Text
53/
..липсторство высиего и сродного специального образования СССР
„Москонекое ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
еисшое техническое училище шл. Н.Э.Баумана
В.В.Дубинин, Н.П.Никитин, 0.И.Феоктистова
Утверждены
родсоветом ЮТУ
ОБЩИЕ TEOP0.il ДШАМИКИ
«Методические указания
и курсовая работа по динамике
Под редакцией В.В.Дубинина
.. . ж
fi.iL /:MO'- ! т> \
lOCKBd
Рецензенты: к.т.н. доц. Г.А.Тшлойоев.
к.т.н. доц. Ф.И.Фурс.чк
@ Московское пнсшов техническое училище ил. Г.чулана1
лажая работа представляет собой раздел i:y псовой работн
курса теоретической механики но то?ло "Общие творог dj динамики".
• ь дал тор Н.Н.Фи1гиг>нова ,.
------- —- ____ . Корректор Л,,;..,4а потлив
'икаэ 593, ---------------- _________ ______________
'есплатно. Подлинно' х П”’1,(2‘5уч’“и:’ > ' •) Тирах 1500 экз.
-------------------- печати IQ. >.(цг. плчая 1985 г,, .4 123.
дау. lm№i s
» •’•MU'.il:-!:'
целью Косово,, работ» • .• ш,
- по ди1иГ1Л!/, механичес эй систагт
(Г’Л ются закро.ленйе знаний стулгчтпн
. студентов, получоюшх при изучении
движения сложных Механических систем.
Курсовая работа состоит из четырех разделов: общие ТСОп₽.«
адннмикн, уравнения Лагранжа второго рода, !WIH0 колебания св-
етом с одной степенью свобода., определение динамических реакций
подшипников.
Продлагаеглнй в данном методическом пособии раздел по томе
"Общие теоремы динамики” позволяет студентам научиться решать
задачи по механике с помощью общих теорем динамики £ I, 21.
Курсовая работа содержит 32 варианта задач. В конце .датоди-
ческпх указаний приведены вопроси дня сапокон- оля и список ли-
тературы. Для выполнения курсовой работы студенту необходимо
проработать § 1-7 гл. 4 учебника [ X ] и методическое пособие [ 2^ .
Полезными являются также пособия [ 3, 4 ] .
1. КРАТКИЕ TEOPETK'iECiaiE СВ&уЗНИЯ
Дифрврен11иальше уравнения движения точек любой механичес-
кой системы в векторной форме имеют вид:
—т- = F * У„ к.?,, ,
at2 * *..................
(I)
— (О
к-й точки; F4 - равнодействующая внешних
- равнодействующая всех внутрошшх сил *-й точки.
где го - дасса
сил, а гк
Их интегрирование в обще;.! случав - задача очень трудная. Поэто-
му необходимо получить дкр^ерешшалыше уравнения движения ме-
ханической системы в некотором специальном виде, к которому при-
водят общие теоремы динамики.
Теорема о двиуеивд центра тасс мехадапоркой здстомы
Г.
N
..
где И - масса всей системы; ас - ускорение центра
мам* - равнодействующая внешних сил, действующих на К -ю
точку системы.
(2)
3
ТйО1Х?ма об нз^мюиии JUhLlSLLLi_
системы
гдэ С - во.;тор количества дьихонкя пехалпческол спстомы, г.ото-
’!Н/. является одной из мер дшгкеиич гюханпчискол системы.
количеством л* и v :»ая >чтернальио’л точки ц, называют нектон,
равняй чч.’ц.н.гм ’..iccu точки на ее скорость Ъ , г.с.
Количеством двичинил систоглн и называют векторную сумму коли-
честв движения отдельных точек системы:
Количе-
ство движения систем ьюжно ^выразить через массу системы и ско-
рости ее центра масс:
Теорема об изменения кинетического момента системы, относительно
центраG
Наряду с количеством движения в качестве векторной меры
движения используется кинетический момент. для материальной
точки массы \ движущейся со скоростью о , кинетически!.: мо-
ментом относительно какогю-либо центра О называют момент ко-
личества движения точки относительно центра О
*«» *- \ х ХГГ13
/1дя механической системы кинетическим моментом или главным
моментом количеств движения системы V . относительно центра О
не -ивавт векторную оумг.ту кинетических моментов точек этой спсте-
цц относительно центра О
р г '*4
14 " Ь М- и * .
Кинетический гаснет системы ^с1гриложен в центре 0 , относитель-
но которого он зачисляется. Кинетический момент системы относи-
дьно оси г определяется по (^юрмуле
ы
Ka = S Ма^м~’Л- .
Teopeife об измовении нинетичог "ого могюнта мехяшгческоГ.
системы относительно центра Q имеет вид:
<4)
4
ГД..( К„ - гаштшюсга:. ,У шт сиогейн относительно цент о
\М. т < ; .иЛ
>.’, ‘ '<'',иа I'or.iujiTo.i ьсе.у. ПНОИП1.ЙХ сил, пр», юхеппих г
точкам спетом; относительно того же центра с
Тоожа о- изменении кинетической энергии сиотаьм
Н качосФве скалярной пери движения в динамике материальной
точки и сех'иншеской систем» вводится кинотичоская энергия. Ки-
нетическая энергия точки V IMbI!a , гдс.й _ а5солотная ско_
рость точки. Кинетической энергией механической системы называ-
ют сумму кинетических энергий отдельных точек систем;
•«
Кинетическая энергия твердого .тела при его поступательном
движении вычисляется по формуле Г Н"1 t 1да _ ;ласса тела.
Л) - скорость любой точки тела. При вращательном движения твер-
дого тела вокруг неподвижной оси ? кинетическая энергия вычисли-
---------• а
ется ио формуле д , где J. - момент инерции тела относи-
те
тельно его оси вращения; uj - угловая скорость тела, При плоском
движении твердого тола кинетическая энергия определяется по тео-
реме Кенига [ I J :
где ттс - скорость Центра масс тела, а *^с - момент инерции тела
относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно
плоскости его движения. Теорем об изменении кинетической энер-
гии механической систем; имеет бид:
N
т-тъ - v; а (О - т: м <5>
где Т и Т - кинетическая энергия системы в рассматриваемом и
начальном положениях соответственно; ? . А( ) и . . )
сутл?ла работ всех внешних и внутренних сил, де.югвующих на chcio—
му, на перемещениях точек системы, соответствующих перемещению
системы из начального положения в рассматриваемое, 1^бота силы
на каком-либо перемещении является одно»! из основных характера—
7^тГ~Т^н1гт¥ип1гх леЛствио" ci^Fiia" этом перемещении, Жмемта?
над работа dA силы F ни эломзптарпом перемещении определя-
ется так: <’А М* ’ iW l;’- ~ 1ЧЮ,!1Щ‘|Я CIW1< F на нап^тс-ние
скорости й точки приложения силы. ;> другой э ншеи имеем
«И . Полная работа силы F на перемощении точки при-
ложения ОИЛР. от И., до Н равна кривблиноиному интегралу;
, и J1
Работа силы. нрдоожонной •'. твердому телу при. его поступательном
движении, вычисляется по формуле A i Л <':< , где ч - р.адиус-
вектор произвольной точки тела; при вращони;. тола вокруг непод-
вижной оси z А ’ ' где - момент силы относительно оси
вращения; угол поворота тола, на кото^хлл вычисляется работа
силы.
3 работе [ 2] подробно изложена методика решения задач с по-
мощью каждой из рассмотренных теорем отдельно или в их совокуп-
ности.
2. ПРМЖ ШПОШШШ РАЗДАЛА iJKObOil РАБОН! ПО ,[ИИАМИКЕ
ПО ТЕЛЕ "ОБЩИЕ ТЕОРИИ ^ШАМИКИ"
Пример I. Ройка I мас-
сой m = 2 кг движется в
гладких направляющих, накло-
ненных под углом 7^ ч?/6 РЭД-
к горизонту, под действием
постоянной силы Г , направ-
ленной также под углом
к горизонту (рис. I). Рей-
ка I находится в зацеплении
с лос'ерней 2 радиусом
ft = . . м. которая жеоТио
скреплена с барабаном 3 ра-
диусом ч - Р /2 .Па бара-
бан 3 намотана нераотяжжмая
нить, закрепленная в цент-
ре С однородного катка 4
массой М. = 2-w\ . который
катится без скольжения по
наклонной плоскости с углом наклона к гооизонту ск 7» ряд.
Нить параллельна наклонной плоскости. Шестерня 2 и барабан 3
имеют общую Л£оу их радиус инерции относительно ося
вращения . К> шестерне 2 приложен момент сил сопротивле-
ния |ч^. , гдо j*> = и,225 шле, - угловая скорость шестер-
ни. При расчетах принять в начальный момент времени
система покоилась.
Определить закон движения ройки, а также в начальный мо-
мент времени определить касательную составляющую реакции в точ-
ке зацепления рейки I и шестерни 2.
Дополнительные вопроси: каковы натяжение нити при t = 0 и
выражение для коэффициента трения скольжения, при котором каток
катится без скольжения?
Решееде . Механическая система имеет одну степень свободы.
Определим закон движения рейки I, используя теорему об измене-
нии кинетической энергии для механической системы в дифференци-
альной форме [ IJ :
еП= £
К=1 *
Кинетическая энергия системы -т-.
’ ~ 2 4— ------' 2 2
Mt1, г „
где у-д> - 5 - скорость рэйки; Oct* -у , = . Запишем кине-
матические уравнения: w = — = (си.рис. I)
Подставляя полученные выражения в формулу для кинетической
энергии, получим
гле tf'-
Дирфэронциал кинетической энергии системы
Зададим вдемтзриов .аэрвиенют рейке Др . Тогда получ®
Jo; ’ Jv>Zb , '•'''л. --4 d*/U
Сумма влементарши роист внешни.: сил
S ИА( С*’)-(F *vc-
.(означит. через Ъ выражение V vx^ 1
лдстаыяем нолуче'яййв выражения в теорему об изменении кииети-
.•окоЙ энергии:
AAd1?, - йЛб
,p.jобразуя уравнение и ш.®я
Ай *£*=Ъ, ИЛИ
• а ...
n?
поду, что v,A-:,/a
в
получим
(6)
РД° n=AQ--’ <’
Решение уравнения имеет вэд; >=>-с, *е,е *-И где г - Ъ/п
Постоянные интегрирования с.. сг определим из начальник условий
(при t’0,^-0 .6 = о ) • - В/р-, = 'с,-
Окончательно получи;.' -г (ёп-Г} * ^-х
Вычистим входящие з уравнение величины А-- 2.26^ , Vs= i. C"S<* д.
4 “г , тх - '.2S с',
Определил при t- о касательную составлявшую реакции в за-
цеплении рейки I и шестерни 2. ДисЫюренциальное уравнение по-
ступательного прямолинейного движения рейки (рис. 2):
Из уравнения (6) при г-- о имеем ё *
С) V b,G?A n.
.я U ,
Рис. 3
ные
Ответы на дополнителькче вопросы.
Опредадш величину силы натяхе, я ятв . Ди(И^Ре111^йа‘/гъ’
уравк ля плоского движения катка (рис. 3) имеют зид.
8
4
'C/'1' \ • Мч
кинематические уравнения: %-=4,^ \й. - o').
Пр-д составленья уравнений моменты сад '/угловые характеристик
движения считаем положительными, если они наиоаадеш: против/
жения часовой стрелки. Решая уравнения по известной методике
|_1, 2 ] , получим -
При
+ Л где Г - S
“ '• Ть ,2 V
t=O Ти Г 55,s U .
Условие качения катка 4 без скольжения: \ Г |<1м
тр - :
где откуда s
Пример 2. Однородный ка-
ток I массой И может катиться
без скольжения по горизонталь-
н>лг направляющим. В центре кат-
ка С шарнирно закреплен маят-
ник 2 длиной I = 0,5 м. К маят-
нику приложена пара сил с по-
стоянным моментом L . Шсса ша-
рика А no = I кг, массой
стержня АО пренебречь. В расче-
тах ПРИНЯТЬ: Am , A-'bmcjt
(рис. 4). В начальный момент
система покоилась, маятник за-
вис. 4
нимал вертикальное нижнее положение. Трением в шарнире С и тре-
нием качения пренебречь.
Определить скорость центра С катка I и угловую скорость
маятника 2 в момент, когда маятник отклонится от вертикали-на
угол су^СГ/ъ рад.
Дополнительные вопросы: чему равны при этом же положения
’ маятника его угловое ускорение , ускорение центра с катка и ре-
акция шарнира в точке С ?
Решение. Механическая система имеет две степени свобода.
Для оешения задачи используем теорему об изменении количества
движения систе’лы в проекции па ось се (рис. 5) и теорему об из-
менении кинетической энергии системы в интегральной форме [I ] :
9
Введем неподвижную систему осей координат . Положение
маятника 2 будем определять с помощью угла q , отсчитываемого
от вертикали против часовой стрелки (см. рис. 5). Абсолютная
скорость точки А по формуле сложения скоростей при сложном ее
двикении -о. -'o^+'v , где переносная скорость точки А
-й'*’ = У. ( <г_..... . тг . , у = о - скорость центра катка I).
4 л
величина относительной скорости С А - <• 6} . Количество движе-
ния системы Ц’й, * или Q-. Му.* У<Г\ • Теорема об
изменении количества движения системы в проекции на ось при-
Mi с вид:
Для катка I запишем однс из уравнений плоского движения (рис. 6),
характеризующее его движение вокруг оси, проходящей через центр
масс
И1»?
(8)
. _ го
где ж - радиус катка; у - угол поворота тка; сг 2
момент инерции относительно оси е г . Положительное ^аП^^аНй
отсчета угловых характеристик движения и моментов сил
против движения часовой стрелки. Т<^к кай каток I ка-i
скольжения, то имеет место формуласс с •*» 'У , посла диДФ8^
р«ванжя по времени получим » чу . Исключая из ( 10
дмчжну F , получим
10
ДI • mJ СЛВцД ’
Интегрируя, получим
(9)
(. 2 M * ГС?) - УтЛ <2X>S "i - 0 .
Постоянную итерирования определим из начальных условий (при
t ’ о ^лОЛс’^»^’0 »Ч - Тогда q . о . Окончательно по-
лу СИМ (£М Vго) жс = 1YSt<иг»с>, яли
К*с xV? co<i U) > (Ю)
где к х 1 v * tl
Кинетичеокая энергия система
Мх< ЧЧУ
где о? = Ч» - угловая скорость катка Ю-О,. /ч ш -<хс |ч
( <Р‘‘\ ^.5?”’* ” * ?Z Ч* ~ 2 оо.Д ч$ Й.О* .
Окончательно гыр&хэние кинетичеокой энергии пржат зид:
~Т » гг» '. ^-'ГГ Л ” "Л, - .
В начальной урэмеки кинетическая энергия сис'ге^ -••
Работа внэипуос СШ’ системы при повороте ^(таяка иа угол
У t — /2> 'К
рад.2, k .5\ 2 » работа внутренних сил раэ-
на ну/пр Г X ; n<№«'i'tw.w ладучвнннв выражении ч гесргы’ об ?>
мен&нго' 1И1Г'Тичазл)У. »яор.гйи« цри Sib .эдвэх т^даЕп-.
,•$.*£? 1**г . % Л х » пг Г’П
та?, т*ц -у ) « и - —Г" >vi
°0яея оовмвотио у^ах'ыеняя (-Г.0) и >11)» -лв . • м -.
ф = .10,36 рад/с.
Ответа на доииоилтельяыо вопросы*
Оироде?^ ./• ?л>н'.\ч уокорзняе маятника ••. .ускорен uv ;экг..
масо клтач цра ‘ ‘Т/ - “ в УР0^ЙЭНИЯ <’9) ..тг-зруэм
выражение ь оксанах;« ? ;Цг ex^«v- -'<>
чли
vc%c “ ? W W15 - </ ц> ” о.
£1
ддя нашей задача западем теорему об ивмеиении кинетической
энергжя в днйероиитьной форме [ П . Так как £ Чте|
.* Д<Н -у^члпч^. (13)
р*я ' на 41 леву» и правую чаотн уравнения (13), получим
Гло ДС*ЬП*п “*-*
гптесЧ *• i * m ? hkc слзс <jpx
* ^2* - vrx<^Q. ' (14)
Уравнение (14) упрощается о помощью уравнения (12):
пд?? ц - mi & p.CjO’h Ц * L -yy\^
Решая уравнения (12) и (15) совместно, получим при <ь рад
Ч = 36,5 рад/с2, АЁ.С = -5,33 м/с2 ( » Ом/о2).
Для определения реакции в точке о применим теорему о движе-
нии центра масс к маятнику:
та* »
<’^42 -ч-
В проекциях на оси координат Q**^
имеем (ряс. 7):
® >
^с’ Ч m ^Л C|lcA'b 4“ Ч *ь'л'
При Ч«*/Ь рад «*а« -82~н, \ = -52, U Не 3
“ 61,43 К.
Пример 3. ОдяорОдян! даох I тооой Iй и радиусом ^дк-
может вражмъоа вокруг неподвижной аертжжальярй .ои 1 ' ^о-
Фй черев одп жв диажтров двоив. Внутри гладкого г®»*^
же дажжетоя мвтержальвая точка 3 массой m = I кг. Паз да
вен к оси враценжя под углом Р*Д- Вдрл* па8*_^явя F
мв'-зржальнув точку 3 действует поото^пля ожла оопрот
(ржо. 8). В расчетах принять Р>т^/ч,ЛЛ. .В Ha'LienKax>-
мент джеку сообцвт угловая с рост* 4 P*w°»
ТО
нал точка 3 находилась в верхней
точке паза Ао , ее окорооть по
отношению к дг '.ку равнялась нулю.
Определить угловую окорооть дис-
ка I и абсолютную окорооть точ-
ки 3 » момент, когда точка 3 до-
стигнет центра диска С.
Дополнительные вопроси:
чему равны угловое ускорение
диска и абсолютное ускорение ма-
териальной точки, а также давле-
ние точки на диск в момент, ког-
да точка 3 достигнет центра С ~
диска? Трение в опорах А и не
учитывать. ЬЬооой вырезанной ча-
сти паза пренебречь.
РВИВНИ». Механическая си-
стема имеет две степени свобода.
При решении задачи используем
теорему об изменении кинетического момента системы относительно
оси г и теорему об изменения кинетической энергии системы в ин-
тех-ральной форме [ 13 :
Рио. 8
= е млО,т- v s мО.
г * ’ ° к.» *
Выберем в качестве координат, фиксирующих положение систем! в
любой момент времени, угол ц поворота диска вокруг оси а (за
положительное направление выбрано направление против движения
часовой стрелки), и координату s материальной точки на диске,
измеряемую вдоль паза 2. Начало отсчета координаты s - в точ-
ке О , совпадающей с начальным положением точки 3.
Угловая скорость диска , абсолютная скорость точки 3
*<гх, где величина переносной скорости ,
а относительной Ь • Кинетический момент системы относи-
тельно оси вращения г
Кг г'Э, со + Mx(rv\Ve> + М
но М? - о »
Окончательно К?
так как вектор пересекает ось и.
= со * w (о .
13
<5- f>-
,;y7W «омедаов ш .mx сил относительно осн z
так как (юакцая ^е> и йяла ' пересекает ось t , оилн тлке-
ств и параллельны оси * •
«L 1 u> (1 (.9. - <?Л2 ч»ч**. •- у '. 'С (jg\
di ’
Ьнтетрирул, получит/ w («"‘A <?<•’< => 1 ’г
постоянней с олредалчем из начальных условий (црь к ,с3.-. О/
о ?. - с ч v 'А') - с “ UJt 1-'?г ' А'"1'* •'
йэксь 'У.'..?. нстического момент.? >’ }' ' оиюоитальио Joh z
лрьмрт н*г-
' - n 1<‘3> » ‘' A v. <sl
<т/ч v n\'
Юи-жябсьбл siwprsH г зетg ml: t г ~’
то 7 - ~ f V -v, < 2 -4f ^сс а >
В начслы ьреиэни кяиетифэская зкергия
и£ 2 ч л
*Тв - 1 ъ’Л^ t ® & 1 ~ ~’2“ *” ? *
pav жжчт при порекященпк WTW 3 кг/ АЯЧаППЮГО
N - ч-
юхештм й дантр даьжас xi АС^-^di-?v. Г.Му
л О -А^
Е схон<1£:1г/ц>2О'л глздс теорема об игменонкр: K'^ic^ff’ecrxfi знер^’и
Зсгптаетоа
*»' *?• » • Т о / 7 Ci
‘г/ 4 V ©j’vn » Cl(yv.q cQo;</ - V\ C
- -M U»t Q*" Lr" Lb
1Дс\?^ ~ 6? уравнения (17) apt4?»' Q получаем ?. ^’c
Кгд, ТИ&ЫВйЯр что
’ 4‘ P°%lc л х ^9°^ • } ?1
Иг удетвдя (18) с учетом (19) получит - 9
ТВй мак
0"?вьтг яэ ^/Чюлнктельям^ воЩ/.он^
Определи., п^оаое ускорение дясм& v абсолютное уакор^н^
' <чкь м ° й^мб№1<. когда она. кахож. ;х ь центре диске • точке (
Ь у ъкникь. '16) даИюрвацируг; заражение в оюзбказ • полу’
4KU
14
cA • S \v <*4’^c.\ * f2V*
c< < •
(21/ цршо!ьаст вид:
* .ЧЧ’^Лз^О ‘ ’ ч^ -’
ллкклаг.л- ::vr
hiv. 9
Ц ‘Ь-?,? г./' <1 : •<' ч. » v (20?
Т.'Л0 £ * »•*> “ УТЛ0В06 УСКОрЭНИО ДИСКА ТвОрЭМа Об ИЗУЛЭ1 ’НИ?. /.‘1НОТИ-
ческой эиерл чь в ?АИ^фэро}оди1лз>1юЙ фортле запишется в вадэ г |
<ОсАи) [*Л? • о % ‘чф <,) г<‘.о И- ^<г<^сог.с> **‘Лг
Разделяя левую и правую части полученного равенства на а к
шло ом
•‘Аг I VT* ‘' J'• ;г ь'
О учето?л урэвпэушя WS) уравнение
со. 4-««; \ < ‘ ( w % у «5 г? <?
При.9»«?< уравнения <20? >. (22 У npi
ггче* »•*>>$,» с ? У ' энкума.
G.C4 W\f}
Абсолютное ускорение мате-
риальной ТОЧКИ <> "г- : *'Ч
При <s s V. нэреиоопоэ уокорэязе
х-.^о, отггоситолыюо ускорашю
аххач=ъ
oTHooffrejibKoo* До2»а;1зе то^-ац:
грдаолипейкобг уокэ;уовлэ 1лр:;о-
;тюа •/?--
10,95 m/cv О^алравяе^? уско-
рение Коряожоа ?(эрцепдакуллрям
ллоскостя чергоьа (рпо„ 9;.
Ягак^абсслютпоэ услорэяие тоткг •
а-/<сгх »2 <о?х = 12,5 х/о2.
Дзя ^иредвлопил довлэпня
точки ла даек (рис< 10) оаяя-
£ви уравнение sc даниендя в
векторной фор?.и>:
~ •'i- ““ •”*<
ггхО - V A А- м д v Г^2 .
Ото уравнение ь дроеювил на оси л
О 3.N ., -w.cj xbln cn • f^^vC • '*4
N, • ma bin cA - 4,9 H, Nrf.lT'’-0 A sViptИ095 W,
’ H «v'n; * №,'
л гл имеет зад.
15
Bic. 10
Bio. II
Пример 4. Однородный цилиндр I массой = 2 кг и радиусом
х= 0,2b м катится без скольжения по плите 2 массой М-«2гг-.
под действием пары сил с моментом Д = 2,Х 1Ьм. Плита 2 скользит
по гладкой горизонтальной плоскости 3 (рис. II). 1. начальный
момент механическая система находилась в покое.
Определить угловую скорость цилиндра I и скорость плиты в
тот момент, когда цилиндр I повернется на угол /2 рад.
дополнительно определить угловое ускорение цилиндра I и
ускорение плиты 2, а также минимальное значение коэффициента
трения скольжения, при котором возможно еще качение без сколь-
жения.
Ди =тгав™
имени в ыр„юш M ОСД « вэивяеши „«тва
1 а кинетической -неогии Ри^ Р 10) И теорем*' об иэмене-
Ргии системы в интегральной форме [ I ] :
ао. Д и .к
координаты то ПЛИТЫ 2 4>к ДОиаонив Лудам о пошдьо
отсчитываемым’от гоизомр ™ ?Иитв " углом П0В°Р0Т£ Ч
ное направление . Ут>. против часовой стрелки (положитэль-
шятн о 4 ц. ' °^ая окорооть цяли"чре со = q, окорос-ь
' «ОС шиындре ° h A^0J®T' 1 окорооть центра
центра масс С пап»- ' ’ " П₽к 8т°м переносная скорость
скоро™ ««' “°рм" . а о™0овт=»м
»».J J*"'™’’™ .^*---^,.0.
Q • Q4 vQ иля о 1 механической системы
1в („.о.ВЬ
скорость * X
►количество движения
то теорема об изменении количества движения в проекции -а ось пс
примет вид:
vm^Sn - Члр] - О.
(23)
Интегрируя уравнение (23), получим
Рис. 12
Постоянную С определяем из начальных условий (при [ г о - о
, <jy -о ): . Окончательно получим*™^Ч>
или
кос -*tt (24)
м
где к ч < *• £ .
-Q1 П Л м.г
Кинетическая энергия системы Т-Т>Т7-« —с * * — или
В начальный момент кинетическая энергия системы равна нулю.
Сум?.» работ внешних сил при повороте цилиндра на угол
•ё А да
К*< < 1 *3»
В окончательном виде теорема об изменении кинетической энергии
системы:
лч А-^-тг4 ч’-• (25)
• Решая совместно уравнения (24) и (25), получим q = 6,72 рад/с,
= 0,56 м/с.
Ответы на дополнительнее вопросы.
Уравнение движения центра ?лаос цилиндра-точки С в вектор-
ной форме тлеет вид (рис. 13)
ре ноское ускорение центра масс с равно ускорении iu-htu:
к "* О ' О , •- ° ‘ относительное ускорение п'У Ч ц
тогда пргекцЕК ябоолптного ускорения на сок х и имоот шщ:
= ^<-°
. Ускорение Кориолиса раско пуда, так как переносное движение
-оотутатсльное.) Уравнение (26) в проеюу.ь на осн т и ч имеет
вид;
.ix> , ч.Цл - - , (2W)
*- ’М. (266)
откуда N.г •
^^ферешдальноо уравненио вращения катка вокруг оад5 нрохо дя-
дек через центр масс. запншем в виде:
*%г Ч «Д-Гч (27)
склвчдв вс-личику сида трения ?:з урапжяий (2S&) и (27). полу-
\тк
н ГГЛ? Ч - *пч • I. . (2В;
JfOPWi л-иЦереБцир.Еание a yp'tBEsw, (23). лолучяь
( М » rtfj«» ’ *т»*»
й :29) 3I^'^
ы'д ^и-52идра в уокореигл длин г люйов тоглант врэмвш;;
t Z 1,2 Ив ':26а' опрэдаяю*
xnsfrSnAfi-'тя -г‘/ ~ :’С‘ К' Сг!?в^0лиу- И£ВЙМ&и.1:ое зкачояие
•им цглзплй г'-^52" ‘“"•с?^е!а:я« ДР» втором еще вогьюхяо кглс--
яие и-лаилро екания ‘ 1 3 , vz Кда.
й« - - * ' <'ЗО)
«иивяьное гначеии когф^вдоЕта тро-
: ------ 1
‘Тча • *гл\а *0 Мб
иогпо «а»Пгть такие иг ™орс~
V^ssi Г: 3 --е<ко/ аиаргйк сес-г^ г даИбрентицй.чо/
• 1
5 ч а ч - v-A»t (ciot 4 or- <ДСсх; * /• *Д<
=вквд WKWi т
'x? \ ( - m-f Ц* ] ¥ ц ( 5 -гт* >? ц Ч '*•') •» /л ц
откуда с учетом (29) будем иметь ), гг.ч: и гоч*х • ».
•Замечание 2. ^Шя решения можно било бы использовать и урав-
нение поступательного движения плиты 2: И '< т v’ (рис. 14)(Г'хС).
Рис. 14
3. 1<УгеОВА>( РАБОТА
Курсовая работа содержит 32 варианта задр^ (схемы задач
даны ниже).
Груз I массой п> прикреплен к нерастяжимой нити, перебро-
шенной через блок 2 массой , намотанной на барабан 3 радиу-
сом *t катка 4, который катится по горизонтальным направляющим.
Радиус катка R = Ъг , общая масса барабана и катка сч - 5 m , их
центр масс с лежит на оси катка, а радиус инерции относительно
оси катка j> = 24 . Коэффициент трения скольжения между катком
и направляющими 5 - 0,1, коэффициент трения качения -R/I35.
Блок 2 считать однородным цилиндром, трением на оси блока пре-
небречь.
I) Определить характер качения катка 4; 2) найти уравнения
движения катка 4; 3) определить силу реакции блока 2. В началь-
ный момент система покоилась. Массой нити пренебречь, 3 расче-
тах принять: ГПД m /2 , = 612 Н, = 0,35 м.
Вариант 2.
Груз I массой го прикреплен к перастяпимой нити, перебро-
шенной через блок 2 массой и намотанной на барабан 3 кат-
ка 4, который может катиться по наклонным направляющим, обра-
зующим угол (К с горизонтом. Барабан ^радиусом U жестко связан
с катком^радиусом ч. -= Q / Ь , их общая масса равна М , центр
масс С барабана и катка лежит на оси катка, их радиус инерции
относительно оси катка . Коэффициент трения скольжения
между катком и наклонными направляющими S, = 0,3. Блок 2 считать
однородным цилиндром, трением на оси блока и прением качения
пренебречь.
I
i) Определить характер качели., катка 4; 2) найти У1»авнвнил
движения катка 4; 3) определить давление на ось блока 2. в на_ '
чальннй момент система покоилась. .Массой нити пренебречь. 1
в расчетах принять: m = И|-Ъ, « h/(G , t »о. 1м , |
d -^/*2 |
Вариант 3.
Груз I дассой m (опускаясь,с помощью нерастяжимой нити при- i
ьодат .о вращение ступенчатый барабан 3 (г , ft, - радиусы ступе-
ней 2 и 3 соответственно); радиус инерции барабана относительно
его оси вращения - J1 , yv', - его масса. На большей ступени бара-
бана имеется зубчатое колесо, которое находится в эацепле!ши с
шестерней - барабаном 4 радиусом *t и массой *^г- lia барабан 4
намотана нерастяжимчя нить, прикрепленная к центру катка 5 мас-
сой М и радиусом Р , катящегося по горизонтальной направляющей.
Нить параллельна горизонтальной плоскости. Коэффициент трения
скольжения катка b о горизонтальную направляющую равен J .
Шестерню-барабан 4 и каток 5 считать однородными цилиндрами.
Массами нитей, трением качения, трением в опорах ступенчатого
барабана 3 и шестерни-барабана 4 пренебречь.
I) Определить характер качения татка 5; 2) найти уравнения,
движения катка 5; 3) определить окружную составляющую реакции в
зацеплении шестерни 4 и зубчатого колоса барабана 3, В началь-
ный момент система покоилась. В расчетах примять: М =4<о,-
- 3 тг , у - 0.6 ft, •, ft, т 5ч. х о/ьм , *4'9 » ЗДЬ ft . $ * 1
Bapwrt.1.
Груз I массе лу(опускаясь, посредством нерастяжимой ни- .
ти, переброшенной через блок 2 массой m а и намотанной на каток 3
массой w , приводит ехю в движение. Каток катится без сколь*0"
ния по плите 4 твссой М . Плита 4 движется по гладкой плоскости,
таток 3 и блок-2 считать однородными цилиндрами. Колодец в пли-
те,.-в который опускается груз, гладкий. Трением качения и тре-
тей на оси блока 2. маооой нити пренебречь.
Определить: IY окорооть груза I при епуог '1ИИ его та ^оо-
ту ч » 2) нормальное давление всей системы на горизонтальную
плоскость. В начальный момент система покоилась. 'В расчетах
^"Хр^ПТ 5^ ‘ *П‘’ ’ ' 'в0<Й' ’ V 1 "
Зубчатое колеос I жестко овяз; о о рейкой 2, движущейся
по. ту дат _ьяЬ е неподвижных гладких напфавляжиркх. Масса зубча-
того колеса I - рвЛи 2 равна , Шестерня 3 кассой * .
диусом х обкатывает зубчатое колесо 1 и связана с; последним шар-
нирно с помощью водила 4, которое несет ось шестерни 3. В на-
чальном поле. :е ни водило 4 длиной V расположено горизонтально
( Ч - О)» и вся система находится в покое.
Определить: I) скорость зубчатого колеса 1 в положении,
когда водило опишет четверть оборота ( ц - ч. /2 рад); 2) суммар-
ное давление на опоры А и й в этот момент. Шестерню 3 считать
однородным .диском, массой водила 4 и трением в шарнирах О и С.
пренебречь. В расчетах принять: Mq <'G0Utb аьзм
Вариант 6.
Груз I массой закреплен на нерастях.имой нити, перебро-
шенной через блок 2 массой , прикрепленной к центру катка 3,
и может двигаться по гладкой наклонной грани призмы 4 с угломоС
к горизонту, Каток 3 массой гн катится без скидьжения по верх-
ней горизонтальной грани призмы ч массой И , которая находится
на гладкой горизонтальной плоскости» Каток 3 и блок 2 считать
однородными цилиндрагли. i/асоой нити, трением качения и трением
в опоре ft пренебречь.
Определить: I) скорость призмы 4 при опускании груза I на
высоту h 9 2) давление всей системы на горизонтальную плоскость
В начальный момент система покоилась. В расчетах принять:
0/<н; M/rn 0.2; ; Мер <ОООМ .
Вариант
Механическая система состоит из ступ©1гчатого зубчатого ко-
леса I массой М и радиусами ступеней г и Р ♦ - радиус инер-
ции колеса I относительно оси С г , перпендикулярной плоскости
чертежа. Колесо I находится в зацеплении с неподвижной зубчатой
рейкой 2 и подвижной зубчатой рейкой 3 массой Рейка 3 дви-
жется поступате.чьно в гладких опорах параллельно рейке 2.
К центру зубчатого колеса I шарнирно прикреплен маятник 4. Мас-
са точки А равна m ,-длина АО 9 массой стержня АС прене-
бречь. В начальный момент система покоилась, маятник был откло-
нен вправо и занимал горизонтальное положение, затем маятник от-
пускают без начальной угловой скорости. Проскальзывание в зацеп-
лениях отсутствует, трением качения и трением в шарнире С пренебречь
Определить: I) скорость центра С зубчатого колеса U
2) угловую окорооть маятника 4 в момент, когда он займет верти-
кальное нижнее положение. В расчетах принять: гг>ъ-2т
Q-x 2х; (’-05м; АОЧ ; ^/(й + х^О.Б.
21
зушпгг о*
Ha однородной пластине 1 массой И жестко закалена глад-
кая трубка . чтнох! * , которая образует угол оС с осью /к <.
внутри трубки движется «ларик о массой гг . К шарику приложена
постоянная сдаа Ё . направленная вдоль трубки. В начаодшй чо-
уснт система имела угловую скорость <--ь , а шарик находился в
покое па оси вращения • Момент инерции трубки относительно
оси вращения равен Трением е опорах А и ft пренебречь.
Определить: I) угловую скорость пластины; 2) абсолютную
скорость и абсолютное ускорение шарика в момент, когда шарик
локидает трубку» В расчетах принять: $ - >• /С р<х«^э V- /б »>•
4 = 0 г»л^‘; и< . t • in , М = ' р» - t ? < •
Вариант 9. _
11а гладкой плоскости находится механизм, состо.дий из пли-
ты I массой И , на которой находится устройство, состоящее из
двух стержней 3 и 4 дайной I и, 5 м и однородного катка 2 мас-
сой »v> . Звенья 2, 3, 4 соединенье между собой и с плитой шарнир-
но. Каток 2 катится по поите I без скольжения. К стержню 4 при-
ложена пара сил с постоянным моментом Д . В начальный момент
механизм находился в покое и стержень 4 занимал верхнее верти-
кальное положение. Трением в шарнирах и трением качения прене-
бречь.
Определить: I) скорость плиты I; 2) угловую скорость стерж-
ня 4 в момент, когда угол отклонения его от вертикали
к.;' - 37/3 рад. Массой стержня 3 пренебречь» масса однородного
стержня 4 равна . В расчетах принять; * И /ъ -1 *-г ,
... ?
вариант J.Q.
/В механизме клин 1 массой с угломдвижется под дейст-
вием постоянной сюхы Г по гладкой плоскости, при этом он пере-
мещает тблкатехь 2 массой е который прижимается к клину I
ужиной с коэффициентом жёсткости е (сил упругости пружин'
считать линейной). На толкателе прикреплена-зубатая рейкаf на-
ходящаяся в зацеплении с шестерней 3 радиусом 0 момент инер-
ции которой относительно ее оси вра^-гния равзн*!^ • В зацепле-
нии с шестерней 3 находится пестерия 4 с двумя зубчатыми веныа-
ми радиусы которых разни мс’ ннт инерции шестерни 4
с ?носйтелъ-о ее оси вращения ровен \ » Истерия 4 приводит’ в
движение затвор водослива 5 к сой гс. , Трением в сочленениях
систем» и онорах пренебречь. з началышй -омент механизм нахз-
ц;иоя и локоо, Tcvn занимал крайнее нижнее -сложение (в
точке е его лршина), аоужлна -душ иенапряжена.
Ойредэлить: £) движение затвора 5; 2) касательную состав-
ляюад-ю реакции в точке К зацепхеши затвора z шестерней 4 :три
t - 3) давление клина на плоско ;ть при V - 0; 4) Склу реак-
ции в точке касании толкателя i клина при 4 - и. .> расчетах
принять: <У- 7,/брс^ . f\/ч,. тg, Ч$.ц'/К,
’7? < - ''р.'; < ’ ' , " - 'Оъка . ,р, S0 а< -Ль Kv v
ь = «и/ъ «-ь-д ’леса зил/српи 3. 4
вариант Ц.
На нлитс-/ массой М , которая может двигаться по гладкой
физонтальной ? юскости, укреплен шарнирно маятник 2. л мят-
нику npiтокена пара схи с моментом А . inacea маятника сосредо-
точена и точке А и равна ст. , его длина С а равна! . Устойчивое
вертикальное положение маятника обеспечивает пружина ьъ жест-
кости С (силу упругости пружины считать линейной). - !<
В начальном положении, когда маятник расположен вертикально и
цружлна ненапряжена» система находилась в покое. Считая, что
при деформации пружина остается прямолинейной и горизонтальной,
определить; I) скорость плиты I; 2) давление системы на плос-
кость в момент, когда маятник о лонятся от вертикали пс часо-
вой стрелке на угол *.jj= с?, , Трением гарнире0 пренебречь,
В расчетах принять: = \
4 Т/б рам , Q * О.А м , > 1 к: г.
Ваоиаит
К шестерне I радиусом , имеющей неподвижную ось враще-
ния 0. 1 , приложена пара сил с постоянным моментом д4 . Шестер-
ня I находится в зацеплении о шестерней 2 радиусом ч г , которая
в свою очередь находится в зацеплении с рейкой 3 тележки 4.
Тележка 4 движется по прямолинейным направлявшим, колеса 5 - од-
нородные диски катятся без скольжения^ Liacca тележки - И • мас-
са каждого колеса - моменты инерции шестерен I и 2 относи-
тельно их осей вращения равны и соответств? ю. К шестер-
не 2 приложен гюмент сил сопротивления пропорциональный
угловой скорости шестерни 2 -оС
В начальный момент система покоилась. Трекам каления колес и
трением на осях вращения .^енебречь.
I) Найти закон движения тележки; 2) определить горизс .саль-
ную составляющую реакции колеса 5 в точке С при t = 0 (t - ^се-
мя). В расчетах принять:
\ /ч -Л . 'н ,су- М V. Ч.« л*
,* т>.21 х\ <* * ж ж г- Mqce4|-wnr - ь9
Вариант 13» *~
Однородный цилиндрический каток массой сп катится без
скольжения по плите 4 массой М . Шшта движется по горизон-
тальной гладкой плоскости под действием постоянной силы V
Центр катка I связан пружиной жесткости с , параллельной плос-
кости, о вертикальной стойкой 3, жестко скрепленной с плитой 2.
В начальный момент система находилась в покое, и пружина была
ненапряжена (силу упругости пружины считать линейной)S' = ^.
Определить: I) максимальное смещение центра катка относи-
тельно плиты <0 ускорение плиты 2 и силу реакции в месте
контакта колеса I и плиты 2 при % Трением качения прене-
бречь’. В расчетах принять: - 10 кг, ; F = 100 Н,
С = 2000 Н/м.
Вариант 14,
3 механической системе рейка I массой vr движется в гори-
зонтальных гладких направляющих под действием постоянной силы ?
Рейка находится в зацеплении с шестерней 2 радиусом Q , с кото-
рой жестко связан барабан 3 радиусом х , Радиус инерции шестер-
ни 2 и барабана 3 относительно их оси вращения- равен ,
m. - их общая масса. К центру однородного катка 4 массой М
прикреплена нерастяжимая нить, которая наматывается на бара-
бан 3. Каток 4 катится без скольжения по неподвижной наклонной
плоскости с углом наклона К шестерне 3 приложена пара сил
с моментом д •> оу Массой нити и трением
качения пренебречь. Ь начальный момент система находилась в по-
кое С
Определить: I) закон движения рейки I; 2) натяжение нити
в начале движения. В расчетах принять: ™ = I кг,- F » 2
И* 4m; Q »^ч З/БрмдсК » %
W-ДНТ 15.
, Однородная прямоугольная пластина I массой М оо стороной
о дем. схему 15) закреплена своей стороной Ай на неподвижной
осе Оги может свободно поворачиваться вокруг нее. На верхней
стороне пластины жестко закреплена гладкая трубка 2, внутри ко-
торой движется шарик 3 массой m под действием постоянной си-
лы К ааоику прикреплена пружина жесткости с 9 свободная
длина которой - . Момент инерции трубки относительно оси О г
равен j2 v Шарик 3 начинает двигаться из положения, когда пру-
•хина Знла недефоршфонана. начальная угловая скорость пласти-
ны.- <^о . начальная относительная скорость шарика <
Определить: I) . .долотную скорость шарика в момент ко-да
он достигнет конш /рубки; г) относительное ускорение лирика 3
в этот же момент. 3 расчетах принять: И №Ои«,а,й-г,
V ЮН , '’Г./Л'СС^ --1 - . ч?о.-0,А^ )С - ifeoil т , ^,7
Грениом в опорах 0 и D пренебречь (силу упругости пружины счи-
тать линейной)4
, to.
Подвижный параллелограмм I шарнирно прикоплен к ползу-
нам 2 и 3 одинаковой массы И . Ползуны могут перемещаться по
ладной горизонтальной плоскости, i.iaccs стержней АВ и ди
одинакова и равна , масса стержня Kt равна т, , длина
стержней равна 2^ . Стержни АЬ и ак скреплены спиральной
пружиной жесткости с (момент упругих сил пружины Дд* -сц,
угловая деформация). Пружина не деформирована при верти-
кальном нижнем расположении стержней А к и BE . В шарнирах А
ий действуют пары сил сопротивления с моментами =<£./£.
В начальный момент времени вое стержни параллелограмма занл?дали
горизонтальное положение, а ползуны 2 и 3 покоились, затем
стержни били отпущены без начал юй угловой скорости.
Определить: 1} угловую скорость однородных стержней А и
и ; 2) скорость ползун г э 2 и 3; 3) давление ползунов на
плоскость в момент. когда стержни А к и BE займут вертикальное
нижнее положение. В расчетах принять: Н = <,5™ <пх 2 кг. Ь о.бн,
2irv'\ Л-с’К/а , с - .
Однородный кус I 00 стороной а и массой И может вращаться
вокруг своей оси симметрии г , По диагонали грани куба ABCU
расположен гладкий лаз, по которому перемещается точка 2 кео-
оой m . В начальный момент воя система находилась в покое, а
затем точка 2 начинает двигаться вниз по пазу из ев крайнего
верхнего положения А0без начальной скорости. Tpt лем в опорах О
и Е пренебречьо
Определить? I) угловую скорость куба I; 2) абсолютную ско-
рость точки 2 в момент, когда она займет к йнев нижнее положе-
ние А . В расчетах принять: М«
25
Заоипцт 18.
Рейки I и 2 массой и соответственно находятся ъ
зацеплении с колесам 3 и движутся в горизонтальных гладких на-
правляющих. Колесо 3 массой и оадиусомх приводится в движе-
ние парой сил с моментом L . лолесо считать од|ю:>одн1пл круглым
диском, п начальный г.югент времени вся система находилась в по-
кое.
Определить: I) скорость ре'ски 2; 2) угловую скорость коле-
са 3 после ТО1-О, как оно сделает один оборот; 3) угловое уско-
рение колеса 3. Ь расчетах принять: L - 6,5 Игл, Ч = 0,2 м,
М - 5 кг, г^\4 . М , о>г= И .
Вариант 19»
Гладкая трубка I, свернутая в кольцо радиусом р и массой К
жестко закреплена на неподвижной оси вращения Ьа с эксцентри-
ситетом е . Внутри трубки под действием силы V , направленной
по касательной к трубке, движется шарик 2 массой т. в началь-
ный момент трубке была сообщена угловая скорость , шарик на-
ходился в точке С на вертикальном диаметре трубки, его относи-
тельная скорость была равна нулю. Массу трубки считать равно-
мерно распределенной по окружности радиусом Q . Трением в опо-
рах Л и пренебречь.
Определить: I) угловую скорость трубки I; 2) абсолютную
скорость и относительное ускорение шарика в момент, когда он
достигнет точки Д на горизонтальном диаметре трубки. В расчетах
принять: М=Ъгг.,л>. Ur F = 2<^,fb0,5»« ,е * ,b0o- 9^,
Bapwr.^-
.’/еханическая система состоит из ползуна I, который может
двигаться по гладкой горизонтальной плоскости, стержней 2, 3 и
материальной точки 4 маосой . Стержень 2, который движется
в гладких направляющих, и стержень 3 связаны между собой шар-
нирно и скреплены пружиной с коэффициентом жесткости с (момент
упругих сил пружины -- - с ц , - угловая деформация). К стерж-
ню 3 приложена пара сил с постоянны?.: ?лэменто?л L . В начальный
момент система находилась в покое, стержень 3 занитдал нижнее
вертикальное положение, при котором пружина не деформирована.
Общая масса ползуна I и стержня 2 равна М „ Массой стержня 3
длиной t пренебречь.
Определив: I) скорость и ускорение ползуна I; 2) угловую
скорость и угловое ускорение стержня 3 в момент, когда стер-
26
конь 3 отклонится от вертикали против хода часовой стрелки ча
угол Цг q, Трением в шарнирах А ко пренебречь. В расчетах
принять: г. = J. кг, ? = 0,5 м, е. то? н ,
Ч, .л/З рад.
Вариант 31.
1 лайкая трубка I может вращаться вокруг неподвижной оси Вт
жестко скреплена о ней и образует угол . Внутри трубки нсд
действием постоянной силы Р , направленной вдоль нее, движется
шарю» 2 кассой m . 1*>мент инерции трубки относительно ео осн
вращения равен 3 , Z, — ес длина. В начальный момент времени
трубка имела угловую скорость се, , а шарик находился в крайнем
верхнем положении Mv. Скорость шарика относительно трубки была
равна нулю.
Определить: I) угловую скорость и угловое ускоренье труб-
ки Т; 2) скорость и ускорапис шарика в момент, когда ок достигнет
нижнего конца трубки М,, Трением в рпорэх А и & пренебречь
В расчетах принять: «> = I кг, </.’-5. /3 рад. !-о0 7 рад/о,
Am?1, А --Ь8 . OM.’28’ «h , р
Д£ЖИ2^«
В брусе I массой Н имеется цюпиигнчсскал выемке. радиусом 2,
внутри этой выемки может катить»'1 однородный круглый цилиндр
массой -с к радиусом ч , Оси выемки и циахцдрв параллельны. Брус
нгходнтоя на горизонтальной гладкой ewockqcte. В начальный мо-
мент времонк система нахо. лаоь в покое. Цилиндр 2 эакЕмел край-
нее правое полояснке, а затем он начинает катиться бее сколько •
ежн вдоль выемки. К цилиндру приложен поотопжнй ыоме:п ежа
сопротивления А.
Определить: I) скорость брусе I; 2) угловую окорсоть дчлнвд-
ра 2; 3} даатокко с. .темы па горйзонтальву» плоскость в немею,
когда цилиндр будет в нижнем положении С В расчетах чинят»:
гоу :кг, М.Gm,л.о.£«>^(,<1-41. й’Ач .< ‘Л-tV- ел-м
Контейнер I массой М может двигаться до глр ой горжеоя-
тальпсК плоскости. Н& горизонтальной ооиОг. внутри доктвйяерс
закпеплви физический маятник 2 массой ™ УЬмент зшвршш >®ят№-
ка 2 от носительно оси вращения От раьы: В дачахышй моиовг
движения контейнер находи .и в покое, а дрявя ОС маятнжк"
звдималя вортЕкальное положе икс (угол ^=с Затем «ягжш., со-
общают начальную угловую скорость м>е. К ммтнкьу прилегай изра
СИЛ препятствующая его вращению, с постоянным моментом Л.
Оггпрнелить: I) значение начальной угловой скорости, кото-
рую необходимо сообщить физическому маятнику (при ого движении
против часовой стрелки), чтобы прямая Ос заняла горизонтальное
положение; 2) скорость контейнера I; 3) давление рассматривае-
мой системы на горизонтальную плоскость в тот же момент времени.
В расчетах принять: то = I кг, ,
где OC»V хО,ъм Л = •
Вариант 24.
На однородной пластине I >лассой И жестко прикреплена глад-
кая трубка 2, изогнутая по дуге окружности радиусом Р . По труб-
ке движется шарик 3 массой . Момент инерции трубки относи-
тельно оси вращения равен . В начальный момент времени
пластинаv жестко связанная с осью В* » начинает вращаться о
угловой скоростью вокруг этой оси, при этом шарику 3, нахо-
дящемуся в точке 0 , сообщена относительная скорость 6 на-
правленная по касательной к трубке. Трением в опорах С и 1) пре-
небречь. Пластина прямоугольная.
Определить; I) угловую скорость пластины; 2) абсолютную
скорость и относительное ускорение по отношению к трубке шари-
ка 3 в тот момент, когда он будет находиться в положении А 9
4*sr>/2 рад. В расчетах принять: Ъ = 0,5 м, = £1 рад/с,
* = 3 м/с, *0 * , М« 15гг\ э гт\ж <кг.
I
Однородный диск I массой и радиусом Q может
вращаться вокруг своей оси симметрии. По гладкому каналу 2,
расположенному на расстоянии U /2 от центра диска I перпендику-
лярно оси вращения диска, под действием постоянной оилн Г , на-
правленной вдоль канала, движется шарик 3 массой „ В началь-
ный модонт диску сообщается угловая скорость со* . Шарик 3 в на-
чальный ьюмент расположен в крайнем левом положении Мо и его
относительная скорость равна нулю. Трением в опорах IX и и изъятой
массой материала канала пренебречь*
Определить: I) угловую скорость диска I; 2) скорость и
ускорение шарика в моментр когда он достигнет середины канала.
Б расчетах принять: Q= 0,5 м/гтч «= I кг, F /то н ,
о)с= 4 рад/о. ’ *
Вариант 26,
Призма х ассой М может двигаться по гладкой горизонталь-
ной плоскости. По грани призмы, наклоненной к горизонту под
углом сХ . катится без скольжения однородный цилиндр 2 массой гг.
и радиусом 7 . цилиндр 2 в тонко с скреплен со стойкой на приз-
ме иружинои жесткости с , параллельной наклонной грани прХ
* начальных момент движения пружина била не д&Гормирована точ
ке с цилиндра сообщена начальная относительная'сиорссть
вниз параллельно 1у«ш2>£ призма I находилась в покое. Сила‘упру,
гости пружины пропорциональна ас деформации.
Определить: I) абсолютную скорость центра маос цилиндра о
о момент, когда. пружина растянута из положения равновесмя^ка ве-
личину ое статической деформации 2) в начальный момент времени
силу реакции в точке контакта призмы I и цилиндра 2 и угловое
ускорение цилиндра 2. В расчетах принять: [IGOH - =
- 980 11/мг И = 'Ьнгч , -• £ г/с, г. j- /4 рад, г = ОД м.
£L-
Гладкая трубка X длиной /* закреплена на оси z с помощью
стержня 2 длиной Q. е перпендикулярного оси г . и яерастятюй
нитью АС , Трубка I и стержень 2 связаны между собой цилиндри-
ческим шарниром 0 о Момент инерции трубки I и стержня 2 относи-
тельно оси вращения равен . Внутри трубки движется шарик 3
массой ™ под действием постоянной силы V , направленной вдоль
трубки. Трубка отклонена от вер^жали на угол Ж . В начальный
момент трубке 1 сооощена угловая скорость vo, , шарик 3 находил-
ся в нижней точке трубки с и его скорость относительно трубки
равнялась кулю.
Определить: I) угловую скорость и угловое ускорение труб-
ки If 2) абсолютную скорость шарика к его ускорение относитель-
но трубки з момент вылета шарике из трубки. В расчетах три-
нять: Ь 0.2Бм , сЛ 3/6 рач , > 6
rj Р-(Л’ jfrrcjjU. Трением в опорах 2> и с пренебречь.
Вариант 2Q. м
На гладкой плоскости находится массивная плита I массой И,
в которой имеется наклоненный под углом оС к горизонту прямоли-
нейный паз 2. К плите приложена горизонтальная си с - гя~
эу 2 катитоя без скольжения однородный диск 3 массой m и ра-
дйуоом г. В начальный момент система находилась в покое,
диск 3 закшлал крайнее верхнее положение.
Определить: I) скоробь плиты в момент, когда ее
нм по плоскости составит 0,1 м; 2) ускорение поты I и уг...
ускорение диска 3; 3) силу реакции в месте контакта дхсда
с пазом 2. В расчетах принять: & % рад, *t - 1л f ц, гг
х 10 кг-. М G••-•. F г '• \-
B3£U<yilJ&.
Плита I массой И мелет созерцать даижение по гладкой гори-
зонтальной плоскости. На плите помещен эллипсограф 2. Масон кри-
вешила Ос . ползунов А и 6 и линойки эллипсографа равны со-
ответственно гг», та. г с' %г‘\ , k кривошипу Ос приложена кара
ежж с постоянным моментом .. . В начальный .момент о лете?.© находи-
лась в покое. кривошип О г занимал крайнее нижнее положение
< (г. = о). Кривошип о А ?. ’тинойку АЪ считать однородными отерж-
;-м* трением в сочленениях систе>д? ьреиебр-ечь.
Определить: I) скорость плиты I; 2) угловую скорость криво-
пипа 09 и павлегле слотов на горизонтальную плоскость в момент...
когда хрчвешип займет вертикальное положение ( q 7. /2 рад).
В расчетах принять: М* m v то t yy> р. ,t . or.«.
L, 90 И * OQrAC’Ce- 4 t-Qt6x.
ЙиияиЯ-
Иарзк I :ассой ьт , двигаясь по гладкому пазу 2 о углом
наклона / :< горизонтуt :лр;:водат в движение до гладкой геризоп-
79льной плоскости тело 3. внутри которого находятся паз 2 -I г за •
ржи I. Голо 3 с повода стелхня 4 приводит э движение каток С\
гнсса которою , ого радиус -Т . Каток 5 - однородный круг-
лый цдлжда катятся по горазонтадьлой 7иосхости без скольжения
>.аржэиь v гордэоитажаа, аосой его - пренебречь* tfaoca тела 3
: В2пы •-.* В чачалъиял i'OMDHT систэж находилась в покое, ша-
гав аакпмал крайнээ гзрхпеэ полояепиэ э пазе. Трением качв1иы
пренэбрэчь.
О£феделжть: I) угловую скорость катка 5; 2) абсолютную око-
рость inap'Gta в ыохэеа?, :югда он опустятся ла высоту л v В рлс<1с-
тах щипть: o.Sx? t-n-ч* 3 о 1 м t
Л-олн
В .цд'йлрэицлальном :<ехниизме шестерня I радиусом U я лво-
сой V4 зращаэтоя вокруг своей оси и находится в зацепления с
□есторнзй 2 г.нссой и радиусом гс . Шестерня 2 приводится в
дшсг.еЕиэ о помощью водила 3. Шестерня I связана с осяованнам
спиралькой пружиной, аэсткость которой равна с (момент упругих
сил пружинк / -оц v где угловая деформация). Механизм
расположен ь горизонтальной плоскости. Шестерни I а 2 считать
30
однородными дисками. Трением в гиханизме и массой вода;» 3 прс-
неброчь. В начальный момент шестерне I сообщили угловую ско-
рость шо , пружины не напряжены.
Определить: угловые скорости шестерни X и водила 3 в поло-
жен™ механизма, когда шестерил I повернется на утоли ?ад
из начального положения. В расчетах принять: , Q....
tv ? А 6 v, Ч - а 1 м, С ‘ 40 Н С-,, сО* • t г
вавйаих^'
Зубчатая рейка I массой движется ь гладких направляющих
пол действием постоянной горизонтальной силы Т Рейка находится
в зацеплении с шестерней 2 радиусом U . С дестерней 2 жестко
связан барабан 3 радиусог г . 11а барабан намотана нерастяяимая
нить, прикреллонная к центру однородного катка 4 месоой v г ра-
диусом г < , который катится без скольжения по горизонталыюй
плоскости. Момент инерции системы шестерня 2 - барабан 3 относи-
тельно оси вращения равен ’\ £ , К барабану 3 приложена пара сил
сопротивления с моментом Аоя *- , где иб - это угловат. ско-
рость. = хатку 4 приложен^ пара сил с послояяямм
моментом сопротивления 4 В начальный момент система находилась
ь покое. Трением качения и трением в опоре 0 пренебречь.
Определи1*ь: I) закон движсл т рейки 2) касательную со-
стагляющу®’ реакции в точке зацепления рейки I я шестерю? 2 в на-
цельный момент времени (при 0). В расчетах принять:
ГУ,- 2 кг. Q = 0,15 м, х - и.О*/ м, с<= Сд05 Н-м-о, « » 8 кг,
ч, 0,1 м, L =0,7 U.K, % = 0,03 кг и2’, f = 100 К,
4. СХЕМЫ ЗАДАЧ
t
2Л
I
5. дО1 10111 В ITй’Ы ЫЕ i sOl IVOCi 4
В вариантах 1» 2, 3, **» *-’» *-Долить мини-
мальное значение коэифшиюита трения скольжения, при котором
каток катится без скольжения.
Далее номера вопросов будут соответствовать номерам вари-
антов.
5. Определить касательную составляющую реакции в зацепле-
нии зубчатого колеса I и шестерни 3 при ц = 0.
7. Определить реакцию в шарнире С. в момент, когда маятник
займет вертикальное нджвее положение.
8. Определить давление шарика па трубку в момент, когда ша-
рик покидает трубку.
9. Определить для момента, когда гь/3 рад, угловое уско-
рение стержня 4 и ускорение плиты I, а также давление механизма
на плоскость.
10. Определить ускорение затвора при наибольшем его подъеме
и давление на ось шестерни 3, если угол полных реакции с каса-
тельными составляющими в зацеплениях JL-.T/I2 рад.
II. Определить реакцию в точке G при <3<- 3» /6 рад.
12. Определить реакцию опоры шестерни 2 при I - 0, если
угол между касательной составляющей и полной реакцией в зацеп-
лениях А и В £-*5712 рад.
13. Определить минимальное значение коэффициента трения
скольжения, при котором каток катится без скольжения, а также
скорость плитн 2 при S .
15. Определить давление шарика на трубку в момент, когда
он достигнет конца трубки.
16. Определить угловоэ ускорение стержней А К и и ускоре-
ние ползунов 2 и 3, в момент, когда стержни займут вертикальное
нижнее положение.
17. Определить ускорение точки 2 и угловое ускорение куба I,
а также реакцию куба на точку в начальный момент времени.
1о. Определить касательные составляющие сил реакций в точ-
ках зацепления колеса 3 с вейками I и 2.
ф \ Узловое ускорение трубки, абсолютное ускоре-
ние шарика, а также давление его на трубку в момент, когда он
достигнет точки 3) на горизонтальном диаметре.
го 0: с-делить реакцию в опоре О при = т /з рад.
пределить давление шарика на трубку в момент, когда он
•10СТК1Ть1Г iHi.KiJ'jJV конца трубки.
,;г. Определи ускорение ц.уса 1 и углопов ускорение да-
:.н!’Ц)а 2, а такай реакцию з точке касания цялиндга с поверхно-
стью внешки в могле^ когда центр цилиндра будет в нижнем поло-
ЖиННИ " .
;>3. Определить реакцию в шарнире о в поглент, когда прямая/У'
•займет горизонтальное положение.
24. Определить давление шарика на трубку при ц .-т, /2 рад.
2С. Определить давление шарика на горизонтальней канал 2'
в мо’лепт, когда ‘.парик достигнет середины канала.
26. Найти закон движения призмы I.
27. Определить абсолютное ускорение шарика и давление его
на трубку ь момент, когда эн попадает в точку с.
28. Определить кшнш&льное значение коэффициента трения
скольжения, при котором даек катится без скольжения, а также
давление системы на горизонтальную плоскость.
29. Определить ускорение плиты и угловое ускорение криво-
шипа Оп в момент, когда кривошип ОС займет вертикальное поло-
жение ( ц = "л р
31. Определить угловые ускорения шестерни I и ьодила 3, а
также окружную составляющую реакции в зацеплении шестерен I и 2
при ’Г -
•1ИГЙРАТУРА
I. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической меха-
ники. - J.: Высшая школа, 1983. - 575 с.
2. Дубинин В.В., Никитин Н.Н., Феоктистова О.П. Обцне тео-
ремы динамики. пкэтодические указания ио выполнению курсовой ра-
боты по разделу ку; э теор-нех. '’Динамика".-»!..изГУ, 1584, 88
3. Млыш MJ.L, Никитин Н.Н., Феоктистова О.П. Общие теоре-
мы динамики. ^Методические указания по выполнен:® курсовой рабо
ты. - М.: ;4ВТУё 1980, - 27 с.
4. Астафьев В.В., Дубинин В.В., Занозим П.В,, Пожалостян
А.А., Саратов р.С. ^тодическле указания до выполнению домашне-
го задания по теоретической механике. Часть U. Динамика.
МВТУ, 1974. - 126 с.
СЦМРлЛНИгУ
Введение ...........................................................
I. Краткие теоретические опадения............................... j
2. Примеры выполнения раздела курсовой работа но динамике
по теме "Общие теоремы .динамики" ......................... G
3. Курсовая работа............................................ pj.
4. Схемы задач................................................. _•£>
5. Дополнительные вопросы ................................... 4G
Литература .................................................. 42