БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА
МЕХАНИКА
Э. Спенсер
ТЕОРИЯ
ИНВАРИАНТОВ

CONTINUUM PHISICS
VOL. I
PART III
THEORY OF INVARIANTS
A. J. M. SPENCER
Department of theoretical mechanics
University of Nottingham
Nottingham, England
New York • London
1971

БИБЛИОТЕКА СБОР ПИК А «МЕХАНИКА»
Э. Спенсер
ТЕОРИЯ
ИНВАРИАНТОВ
Перевод с английского
А. И. ДЕРЖАВИНОЙ
Под редакцией
В, В, ЛОХИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1974

УДК 533+519.4
Алгебраическая теория инвариантов находит
широкое применение в различных разделах механики
(например, в теории турбулентности и теории
моделей анизотропных сплошных сред).
Работа Э. Спенсера содержит основные сведения
по теории групп и теории тензорных инвариантов,
причем особое внимание в книге уделяется
векторам и тензорам второго ранга. Исследование
распространяется на различные виды кристаллической
симметрии. Кратко рассматриваются тензорные
инвариантные функциональные связи (полиномиальные
и неполиномиальные) и методы определения
минимального числа инвариантов для заданных тензоров
и групп.
Книга представляет интерес для специалистов в
области механики, физики и прикладной математики.
Она полезна преподавателям, аспирантам и
студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-049
С 041 fOH-74 49"~74 © Перевод на русский язык, «Мир», 1974

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В этой книге читатель найдет обзор
алгебраической теории инвариантов с точки зрения ее
приложений к некоторым проблемам механики сплошной
среды.
Большую часть книги составляют специальные
задачи теории инвариантов, встречающиеся в общей
теории моделей сплошных сред. Тем не менее автору
удалось изложить теорию в достаточно общей
математической форме, применимой не только к задачам
механики.
Основное содержание книги составляет общая
теория построения целого рационального базиса
полиномиальных инвариантов относительно трехмерной
ортогональной группы и ее подгрупп, образованных из
компонент некоторой совокупности симметричных
тензоров второго ранга и векторов. Так как число
элементов такого базиса, вообще говоря, превышает число
функционально независимых компонент заданного
набора тензоров, то эти элементы в общем случае
функционально зависимы.
Обычно число функционально независимых
инвариантов (равное числу функционально независимых
компонент данных тензоров) намного меньше числа
членов целого рационального базиса. Поэтому для
решения почти всех задач механики сплошной среды по
существу нет необходимости в вычислении всех
элементов базиса, а достаточно воспользоваться только
некоторым полным набором функционально
независимых совместных инвариантов рассматриваемых
тензоров. Так, например, для построения теории
нелинейных тензорных функций от нескольких тензорных
аргументов (любого ранга) достаточно указать
способ построения только функционально независимых
инвариантов из аргументов функции.

6 Предисловие редактора перевода
Полный набор функционально независимых
совместных инвариантов любой заданной совокупности
тензоров любого ранга относительно данной группы
легко получить, пользуясь постоянными тензорами,
определяющими эту группу симметрии. В этом
смысле использование целого рационального базиса,
который строится громоздким алгебраическим методом,
кажется не вполне оправданным, тем более, что в
книге изложено лишь построение инвариантов
векторов и тензоров второго ранга. Однако такой базис
может оказаться полезным при решении некоторых
частных задач, например, при выводе приближенного
выражения функции упругой энергии
деформированного кристалла в виде полинома по степеням
компонент тензора деформации. В книге содержатся все
необходимые данные для построения целого
рационального базиса любого числа тензоров второго
ранга и векторов для всех кристаллографических групп
симметрии.
В. Ло хин

I. ВВЕДЕНИЕ
Теория инвариантов играет центральную роль во
многих областях математики и физики, например в
проективной геометрии и квантовой механике. Целью
данной работы является обзор алгебраической теории
инвариантов с точки зрения ее приложения к
механике сплошной среды.
В литературе можно найти многочисленные
примеры приложения принципов инвариантности к
механике сплошной среды, но только сравнительно
недавно важность этих принципов стала
общепризнанной.
Современное развитие приложений теории
инвариантов к механике сплошной среды в значительной
степени связано с работой Ривлина [29] (см. также
последующие его работы) о построении функции,
связывающей энергию и упругую деформацию, и с
работами Рейнера [28] и Ривлина [30] об определяющих
уравнениях неньютоновских жидкостей. Олдройд [25]
рассмотрел вывод инвариантных определяющих
уравнений для более общих вязкоупругих материалов. Рив-
лин и Эриксен [36] положили начало исследованию
нелинейных вязкоупругих материалов с несколько
иной точки зрения, исходя из предположения о том,
что компоненты тензора напряжений могут быть
выражены (или аппроксимированы) в виде полиномов
от компонент некоторых кинематических тензоров с
соответствующими свойствами инвариантности; тогда
свойства симметрии материала налагают
определенные требования инвариантности на вид
определяющего уравнения. Эта теория была значительно
развита в работах Ривлина [34, 35]. Другой подход к
теории взякоупругих материалов, при котором
компоненты тензора напряжений выражаются как функцио-

8
/. Введение
налы компонент тензора деформаций или скоростей
деформаций, был дан в работах Грина и Ривлина [12]
и Нолла [23]. В их теориях на вид функциональных
определяющих уравнений налагаются условия
инвариантности при наличии свойств симметрии
материала. Эта функциональная теория вязкоупругости
развивалась во многих исследованиях; ее изложение и связь
с предыдущими теориями даны в обзорах Ривлина
[34, 35]. Вывод определяющих уравнений для более
общего класса задач механики сплошной среды с
помощью методов, аналогичных тем, которые
использовались в вязкоупругости, изложен в работах Пипкина
и Ривлина [26] и Ривлина [32].
В упомянутых выше работах частично
рассматриваются приложения принципов инвариантности к
задачам механики сплошной среды и к физике
(перечень этих работ не претендует на полноту).
Специальные задачи теории инвариантов, встречающиеся в
таких приложениях, составляют большую часть
предлагаемой книги; соответствующие ссылки будут даны
в последующих параграфах. Обзор современных задач
механики сплошной среды с различных точек зрения
можно найти в работах Трусделла [58], Трусделла и
Тупина [60], Трусделла и Нолла [59], Грина и Адкин-
са [11], Эрингена [9] и Л. И. Седова [37]. В
некоторых из этих работ обсуждается роль теории
инвариантов.
В данной книге не ставится цель рассмотреть
приложения теории инвариантов, а представлен
достаточно независимый обзор математической теории,
хотя при написании этой работы мы имели в виду
приложения к механике сплошной среды.
Естественно, что многие из обсуждаемых задач имеют
приложение не только в механике сплошной среды. В
действительности мы используем материал, взятый из
классической теории алгебраических инвариантов
(в основе которой лежат геометрические
представления), и результаты теории групп, нашедшие широкое
применение в квантовой механике. Однако вопросы,
которые в настоящий момент не находят
приложения в механике сплошной среды, не будут рассмат-

/. Введение
9
риваться. Например, мы не будем касаться
инвариантности относительно полной линейной группы
преобразований или преобразований Лоренца; не будут
также рассматриваться инварианты векторов и
тензоров в пространстве более чем трех измерений, хотя
в некоторых случаях результаты для пространства
двух и трех измерений просто обобщаются на
случай /г-мерного пространства.
Область приложений диктует также терминологию
и, в значительной степени, используемые
обозначения. Все инварианты рассматриваются как
инварианты векторов и тензоров, для которых может быть
дана физическая интерпретация, а не как
алгебраические формы, как это делается в классической теории.
Часто оказывается удобным ввести матрицы,
связанные с векторами и тензорами, и применять матричные
обозначения.
В § 1 даны основные обозначения и определения
и приведены некоторые результаты классической
теории инвариантов и описание групп преобразований,
которые являются важными в механике сплошной
среды. Основную часть книги составляют § 2—4, в
которых систематически рассматриваются
инварианты векторов и тензоров относительно различных
групп ортогональных преобразований. В § 5 дана
теория форм-инвариантных тензорных полиномиальных
функций, а в § 6 — краткий обзор
форм-инвариантных тензорных функционалов. В § 7 рассматриваются
методы, которые позволяют установить, что
совокупность инвариантов данной системы векторов и
тензоров при данной группе преобразований является
минимальной. В § 8 приводятся результаты недавних
исследований об инвариантах и форм-инвариантных
тензорах, не являющихся полиномиальными
функциями.
После того как рукопись этой книги была
написана, был опубликован ряд новых результатов. В
частности, внимание привлекает работа Смита [44], где
дается другой и очень элегантный метод, с помощью
которого получаются многие результаты § 2—4.

10
/. Введение
1.1. Инварианты векторов и тензоров
В данной работе всюду будут рассматриваться
векторы и тензоры в трехмерном евклидовом
пространстве. Чаще всего рассматриваемые тензоры
будут тензорами второго ранга, причем обычно либо
симметричными, либо кососимметричными. Везде
используются компоненты векторов и тензоров в
декартовой прямоугольной системе координат;
результаты, если потребуется, можно выразить в
общей криволинейной системе координат
стандартными методами тензорного анализа. Используется
индексное обозначение и правило суммирования по
повторяющимся индексам; если не оговорено
противное, индексы векторов и тензоров принимают
значения 1, 2, 3.
Через U, V, W обозначаются некоторые
специальные векторы, а их компоненты в прямоугольной
декартовой системе координат Xi (i = 1, 2, 3)
обозначаются через Uи Уи №\ соответственно. Когда мы
имеем дело с системой произвольного числа векторов,
то общий, типичный для данной системы, вектор
обозначается через Ur, а его компоненты в системе Х(—
через и[п. В некоторых случаях удобно связать
(например) с вектором U некоторую кососимметричную
матрицу и, определяемую формулами
и = N//11, utj = eiJkUk, (1.1.1)
где eijk — альтернирующий тензор третьего ранга
(eijk = 1 или — 1, если iy /, k образуют четную или
нечетную перестановку чисел 1, 2, 3 соответственно,
в остальных случаях eijk = 0). Обратное соотношение
для (1.1.1) имеет вид
ик==*-2еЧкиЧ- (1Л-2)
Аналогично можно связать и с вектором Ur
некоторую кососимметричную матрицу ur с элементами и[г).
Компоненты некоторых специально выделенных
тензоров второго ранга (не обязательно
симметричных или кодосимметричных) в системе Xi будут обо-

/./. Инварианты векторов и тензоров
11
значаться через Шц, nijy ..., tij\ компоненты
некоторых специально выделенных симметричных
тензоров — через aijf Ьг;-, ..., /г;-, а компоненты некоторых
специально выделенных кососимметричных
тензоров— через хц, уц> г\$. Компоненты произвольных
симметричных и кососимметричных тензоров будем
обозначать через p(fjy а{[] и х{[] соответственно. С
этими тензорами удобно связывать следующие матрицы
третьего порядка:
m = ||m£/||, a = ||a//ll. x = ||**/lt
рг=И!Ь *r=Hib *г=И?| ( '
и т. д. Ясно, что а, Ь, ..., f, аг — симметричные
матрицы, а х, у, z, хг (а также u, v, w, ur)—кососиммет-
ричные матрицы.
Для краткости мы иногда будем говорить о
матрицах u, v, w, ur, m, n, ..., t, t,, a, b, ..., f, ar, x, y, z,
xr, когда, строго говоря, имеем в виду векторы и
тензоры, с которыми эти матрицы связаны, и о
векторах Uи ... и т. д. и тензорах р^у ... и т. д.,
когда, строго говоря, имеем в виду векторы и тензоры,
компоненты которых имеют эти значения в системе
координат Xi. Использование такой терминологии не
должно смущать.
Мы будем рассматривать свойства инвариантности
при ортогональных преобразованиях. Если Х{ (i =
= 1, 2, 3)—прямоугольная декартова система
координат, то преобразование
Xi = MltXt (1.1.4)
определяет_новую прямоугольную декартову систему
координат Xiy если М^ обладает свойством
MikMik = &u, (1.1.5)
где 6ij — символ Кронекера. Отсюда сразу же
следует, что
MkiMkJ = 64 и Щ7|=±1. (1.1.6)
Матрица \\Mij\\ называется матрицей ортогонального
преобразования. Совокупность всех ортогональных

12
/. Введение
преобразований образует группу, которая вместе со
всеми ее подгруппами будет рассмотрена более
подробно в п. 1.4.
При ортогональном преобразовании абсолютный
вектор U с компонентами Ui в системе координат Xj
преобразуется таким образом, что его компоненты Ui
в системе координат Х{ определяются формулой
Ui = MijUr (1.1.7)
Аксиальный вектор U преобразуется по правилу
Ui^\Mrs\Mi/Ur (1.1.8)
Формулы преобразования компонент тензора второго
ранга имеют вид
pi} = MikMjlPkl. (1.1.9)
Если ограничиться случаем, когда |Alrs|=l (т. е.
собственными ортогональными преобразованиями), го
различие между абсолютными и аксиальными
векторами пропадает. Заметим, что если (как и в
соотношениях (1.1.1))
Щ\ = eijkUk* йч = eijkUk (1.1.10)
и Uij преобразуется как компонента тензора второго
ранга, так что
ulj = MirMjsursi (1.1.11)
то из (1.1.2), (1.1.5) и (1.1.10) следует
Ut = а,/7у = MjkMikUJ = у MJkMikepqlupq =
—j MIkMikepqjMprMqsurs = -2 epqjMprMqsMlkMikurs =
= ^\Mmn\erskMikurs = \Mmn\MikUk. (1.1.12)
Таким образом, если справедливо соотношение
(1.1.11), то Ui преобразуется как аксиальный вектор.
Обратное утверждение доказывается аналогичным
способом.

/./. Инварианты векторов и тензоров 13
Теперь можно определить инвариант. Говорят, что
функция
f(Ui9 Vh ..., mip nlj9 ...)
от компонент системы векторов U, V, ... и тензоров,
с которыми связаны матрицы т, п, ..., является
инвариантом этих векторов и тензоров относительно
данной группы преобразований, если
f(Ut, Vh ..., thip nlJf ...) =
= \M4ff(Ul9 Vlf ..., mij9 nlj9 ...) (1.1.13)
для каждого преобразования Мг;- этой группы. Если
р = 0, то / называется абсолютным инвариантом, а
если р=£0, то относительным инвариантом. Обычно
мы будем рассматривать абсолютные инварианты и
везде под термином инвариант будем подразумевать
абсолютный инвариант, если не оговорено противное.
В качестве простейших примеров инвариантов
относительно ортогональных преобразований
рассмотрим следующие:
а) Скалярное произведение UiVi двух векторов.
Из формулы (1.1.7) следует, что
OiVl=:MuUiMikVk = 6ikUiVk = UJVi = UtVl. (1.1.14)
Таким образом, скалярное произведение является
инвариантом при любом ортогональном преобразовании.
б) След pa = tr р матрицы р, связанной с
тензором pij. Используя формулы (1.1.6) и (1.1.9),
находим, что
Ри = MikMapkl = 6klpkl = pkk = Pii. (1.1.15)
в) Определитель \рц\ матрицы, связанной с
тензором pij. Снова используем формулу (1.1.9) и
получаем
I рч | = | MlkMJlPkl\ = \ Мч р| рч | = | Л/1. (1.1.16)
В основной части данной работы будет
предполагаться, что f является алгебраической функцией своих
аргументов. В действительности, как будет показано
в § 8, это ограничение не является столь серьезным,
как может показаться сначала. В п. 1.3 будет пока-

14
/. Введение
зано, что все алгебраические инварианты могут быть
образованы из инвариантов, которые являются
полиномиальными функциями своих аргументов;
следовательно, во многих случаях достаточно рассмотреть
полиномиальные инварианты.
Все определения данного пункта можно обобщить
на случай инвариантов тензоров более высокого
ранга. Однако в настоящее время инварианты таких
тензоров при ортогональных преобразованиях очень
мало исследованы и для простоты изложения их
рассмотрение опускается.
1.2. Приводимые и неприводимые инварианты;
целый рациональный базис
Основной задачей теории инвариантов является
следующая: для заданной системы переменных (в
нашем случае векторов и тензоров) и данной группы
преобразований определить совокупность базисных
инвариантов (предполагая, что она существует), из
которой могут быть образованы все остальные
инварианты и которая не содержит лишних членов. В
данном случае ограничимся рассмотрением инвариантов,
являющихся полиномиальными функциями;
обоснование этого выбора будет дано в п. 1.3 и § 8.
Для заданной системы переменных и заданной
группы преобразований используются следующие
определения: говорят, что полиномиальный инвариант
является приводимым, если он может быть
представлен в виде полинома от других инвариантов; в
противном случае он называется неприводимым.
Совокупность полиномиальных инвариантов, такая, что любой
полиномиальный инвариант может быть выражен в
виде полинома от членов данной совокупности,
называется целым рациональным базисом; целый
рациональный базис является минимальным, если он
содержит наименьшее из возможных число членов. Ясно,
что все члены минимального целого рационального
базиса являются неприводимыми.
Часто оказывается, что между инвариантами
существуют полиномиальные соотношения, которые не

1.3 Некоторые результаты классической теории 15
сводятся к полиномиальной зависимости какого-либо
из инвариантов от остальных инвариантов. Такие
соотношения называются сизигиями.
Основной задачей, следовательно, является
определение минимальных целых рациональных базисов
и сизигий для данных систем переменных
относительно различных групп преобразований. Решение этой
задачи (настолько, насколько оно может быть дано
в настоящее время) для случая, когда в качестве
переменных рассматриваются компоненты векторов и
тензоров второго ранга в трехмерном пространстве, а
группами преобразований являются ортогональные
группы и некоторые их подгруппы, и будет составлять
основное содержание данной книги.
1.3. Некоторые результаты классической теории
инвариантов
Теория алгебраических инвариантов широко
изучалась математиками XIX столетия, и результаты
этих исследований составляют основное содержание
современной теории инвариантов. Изложение этой
теории можно найти, например, в книгах Трэйса и
Янга [10], Эллиотта [8], Турнбалла [61], Вейтценбека
[62] и Гуревича [14]. Однако эти результаты не столь
полезны для приложений к современной механике
сплошной среды, как это может показаться на первый
взгляд. Это объясняется тем, что большинство
классических работ носит геометрический характер и
касается главным образом вопросов проективной
геометрии, которая изучает инвариантные свойства
векторов и тензоров относительно полной линейной
группы преобразований. Следовательно, основные
результаты классической теории касаются инвариантов
относительно общих линейных преобразований. Но так
как для заданного числа измерений ортогональные
группы и их подгруппы являются подгруппами
полной линейной группы, то некоторые результаты,
касающиеся, скажем, полной ортогональной группы,
можно вывести из соответствующих результатов для
полной линейной группы. Легко доказать, например,

16
/. Введение
что целый рациональный базис для данной
совокупности векторов и тензоров относительно полной
ортогональной группы совпадает с целым рациональным
базисом для той же совокупности векторов и тензоров,
к которой добавлен один симметричный тензор
второго ранга — символ Кронекера бг;-, относительно
линейной группы. Однако целый рациональный базис
относительно ортогональных преобразований,
полученный таким путем, не является в общем случае
минимальным, и на практике более удобно получать
результаты для ортогональных групп
непосредственно, а не выводить их из результатов для полной
линейной группы.
Более современный подход к теории инвариантов
содержится в книге Вейля [63]. В этой работе
рассматривается, главным образом, общая теория, а не
частные задачи.
Несмотря на ее недостатки с данной точки
зрения, классическая теория содержит ряд существенных
общих результатов, которые следует привести. Одним
из основных результатов является теорема Гильберта,
которую можно сформулировать следующим образом:
Для любой конечной системы векторов и тензоров
существует целый рациональный базис, который
состоит из конечного числа инвариантов.
Доказательство ее является довольно длинным, и
его можно найти, например, в книге Гуревича [14].
Это очень важная теорема, поскольку она доказывает
существование конечного целого рационального
базиса для любой конечной системы векторов и
тензоров и, таким образом, оправдывает поиски такого
базиса.
Другой широко применимой теоремой является
теорема Пеано. Рассмотрим систему m тензоров,
которые являются подобными в том смысле, что все они
одного ранга, определены в одном и том же
пространстве и имеют одинаковую симметрию
относительно перестановки индексов. Предположим, что
каждый из этих тензоров имеет v различных
компонент (компоненты, которые связаны свойствами сим-

1.3. Некоторые результаты классической теории 17
метрии тензора, не рассматриваются как различные;
например, если /?г;- — симметричный или кососиммет-
ричный тензор, то не делается различия между
элементами Pij и pji). Эти компоненты, расположенные
в некотором определенном порядке, для г-ro тензора
(/-= 1, 2, ..., т) обозначаются через A{P(i=l,2, ...
..., v). Оператор поляризации определяется
формулой
D^A^W' (ьзл)
Тогда теорема Пеано утверждает, что, за
возможным исключением определителей егу2... ivA{[']A{lf ...
... A)v ', где ги г2, ..., rv — целые отличные друг
от друга числа, выбранные из множества 1, 2, . .., ш,
каждый полиномиальный инвариант m подобных
векторов можно выразить в виде полинома от
инвариантов v—1 тензоров и инвариантов, полученных
из них путем процесса поляризации. Здесь £/,*,... /v —
альтернирующий тензор ранга v.
Доказательство этой теоремы (под названием
теоремы Паскаля) дано Вейлем [63]. Эта теорема
является довольно общей в том смысле, что она
позволяет выразить инварианты произвольного числа
тензоров через инварианты v—1 тензоров; однако в
большинстве рассматриваемых здесь случаев такие
результаты могут быть получены более просто
прямыми методами. В п. 2.1 эта теорема будет
применена к векторам в дву- и трехмерном пространствах;
в этом случае А{[ становятся просто компонентами
U{p векторов, где / принимает значения 1 и 2 или 1,
2 и 3 в соответствии с размерностью
рассматриваемого пространства.
Имеется также ряд совсем простых свойств
инвариантов, которые, тем не менее, являются важными
и будут кратко изложены. Напомним, что сейчас мы
рассматриваем только алгебраические инварианты,
т. е. инварианты, которые являются алгебраическими
функциями от компонент рассматриваемых векторов
и тензоров. Так как здесь рассматриваются только

18
/. Введение
абсолютные инварианты, то результаты, приведенные
ниже, являются частными случаями более общих
результатов, которые справедливы для относительных
инвариантов и приведены в книге Гуревича [14]. Для
краткости обозначим компоненты векторов и
тензоров, расположенные в некотором определенном
порядке, в системе координат Х{ через аГу а
соответствующие компоненты в системе Х{ через аг\ пусть
ф(аг)—алгебраический инвариант векторов и
тензоров, так что
Ф (аг) = ф (йг),
и, так как ф(аг) — алгебраический инвариант, он
удовлетворяет уравнению вида
[ф(аг)]ЧЛ(аг)[ф(Аг)]*"! +
+ /2(Аг)[ф^г)]*"2+ .^ +Mflr) = 0, (1.3.2)
где Л, /г, ..., h — рациональные функции от аг. Без
потери общности можно предполагать, что показатель
k является наименьшим из возможных; тогда
коэффициенты в (1.3.2) определяются однозначно,
поскольку в противном случае разность двух уравнений вида
(1.3.2) давала бы уравнение более низкой степени
относительно ф. Так как ф(а,) является такой же
функцией от ап как ф(аг) от аг, то ф(аг) является
решением уравнения
[(ф(бг)]* + Л(бг)[ф(Йг)]*"Ч
+ /2(аг)[ф(а,)]*-2 + ... +Гк(аг) = 0. (1.3.3)
Далее, так как ф(аг) является инвариантной
величиной, то из (1.3.3) следует, что
1Ф («,)]* +/|(йг)[ф(аг)]*~'+
+ U («г) [ф (ar)\k~2 +...+/* (3,) = 0. (1.3.4)
Поскольку коэффициенты в (1.3.2) определяются
единственным образом, то
/,(ar) = /,(flr), h{ar) = h(ar),..., Ik(ar) = Ik(ar). (1.3.5)
Таким образом, любой алгебраический инвариант од-

1.3. Некоторые результаты классической теории 19
ного или нескольких тензоров является решением
алгебраического уравнения, коэффициенты которого
являются рациональными инвариантами этих тензоров.
Предположим теперь, что ф(аг)—некоторый
рациональный инвариант. Тогда его можно представить
в виде
Ф(аг) = ф(аг)/х(аг), (1.3.6)
где ф и х — полиномы, не имеющие общих
множителей. Из (1.3.6) следует, что
^(ar)%(ar) = ^(ar)%(ar). (1.3.7)
Если мы подставим вместо аг их выражения через аГу
то формула (1.3.7) превратится в тождество, которое
должно оставаться справедливым при любых
преобразованиях из рассматриваемых групп. В этом
тождестве левая часть должна делиться на \Ь{аг). Так
как \|) и х не имеют общих множителей, то это
означает, что \j)(ar) делится на гр(ar). Однако степени (по
аг) у л|>(аг) и г|)(аГ) одинаковы; следовательно, они
могут отличаться, самое большее, на множитель,
который является функцией только компонент матрицы
преобразования Л1??-. Можно показать (Гуревич [14]),
что такая функция обязательно является целой
степенью определителя |Мг;|, который для
ортогональных преобразований всегда равен ±1. Таким
образом,
4>(йг)=±ф(аг), Х(аг)=±х(аг). (1-3.8)
Выбор знака должен быть одинаковым в обоих
уравнениях (1.3.8); если группа преобразований является
собственной ортогональной группой или ее
подгруппой, то знак может быть только положительным. Из
(1.3.7) и (1.3.8) следует, что любой рациональный
инвариант одного или нескольких тензоров является
отношением двух полиномиальных инвариантов
(которые могут быть относительными инвариантами)
этих тензоров.
Поэтому достаточно рассмотреть инварианты,
являющиеся полиномиальныхми функциями от своих

20
/. Введение
аргументов. Вопрос об относительных инвариантах
возникает лишь в ограниченном ряде случаев; в
частности, они встречаются в п. 2.1 и 2.7.
Полиномиальный инвариант векторов U, V, ... и
тензоров, связанных с матрицами т, п, ...,
называется однородным, если он является однородным
полиномом от компонент векторов U, V, ... и
элементов матриц т, п, ... . Тогда любой
полиномиальный инвариант векторов и тензоров представляет
собой сумму однородных полиномиальных
инвариантов тех оке самых векторов и тензоров. Так как
каждый член инварианта / после линейного
преобразования становится суммой членов той же степени
относительно компонент каждого вектора и тензора,
то, если в инварианте / взять члены одинаковой
степени относительно компонент каждого вектора и
тензора, сумма этих членов не будет изменяться при
преобразовании, относительно которого /
инвариантно. Отсюда тотчас следует приведенный выше
результат. Ясно также, что необходимо рассматривать
только однородные полиномиальные инварианты.
1.4. Ортогональные группы и некоторые их подгруппы
В этом параграфе будут описаны все группы
преобразований, при которых мы должны найти целые
рациональные базисы для систем векторов и
тензоров. Значение этих групп в механике сплошной среды
основывается на том факте, что их можно
использовать для описания свойств симметрии материала, как
будет указано ниже. Все рассматриваемые группы
являются группами преобразований в трехмерном
пространстве. Для краткости характеристика
«трехмерный» будет обычно опускаться.
а. Полная ортогональная группа
Она содержит все ортогональные преобразования,
определяемые матрицей с элементами Мг& со
свойствами (1.1.5) и (1.1.6). Изотропность материала, с
центром симметрии означает инвариантность
относительно этой группы.

1.4. Ортогональные группы и некоторые их подгруппы 21
б. Собственная ортогональная группа (группа
вращений)
Эта группа содержит все ортогональные
преобразования, для которых |Л1^|=+1- Она описывает
изотропный материал, не имеющий центра симметрии.
в. Трансверсальная изотропия
Говорят, что материал обладает трансверсальной
изотропией, если в каждой его точке имеется одно
главное направление, одинаковое во всех точках. Для
таких материалов определяющие уравнения являются
инвариантными при вращениях вокруг главного
направления. Если принять главное направление за ось
Аз, то такие вращения выражаются матрицей
cos0 sin Э О"
М0 =
О
1J
(0<0<2я). (1.4.1)
Ri =
1 0 оп
0 1 0
0 0 1J
> "з —
Г1 0
0 1
1.0 0
0]
0
-11
Do =
— sin Э cos0
0 0
Могут представиться различные случаи в
зависимости от того, допускаются или нет некоторые другие
преобразования. Следует рассмотреть
преобразования, которые выражаются следующими ма!рицами:
-1 0 01
0 1 0
0 0 -1-
(1.4.2)
(Эти обозначения взяты из работ Смита и Ривлина
[47], Грина и Адкинса [11].) Здесь Ri и R3
представляют собой отражения относительно плоскостей,
нормальных к осям Х\ и Х3 соответственно, a D2 —
поворот на 180° вокруг оси А2. Возможны пять случаев,
которые соответствуют группам преобразований,
характеризующимся следующими матрицами:
(О Ме, (iv) Ме, D2,
(ii) Me, Ri, (v) Me, Rb R3, D2.
(iii) Me, R3,

22
/. Введение
Иногда говорят, что случай (i), который допускает
только вращения вокруг главного направления,
характеризует осевую симметрию.
г. Классы кристаллов
Эти классы описывают материалы, для которых в
начальном состоянии существуют три главных
направления, определяемых тремя единичными векторами,
которые будут обозначаться через hb h2, h3. Каждый
класс можно охарактеризовать конечной группой
ортогональных преобразований. Для данного класса и
связанной с ним группы преобразований материал
преобразуется посредством любого из преобразований
этой группы в конфигурацию, которая не отличима от
первоначальной.
Имеются 32 класса кристаллов, которые
группируются в шесть систем. Будем следовать
обозначениям Смита и Ривлина [47], которые приняли
терминологию Дэны и Харлбута [7]. В тех же обозначениях
эти классы кристаллов рассматриваются в работе
Грина и Адкинса [11]. Более детальное рассмотрение
можно найти в работах по кристаллографии,
например в книге Ная [24]. Группы, соответствующие
классам кристаллов, вводятся, например, в работе Ломон-
та [20]. Имеются шесть следующих систем классов
кристаллов.
(1) Триклинная система
В этой системе не налагается никаких
ограничений на взаимное расположение главных
направлений, определяемых векторами hb h2, h3. Эта система
содержит два класса.
(2) Моноклинная система
Здесь одно из главных направлений (будем
полагать, что оно определяется вектором hi)
перпендикулярно плоскости двух других направлений. Эта
система содержит три класса.

1.4. Ортогональные группы и некоторые их подгруппы 23
(3) Ромбическая система
Единичные век-торы ht- взаимно перпендикулярны.
В системе содержатся три класса кристаллов.
(4) Тетрагональная система
В этой системе векторы Ьг также взаимно
перпендикулярны. Одно из главных направлений, скажем,
определенное вектором h3, имеет особое значение и
называется главной осью симметрии. Система
содержит семь классов.
(5) Гексагональная система
Вектор h3 перпендикулярен плоскости,
определяемой векторами hi и h2; вектор hi можно совместить
с сектором h2 путем поворота на угол 2я/3 вокруг
направления h3. Система содержит 12 классов.
(6) Кубическая система
Снова главные направления взаимно
перпендикулярны. В системе содержатся пять классов.
Для описания преобразований, характеризующих
каждый класс, удобно выбрать для каждой системы
классов свою систему координат. Для триклинной
системы можно взять произвольную прямоугольную де-
картову систему координат; для моноклинной
системы ось Х\ выбирается параллельно направлению hb
а в остальном система координат является
произвольной прямоугольной декартовой; для ромбической,
тетрагональной и кубической систем оси Хи Х2, и Х3
выбираются параллельными направлениям hb h2 и h3
соответственно; для гексагональной системы берется
прямоугольная декартова система координат, в
которой оси Х\ и Хъ выбираются параллельными
векторам hi и h3 соответственно. Тогда (Смит и Ривлин
[47]) свойства симметрии классов кристаллов
характеризуются в соответствующих системах координат
преобразованиями координат с такими матрицами

24
/. Введение
(через I обозначена единичная матрица третьего
порядка):
I, С = -1,
R,=
-10 0
0 1 о
о о и
м,=
го
0
Li
1 0]
0 1
0 0J
s,=
-72
i2 _ 72/з oi
-V2/3 -72 о
о о и
D,=
о О
-1 о
о —и
м*
ГО 0 г
100
Lo 1 oJ
,s2 =
1
-72 -72/зо
72|/ 3 -72
1
. т,=
4 0 0]
0 0 1
1.0 1 0J
(1.4.3)
и R2, R3, D2, D3, Т2, Т3, которые определяются по
аналогии с Ri, D], ТьИспользуются также
преобразования, соответствующие произведениям этих матриц.
В табл. I приведены матрицы преобразований,
характеризующие каждый из классов. Через п обозначен
порядок группы преобразований, соответствующей
каждому классу.
Группы ортогональных преобразований можно
также охарактеризовать тензорами, компоненты
которых остаются неизменными при любом
преобразовании из этих групп. Например, в прямоугольных
декартовых координатах символ Кронекера 6tJ- не
меняется ни при каком ортогональном преобразовании,
а альтернирующий тензор eijk не изменяется ни при
каком собственном ортогональном преобразовании.
В работе Смита и Ривлина [45] дан метод и
приведены примеры построения таких тензоров. В работах
Лохина и Седова [19, 38] приведены таблицы таких
тензоров для изотропных материалов, материалов с
трансверсальной изотропией и классов кристаллов.
Подобные таблицы для всех классов кристаллов
даны в работе Смита и Ривлина [48].

Таблица I
Преобразования, характеризующие классы кристаллов
Система
Триклинная

Моноклинная

Ромбическая

Тетрагональна я
Номер
класса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Класс
Педиальный
Пинакоидальный
Доматический
Сфеноидальный
Призматический

Ромбически-пирамидальный
Ромбически-дис-
феноидальный
Ромбически-би-
пирамидальный
Тетрагонально-
дисфеноидаль-
и ый
Тетрагонально-
пирамидальный
Тетрагонально-
бипирамидаль-
ный
Тетрагоналыю-
скаленоэдри-
ческий
Дитетра гона лыю-
пирамидальный
Тетрагонально-
трапецоэдри-
ческий
Дитетра гона ль-
но-бипирами-
дальный
Преобразования
I
I. с
I, Ri
I, D,
I, С, R,, D,
I, R2, R3, Di
I, Db D2, D3
I, C, Ri, R2, R3,
Di, D2, D3
I, D3, DJ3, D2T3
I> D3, R1T3, R2T3
I, C, R3, D3, R1T3,
R2T3. DJ3, D2T3
I, Db D2, D3, T3,
D,T3, D2T3, D3T3
I, Ri> R2> D3, T3,
R1T3, R2T3, D3T3
I, Db D2, D3, CT3,
R1T3, R2T3, R3T3
I, C, Ri, R2, R3,
DbD2, D3,T3,CT3,
R1T3, R2T3, R3T3,
D1T3, D2T3, D3T3
n
1
2
2
2
4
4
4
8
4
4
8
8
8
8
16

Продолжение
Система

Гексагональная
1
Помер
класса
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Класс
Тригонально-пи-
рамидальный
Ромбоэдрический
Дитригонально-
пирамидальный
Тригонально-тра-
пецоэдрический
Гексагонально-
скаленоэдри-
ческий
Тригоиально-би-
пирамидальный
Гексагонально-
пирамидальный
Гёксагонально-
бипирамидаль-
ный
Дитригонально-
бипирамидаль-
ный
Дигексагональ-
но-пирамидаль-
ный
Гексагонально*
трапецоэдриче-
ский
Дигексагональ-
но-бипирами-
дальный
Преобразозаиия
I, Sb S2
I, Si, S2, С, CSi,
CS2
I, S,, S2, Ri, R1S1,
RiS2
I, S,, S2, DbDiSj,
DiS2
I, Si, S2, C, CSi,
CS2, Ri, R1S1,
RiS2, Di, D^i,
DiS2
I, Si, S2, R3, R3S1,
R3S2
I, Si, S2, D3, D3Sj,
D3S2
l, Si, S2, C, CSj,
CS2, R3, R3S1, R3S2,
D3, D3Sb D3S2
I, S,, S2, R,, R,Sb
R1S2, R3, R3S1,
R3S2» D2» D2S1,
D2S2
I, S,, S2, R,, RiS,,
R1S2, R2» R2S1,
R2S2, D3, D3S1, D3S2
I, Si, S2, DbD,Sb
D1S2, D2, D2Si,
D2S2, D3, D3S,,
D3S2
I, Si, S2, C, CSi,
CS2, Ri, RiSb
RiS2» R2> R2S1,
R2S2» R3» R3S1,
R3S2, D,, D,Si,
DiS2, D2, D2Sb
D2S2, D3, D3S1,
D3S2
n
3
6
6
6
12
6
6
12
12
12
12
24

Продолжение
Система
Кубическая
Номер
класса
28
29
30
31
32
Класс
Тетартоэдриче-
ский
Диплоидальный
Гёксатетраэдри-
ческий
Гироэдрический
Гексоктаэдриче-
ский
Преобразования
I, Db D2, D3, Mi,
M2, DiMi, DiM2,
D2M,,D2M2, D3Mb
D3M2
I» C, Ri, R2, R3,
DbD2, D3, MbM2,
СМь CM2, R1M1,
RiM2, R2Mb R2M2,
R3M1, R3M2, D1M1,
DiM2, D2MbD2M2,
D3M1, D3M2
I, Db D2, D3, Mi,
M2, Ti, T2, T3,
DiMbDiM2,DtTb
DiT2, DJ3, D2Mi,
D2M2, D2Tb D2T2,
D2T3, D3M,, D3M2,
D3T,, D3T2, D3T3
I, Di, D£t D3, Mi,
M2, СТь ст2,ст3,
R!Tb RiT2, R1T3,
R2Ti, R2T2, R2T3,
R3T1» R3T2' R3T3,
DiMi,DiM2, D2Mb
DaMz.DaM! D3M2
I, C, Ri, R2» R3,
DbD2>D3, MbM2,
Ть T2, T3. СМь
CM2, СТь ст2,
СТ3, RiMi, RiM2,
R1T1, RiT2, R!T3,
R2Mb R2M2, R2Tb
R2T2, R2T3, R3Mi,
R3M2, R3Tb R3T2,
R3T3, D^bDjMa,
D1T1. D,T2, D!T3,
D2Mi, D2M2, D2Tb
D2T2, D2T3, D3M,,
D3M2, D3Tb D3T2,
D3T3
n
12
24
24
24
48

28
2. Изотропия
2. ИЗОТРОПИЯ
В п. 2.1—2.7 будут построены целые
рациональные базисы для произвольного числа векторов и
тензоров второго ранга в трехмерном пространстве
относительно полной и собственной ортогональных групп
преобразований.
2.1. Целые рациональные базисы для векторов
Приводимый здесь способ построения целого
рационального базиса для произвольного числа m
абсолютных векторов основан на методе Вейля [63] для
частного случая пространства двух и трех
измерений. Доказательство Вейля дано для общего случая
я-мерного пространства.
Говорят, что инвариант является четным, если он
не изменяется при всех ортогональных
преобразованиях, и нечетным, если он изменяет знак при
ортогональном преобразовании с отрицательным
определителем. Четные инварианты являются абсолютными
инвариантами относительно полной и собственной
ортогональных групп преобразований; нечетные
инварианты являются абсолютными инвариантами
относительно собственной группы и относительными
инвариантами относительно полной группы. Напомним
(п. 1.1), что скалярное произведение ifpU^ является
четным инвариантом векторов Ur, Us (в данном
разделе все векторы считаются абсолютными векторами).
Можно также проверить, что тройное скалярное
произведение eijklfPuT^k (г ф s Ф t Ф г) является
нечетным инвариантом векторов Ur, Us, U,. Таким
образом, инвариантами векторов являются
£/№. eiikVVvfW (/, /, k = 1, 2,3; г, s, /= 1, 2,..., m).
(2.1.1)
В инвариантах второго типа все индексы г, s, /
должны быть различными, так как в противном случае
данное выражение тождественно равно нулю. Не все

2.1. Целые рациональные базисы для векторов 29
инварианты (2.1.1) являются функционально
независимыми, так как легко проверить, что они связаны
посредством сизигии
(etlkUfurU^)(eiIkuVurU^^
£/№
u[n)u[s)
Aq)T1(n
u\q,uv
vtvt
uWP
(2.1.2)
В дальнейшем нам понадобятся аналогичные
результаты для двумерного пространства, в котором,
как нетрудно убедиться, следующие выражения
будут инвариантами:
l№lft\ e4U{?Ut] (гф8), (2.1.3)
здесь а, р = 1, 2; г, s = 1, 2, ..., т; еХ2 = — е2\ = 1;
£ц = ^22 = 0. Выражения первого типа в (2.1.3)
являются четными инвариантами, а выражения второго
типа — нечетными. Они связаны между собой сизигией
(еаЛРЧя))(еа,и(М8))--
(2.1.4)
Нашей задачей является показать, что каждый
(нечетный или четный) полиномиальный инвариант
векторов может быть представлен в виде некоторого
полинома от инвариантов вида (2.1.1) в трехмерном
пространстве и вида (2.1.3) в двумерном
пространстве. Заметим сначала, что результат применения
поляризационного оператора Dvq (формула 1.3.1) к
инвариантам (2.1.1) и (2.1.3) приводит к новым
инвариантам того же типа. Таким образом, в трехмерном
случае
DpqvWP = UfU([\ DpqUW = 2£/W
(/=1, 2,3),
OpretjkUVuW = e.^Ufuf (/, /, k = 1, 2, 3)
(2.1.6)
(2.1.5)

30
2. Изотропия
и аналогично в двумерном случае
Dpre4U^Uf = ea^Uf (а, р=1, 2).
Начнем с рассмотрения инвариантов
единственного вектора U в двумерном пространстве
относительно преобразований из полной ортогональной
группы. Пусть /i(f/i, U2) является таким
полиномиальным инвариантом, и отнесем U к системе координат
Хи в которой он имеет компоненты (Е7Ь 0). Тогда,
поскольку f\ является инвариантом (на данном
этапе, возможно, нечетным инвариантом), то
fx(Uu £/2)= ± fx(U{9 0)=±q> (£/,). (2.1.8)
Если /i — нечетный инвариант, то он должен менять
знак при преобразовании X\-+Xiy Х2->-— Х2. Но Ои а
следовательно, и f\{Ou 0) не изменяются при таком
преобразовании; поэтому f\ не может быть нечетным
инвариантом. Отсюда вытекает, что выражение
f\(Ou 0) должно иметь вид полинома от и]. Но U\=
= U\ + (/5, так что f 1 является полиномом от U\ + U\.
Таким образом, каждый полиномиальный инвариант
вектора U является полиномом от UaUa = U\ + l)\.
Из теоремы Пеано (п. 1.3) и соотношений (2.1.5)
и (2.1.7) следует, что любой полиномиальный
инвариант от произвольного числа векторов в двумерном
пространстве является полиномом от выражений типа
(2:1.3). Вследствие соотношений типа (2.1.4) каждый
четный инвариант векторов должен представляться в
виде полинома от скалярных произведений вида
Рассмотрим теперь два вектора U, V в трехмерном
пространстве. Пусть f2(Uu U2, £/з> У и Уъ, Уз)
является типичным полиномиальным инвариантом. Все
векторы будем рассматривать в системе координат Хи
в которой ось Xz направлена по нормали к плоскости
векторов U, V. В такой системе координат их
компонентами будут (Пи #2, 0), (Vu ^2» 0) и
/2(£Л, U2, £/3, Vl9 V2) Vz)=*f2(Ul9 U2, 0, Vu K2, 0).

2.L Целые рациональные базисы для векторов 31
Если f2 является нечетным инвариантом, то он будет
менять _знак при _преобра_зовании Х\-+Хи Х2-+Х2у
%3-> — X$. Но Uи ^2, Vu V2 не меняются при таком
преобразовании, так что имеем
f2(Uu U2t О, Vl9 V2y 0) = -f2(Ou (72, 0, Vu V2, 0).
Следовательно, если f2 — нечетный инвариант, то
/2 = 0. Поэтому f2 может быть только четным
инвариантом. Теперь при ортогональном преобразовании,
сохраняющем Х3 неизменным, (U\, U2) и (Vu V2)
преобразуются как компоне_нты_пары_векторов в
двумерном пространстве, a f2{Uu U2, 0, Vu V2, 0)
относительно такого преобразования является четным
инвариантом. Следовательно, на основании результатов,
доказанных выше, получаем, что f2 является полиномом
от U\+Ui, V\+ Vl UXVX + U-2V2. Однако
ui+U2=utut9 v2l + vl=vivh
U^ + Ufo^UtVt (/==1,2,3),
так что f2 должно представляться в виде полинома от
UiUu V{Viy UiVi (i = 1,2,3). Из теоремы Пеано и
выражений (2.1.5) и (2.1.6) следует, что каждый
полиномиальный инвариант произвольного числа
векторов в трехмерном пространстве представляется в виде
полинома от выражений вида (2.1.1), что и
требовалось доказать. Из (2.1.2) следует, что каждый четный
полиномиальный инвариант векторов является
полиномом от выражений вида U{[]U^\
Из предыдущих результатов следует, что для
полной ортогональной группы в двумерном пространстве
целый рациональный базис произвольного числа
векторов состоит из всех возможных скалярных
произведений uVU{a* Для собственной ортогональной
группы в двумерном пространстве он состоит из всех
возможных выражений вида Ua^a и e^U^Uf. Для
полной ортогональной группы в трехмерном
пространстве он состоит из всех возможных скалярных
произведений U{pU\s). А для собственной ортогональной
группы в трехмерном пространстве он состоит из всех

32
2. Изотропия
возможных скалярных произведений U[]U? и всех
возможных тройных скалярных произведений
eijkU{ilU{is)Uk'. В предыдущих рассмотрениях в базис
включались только абсолютные инварианты.
2.2. Изотропные тензоры
Изотропным тензором называется тензор,
компоненты которого не изменяются ни при каком
собственном ортогональном преобразовании
прямоугольных декартовых координат. В некоторых случаях нам
потребуются изотропные тензоры, инвариантные
относительно любого (собственного или несобственного)
ортогонального преобразования; эти тензоры могут
быть получены путем исключения из общего списка
изотропных тензоров тех тензоров, которые не
инвариантны относительно преобразования центральной
инверсии с матрицей С == —I. В этом пункте мы
будем рассматривать только изотропные тензоры в
трехмерном пространстве.
При построении изотропных тензоров будем
использовать метод Смита и Ривлина [45], хотя они
сами не применяли этот метод непосредственно к
данной задаче, а использовали его при определении
тензоров, инвариантных относительно некоторых
других групп преобразований. Пусть оц t .../ —
изотропный тензор ранга \i. Тогда по определению
(2.2.1)
при любом собственном ортогональном
преобразовании, определяемом матрицей Мц.
Рассмотрим скалярное выражение
/ = ам ...* ifiMl ... Uf\ (2.2.2)
из которого видно, что ')
1) Поскольку все рассматриваемые здесь функции являются
полиномами, дифференцирование можно рассматривать как
алгебраический процесс.

2.2. Изотропные тензоры
33
При ортогональном преобразовании векторов /
преобразуется в выражение
1*2 Ц 1 2 *Ц
- «v2 - iM,lltMVa... м,ли%ига... ^ =
= «/,/,••/,«•••4 = ^
Следовательно, / является инвариантом относительно
ортогональных преобразований векторов Ur (г =
= 1, 2, ... jut). Поэтому его можно представить в виде
полинома от выражений типа (2.1.1). При таком
построении инварианта / он будет полилинейной
формой от компонент каждого из векторов. Так,
типичный член / имеет вид
№*uW{uFof,)...WuF)(ePVu?>uT>uFi)...
... (W/WW9. (2.2.4)
где р — числовой коэффициент, а Л, В, С, Д ...
...,£, F, G, Я, Ку ..., L, М, N есть перестановка
чисел 1, 2, ..., [i. Так как
ди\А)ди^ ~ '*' dU[G) dUf] dU\K) ~ rsU K }
то из соотношений (2.2.3) и (2.2.4) сразу же следует,
что тензоры ai{i ... / можно выразить в виде
линейной комбинации членов, представляющих собой
внешнее произведение символов Кронекера и
альтернирующих тензоров третьего ранга. Так как
I б/г б/5 6,7
^ijk^rst =
б/Г S/5 бу/
&kr &ks &kt
(2.2.6)
то выражение для ait ...* можно преобразовать
таким образом, что каждый из его членов будет
являться внешним произведением одного
альтернирующего тензора третьего ранга на символы
Кронекера. Таким образом, если \х — четное число, то можно

34
2. Изотропия
записать aixi2...i в виде суммы членов вида
K^w* • • • Ч<*. (2-2-7)
а если |х нечетно, то
Ч'эЧ'б ' ' • Vv*Wt>
где в обоих случаях а, р, у» б» • • •» Р» а» т есть
перестановка чисел 1, 2, ..., (х.
Легко показать, что изотропные тензоры четного
ранга инвариантны относительно несобственных
ортогональных преобраозваний, а тензоры нечетного
ранга меняют знак при таких преобразованиях.
2.3. Инварианты векторов и тензоров второго ранга;
общие формы
Результаты, полученные в предыдущем пункте для
изотропных тензоров, могут быть использованы для
вывода общих представлений полиномиальных
инвариантов векторов и тензоров второго ранга. В этом
пункте под термином «инвариант» будет
подразумеваться четный или нечетный инвариант; всегда легко
определить, является данный инвариант четным или
нечетным; различия между ними, конечно, нет, если
рассматриваются только собственные ортогональные
преобразования.
Пусть / — полиномиальный инвариант v векторов
Ur (г = 1, 2, ..., v) и X тензоров второго ранга p\sj
(s = 1, 2, ..., X). Используя результаты п. 1.3, без
потери общности можно предположить, что /
является однородным инвариантом. Следовательно, он
может быть представлен в виде
/ = В £/(ri)£/(r2) £/(r»)n('i) n(s/)
(2.3.1)
где ru r2y ..., rn — целые числа (не обязательно все
различные), выбираемые из 1,2, ..., v, а 5Ь s2, ...
..., S/ — целые числа (не обязательно все различные),
выбираемые из 1, 2, ..., X, и где р, £ , / k , k ik —

2.3. Инварианты векторов и тензоров второго ранга 35
числовые коэффициенты. При ортогональном
преобразовании Mij компоненты векторов Ur и тензоров
pfj преобразуются следующим образом:
и{р = Мр1и{[\ pft=MqiMikp%. (2.3.2)
И так как / является инвариантом, то
/=6 77(ri)77(r2) 77(r")fl(5i) й<*|>
(2.3.3)
Подставляя соотношения (2.3.2) в (2.3.3) и
сравнивая выражения (2.3.1) и (2.3.3), найдем, что
Р'Л-" Vi*i-/A =
= MPiilMp^2 ... MPninMqiiMtlkMq2i2Mt2k2 ...
. •. MqiilMtlk$Plp2... Pnqltl... ^. (2.3.4)
Таким образом, 6, . . , ь ,. являются компо-
нентами изотропного тензора и могут быть
представлены в виде линейных комбинаций от выражений
вида (2.2.7) и (2.2.8). Подставляя такое
представление Pj j ... / / Л .../Л в соотношение (2.3.1),
получаем, что / можно записать в виде полинома от
следующих выражений:
(i) Ilff,
{ГдттЮшЛГг) (2.3.5)
(И) игщщ,
(iii) ei!kXlW*ti}L
(iv) ^у^^ЗД^'ПЙ^^
(5)77(ri)rT<6> ГИ^ГГ^ГИ^ (2.3.6)
где III1/ ... 11/7 в свою очередь являются
выражениями вида
П„ = Р!М2)---/>&">> (2.3.7)
а также выражениями, получаемыми из (2.3.7)
заменой некоторых или всех p^j на pff. В отдельных

36
2. Изотропия
случаях IIj^, кроме П^Д могут быть символами Кро-
некера. В выражении (2.3.7) s\, s2, ..., sm — целые
числа, не обязательно различные, выбираемые из
1,2, ..., Я, а в (2.3.5) и (2.3.6) гь г2, гъ — целые, не
обязательно различные числа, выбираемые из
1, 2, ..., v. Каждый член в / содержит по крайней
мере один множитель вида (2.3.6). Заметим, что все
инварианты только тензоров второго ранга могут быть
представлены выражениями типа (i) из (2.3.5), и все
такие инварианты являются четными инвариантами.
Для случая симметричных тензоров р{?) формулы
(2.3.5) и (2.3.6) были даны в работе Спенсера и Рив-
лина [55]. Они получаются из работ Ривлина [31] и
Пипкина и Ривлина [26].
Инварианты вида (2.3.5) и (2.3.6) дают целый
рациональный базис для произвольного числа
векторов и тензоров второго ранга. Этот базис, однако, не
является ни конечным, ни, разумеется, минимальным.
Поэтому из инвариантов (2.3.5) и (2.3.6) необходимо
выбрать такую систему инвариантов, которая
образует конечный и, если возможно, минимальный целый
рациональный базис для векторов и тензоров второго
ранга.
2.4. Некоторые результаты, относящиеся к следам
матричных полиномов
При анализе приводимости большинства (всех, за
исключением конечного числа) инвариантов вида
(2.3.5) и (2.3.6) удобно использовать матричное
обозначение. В этом пункте мы приведем некоторые
соотношения для матричных полиномов, которые будут
использоваться при таких упрощениях базиса. Если
не оговорено противное, то будем рассматривать
матрицы третьего порядка, которые в общем случае не
являются ни симметричными, ни кососимметричными.
Дальнейшие результаты для симметричных и косо-
симметричных матриц будут даны в п. 2.5 и 2.6.
Как и в п. 1.1, пусть гп, п, ..., t — матрицы
третьего порядка, определяемые так:
m = || m/; ||, п = \\пч\\ и т. д.

2.4. Некоторые результаты, относящиеся к следам 37
Рассмотрим для них матричное произведение П,
задаваемое формулой
П = mV* ... t^mV» ... t6* ... та'гЛ ... t6r
(2-4.1)
и образованное конечным числом последовательных
умножений этих матриц в некотором порядке. В
формуле (2.4.1) он, Рь • •, 6г — положительные целые
числа или нули и никакие два соседних члена не
являются степенями одной и той же матрицы. Степень
произведения П по т, п, ..., t равна
<*i + Pi+ ... +61 + а2 + р2+ ... +б2+ ...
... + аг + Рг + • • • + бг.
Степень произведения П по m равна ai +' a2 + ...
... + ar, а по п равна Pi + р2 + v . + рг, и т. д.
Матричный полином от матриц т, п, ..., t
представляет собой сумму конечного числа членов типа
(2.4.1) со скалярными коэффициентами,
являющимися полиномами от элементов матриц т, п, ..., t.
Степенью такого полинома является степень его члена,
имеющего наивысшую степень, его степенью по m
является степень его члена, имеющего наивысшую
степень по т, и т. д.
Следом матрицы или матричного полинома Р
называется сумма элементов, стоящих на глазной
диагонали, он обозначается через tr Р. Таким образом,
если
Р = lift/II. (2.4.2)
то
trP = P„.
След матрицы Р, конечно, является скалярной
величиной.
Если П — матричное произведение,
П = mnp ... st, П = || Пч ||, ntJ = mlknklpla ... sbctei,
где m, n, р, ..., s, t не обязательно различны, то
tr П = Цп = miknklpla ... sbctci. (2.4.3)

38
2. Изотропия
Выражение в правой части (2.4.3) не изменяется при
циклических перестановках матриц т, п, р, ..., s, t;
таким образом,
tr П = tr mnp ... st = tr np ... stm =
= tr p ... stmn = ..., (2.4.4)
т. е. след матричного произведения не изменяется при
циклической перестановке его сомножителей. Кроме
того, поскольку операция транспонирования не
изменяет элементы матрицы, стоящие на главной
диагонали, то из (2.4.2) следует также, что след
матричного произведения равен следу транспонированного
произведения. Эти свойства будут часто
использоваться.
Постараемся выяснить, всегда ли можно выразить
след матричных произведений и полиномов в виде
полинома от следов матричных произведений более
низкой степени. Во многих случаях мы не будем
интересоваться точным видом такого выражения; нам
достаточно обычно знать, что это выражение
существует. Введем обозначение
trPeO, (2.4.6)
которое означает, что tr Р может быть представлен
в виде полинома от следов матричных произведений
степени, меньшей, чем степень Р. Если в
обсуждаемом контексте следы матричных произведений будут
инвариантными, как это обычно бывает, то
выражение (2.4.5) равносильно утверждению, что tr Р
является приводимым инвариантом. Если Pi и Р2 —
матричные полиномы одинаковой степени и
tr Pj — trP2 = 0, (2.4.6)
то говорят, что Pi и Р2 эквивалентны. Приведенное
обозначение и терминология часто используются в
алгебраической теории инвариантов; здесь они слегка
модифицируются в применении к матричным следам,
а не к любым инвариантам.
Результаты этого параграфа основаны на теореме
Гамильтона — К>ли, которая для матриц третьего по-

2.4. Некоторые результаты, относящиеся к следам 39
рядка может быть записана как
т3 — т2 tr т + -^ т [(tr т)2 — tr т2] — I det т = О,
(2.4.7)
где I — единичная матрица третьего порядка, а
detm — определитель матрицы т. Вычисляя след от
выражения (2.4.7), найдем, что
tr m3 — I tr m2 tr m + \ (tr m)3 — 3 det m = 0, (2.4.8)
так что detm можно представить в виде полинома от
trm, trm2 и trm3. Согласно работе Ривлина [31],
соотношению (2.4.7) эквивалентно следующее:
mnp + mpn + nmp + npm + ршп + pnm —
— m (tr np — tr n tr p) — n (tr pm — tr p tr m) —
— p (tr mn — tr m tr n) — (np + pn) tr m —
— (pm + mp) tr n — (mn + nm) tr p —
— I (tr m tr n tr p — tr m tr np — tr n tr pm —
— tr p tr mn + tr mnp + tr pnm) = 0. (2.4.9)
Соотношение (2.4.9) можно вывести и другими
способами, например, исключая detm из формул (2.4.7) и
(2.4.8) и заменяя в полученном выражении m на m +
+ Хп + jbtp; полагая затем коэффициент при X\i
равным нулю, получим уравнение (2.4.9). Ривлином [31]
был дан вывод, не зависящий от уравнения (2.4.7).
Уравнение (2.4.7) получается из (2.4.9), если
положить m = п = р и воспользоваться соотношением
(2.4.8).
Умножим соотношение (2.4.7) справа на р и
вычислим след полученного выражения. Тогда
tr m3p — tr m2p tr m +
+ -^trmp[(trm)2 —trm2] —trp detm = 0.
Используя введенное выше обозначение, можем
записать
trm3p = 0. (2.4.10)

40
2. Изотропия
Аналогично, умножая (2.4.9) справа на q и вычисляя
след, получаем
tr (mnp + mpn + nmp + npm + pmn + pnm) q ss 0.
(2.4.11)
Для краткости будем писать
mnp + mpn + nmp + npm + pmn + pnm = 2 mnp.
Тогда (2.4.11) запишется как
tr(2mnp)q = 0. (2.4.12)
Заметим также, что так как след матричного
произведения не изменяется при циклической перестановке
его сомножителей, то
tr m3p = tr pm3, tr (2 mnp) q = tr q 2 mnp. (2.4.13)
Далее положим m = n в формуле (2.4.11). Тогда
получим
tr (m2p + mpm + pm2) q = tr q (m2p + mpm + pm2) s= 0.
(2.4.14)
Заменяя в левой части уравнения (2.4.14) q на mq,
получаем следующее соотношение:
tr (m2pm + mpm2 + pm3) q = 0.
Ho tr pm3q = tr m3qp гэ 0 в силу соотношения,
аналогичного (2.4.10). Следовательно,
tr (m2pm + mpm2) q = tr q (m2pm + mpm2)^0.
(2.4.15)
Соотношения (2.4.14) и (2.4.15) непосредственно
следуют из матричных полиномиальных соотношений,
данных в работе Ривлина [31].
Рассмотрим теперь выражение tr mnmpnq. Исполь*
зуя соотношение типа (2.4.14), мы можем записать
tr mnmpnq = tr (mnm) pnq = — tr (m2n + nm2) pnq =
= — tr m2 (npn) q — tr (nm2pn) q =
s= tr m2(n2p + pn2) q + tr (n2m2p + m2pn2) q
(2.4.16)

2.4. Некоторые результаты, относящиеся к следам 41
и
tr mnmpnq = tr m(nmpn) q fe= — tr m(n2mp + mpn2) q =
= — tr (mn2m) pq — tr m2pn2q s=
s tr m2n2pq + tr n2nrpq — tr m2pn2q. (2.4.17)
Вычитая (2.4.17) из (2.4.16), получаем требуемое
соотношение
3trm2pn2q = 0. (2.4.18)
Это соотношение также непосредственно следует из
матричных полиномиальных соотношений,
полученных независимо Адкинсом [1] и Спенсером и Ривли-
ном [52]. Если в равенстве (2.4.18) заменим m на
km + |яг, то получим соотношение
tr [A2m2 +■ Л|1 (mr + rm) + \x2v2] pn2q ^ 0, (2.4.19)
из которого совместно с соотношением (2.4.18) и
соотношением, получаемым из (2.4.18) при замене m
на г, следует
tr (mr + rm) pn2q = 0. (2.4.20)
Аналогичным образом легко получается соотношение
tr (mr + rm) р (ns -j- sn) q ^ 0. (2.4.21)
Заменяя теперь последовательно в (2.4.21) q на tq
и п на nt, получаем
tr (mr + rm) p (ns + sn) tq = 0,
tr (mr + rm) p (nts + snt) q ===0.
Вычитая, находим, что
tr (mr + rm) pn (st — ts) q ss 0. (2.4.22)
Замена p на pn и n на t в соотношении (2.4.21) дает
tr (mr + rm) pn (st + ts) q = 0. (2.4.23)
Из соотношений (2.4.22) и (2.4.23) следует, что
tr (mr + rm) pnstq = 0. (2.4.24)
Кроме того, tr(mr + rm) pnstq = trq(mr + rm)pnst,
откуда с помощью подстановок (q, m, r, p, n, s, t)->

42
2. Изотропия
-* (m, г, р, n, s, t, q) находим, что
tr m (гр + рг) nstq = 0.
Аналогично можно показать, что
tr mr (pn + np) stq = 0, tr mrp (ns + sn)tq == 0,
tr mrpn (st + ts) q = 0, tr mrpns (tq + qt) = 0.
Таким образом, след матричного произведения
седьмой степени эквивалентен взятому с отрицательным
знаком следу матричного произведения, полученного
из исходного перестановкой любых двух соседних
сомножителей.
Рассмотрим теперь соотношение (2.4.11), заменив
в нем m, n, р, q на mn, pq, rs, t соответственно:
tr (mnpqrs + mnrspq + pqmnrs + pqrsmn +
+ rsmnpq + rspqmn) t ss 0.
Можно проверить, что каждый член в этом
соотношении может быть получен из выражения trmnpqrst
путем четного числа перестановок соседних
сомножителей; следовательно, все члены эквивалентны
trmnpqrst, и
tr mnpqrst = 0. (2.4.25)
Таким образом, след любого матричного
произведения седьмой степени может быть представлен в виде
полинома от следов матричных произведений
степени, меньшей семи.
Соотношения (2.4.7) — (2.4.25) остаются
справедливыми, если в них любую из матриц m, n, ...t t
заменить матрицей, которая сама является
матричным полиномом. В частности, из (2.4.25) следует, что
след матричного полинома седьмой или более
высокой степени может быть выражен в виде полинома от
следов матричных произведений более низкой
степени; повторяя это рассуждение, можем получить
полином от следов матричных произведений шестой или
более низкой степени.
Основной результат данного параграфа можно
кратко сформулировать в виде следующей теоремц:

2.5. Инварианты симметричных тензоров второго ранга 43
След любого матричного полинома Р от \i матриц
рг (г = 1,2, .,., \i)третьего порядка может быть
выражен в виде полинома от следов матричных
произведений, каждое из которых удовлетворяет следующим
условиям:
1) оно является произведением сомножителей
вида рг р2, р*;
2) первый и последний сомножители не являются
степенями одной и той же матрицы;
3) если произведение содержит множитель ръГ> то
оно не имеет других сомножителей;
4) произведение не содержит двух одинаковых
сомножителей;
5) если в произведение в качестве сомножителей
входят рг и р2г, то рг предшествует р2г;
6) если произведение содержит два сомножителя
рз и р^, г Ф s, то они должны быть либо
последовательными сомножителями, либо первой и последней
компонентами произведения;
7) полная степень ни одного из произведений
относительно матриц рг не превосходит шести.
Сформулированные здесь результаты легко
доказать: первый следует из формулы (2.4.10) при
подстановке р = таП, где а> 1, а П — любое матричное
произведение, может быть и равное I; второй
вытекает из того, что след матричного произведения не
изменяется при циклической перестановке его
сомножителей, так что tr а"Па^ = tr а£+рП; третий также
является следствием (2.4.10); четвертый выводится
из (2.4.14); пятый — из (2.4.15); шестой — из (2.4.18);
седьмой — из (2.4.25).
2.5. Инварианты симметричных тензоров второго
ранга
В этом пункте построим целый рациональный
базис, который, как будет впоследствии показано,
является минимальным, для совокупности
симметричных тензоров второго ранга а^, bih ,.,, fijt с

44
2. Изотропия
которыми связаны матрицы а, Ь, ..., f. Из (2.3.5)
видно, что такой целый рациональный базис
образуется из инвариантов. trll, где П — любое матричное
произведение, составленное из матриц а, Ь, ..., f.
Поскольку все эти инварианты являются четными, то
несущественно, будут рассматриваться их свойства
относительно полной или собственной ортогональной
группы.
Все результаты предыдущего пункта
непосредственно приложимы к исследованию инвариантов вида
tr П, необходимо лишь включить в целый
рациональный базис следы тех матричных произведений, которые
удовлетворяют условиям теоремы, приведенной в
конце предыдущего пункта. Кроме того, заметим, что
для того, чтобы транспонировать матричное
произведение, составленное из симметричных матриц, надо
переписать сомножители исходного произведения в
обратном порядке; следовательно, поскольку след
матричного произведения равен следу
транспонированного произведения, то след матричного
произведения, составленного из симметричных матриц, равен
следу матричного произведения, где сомножители за-
писаны в обратном порядке.
В силу п. 7 предыдущей теоремы ни один из
инвариантов базиса не может иметь степень выше
седьмой относительно элементов соответствующих матриц
и, следовательно, ни один из инвариантов не может
содержать более шести различных матриц. Поэтому
необходимо рассмотреть инварианты вплоть до
инвариантов, содержащих шесть различных матриц; тогда
целый рациональный базис для произвольного числа
матриц получается из базисов для шести матриц,
Взятых во всевозможных комбинациях.
Для данного числа матриц только конечное число
матричных произведений может удовлетворять уело--*
виям теоремы п. 2.4; следовательно, эта теорема
позволяет выписать конечный целый рациональный
базис для любой конечной совокупности тензоров
второго ранга. Вообще говоря, этот базис не будет
минимальным. Поэтому далее мы поступим следующим
образом. Выпишем все инварианты, которые удовле-

2.5. Инварианты симметричных тензоров второго ранга 45
творяют условиям теоремы, последовательно для
одной, двух и т. д. до шести матриц, а затем выразим
все, для которых это возможно, через предыдущие.
При выписывании всевозможных инвариантов,
входящих в целый рациональный базис, будем учитывать
тот факт, что след матричного произведения
симметричных матриц не изменяется при транспонировании
или циклической перестановке сомножителей.
Результаты для одной матрицы известны; для двух
матриц они были получены в работах Ривлина [31], для
трех, четырех и пяти матриц — в работах Спенсера
и Ривлина [52, 53], а для шести — в работе
Спенсера [50].
а) Одна матрица а
Инвариантами единственной матрицы а, которые
удовлетворяют условиям теоремы п. 2.4, являются
tra, tra2, tra3. (2.5.1)
Ни один из этих инвариантов не может быть
выражен через остальные.
б) Две матрицы a, b
Кроме инвариантов, выписанных для одной
матрицы, мы должны рассмотреть удовлетворяющие
условиям предыдущей теоремы следы следующих
произведений:
ab, ab2, ba2, a2b2, aba2b2.
Первые четыре из выписанных инвариантов являются
неприводимыми. Последний с помощью соотношения
(2.4.15) можно записать в видр
tr aba2b2 и — tr a2bab*. (2.5.2)
Однако произведение aba2b2 можно получить из a2bab2
путем транспонирования и циклической перестановки
его сомножителей. Следовательно,
traba2b? = tra2bab2. (2.5.3)

46
2. Изотропия
Из (2.5.2) и (2.5.3) вытекает, что
traba2b2 = 0, (2.5.4)
так что этот инвариант можно не включать в целый
рациональный базис. Следовательно, из всех
инвариантов, составленных из двух матриц а и Ь,
необходимо сохранить только следующие:
trab, trab2, trba2, tra2b2.
в) Три матрицы а, Ь, с
Помимо инвариантов, записанных для одной и
двух матриц, необходимо рассмотреть следы таких
матричных произведений:
abc, a2bc, a2b?c, aba2c, a2b2c2, ab2a2c,
а также матричных произведений, получаемых из них
посредством перестановки матриц а, Ь, с.
Используя транспонирование и циклические
перестановки сомножителей, получаем
tr abc = tr bca = tr cab = tr bac = tr acb = tr cba,
так что из этих всех инвариантов достаточно
сохранить лишь tr abc. Аналогично, tr a2bc = tr a2cb, так. что
достаточно сохранить tr a2bc, к которому нужно
добавить еще tr b2ca и tr c2ab. По подобным же
соображениям остаются в базисе tr a2b2c, tr b2c2a и tr c2a2b.
Остальные инварианты могут быть приведены*к
указанным. Используя соотношение типа (2.4.15),
циклические перестановки сомножителей и
транспонирование произведений, можно записать
tr aba2c а — tr a2bac = — tr ca2ba = — tr aba2 c.
Следовательно, tr aba2c a 0. Заменяя b на b2,
получаем tr ab2a2c в 0. И наконец, используя
транспонирование и циклическую перестановку сомножителей,
а также соотношения (2.4.14) и (2.4.18), получаем
2 tr а2Ь2с2 = tr (а2Ь2с2 + а2с2Ь2) а — tr a2 (bc2b) =
= -tr(a2bc2)b = 0. (2.5.5)

2.5. Инварианты симметричных тензоров второго ранга 47
В результате мы оставляем в целом
рациональном базисе следующие инварианты:
tr abc, tr a2bc, tr b2ca, tr c2ab, tr a2b2c, tr b2c2a, tr c2a2b.
Поскольку число матриц, включаемых в
рассмотрение, увеличивается, то число инвариантов и
соотношений между ними также увеличивается. Поэтому
для четырех, пяти и шести матриц мы дадим лишь
краткое описание результатов и методов нахождения
инвариантов. Подробное изложение можно найти в
работе [53] для четырех матриц, в работах [53, 54] для
пяти и в работе [50] для шести матриц. В
последующем изложении часто будут использоваться операции
транспонирования и циклических перестановок
сомножителей в матричных произведениях; обычно
будет ясно, когда они используются, и поэтому
специальные оговорки на этот счет делаться не будут.
г) Четыре матрицы а, Ь, с, d
Следует рассмотреть следы матричных
произведений
abed, a2bcd, a2b2cd, a2bacd
и произведений, получаемых из них перестановкой
матриц а, Ь, с, d.
Имеются три различных инварианта, линейных
относительно каждой из матриц а, Ь, с, d:
trabed, trabdc, tracbd. (2.5.6)
Заметим, что
tr а 2 bed = tr b 2 cda = tr с 2 dab,
так что между этими тремя инвариантами существует
только одно соотношение типа (2.4.12). Используя
его, можно выразить один из инвариантов (2.5.6)
через два других. Следовательно, в целом
рациональном базисе необходимо сохранить лишь два из
инвариантов (2.5.6), например, такие:
tr abed, tr abdc,

48
2. Изотропия
Заменяя а на а2 в предыдущем рассуждении, найдем,
что из трех инвариантов tr a2bcd, tr a2bdc и tr a2cbd
необходимо оставить лишь два. Можно найти и
другие соотношения, связывающие эти инварианты, но
они не дают никакой дополнительной информации.
Аналогичные рассуждения применимы и к
инвариантам второй степени относительно Ь, с и d. Таким
образом, в целом рациональном базисе мы сохраняем
инварианты
tra2bcd, tra-bdc
и инварианты, получаемые из них путем циклической
перестановки сомножителей а, Ь, с, d.
Рассмотрим, далее, инварианты второй степени по
а и b и первой степени по с и d. Единственными
неприводимыми инвариантами такого вида являются
tr a2b2cd и tr a2b2dc. Из соотношения
tra22b2cd = 0
и соотношений типа (2.4.18) следует, что
tra2b2(cd + dc)E=0.
Следовательно, в целом рациональном базисе
необходимо сохранить лишь один из этих инвариантов.
Подобные рассуждения можно применить и к
инвариантам, в которых любые две матрицы а, Ь, с, d
имеют вторые степени, а две оставшиеся — первые.
Из рассмотрения таких инвариантов следует, что
достаточно сохранить лишь следы произведений
a2b2cd, a2c2bd, a2d2bc, ~b2c2ad, b2d2ac, c2d2ab.
Рассмотрим теперь инвариант tr a2bacd и
инварианты, получаемые из него перестановкой матриц Ь, с,
d. Используя соотношение типа (2.4.20), найдем, что
tr a2bacd = — tr a- bead = — tr a2dacb. (2.5.7)
Кроме того, соотношение tr a2b 2 acd = 0c учетом
соотношений типа (2.4.10) и (2.5.7) дает
2 tr a2bacd + 2 tr a2badc = 0. (2.5.8)

2.5. Инварианты симметричных тензоров второго ранга 49
Из (2.5.7), (2.5.8) и аналогичных им соотношений
следует, что необходимо сохранить только инвариант
tr a2bacd и все инварианты, получаемые из него
посредством циклической перестановки матриц а, Ь, с, d.
Здесь также можно найти и другие соотношения
между этими инвариантами, но все они будут
следствиями соотношений (2.5.7) и (2.5.8).
д) Пять матриц а, Ь, с, d, е
Необходимо рассмотреть инварианты
tr abcde, tr a2bcde
и инварианты, получаемые из них посредством
перестановки а, Ь, с, d, е.
С учетом циклических перестановок и
транспонирования остается двенадцать возможных инвариантоз
вида tr abcde; в качестве них можно взять следы
двенадцати произведений, в которых а является первым
сомножителем, а второй сомножитель всегда
предшествует последнему при упорядочении матриц по
алфавиту. Заметим, что
trabEcde = trba2cde = trc2de(ab) = trc2de(ba)
и т. д. Следовательно, необходимо рассмотреть
только десять соотношений типа trab2cde = 0,
соответствующих десяти способам выбора двух матриц из
пяти. Можно показать, что из этих десяти
соотношений независимыми являются шесть; с их помощью
можно выразить шесть из упомянутых инвариантов
через остальные шесть. И, таким образом, в базисе
остается шесть инвариантов, в качестве которых
можно взять следы произведений
abcde, abdec, abecd, acbed, acdbe, adbce.
Кроме того, необходимо рассмотреть двенадцать
инвариантов, получаемых путем перестановки
сомножителей Ь, с, d, е в выражении tr a2bcde; в качестве
таковых можно взять те двенадцать инвариантов, в
которых первым множителем является а2, а второй

50
2. Изотропия
сомножитель всегда предшествует последнему при
упорядочении матриц по алфавиту. С помощью
соотношения типа (2.4.20) получаем
tra2b(cd + dc)e = 0. (2.5.9)
Существует шесть соотношений такого типа,
соответствующих шести способам выбора двух матриц из
четырех. Остальные соотношения могут быть
получены из формулы (2.5.5) заменой b на b + к и с на
d + |хе и приравниванием нулю коэффициента при
при k\i. Это дает
tr a2 (be + cb) (de + ed) = 0. (2.5.10)
Можно составить три соотношения типа (2.5.10) в
соответствии с тем, что из четырех матриц две пары
матриц можно выбрать тремя способами. Из шести
соотношений типа (2.5.9) и трех соотношений типа
(2.5.10) восемь являются независимыми; их можно
использовать, чтобы выразить восемь инвариантов
через четыре других инварианта. Остаются лишь четыре
инварианта, в качестве которых можно взять
следующие:
tra2bcde, tra2bced, tra2cbde, tra2bedc.
К ним следует добавить инварианты, получаемые из
них с помощью циклической перестановки матриц
а, Ь, с, d, е. Можно записать дополнительные
соотношения между рассмотренными инвариантами, но
они не являются независимыми от предыдущих.
е) Шесть матриц а, Ь, с, d, е, f
В этом случае необходимо рассмотреть только
инварианты вида tr abedef. Без потери общности
выберем а в качестве первого сомножителя в каждом
произведении и предположим, что второй
сомножитель предшествует последнему при упорядочении
матриц по алфавиту; тогда придется рассматривать
только шестьдесят инвариантов такого вида.
Заметим, что
tr abc S def = tr cba Ц def = tr d 2 (abc) ef,
(*i ч i w
trabS(cd)ef=-trcdS(ab)ef = trbaS(dc)ef ' ' '

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 61
и т. д. Таким образом, каждое соотношение между
инвариантами типа (2.5.11) можно выразить как
соотношение одного из двух типов
trabc2def = 0, (2.5.12)
trat>2(cd)ef^0. (2.5.13)
С учетом соотношений (2.5.11) остается шестьдесят
соотношений типа (2.5.12), которые соответствуют
двадцати способам выбора трех матриц из шести с
точностью до перестановок в каждой тройке, и
девяносто соотношений типа (2.5.13), соответствующих
девяноста способам, которыми можно выбрать две
пары матриц из шести; при этом порядок
расположения матриц имеет значение только в одной паре. Было
показано [50], что из этих ста пятидесяти
соотношений только пятьдесят являются независимыми; их
можно использовать для того, чтобы выразить
пятьдесят из рассматриваемых инвариантов через десять
остальных. Следовательно, в целом рациональном
базисе мы сохраняем десять инвариантов, в качестве
которых можно взять следы следующих
произведений:
acfebd, adcbfe, adcfbe, adfbce, adfcbe,
aebdcf, aecbdf, aecdbf, aedbcf, aedcbf.
Целый райиональный базис для |л-<6
симметричных матриц состоит из инвариантов, содержащих
все |х матриц, и целых рациональных базисов \i
совокупностей, содержащих [i—1 матриц, которые можно
выбрать из \х матриц. Целый рациональный базис
для [х > 6 симметричных матриц состоит из целых
рациональных базисов для \i\/(\i — 6)!6! систем шести
матриц, которые можно выбрать из \х матриц. Таким
образом, результаты этого пункта позволяют строить
целые рациональные базисы для произвольного
конечного числа матриц. Эти целые рациональные
базисы являются фактически минимальными, а
инварианты, которые мы сохраняли, — неприводимыми, но
мы отложим доказательство минимальности базиса до
п. 7.4.

52
2. Изотропия
Для удобства все целые рациональные базисы для
числа матриц от 1 до 6 приведены в табл. II п. 2.6
вместе с базисами для векторов и тензоров
второго ранга, которые будут рассмотрены в следующем
пункте.
2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров
второго ранга; собственная ортогональная группа
В этом пункте, который основывается на работах
Спенсера и Ривлина [55] и Спенсера [51], будут
приведены целые рациональные базисы для
произвольного числа векторов и симметричных тензоров
второго ранга для собственной ортогональной группы
преобразований. Для этой группы не существует
разницы между абсолютным й аксиальным векторами,
поэтому те и другие мы будем называть просто
векторами. Напомним, что в п. 1.1 с вектором # И\ мы
связывали кососимметричную матрицу и, элементы
которой преобразуются как компоненты кососиммет-
ричного тензора; для собственной ортогональной
группы это утверждение верно для всех векторов.
В дальнейшем для того, чтобы использовать
результаты п 2.4 и 2.5, удобнее оперировать кососимметрич-
ными матрицами, которые будем обозначать через и,
v, w, а не соответствующими им векторами Uiy Vu №/.
Как и раньше, матрицы а, Ь, ..., f связаны с
симметричными тензорами atj, b2j, ..., fij.
Полученные ниже результаты дают также целые
рациональные базисы для произвольного числа
симметричных тензоров, кососимметричных тензоров и
векторов. Для того чтобы найти базисы для
совокупности векторов и тензоров, содержащих Я
симметричных тензоров, [i кососимметричных тензоров и v
векторов, необходимо взять результаты для К
симметричных тензоров и \i + v векторов и в них заменить
кососимметричные матрицы ur (г = 1, 2, ..., ji),
связанные с \i векторами, на кососимметричные матрицы
хг (г = 1, 2, ..., (х)', связанные с кососимметричными
тензорами *W.

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 53
Инварианты, которые будут рассматриваться,
имеют вид (2.3.5) и (2.3.6); для собственной
ортогональной группы все эти инварианты являются
абсолютными. Инварианты вида (i) формулы (2.3.5) были
полностью рассмотрены в последнем пункте и теперь
остается только рассмотреть инварианты вида (и)
из (2.3.5) и видов (iii) и (iv) из (2.3.6). Прежде
всего представим их в виде полиномов от следов
матричных произведений.
Используя соотношение (1.1.2) и подобное
соотношение для вектора V и учитывая изменение
обозначений, инварианты вида (и) (2.3.5) можно
представить следующим образом:
UiUtfV} = т еыигДчердрРГ
Произведение ersiepqj можно выразить через символ
Кронекера с помощью соотношения, подобного
формуле (2.2.6). Подставляя и раскрывая это
выражение, получаем
иДцУ, = —-2^uUJkvkf + uuvjkllki =
= — у tr П tr uv + tr uvll. (2.6.1)
Здесь П = IIITijII — матричное произведение,
образованное из симметричных матриц а, Ь, ..., f. При
выводе соотношения (2.6.1) и последующих
соотношений учитывается тот факт, что u, v, w являются косо-
симметричными матрицами, т. е. что
Щ\ = Щь vit = — vJh wu = — wj{.
Подставим теперь соотношение (1.1.2) в выражение
вида (iii) (2.3.6). Это дает соотношение
которое с помощью формулы, аналогичной (2.2.5),
сводится к равенству
еикП%ир% = - tr П3Щц + tr П3П4и - tr П3 tr иП4,
(2.6.2)

54
2. Изотропия
где П3, П4 — произведения матриц а, Ь, ..., f, а Щ
обозначает транспонированное произведение П4.
Аналогичным, только более длинным, способом в
тех же обозначениях можно показать (Спенсер и Рив-
лин [55]), что инварианты вида (iv) (2.3.6) можно
представить в следующем виде:
e^UflfjVflftW, - -j- {tr vw [tr П5 tr иПбП7 +
+ tr 11Ц3П7Щ — tr иП5ПбП7] —
— 2trn5trun6vwn7 —
— 2trun5II7vwII£ +
+ 2trun5n6wvn;}. (2.6.3)
Таким образом, всякий полиномиальный
инвариант произвольного числа векторов и симметричных
тензоров второго ранга относительно собственной
ортогональной группы преобразований можно
представить в виде полинома от следов матричных
произведений, образованных матрицами, связанными с этими
векторами и тензорами второго ранга. В каждом из
таких матричных произведений сумма степеней косо-
симметричных матриц, связанных с векторами, не
выше трех.
И, обратно, будет показано, что след каждого
матричного произведения определенного выше вида
является инвариантной величиной. На основании
результатов п. 2.4 ясно, что достаточно рассмотреть
матричные пероизведения вида tr иПь trun2vll3,
tr UII4VII5WII6, где П,, ..., Пб — полиномы от а, Ь, ...
..., f. В частности, Пь ..., П6 могут быть
единичными матрицами I. Тогда, используя формулы (1.1.1),
(2.2.6) и аналогичные им, получаем
truni = «//n<'/ = e</ftC/ftn(.y, (2.6.4)
tr иП2уП3 - ииЩрыЩ = eilrek[sUrVsn%nH -
= - UiltiMVk - UiUflllflVk +
+ UiILf}V,IU + UtT$VtV$L +
+ lW(nM-nM). (2-6.5)

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров $5
tr un4vn5wn6=utlu<;yvklu^wmnuf{ =
Из выражений (2.3.5) и (2.3.6) следует, что правые
части формул (2.6.4), (2.6.5) и (2.6.6) являются
инвариантами. Комбинируя эти результаты с
соотношениями (2.6.1) — (2.6.3), находим, что совокупность
следов всех матричных произведений определенного
выше типа образует целый рациональный базис для
соответствующих векторов и тензоров.
Следовательно, при построении целого
рационального базиса для векторов и тензоров можно
оперировать со следами матричных произведений и
использовать теорию, развитую в п. 2.5 и 2.6. К
результатам этих пунктов будет в дальнейшем добавлено
несколько новых результатов, которые применяются,
в частности, к матричным произведениям,
содержащим в качестве сомножителей кососимметричные
матрицы.
Введем сначала дополнительное определение.
Рассмотрим матричное произведение Рстепеней аьсег, ...
..., аг относительно г симметричных матриц и
степеней Pi, fb> • • •, Ps относительно s крсосимметрич-
ных матриц. Будем говорить, что полная степень Р
относительно симметричных матриц равна а = ai +
-f- ot2 + • • • ar, ct полная степень Р относительно косо-
симметричных матриц равна р = р. + р2 + ... + ps.
Транспонированное произведение Р образуется из
транспонированных матриц-сомножителей из Р,
записанных в обратном порядке. Так как симметричная
матрица равна своей транспонированной, а кососим-

56
2. Изотропия
метричная равна транспонированной с обратным
знаком, то транспонированное произведение Р
получается путем переписывания сомножителей Р в обратном
порядке и умножения на (—1)р. След матричного
произведения равен следу транспонированного
произведения; таким образом, мы можем сформулировать
следующее утверждение: след матричного
произведения Р, составленного из симметричных и кососиммет-
ричных матриц, степени р относительно кососиммет-
ричных матриц равен следу матричного произведения,
образованного из сомножителей Р, записанных в
обратном порядке, если р — четное число, и величине
этого следа со знаком «минус» для нечетных р. -
В частности, если и — любая кососимметричная
матрица, а а — симметричная матрица, то
tr ua = — tr au = — tr ua = 0, (2.6.7)
так как след матричного произведения не изменяется
при циклической перестановке его сомножителей. Так
как а2 — симметричная матрица, то также имеем
trua2 = 0, (2.6.8)
и очевидно, что
tru = 0. (2.6.9)
Для вывода дальнейших • соотношений заметим
сначала, что из соотношений типа (1.1.1) и (1.1.2)
следует, что
ии == вцгиг = у eiJrepqruPr (2.6.10)
Рассмотрим теперь матричное произведение umv, где
u, v — кососимметричные матрицы, a m —
произвольная матрица. Используя соотношения типа (2.6.10),
мы можем записать
(umv);Z = u4mikvki = -j eiIperspursmjkektqemnqvmn =
— 4 elfpeklqerspemnq^rsvmntnJk*

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 57
|Й«
бп
б*
б/ft
б//
б/,
бр*
бр/
бр<?
• ^rsp^mnq
&rm
f>rn
*П
vsm
£>sn
bsq
Vpm
<W
SP<7
Подставим сюда соотношения
eUpeklq =
После некоторых преобразований получаем
umv + m'uv + uvm' = uv tr m + у m' tr uv
+ l(truvm' —jtruvtrm). (2.6.11)
В отличие от других матричных соотношений,
которые использовались ранее, это соотношение не
является следствием теоремы Гамильтона — Кэли, хотя
и сводится к этой теореме для кососимметричных
матриц третьего порядка, когда u = v = m.
Заменим теперь в соотношении (2.6.11) m на т',
умножим его справа на произвольную матрицу п и
вычислим след от обеих частей. Имеем в результате
tr (uvm + um'v + muv) n e 0. (2.6.12)
Для краткости введем обозначение
2' uvm = uvm + um'v + muv (2.6.13)
и заметим, что путем циклической перестановки
сомножителей и транспонирования матричных
произведений легко можно показать, что
tr (2' uvm) n = tr n 2' uvm =
= tr (2' vum') n' = tr n' 2 vum',
tr n 2' uvm = tr m 2' uvn. (2.6.14)
Аналогично тому как это делалось в предыдущем
пункте, приступим теперь к упрощению базиса,
составленного из следов матричных произведений,
образованных из матриц u, v, w, а, Ь, ..., f. Здесь,
однако, приходится рассматривать больше возможных
случаев, чем в предыдущем пункте, когда
рассматривались только симметричные матрицы. Удобнее

58
2. Изотропия
рассматривать произведение последовательно по
возрастающим степеням входящих в них матриц; в силу
теоремы, доказанной в п. 2.4, необходимо
рассматривать матричные произведения только шестой или
меньшей степени, а в силу результатов этого
пункта— не выше третьей степени по кососимметричным
матрицам. Будем поэтому рассматривать поочередно
матричные произведения первой степени относительно
кососимметричнои матрицы и степени от двух до
пяти относительно симметричных матриц; загем
второй степени относительно кососимметричных матриц
и степеней от нуля до четырех относительно
симметричных матриц; и наконец, произведения третьей
степени относительно кососимметричных и от нулевой
до третьей степени относительно симметричных
матриц. Для инвариантов полной степени, меньшей или
равной четырем, анализ будет дан подробно; для
более высоких степеней, .а именно 5 и 6, он является
очень сложным, и мы дадим лишь краткий обзор.
Подробности можно найти в работе [51].
Мы можем сразу же исключить bee следы
матричных произведений, которые не удовлетворяют
условиям теоремы п. 2.4, следы произведений, которые
можно сделать равными рассмотренным следам
матричных произведений, взятым со знаком плюс или
минус, с помощью циклических перестановок или
транспонирования, а также следы произведений,
которые равны нулю в силу соотношений (2.6.7), (2.6.8) и
(2.6.9). Такие инварианты будут опущены без
дальнейших оговорок.
а) Инварианты первой степени относительно косо-
симметричной матрицы и второй степени
относительно симметричных матриц
Если симметричные матрицы различны, то
существует единственный инвариант вида
tr uab.
Инвариант, получающийся при а = Ь, обращается в
нуль в силу (2.6.8).

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 69
б) Инварианты первой степени относительно косо-
симметричной матрицы и третьей степени
относительно симметричных матриц
Если все симметричные матрицы а, Ь, с различны,
то необходимо рассмотреть три инварианта, в
качестве которых можно взять
truabc, truacb, trubac.
Эти инварианты являются неприводимыми. Если
с = Ь, третий из этих инвариантов обращается в нуль,
так как bab — симметричная матрица, а два других
инварианта становятся равными. Сохраним
инвариант
truab2
и инвариант, полученный из него перестановкой а иЬ.
в) Инварианты первой степени относительно косо-
симметричной матрицы и четвертой степени
относительно симметричных матриц
Пусть сначала симметричные матрицы будут
различными: а, Ь, с, d. Тогда достаточно рассмотреть
двенадцать следов матричных произведений вида
truabcd, (2.6.15)
в которых второй сомножитель всегда предшествует
последнему при упорядочении матриц по алфавиту.
Между этими инвариантами существует шесть
различных соотношений типа
trab2ucdE=0, (2.6.16)
соответствующих шести способам выбора двух
матриц из четырех. Можно показать, что другие
соотношения, которые можно выписать, являются
следствиями этих шести. Шесть соотношений типа (2.6.16)
являются независимыми и могут быть использованы
для выражения шести инвариантов вида (2.6.15)
через шесть других; в качестве оставшихся шести
можно взять следы произведений
uabcd, uabdc, uacdb, ubacd, ubadc, ucabd. (2.6.17)

60
2. Изотропия
Полагая d = a в выражениях (2.6.17) и используя
соотношения типа (2.4.14) с учетом циклических
перестановок и траспонирования сомножителей, найдем,
что все инварианты первой степени относительно u, b
и с и второй степени относительно а могут быть
выражены через следующие:
trua2bc, trua2cb, truba2c. (2.6.18)
Значит, следует оставить эти инварианты, а также
инварианты, получаемые из них путем циклической
перестановки матриц а, Ь, с. Если, кроме того, с = а,
то два из инвариантов (2.6.18) могут быть отброшены
в силу соотношений типа (2.4.10), и достаточно
оставить лишь инвариант
tr ua2ba
и инвариант, получаемый из него посредством замены
друг на друга а и b. '
г) Инварианты первой степени относительно косо-
симметричной матрицы и пятой степени
относительно симметричных матриц
Рассмотрим сначала шестьдесят инвариантов вида
truabcde,
в которых второй сомножитель предшествует
последнему при упорядочении матриц по алфавиту. Между
этими инвариантами можно образовать множество
соотношений типа (2.4.12) и (2.6.12). Путем довольно
сложных манипуляций с этими соотношениями
можно установить, что они эквивалентны системе
соотношений вида
tr ubcade = tr ubeadc s= tr udeabc = tr udcabe, (2.6.19)
tr ud {c (ae + ea) b — a (be + cb) e} = 0. (2.6.20)
Соотношения (2.6.19) позволяют исключить все кроме
пятнадцати инвариантов; соотношения (2.6.20) можно
представить с учетом (2.6.19) и подобных выражений
как пятнадцать соотношений между этими пятнад-

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 61
цатью инвариантами. Из этих пятнадцати
соотношений десять являются независимыми и могут быть
использованы для выражения десяти инвариантов
через оставшиеся пять. Таким образом, остается лишь
пять инвариантов, в качестве которых возьмем,
например, следы произведений
ubdace, uacbde, uabced, uabdce, uacebd.
Полагая по очереди 1) е = а, 2) е = d = а, 3) е =
= d = а, с = Ь, 4) е = a, d = b и учитывая
приводимость инвариантов там, где она имеет место,
убеждаемся, что из всех инвариантов первой степени
относительно кососимметричной матрицы и пятой
степени относительно симметричных матриц достаточно
сохранить
truba2cd, truca2db, truda2bc
и инварианты, получаемые из них циклическими
перестановками сомножителей а, Ь, с, d;
tr ua2bca
и инварианты, получаемые из него посредством
циклической перестановки а, Ь, с;
tr ua2b2a
и инварианты, получаемые из него путем взаимной
замены а и Ь;
trua2b2c, trub2a2c
и инварианты, получаемые из них путем циклической
перестановки а, Ь, с.
д) Инварианты второй степени относительно косо-
симметричных матриц и нулевой степени
относительно симметричных матриц
Для двух различных кососимметричных матриц и,
v имеем инвариант
truv.
Если матрицы равны, то инвариантом является
tru2.

62
2. Изотропия
е) Инварианты второй степени относительно косо-
симметричных матриц и первой степени
относительно симметричной матрицы
В этом случае имеем инварианты
truva, tru2a
для различных и одинаковых кососимметричных
матриц соответственно. Эти инварианты являются
неприводимыми.
ж) Инварианты второй степени относительно косо-
симметричных матриц и второй степени
относительно симметричных матриц
Предположим сначала, что все матрицы различны.
Из (2.6.12) видно, что достаточно рассмотреть
инварианты, в которых сомножители u, v расположены
последовательно. В качестве таковых можно взять
инварианты
truvab, truvba,
которые являются неприводимыми. Полагая
последовательно 1) v = и, 2) b = а, 3) v = u, b = а, получим
инварианты
tru2ab, truva2, tru2a2,
которые также являются неприводимыми.
:) Инварианты второй степени относительно косо-
симметричных матриц и третьей степени
относительно симметричных матриц
Пусть все матрицы u, v, а, Ь, с являются
различными. Снова можем рассматривать инварианты, в
которых сомножители и и v расположены
последовательно. Так, рассмотрим шесть инвариантов,
получаемых из
tr uvabc
перестановкой сомножителей а, Ь, с. Между этими
шестью инвариантами существует только одно неза-

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 63
висимое соотношение (которое можно взять в виде
truv2abc = 0), и оно дает возможность выразить
любой инвариант через пять остальных. Поэтому
можно оставить только пять инвариантов, например
следы произведений
uvabc, uvacb, uvbac, uvbca, uvcab.
Полагая с = а и выполняя возможные приведения,
находим, что надо сохранить инварианты
truva2b, truvba2
и инварианты, получаемые из них перестановкой аиЬ.
Положим, далее, v = и, с Ф а в приведенной выше
совокупности пяти инвариантов. Тогда каждый из
инвариантов будет равен одному из следующих трех
инвариантов:
tru2abc, tru2bca, tru2cab.
Любой из этих трех инвариантов можно выразить
через два других, поэтому сохраним, например,
tru2abc, tru2bca.
Если с = а и u = v, то легко проверить, что
необходимо сохранить только один из этих инвариантов,
например
truVb,
и инвариант, получающийся из него при замене а и b
друг на друга.
и) Инварианты второй степени относительно косо-
симметричных матриц и четвертой степени от-
носительно симметричных
Пусть все матрицы u, v, а, Ь, с, d являются
различными. Можем снова взять инварианты, в которых
и и v расположены последовательно. Тогда
достаточно рассмотреть двадцать четыре инварианта вида
tr uvabcd. Как и в случае г), можно записать
большое число соотношений между этими инвариантами,
но можно показать, что все они будут эквивалентны

64
2. Изотропия
шести соотношениям вида
tr uv (ab — ba) (cd — dc) = О
и двенадцати соотношениям вида
tr uva (be + cb) d s= 0.
Эти восемнадцать соотношений являются
независимыми и с их помощью можно выразить восемнадцать
инвариантов через шесть остальных. Поэтому
достаточно сохранить шесть инвариантов, в качестве
которых можно взять следы произведений
uvacdb, uvabdc, uvabed, uvbeda, uvbadc, uvebda.
Полагая различные совокупности матриц равными и
учитывая приводимость некоторых инвариантов,
можно найти, что в базисе следует сохранить следующие
инварианты:
truva2bc, truva2cb, truvbea2
и инварианты, получаемые из них циклической
перестановкой сомножителей а, Ь, с;
truva2b2, truva2ba
и инварианты, получаемые из них посредством
взаимной замены а и Ь;
tru2acdb, tru2abdc, tru2abcd, tr u2a2bc
и инварианты, получающиеся из них при
циклической перестановке сомножителей а, Ь, с.
к) Инварианты третьей степени относительно ко-
сосимметричных матриц и нулевой степени
относительно симметричных матриц
Если u, v, w — различные матрицы, то имеем
единственный инвариант
tr UVW.
Любой инвариант, получающийся из него
посредством перестановки u, v, w, можно получить из него
с помощью транспонирования и циклической переста-

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 65
новки сомножителей. Если любые две из матриц и,
v, w окажутся равными, то соответствующий
инвариант обращается в нуль.
л) Инварианты третьей степени относительно ко-
сосимметричных матриц и первой степени
относительно симметричной матрицы
Для случая различных матриц достаточно
рассмотреть инварианты
truvwa, truwva, trwuva.
Из соотношения типа (2.6.12) (полагая m = w, п = а)
имеем
tr (uvw — uwv + wuv) a = 0.
Следовательно, один из инвариантов можно
отбросить и сохранить только два, например
truvwa, truwva.
Если w = и, первый из этих инвариантов равен нулю.
Следовательно, в целом рациональном базисе мы
оставляем
tru2va
и инвариант, получающийся из него при перестановке
и и v. Если же v = и, то соответствующий инвариант
обращается в нуль.
м) Инварианты третьей степени относительно ко-
сосимметричных матриц и второй степени
относительно симметричных матриц
Снова предполагаем, что все матрицы различны.
Из (2.6.12) следует, что достаточно рассмотреть
матричные произведения, в которых две кососимметрич-
ные матрицы являются последовательными
сомножителями. Возьмем произведения
uvwab, vwuab, wuvab,
uvawb, vwaub, wuavb

66
2. Изотропия
и шесть произведений, получающихся из них при
перестановке а и Ь. Между следами этих произведений
существуют соотношения типа (2.4.12) и (2.6.12); они
позволяют выразить двенадцать инвариантов через
три остальных, в качестве которых можно взять
truvwab, trvwuab, truvawb.
Полагая различные наборы матриц равными друг
другу и учитывая приводимость ряда инвариантов,
можно установить, что в целом рациональном базисе
следует сохранить следующие инварианты:
truvwa2, trvwua2,
tru2vab, tru2avb
и инварианты, получающиеся из них при
перестановке и и v;
tr u2va2
и инварианты, получающиеся из него при
перестановке и и v, а также
tru2aub.
н) Инварианты третьей степени относительно
косо симметричных матриц и третьей степени от-
носительно симметричных матриц
Как и прежде, необходимо рассмотреть только те
матричные произведения, в которых две кососиммет-
ричные матрицы являются последовательными
сомножителями. Рассмотрим поэтому следы произведений
uvwabc, uvawbc
и произведений, получающихся из них путем
перестановок матриц u, v, w и перестановок матриц а, Ь, с.
Можно показать [51], что инварианты первого типа
являются приводимыми, а все инварианты второго
типа эквивалентны ±tr uvawbc. Следовательно,
достаточно сохранить только один инвариант, например
tr uvawbc.

2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров 67
Кроме того, приравнивая различные совокупности
матриц, мы получим следующие инварианты:
tr uvbwa2
и инвариант, получающийся из него при перестановке
а и Ь;
tr uvawa2,
tr u2avbc
и инвариант, получающийся из последнего при
перестановке и и v;
tr u2bva2
и инварианты, получающиеся из него путем
перестановки и и v или а и Ь, или одновременно и и v и а и Ь;
tr u2ava2
и инвариант, получающийся при перестановке и и v;«
tr u2aubc,
tr u2bua2
и инвариант, получающийся из последнего при
перестановке а и Ь;
tr u2aua2.
Результаты этого и предыдущего пунктов
приведены в табл. II, в которой выписаны инварианты
векторов и симметричных тензоров в порядке
возрастания числа векторов и тензоров, входящих в
инварианты. Целый рациональный базис для любой
заданной системы не более шести векторов и тензоров
состоит из инвариантов, выписанных для данной
системы, и инвариантов, выписанных для всех
подсистем векторов и тензоров, которые можно образовать
из заданной системы; целые рациональные базисы
для систем более шести векторов и тензоров равны
объединению базисов для систем из шести элементов,
взятых во всевозможных комбинациях.
Инвариантами матриц, указанных в первом
столбце табл. II, являются следы матричных произведений,
приведенных во втором столбце. Индекс (*) указы-

68
2. Изотропия
Таблица II
Матричные произведения, следы которых образуют целый
рациональный базис для собственной ортогональной группы
Матрицы
а
a, b
а, Ь, с
а, Ь, с, d
а, Ь, с, d, е
а, Ь, с, d, е, f
и
u, а
u, a, b
u, а, Ь, с
u, а, Ь, с, d
u, а, Ь, с, d, е
u, V
u, v, а,
u, v, a, b
u, v, а, Ь, с
*
u, v, а, Ь, с, d
u, V, w
u, v, w, а
», v, w, a, b
u, v w, а, Ь, с
Матричные произведения
а; а2; Ь3
ab; ab2*; а2Ь2
abc; a2bc*; а2Ь2с*
abed, abdc; a2bcd*, a2bdc*; a2b2cd, a2c2bd,
a2d2bc, b*c2ad, b2d2ac, c2d2ab, a2bacd*
abede, abdec, abecd, acbed, aedbe, adbce;
a2bcde*, a2bced*, a2cbde*, a2bedc*
acfebd, adebfe, adefbe, adfbce, adfebe,
aebdcf, aecbdf, aecdbf, aedbcf, aedebf
и2
u
u2a, u2a2; u2aua2
uab; ua2b*; ua2b2; ua2ba*; ua2b2a*, u2ab;
u2a2b*; u2aub; u2aub2*
uabc, uacb, ubac; ua2bc*, ua2cb*, uba°c*,
ua2bca*; ua2b2c*, ub2a2c*; u2abc, u2bca;
u2a2bc*; u2aubc
uabed, uabdc, uacdb, ubacd, ucabd; uba2cd*,
uca2db*, uda2bc; u2acdb, u2abdc, u2abcd
ubdace, uacbde, uabced, uabdee, uacebd
uv
2 2 + 2 2+ 2 2+
uva; uva ; u va ; u va ; u ava
uvab, uvba; uva2b*, uvba2*; uva2b2; uva2ba*,
u2vab+; u2avb+; и2Ьуа*+
uvabc, uvacb, uvbac, uvbca, uvcab, uva2bc*,
uva2cb*, uvbca2*: u2avbc+
uvacdb, uvabdc, uvabed, uvbeda, uvbadc,
uvebda
uvvv
uvwa, uwva, uvwa2, uwva2; uvawa2
uvwab, vwuab, uvawb; uvbwa2*
uvawbc
вает на то, что, кроме' следа указанного матричного
произведения, целый рациональный базис включает
в себя еще следы матричных произведений,
получаемых путем циклической перестановки симметричных
матриц, а индекс (f) указывает на существование
дополнительных инвариантов, получаемых путем
циклической перестановки кососимметричных матриц.

2.7. Полная ортогональная группа
69
В этом пункте инварианты векторов выражены
через следы матричных произведений, содержащих в
качестве сомножителей матрицы u, v, w. Эти
инварианты, если потребуется, можно выразить через
инварианты вида (и) (2.3.5) и (2.3.6) с помощью
формул (2.6.4)-(2.6.6).
Целые рациональные базисы для собственной
ортогональной группы, приведенные в табл. II, являются
в действительности минимальными, хотя никаких
доказательств минимальности здесь не приводится.
Дальнейшее обсуждение минимальности базиса
будет проведено в п. 7.4.
2.7. Полная ортогональная группа; инварианты
векторов и тензоров второго ранга
Инварианты, полученные в предыдущем пункте и
являющиеся абсолютными инвариантами
относительно собственной ортогональной группы, будут либо
абсолютными, либо относительными относительно
полной группы преобразований; относительные
инварианты меняют знак при ортогональном преобразовании,
детерминант которого равен —1. Как и в п. 2.1, будем
называть инвариант нечетным, если он меняет знак,
и четным, если он не меняет знака при
ортогональном преобразовании с детерминантом, равным —1.
Тогда как нечетный, так и четный инварианты
являются абсолютными относительно собственной
ортогональной группы, и только четные инварианты
являются абсолютными относительно полной группы.
Заметим, что, поскольку полная группа содержит в
себе собственную группу, любой инвариант
относительно полной группы является инвариантом
относительно собственной группы; однако, если он является
неприводимым относительно полной группы, он не
обязательно является неприводимым для собственной
группы.
При рассмотрении полной ортогональной группы
необходимо различать абсолютный и аксиальный
векторы, законы преобразования которых определены

70
2. Изотропия
соотношениями (1.1.7) и (1.1.8). Легко проверить, что
любой инвариант, который имеет нечетную степень
относительно компонент абсолютных векторов,
является нечетным и любой инвариант, имеющий
четную степень относительно компонент абсолютных
векторов,— четным; степень относительно компонент
тензоров второго ранга и аксиальных векторов не
влияет на четность инварианта.
Поэтому для заданной системы векторов и
тензоров можно составить все полиномиальные
инварианты относительно полной ортогональной группы,
используя инварианты, приведенные в табл. II для
данной системы. Так, предположим, что для данной
системы векторов и тензоров табл. II дает совокупность
S инвариантов и что / — полиномиальный инвариант
относительно полной группы. Тогда / является также
инвариантом относительно собственной группы и,
таким образом, его можно выразить в виде полинома
от совокупности S инвариантов. Для того чтобы
величина / была инвариантной относительно полной
группы, этот полином должен иметь четную степень
относительно тех инвариантов из 5, которые
являются нечетными, и тогда каждый такой полином будет
инвариантом относительно полной группы.
Следовательно, всякий полиномиальный инвариант
относительно полной группы является полиномом от
элементов соответствующего целого рационального базиса
для собственной группы, причем этот полином имеет
четную степень относительно нечетных инвариантов
базиса.
Отсюда следует, что целый рациональный базис
для полной группы не может быть получен путем
простого вычеркивания нечетных инвариантов из
соответствующего базиса для собственной группы, так
как некоторые четные инварианты, являющиеся
неприводимыми при рассмотрении полной группы,
могут быть выражены через нечетные инварианты и,
таким образом, не будут входить в базис для
собственной группы. Можно построить конечный, но в
общем случае не минимальный целый рациональный

2.7. Полная ортогональная группа
71
базис для полной группы посредством замены
нечетных инвариантов соответствующего базиса для
собственной группы их квадратами и попарными
произведениями; но мы, однако, поступим иначе.
Прежде чём приступить к построению целого
рационального базиса для полной группы, следует
заметить, что если бы мы рассматривали
алгебраические, или рациональные, инварианты в отличие от
полиномиальных, то следовало бы рассмотреть и
нечетные инварианты, поскольку, например, отношение двух
нечетных инвариантов является четным инвариантом.
При описании метода построения целых
рациональных базисов относительно полной ортогональной
группы для произвольного числа симметричных
тензоров, кососимметричных тензоров, абсолютных и
аксиальных векторов мы будем следовать работе
Смита [42]. Удобно исключить из рассмотрения
аксиальные векторы, связывая с ними кососимметричные
тензоры посредством соотношений типа (1.1.2); в п. 1.1
указывалось, что если вектор (Д- преобразуется как
аксиальный и Ui и и^ связаны соотношением типа
(1.1.1), то Uij преобразуется как кососимметричный
тензор. Поэтому достаточно найти целые
рациональные базисы для произвольного числа абсолютных
векторов (в дальнейшем называемых просто
векторами), симметричных тензоров и кососимметричных
тензоров; кососимметричные тензоры, если требуется,
могут быть отождествлены с аксиальными векторами
посредством соотношений типа (1.1.1) после того, как
базис будет построен.
Инварианты, которые мы будем рассматривать,
имеют вид (2.3.5), где П, == || П*-1/1 и П2 = Ц П?/Ц —
матричные произведения, составленные из симметричных
и кососимметричных матриц, связанных с тензорами.
Положим
Au = UiUh Bu = UtVh Brij = Bji = UfVh
A = Mf/||, В-ЦЯ,, ||f ъ' = \\вгм (2JI)
Тогда Aij преобразуется как симметричный тензор, а
Bij преобразуется как тензор, который не является

72
2. Изотропия
ни симметричным, ни кососимметричным.
Инварианты (2.3.5) теперь можно представить в одном из
следующих видов:
trnb trAII2, trBlI2, trB'II2, (2.7.2)
и каждое выражение такого вида будет инвариантом.
Если ввести дополнительное обозначение
С =4 (В + ВО, D = 1(B-B'), (2.7.3)
то С будет симметричной, a D — кососимметричной
матрицей и совокупность инвариантов, эквивалентная
(2.7.2), может быть взята в виде
tr П„ tr АП2, tr CII2, tr DII2. (2.7.4)
Построение целого рационального базиса для
одного вектора U и тензоров а, Ь, с, ..., х, у, z, ...,
таким образом, сводится к нахождению целого
рационального базиса для симметричных матриц а,Ь,с, ...
..., А и кососимметричных матриц х, у, z, ... .
Элементы базиса, имеющие степень два и выше
относительно А, можно опустить, поскольку в выражения
(2.7.4) матрица А входит в нулевой и первой степени.
Задача построения такого базиса в точности
совпадает с задачей, рассмотренной в п. 2.5 и 2.6, и
требуемые результаты могут быть получены из табл. II;
необходимо просто с помощью табл. II выписать
целый рациональный базис для симметричных матриц
а, Ь, с, ..., А и кососимметричных матриц х, у, z, ...
и отбросить все инварианты, имеющие вторую и
более высокую степень относительно А. Аналогично,
целый рациональный базис для двух векторов U, V и
тензоров образуется объединением базисов,
содержащих только векторы, базиса для симметричных
тензоров а, Ь, с, ... С и кососимметричных тензоров
х, у, z, ..., D и отбрасыванием инвариантов,
имеющих степень выше первой относительно С и D. Этот
целый рациональный базис можно также найти с
помощью табл. II. Целый рациональный базис для
более чем двух векторов находится объединением ба-

2.7. Полная ортогональная группа
73
зисов для двух векторов, выбираемых по парам в
любых комбинациях.
Таблица III
Целые рациональные базисы для полной ортогональной
группы
Инвариантами являются произведения вида
где П и в_ приведены ниже
Ма
X
а
А,
х,
а,
X,
х,
х,
а,
грицы
У
а
b
У. z
У, а
а, b
b, с
na
i I
X2
а, а2
ху, х2у, ху2
ха, ха2, аха2, х2а, х2а2,
х2ах, ха2х2
ab, а2Ь, аЬ2, а2Ь2
xyz, xzy
хуа, аху, хуа2, уха2, ахуа2,
х2уа, у2ха, х2ау, у2ах, уа2х2,
ха2у2
xab, axb, аЬх, ха2Ь, ахЬ2,
Ьха2, xb2a,xba2, Ь2ах, аха2Ь,
abxb2, ха2Ь2, xb2a2, х2аЬ,
Ьх2а, х2а2Ь, ах2Ь2, х2ахЬ
abc, cab, а2Ьс, ab2c, аЬс2,
са2Ь, Ь2са, Ьас2, а2Ь2с,
а2с2Ь, Ь2с2а, а2Ьас, ab2cb,
саЬс2
%
X
ху
ах, а2х, ах2, а2х2,
аЬ, а2Ь, Ь2а, а2Ь2
Ь2аЬ, а2Ь2а, Ь2а2Ь
аху, уах, а2ху,
а2хуа
аЬх, Ьах, а2Ьх,
ха2Ь, хЬ2а, а2Ь2х,
Ь2аЬх, аЬх2, Ьх2а,
Ь2х2а
abc, Ьса, cab, а2Ьс
c2ab, а2сЬ, Ь2ас,
Ьа2с, сЬ2а, ас2Ь,
b2cab, с2аЬс, а2Ь2с
с2а2Ь, Ь2а2с,
а2с2Ь
а2х2а
а2Ьа,
уа2х,
Ь2ах,
а2Ьах,
а2х2Ь,
, Ь2са,
с2Ьа,
а2Ьса,
Ь2с2а,
с2Ь2а,
В табл. III приведены полученные указанным
способом инварианты, которые образуют целый
рациональный базис относительно полной ортогональной
группы для одного или двух векторов и для одного,
двух и трех симметричных и кососимметричных
тензоров. Инвариантами являются выражения вида
1Л(Па)«£/* Ui(Ua)ijVj+Vi(Ua)ijUj и UiiejaVi-
— Vi(®a)ijUp гДе Па и 0а — матричные произведения,
составленные из матриц а, Ь, с, ..., связанных с
симметричными тензорами, и матриц х, у, z, связан-

74
3. Трансверсальная изотропия
ных с кососимметричными тензорами, a l)iy Vi —
компоненты векторов. В табл. III приведены матричные
произведения Па и 0а для случаев не более трех
матриц. Таблица III составлена из таблиц Смита [42], в
которых даны целые рациональные базисы
относительно полной ортогональной группы преобразований
для одного и двух векторов и вплоть до шести
симметричных и кососимметричных тензоров; с помощью
этих таблиц можно построить целые рациональные
базисы для произвольного числа векторов и тензоров.
Целые рациональные базисы для произвольного
числа векторов и вплоть до трех симметричных и
кососимметричных тензоров могут быть найдены из
табл. III путем объединения базисов для одного или
двух векторов, взятых в любых комбинациях, и
соответствующего числа тензоров. Элементы целых
рациональных базисов, включающих только тензоры,
совпадают с соответствующими элементами для
собственной ортогональной группы и их можно найти из
табл. II.
Минимальность этих базисов будет обсуждаться
в п. 7.4.
3. ТРАНСВЕРСАЛЬНЛЯ ИЗОТРОПИЯ
В п. 3.1—3.5 будут рассмотрены инварианты
относительно групп преобразований, характеризующих
трансверсальную изотропию. Выберем за ось Х$
главное направление. Из восьми возможных случаев,
указанных в п. 1.4, только два исследовались подробно.
К ним относятся: (1) случай осевой симметрии, когда
инвариантность имеет место лишь относительно
вращения вокруг оси Х3, и (2) случай, когда
допустимыми преобразованиями являются эти вращения и
отражения относительно плоскостей, содержащих ось
Хг. Случай (2) является одним из наиболее часто
рассматриваемых, и, если не оговорено противное, мы
будем иметь в виду именно его.
Методы, которым мы будем следовать при выводе
целого рационального базиса для трансверсальной
изотропии, во многом будут аналогичны тем
методам, которые мы использовали в изотропном случае.

3.1. Инварианты векторов и тензоров 75
В тех случаях, когда аналогия достаточно близкая,
мы будем опускать некоторые детали и ссылаться на
соответствующие ситуации для изотропных
инвариантов.
3.1. Инварианты векторов и тензоров; общие формы
Теория этого пункта, в котором будет дан общий
вид инвариантов векторов и тензоров при трансвер-
сальной изотропии, главным образом основана на
результатах Смита и Ривлина [45] и Пипкина и Ривли-
на [26]. Начнем с построения целого рационального
базиса для произвольного числа векторов (ср. п. 2.1).
Рассмотрим полином / от компонент п векторов,
который инвариантен относительно преобразований
Me (формула 1.4.1) и Ri (формула 1.4.2) и их
произведений. Как и в п. 1.1, обозначим компоненты
векторов через U{P (г=1, 2, ..., п). Тогда
f(u[r\ tijp, u{P) = f(u\r\ m\ uV) = f(-u[r\ и%\ ui%
где
U[r} = U[r) cos 9 + U{? sinG, W = - U[r) sin 9 + U(2r) cos 9.
Таким образом, зависимость / от i/P не накладывает
никаких ограничений на вид f и / можно представить
в виде некоторого полинома от U(p (г=\, 2, п)
и полиномов /', которые удовлетворяют соотношению
f (u\r), uV) = f (u\r), W)=/' (- uV, uV). (3.1.1)
Теперь компоненты i/\r\ UP преобразуются как
компоненты векторов в двумерном пространстве, а
из соотношения (3.1.1) следует, что f является
полиномом от этих компонент и этот полином является
инвариантом относительно собственных и
несобственных ортогональных преобразований в двумерном
пространстве. Целый рациональный базис для
двумерных векторов при таких преобразованиях был найден
в п. 2.1; он состоит из .выражений вида uPi/^
(г, s = 1, 2 ... я, а = 1, 2). Следовательно, /'
является полиномом от этих выражений, а / является

76 3. Трансверсальная изотропия
полиномом от
£#', £/М (г, 5=1, 2, ..., п; а=1, 2), (3.1.2)
и эти выражения образуют целый рациональный
базис для векторов относительно этих преобразований.
Далее будем искать тензоры, которые не
изменяются при любых преобразованиях, задаваемых
матрицами М0 и Ri (ср. п. 2.2). Пусть а. . . — такой
12 lJLl
тензор. Тогда путем рассуждений, аналогичных
приведенным в п. 2.2, можно установить, что выражение
а. . . WW?>
'1*2 V <1 <2 'Ц
UW
является инвариантом относительно таких
преобразований и, кроме того, оно является полиномом от
инвариантов (3.1.2). Из соотношения, аналогичного
(2.2.3), следует, что а. . . можно выразить через
внешнее произведение тензоров
01
0
1J
01/ =
[10 0
0 1 0
Lo 0 0
(3.1.3)
Предположим теперь (ср. п. 2.3), что
/ = Pi
• ln'lkl
.,*W"-°VW---W »■")
является инвариантом векторов Щ и тензоров
второго ранга р^. С помощью рассуждений,
аналогичных использованным в п. 2.3, и соотношений (2.3.1) —
(2.3.4) можно показать, что p. t
i„!\k, ... j.k\
есть тен-
ч"2 ••- Ln>\*\ ••• nKi
зор, инвариантный относительно преобразований,
характеризующих трансверсальную изотропию;
следовательно, его можно выразить как внешнее
произведение тензоров вида а* и $ц, определяемых
формулой (3.1.3). При подстановке этого выражения в
(3.1.4) находим, что / является полиномом от выра-

3.2. Некоторые соотношения для матричных полиномов 11
жений таких типов:
(i) р<<>, (И) «» <ш> и&
(iv) W, (v) и<ЭДр$, (vi) <Ar)n<Xs)
и выражений, получаемых из них заменой одной или
более матриц p{j] транспонированными. Здесь и в
дальнейшем греческие индексы принимают значения
1, 2; Пт = | Ц($ ||— матричные произведения,
сомножителями которых являются матрицы Цр^Ц второго
порядка и транспонированные к ним матрицы,
которые в частном случае могут быть единичными
матрицами I второго порядка.
Результаты, аналогичные (3.1.5), были получены
другим способом в работе Адкинса [23]. Эти же
результаты для одного симметричного тензора и
произвольного числа векторов даны в работе Пипкина и
Ривлина [26].
Так как бг\? = Эг^ + ocjOCj, то в (3.1.3) можно
заменить p,-j на dij. Если повторить предыдущие
рассуждения, заменив p*j на бг^, то получим систему
инвариантов, отличную от системы (3.1.5), но
эквивалентную ей. Соотношение между этими двумя системами
инвариантов были исследованы Адкинсом [2, 3].
Система (3.1.5) проще и является, по-видимому, более
удобной, и мы будем в дальнейшем пользоваться
этой системой.
Как и в изотропном случае, остается решить
проблему выбора конечного целого рационального
базиса, если возможно минимального, из выражений
типа (3.1.5) для любой заданной системы векторов
и тензоров.
3.2. Некоторые соотношения для матричных
полиномов от матриц второго порядка
При упрощении некоторых из инвариантов (3.1.5)
мы будем пользоваться соотношениями для
матричных произведений и полиномов от матриц
второго порядка, аналогичными соотношениям п. 2.4.

78
3. Трансвереальная изотропия
Терминология и обозначения остаюгея геми же, что и
в п. 2.4, с той лишь разницей, что здесь все матрицы
будут второго порядка; в связи с этим результаты
оказываются несколько более простыми, чем в
случае матриц третьего порядка.
Теорема Гамильтона — Кэли для матрицы m
второго порядка дает соотношение
т2 — m tr m + у I [(tr m)2 — tr т2] = 0. (3.2.1)
Если в этом соотношении заменить m на m + Хп и
коэффициент при К положить равным нулю, то
получим
mn + nm — m tr n — n tr m + I (tr m tr n — tr mn) = 0.
(3.2.2)
Умножим это соотношение справа на матрицу Р.
Получаем
mnp + nmp — mp tr n — np tr m +
+ p(trmtrn — trmn) = 0. (3.2.3)
В соотношении (3.2.2) заменим m на mp:
mpn + nmp — mp tr n — n tr mp +
+ I (tr mp tr n — tr mpn) = 0. (3.2.4)
Вычитая (3.2.4) из (3.2.3), находим
mnp—mpn — np trm + n trmp + p(trmtrn — tr mn) —
— I (tr mp tr n — tr mpn} = 0. (3.2.5)
Снова заменим в (3.2.2) m на p и умножим слева
на т. В результате
mpn + mnp — mp tr n — mn tr p +
+ m (tr p tr n — tr pn) = 0. (3.2.6)
Сложим теперь (3.2.5) и (3.2.6)
2mnp — np tr m — mp tr n — mn tr p +
+ m(trp trn — tr pn) + n trmp + p (tr m trn —trmn) —
— I (tr mp tr n — tr mpn) = 0. (3.2.7)

3.3. Инварианты симметричных тензоров второго ранга 79
Вычислим след от выражения (3.2.3):
tr mnp + tr nmp = 0. (3.2.8)
Умножая теперь (3.2.7) справа на q и вычисляя след
полученного выражения, находим
trmnpq = 0. (3.2.9)
Все полученные выражения справедливы для
произвольных матриц второго порядка. Если вместо т,
п, р взять симметричные матрицы а, Ь, с
соответственно, то из соотношения (3.2.8) можно получить
2trabciE=0. (3.2.10)
При выводе этого соотношения использовались
теоремы о циклической перестановке сомножителей в
следе матричного произведения и о транспонировании
в случае симметричных матриц. Эти теоремы
справедливы для произведений квадратных матриц любого
порядка.
Кроме соотношения (3.2.1), которое является
известным в матричной алгебре, все остальные
результаты взяты из работы Ривлина [31].
3.3. Инварианты симметричных тензоров
второго ранга
Используем теперь приведенные выше результаты
для нахождения инвариантов симметричных тензоров
второго ранга вида (i), (ii), (iii) из (3.1.5)
аналогично тому, как это делалось в п. 2.5 для изотропных
инвариантов симметричных тензоров второго ранга.
Очевидно, что в выражение вида (i) из (3.1.5)
входит только одна матрица, а в выражении (ii) из
(3.1.5), как это следует из (3.2.7), можно считать, что
ITi — матричное произведение степени не больше двух.
В противном случае посредством соотношения типа
(3.2.7) его можно представить в виде матричного
полинома степени 2 или меньшей степени;
следовательно, инварианты вида (ii) из (3.1.5), входящие в
целый рациональный базис, имеют степень не больше
четырех относительно компонент тензоров и содержат
не более четырех тензоров. В силу соотношений (3.2.9)

80
3. Трансверсальная изотропия
и (3.2.10) в выражении (iii) из (3.1.5) инвариант
llSot = tr П2 является приводимым, если он имеет
степень больше двух относительно матриц.
Следовательно, инварианты из целого рационального базиса
содержат не более четырех тензоров, которые мы
обозначим atj, bij, Cij, dij и которые связаны с матрицами
второго порядка а=||аа&11> b=||bap||, с=1ка&11. d =
= l|dap||. Как и прежде, латинские индексы принимают
значения 1, 2, 3, а греческие — 1, 2. Рассмотрим
поочередно инварианты первой, второй, третьей и
четвертой степеней относительно компонент
тензоров.
а) Инварианты первой степени
Для тензора аг; имеем инварианты
«зз, aa<x = tra.
б) Инварианты второй степени
Для инвариантов, включающих два тензора аг;-,
biu имеем
ЯзАз> aaj3&pa = trab.
Если b = а, то имеем
#ЗаааЗ> асфаза = tr a2.
в) Инварианты третьей степени
Инвариантами для тензоров aijy Ьц, с^ являются
аЗа^сфСрЗ> «За^ар^рЗ, ^ЗааарсрЗ»
Инварианты вида tr abc упрощаются с помощью
соотношения (3.2.10). Если с = а, то имеем инварианты
аЗа^сфарЗ> аЗаасф^рЗ
и инварианты, получающиеся из них при
перестановке а и Ь. Если, кроме того, b = а, то остается
единственный инвариант
а3ааира03'

3.3. Инварианты симметричных тензоров второго ранга 81
г) Инварианты четвертой степени
Снова нужно рассматривать инварианты только
типа (ii) из (3.1.5). Рассмотрим сначала инварианты,
содержащие тензоры aih 62j, ctj, с1ц. Тогда из
соотношения (3.2.2) следует, что выражение типа
с3ааар^ру^у3 "Ь C3a^apapY^y3
можно представить через инварианты меньшей
степени, так что в целом рациональном базисе
достаточно оставить лишь один из таких инвариантов.
Таким образом, достаточно оставить инварианты
a3a^ap"pY^Y3» a3a0ap"pYCy3» аЗоАхрсру"уЗ>
#ЗааарРруСуЗ» ^За^ар^ру^уЗ» ^За^ар^ру^уЗ*
Если d = а, последние два из них равны первым
двум соответственно и могут быть отброшены.
Инвариант b3aaa$b$yCys можно записать в виде &за(а2) аУсу3
и исключить в силу формулы типа (3.2.1). В
инварианте аза^аЗ^руЯуз члены a3aaY3 можно рассматривать
как компоненты некоторой симметричной матрицы,
например А; тогда этот инвариант будет иметь вид
tr bcA и он может быть исключен в силу соотношения
типа (3.2.10). Следовательно, в базисе достаточно
сохранить инварианты
a3cAxpapy^y3> a3a^apapycy3> (3.3.1)
а также инварианты, получаемые из них путем
циклических перестановок а, Ь, с.
Если, кроме того, в (3.3.1) с = Ь, то остается
единственный независимый инвариант второй степени
относительно каждой из матриц а и b
a3cAxpapY^Y3'
Если с = а в (3.3.1), то получающиеся инварианты
являются приводимыми в силу тех же рассуждений,
что и выше.
Приведенные здесь результаты были получены
Адкинсом [2, 3]. Они будут приведены в табл. IV.

82
3. Трансверсальная изотропия
Таблица IV
Целые рациональные базисы для векторов
и симметричных тензоров второго ранга при трансверсальнои
изотропии
Векторы
и тензоры
*И
ац, Ьц
ац> Ьцу cif
aih bU> cih dU
Ut
Ui> ац
Ui> aiJt bi}
Ui, aify bif, сц
uit vt
■ UU Viy ац
Uu Vt, aijy Ьц
Инварианты
#33' aaa*> #заааз> #aptfpaJ #3a#apap3
aZaPaV aap^p<r a3a^apap3 » a3aaap^p3 »
#3a^apa3Y^Y3
Яза^ар^рз» Дза^ар^рз» Ьшаа$с$ъ\
a3aca(3aPv^Y3 » aZoPa.$a№CV
azaca$d$ybyb a3abafidfiyCy3, azaba^c^ydyZ,
bmaa$d$yCyz, bzaaa$c$ydyZ, c3aaa^b^ydy3
U3; UaUa
и^аъ\ ^а^арарз» UaaafrUfi
Uaba$a№> Uaaapb^\ Uaaaob^ay}
Uaba$cf>yay3> иааа$с$уЬугу Uaaa^b^yCyz
UaVa
^a^ap^p
^a^ap^pv^Y
3.4. Инварианты симметричных тензоров
второго ранга и векторов
Будем рассматривать идварианты типа (iv) — (vi)
из (3.1.5). Все они имеют первую или вторую степень
относительно компонент векторов, которые мы будем
обозначать через Uiy Vi. Рассуждая, как и выше,
видим, что инварианты (v) и (vi) из (3.1.5) являются
приводимыми, если матричные произведения П3 и П4
имеют степень выше двух. Следовательно,
неприводимые инварианты вида (v) и (vi) из (3.1.5) имеют
степень не больше трех и двух соответственно
относительно компонент тензоров. Следовательно, доста-

3.4. Инварианты симметричных тензоров и векторов 83
точно рассмотреть только три тензора ai}, bih с^.
Будем рассматривать различные случаи поочередно в
соответствии с возрастанием степеней относительно
компонент векторов и тензоров.
а) Инварианты первой степени относительно
вектора и нулевой степени относительно тензора
В этом случае имеем единственный инвариант
вектора U
б) Инварианты первой степени относительно
вектора и первой степени относительно тензора
Для вектора U и тензора а1;- имеем единственный
инвариант
^сАз.
в) Инварианты первой степени относительно
вектора и второй степени относительно тензоров
Инвариантами вектора U и тензоров aijy Ь^
являются
Если b = а, то оба инварианта сводятся к одному,
г) Инварианты первой степени относительно
вектора и третьей степени относительно тензоров
Рассмотрим инварианты вектора U и трех
различных тензоров aijy &2J-, c{j. Из тех же рассуждений,
что и в случае г) п. 3.3, следует, что
Uaaa$bfryCy3 + ЦА,заруСуЧ
можно выразить через инварианты более низкой
степени. Следовательно, достаточно сохранить
^оРа^с^а^у U<fta.§c$ybyZy ^ааа^^Су3.

84
3. Трансверсальная изотропия
Если с = а, то второй из этих инвариантов
исключается в силу соотношения типа (3.2.1), а третий
эквивалентен первому с отрицательным знаком. В
результате остается один инвариант
^aaa|3^pYaY3
и инвариант, получаемый из него при перестановке
а и Ь. Если, кроме того, b = а, то получающийся в
результате инвариант является приводимым.
д) Инварианты второй степени относительно
векторов и нулевой степени относительно тензора
Если векторы U и V различны, то имеем
единственный инвариант второй степени
u*va.
Если V = U, то инвариантом является
и*иа.
е) Инварианты второй степени относительно
векторов и первой степени относительно тензора
Для векторов U и V и матрицы а имеем
инвариант
Если V = U, то
Uaa4Vr
ж) Инварианты второй степени относительно
векторов и второй степени относительно тензоров
Рассмотрим векторы U, V и тензоры aijy Ъц. Из
рассуждений, аналогичных приведенным в случае
г) п. 3.3, следует, что достаточно оставить один из
инвариантов Uaaa^b^Vyi иаЬа$а$уУу. Возьмем
Uaaa^yVy.
Если b = а, то инвариант исключается в силу
соотношения типа (3.2.1). Если U = V, £Уа£Уу можно

ЗА. Инварианты симметричных тензоров и векторов 85
рассматривать как компоненты симметричного
тензора и тогда получаем инвариант, который, как и в
случае г) п. 3.3, исключается с помощью соотношения
типа (3.2.10).
Изложенные здесь результаты также даны в
работе Адкинса [3]. Полученные в этом и предыдущем
пунктах целые рациональные базисы приведены в
табл. IV. Из этой таблицы целый рациональный
базис для \i (^4) тензоров и v (К2) векторов
находится путем объединения, инвариантов, приведенных
в таблице, для данной системы векторов и тензоров,
и инвариантов, приведенных в таблице, для всех
подсистем векторов и тензоров, которые можно
образовать из данной системы. Целый рациональный базис
для. системы из \х (>4) тензоров и v (>2) векторов
состоит из базисов всех возможных систем,
состоящих из четырех тензоров и двух векторов, которые
можно образовать из заданной системы. Как и в
табл. II, индекс (*) означает, что к обозначенному
таким образом инварианту нужно добавить
инварианты, получаемые путем циклической перестановки
входящих в него симметричных тензоров.
Насколько нам известно, минимальность базисов,
приведенных в табл. IV, систематически не
исследовалась. Линейная независимость многих из
инвариантов в табл. IV очевидна по аналогии с известными
результатами для изотропных инвариантов;
представляется вполне вероятным, что построенные базисы
являются минимальными.
В заключение мы хотим остановиться вкратце на
результатах, относящихся к осевой симметрии. Этот
случай был рассмотрен в работе Адкинса [3]. В
случае осевой симметрии, когда инвариантность имеет
место только относительно вращений вокруг оси ХЪу
к векторным инвариантам (3.1.2) следует добавить
ea^Uf (г, s = 1, 2, ..., щ г Ф s, а, 0 = 1, 2),
где еа$ — альтернирующий тензор второго порядка
в двумерном пространстве (е\2 = — е2\ = 1, £ц = е22=
= 0). Очевидно, что, кроме тензоров (3.1,3), в

3. Трансверсальная изотропия
случае осевой симметрии инвариантом также
является тензор
еЧ =
О 1 О
-10 0
0 0 0
Рассуждая так же, как и в п. 3.1, и вспоминая, что
^ap^vfl
0Y 60б
найдем, что к инвариантам (3.1.5) нужно добавить
инварианты вида
(i) еарП(&
т(7)
(iii) еча3аП$Ьу3,
(8)Тг (оАА)
(И) еарЯзаЩ^, (iv) е^иаПЩУу
где для простоты рассматривались только
симметричные тензоры. В выражениях (3.4.1) П5, ..., Пв —
матричные произведения, составленные из
симметричных матриц, которые в частных случаях могут быть
единичными.
На основании результатов п. 3.2 очевидно, что
инварианты (3.4.1) являются приводимыми, если
Пб, ..., П8 имеют степень выше двух. Кроме того, если
рассматривать агаЬуз как элементы матриц
третьего порядка, то с помощью соотношений типа (3.2.7)
можно показать, что инварианты вида (ii) из (3.4.1)
являются приводимыми, если степень Пб больше или
равна двум; аналогично, инварианты вида (iii) и (iv)
из (3.4.1) являются приводимыми, если степени
произведений П7 и Пв больше и равны двум.
Следовательно, можно предполагать, что Пб, Ш и П8
являются симметричными матрицами или единичными
матрицами. И наконец, из определения еа$ следует, что
инвариант вида (i) равен нулю, если П5 —
симметричное произведение; инвариант вида (ii) равен нулю,
если а = Ь, а Пб = I; инвариант вида (iv) равен нулю,

3.5. Сизигии для инвариантов
87
если U = V и Пв = I. Принимая во внимание эти
результаты, находим, что целый рациональный базис
для векторов и тензоров второго ранга в случае
осевой симметрии состоит из базиса, приведенного в
табл. IV, и инвариантов вида
еа$аруЬуа (а ф Ь),
еа$аа.Ф$Ъ (а =7^ Ь), £араа3^уСуЗ> (3 4 2)
^ар^аЗ^р» ^ар^аЗ^ру^Ч' еа^ау^а\^р>
*ар^р (U^V), e^Uaa^yVy.
Вполне возможно, что при осевой симметрии
некоторые из инвариантов, приведенных в табл. IV, могут
оказаться приводимыми, даже если они неприводимы
при трансверсальной изотропии. Этот вопрос не будет
дальше рассматриваться; не будет также
рассматриваться вопрос об определении минимального базиса
инвариантов вида (3.4.2).
3.5. Сизигии для инвариантов
Для случая трансверсальной изотропии вопрос об
исследовании сизигий для инвариантов целого
рационального базиса является практически важным; он
рассмотрен в работе Адкинса [4].
Говорят, что инварианты являются
функционально независимыми, если ни один из них не может
быть выражен как функция остальных. Система
инвариантов образует функциональный базис, если
любой инвариант можно представить как функцию этих
инвариантов. Можно показать [27, 64] (ср. п. 8.1), что
целый рациональный базис является также
функциональным базисом; однако, вообще говоря, он не
будет минимальным функциональным базисом. Для
случая трансверсальной изотропии мы покажем, как
можно построить минимальный функциональный
базис для произвольного числа векторов и
симметричных тензоров второго ранга из целого рационального
базиса; остальные инварианты целого рационального
базиса выражаются через этот функциональный базис.

88
3. Трансверсальная изотропия
Рассмотрим сначала произвольную систему
симметричных тензоров второго ранга а^у Ь^у ....
Выберем в качестве функционального базиса следующие
инварианты (выбор этот, конечно, не единствен):
^1==ааа> ^2==асфара» ^3== #33>
^4 = аЗаааЗ» ^7 === аЗа#арарЗ> /Q Ч П
#1 = ^аа> #2 = ^ар^а» ^3 === ^33>
^4 = ^ЭсАз» Въ = а3а6а3, В6 = ЯзайарарЗ>
а также инварианты CL, DL, ... (L = 1, 2, ..., 6),
которые получаются из соответствующих инвариантов
BL заменой bij на с^, dij, .. • соответственно.
Тензор ац играет особую роль в указанном базисе,
и первоначально мы предположим, что он выбирается
таким образом, чтобы ни один из инвариантов (3.5.1)
не обращался в нуль. Мы должны показать, что все
остальные инварианты целого рационального базиса
можно выразить через систему инвариантов (3.5.1).
Поскольку ни один из элементов целого
рационального базиса не содержит в себе более четырех
тензоров, то достаточно рассмотреть инварианты пяти
тензоров (пятый тензор появляется вследствие особой
роли ciij в выбранной системе). Исследование целого
рационального базиса, приведенного в табл. IV,
показывает, что достаточно проверить следующие
инварианты:
1\ = аоэ^ро» h ^ a3a^apcp3i К\ == аЗ(Ар^у^уЗ> ,« с о\
а соотношения для всех остальных инвариантов
получаются путем соответствующих подстановок вместо
матриц Ь, с, d, е. В частном случае две или больше из
матриц Ь, с, d, е могут быть равны друг другу, но
не матрице а.
Выберем систему координат таким образом, чтобы
а13 = 0. Это всегда можно сделать посредством
соответствующего поворота осей вокруг оси Х3. Легко по-

3.5. Сизигии для инвариантов
89
казать, что в этой системе координат
А1 = а,, + а22, А2 = а2п + 2а\2 + а\2, А3 = а33,
fl1 = ft„ + ft22, 52 = 621 + 2622 + ft|2) В3 = *зз. (3,5*3)
fi4 = &13 + 61з> В5 = а23623. В6 = «23*22-
Решая эти уравнения, получаем
an = (AiA4 — AT)/A4, а22 = А7/А4, а33 = А3,
4, = К а\2 = 1 (Л2ЛJ - Л\А\ + 2Л, Л4Л7 - 2Л*)/Л*,
&„ = (BH4 —£6)/Л4) 622 = В6/Л4> &33 = £3> (3.5.4)
ь23 = вЦа4, ьЪ = (вл-в®1а4,
bn = -j (В2А2 — В\А\ + 2ASiBs - 2В\)1 А\.
Аналогичные соотношения можно найти для cih йц,
ец, заменяя в (3.5.4) BL (L = 1, 2, ..., 6) на cL, DL,
EL соответственно.
Искомые сизигии получаются, если подробно
расписать выражения для инвариантов (3.5.2) (с а\3 = 0)
и подставить в них соотношения (3.5.4) для
компонент тензоров. Например,
h = авр6ра = а\\Ь\\ + а22Ь22 + 2аХ2Ьп =
= [(А1А4-А7){В1А4-В6) + А7В6 +
+ V{(^А24 - А\А\ + 2Л,А4АТ - 2Л?) X
X (В2А2 - В\А\ + 2Л4В,В6 - 2В26)}]/Л4.
После некоторых преобразований получаем
соотношение
AVi-VMA,- А7)(В7А4- В6)+ А7В6] +
+ Al(A2B2l + A2B2-A2B2)-(AlB(i-A7Bl)i +
+ 2А2В6(В, - Л4В,) + 2А7В2 (А7 - Л,Л4) = 0, (3.5.5)

90
3. Трансверсальная изотропия
которое является сизигией, связывающей 1\ с
инвариантами (3.5.1). Поскольку это есть соотношение
между инвариантами, оно справедливо в любой системе
координат; система координат с а\3 = 0 выбиралась
только из тех соображений, чтобы вывод сизигий был
более простым.
Аналогично можно найти сизигии для остальных
инвариантов (3.5.2). Они приведены в работе Адкин-
са [4]. В некоторых случаях эти соотношения
упрощаются за счет введения вспомогательных
инвариантов, что и было сделано Адкинсом. Поскольку
сизигии являются полиномиальными соотношениями, они
остаются справедливыми и в вырожденных случаях,
когда некоторые из входящих в них инвариантов
обращаются в нуль, так что первоначальное
предположение о неравенстве нулю инвариантов (3.5,1)
является несущественным.
Предположим теперь, что, кроме тензоров
ciij, bij, ..., имеется система векторов U, V, ... .
Достаточно рассмотреть только два вектора II, V;
соотношения для других векторов можно получить путем
соответствующих замен. Кроме инвариантов (3.5.1),
выберем еще инварианты
Mx = a2JJ„ M2=UaUa, M3=U3,
N,=a3aV„ N2=VaVa, N3=V3. (d'5-b)
Снова выбираем систему координат, такую, что
ai3 = 0. Тогда из (3.5.6) и (3.5.4) находим
и\ = {ААМ2-МЪ1Аъ U\ = M\lA,, U3 = M3,
tf-Uto-JvDM* И=^/л4, v3=n3. (-5J)
Из табл. IV видно, что необходимо исследовать
только следующие инварианты:
^1 = ^а^сфарЗ> ^2 = Uaca$bQyG>y3l L3 = UaCa^b^3f
L4 = Uada^c^yby3i L5 = uaba^V^y Lq = Uaba^c^yVy.
(3.5.8)

S.5. Сизигии для инвариантов
91
Для иллюстрации рассмотрим инвариант L\. Из
(3.5.8) при условии, что аХг = 0, получаем
Ll = a23(Ulbl7,+ U2b22)'
После подстановки сюда выражений (3.5.4) и (3.5.7)
и некоторых преобразований получаем в результате
соотношение
A\L\ - 2A4B6MXLX + В\М\ - 1 (Л4М2 - М?) X
X {В2А\ — В\А\ + 2A*BXBQ — 2Bl) = 0, (3.5.9)
которое является сизигией, связывающей L\ с
инвариантами (3.5.1) и (3.5.6). Аналогично можно найти
сизигии для остальных инвариантов (3.5.8); они
приведены в работе Адкинса [4].
Полученные выше сизигии показывают, что
инварианты (я симметричных тензоров второго ранга и v
векторов можно выразить через 6|я + 3v—1
инвариантов, определяемых формулами (3.5.1) и (3.5.6), и
инварианты, получаемые из (3.5.1) поочередной
заменой bij остальными симметричными тензорами
(исключая ctij) и из (3.5.6) заменой V остальными
векторами (исключая U). Поэтому эти 6ji + 3v—1
инвариантов образуют функциональный базис. Этот
базис является минимальным, если входящие в него
инварианты являются функционально независимыми.
Выписав функциональный определитель системы
относительно компонент векторов и тензоров, Адкинс
[4] показал, что указанные инварианты являются
функционально независимыми, за исключением
некоторых вырожденных случаев, в которых
функциональный определитель обращается в нуль.
В принципе описанные в этом пункте
рассуждения и метод можно применять и к выводу сизигий
для изотропных инвариантов, рассмотренных в п. 2.5—
2.7. Однако, за исключением простейших случаев,
изотропные инварианты содержат намного больше
членов, чем инварианты в случае трансверсальной
изотропии, и поэтому сизигии между ними будут
представлять собой более громоздкие выражения, чем
только что рассмотренные.

92
4. Классы кристаллов
4. КЛАССЫ КРИСТАЛЛОВ
Основные результаты, относящиеся к инвариантам
векторов и тензоров относительно групп
преобразований, соответствующих классам кристаллов, получены
главным образом в работах Смита и Ривлина.
Ссылки на их работы будут даны в последующих
пунктах. Были рассмотрены инварианты для случая (а)
единственного симметричного тензора второго ранга,
(б) вектора и симметричного тензора второго ранга,
(в) произвольного числа векторов; для этих случаев
построены неприводимые целые рациональные базисы.
Сизигии между "этими инвариантами исследовались
тоже.
Поскольку всего существует тридцать два класса
кристаллов и во многих случаях интересующие нас
соотношения являются довольно сложными, то мы не
будем пытаться воспроизвести все известные
результаты, а приведем несколько иллюстративных
примеров и дадим соответствующие ссылки на работы, где
эти результаты полностью приведены.
Группы преобразований, которые мы будем
рассматривать, описаны в п. 1.4, г и приведены в табл. I
данной книги. Для краткости будем обозначать
каждый класс числом, приписанным ему согласно табл.1;
так, класс 1 означает педиальный класс триклинной
системы, класс 9 — тетрагонально-дисфеноидальный
класс тетрагональной системы и т. д. Следует
заметить, что эта терминология принята только из
соображений удобства в данной работе и не является
стандартной.
4.1. Теоремы о целом рациональном базисе
В этом пункте будут даны четыре теоремы,
которые широко используются при построении целых
рациональных базисов для векторов и тензоров
относительно групп преобразований, соответствующих
классам кристаллов. Первые три из них дают целые
рациональные базисы для полиномов от двух и трех
систем переменных, которые являются инвариантами

4.1. Теоремы о целом рациональном базисе 93
относительно симметрической группы преобразований
переменных, и для полиномов от трех систем
переменных, инвариантных относительно циклических
преобразований.
Теорема 1. Целый рациональный базис для
полиномов, симметричных относительно двух систем
переменных {u\,V\, ..., Zi), (и2, v2, ..., z2) (т. е.
полиномов, инвариантных относительно перестановки
индексов 1 и 2), состоит из элементов
Ux + U2, V{ + V2, •••> Z,+22,
ихиъ uxv2-\-u2vu ..., u{z2 + u2zu
V{V2, ..., V{Z2 + Z2VU
Z\Z2.
Теорема 2. Целый рациональный базис для
полиномов, симметричных относительно трех систем
переменных {u\,vuW\, ... Zi), (^2,^2,^2 ••• z2),
(и3, v3, w3, ... z3) (7. е. полиномов, инвариантных
относительно любой перестановки индексов 1, 2, 3),
состоит из элементов
(1) и{ -\- и2 + иг, и2и3-\-и3их-\-ихи2, ихи2и3
и выражений, полученных в результате подстановки
viy wi} ..., Zi вместо щ\
(2) uxvx + u2v2 + u3v3, u2u3vx + u3uxv2 + uxu2v3,
U\V2V3 + U2V3V X + U3V XV2
и выражений, получающихся отсюда подстановкой
вместо Ui и vi всевозможных комбинаций двух
различных символов, выбранных из щ, vu ..., Z\\
(3) uxvxwx + u2v2w2 + ti3v3w3 „
и выражений, получающихся отсюда подстановкой
вместо Ui, vu W{ всевозможных комбинаций трех
различных символов, выбранных из щ, vif ..., г*.
Теоремы 1 и 2 являются частными случаями
теоремы из теории симметрических полиномов;

94
4. Классы кристаллов
доказательство этой теоремы дано Вейлем [63,
стр. 58—61]. Доказательство теоремы 1, которое
может быть обобщено на случай теоремы 2, приведено
также в работе Бохера [5, стр. 253—254].
Теорема 3. Целый рациональный базис для по-
линомов от трех систем переменных (ии V\, W\, ... *i),
(u2,v2,w2, ... z2) и {u3,v3,w3y ..., z3), инвариантных
относительно циклических перестановок индексов 1, 2,
3, состоит из
(1) целого рационального базиса для полиномов,
симметричных относительно переменных из теоремы 2;
(2) и2и3 (и2 — Из) + и3щ (и3 — и{) + щи2 (щ — и2) #
и выражений, получаемых отсюда подстановкой
vu Wu . • • А вместо и<;
(3) щ (v2 — v3) + и2 {v, — Vx) + и3 (vx — v2),
ЩЩ {v2 — »з) + ЩЩ (v3 — v{) + ихи2 (и, — v2),
v2v3 (и2 — и3) + v3v{ (и3 — и{) + v{v2 (а, — и2)
и выражений, получающихся из них подстановкой
вместо Ui и Vi всевозможных комбинаций двух
различных символов из щ, vu .. •, Zi\
(4) U{Vi {w2 — w3)+ u2v2 (w3 — wx) + u3v3 (wx — w2)
и выражений, получаемых из последнего
подстановкой вместо щ, vu Wi всевозможных комбинаций трех
различных символов из uit viy ..., гг-.
Доказательство этой теоремы получается из
теоремы Нётер (Вейль [63, стр. 369—370]), которая
утверждает, что степень элементов целого рационального
базиса для полиномов, инвариантных относительно
конечной группы преобразований, не превышает по*
рядка этой группы. Поскольку порядок
рассматриваемой здесь группы циклических преобразований равен
трем, целый рациональный базис состоит из
полиномов третьей или меньшей степени. Установив это,
легко выписать все полиномы степени не больше трех
с требуемым свойством инвариантности (которое
подразумевает, что если некоторый полином базиса со-

4.2. Инварианты симметричного тензора 95
держит, например, член U\v^w^ то он должен
содержать также и два члена, получаемых из него путем
циклической перестановки индексов) и исключить
лишние элементы из полученного базиса. Эта
процедура приводит непосредственно к указанному
базису или эквивалентному ему базису (например,
можно заменить выражение (2) выражениеми22иъ-\- и\их +
Последняя теорема носит несколько иной характер.
Теорема 4. Целый рациональный базис для
полиномов от переменных ии и2у ..., ип и 1\, I2i ..., Im
относительно группы преобразований, для которой
Л, h, . • •, Im являются инвариантами, состоит из
luhf • • •» Im и целых рациональных базисов для
полиномов от переменных и\, и2, ...., ип относительно
той же группы преобразований.
Предположим, что /(/ь /2, ... /т, ии и2у ... ип) —
полиномиальный инвариант; следовательно, он
представляется в виде суммы членов
№-.bK«2 %)> (4.1.1)
где ср является полиномом от своих аргументов. При
преобразовании из рассматриваемой группы IL
(L = 1, ..., m) не изменяется, так что члены
заданной степени по IL преобразуются в члены той же
степени по IL- Поскольку выражения типа (4.1.1)
являются инвариантными (в предположении, что они
содержат все члены заданных степеней по /L),
отсюда следует, что величины Ц)(иии2, ... ип)
являются инвариантами. Поэтому их можно выразить через
целый рациональный базис для ии и2, ..., ип, и
теорема доказана.
4.2. Инварианты симметричного тензора
Инварианты одного симметричного тензора для
всех классов кристаллов были получены Смитом и
Ривлином [47]. Их результаты изложены также в
работе Грина и Адкинса [11, стр. 19—*29].

96
4. Классы кристаллов
Обозначим симметричный тензор второго ранга
через ciij (i, /= 1, 2, 3) и предположим, что F—
полиномиальный инвариант от компонент аг;-. Будет
показано, что. если F является инвариантом
относительно преобразований, характеризующих один из
классов кристаллов, то его можно представить в виде
полинома от некоторых полиномов от ац\ эти
полиномы образуют целый рациональный базис для ац.
Мы рассмотрим лишь некоторые классы кристаллов;
детальные результаты для всех классов кристаллов
можно найти в цитированных выше работах.
а) Классы 1 и 2
Из табл. I и соотношения (1.4.3) видно, что а^ не
изменяется при преобразованиях, характеризующих
эти классы. Следовательно, никаких ограничений на
вид F не накладывается, а целый рациональный
базис состоит из компонент
аи, а22> #зз> а2з> #зь а12.
б) Классы 3—5
Из табл. I и формулы (1.4.3) следует, что для
рассматриваемых классов на F нужно наложить
следующее ограничение:
Р (#11> #22» #33» #23» #31» а12)===^(#11> #22» #33> #23> —#ЗЬ —а\2)<
(4.2.1)
Если теперь в теоремах 1 и 4 мы положим
щ = ази u2= — a3l, v{ = al2, v2= — a{2,
I\=a\\y I2 = #22> '3 === #33» M = #23»
то в результате получим, что целый рациональный
базис для aij относительно преобразований,
характеризующих эти классы, состоит из инвариантов
alv a2V a3V а2У a\v а\у аг{а[2. (4.2.2)

4.2. Инварианты симметричного тензора 97
в) Классы 6—8
Как следует из табл. I и формулы (1.4.3),
полином F для этих классов должен прежде всего
удовлетворять соотношению (4.2.1), так что он может
быть представлен в виде полинома от выражений
(4.2.2). Кроме того, F должен быть инвариантом
относительно преобразований с матрицами R2, Яз, или
относительно преобразований с матрицами D2, D3,
или относительно всех четырех этих преобразований.
Это дает дополнительное ограничение
F(au> a2V а33» Л23> аЗР а12> а31а12)==
= г (axv а22, а33, а^, а31, а12, a3iai2r
В теоремах 1 ц 4 положим
W1 = a23, и2= —#23» V\= #31#12> Х)2 = —^31^12»
откуда следует, что F можно представить в виде
полинома от инвариантов
а\\> ^22» ^33» ^23» аЗР а\2> а2ЪаЪ\а\2> (4.2.о)
где опущен инвариант cl\x<i\v который, очевидно,
является лишним.
г) Классы 9—И
Для первых трех классов тетрагональной системы,
как это следует из табл. I и формулы (1.4.3),
полином F должен удовлетворять соотношению
г (аи, а22> #зз> а2з> аъь а\2)=
= F (#п, #22> #33> —а23> —#31> а\2) ==
= г(а22» ап> #зз> азь —#2з> —-а\2).
Рассуждая как и в случае б), из первого
соотношения получаем, что F является полиномом от ап> а22,

98
4. Классы кристаллов
a3v ai2' а2з> alv а2зазг ТогАа второе соотношение
преобразуется к виду
F(#и, а22, а33, а12, а23, а31, ^23a3i)==
==^(а22, a\V а33' aW аЗР Л23» a23a3l)*
Следовательно, если в теоремах 1 и 4 положить
щ = ап, v{ = a22i Wi = al2,
x\~a2v У\~аг\> г1==:а2заз1'
и2 = а22, v2 = an9 w2= — ai2,
X2~aZV У2=а23> Z2= a23a31
и /j = a23, то получится, что целый рациональный
базис состоит из инвариантов
ап + а22, а33, а|з + азр
апа22, а12(аХ1 — а22), ^^ + «22^(^11 — ^22)^23%»
а12» а12(аз1 а2з)> Л12а23а31» а23а31» а23а31 (а23 a3l)*
При выводе этого базиса ряд очевидно лишних
инвариантов был опущен.
д) Классы 12—15
Для остальных классов тетрагональной системы
инвариант F должен быть полиномом от выражений
(4.2.3) и, кроме того, удовлетворять соотношению
** (а1р «22» Л33» Л23> а31» а12> а\2а2&аЪ\)~
s==:P{a22> аП> а33> аЗР а23» а12> ai2a23a3l)»
откуда следует, что F представляется в виде
полинома от инвариантов
а1\ "Т Л22> Л33> ^23 * a3\9 а\2> а 11^22»
ai2a23a3P а\\а\ + a22a31> a23aIl-

4.2. Инварианты симметричного тензора 99
е) Классы 16 и 17
Для первых двух классов гексагональной системы
инвариантность относительно преобразований,
перечисленных в табл. I, подразумевает, что если F
выражается в виде полинома от следующих величин:
щ = а1Ь и2 = -j ап — у J/3 «12 + "J ачъ
"3 = 1" ап + -2 /3 а12 + та22,
v{ = я31, v2 = — y аз1 + Т V^3 а23,
^з == — Y аз1 2 ^ ^ а23> ^ = аз3*'
то F будет инвариантом относительно циклических
перестановок индексов 1, 2, 3 в приведенной выше
системе переменных. Следовательно, можно
применять теорему 3; в результате получаем целый
рациональный базис, содержащий четырнадцать элементов.
ж) Классы 18—20
Для этих классов F является инвариантной
величиной относительно всех перестановок индексов 1, 2,
3 в указанных выше системах ии ы% и3 и vu v2, v$.
Целый рациональный базис строится согласно
теореме 2; он содержит девять элементов.
Аналогичным образом можно рассмотреть
остальные классы гексагональной системы. Эти классы
распадаются на две группы. Целый рациональный базис
для классов 21—23 содержит четырнадцать
элементов, а для классов 24—27 — девять элементов.
з) Классы 28 и 29
Для первых двух классов кубической системы F,
должен быть полиномом от выражений (4.2.3) и,
кроме того, инвариантным относительно циклических
перестановок индексов 1, 2, 3. Следовательно, можно

100
4. Классы кристаллов
применять теорему 3; в результате получаем базис,
состоящий из четырнадцати элементов.
и) Классы 30—32
В этих случаях F снова является полиномом от
выражений (4.2.3), а также инвариантен
относительно любых перестановок индексов 1, 2, 3. Применение
теоремы 2 дает целый рациональный базис, который
состоит из девяти элементов.
4.3. Сизигии между инвариантами симметричного
тензора
В работах Смита [40, 41] были рассмотрены
сизигии для инвариантов симметричного тензора,
рассмотренных в предыдущем пункте; Смит показал
также, как они могут быть использованы для упрощения
вида полинома F для каждого класса кристаллов.
Ниже приводятся результаты Смита [41].
Предположим, что для данного класса кристаллов целый
рациональный базис состоит из п инвариантов 1\9 /2, ...
,.., 1п. Тогда F можно представить в виде
F = S0 + S^ + ЗД/, (/, /==7, 8, ..., п), (4.3.1)
где S0, Su Sij — полиномы от шести функционально
независимых инвариантов, выбираемых из целого
рационального базиса /ь /г, ..., h.
Полином F представляет собой сумму членов вида
F = /{/i ... it (4.3.2)
Предположим, что для некоторой функционально
независимой системы. инвариантов /ь /2, ..., h
существуют соотношения
IJlh = Rijk + Rljklh + Rijklmfdm
(/, /, k, I, m = 7, 8 ... /г),
где Run, Raw, Rijkirn — полиномы от инвариантов
I\, h, • • •» h для любой комбинации индексов £, /, k,
не обязательно различных, принимающих значения от

4.3. Сизигии между инвариантами симметричного тензора 101
7 до л. Тогда многократно подставляя соотношения
(4.3.3) в (4.3.2), получим выражение (4.3.1). Поэтому
достаточно показать, что существуют соотношения
вида (4.3.3). Это было сделано Смитом [41]. Мы
приводим здесь лишь некоторые примеры.
а) Классы 1 и 2
В этом случае имеется только шесть инвариантов
й\и а22, .-., #12, так что задача является тривиальной
и (4.3.1) сводится к выражению F = S0.
б) Классы 3—5
Положим
1\ = а\и /2 = ^22, /з = #33, h = tt23, /5 = #31i
h = a\2, h — #3i#i2.
Тогда очевидно, что существует сизигия Ij = I5I6, так
что F записывается в виде
F = So + S7I7y
где S0 и S7 — полиномы от 1и ..., /б.
в) Классы 6—8
Возьмем /ь /2, /3, /5» h> к*к и в случае б), /4 = ^23,
/7 = a23a3ia12. Тогда
/7 = /4/5/6
и снова получаем соотношение типа (4.3.4).
г) Классы 9—11
Инварианты имеют следующий вид:
Л = ail + a22> 72 = f*lia22> h = a33> 74 = u\z + ЛЗР
75 = a23a3P /6 = a?2» 77 = a23a3iai2» 78 = a 114 + a22a!l>
79 — ^12 К - a22)> Ло = ^12 К - a223)>
l\\ = a23a31 (ail - a22)> 712 = a23a31 (all - аУ-

102
4. Классы кристаллов
Тогда, например,
/27 = /5/6, it = IJ4I8 - (l] - 4/2) h - /2/4,
/7/9 = /e/ii, 2/8/9 = Л/4/9 - (/? - 4/2) /10,
и подобные же сизигии могут быть получены для /д,
мо> /и, /7/10, /7/11» /7/12, /в/э, hlw, hl\i, hl\2, /9/10»
/9/11, /9/12, ЛоЛь /io/i2, /ц/12, /?2 (но не для /7/8).
Полный список этих сизигий приведен у Смита, и их
можно проверить. Они дают возможность представить
любые выражения типа (4.3.2) в виде
F = S0 + StIt + ЗД/8 (/ = 7, 8, ..., 12).
Соответствующие результаты для остальных
классов кристаллов приведены в работе Смита. Для
гексагональной и кубической систем результаты
являются более сложными, и Смит использует при их
выводе две вспомогательные теоремы; метод, однако, по
существу остается тем же самым.
Смит [41] показал также, что представление (4.3.1)
является в каждом случае единственным, т. е. что
не существует нетривиальных соотношений типа
So + S,/< + ЗД'/ = ° (*. / = 7, 8, ... п).
Этот вопрос будет обсуждаться в п. 7.3 вместе с
вопросом о минимальности целых рациональных
базисов.
4.4. Инварианты симметричного тензора и вектора
Целые рациональные базисы для одного
симметричного тензора второго ранга и одного абсолютного
вектора для всех классов кристаллов были получены
в работе Смита и др. [49]. По существу
использовались те же методы, что и описанные в п. 4.2 для
случая одного тензора. В частности, широко
использовались теоремы, приведенные в п. 4.1. Естественно,
однако, что результаты и все алгебраические
преобразования, приводящие к ним, являются более
сложными, чем в случае одного тензора, особенно для
гексагональных и кубических систем. Поэтому мы прц-

4.4. Инварианты симметричного тензора и вектора 103
ведем здесь результаты только для первых трех
классов; подробное описание результатов для всех
классов кристаллов дано в указанной работе Смита и др.
Как и раньше, обозначим симметричный тензор
через a2j, а компоненты вектора через U{.
Инвариантный полином общего вида от вектора и тензора
обозначим через F.
а) Класс 1
На вид F не накладывается никаких ограничений,
так что целый рациональный базис состоит из
инвариантов
аП> #22» #33» #23» #31» Я12,
ии иъ и3.
б) Класс 2
Инвариантность относительно преобразования цен*
тральной инверсии с матрицей С дает
F(an, а22, а33у а23, ази а1Ъ Ulf U2, U3) ==
= F(an> a22, a33, a23, ази ахъ — Uu — U2, — f/3),
и тогда из теорем 1 и 4 п. 4.2 следует, что F
является полиномом от
а\\> #22» #33» #23» a3U а\2>
Uu U'i Ul U2U3, U3UU UiU2.
в) Класс 3
Для доматического класса моноклинной системы
инвариантность относительно преобразования с
матрицей Ri требует, чтобы
^(#11> а22> #33» #23> #31» #12» Ub ^2> ^з) =
= F \аП* #22» #33» #23» — a3h — #12» — £Л> ^2> ^з)>
отсюда следует, что целый рациональный базис
состоит из инвариантов
2 *)
#П> #22» ^33» ^23' ^ЗР ^12' ^31^12»
*/?. «/», t/з, f/tda, t/iai2.

104
4. Классы кристаллов
Три класса, рассмотренные выше, являются почти
тривальными. Результаты усложняются, однако, по
мере рассмотрения последующих классов; в
частности, результаты для гексагональной и кубической
систем являются довольно сложными; например, целый
рациональный базис для класса 16 содержит
четырнадцать инвариантов одного тензора, четыре
инварианта одного вектора и четырнадцать совместных
инвариантов тензора и вектора. Это не означает, что
данный класс представляет наибольшие трудности.
Некоторые сизигии между инвариантами
приведены также в работе Смита и др. [49]. Они
используются при установлении минимальности базисов,
вопрос о которой будет рассмотрен в п. 7.3.
4.5. Инварианты произвольного числа векторов
Целые рациональные базисы произвольного числа
векторов были получены в работе Смита и Ривлина
[48] для всех классов кристаллов, за исключением
класса 31 !). Эти результаты являются также
довольно сложными, и поэтому мы снова рассмотрим лишь
несколько простых классов. Для данного класса
необходимо рассмотреть только конечное число N
векторов; верхняя граница N дается теоремой Пеано
(п. 1.3). Целый рациональный базис для
произвольного числа векторов получается путем
соответствующих подстановок в базисы для N векторов.
Методы, использованные Смитом и Ривлином при
построении базисов для триклинной, моноклинной,
ромбической и тетрагональной систем, по существу
аналогичны методам, изложенным в п. 4.2 и 4.4. Эти
методы были несколько модифицированы для
некоторых классов гексагональной системы, а для
классов кубической системы использовался другой метод.
Эти модифицированные методы здесь не будут
описаны; они основаны на том, что методами теории
групп, которые будут обсуждаться в п. 7.1, можно
найти некоторое число линейно независимых инва-
1) Сейчас этот результат уже получен (Смит [43, 44]).

4.5. Инварианты произвольного числа векторов 105
риантов заданной степени от компонент векторов, а
затем обычным методом построить необходимое число
независимых инвариантов достаточно высокой
степени. Теорема Пеано указывает, когда этот процесс
можно оборвать. В случае кубической системы
возникают значительные трудности алгебраического
характера.
Для иллюстрации мы приведем результаты для
некоторых классов триклинной и тетрагональной
систем; они получаются на основании теорем,
приведенных в п. 4.1. В каждом случае целый
рациональный базис для системы векторов Ur (г = 1, 2, ..., \i)
получается путем подстановки векторов Ur вместо U,
V, W, Z, которые появляются в базисах, во
всевозможных комбинациях.
Класс 1: Ux, U2, U3.
Класс 2: U\y V% f/32, U2U3, U3UU UiU2,
UXVU U2V2, U3V3i U2V3, U3V2i U3VXt UXV39
uxv29 U2VX.
Класс 3: £/?, U2y U3, U{V\.
Класс 6: Uu U2, U*9 U2V2, U3V3.
Класс 10: U3, U\+U22, UxU2{u\-U% u\lA,
UXVX + U2V2, UiV2—U2Vu U{U2ViV29
UiU2(y2i — V$9
uxu2(uxv2 + u2vx), UxU2(UxVx-U2V2)f
VXV2(UXV2+U2VX),
VXV2(UXVX-U2V2),
UXU2(VXW2+ V2WX), UXU2{VXWX-V2W2),
VxV2(UxW2+U2Wx)y VXV2(UXWX-U2W2)9
WxW2(UxV2+U2Vx)t WXW2{UXVX-U2V2),
UXVXWXZX + U2V2W2Z2,
VxVxWfo-UtVtWiZi*

106
4. Классы кристаллов
Подробное рассмотрение всех классов, для
которых построены целые рациональные базисы, дано в
работе Смита и Ривлина [48]. В этой же работе
приведено много сизигий между инвариантами и дается
доказательство того, что построенные рациональные
базисы являются минимальными (см. п. 7.3).
При выводе своих результатов Смит и Ривлин
предполагали, что векторы являются абсолютными.
Они указали, однако, что для тех групп
преобразований, которые являются подгруппами собственной
ортогональной группы (иецентральносимметрические
группы), результаты равным образом применимы и
когда все или некоторые векторы являются
аксиальными. Пусть $?\ — нецентральносимметрическая
группа, а *§2 — цеитральносимметрическая группа,
преобразованиями которой являются преобразования из
*§\ плюс преобразование центральной инверсии С и
его произведения с преобразованиями из $\. Говорят,
что инвариант относительно &\ является нечетным или
четным в соответствии с тем, меняет или не меняет он
знак при преобразовании С (т. е. в соответствии с
тем, имеет он нечетную или четную степень
относительно компонент абсолютных векторов). Тогда
целый рациональный базис относительно $2 образуется
из четных инвариантов целого рационального базиса
относительно *§\ с добавлением квадратов и
произведений пар во всевозможных комбинациях нечетных
инвариантов базиса относительно 9\. Такой базис
для &2, вообще говоря, не будет минимальным, даже
если базис для 9\ является минимальным; в
принципе, однако, лишние элементы можно исключить и
найти минимальный базис.
Для любого заданного класса кристаллов целые
рациональные базисы системы векторов можно
использовать для определения тензоров, инвариантных
относительно любого преобразования
рассматриваемого класса (анизотропных тензоров). Эта методика
описана в работе Смита и Ривлина [45] и
использовалась в п. 2.2 и 3.1 для нахождения изотропных
тензоров и соответствующего инварианта тензоров при
трансверсальной изотропии. Формулы для случая ани-

5./. Общие формулировки
107
зотропных тензоров даны в работе Смита и Ривлина
[48]. Эти результаты в свою очередь могут быть
использованы при определении целых рациональных
базисов (в общем случае не являющихся
минимальными и даже конечными) для произвольной системы
векторов и тензоров относительно преобразований,
характеризующих классы кристаллов. Процедура
построения таких базисов аналогична той, которая
использовалась в п. 2.3 и 3.1 при выводе общих
выражений для инвариантов в изотропном случае и в
случае трансверсальной изотропии.
5. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
5.1. Общие формулировки
В механике сплошной среды часто возникает
следующая задача. Пусть fiimeui (/р /2, ..., 1Г =
= 1, 2, 3)— компоненты тензора ранга г, которые
являются функциями компонент Щ , Uf\ ..., Uy
системы (а векторов и компонент р^п, р®а, ..., рМ
(/, т, п = 1, 2, 3) системы v тензоров второго ранга;
все объекты рассматриваются в декартовой системе
координат Хг (все рассуждения легко можно
обобщить на случай, когда аргументы являются тензорами
более высокого ранга, но для простоты мы
ограничимся только этим случаем). Итак,
-ф|А...|г№ и?]> ■••■ и(?]> №> '2, ••• р{1)=
=ф/Л...*Д^е) (5ЛЛ)
(р=1,2, ... |i, 9=1,2,..., v).
В другой декартовой системе координат Хи такой, что

108 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
первый тензор будет иметь компоненты
hi ... * =MaMi f ••• Mi ifu .../
lV2 1Г TI l272 1ГГ lV2 "" 'r
а тензоры-аргументы — компоненты
Uf) = MikU<£\ P^-M^M^ (5.1.2)
для p = 1, 2, ..., \i, q = 1, 2, ..., v. Тогда при
заданной группе преобразований говорят, что fi{ ...t
является форм-инвариантом относительно
преобразований этой группы, если
при всех преобразованиях ^г- = AfijX; из этой
группы преобразований. Соотношение (5.1.3) накладывает
ограничение на вид фм t ; задача состоит в
определении наиболее общего вида, который может иметь
функция ф. . . , обладающая свойствами (5.1.3).
В этом пункте далее будет предполагаться, что
Ф/ / ... * является полиномиальной функцией своих
аргументов.
Если / — скаляр (тензор нулевого ранга), то
выражение (5.1.3) сводится к утверждению, что /
является скалярным инвариантом векторов U{f\ pj^.
Понятие форм-инвариантного тензора является
обобщением понятия скалярного инварианта. Ниже
будет показано, что сформулированная выше задача о
форм-инвариантных тензорах может быть сведена к
некоторой задаче из теории скалярных инвариантов
типа рассмотренных в предыдущих параграфах и что
в некоторых случаях приведенные выше результаты
могут быть непосредственно использованы для
вывода канонических форм полиномиальных
форм-инвариантных тензоров. Общий метод описан в работе
Пипкина и Ривлина [26], хотя он и использовался
ранее в некоторых частных случаях (см., например,

5.1. Общие формулировки
109
[46]). Случай, когда <р, , , не является полиномом
от своих аргументов, будет обсуждаться в § 8.
риантный тензор ранга г. Пусть 7(Д Vf\ ..., V[r) —
компоненты (в системе координат Xt) г произвольных
векторов, которые преобразуются по тем же
формулам, что и Vf (5.1.2). Составим внутреннее
произведение
2 -^?---'^i1...,rW.piu) <5Л-4)
и заметим1), что
^xh-1^ dv^dvf ...dv{p' (5Л'5)
Из (5.1.2), (5.1.3) и (5.1.4) находим, что
7=мл А<, • • • М/,Л • • • VifS г <, №р-) -
(5.1.6)
Следовательно, согласно (5.1.4) и (5.1.6), / является
скалярным инвариантом от V[s\ U^\ р{£п и
полилинейной функцией от компонент V[{\ Vf\ ..., V\r).
Отсюда вследствие предположения о полиномиальном
виде функции ф/ { ( J можно представить в виде
/~2V«. (5-1.7)
а
где /а — полиномы от инвариантов, принадлежащих
целому рациональному базису для векторов U{fp) и
тензоров р^у a Ja — инварианты (которые сами
могут оказаться произведениями инвариантов),
образованные из инвариантов, принадлежащих базису для
!) См. примечание на стр. 32.

ПО 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
V{f\ U{p, р^п; эти инварианты являются
полилинейными функциями от Vf} и не содержат в качестве
сомножителей никаких инвариантов, которые не
включали бы в себя по крайней мере один из векторов
VfK Из (5.1.5) теперь найдем
f ^Y/ дЧа
'y2-.-V A'advy)dVW ... dV(p •
a l\ l2 lr
Дальнейшая процедура состоит в следующем.
Возьмем целый рациональный базис для векторов
Vf\ U(p\ р(^п относительно рассматриваемой группы
преобразований и сохраним только те инварианты,
которые имеют нулевую или первую степень
относительно компонент каждого из векторов V\. Из этого
базиса выберем инварианты, которые содержат
векторы F/s) и образуем из них всевозможные /а,
которые будут полилинейными функциями от компонент
векторов; затем построим тензоры drJa/dV{pdVf] ...
...dVlP. Тогда канонической формой для f. . .
будет линейная комбинация этих тензоров с
коэффициентами, являющимися полиномами от инвариантов,
принадлежащих целому рациональному базису для
Ц(Р) и п«7).
/ г тп
Описанный выше процесс дает наиболее простую
полиномиальную форму для/. . { ,* если целый
рациональный базис для U{jp) и р^п является
минимальным, а инварианты Ja — линейно независимыми.
Следует заметить, что, даже если базис для V^\ UW и
р{£п является минимальным, могут существовать
сизигии, которые позволяют выразить некоторые из
инвариантов Ja (которые, вообще говоря, являются
произведениями инвариантов) линейным образом через
остальные инварианты; в этом случае выражение для
f . , будет содержать лишние члены.
Ч12 "' 1Г
В некоторых случаях бывает удобным выбирать
инвариант /, образуя внутреннее произведение^^ {

5.1. Общие формулировки
111
не с г произвольными векторами, а с тензором
ранга г или с внешним произведением произвольных
тензоров, сумма рангов которых равна г. Тогда
описанная выше процедура должна быть несколько
видоизменена. Такой подход бывает особенно
полезным, когда f, , . является симметричным или косо-
симметричным относительно перестановки пары своих
индексов; это видно из рассмотренных ниже примеров.
До сих пор неявно предполагалось, что f, .
не является симметричным или кососимметрнчным
относительно перестановки индексов. Если же
имеется симметрия, например относительно перестановки
индексов i\ и i2, мы можем поступить несколько иным
образом:
(i) Образуем f, , , , как и выше; поменяем ме-
стами индексы /, и /2, образуем ft , , .и запишем
Выражение, стоящее в правой части, обладает
нужными свойствами симметрии. Но оно будет, однако,
содержать лишние члены.
(и) Положим равными два произвольных
вектора V[l) и V?\ и составим инварианты /а таким
образом, чтобы они имели вторую степень относительно
V[l). Тогда ft t ti будет обладать требуемым
свойством симметрии, поскольку
d%idvVdvy2=d%idv[yvV.
(Hi) Заменим внешнее произведение V{pVf]
произвольных векторов произвольным симметричным
тензором ер,. t . Выберем инварианты Ja таким образом,
чтобы они были линейными относительно ф, , и
1\ 2
симметричными функциями от фп и ф. {. Тогда

112 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
d^a/dVVdVf) заменяется на dJajdcpl { =dJajdq){i
и fii ...i будет обладать требуемыми свойствами
симметрии.
Методы, аналогичные примененным в примерах (i)
и (Hi) (но. не (ii)), могут быть использованы в случае,
когда тензор является кососимметричным
относительно пары индексов; это будет проиллюстрировано
на примере в следующем пункте.
5.2. Примеры тензорных и векторных
полиномиальных функций; собственная
ортогональная группа преобразований
В этом и последующем пунктах мы приведем
примеры форм-инвариантного симметричного тензора
второго ранга, форм-инвариантного кососимметричного
тензора второго ранга и форм-инвариантных
векторных полиномиальных функций от симметричных и
кососимметричных тензоров второго ранга и векторов.
В этом пункте рассматриваются свойства форм-инва-
риантности относительно собственной ортогональной
группы, а в п. 5.3 — относительно полной
ортогональной группы.
В указанных двух пунктах будут использованы
следующие обозначения и предположения. Все
тензоры считаются тензорами второго ранга. Компоненты
симметричных тензоров, являющихся аргументами
тензорных и векторных функций, будут обозначаться
через dij, bij, Cijy d^, e^ компоненты
кососимметричных тензоров-аргументов — через х^ уц, z^, а
компоненты векторных аргументов — через Uif Vu Pij
означают компоненты симметричных тензоров,
являющихся функциями некоторых или всех векторов и
тензоров, Qij — кососимметричные тензорные
функции, a Qi — векторные функции. Произвольные
симметричные тензоры, кососимметричные тензоры и
векторы будут обозначаться через ф^-, \|)^, \|?j
соответственно. Когда это удобно, будут использоваться
обычные матричные обозначения. В этом пункте не
делается различий между абсолютным и аксиальньщ

5.2. Собственная ортогональная группа преобразований 113
векторами; кососимметричные тензоры и векторы
могут быть связаны друг с другом соотношениями типа
(1.1.1) и (1.1.2).
а) Симметричная тензорная функция от
симметричных тензоров
С учетом введенных выше обозначений Pij будут
функциями от ац> bij, ..., ец и, возможно, от других
симметричных тензоров. Составим
/ = Л/Ф*/. (5.2.1)
В выражении (5.2.1) ф^ и <р# считаются различными
переменными, а / является симметричной функцией
от фг-j и ф;г-. Тогда
PtJ = Pit = дЛд^ч = dJ/dyJt. (5.2.2)
Теперь / является инвариантом относительно
собственных ортогональных преобразований тензоров
<2ij, Ьц, ..., eij, ..., фг;- и линейно зависит от ф^-.
Следовательно, его можно представить в виде (5.1.7),
где 1а — полиномы от инвариантов, принадлежащих
целому рациональному базису для а^у bij, ..., et-j, ...,
который можно найти в табл. II, а /а — линейно
зависящие от фг; инварианты, принадлежащие целому
рациональному базису для 02j, bijy ..., eij, ..., ф^-,
который также определяется по табл. II. Из табл. II
видно, что /а может содержать не более пяти
тензоров, помимо фг-ji поэтому достаточно рассмотреть
пять тензоров а^у 0tj> £tj» ^4j>
ег> Тогда Ja будет иметь
вид
/a = tr«lyp, (5.2.3)
где Фа — матричные произведения, приведенные в
табл. V, а также матричные произведения,
получаемые из последних при подстановке матриц тензоров-
аргументов вместо а, Ь, с, d, е во всех возможных
комбинациях. В табл. V индекс (*) означает, что,
кроме обозначенного произведения, нужно включить
еще и произведения, получаемые путем циклической
перестановки входящих в произведение матриц.

114 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
Тогда
/а = tr ФаФ = Ф^п = i Ф<«> (Ф„ + %1).
Следовательно, <Э/а/дсрг/=-j (Ф?1/ + Ф#'). Из (5.2.2)
вытекает, что Р = || Р1} || можно представить как
полином вида
Р = у]£/а(Фа + Ф'а), (5.2.4)
а
где Фа — матричные произведения, приведенные в
табл. V или получающиеся из них путем
соответствующих подстановок, Ф« — транспонированное
произведение Фа, а /а — полиномы от элементов целого
рационального базиса для тензоров-аргументов.
Формулу (5.2.4) можно получить непосредственно,
используя результаты теории матричных полиномов,
в основу которых можно положить формулы (2.4.7) и
(2.4.9). Этот вывод дан Ривлином [31] для случая
двух тензорных аргументов, а обобщение на случай
системы произвольного числа тензоров дано в
работах Спенсера и Ривлина [52, 54]. Однако выражения,
Таблица V
Форм-инвариантные полиномиальные симметричные
тензорные функции от симметричных тензоров
р=2'а(фа+фа>
a
где / ~-инвариант, а Ф—матричные произведения, приведенные ниже
Матрицы
а
а, b
а, Ь, с
а, Ь, с, d
а, Ь, с, d, е
ф
a
а; а2
аЬ; а2Ь*; а2Ь2
abc, cab; а2Ьс*, са2Ь*; а2Ь2с*; а2Ьас*
abed, aedb, adbc, bade, bead, cabd;
a2bcb*, a2cbd*, ba2cd*, da2bc*
aebdc, aecbd, aecdb, aedbc, aedeb, bedae, bcead,
beadc, cabde, cbead

5.2. Собственная ортогональная группа преобразований 115
приведенные Спенсером и Ривлином, в отличие от
приведенных здесь содержат лишние члены.
б) Ко со симметричная тензорная функция от
симметричных тензоров
Как и в случае а), достаточно рассмотреть пять
тензоров с компонентами а^, bih cih dih е^. Пусть
Qij = —Qh — функции от этих компонент. Составим
выражение
где г|)г;-, г|^г- рассматриваются как различные
переменные, а К—как симметричная функция от i|);j и
—\pji. Следовательно,
Qu = - Qfi = дК№п = ~ дК1дЪц. (5.2.5)
Ясно, что Д"—инвариант, который линейно зависит
от i|)fj, и поэтому его можно представить в виде
а
где /а — те же, что и в случае а), а Ка — инварианты,
принадлежащие целому рациональному базису для
uij, bijy Cij, dij, e^, if);j и линейные относительно -ф^-,
или инварианты, получаемые из них подстановкой
других компонент тензоров-аргументов вместо я^, Ьц,
Cijy dij, etj. Следовательно, Ка имеют вид tr^if, где
Wa — матричные произведения, которые могут быть
взяты из табл. II, фактически это есть матричные
произведения, приведенные в табл. VI, и произведения,
образованные из них путем соответствующих
подстановок. Тогда, так как
Ка - tr *в* - П% - Т П] (% ~ %)>
то, используя аналогичные случаю а) обозначения, из
(5.2.5) найдем, что
Q-jSM^""4^ (6.2.6)
а

116 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
Таблица VI
Форм-инвариантные полиномиальные кососимметричные
тензорные функции от симметричных тензоров
<»-2'.С-0
а
где / — инвариант, а Ч*—матричные произведения, приведенные ниже
Матрицы
a, b
а, Ь, с
а, Ь, с, d
а, Ь, с, d, е
*а
ab; a2b*; a2b2; a2ba*: a2b2a*
abc, acb, bac; a2bc*, a2cb*, ba2c*; a2bca*; a2b2c*;
b2a2c*
abed, abdc, aedb, bacd, bade, cabd;
ba2cd*, ca2db*, da2bc*
abced, abdee, acbde, acebd, bdace
Этот результат можно получить непосредственно, но
более длинным путем, используя теорию матричных
полиномов.
в) Векторная функция от симметричных тензоров
второго ранга
Если связать векторную функцию Q* с тензорной
функцией Qij с помощью соотношения (1.1.2), то из
предыдущих соотношений сразу же получаются
результаты для рассматриваемого случая. Получаем
выражение
= Т *„* 2 7° W - ^ - 7 «'/* S 7Л. (5.2.7)
а а
Входящие сюда инварианты берутся из табл. II и VI.
Множитель !/2 является несущественным и может
быть опущен. Аналогичными способами, исходя из
данных табл. II, можно найти симметричные
тензорные, кососимметричные тензорные и векторные функ-

5.2. Собственная ортогональная группа преобразований 117
ции от произвольного числа симметричных и
кососимметричных тензоров. Для краткости мы ограничимся
случаем не более двух симметричных тензоров.
г) Симметричная тензорная функция от не более
чем двух симметричных тензоров и
произвольного числа кососимметричных
Поскольку ни один из инвариантов в табл. II не
содержит более трех кососимметричных тензоров,
достаточно рассмотреть случай трех кососимметричных
тензоров. Тогда рассуждение, приводящее к
уравнению (5.2.4), подходит и к этому случаю, за
исключением того, что теперь 1а — полиномы от инвариантов,
Таблица VII
Форм-инвариантные полиномиальные симметричные
тензорные функции от симметричных и кососимметричных
тензоров
где / — инвариант, а Фа (для рассмотренных случаев) —матричные
произведения, приведенные ниже
Матрицы
а
а, b
X
х, а
х, а, b
х, У
х, у, а
х, у, а, b
х, у, z
х, у, z, а
х, у, z, а, b
ф
a
I
а; а2
аЬ; а2Ь, Ь2а; а2Ь2
X2
ха; ха2; аха2 х2а; х2а2; х2ах; х2а2х
хаЬ, Ьха, хЬа; ха2Ь, хЬ2а, Ьха2, axb2, xba2, хаЬ2;
аха2Ь, bxb2a; ха2Ь2, xb2a2; х2аЬ, ах2Ь;
х2а2Ь, х2Ь2а; х2ахЬ
ху; х2у, у2х
хуа, аху хуа2, а2ху ахуа2 х2уа, у2ха, х2ау,
у2ах; х2а2у, у2а2х
хуаЬ, Ьхуа, xyba, axyb, abxy; хуа2Ь, хуЬ2а,
Ьхуа2, axyb2, a2xyb, Ь2хуа. x2ayb, у2ахЬ
xyz, xzy
xyza, xzya, xyaz, za2xy
xyazb

118 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
принадлежащих целому рациональному базису для
симметричных и кососимметричных тензорных
аргументов, а Фа — матричные произведения,
составленные из этих тензоров, которые по существу являются
произведениями, приведенными в табл. VII, а также
получаемыми из них путем соответствующих
подстановок. С учетом этих модификаций Р дается
выражением (5.2.4).
д) Кососимметричная тензорная функция от не
более чем двух симметричных тензоров и
произвольного числа кососимметричных
Рассуждая аналогично случаю б), приходим к
выражению (5.2.6) для Q, в котором теперь /а такие же,
как и в случае г), a Wa — матричные произведения
из табл. VIII, а также получаемые из них путем
соответствующих подстановок. Заметим, что ни одно из
произведений Wa, приведенных в табл. VIII, не
содержит более двух кососимметричных тензоров.
Таблица VIII
Форм-инвариантные полиномиальные кососимметричные
тензорные функции от симметричных и кососимметричных
тензоров
*=2'аК-<).
a
где /—инвариант, а Ч?а (для рассмотренных случаев) —матричные
произведения, приведенные ниже
Матрицы
а, b
X
х, а
х, а, b
х, У
х, у, а
х, у, а, b
*a
ab; а2Ь, Ь2а; а2Ь2; а2Ьа, Ь2аЬ; а2Ь2а, Ь2а2Ь
X
ах; а2х; ах2; а2х2; а2х2а
аЬх, Ьах; а2Ьх, Ь2ах; Ьа2х, ab2x; aVx; a2bax,
b2abx; abx2, bx2a; a2x2b. b2x2a
xy
axy, xay, a2xy, xa2y, a2xya
abxy, xaby, bxya; a2xyb, b2xya

5.3. Полная ортогональная группа
119
е) Векторная функция от не более чем двух
симметричных тензоров и произвольного числа ко-
сосимметричных
Этот случай аналогичен случаю в) и Qk
представляется формулой (5.2.7), в которой /а и Ч?а
определяются, как в предыдущем случае д).
В случаях г), д) и е) кососимметричные тензоры-
аргументы можно связать с векторами посредством
формул типа (1.1.1), (1.1.2) и тем самым получить
выражения для симметричных, кососимметричных и
векторных функций от не более чем двух симметричных
тензоров и произвольного числа кососимметричных
тензоров и векторов.
5.3. Примеры тензорных и векторных
полиномиальных функций; полная ортогональная
группа
Рассмотрим теперь свойство форм-инвариантности
относительно полной ортогональной группы. Будем
следовать тем же обозначениям, что и в предыдущем
пункте, за исключением того, что все векторы теперь
будут рассматриваться как абсолютные.
Предполагается, что если имеется аксиальный вектор, то он
связан с кососимметричным тензором, и поэтому, как
и в п. 2.7, все результаты выражаются через
симметричные и кососимметричные тензоры и абсолютные
векторы; переход от кососимметричных тензоров к
аксиальным векторам можно выполнить с помощью
соотношений типа (1.1.1).
Для рассматриваемых здесь случаев различие
между собственной и полной ортогональными
группами проявляется только тогда, когда включаются в
рассмотрение абсолютные векторы (которые ниже
называются просто векторами). Следовательно,
результаты случаев а), б), г) и д) предыдущего пункта
применимы полностью как к полной, так и к
собственной ортогональным группам при условии, что
кососимметричные тензоры рассматриваются как таковые
или как связанные только с аксиальными векторами.

120 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
Результаты случаев в) и е) остаются справедливыми
для полной ортогональной группы только в том
случае, когда Qi рассматриваются как компоненты
аксиальных векторов.
В этом пункте мы будем рассматривать
симметричные и кососимметричные тензорные и векторные
функции от симметричных и кососимметричных
тензоров и векторов. Для краткости будем
рассматривать только тензорные функции от векторов и не
более чем двух тензоров и векторные функции от
векторов и не более чем трех тензоров; применяемые
методы можно легко использовать для нахождения
канонического вида тензорных и векторных функций
от произвольного числа тензоров и векторов с
помощью таблиц инвариантов, приведенных в работе
Смита [42].
ж) Симметричная тензорная функция от
произвольного числа векторов и от двух и менее
симметричных и кососимметричных тензоров
Достаточно рассмотреть два вектора Uiy Vu для
большего числа векторов результаты получаются
подстановкой пар векторов во всевозможных
комбинациях вместо Uiy V{. Инвариант / составляется
согласно уравнению (5.2.1) и снова имеет вид /= 2ЛУа»
а
где /а — полиномы от инвариантов целого
рационального базиса для этих векторов и тензоров, которые
можно взять из табл. II и III, а /а — инварианты,
принадлежащие целому рациональному базису для
рассматриваемых векторов, тензоров и произвольного
симметричного тензора ф^-, линейные относительно <рц.
Инварианты / и /а считаются симметричными
функциями от уи и ф^- Инварианты /а могут быть также
найдены из табл. II и III; они имеют вид
trtfaV ^[ф^Чф + фОф^Ь/С/,
Ui [ф£> (ф + ч>0 ф13)' + ф!? (ф + ф') <№Ъ, v,,
v( W? (ф + ф7) фГ - ф£> (ф + фО фГ L, vt,

Таблица IX
Форм-инвариантные полиномиальные симметричные тензорные функции для полной
ортогональной группы
/ ■ — ■ ■ ■'
Рц = 2 1аРЪ* где ^а "~ инвариант, а Р^ имеет вид
(о (Ч\+К%.
(ii) (иФ^ДиФ^ + СиФ^ДиФ^).,
(iii) (иФ<2>), (УФ<3>), + (иФ'2»)/ И<3»),. + (УФ»), (иФ<3>); + (УФ<?), (цфР^,
(iv) (иФ<*>),. (УФ<5>), + (иФ<4>); (УФ<Д - (УФ<Д (WJ?), - (УФ£'), ("О,
и для рассмотренных случаев Ф^, Ф^, Ф^, Ф*£\ Ф^ — матричные произведения, приведенные ниже

Матрицы
а
X
a, b
а, х
*, у
ф0>
а
I
а, а2
X2
ab. a2b, b2a, aW
ха, ха2, аха2, х2а,
х2а2. х2ах, х2а5х
ху» *2у, У2*
К2>. <3))
(м)
(а, I), (а», I)
(х,1), (х2,1), (х2,х)
(ab, I), (ba, I), (a2b, I), (b*a, 1), (ba*, I)
(ab2,1), (a2b*. I), (a2ba, I), (b*ab, I)
(xa, I), (ax, I), (a, x), (xa2, I), (a^ I),
.(a*,x), (axa2,I), (x2a, I), (ax*,I)
(x2a2,1), (x2ax, I)
(xy, I), (yx, I), (x2y, I), (y2x, I)
(x2,y), (y2,x) 1
«>• <5))
(a, I), (a2,1), (a2,a)
(x,I), (x2,I)
(ab,I), (ba,I), (a,b), (a2b,I), (b2a, I)
(ba2,I), (ab2,1), (a2, b), (b2, a)
(a2b,a), (b2a,b), (a2b2,1), (b2a2,1)
(xa.I), (a,x), (xa2,I), (a2, x), (a2, xa)
(x2,a), (ax2,1)» (a2x2,I)
(xy, I), (x, y)

122 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
где Фа, Фа, Фа, Фа, Фа — матричные произведе-
ния, составленные из матриц а, Ь, х, у, которые
в частном случае могут быть единичными матрицами,
такие, что каждое из Фа°, Фа2), Ф^, Фа4), Фа5) содержит
не более двух матриц а, Ь, х, у. Обозначим
PW = dJJdVtt
и вычислим Pfj, исходя из инвариантов /«,
найденных из табл. II и III; получим
(ф<«% + (О,*, (иФЙО, (иО, + №), (iM3))<,
(иФ<2>), (уф'3'), + (иФ<2>), (уф<3>), +
+ (уф<2)), (иФ<3>), + (уф?), (иО,,
(иФ<4)), (уф<5>), + (иФ^)7 (уф<5)), -
- (уфП (иФ(„5)), - (уфйО, (иО„
где (иФ)г- обозначает £/*Ф#, а входящие сюда
матричные произведения — это произведения из табл. IX
и получающиеся из них подходящими подстановками.
Из формулы (5.2.2) следует, что компоненты
симметричного тензора Рц имеют вид
а
з) Кососимметричная тензорная функция от
произвольного числа векторов и от двух и менее
кососимметричных тензоров
Путем рассуждений, аналогичных приведенным
выше в случаях б) и ж), можно найти, что
компоненты кососимметричного тензора Qa представляются
в виде
Q^ = 2^aQ//.
a
где /a — те же, что и в случае ж), Qf^=zdKJd^ii,
а Ка — инварианты от компонент векторного и
тензорного аргументов и от компонент произвольного
кососимметричного тензора $ц\ предполагается, что
ОНИ ЯВЛЯЮТСЯ СИММетрИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ОТ tfij и

Таблица X
Форм-инвариантные полиномиальные кососимметричные тензорные функции
для полной ортогональной группы
Qij = 2 IJiTi* где ^а ~~ инвариант, a Q^ имеет вид
а
(ii) (UV»), (U^O/ - («*?)/ М)*'
(Ш) (иvw), (wg»), - (uvP>)y (vvg^ + (vvg»), (uvg)), - (уч^ (uvg»),.
(iv) (ичнд (vrg»), - (ич^), (vrg»), - (vr»), (u^f), + (v**), (u^);
и для рассмотренных случаев VJ^, Ч^, Ч1*^, Ч1*^, ЧГ^ — матричные произведения, приведенные ниже
Ма
трицы
а
X
a, b
а, х
х, У
а
X
ab,a2b,b2a, a2b2,a2ba
b2ab, a2b2a, b2a2b
ax,a2x,ax2,a2x2,a2x2a
xy
K2).<3))
(a, I), (a2,1), (a2, a)
(x, I), (x2,1)
(ab, I), (ba, I), (a, b), (a2b, I), (b2a, I)
(ba2,I), (ab2,I), (a2,b), (b2,a)
(ba2, a), (ab2, b), (a2b2,1), (b2a2, I)
(ax, I), (a, x), (a»x, I), (a2, x)
(a2, ax), (x2a, I), (x2, a), (x2a2, I)
(xy, I), (x, y)
№<5))
(I. I)
(a, I), (a2, I)
(x, I)
(ab, I), (ba, I), (a2b, I), (b2a, I)
(ba2, I), (ab2, I), (a2b2, I), (a2ba, I)
(b2ab, I)
(ax, I), (xa, I), (a2x, I), (xa2f I)
(a2x, a)

1 24 5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров
—i|)j* и линейны относительно г|?г> Инварианты 1а и
Ка определяются из табл. II и III; получающиеся в
результате выражения для Q?/ приведены в табл. X
или получаются из них путем соответствующих
подстановок.
и) Векторная функция от произвольного числа
векторов и от трех и менее симметричных
тензоров
Пусть Qi — искомая векторная функция, а -ф^ —
произвольный вектор. Тогда если
то L является инвариантом векторных и тензорных
аргументов и фг-, линейным относительно г|)г-.
Следовательно, L можно представить в виде
а
где /а — полиномы, которые приведены в табл. II и
III, от инвариантов, принадлежащих произвольному
целому рациональному базису для соответствующих
векторов и тензоров (включая г|эг). La — инварианты,
линейные относительно г|эг-; следовательно, они имеют
вид (см. [42] и табл. III)
уш1/Ч/ + tinftV/, ^в#Ч/ - чиейУ/,
где Vi — один из векторных аргументов, и в случае,
когда число тензорных аргументов не превосходит
трех, Па и ва — матричные произведения вида,
приведенного в табл. III, а также получающиеся из них
путем соответствующих подстановок вместо а, Ь, с, х,
у, z. Таким образом,
Q, = dL/db = 2 /„ dLJdbt = 2 шТ\
а а
! где Q(ja) = дЬа/д$( — выражения

6.1. Общие понятия
125
и выражения, получающиеся из последних путем
подстановки каждого из векторных аргументов по
очереди вместо Vi. Матричные произведения Па и ва
приведены в табл. III.
6. ИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ;
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
6.1. Общие понятия
Следующей задачей, которая возникает в
механике сплошной среды, является рассмотрение
ограничений, налагаемых свойствами инвариантности на
вид функционалов от векторов и тензоров.
Рассмотрим сначала скалярную функцию Fy которая в
момент времени t зависит от значений векторов и{р(т)
и тензоров p{[J (т) во все моменты времени t — т в
некотором диапазоне, который для определенности
возьмем равным 0^т<^. Обозначим
F = T{U<p(T),p^(x)}. (6.1.1)
Прежде всего установим ограничения, которые
налагаются на вид #■", если F является инвариантом
относительно некоторой группы преобразований; в
частности, поскольку при преобразовании (1.1.4) U(p(x) и
P{i} (т) преобразуются в
U<p(x) = MuU<p(x) и P?J(r) = MlkMjtp<°}(x),
то потребуем, чтобы
ST{U<p(x), p\*J(x)} = <r{U<p(x), #«>(т)}
для всех преобразований из рассматриваемой группы.
Обсуждение теории функционалов выходит за
пределы данной работы, и поэтому мы ограничимся
формулировками (в большей части без доказательства)
некоторых положений, связанных с приложениями
теории-инвариантов. Предположим сначала, что ЗГ —
Функционал от одного вектора с компонентами £/г- в
системе координат Xi\ тогда свойство инвариантности

126
6. Инвариантные функционалы
требует, чтобы при всех соответствующих
преобразованиях выполнялось соотношение
F = P{Ui(x)} = P{Ul(T)).
Для иллюстрации в качестве группы преобразований
рассмотрим полную ортогональную группу. В общем
случае мы можем считать У инвариантом
бесконечного числа векторов, а именно вектор U вычисляется
в каждый момент времени т в диапазоне 0^т</.
Для конечного числа N векторов, например,
£A(ti), £Л(т2), ..., Ui(xN), соответствующих
моментам времени ti, т2, ..., т^, можно найти целый
рациональный базис; в случае полной ортогональной
группы он состоит из всех возможных скалярных
произведений Ui(xa) Ui{x$). Предполагается, и это можно
строго доказать (см. Винеман и Пипкин [64]), что,
когда т меняется непрерывно в заданном диапазоне,
F будет зависеть от величин Ui(o\) £/г(а2) для всех
значений о\ и сг2 в диапазоне (Х^оь а2 < t. Таким
образом, мы можем представить F в виде
F^XiUtWUdoJh
Заметим, что инвариант £A(ai)£A(a2) является
линейным относительно Ui(a\) и £Л(а2); случай, когда о\
и а2 оказываются равными, рассматривается как
частный.
В более общем случае, когда У является
функционалом от произвольной системы векторов и
тензоров, также было найдено, что F можно подобным
образом представить в виде функционала от некоторой
системы базисных инвариантов. Эта система может
выбираться из целого рационального базиса для
рассматриваемых векторов и тензоров. Например, если
У — функционал от одного симметричного тензора
второго ранга ац и а = ||аг;||, то F можно представить
в виде функционала от
tr а (a,), tr а (а,) а (<r2), tr а (о{) а (а2) а (ог3),
tr а (<г,) а (а2) а (a3) a (or4), tr а (aO а (а2) а (сг3) а (a4) а (а5),
tr а (а{) а (а2) а (ог3) а (a4) а (а5) а (ог6).

6.1. Общие понятая
127
Те же рассуждения можно непосредственно
обобщить на случай, когда F, будучи функционалом от
системы векторов и тензоров, является также просто
функцией от других векторов и тензоров, которые
могут быть равны значениям векторов и тензоров из
первой системы в заданный момент времени.
Понятие инвариантного функционала является
частным случаем более общего понятия.
Говорят, что векторный или тензорный функционал
^ц.,.1 {^-г)(т)> P\SJ(X)} от векторов Щ](%) и тензоров
р^ОО является форм-инвариантом относительно
некоторой группы преобразований, если (с учетом
прежних обозначений) выполняется соотношение
^,/Л/, • • • ^х/х^Л/,». /х W(Т)' *1 (Т)1"
-^<л...1Хртя?м} (612)
для каждого преобразования из данной группы.
Аналогия с соотношением (5.1.3) очевидна.
Задача выражения векторных или тензорных
функционалов в канонической форме может быть сведена
к соответствующей задаче для инвариантных
функционалов с помощью методов, аналогичных тем,
которые использовались в § 5, т. е. в случае тензорного
функционала порядка К мы вводим X произвольных
векторов с компонентами V{1\ Vf\ ..., V^ и
образуем произведение
F = V<W% ... V%<rtitt... l% [U? (r), pg> (t)J.
Тогда F— инвариантный функционал, линейный по
каждому из произвольных векторов, каноническая
форма которого может быть найдена методами,
описанными выше в общих чертах. Тензорный
функционал тогда восстанавливается из F
дифференцированием (которое здесь может рассматриваться как
алгебраическая операция). Более строго эта теория с
иллюстративными примерами изложена в [64].

128
6. Инвариантные функционалы
6.2. Дифференциальные аппроксимации
функционалов
При определенных достаточно ограниченных
условиях (см., например, [13]) функционал от векторов и
тензоров в интервале 0-<т</ можно представить с
любой требуемой степенью приближения в виде
полинома от этих векторов и тензоров и их первых jV
производных по времени (определенных так, чтобы они
обладали требуемыми инвариантными свойствами),
вычисленных в момент времени /. Тогда задача
представления функционала сводится к задаче отыскания
простейшей формы для полиномиального инварианта
или тензорных функций от векторов и их
производных, которые также являются векторами и тензорами.
Эта задача полностью рассмотрена в предыдущих
параграфах данной работы.
6.3. Интегральные аппроксимации функционалов
При несколько менее ограничительных условиях
функционал может быть представлен в интегральной
форме в виде суммы кратных интегралов
возрастающей кратности. Рассмотрим, например, инвариант F,
являющийся функционалом от тензора а^(т)9
которому соответствует матрица ,а(т).
Пусть
t
A\y = ±j aiJ(T)cos-^dT (Р = 0, l,2f...A0
(6.3.1)
— коэффициенты разложения а^(х) в ряд Фурье по
косинусам в полуинтервале. Тогда выражение для F
при условии, что оно удовлетворяет определенным
условиям гладкости, может быть аппроксимировано
полиномом
F^F{A\J,A%...,AllT). (6.3.2)
Из (6.3.1) ясно, что при ортогональном
преобразовании А{ц преобразуется так же, как и ац. Из (6.3.2)
следует, что F может быть выражен в виде полинома

6.3. Интегральные аппроксимации функционалов 129
от элементов целого рационального базиса для тен-
л(Р)
зоров A\i'.
Предположим теперь, что рассмотренная группа
преобразований является полной или собственной
ортогональной группой. Введем обозначение Ар = |Л^}|.
Тогда по результатам п. 2.5 F можно
представить в виде полинома от выражений вида
tr APl, tr АР1АРг, ..., tr АР1Ар2АрАрАрАр6> где Ри
Р2, ..., Рб — числа, не обязательно различные,
выбранные из 1, 2, ..., N. Тогда из (6.3.1) следует, что
F может быть представлено как полином от
выражений вида
t
J<M*. TOtraWdTj,
о
t t
I J" <P2 (*» ть т2) tr a (x{) a (r2) rfti dr2,
о d
******
J J j J J J Фб (*> Tl • • • Тб) tr a (Tl) • • • a (Тб) rftj . . . rft6.
0 0 0 0 0 0
Этот подход, впервые использованный Грином и
Ривлином [12]]), легко можно обобщить на случай
вывода форм-инвариантных векторных и тензорных
функционалов. Он широко использовался в частных
случаях; в качестве иллюстрации можно привести
работы Грина и Ривлина [12, 13] о построении
симметричного тензорного функционала второго ранга от
симметричного тензора второго ранга и работу
Ривлина [33] о векторном функционале от векторов.
7. МИНИМАЛЬНОСТЬ ЦЕЛОГО РАЦИОНАЛЬНОГО БАЗИСА
Процедура, которой мы до сих пор следовали при
построении целых рациональных базисов для векторов
и тензоров при различных группах преобразований,
1) Другие способы построения полиномов, справедливые при
менее ограничительных условиях, были даны в работах Чакона
и Ривлина [6] и Лью [16].

130 7. Минимальность целого рационального базиса
обычно состояла в следующем. Вначале мы строили
некоторый целый рациональный базис, который
содержал лишние элементы. Затем, рассматривая
конкретные случаи, эти лишние элементы по
возможности исключали. При этом мы надеялись получить
минимальный базис; однако сама по себе процедура
не дает уверенности в том, что полученный в конце
концов базис является минимальным, за исключением
нескольких более простых случаев, где
неприводимость элементов базиса показывается простой
проверкой. Обычно для доказательства минимальности
базиса нужно применять другие методы. Первым
шагом является определение числа линейно
независимых инвариантов заданных степеней в заданном
базисе; это можно проделать методами теории групп,
которые кратко описываются в следующем пункте.
Использованные методы взяты из теории
представлений групп (см., например, [22], [18]). Мы здесь лишь
приведем в общих чертах доказательства, которые
нам понадобятся; однако следует заметить, что во
многих случаях эти результаты являются частными
случаями более общих теорий, изложение которых
дается в цитированных выше и других работах.
7.1. Число линейно независимых инвариантов
В п. 1.3 было показано, что достаточно
рассмотреть однородные инварианты. Поэтому будем
рассматривать инварианты заданных частичных степеней
относительно системы векторов U[r) (г=1, 2, ..., v)
и тензоров pfj (s = 1, 2, ..., \i); предположим, что
заданная частичная степень относительно типичного
вектора U{P равна рг, а относительно типичного
тензора p[sl равна а8. Кроме того, пусть р = pi + рг + . • •
... + pv и а = ai + 02 + ... + Од. Тогда всякий
инвариант / требуемой степени относительно каждого из
векторов и тензоров является линейной комбинацией
вида
£ = £/(fi)£/(r2) t/(rp)n(5i) п(*°К
(7.1.1)

7.1. Число линейно независимых инвариантов 131
где
Г1=Г2— ••'• —^Р! = 1»
rPl+i=rPl+2= ... =rPl+P2 = 2,
rp-pv+i = rp_pv+2= ... =rp = v,
5j = s2 = . . . = s0l = 1,
5a,+l = Sai+2 = • • . = 5ai+a2 = 2-j
So-<Jlt + \ = 5a-a„+2— .•. —Sa — !*•
В общем случае инвариант gM ... i f k ... / fe будет
симметричным относительно перестановки некоторых
пар своих индексов; например, если г\ = г2 = 1 (т. е.
если pi>2), то он не меняется при перестановке
индексов i"i и i2; а если р<!)Л — симметричный тензор, то
£. , , , . , . не изменяется, если поменять ме-
-*,/2... yjft, ... /afea
стами /ь и fei. Предположим, что.имеется N.
различных произведений вида 11 t ... { f k ... f k , ни одно из
которых в результате таких симметрии не может
быть выражено через другие. Расположим эти
произведения в некотором определенном порядке и
обозначим через gi, |г» • • • > Sjv. Тогда всякий инвариант /
заданной степени относительно векторов и тензоров
представляется в виде
N
где аА — числовые коэффициенты. Впредь мы будем
считать, что используемые заглавные латинские
индексы принимают значения 1, 2, ... ,ЛЛ, строчные
латинские индексы, как и прежде, принимают значения
1,2,3.

132 7. Минимальность целого рационального базиса
При ортогональном преобразовании координат
Xt = MtJXt (7.1.2)
рассматриваемые векторы и тензоры переходят в
U{p и р{£ соответственно и очевидно, что
произведения %а также преобразуются в произведения \А.
Тогда %А и 1а связаны соотношением
%А — %Ав1в>
или в матричном обозначении
I-RI, (7.1.3)
где |—матрица порядка N X 1 с компонентами gA>
a R =||/?лд||— матрица iV-ro порядка, элементами
которой являются полиномы от Mij. По терминологии
теории представлений групп R является кронекеровым
произведением кронекеровых симметризованных
степеней матриц, указывающих способ
преобразования векторов U{p и тензоров р(Д при преобразовании
(7.1.2). Эта теория развита, например, Мурнага-
ном [22]. Однако для наших целей достаточно
заметить, что в любом данном случае R можно построить,
если нужно, исходя непосредственно из определения.
Рассмотрим теперь второе ортогональное
преобразование координат
Х- = м УД, = M{!)Mjkxk=Mflxk.
Соответственно
1а = RabIb = RabRbcIc = RacIc .
Таким образом, в матричном обозначении
R(M!)R(M) = R(MiM). В частности, отсюда следует,
что [R(M)]-1 = RfM"1). Нетрудно также показать,
что если матрицы М образуют группу, то и матрицы
R тоже образуют группу. Как и матрицы М, матрицы
R образуют матричное представление рассмотренной
группы преобразований.
Пусть I; ... , , Л ... f k- —произведение,
образованное заменой в правой части уравнения (7.1.1) Щ\р(рк

7.1. Число линейно независимых инвариантов 133
на Щ\ р{$. Тогда легко проверить, что если К
определяется соотношением
то тогда также
Очевидно, К может быть также выражено в виде
суммы членов вида 12А с положительными целыми
коэффициентами. В общем случае эти коэффициенты
не все равны единице, так как симметрия
относительно перестановки индексов может приводить к
тому, что некоторые произведения 12А будут входить
в К более чем один раз. Следовательно, К может
быть выражено в виде
или в матричных обозначениях
/C = rD,Di = rD/Dl = rR,D,DRg, (7.1.4)
где D = D' — диагональная матрица N-ro порядка с
положительными диагональными элементами. Из
(7.1.4) следует, что D'-^R'D'DRD-1 « 1, так что
DRD-1—ортогональная матрица jV-го порядка.
Предположим теперь, что имеется ровно k
линейно независимых инвариантов заданных частичных
степеней, являющихся линейными комбинациями gA
(очевидно, k^CN). Тогда можно выбрать новую
систему переменных цА (А = 1, 2, ..., /V), где ти —
линейно независимые комбинации gA» так что г)ь г|2, ...
...,rift будут линейно независимыми инвариантами.
Таким образом, обозначая через х\ вектор с
компонентами y]a, мы получаем соотношение
n = AD|, (7.1.5)
где А — неособая матрица Л7-го порядка.
Диагональная матрица D вводится в уравнение (7.1.5) для

134 7. Минимальность целого рационального базиса
удобства на более поздней стадии. Если при
преобразовании (7.1.2) г\ переходит в т|, то
^= ADf= adri = adrd-'a-'t).
Однако, t|i, г]2, ..., ,щ — инварианты относительно
этого преобразования и, таким образом,
преобразуются сами в себя. Следовательно, ADRD^A-1
должно иметь вид
|е v|* (7л-6)
где Ik — единичная матрица &-го порядка, Е —
матрица порядка (N — k)Xky V — неособая матрица
порядка (N — k)X(N — k). Соотношение вида (7.1.6)
справедливо, конечно, для каждой матрицы R из
рассматриваемой группы преобразований.
Введем теперь третью систему переменных |А,
рассматриваемых как компоненты вектора |,
следующим образом. Матрица АА7 (А' — транспонированная
матрица А) является симметричной положительно
определенной матрицей N-ro порядка. Поэтому можно
построить неособую треугольную матрицу В N-ro
порядка с равными нулю элементами выше главной
диагонали, такую, что
BAA'B^V (7.1.7)
Построение дается, например, Миллером и др. в [21].
Заметим, что В А — ортогональная матрица.
Проделаем теперь преобразование
e = BTi = BADi. (7.1.8)
Так как В — треугольная матрица с равными нулю
элементами выше главной диагонали, то tA является
линейной комбинацией т|ь т]2, ..., г\а- Следовательно,
поскольку t]i, т|2, ..., Ца — инварианты, то £ь £2, ...
..., Ik тоже являются инвариантами. При
преобразовании (7.1.2) g преобразуется в £, где
£ = Т;, Т = BADRD"1 А"!В"\ (7.1.9)

7.1. Число линейно независимых инвариантов 135
Так как £ь £2, ..., ?ь— инварианты, Т также имеет
вид (7.1.6). Однако, Т — ортогональная матрица (так
как ортогональны матрицы DRD"1 и ВА) и легко
проверить, что матрица вида (7.1.6) может быть
ортогональной только, если Е = 0 и V — ортогональная
матрица порядка N — k. Следовательно, Т имеет вид
h О
О VI
т =
(7.1.10)
где V — ортогональная матрица порядка N — k.
Снова полученное соотношение справедливо для всех
матриц R, соответствующих преобразованиям
рассматриваемой группы, причем различные матрицы V
соответствуют различным матрицам R. Заметим, что
принимаемый матрицей Т вид означает, что при
любом преобразовании из рассматриваемой группы
переменные из совокупности £*+1, lh+2, ..., Zn преоОра-
зуются в переменные из этой же совокупности
независимо от £ь £2, ..., Ьь.
Начиная с этого момента необходимо различать
конечные и непрерывные группы преобразований.
Рассмотрим сначала более простой случай конечных
групп.
Пусть Mi, М2, ..., Мр — матрицы преобразований
из группы порядка р, Rb R2, ..., RP — матрицы
соответствующих преобразований £А и Vb V2, ..., Vp —
матрицы, связанные с Ть Т2, ..., Тр согласно
формуле (7.1.10).
Пусть b — произвольный вектор; образуем
выражение
/=£ Ь'Т^. (7.1.11)
<7=1
Из (7.1.9) видно, что если R, = R,RU, то Ts = TJU и
тогда легко можно проверить, что матрицы Ts также
образуют группу. Оказывается, что / — инвариант
относительно любого преобразования из этой группы;
действительно, если, например, g = Tig, то
2 Ь'ТД= 2 Ь%Т,6- S Ь'Т>£, (7.1.12)
<7=1 <7=1 <7'=1

136 7. Минимальность целого рационального базиса
где Tg'=TgTi. Поскольку суммирование
распространяется на все преобразования группы, то суммы в
правых частях уравнений (7.1.11) и (7.1.12) одни и
те же, так что / либо является инвариантом, либо
тождественно равно нулю.
Обозначим через gi вектор, образованный первыми
k компонентами g, а через £2 — вектор, образованный
остальными N — k компонентами, и аналогично
определим bi и Ь2. Тогда из (7.1.10) и (7.1.11) следует, что
/ = рЬ^+2Ь^2. (7.1.13)
Первый член в правой части этой формулы является
инвариантом, так как он есть линейная комбинация
gi» g2, • ••> g/t- Так как / — инвариант, то остающийся
член в уравнении (7.1.13) должен также быть
инвариантом или тождественно равняться нулю. Согласно
предположению, никакие линейные комбинации
gfc+i, £ь+2, ..-, giv не являются инвариантами, так что
второй член в уравнении (7.1.13) тождественно равен
р
нулю. Следовательно, tr 2 V^ = 0, в противном слу-
чае по крайней мере один диагональный элемент
р
суммы 2 Va был бы не равен нулю и можно было
р
бы выбрать Ь2 так, чтобы выражение 2 b£V g2 не
q=\
равнялось нулю.
Теперь в силу (7.1.10) tr Т = k + tr V.
Следовательно,
StrT, = p*+2trV, = p/5. (7.1.14)
(7=1 <7=1
Кроме того, из (7.1.9) следует, что tr Т = tr R.
Поэтому
* = 7StrT*=72trR«' (7.1.15)
<7=i <7=1

7.1. Число линейно независимых инвариантов 137
г. е. число линейно независимых инвариантов
является средним значением (усредненным по данной
группе) следов матрицы R, описывающих свойства
преобразования произведений £А. Поэтому для
конечной группы задача нахождения числа линейно
независимых инвариантов заданных частичных степеней
сводится к задаче определения следов
соответствующих матриц R.
Для непрерывной группы преобразований эти
рассуждения не могут быть проведены непосредственно,
так как нельзя применить операцию суммирования
по всем преобразованиям группы. Существенным
шагом является построение инварианта, аналогичного
инварианту /, определенному уравнением (7.1.11).
Будет показано, что все необходимые результаты
можно получить из рассмотрения собственной
ортогональной группы в пространстве трех измерений,
поэтому мы ограничимся этой группой. Можно
показать (см., например, [22]), что любая собственная
ортогональная матрица М может быть записана в виде
M = expS==l + S + ^S2 + -5rS3+ ..., (7.1.16)
где
О 5j — So
S\ 0 53
s2 —s3 О
(7.1.17)
есть действительная кососимметричная матрица
третьего порядка и 0< V{s\ + st + 5з) < 2я. Наоборот,
легко проверить, что матрица exp S всегда
ортогональна. Поэтому можно в качестве параметров,
характеризующих преобразования из собственной орто-
гональной группы, взять величины sb s2 и
«з (° < V{s] +s22+ <() < 2л).
Обозначим через M(S) матрицу exp S, через R(S) —
ортогональную матрицу Л/-го порядка,
соответствующую матрице M(S) согласно (7.1.3), а через T(S) —
матрицу Т, соответствующую матрице R(S) согласно
соотношению (7.1.9). Тогда, если U и S — кососим-

138 7. Минимальность целого рационального базиса
метричные матрицы, то матрица M(U)M(S)
ортогональна и существует кососимметричная матрица W,
такая, что
M(W) = M(S)M(U). (7.1.18)
В соответствии с этим имеем также
R(W) = R(S)R(U),
T(W) = T(S)T(U).
(7.1.19)
Определим по аналогии с (7.1.17) wu w2f хюъ и щ,
■и2у uz как элементы W и U соответственно. Тогда
если в уравнении (7.1.18) величины wu w2i w3 и su s2i
s3 считать переменными, a uu u2y u$ — постоянными,
можно показать, что якобиан д(доь w2l w3)/d(s\f s2, s3)
дается соотношением
sin* i
d(wu w2, w3) 2_ i|)2 (? . 9m
d(shs2,ss) — Ф2 q, • l'.L*JJ
sin 2
где
ф2 = 52+52 + 52> ^^W2 + W2+W2t (7.1.21)
Соотношение (7.1.20) является частным случаем
соотношений, справедливых для ортогональных матриц
N-ro порядка, которые приводятся в работе Мурна-
гана [22, гл. 9]. Использованные им методы являются
довольно косвенными, а для рассмотренного здесь
случая матриц третьего порядка уравнение (7.1.20)
можно получить непосредственно из (7.1.18), хотя
этот вывод довольно трудоемкий. Вывод соотношения
(7.1.20) приводится также в работе Хамермеша [15].
Пусть
/ = J* | J b'T (S) gqr2 sin2-| dsx ds2 ds3, (7.1.22)
где V — область, определенная неравенством 0<ф<
< 2я. Тогда / — искомый инвариант, так как, если,

7.1. Число линейно независимых инвариантов 139
например, g = T(U)£J, то
J J J b'T (S)gqr2 sin2 f ^ ds2d53 =
v
= J J j" b'T (S) T (U)^-2sin2|d51 ds2ds3 =
V
= J I J b'T (W) £Ф~2 sin2 f rf5l ds2 ds3 =
V
= J J J b'T (W) £i|T2 sin2 -f- do;, dw2 cto3, (7.1.23)
v
где V" — область 0^г|э<2я я^-пространства. Так как
окончательные выражения в соотношениях (7.1.22) и
(7.1.23) равны, то / есть инвариант.
По причинам, аналогичным тем, которые
использовались при выводе уравнения (7.1.14), отсюда
следует, что
J J J [tr Т (S) — k] qr2 sin2 -| dsl ds2 ds3 = 0. (7.1.24)
v
Из уравнения (7.1.9) получаем, что t'r T(S) = tr R(S).
Кроме того [см. 22], ортогональная матрица M(S)
может быть также представлена в виде
M(S)=MilMf1,
где Mi — некоторая ортогональная матрица, а 1 —
ортогональная матрица вида
г1 0 0-1
1=0 cosqp sinqp . (7.1.25)
[_ 0 —-sinqp cosqp J
Следовательно, так как R(S) обладает свойством,
выраженным формулой (7.1.19), то для R(S) можем
написать выражение
R(S) = R1LRf1,
где Ri и L — матрицы преобразований для §,
связанные с координатными преобразованиями, задаваемыми

140 7. Минимальность целого рационального базиса
матрицами Mi и 1 соответственно. Очевидно, что
trL = trR(S), а элементы L являются функциями
только от ф. Поэтому интеграл в уравнении (7.1.24)
сводится к однократному интегралу путем перехода
к «полярным координатам» ф, А,, \л\
sx = ф sin X cos \ху s2 = Ф sin Л sin \i> s3 = ф cos Я.
Область интегрирования есть 0^ф<2я и подинте-
гральное выражение является функцией только одной
переменной ф. Следовательно, соотношение (7.1.24)
примет вид
2я 2я
J (trL)sin2|^ = ^J sin2|-^
о о
или
2л
*=4J (trL)sin?fdq>. (7.1.26)
о
Это уравнение аналогично уравнению (7.1.15) и
дает число k линейно независимых инвариантов.
Таким образом, как для конечных, так и для
непрерывных групп задача нахождения числа линейно
независимых инвариантов сводится к задаче определения
следов матриц некоторых преобразований вектора §
и вычисления суммы (7.1.15) или интеграла (7.1.26).
Чтобы проиллюстрировать метод, приведем
несколько простых примеров матриц преобразования L.
Компоненты единственного вектора U преобразуются
с матрицей 1, когда преобразование координат
задается матрицей 1. Следовательно, если | есть вектор,
компонентами которого служат компоненты Uu U2,
Uz вектора U, то L = 1. Этот же результат применим
и к случаю, когда компонентами вектора | являются
ненулевые независимые компоненты х2з, Язь *12 косо-
симметричного тензора х. Если в качестве компонент
| взять произведения второй степени компонент U,
т. е.
6 = (£/?, UiU2, C/if/з, Ul, С/2С/3> f/з),

7.1. Число линейно независимых инвариантов 141
L==
то матрица L преобразования вектора |;
соответствующая преобразованию координат с матрицей I,
имеет вид
'10 0 о о о '
0 cos ф sin ф 0 0 0
О — sin ф cos ф О О О
0 0 0 cos2 ф 2 cos ф sin ф sin2 ф
О 0 0 — cos ф sin ф cos2 ф — sin2 ф cos ф sin ф
.0 0 0 sin2(p — 2 cos ф sin ф cos2 ф
(7.1.27)
Та же матрица L описывает преобразование системы
компонент (an, ai2, ai3, a22, я2з> азз) симметричного
тензора при преобразовании координат, задаваемом
матрицей 1.
2я
Легко проверить, что j (tr l)sin-yd<p==0 и что
о
2л
когда L дается равенством (7.1.27), J (tr L) sin2-^^=
о
= я. Таким образом, получаются известные
результаты, состоящие в том, что для одного трехмерного
вектора нет инвариантов первой степени и есть
единственный инвариант второй степени (а именно
скалярный квадрат UiUi).
Для инвариантов более высокой полной степени
относительно векторов и тензоров определение
матриц Rg и L и последующее вычисление k посредством
(7.1.15) или (7.1.26) нетривиально. Можно упростить
вычисления, используя различные свойства кронекеро-
вых произведений и степеней и кронекеровых симме-
тризованных степеней для матриц преобразования М.
Теория кронекеровых произведений и степеней
описывается Мурнаганом [22]; многие из интересных для
данного контекста результатов приведены Смитом
[41, 42].

142 7. Минимальность целого рационального базиса
7.2. Метод доказательства минимальности целого
рационального базиса
Рассмотрим однородные инварианты вида / в
уравнении (7.1.1), где в качестве тензоров p\f возьмем
симметричные тензоры а{*}. Пусть рг — степень/
относительно компонент U{P (г = 1, 2, ..., v), a os—
степень / относительно компонент симметричного
тензора aJJ' (5=1, 2, ..., (х). Тогда мы будем говорить,
что / имеет частичные степени (рь р2, ..., pv;
0i,a2, ..., cf,i), или, короче, (pr, os) относительно
компонент соответствующих векторов и тензоров. Полная
степень / равна р + а = pi + р2 + ... + Pv + Oi +
+ а2 + ... + ад.
Пусть /i,/2, ..., /м — элементы минимального
целого рационального базиса, частичные степени
которых меньше, чем (pr, os) (говорят, что частичные
степени (р£, aQ меньше, чем частичные степени (pr, as),
если полная степень р' + о' строго меньше, чем
полная степень р + а, и если р^ ^ рг, o's ^ as (г = 1, 2, ...
..., v; s = 1, 2, ..., |л)). Пусть для заданной системы
векторов
&(pn crs) — число линейно независимых
инвариантов частичных степеней (pr, as);
P(pr, Os)—число инвариантов частичных степеней
(pr, gs) в минимальном целом рациональном
базисе;
p/(pr, as)—число инвариантов частичных степеней
(pr, os) в целом рациональном базисе,
минимальность которого рассматривается;
8(Рг, Os) — число инвариантов вида /*1, У"2, •••
...,1аму где ось «2, ..., ам — положительные
целые числа или нули, частичных степеней (pr, as),
которые могут быть составлены из /ь /2, ..., JM\
ц(9гу os) — число независимых сизигий частичных
степеней (pr, as), существующих между /ь /2, ...
..., 1м\
л'(Рг> Os)—число известных независимых сизигий
частичных степеней (pr, os) между /ь /2, ..., /м.

7.2. Метод доказательства минимальности 143
Тогда, очевидно,
Р (Pr> or,) < р" (рг, or,), ц' (рг, <т,) < г\ (рг, <т,),
Ь (рг, а,) = Р (рг, а,) + 9 (рг, а,) — т] (pr, а,).
Отсюда
P'(pr> <*,)>P(pr, <т,) = £(рг, а,) — 0(рг, а,) + т)(рг, а,)>
> А (Рг. or,) — 6 (Рг, <у<) + Л' (Рг, or,).
Следовательно, если
Р' (Pr, or,) = k (pr, а,) - 6 (Рг> а,) + г)' (Рг, а,), (7.2.2)
то р(рг. as)= p'(pr, crs) и Y](pr, Os) =Л/(рг, а8) и все
P'(pr, ors) инвариантов этих частичных степеней в
целом рациональном базисе принадлежат
минимальному базису; далее, нет дополнительных сшшгий
частичных степеней (pr, as) между инвариантами
J и h, • • •, Jm- Если можно доказать равенство
(7.2.2) для всех комбинаций (pr, as) частичных
степеней, для которых существуют неприводимые
инварианты, то этим устанавливается минимальность
базиса.
Предположим затем, что задан целый
рациональный базис, про который известно, что он минимален
относительно всех своих инвариантов частичных
степеней, меньших (pr, as), и найдено rj'(pr, as)
независимых сизигий частичных степеней (pr, as). Тогда P'(pr, gs)
получается подсчетом числа инвариантов частичных
степеней (pr, gs) в заданном целом рациональном
базисе; 9(pr, Gs) может быть вычислено, так как
известны /ь /2, ..., Jm, и &(pr, gs) определяется методом,
описанным в п. 7.1. Если при этих значениях
уравнение (7.2.2) удовлетворяется, то базис является
минимальным относительно инвариантов частичных
степеней, меньших или равных (pr, as), и та же процедура
может быть применена к инвариантам частичных
степеней, равных, например, (pi + 1, р2, ..., pv, tfi, a2, ...
..., (7м). Если уравнение (7.2.2) не удовлетворяется,
нужно еще уменьшить число базисных инвариантов
или показать существование сизигий, прежде чем
процесс может быть продолжен, n

144 7. Минимальность целого рационального базиса
Эту процедуру можно выполнять шаг за шагом,
пока не будут рассмотрены инварианты всех
частичных степеней, представленных в данном целом
рациональном базисе. Этот процесс можно всегда начать
с инвариантов полной степени один, так как нет
инвариантов базиса нулевой степени; если заданный
целый рациональный базис конечен, процесс в конце
концов должен закончиться.
В некоторых случаях возможно некое сокращение
процедуры. Например, если рассматриваются две
группы *§\ и 2?2 и для заданного множества векторов
и тензоров целый рациональный базис относительно
^i включает в себя базис относительно %2, то
минимальность для S7! означет минимальность для ,?2.
Далее, если 1\ — инвариант, а /2— инвариант,
полученный из него приравниванием двух векторов или двух
подобных тензоров, то если /2— неприводимый
инвариант, то /] также должен быть неприводимым, так
как если бы 1\ был приводимым инвариантом, то /2
также был бы приводимым. Эти и подобные
результаты использовались при анализе конкретных целых
рациональных базисов.
Литтлвуд [18] и Тодд [56, 57], показывая
неприводимость относительно линейных преобразований
систем конкомитантов квадратичных форм
сопровождающих триэдров, по существу использовали те же
методы. Приложения этих методов к ортогональным
группам преобразований принадлежат в основном
Смиту [41, 42] и будут описаны в следующих двух
пунктах.
7.3. Минимальность целых рациональных базисов;
классы кристаллов
Смит показал [41], что целые рациональные
базисы инвариантов единственного тензора а^ для всех
классов кристаллов, описанные в п. 4.2 и 4.3,
являются минимальными. Фактически Смит доказал
более сильный результат, а именно, что любой
полиномиальный инвариант может быть выражен в виде
(4.2.4) единственным образом. Обобщая методы, опи-

7.4. Полные и собственные ортогональные группы 145
санные в п. 7.1, он определил число различных
инвариантов вида (4.2.4) каждой степени относительно
компонент a-ij и показал, что оно равно числу линейно
независимых инвариантов той же степени.
В работе Смита и др. [49] было показано, что
целые рациональные базисы единственного
симметричного тензора и вектора являются минимальными
(ср. п. 4.4). Для триклинных, моноклинных и
ромбических систем минимальность может быть
установлена непосредственной проверкой. Для установления
минимальности базиса остальных систем
использовался метод, описанный в п. 7.1 и 7.2 (с некоторыми
модификациями). В каждом случае были даны
таблицы числа линейно независимых инвариантов,
базисных инвариантов и инвариантов, построенных из
инвариантов более низких частичных степеней, и
было найдено достаточное число сизигий, чтобы
показать, что полученные в указанной статье целые
рациональные базисы являются минимальными.
Аналогичные замечания приложимы к целым
рациональным базисам для произвольного числа
векторов (п. 4.5), за исключением случая кубической
системы, где сам по себе метод построения базиса
обеспечивает его минимальность. Смит и Ривлин - [48]
получили целые рациональные базисы и доказали их
минимальность.
7.4. Минимальность целых рациональных базисов;
полные и собственные ортогональные группы
Смит [39] показал, что целые рациональные
базисы для пяти или меньшего числа симметричных
матриц третьего порядка относительно полной или
собственной ортогональной групп, полученные в п. 2.5,
минимальны. В работе [42] он показал, что
приведенный в указанном пункте базис для шести
симметричных матриц также минимален. Использованный им
метод аналогичен описанному в п. 7.1 и 7.2; в этом

146 7. Минимальность целого рационального базиса
случае есть некоторое упрощение, которое состоит в
том, что между инвариантами нет сизигий
подходящих степеней. Так как векторы не рассматриваются,
то os '= 0 для всех s и достаточно показать, что
Р'(Рл>0) = *(рГ)0)-8(рг, 0) (7.4.1)
для всех систем частичных степеней рг,
представленных в целом рациональном базисе. Смит доказал, что
это соотношение справедливо во всех случаях и что
поэтому базис минимален.
Аналогичными методами Смит [42] доказал, что
построенный им базис для симметричных тензоров,
кососимметричных тензоров и векторов относительно
полной ортогональной группы минимален (это можно
сделать, рассматривая только собственные
ортогональные преобразования, так как все инварианты
базиса являются четными степенями компонент
абсолютных векторов и все такие инварианты являются
инвариантами как относительно полной, так и
относительно собственной ортогональной группы). В этом
случае было установлено также, что не обязательно
находить сизигии между инвариантами, но в
некоторых случаях равенство (7.2.2) не имеет места при
л'(Рг> ors) = 0. В таких случаях неприводимость
инвариантов была установлена с помощью результата,
упомянутого в конце п. 7.2. Результаты, полученные
Смитом [42], приведены в виде таблиц.
.Минимальность базиса, приведенного в табл. II
(п. 2.6) для векторов и симметричных тензоров
относительно собственной ортогональной группы, следует
из минимальности базиса для кососимметричных и
симметричных тензоров, который включается в базис,
данный в работе Смита [42], так как векторы можно
связать с кососимметричными тензорами
соотношениями типа (1.1Л), а целые рациональные базисы
для симметричных и кососимметричных тензоров при
инвариантности относительно собственной
ортогональной группы и инвариантности относительно полной
ортогональной группы —одни и те же.

8.1. Неполиномиальные инварианты 14(1
8. НЕПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
8.1. Неполиномиальные инварианты
До сих пор предполагалось, что все
рассматриваемые инварианты — алгебраические; в п. 1.3 было
показано, что вследствие этого предположения нужно
рассматривать только однородные полиномиальные
инварианты. Фактически многие из полученных в
этой главе результатов справедливы с
соответствующими модификациями для инвариантов, являющихся
произвольными функциями векторных и тензорных
компонент. Неполиномиальные инварианты и форм-
инвариантные тензоры исследовались в работах
Пипкина и Винемана [27] и Винемана и Пипкина [64]; в
этих статьях доказывается ряд важных теорем.
Доказательства этих теорем достаточно длинны, и в
рамках этой статьи можно лишь сформулировать их
основные результаты. Эти результаты справедливы для
произвольных векторов и тензоров при
преобразованиях из любой конечной или непрерывной группы,
рассмотренных в п. 1.4. Мы используем определения
функционального базиса, данное в п. 3.5, и форм-ин-
вариантного тензора, данное в п. 5.1.
Первый основной результат, данный Пипкиным и
Винеманом, состоит в том, что целый рациональный
базис является функциональным базисом, т. е. что
все инварианты, независимо от того, алгебраические
они или нет, могут быть выражены в виде функций
от инвариантов целого рационального базиса.
Конечно, это выражение не обязательно единственно,
как показывает существование сизигий во многих
случаях, рассмотренных в предыдущих разделах.
Второй результат касается форм-инвариантных
тензоров. В п. 5.1 было показано, что форм-инва-
риантный тензор f:i^2 ... *г, компонентами которого
являются полиномы от компонент заданной конечной
системы аргументов, может быть выражен в виде
fit .i =ZF<X\ i> (8Л.1)

148 8. Неполиномиальные инварианты
где Я°) — полиномы от инвариантов целого
рационального базиса для векторов-аргументов и
f(/a)£ .../ — конечное число тензоров, образованных из
тензоров-аргументов способом, описанным в п. 5.1.
Винеман и Пипкин [64] доказали, что соотношение
(8.1.1) остается справедливым, если компоненты
fit ...* являются функциями (не обязательно
полиномиальными) компонент тензоров-аргументов; при
этом единственная модификация (8.1.1) состоит в
том, что FW становятся функциями (не обязательно
полиномиальными) от инвариантов целого
рационального базиса. Полезным следствием этой теоремы
является то, что результаты, полученные
полиномиальными методами, могут быть немедленно перенесены на
случай, когда рассматриваемые функции — не
полиномы.
Еще один результат, полученный Винеманом и
Пипкином, дает соответствующее каноническое
выражение для форм-инвариантных тензорных
функционалов. Теорема гласит, что каждый форм-инвариантный
тензорный функционал ^/^2...;г от конечного числа
тензоров-аргументов может быть записан в виде
где р конечно, «2^ —функционалы системы базисных
инвариантов /ь h, ..., 1А и базисных
форм-инвариантных тензоров ff\ t и «27(р) — линейный
функционал относительно р , t. Базисные инварианты и
базисные форм-инвариантные тензоры могут быть
найдены теми же методами, что и для случая
полиномов; пример системы базисных инвариантов был
дан в п. 6.1. Таким образом, в этом случае
результаты, полученные для полиномов, могут быть
непосредственно применены к более общим задачам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adkins J. Е., Phil. Trans. Roy. Soc, A250 (1958), 519.
2. Adkins J. E., Arch. Rat. Mech. Anal, 4, (1960), 193.
3. Adkins J. E., Arch. Rat. Mech. Anal, 5 (I960), 263.
4. Adkins J. E., Arch. Rat. Mech. Anal, 11 (1962), 357.
5. Bocher M., Introduction to Higher Algebra, Macmillan, New
York, 1907.
6. Chacon R. V. S., Rivlin R. S., Z. Angew. Maih. Phys., 15
(1964), 444.
7. Dana J. D., Hurlbut C. S., Dana's Manual of Mineralogy,
Wiley, New York, 1952.
8. Elliott E. В., Algebra of Qualities, Oxford Univ. Press
(Clarendon), London and New York, 1913.
9. Eringen A. C, Non-linear Theory of Continuous Media,
McGraw-Hill, New York, 1962.
10. Grace J. H., Young A., The Algebra of Invariants, Cambridge
Univ. Press, London and New York, 1903.
11. Грин А., Адкинс Дж., Большие упругие деформации и
нелинейная механика сплошной среды, «Мир», М., 1965.
12. Green А. Е., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 1 (1957), 1.
13. Green A. E., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 4 (1960),
387.
14. Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов,
ГТТИ, М.—Л., 1948.
15. Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим
проблемам, «Мир», М., 1966.
16. Lew J. S., Z. Angew. Math. Phys.., 17 (1966), 692.
17. Littlewood D. E., The Theory of Group Characters, Oxford
Univ. Press (Clarendon), London and New York (1940).
18. Littlewood D. E., Proc. London Math. Soc, 49 (1946), 282.
19. Лохин В. В., Седов Л. И., Нелинейные тензорные функции
от нескольких тензорных аргументов, ПММ, 1963, т. 27,
вып. 3.
20. Lomont J. S., Applications of Finite Groups, Academic Press,
New York, 1959.
21. Miller G. A., Blichfeldt H. F., Dickson L. E., Theory and
Applications of Finite Groups, Wiley, New York, 1916; republished
by Dover, New York (1961).
22. Мурнаган Ф., Теория представлений групп, ИЛ, М., 1950.
23. Noll W., Arch. Rat. Mech. Anal, 2 (1958), 197.
24. Nye J. F., Physical Properties of Crystals, Oxford Univ. Press
(Clarendon), London and New York, 1957.
25. Oldroyd J. G., Proc. Roy. Soc, A200 (1950), 523.

150
Список литературы
26. Pipkin А. С, Rivin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal., 4 (1959), 129.
27. Pipkin A. C, Wineman A. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 12
(1963), 420.
28. Reiner Mr, Amer. J. Math., 67 (1945), 350.
29. Rivlin R. S., Phil. Trans. Roy. Soc, A241 (1948), 379.
30. Rivlin R. S., Proc. Roy. Soc, A193 (1948), 260.
31. Rivlin R. S., J. Rat. Mech. Anal, 4 (1955), 681.
32. Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 4 (1960), 262.
33. Rivlin R. S., Z. Angew. Math. Phys., 12 (1961), 447.
34. Rivlin R. S., Viscoelastic Fluids, в книге: Frontiers of
Research in Fluid Dynamics (G. Temple and R. Seeger, eds.),
Wiley, New York. 1965.
35. Rivlin R. S., SI AM Rev., 7 (1965), 323.
36. Rivlin R. S., Ericksen J. L., /. Rat. Math. Anal, 4 (1955),
323.
37. Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, М., Физ-
матгиз, 1962.
38. Седов Л. И., Лохин В. В., Описание с помощью тензоров
точечных групп симметрии, ДАН СССР, 149 (1963), № 4.
39. Smith G. F., Arch. Rat. Mech. Anal, 5 (1960), 382.
40. Smith G. F., Quart. Appl Math., 20 (1962), 241.
41. Smith G. F., Arch. Rat. Mech. Anal, 10 (1962), 108.
42. Smith G. F., Arch. Rat. Mech. Anal, 18 (1965), 282.
43. Smith G. F. Quart. Appl. Math., 25 (1967), 218.
44. Smith G. F., Att. Acad. Naz. Lincel Mem. CI, Sci. Fis. Mat
Natur., Ser. la(8), 9 (1968), 51.
45. Smith G. F., Rivlin R. S., Quart. Appl Math., 15 (1957), 308.
46. Smith G. F., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 1 (1957), 107.
47. Smith G. F., Rivlin R. S., Trans. Amer. Math. Soc, 88 (1958),
175.
48. Smith G. F., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 15 (1964),
169.
49. Smith G. F., Smith M. M., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal,
12 (1963), 93.
50. Spencer A. J. M., Arch. Rat. Mech. Anal, 7 (1961), 64.
51. Spencer A. J. M., Arch. Rat. Mech. Anal, 18 (1965), 51.
52. Spencer A. J. M., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 2 (1959).
309.
53. Spencer A. J. M., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 2 (1959),
435.
54. Spencer A. J. M., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 4
(1960), 214.
55. Spencer A. J. M., Rivlin R. S., Arch. Rat. Mech. Anal, 9
. (1962), 45.
56. Todd J. A., Phil. Trans. Roy. Soc, A241 (1948), 399.
57. Todd J. A., Proc. London Math. Soc, 52 (1950), 271.
58. Truesdell C, /. Rat. Mech. Anal, 1 (1952), 125; 2 (1952),
593.
59. Truesdell C, Noll W., The non-linear field theories of
mechanics, в книге: Handbuch der Physik (S. Flugge and С
Truesdell, eds.), vol. III/3, Springer, Berlin, 1965.

Список литературы
151
60. Truesdell С, Toupin R., The classical field theories, в книге:
Handbuch der Physik (S. Flugge and C. Truesdell, eds.),
vol. HI/1, pp. 225—793. Springer, Berlin, 1960.
61. Turnbull H. W., The theory of determinants, matrices and
invariants, Dover, New York, 1960.
62. Weitzenbock R., Invariantentheorie, Noordhoff, Groningen,
1923.
63. Вейль Г., Классические группы, ИЛ, М., 1948.
64. Wineman A. S., Pipkin А. С, Arch. Rat. Mech. Anal., 17 (1964),
184.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адкинс 8 , 21 , 22 , 41 , 77 , 81 , 85 ,
90 , 91 , 95
Блихфельдт 134
Бохер 94
Вейль 16 , 17 , 28 , 94
Вейтценбек 15
Винеманн 126 , 127 , 147 , 148
Грин 8 , 21 , 22 , 95 , 128 , 129
Грэис 15
Гуревич 15 , 16 , 18 , 19
Диксон 134
Дэна 22
Литтлвуд 130 , 144
Л омон т 22
Лохин В. В. 24
Лью 129
Миллер 134
Мурнаган 130 , 132 , 137 , 138 , 141
Най 22
Нолл 8
Пипкин 8 , 36 , 75 , 77 , 108 , 126 ,
127 , 147 , 148
Рейнер 7
Ривлин 7 , 8 , 21 — 24 , 32 , 36 , 39 ,
41 , 45 , 47 , 52 , 54 , 75 , 77 , 79 ,
92 , 95 , 102 — 104 , 106 — 109 ,
114 , 115 , 128 , 129 , 145
Седов Л. И. 8 , 24
Смит Дж. 9 , 21 , 22 , 24 , 32 , 71 ,
74 , 75 , 92 , 95 , 100 — 104 , 106 ,
107 , 109 , 120 , 141 , 144 — 146
Смит М. 102 - 104 , 145
Спенсер 36 , 41 , 45 , 47 , 51 , 52 ,
54 , 114 , 115
Тодл 144
Трусделл 8
Тупин 8
Турнбалл 15
Хамермеш 138
Харлбут 22
Чакон 129
Эллиот 15
Эриксен 7
Эринген 8
Олдройд 7
Янг 15

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный инвариант 13
— вектор 12
Аксиальный вектор 12
Альтернирующий тензор 10
Анизотропный тензор 106 , 107
Векторные функции 116 , 119 ,
124
Векторный функционал 127
Гексагональная система 23
Дельта Кронекера 16 , 33
Изотропный тензор 32
Изотропия 20 , 28 — 74
Инвариант 13
— абсолютный 13
— неполиномиальный 147 , 148
— нечетный 28
— относительный 13
— полиномиальный 14
неприводимый 14
однородный 20
приводимый 14
— четный 28
Инвариантный функционал
125 — 127
Инварианты векторов 28 — 32 ,
75 - 76
и тензоров 34 — 36 , 52 —
69 , 75 — 77 , 82 — 87 , 102 - 104
— тензоров второго ранга
43 — 52 , 68 , 79 — 82 , 95 — 100
— линейно независимые 130 —
134
— функционально
независимые 87
Классы кристаллов 22
Кубическая система 23
Матричное представление
группы 132
— произведение 37 , 53 — 58
Матричный полином 34 — 43 ,
77 — 79
Минимальный целый
рациональный базис 14 , 129 — 146
Моноклинная система 22
Неприводимый
полиномиальный инвариант 14
Нецентральносимметрическая
группа 106
Нечетный инвариант 28
Однородный полиномиальный
инвариант 20
Оператор поляризации 17
Ортогональное преобразование
11
Осевая симметрия 22 , 74 , 85 —
87
Относительный инвариант 13
Полиномиальный инвариант 14
Полная ортогональная группа
20 — 27
Приводимый полиномиальный
инвариант 14
Произведение Кронекера 132 ,
141
Ромбическая система 23
Сизигии 15 , 87 — 91 , 100 , 101 ,
104 , 142 , 143

154
Предметный указатель
След матричного полинома 37
произведения 37
Собственная ортогональная
группа 21
Собственное ортогональное
преобразование 12
Степень матричного полинома
37 , 55
произведения 37
Тензор альтернирующий 10
— анизотропный 106
— изотропный 32
Тензорные функции 107 — 125
кососимметричные 115 —
116 , 118 , 122
симметричные 113 , 117 ,
120
Тензорный функционал 124 —
127
Теорема Гамильтона — Кэли
38 — 39 , 78
— Гильберта 16
— Нётер 94
— Паскаля 17
— Пеано 16
Теоремы о базисе 92 — 95
Тетрагональная система 22
Трансверсальная изотропия 21 ,
74 — 91
Триклинная система 22
Форм-инвариант 108 , 127 , 148
Функционально независимые
инварианты 87
Функциональный базис 87
Целый рациональный базис 14
для векторов 28 — 32 ,
104 — 107
и тензоров
второго ранга 67 , 68 , 70 — 74 , 85
конечный 16 , 44
минимальный 14 , 129 —
146
Централыюсимметрическая
группа 106
Циклическая перестановка 94
Четный инвариант 28
Эквивалентные матричные
полиномы 28

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
1. Введение 7
1.1. Инварианты векторов и тензоров 10
1.2. Приводимые и неприводимые инварианты; целый
рациональный базис 14
1.3. Некоторые результаты классической теории
инвариантов 15
1.4. Ортогональные группы и некоторые их подгруппы . 20
2. Изотропия 28
2.1. Целые рациональные базисы для векторов .... 28
2.2. Изотропные тензоры 32
2.3. Инварианты векторов и тензоров второго ранга;
общие формы 34
2.4. Некоторые результаты, относящиеся к следам
матричных полиномов 36
2.5. Инварианты симметричных тензоров второго ранга . 43
2.6. Инварианты векторов и симметричных тензоров
второго ранга; собственная ортогональная группа . . . 52
2.7. Полная ортогональная группа; инварианты векторов и
тензоров второго ранга 69
3. Трансверсальная изотропия 74
3.1. Инварианты векторов и тензоров; общие формы . . 75
3.2. Некоторые соотношения для матричных полиномов от
матриц второго порядка 77
3.3. Инварианты симметричных тензоров второго ранга . 79
3.4. Инварианты симметричных тензоров второго ранга и
векторов 82
3.5. Сизигии для инвариантов 87
4. Классы кристаллов 92
4.1. Теоремы о целом рациональном базисе 92
4.2. Инварианты симметричного тензора 95
4.3. Сизигии между инвариантами симметричного тензора 100
4.4. Инварианты симметричного тензора и вектора . . . 102
4.5. Инварианты произвольного числа векторов .... 104
5. Полиномиальные тензорные функции векторов и тензоров 107
5.1. Общие формулировки 107
5.2. Примеры тензорных и векторных полиномиальных
функций; собственная ортогональная группа
преобразований 112

156
Содержание
5.3. Примеры тензорных и векторных полиномиальных
функций; полная ортогональная группа 119
6. Инвариантные функционалы; векторные и тензорные
функционалы 125
6.1. Общие понятия 125
6.2. Дифференциальные аппроксимации функционалов . . 128
6.3. Интегральные аппроксимации функционалов .... 128
7. Минимальность целого рационального базиса 129
7.1. Число линейно независимых инвариантов 130
7.2. Метод доказательства минимальности целого
рационального базиса 142
7.3. Минимальность целых рациональных базисов; классы
кристаллов 144
7.4. Минимальность целых рациональных базисов; полные
и собственные ортогональные группы 145
8. Неполиномиальные инварианты 147
8.1. Неполиномиальные инварианты 147
Список литературы 149
Именной указатель 152
Предметный указатель 153

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1 й Рижский
пер., д. 2, издательство «Мир».

Э. Спенсер
ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
Редактор Г. М. Цукерман
Художник О. С. Прийменко
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Я. Д. Толстякова
Корректоры Е. В. Кочегарова и А. #. Шехтер
Сдано в набор 27/1II 1974 г.
Подписано к печати 11/X 1974 г.
Бум,тип.№3 84X1087,2=2,50 бум. л. Печ. л. усл. 8,40
Уч.-изд. л. 7,09. Изд. № 1/7398
Цена 64 к. Зак. 164
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29