G == GL((JFp)n) possède un p-sous--
groupe de SYLOW.
Preuve : Fixons une base e == (e l, . . . , en) du JF p-espace vectoriel V == (JF p) n. Pour
u E L(V), on a : U E GL(V) <==> (u(el),"', u(e n )) est une base de V. Donc IGI =
nombre de bases de V. Dénombrons les systèmes libres à n éléments de V.
Le premier vecteur étant choisi non nul : pn - 1 possibilités.
Le second, non colinéaire au premier: pn - p possibilités.
Le troisième, non lié aux deux premiers: pn - p2 possibilités.
Le n-ième, non lié aux précédents: pn - pn-l possibilités.

 6. Sous-groupes de Sylow
167
Donc IGI == (pn -l)(pn - p)... (pn - pn-1) == p1+2+...+n-1m == pn(n-1)/2 m , où m
est premier avec p. Considérons l'ensemble S des u E GL(V) dont la matrice dans la base
e est triangulaire supérieure avec des termes diagonaux tous égaux à 1. Clairement S est
un sous-groupe de GL(V), et ISI == pn(n-1)/2. Donc S est un p-sous-groupe de SYLOW
de G.
Lemme XIII.45. - Soit G un groupe fini d'ordre pQm, où p premier, a E N*, et
m premier à p. On suppose que G admet un p-sous-groupe de SYLOW S. Soit H un
sous-groupe de G. Alors il existe a E G tel que (aS a -1 ) n H soit un p-sous-groupe
de SYLOW de H.
Preuve: Notons X l'ensemble des classes à gauche de G selon S, X == {gS, g E G},
et remarquons que le cardinal de X est l'indice du sous-groupe S : Card(X) == [G :
S] == IGI/ISI, donc p ne divise pas Card(X). Faisons opérer G sur X par: V(g, aS) E
G x X, g. (aS) == (ga)S. Le stabilisateur de aS pour cette action est Stabc (aS) == aSa- 1 .
Considérons la restriction de cette opération au sous-groupe H. Le stabilisateur de aS pour
cette action est StabH(aS) == (aSa- 1 ) n H, donc le cardinal de l'orbite wH(aS) de aS
pour cette action est Card(w H (aS)) == [H : StabH (aS)] == IHI/I (aSa- 1 ) n HI. Or les
orbites forment une partition de X, donc la somme des cardinaux des orbites disjointes,
égale à Card(X), n'est pas divisible par p. Donc il existe au moins une orbite dont le
cardinal est premier à p, c'est-à-dire: il existe a E G/IHI tel que l(aSa- 1 ) n HI est
premier avec p. Alors (aSa- 1 ) n H est un p-sous-groupe de SYLOW de H.
Théorème XIII.46 [SYLOW]. - Soit G un groupe fini. Pour tout diviseur p premier
de IGI, G admet un p-sous-groupe de SYLOW.
Preuve: Notons IGI == n == pQm, où p premier, a E N*, et m premier à p. En associant
à chaque g de G l'application J-L(g) de G dans G qui à h associe gh, on définit un
homomorphisme injectif J-L de G dans le groupe S(G) des permutations de G. Comme
Card( G) == IGI == n, S( G) est isomorphe au groupe symétrique Sn d'indice n. Ainsi G
est isomorphe à un sous-groupe de Sn.
Notons V le IF p-e. v. (IF p) n, e == (el, . . . , en) la base canonique de V. En associant à chaque
f de Sn l'application IFp-linéaire p(f) de V dans V qui vérifie (Vi E [1, n], p(f)(ei) ==
e f(i), on définit un homomorphisme injectif p de Sn dans le groupe linéaire GL(V).
Ainsi G est isomorphe à un sous-groupe de GL( (IF p ) n). Par le lemme XIII.44, GL( (IFp)n)
possède un p-sous-groupe de SYLOW. Donc par le lemme précédent, G possède un p-sous-
groupe de SYLOW. 0
Théorème XIII.47. - Soit G un groupe fini. Soient p un nombre premier, n un
naturel. Si pn divise IGI, G possède un sous-groupe d'ordre pn.
Preuve: C'est évident si n == O. Si n t= 0, on prend S un p-sous-groupe de SYLOW de G,
et on applique à S la proposition XIII.40.
Théorème XIII.48 [CAUCHY]. - Soit G un groupe fini. Soit p un diviseur premier
de IGI. G possède au moins un élément d'ordre p.
Preuve : Prendre n == 1 dans le théorème précédent.

168
CH. XIII. NOTIONS DE THÉORIE DES GROUPES
7. Exercices
(XIII-l) - On dit que H est un sous-groupe caractéristique de G si, et seulement si :
Vep E Aut( G), ep(H) = H. Montrer que si un sous-groupe est caractéristique, il est distingué. Montrer que
si H et K sont des sous-groupes caractéristiques de G, alors [H, K] est un sous-groupe caractéristique de G.
Montrer que D( G) est un sous-groupe caractéristique de G. Montrer que: Vi E N, Di (G) est un sous-groupe
caractéristique de G.
(XIII-2) - Soient G et G ' deux groupes, f un homomorphisme de groupes de G dans G ' , H un sous-groupe
distingué de G avec H C ker(f), s : G --+ G / H la surjection canonique. Montrer qu'il existe un unique
homomorphisme j de G / H dans G ' tel que j 0 s = f.
(XIII-3) - Soient G un groupe, A un groupe abélien, ep un homomorphisme de groupes de G dans A. Montrer
que D( G) C ker( ep). En déduire que, si s : G --+ G / D( G) désigne la surjection canonique, il existe un
unique homomorphisme c:p de G / D( G) dans A tel que c:p 0 s = ep.
(XIII-4) - Soient pet q deux nombres premiers. Montrer qu tout groupe d'ordre pq est résoluble.
(XIII-S) - Soit G un groupe. On pose Co (G) = G et (Vi EN, Ci+ 1 (G) = [Ci (G), GD. Montrer que la suite
(Ck (G)) kEN est une suite décroissante de sous-groupes caractéristiques de G. Cette suite est appelée suite
centrale ascendante de G. On dit que G est llilpotent si, et seulement si, il existe n E N tel que C n (G) = {e}.
(XIII-6) - On a vu que, pour p premier et m E N*, tout groupe d'ordre pm est résoluble; et que tout groupe
abélien est résoluble. Plus généralement, montrer que tout groupe nilpotent est résoluble. Montrer, en donnant
un exemple, que la réciproque est fausse.
,....
(XIII-7) - Soit G un groupe fini. Montrer que le groupe dual G de G (cf. exercice 11-9) est isomorphe au groupe
quotient G / D ( G).
(XIII-8) - Montrer qu'un sous-groupe transitif de Sn qui contient une transposition et un (n - 1 )-cycle est égal
à Sn.

CHAPITRE XIV
ÉQUATIONS RÉSOLU BLES PAR RADICAUX
Galois a découvert que la possibilité de résoudre par radicaux une équation est liée a une
propriété du groupe des automorphismes de son corps des racines: en caractéristique zéro,
l'équation est résoluble par radicaux si, et seulement si, le groupe de Galois associé est
résoluble. Ce chapitre est entièrement consacré à la démonstration de ce résultat (XIV.20).
L'instrument majeur de cette démonstration est la correspondance de Galois, présentée au
chapitre XI. Indiquons, très schématiquement, quelles sont les principales étapes:
- Nous étudions d'abord les extensions cycliques, c'est-à-dire les extensions
galoisiennes dont le groupe de Galois est cyclique; puis les extensions par radicaux.
- Le fait que la clôture normale d'une extension par radicaux soit aussi une
extension par radicaux (XIV. 1 3) permet d'avoir l'hypothèse de normalité; en travaillant
en caractéristique 0, on assure la séparabilité.
- Enfin, XIV. 1 8 exprime que, si les racines de l'unité ne sont pas dans le corps de
base, l'on peut les lui adjoindre sans modifier la situation du point de vue de la résolubilité
du groupe de Galois.
Le chapitre s'achève par un exemple concret d'équation non résoluble par radicaux, et un
critère permettant de détecter d'autres exemples de même type.
1. Extensions galoisiennes finies à groupe de Galois cyclique
Proposition XIV.I. - Soit K un corps. Soit n E N*, n non multiple de caract( K).
Soit ç E L (extension de K) une racine primitive n-ième de l'unité. Alors K(ç)j K
est galoisienne finie et Gal(K(ç)j K) est abélien. Si de plus ç  K 1 Gal(K(ç)j K)
est isomorplle à U(ZjnZ).
Preuve: C'est évident si ç E K. On suppose donc ç  K. L'extension K(ç) de K
est normale car K(ç) est corps de décomposition sur K du polynôme X n - 1. Comme
caract( K) An, x n - 1 est séparable. Donc (XI.8) K (ç) j K est galoisienne finie. Soit
g E Gal(K(ç)/ K). g est caractérisé par g(ç) qui est une racine primitive n-ième de
l'unité, donc g(ç) == çi(g) où i(g) E [1, n] et i(g) premier avec n.
Comme pour chaque (g, h) E (Gal(K(ç)j K))2, (g 0 h)(ç) == g(çi(h)) == (g@i(h) ==
(çi(g))i(h) == çi(g)i(h), l'application e : Gal(K(Ç")j K)  U(ZjnZ), g  i(g) est un
homomorphisme de groupes.
e est clairement injectif. ç E K (ç) donc toutes les racines n-ièmes de l'unité, en particulier
les primitives, sont dans K (ç), donc e est surjectif. Ainsi e est un isomorphisme de groupes.
Proposition XIV.2. - Soit K un corps. Soit n E N*, n non multiple de caract( K).
On suppose que K contient une racine primitive n-ième de l'unité ç (ou, ce qui est
équivalent, que K contient toutes les racines n-ièmes de l'unité). Soit a E K*, et c
une racine dans K du polynôme X n - a. Alors K (c) est une extension galoisienne
finie de K, le groupe de Galois Gal(K(c)j K) est cyclique d'ordre d, dln" et cd E K.

170
CH. XIV. ÉQUATIONS RÉSOLUBLES PAR RADICAUX
Preuve: C'est évident si c E K. On suppose donc c  K. Comme ç E K, toutes les racines
n-ièmes de l'unité, ÇO, ç, . . . , çn-1 sont dans K. c est une racine du polynôme X n - a,
donc les racines de ce polynôme sont les cçj, j E [0, n - 1]. Par suite K(c) est le corps
de décomposition sur K du polynôme X n - a. L'extension K(c) de K est donc normale.
Comme caract(K) ln, x n - a est séparable. Donc (XI.8) K(c)j K est galoisienne finie.
Soit g E Gal(K(c)j K). g est caractérisé par g(c) qui est une racine de X n - a, c'est-à-
dire g(c) == cçi(g) où i(g) E [0, n - 1]. Comme pour chaque (g, h) E (Gal(K(c)j K))2,
(g 0 h)(c) == g(cçi(h)) == g(C)çi(h) == Cçi(g)çi(h) == ç i(g)+ i(h)c (car çi(h) E K),
l'application () de Gal( K (c) j K) dans Z j nZ, qui à g associe i (g), est un homomorphisme
de groupes.
() est clairement injectif. Gal(K(c)j K) est isomorphe à un sous-groupe de ZjnZ, donc
Gal(K(c)j K) est cyclique d'ordre d, où dln. Soit g un générateur du groupe cyclique
Gal(K(c)j K). Notant g(c) == Cçi(g), on a d'une part
c == gd(c) == gd-1(cÇi(g)) == gd-1(C)çi(g) == ... == cÇi(g)d, donc çi(g)d == 1,
et d'autre part g(c d ) == (g(c))d == (cÇi(g))d == cdçi(g)d, donc g(c d ) == cd, donc
cd E Inv(Gal(K(c)j K)) == K.
Théorème XIV.3 [Théorème 90 de HILBERT]. - Soit L une extension galoisienne
finie de degré n de K, avec Gal(Lj K) cyclique. Soit s un générateur de Gal(Lj K).
Pour x E L, les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) NL/K(X) == 1;
(ii) Il existe y E L \ {O} tel que x == yjs(y).
Preuve: Lj K est séparable et normale de degré n, donc d'après IX.17 et X.6 (NOR 4'),
notant Gal(Lj K) == {ao,..., a n -1}, on a: Vf E L, NL/K(f) == ao(f)... a n -1(f).
Ainsi: Vf E L, N L/ K (f) == I1 -o l si (f).
. (ii) => (i) en résulte immédiatement.
. Réciproquement, soit x E L tel que NL/K(x) == 1. Considérons la suite (ei)iEN
d'éléments de L définie par: Vi E N, ei == I1=o sq(x) == xs(x)... Si (x). Posons
t == eoid L + e1s + .. . + en_1Sn-1 E LK(L) (t est appelée la résolvante de Lagrange-
Hilbert). Comme s est d'ordre n, les K -automorphismes id L , s, . . . , sn-1 sont distincts.
D'après 11.32, (id L, s, . . . , sn -1) est donc une famille L-linéairement indépendante.
Comme eo == x t= 0, on a donc t t= O. Donc il existe z E L \ {O} tel que t(z) t= O.
Posons y == t(z).
Clairement (Vi E N, xs(ei) == ei+1), par conséquent : xs(y) == xs(t(z)) ==
xS(E -=-O l eisi(z)) = E -O l xs(ei)si+l(z) = E -O l ei+1 s i+l(z) = E - l eisi(z) =
t(z) - eoz + ensn(z) == y - eoz + ensn(z).
Or e n -1 == NL//«(x) == 1 et sn == id L , donc en == en_1Sn(X) == X == eo, et sn(z) == z,
donc xs(y) == y. y t= 0 et s E Gal(LjK) est injectif, donc s(y) t= O. Ainsi x == yjs(y).
o
Théorème XI4. - Soit K un corps. Soit n E N*, n non multiple de caract(K).
On suppose que K contient une racine primitive n-ième de l'unité ç (ou, ce qui
est équivalent, que K contient toutes les racines n-iènles de l'unité). Soit Lune
extension galoisienne finie de degré n de K, avec Gal(Lj K) cyclique. Alors il existe
c E L tel que L == K(c) et c n E K.
Preuve : Soit s un générateur du groupe cyclique Gal(Lj K). ç-1 E f(, donc
N L / K (Ç-1) == (ç-1)n, soit N L / K (Ç-1) == 1. Par conséquent, d'après le théorème 90
de HILBERT, 3c E L t.q. s(c) == c,ç. Il vient s(c n ) == (s(c))n == cnÇn == cn, donc

9 ]. Extensions galoisiennes finies à groupe de Galois cyclique
171
c n E Inv(Ga.I(L/ K)) == K. Et (récurrence aisée) (Vi E N, Si(c) == Cçi), donc les sj (c),
o < j < n - l, sont tous distincts. Par conséquent, comme ils les a tous pour racines, le
polynôme minimal de csurK est de degré > n,soit [K(c) : K] == deg(irr(c,K,X)) > n,.
Comme [L : K] == n, il vient K(c) == L.
Théorème XI5 [ARTIN-SCHREIER (première partie)]. - Soit K un corps de car-
actéristique p E P. Soit a E K. Ou bien le polynôme XP - X - a a une racine
dans K, et alors il est scindé sur K ; £u bien il est irréductible sur K. Dans ce
dernier cas, notant c une racine dans K de ce polynôme, K(c) est une extension
ga10isienne de degré p de K, le groupe de Galois Gal(K(c)/ K) est donc d'ordre p
donc cyclique.
REMARQUE XIV.6. - Si K == lFp et a i- 0, on a (d'après VII.14) (Vx E K,
x P - x - a == -a i- 0), donc nous sommes dans le cas où le polynôme XP - X - a
est irréductible sur K. On peut donc énoncer: Vp E P, XP - X - 1 est irréductible
dans Z[X]. (En effet son réduit modula p est irréductible dans lFp[X], donc (1.54)
il est irréductible dans Q[X], et il est unitaire donc primitif, donc (1.51) il est
irréductible dans Z[X]).
Preuve: . Soit c une racine de P(X) == XP - X-a. Comme caract(l{) == p, on voit
que les c + il, 0 < i < p - 1, sont distincts, et (VII. 14) qu'ils sont aussi racines de P(X).
Donc P(X) a p racines distinctes, et si l'une est dans K, elles sont toutes dans K.
. Supposons que P(X) n'a pas de racine dans K.
- Supposons P(X) réductible sur K : P(X) == Q(X)R(X) où 1 < deg Q, deg R < p.
Comme P(X) == Ilf==- (X - c - il) dans K[X], il vient, notant d == deg(Q(X)) :
Q(X) = Il; '::::  (X - c - ij 1) dans K[X], où io, . . . , id-l entiers distincts. Le coefficient
de degré d - 1 de Q(X) est donc - (dc + io 1 + . . . + id-11) == - (dc + zl), où z E Z. Or
ce coefficient appartient à K, donc dc E K. Comme 1 < d < p, il vient c == (dl) -1 dc,
donc c E K : contradiction. Ainsi P(X) est irréductible dans K[X].
- K(c) est le corps des racines sur K de P(X), qui est séparable, donc (XI.8) K(c)/ K
est galoisienne finie. Comme P(X) est irréductible sur K, P(X) == irr(c, K, X), donc
[K(c) : K] == deg(P(X)) == p. Il vient (XI.7) 1 Gal(K(c)/ K)I == p. D'où de suite, en
utilisant le théorème de Lagrange, le fait que Gal(K(c)/ K) est cyclique. 0
Théorème XI7 [Théorème 90 de HILBERT, forme additive]. - Soit L une extension
ga10isienne finie de degré n de K, avec Gal(L/ K) cyclique. Soit s un générateur
de Gal(L/ K). Pour x E L, les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) tr L / K ( x) == 0 ;
(ii) Il existe y E L tel que x == y - s(y).
Preuve : L / K est séparable et normale de degré n, donc d'après IX.17 et X.6 (NOR 4'),
notant GaI ( L / K) == {a 0, · · · , an -1 }, on a : V £ E L, tr L / K (£) == a 0 (£) + . . . + an -1 ( £) .
Ainsi: V£ E L, trL/K(£) == E O l si(£).
. (ii) ::::} (i) en résulte immédiatement.
. Réciproquement soit x E L tel que trL/K(x) == O. Considérons la suite (di)iEN
d'éléments de L définie par: Vi E N, di == E=o sq(x) == x + s(x) + .. . + Si (x).
Posons u == dos + d 1 s 2 + ... + d n _ 2 s n - 1 E L/«(L). Comme eS est d'ordre n, les K-
automorphismes id L , s, . . . , sn-1 sont distincts. D'après 11.32, (id L , s, . . . , sn-1 ) est donc
une famille L-Iinéairement indépendante. Donc tr LI K = E; sj f: O. Donc il existe
z E L \ {O} tel que trL/K(z) i- O. Posons y == u(z)/trL/K(z),

172
CH. XIV. ÉQUATIONS RÉSOLUBLES PAR RADICAUX
Alors y - s(y) = trL/(z) (u(z) - s(u(z))) =
1 ( ) ( dOS(Z) + I: (di - s(d i _d)si+1(Z) - S(d n _ 2 )Sn(Z) ) .
trL/K z i==l
Compte tenu de ce que (Vi E N, s(d i ) == d i + 1 - x), il vient : y - s(y) ==
trL/(z) (x 2:::7=1 sj(z) - d n _ 1 s n (z)). Or d n - 1 = trL/K(x) = 0 et sn = id L , donc
1 nI.
Y - s (y) == tr L / /( (z ) x 2::: j ==-0 SJ ( z) == x. 0
Théorème XIV.8 [ARTIN-SCHREIER (seconde partie)]. - Soit K un corps de car-
actéristique p E P. Soit L une extension ga10isienne nnie de degré p de K,
Gal(LI K) est donc d'ordre p donc cyclique. Alors il existe c E L tel que L == K(c)
et c P - c E K.
Preuve: Soit s un générateur du groupe cyclique Gal(LI K). 1 E K, donc tr L/ K (1) == [L :
K]l, soit trL/K(l) == pl == O. Par conséquent, d'après le théorème 90 de HILBERT, (3c E L
t.q. s(c) -c == 1). Alors (récurrence aisée) (Vi E N, si(c) == c+i1), donc les sj (c), 0 < j <
p - 1, sont tous distincts. Par conséquent, comme il les a tous pour racines, le polynôme
minimal de c est de degré > p, soit [K (c) : K] == deg(irr( c, K, X)) > p. Comme
[L: K] == p,i1 vientK(c) == L.Ets(cP-c) == (s(c))P-s(c) == (c+1)P-(c+1) == cP-c,
donc c P - c E Inv(Gal(LI K)) == K. 0
2. Extensions par radicaux
Définition XIV.9. - Soient K un corps, L une extension de K. On dit que L
est une extension par radicaux de K si, et seulement si, il existe une suite nnie
Ko, KI, . . . , Kr de corps et une suite no, . . . , n r -1 d'éléments de N* telles que:
K == Ko C KI C . . . C Kr == L
Vi E [0, r - 1], Ki+1 == Ki(ai) où ai E Ki'
Propriété XIV.I0. - A vec les notations précédentes, on a :
Vi E [1, r], Ki == K(ao,. · ., ai-1).
On a la tour d'extensions Ko C KI C ... C Kr == L. Or pour 1 < i < r,
Ki == K i - 1 (ai) et ai est algébrique sur Ki-l, donc [Ki: K i - 1 ] < +00. Par
conséquent [L : K] == Il==l [Ki: K i - 1 ] < +00.
EXEMPLE XIV.ll. - Soient K corps, ç une racine primitive n-ième de l'unité sur
K. K (ç) est une extension par radicaux de K.
Proposition XIV.12. - a) Si L'est une extension de K, K-isomorphe à une
extension par radicaux de K, alors L'est une extension par radicaux de K.
b) La notion d'extension par radicaux est transitive: Soit K C L C M une tour
d'extensions. Si M est une extension par radicaux de L, et L une extension par
radicaux de K, alors M est une extension par radicaux de K.
Preuve : a) est trivial; et, pour établir b), il suffit de "mettre bout à bout" les deux tours
radicales de K à L puis de L à M.
Théorème XIV.13. - Si R est une extension de K par radicaux, et si M est la
clôture normale de RI K, alors M est une extension de K par radicaux.

9 2. Extensions par radicaux
173
-
Preuve: Par définition (X.19), M est le sous-corps de R engendré par les corps a( R), où a
décrit l'ensemble des K homomorphismes de R dans R. Tous ces corps sont (proposition
précédente, a» des extensions de K par radicaux. Il suffit donc de prouver que si L
est une extension de K engendrée par deux extensions LI et L 2 de K par radicaux,
alors L est une extension de K par radicaux. Or cela découle de suite de XIV.9, en
écrivant LI == K( Ci 1,'.' , as) où (Vi) Cir i E K(X1,... , Cii-l) et L 2 == K((J1,. .. , !3t) où
('ij) !3r;j E !((!31,. .. , (3j-1), puis L == K(a1,'" , Qs, (31,... , (3t).
",
Définition XIV.14 [Equation résoluble par radicaux]. - Soient K un corps,
P(X) E K[X]. On dit que le polynôme P(X) est résoluble par radicaux sur /{-,
ou que l'équation algébrique P(x) == 0 est réso1ub1e par radicaux sur K, si, et
seulement si, il existe une extension R du corps de décomposition DK(P) telle que
R soit une extension par radicaux de K.
EXEMPLEsXI15.- Soit K un corps de caractéristique i- 2, P(X) == X 2 +bX +c E
K[X] un polynôme de degré 2. P(X) est résoluble par radicaux. (II suffit de
considérer la tour Ko == K C .K(8), où 8 2 == b 2 - 4c).
- Le polynôme X 2 + X + 1 E 1F 2 [X] est résoluble par ra.dicaux sur 1F 2 (car
D IF2 (X 2 +X + 1) == 1F4 == 1F 2 (j) avec j3 == 1), mais il est clair que X 2 +X + 1 n'est
pas résoluble par radicaux carrés sur 1F 2 .
Lemme XIV.16. - Soit K un corps. Soit n E N*, n non multiple de caract(K).
-
Soit a E K* et c une racine dans K du po1ynôIl!.,e x n - a. Remarquons que
K (c) / K n'est pas nécessairement normale. Soit ç E K une racine primitive n-ième
de l'unité. Alors les extensions successives de la tour K C K(ç) C K(ç, c) sont
ga10isiennes nnies de groupes de Galois abéliens.
Preuve: Appliquer XIV. 1 pour K (ç) / K, et XIV.2 pour K (ç, c) / K (ç).
Proposition XIV.17. - Soit K un corps. Soit n E N*, n non multiple de caract(K).
Soit a E K*. Le groupe de Galois du polynôme x n - a sur K est réso1ub1e.
Preuve: Notons ° le corps des racines de xn - a sur K.
. Si K contient une racine pmitive n-ième de l'unité, on peut appliquer XIV.2 : notant c
une racine de X n - a dans K, il vient ° == K(c), et Gal(O/ K) est abélien.
. Si K ne contiel!! aucune rac!Ee primitive n-ième de l'unité. Soit c  K une racine
de xn - a dans K. Soit ç E K une racine primitive n-ième de l'unité. Alors (lemme
précédent) les extensions successives de la tour K C K (ç) C K (ç, c) sont galoisiennes
finies de groupes de Galois abéliens. c est une racine du polynôme xn - a, donc les
racines de ce polynôme sont les cçj, j E [0, n - 1]. Donc ° == K (c, cÇ, . . . , cçn-1 ),
d'où de suite ° == K(c, ç). ° est le corps des racines de X n - a sur K, donc 0/ K
est normale (X.7). Comme caract(K) n, x n - a est séparable. Donc (XI.8) 0/ K est
galoisienne finie. D'après XI.25, on a : Gal(O/ K(ç)) <J Gal(O/ K) et Gal(K(ç)/ K) rv
Gal(O/ K)/ Gal(O/ K(ç)). Comme Gal(K(ç)/ K) et Gal(O/ K(ç)) sont abéliens donc
résolubles, le théorème XIII. 16-2) montre que Gal(O/ K) est résoluble.
Proposition XIV.IS. - Soient K un corps, L une exension ga10isienne finie de K.
Soit n E N*, n non multiple de caract(K). Soit ç E L une racine primitive n-ième
de l'unité. Posons F == K(ç). Alors:
1) LF == L(ç) est une extension g'aloisienne nnie de K, et de F.
2) Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) Gal(L/ K) est réso1ub1e
(ii) Gal(LF / F) est réso1ub1e

174
CH. XIV. ÉQUATIONS RÉSOLUBLES PAR RADICAUX
(Hi) Gal(LFIK) est résoluble.
.3) On a les implications (a) =} (b) =} (c) entre:
( a) L est extension par radicaux de K
(b) LF == L(Ç') est extension par radicaux de F
( c) LF est extension par radicaux de K.
- .... ....
Preuve: 1) Comme ç E L, on a, d'après V.40, L LF. Soit a : LF  L un
K-homomorphisme. Alors a(ç) E F, et comme LIK normale, a(L) C L. Donc
a(LF) C LF. Ainsi L.FIK vérifie (NOR 3'), donc LFIK est normale. Comllle
K C F C LF, on a aussi (X. Il) LFI F normale. LI K est séparable, et COlllme
caract(K) An, FI K est séparable. Donc (VIII.33) LFI]( est séparable. Par conséquent
(VIII. 15) LF 1 F est séparable. Ainsi LF'I K et LF 1 F sont normales et séparables. Comme
elles sont clairement algébriques de type fini, elles sont donc galoisiennes finies.
2) (i) => (ii) car Gal(LIF) est un sous-groupe de Gal(LIK) et Gal(LFIF) s'identifie
à un sous-groupe de Gal(LI F) par l'homomorphisme injectif a  aiL. On applique
alors XIII.16-1).
2) (ii) => (iii) On a la tour d'extensions K C F C LF. D'après XIV. 1, FIK
est galoisienne finie et Gal(F 1 K) abélien. Or LF j K est galoisienne finie. D'après
XI.25, on a: Gal(LFIF) <J Gal(LFIK) et Gal(FIK) rv Gal(LFIK)/Gal(LFIF).
Comme Gal(LF 1 F) et Gal(F 1 K) sont résolubles, le théorèn1e XIII. 16-2) montre que
Gal(LF 1 K) est résoluble.
2) (iii) =} (i) On a la tour d'extensions K C L C LF avec LI K galoisienne
finie et LF 1 K galoisienne finie. D'après XI.25, on a : Gal( LF 1 L) <J Gal( LF 1 K) et
Gal(LI K) rv Gal(LF 1 K)I Gal(LFI L). Comme Gal(LF 1 K) est résoluble, le théorème
XIII.16-1) (quotient d'un résoluble) montre que Gal(Lj K) est résoluble.
3) (a) => (b) est trivial.
3) (b) => (c) Comme F est une extension de K par radicaux, on voit par transitivité
(XIV. 12-b ) ) que LF est une extension de K par radicaux. 0
Théorème XIV.19. - Soit K un corps de caractéristique O. Soit E une extension de
K par radicaux, avec El K galoisienne nnie. Alors son groupe de Galois Gal(EI K)
est résolu ble.
Preuve: Par hypothèse, il existe une suite finie Ko, KI,' . . , Kr de corps et une suite
no, . . . , nr-l d'éléments de N* telles que:
K == Ko C KI C .. . C Kr == E
Vi E [0, r - 1], Ki+1 == Ki(ai) où ari E Ki.
-
Posons n == no... n r -1, et soit ç une racine primitive n-ième de l'unité (dans E). Posons
F == K (ç). D'après la proposition précédente, il suffit de prouver que Gal(EF 1 F) est
résoluble.
Or on a, posant (Vj E [0, r], Fi == KiF) : F == Fo C FI C .. . C Fr == EF, avec pour
chaque i E [0, r -1], Fi+1 == Fi(ai) où ar i E Ki C Fi. D'après XIV.2, chaque Fi+11 Fi
est galoisienne finie à groupe de Galois cyclique. Fr == EF est galoisienne sur Fo, donc sur
chacun des Fi. Posant (Vi E [0, r], G i == Gal(Frl Fi), on obtient par la correspondance
de Galois et XI.25 : Gr == {id} <JG r - 1 <J. . . <JG 1 <JG o = Gal(EF 1 F), avec (Vi) G i 1G i + 1
isomorphe à Gal(Fi+11 Fi) donc cyclique. Donc Gal(EFI F) est résoluble.
Théorème XIV.20. - Soit K un corps de caractéristique O. Soit P(X) E K[X] Ull
polynôme de degré > 1. L'équation P(x) == 0 est résoluble par radicaux sur Ksi,
et seulement si, le groupe de Galois de P(X) sur K est résoluble.

9 3. Exelnples d'équations non résolubles par radicaux
175
Preuve: Notons D le corps des racines de P(X) sur K. DI K est de degré fini, normale
d'après X.7, et séparable parce que K est de caractéristique O. Ainsi D 1 K est galoisienne
finie.
. Supposons l'équation P(x) = 0 résoluble par radicaux sur K : il existe R extension de
K par radicaux telle que D C R. Notons L la clôture norlnale de RI K. Alors R C L,
LIK est normale, LIK est de degré fini, et d'après XIV.t3, L est une extension de
K par radicaux. Comme K est parfait, LI K est séparable. Ainsi LI K est galoisienne
finie. Comme DI K est normale, on a d'après XI.25 : Gal(D 1 K) est isomorphe au
groupe-quotient Gal(LI K)I Gal(LI D). Or d'après le théorème précédent, Gal(LI K)
est résoluble. Donc Gal(D 1 K) est résoluble.
. Supposons Gal(D / [<) !,ésoluble. Notons n = [D : K]. Soit ç une racine primitive
n-ième de l'unité dans D, et F = K(ç). D'après XIV.t8, DF est une extension
galoisienne finie de F, et Gal(DFIF) est résoluble. Posons m == [DF : F] ==
1 Gal(DFIF)I. Comme Gal(DFIF) est isomorphe à un sous-groupe de Gal(DIK),
m divise n. Donc pour tout diviseur premier P de m, F contient toutes les racines P-
ièmes de l'unité. Comme Gal(DFI F) est résoluble, il existe d'après XIII.21 une suite
{id} == Gr <JG T - 1 <J ... <JG o = Gal(DFIF) de sous-groupes de Gal(DFIF) telle
que (Vi) G i + 1 <J G i et G i 1G i + 1 est un groupe cyclique d'ordre premier Pù Pi divisant m.
La correspondance de Galois fournit, posant (Vi, Fi = Fix( G i ), une tour d'extensions
F = Fo C FI C ... C Fr-1 C Fr = DF, avec, vu XI.25 : chaque Fi+11 Fi est
galoisienne finie et Ga.I(Fi+1/ Fi) rv G i 1G i + 1 donc Gal(Fi+11 Fi) cyclique d'ordre Pi.
D'après XIV.4, on a donc: Vi E [O,r - 1], Fi+1 = Fi(ai) où afi E Fi. Ainsi DF est
une extension par radicaux de F. A fortiori (XIV. 18) DF est une extension par radicaux
de K. Donc puisque D C DF, (P(x) = 0) est résoluble par radicaux sur K. 0
3. Exemples d'équations non résolubles par radicaux
Proposition XIV.21. - a) Soit n E N, n > 2. Sn est engendré par {(12), (12. . . n)}.
b) Soit P E P. Si H, sous-groupe de Sp, contient une transposition et un p-cycle,
alors H = SpI
Preuve: a) Notons G le sous-groupe de Sn engendré par (12) et c = (12. . . n).
Vi E [O,n - 2], (i + l,i + 2) = ci 0 (12) 0 c- i E G. Comme (Vk E [2,n - 1],
(k, k + 1) 0 (lk) 0 (k, k + 1) == (1, k + 1), une récurrence immédiate montre que:
Vr E [2, n], (Ir) E G. Or pour 1 < i < j, (ij) = (Ii) 0 (lj) 0 (Ii); donc G contient
toutes les transpositions. D'où, comme l'ensemble des transpositions engendre Sn, le
résultat annoncé.
b) Rappelons que, pour tout k-cycle (Xl' . . Xk) et tout f E Sp, on a :
f 0 (Xl, .. Xk) 0 f-1 = (f(X1)' . . f(Xk))'
H contient une transposition t == (ab) et un p-cycle c. Or il existe u E Sp tel que u(l) = a
et u(2) = b. Quitte à remplacer H par 'u- 1 0 Hou, qui est encore un sous-groupe de Sp,
et contient u- 1 0 t 0 u == (12), et u- 1 0 cou qui est un p-cycle, on peut supposer que
t == (12).
Notant c = (lx2... x p ), (3j E [2,p] Lq. Xj = 2). Quitte à remplacer c par c j - 1 (qui
est un p-cycle et appartient à H), on peut supposer X2 = 2. Or il existe v E Sp tel que :
v(l) = 1, v(2) = 2, et (Vi E [3,p], v(i) == Xi). Quitte à remplacer H par v- 1 0 H 0 v,
qui est encore un sous-groupe de Sp, et contient v- 1 0 (12) 0 v = (12), et v- 1 0 co v qui
est le p-cycle (12 . . . p), on peut supposer que t = (12) et c = (12 . . . p).
Nous sommes ainsi ramenés à : le sous-groupe H de Sp contient (12) et c = (12. . . p).
D'où, d'après a), H = Sp.

176
CH. XIV. ÉQUATIONS RÉSOLUBLES PAR RADICAUX
Théorème XIV.22. - Soit p un nombre premier. Soit f(X) E Q[X] un polynôme
irréductible de degré p. Soit D (sous-corps de C) le corps des racines de f(X). On
suppose que f(X) possède exactement deux zéros non réels. Alors Gal(D /Q) est
isomorphe à Sp.
Corollaire XIV.23. - Donc, pour p > 5, Gal(D/Q) n'est pas résoluble (XIII.33),
c'est-à-dire (d'après XIV.20) : l'équation f(x) = 0 n'est pas résoluble par radicaux
sur Q.
Démonstration du théorème: Si p = 2, c'est évident. On supposera donc p > 3. Soit
r une racine de f(X). p = deg(f(X)) = (Q(r) : Q] divise [D : Q] = 1 Gal(D/Q)I,
donc (XIII.48) Gal(D/Q) posède un élément d'ordre p. Il en va donc de même pour le
sous-groupe p(Gal(D/Q)) de Sp, qui est isomorphe à Gal(D/Q). Or les seuls éléments
d'ordre p de Sp sont les p-cycles. Donc p(Gal(D /Q)) contient un p-cycle. Comme f(X) a
deux racines non réelles, la conjugaison ç = (z  z) est dans Gal(D /Q) (en effet, ç est
un Q-automorphisme de C, donc puisque D /Q est normale, c'est un Q-automorphisme
de D). Or p( ç) est une transposition (car ç laisse fixes les p - 2 racines réelles de f (X)
et échange les deux racines non réelles). Donc p(Gal(D /Q)) contient une transposition.
D'après la proposition précédente, il vient p(Gal(D/Q)) = Sp. D
EXEMPLE XIV.24. - Le polynôme f(X) = X 5 - 4X + 2 est irréductible dans
Q(X] d'après le critère d'EISENSTEIN. Sa dérivée 5X 4 - 4 admet exactement deux
racines réelles a et -a, où a désigne (4/5) 1/4. On dresse facilement le tableau
de variations de la fonction réelle (x  f (x)), avec lequel on démontre (comme
f( -a) == ls6 a + 2 > 0 et f(a) = 2 - IsB a < 0) que XS - 4X + 2 admet exactement
deux racines da.ns C \ IR. Donc le groupe de Galois de f(X) sur Q est isomorplle
à S5.
REMARQUE XIV.25. - Autre méthode :
D'après la formule vue en IX.35, Discr(X 5 - 4X + 2) == -2 4 .13259 < O. Donc,
d'après XI.34, X S -4X +2 a 2q racines dans C\1R, avec q impair. Donc X S -4X +2
admet exactement deux racines dans C \ 1R.
4. Exercices
(XIV-l) - Soit K un corps fini, L une extension de degré fini de K. Montrer que la nonne N LI K est un
homomorphisme surjectif de groupes multiplicatifs de L * dans K*. (Indication: utiliser le théorème 90 de
HILBERT pour détenniner le noyau du morphisme N LI K ).
(XIV-2) - Montrer que le groupe de Galois de X5 - 4X3 - 2 sur Q est 85.
(XIV-3) - Montrer que le groupe de Galois de X5 - 6X + 3 sur Q est 85.
(XIV-4) - Soit P(X) E K[X] un polynôme irreductible sur K dont un zéro est exprimable par radicaux.
Montrer que tous les zéros de P sont exprimables par radicaux, et que l'équation P(x) = 0 est résoluble.
(XIV-5) - Montrer qu'un polynôme pair de degré 4 est toujours résoluble par radicaux sur Q.
(XIV-6) - Montrer que le polynôme <Pp,Q(X), p entier premier, est résoluble par radicaux sur Q.
(XIV-7) - Exprimer à l'aide de radicaux relatifs à Q toutes les racines de l'unité d'ordre 2,3,4,5 et 6.

9 4. Exercices
177
(XIV-8) - Montrer que tout polynôme sur un corps fini est résoluble par radicaux sur le dit corps. (La définition
d'une extension par radicaux d'un corps de caractéristique p i- a est identique à celle donnée au XIV.9).
(XIV-9) - Montrer que le groupe de Galois de tout polynôme sur un corps fini est résoluble. (Indication: utiliser
XI.52).
(XIV-10) - Soit K un corps de caractéristique i- 2. Soit P(X) E K[X] un polynôme de degré 2. Montrer que
les deux zéros de P sont dans une extension K(a) de K, où a 2 = f:::,. E K. Ainsi, l'adjonction à K de racines
carrées Vk, k E K, pennet de résoudre toutes les équations du second degré à coefficients dans 1<.
(XIV-11) - Montrer que l'adjonction à IF'2 de racines carrées ne permet pas de résoudre l'équation du second
degré x 2 + x + 1 = a (à coefficients dans IF'2).
(XIV-12) - Soit K un corps de caractéristique 2. Montrer que l'adjonction à K de racines carrées Vk, k E K,
et d'éléments vrk (définis comme solutions de l'équation x 2 - x = k) permet de résoudre toutes les équations
du second degré à coefficients dans K.
(XIV-13) - Soit K un corps de caractéristique 2. Montrer que U = {x 2 - x, x E K} est un sous-groupe additif
de K. Soit a E 1< \ U, et f(X) = X 2 - X - a E K[X]. Montrer que f(X) est irréductible sur 1<. On
adjoint à K une racine, notée ,de l'équation f(x) = O. Montrer que les zéros de f(X) (dans K( »
sont  et 1 + . Montrer que K ( ) / K est galoisienne de degré 2. (Indication .' le K -automorphisme
flon trivial est a + b  r-+ a + b + b ).
(XIV-14) - Soit K un corps de caractéristique p premier. Soit f(X) E K[X]. On dit que l'équation f(x) = 0
est résoluble par équations x P - x = a, ou résoluble par ultra radicaux, si, et seulement si, le corps de
décomposition D de f(X) sur K vérifie: il existe une extension R de D telle qu'il existe une tour d'extensions
K = Ka ç KI ç ... ç Kr = R avec, pour chaque i, Ki+l = Ki(ai), où ai P - ai E Ki.
Montrer que, si f (X) a des racines toutes distinctes, f (x) = a est résoluble par équations x P - x = a si,
et seulement si, son groupe de Galois sur K a pour ordre une puissance de p. (Indication: utiliser le théorème
d'ARTIN-SCHREIER (XIV.5 et XIV.8) et le fait qu'un groupe d'ordre pr est résoluble (XIII.41 ).

CHAPITRE XV
DEGRÉ DE TRANSCENDANCE
Depuis le chapitre III, nous n'avons travaillé qu'avec des extensions algébriques. Ce
chapitre aborde les extensions transcendantes.
Soient K un corps, L une extension de K. On va démontrer qu'il existe une famille
(ei)iEI d'éléments de L telle que L soit algébrique sur 1< ({ ei, i E I}) et (ei)iEI
soit algébriquement indépendante sur K. Une telle famille est appelée une base de
transcendance de LI K. Le cardinal Card( 1) d'une telle base est un invariant de l'extension
LI K, appelé le degré de transcendance de LI K.
Le lecteur remarquera la similitude de ce qui suit avec la théorie classique des bases et de
la dimension d'un espace vectoriel.
1. Dépendance algébrique
REMARQUE XV.l. - Pour abréger les notations, on confondra parfois abusivement
une famille x = (Xi)iEI d'éléments de L et son ensemble image {Xi, i El}. Ainsi, on
dira qu'un élément de L "appartient" à une famille, ou que celle-ci le "contient" .
1.1 Dépendance algébrique
Définition XV.2 [Dépendance algébrique]. - Pour P E P(L), on note a(P) la
fermeture algébrique du sous-corps K(P) de L dans L. Soit X E L. On dit que x
dépend algébriquement de P sur K si, et seulement si, x E a(P).
REMARQUE XV.3. - Pour x == (Xi)iEI famille d'éléments de L, on notera a(x)
au lieu de a( {Xi, i E I}) la fermeture algébrique de la sous-extension de LI K
engendrée par l'ensemble des éléments de la famille. Lorsque P == {QI"", Qn}
est une partie finie de L, on notera a( QI, . . . , Qn) (au lieu de a( {QI, . . . , Qn}) la
fermeture algébrique du sous.-corps K(P) de L dans L.
PropriétésXV.4.- L'application P  a(P) de l'ensemble P(L) des parties de L
dans l'ensemble M des sous-corps de L qui contiennent K (corps intermédiaires)
possède les propriétés suivantes:
(i) (VP E P(L)) P C a(P)
(ii) (\I(P 1 , P 2 ) E (p(L))2) Pl C P 2  a(P 1 ) C a(P 2 )
(iii) (\1 P E P(L)) a(P) == a( a(P)).
Preuve: (i) est évident car P C K(P)
(ii) K(P 1 ) C K(P 2 ), donc si x est algébrique sur K(P 1 ), il l'est a fortiori sur K(P 2 ).
(iii) D'après (i), a(P) C a(a(P)). Réciproquement soit x E a(a(P)). x est algébrique sur
K (a(P)) qui est égal à a(P). Comme a(P) est algébrique sur K(P), x est par transitivité
(111.47) algébrique sur K(P), donc x E a(P).
Proposition XV.S. - Soit P E P(L). Pour x E L,
x E a( P) {::} (il existe F partie nnie de P telle que x E a( F)).

9 1. Dépendance algébrique
179
Preuve: [<=] conséquence immédiate de XV.4-(ii).
[=}] x E a(P) donc il existe n E N* et (ao,..., a n -1) E (K(p))n tels que
x n + an_1Xn-1 + . . . + a1 X + ao = O.
Or notant F J'ensemble des parties finies de P, on a K (P) = UYEF K (Y). Donc il existe
F E F telle que ao, . . . , a n -1 appartiennent tous à K(F). Alors x E a(F).
1.2 Familles t-Iibres, familles t-Iiées
Définition XV.6 [Indépendance algébrique]. - Soit x = (Xi)iEI une famille
d'éléments de l'extension L de K. On dit que cette farnille est t-libre, ou que
les Xi, i E l, sont algébriquement indépendants (ou sont des éléments t-libres), si,.
et seulement si : Vi E l, Xi fi. a((Xj)jEI\{i}) (c'est-à-dire si aucun élément de la
famille ne dépend algébriquement sur K des autres éléments de la fan1ille).
On dit que cette famille est t-liée, ou que les Xi, i E l, sont algébriquement
dépendants, si, et seulement si, elle n'est pas t-libre.
EXEMPLES XV.7. - La famille vide de Lest t-libre.
- Si Card(I) = 1, dire que (Xi) est algébriquement indépendante, c'est dire
que Xi fi. a(K), c'est-à-dire que Xi est transcendant sur K.
Proposition XV.S. -
a) Toute "sur-famille" d'une famille t-liée est t-liée.
a') Toute "sous-famille" d'une famille t-libre est t-libre.
b) Toute famille" contenant" un élément algébrique sur !{ est t-liée.
b') Toute fanlille t-libre ne "contient" aucun élément algébrique sur K.
c) Toute famille non injective est t-liée.
c') Toute famille t-libre est injective.
Preuve: On remarque que chaque énoncé-prime est la contraposée de l'énoncé non-prime
coneespondant, et que b) et c) sont triviaux. On prouve a) :
Soit X = (Xi)iEI une famille d'éléments de l'extension L de K. On suppose J C l,
et (Xj)jEJ t-liée : 3jo E J t.q. Xjo E a((Xj)jEJ\{jo})' A fortiori, d'après XV.4-(ii),
Xjo E a((xi)iEI\{jo}). Donc (Xi)iEI est t-liée.
Proposition XV.9. - Soit X = (Xi)iEI une famille d'éléments de l'extension L de
K. X est t-libre si, et seulement si, toute sous-famille finie de X est t-libre.
Preuve: Procédant par double contraposition, on montre que X est t-liée <==> il existe une
sous-famille finie de X qui est t-liée.
[<=] résulte de XV.8-a).
[=}] Supposons (Xi)iEI t-liée : 3io E 1 Lq. Xio E a((xi)iEI\{io})' A fortiori, d'après
XV.5, il existe F partie finie de 1 \ {io} telle que Xio E a((xi)iEF). Alors la sous-famille
finie (Xi )iE FU{ io} est t-liée.
L'important théorème suivant donne une C.N.S. pour qu'une famillefinie soit algébriquement
libre sur K :
Théorème XV.IO. - Soit e = (el"", en) E Ln. Les conditions suivantes sont
équivalentes:
1) el,. . . , en sont algébriquement indépendants sur K
2) il n'existe pas de polynôme non nul P(X 1 ,...,X n ) E K[X 1 ,...,X n J tel
que P( el, . . . , en) = O.
REMARQUE XV.II. - 2) entraine que le sous-anneau K[e1, . . . , en] de L engendré
par K et les ei est K-isomorphe à l'anneau de polynômes K[X 1 ,..., X n ].

180
CH. XV. DEGRÉ DE TRANSCENDANCE
Preuve : . non 1) =} non 2) : Supposons que el, . . . , en sont algébriquement dépendants
sur K, soit: 3io E [1, n] Lq. eio E a(el,"', eio-1, eio+1,' .., en)' Quitte à changer
d'indexation: en E a(e1,...,e n -1), soit: il existe r E N* et ao,...,a r dans
K(e1,' . . , e n -1) tels que e + ar_1e-1 + . .. + al en + aO == O.
Orpourchaquei E [0, r-1], il existe (U i , Vi) E K[X 1 ,... ,X n - 1 ]x(K[X 1 ,... ,X n - 1 ]\
{O}) tel que ai == U i (e1,..., e n -1)/Vi(e1,.. . , e n -1).
Posons V == V o ... V r - 1 E K[X 1 ,. .. , X n - 1 ] \ {o}, et posons
r-1 V .
P(X I ,. · · , X n ) = V(X I ,. ., , Xn-I)X+ L Uj(X I ,... , X n - l ) V. (Xl,' .., Xn-I)Xk
j=O J
Alors P E K[X 1, . . . , X n ], P est non nul (car V est non nul, donc le degré de P par
rapport à X n est r), et P( el, . . . , en) == O.
. non 2) => non 1) : on procède par récurrence sur n.
- Pour n == 1, c'est clair ((3P E K[X] \ {O} Lq. P(e1) == 0) signifie en effet que el est
algébrique sur K, soit que (el) est t-liée).
- Supposons le résultat vrai pour n - 1, où n > 2. Soit P E K[X 1 ,..., Xn] \ {O}
tel que P( el, . . . , en) == O. Considérons le polynôme Q(Xn) == P( el, . . . , en-l, X n ).
Q(X n ) E K[e1,"', e n -1][X n ] C K(e1,"', e n -1)[X n ]. Deux cas se présentent:
\; ou bien Q est non nul. Comme Q( en) == 0, en est donc algébrique sur K (el, · · . , en-l),
donc en E a( el, . . . , e n -1). Donc e est t-liée.
\; ou bien Q est nul, Le. tous les coefficients de Q sont nuls. Comme les coefficients
de Q sont les valeurs prises en (Xl,"" X n - 1 ) == (el,,'" e n -1) par les coefficients
de P considéré comme polynôme en X n à coefficients dans K[X 1 ,... , X n - 1 ] et P non
nul, il vient: 3C E K[X 1 ,...,X n - 1 ] \ {O} Lq. C(e1,...,e n -1) == O. Mais alors par
l'hypothèse de récurrence (el"", e n -1) est t-liée. A fortiori e == (el"", en) est t-liée.
Ainsi le résultat est vrai pour n. 0
LemmeXV.12[Lemmed'échange].- Soit (ll,...,lm) E Lm, et (u,v) E L 2 . Si
v E a(ll,'" , lm, u) et v fi. a(ll,"', lm), alors u E a(ll,"', lm, v).
Preuve: (les majuscules désignent des indéterminées) v E a( ll, . . . , lm, u), donc il existe
P E K[X 1 ,..., X m , X, Y] tel que P(ll,"', lm, u, Y) =1 0 et P(ll,"', lm, u, v) == O.
Considérons lepolynômeQ(X) == P(ll,...,lm,X,v). Q(X) E K[ll,...,lm,v][X] C
K(ll"" , lm, v)[X]. Comme v fi. a(ll,"', lm), Q(X) est non nul. Comme Q(u) = 0, u
est algébrique sur K(ll"" , lm, v), c'est-à-dire u E a(ll" .. , lm, v).
1.3 Familles t-génératrices
Définition XV.13 [Générateurs (t-générateurs)]. - Soit x == (Xi)iEI une famille
d'éléments de l'extension L de K. On dit que cette famille est t-génératrice (de
L/K) ou qu'elle est algébriquement génératrice (de L/K) si, et seulement si,
a((xi)iEI) == L; c'est-à-dire si, et seulement si, L est algébrique sur K((Xi)iEI).
EXEMPLE XV.t4. - L indexé par L lui-même constitue une famille t-génératrice.
Proposition XV.IS. - Toute" sur-famille" d'une famille t-génératrice est t-
génératrice.
Preuve: Conséquence immédiate de XV.4-(ii).

9 1. Dépendance algébrique
181
1.4 Bases de transcendance
Définition XV.16. - Soit e == (ei)iEI une famille d'éléments de l'extension L de
K. On dit que e est une base de transcendance de LI K si, et seulement si, e est
algébriquement indépendante sur K et t-génératrice de LI K.
REMARQUEsXV.17.- . Les définitions XV.6, XV.13, XV.16 sont "invariantes" par
permutation de J. Deux familles d'éléments de L ayant les mêmes éléments "à
l'ordre près" sont donc de même "nature" .
. Compte tenu de l'importance de cela pour la suite du chapitre, reformulons
explicitement XV.16 dans le cas particulier où l'on a affaire à une famille finie :
Soit e == (el, . . . , en) E Ln. e est une base de transcendance de LI K si, et seulement
si, el,"" en sont algébriquement indépendants sur K et L est algébrique sur
K( el, . . . , en) ; c'est-à-dire si, et seulement si :
- il n'existe pas de pol.ynôme non nul P(XI,...,X n ) E K[XI,...,X n ] tel
que P (el, . . . , en) == 0
- L est une extension algébrique de K ( el, . . . , en)'
EXEl\1PLE XV.18. - Si L == K(X I , . . . , X n ) est le corps des fractions rationnelles à
n indéterminées, alors (Xl," . , X n ) est une base de transcendance de LI K. Une
extension comme celle-ci est dite transcendante pure, conformément à la définition
suivante :
Définition XV.19. - Soit L une extension d'un corps K. On dit que Lest
une extension transcendante pure de K si, et seulement si, il existe une base de
transcendance (el,...,e n ) de LIK qui engendre L, autrement dit L est une
extension transcendante pure de K si, et seulement si, il existe (el, . . . , en) E Ln
tel que el, . . . , en sont algébriquement indépendants sur K et L == K (el, . . . , en).
Lemme XV.20. - Si (e9)9EG est t-génératrice et (eh)hEH est t-libre avec G C H,
alors H == G.
Preuve: Supposons G -# H. Soit i E H \ G. Alors G C H \ {i}, donc (XV.4-(ii))
a((e9)9Ec) C a((eh)hEH\{i})' Or par hypothèse a((e9)9Ec) == L, et puisque (eh)hEH
est t-libre, ei (j. a((eh)hEH\{i})' C'est absurde.
Théorème XV.21. - Soit e == (ei)iEI E LI. Les conditions suivantes sont
équivalentes:
1) (ei)iEI est une base de transcendance de LI K
2) (ei)iEI est t-libre maximale, ce qui signifie qu'aucune "sur-famille" propre
de e n'est t-libre
3) (ei)iEI est t-génératrice minimale, c'est--à-dire : aucune sous-famille propre
de e n'est t-génératrice.
Preuve : . 1) :::} 2) et 1) :::} 3) découlent de suite du lemme précédent.
. 3) :::} 1) : Soit (ei)iEI t-génératrice minimale. Si (ei)iEI n'est pas t-libre, (3io E J t.q.
eio E a((ei)iEI\{io})' Comme on a aussi (Vi E J \ {io}, ei E a((ei)iEI\{io}))' il vient
par XV.4-(ii) : a((ei)iEI) C a((ei)iEI\{io})' c'est-à-dire a((ei)iEI\{io}) == L, et (ei)iEI
n'est pas t-génératrice minimale: absurde. Ainsi (ei )iE 1 est t-libre. Donc c'est une base
de transcendance de LI K.
. 2) :::} 1) : Soit (ei)iEI t-libre maximale. Supposons (ei)iEI non t-génératrice : il existe
x E L \ a( (ei)iEI). On prend alors 'i+ (j. J, on pose ei+ == x, et J == J U {i+}. On va
montrer que (ej )jEJ est encore t-libre.

182
CH. XV. DEGRÉ DE TRANSCENDANCE
- Si (ej)jEJ est t-liée, il existe par XV.9 une partie finie F de J telle que (et )fEF soit
t-liée. Comme (ei)iEI est t-libre, on n'a pas F C J. Donc i+ E F. Notant par commodité
F == [1, n], on peut donc supposer, quitte à réindexer, en == x. en (j. a((ei)iEI), a fortiori
en (j. a ( el, . . . , en -1) (1).
(el, . . . , en) est t-liée, soit: il existe i E [1, n] tel que ei E a( (e p )PE IT1 ,nE\ {i})' Vu ce qui
précède, i f:. n. On peut donc supposer, quitte à réindexer, e n -1 E a( el, . . . , e n -2, en)'
Or comme (ei)iEI est t-libre, e n -1 (j. a(e1,"', e n -2). Or en-l E a(el,"', e n -2, en),
donc d'après le lemme d'échange, en E a( el, . . . , en-l). La contradiction avec (1) est
manifeste.
- Ainsi (ej)jEJ est t-libre. Comme JJ, cela contredit (ei)iEI t-libre maximale. C'est
donc absurde. Ai nsi (ei) iE 1 est t-génératrice. Donc c'est une base de transcendance de
LI K. 0
2. Degré de transcendance
On considèrera dan s tout ce paragraphe des extensions LI K telles qu e
LI K admet un système FINI de t-générateurs.
Remarquons que si JJ est une extension de typefini de K, cette condition est remplie (mais
que la réciproque est fausse puisque L algébrique sur K(XI, . . . , x n ) n'entraine bien sûr
pas L == K ( Xl, . . . , X n) . . .).
Théorème XV.22. - Si LI K admet un système t-générateur fini (Xl", . , x n ) à n
éléments, alors toute famille (Yj)jEJ t-1ibre vérifie Card(J) < n.
Preuve : Compte tenu de XV.8-a, il suffit de démontrer que si LI K admet un système
t-générateur fini (x l, . . . , x n ) à n éléments, alors tout système (YI, . · · , Yn+ l) de n + 1
éléments de Lest t-lié. On procède par récurrence sur n.
- Pour n == 0, c'est clair car alors LI K est algébrique.
- Supposons la propriété vraie pour n. Soit LI K une extension qui admet un système
t-générateur fini (x l, . . . , Xn+ l ), et soit (YI, . . . , Yn+ 2) un système de n + 2 éléments de
L. Alors : \:1 j E [1, n + 2], Y j E a ( Xl, . . . , X n + l ) .
Si (\:Ij E [1, rt + 2], Yj E a(xI' . . . , x n )), alors on peut utiliser la propriété au rang
n, il vient: (YI,..., Yn+1) est t-liée. A fortiori (YI,..., Yn+2) est t-liée.
Si (3j E [l,n + 2] t.q. Yj (j. a(xI,...,Xn), alors, quitte à réindexer, on
peut supposer Yn+2 (j. a(xI"'" x n ). Or Yn+2 E a(xI"'" Xn+l), donc, d'après
le lemme d'échange, Xn+l E a(xI"'" X n , Yn+2). Comme Xl, . . . , X n appartiennent
évidemment à a(xI' . . . , X n , Yn+2), a(xl, . . . , Xn+l) C a(xI"'" X n , Yn+2), soit L ==
a(xI"'" X n , Yn+2). On considère K' == K(Yn+2)' Pour chaque j E [1,71, + 1], Yj est
algébrique sur K'(XI,..., x n ). Donc (hypothèse de récurrence), (YI,..., Yn+l) est t-liée
dans LI K', soit: 3P E K(Yn+2)[X I "", X n + l ] \ {O} t.q. P(YI"'" Yn+l) == O. On
en déduit aisément: 3Q E K[X I ,..., X n + 2 ] \ {O} Lq. Q(Y1,. . ., Yn+2) O. Donc
(YI, . . · , Yn+2) est t-liée.
Ainsi la propriété est vraie pour n + 1. 0
Théorème XV.23 [dit "théorème de la base incomplète"]. - Soit LI K une extension
qui adn1et un systèlne t-générateur fini. Soient (e9)9EG une famille t-génératrice de
L j !{, et ! une partie de G telle que (ei )iE 1 soit t-libre. Alors il existe une partie
B de G contenant J telle que (eb)bEB soit une base de transcendance de LI K.
Preuve: Soit C l'ensemble {H E P(G)j! ç H et (eh)hEH est t-libre }. C est non
vide car J E C. Notant (Xl, . . . , X n ) un système t-générateur fini de LI K, il résulte du

9 2. Degré de transcendance
183
théorème précédent que: \:IH E C, Card(H) < n. 11 y a donc dans C un élément de
cardinal maximal. Soit B un tel élément. BEC, donc l C B et (eb)bEB est t-libre.
Démontrons que (eb)bEB est t-génératrice : COInme a( (e g )9EG) == L, il suffit de démontrer
que: \:Ig E G, e g E a((eb)bEB).
Raisonnons par l'absurde, en supposant: 3g o E G t.q. egO tf. a((eb)bEB). Alors go tf. B.
Posons B' == B U {go}. Soit P E B' :
- si p == go, B' \ {p} == B, donc e p (j. a((eb' )b'EB'\{p})
- si p f:. go, B' \ {p} == (B \ {p}) U {go}, et e p (j. a((eb' )b'EB'\{p}), car sinon,
si e p E a( ( eb' ) b' E B'\ {p} ), comme e p (j. a( ( eb) bE B\ {p} ), on aurait appliquant le lemme
d'échange: egO E a( (eb)bEB), ce qui est exclu.
Ainsi (eb' )b'EB' est t-libre, et B' E C. Comme Card(B ' ) == Card(B) + 1, cela contredit
le fait que Card(B) est maximal, et est donc absurde. D
Corollaire XV.24. - Si l'extension LI K admet un système t-générateur fini, alors
il existe une base de transcendance finie de LI K.
Preuve: 11 suffit d'appliquer ce qui précède en prenant pour (e g )9EG la famille formée par
L indexé par L lui-même, et l == 0.
Corollaire XV.25. - Si l'extension LI K admet un système t-générateur fini, alors
toute famille t-libre peut être "complétée" en une base de transcendance; et de
toute famille t-génératrice, on peut extraire une base de transcendance.
Preuve: - Soit (ei)iEI une falllille t-libre d'éléments de L. Il est facile de la compléter en
une famille t-génératrice (e g ) gEG de LI K, par exemple en lui adjoignant tous les éléments
de L \ {ei, i El}. On applique alors le théorème précédent.
- Soit (e9)9EG une famille t-génératrice de LI K : appliquer le théorème précédent en
prenant l == 0.
Théorème XV.26 [dO à STEINITZ]. - Soit L une extension du corps K. On suppose
que LI K a une base de transcendance finie. Alors toutes les bases de transcenda.nce
de LI K sont finies et ont le même nombre d'éléments.
Définition XV.27. - Soit L une extension du corps K. On suppose que LI K a une
base de transcendance finie. Le nombre d'éléments d'une base de transcendance
de LI K est appelé le degré de transcendance de LI K et noté degtransc( LI K).
REMARQUE XV.28. - Ce degré est nul si, et seulement si, toute base de transcen-
dance de LI K est vide, c'est-à-dire si, et seulement si, LI K est algébrique.
EXEMPLE XV.29. - Soit K un corps. Le degré de transcendance sur K de
K (X 1, . . . , X n) (corps des fractions rationnelles à n indéterminées à coefficients
dans K) est égal à n [il suffit d'appliquer XV.18].
Démonstration de XV.26 : Par hypothèse LI K admet une base de transcendance finie
b == (b 1 ,. . . , b n ). Soit (ei)iEI une base de transcendance de LI K. (ei)iEI est t-libre et b
t-génératrice finie, d'où (XV.22) Card(I) < n. b est t-libre et (ei)iEI t-génératrice finie,
donc (XV.22) n < Card(I). D
Proposition X30. - Soit L une extension de K, de degTé de transcendance
fini degtransc(LI K)==n. Soit b == (b 1 ,. . . , b n ) E Ln. Les conditions suivantes sont
équivalentes: 1
1) (b 1 ,..., b n ) est une base de transcendance de LI K
2) (b 1 ,..., b n ) est t-génératrice de LI K
3) (b 1 ,..., b n ) est algébriquement indépendant sur K.

184
CH. XV. DEGRÉ DE TRANSCENDANCE
Preuve: 1) => 2) et 1) => 3) sont clairs, . .
2) => 1) : on extrait de b, par XV.25, une base de transcendance de LI K, puis on s'aperçoit
par XV.26 que l'on n'a rien extrait du tout.
3) => 1) : on complète b, par XV.25, en une base de transcendance de LI K, puis on
s'aperçoit par XV.26 que cette complétion n'a adjoint aucun élément.
Proposition XV.31 [Additivité du degré de transcendance]. - Soit une tour d'extensions
K C F C L. On suppose que FI K admet une base de transcendance finie et que
LI F admet une base de transcendance finie. Alors LI K admet une base de tran-
scendance finie, et on a : degtransc( LI K) == degtransc( LI F) + degtransc( F 1 !( ).
Preuve : Soient (b l , . . . , b p ) une base de transcendance de FI K, et (CI, . . . , C q ) une base
de transcendance de LI F. On va montrer que ( les b i et les Cj sont tous distincts, et )
(b l , . . . , b p , CI, . . . , C q ) est une base de transcendance de LI K.
F est algébrique sur K (b), et L est algébrique sur F( c), donc par transitivité de l'algébricité
(111.47), L est algébrique sur K (b) (c) == K (b l , . . . , b p , CI, . . . , c q ). Il ne reste plus qu'à
prouver que (b l , . . . , b p , CI, . . . , C q ) est algébriquement indépendant sur K.
Soit P(X I ,..., Xp, YI,"" Yq) E K[X I ,..., Xp, YI"'" Y q ] un polynôme tel que
P(bl,...,bp,CI""'C q ) == O. P E K[XI,...,Xp][YI,...,Y q ]. Ecrivons le : P ==
Le Pe ( Xl, . . . , X p ) ylel . . . yqeq, la sommation portant sur e == (el, . . . , e q ) décrivant une
certaine partie finie E de Nq. Or (CI, . . . , c q ) est une base de transcendance de LI F donc
est algébriquement indépendante sur F, donc : Ve E E, Pe (b l , . . . , b p ) == O. Comme
(b l , . . . , b p ) est une base de transcendance de FI K, (b l ,..., b p ) est algébriquement
indépendante sur K, donc (Ve E E, Pe(X I , . . . , X p ) == 0).
Donc P ( Xl, . . . , X p, YI, . . . , Y q ) == O.
REMARQUE XV.32. - De même que l'on dén10ntre, en algèbre linéaire, l'existence de
bases d'un espace vectoriel de dimension infinie, on peut étendre la quasi-totalité
des résultats démontrés au cours de ce paragraphe au "cas général' où l'on ne
suppose plus que LI K admet une famille t-génératrice finie. On montre ainsi que
toute extension LI K admet une base de transcendance, et que toutes les bases
de transcendance sont équipotentes (== ont le même cardinal). Les démonstrations
sont "techniquement assez ressemblantes", mais plus délicates, et font appel au
théorème de ZORN.
3. Théorème de Lüroth
Proposition XV.33. - Soient!( un corps et L == K(t), où t transcendant sur K.
Soit u E L \ K : u == f(t)lg(t), où f(X) et g(X) sont premiers entre eux dans
K[X]. Notons n == sup(deg(f),deg(g)). Alors u est transcendant sur K, Lest
algébrique sur K(u) et [L : K(u)] == n.
Preuve: Soit X une indéterminée.
. Notons f(X) == L - o ai Xi et g(X) == L=o biXi, où les ai et les b i E K,
alors (an,b n ) f:. (0,0) puisque n == sup(deg(f),deg(g)). Considérons Il(X) ==
f(X) - ug(X) E K(u)[X]. L'éJément t est racine du polynôme Il(X). Or Il(X) ==
L=o (ai - ubi)x i , et an - ub n f:. 0 puisque (an, b n ) f:. (0,0) et u (j. K. Donc
deg(Il) == n. Donc t est algébrique de degré < n sur K(u), et irr(t, K(u), X) divise
Il(X) == f(X) - 1Lg(X) dans K(u)[X]. Par conséquent L == K(t) est algébrique sur
K(u) et [K(t) : K(u)] < n, et u est transcendant sur K (par transitivité de l'algébricité,
si u était algébrique sur K, t le serait aussi).

9 3. Théorème de Lüroth
185
. Posons T(X, Y) == f(X) - Y g(X) E K[X, Y]. Ce polynôme est de degré] par rapport
à Y, et comme f(X) et g(X) sont premiers entre eux dans K[X], il n'a pas de diviseur
élément de K[X] \ !(. Donc il est irréductible dans K[X][Y] == K[X, Y]. Or comme u
est transcendant sur K, K[X, Y] est isomorphe à K[X, u] par l'application P(X, Y) 
P(X, u). Donc II(X) == T(X, u) est irréductible dans K[X, u] == K[u][X]. Donc
(1.51) II(X) est irréductible dans K(u)[X]. Par suite il existe'\ E K(u) \ {O} tel que
irr(t, K(u), X) == '\II(X), donc [!«(t) : K(u)] == deg(irr(t, K(u.), X)) == deg(II) == n.
Proposition XV.34. - Soient K un corps et L == K(t), où t transcendant sur K.
Les K -au tom orphism es de K(t) sont les applications de la forme:
F(t) t-+ F ( i: ), où (a,b,c,d) E K 4 et ad - bc =1 O.
Le groupe de Galois Gal(K(t)/ K) est isomorphe à PGL 2 (K).
Preuve: . Les K -endomorphismes de K (t) sont les applications de la forme F( t) t---+ F( u),
où u est un élément fixé de K(t). Un tel K -endomorphisme est un K-automorphisme si, et
seulement si, il est surjectif, c'est-à-dire si, et seulement si, u est un générateur de .K(t).
. Or il résulte de la proposition précédente que les éléments 'u de L == K( t) tels que
L == K(u) sont les éléments de L \ K du type u == f(t)/g(t), où f(X) et g(X) sont
premiers entre eux dans K[X], et sup(deg(f), deg(g)) == 1. Autrement dit ce sont les
éléments de L \ K du type u == (at + b)/(et + d), où aX + b et eX + d sont premiers
entre eux dans K [X], et (a, e) -# (0, 0). Par conséquent les générateurs de K (t) sont les
(at + b)/(et + d), où (a, b, c, d) E K 4 avec ad - be -# O.
D'où le premier résultat annoncé.
. Considérons le groupe linéaire GL 2 (K) des matrices inversibles carrées de taille 2 à
coefficients dans K.
( a c
A chaque M ==
défini par:
) de GL 2 (K), associons le K-automorphisme s(M) de K(t)
s(M): F(t)  F ( ::: ).
Vu ce qui précède, s est une surjection de GL 2 (K) sur Gal(K(t)/ K).
Pour M = ( ) et M' = (; ) E GL 2 (K), on a : (\fF(X) E K(X))
S ( M l\1f' ) (F ( t ) ) == F ( (aa' + bc')t + (ab' + bd') ) == F ( a(a't + b') + b(c't + d') ) ==
(ca' + dc')t + (cb' + dd') c( a't + b') + d( c't + d')
s(Ivl')(s(M)(F(t))) == (s(M') 0 s(M))(F(t)),
soit s(M M') == s(M') 0 s(A1).
Enfin s(M) == idK(t) {::} it == t <=> ct 2 + (d - a)t .+ b == 0 <=> e == d - a == b == 0 <=>
M E K* 1 2 (ensemble des matrices inversibles scalaires).
Ainsi s est un anti-morphisme de groupes sUljectif de GL 2 (K) sur Gal(K(t)/ K), de
noyau K* 1 2 . Or l'application T de GL 2 (K) dans GL 2 (K) qui à M associe t M est un
antiautomorphisme involutif du groupe G L 2 (K) qui laisse fixe chaque élément de K* 1 2 .
Donc SOT est un morphisme de groupes surjectif de GL 2 (K) sur Gal(K(t)/ K), de
noyau K* 1 2 . Donc Gal(K(t)/ K) est isomorphe au groupe quotient GL 2 (K)/ K* 1 2 ==
PGL 2 (K).
Théorème XV.35 [LüRoTH]. - Soient K un corps et L == K(t), où t transcendant
sur K. Soit F un sous-corps de L contenant strictement K. Il existe u E L, u
transcendant sur K, tel que F == K ( u).

186
CH. XV. DEGRÉ DE TRANSCENDANCE
REMARQUE X36. - Il est équiva.lent d'énoncer: Soit Lj K une extension tran-
scendante pure de degré 1, F une sous-extension non réduite à K. Alors F j K est
transcendante pure de degré 1.
Preuve : Fixons Œ E F \ K. D'après XV.33, L est algébrique sur K (Œ). A fortiori Lest
algébrique sur F. Donc t est algébrique sur F.
Notons q,(X) == xn + alXn-1 + ... + an, les ai E F, le polynôme lTIinimal
irr(t, F, X) de t sur F. Comme L == F(t), on a [L : F] == n. Or pour chaque
i E [1, n], ai E F C L == K(t), donc: 3A i (T) E K(T) t.q. ai == Ai(t). Notant
Bo (T) E K[T] le P.P.C.M. des dénominateurs des fractions rationnelles Ai (T), i E [1, n],
on obtient: Vi E [1, n], Ai(T) == Bi(T)j Bo(T), où Bo(T), BI (T),. . . , Bn(T) sont
premiers entre eux dans leur ensemble dans K[T].
Considérons P(T, X) == Bo(T)xn + BI (T)X n - 1 + . . . + Bn(T) E K[T, X]. P(T, X)
est primitif en tant que polynôme en X. On a P(t, X) == Bo(t)q,(X), donc P(t, X) est
de degré n par rapport à X. Notons m le degré par rapport à T du polynôme P(T, X).
Comme t est transcendant sur K, un au moins des coefficients ai du polynôme q,(X)
n'appartient pas à K.
Soit u un tel élément: u == ai == Ai(t) == Bi(t)j Bo(t). On a deg(Bi) < 111 et
deg( Bo) < m, car Bo (T) et Bi ('1') sont respectivement les coefficients de xn et de
xn-i du polynôme P(T, X). u == g(t)jh(t) où g(T) et h(T) sont premiers entre eux
dans K[T]. Notons d == sup(deg(g), deg(h)), alors, d'après XV.22, u est transcendant sur
K, L est algébrique sur K(u) et [L : K(u)] == d.
Comme u E F \ K, K(u) C F, donc [L : K(u)] == [L : F][F : K(u)], soit
d == n[F : K(u)], donc d > n, avec égalité si, et seulement si, F == K(u).
g(T)B o (T) - h(T)B i (T) E K[T] est nul en t donc identiquement nul (car t transcendant),
donc g(T)Bo(T) == h(T)Bi(T), donc, comme g(T) et h(T) sont premiers entre eux
dans K[T], g(T) divise Bi(T) et h(T) divise Bo(T), donc deg(g) < deg(B i ) < 'm et
deg(h) < deg(Bo) < m. Ainsi d < m.
Le polynôme g(X) - uh(X) de F[X] admet t pour racine, donc est divisible par q,(X)
dans F[X] : il existe q(X) E F[X] tel que g(X) - uh(X) == q(X)q,(X), soit tel que:
h(t)g(X) - g(t)h(X) == q(X)h(t)q,(X) == (h(t)j Bo(t))q(X)P(t, X).
Procédant pour les coefficients de (h(t)j Bo(t))q(X) E K(t)[X] de la même façon que
précédemment pour (al"", an), on obtient une égalité: C(t)(h(t)g(X) - g(t)h(X)) ==
Q(t, X)P(t, X), où C(T) E K[T] et Q(T, X) E K[T, X].
Le polynôme C(T)(h(T)g(X) - g(T)h(X)) - Q(T, X)P(T, X) de K(X][T] est nul en
T == t donc identiquement nul (sinon, t serait algébrique sur K[X] et a fortiori, fixant
X == 0, serait algébrique sur K).
Ainsi C(T)(h(T)g(X) - g(T)h(X)) == Q(T, X)P(T, X).
Comme P(T, X) est primitif en tant que polynôme en X, C(T) divise Q(T, X) dans
K[T][X], autrement dit Q(T, X)jC(T) E K[T][X]. Quitte à remplacer Q(T, X) par
Q(T, X)jC(T), on peut donc supposer C(T) == 1. Ainsi
(*) h(T)g(X) - g(T)h(X) == Q(T, X)P(T, X).
Le degré en T du membre de gauche de (*) est < d, et celui du membre de droite est
degTQ(T, X)+degTP(T, X) == degTQ(T, X)+m > m > d. Donc degTQ(T, X) == 0,
c'est-à-dire Q(T, X) == Q(X) E K[X], m == d et degT(h(T)g(X) - g(T)h(X)) == d.
Le membre de gauche de (*) est antisymétrique en X et T, donc celui de droite
Q(X)P(T, X) aussi. Comme Q(X)P(T, X) est primitif en tant que polynôme en X,
par antisymétrie il est primitif en tant que polynôme en T, donc Q(X) == Q E K.
Donc P(T, X) est antisymétrique en X et T, donc degT(P(X, T)) == degx(P(T, X)),
soit m == n, soit d == n. 0

9 4. Exercices
187
4. Exrcices
(XV-1) - Soient L une extension de K et Xl, . . . ,Xn des éléments distincts de L. Soit q E]l, n[. Démontrer
que (Xl, . . . ,Xn) est algébriquement indépendant sur K si, et seulement si, (Xl, . . . , Xq) est algébriquement
indépendant sur K et (Xq+l, . . . , Xn) est algébriquement indépendant sur K(XI, . . . , X q ).
(XV-2) - Soient K, L, M trois corps avec K C L ç M. On suppose que M et L sont deux extensions de type
fini de K. Démontrer que:
degtransc(M / K) = degtransc(L / K) {==> /vI est une extension de degré fini de L.

CHAPITRE XVI
LE POLYNÔME GÉNÉRIQUE DE DEGRÉ n
Le problème fondamental de la théorie des équations algébriques est d'examiner la
structure du corps des racines. La correspondance de Galois nous amène à l'étude du
groupe de Galois de l'équation. Des résultats de théorie des groupes s'interprètent ainsi
en termes d'équations. Par exemple, le théorème affirmant la non-résolubilité du groupe
Sn pour n > 5 a pour conséquence que l'équation générique de degré n > 5 n'est pas
résoluble par radicaux comme le sont les équations de degré 2,3,4.
1. Le polynôme générique de degré n
Proposition XVI.! [Remarque préliminaire]. - Soit K un corps et soient t1, . . . , t n n
éléments d'une extension de K, algébriquement indépendants sur K. On considère
SI, . . . , Sn définis par:
'r/k E [1, n], Sk = 2.:1il<...<ikn til ... tik = Ek(t 1 ,..., tn).
Alors SI, . . . , Sn sont algébriquement indépendants sur K.
Preuve: Considérons le polynôme g(X) = X n - Sl xn -1 + S2xn-2 -... + (-l)n sn .
g(X) E K[Sl,"', Sn] [X] C K(Sl,"', sn)[X], et clairement (d'après 1.71) g(X) =
(X - t1)'" (X - tn) dans K(t1,"', tn)[X], d'où : Vi E [1, n], g(ti) = O.
Ainsi t1,...,t n sont tous algébriques sur K(Sl,...,Sn). Donc (111.43) K(t1,...,t n )
est une extension de degré fini de K(Sl,"', sn). (On verra ultérieurement qu'on
peut préciser : K (t1, . . . , t n ) / K (SI, . . . , Sn) est galoisienne de degré nI). Donc le
degré de transcendance de K(t1,...,t n ) sur K(Sl,...,Sn) est O. Or (additivité
du degré de transcendance), le degré de transcendance de K (t 1, . . . , t n ) sur K est
degtransc(K(t1,"') t n )/ K(Sl,"', Sn)) + degtransc(K(Sl'.", Sn)/ K).
Donc degtransc(K (SI, . . . , Sn) / K) = n. Comme la famille (SI, . . . , Sn) est de cardinal
n e\ est t-génératrice de K(Sl,"', sn)/ K, il vient d'après XV.30 : SI,..., Sn sont
algébriquement indépendants sur K.
Définition XVI.2 [et notations pour toute la suite]. - Soit K un corps. Soient
SI, . . . , Sn des éléments d'une extension de K, supposés algébriquement indépendants
sur K, F = K( SI, . . . , Sn)' Le polynôme générique de degré n sur K associé à
(SI,..., Sn) est g(X) = xn - Slxn-1 +... + (-l)isiX n - i +... + (-l)n sn E F[X].
On note L = K(t1,"', tn) le corps de décomposition de g(X) sur K, de sorte que
g(X) = (X - t1) ... (X - tn) dans L[X].
REMARQuEXVI.3.- Terminologie: On peut prendre pour SI, . . . , Sn des indéterminées.
Chaque polynôme unitaire de degré n s'obtient alors en donnant au n-uplet
(SI,..., Sn) une valeur ad-hoc dans Kn (c'est-à-dire en spécialisant le n-uplet
(SI,..., Sn)). C'est pour cela que g(X) est appelé polynôme générique de degré n.
Cette terrrlinologie est courante en géométrie algébrique.
Proposition XVI.4. -
Vk E [l,n], Sk = L til ... tik = Ek(t1,..., tn).
lil <...<ikn

9 1. Le polynôme générique de degré n
189
Preuve: Conséquence immédiate de 1.71.
Proposition XVI.S. - Les éléments tl, . . . , t n sont algébriquement indépendants
sur K.
Preuve: Soit Q(X 1 ,...,X n ) E K[XI,...,X n ] tel que Q(tl,...,t n ) == O. Faisons
opérer le groupe Sn sur K[X 1 ,... , Xn] de façon classique (cf. 1.57 : on pose Va E Sn,
VP E K[X 1 ,. .. , Xn], (a.P)(X 1 ,. . . , X n ) == P(X a (I)" . . , Xa(n»))'
Considérons S(X 1 ,..., X n ) == IlaEsn (a.Q)(X 1 ,..., X n ).
S(X 1 ,.. . , X n ) est un polynôme symétrique de K[X I ,.. . , X n ], donc d'après 1.69, il
existe T(Y 1 ,. .., Y n ) E K[Y 1 ,. . ., Y n ] tel que:
S (X 1, . . . , X n) == T ( E 1 (XI, . . . , X n), . . . , En ( XI, . · · , X n ) ) .
Il vient, puisque (Vk E [1, n], Ek (tl, . . . , tn) == Sk), T( SI, . . . , Sn) == 0, donc puisque
SI, · · · , Sn sont algébriquement indépendants sur K, T == O. Donc S ( XI, . . . , X n) == 0,
d'où de suite (comme l'anneau K[X I ,.. . , Xn] est intègre) Q(X 1 ,. . . , X n ) == O.
Théorème XVI.6. - Le polynôme générique g(X) de degré n est irréductible
dans F[X], et a n racines distinctes dans son corps de décomposition L. L/ F
est galoisienne de degré n!. Le groupe de Galois Gal(L/ F) de g(X) sur F est
isomorphe à Sn.
Preuve : tl,.", t n sont algébriquement indépendants sur K, donc ils sont distincts
d'après XV.8-c, et les anneaux K[X 1, . . . , Xn] et K[tl, . . . , tn] sont K -isomorphes. Plus
précisément, il existe un unique K -isomorphisme j de K[X 1, . . . , Xn] sur K[tl, . . . , tn]
tel que: Vi E [l,n], j(X i ) == ti.
On étend facilement ce K -isomorphisme en un isomorphislTIe de corps, que nous noterons
encore j, de K(X 1 ,. . . , X n ) dans L == K(tl,' .. , tn). On a toujours (Vu E K, j(u) == u)
et (Vi E [1, n], j(X i ) == ti). Clairement: Vp E [1, n],
L j(XiJ...j(X ip ) =
lil <...<ipn
j(E p ) ==
L ti 1 · · · ti p = sp,
lil <...<ipn
d'où de suite: j(K(E 1 ,..., En)) == K(SI,'" , Sn) == F.
Reprenons alors les notations de XL37 : le K -isomorphisme j transforme chaque "objet"
de la colonne de gauche en l "'objet" sur la même ligne de la colonne de droite:
R == K ( XI, . . . , X n) L == K ( t 1, . . . , t n )
Xl,'" ,X n tl,. ..,t n
E==K(El,...,En) F==K(SI,...,Sn)
El"" ,En SI,... ,Sn
K K.
Par conséquent, ](S(X)) == g(X) (en notant, comme au XL37, S(X) == xn - E 1 xn-l +
... + (-l)iE i xn-i +... + (-l)nE n E E[X]). Or, d'après XL37, R == DE(S), R/E
est galoisienne de degré n!, et le groupe de Galois G == Gal(R/ E) de S(X) sur E est
isomorphe à Sn.
Par conséquent L == DF(g), L/ F est galoisienne de degré n!, et le groupe de Galois
Gal(L/ F) de g(X) sur F est isomorphe à G, donc à Sn (car l'application: G ---7
Gal(L/ F), 9  j 0 9 0 j-l est un isomorphisme de groupes).
Enfin comme le groupe de Galois Ga.l(L/ F) de g(X) sur F est isomorphe à Sn, il agit
transitivement sur l'ensemble {tl, . . . , t n } des racines de g( X) dans L == D F (g). Donc
d'après XL35, g(X) est irréductible dans F[X]. 0
Théorème XVI.7 [ABEL-RuFFINI]. - Soit K un corps de caractéristique O. Si n > 5,
le polynôme générique de degré n n'est pas résoluble par radicaux.

190
CH. XVI. LE POLYNÔME GÉNÉRIQUE DE DEGRÉ n
Preuve: Conséquence du fait que pour n > 5, Sn n'est pas résoluble (XIII.33), de XIV.20
et du théorème précédent. 0
2. Résolution des équations algébriques de degré < 4
REMARQUE XVI.S. - Arrêtons nous un instant sur ce théorème: il en vaut la
peine! Il exprime qu'il n'existe pas de "formule générale" où ne figurent que des
opérations algébriques et des extractions de racines carrées, cubiques ou autres,
qui fournit les racines d'une équation algébrique de degré n > 5.
- Mais bien entendu, il existe des équations particulières, de degré > 5, qui sont
résolubles par radicaux: tel est par exemple le cas de l'équation X 5 - 1 = 0 (cf.
VI.26, au cours duquel on a calculé cos(27r /5) : on en déduit aisément exp(2i7r /5),
puis les cinq racines exp(2ik7r /5), k E [0,4], de cette équation).
- D'autre part pour n E [1,4], Sn est résoluble, donc le polynôme générique de
degré n est résoluble par radicaux (caractéristique 0). Mieux! Le travail fait au
cours du chapitre XIII va nous permettre d'expliciter, dans ce paragraphe, des
méthodes de résolution.
Proposition XVI.9. - Soit K un corps de caractéristique O. Si 71, E [1,4], le
polynôme générique de degré n est résoluble par radicaux.
Preuve: Cela résulte de ce que pour n E [1,4], Sn est résoluble (XII!.33), de XIV.20 et
de XVI.6.
Corollaire XVI.lO. - K corps de caractéristique O. Pour n E [1, 4], tout polynôme
de degré n à coefficients dans K est résoluble par radicaux sur K.
Preuve : En effet il suffit de procéder par spécialisation, c'est-à-dire de substituer à
(81, . . . , 8n), dans les formules de résolution, le n-uplet adéquat de Kn (= le n-uplet des
coefficients du polynôme de K [X] considéré). Alors K (81, . . . , 8n) = K.
. Résolution par radicaux des équations algébriques de degré 1
Proposition XVI.ll. - SI = {id}, X - 81 a pour racine tl = 81.
Preu,\e : C'est trivi::ll.
. Résolution par radicaux des équations algébriques de degré 2
Proposition XVI.12. - Soit K un corps de caractéristique O. Soient SI, 82 des
éléments d'une extension de K, supposés algébriquement indépendants sur K,
F = K(81, 82)' Le polynôme générique de degré 2 sur K associé à (81,82) est:
g(X) = X 2 - 81X + 82 E F[X]. On note L = K(tl, t2) le corps de décomposition
de g(X) sur K, de sorte que g(X) = (X - tl)(X - t2) dans L[X].
81 = tl + t2 et 82 = tlt2. S2 = {id, (12)}, donc Gal(L/ F) est formé de id L et du F-
automorphisme de K qui transpose tl et t2. Donc (t 1 - t2)2 E Inv(Gal(L/ F)) = F. On
calcule: (tl - t2) 2 = (tl + t2) 2 - 4tl t2 = 8f - 482. On obtient les formules classiques:
{tl, t2} = {(81 + J 8f - 48 2), (81 - J 8f - 48 2)}
. Résolution par radicaux des équations algébriques de degré 3
Soit K un corps de caractéristique O. Soient 81,82,83 des éléments d'une extension
de K, supposés algébriquement indé]Jendants sur K, et F = K(81, 82, 83)'

9 2. Résolution des équations algébriques de degré < 4
191
Le polynôme générique de degré 3 sur K associé à (81,82,83) est:
g(X) = x 3 - 81X2 + 82X - 83 E F[X].
On note L = K(t1, t2, t3) le corps de décornposition de g(X) sur K, de sorte que
g(X) = (X -t 1 )(X -t2)(X -t3) dans L[X]. 81 = t1 -t-t2 +t3, 82 = t1 t 2 +t1 t 3 +t2 t 3,
et 83 = tIt2 t 3'
La démonstration du théorème XIV.20 montre qu'il est commode d'adjoindre à K une
racine primitive cubique j de l'unité, Î.e. une racine de <P2)K (.X") = X 2 + X + 1. Par
XVI.I2, on peut prendre j = - +  A (et donc j-1 = j2 = - -  A ).
Afin de simplifier les calculs, appliquons la transformation de TSCHIRNHAUS Y = X - i81'
Le polynôme g(X) devient y3 +pY +q, dont les racines YI, Y2, Y3 vérifient: YI +Y2 +Y3 =
0, YI Y2 + YI Y3 + Y2Y3 = p, et YI Y2Y3 = -q. Il est clair que si on sait résoudre par radicaux
y 3 + pY + q, on sait résoudre par radicaux le polynôme générique g(X).
Le groupe de Galois de y 3 + pY + q sur K(p, q) est isomorphe à 8 3 , qui possède la suite
de composition abélienne {id} <] A3 <J 8 3 .
D'après XI.32, le corps fixe par A3 est A = K (p, q) ( VD), où D désigne le discriminant
de y 3 + pY + q, D = -4 p 3 - 27 q 2 d'après IX.33.
u = YI + jY2 + j2Y3
Posons: v = YI + j2Y2 + jY3
W = YI + Y2 + Y3 = O.
Les éléments du groupe alterné A3 permutent de façon cyclique YI, Y2, Y3, donc multiplient
u et v par une puissance de j, donc laissent fixes u 3 et v 3 . D'autre part toute permutation
impaire de 8 3 échange u 3 et v 3 . Donc u 3 + v 3 et u 3 v 3 sont fixes sous l'action de 83, donc
appartiennent au corps K(p, q).
Or on calcule aisément: Yf + Y + Y = (YI + Y2 + Y3) 2 - 2(Y1 Y2 + YI Y3 + Y2Y3) = - 2p,
et Eyr = E(-PYi - q) = -P(Y1 + Y2 + Y3) - 3q = -3q.
Puis (en utilisant j + j2 = -1) on calcule: u 3 = Eyr + 3j(yrY2 + YY3 + Y5Y1) +
3j2 (YI Y + Y2Y5 + Y3Yf) + 6Y1 Y2Y3; et v 3 se déduit de u 3 en échangeant j et j2.
Donc 'l.L 3 + v 3 = 2 E Yr - 3(YfY2 + YY3 + Y5Y1 + Y1Y + Y2Y5 + Y3yr) + 12YIY2Y3.
OrO = (YI +Y2+Y3)3 = Eyr+3(YrY2+YY3+Y5Y1 +YIY+Y2Y+Y3Yf)+6YIY2Y3,
donc YfY2 + YY3 + Y5Y1 + YIY + Y2Y + Y3Yf = -i(E yr + 6YIY2Y3) = 3q.
Donc, en reportant: u 3 + v 3 = -27q.
Enfin uv = yi + Y + Y - (YIY2 + YIY3 + Y2Y3) = -3p, d'où u 3 v 3 = -27 p 3.
Ainsi u 3 et v 3 sont les racines du polynôme du second degré:
T 2 + 27qT - 27 p 3.
Ce polynôme est appelé la résolvante de y3 + pY + q.
Remarquons que son discriminant est - 2 7 D.
Il vient {u 3 ,v 3 } = {(-27q+ V -27D), (-27q - V -27D)}.
Soit, comme u 3 - v 3 = 3(j - j2)[(YfY2 + YY3 + Y5Y1) - (Y1Y + Y2Y5 + Y3Yf)] =
3(j - j2)(YI - Y2)(Y1 - Y3)(Y2 - Y3) = 3 A VD :
u 3 = (-27 q+3AVD)etv3 = (-27q -3AVD).
Doncu = {j (-27q+3AVD) et v = {j (-27q- 3 A VD),
où D = -4 p 3 - 27 q2, et où les racines cubiques sont prises avec uv = -3p.
u = YI + jY2 + j2Y3 YI = i(u + v)
La résolution du système v = YI + j2Y2 + jY3 donne: Y2 = i (j 2 u + jv) .
o = YI + Y2 + Y3 Y3 = i(jU+j2 v )
Les formules ci-dessus donnant u, v et YI, Y2, Y3 sont appelées lesformules de CARDAN.

192
CH. XVI. LE POLYNÔME GÉNÉRIQUE DE DEGRÉ n
Proposition XVI.13 [Méthode de CARDAN]. - On veut résoudre:
g(X) == X3 - 81X2 + 82X -- 83 == o.
On applique la transformation de TSCHIRNHAUS Y == X - 81' On est ramenés à (E) :
y 3 + pY + q == O.
D désigne le discriminant -4 p 3 - 27 q 2 de y 3 + pY + q.
On cherche les racines de (E) sous la forme y ==  (a + (3), en imposant a{3 == -3p.
Alors puisque (a+{3)3 == Q3+{33+3a{3(a+{3), y est solution de (E) si, et seulement
si, a 3 + {33 == -27q. Ainsi a 3 et (33 sont les racines du p olynôme du second degré:
1 R(T) = T 2 + 27qT - 27P3.1
Ce polynôme est appelé la résolvante de y3 + pY + q. Son discriminant est -27 D.
Soient À et {L les zéros de R(T). On prend u et v racines cubiques respectives de
À et {L de sorte que uv == -3p. Alors les solutions de (E) sont:
YI == (u -t- v), Y2 == (j2u + jv), Y3 == (ju + j 2 v).
. Résolution par radicaux des équations algébriques de degré 4
Soit K un corps de caractéristique O.
Soient 81,82,83,84 des éléments d'une extension de K, supposés algébriquement
indépendants sur K, F == K (81,82,83,84).
Le polynôme générique de degré 4 sur K associé à (81,82,83,84) est:
g(X) == x 4 - 8 l X 3 + 82X2 - 83X + 84 E F[X].
On note L == K(t1, t2, t3, t4) le corps de décomposition de g(X) sur K, de sorte
que g(X) == (X - t1)(X - t2)(X - t3)(X - t4) dans L[X].
Pour simplifier les calculs, appliquons la transformation de TSCHIRNHAUS : Y == X - 81'
Comme 81 == tl + t2 + t3 + t4, le polynôme g(X) devient y 4 + Py 2 + qY + r, dont les
racines YI, Y2, Y3, Y4 vérifient:
0'1 == YI + Y2 + Y3 + Y4 == 0, 0'2 == Y1Y2 + Y1Y3 + YlY4 + Y2Y3 + Y2Y4 + Y3Y4 == p,
0'3 == YlY2Y3 + Y1Y2Y4 + Y1Y3Y4 + Y2Y3Y4 == -q, et 0'4 == Y1Y2Y3Y4 == r.
Il est clair que si on sait résoudre par radicaux y 4 + Py 2 + qY + r, on sait résoudre par
radicaux le polynôme générique g(X).
Le groupe de Galois de y 4 + py2 + q y + r sur K (p, q, r) est isomorphe à 84, qui
possède la suite de composition abélienne {id} <] V <] A4 <] 84, où V est le sous-groupe
{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} de A4.
Zl == YlY2 + Y3Y4
On considère donc: Z2 == Y1Y3 + Y2Y4.
Z3 == YlY4 + Y2Y3
L'ensemble {Zl , Z2, Z3} est globalement invariant sous l'action de 8 4 , donc les polynômes
symétriques élémentaires en (Zl, z2, Z3) appartiennent au corps 81 == K(p, q, r).
Or on calcule facilement: Zl + Z2 + Z3 == 0'2, Zl Z2 + Zl Z 3 + Z2 Z 3 == 0'10'3 - 40'4 (12 termes),
et enfin ZlZ2Z3 == 0'4 E y; +0'5 -20'20'4 (8 termes), soit, compte tenu de E y; == O't -20'2,
ZlZ2 Z 3 == at a 4 + 0'5 - 40'20'4.
Zl + z2 + z3 P
Ainsi Zl, Z2, Z3 vérifient: Zl Z2 + Zl Z3 + Z2 Z3 == -4r
Zl Z 2 Z 3 q2 - 4pr.
Donc Zl, Z2, Z3 sont les racines du polynôme de degré 3 de K (p, q, r) [Z] :
c(Z) == Z3 - pZ2 - 4rZ + 4pr _ q2.
Ce polynôme est appelé la cubique résolvante de y 4 + py2 + qY + r.

9 2. Résolution des équations algébriques de degré < 4
193
Zl - Z2 = (YI - Y4)(Y2 - Y3)
Remarquons que: Zl - Z3 = (YI - Y3)(Y2 - Y4)
Z2 - Z3 == (YI - Y2)(Y3 - Y4)
Donc TIi<j (Yi - Yj) = TIi<j (Zi - Zj), donc
Discr(g) = (TIi<j (Yi - Yj)f = (TIi<j (Zi - Zj)f = Discr(c),
qui est d'ailleurs égal, d'après IX.33, à
-4 p 3 R + p2Q2 + 18pQR - 4Q3 - 27R 2 , où Q = -4r et R = q2 - 4pr.
On calcule par XVI.13 les racines de la cubique résolvante.
Zl + Z2 = (YI + Y4)(Y2 + Y3)
Remarquons que: Zl + Z3 = (YI + Y3)(Y2 + Y4)
Z2 + Z3 = (YI + Y2)(Y3 + Y4)
Comme YI + Y2 + Y3 + Y4 = 0'1 = 0, et Zl + Z2 + Z3 = a2 = p, il vient:
YI + Y2 et Y3 + Y4 sont les deux racines carrées de -(Z2 + Z3) = Zl - p,
YI + Y3 et Y2 + Y4 sont les deux racines carrées de -(Zl + Z3) = Z2 - p,
YI + Y4 et Y2 + Y3 sont les deux racines carrées de -(ZI + Z2) = Z3 - p.
Or on calcule facilement (YI + Y2) (YI + Y3) (YI + Y4) = yî (YI + Y2 + Y3 + Y4) + YI Y2Y3 +
Y1Y2Y4 + Y1Y3Y4 + Y2Y3Y4 = Yt a 1 + (13 = -q.
2Y1 = ..j Zl - P + ..j Z2 - P + ..j Z3 - P
2Y2 = ..j Zl - P - ..j Z2 - P - ..j Z3 - P
D'où finalement:
2Y3 = - ..jZI - P + ..jZ2 - P - ..jZ3 - P
2Y4 = - ..j ZI - P - ..j Z2 - P + ..j Z 3 - P
où les racines carrées sont prises de sorte que ..j ZI - p ..j Z2 - P ..j Z3 - P = -q.
Ces formules sont appelées les formules de FERRARI.
Proposition XVI.14 [Méthode de FERRARI]. - On veut résoudre:
g(X) = X 4 - 81X3 + 82X2 - 83 X + 84 = o.
On applique la transformation de TSCHIRNHAUS : Y = X - 81' Le polynôme g(X)
devient y 4 + Py 2 + qY + r.
On essaie de mettre ce polynôme sous la forme d'un produit de deux polynômes
du second degré: y 4 + Py 2 + qY + r = (y 2 + uY + v)(y 2 + u'Y + v').
L'identification fournit le système:
u + u' 0 u' -u
uu' + v + v' = p v + v' = p + u 2
<==>
uv' + u'v = q v' - v = q/u
'Uv' r vv' r
dont on tire v = (u(p + 11,2) - q)/u et v' = (u(p + u 2 ) + q)/u.
En formant vv', 011 obtient pour u l'équation: u 2 (u 2 + p)2 - q2 = 4ru 2 .
Si l'on pose Z = u 2 + P , ceci est une équation du troisièm e degré en Z :
1 Z3 - pZ2 - 4r Z + 4pr - q2 = O. 1
1
Cette équation est appelée la cubique résolvante de y 4 + py2 + qY + r.
On sait en principe (par XVI.13) la résoudre. Quand on connait z, u est déterminé,
donc v et v'.
L'équation du quatrième degré est ramenée à la résolution de deux équations du
second degré y2 + uY + v = 0 et y2 + u,}r + v' = o.

194
CH. XVI. LE POLYNÔME GÉNÉRIQUE DE DEGRÉ n
REMARQUE XVI.IS. - Les méthodes de CARDAN et de FERRARI n'offrent pas un
intérêt pratique considérable. Si l'on ne s'intéresse (K étant Q, IR, ou C) qu'aux
valeurs numériques des solutions, il est souvent préférable d'utiliser des méthodes
numériques, qui bien entendu ne fournissent que des valeurs approchées des
solutions. Cela est une autre histoire. . .
On pourra consulter le livre de R. Théodor (cf. bibliographie) pour y étudier
les méthodes de résolution approchée d'équations numériques, en particulier la
méthode de BAIRSTOW.
3. Exercices
(XVI-l) - Soit P(X) = Xa + pX + q un polynôme à coefficients réels. Soit D = _(4 p 3 + 27q2) son
discriminant. Montrer que:
. si D < 0, P a une unique racine réelle.
. si D = 0, P a trois racines réelles dont deux au moins sont confondues.
. si D > 0, P a trois racines réelles distinctes.
(XVI-2) - Soit f(X) = X3 +pX + q E R[X] avec Discr(f) = _(4 p 3 + 27q2) > O. Montrer qu'il existe une
transformation x = y, où a E R*, qui ramène l'équation f(x) = 0 à une équation de tri section de l'angle:
y3 - 3y - 2 eas(O) = 0 (cf. IV.28).
En déduire une mét hode de résolution de l'équation f (x) = 0 au moyen de fonctions trigonométriques.
(Indication .' a = V -4p/3).
(XVI-3) - Soit K un corps réel (c'est-à-dire un sous-corps de R), et P(X) = X3 + pX + q E K[X]. On
note L = D K (P) le corps de décomposition de P sur K. On suppose que son discriminant D = Diser(P) =
- (4 p 3 + 27 q2) est strictement positif, et que son groupe de Galois G = Gal( L / K) est isomorphe à A3.
a) Montrer que les racines de P dans CC sont réelles.
b) Soit p un nombre premier, et F = K(r), où r E R et r P E K. Montrer que F ne peut contenir L.
c) Montrer qu'il n'existe aucun sous-corps de R qui contienne L et qui soit une extension de K par radicaux.
Ainsi les racines de P sont réelles, mais les expressions de ces racines données par les formules de Cardan font
intervenir des nombres non réels (comme j). Ceci est inévitable: il n'existe pas de fonnules purement réelles
donnant les racines, réelles, de l'équation P(x) = O. On dit qu'on est dans le casus irreducibilis de l'équation
réelle du troisième degré.
(XVI-4) - Rédiger une variante de la méthode de résolution de l'équation générique de degré 4 vue au XVI. 14,
en posant, au lieu de Zl , Z2, za,
(WI, W2, wa) = ((YI + Y2)(Y3 + Y4), (YI + Y3)(Y2 + Y4), (YI + Y4)(Y2 + Y3)).
QueUe est la cubique résolvante (réponse.' W3 - 2pW 2 + (p2 - 4r) W + q2 ), et quelles sont les formules
de Ferrari que l'on obtient alors? Expliquer le lien entre les deux méthodes.
(XVI-5) - Montrer que, si n > 5, il existe une équation algébrique de degré n à coefficients réels qui n'est pas
résoluble par radicaux.

CHAPITRE XVII
COMPLÉMENTS
1. Caractérisation des nombres constructibles
Nous donnons dans ce paragraphe une caractérisation des nombres réels constructibles.
Pour cela, il est commode d'établir d'abord une version complexe du théorème de W ANTZEL.
Lemme XVII.I. - Notons comme d'habitude 1E le corps des réels constructibles.
On considère 1E(i) = {a + ib, (a,b) E 1E 2 }. 1E(i) est un sous-corps de C stable par
racine carrée. (Un sous-corps K de C est dit stable par racine carrée si, et seulement
si, pour chaque a E K, les racines du polynôme X 2 - a sont dans K).
Preuve: Triviale, laissée au lecteur consciencieux.
Théorème XVII.2 [W ANTZEL (1837)]. - Soit z E C. z E E( i) si, et seulement si, il
existe une tour d'extension quadratique complexe (Lo, LI,... , Lq) de Q telle que
z E Lq, c'est-à-dire une suite finie (Lo, LI"", Lq) de sous-corps de C avec:
Lo =Q
\ls E [0, q - 1], L8+1 est une extension quadratique de L8
z E Lq.
Preuve: . Supposons z E 1E(i), c'est-à-dire M = (e(z), m(z)) constructible.
Reprenant la démonstration de IV. 12, on construit une suite finie (Lo, LI, . . . , Lp) de
sous-corps de IR vérifiant:
Lo =Q
\ls E [O,p - 1], L8+1 est une extension quadratique de L8
e(z) E Lp et m(z) E Lp.
Ce dernier point équivaut à : z E Lp( i). Or clairement irr( i, Lp, X) = X 2 + 1, donc
[Lp(i) : Lp] = 2. Posant q = p + 1 et Lq = Lp(i), on a la T.E.Q. complexe annoncée.
. Utilisant le fait que 1E( i) est un sous-corps de C stable par racine carrée, on démontre
par récurrence sur n, en raisonnant comme dans la démonstration de IV. 12, la propriété
W(n) suivante: "Si (Ko, KI, . . . , Kn) est une tour d'extension quadratique complexe de
Q (c'est-à-dire une suite finie de sous-corps de C vérifiant Ko = Q et (\lj E [0, n - 1],
[Kj+l : Kj] = 2»), alors Kn C 1E(i) ". 0
CorollaireXVII.3.- Si a E E(i), [Q(a) : Q] = deg(irr(a,Q,X)) est une puissance
de 2.
Preuve: Résulte du théorème précédent de la même façon que IV. 14 résulte de IV.12.
Théorème XVII.4 [Caractérisation des nombres réels constructibles]. - Soit x un réel
algébrique sur Q. Soit II(X) son polynôme minimal, DQ(II) le corps des racines
de II(X). Alors: x est constructible <=> [DQ(II) : Q] est une puissance de 2.
Preuve: . Supposons x constructible. D'après IV. 12, il existe une suite finie (Lo, . . . , I.lp)
de sous-corps de IR vérifiant:
Lo =Q
\lj E [O,p - 1], Lj+l est une extension quadratique de Lj
x E Lp.

196
CH. XVII. COMPLÉMENTS
Soit N la clôture normale de Lp/Q. fI(X) == irr(x, Q, X) est irréductible sur Q et a
une racine (x) dans N, donc est scindé sur N. Par suite DQ(ll) C N. Si a est un Q-
homomorphisme de Lp dans C, la tour d'extensions O'(Lo) C a(L 1 ) C ... C O'(Lp)
vérifie: O'(Lo) == Q, et ('t/j E [O,p - 1], (a(Lj+1) : a(Lj)] == 2), donc, d'après le
théorème précédent, a(Lp) C JE(i).
Notant H l'ensemble des Q-homomorphismes de I,p dans C, on sait que N ==
Q (U C7E HO'(L p )). Donc N C JE(i). Comme Lp est une extension finie de Q, N est une
extension finie de Q. Q est de caractéristique 0, donc N /Q est séparable. D'après le
théorème de l'élément primitif, il existe 0: E N tel que N == Q(o:). Or 0: E JE(i), donc,
d'après le corollaire précédent, deg(irr( 0:, Q, X)) est une puissance de 2. Donc [N : Q]
est une puissance de 2. Comme Q C DQ(ll) C N, [DQ(ll) : Q] divise [N : Q]. Donc
[DQ (ll) : Q] est une puissance de 2.
. Réciproquement supposons que [DQ(ll) : Q] est une puissance de 2 :
[DQ(I1) : Q] == 2 N . D'après XI. 10, DQ(I1)/Q est galoisienne. Notant G ==
Gal(DQ(I1)/Q), on a IGI == 2 N . Donc, d'après XIII.40, le groupe G possède une suite
décroissante de sous-groupes : G == Go :J G 1 :J ... :J G N -1 :J G N == {id}, avec
('t/j E [0, N], IG j 1 == 2 N -j). Par la correspondance de Galois, on obtient une suite
croissante de sous-corps : Q == Lo C LI C ... C LN-1 C LN == DQ(I1), avec
('t/j) [Lj+1 : Lj] == 2. D'après le théorème précédent, DQ(I1) C JE(i). Par conséquent
x E JE. 0
2. Une démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss
Lemme XVII.5 [Rappels]. - (RI) Tout polynôme P(X) à coefficients réels, de
degré impair, possède au moins une racine dans IR.
"' (R2) Tout polynôme du second degré à coefficients complexes admet (au moins)
une racine dans C (donc est scindé sur C).
Preuve: . (RI) L'application de IR dans IR : x  P(x) est continue, et (notant € == =fI
selon que le coefficient dominant de P(X) est < 0 ou > 0) P(x)  €oo quand
x  +00 et P(x)  -€oo quand x  +00. Donc, d'après le théorème des valeurs
intennédiaires, il existe Xo E IR tel que P (xo) == O.
. (R2) Tout élém ent de C == IR( i) a une racine carrée. En effet, pour (a, b) E IR 2 , les réels
(a + v a 2 + b 2 ) et  (-a + v a 2 + b 2 ) so nt positi fs, donc il existe (0:,{3) E IR 2 tel que
0: 2 ==  (a + v a 2 + b 2 ) et {32 ==  ( -a + v a 2 + b 2 ). Alors l'un des nombres complexes
0: + i{3 et 0: - i{3 vérifie z2 == a + ib. (R2) en découle de suite.
Théorème XVII.6 [d'ALEMBERT-GAUSS]. - Le corps C des nombres complexes est
algébriquement clos.
Preuve: Soit P(X) E C[X] avec deg(P) > 2. Soit K un corps de décomposition de P(X)
sur C. K est une extension galoisienne de degré fini de C. On peut écrire [K : C] == 2 e m,
, ..
ou m est ImpaIr.
. K est une extension de degré [K : C] [C : IR] == 2 e + 1 m de IR. Clairement K est aussi le
corps de décomposition de P(X) sur IR, donc K /IR est galoisienne. Donc G == Gal(K /IR)
est d'ordre 2 e + 1 m. D'après le théorème de SYLOW, G possède un sous-groupe 8 d'ordre
2 e + 1 . Soit F le corps fixe de 8. K / F est galoisienne, et [K : F] == 181 == 2 e + 1 . Donc
[F : IR] == [K : IR] / [K : F] == m. IR est de caractéristique 0, donc K / F est séparable.
D'après le théorème de l'élément primitif, il existe 0: E F tel que F == IR(o:). Mais alors
deg(irr(o:, IR, X)) == [F : IR] == m impair, donc, d'après (RI), m == 1.

9 3. Théorème de Stickelberger
197
. Donc 1 Gal(KjC) 1 = [K : C] = 2 e . Si e > 1, Gal(I<jC) possède d'après XIII.40
un sous groupe H d'ordre 2 e - 1 . Notant L le corps fixe de ce sous-groupe, K j Lest
galoisienne, et [K : L] = IHI = 2 e - 1 . Donc [L : C] = [K : C]j[K : L] = 2. C'est
absurde puisqu'il résulte de (R2) que C n'adtnet aucune extension de degré 2.
. Ainsi e = 0, et K = C. 0
3. Théorème de Stickelberger
Lemme XVII.7.- Soit K un corps. Soient P(X) et Q(X) des polynômes de degré
> 1 à coefficients dans K. Alors Discr(PQ) = R(P, Q)2 Discr(P) Discr(Q).
Preuve: Soit L un corps de décomposition de PQ sur K. On a dans L[X] :
P(X) = a TI1::;i::;m (X - ai), et Q(X) = b TI1::;j::;n (X - (3j).
Il vient
Discr(P) = a 2m - 2 Il (ai - aj)2,
l::;i<j::;m
Discr(Q) = b 2n - 2 Il ({3i - (3j)2,
1::; i<j::; n
et
R(P, Q) = anb m Il Il (ai - (3j).
1::; i::; m l::;j::; n
Posons fi = ai pour i E [1, m], et fm+j = (3j pour j E [1, n].
Il vient
Discr(PQ) = (ab)2(m+n)-2
Il
(fi - fj)2.
l::;i<j::;m+n
Partitionnant l'ensemble des (i,j) tels que 1 < i < j < m + n, on voit que Discr(PQ)
est le produit des 3 termes a 2m - 2 TI1::;i<j::;m (,i - ;j)2,
2nb2m TI ( ) 2 t b 2n - 2 TI ( ) 2
a 1::;i::;m,m+1::;j::;m+n fi - fj , e m+1::;i<j::;m+n fi - fj ·
Ces trois termes sont respectivement égaux à Discr(P), R(P, Q)2 et Discr(Q), d'où le
résultat annoncé.
Proposition XVII.S. - Soit K un corps. Soient Pl (X), . . . , Ps(X) des polynômes
unitaires de degré > 1 de K[J'Y]. Alors il existe À E K tel que
Discr(P l ... Ps) = À 2 Discr(P 1 ) ... Discr(Ps).
Preuve: La démonstration, par récurrence sur s > 2, est immédiate en utilisant le lemme
précédent.
Théorème XVII.9 [STICKELBERGER]. - Soit p un nombre premier impair. Soit f(X)
un polynôme unitaire de degré d de JFp[X]. On suppose que Discr(f) -# 0, et que
f = fI ... fr, où les fi (X) sont des polynômes unitaires irréductibles de JFp[X],
tous distincts. Alors: r = d[mod. 2] <=? Discr(f) E JF.
Preuve: Soit L = DIFp(f) le corps de décomposition de f(X) sur JF p .
D'après XI. 10, LjJF p est galoisienne finie. Notons n = [L : JF p ]. D'après XI.52,
Gal(LjJF p ) est le groupe cyclique d'ordre n engendré par l'automorphisme de Frobenius
:F : x  x p .
. Commençons par traiter le cas particulier r = 1 (c'est-à-dire: f(X) est irréductible
dans JF p [X]).

198
CH. XVII. COMPLÉMENTS
Soit 0: une racine de f(X) dans L. On a : \fi, 0 == Fi(O) == F'i(f(o:)) == f(Fi(a)).
L'ensemble {s E N* j F8 (a) == o:} est non vide (car il contient n). Notons w son
minimum. Alors 0:, F(o:),... , FW-1(0:) sont tous distincts. (En effet si F'U(o:) == FV(o:)
où 0 < u < v < w, il vient FV-U(o:) = 0: avec v - u E N* et v - u < w : ce qui contredit
la définition de w). Comme ils sont tous racines de f(X), il vient w < deg(f(X)) == d.
Considérons g(X) == TI -o l (X - Fi(o:)) E L[X]. Clairement 1(g) = g, donc
(\fa E Gal(LjJF p ), a(g) == g), c'est-à-dire: les coefficients de g(X) appartiennent à
Inv(Gal(LjJF p )) == JF p . Ainsi g(X) E JFp[X]. Comme f(X) == irr(o:, JF p , X), il vient:
f(X)lg(X) dans JFp[X], donc d = deg(f(X)) < deg(g(X)) == w. On a donc d == w.
f(X) et g(X) sont unitaires de même degré et f(X)lg(X) dans IFp[X], donc f(X) ==
g(X).
Considérons 6(f) == TIOi<j<d (Fi (0:) - Fj(o:)) E L. Alors Discr(f) == (6(f))2.
Donc Discr(f) E JF <=> 6(f) E JF p <=> 6(f) E Inv(Gal(LjIF p )) <=> (\fa E Gal(LjJF p ),
a( 6(f)) = 6(f)) <=> F( 6(f)) == 6(f).
Or
F(6(f)) == F ( Il (Fi(a) - Fj(a)) ) == Il (p+1(a) - Fj+1(0:)) ==
Oi<j<d Oi<j<d
Il (Fi(a) - Fj(a)) = Il (Fi(a) - Fd(a)) Il (P(a) - Fj(a)).
li<jd li<d li<j<d
Or
Il (P(a) - Fd(a)) = Il (Fi (a) - a) = (_l)d-l Il (F'(a) - Fj(a)),
li<d li<d lj<d
donc F(6(f)) = (-1)d-16(f).
Àinsi Discr(f) E JF <=> (_1)d-1 == 1 <=> d = 1 [mod. 2].
. Traitons le cas général f = fI... fr, où les fi (X) sont des polynômes unitaires
irréductibles de IF p [X], tous distincts.
D'après la proposition précédente, il existe k E JF p tel que
Discr(f) = k 2 Discr(f1)'" Discr(fr)'
Donc Discr(f) E JF <=> Discr(f1)'" Discr(fr) E IF <=> 6(f1)'" 6(fr) E JF p
<=> 6(/1)'" 6(fr) E Inv(Gal(LjJF p )) <=> (\fa E Gal(LjIF p ), a(6(f1)'" 6(fr)) =
6(f1)'" 6(fr)) <=> F(6(f1)'" 6(fr)) = 6(/1)... 6(fr)'
Or reprenant le calcul fait dans le cas particulier, on voit que pour chaque i, F( 6(fi)) =
(_1)de g (!i)-16(fi)' Donc F(6(f1)." 6(lr)) =
(_l)Edeg(!i)-r 6(/1)". 6(lr) = (_l)deg(f)-r 6(/1)' .. 6(lr) = (_l)d-r 6(/1) ... 6(fr)'
Ainsi Discr(f) E JF <=> (_l)d-r = 1 <=> d = r[mod. 2]. 0
4. Bases normales d'un corps fini
Définition XVII.I0. - Soient K un corps, L une extension galoisienne de degré n
de K. Notons Gal(Lj K) == {gl,... , gn}' Pour x E L, les conditions suivantes sont
évidemment équivalentes :
- (gl(X),... ,gn(x)) est K-libre
- (gl (x), . . . , gn (x)) est une base de L comme K -espace vectoriel.
On appelle base normale de Lj K toute base de cette forme.

9 4. Bases normales d'un corps fini
199
Proposition XVII.II. - Soient K un corps, L une extension galoisienne de degré
n de K. Notons Gal(LI K) = {gl"", gn}' Soit (Xl"", X n ) un n-uplet d'éléments
de L. (Xl" . . , X n ) est une base de L comme K -espace vectoriel si, et seulement si,
det ((gi(Xj))lijn) -# O.
Preuve: Notons M la matrice (gi(Xj))lijn E Mn(L).
. Supposons que (Xl" . . , X n ) n'est pas une base du K -e. v. L. Alors (Xl" . . , X n ) est
K -liée, c'est-à-dire: :3(a1, . . . , an) E Kn \ {(O, . . . ,O)} t.q. E 7 1 ajXj = O. Il vient:
\Ii E [1, n], 0 = gi(O) = gi(E 7 1 ajXj) = E 7 1 ajgi(Xj). Notant A la matrice-colonne
t(al,"', an), on a donc A -# 0 et MA = O. Donc M ri GLn(L). Donc det(M) = O.
. Supposons det(M) = 0, soit det(t M) = 0, soit t M ri GLn(L). Alors il existe
une matrice-colonne A non nulle à coefficients dans L telle que t MA = O. Notant
(al,...,a n ) = tA, il vient (a1,...,a n ) E Ln \ {(O,...,O)} et puisque tM
((gj(Xi))li,jn : \Ii E [l,n], E 7 1 ajgj(Xi) = O.
Autrement dit, notant 9 = E 7 1 ajgj E LK (L) : ""i E [1, n], g(Xi) = O.
Si (Xl"", x n ) était une base de L comme K -e.v., on aurait donc par K -linéarité:
(\Ix E L, g(x) = 0), soit 9 = O. Donc (gl, . . . , gn) seraient L-liés : c'est ABSURDE
d'après 11.32. Ainsi (Xl, . . . , X n ) n'est pas une base de L comme K -e.v.
Corollaire XVII.12. - Soient K un corps, L une extension galoisienne de degré n
de K. Notons Gal(LI K) = {gl,. .. , gn}' Pour X E L, les conditions suivantes sont
équivalentes:
(gl (x), . . · , gn (x)) est une base normale de LI K
det (((gi 0 gj)(X))li,jn) =1= 0
Définition XVII.13. - Soient K un corps, V un K -espace vectoriel de dimension n,
U E LK(V), Pour X fixé dans V, l'ensemble l(x) = {P(X) E K[X]I P(u)(x) = O}
est clairement un idéal de K[X], non réduit à {O} car le polynôme minimal
IIu(X) de U lui appartient évidemment. l(x) est appelé l'idéal annulateur de X
relativernent à u.
Comme l'anneau K[X] est principal, l(x) admet un unique générateur unitaire:
ce générateur est noté Rx et appelé le polynôme minimal de X relativement à u.
EXEMPLE XVII.14. - 1(0) = K[X], d'où Ra = 1.
Proposition XVII.IS. - Si (e 1 , . . . , en) est une base du K -e. v. V, alors IIu (X) =
P.P.c.M.(R el (X),. . . , Re n (X)).
Preuve: Notons M(X) = P.P,c.M.(R el (X),... , Re n (X)).
- Evidemment (\Ix E V, Rx(X) divise IIu(X). En particulier: \Ii E [1, n], R ei (X)
divise IIu(X). Donc M(X) divise IIu(X).
- Pour chaque i E [1, n], R ei (X) divise M(X), donc M(u)(ei) = O. L'application K-
linéaire M (u) est nulle sur chacun des vecteurs de (el, . . . , en) qui est une base du K -e. v.
V, donc par linéarité M(u) = O. Donc IIu(X) divise M(X).
- Comme les deux polynômes sont unitaires, il vient M(X) = IIu(X).
Lemme XVII.16. - Soient X et y deux éléments de V dont les polynômes
annulateurs relativement à u, Rx et Ry, sont premiers entre eux.
Alors R x + y = RxRy.
Preuve: - Clairement RxRy E l(x + y), donc R x + y divise RxRy.
- (Rx+yRy)(u)(x + y) = 0 et (Rx+yRy)(u)(y) = 0, donc (Rx+yRy)(u)(x) = 0, donc
Rx divise Rx+yRy. Comme Rx est premier avec Ry, il vient d'après le théorème de
Gauss: Rx divise Rx+y. De même Ry divise Rx+y.

200
CH. XVII. COMPLÉMENTS
- Donc P.P.c.M.(R x , Ry) divise Rx+y. Or Rx est premier avec Ry, donc
P.P.c.M.(R x , Ry) = RxRy. Donc RxRy divise R x + y .
- Comme les deux polynômes sont unitaires, il vient R x + y = RxRy.
Théorème XVII.17. - Soient K un corps, V un K -espace vectoTie1 de dimension
n, u E LK(V), Il existe t E V tel que Rt(X) = IIu(X).
Preuve: . Traitons d'abord le cas particulier où IIu(X) = p(x)a, où P(X) est un
polynôme irréductible de K[X] et 0: E N*.
pa-l ( u) -# 0, donc il existe t E V tel que (pa -1 ( u)) (t) -# O. Rt divise IIu, donc il existe
j E [0,0:] tel que Rt = pj. Comme (pa-l(u))(t) i= 0, il est exclu que l'on puisse avoir
j < Œ - 1. Donc j = Œ, d'où Rt = pa = IIu.
. Traitons maintenant le cas général.
Notons IIu(X) = Pl (x)a l ... ps(x)a s la décomposition de IIu(X) en produit de
puissances de polynômes irréductibles deux à deux non associés de K[X]. D'après le
cas particulier précédent: \lj E [1, s], 3xj E V Lq. RXj = Pja j .
Or on montre facilement par récurrence sur k, en utilisant le lemme précédent, que si
al, . . . , ak sont des éléments de V dont les polynômes annulateurs relativement à u,
RaI' . . . , R ak , sont premiers entre eux deux à deux, alors RaI +...+ak = RaI · · · Rak' Par
conséquent t = Xl + · · . + Xs vérifie Rt = IIu.
Théorème XVII.18. - Soient K et L deux corps finis avec K C L, et [L : K] = n.
Il existe une base normale de L/K. Autrement dit: si 9 est un générateur de
Gal(L/K), il existe x E L tel que (x,g(x),... ,gn-1(x)) soit une base de L comme
K -e. v.
Preuve: D'après XI.52, L est une extension galoisienne de degré n de K, et Gal(L/ K) est
un groupe cyclique d'ordre n. Notons 9 un générateur de Gal(L/ K), alors Gal(L/ K) =
{idL, g, . . . , gn-l}. 9 est une application K -linéaire de L dans L. Déterminons son
polynôme minimal IIg(X). Commeg n = idL, IIg(X) diviseX n -1.Sideg(II g (X)) < n,
notant IIg(X) = ao + a1X + . . . + a m _ 1 X m - 1 + X m , on aurait aoid L + alg + . .. +
m-l + m - 0 d ( ' d m ) . t K 1 ." f t . . ( ' d n-1 )
a m -1 9 9 - , onc 1 L, g, . . . , 9 seraI - tee, a or lorI 1 L, g, . . . , 9
serait K -liée donc L-liée, ce qui est exclu d'après II.32. Donc deg(IIg(X)) = n. Ainsi
IIg(X) = xn - 1.
Or d'après le théorème précédent, il existe tEL tel que Rt(X) = IIg(X). 'Si
(t,g(t),... ,gn-1(t)) était K-liée, il existerait (ao,... ,a n -1) E Kn \ {(O,... ,O)} tel
que L: ;-; ajg j (t) = O. Le polynôme P(X) = L: ;-; ajXj serait alors non nul, de degré
< n, et appartiendrait à l'idéal annulateur de t relativement à g, donc serait un multiple
de Rt(X) = IIg(X), qui est de degré n: c'est absurde. Ainsi (t,g(t),... ,gn-l(t)) est
K -libre. Comme dimK L = n, il vient: (t, g( t), . . . , gn-1 (t)) est une base du K -e. v.
L. 0
REMARQUE XVII.19. - Le résultat plus général suivant est vrai:
Soient K un corps, L une extension ga10isienne de degré n de K. Alors il existe
une base nornlale de L / K.
On pourra consulter [3], tome 1, page 283, pour en voir la démonstration, qui fait
appel à l'indépendance algébrique des K -automorphismes de L (et plus seulement
à leur indépendance linéaire).

9 5. Groupe de Galois d'un polynôme de degré 4
201
5. Groupe de Galois d'un polynôlne de degré 4
Lemme XVII.20. - Les sous groupes transitifs de 84 sont: 84 lui-mênle, le groupe
alterné A 4 , V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, les 6 sous-groupes cycliques
d'ordre 4 chacun engendré par un 4-cycle, les 6 sous-groupes diédraux d'ordre
8 chacun engendré par V et un 4-cycle.
Parmi ceux-ci, ceux qui sont distingués sont les trois premiers.
Preuve : Vérification facile, laissée au lecteur.
Définitions XVII.21 [Notations]. - Soit K un corps de caractéristique différente
de 2.
Soit P(J() = X 4 - a 1 X 3 + a2X2 - a3X + a4 un polynôme unitaire irréductible de
degré 4 de K[X].
On note L = K(tl, t2, t3, t4) le corps de décomposition de P(X) sur K, de sorte
que P(X) = (X - tl)(X - t2)(X - t3)(X - t4) dans L[X].
Soit c(Z) = Z3 - a2Z2 + (ala3 - 4a4)Z - (aa4 + a - 4a2a4) la cubique résolvante
de P. Les racines de c(Z) sont: Zl = tlt2 +t3t4, Z2 = tlt3 +t2 t 4 et Z3 = tlt4 +t2 t 3.
Soit F = K(Zl, Z2, Z3) le corps de décomposition de c(Z) sur K. P(X) et c(Z)
ont ;c; :nême discriminant D = Ili<j (ti - tj)2 = Ili<j (Zi - Zj)2, égal, d'après
IX.33, à -4 p 3 r + p2q2 + 18pqr - 4 q 3 - 27r 2 , où p = -a2, q = ala3 - 4a4 et
r = -(aa4 + a - 4a2a4)'
Théorème XVII.22. - A vec les notations précédentes, soit G = Gal(L/ K) le
groupe de Gàlois de P(X) sur K, et soit K 2 = {X2,X E K}.
(i) G l'V 8 4 si et ssi c(Z) est irréductible sur K et D tf. K 2
(ii) G l'V A4 si et ssi c(Z) est irréductible sur K et D E K 2
(iii) G l'V V si et ssi c(Z) est scindé sur K
(iv) G l'V 7l/471 si et ssi c(Z) a exactement une racine dans f( et P(X) n'est pas
irréductible sur K( /15)
(v) G l'V D4 si et ssi c(Z) a exactement une racine dans K et P(X) est
irréductible sur K( /15).
Preuve: Remarquons qu'il résulte de VIII. ID et VIII. 1 1 que P(X) est séparable sur K.
Donc d'après XI.8, L/ K est galoisienne finie. D'après XI.35, G est isomorphe à un sous-
groupe transitifde 8 4 . Et d'après IX.3D, D est non nul. Donc c(Z) est séparable sur K.
Considérons le sous-groupe FO = {g E G/Vf E F,g(f) = f} = {g E G/g(Zl) =
zl,g(Z2) = Z2 etg(z3) = Z3} de G.
On vérifie aisément que, pour 9 E G, on a : (Vi E [1,3], g(Zi) = Zi) {:=> p(g) E V. Par
conséquent FO = G n p-l(V).
F = DK(C) donc F/ K est normale donc, d'après XI.25, le groupe G ' = Gal(F/ K) est
isomorphe au groupe quotient G/ FO = G/G n p-l(V). Les cinq cas possibles pour G
donnent:
G = p-l(84)  G n p-l(V) = p-l(V) et G ' d'ordre 6  G ' l'V 8 3
G = p-l(A4)  G n p-l(V) = p-l(V) et G ' d'ordre 3  G ' l'V A3
G = p-l(V)  G n p-l(V) = p-l(V) et G ' d'ordre 1  G ' = {id F }
G l'V 7l/ 4Z  G n p-l (V) l'V 7l/271 et G ' d'ordre 2  G ' l'V 7l/271
G l'V D4  G n p-l(V) = p-l(V) et G ' d'ordre 2 => G ' l'V Z/271.
. c(Z) est scindé sur K {:=> F = K {:=> FO = KO {:=> FO = G {:=> G n p-l(V) =
p-l(V) {:=> G C p-l(V). Comme l'unique sous-groupe de V qui soit transitif est V
lui-même, il vient: c(Z) est scindé sur K {:=> G = p-l(V).

202
CH. XVII. COMPLÉMENTS
. Supposons c(Z) irréductible sur K. Alors d'après XI.43, ou bien D E K 2 et G ' l'V A3,
ou bien D tf. I(2 et G ' l'V S3'
. Enfin supposons que c(Z) possède exactement une racine dans K. Alors G ' est d'ordre
2, donc G ' n'est pas isomorphe à un sous-groupe de A 3 , donc, par XI.33, D tf. K 2 .
K( .Jj5)/ K est de degré 2 donc normale, donc, d'après XI.25, le groupe de Ga-
lois Gal(K(.Jj5)/K) est isomorphe à G/K(.Jj5)O = G/Gal(L/K(.Jj5)), donc
K( .Jj5)O = Gal(L/ K( VD )) est d'indice 2 dans G. D'après XI.32, Gal(L/ K( .Jj5)) =
G n p-1(A 4 ).
- Si G l'V 7l/471, alors Gnp-1(A 4 ) l'V 7l/271, donc Gnp-1(A4) n'est pas un sous-groupe
transitif de S4, donc (XI.35) P(X) n'est pas irréductible sur K( .Jj5).
- Si G l'V D 4 , alors G n p-1(A4) l'V p-1(V), donc G n p-1(A4) est un sous-groupe
transitif de S4, donc (d'après XI.35) P(X) est irréductible sur K( .Jj5). D
6. Réduction modulo p
Définitions XVII.23 [Notations]. - Soit K un corps. Soit f(X) E K[X] un
polynôme unitaire de degré n.
Soit L = DK(f) le corps des racines de f sur K. On suppose que f(X) a n racines
distinctes dans L, on note QI,... , Qn ces n racines: f(X) = TI  l (X - Qi) dans
L[X], et L = K(Q1,' .., Qn).
On note G = Gal( L / K) le groupe de Galois de L sur K. On identifie G avec le sous-
groupe de Sn obtenu en considérant l'action de G sur l'ensemble R = {QI, . . . , Qn}
des racines de f (cf. XI.29).
D'après XI.30, L/ K est ga10isienne finie.
Soient Xl,"" X n n indéterminées (algébriquement indépendantes).
Soient K' = K(X 1 ,..., X n ) et L' = L(X 1 ,..., X n ). Il est clair que L' est un corps
de décomposition de f(X) sur K', et que G ' = Gal(L ' / K') est isomorphe à G
par l'isomorphisme: G ' ---+ G, g' t---+ g = glL (remarquer que, puisque L/ K est
normale, il n'y a pas besoin de corestreindre d'après (NOR 4)). On identifie donc
G et G ' .
Pour chaque s E Sn, on note
n n
u(s) = L as(i)X i = L ai X r 1 (i)o
i=l i=l
Remarquons que nous avons, vues les identifications successivement effectuées :
Vg E G ' = G, g(u(s)) = u(gs).
Proposition XVII.24. - Pour chaque s E Sn, u(s) est un élément primitif de
L' / K', son polynôme minimal est Ms(X) = TI9EG (X - u(gs)).
Preuve: Remarquons que u est injectif: U(Sl) = U(S2) entraine SI = S2. Par conséquent
l'orbite {u(gs), g E G} de u(s) sous l'action de G est de cardinallGI = [L' : K']. Donc
deg(Ms) = [L' : K'].
Notons T(X) = irr(u(s), K', X) E K'[X].
D'après 111.16, deg(T) = [K'(U(S)) : K']. Donc deg(T) < [L' : K'].
Pour chaque g E G, T(u(gs)) = T(g(u(s))) = g(T(u(s))) = g(O) = 0, donc Ms(X)
divise T(X) dans L'[X]. Vus leurs degrés et le fait qu'ils sont tous deux unitaires, il vient
Ms(X) = T(X); et [K'(U(S)) : K'] = [L' : K'], soit K'(U(S)) = L'.

9 6. Réduction modulo p
203
Proposition XVII.25. - Le polynôme
F(X) = II (X - u(s))
uES n
appartient à K[X 1 ,..., X n , X].
Si T(X), polynôme unitaire irréductible de K[X 1 ,... ,X n,X], divise F(X) dans
K[X 1 ,. .. , X n , X], alors il existe s E Sn tel que T(X) = Ms(X).
Preuve: En utilisant 1.69 et 1.71, on voit aisément que F(X) E K[X 1 ,..., ..Y n, X] (les
coefficients de F sont dans K, puisque ce sont des polynômes symétriques du n-uplet
al, . . . , an des racines de f(X) E K[X]).
Soit T(X) unitaire irréductible de K[X 1 ,. .. , X n , X] diviseur de F(X). Comme T(X)
diviseF(X), il existe s E Sn tel queT(u(s)) = 0; par suite Ms(X) = irr(u(s), K', X) di-
vise T(X) dans K'[X]. Mais par 1.51, T(X) est irréductible dans K'[X]. Par irréductibilité
et unitarité des deux polynômes, il vient T(X) = Ms(X).
Lemme XVII.26. - Faisons opérer Sn sur K[X 1 ,..., X n , X] de façon clas-
sique, en posant: Va E Sn, VQ E K[X 1 ,..., X n , X], (a.Q)(X 1 ,..., X n , X) =
Q(X u (l)' . . · , Xu(n), X).
Pour a E Sn fixé, l'application au : Q  a.Q est un automorphisme de K -algèbre
de K[X 1 ,... , X n , X], et laisse fixe X.
a  au est un homomorphisme injectif de groupes de Sn dans le groupe A des
automorphismes de K-algèbre de K[X 1 ,... , X n , X].
Preuve: - Le premier point est clair. - On voit facilement que: V(s, t) E Sn X Sn, on a
(VQ E K[X 1 ,... , X n , X], s.(t.Q) = (s 0 t).Q), soit as 0 at = asot. Ainsi a  au est
un morphisme de groupes de Sn dans A. Il est injectif, car au = id entraine que l'on a en
particulierpourchaquei E [l,n], XU(i) = au(X i ) = Xi, soita(i) = i.
Théorème XVII.27. - Décomposons F(X) en un produit de polynômes
irréductibles de K[X 1 ,...,X n ,X] : F(X) = T 1 (X)...T m (X). (Quitte à multi-
plier par des éléments de K*, on peut supposer tous les Ti unitaires).
Pour g E Sn, on a : g E G <=} (Vi E [1, m], g.T i = Ti). Autrement dit: le groupe
de Galois du polynôme f est isomorphe au sous-groupe de Sn formé des permu-
tations qui laissent fixes chacun des facteurs unitaires irréductibles de F(X) dans
K [Xl, . . . , X n ] [X] ·
Preuve:. [=>] Supposons g E G. Soit i E [l,m]. D'après la proposition précédente, il
existe s E Sn tel que Ti(X) = Ms(X). Alors
((g-l ).Ti)(X) = (g(Ms))(X) = 9 (IlhEG (X - u(hs))) = IlhEG (X - g(u(hs))) =
IlhEG (X - u(ghs)) = Ms(X) = Ti(X), car l'application (h  gh) est une
permutation du groupe G. Ainsi g-l laisse fixes tous les Ti. Il en va donc de même
pour g.
. [<=] Soit s E Sn avec (Vi E [1, m], s.T i = Ti). A fortiori (Vi E [1, m], (S-l ).T i = Ti)'
Considérons 0 = u(id) = E  1 aiXi. 0 est une racine de F(X) dans L', donc
(:1i E [1, m] t.q. Ti(X) = irr(O, K', X)). Le fait que (S-l ).T i = Ti montre (puisque
Ti(U(S)) = ((s-1).Ti)(8)) que u(s) = E  l aS(i)X i E L' vérifie irr(u(s), K', X) =
Ti(X), donc est un conjugué de 0 sur K', donc il existe g E G = Gal(L ' / K') tel que
u(s) = g(O), c'est-à-dire tel que u(s) = u(g). u étant injective, s = g. Donc s E G. D
Théorème XVII.28. - Soit f(X) E Z[X] un PolYIlôme unitaire de degré n. Soit p
un nonlbre premier. Soit f (X) le polynôme obtenu en remplaçant chaque coefficient
de f(X) par sa classe modulo p. f (X) E IFp[X] est unitaire de degré n. On suppose

204
,
CH. XVII. COMPLEMENTS
que f (X) a n racines distinctes Pl, . . . , Pn dans son corps de décomposition D JFp ( f ).
Alors il existe une bijection (ŒI, . . . , Œ n ) ---+ (Pl, . . . , Pn) entre les racines de f et
celles de f , et un plongement (= un homomorphisme de groupes injectif) du groupe
de Galois de f sur IFp comme sous-groupe du groupe de Galois de f sur Q, qui
fournit un isomorphisme pour l'action de ces groupes sur les ensembles de racines.
Preuve : Notons s la surjection canonique de Z sur IFp : s est un homomorphisme
d'anneaux. Soit s l'application: Z[X]  IFp[X] déduite de s (à un polynôme R à
coefficients entiers relatifs, s associe le polynôme obtenu en remplaçant chaque coefficient
de R par sa classe modulo p). s est encore un homomorphisme surjectif d'anneaux.
f (X) = s(f(X)) E IFp[X] est un polynôme unitaire de degré n. Par hypothèse, f (X) a
n racines distinctes Pl, · · . , Pn dans son corps de décomposition DJF p ( f ).
On applique la démarche précédente, avec K = Q. On voit aisément, en utilisant 1.69
et 1.71, que le polynôme F(X) du XVII.25 appartient à Z[XI,...,Xn,X]; puis que
n - ,- "
IlaEsn (X - Ei=l Pa(i)X i ) = F(X), ou F(X) = s(F(X)).
Notons G (resp. G ) le groupe de Galois de f(X) sur Q (resp. f (X) sur IF p ). Décomposons
F(X) en un produit de polynômes irréductibles unitaires de Q[X I ,..., X n , X] :
F(X) = TI(X)... Tm(X). (*)
Le lemme VI.8 montre que les Ti appartiennent tous à [XI,'" , X n , X]. Réduisons
modulo p les coefficients des polynômes de (*) (c'est-à-dire appliquons s aux deux
membres), il vient F (X) = Tl (X) . . . T m (X).
Soit g E G . g est, d'après le théorème précédent, un élément de Sn qui laisse fixes tous
les facteurs unitaires irréductibles de F (X) dans IFp[X]. Comme chaque Ti (X) est un
produit de facteurs unitaires irréductibles de F (X) dans IFp[X], g laisse fixes, a fortiori,
TI (X),..., Tm (X). Or l'opération de Sn sur IFp[X I ,..., X n , X] décrite dans le lemme
précédent est formellement la même que celle de Sn sur Q[X l, . . . , X n , X] (autren1ent
dit g et s commutent). Donc, dans l'opération de Sn sur Q[X I ,. . . , X n , X], g laisse fixes
TI(X),..., Tm(X). Donc (théorème précédent) g E G.
On obtient ainsi: G est un sous-groupe de G.
Effectuant une réindexation de l'ensemble {Pl, . . . , Pn}, on a la conclusion annoncée. D
EXEMPLE XVII.29. - Soit f(X) = X S - X - 1 E Z[X], G le groupe de Galois
de f sur Q. La réduction modulo 5 montre, en utilisant XIV.6 et 1.54, que f(X)
est irréductible dans Z[X], donc aussi (1.51) dans Q[X]. Le réduit modulo 2 de
f(X) est égal au produit de X 2 + X + 1 et X3 + X 2 + 1, tous deux irréductibles
dans IF 2 [X] par 1.46-(4). D'après le théorème précédent, G contient un 5-cycle et
un élément de type a = (ab)(ijk), produit d'une transposition et d'un 3-cycle
disjoints. A fortiori a 3 = (ab) E G.
Ainsi G contient un 5-cycle et une transposition. Donc (XIV.21) G = 8 s .

CHAPITRE XVIII
PROLONGEMENTS
1. Théorie de Galois constructive
Lemme XVIII.! [Théorème de CAYLEY]. - Soit G un goupe fini d'ordre n. G est
isomorphe à un sous--groupe de Sn.
Preuve: A chaque élément g de G, associons l'application tg : G  G, x  g.X.
Clairement (Vg E G, tg E S(G)), et T : G  S(G), g  tg est un homomorphisme
de groupes. Si g E ker(T), soit tg = ida, alors g = tg (e) = e. Donc T est injectif. Ainsi
tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe de S(G).
G est fini d'ordre n, donc il existe une bijection b : [1, n]  G. Alors l'application
4> : S(G)  Sn, S  b- 1 0 S 0 b est un isomorphisme de groupes. 4> 0 T est un
homomorphislne de groupes injectif de G dans Sn, donc G est isomorphe au sous-groupe
(4) 0 T)(G) de Sn.
Théorème XVIII.2. - Soit G un groupe fini. Il existe un couple (Q, R) de corps
tel que R extension galoisienne de Q et Gal(R/Q) isomorphe à G.
Preuve: . Notons n l'ordre de G. D'après le théorème de CAYLEY, il existe un homomor-
phisme de groupes injectif i de G dans Sn.
. Rappelons la démarche classique vue au XI.36. Soit K un corps. Notons
R = K()( 1, . . . , X n ) le corps des fractions rationnelles à n indéterminées sur le corps K
et posons :
Va E Sn, Vf E K(X 1 ,..., X n ), (a.f)(Xl"" , X n ) = f(Xa(l)"'" Xa(n))'
Pour a E Sn fixé, l'application Ua : f  a.f est un automorphisme de K -algèbre de
R = K(X 1 ,. . . , X n ). U : a  Ua est un homomorphisme injectif de groupes de Sn dans
le groupe Gal( R/ K) des automorphismes de K -algèbre de R.
. Le sous-groupe G ' = (uoi)(G) de Gal(R/ K) est isomorphe à G. Posons Q = Fix(G ' ).
Comrne G ' est fini d'ordre n, on a d'après XI.3 : R/Q est galoisienne de degré n et
Gal(R/Q) = G ' . D
REMARQUE XVIII.3. - Question: Ce résultat préliminaire amène naturellement à
se poser la question suivante :
Soit G un groupe fini. Existe-t-il une extension galoisienne finie E de Q dont le
groupe de Galois est isomorphe à G ?
La réponse à cette question est connue dans un certain nombre de cas:
- la réponse est oui si G = Sn, où n E N*
- la réponse est oui si G = An, où n E N*
- la réponse est oui si G est un groupe abélien fini
- plus généralement, la réponse est oui si G est un groupe résoluble fini
- enfin, la réponse est oui pour toute une liste de groupes simples finis.
Les deux premiers cas ont pu être traités grâce à une méthode développée par D. HILBERT
et E. NOETHER, exposée dans [56]; le quatrième fait l'objet d'un remarquable article de
SHAFAREVICH [65]; enfin la réalisation de certains groupes finis simples comme groupes de

206
CH. XVIII. PROLONGEMENTS
Galois sur Q a été effectuée dans les années] 980 par J.G. THOMPSON et par une équipe
de mathématiciens de l'Université de Karlsruhe, autour de G. MALLE et B.H. MATZAT : on
pourra consulter [58]. L'union de tous ces travaux forme ce que l'on appelle la "Théorie
de Galois constructive". On trouvera une introduction à cette théorie dans l'article [64].
A un niveau plus élémentaire, on pourra voir, à titre d'exemples, l'article [49] dans lequel
est construite une extension galoisienne L de Q telle que Gal(L/Q) soit isomorphe au
groupe quaternionien 1HI 8 ; et le livre [3], tome 1, page 261, où N. J ACOBSON expose une
méthode, due à R. BRAUER permettant de construire un polynôme de degré p premier qui
vérifie les hypothèses de XIV.22 (donc, dont le groupe de Galois sur Q est isomorphe à
Sp).
Enfin, la fin de ce paragraphe sera consacrée à la démonstration du résultat suivant:
Théorème XVIII.4. - Soit n E N*. Il existe un polynôme de degré rt à coefficients
dans Q dont le groupe de Galois sur Q est isomorphe à Sn.
Lemme XVIII.5. - Soit n > 3. Soit H un sous-groupe de Sn. Si H est transitif
et contient une transposition et un (n - 1 )-cyc1e, alors H = Sn.
Preuve: . Rappelons que, pour tout k-cycle (al, . . ak) et tout f E Sn, on a f 0 (al, . . ak) 0
f- l = (f(al)'" f(ak))' H contient un (n - l)-cycle c = (XlX2... Xn-l) et une
transposition t. Notons X n l'élément de [1, n] \ {Xl," . , Xn-l}, et considérons l'élément
u de Sn tel que: Vi, u( i) = Xi. Quitte à remplacer H par son conjugué u 0 Hou -1, qui
est encore un sous-groupe transitif de Sn, et contient u 0 t 0 U -1 qui est une transposition,
on peut donc supposer que c = (12. . . n - 1).
. Notons t = (ab). Comme H est transitif, il existe h E H tel que h( b) = n.
Notons h(a) = k : alors k < n, et hot 0 h- 1 = (kn) E H.
Vi E [1, n - 1], c i - k 0 (kn) 0 (c i - k ) -1 E H, or (calcul facile) c i - k 0 (kn) 0 C k - i = (in).
Donc H contient toutes les transpositions (1 n), (2n), . . . , (n - 1, n).
. Or pour i -1 j < n, (ij) = (in) 0 (jn) 0 (in); donc H contient toutes les transpositions.
D'où, comme l'ensemble des transpositions engendre Sn, le résultat annoncé.
Lemme XVIII.6. - Soient d E 1'1* et p un nOlnbre premier. Il existe un polynôme
unitaire à coefficients dans Z, de degré d, dont le réduit modu1o p est irréductible
dans IFp[X].
Preuve: D'après VII.25, il existe f(X) E IFp[X] irréductible de degré d. Quitte à diviser
f (X) par son coefficient dominant, on peut supposer f (X) unitaire. Il ne reste 'plus qu'à
prendre P(X) E Z[X], unitaire, tel que le réduit modulo p de P(X) est f(X).
Démonstration de XVIII.4 : C'est trivial pour n = 1 ou 2. Supposons n > 3.
- Par XVIII.6, il existe un polynôme unitaire P 2 (X) E Z[X] de degré n, dont le réduit
modulo 2 est irréductible dans IF 2 [X].
- Par XVIII.6, il existe un polynôme unitaire Q3(X) E Z[X] de degré n -1, dont le réduit
modulo 3 est irréductible dans IF 3 [X]. P 3 (X) = XQ3(X) est alors un polynôme unitaire
de Z[X] de degré n, dont le réduit modulo 3 a un diviseur irréductible dans IF 3 [X] de degré
n -1.
- Par XVIII.6, il existe un polynôme unitaire A(X) E Z[X] de degré 2, dont le réduit
modulo 5 est irréductible dans IF 5 [X].
Si n - 2 est impair, on prend par XVIII.6 un polynôme unitaire B(X) de Z[X] de
degré n - 2, dont le réduit modulo 5 est irréductible dans IF 5 [X].
Si n = 4, on prend B(X) = X et C(X) = X - 1.

9 2. Généralisations de la théorie de Galois classique
207
Si n = 8, on prend B(X) = X, et par XVIII.6 un polynôme unitaire C(X) de
Z[X] de degré 5 dont le réduit modulo 5 est irréductible dans IFs [X].
Si n - 2 est pair et n  {4, 8}, on prend par XVIII.6 deux polynômes unitaires
B(X) et C(X) de Z[X] de degrés respectifs 3 et n - 5 dont les réduits modulo 5 sont
irréductibles dans IFs [X].
On pose enfin Ps (X) = A(X)B(X) ou A(X)B(X)C(X) : Ps (X) est alors un polynôme
unitaire de Z[X] de degré n, dont le réduit modulo 5 est produit d'un polynôme iréductible
de degré 2 de IFs [X], par un polynôme irréductible de degré impair de IFs [X] ou par le
produit de deux tels polynômes non associés.
. Posons P(X) = -15P 2 (X) + 10P 3 (X) + 6P s (X). Notons G le groupe de Galois de
P(X) sur Q. P(X) est un polynôme unitaire de Z[X] de degré n.
- Le réduit modulo 2 de P(X) est le réduit modulo 2 de P 2 (X), qui est irréductible dans
IF 2 [X]. Donc (1.54) P(X) est irréductible dans Z[X], donc aussi (1.51) dans Q[X]. Donc
(XI.35) G est un sous-groupe transitif de Sn.
- Le réduit modulo 3 de P(X) est le réduit modulo 3 de P 3 (X). Donc d'après XVII.28,
G contient un (n - 1 )-cycle.
- Enfin le réduit modulo 5 de P(X) est le réduit modulo 5 de Ps(X). Donc d'après
XVII.28, G contient un élément du type t 0 f, où t est une transposition et f est ou bien
id, ou bien un cycle de longueur impaire disjoint de t, ou bien la composée de deux tels
cycles disjoints. Mais alors f est d'ordre m impair, et comme t = t m 0 fm = (t 0 f)m, il
vient t E G.
. D'après XVIII.5, il vient G = Sn. D
2. Généralisations de la théorie de Galois classique
La théorie de Galois classique, celle des extensionsfinies d'un corps commutatif, que nous
avons présentée dans ce livre, a été généralisée dans plusieurs directions différentes. Nous
indiquons dans ce paragraphe quelques-unes de ces intéressantes généralisations. Dans
chaque cas, nous avons préféré fournir au lecteur une bibliographie détaillée -et l'inviter
à la consulter- plutôt que lui présenter un résumé qui ne serait que de la vulgarisation, et
quasi une offense pour les auteurs des remarquables travaux effectués.
Théorie de Galois infinie
Due à KRULL, cette branche de la théorie de Galois envisage le cas où l'extension algébrique
L de f( n'est plus supposée être un K-espace vectoriel de dimensionfinie. Nous avons en
fait donné quelques résultats de cette théorie, en ne mettant pas l'hypothèse "de type fini"
là où elle n'était pas nécessaire.
On dit que L / K est galoisienne si, et seulement si, elle est algébrique, séparable et normale.
Ceci est équivalent (cf. XI.I) à la condition: K = Inv(Gal(L/ K)). L'idée essentielle de
la théorie de Galois infinie consiste à considérer le groupe Gal(L/ K) comme un groupe
topologique, plus précisément à le munir de la topologie, invariante par translations, pour
laquelle un système fondamental de voisinages de id L est formé des groupes Gal(F / K),
où F est un corps intermédiaire qui est galoisien fini sur K.
L'un des premiers résultats de la théorie de Galois infinie est le suivant: pour 1-1 sous-groupe
de Gal(L/ K), H = Gal(Inv(H)/ K) si et seulement si H estfermé dans Gal(L/ K).
Le lecteur intéressé pourra consulter ie chapitre VII de [33] (ou le chapitre VI de [19], ou/
[50] tome 2 page 100) pour une première approche, et [16] pour une présentation complète
de la théorie de Galois infinie.

208
CH. XVIII. PROLONGEMENTS
Théorie de Galois des anneaux commutatifs
Assez récemment (si l'on considère le fait que la plupart des résultats donnés dans le présent
livre datent du XIX-ième siècle), a été mise parfaitement au point une théorie de Galois
des anneaux commutatifs qui redonne, dans le cas des corps commutatifs, les résultats
usuels. Les "pères fondateurs" de cette théorie sont CHASE, HARRISON et ROSENBERG, dont
on pourra consulter l'article [44]. On pourra également se référer aux exposés donnés dans
[48] et [51] et voir le chapitre "Extensions of Rings" dans une édition récente de [5].
Théorie de Galois des corps gauches
On appelle corps gauche un corps non commutatif. Les anglophones emploient in-
différemment l'une ou l'autre des expressions "division ring" ou "skew field". Un exemple
très classique de corps gauche est le corps 1HI des quaternions, inventé (ou découvert? vaine
polémique. . . ) par HAMILTON au XIX-ième siècle, au sujet duquel le lecteur pourra con-
sulter [10].
Indépendamment, H. CARTAN et N. JACOBSON ont développé une théorie de Galois des corps
gauches. On la trouvera exposée dans [53]. .
3. Théorie de Galois différentielle
Dans ce paragraphe, nous donnons les prémisses de la théorie de Galois différentielle. Nous
laissons au lecteur, à titre d'exercice (facile) le soin de démontrer les résultats énoncés
jusqu'à XVIII. 15 .
Définition XVIII.7. - On appelle corps différentiel un corps H muni d'une
dérivation, c'est-à-dire d'une application D : H  H qui vérifie:
V(a, b) E H 2 , D(a + b) = D(a) + D(b) et D(ab) = D(a)b + aD(b).
EXEMPLES XVIII.8. - 1) Le corps K(X) des fractions rationnelles à coefficients
dans K, muni de la dérivation usuelle des fractions, est un corps différentiel.
2) Soit f2 un ouvert connexe de C. Le corps M(f2) des fonctions méromorphes
sur f2 (c'est-à-dire le corps des fractions de l'anneau intègre H(f2) des fonctions
holomorphes sur f2), mtlni de la dérivation ordinaire, est un corps différentiel.
Les trois propositions suivantes montrent que si H est un corps différentiel, des règles de
calcul usuel des dérivées s'appliquent à la dérivation D.
Proposition XVIII.9. - D(l) = O. Plus généralement: Vz E Il, D(zl) = O.
Preuve: D(l) = D(l x 1) = D(l)l + 1D(1), donc D(l) = O. Et comme D est un
endomorphisme de groupe de (H, +), on a : Vz E Il, D(zl) = zD(l).
Proposition XVIII.I0. - Pour x E H*, D( ) = -  D(x); plus généralement :
"ln E Il, D(x n ) = nx n - 1 D(x).
Preuve: 0 = D(l) = D(x) = D(x)i + xD(), donc D() = -D(x). On montre
facilement par récurrence sur n E N* que D(x n ) = nxn-l D(x). Pour n < 0, il vient
D(x n ) = D( xn ) = -( xn )2D(x-n) = -x 2n (-nx- n - 1 D(x)) =nx n - 1 D(x).
PropositionXVIII.ll.- Pour (u,v) EH x H*,D(  ) = D(u)vuD(v) .
Preuve : D (  ) = D ( u )  + uD (  ), donc, d'après la proposition précédente,
D(  ) = D(u) - u v 1 2 D(v).
Proposition XVIII.12 [et définition]. - Soit (H, D) un corps différentiel.
C = {x E HI D(x) = O} est un sous-corps de H (il contient donc le sous-corps
premier de H). On l'appelle le corps des constantes de H.

9 3. Théorie de Galois différentielle
209
Preuve: C est le noyau de D, endomorphisme de groupe de (H, +) donc est un sous-
groupe additif de H. D(l) = 0, donc 1 E C.
(x, y) E C 2 => D(xy) = D(x)y + xD(y) = Oy + xO = 0 => xy E C.
Enfin, pour x E C*, comme D( ) = - x I2 D(x), on a  E C.
EXEMPLES XVIII.13. - Pour H = C(X), et pour H = M(O) (0 ouvert connexe de
C), le corps des constantes de H est C.
Définitions XVIII.14. - Soit (H, D) un corps différentiel.
Un sous-corps différentiel de H est un SOlls-corps F de H stable par D et qui
contient le corps des constantes de H. On dit aussi que H est une extension
différentielle de F.
Un automorphisme différentiel (ou D-automorphisme) de H est un automorphisme
a de H tel que : Vx E H, D(a(x)) = a(D(x)). L'ensemble AutD(H) des
automorphismes différentiels de H est un gToupe (car sous-groupe de Gal(H/C)).
Proposition XVIII.15 [et définition]. - Soit L/ K une extension différentielle.
L'ensemble des automol'phismes différentiels de L qui laissent fixe chaque élément
de K est un sous--groupe de AutD(L) : on l'appelle le groupe de Galois différentiel
de L/K, et on le note GalD(L/K).
REMARQUE XVIII.16. - On peut alors étudier la correspondance de Galois
différentielle :
- A chaque corps différentiel intermédiaire M (c'est-à-dire sous-corps différentiel
de L contenant K), on associe MO = GalD(L/M) = {a E GalD(L/K)/Vm E
M,a(m) = m} : MO est un sous-groupe de GalD(L/K).
- A chaque sous-groupe H de GalD(L/ K), on associe Hf = Fix(H) = {l E L/Vh E
H, h(l) = l} : Hf est un sous-corps différentiel de L contenant K.
Preuve: Il est clair que Hf est un sous-corps de L et contient K. Et pour l E Hf, on a :
Vh E H, h(D(l)) = D(h(l)) = D(l), donc D(l) E Hf.
REMARQUE XVIII.17. - Un autre aspect de la théorie de Galois différentielle,
intéressant par ses applications au calcul des primitives et à l'étude des équations
différentielles, consiste à étudier une version différentielle de la théorie de la
résolution des équations par radicaux du chapitre XIV.
Définition XVIII.IS. - Soit L/ K une extension différentielle. On dit que Lest
une extension de LIOUVILLE de K si, et seulement si, il existe une suite (Ki)iE[Ot n ]
de sous-corps de L telle que: K = Ko C KI C .... C Kn = L, où, pour chaque i,
Ki+I est de la forme Ki(ti), et ti est un élément de L qui vérifie au moins l'une
des trois propriétés suivantes :
(1) t i est algébrique sur Ki
(2) il existe a E Ki tel que D(ti) = a
(3) il existe a E Ki tel que D(ti) = ati.
Autrement dit, L est obtenu à partir de K par adjonctions successives non plus de radicaux
comme dans la théorie classique, mais d'un élément algébrique, d'une primitive (2), ou de
l'exponentielle d'une primitive (3).
On obtient alors le résultat fondamental suivant:
Théorème XVIII.19. - Si L est une extension de LIOUVILLE de K, le groupe de
Galois différentiel GalD(L/ K) de l'extension est résoluble.

210
CH. XVIII. PROLONGEMENTS
Ce résultat sert à démontrer que de nombreuses équations différentielles ne peuvent être
résolues sous une forme explicite. Par exemple, une équation différentielle aussi "gentille"
que y" = xy ne peut être "résolue par quadrature", c'est-à-dire que ses solutions ne
peuvent s'exprimer sous la forme d'une combinaison finie de fonctions élémentaires et
algébriques et de leurs intégrales premières. En d'autres termes, "il n' y a pas de formule".
Le lecteur intéressé par la théorie de Galois différentielle pourra consulter l'article [62],
dans lequel il est démontré que la fonction exp(z2) n'admet de primitive élémentaire sur
aucun ouvert de C, ni sur aucun intervalle de IR, et les ouvrages de référence que sont [54]
et [55].

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212
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[62] RANDÉ (B.) Primitives élémentaires; R.M.S., 94 ième année (1983-1984), N°9 (Mai 84), page 375.
[63] RIVLIN (T.J.) rrhe Chebyschev polynomials; John Wiley, New York (N.Y.), 1990 (2nd ed.).
[64] SERRE (J.P.) Groupes de Galois sur Q; exposé n0689 (Novembre 1987), Séminaire Bourbaki 87-88,
Astérisque nO 161-162, pp. 73-85, S.M.F., Paris, 1989.
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[66] THEODOR (R.) Initiation à l'analyse numérique; Masson, Paris, 1986 (2ème ed.).
[67] WARUSFEL (A.) Sur quelques clôtures algébriques; R.M.S., 86 ième année (1975-1976), N°3 (Novem-
bre 75), page 161.
[68] WARUSFEL (A.) Structures algébriques finies; Hachette, Paris, 1971.
[69] WINTER (D.) The Structure of Fields; Springer-Verlag (GTM 16), Heidelberg, 1974.

Index terminologique
Après chaque terme figure la référence où il apparait dans le cours, le lecteur trouvera
lui-même les applications dans les exercices.
[I]
Corps : 1.5
algébriquement clos: V.23
cyclotomique : VL4
de décomposition: V.14
de GALOIS: VIL18
de rupture: V.1
des fractions : 1.10
des invariants : 11.36
des racines: V.38
des racines n-ièmes de l'unité :
XIL1
fini : VII. 1 7
fixe : II.36
intermédiaire : 11.11, XLII
parfait : VIII.17, XI. 2
premier : 1.36
quadratique : III. 20
Correspondance de GALOIS: XL16
Critère d'EISENSTEIN: 1.52
Cycle : XIII. 22
Cyclotomique (polynôme) : V1.5, XIL10
ABEL-RuFFINI (théorème d') : XVL7
Action transitive : XI.35
Adjonction symbolique: V.6
Algébrique
clôture - : V.29
élément - : 111.1
extension - : 111.37
fermeture - : 111.36
nombre - : III. 55
Algébriquement clos (corps) : V.23
Angle
- constructible: IV.23
- trisectable: IV.24
Annulateur (idéal) : 111.1
ARTIN-SCHREIER (théorème d') : XIV.5 et
XIV.8
A utomorphisme
de corps : II.25
de FROBENIUS : VII.14
[!]
[EJ
Base
D'ALEMBERT-GAUSS (théorème de) :
V.26, XVII.6
Décomposition (corps de) : V.14
DEDEKIND (lemme de) : II.32
Degré
d'un élément: 111.15
- d'une extension: II.5
- de transcendance: XV.27
- séparable: VIIL25
Dépendance algébrique: XV.2
Dérivé (groupe -) : XIIL8
Dérivée (formelle) : VIIL3
Déterminant de SYLVESTER: IX.42
DIRICHLET (cas particulier du théorème
de -) : VII.13
Discriminant : IX. 23
Distingué (sous-groupe -) : XL22
Duplication du cube: IV.22
de transcendance: XV.16
normale: XVIL10
BURNSIDE (théorème de) ; XIIL39
@]
Caractéristique
- d'un anneau: 1.29
- polynôme - : IX.7
CARDAN (méthode de) : XVI.13
CAUCHY (théorème de) : XIIL48
CAYLEY (théorème de) : XVIIL1
Clôture
- algébrique: V.29
- normale: X.15
Conjugaison: V.41
Conjugués
-- éléments - : 111.31, V.41
.- sous-corps - : XI.19
Constructible
angle - : IV.23
- nombre - : IV.7
- point - : IV.3
- polygone - : VI.32
Contenu d'un polynôme: 1.49
[!J
EISENSTEIN (critère d') : 1.52
Elément
algébrique : 111.1
primitif : II. 20, VIII. 22
- séparable: VIIL12

214
Index terminologique
- transcendant: 111.1
Eléments conjugués: V.4l
Eléments t-libres : XV.6
EULER
- indicateur d' : 1.14
- théorème d' : 1.17
Extension: 11.1
abélienne : XI.26
algébrique : III. 37
cyclique : XI.26
de degré fini : II. 5
de type fini : II.1 7
finie: 111.44
galoisienne : XI.4
galoisienne finie: 11.34, XI. 7
monogène : II.20
normale: X.l
par radicaux: XIV.9
quadratique: 111.20
quasi galoisienne : X.l
séparable: VIII.14
simple: 11.20
transcendante : 111.37
transcendante pure: XV.19
[!]
FERMAT
- petit théorème de - : 1.18, VII.16
- nombres de - : VI.35
Fermeture algébrique : 111.36
Fermeture galoisienne : X.20
FERRARI (méthode de) : XVI.14
Finie (extension) : 111.44
Fonctions symétriques élémentaires :
1.62
Fractions rationnelles symétriques :
XI. 37
FROBENIUS
endomorphisme de - : VII.14
matrice de - : IX.3
@]
GALOIS
corps de - : VII.18
- correspondance de - : XI.16
- groupe de - : II.28
- théorème de - : VII.42
GAUSS .
formule de - : 1.23
- lemme de - : I.50
- somme de - : XII.23
- théorème de - : VI.38
Générateurs
- t-générateurs: XV.13
Groupe
alterné : XIII.22
cyclique: I.24
de GALOIS: II.28
de KLEIN : XI.46
dérivé: XIII.8
diédral : XI. 53
multiplicatif d'un corps : VII. 7
opérant sur un ensemble :
XIII.35
résoluble : XIII.14
simple : XIII.17
symétrique: XIII.22
transitif: XI.35

HERMITE (théorème d') : III.59
HILBERT (théorème 90 de) : XIV.3
Homomorphisme : 1.3
K-homomorphisme : 11.23
[]
Indépendance algébrique: XV.6
Indicateur d'EuLER : 1.14
Invariant: II.36
Irréd uctible (polynôme) : 1.43
cg
Legendre (symbole de) : XII.18
Lemme
- de DEDEKIND : II.32
- de GAUSS : 1.50
LINDEMANN (thm. de) : III.60
Loi de réciprocité quadratique: XII.25
Longueur d'une suite de composition :
XIII.5
LÜROTH (théorème de) : XV.35

Matrice-compagnon : IX.3
Méthode de CARDAN: XVI.13
Méthode de FERRARI: XVI.14
Minimal (polynôme) : 111.4
MÔBIUS (fonction de) : VII.33
Monogène (extension) : II.20
Multiplicité (d'une racine d'un
polynôme) : 1.45
ŒJ
Nombre
- algébrique: 111.55
- constructible: IV.7
- de FERMAT : VI.35
Normale
- base - : XVII.lO
- clôture - : X.15
-- extension - : X.l
Norme: IX.7

Index terminologique
215
[!]
PÉPIN (test de) : XII.30
Polynôme
caractéristique : IX.7
cyclotomique : VI. 5, XII. 1 0
générique: XVI.2
irréductible : 1.43
minimal : 111.4
primitif : 1.49
réciproque : VI. 22
résoluble par radicaux: XIV.14
scindé : 1. 45
séparable : VIII. 7
symétrique : 1. 60
Premier (sous-corps) : 1.38
Primitif
- élément - : 11.20
- polynôme - : 1.49
.- théorème de l'élément - : VIII.23
Primitive (racine de l'unité) : Vl.l,
XII.8
Prolongement des isomorphismes :
111.29, V.36
@]
Quadrature du cercle: IV.20
[!]
Racine (d'un polynôme) : 1.45
Racine primitive de l'unité : VI. 1 , XII.8
Raffinement d'une suite normale:
XIII.4
Résoluble
- équation - par radicaux: XIV.14
- groupe - : XIII.14
Résultant : IX.36
Rupture (corps de) : V.l
o
Séparable
- élément - : VIII.12
- extension - : VIII.14
- polynôme - : VIII. 7
Simple
- extension - : II.20
- groupe - : XIII.17
Sous-corps : 1. 25
- fixe: 11.37
- premier: 1.38
Sous-groupe distingué : XI. 22
STEINITZ (théorème de) : V.34
STICKELBERGER (théorème de) : XVII.9
Suite de composition : XIII.5
SYLOW
- sous-groupe de - : XII1.42
- théorème de - : XIII.46
Symétrique
fraction rationnelle - : XI. 37
groupe - : XIII. 22
polynôme - : 1.60
[!]
Test de PÉPIN : XII.30
Théorème
- d'ABEL-RuFFINI: XVI.7
- d'ARTIN-SCHREIER: XIV.5 et
XIV.8
de BURNSIDE : XIII.39
- de CAUCHY : XIII.48
- de CAYLEY: XVIIl.l
- de D'ALEMBERT-GAUSS : V.3,
XVII.6
- de DIRICHLET (cas particulier
du) : VII.13
de l'élément primitif: VIII.23
d'EuLER: 1.17
petit - de FERMAT: 1.18, VII.16
de GALOIS : VII.42
de GAUSS : VI.38
d'HERMITE : 111.59
de HILBERT (Satz 90) : XIV.3
de LINDEMANN : 111.60
de LÜROTH : XV.35
de STEINITZ : V. 34
de STICKELBERGER : XVII.9
de SYLOW : XIII.46
de WANTZEL: IV.12, XVII.2
de WEDDERBURN : VII.4
de WILSON: VII.20
Tour d 'extensions : II.10
Trace: IX.7
Transcendant
- élément - : 111.1
- extension - : 111.37
Transitive (action -) : XI.35
Trisection de l'angle : IV. 31

W ANTZEL (théorème de) : IV.12, XVII.2
WEDDERBURN (théorème de) : VII.4
WILSON (théorème de) : VII.20
[!]
. Zéro d'un polynôme : 1.45

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grandes écoles
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Matique. Chqlle volUlne cômpo't ... lIn exposé dll cours
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ouvrages. ont tous l!ne grande eXRérience de l'enseigne-
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La. thQrJe qui porte son- nom a_encore prouvé sa
modeq)it é et sa puissance, en.jouant un rôle essen- 1
tiel dans la démonstration", récemment achevée par
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enslgnée al)X étudiants de seçond cycle (licence,
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C.eJivt: s'adress à eux, ains' . u'allX candidats a
contQurs de recrutement de 'P;rofesseurs (CAP.
agrégatipflj.
Son auteur s'est donné pour but d'offrir U11
ouVffi qui soit à la ,fois complet et accèssible. Il
pourra-dQ.nc . aussi intêfeser les étudiants de pre-
mier cycle i et des classes prparatoires scienti-
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