Problemas de
Triücncnietna
Y CÓMO RESOLVERLOS

NUEVA COLECCIÓN RACSO
Problemas de
TRIGONOMETRÍA
y cómo resolverlos
RACSO
EDITORES
Edición Revisada y Corregida
Por: Félix Aucallanchi Velásquez
Primera Edición en Español
Copyright © 2005 por Félix Aucallanchi Velásquez
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación y/o
almacenamiento de información, tanto del texto como de logotipos y /o ilustraciones sin autoriza-
ción escrita de los autores y el editor. Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a INDECOPI
de acuerdo a la Ley N° 13/14 y al artículo N° 221 del Código Penal vigente.
Printed in Perú - Impreso en Perú.
Imprenta MAQUETI E.I.R.L. Jr. Carlos Arrieta 1319 - Santa Beatriz - Lima 1
SERIE DE LIBROS Y
COMPENDIOS
CIENTÍFICOS
COLECCIÓN
RACSO
Problemas de
y cómo resolverlos
Primera Edición
El libro Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos, para estudiantes de nivel básico y supe-
rior, es una obra colectiva que ha sido concebida, formulada y diseñada por el departamento de
Ediciones de RACSO EDITORES, bajo la dirección de Félix Aucallanchi V.
La realización de esta obra se encargó a:
Juan Carlos Sandoval Peña
Wilber Manuel Chilet Cama
Mario Orea Chavarria
Uriel Aspilcueta Pérez
La realización gráfica del libro Problemas de Trigonometría y cómo Resolverlos ha sido efectuada por los
siguientes especialistas:
Rosario Esther Alpiste Pacheco
Sandrita Harline Tarrillo Dávila
Maribel Alpiste Pacheco
Diagramadoras
Paul Farromeque Alegre
Diseño de Carátula
Supervisión General:
Dr. Juan Carlos Sandoval Peña
Supervisión Técnica de la Edición Revisada y Corregida:
Luis Cabanillas Dulanto
Supervisión de la edición:
Miguel Ángel Díaz Lorenzo
Hecho el depósito legal en la Dirección de Derechos de Autor de INDECOPI, y amparado a la Ley
N" 13714 y al Código Penal (Artículo 221)
Primera edición en español
Copyright © 2005 por Félix Aucallanchi Velásquez.
PRÓLOGO
Colección RACSO es una reunión estructurada de textos orientados a satisfacer , parti-
cularmente, al estudiante preuniversitario y, en general, a la comunidad educativa compues-
ta por estudiantes del nivel básico y superior así como de docentes, quienes encuentran en
estas obras un estupendo complemento a su tarea diaria de aprender temas de índole cientí-
fico.
Esta colección de libros fue publicada a finales del año 1993, siendo la primera de ellas
el texto llamado Problemas de Física y cómo resolverlos, para luego de cerca de 11 años
completarse con el último de la serie titulado Problemas de Trigonometría y cómo resolver-
los. Parafraseando a los poetas, “ha corrido mucho agua bajo el puente”, es una sentencia
que gráfica mejor este proceso, pues en efecto, la realización de cada una de las obras que
constituye esta colección ha tomado tiempo para concebirla, madurarla y publicarla, al mar-
gen de las dificultades a las que nos enfrentamos los que producimos libros nacionales: falta
de financiamiento, dedicación a tiempo completo para la selección del material, la composi-
ción de los textos y gráficos, el diseño y acabados concordantes con la naturaleza de la obra,
la piratería,...etc.
Nada nos ha detenido, el entusiasmo no se ha agotado, por el contrario hemos encon-
trado la forma de mejorar nuestras obras, y la palabra clave ha sido capacitación, es decir,
hemos continuado estudiando la especialidad a la que nos hemos dedicado desde hace más
de 25 años para afinarla y actualizarla, además de perfeccionar nuestra didáctica con cursos
de postgrado: Diplomados, Maestrías y Doctorados. Todo ello nos ha convertido en profesio-
nales de la educación capaces de elaborar obras que respondan a la exigencia de una educa-
ción de calidad por parte de los que utilizan nuestros textos.
Sirvan estas líneas para agradecer la preferencia de los miles de lectores que confiaron
en nuestro trabajo, y que por ello los recomendaron a las siguientes generaciones Muchos de
aquellos lograron alcanzar sus objetivos y nos complace ser reconocidos en variados eventos
académicos, por muchos profesionales, entre los cuales están quienes utilizaron nuestras
obras.
Para usted que lee ésta presentación, que es un lector actual, le hemos preparado una
NUEVA COLECCION RACSO, renovada, actualizada, madurada y didácticamente superior a
nuestra anterior colección. En efecto, hemos utilizado todos los recursos de los que dispone-
mos actualmente en términos pedagógicos: mapas conceptuales, ayudas de comprensión
teórica a través de resúmenes pertinentemente actualizados, estrategias de resolución de
problemas, resoluciones argumentadas y una efectiva selección de problemas propuestos.
Todo esto convierte a cada texto de la colección en una máquina de autoaprendizaje, aspi-
rando a lograr con ello el desarrollo de la capacidad de aprender a aprender, que es un caro
postulado del constructivismo moderno.
Los autores de esta NUEVA COLECCIÓN RACSO, son profesionales de la educación que
poseen un perfil definido y común: Son ingenieros o licenciados en ciencias, son además
licenciados en educación matemática, física o química, son diplomados en didáctica de su
especialidad, son magísteres en el área de investigación educativa y a la fecha la mayoría de
ellos son doctorandos, además de ser docentes cuya experiencia laboral la han desarrollado
en las mas prestigiosas instituciones educativas en tres niveles de educación: secundaria,
preuniversitario y universitario. Un equipo así consolida nuestra labor editorial y nos da la
confianza de producir textos de calidad.
Este equipo labora en coordinación permanente con nuestra casa editorial y es el grupo
de profesionales que tiene a su cargo los talleres de capacitación que realizamos para tratar
temas educativos y presentar nuestras obras.
Dado que los problemas educativos de índole académico, conviven con nosotros y exis-
te una comprob ida inoperancia de la mayoría de las universidades en hacer investigación en
el campo educativo para identificar sus causas y proponer soluciones concretas, este equipo
de profesionales, del cual formo parte, ha tomado la iniciativa de asumir tal tarea desde el
sector privado y se ha constituido en el CENTRO POLYA DE INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA-
CEP1D, para quienes les aguarda la misión de contribuir a identificar y proponer soluciones a
los principales problemas de tipo pedagogi :o que imposibilitan el adecuado aprendizaje de
las ciencias. Los resultados de tales investigaciones se publicarán en esta casa editorial, con
lo cual estamos asumiendo el compromiso de mejorar la calidad de la educación en nuestro
país.
No puedo pasar por alto el reconocimiento que merecen, de nuestra parte hacia ellos,
los promotores de colegios, centros preuniversitarios privados y directores de los centros
preuniversitarios de las distintas universidades a lo largo y ancho del Perú, quienes por su
oportuna decisión optaron por revisar, primero, nuestras obras y luego emplearlas como ma-
terial de clase o de complemento en sus bibliotecas. A ellos nuestro profundo y sincero agra-
decimiento por tal oportunidad.
Quiero anunciar también que nuestros lectores muy pronto podrán acceder a nuestra
página web, que crearemos con el fin de complementar sus aprendizajes en algún área espe-
cífica de su interés, poniéndonos a tono con el uso de las nuevas tecnologías de información
y comunicación que venimos proponiendo en nuestras obras escolares.
Para concluir, quiero manifestar mi complacencia por las iniciativas que vienen toman-
do las universidades privadas en cuanto se refiere a redefinir el perfil del profesional que
desean formar, lo que los ha conducido a redefinir el perfil del alumno que desean que ingre-
sen en ellas, todo a la luz del proceso de certificación universitaria en que se encuentran
trabajando. Esto a su vez ha obligado a modificar la estructura y contenido del examen de
ingreso, en los que ahora las preguntas ya no sólo se elaboran para establecer el nivel de
conocimientos de parte del postulante, sino, reconocer las habilidades que éstos poseen ante
situaciones problémicas contextualizadas. Sin duda, este cambio contribuirá a mejorar el
proceso de selección de los postulantes, así como a la propia preparación preuniversitaria.
Espero que lo mismo ocurra con el resto de universidades nacionales. A los profesionales que
se dedican a la preparación preuniversitaria les aguarda la tarea de adecuación, adaptación y
superación ante estas nuevas condiciones académicas. Buena suerte.
La NUEVA COLECCIÓN RACSO, ha contemplado estos cambios y cree también que
éstos apuntan a mejorar la calidad de la educación en sus niveles básicos, pues, en ellos el
examen de admisión es un referente para diseñar los procesos de enseñanza aprendizaje
que se llevan a cabo en las aulas Por todo ello, aspiro que esta colección se encuentre a la
altura de las nuevas exigencias.
Hasta pronto.
Félix Aucallanchi Velásquez
AL PROFESOR
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos, es un texto elaborado con el propósito
de que los docentes encuentren en él un complemento para la elaboración de su material
educativo así como una guía para diseñar sus actividades de enseñanza aprendizaje.
Las principales y permanentes dificultades que encuentran los docentes en la elabora-
ción de sus materiales es la selección de problemas para la realización de sus clases, talleres,
seminarios, prácticas calificadas, tareas, etc. El texto ha sido elaborado para que el docente
encuentre aquí un oportuno y eficaz recurso.
La trigonometría es una parte de la matemática cuya enseñanza requiere de saberes
previos en Sistemas Numéricos, Algebra, Funciones y Geometría. Sin duda se trata de una
ciencia cuya enseñanza demanda de mucha creatividad de parte del docente para diseñar
sus actividades pedagógicas, lo cual a su vez requiere de un dominio de las ciencias afines
indicadas y de modernas estrategias didácticas.
En esta obra el docente encontrará que el texto se ha dividido en tres partes: La teoría y
enunciados de problemas resueltos, La resolución de problemas y Los enunciados de proble-
mas propuestos.
Podría sorprender, a primera vista, que no hay razón para separar los enunciados de los
problemas de sus respectivas resoluciones, sin embargo, sí las tenemos. Investigaciones
educativas hechas sobre este aspecto demuestran que la mayoría de los Estudiantes que leen
los problemas, no los intentan si la resolución se encuentra al pié, perdiéndose de este modo
la posibilidad de desarrollar habilidades matemáticas en el estudiante.
En trigonometría como en cualquier otra área de la matemática, es limitado el número
de problemas que se proponen a los estudiantes y que tienen la característica de ser
contextualizados, es decir, ser suficientemente reales. En este texto hemos dado una adecua-
da cabida a este tema en situaciones problémicas que revelan la intención de plasmar
constructivamente nuestra concepción pedagógica y la tendencia actual de la enseñanza de
las ciencias.	•
En el texto se incluyen temas que van más allá de la formación e información escolar,
sin embargo y si usted lo cree conveniente, puede desarrollarse una parte o el íntegro de los
mismos sin poner en riesgo su comprensión y conexión con el resto de los temas. Todo esto
pasa por la generosidad del tiempo que se le destine a su enseñanza.
En trigonometría existen temas específicos en los que se requiere bastante claridad y
precisión en los conceptos y definiciones, por lo que se constituyen muchas veces en aspec-
tos que provocan controversia. En ellos hemos puesto especial énfasis y cuidado, y son: Cir-
cunferencia Trigonométrica, Ecuaciones Trigonométricas, Inecuaciones Trigonométricas, Lí-
mites y Derivadas Trigonométricos, entre otros.
Los enunciados de los problemas han sido cuidadosamente redactados para poder iden-
tificar claramente qué habilidad matemática se pretende desarrollar con cada uno de ellos:
Calcular, Demostrar, Identificar, Visualizar, Resolver, Aproximar, Algoritmizar, Definir,...etc. En-
señar matemática es sólo un pretexto para desarrollar habilidades y convertir a las personas
en seres competentes, por ello proponemos aprender una matemática para la vida. Al res-
pecto es conveniente revisar los trabajos del cubano Dr. Delgado Rubí del 1SPJAE.
Las resoluciones se han elaborado trazando la estrategia mas adecuada, de este modo
el estudiante puede reconocer qué pasos se han propuesto seguir para llegar a establecer la
solución, y no jugamos con él al gato y al ratón, es decir, la resolución no le resultará inespe-
rada, si no será una consecuencia lógica de un plan previamente diseñado.
Esperamos que esta forma de presentación del texto logre satisfacer su exigente selec-
ción de materiales educativos.
AL ESTUDIANTE
Los libros de la Nueva Colección Racso, son una apuesta por el desarrollo de las cien-
cias en nuestro país, por el desarrollo de nuestros pueblos y por el crecimiento cultural de
nuestra nación. Postulamos que una educación de calidad pasa por muchos aspectos, entre
otros una adecuada condición para el estudio, la selección de la institución educativa, de
buenos profesores y de buenos materiales educativos. En este último rubro se encuentra
nuestra propuesta bibliográfica.
Problemas de Trigonometría y como resolverlos es el último de una serie de textos que
se vienen publicando desde hace casi once años y con relativo éxito. Este texto presenta el
curso de Trigonometría de un modo práctico, es decir, mostrando su aspecto aplicativo a
través de situaciones problémicas concretas.
¿Qué requieres saber para aprender, comprender y aplicar los conceptos, definiciones y
teoremas de la Trigonometría? Sería extenso recordarte todo lo que se supone has aprendido
hasta ahora, pero en la medida que hayas desarrollado una cultura matemática se hará mas
comprensible esta importante área de la ciencia, sin embargo, vale la pena puntualizar as-
pectos que deben merecer una permanente atención y evocación y son: Sistemas Numéri-
cos, Algebra, Funciones y Geometría.
De lo primero necesitas recordar los campos numéricos y sus propiedades, de lo segun-
do la capacidad de traducir situaciones concretas en expresiones matemáticas así como sus
propiedades, de lo tercero debes recordar que el nivel de correspondencia entre dos o mas
elementos se puede expresar por una regla y de lo último la capacidad de visualizar y modelizar
los cuerpos a través de figuras. Puesto que nos asiste la autoridad intelectual y profesional,
adquirida por nuestra capacitación y por el ejercicio de su aplicación, es que hemos creído
conveniente dividir este texto, es decir todos los capítulos, en tres partes:
1.	Teoría, P oblemas Modelos, Estrategias de Resolución y Enunciados de Problemas Resuel-
tos. Aquí encontrarás, en cada capítulo, un resumen teórico de todo el tema, una adecuada
selección de problemas modelos resueltos que te permitirá reconocer la forma de presen-
tación de los mismos y cómo es que se plantean sus resoluciones. Asimismo te detallamos,
en un cuadro aparte, las estrategias que recomendamos para la resolución de problemas
del tema. Luego observarás los enunciados de una vasta selección de problemas para que
los intentes por tu cuenta. Te lo repito, esta forma de presentación la encontrarás hasta
terminar con el último capítulo.
2.	Resolución de Problemas. En esta segunda parte encontrarás las resoluciones de cada uno
de los problemas que leiste e intentaste en la primera parte. Nos interesa que desarrolles tu
capacidad de argumentar, por ello las resoluciones se presentan bien fundamentadas, al
punto que tú puedas continuar con la resolución si acaso el método no es el mismo que tu
empleaste en tus intentos.
3.	Enunciados de Problemas Propuestos. En esta última parte encontrarás una batería de pro-
blemas de cada tema, seleccionados adecuadamente y en un nivel progresivo de dificultad.
Cada una de estas partes las puedes identificar por el pié de página con los siguientes
códigos:
: Teoría, número del capítulo y número de página.
A
: Resolución de problemas, número del capítulo y número de página
: Problemas Propuestos, número dél capítulo y número de página.
Esperando que hayas comprendido el mensaje /te deseamos ¡Buena suerte!
CONTENIDO | Enunciados | i	Resduaonesj 1	i Problemas , Propuestos
1 Sistemas de Medida Angular	12	258	774
2 Longitud de Arco	23	274	778
3 Razones Trigonométricas de Angulos Agudos	32	288	784
4 Resolución de Triángulos Rectángulos	41	302	788
5 Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas	50	315	794
6 Razones Trigonométricas de ángulos en el Plano Cartesiano	59	328	798
7 Circunferencia Trigonométrica (Razones Trigonométricas de Números Reales)	70	343	803
8 Identidades Trigonométricas	84	362	808
9 Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos	92	386	812
10 Reducción al Primer Cuadrante	101	407	816
11 Identidades Trigonométricas del Arco Doble	109	421	820
12 Identidades Trigonométricas del Arco Mitad	117	437	824
13 Identidades Trigonométricas del Arco Triple	123	447	829
14 Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos	130	462	833
15 Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias	137	478	838
16 Sucesiones y Series Trigonométricas	/	144	494	842
17 Funciones Trigonométricas	151	514	846
18 Funciones Trigonométricas Inversas	166	542	856
19 Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas	183	584	862
20 Resolución de Triángulos Oblicuángulos	206	653	868
21 Estudio de la Trigonometría con Números Complejos	224	691	872
22 Límites y Derivadas Trigonométricos	234	710	877
Esta obra está dedicada a los
estudiantes que intentan forjarse
un mejor destino en circunstancias
que incluso no les son favorables.
PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
V COMO RESOLVERLOS
ENUNCIADOS DE
PROBLEMAS RESUELTOS
J¡ NIL1!' J'i1 Ji LJ' 1° [ÍN l| lR FF iíc ífe Fío

1.1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Definición.- Es aquel ángulo que se genera por la rota-
ción de un rayo al rededor de un punto fijo llamado vértice (la
rotación se realiza sobre un mismo plano) desde una posición
inicial (lado inicial), hasta una posición final (lado final).
Cuando la rotación se realiza en sentido antihorario (O),
la medida del ángulo generado es de signo positivo, en cam-
110 cuando la rotación se realiza en sentido horario (0), la
medida del ángulo es de signo negativo. En-general la medida
del ángulo trigonométrico toma cualquier valor real.
a ángulo de valor positivo (<t > 0)
0: ángulo de valor negativo (0 < 0)
Nota.- Por convención al ángulo nulo se le considera ángulo trigonométrico, a pesar que no se
genera de una rotación.
l.IAÁnguIo de una vuelta Id)
Es aquel ángulo trigonométrico en el cual el rayo vuelve a su posición inicial por primera vez
1.2. SISTEMAS ANGULARES_________________________________________________
Para la medición de ángulos, tenemos tres sistemas llamados:
Sistema Sexagesimal (Inglés) ; Sistema Centesimal (Francés)
Sistema Radial o Circular (Internacional)
TI
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^RACSO
W^BDITOKBB
1.2A Sistema Sexagesimal (Sistema inglés)
Su unidad de medida es el grado sexagesimal (Io), que se define como:
10 =	=> m Zlt = 360°
Equivalencias:	Io = 60minutos sexagesimales = 60'
1' = 60 segundos sexagesimales = 60"	.-. Io = 3 600"
El empleo de estas unidades se denota así:	a° + b' + c" — a° b’c"
1.2B Sistema Centesimal (Sistema francés)
Su unidad de medida es el grado centesimal (ls) , que se define:
,S = 'Z400<;	 m Z lc = 40°8
Equivalencias:	ls = 100 minutos centesimales = 100ra
lm = 100 segundos centesimales = 1005	ls = 10 000s
El empleo de estas unidades se denota así: x® + y171 + zs = x®ymzs
1.2C Sistema Radial (Circular o Internacional)
Tiene como unidad de medida al radián (1 rad), que se define así:
1 rad =	m Z Ir = 2ítrad
¿n
Interpretación geométrica del radián
Geométricamente 1 rad, es la medida de un ángulo central, en
el cual la longitud del arco subtendido es igual a la longitud del radio
de la circunferencia, tal como se indica en la figura.
CONCLUSIONES:
i) 360° = 400® = 2 n rad	i) 180° = 200® = tirad
O bien: 9o = 10g tirad = 180° tirad = 200g
(rt = 3,1416)
1.3. RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LOS TRES SISTEMAS___________
S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
R = número de radianes
Sistemas de Medida Angular
Siendo S, C y R los números que representan las medidas sexagesimal, centesimal y
radial de un mismo ángulo, los se relacionan de la siguiente forma:
Wo-¿-7	s’9‘	c=,°*
Donde k es una constante de proporcionalidad.
1.4. CUADRO COMPARATIVO DE LOS TRES SISTEMAS |QJ|
E	mZit		hJUMWCAS	QUE LAMSXM	m MEHr DE MINUTO*	N-LIMERO DE tCXJlMXB	RELACIONES NUMÉRICAS		
		360°	"a *5 *0 II	II	II £88 o A	s (grados sexagesimales)	60 S	3600S			
							s _ c 180	200		R n
		400®	l8=100m lm = too5 1®= 10000*	c (grados centesimales)	100C	10000C		s _ c 9 - 10 S _ R 180” n	
z		2nrad	—	R	—	—		c._ A 200 n	
EQUIVALENCIAS
15°= rad	45°= rad 4	75°=^-rad	180° =n rad
18°=^nrf		90°= 2 raá	'225°= ^-rad 4
22°3(r- ^-rad O	60°-y rad	120°--y- rad	270°=-^ rad
30°= ^rad O	67° 3CT = rad O	135° = -^- rad 4	300°= -y rad
36° =^rad 3	71°= ^-rad 3	150° =~rad O	360° = 2nral
T1
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
t^RACSO
UtDITOlli
PROB. I
Según la figura, expresar x en términos de a y p.
RESOLUCIÓN

A partir de esto se observa que:
Graficamos los ángulos en sentido antihorario
y construimos el ángulo a-x.
(20° -x) - 2x + (40° -x)-3x + (60° -x) = 360°
=>	- 8x = 240°
x = -30°
PROB. 3
Reducir la siguiente expresión:
Este gráfico nos muestra que:
(a-x)+(-P) = 180°
x = a-p-180°
90°+^ rad+1008
E =----------------
30°+50s +^rad
RESOLUCIÓN
Expresando todos los ángulos en radianes:
PROB. 2
De la figura que se muestra, determinar el
valor del ángulo x.
E =
^rad+rad+rad
£rad+%rad+£¡rad
6	4	12
PROB. 4
RESOLUCIÓN
Siendo: S y C los números de grados
sexagesimales y centesimales respectiva-
mente y R el número de radianes de un
mismo ángulo, reducir:
Graficando los ángulos en un solo sentido
(sentido antihorario), tendremos:
^+S-+i
N_ .20*18
1X1 “ C-S + R
E = 3
Sistemas de Medida Angular
RESOLUCIÓN
171"x' 12" = 171° 53'12'
Se sabe que: S = 9/? ; C = 10/? y R = -xtt
Finalmente:	x = 53
Luego:
2 2 K
N = —-----------
10/?-9/? + /?
N =
/? + /?
/? + /?
N = I
PROB. 6
Se sabe que 25 grados en un sistema "N"
equivalen a 60 grados sexagesimales ¿A
cuántos radianes equivalen 5 grados "N"?
RESOLUCIÓN

PROB. 5
Calcular el valor de x en:
ITFx’ 12" = 3rad
25 grados "N" < > 60°
5 grados "N” < > x
RESOLUCIÓN

Sacando quinta a la condición inicial,
encontramos que:
Sabemos que: 1 rad = 57° 17' 44"
Luego: 171' a' 12" = 3 (57° 17'44")
5 grados "N" < > 12°
A continuación, transformamos dicho ángulo
a radianes, obteniendo:
17!°y 12" = 171°5r 132”
Z+ÍZ
A continuación procedemos a efectuar la
suma de minutos, deduciéndose que :
12°
180°	15
Luego 5 grados N equivale a:
7t
Í5rad
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Ante situaciones problémicas en donde se presenten ángulos orientados (ángulos
trigonométricos), éstos se deben graficar en un solo sentido, de preferencia en
sentido antihorario (positivo)
2)	Cuando los ángulos trigonométricos estén expresados en diferentes sistemas, se
deben transformar todos a un sedo sistema.
3)	Si la condición del problema incluye a los números S, C y R (convencionales),
se recomienda reemplazarlos por las siguientes relaciones:
S = 9k ; C= 10 k ; R=
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Enunciados de Problemas
—¿i z; con Resolución
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
01.- De la figura mostrada, expresar x en térmi-
nos de 6.
A)2n+6 B)2n Qti-0 D)0 E)-2ti-6
05.- Del gráfico mostrado, calcule:
02.- De la figura mostrada, determine “x” en
términos de “a”.
A)a+36O°
B)a+18Cf
C) 2a -360°
D)360p-a
E)18Cf-a
06.- De la figura mostrada determine: “x + y
en radianes.
A) n/3
B)7t/2
Qti/4
D) 371/4
E)7i/5
03.- De la figura mostrada, determinar “x”
07.- De la figura mostrada, calcular “x”
A) 15°
B)20°
C)25°
D)30°
E)45°
(5-llx)'
27x"
A)-2 B)-l Q5 D)4	E)3
04.- De la figura mostrada, evaluar el ángulo “x"’.
A) 40“
B)20°
0-20“
D)-50°
E)-10°
08.- Del gráfico mostrado a qué es igual: lOx-9y
A) 1 100
B)360
C)280
D)2400
E) 1800
Sistemas de Medida Angular
09.- En la figura mostrada, calcular (en rad) el
valor del ángulo a para que el ángulo 6 sea
máximo.
A) 3,34
B)2,6
Q4.2832
D) 1,7431
E) 2,1406
14.- Al convertir 7i/50 rad al sistema sexagesi-
mal se obtiene A° B'.
B-2A
Calcula:
A) 7	B)5 C)U D)-2	E)-3
15.- Si se verifica que: rad < > x° y'z" ;
(a, y, z e N). Calcular el complemento de:
(x + y - z)°.
A) 83° B)60° C)53° D)30° E)12°
10.- En la figura mostrada, si OB y OC trisecan
al ángulo AOD entonces la expresión inco-
rrecta es:
---g ---m
16.-Si se cumple que: 37,98° o AB B0 ;
o 2
determinar el valor de:	M = A“ - B
CONVERSIONES
11.- Evaluar:
A) 10a+90=0
B)180P-cat=0
C)2OOP+0n=O
D)380P=7t(a-0)
E)900P=71(96 +5a)
A
1*+2*+3*+4*+...+ 2005*
M- i“+2o+3o+4<>+... + 2005" ’
A)3	B)5 Q7 D)9 E)ll
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
17.- Sabiendo que:
i i ka £ + ¿/ + 5 + e
calcular:	M =----------r—
fl + c + 4
A) 1	B)2	C)^ D) |	E)3
18.- Se tiene un ángulo en el sistema
sexagesimal cuya medida es de 16°15'36". De-
terminar su equivalente en el sistema radial
considerando n = 3,14.
12.- Dadas las siguientes medidas angulares:
a=0,5236raJ ; P=30s50m ; 0 = 27°25'
ordenar de menor a mayor. Utilizar: ti = 3,1416.
A) P < a < 6
B)6<P<a
C)a<P<6
D)6<a<P
E)a<6<P
13.-Convertir: 1" 15'a radianes.
A) 188 rad B) 90 rad C) 144 rad
A) 0,5298	B) 0,4326	Q 0,3524
D)0,2836	E)0,1620
19.- La medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal es de 36°15'45". Calcule dicho án-
gulo en el sistema radial. Considere 7t =3,14.
A) 0,8543 rad	B) 0,7265 rad
C) 0,6326 rad	D) 0,5214 rad
E) 0,4318 rad
D) roorad

18
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A S.ACSO
M dITOU
20.-Si:
a + b + c = 63. jfy'z" =a°b'c" + c°a’b" + b°ca"
x-y
entonces al calcular: W =------ se obtiene:
A) 50	B)40	C)30	D)20 E) 10
MEDIDAS ANGULARES RELACIONADAS
21	.- Sabiendo que: SR = donde: S.Cy R
son los números que representa la medida de
un ángulo en los sistemas: sexagesimal,
centesimal y radial; calcular:
A)VR B)R C)2jR D)R2 E)2R
22	.- Los números S y C que representan la
medida de un ángulo en grados sexagesimales
y grados centesimales están relacionados por:
n	7t
5 = x + — ; C = x+ —
Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.
.. r.	,.\ 3?t	5?t	7 tí
A 60 B)W C>80 D,1Ó E)Í00
23	.- Si S y C son los números que representan
la medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal y centesimal, entonces al calcular.
W =	~~13
yJc+Js Vc-Vs
se obtiene:
A)8	B)7	C)6	D)5	E)4
24	.- Si S y C son los números que representan
la medida de un ángulo en los sistemas con-
vencionales, éstos verifican:
n /
S = (
1 + é)0 + cTí X1 + C+2	términos
Calcular la medida del ángulo en el sistema
sexagesimal.
A)»” B>(i) o(to)’ D)(ior E)(^J
25	.- La mitad del número que expresa la medi-
da en grados sexagesimales de un ángulo ex-
cede en 52 al quíntuplo de su medida en
radianes Calcule dicho ángulo en grados
centesimales, considerando n = 22/7.
A) 160 B) 150 C)140	D)130 E) 120
26	.- La media armónica de los números que
representan la medida de un ángulo en grados
sexagesimales y centesimales es igual a 36 ve-
ces el cuadrado de la media geométrica de las
mismas. Halle el ángulo en radianes que sa-
tisface la condición dada.
A) 6840	B) 5200	C) 4360
r.,	p x
> 3820	' 252Ó
27	.- El número que representa la medida de un
ángulo en grados centesimales mas el triple
del número que representa la medida del mis-
mo en grados sexagesimales es 37/ti veces el
cuadrado del número que representa su medi-
da en radianes. ¿Cuál es la medida del ángulo
no nulo en radianes?.
A) 50 B)40	C)30	D)20 E) 10
28	.- Al sumar los números de ('9 y (m) que dan
la medida de un ángulo se obtiene 367 400.
Encontrar dicho ángulo en el sistema radial.
A) 20	20 C) 20 D) 20 E) 20
29	.- Se tiene un ángulo trigonométrico positi-
vo, tal que el producto de sus números de mi-
nutos sexagesimales y centesimales es igual a:
(o + b)2 + 8ab
I8ab
a. b € R
¿Cuál es el menor valor del ángulo en el siste-
ma sexagesimal?
A) 1" B) 18" C) 36" D) 18" E)54"
Sistemas de Medida Angular
30.- Si a y b son valores que representan el
número de (') y (s) de un ángulo respectiva-
mente, entonces el valor de la expresión:
f nC-20R
[tiS-120R J
4a —16¿>
W =----------- , es:
calcule el valor de R.
A) 350 B)200 Q150 D) 100 E)50
31.- La suma de los (") y ('") de un ángulo es
33400. Determinar dicho ángulo en el sistema
radial.
A) 1X12 B)ti73 C)7t/9 D)ti/90	E)7tZ30
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
36.- La semidiferencia de los números que re-
presentan la medida de un ángulo en grados
centesimales y sexagesimales es a 7 veces su
producto como su suma es a 133 veces el nú-
mero que representa la medida de ese ángulo
en radianes. Encontrar la medida de dicho án-
gulo en el sistema radial.
32.- Si S, C, R son los números que represen-
tan la medida de un ángulo en los sistemas
convencionales, determinar:
36000
A)----—
7t
72000
*0	2
Q
Tt2
3600
W =
60—VÍ9
71
Vc2-s2
D) 72000
E) 180
A)5	B)4	C)3	D)2 E) 1
33	.- Si S, C y R representan el número de gra-
dos sexagesimales, centesimales y radianes
que mide un ángulo, éstos verifican:
10S + 3C + R = 2403,1416
Si además: n= 3,1416, calcular la medida del
ángulo dado en radianes.
A)~	B)^ C)y D)2n E)n
34	.- Siendo S, C y R los números convencio-
nales, y verificándose que:
mS + n ,C=20R a 6m + 5n = 77t/12;
calcular:
3	5	9	10	2
A>Í B)| C)^ D)^ E)j
35	.- Siendo S, Cy R los números convencio-
nales, se sabe que estos verifican:
37.- Si “R" es el número de radianes de un
ángulo, que verifica la siguiente igualdad:
=2-	1	;
VR-1
calcular la medida de dicho ángulo en el siste-
ma sexagesimal.


38.- Si los números SyCrepresentan las medi-
das de un ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal respectivamente, y se verifica que:
x2(C-S)=x4-x2+l , x>0 ;
calcule en radianes el valor mínimo que puede
tomar la medida de dicho ángulo.
A>15 b>S c)^ e>íó
39.- Si S, C y R representan el número de gra-
dos sexagesimales, centesimales y radianes
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ftk RACSO
PaDiToaas
que mide un ángulo y que verifican:
n
162SCR 12R(C-S)
5n
calcular el ángulo en radianes.
5it 1571	277t 1371	2271
A) -y B>4 c)“y D)-6~ ^7
40.- La medida de un ángulo expresado por
los números convencionales, verifica que:
yS2=xC2
Calcule dicha medida, si además se cumple:
A) 108	B)123 C) 120 D) 127 E) 130
44.- El triángulo ABC es equilátero donde AD
y AE dividen el ángulo “A” en tres ángulos
congruentes. Determine “a + P” en rad anes.
20RS? rcf
9n J +[ioj =X (1)
A) 10° B)20°	C)40° D)90°	E)100P
A)5n/4
B)4ti/5
C)4tt/3
D) 3ti/5
E) 5ti/6
ANGULOS EN FIGURAS GEOMÉTRICAS
41.- Determine la medida en radianes, del án-
gulo desigual de un triángulo isósceles en el
que cada uno de los ángulos de la base es
cuatro veces la medida del ángulo desigual.
A \ 71 n \ 71	71	T"\\ 7T I-71
A) 9 B)y	O5	D) E)^
42.-De la figura mostrada, se tiene que BD y
CD son bisectrices del Z B y Z C respectiva-
mente. Determine:mZDen radianes.
A) 5ti/9
B)7ti/8
C)ti/3
D) 771/9
E)5ti/4
E)7/12
Sistemas de Medida Angular
T1
21
47	.- En la figura mostrada determine el ángulo
A en radianes
A) 1171/18
B) 12n/59
C) 1371/36
D)3ti/31
E) 5ti/39
48	.- En la figura mostrada determine la medida
del mayor ángulo interior en radianes.
A)í*
49	.- Los valores que expresan las medidas de
los ángulos internos de un cuadrilátero en el
sistema M, están en progresión aritmética. Sa-
biendo que el menor de ellos mide 5 grados M,
encontrar la medida del mayor ángulo interno
en dicho sistema, si se sabe que 50 grados
centesimales equivale a 40 grados M.
A) 140M	B)145M	C)150M
D)155M	E)160M
50	.- En un hexágono los ángulos interiores a,
b, c. d, e,f están en progresión aritmética, tal
quef<e<d<c<b<a. Si la medida del mayor
es 125°, calcular la medida del menor ángulo
en radianes.
11771	2371	_ 11971
' 180	' 36 J 180
17n	1217t
D) 16	E180
| REGLA MNEM0TÉCN1CA SOBRE F1 (7t) j
El numero n, que se obtiene como la razón de la longitud de la circunferencia al diámetro,
tan familiar a todos los estudiantes, hace ya muchos años, ha sido calculado nada menos
que con 707 cifras exactas. Esta hazaña de cálculo fue realizada por W. SHANKS (1 873),
y aunque en la actualidad este número de cifras ha sido largamente superado, ocurre que
estas 707 cifras figuran grabadas a lo largo del friso circular en que se apoya la cúpula del
"Palais de la Decouverte". Para ninguna aplicación práctica con p son necesarias tantas
cifras, bastando usualmente los valores aproximados 3,14 ; ó 3,1416 ; ó 22/7.
De todos modos, como regla mnemotécnica para recordar las 32 primeras cifras, se puede
acudir a los siguientes versos, originales del ingeniero R. Nieto París, de Colombia:
Soy rt, lema y razón ingeniosa
de hombre sabio, que serie preciosa
valorando, enunció magistral
Por su ley singular, bien medido
el grande orbe por fin reducido
fue al sistema ordinario usual.
Si se sustituye cada palabra por el número de letras que la forma , obtendremos el
siguiente desarrollo decimal para rt: ti = 3,1415926535898932384626433832795—
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Pbditom*b
Es una porción de círculo limitada por dos radios y un arco comprendido entre ellos.
mÁB ... longitud de arco
Z AOB ... ángulo central
r = OA... longitud del radio
2.2. LONGITUD DEL ARCO (fí________________________
Un arco de circunferencia es una porción de ella que es
subtendida por un ángulo central y cuya longitud depende
directamente de la medida del ángulo que lo subtiende y del
radio de la circunferencia a la que pertenece, así:
1 = 0.r
0 < 6<2n
Fórmula Especial: De la fórmula anterior se deduce:
2.3. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR (S)
El área de una región circular se puede determinar, utilizando las siguientes fórmulas:
c _ 6r2 _ l-r _ ¿
2 “ 2 “ 20
Nota.- En las fórmulas mostradas, el ángulo central debe estar expresado en radianes.
Longitud de Arco
T2
2.4. ÁREA DE DIN TRAPECIO CIRCDLAR (Sr)
2.5. APLICACIONES MECÁNICAS
2.5A Número de vueltas (n)
Si una rueda de radio r se desplaza, sin
resbalar, una distanciad sobre una superficie,
el número n de vueltas que habrá dado en
dicho recorrido está dado por:
d
n — o _
Cuando la superficie es curva, el número
de vueltas viene dado por:
2.5B1 Engranajes.- Las longitudes de arco,
definidas por el contacto entre dos poleas o
piñones, son iguales. Esto se denota así:
2.5B2 Poleas.- Las longitudes recorridas por cual-
quier punto del borde de las poleas son iguales
a la longitud recorrida por un punto de la faja.
2.5B3 Transmisión por un eje.- Los ángulos
centrales barridos son iguales, es decir:
Siendo: r = radio de la rueda que gira
n = número de vueltas que da la rueda
/c = longitud recorrida por el centro de la rueda
2.5B Transmisión de Movimientos
Los sistemas mecánicos que permiten trans-
mitir movimientos pueden ser debido a un
contacto entre sus elementos o unidos a tra-
vés de una faja o un eje.
"RACSO
ÍDITO1EI
T2
24
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PROB. 1
Dado un sector circular de ángulo central 120°
y radio 30 m, se pide:
a)	El valor de la longitud del arco que lo limita.
b)	El área del sector circular comprendido.
RESOLUCIÓN

Graficamos:
hasta el punto C, calcule el número de vueltas
que da la rueda durante su recorrido.
RESOLUCIÓN
Recordemos que en el juego mecánico de la
montaña rusa, el recorrido se ha diseñado de
manera que los coches nunca se de prendan
del riel que los conduce, con lo que está
garantizado que las ruedas puedan girar en
contacto con aquél.
El ángulo central (120°) lo expresamos en
radianes, es decir:
120°. ’J""7 = ^rad =» 120°= ^rad
loU o	o
Luego:
a)x = -3- . 30/ti	x = 20 mn
b) Conociendo el radio y el ángulo central en
radianes calculamos el area del sector circular:
í|((30m)2
S =	\S = 300 ron2
PROB. 2
La figura muestra la rueda de un coche de
una montaña rusa, cuyo radio mide «r». Si éste
es liberado en A, y de desplaza (sin resbalar)
La línea de trazos muestra la trayectoria que
describe el centro de la rueda en todo su
recorrido, de manera que si solo hay rodadura,
se deberá cumplir que el número de vueltas
está dado por:
"i = 2kÍ57 ; pero: 'ic=Í '5r
Longitud de Arco
T2
25
Perímetro = 8 m
Del gráfico:
Perímetro = 2R + L
Donde deducimos que:
L = 8 - 2R ... (1)
Finalmente, el número total de vueltas que
da la rueda es:
— fl । + /?2	—
25
4
nT = 10 vueltas
40
4
PROB. 3
2
El área de un sector circular es de 4m , su
perímetro es de 8 m. Calcular el radio del círculo.
RESOLUCIÓN
Usando la siguiente relación tendremos:
Asc =	= 4	=> R.L = 8 ... (Z)
Reemplazando (1) en (2) obtenemos:
R(8 - 2/?) = 8	=$ 8R - 2R2 = 8
Luego :	2/?2 - 8R + 8 = 0
R2-4R + 4 = 0
/?X\-2
2
Area del sector circular:	= 4m
Finalmente:	R = 2 m
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Para calcular la longitud de un arco de un sector circular necesariamente el
ángulo central debe estar expresado en radianes, de lo contrario, se tiene que
convertir previamente.
2)	Cuando se determina el área de un sector circular, el ángulo central debe estar
expresado en radianes, y luego de acuerdo a los datos utilizar una de las fórmulas
dadas del área.
3)	El número de vueltas que da una rueda sobre una pista, se determina mediante
el recorrido que realiza su centro respecto de la superficie sobre la cual realiza su
rodadura. Esta relación sólo se verifica si la rueda no resbala sobre la superficie.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
*P*DlTOBaB
Enunciados de Problemas
con Resolución
LONGITUD DE ARCO
encontrar “x” en
01.- Calcular la longitud del arco que subtiende
un ángulo central de 17 Io 53' 12" en un sector
circular cuyo radio mide 40 cm. (Considerar:
1 rad =51° 17'44").
A)688cm	B)120cm
D)240cw E) 480 cm
C) 100cm
04.- De la figura mostrada
términos de “a” y “b".
b
02.- Del gráfico adjunto, se tiene un sector
circular AOB siendo O, A y B centros de los
arcos AB, ÓR y OQ respectivamente. Deter-
minar: M = + Lg, si: AO = BO - 6 cm.
A)^Í
A) a-b
D)^-
a+b
&)—h
a+b
C)
'a+b

A)	7t/4 cm
B)	7t/2 cm
Q3n/2cm
D)7t cm
E)2tic/h
05.- En la figura mostrada, BOC y AOD son
sectores circulares, OA = L¡¿, AB = La- De-
terminar la medida del ángulo central (6 > 0) en
radianes.
03.- En la figura mostrada, AOB es un sector
circular, BDC es una semicircunferencia de
centroOp OA ± DOi,mZ. AOB=45°,O1B=4.
Calcule el perímetro de la región sombreada.
A) 73/71
B)ti/4
C) 71-1/7
D)(75 -1)/2
E) 2>/5
06.- Con la ayuda de la siguiente figura:
A)7t(3+V2)
B)7t(5 + T2)
C)7t(3-V2)
D)7t(4-T2)
E)7t(4 + V2)+4j2
Calcular: M =
A) 1 B)-l
Kz-yXy-Jt)
I be
C) 2 D) -2
x
a
E) 0
Longitud de Arco
07.- Un móvil se desplaza con movimiento uni-
forme sobre un arco de circunferencia cuyo
diámetro mide 100 m. Si en 20 s recorre un
arco subtendido por un ángulo de 508, ¿cuál
es su rapidez en m/sl
A) 5ti/8 B)ti/3 C)2ti/5 D) 3ti/7 E) ti/4
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
08.- En la figura mostrada, AOB y EOF son
sectores circulares cuyas áreas están en la re-
lación de 16 a 1. Determine en qué relación
están las longitudes de los arcos EF y AB.
A) 2 B) 1/4 C) 3
D) 2/3 E) 1/2
09.- En la figura mostrada, se cumple que:
R(6R + L) = 80
Calcule el área del sector circular AOB.
A) ti/40 B) 7t/20 C) Ti/10 D)ti/5 E) ti/3
12	.- Determine el perímetro de la región
sombreada en la figura, donde “O” es el cen-
tro del arco AB y “M” es el centro del arco
ÑB. Además se sabe que: AN = MB = 2 -Jl. .
A)
5^2
+ 71+ —2~ 71
13	.- En cierta zona de un parque de diversio-
nes se ha instalado una regadera a ras del piso;
la cual tiene un alcance máximo de 6 m. Des-
pués de girar 150°; se barre en la superficie,
un sector circular cuya área (en ni") es:
A)	10
B)	20
C)	30
D)40
E) 60
A) 371 B) 571 C) 971 D) 1271 E) 1571
14	.- En la figura AOB es un sector circular,
AO ± OB, AO = OB = 8 crn; C, D y E son
puntos de tangencia. Calcule el área de la re-
gión sombreada en cm2.
10.- Se tiene un sector circular en el que si du-
plicamos el ángulo central y el radio, obtene-
mos un nuevo sector de área “A”. Si el área del
primer sector circular es “B”, evalúe: A/B.
A) 16 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1
11.- En un sector circular de radio V36/7 , la
medida del ángulo central es
Calcule el área del sector.
¿>E(5fc)m
(15¿>)m
A) n| 64-¿2 -26]
B) 7t[82V2-34]
C) 7t[ 128 V2 -176]
D) 7t[136 ¿2 +12]
E) 71(15272-138]
15.- En la figura mostrada, AOB es un cuarto
de circunferencia, siendo AB = 3 -J1 m. Cal-
cular (en m ) el área de la región sombreada.
¿•RACSO
WlDITOlEl
T2
28
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
m Z AOC = 2a
m Z COD = 3a
m Z DOB = 4a
A) n/3 B) ti/4 C)2ti/3 D) 3ti/4 E) 5ti/2
16.- A partir de la figura, calcular “6” si se
sabe que: 13S, = 7S2- Considerar ti = 22/7.
A)	1/2
B)	1
C)	1/3
D)	1/4
E)ti/3
17.- Si el área del sector circular AOB es 3n,
determine la longitud del arco CD. Además
se sabe que; AC = BD = 2
A)	5tt/3
B)	4tt/3
C)	n
D)	2ti/3
E)ti/3
TRAPECIO CIRCULAR
18.- En la figura mostrada, AOB y OCD son
sectores circulares, OA = 3OD. Calcule la re-
lación entre el área del trapecio circular ABCD
y el area del sector circular DOC.
A) 12 B)10 C)8
D) 6 E)4
19.- Siendo “S", “C” y “R” los números que
expresan la medida de un ángulo en los siste-
mas sexagesimal, centesimal y rad al, se pide
calcular: “6”
A)	Tt/10
B)	10/7t
C)2/n
D) 71
E) 4/ti
20.- De la figura mostrada, determinal el área
de la región sombreada:
A) 2
B)4
C)6
D) 8
E) 10
21	.- De la figura mostrada, calcule “0” (en rad),
si el área del trapecio circular ABCD es de 5 of
A)	1/4 rad
B)	1/2 rad
C)	1 rad
D)	1/3 rad
E)	1/5 rad
6 rad
22	.- De la figura mostrada, calcular el área de
la región sombreada:
A)	6r2
B)	26r2
C)	36r2
D)	46r2
E)	56r2
23	.- En la figura mostrada, determine el valor
de “L" si la región sombreada tiene un área de
20 m2.
Longitud de Arco
29
A) Im
B)3m
C) 5 m
D)7m
E)9m
28.- En la figura mostrada:
a = 210-40x , t = 7x2-30x.
Si el área del trapecio circular tiene valor mí-
nimo, entonces la medida de su ángulo cen-
tral en radianes es:
24.- En la figura mostrada se verifica que:
2.OA = AB y OC es bisectriz del Z BOD
Determinar: S-JSj.
B
A) 4,25
B) 3.75
C) 3,15
D) 2,55
E) 1,35
APLICACIONES MECÁNICAS
29.- En la figura mostrada determinar el nú-
mero de vueltas que da la rueda de radio r al
desplazarse, sin resbalar, por el arco AB = L:
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
25.- En la figura mostrada, AOB y COD son
sectores circulares, en donde: AC = BD = x,
OC = OD = 2,I1fi = (x + 2) y I^ = (a- 1)
Calcule el área del trapecio circular ABCD.
A) 15/2
B) 17/2
C) 21/2
D) 23/2
E) 25/2
26.- El perímetro de ui^ sector circular mide 6
m y su área es de 2 m . Calcular (en rad) la
medida del mayor ángulo central que verifica
estas condiciones.
30.- Una bicicleta que tiene ruedas de radio
“r” recorre una pista circular de radio “/?”, pla-
na y horizontal; determinando sobre ésta un
ángulo 6o. Determinar el número de vueltas
que dará una de sus ruedas.
A)^
_6R_
B) 360r
o «L
180r
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
27.- Determinar el área máxima de un trape-
cio circular cuyo perímetro es “p”.
D)26R
7 nr
E)
TtR
2	2	2	2
B)^- C)^- D) y- E)p2
2	4	O	lo
31.- Sobre una pista circular plana y horizon-
tal se desplaza un atleta con una rapidez de
17,6 kmlh y recorre un arco que subtiende un
ángulo de 56° en 36 segundos. Calcule (en m)
el diámetro de la circunferencia, si: n = 22/7.
T2
30
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
A) 360 B) 300 C)270 D) 240 E)240
32	.- En el sistema mostrado, el disco A gira
90°. Asimismo se sabe que: rA = 3. rB = 5, r^ =
1. Calcule la medida del ángulo que gira el dis-
co C.
A) 18° B) 27° C) 36° D)54OE)62<’
33	.- Los radios de las ruedas de una bicicleta,
son entre si como 3 es a 4. Calcular el número
de vueltas que da la rueda mayor cuando la
menor gire 8n rad.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
34	.- ¿Qué distancia recorre el bloque si se gira
la manivela un ángulo de 6 rad. Se sabe tam-
bién que: q = 6, r2 = 9 , r3 = 12.
manivela
A) 20 B) 40 C) 60 D) 80 E) 100
35	.- Dos ruedas de radios R y r, tal que: R>r,
recorren la misma longitud L. Si la diferencia
del número de vueltas de la menor y la mayor
L	,	, r , .
es , entonces al evaluar: p-, se obtiene:
A) 3/4 B) 1/4 C) 1/2 D) 3/5 E) 1/6
36	.- Determine el número de vueltas que dara
la rueda de radio 2 cm, al desplazarse desde
“A” hasta tocar la pared vertical (7i = 22/7).
37	.- En la figura mostrada se sabe que n es el
número de vueltas que da la rueda de radio r
(r = 1 m) al ir del punto A hasta el punto E
sobre la superficie indicada. Se pide determi-
nar el valor de: 44 n. Asumir que: n = 22/7.
A) 125 B) 175 C) 267 D) 295 E) 376
38	.- Los radios de las ruedas de una bicicleta
son 20 cm y 70 cm respectivamente Calcular
(en m) el espacio recorrido por dicha bicicleta,
si se sabe además que la diferencia del número
de vueltas que dieron cada una de las ruedas para
recorrer el espacio anterior fue 100. (n = 22 / 7).
A) 174 B) 175 C) 176 D) 177 E) 178
39	.- Si una rueda de radio "6a" se mantiene
fija y otra rueda de radio "a", puede girar al-
rededor de ella. ¿Cuántas vueltas dará la rue-
da pequeña si parte y llega al mismo punto
por primera vez?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
40	.- Calcular el número de vueltas que da la
rueda de radio Im al recorrer el perímetro de
un triángulo si el perímetro de este es de 44 m.
Considerar 7i = 22/7.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Longitud de Arco
3.1. DEFINICIONES DE LAS R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS_________________
Sea a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura,
entonces se definen:
Cal Opuesto
Hipotenusa
Cat. Adyacente
Hipotenusa
TANGENTE
Cat. Opuesto
Cat Adyacente
Hipotenusa
Cat. Opuesto
SECANTE
Hipotenusa
Cat Adyacente
COTANGENTE
Cat Adyacente
Cat Opuesto
2	2	2	'
a + b ~c Teorema de Pitagoras
c > a ; c > b
a sena = —	b eos a = — c	tana = b	, b cota = -	seca= ¿	c csc a = — a
3.2. PROPIEDADES_______________________________________
3.2APropiedad Fundamental
Los valores de las Razones Trigonométricas (R.T.) de los ángulos agudos no dependen de
la longitud de los lados que la forman, sino de la medida del ángulo definido por ellos.
3.2B Razones Trigonométricas Recíprocas
Si a es un ángulo agudo, se cumple que:
sen a. csc a =	1	=>	csc a =	I			I
			sena		vt —	csc a
eos a. sec a =	I	=>	sec a =	1		eos a =	1
			cosa	V		seca
tana, cota =1	=> <’ot«=taK(r v tana=<7T<T
T3
32
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A* RACSO
WlDITOlll
3.2C Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarías (Co-razones)
Si ay P son dos ángulos complementarios (a + p = 90°), entonces se cumplirá que:
sen a = eos p	tan a = cot P	sec a = esc p
3.2D Razones Trigonométricas de 30°, 60°, 45°, 37° y 53°.
Se obtienen a partir de los siguientes triángulos notables en donde: k g R+
Razón Trigonométrica	Notación	30°	37°	45°	53°	60°
seno	sen	1/2	3/5	<2/2	4/5	<3/2
coseno	eos	^3/2	4/5	<2/2	3/5	1/2
tangente	tan	V3/3	3/4	1	4/3	<3
cotangente	cot	<3	4/3	1	3/4	<3/3
secante	sec	2<3/3	5/4	<2	5/3	2
cosecante	CSC	2	5/3	<2	5/4	2<3/3
Sobre ha base de los triángulos anteriores se pueden construir otros, de relativa
importancia, para obtener de ellas sus Razones Trigonométricas.
24 k


V2 + >/2Jt
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
PROB. ]
Si a es un ángulo agudo, tal que:
tan a = 0,75 , obtenga los valores de:
a) Todas las razones trigonométricas de a.
b) tan a/2
c) tan 2a
RESOLUCIÓN
****♦***♦**♦****♦*
a) Si tan a = 0,75 =
Entonces por Pitágoras: x2 = (4)2 + (3)2
a 1
tan 2 - 3
c) En base a) primer triángulo construimos
un triángulo en su interior donde figure el
ángulo 2a.
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo
sombreado.
x2 = (3)Z + (4-x)2 => x2 = 9 + 16 + x2-8x
Luego:
3
sen ct = 5
.	3
tan « = 4
5
sec a =
4
eos a =
.	4
cot a = 2
5
esc a = -3
=>	8x=25 => x — ~
O
3	3
Luego: tan 2a = /¡_x = ------25
4-_íT
24
.-. tan 2a = -y-
b) A partir del triángulo anterior construimos
un nuevo triángulo en donde figure a/2.
Entonces se tendrá que:
PROB. 2
Si se cumple que:
sen (x - 40°) sec (2x + 10o) = 1
tan (3y + 10°) cot (2y + 30°) = 1
sen(x-10°) + cos(y + 40°)
cacue. E	tan(x + 50) + cot(y + 250)
T3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
2* RACSO
RDlTOBia
RESOLUCIÓN
tan (3y + 10°) = tan (2y + 30°)
De la primera relación se obtiene;
senfjf- 40°).	= 1
=> senfx - 40°) = eos (2x + 10°)
Esta igualdad se verifica cuando los ángulos
son complementarios, luego:
(x- 40°) + (2x + 10°) = 90°
=> 3x=120°	=> x = 40°
De la segunda relación se desprende que:
tan (3y + 10°) . tarl(2y+30'’) = 1
Esta igualdad se verifica si los ángulos son
iguales, luego:
3y+10° = 2y + 30° =>
Finalmente: E =
sen 30°+eos 60°
tan45°+cot45°
11
r- 2	2
E= -í—r
y =20°
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Cuando ui ángulo es agudo, y se conoce una de sus 6 razones trigonométricas,
es inmediato el cálculo de los valores de las razones trigonométricas restantes,
simplemente construyendo un triángulo rectángulo ubicando a continuación uno
de los ángulos agudos, e identificando sus lados, de acuerdo con la razón
trigonométrica dada, y finalmente aplicamos el teorema de Pitágoras.
2)	Cuando una razón trigonométrica es igual a su re pectiva co-razón trigono-
métrica, inmediatamente se debe asumir que la suma de sus ángulos es 90°.
3)	Toda vez que una razón trigonométrica de cierto ángulo es igual a la misma
razón trigonométrica de otro ángulo, entonces se debe afirmar que dichos ángulos
son iguales (pero esto ocurre solo cuando se trata de ángulos agudos)
4)	Ante la presencia de las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 60°, 45°,
37° y 53°, debemos utilizar sus respectivos triángulos notables de dichos ángulos.
5)	Si se tiene el valor de una razón trigonométrica de un ángulo agudo, y se desea
calcular los valores de las razones trigonométricas del ángulo mitad o del ángulo
doble, se procede a realizar construcciones geométricas adecuadas.
Ra&nes Trigonométricas de Angulos Agudos
T3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
01.- De un triángulo rectángulo ABC, se cumple:
tan A + tan C = 2. Calcular el valor de:
M = esc A . esc C
A) 1/2	B)1 Q2 D)l/3 E) 3
02.- En el triángulo rectángulo ABC (A=90°), se
sabe que: cot C + cot B = 4; entonces al calcular
F = 16 sen B.sen C.cos B eos C se obtiene:
A) 1/4	B)l/2	C)1	D)2	E)4
03.- Se tiene un ángulo agudo “6” tal que:
21
tane= —
1
Calcular el valor de: M = — sen 6 + 4 eos 6
A) 1	B)2	03	D)4	E)5
04.- En un triángulo rectángulo ABC se sabe
que. ni Z. ABC = 90°. En este triángulo se veri-
fica que:
2 sen A = esc C
2.
Calcular.	W = tan C -
A) 1/8	B)l/4 Ql/2 D)1	E)2
06.- En la figura mostrada, ni Z ABC = 90°,
m/CAl!=a,mZCDB = 6,DB = 3,CB=¿¡.
Ademas : tan a + tan 6 = 77. Encontrar el
valor de a:
A) 124
B)142
C)168
D)186
E)210
05.- Calcula la secante del mayor ángulo agu-
do de un triángulo rectángulo sabiendo que
sus lados están en progresión aritmética.
A)5/3	B)5	C)4/3 D)3/4 E) Jí
T3
36
07.- En la figura mostrada m Z ACB=90°, AC = b,
BC = a, AB = 2 -Job ,a<b. Calcule: tan 6.
A) 72 + 75
B)2- 75
C) 73 - 72
D)2+ 73
E)3- 72
08.- A partir de la figura mostrada, determine
el valor de: M = cot a - tan p, si: AB = CD.
A) 1/2	B)2	C)3	D)1	E)l/3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
09.- El perímetro de un rectángulo es de 492 m
y su diagonal forma con la base un ángulo
cuya cotangente es 1,05. Calcule dicha diago-
nal (en m).
13.- El perímetro de un triángulo rectángulo es
132 u, y suma de los cuadros de sus lados
es 6 050n~. Calcule la tangente del menor án-
gulo agudo.
A) 140 B)158	C)166 D) 174 E) 182
10.- A partir de la figura, calcule el valor de:
3	5	R 1
A)i C) 3 D)h e>3
2.sen6
11.- En el gráfico mostrado, se sabe que:
AD = CD = a; AB = £>.
T. Í6\	' -	.
Exprese cot 1^1 en términos de «a» y «£»>.
14.- En la figura mostrada, ABCD es un cuadra-
do de lado L y E es punto medio de AD. Calcu-
le la longitud del arco BC aproximadamente.
A)7tL/17
m 7tiL
B) 25
Q 9 71717
25tiL
> 53
p. 53-J5 7tL
} 360
b + Jab
15.- En la figura mostrada m Z. ABC = 90°. Si:
12x
tan A =	y 10(6c - b) = b-c
A) y
\2ah-b2
D) b + ^la.b
a + -Jbja
entonces al calcular x se obtiene:
12.- En un paralelogramo los lados adyacen-
tes miden 8 ni y 16 m. Si el ángulo comprendi-
do entre dichos lados mide 60°, determinar la
longitud de la menor diagonal.
A) 2^	B)4£
D)873	E)16-j3
C)673
R.T. RECÍPROCAS
16	.- Calcular el valor de:
|(4cos3íF+9señ54“)sec3(?^
M= V cotl8<’.cot72<>
A) 13 B)JÍ3 C)5 D) J5 E)3
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
T3
37
17	.- Calcular el valor de “x” que verifica:
sec(3x—15°) _ senlO°+sen2O°+...+ sen8O°
’Z cosl0°+cos20°+...+ cos80°
siendo x un ángulo agudo.
A) 15“ B) 12,5° C)16° D)37° E)25°
18	.- Si se verifica que:
sen(50°+x) -cos(40°-x)+tan(x+ 10°)-tan(.r+40°)=l
2 3X
Determinar: M = sec 3x + cot —
A) 1	B)2 Q3 D)4	E)5
19.- Siendo x, y, z ángulos agudos q ue se rela-
cionan así:
sen(A + j)-cos(85°-j-z) = 0 ... (1)
tan 2x. tan 3z = 1 ... (2)
Calcular: M = tan(2x + 11°) - tan (a + z)
A) 3/4	B)l/5 C)7/9	D)1	E)7/12
20.- Sabiendo que:
A = tan 1°. tan 2°. tan3°... tan 45°
B = tan 46°. tan 47°. tan 48°... tan 89°
Calcular: M = (A. B)2. tan ( A.B.^J
A) 3	B)2 Ql/2 D) 1/3	E)1
a£>(senlO°—l) + a2 —£>2cos80°
abl cos80°+1)+a2 + ¿2sen 10°
1 + M
Simplificar: -—~
A)bfa B)2 C)2a!b D)3b/a E)alb
22	.- En el triángulo rectángulo ABC, recto en
B, se verifica que:
(sen A)(cosC) + (eos C)(sen A) =
Calcu ar el valor de sen A.
A) 3/5 B)j2/2 01/5 D) 75/2 E) 1/3
23	.- A part r de la figura mostrada, calcule “a”
si: AD = DC y sen (39° - 6) = eos (14° + 36).
E)27
24	.- Sabiendo que 6 es un ángulo agudo y que:
csc (6 + 20°) = 2 tan 10°.sen 20°.sec 70°. tan 80°
calcular: M = eos 66 + tan (56 - 5°)
A) 1/2	B)1	C)3/2	D)2	E)5/2
25	.- Sabiendo que se verifican las siguientes
relaciones:
sen (5a + 2b + c) = eos (20° - 3a) ..(1)
eos (4J + e) = eos (40° + e) ... (2)
a + b=~ rad ---(3)
o
3
Calcular: D = tan (10° + 2c + y J)
A) 75 B) 1 C) 75 /3 D) 1/2 E) 1/3
R.T. DE ÁNGULOS NOTABLES
26	.- De la figura mostrada, calcular: “tan 6”, si
se sabe que:
mZOBC=6 a mZOCB = 37°
Además: O es centro de la circunferencia.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITO1II
A) 1/3
B)2/5
C)3/7
D)5/4
E)2/3
27	.- De la figura mostrada, calcular: tan 6.
A)1	B)3/4 C) 4/3 D)73/5 E)2/3
28	.- Si ABCD es un cuadrado, calcular: “tan jc”
A)	11/19
B)	21/25
C)	13/16
D)	14/19
E)5/12
29.-Calcular el valor de “a” si:
2a (sec 45° - sen 45°)sec 60 = 4 eos 60° - a
A) 1	B)-2	C)3	D)-3	E)5
30.- Si se cumple que:
sec 0 = tan 60° + sen 30°, donde 0 es agudo
Calcular:
M = J5 .tan 0 +
A)4	B)8	06 D) 10	E)12
31.- Al calcular:
Jcot330°-6.sen60° +csc245°
-----------------F--------Q
cot45o.sen"60°+v3.csc60ü—
Se obtiene:
A)5	B)4	C)3	D)2	E)1
32	.- Si x es igual a 15°, entonces al calcular:
. i* -n
tan 4x + cos 3a 2.	. -
W =---------=-----+ cot 4a, se obtiene un
sen 2x
número de la forma . Evaluar a + 3
A) 25	B)18 C) 6	D)22	E)35
33	.- De la figura mostrada, calcular el valor de:
M = tan(20 - 30°). cot 0
^loXX^ \
_____________________eX
A	14	C
A) 1	B)2 C)V3/3 D) E)3/4
34	.- En la figura mostrada ABC es un triángu-
lo rectángulo isósceles, donde D es punto
medio de BE . Calcule: cot a.
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
MISCELÁNEA
43.-SÍ; tan(fl-¿)= 1 a tan (a + b) = -J3
35	.- Los lados de un triángulo rectángulo es-
tán representados por tres números en pro-
gresión aritmética. Calcular el coseno del me-
nor ángulo agudo.
A) 0,6 B) 0,5 C) 0,4 D) 0,7 E) 0,8
36	.- En un triángulo isósceles ABC (AB = AC)
se sabe que: eos A = 0,6. Calcular tan B.
A) 1	B)2 C)3 D) 1/2 E) 1/3
37	.- Si: sen 3x=eos 75°, calcular "v" (agudo)
A) 10° B)15° C)20° D)5° E)30°
38	.- Si: tan (2a + 25°) = cot (5a - 5°).
Determinar "x" (agudo)
A) 10° B)20°	C)30° D)40° E)45°
39	.- Calcularx en:
tan (jc+ 41°). tan (2a - 3 Io) = 1
A) 26.3°	B)26°30’	C)26°40’
D)30°40’	E)30°
„	. Í5x-96O\	1
40	.-Si:	cot I--5—I =------, . , ,
1 2 ’ “•(*)
entonces el valor de x es:
A) 36°	B)30° C)45° D)20° E)35°
41.- Si: cot 2a - tan 3y = 0 , y , 2a - y — 10°
El valor del mayor ángulo agudo es:
A) 15° B) 20° C) 25° D) 35° E) 45°
42.-Calcular: a + P ,si:
sen a - eos 2P = 0 a sen P. esc 4a = 1
A)20° B)30° C)40° D)50°	E)60°
Calcular: a±b
A) 1	B)3	C)5	D)7	E)9
44	.- En la figura: ¿ Cuál es el valor de	?.
4—2 <3—4
A)4>/3 B)6	06 D) 12 E) 12^3
45	.- ¿Cuál es la distancia x en la figura?
A) 240
B)300/-j3
C)400/^3
D)250^-
E)175
46	.- El valor de la expresión:
cot226+sec26 n -,„n
E =----sec20----- ’Para6 = 30 es:
A) 10/3 B) 3/2 C)5/6 D) 1/2 E)2/3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
nACSl'
4.1. DEFINICIÓN______________________________________________
Resolver un triángulo rectángulo es determinar la longitud de sus lados y la medida de
sus ángulos agudos, para lo cual deben ser conocidos al menos un lado y un ángulo agudo.
En la resolución de triángulos rectángulos se presentan tres casos los que se resuelven
por medio de un determinado grupo de teoremas.
4.2. TEOREMAS
4.2A TEOREMA 1. Conocida la Hipotenusa (m) y un ángulo agudo (a). Fig. (a)
4.2B TEOREMA 2. Conocido un ángulo agudo (a) y su cateto adyacente (m). Fig. (a)
4.2C TEOREMA 3. Conocido un ángulo agudo (a) y su cateto opuesto (m). Fig. (a)
En general.- En cualquier triángulo rectángulo, se tiene:
Incógnita = (Dato) • R.T. (Z)
Donde:
Incógnita
Dato
= R.T. (Z)
Siendo: Incógnita: El lado del triángulo rectángulo que se desea calcular.
Dato: Es el lado del triángulo rectángulo que se conoce.
R.T.: Es la razón trigonométrica que corresponde al dividir la incógnita entre el dato.
Resolución de Triángulos Rectángulos
T4
41
4.3. AREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Está determinado por el semiproducto de dos de sus lados, multiplicado por el seno del
ángulo comprendido por dichos lados.
PROB. 1
mn
S = serI a
=> 3 sen 0 + sen 0 = 3 eos 0 + 2 sen 0
1.- Si ABCD es un cuadrado, calcule:
En el nuevo gráfico: AD = PQ
2 sen 0 = 3 eos 0
=> tan<¡>=
sen<¡> 3
cos0 — 2
, A 2
=> cot 0 = 3
Luego:	tan 0 + cot 0 = “7“
PROB. 2
En la figura: ABCD es un cuadrado, demuestre
que: p + r = q + I.
RESOLUCIÓN,
En la nueva figura, se observa que:
UkAC.v
D1TOMI
i 42 |
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PR = QS
RESOLUCIÓN
Entonces:
p sen a + r sen a = q sen a +1 sen a
Sean m y n los lados del triángulo y a el ángulo
comprendido.
En el triángulo sombreado:
h .
sen a = — => h = m sen a
m
Luego:
Área A =
basexaltura
2
PROB. 3
Dos lados de un triángulo rectángulo miden
myn. Calcula el área de su región triangular.
Si además se sabe que el ángulo comprendido
entre dichos lados es «a».
Área A =
nxmsena
Finalmente: Área A = sen a
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1) Tratar de buscar triángulos rectángulos en los cuales se conozca mínimamente
uno de sus tres lados y uno de sus ángulos agudos.
2) Una vez Que identificamos al triángulo rectángulo con un par conocido: lado y
ángulo, se aplica la siguiente técnica.
Incógnita = dato(lado) x R.T. agudo)
Resolución de Triángulos Rectángulos
Enunciados de Problemas
con Resolución
TEOREMA 1
OI.- Dada un banderín, como muestra la figu-
ra, calcular <«».
A) b + a eos a
B)b - a eos a
C) b + a sen a
D) b - a sen a
E) b + 2« sen a
02.- En un triángulo rectángulo se conoce uno
de los catetos «m» y el ángulo opuesto «6».
Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
A)	m sen 6	D) ///(sen 6 + eos 0)
B)	m eos 0	E) 2/n sen 0
C)	///(sen 0 - eos 0)
03.- Calcular «a» en la figura:
A)	a - b sen 0	D) a sen 0 + b eos 0
B)	a eos 0 + b sen 0	E) a sen 0 - b eos 0
C)	a eos 0 - b sen 0
04.- En la siguiente figura, G es el baricentro del
triángulo ABC; AD = BD y 3 sen o. - eos a = 3.
Calcular la tangente del ángulo DCG.
A) 3
B)2/3
C) 1/3
D)3/2
E)l/2
05.- La figura muestra un cuadrado cuya área
es 64 //i2 y tal que PC = BP. Calcular AM si
AP =6/n.
16	12 /r
C) m D) -y V5 m
E) 12-73///
06.- En la figura la longitud del segmento PS
y RT es L y la segmento TS es k. El valor de
k está dado por:
441 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
WPIDITOKXB
A) L (sen 0 - sen a)
B) L (sen a + sen 0)
C) L (sen a. sen 0)
D) L (sen a - sen 0)
E) L (sen a + sen 0)
pq eos a
A)	p-gsena
pq sen a
B)	q+ p eos a
pq eos a
C) q — p sen a
pq sen a
D) p + q eos a
P9
E) psen ct+q eos a
07.- En la circunferencia de radio R se ha ins-
crito el triángulo ABC con AB = AC. Si la me-
dida del ángulo BAC es 6, entonces la longi-
tud del lado BC es:
A)	R sen 6
B)	R sen 0/2
C)	2R eos 0
D)	R eos 0/2
E)	2R sen 0
08.- En la figura mostrada, calcular el valor de
“a". Si: AC = 4 y m Z BPC = 53°.
A) 3 eos a + 4 sen a D) 3 eos a - 4 sen a
B)4cosa+3 sen a E)4cota-3seca
C) 4 eos a - 3 sen a
09.- De la figura mostrada, m Z ABC = 90°,
m Z CBD = a ; AB = p ; BC = a ; BD - q.
Calcule a.
10.- En la figura mostrada se cumple: AB = BC=R
y sen~a + eos a = M. determinar: PQ.
ABC y PBD son sectores circulares
concéntricos.
A) RM	B) R/M	C) R(M - 1)
D)R(M+1)	E)RM2
11.- Si ABCD es un cuadrado m Z EBA = 53°.
ni Z DCE = a, m Z BEA = 90°, calcular:
W = 5 V10 . eos a.
A)	18
B)	15
C)12
D)9
E)6
TEOREMA 2
12.- Las bases de un trapecio isósceles son B
y b. Si los lados no paralelos forman con la
base mayor un ángulo 0, hallar el área del tra-
pecio.
.. / B+ ¿A	n
A) I—2~ I - tan 0
B)
cosO
Resolución de Triángulos Rectángulos
T4
45
Bfe „
C) . sen 6
D) (B-~4 fc2) tan 6
A) V2 -1
B)2j2+1 C) Jl + 1
D)2V2 -1
E) J2 +2
B.b
E) 4 tan 6
13.- En un triángulo ABC, recto en B, la me-
diana CM y el cateto B A forman un ángulo 6,
entonces tan 6 es:
A) 2 tan Á B) 2 cot Á C) 2 tan C
D) tan Á + tan C E) 2(tan C + cot Á)
14.- La altura de un cono circular recto es h y
el ángulo de abertura es 2a. Hallar en función
de h y de a, el radio de la esfera circunscrita.
A)	0,5 h sen2 a
B)	0,5 h eos* a
C)	0,5 h tan2 a
D)	0.5 h sec2 a
E)	0,5 h csc2 a
15.- En la figura mostrada se cumple:
AB = CD, m Z BAD = P y /n Z ACD — a,
calcular: cot a - tan P
17.- En la figura mostrada se verifica que:
m Z ABC = m Z AEB = 90°,
m Z CBE = mZ DCE = P , m Z DAE = 0
Calcule tan 0 en términos de alguna razón tri-
gonométrica de p.
A)sen3p
B)cos2p
C) tan3p
D)cot2p
E)sec4p
18.- Si ABCD es un cuadrado, m Z DFA = a, y
además E es punto medio de BC; calcular el
valor de: sec a.
A)	2/3
B)	710
C)
D)2/2
E)/5
C E B
D	A
19.- En la figura mostrada ABCD es un cua-
drado. Determinar el valor de:
16.- En la figura mostrada, m Z ABC = 90°,
m Z DCB = m Z CAB = a, AD = 2 BC. Calcu-
le: tan a.
R = tan jc - 2 tan (x - y)
A) 0,5
B)1
C)l,5
D)2
E)2,5
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos

TEOREMA 3
20.- En la figura, halle AB en términos de R y 0.
A) R tan 0 (esc 0+1)
B) R cot 0 (esc 0+1)
C) R tan 0 (sec 0+1)
D) R cot 0 (sec 0+1)
E) R tan 0 (esc 0 - 1)
21.- En la siguiente figura: AB = a, 2 AB = IX?.
Calcular el área del triángulo EFG.
A) yg tan a B) cot a C) -q¡t tan a
D) yz- (tan a+cot a) E) (tan a - cot a)
22.- En la figura mostrada, determinar1 jc”, si:
NC = a, ni Z ABM = a ymZ. MCN = p.
«secP	ccscP
cot P-tan a	D>cota-tanP
(l CSC P
B> tan a-cot P	E) «<cot a + tan P>
«secP
tan a-cot P
23.- Una circunferencia con centro en O está
inscrita en un triángulo ABC. Si la distancia
de O al vértice A del triángulo es la media pro-
porcional entre las distancias del mismo pun-
to O a los otros dos vértices, entonces la rela-
ción que se establece entre los ángulos del
triángulo es:
2 A	B	C
A)	sen = sen - sen
2 A	B	C
B)	sen = cos-^ - sen
2 A		B	C
C)	sen ~2 = eos . eos
™	2 B	A	C
D)	sen = sen . sen
„	2 C	A	B
E)	sen = sen - sen
24.- De la figura, calcular “a”, si: AC = CD.
A)	a tan 0
B)	2a tan 0
C)	a cot 0
D)	2a cot 0
E)	2a sec 0
25	.- En la figura mostrada BDEF es un cuadra-
do. Si además: m Z DBA = CL,mZ BCA = P;
calcule: cot P-
26	.- En la figura mostrada determinar “x” en
términos de “r” y “0”
Resolución de Triángulos Rectángulos
csc 6 + 1
_rcot0_
l> CSC0-1
E) r tan 6
2
A)	k csc a
B)	y eos a
C)	ksec2 a
k
D)	y sen-a
E)	k tan2 a
27	.- En la figura mostrada se cumple que:
OB - AB = OC = CD. Calcular: “cot 6”
A) V3/3
8)2^3-1
C)	J3 -1
D)	V3 +1
E)	J3
30	.- A partir de la figura mostrada, se pide de-
terminar M, si:
31	.- De la figura, calcular “0”, si se sabe que:
S = área de una región triangular.
28	.- En la figura se muestra un arco de circun-
ferencia. donde: AM = BN. Determine el valor
de:
M = 2 eos 0 + cot 6.
A)1
B)2
03
D)4
E)5
AREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
29	.- De la figura mostrada se sabe que:
m Z BC A = m Z ADC = 90°; m Z ABC = a
Si además el área de la región triangular ADC
es k, calcule el área de la región triangular ABC.
A) 45°
B)37°
C)30°
D)60°
E)53°
32.- En la figura mostrada, evaluar el área de la
región triangular AOB en términos de 6
A)	4 sen 0
B)	8 sen 26
C)	2 eos 26
D)	5 sen 6
E)	3 eos 26
33.- Si ABCD es un cuadrado donde: CD=3ED
y además: m Z BEA = 0 ; calcular csc 0.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Pbditokii
36.- En la figura mostrada. ABCD es un rectán-
gulo. Si: AD = 4CD, CE = CD, m Z BFA = a;
calcule: W = V3 + 7tana
A) 3
B)2
C)1
D) 1/2
E)l/3
34. - En la figura mostrada, m Z. ABC = 90°,
m Z BCA = m Z DAB = a. Asimismo se sabe
que el área de las regiones triangulares ABD y
ADC son equivalentes. Calcular el valor de:
37.- Determinar el área de la región triangular
de la figura:
A) 5
B)4
03
D)2
E)1
35.- En la figura mostrada se sabe que:
_____fe2_____
A) 2(cota+cotP)
fe2
3(cota-cotP)
______fe2_____
E) 2(csca-cscP)
fe2
) 3(cota+cotP)
______fe2_____
D) 6(csca-cotP)
m Z ABD = m Z AED = m Z BCE = 90° ;
roZBDC = 6 ; AB = fe ; BD = «
Calcule el área de la región sombreada.
A) y «fe eos" 6
B) ~ ah sen O.cos 6
C) 2 t b sen2 6. eos 6
D) ~ ah sen S.cos2 6
E) -y fe sen2 6
38.- En la figura ABCD es un cuadrado, M y N
son puntos medios. Determinar «cot 6».
A) 2
B)1
C)3
D) 1/2
E)l/3
Resohición de Triángulos Rectángulos
i
_ -í - 4 +r	- a -V 1
JazonesN ngon^metricas 1
eTT tíTa c i dtíesrcXi téx t u al izad a s
-AWfcr i i/‘	/ ,	i
CAP
®1

5.1. ÁNGULOS VERTICALES__________________________________
Se denominan así a aquellos ángulos agudos, uno de cuyos lados se ubica sobre la línea
horizontal mientras que el otro se localiza en el mismo plano vertical, por encima o por debajo
de aquella, llamándose: ángulo de elevación y ángulo de depresión, respectivamente.
a: es la medida del ángulo de elevación
5.2. ÁNGULO DE OBSERVACIÓN____________________________
Es el ángulo formado por dos líneas visuales que definen un campo de observación
respecto de un observador. Este ángulo puede ubicarse en cualquier plano: en un plano verti-
cal (P.V.), en un plano horizontal (P.H.), y en cualquier otra orientación.
Ó: ángulo de observación en el P.H.
6: ángulo de observación en el P.V.
Nota: El ángulo de observación está comprendido entre 0o y 180°
T5
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
'^4 RACSO
5.3. ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos que se encuentran en un mismo plano horizontal. Estos ángulos
están constituidos por las denominadas direcciones cardinales: este (E), oeste (O), norte (N)
y sur (S).
|N
TS
___E
Punto de
referencia
5.3A Rumbo o Dirección
Es la dirección considerada o trazada en el plano horizontal, y principalmente cualquiera
de las comprendidas en la rosa náutica.
Para definir un rumbo o dirección de movimiento se toma como referencia cualquiera de
los puntos cardinales.
5.3B Direcciones NE, NO, SE y SO
(Ñor Este, Ñor Oeste, Sur este y Sur Oeste respectivamente)
5.3C Rosa Náutica o Rosa de los Vientos
También conocida como rosa de la aguja, fue antes de la generalización de las brújulas
magnéticas, una excelente referencia en las cartas
marinas en la que se mostraba la dirección de los
ocho vientos principales. Las más antiguas rosas de
los vientos de las que se tiene noticias son las que
aparecen en Jas cartas de navegación del siglo X11J
manejadas por los navegantes españoles e italianos.
En ellas, los ocho puntos cardinales aparecían
marcados con las iniciales de los principales vientos,
si bien en ocasiones —como puede observarse en la
rosa que aparece en la imagen— el punto cardinal
Este aparecía señalado con una cruz, en tanto que el
Norte Jo hacía con una flor de lis. A partir de la
expansión del uso de la brújula, la rosa de Jos vientos
pasó a convertirse en una herramienta auxiliar de
aquélla. [Enciclopedia Encarta, Madrid, 2004].
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
PROB. 1
Desde un punto en tierra se observa la cumbre
de una montaña con un ángulo de elevación
a Si la distancia del punto de observación a la
falda de la montaña es «d», exprese la altura
de la montana respecto al nivel del suelo en
términos de a, P y d, siendo P la pendiente de
la falda de la montaña.
RESOLUCIÓN
Se observa que: x cot a = d + x cot P
=s x cot a-xcot P = d
=s x(cot a - cot P) = d
- x=________<1____
cota-cotp
PROB. 2
Desde un avión que vuela horizontalmente y
en línea recta, a una altura «h» km, es ubicado
en tierra un punto bajo un ángulo de
depresión 0. Luego de «/» horas, este punto
es visto nuevamente con un ángulo de
depresión igual al complemento del anterior.
Si el avión no ha pasado por encima del punto
mencionado, exprese la velocidad del avión
en km/h en términos de h, t y 0. Se sabe que
la velocidad del avión es constante.
RESOLUCIÓN

Elaboramos el gráfico correspondiente:
Se sabe que:
distancia = velocidad x tiempo
x = v.l	---(1)
Pero:	x = h cot 0 - h tan 0
=s x = h (cot 0 - tan 0) ... (2)
Reemplazando (1) en (2):
=> ñ(cot 0 - tan 0) = v. t
v = y (cot 6 - tan 6)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOKll
PROB. 3
Un reflector situado al ras del suelo ilumina
un monumento bajo un ángulo de 30°. Se
traslada el reflector a 2 m más cerca del
monumento y éste se ve bajo un ángu o de
45°. ¿Cuál es la distancia del monumento al
segundo lugar de iluminación?
Racionalizando, obtendremos:
‘¿43 3+45	= 2(3^5+3)
X 3-45'3 + 45 =* x 6
x = V3 + 1
PROB. 4
La elevación de una torre desde un punto A
al Oeste de ella es 60° y desde un punto B al
sur de A, la elevación es de 30°. Si la torre
tiene 75 m de altura, calcular la distancia
comprendida entre A y B.
Trasladando los datos a un gráfico como el
mostrado, reconocemos que:
AP = 75cot60° =	aBP = 75cot30° =7545
45
Aplicando el teorema de Pitágoras en el
triángulo rectángulo sombreado obtendremos:
AB2 + AP2 = BP2 => x2 +	= 752(3)
x* = 7S*(3-±)
jr2 = 752(|)	x = 50j6
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Lea e interprete adecuadamente el enunciado del problema.
2)	Elabore un gráfico indicando en él los datos reconocidos del enunciado
3)	Centralice su trabajo en triángulos rectángulos.
4)	Resuelva dichos triángulos rectángulos
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
Enunciados de Problemas
„ con Resolución
ÁNGULOS VERTICALES
01.- Desde la parte superior e inferior del se-
gundo piso de un edificio de cuatro pisos igua-
les, se observa una piedra en el suelo y a una
distancia de 9 m con ángulos de depresión
«P» y «6» respectivamente. Desde la parte más
alta del edificio la depresión angular para la
piedra es «a». Si se conoce que:
tan a - tan P - tan 6=1/4
La altura del edifico es:
C)-^=
1-J3
A)6/n B)10zn Q9m D)8/n E)4m
02.- Un observador aprecia dos puntos que
están en una misma vertical bajo ángulos de
elevación y de depresión de 30° y 15o respec-
tivamente. Si la distancia del observador al no
. -	' u 4J3
cambiar mas alto es	ni.
¿Cuál es la distancia del observador al otro
punto?
A)2(Jó + V2 )
D) Jó - J2
04.- En la figura mostrada. ¿A qué distancia se
encuentra el globo respecto del lago?
A) Heos 2a	aobo
B)Hsen2a
H"	\	¡
C)Hese2a * F *-----------,'|La-° <
D) H sec 2a	\ í
E) H cot 2a	£ Imagen
05.- Desde un punto a nivel del suelo un ob-
servador divisa una estatua con su pedestal
de 5 m y 4 m respectivamente. El ángulo de
elevación de la cabeza de la estatua es el do-
ble del ángulo a la parte superior del pedestal
o pie de la estatua. ¿Cuál es el valor de la tan-
gente del mayor ángulo de elevación?
B)2(Jó - J5)
C) Jó + -J2
E)2(j2 +Jó)
A). 1/2	B)3/4 C)2/3 D) 1/5	E)5/6
03.- Los ángulos de elevación de la cúspide
de una torre, vistos desde 2 puntos situados
en línea recta con el pie de la torre son de 45° y
30° respectivamente, si la distancia entre los
puntos de observación es de 60 m, la altura de
la torre (en m). es:
06.- El diámetro aparente (ángulo de observa-
ción) del sol es aproximadamente 32’. ¿A qué
distancia del ojo debe colocarse una moneda
de 30 mm de diámetro para poder tapar exacta-
mente al sol?. Considere que tan 16’ = 0,00465.
A) 3,844 m B) 3,223 m C) 3,448 m
D) 4,483 m E) faltan datos
T5
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos

07.- Un lugar de la provincia de Santiago tiene
una latitud 30”. ¿A qué distancia respecto del
eje de la tierra se encuentra, si el radio terres-
tre mide 6 370 km?
A)3 185A:/n	B)951,lfan	C)961,lA/n
D) 917 km	E)5516fan
08.- Desde un globo que está en la vertical
que cae sobre un camino recto, los ángulos de
depresión de dos piedras consecutivas,
indicadoras de los kilómetros, miden 45“ y 60°.
Calcular la altura del globo.
A) 2 300 m B) 2 320 m	C) 2 340 m
D) 2 366 ni	E) 2 360 ni
09.- Una mosca que está en el suelo observa
un pajarillo con un ángulo de elevación de
45°. Para llegar donde está el pajarillo, la mos-
ca describe una trayectoria curva de un cuar-
to de circunferencia de modo que en un punto
de su recorrido observa al pajarillo con un
ángulo de elevación de 37°. ¿A qué altura (en ni)
se encuentra la mosca en dicho punto?. El pajarillo
está a una altura de 2,5 ni respecto del piso.
A) 0,5 B)O,55	C)0,6	D)0,4	E)0,7
10	.- Desde un avión se observa un punto en
tierra con un ángulo de depresión “a”. Cuan-
do el avión se desplaza horizontalmente una
distancia igual al triple de la altura a la que se
encuentra, el nuevo ángulo de depresión para
el mismo punto es “ 90° - a”. Calcular:
M = tan"a + cot"a
A) II B) 12	C)13 D) 14 E) 15
11	.- Desde un punto en tierra se observa la
altura de una torre con un ángulo de eleva-
ción de 37”. Si la visual en dicho lugar mide
20 ni, ¿qué distancia horizontal (en m) deberá
acercarse un observador, hacia la torre, para
que el nuevo ángulo de elevación tenga por
tangente 2?
A) 13 B)ll C)10	D)9 E) 5
12	.- Un alumno de -J5 m de altura, observa la
parte superior de una torre de alta tensión con
un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuánto deberá
retroceder el alumno para observar la m sma to-
rre pero con un ángulo de elevación de 30", si la
altura de la torre es de 6	m?.
A) 8ni B) lOm C) 12ni D)14m E)16m
13	.- Un pescador situado a 600 ni sobre el ni-
vel del mar observa una lancha con un ángulo
de depresión “a”. Seis miniaos después ob-
serva en la misma dirección a la lancha pero
ahora con un ángulo de depresión “P”. Calcu-
lar la rapidez de la lancha en km/h, si:
tan a = -Jí + 1 y tan P = V3 - I
A) 5	B)6	C)7	D)8	E)9
14	.- El asta de una bandera está colocado ver-
ticalmentc en lo alto de una vivienda. A 36 m
de distancia de la parte baja de la vivienda se
observa la punta del asta y la parte superior
de la vivienda con ángulos de elevación de
53" y 37" respectivamente. Calcule (aproxima-
damente) la longitud del asta (en ni).
A) 13 . 13)18	C)19 D)2I E)23
15	.- Un avión que vuela en línea recta y hori-
zontalmente antes de pasar sobre 2 puntos en
tierra “A” y “B” los observa con ángulos de
depresión “a” y “P” respectivamente. Cuan-
do está sobre “A” es visto desde “B” con
un ángulo de elevación “6”. Si: cot a = 1/3
y cot P = 1/2, determinar “tan 6”.
A) 2	B)4	C)6	D)8 E)I0
16	.- Una antena de radio de 15 ni de longitud
se encuentra en la azotea de un edificio.
Desde un punto del plano horizontal que pasa
por la base del edificio las elevaciones angula-
res de la parte superior e inferior de la antena
son a y P respectivamente. Si: tan a = 0,76 y
tan P = 0,19, determinar (en m) la altura del
edificio.
A)4	B)5	C)6	D)7	E)8
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
T5
55
YL- Un poste de longitud “x”, está inclinado
60° respecto a la vertical. El foco del poste es
observado por 2 personas que se encuentran
ubicadas a los dos lados de éste y lo obser-
van con ángulos de elevación “6” y “ 90° - 6”.
Si la separación entre dichas personas es de
16 m, calcular “x” en términos de “6”.
Sugerencia: 2 sen 6 eos 6 = sen 26.
A) sen 26 B) 2 sen 26	C) 4 sen 26
D) 8 sen 26 E) 16 sen 26
18	.- Una persona sube una cuesta y cuando
llega a la cúspide, se da cuenta que la altura a
la cual se encuentra es la mitad del camino
recorrido. Calculare! ángulo de elevación con
el cual se observa a la cúspide, desde la base
de la cuesta.
A) 15°	B)30° C)45° D)60°	E)75°
19	.- Una persona observa un objeto que está
en caída libre vertical, con un ángulo de eleva-
ción de 66°. Luego de un momento lo vuelve a
observar con un ángulo de elevación de 36°.
Si en la primera observación, el objeto, se en-
contraba a 60 m de altura, ¿a qué altura (en m)
se encontraba en la segunda observación?
A) 10 B)20	C)30	D)40 E)50
ÁNGULOS HORIZONTALES
20	.- Una persona en A se encuentra al este de
la otra persona en B, si la persona en B se
desplaza en la dirección N NE y la persona
en A en la dirección NO, se encuentran en el
punto P. Calcular ¿cuánto mide el ángulo APB?.
A) 45°	B)ll°15’	C)47°15’
D)56°15’	E)15°15’
21	.- Si desde un carrousel observas a un ami-
go en la dirección oeste en la situación más
cercana y al cabo de 0,15 segu dos los obser-
vas en dirección NO. Calcular el número de
vueltas que da el carrousel po cada minuto
A)30RPM B)40RPM Q50RPM
D)60RPM E)70RPM
22	.- Un niño sale de su casa y hace el siguien-
te recorrido: 20 m al norte, 40 m al este y una
cierta distancia al SO, hasta ubicarse al este
de su casa. ¿A qué distancia (en m) de ella se
encuentra?
A) 60 B)50 C)40 D)30	E)20
23	.- Un auto recorre 40 km en la dirección
N53°O, luego recorre 40km en la direc-
ción SO y finalmente recorre 60 km en la direc-
ción este. Determine en qué dirección y a qué
distancia (en km) se encuentra el auto respecto
a su posición de partida (aproximadamente).
A)S37°O;20
B)S53°O;20
C)S45°O;10
D)S36°O;20
L)S45l’O,20>/2
24	.- Desde un faro se observa dos barcos con
direcciones ESE y NNE. Si la distancia que
hay entre los dos barcos es aproximadamente
10 (J2 + V2 ) km, y desde el segundo barco se
observa al primero en la dirección SE, calcular
(aproximadamente en km) la diferencia de las
distancias del faro a los 2 barcos.
A) 10 B)15	Q17	D)20	E)25
25	.- Desde una estación de control A se ob-
serva a otra estación B en la dirección N6E a
una distancia L. Desde la estación B se obser-
va una tercera estación C en la dirección N26E
a una distancia también igual a L..¿En que di-
rección se encuentra la estación A respecto
de la estación C?
T5
56
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
JRACSO
DbDITOIBI
A)SjO B)s4^O C)S®O
D)O®N E)O^N
26	.- Dos embarcaciones parten de un puerto
con movimientos rectilíneos, el primero con di-
rección NPE y el segundo con rumbo S2PE.
Cuando el primero recorre 4 km. el segundo
recorre 4,2 km. La distancia que los separa es
de 5,8 km. Encontrar el ángulo P en radianes.
71	71	71	71	71
A>12	B)-	Qj	D)-	E)^
27	.- Una lancha sale de un puerto con movi-
miento rectilíneo en la dirección SE. Luego de
un t empo “r” de recorrido se desvía y conti-
nua rectilíneamente por la dirección N15°O,
hasta equidistar del puerto y del punto de des-
vío. ¿En qué dirección se encuentra la lancha
respecto del puerto?.
A) SSE	B) S75°E	C) E4mS
D)N60°E	E)ESE
28	.- Dos personas se ubican una frente a otra
en la línea Este - Oeste. Si éstas se desplazan
en rectilíneamente en las direcciones N70°E y
O10°N respectivamente hasta encontrarse, de-
termine el menor ángulo formado por las di-
recciones de sus movimientos.
A) 45° B)30“	C)70° D)80“ E)150°
29	.- Jorge y Giovanna, cogidos de las manos,
se encontraban conversando. Al despedirse
Jorge se dirige en la dirección Oeste caminan-
do rectilíneamente 200 m, pero Giovanna lo
hace rectilíneamente en la dirección N 63° 30’E
una distancia de 100 -Js »i. Ella olvidó dar un
mensaje a Jorge, por lo cual decide darle el
encuentro caminando rectilíneamente en la di-
rección S(90° - 6)0 hasta encontrarlo. Se pide
determinar cot 6, aproximadamente.
A) 2 B) 1/3	C)4 D) 1/4 E) 1/2
30	.- ¿Cuál es la dirección opuesta a la direc-
1
ciónNE “E?
4
1 1
A)N~NE B)SE-S
1 1
D)NE-N E)N-NO
C)SO^O
31	.- Al calcular el mayor ángulo formado por
las direcciones:
1	1
SE~SyN~NE se obtiene:
4	4
A) 135° B)225°	C)45° D)60° 11)120"
32	.- Para las siguientes proposiciones deter-
mine la verdad (V) o falsedad (F):
a)	El mayor ángulo formado por las direccio-
nes SO y SSE es 305°
b)	El menor ángulo formado por las direccio-
nes ENE y ONO es 135°.
c)	El menor ángulo formado por las direccio-
nes ESE y NNO es 90°
A)FVF B)WF C)FFF
D)FFV E)FVV
SITUACIONES TRIDIMENSIONALES
33	.- Desde lo alto de un acantilado se observa
en la dirección 0(90°- cz)S a una boya bajo un
ángulo de depresión de 45° y en la dirección
EaS a un bote con un ángulo de depresión de
30°. Si la distancia que separa a la boya y el
bote es 80 m, determinar (en m) la altura del
acantilado.
A) 20	B)13	C)40 D) 14	E)25
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
34.- Un observador se encuentra ubicado al
sur de una torre de alta tensión y visualiza el
extremo superior de aquella con un ángulo de
elevación a. Asimismo otro observador se en-
cuentra en la dirección OcxN respecto a la an-
terior y al Oeste de la torre visualizando el ex-
tremo superior de ésta con un ángulo de ele-
vación p. Calcule cot P en términos de una
razón trigonométrica de a.
ra que la proyección de su sombra tiene una
longitud de 7,20 m. Si camina rectilíneamente
hacia el Oeste, de tal manera que su distancia
hacia la parte inferior del poste es de “v" ni y la
proyección de su sombra tiene como medida 9
ni; se pide determinar: a/v.
A) 1/2 B)4/5 C)2/3 D) 1/3 E)l/5.
A)sen2 a
B) tan2 a
C)2seca
D) cot" a
E) 2 csc a
35.- Un avión desciende rectilíneamente con
una inclinación a en la dirección Este - Oeste.
Si un observador ve al avión primero hacia el
NE y luego hacia el N con ángulos de eleva-
ción iguales al complemento de a. entonces al
calcular sec a se obtiene:
38.- Desde 2 puntos A y B ubicados al sur u
este de un edificio, se observa la parte supe-
rior del mismo con ángulos de elevación de
45° y 53° respectivamente. Hallar la distancia
entre el punto B y el edificio, si la distancia
entre el punto A y la parte superior del edificio
es 60 Jí ni.
A) 45 ni	B)40ni
D) 50 m	I) 43 ni
C) 43 ni
A) í/3
D)
B)2 J2
E) í/2
C)2^3
36.- Dos edificios ÁB y CD tienen la misma
altura Una persona de ubica entre dichos edi-
ficios de tal manera que su posición está en la
línea recta AC que une sus bases. Dicha per-
sona < bserva el extremo B con un ángulo de
elevación de 60°, si luego de caminar rectilínea-
mente 3-Jl m en una dirección perpendicular
a la recta AC observa los extremos B y D con
ángulos de elevación de 45° y 30° respectiva-
mente, entonces la distancia de su posición ini-
cial al extremo C es:
39.- Un niño de 1 ni de estatura observa un
foco de luz que se encuentra sobre un poste
en la dirección N18UE. con un ángulo de ele-
vación cuya tangente es 2/3; luego se des-
plaza 20 ni en la dirección N71°E y vuelve a
observar al poste ahora en la dirección N72nO.
Hallar la longitud de la sombra del niño en su
posición final.
A) 5 ni B) 4 ni C) 3 m D) 2 ni E) 1 ni
A) 3/7	B)5j2	C)7j3
D)2?/5	E)2/7
37.- Una persona de 1,80 ni de altura se en-
cuentra al sur de un poste luminoso de altura
“H” m y a una distancia de “a” ni. de tal mane-
40.- Una avión cae con un ángulo de inclina-
ción “a” debajo de la horizontal en la direc-
ción EO. Calcular el valor de la tan a para que
un observador vea el avión primero hacia el
NE y luego hacia el norte con el mismo ángulo
de elevación “6”
A)(1 - /Zj.tanO
B)(-j2 + Ij.tanO
0(^2 D.tanO
D)(3-j2 - D.tanO
F)(2-j2 - D-tanO
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A --ACSO
HTOlll
6.1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Es aquel sistema formado por dos rectas numéricas una
horizontal llamada eje de abscisas (x) y la otra vertical llama-
da eje de ordenadas (y), que se cortan perpendicularmente,
en un punto llamado origen de coordenadas, formando un
plano en el que cualquier punto está plenamente ubicado
por un conjunto llamado par ordenado.
Par Ordenado.- Es el conjunto formado por dos números
reales de la forma (x; y), caracterizados por el orden de sus
elementos: x es el primer elemento (abscisa) e y es el
segundo elemento (ordenada) .
En el plano se identifican cuatro cuadrantes denotados
y ubicados según como se muestra en la figura.
Axioma. A cada punto del plano cartesiano le
corresponde uno y solo un par ordenado.
6.1 A Ubicación de un punto en el sistema de coordenadas
Un punto se ubica en el plano cartesiano cuando se conoce su respectivo par ordenado.
6.IB Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
Es la longitud del segmento de recta que existe entre
dos puntos de un plano cartesiano, y está dada por:
d=	+ (y2 -y¡?
d > 0
6.1C Radio Vector (r)
Es la distancia que hay desde el origen de coordenadas
hasta un punto (x; y) cualquiera del plano.
r= J(x2+y2 o bien r2=x2+y2 ;r>0
La denominación de radio vector, se debe a que este elemento matemático tiene origen
(0; 0), dirección (del origen al punto) y módulo (la distancia OP = r).
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
T6
59
6.ID División de un segmento en una razón dada (r).
am
Sea: vtít = r, donde «r» es el valor de la razón
MB
(comparación) de las longitudes de dos segmentos
ubicados en una misma recta. Si A y B son conocidos,
las coordenadas del punto M vienen dadas por:
X] +rx2
I + r
_ yi+o’z
~ l+r
6.1E Coordenadas del baricentro de un triángulo
Conocidas las coordenadas (X] ¡y^, (x2 ;y2), (*3 ¡>3)
de los vértices de un triángulo, se puede determinar las
coordenadas del baricentro de dicho triángulo, a partir de:
3
y~ 3
6.1F Area de una región triangular
Conocidas las coordenadas de los vértices de un triángulo, el área de la región triangular
limitada por ella se determina a partir del siguiente determinante:
S = l^Kxpyj + x2.y3 + x^) - (xj.y3 + x3.y2 + x2.y,)]
Nota.- Queda claro que el valor asociado a esta matriz (el determinante), es el área de la
región triangular. Esta técnica nos permite determinar el área de una región poligonal
6.2. ÁNGULOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES QJ
6.2 A Ángulo en posición normal
Es aquel cuyos elementos están plenamente determinados en un plano cartesiano, de
modo que:
i)	Su vértice es el origen del sistema de coordenadas.
ii)	Su lado inicial es el semi eje positivo de las abscisas.
iii)	Su lado terminal nos indicará el cuadrante al cual pertenece el ángulo
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
*¡S1RACSO
WiDiroiia
a e IC ; a < O
6.2B Ángulo Cuadranta
Es aquel ángulo en posición normal cuyo lado final se encuentra sobre un semieje. Por
convención se ha establecido que los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante.
Por ejemplo:
En general:
Z cuadranta] = 90° n ; V n e Z
kit
o bien Z cuadrantal = -y ; V k e Z
6.2C	Ángulos Coterminales
Son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado
final sin considerar sus correspondientes sentidos de rotación ni su medida.
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
T6
6.3.	DEFINICIONES DE LAS R.T. DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Sea a un ángulo en posición normal tal que su lado final pasa por el punto Pfx ; y). Se
definen las razones trigonométricas de a, de la siguiente manera:
sena =	ordenada	y	cota =	abscisa	_ X ~ y
	radio vector			ordenada	
eos a =	abscisa __ radio vector	X	sec a =	radio vector abscisa	. _L "" X
tana =	ordenada _	y	esc a =	radio vector	_ r
	abscisa	X		ordenada	y
6.4.	PROPIEDADES________________________________________
todas ,
lasR.T.VJ
(+)
CSC
_______□
tan , .
cot <+>
eos ,
sec <+>
6.4A Signos de las Razones Trigonométricas
IC: Todas las Razones Trigonométricas son (+)
IIC: Seno y Cosecante son (+), las demás son (-)
111C: Tangente y Cotangente son (+), las demás son (-)
IVC: Coseno y Secante son (+), las demás son (-)
6.4B Valores de las R.T. de los ángulos uadrantales
A partir de las definiciones anteriores se pueden deducir los valores del siguiente cuadro:
	ÁNGULO CUADRANTAL				
R.T.	0o	90°	180°	270°	360°
sen	0	1	0	-1	0
eos	1	0	-1	0	1
tan	0	ND	0	ND	0
cot	ND	0	ND	0	ND
sec	1	ND	-1	ND	1
CSC	ND	1	ND	-1	ND
ND = valor no definido
6.4C Propiedades de los Ángulos Coterminales
Sean ay P dos ángulos coterminales, entonces se cumple que:
i) a - P = n x 360°; V n e Z La diferencia de dos ángulos coterminales es un número entero
de vueltas de 360° .
ii) R.T.(a) = R.T.(P)
Si dos ángulos son coterminales sus razones trigonométricas
serán iguales.
T6
62
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
31RACSO
PROB. 1
Dado los puntosA(-2;7)yB(10; 1), siP(x;y)es
el punto medio del segmento AB, por donde
pasa el lado final de un ángulo en posición
normal 6, se pide:
a)	Ubicar el punto P(x ; y) en el sistema de
coordenadas rectangulares.
b)	Calcule los valores de las 6 R.T. del ángulo 6.
RESOLUCIÓN

Por la fórmula del punto medio:
-2 + 10	.	-7 + 1
=	=4 y = — = -3
b) A continuación calculamos la longitud del
/ 2	2
radio vector. r= ^x + y
=> r = J(4)2+(-3)z r = 5
Del gráfico deducimos:
„ y -3 n x 4
r 5	r 5
tan 0 = — = cot0 = — =
x	4	y	-3	3
sec 0 = — = 4 csc 0 = - = -Ar =
x	4	y	-3	3
PROB. 2
Obtener el sen 0, a partir de la siguiente figura:
RESOLUCIÓN

Dado que el ángulo 0 no se encuentra en
posición [vértice del ángulo (5 ; 0)],
trasladaremos su vértice u(5 ; 0) al origen de
coordenadas. La traslación del segmento VP
se realiza en forma paralela así:
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
PROB. 4
De la figura que se muestra, calcule cot 6.
RESOLUCIÓN
******************
Dado que el ángulo 6 no está en posición
normal, lo hacemos rotar 90° en sentido
horario, hasta que su lado inicial coincida con
el eje de abscisas. En estas condiciones se
obtiene el gráfico inferior:
Como el ángulo 6 no se encuentra en posición
normal, tenemos que expresarlo en posición
normal, haciendo rotar 180° en sentido horario
el radio vector OP.
Como el ángulo ya está en posición normal,
entonces:	cot 0 =
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN:
1)	Para determinar el cálculo de cualquier razón trigonométrica en un sistema de
coordenadas cartesianas debemos conocer las coordenadas de un punto del lado
final del ángulo en posición normal, (de este modo el lado final queda definida por
su origen y dicho punto)
2)	Es necesario tomar una escala adecuada para ubicar los puntos en el sistema
cartesiano.
3)	Para el cálculo de las razones trigonométricas necesariamente el ángulo tiene
que estar en posición normal.
4)	Cuando el ángulo no se encuentra en posición normal, hay tres posibilidades:
. Rotar 90°.	. Rotar 180°.
. Trasladar el vértice del ángulo al origen del sistema de coordenadas cartesianas.
T6
64 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-JÉ RACSO
jP BDITOMia
Enunciados de Problemas u
R.T. DE UN ÁNGULO EN P. NORMAL
01.- Si el lado final de un ángulo en posición
normal “0” pasa por el punto M(6; -1), calcu-
lar el valor de: E = -JyÍ esc 0 + cot 0
06.- Si “a” es un ángulo en posición normal
del cuarto cuadrante, el cual verifica:
-----Vena	7“^
picosa j	— (sec a) ;
calcular: M = 7 eos a + 3 cot a
A)40 B)-15	C)22 D)-35 E)-43
A)-3	B)2 C)-l D)-2	E)0
02.- Si el lado final de un ángulo en posición
normal cuya medida es a pasa por el punto
(-2; 3), calcular:
JÍ3 seca
W = -----------p=
csca -Jl 3
11	9	7	5
A)y B)f C) ' D)j E)2
i	n
03.- Si: 9 tan“a - 16 = 0 ; y: 7~ < a < 47t;
entonces al calcular W = esc a + cot a , se
obtiene:
A) 1 B)0,75	C)0,50	D)0,45 E)-2
3n
04.- Si: — <x <271 ; y:
3
-0,25 = sen x +, + sen x + ... ;
calcular: W =	(sec x + cot x).
A) 3,5	B)4,5	C)5,5 D)6.5	E)7.5
05.-Si:sen0 = -^ -	— y cos0<O;
"n "términos
calcular el valor de: M =	(tan © ' sec ®)
A)-l B)1	C)2	D)l/2 E)
SITUACIONES GRÁFICAS
07.- Las ecuaciones de las rectas mostradas
en la figura son:
L¡:x+3y=-7 a L2: 5x+2y=4.
2
Determinar el valor de: W = tan a + sec a
A) 1,75
B)l,50
0)2,25
D)0,75
5)	1,25
08.- En la figura mostrada OA = OB, BC = CD.
Determinar: M = 5 tan 0-6 cot 0, si el punto D
es (-5;-4).
A) 3
B)4
C)1
D)5
E)2
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
09.- En la figura mostrada, si AB = BC = CD,
encontrar el valor de: W = tan 0 - tan <[).
A) 1,0
B)2,5
C)3,0
D)4,0
E)l,5
10	.- En la figura mostrada se tiene la gráfica
de: y = -2| jc|; donde a y 0 son ángulos en
posición normal. Calculad valor de:
A)2	B)-3	Q-2	D)3	E)4
11	.- En la figura mostrada “O” es el centro de
la circunferencia y además: OA = AB = BC.
Determinan M = cot 0 + VÍO tan <}>
I) tan a < 0
12	.- De la figura mostrada, calcular “cot 0”; si:
DP=PC.
A) 1/3
B)2
Q-2/3
D) 1/4
E)3/2
PROBLEMAS CONDICIONALES
13	.- El lado final de un ángulo a en posición
normal pasa por el baricentro del triángulo
PQR cuyos vértices son: P(-l; -5), Q (4; 3),
R(6; -10). Calcule: W = 5(sen a - eos tí)
A)-ll B)-9	C)-7	D)3	E)5
14	.- En la figura mostrada se sabe que: BC=CD,
37°
m Z OAB = y las coordenadas del punto
B son (-3; - 6). Si además: m Z AOD = a, sien-
do a un ángulo en posición normal, calcular:
W = tan a +cot tí
A) 17/23
B)-85/42
C) 15/29
D) 12/31
E)-23/27
15	.- Dadas las siguientes condiciones:
II)	cosa>0
III)	22csca-(0,25) *'25 = 0
Calculan	W = 5 eos a - 4 cot tí
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
’liRACSO
A) 1	B)2	C)4	D)6	E)8
16	.- A partir de las siguientes condiciones:
I)	tan 0 > 0
II)	sen0<O
III)	|cos 0|> 2/3
Calcular “sen 6” cuando eos 0 sea máximo.
A)^ B)^ C)1	D)—^- E)-l
17	.- De acuerdo con las siguientes condiciones:
I) |sen 0| = sen 0
II) |cos 0| = - eos 0
III) |tan0]=l,3
Determinar el valor de M = csc 0 + cot 0
A) 1/2 B)-l C)-2	D)-l/2	E)l/3
18	.- Sabiendo que:
I)	|cos 0| = - eos 0
II)	|cot0| = cot0
III)	|sec0| = 2
Calcular: W = sen 0. tan 0.
A)-2,0 B)-l,5	C)-l,0 D)2,0 E)2,5
19	.- Si se verifica que:
I)	|csca| = -csca
II)	|seca| = seca
III)	|csc a - cot a| = k
Calcular, sec a. (a es positivo y menor que
una vuelta)
1- tanl 2f -
o	l 2
Sugerencias: eos a =--------7—t
l + tan2í —
I 2
a
tan — = csc a - cot a
D)
l-*2
1 + it2
1-Jt2
B)-p-
k2
A) M
E>^
SIGNOS DE LAS R.T.
20.- Si <J> y 0 representan la medida de dos
ángulos en posición normal positivos y me-
nores que una vuelta, cuyos lados finales se
ubican en diferentes cuadrantes, tal que:
I) 7t/2<0<<J>
II) sen 0- ^cos <}>—sen 0 >0
Determinar el signo de W, si:
W = tan 0 + cot <J>.
A)	Es siempre positivo.
B)	Es siempre negativo.
C)	No es posible determinar el signo.
D)	Falta mayor información.
E)	W es nulo.
21.- Si a e ( 0; 7t); 0 e ( 7t; 27t), determine el
f27t+a)	0
signo de:	M = tanl —-— 1+ csc —
A)()	B)0	C)±	D)(+) E)N.A
22.- A partir de las siguientes condiciones:
I) 0e(O°;36O°>
U) |sen 0| = - sen 0
O) csc 0. eos 0 > 0
Determine el signo de M, si:
Ramones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
M = sen j
. cot . sec
(W)
A)(+)	B)0	C)+	D)(-) E)N.A
23.- Si “0” es un ángulo positivo y menor a
una vuelta tal que: sen 0 < 0 y cot 0 < 0; deter-
mine el signo de:
A)-l B)0	C)1	D)2	E)-2
28	.- Siendo “a” y “0” ángulos cuadrantales
positivos y menores de una vuelta que verifi-
can: sen a = tan 0 + 1; calcular el valor de:
sen2a+sen3a
tan(0/4)
a) sen 0/2	b) tan 20/3	c) sec 0/4
A)+;+;+	B)-;+;+	C)+;-; +
D) + ; + ;-	E)-; + ;-
A)2 B)-l Q-l/2 D) 1/2	E)3Z2
29	.- Siendo a , 0 y 0 ángulos cuadrantales;
calcular: M = A + B + C, donde: (<x, 0 y 0 G [0
;2n»
24	.- Si los puntos P y Q son simétricos res-
pecto al eje Y exprese: H = |cot 0| + |cot a|, en
términos de a y b.
K)a+b!b
fi)b/u
C)aJb
D)bf2a
E)2«/fc
25	.-SÍ: V-sec0 <0< V-sen0 ¡determinare!
signo de: M = tan 0 + cot 0 . eos 0. (0: es no
cuadrantal)
A) (+)	B)0	C)±	D)() E)N.A
R.T DE ÁNGULOS CUADRANTALES
26	.- Siendo a, 0, 0 ángulos cuadrantales dis-
tintos, mayores o iguales que 0o pero menores
o iguales que 270° y además cumplen:
cos0 = JsenO-Jsena
Calculan W = cos(a + 0 + 0)
A) 2 B) 1	C)0 D)-l E)-2
27	.- Si la expresión: M = VO-2 + V4-6 es
real, calcular: R=sen 0 + tan 0 + eos 0; cuando
“0” es un ángulo cuadrantal.
A = Jtanct+sen0+cos0 , B = ^cotp-cosa
C= ^/cosa + cos0+señ0
A) 1 B)-l C)2	D)-2	E)3
R.T. DE ÁNGULOS COTERMINALES
30	.- En la figura se cumple que: sen a = -15/17.
Determinar: M = tan a + tan 0 + tan (a - 0)
A) 15/4
B)7/2
C)5/4
D)3/4
E)2
31	.- Determinar el menor de 2 ángulos coter-
minales, si la suma de ellos es 1320° y el mayor
está comprendido entre 900° y 1200°.
A) 240° B)260° C)300° D)320“ E)340°
32	.- Sean a y 0 dos ángulos coterminales tal
que: a > 0. Si además el doble del menor es a
la suma de ellos como 13 es a 23, calcule la
medida del mayor si está comprendida entre
1 100° y 1300°.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
''A RACSO
Pbditokbb
A) 1288° B) 1198° C) 1 188°
D) 1298° E) 1260°
33	.- Si la medida de dos ángulos coterminales
positivos son proporcionales a los números 2
y 7, y además la diferencia de sus medidas
está comprendida entre 1 200° y 1 500°; calcu-
lar la medida del menor.
A) 634°	B)603°	C)576°
D)428°	E)415°
34	.- Si la medida de dos ángulos coterminales
negativos son proporcionales a los números 7
y 5; y además la diferencia de sus medidas
está comprendida entre 540° y 900°, determi-
nar la medida del mayor.
A)-1800°	B)-1700°	C)-1600o
D)-1500°	E)-1400°
A) 83Jó3
D)--7=
3-J63
B)
B) 63
El
E)’63>/63
38.- Calcular:
a2 sen + 2ahcos0 - b2 sen
R =------~
(a-fe)2 eos720°+ 4ah
A) 0 B) 0,5 C) 0,25 D) 1 E) 1,25
39.-Si:
siendo: 3n/ 2 < a < 2rt.
El valor de cot a - eos a es:
MISCELÁNEA
35.- Si tan 0 = 1,5 , siendo 0 un ángulo del 3er
cuadrante, el valor de la expresión:
a)-y
J7
B)-4^
J7
C)-27
D)'27
7
M = (sec P " csc P) •
•S	B)	c> -
'i	E>
Jó
36.- Si a es un ángulo ubicado en el primer
cuadrante y sen a = 0,25. ¿Cuál es el valor de
csc a + cot a ?
A) 15 B) C)‘^ D) E)19
37.- Si a. es un ángulo del tercer cuadrante, tal
que: -^l + cot2c = 8, calcular (8 sec a)3
40.- Del gráfico mostrado, calcular:
"sen2 a + eos2 0"
A)0 B) 1	C)3/4 D) 1/2	E)2
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
T6
69
El estudio de las R.T. de números reales se efectúa a partir de las características que
posee la circunferencia unitaria, más conocida como circunferencia trigonométrica (C.T.)
7.1.	CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA (C.T.)
(*;y)
CT.
(0:01
Es una circunferencia que posee las siguientes características:
i) Su centro es el origen del sistema de coordenadas.
ii) Su radio es igual a la unidad* (r = 1)
En consecuencia su ecuación será:
.2 . ..2
* En genera] las circunferencias cuyo radio posee una longitud determinada, pueden convertirse
en circunferencias trigonométricas si dicha longitud se constituye en un equivalente unitario.
Por ejemplo una circunferencia de 3,5 m de radio se convierte en una circunferencia
trigonométrica si hacemos: 3,5 m = 1 u, donde u es una nueva unidad de longitud.
7.2. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Toda circunferencia trigonométrica tiene los siguientes elem A(1 ; 0): origen de Arcos A'(-l ; 0): origen de Suplementos	B(0U) y = t B(0; 1): origen de Complementos	Z P(x;y): extremo del Arco ct	A(~l»		entos: y	. eje de tangentes eje de cotangentes
aV 0 x = 1:	eje de Tangentes	\ P(x;y)\ y = 1: eje de Cotangentes	B’((pií 7.3. LOS NÚMEROS REALES SOBRE LA C.T.		A(1; 0) x = 1
En matemática es importante desarrollar la habilidad de aproximar. Empecemos esta
tarea haciendo las siguientes aproximaciones: n = 3,14, entonces: 2it = 6,28; rt/2 = 1,57; 3n/2
= 4,71. A continuación nos proponemos elaborar un gráfico en el que estos números
aproximados sean ubicados sobre la circunferencia trigonométrica:
n
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
Pbditobbi
Si asumimos válidas nuestras aproximaciones, observamos
que ambos gráficos son equivalentes . En forma análoga se
pueden ubicar los números reales negativos sobre la C.T.
Si ahora tomamos como referencia los números reales: 0;
1,57; 3,14; 4,71 ; 6,28 , entonces se puede predecir la ubicación
aproximada de los números enteros 1; 2; 3; 4; etc. Es necesario
reconocer que cualquier número real ubicado sobre la C.T., define
sobre ésta un arco en radianes.
7.4. REPRESENTACIÓN DE LAS R.T. CON SEGMENTOS DIRIGIDOS EN LA C.T.
7.4A Seno
El seno de cualquier número real (o arco) en la C.T. está representado por la ordenada
del extremo del arco.
7.4B Coseno
El coseno de cualquier número real (arco) en la C.T. está representado por la abscisa del
extremo del arco.
Si: a g R => -1 £ eos a < 1
V \
mínimo	máximo
Circunferencia Trigonométrica
cosa	t
-oo y-x	IX
mínimo	máximo
7.4C Tangente
La tangente de cualquier número real (arco) en la C.T. está representada por la ordenada
del punto de intersección del eje de tangentes con la prolongación del radio que pasa por el
extremo del arco.
7.4D Cotangente
ae R-(2n + 1)n/2 ;V neZ
=> tan a e R
La tangente no tiene máximo ni mínimo
La cotangente de un número real (arco) en la C.T. está representado por la abscisa del
punto de intersección del eje de cotangentes con la prolongación del radio que pasa por el
extremo del arco.
a g R - (nn) ; V n e Z
=> cot a e R
La cotangente no tiene máximo ni mínimo
La secante de un número real (arco) está representada por la abscisa del punto de
intersección del eje x con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.
ag R-(2n + 1)ti/2 ; V ne Z
=> sec aS-1 v sec a 2: 1
	seca		seca
-co	-		co
	Máximo Relativo		Mínimo Relativo
7.4F Cosecante
La cosecante de un número real (arco) está representada por la ordenada del punto de
intersección del eje y con la recta tangente trazada por el extremo del arco.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
fas RACSO
Pbditobbi
ct e R - (n ir) ; V n e Z
i
=> csc ai -1 v csc a2:1
csc a			csc a
-co	-		a>
	Máximo		Mínimo
	Relativo		Relativo
7.5. RELACIONES AUXILIARES (seno verso, coseno verso y exsecante)
7.5A) Seno verso o verso
Matemáticamente el versó de un número real (arco) se define así:
vers a = 1 - eos a
En la circunferencia trigonométrica está representado mediante el segmento dirigido
desde el pie del seno hasta el origen de arcos.
ct e R =>	0 < vers a < 2
vers a
jO	2^	a>
mínimo	máximo
7.5B) Coseno Verso o Coverso
Matemáticamente el coverso de un número real (arco) se define así:
-  ¡
cov a = 1 - sen a
En la circunferencia trigonométrica esta representado como el segmento dirigido desde
el pie del coseno hasta el origen de complementos.
V a e R => 0 i cov a S 2
cova
J) 2^
mínimo	máximo
7.5C Exsecante o External
Matemáticamente la exsecante de un número real (arco) se define así:
exsec a = sec a -1
Circunferencia Trigonométrica
En la circunferencia trigonométrica está representada como el segmento dirigido desde
el origen de arcos hasta el extremo de la secante.
máximo relativo	mínimo relativo
PROB. 1
De la circunferencia trigonométrica mostrada,
se pide expresar en términos de 0:
a)	La longitud del segmento OM.
b)	El área de la región triangular AOP.
Donde: |sen0|=sen0 ; |cos0|=-cos0
RESOLUCIÓN
sen0
1-COS0
Aplicando las definiciones de senq y coseno
en la C.T., tendremos:
a) En el gráfico se puede reconocer que:
k AOM - kAHR r--. = t--.-1—Ki
|sen0|	l + |cos0|
b) Área =
(brise) (altura)
2
(l)(|sen0|)
=*	2
S = sen 0
n
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOlll
PROB. 2
PROB. 3
En la circunferencia trigonométrica mostrada,
descubra una relación para el área de la región
sombreada en términos de <¡>
Ordenar en forma descendente los siguientes
números reales:
sen 6; sen 2 ; cos(3,5) ; tan(l)
RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN
Aprovechando la habilidad de las apro-
ximaciones, lo que haremos es ubicar los
números reales: 6 ; 2 ; (3,5) y (1) sobre la
circunferencia trigonométrica. Es recién a
partir de dichas ubicaciones que trazamos los
segmentos dirigidos que corresponden a
cada R.T. de la lista dada.
Resolveremos recurriendo a la identificación
de las coordenada de cada vértice del
triángulo. Empezaremos reconociendo que
dos de los vértices están ubicados en los
propios ejes coordenados: A’ y B’.
En vista que no son fácilmente identificables
una base y su altura correspondiente, el cálculo
del área se hará aplicando el método de las
coordenadas, cuyo algoritmo es como sigue:
S = —
3 2-
-1 X°
eos 4> sen 4*
0 >^-1
-1 x0
S = ¿ J(-sen 0 - eos 0 + 0) - (1 +0 + 0)]
Veamos:
En atención a la longitud y signo de cada
segmento, se puede establecer las siguientes
relaciones de orden:
tan 1,5 > sen 2 > sen 6 > eos 3,5
Y ordenando en forma ascendente será:
cos(3,5) ; sen 6 ; sen 2 ; tan (1,5)
PROB. 4
Si eos 0 e ¡	, determine el intervalo
S = -77.(1 + sen 4* + cos$)
Circunferencia Trigonométrica
de valores que puede asumir el sen 0.
17
RESOLUCIÓN

Ubicamos los arcos cuyo coseno es -1/2, de
este modo reconocemos que existen hasta
cuatro posibles valores para 0. Recordando
que el radio de la C.T. es uno, los valores de
los segmentos dirigidos que representan a los
senos de dichos arcos se deducen por
aplicación del teorema de Pitágoras.
De este análisis se puede establecer que:
< sen 0 < 1
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN:
1)	Graficar la línea trigonométrica correspondiente respetando su ubicación en el cuadrante
asignado así mismo su magnitud angular debe obedecer a la información dada.
2)	Para calcular longitudes y áreas en la circunferencia trigonométrica se debe
considerar las medidas de sus magnitudes como segmentos positivos, en cuyo caso
se recomienda trabajar con sus valores absolutos.
3)	Un método para el cálculo de una región sombreado limitada por un polígono
de «n» lados es el «método de las coordenadas» que corresponde al siguiente
esquema:
Área sombreada =	(M-N)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A* RACSO
 1DITO1II
N	M
Enunciados de Problemas
con Resolución
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA SENO
01.- Si 0 e IIIC, determinar la variación de:
v2
-1 < eos x < ---; entonces la variación de
2
5-3sen0
W = ~T~
es:
A)(l;2) B)(|;2) C)(l;3) D)(0;l) E)(-l;2)
02.-Si: 30° < 0 < 150°. calcular la variación
de: M = 2 sen 0+3
A)[l;4]	B)[l;2]	C)[0;l]
D)[l;3]	E) <-l; 1>
A)[1;31 B)[1;2] C)[0;2]D)[2;5] E) [4;5]
jc-2 a+1
03.- Sabiendo que: sen 0 = —~~; don-
de 0 e IVC, determinar el intervalo de valores
que puede asumir “a”.
07.- Determinar la variación de:
W = - sen x - Vi-2 sen acosa - cosa
si: aG <n;5n/4)
A) <0; 43 >	B)<O;J2>	C)(0;3>
D)<0;3/2>	E)<0;V2/2>
08.- Sabiendo que: 0 G
71	7ü\
T; "7/ .determinar
4’4/
A)(-l;|) B)(-l;3) C)(0;l) D)(0;2) E)(l;3)
|~ \
04.-Teniendo en cuenta que: .ve
se pide calcular el valor mínimo de:
W = 1 + sen |2a|
el rango de valores que toma “M”. si:
M = sen (2 tan 0+1)
A)[senl;2] B)[-senl;0] C)[-senl;l]
D)[senl;3] E)[sen2;j2]
A)1	B)2
05.- Sabiendo que:
C)0	D)3	E)-3
M=4sen"x-1; se pide
09.- Dadas las siguientes condiciones:
. í ’t
a) sen — + a
6
a —42
calcular la suma del máximo y mínimo valor
/ 7t 7t
que puede tomar M. si: a e —
A)-l B)0	C)2 D)-3	E)-2/5
T571 1
b)xe — ;3n
Determinar el máximo valor de
06.- Si: a e	Y además se verifica que:
A) 42
D) 43/2
B) 43
E) 43 +42
C)-V3
Circunferencia Trigonométrica
T14
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COSENO
10	.- Calcular el intervalo de valores para M:
M = 1 + eos x + cos“>
A) [ 1/4; 2]	B) [-3/4; 0]	C) [-3/4; 2]
D)[3/5;2]	E)[3/4;3]
11	.- Determine el valor de "a + b" si se verifica
la siguiente desigualdad:
7cos0-3 , ,
a < --------- < b
2
A)-l B)0	C)2	D)3	E)-3
12	.- Identifica los valores de verdad o false-
dad de las siguientes proposiciones:
I. eos 1 > eos 3
n. |cos4| >cos5
HI. eos 2 < eos 3
15.- Sabiendo que x es un arco cuyos valores
está definidos así: x e
. se pide
determinar el intervalo de variación de W:
A)WF	B)FVF	C)VFF
D)VW	EJFFV
13.- Determinar el intervalo de variación de W:
3—2cos0
w= 5
si se sabe que: 0 e IVC.
W = |2 eos (|.r| - )|
A)[l;2]	B)[j2;2]	C)[-l;2]
D)[-J2;l] E)[V2;41
16.- Determine algún mínimo valor de la expre-
sión:
W — cos( sen2© + 2 sen 0)
A) eos 3-1	B) 2cos(-3)	C) -eos 3 + 2/3
D) eos 3 E) eos 3 + 1/3
17.- Determine algún intervalo de variación de
la expresión:
cosa+ 3
M = -z------?
2cosa-l
A)[8; + ~>	B)[7; + ~>	C)<-~;-l]
D)[l;3)	E)[4; + oo)
LIN. TRIG.: TAN - COT- SEC - CSC
18.- Si: 0 G [0; 7t/4], calcular la variación de
“m” en:
4m - 3
sec 0= —~—
A)
5.2V2+3
4’	4
B)
1 . v2
4’ 2
C)
1.V2
3’ 3
14.- Teniendo en cuenta que: 0 G 1C, se pide
determinar el intervalo de variación de W, si:
cosO + 3
W=-----------
cosfi +1
A) < 0;l> B) ( -2;0> C) < 1 ;2> D) <3; 4) E) < 2; 3>
D) 0;\2
E)
Í-V3
3* 3
19.- Determine la variación de *'n”, si se sabe
que: 0 G
7t 7t
4'"2
3
v csc~0 =-----r
J	n + 1
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos

RACSO
BDITOtlI
A)[0;2]
D)[o;£|
B)L2’ .
C) [4;3]
A) B)	c>

20.- Si |2 - J3 tan x| < 1, entonces todos los
valores de “x" en ( 0; 7t) que verifican la desi-
gualdad se encuentran comprendidas en:
t
D)
4’3j	3 ’ 2 J
F——1
Ló ’ 3J
E)[0;6]
21.- Si sec x =
2/n + l	,
—-—, entonces todos los
valores de “»i” que no verifican la igualdad se
encuentran comprendidos en:
25.- Encontrar todos los valores de “x” que
no verifican la igualdad.
3x+2
CSC0= 2775
A)(0;l>	B)(0;3>	C)(-2;0>
D) <-!;!>	E)<-!;0>
26.- Si a y P son las medidas de dos ángulos
independientes, entonces se pide calcular la
suma del máximo y mínimo valor de la siguien-
te expresión:
W = 5 vers(a) - 4 cov(P)
A)(-2;4>	B)(-3;l>
D)<-2;1>	E)<-1;1>
22.- Calcular el intervalo de “x” para que se
verifique la igualdad:
x + 3
sec 6 —------ , donde: 0 G IIC.
x + 2
23.-Si.xe (^p271)
entonces la variación de
C)<-2;3>
A) 2	B)-2	C)3 D)-3	E)1
27.- A partir de la siguientes condiciones:
i)	exsecx = .J-covy
ii)	7<y<9
iii)5<x<7,
se pide calcular el valor de: V = x+2y.
A)37t B)5n C)4ti D)5n E)7n
ÁREAS EN LA C. T.
28.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada, /ziAbF = a, PQ J. A'A . Calcular el
área de la región sombreada BPA'Q.
W= 1-2
2x
sec—
3
es:
A)(l;3>	B)<-3;-l>	C)<-2;-l>
D)(-l;0>	E)<-4;-2>
senO + 2
24.- Si: 0 G IIC y csc ó =---—7; determinar
J , senO +1
la variación de: “ csc" <J>”.
2
A)eos a
B)sen a
C)sen "a
7
D) sen'a. cosa
E) 2cos2a
Circunferencia Trigonométrica
29.- En la C.T. mostrada, se pide calcular el
área de la región sombreada, si: tn ABP - 0.
30.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada determinar el área de la región
sombreada, si m A BP = 0.
A)	-(sen2 0)
B)	(sen 0 . eos 0)
C)	-(sen 0 . eos 0)
D)	-(eos" 0)
E)	(sen20.cos0)
31.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada se cumple: mABP =0 Determinar el
área de la región sombreada.
33.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada se cumple m A B A'P = 0. Calcular el area
de la región sombreada.
A)	-sen 0 eos 0
B)	sen 0 eos 0
C)	2sen 0 eos 0
D)sen3 0
E) 3cos2 0
34.- En la circunferencia trigonométrica se sabe
que: wí? = 0, PQ ± RS, ÁQ ± A'A . De-
terminar el área de la región sombreada. Suge-
2	2
rencia: sen 0 + eos 0=1
A)	y cos0 (1 + sen0)
B)	sen0 (1 + cos0)
C)	cos0 (1 + sen0)
D)	sen0 (1 + cos0)
E)	^cos0(l -sen0)
32.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada se cumple m A P =0. Determinar el área
de la región sombreada.
3
A)-— csc0
B)-^ sec20
sen0+cos0 „ sen0+cos0 „ sen0
A)---------- B)------o---- C} 2~
2
2
1	7
C) *2 sec 0csc0
E) 2sec2 0 csc0
J3	7
D) sec 0 csc0
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1DITOBII
35.- En la circunferencia trigonométrica se cum-
ple mABP = 0, calcular la variación del área
E)[2;4]
36.- En la circunferencia t gonométnca se sabe
que: mÁP' = 0, QB’ _L BB’; AT _L A'A .
Evaluar el área de la región triangular ORQ.
A)	2/7
B)	1/3
C)2/5
D)3/4
E) 1/4
37	.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada, = a, AR -L A'A . Calcule el área
de la región sombreada RTO.
38	.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada se cumple que: m A BP =0. Calcular el
área de la región sombreada si se sabe que
“P” es un punto de tangencia.
A) (tan 0 - cos0)
B) (cot0 + sen0)
C) (cot 0 - cos0)
D) (tan 0 - cos0)
E) (tan 0 + sen0)
39	.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada,nABM' = a, PM ± MR; PB ± BR .
Evaluar el área de la región triangular POR:
.. 1	2
A)-eos a. esc a
2
B)	eos a. esc a
C)	sen a. tan a
1	2
D)	- tan a csc a
1	2
E)	—cota.sec a
40.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada,= 0,PQ_LAA'; A'R=RB. Si el área
de la región triangular RQB' es de la forma S =
M + N eos 0 + T sen 0, entonces el valor de M
+'N + T es:
A)	2/7
B)	1/4
C)3/7
D)5/4
E)3/8
Circunferencia Trigonométrica
41.- En la circunferencia trigonométrica mostra-
da se tiene: mÁP' = a, PQ ± OA; SM ± OU,
SU -L OU, m Z_ POT=90°. Calcular el área de
42.- Analice la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
I.	eos 25° < sen 25°
II.	csc 40° < sec 40°
III.	tan 27° > cot 27°
A)FW B)WF QVW D)FFF E)FVF
43.- Identifique la veracidad o falsedad de las
siguientes proposiciones:
I.	sen 3 > sen 4
II.	sen 4 > sen 5
III.	sen 3 > sen 6
A)VW B)WF QVFV D)FW E)FFV
44.- Indique verdadero (V) o falso (F) según
como corresponda:
I.	|cos2|>|cos3|
II.	sen 290° + eos 290° > 0
III.	|sen 1| < |sen 3|
A)VFF B)FFV C)FFF D)FVF E)FW
45.- Siendo: 7t <x( <x-, < 3rt/2, señalar la ver-
dad (V) ó falsedad (F) 3e las siguientes propo-
siciones:
I.	sec x, < sec x2
II	csc > csc x2
III.	IsecxJ^JsecxJ
A)VW B)FVF C)FFV D)FFF E)VFF
46.- En una circunferencia trigonométrica se
7t
verifica que: ~ < Jtj <x2<n.
Indicar la verdad (V) ó falsedad (F) de las si-
guientes proposiciones:
I.	tan xt > tan x2
II.	Icosxjclcosxj
III.	cot x, < cot x2
A)FFF B1FFV C)FVF D)VFF E)FW
47	.- De la figura mostrada calcular:
48	.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada se cumple, m A P =0. Determinar la lon-
gitud del segmento BQ.
Sugerencia: sen(-0) = -sen 0; cos(-0) = eos 0
A) 2 sen 0 B)2cos0
D)
1 +sen0
cos0
E)
1 - sen 0
2cos0
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Mi RACSO
P IDITOBII
49	.- En la circunferencia trigonométrica
mostrada se sabe que: tn A P = a. además se
verifica que: OQ = Q A Se pide calcul ar:
50	.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada, calcular el valor de OM si: m A B P =0
51	.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada se pide calcular Jl PM,si: m ABP =0.
A)	1 + sen 0 + eos 0
B)	1 - sen 0 + eos 0
C)	1 + sen 0 - eos 0
D)	1 - sen 0 - eos 0
E)	1 - 2 sen 0 + eos 0
52.- En la circunferencia trigonométrica mos-
trada se cumple que: m A B P =0. Calcular las
coordenadas del punto “M”.
A)	(-eos 0 ; -eos 0)
B)	(-sen 0 ; sen 0)
C)	(-sen 0 ; -eos 0)
cos0
A) l-cos0
m cos0	2cos0
l-sen0	l+sen0
D) (sen 0 ; -eos 0)
E) (sen 0 ; eos 0)
2cos0
D) l-3sen0
p. sen0
’ l-cos0
Circunferencia Trigonométrica
8.1. DEFINICIÓN_____________________________________________________
Son igualdades entre expresiones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor
admisible de la variable angular. Las Identidades Trigonométricas fundamentales se agrupan
en identidades pitagóricas, por cocientes, recíprocas y auxiliares. En términos operativos, las
identidades expresan igualdades entre razones trigonométricas que permiten reducir
expresiones trigonométricas. Las identidades trigonométricas son múltiples, y se utilizan
adecuadamente según el tipo de situación problémica que se enfrente.
Aquí presentamos un resumen de las identidades trigonométricas fundamentales:
i) Identidades Pitagóricas	iijldentidades por cociente
üi) Identidades Recíprocas	iv) Identidades Auxiliares
PITAGÓRICAS	COCIENTE	RECÍPROCAS	AUXILIARES
sen2 a + eos2 a =1 sec2 a - tan2a =1 esc2 a - cot2a =1	sena tan a =	 cosa eos a cota- sena	l csca= sena seca" cosa cota" tana	tan a + cot a = sec a esc a sec2 a + esc2 a — sec2 a esc2 a sen4 a + cos4a = 1 -2 sen2 a eos2 a sen6a + cos6a = l -3sen2acos2a (1 ± sen a ± eos a)2 = 2(1 ± sen a)(l ± eos a)
Nota.-
2	2	2
Si:	asenx + b cosx = c a a +b =c
Entonces: sen x = — ; eos x = — ; tan x = 77
c	c	b
T8
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOIIt
PROB. 1
Luego de simplificar y reducir, tendremos:
Demostrar que:
2
(senx + cosx) -1	2
—-------------- = 2 tan x
cotx-sen xcosx
cosx
eos x sen x
1
senx
k = esex
k =
RESOLUCIÓN
*-****<r<r***i***i***
Transformamos el primer miembro para
obtener el segundo miembro:
PROB. 3
Si se cumple que:
2	2
sen x+cos x + 2senxcosx-l
eos x
 —-senxcosx
senx
l + 2senxcosx-l
2	-
cosx-sen xcosx
senx
2sen xcosx. senx _
cosx(l-senZx)
2senZx .2
----2— = 2 tan x
eos x
1+senx
1-cosx
= X |cotx + esex + 11
calcula el valor de X.
RESOLUCIÓN

Multiplicando dentro del radicando al
numerador y denominador por (1 + eos x),
se tiene:
(1 +sen x)(l+cosx) _ ..	..
(l-cosx)(l + cosx) “ Á|COIX + cscx + 11
PROB. 2
1(1+sen x)(l+cosx) ,. .	. ..
------= X cotx + esex + 1
(1-cos2x) 1
Reducir la expresión:
secx + cscx
1+tanx
2(l+senx)(l+cosx)	. ,,
—----------------- = X| cotx + esex +11
2.sen x
RESOLUCIÓN

Expresando en senos y cosenos:
1	2
(l + senx + cosx)
2senZx
= X|cotx + esex + 11
1	1	(senx + cosx)
cosx senx _ cosx senx
। senx	(cosx + senx)
cosa	cosx
1 |l+senx + cosx| = X| cscx , j
/2 I senx |	1	1
Identidades Trigonométricas
T8
1 t cosa + senxl _
senx senx senxj
X|cotx+cscx + 1
|cscx + cotx + 11 = X |cscx + cotx + 11
1
12
’2
2
PROB. 4
Sabiendo que se cumple la siguiente
condición:
J7 eos 6 + 1 = tan2 6 ,
obtenga el valor de:
k = tan6 6 - tan4 6 - tan2 6
RESOLUCIÓN
******************
Del dato despejamos:
J7 eos 6 = tan2 6 -1
Elevando al cuadrado:
7 eos2 6 = tan4 6-2 tan20 + 1
7 = —U- (tan4 0 - 2 tan2 6+1)
eos 0
=>	7 = sec2 0 (tan4 0 - 2 tan2 0 + 1)
7 = (1 + tan2 6)(tan4 6-2 tan2 6+1)
Efectuando y ordenando como sigue,
tendremos:
7 = tan46-2tan% + 1 + tan66-2 tan40 + tan20
Finalmente:
tan6 6-tan4 6-tan2 0 = 6
~k
k = 6
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Para efectuar una demostración, se parte del miembro más complicado para
llegar al segundo miembro.
2)	En muchos problemas es recomendable expresar en función de senos y cosenos,
pero no significa que siempre se realice dichos cambios.
3)	Es conveniente realizar artificios, de tal manera que se obtengan identidades
conocidas, para beneficio propio del problema.
4)	En el caso de problemas condicionales se sugiere trabajar tanto en la parte
condicional (dato) como en la parte problémica (incógnita)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
dDITOIll
Enunciados de Problemas.
con Resolución
DEMOSTRACIONES
01.- Demostrar que:
1 + senx + eos 2 *x
------------= 2-senx
1 + senx
02.- Demostrar que:
10.- Demostrar que:
2	9	2	*»
cot x.(l+cos"x)+tan x.(l+sen~x) =
-	2	2	-
= 2sec x.csc x-5
SIMPLIFICACIONES
11.-Simplifican
(senx—cosx +1 )(senx + cosx -1)
----------:------------ = 2 eos x
1—cosx
03.- Demostrar que:
2
(1-senx+cosx) = 2(1-senx)(l + cosx)
04.- Demostrar que:
.4	2	2	2	2,6
cot X . CSC X - cot X. CSC X + CSC x - 1 = cot X
_	senx I cosa
05.- Demostrar: ------=----------
1 + cosx senx
/	.	\2 z
( secx.cscx—tanx i	( secx.cscx —cotx
M = --------------- + ----------------
esex j	secx
A) 1 B)sec2xC) csc2x D)-l E)0
12.- Reducir:
z.	x-2	,	-	x-2
( tanx + secx ) I cotx + esex )
M = -------+ ---------------r~
senx+1 j cosx+1 j
A) tan2x B)cot2x C)cos2x D)2 E)1
2
2	9	2	2
06.- Demostrar: tan x - sen“x = tan x .sen x
13.-Simplificar:
07.- Demostrar q ue:
8 .	8,-2	2	—	44
sen x + cos x= 1 -4sen x.cos x+ 2sen xcos x
08.- Demostrar que:
1	1	,,	2 x 2
T7-----+ i-------- - (1 + sen a) - 2 tan a=
1+senc 1-senc y '
2
— eos a
09.- Demostrar que:
1—senx 1 + senx
.	2	-
,	. ,	=4sec x-2
1 + senx 1 — senx
sec2x + 2tanx csc2x—2cotx
M =----------.— +-------------—
tanx +1	cotx — 1
2
A) sen x.cos x B) senx C) eos x
D)tanx.cscx E) secx.cscx
14.- Identificar la expresión mas reducida para:
M =	cosx+senx.tanx
	senx.secx
A\ *	2 A) tan x.csc x	B)secx C)cscx
2 D) sen x.cot x	E)cotx
Identidades Trigonométricas
15.-Simplificar:
(1 —cosx).cscx 1 — cosx
.. cosx tanx
M=---------;--------------
tanx—senx
A)-l B)2	C)1	D)-2	E)0
16.- Reducir:
M = secx(cscx- l) + cosx(sec x-cscx)
A) cot x B) tan x C) cot x. sec x
3
D) sen x. sec'x E) tanx
17.- Simplificarla expresión:
sec2x+cos2x—2 sec2x+cos2x+l
W=------------------- .---------------
secx + cosx — 2	secx + cosx +1
A) 2	B)1	C)4 D) 1/3	E)3
18.- S'mplificar la expresión:
cot6x + 3csc2x.cot2x +1
M — í	7 ñ
tan x+3sec x.tan x + 1
A) tan4x B) sen x. cot5x C) sec x. cot3x
D) sec5x	E) cot6x
19.- Simplificar la expresión:
W = sec6x - 3tan2x.sec2x - tan6x + 2 tan x.(sec
x- tanx).(cscx+ 1)
A) 2	B)4	C)5 D)-l E)3
.20.-Simplificar:
tan4x + sen4x—tan4x.sen4x
M =  ~--------------------~
(tanx + senx)(tanx—senx)
A) 1	B)0	C)3	D)4	E)2
21.- Simplificar:
vers(x).[3 - exsec x] + 2 + exsec x
W=-------------3^2^--------------
A) 1	B)0 C)-l D)-2	E)2
22.- Reducir:
1	£	f. 1	j	2	2
M = — (sen x + eos x) - — (eos x - sen x)
13	1	11
A> 6	B>8	D’í E>ñ
23.- Reducir:
1+tanx + secx	1 —sen2x
M = ~------------ +---------------
1 + cotx + esex cosx + senx.cosx
A) tan x B) csc x C) sen3x
2
D)cosx E)secx
24.- Reducir:
, , cosx versx versx—covx
M - ------- +---=— +--------ó--
1 + senx cos2x eos x
A)2cotx	B)3cosx	C)2sen3x
D) cos2x	E) tan3x
25.- Reducir:
2	2
M = vers x + cov x + 2(sen x + eos x)
A) 1	B)2	04 D)-l E)3
PROBLEMIZACIÓN CONDICIONAL
26.- Si:	sen20 + sen 0=1
determinar:	M = cos40 + cos20
A) 2	B)3	04	D)5	E)1
3
27.- Si: sen'x + sen x = m
3
eos x + eos x = n
calcular: M = m csc x + n sec x
A)-2	B)-4	05 D)-l E)3
T8
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOIII
determinar:
M = 1 - sen x - eos x
34.-Si:
sec x = a + csc x
2-y3	z->\	42
a)T	B)	k	C)	k
D> f	E)	>
29.- Si: sen4x + cos4x = k , entonces calcular:
3 2	2	3 2
W=(senx+cos x) +(senx-cosx) +(cosx+sen x)
3
A)3(14)	B)-(1+Jt) C)^(l+¿)
3	1
D)|(l-¿)	E)|(l-¿)
30.- Si: sen x + eos x = 42
,	-.44
determinar:	M = sen x + eos x
3	5	1	2	5
A)| B) |	C)| D)-y E)~3
31.-Si: 2sec~x - csc'j = 1, entonces calcular:
2	2
W = 2sec y - csc x
A)0 B) 1	C)3	D)4	E)2
cos4x—sen4x
32.-Si se cumple: -g----g- =m ;
eos x—sen x
k
calcular: M = 1 + sen6x + cos6x
A>^
B) L~~	C)~^—
' tn ' 2m
sen x-versx ,
33.- Si:----:----- - k,
sen x+vera x
entonces calcular: W = k - A1
A)-2cotx B)-2senx C)3tanx
D)-2tanx E)tanx
determinar: M = tan x + cot x - 1
Además se sabe que: x G IIC, a > 1
A) 7a2+1 B) V3c2 + 1 C) Vc2-1
D) V2«2-l	E)-7o2+1
35.- Si: tan a - csc a = 1 ,
calcular:	W = (csc a - eos a)( 1 + cot a)
A) 2	B)3	C)4	D)-5	E)1
I 1 o
36.- Si: k > 0, se verifica que: k+— > 2 , cal-
cular el mínimo valor de:
2	2
W = sec x + csc x + 2 sec x . csc x
A) 3	B)4	C)5	D)9	E)8
37.- Si: tan a- sen a= 1, calcular:
W = sec a. csc a - sen a + eos a
A)-2	B)2	C)4 D)-l E)-3
2	3
38.- Si: sen x - eos x + sen x = 0, entonces
calcular:
3
W - csc x + sen x
A)0 B) 1	C)2	D)8	E)-2
2	2	n
39	.- Si: sen x + csc x = 7, entonces calcular:
W = eos x. cot x + 2 sen x
A)-2	B)±2	C)4	D)-5	E)±3
40	.-SÍ: cotx + cosx=l,
2
calcular: W = cot x + csc x
A) 42	B)5V3 C)2V2 D) 1 E)3V2
41	.- Si: sen4a = 2 cos4a + a. csc4a ... (1)
b sec2a = cos6a + 4 sen2a ... (2)
Identidades Trigonométricas
T8
calcular -.a+b.
47.- Determinar “ni' en la siguiente identidad:.
A)9	B)2	04	D)3	E)1
42	.- Sabiendo que se verifica:
tan r+cot v+m _ sec3x+csc3x
tan x+cot x+2	(secx+esex)3 ’
calcule el valor de m.
A)2	B)3 Q-l D)5	E)4
43	.- Si se cumple que:
(2-cos2aXl+sec2a)	1
	5	= 2 +  ,
l + 2tan-ct	*
entonces calcule el valor de k.
A) 3csc"a	B) - csc'a	C) 6tan a
—	2	3
D)-4sec a	E)4cot“a
eos x(3+tan r— 2 sec~r)	1—wi
2tanx + l ~ secx
A) tan x B) 2cos x C) 5sen r
D) -cot x E) 3tan v
48.- Si: exsec x + tan x + 1 = a , a * 0. a * ± I
calculancot x
A)	2 «2-l	2o B) 2 । a -1	
D)	3(n-l)	2«	
49.- Calcular “x”, a partir de:
lo	7
(x + cov 0)- + vers-0 = (exsec 0)"; x > O a e IC
A) 2sen 0-1	B) cot 0 - 1 C) tan O - 1
D) 2tan 0+1 E) sec 0+1
entonces calcular: eos r
A) cot n . tan b B) 2cos a . sec b C) tan b
D) sen a . tan b E) eos a . tan b
45.- Sabiendo que:
tan _x cot2x
--------- --------- = 4 + sec x ,
secx — 1	esex — 1
calcule: sen x + esc x.
3	5	5	5	2
A) j B) 3	O-5 D) - E)-|
46.- Calcule el valor de “ ni ” si:
secx-tanx secx + tanx in
--------- + ------- — = ni + ni . cot x.
seci + tan r	secx — tan r
A)3	B)4	C)2	D)-2 E) 1
l + sen4r
50.-Si: ------7— =tan r
1 + cos x
calcular: M =
sen x-sen3x+sen5x—sen7x
eos x-cos3x+cos5x—cos7x
A) 2	B)3	C)1	D)-4	E)5
ELIMINACIÓN DE ARCOS
51.- Determinar una expresión independiente
de la variable angular “x”, si se sabe que se
verifican las siguientes condiciones:
a b
----=------- ..(1)
senx cosx
1
sen 1. eos x — ~	. (2)
A) ab2= a-b B) «2 + ¿>"= 3«£> C)a~b = 1
D) lab = a2 + b2 E) ab = a + b
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Jk RACSO
PBDITOKBfl
52	.- Si se sabe que se verifican las siguientes
condiciones:
1	+ sen4* = a eos2*. sen2*... (1)
2	- eos4* = b sen2*. eos2*... (2)
2
determinar el valor de: F = (b - a)
A) 9	B)3	C)25	0)4	E)16
sen* eos* tan*
53	.- Si:- =---- =------;
abe
se pide identificar la expresión equivalente de:
V = n"(«2 + ¿>2 )
A)flV B)/?c2 C)2ab2c D)4 E)3
54	.- Si se verifican las siguientes condiciones:
«(1 + tan"*) = (1 - tan*) ---(1)
(1 - cot*)2 = (b - 1)(1 + cot"*) ... (2)
se pide calcular el valor de: A = b - a
A) 1	B)-2 Q3 D)4	E)1
55	.- A partir de las condiciones:
p eos2*. sen*= q... (1)
2
p sen *. eos * = r... (2)
encontrar una expresión independiente de «*»
A)p q r =(r +q )
2	2 z 2	2» 3
B)r +q =(p +q )
O r -q =(2r +p )
D) p q =(p +r )
E) 4pqr — (p2 + 2q2)3
56	.-Si:	tan* .(1+cos*) = 4p ---(I)
tan*. (1- cos*) = 4iy ...(2)
determinar una expresión equivalente para:
N = p? - q2
A) Vp v/fl
bWp «i
O Jpq

E)2^p’ j
57	.- Sabiendo que:
ni sen a h eos i = nn (1)
n sen * + ni eos * = n -t I (2)
determine el valor de: E = i» + n + I
A) 2	B)0	03	E)-2
58	.- Si: sen"* - eos"* = a .. . (1)
tan4i - col4* = b . . (2 )
determinar el equivalente de: S = iía(a + 1)
A) a( 1 - fe2)2 B) ¿>( 1 - n2)2 C) (1 - b2)2
D)<i(l+¿>2)2	E)(l-o2)2
3	5	8
59	.-SÍ:	tan’*+tan* = /ri -..(1)
3	5	8
cor* + cor * = /i ... (2)
2	2
identificar el equi valente de: S—m + n
A.) 2nm	B) ni + n O 2 D) ni5 n5 E) m n
60	.- Si se sabe que: * e (o;	, y además:
1+sen*
m=~-------- ..(1)
1 — sen*
n = (tan* + sec*- l)2 ...(2)
calcular el valor de: A = -Jñi —Jñ
A)2	B)3	05	D)0	E)1
Identidades Trigonométricas
T8
91
Ijd^ñti d a d |s Tr ¡ g¡ó ñom é t ri cas
fccdeÁrcos“C^mptí estos
¡Cíe i—U.-- .1. - I
9.1.	R.T. DE LA SUMA DE DOS ARCOS___________________
sen (ct + P) = sen a. eos P + eos a. sen p
eos (a + P) = eos a. eos p - sen a. sen p
tan (a + P) =
tan a + tan P
1-tana.tanP
9.2.	R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ARCOS
sen (a - P) = sen a. eos P - eos a. sen P
eos (a - P) = eos a. eos P + sen a. sen p
tan (a - P) =
tan a - tan p
1 + tana.tanp
9.3.	RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA DE TRES ARCOS
sen (a + P + 6) = sen cucos P-cos 6 + sen p.cos cucos 6 + sen O.cos cucos P - sen cusen p.sen 6
eos (a + P + 6) = eos cucos p.cos 6 - eos cusen p.sen 6 - eos p.sen cusen 6 - eos 0.sen cusen p
tancc + tanP+tanO-tanatanptanO
an ct + p + I-(tana.tanP + tanatan6 + tanptan6)
9.4.	IDENTIDADES AUXILIARES_______________________________
1)	Si: ct + P = 0 => tan a + tan P + tan 0 tan a tan P = tan 0
2	2	2	2
2)	sen (a + P) sen (ct - P) = sen	a - sen p	3)	eos (a + P) eos (ct - P) = eos	a - sen P
«	n sen(a + P)	„	n	sen(ct-P)
4) tan ct + tan P = cosacosp	5)	tan ct - tan p = cosacosp
T9
92 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1CITQ111
6) 1 + tan a tan p =
cos(ct-P)
cosacosP
cos(P-a)
8) tan a + cot p = -------
senp cosa
/ 2	2~
10) a senx +b cosx = va +b sen(x + <[>)
/ 2	2	/ 2	2
11)-va +b <a senx ± fe cosx< Va +fe
eos (a + P)
7)1- tanatanp= ^¿¿¿“p
cos(P + a)
9) cot p -tan a = senpcosa
Siendo: tan ó = —
v a
sen(a + P)
12) cot a + cot p = senasenp
sen(p-a)
13) cot a-cot p= senasenp
14) tan a - tan p - tan(a - p) tan a tan p = tan (a - P)
9.5.	IDENTIDADES CONDICIONALES__________________________________________
i)	Si: a + P = 45° => tan a + tan P + tan a tan P = 1
ii)	sen x± cosx = J2 sen (x + 45°)
iii)	sen x ± -J3 eos x = 2 sen (x + 60°)
iv)	SÉ x + y + z = kn V k e Z
tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z
cotx. cot y + cotx. cot z + cot y. cot z — 1
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
PROB. I
PROB. 2
Calcula el máximo valor de:
k = 5 sen(x + 37°) + J2 cos(x - 45°)
Simplifique la siguiente expresión:
E = tan x + tan 2x + tan 3x tan x tan 2x
RESOLUCIÓN

RESOLUCION

Desarrollando como sigue:
k = 5(senxcos37° + cosx sen 37°) + J2 (eos
x eos 45° + sen x sen 45°)
Se observa que: (x + 2x) = 3x
Tomando tangente en ambos miembros,
obtendremos:
4	3	»-	¿2
k = 5 senx.-5 + 5 cosx.+ ¿2 cosx-^- +
tan (x + 2x) = tan 3x
Simplificamos, obteniendo:
k = 4 sen x + 3 eos x + eos x + sen x
=> k = 5 sen x + 4 eos x
A continuación dividimos ambos miembros
b
—¡= = cose senx + sen 6 cosx
-¿41
Luego: -j= = sen (6 + x)
Finalmente:	k = -J41 sen (6 + x)
Su máximo valor será:	h = V51
tanx + tan^x =tan3x
l-tanxtan2x
Luego efectuamos como sigue:
=> tanx + tan 2x = tan 3x-tan 3xtanxtan2x
Finalmente:
=>	tan x+tan 2x +tan 3x tanx tan 2x
E~
E = tan 3x
PROB. 3
En la figura que se muestra, calcule tan x,
siendo M y N puntos medios de lados AB y BC
respectivamente.
Si: mZACB = 37°
T9
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
=> 25 tan x = 18
tanx =
RESOLUCIÓN
Se observa que: 6 = x + y aplicando propiedad.
=> tanx + tan y + tan 6 tan x tan y = tan 6
3
Pero:	tan y = g
. o 3
tan 6 =
3	3	3	3
Luego: tanx+ g + -^tanx g =
18
25
PROB. 4
Calcula el valor de:
sen(x-y) sen(y-z) sen(z-x)
cosxcosy + cosycosz coszcosx
RESOLUCIÓN
★ iot^iifiii******
sen(a-P)
Se sabe que: cosacosp = tan a - tan p
Haciendo un trabajo análogo tendremos:
k = tan x - tan y + tan y - tan z + tan z - tan x
=> 16 tanx + 6 + 9 tanx = 24
k = 0
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Para hallar el valor de alguna razón trigonométrica, de un determinado ángulo
se debe descomponer en una suma o diferencia de otros dos ángulos cuyas razones
trigonométricas sean conocidas.
2)	En figuras geométricas se debe buscar un ángulo exterior en un triángulo, para
luego aplicar la propiedad siguiente:
Si: x + y = z => tan x + tan y + tan z tan x tan y = tan z
3)	Para encontrar máximos y mínimos de expresiones de la forma:
k = a sen x ± b eos x
Debemos recordar que:	= Ja2 + b2 a km(n = - Ja2 + b2
4)	Cuando se tienen sumatorias de expresiones trigonométricas, se debe reemplazar
por diferencias, para que se simplifiquen, para ello se debe tener en cuenta que:
tan x - tan y =
sen(x—y)
eosxeos y
cot x - cot y =
sen(y—x)
sen x sen y
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
T9
95
Enunciados de Problemas
con Resolución
SENO, COSENO DE ANCOS COMPUESTOS
01.-Si:
7?
sen x + eos x =-
8
Determinar el valor de: M = 16 sen j
A) 1	B)2	C)3 D) 1/2	E)3/2
02.-Calcular:
M = (sen 18° + cos 12°)" + (sen 12° + cos 18°)"
A)3	B)2	C)1	D)0	E)0,5
A) 1/2	B)2	C)4/3 D) 1/4 E)3/4
07.- Eliminar los arcos “x" e ‘V’de las condiciones:
sen(jc + y) . sen(x - y) = a ... (1)
cos(jc + y). cos(jc - y) = b ... (2)
eos x. sen y = c ... (3)
A)fl2 = h2-c2 B)n" = Z?" + c' C)n2 = hc
D) (1 + n)2 = b" + 4c2 E) (1 - a)- = b2 + 4c"
08.- Eliminar los arcos “x” e “y” de las condiciones:
03.-Reducir:
j3sen50" cos50"
sen25°-cos25°
sen x + sen y = m ...(1)
eos x + eos y = n ... (2)
A)0	B)0,5	C)-72 D) 72 E) 73
04.-Reducir:
2
M=^en (n + b) - 2 sen(a + h).cos n.sen b +
sen 6
A) sen a B) sen b C) sen"«
D) sen2í> E) 1
05.-Simplificar.
eos "(a + p) - 2cos a.cos p cos(a + p) + cos2p
A) sen a B) sen2a	C) eos a
D) cos2a E) eos2 p
cos(x-y)=p ...(3)
7	3	i 3
A)	2( 1 + p) = m + n~	D) 2p = m~ - n~
B)	2p=mn	E) 2( 1 - p) = m~ + n~
C)2p — m-n
TAN, COT DE ARCOS COMPUESTOS
09.- Si: x + y = Calcular:
} 4
tanx + ta ny cot a + coty
A) 1	B)0	C)0,5 D) 1,5	E)2
10.- Simplificar: W = tan 2a + tan a +
06.- Si: x + y = 30°, entonces al calcular
W = sen2y + eos2* - sen y .eos x. se obtiene:
tan 3a
eos 2a
T9
96
A) tan a
D) 2 tan 3a
B) tan 2a
C) tan 3a
E) cot a
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
a4RACSO
WiDiToaas
11	.-Simplificar:
2tanA + 3tanB — tanC - tanA.tanBtanC
W=---------------------------------------
tanA + 4tanB - 2tanC — 2tanAtanBtanC
con la condición A + C = B
A)1	B)0	C)0,5 D)tanA E)tanB
12	.- Si: 4 tan (x - y) + 3 sec jccsc x = 4 tan x,
entonces al calcular cot x.cot y se obtiene:
A) 1/2	B)l/3 C) 1/4	D)3/2 E)3/4
2	2	2	2
13	.- Si: tan x + 2 tan x. tan y = 1 + sec y ,
tan (x - y) = 3
Determine:	M = tan(x + y)
A) 1/3 B) 1/2	C)3/2	D)2/3 E)3/4
14	.-Calcule:
W=-j3(l tan 5o. tan 10o)+ (1 + tan 10o).
tan5°+ (1 + tan 5°). tan 10°
A)0	B)0.5	C)1 D) 1,5	E)2
15	.- Calcular:
41 — J3cot65°+cot800 cot800.cot65°
1 +cot65°—J3cot80° cot65°—J3cot80°
A)0 B) 1	C)1.5	D)2	E)2,5
16.-Calcule:
W=cot254°(l -tan290)+cot81<’(tan90+4tan360)
A) 1	B)l,5	C)2	D)2,5	E)3
a+b
17.-Si:tan(x + y+z)=----- Atan(x-y-z)- 1
a —b
Determinar: “tan 2x”
A) a B)-a/b C)b D)b/a E)«/í>
/	A	1
18.- Si: tan--------a = —, calcular
[14	J	2
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
19.- Si: sen(a - p) = 3 cos(p — a); cot(a + p) =
0,5; entonces al calcular tan(2a) se obtiene:
A)0 B) 1/2	C)-l/2 D) 1 E)-l
20.- Sean tan p y tan q las soluciones de la
ecuación
(jc- 1)(A1 2 jc+1) = 2A , Ae R-{-l;OJ
Calcule: tan(p + q) en términos de “k”.
1 k +1	2 L -1
A)I B)T	C)^ D)r E)^
21.-SÍ: N = tan21°+ tan24°+ tan2l°.tan24°
M = tan 63° - tan 63° - 41 tan 63°.tan 63°
Calculare! valor de: “N.M2”
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)6
IDENTIDADES ESPECIALES
22.- Calcule el valor mínimo de la expresión:
W = n(sen x - eos x) + fe(sen x + eos x)
A) ab B) a + b C) -Ja2 + b2
D) 1/2 ab E)-j2(a2+b2)
23.-Simplificar:
Ía + b A	4 a b\
---- —sen -------
2	2
----L-------k----1
cos(« - b) — cos(n + b)
A) 1	B)2	C)-l/2 D) 1/4 E) 1/2
24.- Reducir: M =
senz38°-sen28o
cosz38<’-sen28<’
k	7
.tan 44°
A)
B) 42
D)1
E)^
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
25.- Calcular el valor aproximado de:
D) sec 19°. sec 33‘
2senl0°+2-j3cosl0°+3cos70o
M=-----------5---------5--------
sen255°-sen~18°
A)| B)^	C)¿ D)*f E)^
26.- Simplificar:
(taño + tan¿).(cota + cot¿>)
W —
(taño - cota) + (taní> — cotí>)
A) tan a B) tan b C) tan(a + b)
D) tan(a - b) E) -tan(a + b)
27.- Si: tan x = cosfrz + b)\ tan y = cos(a - b),
2cot(jc+ y).cosacosb
calcular: W =---------5-----7-----
sen a + sen b
A) 1	B)0	C)0,5	D)2	E)2,5
28,-Si: tan x + tan y = m. sen Cx + y) . .(1)
tany+tanz = H. sen(y + z) ...(2)
tanz + tanx = p. sen(z + jr) ...(3)
Determinar: M = eos x. eos y. eos z
A) (mnp)	B)mp	C)mnp
D)	(mnp)112	E) tnn
29	.- Si cot 76° = a [cot 38° - cot 52o], entonces
el valor de “a” es :
A) 1 B) 1/2	C)0	D)2	E)l/4
30	.- Exprese W como un producto, donde:
W=tan 19°+tan 33°+tan 38o- tan 19° tan 33°. tan 38°
A)	esc 19° ese 33°. esc 38°
B)	esc 33°.csc 38°
C)	sec 33°. sec 38°
E)	sec 19°.sec 33°. sec 38°
31	.- En una circunferencia, con centro en el ori-
gen del sistema y de radio «z»; se cumple que:
xsen0+ycos0 = z
Determine: M = -Jl • sen (0+^)
A)f C)i^	E)i±2
32	.- Sabiendo que:
sen(x-y) sen(y+z)
--------- + — --------= 2 sen (x + z)
cosxcosy cosy.cosz	’
Calcular: M = eos x. eos z
A)0	B)1 C)l/3 D) 1/2 E) 1/4
SITUACIONES GRÁFICAS
33	.- De la figura mostrada, calcule “x”
Si:BD=3,ED = 5,CE=4
34	.- De la figura mostrada, determinar: “tan
0”, si: AD = BD = EC = 1 y BE = 2
A) 1	B)l/3 C) 1/4	D)l/2 E) 1/6
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
fcj RACSO
 «OiTCltl
35.- El triángulo ABC es rectángulo isósceles.
Calcular "tan 0”, Si: AM = MN = NB.
A) 4/3
B)7/3
C)3/4
D)3/7
E)4/5
A) 1/11 B12/11 Qll/3 D)3/ll E)ll/2
39.- En la figura mostrada se tienen tres dis-
cos tangentes exteriormente de radios r, = lu,
r-, = 9 m, r3 — 4 u. Calcular: sen 0.
36.- Si el triángulo ABC es isósceles (AB = BC).
Determine el máximo valor de "0” si: AM=MB.
A) 20°
B)45“
C)25°
D)40°
E)30°
a\ 25	o- 7	™ 61	p. 49 g» 63
A) 24	B) 65	65 J 65	’ 65
37.- De la figura mostrada, PQRS es un rectán-
gulo, PT = TQ = 5QU = | UR, ni Z STU = 0.
Determine, tan 0.
A)-4/3
B)-10/9
Q-2/3
D)-5/9
E)-20/9
40.- En la figura mostrada, AB = 2, BC = 6, CD
-	, ni Z CED = a. Calcular: cot a.
41.- En la figura mostrada, ABCD es un cua-
drado BE= |EF.BF = FC,mZEAF=0.
Calcular: sec 0.
B E F C
38.- En la figura mostrada, ABCD es un cua-
drado, BC es el diámetro de la semicircunferen-
cia, OE es el diámetro de la circunferencia ins-
crita en la semicircunferencia, ni Z BDF = a.
Determinar: cot a
A	D
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
T9
42	.- En la figura mostrada, BC = 1. CD = 2, DE
= 3. m Z BAC = m Z DAE; m ¿ ABE = 90°.
Calcule: AB.
A) 1
B)2^
C)L5
D)2
E)3
43	.- En la figura mostrada, BC = 1, CD = 2, DE
= 3,0=/nZCAD=»iZAED,/nZ ABE=90°.
Calcular: sen 0.
A) B) C) D) E)
IDENT. TRIG. DE SUMA DE 3 ARCOS
44	.- Sabiendo que: a+y + z=90°. Calcular:
cos(a-j)	cos(y-z)	cos(a-z)
M ------------ + ----------+ ------------
cosx.cosy	cosy.cosz	cosx.cosz
A) 1	B)2	C)3	D)3,5	E)4
45	.-Si: A + B + C = 90°
Calcule:
W = tan A.tan B + tan B.tan C + tan A.tan C
A)0	B)0.5	C)1	D)2	E)3
46	.- Si:A + B+ C= l 80°. Calcular:
W = tan A + tan B + tan C - tan A.tanB.tan C
A)0	B)0,5 C)1 D)1.5 E)2
47	.- Si: a+y + z — 7t/2
cot a - tan y—m, col y - tan z = n, cot z - tan x—p
Determinar: M -- tn tan a + n tan y + p tan z
A) 1	B)2 Q3 D)4 E)/n
48	.-Si: a + v + z= 180°,
además: sen a + eos y. eos z = 0.
Calcular. M = tan a . tan y. tan z, en termino de
“tan a”
A) tan a	B) 2 tan a: C) -tan a
D)tanA:+l E)tanA--l
49	.- Si: tan a — 2; tan y=4 ; tan z=3, entonces
al calcular:
W =-------------- se obtiene.
cos(a - y + z)
A)0	B)1 Q2 D)-2 E)-l
50	.- En un A ABC, si tan A + tan B = k-, tan A
+ tan C = 1; tan B + tan C = m-, k, 1 y m G R,
entonces al calcular sec A.sec B.sec C se ob-
tiene:
A) -^-7 B)A/m C) . fd,m
m + l	’	' k+l+tn
0,5 klm	2klm
k+l+m	k + l + m
51	.- Si: A + B + C = 71, calcular:
sen 2(B + C)—cos2B - cos2C
cos(B + C).cosB.cosC
A) 3	B)2 Q1 D)-l E)-2
T9
100
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Í^RACSO
IDITOUI
Son técnicas que se realiza para obtener los valores de las R.T. de cualquier ángulo por
otros equivalentes pero cuyos ángulos se ubiquen en el primer cuadrante. Para el estudio de
reducción al primer cuadrante, se presentan los siguientes casos:
10.1.	CASO (I): ÁNGULOS POSITIVOS MENORES QUE 360°	QJ
PROPIEDADES
R.T. (90° ó 270° ± a) = ± COR.T (a)
R.T. (180° + a) = ± R.T (a)
R.T. (360° - a) = + R.T (a)
Tener en cuenta que los signos ± del segundo miembro se eligen de acuerdo al cuadrante
donde se encuentre el ángulo que se está reduciendo y la función trigonométrica a este se le
aplique. Considerar a ángulo agudo con el fin de ubicar con facilidad el cuadrante.
10.2.	CASO (11): ÁNGULOS MAYORES QUE 360°____________________________
Es suficiente con dividir el ángulo que se desea reducir entre 360°. A continuación se
toma la misma función trigonométrica al residuo, así:
R.T.(n x 36(1° ± a) = R.T. ± (a); n e Z
10.3.	CASO (111): ÁNGULOS NEGATIVOS fP]
Es suficiente convertir el ángulo negativo en positivo siguiendo los teoremas siguientes:
Supongamos que: a > 0 => - a < 0
sen (-a) = -sen a	eos (-a) = eos a	tan (-a) = -tan a
cot (-a) = -cot a	sec (-a) = sec a	esc (-a) = -esc a
Reducción al Primer Cuadrante
T10
101
10.4.	CUANDO EL ANGULO SE EXPRESA EN RADIANES
La reducción se procede aplicando las reglas siguientes:
R.T. (*Tt ± ct) = ± R.T. (a)
R.T. i(2?t + l)a/2 ± a] = ± COR.T(a)
V *e Z
En general: R.T.(2é7t ± a) = R.T.(± a)
Recuerde lo siguiente (V k e Z)
10.5.	ÁNGULOS RELACIONADOS ENTRE SÍ_______________________________
10.5A	Ángulos Complementarios
Si: x + y = rt/2 , se cumple; R.T.(x) = co-R.T. (y)
10.5B Ángulos Suplementarios
Si: x + y = n , se cumple: R.T.(x) = ± R.T. (y)
RACSO
1DI7O1II
T10
p!021 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PROB. 1
Calcular N =
RESOLUCIÓN
eos300°+eos 120°+ sen 150°
sen 330°+ eos240°+ tan 135°
*********************************************
Aplicando reducción al primer cuadrante:
K,	cos(360o-60°) + cos(180°- 60°) + sen (90°+ 60°)	K, cos60°-cos60°+cos60°
sen(360°-300) + cos(1800 + 600) + tan(900+ 45°) =» 1X1 - _sen30o_cos60o_cot45o
Luego de reemplazar los valores notables, tendremos:
1	_L
N = --------- => N = -2-	 N = - —
-2	"	4
2 2
PROB. 2
sen750°+cosl 500°+tanl 665°
Calcular: E— sen(-150°)-cos(-1200) + cot(-7650)
RESOLUQÓN
*****♦***♦*♦♦♦****♦♦**♦♦**♦*♦♦*♦♦♦**♦*♦*♦*♦**
Reduciendo al primer cuadrante:
sen(2x360°+30°) +cos(4x360°+60°) + tan(4x360°+225°)
h-	-senl50°-cosl20°-cot765°
Al aplicar los casos II y 111, tendremos:
E _________sen300+cos600+tan45°_______
- sen30°-(-cos60o) - cot(2x 360+ 45°)
2
E = ~	.-. E = -2
1 + 1 + 1
2 2
-1+1-1
2 2
finalmente:
PROB. 3
Calcule:	S = eos 10o + eos 20° + eos 30° + ... + eos 160° + eos 170°
RESOLUQÓN

E =
Se observa que los ángulos que están equidistantes suman 180° y se sabe que si:
Reducción al Primer Cuadrante
Luego:
x+y = 180°
cosx = -eos y
S = cos/T0° + cq/20° + eos30° + ...-CQ8z0°-cos-H0o
S = 0
PROB. 4
sen(57i - x)+eos	+ x)+sen(87i - x)
Reducir: R = ----------------X——4-----------------
tan(457i + x) - cotí — x I+tan(487i+x)
RESOLUCIÓN

Escribiendo apropiadamente «R», tendremos:
sen(47t + ti - x)+eos ^4ti - ^+x j+ sen(8?i - x)
tan(447t+ti+x)—cot (12ti+^ - x j+tan(48rt+x)
Al aplicar el caso 111, en el paso anterior, nos queda:
sen( jt - x) + eos] - ~ + x 1+ sen(-x)
R =-------------------------4---------
tan(7i + x) - cotí y - x 1+ tanx
Finalmente aplicamos el primer caso, obteniendo:
tanx - tanx + tanx
senx
tanx
= senx.
cosx
senx
R = eos jr
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
R =
R
1)	Cuando un ángulo no es agudo, se recomienda aplicar reducción al primer
cuadrante para determinar R.T. de ángulos agudos.
2)	Si observamos que dos ángulos suman 180®, significa que la suma de sus
cosenos es igual a cero o bien sus senos son iguales.
3)	Cuando un ángulo se expresa en radianes, se busca un valor par de n, de tal
manera que se puede aplicar el siguiente teorema:
R.T.(2 kit±a) - R.T.(±a) ; Vke Z
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOtlI
Enunciados de Problemas
con Resolución
CASOS DE REDUCCIÓN
01.-Si:
csc (90o- A) - a eos A cot (90o- A) = sen (90o- A)
El valor de a es:
A) cot A B) -cot A C) tan A
D) -tan A E) sec A
02.-Calcular:
eos Io+eos 2o+eos 3°+...+eos 179° + cos 180°
A)-2 B)-l C) 1	D)2	E)3
03.- El valor de la siguiente expresión:
“(é) c“®
Es igual a:
A)0	B)1 Q-l D)2 E)-2
04.- Hallar el signo de las expresiones
trigonométricas, en el orden dado:
52n	2571 32ti 22ti
sen —y . eos —y ; sen -y . cot —y ;
/-205ti\ 73ti
sen O/ cot 10
A) (+) (+) (-) B) (-) (+) (-) C) (-) (+) (+)
D) (-)(-)(+) E) (+)(-)(+)
05.- Sea R = eos 810° + cot 425°
S = (sen 450°) (tan 785°)
El valor del producto R.S es:
A) 1 + cot 65° B) 1 + tan 65° C) (tan 65o)2
D) cot 75°	E)1
06.- Reducir: A - B siendo:
A = sen (ll^ + xj-sen ^33^+jj
B = eos (55^ + a) - eos ^77+ y j
A) sen (a + y) B) eos (a + y) C) -eos (a + j)
D) -eos (a - _v) E) -sen (a - y)
07.-Simplifican
W =
sen(it+a).cos +a)+cos(a - ?t).sen (y+a )
csc(tc+A).sec(y + A j - tan ( A - j.cot	- A
C) tan2A
A) tan a
D) cot2A
B)cotA
E) -tan2A
08.-Simplificar:
tan (~y - «j.sec(37t - a).sen p-y - a
W _	cos(—40n+ct)
A) sen a	B)coscc	C)tancc
D) cot a	csc a
09.-Simplificar:
sen(n—A).cot (A— y j.cos( a—36tt)
tan(l 3tt + A)tan (a+iy j.cos2 (~y^ + x j
Reducción al Primer Cuadrante
A) O B)O,5 Qtf D)-l E)1
15.- Reducir:
10.- Simplificar
cot (1995 n - 0).cos 1239-^ + 6
W =-----------------)--í—?
sec(0 - 804n).senl0 -161^1
A) sen 0 B) tan 6	C) cot 6
sen( 180°- a).cos(a-90°).tan(1260°+ a)
~ cos(540°- cc).tan(360°+ a)sen(450°+a)
A) tan a B) cot a C) cot2 a
D) -cot2 a E) -tan2cc
D) -eos 6 E) eos 6
11	.-Si:
tan ^37^ + a j .cot( 1 75tc - a).sen(809n + a)
cot(72ít — a).sen ^91 —a j .sec	+ a j
2
9
además: ccg IIC, Calcule:
M = 2-j5 cotcc+csccc.
A) 30 B)31	Q-30	D)28	E)-31
12	.-Simplificar:
cov(a-27n) very(-10n+jr)
W„(-I + 23|) ™.(-a+I3í)
A)1	B)2 C)-2 D)-l E) 0
13	.- Si: n G Z, calcular el valor de:
M = senpm-(-l)" .esc pin + (-l)n.^j
A)0	B)1	C)0.5	D)2 E)-l
14	.- Si “a” e “y" son complementarios.
6 G ( —7t ; - n!2) y se cumple:
t	sen( a + 2 y ).tan(2x + 3 y)
cos(2a + y).tan(4jr+ 3y)
Determinar el valor de “6”:
Ai —— Rt —ct ru
A}- 3 B)- 6 C)- 4 D)- 1() E)-n
16.-Si: k.senp5^-6j .cos(77-^ + 6j = 5
2
Calcular: W = (sen 6 + eos 6) en términos de k.
k + 1
A)k B)Á“ C)-k D)k-1 E)-*-
17.- Calcule:
W = cos(159^) +sec^242yj -Senp25^j
A)0	B)1	C)2 D)-l E)-2
18 g.	cos(3000°) - cos(2000°) _
cos(300°)—cos(200°)
Calcular: W =
términos de k.
cos(3000°) + cos(2000°)
cos(300°) + cos(200°)
A)k B) -A C)*2 D)jy E) |
19.- Si los ángulos internos de un triángulo ABC
están en progresión aritmética (A < B < C)
Reducir:
sen( A + 3B + 2C)	cos(B + 2A + 3C)
sen(B - C) + cos(B - C)
A)0,5	B)1 Q2 D)l,5	E)0
20.- Determinar el valor de:
í sen420°.cos240°.tan405° A2
M= [sen210°.cos225°.tan570° J
3	5	9
A)-	B)1	C)0	D)|	E)^
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
TafcF.ACSO
21.- Simplificar:
27.- Calcular el valor de:
sen(2540°) + 2cos3(1910°)
W = cos(2680°) + 2sen ’(2630°)
A) tan 10o B) tan 30°	C) cot 10o
D) cot 20°	E) tan 20°
n 3ti 5tt 7n
M = eos — + eos— + eos — + eos —
000	o
A) 0,5	B)1	C)l,5	D)-0,5	E)0
28.-Si:A+y= 180° a y + z = 270°
CASOS PARTICULARES DE REDUCCIÓN
22.-Calcular el valor de:
eos 10° + eos 30° + eos 50° +... + eos 170°
A) 1/2	B)0	0^3/2 D) 1	E)2
23.-SÍ: A + B + C= 180°.
Calcular:
senA + cosy
seny — senz
+(tanx- tanyXcoty + tan z)
A) 1	B)2 O-l D)0	E)-3
29.- Simplificar la expresión:
Hallar: -—r-----73—-—
tanA + tanB + tanC
A) sen A.sen B.sen C D) cot A.cot B.cot C
B)cos A.cosB.cosC E)sec A.secB.secC
C) tan A.tan B.tan C
24	.- Qué relación existe entre a y b; sabiendo
que:
/2«-3fe\	/6n+3o-2¿\ „
tan (—g— ) + cot (---4-----) = 0
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
25	.- En un triángulo ABC. Simplificar:
sen( A + B)
M =-------z + tan(A + B + 2C). cot (A + B)
senC
A)0.5	B)1 C)-l D)l,5	E)0
26	.- Si: a+y = 7t, simplificar
2 tan -í	n -
M _ sen a _______2_	3 sen 2a
“ sen y y sen 2y
A)0,5	B)1	Q1.5	D)-0.5	E)0
tan(230°+A) + tan(50°+A)
M	cot(40°-A)
A)0	B)0,5 C)1	D)l,5 E)2
2m + 1	ni + 2
30	.- Si: csc a = “-7 ; csc B =-7
2m -1	m — 1
Determinar el valor de “m” que hace que a y
sean suplementarios
A)|	B)^	C)^	D)0	E)|
31	.- Reducir:
sen 120°+sen 140°+sen 160°+...+sen260°
M=--------------------------------------
cos20°+cos300+cos40°+... + cosl70°
A)0	B)0.5 01.5 D)2 E) 1
32	.- Si: sen a = eos (P + 6), «a» y «P + 6» son
ángulos agudos
tan(cc+P+26)
Reducir:	M= cot(2a + 2p + 36)
A)0	B)1	C)2	D)-2 E)-l
33	.- ¿En qué tipo de triángulo ABC se cumple:
sec(A + 2B + 2C) = csc(2A + 2C + 3B) ?
Reducción al Primer Cuadrante
A) escaleno	B) isósceles
C) equilátero	D) obtusángulo
E) rectángulo
34.- Si A, B y C son los ángulos de un triángu-
lo. Simplificar:
cos(A + B)	cos(B + C)	cos( A + C)
M =------------+------------+------------
cosC cosA cosB
AJO BJ1 Q-2 DJ-1 EJ-3
AJO BJ0,5 Q-l D)2 EJ1
SITUACIONES GRÁFICAS
35.- Determinar BM de la figura en términos
38.- De la figura mostrada, calcule:
de R y 0:
A)R
BJRsenO
CJR eos 6
D) R sec 6
EJRtanO
W = a tan 6 - 2b.
36.- De la figura mostrada, calcular tan 6.
A)^ BJ1 C)2yÍ5 D)3>/5 E)
AJ a
BJ¿
C)-a
D)-ab
E)-b
39.- De la figura mostrada, determinar: 13 sen a.
AJI
BJ3
Q4
DJ2
EJ5
*4racso
niDitoiii
T10
108
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
En el capítulo anterior se estudiaron las identidades de las razones trigonométricas de la
suma y diferencia de dos arcos, así por ejemplo:
sen (a + 0) = sen a eos 6 + eos a sen 0
A partir de aquí, haciendo el cambio de 6 por a es decir (0 = a), se obtienen las razones
de los arcos dobles, así:
sen(a + 6) = sen(a + a) = sen a eos a + eos a sen a => sen 2a = 2 sen a eos a
Otra forma interesante de deducir las relaciones de los arcos dobles es aplicando números
complejos (fórmula de Abraham de Moivre 1 667-1 754), que se verá en el Cap. 22:
(eos a + i sen a)n = eos na + i sen na
Si:	n = 2 => (eos a + i sen a)2 = eos 2a + i sen 2a
Desarrollando el binomio, e igualando las partes reales y partes imaginarias se obtienen:
2	2
sen 2a = 2 sen a eos a a eos 2a = eos a - eos a
11.1. RELACIONES FUNDAMENTALES_______________________________________________
2	2	2 íTft n fx
sen 2a = 2 sen a.cos a eos 2a = eos a - sen a tan 2a = --------------------g—
1 - tan a
11.2. RELACIONES AUXILIARES
Se obtienen a partir de las razones fundamentales con la ayuda de las identidades
trigonométricas, así:
2
2 sen a = 1 - eos 2a
2
2 eos a = 1 + eos 2a
oCl 1 mIX ““
1 + tan'a
, .	2
•»„ _ 1-tan a
eos 2a = ------=—
1 + tan a
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
tan a + cot a = 2 csc 2 a
cot a - tan a = 2 cot 2a
4	4	3	1
sen a + eos a = -r- + -r- eos 4a
4	4
8 sen4 a = 3 - 4 eos 2a + eos 4a
6	6	5	3
sen a + eos a = -g + -g- eos 4a
8 eos4 a = 3 + 4 eos 2a + eos 4a
PROB. 1
Sabiendo que tanx = 1/2, determina:
a)	sen ¿x	b) eos 2x c) tan 2x
RESOLUCIÓN
Utilizando el triángulo adjunto, se tiene:
3
eos 2x = -f- = •=
5	5
4
c) tan 2x = -2^-* =
1-tan x
PROB. 2
tan 2x =
Determine el valor de x en la figura:
_______o.. 2tanx iz]
a) sen ¿x - -----5— = —i
1+tan x i.f_l]
l2 J
sen 2x = —U- = 4-
1+\
b)	eos 2x =~ l talY
1+tan x
RESOLUCIÓN
De la figura propuesta se tiene:
. Q 6
tan 2a = —
x
2 tan a
, • 2
1-tan a
6.
x
tana
, . 2
1-tan a
3	2
— , pero: tan a = —
A ACSO
PBDITOBtt
T11
110
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Luego:
2x1 2 *	= 2
x(x2 -4) x
2x2 = 3x2-12
2x2
x2-4
= 3
12 = x2
Finalmente:
x = 2^3
PROB. 3
Calcular el máximo valor de:
2	2
E = sen x + 6 eos x + 12 sen x eos x
RESOLUCIÓN
Utilizando:
2 sen2x = 1 - eos 2x ... (*)
2 cos2x = 1 + eos 2x... (*)
2 sen x eos x = sen 2x ... (*)
Se tiene, luego de multiplicar «2» a cada
miembro:
2E = 2 sen2x + 6.2 cos2x + 12.2 senx cosx
=> 2E = 1 - eos 2x + 6(1 + eos 2x) + 12 (sen 2x)
2E = 1 - eos 2x + 6 + 6 eos 2x + 12 sen 2x
=> 2E = 12 sen 2x + 5 eos 2x + 7
Pero:
- J(12)2 +(5)2< 12 sen2x + 5cos 2x< J(12)2+(5)2
Puesto que:
I 2	2"	/ ?	2~
-va +b <a senx±b cosx< va +b
=> -13 < 12 sen 2x + 5 eos 2x< 13
=> -13 + 7 < 12sen 2x+5 cos2x+7 <13+7
2E
-6<2E<20=>	^<£<10
mínimo máximo
= I»
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1) Es recomendable expresar los ángulos doble ¡ en función del ángulo simple.
2) Si se tiene el valor de la tangente del ángulo simple, y se desea calcular los valores de
las razones trigonométricas de sus respectivos ángulos dobles, se utiliza el triángulo del
ángulo doble.
3 ) Cuando se tiene senos o cosenos a la potencia cuadrada o potencia cuarta (sen2 x ;
eos x; sen’ x; eos' x), se debe degradar (bajar la potencia a la unidad), utilizando las
siguientes identidades.
2 sen x = I - eos 2x ;	2 co2 x = l + eos 2x
8 sen4 x = 3 -4 eos 2x + eos 4x
8 eos4 x = 3 + 4 eos 2x + eos 4x
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
Enunciados de Problemas
con Resolución
RELACIONES FUNDAMENTALES
01.- Simplificar: W = 3 + eos 4x - 8 sen4x
A) eos x B) eos 2x C) 2cos 2x
D) 3cos 2x E) 4 eos 2x
02.- Reducir: M = 2(cos4x - sen4x)“ - 1
A) eos 4x B) eos 2x C) eos2 2x
D) eos2 4x E) 2 eos 4a
03.- Reducir:
sen3x + cos3A i
M =-------------- + 77 sen 2x
senx+cosa
A) 0	B) 1	C) 0.5 D) -1 E) 2
	1 + cos2a
04.- Simplificar:	VV = ;	— l-cos4a
1	2 A) . csc a	B) 4 sec2 a C) 4 cot" a H-	H-
D) 7.sen2a H-	E)|
05.- Reducir:	
	2	4	2	4
M = eos x - sen	x - eos x.sen x + sen x.cos x
A)eos x	B) 2 eos a	C) eos 2a
D) 2 eos 2x	E)-eos 2x
06.- Reducir:
senx
cosx
M=------------— - -----------5—
secx(l + tan‘a) cscx(1 + cot a)
A) eos a B) -eos a C) -eos 2x
D) eos 2a E) eos" 2x
l + tan2í^-2aj
07.- Simplificar: W =-----------7-----r
A) sen 2a B) sen 4a C) csc 2a
D) sen"a E) csc 4a
08.- Simplificar:
..	2 tan3x 2	- kit . _ „
M =------5— - sec x. sen 2x, x *
sec'a	-
A) sen x	B) -sen 2x C) sen 2a
D) eos 2x E) -eos 2x
09.- Reducir:
tanA	cotx
M=----------5-^5- +-------3—
(1 + tan ‘a)‘	(1 + cot ~x)~
A) sen 2x B) sen 2x C) sen 2x
D) sen" 2x E) . sen 2xe
CAMBIAR SOLUCION 10Í Simplificar:
W = cot 7o - 2 cot 14%>
A) tan 14° B) cot 14° C) cot 7o
D) tan 7o E) 2 tan 7o
11.- Si: sen x < eos x, simplificar:
W = eos 2x - (sen x + eos a). Vi — sen2x
T11
112
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
JÉRACSO
WBDITOlll
A) 1 B) -1 C) 2	D) -2 E) 0		
12.- Escribir la siguiente expresión en térmi- nos de eos 0.		
		
M =	tan-'-	,0 	7+ - 2sen" — senO	2 k	>	20 .eos
A) cosO	B) ^cosO	C) ^cosO
D) ^cos“t	E) c^O	
13.- Si: W = 1 + sen x + eos x + tan x, enton-
ces una expresión equivalente de factores para
W será:
A) 2 V2 eos (7^) .sec x
B)2-j2 cosí— ].csc x
\2/
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
16	.- Si: --7—v - A.cosn(^J, calcule el
l-cos(f)	'S/
valor de :
A) 2 B) 1	C)0.5 D) 1,5 E)4
17	.- Si:
2
AsenZr + Bcos2x + C=p.tan x+^tanx+r=O
2A
halle el equivalente de: W - ———
B + C
A) p!r B) q!r C) r!q D) ríp E) p.q
18	.- Si se sabe que:
eos 2x — 1 - 8 cos~-£ + 8 eos4-?
2	4
Calcular: M = eos 2x + 3
PROBLEMAS CONDICIONALES
14.- Si:
4	4
7sen ct + eos ct = ni + n eos 2ct + p eos 4ct
Calcule: m -n- p
A) 1 B) 3 C) 5 D) 0 E) 2
A) 0 B) 0,5 C) 1 D) 3 E) 2
19.- Si: 4 sen a - 3 J2 eos a = 5, entonces
calcular:
W = eos 2a - 12 -J2 sen 2a
A) 8 B)6	C)4	D) 2 E) 0,5
20.- Si:	eos x - sen j	secx l'=
Calcular:	esc 4x	
A) ni+1	B> 2m-l	C)
D) ’ 2171 + 1	E) ",2 ' 2/n 1	
15.- Si: (1 + sec 2x)( 1 + sec 4x)(l + sec 8x)
= A. taníBx). cot(Cx)
Calcular: -------; siendo: B > 0 a C > 0
A + C
1
21.- Si: sen 2x = ~t= , calcular:
V3
W = sen6x + eos6x
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
3	3	1	13
A) 2	») 4 C) 2	D)| E)j
cosx senx
22.- Si: -=------, a qué es igual:
m n
E = m eos 2x + n sen 2x
A)h B)-h	C)-/n	D)/n2 E)m
l + sen2a
23.- Si: k = ----— , calcular:
1—cos2a
2tan2a
W=-----------T
(l + tana)‘
K)k B)-Á C)-| I))pr E)|
24.- Si: eos x. eos y ~ sen a
sen x . sen y = eos a
Calcular: sen (x- y) en términos de a.
A) sen a	B) eos a C) sen 2a
D) eos 2a E) -sen 2a
25.- Si: sen f—+xl = ~, calcular:
l17 ) 3
W = cosÍ2x-15—
l 17
A)| B)-j C)-| D) l E)|
í 7t xA
26.- Si: eos — + — I = k. calcular
^4 5j
f 2xA
W = senl — I
A)Á2	B)Jl2-l	C)*2+l
I))2F	E)-2A2+1
27.- Si: tan 2x = 8 cos'x - cot x
Calcule:	M = 2 sen 4x - 1
A) 0,5	B)1	C)l,5	D)2	E)0
28.-Si.	tan -x) - tan (3n + x) = 2k,
calcular:	W = sec 4x - eos 4x
Al k	B>	o »
A) ¿2+l	
	rrx 412
D) *2-l	
29.- Si: sec2a - sec20 = 2
tana
Calcular: M =-----—
sen2a
tanp
sen2p
A)0	B)0,5	C)l,5	D)2 E) 1
2
30.- Si se cumple: 2 - sec x — 3 tan x
Calcular: cot 4x
13	13	5	12	5
A> 12	013 D> 13
31	.- Si: 14x=ti , entonces al calcular:
W 1	2-j2cosx •	1
1 + -J2senx sen2 x 1—-J2senx
Se obtiene:
A)-72	B)2-72	C)-2-72
D)3-72	E)4-72
32	.- Calcular el valor aproximado de:
Ícos22° sen22°V
sen8° cos8° J
A) 1578 B) 2345 C) 3497 D) 2453 E) 1875
T11
114
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOlll
33	.- Calcule el valor de la expresión:
rt 7»t	5»t llrt
W - lan — - lan — + tan— - tan —
A) 0 B) 0,5 C) 2 D) 4 E) 8
34	.- Calcular el valor de la expresión:
4 n 4 3n 1 3rr
W = sen — + sen — + —eos— +
16	16	2	8
1 n
2COS8
3	1	3
A) 3 B) C)| D) 1 E) J
39.- ¿Cuál es la variación de la expresión:
1 —cos4x ?
1 - cos2x
A) [0 ; 2>	B) [0 ;3>	C) <0 ; 2]
D) <0 ; 4]	E) [0 ; 4>
40	.- ¿Cuál es la variación de la expresión:
W = tan 0 - tan 20 + tan“0.tan 20, si 0 e
A)<0;l>	B)<-l;0> C)f-l;O]
35	.- Calcular el valor de la expresión:
D)[-l;l]	E)<-1;1>
M
= (l+cos^)(l+cos^)(l+cos^)(l+cos^j
IDENTIDADES AUXILIARES
A)1
1
B) 2
c>i D>i E>iK
41.- Si: csc a = 4, calcular
36	.- Calcular el valor de la expresión:
'J1 + COS40'1'
sec45°
. sec 20°
M =
A) 0 B) 0,5 C) 2 D) 3 E) 1
37	.- Calcular el valor de la expresión:
M = eos 5o. sen 5o -(1 + sen 40°)( 1 - sen 40°)
A)0 B) | C) 1 D) -l E)-|
VARIACIÓN DE EXPRESIONES
38	.- Calcula el valor máximo de la expresión:
...	5	5
W = eos x . sen x - sen x. eos x
A) j B) | C) | D) E) J
„n<.(«+S)+cos«(|+S)_5
A) 0 B) 1	C) | D) J E) |
42	.- Si: tan + tan (^8) =
i<	l 2Í4n\
calcular:	W = ^ . sen I 9 I
A) * B) | C) f D) E)
43	.- Si: tan2x + cot2x = ni, a G ( 0 ; 7t/2)
Calcular: -Jni + 2 .sen 2a
A) 0 B) 0,5 C) 1 D) 1.5	E)2
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
,A co/x-sen8x
44	.- Si:--------= A + B eos 4x
cos2x
x*(2¿+l)v
4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
48.- Si los lados de un rectángulo son ay b
(a > b), entonces al calcular la tangente del
ángulo agudo que forman sus diagonales se
obtiene:
Calcular: “A + B”		
A) 0 B) 0,5 45.- Si se cumple: Calcular:	C)-l D)-0,5 cos4x—sen4x 	s	s~ = m eos x—sen x M = 3 - eos 4x	E)1
1	2	3	4
A)m B)~ m	C) — D) — E) m	m	m
Al a	lab	lab
A) b	B) a+b	C) a2+b‘
ab	lab	
2 .2 a -b	E) a2-fc2	
49.- Si en un triángulo rectángulo sus catetos
tienen por medida sen 20° y 1 + eos 20°, en-
tonces la medida de sus ángulos agudos se-
rán:
46.- En la siguiente identidad halle: A - B
8(sen6x + cos6x) — A + B eos 4x
A)0	B)0,5 C) 1 D) 1,5	E)2
SITUACIONES GRÁFICAS
47.- En la figura mostrada:
AD = Jí , DC = J3 ,
m Z BCE = m 7 ECD,
m Z EAD = 45°,
m Z ADB = 90° y m Z ABD = x.
Calcular: cot x.
A) 20° y 70° B) 30° y 60° C) 40° y 50°
D) 45° y 45° E) 10° y 80°
50.- En la figura mostrada, AB = 3 cm, CD =
7 cm, m Z BAC = 2a, m 7 ADB = a, m Z
BAD = m Z BCD = 90°. Calcular: BD.
A) 4 cm
B) 5 cm
C) 6 cm
D) 7 cm
E) 9 cm
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
P1DITOBBI
Utilizando las identidades de los arcos dobles tendremos:
2sen26 = 1 - eos 26	; 2cos26 = 1 + eos 26
De tal manera que si hacemos: 26 = a, entonces:
o 2 a ,	o 2 a . ,
2 sen	= 1 - eos a ;	2 eos 2 = + cos a
(X	ex
Si se despeja sen a cos se obtienen las relaciones de los arcos mitad.
12.1. RELACIONES FUNDAMENTALES
sen f
11 - cosa
11	2
a _ + /I + eos
2
tan ~
1-cosa
1+cosa
cot = ± J
1+cos a
1 - eos a
ex
El signo ± depende del cuadrante donde se encuentre	y la función que a este se le aplique.
12.2. FÓRMULAS RACIONALIZADAS	[QJ
ex	ex
sen^	eos—
ex 2	ex 2
Teniendo en cuenta que tan -y = ---- y cot -y =---— , se obtienen:
cosy z seny
tan = esc a - cot a cot = esc a + cot a
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
PROB. 1
Calcular: sen -g- y eos
RESOLUCIÓN
*) sen -g-
= sen
l-cos^
4
PROB. 2
1 3ti	.
Si: eos 2 9 ~2~ <x <^71^ calcule:
a) sen y b) eos y c) tan
RESOLUCIÓN

71
Escogemos el signo (+) dado que -=• g 1 C
o
sen 8 -
Escogemos el signo (+) dado que -x e IC
O
cos 8 ”
De los resultados anteriores, deducimos el
triángulo notable mostrado en la figura.
Primero tenemos que ubicar el cuadrante
donde se encuentra x/2.
3rt
2
<x < 2n
. 3?t 2L - „	.	* nr
4	2	n	2eI1C
fi----- IÑf
x	-	/1-cosx	_ J_2
a)	sen 2	_	V	2	12
T12
118
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOlll
c) tan y
cosx
+ COSX
4
. Tí	Tí	71 [ñ i
d) tan g- = csc - cot = V2 - 1
PROB. 3
tan y
Simplifica:
PROB. 2
E = cot-g 4-csc-g +csc jg + csc gg +cscg^
Calcule:
RESOLUCIÓN
a)tan 15°
b) cot 22° 30’
Utilizando la fórmula racionalizada tendremos:
c) tan 18° 30’
d) tan 7t/8
cot 4 + CSC77 + CSC T7 + CSC 77 + CSC 77
8	8	16 áz b4
RESOLUCIÓN
ro,Í6tC“Í6
Se sabe que:
tan y = cscx-cotx
“•^+CSC32
Luego:
cot = esc x + cot x
cot -£7 + csc ~
64	64
a) tan 15° = csc 30° - cot 30° = 2 - -J3
cot-~-
128
b)	cot 22° 30’ = csc 45° + cot 45° = -J2 + 1
Finalmente: E = cot
c)	tan 18° 30’ = csc 37° - col 37° =
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Para aplicar las fórmulas del ángulo mitad, primero tenemos que ubicar el
cuadrante al cual pertenece el ángulo mitad, para que de esa manera podamos
asignar su signo.
2)	En ángulos mitad es recomendable utilizar las fórmulas racionalizadas para
evitamos de los radicales, estas fórmulas racionalizadas son:
x
tan 2 = csc x - cot x
x
cot 2 = esc x + cot x
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
T12
119
Enunciados de Problemas
con Resolución
RELACIONES FUNDAMENTALES
1
Ol.-Si: cosx = — ; xG IC,
O
A) a B)fc C)^ D)afe E)
06.- Dada la siguiente identidad:
calcular: 4 cos
A)0	B)0,5 C)1	D)l,5 E)3
02.- Reducir:
lsecx-1 lsecx+1
M= J-------- + J----7
Vsecx+1 isecx-1
A) sec x B) esc x	C) 2 sec x
D)senx E)2cscx
03.- Reducir:
x „	? x
cot—.cosx+2cos—.tanx
M =----2------------------
secx.cot—
2
A)1 B)0,5 Q1.5 D)2	E)2,5
1
04.-Si: csc2x-cot2x= — .calcular:
W = esc 4x + cot 4x
2	3	3	4	1
A)^	B)|	D)|	E)|
lab
05.-Si: scnx = ——-j ; a> b ; xG IC,
a~ + b
calcule: tan
bO|i-f
2
(1+senx+cosx) +(1 - senx+cos x)“=W.cot
calcula el equivalente de W.
A) sen x B) 2 sen x	C) 4 sen x
D) cos x	E) 2 cos x
07.-Si: cotx=0,75	, xG IIIC,
x
calcular: W = cos 2x - tan —
3	4	7	43	23
A)|	B)^	C)¿ D)g E)-§
08.- Calcular:
2sen .(cos^.tan x - sen^j+ l,parax=30°.
A)>/3 B)2>/3 C)f D)^
FÓRMULAS RACIONALIZADAS
09.- Simplificar:
W = esc 2x + 2 cotx- 3 tanx
A) 5 cot 2x
D) cot x
10.- Reducir:
B) cot 2x C) 3 cot 2x
E) 2 cot 2x
tan20°+cot40°
M= cot200-cot40°
T12
120
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOBBB
A) 1 B)0,5 C)0,25	D)-0,5	E)-0,25
11.-Simplificar:
W = cot - 2 cos2^ . cot x
A)cox B)senx C)1 D)0 E)cotx
x 2x
12.-Simplificar: M = tan — +2sen — .cotx
A) cosx	B)cotx	C)secx
D) cscx	E) sen x
13	.- Simplificar:
... . W . o ( cosx l+cosx\
W = tan (2) - tan 2x.
A)0	B)0,5 C)1	D)2	E)l,5
1 x
cscx---tan—
2	2
14	.-Simplificar:	M= -j-------------
—tan—+ cotx
2	2
A)0	B)0,5 C)l,5 D)1 E)-l
15	.- Simplificar:
fu xY, .
tari-------------------L(l + senx)
1 4 2 j
W= —k---------2--------
cosx
A)0	B)1	Q0.5 D)l,5 E)2
16.- Reducir:
x x x x
M = CSCX + CSC~ +CSC~ +CSC~ +CSC —
Z 4 o lo
X	X
A)cot32 -cotx B)coty^
C)cót D)cot^ E)cot^
17.-Reducir:
. .	2- í 2	1
M = eos 2x - ---------
l tan x+cot x J
A) eos x B) eos 2x C) eos 3x
D) eos 8x	E) eos 4x
18.- Simplificar: W = csc 2x + cot 4x + csc 4x
2	2
A) tan x B) tan x C) cot~x
D) cot x	E) 2 cot x
19.-Simplificar:
cot—-tan—
• W=-------------—
csc2x + cot2x
A)0	B)2	Q0.5	D)1	E)l,5
20	.- Calcula: tan 7°3O’
A)V6+^ + a/2 + 2
B)V6 + ^-a/2+2
C)V6-^ + a/2-2
D)Vó->/3-a/2+2
E)>/6 + >/3+V2-2
21	.- Calcule el valor aproximado de:
tan(9°)
A)>/5- 1+75+2V5
C)>/5 + l-V5 + 2>/5
B)>/5 + l+V5+>/5
D)>/5- l+V5-2^
E)>/5 +1+^5-245
PROBLEMAS CONDICIONALES
X
22	.- Si se cumple: tan — + tan ~ = 2 csc ~
4	o	Z
X	X
calcule:	M = cos~r +sec~
4	4
A) 2¿ B)0,5 C)l,5 D)2 E)3
23	.- Calcule el valor de la expresión:
cotlCf—tanlO”
W=----------------
csc40°+cot40°
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
T12
121
A) O	B)O,5	C)1	D)l,5	E)2
24	.- Si:	tan(45° - x) — tn,
calcular:	E = sec 2x + tan 2x
A)m B)-^ C)m~ ^7^2 E)2zn
25.- Si: csc x - cot x = sen 6,
sec2 ~+ eos2 6
calcular: M =--------------
coty CscG + 1
A) 0.5 B)2	C)1	D)l,5	E)3
26	.- Determine el valor de:
M = (tan 10° + 2 cot 20°)(sec 70° - cot 20°)
A) 1	B)0,5	Q1.5	D)2	E)2,5
27	.- Si: sen x + m eos x = m,
x
calcular: cot —
1?	12
A)— B)m C)m D) E)—
m	m- ' m
2
28	.- Si la ecuación: x - (2 csc a)x +1=0,
calcule una de sus raíces.
A) tan y	B)seny	C)cosy
D) sec y	E) csc y
29.-Si:
eos 8x.cos óx.sec 2x = csc(Ax) - csc (Bx),
B
calcule: —
A
A) 2 B)0	C)0,5 D)1	E)l,5
30.- Expresar: tan (^4^) en función de: tan
A	) -tan y + sec y	D) -tan y - sec
B	) tan y + sec y	E) 2 (tan y + sec y )
Q ^(tan y + sec y)
0	0
31	.- Si: k sen y = eos y , siendo sen 6 > 0;
„ |l+sen6
p = 2 |-= cscO sera
y sen20
A) 7íaM-2) b) * + Q k - c1
díJa+a1 ejTTjF
SITUACIONES GRÁFICAS
32	.- En la figura mostrada, AB = 2 CD, m Z
CAD=in ZCDB = 6, zhZACD=90p. Determi-
ne la medida del ángulo “6”
A) y rad
B)^rad
C)^rad
ty^rad
E) rad
O
33	.- Si sen 4x=0,6, siendo 0 < x < -g,
calcular tanx
A) 1
B) VÍ0
C) VIÓ +3
D) VVÍÓ+3 E) V¡6 -3
T12
122
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOlll
Al igual que en arco doble o arco mitad, en arco triple también las relaciones
fundamentales se obtienen aplicando las identidades de los arcos compuestos o bien con la
formula de De Moivre en números complejos así:
sen 3a = sen (2a + a) = sen 2a cos a + cos a sen a
sen 3a = 2sen a cos a. cos a + (1 - 2 sen a) sen a
sen 3a = 2sen a (1 - sen2 a) + sen a - 2 sen3 4a
sen 3a = 2sen a - 2sen a + sen a - 2 sen a
sen 3a = 3sen a - 4sen a
Por complejos: (cos a + i sen a)3 = cos 3a + i sen 3 a
Desarrollando el binomio al cubo, luego igualando las partes reales e imaginarias se obtiene:
3	3
eos 3a = 4 cos a - 3 cos a	sen 3a = 3 sen a - 4 sen a
13.1. RELACIONES FUNDAMENTALES IfTlI
Se tienen las 3 relaciones principales:
3	3	-
sen 3a = 3 sen a - 4 sen a cos 3a = 4 cos a - 3 cos a
3
„___3 tan a - tan a
tan 3a = ---------~——
1 — 3 tan a
13.2. RELACIONES AUXILIARES______________________________________________[X]
Se obtienen a partir de las relaciones fundamentales con ayuda de arcos dobles e identidades
4 sen a = 3 sen a - sen 3a	4 cos a = 3 cos a + cos 3a
sen 3a = sen a (2 cos 2a + 1) cos 3a = cos a (2 cos 2a - 1)
sen 3a = 4 sen a.sen(60° - a), sen (60° + a)
cos 3a = 4 cos a.cos(60° - a), cos (60° + a)
tan 3a = tan a.tan(60° - a), tan (60° + a)
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
T13
123
sen 18° = "JS. 1
4
Nota:
eos 36° =
PROB. 1
Calcule:
a)	eos 11 Io
RESOLUCIÓN
a) 4E = 4 senlO" sen(60°- 10°)sen (60° + 10°)
b)	sen 159°
4E = sen 3 (10°) = sen 30°

a)cos 111" = eos 3 (37°) = 4 cos337°- 3cos 37°
4E=|	E=|

b) 4P = 4 eos 20° eos (60° - 20°) eos (60° + 20°)
4P = eos 3(20°) = cos60°
eos 111° =
256 300
125 " 125
4P = —	P = —
2	"	8
eos 111" =
44
125
b) sen 159° = sen 3(53°) = 3sen 53° - 4sen3 53°
c) Q = tan 5° tan (60° - 5o) tan(60" + 5o)
Q = tan 3(5°)= tan 15"
Q = 2- V3
,3
sen 159° =
12 256
5 125
sen 159° =
300 256
125 ' 125
PROB. 3
Determine el valor de:
sen 159° =
44
125
sen310o+cos3 20°
senl0° + cos20°
PROB. 2
Calcular:
RESOLUCIÓN
Multiplicando numerador y denominador
por 4, así:
a)	E =sen 10° sen 50° sen 70°
b)	P =cos 20° eos 40° eos 80°
c)	Q = tan 5° tan 55° tan 65°
K = 4sen310o+4cos320°
4(sen 10° + eos 20°)
A continuación aplicamos una de las
relaciones auxiliares:

KACSO
IDITO1B1
T13
124
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
K _ 3sen 10°-sen30°+ 3cos20° +cos60°
4(sen 10°+cos 20°)
K _ 3senl0°+ 3cos20°
4(sen 10°+cos 20°)
Finalmente simplificamos, obteniendo:
„ _ 3(sen 10°+cos 20°)	_ k — —
4(senl0° + cos20°)	" K“ 4
PROB. 4
De la figura que se muestra calcule la medida
del ángulo x.
=> a cot 0 cot 20° cot 40° = a cot 10°
tanO =
cot 20° cot 40°
cot 10°
En el Es AHB:
Escribiendo en términos de tangentes:
tan 0 = tan 10° tan 50° tan 70°
Finalmente tiene la forma:
tan 0 = tan 10° tan (60°-10°) tan (60° + 10°)
tan 0 = tan 3 (10°) => tan 0 = tan30°
„ .	_	a cot 10°
acot0cot40°
0 = 30°
x = 20°
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Al igual que ángulos dobles, cuando se tenga potenciación cúbica, se debe
degradar, es decir bajar al exponente de 3 a 1, aplicando las identidades siguientes:
4 sen3x =3sen x - sen 3x
4 eos3 x — 3cos x + cos 3x
2)	Utilizar las fórmulas anteriores en forma apropiada.
3	) Aplicar cada una de las relaciones auxiliares presentes a situaciones problémicas
específicas.
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
Enunciados de Problemas
con Resolución
RELACIONES FUNDAMENTALES
01.-Simplificar:
' _ cos3x-cos3x sen3x+sen 3x
— eos x + sen x
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)6
02.- Simplificar:
W = 4 eos x. cos(60° + x). cos(60° - x)
A) eos 3x B) eos 2x C) eos 3x
D) eos 4x E) eos 6x
03.-Simplificar:
sen3x.cscx	3cos r + cos3x
W=-------------— +----------------
0,75 - sen ~x	3senx - sen 3x
A) 4 + cot3x B) cot3x C) 2 cot3x
D) 3 cot3x E) 4 cot3x
04.- Simplificar la expresión:
A) 1	B)2	C)-2 D)-l E)3
06.- Simplificar:
1 + secx+cos2x.secx
W =--------------------------
tanx + 2senv + sen3x.secx
A) 0,5 csc x	B) csc x	C) 2 csc x
D) 3 csc x E) 6 csc x
	V5
07.-Si:	sen x + eos x =	, 2
calcular:	M= lósenóx
A) 10	B)12 Q15 D)ll E)16
08.-Si:	1 —cos2x . „	n 	=4,0<x < —,
	l + cos2x
calcular:	tan 3x
1	„ 3	5	7	2
A>n	B>n C)n D)n E)n
09.-Si:	W = 4 - 8 sen29°- 3 sec 18°,
A) tan x B) tan 2x C) cot x
D) tan 3x E) -tan 3x
05.-Simplificar:
,,, sec3x sec2x 8 tan x
W =------5— +------x— - -—x—
sec 3x sec 2r tan 2v
entonces una expresión equivalente para W
será:
A) tan 9o B) tan 18o C) 2 tan 18°
D) 2 tan 9° E) tan 36°
3	3
10.- Si: 3 tan" v + 6 tan x -1 = 2 tan x.
calcular: tan 6x
A) 4/3 B)3/4	C)l/2	D)-l/2 E)2/3
Al sO
IDITOIII
T13
126
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RELACIONES AUXILIARES	A) cot x	B) cot i	C) 2 cot x
11.- Calcular el valor aproximado de la expresión:	
W = tan 9o + tan 27° + tan 63° + tan 81°	D)tan	E)2tan
A)4j5 B)j5 C)2j5 D)3j5 E)6-j5	18.- En la siguiente identidad, determine el va- lor de M:
12.- Calcule el valor aproximado de la expresión:	sen3x cos3x	kn
Ian72o+tan36“ w=	 cot72°+eot36°	M +	=	, x *   , k G Z senx cosx	2
A)V2 B)73 C)2-j3 D)2-j5 E) J5	A)0	B)1	C)-2	D)2	E)1 19.- Calcule el valor de la expresión:
13.- Calcule el valor de:	W = tan 10“(3 cos 10° - 2 sen 10“. cos 70°)
W = cos380“.cos 140°.cos260°	A) 1 B) 1/4 C) 1/6 D) 1/8 E) 1/2
A) 1/8 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/16
14.- Calcule el valor de:	PROBLEMAS CONDICIONALES
M = 3 sec210“. sec250°. csc"20°	20.- En la siguiente igualdad, se tiene una iden- tidad trigonométrica:
A) 16	B)18	C)42	D)36	E)64	Asen4x+Bcos2v	_	Q . 	= sen 3x.cot x + cos 3a. tan x
15.- Calcular el valor de:	ovllA 1 Calcula: A+B.
_ sen 22°.sen 82°.sen 38° cos412°-sen412°	A) 1	B)2	C)3	D)6	E)4
A) 1/4 B) 1/2 C) 1/8 D) 1/16 E) 1/32	sen3x—senx 21.-Si se cumple: sec2x-	"" , r	senx
16.-Simplificar:	calcular: cos 4x
í 2cos6x +1 'l W - 1	,	1. tan 3x ^2cos6x-l j	A) 1 B) 1/2 C)V2/2	D)0 E)-j3/3
A) tan x	B) tan 3x	C) tan 6x	sen3x 1 , . . 22.- Si: 	= —, al calcular W = cos 4x, se
D) tan 8x	E) tan 9x	senx 3 obtiene:
17.- Simplificar:	A) 1/3 B)-l/3	Q-2/3	D)2/3 E)-7/9
4senx	Í3x3 W-	+ 3cot — l+2cosx	V 2 7	23.- Si: a esc x = 3 - 4 sen'x 9	?	2„ b sec x = 4 cos'x - 3, calcular: “a~+ b
Identidades Trigonométricas del Arco Triple	Il27|
A)-2 B)0	Q0.5 D)-l E)2	30.- Si: cot x = A.cot 3x,
sen3x4-sen3x 1 24.-Si:	, calcular: tan x cos3a-cos x 2	esex calcular: W - •	- csc3x
A) 1	B)2 C)V3 D)-l E)-V3	k	k A>*	B)I+1 C>ÁH
1 25.- Si: sen(60° - x) = — ,	m 2A_	T-Á k D)A-1	E) 2Á -1
calcular: W = -eos 6x	31.-Si: tanx=(2-n Jí). tan^jj.
41	5	329	63	P1 A>57 B)A C)|g D) 63 E)1U	calcular sen(x 4- 30°).
l-cos9a i	, 26.-Si:	-(x -3x+l) , l-cos3a	A>	B)^
entonces el valor de “x” es:	
A) 2 eos a	B) eos a	C) sen a	D>25	E)^W2
D) 2 sen a	E) 3 sen a	32,-Si: 3 sen 2x4-2cos2x = 2;0<x<	,
__ ...	sen3x	cos3x 27.- Si: 	 4-	— m, secx-cosx	esex —senx	calcule: tan 3x
calcula: “cot2x”	A)-^ B)¿
A)mf2 B)„i/3 C)m/4	D)/n/6 E)2//n	7	7
28.- Si: sen x 4- eos x = k,	D) 43	E) ’43
calcular: W = eos 3x - sen 3x	7 33.- Si: tan(x + 15°) - , calcular: ran 3a
A) A	B)3A-2A3	Q2A-3A3 D)3A-A3	E)3A-4A3	A) 37	B)	C) ||
29.- Si: tan <}> - V5 tan 0 -1 = 0, calcular: tan 6<t>	D>37	E>37
A>f B)f	34.- Calcule el valor de la expresión: W = (Vi -6senl0°). sec 80°
O)^	E)^	A)0	B)0,5	C)1	D)1.5 E)-2
1281 Problemas de Trigonometría y cómo resol verlos	'MK.'ÍÍ.ÍS
35.- Calcule el valor de la expresión:
W = 2 eos 160°.(2 sen 20° -1)(2 sen 20° + 1)
A) 1	B)0.5	C)l,5	D)2 E) ^2
36.- Calcular el valor de:
(3cos65°—4scn325°)
sen270°—sen220°
sen 50°
®> 2
a
calcule: —
b
A)	tan 120°
B)	tan 240°
C)	tan 30°
D)	tan 54°
E)	tan 21°
D)—
25
E)V6±V2
41.- En la figura mostrada, calcular: “x”
37	.- Calcular el valor de:
4cosl8°-3secl8°
M= tanl8°
A) 1	B)2	C)l,5	D)2,5	E)3
38	.-Calcular el valor de:
Vl + 6cos20°
M= 2cos20°
Si: m Z BAE = 54 , m Z EAD = 27 ,
m ZBCE=x
wiZCED = 57+x ,
A) 1	B)0	C)0,5 D) 1.5	E)3
39	.- Si a * fe, eliminar el arco “x” de:
(a + fe)tan x — (a - fe) tan 3x ...(1)
a sen*x = b eos 6x ... (2)
A) fe* - a~ = ab	D) 8fe* - 2a* = ab
B)8fe* -a~=ab E)6a~-&b~ — ab
C)8fe* -2ab = a2
mZ ADE = 90
A) 10° B)20° C)15° D)25° E)30°
42.- De la figura mostrada, BC = 3, CD = 4,
aiZBAC=»iZCAD=/nZDAE,WiZABE=90.
Determine el área de la región triangular
ABE.
SITUACIONES GRÁFICAS
40.- En la figura mostrada:
mZEAD = 7	, m ZECB = 53 ,
m ZABE = 67 . AC ± BD ,
ED=a	, EC = fe .
A) 61 a2
B)61.15u2
C) 63,25 w*
D) 54,16 a2
E) 59,53h2
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
r • H -- »-- \ I /
^TTairsformaciorfes de Sumas
^^Diferencias aProductos
Es frecuente encontrar situaciones que involucran razones trigonométricas senos y/o
cosenos de ángulos (arcos) diferentes, cuya simplificación o tratamiento, requiere de la
habilidad de saber transformar las expresiones de sumas o restas a producto.
Las relaciones que permiten realizar dichas transformaciones provienen de:
sen (a + £) = sen a cos £ + cos a sen £
sen (a - £) = sen a cos £ - cos a sen £
cos (a + £) = cos a cos £ - sen a sen £
cos (a - £) — cos a cos £ + sen a sen
Si sumamos y/o restamos miembro a miembro sen(a + £) con sen (a - £) y cos (a - £) con
(a + £) y haciendo cambios de variables convenientes, como:
a + £ = A	a-£ = B
De manera que: a =	a £ =	- ... (*)
Por ejemplo si sumamos sen (a + £) + sen (a - £) , tendremos:
sen (a + £) + sen (a - £) = sen a cos £ + cos a sen £ + sen a cos £ - cos a sen £
sen (a + £) + sen (a - £) = 2sen a cos £	... (**)
Sustituyendo (*) en (**), obtenemos:
_ „	/A+B)	/A-B)
sen A + sen B = 2sen I—2— j cos I—2— /
En forma análoga se obtienen las otras relaciones. Si A y B son dos ángulos cualesquiera,
se cumplen las siguientes transformaciones:
sen A + sen B = 2 sen |	. cosí |
l Z J	\	7
/ A 1 r A	í A — B 1
sen A - sen B = 2 cos —=— . sen —5—
.A RACSO
W^BDiTO*aa
T14
130
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
< . do í A + B )	(A-B
eos A + eos B — 2 eos —=— L eos —«—
k “ / k “
eos A - eos B = -2 sen	]• 8enl ^2^
14.1. RELACIONES DE TRANSFORMACIÓN CONDICIONADAS
En un triángulo ABC se cumple aplicando las relaciones de transformaciones, y teniendo
en cuenta que A + B + C = 180° se obtiene:
sen A + sen B + sen C = 4 eos  eos . eos y
ABC
eos A + eos B + eos C = 4 sen % • sen . sen y + I
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A. sen S. sen C
eos 2A + eos 2B + eos 2C = -4 eos A. eos B. eos C -1
PROB. 1
Si: 36 0 = n; calcule:
K = 2 eos 60
Pero como: 360 = n
K _ eos 20 +eos 40 +eos 80+eos 100
cos40 + cos20
=* 6e= K
b
RESOLUCIÓN
*★***<***##***#<★*
Luego K = 2cos = 2
Agrupando convenientemente, para luego
transformara producto.
K= 5/3
K =
=> K =
K =
(eos 100+eos 20)+(eos 80 + eos 40)
(cos40+cos20)
2cos60cos40+2cos6Ocos20
(cos40+cos2ü)
PROB. 2
Encuentre el valor de:
_ sen40°+sen20° | sen50°+senl0°
~ cos40°+cos20° cos50°+cos!0°
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
TU
131
RESOLUCION
Transformando a producto
_ 2sen30°eos 10° 2sen30°cos20'
— 2 eos 30° eos 10° 2cos30°cos20‘
Al simplificar obtenemos:
=> N = tan 30° + tan 30° => N = 2tan30‘
Finalmente:
p _ cos4Osen20	cos!20sen2O
— sen40sen20	cosl20cos20
Al simplificar obtenemos:
=> P = cot 40 + tan 20
Utilizando arco mitad
=> P = cot 40 + csc 40 - cot 40
P = csc 40
/3
3
N =
1N=^
3
Pero: 0=^	40 =
PROB. 3
40=18° =>
P = csc,8°=^iF
Si 0==~ , determinar el valor de:
40
p _ sen60-sen20	senl40-senl00
— cos20-cos60	cosl40+coslO0
Reemplazando su valor numérico tendremos:
RESOLUCIÓN

Transformando a producto:
4(75 + 1)
(75-l)(75 + l)
2cos40sen20 2sen20cosl20
-2sen40sen(-20) 2cosl20cos20
P= 75 + 1
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Cuando se tiene una suma o una diferencia de dos senos o dos cosenos, se debe
transformar a producto.
2)	Cuando se tiene sumas o diferencias de varios senos o cosenos, se agrupa
convenientemente, para luego transformar a producto.
3)	Para transformar a productos no interesa el orden de los ángulos (si uno es mayor
o menor que el otro), es suficiente con aplicar las propiedades de transformación.
T14
132
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ÜRACSO
Enunciados de Problemas
con Resolución
TRANSFORMACIONES A PRODUCTO
01.- Reducir:
cosl5x + 10cosl0x+cos5x
M=--------------------------
sen 15x +1 Osen 1 Ox+sen5x
A) cot x B) cot 2x C) cot 4x
D) cot 5x	E) cot 10 x
02.- Reducir:
cos(45°+x) -cos(45°-x)
M sen( 120°+x) - sen( 120o—x)
A)^2 B) 1	C)0	D)0,5 E)2
03.- Simplificar:
_______l,5 + -/3sen2x
(cos2x+i j.tan(x+30°)
A) 1 B)j2 C)2	D)l,5 E)>/3
04.- Reducir:
2
W = cos 10x + cos8x+6cos 2x+3cos2x-3
- 8 cos 3x.cosx
A)0	B)1	C)0,5 D)2	E)-0,5
05.- Reducir:
_________2(sen 2x + sen 2y)____
~ 1+cos 2x + cos 2_y+ cos(2x-2_y)
A) tan x	B) tan y	C) tan x - tan y
D) tanx + tan y E) tanx. tan y
06.- Simplificar
(tan 2x+cot x-4 coszx)(sen 3x—sen x)
W *	"5
[2 sen x(sen x+cos x)—1]
A) cosx B) 2 cosx C)senx
D) 2 sen x E)cos 2x
07.- Transformar a producto:
M = sen x + sen 7x + 2 sen 3x + 2 sen 5x
A)	2 sen 2x cot x. sen 3x
B)	2 sen 2x. cot 3x. sen 6x
C)	2 sen 4x. cot x. cos 3x
D)	2 sen 4x. cot 2x. sen 3x
E)	2 sen 4x cot x. sen 3x
,	... cosl2°+sen30°+cos84"
08.-Calcular: W= E-0s24o+sen42o
A)1	B)|	C)-| D)0	E)2
09.-Calcule:
W — eos210° + sen220° - sen 20°.cos 10”
3	3	1
A) 1	B)|	I))' E)3/4
10	.- Calcule el valor de la expresión:
2sen50°-l
W=-----------------
tan35°+cot35”
A) 1/4 B)l/2 C)1	D)0	E)-l/4
Transformaciones de Sumas o Diferen^ ;as a Productos
11	.- Halle “m” de la identidad:
sen4x + sen6x	_ sen mx
sen2 r	- sen x
A) 1	B)5 C)3	D)2	E)0,5
12	.- Calcular el valor de:
M = eos 20° + eos 100° + eos 140°
A)0	8)0,5 C)1	D)-l E)-0,5
13	.- Determinar el valor de “M” si:
sen5x + senóx + sen7x
-------------------— - M. eos 4x +
senx + sen2x+sen3x
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)03
14	.- Calcular el valor de:
M= sena + sen5a+sen9a _„ra„= 10g
cosa+cos5a + cos9(i P
A) 2	B)-2 C)-l D)0	E)1
PROBLEMAS CONDICIONALES
15	.-Si a= —,
D) -2 sen 2A. sen 2B . sen 2C
E) 4 eos 2A. eos 2B . eos 2C
1
18	.-Si: tanx= — .reducir:
sen5x+sen3x
M =-----------~
cos5x + cos3x
A>¿ B>í O< D>|
cos8x—cos7x
19	.-Si:	— -------— =Pcos5x + Q,
cos3x — cos2x
calcularde:P + Q
A)0	B)1	02	D)3	E)3,5
20	.- Si: sen x + sen y = a
eos x + eos y = b,
calcular: sen (x + y)
A)fc B)«	C)^
n, ab r. 2ab
^a2*# E)b2 + a2
calcule: W =
sen 23a-sen 7a
sen 2a+sen 14a
21.-Si:
sen5x
sen3x
= m, calcular:
tan4x
tanx
A)0	B)1 C)-l l))0,5 E)-05
m c- eos a+sen ¿> ,	, , (a — b\
16	.-Si: ——— -r =k, calcular: tanl—5—I
seno+coso	\ 2 /
A>‘ B>í o|	D’|íí
17	.- Si: A + B + C = 71, expresar como producto:
W = sen 4A + sen 4B + sen 4C
A)	4 sen 2A . sen 2B . sen 2C
B)	2 sen 2A. sen 2B . sen 3C
C)	-4 sen 2A. sen 2B . sen 2C
A)— B)— Q™-1 D)^-} E)"^
m 'm ' m ' m + l ' m — 1
22.-Si:
R	2
P. cos(Qx). eos (Sx) = eos 8x+eos 4x - 4 sen x
+ 2, determine el valor de: (P + Q) - (R + S)
A)0 B)03 0-1	D)-Q5	E)1
c- cos47°-cos73° v3 ,	, ,
23*"Sl- sen43<’+senl7° “ 3 k -calcilIar;
W = tan 32°
A>‘ «i Oí D>|zí
Problemas de Trigonometría y cómo resolverías
•'jií RACSO
24.- Si: A + B + C = 7t, calcular “M” de:
A B
sen A + sen B - sen C = M . sen~. sen —
C
COS2
A) 2	B)4	C)1	D)8	E)0,5
25.- Si: A + B + C = 7t, simplifica:
A	A
senA.sec— + (senB + senC).tan—
W =----------------------------—
senB-senC
p	/B -C\
A) cot y B)coty Qcot^ 2 j
D) cot	E) cot
26.- Si: senx + sen y = m\ cosx + cosy = n;
m * 0, n 0. Calculan W = cos(x + y)
3O.-3Si: sen 5x + sen 3x + sen x = M sen5x + N
sen x + P sen x. calcular: W = P - N - 2M
A)0	B)05 C)-0,5 D)1 E)-l
31.-Si:
W = senfx + 20°) + sen(x- 50°) ,xG [0; 360o],
determine un valor de “x” que maximice dicha
expresión.
A) 105° B) 120“ C) 110° D) 108° E) 115°
EXPRESIONES EQUIVALENTES
A)n B)^ C)^ D)
n2+m2
n2 —m2
E)
n2 + m2
27.-Si:
tan 0 =
2cos20°-cos40°
sen40°
determinar: sen 0 , si 0 G IIIC
J3	-J?
A)2 B)-2 C)f D)f E>-4
28.- Si:^ec(x + a) + sec(x - a) = 2 sec x. calcu-
lar: cos"x en termino de “o”
32.- Si: W = 4 sen x + sec x, determine una
expresión equivalente de W en factores.
A)	4 cosx sen pe 4--^). cos(v-
B)	4 csc x sen pe + yE j. eos Px - yE j
C)4cotx . senpt +. cos(x--pEj
D)4secx.senpc + ^j .eospe—
E)4secx. senpr + y^j.cos(x-jE)
33.- Si: W = 4 sen 40° - V5, determine una
expresión equivalente de W.
A) eos	B) 2 eos C) sen"
2 a	2 a
D)cos	E)2cos —
29.- Si “0” y 0 son las raíces de la ecuación:
( 6+0
a sen x + b. eos x = c. calcular W = tan 2
A} a B)¿> C)- D)^ E) v
a b	b
A) tan 10° B) tan 20° C) tan 30°
D) tan 35° E) tan 40°
34.- Expresa como un monomio:
M = 1 + 4 eos 20°
A) >/3	B) ^3 cot 10°	C) y¡3 cot 40°
D)-j3cot40° E)^3. cot 20°
35.-Si:W = 3+ V5 , determine una expresión
trigonométrica equivalente para W
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
A) Jó sen 75° B) 2 Jó sen 15°
C) Jó sen 15°	D) J3 sen75°
E) 2 Jó sen 75°
36.- Si: W = 1 + cos 2x + cosx, determine una
expresión equivalente de W en factores:
.. .	x
A)	4 cos x cos 2
X
B)	4 senx cos 2
C) 4cos x cos
D)
37.- Factoriza: 1 + sen 14° + cos 14°
A)	2 Jicos 38° D) 2 J3 cos 38° cos 7o
B)	Jicos 38’ cos7o E)2 JÍ . cos 38°. cos 7o
C)	J5 cos 38° cos 7°
38.- Eliminare! arco “x" de:
sen5x sen3x sear
abe
A) c(a + c) = b(b + c) D) c(o - c) = + c)
B) c{a + b) = b(a - c) E) c(a + c) = h(b - c)
C) c(c + a) = b(b + c)
39.- Elimine el arco “x” de:
sen(x+-^j =/w + senx .. (1)
cos (x +	= n - cos x ... (2)
A)JÍm = »i	B)(2 + JÍ)n = ni
C)(2-JÍ)r/=m	D)(2 + j3)« = m
E) (2 - J5)« = m
SITUACIONES GRÁFICAS
40.- En la figura mostrada, AB = CD, AC = 3.
BD = 4, m Z EAB = a, m Z ECD = 6.
41.- De la figura mostrada, DC = 2 CB, calcular:
W =
A) 1 B) ‘ Q | D) | E) |
42.- En la figura mostrada, ABCD es un cuadri-
látero. »iZDAE=x. »iZ EAB =3x. BE ±CA;
DC ± C A; AB = AD = k. Determine el área de
la región sombreada, en términos de «A» y «a».
7-1	o q
D) 2k~ sen 2 v E) Á-.sen 2x
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
’A RACSO
Wbditoqbb
¡J'WsfSr m ici on ésde Producto
’ÜSumas'O Diferencias
Al igual que en las transformaciones de sumas o diferencias a productos, también es
importante las transformaciones de productos a sumas o diferencias, se obtienen a partir de:
sen (a + P) = sen a eos P + eos a sen p
sen (a - P) = sen a eos P - eos a sen p
eos (a + P) = eos a eos P - sen a sen P
eos (a - P) = eos a eos P - sen a sen P
Se obtienen sumando o restando senos con senos y cosenos con cosenos, así por ejemplo:
sen (a + p) + sen (a - P) = sen a eos p - eos a sen p
Es decir	2 sen a eos P = sen (a + P) + sen (a - P)
En forma similar se deducen las otras relaciones de transformación:
Seanx ey dos ángulos cualesquiera, se cumple las siguientes transformaciones:
2 sen x. eos y = sen (x + y) + sen (x -y)
2 eosx. seny = sen (x + y) - sen (x -y)
2 cosx. cosy = eos (x +y) + eos (x -y)
2 senx. seny = eos (x-y) - eos (x +y)
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
T15
137
PROB. 1
Reducir a su mínima expresión:	K = cos 3x sen x - cos 4x sen 2x + cos 5x sen x
RESOLUCIÓN
Multiplicando por 2 ambos miembros, luego transformando a sumas o diferencias:
2K = 2 cos 3x senx - 2cos 4x sen 2x + 2 cos 5x sen x
2K = sen 4x- sen 2x - (sen 6x - sen 2x) + sen 6x - sen 4x
Al efectuar como sigue tendremos:
2K = sen 4x - sen 2x - sen 6x + sen 2x + sen 6x - sen 4x
2K = 0
Finalmente:
K = 0
PROB. 2
Calcule: W = cos^ + cos^ + cos —
7	7	7
RESOLUCIÓN

Multiplicando por 2 sen y a ambos miembros:
2 sen y ,W = 2seny cosy + 2cos ^y sen-y + 2cos-y^ sen y
2seny .W = sen^y + sen4y -sen^y + sen^y -sen4y
2 sen y .W = sen ^y
Pero:
ti	6n
7	7
n 6n
sen y = sen-y
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
JktKACSO
2DITO11I
Luego tendremos: 2 sen y. W = sen y
Finalmente:	W = y
PROB. 3
senfPx)
De la siguiente igualdad: 4 eos x.cos 3x + 1 = --—- : calcule el valor de "P"
s	senx
RESOLUCIÓN
♦ **fc*t*t**O**fctt**O***Ot**fc*Ot**t**tt****
Multiplicando a ambos miembros por senx
2.2senxcosx eos 3x + senx = sen (Px)
sen2x
Luego:	2. sen 2x eos 3x + sen x = sen (Px)
Transformando a sumas: sen 5x - sen x + sen x = sen (Px)
sen 5x = sen Px
Al comparar obtenemos:	P — 5
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Cuando hay productos de 2 senos o 2 cosenos o un seno con un coseno, se
debe transformar a sumas o diferencias.
2)	Necesariamente para realizar la transformación, debe llevar un coeficiente 2;
Si no tiene hay que multiplicar.
3)	En las transformaciones a sumas o diferencias, no interesa cual de los ángulos
es el mayor o menor, es suficiente con aplicar convenientemente las fórmulas de
transformación de producto a suma o diferencia.
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
Enunciados de Problemas
. con Resolución
APLICACIONES DIRECTAS
01.-Simplificar:
2cos3x—cos2x.cosx + cosx
W=--------------------------
8cos4x-6cos2x
A) sec 3x B) csc 3x C) sec 2x
D) csc 2x E) sec 4x
02.- Reducir a un monomio la siguiente expre-
sión:
W=sen 3x(3 sen 3x- sen 9x + 4 sen 3x.cos23x)
A)sen3x	B)4sen23x	C)sen23x
D) sen2 x	E) 4 sen2 x
03.- Reducir a un monomio la siguiente expre-
sión:
W=2cosx.(eos5x + 5eos3x + lOcos x)
A)sen63x	B)4sen4x	C)8cos4x
D) 16 cos6x	E) 32 cos6x
2senl5x.senx
04.- Simplificar: M = —-—------- + eos 6x
2cos 10x4-1
A) eos x B) eos 2x C) eos 3x
D) eos 4x E) eos 6x
05.-Reducir:
M = 2 eos 6x+2 eos 4x 4- 2 eos 2x - sen 7x.csc x
A)-l B)1	C)0	D)0,5	E)-0,5
06.-Simplificar:
1	sen7x
W = —----------- eos 2x - 2 eos 5x.cos x
2	senx
A)0	B)-l/2	C)l/2	D)1 E)-l
07.- Encontrar el valor de: “a”, si:
eos 12°. eos 60°.sec 72o- eos 24° =
sen2ot.cosot
sen3a
A) 2o B)3°	C)4°	D)5°	E)6°
PROBLEMAS CONDICIONALES
08.- Si: eos A = eos B. eos C .
................../A	+ Bi . (A-B\
reducir: W = tan I—%—I . tan I—I
A) tan2 (y j	B) tan2	C) tan
D)tan(yj	E)tan2(yj
09.- Si 60x=771, calcular el valor aproximado de:
. secx.seny
W = tan(x 4- y)--------—
cos(x4- y)
A> 44	17	44	117 „ 131
A)Tl7 B) 44 C) 17 D) ~44	^53
10.- Si: sen 7x = 2 sen x, calcular:
W = eos 2x 4- eos 4x 4- eos 6x
A)0 B)-l C)1 D) 1/2 E)-l/2
T15
140
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1DITO1II
11.- Si: tan(a + 6) + tañí a - 6) = 2, calcular:	18-Si:
M = sen 4a - sen220	32sen6x-M + Ncos2a + Pcos4a + Qcos6x,
A) 1 B)-l	C)0,5 D) 0,5	E)0	entonces el valor de: M + N + P + Q es:
12.- Si en un triángulo ABC se cumple:	A)0 B) 1 C)-l D)0,5 E)-0,5
sen B. sen C = cos 1 2 1, entonces dicho trián- gulo es:	19.- Si: M sen a + N sen 3a + P sen 5x = 8 sen x. entonces el valor de: M + N + P es: A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
A) isósceles B) equilátero C) rectángulo	20- Si; W = 2 cos 10°.sec 20° - J3 , entonces
D) acutángulo E) oblicuángulo	una expresión equivalente de W será.-
13.-Si:	A) tan 10o	B) tan 15° C) tan 20°
cos . tan + 2 sen y = sen y (W - 1),	D) tan 25°	E) tan 35°
entonces W es igual a:	21- Si: P sen25° - Q sen 21° = cos 16°.cos 13° -
A) 1	B)2	C) 4	D)0	E)0.5	cos 59°.cos 20°, entonces al calcular: P + Q se obtiene:
14.- Si: tan 3x = 2, calcular	A)0	B)1	Q-l/2 D) 1/2	1$ 1
W = (cos 3x + 2 cos x)(sen 3x - 2 sen a)	22- Si:\V = 4 cos 3x . cos x + 1, entonces una
A)0	B)l/5	C)1	D)2/5 E)-l	expresión equivalente de W en factores será:
tanx l+cos2jc 15-Si: — = 		j-, tana 1 + sen x	A)	sen 5jc.sec a	D) sen 3a.scc x B)	sen 5a.csc x	E) sen 5A.sen a
calcular:	W = sen(3x + a). csc(a - a):	C) sen 3x.csc x
A) 3/2	B)5/2	C)7	D)3	E)5	VALOR NUMÉRICO
16- Si: cos a . cosy. cos z = nr.x + y + z = 2n, 2	2	2 entonces al calcular \V = sen x + sen y + sen z, se obtiene:	23- Calcular: W = cot 19° - -J2 sen 26° esc 19°
A)/m	B)2mi	C)2/n-l	A)0 B)-l C)l/2 D)-l/2	E)1
D) 2(1+mi)	E) 2(1-mi)	24.- Calcule el valor de:
sear+seny	y _	y 17-S,: sen(A+y) "3’tan2 ~Rtan 2 "Q’ entonces al calcular: P.Q se obtiene:	2sen40° (sen50°—2sen 10°.cos40°) M“	sen80°—sen20° A) 1 B)-l C)0	D)0.5	E)-0,5
A)0	B)-l/2	C)l/2	D)1 E)-l
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias

25	.- Calcular el valor de:
M = .Jsenl5x.sen6x+-i-cos21x ,
7t
para: x = —
A) 1/2	B)l/3 C)-l/2	D)-l/3	E)3
26	.- Calcule el valor de:
1
M = — . sec 80° - 2 sen 70°
A)0	B)-2	C)1	D)2 E)-l
27	.- Calcule el valor de la expresión:
W = sen 50°.sen 10° + sen 610°.sen 130° - sen
430°.cos280°
A) 1	B)3/4	Q-l/4
D)-3/4	E) 1/4
28	.- Determine el mínimo valor de la expresión
M definida por:
M = 3 eos 4x + 4 sen 3x. sen x
B)l/2 C)-l/2 D)0	E)3/2
J3cos20°—sen40°
tan x =-----;---—;--------- ,
1+senlCF
calcule un valor de “x”
A) 10°	B)18° C)20° D)32°	E)40>
MISCELÁNEA
30	.- Una expresión en términos de sen A y
sen B, equivalente a
sen (A + B) sen (A - B) es:
7	7	7	*7
A)	sen A - sen”B D) -(sen A + sen”B)
7	7
B)	sen"A + sen'B E) -(sen A - sen B)
C) sen2B - sen2A
A)-3/2
29.-Si:
31.- Simplificar:
sen 2a.sena+sen 4a.sena+sen la.sen 2a
sena.eos 2a+sen 2a.eos 5a + sena.cos 8a
A) tan a B) tan 3a C) tan 2a
D) tan 5a E) tan 7a
32.- Reducir:
sen 7 a
senfl - 2 eos 2a - 2 eos 4a - 2 eos 6a
A) sen a	B) csc a	C) tan a
D)1	E)-l
33. Calcular: eos 6o. eos 42°. eos 66°. eos 78°
A)0	B)1 C)-l D)l/16 E) 1/8
34.- Al simplificar la expresión:
E = sen 6o. sen 54°. sen 66°, obtenemos:
A) sen 12° B) 2 sen 6° C) sen 18°
D) 2.sen 12"
35	.-Hallan
sen 40°.sen 80° + sen 80°.sen 160° + sen 160°
.sen 320°
A) 1	B)3/2	C)3/4	D)3/8	E)0
36	.- Simplificar:
senx sen3x
sen2x sen4x
sen x	sen x	sen x
sen2x	^^’sen2x	$en4x
senx	senx
^'sen4x	senx
37	.- Si: a - b = 15°, ¿cuál de las siguientes expre-
siones es equivalente a: eos b (sen a + eos a)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlo
-’TgRACSO
•Jl	r~
A)	(eos 2¿ + v3sen2¿)
B)	(yfí cos2í> + sen 2b + -j3)
~ /7i	„. sen 2b ,
C)	-y 3 eos 2b+------i-l
I	2
D)	(eos 2¿> + -j3 sen 2b)
..Fi	r-
E)	(sen 2¿> + V3cos 2b)
A)	B) V5 - 1 D)	E)	C) V5 1
39.- Reducir: -Jsen a (sen 3a	+senx)
A) |senx|	B) |sen2A|	C) |sen3A|
D) |cos2a|	E) |cos3a|	
40.-Si: eos 6 = 0,75
38.- Determine el valor de la siguiente ex-
presión:
N = 4sen6  sen46  sen66 + 2 sen6
i i	36	6
calcular 32 sen — . sen -
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E)ll
Cuando: 0 =
7t
30
PROSTAFAIRESIS
Cuando Neper se encontraba enfrascado en el estudio de las sucesiones para luego
deducir sus famosos logaritmos, le visitó John Craig, médico del rey Jaime VI de Escocia,
y le habló del uso que se hacía en Dinamarca del método de prostafairesis. Por aquella
época comenzaron a aparecer diversos tipos de identidades trigonométricas por toda
Europa, como resultado de un menor énfasis en los cálculos de resolución de triángulos,
y mayor en cambio en las relaciones funcionales de tipo analítico. Entre estas identida-
des estaba un grupo de fórmulas conocidas como las "Reglas de Prostafairesis", es decir,
fóríhulas que permitían convertir un producto de funciones circulares en una suma o
una diferencia (de donde les venía el nombre de prosthaphaeresis, palabra griega que
significa suma y resta).
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
T15
143
l^íteesjonesty :S,e n es'
^^Tri giwWétn cásT
fi®O£tííU- -<-i -'
El trabajo con sumas de números es frecuente en múltiples problemas que deben enfrentar
a diario los especialistas de diversas ramas del conocimiento, y para su determinación se
trabaja desde el punto de vista teórico en la obtención de expresiones compactas, no obstante
las facilidades que brindan las aplicaciones de ia O fanática (Automatización, mediante sistemas
electrónicos, de las comunicaciones y procesos administrativos en las oficinas ), con vistas a
evitar errores provenientes de la captación de datos.
Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que pueden ser beneficiadas
con este tipo de resultado, en el presente trabajo se realiza una recopilación de las propiedades
de las sumatorias que figuran en la literatura, posteriora lo cual se proponen y demuestran otro
conjunto particularmente relevante cuando se trabaja con funciones de variable discreta cuyos
intervalos de variación son uniformes en todo el dominio de la función. En muchas situaciones
problémicas donde se presenta una serie de sumas o productorias, éstas deben reducirse en
otras equivalentes más sencillas, para lo cual es recomendable tener en cuenta dos sumatorias
y productorias de senos y de cosenos, como las más importantes.
16.1. SUMATORIAS
Siendo : n = Número de términos r = Razón aritmética del ángulo
x = Primer ángulo	u = Último ángulo
Verificándose que: u=x+(n-l)r => n =	+ 1 > así:
eos o 71 . + eos . + eos . +... + eos | |si = i
2m+1	2m+1	2m+1	^2m+1J 2
2n , 4n ,	6 ti	( 2n _ 1
cos 2m+1 +cos2m+1 +cos2m+1 +--- + cos I 2n+l 1’2
T16
144
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JDITOII1
16.2. PRODUCTORIAS
71	2ti	371	nn	1
2m+1	€Os2m+1	€Os2m + 1	...eos 2w+1	2"
71	2ti	3tt	nn	V2n+1
2m+1	2m+1	2m+1	...Afc» 2m + 1	2"
PROB. 01
Calcular el valor de:
„	2ít	4ít	6ít
E = eos— + eos— + eos —
RESOLUCIÓN
iiiiii***ii**i*i * *
al Analicemos el numerador de la fracción:
N = sen x + sen 3x + sen 5x +__+ sen (2n - I )x
Aplicando la fórmula de sumatorias, tal que:
Multiplicando ambos miembros por
H)
2sen-J.E= 2sen —.eos—+ 2sen—. eos—
1	7	7	7	7
n = n ; u = (2n - l)x => r = 2 x
+ 2sen—.eos—
7	7
3n n 5n 3n	5n
=sen-y -seny +sen-y -sen-y +senn-señ-
Esta expresión tiene la forma de una serie
telescópica, por lo cual se reduce a:
„ n „ n	„	1
2sen—. E = - sen—	E = - „
ti
PROB. 02
Calcular el equivalente de:
senx + sen3x + sen5x + sen (2n - l)x
K — cosx + cos3xcos5x + + cos (2n - l)x
sen(nx)
=> N =-------- . sen (nx)
senx
b) Ahora analicemos el denominador de la
fracción:
D = cos x + cos 3x + cos 5x +...+ cos(2n - l)x
Aplicando la fórmula de sumatorias, tal que:
n = n ; u = (2n - l)x => r = 2x
.eos
|~x+(2n-l)xj
„ sen(nx) r .
D = -----i—- .eos (nx)
senx
Sucesiones y Series Trigonométricas
T16
145
senínx)
„ _ /V v _ senx__________________
- D	- sen(nx).cos(nx)
senx
K = tan nx
03.- Hallar la suma de la serie:
S = csc 6+ csc 26 + csc 40 +.+csc 2"’1 6
RESOLUCIÓN
★★★★★★★★★★★★★★★★★★
Generamos una serie telescópica, tal que:
csc 6 =
1
sen6
sen|	sen(e-|)
6	6
sen—	sen6.sen —
2	2
Desarrollando el numerador de la expresión y
simplificando, encontramos que:
0
csc 6 = cot - cot 6
csc 26 = cot 6 - cot 26
csc 46 = cot 26 - cot 46
csc 21”1 6 = cot 2" 2 6 - cot 21”’ 6
S = cot|-cot2nl 6
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1) Para calcular la suma: Sn = a¡ + a2 +...........+	an no existe un método general,
pero uno de los muy pocos casos en que es posible calcular su valor es el siguiente.
Si an se puede expresar en la forma: an = b)l + ¡ - bn
Entonces: S = a, + a2 + a? +...........+	a
= b2 - b¡ + b3 - b2 + b4 - b3 +......+	bn +J - bn
“ «i i I —
a esta serie se le denomina «Serie telescópica»
2) Para simplificar una productoria como:
gerir la siguiente estrategia.
P = a¡ . a2 . a3.an; podemos su-
Haciendo: an =
IU1
Un
_ Ü2 U3 U4	LUi
 ut • u2 • u3... un
p =
U„+1
3) Cuando se tenga una productoria de tangentes de ángulos consecutivos, se
aplicará lo siguiente:
. tan^j . tan^r . . . tan^ = ^ñ±¡.
2n+l 2n+l 2n+l	2n+l jn
donde: n = número de términos
4^racso
WlDITOlli
T16
146
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Enunciados de Problemas
con Resolución
SUMATORIAS
01.- Reducir:
W = sen jc + sen 3x + sen 5x + ...+ sen 35x
7	7
A)sen"(12x) B) 12 esc a	C)sen (18x)
D) sen2(18x). esex E)sen2(12jr).cscjc
02.- Indicar una expresión equivalente de:
W = cosx + cos 3x+ cos5x+ ... + cos45x
A) y. sen 46a . esc x B) 2 sen 23x. esc x
C) 2 sen 24x. esc 4x	D)8sen21x.csc6jc
E) . sen 48x. esc 12x
03.-Calcular el valor de:
W = sen 2° + sen 4° + sen 6o + ... + sen 540°
A) tan 9o	B) cot Io	C) sen4 9o
D)3sen49°	E)-4cot29°
04.- Determinar el valor de:
... n 5n 9it	33n
W = sen -¡y + sen yy + sen '¡y + . . + sen “¡y
. VT3 fíj5-yf5 V10-2V5
A) 4 B) 2 C) 4
D) -J4+-J3	V5-V3
05.- Identifica la expresión equivalente de:
n 2n 3n
W = sen— +2sen— +3sen— +
IOtt lln 12n
lOsenyy + llsenyy+ 12senyy
A) 2cot B) 6tan C) 12cot
D) 8tan $ E) 4c cot
o	Z Zv)
06.- Reducir la siguiente suma:
t ít t 3n ,
M = cos“— +cos"— +cos — + ...
n n	n
2	71
... + cos (2n - 1) —
n
ax n	m 3"	r<x 5'1	rxx 11	ex n
A) 12	B) T	C> ~T	D) 2	E) 4
07.- Calcular el valor de M, si:
2n 4n 2n 6n
M = cos~.cos~ +cos~-cos~ +
4n 6n
+ COS — -COS —
A) 3	B)-2	C)-3	D)	1/3	E)-l/2
08.- Calcular el valor de:
> n 7 2n 2
M = sen~— + sen'— + sen —
7	7	7
A) 3/4	B)7/4	C)7/6 D)4/9 E)5/9
Sucesiones y Series Trigonométricas
09.- Determinar el valor de W, si:
4 ir 4 2n 4 3n
W = sen — + sen — + sen —-
7	7	7
A) 21/16 B) 1/6 C)2/7	D)3/5 E)2/9
10.- Evaluar la suma de la serie finita:
N = sec a. sec 2a + sec 2a. sec 3a + ...
... + sec na. sec(n + l)a
A. .	tan(n —l)a
A)cos(n+l)a--------
B) sen(n + l)a -
tan(n + l)a
} sena
tan(n + 2)a
' cosa
tan(,7-l)a
' cosa
tan(n - l)a
sena
tan a
sen a
tan(n — l)a
sena
tan a
sen a
11.- Encontrar la suma de la serie finita:
R = tan^ + |tan^- + | tan~- + ....+
2n-i tan 2n
A) ¿T tan^ +2 tanx
B) ^TCot-^-Zcotx
1	JC
C) 2-iitan 2,1+1 -2" tanx
D)	cot ^¡7-2" cot x
1 X
E) ¿¡Tcot^T -2tanx
12.- Calcular:
2n 4n 6tr
W = sen — + sen — - sen —
A) — B) — C) — D) — E) —
2	2	4	6	4
13.- Determinar el valor de M:
2n	4n	6n
M = sec— + sec — + sec —
7	7	7
A)-l B)3	C)-3	D)5	E)-4
14.- Hallar la suma de la serie:
S = csc 6 + csc 2 6 + csc 40 + ... + csc 2” ’* 1 6
A) cot 2'1 6 + cot 20
B)cot2’e-cot2nl6
C)cot 31 0-cot 3"‘1 0
D)cot2’* 6-COS2"'1 6
E) cot 2"'16 - cot 2"'1 6
15	.- Calcule el valor de:
R = tan x + tan 2x + tan 4x
cuando: 7 - x = n
A)0	B)-l	C)(V7)
D)-(V2)	E)(V7)
16	.- Calcular la suma de la siguiente serie:
sen x + sen 3 x + sen 5 x +... + sen (2 n - 1) x
sen2 nx sen2 nx eos2 nx
cosx	senx	senx
eos2 nx	sennx
cosx E' senx
17	.- Calcular el valor de:
eos 10° + eos 30° + eos 50° + ... + eos 170°
A) 1/2	B)0 C) 1	D)1 E) 3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
P RD1TO1II
18	.- Hallar el valor de:
E = sen2 1 ° + sen2 2o + sen2 3o + — + sen2 90°
A)22,5	B)30	C)45 D)45,5	E)60
19	.-El valor de:
_	2/1 f z(2\°	2Í180o\
E = cos 1^1 +cos K) +...+ cos ^,es:
A)0	B)90 C)45 D)89,5	E)91
. 2ít 4ít 671
20	.- Calcular: eos — + eos — + eos
A)0	B)1 C)j D)-2	E>4
21	.- Determinar:
2 ji	2	2
eos — + eos -y + eos —
15	7
A)0	B)1	C)‘ D) ¿ E)
22	.- Simplifica:
„ sen/Uj-UoJ
rl— ------------
eos Uj .cosU0
A) tan U20 - tan Uo
C) tan U19 - tan Uj
E) tan U20
23.- Calcular:
2tc A
eos -jr- + eos -77- + eos — + eos 7.
y y y y
। sen(U29 U19)
eos U20 -eos U19
B) tan U19 - tan Uo
D) tan U20- tan Uj
6ít 8rt
A) 1 B) \	C)-^ D)-l E) |
24.- Reducir:
3(2+eos 3x)	(2 + cos3x)
A1 4	4
„ 3(2+eos3a)	p (3+cos3x)
4	4
_ (3 + cos2x)
J 4
25	.- Calcular:
2tt „ 4n - 6jt	„ 2(hr
eos -¡y + 2cos jí + 3cos -j-j- +... +10 eos -jp
A)-11/2	B)-10/2	C)-ll/3
D)-13/2	E)-ll/5
26	.- Una semicircunferencia de radio a se divi-
de en n arcos iguales, calcular la suma de las
distancias de los distintos puntos de sección
a cada uno de los extremos del diámetro.
A>“(“"ío2)	d>«(c«J-2)
B>«(cot¿-1)	E)2„(co(i-1)
C>4«£-3)
27	.- Calcular la siguiente sumatoria:
eos x + eos (120° - x) + eos (120° + x)
A)0 B) 1 C) 1 D) 1/2 E)-l/2
28	.- Calcular la siguiente sumatoria:
E = eos x. eos (120° - x) + eos x. eos (120° + x)
+ eos (120° - x) eos (120° + x)
A) 3/4 B)4/3	C)l/4 D) -3/4 E) 1
PRODUCTORIAS
29	.- Determine el valor del producto:
(1- tan2x)(l- tan"2x)(l-tan24x).(l-tan22"’,x)
3
X cosn(x) + cosr(120°-x) + cos,1(120o+x)
n=l
A) 211 tan x gx 2I1+I tan x q tanx
tan2nx tan2n+lx tan2n,x
Sucesiones y Series Trigonométricas
T16
149
22n tan x p. 2°+1 tan x
tan2njr tan2nIx
-J2 V2 -J2 J? V2
A)y B)^-	D)^y E)y3
30	.- Calcular el valor de W, si:
36.- Reducir el siguiente producto finito:
1 rt 2n 3rr 4n
W = - .tan — .tan — .tan —. tan —
A)3	B)6	Q12	D)1	E)0
31.- Determinar el valor de:
n 4n 5n
W = sen y. sen— . sen —
COS ~2 • eos . COS -g  cos
A)cos nx
D.	sen x
B) sen nx C)--------
z	z 2r
D) SCnX-
2Dsen^
2"
„ sen x
E)------~
2ncos—
2n
v'3	V7
A) 3 B) —	C)5	D)6 E)y—
3	o
32.- Calcular el valor de:
M= (1 + COS-^y) (1+COS^y) (1 + COS^y)
A) 1/8 B)2/3 Ql/6 D)3/8 E)5/6
37.- Calcule;
A) 1 B) 1/2
P - cos y
C) 1/4
38.- Calculare! valor de:
.COS-y^ -COSy^
D) 1/8 E) 1/16
jr 2tt	Ott
P — sen j .sen .sen । —.... sen j'q
33.-Evaluar la expresión:
n	3n	5n
M= cosy .eos—.cos~
A)2/5 B)-l/8 Q3/5 D)l/7 E)-2/7
A) V19
B>^

D)^r
V19
E) 2«
39.- Calcular:
34.- Determinar una expresión equivalente de:
K = (2cosx- l)(2cos2x- l)(2cos4x- 1)
8cos4x+l
2cosx-l
„. 4cos4x + l
2 2cos x +1
F 2cos 3x +1
' 2cosjt-1
_. 3cos3x-l
2cosx-l
n 2cos8x + l
' 2cosx+l
35.- Calcular el valor de:
- 3n 5n
sen 2^ «sen -sen
13n
, sen

3 l + cos(2n-l)5
n=I l+COS^y^
A) 1 B) 3	C)7	D)5	E)2
40.- Indica el equivalente de:
n 2n 3n 4n 5n
COSy . COS-y-. COS-y. COS-y . COS-y
A)64sen7 B)60sen7 C)64sen5
I~.. 1 ít	1 tt
D) sen y	E) ^4 sen y
^áRACSO
BpBDITOftMB
T16
150
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
CAP
17
^•^Bii^TrigOTOrrigtr; óas1
1
En el estudio de las funciones trigonométricas, la característica que más resalta es la
periodicidad, es decir, la característica fundamental de las funciones trigonométricas es que
todas ellas son periódicas, pues se repiten de idéntica forma en intervalos iguales. Muchos
fenómenos de la naturaleza son periódicos, como por ejemplo:
Las estaciones del año, las 24 horas del día, los latidos del corazón, etc.
Se debe tener en cuenta que toda función trigonométricas tiene una representación
gráfica especifica. Asimismo se debe tener en cuenta que toda función tiene gráfica, pero que
no toda gráfica representa a una función.
17.1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA___________________________
Es un conjunto no vacío de pares ordenados (x; y), tal que para todo valor de la primera
componente (corresponde un valor angular expresado en radianes}, le corresponde un único
valor obtenido mediante una evaluación de la función, que se denota así:
y = F.T(x)
Esto es: F = {(x; y)/x, ye R ; y = F.T.(x)}
17.1 A Dominio de una ET. (Df)
Son los valores que toma la primera
componente en una función. (Se encuentra
sobre el eje x).
17.1B Rango de un E T. (Rf)
Son los valores que toma la segunda
componente en una función. (Se encuentra
sobre el eje y).
17.1C Función Par	y, L
Una función fes par,
si V x e Df:
i) -x e Df
ii)f(-x) = F(x)
Nota: La gráfica de toda función par es simétrica
respecto al eje y.
17.ID Función Impar
Una función f es
impar, si V x e Df.
i) -xeDf	—
ii)f(-x)=-f(x)
Nota : La gráfica de toda función impar es
simétrica respecto al origen del sistema de
coordenadas.
17.1E) Función Creciente
Una función f es creciente en un
intervalo 1 de su dominio, si V xt , x2 e I se
cumple:
f (Xj) < f (x2) , siempre queX] < x2
Funciones Trigonométricas
17.1F) Función Decreciente
Una función f es decreciente en un
intervalo I de su dominio, si V x, , x2 e I se
cumple:
F(X|) > f(x,) , siempre queX] < x2
17.1G) Funciones Periódicas
Una función f cuya regla de correspon-
dencia es y = f(x), se dice que es periódica, si:
i) Vx a (x + T) e Df
i¡K(x + T) = f(x);T*O
Donde “T" es el periodo de la función.
(El menor valor).
17.2 FUNCIÓN SENO
F = {(x ; y)/y = sen x; x e R}
17.2A) Representación gráfica
17.3 FUNCION COSENO
17.2B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R a Rango: Rze (-1; 11
Periodo: T = 2n
Es función impar en todo su dominio, Crecien-
te en el 1C y IVC, Decreciente en el IIC y I1IC
Si: f = sen(/?x) => Tf = j-rr
I K I
F = {(x;y)/y = eosx;xe R}
I7.3A) Representación gráfica
17.3B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R a Rango: fye [-1 ; l]
Periodo:T = 2rt
Es función par en todo su dominio, creciente
en el IIIC y IVC, decreciente en el IC y IIC
Si: F = eos (ftx) => T>=
I K I
T17
152
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
4RACSO
17.4 FUNCIÓN TANGENTE
F = {(*;y)/y = tanx;xe R - (2n + l)n/2 ;ne Z}
17.4A) Representación gráfica	17.4B) Análisis de la gráfica
Dominio: Df& R -(2n + l)n/2;ne Z
Rango: Rz e R a Periodo:T = n
Es una función impar en todo su dominio, es
creciente por intervalos.
Si: F = tan (ftx) => ¡/ = j^j
17.5 FUNCIÓN COTANGENTE
F = {(x;y)/y = cotx;xe R -(m);ne Z}
17.5 A) Representación gráfica
17.5B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R - (nít) ; n e Z
Rango: R/e R a Periodo: T = n
Es una función impar en todo su dominio, es
decreciente por intervalos.
Si: F = cot (fer)

17.6 FUNCIÓN SECANTE
F = {(x; y)/y = sec x; x e R - (2n + 1 )k/2 ; n e Z}
17.6A) Representación gráfica
17.6B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R - (2n + I )tV2 ; n g Z
Rango: R¿gR-(-1;1) Periodo: T = 2ti
Es una función par en todo su dominio, es
creciente en el IC y IIC, es decreciente en el
HlCylVC.
Si: F = sec (ftx)
- _ 2n
‘ 1*1
Funciones Trigonométricas
17.7 FUNCIÓN COSECANTE
F = {(x; y)fy = escx; x g R - (nn) ; n g Z}
17.7A) Representación gráfica
17.7B) Análisis de la gráfica
Dominio: Dfe R - (nít) ; n g Z
Rango: R¿gR-(-1;1) Periodo: T = 2ít
Es una función impar en todo su dominio, es
creciente en el IIC y I1IC, es decreciente en el
IC y IVC.
Si: f = esc (fex) => T, = —
' R
PROB. 1
Pero-1 <cosjc<1 Arrufen => -1 ccosxd
Dada la función f, cuya regla
,	. sen2x
correspondencia es: f\x) = senJf
de
=> -2<2 cosx< 2 => -2 < f (x) < 2
a)	Determine su dominio
b)	Evalúe su rango
c)	Elabore su gráfico
d)	Determine su periodo
e)	Discriminar si es par o impar.
RESOLUCIÓN
******************
R,g <-2,2>
Para que la función esté definida en todos los
Reales, necesariamente sen x * 0, entonces:
senx^O => x*kn; Vfe g Z, luego:
a)	Df g R - {fe rt}; V fe g Z
b)	f(x) =
2>efí'xcosx
>eííx
=> f (x) = 2cos x
d) Su periodo es T =2n
x .	, x sen2x .	.. .
e) La gráfica f (x)= seriJf es simétrica res-
pecto el eje Y, luego es una función par (pues
toda función par es simétrica respecto al eje
y, mientras que las funciones impares son
simétricas respecto al origen.
ftkHACSO
U  DlTOIKI
T17
154
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PROB. 2
Dada la función f, cuya regla de corres-
pondencia es: f(xj = tan |x| + cot |x|.
a)	Calcule los puntos donde / no está definida.
b)	¿Es periódica la función?, si lo fuera
determine dicho periodo.
c)	Obtenga el Rango de la función
d)	Elaborar su gráfica.
RESOLUCIÓN

En primer lugar analicemos |x|:
1) Si x > 0 => /(x) = tanx +cotx
=> /(x) = 2csc2x
2)Six<0 => f(xj = tanx- cotx
=> f (x) = -2csc 2x
3) Si x = 0 => f (x) no está definida.
Para dar respuesta a las preguntas, elaboramos
la gráfica:
a)	Se observa que, x no está definida en:
0,-|,n;37i/2;2ji;..= ™
Los puntos donde/(x) no está definida son en:
b)	Sí es periódica, de periodo: T = 2n
c)	Viendo la figura Rf e R - (-2; 2)
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
I)	Analice la existencia de la función
2)	Obtenga los valores que no definen a la función
3)	Elabore el gráfico de la función
4)	Vea si la gráfica es Simétrica respecto al eje "y" o es Simétrica respecto al origen
para asegurar si es la función par o impar respectivamente.
5)	Cuando la variable de la función trigonométrica está afectada por valor abso-
luto ( I x I), analice qué ocurre cuando x>0,x = 0ax<0
6)	Para determinar el dominio se recomienda analizar todas las restricciones posi-
bles de la expresión dada.
7)	Para determinar el rango se recomienda transformar la expresión dada hasta
quedar en términos de una F.T. Luego reconstruir la función a partir del dominio
de la F.T. obtenida.
Funciones Trigonométricas
Enunciados de Problemas
con Resolución
DOMINIO DE LAS F. T.
01.- Sea la función fdefinida por:
senx + cos.r+ tanx
|senx|
(13.- Sea la función/definida por:
cosx — cos5x
/(x) =---------~
cosx-cos3x
Determine su dominio.
determine el dominio de f
A)R-y,VIeZ
QR-y.VJteZ D)R-y.V*eZ
E)R-y, V ke Z
02.- Sea la función/ definida por:
> 1
isen'x----
4
determine el Dominio de la función f.
A)
n . 5n ,
—+KJI,— + KJI
6	6
, V *6 Z
B)	[| + lt7t,^ + k7t], V ke Z
C)	I, V ke Z
1_6	6 J
Djfl+fcn.^+jtnj,v *e z
E)
j+fot,^ + fc7tj, V ke Z
A)R-y,AeZ B)R-y,*eZ
C)R-y,JtGZ D)R-y,ieZ
E)R- y, ke Z
04.- Determine el dominio de la función /defi-
nida por:
/(x) = 3 tan ^3x + j + cos 2x
A)R-(3áí+ l)y ,V ke Z
B)R-(3áí+ 1)|,V ke Z
C)E-(3A+l)y V ke Z
D)R-(3A.+ l)y,V AgZ
E)R-(3A + 1) j.V ke Z
05.- Determine el dominio de la función/defi-
nida por:
ftx)= Jtanx-1 + J-JJ tanx
T17
156
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
H RACSO
ÍDITD1II
A)	^ + kn;j + kn
B)	^ + kn;^ + kn
C)	^ + kn;^ + kn
L5 6
D)	^ + kn;^+kn
,VkeZ
,VkeZ
, V*gZ
,VkeZ
C) O	D) <2
\ 2/	\ 2 /	\ 6/	\ o /
E)/o;^\ O
\ 4/	\ 4 /
09.- Determine el dominio de la función/defini-
da por:
J jsecjq — |cscx|
E)
^ + kn ;^+kn
6	2
,VieZ
06.- Delimitar el dominio de la función /defini-
da por:
/*) = 3tan5x-2
A)R-(2A + 1)|,V ke Z
B)R-(2A: + 1)^,V Ag Z
C)R-(2* + l)yj,V Ag Z
D)R-(5A+1)^,V AgZ
E)R-(2¿ +	ke Z
07.- Evalúe el dominio de la función /definida
por:
ftx) = Vsenx + Veos* + -Jtanx , si: x e [0; 2tt]
A)K-	V ke Z
C)K-	V ke Z
E)K-	V ke Z
B)IR-	V Ae Z
D)K-	V ke Z
10.- Evalúe el dominio de la función/definida poc
/(*)= 75 sec4 (3* + ^)
A)R- I*/* = ^(2k +l);JtG z|
B) R -{*/* = ^ (2¿ +1);A G z}
C) R-1*/* = ^(2k + l),k e z|
D)R- {jr/x = y(2¿+!);£G zj
E) R-{x/x = y(2¿+l);A:Gz}
A) 0;^
B) 0;^
Q 0,|
RANGO DE LAS F.T.
D)
E)
08.- Encontrar el dominio de la función /defi-
nida por:
/*) = J2(tanx + cotx) - 4 , si x e (0; 27t)
A)^0;^	B) (0:5) u
11.- Determine el rango de la función/ defini-
da por:
Funciones Trigonométricas
T17
157
12.- Si el dominio de la función f definida por:
5 + 2sen*
/a) =---------es
determine el rango de/:
A*(2’Í
B)(2;l
Q(2;|
D)(5;3
13.- Sea f una función definida por:

seiu-1
encontrar el rango de f.
A) {-1} B){f} C){n}D) {1} E){0}
14.- Sea /una función definida por:
f(x) = sen-* + 3|sen *|,
determine el rango de/:
A)[O;1]	B)[0;2]	C) [0; 3]
D)[0;4]	E)[0;5]
15.- Determine el rango de la función /defini-
da por:

cosa + 2
cosa+1
A)|J;+~) B)[|;+~)
C)
3.
3’
+oo
7
D>|_5;+~
E)
16.- Evaluare! rango de la función /definida por:
flx) =
eos2*
|senv|-l
A) (-4;-3]	B)(-5;-l]	C)<-2;-l]
D)(-2;-7]	E)(-6;-3]
17	.- Encontrar el rango de la función /definida
por:
fíx) = eos2* + 4 eos x + 7
A)[4;l]	B)[5;12]	C)[7;3]
D)[2;10]	E)[4;12]
18	.- Sea la función /definida por:
cos2 x
flx) = ^osx—sen* . determine el rango de/
AX-V1 ; yfi)	B)(-v/3;>/3>
C)<-j2;j2>	D)<-j5; J5>
E)<-7?; y/7)
19	.- Sea la función /definida por:
fix) = 4 cos2(ttx) - 4 cos(tdc), x e	; 3
determine el rango de/*)
A)[-l;2> B)[-l;8)	C)[-l;l>
D)[-l;3>	E)l-1;6)
20	.- Sea la función /definida por:
4	2	2	4
/*) = sen *. eos * + sen *. eos *,
evaluar el rango de la función:
A) [O; l/4> B) [O; 1/2] C) [O; 1/3]
D)[0;l/4] E)[0;l/5]
21	.- Sea/ la función definida por:
,,	sen*+sen2* + sen3*
/w=-------------Q.
sen2*
encontrar el rango de la función/:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITO1I1
A)<-1; 1) <J <1 ;7> B) <-l; 2> o <1; 4>
C)(-l;3> O (1;6> D)(-l ; 1) u <1 ;5>
E)(—1 ; 1> O <1 ; 3)
22.- Si: x G (n; 37t/2), determine el rango de la
funciónf definida por:
fl*) =
(1 + tanx)2
1 + tan2x
+ 3
26.- Delimitar el rango de la función/definida
por:
2
/ (x) = (tan x - cot x)
A)[0; + oo) B)[l; + oo> C)[2; + °°>
D)[3; + «>) E)[4; + °o)
27.- Encontrar el rango de la función/defini-
da por:
A)(4;5]	B)[4;5]	C)[4;5>
D)(2;5]	E)(2;4>
23.- Sea f una función definida por:
'5n
, 4
/(x) = tan x + cos x, si x G
3 /
n
/x) = |tan x| + |sen x|, si: |x| < — ,
determine el rango de la función.
A) 0;^) B) 0;^
C) 0;^
/2-V7.2^-l\	/2->/4.2^-l\
2 ’	4 / J\ 2 ’ 10 /
„/2->/2,2>/3-l\
E)\ 2 ' 2 /
28.- Evaluar el rango de la función f definida pon
D) 0;—7—
E) 0 ;^
24.- Evaluar el rango de la función f definida
por:
/(x) = tan4 x + 4 tan2x + 7
A) [9; + °°) B) [3; + °°) C) [2 ; + <»)
D) [7; + «>) E) [5 ; + <»)
25	.- Determine el rango de la función/defini-
da por:
/(x) = 2senx-3tanx,sixG
\ 6 4 /
A)(->/4 -3;- Vs -1) B)(->/2 -3;- sfi -1)
C)(-7ó -3;- >/3 -1) D)(->/5 -3;- -Jl -1)
E)(-a/2-3;- >/4 -l)
A)[2;4>	B)(2;4]	C)(2;4>
D)[2;8]	E)[2;4]
29	.- Sea la función/definida por: ‘
/x) = cos x. tan x,
determine Dy-n Ry.
A)(-4;l)	B)(-3;l>	C)(-2;l>
D)(-l;l>	E)(-0;l>
30	.- Determine el rango para la función/defi-
nida por:
fix) = |sen x|. esc x + |csc x| sen x
A){-3;2}	B){-2;1}	C)(-2;2)
D){-5;5}	E){-2;7}
Funciones Trigonométricas,
T17
159
31	.- Para la función definida por:
f{x) = sen x + cot x + -»/senx-l + cscx,
determine el rango.
A)Rf={l} B)Rf={2} QR,= {3}
D)Rf={4}	E)Rf={5}
32	.- Sean las funciones f y g definidos por:
fix) = sen( -Jx2 l ) y g(x) = |ex - sec x|,
determine: Df o Rg.
A)[5; + °o)	B)[4; + °o>	C)[3; + °o>
D)[2; + °o> E) +
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS
F.T.
33	.- Determine el valor máximo de la función/
definida por:
senx-2
X) l+|senx—2|
A>-i B>-f «-i H
34	.- Sea /la función definida por:
/x) = 2 sen 7x. eos 3x - sen 4x - 5,
encontrar: f^ + 2/^.
A)-15 B)-16 C)-17 D)-18 E)-19
35	.- Identificar el máximo valor de la función/
definida por:
/x) = (3 - sen x)(3 + sen x) +1
A) 14 B)13 C)12 D) 11 E)10
36	.- Si *7n” y “M” son los valores mínimo y
máximo respectivamente de la función /defini-
da por:
a .	4	4
j(x) = sen x + eos x,
encontrar el valor de ‘7n + M”
A) 3/2 B)4/2 C)5/2 D)6/2 E)7/2
37	.- Sea la función /definida como:
/» = 35-tan2x + 4tanx,xG [0°;90°].
identificar la medida del ángulo “x”, para ob-
tener el valor máximo de la función.
A) x=65°30’ B)x=64°30’ C)xs63°30’
D)xa62°30’ E)xa61°30’
38	.- Determine el valor máximo de la función/
definida por:
fix) = (4 - tan x)(2 + tan x)
A) 10 B)9	C)8	D)7	E)6
39	.- Sea la función /definida por:
fix) = tan x + 2 tan x,
determine el valor mínimo de/
A)-4 B)-3 C)-2 D)-l E)0
40.- Calcule el valor mínimo de la función /
definida por:
fix) = tan x - cot x, si x G
A) 4	B)3	C)2	D)1	E)0
41	.- Encontrar el valor mínimo de la función/
definida por:
fix) = senx + tan x, si x G
A)-2 B)-l C)0	D)1	E)2
42	.- Determine el valor mínimo de la función/
definida por:
fix) = sec x - csc x, si x G
„.5n
. * 4
Aíracso
^oiToua
T17
160
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A) 1	B)5	C)2	D)0	E)3
PERÍODO DE F.T.
43	.- Determine el período mínimo de la fun-
ción/definida por:
X	X	X
fix) = sen — + sen ~ + sen ~
A)2n B)3n C)6n D)12n E)24n
44	.- Sea la función /definida por:
6x
fix) = 3 sen 3x+ eos — + 1
evaluar el período mínimo de/:
A)^	B)^ Q| D)^ E)-^
45	.- Determine “a + b" si el periodo mínimo de
las funciones:
b	A
fix) = eos (ax + bn) a g(x) = sen (bx-ait)
son respectivamente: — y - Además “a y b
por números impares”
A) 16 B)18 C)22 D)24 E)26
46	.- Sea/ la función definida por:
fix) = cos( 7t eos x),
evaluar el período mínimo de la función/
A)y B)JÍ C)| D)§ E)n
47	.- Calcule el período de las siguientes fun-
ciones:
15f 2x)
a)/x) = tan 1 g I
b) g(x) = sec10(4x)
3jc A
c)/í(jc) = csc I “y I
Funciones Trigonométricas
.. 7tt ti 14ít	r,.9n ti 117t
A)T;4;“T	B)T;4;^"
5?t 7t 12n
J 2 ’ 4 ’ 3	} 2 ’ 3 ’ 3
... 9n n 14tt
E)T: 4 :-3~
48	.- Calcule el período mínimo de la función/
definida por:
f(x) - sen a.cos x.tan jc.cot x.sec jc.csc x
A)~ B)7ü 07? D)7t E)y
49	.- Calcule el período mínimo de la función/
definida por:
2	2	1
fix) = sec x + sec jc.csc x + csc x + —
A)g B)y C)^	E)7t
GRÁFICAS DE LAS F. T.
50.- Esbozar el gráfico de la función/definida
pon
f(x)= Vsen2x—sen4x
T17
161
51.- El punto P(xf ; 2¿z + b) pertenece al sinus-
oide y el punto Q(x> ; a - b) pertenece al
n
cosinusoide. Si además: jc, + x, = ~, calcular:
A) 1/3	B)2/5 C)3/5	D)2/3 E)4/5
52.- Esbozar la gráfica de la función/defini-
da por:
sen2x
cosx
f(x) = |tan x. cos x] -

53	.- Indicar el gráfico correspondiente a la fun-
ción /definida por:
/*)=
sen3x—senx
senx
54	.- ¿En cuántos puntos la gráfica de la fun-
ción/definida por:
/x)= Jx -4|cosx],
intersecta al eje X si x e (0; 3rt)?
A)6	B)7	C)8	D)9	E)10
T17
162
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITC11I
55	.- Determine en cuántos puntos, la gráfica
de la función /definida por:
fix) = 2 |cos jc| - |sec x|,
x G (0; 2¡t) intersecta al eje X.
A) 2 puntos B) 3 puntos C) 4 puntos
D) 5 puntos E) 6 puntos
56	.- Grafique la función/definida por:
/jc) = |sen jc| + sen x
57	.- Determine la regla de correspondencia del
gráfico mostrado:
C)4seny + 2	D)4sen^ + 2
E)4sen^- + 2
o
59	.- Determine el área de la región sombreada
del gráfico adjunto:
A) 8 m?	B) 6 nú2	C) 4 7tw2
7	7
D) 3 itu~	E) 5 un
Funciones Trigonométricas
T17
163
E) y V3 w
MISCELÁNEA
61.- Sea/ la función definida por:
fix) = sen jc.cos x,
indicar verdadero con (V) o falso con (F) de
las siguientes proposiciones:
I) Es creciente enxe (0; —
\ 4,
D) Ry= ~¡± Vxg(0;ti/4>
C)
63.- Determine los valores de “x” para los
cuales la función/no se encuentra definida,
donde:
/(jr) = sec^2jr+^j + csc^2x + yj
A)^(2n+l);neZ D)~(2n± l);n€ Z
□	o
B)^(3n±l);neZ E)y(2n±l);neZ
C)y (2n± l);ne Z
64.- Dada la función/ definida por:
fix) = (eos pe]) |sen jc.csc jc|
determine su rango.
A)(-l;5>	B)(-l;3>	C)(-l;6>
D)(-l;l>	E)(-l;8>
HD Posee periodo mínimo igual a 2rt
A)FW B)VFF C)WF D)FFV E)VFV
62.- Para la función /definida por:
/jc) = tanjc.|cotjc|,
determine la gráfica.
65.- A partir de la función/ definida por:
fi*) =
cosxcotx
|cotx| ’
determine su rango.
A)(-l;l)u(0;2>
D)(-l;0>u(0;2>
B)(-l;0>V>(0;l>
C)(-1;O)<J(O;5>
E)(-l; l>u(0;3>
T17
164 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
"RACSO
66.- ¿Para qué valores de “x” en
función /definida por:
\ 2’7/
la
7
fix) = tan“x - 3, es no negativa?
69.- Sea la función/definida por:
fix) = |cscx| - |sec x|,
determine todos los posibles valores de x G
(0; Tt) para el cual la función no es negativa
E)(-
B)(-
n.n 2’3.	u	FtI .Tt\ L3’2/
Tt.Tt 4’5.	u	Tt. Tt\ .3’2/
Tt.Tt 2’3.	u	Tt.Tt\ .2’6/
Tt.Tt 2’3.	u	Tt.Tt \ .7’8/
Tt.Tt' 7’9.	u	Tt.Tt\ .3’2/
67.- ¿Para qué valores de “x” en
función/ definida por:
fix) = -J| senx | — | cosx | no está definida?
A)xe^;^	D)xe[f;^
B)xe[^;^]	E)xg[^;^]
\ 4 4 /
68.- Sea la función/definida por:
fix) = cot x - tan x,
determine todos los posibles valores de
x G (0;—) para el cua] la función siempre es
positiva.
A)xg^0;^ B)xe ^0;^ C)xe
D)xg(o^ E)(-1;ti>
n 7n
4’ 4
la
A)ag^	u	37t._\ 3 ’ 7
B)xg	0	3rt.„\ . 6 ’ /
		
C)xg ^0;|	0	
D)xg (o; j	0	
		
E)xg (o£ \ 4	0	
70.- Sea la función/definida por:		
fix) — 3 tan x - 2 sen 2x,
determine todos los posibles valores de x G
(0; Tt). Identificar los valores de x G (0; Tt) para
los cuales /es siempre positiva:
I. ití6
n. 571/6 .
A) Solo I	B) Solo II
D) I y III E) Todas
C) Solo III
Funciones Trigonométricas
En el capítulo anterior se estableció que una función asigna a cada elemento del dominio,
una y solamente una imagen, que desde luego puede ser común a varios o a todos los elementos
del dominio. Si la función tiene además la propiedad de que la imagen es exclusiva, o sea, que
cada imagen en el recorrido es de un solo elemento del dominio, se dice entonces que está
función establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre los elementos del dominio
y del recorrido. Cuando tal es el caso, se puede definir una nueva función conocida como
función inversa, respecto a la función original, cuyo recorrido sea el dominio de la primera y
viceversa.
18.1. CONCEPTOS PRELIMINARES CD
18.1A) Función Inyectiva
Una función f se llama inyectiva si y solo si V x,, x2 e Dom f, se cumple:
Axj) = flx2) => X! = x2
Es un conjunto de pares ordenados donde existe una correspondencia biunívoca entre
las primeras y segundas componentes (Relación uno a uno)
18.1B Características de la Gráfica de una Función Inyectiva
Toda gráfica de una función inyectiva es cortada en un solo punto por cualquier recta
horizontal (recta paralela al eje x)
18.1C Función Inversa
Si una función f es biyectiva, es decir, es univalente y suryectiva, entonces existe su
función inversa y se denota por f* o F1.
18.1D Obtención de una Función Inversa
Dada una función f biyectiva, la función inversa f * se obtiene intercambiando x por y a y
porx, verificándose que:
Df« — Rf	Rp = Dj
18.I	E Obtención de la Gráfica de una Función Inversa
Dada la gráfica de una función f, para obtener la gráfica de su respectiva función inversa
f* se procede de la siguiente manera.
T18
166
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOIBI
i)	Se traza la recta y = x (recta que es eje de simetría entre fyf*).
ii)	Se refleja la gráfica / respecto al eje de simetría.
iii)	La gráfica reflejada es la gráfica de la función f*.
Las funciones trigonométricas por ser periódicas no son
univalentes, sin embargo al restringir sus dominios, se logra
que sean inyectivas. Dichas restricciones se muestran a
continuación:
FUNCIÓN	DOMINIO	RANGO
y — senx	[-jí/2;k/2]	1-1; 11
y = cosx	[0;«l	1-1; 11
y = tanx	<-íi/2;k/2>	R
y = cotx	<0;«>	R
y = secx	[0; n/2) u (n/2; n]	R-<-l ;1>
y = esex	[-n/2 ; 0) u <0; k/21	R-<-l; 1>
18.2	NOTACIÓN PARA UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA______________________
Sea:	Ar(O) = n => 6 = are f.t(n) v 0 = f.f’(n)
Entonces: Si: y = f.t(x) => x = are f.t (y)
Luego:	y = are f.t.(x)
18.3	FUNCIÓN ARCO SENO
y = are sen x
Dominio: Dfe [-1; 1]
D	_ F n-n
Rango:	Rfe l-g.-g
Función Creciente
Funciones Trigonométricas Inversas
T18
167
18.4	FUNCIÓN ARCO COSENO
y — are eos x
Dominio: Dfe í-1; 1]
Rango:	Rf e [0 ; ti]
Función Decreciente
18.5	FUNCIÓN ARCO TANGENTE
y = are tan x
Dominio: DfeK
Rango:
Función Creciente
18.6 FUNCIÓN ARCO COTANGENTE
y = arccotx
Dominio: Dfe R
Rango:	Rfe (0;7t)
Función Decreciente
18.7 FUNCIÓN ARCO SECANTE
y = are secx
Dominio: Df e R - (-1 ; 1)
Rango: Rf e (0; n/2) vj (n/2; nj
Función Creciente: V xe
C-oo¡ -1)
Función Creciente: V x e [ 1;
iARACSO
Pbditdk*!
T18
168
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
18.8. FUNCIÓN ARCO COSECANTE________________________________
y = are esex
Dominio: Dfe R -<-l ; 1)
Rango:	Rf e [- n/2 ; 0) kj (0; n/21
Función Decreciente: V x e ; -11
Función Decreciente: V x e [ 1;
18.9. PROPIEDADES_______________________
18.9A	F.T.(O) = n => are F.T.(n) = 0
18.9B F.T. [are F.T.(n)l = n <=> n e DFTJ
18.9C are ET.[F.T.(e)l = 6 <=> 6 e RFTJ
Es decir:
sentare sen x) = x ; si- x e [-1 ; 1]
cos(arc eos x) = x ; si: x e [-1 ; 1]
tan(arctanx) =x ; si:xe R
cotfarc cot x) = x ; si: x e R
sec(arc sec x) = x ; si: x e R - <-i; O
esc (are esex) = x ; si: x e R - <-i ; i>
are sen (senx) = x ;	si:	x e	[-n/2 ; n/2]
are eos (eos x) = x ;	si:	x e	[0; n]
are tan (tan x) = x ;	si:	x e	<-n/2 ; n/2)
are cot (cotx) = x ;	si:	x e	(0 ; n)
are sec (secx) = x ;	si:	x e	[0 ; n] - {n/2}
are csc (csc x) = x ;	si:	x e	[-n/2 ; n/2} -	{0}
are cot (- x) = n - are cotx
are sec (- x) = n - are secx
are csc (-x) = - are esex
are sen x = are csc (1/x); -I <x < 1 - {0}
are eos x = are sec (1/x) ; -I <x < 1 - {0}
arctanx = arecot (1/x) ;x >0
are tanx = are cot (1/x) - Tt;x <0
18.9D FT1 de Variables Negativas
are sen (-x) = - are sen x
are eos (-x) — ti - are eos x
are tan (-x) = - are tanx
18.9D Identidades Aditivas y Recíprocas de FT.l.
are sen x + are eos x = n/2 ; x e [-1 ; 1 ]
are tan x + are cotx = n/2 ;x e R
aresec x + are esex = n/2 ;x e R - [-1 ; 1]
Funciones Trigonométricas Inversas
18.9F Identidad Aditiva Especial
are tanx + are tan y = are tan
Donde:
k = 0; si xy < 1
k = 1 ; si xy > 1 a x > 0; y > 0
/?=-!;sixy>l AX<0;y<0
PROB. 2
PROB. 1
Resuelva la siguiente ecuación:
are senx + are eos (x2 -1) =
Resuelva la ecuación:
are sen 2x = are cosx
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
ir-*-***-*--*-**** ***** **
Aplicando la identidad aditiva, se puede
afirmar que:
x-=x2-l
=> x2 -x -1 = 0
prc sen 2x = are eos x => a = p
sen a =2x a eos P =x
sen a = 2x	a eos a = x
1 + 71-(-1)4	_ 1 + 75
2(1)	=* X 2
Pero: sen2 a + eos2 a = 1
(2x)2 + (x)2 = 1
4x2+x2 = 1
=>	5x2 = 1
La única solución que satisface es:
1
5
Puestoque: -1 <x< 1 a-1 <x2-1 < 1
Esdecir:	-1 <x< 1 a0< x2<2
-1 <x< 1 a (-72 < x<Ovx< 72)
Para ver cuál es la solución, lo hacemos a
través de sus gráficas:
RACSO
y|>DITOBBB
T18
170
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Se observa que hay solo un punto de
intersección, y está en la parte positiva del
 i-	&
ejex Luego la solución es x= -¡z-
RESOLUCIÓN
Aplicando la identidad aditiva especial:
N = tan
are tan
( 1+_L
7 24
1-lx-7-
7 24
=> N = tan arcti
+ kn
Para determinar el valor de k aplicamos la regla:
Como: 7X24~ 24<' =>ft = 0
Luego:
N = tan
are ti
PROB. 3
N = tan
Calcula:
N = tan
are tan 4; + are tan -J-
7	24
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
["clan™
”	161
+ kn
1)	Hacer cambios de variables a los arcos, enseguida trazar triángulos rectángulos
y aplicar el teorema de Pitágoras.
2)	Tener en cuenta los rangos y los dominios de las funciones trigonométricas
inversas, de forma que estén adecuadamente definidas.
3)	Hacer las gráficas correspondientes, para ver los puntos de intersecciones, y de
esa manera ver las soluciones.
4)	Siempre que sea pertinente, sustituya are tan x + are tg y, reemplace por su
equivalente:
Íx + y 4 .
~ + kti
l—xy I
Funciones Trigonométricas Inversas
Enunciados de Problemas
con Resolución
DOMINIO DE LAS F.T. INVERSAS
01.- Sea f una función definida por:
1	.---- n
f(x) = ~. are sen v3jc — 1 + ~ ,
determine el dominio de la función.
1 2
3’3
02.- Sea la función/definida por:
Jto = J áreseme—arecosx
71
I
delimite el dominio de la función:
A) 0;^
C)
04.- ¿Para qué valor de “a” la función /defini-
da por:
71
— + aresenx
9
/x) = —---------- , no está definida?
----arecosx
3
A) 2/3 B) 1/3 C)2/5 D) 1/2 E)3/4
05.- Sea/una función definida por:
( 3.x — 1	71
/jt) = 3 are sen I ~ I + are tan(jt - 2) + y,
determine el dominio de la función:
A) [-1; 5/3] B) [ 1/4; 5/3] C) [ 1; -5/3]
D)[5/3;l]	E)[l;l/3]
06.- Encontrar el dominio de la función /defi-
nida por:
n 3
fix) - — + — are sec (4x-3)
B) -^;2j2
/ 2
D) \ J2 ; 2
03.- Sea/una función definida por:
í x~ 0	( 2jt + l']
fix) = 2 are sen I I + 3 are eos I I,
encuentra el dominio de la función:
A)[l;l]	B)<-1; + 1)	C) [-2; 1]
D)[-2;2]	E)[2;-3]
B)	u43;+°o)
C)(— ; v [2; +->
D) ^-oo • A] lj[1 ;+«>)
E) j u [ I: +<»)
A RACSO
P«DiToaaa
T18
172
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
07.- Sea la función/definida por:
( 1
fix) = 2 are sec I x + ~
delimite el dominio de la función:
2
08.- Identifica el dominio de la función/defini-
da por:	_______
f(x) = are sec ( Vfix2 — 1)
09.- Determine el dominio de la función/defi-
nida por:
f(x) = are csc (2x2 - 7)
A)(-°o;-3] O|-V3 ; V3 |LJ[2;+co>
B)(-<»;-2> O[-V3 ; + V3]lj(2;+oo>
C)(-~;-3] u[-y¡3 ; ^3 |l43;+o°>
D) <-«>;-2] U [-V3 ; V3 ] u [2 ; +~>
E)<-°°;-5] u[->/3 ; V3]u[3;+oo>
10	.- Delimite el dominio de la función/definida por:
/(x) = are sec (8x + 3) + are csc(5x - 2)
11	.- Encuentra el dominio de la función/defi-
nida por:
f(x) = are csc x + are sen x + are tan x
A) {-!;!)	B){1;2}	C){-2;-l}
D){-3;1}	E){-1; 3}
RANGO DE LAS F. T. INVERSAS
12	.- Sea/una función definida por:
f(x) = 2 are sen(2x - 1) + 3 are sen (3x + 1),
determine el rango de la función.
A){f} B>{f} C){?} D){^} E) {5}
13	.- Sea la función / definida por:
f(x) = (are sen x)~ + 4 ¡are sen x| - 2tt,
determine el rango de la función.
Funciones Trigonométricas Inversas
T18
173
n2
n2
A) 27i;^ B) -2n;-y C) -27t;y
4
4
n2
D) 7i;--
E) -271; J
18.- Determine el rango de la función/defini-
da por:	4
f(x) = are cot (sen x + cos x)
14.- Sea f una función definida por:
ir
f(x) = 2 are senx + are cos x +
delimitar el rango de la función.
A)
n. 12571 ]
3 ’ 360 J
Fn. 1277t ] F7t. 127ti]
|_4’ 365 J U |_4 ’ 360 J
A)
n.3rc] rJ-Í-ZE] r^F-—-l
2’ 2 J DJ[ 2’2] JL 2’2]
r 7t. 120tl] r 7t.l257i:
D)|_4’ 360 J fc)L4’ 365
19.- Delimitar el rango de la función/defini-
da por:
D)
[3tt . tl]
2 ’ 3]
E)
15.- Sea f una función definida por:
n	r~
f(x) = ~ + 2 are cos -Jx ,
identifique el rango de la función.
/(x) = are cot
1 + x2
/3n 4n]	/ ¡t 3n\
D)\V’TJ E)\2;T/
20.- Identificar el rango de la función/defini-
da por:
/(x) = are cos x + are cot x
16.- Sea la función/definida por:
f(x) = 2 are tan(x2 + 2x + 2),
encontrar el rango de la función.
17.- Sea / una función definida por:
«xF^-HI	mí"-5"!	r^Fn-5TEl
A) [7’4]	B)L4’TJ	C)L2’Tj
F7t . 7t]	F 7C  7tE1
DH4’3j	E)L4’TJ
21.- Determine el rango de la función/defini-
da por:
/(x) = («re tanx )(arc cot x) , si: x> 1
7t
f(x) = — + 2 are tan x.xG (0; 1J
determine el rango de la función.
ry. /	7i 2
D)\ °°’16 J
p,. /	2n \
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^RAeso
22	.- Encontrar el rango de la función/defini-
da por:
f{x) = are sec(sen x + eos x)
23	.- Hallar el rango de la función /definida por:
/(x) = csc {are sec x)
A)[l;+oo)	B)(-l; + l>	C)[-l;+l>
D)(-l;l>	E)(l;+oo)
DOMINIO Y RANGO DE LAS F.T. INVERSAS
24	.- Determine el dominio y rango de la fun-
ción/definida por:
/(*) = |-|xzrcsen(^^)+^|
A)[-l;4]y [(); y] D) [-4 ; 1] y [o;
B)[l;4]y [O; E)[-3;+2]y [o; j ]
C)[-l ; 3] y [0;f ]
25	.- Sea la función/definida por:
2	7T
/(x) = 3  arc sen(3x - 2) + 4 ,
determine el dominio y rango de la función.
26	.- Sea la función /definida por:
1	f2 + x) 3n
/(x)= - .«recosí 4 ] + §.
determine el dominio y rango de la función.
A)[l ;2]y [f;^l D)[-6;2]yfe^l
L o o j	L o J
B)[-3;2]y [jíy1] E) [-3 ;2] y [|;|]
C)[-6;-2]y
\ o o /
27	.- Determine el dominio y rango de la fun-
ción /definida por:
/(x)=|«rccot(x- 1) -^|
A)Ry[0;^}	D)Ry[o;^}
B)Ry[();^	E)Ry [(); y)
r 5tl\
C)Ry
28	.- Establezca el dominio y rango de la fun-
ción/definida por:
f{x) = arc sen(-x) + arc cos(-x) + arc csc (-x)
+ arc sec(-x)
A){ l;l}y{7T}	D){-l;l}y{37t}
B){-3;l}y{n}	E) {-2; 1} y {2n}
C){l;3)y{n}
Funciones Trigonométricas Inversas
T18
175
29	.- Determine el dominio y rango de la fun-
ción /definida por:
f(x) = are sen x + are sec x + 1
A){l;l}y{^ +3}
Ín 1
3 + 1)
(71
2 +1J
{tt
2 +3I
E) {-1; 1} y +2|
30.- Determine el dominio y rango de la fun-
ción/definida por:
1
/(x) = — are csc (3x) + n
36.- Calcular el valor de:
32.- Calcular el valor de:
M = eos [are tan(--Jí) + are sen 1]
-J2	-J2	-J5	-J3
A) 2 B)^ C)^ D>Y
33	.- Determine el valor de:
f	1
M = tan I n + 2 are tan —
A) 2/5	B)3/4 C)4/3 D) 1/2 E)l/5
34	.- Hallare! valor de:
M = are sen (sen 5) + are cos(cos 6)
A) 1	B)-2	C)3 D)2 E)-l
35	.- Evaluar M, si se sabe que:
M= creeos sen
2k
T
.. n	t,a 3n	..5/1	5tl
A> 6	B> 2	C) 6	3

A) 1
A) 2
f 1
M = cot I ~ are tan
B)2
C)3
37.- Determine el valor de:
5
12
D)4
M = 3 cos(2 are eos V2/3 )
B) 1	C)3
D)4
38.- Determine el valor de:
E)5
E) 5
PROPIEDADES DE LAS F.T. INVERSAS
31.- Determine el valor de:
crcsení — |+crctan( 1)
M =-------\ ----------
arccosf—1)
A)A B)15 C)9 D) 3 E)ll
M = cot | — are tan cos(2 are sen -J7/30 )
A) 1	B)2
C)3
D)4
E)5
39.- Encontrar el valor de:
2
M = sen
are eos,
A) 1	B)2	C)3
+ cos'l are sen.
D)4	E)5
T18
176
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
‘^TtACSO
40.- Evaluar M si se sabe que:
M =
are cos
are tan
A) 1	B)l/2	C)l/3 D)2/3	E)3
46.- Determine el valor de M, si:
2 tan2	are sen— 		-3 sen2!	are tan -y-
M —	4 eos2 (are eos		)
A) 3/5	B)5/4	C)2/3 D) 1/4 E) 1/3
41.- Encontrar el valor de:
47.- Calcular el valor de W, si:
M = sen[2 are tan(cos (2 are tan -Js ))]
12	-13	-9	-12	5
A>Í3	B> 15	C>10 D> 13- E)l3
42.- Calcular el valor de:
f 12 A f 8 A
13senl arelan ~ I + 17cos I arccot ~ I
A) 10 B)20 C)30 D)40 E)50
43.- Identificar el valor de:
(	!	1	1	A
M = cos I are sen— + are cos — - are tan — I
Js J3 Js
a)	b) y	C)
D>V	E)^
W = are tan
V2-1
7
- are tan
A) f B) y Q-J D)y E)J
ore sen x a
48.-Si: ------------=—,
are cos x b
determine una expresión para are sen x.
A) -	2
(a+¿)2
B) ———
’ 2(a+b')
C) - —
(* + ¿)
D)
an
2(a—b)
E)
an
(a-b)2
49.- Determine el valor de:
44.- Evaluar M, si:
M = eos4
1
3 are cos —
4
-sen
1
3 are sen —
A) 1	B)3	C)0	D)2	E)4
,	tan(2arc sen x + are cos x)
M ----------------------------
tan(2arc sen x + 3arc cos x)
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
50.- Si se cumple que:
are tan x + are tan _v + are tan z = n.
determinar el valor de M:
x+ y + x+2xyz
45.- Reduc ir la siguiente expresión:
A) 3	B)2	C)5 D) 1	E)0
71
51.- Si: 0 <x < —, reducir la expresión:
(1—sen2x—cos2x A
M = are tan ----------—
1 - sen2x+cos2x j
A) 2	B)3	C)1	D)4	E)5
A)x B)2x C)-x D)-2x E)3x
Funciones Trigonométricas Inversas
1177
52.- Determine el valor de:
M = Jn2-In-arc eos x + .larc sen x-
V	V 2
A)2n B)7i/2 C)3tc D)7t/3 E)n
cot(3arc eos x + 2arc sen x)
cot(3orc eos x + 4crc sen x)
A) 2	B)-3	C)1
D)5 E)-l
58.- Evaluar W, si:
53.- Calcular el valor de M:
7	_	i	n
— ¿nxirc eos x+ Jare sen x----
W = sec2
3
arc cot ~
- arc cot 3
are tan x + arc sen(x — 1)
A) M 120


A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
54.- Determine el valor de 6, si:
1	4^3
6 = are eos ~ + creeos-
7	7
A) | B)f C)| D)~	E)^

127
E>M121
59.- Determine la expresión equivalente de:
W = arc cos(8x4 - 8x2 +1),
y su correspondiente restricción.
55.- Si se verifica que:
1 1
x — arc tan 1 + arc tan — + arc tan —
A) 4 arc sen x, si x G
°’ 2

determine el valor de: “sen x”
B) 2 arc sen x, si x G
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
56.- Determine la siguiente suma:
1 1 1
M - are tan ~ + arc tan — + arc tan —
1
ore tan j .
n +/1 + I
C) 4 arc sen x, si x G
D) 2 arc sen x, si x G
E) 3 arc sen x, si x G
A) arc tan I—rv
'	vi+1
D) arc tan
B) arc tan
n
n2 + 2
E) arc tan
C) are tan
\n-2j
«4

0; 2
60.- Determine la expresión equivalente de:
W = 2 arc eos x
asimismo su respectiva restricción.
7
A) arc cos(x - 1)
7
B)crccos(2x +1)
. sixG [0; 1]
,sixG [0; 1]
57.- Calcular:
C) arc cos(2x -1)
, si x G [ 1; 0]
T18
178
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
*MRACSO
C)arccos(2x- 1) , sixG [l;0]
D)arecos(2x + 1) ,sixG [1; I]
E)orccos(2x~- 1) , sixe [O; 1]
61.- Encontrar la expresión equivalente de:
W = 3 are tan x,
asimismo su respectiva restricción.
65.- Evaluar W, si:
1
W=are cot (-1) + yzzrc sec(- v2 ) + 3 are csc(2)
a\ 8tt 1 Itt 13tt -p|x 8tl r\ 1 3tc
A)b B) 3 C)3" D)T E)“F
66.- Reducir la expresión:
A)	are tan ) >s* 1*1<
( 2 r -	/í
B)	are tan -—, si Ixl <
^l + 3x‘J	3
C)	are tan	, si |x| <
D)	are tan [	|, si Ixl < ~-
^l-3x2J	11	3
c. . | 3x + x2 ] -ij -73
E)	are tan I I ’sl 1*1 < jF
62.- Calcular el valor de a:
( cot2-tan2A
a = are cotí--------I
A)3-n B)4-tt C)4-2tt
(0 = 5 eos
are tan
7
24
+ cot
are
sen
5
13
+ -76 sen(¿zrc sec (-5))
ax 24	20	24	22	24
A) g	“) 5	O -j	D) -]	E)
67.- Determinar el valor de:
0 = tan(3 are tan 5) - cot(3 are cot 5)
A) 1	B)0	C)3	D)2	5)4
68.- Si se sabe que:
a = are sec
el valor de a es:
D)4 + n	E)4+2tt
63.- Encontrar el valor de 6, si:
6 = are csc (csc 8) - are sec(sec 2)
A)n-10	B)3n-I0	C)2n-10
D)3n+ 10
E)tt+9
64.- Determinar el valor de P:
P = are cot (cot 4) + are sec(sec 6)
A)2n-2	B)3j+2	C)n-2
D)3tt-2	E)2h+2
Funciones Trigonométricas Inversas
'sec4	-16sec2	+ 20
A)f B)f C)j D) E)^
69.- Determinar W, si:
W = are cot(3) + are cot(7) + are cot( 13)
A) are tan C) «re tan
/3\
D) are tan 1 I E) are tan
70.- Simplificar M, si:
2
5
B) are tan
4
M=--------yy
czrctaru —
U5
A) 1/3	B)3/2 Ql/2 D) 1/4 E) 1/5
SITUACIONES GRÁFICAS
71.- Bosquejar el gráfico de:
x n
y = 4 . are cos ~ ~
2 4
Ti.- Resolver la inecuación:
72.- Identificar el gráfico de:
I	n
f(x) = jare tan x+ —
A)xg
are tan(x) - are cot(x) < 0
A)xg(-°°;1)	D)xg(-oo;1]
B)xg(-°°;2)	E)xg(-°°;3)
C)xg(o°;3]
75.- Determinar el conjunto solución parax:
are sec(x) - are csc(x) > 0
A) x G	; -1] o [ Jt. ; +°°)
B)xg (-°°;-l]o(j2 ;+°°)
C)	x G (-“; J2 J o f 1; +°°)
D)	x G	; 1] kJ [ -Jt. ; +°°)
E)	x G (-0°; -2] O [ J2 ; +<»)
76.- Resolver la inecuación:
n
are sec(2x) > ~
1
' 2 .
J3
2
73.- De la figura mostrada determine el área de
la región sombreada:
B)xg
1
2 .
2
Ji
C)xG
1
'2
4 J1 2
E)xG
A)37tw2 B)9rtH2 C)4tih2 D)5tih2 E)2íih2
77.- Del gráfico mostrado determine la regla
'de correspondencia para «y».
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOMI
B) 2-flZtcos (2'2
2
C) -3 . are cos
D)
5n
+ 4
fx H 5n
\2 2/ ' 4
3	íx 1\ 5rt
2 ” cos I 2 2 / — 4
3
E) -^.árceos
79.- Sea la función/definida por:
B) are sen í^x + ^j + 77
o	\5	5/	lo
„ 3	/8	1 \	5n
C) g.«resen (-x + -)--
™ 7	/8	1\	3n
D)-.«resen ^-x + -)-^
ex 7	/8	1\	5n
E)g.«resen^x + -)-^
n
f(x) = 2arc sen(2x- 1) + y,
determine el punto en el cual la gráfica de/
interceda al ejex.
A> (|;o)
D>(^')
c>(|;°)
78.- Del gráfico mostrado determine la regla
de correspondencia.
A)
3
2 - are cos
x j_\ 5n
2 2/4
£)(!;)
MISCELÁNEA
80.- Sea la función/definida por:
/(x) = arctan
2x )
1 + x2 J
determine el máximo valor de/
A)7t/3	B)27t/4 Qn/4 D)7t/2 E)2n/3
81.- Determine el valor máximo de la función/
definida por:
2	2
/(x) = are cot(tan x + cot x - 1)
A)7t/2 B)7i/3 Qíi/6 D)íi/5 E)íi/4
82.-Resolver: árceos (V3x) + arc cosx= —
A) 1/3 B)3/4 C) 1/5 D)2/3 E) 1/2
Funciones Trigonométricas Inversas
T18
181
83.- Determine el valor de “x” en la igualdad:
.—	n
are tan (cot[arcsen -J2x ]} = T
o
A) 3/8 B)5/3 C)3/4 D)8/3 E)4/5
84.- Determine el valor de “x” si:
I	1
are tan x + are tan — + are tan =arc sen x
+ are eos x
A)2	B)1	C)4	D)5	E)3
85.- Resolver la ecuación:
A) 1	B)2 Q3 D)4	E)5
86.- Resolver para x: are cos(x) = n. csc (y)
A) 1	B)2 Q-l D)-2	E)3
89	.-Si se cumple que:
are sen{cos(arctan[cot(arc sec (esex))])} =
calcular:
W =
are sen(cos x+eos 2x)
are tan
A)1	B)2	C)0	D)3	E)4
90	.- Resolver: are csc|x| > are sec|x|
A)xG (—-J2 ;-l] u [1 ; 72>
B)xG<-72 ;-l] U [1;72>
C)xG<^2 ;1] u[1;72>
D)xG <-72 ;-l] O [-J¿ ;1>
E)xg(-72 ;1]o[1; V?>
91	.-Sí:xg [-1; 1J, determine el máximo valor de:
87.- Calcular el valor de “x”, si:
3
are eos ~ + 2 are cot 2 = are csc x
25	...24	20 ...23 „. 25
A) 24	B) 25 C) 24 D) 21 E) 21
88.- Si se verifica la igualdad:
are cot
cotx.cot
= 3x.
entonces, ¿qué valores puede tomar “x”?.
n
y = 3 are tan x - —
4
A)7t/2 B)7i/3 Qíi/6 D)7t/5 E)n/4
92	.- Resolver la siguiente inecuación:
3ti
2 are tan x + are cot x < —
4
A)xg<-o°;1]	D)xg<-o°;2>
B) x G (-°°; 2]	E) x G ; 3]
C)xg(-o°;1>
B)xg(-^;0)
E)xg (3;n>
C)xg <2;n)
T18
182
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
&RACSO
- i‘GTt aciones e Inecuaciones ‘
jrJT r i gon o rifétri cas
Si se tienen dos funciones fyg con una misma variable x, tal que: f(x) = g(x), se denomina
ecuación con una incógnita, donde x es la variable llamada incógnita, y los valores que toma x
se denomina solución de la ecuación.
Una ecuación se llama algebraica, si cada una de las funcionas contenidas en f(x) yg(x)
son algebraicas (racional o irracional), donde además una de estas funciones puede ser
constante. Una ecuación se llama trascendente, si por lo menos una de las funciones contenidas
f(x) og(x) no es algebraica.
Una ecuación trigonométrica es de tipo trascendente, cuando cada una de las funciones
contenidas enf(x) og(x) son funciones trigonométricas de la forma f./. (ox + b), en donde los
términos a, b e R, (a * 0).
Si se tienen desigualdades de la forma Af^x) > f.t2(x) v f.tt(x) < f.t2(x) ;
se denominan inecuaciones trigonométricas. Para que esta relación se constituya en
ecuación o inecuación trigonométrica, la variable debe encontrarse afectada por algún operador
trigonométrico.
Las ecuaciones trigonométricas son igualdades de expresiones trigonométricas, que se
verifican para ciertos valores de su variable angular.
19.1.	ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES (E.T.E.) QJ
Toda ecuación trigonométrica de la forma:	ET.(ox + b) =c
Se denomina ecuación trigonométrica elemental, donde:
i)	a, b, c e R ; a * 0 ; c e Ran F.T.
ii)	(ox + b): arco; x: la variable angular
19.2.	RESOLUCIÓN DE LAS E.T.E._______________________________________________
i)	sen (ox + b) = c	=>	(ox + b) = kn + (-l)k.arc sen (c) ; k e Z
ii)	eos (ox + b) = c	=>	(ox + b) = 2 kn ± arc eos (c) ; k e Z
iii)	tan (ox + b) = c	=>	(ox + b) = kn + arc tan (c) ; k e Z
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
19.3.	SOLUCIÓN PRINCIPAL
Es la menor solución no negativa que satisface a la ecuación trigonométrica.
19.4.	RESOLUCIÓN DE LAS ECUAC. TRIGON. EN SU FORMA GENERAL
Resolver una ecuación trigonométrica, consiste en reducirla , hasta obtener otra de la
forma de una ecuación trigonométrica elemental y luego solucionarla.
19.5.	INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS_____________________________
Son desigualdades de la forma:
i) f.t](x) + f.t2(x) > 0 v f.t,(x) + f.t2(x) < 0
También pueden ser de la forma:
ii) f.t](x) + f.t2(x) > 0 v f.t](x) + f.t2(x) < 0
19.6.	RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS QJ
Para resolver una inecuación trigonométrica, primero se debe calcular las coordenadas
de los puntos de intersección igualando dichas funciones.
En el gráfico mostrado se observa que:
i)	En los puntos A, B, C: f = g
ii)	En el intervalo {a ; b): f <g
iii)En el intervalo (b ; c): f > g
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
454 RACSO
wp DITOKBfl
PROB. 1
Resuelva la ecuación:
2 sen x + cot x = csc x
PROB. 2
Resolver la ecuación:
, x	x n
sec2 "3 - 2 tan "3=0
RESOLUCION
RESOLUCION

En primer lugar hay que analizar si la ecuación
está o no definida para algunos valores de la
variable angular. Esto lo determinamos
transformando a senos y cosenos:
2senx4- cosx = —-—
senx senx
De esta relación está claro que:
senx/ 0	=> x*feít;feE Z (*)
Efectuando operaciones, se tiene:
2 sen2x + eos x = 1
=> 2(1 -cos2x) + cosx = 1
=>	2 - 2cos2x + eos x = 1
=>	2cos2 x + eos x + 1 = 0
Resolviendo se obtiene:
cosx =-1/2 v cosx=l
2íi
=> x = 2kn ± “3“ ¡ x = 2 fot; .V/? e Z
Pero de acuerdo con (*) se sabe que:x * kn
=> x = 2kn, no es solución
En primer lugar las funciones sec y tan
deben estar definidas, lo cual requiere que:
COS *0 => y ?t(2£ 4-1)71/2
-> x^(2k+ l)"y ; Vfce Z
Luego, en la ecuación dada, aplicamos la
identidad pitagórica de la sec x, así:
1 4- tan2^ -2 tan =0
=*	(tanf-l)2=0
=> tan - 1 = 0	=> tan = 1
=>	= fot 4- ti/4 x = 3 kn 4-
PROB. 3
Calcule la suma de soluciones de la siguiente
ecuación:
cos6x= p + sen6x\ csc2y; yXe [0;Tt]
\ sec2x /
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
185
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Expresamos todo en términos de seno y
coseno y tendremos:
Transformando a producto cada miembro de
la inecuación, se obtiene:
cos6x =
l + sen6x
1
cos2x
1
sen 2x
_ 3x x _ 3x x
2sen-2~ cos y > 2cos -^“cosy
Sr x	3x x
sen-^- cosy > cos-^- cos'2’
De aquí se deduce que
admitidos son:
los valores no
De acuerdo con la condición, se tiene que:
cos 2x^0
sen 2x^0
2
2
Es decir:
kit
2
x*^p, VfeeZ
,	3x xZ 3x X
Luego: sen-^-co^y > cos-^.co?^
„	„ cos2x(l + sen6x)
Entonces: cos ox = -------5----------
sen2x
3x 3x
sen~2~ > cos~2~
=> sen 2xcos 6x = cos 2x+ sen 6x cos 2x
Graneando las funciones de cada miembro:
sen 2x cos 6x - cos 2x sen 6x = cos 2x
/(x) = sen~2~ A SM = cos-^-
sen(2x - 6x) = cos 2x
yi
sen(-4x) = cos 2x
-sen 4x = cos 2x
-2sen 2x cos2x = cos 2x
Como:
cos 2x * 0
=> sen2x = -1/2
-1
1
0
Kx) = sen-^	«tó =j “sy
Dadoque: xe[0;ir] => 2xe [0;2n]
,	.	. .	7n Un
Luego las soluciones son: A
Según la figura, la solución es (x|;x2) •
calculemos: x, a x2.
Esto requiere hacer:
PROB. 4
_ 7n llrt
Suma- 12 + 12
3n
2
3x 3x
sen 2 — cos
3x ,
tan “2“ = 1
3x , n
~2~=fíJc+ 4
3x = 2£jt+ y
Resuelva la siguiente inecuación:
sen 2x+sen x> cos 2x +cosx; Vxe [0;n]
2bn n
3 + 6
T19
11861 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
7t	5ít
=> X1 = 6 A x2 = g
•••
PROB. 5
Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
2
3cot x + 5 = 7 cscx
PROB. 6
Determinar x en el sistema:
x + y=f ..(1)
2 sen2 = eos 2x .. (2)
RESORCIÓN
RESOLUCIÓN
Como intervienen las funciones cotang 'i le
y cosecante las restricciones son:
cotxa cscx => x*kn,k e Z
Como en el problema anterior, nuestra
estrategia consistirá en elaborar una expresión
en términos del seno, por lo cual apelaremos
a las identidades trigonométricas. Veamos:
3cos x 5sen x _ 7senx
2	+	2	2
sen x sen x sen x
2
Como: sen x * 0, podemos simplificarlo:
2	2
3 eos x + 5 sen x = 7 senx
2	2
Pero:	eos x = 1 - sen x
=> 3(1 - senzx) + 5 sen2x = 7 sen x
Efectuando:	2 sen2x - 7 sen x + 3 = 0
Factorizando: (sen x - 3)( 2 sen x -1) = 0
i)	senx-3 = 0
=> sen x = 3 (No puede ser)
ii)	2 sen x -1 — 0 => sen x =
=*	®P= 6
x = kn +(-l)k ,VéeZ
b
Nuestra estrategia consistirá en obtener una
ecuac on en términos del arco «y», para lo
cual haremos las siguientes transformaciones:
De la ecuacióii (1), se deduce que:
71
x + y = 2	=> 2x + 2y = n
Por reducción al 1C se puede establecer que:
eos 2x = - eos 2y (3)
Reemplazando (3) en (2):
2¿ y A
2 sen I 2 I = ' cos
=>	1 - cos y = - cos 2y
Pero:	cos 2y = 2 cos y -1
=>	1- cos y = - (2 cos2y -1)
=> 2 cos y - cos y = 0
Factorizando nos queda:
cosy (2 cosy -1) = 0
Igualando a cero cada factor, analizamos
teniendo en cuenta la condición dada:
i)	cos y = 0	=> y = 2kn ± n/2
Luego:x =7; -y => x =
=> x = -2kn ó x = n - 2kn
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
ii)	2 eos y -1=0 => eos y =
=> y = 2kn ±	• - -(*)
Reemplazamos (*) en (1):
x= 2 ’ (2fel±f)
=> x = v - 2*it ó x = ^? - 2Ztrt
o	O
PROB. 7
Resolver la'inecuación trigonométrica:
sen 3x - sen x > 0, si: x e (0; n)
RESOLUCIÓN
Del arco triple tenemos:
senx(2 eos 2x + 1) - sen x > 0
=> 2 sen x eos 2x + sen x - sen x > 0
=> senx. eos2x > 0 ... (1)
Por condición: 0 < x < n => 0 < sen x < 1
Reemplazando en (1) tenemos:
eos 2x > 0
De la C.T. se observa que:
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	La ecuación tiene que estar definida en el campo de los números reales.
2)	Obtenga los valores donde la variable no está definida, para no tomarlos en el
conjunto solución.
3)	Reducir a su mínima expresión a la ecuación hasta obtener de la forma:
f.t (ax + b) = c
4)	Si se trata de una inecuación es necesario graficar las funciones para visualizar
can facilidad el conjunto solución.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1DITC11I
Enunciados de Problemas
con Resolución
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
01.- Determine el conjunto solución de:
7 X
4 sen	+ 3 tan x = 2
A)2ta + (-l)k-T	D)
O	J	3
B)2ta+(-l)ky	E)ta+(-l)ky
C)ta + (-l)ky
02.- Determine el conjunto de solución de la
ecuación trigonométrica:
cos 7.x - 1 + tan x = 0
\	4/ o	\	4/	3
+	E)pta-^juta
C) íta+—luta
\	4/
03.- Determine un conjunto solución de:
7	7
3 cos^x - sen 2x - sen~x = 0, si: tan x > 0
A)ta+^ B)ta-j C)ta-^
D)tay	E)ta + ^
04.- Resolver la siguiente ecuación trigono-
métrica:
1 >
1 + cos x = ~ . sen".*
A)|	B)^ C)J D)ti E)k^
05.-. Resolver la siguiente ecuación trigono-
métrica:
3	3	1
sen x. cos x - sen x. cos x = ~
4
A) (4tal)^	B)(3A-l)g	C)(2A-l)y
D)(2¿+1)£	E)(4Á-1)^
O	o
06.- Resolver la ecuación trigonométrica:
cos3x cos2x i
senx tanx
y determine la mayor solución negativa.
A)-3	B)-^ C)-6 D)-g E)-^
07.- Determine un conjunto solución de:
7
sen 5x + sen 3x + sen x + 4 sen"x -3 = 0
A)(4m+l)g B)(4/n+l)J C)(4W-1)^
D)(2/n+l)j E)(4/n-l)^
08.- Determine el conjunto solución de:
sen x. sen 3x - sen 2x. sen 4x = 0
A) -y	B)	C) y
2kn	... 3kn
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
09.- Resolver la ecuación trigonométrica:
sen3x	cos3x
	 +------= 4 cos 4x
senx-----------cosx
217t D. kn ™ kn 3fat kn
A)— B)3 Q-t D)~5	E)4
10	.- Determine el conjunto solución de la ecua-
ción trigonométrica:
senóx	cosóx
—— = csc2x + —~
senzx	cos2x
a x kn . .. k 7T	tx\ kn . . .k 7T
A)T + í1)12	D) T + (1)-6
B)^+ (-!)“. J	E)^ + (-l)k^
C)^ + (-l)k.^
11	.- Determine el conjunto solución de:
cos4x+ 2sen2x + 3 = 0
A)^ + J(-l)k
4	4
J(-Dk
D) An . ^(-i)k
2	4
E)^ +J(-l)k
12	.- Determine el conjunto de solución de la
ecuación trigonométrica:
5 sen x + 6 sen~x . cos x + 5 cos x = 4
. kll . ,.k 11
A) -y + í-l) -4 D) -y + (-ir-g
B)y + (-l)k.|	E)2^ +(-Dk-|
Qy + (-l)k-f
14.- Determine el conjunto solución de:
(sen 2x + -»/3 cos 2x)2 - 5 = cos	- 2.
A) * (41 + 3)	D)~^(12k+7)
B)|(41-3)	E) ^(121-7)
C) ^(121 + 7)
15.- Determine el con junto solución de:
|sen 2x| + 2 = 2(|sen x| + |cos x|)
* x 2171 kn kn 2kn kn
A)_3~ B)T C)-4 D) 5 E)T
16	.- Determine el conjunto de solución de la
ecuación:
J3 senx + cosx= -J2
A)2kn± ~
B)kn± 7 + ?
4	3
C)2¿ti±^
D)¿7r±7 +
O J
E)2^±^ + f
A)(2Á+1)J	B)(l+l)|	C)(¿+1)J
D)(2¿-l)g	E)(2¿-1)J
17	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
2 _ I &J2
cos2x — V1+V2
13.- Determine el conjunto solución de:
cos
A)¿7T±£
o
D)2kn±^
B)2Ati±7
O
E)kn±^
C)kn±^
T19
190
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
PBDITOtai
18	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
4	4	. n
eos x - sen x - 1 = 0
A)	C)^ D) ^y E) kit
19	.- Resolver la siguiente función
trigonométrica:
1	2
1 - sen x =	. eos x
A)(¿-1)^	B)(4¿+1)^ C)(4¿-1)J
D)(4¿-1)£	E)(4¿-l)y
20	.- Determine el conjunto solución:
3+75
sec x + tan x =----
2
A) ¿Tt + are sen j B) k + tire eos
C) y + are sec
i)
D) ¿7t + are tan
71
E)k~^ + are cot
O
21	.- Determine el conjunto solución de:
1+cotx
1-tanx
= eos 371
.. ¿71	371 n. ¿71 371	¿71 371
A>T + T B)T-T Qy-y
D) y - y E) y + y
22	.- Determine la suma de las soluciones en:
xe[O;27t), de la ecuación:
senx = 73 cosx - 1
a \ 7t ... 571	7t	371	—. 7t
A>2 B) y Og D) y E) g
23	.- Determine la suma del menor ángulo posi-
tivo y el mayor ángulo negativo que verifica:
eos 2x - eos x - sen x = 0
a \ 3tt ti \ Tt ti 4rt ... 571
A)y B)- C)2 D) y E) y
24	.- Determinar la menor solución positiva de
la ecuación trigonométrica:
sen 2x + 2 eos 2x. sen x = 0
A)| B) C)§ D)J E)^
25	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
2 eos 4x. eos 3 a +2 sen 5x. sen 2x=eos 4x+cos 2x
y determine la suma de las dos menores solu-
ciones positivas.
a \ ^7t	nx 271 2rt	p.. 97t p. 371
A) 5	B) 5	C) 5	D) w E) 1()
26	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
sen3x	tt	2rt	3rt	4rt
------- + 1 = tan — -tan — .tan — .tan —
senx---9	9	9	9
y determine la suma de las soluciones com-
prendidas en [0; 2it].
71
A)47t B)3n C)27t D)tt E)
27	.- Determine la suma de las 2 menores solu-
ciones positivas de la ecuación:
eos x = 72 eos 5x - eos 9x
A.37t n 87t „ 771	117t	1371
A)y B)y C) y D) E)
28	.- Determine la suma de soluciones en
[0; TtJ de la ecuación:
x
2 sen x = tan
a x 571 7t 7t i 271	371
A)y B) — O2 D) y E) y
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
191
29	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
o	2
6 cot“x - 4cos x=1
y determinar la suma de soluciones compren-
didas en ( 0; 7t)
A) 7t B)2ti C)3ti D)47i E)5ti
30	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
3tanx+tan -2 = 0
y determine el producto de sus soluciones
comprendidas en (0; 7t).
—L_	p\ 3tt	5n2
A) lg	B)	C) 36
47T	71^
D> >
31	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
tan 3x + tan x — 4 sen x y determine la dife-
rencia de soluciones en el intervalo de (0; 7i).
35	.- Determine el número de raíces que se ob-
tienen al resolver la ecuación trigonométrica:
1 + cos 12x= 2cos 8x, síxg [0;7t/2]
A)0	B)2	C)4	D)6	E)7
36	.- Determine el número de soluciones si x
G ( 0; 7t) en la ecuación trigonométrica:
2sen2jc+ -J? sen^x+^j- cosx= sen 3x
A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
37	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
sen3x. sen 3x + cos3x . cos 3x = cos 2x
y determine el número de soluciones compren-
didas en [0; 7t]
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
38	.- Si: x G ( -7t; 7t), determine el número de
raíces que se obtiene al resolver la siguiente
ecuación trigonométrica.
tan 2x + tan x = sen 3x. sec x
4n Stt	2n o-h
A)V	B)f	C)f D)- E)f
A) 3	B)5	C)2	D)1	E)4
32	.- Determine el número de soluciones en
^0; y j de la ecuación:
sen5x+cos2x=senx-2sen2x + 1
A) 3	B)2	C)4	D)0	E)1
33	.- Resolver e indicar el número de solucio-
nes para xg de
2C 2	.
cos 5x - sen x = cos 4x
A)1	B)2	C)3	D)4	E)5
34	.- Determine el número de soluciones si x g
[0,47i] en ecuación:
3tanx=cotx
39	.- Determine el número de raíces que se ob-
tiene al resolver la ecuación trigonométrica
cos2x = 2sen2^-xj;sixG [0;7t]
A)1	B)0	C)3	D)4	E)5
40	.- Si x G (0; 7t), determine el número de raí-
ces que se obtienen al resolver la ecuación
trigonométrica:
vers(x) + ex - sec(x) = cos x - 2 sen x
A) 2	B)1	C)0	D)4	E)6
41	.- Determine el número de soluciones que
se obtienen al resolver la ecuación trigonomé-
trica:
sen 3x = 8 sen3x, si: x e (0; 2ti)
A) 1	B)8	C)3	D)9	E)5
A) 3	B)4	C)6	D)5	E)7
T19
192
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
iDITOtlI
42	.- Determine el número de soluciones que
se obtiene al resolver la ecuación
trigonométrica:
tan 3x + cot x = tan x + cot 3x, si: x e (71; 2n)
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
43	.- Resolver la ecuación trigonométrica
tan ^-xj + tan 2x = 2
y determine el número de soluciones compren-
didas en (0; 2n)
A) 3	B)5	C)6	D)4	E)7
44	.-Si: re ^0;
ción trigonométrica:
resolver la siguiente ecua-
(1 + cosx). covx= (1 + senx) . versx.
A)^ B) j C)| D)g E)§
45	.- Determine las soluciones en ( 0; 7t) de la
siguiente ecuación trigonométrica:
2 sen3x - -Jl sen2x = 2 sen x - -Jl
— Jít.471.5711
E)l2’T’T/
46	.- Resolver la ecuación:
. c i .	1371
tan 5x. tan 3x = tan ——
4
y determine la menor solución positiva.
A X	D X	/“'X	TXX 371	T7X 27T
A)12	B)6	C)16	D)T	E) 15
47	.- Determine las soluciones positivas y me-
nores de una vuelta de la ecuación:
(x/3 + 1) senx +(-Jl -1) cosx= V?
71.271	D 71.271	371.271
A) 6’ 5	B 16’15	C) 17’13
7t . 371	—. 71.371
D)12’T	E)6’4
48	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
sen 2x + cos2x - -1
y determine la menor solución positiva.
A)- B)j Qj D)*	E)^
49	.- Resolver la ecuación trigonométrica:
2	3	3
sen x(2 cos x + sen x) = sen x - cos x
y determine el cociente entre la mayor y menor
solución si xe [0; 2ti].
A) 3 B) 1/2	C)4 D) 1/3	E)5/2
SISTEMAS DE ECUACIONES
50	.- Resolver el sistema de ecuaciones:
71	z..
x+y=2	-(l)
sen x = sen y. . (2)
A)^-Ati	B)^+Ati	C)J-*7t
D)^-to	E)^-to
51	.- Resolver el sistema de ecuaciones:
n
x + y=-	...(1)
sen x + cos x — 1	... (2)
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
193
.	71	J	71	l~x\ 1 n	3 71
A)	y -kit ±2	D) j -kn ± y
... 7t	i	37l	1—X	7t —j Tt
B)	— + kn ±	E) ~n - 2kn ± -r
jo	Z	j
f 71
C)	J +kn ± ~
52	.- Resolver el sistema:
Tt
x-y=~	--(I) a
tan x = (2 + -J3 ) . tan y... (2)
A)T+G1) 6 + 3
B)^+(-l)k-f
QT+(1)k’6+¥
D)^+(-l)kJ+£
T7\	, z i TT n
n)5+(1) y + 2
53	.- Resolver el sistema:
3n
x-y=Y -(1)
3
tanx.cos_v= 2 ---(2)
Indica el conjunto solución de «y».
A)17t + (l)k( -|)	D)21rt+(-l)k(y)
B)21rt+(-l)k ( f)	E)317t+(l)k(y )
C)21rt+(-l)k(|)
54	.- Resolver el sistema:
x~>=2 ... (1)
1
sen x . sen y = y ... (2)
A)x = (l-l)J, y = (l+l)J
B)x = (311)y = (21+l)J
C)a = (213)^, y = (21-l)J
D)x = (41+3)y y = (41+l)J
E x =(41-3)	y = (41-l)J
55	.- Resolver el sistema:
x-y=y (0
senx
^=5 - <2)
e indique un conjunto solución de “y":
A) y = kn + are sen
Tt
2
B) y = kit + are cot
C) y = kn + are tan
—
\5l + 2
D) y = kn + are eos
E) y = kn + are tan
56	.- Resolver el sistema:
Tt
A-y=--...(l)
tan x + tan y = 2	... (2)
Indica el conjunto solución de «y».
a x 7t	rn 2171 n	r \ kn n
A) 4 ’ g	B) 5 '8	C)T'8
p\\	ti	p» kn ti
D) 5 - 8	E) 3 ' 8
T19
«Tr
RACSO
 DITOBLBB
194
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
57.- Determine un conjunto solución para “x”
del sistema:
2x-3j=~	...(1)
sen 3j. cos 2x =----- ... (2)
? +(Dk-5
2 o	o
B)	4 +16+(1) 12
q Á5 _ZL + r_nk 5
J 3 8 1	‘ 6
D) —- — +r_nk
u' 4 16 1	’ 6
kn n . ,.k 7t
E)T i+(-!) -j2
58	.- Resolver el sistema
7t
x + j=- ...(1)
sen x + sen y = 1... (2),
indicar un conjunto de solución para «x»:
A)2*7t+-j	C)3Ati-^
D)¿7t+^ E)fcrc-^
59	.- Resolver el sistema:
x-y= 3	-(I)
cosx 1
----= — - . (2)
cosy 2
Indicar el conjunto solución para «y».
A)2kn B)^ C)^ D)“ E)Ati
60	.- Resolver el sistema:
cos x + cos y = 1	- - - (2)
Da como respuesta el conjunto solución de «x».
A)j-2Ati B) J +2kn C) | +2kn
D) +2kn E) v +^kn
O	J
61	.- Resuelva e indique un conjunto de solu-
ción para “x” del sistema:
2n
x + y=~ ... (1)
cos 2x + cos 2y = 0... (2)
A)(1-1)J-^	D)(3¿+l)J-§
B)(21+1)J+^	E)(31+1)J-^
C)	(k+ 1) 4 - 12
62.- Determine los valores que puede tomar
“x”del sistema:
x+y = 2?t... (1)
2	2
sen x + sen y = 0 ... (2)
A)4Ati B)2to C)17t D)^ E)^p
63.- Dadas las siguientes ecuaciones, deter-
mine un conjunto solución para “x + y”:
Jó
sen x + sen y =	... (1)
J2
cosx + cosy —	... (2)
., 21:71	71	21:71	71	_. .	71
A) —+ - B) -Q*n+4
2tt	?7T
0)2*71+^	Ejtot-^y
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
195
64.- Determine un conjunto de solución para
“x” del sistema:
44,
sen x-cos y = 1	. . (1)
T	7
sen\x + cos“y =1	.	(2)
A)(2Jt+l)^	B)(Jt+l)g	C)(Jt-l)-y
D)(2A+l)y	E)(2¿-1)|
65.- Dado el sistema:
senx + seny=l ..(1)
4 cos x . cos y = 3 ... (2) ,
68.- Resolver el sistema:
tan x +cot y = 2 . . (1)
cot x + tan y = 2 ... (2) ,
e indicar un conjunto solución para “x”
D)fcrt+£
O


69.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
7t
x+2y=y
- (1)
determine la expresión general de arcos (x+y)
que verifican el sistema.
A)2Á7t±5	B)2¿7t±v	C)2Jbi±^
8	4	3
D)Z:7t±	E)te±J
66	.- Resoh er el sistema:
tanx+tany=l	---(1)
4
tan(x + y)=y	..(2),
indicar un conjunto solución para y.
A)	2Ati -are tan QJ B) kn + are tan j
C)	kn. -are tan j D) 2kn -are tan
E)	kn + are tan j
67	.- Resolver el sistema:
tanx + tany = 1 + -J3 ...(1)
cot x. tan y— J3 ... (2)
A)Ati-^	B)A7t+~r	C)
D)*7t + y	E)frt-y
cos x =---. sen v
2
-..(2) ,
n
tal que: 0 <y < —; determine: (x + y)
71	yj'l	71	71
A) - arc cos B) + are sen
71	V7
C)	+ are cos
tí
D) 2 + arc sen ^4
ít v7
E) - arc cos
70.- Si: x, ye (0;—) , resolver el sistema:
\ 2/
A-y=^--.(l)
tan ‘ x) = tan y... (2)
..	71	771	371	71
A)a“24;j-24	B)jr- 25 ;j-20
4tt	3tt	5tt 3ti
c)x-23’j“23	d)*~ 26 ’y~ 26
„	571	71
E)x- 24’^-24
feí RACSO
1DITO11I
T19
196
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
71.- En el siguiente sistema de ecuaciones,
determine la primera solución positiva dex.

sen2x + sen2y =	... (2)
A) | B) | C) | D) | E) |
72.- Dado el sistema de ecuaciones:
75.- Resolver el sistema:
1
senx.seny = ~ ...(1)
1
cosx. cosy = ~ ... (2),
si:xe	ye
\ 2/ z \ 2 /
. .	71	71
A)x = --;y= -
B)x- 5 ;y—5
x + y = 0...(l)
2	2
sen x + sen y = 1... (2),
, indique el valor de “x’
0	71	0	71
B) 2 + 4 C) 3 + 4
donde 6, x e
A)—-~
2 4
D) - - —
' 3 4
0 ti
C)x=6’>=6
ex TI 71
E)x = -3;y=3
—. TI 71
D)x= ;y=-
76.- Si:x,y e
resolver el sistema:
7	1
sen"y - sen x = —... (1)
73.- Si: x, ye (0;—), resolver el sistema:
\ 2 /
sen2x + sen2y = -J?. ...(1)
sen(x+y)=l ...(2)
Indica el valor de «y».
A) 4	B)5	C)3	D)8	E)6
1
2 cosy - sen x - ~ - - - (2)
A) x = 45°, y = 45° B)x= 30°,y = 60°
C)x=37o,y=53°	D)x=16°,y = 74<’
E)x=24<’,y = 66o
77.-Resol ver el sistema:
determinar “y” del si-
74.- Si x, ye
guiente sistema:
2
sen x. cosy = — ... (1)
3
eos x. sen y = ~ ... (2)
tanx. tan y = !...(!)
1
sen x. sen y = ~... (2)
n
determinar “y”, si: 0 < y < x < ~
a x	Dx Tt	71 Tt	71
A) 8	B)6	C)12 D)3	E)4
A \ ti
A) - - are sen
J3
5
B) ? + are sen
4
71
C) -¿7 + are sen
8
rx, 71
D) + are sen
78.- Si: x , y e
sistema e indicar
0;— , resolver el siguiente
L 2j	o „
como respuesta: “2x + y .
2
1-x 7t
E) 77 + are sen
o
3
sen x . eos 2y = a~ + 1 ... (1)
eos x . sen 2y = a ... (2)
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas

197
A)a=^;> = 0
B)x=-~-y= ¿
82.- En el siguiente sistema de ecuaciones:
C)x = O;y = -|
71
E)x = ^;y = O
71 7T
D)x-- 3 ,y —3
tanx V3 + 1
tany = ^3-1
7t
6 - (2).
79.- Si: x, y e ^0; y y, calcular el valor de “y”
en el siguiente sistt ma:
senx. sec y = 1... (1)
sen x. sen y = ^ ... (2),
. . 71	571	D 771	271	—.	71	571
A) 6	V 6	B) 9	v 9	C)	12 V 12
71 lt	„ 71	571
D> ¿ *4	E) 5 vjj
80.- Si: x, ye (0;7t/2), resolver el sistema:
2 sen x. sen y =	... (1)
J2
2 cosx. cosy =...(2)
a\ 71	71 nx 71	71
A)x=-,y=- B)x= g-,y= —
7T	71	i~\\	7C	71
C)*- 6 .y- 3	D)x— 3 ,y— 4
E)a- 12 .y- 6
81.-Si: x, ye ^0,^, resolver el sistema:
2senx+3tany = 4-»/3 ...(1)
6 sen x - tan y = 2 -J3 ... (2)
A)x= 37°. y=53° D)x= 30° , y=60°
B)x=60° . y=60° E)x= 30° , y = 74°
C)x= 45° , y=30°
7t
— <x + y<n, ¿a que es igual “xly”?
A)f B)2 C)2 d>2 E)f
83.- Si: x, y, z son ángulos positivos que perte-
necen al intervalo 0;^ ,determine:x+y+z,si:
2
sen x. sen y =	. (1)
sen y. sen z =	...(2)
sen x. sen z =	... (3)
A)145°	B)125° C)105° D)165° E)155‘
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
84.- Determine el conjunto solución de:
sen 6x < 5 sen 3x
.. /kn. 7t , 2A7t
h-4+t
B)xe
/ 3kn n. 2kn
C>xe \"5“’5+^
^7t. 37t kn
3’4	3
D)xe
JtaRACSO
W^BDITOBLBa
T19
198
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
85.- Determine el conjunto solución de:
sen 3x + sen 7x < 2 sen 5x
l2kit.it , 2¿7t\
A>xe \~’6+~/
¡kit. 71 , 5klt \
lklt.2lt , 2A:7t\
D^e\T’T+-5“/
¡2kit.it , 2¿7t\
E>xe \~T'5+~/
86	.- Resolver la inecuación trigonométrica:
4 sen2* + 2(^3 - ^2 ) sen*- -Jó >0,
si:xe (0;2ti)
¡it.3it\ /4it.5n\
A) x g y > 7 y u y 7 >7 y
fit.it\ /it.5it\
E)xe \4 ’2/° \3 ’ 3 /
¡it.3it\ /47t.57t\
c>*e U’TMT’T/
l2it.3rt\ /47t.67t\
D)xe^y,yyo ^-7-’—/
/27t.47t\	¡4it.5it\
E)xe^ 3 ’ 3/u \ 3 ’ 3 /
87	.- Resolver la inecuación trigonométrica:
2	2
sen 6x + 2 sen 3x > 2,
C)xe	21-21 .6’4.		71.571^ .2’12/
D)xe	21-21 .9’3.		571.27? .9’3j
			
E)xe	71 .71 .12’4.	u	571.77? .12’12/
88	.- Determinar el conjunto solución de:
|sen x + v/3 cos x| < 1
A)	((2¿-l)-^;(6¿-l)-£)
\	2	0/
B)	(^2k-l) -^;(3¿-l)
X 4	0/
D) ((2k\)~-,(6k + l)
E)((2¿-l)-f;(6¿+ !)--£)
\	o	iz/
89.- Resolver la inecuación trigonométrica:
2
eos x - 2 cos x < 0, si: x e [-271; 0]
A)xe	-27t; -3^\ 2/	u	1	1 0 1	
B)xe	o..- r71’!/	u1	22-2L1 C4’4J	
C)xe	f 371. 71 V 2 ’ 2.	VJ	__ 371* .	5 '	
D)xe	771. 371 .5’2	)c	7---.0 \ 2	
E)xe	771. 37?  5 ’' 2	i u	/ íi. \ 2’	3711 7 J
90.- Resolver la inecuación trigonométrica:
cos7x<cos 3x, si:xe (0;5
\
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
199
91	.- Determine el conjunto solución de:
2tt
eos 2.x-eos— <0
A)xe kit; ^?+A:7tl
L5 6 J
B)xe |jj+/c7t; kñ^
C)xe ^-kn;	+ kit]
D)xe	+
E)xe
92	.- Determine el conjunto solución de
sen3x
senx
cos3x
-----<2
cosx
A)xe	+	+ kn,+ kn)
B)xe {~kn;^ + kn\ {~kn;^ + kn\
\o 2	/ \Z 6	/
C)xG ^|-far;^+2far^tj	+ kn:,+ kn)
D)xe ^ + far;^ + far^tj	-kn;+ kn)
E)xg	+	^+far;^ + far^
93	.- Determine el conjunto solución de:
sen 3x. sen3x - eos 3x. cos3x >
A. kn n kn n 2kn n
a)T±3 B)t±z C)-g-±8
D)ta±^ E>ÍT±4
94	.- Determine el conjunto solución de:
2	1
sec x - 2tan x < —
4
A)xe {arctan±+kn;arctan^ + kn^
B)xe {are tan ~~kn; are tan-|+Á:7t^
C) xe {arecoti-kn;arecot^+kn)
D) xe {arccot^ + kn;arccut^ + kn)
E)xg {arecot^+kn;arecot— + fat^
95.- Determine el conjunto solución de:
tan^3x+^j > 1
A)xe + B)xg
o«e	D)xe «•&)
E)XG \^’6+Í2/
96.- Determine el conjunto solución de:
tan4x+8tan3x+2sec2x-8tanx- 1 <Q
Aire /2L + kn.5n 3fat\
A)XG \12+ 2’12+ 5 /
RACSO
 DITOlll
T19
200
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
D, - ¡ n .kn 5it . kn\
B)aG fe+T’T8+T/
Q__ / it kn _n . kn\
xG \20 2 ’4+ 2 /
n> _ / ti , kn.Sn . kn\
D)XG \24 + T’24+T/
5fct.5ít fat\
E)XG \24"ÍT’24+T/
97	.- Resolver la inecuación trigonométrica:
cosx+cotx
--------<0. si:xG<0;27t)
cscx
A)xe	- {27t}
C>« (M)-if I
D)XG
E)xe(X&)-|f)
98	.- Resolver la inecuación trigonométrica:
/ TC\
cot2x + tanx<2,si:xG v’^/’
99	.- Determine los posible valores de	para
que la función:
/(*) = r 1 9	.
^|senx|- - |x|
se encuentre definida, sixG [-7t; 7t]
A)xg (-$;0)u(0;f)
B)xg
C)XG
D)xg (-4po)
E)xg H’-t)
100	.- Determine los posibles valores de “x”
para que la función:
/ (x) = sen x - sen 2x + sen 3x sea siempre
positiva, si x G (0; 7t)

E)«
101.- Si:
f (x) = |sen x| y g(x) = 1 + cos x ;
en donde: x G (0; 27t), entonces, ¿ para qué
valores de “x” se verifica:
/(x)>g(x)?
A)xg	/n.37t' \3’ 2¡	\ - {7t| B)xG I	37t\ _{71j \2 2/	1
C)xG	ln.5n\ \3’ 3 1	> -{f }D)XG	\T 47'
E)xg	ln.9n\ \4'~5/		
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
201
102.- Resolver la inecuación trigonométricas:
sen2x + cos2x<0,si:xG [0;7t]
A)xG
n. 5n\
6’ 6/
B)xg
n.4n\
>3’ 7/
QxG
7C.57r\
3’ 6/
D)xg (g. g
E)xg \ 9’12j
I03.-Resolver la inecuación trigonométrica e
indicar la afirmación conecta:
cos 2x - 2 sen'
>0;si: xG [0;27t]

»«(^)
IV) xG {271}
106.- Resolver la inecuación trigonométrica e
indicar la afirmación correcta:
2	7
sen x + cos~2x> 1,xg fO;7t]
10xG{0;7t}
IB)xg[p^
A)IIyIII B) lyll C) IIIyIV
D) Ninguna E) Todas menos II
A)SóloI B)IyII C) IIIyIV
D) Ninguna	E) Todas menos II
104.-Si: xG ( 0; 27t), resolver la inecuación
trigonométrica e indicar la afirmación correcta:
4 sen2x + 2(^/3 - 1). sen x - -J3 < 0
l)xe
!">« [$;*)
A)I, IlylV
D) Ninguna
107.- Resolver la inecuación trigonométrica e
indicar el intervalo solución;
cos	j - sen (ti/2 - x) > 0. si: xG ( 27t; 47t)
/5n.7n\ fin. llitX /77t.I5rt\
A) \ 2 ’ 2 / B) \T’T/ C) \ 2 ’ 4 /
__/Stt.IItA _. /?7t. 15ti\
D)\T’~r/ e*\T’^7
108.- Resolver la inecuación trigonométrica:
sen4x> cos4x, si xG [-27t; -7t]
IV) XG 2rt)
B) lyll C) IIIyIV
E) Todas menos II
105.- Resolver la inecuación trigonométrica:
sen 2x + cos 2x + sen x - cos x < 1,
/ 7?t. 5ti\
E)*e VT"4/
si:xG‘/— - —\
\4 4/
109.-Si: x G (0,?) resolver la inecuación
\ 2/
trigonométrica e indicar el intervalo solución:
3	3	5
cos x . cos 3x - sen x. sen3x < ~,
O
T19
202
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Jt.2jt\ / 7t . 5n\	„ /n.3n\
5’9/	1;\12’12/ '“'\5’7/
«(H)
110.- Resolver la inecuación trigonométrica:
113.- Si: x G (0; 2ti), resolver la inecuación
trigonométrica e indicar la afirmación correcta:
(sen x+eos x-
111.- Resolver la inecuación trigonométrica:
	|sen^| <|cosx|, si:xG (-7t;27t)	
	/ 71 . 711	I /37T.77t\
A) XG	\ 3’3j	) \T’T/
	/	7t\	/5n.3n\
B) XG	\ 9/	u \ 6 ’ 2 /
C) XG	/ \ 3’3^	
D) XG	\ 3)	1 O	2ti^
	f Tt \	/5ti .9ti\
E)xG <	¿ 6/ 1	J \ 3 ’ 5 /
III)xG
1I)XG (ojj)
!V)xg(^;^)
A)SóloI B) lyll C) IIIyIV
D) Ninguna
E) Todas menos III
114.- Si: x G [0; 27t], resolver la siguiente
inecuación trigonométrica:
sen(3x) - cos(3x) + 2
Jlsenx-l
A)xG
C)xG
E)xG
B)xg
D)xg
n. 3n\
4’ 4 /
Tt. 3ti\
4’ 4 /
(W)
115.- Si: x G (0; 27t), resolver la inecuación
trigonométrica e indica el intervalo que define
el conjunto solución:
sen3x—-J5
cos2x+3cosx+2
112.- Si: x G (0;^), resolver la inecuación
\ 4 /
trigonométrica e indica el intervalo que define
el conjunto solución:
sen(2nx) - cos(2tix) > 0,
A)^;27t) - {ti}
C)(f^)-{7t}
E)
/3n.7n\ ,
B)\ 5 ’ 5 / I71!
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
203
116.- Indique el intervalo solución de la si-
guiente inecuación trigonométrica:
sen3x
------— < 0, si: x G [0; 2n]
l-cos2x
A) < n; 2n> B) < 7t; 2n> C) (y;
117	.- Resolver la inecuación trigonométrica e
indicare! intervalo solución:
|tanx|> l,si:xG (0;7t)
A|«[H]-{?| B)xe {*}
118	.- Si: x G ( 0; 7t), resolver la inecuación
trigonométrica e indica el intervalo que define
el conjunto solución:
tan2x-(.j3 + l).tanx +	<0
A)(M)
D>{W

119	.- Si: xe ( 0; 27t), al resolver la inecuación
trigonométrica, se afirma que:
7	7
(tanx- 1) (tan x-3)<0,
A)SóloI B) II y IV QinylV
D) Ninguna E) Todas menos IV
120	.- Si: x G , resolver la inecuación
trigonométrica e indica el intervalo que define
el conjunto solución:
tan3x
---+l<0
tanx
A) (0;t)
d>M

121	.- Resolver la inecuación trigonométrica:
tan > 1 -cotx,si:xG <0;n)
A)»e - {|} B|lf (0;n>- {f}
Qxe - {f} D)xe {*.%) - {|}
B)- (i?) |1}
122	.- Al resolver la inecuación trigonométrica:
cot(j-x) -tan2x>0,si:xG (0;n)
se afirma que:
I)xe(0;j)	njxe^n)
HI)xg
III) xg (y;2”)
>V)« fcí)
Son verdaderas:
Son verdaderas:
A) Sólo I	B) lyll
D) Ninguna	E) Todas
C) inyiv
T19
204
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^RACSO
123	.- Al resolver la inecuación trigonométrica:
5 71
tanx + cotx<tan	,sí:xg (0;27t)
se afirma que:
I)xG<0;7t) II)xG^;27tJ Iü)x€(f;rt)
Son verdaderas:
A)lyll B) SoloII C) I y III
D) Ninguna E) Todas
A)xG
r57t.ii7ti
rii7t.i37fi
E)xG g ' y J
127.- Resolver la inecuación trigonométrica:
1 + tan x < 4 cos~x, si: x G (0; 27t)
e indicar la afirmación correcta:

124.- Al resolver la inecuación trigonométrica:
JJ sec2x- (Jó+2) .secjr+2j2 <0,
si: x e (0; 2ti), se afirma que:
I)xG<0;7t)
III)xG ;2n)
IV) XG (o; -5}
Son verdaderas:
”>«(? 5)
A)SóloI B) lyll C) IIIyIV
D) Ninguna E) Todas menos I
128.- Si: x G (0; 2ti), al resolver la inecuación
trigonométrica, se afirma que:
A)IyII
D) Ninguna
B) Todas
E) lylll
C) lyll
-> 1
tan“x---
___________3
Jó — senx + 2cosx
<0
125.- Resolver la inecuación trigonométrica,
e indicar el conjunto solución:
2	2**
sec x - esc x >-~, si: x e. <0; tt)
versAx
I)xG ^i^;27t]
IIDxg|o;|)
Son verdaderas:
">'<= (?•?)
A)SóloI B) II y IV C) Eli y III
D) Ninguna	E) Todas menos II
129.- Si: x G [0; 27t], resolver la inecuación
trigonométrica e indicar el intervalo solución:
secx + cosx< 0, si: x G [0.; 27t]
126.- Resolver la inecuación trigonométrica:
/ 37t
senx. tanx+cosx< 2 , si:xg (—;27t
\ 2

D>(0;í)
Ecuaciones e Enecuaciones Trigonométricas
T19
205
En este capítulo desarrollaremos la capacidad de resolver triángulos, pero no desde el
punto de vista geométrico, si no mas bien utilizando las propiedades trigonométricas que estas
poseen. La razón de este tratamiento se debe a que existen muchas situaciones problemicas
que se solucionan con menos complejidad aplicando las definiciones trigonométricas, lo cual
nos invita a descubrir y establecer nuevos teoremas para nuevos campos de aplicación. Es
bastante conocida la aplicación del teorema de senos o ley de senos, así como también el
teorema de cosenos o ley de cosenos para triángulos, es a partir de estos teoremas y con la
ayuda de los temas anteriormente vistos como: identidades trigonométricas, transfomiaciones
trigonométricas,... etc, se deducen nuevas relaciones de gran importancia, los que nos permitirán
resolver no solamente triángulos si no, en general, todo tipo de polígonos planos.
Sea el triángulo ABC, donde:
A, B, C: medida de los ángulos intemos del triángulo ABC.
a, b, c: longitudes de los lados del triángulo ABC.
2p: perímetro del triángulo ABC. 2p = a + b + c
p-, semiperímetro
a + b + c
P =
R: circunradio del triángulo ABC	r. inradio del triángulo ABC ra: exradio relativo al lado a
rb: exradio relativo a! lado b
r' exradio relativo al lado c
20.1. LEY DE SENOS (TEOREMA DE SENOS)________________
En todo triángulo ABC se verifica que «sus lados son directamente proporcionales a los
senos de sus respectivos ángulos opuestos y la constante de proporcionalidad es igual al
diámetro de la circunferencia que circunscribe a dicho triángulo».
T20
2061 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
a _ b _ c
sen A sen B sen C
. .	« b c
o bien ------, - - -----¡g- =----= 2R
sen A sen B sen C
De donde: a = 2R sen A A b = 2R sen B A c = 2R sen C
20.2. LEY DE COSENOS (TEOREMA DE COSENOS)
En todo triángulo se cumple: “El cuadrado de uno de los lados es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del
producto de éstos multiplicado por el coseno del ángulo opuesto al
primeriado”.
a2 =b2 +c2 - 2bc. eos A
b2 = a2 + c2 - 2ac. eos B
c2 = a2 + b2 - 2ab. eos C
De donde:
.2	2	2
___._ b + c - a
eos A =------------
2 be
2	2.2
cosB= c -	-
2ac
2ab
eos C =
2
20.3. LEY DE PROYECCIONES (TEOREMA DE LAS PROYECCIONES)
En todo triángulo se cumple que: “Uno de los lados es igual
a la suma de las proyecciones de los otros dos respet to al primer
lado”
a = b eos C + c eos B
b = a eos C + c eos B
c = a eos B + b eos A
20.4. LEY DE TANGENTES (TEOREMAS DE TANGENTES)___________
En todo triángulo se cumple que: “La diferencia de dos de los lados es a su suma, como
la tangente de la semidiferenc ia de sus respectivos ángulos opuestos es a la tangente de la
semisuma de los mismos”
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
20.5.	R.T. DE LOS SEMIANGULOS
scn|| =
seny
C
sen 2 =
Kp-b)(p-c) V	be	cosf = i	Ip(p-a) V be	tany=i	l(p-b)(p-c) y p(p-a)
Kp-aXp-c) V	ac	c°s^ = 1	Ip(p-b) J ac	tanl’=^	Kp-a)(p-c) | p(p-b)
l(p-aXp-b)	c	Ip(p-c)	tan^=, 2 1	l(p-a)(p-b)
V	ab	2 1	V ab		y p(p-c)
20.6.	SEMIPERÍMETRO (p), INRADIO (r) Y EXRADIO (1?)
A B C
p = 4 R cos "2 cos £ «os y
. _ A B C
r = 4 R sen sen y sen y
. „ A B C
ra = 4 R sen eos eos
. D B A C
= 4 R sen ^' cos ^ eos
C A B
rc = 4 R sen eos cos-^
De estas relaciones se deducen los inradios:
ra=ptany
r = (p - á) tan y
, B
rb=ptan 2
r = (p - b) tan %
„ C
rc =ptany
r = (p-c)tany
20.7.	MEDIANA DE UN TRIANGULO ABC
4 m* 2 * 4 = b2 + c2 + 2 be cos A
2	2	2
4 wib = a + c +2 ac cos B
4 mi?; = a2 + b2 + 2 ab cos C
20.8. BISECTRIZ INTERIOR DE UN TRIANGULO
T20
20.9. BISECTRIZ EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO
. _ 2 be „ A
“ |b-c| Se 2
 2ac
rb = TTT7
senf
20.10. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
c be .
S = “2" sen A
S = sen C
S = 2R2 sen A sen B sen C
_ _ abe
4R
S = Jp(p - a)(p - fc)(p- c)
9 A R C
S = r cot „ cot “ cot^y
L L
2. A. B. C
S=p tan tan -y tan
L L
S =p(p-a)tan
S = p(p - fc) tan
S =p(p-c~) tan y
S=ra(p-a)
S=rb(p-fc)
S = rc (p - c)
_ 2ab
। • sen _
S = “ sen B
S = 7^a^bAcR sen 45"
Siendo: «S» Área de la región triangular
20.11.	ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
_ (AC)(BD)
S = -——- sen a
4 C __ , B + D ______ .
2	— 9 v 2	—
Si:
=> S = ^(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd cos2<|>
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
T20
209
20.12.	PARA CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES
Si se cumple que:
A + C=180° ó B + D = 180° => <> = 90°
Luego:
S =	- aXp-b)(p-c)(p-d)
En este tipo de cuadriláteros se cumple que:
«El producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de sus lados opuestos», así:
(AC) (BD) = ac + bd (Teorema de Ptolomeo)
20.13.	PARA CUADRILÁTEROS CIRCUNSCRIPTIBLES
Se cumple el Teorema de Pitot:
a + c — b+d
=> p = a+c 6 p = b + d
Luego: S = -Jabcd sen $
20.14.	PARA CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES Y CIRCUNSCRIPTIBLES
Para éstos cuadriláteros = 90°, y se llaman
Bicéntricos. Luego:
S = -Jabcd
Siendo: «S» Área de la región cuadrangular
'.4RACSO
IfiDlTDlll
T20
210
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PROB. 1
a) Las medidas de los tres lados.
Se tiene un triángulo ABC, en el que su lado
mayor es el doble del menor, y su menor
ángulo es la tercera parte del mayor.
a)	Calcular la medida de los tres ángulos del
triángulo ABC.
b)	¿Qué clase de triángulo es?
b) El valor del coseno del mayor ángulo.
c)	El área de la región triangular.
d) La medida del inradio
e) La medida del circunradio.
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Elaboramos una gráfica:
C
2a
3a
(n + 1)
Por ley de senos:
(n + 1) _ n-1
sen2a sena
serra
B
Apliquemos la ley de senos:
a _ 2a
sena sen3a
" + l = n-l => cosa =
2cosa
Pero por ley de cosenos:
"	f*)
2(n-l) J
sen 3a = 2 sen a
(n - l)2 = (n+1)2 +(n)2 - 2 (n+1) (n) cosa
=> sena (2cos2a +1) = 2sena
2cos2a +1=2	=> 2cos2a = 1
2n(n+l)cos a = (n+1)2 - (n -l)2 + n2
2n(n+ l)cos a = 4n + n2 ...(**)
cos2a = 1/2
a = 30*
Reemplazando (*) en (**), tendremos:
Luego:
a) A = 60°; B = 30°y C = 90°
^(n + OJí7P0 =4n+n2
b) El triángulo es rectángulo.
<n + l)2
(n-1)
(n + 1)2 t ..
fcü =(n+4)
PROB. 2
Los lados de un triangulo son números
enteros y consecutivos. Si su mayor ángulo es
el doble del menor, determine:
(n+1)2 = (ñ + 4) (n -1)
n2 + 2n + l=n2 + 3n-4 => n = 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
T20
211
Luego el triángulo es así:
RESOLUCIÓN

a)a = 5;b = 6;c = 4
b) (6)2 = (4)2 + (5)2 - 2 (4)(5) cos B
40 cos B = 16+25-36
=> 40 cos B = 5
cos B = 1/8
c) Cálculo del área (S)
Aplicando la ley de senos (la proporcio-
nalidad en dos triángulos que tienen los
mismos lados).
m m
s = 7p(p - o)ÍP - ¿>Xp - c) ÍP =
sen 2a _ sen 5a
sena	sen 2a
2senacosa _ sen5a
sena	sen2a
=> 2 sen 2a cos a = sen 5a
/15 5 3 7
Y 2 2'2'2
Transformando a sumas el primer miembro:
sen 3a + sen a = sen 5a
=>	sen a = sen 5a - sen 3a
Transformando a producto el 2do. miembro
sena = 2cos 4a sena => 1 = 2cos 4a
cos 4a = 1/2 => 4a = 60°
a = 15°
d) Se sabe que: S = p r
e) Se sabe que: S = ~¡^
PROB. 4
AI resolver el siguiente triángulo donde AM
es mediana; el ángulox es:
15 = 5 + 6 + 4
4	4/?
=> 15R = 5x6x4
=> 15R=15x8
PROB. 3
A partir de la figura que se muestra, calcule la
medida del ángtho a.
BMC
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JDITD1II
R = 8
m
n
RESOLUCIÓN
sen 15°
senx
En el AABM aplicamos el Teorema de los
Senos:
Igualando (1) y (II), tendremos:
sen30°	_ sen!5°
sen(45°+x) ~ senx
sen(45 + x) _ sen30'
senx ~ senl5*
Desarrollando el sen de (45° + x) y
efectuando como sigue, deducimos:
m =n
sen 30°	sen(135°-x)
J2 /cosx + senx) _ [
2 \ senx I I 4
m _ sen 30°
n sen(45°+x)
-CO
=> cot x +1 = -J3 + 1
AAMC: aplicamos el Teorema de los Senos:
Finalmente:
cot x = J3
m _ n
senl5° — senx
De donde:
x = 30°
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Cuando en un triángulo se conocen sus tres lados y se desea calcular sus
ángulos, se aplica ley de cosenos.
2)	En un triángulo cuando se conoce la relación de lados y ángulos, se aplica la
ley de senos.
3)	Si se tienen dos triángulos de lados iguales, los senos de sus respectivos ángulos
son proporcionales.
4)	En cualquier triángulo, tanto sus lados, perímetro, inradio; área, se expresan
en función del circunradio y los ángulos. Así:
a = 2R senA ; b = 2R senB ; c = 2R senC
¿r,	A	B C p = 4K cos ~2 eos eos	r = 4Rsen-y	B sen7	C sen T
at} A	B	C ra= 4Ksen-^ eos eos -j	ZD B rb= 4R sen ^2	A cos~2	C COSJ-
C A C rb = 4K sen-? cos~2 cos ~2	S = 2R2 sen A	sen B	sen C
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Enunciados de Problemas
con Resolución
LEY DE SENOS
OI.- En un AABC se cumple:
BC = a , AC = b . AB = c;
a senA
calcula:	M = ~ -----—
b senB
B>T
3	4
D)<	E)|
05.- En un AABC se cumple:
BC = a , AC = b y AB = c,
reducir: M = «Z?c.sen C.ícot A + cot B)
A) ab B) ac C) c3 D) ¿>3 E) fi3
A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
02.- En la figura mostrada determine el valor
deje:
06.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b,
AB = c, reducir:
Z?senB — csenC
M=---------------
2o.sen(B—C)
A) 1/2 B) 1	C)2 D) 1/3 E) 1/4
07.- En un AABC. se cumple: BC = a. AC = b,
AB = c, mZB - m ZC = 96° y b + c = a -Jl ,
determinar: m ZA.
.. 1	1 rJ	I
D) are sen E) •arc cos
A) 30°	B)37° C)60°	D)45° E)53°
03.- Dos de los ángulos interiores de un trián-
gulo miden 26 y 66 los lados opuestos miden
4 y 8 respectivamente, determine el valor de 6
A) 12° B) 14° C) 15° D)26°	E)30°
04.- De la figura mostrada, determine el valor
08.- En un AABC, de lados: BC = a, AC = Z? y
AB = c, reducir.
ZtcosB + c.cosC
M= cos(B-C)
A) Z? B) c C) a+b D) a E) a-b
09.- En un A ABC, se cumple que: BC = 26,
AC = 36 y m Z A = 37°. Determine “ cos 2B”.
JX	XL	81
100	.50 M 50
nx J1	r-' 19
D) 100	E) 100
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-a TACSO
vp BDITOHI
10	.- Dado un triángulo ABC, si el ángulo “B”
es el triple del ángulo “C” y AB = 5, AC = 7,
determine: “ eos 2C”
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
11	.- ¿En qué tipo de triángulo ABC, de lados
BC — a, AC - b, AB = c, se cumple que:
a b c
	=	 =---- ?
cosA------------------------------cosB-cosC
A) 15° B)18° C) 13°	D)20“	E)1(F
16	.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b y
AB = c, reducir:
M = (a - b) sen C + (b - c) sen A + (c - a) sen B
A)-l B) 1	C)0	D)2	E)-2
LEY DE COSENOS
A) isósceles
C) obtusángulo
B) rectángulo
D) acutángulo
E) equilátero
17.- En un A ABC se cumple: AC = 2 -Js , AB =
3	y mZ A = 60°, determine el lado BC.
A)j35 B)>/7 C)J19 D)J17 E)VH
12	.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b,
AB = c y además:
eos A cosB cosC c
a + b + c ~ a.b '
determine la medida del ángulo C.
A) 45° B)37° C)6(r D)53° E)90°
13	.- En un AABC se cumple BC = a, AC = b,
AB = c, reducir:
senA + senB c—a
senB+senC b+c
A) 1 B) 1/2 C)2 D) 1/3 E)3
14	.- En un AABC, se cumple: BC = a. AC = b,
AB = c y además R. tan A. tan B . tan C =2,
donde R es el circunradio, determine:
M = a.sec A+ ¿.sec B + c.sec C
18	.- En un A ABC se cumple AB = eos 30,
AC = eos 0 y m ZA = 40, determine BC.
A) sen 0 B) sen 20 C) sen 40
D) sen 30 E) sen 50
19	.- En un AABC de lados a, b, ye se cumple:
3a = 7c y 3¿ = 8c, determine la medida del án-
gulo A.
A) 30° B)45°	C)80° D) 120° E)60°
20	.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b,
2	7	7	2
AB = c y además: a -b~-c~= ~ be, determine
A
el valor de tan —.
A) 1	B)2	C)3 D)V3 E)>/2
A) 1/2 B)5	C)2	D)4 E) 1/4
15	.- De la figura mostrada determine el valor
de “6”, siAB = CD
21.- En un AABC se cumple:
BC = a,AC = ¿,AB = c
y además:	3( a2 - ¿>2 - c2 ) — 2bc,
2 A
determine:	eos ~
A) 1/3 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
T20
215
22.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b,
lab
AC = c, además: (a + b + c)(a+ b-c)= ——,
determine el valor de: “cos C”
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/6 E) 1/8
A) 45° B)60? C)90° D) 120° E) 135°
29.- Los lados en un triángulo son 3 números
consecutivos y el ángulo mayor es el doble
del menor, determinar el perímetro de dicho
triángulo.
23.- En un AABC, se cumple: AC = fc, BC = a,
AB = c, determinar: M = a(b cos C - c cos B),
en términos de los lados “£>” y “c”
7	7	7
A) be	B)2b~	C)c~-b¿
D) fc2 + c2 E) fc2 - c“
24	.- Determine el mayor ángulo de un triángu-
lo cuyos lados son proporcionales a 7,8 y 13.
A) 60? B)105° C) 150°	D)90° E) 120?
25	.- De la figura mostrada, determine el valor
de“x”.
A) 9	B)12	C)18 D) 15 E)21
30	.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = ¿>,
zí	zf /—
AB = c y a . cos I 2 I + cos I 2 1 ~	’
determine el perímetro de dicho triángulo
A) >/2
C) V5
B) V5
D)2>/2	E)2V3
LEY DE TANGENTES
31	.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b,
A B 1
AB = c además: tan ~ 1 y tan ~ ~ , deter-
mine el valor de: M =---~
a + b
A) 3/5 B)9/25	C)4/5 D) 16/25 E)9/16
A) 2	B)1	C)3	D)4	E)04
32	.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b.
26.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b,
AB — c y se cumple que: a + b = J?. c, deter-
minar el valor de “ 1 + cos C”
A)
be
le2
B)^-
ab
C) —
ac
f A + B
AB = c, a = 4¿> además: tan I I +
í A —B'l	C
tanl 2	I =8, determine el valor de: cot
A) 3	B)5	C)7 D) 1	E)2
d)¿
2ab
E) —
ac
33	.- En un A ABC se cumple BC = a, AC = b,
AB = c, además: b = Se. Reducir:
27.- En un A ABC se conocen: BC = 8, AC = 7
y m Z_ B = 60°, determine el valor de: cot C.
A)5/ll B)ll/5 Qll/3 D)3/ll E)ll
28.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b,
AD	J -	4 . t4 . 4 o 2,,Z . 2.
AB - c y ademas: a + b + c =2a {b + c ),
determinar la medida del ángulo A.
A)-1/3 B) 1/4 C)l/2 D)l/5 E) 1/7
if^RACSO
WBDtTOIBI
T20
216
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
34.- En un AABC se cumple: BC = a, AC = b,
AB = c y además: b . cot B = (2c - b) cot A,
determine:
M =
A)2	B)3	C)5	D)7	E)4
40.- En un A ABC acutángulo se cumple:
BC-a , AC = b , AB = c ;
simplificar:
A)	1	B)2 C) D) V5 E) Vi
M = ¿c.Vl+cos 2A 4- ac. Vi + cos 2B + ab.
35.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b,
AB = c, m ZC = 60° y a = 3b, determinar:
71 + cos2C
A) V2 (a2 - ¿>2 + c2)
r~ 7	7	7
D) V3 (a~ + b~ - c )
tan(A- B).
A)V2	B)2-j2
D)3V2	E)4V3
C)3VS
B)	V2 (a2 + ¿>2 + c2)
C)	V3 (a + b~ + c~)
E) -J3 (cZ + b2 + c")
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
LEY DE PROYECCIONES
36	.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b,
AB = c, reducir:
í a—c.cosB A
M =-------;---- . sec C
l b I
A) 1	B)2	C)0,5	D)3 E) 1/3
37	.- En un AABC, de lados BC = a, AC = b y
AB=c, reducir:
a—c.cosB
c-fl.cosB
.secC
M =
A) sec B B) sec C C) csc A
41	.- En un AABC se cumple: los ángulos inte-
riores de dicho triángulo son proporcionales a
los números 1,2,3 y la diferencia de longitudes
entre el lado mayor y el lado menor es “21:”,
determine el área de la región triangular ABC.
A) k2
D) V3 .k2
B) V> .k2
E)2V2 Jl2
C)2.-<]3 J?
42	.- En un AABC se cumple: el área (S) de
dicha región triangular es 90 -J3 cm~ y los se-
nos de los ángulos A, B, C son proporciona-
les a los números 5; 7; 8, determine la medida
del ángulo B.
D) csc B E) sen A
A) 60° B)3CT C)90°	D)45°	E)12(F
38	.- En un AABC, se cumple: BC = a, AC = b y
AB = c, reducir:
c.cos( A + C) + Acos( A + B)
M=---------------------------
a
A)-l B)l C)05	D)-04 E)0
39	.- En un AABC, Se cumple BC = a, AC = b,
AB = c y además: a~ + b~ + c" = 10, calcular:
M = be. cos A + ac . cos B + ab cos C
43	.- En un A ABC se cumple: los lados son
tres números impares consecutivos y uno de
sus ángulos mide 120°, determine el área de la
región triangular en p .
A) -y u2
R, -J3 2
B)~4~u
~ 15V3 2
E)—
3-J3 2
O-5-«
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
no
217
44	.- En un AABC se cumple:
4S = (p-«)(p-fc) + p . (p- c)
donde S es el área de la región triangular ABC
y p es el semiperímetro, determine la medida
del ángulo C.
A) 60° ó 120°	C) 20° ó 160° B)45°ó 135°
D)90°	E) 30° ó 170°
45	.- En un AABC se cumple:
C
4S.tan ~2 =tib,
donde S es el área de la región triangular ABC,
C
determinar el valor de: tan .
A)2	B)3+V3	C)2-V2
D)2-V3	E)2+ -J3
46	.- En un AABC, calcule:
7 2 7
W = a~b c~.sen A sen B sen C
en términos del área (S) de la región triangular
ABC.
A)S3 B)2S3 Q4S3 D)8S3 E)04S3
47	.- En un AABC, calcule:
f 1	1 IV
W = —r4";—1------en términos del
l ab be ac j
circunradio (R) y el inradio (r), donde a, b, y c
son los lados de dicho triángulo.
A)2R.r	B)Rr
D)3Rr	E)0,2R.r
C)0,5Rr
48	.- En un AABC, se cumple la longitud del
>Í3
circunradio (R) es 13 -y an y la media
geométrica de sus lados a, b y c es 2 V5T,
determine el área de la región triangular.
A) 7-J3 en? B) 14en? C) 16 ^3 en?
0)12^3 en? E)lóV2 ctrT
49	.- En un AABC; calcule:
_	«2	b2	c2
W =-------+-------+-----..,
tan A	tan B	tan C
en términos de los lados a, b y c de dicho trián-
gulo si además el circunradio (R) mide 1 cm
A) abe B)a C)b D)c E)a+¿+c
50	.- En un AABC, calcule:
(b2 — <?2).senB.senC
W =----------——tt-----. en términos del área
2sen(B-C)
(S)	de la región triangular ABC.
A)0,5S B)2S C)3S D)4S E)S
51	.- En un AABC, calcule:
W = 2S(cot B + cot C) ,
en términos del lado “a”, donde S es el área de
la región triangular ABC.
A) 2a2	B)3a2 C)4a D)a2 E)6a2
52	.- En un AABC se cumple:
S = a eos A + b eos B+c. eos C,
donde S es el área de la región triangular ABC,
determine el circunradio (R) respecto a dicho
triángulo.
A)04	B)1	C)14	D)2	E)24
53	.- En un AABC se cumple:
2
a eos A + b eos B+c. eos C = — ,
R.
donde R es el circunradio, determine el área de
la región triangular en p".
T20
218
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^RACSO
A) 0,5 B)0¿5	C)3	D)2 E)l/C
54	.- En un AABC, calcule:
A	B	B	C	A	C
tan—.tan— + tan—.tan— + tan—.tan—
2	2	2	2	2	2
W-	ABC
tan—.tan—.tan—
2	2	2
si el perímetro es igual a cuatro veces el radio
de la circunferencia inscrita a dicho triángulo.
A) 2 B) 1 C) 1,5 D)2,5	E)3
55	.- En un AABC se cumple: S = p . (p - a),
donde es el área de la región triangular ABC y
p es el semiperímctro de dicho triángulo, de-
termine la medida del ángulo A.
A) 60° B)45° C)75° D)30°	E)90°
56	.- En un AABC se cumple: a sen B + b sen A=c,
donde a,byc son las longitudes de los lados
de dicho triángulo, dcterm ne la longitud del
lado “c" en función del área (S) de la región
triangular ABC.
A)2-^	B)>/S	C)0.5>/S
D)3-Js E)4«Js
57	.-En un AABC, calcule:
a. sec A + AsecB
W=---------------- ,
csc2A.csc2B
en términos del área (S) de la región triangular
ABC y el circunradio (R).
A)t B)^ C)“íf D)r E)5R
58.- En un AABC los ángulos de dicho trián-
gulo miden
ti 2n 4n
— , ~ y — asimismo el
circunradio mide 4 m, determine el área de la
región triangular.
A)V7/n2	6)2^7 w2	m2
V)0¿Jín2	E)4-/7m2
59	.- En un AABC se cumple:
a2.cot A + b~. cot B + c2. cot C = 4,
donde a.b, y c son las longitudes de los lados
de dicho triángulo, determine el área de la re-
gión triangular.
A)2	B)4	C)5	D)3	E)1
60	.- En un AABC se cumple:
3
cot A + cot B — 1 ; cos C = — ;
el circunradio R = 10 m, determine el área de la
región triangular en ABC.
A)16w2	B)32m2	C)128»i2
D)64w2	E)68»i2
61	.- En un A ABC se cumple: las cotangentes
de sus ángulos interiores son proporcionales
a 3.5,7 y dicho triángulo está inscrito en una
circunferencia cuya región circular tiene un
área de 90 n cm', determinar el área de la re-
gión triangular ABC.
..13	^213
A) 16	B)j7 Q 16
D) V71 en 2 E) -JTl en2
62.- En un A ABC, calcule:
ABC
W = tan~ . tany . tan — ,
en términos del semiperímctro p y el área S de
la región triangular ABC.
A)S.p	B)S.p2	C)2S.p
D)S. p'2	E)S.p"’
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
T20
219
63.- En un AABC, calcule:
,,, a+b + c
w =-----A----B	C ’
cot^.cot’cot-^
2	2	2
en términos del inradio (r)
A)0> B)r C) l,5r D)2r E)2,5r
1	2	2	3	1
A)7 B)y C)^- D)y E)
68.- En un AABC. calcule:
(tan2 ~ +tan2 B +tan2 j.S2
W (fcc)2.sen4~+(nc)2.sen4 B+(ch)2.sen4^ ’
64	.- En un AABC se cumple:
ABC	r—
cot—+cot —+cot—= ky el inradio r= -J3 p,
determine el área de la región triangular ABC
enp2.
A)2A B)3Ap2 C)k D)4k E)0,5Á
65	.- En un AABC se cumple:
b+ c = 2a, donde a, b, c son las medidas de los
lados de dicho triángulo, determine el área de
la región triangular ABC en términos del lado
“a" y la medida de su ángulo opuesto A, res-
pecto a dicho lado.
2	2	o 2
a)t * A) B) t C)~
3fl2 A p., 3c2 A
D)—7—.cot-^-	E) —.tan-^
o z	Z z
66	.- En un AABC se cumple:
4A-2
V rb + rb- rc + ra- rc= k>G- dondera.
rb, rc son las longitudes de los radios de las
circunferencias exinscritas y r el inradio, de-
termine el área de la región triangular ABC.
A) 0,5* B)* C)2* D)3* E)2,5*
67	.- En un AABC, calcule:
términos del inradio (r).
donde S es el área de la región triangular.
A) 1	B)l,5	C)2	D)2,5	I¿)3
69.- En un AABC, se cumple:
el lado BC es igual a 2 -Jl cm, las mediatrices
de los lados AB y AC son PS y SM , deter-
mine el área de la región triangular PSM en
términos de los ángulos A, B, y C.
A) senB
' cosA cosB
m senA
' cosB.cosC
cosB.cosC
1 cosA
cos(B-C)
' senA
cosB.cosC
E) senA
70.- En un AABC, calcule: W = —a , ~,
2bc
donde ra, rb , rQ son las longitudes de los ra-
dios de las circunferencias exinscritas y r el
inradio respecto a dicho triángulo.
A) 2	B)l/3 C)3 D) 1/2	E)4
71.- En un AABC se cumple:
(rbraXr|-ra) = 2rbrc’
donde ra, rb y rc son las longitudes de los ra-
dios de las circunferencias exinscritas, deter-
mine que tipo de triángulo es:
A) acutángulo	B) rectángulo
C) equilátero	D) isósceles
E) escaleno
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
.4 kacso
WfDITCtll
72.- En un AABC, calcule:
ra -r it, -r
W =-------+ —, donde r„ rh son las longi-
a b	a n
tudes de los radios de las circunferencias
exinscritas y r la longitud del inradio; además
rc = 2 cm ye = 4 cm.
A)0,5 B)2	C)1	D)3 EJO.25
73.- En un AABC, calcule:
r - rb + 2R
W = ---------- en términos de alguna razón
2K
trigonométrica, si res el inradio, rb es el exradio
y R el circunradio.
A) eos B B) eos C C) eos A
D) sen A	E) sen B
LÍNEAS NOTABLES
74.- En un AABC, calcule:
2	2	2
ma + mb+mc
W = —5—tí-----5~ , donde zn„, mh, zn_ son las
a¿ + b¿ + c¿	abe
longitudes de las medianas de dicho triángulo.
A) 3/4 B)4/3 C)l/2 D)2/3 E)3/2
75	.- En un AABC se cumple: el lado mayor y
menor miden 26 cm y 10 cm, además sus ángu-
los están en progresión aritmética, determine
una de las medianas de dichp triángulo.
A) 14 cm	B) 14,09 cm	C) 15 cm
D) 15,09 cm E) 16,09 an
76	.- En un AABC se cumple:
2sen-2 =	-
determine la longitud de la mediana relativo al
lado “o” (ma) en términos de los lados “b” y “c”.
77	.- En un AABC se cumple:
la longitud de la mediana relativa al lado “a”
es media proporcional entre las longitudes de
2 A
los lados “í>” y “c”, determine W = sen	en
función de los lados de dicho triángulo
A) be	+
be
} 2bc
D)^Sr"
4bc
E)^Í
J 4cb
78	.- En un AABC se cumple:
2	3
R .sen A + 2S.cos A = sen A ,
donde S es el área de la región triangular ABC
y R es el circunradio, determine la longitud de
la mediana relativa (ma) al lado “a”.
A)0,5 B) 1	C)l,5	D)2 E) V2
79	.- En un AABC se cumple:
1 A 1 A
Icosy + seny = 13,
donde k y q son las longitudes de la bisectriz
interior y exterior respectivamente del ángulo
A, determine el lado “c” si b > c.
A) 1	B)3	C)5	D)7	E)9
80	.- En un AABC se cumple:
... ! Al B 1 C
W=I.c°sy + 9.cos 2 +;cos2 •
en términos de los lados a, b y c de dicho
triángulo, si k, q, t son las longitudes de las
bisectrices interiores para sus respectivos
ángulos A, B, y C.
«x 1	1
A)«+Z>
B)-+-
' a c
C) 1 + -
b c
A) b + c B) b - c C) 2bc
V)2-Jbc E)-Jbc
^111
E>«+F + e
.. a + b + c
J abe
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
T2P
221
81	.- En un AABC se cumple: la bisectriz ex-
terior relativa al lado “c” mide J2 + 1 cm,m
Z A - m Z_ B = 45°, determine el valor de la
bisectriz interior relativa al mismo lado en cm.
A)0,5 B)2	C)1 D) 1,5	E)3
82	.- En un AABC se cumple: la medida del án-
gulo A es 60° y la longitud de la bisectriz inte-
rior (Va) es media proporcional entre los seg-
mentos que determina sobre el lado BC, deter-
mine la medida de los ángulos B y C.
A) 100° y 20°	B)90°y30° QlKFylO0
D) 108°y 120° E) 105°y 15°
83.- En un AABC, calcule:
2	2
W = 2R. r sen A + r . esc A + r . cot A ,
en términos del área (S) de la región triangular
ABC, donde Res el circunradio y res el inradio
respecto a dicho triángulo.
A)2S B)0^S C)3S D)2,5S E)S
84	.- En un AABC, calcule:
abc.ra	R 5
W= S.(p-fe)(p-c) ’ s,: 7 = 2
y además a, b, c son las longitudes de los
lados, ra es la longitud del exradio y S es el
área de la región triangular.
A) 10	B)20	C)15	D)8	E)4
85	.- En un AABC, calcule:
W = p[r.cot A + ra.cot B] - a.ra.cot B,
en términos de la longitud del lado “c”, donde
p es el semiperímctro r la longitud del inradio
y ra es la longitud del exradio.
2
A) 4c2 B)3c2 C)2,5c2 D)c2 E)
86	.- En un AABC, calcule:
A „
r. cot ^7 = 2a,
a z
donde ra es el exradio, determine el valor de:
r
esc A - —
a
A) sen A B) cos A C) tan A
D) sec A E) cot A
87	.- En un AABC se cumple:
rb = 3r, donde rb es exradio y r es el inradio,
determine cuál es la relación entre los lados
a,b y c de dicho triángulo.
A)a + fe = 2c B')a + c — 2b C)b-c—2a
D)a-b = 2c E)b + c = 2a
88	.- En un AABC, calcule:
[A CT
tan -y + tan y ,
en términos de las longitudes de los lados de
dicho triángulo, donde rb es la longitud del ex-
radio respecto al lado b.
A) a B)£> C)c D)2a E)2í>
89	.- En un A ABC, calcule:
w= ra(rb + rc)cscA
'b-0'a + rc)
donde ra, rb , rc son las longitudes de los ra-
dios de las circunferencias exinscritas.
A) sec B B) esc C C) sen C
D) esc B E) esc A
CUADRILATEROS
90.- Sea ABCD un cuadrilátero, O el punto de
intersección de las diagonales AC y BD. Si las
áreas de las regiones triangulares AOB , BOC
RACSO
DITOIII
T20
222
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
2
y COD son 1,2 y 4 m respectivamente, deter-
mine el área de la región triangular AOD.
A) l»i2 B)3m2 C)2m D)4m2 E)5m2
91.- En un cuadrilátero ABCD se cumple: AB
= lu, AC =20 u y AD=25 u. Si AD es diámetro
de la circunferencia, determine la medida del
ladoBC.
A) 10 B)12 C)18	D)20 E)15
A
tan~ =
2
(p-a)(p-d)
(p-fc)(p-c)
97.- Si en un cuadrilátero inscriptible ABCD
de lados AB = a, BC = b, CD = c y AD = d, se
cumple:
a + c = b + d, determine el valor de:
•Jabcd
M =	—r
(ab + oc)sen A
92.- Los lados de un cuadrilátero inscriptible
son 3,5,6 y 8 cm, determine: “29 sen a”, sien-
do “a” el menor ángulo agudo que forman las
diagonales.
A) 13 B)13a/5 C)75 D)6 E)6^
A) 1/2	B)2	C)1 D) 1/4	E)4
98.- Se tiene un cuadrilátero circunscriptible
ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c y AD =
d, demostrar que:
93	.- Los lados de un cuadrilátero circuns-
criptible ABCD miden AB = 12 u, BC = 25 u y
CD=52 u, determine cos (A + C) sabiendo que
el área de la región cuadrangular es 650 m2.
5	5	7	7	9
A) 13 B)Í3	C)Í8	D) 18	E) 13
94	.- Se tiene un cuadrilátero inscriptible de
a = 1, b = 2, c = 3 y d = 4, determine el coseno
del ángulo formado por los menores lados.
A) 3/5 B)-3/5 C)5/79 D)3/ll E)-5/7
95	.- Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD
de lados AB = sen 0, CD = tan 0, BC = cos 0 y
AD = cot 0, determine el área de dicha región
cuadrangular.
.— B	D
í/fe.sen — = dcd sen —
2	2
99	.- Si ABCD es un cuadrilátero circunscrip-
tible que cumple AB = a, BC = b, CD— dy AD
= d, demostrar que:
B D ÍB+D]
S = afe.sen— .csc — .sen z ,donde
\	J
S es el área de la región cuadrangular.
100	.- En un paralelogramo se cumple
la medida de sus diagonales son 2a y 2b y la
medida de uno de sus ángulos agudos es “a”,
determine el área de dicho paralelogramo, si
a >b.
A)V2u2
B)x5 u
D)4-J2m2
A) ab B) ab cos a C) ab sen a
D) ab tan a	E) (a2 + b2). tan a
96.- Se tiene un cuadrilátero inscriptible ABCD
de lados AB = a, BC = b, CD = c y AD = d,
demostrar que:
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
deja Trigonometría
CAP
21

21.1.	DEFINICIÓN_______________________________________________________
C = {(x ;y)/z = x + iy ; x,y e R ; i = J-i }
Donde: Re(z) = x: parte real del complejo z
lm(z) = y: parte imaginaria del complejo z.
i = unidad imaginaria que satisface la propiedad.
í2 = (o; 1) (0; 1) = (-1 ; 0) v i2 = -1
z = x-iy: conjugando de z, y que verifica la propiedad: z. z . = x2 + y2
21.2.	REPRESENTACIÓN POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO fXl
Si: z = x + iy = (x; y), puede representarse como un vector en el plano complejo (o plano
de Gaüss).
Del gráfico se observa que:
. —2
|z| = |x + iy| = -Jx +y : módulo del complejoz
x = r eos 6; y = r sen 0, luego:
z = r (eos 0 + i sen 0)
Representación polar de z (z * 0)
y/k Im(z) (eje imaginario)
r: módulo o magnitud de z
0 = argumento de z (Arg z)
0 < Arg z < 2n v -ti < Arg z < n
0 = arg z = Arg z + 2kn ;kez
La representación polar o trigonométrica se suele denotar así:
eos 0 + i sen 0 = cis 0
T21
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿1RACSO
21.3.	REPRESENTACIÓN EXPONENCIAL DEL COMPLEJO z
z =re
¡e
21.4.	EXPONENCIAL COMPLEJA____________________________
ez = ex + iy = ex(cosy + i seny)
Está notación conduce a:	c,y = cosy + i seny ; |c,y | = 1
21.5.	TEOREMA DE DEMOIVRÉ
(cos 6 + i sen 6)n = cos nO + i sen n6 ; n e Z
Fórmulas de Euler
senz =
cosz =
De Moivre fue francés de nacimiento. Al trasladarse a Inglaterra, hizo
amistad con Nevvton y con Halley, y se dedicó a dar clases particula-
res de matemáticas. En 1697 fue elegido miembro de la Royal Society,
y poco después de las Academias de París y Berlín. Su trabajo tuvo
gran importancia en el desarrollo de las matemáticas actuales y en la
aplicación del recién creado Cálculo Infinitesimal y el .Cálculo de
Probabilidades. A pesar de su reconocido talento nunca pudo ingre-
sara la cátedra universitaria. Su obra titulada Miscellanea analytica es
importante tanto para la teoría de las probabilidades como para la
Trigonometría, proponiendo su conocido teorema:
(cos 6 +sen6)r = cosnO +ísenn6
Y asi mismo propuso:
,	2Art±O , . 2Art±O
(cosB±sen0)n = COS------ ± /.sen-----
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
225
PROB. 1
Dado el complejo z/z = x + iy
2	2
sen + eos z =
4
Demuestre que:
a) sen2z + cos2z = I
4(eizXeizJ = 1
2	2
sen + eos z =
4
2	2
sen z + eos z = 1
b) sen 2z = 2 sen z eos z
c) sen 3z = 3 sen z - 4 sen3z
b)
sen 2z =
Í2z
e -e
2i
RESOLUCIÓN
sen 2z =
(efZ)2-(e ,z)2
Si: z = x + iy, podemos expresar en la forma
polar y forma exponencial respectivamente.
z = r(cos 6 + i sen 6) ; z = re®
sen 2z =
2/
g ¡Z	—¡ZIZ	—ÍZ "x
(e +e )(e -e )
2/
Puesto que: z = r(cos G - i sen G) ; z = re®
sen 2z =
De donde:
iz -iz
e -e
2i
e__
2
—iz
(2)
z + z = 2reos6 a z + z = r(e,e+ e',e)
sen 2z = (sen z) (eos z) (2)
osea: 2rcosG = r(e® +
sen 2z = 2 sen z eos z
e¡& -íe
eos G = ——
c)
e3fz-e-3fz _ (eíz)3-(e fz)3
sendz- 2/
2i
En forma análoga se deduce que:
fe'z-t
sen3z=
<e -<()
senG= —
2i
„ e'z-e lz
sen 3z =---%---
Luego: sen z =
;cosz =
x2
2	2
sen + eos z =
2	2
a) sen + eos z =
iz
e -e
2i
iz -iz
e -e
2i
sen 3z =
sen 3z =
e'z -e~'z
2i
etz -é
2i
|(e'z-e,z)2+ 31
iz -iz
e —e
2i
2
(2í)2 +3
T21
226 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
sen 3z =
e ¿	[(senz)2(-4) + 3)
Z] + z2 = 2
, T — /9 Co'7^4 Z>^41
2
sen 3z = (sen z) (3 - 4 sen z)
sen 3z = 3 sen z - 4 sen z
PROB. 2
Sean los complejos:
Zj = 1 + i a z2 = -Jz e"”174, calcule:
a)zt + z2 b)Z]-z2
C) Z, . z2
d) Zj/z2	e) z2 + z3
RESOLUCIÓN

Primeramente expresemos Zj a z2 en sus
formas cartesianas y exponencial.
2| = l+z => z.= JZeM
z2 =	=> z2 = 1-í
a)	Para sumar o restar complejos es conve-
niente que deben estar expresados en su
forma cartesiana o binómica, luego:
zx + z2 = (1 + 0 + (1 - í) => Z] + z2 = 2
b)	z1 - z2 = (1 + i) + (1 - 0 => z1 - z2 = 2i
Sin embargo también pueden estar
expresados en su forma exponencial, así:
Z] - z2 = JZ (sen n/4)(2z)
z, - z2= J2(J2/2)(2D
Z] - z2 = (20
c)	z1.z2 = (l+í)(l-í)
2
2r z2 = 1_f'
z ।. ^2 ~ 2	•
z1.z2 = (j2e";4)(j2e^/4)
Z].z2 = 2
2
j-\	_ I 14~f í 14~f	0
°JZ2 - [1-f	“ U/2
zi = l + f2+2f = 0+2/
z2	2	2
z2
=
z2	J2e~in/4
— = cos + i sen = 0 + i
z2 2	2
=f
z2
e)z?.z3 =(1 +02.(1-03
¿-z23 =(1 +02(l-02(l-0
¿Z¡ = [(1 +O(1-O12(1-O
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
T21
227
z\.zl =(1-í2)2(1-0 = 4(1-0
o también: z1 = J2 e^4 => z2 = 2e"t/2
z2=j2e™ => z¿s=2V2e'-w4
Multiplicado: z2. zf = 4j2 e™2.^™4
z2.z23=4j2e^4
Z]-z3 = 4j2 [cos(-n/4) + i sen(-n/4)]
Z2.Z23 = 4J2	= 4(1 -o
03.- Resolver: cosx = 2
RESOLUCIÓN
De hecho esta es una ecuación que no
pertenece al campo de los números reales,
puesto que en dicho campo se cumple que:
-1 <cosx< 1
Luego, la validez de la ecuación dada se
encuentra en el campo de los números
complejos ademas se sabe que:
iz . -iz	iz -iz
cos z = ——— a sen z = ———
2	2i
Luego: e‘* tf" = 2 => eix + éix = 4
(e/jr)2+ 1 = 4(í 'x) => (e“)2- 4(e“) +1=0
=> (e“J2- 4(e/x) + 1+4 = 4 => (e"- 2)2 = 3
=* eix - 2 = ± V3 => e“ = 2 ±
ix = Ln(2 ± -J3 )=> x = -i Ln (2 ± -J3 )
Es decir: xj = -i Ln (2 + J3 )
x2 = -i Ln (2 - J3 )
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	Para realizar sumas de números complejos, éstos deben estar expresados en su
forma cartesiana.
2)	Para realizar productos o divisiones de números complejos, estos deben estar
expresados en su forma exponencial.
3)	Si se realizan potencias de números complejos, éstos deben estar expresados en
su forma exponencial.
4)	Para demostrar cualquier identidad trigonométrica la teoría de los números
complejos es una nueva vía para su ejecución.
5)	Toda ecuación trigonométrica que no está en el campo de los reales, es
solucionado por complejos, teniendo en cuenta las relaciones siguientes:
¡6	-i0	te
G_ e +e	. o _ e -e
— ----ñ---- a sen ti — ------
z	zi
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WlDITOlEI
Enunciados de Problemas
con Resolución
FORMA POLAR
01.- Determine el valor de:
arg(Z) , si: 71 < arg(Z) < —
A)1
B)2	C)3	D)4	E)5
02.- Si;Z = 1 + i yfj , determine el valor de Z6.
A>T B)^ C)f D)f E)^
06.-Sean: 7l-2 + i a Z2 = 3 + i.
determine: Z,.Z2 en su forma Polar.
A) 62	B)70	C)64	D)68	E)65
03.- Sea el número complejo:
Z =
6 + V2
2
6-V2
2
determine: M = —• (- -Ji . 7? + 8Z4)
64
A) 5 V3 .cis ?
4
i—	71
B)3<2.cis~
4
D)5j2.cis~
E)2 JI.cis^
A)5	B)4	C)3	D)2	E)1
Li I t-* 	|Ct
07.- Si se cumple: ----— = e , determine:
a-bt
“tan a”
04.- Dada las condiciones:
J3.Z.Z			
Z+Z	= -l		(1)
	71	71	
Z = cos 20 + i sen 20 ;	4 <«<	: 2 ’	-(2)
determine el valor de “0”.
A) 4^ crlr	7- 2 crb	rx 5ab J a2-b2
8o6	2íz¿	
2 r2 a -b	R 2 >2 a -b	
FORMA EXPONENCIAL
* x	yxx 17t	f	i ^7t	i?x	7tl
A)4~	B)^-	C)-^	D)-g-	•)	12
08.- Determine el mayor valor de la expresión:
M =
f
05.- Sea: Z. = i 
1 + J3f
1-V3Í
7
determine:
Re(Z3 + Z2 + Z) +1
2cos0
-	10
si: Z = e
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
T21
229
09.- Sea el número complejo:
Z = eos 5" - i sen 5" ,
determine: M ~ -4= (Z"7 + Z 27)
•J2
A)-l B)2	C)-2 D) 1	E)3
10.- Reducir: Z =
VI 3n . 3n 1 e 8 sen— +icos— (8	8 )
+ £1
A) 1/2 B) 1/3	C)1 D) 1/4	E)2
11.-Si se cumple:
Z = 2sen0 + 2-?3 cos0-4ísen(o-^j,
determine: |Z|.
A) 1	B)3	C)4	D)2	E)5
12.- Sea el número complejo: Z = e'21B (1 - e8l°).
1
15	.-Sea: Z+ — = 2 eos 0, determine:
M=fz4- -Mi
l Z4 J
A) -2 sen 40 B) -2 sen 20 C) -3 eos 40
D) sen 40	E) -4 sen 20
16	.- ¿Cuál será el número complejo en forma
exponencial que al multiplicar a (i - 1 )4 dé
otro número complejo tal que su módulo sea 4
y el argumento 180°.
A) | .í ‘2rJ3 B) 4 .e1”73 C) | .ei7t/3
D) ± .e'"73 E) 4 .í’ir23
17	.-Sea:
(sen3x + icos 3x) +(icos x-senx) n
cosjc + cos3jt
Re(Z) determine: M = _	. Ini(Z)
A) -tan 30 B) tan 20	C) -tan 50
D) tan 30 E) -tan 20
z —10	1 \  13.- Sea: W = —	- , - n < 0 < 0, determi- 0
ne: |W|
.4	0	0	0 _ 2	0
A) g .sen	B) 2 ’sen 2	0 'CSC 2
2	0	^2	0
D) g .tan 2	E) g .sen
14.- Si se cumple:
í -•o	„12	?0 . „
1 2cos~2 4-tsenO 1 =Mcos-2 cisO,
determine del valor de “M”:
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
a G ^0;	. determine: |Z|
A) cscnjr	B) secnjr	C) tan*jc
D) sen”*	E) cosnjr
18	.- Sea:	Z = sen 82" + i eos 82°,
15	1
determine:	W = Z +	+ 1
A)0 B) 1	C)2	D)3	E)4
19	.- Simplificar:
_ [y3(cos31<’+lscn3l°)|'<.[V5(cosl2"+lsenl2")|s
M	[VTSícosir+isenll0)]3
A)-l	0-1-4
c>-h4 «-í
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
AIracso
SpiDiioaifl
20	.- Sea: M =--------- + 1, determine la
parte real de M.
A)-1/2	B)l/2 C) 1/3 D)-l/3	E)2
21	.- Resolver la ecuación:
|e"e- 1| = 2,0<0<27t
A)7t/2 B)27t Q37t D)n E)ti/3
22	.- Sea el número complejo:
Z = sen x - i cos jr,
71
— <x <71, determine: «rg(Z +1)
c>f-f
D)f+J E)f-j
eM + 2eao 7*1 Qm-7-	+ 1	j	-	f
zJ.-bea .Z- ¡2G	|0 e -Le	1 , determine la par-
te imaginaria de Z.	
T	A A) -2 cos~0. cot	D) -2 cot~0. eos ®
A B) l cos~0. cot	n E) 2 cos 0. cot
C) -2 cos 0. cos B	
24.- Si se cumple:	
(1 + cos 0+isenO)2	
	- b cos 0. determine el
cos 0 +isenO	
valor de: “2a + b".	
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
25.- Si se verifica:
2 + Jí + i=(-Ja + iÍB )cis 0, A> B. determi-
ne el valor de:	; (0 < 6 < n/2)
A) 2/n B)4/7t	C)5/7t	D)9/7t E)7/n
26	.- Sea: Z = cos 20 + i sen 20, determine el
equivalente de:
A) 5
fi+zY
M = I j y I + cot“0
B)4	C)3	D)2 EJO
senO + icosO
27	- Sea: Z=----—;----- .determine: rzref-Z)
senO-tcosO	°
A) 30 B)-50 C)-20	D)-20	E)-70
28	.-Sea: Z= sen20 + icos20 y 0 g (0;7t/2),
determine el módulo de (Z + 1)
A)cos(^-e)	D)2cos^-0
B)2csc(j-o]	E)3cos(^-ej
C) 2 cos -o)
29	.- Si se cumple: t’a+lb —	+ i,
determine el valor de
A)//i2	B)//í4 C) -/n2 D)/«3 E) -/n3
30	.- Sea el número complejo:
l+cos 20—i sen 20
z = ;----tót7—™ n < G < 371/2,
1-eos 20+1 sen 20
determine: |Z|
A) esc 0 B) tan 0 C) cot 0
D)sen 0 E)cos 0
31	.- Si: W = e,Z y Z = re16, determine: |W|
A. rsen-0	r sen 26	-r^ cos 26
A) e	B) e	C) e
rseii6	-r.senZG
D)e	E)e
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
32.-Sea: W = e(iZ)2,
donde: Z= J5 e° , 6 = are tan ~.
Determine: |W|
A) e2 B) e’3	C) e5	D) e	E) e3
33.- Sea:
, . e	o
l + isen—+ cos—	q
9	o	37t
Z= g	g . — <0<27t ,
1	+ isen--cos—
2	2
determine: |Z|
Ajeos®	B)cot®	C)cot®
n. 6	T7X 6
DJesCg	EJseny
34.-Simplificar:
36.- Si se cumple que:
cos(4a + p) —tsen(4a + p)
cos 2a—isen2a
cos(4a+p) + tsen(4a+p)
cos 2a + isen2a
determine: “A + B”
= A.cos(Ba+p),
A)5	B)4	C)3	D)2	E)1
37.- Si se cumple:
(l + ei2e)4
^¡46
determine:
= A + B cos 26 + C.cos 46,
M =
B-C
A
A) 5	B)4	C)3	D)2	E)1
38.- Sea: Z =
l+^e + ei4e + fi6e
e120 + l
,6<6<
7t
4 ’
A)M = csc6 ; Be <0;Tt72>
B)M = cot6 ; Be (0;7t/6>
C)M = csc6 ; Be <6;n/9>
D)M = cos6	Be <B;7t/4>
E)M = csc6 ; Be <B;7t/5)
sen46-ícos46
35.-Sea: Z=--------——:----— ,
sen46+icos46
determine: |Z|
A) 5 cos 36 B) 4 cos 46 C) 2 csc 36
D) 2 cos 26 E) 3 cot 26
Uc" 3x)
39.- Sea: Z = i(_6x)—-, determine la parte
real de Z.
si:	arg(Z)=^,
determine el valor de “6”.
A)^ b>Ít C)íb D)ii E>f
A)-1/2	B)-l/4 C)-l D)-5/2 E) 1
REGIONES SOMBREADAS
40.- Determine el área de la región R del plano
complejo definido por:
R= |ze C/Z. Z < 1 /\0<arg(Z)< y |
A) y «2 B) y u2 C) u2
D) f «2 E) u-
< ACSO
wp KDITOBLBB
T21
232
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
41	.- Determine el área de la región sombreada
R, definida por:
R=|zeC/|Z|€[2;4]Aar?(Z?)e 0;^l
9	7	7	71 7	37T t
A)2w“ B)7tw‘C)27nr D) y w* E)
42	.- Determine el área de la región sombreada
por:
R={Ze C/l <|Z|<2,0<org(Z3)<37t}
.. 5n 2
A) u
2
B) ~2 11
2
C) -y w
... 3n 2	6íi 2
D) y w E) y u
43	.- ¿A qué conjuntos de números complejos
corresponde la región sombreada R.?
, Im(Z)
A)	|Zg C/]Z|<2<2,	<arg(Z)<7t|
B)	|zg C/|Z+2|<2, y <arg(Z)<3y |
C)	|zg C/|Z + 2|<2,-| <arg(Z)<y |
D)	|zgC/|Z + 4|<2, y <arg(Z)<y |
E)	|zg C/|Z + 2|<2, y <arg(Z)<7t|
44	.- Determine el área de la región R del plano
complejo definido por:
R={Zg C/(Z+1)(Z + 1)<1 a 2 ji <arg
(iZ2)<37tJ
45	.- Determine el área de la región triangular
potencial cuyos vértices son las raíces cúbicas
del número complejo:
Z = 4-j2 +Í.4-J2
A)2V3 u~
B) 3 V3 u~	C) V3 u~
D)-2w2	E)2y¡2u2
46	.- Determine el área de la región sombreada
de la región:
R= (Ze C/¡Re(Z)| + |bn(Z)| < 1}
A)9m2 B)6m2 C)4«2 D)2m2	E)3h2
47	.- Determine el área de la región triangular
cuyos vértices son:
Zj = 2e‘,íl/3 , Z2 = 4e'"76 , Z3 = eml2;
ubicados en el plano complejo.
A)(7 + 2V3)w2	D)y(7+2V3)w2
B) |(2V3 +5)u	E)|“2
C)y(2 + 7V3)«2
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
22.1. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS_________________________
22.1 A Teorema de la función intermedia o teorema del sandwich
Si las funciones f, g y h están definidas en
algún intervalo abierto 1, donde está contenido el
número c, excepto posiblemente el c mismo, y que:
f(x)<g(x)<h(x) V xe 1, para lo cual x^c, entonces:
Si:
entonces:
lím f(x) = lím h (x) = l,
X >C	x—>c
lím g(x) = l
22.IB Límites Trigonométricos Fundamentales
lím senx
x->0 x
De donde:
22.1C Teorema
lím I™* = 1
x>0 x
lím arc senx = 1
x»0 X
lím arctan^ = ,
x >0 X
Vxe R diferente de cero, se verifica:
I.
senpx
Zún —-— =p
x-»0 x
II.
tanpx
x = P
x—>0	x
22.ID Propiedades
1. lím |Z(x) + g(x)] = lím f(x) + lím g(x)
x—>a	x^>a	x^>a
II. lím |í(x) . g(x)] = lím fM - lím gW
x^>a	x—>a	x—>a
III. lím
x—>a
f(x)
sM
lím f(x)
f . ; s(x)/0
hm g(x) *
x-»a
IV. lím c = c, siendo «c» una constante
x-»a
V. lím |f(x)]n
x—>a
-n
lím f(x) ; V n e Z+
x-»a
VI. lím = ni lím f{x) \Vn^Z+;(n>2)
x—>a	Vx^a
RACSO
WiDiroiBi
T22
234
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Las propiedades V y VI tienen la condición de que si n es par, lím f (x) > 0
x—>a
22.1	E El número e
Sean las funciones fyg cuyas reglas de correspondencias son:
f(x) = (1 + x),/x a g(x) = (1 + l/x)x
Para que fyg estén definidas en el campo de las reales, las bases de dichas potencias
deben ser positivas y diferentes de la unidad, es decir:
1+x>0a x # 0	;	1 + 1/x > 0 a x * 0
Bajo estas condiciones los dominios de fyg serán:
Df = (—1; 0> u (0;+~)	; Dg = (-~;-l) u (0;+~)
Y sus correspondientes gráficas son:
x-»0
Luego podemos afirmar que:
lím (l+l/x)x =e
El número e es irracional, y su valor aproximado es: e = 2,7182
22.2.	DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS________________________
Observemos la gráfica de la función f, asimismo observemos la recta tangente (T) trazada
por el punto A(x ; f (x)).
De la figura se observa que:
tanp=
n
Si hacemos que h tienda a cero
(f? —> 0), en el límite ocurre lo
siguiente:
,	f(x + h')-f(x')
tana= hrri —------¿
h-+o h
Límites y Derivadas Trigonométricas
Si éste existe, diremos que lím	es ]a derivada déla función f (x) respecto
h-»0 n
a x,y se denota como f '(x) , es decir:
Si:y = f(x)
f(x) = lím
h >0	n
Nota.- La derivada de una función es otra función, siempre que la función sea derivable.
La interpretación geométrica de la derivada es que
su valor coincide con el valor de la pendiente de la recta
tangente en un punto de una curva. En la gráfica, si f(x)
es la función y T es la recta tangente en el punto (c;f(c)),
cuya pendiente es mT en dicho lugar, se verificará que:
mT = f’(c)
22.2A Teorema
Si una función fes diferenciable en c, entonces fes continua en c.
Nota: Las funciones f (x) = sen x a g(x) = eos x, son continuas V x e R
22.2B Teoremas
y = f(x) (función)	f'(x) (derivada)
f (x) = c	f(x) = 0; V c constante
f (x) = xn	f’(x) = nxn'1 ; Vx e Racionales
f(x) = c.g(x)	f’(x) = c.g’ (x); V c constante
f (x) = u(x).v(x)	f’(x) = u’(x) +
f(x) =u(x).u(x)	f’(x) = u'.v + v’.u
=	;»W*o	
f(x)=ex	f’(x) = ex
f(x) =Lnx	f’(x) = 1/x
^RACSO
WlCITOlM
T22
236
Problemas de Trigonometría y < otro resolverlos
22.2C Derivada de las funciones trigono-
métricas
22.2D Derivada de las funciones trigono-
métricas inversas
y=fj(x)	y’ = f.f(x)
ffy) = senx	f’(x) = cosx
f (x) = cosx	f’(x) — -senx
f(x) = tanx	f’(x) = sec2x
f (x) = cotx	f’(x) = -csc2x
f(x) = secx	f’(x) = secx tanx
f (x) = cscx	f’(x) = -cscx cotx
f (x) = arcf.tfx)	f’M
f (x) = arc sen (x) f (x) = árceos (x) f (x) = arc tan (x) f(x) = arc cot (x) f(x) = arc sec (x) • f(x) = arc csc (x)	rbí)-^ rw- 1 + x2 f’(x)	*== |x| Vx2- 1 f(x) =	*= |x| -Vx2- 1
22.2E Teorema 1
Si f es una función inyectiva y diferenciable, y f * es su correspondiente función inversa,
entonces f* será diferenciable, siempre que f no tome el valor de cero, y se verificará que:
1

22.2F Teorema 2
Sig es diferenciable enx, y fes diferenciable eng(x), la composición (f og) es diferenciable
enx, entonces se verifica:
-g(x)
22.2G Teorema 3
Si fes una función diferenciable de u, y u es una función diferenciable en x, tenemos que:
4-	~
«X	«U	«X
Límites y Derivadas Trigonométricas
22.3.	REGLA DE LA CADENA PARA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Sea f(x) = f ./n(u(x)) una función derivable, entonces se verifica que:
f’Cx) = n f.tn,(u(xJ) . f.t ’(u(x)) -
Según esta regla se tendrá que:
(sen ti)'	COS ILU’
(cos ti)'	-sen u.u'
(tanu)’	sec2u.u’
(cot u)’	-csc2u.u’
(sec tí)’	secu.tanu.u’
(cscu)’	-csc u.cot u.u’
(arc sen ti)’	1 Vl -u2 U
(arc cos tí)’	- —* -tz* Vl-U2
(arc tan u)’	1 t u2 U
(arc cot tí)'	
(arc sec u)’	—!	-12' |u|^u2-l
(arc csc ti)’	—!	u’ |uHu2-1
22.4.	LA DIFERENCIAL
Según la figura, para «ñ» muy pequeño (f? —> 0) se puede afirmar que:
f(_x + tí) - l\x) = h.f ’(*•)
Nota. La expresión f (x + h) - f (x) recibe el nombre de incremento o variación de f
desde x hasta (x + tí), y se denota por A f:
&f=f(x + tí)-f(x)
T22
238
P oblemos de Trigonometría y cómo resolverlos
A* "IACSO
El producto h. f (x) se denomina diferencial en x con incremento h y se denota por df.
df=hf (x)
También se suele denotar h = A x, luego: A f = f(x + A x) - f(x) ; df = f' (x)A x
Cuando t>x es muy pequeño (Ax = 0), A fy de df son aproximadamente iguales t±f ~ df.
f(x + Ax) = f(x) + f(x) Ax
S22.4. REGLA DE L’ HOSPITAL£E]
0 00
Se aplica para determinar límites, siempre y cuando éstos sean de las formas q ; ~
llamadas formas indeterminadas.
x" gM X™ g'W x‘2 g"(x)
22.5.	MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN________________
Sea f una función cuya gráfica es como la que se muestra, observándose que:
En A, B, C, D, E, F y G las pendiente son nulas,
es decir f = 0
En B, D y F hay máximos
En A, C, E y G hay mínimos
En B y D los máximos son relativos
En F el máximo es absoluto
En A, C y E los mínimos son relativos
En G el mínimo es absoluto
22.6.	FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Teorema: Si fes una función derivable en {a ; b), entonces la función fes estrictamente
creciente en (a; b), si:
Límites y Derivadas Trigonométricos
Calcule el límite de:
RESOLUCIÓN
c) lím
x-»0
b) lím
x-»0
x,, sen3x
a) lim —-—
sen rx
l-cos2x
,3
= lim
x-»0
_ 4 lím
x—>0
Cuando se tienen límites de la forma 77 ; — ;
U 00
“0a0.“; también se puedenaplicar derivadas
sucesivas (regla de L’Hospithal). Veamos:
= 4 lím
x->o ( x
= 4[7t]3 = 4n3
->3
senrtx
ítr I
4sen3 Ttx
„3
PROB. 1
3sennx-senSrtx
Si se evalúa cada expresión en x = 0, se
obtienen indeterminaciones de la forma 0/0.
a) lím
x-»0
sen3x o ..
—— = 3 hm
x	x—>0
sen3x „
o.. ; lim < > lim
•XX	x—>0	3x—>0
a) lím sen3x evaiuaníio -Q _
x->0 X	0
Derivando tanto al numerador como al
denominador, se tendrá:
sen3x
=3 lím
3x->0
^^ = 3(1) = 3
lím
x-»0
3c°s3* = 3(1) = 3
senux
b) lím
*->0
l-cos2x
2
1 u 0
, evaluando: -g .
Derivamoa al numerador y denominador:
0+2sen2x
2x
1 j o
evaluando: g
sen2x
Nuevamente derivamos al numerador y
denominador:
.. 2cos2x
lim -------
x—>0
f = 2 lím cos 2x — 2(1) = 2
1	V-fcí)
= lím
x-»0
3sennx-(3sen7tx-4sen37tx
c) lím
x-»0
3sennx-sen3nx
3
.3
RACSO
WeDITOKBI
T22
[240| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
c ,	. o
Evaluando: q
función f: f’(x), y resolver la ecuación f ’(x) = 0.
Derivando:
lím
x-»0
ÍTtCOSTtX -z^TtCOS37U
ti lím
x-íO
c ,	.	0
Evaluando:	.
COS7U-COS37tX
Nuevamente derivando:
„ í -Ttsenrtx+37tsen3Ttx \
l 2i I
n2 lím ( 3 sen 3tu-sen tu
2^ x-»o1	* J
Evaluando:	. Volvemos a derivar
ti2 lím (9rtcos37tx -neostu \ _
~2 X~M \	1	/
¡p l(m Í9cOS3tUj2COS7U
~2 x^ \	1
Evaluándose tiene:
4(90)-»=4(8)=4^
PROB. 2
Calcule los valores de x, donde la función f es
máximo y mínimo, usando el criterio de la
segunda derivada:
f(x} = senx cos x
RESOLUCIÓN
******************
f(x) =senxcosx =
2senxcosx
2
f(x) = sen 2x
Calculamos los valores críticos de la función A,
para lo calculamos la primera derivada de 1
f'(x) = cos 2x = 0 => 2x = (2¿ + 1)
=> x = (2k + l)|/¡e Z
Tt.37t.57t.7Tt. 1
4 ’ 4 ' 4 ’ 4 ’ ”J
Para obtener los máximos o mínimos relativos,
se debe calcular la segunda derivada de la
función f: f ” W, y luego resolver la ecuación:
7”(x) = - 2 sen 2x
Apliquemos ahora el criterio de la segunda
derivada como sigue:
x =	= -2 < 0 => fí-vl es máximo
4 (4J	i. 4 )
3rt 3rt^	,f37t^	- -
x =	<1 4 I = 2 > 0 => f I “4“ 1 es mínimo
5rt (Srt^ _ X Srt^ , .
x = “4"' I I = -2 < 0=> rl 1 es máximo
Entonces se deduce que:
a)	f es máximo en:
x=	^;...;(4ft + 1)£ ;*e Z
4’4’4’ v ' 4
b)	f es mínimo en:
* =	;-y;	;-.-;(4* + 3)^ ;*eZ
Su gráfica sería:
mínimo	mínima
Límites y Derivadas Trigonométricos
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
1)	En el cálculo de límites (especialmente
límites trigonométricos), se debe tener en
cuenta que:
Ifrn senx = ¡ A senmx = m
x	x
x—>0	x -> 0
2)	En el cálculo de límites, si al evaluar
se obtienen de la forma 77 , — : se
J (J oo
deben aplicar las derivadas sucesivas,
evaluando en cada derivada que se
realice hasta obtener un número real.
3)	Si se tiene una función: y = f (x)
al calcular la primera derivada f (x) , y
luego resolver la ecuación:
f’(x) = O
lo que estamos obteniendo son los posibles
máximos o posibles mínimos.
4)	El criterio de la primera derivada nos
indica lo siguiente:
i) Si f tiene máximo o mínimo, entonces:
f’(c) = O o f ’(c) no existe
ii) Si f cambia de signo de (-) a (+) en c,
entonces f(c) es un mínimo relativo de f.
iü) Si f cambia de signo (+) a (~) en c,
entonces f(c) es un máximo relativo de f.
iv) Si f ’ no cambia de signo en c, f(c) no
es máximo ni mínimo relativo de f.
v) f es estrictamente creciente en el
intervedo (a ; b)
Si:	f ’ (x) > 0 ; para a < x < b
ni) f es estrictamente decreciente en el
intervalo (a ; b)
si f ’(x) < 0 ; para a < x < b
5) El criterio de la segunda derivada
f ’(x) > 0
i)	La gráfica de una función f es cóncava
hacia arriba en cualquier intervalo 1, si
f ’(x) > 0.
ii)	La gráfica de una función f es cóncava
hacia abajo en cualquier intervalo I, si
f’ (x) < 0.
iii)	Sif’ (x) = 0, significa que los valores
de x que solucionan la ecuación son los
puntos (x ; f(x)) donde la gráfica cambia
de curvatura (llamados puntos de
inflexi ón)
6) Si f es una función tal que f(c) = 0,
y tal que su segunda derivada f'(x) exista
en un intervalo abierto que contiene a
«c», entonces:
i) Si f’(x) > 0, entonces f(c) es un
mínimo relativo.
ii) Si f’(c) < 0, entonces f(c) es un
máximo relativo.
7)	Para graficar a una función seguir los
pasos siguiente:
a)	Calcule los puntos críticos, para ello
resuelva la ecuación: f ’(x) = 0.
b)	Calcule los puntos de inflexión, para
ello resuelva f’(x) = 0.
c)	Calcule el signo de f y f’ en cada uno
de los intervalos, así como también ver si
la función es creciente o decreciente.
d)	Con toda información de a, b y c
realice la gráfica de f en el sistema de
coordenadas cartesianas (sistema xy)
T22
242
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1DITO11I
Enunciados de Problemas
con Resolución
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
sen(2cos0) 01.- Calcule: lím -	„ 0	COS B A) 1/2 B) 5 C) ti D) 3	E)2
sen(x+/;)-senx 02.- Calcule: lím 			~	 fi->o	h	
A) sen x	B) cos x	C) h	
D) esc a	E) 2 cos x	
n, , - .	sen2x—sen2fl 03.- Calcule; hm 	~5	 A->í/ x^—a	
Al Sen°	FU cot2fl	C1	sen2o
2	2a	2a
2 1A. seníz	c sen D) ~2a	E) "2T	
‘ „ ^ + 1	
04.- Calcule: lím ,,	2. a > i senil-jT) 3	1	3 A)-j B) 1 C)| D) 2	E)|
i .	senC¿C + 4-2)	
LO.— calcule. hiti *-*>	X2 4	11	1 A)j B)|	C){	D)|	CN|*t
Wk-Calcule: tó„ AtíSíizA x->0	x	-senx
A)1 B)2	C) 3	D) 4	E)5
07.- Calcule:	1-sen— lím 	2_ X-MT 7t-X	
A) 1 B) 4	C)6	D)0	E) 2
08.- Calcular:	sen(x—2) fe x>-8	
A>i B>|	C)| D)X	E)X
09.- Calcular:	(sen3x)(sen5x) «0 (x-xj“	
A)0 B)15	C) 5	D) 10	E) 3
10.- Calcular:	sen3x	
	Imi -> a-m) 5x”-2x	
3 A)-l B)|	3	2 O-i D)-f	3
11.- Calcular:	..	sen3x	
	senx-sen2x	
A) 3 B) 0	C) 2	D) - 3	E)-2
12.- Calcule: ,	x—sen2x	
	llltl	_ x->o x+sen3x	
A)-| B)	2	1	1 I	C) 1	D) 4	E)-|
13.- Calcular:	(0 + 4).sen(7t0) lím e->4	0--16	
A) 6 B) 2tt	: C) O2 D) 7t/2	E)7T
Límites y Derivadas Trigonométricas
3sen(nx) - sen(37tx)
14.- Calcule; lím ----------------------
x-»0	X
	x->0	X
A) 4	B) 3	C) 0	D) 1	E)2
n -3x
22.- Calcular: lím -——-----
n 1 - 2COSX
3
A) 73 B)V7 C)-V5 D)Vs E)V2
cos(mx) - cos(/ix) 15.- Calcule: lím	2 x—>0	X			
A) ”l2 n	n2-mz	O	2+/nz
	B) 2		2
D) w2~"2 16.- Calcule: 3 A) y B)	n + m E)~ l-cos3x : lím ,	. x—»o l-cos4x 3	9 1 C>í¿ D)	1_ 16	3 E>F6
17.- Calcule: A) 0 B)	lím , i	 x—>0 1 —VCOSX 1 C) 2	D) 3		E) 4
cosx-cos2x
23	.- Calcular; lím —:--------
x->o 1 - cosx
A) 4 B) 0 C) 2 D) 1 E) 3
1—cos(l—cosx)
24	.- Calcular; lím -----4—
x—>0	X
A)| B)|	C)|	D)i	E)|
b.senO
25	.- Calcular: lím “	tT
e-»o 1—eos v
A) 4 B) 3 C) 2	D)1 E) 0
,	(2-Veos x-eos v)
18.- Calcule: Inri ----z--------
x—>0	X~
A) | B) | C) | D) | E) j
l + cos(m)
19.-Calcular: lún ~ o ..
*—»i x^ — 2x +1
A) y B) c)-y D)y E) -
Í7L^
—
-~L
A) y	B) Tt	C) 2 D) 0 E) 2n
21.- Calcule: lím -----
x—>o 1 —cosóx
A>s B)s c>5 D>§ E>¿
26.- Calcular:
A)| B)J
27.- Calcule:
1	2
A)¿	B)^
6	J
28.- Calcule:
A)4	B)1
29.- Calcular;
A) -3 B) -2
30.- Calcule:
A) -4 B) -3
lím x * 2	1 +senx l + cos2x	
	D>l	E>{
lím x-»0	1 —Vcosx x.senx	
C>3		e4
lím x-»0	1 — cos8x	
	sen8x	
C) 0	D)2 E) 3
lím
r—>0
1 +senx—cosx
1 —senx—cosx
C)-l D) 1	E)2
sen2x
hm -----------—
n COSX + COS3X
X—
0-2 D)-l E) 1
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RfcRACSO
Uiditoii
31.- Calcule:	(1-senx)3 (l + cos2x)3	
A) 32 B) 64	C>ií D>3	E»t
32.- Calcule: Un.	sen2x + 2sen2x — 2sen.r	
	l	9 0	COSX COS ~X	
A) 0 B) 1	C)2	D)3	E) 4
33.- Calcule:	x.sen(sen2x) l-cos(sen4x)	
1	3 A)| B)-	c>í D>l	E)1
34.- Calcule:		
sen(A + B).cosB - sen(A + C).cosC
sen(B -C)
A) cos(A + 2C)		D) cos(A + B)
B) cos(A + 2C)		E) cos(A + B + 2C)
C) cos(A + C)		
35.- Calcule:	lím x—>0	•J3 —V 2 +cosx
		sen23x
A) Y B)|	C)-	/3	J3 -J2 2 D)1 E)f(l
36.- Calcule:	lím	senx — cosx
		1 - tanx
A’-y	B)	r~	41 -41	0
D)-l	E)	V2 4
37.- Calcule:	lím A~>0	tanx—senx
		x3
A) | B) jL	(	D)| E)|
	l-cos3x
jo.- calcule.	lím	1
	x-»o tan“x
5	4	^3	1	.	3
A) | B)	C)|	D)|	E)-^
39.- Calcule:	71	( TTxA uní —.tan —
	*-»0 X	2 J
A) T B) y	C>6 D) 4 E) 2
40.- Calcule:	lím (sec x - tanx)
	
A) 4 B) 3	C) 2	D) 1	E) 0
41.- Calcule:	lím -seg2 ^-2.tanx
	v n	1 + COS 4x
	
	4
A>4	B>2	O i D) | E) 1
	3sen2x
42.- Calcule:	lím
	*->o x.tan4x
A>i B>§	1	3	2 C) \	D) j	E) j
	tan(l + cosx)
43.- Calcule:	cos(tanx)-!
A) -3 B) -2	C) -1 D) 1	E) 2
	tanx+ tan2x
44.- Calcule:	
	ti cosx + cos2x
	3
J3	J3 ,.8
A)V	B)	C)
D)^	E)
	(tanx+ cotx — cscx)2
45.- Calcule:	lím
	x->o	secx—1
2	1	3	2	1
A) - B)	C) | D) J E) |
	|245|
Límites y Derivadas Trigonométricas
tan(ox)
46.- Calcule: lím ,,	,	,	, „
x—»o (l-cos(ox) + x)(sec(ox))
A) 0	B) a	C)	D) 2o E) | x.tanx.secx
		...	2x	3 i x- >o (1 + x ).sec x—1
A)f	B)7	C)-l D) 2 E) 1
48.- Calcule:		X
		Jt-*o Zflrccosx—71
A)|	B)-f	C)1 D)	E)j
49.- Calcule:		2tanx - nrcsenx lun a->o	senx
A)1	B) 2	C) 3	D) 4	E) 5
50.- Calcule: lint (1 -x).tan(^)		
A) - ' 71	B) - 71	C) -	D) -	E) - 7t	71	7t
DERIVADAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
dv	>
51.- Calcule: — , si.- y = sen (3x~ + 2x + 1)
dx
A)	sen 3x2 . (6x + 2)
B)	cos (3x + 2x + 1) . (6x + 2)
C)	cos (3x" + 2x + 1). (6x + 2)
D)	cos( 3x2 + 2x + 1 ).( 6x + 4)
E)	sen(2x + 1) . (6x + 2)
x	71
52	.- Sea: y = sen(e - sen v) + cos~.
Calcule: -j-
dx
A)	cos ex- senx. e~ - cosx
B)	(cos <?x - sen x). (ex - cos x)
C)	(cos x - sen x).( ex + cos x)
D)	(ex - cos x)
E)	cos(ex). (ex - cos x)
53	.- Sea: y — 3 sen4(sen x + 5) + 1,
,	dy
determine: —
dx
A)	6 sen4(sen x + 5) . (cos x))
3
B)	12 sen(sen x + 5). (cos x)
3
C)	7 sen (sen x + 5 . cos x)
3
D)	12 sen (sen x + 5). cos(sen x + 5)(cos x)
E)	10 sen4(sen x+ 5). (cos x)
rfy
54	.- Sea: y = sen(sen (senx)); evalúa:
A)	cos(sen (sen x) . cos (sen x) . cos x
B)	cos(sen (sen x). cos (cos x)
C)	sen(sen (sen x) . cos (sen x). cos x
D)	cos(sen (cos x). cos (sen(cos x))
E)	cos(sen(sen x)). cos (sen x). cos x
dy	t
55	.- Determine: — , si: y = sen“(3x + 1) - 3
dx
A) 2 sen (3x +2)	D) 3 sen (6x - 3)
B) 3 sen' (6x + 5)	E) 3 sen (6x + 2)
C) -2 sen (3x + 2)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITCltl
56	.-Sea: y = cosí — + sen2 x) — .
\4	/ 8
j	¿y
determinar: -r~
dx
A)	-sen (+ sen2 x). sen 2a
B)	-sen	+ sen2 xj. sen 2x
C)	eos	+ sen2 xj. sen 2a
D)	sen + sen 2a) . sen2 x
E)	-sen +sen2 x). sen 2x
57	.- Sea: y = 4 cos3(2a + 5) - 7, determine:
dy
dx
A)	- 24 cos2(2x + 6) . sen 2x + 5
B)	24 cos3(2x + 5) . sen (2x + 4)
C)	- 24 cos2(2x + 5). sen (2a + 5)
D)	24 cos2(2a + 5) . sen (2a + 2)
E)	-24 cos(x -2). sen (2a- 5)
dy
58	.- Determine: —, si: y = tan (sen x) + 1
dx
2	2
A)	sec ((sen x).(cos x) D) sec (eos x). sen x
2	2
B)	sec (sen x).cos x E) sec (sen x. eos x)
2	7
C)	sec (sen x). cos~ x
,	71
59.- Sea: y = tan (In (x")) + csc'l
r/y
Calcula: -j-
2	9	4	7
A) - . sec (In (x )) B) - tan (In (x ))
7	7	7	7
C) seC(ln (x-)) . 2x D) — . sec (In (x-))
1	7	7
E) . cscZ(//i (x ))
2
60.- Sea: y — 3 tan(x + sen x) - 1,
,	dy
determine: —
dx
2	2
A)	(3 sec x(x + sen x))(2a + eos x)
2
B)	(x + sen x)(2a + eos x))
C)	(3 tan2(x2 + sen 2x))(x + sen x)
D)	(x + sen x)(x + eos x)
E)	(3 tan2x)(2x + eos x)
61.- Sea: y = (3x4 - 7). cot (x2 + 1) - 5;
,	dy
determinar: -r-
dx
A)	12a. tan(3x2 + 1) - 2x(x4 - 7). csc2 (x2 + 1)
B)	2a3. (cot(x2+ 1) - 2x (3x4 - 7)). csc2 (x2+ 1)
C)	12a3. sec(x2+ 1) - 2x (3x4 - 7) . cot2 (x2+ 1)
D)	2a (3x4- 7) . csc2 (x*"+ 1) - 12x3. cot(x2+ 1)
E)	12a3. cot(x2+ 1) - 2a (3x4 - 7). esc2 (x2 + 1)
TT
62.- Sea: y = sec(2x + tan x) - ~
O
dv
determine: ~r-
dx
A)	sec(2 + sec"x) . tan(2x+tan x) . (x+tan x)
B)	sec(2x+tan x) . tan(2x+tan x) (2 + sec2x)
C)	sec(2x + sec2x). tan(2x+tan x). (2 + sec2x)
Límites y Derivadas Trigonométricas
T22
247
D) sec~(2x+tan x). tan(2x+tan x) . (1 + secx)
E) sec(2 + tan x) . tan(2 + tan x). (2 + sec2x)
>	dy
63.- Sea: y=ese (sen x - x") + 1 ;determine: —
dx
A)	-csc(sen x- x“). cot(sen x~ - x).( cos x - 2)
B) -csc(sen x-x2). cot(sen x - x~). (sen x - 2x)
C) -esefsen x- x2). cot(sen x - x~). (cos x - 2x)
D) csc(sen x~- x). cot(sen x-x ). ( sen x - 2)
E) -csc(sen x- x"). cot(sen x - x~). ( cos x - 2)
64.- Determine: ab . si: /(x) — a cos x + b.
además se cumple:
-V3 + x— x.arc cos x
A)	(1-x2)3'2
x/5 —x2 + x.arc cosx
B)	(i. *2)3/2
-(8 - x2 ) + x.arc cos x
O3------F=5ñ--------
-x/1 —X2 + X.fl/~CCOSX
D) (1-x2)3'2
„ --J2 — x2 + xzarcos x
E) --------------------
-2
í tr'l	í tr'l	3
\3j =2 A J = 2
7	21	311
A)A B)-^	C)-3 D)-J E) y
67.- Sea: y = arc sen (ln x) + arc sen
dv
determine: -7-
dx
K)—/ - - ~ B)-------/	>
x.vl - /n2x	x.Vl - Zn2x
65.- Sea la función/, definida por:
T x
/(x) = sen"x- —,
determine los valores de x G ( 0; 7t) de modo
<lueAx) = °
D>{?} E){íTu}
3	4
C) 1------— D) /	= . x
yjl-ln~x	yjl-(lnx)2
E)----,
Xy¡l-ln2x
68.- Sea: y = cos (are sen Jx )- l,xG (0; 1),
dv
determine: -7-
dx
A)t^- B)-~t= C)t^- D)~y= E)^f=
l-X ' y/x	1* Vx Vx
DERIVADA DE F. T. INVERSAS
69.- Sea: y = arccos( Vl-x2 ) + y
n
---a resen x
66.-Sea: y= 2 .------=—. xG (-1; 1),
vi — x2
dv
determine: —
dx
A> ~r=^	B> —7=
D)	E)
1-V1-X2	V2-X2
C)
-2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos

RACSO
1DITO1II
70.- Sea: y = arc cos -Jx - arc tan (3), x G (0; 1),
74.- Sea: y = arc tan ( 74x2 —1)
determine: —
dx
A)-y==	B)^= O—
7x-x2	2-Jx	7x-x2
D)~TT E)—
2-Jx2	2-Jx-x2
71.- Sea: y = arc cos (ex) + arc cos 71-e2x ,
A) '------ B)—' = C)—
274x2 -1	jc.v4x2 -1	x.yJAx2 +1
D) /	E)-r==
X.V4X-1 v4x2-l
75.- Sea: y - arc tan (3 sen x) - cos —,
dy
determine: —
dx
determine:
dy
dx
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
c	^arc sen 3x
72.- Sea: y = 2
8
+ arc sec —
ax cos~x
} l + 9senx
B) 3 cosx
l + 3sen2x
dy
determine: —
dx
3 cosx
l + 9sen2 x
cosx
D) l + (senx)2
px 3 cosx
l+9sen2x
(//i3).(2arcsen3j) (//i2).2arcsen3x
A) 71-9x2 B) 71 3x2
76.- Sea: y = tan
(z	3n
orccos(x)-—1+tan —
/n4.(2arcsen3x) C) r.	7	(/n2).2arcscn3*
'	71 -9x2	71 — 9x2
xg determine:
dy
dx
ln2 2arcsen3x
E) 71 + 9x2
73.- Sea: y = arc tan (2a - 5) - arc csc (4),
rfy
determine: ——
dx
-1
(1-x2)3'2
---—---- O —
(l-x)3/2	1-
(1-x2)
77.- Sea: y = arc cot( 72X2 -1 ) - ¿r ,
O
A)2x-10+13	B)2x-10x-13
,	dy
determine: —
dx
C)2x2-10x + 13	D)2x2-10x+26
A)-*----- B) /------- O- J-------
V2x2-1 x.-Jx2-l x.V2x2-1
El-----=-----
24x2-10x+13
D)—pj— E) - -1
x.V2x“ +1	xv x2 +1
Límites y Derivadas Trigonométricas
T22
249
78.- Sea f la función definida por
f\x) = x . are sen *,
determine el valor de:/'(1/2j.
D\ 4- ~	—
B)3" + 6	C) 3 ' 2
y.cos.r
A)—'---------
7 sen x- sen y
-y.cos x
C)—---------
7 sen*-seny
-y.cos*
El ---’-------
’ sen * + sen y
-y.cos*
B) sen x - eos y
---eos*---
' sen*-sen y
D>f+ ?

71
6
DERIVACION IMPLICITA
79.- Sea la ecuación:
sen y + y - 1 = 0 , y (3k + 1 )7t, k e Z,
. . dy
determine: ——
dx
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
80.- Sea la ecuación: sen2y - r~ + 1 = 0, deter-
dy
mine: —
dx
4*	3*	7*
A) sen y	sen2 y	sen 2 y
5*	5y
D) sen y	sen 2*
81.- Sea la ecuación: y. sen * - * eos y + 1 = 0,
.	dy
determine: —
dx
cosy —ycos*
sen *+ sen y
ycos*—eos y
o-----------
7 sen * + *sen y
eos y—sen*
E)----z-------
7 sen* + *cosy
eos y — veos*
B)---:—1-----
sen* + *sen y
eos y-eos*
D)----1-----
7 sen * + sen y
82.- Sea la ecuación: y sen * + eos y = 0, de-
. dy
termine: ~
dx
2
83.- Sea la ecuación: y = cos(*v) + y ,
I
.	dy
determine: —
ax
A) -y.sen(xy)
1 + *sen(*y) — 2 y
-y.sen(*y)
B) 1- *sen(*y) — 2y
—sen(.ry)
D) 1 + sen(xy) - 2 y
-y.sen(*y)
l + *sen(*y)
—y.sen(*y)
' 1 — *sen(*y) + 2y
84.- Sea la ecuaciómcos (r*-) - sen y + y = 0,
dy
determine: —
dx
2*. sen y
A)1 + eos y
2*.sen(*2)
C) 4-eosy
3*2.sen(*2)
E) ~-----------
’	1 + eos y
2*.sen(*)
b)—--------
3 + eos y*
2*.sen(*2)
D)-¡-----
1 1 + eos y
85.- Sea la ecuación: tan(* + y) + eos y - 1=0,
dy
determine: -i~
dx
-cos2(*+ y)
cos2(*+ y) + cosy
-cos2(* + y)
eos2 (* + y) - sen y
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿iRACSO
W^BDITOKEB
COS2 (x + y)
eos2 (a - y) - sen y
-eos2(a - y)
D)	eos2 (a + y) - sen y
-cos(A + y)
E)	cos(a + y) - sen y
2
86.- Sea la ecuación: sec (a + v) - y +1=0.
,	dy
determine: —
dx
-	sec(A + y). tan(A + y)
secA+ y.tan(A+ y)-2y
sec(A + y). tan(A + y)
sec(A + y).tan(A + y) - 2
-	sec( a + y). tan( a + y)
C) sec(A+ y).tan(A — y)
-sec(A+ y2).tan(A+ y)
sec(A+ y2).tan(A + y)-2y
,	dy
determine: —
dx
A)
-2y
•Jl-A2
E)
J2-A2
B)
E)
2y
V2a-1
-2y
7T7
C)
2y
V1-2a
89.- Sea la ecuación: arc cos y - x + 1 = 0,
,	dy
determine: —
ax
D)y 71-y2
B)-714V
Ej-Ví^y
90.- Sea la ecuación: arc sen (Ay) + yx = 0,
.	d(yx)
determine: —;—
dx
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
REGLA DEL’HOSPITAL
- sec( a + y). tan(A + y)
E) ---------'-----------—
sec(A+y).tan(A+y)-2y
87.- Sea la ecuación: tan (Ay) - y = 0,
dy	
determine: — ax	
—y.sec2 (Ay)	—y3.sec2 (Ay)
A.sec2(Ay) —3y2	A.sec2ÍAy) —3y2
-y. sec2 (Ay)	_	—y2.sec2 (Ay)
C)	i, x t i ’ a. sec-(Ay) - 3 y-	D) A.sec2(Ay) -3y2
_ —y-sec2 (Ay)	
E) A.sec2(Ay) + 3y2	
88.- Sea la ecuación: arc cos a - -Jy = 0,
x — sen(7tx)
91.-Calcule: lím A + sen(7tA)
A) ! + 7T	B)!^	C)-¡-^—
1-71	1 + 71	’ 1 + 71
D)t-^~	E) -
1 + 71	1-71
92.- Calcule: lím	sen(2cos0)	
	2cos0	
A) 3 B) 4	C) 5	D)1	E)2
	5a2 — 2 a	
93.- Calcule: lím		
i->0	sen3A	
.2	1	2	1	. 2
3	B>-3	O-f D)^	E)-s
Límites y Derivadas Trigonométricas
1 - senx — cosx
94.- Calcule: hm
'-»o 1 + senx — cosx
A) -5 B) - 4 C) -3 D) -2 E) - 1
95.-Calcule: lím —n(* A )
<>i	r+1
102.- Calcule: lint “—------
n 1 — ZCOSA
3
A)V2	B)x/ó	C)-x/3
D) 2	E) -x/7
1	13	2	1
A)|	B>-^	C)|	D)j E) 2
96.- Calcule: lím
j->0
3x - 2sen4 v
6x — 7sen5x
A)29 B,Í9 C)35 D) 29 E) 39
97.- Calcule: lím 775—77—'7.
0—>4 (0 + 4) - scn(TtO)
2	1	7T	1	4
A)—	B) -	C)7	D)7	E)	-
ti	ti	4	’ 2	7	71
7
1-^
98.-Calcule: lím ----
i-wr senx
103.- Calcule: lím
x->i 1 - Jx
A) 4ti B) 7t C) 2 7t D) 371 E) 571
l-cos8x
104.- Calcule: lím ----—
x-íO senox
A) 2 B) 5 C) 3 D) 1	E)0
x
A)^ 71	I3)f C)| D)f	E)- 71
senx - sen2x 99.- Calcule: lím	- A_»o	sen3x 9	S	3	1		1
A>4	B)-|	C)-	D)5	• E)-3
100.- A)l	A” Calcule: lím	¡	 *_>0 sen(J x2 + 4 — 2) B) 2	C)3	D)4	E)5	
106.- Calcule: lím --------
x->5 senx —cosx
4
A)-V?	B) -yf5	C)-2>/2
D)->/3	E)-Vó
107.- Calcule: lím
n
3
cos2x + cosx
tan2x + tanx
.... r. . .	Vl+senr—Jl-sen
101.-C a 1cule: hm --------------
1—0	a
A) 1 B) 2	< >3 D) 4 E) 5
B)^
E>^
C>T
108.- Calcule:
tan(flx)
lím
r->o |1+ x-cos(flx)][sec(flx)]
2521
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Jfc7.ACSO
P*DITOMB>
A) 0 B) | C) a2 D) 3a arcsen5x 109.- Calcule: lím x—>o arctanx	E) a
A) 3 B) 4	C) 5	D) 6 1	1- 2tanx—aresenx 110.-Calcule: hm	 x—>0	senx	E)7
A) -l B) 1	C)2	D) 3 ,,,	 	1- Tt —2arccosx 111.- Calcule: hm	 x->0	x	E)4
A) 5	B)4	C) 3	D)2 sen2x—sen(x2) 112.- Calcule: lím	2 x->0	X	E)1
A) 0 B) 1	C) 3	D) 4 1—-Jcosx 113.- Calcule: lím	2 x->0	X	E) 5
3	112 A>Z	C)z	E> x2 —2x + l 114.-Calcule: hm 1+cos(7tx)	3 8
1	6	4	3	9
A>rf B)^ Q-f D> E>^
11S-Calcóte: Um
x—>0	X
□ o A)" f	-trP' B)-	„ n2-m2 v; 3
D) ”2 6'"2	n2 - m2 E) 8	
116.- Calcule:	1—cos4x hm ;	o x—>0 1 —cos3x	
123.- Calcule:
A)y B) 2	C)^	D)5 E)
2
cosx —eos x
117.- Calcule:
Zí>n -i--------------------
x—»o sen2x + 2sen~x —2senx
112	1	3
A)^	B)^ C)f D)^ E)
118.- Calcule:
J3 —1/2 + cosx
lím ------------
x—>0	serT3x
A)is¡
V3
C)1Ó8
D>ÍS
E)
J 128
x.sen(sen2x)
119.- Calcule: lím ;	",	7~r
x yQ 1 cos(sen4jc)
A)|	B)-|	C)|	D)-|	E)|
120.- Calcule: lím
x->o x.senx
A)|	B)^ C) -| D) 3	E)|
1—cos3x
121.- Calcule: lím ----2—
x->o tan x
A) 2	B) 1	C)|	D)|	E)|
122.- Calcule:
3sen~x
lím -------
x->o x.tan4x
3	13	2
A)^	B)^ C)-|	D) 3 E)|
, sec~x — 2tanx
hm --------------
1 + cos4x
2	5	13
A>3 C)í D)Í
E)i
Límites y Derivadas Trigonométricas
T22
253
tan(l + cosx)
124	.- Calcule: lím n . 7
x-jn cos(tanx)-l
A)-6 B) -5 C) -4 D)-2 E) -1
(x-x3)2
125	.- Calcule: lím ,	„ c ,
x^o (sen3A)(sen5x)
A>Í7> ">15 C>13 D>n E> 18
2cosx—2+xz
126	.- Calcule: lím---t-t-
ji—>0	3x
11	12
A)¿ B)i C)1	D)^	E)^
x —tanx
127	.- Calcule: lím --
x—»o x — senx
A)-2 B)-l C)0 D) 1	E)2
128	.- Calcule: lím tanv-senv
x—>0	X
A)|	B)|	C)|	D)^	E)^
nn r	i ,	, l-COS(l-COSx)
129	.- Calcule:	lun --H------
x—>0	X4
A)-|	B)i C)í	D)|	E)-|
130.- Calcule:
lím (1 + cos x) . (1 + cot x)
X—>71
A) -l B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
131.- Calcule:
A) 4 B)3
132.- Calcule:
e2x —e3x
/wn----7,----T“
x—>o sen2x-sen3x
C)2	D)1	E)0
tanx
/wi , r.—  
x_,o 1-vl+tanx
A) -l B) -2 C) -3 D)-4 E)-5
133.- Calcule:
lím cot 2x. cot | - x |
x X)	\2	I
2	13	5	1
A)f	B)| O|	D)|	E)|
134	.- Calcule:
lím (1 + cosx)3secx
_n
2
A) e2 B) e C) e3 D) e E) e1'2
135	.- Calcule:
lím (1 + 3 tan~x)cot x
x—>0
A) e B) e5 C) e2 D) e3 E) e3/4
APLICACIONES DE LA DERIVADA
136	.- Sea f la función definida por:
/(x) = sen"x -	" 1’
/ 7T \
determine el valor de x en (0;—J para que/
tome su mínimo valor.
A)^ B)y C)^	D)| E)y
137.- Determine la ecuación de la recta tangente
a la curva: y = sen x + 2 en el punto (0; 2)
A) x - 2 = y B)x + 4 = y C)x + 3= y
D) x + 9 = y E) x + 2 = y
138.- Determine la ecuación de la recta tan-
7t
gente a la curva- y = arc tan x - — en el punto:
d;0)
A ACSO
WlDITOlll
T22
254
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
..11	nx 1	1
A)4*-4=y	B)^x-^=y
1 1 .,.11
C)6A-6=J	D)^-j=y
E) j x- -1 = y
139.- Determine la ecuación de la recta normal
a la curva: y = 2 sen a - 3 en el punto: (0; -3)
A)-|x-3 = y	B)-|x-3=y
C) -jx-2-y	D)-|a- 3 = y
E) -|a- 3 = y
140	.- Determine la ecuación de la recta nor-
71
mal a la curva: y = arc tan (a +1) -~en el
punto: (0; 0)
A) - 5a = y B) - 4a = y C)- 3a = y
D)-2a = >	E)-^A=y
141	.- El perímetro de un sector circular es
Su, determine el valor de su radio para que el
área del sector circular sea máximo.
A) 4u B) 3m C) 2m D) lu E) Ou
142	.- Un bloque de peso “P” se cuelga de una
cuerda que pasa por una polea, tal como se
muestra en la figura y a una altura de 20 ni,
sobre la superficie del suelo. El otro extremo
es tirado por un montacargas que está a una
altura de 2 m del suelo. Si el montacargas se
aleja a una velocidad de 9 m/s; ¿a qué veloci-
dad sube el peso cuando está a una altura de 6
m del suelo?
9>/3 ,	o, ó73	,	3-^3 ,
A)	m/s	B)	m/s C) m/s
,	,, 27?	,
D)	m/s	E)	m/s
143.- Se desea cercar un lote rectangular que
tiene 4 000 m" de superficie, uno de cuyos la-
dos está definido por la ribera de un río recto.
Si no se necesita cercar por el lado que da al
río; ¿qué dimensiones requiere la menor can-
tidad de cerca?
A) 1175
D)5>/5
B)9>/5
C)4>/5
E) 20 75
144.- Una estatua de 6 m de altura tiene su
base 2 m arriba del nivel del ojo de un obser-
vador. ¿A qué distancia de la estatua debe co-
locarse el observador para que el ángulo
subtendido desde su ojo por la estatua sea
máxima?.
A) 75 u
B)7T3h
C)273 u
V)-i4Íu
E)573m
Límites y Derivadas Trigonométricas
LA TRIGONOMETRIA
NUESTRA NATURALEZA
CONSTRUCCIÓN DE UNA COLMENA
Las abejas construyen sus colmenas con
cera pura, que solo pueden producir las obre-
ras. Ambos lados de la colmena constan de
celdas hexagonales geométricamente per-
fectas y se construyen de forma tal que la
cantidad de material requerida es la mínima
posible. Hay unos 5 millones de colonias de
abejas en los Estados Unidos que producen
en el orden de 125 millones de kilogramos
de miel cada año.
Las abejas construyen sus
compartimentos de almacenamiento en for-
ma de celdillas hexagonales.
Cada celda tiene una base hexagonal y
tres caras superiores rómbicas que se cortan
con la altura de la celda formando un ángulo
6. El volumen de cada celda viene dado por
la siguiente expresión:
i/ 3^3 2.
V = —2~ s h
y es independiente del ángulo 6. Por
otra parte, el área superficial de la celda, vie-
ne dada por:
S = 6ñ.s+-~-l
V3-cos6
senS
dependiente del ángulo 6. El ángulo que
hace mínima el área (y, por tanto, la cantidad
de material requerida) se determina resol-
viendo la siguiente ecuac ón obtenida luego
de derivar la expresión anterior:
dS 3s í l-VscosB^ q
de 2 I sen6
La solución de esta ecuación es:
eos 6= 1/73 o sea 6 54, 74°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
•iRACSO
DITOBBt
PRORlCMflS D€ TRIGONOMETRÍA
V COMO RESOLVERLOS
«Oh1
Sistemas de Medida
< Angular
01.- Graficamos los ángulos en sentido antihorario.
De esta nueva figura podemos establecer que:
-0 = 2n + x
x = -271 - 0
02.- Graficamos los ángulos en sentido antihorario.
De esta nueva figura podemos establecer que:
a + a - x = 360°
Despejando "x":
x = 2a - 360°
03.- Graficando los ángulos en sentido antihorario, podemos establecer que:
3x + 20° - (x - 40°) = 90°
=> 3x + 20° - x + 40° = 90°
2x = 30°
x = 15°
04.- Graficando los ángulos en un mismo sentido (antihorario), se propone que:
10° + 40° - 5x - 10° = 90°
=>	-5x = 50°
x = -10°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
05.- De la figura: (90 - 3x)° - 5y8 = 180° , y además 9° < > 108
06.- Siendo AC una línea recta, graficamos todos los ángulos en un mismo sentido.
Se observa que:
Pero:
y-(-x) = 60°	=> y+x = 60°
180° = Tirad > x + y = 60°.
n rad
180°
x + y = rad
07.- Al graficar los ángulos en sentido antihorario tendremos:
27x° - (5 - llx)8 = 180°	.(1)
Pero: 9° o 108 => (5 - llx)8 = (5 -llx)8 . — .. .(2)	"(5
108	_______
9°
(2) en (1): 27x° - (5 - llx) .	= 180°
Efectuando: 30x° - 5 + llx° = 200° =>	41x = 205	.-. x = 5
2ti
08.- De la figura: x° - y8 + — rad = 360° ...(*)
9° f9y\
Pero: 9° < > 108	=> ys = ye- 1()g =
271
Tirad < > 180° => 3rad = 120°
f 9yA	10x-9y
En (*) : x° - I + 120° = 360° =>	---= 240
lOx - 9y = 2 400
Sistemas de Medida Angular
R1
259
09.- Como: 6 = x-x2
=> x2 - x + 0 = 0
Para que la ecuación tenga solución, el discriminante de la solución general debe ser tal que:
1 - 40 > 0
1
n __ _____
Dmáx “ 4
X =
2
Luego de la figura original se establece que:
rad = 2nrad
Y para que 0 sea máximo sustituimos los valores encontrados:
=> a + — - — + 2 = 2n => a = 2n - 2
4	4
a = 4,2832 rad
10	.- Los números a, -6 y 0 que representan la medida de un mismo ángulo en los
sistemas sexagesimal, centesimal y radial, y en el mismo sentido se relacionan por:
		a 9	-0	200 10 = n	
a Por lo tanto:	~ 9	10	=>	10a + 90 = 0	. (A) correcto
a 9	_ 200 7t	=>	1800 - are = 0	(B) correcto
-0 10	200 - 7t	=>	2000 + 0n = 0	(C) correcto
De(B) + (C): 3800 -an +	0 n = 0	=>	3800 = n(a + 0 ) ...	(D) correcto
		•	9000 = n(90 + 5a)...	(E) incorrecto
CONVERSIONES
11	.- Recordemos: 9o o 108 => M = ^j+2+—+ 2005)° • "i(y	M = 9
12	.- Convirtiendo los ángulos a y 0 a grados sexagesimales tendremos:
„ - n rqqa 180° _ í0,5236.180 V _ „„o R _	_ „ng_91 Rf1m 1*	60'
a -0,5236 rad.	31416 ) - 30	0 - 30 50 - 30 10.c 50 • wo-  10k - r
0 = 27°27'	0 = 27°25'
Por lo tanto se observa que:	0 < 0 < a
‘.i RACSO
W 1IDJTOBBB
R1
260
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
13.-
ri5' = i° +
1)’= (ií
Luego:
5\" (5\° n rad n
4/ “ \4/ • 180° - 144 rad
V15' < > 144 rad
14.- Por dato: "¿77 rad < > A°B'
□(J
Pero:
. 1cnc. nrad 180°	,0
nrad = 180 => 5Q =	= 3+0,6
Pero: Io < > 60' =>	0,6° = 36'
Luego:	rad = 3o + 36' = 3°36' = A°B' => A = 3 a B = 36
Luego:
_ 36-2(3) _ 30
36-10(3) - 6
7T
15.- Por dato: rad < > x^y'z,'
Pero: nrad < > 180‘
n . _ 180°
=> 69 rad - 69 - 2 +
Pero:
= 36' +
=> rad = 2° + 36' +
Pero: 1' o 60" =>
= 31
Luego:	rad = 2°36'31" = x°y'z‘
x = 2, y = 36, z = 31
Io =7°
M = 5
.’. Complemento de (x + y - z) = 90°-7° = 83°
16	.-Nuestra estrategia consistirá en convertir los grados a minutos y segundos
sexagesimales. Para tal efecto hacemos:
37,98° = 36° +1,98°
Como: 1° o 60' => 1,98° < > (l,98)(60') < >118,8' => 37,98° = 36° + 108' + 10,8'
Asimismo: 1' < > 60" => 10,8' < > (10,8)(60") < > 648"
Luego:
37,98° = 36° + 108' + 648"
Sistemas de Medida Angular
También: 9o < > 108
27' < > 50m
80" < > 250s
36° < > 408
108' < > 200m
648" < > 2000s
=> 37,98° = 408 + 200^, + 200(f
2«	20"'
De donde reconocemos que:
37,98° < > 42g20m < > AB* B0'"
A=4 a B=2
M = 12
17	.- Nuestra estrategia consistirá en convertir todos los grados en minutos sexagesimales.
i „	m Í1°21’Y /2°15’\ (1°3'\	.. f 1"+21'Y/2°+15'\/1°+3'\
Luego. M = ¡-y-J (— J (—) => M = (-gr-J (-^7-) (-3^)
Como: 2° < > 120' => M =	fér) = 27°27'21"
^3 J 3 J \ ¿ /
Pero:	9° < > 108	=>	27° < > 308
Asimismo: 27' < > 50m a 21 "< > 65s
=> 27°27'21" = 30g50m65s	=>	27°27'21" = 308 + 50m + 65s
..	_e —m  s
=> 27°27'21" o 30g50 65s = a0 be ele	a = 3,b = 5,c = 0,d = 6,e = 5
Luego:	M=	" M = 3
18	.- La estrategia que utilizaremos consiste en transformar minutos y segundos a grados
sexagesimales. Para ello requerimos establecer las siguientes equivalencias:
60'	1°
1“ = 60' => 15' = — = — => 1° = 3600"
4	4
3600"	1°
36 =-------= -----
100	100
Entonces: 0 = 16°15'36" = 16° + 15' + 36" =>
0 = 16° +
Í-) + f 1 )
^4) + [100J
0 = (16 + 0,25 + 0,01)°
=>	0 = 16,26°
Pero también:
Tt rad = 180°
0 = 16,26°.
Tt rad
180°
„ í 16,26x3,14 \ ,
e = I 180 —) rad 6 = 0,2836
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Aíracso
n  DITOIlt
i° 11 r	i°
19	.- Del ejercicio anterior se sabe que: 15'.	= I 41 => 45". 3^00 " =
í 1V ( 1
Entonces: 36O15'45" = 36° + 15' + 45" => 36°15'45" = 36° + - + —
=> 36'15'45"
2880+ 20 + 1
80
=> 36°15'45"
2901 Y
80 J
Convirtiendo grados sexagesimales a radianes, por el criterio del factor unidad tenemos:
36'15'45'
2901Y nrad _ (967)(3,14)
80 J ’ 180°	4800 raü
36°15'45" =	0,6326 rad
20	.- De la condición: x°y'z" = a^h’c" + c°a'b” + Ifc'a"
=> x°y'z" = (a + b + c)°(c + b + c)'(c + b + c)"
Y según la condición: x°y'z" = 63°63'63"
Asimismo recordamos que: Io = 60'; 1' = 60" ; Io = 3600"
Entonces:
xy z" = 63° + 63' + 6CT + 3" =>
x°y'z" = 63° + 60’ + 4' + 3'
x”y'z" = 64°4'3" =>
x = 64
; y=4	; z = 3
64-4
w = -- - 
W = 20
MEDIDAS DE ÁNGULOS RELACIONADOS
180R	200R
21	.- Recordemos: S =--- a C =--------
7t	7t
R C
Reemplazando en la condición: S = R =>
Ordenando las potencias convenientemente y simplificando:
(122) . (r“t* )
Sistemas de Medida Angular
Se observa potencias iguales, entonces:
180 =R^
n
Luego:
M = R
22	.- Los números S y C están relacionados por:
S C
9 ~ 10
De la condición tenemos:
7t
X + —
4
9
+ n
2	. „	5	„ 9n
JQ- => 10* += 9x + “2“ =>
x = 2n
C	971
S = 2n+ 4 =7r
Convirtiendo los grados sexagesimales a radianes, tendremos:
Í9n\ Tirad
\4)  180°

23	.- Recordando la identidad algebraica:
(c + b)2 + (c - b)2 = 2(c2 + b2)
(o + b)(a -b) = a2-b2
Entonces: W =
-13
En donde al aplicar la identidad, obtenemos:
W =
•(*)
Además se sabe que:
2(C + S)
C-S
S = 9k
C = 10k
S = C
9 — 10
Reemplazando en (*): W = ^^^—^^13
W= J2(19)-13=725
W=5
24	.- Efectuando las operaciones en cada paréntesis, tendremos:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
W^BDITOREÚ
n C+n
De donde obtenemos: ~	~—
Pero: S = 9k, C = lOk => tí—------—
l 9k lOk
H 1
n---
S C
S = (9k)°
25	.- Los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal,
9C ttC
centesimal y radial, se relacionan por: S = -jp-; R =	- - (1)
De la condición:
q
| = 5R + 52 ... (2)
Reemplazando (1) en (2) y simplificando:
19	TtC	9	1	22
—	~ 5 ---- + 52 => — C - — — C = 52
2'10	200	20	40 ’ 7
_ (52)(280)
 C=14°
126-22
280
C = 52
26	.- Sean S y C los números que representan los grados de un ángulo en el sistema
sexagesimal y centesimal, entonces se tendrá que:
Media armónica: Ma = -j—p = g + ^-.
S+C
Media geométrica: Mg = VSC
Y según condición del problema: Ma = 36(Mg)2
Reemplazando y simplificando:	g+g = 36. (VSC J => S + C = -jg ... (1)
Ademas se sabe que:	S = 180— ; C = 200—	... (2)
Tt	Tt
R R 1	ti
Reemplazando (2) en (1): 180—+ 200— = — => R=	R= ^840 ra^
27	.- Se sabe que los números que representan los grados en los tres sistemas de medición
angular se relacionan por:
180 R	„	200R
“ Tt '	“ Tt ' ' ' ( /
Sistemas de Medida Angular
R1
265
Según condición del problema:
C + 3S = R2 ... (2)
7t
Reemplazando (1) en (2):	200+ 3
^R2
7t
Simplificando:
740^ = 3Z^
7t 7t
R = 20
28.- Para un mismo ángulo, representamos:
3 600 . S ... (i)
- El número de segundos sexagesimales:
- El número de minutos centesimales:
100 . C ... (ii)
En los cuales:
S: Número de grados sexagesimales
C: Número de grados centesimales
y se relacionan:
S
9
_ C
~ 10
(S = 9.c a C = 10.fl)
(*) Reemplazamos según el dato:
3 600 S + 100.C = 367 400
Simplificando: 36.S + C = 3 674
=> 36(9o) +- (10a) = 3 674
Resolviendo:
o = 11
=> S = 99
(*) En la fórmula general de conversión:
S R
180 ~ 7t
Se obtiene:
R- —
180
K 20
29.- Como en el caso anterior, representamos:
- El número de minutos sexagesimales: 60.S
...(i)
- En número de minutos centesimales: 100.C
• • • (ü)
- Relación entre S y C:
c _ s
10 - 9
- (üi)
(a + b)2 + 8ab
En el dato reemplazamos (i) y (ii): (60.S) . (100.C) = -\&ab-
-4 P A eso
UlDITOkll
R1
266 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Efectuando:
6 000.S.	=
2	2
a +b +2ab+8ab
18.flb
S2 - 120^00 (f+c+1°)
Siendo: a > 0 /\b> 0 =>	~ >2
De los cual: 120 000 (f +1 + w) > j^oVoO <12>
s2- 10 000 ' <s>°)
C 	1	,  Io 3 600"
=> Stmn- 100 , X«»«- 100 - 100 - 36
30.- Según el dato: a = 60.S a b = C
En los cuales: S es el número de grados sexagesimales, C es el número de grados
centesimales.
S C
Que se relacionan: = iq A (S = 9 . fi a C = 10 . fi)
Reemplazando en lo que se pide:
4.(60.S)-16(C)
C
240(9c)-16(10c)
W~ (10.a)
Efectuando:
W = 200
31.- Según dato: 3 600 . S + 100 . C = 33 400 . .. (i)
S C R
De la fórmula general de conversión:	jgp = 2qq = — ... (ii).
De ii, reemplazamos en i:	3 600.(180.^- ) + 100^200.^) = 33 400
Simplificando «100», se obtiene: 6 480 R + 200 R = 334.7t
=>	6 680.R = 334.n
Efectuando:	R=
Sistemas de Medida Angular
R1
267
S C 20R
32.- Los números S, C y R se relacionan por: — = — =------- = k =>
J	r 9	10 Tt
60 j—	/—
V71 9	3kJ\9
Reemplazando en W tenemos: W = j=> W =
S = 9k
C = 10fr
R~2Ó
33.- Reemplazando las relaciones entre S, C y R del ejercicio anterior en el dato se tiene:
ziJc
10(9k) + 3(10k) + — = 2400 + Tt
Ttk
=> 120k + — = 2 400 + Tt
Por lo tanto:
k(2 400 + Tt) = 20(2 400 + Tt)
k = 20
R = ~ (20)	.’. R = Tt
W = 3
34	.- Reemplazando las relaciones entre S, C y R del ejercicio anterior en el dato se tiene:
mS + nC = 20R => 9m + lOn = Tt .. (1)
7tt	7tt
6m +5n= ~	=> 12»; + lOn = ~	.. (2)
12	6
Tt	Tt
Restando (2) - (1), obtenemos:	3Ȓ = ~ => m= ~
o	lo
[ Tt ]	Tt
Reemplazando en (1):	^1 18 I +	~ n =*	” = 20
„	.	. ,	m Tt/18 m 10
De este modo se tendrá que:	— = ------- — = —
n Tt/20	n 9
35	.- Reemplazando las relaciones entre S, C y R del ejercicio anterior en el dato se tiene:
Por analogía:	=3 => k =	=>R=^fc	R =
‘álRACSO
W^BDiToaas
R1
2681 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
36	.- Nuestra estrategia consistirá en expresar matemáticamente las condiciones del pro-
blema. Luego:
C-S
2	= C + S _ C-S 14SC
7SC “ 133R	C + S ~ 133R
7T
Reemplazando S = 9k, C — 10/c, R = ~ k en (*) obtenemos:
1 _ 14(90k2)	k___n_
19 = 13/^d	'	= 3600
\20 )
Finalmente se tendrá que: R = k	R= ^OCG
37	.- Recordemos que todo número real positivo verifica las siguientes relaciones:
1
Si : x > 0	=> x + — >2
x
1
=> x+ - =2 <=> x= 1
x
...(»)
De la condición del problema:
R-l +
1
Jr-i
= 2
...(«)
Reemplazamos (*) en (**):
=1
R = 2
Sea: "6" el ángulo =>	6 = 2rad
6 = 2rad.
180°
7t rad
n
38	.- Sustituyendo las relaciones conocidas: S = 9k, C = lOk, R = ~ k, en la condición dada:
x2(C - S) = x4-x2 + 1 =>
k = x2 +	- 1
x
Empleando la propiedad (*) deducida en el ejercicio anterior, diremos que:
x2+-^->2,x*0 => x2 + \ - 1 > 1 => k>l => kmin = 1
R- -5-
R“ 20
39	.- Sustituyendo las relaciones conocidas: S = 9k, C = lOk, R = — k, en la condición dada:
162(9k)(10k^	12(S)10fc~9^
ti	5n
Sistemas de Medida Angular
R1
269

Simplificando:
flI 3k
9k = ------
25
k= 75
Luego podemos afirmar que:	= 20
„ 1571	,
R= —rad
71
40	.- Sustituyendo las relaciones conocidas S = 9k, C = lOk, R = ~ k, en cada ecuación:
En(1,: + -x => 2k6’x
En(2): (ído*10*)'+	' ” a8=i/
Y reemplazando estos resultados en la condición dada:
i/S2 = xC2 2 k6. S2 = 2k6C2 => 2 ke . (9k)2 = 2k6(10k)2
1(]	«	10
->	81k = 100/c	=> k = —	=> S° = (9k)°
S° = 10°
FIGURAS GEOMÉTRICAS
41	.- Elaboramos un gráfico con los datos del problema:
De acuerdo con la propiedad de los ángulos interiores
de un triángulo, tendremos:
xrad + 4xrad + 4xrad = Tirad
=> 9xrad = Tirad -> x=	x = 77 rad
42	.- De acuerdo con la propiedad del ángulo formado por dos bisectrices interiores,
planteamos que:
ni Z D = 90° + —2
m Z D = 90° + 50° = 140°
.	ti rad 7tt «
m Z D = 140°. 18qO = -g- rad
RACSO
IDITOtlI
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
43	.- Tratándose de un triángulo se verifica que: A + B + C = 180°... (*)
„	.	*	.	180° ,no	g 9°	/9x\'
Donde: m Z C = ~ rad - "3" = 60 ; m Z B = r. ^7 = I -jp I
Io
m Z A = 9°18' = 9°+ 18'. — = 9° + 0,3° = 9,3°
En (*) : 9,3° +	+ 60° = 180° =>	= 110,7°	.’. x = 123
44.- Como el AABC es equilátero, se debe cumplir que:
45	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar cada una de las medidas de los ángu-
los al sistema sexagesimal. Luego:
50 „ 9°	7nx	180°
A = — x8.	= 5x° ; B = 8x° ; C = rad.---------------7 = 7x”
9	10B	180	Tirad
Por tratarse de un triángulo se cumple:	m Z A + m ZB + m ZC = 180°
Reemplazando las equivalencias en esta relación, tendremos:
=>	5x° + 8x” + 7x” = 180°	=>	20x” = 180°	.-. x = 9
46	.- De acuerdo con la información que brinda la figura, podemos establecer que:
30 = x°... (1)	;	56 = yg...(2)
, „ m 3 x° 3 x° 10g
(1)*(2): - =— => - = — .—
5	5	9
x 27
Eliminando las unidades y despejando:	— = —	... (3)
Sistemas de Medida Angular
R1
271
Transformando la condición dada:
M =

y
Reemplazamos (3) en (4):
27\
50 J
-1
M=i
47	.- Convirtiendo las medidas de los ángulos dados al sistema radial, tendremos
___________ Tirad 22n	,	,	Tirad 2n
m/B = 88 .	= -7^-rad => mZD = 80g.	— = —rad
180	45	200®	5
Como la figura ABCD es un cuadrilátero, sus ángulos interiores verifican:
A + B + C + D = 2nrad
22n 3ti 2tt
Reemplazando las equivalencias: A + rad + — rad + -y rad = 2n
. 13n .
A=~36 rad
48	.- Convirtiendo los ángulos a radianes:
,40 g Tirad x ,
mZB=y/. 20()j; = Tirad
„ Tirad XX
tn Z C = 10x^ .------ = — rad
180°	18
„	„ nrad xn
tn Z D = 6x . ---- = — rad
180°	30
Por ser la figura un cuadrilátero :
tn Z A + tn ZB + tn ZC + tn ZD = 2nrad
2tix	x	nx
=> rad + th xrad + ~ rad +
45	15	18
TIX
— rd = 2rt rad
Tt
¡r X = 271 => X = 10
Reconocemos que el mayor ángulo:
mZB=y
49	.- Sean: a, P, 0, y 8 los ángulos internos de un cuadrilátero
Y según condición del problema:
a = x-2r
P = x-r
6 = x
8 = x + r
(Progresión Aritmética)
M = 2
, „	1071 J
m Z B = -jij- rad
Se sabe que: a + P + 0 + 8 = 360° = 4008 => x - 2r + 3x = 400g__(1)
R1
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
D1TOIIB
Estableciendo las equivalencias entre el sistema centesimal y el sistema M, se tendrá:
508 < > 40M => 400g < > 320M ... (2)
Por dato:	x - 2r = 5M	... (3)
(2) y (3) en (1):	5M + 3x = 320M => x = 105M	...(4)
(4) en (3):	105M-2r = 5M => r = 50M
Luego el mayor ángulo será: 8 = x + r = 155M
50.- Sean los siguientes las medidas de los ángulos del hexágono:
a ; b=a-r ; c = a-2r ; d=a-3r ; e = «-4r ; f=a-5r
Donde r es la razón de la progresión aritmética. Asimismo en un hexágono se cumple:
Suma ángulos interiores = 180°(n - 2) , n = #de lados , donde: n = 6
=> a + (a-r) + (a-3r) + (a- 3r) + (« - 4r) + (a - 5r) = 180°(4)
=> 6a - 15r = 720°... (*)
Pero por dato: a - 125°; luego de (*) se puede despejar r, tal que:
6«-720°
r= 15
Luego, el menor ángulo es:
6(125°)-720°
15
= 2°
f= a - 5r = 125° - 5(2°) = 115‘
rt rad
180°
f 23n
f=~3€ rad
Sistemas de Medida Angular
R1
273
CAP.?-
Longitud de Arco
LONGITUD DE ARCO
01.- Para determinar la longitud del arco necesitamos convertir el ángulo dado en radianes,
para ello utilizaremos la equivalencia dada y una regla de tres simple:
Irad  57°17'44"
0
171°53'12"
_ 1 rfld.l71°53'12"	_ 1 rfld(171°51'+120"4-12")
b -	57°1Z44"	=* b “	57°17'44"
n 1 rad(3)(57° 17'44")	„ o ,
=>	0 -	57°17'44"	0-3 rad
Como: L = 0.R	> L = (3)(40 cm)	L = 120 cm
02.- Unimos O con Q y Q con B, logrando formar el triángulo equilátero OQB, de donde:
m Z OBQ = 60°. Además: m Z OBA = 45°, de este modo: m Z ABQ = 15°.
Como:	15° < > rad => LfS =	• (6 cm) = cm
T	71
— 2 cm
M = n cm
RACSO
 DITOlll
274 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
=> Preg. son*. = k»+Ui+ L„= n( J2 + 1) + 3n + 4 ¿2 preg somb= 7l( Vz +4) -» 4 ^2 )
04.- Recordando la fórmula especial:
L.L.
e=-v-
La aplicamos dos veces en el caso dado:
x—a b-x	a2+b2
6 = ~¡T~ =	••	x = —.i.
b a	a+ b
05.- Nuestra estrategia consistirá en atribuir a cada arco una medida según las condicio-
nes establecidas:
y — AB — Lj¡¿
x = O A = L£ ;
Haciendo un gráfico y aplicando la propiedad del problema anterior, se tendrá:
6 =
*-y
y
x
0= - -1
y
Donde: y = x0
Pero:	0 > 0
=>	02 +0-1=0	=>
Longitud de Arco
06.- La expresión "M" se puede escribir así:
M =
Aplicando la propiedad de los ejercicios anteriores en el gráfico dado se tendrá:
^=6...(1)	;	^=0...(2)	;
De (1), (2) y (3) en (*) , la expresión queda como:
m= 7ae-e=Je2-e . m = o
- = e . (3)
a	' '
07.- Elaboramos un gráfico según el enunciado del problema:
Dato:	2R = 100 m => R = 50 m	50 m
Luego: 0 = 50g.	= ^rad =>	6= ^rad	O<^50*
\ /L-e
De este modo la distancia recorrida será: e = . 50 = m	J
Y recordando la fórmula de la rapidez:
v~ t
25tt/2 m
v= 20s
e
5n ,
v =
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
08.- Sea OA = R ; OE = r; m Z AOB = 0. Entonces de la condición del problema se tiene:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Diroin
09.- Nuestra estrategia consistirá en transformar el dato en una expresión cuyos térmi-
nos podamos reconocer como áreas de regiones circulares:
R26 + RL = 80
1 i RL
Multiplicando por 1/2:	—R26 +	= 40
2
1 2	1
Donde: Area sector circular AOB = ~ R 0 = — RL
=> 2A = 40	A = 20 m
10.- Haciendo el cálculo de las áreas de cada sector circular según las condiciones del
11.- En el sector circular AOB:
OB = OA = R= ^cm
m Z AOB = 6
bg(5b)m
(15b)m
... (lg=100m)
(10Qb)m + (5b)m	( 105bY e z, Tirad _ Z2Lrad
(15b)m	” [ 15b J =*	” ’ 180° “ 180 ™
Luego el área del sector será:
R26	_ í ¡36 f 7n_
2	“ 2 V 7	180
\	7
1 36 7rt
2‘ 7 ’ 180
C Jt 2
S- wem
Longitud de Arco
R2
AREA DE UN SECTOR CIRCULAR
A
3tt
12.- Recordemos que: 135° = — rad
311 . nz 3y/2.
=>	Ua=—(2V2)=—nm
4	2
También: Lj¡¡ = y (2 + 2 V2)	=>	= Tt + V2 Tt
Luego el perímetro de la región sombreada es:
3V2
L= AN+ Lfs+Ljíi = 2^2 + 7t + J2n + n
2^2
N
45°'\ 2J2	\
 45W*50	1
O 2 M 2<2 B
2
L = 2V2 + 71 + ^p-71
13.- Graficamos según el enunciado del problema:
Donde: R = 6 m ; 6 = 150°
Tirad	5rt
- 6 = 150°=>6=—rad
r. „ 6R2	5ti 62 2 c
Como: S = -- => S = — . — m	S = 15rt
2	6 2
14.- Reconocemos que: OjC = OC = OjE = r
=> LOjCO es Isósceles.
Por el teorema de Pitágoras: OjO = r-¿2
También: OE = O1O + O1E => OE = r-j2 +r
Pero:AO = OE => r(V2+l) = 8 => r = 8(j2-l)cm
Luego:
Área sector _ Área sector Área
sombreado — circular AOB círculo
S= -JaO2- 7ir2
S = 16ti -7t[192- 128 ^2]
=>	S=^.82- ti[8(V2-1)]2
S = 7t[128 ^2 - 1761 cm2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BD1TOBBI
15.- De la figura tenemos:
71	7t
2a + 3a + 4a = —	=> a = —
2	lo "
Según dato: AB = 3-J2 => R = 3
1 2
Area región sombreada: S = ~ R (3a)
” s=í<9>(3#) S=T”
16.- De la figura: A =
„ ti ( Ri 2
Luego:	S2 + A = y ------
v >
R2
Asimismo (*): Sj + A =
Según condición: 13Sj = 7S2
=>	13. ——(1-6) = 7. —[--el
2	2 1^2 J
7tt
=> 13 - 136 -----76 => 66 = 13 - —
2	2
1
Pero: 7tt = 22 => 66 = 2	6 =
17.- De acuerdo con el dato se tiene:
$aob ~ 3rt =>	-	- 3tt => r - 6
O Z
71
Luego: L¿g = 6. OC = — (8)
O
i 4tc
La - 3
Longitud de Arco
TRAPECIO CIRCULAR
19.- Aplicando la fórmula especial para el ángulo central, tendremos:
C-S
Sustituyendo los datos: 6 =
6 =
Lj-C
Del Cap. 1 recordamos que: C = lOJc; S = 9k; R = — k
Al reemplazar en (*): 6 = ~
ió‘
20.- En la figura mostrada se puede reconocer que:
21.- Del gráfico se puede establecer que el área del trapecio está dado por:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITC1II
22.- Nuestra estrategia consistirá en determinar el área de las regiones sombreadas en
función de las magnitudes 6 y r. Veamos:
s=<	(*)
2
=> Sj = 2©/ => Sj = 2©/ -	= 3S
Análogamente calculamos las demás regiones,
tal como se muestra en la figura.
Luego la región sombreada es: A = IOS
( Gr2	?
Yde(*):	A = lOl —I	A = 5©^
23.- Sustituyendo los datos en la figura, reconocemos que:
*Oaob: OA = Lxa => © = 1 rad => OD = L® = L => L/j = L - 4
Luego usando la formula del área del trapecio circular:
íL+L-4^
S=l-----¿---l4=2(2L-4)	O
Pero: S = 20	2(2L-4) = 20
L = 7
L
24.- Puesto que la figura dada es simétrica respecto de OC, podemos establecer que:
(2©) r2	©r2
25!=*-^—	S1=— ...(1)
Y del trapecio circular ABDE:
2S2 = (26r266r)2r S2 = 4 ©A .. (2)
O
30r
C
30r
S.
S.
S2
Dividiendo (2) -e- (1):	g = 8
25.- Sea © la medida del ángulo central.
AO = 2 + x; AB = x + 2 .'. 6 = 1 rad
En el sector COD: 2 = x - 1=> x = 3
ci - c ii c ÍCD+AB
El area SD calcular: bD = I-2---
D
Longitud de Arco
(x + 2)-(x-l)	3
Aplicando la fórmula especial se cumple: 6 =--------- => 6 = —	- (1)
Y del sector OCD, se verifica que:
x-1
e=— ...(2)
X X — 1	2
De (1) y (2) tenemos:	— =	=> x - x - 6 = 0
Como(l) = (2): f	=♦ x2-x-6 = 0 => (x-3)(x + 2) = 0 =>
Finalmente el área del trapecio circular viene dado por:
x = -2 (absurdo)
x = 3
r(x + 2)+(x-l)'
2
26.-De la condición del problema tenemos:
6-2R
2R + R6 = 6 =>	6 =	... (1)
De la figura mostrada, el área del sector circular
está dado por:
1	2
2	R 6 = 2	- - (2)
1 •> (6-2R)
Reemplazando (1) en (2)	— R“. -—— = 2
6R - 2R2 = 4 =» R2 - 3R + 2 = 0 => (R - 2)(R - 1) = 0 =» R = 2 ni o R = Im
6 =
6-2(2)	6-2(1)
------- = 1 rad ó 6 = ------------ = 4 rad
El mayor ángulo central mide 4 rad.
27.- Por dato :	LT +	+ 2a = P
Transformando esta expresión, multiplicando por cada miembro tendremos:
Esta ecuación tendrá solución en los reales, si: discriminante > 0
=> P2 - 16S > 0 =>
P2
16
P2
Q - 2____
^máx 26
R2
282
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
UlDITOlll
28.- Nuestra estrategia consistirá en determinar el valor mínimo que tiene el área del
trapecio circular. Luego determinaremos los valores de x que lo hacen posible, a conti-
nuación calcularemos los valores de a y b que se corresponden con dicho valor y final-
mente se determinará la medida del ángulo central 0.
En el gráfico mostrado calculamos las longitudes de arco:
a = R0 a b = (R + 4)0 = R0 + 40
fí
b — a
= t>	b = a+46 =*	0 = —— ... (1)
A continuación calculamos el área S del trapecio circular:
Sustituyendo los datos para a y b, se obtiene:
S = 2(210 - 40x + 7x2 - 30x] => 14x2 - 140x + 420 - S = 0 ...(*)
Puesto que el discriminante debe ser > 0 , tendremos:
(-140)2 - 4(14)(420 - S) > 0
=>	350 > 420-S =»
S>70
Smln = 70
Sustituyendo este valor en (*), descubriremos el valor de x:
14x2 - 140x + 350 = 0 =>	x2-10x + 25 = 0	=»	(x-5)2 = 0 => x = 5
Con este valor encontramos: a = 210 - 40(5) = 10 a b = 7(5)2 - 30(5) = 25
Finalmente reemplazamos en (1) y obtenemos: 0 =
25-10
4
APLICACIONES MECÁNICAS
29.- En el sector OAB, se verifica que:
En el sector C^OC^:
L1 = 0(R-r) => L1=^(R-r)
0 = 3,75
L
L = 0R => 0 = —
donde: LCR = longitud recorrida por el centro de la rueda.
Y:	p = perímetro de la circunferencia del móvil
L(R-r)
Li = R . n = UR-H
2nr 2w	2nRr
Longitud de Arco
30	.- Convertimos 0 a radianes y a continuación determinamos el número de vueltas de la
rueda para lo cual reconocemos que su centro recorre una trayectoria idéntica a la cir-
cunferencia del piso.
„ „ Tirad 6n
6 = 6. ----- = 7577 rad
180°	180
0Tt	L
Luego: L =	.R =>	n = —— 2nr
Bn p 180	0R
' 2nr	11 ~ 360 r
31	.- Sea s la longitud de arco recorrido por el atleta.
Como: s = vt => s = (17,6 .	).36s => s = 176 tn
tirad 14rt
Sea: 0 = tn Z AOB = 56°. 7777 = --------rad
Pero recordando que: s = 6R =>
R = 180/n
176
44
45
_ £ _ 176 tn
“ 6 ~ 14 22
45’ 7
El diámetro de la circunferencia es igual a: 2R = 360 m
32	.- Los discos A y B tienen un punto de contacto, entonces se cumple :
f	Q
®B'rB = ®A'A => eB=eA-^ => eB = 90°.|
Los discos B y C tienen un eje común de giro (O), entonces se cumple :
3
6c = 6b = 90°. I =54°	.-. 0C = 54°
33	.- Rueda menor gira Bnrad
Iv____2n rad
—> «j = 4 vueltas
nT____8ti rad
Entre las ruedas se verifica que: nA. Rj = n2 - R2
Donde:	Rt = 3r a R2 = 4r
Luego:	(4r)(3r) =n2(4r)	.-. n2 = 3v
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1DITOUI
34.- Por estar en contacto las poleas 1 y 2 verifican:	Lj = L2 => ©i - ri = ®zr2
2
=> e(6) = e2(9) => e2=-e
2
Entre las poleas (2) y (3) que tienen eje común, se cumple: 02 = 63	=>	03 = — 6
2
Como: L = 0.r, tendremos:	L3 = 03 . r3 => L3 = ~ 0(12) = 80
Finalmente la distancia que recorre el bloque es igual a la longitud de la cuerda que se
envuelve en la polea 3:
L3 = 80
35.- Desde que las ruedas recorren la misma longitud, se verificará que el número de
vueltas que estas dan, se encuentran relacionadas del siguiente modo:
L	L
Rueda menor: n, = 7—	a Rueda mayor: n, = _ “
1 2nr	1	2ítR
L	L	L	L	r	3
De la condición: 11, - h, = 7—	=>	77— - 77777 = 77—	= —
1	2 &7tr	2nr	2nR	8nr	R	4
36	.- Se oberva que el centro de la rueda recorre la
distancia: e = 90 - 2 = 88 cm. Luego aplicando la
relación conocida para el número de vueltas dado:
88	-
2nr 2^)(2)
e = 8&cm
n = 7
37	.- Nuestra estrategia consiste en determinar la longitud «L» que recorre el centro de la
rueda y que de acuerdo con los datos se puede determinar a partir de la relación conocida:
Luego: —7— = 267	.’.	44m = 267
Longitud de Arco
38	.- Datos: R = 70 cm r = 20 cm
Incógnita: x = ?
Debemos reconocer que la relación entre el número de vueltas y los radios es inversamente
proporcional, luego:
VUELTAS	RADIOS
a ................. 70
a + 100 .............. 20
=» 70» = 20(«+100)
Y efectuando operaciones, obtendremos: a = 40
A partir de la siguiente relación sabemos que:
espaciorecorrido
* vueltas = 27t(radio)
De donde : Espacio recorrido = 2rt (radio). # vueltas
Utilizando "cualquiera" de las ruedas obtendremos el espacio recorrido solicitado:
Im
x = 2n(70cm) .40.
=> x = 2n. 28m
Haciendo uso de la aproximación para n dada en la condición, tendremos :
x = 2^~y-J28m	=> x = 176 m
Finalmente:
espacio recorrido = 176 m
, espacio recorrido
39	.-Se sabe que: # vueltas=~—,	--------?—
Perímetro de una vuelta
Luego en relación al disco móvil diremos que,
cuando este retorna por primera vez al punto
P, su centro habrá recorrido la longitud de
circunferencia de radio (R + r)
2n(R + r) .
# vueltas = ——-~O
Pero, como:R = 6« y r = a
Luego al reemplazar en (* *)
RACSO
IDITOIII
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Se tendrá que: # de vueltas =
# de vueltas = 7
40.- Para determinar el número de vueltas solicitado calcuremos primero las vueltas que
da sobre los lados del triángulo
espacio perímetro 44
# vueltas 3 =	=	27t(l)	= 2n
# vueltas =
Ahora calcularemos las vueltas que da la
rueda en los vértices del triángulo . Para
ello basta con apreciar la figura adjunta
en donde se nota que la rueda da un nú-
mero de vueltas que viene dado por la suma
de los giros que ella experimenta cuando
pasa dp un lado a otro, teniendo en los
vértices a su centro de giro.
n = 7i-a + 7i-P + 7i-0 = 3n-(a + P +0)
n = 3n - ít = 2ít rad
n = 1 vuelta
Finalmente, el número de vueltas que en total da la rueda el recorrer el perímetro del
triángulo, será:
# vueltas = 8
Método abreviado
Bajo el supuesto que lo anterior se ha comprendido, te sugiero resolver lo mismo del sgte.
modo:
#V =
e
2nr
Elados+Ee
#V=----------
(fl + b+c) + 2nr
#V= i------------
2ítr
#V =
(a+b+c)
2ítr
+ 1
#v=4F+1
2.^.1
#V = 8
Longitud de Arco
«W.3
Razones Trigonométricas
ios Agudos
01.- En base a la figura construida, reemplazamos en la condición dada:
tan A + tan C = 2 =>	— + — =2	=> í?2 + c2 = 2ac ... (1)
c a	' ’
Pero:	b2 = fl2 + c2 .. - (2)
2
r-, m ,,x	,2 -	.	b b	b	2ac
De (2) en (1):	b = 2ac	=>	— . —	=	—	=
' '	' ’	a c	ac	ac
Luegi
esc A . esc C = 2
02.- Sean : BC = a, AC = b, BA = c . Sustituyendo en la condición dada:
.o a b c a	b2+c2 a	>i(
cotC + cot B = 4 => - + ^=4	=^> bc = 4 ... (*)	/
2	2	2	B
Por el teorema de Pitágoras: a = b + c	/
2	s _________E
En (*):	t- = 4 =» a2 = 4ab => a4 = 16b2?	B c A
' ’ bc
Calculando y reemplazando a4 en: F = 16 sen B. sen C. cos B. cos C
_	16b2c2
f=_7“
16b2c2
16b2c2
F=1
F =
21
03.- Construimos un triángulo rectángulo en base al dato de: tan 0 = —
Donde: x2 = 212 + 202
x = 29
Reemplazando los valores de las RT en la expresión para M, tendremos:
21
M= - .
3 I .29
+ 4Í—
29
21
20
M = 3
R3
288
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
2
04.- Se pide:	W = tan C - co* . (1)
Graficamos el L con los datos:
2	2	2
Teorema de Pitágoras: a + c - b ... (*)
2,2	2
a = b -c
Reemplazando en: 2 sen A = csc C, 2.	=> 2.í?.c = b2 ... (2)
2	2
En(l>:	=2^-^.de(2)
w_ b2-c2 _ a2
2.a2 ~2.«2

05.- Sean a, b y c los lados del triángulo rectángulo en progresión aritmética, tal que:
a = x-r , b = x y c=x+r	B
Como: b > a => B > A	/
c/
También se cumple que: c = a + b	/
2	2	2	2	_________EZ
=> (x + r) = (x - r) + x => 4xr = x => x = 4r	A b C
,	o x+r 5r	5
Luego: sec B = — = ^	.-. sec B =
06.- Sustituyendo los datos en el gráfico original podemos reconocer que:
En el LABC:
a
tan a = —
8
EnelLCBD:
Sustituyendo
en
a
tan 0 = —
la condición dada:
a a
tan a + tan 6 = 77 => — + —
8	3
a = 168
07.- Sustituyendo los datos en el gráfico original podemos reconocer que:
En el ACB tenemos: tan 6 = — < 1
b
Por el teorema de Pitágoras se cumple que:
í?2 + b2 = (2 Vflb )2 => a2 + b2 = 4ab
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
(a\	a	a
l — l +l=4v; pero tan 6 = 7-
l b 1	b	r	b
=> tan2© - 4 tan 6 + 1=0
Resolviendo: tan 6 =
4±-J(-4)2 — 4(1)(1)
2(1)
tan 6 =
4 + 2J3
2
tan 6 — 2 + a/3
ó tan 6 = 2--J3
tan 6 = 2 - V3
>2
08.-Sustituyendo los datos en el gráfico original podemos reconocer que:
m + a	m
cot a =--- a tan B = —
a	a
m + a m
Luego M -------------—
a a
M = 1
09.- Construyendo el rectángulo ABCD y trazando su diagonal AC, nos muestra que:
AB = DC = o , BC = AD = b, m/CAD-(í
, , I®	21	21A
Según condición: cot a = — = 1,05 =------ = — = —-
a	100	20	20k
El perímetro es: 2a + 2b = 492 =>
2 (20 A) +2 (21 A) = 492
=> 82A = 492 =>
k = 6
>a-20k = 20(6) = 120 m a b 21A = 21(6) = 126 m
Por el teorema de Pitágoras en el LADC tenemos:
d = 174 m
diagonal: d = Ja2 + b2 = V1202 +1262 => d = ^30276
290
R3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
JUACSO
WlDlTOlll
11.- Completamos los lados del L, con los datos:
En el L DBCA hallamos BC: (BC)2 = («)2 - (b - a)2
BC= Jiab-b2
En el L ABC, hallamos AC: (AC)2 = (BC)2 + b2
12.- Sea el paralelogramo ABCD: AB = 8 ffl ,
AD = 16 m. BD es la longitud menor.
En el LAEB: se traza BE ± AD , además para
ángulos notables de 30° y 60° se cumple:
AE = 4 m , BE = 4 V3 m
ED = AD - AE = 16 - 4 = 12
En el L\BED tenemos:
Por el teorema de Pitágoras: BD = VbE2+ ED2 ^(4^3 )2
BD = JÓ4(3) m
BD = 8 - J3 m
13.- Sea el L al que se refiere el enunciado, de casos a,byc.
Según datos:	a + b + c = 132 ... (i)
a2 + b2 + c2 = 6050... (ii)
2	2	2
Por el teorema de Pitágoras: a + b = c ... (iii)
De (iii) en (ii): c2 + c2 = 6050, de lo cual: c = 55
El problema se reduce a resolver: a + b = 77	, de (i)
a2 + b2 = 3025 ..., (iii)
Haciendo: a = 77 - b, reemplazando: (77 - b)2 + b2 = 3025
Resolviendo: b = 44 => a = 33 => a, es el menor ángulo agudo.
.	33	3
tan a = 44 = 4
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
R3
291
14.- Reconocemos que el LBAE es de los notables:
53°
m ZABE =	= m Z. ECD
Por el teorema de Pitágoras:
Sea a la medida del ángulo central:
Tirad	53íi
=> a = 2m Z ABE = 53° => a = 53°.	“ = rad
loU	loU
En el sector circular BEC: BE = EC (radio del arco BC)
Lg = BE . cz =
FE L 53ti
5 2 ‘ 180
53^571
360
15.- En el LABC dado se puede identificar que:
. a . a 12	11 a
tan A - c => c - n x => x - 12 . c ... ( )
De la otra condición: 10(6c - b) = b - c => 60c - 10b = b - c
c	ii	c	11b
61c - 11b —. =
b	61	b	61b
De donde deducimos que: c = 11b a b = 61b
Por el teorema de Pitágoras: b2 = c2 + c2 => (61b)2 = o2 + (11b)2
a = 73721b2 -121b2 =>	« = 60b
Reemplazando en (*) tendremos:
11 60b
12 ’ 11b
x = 5
R.T. RECÍPROCAS
16.-Efectuando la multiplicación indicada en la expresión original, tendremos:
'4 cos36°. sec 36° +9 sen 54° .sec 36'
cotl8°.cot72°
Por la propiedad de las razones recíprocas se tiene que: cos 36°. sec 36° = 1
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
JS RACSO
paDiTOBBa
Por la propiedad de las Co-razones trigonométricas: sec 36° = csc 54'
=> sen 54°. sec 36° = sen 54° . csc 54° = 1
cot 18°. cot 72° = cot 18°. tan 18° = 1
a cot 72° = tan 18°
Sustituyendo estos productos en (*):
4(1)+ 9(1)
M=V^—
M= V13
17	.- Aplicando la propiedad de las Co-razones, se tendrá que:
senl0°= cos80°
sen20°= cos70°
(+)
sen70 = cos20
sen80 = cosl0
sen 10° + sen 20° + ... + sen 80 = eos 10° + eos 20° + ... + eos 80°
senlO° sen20°+—. + sen80°
cosl0°+cos20°+... + cos80° 1
sec(3x-15°)
Reemplazando en la condición del problema: --------- = 1
=> sec (3x - 15°) = 2
2
Pero: sec 60° = 2 => 3x - 15° = 60°
x = 25°
18	.- Tenemos: sen (50° + x) - eos (40° -x) + tan (x + 10°). tan (x + 40°) = 1	---(*)
Por la propiedad de las Co-razones:	sen (50° + x) = eos (40° - x)
Transponiendo términos: sen (50° + x) - eos (40° - x) = 0
Reemplazando en (*) obtenemos: tan (x + 10°). tan (x + 40°) = 1
Transponiendo términos:
Por razones recíprocas:
Reemplazando en (**):
tan (x +10°) =
1
tan(x + 40°)
1
tan(x + 40°)
= cot (x + 40°)
tan(x + 10°) = cot(x + 40°)
- • (”)
Por co-razones trigonométricas: x + 10° + x +40° = 90° x = 20°
,3(20°)	,
Luego en:	M = sec (3.20°) + cor 2	= 2 + (V3 )	M = 5
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
R3
293
19	.- De la condición (1) despejamos:	sen (x + y) = cos (85° - y - z)
Por la propiedad de co-razones: x + y + 85° - y - z = 90° => x - z = 5o... (3)
De la condición (2) despejamos:	tan 2x =
Por razones recíprocas:	tan 2x = cot 3z
Luego por la propiedad de co-razones: 2x + 3z = 90°... (4)
3x-3z = 15°l
Hacemos: 3(3) + (4):	„	1 + => 5x = 105°	=> x = 21°
' '	2x + 3z = 90 J
Sustituyendo en (3):	21° - z = 5o	z = 16°
Luego: M = tan [2(21°) + 11o] - tan (21° + 16°)
4	3	7
=> M = tan53°- tan37° = | |	.-. M= 12
20	.- Por la propiedad de Co - razones tenemos:
tan 89°= cot 91°
tan 88°= cot 92°
tan87°=cot93°
(multiplicando) => B = cot l°.cot 2°.cot 3o.... cot 44°
tan 46°= cot 44°
Luego:
AB = (tanl°.cotl°).(tan2°cot2°) (tan3°.cot3°).. - (tan44°cot44°).(tan45°) => AB = 1
i	i	i	i	i
2
Finalmente tendremos que: M = (1) . tan —	M = 1
21	.- Según las propiedades de las co-razones: sen 10° = cos 80°
Esto nos permite expresar M en términos del seno, así tendremos:
«b(senl0°—l) + fl2 -b2senl0°	absenlCP—ab+a2 —b2senl0°
flb(senl0°+l) + fl + b senl0°	¿?feenl0°+flb + fl +h2senl0°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ÍJ1P.ACSO
PaDlTOBBI
Usando la propiedad de las proporciones, tendremos:
9
1+M	loteen 10°+2íi
1-M	2ab + 2b2senl0°
1+M 2fl(bsen46°T:flJ
1-M = 2tefl+hseR-TC*J
1+M _ a
1-M “ b
22.- Como: m Z B = 90°
mZA + mZC = 90"
Luego por la propiedad de las co-razones:	sen A = eos C
2
2 3^
Reemplazando en (*): (sen A)(sen A) + (sen A)(senA) = '
=> 2(sen A)(senA, = 2.33
=> (senA)(senA)
Finalmente por analogía deducimos que: sen A = 1/3
23.- Como: sen (39° - 6) = eos (14° + 36)	39° - 6 + 14° + 36 = 90°	26 = 37°
Luego en el LDBC (notable)
Se observa: 5k = 36
=»	k=6
=> x = 4k .-. x = 24
24.- Por co-razones trigonométricas: tan 80° = cot 10° a sec 70° = csc 20°
Entonces en la condición del problema: csc(6 + 26°) = 2tanl6°.cot20° gen26°.csc26°
1
=> CSC (6 + 26°) =2 =$•	6 = 16°
,	1	3
Luego:	M = eos 60° + tan 45°	—>	M = — +1	.-. M =
25	.- De la condición (1): 5a +2b + c + 26° -3a = 96° 2a + 2b + c = 7G°
=>	2(o + b) + c = 76°
Sustituyendo en (*) la condición (3): 2(36°) + c = 76°	=> c = 16°
De la condición (2):	4d + e = 40° + e => d - 16°
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
Finalmente remplazamos estos valores en la expresión dada:
D = tan [(10° + 2(10°) + |(10°)] = tan 45°
D = 1
fí.T. DE ÁNGULOS NOTABLES
26	.- Colocando los datos en la figura original, reconocemos que: LODA es notable.
=> OD = 4k a OA = 5k
También se observa que: OD = BE = 4/c
OA = DE = 5k
Finalmente en el LOEB: tan 6 =
27	.- Reconociendo que el L ABC es notable anotamos los valores de sus lados y ángulos
AB = 4k , BC = 3k
Por dato: BC = CD => CD - 3k
Luego L ABC:	tan 6 = —
6k
„	2
tan 6 =
28	.- Del LADE Notable, afirmamos que.
En el cuadrado ABCD: CD = AD = 4k =>
De la figura: BF = 4k - k tan 37°
3	13
=>	BF = 4A> ~k= —k
4	4
I3A
.	BF	4
Luego: E\ ABF: tan x = - = ——
6	AB	4k
DE = 3k a AD = 4k
R3
296
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
XRACSO
WdiTOJII
29	.- Reemplazando los valores notables en la ecuación dada tendremos:
Efectuando obtenemos: x = 2 - x
30	.- Recordando que: tan 60° = -J3 , sen 30° = 1 /2, reemplazamos en la expresión dada:
sec 6 = tan260° + sen 30° => sec 0 = (Jsf + — Tk/'
sec 0 = 7- =	("0" es agudo)	c
Pero:	x2 = 4912 - 4k2	=> x2 = 4512 => x = 3-j5k
x 3J5	t- (3^5 | 1	15	1
Luego: tan®=2k=-^~ => M = -J5 I	l+ ~	~	M = 8
t
31	.- Recordando las R.T de los ángulos de 30o- 45° - 60°, reem lazamos en la expresión dada:
W = 2
32.- Reemplazando el valor de x = 15°, tenemos :
w=tan2(60°)+cos2(45o)+a3t260l
sen30°
Recordando que:
1 11
cos 45° = -7= ; cot 60° = —¡= ; sen 30° = —
V2	J3	2
Calculando:
tan 60° = -J3
W =
3 + —
____2
1
2
3
= 7 +
2
3
22
3
2
Según condición: W = g = -y => a = 22
n + 3 = 25
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
34	.- En el gráfico:
Haciendo: BD = DE = M => AE = 2n
=> LADE es notable: DAE =
coo 070
Calculamos: a = 45° - -7- = “7“
cot	cot = 3
35	.- Sean los números: (x - r), x, y, (x + r) los
lados del triángulo rectángulo- A partir de la fi-
gura podemos reconocer que el menor ángulo es
el indicado con a, dado que él se opone al cateto
de menor longitud, luego:
cosa = 777---C)
A continuación aplicamos Pitágoras, para reconocer una relación entre x y r:
(x - r)2 + x2 = (x + r )2 => x2 + r2 - 2xr + x2 = x2 + r2 + 2xr
=> x2 = 4rr => x = 4r...(**)
Finalmente reemplazamos (**) en (*): cos a =
cos a = 0,8
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
«JíFlACSO
BOITOIII
36	.- Luego de graficar el enunciado del problema
tendremos:
eos A = 0,6 = Jq
Dado que no aparece un triángulo rectángulo don-
de intervenga el ángulo A, trazamos la altura CH .
En consecuencia por "la propiedad fundamental"
de las R.T. de un ángulo agudo.
Podemos decir que:
cosA =
AH 6
AC " 10
- > AH = 6k a AC = lOk
Graficando una vez más el problema y reemplazan-
do los valores obtenidos, concluimos que:
HC =8k a BH = 4k
Finalmente:
tan P =
HC 8k
BH ~ 4k
tanP = 2
37	.- De acuerdo con el item 3.2.3 se sabe que: sen 3x = eos 75° <=> 3x + 75° = 90°
Luego:
3x = 15°	.-. x = 5o
38	.- Al igual que en el problema anterior, se cumple que:
2x + 25° + 5x - 5° = 90° =>	7x + 20° = 90°
Finalmente:	7x = 70°	.-.	x = 10°
39	.- Trabajando con la condición dada :
tan (x + 41°). tan (2x - 31°) =1 => tan (x + 41°) = tan(2x-3i°) (*)
Por lo visto y explicado en el item 3.2.1 sobre razones recíprocas, podemos afirmar que:
tan(2x-31°) = cot (2x ' 31
Luego al reemplazar en (*) tendremos: tan (x + 41°) = cot (2x - 31°)
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos
R3
299
Dado que esta relación corresponde a una razón y su co-razón,diremos que los ángulos
dados son complementarios, por lo tanto:
(x + 41°) + (2x - 31°) = 90° => 3x + 10°= 90°
=> 3x = 80°
x = 26,6°
x = 26° 40'
40.- Utilizando el mismo procedimiento del problema anterior, tendremos que:
1
= tan
4x\ /por razones
~3 / \ recíprocas
Luego:
, /5x-96°\	/4x\
cot (—2—) = tan
U 1	5x-96° 4x
Entonces:	---2--- +	= 90
=>	15x - 288° + 8x = 540°
=>	23x = 828°
41.- De la condición dada:
Luego por ser co-razones:
Y por condición del problema:
Restando (1) - (2) m.a.m.
Y reemplazando en (2):	2x - 20° = 10° => 2x = 30°	.’. x = 15°
Finalmente:	el mayor ángulo es: 20°
(por tratarse de co-razones)
=>	23x = 540° + 288°
x = 36°
cot 2x = tan 3y
2x + 3y = 90° ... (1)
2x - y = 10° ... (2)
4u = 80°	.-. y = 20°
42.- Se sabe que : sen a - cos 2P = 0 => sen a = cos 2P
Luego:	a + 2P = 90° ... (1)
Análogamente, si:	sen p.csc 4a = 1
deducimos que:	P = 4a ... (2)
A continuación trabajando con (1) y (2) obtendremos:
a + 2(4a) = 90° => 9a = 90°
Entonces:	a = 10° y P = 40°
Finalmente:	a + P = 50°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
MíRACSO
W^BDITOBBB
43	.- Por razones trigonométricas de ángulos notables, tendremos:
tan (« - b) = 1	<=> a-b = 45°
tan (a + b) = -J3 <=> a + b = 60°
Luego, resolviendo el sistema anterior, obtendremos: a = 52° 30' y b = 7° 30'
,	a 52°30'	a _
Finalmente:	= yogg-	fe = 7
44	.- En el triángulo rectángulo BAD:
tan 60° = —= ^3
2^/3
b = 6
Finalmente, en el triángulo rectángulo CAD:
sen 30° = ~ = i
a 2
=> a = 2b
a = 2 (6)	.'. a = 12
45	.- En el triángulo rectángulo ABC:
100 i
sen 30° = .. = -x => y - 200
En el triángulo rectángulo CAD:
eos 30°
Luego:
200 _
x 2
400
46	.- Reemplazando el valor de "0"en la expresión tendremos:
Íi-\2	/	i-\2
V3 | J 2V3 |	3 A 4(3)
3	3	Q + _Q-
“ sec60°	1	=> E =	2
3 + 12
=> E = —~— —>	p — —	• E — —
=> r. 2	=*	18	•	11 “ 6
1
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos
R3
301
Resolución de Triángulos
TEOREMA 1
01.- Con ayuda del siguiente gráfico, podemos deducir
el valor de «x», así:
x = b - m
Pero:
m = a cos a (usando el teorema 1)
Finalmente:	x = b - a cos a
02.- Graficando el enunciado del problema ten-
dremos:
Z ACH = 0 (Por ser complemento del Z A)
Finalmente aplicamos el primer teorema en el
triángulo sombreado, obteniendo:
h = m cos 0
B
03.- Con ayuda del gráfico siguiente, podremos trabajar en dos triángulos rectángulos
parciales, así:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ía RACSO
«P ICIYD1II
04.- Reconociendo que: AD = DC = BD = 3a
Encontramos:
BG = 2a y GD = a
En el IXGHD: tan(ZDCG) = tan 0 =	.. . (1)
En el triángulo GHD:
HD = a cos a y GH = a sen a
„ .	... .	«sena sena
Entonces en (1): tan 0 = wcosa + 3f/ = o7saT3 
B
(2)
Por dato: cos a + 3 = 3 sen a; luego al reemplazar en (2) tendremos:
_ sena	.	_	1
tane = 3^7E	=» lan e = 3
Observación.- Demuestra que a es un ángulo obtuso
05.- Area del cuadrado = (6 +a)2 = 64	=> 6 + a = 8 => a = 2
Asimismo se observa que 2m = &J2	=> m = 4^2
r>  j k run r\ /lím	HC PC HC 2	_ X
Reconociendo que: IX CHP ~ IX AMP: =>	= & => HC = 3
A continuación recurriremos a la variable auxiliar 0, la que nos permitirá relacionar aún
más los lados conocidos con el que buscamos.
En el triángulo AMO: x = m sen 0 ... (1)
En el triángulo BP'O: = m cos 0 ... (2)
Dividiendo (1) -s- (2) tendremos: tan 0 = 3 = 3/1
Finalmente: en (1) x = m sen 6
12y[5
5
06.- En el triángulo TQR: TQ = L sen a (Teorema 1)
En el triángulo PQS:	QS = L sen P (Teorema 1)
De la figura:	TS = TQ -QS
k = L sen a - L sen P
k = L (sen a - sen P)
Resolución de Triángulos Rectángulos
07.- De acuerdo con la teoría de los ángulos inscritos vistas en Geometría, diremos que:
m Z BOC = 2 m Z A = 20
A continuación, aplicando el teorema «1» en el trián-
gulo OMC obtendremos que:
MC = R sen 0
Luego: BC = 2 MC (MC =BM)
BC = 2 Rsen G
08.- Colocando los datos en la figura dada, aplicamos los teoremas de resolución en el
triángulo rectángulo ABC:
(*) 4k = 4 sen a =>
(*) x + 3k = 4 cos a =>
De (1) en (2) tendremos:
k = sen a ... (1)
x = 4 cos a - 3k ... (2)
x = 4 cos a - 3 sen a
09.- Tracemos DE _L AB
En el LBED: BE = q sen a; ED = q cos a
Asimismo: AE = BA - BE = p - q sen a
Por semejanza de triángulos (ABC y AED):
BC = AB	x	_ P
ED AE	qcosa p-qsena
pqcosa
p-qsena
10.- Aplicamos los teoremas en el L BQC y el L CDQ,
estableciéndose que:
R cos a - PQ = R - R sen2a
2
PQ = R(sen a + cos a - 1)
2
Pero: sen a + cos a = M
PQ = R(M -1)
R4
304
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^Mracso
S OITOUI
11.- Sustituyendo los datos en la figura original, identificamos:
El L BEA, donde: BE - 3k => BF = 3k eos 53° = —
5
12k
En el L BFE: EF = 3k sen 53° =
5
En el L CHE: HE = HF - EF
,	12*	13*
Luego:	HE = 5k- —— =----
55	B 5k A
9*
Además se observa que:	CH = BF = —
— | +í~^—| => CE = kVÍ0
5 J < 5 J
CH 5
eos a = —— = . ’,
CE Vio*
=> 5 VÍ0 . eos a = 9
W = 9
TEOREMA 2
12	.- Graficando el enunciado del problema, tendremos que:
Area Trapecio:
Por el teorema «2»:
Pero: 2m + b = B =>
h = m tan 0... (2)
2tn = B-b
m =^...(3)
A= (M)h (1)
A continuación reeplazamos (3) en (2):
h = tan®
Finalmente sustituiremos el resultado en (1): A = (^2^)'	2 tan ®
. ÍB2-b2\
A = I—£— I tan 0
13	.- Graficando el enunciado del problema, consideremos que: m Z CMB = 0, luego en el
t\ MBC aplicamos el teorema 2.
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
BC = a tan 6
Y del ts. ABC:
t BC atanG .	. tanO
tanA = AB	=* tanA= 2-
tan 0 = 2 tan Á
14	.- En el ts. ACD: Aplicamos el teorema 1
AC = 2R cos a
En el ts. AOC: Aplicamos el teorema 2
AC = h sec a
Luego: 2R cos a = h sec a
2R eos a . sec q = h sec a
i
1	9
R = ^hsec a
R = 0,5 h sec2 a
15	.- Aplicando los teoremas de resolución de triángulos en el triángulo rectángulo ABD
y a continuación en el triángulo rectángulo ABC, tendremos:
a + atanP
cot a =---------
a
Luego de simplificar, tendremos:
cot a - tan P = 1
16	.- Sea BC = a => AD = 2a
En el LCBD: BD = a tan a
En el L ABC: BA = 2a + a tan a
En el L ABC: cot a
BA _ 2a + atana
BC ~ a
1	9
----- = 2 + tan a => tan a + 2 tan a - 1 = 0
tana
Resolviendo la ecuación cuadrática: tan a = -1 ± V2
Pero a es agudo, entonces:
tan <x= 42 - 1 > 0
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOII1
17	.- En el L BEC hacemos: BE = a => EC = a tan P
En el L DEC: DE = EC . tan P = a tan p. tan P
=> DE = a tan2p
En el L AEB: m Z BAE = P => AE = a . cot P
DE atan2p
En el L AED: tan 6 = A _ =-------
AE acotp
tan 6 = tan3p
B
A	E	C
18	.- En la gráfica, ubicamos «6» en el LDCE, en
el cual por la relación 1 a 2 de los catetos se reco-
noce:
CQO
a = 45° +
Se pide: sec a; que por de arcos complementarios:
sec a = csc (90° - a) = csc
De la figura:
seca= VÍÓ
19	.- Considerando que el lado del cuadrado mide 2L e identificando los ángulos más
adecuados, la figura dada queda según como se muestra:
En el L MPE:
2Ltan(x—y)+L
tan x - ------------
tan x - 2 tan (x - y) = 1
Resolución de Triángulos Rectángulos
TEOREMA 3
20	.- En ts. CMO aplicamos el teorema 3.
OC = R csc e
Luego: AC= R csc 6 + R
AC = R (csc6 + 1). -. (1)
Ahora, en el tx BAC aplicamos el teorema 2.
AB = AC. tan G ... (2)
Finalmente reemplazamos (1) en (2):
AB = R (csc 6+1) tan 6
2L- Recordemos primero la propiedada geométrica, en donde
conocidos ay b se podrá calcular x a partir de:
ab
x ~ a + b
_3
3
De la figura:
=> GH =
Area A EFG = Area tx BFE - Área BGF
^cota ~a	^-Tjcota
.	_ 3_____3 o 3
aaefg “2’2
a2 a2
aaefg = V cota’Í5 cota =
5»2 cota - 3fl2 cota
45
aaefg - 45 cot a
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
>^RXCSO
MlDITOlIi
22	.- Aplicando los teoremas de resolución de triángu-
los rectángulos en el L BAM y el t\MNC, tendremos:
x cot P = xtan a + a sec P
=> x(cot P - tan a) = a sec P
risecp
Finalmente:	x = cotp.tana
23	.- Por dato se sabe que O es centro del A ABC. Por resolución de triángulos rectángulos
se tiene:
AO = r. csc ; OC = r. csc ; OB = r. csc
Por ser AO media proporcional de OC y OB:
r.csc^ = ^r.csc^.r.csc^ => csc2^ = csc J|.cscy
i  ü j	2 A B C
Invirtiendo:	sen = sen y - sen
24	.- Desde que AC = CD, podemos reconocer que el
AACD es un triángulo isósceles.
Empleando los teoremas de resolución de triángu-
los rectángulos, en el L ABC y trazando la altura del
AACD, se puede establecer que:
x = 2a cot 6
25	.- Instalando los datos y haciendo que: BD = ED = a
En el L DAB: DA = DB sen a = a sen a
AB = DB cos a = a cos a
En el L DEC: m Z EDC = ni Z ABD = a
CD = ED. sec a = a sec a
CA = CD + DA = a sec a + a sen a
_ ..	„ AC	flseca + nsena
En el L CBA: cot P = —
AB
F
«cosa
cot P = sec2a + tan a
Resolución de Triángulos Rectángulos
26.- De acuerdo con la propiedad de las tangentes geométricas, se verifica que: CT = CB.
27.- De acuerdo con los datos: AOD es un cuarto de
circunferencia. Asumiendo que el radio de la cir-
cunferencia es 2r, procedemos a identificar los la-
dos conocidos. De este modo podemos establecer
que:
cot 6 =
rh/3-D
r
cot e = V3 -1
28.- Completando una semicircunferencia y prolongando MN y BO encontramos que
Z OBN y Z OMP son congruentes.
En el L PNB: NB = 2R cos 6
En el L POM: OM = R cot 6
Luego, en la figura: AM + OM = AO
2R cos 6 + R cot 6 = R => 2 cos 6 + cot 6 = 1
Por consiguiente: M = 1
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
29.- Reemplazando datos y aplicando los teoremas de resolución en la figura dada, se
puede establecer que:
m Z AED = m Z ABC = a , sea: AC = a
EnelLADC: AD = csena a CD = ccosa
Si: k = área de la región triangular ADC
, (AD)(CD) 1 ,
=> k =------2-----= 2 (fl sen a' cos a'
R4
310
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
D1TOBIB
, CT	ÍT	k
k=- sen a. eos a => - = sen-acos¿
En el L ACE: CB = AC. cot a = a cot a
Sea: S = área de la región triangular ADC
_ (AC)(CB) _ flflcot a _ fl2.cota _ k cosa
-	2	-	2	2 senacosa ' sena
S = fc csc2a
30.- Nuestra estrategia consistirá en determinar los valores de la tangente y la cotangen-
te de los ángulos dados por medio del cálculo de áreas de cada triángulo dado.
De la figura:
Además:
cota
S=—	---(1)
4S=») (2)
Dividiendo las relaciones (2) + (1):
9cotp
cota
cotp _ 4
cota 9
De donde, obtenemos: cot p = 4* => tan P = —
4*
1
a cot a = 9k => tan a = —
9k
Luego:
9.4*-1
2jk
4.9*-1
36*-1
2jk
36*-1
M=|
31.- Observando la relación de áreas, podemos afirmar que: AD = 2DB.
Si hacemos: BD = b => AD = 2b a BC = h
bh	AD
=> S = — => 2S= —
b
En el L DBC: tan 6 = ~
h
h
En el L ABC: tan 0 = —
=> AD = 2b
...(1)
--(2)
2	1	1
Multiplicando (1) x (2): tan 0 = ~ => tan 0 =	6 = 30°
Resolución de Triángulos Rectángulos
32.-Construimos el LAHB, podemos establecer que el
área de la región triangular AOB. Luego:

4.4sen20
S= 2
S = 8 sen 20
A 4 OH
33.- Tal como se ha hecho en los ejercicios anteriores, aprovecharemos la fórmula del
área de una región triangular para determinar el valor de la razón trigonométrica pedi-
da. Con este propósito trazamos la altura EH del triángulo ABE y, colocando los datos
en el gráfico se establece que: ED = k => CD = 3k
3k(3k)	9 ,
Area A ABE = —- = ~k2	... (1)
1
Pero: Área AABE = ~ (EB)(EA). sen 0 ... (2)
Por el Teorema de Pitágoras, tenemos:
En el L ECB => EB = J(3kf +(2k)2 = -J13 .k
En el L EDA => EA = -jk1+(3k)2 = JÍO
1 i— i—	9 ,
Igualando (2) y (1) tenemos:	— (<13 íc)( <10 k) sen 0 = — k
J130 . sen 0 = 9
csce=^
34. - Sea AB = a ; DE = h y tracemos FD ± CA
En el ABC: AC = a . esc a
En el L AED: AD = h . esc a.
En el L ABC: m Z FA’3 = 90° - a ... (1)
En el L AFD: m Z FAD + a = m Z FAB... (2)
Reemplazando (1) en (2):
m Z FAD = 90° - 2a => m Z FDA = 2a
De este modo: FD = AD . cos 2a
RACSO
 DITO1IB
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
FD = h . csc a. cos 2a
Según condición: Área región AABD = Área región A ADC
(acsca)(hcsca.cos2a) ah	,
-------------------- = —	=> cos2a. csc a = 1
2	2
_	1	1
Área L ECB = -^ab sen 0
36	.-Sea CD = k => BC = 4k AD = 4/c
Trazamos AG//BD y prolongamos CD
hasta que se intersecten en el punto G.
Siendo ángulos opuestos por el vértice, se
observa que
m Z BFA = tn Z EFD = a
Siendo ángulos correspondientes, se ob-
serva que:
tn Z G AE = m Z EFD - a
En el L EDA: EA = 2 Víí k
En el L ADG: AG = JÍ7 k
Calcularemos el valor de la tan a a partir del cálculo del área de la región triangu-
lar AEG:
Resolución de Triángulos Rectángulos
37	.- De la figura: hcot a + /icot 0 = b
Factorizando: h(cot a + cot 0) = b
b
cota + cot0
Luego el área de la región triangular (S) será.
bh	b2
S = 2	’' S = 2(cot a + cot 0)
38	.- Irücialmente, calculamos el área del triángulo MDN, así:
.	base  altura	a-a a2
aamdn _	2	“2 “2 .........*	*
Y de acuerdo con lo visto, tendremos:
A^mdn =	sene.....(**)
Luego, igualando (**) con (*):
a sen 6 = ~~ => sen0=^Jj
A partir de este resultado construiremos un triángulo
auxiliar en donde la hipotenusa sea -JÍO y el cateto
opuesto a 0 sea 1. Allí resultará evidente que el otro
cateto es por Pitágoras, igual a 3.
3
Finalmente:	cot 0 = y
cot 0 = 3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
»¡<RACSO
UiDITOHI
R. T. en Situaciones
Contextualízadas
ÁNGULOS VERTICALES
01.- Con la ayuda del gráfico y la propiedad de los ángulos altemos internos, la condi-
ción del problema queda así:
tan a - tan 0 - tan 6 =
4c 2c c _ 1
9 ' 9 ' 9 “ 4
el	9
9-4	=> a~ 4
Finalmente la altura del edificio será:
Altura = 4c = 4j = 9 m
02.- Del triángulo superior, tenemos: cos 30° =
y	4^3 -Jl
4>/3	3 ’ 2
3
=> y = 2
Finalmente en el triángulo inferior tenemos:
y
eos 15'
cos 15° =
x =	- -J2) m
03.- Finalmente:
- h = G0m
4--------------------------4
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualízadas
04.- Elaboramos un gráfico en donde indi-
camos que el objeto y su imagen equidistan
del lago, quien hace las veces de un espe-
jo. Luego en el triángulo sombreado, ten-
dremos:
sec 2a = p
x = H sec 2a
05.- Haciendo un gráfico adecuado como el
mos que es posible aplicar allí el teorema
a x	a = 5k
5 = 4	=* x = 4Jt
A continuación aplicamos el teorema de
Pitágoras en el triángulo rectángulo ma-
yor así:
(5k)2 = (4k)2 + 92 => 25k2 - 16k2 = 81
Luego: 9k - 81	=>	k2 = 9	>
9
De este modo: x - 4(3) = 12 => tan2a = —
mostrado, nota-
3
tan2a=^
07.- Con la ayuda del siguiente gráfico, observamos que
resulta conveniente trasladar el ángulo dado al trián-
gulo rectángulo SAO.
cos 30° =	=> r = R cos 30°
1\
r = 5516 km
316
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
08.- En el triángulo notable de 45° a 45°, tendremos:
Finalmente:
h = 2,366 tn x
1 000rn
1 km
h = 2 366 tn
09.- Construimos el gráfico, según el enunciado.
En el triángulo rectángulo sombreado se cumple:
(2,5)2 = (4k)2 + (2,5 - 3/c)2
=> (2,5)2 = 16k2 + (2,5)2 - 15k + 9k2
Reduciendo:
25k2 = 15/c =>
3
k= 5
5	5 9
Luego: x = ~ -3k =	~
7
45°
3k
r-2^-3k
n ♦
Mosca
Pajarito
x = 0,7 tn
~ 10 m
10.- Elaboramos una gráfica, en ella se observa:
h cot a = 3h + h tan a => cot a - tan a = 3
Elevando al cuadrado:
(cot a - tan a) = 3
2	2
=> cot a + tan a - 2 tan a. cot a = 9
2	2
tan a + cot a = 11
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
11.- En el gráfico elaborado se debe verificar que: tan a = 2
Asimismo: 5k = 20 m => k = 4 m
También: x = 4k - 3k cot a = 4k - 3k. -
=> x = 4(4) - 3(4). ~ = 16 - 6
x = 10 nt
12.-En el LRST: RS = ST cot 60*
pq
EnelLPST: cot 30° =
= 5
x= 10 nt
13.- Luego de elaborar el gráfico, reconocemos que:	e = 600(cot 0 - cot a); e = v.t
=> e = 600 m
,	600nz 60niin Ikm
11 1000,»
v = 6
14.- Al elaborar el gráfico según el enunciado, se pueden reconocer tres triángulos.
En el LPRS: RS = PR tan 37° => RS = 36
En el LPRT: cot 53 =	= RS+gT
3 _ 36
=*	4 — 27 + h
=> 27 + h = 48	.’. h = 21 ni
R5
318
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
í» RACSO
Pbditobbs
15.- Suponiendo que el avión se mueve en
el mismo plano vertical que contiene a los
puntos A y B, se tendrá que:
h cot 6 = h cot P - h cot a
1
cot 6 = —
1 1_
3 = 6
tan 0 = 6
16.- En el gráfico elaborado la antena está representada por CD
En el L ABC:
h = d tan P
En el L ABD: h + 15 = d tan a
(2) : (1):
h + 15 _ tana
h ~ tanP
Pero:	tan a = 0,76 y
h+15
~r=*
h = 5 nt
17	.- En el L ADB se verifica que:
x
2^ = 16 cos 0 . sen 0
=> x - 16.2 sen 0 . cos 0
x = 16 sen 20
18	.- Elaborando un gráfico correspondiente del contexto en el que se desarrolla la situa-
ción, podemos reconocer que el triángulo rectángulo formado es un triángulo rectángu-
lo notable. Veamos:
Punto máximo
0 = 30°
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
19	.- Sea A el punto desde que se soltó el objeto y B el
punto en el que se volvió a visualizar. Entonces elabo-
ramos el gráfico correspondiente, tal como el que se	Objeto,oA
muestra al lado, dende:	• >
h = 60 . cot 60° . tan 30°	I*
Obtenido a partir de la resolución de triángulos rectángulos y'
=> h = 60. ----- ---- m = 20 m	s	. i
lsj(3j	:-----di
----------------------------------------------60. cot 60°-----1
h = 20
60 tn
ÁNGULOS HORIZONTALES
20	.- Sabemos que:
N 1/4 NE = N11°15’NE
e
Luego, en la figura:
ÁPB = 45° + 0 = 45° + 11° 15'
ÁPB = 56°15'
.-. m ÁPB = 56°15'
21	.- Por Física sabemos que:
W=7
w--Velocidad angular
0 - - Angulo en radianes
t - - tiempo
Siendo A la posición del amigo observado y P y P' las
posiciones del observador
o lrad-
=> CÜ=T =—------
i 0,15
15
1 vuelta
2n rad.
60
x Imin.
=> (ü= 15x2
~ mm.
vueltas
(á = 5°-^
100
El carrusel da 50 revoluciones en un minuto.
50 RPM
E
45°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
£jÍRACSO
WlDITOlIl
22	.- Tratándose de desplazamientos
rectilíneos, lo conveniente es elaborar un
gráfico de todos ellos, tal como el que se
muestra al lado:
x + 20 tn = 40 m
x = 20 m
23	.- En el LBCA reconocemos que: CA = 32 km, CB = 24 km
Asimismo, en el LBID: DI = BI = 40 km => IC = 16 km
En el tXAHF: AF = J(FH)2+(HA)2
AF =
+ 162
= 20 km
cu- . o FH
También: tan 0 =-
HA
12
16
37°
Finalmente el auto se encuentra
en la dirección S 37° O respecto
del punto de partida y a una dis-
N
<X
Posición
partida
3o
¡24
(A)
o
!16
20
n
60 km
®!16
I
F H
Posición
"* final O1)
tancia de 20 km.
24	.- Elaborando el gráfico correspondiente a los
desplazamientos efectuados, logramos identifi-
car que:
1) x = 1G^2 + j2 sen 22° 30'
x = 10 J2 + J2 .	= 5^2
2
2) y = 10^2 + 72 - cos 22°30'
y=10-j2 + V2 .	=5(2+ Jí)
y - x = 10 ktn
Faro
N NNE
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
R5
321
25.- Elaboramos un esquema de acuerdo con
los datos proporcionados en el que se pue-
den establecer las siguientes observaciones:
1) El AABC es isósceles dado que: AB = BC
2) Asimismo, por ángulos alternos internos:
6
0 + a = 20 - a => 2a = 0 => a = ~
Por lo tanto la estación A respecto de C
se encuentra en la dirección:
S(20 - a)O
sfo
26.- Uniendo el punto de partida con los puntos de
llegada de cada móvil, se forma un triángulo en el que
son conocidas las medidas de sus lados. Asimismo se
puede reconocer que estos valores verifican la siguien-
te relación:
(5,8)2 = (4)2 + (4,2)2
Dicho triángulo es recto en P.
7t
P + 2P=-	.’. P=|r«d
27.- Graficando el enunciado, siendo:
P el punto de partida
R el punto de desvío
T el punto final de la lancha.
Dato: PT = RT => A PTR es isósceles
=> TPR = PRT = 30°
Así:	a = 15°
La dirección es: S75°E
N
>E
S
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
paDiTOiaa
28.- De acuerdo con el enunciado, las perso-
nas ubicadas en A y B se desplazan
rectilíneamente hasta encontrarse en C. Se
observa que sus direcciones forman los án-
gulos de medida 150° y 30°.
Por lo tanto el menor ángulo formado por
ellos mide 30°.
N
29.- Al hacer la construcción gráfica, reconoce-
mos la presencia de un triángulo rectángulo no-
table uno de cuyos ángulos agudos es: 53°/2.
Aplicando la proporcionalidad de los lados:
JO = 200 ; IG = 100 J5. Y en el L IHG:
O<—
E
>
/'53°'\ r- 2
IH = IG.cosI — = 100 V5 . -j=
l 2 I J5
IH = 200
í 53° i r~ 1
GH = IG.sen ---- = 100 V5 . —¡= => GH = 100
l 2 I J5
'%6°30'-53°/2 _
-fc "->-----s
I E H
S
Finalmente en el LJHG:
JH _ JQ + IH _ 200 + 200
GH ” GH ”	100
cot 0 = 4
30.- Este tipo de situaciones problémicas requieren de una buena dosis de paciencia. Ya
que la estrategia consistirá en trazar, sobre un esquema, las direcciones más usuales,
cuyas prolongaciones nos indicarán sus respectivas direcciones opuestas.
La dirección opuesta al NE~ E es la dirección: SO O
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
31.- Se sabe que a = 11°15' es el ángulo que re-
presenta la medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal entre dos direcciones contiguas.
De la figura: El mayor ángulo "P" será:
P = 180° + 4a = 180° + 4(11°15')
P = 180° + 44° 60’
.-. P = 225°
32.- Tal como hicimos en el problema 20, elaboramos las direcciones correspondientes
para cada proposición. Se verifica que el ángulo formado por dos direcciones sucesivas
es: a = 11°15'.
a)	El mayor ángulo es:
360° - 6a = 360° - 6(11°15') = 292,5°
b)	El menor ángulo es:
180° - 4a = 180° - 4(11°15') = 135°
c)	El menor ángulo es:
90° + 4a = 90° + 4(11°15') = 135°
Por lo tanto tenemos:
a) F b)V c)F
PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES
33	.- Situaciones problémicas de este tipo exigen
la elaboración de un esquema gráfico
tridimensional, en el que se puedan colocar los
datos correspondientes. En nuestro caso el pla-
no horizontal es el lugar donde se hacen los tra-
zos de las direcciones náuticas.
En el LPQR: (Ii ¿3 )2 + (/i)2 = 802
=> 4h2 = 6400	=> h2 = 1600
80
R
O-»,-'
Boya
S
h = 40 m
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
34	.- Sea QR = a
En el LQRP: PR = QR . tan a = a tan a
En el LPRT: TR = PR tan a = a tan2a
En el LQRT: cot P =
QR
TR
cotP =
a
2
otan a
cot P = cot2a
35	.- En la figura: m Z IHD = m Z DHF =
Asimismo reconocemos que el ADFH es i
guio e isósceles.
En el LHFB:
HF = hi. tan a => HF = FD = BC
En el LHDA: HD = h2 tan a
En el L HFD: Por teorema de Pitágoras
(HD)2= (HF)2 + (FD)2
2	2	2	2	2	2
=> h2 tan « = hi tan a + fq . tan a
=>	h2=
En el BCA: tan a = -——— => tan2a
tana
=> tan a =	: que permite elaboi
el gráfico adjunto.
seca= $2
36	.-Sea PQ = 3j2m
En el LBAQ es isósceles => AQ = AB = /z.
h
EnelLBAP=> AP = ABcot60°=> AP =
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
R5
En el L APQ: Por el teorema de Pitágoras.
(ÁQ)2 = (ÁP)2 + (PQ)2
2
2h2	r~
=> ---- -18 => /i = 3V3m
3
EnelLQCD:
QC = CD cot 30° = h . J3 = 3 V5. V5 =
2
Aplicando el teorema de Pitágoras : (PQ =
PC = V63
PC = 3V7wi
37	.- En la figura: AR = x tn ; DR = y tn
Según datos:	AB = 7,20 tn ; CD = 9 m
En el LGDI y el LGRF tenemos:
9(7,20) + 7,20y = 9(7,20) + 9x
JfACSO
BDITOBia
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
39.- En el L AMB:
Hacemos:	MB = 4k
AM = 3fc
=> HR = 3k a PR = 2k
n .	2
Pues: tan a =
L PRH' = IXH'BQ
2k _ _L
4k ~ BQ
BQ = 2m
La sombra mide: 2 m
40.- Sea: CD = h; AG = H
EnLiDC => FD = /icotO
En L FGA => FG = H cot 0
En L FDG => es isósceles
=> FD = FGsen45°
1
h cot 0 = H cot 0 .
.-. H= 42 h.
En t\CBA: tan a =
AB AB AB
CB DG FD
H-ft	h(42-l)
tana= ~~ = —-----------
/icotO Jicote
= (J2-I).tane
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualízadas
R5
327
CAP.6
R. T. de Ángulos
en el Plano cartesiano
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICION NORMAL
01.- Graficando según los datos del problema, reconocemos que:
Luego:
x=6 ; y = -l
r= ^62+(-lf = 437
Finalmente:
E = V37
6
’ (-D
E = -43
02.- Elaboramos el gráfico correspondiente indicando el ángulo en posición normal a.
En el triángulo rectángulo PHO se verifica que:
r = OP = ^(—2)2+32 = ^13
,	r J13	r JA3
Luego: esc a = — = —o- a sec a = — = ——
J/p J	*p ~2
Reemplazando en W obtenemos:
3
2
w= -
2
2	4	4
03.- De la condición: 9 tan a -16 = 0 => tan a = a tan a = -
7t	-4
Dado que:	7— < a < 4ti => ae IVC => tan a < 0 => tan a = — ... (*)
Sea P = (xP ; yP) un punto que pertenece al lado final del ángulo a en posición normal.
Luego al aplicar la R.T. de (*), se puede establecer que:
Vp	Vp —4
tana=—	=*	- = ^
Vp = 4
xp=3
Haciendo:	yP = -4 ; xp = +3
R6
328
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿RACSO
Luego: r = OP = -^(-4)2 +(3)2
= 5
r 5
CSC Vp - 4
; cot a = ~
xp -4
-3
4
5
Finalmente, obtenemos: W = —
4
- - — - -2
4 - 4 - 2
W = -2
04.- Efectuando como sigue:
- 0,25 = sen x +
2
sen x +
1 9 ' ,
— = sen x [1 + sen x + sen x + sen x +... J =>
4
Como:	<x<2n
re IVC
Por el teorema de Pitágoras:
p
(y?)2 => xP = ^32-(-i)2 = 2J2
Luego- W = 12 (sec x - cot x)
3
2^2
2V2
-1
3 + 8
2 |_2j2_ =
11
2
1
4
sen3x +..
2 2
3 +15 25
"n"tér minos
05.- Escribiendo como sigue la condición:
sen0 = - —
2
2
Luego:
1
1
sen 0 = - —
2
111
3 + 3 ' 5
1
5
1
7
1	1
2n-l ' 2ii + l
sen 0 = —
2
1
1-
2n + l
-n
sen 0 = -.
2w +1
Como: sen 0 < 0 y eos 0 < 0 => 0 e IIIC
Luego de (*): y = -n , r = 2n + 1 , x <0, siendo (x; y) un punto del lado final de «0» y r
su radio vector.
x2 = (2n + l)2 - n2 = (2n + l)(n + 1) => x = - J3ii +1 . J11-I
Vn + 1
Luego: M = J—.
-n
(2h+1)
M = „--7 = 1
3m + 1
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano

329
íai----Vena	7 -4®
06.- Como: (vcosaj = (sec a)
sena	1	1
(cosa) 3 = (seca)7 = (cosa) 7
Luego:
. sena _
3 — 7
3
sena = - ~
=> x2 = T1 - (-3)2 = 40 => x = 2y[W
Finalmente, reemplazando en M tendremos:
M = 7
7
7
2J10
-3
M = 0
SITUACIONES GRÁFICAS
07.- Nuestra estrategia consistirá en determinar las coordenadas del punto de intersec-
ción P; resolviendo el sistema de ecuaciones dado:
x + 3y = -7... (1)
5x+2y = 4 ...(2)
V
Resolviendo (1) y (2): x = 2 ; y = -3
Al graficar, se deduce que: r = J13
Finalmente:
7
W = tan a + sec a =
... -3	2	13	7
W = —.	—	+	—	—
2	2	4	4
W = 1,75
08.- Utilizando la ordenada del punto «D» y haciendo que: 4k = 4
R6
330
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
*%’ACSO
p BDITOKBB
09.- Sea OA = OD = R, radio de la circunferencia. Reconociendo que el triángulo AOD es
isósceles, trazamos EO -L AD . De este modo se evidencia que EO es altura, mediana,
mediatriz y bisectriz interior del AAOD.
Hagamos que:
En el L COB =>
EnelLCFD =>
En el L AGB =>
AB = BC = CD = k
OC = OB =
2
CF = FD =
2
„A ™
GA = GB =--
2
De este modo podemos reconocer que las coordenadas de A y D son:
A = (*a ' Va) =	a D = (rD; yD) = W2
Finalmente:
W =Jan 6 - tan <J> =>
W = 1,5
10.- Sean P y Q dos puntos que pertenecen a los lados finales de los ángulos P y a. Tenien-
do en cuenta que la gráfica corresponde a la función: y = -21 x |, evaluaremos asi:
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
R6
331
11.- Nuestra estrategia consistirá en determinar
las coordenadas de los punto de intersección
entre los lados finales de los ángulos dados y la
circunferencia. Para este propósito asumiremos
que el radio de ésta mide 3a, con lo cual se puede
utilizar la relación dada entre los segmentos OA,
AB y BC. Luego se tendrá:
Punto P:
= -J5
Punto Q:

M =0
Luego:
M = -V5 + J5
12.- En el L OCD: r2 = (r - a)2 + (2a)2
=> r2 = r2 - lar + a2 + 4fl2 => Zar = 5a2
5	5	3
Luego: r=~a => r-a-~ a-a=~ a
3
De este modo:	P(-a; ~ a)
—a	7
Luego: cot 6 = «	/. cot G =
ó
PROBLEMAS CONDICIONALES
13.- Aplicando la propiedad dada, las coordenadas del baricentro B será:
Elaborando un gráfico de B y sus coordenadas,
aplicamos el teorema de Pitágoras:
r= ^32+(-4)2 =5
De este modo se tendrá que:
W = 5(sen a - cos a) => W = 5 ["y" 5]
W = -7
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Wdiioiii
14.- Sobre el gráfico dado, indicamos el
ángulo trigonométrico «a» reconocemos
que el Z HAB es notable, nuestra estrate-
gia consistirá en hallar las coordenadas
del punto D.
En el L DHC: HC = ó.tan 3J‘= 2
Por congruencia entre LCPD y LCHB:
HC = PC = 2
Se pueden hallar las coordenadas de «D»:
D = (-7;6)
Calculamos:	tan a =	6	-6 -7 ~ 7	A	cot
Efectuando:	W =	=6 +zZ 7 + 6		1
“ 42
15.- Si tan a < 0 => o. e IIC ó IV C .... (1)
Como las bases son no nulas e iguales, la igualdad se verifica si los exponentes son
iguales.
Luego:
-5
2 esc o. = — =>
-5	5
esc a = - — = — ... (4)
De (3) y (4), aplicamos el teorema de Pitágoras y determinamos que: xr = 3
W = 5 cos a - 4 cot a
Í3
W = 5 -
5
W = 3 + 3
W = 6
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
3331
16.- Como: i) tan 6 > 0 => G G IC ó IIIC
ii) sen 6 < 0 => 6 G IIIC ó IV C
De (i) y (ii): G 6 111C => eos G < 0
2	2
=> | eos G | = - eos G => - eos G > ~ => eos G < - —
2
El máximo valor de eos G es: eos G =	=> x = -2, r = 3
Por Pitágoras:	y2 — 32 - (- 2)2 = 5
Pero: y < 0 => y = - V5 .-. sen G =
17.- Analizando cada proposición tendremos:
i) | sen G | = sen 6 => sen 6 > 0 => GgICó IIC
ii) |cosG| =-eos G=> eos 6 < 0 => GgIICóIIIC
De (i) y (ii) concluimos que: G G IIC
-4	4
=> | tan G | = - tan G = 1,3 => tan G =	- - -i
3	¿
5
=> y = 4 , _r = -3	=> r =5 => csc G = -r
j	4
Luego: M = y +	M =
18.- Si:
| eos P | = - eos P =>
eos P<0 => Pg IICóIIIC ...(1)
Si:
| cot P | = cot P
cotp>0 => pcICóIIIC ...(2)
De (1) y (2) se concluye que:
Pg IIIC
2
Si: | sec P | = 2	=> - sec P = 2	=> sec p =
Por el teorema de Pitágoras: yp = - J3
=> W = sen P . tan p =
V 3 -V3
2
-1
3
Finalmente: W = - —
W = -1,5
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^RACSO
19.- Nuestra estrategia consistirá en utilizar las condiciones dadas para determinar el
valor y signo de tan (ct/2). De este modo sec a se determinará por medio de la relación
dada. Veamos:
Si: |csc a| = -csc a => csc a < 0	=> ae IIC ó IVC... (1)
Si: |seca| = sec a => seca>0	=> ogICóIVC ... (2)
De (1) y (2) se desprende que: a e IVC
De la 3ra condición:	[ csc a - cot a | = k
Sustituyendo el primer miembro:	=
siaelVC => 3^ <a<2n => 3^ < y <7t; g IIC => |tan^ =-tan^
a	(a A
En (3):	-tan — = k => tanl — I = -k
De la sugerencia:
secct =
l + tan2í —
l 2
l-tan2f—
sec a =
1+k2
1-k2
SIGNOS DELAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
20.- Del dato: sen 6 > ^cos<¡>-sen6
a)	Por definición la raíz cuadrada es mayor o igual a cero, luego:
sen6>0 => OgICóIIC => ~ < 6 < rt
b)	De esta misma condición se puede afirmar que:
cos <J> - sen 6 > 0 => cos <J> > sen 6
Y por el paso (a), podemos afirmar que: cos <J> > 0 => <J> 6 IC o IVC
3ti
c)	Según condición: <J> > 6	=> -y- < <}> < 2n
W = tan 6 + cot<i>
OeIICxO ¿elVCxO
=>	W<0
W es siempre negativo
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
21.- De la condición:
Luego:
De la otra condición :
0
2
nc
ti 6
2 < 2 <7t
6
esc — es (+)
0< a <7t
Sumando 2n en cada miembro: 2ti < 2ti + a	<3n
,	,	„	2rt + a	3ti	2rt + a
Dividiendo entre 2:	7t <	<	: —	=> 	6 IIIC
2	2	2
( 2rt+a	1 es (+)
Entonces:	tan 		
l 2	
Finalmente el signo de M será:	M = (+) +	(+)= (+)
22.- Por definición de valor absoluto: | sen 01	= - sen 0 =>	sen 0 > 0
=> sen 0 < 0 =>	0 e IIIC ó 0 e IV C... (*)	
De esta conclusión:	esc 0 < 0	
Luego de la condición: esc 0 - cos 0 > 0 =>	COS0<O =>	06 IICÓ06 IIIC...(**)
De (*) a (**) concluimos que: 0 6 IIIC =>	180° < 0 < 270°
0	0	0
Dividiendo por 3 se tiene.	60° < ~ < 90°	=> —e IC => sen— es (+)
0	0	0
Asimismo:	45°< ~ < 67,5° 4	=> -elC => cot- es(+)
0	0
Del mismo modo:	90° < ~ < 135°	=> 135° < - + 45° < 180°
=> (f+45°) G IIC	=> sec (®+45°) es(-)
Finalmente el signo de M será: M = (+). (+). (-) M = <-)
23.- Como: i) sen 0 < 0 =>	0 6 IIIC v IV C
ii)	cot 0 < 0 =>	0 6 IIC v IV C
3ti
De (i) y (ii) se puede concluir que: 0 6 IVC => — < 0 < 2rt ...(*)
3n 0	0	6
a)	Dividiendo (*) por 2, se tiene:	~q~ < — < n => — 6 IIC => sen — = (+)
R6
336
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ACSO
IDITOlll
26 4n
b)	Multiplicando (*) por 2/3, se obtiene: n < — < —
37t	6 TI
c)	Dividiendo (*) por 8, se obtiene:	16 < 4^ < 4^
26	26
=> ~3 e IIIC => tan — = (+)
e	6
- g IC => sec - = (+)
24.- Colocándolos ángulos en posición normal para
ello trasladamos el origen del sistema.
ac IIC
6 g IIIC
Se dice:
=> |cota| =-cota
=> | cot 61 = cot 6
&
P’ /
H = cot 6 + (-cot a); aplicando definición de R.T.:
IT -n (n-2a\ n-n + 2a
H= -b b )= b

rl 2a
H- b
25.- Nuestra estrategia consistirá en analizar radicandos que figuran en los términos de
la desigualdad dada:
a/-sec 6 < 0 < -J— sen6
i) -sen 6 > 0 => sen 6 < 6 => 6 g IIIC ó IV C
ii)-sec6 <6 => sec6 > 6 => 6gIC6IVC
De (i) y (ii):	6 6 IVC
Luego el signo será: M = (- ) + (- ) (+) = (- ) + (- )	M = (-)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
26.- Los fundamentos en los que nos basaremos, para la resolución, provienen de la
definición de raíz cuadrada. Así tendremos que:
Si: cos P = Jsen6-jsena => cos P > 0 a sen a > 6 a sen 6 > 0 ... (*)
También:	sen 6 > sen a... (**)
Puesto que: a, P, 6 son ángulos cuadrantales ubicados en el intervalo [0° ; 270°], las
relaciones de (*) y (*•) se verifican si: sen 6=1; sen a = 0; cos P = +1
6 = 90° , a = 180°	, P = 0o
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
Luego: eos (a + P + G) = cos(180° + 0° + 90°) = eos 270° = 0
eos (a + P + 6) = 0
27.- Analizando los radicandos de la expresión "M" , se deduce que:
a)	0-2>O
b)	4-0>O
e>2
e<4
2<G<4
El menor ángulo cuadrantal que pertenece a [2 ; 4] es: Tirad ~ 3,1416 rad
=> R = sen Tt + tan rt + eos Tt => R = 0 + 0 + (-l)	R = -l
28.- Como: sen a = tan G + 1 a a y G son cuadrantales, podemos inferir que:
a) sen a = 1 =>
a~ 2
b) tan 0 = 0 => G = 0 ó Tt
Dado que 0 es positivo: G = Tt
,	., senn+sen3Tt/2 0-1
Luego: M =----------------=
tan—
4
M = -l
29.- Al inspeccionar la expresión "M", se puede reconocer que:
a)	a * — ; — => a = 0 ó a = Tt => eos a = +1 v eos a = -1
2	2
b)	P*0, Tt, 2rt => P = — ó P = 3~=> cot P = 0 a eos P = 0
A continuación inspeccionaremos cada término por separado:
B= Jcotp-cosa	=>	cosa = -l	=>	a=Tt	=>	B=1
---------------- Tt
C =^/cosa-cosp + senG	=>	senG = l	=>	G = —	=>	C = 0
.--------------- Tt
A = Jtana + senp + cosG	=>	senp = l	=>	P=~	=*	A=1
Finalmente: M=l+0 + l	M = 2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverías
^íbracso
PlDITOMBa
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COTERMINALES
30.- Como: sen a = - — y a g IIIC
a)	De la definición del seno: y = - 15 a r = 17
=> x2 = 172 - (-15)2	=>	*2 = 8	=> x = -8(x<0)
b)	Luego como "ct" y "0" son coterminales:
„ -15	15
=> tan a = tan 6 =---- = —
-8	8
c)	De la figura: a - 6 = 2rt => tan (a — 6) = 0
Finalmente:	M = — + — +0	.*. M = —
8	8	4
31.- Sean "a" y "P", (a > P), los ángulos coterminales dados, nuestra estrategia consistirá
en establecer las relaciones existentes entre estos ángulos que nos permita determinar el
número (n) exacto de vueltas que los diferencia, para que sea posible identificar al menor
de ellos a partir de sus valores. Veamos:
a)	De la Ira condición:	a + P = 1320°	.. (1)
b)	De la 2da-condición:	900° < ct < 1200°	_(2)
c)	Por teoría se sabe que:	a - P = 360°n , n e Z ... (3)
Efectuando (1) + (2) y simplificando:	ct = 180° n + 660°	.. (4)
Reemplazando (4) en (2):	900° < 660° + 180° n < 1200°
1,3 < n < 3
n = 2
Reemplazando en (4): a = 180° (2) + 660° = 1020°
Reemplazando en (1): P = 1320° - 1020° = 300°	.’.	«300°: es el menor»
32	.- Decodificando la proporción establecida en la condición del problema, tendremos:
26	13	13
—E- =	=> 46P = 13a + 13P =>	33P = 13a	P=— a (1)
a+P	z¿s	33
Y según la otra condición, se debe cumplir que:	a - P = /c(360°) ... (2)
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
Sustituyendo (1) en (2): a - — a = k (360°)
20
— a = *(360°)
a = *(594°), keZ
De (1) reconocemos que a es el mayor, luego según condición del problema:
1100° < a < 1300°
1 100° < A(5940) < 1 300°
1,85 < k < 2,18
k = 2
Finalmente el mayor ángulo mide: o. = 2(594°) a = 1 188°
33	.- Procediendo como en el ejercicio anterior, sean a y P los ángulos coterminales posi-
tivos, tal que a > P , entonces se cumplirá:
a- P -A(360"), fceZ
De la condición:
a 7
P " 2
7
- P - P = A(360°)
5
2P = A(360°)
P = ¿(144°)	.. (*)
Pero también de la condición: 1 200° < a — P < 1 500° => 1 200° < fc(360°) < 1 500°
=> 3,33 < k < 4,167
K = 4g Z
En(*):
P = 4(144°)	ct = 576°
34	.- Sean a y P los ángulos coterminales negativos, tal que a > P de la condición: p = 7k y
a = 5k, lo que por ser coterminales verifican: 7k - 5k - 360°h —> k = 180°n
Además se sabe que:
540° < a - P < 900° => 540° < 7k - 5k < 900° => 540° < - 2k < 900°
=> 270° < - 180°n < 450° => 3 < -2n < 5
De donde reconocemos que: n - -1 (único entero que verifica la desigualdad)
Finalmente el mayor de los ángulos mide:
a = 5k = 5(180°) (-1)	a = -900°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
"A Racso
MISCELÁNEA
35.- A partir del gráfico notamos que los valores de x e y son negativos; por ello al utilizar
el dato de la tangente y expresarse bajo la forma de una razón, tendremos:
tan p — 1,5 — iQ —	~
De donde: secP=2^,y, cscP^y-
1 IV13 V13
-3+2
6

25	1
36.- Por dato: sen a = 0,25 =
Como: a G IQ, podemos reconocer que el valor de x es
positivo, tal como se indica en el gráfico. Luego apli-
cando Pitágoras encontramos:
J . ,2	/2	2 , ,	,,
15
2	4
Finalmente: esc a + cot a = j +
.2
= 4 + 15
2
esc a + cot a = 19
37.- Del dato: -Jl + cot2a =8	=> 1 + cot2 a = 64

cot2 a = 63 =>
cota = ±V63
Como: a g IIIQ, entonces cot a es positiva
Luego:
cota= <63
Asimismo:
r2 = i + 63 = 64
r = 8
Finalmente:
(8 sec a)3 = 8.
(8 sec a)" ----j=
63V63
X
Razones Trigonométricas de Angulos en el Plano Cartesiano
Re
341
38.- Haciendo uso de los valores de las razones trigonométricas de los ángulos
cuadrantales, tendremos:
«2sen^ + 2flbcos0 - b2sen^
R =-------*---------------------
(a-b)2 cos720° + 4ab
,,,	.	„ a2+2ab+b2
Efectuando, obtendremos: R = ~—rrj—“7
(a-b) +4ab
R=______________
n2 + b2 -2ab+4ab
R= +
a2 +b2 +2ab
R=<^
(a + b)
39.- Efectuando, las potencias de potencias, tendremos: (eos a)1/8 = (eos a)-5*31 a
Dado que trabajamos en el campo de los números reales diremos que : Si las bases son
iguales, los exponentes también lo serán:
1	3n
=> sen <x = - g , y puesto que: -£- < a < 2n => aelVQ
A partir del gráfico : x2 + (- l)2 = 82 => x2 = 63
x = Vó3 =3-j7
Finalmente:
cot a - eos a =
3-J7 3J7
-1 ' 8
cot a - eos a = -
40.- Del gráfico podemos calcular "R", para lo cual aplicaremos la distancia entre dos
puntos; así tendremos :
R2 = (2a)2 + a2 = (-4)2 + (-a)2	=>	4a2 = 16
Luego: a = 2, y puesto que : R2 = 5a2	=> R = 2 ^5
Ahora por definición tendremos que:
y -a -2	o x 2a 4
sena=R=y'CosG=R=T=i^
2	2.	4	16	20	2	2
Finalmente: sen a + eos 6=™ + ™ = ™= l	sen a + eos 6 = 1
R6
342
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
*j*RACSO
WlDITOl I
R = 1
Circunferencia
Triaonométrica
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA SENO
01.- De la C.T. se observa que para el rango de variación de 0: n < 0 <	, la linea del seno
varía de modo que:	'1
02.- Como: 30° < 0 < 150°, en este rango de valo-
res la linea del seno varía de modo que:
1
— < sen 0 < 1 => 1 < 2 senO < 2
4 < 2 sen 0 + 3 < 5
M G [4; 5]
03.- De la C. T. se observa que para el rango de
valores de 0, la linea del seno varía de modo que:
=> -1 < sen 0 < 0, es creciente
Sustituyendo el seno por la expresión dada:
4(x-2) + 3(x+l)
- 12 < 7x - 5 < 0
M
Circunferencia Trigonométrica
- 7 < 7x < 5
04.- Nuestra estrategia consistirá en determinar el rango de valores de 12x | y a partir de
éste reconocer el intervalo de valores correspondientes del seno Veamos:
7t	71
05.- Para este caso procederemos como en el ejercicio anterior. Como: - ~ < x < ~, la
linea del seno varía de modo que:
2	1
0 < sen x < —
- 1 <4 sen2x -1 < 1
T	’—M------- T
min	máx
Mmáx + Mmín = °
06.- A partir de la condición dada para los valores del coseno se puede deducir el rango
de valores del arco x correspondiente, que trasladado a la C.T., es como se muestra:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITO1II
De este modo se concluye que:

También de la C.T. se observa que la variación
del seno para este nuevo arco varía de modo que:
0 < sen
We [0;l]
07.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión para W, de modo que sea
posible analizar su variación a partir de una expresión equivalente. Veamos:
Circunferencia Trigonométrica
R7
345
En la figura (2) se muestran los segmentos dirigidos que señalan la variación del seno
cuyo arco se encuentra definido en el intervalo dado por la expresión (*). Luego:
sen(-l) < sen (2 tan 6 + 1) <1
M
M G [- sen 1; 1]
09.- Trabajando con el intervalo de definición del arco se tiene:
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COSENO
10.- Según los datos tenemos:
Completando cuadrados obtenemos-
2
M = 1 + eos x + eos x
M= (cosx+lj
Sabemos por la variación de la línea coseno: -1 < eos x < 1 ; Vxe R
2
4
Sumando 1/2 a cada miembro:
Elevando al cuadrado:
1	1	3
2 -cosx+ 2"2
0<(cosx+l)2 <|
Sumando 3/4 cada miembro:
M
.-. M G [3/4; 3]
R7
346
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Mracso
11.- Por la variación de la línea coseno sabemos que: - 1 < cos 6 < 1 , V 6 e R
Multiplicando por "7"a toda la expresión:
Sumando -3 a cada miembro:
- 7 < 7 cos 6 < 7
- 10 < 7 cos 0 - 3 < 4
Dividiendo por 2 a toda la expresión:
7cos0-3
2
Comparando esta expresión con la propuesta:
7cos0-3
2
Concluimos que:
12.- Sea la circunferencia trigonométrica.
I. De la figura (1) se observa: cos 1 > cos 3, es correcto.
II.De la figura (2) se observa: | cos 41 > cos 5 es correcto
III. De la figura (3) se observa: cos 2 > cos 3, es Incorrecto
13.- De acuerdo con la condición del problema: 3 ~ < G < 2n
a = - 5 /\ b = 2
a + b — - 3
Y de la C.T. se observa que en este intervalo la variación del coseno está dada por:
0 < cos G < 1 (creciente)
=>	0 > - 2 cos G > -2
=>	3 > 3 - 2 cos G > 1
1	3-2cosG	3	/i 3\
=> z<—í—<z •••
3	3	3	\3 3/
Circunferencia Trigonométrica
14.- De la coiuii. »ón dada efectuamos la división indicada, y obtenemos:
W=-------
cos6+1
+ !...(!)
Asimismo, si:
6e IC
0 < cos 6 < 1
Sumando 2 a cada término, se tendrá: 1 < cos G + 1 < 2
Elevando a la -1 toda la desigualdad: ~	~~ < 1
°	2 cosG+l
2
1	T <2
cosG+l
2
Reemplazando (1) en (2):
2< W<3
W G ( 2; 3>
15.-Procederemos según como se hizo en el Prob.7. Empezaremos determinando el in-
tervalo de valores del arco (|*|yjpara el coseno. Para ello, utilizaremos el intervalo
dado para x en la condición del problema. Veamos:
5n
T
<X< 71
5ti
T
Ahora evaluamos el coseno en este intervalo,
para lo cual empleamos el recurso gráfico de la
C T., de donde reconocemos que:
- -y- >cos	>-l
(decreciente)
-2<2cos(¡x|-j)
J2 < 2cos(|x|-^)| <2
We [V2;2]
16.-Reconocemos que la expresión W, se puede
transformar completando cuadrados:
W - cos((sen 6 + l)2 - 1)
Se sabe que si: G g IR
1 < sen G < 1
=> 0 < sen G + 1 < 2
=> - 1 < (sen G + l)2 - 1 < 3
<- Jz
Problemas de Trigonometr a y cómo resolverlos
RACSO
DITO1II
De la C.T. se observa que al evaluar el coseno en el intervalo correspondiente a su arco,
encontramos que sus valores están comprendidos entre los siguientes límites:
eos 3 < eos [(sen 6 + l)2 - 1] < 1	=> Wg [eos 3; 1]	Wmín = eos 3
17.-Nuestra estrategia consistirá en encontrar una expresión equivalente a la propuesta
para M, la cual sea posible de construir a partir de las condiciones establecidas por la
R.T. que en ella se encuentra. Veamos:
1
a)	Analizando el denominador de M, se plantea que: 2 eos a - 1 * 0 => eos a * ~
b)	Para poder efectuar la división indicada, transformamos «M» como sigue:
1	7	7
|(2cos(X-l)+|	2	I	7	1
M =----¿,------- => M = --------------r + ~	=> M = 777	77 + ~
2coscc-l	2coscc-l	2	2(2cosa-l)	2
c)	Sabemos que: |-1 < eos a < 1J -	|
1	1
— 00 < ------s - —
2cosa-l	3
7	7
=> -~< 2(2cosa-l)	6
7	2
-°°< 2(2cosa-l) + 2 ~~ 3
=>	- 3 < 2 eos a - 1 < 1 - (OJ
1
v 1 <----------- <. + 00
2cosa-l
7	7
v 2 - 2(2cosa-l) <+“
7	1
v 4- 2(2cosa-l) + 2 < +
/	2\
M g \ A [4; + °° >
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS: TAN - COT - SEC - CSC
18.- Como: 0 < G < —, trazando la línea secante
4
en la C.T., tenemos: 1 < sec G < -J2 . Luego:
4>h-3
sec G = —-—
4m — 3
Multiplicando por "2":
2<4Ȓz-3 < 2 V2
Sumando 3:
5<4m < 2V2 +3
Dividiendo por 4:
5	2^2+3 ,
— < m<------
4	4
2
2
Circunferencia Trigonométrica
19.- Reconociendo que: 6 G
7t 7t
7'7
trazamos la linea cosecante en la C.T., observándose
que ésta tiene valores comprendidos entre los siguientes límites:
Elevando al cuadrado:
Por condición: csc 6 =
Elevando a la -1:
Multiplicando por 3:
Sumando -1:
20.- Para determinar el intervalo de valores del arco x, que verifica la relación dada en
la condición, nuestra estrategia consistirá en graficar en la C.T. el resultado del análisis
que hagamos de la condición establecida. Veamos:
-1 <2-J3 tanx< 1
=> -3 <-J3 tanx<-1
3> J3 tanx>l
De la C.T. se observa que los valores de x, en el
intervalo de 0 a n, que verifican esta relación
están comprendidos en el siguiente intervalo :
L6'3J
21.- La sec x no toma valores comprendidos en ( -1; 1), por lo tanto para que no se
verifique la igualdad se debe cumplir que:
2m + l
-1 < secx <1	=>	- 1 < —-— <1	=>	- 3 <2tn + 1 < 3 =>	- 4 <2m < 2
=>	- 2 < tn < 1	.-. m e ( -2; 1)
R7
350
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^íracso
^pBDITOBBB
X G
22	.- Si 6 g IIC, se verifica que los valores de la secante en dicho cuadrante están compren-
didos en el siguiente intervalo:
23	.- Tal como se vienen resolviendo los casos anteriores, construiremos la expresión de
W a partir del intervalo de valores para el que está definido el arco x. Veamos:
Por condición del problema: — < x < 2n
2x 4ti
3 < 3
Graficando este arco en la C.T., vemos que la secante tiene valores comprendidos entre
los siguientes límites:
-2>-2
=> -1 > -3
2x
sec—
2x
sec—
3
<2
2x
3
>-3
W G <-3 ; -1>
1 <
3
24	.- Este modelo de ejercicio se resolverá aplicando la misma estrategia que empleamos
para los problemas 14 y 17. Esto lo iniciamos analizando la extensión del arco 6 y desde
este intervalo reconocer el intervalo de valores del seno, lo cual nos permitirá llegar a la
expresión dada. Veamos:
Como 6 g IIC
0 < sen 6 < 1
...(*)
Transformamos la expresión dada efectuado la división indicada:
sen© + 2	1
----Z—7 = 1 +--------ñ-T = esc <1>... (1)
sen6+l	sen6+l
Circunferencia Trigonométrica
Ahora en (*):
1 < sen 6 + 1 < 2 =>
1_
2
<-----~ < 1
sen© +1
3
2 <1+ senB+1 <2
Debido a la relación (1):
3
— < csc <J> < 2
n
=> 4 < csc <¡) < 4
1
1
2	/ Q
CSC <¡> G ( 4 Z 4
25	.- Sabemos que csc 6 no toma valores en el intervalo ( -1; 1). Luego, para determinar
los valores de x, que no verifican la relación dada para la cosecante, nuestra estrategia
consistirá en evaluar a dicha R.T. en el intervalo que no la define. Veamos:
- 1 < csc 6 < 1 => -1 < 2*+3 < 1 restamos a cada miembro
5	-5/2	¿	1	1
2 < 2x + 3 <- 2	5 < 2x + 3 <
1 < 2x + 3 < 5
-1 < x < 1
x G ( -1; 1>
26	.- En este caso, lo conveniente es determinar el intervalo en el que se encuentra defini-
do W, de este modo sus valores extremos se constituyen en los valores mínimos y máxi-
mos que puede tomar. Nuestro procedimiento se iniciará expresando las relaciones
auxiliares del seno verso y coseno verso en términos del seno y coseno, luego evaluamos
los valores extremos en base a los que toman éstos en la recta numérica. Veamos:
W = 5(1 - cos a) - 4(1 - sen 0)
=» Wmáx=l-5(-l) + 4(l)=10
=* Wmáx + WmIn=10 + (-8)
W = 1 - 5 cos a+ 4 sen 0
a WmIn=l-5(l) + 4(-l) = -8
WmáA + VVmfn = 2
27	.- Empezaremos nuestra solución analizando el radicando de la Ira condición, sus
conclusiones serán utilizadas en el análisis de las s'guientes condiciones. Veamos:
i) - cov y > 0	=> cov y < 0	=> 1 - sen y < 0
Esta relación solo se verifica para: sen y = 1
ii) Como: 7 < y < 9
5n
y- 2
> sen y > 1
rt 5n 9rt
2' ~2 ' 2""
iii) De las conclusiones anteriores, se desprende que: exsec x = 0	=> sec x -1 = 0
sec x = 1
x = 0; 2n; 4rt;...
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
PlDITOBIS
Dado que: 5 < x < 7
x = 2n
Finalmente podemos concluir que: x + 2y = 2rt + 2
5rt
2
x + 2y = 7ft
ÁREAS EN EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
28.- Nuestra estrategia consistirá en seccionar la región dada en dos triángulos y deter-
minar las áreas de éstos determinando las longitudes de sus bases y alturas correspon-
dientes. De la C.T. reconocemos que:
PH = sen a a PR = | eos a | = - eos a
(ag IIC,cosa<0)
A'H = AO-HO= 1- PR => A'H = 1 + eos a (HO=PR)
Los triángulos son: APA'Q y APBQ. La base y altura del primero son PQ y A'H; para el
segundo son PQ y PR respectivamente. Luego las áreas son:
PQ.AH PQ.PR
$ = $APA'Q + $APBQ => S =	2	+	2
(2sena)(l+cosa) (2sena)(-cosa)
=* S= —	+	—
=> S = sen a + sen a eos a - sen a eos a
S - sen a
29.- En base al procedimiento seguido en el qercicio anterior, podemos calcular el área
de la región triangular indicada reconociendo que su base y altura coinciden con las
líneas del seno y coseno respectivamente. Luego:
S |sen6||cos6|
2
Como: 6 G IIC
sen 6 > 0
eos 6 < 0
S
(-senB.cos8 i
2	/
*) Aunque la expresión obtemd para el área presenta un signo menos (-) adelante, esto
no debe significar que ésta sea negativa. El signo del área es positivo y esto se confirma
porque en la expresión dada, el seno es positivo en el 2do. cuadrante mientras que el
coseno es negativo en el mismo.
Circunferencia Trigonométrica
30.- Este ejercicio es una variante del anterior, por tal motivo determinamos la base del
triángulo y su correspondiente altura. De la figura:
Base: 12sen 01 a Altura: | cos 01
Luego la altura estará dada por:
|2sen0|.|cos0|
2
Como: 0 e IIC => sen 0 > 0 a cos 0 < 0
S = -(sen 0 . cos 6)u2
31.- Reconocemos que los triángulos tienen de base común a | cos 61. Asimismo pode-
mos reconocer que existen dos triángulos rectángulos congruentes cuyas alturas miden
sen 6. Luego de la figura se puede establecer que:
S = Sj + S2
c |cos6|	|cos6|.|sen6|
Si = -y- .1 a S2 =----------------
Como: 6 G IIC => sen 6 > 0 a cos 6 < 0
,	„	(-cos6)+(-cos6)sen6
Luego: S= ---------------------
-cos 6	-i
> S = —~+ 5611 ®)	= 2 cos® + sen®)
32.- La estrategia consiste en seccionar el gráfico original, reconociéndose que las partes
son triángulos que tienen por base al radio de la C.T., es decir, de medida: 1. Luego se
establece que:
^3*RACSO
UíDITClBI
R7
354
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
33.- De la figura:
| cosB | (21 serte |)
2
Como: 6 G IVC => sen 6 < 0 a eos 6 > 0
Luego: S = (- sen 6 . eos 6)
S = sen 6 eos 0
34.- De la figura tenemos:
a) Como: 6 g IIIC, sen 6 < 0	=> PT = | sen 61 = - sen 6	; OR = - csc 6
b) Como: 6 G IIIC, eos 6 < 0 a tan 6 > 0 => PU = | eos 61 = - eos 6 ; SO = - sec 6
También: AQ = tan 6 ; QV = 1
Circunferencia Trigonométrica

36.- A partir de la figura reconocemos que: AT = tan 6
sena
37.- De la figura tenemos: AR = tan a = -
°	cosa
Además: PU = |cos a| = - cos a (ae IIIC =>cosa <0)
También: PH = UO = | sen a | = - sen a (ae IIIC => sen a < 0) y
En los triángulos rectángulos BOT y los trián-
TO PU
gulos rectángulos BUP: tan 6 =
TO =
BO.PU
BU
l(-cosa)
1 + (-sena)
$arto ~
TO.AR
2
1 -cosa sena
2 (1-sena) cosa
c _ 1 sena
^arto - 2 ’ sena-1
R
38.- Trazando la línea cosecante y coseno, se pue-
den identificar la base y la altura del la región
triangular sombreada cuya área estará dada por:
(1+|csc6|)|cos6|
2
Donde: | cos 61 > 0
g_ (1-csc6)2.(-cos6)
2
R7
cot6-cos6
2
1
S = 2 (cot G " c°s6)
-J&RACSO
 idito i
356
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
39.- De la figura tenemos:
a) OR = | esc a | = - esc a
(ae IIIC
esc a < 0)
b) BP = cot a (ae IIIC
Luego:
(OR)(BP)
•’apor _	2
(-csca)(cota)
2
1 1
' 2 ' sena '
cosa
sena
1	2
S = ”2 eos a. esc a
40.- Hallaremos el área de la región identificando
las coordenadas de sus vértices y aplicando el or-
denamiento propuesto en el resumen, de este modo:
S =
0
cos 6
1
’2
0
-1
-sen0
1
2
-1
3
=>S= ^cosO-
1
”4'
= [jcose+^-^sene+cose]
1 n 1
4 sen6+4
N = 3/4; M = 1/4
M
(0;i)
2
(cos 0; sen 0)
B

M + N + T = 3/4
Q(cos6;-sen6)
41.- Podemos reconocer las coordenadas de los vértices: P (cos a ; sen a), Q (cos a; - sen a),
T (sen a; - cos a), U (sen a; cos a) y S (esc a; 0). Luego el área de la región triangular QSU
R7
Circunferencia Trigonométrica
357
2	2
eos a-senacsca + sen a-csca cosa
-csca.cosa
2
1 'cosa
2 sena
i	1
> S - — cot a S = - 2 cota
MISCELÁNEA
42.- Apoyados en los gráficos de la C.T. se puede establecer que:
I.	eos 25° > sen 25°	=>	1. F
n.	csc 40° > sec 40°	=>	II. V
ni.	cot 27° > tan 27°	=>	III.	F
44.- En base al gráfico elaborado, podemos establecer que
I. De la figura: | eos 21 < | eos 31 => F
n. De la figura: | eos 290° | < | sen 290° |
Pero: 290° G IVC
eos 290° > 0
sen 290° < 0
R7
358
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
j^RACSO
WBDITO1BI
cos 290° < - sen 290° => cos 290° + sen 290 < 0	=> II F
111. De la figura: | sen 11 > | sen 31
> III F
46.- Para resolver este ejercicio graficaremos las
líneas del coseno y la tangente de los arcos co-
rrespondientes y según la condición del proble-
ma. De esta figura tenemos:
I. AP = tan x2 AQ = tan Xj
tan x2 > tan xx .... FALSO
II. TV = cos Xj a UW = cos x2
VM = | cos xt | a WN = | cos x21
WN = | cos x21
.-. | cos x21 > | cos Xj | .... FALSO
IB. BS = cot Xj a BR = cot x2
.’. cot Xj > cot x2 .... FALSO
Circunferencia Trigonométrica
VJ.- De la figura: a = cos 0
d = esc 0
b = sen 0
e = tan 0
c = sec 0
f= cot 0
Luego, sustituimos en la expresión dada:
,, cos0.sec0+sen0.csc0+l
M -----------------------
tan0.cot0
M = 3
48.- Debemos notar que: «-0» es ángulo agudo.
49	.- Podemos reconocer que existe una congruencia entre dos triángulos:
L PHB ~ LQOB:
|cosct| l+|sena|
=* 1/2 - r-
=> 2cosa = 1- sena
Transformando, se tiene:
=> 2 = seca - tana
seca - tana = 2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
P >DITOKB«
50	.- De la figura por semejanza de triángulos rectángulos:
Como:
d _ |sen6|
1 |cos0|+l
6e IIC
sen 0 > 0 a eos 0 < 0
, _ sen6
d - 1-cosfi
51	.- Luego de trazar las líneas del seno y coseno,
hacemos: PM = x. Al disponer de las líneas se
logra visualizar un triángulo rectángulo isósce-
les. Es así que se puede establecer la siguiente
relación:
x-Ji + | sen 01 =1+|eos 01
Como: 0g IIC
sen 0 > 0 a eos 0 < 0
x ^2 + sen 0=1- eos 0
72PM = 1 - sen 0 - eos 6
52	.- La identificación de las coordenadas se hará en base al gráfico, en el que se puede
reconocer que los pares ordenados verifican una disposición simétrica respecto de los
ejes cartesianos. Veamos:
De la figura, las coordenadas de M son:	(- sen 0; - eos 6)
Circunferencia Trigonométrica
DEMOSTRACIONES
01.- Trabajemos con el primer miembro, para lo cual debemos reconocer que:
2	2	2
eos x = 1 - sen x => cos x = (1 + sen x)(l- sen x)
(1 + senx)+ (l + senx)(l-senx)	X13=-serrfJ[(l + l-senx)]
=> 3-----------—1------—------------ = --------------ZZZv7----- = 2 - sen x
(1 + senx)	(ljtserrr)T
02.- Sea:
N = (sen x - cos x + l)(sen x + cos x - 1) => N = [sen x -(eos x - 1)] [sen x + (cos x -1)]
2	2	2	2
Por diferencia de cuadrados: N = sen x - (cos x - 1) - (1 - cos x) - (1 - cos x)
=> N = (1 - cos x)(l + cos x) - (1 - cos x)2 => N = (1 - cos x)[l + cos x - (1 - cos x)]
Factorizando:	N = (1- cos x)(2 cos x)= (1- cos x). 2cos x
Luego reemplazando en el primer miembro de la expresión:
(l^>eeSxJ-2 cos x
----.——------- = 2 cos x
2
03.- Sea: M = (1 - sen x + cos x)
Desarrollando el trinomio al cuadrado:
M = 1 + sen x + cos x - 2sen x + 2 cosx - 2 sen x . cos x
Agrupando convenientemente:	M = 2(1 - sen x) + 2 cos x(l - sen x)
Volviendo a factorizar:	M = 2(1 - sen x)(l + cos x)
___cot2x
04.- Partiendo del primer miembro:	V = cot4x . csc2x - cot2x . csc2x + esc2 x -1
Factorizando:	V = cot4x. csc2x - cot2x(csc2x - 1) => V = cot4x . csc2x - cot4x
cot2x
Finalmente factorizando, tendremos:	V = cot4x(csc2x - 1) = cot6x
RACSO
WlEITOIEl

362 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
2	2
05.- Recordemos que: sen x = 1 - cos x = (1 + cos x)(l - cos x)
Luego, efectuando en el primer miembro como sigue, tendremos:
senx 1 + cosx
1 + cosx ’ 1-cosx
seríx(l-cosx)
sen x
Simplificando, obtenemos:
1-cosx
s e nx
O6.-Nuestra estrategia consistirá en transformar el primer miembro haciendo las si-
guientes operaciones:
2„
KT .	2	2	KT . 2 sen X 2
N = tan x - sen x => N = tan x-------=— .eos x
eos x
2	2	2	2
=> N - tan x (1 - cos x) => N= tan x . sen x
.	2	2.2	2
tan x - sen x = tan x. sen x
07.- Se sabe que: sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x
Elevando al cuadrado a ambos miembros de la igualdad tendremos:
A *7	*7	9	*7
(sen x + cos x) = (1 - 2sen xcos x)
sen8x + 2sen4xcos4x + cos8x =1- 4sen2xcos2x + 4sen4x cos4x
g	g	2	2	4	4
sen x+cos x = l-4sen x.cos x+2sen xcos x
08.- Efectuando la suma indicada en el primer miembro de la igualdad tendremos
1 —senn +1 + senn
(1 + serw)(l - serw)
2	2
- 1 - sen a - 2 tan a
2	9	9
E =-------1 - sen a - 2 tan o
1—sen a
T7	"1	2 q -	2
E = ----— - 1 - sen a - 2 tan a
COS2fl
9	9	9
E = 2sec a - 1 - sen a - 2 tan a
Y recordando que:	sec2fl - tan2¿? = 1
=> E — 2(sec2fl - tan2fl) - 1 - sen2fl
2	2
=> E = 1 - sen a /. E = cos a
Identidades Trigonométricas
09.- Efectuando la adición indicada en el primer miembro de la igualdad tendremos
2	2
(1-senx) + (l+senx)
(1 + senx)(l - senx)
2	2	2	2
Aplicando las identidades algebraicas: (c + h) + (a-b) = 2(a + b )
(a + b)(a-b) = az-b2
2(1+sen2*)
J
1-sen x
1 + sen x
,	2
1-sen x
, ,	2
1 + 1—eos x
2
eos X
,2
2 — eos2 x
2
eos x
1	2
Recordando que: -----2~ = sec x
eos x
S = 2(2.
.sec x - 1)
S = 4 sec2x - 2
S = 2
= 2
10.- Efectuando las operaciones indicadas del primer miembro de la igualdad tenemos:
2	2	2	2	2	2
S = cot x + cot x . eos x + tan x + tan x . sen x
Utilizando las identidades pitagóricas y las de división, se obtiene:
„	2	, eos2* 2	2 sen2* 2
S = csc x -1+-----cos *+sec *-l + -----5— . sen x
Efectuando y agrupando:
S = Sec A + esc A - z. -t- -o- +	2—
sen x cos x
sen x	eos x
4	4
2	„ cos x sen x
2	2
S = sec x . csc x - 2 +
6	.	6_,
cos x+sen x
2	2
sen x.cos x
6	6	2	2
Recordando que: cos x + sen x = 1 - 3sen *.cos x
2	2	1-3sen2*.cos2*
=> S = sec x . csc x - 2 + ------5---5---
sen x.cos x
Efectuando la división indicada:
2	2	2	2	2	2
S = sec x . csc x - 2 + sec x . csc x - 3	S = 2 sec x . csc x - 5
SIMPLIFICACIONES
11.- Recordando que
sec x . csc x = tan x + cot x
21364 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Mracso
Reemplazamos en "M":
M=
' tanx + cot x-tan x)2	/tanx + cotx-cotx
i cscx /	\ secx
Reduciendo la expresión :
cotx
cscx
tanx
secx
cosx
senx
Expresando a términos de sen x y cos x:
Simplificando la expresión :
££nx
1
COSX
1
cosx
M = coszx + sen2x
L senx
,2.
M =
M =
M = 1
12.- Expresando en términos de sen x y cos x, se obtiene:
senx
M =
M =
senx senx
cosx + 1
cosx 1
cosx cosx
1 + senx
Simplificando:
Aplicando la definición de exponentes negativos para expresiones reales, tendremos:
2	2
M = cos x + sen x (Identidad) .-. M = 1
2	2
13.- Recordemos que: sec x = 1 + tan x
Sumando 2tan x a ambos miembros se obtiene:
2	2
sec x + 2tan x = 1 + tan x + 2 tan x
En donde el 2do. miembro concuerda con el desarrollo de un binomio al cuadrado:
n	7
=> sec x + 2 tan x = (tan x + 1) ... (1)
2	2
También recordemos: csc x = 1 + cot x
Identidades Trigonométricas
Restando a ambos membros 2cot x, se tiene:
2	2	2
esc x - 2 cot x = 1+ cot x - 2 cot x
Cuyo 2do. miembro es también el desarrollo de un binomio al cuadrado:
7	7
esc x - 2 cot x = (cot x - 1) ... (2)
Reemplazando (1) a (2) en la expresión original de M, obtenemos:
(tanx+1)2	(cotx-1)2
M =---------+ --------
tanx+1 cotx-1
Simplificando: M = tan x + 1 cot x - 1
M = tan x + cot x = sec x.csc x
14	.- Transformamos la expresión original escribiendo en términos de seno y coseno,
obteniéndose:
M =
senx
cosx + senx.----
_____________cosx
1
senx.----
cosx
Efectuando las operaciones indicadas y simplificando: M =
Sustituyendo el numerador por la identidad pitagórica: M =
2	2
sen x + cos x.
senx
1
senx
M = esc x
15	.- Transformamos el numerador en términos de seno y coseno y, el denominador lo
transformamos adecuadamente para factorizar la tangente. Veamos:
(1-cosx) (l-cosx),coszx
.. senx.CQS*_____senx,cosx__
M =	senx
tanx-^L—.cosx
cosx
Factorizando en el numerador y denominador:
(1-COSX)
senx. cosx
[(l-coszx)]
tanx[l-cosx]
M =
R8
366 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOkll
sen2x
Simplificando y transformando a seno y coseno: M =
cosx
M = 1
16	.- Efectuamos las operaciones indicadas y obtenemos:
9
M = sec x.csc x - sec x + cos x.sec x - cos x.csc x
tanx+cotx	secx	cotx
Haciendo las sustituciones indicadas, la expresión queda así:
M = tan x + cot x - sec x + sec x - cot x
Reduciendo términos nos queda: M = tan x
17	.- Sabiendo que: 2 sec x . cos x = 2 , nuestro siguiente paso consistirá en completar
cuadrados en los numeradores de la expresión dada:
w_ (secx + cosx)2-4	(secx + cosx)2-1
secx + cosx-2	secx + cosx+1
2	2
Aplicando la identidad algebraica: a - b =(a- b)(a + b), tendremos:
W _ (secxjhcesxi::r2)(secx + cosx + 2) _(seGX-f-eosrmj(secx + cosx -1)
Luego de efectuar las simplificaciones indicadas, nos queda:
W = sec x + cos x + 2 - sec x - cos x + 1
Finalmente, reducimos términos y obtenemos: W = 3
18.- Nuestra estrategia consistirá en sustituir sec x y csc x para poder obtener una ex-
presión en términos de tangente y cotangente. Para ello es necesario recordar que:
2	2	2	2
1 + tan x = sec x a 1 + cot x = csc x
cot6x + 3(l + cot2x).cot2x + l	cot6 x + 3cot2 x + 3cot4 x +1
tan6x + 3(l + tan2x).tan2x+l	tan x + 3tan x + 3tan x+1
Logramos reconocer que los términos de la fracción obtenida corresponden a los de la
identidad algebraica del binomio al cubo:
(o + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Identidades Trigonométricas
w =
(cot2x + l)3
(tan2x + l)3
(secx)
6V
W=
sec x
Transformando esta expresión a seno y coseno, obtenemos:
6V
COS X
sen x
W =
W = cot6»
19	.- Nuestra estrategia de resolución consistirá en investigar toda la expresión como si
estuviese constituida por dos términos, los cuales serán trabajados de un modo inde-
pendiente. Veamos:
M = sec x - tan x - 3 sec x tan x + 2tan x.(sec x - tan x).(csc x + 1)
(A)	(B)
a)	Determinemos a qué se reduce el término (A), para lo cual vale recordar que:
2	2
sec x - tan x = 1	. . (*)
Luego de elevar al cuadrado, se obtiene: sec4x + tan4x = 1+2 sec2x tan2x
Y elevando (*) al cubo se obtiene:	sec x - tan x = 1 + 3 sec x tan x
Esto nos permite reconocer que la expresión (A), se reduce a:
A = 1 + 3 sec2x tan2x - 3 sec^x tan2x => A = 1	,. (1)
b)	Trabajamos ahora con la expresión (B), en donde todo lo transformamos a seno y
coseno:
2serr?
cosx
2cos2x
eos2 x
B= 2	... (2).
B =
Finalmente de (1) y (2), obtenemos: W = 1 + 2	.-. VV = 3
20	.- Efectuamos la multipl cación indicada en el denominador de la expresión dada:
M _ (tan4 x + sen4 x - tan4 x.sen4 x)
(tan2 x-sen2 x)
Ahora transformamos el denominador para poder factorizar tan2x:
tan 4 x + sen4x - tan 4 x.sen 4x
=> M =-----------------5-----------
2 sen x 2
tan x------.eos x
eos x
*, tan4 x + sen4 x — tan4 x.sen4 x
M = ---------5-------5-------
tan x.Q-cos x)
sen x
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
faüACSO
Pkditokem
Después de efectuar la sustitución indicada, efectuamos la división y obtenemos:
2	2	2	2	2	2
M = tan x . esc x + cot x . sen x - tan x . sen x
Transformando convenientemente a seno y coseno:
2
cos X
1
^22
x - tan x . sen x
seczx-l
M = —
cos x
2	2	2	2	2	2	2	2
=> M = sec x + cos x - (sec x - l)sen x => M = sec x + cos x - tan x + sen x
2	2	2	2
Y reconociendo que: M = eos x + sen x + gec x-tan x	M = 2
i	1
21	.-Nuestra estrategia consistirá en sustituir las relaciones auxiliares según sus respec-
ta as definiciones. Veamos:
(1 -cosx)[3-(secx-l)] + 2 + (secx-l)
3-2cosx
n	.	..	... (l-cosx)(4-secx)+l+secx
Ki unciendo términos obtenemos:	W =---------5—--------------
3-2cosx
=1
Ete< triando las operaciones indicadas: W = 4-4cosr- s&e< + >e<^x ..cogx +1 + séc<
3-2cosx
Reduciendo términos:
W = 2
22	.- Efectuando la potencia indicada, se obtiene:
1	2	2	1	4	4	22
M = — (1 - 3sen x . cos x) - — (sen x + cos x - 2sen x. cos x)
Efectuamos la multiplicación en el primer término, mientras que en el segundo aplica-
mos la identidad auxiliar para la suma de las cuartas potencias del seno y coseno:
M = — - sen2x . cos2x - — (1- 4sen2x. cos2x)
Efectuando la multiplicación indicada, se obtiene:
1
M=-
_________r"
sen—rTcos x
M=i
Identidades Trigonométricas
23	.- Trabajando en términos de senos y cosenos obtenemos:
cosx	senx	1
_ cosx	cosx	cosx (1 + senx)(l-senx)
senx	cosx + 1	eos x(l + senx)
senx	senx	senx
Simplificando en ambos sumandos, nos queda:
senx 1 —senx	1
M =--------+-------- => M —------------- .-. M = sec x
cosx cosx	cosx
24	.- Nuestra estrategia consistirá en sustituir las relaciones auxiliares por sus corres-
pondientes definiciones, para lo cual recordamos que:
vers x = 1- cos x a cov x = 1 - sen x
M, cosx
M=--------
1 +senx
1 — cosx	senx-cosx
2	3
COS X	COS X
Transformamos el término indicado, multiplicándolo y dividiéndolo por: 1 - sen x
1—senx	1—cosx senx —cosx
M=--------+----
COSX COS X
cos3x
Efectuando las divisiones indicadas:
,,	1 senx .	1 cosx . senx cosx
==> Ni —	-	+	7	- n + o - o
COSX COSX COS x COS X COS x COS X
✓	\ 2	2	2
=> M = serTx - tan x + sec^x -séc x + tan x. sec x - sec^x
Simplificando y ordenando nos queda:
2	3
M = tan x (sec x - 1)	M = tan x
tan2x
25.- Sustituyendo cada relación auxiliar por sus correspondientes definiciones, nos da:
2	2
M = (1 - cos x) + (1 - sen x) + 2(sen x + cos x)
2	2
=> M = 1 + cos x - 2cos x + 1 + sen x - 2sen x + 2sen x + 2 cos x
=> M = 2 + (sen x + cos x)	M = 3
i
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿&RACSO
PROBLEMIZACIÓN CONDICIONAL
26.- Nuestra estrategia consistirá en aprovechar la condición dada y a partir de ella
obtener una relación que nos permita reducir o valuar la expresión dada. Veamos:
De la condición: sen20 + sen 0 = 1	=> sen 0 = 1- sen2©
>	sen 0 = eos2© > sen2© = eos4©
Luego, sustituimos (*) en la expresión dada: M = sen2© + eos2© .'. M = 1
27.- Tal como procedimos en el problema anterior, empezaremos nuestra resolución por
las condiciones dadas. Veamos:
3
De la condición:	sen x + sen x = m
Dividiendo por sen x:	sen x + 1 = m csc x . . (1)
3
De la condición:	cos x + cos x = n
Dividiendo por cos x:	cos x + 1 = n sec x ... (2)
2	2
Ahora conviene efectuar (1) + (2): sen x + cos x + 2 = ni csc x + n sec x
1	M
.-. M = 3
28.- Efectuando las operaciones indicadas en la condición, tendremos:
(1 + senx)(l - senx) + (1 + cosx)(l - cosx) _
1	— Ir
(1 - cosx)(l - senx)
2	2
1—sen x + 1—cos x 9	1
=>	~	~ = k =>	(1 - cos x)(l - sen x) = —y . .	(1)
(l-cosx)(l-senx)	'	'	Jt2
Para poder aprovechar esta nueva relación, será conveniente elevar al cuadrado a la
expresión a calcular, esto es:
M2 = (1 - sen x - cos x)2 => M2 = 2(1 - sen x). (1 - cos x). . . (2)
Reemplazando (1) en (2), obtenemos:
K,2	2	™
M = —y	.. M =~¡~
k2	*
29.- Desarrollando las potencias indicadas, obtenemos:
3	6	2	2	2	3	6
W = sen x+ 2sen x.cos x+ cos x + sen x -2sen x.cos x + cos x + cos x +2 cos x sen x + sen x
Identidades Trigonométricas
Agrupamos convenientemente y factorizamos:
2	2	2	2
W = 2(sen x+cos x)+2sen x. cos x(sen x + cos x) + sen x + cos x - 2 sen x cos x
Sustituimos las expresiones entre paréntesis por 1, y nos queda:
VV = 2 + 2_sen-x-cósx + sen6x + cos6x- 2_sen^rcos3r
Reemplazamos la expresión indicada por la identidad auxiliar correspondiente:
W = 2 + 1 - 3 sen1 2 *x.cos2x => W = 3 - 3 sen2 x cos2x ... (1)
2	2
De la condición: 1-2 sen x cos x = k
2	2	1
sen x cos x =----
2
- -  (2)
Reemplazando (2) en (1):
’l-Jt*
W = 3-3
W= J(l + fc)
30.- Nuestra estrategia consistirá en transformar, de un modo controlado, la expresión
dada para «M» tal que sea posible identificar en ella un término que pueda ser obtenido
de la condición planteada. Veamos:
M = sen4x + cos4x => M = 1 - 2 sen2x cos2x
M = 1 - 2 sen2x. cos2x ... (1)
De la condición dada trataremos de obtener el equivalente de la expresión indicada:
sen x + cos x = -J2
=> (sen x + cos x)2 = (-Jl )2 =>
1+2 sen x. cos x = 2
1
Finalmente despejamos y obtenemos: sen x. cos x = —	- - (2)
Luego reemplazamos (2) en (1):
M = 1 - ±
M=|
31.- Nuestro procedimiento consistirá en transformar la expresión dada en términos de
sec y y esc x. Para ello es necesario recordar que:
2	2	2	2
1 + tan a = sec a a 1 + cot a = esc a
Aplicando estas identidades en la condición dada:
2(1 + tan2x) - (1 + cot2y) = 1	=>	2 + 2tan2x - 1 - cot2y = 1
R8
372
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
P tDITOKBN
2	2	2	2
=>	2 tan x = cot y =>	2 tan y = cotx
Aplicando por 2da vez las mismas identidades en cada miembro, tendremos:
2(sec2y - 1) = csc2x -1	=> 2sec2y - csc2x = 1	.-. W = 1
32	.- Procediendo como en la resolución del problema 30, transformamos de manera
controlada a la condición dada. Veamos:
_ .	eos4 x-sen4*
Se tiene que:	----8------= m
cos *—sen x
Transformamos el denominador: --.	——i-------— = m
-feos^^sénx)(cos x + sen x)
Despejando lo que queda:	— = cos4x + sen4x
Aplicando la identidad auxiliar correspondiente:	— = 1 - 2 sen2x . cos2x
2	2
De lo cual podemos deducir que:	sen x . cos x =	. (1)
Ahora trabajamos con la expresión «M», en donde aplicamos la identidad auxiliar:
2	2	2	2
M = 1 + 1 - 3 sen x . eos x => M = 2 - 3 sen x. eos x . . (2)
(m-1)	»m+3
Reemplazando (1) en (2), tendremos: M = 2 - 3—M - -
33	.- En este caso resulta conveniente sustituir la condición dada en la expresión solici-
tada, obteniéndose:
... sen x—vers x	senx + versx
W =------------ -----------
sen x+ vers x	senx- versx
y	J
r [senx-vers x] -[senx+uersxj
W = -----------2------2---------
sen x-vers x
2	2
Apliquemos, en el numerador, la identidad algebraica: (a - b) - (a + b) = - 4ab
y
En el denominador sustituiremos el sen x por su identidad pitagórica asi como reem-
plazaremos la relación auxiliar versx por su correspondiente definición. Veamos:
W______-4.sen x.vers x
1 —cos2x—[1 —cosx]2
_______—4-senx.uers x______
W- i-COs2x-[1-2cosx+cos2x]
Eliminado los corchetes y reduciendo:
-4.senxx%rs~x~~
W = 2 cos x.n^cosxl
W = - 2 tan x
Identidades Trigonométricas
34	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la condición dada de modo que de ella'
se obtenga la expresión «M». Veamos:
2	2
sec x - csc x = a => (sec x - csc x) = a
2	2	2	2	2	2
sec x + csc x - 2sec x . csc x = a => sec x. csc x - 2 sec x . csc x + 1 = a +1
=> (sec x. csc x - l)2 = o2 + 1
Aplicando la identidad auxiliar en el primer miembro: (tan x + cot x - 1) = a +1 ---(*)
Identificamos en el 1er miembro a la expresión solicitada pero afectada del exponente 2.
Lo pertinente será extraer raíz cuadrada a ambos miembros, lo cual requiere analizar
previamente el signo de la expresión buscada. Veamos:
Como:xg IIC => tanx + cotx<-2 => tanx + cotx-1 <-3
Extrayendo raíz cuadrada a (*):	| tan r + cot x - 11 = Ja2 +1
(-)
Aplicando la definición de valor absoluto: tan x + cot x - 1 = - Vfl2 + 1
M = - 7fl2+l
35.- Expresemos W en términos de senos y cosenos, y tendremos:
... í 1	cosa')
W =--------cosa 1+--------
^sena	sena J
(1 — senacosa)(sena + cosa)
vv =-------------------------
2
sen a
A continuación transformamos la condición dada en términos de senos y cosenos con
el propósito de obtener expresiones equivalentes los términos que forman a «W»:
sena 1	2	-.2
------------=1 => sen a - cos a = sen a cos a => 1 - cos a - cos a = sen a cos a
cosa sena
2	2
=>	1 - sen a cos a = cos a + cos a... (1) =>	1 - cos a = sen a cos a + cos a... (2)
Reemplazando (1) en (*) tendremos:
2
(eos a+cosa)(sena+eos a)
W =-------------ñ---------
1—cos a
cosa(cosa + l)(sena + cosa)
(l + cosa)(l - cosa)
Reemplazando (2) en (*), tendremos
2
senacosa + cos a
1-cosa
1-cosa
W = ------
1-cosa
W = 1
•iRACSO
VlDlTOtll
3741
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
36.- Lo que haremos es transformar la expresión dada para «W», en términos de tan x y
cot x. Para ello aplicaremos las identidades correspondientes:
7	7
W = 1 + tanx + 1 + cotx + 2(tan x + cot x)
Aqui es conveniente que la expresión quede solo en términos de la tan x, veamos:
2	i	i	i
W = 2 + tan x + -----ñ- + 2 tanx +--------
tan x	tanx
(*) (**)
Debemos señalar aquí que la condición dada es en realidad una propiedad general de
los números reales y positivos. De este modo queda claro que:
2	i	í	11
tan x + --j— >2 a tanx+------------- >2
tan x	tanx)
Operando estas desigualdades podemos establecer que:
W > 2 + 2 + 2(2)	=> W > 8	VV -  = 8
' /	BuAlfllO
37.- Nuestra estrategia consistirá en aplicar la condición en la expresión dada. Veamos:
De la condición despejamos:	tan a = 1 + sen a	___(1)
Identificamos en W la expresión (*): W = sec a .esc a - sen a + cos a
O
Sustituimos (*) por la identidad :	W = tan a + cot a - sen a + cos a. (2)
Sustituimos (1) en (2), tenemos:	W = 1 + sen a + cot a - sen a + cos a
cos ex
Expresando en términos de senos v cosenos: W = 1 +------ + cos a
K	J	sena
W = 1 + cos a (—-— +1)	=> W = 1 + cot a (1 + sen a)... (3)
\sena /
Reemplazando (1) en (3) tenemos:	VV = 1 + cot a. tan a .-. VV = 2
i
38.- Transformando la expresión dada en términos del seno, tendremos:
1	3
VV =----- + sen x
senx
1 + sen4x
senx
W =
...(1)
2
En la condición sustituimos cos x por su equivalente y tendremos:
Identidades Trigonométricas
2	3
sen x - 1 - sen x + sen x = O
2	3	.
sen x + sen x + sen x = 1
Multiplicando por sen x, nos queda:
Despejando, tendremos que:
Reemplazando (2) en (1) tendremos:
Aplicando la identidad pitagórica:
De la condición inicial despejamos:
Reemplazando (4) en (3):	W =
2	3	4
sen x + sen x + sen x = sen x
sen4x = sen x - sen2x - sen3x .. (2)
,íT	1 + senx-sen2x-sen 3x
W = ---------------------
senx
2	3
senx + cos x-sen x
W —	...
seru
cos2x - sen3x = sen x	— (4)
senx + senx
---------- W = 2
senx
39 - Completamos cuadrados en la condición dada y recordando que las razones seno y
cosecante son recíprocas, tendremos:
2	2
sen x + 2sen x. csc x + csc x = 7 + 2
2
Sustituimos el 1er miembro por un cuadrado perfecto: (sen x + csc x) = 9
Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros:
sen x + csc x = ± 3 ... (1)
Expresando W en términos de senos y cosenos:
cosx
W = cos x. ----+ 2 sen x
senx
Efectuando las operaciones indicadas:
2	2
cos x + 2sen x
W =-------------
senx
2	2	2
cos x + sen x+sen r
W =----------------
o
l + sen x
senx
senx
W =
A continuación realizamos la división indicada:
W = csc x + sen x ... (2)
Finalmente reemplazamos (1) en (2):	W = ± 3
40.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada e identificar en ella
una relación que sea obtenible de la condición establecida. Veamos:
2
W = CSC X - 1 + CSC X => W = CSC x(csc X+l)-l ... (1)
De la condición despejamos convenientemente:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
ID1TO1II
cos x ----+1 1=1	=> csc x + 1 = sec x
^senx j
=> sec x - csc x = 1 ...(*) v sec x = csc x + 1	.. (”)
Reemplazando (**) en (1):	W - sec x. csc x - 1	(2)
Nos concentraremos ahora en determinar el valor de la expresión indicada. Para ello
nos apoyaremos en las relaciones obtenidas de la condición dada. Veamos:
2	2
Elevando (*) al cuadrado tenemos- sec x + csc x - 2(sec x. csc x) = 1
2
Por la identidad auxiliar nos queda:	(sec x. csc x) - 2(sec x. csc x) - 1 = 0
2±J(-2)2-4(l)(-l)
Resolviendo la ecuación cuadrática: sec x. csc x =----------------
2±2-j2
=> sec x. csc x =	“	=>	sec x . csc x = 1 ± -J2
=> sec x. csc x = 1- 42 v sec x . csc x = 1 + 42
Debemos recordar que: sec x. csc x < - 2 v sec x . csc x > 2
sec x. csc x = 1 + 42
Reemplazando en (2): W = (1 + 42 ) - 1	VV = 42
41.- Nuestra estrategia consistirá en despejar «a»
a) Despejando "a" de la condición (1), tenemos:
y «b» de las condiciones dadas,
sen 4a— 2 eos4 ex
a =
csc4 a
Aplicando la identidad recíproca para la csc x:
4	4	4	2
a = sen a. sen a - 2sen a. cos a
Efectuando operaciones, nos queda:
8	4	4
a = sen a - 2 sen a . cos a
• •  (1)
De: pejando "b" de la condición (2) tenemos:
, cos6<x + 4sen2a
b =
2
sec a
Aplicando la identidad recíproca para la sec x:
b = cos6a. cos2a + 4sen2a.
cos2a
Efectuando operaciones, nos queda:
8	2	2
b = cos a + 4sen a cos a
- - - (2)
Identidades Trigonométricas
377
8	8	4	4	2	2
Sumando (1)+ (2):	a+b = sen a + cos a - 2sen a cos a + 4sen a cos a ...(*)
8	8	2	2	4	4
Del Prob. 7, recordamos que: sen a + cos a = 1- 4sen a cos a + 2sen acos a
Sustituyendo en (*), obtenemos:	a + b = 1
42	.- Lo que haremos es transformar el 2do. miembro de la expresión dada de modo que
adquiera la forma del 1er. miembro, para luego determinar «ni» por simple compara-
ción. Veamos:
En el 2do. miembro aplicamos la identidad algebraica: o3 + b3 = (a + b)(«2 -ab + bz):
secx.cscx+ m ^(seex^Fcscx)(sec2 x - secx.cscx + esc2 x)
secx.cscx+ 2	_(seex^Fcscx)(secx + cscx)2
2	2	2	2
Aplicando la identidad auxiliar: sec x + esc x = sec x . esc x, tendremos:
2	2
secx.cscx + m (sec x.csc x-secx.cscx)
secx.cscx+ 2	(secx + cscx)
secx.cscx + m
Factorizando, nos queda: -----------~
n secx.cscx+ 2
_see¿er5cx(secx. cscx -1)
_seexrcScx(secx.cscx + 2)
Simplificando se obtiene:
secx.cscx + m
secx.cscx+ 2
secx.cscx—1
secx.cscx + 2
Wl=-1
43.-Expresando el primer miembro de la igualdad en términos de senos y cosenos tenemos:
(2-cos2a)í 1+—K—
_________( cos a
2
l + 2.sena
eos a
7	7
(2-cos a)(cos a + 1)
2	2	„	1
cos a+2gen a =2+
Aplicando la identidad pitagórica en la expresión indicada, tendremos:
+cos2 a) i
12:<-os2cx)	=2+k
Nuevamente aplicamos la identidad pitagórica:
1 + cos2a = 2 +
2	1
2 - sen a = 2 +
2
Aplicando la identidad recíproca para el sen x:
2 +------- — 2 + —
-csc2q ~	*
Finalmente por comparación obtenemos que:
2
k = - esc a
R8
378
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿1KACSO
BeCITCIII
44	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión original con el propósito
de reducirla y poder despejar el cos x. Veamos:
Aplicando la identidad por cociente para la tan x, la expresión se transforma en:
(tana-tanb.cosx)2 2	.	2,
-----------=---— = tan a - tan b
(senx)
2	2
Teniendo en cuenta que: sen x = 1 - cos x, transponemos términos:
2	2	2	2
(tan a - tan b.cos x) = (1 - cos x)(tan a - tan b)
Desarrollando las operaciones indicadas, tendremos:
2	2	--—2'	2	2	2	2	2	___~
tarfs^- 2tan a . tan b. cos x +Jan-ircós x = tahs^ - tan b - cos x. tan a + cDS-xrtan b
Transponiendo todos los términos al primer miembro, tendremos:
tan b - 2tan a . tan b. cos x + cos x. tan a = 0
Reconociendo que el 1er membro es el desarrollo de un binomio al cuadrado, se tiene:
(tan b - cos x . tan a) = 0	cos x = cot a. tan b
45	.- Utilizando las identidades pitagóricas en los numeradores tendremos:
2	2
sec x-1	csc x —1
	 +----— = 4 + sec x
secx-1------------cscx-1
Aplicando la identidad algebraica de la diferencia de cuadrados, se obtiene:
j(seex-='TJ'(secx + 1) -(escx^^TÚcscx +1)
----Zseex-'T'--- +--------o9rrr"T"---- = 4 + sec x
Al simplificar, la expresión se convierte ere
/ / 1
stjex + 1 + csc x + 1 = 4 + sp<f x	=> csc x = 2	=> sen x = ~
5
sen x + csc x =
46	.- Procederemos tal como se hizo en el Prob. 42, es decir, transformaremos la expresión
dada en el 1er. miembro de modo que adquiera la forma del 2do. miembro. Luego el valor
de «m» se determinará por una simple comparación de términos. Empezaremos reali-
zando la adición indicada:
(secx - tanx)2 + (secx+tanx)2
2	2
sec x —tan x
= tn + tnm. (cotx)1"
Identidades Trigonométricas
Aplicando la identidad algebraica de Legendre en el numerador del 1er. miembro:
l+tan2x
2	2
2( sec X + tan x)	m , . »-m	Q .	2 v	m , . x-m
----------------- = m + tn . (cot x) =>	2(1 + 2 tan x) = m + m . (cot x)
Transformando esta última expresión en términos de cot x, nos queda:
2(1 + 2[cot-1x]2 ) = m + mm. (cot x)'m =>	2 + 22.(cot x)'2= m + tnm. (cot x)’m
m = 2
47	.- La estrategia será la misma que el del problema anterior. Empezaremos transfor-
mando el 1er. miembro sustituyendo la sec2x por su identidad pitagórica. Veamos:
l+tan2x
2
cosx(3 + tanx-2sec x)	1-tn
2 tanx+ 1	secx
cosx(l + tanx-2tan2x)	1-m
2tanx+l	secx
Factorizando el numerador del 1er. miembro, tendremos:
cosx(l- tanx)X24arrxny 1-m
-(¿lanxrTJ	secx
cosx. (1- tanx) =
1-m
secx
Finalmente por la identidad recíproca:
1-tan x	1—tn
secx secx
m = tan x
48	.- Sustituimos en la condición dada la relación auxiliar exsec x por su correspondien-
te definición. De este modo nos queda:
sec x -1 + tan x + 1= a => sec x + tan x = a ... (1)
De la identidad pitagórica para la tan x y sec x se puede deducir que:
2	2	1
secx - tan x = 1 => (sec x - tan x)(sec x + tan x ) = 1 => sec x - tan x =------
sec x +tanx
1
Y de (1), tendremos que:	sec x - tan x = ~ ... (2)
1	n2-l
Restando (1) - (2):	2tanx = fl-— =>	tanx=—-—
cotx= ,
íl2-l
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
*J* RACSO
W^BDITOBSa
49.-En este caso conviene expresar todos los términos de la expresión original en base a
seno y coseno, para lo cual sustituiremos las relaciones auxiliares por sus correspon-
dientes definiciones. Veamos:
(x + I - sen 6)2 + (I - cos 6)2 =	=> (x + 1 - sen 6)2 =	-(I-cos6)2
cos 6	cos 6
Ahora podemos factorizar el 2do. miembro, obteniéndose:
(x +1 - sen 6)2 = (1 - cos 6)2
(I-cos26)
eos2 6
=> (x + 1 - sen 6)2 = (1 - cos 6)2
sen2 6
.eos2 6
Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros, tendremos:
| x + 1 - sen 61 = 11 - cos 61 . | tan 61
Siendo: x > 0 a 6 e IC
=> | x + 1 - sen 61 = x + 1 - sen 6 ; 11 - cos 61 = 1 - cos 6 , | tan 61 = tan 0
x + 1 - sen 6 = (1 - cos 6)
sen6
cos6
=> x + 1 - seríÚ = tan 6 - serrtí .-.
x = tan 0-1
50.- Nuestra estrategia consistirá en transformar, de forma controlada, la expresión
dada para «M», hasta que sea posible identificar entres sus términos a la condición
dada. Veamos:
.. senx+sen5x-sen3x-sen7x	senx(l+sen4x)-sen3xfl + sen4x)
M =----------é----q-----7—	=> M =	~	4~	4 r
COSX + COS X-COS X-COS X	COSX(1+COS x)-cos X(1 + COS x)
Factorizamos en ambos términos de la fracción y obtenemos:
4	2	4	7
senx(l + sen x)(l-sen x)	senx (1 + sen x) cos~x
M “ cosx(l + eos4 x)(l - eos2 x) =*	cosx (l + cos4x) sen2x
Reemplazando la condición dada en esta última expresión, tendremos:
2	2	2
M = tan x . tan x . cot x => M = tan x . cot x
M = 1
ELIMINACIÓN DE ARCOS
51.- Este tipo de ejercicios se caracterizan por que la tarea consiste en obtener tina expre-
sión trigonométrica independiente de la variable angular. Esto se logra apelando a las
identidades conocidas y a la transformación de las condiciones dadas.Veamos:
De la condición (1):
senx _ a
cosx b
a
tan x = - ...(*)
b
Identidades Trigonométricas
De la condición (2) se deduce que
secx csc x = 3
Por la identidad auxiliar la expresión queda así: tan x + cot x = 3	... (**)
Si ahora reemplazamos (*) en (**) obtenemos una expresión independiente de «x»:
- + - -3
b + a
Efectuando y transponiendo nos queda:	a' + o = 3ab
52.- Se pide:	F = (b - a)2 *
Por ello restamos convenientemente miembro a miembro:	(2) - (1)
Obteniéndose:	(2 - eos4 x) - (1 + sen4x) = b sen2 x. cos2x - a cos2x sen2x
1	- (sen4 x + cos4x) = (b - a) sen2x.cos2x
Por identidades auxiliares: 1 - (1 - 2 sen2x.cos2x) = (b - a) sen2x . cos2x
2	= (b-a)	.-. F = (2)2 = 4
53	.- En primer lugar de la condición se puede deducir que:
senx	cosx	senx a
a b	cosx b
a
=>	tan x = —
b
Nuestro problema se puede resolver fácilmente si ahora aplicamos en la condición dada
una de las propiedades de las proporciones. Veamos:
2	2	2
sen x cos x tan x
Aplicando la propiedad de razones y proporciones en la primera igualdad:
sen2x+cos2x tan2x
«2 + b2 ~ c2
Reemplazamos (*) en (**) y además aplicamos la identidad pitagórica en el 1er. miembro:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
*¿ÍRACSO
r DiTOMks
a2 +b
I	fl2
a2+b2	b2.c2
2. 2	>2.	,2 2
a (a +b ) = b c
54	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar las condiciones dadas hasta que sea
posible independizarnos de la variable angular. Veamos:
Transformamos la condición (2), expresándolo en términos de la tan x:
(1--—)2 = (fe -1) a-*-—V-)
tanx	tarTx
(tanx-1K	T (1 +tarTx)
2	2
Luego e simplificar nos queda la expresión: (b - 1)(1 + tan x) = (1 - tanx) ...(*)
Ahora es conveniente dividir (1) (*) para liberamos de la variable angular:
a = b- 1
55.- Dividiendo (2) + (1):
sen X-jxtéi r
cós2x.s£r.x 9
f
tan x = —
9
Utilizando el siguiente triángulo, podemos escribir la condición (2) en términos de la
función «tan x», así:
tanx p sen2 x . cos x = r => p.
2
tan x I
1 + tan x Vi + tan2 x
= r ...(«)
Sustituyendo (*) en (**) y elevando al cuadrado:
P2-
l+-y
9
Efectuando y simplificando obtenemos:
56.- Transformaremos las condiciones dadas de modo que sea posible establecer con
estas las relaciones necesarias para poder eliminar la variable angular. Veamos:
a
b^í =1
b - a = 1
...(»)

Identidades Trigonométricas
De (1):	tan x + tan x . cos x = 4p => tan x + sen x = 4p	... (3)
De (2):	tan x - tan x cos x = 4q => tan x - sen x = 4q .. (4)
De (3) + (4) y despejando:	tan x = 2(p + q) .. (5)
De (3) - (4) y despejando:	sen x = 2(p - q) ... (6)
De (1) x (2) tenemos:	tan2x .(1 - cos2x) = 16 pq
tan x . sen x = 16 pq . - (7)
Reemplazando (5) y (6) en (7):	4(p + q)2.4(p - q)2 = 16 pq
.-. p2V=^
57	.- Por tratarse de condiciones que tienen entre sus términos al seno y coseno lo conve-
niente es elevarlas al cuadrado, para luego agrupar convenientemente e independizarnos
de la variable angular aplicando las identidades conocidas. Veamos:
2	2	2
De la condición (1) :	(m sen x-n cos x) = (m + 1) ,
=> m2 sen2x + n2cos2x - 2nin sen x . cosx = m2+ 2m + 1 ... (3)
2	2	2
De la condición (2) :	(n sen x + m cos x) = (n + 1)
2	2	2	2	2
=> m cos x + n sen x + 2mn sen x . cos x = n + 2n+ 1 _(4)
Efectuamos la adición de (3) + (4) y factorizamos convenientemente:
22	2	22	2	22
m (sen x + cos x) + n (sen x + cos x) = m + n +2m +2n +2
' i	i
.-. m + n ♦ 1 = 0
2
58.- Si dividimos ambos miembros de la condición (1), por cos x, tendremos:
2	2
sen x-cos x a
2	=	2
cos x	cos x
2	2	2	2
=> tan x - 1 = a sec x => tan x - 1 = fl(l + tan x)
2	+ 1
Despejando: tan x =
2	l-«
También : cot x =	7
a+1
... (3)
Reemplazando (3) en la condición(2):
a + 1
1-fl
lfl+1 J
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿A RACSO
V ülTOIia
b
De donde al efectuar se obtiene:
8fl(«2 + 1) = Ixl- h2)2
59.- Lo conveniente es transformar las condiciones para obtener relaciones adecuadas
que logren expresarse independientemente de la variable angular. Observa:
De (1): tan3x (1 h	f tan2x) = m8	=>	3	2	8 tan x .sec x = tn	- - (3)
De (2):	cot3x(l 	i- cot2x) = n8	=>	3	2	8 cot x . csc x = n	--(4)
Multiplicando (3) .	(4):		2	2	8	8 sec x. csc x = m . n	--(5)
2	8	8
Por la identidad auxiliar se tendrá: (tan x + cot x) = m . n
Dividiendo (3) (4) y aplicando las identidades recíprocas:
tan3x.----5—
_______cos x
1 1
3 '	2
tan x sen x
o m
tan x = —<r
tr
m
tan x = —
n
n
a cot x = —	.. (*)
ni	' z
Reemplazando (*) en (5):
2	2	5	5
tn + tt = tn .tt
60.- Transformaremos las condiciones hasta que logremos aislar a «m» y «n». Veamos:
De la condición (1):
(1 + senx) (I+senx)
(1 - senx) ’ (1 + senx)
(1 + senx)
m =------5—
1 —sen x
tn -
í 1 +senx
cosx
=> -Jm = sec x + tan x .. .(3)
/—	2
Reemplazando (3) en la condición (2), tendremos: n = (-Jm - 1)
n = -Jm -1
’m - >¡n = 1
Identidades Trigonométricas
R8
385
, f A D O 9 identidades Trigonométricas
A. de Arcos Qompuestos
SENO, COSENO DE ARCOS COMPUESTOS
01.- Recordemos: sen x + cos x =
f— I 71
’2 sen x +~
4
J2
8
l 71
'2 senl x +~
sen
71
4
2
= 8
Luego:
M = 16
M = 2
02.- Desarrollando los binomios y ordenando como sigue obtenemos:
M = sen218° + cos212° + 2 sen 18° cos 12° + sen212° + cos218° + 2 sen 12° . cos 18°
M = (sen218° +eos218°) + (sen212° +eos212°) + 2(sen 18°. cos 12° + cos 18°. sen 12°)
1	1	sen(18°+12<')
Finalmente: M = 2 + 2 sen 30° = 2 + 2^|)	.-. M = 3
03.- Escribiendo la expresión en forma apropiada obtenemos:
—— sen50°—-.cos50°
2	2
M = —A------------A
i/2j —^=sen25°—y=.cos25°
I V2 V2
M	2(sen50°. cos30°—cos50°.sen30°)
iÍ2 (sen25°. cos45°— cos25°.sen45°)
Luego aplicando las fórmulas de los arcos compuestos:
2	sen(50°-30°)
M“ V2 ’ sen(25°-45°)
xa- sen 20°
V2 ’ (-sen20°)
Finalmente al simplificar se obtendrá:
M = -j2
RACSO
DITORBB
R9
386
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
04.- Factorizamos: sen (a + b) en los dos primeros términos:
M = sen (« + b) - 2 senffl + fe), cos a . sen fe + sen fe
M = sen(fl + fe).[sen(fl + fe) - 2 cos a sen fe] + sen2fe
A continuación desarrollamos el seno del arco compuesto, así:
M = sen(fl + fe). [sen a . cos fe + cos a . sen fe - 2 cos a . sen fe] + sen fe
Luego, observamos la presencia del desarrollo de un arco compuesto.
M = sen(fl+ fe), [sen a. cos fe - cos a .sen fe] + sen fe
Finalmente utilizamos una propiedad especial, obteniendo:
2	2
M = sen(fl + fe).sen(fl-fe) + sen fe	M = sen a
sen’a - sen2b
05.- Completando cuadrados, tenemos:
2	2	2	2	2	2
W = cos (a + P) - 2 cos a cos P cos(a + P) + cos a cos P - cos a cos P + cos P
Luego de agrupar convenientemente obtenemos:
W = [eos (a + P) - cos a cos P]2 + cos2P(l - cos2a)
W = [cos a cos P - sen a sen p - cos a cos P]2 + ces2p. sen2a
2	2	2	2
A continuación al simplificar, tendremos: W = sen a sen P + cos P- sen a
Finalmente al factorizar «sen a» obtendremos:
W - sen2a(sen2P + cos2p)	W = sen2a
v
2	2
06.- Escribiendo apropiadamente como sigue: W = sen y-sen x + 1 - sen y cos x
Utilizamos una propiedad que nos permite utilizar la condición x + y = 30°, así
W = sen(y +x )sen (y - x ) + 1 - sen y cos x => W = y sen (y - x) + 1 - sen y cos x
Luego multiplicamos por 2 ambos miembros y desarrollamos el arco compuesto:
2W = sen y cos x - cos y sen x + 2 - 2 sen y cos x => 2W = 2 - sen y cos x - cos y sen x
Luego de agrupar convenientemente y aplicar el seno de un arco compuesto con su
respectivo valor numérico obtenemos:
2W = 2 - sen (y + x) => 2W = 2 - | => 2W = 2 - |	.-. W = |
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
07.- Escribiendo las condiciones (1) y (2) de otra manera, al utilizar las propiedades
especiales de arcos compuestos, así:
7	7	2	2
sen x - sen y = a ... (1)	cos x - sen y = b .. (2)
Sumando las condiciones (1) y (2): sen2 x + eos2 x - 2 sen2y = a + b
i
2	1-a-b
Al efectuar y despejar en la igualdad anterior, obtenemos: sen y = ---	. (4)
En (2) reemplazando (4), tenemos: cos2x -	—- j = b => cos2x = ~-  (5)
La condición (3) elevando al cuadrado en ambos miemb ros de la igualdad:
2	2	2
eos x . sen y = c	... (6)
Reemplazando (4) y (5) en (6), tenemos:
2	2~
7	7	7	7	7	7
Al reducir, obtenemos: (1 - a) -b = 4c	(1 - fl) = b + 4c
08.- Elevar al cuadrado en ambos miembros de la igualdad la condición (1) y (2) tenemos:
2	2	2	2	2
(sen x + sen y) = m =>	sen x + 2 sen x sen y + sen y = m .. (4)
(eos x + cos y) = n	=>	cos x + 2 cos x. cos y + cos y = n ... (5)
Sumando (4) y (5), luego agrupando convenientemente y aplicando las propiedades
tendremos:
2	2	2	2	2	2
sen x + cos x + 2[cos x cos y + sen x sen y] + sen y + cos y = m + n
=1	cos(x-y)=p...de(3)	=1
2 + 2p = m2 + n2	2(1 + p) = wi2 + m2
TANGENTE, COTANGENTE DE ARCOS COMPUESTOS
09.- Escribiendo la expresión «M» en términos de la función tangente, obtenemos:
-	tanx.tany
tanx + tan y	tanx + tan y
1-tanx. tan y	1
tanx + tany “ tan(x + y)
1
Finalmente:
M =-------------- .-. M = 1
tan ti/4
RACSO
WeDlTOlKI
388
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
10.- Si utilizamos:
tan A + tan B =
sen(A +B)
cosA. cosB
En nuestro problema obtendremos:
W sen(2a + a)	sen 3a 1
" cos2a.cosa + cos3a cos2a
Agrupando como sigue:
sen3a
cos2a
1 1
cosa cos3a
,,, sen3a
W =------
cos 2a
( cos3a+cosa
cos3a.cosá
A continuación, utilizando arcos compuestos desarrollamos los equivalentes de: cos 3a
y cos a.
cos 3a = cos(2a + a) = cos 2a cos a - sen 2a sena
Luego de sumar los resultados anteriores, obtenemos:
cos a = cos(2a - a) = cos 2a cosa + sen 2a sena
cos 3a + cos a = 2 cos 2a cos a ... (2)
Reemplazando (2) en (1) tenemos:
... sen3a 2cos2o.cosa
yy —	--------———
cos2a ' cos3o.cosa
Al simplificar tendremos:
VV = 2 tan 3a
„ c . •	2tanA + 3tanB-tanC(l + tanAtanB)
11.- Factonzamos como sigue: W =-------------------------------- .. (1)
tan A + 4 tan B - 2 tanC(l + tanA tan B)
A continuación operamos con el dato:
„	tan B-tanA	„
B - A = C => tan(B - A) = tan C => -~ - tan C
'	1 + tanBtanA
Deduciendo:	tan B - tan A = tan C(1 + tan A tan B)	(2)
Reemplazando lo obtenido en (2) en (1):
2 tan A + 3 tan B—(tan B - tan A)
tan A + 4 tan B - 2(tan B - tanA)
Luego de efectuar y reducir obtenemos:
3tanA + 2tanB
3tanA + 2tanB
...(1)
W = 1
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
12.- Escribiendo como sigue .tendremos: 3 sec x . csc x = 4[tan (x) - tan (x - y)]
Desarrollando ambos miembros, el primero en términos de senos y cosenos y en el
segundo la fórmula especial:
3	„ senlx-(x-y)]	„	,
	= 4 . -1'—	=>	3 cos (x - y) = 4 . sen y. sen x
senx.cosx----------------------------cosx.cos(x—y)
3 cos x cos y + 3 sen x sen y = 4 sen x sen y
Luego de efectuar y simplificar, obtenemos:
3 cosx . cosy = sen x . seny cotx.coty=^
13.- Escribiendo en términos de la función tangente:
t	t	t	o	7	7	2	2
tan x + 2 tan x . tan y = 1 + sec y => tan x - tan y = 2(1 - tan x . tan y)
l + tan2y
=> (tan x + tan y)(tan x - tan y) = 2(1 - tan x . tan y)(l + tan x . tan y)
A continuación ordenamos apropiadamente, logrando:
(tanx + tany | [ tanx-tany |
1 - tanx. tany I I 1 + tan x. tany I
Finalmente al reemplazar la segunda condición, obtenemos:
2
tan(x+y). tan(x-y) =2	.-.	tan(x + y)=g
3
14	.- Efectuando los productos indicados tenemos:
W = -Js - -Js tan 5°.tan 10° + tan 5o + tan 5°.tan 10° + tan 10° + tan 5°.tan 10°
A continuación agrupamos y ordenamos:
W = tan 10° + tan 5o + (2 - 73 ).tan 10°.tan 5o + 73
Recordando que: tan (a + P) = tan ct + tan P + tan ct. tan P . tan (a + P)
En el problema tendremos: W = tan (10° + 5o) + -J3 = tan 15° + -J%
Fmalmente reemplazando el valor de la tan 15°, obtenemos:
W = 2 - 73 + 73	.-. W = 2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
íMracso
K^bditokii
15	.- Luego de ordenar y agrupar apropiadamente, tendremos:
w 73(1 - cot65°) + cot80°(l - cot 65°)	(1 - cot65°)( 73 + cot80°)
l+cot65°-73cot800(cot65°+l)	” (1 +cot65°)(l73 cot 80°)
A continuación la expresión se expresa en función de tangentes:
tan45°-tan25° tan60°+tanl0°
W=----------------------------------
1 +tan 45° tan 25° 1-tan 60°. tan 10°
Utilizando fórmulas de la tangente de ángulos compuestos obtenemos.
W = tan(45° - 25°).tan (60° + 10°) => W = tan 20°.tan 70° = tan 20°.cot 20° W = 1
16	.- Por ángulos complementarios: cot 54° = tan 36° a cot 81° = tan 9o
Al reemplazar en W tenemos:
W = tan236° - tan^.tanV + tanV + 4 tan 36°.tan 9o
Escribiendo apropiadamente, obtenemos:
W = tan236° + 2 tan 36° tan 9o + tan29" - tan^.tanV + 2 tan 36°.tan 9o
W = (tan 36° + tan 9o)2 - tan^.tanV + 2 tan 36°.tan 9o	... (1)
Relacionando los ángulos 45° = 36° + 9o y recordando:
tan(a + P) = tan a + tan P + tan a .tan p. tan (a + P)
En el problema, tendremos:
tan(36° + 9o) = tan 36° + tan 9o + tan 36°.tan 9°.tan (36° + 9o)
tan 36° + tan 9o = 1 - tan 36°. tan 9o	... (2)
Reemplazando (2) en (1):
W = (1 - tan 36°.tan 9o)2 - tan236° tan2 9o + 2 tan 36° tan 9o
Luego de efectuar y simplificar, obtendremos:
W = 1 - 2 tan 36° tan 9o + tan236° tan2 9o + tan236° tan29° + 2 tan 36° tan9°
W = 1
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestas
17	.- Observamos que: 2x = (x + y + z) + (x - y-z)
Luego:	tan 2x = tan[(x + y + z) + (x - y - z)]
Aplicando la identidad de la tangente del arco compuesto, obtenemos:
tan(x + y + z)+tan(x-y-z)
tan2x- j_fari(x+y + zj.tan(x-y-z) =*
Finalmente:	tan 2x = ~^¡-
—b
a + b , i
. o a—b	2a
tan2x =-----= “HE
-| a + u	¿.t)
a—b
tan 2x = - 2
b
18	.- Hallemos la relación angular:
Aplicando la tangente en ambos lados es la igualdad tenemos:
tanF-^+al
Lzo j
tan
tan^-taníyy-a)
4	\ 14	/
1 + tan^.tanÍ7“-o]
4	\14	/
Luego de efectuar, obtenemos: tan
5n
-------ct
28
1-1
___2
1+1
2
1
2 _ 1
3	3
2

19	.-De la condición: sen(a - 0) = 3. cos[-(a - P)] => tan(a-P) = 3 ---(I)
También:	cot(a + P) = —	=> tan(a + P) = 2	... (2)
La relación angular es:	2a = (a - P) + (a - P)
Tomando tangente a ambos miembros:
tañía+P) + tan(a-P)
tan(2a) = tan[(a + P) + (a - P)J	tan(2a) = iZtan(a+P).tan(a_p)
Reemplazando (1) y (2) tenemos:
2 + 3
ten<2a)= Th2)P>
tan(2a) = -1
R9
392
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOIH
20	.- Recordando la Ecuación cuadrática: ax + bx + c = 0
De soluciones (raíces) x^ y x2
b	c
Se cumple: x¡ + x2 = - ~ ; x¡. x2 = —
En el problema:	k2x2 + x - k7x - 1 = 2k => k2x2 + (1 - k2)x + (-1 - 2k) = 0
De la condición: x^ = tan p, x2 = tan q , tenemos:
-(1-Ar2) k2-l
*1 +	= tanp + tang = —p— = ~p—
_ i _ yk
x1.x2 = tan p . tan q = ——-
Luego de efectuar el ángulo compuesto y reemplazando lo anterior, obtenemos:
tanp + tana
tan(p + a) = ----------
’ 1-tanp.tanq
*21
k2
l+2k
k2
Finalmente: tan(p + q) = 2**	=> tan(p + q) =	tan(p + q) =
K r Z.K T 1	(K T 1J	rv T 1
21.- Escribiendo apropiadamente el desarrollo de la tangente de un arco compuesto
obtenemos:
tan24°+tan21°
= l-tan24o.tan21'
1 - tan 24° . tan 21° = tan 24° + tan 21'
Luego de efectuar obtenemos: 1 = tan 24° + tan 21° + tan 24°. tan 21° => N = 1
En forma análoga obtendremos:
tan(63°-3°) =
TT
tan 63o-tan 3o
1 + tan 63°. tan 3o
J3 + 73 tan63°. tan 3o = tan 63° - tan 3o
=>	73 = tan 63° - tan 3o - 73 .tan 63°.tan 3o => M = 73
Luego:
N.M2=1(73)2 .-. N.M2 = 3
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
R9
393
IDENTIDADES ESPECIALES
22.- Efectuando y ordenando apropiadamente, obtenemos:
W = a sen x - a cos x + fe sen x + fe cos x
W = (a + fe)sen x + (fe - ojeos x
Construyendo un zá cuyos lados sean: (a + fe) y (fe - a)
Así:
b-a
tan<¡)= --~
a + b
La hipotenusa se calcula por Pitágoras, multiplicando y dividiendo la expresión W por
^2(a2 +fe2), tenemos:
W= ^2(fl2+fe2)
a-~-—.senx +	—^=.cosx
:«2+b2)
W = -^2(a2 + b2) [cos <J>. sen x + sen <¡). cos x]
Como se puéde observar la expresión anterior es el desarrollo del seno de un ángulo
compuesto, luego:
W = Jifa2 + b2). sen( <¡) + r)
mínimo valor 1
Wmín
Finalmente el mínimo valor de W será:
2	2
23.- Se sabe que: sen(i + y) . sen(x - y) = sen x - sen y
Aplicando dicha identidad en el problema, tenemos:
a+b a-b
sen---•+—
2	2
.sen
W = ----------L—
cosacosfe+serwsenfe - (cosacosfe — senasenfe)
seno.senb
Finalmente:	W = ---~
2sena.senfe

24.- Utilizando las siguientes identidades: sen2o - sen2fe = sen(ot + 0).sen(a - 0)
cos2fl - sen2fe = cos(ot + 0). cos(ot - 0)
Aplicando dichas identidades en el problema, tenemos:
3941 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
0UACSO
L'JITOIBI
sen(38o+8o).sen(38o-8o)
M - cos(38°+8<>).cos(38° 8”)
M = tan 46°.tan 30°.tan 44'
Finalmente por ángulos complementarios, obtenemos:
M = tan 46° . cot 46° - tan 30°
M= 3
25.- Escribiendo apropiadamente en el numerador y aplicando una identidad especial
en el denominador, tendremos:
M =
1	J3
—.senl0°+—- cosl0°
2	2
+ 3cos70°
sen(55°+18o).sen(55o-18°)
A continuación notamos que en el numerador aparece el desarrollo del coseno de un
arco compuesto, también cambiamos: cos 70° por sen 20°, por ángulos complementarios:
4(sen300.senl00+cos300.cosl0c>) + 3cos70°
sen73°.sen37o
4cos(30o-10c)+3sen20°
sen73°.sen33°
En forma similar escribiendo apropiadamente formamos el desarrollo del seno de un
arco compuesto:
5(|cos20°+|sen20o)	5(sen53°.cos20o+cos53°.sen20c)
sen73ü.sen37°	=>	sen73"sen37‘>
Finalmente, luego de simplificar y reemplazar los valores numéricos notables tendremos:
5.sen(53°+20°)	5	25
sen73°.sen37° = 3/5	M = T
26.- A continuación utilizaremos las siguientes propiedades:
sen(« + b)	sen(a + b)
tan a + tan b =--------r a cot a + cot b = -------------
cosí?, coso	senn.senb
En el problema, luego de expresar adecuadamente el denominador, tendremos:
sen(í? + b) sen(fl + b)
w _ cos n. cos b seru.senb
- sen(í? + b) sen(« + b)
cos a. cos b serv/.senb
Efectuando el numerador y factorizando: -sen (a + b) en el denominador obtenemos:
Identidades Trigonométricas de Arcos Compite tos
W =
sen2(a + b)
sena cos asenbcosb
—sen(a + b)
1 1
senasenb cos a cos b
Luego de efectuar y simplificar, obtenemos:
sen(a + b)
yy _ sena.cosa.senb.cosb
cos(a + b)
sena cos asenb cos b
W = - tanta + b)
2	2
27 - Se sabe que:	cos(a + b). cosía - b) = cos a - sen b
2	2	2	2
De la condición: tan x . tan y = cos a - sen b => tan x . tan y = (1 - sen a) - (sen b)
=> sen a + sen b = 1 - tan .r . tan y... (1)
De las condiciones:	tan x = cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b ... (2)
tan y = cosía - b) = cos a cos b + sen a sen b ... (3)
Sumando (2) y (3), tenemos:	tan x + tan y = 2 cos a . cos b	... (4)
Reemplazando (1) y (4) en W tenemos: W = ----------:------
1-tanx. tany
Finalmente:	W = cot(x + y). tan(x + y) .-. W = 1
28.- Se sabe que: tan a + tan b = -------~ , luego:
cosa.cosb
De(l):	sen(x + y) - m sen(x + y) cosx. cosy	=>	1 COS X . COS V = — . m	--(4)
De (2):	sen(i/ + z) - n sen (y + z) cosy.cosz	=>	1 cos y. cos z = — . n	..(5)
De (3): ----------- = v sen(x + z) => cos x. cos z = — ... (6)
cosx. cos z	r	p
Multiplicando las expresiones (4), (5) y (6), obtenemos:
(cos x. cos y cos z)2 =
cos x. cos y. cos z = í»wnp)'1/2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
.4-ACSO
WlDITOlll
29.- Dato:
tan 14° = a[tan 52° - tan 38o]
Expresando: 14° como «52° - 38o»
Se tiene:	tan (52° - 38°) = a (tan 52° - tan 38°)
Efectuando	r tan52°-tan38° 1 _ ..	, „o™ L1 + tan52°.tan38°J ~ a (tan 52 ' tan 38 >
Simplificando:		1	 l + tan52°.cot52° “ a
Pues:	38° + 52° = 90°
De los cual:	1 a= 2
30.- En general:
sen(x + y + z) = sen x cos y cos z + sen y cos x cos z + sen z cos y cos x - sen x sen y sen z
¡Dividiendo a todo entre: cos _v . cos y . cos z
sen(x + y+ z)
Se obtiene:	cosrcosycosz ~ tan x + *-an V + *-an z' ^an x  ^an V  ^an z
En el problema: x = 19° ; y = 38° ; z = 33°
sen(19°+ 38°+ 33°)
Efectuando: cosi9° eos 38° cos 33° = tan + tan + tan 33° ~ tan ^"-tan 38°.tan 33°
Como:	sen 90° =1 a CqSX = sec x
Se obtiene: tan 19° + tan 38° + tan 33° - tan 19° . tan 38°. tan 33° = cos go COggg»cos 330
VV = sec 19° . sec 38° . sec 33°
31.- Según el enunciado, los datos son:
x2 + y2 = z2 ...(i)
x  sen 6 + y cosO = z ... (ii)
Apartir de los cuales, por propiedad de identidades se obtienen:
x	y
sen 6 = - a cos 6 = —
Se pide:	M = V2 sen (o + j
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
, ’ 397|
Que luego de desarrollar, se transforma en:
M = sen 6 + cos 6
x+y
M =----
z
32.- Recordemos:
sen(c±b)
tan a ± tan b =-------~
cosa, cos b
Luego en la condición: tan x - tan y + tan y + tan z = 2 sen(x + z)
Finalmente al simplificar, obtenemos:
seníx + z)
--------- = 2 sen (x + z)
cosx.cosz
1
cos x . cos z = 2
SITUACIONES GRÁFICAS
g
33.- De la figura: tan(a + 0) = —
3
tan ct = —
12
tan (ct + 0 + ct) = —
tan(a + 0) + tana
1 - tan(a + 0). tana
12
Efectuando, tendremos:
8.3
x + x _ 12
24 x
1
llr _ 12
x2-24	*
11? = 12? - 288
Luego: ? = 288 .’.
34.- En la figura a + 6 = 0 => 6=0-0
Luego:
tan 6 = tan (0 - a)
tan0- tana
tan 6 = ------------
1 + tan 0. tan a
l-1
tan 6 = -1
1+-
3
2
_ 2
~ 4
3
Finalmente:
„ 1
tan 0=2
3981 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
jA RACSO
WlDIIOlSI
35.- De la figura: tan a = — a tan(a + 0) = —
B
(-2)2 - 4(tan 6)(3 tan 6) > 0
Simplificando, obtenemos:
4 - 12 tan 6 >0	=> tan 6 < ~	=>	-<E------------------L-
3	-1/V3	1/-J3
Luego 6 es máximo si:
tan 6 =	= tan 30°
0 = 30°
37.-Sea UR = 6a, ni Z PTS = a, wi Z QTLJ = P
En el LTPS: tana =	| ... (1)
PT 5a 5	'
7a
EnelLTQU:tanP=^J	| ... (2)
La relación angular de la figura es:	S
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
a + 6 + P = 7t => 6 = 7t-(a + P)
Tomando tangente en ambos lados de la igualdad tenemos:
tan7t- tan(a+P)
tan 0 = tan [7t - (a + P)] =  ---—-----— = -tan (a + P); pues: tan ít = 0
1	'	l + tan7t.tan(a + P) ' H r
Por lo tanto:
tan 6 = -
tan a + tan P
1-tanatanP
--.(3)
Reemplazando (1) y (2) en (3) tenemos:
tan 6 = -
r z+á i
5 5
1-Z.l
L 5 5j
8
5 _ 40
18	18
25
„	20
tan 6 = -y
38.-Sea: OE - 2r; OF = r; OB = 2r; BC = 4r , mZFDC = P
Prolongamos el segmento DC y bajamos la perpendicular FG.
La relación angular es: a + P = 45°; de lo cual:
a = 45°-P
RACSO
WPSDITOBBB
R9
400
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
o.
En el LO2B2 =>	3	\
B	O3
Por Pitágoras: O3B = V132 ~52 = 12
12	5
sen P = — ; cos P = —
La relación angular es: 6 = u + P
Luego:
Finalmente:
sen 6 = sen( a + P)
sen 6 = sen a sen P + cos cesen p
3	5	4 12
SOTe= 5 ñ+ 5 ' B
n 63
sen6= 65
40.- Sea P = m Z EAB y 0 = tn Z ABE
tn Z AEB = tn Z CED - a
Por ser ángulos opuestos por el vértice.
En A ABE se cumple: a + P + 6 = 7t
a = 7t - (6 - P)
tan a = tanpr - (6 + P)]
Desarrollando: tan(7t - x); se obtiene: -tan x; ya que: tan 7t = 0
.	4 m	t -[tanO+tanP]
tan a - -tan (6 + P) => tan a =-------------— ... (1)
1-tanO.tanp
Sea DE _L BC => en el LDFC por Pitágoras tenemos:
FC = VdC2-DF2 = 7(^13 )2-22
FC = 3	FB = AD = 3
k	AD 3
En el LBAD => tan 6 =	= ~
AB 2
BC 6
En el L ABC => tan P =	= — = 3
AB 2
reemplazando (2) en (1):
tan a = -
9
2^7
y — y	COt Ct —
~2
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
41.- Sea EF = 2a => BE = a
BF = FC = 3a => AB = 6a
Sea: m Z BAE = a v m Z BAF = P
La relación angular es: 6 = P — a
Luego:	tan 6 = tan(P - a)
tanP-tana
tan 6 = ~„___________(1)
1 + tanptana
1
En el LBAE => tan a = ~
6
1
En el tX BAF => tan P = ~
k-- (2)
Reemplazando (2) en (1) tenemos:
1_1
tan 6 = 2 A
1+-.-
2 6
4
_ 12 _ A
- 13 - 13
12
La hipotenusa se halla por Pitágoras:
42.- Sea AB = x, tn Z. BAC = ni Z DAE = 0,
tn Z CAD = a
Planteamos las siguientes relaciones angulares.
En el L ABC => tan 6 = ~
3
En el L ABD => tan (6 + a) = —
En el LABE => tan(26 + a) =
También se debe cumplir:
6 = (26 + a) - (6 + a)
tan 6 = tan[(26 + a)-(6 + a)]
tan(2e+a)-tan(e+a)
tan “ 1 + tan(26 + a). tan(6 + a) " ( ’
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JDIYO1II
Reemplazando (1) en (2):	—
x2 + 18 = 3X2	=> x2 = 9
43.- Sea: AB = x; tn Z CAB = a
En el L ABC => tan a =
x
3
En el L ABD => tan (a + P) = —
En el LABE => tan P =
6 3	3
x x	1 X	1	3*
’ 1+É 3	X “ X2 + 18	x “ x2 + 18
x*	¿
= > x = ± 3	AB = x = 3 m
La relación angular es:	P = (a + P) - a
tan p = tan[(a + P) - a] =>
tan P =
tan(a-P)-tana
1 + tan(a + p). tana
3__1
X Y Y
Reemplazando (1) en (2): — =--rnr
6	1 + -.-
x x
x2 + 3 = 12
x = AB = 3
La hipotenusa se halla por Pitágoras:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE 3 ARCOS
44.- Se cumple que:
cos(n-b)
--------r = 1 + tan a . tan b
cosa.cosb
Aplicando dicho teorema en el problema, tendremos:
M = 1 + tan x.tan y + 1 + tan y. tan z + 1 + tan x.tan z
M = 3 + (tan x . tan y + tan y . tan z + tan x . tan z)
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
R9
403
Como: x + y + z = 90° => tan x . tan y + tan y . tan z + tan x . tan z = 1
Finalmente:	M = 4
45.- Del dato: A + B = 90° - C => tan(A + B) = tan (90° - C) ... (1)
Pero:	tan (90° - C) = cot C (por arcos complementarios)
En (1): desarrollando al lado izquierdo tenemos:
tanA + tanB	1
------------= cot C =----— => tan A tan C = tan B tan C = 1 - tan A tan B
1 —tan A tanB	tanC
=> tan Atan B + tan B tan C + tan A tan C = 1	W = 1
46.- Del dato: A + B = 180° - C
tan(A + B) = tan(180° - C) ... (1)
Pero:	tan(180° - C) = - tan C (Por reducción al IC)
tanA + tanB
En (1): desarrollando el lado izquierdo tenemos:	~~~ = - tan C
1	1-tanA. tanB
tan A + tan B = - tan C + tan A tan B tan C
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
=> W = tan Atan B tan C - tan A tan B tan C
W = 0
47.- Como:
cot x - tan y = tn	=>	1	-	tan	x.tan y = tn tan x	...	(1)
cot y - tan z = n	=>	1	-	tan y . tan z = n tan y	...	(2)
cot z - tan x = p	=>	1	-	tan	x . tan z = p tan z	...	(3)
Sumando las igualdades: (1), (2)	y	(3) obtenemos:
3 - (tan x. tan y + tan y. tan z + tan x. tan z) = tn . tan x-n . tan y + p tan z... (*)
71
Como:	x + y + z= — => tan x. tan y + tan x . tan z + tan y . tan z = 1
Luego en (*): 3 - (1) = tn . tan x + n tan y + p tan z .-. tn tan x + n tan y + p tan z = 2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PACSO
tOITOlll
%
48	.- Como: sen x + cos y . cos z = 0	=>	= -1 , . (*)
Pero:	x + y + z = 180° => sen x = sen(y + z)
sen(y + z)
En (*):	----------= - 1	=> tan y + tan z = - 1 ... (1)
cosy.cosz	J
También si:	x + y + z = 180° => tan x + tan y + tan z = tan x . tan y . tan z
Por (1):	tan x - 1 = tan x . tan y . tan z .-. M = tan x - 1
49	.- Agrupando convenientemente los ángulos, tenemos:
senj(x+z) + y)]
cos[(x+z)-y)]
sen(x + z)cosy + cos(x+z).seny
cos(x+z).cos y + sen(x+z)seny
Dividiendo el numerador y el denominador entre cos y . cos(x + z) tenemos:
sen(x + z)cosy + cos(x + z).seny
w=__________cosy.cos(x + z)_______
cos(x+z). cosy + sen(x+z).seny
cosy.cos(x+z)
„	, x tanx+tanz
Pero:	tan(x + z) =------------
1-tanx.tanz

w_ tan(x+z)+tany
1 + tan(x + z).tany
2 + 3
1-2(3)
= -l ...(2)
(2)en(l):
______________3
l+(-l)(4) " -3
W = -l
50	.- Sumando miembro a miembro tendremos:
tan A + tan B = k
tan A + tan C = l 
tan B + tan C = m .
2(tan A +tanB + tanC) = k +1 + m => tan A.tan B.tan C =	__(1)
sen C
sen(A+ B)
De la condición: tan A + tan B = k => cosAcosB ~
Luego:	sen C = k cos A cos B
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
Análogamente: sen B = l cos A cos C
sen A = m cos B cos C
Ahora multiplicamos las expresiones anteriores, obteniendo:
sen A.sen B.sen C = klm cos2A.cos2B.cos2C
tan A.tan B.tan C = klm cos A cos B cos C ... (2)
De (1) y (2) obtenemos: klm cos A.cos B.cos C = k+l + m
2kltn
sec A.sec B.sec C =
51	.- Reduciendo aproximadamente las expresiones indicadas tendremos:
sen(B + C) = sen (ít - A) = sen A
cos(B + C) = cos (ti - A) = -cos A
cos C = cos[7t - (A + B)J = -cos (A + B)
cos(B - A) + cos(A + B) = cos B cos A +- sen B sen A + cos A cos B - sen A sen B = 2 cos A cos B
Luego en la expresión W, obtenemos:
2 *	22^
sen A-cos B-cos C
-cosA.cosB.cosC
2ti 2 * .	2x—>
yy _ cos B-sen A+cos C
cosAcosBcosC
cos(B+ A).cos(B- A)+[- cos(A+ B)]2
=> w =-------------------------------------
cosAcosBcosC
cos( A+ B)[cos(B- A)+cos(A+ B) J
W =
cosAcosBcosC
Finalmente:
_ - cosC .2 cosB. cosA
- cosA.cosB.cosC
W = -2
R9
406
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JDITOUI
Cff.flo
Reducción al
er Cuadrante

01.- Del enunciado del problema, podemos reconocer que:
csc (90° - A) - x. cos A . cot (90° - A) = sen (90° - A)
V----v-----Z	X----v-----Z V-----v-----z
sec A	tan A	cos A
Todas las equivalencias indicadas se deducen de la aplicación de reducción al IC ex-
puesta en el caso 1 (item 10.1) sobre ángulos complementarios.
Ahora, escribimos el problema como sigue:
sec A - x. cos A . tan A = cos A => sec A - cos A = x . cos A . tan A
Por identidades trigonométricas, deducimos:
1	.	. senA	1- eos2 A	. sen2A
r- - cos A = x^eós A.	.	=> —— = x. sen A => -----------------t- = x sen A
cosA	^-cosA	cosA	cosA
Luego de simplificar: sen A, se obtiene. x = tan A
02.- Se pide: E = cos Io + cos 2o + cos 3o + ... + cos 179° + cos 180°	... (i)
Que también se puede expresar como sigue:
E = cos 179° + cos 178° + cos 177° + ... + cos 1° + cos 180° -.. (ii)
Sumando miembro a miembro, y aplicando: cos x + cos y = 0; cada vez que: x + y = 180°.
Se obtiene: 2E = 0+ 0 + 0 + ... + 0+ 2- cos 180°
2E = 2 - cos 180° = 2(-l)	.-. E = -1
7ye
03.- Por ángulos suplementarios, tendremos: sen = sen ^2
Y por ángulos complementarios:
5rt ít
sen = cos 12
7n n
sen 12 — cos
77t	571	71
cos = *cos 12 = -sen 12
Reducción al Prime Cuadrante
R10
407
Y por ángulos complementarios: cos = sen => cos 12 ~sen 12
Reemplazando en la expresión inicial, obtendremos:
7t	7t
cos1Q	scnT9
----77 +	= 1 -1 = o
cos^	—sen—
04.- a) Eliminamos el número entero de vueltas, para ello se descompone el ángulo a
reducir en múltiplos de 2 7t más un cierto ángulo.
52rt 25rt (1^ 4ti\ Lz 7t\
sen -j-.eos = senllOT+-^-Icos L&n-t-—I
52ti 25tt 4tt tt ,. , . ,.
sen —3 - .eos = sen -y . cos = (-) (+) = (-)
IIIC IC
b) Eliminamos el número entero de vueltas
32rt 22ti
sen —5— .cot —g- = sen
32rt L 227t	27t	. 4tt
sen —5— .cot -g— = sen . cot = (+) (+) = (+)
IC IIIC
. I 205ti \	737t	2057t 73tt
c)senl----g— l.cot^g- =-sen—3— .cot -Jq~
Eliminamos el número entero de vueltas
sen(-^y^).cot^ =-sen	.cot
sen(-^|^) .cot = -sen j . cot	= (-) (+) (+) = (-)
.—v—<	i—„—í
IC	IIIC
Finalmente, los signos serán:	(-); (+); (-)
05.- Trabajando por separado con cada expresión, obtendremos:
R = cos (72t5° + 90°) + cot (360° + 65°) (eliminando el número entero de vueltas)
R10
408
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOtBI
R =	+ cot 65°	=> R = cot 65°
0
S = sen Q6(í° + 90°). tan ^2d° + 65°) =>
S = sen 90° . tan 65°
1
R.S = 1
Finalmente:
R.S. = cot 65°.tan 65°
06.- Descomponiendo cada ángulo convenientemente:
(*)	11^	+ x = 2ít + 3^ + x	=>	sen	(11^+x)	= sen ^3^+xj
(*)	33^	+ y = 87t + j +y	=>	sen	^33^ + y)	= sen (f+y)
(*)	55^	+ x=13n + 3^ + x	=>	cos	^55^+xj	=-cos ^3^+xj
O	77f	+y = 19jl+| +y	=>	cos	(77^ +y)	=-cos (^ +y)
Reemplazando en lo que se pide: A - B, se tiene:
A-B=sen (s^+xj.seng + y) - [-cos(^+xjj.[-cosf^+y
Factorizando (-) , y ordenando:
A - B = -rcos^ + xj-cos^+yj-sen^ + xjsen^+y
A - B = - cosÍ3^ + x+^+yj = -[eos (ít + x +y)] = -[-cos(x + y)]
A - B = cos (x + y)
07.- Utilizando cada uno de los casos de reducción al primer cuadrante, tendremos:
sen (ít + x) = - sen x	cos ("2+x) = - sen x	cos (x - ít) = - cos x
sen +x) = - eos x	csc (n + x) = - csc x	sec (^+xj = +csc x
tan = * cot x « c°t	= + tan x
Reducción al Primer Cuadrante
R10
409
2	2
(-senx)(-senx)+(-cosx)(-cosx)	sen x + cos x
Luego:	W = —--------—---r—~;	=> *v =---------g Z
(-cscx)(cscx)-(-cotx)(tanx)	-csc x+1
final mente.	W =------5—	VV = - tan2x
-cot x
08.- Reduciendo cada uno de los factores al primer cuadrante, tendremos:
Se observa que:	tan -ct) = + cot a	sec (3ti - a) = - sec a
sen	~ ' cos a	cos í" + a) = + eos a
(cota)(-seca)(-cosa)	cosa 1
W =---------------------- => w = cot a. sec a =-----.------- W = csc a
cosa	sena cosa
u9 - Reduciendo cada uno de los factores al primer cuadrante, tendremos:
(.) sen (ti - x) = sen x
Luego:
(.) cot (r-2£)=cot[-^-x)
cot	=-(+tanx)
(.) cos (r - 36ti) = cos x
(.) ^lafí^x= -cot x
jfserTxX^tarííjfcosx)
XtarTxj(-cot x)(sen xj2*
=> cot	=-cotp?p-xj
cot	=-tanx
(.) tan (13ti + x) = tan x
(.) cos (^y^+xj =+senx
cosx
W = --------—
cotx.senx
... cosx
w =-------
cosx
W = 1
Nota: Recuerda que V k e Z
R.T.(2/c7t ± a) = R.T.(± a)
R. L. [(2k+1) J +a] = ± CO-R-T.(a)
R.T.(J:n ± a) = ± R.T.(a)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-Cmracso
WIDITOltl
10.- Utilizando los casos de reducción, tenemos:
cot(19957i - 6) = - cot 6	cos(239-^ + ej = cos(1187i+^+oj= + sen 0
sec(-8047i + 6) = + sec 6	sen(-161^ + o) = -sen^SOn + ^-o) = -cos 6
Además se debe tener en cuenta que:
239 = 60(4) -1= 4-1	-161 = -40(4) -1 = 4 - 1
(-cot6)(sen6)
Luego. W -
W = cot 6 . sen 6
cosO
senO
. sen 6
W = co* 0
11.- Reduciendo al primer cuadrante, como sigue, tendr mos:
(*) tanp7^ + aj =-cota	(*)	cot(175 ti - a)	=-cota
(*) sen(809 ti + a) = -sen a	(*)	cot(72 ti - a)	= -cot a
(*) sen^91^-aj =-cosa	(*)	sec^55^ + aj	= csc a
(-cota).(-cota).(-sena)	1
Luego: ----------------—-----— = - —	1
(-cota).(-cosa).(csca)	9	sena-— -*
=> x2 = /2-^ =>x2 = 80 => x = -4j5
Finalmente:
M = 2-»/5 .
.-. M = - 40 + 9 = - 31
12.- Efectuando en la expresión la reducción al primer cuadrante, tendremos:
l-sen(x-277t)	1-cos(-10ti+x)
l-cos(-x+23^j l-sen(-x + 13^j
(*) sen(x - 27ti) = -sen x	(*) cos(-10n + x) = +cos x
(•)	cos(-x+23^j =-sen x	(*)	sen(-x+13^j = +cos x
Reducción al Primer Cuadrante
R10
411
1 - (-senx) 1 - (cosx)
Luego:	W = -—-------r - -—-----7
0	l-(-senx) l-(cosx)
W = 0
W = 1 - 1
13.- Para el calculo de «M», analizamos para «n» par y «n» impar, así:
Si "n" par:	(-l)n = 1
M = sen(n7t-^j .esc	=> M= (-sen^j (+csc^j =-l
Si "n" Impar: (-l)n = -1:
M = sen^rat+^j. csc^nn-^j => M = (-sen^j. esc— = - 1
Finalmente:	M = -1
14.- Como:
71
x + y= 2
tan 9 =
Pero:
sen^ + y).tan(7i+y)
cos^+xj.tan^+x)
(cosy).(tany)
tan U - (_senx).(-cotx)
seny
cosy---—
cosy
cosx
senx-----
senx
tan 0 =
sen y
cosx
x + i/ =
71
2
=> sen y = cos x
=> tan 6 = 1
„ 371 /-,.
e=-TG r'2)
15.- Reduciendo cada uno de los factores de la expresión «M» al primer cuadrante, tendremos:
(*) sen(180° - a) = sen a
(*) tan(1260° + a) = tan(180° + a) = tan a
(*) sen(450° + a) = cos a
(sena)(sena)(tana)
Luego:	M = -------------—
0	(-cosa)(cosa).tana
(*) cos(a - 90°) = cos(90° - a) = sen a
(*) cos(540° - a) = cos(180° - a) = -cos a
(*) tan(360° + a) = tan a
sen2a	_,	2
M =------2—	M = "tan a
-cos a
R10
412
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
piDITOftia
16	.-	sen (55y - 6 j = - cos 6
cos (?7y + ©) = - sen 6
1
En la condición tenemos: k(- cos 6)(- sen 6) = —
1
=> sen 6 . cos 6 = —	... (1)
Se pide: W = sen2© + 2 sen 6 cos 6 + eos2©.. .(2)
( 1	1	Jt+1
(1)	en (2): W=l+2 — I = 1+ ~ = -j~
l Z/í I	JC
17	.- Reduciendo al primer cuadrante, tendremos:
(lcn7ti /n 5ti\ 571	71	5717171
159—) =cosJ117i+—) = -cos— = -seny ;pues: 14 + 7 = 2
sec (242^ j = sec ^81 Tt-y) = -sec y
sen(125y) = sen(187t-y) =-seny
Reemplazando los resultados anteriores en W, obtenemos:
W = -seny + (-secy) - (-seny) => W = -secy .-. W = -2
18	.- Aplicando el caso de reducción para ángulos mayores de una vuelta, tendremos
3000° = 8(360°) + 120° => cos(3000°) = cos 120° = - cos 60°
2000° = 5(360°) + 200° => cos(2000°) = cos 200° = - cos 20°
Reemplazando:	cos 300° = + cos 60°
(-cos60")-(-cos20°)	1
En la condición tenemos: -----------------—— = k => —
cos6CP-(-cos20 )	k
cos60"+cos20"
-cos60°+cos20° ’ ’ ( J
Se pide:
(~cos60°) + (~cos20°)
cos60°+(- cos 20°)
cos60"+cos20"
W = -cos60°+cos20° ''(2)
Reemplazando (1) en (2), tenemos: W = y
Reducción al Primer Cuadrante
19.- Sean los ángulos:	A = a - r; B = a; C = a + r (ángulos en progresión aritmética)
Como:	A + B + C = 180° => 3a = 180° => a = 60°
Escribiendo como sigue «M», tendremos:
sen(180°+2B + C) cos(180°+A + 2C)
M = ---------------- +-----------------
sen(B - C)	cos(B C)
-sen(2B + C) -cos(A + 2C)
sen(B-C) + cos(B-C)
Reemplazando sus respectivos equivalentes en términos de a y r, tendremos:
-sen(3a + r)	-cos(3a + r)
M =	- ~	.
sen(-r) cos(-r)
-sen(180°+r)	-cos(180°+r)
=> M = ---------------- +-----------
—senr	cosr
Luego de simplificar, obtenemos:
—senr cosr
20.- Reduciendo cada uno de los factores y reemplazando su respectivo valor numérico
tendremos:
J3
sen 420° = sen(360° + 60°) = sen 60° =
1
cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = - -
tan 405° = tan(360° + 45°) = tan 45° = 1
1
sen 210° = sen(180° + 30°) = -sen 30° = - ~
cos 225° = cos(180° + 45°) = -cos 45° = -
tan 570° = tan(540° + 30°) = tan 30° =
Luego:
M= 2
RIO
414
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
*>HDITCkBB
21.- Si: 2 540° = 7(360°) + 20" luego: sen(2 540°) = sen 20°
Del mismo modo:
1910° = 5(360°) + 110°	=>
2680° = 7(360°) + 160"	=>
2630° =7(360°)+110°	=>
Reemplazando en W:
cos(1910°) = cos(110°) = -cos 70°
cos(2680°) = cos(160°) = - cos 20°
sen(2630") = sen(110°) = + sen 70°
sen20°+2.[-cos70°]3
-cos20°+2[sen70"]3
sen20°— 2sen320"
-cos20°+ 2cos320°
Ordenando y factorizando:
sen20"(l-2sen220°)
cos20°(-l + 2cos220")
sen20"(l-2sen220")
cos20"(l- 2 sen2 20°)
Luego de simplificar, obtenemos:
VV = tan 20°
CASOS PARTICULARES DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
22.- Trabajando como en el problema anterior, tendremos :
cps-TO0" +'£bs-4Q^ + ajs-50" + cos 90° ... + cos 130° + cos 150" + cos 170°
Efectuando las simplificaciones indicadas obtendremos :
cos 10° + cos 30" + cos 50" + ... + cos 170" = 0
23.- Si :
A + B + C = 180° , entonces:
T -—
pues: cos 90° = 0
tan A = -tan (B + C)
tanB+tanC
Desarrollando el segundo miembro, obtendremos: tan A =	tanC
de donde:
Luego
tan A - tan A . tan B . tan C = -tan B - tan C
tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C
1 1
tanA+tanB+tanC ~ tanA.tanB.tanC
——7 —Z 77 = cot A. cot B. cot C
tan A+ tanB+ tanC
Reducción al Primer Cuadrante
24.- De la ecuación inicial, transponiendo términos, tendremos:
/67i+3fl-2b\
tan (—g— J =-cot (	4 J
- TT .	p«-3b\	/3n 3fl-2b\
Usando la tranformacion II: tan I—g—I = -cot l-2~+—4—I
IV Q
/2fl-3b\ J . I3a-2b\\
tan(“8^) =itan(d ))
, /2fl-3íA .	/3«-2b\
tan (—g— J = tan (—
o . . . . -	.	2a-3b _ 3o-2b
De donde, deducimos.	sfá'' —
2fl-3b = 6fl-4b => b = 4a
25.- Como: A + B + C = 180° => sen(A + B) = sen C => cot(A + B) = cot C
También:	tan(A + B + C + C) = tan (180° + C) = tan C
senC
Luego reemplazando en M: M =	+ Ia11 C - (-cot C)
=> M = 1 - jan C. cot C
1
M = 0
26.-Como: x + y = ti => sen x = sen y
L y = ZE
2 + 2 ” 2
2x + 2y = 2ti
=> tanl 2] = cot
=> sen 2x = -sen 2y
Reemplazando en M obtenemos:
y
sen y	2 cot—	3(-sen 2y)
sen y + cot^ + sen 2y
M = 0
M= 1 +2-3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOII1
T!7.- Recordemos, sé x + y = ti
cos x = - cos y
Entonces:
5ti 3ti
COS— =-COS —
7ti ti
eos— =-cos~
Reemplazando en "M" obtenemos:
71	3ti	371	71
M = COS“ + COS —-COS —-cos~
o	o	o	o
M = 0
{sen x = sen y
cosx+cosy = 0
28.- Como:	x + y = 180° => sen x = sen y => tan x = -tan y
Como:	y + z = 270° => cos y = - sen z ;=> tan z = cot y
Luego reemplazando en "M" obtenemos:
( seny-senzA
M =	-- + (-2 tan y) . (2cot y) => M = 1 - 4 . tan y . cot y
I seny—senz I	j
Pero:	tan y. cot y = 1 => M = 1 - 4(1)	.-. M = -3
29.- Si: a + 0 = 270° => tan a = cot 0 => tan(230° + x) = cot(40° - x)
Si: a + 0 = 90°	=> tan a = cot 0 => tan(50° + x) = cot(40° - x)
_	,	, cot(40°-x) + cot(40°-x)
En «M», tendremos: M =----------•----------	.-. M = 2
cot(40 -x)
30.- Como: a + 0 = 180° => esc a = esc 0
2m+l m + 2	?	?
Luego: -------7 =-----7 => 2m -m-l=2m + 3m - 2
0 2m -1 tn -1
A continuación al simplificar obtenemos: 4m - 1 = 0	=> m=
31.- Sea: N = sen 120° + sen 140° + sen 160° + ... + sen 260°
D = cos 20° + cos 30° + cos 40° + ... + cos 170°
{sena = sen0
no	n
cosa+cos0=O v cosa=-cos0
Reducción al Primer Cuadrante
Ísena = -senf v sena+senf = O
cosa = cosP
Entonces: sen 120°+ sen 140°+ sen 160°+ sen 180°+ sen200°+ sen220°+ sen240° + sen 260°
o
=> N = sen (270° - 10°) = -cos 10"
D = cos20°+cos30°+cos40°+...+cos 160° + cos 170°
o
D = cos 170°
D = cos(180° - 10°) = -cos 10°
c- i •.	N -coslO	,
Finalmente:	M =	M = 1
D -coslO
32.- Como: sen a = cos(f + 0)=>a + f + 6 = (4k +1)- , Vte Z => 2a + 2P + 26 = 4kn + ti
tan[(4k + l)| + e] _cot0
Finalmente: M= coLt(4fal+7I + e) J =	”	M='1
33.- Como: A + B+ C = 180° => 2A + 2B + 2C = 360°
=> sec(360° - A) = csc(360° + B) => sec A = csc B
A+ B = 90°
Luego: C = 90°	.-. El triángulo ABC eS un triángulo rectángulo
34.- Como A + B + C = 180°
=> cos(A + B) = - cos C
cos(B + C) = - cos A
cos(A + C) = -cos B
Luego:
—cosC -cosA -cosB
M =----— +-----— +----—
cosC cosA cosB
M = -3
PROBLEMAS GRÁFICOS DE REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE
35.- L BMO: tan(7i - 6) =
=> BM = R tan(n - 0)
Utilizando la relación al primer cuadrante:
BM = -R tan 6
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WlDITOlll
36.- En el gráfico, introducimos el ángulo
auxiliar «a», notar que: a + 6 = 180°
En el LBAH; calculamos BH, así
BH= 7?2-22 = -J45 =3-j5
Por propiedad, si: a + 6 = 180°
=> tan 6 = -tan a
tan 6 =
37.- De la figura:	a + (- 6) = ti
Luego:
Pero:
a ti 0
a = 7t + 0 y 7=2+2
. 2tai/—+—
sen(7i + 0)	b 2
M = ----~ ------^“5 ’L
senG	0
cot—
2
sen(7i + 0) = - sen 0
f ti 0A	0
tan ir + iT =-cot -
l2 2J	2
-sen©
M =------
senG
-2cot—
_____2
0
cot—
2
Simplificando:	M = - 1 + 2
M = 1
38.- De la figura los ángulos a y 0 + ti son coterminales.
tan(a) = tan (0 + ti) .-. tan a = tan 0
También a es un ángulo en posición normal
- =tana
7 = tan 0
a
a tan 0 = b
W = b-2b
W = -b
Reducción al Primer Cuadrante
/	2	2
39.- Determinamos la longitud del radio vector OP = ^12 +(-5)
1
Luego:	OP = 13
De la figura los ángulos 7i + a y 0 son coterminales.
sen(n + a) = sen 0 -sen a = sen 0 ... (1)
También 6 es un ángulo en posición normal
sen 6 =
HP -5
OP " 13
En(l): sena = - sen 0 =-^23
Finalmente: 13 sen a = 5
W = 5
ARACSO
VpiDITORBa
R10
420
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
f AD M	Identidades Trigonométricas
del Arco Doble
01.- Escribiendo apropiadamente la expresión W, tendremos:
W = 3 + cos 4x - 2(2 sen2x)2 =>
W = 3 + cos 4x - 2(1 - cos 2v)2
A continuación aplicamos la fórmula para «degradar» cosenos, así:
W = 3 + cos 4x - 2 + 4 cos 2x - 2 eos 2x
W = 1 + cos 4x + 4 cos 2x - (1 + cos 4a)
Efectuando: W = 4 cos 2x
02.- Recordemos: cos4x - sen4x = (cos2x - sen2x)(cos2x + sen2x) = cos 2x
2
Luego:	M = 2 cos 2x - 1 = cos 2(2x)	/. M = cos 4x
03.- Descomponiendo la suma de cubos como el producto de dos factores, tendremos:
(senx+cosx)(sen2x + cos2x-senx.cosx)	1
M=	—------------------------ + o (2 sen x.cos x)
senx + cosx	-
A continuación luego de simplificar lo indicado, obtenemos
M = 1 - sen x. cos x + sen x . cos x	M = 1
2	2
04.- Recordar:	1 + cos 2a = 2 cos a ‘ => 1 - cos 2a = 2 sen a
7	7	2
2cos a eos2 a	eos a	1	2
=> W =----------5-- =---------------y => W = ~	2	2—	VV = y. csc a
2sen 2a (2sena.cosa)z	4.sen a.cos a	«
05.- Recordemos: cos4x - sen4x = cos 2x => M = cos6x - cos2x.sen4x + sen2x.cos4x - sen6x
Factorizando como sigue:	M = cos2x(cos4x - sen4x) + sen2x-(cos4x - sen4v)
4	4	-»	>
M = (eos x - sen x). (cos~x + sen~x) .-. M = cos 2x
cos 2 r	1
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
06.- Utilizando las identidades pitagóricas en los denominadores, tendremos:
,, cosx	senx
M —	2	2
secx.sec x cscx.csc x
A continuación escribiendo en términos de senos y cosenos obtenemos:
,, cosx senx 4	4
M = —í— - —— = cos x - sen x
3	3~"
cos x sen x
2	2	2	2
Finalmente: M = (eos x + sen x) (eos Xysen x)
1	cos2x
M = cos 2x
1 + tan x
07.- Recordando: sec 2x = ------,—
1 tan x
Luego en el problema, tendremos:
VV = sec^^-2a j
W = sec ^-4a
VV = esc 4a
08.- Escribiendo apropiadamente la expresión tendremos:
M = tan2x
2tanx
1 + tan2 x
2
- sen 2x . sec x
Luego de factorizar «-sen 2x», obtendremos:
M = -sen 2x(l)
2	2
M = tan x . sen 2x - sen 2x . sec x
2	2
M = -sen 2x(sec x - tan x)
M = -sen 2x
09.- Escribiendo la expresión en términos de la «tan x», tendremos:
,, tanx	coty	B, tanx cotx tan4 x
(1 + tan2 x)2	f 1 + tan2 x	(1 + tan2 x)2	(1 + tan x/"
[ tan2 x J
„	.	.	tanx(l + tan2x)	tanx
Factonzando como sieue obtenemos: M =-------------5—5— => M = ------------5—
(1 + tan2 x)2	1 + tan2 x
sen 2x =
Pero:
2tanx
9
1 + tan x
1
M = —. sen 2.x
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
W^BDITCKBa
10	.- Se pide:	W = cot 7o - 2 cot 14°
Por propiedad de arco doble:	cot x - tan x = 2 cot 2x
En el problema:	cot 7° - tan 7° = 2 cot 14°
Agrupando convenientemente: cot 7° - 2 cot 14° = tan 7°
W = tan 7°
11	.- Escribiendo como sigue la expresión:
W = cos 2x - (sen x + cos x).(senx-cosx)2 => W = cos 2x - (sen i f cos x).| senx-cosx |
<o
Pero del dato:	sen x < cos x => sen x - cos x < 0
Luego en W, tendremos:	W = cos 2x - (sen x + cos x).(cos x - sen x)
2	2.
Finalmente:	W = cos 2x - (cos x - sen x)
=> W = cos 2x - cos 2x .’. W = 0
12	.- Escribiendo en términos de senos y cosenos, tendremos:
M =
sen0/2
COS0/2 „	2 0
T-é------e-2s€n I
2sen—.eos—
2	2
2e
COS -
r a 20
l-4sen —.eos —
________2	2
2cos2 —
2
20
. cos —
2
M =
Finalmente, utilizando las fórmulas del doble y las identidades trigonométricas funda-
mentales, obtendremos:
M =
1	0	0?
1 - 2sen—.eos—
(	2	2 J
2
*. cos2e
M =
13.- Escribiendo en términos de senos y cosenos y fectuando apropiadamente, tendremos:
 ,	.	senx
W = 1 + cos x + sen x + ---
cosx
senx(cosx + l)
W = 1 + cos x +-------------
cosx
...	,,	. f, senx'i
W = (1 + cos x) 1 +-----
cosx J
1A, /i \ (cosx + senx)
W = (1 + cos x)------------
cosx
Expresando los factores lo más abreviadamente posible, tendremos:
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
7 X
W = 2cosz— .
'2 sen
. secx
W = 2 -J2 eos2 j .sen (x + j .sec x
PROBLEMAS CONDICIONALES
14.- Resolviendo en el lado izquierdo de la igualdad, tenemos:
= (2 sen2a)2 + 4 (2 cos2a)2
A continuación, utilizamos las fórmulas de «degradación» del doble, obteniendo:
7	7	1	2
= (1- cos 2a)2 +4(1 + cos 2a)
7	7	„	7	z,	1	1	_	1 2„
= — -	77	cos 2a +	-¿	cos za +	-7	+ 77 cos 2a +	-y cos 2a
4	2	4	4	2	4
= 2-3 cos 2a + 2 cos^a
= 2-3 cos 2a + (1 + cos 4a)
= 3-3 cos 2a + cos 4a
Comparando con el lado derecho:	tn =3 ; n = - 3 ; p = 1
sec 2a =
Análogamente:
l + tan2a
l-tan2a
1 + sec 2x =
tan2x
tanx
tan2x tan4x
(1 + sec 2x). (1 + sec 4x).(l + sec 8x) =-- . -——
tanx tan2x
tan8x -
-----= tan 8x . cot x
tan4x
Comparando tenemos: A = 1, B = 8, C = 1 A+C
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITO1II
16.- Desarrollando en el lado izquierdo de la igualdad:
a í 2tanx )
A ------2~
^1+tan x J
f 2 A
1 —tan x
1 + tan2 x
=> 2A . tan x + B - B tan2* + C + C tan2* = 0
(C-B) tan2* + 2A tan* + B+C = 0
p	9	r
p = C-B
r=B + C
1 x
18.- De la condición: cos 2x = 1 - 8 cos —
2
.	2*
1-cos -
sen2
=> cos 2x = 1 - 2^2sen^.cos^j
Finalmente:
2
=> cos 2x = 1 - 2 sen * =>
cos 2* = - cos 2*
cos 2* = 0
+ C = 0
2A q
B+C “ r
M = 3
19.- Del dato, elevamos al cuadrado: (4 sen a - 3j2 cos a)2 = 52
16 sen2a - 2(4 sen a) (3-J2 cos a) + (3-J2 cos a)2 = 52
8(2sen2a) - 12^2 (2 sen a eos a) + 9(2cos2a) =25 --.(1)
l-cos2a	sen 2a	l+cos2a
8(1 - cos 2a) - 12 42 . sen 2a + 9(1 + cos 2a) = 25
8-8 cos 2a - 12 J2 sen 2a + 9 + 9 cos 2a = 25
cos 2a - 12 J2 sen 2a = 8
Finalmente:
W = 8
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
20.- De la condición: cos x - sen x = —--—
(zcosx)m
2	*
2 cos x - 2 sen x cos x = —
tn
> 1 + eos 2x - sen 2x = — => cos 2x - sen 2x -----------
tn	tn
1. í * m
Elevando al cuadrado:	(cos 2x - sen 2x) = --------
l ™
2	2	I 1 — tn
= > cos 2x + sen 2x - 2sen 2x.cos 2x = -----------
I tn
,	-2
íl-mY	2m-l
1 - ---- = sen 4x => sen 4x - —y~
tn j	m
/i m2
csc4x= =-----
2m- 1
21.- Escribimos convenientemente, para hacer aparecer la fórmula del seno del doble:
3	>	3	,
W = 1 - — (2 sen x cos x) => W = 1- — . sen 2x
Finalmente reemplazamos el seno del doble, obtendremos:
W = l-
3
W=
4
22.- Como:
cosx
tn
senx
n
tan x = —
tn
3 í 1 V 3(1)
4	-1‘ 4 l3J
n
Reemplazando el valor de la tan x, en la expresión «E»z obtendremos:
E = 777
•j
l-tan x
l+tan2x
2 tan*
1 + tan2 x
E =
tn
Luego de simplificar y agrupar convenientemente tendremos:
3	2	2
m - tnn + 2tnn
E =	2	2
tn +n
3	2
tn +mn
E= j 2~
m + n
7	2
m(m + n )
Finalmente: E = ----j--5—	E = m
m +n
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
%
RACSO
DITOBBB
23- Utilizando el triángulo del doble en el problema, asi:
2 tana
1 +	2
En el dato: k=----L±_tan_a
1 1 - tan a
1 + tan2 a
1 + tan2 a + 2 tana
14- tan a______
2	7
l+tan a-l + tan a
1 + tan2 a
7
(1 + tana)
K —	-7
2 tan a
2 tan2 a _ 1
(1 + tana)2 k
W =
2tan a
1-tan a
24.- Como:
cos x . cos y = sen a	.. . (1)
sen x . sen y = cos a	... (2)
Sumando las proposiciones (1) y (2): cos x . cos y + sen x sen y = sen a + cos a
Luego obtenemos:	cos(x - y) = sen a + cos a ... (3)
Elevando al cuadrado la expresión (3):	cos2(x - y) = (sen a + cos «)2
A continuación utilizamos la identidad trigonométrica fundamental obteniendo:
1 - sen2(x - y) = pen2« + cos2« + £seno cosa
1	sen 2n
7
1 - sen (x - y) = 1 + sen 2/7
2
sen (x - y) = - sen 2a
25	.- Hallemos la relación angular, así:
2x-15—
17
Aplicando cosenos en ambos miembros de la igualdad:
cos
2x-15
A
17
(1)

Reemplazando la condición en la expresión (1), obtendremos:

Identidades Trigonométricas del Arco Doble
26	.- Hallemos la relación angular:
ín x A f 2x A n
^4 5 J 5 J 2
2x^1	(71 xA 71
T J=2[4 + 5 j*2
Aplicando senos en ambos lados de la igualdad:
27	.- Se sabe que: tan a + cot b =-------
cosa.senb
y
Del dato:	tan 2x + cot x = 8 cos x
Efectuando como sigue en el problema obtenemos:
cos(2x-x) 2	cosx	2
------	=8 cosx => 	-- = 8 cos x => 1 = 4(2 senx. cosx) .eos 2x
cos2x.senx----------------------------cos2x.senx----------------------
sen2x
Efectuando como sigue:
1 = 2 (2 sen 2x. eos 2x)
sen4x
=>	2 sen 4x = 1
M = 1-1=O
28	.- De la C.T. se observa que: tan~xj = cot x
=> tan(37i + x) = tan x
En el dato: cot x - tan x = 2k
cosx
senx
De donde:
senx
cosx
cos2x
sen2x
2	2
eos x-sen x
sen xcosx
1
tan 2x = —
k
•y	y
i	1 + tan «	~ I-tan a
Luego: sec 2a = -----5— a eos 2a =----------?—
1 —tan a	1 + tan a
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿Jkl ACSO
niDlIClEI
En el problema:
1 + tan2 2a 1 — tan2 2a
1 - tan2 2a 1 + tan2 2a
1 k2
l4
.2
____ k2—1
k2-l ’ k2+l
Efectuando y simplificando obtenemos:
k4 +2k2 + l-k4 + 2k2-1
k4-l
w=
4fc2
k4-l
29.- De:
_	2 tanx
sen 2x = ------5—
1 + tan x
Al despejar obtenemos:
2
1 + tan x tanx
2
sen2x
tanx
sen2x
sec2x
Luego en M, tendremos:
sec2 a
M= —
sec2p 1	2	2.,
—-— = — (sec a - sec b)
Pero por dato:
2	2
sec a - sec b = 2
W =
1
1 l!
w =
2
Finalmente:
M = 1
2
=^> 1 - tan x = 3 tan x
30.- Del dato: 2 - (1 + tan2x) = 3 tan x
A continuación:	. t	2 tanx	2 tanx tan 2x —	,	— _. 1 —tanx 3tanx . 4
Luego:	,	2	1 - tan2 2x	.		9. tan2x- o => cot4x-	_	=> cot4x- 3	ztanzx	21Z] l3j 5
Finalmente:	cot 4x =	=> cot 4x = 12	.-. cot 4x = 3
31.- Efectuando como sigue obtenemos:
1 - -72 sen x-(l+-j2 senx)	2-72 cos r
(l+5^senxXl-5^senx) + sen2x
cos2jc
-2-72 senx.sen2x +2-72 cosx. cos2x
cos2x.sen2x
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
W = 2-j2
(cos 2x. cosx -sen 2x.senx)
2sen2x.cos2x
W = 4j2.
cos3x
sen4x
71	71
Como: 3x + 4x = —; pues: 7x = —
Por ángulos complementarios: cos — = sen —

32	.- Efectuando como sigue:
M = 49
c0s22°.cos8o-sen8°.sen22o A
sen80.cos80 I
pcos(220+8°) Y
2sen8°.cos8° J
= 49
\2
senl6°
Luego de reemplazar los valores, obtenemos:
M = 49 .	. 252 = 3. (625)
M = 1 875
33	.- Por teoría de ángulos suplementarios tendremos:
771	(	571A	571	1171	(	7t A	71
tan—= tan 7i----= -tan — => tan —— = tan 7i-= -tan —-
12	l	12 J	12	12	l	12 J	12
Por lo tanto: W = tan— - - tan— + tan — - - tan—
12	12 J 12 [	12
Reemplazando los valores notables, tendremos:
W = 2[2- 43 + 2 + 43 ]	W = 8
=> W = 2Ítan—+ tan—1
12	12 J
34	.- Se sabe que:	8 sen4a = 3-4 cos 2a + cos 4a
Luego, multiplicando por 8 en la expresión dada tendremos:
oiA7 o 4 71 , o 4 37t	.	371	.	71
8 W = 8 sen + 8 sen + 4 cos g + 4 cos g-
Y reemplazando la identidad inicial, obtenemos:
O A 71	71	„ .	371	371	.	371	,	71
8W = 3-4 cos 77 + cos 7+3-4 cos-77 + cos ~¡r + 4 cos -77 + 4 cos
8	4	8	4	8	8
8W = 6+-cos^ +cos3/	8W = 6+	W= 4
4	4	2	2	4
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^RACSt
35.- Como:
771	71
COS — = -COS —
8	8
571	371
COS— = -COS —
8	8
l-cos-
71
1 + eos —
8
,	371
1 + eos—
8
i 371
l-cos-
2
1 - eos2 —
8
2 371
l-cos -
2 71
= sen —
8
2 371
-sen g
M =
M =
„	371	71	371	71	71
Pero: sen g = cos g- pues: “g“ + g’ = 2*
Buscando la fórmula del seno del doble, tendremos:
2
2 71	2 TE 1
M = sen — . cos — = —
8	8	4
71	Tt
2 sen— . eos —
1	2 71	1
M = — . sen — = — -j=
4	4	4 V2
\2
1
8
36.- Se sabe que: 1 + cos 40° = 2 cos220°
^2 eos2 20°
Luego: M =---------^=--- . sec 20°
. sec 20° M = 1
7
37.- Escribiendo como sigue el problema, tendremos:
M =
M = sen 5o. cos 5o - (1 - sen2 40°)
2
2M= 2 sen 5o. cos 5° - 2 cos 40'
l+cos80°
sen 10°
Utilizando las fórmulas del doble, obtenemos:
2M = sen 10° - (1 +cos 80°)
' sen 10°
2M = sen 10° - 1- sen 10'
M = -
K31>—1
VARIACIÓN DE EXPRESIONES
38.- Factorizando tenemos: W = sen x . cos x(cos4x - sen4x)
2	2	2	2
W = sen x . cos x (cos x —sen x) (cos x+sen x) =>
cos2x
1
W = —. 2senxcosx . eos 2x
sen2x
1
W = —. 2sen2x.cos2x
4 -------------'
1
W = — sen 4x
4
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
R11
431
. Comox g R => - 1 < sen 4x < 1	=> -4 < — sen4x < 4
4	4_____ 4
W
Finalmente el máximo valor será: ^máx = "4
39.- Debemos plantear la siguiente restricción:
1 - cos 2x + 0 => cos 2x * 1 => 2x * 2kn
x + kn =>
De la C.T tenemos:
También recordar:
2.	2	2	2
2sen 2x (2sen*cosx) 4sen xcos x
2	j	=	2
2sen x sen x	sen x
y
De la condición (1): 0 < cos x < 1
2
0 < 4cos x < 4
W = 4 cos2r
W G [0
;4)
40.- Debemos plantear las siguientes restricciones:
i) tan 6 3 si6 (2k +1)-^,/cg Z
ii) tan 20 3 si 26 * (2k +1)	=>
Luego:
Resolviendo:	W = tan 6 - tan 26[1- tan20]
RH
432
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
‘’Ü RACSO
^^DlTOBBS
=> W = tan 6 - ---- 2 . [1 - tan20] =>
1- tan2©
De la C.T. tenemos:
-1 < tan 6 < 1
W g (-1; 1)
VV = - tan 6
IDENTIDADES AUXILIARES
*1	^<51	6 J a
41.- Recordemos: sen x + cos x = — + — cos 4x a sen x + cos x = — + — cos 4x
4	4	o o
Reemplazando las identidades anteriores en el problema:
3 1
—+ —COS'
—H”
—+ —COS'
8 8
Luego de efectuar las operaciones anteriores, obtenemos:
Pero:
1 /ti
—eos —+ 2a
4 12
3 ,
—cos(n-a)
2 (-sen2a)
3 (-cosa)
2 2sena.cosa
M= -------------
3 cosa
sen a
Finalmente:
1
esc a = 4	=> sen a = —
4
m-3
42.- Recordar: tan a + cot a = sec a. esc a = 2 esc 2a
En el dato:
2n	2n
tan — + cot — = k
9	9
(tan§ = cot^
2csc — = k
9
4n
M =
4
3'4 '
2
Sen 9 “ k
4
3
Finalmente:
1 4
VV = -.-y
4 k2
1
k2
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
2	2
43.- Como: tan x + cot x = m
Buscando el desarrollo de un trinomio cuadrado perfecto sumamos (2) a ambos miem-
bros de la igualdad:
(tan x + cot x)2 = m + 2	(2 csc 2x)2 = m + 2
2 csc 2x = -Jm + 2 -Jm + 2 . sen 2x = 2
4	4	4	4	*
44.- Recordemos: cos x - sen x - cos 2x a cos x + sen x = — + — cos 4x
4	4
coS'»;—sen6 * 8x (eos4 x + sen4x).(cos4 x—sen4x)
Como: -------------------------------------------
cos2x	cos2x
cos2x.|v+4-cos4r |
\4 4	/	3	1	3	1	.	.	„
= cos2x =4 + 4cos4x =>	4 + 4 cos 4x = A + B cos 4x
Luego de comparar las proposiciones anteriores, obtenemos-
3	1
A= - ; B = —	A + B= 1
4	4
45.- Recordemos que: cos4x + sen4x = y + -r cos 4x
i	4	4
, . j.	(eos4 x-sen4 x)
En la condición:	----¿¿------------t-----¿— = m
(cos x+sen x)(cos x-sen x)
Efectuando y simplificando tendremos:
4	4	1	3	1	4
cos x + sen x = —	. cos 4x =---
m 4	4	4m
4	4
Luego: 3 - — = cos 4x =>	3 - cos 4x = —
°	m	m
46.- Recordemos:
6	6	3	3	.
sen x + cos x = g + g cos
Reemplazando en la identidad:

= A + B cos 4x =>
5+3 cos 4x = A + B cos 4x
Al comparar tendremos: A = 5 aB = 3 A-B= 2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
innoiri
SITUACIONES GRÁFICAS
47.- En k ADE: ED = AD = V2
En L ADB:
BD= V2 cotx ..(1)
En L EDC:
tan a =
ED
DC
A continuación calculamos «tan 2o», así:
tan 2a =
2tana
1 — tan2 a
2#
V3
hj2
J3
En kBDC:
BD = V3 . tan 2a =
= 6^2... (2)
De(l) = (2):	cotx = 6-^2
cot x = 6
b
„	í a'l o b
48.- En el LEFD: tanl — I = — = — — (1)
2
tana=
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
49.- Sean los ángulos agudos a y 0.
En el L ABC tenemos:
sen20°	2senl0°cosl0°
tan a + cos20° 2cos210°
tan a = tan 10°	=>	a = 10°
Además: a + 0 = 90°	=>	0 = 80°
50.- De la figura tenemos que el cuadrilátero ABCD es inscriptible, BD es diámetro de
lina circunferencia.
tn Z BDC = tn Z BAC - 2a
Por ser ángulos inscritos.
En k BAD: BD = 3. esc a ... (1)
EnLBCD: BD = 7 sec 2a ...(2)
3	7	7
De (1) y (2):	=» 3[1 - 2 sen a] = 7 sen a
' ’’ v ’ sena cos2a 1	'
2
6 sen a + 7sen a - 3 = 0
(2 sen a + 3)(3 sen a - 1) = 0
3
sen a = - — (absurdo) ó
1_
3
sen a =
Luego:	esc a = 3
En (1):	BD = 3(3)
Finalmente:	BD = 9 cm
RACSO
 DITOlll
R11
436
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RELACIONES FUNDAMENTALES
01.- Utilizando la fórmula del «cos» del ángulo mitad obtenemos:
eos —
2
1 + cosx
2
X
4 cos y = 3
02.- Escribiendo «M» en términos del cos x, obtenemos.
	1	cosx	1	cosx
	cosx	cosx	cosx	COSX	1 -COSX	11+cosx
IVl — 1	1	1 cosx	1	1	COSX	-*	Vl+cosx + Vi-COSX
1	cosx	cosx 1	cosx	cosx
A continuación observamos que cada una de estas expresiones son tan^ y cot^.
Además: 2 e IC, por lo tanto:
M = tan ~ + cot ~ = 2 csc x
M = 2 csc 1
03.- Escribiendo apropiadamente la expresión, tendremos:
x	O 2x
cot—.cosx	2cos —.tanx
.,	2	2
M =	x  -------------
secx.cot—
2
secx.cot—
2
cosx
M= —y-
„	2 x senx
2cos —.-----
2 cosx
cosx
cos—
2
cosx „__ x
sen—
2
A continuación, utilizando arco doble.
2	Y "V
M = cos x + 2cos—sen^. sen x
tendremos:
M = cos2x + sen x . sen x
2	2
M = cos x + sen x
M = 1
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
R12
437
04.- En la condición: esc 2x - cot 2x = -g
tan x
Luego:
1
tan x = g
... (1)
A continuación: W = esc 4x + cot 4x = cot 2x (fórmula racionalizada)
Luego:
1	1 — tan2 x
W =----— = —--------
tan2x 2 tanx
1-
Reemplazando (1) en W obtendremos: W = —
2
1-1
___9
2
3
4
w=-
05.- En LABC por el teorema de Pitágoras, tendremos:
AB= ^(c2 + b2)2 -(2ob)2
AB = 7 o4 + 2o2b2 + b4 - 4o2b2
AB
b2)2 = |«2-b2|
tf-tí1
B

Como a > b
.2	1.2
c2-b2>0
AB = c2 - b2
Entonces:
. x	.	a2+b2
tan 77 = esc x - cot x = —„ ,
2	2«b
a2-b2
2ab
x 2b2 b
tan^ = é—r = —
z 2ab a
. x b
tan re = —
2 a
06 - Por identidades trigon métricas, sabemos que:
2
(*) (1 + sen x + cos x) = 2(1 + sen x)(l + eos x)
2
(*) (1 - sen x + cos x) = 2(1 - sen x)(l + eos x)
1 + cosx
x	1 cosx	%
(*) cot ~ = CSC X + cot X =	=J> cot — = CSC X + cot X =
2	senx	2	senx
Luego trabajando con la condición reemplazando las identidades anteriores, y
factorizando tendremos:
2(1 + cos x)[l + sen x + 1 - sen x] = W .
1 + cosx
senx
W(l+cosx)
Finalmente: 4(1 + cos x) = ---------
senx
W = 4 sen x
R12
4381 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
07.- Según dato:
71 < x
% 6 IIC
Además: tan—
1 - cosx
1 + cosx
3	3
Pero:	cotx-^ => cosx = -g (2)
Además:
Finalmente:
Reemplazando (2) en (1):
cos 2x = 2 cos2x -1=2
cos 2x = -
7
25
í 7 1	43
W=|--J.(.2)=-
43
w=-
08.- Se pide calcular: W = 2 sen | . cos | . tan x - 2 sen2 + 1
arco doble
Por degradación: sen2^ = l~cosx
W = sen x . tan x - 2 p—2°S*
arco mitad
A continuación escribimos «W» en términos de senos y cosenos:
W = sen x.
senx
cosx
1-cosx
2
+ 1
W =
sen2x
cosx
-1 + cos X + 1
2	2-1
sen x + cos x 1
W =-------- =---= sec x
cosx cosx
2J3
W = sec 30°=
3
3
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
FÓRMULAS RACIONALIZADAS
09.- Se sabe que: cot y = csc a + cot a
tan = csc a - cot a
luego, aplicando dichas propiedades en el problema, tendremos:
W = csc 2x + 2[csc 2x + cot 2x] - 3[csc 2x - cot 2x]
A continuación efectuando y simplificando obtenemos:
W = csc 2x + 2 csc 2x + 2cot 2x - 3 csc 2x + 3 cot 2x
Finalmente:	W = 5 cot 2x
10.- Utilizando las fórmulas racionalizadas tenemos:
(*) tan 20° = csc 40° - cot 40°
(*) cot 20° = csc 40° + cot 40°
T . , _ csc400-cot400+cot40° _ esc40°
Luego: M - csc40o+cot40o-cot40° - csc40°
f a'i	1 + cosa
11.- Recordar: cot — = csc a + cot a = ------; además:
^2)	sena
2cos2a = 1 + cos 2a
M = 1
Luego: W =
1 + cosx
senx
- (1 + cos x).
cosx
senx
2
,,,	1 + cosx-cosx-cos X
w =------------------
sen'x
senx	senx
W = sen x
12.- M = tan^ + (1 - cos x). cot x => M = csc x - cot x + cot x - cos x. cot x
A continuación luego de cancelar: cot x y -cot x, escribimos «M» en términos de sen x y cos x:
2	2
1	cos x	l-cos X
M =----- ------ =---------
senx	senx senx
, sen2x
M =------
senx
= sen x
M = sen x
13.- Por arco mitad:
Arco doble-
fx^	1-cosx
tan — = csc x - cot x = -----
2 j	senx
2
sen 2x = 2 sen x cos x a cos 2r = 2 cos x - 1
Utilizando las propiedades anteriores tendremos:
•JiRACSO
*7 *D1TD>1B
R12
440
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
(xA
~ I. tan 2x.
f 2	2
eos x-(l-cos x)
cosx(l-cosx)
w=
senx
2
sen2x 2 cos x-1
cos2x ' cosx(l-cosx)
, 2senxcosx
W = ----------=2
senxcosx
W = 2
14.- Utilizando las fórmulas racionalizadas de arco mitad, tendremos:
1,
cscx —(cscx - cotx)
------------------ =*
—(cscx - cotx) + cotx
A continuación simplificamos y obtenemos:
1,
—(cscx + cotx)
M = -------------= 1	M = 1
—(cscx + cotx)
cscx —-CSCX+—.cotx
2! 2
—.cscx--.cotx + cotx
15.- Escribimos apropiadamente la tangente de un ángulo mitad, obteniéndose que:
71 X
tan[---
= tan
lín
2l 2
= CSC
(71	1
---x = sec x - tan x =
2 J
1-senx
cosx
n
2
Finalmente al reemplazar dicho resultado en W, obtenemos:
1-senx (1+senx)
cosx
cosx
1 — sen2x
2».
cos x
2
COS X
=> W=-------ñ-= 1
COS X
W = 1
16.- Si: esc x + cot x = cot
luego: esc x = cot^ - cot x
cscx
= cot^-cotx
En «M», tendremos:
csc~
csc^
4
CSCg
= cot*-cot*
= cot^—cot 4
8	4
= cot16-cot8
(+)
CSCÍ6 =CCt32'CCt16
Finalmente al simplificar obtenemos:
M = cot~— - cotx
32
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
17	.- Sabemos que: tan x + cot x = 2 csc 2x, a continuación reemplazamos dicha propiedad
en el problema obteniendo:
M = cos22x -
tanx + cot x
,2
2	2
M = cos 2x - sen 2x
M = eos 4x
2
18	.- Utilizando las fórmulas racionalizadas como sigue:
W = csc Zx + cot 4x + csc 4x
del arco mitad
W = csc Zx + cot 2x
del arco mitad
W = cot x
19	.- Utilizando las fórmulas racionalizadas en el numerador y denominador se obtiene:
W _ (cscx + cotx) - (cscx - cotx)
csc2x + cot2x
arco de mitad
2 cotx
W = ---— = 2
cotx
W = 2
20.- Del arco mitad se sabe que:
a
tan — = csc a - cot a
Luego:	tan7°30' = csc 15° - cot 15*
Con ayuda de las R.T. de 15°, tendremos:
tan 7°30' = (Vó + ^2 )- (2 + 73 )
tan7° 30' = V6 -
2 -2
21.- Sabemos que:
[al
tanl — I = csc a - cot a, luego:
(18o>l
tan(9°) = tanl I = csc 18° - cot 18° => tan(9°) =
4__
*5-1
J10 + 2V5
J5-1
Racionalizando tenemos:
.	4	(TS’+l) Ó0 + 2V5(VV5 + l)2
an ‘ (75-1) ’ (^5 +1)	(75-l)(75 + l)
Finalmente: tan(9°) - 75 +1 - 75+275
R12
442
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
PROBLEMAS CONDICIONALES
22.- Se sabe que:
cot x + tan x = 2 csc 2x (1)
x
tan — = csc x - cot x (2)
Utilizando la primera propiedad en el segundo miembro de la condición obteniendo:
x	-J	x
+ tan — =tant + cot-
es	"	4
A continuación uti izamos la propiedad (2) en el primer miembro.
x x	x	x	x
csc ~ - cot—	= cot~	;	csc—	=2cot	~
4	4	4	4	4
A continuación escribiendo en términos de senos y cosenos:
1	4 x „
—x=—T' sen7*°
sen— sen—
4	4
x	1	x
=>	cos ~ —	—	=>	sec ~	= 2
4	2	4
1
Luego: M= — + 2 = 2,5 M = 2,5
23	.- Utilizando las fórmulas adecuadas del ángulo mitad tendremos:
csc 20°+cot 20o- (csc 20°-cot 20°)
W=---------------COÍ205-------------
A continuación simplificando obtendremos: W =	W — 2
x
24	.- Recordemos:	cot ~ = csc x + cot x
Escribiendo como sigue la expresión «E» se tendrá que
E = csc(90° - 2x) + cot(90° - 2x)	=>
E = cot
90°-2x
2
= cot(45° - x)
E =	1	=1
tan(45 -x) m
m
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
R12
X	X
25	.- Como: esc x - cot x = sen 0 => tan ~ = sen() a cot~ =csc0
Utilizando las identidades trigonométricas apropiadas y las igualdades anteriores,
obtenemos:
2 X 2	_____i____
1 + tan —+ cos 0	, 2n 2„
M=--------M=l±sen@±cos 0 =2	. M = 2
CSC0-CSC0 + 1	1
26	.- Como: cot x - tan x = 2 cot 2x, en el problema se tendrá:
M = (tan 10° + cot 10° - tan 10°)(csc 20° - cot 20°)
Finalmente:	M = cot 10°. tan 10° =1 .-. M = 1
27	.- Como: sen x + m cos x = m => sen x - tn(l - cos x)
1	1	cosx	1	x	1
=>	— =------- ------- => esc x - cot x = — => tan ~ = —
m	senx	senx	tn	2	m
Finalmente:	cot y = tn
28	.- Completamos cuadrados como sigue, tendremos:
x2 - (2 esc a)x + csc2x + 1 - csc2a = 0
2	2	2	2
(x - csc a) = esc a - 1 => (x - esc a) = cot a
.-. x - csc a = cot a o x - csc a = - cot a => x = csc a + cot a = cot 2
o r = csc a - cot a = tan
29	.- El lado izquierdo de la igualdad, expresando en términos senos y cosenos.
cosóx	cos(8x-2x)	cos8xcos2x+sen8x.sen2x
sen8x.cos2x	sen8x.cos2x	sen8x.cos2x
= cot 8x + tan 2x = cot 8x + csc 4x - cot 4x
del arco mitad	del arco mitad
= cot 8x + csc 4x - (csc 8x + cot 8x) = csc 4x - csc 8x
RACSO
P ID1TO1II
R12
444
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Comparando:
A=4,B = 8
Finalmente:
B
— =2
30	.- Escribiendo la expresión pedida como sigue:
2 2
l 2 J
(n-a\ .
—4~I tan
Y ahora, usando la siguiente fórmula, tendremos :
na
2 2
2
/ n Ct x . / 7t ct\
= csc( — " 2 )’cotí 2 ' 2>
tan
Y reduciendo al 1C nos queda: = sec - tan
tan = sec - tan
31	.- Dándole una forma más apropiada a la expresión "p", tendremos:
I 1 i i	7
P = 2 I--=—+------------ => p=-------(sen0>0)
tisen2 g senO senO	r senO '	'
=> p = 2 csc 0
6	1	0
Asimismo, del dato deducimos que : k = cot — v v = tan 77
2_	K	z
A continuación, sumamos las siguientes propiedades y obtendremos:
i 6 i 6 o
tan + cot 2 = 2 csc 0
0	0
Finalmente tendremos :	p = 2 csc 0 = tan	+ cot
.-. P=l+k =>	p = k + k1
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
SITUACIONES GRÁFICAS
32	.- Sea CD = a => AB = 2a
En LDCB:	CB=fltan6
CA
En L ACD:	cot 6 =
fl(tan0+2)
cot0= —----------
a
Efectuando:	cot0-tan0 =2
Por arco mitad:	2 cot 20 = 2 =>
33	.- Dado que x es agudo y 4x también lo es, podemos usar un método gráfico que a
continuación presentamos:
6	3
Se sabe que:	sen 4 x = 0,6 =	=> sen 4 x =
Utilizando el "Método Griego" prolongamos el cateto adyacente al ángulo "4x" una
longitud igual al valor de la hipotenusa.
A continuación unimos su extremo con el extremo
de la hipotenusa, logrando un triángulo isósceles
tal como ACD => Z ADC = 2 x
Luego: tan 2x = (4 + 5) => tan2x= 3
Haciendo el mismo procedimiento, y en base a este
último resultado construimos el triángulo adjunto,
de donde:
tan x =
1 VÍO+3
VÍO-3 ’ V10 + 3
tanx= -TÍO +3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JIDITOIII
01.- Utilizando las relaciones fundamentales del seno y coseno del triple, obtenemos:
3	3	3	3
eos x-(4cos x-3cosx) sen x + 3senx-4sen x
W =-------------------------1----------------------
cosx	senx
A continuación al simplificar obtenemos:
3cosx(l-cos2x) 3senx(l-sen2x)
cosx	senx
W = 3[sen2x + cos2x] .-. W = 3
02.- Recordar que: cos(a + 0). cos(a - 0) = cos2a - sen20
2	2
Luego:	W = 4 cos x [ cos 60° - sen x] => W = 4 cos x
Escribiendo como sigue, tendremos:
W = 4 cos x [^-(1 ~cos2xj	=>	W = 4 cos x^cos2x-^
W = 4 eos' x - 3 cos x	.'.	W = cos 3x
(i)'-sen»
03.- Utilizando las fórmulas fundamentales del triple, tenemos:
sen3x
-----	3	3
<-pnr	3cosx + (4cos x-3cosx)	4sen3x 4cos x
W = „ sen +-----------------------=> W =--------------------ñ— +-------5-
—-sen2x 3senx-(3senx-4sen x)	senx(3-4sen x) 4sen x
4
4sen3x 3
Finalmente: W =-------~— + cot x
sen3x
W = 4 + cot3x
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
R13
447
04.- Escribiendo en términos de senos y cosenos :
M = tan x.
senx (l-4cos2x)
" 	9	—
cosx’ (3-4cos x)
senx( 1 - 4( 1 - sen2x))
—
-(4cos x-3cosx)
Enseguida damos forma al numerador y denominador formando las fórmulas básicas
del seno y coseno del triple:
. . senx(4sen2x-3)	~(3senx-4sen3x) _ sen3x
-cos3x	-cos3x	cos3x
M = tan 3x
05.- Escribiendo como sigue, tendremos:
cos3x	cos2x 8 tanx
cos3x	cos2x tan2x
A continuación utilizamos las fórmulas del doble y el triple:
4cos3x-3cosx 2cos2x-1 8tanx
Vy — -------------- -f- ---ñ---- — --------
eos' x	cos x	2 tanx
1 — tan2x
2	2	2
Finalmente obtenemos:	W = 4 - 3 sec x + 2 - sec x - 4(1 - tan r)
7	7
W = 2-4(sec x—tan x)	W = -2
i
06. Escribiendo en términos de senos y cosenos:
1 cos2x
_____cosx cosx
senx „ sen3x
-----+ 2senx+	
cosx-cosx
cosx + l+cos2x
w =----------------------
senx + 2senx cos x + sen3x
A continuación efectuando operaciones apropiadas en el denominador y factorizando,
tendremos:
__________cosx + l+cos2x_______
” sen x+2 sen x cos x+sen x( 2 cos 2x +1)
(cosx +1 + cos2x)
2senx(l + cosx + cos2x)
W =
Finalmente:
1
VV = — csc x
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
jÍ RACSO
Uf* dDITOlli
5
4
V5
07.- Como: sen x + cos x =-
2
(sen x + cos x)2
2	2	„	3
sen x+cos x + 2senxcosx = —
'-----'------' '------'	4
1	sen2x
1
sen 2x = —
4
3
Luego:	sen 6x = sen 3(Zx) = 3 sen Zx - 4 sen' Zx
Finalmente:	16 sen	6x = 11	M = 11
08.- Del dato:	2sen2x _ 2cos2x	- 4 => tan2x = 4	=> tan x = 2, x g IC
Luego:	tan 3x =	3 3tanx-tan x	_ l-3tan2x	3(2)-(2)3 tan 3x —	9 l-3(2)2
=>	tan 3x =	-2 -11	2 tan 3x = -jy
09.- Utilizando la fórmula del coseno doble, tendremos:
i	J
W = 4(1-2 sen29°)- —
=> W = 4 . cos 18°----------
cos 18°
A continuación efectuamos para generar el desarrollo del coseno del triple, así:
4cos218 -3 cosl8
W =-----------.-------
cos 18 cos18°
4 eos318°-3cosl8°	cos3(18°)
eos218°	“ eos218°
cos54° sen36° 2senl8°.cosl8°
Finalmente: W =	lf., =
W = 2 tan 18°
10.- Trabajando con la ecuación del problema:
2(3 tan x - tan3x) = 1-3 tan2x =>
3 tanx-tan3 r
•y
1—3tan x
Por arco triple:
1
tan 3x = ~
1
2
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
Luego:
3tan3x
W = tan 6x = tan 2(3x) = ------
1-tan 3x
Finalmente:
W=-
4
fíELAClONES AUXILIARES
11.- Utilizando la siguiente identidad, tendremos:
tan a + cot a = sec a. csc a - 2 csc 2a
Luego:
W = tan 9o + tan 27° + cot 27° + cot 9o
En el problema: W = tan9°+cot9° + tan27°+cot27°	=> W = 2 csc 18° + 2 csc 54°
'-----V  "	v------v	 '
A continuación recordamos los siguientes triángulos notables:
Finalmente utilizando los triángulos notables en el problema obtendremos:
W = 4
12.- Si recordamos que: tan a + tan P = sen(K+P)
cosa-cosP
„ sen(a + P)
cot a + cot P =--------
sena.senP
En el problema:
sen(72°+36°)
cos72°.cos36° _ sen72°.sen36°
sen(72°+36°)	cos72°.cos36°
sen72°.sen36°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOKBM
Luego de los triángulos mostrados:
W = tan 72° . tan 36°
J10 + 2J5 Jl0-2j5
V5-1 V5 + 1
Finalmente:
7100- 20	4^5
w =--------=-----
4	4
W= V5
13	.- Aplicando reducción al I cuadrante tendremos:
cos 380° = cos(360° + 20°) = +cos 20° => cos 140° = cos(180° - 40°) = -cos 40°
cos 260° = cos(180° + 80°) = -cos 80°	=> W = (cos 20°)(-cos 40°)(-cos 80°)
Pero se sabe que: cos 3a = 4 cos a. cos(60° + a).cos(60° - a)
Luego en el problema, tendremos:	W = cos 20°.cos(60° + 20°).cos(60° - 20°)
Finalmente:
1	11
W = - cos 3. (20°) = ~ cos 60° = -
4	4	8
2
14	.- Escribiendo como sigue el problema: M = 3(sec 10° . sec 50° . sec 70°)
A continuación le damos una forma conveniente a la siguiente propiedad:
M = 3[ sec 10°. sec(60° - 10°). sec(60° + 10o)]2
M= 3.16.
. sec 10°. sec (60°-10°). sec(60°+10)
Pero:
1
~ sec x . sec(60° - x). sec (60° + x) = sec 3x
Finalmente:
M = 3.16 . sec230° =3.16.
15	.- Sabemos que:
4 sen x. sen (60° - x). sen (60° + x) = sen 3x a cos4x - sen4x = cos 2x
Aplicando dichas propiedades al problema tendremos:
4sen22°sen(60o-22o).sen(60o+22°)	sen3(22°)	sen66°
4M =	o/i4M -	—	0,11
cos 2(12 )	cos24	cos 24
w= r
. 4
2 f
.-. M = 64
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
R13
451
Como: sen 66° = cos 24° , de donde: 4M = 1 M = —
4
16	.- Escribiendo como sigue la expresión, tendremos:
(2cos6x+ l)sen3x
(2 cos 6x -1) cos 3x
sen3(3x)
W ~ cos3(3x)
sen9x
~ cos9x
W = tan 9x
.	x „ 3x
4 senx. sen3cos-~-
17	.- Escribiendo como sigue: W =-
sen~- sen2--
Luego de efectuar y agrupar conveniente tendremos:
7 X X	X	Y I 2 Y
4.2sen 7rcos-^ + 3cos-y(2cosx-l)	coswl8sen —+6cosx-3
W =------z----2—5—2----------- => W =--------—------~---------
cos£(l + 2cosx)
Finalmente:	W = -----------------
sen^(2cosx + l)
sen^=-
W = cot y
sen3x	cos3x
18	.- Aplicando las propiedades: - = 2 cos 2x + 1 a --------- = 2 cos 2x - 1
r	r r	senx	COSX
En el problema tendremos: M + 2 cos 2r + 1 = 2 cos 2x - 1
Luego de simplificar, obtendremos:	M = -2
19	.- Escribiendo en términos de senos y cosenos:
senlO°	2sen210° cos70°
W = ----— ( 3 cos 10° - 2 sen 10°.cos 70°) => W = 3 sen 10° - —--------	-
coslO	'	coslO
Pero, por arco complementario: cos 70° = sen 20°
2sen210°
En la expresión tenemos:	W = 3 sen 10° - ----. 2 sen 10° cos 10°
Ordenando y simplificando:	W = 3 sen 10° - 4 sen310°
1 1
Entonces por arco triple tenemos: W = sen 3(10°) = ~	.-. W = ~
R13
452 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
1RACSO
 dITOIEI
PROBLEMAS CONDICIONALES
20.-Del lado derecho de la igualdad tenemos:
3 cosx 3	senx
(3sen x - 4sen x).--- + (4cos x -3cosx).---
senx	cosx
2	2
= 3cos x - 4sen x cos x + 4cos x sen x - 3sen x
=> 3(cos x - sen x) + 4 sen x cos x(cos x - sen x) => (cos x - sen x)[3 + 2(2 sen x cos x)]
Multiplicando el numerador y denominador por. cos x + sen x
(cosx-senx)( cosx + senx)[3 + 2.sen2x]	(eos2 x-sen2x)[3 + 2sen2x]
cosx + senx	senx + cos x
cos2x[3 + 2sen2x]	2sen2xcos2x + 3cos2x	sen4x + 3cos2x
senx + cosx	senx + cosx	senx + cosx
Luego, al comparar tendremos: A = 1 ; B = 3	.’. A + B = 4
21.- De la condición:	sen3x senx		1
	sec zá - senx senx	=>	_	— 2 COS ¿X + 1 - 1 cos2x
	=>	1=2 cos22x		0 = 2cos22x -1
Pero:	2cos 2x-I =0 cos4x		cos 4x = 0
22.- Utilizando una fórmula especial del triple, tendremos:
sen3x	1
Por arco triple:	------ = 2 cos 2x + 1 = ~
r	senx	3
1
Luego:	cos 2x = - —
2 í if	7
Finalmente por arco doble: W = cos 4x = 2 cos 2x -1 = 2-----1 W = -~
23.-Como: «cscx = 3 - 4 sen2x => a = 3 sen x - 4 sen3x => a = sen 3x ... (1)
2	3
Como:	b sec x = 4 cos x - 3 => b - 4 cos x - 3 cos x => b = cos 3x ... (2)
2	2	2	2
Sumando los cuadrados de las relaciones (1) y (2), obtendremos: a + b = sen 3x + cos 3x
Finalmente:
2	,2	,
a + b = 1
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
24.- En la condición del problema, desarrollamos las fórmulas del seno y coseno del
triple de un ángulo, así:
sen3x + sen x	1	3	3 3senx—4sen x+sen x	1
q — cos3x —eos x	2	4cos3 x - 3cosx - eos3 x	“ 2
2 3senx(l-sen x)	1	senx eos2 x 1	
2 -3cosx(l-cos x)	2	cosx ’ sen2x 2	
	1		
Al sin'i lificar obtenemos: cotx =		tan x = -2	
	2		
25.- Hallemos la relación angular:
3x = 180° - 3(60° - x) => sen 3x = sen[180° - 3(60° - x)]
Luego:	sen 3x = sen 3[60° - x] => sen 3x = 3 sen(60° - x) - 4 sen3(60°- x)
Reemplazando el dato: sen3x = 3^~= 1 - ~	~
W = -cos 6x = -cos2(3x) = -[1 - 2 sen23x]
Al reemplazar el valor de «sen 3x», tendremos:
W = -1+2(i)2	""S
26.- Si se sabe que:
2
1 - cos 2x = 2 sen x
Luego:
„	2 9a
2sen —
_____2_
„	2 3a
2sen —
2
= (x3 - 3x + l)2 =>
3a
sen-^-.(2cos3a +1)
3a
sen—
2
= (X3-3x + 1)2
A continuación comparando podemos lograr la siguiente igualdad que al darle forma
quedará:
2 cos 3a = x3 - 3x => 2(4cos3a - 3 cos a) = x3 - 3x
(2 cos a)3 - 3(2 cos a) = X3 - 3x
x = 2 cos a
27.- Escribiendo en términos de senos y cosenos, tendremos:
sen3x	cos3x
2	+	2
1	cos x 1	sen x
cosx cosx	senx senx
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOkM
sen 3x. cosx , cos3x.senx _
2	*	2	—
sen x	eos x
sen3x.cosx cos3x.senx
----------------------- = ni
cosx. cosx
senx.senx
A continuación utilizamos las fórmulas especiales del triple:
(2 cos 2x + l)cot x + (2 cos 2x - 1) tan x = m
Al agrupar convenientemente encontramos algunas fórmulas especiales del doble, así:
2 cos 2x . (cot x + tan x) + (cot x - tan x) = m
2csc2x
2cot2v
Luego de efectuar tendremos:
4 cos 2x. —+ 2 cot 2x - m
sen2x
4 cot 2x + 2 cot 2r = m
Finalmente:
6 cot 2x = m
ni
cot2x = —
b
28.- Utilizando las fórmulas básicas del seno y coseno del triple y operando apropiada-
mente, tendremos:
3	3	3	3
W = (4 cos x - 3 cos x) - ( 3 sen x - 4 sen x) => W = 4(cos’ x + sen x) - 3(cos x + sen x)
3	3	2	2
Recordemos el producto notable: a' +b = (a + b)(a -ab + b )
Luego aplicando en W:
2	2
W = 4(cos x + sen x)(cos x - sen x cos x + sen x) - 3(cos x +- sen x)
i
W = (cos x + sen x)[4(l - sen x cos x) - 3] => W = (cos x + sen r)[l - 4 sen x cos x]... (1)
Del dato, elevando al cuadrado tenemos:
2	2	2	2	2
(sen x + cos x) = k => sen x + 2 sen x cos x + cos x = k
2	2
2 sen x cos x = k - 1	=>	4 sen x cos x = 2(k - 1)	... (2)
A continuación (2) en (1):	W = /c[l - 2(k2 - 1)]	.’. W = 3fc-2fc3
29.- Escribiendo apropiadamente la condición tendremos:
I—	2
- V5 .tan <J> = 1 - tan <[>=>
2 tan ó
1 - tan2 Ó
’ 2 =,
J5	5
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
Luego utilizamos la fórmula de la tangente del triple:
3 tan 20 - tan3 20
tan 60 = tan 3(2<j>) =	~~ 2ZT
í— 3 tan 20
Finalmente, si reemplazamos el valor de tan 20, obtendremos:
6^5 8^5
-----+-----
•i 25
tan 60=--------t--
1-3-
5
7
5
tan 60 =
22^5
35
30.- Trabajando con la condición del problema: tan 3x = k . tan x
tan3x
tanx
2cos2x + l
2cos2x-l
=>	2 cos 2x + 1 = k. 2 cos 2x - k
Luego:
Se pide:
1 + Jt
2 cos 2x = ——-	- - - (1)
W =
sen3x
senx
= 2 cos 2x + 1
---(2)
Reemplazando (1) en (2), obtendremos:	W = ~—- +1	.-. W =
31.- Haciendo: x = 3a, reemplazamos en el dato: tan 3a = tan a(2 + J3 )
Luego:
Como:
tan 3a	„
------ =2+ v3
tana
2cos2a+l
2cos2a-l
= 2+ J3
a c	a+b	c+d
= —	<=>	—~	=	—~
b d	a-b	c-d
4cos2a
Aplicando dicha propiedad al problema: ----
3 + J3
1 + V3
2cos2a=''3T7^'
De donde:
cos 2a = —
2
=> 2a = 30° =>
a =15°
x = 3a = 45°
Finalmente:
W = sen(75°) =
W =
V6+V2
4
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
'i RACSO
 dITOUI
32.- Escribiendo como sigue, tenemos:
9
3 sen 2x = 2(1 - cos 2_r) => 3(2 sen x cos x) = 2(2 sen x)
71
3 cos x = 2 sen x ; como 0 < x < —
3
tanx= —
A continuación la fórmula del triple:
sen x * 0
tan 3x =
1-3|-
12
9 27
_ 2 8
= 1-^
4
9
c
Finalmente: tan 3x = —23
r o 9
tan3x = -4g
4
33.- Hallemos la relación angular:
3x = 3(x + 15°) - 45°
Luego:	tan 3x = tan[3(x + 15°) - 45"]
tan 3x _ tan3(x + 15°)-tan45°
anX 1 + tan3(.r+15").tan45'
(1)
3tan(x + 15")-tan3(x+15°)
Pero: tan 3(x+15 ) =
1 —3tan2(x+15")
- -  (2)
Reemplazando el dato:
2
tan(x + 15") = ~
2
3
En (2) tenemos: tan 3(.r + 15") =
1-3|
2?
3 )
x2
2-A
__27
1-1
3
tan 3(x + 15") = -
46
Reemplazando (3) en (1), tenemos:
-^-1
9
1+Í--V)
9 r
Finalmente: tan 3x =
55
_____9_
“	37
9
.	1	55
tan 3.r = gy
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
R13
457
34.- Escribiendo el problema de la siguiente manera:
^1 - 6senl0°	Jl-6senl0'
W = ------------ = 51
cos 80°
eos3 80'
pero:
cos 80° = sen 10'
J4(l-6senl0°)
V 4sen310°
pero:
3
4 sen x = 3 sen x - sen 3x
W =
Luego: W =
J - 4(6senlO°-I)
V 3senl0°-sen30°
Finalmente:
~4(6sen 10°-l)
W~ J 6senl0°—1
1	2
W = ^8 =-2
W = -2
35.- Se sabe:
sen3a
----- = 2 cos 2a + 1
sena
cos3a
-----= 2 cos 2a - 1
cosa
Por arcos suplementarios: cos 160° = -cos 20°
Por arcos complementarios:
sen 20° = cos 70'
Aplicando estas propiedades a nuestro problema, tendremos:
W = 2(-cos 20°)(2 cos 70° - 1)(2 cos 70° + 1)
En las propiedades utilizadas en el problema observamos que: 2a = 70° => a = 35'
cos3(35°) sen3(35°)
W = - 2 cos20°. ----2. --------*---'
cos35
sen35°
Luego «W» tendrá la siguiente forma: W =
—2cos20°.cos 105°.senl05o
------------------------ 2
2sen35°.cos35°
2cos20°
Simplificando: W = -------sen 210'
r	sen70
pero sen 210° = -sen 30°
Finalmente:
1
sen 210° =
W = 1
36.- Utilizando ángulos complementarios en el numerador y la propiedad sen2x - sen2y
= sen(x + y) sen(x -y), en el denominador obtenemos:
(3sen25°-4sen325°)sen50o
M= sen(70°+20°).sen(70°—20°)
R13
458 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Al efectuar en el numerador y denominador:
De donde:	M = sen 75° =
4
sen3(25°)
K4 = ------------- *
sen90°.sen50° "
M=—4—
37.- Escribiendo «M» en términos de senos y cosenos:
4 eos218'
3
*,	cos 18°	cos 18°
M~ señÍ8"
cos 18°
M =
2(4cqs318o-3cos18°)
2senl8°.cosl8°
Por identidades del doble y triple tenemos: M =
2 cos 3(18°)
sen2(18°)
2cos54°
M sen36°
Pero:	sen 36° = cos 54° , luego:
M =
2 sen 36°
sen 36°
M = 2
38.- Como: cos 3(20°) = 4 cos320° - 3 cos 20°
Efectuando como sigue:
cosóCT + 3 cos 20° = 4 cos320° ... (1)
1/2
1 + 6 cos 20° = 8 cos320°
^8cos320°
Reemplazando en «M», tendremos: M = —-----
Z COS
_ 2cos20°
- 2cos20°
M = 1
39.-De(l):
tan3x
tanx
a+b
a-b
2cos2x + l
Por propiedad del arco triple tendremos: ~—7
ZCOSZX 1
a+b
~ a-b
a
cos2a=if
2
De (2), multiplicando por 2:	a 2sen x = 2b cos 3(2x)
3	2
Del arco doble y arco triple tenemos: c(l - cos 2x) = 2b[4 cos 2x - 3cos 2x] . .. (4)
Despejando cos 2x:
... (3)
Reemplazando (3) en (4): a
a
Í2b-a\ _ ó*
l 2b I -
-3a
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
R13
459
Efectuando y simplificando tendremos:
8b2 -2a2 = ab
2b2 - ab = 2a2 - 6b2
SITUACIONES GRÁFICAS
40.- Haciendo: DE - a y EC = b, luego:
EnelLBEC:	BE = b.tan53°	...(1)
EnelkAEB:	AE = BE.tan67°	...(2)
(1) en (2):	AE = b tan 53°.tan 67°... (3)
En LAED	ED = AE.tan 7°	... (4)
(3) en (4): a = b tan 53°. tan 67°. tan 7o
Despejando tendremos:
Finalmente:	t = tan 3(7°)
tan 7°.tan(60° + 7°).tan(60° - 7o)
a
- = tan 21°
b
41.- Sea:	AD = a
En LADE: ED = a tan 27°
En LEDC: DC = a tan 27°.tan(57° + x)
En LBDC: m Z BCD = 33°
BD = a tan 27°.tan(57° + x).tan 33°
, En k ADB: BD = a tan 81°
Se cumple:	a tan 81° = a tan 27°.tan(57° + x).tan 33°
A continuación api camos la siguiente propiedad:
tan 30 = tan 0 . tan(60° + 0). tan(60° - 0)
Si: 0 = 27°
=>	57° + x = 60° + 0 =>
57° + x = 60° + 27°
r = 30°
R13
460
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
tCITOtli
42.- Sea: tn Z BAC = tn Z CAD = m Z DAB = a
Sea:	AB = x, DE = y
3
En L ABC: tan a = — ... (1)
x
1
En LABD: tan 2a = —
x
2tana 7
F^“7 -(2)
En LABE:
Reemplazando (1) en (2):
Resolviendo la ecuación:
tan 3a =
Reemplazando (1) en (3): Pero tan a
7_
x
3 tana-tan3 a	V + 7
l-3tan2a ~ 3^7 ''
3______1_
3j7 " J7
Resolviendo la ecuación: y = 8 u
c. -	.	. a4EC (AB)(BE) (3V7)(15)
Finalmente: area A ABE =------------- =-----------
.-. área A ABE = 59,53 u2
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
TRANSFORMACIONES A PRODUCTO
01.- Escribiendo como sigue:
Transformando a producto:
cos15* + cos 5* + lOcoslO*
senl5* + sen5x + lOsenlO*
2cosl0x.cos5x + lOcoslO*
2senl0*.sen5x + lOsenlO*
2cosl0x(cos5x + 5)
Finalmente: M = —----——~--------~
2senl0x(cos5x + 5)
M = cot 10 x
—2sen45°.sen*
02.- Transformando a producto: M = ~----ttt-----
r	2cosl20 .sen*
Luego de simplificar y reemplazar los valores numéricos correspondientes tendremos:
-sen45°
cos120°
¿2
-2- M = JÍ
2
03.-Escribiendo como sigue tendremos:
^+V3.sen2*
M =---------------------------
(cos 2*+cos 60°). tan(x+30°)
A continuación trabajando en términos de senos y cosenos:
V3(j3/2 + sen2x)
2cos(x + 30°).cos(x - 30°).Sen;X + ^o-;
'	'	'	' cos(x + 30 )
[-Í
^3[“2“+Sen2x )	V3(2sen(30o+%)cos(30°-x))
M= 2cos(x-30")sen(x+30")	M= 2cos(x-30")sen(30<1+x)
Finalmente simplificamos:	.'. M = -J3
RACSO
ICITOKEi
R14
462
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
%
2	3
04.- Se sabe que: 2 cos a = 1 + cos 2a ;	4 cos a = 3 cos a + cos 3a
í a+P'l ( a-P'l
cos a + cos P = 2 cosí —— Icosl —~— I
Utilizando dichas propiedades en el problema:
W = cosl0x + cos8x + 3(2cos 2x) + 3 cos2x - 3 - 2 cos x(4co< 3x)
a producto	degradar	degradar
(doble)	(triple)
W = 2 cos 9x cos x + 3(1 + cos 4x)+ X'cqs2x - 3 - 2 cos x(3 cos 3x + cos 9x)
W = ¿cos-9x'Cbs’"x + X + 3 cos 4x + 3 cos 2^ - X - 6 cos x cos 3x - _2£OS-9xt®s-x
Agrupando convenientemente, tendremos: \
W = 3(cos 4x + cos 2x) - f> cos x . cos 3x => VV A 3(2 cos 3x cos x) - 6 cos x . cos 3x
Finalmente: W = 3(2 cos 3x cos x) - 6 cos x cos 3x \\ = 0
05.- Transformando a producto tanto el numerador como el denominador obtenemos.
Z2sen(x + y). cos(x—y)
2
2cos (x-y) + 2cos(x + y).cos(x-y)
A continuación simplificamos y luego de factorizar tendremos:
M= 2cos(x-y).sen(x + y)
cos(x - y)[cos(x - y)+cos(x+y)]
Finalmente:
2sen(x + y)
M = ----------
2cosx.cosy
tan x + tan y
M = tan x + tan y
06.- Escribiendo como sigue:
(—4cos2 x)(2senx cos2x)
\cos2xsenx	'
2	2
(2sen x + sen2x-l)
Simplificando logramos:
2
cosx-4cos xcos2xsenx
______£0g2x .sefíx____________________
(sen2x - cos2x)2
W =
W =
VV = 2 cos x
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
R14
463
07.- Agrupando como sigue:
M = sen x + sen 7x + 2(sen 3x + sen 5x) => M = 2 sen 4x cos 3x + 4 sen 4x. cos x
A continuación factorizamos:
=> M = 2 sen 4x(cos 3x + 2 cos x)	=>	M = 2 sen 4x(cos 3x + cos x + cos x)
=> M = 2 sen 4x(2 cos 2x . cos x + cos x)	=>	M = 2 sen 4x . cos x(2 cos 2x + 1)
sen3x
Pero: 2 cos 2x + 1 = -----
senx
Aplicando la propiedad a M, tendremos:
sen3x
M = 2 sen 4x . cos x . --- M = 2 sen 4x cot x. sen 3x
senx
08.- Transformando a producto tanto el numerador como el denominador:
cos 12°+sen30°+sen6°
cos 24°+cos 48°
Al simplificar factores comunes, tendremos:
cosl20+2sen(180)cos(12°)
2cos(36°)cos(12°)
l+2senl8°
2sen54°
w_ 2cos72°+l
- 2cos36°
Utilizando ángulo triple en el numerador y doble en el denominador tendremos:
/2cos72°+l\ sen36°
1 2cos36° / sen36°
senl08‘
W= "senTT
W = 1
2	2
09.- Sabemos que: 2 sen a = 1 - cos 2a a 2 cos a = 1 + cos 2a
2 sen a cos P = sen(a + P) + sen(a - P)
Utilizando dichas propiedades en el problema, tendremos:
2cos210°+2sen220°-2sen20°cosl0°
W = -------------------------------
2
_ 1 + cos 20° +1 - cos40° -2 sen 20°+cos 10°
w -	2
2
w _ 2 + 2sen30°senl0°-2.2senl0°cos 10°
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
~JtRAf?SO
7
2 + senl0°(l —4cos 10°)
W=----------------------------
Efectuando y simplificando, obtendremos:
2
2 + senl0°(4sen 10°-3)
W = -----------ñ----------
Finalmente:
2-sen 30°
,,, 2+(4sen310°-3senl0°)
=> W =------1------------
2-—
2	3
w=^	w=|
10	.- Utilizando la propiedad: tan x + cot x = 2 csc 2x en el denominador y a continuación
expresando «W» en términos de senos y cosenos, se tendrá:
2cos40o—1	1
W = 2 csc 70° = Í cos 20°(2 cos 40° ’ !)
Al efectuar en el numerador obtenemos:
1	1
W = - . cos 60°	/. VV = -
2	4
11	.- Transformando a producto en el numerador obtenemos:
sen4x + senóx 2sen5x.cosx
sen2x ~ 2senx.cosx
Al simplificar y comparar logramos:	senx = senx .’. m = 5
12	.-Transformando_a^roducto como sigue:	M = cos 20° + 2 cos 120°. cos 20°
=> — M'=Tós 20"+ 2(-l/2).cos 20° => M = cos 20° - cos 20°	.-. M = 0
En general se cumple: cos x + cos (120° - x) + cos(120° + x) = 0
13	.- Al elegir convenientemente los extremos, transformamos a producto tanto el nume-
rador como el denominador:
sen5x+sen6x+sen7x _ 2sen6x.cosx+sen6x
senx+sen 2x+sen 3x ~ 2sen2x.cosx+sen2x
a .-	., ,	senóx (2cosx + l)
A continuación factonzamos: c „ -7=-------4
sen2x (2cosx + l)
.	senóx	sen2x(2cos4x+l)
Luego:	----------------------- = 2 cos 4x + 1
&	sen2x	sen2x
Al simplificar obtenemos: M cos 4x + 1 = 2 cos 4x + 1 M = 2
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
Ü-J465
14.-Transformamos a producto como sigue:
sena + sen9a + sen5a
M =---------------—
cosa+cos 9a + cos 5a
2sen5a.cos 4a+sen5a
M = —----------------—
2 cos 5a. cos 4a + cos 5a
A continuación factorizamos y simplificamos obteniendo:
sen5a(2cos4a +1)
cos 5a(2 cos 4a +1)
Luego:	M = tan 5a
Finalmente: M = tan 45°
Pero:
M = 1
a = 10g = 9°
PROBLEMAS CONDICIONALES
2sen8a.cosl5a
15.-Transformando a producto, tenemos W = —-------~—
r	2sen8a.cos6a
Utilizando la propiedad anterior en el problema:
cos« + senb + serw + cosb
cos a+senb - sen/?- cos b
k+1
k-l
(cosa + cos b) + (sen« + sen b)
(cosa—cosb) - (sena- senb)
Jt + 1
k-1
Transformando a producto tenemos:
_ t+i
-2sen(^)[s«?(^)+cos(^)]
^PACSO
P IDITO1II
R14
466
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Simplificando, obtenemos:
.(a-b\ Jt + 1	Ja-b\ \k + l	. (a~b\	1-k
-cot(^-) = i^T => cotrrJ=Yjt -•	tan(-2-) = TÑt
17.- Simplificando a producto los términos de «VV»:
VV = gen4A + sen4E> + sen 4C
a producto
W = 2sen(2A + 2B)cos(2A - 2B) + ,sen4C
doble
Pero:	2A + 2B = 2n-2C => sen(2A + 2B) = - sen 2C
Utilizando las propiedades anteriores tenemos:
W = 2(- sen 2C). cos (2A - 2B) + 2sen 2C cos 2C
Efectuando y agrupando convenientemente obtenemos:
W = 2 sen 2C[cos 2C - cos(2A - 2B)]
Pero:	2C = 2n - (2A + 2B) => cos 2C = cos(2A + 2B)
A continuación factorizamos la parte indicada:
W = 2 sen 2C[cos(2A + 2B)-cos(2A-2B)]
W = 2sen 2C[- 2 sen (2B) sen (2A)]
Finalmente:
VV = - 4 sen 2A . sen 2B . sen 2C
18.- Transformando a producto:
2sen4x.cosx
M = —------------ = tan 4y
2cos4x.cosx
2	2
Pero:	tan	2x	=	2 tan*	_	3	i
l-tan2x	1-1	|	4
6	6
Finalmente:	tan	4x	=	2tan2x . _ —4^	_ _4_ . tan	M
1-tan 2x	2_	7
16	16
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
19.-Del primer miembro de la igualdad tenemos:
Utilizando la propiedad: sen 3a = sen a [2 cos 2a + 1] en el numerador:
sen—(2cos5x +1)
-----—Zr. >,-- = 2cos5x + 1
sei
Comparando, tendremos: P = 2; Q = 1
Finalmente:
P+ (J = 3
20.- Transformando a producto ambas condiciones.
cos x + cos y = b
sen x + sen y = a
Al dividir las condiciones (1) entre (2) obtenemos:
...(2)
a
b
Djuego:
sen(x + y) =
sen (x + y} =
Zl.- Como:	= -p, usando proporciones:
sen5x + sen3x
sen5x-sen3x
m + 1
m-1
lüransformamos a producto el numerador y el denominador del primer miembro:
2sen4x.cosx m + 1
2 cos 4x.senx	m -1
iFinal mente:
m + 1
tan 4x . cot x = --
m-1
tan4x m +1
tanx mi
Problemas de Trigonometría y como resolverlos
AMracso
DITO...
22.- Del segundo miembro de la igualdad tenemos:
¡eos 8x + eos 4x + 2(1 - 2 sen 2x)
a producto	arco doble
= 2 cos 6x cos 2x + 2 . cos 2x = 2 cos 2x . (1 + cos 6x)
Luego de factorizar y utilizar las fórmulas apropiadas tenemos:
2	2
= 2 cos 2x . 2 eos 3x = 4 cos(2x). cos (3x)
Comparando con la expresión inicial, obtenemos:
=> P = 4 ; Q = 2 ;R = 2;S = 3	/. (P + Q) - (R + S) = 1
23.- Transformando a producto el numerador y el denominador tenemos:
-2sen(—13°)-Sen(60°)	^3	f 43/2^	^3
2sen(30°).cos(13°) “ 3 k =* tan 13	1 /2 J “ 3 k
k
Luego:	tan 13° = ~ ... (1)
Hallemos la relación angular:	32° + 13° = 45° => 32° = 45° - 13°
1-tan 13°
De donde:	tan 32° = tan(45° - 13°)	- > tan 32° = 1 + tanl3o - -  (2)
l-k
1 3	3-k
Al reemplazar (1) en (2), tendremos: W = tan 32° =-----.-. W =
1+3
24	.- Transformando a producto:
(A + B'i	(A-B
sen A + sen B - sen C = 2 senl —-— I .cosí —“—
- sen C ... (1)
Como: A + B + C = 7t=>sen C = sen(A + B) = 2 sen(^*8)cos(^+8 j
En (1): sen A + sen B - sen C = 2 sen
(A+B\	(A+B\
-2sen( 2 ;cos \ 2 /
/a+r\ A B ABC
= 2 senl ^ l . 2 seny. sen y =4 sen y .seny. cosy
c
COSy
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
R14
469
ABC ABC
Luego: 4 sen—. sen— . cosy = M seny. seny . cosy .-. M = 4
25	.-Colocando la expresión en términos de senos y cosenos y además transformamos a
producto donde corresponde.
Por condición del problema se cumple:
B + C
2
sen
í n A
— sen I 2 2
A
= cosy
eos
fn A
— I 2 2
A
= seny
Reemplazando las equivalencias anteriores en «W» obtenemos:
A continuación factorizamos y simplificamos, obteniendo:
Finalmente:
26	.- Transformando a producto la suma de senos y de cosenos tenemos:
= m... (1)
= n ... (2)
R14
470 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
A continuación dividimos las condiciones (1) y (2): tan
tn
ti
- - - (3)
9
l-tan a
Asimismo recordamos que:	cos 2a =-----?—
1+tan a
Utilizando dicha propiedad para un arco tal como: (x + 4)
cos(x + y) =
Finalmente al efectuar obtenemos:
1 — tan1 2!
l+tan2|
x+y
2
x+y
2
1-
n j
2	2
W = cos(x + y) =
ti + m
2	2
W= ”2 m2
n +m
27.- Descomponiendo el numerador como sigue para luego transformar a producto, tenemos:
tan 6 =
cos 20°— cos40°+ cos 20°
sen40°
2sen300.senl0°+cos200
sen 40°
A continuación transformamos a producto el numerador
tan 6 =
senl0°+sen70o
sen 40°
tan 6 =
2 sen 40° .eos 30°
sen 40°
Finalmente:
tan 6 = 2 cos 30° = 2
V3
-J3
sen0 = -	,6g IIIC
1 +
28	.-Trabajando la condición en términos de cosenos, tendremos:
1 1
--------- + --------- = 2 sec x
cos(x+a)-cos(x - a)
cos(x + fl) + cos(x-fl) _	2
cos(x + fl).cos(x-fl) cosx
Transformando a producto el numerador:
2cosx,cos« _ 2
cos2x-sen2fl cosx
2	2	2
2 cos x . cos a = 2 cos x - 2 sen a
2	2
=> 2 sen a = (1 - cos a). 2 cos x
2	x
A continuación efectuamos y despejamos el «cos x», así:
2
2 sen a
=> cos x =----------
1-COSfl
2fl 2 a
4sen —.eos —
2	2
o 2 fl
2sen —
2
2	2
eos x = 2 cos
a
2
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
R14
471
29	.- Six = Oyx = <¡) son las raíces de la ecuación, entonces se debe cumplir:
a sen 6 + b cos 6 = c... (1)
a sen <¡) + b cos <¡> = c. . (2)
A continuación igualamos las condiciones (1) y (2):
a sen 6 + b cos 6 = a sen $ + b cos $ => fl(sen 6 - sen <¡>) = - b(cos 6 - cos <¡))
o	fo+íí
a 2senl Icosl I
= -b
q (6—ó') i
-2sen Isenl
6+0
2
fe+<>
=> tanl 2
a
b
Luego: VV = tan|
6+<¡)^ a
2 ~b
30	.- Del primer miembro de la igualdad tenemos:
sen 5x+sen x+sen 3x = 2 sen 3x cos 2x + sen 3x
,	sen3j
Efectuando como sigue:	= sen 3x(2 cos 2x + 1) = sen 3x .----
senx
Desarrollando el seno del triple, así:
_ sen23x _ (3senx-4sen3x)2 _ 9senzx-24sen4x + 16sen6x
senx	senx	senx
A continuación comparando la condición inicial obtenemos:
5	3
= ¿16^ sen x —24;sen x+^ sen x
M=16	N=-24
Finalmente: VV = 9 - (-24) - 2(16) = 1	.-. W = 1
31	.- Transformando a producto la expresión VV, tenemos: VV = 2 sen(x - 15°). cos(35°)
Para que VV sea máximo => sen(x - 15°) debe ser máximo.
sen (x - 15°) = 1 => x - 15° = 90°	.’. x = 105° ; x G [0 ; 360o]
EXPRESIONES EQUIVALENTES
32	.- Colocando la expresión en términos de cosenos:
W 2(2senxcosx) +1 2sen2x +1
cosx	cosx
A continuación factorizamos el 2, logrando una suma de senos que ha de transformarse
a producto.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
zFsenZx+il
W =------------- = 2 secx. sen2x + sen^
LV3A	|	O
í 2x4-71/6^	Í2x-n/6
W = 2 sec x . 2 sen	eos z
Finalmente tendremos:
33-- Escribiendo «W» como sigue: W = 2 sen 40° + 2' sen 40° - J3
Pero: J3 = 2 sen 60°
A continuación agrupamos convenientemente, tal que:
W = 2 sen 40° - 2(sen 60° - sen 40°) => W = 2 sen 40° -2(2 sen 10° cos 50°)
Pero: cos 50° = sen 40°; sen 10° = cos 80° (por arcos complementarios).
Escribimos la expresión como una propiedad especial del triple, así:
W = 2 sen 40 [1 - 2 sen 10o]	=> W = -2 sen 40°[2 cos 80° - 1]	...(*)
cos 3a
2 cos 2a - 1 = cosa (es la propiedad a utilizar)
cos 3(40°)
Finalmente utilizamos esta propiedad en (*): W = -2sen 40°. ----
rr	'	cos40
— 2sen40°f-—|
l 2
De donde:	W =---------—rr---*	W = tan 40°
cos40
34.- Escribiendo como sigue la expresión, tendremos:
MI.	MI
— = ~ + 2 cos 20° =>	— = ~ + cos 20° + cos 20°
A continuación transformamos a producto los dos primeros términos, así:
M
— = cos 60°+eos 20° 4- cos 20°
M	M
— = 2 cos 40°.cos 20° 4- cos 20° =>	— = cos 20°(2 cos 40° + 1)
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
R14
473
Pero:
sen60° v3
2 cos 40° + 1 =--—— = -----—-
sen20	2sen20
Luego:
= cos 20°.
J3
2sen20°
M = J3 -cot20°
M
2
35.  Escribiendo como sigue la expresión, tendremos:
W =	+ l) = 2j3
Pero:	= sen 60° y = sen 30°,
Luego:	W = 2 J3 (sen 60°+sen 30°)
a producto
Transformando a producto tendremos:
W = 2j3.2 sen 45' cos 15°
r- J2	1—
W = 4 J3 . y- -cos!5“ Vi = 2 sen 75°
36.- Transformamos a producto como sigue:
Finalmente: W = 4 cos x. cos
W= 1+cos2x +cosx => W = 2 cos2x + cos x .-. W = 2 cosx (cosx + i
A1 cambiar 1/2 por n/3 podemos transformar a producto:
/	ni	(x+n/3^	(x-n/3
W = 2 cos x Icosx + cos—j => W = 2 eos x . 2 cos|	|cos |
a producto
X 71A
2 + 6j cos
x rtA
2~6 J
d doble
37.- Recordando:
9
2cos a = 1 + cos 2a
la mitad
W = 1+ cos 14° + sen 14°
Aplicando dicha propiedad en «W», tendremos:
W = 2 eos2?0 + 2 sen 7° cos 7°
RACSO
IDIIDlll
R14
474
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A continuación factorizamos 2 cos 7° para luego transformar a producto:
W = 2 cos 7°(cos 7o + sen 7o)
W = 2 eos 7o (sen 83° + sen 7o)
a producto
W = 2 cos 7o . 2 sen(45°)cos (38°)
38.- Igualando a una constante «k» tendremos:
sen5x sen3x senx ,
—“b~ = c
Luego:
sen 5x = ak => sen 3x = bk => sen x =ck
Sumando:
De donde:
gen 5x+senx + sen 3x = k(a + b + c)
a producto
2 sen 3x cos 2x + sen 3x = k(a + b + c)
Factorizando sen 3x: sen 3x [2 cos 2x + 1] = k(a + b + c)
A continuación utilizando la proporcionalidad inicial tendremos:
sen 3x
sen3x.------
senx
bk
bk. — =k(a + b+ c)
Finalmente simplificamos obteniendo:
b‘
b(b - c) = da + d
71
39.- De (1): sen (x + —) - sen x = m
o
(n
I cos (x + — ) = ... (3)
71
12
De (2):
71
cos (x + —) + cos x = n
o
2 cos
71
íx+ 12)
cos
n
12
= n ... (4)
Al dividir las proposiciones (3) y (4) obtenemos:
Q 71	Z 71 X
2sen—.cos(x+—)	_
12	12 = «
2cos—cos(x+—) n
12	12
n
tan-
m
n
Pero:
71
12
Finalmente: m = (2 - -¿3 )n
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
R14
475
SITUACIONES GRÁFICAS
40.- Sea AB = CD = i
En el LAEB:
BE = i sen ct
=> AE = i cos a
En el LCED:
ED = i sen 6
=> CE = t cos 6
Pero
AC=AE-CE
También
BD = ED - BE
Al dividir las proposiciones (1) y (2)
D
4
=> 3 = fcosa-tcos6 ...(1)
=> 4 = i sen 6 -i sen ct... (2)
B
senB—sena 4
tenemos: ----------~	~
cosa—cosB	3
A continuación transformamos a producto tanto el numerador como el denominador,
obteniendo:
41.- Sea CB = a
DC = 2a
tn Z DAC = x - y
En el k ABC: AC = a . csc y ... (1)
En el k ADC: AC = 2a . csc(x -y) ... (2)
Al igualar las proposiciones (1) y (2), tendremos:
sen(x—y)
a csc y = 2a csc(x - y) =$ ------ = 2
seny
.	sen(x-y) + seny	2 + 1
Por proporciones: -------------— = —---
sen(x-y)-seny 2 — 1
Transformando a producto, obtenemos:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOIII
í X | X
2sen! — Lcosí--v)	,	,
. cot(^-y) =3 =* tan J = 3 . tan (|-y
1
Al simplificar:	/. W = —
42.- De la figura deducimos que:
k2	2
S =	-2 sen x cos x. 2 sen 2jc
S = k2.2 sen x.cosx .senz2r
Finalmente:	S = k2.sen32x
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
CAP. 15
transformaciones de Producto a
o Diferencias
SIMPLIFICACIONES
O
01.- Se sabe que: 4 cos ct = 3 cos a + cos 3a ; 2 cos a cos P = cos(a + P) + cos(a - P)
Multiplicamos por 2 el numerador y el denominador para aplicar la primera propiedad
y a continuación factorizar en el denominador convenientemente para aplicar la fórmu-
la básica del coseno triple:
r 4cos x-2cos2x.cosx + 2cosx
W = --------------g-----------
2.2cosx(4cos x-3cosx)
3 cosx + cos3x -[ cos3x+ cosx] + 2cosx
4cosx.cos3x
Luego de simplificar obtenemos:
4cosx	1
W = -------------- =------
4 cosx. cos 3x	cos3x
W = sec 3x
02.- Al efectuar y ordenar apropiadamente tenemos:
3	2	1	2
W= — (2 sen 3x) -~ (2 sen 9x sen 3x) + (2sen3xcos3x)
degradar	transformar	dobles
Luego de efectuar y ordenar apropiadamente, obtenemos:
3	1	2
W = — (1 - cos 6x) - — (cos 6x - cos 12x) + (sen 6x)
3	3	1	1	1	2
W = — - — cos 6x - — cos 6x + — cos 12x + — (2 sen 6x)
3	11
W = ~ - 2 cos 6x + ~ cos 12 x + — (1 - cos 12x)
Al simplificar tenemos:
3	1	11
W = — - 2 cos 6x + — cos 12 x + — -— cos 12x => W = 2-2 cos 6x = 2(1 - cos 6x)
W = 2(2 sen23x) .-. W = 4 sen23x
R15
478
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
alRACSO
03.- Al efectuar y ordenar apropiadamente, tenemos:
W = 2 cos 5x cos x + 5(2 cos 3x cos x) + 10(2 cos2x)
Luego de aplicar las transformaciones indicadas, obtenemos:
W = cos 6 y + cos 4x + 5(cos 4x + cos 2x) + 10(1 + cos 2.y)
W = cos 6x + cos 4x + 5 cos 4x + 5 cos 2v + 10 + 10 cos 2v
W = cos 6y + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10
A continuación expresamos «W» en función del cos 2x, así:
W = 4 cos32y - 3 cos 2x + 6[2 cos22x - 1] + 15 cos 2x + 10
W = 4 cos32x + 12 cos22x + 12 cos 2x + 4
Al factorizar 4 notamos que la expresión entre paréntesis es el desarrollo de un
binomio al cubo.
W = 4(cos32y + 3 cos22x + 3 cos 2x + 1)
a	7 "a
Finalmente: W = 4(cos 2x + 1) = 4(2 cos x)
VV = 32 cos6x
04.- Escribiendo como sigue, tendremos-
+ cos 6x
A continuación transformamos a una diferencia de cosenos, así:
cos 4x - ctíS’Gx + ctíS’Sx = cos 4y
M = cos 4x
05.- Multiplicando la expresión «M»’ por sen x, tendremos:
sen x.M = 2 cos óx.sen x + 2 cos 4x.sen x + 2 cos 2x.sen x - sen 7x
Luego de efectuar las transformaciones anteriores obtenemos:
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
M.sen x = sen 7x - sen 5x + sen 5v - sen 3x + sen 3x - sen x - sen 7x
Finalmente:
M(sen x) = -sen x .-. M = -1
06.- Al efectuar la expresión tenemos:
1 sen7x
W = —-------- - cos 2x - (cos 6x + cos 4x)
2 senx	’
tsen7x-2senx.cos2x—2senx.cos6x-2senxcos4x
W = -----------------ñ--------------------
2 senx
Al transformar de producto a suma o diferencia cada uno de los casos anteriores, obtenemos:
_ sen7x-[sen3x+sen(-x)]-[sen7x+sen(-5x)]-[sen5x+sen-3x]
2senx
En seguida simplificamos, de donde obtenemos:
.., sen7x - sen3x + senx - sen7 r+sen 5x - sen5x + sen3x
W = ---------------------------------------
2 senx
senx 1
Finalmente: W = —-------- = —
2senx 2

07.- Al efectuar notamos que el m.c.m. de M es: 2 cos 72'
cosl2°-2cos24°. cos 72'
M= 2 cos 72°
A continuación efectuamos la transformación presente:
-sen 6'
cos 12o- cos 96o- cos 48'
M=	2 cos 72°
2scn30°.sen 180-cos96'
2 cos 72°
M =
Luego de simplificar en el numerador obtenemos:
sen18c’+sen6'
M= —-----“
2cos72
En seguida transformamos a producto y deducimos que o = 36°:
2senl2c’.cos6'
2senl8°
Finalmente al comparar las expresiones trigonométricas:
sen 12°. cos 6o	sen 2o cos a
sen!8°	sen 3 o.
a = 6o
M =
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
jl a< so
Meditokii
I
PROBLEMAS CONDICIONALES
08.- Expresando W en términos de senos y cosenos, tenemos:
Transformando a una diferencia o a una suma de cosenos tenemos:
cos(B)-cos(A)
cos(A) + cos(B)
Reemplazando el dato:
,,, cosB-cosBcosC
W =--------------
cos B cos C +cosB
Luego de factorizar apropiadamente, obtenemos:
cosB(l-cosC)
cosB(l +cosC)
9 2ÍC
2sen —
l 2
2cos —
W = tan2
(£)
09.- Expresando en términos de senos y cosenos, tenemos:
scn(x + y)	seny
" cos(x + y)	COS x. cos (x + y)
sen(x + y). cos x - sen y
W - cos.x.cos(x+y)
A continuación efectuando la transformación en el numerador obtenemos:
2scn(x + y).cosx — 2seny
2cosx.cos(x + y)
scn(2x + y) + sen(y) - 2seny
2cosx.cos(x + y)
W =
En seguida transformamos a producto el numerador:
sen(2 y + y) — sen y
2cos_y.cos(.y +y)
2scnx.cos(x + y)
W = v,--------7----r = tan y
2cosx.cos(x+y)
Al reemplazar el valor de x al problema tenemos:
W = tan x = tan = tan 21° = tan(37° - 16°)
tan 37o-tan 16°
Finalmente: W = ~------zzz:---—
1 +tan 37°. tan 16'
3 7	44	
4 24	96	44 w = — 117
i+U 4 24	~ 117	
	96	
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
R1S
481
10.- Agrupando en forma conveniente tenemos:
W = eos 6x + eos 2x + cos 4x => W = 2 cos 4x cos 2x + cos 4x
a producto
W = cos 4x 12 cos 2x +11	=> W = cos 4x. scn
l---------i	senx
del arco triple
A continuación transformamos ei numerador a producto obteniendo:
2sen3x.cos4x	sen7x + sen(-x)
W = —------------ => W =----------------------. (’)
2senx	2senx
Por dato: sen 7x - 2 sen x, al reemplazarlo en (*), obtenemos:
2senx - senx	senx	1
W =-------------- =------ W = —
2senx	2senx	2
sen(x + y)
11.- Sabemos que:	tan x + tan y = ---------
cosx. cos y
Como:	tan(a + 6) + tan (a - 6) = 2
sen2a
Entonces:	------—----------— =2	=> sen 2a = 2cos (a + 6).cos (a - 6)
cos(a + 6).cos(a-6)
=> sen 2a = cos 2a + cos 26	=> sen 2a - cos 2a = cos 26
2	2	2
Elevando al cuadrado: sen 2a + cos 2a - 2 sen 2a. cos 2a = cos 26
Aplicando convenientemente propiedades
1 - sen 4a = 1 - sen 26	=> sen 4a - sen 26 = 6	.". M = 6
12.- Del dato:	2 sen B sen C = 2 eos2 j
Degradando tenemos:	2 sen B sen C = 1 + cos A
Efectuando la transformación de producto a diferencia:
cos(B - C) - cos(B + C) = 1 + cos A .. (1)
Pero:	cos(B + C) = -cos A
Luego en (1) obtenemos: cos (B - C) + cos A = 1 + cos A
Finalmente en un triángulo se cumple que: cos (B-C) = l => B-C = 6
Por lo tanto el triángulo es isósceles.
R15
482 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
XHACSO
13.- Del primer miembro de la igualdad tenemos:
6tt
. sen—
4ti	7
= cos —.----7—
7	OTt
cos—
7
Tt
+ 2 seny
ÓTt 71
Pero: sen — = seny
.. (arcos suplementarios)
Efectuando como sigue, tenemos:
seny (cos y- + 2cosy )	seny (cosy + cosy + cosyj
COSy	COS-y^
seny ^2cosy .cosy+cos y]
Transformando ñ producto como sigue: W =---------------------------
COSy
_	6rt Tt	5rt	2rt .	,	, . x
Pero: cos“y =-cosy ; cos y = -cosy (arcos suplementarios)
Utilizando las igualdades anteriores, obtenemos:
Tt
W = sen ~
Tt	2rt	3rt
= sen— 2 cos— + 1 = sen—
7	7	7
= sen(W - 1) y
Finalmente:
W -1 = 3	W - 4
W
14	.- Efectuando como sigue, tenemos:
W = sen 3v. cos 3x - 2 sen x cos 3x + 2 sen 3x. cos x - 4 sen x cos v
A continuación transformamos los productos indicados:
1
W = — (2 sen 3x.cos 3x) - [sen 4x + sen(-2x)] + [sen 4x + sen 2x¡ - 2(2 sen x cos x)
1
Al simplificar obtenemos: W = y sen 6x - sen 4x + sen 2x + sen 4x + sen 2x - 2 . sen 2r
1
W = y sen 6x
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
Por ángulo doble se sabe que:
sen 2a =
2 tana
l + tan2a
1 2tan3x
2 1 + tan2 3x
Finalmente:
2	2
W = ---y = T
1 + 22	5
2
w=-
a c	a + b a+d
15	.- Si: ~	~ se cumple que: -r = ---
b d r n a-b c-d
Aplicando dicha propiedad al problema obtenemos:
tanx + tana _ 1+cos x + l + sen x
tanx-tana	l+cos2x—(l+sen2x)
sen(x+y)
Como: tan x + tan y = COSXCOSy en el problema:
sen(x+a) cosx. cosa	3
sen(x-a) cos x.cos a	2	2 cos x-sen x
sen(x + a)	3
sen(x-a)	cos2x
A continuación efectuamos como sigue:	sen (x + a) . cos 2x = 3. sen(x - a)
2 sen(x + a). cos 2x = 6 sen(x - a)	=> sen(3x + a) + sen(a - x) = 6 sen(x - a)
sen(3x + a) - sen(x - a) = 6 sen(x - a)	=> sen(3x + a) = 7 sen(x - a)
Finalmente:
sen (3x + a). csc (x - a) = 7
16	.- Multiplicando por (2) ambos miembros:
7	7	7
2W = 2 sen x + 2 sen y + 2 sen z
=> 2W = 1 - cos 2x + 1 - cos 2y + 1 - cos 2z
A continuación transformamos a producto como se indica
2W = 3 - [ cos 2x + eos 2y + cos2z ]
a producto	doble
=> 2W = 3 - [2 cos(x + y) . cos(x - y) + 2 cos2z - 1]
Pero: cos(x + y) = cos (2n - z) = cos z
En seguida agrupamos convenientemente, para transformar a producto:
*” DITO»»»
R15
484
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
2W = 4-2 cos z[cos(* - y) + cos z] => 2W = 4 - 2cos z[ cos(* - y) + cos(* + y) ]
a producto
W = 2 - cos z[2 cos x . cos(-y)]
Finalmente al efectuar y reemplazar la condición inicial obtenemos:
W = 2 - 2 cos x cos y. cos z	.-. VV = 2(1 - m)
17	.- En el dato, transformamos a producto y por arco doble tenemos:
Además sabemos que:
cos(o - b) = cos a cos b + sen a sen b
Aplicando la propiedad anterior al problema, tendremos:
x y * y í x y x y
cos — eos— + sen—.seny =3 eos—eos— - sen -sen —
x y	x y
Al efectuar obtenemos: 4 seny seny = 2 cos y cos y
Finalmente:	tan y . tany = y	P- Q =
18	.- Del primer miembro de la igualdad tenemos:
32 sen6* = 2(4 sen3*)2	=>	32 sen6* = 2(3 sen x - sen 3*)2
Al efectuar el binomio anterior obtenemos:
32 sen x = 2(9 sen x - 6 sen 3*.sen x + sen“3*)
Agrupando convenientemente, tendremos:
_ A	7	7
32 sen x = 9(2 sen x) - 6(2 sen 3* . sen x) + 2 sen“3*
32 sen6* = 9-9 cos 2* - 6 cos 2* + 6 cos 4* + 1 - cos 6*
Al efectuar y simplificar nos queda:
32 sen6* =10-15 cos 2* + 6 cos 4* - cos 6*
Identificando, tenemos: M = 10; N = -15 ;P = 6;Q = -1	.'. M + N + P + Q = 0
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
R15
485
19	.- Del segundo miembro de la igualdad tenemos:
sen x (8 sen4x) = sen x(3 - 4 cos 2x + cos 4x)
1
3scnx-2 (2senxcos2x) + — (2senxcos4x)
sen 3x-senx	sen5x-sen3x
, 5 1
Efectuando tendremos: 5 sen x - — sen 3x + — sen 5x
5	1
Luego identificando se tiene: M = 5;N = -~ ;P= —	.-. M + N + P = 3
20	.- Expresando «W» en términos de cosenos, obtenemos:
2 cos 10°	_ 2cosl0°—J3cos20°
cos20° ’	~ cos20°
Pero:
73 = 2 sen 60°
2 cos 10°-2sen60°cos 20°
cos 20°
Al efectuar la transformación anterior, tendremos:
_ 2cosl0°-[sen800+sen400]
W	cos20°
Pero cos 10° = sen 80° (arco complementario)
Finalmente transformamos a producto el numerador:
sen80°-sen40°
cos 20°
2sen20°cos60°
cos20°
W = tan 20°
21	.- Del segundo miembro de la igualdad tenemos:
1
= ~ [ 2 cos 16° cos 13° - 2 cos 59° cos 20o]
1
= ~ [cos 29° + cos 3o - cos 79° - cos 39o]
1
= - ~ [cos 79° - cos 29° + cos 39° - cos 3o]
a producto	a producto
Efectuando como se indicó, obtenemos:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Aaracso
 iDITOlII
- - 11~2 sen 25° sen 54° + (-2 sen 18° sen 21°)]
= sen54° . sen 25° + geni 8° - sen 21°
P	-Q
=> P = sen 54° Q = - sen 18°
Finalmente al comparar obtenemos:
P + Q = sen 54° - sen 18° =
'75 + 1^1 Íj5-f
4	'	4
k 7 k 2
1
P + Q= -
22	.- Escribiendo apropiadamente para realizar la transformación presente, obteniendo:
W = 2(2 cos 3x . cos x) + 1	=> W = 2[cos 4x + cos 2x] + 1
A continuación agrupamos convenientemente logrando:
sen3x	2senx. cos 4x + sen3x
W = 2cos4x+ 2cos2x + l W = 2cos4x +	~ => W =	——
v	fecTL-k	3C1U
triple
Luego de efectuar la transformación anterior obteniendo:
sen5x + sen(-3x) + sen3x
W =-------------------------- W = sen 5x.csc x
senx
PROBLEMAS DE CÁLCULO NUMÉRICO
23	.- Se sabe que: -Jl = 2 sen 45°
Aplicando dicha equivalencia en el problema obteniendo:
cos 19°	2sen45°.sen26°
senl9° senl9°
A continuación al efectuar la transformación anterior tendremos:
cos 19°-(cos 19o-cos 71°)
senl9°
Finalmente:
cos 71
W =------- = 1
senl9°
W = 1
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
24	.- Al efectuar la transformación inicial, tendremos:
_ 2sen40°(sen50o-sen50o+sen30°)
-	2sen30°.cos50°
Luego de simplificar, obtenemos:
2sen40°.sen30°	sen40°
M = 2sen30°cos50°	=* M = cos 50°
Pero:	sen 40° = cos 50°	M = 1
25	.- Escribiendo como sigue la expresión, tendremos:
M= ^^-(2senl5x.sen6x+cos21x)
A continuación efectuamos la transformación anterior obteniendo:
M = ^Í(cos9x-cos21x + cos21x) =>
M = ^.cos9x
Pero:
7t
27
TI
9x= ~
3
Finalmente reemplazando el valor numérico del cos 9x en la expresión, logramos:
26	.- Escribiendo la expresión en términos de senos y cosenos obtenemos:
l-2(2sen70°cos80°)
2cos80°
1/2
l-2senl50° + 2senl0°
2 cos 80°
l-2(senl50°-senl0o)
2cos80°
2senl0°
2cos80°
Pero:
sen 10° = cos 80°
M=1
27	.- Reduciendo al primer cuadrante tenemos:
sen 610° = sen(360° + 250°) = sen 250° sen 610°
sen 610° = sen (180° + 70°) = -sen 70°
RACSO
BDITDBBI
R15
488
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
sen 130° = sen(180° - 50°) = sen 50°
sen 430° = sen(360° + 70°) = sen 70°
cos 280° = cos(360° - 80°) = cos 80°
Al reemplazar las reducciones anteriores tendremos:
2W = 2 sen 50°.sen 10° - 2 sen 70°.sen 50° - 2 sen 70° cos 80°
2 = cos 40° - cos 60° - [cos 20° - cos 120°[ - [sen 150° + sen(-10°)[
A continuación simplificando términos, obtenemos:
2W = cos 40° - cos 60° - cos 20° + cos 120° - sen 30° + sen 10°
2W = pos 40°-eos 20° + (-|-|-|) + sen 10°
a producto
Luego de simplificar obtenemos: 2W = -2 sen 10°.sen 30° +	2) + sen
Finalmente:	2W = -sen 10° + (“2) + sen
28.- Efectuando como sigue:
M = 3 cos 4x + 2(cos 2x - cos 4x)	=>
M = 3 cos 4x + 2( 2 sen 3x . sen x)
M = cos 4x + 2 cos 2x
A continuación expresamos «M» en términos del cos 2x , así:
7
M = 2 eos 2x -1+2 cos 2x
1,3
M = 2(cos 2x + “ ) - ~
Utilizando la siguiente igualdad:
2(cos2x+|)2> 0
1,3	3
=> 2(cos2x + -)2- - >- -
M>-~
M =
mínimo
_3
2
3
29.- Se sabe que:
J3 = 2 sen 60°
Luego en el problema:
2sen60°.cos 20°-sen40'
tanx =	-	~
1 + senlO
Transformando a producto tanto numerador como denominador:
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
sen80<’+sen40<>-sen 40°	2sen40°cos40° sen 40°
tan X =	1 +cos 80°	tan x =	2co£.240o	= cos40o
Simplificando obtenemos: tan x = tan 40°	.-. Un valor de t será 40°
30.- Escribiendo como sigue, tendremos:
(1—2sen2B) (1 — 2sen2 A) _ 2sen2 A~2sen2 B
2	~	2
2
Luego, por ángulo doble recordamos que: cos 2 x = 1 - 2 sen x así:
(1—2sen2B)—(1—2sen2 A) 2 sen2 A—2 sen2 B
2	=	2
2	2
sen (A + B) sen (A - B) = sen A - sen B
31.- Multiplicando numerador y denominador por 2 para luego api ¡car las propiedades
de transformación de productos a sumas, obtenemos:
2 sen 2a.sena + 2 sen 4a.sena+2 sen 7a.sen 2a
= 2sena.cos2a+2sen2a.cos5a + 2sena.cos8a
coso-cos 3a + cos 3a - cos 5a + cos 5a -cos 9a
~ sen 3a —sen o + sen 7 a —sen 3a+sen 9a —sen 7a
Luego de simplificar la expresión anterior tendremos:
cos a-cos 9a _ 2 sen 5a.sen4o_
— sen9a-sena 2 Sen-ig-cos 5a ~ tan 5a-
32.- Efectuando como sigue, tendremos:
sen 7a-2 cos2a.sena-2cos4a.sena-2cos6a.sena
sena
A continuación utilizamos convenientemente las formulas de transformación de pro-
ductos a suma o diferencia, obteniéndose:
sen 7a - (sen 3a - sena) - (sen 5a - sen 3a) - (sen 7a - sen 5a)
sena
sen 7a-sen 3a+sena-sen 5a+sen 3a-sen 7a+sen 5a
sena
sena
Finalmente al simplificar, deducimos: senfl = 1
RACSO
R15
490
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
33.- Ordenando como sigue, tendremos: cos 6° . cos 66° . cos 42° . cos 78°
A continuación multiplicamos y dividimos por 2 para poder utilizar la fórmula siguiente:
2cos6°.cos66°.2cos42°.cos78°	(cos72°+cos60°) (cosl20°+cos36°)
2.2	=	4
Finalmente, al reemplazar los valores numéricos respectivos, obtendremos:
4
16 _	1
4 “	16
34.- Agrupando como sigue, obtendremos:
sen 6o (sen 54° . sen 60°) = sen 6o .
2sen54°.sen66°
2
Se ha multiplicado y dividido por 2 para poder transformar el numerador a una diferen-
cia de cosenos, donde luego de multiplicar nos queda:
sen60(cosl2°-cosl20°) _ sen6°.cosl20-sen60.cosl20°
2	-	2
Una vez más multiplicamos y dividimos por 2 en este caso para realizar una transfor-
mación de producto a suma de senos:
2sen6°.cosl2°-2sen6°.cosl20° _ 9enl8°-sen6°-2sen6°(-|)
4	4
sen 6o. sen 54°. sen 66°
senl8o-_5ert'6°+§errt>6	sen 18°
4	=	4
35.- Multiplicando y dividiendo por 2, obtendremos:
2 sen40°.sen80°+ 2 sen 80°.sen 160°+ 2 sen 160°.sen320°
2
A continuación aplicamos en cada sumando la fórmula de transformación del producto
a una diferencia de cosenos, obteniéndose:
cos40°-cosl20°+ cos80°- cos240°+ cosl60°- cos480°
=	2
En seguida transformando a producto como sigue, deducimos:
2 cos600.cos20°-(-i)-(-l)-cos20c-(-|) ¿obSO5 +1 - cpsSO* 3
2	' =	2	= 4
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
36.- Efectuando como sigue, se obtendrá:
senx.sen4x-sen2x.sen3x
sen2x.sen4x
A continuación aplicando la misma estrategia de los dos últimos problemas, tendremos:
2 sen x.sen4x - 2 sen 2 x.sen3x cos3x - cos5x - (cosx -cos5x)
2sen2x.sen4x	2sen2x.sen4x
Luego de simplificar, se tendrá:
cos3x-cosx
2 sen2x.sen4x
Factorizando el numerador y transformando la diferencia de cosenos a un producto de
senos, se obtiene:
-2 sen2x.senx
2 sen2x.sen4x
senx
sen4x
37.- Utilizando la siguiente fórmula especial de transformación:
sen a + cos a = -J2 sen (a + 45°)
Ahora la expresión dada tendrá la siguiente forma:
cos b. y/2 sen (a + 45°) = -J2 cos b. sen (b + 60°)
15°+b
Multiplicamos y dividimos por 2 para utilizar la fórmula de transformación de produc-
to a suma de senos:
-72.2 sen(b +60°) cosb	^2 ,
--------^2----'----- = 2 5611	+	+ 561160I
Finalmente desarrollamos el ángulo compuesto tal como sigue:
(sen 2 b. cos 60° + cos 2 b. sen 60° + sen 60°)
^sen 2b i + cos 2b.+^- j
cos b (sen a + cos «) = (sen 2 b + -J3 cos 2 b + -J3 )
RACSO
IDITO1II
R15
492
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
38.- Factorizando: 2 sen 6:
Por transformación a suma:
Según dato:
Reemplazando en (i):
pues:
N = 2sen 6(2sen 66 • sen 46 + 1)
N = 2sen 6[cos 26 - cos!6 -6 + 1]... (i)
6=t=6°
N = 2sen 6°^cosl2°-i+l
cos 60° =
Efectuando:	N = sen 6°[2cos 12° + 1]
Reconociendo: sen x(2cos 2x + 1) = sen 3x
Se tendrá:	N = sen 3(6°) = sen!8°
39.- Efectuando como sigue tendremos:
A continuación multiplicamos y dividimos por 2 así:
Vsenx.sen3x +sen2 x
I	1
12 sen x.sen 3*+2 sen x
2
Al transformar de producto a suma o diferencia tendremos:
/cos2x - cos4x +1 - cos2x	Íl-cos4x
V	2	” V 2
9
Pero:	1 - cos 4x = 2 sen 2x
Finalmente:	cos4x _ ^\ser\ 2x _ |sen 2x|
46.- Utilizando la transformación a producto de una suma o diferencia, tendremos:
ló^sen^psen^j = 16(cos 6 - cos 26)
cos6-cos2G
A continuación, calculamos el valor correspondiente del «cos 26», así:
cos 26 = 2 cos26 - 1 = 2 (2-)2 - 1 => cos 26	- 1 = | - 1	=> cos 26 = |
8
Finalmente: 32 sen^p .sen^ = 16 (4-3)	=>	~ 2(5) = 10
32 sen4p .sen^ -= 16
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
W.46
Sucesiones y Series
SUMATORIAS
01.- De la expresión dada se pueden identificar los siguientes elementos:
P = Primer ángulo = x
U = último ángulo = 35x
r = razón de la progresión aritmética = 2x
r
2
n-#de términos de la P.A.------ + 1
35x—x
n = —~--
2x
+ 1 = 18
r
Aplicando la fórmula de la suma de senos para arcos en P. A. tendremos:
... senl8x.senl8x	2_.
VV =--------------- .. W = «.vn ISt . cs< i
02.- Identificando los elementos básicos de la serie dada, se tiene que:
P = Primer ángulo = x U = último ángulo = 45x
r
r = razón de la progresión aritmética = 2x =>	~ = x
U-P	45x-x
n = # de términos de la P.A.-- +1	=> n = —r--------+ 1 = 23
r	2x
Aplicando la propiedad de suma de cosenos para arcos en P.A. tendremos:
R16
494
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOBU
2sen23x.cos23x
2senx
sen46x
2 senx
1
W = ~. sen 46x . csc x
03.- Procediendo como en los ejercicios anteriores, podemos identificar que:
P = Primer ángulo = 2o
U = último ángulo = 540°
r
r = razón de la progresión aritmética = 2° =>
U-P
n = # de términos de la P.A.-- + 1
r
540°-2'
n~ 2°
+1 = 270°
Aplicando la fórmula de suma de senos para arcos en P.A. tendremos:

Pero:
W~
. sen
sen270°
senl
. sen 271°
sen 270° = - 1
(-l)(-cosl°)
w= senl°
sen 271° = sen(270° + 1) = - cos 1°
W= cotí"
P + U
2
04.- En la expresión dada identificamos que:
Tt
P = Primer ángulo = ~
Tt
U = último ángulo = 33 "
4Tt
r = razón de la progresión aritmética = ~
r 2n
2 = 15
Sucesiones y Series Trigonométricas
17ti
También: sen-j^- = sen
2n
15
2ti
= -Sen15
3n
-sen—
15
2ti
sen—
15
2ti
-sen—
15
W = sen —
5
W = sen 36'
w= J10-2V5
4
05.- Analizando los términos de la expresión dada se puede reconocer que:
Asimismo:
También:
12ti
Sen^3~
117t
IOtt
SCn 13
= sen
= sen
= sen
7t
13
2n
n----
13
3n
n-----
13
71
= 561113
2n
sen 13
3ti
= Sen!3
Y así sucesivamente, por arcos suplementarios, se puede establecer que:
n 2ti
W—13 sen— + sen— + sen—
vv	13	13	13
3n	6ti
+... +sen—
13
13
primer T
ángulo P
último ?
ángulo U
De donde reconocemos que:
7t
r = razón de la progresión aritmética = —
2
26
W = 13 .
( nr
sen —
. sen
P + U
2
W = 13.
6ti
sen—	_
26	7n
----sen —
71	26
sen—	D
26
7tt
Pero: sen—— = sen
26
n 6n
2 26
6tt
= cos —
R16
14961 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿4 RACSO
wp BDITOKBB
13
w=y.
„ 6n 6n
2sen—cos—
26	26
71
sen—
26
12tt
sen-----
13	26
2 ' ti
sen—
26
7t
COS--
26
71
sen—
26
1271 í ti_____71
Pero: sen-r— = sen Q I = cos ~
26	)	26
13
w= 2
13	7t
W = — cot—
2	26
06.- Multiplicando por 2 a ambos miembros de la expresión dada, se tendrá:
q 7t q 3tt o 5tt	q	7t
2M = 2cos — +2cosz— +2cosz— + .. . + 2cos2(2n - 1)
n	n n	n
«Degradando»:
2tt	6tt	IOtt	ti
2M = n + cos— + cos— +cos----------- + ... + cos2(2n -1) —
n	n	n	n
Usando la serie del coseno:
2M = n +
47tn
sen——
2n
—+2(2n-l)—
n v ’ n
4ti
sen—
2n
2M = n +
2M = n
07.- Aplicando la misma estrategia del problema anterior, multiplicamos por 2 con lo
cual cada término adquiere una forma más adecuada para efectuar transformaciones:
2tt 4tt 2tt 6tt 4tt 6tt
2M = 2cos—.eos — + 2cos~. eos — + 2cos“ . eos —
Transformando los productos a suma, tendremos:
2tt 6tt 4tt 8tt 2ti IOtt
2M = cos~	+ eos—	+ eos—	+ eos—	+ eos—	+ cos~—
8tt 6tt IOtt 4tt
De donde podemos reconocer que: eos— = eos— , eos-~ =005“^“
Sucesiones y Series Trigonométricas
2n 4ti óti
2M = 2(cos — + eos— + eos—)
~ZÍ
2
M = -
2
08.- La expresión será fácil de transformar si multiplicamos por 2 a ambos miembros:
j Tt	j 2?t	j 3ti
2M = 2 sen — + 2 sen — + 2 sen —
7	7	7
Haciendo una transformación para reducir los grados, tendremos:
2rt	4ti	6n
2M = 1- cos — + 1 - cos — + 1 - cos —
7	7	7
I	2tt	4tt	6ti
2M = 3 - eos— + eos— + eos—
I	7	7	7
\	7
T->	'	2ít 4tt 6tt 1	.
De aquí reconocemos que:	eos—	+ eos—	+ eos—	= - —	(Propiedad)
=> 2M = 3 + 1	M =
2	4
09.- Aplicando la identidad: 8 sen4 x = 3 - 4 cos 2x + eos 4x ; tendremos:
. 2tt 4it	4rt 8n _ „ 6n 12n
8W = 3-4 005-7-4- cosy 4- 3-4 cos 4- cosy 4-3-4 cosy 4- cos -y
8W = 9 - 4 (eos 4? 4-eos-“4-cos	4- COS^4-COS-^4-COS^
\	7	7	7 /	7	7	7
*	v-------' v	*-------z
8W = 9-3Í-|)	=> 8W = 94-J	.’. W =
\ z /	z	lo
10	.- Transformaremos cada término de la expresión dada para aplicar la serie telescópi-
ca. Empecemos por el último término, que se constituye en el término general de la serie:
. n ____________1______ _________sena_________
sec na. sec(n 4- ija Cosna.cos(n 4- l)a senacosnacos(n 4- l)a
,	...	1................... ,	tan(n4-l)a tanna
=> sec na.sec(n 4- l)a =-— {tan(n 4- l)a - tan nal =--------- ----~
'	’ sena	'	' sena sena
,	tan(n + l)a tanna
=> sec na.secfn 4- l)a ------------------
sena sena
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-•Mracso
Mbditciki
Finalmente dando valores a n, en la expresión obtenida, la serie tendrá la forma:
N =
tan2a tana
sena sena
tan3a
sena
tan2ct
sena
tan(n + l)a	tanna
sena sena
Donde luego de s mplificar, se obtiene:
tan(n + l)a tanna
sena sena
N =
11	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar las expresiones dadas empleando la
siguiente identidad trigonométrica:
cot a - tan a = 2 cot 2a => tan a = cot a - 2 cot 2a
Aplicando dicha identidad a la serie, tendremos
tan y = coty -2cotx
1 . x 1	. _2L	. x
2 tan = 2 cot 22 - cot
1 ,	x 1	, x	1	x
—5-tan—v = —5-cot—v - 7?cot —5-
2Z	23	2Z 23	2	2Z
1 . x 1	. x 1	. x
" i- tan— = „ . cot— -	_ cot—
2^^	2	2 1	2	2 2	2 2
Finalmente sumamos miembro a miembro:
1 x
R= ^rcot^r -2cotx
4n 2ji 6n
12	- Se tiene que: VV = sen— + sen— - sen—
a producto	arco doble
Luego de las transformaciones se obtiene:
3n	ji	3n	3n
VV = 2 sen— . cos ~ - 2 sen —eos —
7	7	7	7
3n 3n n
W = -2 sen—[eos— -cos~ 1
7 1	7	7	J
a producto
3n	n 2ti
VV = - 2 sen— [- 2 sen y. sen + — ]
7t 2ti 3ti
VV = 4 seny . sen — . sen —
Dado que la expresión indicada es una productoria resulta conveniente identificar que:
2n + 1 = 7
n = 3
Sucesiones y Series Trigonométricas
Aplicando la fórmula correspondiente, se tendrá que:
W = 4.
V2h + 1
2n
V7
w = 4.^r
23
V7
W= ---
2
13	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión en términos de coseno,
luego efectuar las operaciones indicadas con lo cual surgirán los productos de cosenos,
en donde será posible aplicar las fórmulas de productorias. Veamos:
2n + 4n + 6n
cos—	cos—	cos—
7	7	7
M =
2n 4n 2n 6rt 4n 6n
cos—.eos— + cos— .eos—+cos—.eos—
7	7	7	7	7	7
2n	4n	6n
cos—.eos-—.eos—
7	7	7
Pero:
4n	3n
eos— =-cos —
7	7
6ti n
cosy- =-cos~
Luego el denominador de la expresión (*) se transforma en:
2n	4n	6n	n	2n	3n
COS“ . eos—. eos — = cos~ . cos~ .eos—
7	7	7	7	7	7
2n 4n 6n 1
Por la productoria conocida:	eos — . cos~^~ . eos— = ~
Por el prob. anterior, el numerador de (*) queda así:
2n	4n	2n	6n	4n	6n	1
COS — .COS“ + COS'T”-COS— + — .COS— =-~
7	7	7	7	7	7	2
i
2
Luego:	M = —M = - 4
8
14	.- Buscando usar el método telescópico, tendremos:
.	1	“n2	.
Desarrollando el numerador de la expresión anterior y simplificando, encontramos que.
0
csc 6 = cot - cot 6
csc 26 = cot 6 - cot 26
R1S
500
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOlll
csc 46 = cot 26 - cot 46
Y generalizando: csc 2" 1 6 = cot 2" ’2 6 - cot 2n T6
Finalmente: S = cot 21 6 - cpíl9 + cp^6 - cob^e +'\+ cpFS^’ 26 - cot 2"" 16
S = cot 2’1 6 - cot 2” "1 6
15	.- Reemplazando x = y en lo pedido; se tendrá:
• tl • 2tt . 4tl í°\
R = tan y + tan + tan — .. (i)
ti 2tl 4tl
En el cual se puede notar que:	y + -y +	- n
Por lo cual se puede aplicar:	tan y + tan -y + tan -y = tan y - tan -y - tan -y
En (i):	R = tan y - tan -y • tan -y	.. (n)
4ti 3ti 4ti 3ti
Además, por reducción al primer cuadrante:	tan -y = -tan -y; pues: -y + -y = ti
Que al reemplazar en (ii): se obtiene: R = - (tan ? '	- (“*)
La expresión entre paréntesis corresponde a un valor obtenido según:
n . 2n . 3n . nn	n—~
tan —,7 ‘ tan ----7  tan 7;—,7 .. tan 7;-7 = V 2h +1
2n +1 2n +1 2n + 1 2n +1
Así cuando: n = 3
. tt . 2ti , 3ti trj
tany - tan-y tan-y = -v7
Finalmente, en (iii):	R = -(V?)
16	.- Multiplicando y dividiendo por "2 sen x" a cada término de la serie, tendremos:
2sen(2n -l)x. senx	cos(2n - 2)x - cos2nx
2 senx _	2senx
Luego, dando valores a n, la serie tendrá la forma:
ccptf' cos^x co>-^x cos4x
2'senx "¿senx ^>2senx " 2senx
cos(2jj^2jx
^<ísenx
cos 2nx
2 senx
1 cos 2nx 2 sen2 nx	sen2wx
Fmalmente, quedará: 2 senx ’ 2 senx = 2 senx "	$= senx
Sucesiones y Series Trigonométricas
PROPIEDAD.-
En general: Si se tiene una suma de senos cuyos ángulos se encuentran en progresión aritmética,
se deduce la siguiente propiedad:
Sj = sen a + sen (a + r) + sen (a + 2 r) + ... + sen { a + (n- 1) r }
nr
ser*2	ía+(n-l)rl
Sj=------— . sen í--=---->
sen'	l z J
Donde:	n ... número de términos de la serie r ..... razón de la progresión
nr
sen-2~	(P+LI^I
Más fácil aún: S, = ------. sen —ñ—
1 r 12
seny V J
P ... primer ángulo	Ü .. último ángulo
En forma similar podemos deducir, la suma de cosenos cuyos ángulos se encuentran en
progresión aritmética; así:
S2 = cos a + cos (a + r) + cos (a + 2 r) + ... + cos {a + (n-1) r}
«r	,
sen 2	í p+u
S2 =-----— . eos 2
sen^-	l
17	.- Observando detenidamente los términos de la serie , reconocemos que:
n =?
r = 20°
P = 10°
Ú = 170°
2n - 1 = 17
n =9
Luego, aplicando directamente la última relación de la propiedad anterior, la sumatoria
tendrá un valor que viene dado así:
R16
502
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOIll
18	.- Inicialmente aplicamos la siguiente propiedad:
2 sen x = 1 - cos 2 x , obteniendo
2 E = 1 - cos 2o + 1 - cos 4o + 1 - cos 6o + ... + 1 - cos 180°
2 E = 90 - (cos 2o + cos 4o + cos 6o + ... + cos 180°)
Luego, para utilizar la fórmula (12.9) reconocemos que:
n = 90 a P = 2° a r = 2o a Ú = 180°
^2°+180°j
2 E = 90  ---qo— • cos
seña-
sen 90°	(-senl°)
2E = 9°~lenr cos(90°+n =. 2E = 90-~nF~
Finalmente: 2E = 90+l	E = 45,5
2
19.- Aplicando la propiedad: 2 cos x = 1 + cos 2 x, tendremos:
2 E = 1 + cos Io + 1 + cos 2o + ... + 1 + cos 180°
2 E = 180 + cos Io + cos 2o + ... + cos 180°
Finalmente:
180(1°)
sen—s—
. cos
1° +180°
2
2 E = 180 - 1
n 179
E="2“
E =89,5
20.- Para utilizar la propiedad del Prob. 16, debemos reconocer que :
_	2n a 2n T~T 6n
n = 3 , r= y , P = y , U = y
í2nA i
sen 3 y L—
s=----\—L—
2n i
sen-y .i
. cos
<2ti 671a
~T+~7
2
Sucesiones y Series Trigonométricas
R16
503
3n 4n
sen cos-y-
S =----------—
&	2n
sen-y
3n 4n
2 sen-y cos-y
\ 2n
2 sen -y
Utilizando la propiedad en el numerador, tendremos:
7 71 jt
sen——seny
S=-----------—
2it
2 sen-y
Sen7 _ 1
2n — ”2
2 sen-y
2it 4it 6n 1
cos-y + cos y + cos~y= ~2
PROPIEDAD.-
2ít 4ít	2/itt j
En general, se cumple:	cos 2n+l + cos 2m+1 + — + cos 2n+í = ~ 2
Siendo: n = {1,2, V n e Z...}
ít	3ít	(2ft-l)7t j
Análogamente, se deduce: cos 2h+1 + cos 2m+Í + • • •+ cos 2h+1 = 2
21.- Usando la propiedad del problema anterior, tendremos:
2
2 cos a = 1 + cos 2 a =>
2	1 + cos2a
cos a —-----5---
1 + cosy£	1 + cos4?	1 + cos^
_________________/ __________/
2	+	2	+	2
3 + cos4^ + cos4^ + cos^
2
Luego, utilizando la formula del problema anterior deducimos:
2	“ 2 “ 4
2 n 2 2n 2 3n
cos y + cos -y + cos y
22.- Utilizando la identidad siguiente, tendremos:
sen(Un- Un_i)
cosUn-cosU„-i
= tan Un - tan Un-1
5
4
tan U2Q - tj
19
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-'^Aracso
VpBDITOftBB
sen(Ui-Uo)
Finalmente, obtendremos: cosUrcosU()
sen(U20-Ui9)	..........
---H------it— = tan U,n - tan Un
COSÜ20-COSIJ19	20	0
„„ 2n 4n 6n 8n
23.- cos-^- + cos^ + cos~tj~ + cos'g-
Multiplicando y dividiendo por 2 sen'g , obteniendo:
2sen^cos^ + 2sen^cos4? + 2sen^cos^ + 2sen^cos^
____y____y_______y____y_______y___y_____ y_____y
2sen|
A continuación utilizamos la transformación de producto a diferencia, obteniendo:
2sen|
Finalmente nos queda:
6n
2n 4ti 6n 8n 1
COS-g- + COS-g- + COS“g“ + COS g =	~2
24.-Se sabe que:
sen2x =	l-cos2x 2	cos2x =	1 + cos2x 2
3 sen x =	3senx-sen3x 4	3 COS X -	3cosx+cos3x 4
4 sen x =	3-4cos2x + cos4x 8	4 COS X =	3+4 cos2x+cos4x 8
5 sen x =	lOsen x - 5sen 3x+sen 5x 16	cos5x =	lOcosx + 5cos3x+ cos5x 16
Al desarrollarse la sumatoria inicial , se obtiene tres sumas parciales así:
Xj = cos x + cos (120° - x) + cos (120° + x)
E2 = cos2x + eos2 (120° - x) + eos2 (120° + x)
= cos3x + eos3 (120° - x) + eos3 (120° + x)
Sucesiones y Series Trigonométricas
R16
505
Calculando una por una, obtendremos:
Ej = cos x + cos(120°-x) + cos(120°+x)
2cos 120° . cos x
Ej = cos x + 2 eos x = eos x - eos x	Ej = 0
Ahora: E2 = cos* 2x + eos2 (120° - x) + eos2 (120° + x)
„	,	2	1 + cos 2a
Recordemos que: cos a =---2----
1 + cos 2x +1 + cos(240° -2x) +1 + cos(240° +2x)
Luego, tendremos: E2=----------------------2----------------—
Agrupando convenientemente, lograremos:
3 +cos 2x + cos (240°—2x) + cos(240°+2x)
Ej=	2
„	„	„ n,no n	3 + COS 2X+2| ¿UlcOS 2X
v 3+cos 2x+2 cos 240 cos 2x	\ 2 /
i2-	2	2
v _ 3 + cos 2x—cos 2x _ _ 3
X2-	2	2
Trabajando con la sumatoria «E3», tendremos:
E3 = cos3x + eos3 (120° - x) + eos3 (120° + x)
_	,	3 3+cos a + cos 3a
Para esta sumatoria, recordaremos que:	cos a = -------4-------
Luego, se obtendrá:
3cosx + cos3x + 3cos(120°—x)+cos(360°-3x)+ 3cos(120°+x)+cos(360°+3x)
£3=	4
Ordenando apropiadamente, obtendremos:
3cosx + cos(120°-x) + cos(120°+x) + 3cos 3x
£3= -------
3	3
Luego: E3= cos3x E3= cos3x
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1DITC11I
Finalmente:
n
E cos" (x) + cos" (120° - x) + cos" (120 + x) =	+ X2 + E3
n
E
n=l
3	3	_	3(2 + cos3x)
-0^2 + 4 cos 3x =--------
4
£	3(2 + cos3x)
n=i -	4
25.- Se sabe que:
» 2ti 4n Ó7t	(n-l)n 1
*	cos — + cos — + cos — +........+ cos —-— = - 2
» n 3n 5n	(n-2)n	1
*	cos — + cos — + cos — +.......+ cos —~— = 2
Siendo: «n» un número impar.
Luego de reducir al primer cuadrante, como se indica obtendremos:
cos JT + 2 cos + 3 cos yy +........8 cos-jp + 9 cosA^p + 10 cos-^p
6ti	4ti	2ti
cos Ti cos iT cosiT
Sumando los extremos, tendremos:
2n	4rt	6rt	,, 10ti
Ileos tt + licos TT + licos 3T +........+	11 cos Ty
Finalmente, factorizando «11», lograremos:
.,. 2n, 4ti .	„ 10nx
ll(cos^j- + cos jj+ ... +cos^pj-) =
-1 /2(propiedad anterior)
-11/2
26.- Se sabe que:
Kr
£	,	,	-.x i sen~2~ J2a+(K—l)rl
Z sen |a + (n -1) r} =-— . sen (----s----r
»=i	sen| 1 z J
Kr
£	.	,	. SCn^ Í2a+(K-I)rl
E cos {a + (n -1) r} =-=- . cos <---s---->
n=i	sen I 1	J
Sucesiones y Series Trigonométricas
Graficando el enunciado del problema, tendremos:
Como nos piden calcular la distancia a cada uno de los extremos del diámetro
calcularemos primero con respecto al extremo «A», asi:
£ distancia - AB + AC + AD +.............+ AQ + AP + AN
"A"
t	n ti o 2n	„	(n-1
Luego: £ distancia = 2a sen + 2a sen 2ñ +.................+	sen —2n
£ distancia = 2a |sen^ + sen^ +..........+sen^n^J^
senos enprogresión aritmética
Finalmente aplicamos la primera fórmula sobre sumatoria de senos y cosenos en
progresión aritmética, así:
Donde:
£ distancia =
"A"
2a
sen^1*^
2 ’2n
5—~  - sen
sen2'2ñ
K = n -1 ....#de términos
r =n/2n......razón
ct = n/2n....primer ángulo
Efectuando, tendremos: £ distancia = 2a .
"A"
Luego:
n (n-l)7t
2n 2n
2
(n-l)n
sen .
4n
71
sen-¡¡—
4n
J2
2
distancia = a y¡2
"A"
71	71	71	71
sen v cos .— cos . sen „
4 4n 4 4n
sen-¡¡—
4n
Problemas de Trigonometría y como resolverlos
Tíracso
Luego de efectuar, obtenemos: cos x +
cos x = cos x - cos x = 0
E distancia n >Í2 Lnl._JL_il
"A" = a V2 . ¡cot4jj
Análogamente:	= « {co* 4h “T}
Finalmente:	- 2« (cot£-1|
¿jambos extremos l 4n J
27	.- Transformando a producto como sigue, tendremos:
cos x + cos (120°-x) + cos(120°+x)
2cos 120°. cosx
2
2
cos x + cos (120° - x) + cos (12b® + x) = 0
28	.- Efectuando como sigue tendremos:
2cos.cos(120°—x)+ 2cosx.cos(120°+x)+ 2cos(120°—x)cos(120°+x
E=-----------------------------2-----------------------------
cos(120°—2x) + cos 120°+cos 120°+ cos(120°+2x) + cos2x + cos240°
E=-----------------------------2-----------------------------
Agrupando los términos señalados y utilizando la propiedad del problema anterior,
obtendremos:
cos2x + cos(120°-2x) + cos(120°+2x) + 3cosl20°	0 + 3(-1 /2)
E=----------------------2--------------------- =------2----
E = -3/4
PRODUCTORIAS
29	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar cada término de la productoria en
factores que tengan términos comunes en el numerador y denominador. Para ello es
pertinente recordar la identidad del ángulo doble:
tan 2a =
2 tana
1 - tan2a
1 - tan2
2tana
a ~ tan2a
Aplicando esta identidad en cada uno de los factores de la productoria, se obtiene:
2tanx 2tan2x 2tan4x 2tan2n l x
tan2x ’ tan4x ‘ tan8x tan2nx
Luego de simplificar, obtenemos:
2ntanx
tan2nx
Sucesiones y Series Trigonométricas
R16
509
30	.- Debemos reconocer que la sucesión de factores corresponden al cociente de los
términos que componen las productorias dadas en la parte teórica. Procedamos así:
De donde se obtiene:
-Jln + 1
2n
1
2n
= V2n + 1
Y de acuerdo con esta nueva productoria, de la relación dada podemos identificar los
siguientes términos:
a) 2n + 1 = 9
n = 4 factores
b) Luego la productoria tiene un valor que se obtiene aplicando la relación obtenida:
1	.----n	1
=> W = - J2n + Í	W= - J9
W = 1
31	.-En este caso nuestra estrategia consistirá en transformar cada término reduciendo
al primer cuadrante. Veamos:
4n	3n 3n	5rt	2n	2tt
sen— =	sen(7i- — )	= sen —	A sen—	= sen(7t- —) = sen	—
ti 2ti 371
=> W = sen — . sen — . sen —
De acuerdo con la fórmula de la productoria de senos, reconocemos que:
2n + 1 = 7
n = 3 factores
A continuación aplicamos la fórmula de productoria y encontramos que:
V2n + 1	J?
W = ----- = —y
32	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar cada factor en una expresión mónica,
para lo cual será útil aplicar la identidad del ángulo mitad:
2X
1 + cos x = 2cos ~
o j Tt j 2?t y 371	Tt 27t	371 n
=> M = (Zcos y )(cos — )(cos —) => M = 8(cosy. cos~ . eos—)
R16
510
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^^RACSO
ti 2ti 371	1
Pero, podemos identificar que cos —. cos — . cos — = y
1
M = 8. -Z2
o
1
M=i
33	.- Este problema tiene relación con el problema anterior, por lo cual será conveniente
transformar uno de sus factores:
5ti 2ti
eos— =-cos —
De este modo al sustituir en la expresión original, se tendrá que:
ti 2ti 3tc
M = - cosy . eos — , eos —
Y sabiendo que:
Concluimos que:
ti 2ti
3n 1
cosy. eos— . eos— = y
1
M = -y
34.- Utilizando la identidad: (2cos x - l)(2cos x + 1) = 2cos 2 x + 1
Despejando, se tiene:
Entonces tendremos:
2cos x- 1 =
2cos2x +1
2cosx +1
2cos2x +1 2cos4x +1 2cos8x +1
2cosx + 1 x 2cos2x +1 x 2cos4x +1
„ 2cos8x+l
" 2cosx+l
35.- Notamos que el término central es: sen yy = sen y =
Luego los otros factores los agrupamos de 2 en 2, así:.
2 (2sené sen^) = 2 (cos^-cosf)
Análogamente se efectúa con los otras parejas, obteniéndose:
Jl 1 3tc 1 2ti 1 ti
y x ~2 cos ~T~ x cos ~7~ x ~2 cos ~7
Sucesiones y Series Trigonométricas
24
n	2n	3n
cos — x eos — x eos
L ✓	✓	/ .
23
Finalmente:
71
3tc
scri 2g «seo 2g
28
1371
sen 28 -
V2
27
36	.- Recordemos que:
„	„	sen2x
2 senr cosx = sen2x —> cosx = ---
2senr
sen—
senx 2
Sustituyendo en la expresión dada: ------.-------
2sen4 2sen4
2	4
sen —
____4
2sen|
sen^-z-
2^-1
2sen-^-
2n
Finalmente:
cos 2 eos.eos— =
senx
2n.sen-3L
2n
37	.- Teniendo en cuenta la siguiente productoria:
ti _ 2ti _ 3ít 4ti
cos2n+l cos2n+l cos2n+l cos2n+l -
nn
 cos2n+l
2n
En el problema reconocemos que n = 3 ; es decir:
p- 23
38	.- Aplicando la siguiente productoria:
ti 2ti 3tc	nrt -J2n+1
sen 2ñ+T ’ sen 2ñ+T ’ sen 2ñ+T.sen 2ñ+T =
Luego para di problema: n = 9
k
39	.- * La notación
H=1
se desarrolla así:
K
n an = al - a2 • a3
n=l
1k-i-flK
Además se sabe que:
p = i
1	29
R16
512 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITO1II
» A m	n	2n	kn -J2k + 1
11 sen2A; + 1 -sen 2k T .sen 2jt + 1 ...sen 2k j - k
n=l
* A me	n	2n	kn 1
Il eos 2Jt + 1 -cos 2Jt + 1 .eos 2Jt+1 .cos 2fc + 1 - 2*
«=1
f,
» n t hti . ti . 2ti	. kn	in~,—7
II tan 2k+f = tan yj^yy . tan ..........tan yj^yy = V2fc + 1
n=l
Desarrollando la expresión pedida obtendremos:
(1 + cosy )(1 + cos^j^l + cos'^j
(1 +cos^)(l +cos^)(l + cos^)
„	ti 6n 3n 4n 5n 2rrt . .
Pero:	cos y =	-cos y	, cos y	= -cos y	, cos y	= -cos y	(Arcos suplementarios)
(1-COSyVl -COS^-V1-COS^-1
T	A_______• J\____• J\_____• /	. 2 3n t 2 2ti 271
Luego. ~¡~	4ñ\Í 2n\ ~ ^an 7 •tan 7  ^an 7
ll+COSyjíl+COS-yjll+COSyj	'
Yaque. Ticos 2cc = tan2“ (Arco mitad)
Finalmente: tan2 y . tan2 y . tan2 y = I tan2 y = ^2(3) +12 = -J?2 = 7
n=l
40.- Sabemos que: sen 2a = 2 sen a cos a
,	sen 2a
Luego:	cosa= 2^S
Aplicando dicha propiedad en el problema, tendremos:
sen^	seny	sen^	sen^	sen~^
2 seny 2senyp 2 sen 4^ 2 seny 2 seny
A continuación utilizando reducción al primer cuadrante obtenemos:
sen^ seny^ seny	j n
32sen4p ' sen^ = 64sen £cos=	7
c. .	ti 27t37i 4n 5n 1 n
Finalmente: cosy . cosy . cosy . cos-y . cos-y = sen y
1 Tt
64 sen 7
Sucesiones y Series Trigonométricas
Funciones
Trigonométricas
DOMINIO DELAS F.T. DIRECTAS
01.- Para que/esté definida en IR, se debe cumplir:
i)	Ya que en/interviene tan x decimos que:
x * (2k + 1)— ,kel
ii)	De la función valor absoluto deducimos que:
|senx| * 0 => x *kn, V keZ
kn
De (i) a (ii): x * ~ , \/ k -G Z
kn
Dom/=R- VkeZ
02.- Para que la función/esté definida en R se debe cumplir que:
2	1	2	1	1
sen x - ~ > 0 => sen x > ~ => | sen x | > ~
Grafiquemos: y = | sen x | => y = ~
n	5n
De esto se deduce que: ~~ < x < —
O	o
Pues en este intervalo: | sen x | >
En general:
71	5rt
— + kn<x< — +kn
6	6
.-. Dom/=	1, V ke Z
Ib o j
¿MRACSO
W^BDITOKEB
R17
514
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
03.- Para que la función/esté definida en R, se debe cumplir que: cos x - cos 3x * 0
cos3x	n
Es decir: cos 3x * cos x => ------* 1 => cos x * 0 ==> x * (2k + 1)	. (1)
cosx	2
cos3x
Pero: ---- = 2 cos 2x - 1 => 2 cos 2x - 1 * 1 => cos 2x 1
cosx
=> 2x * 2/ot => x * kn... (2)
kn	kn
De(l)y(2):	x# — ,\/keZ Dom/=R- —, keh
04.- Sean las funciones:/(x) = 3 tan^3x+^j a /2(x) = cos 2x
=> Dom/= Dom/j n Dom/2 ... (1)
Luego nos proponemos determinar cada dominio por separado. Veamos:
a)	fi(x) = 3 tan(3x+^j => 3x +	1 (2k + l)y
71	71	71
x*(2Jt + l)-- — , V Jte Z => x*(3Jt+l)~, VJteZ
o	lo	y
71
.-. Dom/j = R - (3fc + 1)~ ,V ke Z ...(2)
b)	./i(x) = cos 2x => Dom/2 = R ... (3)
c)	Reemplazando (2) y (3) en (1): Domf= ^R-(3fc + l)^j n R
Dom/= R - (3k + 1) ~, V Ac g Z
05.- Nuestra estrategia consistirá en analizar la F.T. que interviene y a continuación
haremos lo propio con los radicandos de la expresión. Veamos:
a)	Dado que la función depende de la tangente, tan x, podemos afirmar que:
x*(2k+T) — ,ke Z
b)	Además, para que la función/esté definida en R, se debe cumplir que los radicandos
deben ser positivos:
(tan x-1>0)a(V3 - tan x > 0)
Funciones Trigonométricas

Al graficar este resultado, se observa que:
71	71	5ti 4ti
— <x< — v — < x <—
4 ~	3	4 ~	3
Generalizando este resultado se tiene:

71
4
71
3
Dom/= ^ + kn;^+kn , V ke Z
06.-Puesto que la función depende de tan 5x, podemos afirmar que el dominio de «/>
debe ser tal que:
5x*(2Jt+l)^ ,Jte Z => x*(2k+l)^
Tt
Luego, se concluye que:	Dom/= R - (2k +1) —, V Jce Z
07.- Recordemos la función raíz cuadrada:
Por lo tanto para que la función /se encuentre definida se debe cumplir que:
El dominio de f se obtiene al intersectar los 3 dominios: (i n ii n iii)
08.- Nuestra estrategia consistirá en analizar cada F.T. por separado y a continuación
haremos el análisis de los radicandos para finalmente intersectar los dominios encon-
trados. Veamos:
71	71 37t
i)	La tan x 3 si x * (2ni + 1) —, m G Z => x * —; —
ii)	Lacotx3six*mt,nGZ => x # 0; ti
iii)	La función/existe si: 2(tan x + cotx) - 4 > 0
1
Ahora, de los radicandos se tiene que: tan x + cot x > 2 => tan x +- > 2
tanx
Esta relación solo se cumplirá si: x G IC ó IIIC
Teniendo en cuenta i), ii), iii) y este último resultado, el dominio de/será:
09.- Analizando cada F.T. por separado, se tiene:
i)	La sec x 3 si x * (2n + 1) — , n g Z
ii)	La csc x 3 si x mu, m g Z
iii)	La fundón/3 si el denominador es diferente de cero.
| sec x | - | csc x | * 0 =>
1
cosx
1
senx
I senxI ,	.	.
J1 * 1 => | tan x | * 1 => tan x * ± 1
|cosx|
ti 371 5rt 7ti
4 ' T ; T ; T
71
=> .-. x * (2<j + 1) ~; q G Z
Por lo tanto de i) ii) iii), tendremos:
lat
Dominio Df = R - —, V k G Z
1	4
Funciones Trigonométricas
10.- Para que la fundón secante exista o se encuentre definida, se debe cumplir que:
71	71
3x + ~ *(2k + 1) —
O	2
kn ti
— + —
3	9
„	71	71
=> 3x * kit +--—
2	6
71
=> x*-(3fc + l)
Df=R-{|(2A+l);fcc-z}
RANGO DE LAS F.T
11.- Analizando el denominador de la fracdón, se deduce que: sen x * 1
Con el propósito de construir la función, empezamos por:
- 1 < sen x < 1 => -2 < sen x - 1 < 0
Invirtiendo:
______	2
senx-1 ~ '2
1
Multiplicando por 3:
3	3
senx-1 ~ 2
3
“</«<- -
/	3
Ran/=
12.- Nuestra estrategia será construir la función dada a partir del dominio establecido.
71
6
De (*) construimos/ veamos:
Multiplicando por 2:	1 < 2 sen x < 2
Sumando 5:
Dividiendo por 3:
6 < 2 sen x + 5 < 7
2senx + 5
7
13.- Analizando el denominador de «f», reconocemos que:sen x * 1 (1)
Para que/esté definida en R, se debe cumplir que:
| sen x | - 1 > 0
| sen x | >1_(2)
R17
518
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOKII
De (2) podemos deducir que:
*) | sen x | > 1 ; es absurdo
*) | sen x | = 1 =>
sen x = 1; no puede ser por (1)
sen x = -1 (✓)
sen x = - 1
VI-1	0
Luego: fix) = _	= — = 0
Ran/={0J
14.- De la definición de valor absoluto se puede establecer que:
2	2
sen x = | sen x |
Entonces al reemplazar en la función dada, ésta queda así:
f{x) = | sen x |2 + 31 sen x |
Completando cuadrados: fty = (|senx|+^j - ~ ...(1)
Para determinar el rango de f, reconstruimos para dar la forma de (1). Veamos:
Por teoría sabemos que:	0 < | sen x | < 1
3	3	3	5
Sumando ~ a cada miembro: ~ < | sen x | + ~ < —
9	/	o\2	25
Elevando al cuadrado: ~ < 11 senx |	I < —
Restando 0< (|senx|+^j <4 => 0 < f < 4
'	7
Ran/=[0;4]
15.- Efectuando la división indicada, se tiene:
,, % cosx + 1 + 1	,	1
f(x) =----------= 1 +----------
cosx + 1	cosx + 1
De donde deducimos que: cos x * - 1
A continuación reconstruimos la función, de: -1 < cos x < 1 => 0 < cos x + 1 < 2
1	1
Invirtiendo: — <---------- < + ~
2	cosx+1
Funciones Trigonométricas
R17
519
Sumando 1:
3	1
— < 1 + --------- < + oo
2	cosx +1
3	3
— </(x) < + “	Ran/= , — ; +—
16.- De la fracción dada, se puede deducir que: | sen x | * 1
2	2	2
Recordemos la identidad pitagórica: cos x = 1 - sen x = 1 - | sen x |
Reemplazando en la función dada, se tendrá
-(|senx|2-l)
7 |senx|-l
/(x) =
-(|senx1+1X1 senx|-l)
| senx | -1
Cancelando:	| sen x | - 1 * 0 => | sen x | *!...(•)
Luego se obtiene:	f(x) = - (| sen x | + 1)
Por teoría se sabe que:	0 < | sen x | < 1
Y considerando (*), deducimos que: 0 < | sen x | <1__(**)
A partir de esta relación reconstruimos f, veamos:
sumando 1:	1 < | sen x | + 1 < 2 =>	-2 </(x) < -1
Ranf = <-2;-l]
17.- En primer lugar transformamos convenientemente la expresión dada y luego re-
construimos la función para darle la forma obtenida. Veamos:
Si: /(x) = cos x + 4 cos x + 7
Completando cuadrados: /(x) = (cos x + 2)2 + 3... (*)
Por teoría se sabe que: -1 < cos x < 1
Construyendo f.	1 < cos x + 2 < 3
Elevando al cuadrado: 1 < (cos x + 2) <9
Sumando 3:	4 < (cos x + 2)2 + 3 < 12
Yde(*):	4</(x)<12	.-.	Ran/=[4;12]
2	2
18.- Recordemos la identidad: cos 2x = cos x - sen x
cos2x-sen2x (cosx + sen x)(cgSJ>-sefíxy
Reemplazando en /: ftx) =----------- =----------------------
R17
520
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-íí RACSO
Esta simplificación es posible si: sen x * cos x => x * — + kn
Luego, nos queda:	fix) = cos x + sen x => fix) = Jz sen (x + j
Como:
x*~ + kn => x + — * — + kn=> sen(x + ^j *sen^ + kjtj => sen(x + ^j *±1...(*)
Por teoría se sabe que: - 1 < sen ^x + ~ j <1
Pero de (*): -1 < sen ^x + ~ j < 1 r V x e R - | ^ + kn, k g Z
Multiplicando por 4z: -4z < 4z sen^x + ~j <Jz => -Jz <fíx)< 4z
Kan/= '-J2; V2)
19.-Transformamos la expresión de f completando cuadrados:
fix) = 4 cos2(nx) - 4 cos (nx) => /(x) = [2 cos(itx) - l]2 - 1... (*)
4
Del dato: — < x < 3 =>
4n
— <7IX<37I
=> -1 < cos(nx) < 1
De esta relación reconstruimos f, así:
Multiplicando por 2:	-2 < 2 cos (nx) < 2
Restando 1:	- 3 < 2 cos(itx) -1 < 1
Elevando al cuadrado: 0 < [2 cos (nx) - 1] <9
Restando 1:	- 1 < [2 cos(itx) - l]2 < 8
De(*):	-l</<8	Ran/=[-l’8)
20.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión hasta reducirla. Luego
analizar la variación de la expresión obtenida. Veamos:
2	2	2	2
Factorizando:	f(x) = sen x. cos x (sen x + eos x)
1
2	2	2
Multiplicando por 4: 4/(x) = 4 sen x. cos x = (2 sen x.cos x)
sen2x
Funciones Trigonométricas
±	2
Despejando se obtiene que: f(x) = — . sen 2x ...(*)
2
Sabemos que para el caso del seno se verifica que: 0 < sen 2x < 1, Vi e R
1
Multiplicando por ~:
1	2	1
0 < ~ sen 2x < —
4	4
0</(x)<|
Y de (*):
Ran/= 0
2
4
21	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada y analizar lo obtenido:
Transformamos a producto el numerador de f.
senx + sen3x + sen2x	2sen2x. cos x + sen2x	sertíx(2 cos x +1)
*x)=	serílx =*	-----J^Tx------
kn
Analizando el denominador: sen 2x * 0 => 2x*kn => i / y , i e Z
Simplificando "sen 2x", nos queda: fix) = 2 cos x + 1
kn
Esto significa que:	x * ~ => cos x * (-1; 1; 0}
Luego:	- 1 < cos x < 0 u 0 < cos x < 1
Construyendo f con cada desigualdad, obtendremos el rango. Veamos:
Multiplicando por 2:	-2 < 2 cos x < 0 v 0 < 2 cos x < 2
Sumando 1:	-1 < 2 cos x + 1 < 1 v 1< 2cos x + 1 < 3
Ran/=(-l;l) u (1; 3 )
22	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada hasta obtener una en
términos de una sola F.T.. Veamos:
fto =
7
1 + tan x + 2tanx
o
1 + tan x
Separando en 2 fracciones:
2tanx	2tanx
fíx) =~	~	2~ +3 = 4+ ~	~
1 JL+tan^x 1 + tan x	1 + tan x
De lo cual podemos concluir que: /(x) = 4 + sen 2x
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITO1II
Del dato: n < x < —
2ti < 2x < 3ti
=> 0 < sen 2* < 1 ... (*)
Partiendo de (*) construyamos f.
4 < 4 + sen 2x < 5 => 4 <f < 5
Ran/={4:5]
23	.- Nuestra estrategia consistirá en graficar cada termino por separado y luego anali-
zar la variación de/en el intervalo dado. Veamos:
a)	Graficamos: yr = | tan x |
71	71	71
Como:	|x|<—	=> - ~<x< —
En este intervalo se verifica que:
0< |tan*| < J3 ... (1)
b)	Graficamos: y2 = | sen x |
71	71
En el intervalo: - — < x < —
73
Se verifica que: 0 < | sen x | <	... (2)
Podemos sumar (1) + (2):
3V3
0 < | sen x | + | tan x | <
=* 0</<^ Ran/= [0;
24	.- Como en los ejercicios anteriores, nuestra estrategia consistirá en transformar la
expresión dada. Luego de la F.T. que aparece en la expresión obtenida, reconstruimos la
función a partir del dominio de la F.T. referida. Veamos:
7	7
Completando cuadrados:	/(*) = (tan x + 2) + 3 ... (*)
Como: tan2* > 0 construyamos / tan4* + 2 > 2
Elevando al cuadrado:	(tan * + 2) >4
Sumando 3:	(tan2* + 2)2 + 3 > 7
=>	/(x)>7
Ran / = [7; + <»)
Funciones Trigonométricas
25	.- Teniendo en cuenta que x g IIIC; analicemos cada término de «f» en el intervalo
dado. Veamos:
a) Si: -g- < x <	=> sen-g- > sen x > sen 4?
1	-J*í	r~
=>	-2>senx>-:5^	=> - 1 > 2senx >--¿2 ... (1)
. .7n 5n . 7ji ,	, 5n
b)Si: -g- <x<	=> tan“g“ ctanxctan-^-
=>	< tanx < 1 => - >/3 >-3 tanx>-3	...(2)
c) Sumando (1) y (2) m. a m.: ->/3 - 1 > 2 senx - 3 tan x > - 3--J2
=> --J3-1 >/(x) > -3-^2 => -3-V2 </(x) < ->/3-l
R/<x) = <-^ -3;- V3 -1>
26	.- Transformamos la expresión desarrollando la potencia indicada:
/(x) = tan2x - 2^afí x. póf x + cot2x
f(x) = tan2x+ —-2
, tan x
> 2
1
Recordando que: «+ — >2, sícgR => fix) >0	.-. Rf = [ 0; + “ )
27	.- Reconociendo que x g IIIC; procedemos tal como se hizo en el prob. 28. Veamos:
5ít	4n
tan— < tan x < tan — =>
1 < tan x < ,/3 ... (1)
5n
4ti
COS— <COSX < COS —=>
1
2 -(2)
Sumando: (1) + (2) , tenemos:
V2	1
1----< tan x + cos x < -J3 - —
2	2
2
2-V2 a x 2,/3-l
Rí(v)~
'2-5/2 25/3-11
2'2,
R17
524
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
PlOITOllI
28	.- Para determinar el rango, redefinimos la función f usando identidades del arco
simple y arco doble. Veamos:
fix) = tan x + cot x f(x) = sec x . csc x
2
=> /(*) = ñ------- =* fa) = 2 esc 2x... (1)
J 2senx.cosx
Del dato:— < x <	< 2x <	..(2)
a
Analizando la gráf ca de la cosecante reconoce-
mos que ésta, en el intervalo dado por (2), varía así:
l<csca<2 => 2< 2csc2x <4
-• R«x)=[2;4]
29.- Para que la función f este definida en R, la tangente debe estar bien definida en R
para lo cual se debe cumplir que:
x/(2í+l)-,le Z =>
DomJ = R-(2k + 1)~, V le Z
senx
f(x) = cos x.-- = sen x
J	cosx
senx
*) Como: tan x = -- , cos x -* 0
cosx
Como.xe Z-(2k+1) — =>-l<senx<l =>	Ran/=(-l;l)
Luego al intersectar estos intervalos, se tendrá que:
Df n Rf = (-1; 1>
30.- La única restricción proviene de la cosecante, donde: cscx3=>x*kn,kG Z
analizando por cuadrantes se tiene:
1)Síxg ICóIIC
a)	| sen x | = sen x; pues sen x > 0
b)	|csc x| = csc x . pues csc x > 0	.'. /(x) = genx csc x + cscx senx = 2
i	i
2)Síxg IIICóIVC
c)	| sen x | = -sen x, pues sen x < 0
d)	|cscx| =-csc x, pues cscx <0 fíx)= (-senx).cscx + (-cscx).senx =-2
-i	-i
Funciones Trigonométricas
71	71	371
3) Si x = (2n + 1)— = - , —,...
Evaluando f en dichos puntos se tiene que:
71 I 71
CSC ~ + CSC —
71
sen — =2
• 3n
CSC— +
I 3ti|
R* 2I
371
sen— = -2
De (1), (2) y (3) concluimos que: Rf = 1-2; 2}
31.- Analizando por separado cada sumando para las posibles restricciones.
i)	El sen x, no tiene restricciones pues x g R
ii)	La cot x y la csc x existen si: x rat; n g Z
iii)	También se debe cumplir: sen x - 1 > 0
Esta desigualdad implica que:
sen x = 1
sen x > 1
absurdo
71 5ti
r= 2; ~2 ; •
Es decir x solo puede tomar valores dados por:
x = (4fc+ 1)“ ,1g Z
Df= 1(4fc + l)^LfcG Z
iv) Para determinar el rango evaluemos en cualquier punto de su dominio, pues f es
71
periódico en ti, por ejemplo en x = —.
71	71 I 71	71
Veamos:	/(x) = sen — +cot— + Jsen— -1 +csc~
ftx) = 1 + 0 + 0 + 1 = 2
Rango Rf = {2}
32.- i) Para que la función f exista, se debe cumplir que el radicando sea positivo o igual
a cero.
.2
R17
[5261 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
De esta desigualdad se desprenden dos soluciones posibles:
x<-lux>l	Df = (-«>;-1) n [1;+ “) ...(1)
71
ii) De la excecante se sabe que- ex - sec(x) <- 2 ex - sec(x) >0, Vx * (2J: + 1) — ,ke Z
=> | ex - sec(x) | > 2	| ex - sec(x) | > 0
=> | ex - sec(x) | > 0 Rg e [0; + ~) ... (2)
De (1) y (2) se concluye que:	Df n Rg = [1; +«»)
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS F.T. DIRECTAS
33.- Por teoría sabemos que. -1 < sen x < 1 ... (*)
=> - 3 < sen x - 2 < - 1 => | sen x - 21 = - (sen x - 2) => | sen x - 21 = - sen x + 2
senx — 2	1
Reemplazando en fi f(x) = 3^ = 3_senr - 1 • - (*)
Partiendo de (*) construimos/
Multiplicamos por (-1): - 1 < - sen x < 1
Sumamos 3 a cada miembro: 2 < 3 - sen x < 4
1 1 1
Invirtiendo:	~	~	< ~
4	3 - senx 2
3	1	1
Restando 1:	---------- 1 < _
4	3 - senx 2
3	1	1
Y de (**) establecemos que: - - </(x) < - -	/míx = - ~
34.- Recordemos la identidad de transformación de producto a suma:
2 sen A. cos B = sen(A + B) + sen(A - B), A > B
Aplicándolo en la expresión dada, se tendrá:
2 sen 7x . cos 3x = sen lOx + sen 4x
Reemplazando en//x) = sen lOx + >efí 4x - >efí 4x - 5 => /(x) = sen lOx - 5... (*)
Por teoría se sabe que: -1 < sen lOx < 1, V x e R
Restando 5: - 6 < sen 10 x - 5 < - 4
Funciones Trigonométricas
Y de (*) concluimos que:
- 6 </(*) < - 4 fmáx+ 2fmB = -4 + 2(-6)
j/rrin	^|/max|
-- /máx + 2/.nin=16
35	.- Aplicando el producto notable de suma por diferencia de un binomio, se tendrá:
/(r) = 10 - sen2* ...(*)
2
Teniendo en cuenta que- 0 < sen x< 1, V re R
Construimos la función / para lo cual procedemos así:
2
Multiplicando por (- 1):	-1 < -sen x < 0
Sumando "10":	9 < 10 - sen2* < 10
De (*) se deduce que:	9 </(*) <10	.-. /míx = 10
4	4	3	1
36	.- Recordemos la identidad: sen x + cos x = — + ~. cos 4*
4	4
3	1
Aplicando esta identidad en f. f(x) = ~ + —. cos 4*... (*)
Sabiendo que:	-1 < cos 4* < 1, V x e R
Construyamos la función f, para lo cual procedemos así:
111 1
Multiplicamos por ~~	~ cos 4* < ~
3	13	1
Sumando	~	~	+•	~	cos 4* < 1
4	2	4	4
1
Y de (*) se establece que: ~ </*) < 1
1	3
Luego: tn = — a M = 1	m + M=
37	.- Redefinimos la función f, completando cuadrados
fix) = 35- (tan2* - 4 tan * - 4) + 4	=>	/(*) = 39 - (tan * - 2)2
Para obtener el valor máximo de la función/ se debe cumplir: (tan * - 2)2 debe ser
mínimo, es decir cero. Luego:
tan *-2 = 0 => tan * = 2 =>	* — 63°30'
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
•jA RACSO
¡P IDITOMBB
38	.-Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión en una ecuación cuadrática
2
Efectuando: y = 8 + 2 tan x - tan x
y
=> tan x - 2 tan x + (y - 8) = 0 (Ec. cuadrática)
2
Para que "tan x " esté definida se debe cumplir que: A > 0 (b - 4ac > 0)
Es decir: b = - 2, a = 1, c =y - 8 =»	4-4(y-8)>0 =»	l>y-8 =» y<9
Pero: y =f(x) => f(x)<9	fmíx = ^
J
39	.- Transformamos la expresión completando cuadrados: f(x) = (tan a + 1) - 1
71
De acuerdo con la teoría podemos afirmar que: -<» < tan x + 1 < + x * (2J: + 1) —
2
Elevando al cuadrado:	0 < (tan x + 1) < + «>
9
Restando 1: -1 <(tanx + 1) - 1 < + «>
=>	-1</(x)< + ~	fmín = -l
40	.- Analicemos f(x) con las gráficas de las funciones tan x y cot x, y en el intervalo de su
definición:
41	.- Del dato x g IC y x = 0 sen x es creciente a tan x es creciente
Ahora analizamos cada función en el intervalo dado:
71
Si 0 < x < —
7* sen(0) < sen x < sen — => 0 < sen x < 1 ... (1)
\ 71
tan(0) < tan x < tan — => 0 < tan x < + °°... (2)
Funciones Trigonométricas
R17
529
Entonces (1) + (2), tenemos:
0 < sen x + tan x < + ~
0 < f(x) < + ~

42	.- Analicemos con las gráficas de las funciones sec x y csc x.
Del gráfico se observa que éstos se
intersectan en:
5rt
x= T
Además: | sec x | < | csc x | ...(*)
Comore IIIC
=> | sec x | = -sec x a | csc x | = -csc x
En (*): - sec x < - csc x => sec x - csc x
f(x)>0

PERÍODO DE F. T DIRECTAS
43	.- Usando la regla práctica de cálculo del período mínimo, tendremos:
2n	2ti	2n
T x = ~í- =	T/ = -¡ =	=> T/ = -i — 8tt
(senA) 1	sen| 1	sení 1
2	3	4
=>	Tf = m.c.m (4n; 6n; 8tt) = 24ti	Tmfn = 24n
44	.- Usando la regla práctica de cálculo del período mínimo, tendremos:
T =—	=— =*	tÍcos—1 = —
T(sen3x) 3 A T(cosÉÜ) 6	T(C°S 5 /	3
2n 5n A
T'T J
Tf = m.c.m
m.c.m(27i;5n) lOrt
m.c.d.(3;3) - 3
10n
45	.- Usando la regla práctica para el calculo del periodo mínimo, tendremos para cada
función:
a)Tf =
2n
a
2n
b)T8=T
2n ti
~a = 7
2ti ti
T = 6
a = 14
fe = 12
a + b = 26
R17
530
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
'áLRACSO
'Mbditokes
46.- Sabemos que/(x) es periódica si 3 T * 0, tal que:
f(x + T) = f(x), Vx G Dom f, x + T G Dom/
Como:	fix) = cos(ti cos x) => f(x + T) = cos(ti cos (x + T))
=> f(x + T) = cos(ti cos x . cos T - ti sen x . sen T)
Pero por definición se debe cumplir que: f(x + T) = f(x)
Entonces se debe cumplir que:
ti cos x. cos T - ti sen x . sen T = ti cos x
=> (cos T = 1 v cos T = - 1) a (sen T = 0)
=> T = kn,ke Z
T -
’rmti
= n
47.- Analicemos cada caso por separado. Veamos:
a)	La función/es de la forma: f(x) = tann(Bx)
71
=> Si "n" es par ó impar => el período T = —
2	n	9ti
Reemplazando valores: n = 15 a B = — => Tf= -^ => Tf= —
9
b)	La función g es de la forma: g(x) = secn(Bji)
71
=> Si "n" es par, el período es:	T = —
71
Reemplazando datos, tendremos: n = 10 a B = 4 => Tg = —
c)	La función h es de la forma: h(x) = cscn(Bx)
2ti
=> Si "n” es impar, Th - —
Reemplazando datos se tendrá:
3 2ti	14jt
Sím = 3 a B=-,Th=y	Th=1F
7
Funciones Trigonométricas
48.- Agrupamos convenientemente en factores las funciones y, cofunciones y luego de
aplicar las identidades trigonométricas, tendremos:
f(x) = (sen x.csc x)	(eos x . sec x)	(tanx. cotx)
i	i	i
1	1	1
	71	kn
SÍ X * H7I	si x * (2m + 1)~	six* —
kn
/(x) = 1; si: x * —
Graficando la función /redefinida, tendremos:
Finalmente del gráfico se observa que:	V
I	I
71	3x -Tt
T1	-- - -------------------
1 f (mínimo)— 2	2
49.- Debemos redefinir la función f por medio de las identidades trigonométricas.
2	2	1
f(x) = sec x . csc x + sec x . csc x + —
Y reconociendo que esta expresión corresponde a un binomio cuadrado perfecto, tendremos:
f(x) = (secx.cscx + jj --.(*)
, 2 2
Donde identificamos que: sec x. csc x = 7----------=--------- => sec x. csc x = 2 csc 2x
2senx.cosx sen2x
Luego en (*) tendremos que la función queda así:
/M = (2 csc 2x + |)
Aplicando la regla práctica para calcular el período de la cosecante, tendremos:
0» tnín — 2
<TAnin-B
GRÁFICAS DE LAS F.T. DIRECTAS
50.- Podemos transformar la función dada, factorizando así: f(x) = -Jsen2 x(l - sen2 x)
Usando identidades tenemos:	/(x) = vsen2x.cos2 x
1 j	2
Multiplicando y dividiendo por 4:	f(x) = — (2senx.cosx)
V 4
R17
532
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
4^ RACSO
Pero: 2 sen x . cos x = sen 2x, se tendrá:
I 1	7
.sen 2x
Luego nos queda:
1
f(x) = ~ |sen2x|
1
De aquí se observa que la amplitud de/es: A = y
El periodo de fes:
Luego el gráfico será:
51.- Como:
Por dato:
Haciendo (1) = (2):
P g (y = sen x)	=>	2a + b	= sen xt	...	(1)
Q g (y = cos x)	=>	a - b	= cos x2	...	(2)
71
X1 + X2 =	=*	sen	= COS *2
2a + b =a-b	=>	a = -2b	...(*)
AL	,	a+í}	-2b + b	-b	1
Ahora reemplazamos () en M: M =	~ "¿fe—b = —3b	M = y
52	.- Para que la función/esté definida en R la "tan x" debe estar adecuadamente defini-
da, es decir:
x*(2k+l)y,itG Z ...(1)
Asimismo, los denominadores de /deben ser no nulos, es decir:
71
cos x * 0 => x * (2k + 1) ~ , k g Z ... (2)
De (1) y (2) verificamos que ni tan x ni cos x se deben valuar en múltiplos impares de n/2.
A continuación, usando identidades, reducimos /(x):
/(x) = ^-^x
' fióSX
2senx.cdsx
=> /(x) = | sen x | -21 sen x |
71
/(x) = -1 sen x | , x * (2k + 1)—
Y elaborando la gráfica correspondiente se obtiene:
Funciones Trigonométricas
R17
533
53	.- Analizando el denominador de la fracción se puede establecer que:
sen x * 0	=> x * kn, V k g Z
El numerador transformado a un producto, nos permite obtener:
2>efíxcos2x
pefíx
De este modo el período de:
2n
f(x) = 2 cos 2x, es: T = — => T= n
Asimismo identificamos la amplitud de
la función:	A = 2
De este modo el gráfico será así:
54	.- Cada vez que la gráfica de /intersecta al eje x:f(x) = 0, es decir:
Jx - 41 cos x | = 0 =>
Jx = 41 cos x |
Entonces basta con encontrar el número de intersecciones de las gráficas: yx = Jx ^y-¿-
41 cos x |, en el intervalo: x G ( 0 ; 3ti)
Elaboramos las gráficas para yx e y2,
observándose que la amplitud de y2 es
4 y su período es n.
Si además se verifica que V3n < 4; se
concluye que:
# de intersecciones : 6
R17
534
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
55	.- Si la gráfica de la función f intersecta al eje x, entonces:
f(x) = 0 => 21 cos x | - | sec x | = 0
2|cosx| = |secx| .. .(1)
Sea: m(x) = 21 cos x | y n(x) = | sec x |, cu-
yas gráficas se muestran:
Se puede observar que los puntos P, Q, R,
S tienen igual ordenada, lo cual resuelve
la ecuación (1)
Son 4 punto*
x
56	.- Analizamos la función en dos intervalos. [0; n] y (n; 2n}. Veamos:
a)	Si: x g [0; n] => | sen x | = sen x => f(x) = 2 sen x
Como: 0 < sen x < 1 , V x g [0; it]
b)	Si: x g ( n; 2ti) => | sen x | = -sen x
=> f(x) = - sen x + sen x
=> /(*) = 0
Graficamos en [0 ; 2n]
57	.- El gráfico c rresponde a un sinusoide de la forma: y = A sen Bx + C, y cuyas carac-
terísticas identificaremos a continuación:
1
a)	La amplitud: A = ~ (6 - (-2)) = 4
2ti	1
b)	El período: T = 6n => ~ = 6n > B = ~
d	3
c)	Asimismo se observa que la función se ha desplazado 2 u hacia arriba. Luego: C = 2
x
y = 4 sen ~ + 2
3	3
58	.- Del gráfico se puede tabular la función: y = A + B cos x
Funciones Trigonométri as
a) 1 = A + B
A = 1... (1)
b) 3 = A + B cos ti => 3 = A - B ... (2)
De (1) en (2):	3 = 1 - B => B = -2	2A-B = 4
59.- De la función: y = 3 sen~ podemos reconocer que la
Asimismo, se puede determinar el período (mínimo):
— 2ti
T = -j-	=> T = 4ti
2
Luego trasladando estos valores al gráfi-
co dado, se tiene que el área de la región
triangular sombreada tiene por base: 2ti y
por altura: 6- Luego:
1	7
S= j(2ñ)(6)n2
S = 6 n u
60.- Tratándose de un trapecio defini-
do por su base, que es el período de la
función dada, y por su altura que es
2-J3 , lo que hacemos es determinar el
período de la función dada, para lo cual
utilizamos la fórmula básica:
Si:	fM = tan 4x =>
=> Área = base x altura
T = ti/4
61.-
X	y
	i
n	3
amplitud es: A = 3
MISCELÁNEA
f(x) = sen x . cos x
Multiplicando por 2: 2/(x) = 2 sen x . cos x
1
Pero: 2 sen x . cos x = sen 2x => f(x) = ~. sen 2x____(*)
R17
536
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITOKR1
a)	Evaluamos la función en x = 0 a x = ti/4:
1	7t 1 ti 1
/(O) = - sen 0 = 0 a ) = - sen - = ~
Como: 0<x<~ a f(0) </(^) => /es creciente en ^0;	I es (V)
n	1	1	„ ,, x 1
b)	Como: 0 < x < — => 0 < sen 2x < 1 => 0<~sen2x<~ => 0 </(*)< _
4	2	2	2
/ 1 \
=> Ran/= ( 0 ; ~ j	II es (F)
2ti
c)	De (*) deducimos el período de la función, por teoría: T = — = ti /. III es (F)
62	.- Nuestra estrategia consistirá en analizar la función a partir de los términos que
determinan su dominio y rango utilizando para ello los cuadrantes comunes Veamos:
a)	Delimitación del dominio.-
71
i)	La tan x 3 si x * (2tn + 1) ~; tn 6 Z
ii)	La cot x 3 si x * «ti; n e Z
kn	í. Til
De (i) y (ii) x * ~ ;ke£=> Dominio Df = R ' p 2J G
b)	Identificación del rango.
Si x g IC ó IIIC	=> | cot x | = cot x	f(x) - tan x (cot x) => f(x) = 1
Si x g IIC ó IV C	=> | cot x | = - cot x	fix) = tan x(- cot x) => /(x) = - 1
Rango Df = (-1; 1}
Ahora elaboramos el gráfico según los resultados obtenidos:
Del gráfico se observa que el período mínimo es ti .
Funciones Trigonométricas

63	.- Analizando los puntos de discontinuidad para la función secante y cosecante,
tenemos:
I) La secante no se encuentra definida si:
ti	n	ti	ti	kn	ti
2x+— = (2k+1)—;kG Z => 2x = kn.+ ~	=> x~ + ~Z
6	z	z	6	6	6
II) La cosecante no se encuentra definida si:
ti	mu	ti
2x + — = mu ; pig Z => x =	- —
3	2	6
Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:
nn n „
x=~2 ± -¡^ ;neZ
64	.- Se presenta una sola restricción, la cscx 3 si x * kn,ke Z
.-. Df = R - (kn ; k g Z
Del dominio, tenemos que: sen x . csc x = 1 => f(x) = cos( | x |)
Además podemos reconocer que:
f(-x) = cos | - x | = cos | x | = f(x) La función fes par.
Ahora analizamos la función por intervalos. Veamos:
i)	Si x > 0 =>f(x) = cos (| x |) = cos (x)
ii)	Si x < 0 =>f(x) = cos( | x |) = cos (- x) = cos x
Graficando la función f por cuadrantes y en base a la gráfica de la función coseno se tiene:
65	.- Analizando las restricciones en el numerador y denominador tenemos:
i)	En el numerador y denominador, la cot x 3 si: x * >m; n g Z
RACSO
 DITOM1
R17
538
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ii)	En el denominador, la función/3 si cot x 0 => x (2m + 1)~ ,me Z
Jc7t
De (i) y (ii): x * — ; k e Z
=> D( = R-|^},iteZ
iii)	Redefiniendo la función /y recordando que:
a, si a>0
a, si a<0
tendremos:
a) Si x g IC ó IIIC => cot x > 0 => | cot x = cot x
cosx.cotx
=> fíx) = -----7---- = COS X
J ’ cotx
b) Si x g IIC ó IVC => cot x < 0 =>
cosx.cotx
I cot X I = - cot X => fíx) = — -—— = - COS X
1	J (-cotx)
Graficando la función / por cuadrantes y en base a la gráfica de la función coseno se
tiene:
/x) “ cos x
Rf = < -1; 0) u ( 0; 1>
Del gráfico se observa que:
66.- Para que la función / sea no negativa se debe cumplir que:
tan2x - 3 > 0 => tan2x > 3 => | tan x | > V3
A continuación elaboramos la gráfica de:
y= |tanx| ey= Jí en ^“2'2/
Podemos reconocer, que solo la región
sombreada corresponde a la relación:
| tan x | > V3
Lo cual ocurre solo en los intervalos:
/ 71 -71
|tanx| >3,en\ — 2'2
Funciones Trigonométricas
71
2
71	71
3 A 3
71
2
/ 71 71	71 71
Dom/= ;jJ u
67.- Para que la función/no esté definida, se debe cumplir:
| sen x | - | cos x | < 0 => | sen x | < | cos x |,
[71 7jt¡ ,	,
"^"Jz la relación:
| sen x | < | cos x |
Se verifica en el intervalo:
/no es definida en x G
ti 7n
Í'T
VxG
68.- De la condición del problema se debe cumplir que:
f(x) >0 => cot x - tan x > 0 .-. cot X > tan x
La desigualdad la analizamos con la gráfica de
la función tangente y cotangente.
Reconocemos que el punto de intersección está
71
en: x= ~
4
Del gráfico de observa que: x G
69.- Según la condición del problema tenemos que:
/(x)>0 => |csc x| - |sec x| > 0 .-. |cscx| > |secx|
Por las identidades conocidas se tendrá que:
1 > 1 1 > 1
senx _ cosx	|senx| - |cosx|
De esta relación deducimos que: sen x * 0 => x * 0; ti
|senx|
Luego:	-1	=> | tan x | < 1 > - 1 < tan x < 1
I A I
cos 0 =>
71
** 2
La desigualdad la analizamos con la gráfica de la función tangente.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
ÍDIIO»»i
71
i) tan x = 1	=> x = ~
'	4
3ti
ii) tanx = -1 => x = —
4
De la gráfica se observa que:
xe ¿°;t] u
\ 4J L 4 /
70.- Según condición del problema se tiene que:
/(x) > 0 => 3 tan x - 2 sen 2x > 0	3 tan x > 2 sen 2x
La solución de esta desigualdad la resolveremos primero en forma analítica resolviendo
una ecuación trigonométrica elemental para hallar los puntos de intersección de las
gráficas de: h(x) = 3 tan x a m(x) = 2 sen 2x
Para luego determinar con las gráficas de dichas funciones los intervalos posibles de
solución para la desigualdad: h(x) > m(x)
I) 3tan x = 2 sen 2x =>	=2.2 >efí x cos x
cosx
Al simplificar sen x, debemos reconocer que ello encierra una solución:
sen x = 0 a
2
— = 2 cos x
De donde deducimos que:
3
=> x = 0 a — =2 cos 2x
3
— = 1 + cos 2x
1	71 5tü
=> cos2x= 2 => 2x=3'-^
ti 5tt
II) Ahora graficamos las funciones h(x) y
m(x), y tendremos:
Como: h(x) > m(x), entonces se debe cum-
plir que:
Funciones Trigonométricas
Inversas
DOMINIO DE LAS F.T. INVERSAS
01.- Como:
0 < V3x-1 <1	=>
0<3x-l <1
Sumando 1 a cada miembro: 1 < 3x < 2
Dividiendo entre 3:
[1 ; f]
02.- Para que/esté definida, se debe cumplir:
arc sen x - arc cos x > 0 => arc sen x > arc cos x
Del gráfico se observa que: arc sen x > are cos x
En el intervalo: x G
Nota: En el punto de corte se verifica que: arc sen x = arc cos x = tt/4 a x = -J2 /2
03.- Analizaremos la función a partir de sus componentes. Hacemos
/i = 2 arc sen	A arc cos (^3^^)	Dom/= Dom/j n Dom/2
Determinaremos los dominios de cada función componente:
a) fi = 2arc sen	1
Multiplicando por 2:	-2 < x - 1 < 2
Sumando 1:	-l<x<3 => Dom/1 = [-1;3]
R13
542
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
3Í< RACSO
IDITOÍll
... , „	Í2x+1\	2x+l ..
b) /2 = 3 arc eos, I—3— I => -1 < —3— < 1
Multiplicando por 3:	-3 < 2x + 1 < 3
Restando 1:	-4< 2x < 2
Dividiendo entre 2:	-2 < x < 1
Dom/2 = [-2 ; 1]
Dom/= |-1; 3] [-2; 1]	.-. Df = [-1,-1]
04.- Lo primero que reconocemos es que la función/no está definida si:
3^ -arc cos x = 0
71
=> are cos x = 3
71
x = cos 3
1
x- 2
05.- La función/la estudiaremos a partir de sus componentes por lo cual hacemos:
/j(x) = 3 arc sen I —-— I a f2(x) = arc tan (x - 2) => Dom/= Dom/ n Domf2
Determinaremos los dominios de cada función componente.
a)	/1W = 3 arc sen 1)

Multiplicando por 4:
Sumando 1 a cada miembro:
5
Dividiendo entre 3: -1 < x < 3
-4<3x-l <4
-3<3x<5
Dom/ =
-1;
5
3
b)	/2(x) = arc tan(x-2),“><x-2< + «> Domf2 = IR
Luego:
Dom/= j n IR

06.- La función arco dada depende directamente del arc sec, por lo cual estará definida si
se cumple:
4x-3g <-oo;-l]	[l;+°°> => 4x-3<-l vj 4x-3>l
4xs <2 vj 4x > 4
x< 2 v x>l
Dominio
(““> 2 u 11; + 00)
Funciones Trigonométricas Inversas
07.- En la aplicación de la definición del arc sec, se puede establecer que:
arc sec (x+^j 6
/	1 \	1	1
Siempre que: lx+^ I g <-«>; -1] u [1; +«>)	=> -o° < x + — <-l vi < x + - + ~
1	31	/	3 1	[1
Restando “: °°< x<-~ v ~ <x < +°°	.'. Dom/= (-«>;-£ u 2; + °°
08.- Para que el arco secante dado en el problema, se encuentre adecuadamente definido
se debe cumplir que:
8/ - 1 > 1	=>
1_
2
09.- Para que el arco cosecante se encuentre definido, se debe cumplir que:
2x2-7<-1
x2<3
(x + V3)(x-V2)<0
-V3 <x< -J3
Df=(-oo;-2]
CJ 2x2 - 7 > 1
x2>4
U (x + 2)(x-2)>0
u (x < -2 vj x > 2)
U [-V3;V3]u [2; +°°)
10	.- Ana izaremos la función dada a partir del estudio de los dominios de:
a)	El arco secante se encuentra definido si:
8x + 3 < - 1 u 8x + 3 > 1
1 1
x<-~ cj x>--...(l)
b)	El arco cosecante se encuentra definido si:
5x - 2 < - 1 U 5x - 2 > 1
1	3
x<- V	...(2)
A ACSU
EDITOIII
R18
544
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Graficamos los resultados obtenidos en (1) y (2) y al intersectarlos tendremos:
V----------
T	"í	1	1
2	4	5	5
.-. El dominio está indicado por las regiones sombreadas:
11	.- Analizamos cada sumando por separado y tenemos:
(1)	El are csc x 3 si x G (-“; - 1] cj [1; +•»)
(2)	El are sen x 3 si x G [-1; 1]
(3)	El are tan x, no representa restricción, x G R
Al intersectar estas tres soluciones encontramos solo dos elementos comunes a ellos: -1 a 1.
Luego:
Df = {-1; 1}
RANGO DE LAS F. T. INVERSAS
12	.- El rango de la función depende de su dominio
Sea:	f¡(x) = 2 are sen (2x - 1) , f2(x) = 3 are sen (3x + 1)
=> Dom/(x) = Dom/^x) n Dom/2(x)
a)	En /j el dominio del are sen es: -1 < 2x - 1 < 1
Sumando 1:	0 < 2x < 2
Dividiendo entre 2: 0 < x < 1	.-. Dom/] = [0; 1]
b)	En f2 el dominio del are sen permite establecer que: -1 < 3x + 1 < 1
Restando 1: - 2 < 3x < 0
2
Dividiendo entre 3: - ~ < x < 0 .'. Dom/2 = [-2/3; 0]
Para determinar el dominio de <</>> intersectamos las soluciones:
Funciones Trigonométricas Inversas
> Dom/= [O; 1] o
2
-3;°
=> Df={0}
Y para determinar el rango de «/» evaluamos en x = 0, obteniendo:
/(Oj = 2 are sen (-1) + 3 are sen (1)
Ran/. {$}
2	2	2
13	.-Como:	|«| =g f(x) = | are sen x | + 4|orc senx| - 2 7i
2
Completando cuadrados: f(x) = (| are sen x | + 2) - 2 ti - 4 ... (*)
71
Según la teoría podemos establecer que: 0 < | are sen x | < y
Sumando "2":
Elevando al cuadrado:
Sumando 2n - 4":
2 < | are sen x | + 2 < 2 +2
4<(|orcsenx| + 2)2< (^+2)
-2n< (|crcsenx| + 2)2-2p-4 <
Y de (*) podemos concluir que:
-2tT</(x)< g2
Ran/= -2n;
n2
4
14	.- Dado que «f» depende de are sen x a are cos x, podemos afirmar que: x e [-1; 1]
De acuerdo con la identidad aditiva de las F.T.I.,/(x) se reduce a:
f (x) = are sen x + n ...(*)
71	71
Como:	<arc sen x< 2 » V xg [-1 ;1]
„	.	ti _	3rt
Sumando ti:	< ti + are sen x < y
De (*) se tendrá:	-/(x) -	Ran/ =
15.- Como:
0< Jx <1
0 < are cos
Multiplicando por 2:
0< 2 are cos -Jx < ti
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
i* RACSO
IDITOtlI
Sumando — cada miembro:
it	ti	5rt
— < — +2 arc cos -Jx < —
4 4	4
71 5rt
4 ~f~ T
Ran/=
7t_57t
4' 4
16.- Analizando la variable del arc tan tendremos que ésta se puede transformar en:
x2 + 2x + 2 = (x + l)2 + 1
Por definición del cuadrado de un número real, tendremos:
0< (x + l)2 < + ~	, V re R
Sumando «1» a cada miembro de la desigualdad:
•y	71
1 < (x + 1) + 1 < + «>	=> — < arc tan(jr + 2x + 2) < —
7L	2
Multiplicado por 2:	— < 2 .are tan(x + 2x + 2) < ti
71
=»	~<f(x)<n
Ran/=
17.- Según condición del problema tendremos que: 0 < x < 1 => 0< arc tan x < ~
Multiplicando por 2:
71
0 < 2 arc tan x < ~
Sumando rt/4:
Tt	Tt	371
— < —	+ 2 arc tan x < —
4	4	4
Tt	31t
-</(*)< Y .-. Ran/ =
/ti 3ti
\4 ; T
18	.- Debemos recordar que: sen4x + cos4x = ~ + — cos 4x, x 6 R
Evaluando esta expresión, encontramos su máximo: 1 y su mínimo: 1/2; luego:
— < sen4x + cos4x < 1
Funciones Trigonométricas Inversas
Como la función arco cotangente es decreciente en el intervalo [1/2; 1], se tiene:
arc cotí -i j > arc cot(sen4x + cos4x) > arc cot(l)
Como: cot (12772) = 1/2	=>	= arc cot
127no	n	F 7t. 127?r~|
=*	360	•	^-1.4 ' 360 ]
19	.- Efectuamos la división indicada de la variable del arc cot:
x2 l+x2-l	1
1 + x2 1 + x2 1 1 + x2
Por definición del cuadrado de un número real: x2
V re IR
Sumando «1» a cada miembro:
1
Tomando la inversa:
1 +r
Multiplicando por «-!»:
1
1 + r
Sumando «1» a cada miembro:
1
1 +x‘
Como la función arco cotangente es decreciente en el intervalo [0; 1) se tiene:
arc cot (1) < arc cot 11-----I < arc cot (qj
V 1 + x )
71	71	/TI 71
=>	4</(x)<-	Rí=\4'‘
20	.- Analizando cada sumando se tiene:
i)	El arc cos x está definida si x g [1; 1]
ii) El arc cot x está definida si x g R
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
.'‘•4 RACSO
UlDITOUI
=> No hay restricción para la variable de la función «/», por lo tanto de (i) y (ii) al
intersectar tendremos que el dominio de «f» es: Df = [-1; 1]
Para determinar el rango, debemos tener en cuenta que el arc cos x y arc cot x son funcio-
nes decrecientes en el intervalo I-i; 11- Veamos:
l)Si:-l<x<l
arc cos (-1) > arc cos x > arc cos (1)
ti >arc cos x > 0 ... (1)
2) Si: - 1 < x < 1
arc cot(-l) > arc cot x > arc cot (1)
ti-arc cot (1)> arc cotx> — =>
3tt	ti
— > arc cot x > — ... (2)
4	4
De (1) + (2) tendremos:
7n	ti
— > arc cos x + arc cot x > —
4 '	4
f(x)
Rf=
7t_?7t
4' 4
21.- Para las funciones arco tangente y arco cotangente (are tan x, arc cot x) no hay
restricciones lado que x G IR. Asimismo debemos recordar la identidad:
n	n
arc tan x + arc cot x =	=> arc cot x =	- arc tan x
Sustituyendo en la función dada:
f(x) = arc tan x 2 - are tan x
Efectuando la multiplicación indicada:
2 Tt	7t^	7t^
fíx) = - (are tan x) - % arc tan x + — - —
L	16	16 _
Completando cuadrados:
(71
are tan x - ~
I2 *2
+ —
I 16
Como:
x> 1
arc tan x > arc tan 1
Dado que EL arco tangente es creciente en (1 ; <=>):
Tt	(	Tt V	í	Tt V
arc tan x-~ > 0	=> tare tanx. -7	>0	=> -1 arc tanx- —	<0
4	I	4 1	l	4 1
*TT A 2	— 2	2	i	n'
71 I 71	71	„ _	/
are tan x - y I + — < —	R/= (-<»;
4 I 16	16	J \	16
f(x)
Funciones Trigonométricas Inversas
R18
549
22.- Debemos recordar la identidad: sen x + cos x = V2 sen x + — , x G IR
Si evaluamos el máximo y mínimo de esta relación encontraremos que:
- -Jl < sen x + cos x < -Jl .. (1)
A su vez, la función arco secante se encontrará definida si verifica que:
» sen x + cos x < -1 u sen x + cos x > 1	... (2)
De (1) y (2) al intersectar los intervalos tendremos:
- -J2 < sen x + cos x < - 1 vj 1 < sen x + cos x < -J2
Tener en cuenta que en [- Jl ; - 1] el arco secante es creciente, por otro lado en [1; J2 ] es
creciente. Luego:
are sec(- -Jz ) < are sec (sen x + cos x) < are sec (- 1) u
are sec(l) < are sec (sen x + cos x) < are sec (-Jz )
3n	Tt
y n o </(x) < -
Tt
23	.- Tener en cuenta que are sec x se encuentra definida si:
x G (-°°; -1 ]	[1; +°°)
Sea 6 = are sec x, también se debe cumplir:
Tt
0 = are sec x g 0; —
;7t ...(1)
Asimismo csc 6 se encuentra definida si:
0 * kn; keZ => 0*0;Tt; 2it
En (1) tenemos:
6g (0; -
la cosecante
decrece
la cosecante
crece
=> csc 0 g (1; +“) u (1; +°°)
Rf = (1 ; +°°)
•jiRACSO
WBDITOIEI
5501 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
DOMINIO Y RANGO DE LAS F.T. INVERSAS
24	.- Recordemos que: - — < arc sen x < ~ <=> re [-1; 1]
2x-3
a) Analizando la variable del arc sen dado, debe cumplirse que: -1 < —z— < 1
Multiplicando po	r 5:	-5<2x-3<5	
Sumando 3: Dividiendo entre 2:		-2 < 2x < 8 -l<x<4	Dom/= [-1; 4]
b) Reconocemos que:		71 ( < arc sen 1	~3^ 7t 5 J" 2
2 Multiplicando por —:		71 — arcsen	<2x-3'\ 7t k 5 J"3
71 Sumando “: 6 =>	0<	7t 2 . arcsen D á 2	(2x-3 A	7t “ .flrc sen	R + T 0	□ J o		V K ¡ <N VI ti | ^0 + cñ l m ü|<N <N	VI
f(x)
n
25	.- a) Para determinar el dominio analizamos la variable del arc sen: -1 < 3x - 2 < 1
Sumando 2:	1 < 3x < 3
1	F 1
Dividiendo entre 3:	~ <x<l	Dom/= — ;1
0	L 0
7t
7t
b) Para determinar el rango analizamos el arc sen dado: -~ < arc sen (3x - 2) < ~
2 7t
Multiplicado por —:	- ~
7t	7t
Sumando
4	12
2	7t
= — arc sen (3x - 2) < —
2	7t 7n
< ~ arc sen (3x - 2) + — < —
7t	71 7 71
12	'• Ran/= 12
Funciones Trigonométricas Inversas
26.- Tal como hicimos en los casos anteriores haremos los cálculos así:
2 + x
a)	Analizamos la variable del are coseno, el cual verifica:	-1 < —-— < 1
Multiplicando por 4:	-4 < 2 + x < 4
Restando 2:	-6 < x < 2	Dom f = [-6; 2]
( 2 + x^
b)	Construimos la función a partir del are cos, el cual verifica: 0 < are cos I I < n
1
Multiplicando por —:
3rt
Sumando —:
O
3n
8
1	¿+x	71
0 < , Jirc eos ,	< ~
4 V 4 ) 4
3n 3n 1	f 2 + x^ 5rt
T-T 4 arc cos[ 4 J-T
5ti	i 3it 5ti
<f(x)<—	Ran/= | —
27.- Tal como hicimos en el problema anterior, analizamos por partes. Veamos:
a) Recordemos que la variable del arc cot debe estar comprendido en el intervalo:
-oo < x- 1 < >*>	=> -oo < x < + “	.'. Dom/=K
b) Reconstruimos la función a partir de: 0 < arc cot(x - 1) < n
Tt	Tt	Tt	5n
Restando ~:	-~	< arc cot(x- 1) -	—	<	—
6	6	6	6
I	Tt I 5n
Tomando valor absoluto: 0 < Iarc cot(x - 1) - I <~
5rt
Ran/= 0; ~
L 6
28.- Es importante recordar que:
arc sen(-x) = -arc sen (x) a arc csc (-x) = -arc csc (x)
arc cos (-x) = Tt - arc cos (x) a arc sec (-x) = Tt - arc sec(x)
Sustituyendo convenientemente en la función dada, está queda así:
f(x) = -arc sen(x) + Tt - arc cos(x) - arc csc (x) + Tt - arc sec (x)
R18
552
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
<á<RACSO
f (x) = -[are sen x + arc cos x] - [arc sec x + arc csc x] + 2tt ... (*)
Si:	x G [-1; 1] y si: x G (-«>; -1] U [1; + ~)
a)	De (*) podemos afirmar que-
al) En el primer sumando: xg [-1; 1]
a2) En el segundo sumando: x G (-»; -1] vj [1; +•»)
Luego el intervalo común se obtiene intersectando los encontrados:
Df = {-1; 1}
b)	Si en (*) aplicamos las identidades correspondientes encontraremos que:
/(x) = -^ -	+271	=>	/(x) = 7t	=
29.- Analizando cada sumando se tiene:
i) El arc sen x está definido si: x G [-1; i]
ii) El arc sec x está definido si: x G (-“>; -1] vj [1; +~)
Por lo tanto de (i) y (ii) al intersectar obtenemos el dominio de la función:
Df = {-1; 1}
Para determinar el rango evaluamos para cada "x", del dominio, su respectivo valor f(x)
1) /(-l) = are sen (-1) + arc sec(-l) + 1	=>	f(-T) = - arc sen(l) + tt- arc sec(l) + 1
o
/(-l) = - ~ + Tt + 1	=>f(-l)=^+l
2) f (1) = are sen (1) + arc sec (1) + 1	=> /(l) = ~ + 1
o
Como los valores obtenidos son idénticos, concluimos que:
{Tt
2 +1J
Funciones Trigonométricas Inversas
30.- La fundón induye el arco cosecante, la cual está definida si se cumple que:
3xg
1
'”3
i
3
2
3

2
.3
Conociendo el dominio se determina el rango, de tal manera que
arc csc (3x) G
1
— arc csc (3x) G
1
~ arc csc (3x) + 7t G
f(x)
Rf =
7t
2
TI
8
7n
8 ;7t
TI
2
TI
8
9tt
n; 8
Rango = Rf
Jt, 8
Nota: Los despejes en (*) y (**) han sido directos, ¡verifícalos!
PROPIEDADES DE LAS F.T. INVERSAS
31.- Hagamos una evaluación de cada término:
a)
a = are sen
1	7t
sena= — => a= —
2	o
b)
P = arc tan (1)
7t
4
. . . (**)
8
c)
6 = arc cos (-1)	=> cos 0 = - 1 => 0 - n
Reemplazando en la expresión dada tendremos:
71	71
— 4--
6	4
M =-------
7t
5tt
7t
5
M=-
RACSO
Wediioiei
R18
554 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
32	.- Analicemos del siguiente modo:
a)	a = arc tan(--J3 ) > tan a = - -J3	>	a = -
b)	P = arc sen 1	=>	sen	P = 1	=>	P =
Luego:	M	= cos (a + P) => M = cos
M = cos
5/3
M =
2
33	.- Apliquemos la identidad aditiva especial con x = y, obteniéndose:
2 arc tan x = arc tan
2x
JL
Ahora evaluamos para x = 1/2:
A continuación reemplazamos en la expresión dada para «M»
í 4
M = tanl Tt + arc tan ~
= tan
4
arc tan —
Por propiedad: tan (are tan x) = x , si: x G IR .-.
34.- Nuestra estrategia consistirá en aplicar el criterio de reducción al primer cuadrante:
a)	sen 5 = sen (5 - 2it) ... ver Fig (1)
=> arc sen(sen 5) = arc sen(sen (5 - 2it)) = 5 - 2n G
b)	cos 6 = cos (2it - 6)	... ver Fig (2)
Tt Tt
=> arc cos (cos 6) = arc cos(cos(2Tt - 6)) = 2it - 6 e [0; Tt]
M = 5 - 2it + 2it - 6	M = -1
4
Funciones Trigonométricas Inversas
R18
555
36.- Elaboramos un análisis del arc tan para lo cual hacemos:
5
a = arc tan
12
A continuación evaluamos la expresión dada:
tana= ~
Usando identidades de la cotangente del ángulo mitad nos queda: M = csc a + cot a
En atención al Ex elaborando la expresión queda así:
13	12	25
M= — + —	=>	M=—	M = 5
3	3	3
37.- Sea:
6 = arc cos
cos 6 =	=> M = 3 cos 26
Pero:	cos 26 = 2 cos26 - 1	=> cos 26 = 2 j - 1
=> cos 26 = 2Í‘|j - 1 = ~	=> M = 3 (|) M = 1
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
<*RACSO
W1DITO1I1
38.- Sea: a = arc sen
cot  ~ arc tan [cos 2a]
Recordamos aquí que:
cos 2a = 1 - 2 sen2a = 1-2
M = cot
2 are tan
En este punto conviene hacer: 6 = arc tan
15
Reemplazando 6 en (1):
0
M = cot 2
M =
Aquí conviene recordar que: cot = csc 6 + cot 6
Del triángulo rectángulo:
0	17	15	32
cot 2 - g + g - g
M = 4
39.- Nuestra estrategia consistirá en expresar todos los términos de modo que se puede
identificar expresiones del tipo: F.T.(F.T.I. x) = x.
2
M = 1 - cos
arc eos
M = 2 - cos arc eos
2
+ 1 - sen
arc sen
sen arc sen
Recordando que: cos (are cos x) = x
sen (arc sen x) = x « xg [-1; 1]
Entonces:
M = 2-
7	1
= 2' 8 " 8
M = 1
Funciones Trigonométricas Inversas
40.- Analizamos la expresión en base a los términos de la fracción. Veamos del numerador:
a = arc eos
V2
cosa = —¡=
V3
A partir de esta razón construimos un triángulo rectángulo:
tan a = —j=
V2
1
Es conveniente aquí, calcular el valor de tan 2a, para lo cual recordemos la identidad del
ángulo doble:	2
„	2 tana tan 2a —	, 1-tan a	Jl	4 >	tan 2a -	n => tan 2a - /— 1-1 2 >	tan 2a = 2 -J2	=>	2a = arc tan(2 -J2 ) a	1
Reemplazando:	M=—	.-.	M=~ 2a	2
41.- Procediendo como en el problema anterior, hacemos:
6 = arc tan( J5 ) =>
tan 6 = -J5
Construyendo un triángulo rectángulo:
M = sen[2 arc tan (cos 26) ]
Recordando la identidad del ángulo doble se tendrá que:
cos 26 = cos26 - sen26 => cos 26 =
15	2
cos26=7-7 => cos26 = -<
O O	o
Reemplazando en la expresión para «M», tendremos:
= sen -2 arc tan j
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
4» RACSO
a = arc tan ’g => tan <* = 3
Construyendo un triángulo rectángulo
M = sen(2a) = -2 sen cccos a
A continuación reemplazamos valores según el Ex construido
Ahora sea:
12
13
42.- Nuestra estrategia consistirá en analizar cada sumando. Veamos:
a) Sea:
12	12
a = arc tan~ => tana= ~
Construyendo un triángulo rectángulo: Ver Fig. (1)
„	8	r, 8
b) También sea: p = arc cot ~ => cot p = ~
Construyendo un triángulo rectángulo Ver Fig. (2)
Fig- (1)
Fig- (2)
M = -
Utilizando estos triángulos se puede reemplazar en «M»:
Luego:	M = 13 sen a + 17 cos P => M = 13^-j^j + 17^-^j	.-. M = 20
43.- A partir de la identidad aditiva, se verifica que:
1	1	Tt
arc sen ~ + arc cos ~	~
Reemplazando en la expresión dada se tendrá:
Por ángulos complementarios:
1
Aquí conviene hacer:	6 = arc tan ~
fu 1
M = cosí ~ - arc tan ~
M = sen(orctan-|)
1
tan 0 = ~
Funciones Trigonométricas Inversas
Construyendo un triángulo rectángulo:
Racionalizando:
M = sen 6 =
44.- Sean:
1	1
a = arc cos ~ => cos a = ~	. (1)
1	1
P = arc sen— => sen0= — ---(2)
De (1) y (2) podemos deducir que:	a + 0 = — ... (cos a = sen 0)
4	4 _	4	4
Luego:	M = cos a - sen p => M = cos a - cos a .-. M = 0
45.- Evaluemos cada término de la expresión:
(Va)	J3 n
—— => sena= —— => a= ~
7
P = arc tan 1		=> tan 0 = 1	=> P = ~
		1	Tt
6 = arc sen	k2 J	=> sen 6 - —	=> 6 = ~ 2	O
		
		Jl	Tt
8 = arc cos	2	=> cos8=— => 8=-
	<	j	z.	**
Reemplazando estos valores en la expresión dada para «M», tendremos:
if TtA Tt
—I — H—
4(3) 4
líir'! ñ
—I — H-----
2l 6 I 4
4ti
4it
12
M =
M = 1
RACSO
^.orro.n
R18
560
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
46.- Como en el ejercicio anterior, conviene analizar cada término. Veamos:
V2
a = arc sen-—
2
1
6 = arc cos ~
Luego: M =
. 2Í 71 1
4cos —
l3 )
' 2——
M= V
47.- Recordar, arc tan(-x) = - arc tan(x), x G R
Asimismo al racionalizar se tiene:
= 3 + 2-j2
W=arc tan(3 + 2^2) + arc tan
M
Reconocemos que la expresión se puede transformar por medio de la identidad aditiva
especial, por lo que aplicamos la condición:
Si: M.N <0 => k = 0
Luego (*) queda así: W = arc tan
W = arc tan
3+^
2
3+—^—
2
= arc tan (1)
71
Funciones Trigonométricas Inversas
48	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada de modo que las
funciones arc sen y arc cos quedan vinculadas por una adición lo cual se logrará apli-
cando las propiedades de proporciones:
arc sen x	a
Usando proporciones:	------------------ =----r
arc sen x + arc cos x a+b
n
Como.	arc sen x + arc cos x = ~ , Vx e [-1; 1]
arc sen x	a
=>	----—--- = ~ ~	.-. arc sen x = -=7-—rr
n	a+b	2la • b)
2
49	.- Transformamos la expresión dada factorizando en el denominador:
,, tan(flrcsenx+crccosx+crcsenx)
tan(2(«rc sen x+arc cosx)+arc cosx)
tan^+arc senx
M tan(7t+arc cosx)
71/2
Usando el criterio de reducción al primer cuadrante en cada término de la fracción,
tendremos:
cot(«rc sen x)
tan(«rc cos x)
Pero: tan( arc cos x) = cot (arc sen x) ya que: arc sen x + arc cos x = —	M = 1
50	.- Haciendo uso de la definición de F.T.L , transformamos la expresión dada:
a = arc tan x => tan a = x 0 = arc tan y => tan 0 = y 6 = arc tan z => tan 6 = z
Si	: a + 0 + O = 7t => tan a + tan 0 + tan 0 = tan cutan 0.tan 0
Aplicando la identidad condicional: x + y + z = xyz
Luego:
xyz+2xyz
M.= ---------
xyz
M=^
xyz
M = 3
51.- Nuestra estrategia consistirá en expresar la relación dada en base a una nueva
variable N. A continuación procedemos a reducir la variable N en base a las identidades
trigonométricas. Veamos.
Sea:
1 - sen2x - cos2x
1 -sen2x + cos2x
RACSO
IDITOIia
R18
562
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
2
Usando: 1 - cos 2x = 2 sen x
2
1 + cos 2x = 2 cos x a sen 2x = 2 sen x . cos x
Sustituyendo en (*) se tendrá:
N = 2sen2 x-2s<?nx.cosx	N = ^senx^n^psx)
2cos2 x-2senx.cosx	-2cosx^errx-<Qgx)
Simplificando: N = -tan x , sen x cos x
Luego:	M = arc tan(-tan x) = -arc tan (tan x)
/ 71 7t\
Pero:	arc tan(tan x) = x <=> xg	M = -x
i
52.- Analizamos la expresión dada a partir del radicando del segundo radical, el cual
estará correctamente definido, si se verifica que:
71
arcsenx - — >0 =>
flrc senx > — (no puede ser)
71	71
v	=> are sen x=—=$ x = sen— =1
71
Ore senx = —(si puede ser)
Sustituimos estos resultados en la expresión original, obteniendo:
M= ,|7t2 -27t«rccosl + .f———
V	V2 2
' 6 ‘ ' o
M= Vrt2 =7t
53	.- En base a la resolución del problema anterior podemos afirmar que:
71
arc sen x = — a x = 1
Al reemplazar estos valores en la expresión dada para «M», tendremos:
M =
n2.27t.«r<cosl +	~
________________<2 2
«rctanl + arcsenO
77C2-27t(0)+0	X
v+o	x
M = 4
Funciones Trigonométricas Inversas
54	.- Analizamos la expresión dada a partir de sus términos. Así con el primer término
hacemos:
1
a = «re cos ~
cos a = —
4>5
Asimismo, de este triángulo rectángulo reconocemos que:
4V3
sena= -y-
a = arc sen
Sustituyendo esta expresión en la relación dada «6», esta queda así:
6 = arc sen
+ arc cos
A- *
O- 2
55	.- Dado que: 2-3 < 1» aplicaremos la identidad aditiva especial:
Así tendremos que:
arc tan a + arc tan b = arc tan
a+b
1-ab
ab < 1
1
arc tan y + arc tan y = arc tan
2 3
1-11
2’3j
1 1
=> arc tan y + arc tan y = arc tan(l)
Reemplazando en la expresión original tendremos:
1
3
Luego:
x = arc tan 1 + arc tan 1
=> x = 2 are tan 1,
71/4
71
2
n
sen x = seny
sen x = 1
56	.- Esta serie la resolveremos a partir del análisis de su término general, el cual nos
permitirá poner en evidencia la relación que guardan entre si cada uno de los términos
de la serie. Veamos:
arc tan
= arc tan
(n+l)-n
l+(n+l)n
= arc tan (n + 1) - arc tan n
1
,2 . .
Ahora evaluamos está expresión del siguiente modo:
Si: n = 1
1
3
1 _____
Si: n = 2 => «retan y = art
'ARACSO
P BDITO1BI
R18
5641 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
arc tan
Si: n = 3
1
2
n +n+l
= arc tan(n + 1) - arc tan n
Al sumar miembro a miembro todos estos términos, sé obtiene:
M = arc tan (n + 1) - arc tan 1
Aplicando la propiedad aditiva especial, nos queda:
M = arc tan
n+1-1
l + (n + l).l
í n
M = arc tan --------~
l n + 2
57.- Agrupando convenientemente los términos de la variable angular de la cot en cada
término de la fracción, podemos factorizar asé
cot(2(«rcsenx + arc cos x) + arc cos x)
cot( 4(«rcsenx+arc cos x) - arc cos x)
Recordando que: arc sen x + arc cos x = — , si x 6 [-1; 1]
cot(2| — + arc cosx)
W l 2 J________________	w	cot(n+arccosx)
- cot(4^j-«rccosx)	«*(27!-«recosx)
Haciendo un cambio de variable: 6 = arc cos x
cinc
cot(7t + e)
cot(2rt-e)
Tívc^
cote
-cote
w = -i
W =
58.- Resulta conveniente expresar la variable de la sec en términos del arc tan, para lo
cual es necesario recordar que:
arc cot(x) = arc tan — I, si x G (0; +°°) => arc tan (-x) = -arc tan(x) ,x e R
Aplicando estas propiedades en la expresión original, se tendrá:
Funciones Trigonométricas Inversas
R18
565
2	1
arc tan — - arc tan"^
VV = sec2
VV = sec
2	i
arc tan~ + arc tan|
_______________
1_
3
2
En esta suma de arc tan observamos que- MN =	< 1
=> k = 0
Luego aplicando la identidad aditiva especial, se tendrá:
VV = sec2
are tan
3 l
1-^f-l
3l 3
VV = sec2
are tai
3
11
2
1
3
Aquí, es conveniente transformar esta expresión en términos de la tangente, para lo cual
es necesario recordar la identidad: 1 + tan2e = sec2O
VV = 1 + tan2
3
arc tan~
3
11
12
9
VV= 1 + —
121
130
M = —~
121
59	.- Nuestra estrategia para la reducción de términos lo logramos haciendo un cambio
de variable, el cual consistirá en sustituir «x» por una F.T. En este caso conviene hacer:
x = sen a
2	2	2	2
VV = arc cos (1-8 sen a(l- sen a)) => VV = arc cos (1-8 sen a cos a)
2	2
VV = arc cos(l - 2(2 sen a cos a) )	=> VV = arc cos(l - 2. sen 2a)
VV=4a
Pero: 0<4a<it
sen a = x
Tt
4
a = arc sen x
V2	V2
Como a g IC, el sen 6 es creciente, entonces: sen(O) < sen a <	=> 0 < x <	... (2)
V2
De (1) y (2) al intersectar los resultados obtenidos para «x», se obtiene: 0 < x < -y
W = 4 arc sen x, si x G

RACSO
Pbditobbi
R18
j566| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
60	.- Nuestro proceso de transformación consistirá en aplicar lo que hicimos en el ejerci-
cio anterior. Empecemos haciendo:
0 = arc cos x => cos 0 = x => W = 20 => cos W = cos 20
2	2
Recordando la identidad del arco doble: cos W = 2 cos 0-1 => cos W = 2x -1
2
Despejando:	W= arc cos(2x -1)
Tt
Pero por definición de cos 20 se debe cumplir que: 0 < 20 < n =>	0 < 0 < ~
Como 0 g IC, la función coseno es decreciente, por lo cual se verifica que:
cos(O)>cos(0) > cos^^ => 1>cos0>O
=>	0 < x < 1	W = arc cos(2x2 - 1) , si x G [0; 1]
61	.- Como se hizo en los ejercicios anteriores, haremos un cambio de variable para luego
emplear los recuerdos de las identidades trigonométricas del ángulo triple. Expresemos así
0 = arc tan x => tan 0 = x =>
W = 30 => tan W = tan 30
Recordando la identidad del arco triple:
tan W -
3 tan 0-tan3 0
l-3tan20
tan W -
3x—x3
l-3x2
De donde se tiene que:
W = are tan
3x-x3
l-3x2
Pero por definición de tan 30 se debe cumplir que:
Tt
2
Tt
2
Tt
í TtA	f Tt
=> tan —— < tan 0 < tan ~
bj	^6
6
6
W = arc tan
( 3x-x3)
I1"3*2 J
62	.- Aplicando la identidad correspondiente a la cot del ángulo doble se tendrá que:
cot 2 - tan 2 = 2cot 4
2
cot2-tan2 Xcot4
X
Funciones Trigonométricas Inversas
Ahora, hacemos la sustitución de este resultado en la expresión original, obteniéndose que:
a = arc cot(cot 4)
Como 4 G IIIC, se tendrá que:
a = arc cot [cot(7t + (4 - 7t))] => a = arc cot [cot (4 -ti)]	.-. a = 4 - n
63	.- Nuestro problema consistirá en aplicar adecuadamente las siguientes propiedades:
arc csc (csc x) = x, si x g
arc sec (sec x) = x, si x g
7t \	/	71
; 0) o ( 0; —
71 \	/ 71
Asimismo reconocemos que 8 g IIC, por lo cual, al reducir al primer cuadrante, se tendrá:
csc 8 = csc[3tc - (3ti - 8)] => csc 8 = csc (3tt - 8)
6 = are csc[ csc (3ti - 8)] - arc sec (sec 2) => 0 = 3tc - 8 - 2	6 = 3ti - 10
64	.- Procediendo como se hizo en problema anterior, se tendrá:
arc cot (cot x) = x , si x G (0; 7t)
arc sec (sec x) = x, si x g
ti
2;It
Desde que: 4 G IIIC, tendremos que:
cot 4 = cot[7t + (4 - te)]
=> cot 4 = cot (4 - ti) ... (1)
Al analizar el otro término, debemos reconocer que: 6 G IV C, por lo cual:
sec 6 = sec[2jt - (2ti - 6)] => sec 6 = sec (2ti - 6) . .. (2)
Sustituyendo (1) y (2) en la expresión original se tendrá:
P = arc cot[cot (4 - ti)] + arc sec[sec(27t- 6)]	=> P = 4 - ti + 2ti - 6	.-. P = 7t - 2
65.- Nuestra estrategia consistirá en aplicar adecuadamente las siguientes propiedades:
arc cot (-x) = n - arc cot(x)
arc sec (-x) = n - arc sec (x)
, XG R
, x G <-oo ; -1] u [1; +°o)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOKBI
arc csc (-x) = Tt - arc sen — I , x G ; -1] o [1; +“)
k* )
Luego, en la expresión original se tendrá:
1	r-	<1A
W = ti - are cot(l) + — [rt - arc sec(V2)] + 3. arc senl — I
Recordando que: arc cot (1) = ti/4 ; arc sec (V2 ) = Tt/4 a arc sen (1 /2) = Tt/6, se tendrá:
3
w=-
71
71-----
4
Tt
2
3
w=-.
3ti Tt
T + 2
9ti Tt
T + ~2
13n
w= —
66.- Para este ejercicio resulta conveniente recordar las siguientes propiedades:
arc tan (-x) = - arc tan(x), x g R
arc sen (-x) = - arc sen (x), x g [-1; 1]
arc sec (-x) = rt - arc sec(x), x g ; -1] u [1; +°°)
Aplicando estas propiedades tendremos:
- (	7}	(	5 } r
co = 5 cos I -arc tan~ I + c°t I ~ arc sen I + v6 . sen(Tt - arc sec 5)
Para continuar nuestro proceso de reducción vemos que es necesario expresar los arcos
negativos en positivos, luego aplicando las propiedades correspondientes nos queda:
I ' I I 3 I r~
co = 5 cos I arc tan — I - cot I arc sen — I + V6. sen(nrc sec 5)
a	' p	e
Cada uno de los arcos indicados nos permiten establecer los siguientes esquemas:
Haciendo los cambios de variable, nos queda: co = 5 cos a - cot 0 + v6 sen 6
Sustituyendo los valores correspondientes, según los triángulos mostrados, nos queda:
co =
12 f- 2^6
— + V6 . ---
5	5
24	12	12	24
5 ’ 5 + 5	"	“= 5
Funciones Trigonométricas Inversas
67.- Nos proponemos hacer los siguientes cambios de variables:
a - arc tan 5	> tan a = 5
P = arc cot 5	> cot P = 5
71	371
=> tan ct - cot P > ct + P = — => 3a = — - 3P
De lo cual podemos establecemos que:
( 3n
tan 3a = tan I — - 3P
> tan 3a = cot 3P .. (1)
Al reemplazar en 6 los cambios de variable propuesto se tiene:
6 = tan 3a - cot 3P	... (2)
Reemplazar (1) en (2):	6 = cot 3P - cot 3P = 0	6 = 0
68.- Nuestra estrategia consistirá en evaluar la secante y sus potencias, por separado,
obteniéndose:
71
sec ~ = sec 15° = 76-72
sec2~ = (7ó - 72 )2 = 8 - 2-712 = 8-473
sec4~~ = ^sec2~^ = (8 - 473 )2 = 112 - 6473
Reemplazando en la expresión dada, tendremos:
a = arc secpll2 -6473 -16(8 -473)+20 )
-> a = arc sec ^J112 -£47^-128 + £4'73 + 20
71
a = arc sec(2) = —
71	71 \	/ 71	\
Nota: ~ 6 rango del arco secante = 0; ~ ) cj
69.- Agrupamos los dos primeros términos de la expresión dada para aplicar en ellos la
identidad aditiva especial de arc tan:
R18
570
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOKll
1
7
W = arc cotí —
+ arc tan
+ arc tan
13
(*)
En donde reconocemos que:
M=3,N=-
MN = — <1
Sustituyendo en la relación: arc tan M + arc
. XT _ ÍM + N
tanN~ (1-MN
W = arc tan
1--.-
3 7
+ arc tan
13
W = arc tan
+ arc tan
1
13
3 7
2
En esta expresión volvemos a aplicar la misma identidad, porque: MN < 1, luego se tendrá:
W = arc tan
2___13
1 1
W = arc tan
3
5
2 13
70.- Nos proponemos un cambio de variable para luego construir un triángulo y extraer
de el los datos que nos permitan hacer transformaciones pertinentes. Veamos:
a)
a = arc sec
17
Vi 7
sec a = ——
4
b)
P =arc tanl
8
tanP=Ii
17
15
17 '
4
4
a
Reemplazando estos cambios de variable en la expresión original se tendrá: M = "p
Pero:
2
eos 2a = 2 cos a - 1	> cos 2a = 2
x2
4 1
17
15
17
Y de (*) se establece que: cos 2a = cos P
2a=P
a
Finalmente reemplazamos (**) en la expresión M: M =
1
M=-
Funciones Trigonométricas Inversas
R18
571
SITUACIONES GRAFICAS
71	.- Recordemos: 0 < arc cos x <it <=> -1 < x < 1
Por definición de arcos, sabemos que esta tiene su dominio en [-1; 1]; y su rango [0; ti]
luego en nuestro problema se deberá verificar que:
a)	-1 < — < 1 => multiplicando por 2: - 2 <
x
b)	0<flrccos 2 ~n
x
Multiplicando por 4: 0 < 4 arc cos — < 4ti
Tt	n	x	ti	15ti
Restando ~: - — < 4 arc cos ~~ < ——
4	4	2	4	4
Graficando:
72	.- a) Sabemos que el gráfico de: y = arc tan x es como la Fig. (1).
Tt
b) El gráfico de: y = arc tan x + — es como la Fig. (2).
73.- Empezaremos nuestra resolución analizando el dominio de la variable del arc sen. Veamos:
f (x) = - 3 arc sen

Multiplicado por 3:	-3 < x + 1 < 3
Restando 1:
-4 < x < 2 =>	Dom /= [-4; 2]
R18
572
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOtll
Asimismo, el rango de la función arc sen está en el intervalo
[Tt. Tt]
2'2j
Luego:
Tt
< are sen
Multiplicando por (-3):
3n
< -3 arc sen
3ti
~ 2
Ran /=
3ti 3ti
T'T
En el gráfico dado, se puede reconocer que éste se ubica entre los límites del dominio y
del rango. Asimismo, se visualiza una función simétrica respecto del eje «x» y del eje
«y», luego:
74	.- Lo conveniente es despejar la inecuación dada, obteniéndose:
arc tan (x) < arc cot(x) ...(*)
Resolviendo el problema con las gráficas de dichas funciones inversas tenemos:
Funciones Trigonométricas Inversas
R18
573
Observamos que la desigualdad dada se verifica desde el punto de intersección de las
gráficas hacia la izquierda. Luego calculamos el punto de intersección entre dichas
gráficas:
arc tan x = arc cot x - 0 => x = tan 0 = cot 0
71	7t
0 = ~	> x = tan , = 1
4	4
Por lo tanto para que se cumpla la condición (*), del gráfico se observa que: x G (-»; 1)
75	.- Despejando se tiene:	arc sec (x) > arc csc(x) ...(*)
Resolviendo el problema con las gráficas de dichas funciones inversas tenemos:
Calculando el punto de intersección entre dichas gráficas:
71	71	r-
arc sec x = arc csc x = 0	> x = sec 0 = csc 0	>	0 = — => x = sec . = -J2
4	4
Por lo tanto para que se cumpla la condición (*), del gráfico se observa que:
x G (-« ; -1] vi [72 ; +“)
76	.- Se debe tener en cuenta que: 2x g Dominio arco secante
1 1
-> 2x<-lv2x>l x<--vx<- ...(1)
A su vez el rango de la función arco secante debe encontrarse, según los datos en el
intervalo [tt/4 ; ti/2]:
71	71
— < are sec (2x) < -	> es creciente >
72 < 2x < + o° ->
V2
< x < + oo... (2)
Asimismo se debe verificar, por definición, que el rango del arc sec es:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
V^BOITOKBI
71
— < are sec(2x) < n
- - - (3)
2
De (2) y (3) concluimos que:
J2
2
- - - (4)
. 2
Finalmente de al intersectar (1) y (4) se tiene que:
2
V2
. 2
77.- Por definición, el arc sen tiene dominio tal que:
-1-C
B
1-C
B
De acuerdo con el gráfico se puede establecer que:
-1-C	3
a)	.—§—=-4 => 3B-4C = 4...(1)
1-C	1
b)	— - ~	> B + 2C = 2 ...(2)
t> Z
8	1
De(l)A(2):	B=~ a C=~
J	3
Asimismo, el rango del are sen está comprendido en el siguiente intervalo:
71	71
-— < are sen (Bx + C) < ~
Al multiplicar por «A» y sumar por «D», se tendrá que:
Att	Ati
=>	-~y + D < A. arc sen(Bx + C) + D <	+ D
Comparando los valores extremos de esta desigualdad con los límites del gráfico en el
eje «y», se establece que:
Ati 3ti
c)	Límite inferior:	+ D =	. (3)
Alt	Tt
d)	Límite superior:	+ D = —	.. .(4)
Z	o
7	5n
De(3)y(4): A= - a D = -~
Funciones Trigonométricas Inversas
R18
575
78.- Analizando el dominio de la función, según la definición del arc cos, se puede
establecer que:
-1-C	1-C
-1<Bx + C<1 —-— <x< — ~
D	D
Y evaluando los límites de la función en la gráfica, con los extremos de ésta desigual-
dad, se puede concluir que:
1-C
—— =3	=>	1 - C = 3B ... (1)
D
-1-C
—g—=-l	=>	-1 - C = - B ... (2)
De(l)y(2):	B=|,C = -|
Asimismo, por definición, el rango de la función arc cos está en el intervalo:
0 < arc cos (Bx + C) < n => D < A arc cos (Bx + C) < An + D
Y de acuerdo con el gráfico, estos extremos deben verificar las siguientes relaciones:
5n
D = -T ..(3)
Ati + D=~	..(4)
3 3 571
De(3)en (4): A = -	.-. y = -. árceos I 2 2 I " T
79.- Si la gráfica de / intersecta al eje x, entonces: y =f(x) = 0
TT	71
Es decir: 2 arc sen(2x - 1) + — = 0	=> arc sen(2x - 1) = - —
3	o
1 1
=>	2x-l=-~	x=-
El punto será: (4'®)
íAracso
P«DITOtB«
R18
576
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
MISCELÁNEA
80.- Nuestra estrategia consistirá en reconstruir la variable del arc tan, para lo cual
partiremos del siguiente supuesto válido para el cuadrado de todo real. Veamos:
Como: (x-1)2>0 , V re R
-> x2 + 1 - 2x > 0	-> x2 + 1 > 2x
‘ 2x
->	---<1	, V xg R
X +1
Como la función y = arc tan x es creciente VxgR , podemos establecer que:
( 2x 'l	n	71
> arc tan —*--- < arc tan > f(x)<—	f- = —
I x+1 J	J 4	•,max 4
81.- Nuestra resolución la iniciamos planteando las siguientes restricciones:
71
1) tan x 3 sí x * (2m +1) —	,ffle Z
2) cotx3 síx*mt	,ne Z
Puesto que ambas funciones forman parte de una misma expresión es conveniente ela-
borar un dominio común de ambas, con la cual se obtiene:
kn
x* — , leZ
1
Asimismo conviene recordar que: a + — > 2, sí a G R
Pues bien de la expresión dada podemos reconocer que:
2	2	2	1
tan x + cot x - 1 = tan x +--~--1
> tan x
>2
2	2	2
tan x * 0	=> tan x > 0 .-. tan x + cot x - 1 > 1
Para esta condición podemos afirmar que la función arco cotangente es decreciente y
por lo tanto:
2	2
are cotftan x + cot x -1)	< arc cot(l)
Funciones Trigonométricas Inversas
Y como el arco cotangente está definido en (0 ; n), entonces la función dada queda
definida en:
0 <fto < j
n
^)]míx= 7
82.- Esta ecuación la resolvemos transformando la expresión con la condición de obte-
ner otra con F.T.I. complementarias para luego pasar a la F.T. y aplicar las identidades
correspondientes. Veamos:
arc cos(-J3 x) = — - arc cos x => arc cos (V3x) = arc sen x = 6
sen 0 = x .. .(1)
cos 0 = i/3 x ... (2)
Haciendo (l)2 + (2)2:	sen20 + cos20 = x2 + 3x2	=>	4x2 = 1 => x2 = —
1
1 1
De esta ecuación obtenemos: x = — v x = - — (No cumple la igualdad dada)
1
83.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada en base a la defini-
ción de la F.T.I.
Si: arc tan {cot [are sen-J2xj} = — =±> cot[arc sen -J2x ] = tan —
Recordando que: cot a = tan P <=> a + P =	> arc sen -J2x +
i—	71	i—	71	i—	i/3
> arc sen -J2x = ~	> -J2x = sen "	> V2x =
3	3
Elevando al cuadrado a ambos miembros: 2x = —	.'. x = ~
84.- Para aplicar propiedad para la suma de arcos tangentes, agrupamos los dos primeros
términos, en los que se verifica que: M.N. = 1 /6 < 1, luego: k = 0. Por ello se plantea que:
R18
578
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITO1EI
arc tan 2 + arc tan 3 = arc tan
M	N
t_________t
=> arc tan 2 + arc tan = are tan (1)
1	.	1	71.
=> arc tan 2 + arc tan 3 = 4
Reemplazando en la expresión original, ésta se ve reducida:
71
are tan x + — = arc sen x + arc cos x
4
En donde el segundo miembro equivale a n/2 siempre que x 6 [-1; 1]. Luego la expresión
dada queda así:
71
are tan x = —
4
71
x = tan ~
4
1=1
85.- Resolver la ecuación nos plantea las siguientes restricciones:
1) Del radicando del primer miembro:
x—2
x+1
>0
íwwwo---------
-co -i	2	+00
(+) 	(-) : (+)
> x 6	; -1 ) u [2; +“)
2) Del radicando del segundo miembro: ~ > 0	=> x 6 [0; +°°)
Puesto que (x) es un variable común a ambas expresiones, procedemos a intersectar
ambos intervalos obteniéndose: x 6 [2 ; +«=)
a = arc sec
- -  (2)
- -  (3)
Sabiendo que:
2	2
1 + tan ct = sec a
Sustituimos las relaciones (1) y (2) en (3):
x+l+x-2 = *
x + 1	2
Funciones Trigonométricas Inversas
7
4x - 2 = x+ x
x2-3x+ 2 = 0
> (x-2)(x-l) = 6
De lo cual se obtiene: x = 1 (absurdo, según restricción) .-. x = 2
86	.- Este tipo de problema, en el que participan dos variables en una misma ecuación, se
resuelven a partir del análisis del recorrido de uno de ellos y desde ésta, se reconstruye
la otra. Veamos:
Recordamos que si: f(x) = arc cos (x)
> Dominio —> x G l-i; i]
=> Rango -+ y = arc cos (x) g [0; 7t]
0 < arc cos(x) < ti => 6 < ti . csc (y) < ti => 6 < csc (y) < 1
=> 6 < csc y < 1 cj csc y = 1
(:)
Reconocemos que (*) es absurdo, dado que: csc y < -1 vj csc y > 1 .’. csc y = 1
=> y - (4k + 1)— ;ke Z
Asimismo: arc cos(x) = ti => x = cos ti .’. x = -1
87	.- Nuestra estrategia consistirá en reducir el valor numérico del primer miembro de la
ecuación de este modo:
arc cos 5 + 2 arc cot 2 = arc csc x ... (1)
a	e
A partir de esta propuesta construimos los siguientes triángulos:
Asimismo, recordamos que:	arc csc x = arc sen ~	__(2)
Luego reemplazamos (2) en (1):	a + 26 = arc sen~ =>	sen (a + 26 ) = ~
Aplicando la identidad del seno de una suma de arcos, se tendrá:
= sen a cos 26 + cos a. sen 26  (3)
R18
580
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WlDITOtlI
Ahora, calculamos:
sen 26 = 2sen 6 cos 6 = 2^^ x
2	4
a/5	5
Asimismo se tendrá: cos 26 = g
r, i	1	4	3	3 4	1	25
Reemplazando en (3): -^ = 5  5 + 5  5	=> I = 24
25
24
x =
88	.- De la propiedad referida a la F.T.I. y su var able tendremos:
(n A ( n A
cot x . cot I — - x I . cotí y + x I = cot 3x
Por definición arc cot, su dominio es tal que: arc cot[cot 3x] = 3x , si:
/ n \
3xg (6; ti)	xg(O;~)
89	.- Por la propiedad de las F.T.I. y su variable verifica que:
71
cos(arc tan[cot(«re sec(csc x))]) = sen“
.,	b
1
cos(«re tan[cot(«re sec(csc x))]) = ~
n/3
n/3
71
are tan [cot(«re sec(csc x))] = —
71 r-
cot(«re sec(csc x)) = tan~ = v3
tt/6
71
are sec (csc x) = —
b
csc x = sec
71
6
71
3
Sustituyendo este valor en la expresión dada para «W», tendremos:
arc sen^cos^+cos^j
W =
W =
arc
«res
.	(	i1371
«retan cot-------
।	3
P
«resen(6) 0
W = 0
Funciones Trigonométricas Inversas
R18
581
90	.- Nuestra estrategia consistirá en analizar cada miembro de la desigualdad y a con-
tinuación elaborar los gráficos correspondientes de modo que sea posible identificar el
intervalo de valores de «x» en el que la desigualdad se verifica. Veamos:
a)	Sea: /(x) = arc csc | x |
i)	Si: x > 0 => /(x) = arc csc (x)
ii)	Si: x<0=> /(x) = arc csc(-x) = -arc csc(x)
b)	Sea: g(x) = arc sec | x |
i) Si: x > 0 => g(x) = arc sec(x)
ii) Si: x < 0 => g(x) = arc sec(-x) = n-arc sec(x)
Analicemos el problema con las gráficas de / (x) y g(x).
Aprovechando que las gráficas son simétricas respecto del eje «Y».
/(x)>g(x) ...(1)
Calculamos el punto de intersección entre dichas gráficas. Veamos:
arc sec x = arc csc x = 6	=>	x = sec	6	= csc 6
71	n	f-
=>	6=	~	=>	sec "T	=	V2
4	4
Por lo tanto para que se cumpla la condición de desigualdad dada, del gráfico se obser-
va que:
x G {—Jl ; -1] u[l; -Jí}
Aracso
 rDirotii
R18
582
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
91.- De acuerdo con la teoría se sabe que:	y = arc tan x es creciente en [-1; 1]
=> arc tan (-1) < arc tan x < arc tan 1
Tt ~4	Tt 4
Multiplicando cada miembro por 3:	3ti	3ti - — < 3 arc tan x < — 4	4
71 Restando ~ a cada miembro: 4	ti n -ti < 3 arc tan x - — < ~ y
	Tt Finíx- 2
71
92.- Recordemos la identidad aditiva: arc cot x = — - arc tan x, V x e R
Reemplazando en la inecuación dada, se tendrá-
f ti	3n	ti
2 arc tan x + — - arc tan x < —	=> arc tan x < —
I 2	I 4	4
A continuación elaboramos la gráfica de esta relación y obtenemos:
Funciones Trigonométricas Inversas
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
01.- En este problema la única restricción lo tiene la tangente, pues como se sabe:
71
tan x H, si x + (2n + 1)—, n G Z
Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada en términos del seno
para a partir de ella obtener una ecuación de segundo grado. Para ello debemos recordar
que la siguiente identidad del arco doble:
2
2sen a = 1 - cos 2a
Sustituyendo en la ecuación original, se tendrá:
2 ^2 sen1 2	jj + 3 tan x = 2	=>	2(1 - cos x) + 3 tan x = 2
degradando o
3serrt	2
------ = 2 cos x =>	3 sen x - 2cos x
cosx
Expresando en términos de senos, se tiene: 3 sen x = 2(1 - sen2x)
2 sen x + 3 sen x - 2 = 0 => (2 sen x - l)(sen x + 2) = 0
Igualando a cero cada factor se establece que:
a)	sen x + 2 = 0	> sen x = -2 , absurdo pues: - 1 < sen x < 1
1
b)	2 sen x - 1 = 0 => sen x = —
1	ti	k 71
EL valor principal 6 = arc sen — => 6 = ~	x = kn + (-1) . — , k e Z
"	z	" O	o
02.- En esta ecuación tenemos una restricción por parte de la tangente:
tanx =>x*(2k + l)— ,keZ
Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada en términos de la tan-
gente, para así formar una ecuación de segundo grado. Esto se obtendrá apelando a la
siguiente identidad:
R19
584
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
’ a RACSO
 itflTOIl
1 — tan2 x
cos 2x = -------j—
1 + tan x
Reemplazando en la ecuación trigonométrica:
7
1-tan x
7
1 + tan x
-(1 - tan x) = 0 ,
Por diferencia de cuadrados:
j(l—tánx)(l + tanx)
(1 + tan2 x)
...(*)
Al simplificar se debe considerar que:	1 - tan x = 0	=> tan x = 1
71	71
=> ep = -	=> x = kn+-
2	2
En (*), nos queda 1+ tan x = 1 + tan x > tan x - tan x = 0
Factorizando, obtenemos la ecuación:	tan x (tan x - 1) = 0
i) tanx = 0	=> x= kn , k e Z
ii) tan x = 1 (ya fue considerado en el paso anterior)
x=	ufen
03.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada de modo que sea
posible utilizar la condición dada para la tangente. Esto lo lograremos dividiendo en
2	71
ambos lados por cos x, para x * (2n + 1) —, es decir: -eos x * 0 . Asi tendremos:
3cos2x	2senx.cosx	sen2x 0
2	”	"	2	“	2
COSX	COSX.COSX	eos x	eos x
7
=> tan x +2 tan x - 3 = 0
7
=>	3-2 tan x - tan x = 0
=> tan x + 3)(tan x - 1) = 0
Al igualar a cero cada factor, tenemos que:
a) tan x = - 3 , que se descarta pues por condición del problema: tan x > 0
b) tan x = + 1
x = kit+ — Z
4
04.- Transformamos la expresión dada para obtener una ecuación en términos del cose-
no, utilizando la identidad pitágorica del seno y coseno:
1	2
1 - COS X = — (1 - cos x)
Efectuando y transponiendo términos: cos2x +- 3 cos x + 2 = 0
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
Factorizamos y nos queda :
(cos x + 2)(cos x + 1) = 0
Analizando cada factor, tendremos:
i)	cos x + 2 = 0 =>	cos x = - 2 (No puede ser)
ii)	cos x + 1 = 0 =>	cos x - - 1
x = n
05.- En este problema nuestra estrategia consistirá en factorizar los términos del 1er miem-
bro para dar lugar a la aplicación de identidades trigonométricas del ángulo doble y del
ángulo mitad de modo que todo sea transformable a una sola función seno. Veamos:
2	2^
-senx. cosx ( cos x—sen x) = —
\_______________________'	4
cos2x
=>	- 2 sen 2x -cos 2x = 1
sen2(2x)
n
=> sen 4x = -1	=> 4x = (4k - 1) ~
n
x=(4fc-l)~
O
2	2
=>	- 2 . 2senxcosx .(eos x - sen x) = 1
sen2x
, V JtG Z
06.- Nuestra estrategia consistirá en obtener una ecuación en términos del seno. En vista
que este problema incluye funciones en los denominadores, empezaremos analizando
las restricciones del caso:
i) sen x * 0 => x*hti,hgZ
71
ii) tan x * 0 => x * (2m + 1) — ,me Z
cos3x cos2x-cosx
Transformando a senos y cosenos: ------------------ ----- = 1
J	senx senx
=> 2 cos 3x - 2cos2x.cosx = 2 sen x => 2 cos 3x - [cos 3x + cos x] = 2 sen x
transformnmosa
suma decosenos
=> cos3x-cosx =2 senx => -\^sen x . sen 2x =\^sen x => senx(sen 2x + 1) = 0
transformamos a	»
producto
Igualando a cero cada factor, se tiene:
1) sen x = 0	=> se descarta por la restricción (i)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿RACSO
WüDITOdl
2) sen 2* + 1 = O => sen 2* = - 1
71	jt	71
Pero: sen ( 4k- 1)~ = - 1	=> 2x = (4k - 1) ; k e Z	x=(4fc-l)~
71
Haciendo: k = 0, se obtiene la mayor solución negativa:	x = - —
07.- La estrategia que aplicaremos consistirá en transformar la expresión dada en térmi-
nos del seno. Para ello apelaremos a las identidades del ángulo doble y triple. Veamos:
Despejando tenemos: sen 5* + sen 3* + sen x = 3 - 4 sen x
Multiplicando a ambos miembros por 2 sen x:
2 sen 5-*-sen x+2 sen 3*-sen x + 2 sen2* = 2(3senx-4sen3x)
(arco doble)	(arco triple)
transformando a una
diferencia de cosenos
cbs^x - cos 6x +^cper^x - cbs^x + 1	= 2 . sen 3x => 1-cos 6x = 2 sen 3x
Haciendo a = 3x, aplicamos: 2 sen a = 1 - cos 2a
=>	2 sen23x = 2 sen 3x => sen 3x(sen 3x - 1) = 0
Al igualar a cero cada factor se tendrá que resolver dos ecuaciones por separado y luego
unir las soluciones halladas:
7171
1) sen 3x = 0	=>	3* = nn => x = — , n g Z
71
2)sen3x-l = 0 => sen 3x = 1	=> 3x = (4»i+l)~
=>	x--(4í!U 1)^;«eZ	.-. sfinal = Si u S2
08.- Transformaremos la expresión dada hasta obtener una ecuación en términos del
seno, para lo cual empezaremos aplicando a una diferencia de cosenos:
2 sen 3x . sen x - 2 sen 4x . sen 2* = 0	=> cos 2x - cos 4x - (cos 2* - cos 6x) = 0
pos 6*-eos 4x = 0
transformando a producto
- 2 . sen x sen 5x = 0
i) senx = 0 =>	x = mu, me %
=> x= — ,ke Z
ii) sen 5x = 0 => 5x = nn
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
De los dos conjuntos solución se observa que en el conjunto solución: Sj vj S2 el conjunto
Sj está incluida en el conjunto solución S^.
kn
x-—,keZ
5
09.- Empezaremos identificando las restricciones:
senx*0
cosx*0
x +	, k e Z (ángulo cuadrantal)
Recordemos la identidad:
sen3x
------ = 2 cos 21 + 1
senx
cos3x
------ = 2 cos 2x - 1
cosx
Reemplazando en la ecuación:
4 cos 2x = 4 cos 4x
cos 2x = cos 4x
Pero:	cosA = cosB<=> A±B = 2kn, keZ
Entonces:
i) 4x + 2x = 2fcn
kn
— , keZ
ii) 4x - 2x = 2kn => x = kn (No puede ser un ángulo cuadrantal)
kn
3
ke Z
10.- Identificamos primero las restricciones:
sen 2x^0 => 2x*kn
cos2x*0 => 2x*(2k + l)-^
2x*%
senóx
Recordemos las identidades: -----— = 2 cos 4x + 1
sen2x
COSÓX
A -------= 2 cos 4x - 1
cos2x
Reemplazando en la ecuación:
=> csc 2x = 2
2 cos 4x + 1 = csc 2x + 2 cos 4x - 1
1	71
=> sen 2x = — => 0p = —
Usando el conjunto de solución del seno:
t 71
2x = kn + (-1) . ~
O
kn v ti
x=y +('1)-12 'v*ez
R19
588
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
jA RACSO
 iDITOlll
11.- En este problema resulta beneficioso aplicar la identidad del coseno del arco doble
para transformar la expresión dada en otra en términos del seno. Veamos:
2
Aplicando: cos 2a = 1 - 2 sen a , con: a = 2x
=> cos 4x =1-2 sen zx =>	1 - sen 2x + 2 sen 2x + 3 = 0
Ordenando la ecuación cuadrática tendremos: sen22x - sen 2x - 2 = 0
Factorizando nos queda:	(sen 2x - 2)(sen 2x + 1) = 0
Igualando a cero cada factor:
1) sen 2x - 2 = 0 => sen 2x = 2; esto es absurdo pues: - 1 < sen 2x < 1
2) sen 2x + 1 = 0 => sen 2x = - 1
Este resultado lo analizaremos de este modo:
i)	Hallando el valor principal:
•	71
sen 6p = - 1 => 6p = arc sen (-1) = - arc sen (1) => 6p = - ~
ii)	Planteando la solución general (Sg) para todos los arcos que tiene igual seno, tenemos:
Sg = *7t + (-i)k.ep
k 71
iii)	Además se debe cumplir que: 2x = kn + (-1) . (- — )
kn n v
x=y-(-Dk ,ke Z
12.- Ordenando la ecuación: 5(sen4x + cos4x) + 6 sen6x . cos2x = 4 . . .(*)
Aplicando la identidad:	sen4x + cos4x = 1-2 sen2x . cos2x
2	2	2	2	2	2
En (*):	5(1 - 2 sen x . cos x) + 6 sen x . cos x = 4 =>	4 sen x . cos x = 1
2
=>	(2 sen x . cos x) = 1
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
13.- Aplicamos la identidad del coseno del ángulo doble: 2cos a = 1 + cos 2a
=> 2cos2^-x) - 2 cos2^+x)= 1 => 1 + cos^-2xj -[j + cos^ + 2xj] = 1
=>	cos^-2xj - cos^ + 2xj = 1
ransformando a producto, la diferencia de cosenos nos queda así:
- 2 sen (- 2x). sen j =1 => 2 sen 2x.	=1	=> sen 1x =
Para resolver esta ecuación trigonométrica efectuamos los siguientes pasos:
i)	Se calcula el valor principal (0p)
V2	n
=> senep=— => 0p = arcsen —	6p= -
>
ii)	Se plantea la solución general para todos los arcos que tienen igual seno.
Sg = fat + (-l)k.0p , ke Z
iii)	Igualamos la variable angular con la solución general (Sg) y despejamos "x":
v 71
2x = fat + (-l)k. -
kn
+(-l)k.
n
8
14	.- Observamos que el 1er miembro del ecuación se puede transformar así:
Factorizamos:	sen 2x+ J3 cos 2x = 2 ^sen2x+-^cos2x
Sustituimos por senos y cosenos: sen 2x+ Js cos 2x = 2 ^cos^sen 2x + sen^cos 2xj
Aplicamos la identidad del seno de una suma: sen 2x+J3 cos 2x = 2 . sen ^2x+^
Además por arcos complementar os se tiene que: sen 2x+ J3 cos 2x = 2. cos —2x
Reemplazando en la ecuación dada, tendremos:
Haciendo u cambio de variable: « = sen^2x+^j, tal que:	...(1)
2sen(2x+^j] - 5 = sen(2x+^j
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-ÍJÍ RACSO
Wbditoiii
=> 4«2-a-5 = 0=> (4a-5)(a + 1) = O => a=^ ° a = -l => senÍ2x + ^j=-l
•----------------------------------------------V-»
absurdo
71
Teniendo en cuenta que: sen (4k + 3)	= - 1
71	371
La solución inmediata será:	2x + — = 2krt + —	.-. x =	(12fc + 7), k e Z
15	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión hasta obtener otra en
términos de x. Veamos:
Como:	| sen 2x | = 12 sen x . cos x | = 21 sen x | | cos x |
Reemplazamos en la ecuación dada: 21 sen x | | cos x | + 2 = 21 sen x | + 21 cos x |
21 sen x | (| cos x | - 1) - 2( | cos x | - 1) = 0 => (| cos x | - 1)( | sen x | - 1) = 0
Igualando a cero cada factor tendremos:
i)|cosx|-l = 0 => |cosx|=l => cosx = ±l => x=«7t,neZ
71
ii) |senx| - 1 =0 => |senx|=l =>senx = ±l => x = (2tn +1) —, tn e Z
71	JcTI
De (i) y (ii) se tiene: x = mtn (2m +1) ~	x = — ; keZ
16	.- Transformaremos la ecuación para expresarla en términos del coseno. Veamos:
Dividiendo entre 2 tenemos:
73	1 J2
. sen x + ~ . cos x =
Expresando en términos de seno y coseno:
Í7t\	/7t\	72
sen ^3 J .sen x + cos ^3 J .eos x =
Reconocemos que se trata del coseno de la diferencia de 2 ángulos.
cos
n
®P= 4
Usando el conjunto solución del coseno:
Tt	71
x- - =2fat+ -
Tt Tt
x =2krt± — + —, Vfce
4	3
Ecuaciones e inecuaciones Trigonométricas
R19
591
•17.- Obtenemos el cos 2x a partir de la expresión dada:
cos 2x = 2
1 + V2
8-?2
El 2do. miembro está relacionado con el cos 45° /2, veamos cómo:
, x |l + cosa
COS 2 = V 2
cosi = l
1 + cos—
4
cos
Asi deducimos que en (*):
71
cos 2% = cos —
o
i)	Valor principal (0p) :
71
6 = are cos(cos “ )
"	o
n
®P = ?
ii)	La solución general (Sg) es:
Sg = 2kn ± 6p, k g Z
iii)	Se debe cumplir que:
71
2x = 2kn ± ~
O
71
x = kn± ~
lu
JtG Z
n
2
18	.- Procederemos de modo que la ecuación se transforme en términos del coseno. Así:
Despejando se tiene:
Recordemos:
En (*): cos 2x = 1
4	4	.
cos x - sen x = 1... (*)
cos x - sen x = cos 2x
> 2x = 2k7t
x — kn , V xg Z
19	.- Transformamos la expresión en términos del seno, para lo cual empleamos la iden-
tidad pitágorica en la ecuación dada:
1	2
1 - sen x = ~ . (1 - sen x)
2
Despejando: sen x - 2 sen x + 1 = 0
2
=> (sen x - 1) =0 => sen x = 1
x = (4k + l)^ ,VxgZ
20	.- La única restricción es que: x (2k + 1) — , k g Z para que la sec x y la tan x existan.
Para poder emplear la condición implícita en la ecuación, empezaremos por recordar
que:
R19
592
Problemas de T gonometría y cómo resolverlos
Stk RACSO
PBDITOina
2	2
sec x - tan x = 1	=>
Del dato: (sec x - tan x	=1	=>
2	3.J5
=> secx-tanx = Q . - 7=	=>
3 + vo 3—V5
De la condición implícita:
De (1) - (2) tenemos:	2 tan x = J5 =>
Cuyo valor principal es:	6p = arc tan
< j
21.- La resolución requiere de las siguientes re;
(sec x + tan x)(sec x - tan x) = 1
1
sec x - tan x = „ .
j + vJ
3-2V5
sec x - tan x = —-—	... (1)
3 + 75
sec x + tan x = —-— ... (2)
75
tanx= —
i)	La tan x 3 si: x * (2k + 1) — , k G Z
ii)	La cot x 3 si: x * nn ,	ne Z
n
iii)	También 1 - tan x * 0	=> tan x * 1	=> x * (4m + 1) — ,me Z
Resolviendo: 1 + cot x - (- 1)(1 - tan x) =>	1 + cot x = - 1 + tan x
cotx - tanx =-2
•---*	--v--
Aplicando la identidad especial de arco doble, tendremos:
2 cot 2x = - 2 =>	2 cot 2x = - 2	=> cot 2x = - 1
3n	3n
El valor principal 0p = arc cot(-l) = — => 2x = kn. + ~
kn 3n
X=T+T 'fcGZ
22.- Transformamos la ecuación para expresarla en términos del coseno:
Transponiendo términos:
3 . cos x - sen x = 1
Dividiendo entre 2:
Expresando en términos de seno y coseno: cos
73	1	1
. cos x - — . sen x = ~
1
. sen x = ~
. cos x- sen
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
593
Reconocemos que se trata de un coseno suma: cos
n
®P= 3
Usando el conjunto de solución del coseno:
n	n
x + — = 2kn ± —
6	3
71	71
71	71
- , x = - - g [0 ; 2ti)
O	z
3ti	13ti
— , x = — g [0 ; 2ti)
Z	O
n
Luego las únicas soluciones en [0; 2n) son: x = —
O
3n
2
5n
suma= "
23.- Reemplazando:
cos 2x = ( cos x + sen x)(cos x - sen x)
en la ecuación, se tendrá: (cos x + sen x)(cos x - sen x) - (cos x + sen x) = 0
Factorizando:
(cos x + sen x)(cos x - sen x - 1) = 0
i) cos x + sen x = 0 =>
71
’p"’ 4
5n
n
x = kn- —
4
p 4
71
4
3n
4
ii) cos x - sen x - 1 = 0
'2 cos
= 1
71
®P= 4
Esto significa que la solución general es:
71	71
— = 2tat ± —
4	4
n n
x = 2kn± ~-~
4 4
Si:k = —1 =	>x-	, x = 2ti 2
Si:k = 0 =	x = 0 , x = 2
Si:k = l =	„	3tt =>x = 2ti , x= —
De este esquema se reconoce que el mayor negativo es:
n
4
RACSO
If BCITD1BI
R19
15941 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Asimismo el menor pos tivo es: x = —
Tt
Suma = —
24.-Nuestra estrategia consistirá en transformar la ecuación dada en una multiplicación
de términosque dependan de x. Para ello recurrimos a las identidades trigonométricas:
Despejando en la ecuación dada:	sen 2.x + 2 cos 2x . sen x = 0
Aplicando la identidad del sen 2x enf): 2 sen x . cos x + 2 sen x . cos 2x = 0
3x x
Factorizando: 2 sen x (eos x + cos 2x) =0	=>	4 senx. cos — . cos ~ =0
2cos^pcosj
Analizando cada factor:
i)	sen x = 0	- > x = 0
3x	3xn	71
ii)	COS	—	= 0	=>	— = —	=>	X =	—
X	X 71
iii)	eos— =0	=>	— = — =»	x = n
71
.’. La menor solución positiva es : x = ~
25.- Transformamos a una suma y una diferencia de cosenos los sumandos del 1er
miembro de la igualdad, obteniéndose:
cos 7x + cos x + cos 3x - cos 7x = cos 4x + cos 2x
cos 3x-cos 2x = cos4x-cosx
v	v	y V-----~V--—-*
Transformando a producto cada miembro, se tiene:
x 5x	3x 5x
- 2 sen — sen — = - 2 sen — sen —
5x r 3r rl	5x x
Factorizando: sen — sen^-sen^ =0	=> sen — . 2 sen ~ cos x = 0
tranformamos a
producto
Igualando a cero cada factor se obtiene:
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
5x	5x	2n 4n
i) sen— =0=> — = 0;7t,27t	=> x = 0, —, ~ ..
x	x
ii) sen — = 0 => — = 0; ti; 2ti	=> x = 0, 2ti, 4ti ...
n 3% 5n
iii)cosx = 0 => x= —
2ti ti 9ti
La suma es:	+ — = —
Las dos menores soluciones
2ti 71
positivas son: — y —
26.- En este problema la única restricción es para:
senx * 0 => x * im; it E Z
Convertimos los ángulos en radianes a grados sexagesimales:
sen3x
-------- + 1 = tan 20°. tan 40°. tan 60°. tan 80° ... (1)
senx----' ’
Recordamos la identidad especial: tan 3a = tan a. (60° - a). tan(60° + a)
Para: a = 20°, se tiene que:	tan 60° = tan 20°. tan 40°. tan 80° ... (2)
sen3x	sen3x	,
Reemplazando (2) en (1): ~EC1U: + 1 = tan 60°. tan 60°	=>	= (tan 60°) - 1
2	1
Aplicando la identidad del sen 3x: 2 cos 2x + 1 = (~J3) - 1 => cos 2x = 2
Se debe cumplir que:	2x = 60°; 300°; 420°; 660°; 720°
=> x = 30°; 150°; 210°; 330° ; 390°	-... 390° e [0o; 360o]
k--------V-------->
La suma de soluciones es: 720° = 4ti rad
27.- En este problema transformamos la expresión en otra que se exprese como el pro-
ducto indicado de factores, para lo cual recurrimos a las identidades de transformación
le si una de cosenos a producto. Veamos:
cos x + cos 9x - 42 . cos 5x = 0
2 cos 5x . cos 4x - -J2 cos 5x = 0
F actorizando nos queda:
cos 5x(2 cos 4x - -J2 ) = 0
Analizando cada factor:
i) cos 5x = 0
5x=(2k+l)~
x = (2k + l)^
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSC
BDITOBBB
Si:	k = O => x = 10	•"
r-	72	n
ii) 2 cos 4x - v2 = 0 => cos 4x =	=> 0p = —
71	kit 71
Usando la formula general para el coseno: 4x = 2kn + ~ => x = ~ ± “ ,ke Z
Si:	k = 0 => x = 77	... (2)
lo
De (1) y (2), las dos menores soluciones positivas son:
x=10;x=Í6	•• Suma»-^
28.- La restricción de la ecuación es debido a que interviene la tangente, luego:
x	x	n
tan — 3 <=>	— * (2k + 1) —	=> x * (2k + l)7t
x
. sen—
Usando identidades en la ecuación: 2l2sen—-cos—j =------2. ...(*)
cos—
2
x
Eliminando sen ~ e igualando a cero para no perder soluciones deducimos que:
x	x	ík = 0=*x=0	...(1)
=> sen 7=0	=>	— =kit => x = 2kn j	t .
2	2	[k = l=>x = 27te[0;n]
xl	2 x
En (*) nos queda: 4 cos ~ =----—	=>	4 cos ~ = 1
cos—
2
1	2n
Degradando: 2(1 + cosx) = 1 <=> cosx = - ~ => x = ~ ... (2)
2ti
De (1) y (2) concluimos que las únicas soluciones en [0; ti] son: x = 0, x = —
2n
Suma = ~
29.- La única restricción en la ecuación es por parte de la cotangente:
cot x 3 si: x * nn => x * 0; n
Expresando en términos de senos y cosenos:
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
COS a	2	2	2	2	2
6----5— - 4 cos x = 1 => 6 cos x - 4 sen reos x = sen x
sen x
=> 3 (2 eos2 x) - (3 sen x cos x)2 = — (^sen2 x) => 3(1 + cos 2x) - sen22x = — (1 - cos 2x)
dobfe	arco doble	doble
Expresando en términos de "cos 2x"
,11 ,
3 + 3 cos 2x - (1 - cos'Vx) = ~ - — cos 2x =>	2 cos'zx + 7 cos 2x + 3 = 0
Y factorizando nos queda:	(2 cos 2x + l)(cos 2x + 3) = 0
Igualando a cero cada factor:
i) cos 2x + 3 = 0 => cos 2x = - 3, esto es absurdo pues: -1 < cos 2x < +1
„	•	1	2it 4it	ti 2n
ii)2cos2x + 1 = 0 => cos2x = - — => 2x= —; — => x= ~ —
i	. i -	Tt 2rt
La suma de soluciones es: — + — = Tt
3	3
30.- Nuestra estrategia consistirá en expresar todo en términos de tan x; veamos:
tan---tanx
3 tan x + --------------2 = 0
71
1 + tan—.tanx
4
=>	3 tan x + i +1 tanx - 2 - 0 ---(*)
Determinemos las restricciones de la ecuación en el intervalo (0;ti) :
Tt	Tt 3Tt
i) tan x 3 # si: x * (2n + 1)—	=> x*~ ; —
3n 7n
ii) 1 + tan x * 0 => tan x * -1 => x * — ; —
4	4
Efectuando las operaciones indicadas en (*), tendremos:
-x-	7
3 tan-xi- 3 tan x + 1 - Xasfx - 2 - 'iXaxfx = 0
7
3 tan x = 1
V3
tan x = ±---
3
c- .	V3
Si: tan x = +
Tt
~6
c- .
Si: tanx = ----
3
5n
T
El producto de soluciones es:
Tt
6’
5n
T
5n2
36
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITO11I
31.- Determinemos primero las restricciones de la ecuación en el intervalo dado(0;n):
i) Si tan x 3 =>
x*(2m +1) —
n
ii) Si tan 3x 3 => 3x * (2/7 + 1)—
2
n ti 5ít
** 6; 2; ~6
Ahora, recordando que:
tan a + tan P =
sen(a + P)
o (del arco compuesto)
cosa.cosp '	r
sen(3x + x)
cos3x.cosx
= 4 sen x
sen 4x = 2(2 sen x. cos x). cos 3x
arco
doble
=> 2 sen 2x . cos 2x = 2. sen 2x . cos 3x => sen 2x[cos3x-cos2x] = 0
transformamos a
producto
sen 2x
-2sen-| -sen-^
Igualando a cero cada factor:
1)	sen 2x = 0 => 2x = 0, n, 2n
X	X
2)	sen— =0 -> ~ = 0,n
5x	5x
3)	sen~ = 0 => — = 0,n,2n
La diferencia de soluciones:
r\ 71 . _
=> x = 0; 2 'n - -
- > x = 0; 2n
„ 2n 4n
4n 2n 2n
5 ' 5 = 5
(no son soluciones)
. (no son soluciones)
.. (si son soluciones)
n
= 0
32.- La ecuación dada se puede transformar si aplicamos la identidad del cos 2x :
sen 5x + c<
= sen x + c<
sen 5x = sen x
sen 5x - sen x = 0
(5x+x\ I5x-x\
sen I—2— I  sen I—2— / = 0
=> sen 3x. sen 2x = 0
Igualando a cero cada factor, determinamos los valores de x en I 0;^
i) Si: sen 3x = 0 =>
3x = nn + (-l)’\aic-serT(0)	=>
nn
x~ 3
Haciendo:	n = 0 —» x = 0 a n = 1 —»	x = n/3
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
ii) Si: sen 2x = O => 2x = nm +~£l)!ítarC'sén (0) => x =
Haciendo:	m = 0 —> x = 0 a m = l —>	x = n/2
Número de soluciones — 3
33.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la ecuación dada en otra expresada en
términos de cosenos. Para ello recurriremos a la siguiente identidad especial:
cos2a - sen2p = cos (a + P). cos(a - P)
Aplicándolo en la ecuación dada: cos 6x. cos 4x = cos 4x => cos 6x. cos 4x - cos 4x = 0
Factorizando nos queda: cos 4x . (cos 6x - 1) = 0
Igualando a cero cada factor, determinamos los valores de x en
n
i) cos4x = 0 => 4x = (2k + l) —
=> x = (2k + l)~

1=0 => x=j e(o; f)
* = 1 => x=^g(o; 2^
k=2 =>
ii) cos 6x - 1 = 0 => cos 6x = 1
6x = 2fat
kn
Luego, las soluciones en ^0; 2
son:
k = 0 => x = 0 e^O; 2^
k = l => x = 2 g^O; 0
i-2	x-^(o,=)
7137171
x = — * x = — : x = —
8'	8	3
Número de soluciones = 3
34.- Como en la ecuación intervienen tan x a cot x, entonces la restricción será:
x * —, k g Z (ángulo cuadrantal)
1	2	4
De la ecuación: 3 tan x = ---- => tan x = — => tan x = ±—-
tanx	3	3
eP = ±
TT
Usando la formula general de la tangente: x = kn ±
TT
6
VkG Z.
R19
600
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Dando valores a k, determinamos los valores de x en [0; 4rt]:
k = 0 —	Tt * *1= 6		A	k = l =	5n > x2=	7n *3= 6
k = 2 =	llTt > x4= 6 , x5=	13tt 6	A	k = 3 —	17ti 6	6	19n *7= ~6~
k = 4 —	23ti > XK=	,x = B 6	25rt	[0; 4ti]			
Número de soluciones = 8
35.- Transformamos la expresión aplicando la identidad: cos 3a = cos a[2 cos 2a - 1]
De este modo, si hacemos:	a = 4x => cos 12x = cos 4x [2 cos 8x -1]
Reemplazando en la ecuación, tendremos:	1	+ cos 4x(2 cos 8x - 1] = 2 cos 8x
Transponiendo y agrupando términos: cos 4x[2 cos 8x - 1] - [2 eos 8x - 1] = 0
Factorizando nos queda:	(2	cos 8x - l)[cos 4x - 1] = 0
Igualando a cero cada factor, determinamos los valores de x en :
Tt
1) cos 4x - 1 = 0 => cos 4x - 1	=> 4x = 0; 2ti => x = 0; ~ => 2 soluciones
1	ti 5tt 7n 11ti 13tt
2)2cos8x-l=0 => cos8x=— => Sx=	—r~
O	O	J
Tt	5ti	7ti	Un	13ti
X=	24' 24'	24'	24 '	24
13ti r
Puesto que la solución:	e 0;	, concluimos que:
Existen 6 soluciones
36.- Para transformar la ecuación dada, aplicaremos la siguiente identidad auxiliar:
42 sen^x + ^j = sen x + cos x
2
Reemplazando en la ecuación nos queda: 2 sen x + senx-sen3x = 0
tranformamos a
producto
2
=> 2 sen x - 2 sen x . cos 2x = 0 => 2 sen x.(sen x - cos 2x) = 0
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
Entonces:
i)	sen x = 0 =>	x = 0, x = n (no son soluciones)
ii)	sen x = cos 2x	=> sen x = 1 - 2 sen x =>	2 sen x + sen x - 1 = 0
Factorizando nos queda: (2 sen x - l)(sen x + 1) = 0
Igualando a cero cada factor, determinamos los valores de x en (0;n):
iii)	sen x = 1/2 => x = n/6; 5n/6 g (0;n)
iv)	sen x = -1 => x = 3n/2 e (0;n)
El número de soluciones es 2
37.- Sabemos que para fines de «degradación», tenemos:
4 sen3 x=3 sen x - sen 3x
4 eos3 x = 3 cos x + eos 3x
Multiplicamos por 4 para aplicar estas identidades, así la ecuación se transforma en:
3	3
sen 3x( 4 sen x) + cos 3x(4 cos x) = 4 cos2x
sen 3x(3 sen x - sen 3x) + cos3x (3 cos x+cos3x) = 4 cos 2x
Efectuando los productos indicados y ordenando, tendremos:
3(pos 3x-cos x + sen 3*-sen x) + cos23x-sen23x = 4 cos 2x
arco compuesto	arco doble
3 cos 2x + cos 6x = 4 cos 2x => eos 6x-cos 2x =0 =>	- 2 sen 2x . sen 4x = 0
transformando
a producto
Igualando a cero cada factor, determinamos los valores de x en [0;n]:
nn
i) Si sen 2x = 0 => 2x = nn => x = — ,ne Z
mn
ii) Si sen 4x = 0 => 4x = mit=> x = —— ,tneZ
4
mu
Pero:	Sj c 82 => x =
n n 3n
Si hacemos: tn = 0; 1; 2; 3; 4, deducimos que: x = 0; ~~; — i rc
4 2	4
Existen 5 soluciones
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 D1TD1II
38.- La ecuación la planteamos estableciendo las siguientes restricciones:
i) La tan x y la sec 3, si x # (2k +1) — ,ke Z
Tt	Tt
ii) La tan 2x 3, si 2x # (2n + 1)—	=> x * (2n + 1) — ,ne Z
Para resolver la ecuación aplicaremos la siguiente identidad:
sen(a + P)	sen(2x + x)	sen3x
tan a + tan p =-------—	=> ----------- =-------
cosa.cosp	cos2x.cosx	cosx
Sustituyendo en la ecuación dada:
sel
sel ___________
ca^x = cos2x.
cos 2x = 1
i) sen 3x = 0
3x = - 2?r; -rt; 0; Tt; 2ti
21171 Tt 2ti
3 ; ~3
i) cos 2x = 1 , solo se cumple para: 2x = 0
x = 0
Son 5 raíces
39.- Transformaremos la ecuación aplicando la fórmula para degradar el exponente
cuadrático: 2 sen2a =1- cos 2a
cos 2x = 1 - cos 2 ^-x
cos 2x = 1 - cos
cos 2x = 1 - sen 2r
sen 2x = 1 - cos 2x
sefbx cos x =v2fsen
De donde deducimos que:
i) sen x = 0
x = 0; Tt; 2?r
ii) cos x = sen x => tan x = 1
5rr
4
son 5 raíces
40.- Se plantea la siguiente restricción:
i) ex - sec(x) = sec(x) - 1 => para que la sec x 3 => x # (2k + 1) — ,ke Z
Ahora procedemos a resolver la ecuación dada:
1
1- cos x + sec x - 1 = cos x - 2 sen x =>	0 = - ---- + 2 cos x - 2 sen x
cosx
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
O = - 1 + 2 cos2x - 2 sen x cos x
sen 2x - cos 2.x
tan 2x = 1
2x =
Tt
5rr 9?r
Tt 5Tt gyr
x = — • — •	—
8' 8 ' X
C<O;n)
2 raíces
41.- De la identidad del arco triple tenemos:
3	3
3 sen x - 4 sen x = 8 sen x
□
3 sen x = 12 sen x
•• (*)
i) Al simplificar se plantea que: sen x = 0 =>
X = Tt
1 solución
2
ii) Luego de simplificar en (*) nos queda: 1=4 sen x =>
-i	2
~ = 2 sen x
1
— = 1 - cos2x
1	ti 5rt 7it llTt
cos2x=- =>	2x=3;—; —
_ Tt 5rt 7rt H71
x~ f>'	3/ 6
4 soluciones
Son 5 soluciones
42.- Se plantean las siguientes restricciones:
i) La tan x y la cot x 3
ii) La tan 3x y la cot 3x 3
kn
si: x # —,keZ
ht
si: 3x # — =>
HTt
x# —,ne Z
6
Para transformar la expresión dada utilizaremos las siguientes identidades:
tan a - tan £ =
sen(a-£)
cosct.cosP
sen(ct-£)
cot a - cot B =	“ ñ
K sena.senp
Aplicando ambas relaciones en la ecuación dada, ésta queda así:
4 ’ 4
tan 3x - tan x = cot 3x - cot x
sen(3x-x) sen(x-3x)
cos3x.cosx sen3x.senx
cos 3x. cosx	sen3x.senx
(*)
Analizamos esta expresión en el intervalo dado :
i) Al simplificar se plantea: sen 2x = 0
2x = 3rt
x= ~2 — No por (i)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOBBB
ii) Luego de simplificar en (*) nos queda: cos 3x cos x = - sen 3x sen x
=> cos 3x cos x + sen 3x sen x = 0	=> cos(3x - x) = 0
5n 7n
=> cos 2x = 0	=> 2x = — ; —
5n 7n
=> x —; —	Son 2 soluciones
4	4
43.- Se plantean las siguientes restricciones:
7t	fot 7t
i) tan 2x 3 si: 2x * (2k + 1) —	=> x # —,keZ
4	2 4
(„\	7t	71	71
—-xl 3 si: ~-x# (2n + l)y => x*nn-~ ,neZ
Aplicando las identidades de la tangente de una diferencia de arcos y del arco doble,
tendremos:
tan--tanx 2tanx _	(1-tanx)2+2tanx _
=* l + tan-.tanx * l~Lin2x	l-tan2x
4
•J3
=> 1-2 tan x +• tan2x + 2 tan x = 2 - 2 tan2x => 3 tan2x = 1	=> tan x = ±
Analizando las posibles soluciones, se tiene:
J3	n	7n
a)	Si: tan x = —5-	=>	x = ~ ; —
o	O	ü
J3	5ti lln
b)	Si: tan x = —=-	=> x = ~ —~
o	00
4 soluciones
44	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar la expresión dada en términos de seno
y coseno, lo cual se logrará aplicando las definiciones de las identidades auxiliares:
vers a = 1 - cos a a cov a = 1 - sen a
=>	(1 + cos x). (1 - sen x) = (1 + sen x) . (1 - cos x)
=> 1 + cos x - sen x - sen x cos x = 1+ sen x - cos x- sen x cos x
7T
2
=> 2 cos x = 2 sen x
sen x = cos x
7t
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
45	.- Transponiendo términos, la ecuación toma la siguiente forma:
73 - 73 sen2* = 2 sen x - 2 sen3*
Factorizando:
(1 - sen2*) = 2 sen *(1 - sen2*)... (*)
2
Eliminamos: "1 - sen *" y para no perder soluciones lo igualamos a cero, tal que:
2
sen * = 1 => sen * = ± 1
=> 7e(0;n>
3n
* = — 6 <0; n)
Nos queda de (*): 73 = 2 sen * =>
Las soluciones en (0; Tt) son:
Tt
=> * = — e (0; Tt)
Tt Tt , 2ti ]
2'3' 3 J
2n
a * = y e (0; Tt)
46	.- En primer lugar identificamos las restricciones por para de la tangente:
Tt	Tt
i) 5* # (2m + 1) — => ** (2m + 1)~, m e Z
Tt	Tt
ii) 3* # (2n + 1) — => * * (2n + 1) — ,ne Z
2	o
A continuación expresamos todo en términos de senos y cosenos
sen5*.sen3*
cos5*.cos3*
=> 2 cos 5* . cos 3* = 2 sen 5*. sen 3*
transf. a una	transf a una
suma de cosenos	diferencia de cosenos
cos 8x + cos 2x = cos 2x - cos 8x =>	2 cos 8x = 0	=> cos 8x = 0
7t
8*=-
Tt
16
La menor solución positiva es: q.
47.- La transformación de la ecuación propuesta se logrará utilizando las medidas de
los lados del siguiente triángulo notable: 15° - 75°.
Dividiendo entre 2 72 a la ecuación dada:
(73 + 1)	(73-1)	72
2^2 SenX+ 272 COSX=272
J3 + 1
=> sen (*+-)=-
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Usando el conjunto de solución para el seno:
Tt	v	Tt	v	Tt	Tt
=> x +	—	= kn +	(-l)k	-	=> x = kn	+(-l)k	-	- —	, k e Z
IZ	o	O	IZ
Tt	3ti	25it
Haciendo: fc = 0: x = ~	k=l: x= ~ k = 2: x= e (0; 2n)
Las soluciones son:
Tt 3rt
12'	4
48.- Recordamos la identidad: sen 2x + cos 2x =-J2 —^-senx + —=cos2x
\J2 j2
Al aplicarla en la ecuación dada, tendremos:
Tt	Tt -J2
J2 sen(2x + ~ ) = - 1 => sen(Zr + -) = - —
Esta ecuación se verifica si:
Tt 571	Tt
2x+? = T =”	x=2
Tt	Tt	Tt
ii) 2x+	~	= - ~	=>	x = -~
4	4	4
La menor solución positiva es: x = ~
49.- Efectuando el producto indicado tenemos:
2	3	3	3
2 sen x . cos x +• sen x = sen x - cos x
2	2
Factorizando "cos x": cos x(2 sen x + cos x) = 0
gualando a cero cada factor, analizamos los valores de «x» en el intervalo [O;Tt]:
Tt 3it
i) cos x — 0 => x = - ; —
2	2	2	2	2
ii) 2sen x + cos x = 0	=>	2 sen x + 1 - sen x = 0	=> sen x = -1 (absurdo)
3-
solución mayor o
De este análisis concluimos que:	—;——------------ =- = 3
71 solución menor 71
2
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
607
SISTEMA DE ECUACIONES
50.- Nuestra estrategia consistirá en relacionar los arcos dados en términos de razones
trigonométricas. Lo conveniente en este caso es que las RT elegidas, concuerden con las
que figuran en las ecuaciones propuestas. Veamos:
7t
Como:	x + y=~	=> sen y = cos x ... (3)
n
De (3) en (2) se establece que: sen x = cos x => tan x = 1	=> 6p = ~
n
Luego el conjunto solución es: x = kn + — , ke Z
n	n n
Reemplazando en (1):	y=~-x => y = — -kn - —
n
y = — -kn , ke Z
3	4
51.- Procediendo con la misma estrategia del problema anterior, se plantea que:
Si	:	x + y = —	=> sen x = cos y ... (3)
1	71
Reemplazando (3) en (2): 2 cos y = 1	=> cos y = ~ => 6p = ~
n
Luego el conjunto solución será: y = 2fcn ± —
71	71	71
Reemplazando en (1): x= ~ -y	x= 2	3 , Vke Z
52	.- Nuestra estrategia consistirá en construir dos ecuaciones en términos de seno y
coseno. Para ello haremos las siguientes transformaciones:
Aplicando propiedad de proporciones en (2) se obtiene:
tanx
tany
2 + V3
1
tanx+tany (2 + 43) +1
tanx —tany (2 + 73)-!
sen(x + y)
De la identidad: tan x + tan y =
sen(x±y)
cosx.cosy
tanx + tany
tan x - tany
sen(x-y)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Si RACSO
V|»IDITOBia
tanx + tany	sen(x + y)
De lo cual concluimos que: ----------= ----------r
tanx —tany	sen(x—y)
sen(x + y) 3 + 73
Y del resultado obtenido en (3), se establece que:	, _ . =	~ ... (4)
Reemplazando (1) en (4), se deduce que:
sen (x + y) =
3 + 73
73 + 1
Tt
. sen —
ü
73
=> sen(x + y)= —
Tt	1	1 r
Y como:	sen ~ ~ => sen (x + y) = ~. V3
o	z	z
De donde se obtiene que:
X + y = kn + (l)k. j
...(5)
Si ahora hacemos (1) + (5):
v n n
2x = fat + (-l)k. - i -
O o
kn v Tt Tt
T +G1)' 6 + ñ
V ke Z
53	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar las ecuaciones dadas hasta obtener
otra en términos de seno. Veamos:
De (1) despejamos:
3n
x= y +y
tanx = tan^-^ + yj
Reduciendo al primer cuadrante:
tan x = - cot y ... (3)
Reemplazando (3) en (2) se establece que: - cot y. cos y = —
2
cosy	eos y	3
Recordando la identidad: coty =	=> -------= —
* seny	seny	2
2
Sustituimos cos y por la identidad pitagórica, y efectuando nos queda:
- 2(1 - sen2y) = 3 sen y =>	2 sen2y - 3 sen y - 2 = 0 => (2 sen y + l)(sen y - 2) = 0
i) sen y = 2 (imposible)
1
u) sen y = - —
y = kn + (-l)k .f-— 1
keZ
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
609
54.- Transformamos el sistema de modo que se obtenga una ecuación en términos de «y»:
De (1) despejamos convenientemente: x = — + y => sen x = sen + y j
Por reducción al IC:	sen + J/) = cos y => sen x = cos y... (3)
Reemplazando (3) en (2): 2 sen y . cos y = 1
Tt
Por arcos dobles:	sen 2y = 1	=>	2y= (4k + 1) —, ke Z
y = (4k + l)^ A x=(4k + 3)^ V ke Z
3	4	4
55.- Tal como se hizo en el ejercicio anterior, transformamos el sistema así:
De (1) despejamos convenientemente: x = ~ + y => sen x = sen + y
Por reducción al IC se establece que : sen x = cos y ... (3)
cosy	1	1
Reemplazando (3) en (2): seny =5 => tan y -	=> 0p = are tan ~
11	flA n
y = kn + arctan — I a x = kn + arc tanl — I +	; VkeZ
56	.- Transformamos el sistema de modo que se obtenga una ecuación en términos de la
tangente. Veamos:
De (1) despejamos así:
y-x=~ => y=-+x	=>	tany=tan^ + x
Por reducción al IC se obtiene:
Reemplazando (3) en (2):
Recordando la identidad:
tan y = - cot x .. (3)
tan x - cot x = 2	...(*)
tan x - cot x = - 2 cot 2x
Reemplazando en (*)
- 2 cot 2x = 2cot 2x = -1 => tan 2x = - 1
Esta ecuación tiene como conjunto solución: 2x = kn - ~ =>
kn n
2~ 8
VkeZ
Reemplazando en (1):
kn 3n
v=T- 8 ' Vfc6Z
R19
610
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
MA RACSO
RbDITOKBI
57	.- Utilizando las identidades de la suma y diferencia de arcos, transformamos el siste-
ma dado para establecer una relación entre los arcos dados. Veamos:
71
De (1) podemos establecer que:	sen (2x - 3y) = sen —
J2
Desarrollando el 1er miembro: sen 2x . cos 3y - cos 2x . sen 3y =
  -O)
Reemplazando (2) en (3) se obtiene:
sen 2x . cos 3y -
sen 2x . cos 3y =
•--(4)
Haciendo (2) + (4):
sen 2x . cos 3y + sen 3y. cos 2x =
2
Reconocemos que el 1er miembro es el desarrollo del seno de una suma de arcos:
V3
=> sen (2x + 3y) = —
71
®P= i
lí 71
2x + 3y = kn + (-1)	...(5)
Haciendo (1) + (5):
71	i, 71
4x = tai+ - +(-l)k-3
kn ti v ti
X= T + 16 +<’1) ’ 12
V ke Z
58	.- A partir de las ecuaciones dadas obtendremos una en términos del seno. Veamos:
Transformamos a producto la ecuación (2):
í x + j/^	í x-y"!
2 senl 2 I - cosí 2~ I =	- - - (3)
Reemplazando (1) en (3) se establece que:
2 sen
cos
71	1
sen 7 = 2
= 1
Teniendo en cuenta que:
De esta ecuación se deduce que:	x-y 2 = 2kn;V keZ => x-y = 4kn ... (4)
Haciendo (1) + (4) se obtiene:	2x = 4/ctt + —
x = 2k7t +7 ; V k g Z
O
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
59	.- Transformaremos el sistema hasta obtener una ecuación en términos de la cotan-
gente. Veamos cómo se logra:
cosx + cosy 1+2
Aplicamos propiedad de proporciones en (2) se obtiene:	—7
Transformando a producto los términos de la fracción del 1er miembro:
2co;
2sei
= 3 => cot
x+y
2
x-y
2
= 3... (3)
Reemplazando (1) en (3): cot
x+y
2
71
. COt —
o
..(cotj = 73)
o
. cot
= 3
=> cot
3	n
%=6
+y ti	ti
— = kn + — => x + y = 2kn + - ...(4)
x + y
2
Haciendo (4) - (1):
2y = 2kn
y = kn ; V k g Z
60.- Este sistema se puede resolver si transformamos la ecuación (2) a un
cosenos, de modo que sea posible obtener una relación adicional para los
producto de
arcos dados:
=> 2 eos
x+y
2
. cos
x-y
2
= 1 ... (3)
71
Reemplazando (1) en (3): 2 cos — . cos
x-y
2
= 1
=> 2
eos
x-y
2
= 1
= 1
De esta ecuación se deduce que:
x-y
-r- =2kn
2
x - y = 4kn .. (4)
Haciendo (1) + (4), obtenemos «x»:
2x = 4krt +
271
3
71
x = 2k7t + — ;
V ke Z
2ti
Efectuando (1) - (4), obtenemos «y» : 2y = ~
4kn
y = — - 2k7t ; V k g Z
3	3
61	.- Tal como se planteó el problema anterior, transformamos a producto la ecuación (2)
con el específico propósito de obtener una nueva relación entre los arcos dados:
=> 2 cos(x + y). cos (x - y) = 0 ... (3)
R19
¡6121 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
2n
Reemplazando (1) en (3): 2 cos~ . cos(x - y) = 0
=>	2 j . cos(x - y) = 0	=> cos(x - y) = 0	=> x - y = (2k + 1) ~	. (4)
71 2ti
Haciendo (1) + (4) se obtiene «x»:	2x = (2k + 1) — + —
71	71
.-. x=(2k + l)- + - ; VkeZ
62	.- En este problema transformamos el sistema de modo que sea posible obtener una
nueva relación en términos del seno. Veamos:
De(l) se puede establecer que:	sen y — - sen x
2	2
Elevando al cuadrado ambos miembros: sen y - sen x .. (3)
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:	2 sen x = 0
=> sen x = 0	.-. x = kn ; VkeZ
63	.- Este tipo de sistema se resolverá transformando a producto cada ecuación. A partir
de esto se obtendrá una nueva relación entre los arcos dados en términos de la tangente.
Veamos:
	rx+y^			I 7ó
a) Transformamos a producto la ecuación (1):	2 sen	2 ;	. eos	l 2 J	| = T -(3)
	x + y 'i			1 72
b) Transformando a producto la ecuación (2):	2 eos	2)	. eos	l 2 J	|=V--(4)
í x+ y Dividiendo miembro a miembro (3) (4): tanl J	| = 73 =>		6P=	71 3
x+y 71
Luego el conjunto de solución será:	—= kn. + ~; V ke Z
x + y = 2kn + ^r ;VkeZ
64	.- Nuestra estrategia consistirá en transformar el sistema dado de forma que se obten-
ga una relación en términos de «x» . Veamos:
2	2	2	2
Usando diferencia de cuadrados en (1): (sen x cos y)(sen x - cos y) = 1 . . (*)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
•y	7
Reemplazando (2) en (*) se obtiene: 1. (sen x - cos y) = 1_(3)
Haciendo (2) + (3) : 2 sen2x = 2	=> sen2x = 1
=> sen x = ± 1	x = (2fc + 1)2 ; V 1 e Z
65	.- Este sistema requiere ser transformado a una nueva ecuación en términos del cose-
no. Para ello debemos apelar a un grupo de identidades especiales. Veamos:
Transformando a producto la ecuación (1):
Transformando a una suma la ecuación (2):
„	(x + y 1	[ x-y 1 .
2 sen ---2- . eos ---— = 1... (3)
l 2 J l 2 J
3
cos(x + y) + cos(x - y) = ~ ...(*)
2l “I
Aplicando en (*) la identidad: cos(x - y) = 2 cos I „ 1-1
.	21 X-y
=> cos(x + y) + 2 cos -—
7
2cos
- - cos(x + y)... (4)
De la ecuación (3) despejamos:
Reemplazando (5) en (4) obtenemos:
1
O 2f X+y)
2sen ---—
l 2 J
5
- - cos(x + y) ... («)
Y recordando que: 2 sen2í X + ^ 1=1- cos(x + y)
1
5
Al aplicarlo en (**), se obtiene: i_cos(x+y) =	~ cos(x + y) ... (6)
Resolviendo (6), se obtiene:
1
cos(x + y)= -
n
x + y = 2kn ± —
V ke Z
66.- La estrategia consistirá e transformar el sistema dado de modo que se obtenga una
nueva relación en la que solo figuren las tangentes de «x» e «y», lo que permitiría iden-
tificar el tipo de relación que existe entre dichos arcos.
R19
614
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JP-DITO...
Aplicando la identidad de la tangente de una suma de arcos en (2), tendremos:
tanx + tany	4
1-tanx.tany = 3	- - - (3)
1	4	1
Reemplazando (1) en (3): 1_tanx tany = 3	=> tan x . tan y = - ... (4)
1
Resolviendo (1) y (3) encontramos que: tanx = tany =~ => y = arc tanl~l
Luego el conjunto solución será:	y = kn + arc tan (y I ; V k e Z
67.- En base a la aplicación de identidades recíprocas, debemos obtener los valores de la
tan x y tan y, para luego y a partir de éstos, identificar las soluciones generales. Esto lo
empezaremos expresando (2) en términos de tangentes:
1
tanx
tan y = i/3
tan y = i/3 . tan x ... (3)
Reemplazando (3) en (1) se obtiene: tan x + V3 tan x = 1 + 43
n
Transponiendo términos:
tan x =
tan x = 1 => 0p =
Luego el conjunto solución para x:
x = fai+7; V lee Z
4
Reemplazando tan x = 1, en (1):	1 + tan y = 1 + J3
=* tany=V3 6p=^
Luego el conjunto solución para y:
y = nn +	, V 11 e Z
J	3
68.- Este sistema lo resolveremos transformando el sistema en una ecuación de 2do
grado y en términos de la tan x. Veamos:
Aplicando la identidad recíproca cot y = -- en (1):
1		
	O	(3)
tail A	— Z	
tany		
1
De (2) despejamos convenientemente: tan y = 2 -	* .	(4)
1	n	t	tanx	„		
Reemplazando (4) en (3). tan a +	i 2		— z.		Ldll A -t- o .	^1— Z 2 . tanx-1
tanx
4
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
615
2	71
Efectuando y factorizando nos queda: (tan x - 1) = 0 => tan x = 1 => 0p = —
El conjunto de solución sera:
n
x = kn+ — ke Z
4
SOLUCIONES PARTICULARES
71
69.- Como:	x + 2y = ~ =x sen 2y = cos x... (3)
V7
Reemplazando (3) en (2): sen 2y =	. sen y
Sustituyendo el 1er miembro por la identidad del sen del arco doble:
\	V7\
2sfeqv.cosy = — -SetJ^y
V7
cosi/= —
3	4
sen y * 0
De estas relaciones se concluye que: y = arc cos
/7
4
Tt
Reemplazando en (1):	x + y + y = y => x + y + arc cos
J7
4
71
7
n	Tt
x + y =	- are cus
70.- Nuestra resolución la iniciaremos aplicando la identidad de la tangente de una
diferencia en la ecuación (2), para de allí obtener la tangente de la suma de arcos:
Tt
tan---tanx
4
-----	 = tan y
,---71------3
1 + tan—.tanx
4
1-tanx
T+tañx =tany
1 - tan x = tan y + tan x . tan y
tanx + tany
1-tanx. tan y
tan(x + y) = 1
x + y = 7 • •  (3)
Haciendo (1) + (3), se tiene:
5ti
2X= 12
5n
24
Haciendo (5) - (1), se tiene:
71
2y= 12
5
RACSO
WIDITO1IÍ
R19
¡616| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
71.- Nuestra estrategia consistirá en degradar la ecuación cuadrática para luego obtener
una ecuación en términos del coseno de una diferencia de arcos. De allí se establecerá
una nueva relac jn entre los arcos participantes. Veamos:
o	o J	J
Hacemos 2x (2):	2 sen x + 2 sen y = ~ =>	1 - cos 2x + 1 - cos 2y = —
1 1
=> cos 2x + cos 2y = -	=>	2 cos(x + y). cos(x - y) = — .... (3)
* í ” 1	1
Reemplazando (1) en (3): 2 cos I	I  cos^x " V) =
. cos(x - y) =
cos(x-y) =
6-V2
5n
x-y = 2kK± — . ...(4)
5ti 71
Haciendo (1) + (4): 2x - 2kn + ~ + ~
5n n
x = kn± — + —; V keZ
Para obtener la menor solución positiva hacemos: k = 0
71
4
72.- Procediendo tal como lo hicimos en el ejercicio anterior, tendremos:
2	2
Hacemos 2 x (2): 2 sen x + 2 sen y = 2	=>	1 - cos 2x+ 1 - cos 2y = 2
=> cos 2x + cos 2y = 0	=>	2 cos(x + y). cos(x - y) = 0	. (*)
De (1) reemplazamos en (*):	2 cos 6 . cos(x - y) = 0
71
Por condición: cos 0*0, entonces: cos (x - y) = 0	=> x - y = — ... (3)
71	0 7t
Haciendo (1) + (3) encontramos: 2x = 0 + —	.-. x = — + —
73.- Lo que haremos es transformar a producto la ecuación (1) para obtener el coseno de
la diferencia de arcos y a partir de allí obtener una nueva relación entre los arcos:
2 sen(x + y). cos (x - y) = -J2 ... (3)
Reemplazando (2) en (3):
2. 1 . cos(x - y) = J2
J2
cos(x-y)=—. .(4)
2
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
x-y= 7 -- (5)
Como: x, y e \0; a sen(x + y) = 1 => x + y = — ... (6)
3tt	Tt
Resolviendo (5) y (6), obtenemos:	x = “ y = —
74	.- Transformaremos el sistema a fin de obtener ecuaciones en términos de la suma y
diferencia de los arcos dados. Veamos:	>
Hacemos (1) + (2): sen x. cos y + cos x . sen y = 1
Tt
=>	sen(x + y) = 1	=> x + y= -
1
Efectuamos (1) - (2): sen x. cos y - cos x. sen y = - —
...(3)
1
sen(x-y) = - -
x - y = arc sen
Resolviendo (3) y (4):
Tt	fl
y = ~ + arc sen —
4	I 5
75	.- Tal como se hizo en el ejercicio anterior, transformamos el sistema a fin de obtener
ecuaciones en términos de la suma y diferencia de arcos. Veamos.
Haciendo (2) + (1): cos x. cos y + sen x. sen y = 0
Tt
=>	cos(x-y) = 0	=> x-y= ~	(3)
Efectuamos (2) - (1): cos x. cos y - sen x. sen y = 1
=>	cos (x + y) = 1	=> x + y = 0... (4)
Tt	Tt
Resolviendo (3) y (4) obtenemos: x = — A y = -
76	.- Transformamos el sistema de modo que se obtenga una ecuación en términos del
coseno. Veamos:
2	1
Haciendo (1) - (2), se obtiene: sen y - 2 cos y = - —
2	2
Aplicando en (*) la identidad pitagórica: sen y = 1 - cos y, se obtiene:
9	1	9
=>	1 - cos y + 2 cos y = - ~	=>	4 cos y + 8 cos y - 5 = 0
R19
618
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITOUI
Factorizando, se establece:	(2 cos y + 5)(2 cos y - 1) = 0
Igualando a cero cada factor:
5	1
cos y = - ~ (No puede ser) v cos y = ~	=> y = 60°
(H 1	1	.
Reemplazando en (2): 2l — l-senx=~ => senx=~	x = 30°
77	.-Transformamos el sistema de modo que sea posible obtener un sistema equivalente
en términos de cosenos. Para ello aplicamos las identidades básicas en (1):
----2—— =1	=> cos x. cos y = sen x . sen y... (3)
cosx.cosy
1
Reemplazando (2) en (3):	cos x. cos y = ~ ... (4)
1
Haciendo (4) + (2): cos x. cos y + sen x. sen y = —
1	71
=>	cos(x-y)=~ =>	x-y=-...(5)
Efectuando (4) - (2): cos x . cos y - sen x . sen y = 0
71
=>	cos(x + y) = 0	=> x + y= - ...(6)
Resolviendo (5) y (6):	y = —
78	.- El sistema tiene una dependencia de «a» que contribuye en definir signos para el
seno y coseno. Por tal razón procederemos a transformar de manera que se obtenga el
seno y coseno de la suma y diferencia de los dos arcos. Veamos:
Sabemos que: sen a. cos 0 < 1, V (a, 0| e R => sen x. cos 2y < 1... (3)
Reemplazando (1) en (3): c2 + 1 < 1
c2<0=>
fi2 <0
fi2 =0
(No puede ser)
(Si)V
De este análisis concluimos que:
sen x. cos 2y =1... (I)
Asimismo en (2), nos queda:
cos x . sen 2y = 0 ... (II)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
Haciendo (I) + (II): sen x. cos 2y + cos x. sen 2y = 1
=>	sen(x + 2y) = 1
Efectuando (I) - (II): sen x. cos 2y - cos x. sen 2y = 1
=>	sen (x - 2y) = 1
71
Resolviendo (4) y (5) se obtiene:	x = — A y = 0
7t
=> x + 2y= — ...(4)
> x-2y = ~ ... (5)
79	.- Transformaremos el sistema para obtener una ecuación en términos del seno y de
ella obtener los valores correspondientes para «y».
Transformamos (1):	sen x . —-— =1	=> sen x = cos y ... (3)
cosy
1
Reemplazando (3) en (2): sen y. cos y = —
1
Multiplicando por "2" ambos miembros: 2 sen y. cos y = —
Por arco doble:	sen 2y = — => 2y = — v 2y = —
2	6	6
ti	5n
v y=12
80	.- Transformamos el sistema para expresarlo en términos de cosenos de la suma y
diferencia de arcos. Veamos:
Haciendo (2) + (1): cos x. cos y + sen x. sen y =
'6+V2
4
cos(x-y) =
6+V2
4
7t
x-y= — ... (3)
Efectuando (2) - (1): cos x. cos y - sen x. sen y =
'6-V2
4
cos(x + y) = -
6-V2
4
7ti
X + y= 12 "-(4)
Resolviendo (3) y (4): x = j e ( 0; A y = e < 0;
RACSO
PIDITOB.B*
R19
620
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
81.- Multiplicando por (3) la ecuación (2): 18 sen x - 3 tan y = 6	... (3)
Haciendo (1) + (3):
Reemplazando en (1):
20 sen x = 10 -Js
V3
senx= —
2
+ 3 tan y = 4 J3
tan y = V5
n
3
y=
«13
82.- Aplicando la propiedad de proporcionalidad en (1):
tanx + tany tanx-tany	(J3 +1) + (J3-1) (V3 + l)-(j3-l)			tanx + tany tanx —tany	= J3 .. (3)	
Pero: tan x ± tan		sen(x + y) y _ cosx.cosy	=>	sen(x + y) sen(x-y) "	J3 .	(4)
(2) en (4): sen (x	+	r~	71 y) = v3 sen -	=>	71 sen — = o	1_ 2	
=>		sen(x + y) = — y (x + y)e(^,n)	=>	x + y=-	2n 3~	•(5)
5n
Haciendo (2) + (5):	2X 6	x, _ 5
Efectuando (5) - (2):	3n 2y= ~6	y 3
83.- Este sistema se resolverá por eliminación y sustitución de algunas RT. Veamos:
Dividimos (1) (2):	senxseny se ni/.se 112	2	=>	sen z = 2 sen x... (4)
Reemplazamos (4) en (3):	(sen x)(2 sen x) =	2 2	=>	2	1 sen x = ~ 4
	=> sen x =	2	=>	x = 30°
1 Reemplazando en (3): —	1 . sen z = —	>	sen z = 1		=> z=90°
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
1
i i	,'2	-J2
Reemplazando en (1): I 2 I sen V =	=> sen V = ”2” =* V = 45*
Finalmente:
x + y + z = 165"
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
84.- Recurrimos a la identidad del arco doble, para transformar la inecuación y elaborar
otra que sea factoiizable. Veamos:
2 sen 3x . cos 3x < 5 sen 3x => sen 3x (2 cos 3x - 5) < 0 ...(*)
Recordamos que:
Multiplicando por 2:
Restando 5:
Por lo tanto en (*):
-1 < cos 3x < 1, v k g R
-2<cos3x<2
-7< 2 cos 3x-5 <-3
U(+)
s«K3x
COVo
<0
sen 3x > 0

De la circunferencia trigonométrica (C.T), se observa que: 0 < 3x < 71
Pero por ángulos coterminales se tiene: O + 2Jc7i<3x<7t + 2krt; V ke Z
Despejando:	x e
85.- Transformamos a producto la suma de senos, y tendremos:
í 7x + 3x í 7x — 3x
2 senl —-— I cosí —-— I < 2 sen 5x => sen 5x . cos 2x < sen 5x
Transponiendo términos y factorizando:	sen 5x(cos 2x - 1) < 0	...(*)
Recordamos que: -1 <cos2x< 1, V te R =>	- 2 < eos 2x-1 <0
<6
Por lo tanto en (*) se debe cumplir que:	sen 5x > 0
De la circunferencia trigonométrica (C.T), se observa que: 0 < 5x < n
Pero también por ángulos coterminales se tiene:
2kn < 5x < ti + 2kn,	VkeZ
/2kn. ti . 2fc7t\
XG \5~' 5+~57

RACSO
IOITO11I
R19
622
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
86.- Transponiendo términos y factorizando tendremos:
(2 senx + ^3 )(2 sen x -	) > 0
Analizando por el método de los puntos críticos:
i) 2 sen x + v3 = 0 => sen x - —y-
2 sen x - -J2 =0 =>
Analizando en la C.T se concluye que:
/n3n\	/4n5n\
XG \4Z 4 / v \ 3 ' 3 /
87.- Transformamos la expresión en términos de coseno. Veamos:
1 - cos26x 4- 1 - cos 6x > 2 =>
- cos26x - cos 6x > 0 => cos 6x(cos 6x + 1) < 0,
Analizando por separado tenemos: cos 6x . (cos 6x + 1) < 0 cos 6x(cos 6x + 1) = 0
a) De la primera relación:
71
0 <x < ~
=> 0 < 6x < 3ti
=> -1 < cos 6x < 1 =>
0 < eos 6x+l ^2
>0
cos 6x < 0
ti 3ti 5ti 7n	ti
6xG<y, ^)	<-£,—) => *e<12
-(I)
Por condición: x g (0;	=> x G (~ , — )
b) De la segunda relación:	eos 6x = 0	u	cos 6x = - 1
	71 371 571 6x=	~	u	6x = ti, 3tt
•	71 71 571 X= 12'4'12	u	71 71 X= 6'2
	(II)		(III)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonotn tricas
R19
623
De (I), (II) y (III):
71 Tt
12' 4
5n Tt
12' 12
88.- De álgebra sabemos que: | a | <b <=> -b<a<b
Aplicando esta propiedad en el problema:
- 1 < sen x + cos x < 1
Dividiendo por 2 a todos los términos:
Identificamos el desarrollo del seníx+5
11	V3	1
y < — . sen x +	cos x <
cosí^)
-|<sen(x+f)<|... O
Para que se cumpla la condición (3), de la C.T. se observa que:
71	71	71
6<X+ 3 <6
Asimismo los otros intervalos de solución
se obtiene sumando kn. vueltas a los valo-
res extremos:
71	Tt	71
+ kn<x +	—	< kn+	~
b	o	o
=> re
re ^(2k —1)~; (6k-l)
VkeZ
89.- Factorizando tenemos:	cosx (cos x - 2) <0 ...(*)
Analizamos cada factor para que verifiquen la desigualdad.
De la condición tenemos:	_
-Tt
- 2n < x < 0 => -1 < cosx < 1
Sumando -2:	- 3 <cos x-2 <-1
' <6
-2n
0
Reconociendo que este término es negativo, en (*) concluimos que:
cos x > 0
Finalmente en la C.T. se observa que:
.-¿A RACSO
'JPbditobbb
R19
624
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
90.- Transformamos la expresión en otra que presente un producto indicado de factores.
Transponiendo términos:
Transformando a producto:
Dividiendo por -2:
eos 7*-eos 3x <0
a producto
- 2 sen 2x. sen 5x < 0
sen 2x . sen 5x > 0	(*)
Analizaremos cada factor, empezando por la condición del problema:
n
0<x< ~
> 0 <2x <7t
=> 0 < ^en 2x < 1
>o
Si este factor es positivo, en (*) concluimos que:
sen 5x > 0
De la C.T. se observa: 5x e ( 0; Tt) o ( 2n; 3ti)
” xe (°; ?)u (¥; ¥)
Tt
Pero dado que:	0 < x < —
91.- Despejando:
cos 2x < cos
2tt
3
Debemos tener en cuenta que: - 1 < coseno < 1
1
cos2x<- — - --(*)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
625
2ti	4n
— + 2kn<2x< — + 2kn ; VkeZ
xg [f+fcK; ^+kn\
92.- Empezaremos planteando las siguientes restricciones:
i) sen x * 0 => x * mu, tneZ
71
ii) cos x * 0 => x * (2n + 1) —, n g Z
kn
De (i) o (ii) se tiene que: x * V k g Z
Aplicando las identidades del arco triple,
tendremos:
senx(2cos2x+l) cosx(2cos2x-l)
senx + cosx <
Simplificando: 2 cos 2x + 1 + 2 cos 2x - 1 < 2
kn
De la restricción: x * — => 2x*kn =:
cos 2x * cos(/c7t) cos 2x * ± 1
Para que se cumpla la condición (*), usamos la circunferencia trigonométricas (C.T.):
7t	5ti
— <2x<n u tt<2x< —
Pero también por ángulos coterminales se tiene:
— + 2Á7t < 2x < 7i + 2Á7t u 7t + 2kn < 2x < — + 2fat
Despejando:
xg ^ + kn; ^ + kn^ VJ ^ + fcn; ^ + kn^, VkeZ
93.- En este caso es imprescindible recordar la identidad del arco triple (degradación) y
del arco compuesto.
3	3
4 sen x = 3 sen x - sen 3x A 4 cos x = 3 cos x + cos 3x
cos(3x + x) = cos 3x . cos x - sen 3x . sen x
,,	,	,	„ /'3senx-sen3x’l „ /'3cosx-cos3x V 1
Reemplazando:	sen 3x1-------------1 - cos 3x1------------l> —
^RACSV
^*BDlToa.ki 
R19
626 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Efectuando y ordenando: -3(cos 3x-cos x-sen 3x-sen x) - (sen* 23x+cos23x) >2
cos(3x+x )=cos 4x
Sustituyendo por las identidades:
Multiplicando por (-1):
- 3 cos 4x > 3
3 cos 4x < - 3	=>
cos 4x < - 1
De lo cual se deduce que:
cos4x < -1
absurdo pues
—I<cos 4x<l
u cos 4x = - 1
cos 4x = - 1
Resolviendo esta ecuación trigonométrica:
4x = (2/c ± 1)ti
T ± 4; v fcG z
94	.- Empezamos por las restricciones:
Tt 371
4(1 + tan2x) - 8 tan x < 1
71
i)	Tanto para la tan x y sec x; 3 , si x * (2n + 1) ~, n 6 Z
2
Aplicando la identidad pitagórica de la sec x :
Efectuando y factorizando:
(2 tan x - 3)(2 tan x - 1) < 0
1
2
3
2
© r
Resolviendo por el método de los puntos críticos:
3
i) 2 tan x - 3 = 0 => tan x = ~
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
1	3
arc tan*2 + kn<x <arc tan2 + kn;Xf ke Z
/. x e {are tan~ekn; are tan-^+kn^
95	.- Sea: a = 3x + —	=> tan a > 1.
Planteando la restricción:
tan a 3 si: a * (2n + 1) y, n g Z
71	5n
Recordamos que: tan~ = tan— = 1
4	4
PSra que se cumpla la condición (*), de la
C.T. se observa que:
n 71
4 <a< 2
Así mismo los otros intervalos de solución
se obtienen sumando kn vueltas:
— + kn < a < — + kn: V k g Z =>	—
4	2	4
kn<3x < — + kn =>
4
xg fe2L + ^E\; vfcez
\ 3 12	3 /
96	.- Empezaremos planteando las restricciones:
71
tan x 3 y sec x 3 si x * * (2n +1) —, n g Z
Aplicando la identidad pitagórica y del arco doble, tendremos:
tan4x + 8tan3x + 2(1 + tan2x) - 8 tan x - 1 < 0
=> tan4x + 8tan3x + 2tan2x - 8 tan x + 2 - 1 <0
Agrupando convenientemente: tan4x -1+8 tan3x - 8 tan x + 2 tan2x + 2 < 0
(tan2x - l)(tan2x + 1) + 8 tan x (tan2x - 1) + 2(tan2x + 1) < 0
R19
628
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 DITOM.BB
Factorizando:
(1 + tan2x)[tan2x - 1+
7
8tanx(tan x —1)
------*---5------ + 2]< 0
1 + tan x
Pero: 1 + tan2x * 0, simplificamos :
tan2x- 1+
7
8 tan x( tan x-1)
l + tan2x
+ 2 < 0
7
2 8tanx(l-tan x)
Despejando: 1 + tan x <-----—5^--------
1
~ < 2 . sen 2x . cos 2x
1
sen 4x > — ... (*)
Usando la circunferencia trigonométricas
ti	5rt
(C.T), se observa que: ~ < 4x < —
O	o
Pero también por ángulos coterminales se tiene:
Tt	5n
— + 2kn < 4x < — + 2krt; VkeZ
6	6
Despejando: x G
1	2 tanx l-tan2x
< 2.	7	7
2	1 + tan x 1+tan x
97	.- Empezamos planteando las restricciones, tanto la cot x y csc x , 3 , si:
x*hti, hgZ => x*0;Tu2rt
Notamos que el denominador es diferente de cero, pues: csc x < -1 v csc x > 1
Expresando en términos de senos y cosenos
cosx
COSX +-----
-----2 serLY <0	=> cos x(sen x + 1) < 0 ...(*)
senx
Para el análisis de cada factor, empezaremos por la restricción establecida:
Si x * nn => sen x * sen(nrt) => sen x * 0
=> -l<senx<0 u 0<senx<l => 0<senx + l<l usenx + l<2
Como en ambos casos el factor es positivo, en (*) tendremos que: cos x < 0 ... (**)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
629
Considerando el intervalo dado para «x», la relación
(**) se determinará usando la circunferencia
trigonométrica (C.T), donde se observa que:
71 3ti
Pero de la restricción x * ti:
98	.- Observamos que tanto la tan y la cot, en el intervalo dado, no presentan restricción
alguna ya que x * 0; ti/2. A continuación transformamos la inecuación aplicando la
identidad del arco mitad: tan x = csc 2x - cot 2x. Veamos:
cot 2x + csc 2x - cot 2x < 2
csc 2x < 2... (*)
Sea: f(x) = csc 2x, determinamos su período:
2ti
T=T="
Al elaborar la gráfica de la función f y encontra-
mos que:
1
csc 2x = 2 => sen 2x = —
71 5ti
De lo cual se deduce que: 2x = ~; —	=>
6	6
Para que se cumpla la condición (*), del gráfico se observa que:
99	.- Si la función / se encuentra definida,
entonces se debe cumplir que el radican-
do debe ser positivo, es decir:
2	2
|senx| - “ |x| >0 => |senx|> — |x|
2
Sean: g(x) = | sen x | y h(x) = — | x | funcio-
nes cuyas gráficas son las que se mues-
tran al lado. De este gráfico se observa que:
RACSO
DITOHIB
R19
630
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
g(x) > h(x)
Solo se verifica en:
„e y {ojf)
100	.- Por condición el problema: f(x) > 0
sen 3x + sen x - sen 2x > 0
2 sen 2x cos x - sen 2x > 0
transformando a producto
Factorizando la expresión común:
sen 2x(2 cos x - 1) > 0
Teniendo en cuenta la regla: ab >0
Analizamos en el intervalo dado:
i) Si: sen 2x > 0 =>	( 0; n)
y: 2 cos x - 1 > 0 => cos x > —
De estos resultados: x 6
ii) Si: sen 2x < 0
2X6 <7i;2ti)
y 2 cos x - 1 < 0
1.
2
ó
De estos resultados podemos deducir que:
 - (2)
De (1) y (2) concluimos que:
XG ¿0; u jó
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
101.- Procederemos como lo hicimos en el
Prob. 10, esto es, graficamos las funciones
f y g en el intervalo (0; 2ti), tal como se
muestra en la figura adjunta.
De este gráfico se observa que:
f(x) > g(x)
solo se verifica para el intervalo:
ti 3n\
2'T/
- fot}
102.- Dividimos entre 2 y se tiene:
1	V3
— sen 2x + cos 2x < 0
Reconocemos que el 1er miembro es:
cos(2x^) <0
Usando la circunferencia trigonométricas
(C.T.) reconocemos que para que se cum-
pla la condición (*), se debe cumplir que:
ti n 3n
Por ángulos coterminales, se tiene:
71	71	371
— + 2krt < 2x - — < — + 2kn
2	6	2
VkeZ
2ti	5ti
=> — + 2kn <2x < — + 2kn
ti	5ti
— + kn < x < — + kn ... Solución General
3	6
Para obtener los intervalos de solución, daremos valores enteros apropiados para "k"
haciendo una evaluación en el intervalo dado: [0; ti].
Si: k = 0
Si: k = 1
71	5ti
3 <x<~6
4ti	1171
=> — <x< — *[0;ti]
In 5n
\3' 6 ,
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A RACSO
P BDITOIBI
103.- En primer lugar veremos la forma de transformar la inecuación para ponerla en
términos del seno de una suma de arcos. Para ello recordamos la identidad del arco
doble (degradación):
2senz(“x) = l-cos 2^-xj =>
2sen2
= 1- sen 2x
2senZ^-xj = 1 - cos^y-2xj
Reemplazando, tenemos: cos 2x - [1 - sen 2x] >0	=> sen 2x + cos 2x > 1
1 1 1 1
Multiplicando por	sen 2x + cos 2x > r
Reconocemos que el 1er miembro es el desa-
rrollo del arco compuesto:
De la circunferencia trigonométricas, vemos
que la condición (*) se verifica si:
3rr
T
Por ángulos coterminales se tiene:
ti	ji	3n
— + 2kn<2x + — < — + 2kn; V fc e Z
4	4	4
^ + /c7t]... Solución General
71
=> 2kn<2x< — + 2kyi
Para obtener los intervalos de solución, daremos valores enteros apropiados para "k"
haciendo una evaluación en el intervalo dado: [0; 2tt].
Si: k = 0 => x e
M]
k = 1 => XG
k=2 => xg
XG [o; u[ít; o{271}
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
104.- Factorizando: ( 2 sen x + V3 )( 2 sen x - 1) < 0
Por el método de los puntos críticos: 2 sen x + V3 = 0 => sen x = - ——
De la circunferencia trigonométricas (C.T.) la condición (*) se verificará si:
(ti. ti\ /5ti. 4ti\	/5ti. 13tt\
3' 6/ ° \~6' -3)	\~3' T7
Nótese que sólo estamos planteando tres intervalos para resolver el problema en base a
la condición inicial que indica x e (0; 2ti). En cualquier otro caso se recomienda plantear
el conjunto solución. Para nuestro caso la respuesta final es:
*e (0;í)
105.- Aplicando la identidad del arco doble tendremos:
2
2 sen x. cos x + 1 - 2 sen x + sen x - cos x < 1
=> 2 sen x(cos x - sen x) - (cos x - sen x) < 0	=> (cos x - sen x)( 2 sen x -1) < 0 ... (1)
7t 5rt
En la circunferencia trigonométrica (A), analizamos para: ~ < x < —
En este intervalo se cumple que:	cos x < sen x => cos x - sen x < 0 ... (2)
1
De (2) en (1): por lo tanto se cumple que: 2 sen x - 1 > 0 => sen x > — - - - (3)
R19
634
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WlDITCIBl
De la circunferencia trigonométrica (B), analizamos la condición (3), la cual se cumple cuando:
/ti. 5tt\
\6' 6/'
pero de la condición del problema: x e
/ti. 5n\
\4' 4/
Por lo tanto al intersectar los dos intervalos se tiene que:
71.571
4' 6 ,
106.- Transformamos la inecuación aplicando la identidad del arco doble:
Multiplicamos por 2:
2 sen2x + 2 eos2* <2 =>
v V 17	-v---z
1 - cos 2x + 1 + cos 4x < 2
Reducimos términos:
cos 4x - cos 2x < 0
Transformamos a producto:
Multiplicado por 1/2 :
- 2 sen x sen 3x < 0
sen x . sen 3x < 0
Esta relación la analizamos así: sen x. sen 3x = 0 o
i) De la Ira. se plantea:	sen x = 0	v
=>	x = 0; ti. . .(1)
71 2ti
=>	x=0;—;ti.. .(2)
En (*), como: 0 < x < ti	=> 0 < sen x < 1
iii) Solo falta analizar:	sen 3x < 0 ... (3)
Usando la circunferencia trigonométricas (C.T.)
Para que se cumpla la condición (4), de la C.T. se
observa que:
sen x. sen 3x < 0 ...(*)
sen 3x = 0
3x = 0; ti; 2ti; 3ti
(seno)
f y
1
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
n<3x<2n	=> x g	. (4)
Finalmente de (1), (2) y (4), la respuesta es:
XG
71.271
3' 3
u {0; se}
107.- Reduciendo al I cuadrante:	cos\2+^/ =-sen ~2
Además por arco complementario: sen^-xj = cos x
Reemplazando tenemos:	-senl I - cos x > 0
Transformando por arco doble:	-sen — - (l-2sen2-^) >0
9/ X	í X
Ordenando convenientemente: 2 sen — - sen — - 1 > 0
l2J	l2J
Factorizando:	^2sen-^ + 1) (sen^'1) > 0 - - - (1)
Analizamos estos factores, según condición:
x
x G ( 2ti; 4ti> => — G ( ti; 2ti)
x	x
a) En este intervalo, se verifica que: -1 < sen— <0	=> -2 < sen— - 1 < - 1
Esto significa que este factor es negativo
b) Según el análisis anterior deducimos que (1) se cumplirá si:
R19
636
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
1DITOUI
108.- Despejamos y aplicamos una factorización por diferencias de cuadrados:
4	4
eos x - sen x < 0
(eos2 x - sen2 x) (eos2 x + sen2 x) < 0
cos2x	1
eos 2x < 0...(*)
En la circunferencia trigonométrica, he-
mos ubicado los siguientes valores:
Para que se verifique (*) se observa que:
371
2
<2x<-
71
2
7tt
2
5ti
~2
Solo estamos proponiendo dos intervalos con arcos negativos para resolver el problema
en base a la condición inicial que indicas: x e [-2ti; ti]. En caso contrario se recomienda
plantear el conjunto solución. Despejando tenemos:
-3Z<x<-%
,4	4
se descarta por
condición inicial
7tt
T
5ti
4
/ 7tc. 5ti\
xe V 4' 4/
109.- Transformando la expresión por medio de la identidad del arco triple y del arco
compuesto:
(3cosx + cos3x\	Q /3senx+sen3x\ _	5
------4------) cos3x-^--------) sen3x < g
, , 5
3(cos 3x-cos x-sen 3x-senx) + (cosz3x + sen 3x) < —
cos(3x+x) = cos4x	=1
3	1
=>	3 cos 4x < — => cos 4x < ~ ....(*)
En la circunferencia trigonométrica (C.T.) hemos ubicado arcos relacionados con el
valor del coseno de (*):
71
5tt 1
cos 3 — cos 3 - 2
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
637
Para que se cumpla la condición (*) de la
C.T. reconocemos que:
ti 5ti 7ti IIti
Despejando: ^2 <x< ]2 ° ^2<X<^^
se descarta pues x e
M)
110.- Empezamos planteando las restricciones del 1er miembro de la inecuación:
i) sen x * 0 => x * mk, m e Z => x * 0; ti
71	71
ii) cosx*0=> r*(2n + l)-,ne Z => x*~
En forma analítica y recordando la identidad del arco triple y arco doble, tendremos:
3senX—4sen x	(4cos x —3cosx)
cos3x
3
sen x
3
2
sen x
4-^-
. cos2x
Ordenando:
sen2 x + eos2 x
9	7
sen xcos x
>24
2	2
1 > 8 sen x cos x
2(2 sen x cos x) < 1
9
2 . sen 2x < 1
3
1 - cos 4x < 1
cos 4x > 0 ... (1)
En la circunferencia trigonométricas C.T. ob-
servamos que la condición (1) se cumplirá si:
71 ti 3tt 5ti
Notar que sólo estamos planteando dos in-
tervalos para resolver el problema en base a
la condición inicial que indica xe ^0;	.
R19
638
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
P*DITOKII
En caso contrario se recomienda plantear el conjunto solución. Despejando tenemos:
n
8
71
8
3ti 5tt
Finalmente por la condición x e
M)-
la respuesta es:x G
0; ?1 u fe %\
i o j L °
111.- Sean/(x) = |sen'|j y g(x) = Ieos x I#
funciones cuyas gráficas se muestran
para x en <-7t; 2ti). Por lo tanto para que
se cumpla:
f(x)<g(x)....(l)
debemos hallar primero los puntos de
intersección entre dichas gráficas re-
solviendo la siguiente ecuación
trigonométrica:
n
= | COS X |
|sen^|= |cos x|
= COS2X
2. I I	2
=> 2sen I 2 I = 2 cos x =>	1 - cos x = 1 + cos 2x
Transformando a producto, nos queda:
=> cos 2x + cos x = 0
3x x
2 eos— cos ~ = 0
Igualamos a cero cada factor, para evaluar «x» en el intervalo dado:
3x	3x 3ti ti 3ti 5tt 7ti
i) cos~=o => -^=--^'-2'T;T'T
ti ti 5ti 7it
x = -ti;-	3 'n'~3 ;~3
x	x 3ti ti n 3n
u) eos- =0 => 2='T;'2;2;T
Los puntos de intersección que nos interesan son:
x = -3ti ; -Tt; Tt; 3tt
71 71	571
x = -7t;-
De las gráficas se observa que la condición (*) se verifica si:

Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
639
112.- Despejando se obtiene:	sen(27tx) > cos(2tix)
Sean: f(x) = sen(27tx) y g(x) = cos(2kx), fun-
dones cuyas gráficas se muestran para:
x g ^0;	’ es decir x g ( 0; 0,78)
2n
Notar que el período: Tf = Tg = — = 1
Hallemos los puntos de intersecdón entre
dichas gráficas resolviendo la ecuación
trigonométrica:
5n
~4
sen(2?tx) = cos(2tix) - >
tan(27tx) = 1
1 5
8' 8
De las gráficas se observa que: sen(2itx) > cos(2tix), es decir:/(x) > g(x), si-
xG (l;i)
113.- Nuestra estrategia será recurrir a la siguiente reladón:
- 7a2+B2 < A sen x + B cos x < 7a2 +B2 , AyBeR;VxeR
Evaluando para A = 1, B= 1, tendremos:
-72 < sen x + cos x < -Jl
1/2 - -J3 <senx + cosx- 75 <75 - -J3
Asi reconocemos que este factor es negativo, y recordando la regla:
ab<0 <=> n < 0 y fe > 0 ó a > 0 y b < 0
Planteamos que en la ecuadón dada se debe cumplir que:
2	1
cos x - — > 0	3 cos2x~l >0 cos 2x > 0 .. .(*)
arco doble
Usando la circunferencia trigonométrica C.T.) observamos que para condidón (*) se
cumplirá si:
ti rt 3ti 5n 7ti 9ti
- —	<2x< ~	u —	<2x< —	u —	<2x< —
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
^paDiTOk»
Notar que sólo estamos planteando tres in-
tervalos para resolver el problema en base a
la condición inicial que indica x e { 0; 2tt). En
caso contrario se recomienda plantear el con-
junto solución. Despejando se tiene:
* Finalmente por la condición x g ( 0; 2tt) la
respuesta es:
114.- Resolveremos como se hizo en el problema anterior. Esto es:
- 7a2+B2 < A sen x + B cos x < 7a2 +B2 , AyBGlR;VxGlR
Evaluando para: A = 1, B = - 1, se tendrá:
'2 < sen (3x) - cos (3x) < -J2
'2 +2< sen 3x-cos 3x+2 < -J2 +2
>o
Con esto hemos demostrado que el numerador de la
ecuación es positivo. Luego recordando cuando
existe la regla:
b * 0,
a
b
Ahora analizamos el denominador:
'2 sen x - 1 * 0
J2
2
7t
7
Además según la regla, se debe cumplir que:
2 sen x - 1 > 0
J2
2
(seno)
371
4
De la circunferencia trigonométricas (C.T.), observamos que la condición (*) se cumplirá si:
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
641
115.- Por definición se sabe que:	-1 < sen(3x) < 1, V x g R
Restando V5 a cada miembro: -1 - V5 <sen 3x—J$ < < 1 - -J5
<o
Ahora que hemos comprobado que el numerador del 1er miembro de la inecuación es
negativo, aplicaremos la misma regla del problema anterior, es decir:
cos 2x + 3 cos x + 2 < 0
7
2 cos x -1 + 3 cos x + 2 < 0
2
2 cos x + 3 cos x + 1 < 0
(2 cos x + l)(cos x + 1) < 0
Por el método de los puntos críticos:
1
2 cos x + 1 = 0	-> cos x = - —
cos x + 1 = 0	-> cos x = - 1
Elegimos los intervalos donde el cociente
se verifique como positivo:
1
-1 < cos x < - — ...(*)
De la circunferencia trigonométricas (C.T.),
observamos que la condición (*) se cum-
plirá si:
/2tt. 4tt\ . .
xG \ 3 ' 3 /
1
116.- Empezaremos planteando la restricción en el intervalo dado:
i) 1 - cos x * 0
- > cos 2x z 1 2x # 2áti
x*kn
x * 0; 7t; 2n
Recordando la identidad del arco doble:
2
1 - cos 2x = 2 sen x
Reemplazando en la ecuación dada:
senx
2	< 0
2sen x
2
De donde: sen x > 0 a sen x < 0
Y analizando en la circunferencia trigonométrica (C.T), se observa que:
Tt < x < 2Tt
x G (tt ; 2it>
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
>KACSO
IDlTOkll
117.- Empezaremos planteando la restricción:
Tt	Tt
tanx 3, six * (2n + l)y ,«£ Z x+ —
Recordando la regla: \a\ > b <=> a > b ó a <-b
tan x > 1 U tan x < - 1	...(*)
Usando la circunferencia trigonométrica (C.T.)
Es necesario recordar:
Tt	5rr	3ti	7n
tan , - tan~ = 1 a tan" = tan" = -1
4	4	4	4
Para que se cumpla la condición (*) de la C.T.. se observa que:
XG
(Tt. 3tt\	(ttI
4' 4 / ’ Í2J
118.- Como en el problema anterior, empezaremos planteando la restricción:
Tt	Tt
tanx 3, six* (2n + 1)~ , n g Z => x* —
Factorizando el 1er miembro se tiene:
(tan x - 75 ) (tan x - 1) < 0
+ 1	-J3
-00 ® ! O ! ® +a>
I	
Aplicando el método de los puntos críticos,
igualamos a cero cada factor para determi-
nar dichos puntos. Luego graficamos en la
recta numérica y elegimos los intervalos don-
de el producto es negativo, entonces:
tan x - 75 = 0
tanx= 75
tan x - 1 = 0
- > tan x = 1
Se observa que: 1 < tan x < 75... (*)
De la circunferencia trigonométricas (C.T.), ob-
servamos que la condición (*) se cumplirá si:
/Tt, 7t\
xe (4' 3/
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
119.- Planteando la restricción:
7t	71 371
tanx3,six*(2n + 1)~ ,he Z =>
Factorizando tenemos: (tan x - l)2. (tan x - 75 )(tan x + 75 ) < 0
2
Teniendo en cuenta que: (tan x - 1) > 0 tan x * 1
7t 5n
Por lo tanto: (tan x - 75 )(tan x + 75 )< 0... (1)
Por el método de los puntos críticos, se tendrá que:
tanx - 75 =0 tanx— 75
tan x + 75 = 0 —> tan x = - 75
-73
Elegimos los intervalos donde el producto sea negativo:
- 75 < tan x < 75 ... (2)
De la circunferencia trigonométricas (C.T.), observamos que la condición (2) se cumplirá si:
120.- En primer lugar planteamos la restricción:
i) tan 3x 3, si. 3x * (2n + 1) y
->xz(2m + 1)7 ,me Z -> x* 7;^
o	o z
71	71
ii) tan x 3, si: x * (2n + 1) ~ , n G Z, —
Transformamos el 1er miembro aplicando la siguiente identidad del arco triple:
tan3x 2cos2x+l
tanx 2cos2x-l
Reemplazando en la inecuación:
2cos2x + l
2cos2x-l
+ 1 >0
4cos2x
2cos2x-l
R19
644
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WIDITOlll
1
La restricción es: 2 eos 2x - 1 + 0 => cos 2x + ~
7t 571
3 ' T
Tt
571
T
Aplicando el método de los puntos críticos
cos 2x = 0
1
2 cos 2x - 1 = 0 - > cos 2x = ~
1
0	2
-O> ® ! G) ! ® +“>
I	I
Elegimos los intervalos donde el cociente es negativo:
1
0 < cos 2x < — ...(*)
Usando la circunferencia trigonométrica ob-
servamos que la condición (*) se cumplirá si:
71
3
7t 371
2 U ~2
5tt
3
Notar que sólo estamos planteando dos in-
tervalos para resolver el problema en base a
la condición inicial que indica x G ^0;
En caso contrario se recomienda plantear el conjunto solución.
Despejando tenemos:
X G
/n. ti\
\6' 4/
se descarta por
condición inicial
121.- Empezamos estableciendo las restricciones:
i) tan — 3, si. — * (2m + 1) — => x * (2m +1 )rt, m e Z
ii) cot x 3, si: x * rm, n g Z => x * 0; ti
Recordando la identidad del arco mitad:
x
tan— = csc x - cot x
csc x - cot x > 1 - cot x
=> csc x > 1	.. .(*)
Graficando la función csc x en (0; 7t), tenemos:
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
Para que se cumpla la condición (1) del gráfico se observa que:
x G < 0; Tt) - {y}
122.- Establecemos las restricciones del problema:
(_	\	Tt	71	71	71
- x I 3. si. ~ - x * nm x* ~, m&'Z.	* * "7 i V
4	/	4	4	4	4
71	71	ti 3tt 5it
ii) tan 2x 3, si: 2x * (2n + 1) — => x + (2n + 1)~, n G Z
Recordando el teorema del complemento :	cot^-xj = tan^+x
sen ^ + x-2x
Reemplazando tenemos: taní^+x)- tan (2x) >0 =>	---;----------- > 0
U 1	cos(^ + x]-cos(2x)
— < X —	— < X < —
4	4	4	4
Finalmente por la condición x G (0; 7t), la respuesta es:
XG
(<* ?) u
R19
646
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Pbditobis
123.- Determinamos las restricciones del problema:
71	71	371
i) tanx3, si: x * (2m + 1)~, m e Z => x* —; ~
ii) cot x 3, si: x * «71, n g Z
x*0;7t 2tt
En forma analítica y recordando la identidad del arco simple y del arco doble:
tan x + cot x = sec x . csc x = 2 csc 2x,
2 csc 2x < 1
1
csc 2x < —... (*)
Sea:/(x) = csc 2x, determinemos su período:
2n
T = — = ti (por regla práctica)
Graficamos la función f, y de ella
Para que cumpla la condición (*) del gráfi-
co se observa que:
124.- Determinamos la restricción del problema:
71	7t 371
i) secx3, si: x + (2n + l)y, n g Z	xt — ~
Factorizando tenemos: ( 75 sec x - 2)(sec x - 75 ) < 0
Por el método de los puntos críticos:
75 sec x - 2 = 0 - > sec x =
275
3
2^3
3	&.
secx- 75 =()->secx= 75
Elegimos los intervalos donde el producto sea negativo.
275
---- < sec x < 72 ... (1)
3
Sea/(x) = sec x , y graficamos la función.
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
Debemos recordar los siguientes valores:
7t 771,—
sec — = sec— = -J2
4	4
n	117t	2^3
sec ~ = sec ~~ =------------
6	6	3
Para que se cumpla la condición (1) del
gráfico se debe cumplir que:
125.- Planteamos las restricciones:
7t
i) secx 3, si: x + (2m + 1)~, m g Z
71
2
ii) csc x 3, si: x * im, n g Z
Transformando mediante las identidades del arco simple y
arco doble, tendremos:
2	2
sec x - csc x =
1 1
2 "	2
cos x sen x
—(eos2 x-sen2*)
2	2
sen x.cos x
2	2
sec x - csc x =
o
(2senx.cosx)
-4cos2x
2
sen 2x
-8cos2x
2sen 2x
-8cos2x -8cos2x
l-cos4x vers4x
Reemplazando en la ecuación :
-8cos2x
vers4x
4
vers4x
8cos2x -4
vers4x ~ vers4x
kit
De las restricciones: x * —
2cos2x +1
vers4x
4x < 2krt
—> cos 4x # cos(2Ati) —> cos 4x * 1
2>l-cos 4x >0
...(1)
-1 < cos 4x < 1
 - - (2)
Esto significa que el denominador de (1) es positivo, luego: 2 cos 2x + 1 < 0
Elaboramos la circunferencia trigonométrica.
2
2
R19
648 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
'X RACSO
W dITOI I
Es importante recordar los siguientes valores:
126.- Planteando la restricción:
71	7t 37t
tan x 3, si: x # (2m + l)y, m G Z	—
2	2
„	. ,	.	senx	sen x + cos x
Sustituyendo la, tendremos:	sen x . ---- + cos x < 2	------------- < 2,
cosx	cosx
2	2
Teniendo en cuenta que: sen x + cos x = 1, y además la condición de que:
xg	2ti } ] => cosx>0
1
Despejando:	cosx> ~ ... (*)
Elaboramos la circunferencia trigonométrica (C.’
Es importante recordar los siguientes valores:
ti 5n 1
cos-^cosy = -
Para que la condición (*) se verifique, según
C.T, se debe cumplir que:
xe [f ;2n]
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
127.- Establecemos la restricción del problema:
7t
i) tan x B, si: x * (2n + 1) —, n e Z
7t 3tt
2' ~2
Transformamos la expresión aplicando la identidad del arco simple y del arco doble
(degradación).
1
2
COS X
1 < 1 + 2 cos 2x + cos^x
2	2
=> sec x < 4 cos x
2
< 4 cos x
=> 1 < (2 cos2x)2 => 1 < (1 + cos 2x)2
cos 2x(cos 2x + 2) > 0 .. .(*)
n
Pero de la restricción: x * (2n + 1) — => 2x + (2n + l)xt => cos 2x * cos[(2n + l)n]
cos 2x * 1
Además se sabe que. - 1 < eos 2x < 1 => 1 < eos 2x + % - 3
En (1) tenemos: cos 2x > 0
Usando la circunferencia trigonométrica
observa que:
7t
2
7t
2
Pero también por ángulos coterminales:
7t	7t
- ~ + 2fai < 2x < — + 2fai
Del conjunto solución que se ha determinado, damos valores apropiados para k.
Si: k = 0
k=l
'3ti . 57t'
' 4 ¡
'7n. 9rt
t 4 '
Pero por la condición inicial del problema: x e( 0; 2ir)
xe (0;?
3n. 5n
V fce Z
4 '
k = 2
4
R19
650
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ák RACSO
jPbditokbb
128.- Nuestra estrategia será recurrir a la siguiente relación:
- Ja2 + B2 < A sen x + B cos x < Ja2 + B2 , AyBeR;VrcR
Evaluando para A = 1, B= 2, tendremos:
- V5 < - sen x + 2 cosx< -J5	=> -Jé- -J5 < >/6-sen x + 2 cos x < -Jf> + -J5
>o
a
De la regla: ~ <0«-»(a>0yb<0)ó(a<0yb>0), con: b * 0
Pues bien, habiendo probado que el denominador de la fracción es positivo, nos queda
analizar el numerador, el cual deberá ser así:
2 a	2 r	/	7	_*	1
tan x- ~ <0 => tan x < ~	=> vtan x <	=> I tanx I < —f= ... (1)
3	3	vá	'	'	_/3
De la regla: | a | <b <=$-b <a <b
Aplicándola en (1), tendremos:
J3	J3
- — < tan x <------ ... (2)
3	3
Tt 3tt
Restricciones: x * —; — para que tan x 3.
Elaboramos la circunferencia
trigonométrica (C.T.), para lo cual es im-
portante recordar los siguientes valores:
Tt	7n	73
tan— = tan-— =--------
6	6	3
5n Un J3
tan~ = tan-— = --
6	63
Para que se cumpla la condición (2), de la C.T. se observa que:
129.- Planteando la restricción:
Tt	Tt 3tt
secx3,si: x* (2n + 1) —, ti g Z :.
Despejamos:	sec x < - cos x ...(*)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
R19
651
Sean: f(x) = sec x y g(x) = - cos x, funciones cuyas gráficas se muestran en [0; 2ti]
Para que se cumpla la condición (*), del gráfico se observa que:
XG
/n. 3n\
\2' 2 /
R19
652
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
►sí RACSO
eDITOIIl
M) M a© Resolución de Triángulos
A
LEY DE SENOS
,, a senA
01.- Tenemos:	M = t -	,,
b sen o
Sabemos por la ley de senos:	=
„ ,	,	a senA	_
De donde:	t =	M = ()
b sen o
02.- Usando la ley de senos tenemos:
2________3	sen3x _ 3
senx - sen3x =* senx “ 2 ‘	'
_	sen 3x _	_	„.
Pero:	senx7 = 2 eos2x + 1... (1)
3	1	1
(l)en(*): 2cos2x+l= => cos2x =	=> 2x = árceos^
c. - 1 1
Finalmente:	x = 2 'arc cos 4
03.- Por la ley de senos:
8 4	sen 66 _
sen66 - sen26	sen26 -
Pero:	sen2Ó =2cüs46 + 1
luego:	cos 46=
Como: cos 60° =
De donde: 46 = 60°	.-.	0 = 15°
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
04.- Usando la ley se senos:	= sen(180°-26)
Pero:	sen (180 ° - 26) = sen 26 = 2 sen 6 . cos 6
F	3 4
n' '	sen6	2sene.cos6
Eliminando: sen 6*6 tenemos: cos 6 =
Luego como:
6 /l-cos6
tan 2 - ^1 + cos0
Finalmente racionalizando obtenemos:
sen(A + B)
05.- Recordemos:	cot A + cot B =	 (1)
Por la ley de senos:
a = 2R sen A , b = 2R sen B , c = 2R sen C => abe = 8R3 sen A senB senC . .. (2)
(1) y (2) en M: M = 8R3 sen A sen B sen C .	~ 8R sen C . sen (A + B)
Como: A + B + C = 180° => sen(A + B) = sen C => M = 8R3sen3C = (2Rsen C)3
Por la ley de senos:	M = c
06.- Tenemos:	M	=
Usando la ley de senos:	M	=
Efectuando, tendremos:	M	=
Pero:	sen2B - sen2C = sen(B + C). sen (B - C)
sen(B + C)sen(B-C)	sen(B + C)
=> M =--------------------- =----------
2senA.sen(B—C)	2senA
b sen B - esen C
2a.sen(B-C)
(2RsenB)senB- (2RsenC)senC
2(2RsenA).sen(B-C)
2R(sen2B - sen2C)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
jA RACSO
Wbditoibi
Como: A + B + C = 180° => sen (B + C) = sen A
En(’):

07.- Por uno de los datos:
b + c = a-j2 ---(*)
Usando la ley de senos en (*): 2Rsen B + 2R sen C = (2R . sen A). -J2
Luego:
sen B + sen C = (sen A). V2
Transformando a producto: 2 sen
Pero:	B - C = 90° => cos
B-C
2
•J2
= cos 45 = y- ... a(l)
A + B + C = 180°
2
B + C
-y— =90°
B + C
2
= cosy ... (2)
(l)y(2)en(w):
A
2. cos — .
J2
2
„ A	A
2sen—.eos—
2	2
2
Simplificando:
A
sen —
2
2
A
— =30'
2
Finalmente:
A = 60°
08.- Por la ley de senos, sabemos:
a = 2Rsen A, b = 2R sen B, c = 2R sen C
Reemplazando en M:
M =
R.2senB.cos B + R.2senC.cosC
cos (B-C)
Pero: 2 sen x . cos x = sen 2x, luego:
M =
R(sen2B + sen2C)
cos (B-C)
Transportando a producto:
M =
2Rsen(B + C).cos (B - C)
cos (B-C)
Como:
A + B + C = ir => sen (B + C) = sen A
M = 2R sen A
Por ley de senos, tendremos:
M = «
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
R20
655
09.- Sabemos por la ley de senos: sen A = senB
20	30
Usando los datos:	sen37° = <^0
Despejando:	sen B = ^ . sen 37°
3	3 3	9
Pero: sen 37° =	=>  sen ®= 2^  5 = jq - - (1)
2
También sabemos:	cos 2B = 1 - 2 sen B ... (2)
(81 \	81
íóó)	cos2B = '5(j
B
í> = 30
10.- Nos piden: cos 26
Usando la ley de senos:
5	7	sen36 7
sen6 - sen36	sen6 " 5 ’ ’
7
Pero:	"3 = 2 cos 26 + 1
7
En (*): 2 cos 20 + 1 = 3
2 cos 26 = |
Finalmente:
1
cos 26 =
3
11.- Tenemos:
a _ b
cosA - cosB
= Cr ...(*)
cosC ' '
Por la ley de senos sabemos:
«= 2Rsen A
b = 2RsenB
c = 2RsenC
(1)
2RsenA _ 2RsenB _ 2RsenC
(1) en ( ). cosa — cosB — cosC
Simplificando tenemos: tan A = tan B = tan C de donde: A = B = C = 60°
Finalmente:
El triángulo es equilátero
656
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
•jáP.ACSO
WbDITOIEI
12.- Por dato:
cosA cosB
a + b
cosC c
Usando la ley de senos en (*):
cosA cosB cosC	2RsenC
2RsenA + 2RsenB + 2RsenC — (2RsenA)(2RsenB)
Simplificando y usando:
cotx =
cosx
senx
Nos queda:
cotA + cotB + cotC=
 (1)
Pero: A + B + C = 180° => sen C = sen(A + B) y --z——~ = cot A + cot B ... (2)
'	'} senA.senB	' '
(2)en(l):
cot A + cot B + cot C = cot A + cot B
Simplificando: cot C = 0 de donde: C = 90°
13.- Tenemos:
_ senA+senB c—a
~ senB+senC + b+c ''' ' '
Por la ley de senos tenemos: a = 2R sen A, b = 2R sen B , c = 2R sen C
Reemplazando en (*):
_ senA+senB 2RsenC- 2RsenA
" senB+senC + 2RsenB+2RsenC
Ordenando y simplificando obtenemos:
_ senB+senC
~ senB+senC
M = 1
14.- M = a sec A + b. sec B + c. sec C
Usando la ley de senos: M = 2Rsen A .	+ 2Rsen B . cc^sb + 2R sen C . co^-.
spn x
Pero:	= tan x => M = 2R(tan A + tan B + tan C) .. . (*)
COSX
Como:	A + B + C = 180°	=> tanA + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C
En (*):	M = 2R . tan A . tan B . tan C
Pero por dato: R . tan A . tan B . tan C = 2
Finalmente:	M = 4
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
15.- Ley de senos:
B
AABD:	f=S86-W
ABDC:
Igualando las expresiones (1) y (2):	=
A/86	39 A_________
A	D ° C
sen 6
sen 26
Pero:	sen 26 = 2 sen 6 . cos 6
sen 30 sen6 , „	Q „„
=> ----¿t. = 75--ñ---~ => 2 sen 36 . cos 6 = sen 86
sen86 2sen6.cos6
Transformando a una suma: sen 46 + sen 26 = sen 86 =>	sen 26 = sen 86 - sen 46
Transformando a producto:	sen 26 = 2 sen 26 . cos 66
Al simplificar obtenemos:	cos 66 =	=> 66 = 66°
Finalmente:	6 = 16°
16.- Recordemos:
(*)
a.senC =c.sen A
 ¿sen A = a.sen B
c.senB =¿.senC
M = a. sen C - b. sen C + b. sen A - c. sen A + sen B - a. sen B
Agrupando: M = («. sen C - c. sen A) + (fc. sen A - a. sen B) + (c. sen B - b . sen C)
Por (*):
M = 6
LEY DE COSENOS
17	.- Usando la ley de cosenos:
x2 = (3 -75 )2 + (2-75 )2 - 2(2-75 )(3 -J5 ) cos 66°
2
Al efectuar obtenemos: x = 35
Finalmente: x= -735
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITO1BI
18	.- Sea: BC = x,	B
Por la ley de cosenos, tenemos:	cos 30/
x2 = cos236 + cos26 - 2 cos 6 . cos 36 . cos 46	--------------—
A cos 6	C
x2 = cos236 - cos 6 . cos 36 . cos 46 + cos26 - cos 6 . cos 36 . cos 46
Factorizando apropiadamente, tenemos:
x2 = cos 26( cos 36 - cos 6 . cos 46) + cos 6 (cos 6 - cos 36 . cos 46)... (*)
Pero: cos 36 = cos (46 - 6) = cos 46.cos 6 + sen 46.sen 6
=> cos 36 - cos 6 . cos 46 = sen 46.sen 6 ... (1)
cos 6 = cos( 46 - 36) = cos 46.cos 36 + sen 46.sen 36
=> cos 6 - cos 36-cos 46 = sen 46.sen 36 ... (2)
(1)	y (2) en (*): x2 = cos 36(sen 46 . sen 6) + cos 6(sen 46.sen 36)
Factorizando convenientemente, tendremos:
x2 = sen 46 (eos36.sen6 +eos6.sen36) => x2 = sen246
sen (30+0)
Finalmente:	x = sen 46
19	.- Como: 3a = 7c => c =	- 0)
h R
3b - 3c =>	...(2)
De (1) y (2): a = 7k, b = 8k y c = 3k
. .	,	,	b2+c2+«2
Por la ley de cosenos sabemos:	cos A =-----’
„	.	. ,	.	.	.	.	64*2+9*2-49*2	24A:2
Reemplazando los valores de a, b y c: cos A =--------ñ--- =	, 2.
F	2	2(24* )	2(24* )
Finalmente: cos A = -~ de donde: A = 66°
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
20.- Tenemos:
Por la ley de cosenos sabemos:
a2-b2-c2 = |fec. ..(*)
a2 -b2 - c2 = 2bc. cos A... (1)
(1)	en (*):
Simplificando obtenemos:
-2bc. cos A = ^bc
_ 1
cos A = - 2
Luego como:
tany
11-cosA
V 1 + cosA
De donde:
tany =
finalmente:
tany = y/2
21.- Tenemos:
3(a2 - b2 - c2) = 2bc ...(*)
Por la ley de cosenos sabemos:
n2 - b2 - c2 = - 2fec.cos A - • - (1)
(l)en(*):
Luego:
Por la expresión (2):
Finalmente:
-6bc. cos A = 2bc
=> cos A = - ^ .. .(2)
2 A
COS y
2 A
COS y
1 + cosA
2
2A____
cos 2 - 3
2
1
22.- Como:	,	, w ,	. 7ab (a + b + c)(a + b-c) = -y
2 2	7 ab	2	7
Por diferencia de cuadrados:	(a + fe) - c = —y	=> a + b - c = .ab - 2ab
Al efectuar obtenemos:	c2 + b2 - c2 = |. ab	. (1)
Por la ley de cosenos, sabemos: fl2 + b2 - c2 = 2a.fe.cos C .. (2)
De (1) y (2), deducimos:	2«fe.cos C = ^ ab
Finalmente:	... 1 cosC= g
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WbDITOIES
23.- Tenemos: M = ab. cos C - ac. cos B
Por la ley de cosenos tenemos:
c2 = a2 + b2 - 2ab. cos C => 2ab. cos C = a2 + b2 - c2... (1)
b2 = a2 + c2 - 2ac. cos B => 2ac. cos B = a2 + c2 - b2 — (2)
Al restar la expresiones (1) y (2), obtenemos:
2(ab cos C - ac. cos B) = 2b2 - 2c2
2	2
Finalmente:	M = b -c
24.- De la figura: m Z B es el mayor
Por la ley de cosenos:
2 . „2 1,2
4" c b
COS D - --------------
2a.c
49k2 + 64k2 - 169k2 _ 2
cos B -	2(7k)(8k)	~~2
Finalmente: B = 120°
25.- Utilizando la ley de cosenos tenemos:
(2x + 3)2 = (2x - l)2 + (2x + l)2 - 2(2x -l).(lx - 1). cos 120°... (*)
Pero:	(2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 .. (1)
(2x - l)2 + (2x + l)2 = 2(4x2 + 1)	...(2)
(2x - l)(2x + 1) = 4x2 - 1	... (3)
(1), (2) y (3) en (*):	4X2 + 12x + 9 = 8x2 + 2 - 2(4x2 -1)
Al efectuar, obtenemos: 8x - 12x -8 = 0
Finalmente:	4(x - 2)(2x + 1) = 0
Entonces:	2x + 1 = 0 v x - 2 = 0
1	o
> x="2 v x=2
(imposible)	.'. X = 2
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
26.- Como: a + b = -J2 . c
Elevando al cuadrado: (a + b)2 = (-j2 c)2 => a2 + b2 + 2ab = 2c2 ... (1)
2	2	2
Por la ley de cosenos:	a + b - 2ab. cos C = c ... (2)
Al restar las expresiones (1) y (2), obtenemos:
2ab + 2ab . cos C = c2 => 2ab(l + cos C) = c2
Finalmente:
1+cosC=éb
27.- Usando la ley de cosenos, tenemos:
49 = 64 + c2 - 2(8)í. cos 60° => C2 - 8c + 15 = 0
Factorizando: (c - 3)(c - 5) = 0
=> c = 3 (No cumple con los datos)
v
c = 5 (si cumple)
2	2	2
t	i i .	r d +c*
Luego por la ley de cosenos: cos C --------------
82+72—52
2(8)(7)
Efectuando las operaciones indicadas, obtenemos: cos C =
Construyendo un triángulo rectángulo para el ángulo C.
• Luego:
11
C°tC=^/3
5^3
Finalmente:
11
'3 cot C = —
28.- Como:	(a2 - b2 - c2)2 = a4 + b4 + c4- 2a b2 - 2a c2 + 2b2c2 ...(*)
Por dato:	a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2a2c2	__(1)
(1) en (*):	(o2 - b2 - c2)2 = 2a2b2 + 2a22 - 2ab2 - 2a2¿ + 2b2c2
(a2-b2-S)2 = 2b2c2	a2-b2-c^=^bc
   (2)
Pero por la ley de cosenos: a2 - b2 - c2 = - 2bc. cos A ______(3)
RACSO
V^CDITOKIB*
R20
662
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
(3) en (2):
-2bc. cos A = -J2 bc, luego: cos A = -
J2
2
Finalmente:	A = 135°
29.- Sean: x - 1, x , x + 1 los lados de un triángulo
Por la ley de senos:
x + 1 = X~1
sen26 senG
Pero:
sen 2G = 2 sen G . cos G
x+1 _ 2sen0.cos0
x-1 " senG
JC 4- 1
=> 2 cos G = ----r - - - (1)
x — 1
Por la ley de cosenos: (x - l)2 = (x + l)2 + x2 - 2x(x + l)cos G ... (2)
Reemplazando la expresión (1) en la expresión (2), obtenemos:
(x-l)2=(x+l)2 + x2-^Í
Resolviendo:
Luego:
Finalmente:
x = 5
perímetro = 3x = 15
perímetro = 15
30.- Sabemos que:
Luego en el problema:
2 eos2 a - 1 + cos 2a
a ^2cos2^j +fe^2cos2iyj =2-^3
1 + cosB	1 + cosA
a + a cos B + b + b cos A = 2 -J3
Ordenando, como sigue:
a + b flcosB + FcosA = 2
c
(Por ley de proyecciones)
Finalmente:
2p = a + b + c
2p = 2-j3
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
LEY DE TANGENTES
31.- Por la ley de tangentes sabemos:
a-b _
a + b ~
tan
tanl
--(I)
Como:
tan
tany-tan®
1+tany. tan®
Reemplazando los datos: tan
¿4 3
*4“’
tan
tany + tan®
1-tany. tan®
Reemplazando los datos:
tan
4
>4
_ 5
“ 3
Luego en (1):
3
a-b = _5
a+b 5
3
Finalmente:
M=é
32.- Por la ley de tangentes sabemos:
Usando proporciones tendremos:
Reemplazando los datos:	=----
tanl
8
Como:
A + B+C = 180'
Por co-razones:
tan
C
= cot y
Finalmente:
J r-
coty =5
= 5
, tan
a-b _ ____
a + b ~ .
tan
.	. tan
a-b+a+b
a + b
tan
A+B
2
+ y =90°
] 6641 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
• RACSO
WlDITOlXI
33.- Por la ley de tangentes sabemos:
Usando proporciones:
(b-c)-(b+c)
b+c
Como:	A + B + C = 180° => y +	= 90°
Por co-razones trigonométricas:
(B+C\ A
tanl—) - cot 2
En(*):
b+c

COty
.,	-2c
M = t—
b+c
Reemplazando en M, obtenemos: fe = 5c
M =
-2c _ -2c
5c+c ~ 6c
Finalmente:

34.- Por la ley de tangentes sabemos:
Como: b cot B = (2c - fe)cot A => fe(cotB + cot A) = 2c. cot A ... (1)
Pero:
cot B + cot A =
sen(A+B) = senC
senA.senB senA.senB
- - (1)
(1) en (I):
fe.senC _ 2(2RsenC)cosA
senA.senB ~ sen A
Simplificando: cos A =
=> A = 60°
=> B + C = 120°
Luego en (*):
. (B+C\
M = tan I 2 I
tan 60° = t¡3
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
35.- Por la ley de tangentes:
Por dato: A + B+ C = 180° a C = 60" => A + B = 120° ... (1)
También:
(1) y (2) en (*):
a = 3b ... (2)
3b-b
3b+b
tan 60°
Pero: tan 60° = -J3 => tan^^) ~
Luego por arcos dobles: tan(A - B) =--. •
l-tan2í^|
Por (3):
Finalmente:
tan(A - B) =
tan (A - B) = 4-J3
tan (A - B) = “p-
LEY DE PROYECCIONES
36	.- M =	. sec C... (*)
Por la ley se proyecciones sabemos:
a = b cos C + c. cos B => a - c. cos B = b. cos C... (1)
(1)	en (*): M = (bc°sC). sec C
Al simplificar, obtenemos:	M = 1
37	.- Por la ley de proyecciones sabemos: a = b. cos C + c. cos B => a - c. cos B = b cos C
c = a. cos B + b. cos A => c - a. cos B = b cos A
R20
666
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Reemplazando en M:
Luego de simplificar obtenemos:
fr.cosC.secC
cos A
M=7¿A	M = sec A
M =
38	.- Como: A + B + C = 180°
cos(A + B) = -cos C
cos (A + C) = -cos B
Reemplazando en la expresión M:
Por la ley de proyecciones:
-c.cosB-b.cosC
M=----------------
a
a = b cos C + c. cos B
-(c.cosB + fe.cosC)
Finalmente:	M = fe.cosC+c.cosB " M = -1
39	.- M = be. cos A + ac. cos B + ab. cos C
Agrupando convenientemente:
M = c(b cos A+ a cos B) + ab cos C ... (1) ó M = fec.cos A + a (c.cos B + b cos C)... (2)
(1) + (2): 2M = a(c . cos B + b. cos C) + c(b cos A + a cos B)+ b(c cos A + a cos C)
Pero por la ley de proyecciones: a = b cos C + c. cos B
b = a cos C + c. cos A
c = a cos B + b . cos A
2	2	2
Luego: 2M = a(a) + c(c) + b(b) => M = a +C =	.'. M = 5
40	.- A, B y C ángulos agudos:
2
Recordemos: 1 + cos 2x = 2 cos x
Luego en la expresión "M": M = be. Vi + cos 2 A + ac. Vl + cos2B + ab. Vi+cos2C
Como: A, B y C son agudos entonces: M = J2 (fec.cos A+ ac. cos B + ab.cos C)
Por el problema anterior usando la ley de proyecciones:
2	2	2
fec.cos A + flc.cos B + nb.cos C = a + b + c
Finalmente:	M = -J2 (az+ b2 + c2)
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
RÍO
667
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
ABC
41.- Del dato:	= 2 =	= t
Pero:	A + B + C = n => f + 2f + 3f = 180°, luego:
A = 30°, B = 60°,C = 90°
Se tiene un ÍX ACB (recto en C)
Del dato:	2n - n = 2k° => n = 2k
(CA)(CB) _
-’aabc	2	2	2
(2k)2^3	2
bAABC “	2
Finalmente :	SAABC = 2-73 .fc2
42.- Del dato:
senA
5
senB _ senC
7	8
De la ley de senos:	st-nB = senC
a____L _ ______r.
51 ~ 7t ~ 81 ~k
Luego: a = 5k => a + b + c = 2p=> p-a = 5k
b = 7k	20k = 2p	p - b = 3k
c=8k	p = 10k	p - c = 2k
Se sabe que: S = -Jp.(p-fl)(p-fe)(p-c) => 90-J3 = -J10k.5k3k.2k => 90
Je2 = 9 => k-3	> a =15 cm => b = 21 cm > c = 24 cm
Se sabe que:	S = ^ac. sen B
2S	2(90-^)	J3
senB = — =	=X^	=> B = 60° ó B = 120°
ac 15.24	2
= 10-73. k2
^ARACSO
W^EDITCKBS
R20
668
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
2	2	2
43.- Recordar: a = b + c - 2bc cos A.... ley de cosenos
“a mayor ángulo se opone el mayor lado"
S = bc. sen A. área del AABC
sen 120° = sen 60° .. . arco suplementario.
sean 2k - 1,2k +1,2k + 3, las longitudes de los lados del AABC.
Por ley de cosenos en AABC, tenemos:
(2k +3)2 = (2k +1)2 + (2k -l)2 - 2(2Jt 11 )(2A - 1) cos 120°
4k2 + 12k + 9 = 4A2 + 4k + 1 + 4k2 - 4¡t + 1 -2(4k2 - 1)(“^)
12k + 9 = 4k2 + 2 + 4k2 - 1
2	M
Luego: 2A?-3k-2 = 0 => (2A:+l)(k-2) = 0	2
44.- Recordar:
C kp-oxp-í»)
sen— = •---------
ab
C_P-(P-c)
COS2 ab
fórmula de los semiángulos
S = ^¡ab. sen C ... área del A ABC
En el dato, al reemplazar tenemos:
. 1 ,	„	, 2C , 2C
4.2 ab . sen C = ab . sen	+ ab.cos
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
2ab sen C = ab (sen2 y + eos2 j
Finalmente: sen C =	.’. C = 30° ó C = 150°
45.- Recordar:	S = ab. sen C ... área del AABC
C C
sen C = 2 seny. cosy ... arco doble
2
2 sen a - 1 - cos 2a ... arco doble
1	C
En el dato al reemplazar tenemos: 4. t, ab. sen C. tany = ab
Q Q C C	senf .	_ 2C 1
2. 2 seny cosy -----y- =1	=> 2 sen y = 2
COSy
1	1
Al efectuar, obtenemos: 1 - cos C = 2	=> cos = 2	=*	=
C	r-
Finalmente:	tan = tan 15° = 2 - v3
46.- Recordar: a = 2 R sen A => sen A = yp; .. . ley de senos
S=^ ... área de un AABC => 64R3.S3 = arfe
4R
...	2.2 2 a b c
W-a be . 2r  2R ' 2R
Finalmente:
W = 8S3
8R3
64R3.S3
8R3
W =
47.- a + b + c = 2p ... perímetro AABC
Recordar: S =	= 4R . .. área de un AABC.
Luego:	W=(£^T£)
abe 4SR
2p = 2p
2(pr)R
W =
P
Finalmente: W = 2R.r
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
I
ftíRACSO
WlDlTOlEJ
48.- Del dat >: media geométrica = 4abe = 2 a/51
elevando al cubo:
abc = 72S
Se sabe que:
abe
4R
Finalmente:
=	728	= 546	42
’aabo	13^/3	43 43
3
I—	7
SAABC=14^3 Cm
' V- sen 2 A ; en 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C ... en todo AABC
Recordar
fl = 2Rsen A
b = 2RsenB ley de senos
c = 2 R sen C
7	ohc
S = 2R senAser B sen C= .. área de un AABC
W = 1R‘
2 sen2 A. cosA	sen2B.cosB sen2C.cosC
senB
senA
senC
7
V/ R [2sen A cos A+2 sen B cos B+2 sen C cos C]
W = 2R“[2 senA cos A +2senB cos B +2sen C cos C]
W = 2R2[sen 2A + sen 2B + sen 2C]
VV = 2R2[ 4senA senB senC]
VV = 2R2[4sen A sen B sen C]
W = 4 [ 2R2senA sen B sen C] = 4S = 4 y (dato: R = 1)
Finalmente:	V* =
50.-
sen(B + C) = sen A
__en todo AABC
Recordar: b = 2R sen B, c = 2R sen C
2	2
sen(B + C). sen (B - C) = sen B - sen C	... arco compuesto
7
S = 2R sen A sen B sen C ... área de un AABC
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
R20
671
4 R2 (sen2B - sen2C). senBsenC
W=	2sen(B-C)
2 R2. sen(B - C). sen(B+C). senBsenC
sen(B-C)
W = 2R2. sen A sen B sen C
W=S
51.-
Recordar:
sen(B + C) = sen A
_ sen(B+C)
cot B + cot C =--ñ----7T
senB.senC
... en todo AABC
... arco compuesto
S = 2R2sen A sen B sen C ... área de un AABC
... ley de senos.
2	. sen(B+ C)
W = 2(2RZ sen A sen B sen C).---„---7^
senBsenC
a = 2R sen A
W = 4R2 . sen A. sen A = (2R sen A)2
\N=a
52.- Recordar: a = 2R sen A
... ley de senos
S = 2R2 . sen A sen B sen C
... área de AABC
sen 2A + sen 2B + sen 2C ... 4 sen A sen B sen C ... en todo AABC
S = R(2 sen A cos A + 2senB cos B + sen C cos C)
S = R . (sen 2A + sen 2B + sen 2C)
S = R 4 sen A sen B sen C
S
2R2
2R2 = 4R
R(R - 2)2 = 0
R=0óR=2
53.- sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A . sen B sen C
... en todo AABC
Recordar:
a = 2R sen A
.. ley de senos
7
S = 2R . sen A sen B sen C
.. área de AABC
Factorizando el circunradio en el lado izquierdo de la igualdad.
2
R(2 sen A cos A + 2 sen B cos B + 2 sen C cos C) = r
R2(sen 2A + sen 2B + sen 2C) = 2 => R2. 4 sen A sen B sen C = 2
2 R2 sen A sen B sen C) = 2
c- i 2
S = 1 g
S
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
* A RACSO
WlDITOlBS
54.- En todo AABC: A + B + C = ti => y +
Luego, se cumple que:
A B B C A C ,
tan "2 - tan + tan 7^ . tan^- + tan	 tan-^ = 1 .... propiedad suma de tres arcos
ABC
Se convierte en: W = cot-2 -cot^ . cot , del dato 2p = 4r => p = 2r
2 A BC ,	A B C Pr
Pero: S = r .cot - cot 2 • cot =pr despejando: cot Tycot 7^ cot y = ^2
pr p 2r
Al reemplazar en W, tendremos: W =	= — = — = 2
Finalmente:	W = 2
A
55	.- Se sabe que:	S = p .(p - a) tan-^ . - - área del AABC
A
Para que se cumpla el dato: tan "2=1
Luego:	y = 45°	A = 90°
56	.- Recordar: a = 2 R sen A	... c = 2R sen C
7
S = 2R sen A. sen B sen C .. área de un AABC
(2R sen A), sen B + (2R sen B). sen A = c
4R sen A sen B = c
Multiplicando en ambos lados por: Rsen C
7
2(2R sen A sen B sen C) = c. R sen C
c	9	i—
2S = c. 2 => c = 4S c = 2 VS
57	.-Recordar:	a cos B + b cos A = C	... ley de proyecciones
c = 2R sen C	... ley de senos
S = 2R2sen A sen B sen C ... área de un DABC.
Expresando W en términos de senos y cosenos; se tiene:
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
a | b	ccosB+ bcosA
cosA cosB___________cosAcosB_______
1 1 ” 1
sen2A’sen2B 2senAcosA.2senBcosB
W = c . 4 sen A sen B = 2Rsen C . 4 senA senB
W = c . 4sen A sen B = 2 Rsen C. 4 sen A sen B
(2R2senAsenBsenC'l	S
W = 4^ r J	w = 4 r
2	x
58	.- Recordar: S = 2R . sen A sen B sen C... área de AABC
( n \	( 2n \	(	\	( im \	V2n+1
sen \2ñ+"l / • sen\2ñ+T/ senUhJ • • • sen\2n + l/ =	2"
S = 2(4)2 . sen y . sen . sen
r>	471 i™	3n	.
Pero:	sen -y = sen I ti—y I = sen “y . . . arco suplementario
c no ti 2ti 3ti . c -J2(3)+1	. c A i= 2
S = 32. sen—.sen—. sen—	=> S = 32. -------5--- ..	5 = 4 -v7 m
7	7	7,	2
serie trigonométrica con n - 3
59	.-Recordar: a = 2R sen A_ley de senos
S = 2R2 . sen A sen B sen C... área de AABC
sen 2A +- sen 2B + sen 2C ... 4 sen A sen B sen C ... en todo AABC
Reemplazando y factorizando, tenemos:
4™'»^ +setóB.SSE +sa?c. JgLl =4
L senA	senB	senvj
2R2[2 senA . cos A+2 senB cosB+2 sen C cos C] = 4
2R2[sen 2A + sen2B + sen2C] = 4	=>	2R2[4 sen A sen B sen C] = 4
2R2 sen A sen B sen C = 1	.’. S = 1
60.- Recordar:
cot A + cot B =
sen(A+ B)
senA.senB
.. arco compuesto
R20
674
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
•^¿RACSO
S = 2R2. sen A. sen B. sen C_área del AABC
Del dato:
sen(A+B)
senA. senB
Pero: sen(A + B) = sen C______en todo AABC
sen C = sen A sen B
3
Si: cos C = 5 =>
4
=> sen C = jj’
S = 2R2. sen A sen B . sen C = 2R2 sen2C
sen C
Reemplazando los datos: S = 2(10)2.	= 200 .
S = 128 m
61.- Del dato:
cot A _ cotB _ cotC _,
3 _ 5 _ 7
cot A = 3k
cot B = 5k
cot C = 7k
Si: A + B + C = ti
Se cumple: cot A cot B + cot B. cot C + cot A. cot C = 1... propiedad suma de 3 arcos
(3k)(5fc) + (5k)(7k) + (3k)(7k) = 1 => 71k? = 1 =>
2	/ ‘
Además área círculo = tiR -- 90ti => R = 3 VIO cm.
S = 2R2sen A sen B sen C = 2(90).
445 446 2430
c 213 r- 2
S =	V71 cm
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
R20
675
2 A B C
62.- Recordar: S = p . tan y - tan y - tan ____área del A ABC
w =
tan-y. tany. tany .p2
P2
w=4=s.p'2
P
63.- Recordar: a + b + c - 2p
.. perímetro AABC
S = r2
A B
. cot ~2  cot
C
. cot ~2 - - - área de un AABC
2p 2pr2
W~ S_~ pr
_2
W = 2r
64.- En todo AABC: A + B + C = ti
2
B C n
2 + 2 ~ 2
eo.(A+f+£
A B
cot y +cot y
C
+ coty
A B
= coty • cot ~2
C
. coty .... propiedad suma de tres arcos
c 2	, A
S = r . cot ~2
B
+ cot
C
cot y
... áreas del AABC
Del dato:
B
C
coty - cot y • coty
2
= k
k
S = 3k p2
65.- Recordar: S = p(p - fl)tan
.. área del AABC
Se sabe que: a + b + c = 2p_perímetro del AABC
2a
3a = 2p =>
3fl
P=T
Reemplazando en la fórmula del área AABC

. tan
C 3«2 a A
S= 4.tan2
66.- Sabemos que.
ra = p tan y
Reemplazando en el dato, tenemos:
R20
676
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
4A RACSO
P 1DITOII1
A. B, 2 B. C 2. A. C 4k2
P tan— tan— +p tan—tan— + p tan—-tan— = —=-
K Z Z Z Z Z Z y
p2ítanJytany + tany tany + tangían y) =
\	¿	¿_____2	2	2	2 / r
1 propiedad
2 2	2
Luego:	p r = 4k
pr =2k
S = 2k
67, Recudan sen^ - /ESES
2 y be
S = pr
... fórmula de los semiángulos
... área de un AABC
W=A 1 +	1 + J- -
be „„ 2 A ac 2 B ab'	2 C
sen — sen — sen —
W (p-b)(p-c) + (p-a)(p-c) + (p-a)(p-b)
(p-a)+(P~b)+(p-c)
W~ (P~a)(P~b)(p—c)
=-¿-= A
S2 (pr)2 r2
P
3p-(a + b+c)
= (p-a)(p-b)(p-c)
68.- S = -Jp.(p-a)(p-b)(p-c)... área de un AABC
Recordar:
A
seny
f(p-b)(p-c)
be
A _ kp-b)(p-c)
lan 2 - V F(p-«)
fórmula de los semiángulos
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
R20
w =
w =
(p-b)(p-c)+(p-«)(p-c)+(p-«)(p-fe)
P(p-fl) F(p-b) P(P-í)
.S2
(fcc)<<pj£(^+(K)2.<Ezíñ^+(fc)2.(£zfñrf
' ' (M	(«I2	(»<’)
(p-b)2(p-c)2+(p-fl)2(p-c)2+(p-g)2(p~b)2
p(p-«)(p-b)(p-c)
,S2
(p-b)2(p-c)2+(p-fl)2(p-c)2 + (p-fl)2(p-b)2
W = 1
69.- Recordar que el punto de intersección de las
mediatrices es el circuncentro S que viene a ser el centro
de la circunferencia que circunscribe al AABC.
Del gráfico: AD = ÓC = 2B
m Z MSC = B
ÉE = ÉA = 2C
mZBS = C
SB = SC = R circunradio
área SAPSM = (PS)(MS). sen(n- A)... (1)
EnelLBPS:
En el LSMC:
por la ley de senos:
PS = R cos C
MS = R cos B
a = 2R sen A =>
2^2 = y/2
2 senA	senA
1	1	7
En (1): SAPSM = "2 (R cos C)(R cos B). sen A = R  cos C cos B sen A
. cosC cos B sen A

cosB.cosC
senA
70.- Recordar que: S = pr = ra(p - a) = rb(p - a) = rb(p - c)... área del AABC
W =
5 5,5 S
p'p-a p-b'p-c
2bc
S2
W = —
(p-b)(p-d+p(p~fl)
p(p-c)(p-b)(p-c)
2bc
R20
678
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
También: S = -Jp(p—a)(p-b)(p-c) — fórmula de Herón
w_ p2 -pb-pc + bc+p2 -pa _ 2p2 -p(a+b+c)+bc
2bc	~	2bc
2p2-p(2p)+bc _ _bc_
2bc ~ 2bc
71.- Se sabe que: S = ra(p - a) = rb. (p - b) = rc. (p - c)... área del AABC
Reemplazando tenemos:
S___Sjl ( S___S_^ _ S S
p-b p-clip-c p-a J ~ ¿ ’ p-b ' p-c
S.
(p-c)-(p-b)
(p-b)—(p-c)
.S.
(p-g)-(p-c)! _	2S2
(p-c)-(p-c)J - (p—b)(p—c)
(b-c). (c-c) = 2(p-c)2 => (b-«).(c-fl) = 2[£±|±£-«]2 => (b-c).(c-c) = (fc+C2 C)
2bc - 2ac - 2ab + 2a2 = b2 +c2 + a2 - 2ab - 2ac + 2bc
2	2	2
a =b + c ... teorema de Pitágoras
Es un triángulo rectángulo, recto en A (A = 90°)
72.- Recordar:
S = pr = ra(p - fl) = rb(p - b) = rc(p - c)
área del
s= Vp(p-«)(p-fc)(p-c)
AABC
Reemplazando tenemos:
s___s
a
P-b P
q
W= -
a
p-(p-fl)-
• . p-(p-fl).
p-(p-b)
p.(p-b)
q
W= -
P
2p-(c+b)
p-a p-bj p ’ (p-c)(p-b)
w______________
w ~ p(p-«)(p-b)
p-c _ S-c.(p-c)
p-c “
S2
1 . 1
s s
b
s
b
S
c-(P-c) c 4
w=__= _
W = 2
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
R20
679
73.- Recordar: S = pr = p(p - fe) = tan = pb(p - fe) ... área del AABC
B	B
r = (p - fe) tan yr^p-tany
(p-fe)tan^-ptan^
Reemplazando tenemos: W =------------------ + 1
-fe. tan	-(2RsenB).tan(Bj
W = —2r— + 1 =-----------2p------- + 1 - - • ley de senos
„ B B
W =-I zsen-^ cos^
sen^
cos^
... arco doble
W = 1 - 2sen2 (y j ... arco doble
W = cos B
LÍNEAS NOTABLES
74.- Por medianas:
Por ley de cosenos:
(1) + (2):
Asi mismo tenemos:
(3) + (4) + (5) tenemos: 4[(wia)2
4(ma)2 = b2 + c2 + 2bc cos A
o2 = fe2'+ c2 - 2bc cos A
4(ma)2 + «2 = 2b2 +- 2c2 ... (3)
4(wib)2 + fe2 = 2a2 +2c2 ... (4)
4(mc)2 + ¿ = 2a2 + 2b2 ... (5)
(r»b)2 + (mc)2]=3(«2 + fe2 + c2)
...(1)
- - (2)
W =
2	2	2
mfí + mb + mc
«2 +b2 +c
2
Finalmente:
W-l
75.- Recordar: "a mayor ángulo se le opone el mayor lado"
Sean los ángulos: a - r, a, a +- r, las medidas de los ángulos interiores del AABC y r la
razón de la progresión aritmética.
En todo AABC: A + B + C = n
R20
680
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
M•D1TOBES
a + (a - r) + (a + r) = ti
71
a= 3
2	2	2
Por medianas: 4(wia) = b + c + 2bc cos A
4(ma)2 = 262 + 102 + 2(26)(10). cos j
i \2	1036 nrn	í'tcrx
=	$	= 259	=* ma = *259
Finalmente:	ma = 16,09 cm
76.- Del dato:
Por medianas:
Pero:
2 sen"2
A
sen~^
4(ma)2 = b2 + c2 + 2b cos A... (1)
c—b
2-Jbc
cos A = 1 - 2 sen2 j ... arco doble (2)
.2"
Reemplazando (2) en (1): 4(wia)2 = b2 + c2 + 2bc 1 — 2¡
c — b j
2-Jbc J
4(m)2 = b2 + <? + 2bc - 4bc.
a	4ab
4(wa)2 = b2 + c2 + 2bc - c2 + 2bc -b2 = 4bc
Finalmente:
wi. = Vbc
77.- Del dato:
Por medianas:
Pero:
4(ma)2 = b2 + c2 + 2bc cos A ... (1)
cos A = 1 - 2 sen2 j ... arco doble
En (1) tenemos al reemplazar: 4bc = 1? + + 2bc 1-2 sen2
2 A b2+c2-2bc
5611 2 = ----------
4bc.sen2 = b2 + c2 + 2bc - 4bc
Finalmente:
4bc
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
78.- o2 = b2 + C2 - 2bc cos A_ley de cosenos
a = 2R sen A	... ley de senos
2
Recordar: S = 2R . sen A sen B sen C ... área del AABC
4(ma) = b + c + 2bc cos A ... medianas
Multiplicando por 4 en ambos lados y agrupando tenemos:
4R . senA.sen A + 8S.cos A = 4 sen A
fl2. sen A + 8(2R2 sen A sen B sen C). cos A = 4 sen A
2	2	C
a + 16R .	• 2R - cos A = 4 => a + 4bc cos A = 4
2	2	2	2
b + c - 2bc cos A + 4fec cos A = 4 => b + c + 2bc cos A = 4
4(ma)2 = 4,	tna = 1
79.- Se sabe que:
i 2bc A , .
Va = k= ^¡^.cos 2" bisectriz interior
2bc A
Va =‘l=b^sen2
bisectriz exterior
En el dato, al reemplazar tenemos:
b+c b-c _ JL
2bc + 2bc ~ 3
Al efectuar obtenemos:
Finalmente:
2b 1
2bc ~ 3
c = 3
80.- Se sabe que:
i. 2bc	A
VA = ^=fe^-cosy
Reemplazando tenemos:
.. 2ac B
VB = 9=^-cos 2
C
. cos
bisectrices interiores del AABC
VC-t~ a + b
a + b
b+c a+c a+b
2bc + 2ac + 2ab
ab + ac+ab+bc+ac+bc
abe

1 2(ab + bc+ac)
W = q	,-----
2	abe
«r 1	1
w = — + +
a b
R20
682
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 iDITClH
81.- Bisectriz interior:
2ab C
VC=^b cos 2 •W
bisectriz exterior:
2ab C
Vc=^K sen 2 &>
(1W2), tenemos:
Vc a-b . C
V’c “ a + b cot 2
Por ley de tangentes:
a^b=^
a + b tanl
Pero:
A+B+C=n
A+B _ n C
2 “ 2 ’ 2
tan
C
= cot^
Pero:
82.-
cos(B
Vc tan|
V'C tanl
C
. cot ~2
Vc = (j2 +l).tan
tan
A = 60'
= csc 45° - cot 45° = v2 - 1
B + C = 120°
+ C) = cos 120° =
n
Del dato:	—— = -.
m VA
(VA)2 = mn
Vc = 1 cm
En AABDC (ley de senos):
Va m
senB	sen 30°
=> VA = 2 m . sen B ... (1)
En AADC (ley de senos):
Va = n
senC	sen 30°
=> VA = 2n . sen C ... (2)
(1). (2):	(VA)2 = 4mn sen B sen C
= 2 sen B sen C => transformando a una diferencia de cosenos
= cos(B - C) - cos(B + C)
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
R20
683
cos(B-C) = | | =0 => B-C = 90° ...(3)
Pero:	B + C = 120° ... (4)
De 3 y 4: B = 105° y C = 15°, finalmente: B = 105° y C = 15°
83.-	S = pr... área del AABC
A
Recordar: cot-^- = csc A + cot A_arco mitad
a = 2 R sen A... ley de senos
A
r = (p - a) tan~2 - - - inradio
Al reemplazar las expresiones anteriores en W, obtenemos:
W = 2Rr sen A + r2(csc A + cot A) =>
W = r(2Rsen A) +- r2 . cot
W = r a+ r. cot
A A
W = r a + (p - a) tan - cot
W = r[« + p - «] = pr
W=S
84.- Recordar:
S = p(p-«)tan y =ra.(p-«)
s = Vp(p-«)(p-*Xp-c)
s- 4R - Pr
área del AABC
abcr„______ = 4RS
re(p-a)(p-b)(p-c) s2
P
w=«p = 4£p=á?=4(í) K=w
85.- Recordar:
sen(A + B) = sen C__en todo AABC
S = 2R2 sen A sen B sen C... área del AABC
S = pr = (p - «). ra ... área del AABC
c = 2R sen C... ley de senos.
Z^>1684l Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDlTDtlI
W = (pr). cot A +pra. cot B - ara. cot B
W = (pr). cot A + ra(p - a). cot B => W = S[cot A + cot B]
,4r „ sen(A+B)	„	senC
W = S.----r---77 = 21< .senAsenBsen C.-r—
senAsenB	senAsenB
W = 2R2. sen2C = y. 4R2 sen2C
Al utilizar la ley de senos, obtenemos: W =
86.- Se sabe que: ra = p . tany - - - radio exinscrito
A A
Reemplazando en el dato tenemos: p - tany . cot y = 2a => p = 2a ... (1)
También recordar que:	r = (p - «). tany ... (2)
(1) en (2): r = (2fl - o)tan y =>
Y
— = tany — arco mitad
r
~ = csc A - cot A
a
r
csc A - „ = cot A
a
87.-Recordar que:	r = 4Rseny seny seny ...inradio
w B A C	.	.
rb = 4R sen y . cosy cosy ... radio exinscnto
r, „ i . .	xt> B B C _f A B C
Reemplazando tenemos: 4R seny .cosy .cosy = 3i 4Rseny seny sen y
A C
1 = 3tany . tany ... fórmula de los semiángulos
|(P-fe)(P~c) l(p-a)(p-b)
P(P-a) V P(P-f)
3b - 2p => 3b = a + b + c
( P~b\
”T¡d
2b = a + c = 2b
p = 3p - 3b
88.- Recordar que:
. A . c
tan y + tany =
COSy-.COSy
.. .arco compuesto
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
/A+C\ /ti B\ B
senl -¿"I = senl —-?! =cos y
B A C
=> rb = 4Rsen y - eos  cos
B
„	,	,	B A C C°S2
Reemplazando tenemos: W = 4Rsen . cosy cos
cos—.eos—
2	2
। B B i
W = 2R| 2seny cos I = 2Rsen B .. .ley se senos
W = b
A	B	B
89.- Recordar: ra = r. tan ;rb = r. tan^, rc = r. tany
Reemplazando tenemos:
cos y. cos
W =
p. tany.p^ tany + tan—j. csc A
p. tany.p( tany + tan y)
COSy seny COSy sen(^-y)
seny COSy COSy sen^y-yj
1	2 sen y cos y	i senA
senA ' 2senycosy senA ’
W = csc B
CUADRILÁ TEROS
90.- Recordemos que en todo cuadrilátero se cumple:
SI. S3 = í>2. S4... (1)
Por dato: Sx = 1 m1 2,	= 2m2, S3 = 4 n?
Nos piden "S4"
En (1):	4 = 2S4
1	j
Finalmente:	S4 = 2m
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
wp BDITOKBS
91.- Los AABD y ZACD son notables
BD = 24 y AC = 20
Como es inscriptible se cumple el teorema de Ptolomeo:
(20)(24) = (7)(15) + (25)x
480 =105 + 25x
25x = 375
Finalmente:
x= 15
92.- En un cuadrilátero inscriptible:
Sabemos que:S = -J(p-«)(p-fe)(p-c)(p-d) ... (1)
Donde: 2p = 3 + 5 + 6 + 8 = 22=> p = 11
En (1): S = SV8.6.5.3 = 12 V5 - - - f)
Se cumple el teorema de Ptolomeo:
AC.BD = 3.6 + 45. 8
AC . BD = 58
_ ...	_ AC.BD
También: S =------ sen a
C
S = 29 sen a ... (**)
(*) = (**):	29 sen a = 13 ^5
93.- Por ser cuadrilátero circunscriptible se cumple teorema de Pithot:
12 + 52 = x + 25
x = 39
También se cumple: S = -Jabcd .sen
Pero por dato: S = 650 iz2
=> V12.25.52.39 .sen
Efectuando: sen
Pero: cos(A + C) = 1 - 2 sen2
= 650
Finalmente:
cos(A + C)=Z
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
R20
687
94.- No pide: " cos 6"
Usando ley de cosenos es:
AABC: x2 = l2 + 22 + 2(1)(2) cos 6 ... (1)
AACD: X2 = 32 + 42 -2(3)(4). cos(Tt-O).. .(2)
-cosG
(1) = (2): 5 - 4 cos e = 25 + 24 cos 6
5
=> 28cos e = -20 cos6 = -y
c
95.- Como es un cuadrilátero bicéntrico:
S= -Jsent). tan6.cos6.cot0 = -JsenO.cosOzí2
También se cumple el teorema Pithot:
sen 6 + tan 6 = cos 6 + cot 6
Rápidamente: 6=
Luego:
S = Jsen^.cos^ =
V 4	4
c V2 2
S= -y U
96.- Usando la ley de cosenos:
A BCD: x2 = «2 +- d2 - 2nd . cos 0	... (1)
ABCD: x2 = b2 + c2 - 2bc. cos(ti - 0) ... (2)
(1) = (2): o2 + d2 = 2ad cos 6 = b2 + c2 + 2bc cos 6
despejando: cos 6 =
l-cos 6
l + cos6
- -  (4)
A ¡(b+c)2 -(a-d)2
(3) en (4): tan y = ^(fl + d)2 _(fc+c)2
A
tan =
!(b+c+a-d)(b+c -a+d)
(a+d+b-c)(a + d+c+b)
A /(2p—2d)(2p—2a)
2 - y (2p—2c)(2p—2b)
Simplificando:
A | (p - a)(p - d)
~2 = y(p-b)(2p~c)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
WeDITO«M
97.- Como el cuadrilátero ABCD es inscriptible se cumple: C = 7t - A => sen C = sen A
S = Sj + S2
„ be . ad .
S = ~2 .sen A + .sen A
(«íf+fec)
S =----2---- sen A
2S = {ad + be) sen A
Como se cumple por dato: a + c = b + d
Entonces el cuadrilátero es circunscriptible, luego el cuadrilátero es bicentrico
S= -Jabcd
Finalmente:
.._ S _ 1
M- 2S “ 2
98.- Por ser circunscriptible se cumple: teorema de Pithot:
a+c=b+d => a-b = d-c
Elevando al cuadrado:
a2 + b2 - 2ab = c2 + d2 - 2cd... (1)
Usando la ley de cosenos:
AABC:	AC2 = «2 + b2 - 2ab. cos B ... (a)
A ADC:	AC2 = c2 + d2 - 2cd. cos D ... (P)
(a) = (P): «2 + b2 - 2ab cos B = c2 + d2 - 2cd. cos D... (2)
(2) - (1): 2flfe(l - cos B) = 2cd (1 - cos D).. . (*)
Pero:
2 %
1 - cos x = 2 sen
Enf):
. , 2B , 2D
4z?b.sen = 4ca.sen
Extraendo la raíz cuadrada:
Con lo que queda probada la demostración
'ab  sen 2 -
•ded. sen 2
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
99.- Sabemos que el área de un caudrilátero circunscriptible es:
S =
m
abcd - sen
(1)
Del problema anterior:
’ab . sen y = -dcd . sen
(2)en(l):
ab sen  esc = -Jabcd ... (2)
c , B D ÍB+D
S = ab sen -esc -sen I——
Con lo que queda probada la demostración.
100.- Sean AD = BC = tn, AB = DC = n
En ADAB por la ley de cosenos:
(2b)2 = m2 + n2 - 2m. n cos a ... (1)
En AABC por ley de cosenos:
(2a)2 = m2 + 11- 2mn . cos (n - a)... (2)
De(2)-(1):
2.	2
4(o - b ) = 4 mn cos a
El área del paralelogramo: S = 2(SADAB)
„2_i,2
De (3):	S =-------.sen a
' ’	coso.
S = 2-^mn sen a = mn sen a
S = (a2 - b2). tan a
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITOÍ1I
Números Comntejos
FORMA POLAR Y EXPONENCIAL
01.-Sabemos: sen^ =cos^ =	=> Z = ícos“ + isen—)
4	4	2	\	4	4/
Por la fórmula de Moivre, tendremos:
Z = cos 40? + i sen 40. ?	=> Z = cos lOn + i sen lOn
4	4
Pero:	cos lOn = 1 y sen lOn = 0	.-. Z = 1
02.- Tenemos que:
Z = 1 + i-j3
Multiplicando y dividiendo por 2 el segundo miembro obtenemos:
z-2[2+'-rj
71	1	7t	! tr n
Pero: eos— = — , sen— = —	=> Z = 2 lcos^+ísen^
Elevando a la sexta y usando la fórmula de Moivre:
Z6 = 26^cos^6.—j+isen^6.^jj => Z6 = 26(cos 2ti + i sen 2rt)
Pero: cos 2n = 1 => sen 2n = 0	.‘. Z6 = 64
m „ j	7t -Jh+^lZ ti •Jb-Jz
03.- Recordemos: cos^tt =----, sen^r =	,	-
12	4	12	4
Por la fórmula de Moivre:
Zol	*“	"	•‘'I
= 21 eos 12 +isen
Z - 2 cos 2 + i sen I - 64 i
Estudio de la Trigonometría con Números CQmplejos
R21
691
nz4 1	71	-	71
27=161 cos-j + isen —
Z4 = 8 (1 +173)
Reemplazando en M: M =	[ - 75 .641 + 8 (8) (1 + i J3) ]
Efectuando:
M = 1
04.-Como:
Z = cos 20 + i sen 20
Z = cos 20 - i sen 20
Luego:
Z. Z = 1
Z + Z = 2 cos 20
Reemplazando
en (1): ^=-1
2cos20
cos 20 = -
J3
2

12
05.- Tenemos:
Z 1-75*
2
pero: 1 = -1
V3 + i
1-73i
Dividiendo entre 2 el numerador y denominador:
Pero:
J3
2
57t	1
senT =2
V3 , 1 .
' 2	21
1_73 .
2 2 1
Tt 1
cos3 - 2
ti V3
sen 3 - 2
cos^ + isen~
Z=-----------—
71 •	71
eos—-zsen^
í5tt
7 =
171
e 3
í7tt
e 6
™ 7it
(Z) = -g-
06.- Tenemos: Zj = 2 + i
Z2 = 3 + i
Zj . Z2 — 6 + 5i +
2
-2	1
pero: i = - 1
r- 71
cos 5 6 =
Z =
Z =
* +i. *
Jl 42
Pero:
71	71	_JL
sen -r = cos -r =
4	4	V2
=> ZrZ2 = 572 (cos^ + í.sen^j .-. ZrZ2 - 541 .cis —
.'jí RACSO
V^BDITOREH
R21
692
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
07.- Sea: Z =	, multiplicando por (a + bí) el numerador y denominador.
(a + bi)(a+bi)	a2-b2+2abi	-	a2-b2 lab .
(a-bi)(a+bí) a2+b2	a2+b2 + a^ + b21
Pero también: Z = e,a = cos a + i sen a ... (2)
(1) = (2):	cosa =	ab a2 + b2	...(3)
	sen a =	lab	...(4)
		a2 + b2	
(4) .(3):	tana =	2ab	
		a-b	
FORMA EXPONENCIAL
08.- Como:
Z = eiq = cos q + i sen q
=>	Z3 = cos 30 + i sen 30	=>	Re(Z3) = cos 30
Z2 - cos 20 + i sen 30	=>	Re(Z2) = cos 20
Z = cos 0 + i sen 0	=>	Re(Z) = cos 0
=> Re(Z3 + Z2 + Z) = Rr(Z3) + Re(Z2)+ Rr(Z)
Reemplazando en "M":
M =
cos 30+cos 20+cos 0+1
2cos0
Transformando a producto el numerador:
(cos 30 + cos 0) + (1 + cos 20)
-	2cos0
Simplificando:	M = cos 20 + cos 0
Pero:	cos 20 = 2 cos20 - 1 =>
M =
2 cos20.cos 0 + 2cos20
2cos0
7
M = 2 eos 0 - 1 + cos 0
=> M = 2(cos0 + |) - |
"M" toma su máximo valor cuando: cos 0 = 1
m_ 25 9	16
M-8’8'2
M =2
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
R21
693
09.- Tenemos:
Z = cos 5o - i sen 5o = é
-,27	-i,135‘
Z = e
27	Í.135‘
= e
Luego:
. .	1 . -¡.135°
M=
. ¡135“
+ e
Pero: ¿135“
+ e~í l35° = 2 cos 135° = 2
/2
2
2 ...
(1)
(1) en (*):
M= -U(-V2)
v'2
M = -1
e
10.- Tenemos: Z =
3tt .
sen -¿-+1 eos
L___O_______
V2+ÍV2
Por la propiedad de co-razones sabemos:
371	71
sen~g- = eos g
371	71
cos g — sen g
..(1)
También: v2 + i v2 = 2
J2 -V2
2	2
71
eos—+/sen
4
- - (2)
e
(1) a (2) en (*): Z= —
71 -	71
cos 77 +/sen—
L O O
7t	7t
eos—+ »sen—
Usando la fórmula de Euler tenemos:
„ _ e 8	8
-	15
2e 4
e 4
2e 4
z=-2
11.- Tenemos:
Z = 2 sen 0 + 2 V3 cos 0 - 4 i sen
71
Factorizando:
1	-J3
2 sen 0 + -y- .eos 0 - 1 sen
sen- -
6
cos—
6
Pero:
„ 7t
cos 0.cos + sen
„ 7t
0.sen = cos
A
e' 6
RACSO
vp EDtTOBLBl
R21
16941 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Z = 4
Por la fórmula de Euler: Z = 4 .	| Z | = 4
12.- Tenemos:	Z = e"2l0(l - e8,e)
Multiplicando termino a termino:	Z — e216 - ei60
Factorizando:	Z = -ei2e(í>140 - e"'40)
Pero:	e140- e140 = 2 i sen 40	=> Z = ei2e .(2 i sen 40)
Por la fórmula de Euler:	Z = - (cos 20 + i sen 20) 2i sen 40
Evaluando: Z = (2 sen 20 . sen 40) + (- 2 cos 20.sen 40)
Re(Z)	Im(Z)
sen20
2 M= -cos20 ’ -- M =-tan 20
13.- Tenemos:
-iG	• rx
e = cos 6 -1 sen 6
Reemplazando en "W": VV = -C°S^	yy _ *cos0—i -sen0—i
u	6
Pero:	i2 = -1	=> VV = . [sen 0 - i (1 - cos 0)]
Pero:	sen 0 = 2 sen | . cos ,	1 - cos 0 = 2 sen2^
,	«*r	M	Q ®	6-0 2 0
=>	W =	q	2 sen —-	cos 77 - i. 2 sen t?
vi 2	2	2
Factorizando: 2 sen tenemos:
VV = |j.2sen®.^cos^-isen^ ) = ^.sen ®.e’iG/2
Como: -7t<0<O=>	<0 => sen |<0a sen > 0 => sen >0
|W| = |.sen f
Estudio de la Trigonometría .con Números Complejos
14.- Tenemos:	2 eos2 ® + i sen 0 j = M eos2 .cis 0... (*)
D o 0	0
Como:	sen 0 = 2 sen . cos
En (*):	( 2 eos2 ® + 2i sen — . cos^ J2 = M cos2^ . cis 0
Factorizando el primer miembro:
2 cos f j2 - cos^ - i sen j2 = M eos2 ® .cis 0
.	2 0 , ie/2.2	20 ie ,	. ¡e .. ¡e .	.. .
=>	4 eos 2 - (e ) = M • eos 2 - e =*	4 . e = M . e
15	.- Tenemos:	Z + ^ = 2 sen 0 ...(*)
r-y	r-j | r-j |	¡6	1	1	~Í6
Sea:	Z = | Z | . e =>	- e
En (*):	| Z | eie + .eie = 2 cos 0
Pero:	2 cos 0 = elG +• e,e
।..। ie 1 -ie ie -ie ________ vi i
=>	|Z|.e+j2j.e=e+e	=>|Z|=1
ie	_	-i4e 1
Z = e => M = e - “He
e
Pero:	ei4e - e’40 = 2¿ sen 40
=> M = (2i sen 40)i = 2Í2 . sen 40	/. M = -2 sen 40
16	.- Sean: Z = | Z | . e,e el número complejo buscado
Zi = (- 1 +-^i)4 = 24
2n 1 2n V3
Pero:	cos-^- =	3 = ~2~
=> Zj = 16 (cos2 + isen^ j = 16 . e12n/3
R21
696
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Por dato del problema: Z.Zj = 4 . e'
,ie. 16. ei2,t/3 = 4ei’1
|Z|.eie= |-ein/3
Z= |.ei“'3
4
17.- Ordenando "Z" obtenemos: Z =
(sen 3x - sen x)+i(cos x+cos 3x)
eos*+cos 3*
Usando las fórmulas de transformaciones trigonométricas:
Z =
(2cos2xsenx)+¿(2cos2x+cosx)
2cos2x.cosx
Eliminando "2 cos 2x":
sen x+t cosx
cosx
Pero:
sen x = cos
a cos x = sen
Z = —“—
eos” *
Usando la fórmula de Euler:
.. n
Z = sec x. e L
Como:xe (0;n/2)
sec x
18.- Tenemos:
Z = sen 82° + i cos 82°..
Por co -razones trigonométricas tenemos:
sen 82° = cos 8o a cos 82o = sen 8°
Reemplazando en (*):
Z - cos 8o + i sen 8o = e'8
-,15“	, i.8°.15"	¡.120“	1	-¡.120“
z =(c )	= e A Z!5 e
Luego:
W = e¡120“ + ei-120’+l
Pero:
¡.120” . -¡.120“ o	Q
e + e =2 cos 120 = 2
-1
W = 0
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
R21
697
19.- Usando la formula de Euler en "M" tenemos:
(^3ei 3r^3 '-51
M=------
.eiir
Usando teoría de exponentes:
zcJ60’
M=(3y
(15.e'33 )
i. 120°
= e
M = pos 120° + i sen 120*
1
2
J3
2
1	- V3
M "2 +1 2
20.- Tenemos:
eS'*+e4'V 12
Efectuando:
Pero, recordemos:
e4“-l
ix i n _ ir/2
e -1 = 2 i sen  e
M =
2i.sen2xe'2*
-2í.sen4xe4x
M =
sen2x .¡2x
sen4x ’
-i2x
Pero: sen 41= 2 sen 2x . cos 21 a e - cos 2x - i sen 2x
M = ’ 2sen 2xcos2x ‘ <cos ' 1 sen 2x>
M = - ^ + i tan 2x
Re(M) = -|
21.- Tenemos:
|e®- 11 =2...r)
Pero:
¡e . o -	0 ¡e/2
e - 1 = 2 i sen . e
En(*):
L- 0 ¡e/2
2i. sen 2 e
I-2-
Sea:
o 6 ¡e/2
Z = 2 sen . e
Como:
e
2
6 n
sen 2 > 0
e
2
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
0ÍACSO
LdlTOBBI
Pero:
|Z| = |ÍZ|
| ¿Z | = 12i.sen 6 .ele/21 =>
| ÍZ | =2 sen
. 	r} G n	6 -i	6 Tt
En (*•): 2 sen % = 2 => sen = 1	=*2 = 2	" fi = ít
22.- Como:
sen x = cos^-x
a cos x = sen
> Z = cos^-xj
-1 sen

Pero:
eix+l = 2cos| .eix/2 >
Z = e i(7t/2 'x)
Z + 1 = 2 cos(^-|. e"'W
Como:
Multiplicando por (-1):
n
2 < X < Tt
71	* Tt
4 < 2 < 2
7t X Tt
2 < 2 < 4
Sumando	<0; e IVC => Z + 1 = 2 cosí’?2 *). í^4 2^
442'42	\4 2/
Como:	' 2 e IV=>cos^-^j >0	arg(Z + l)= * -
23.- Por el desarrollo de un binonuo al cuadrado tenemos:
¡46 . o i2e , ,	, ¡26 , , .2	.	¡26 , „ ¡6 , ,	, ¡6 , x2
e +2e +1 = (e +1)	=> e +2e + 1 = (e -1)
I e +11
Luego:	Z=l^e^l .(•)
Pero recordemos: ex + 1 = 2 cos. elx/2 => elx - 1 = 2i sen—. elx/2
Reemplazando en (*):
2cos6,e16
2isen—.eie/2
\	¿ J
Simplificando:
- 2 a je
7 _ cos o e
“ .2	2 0
i -sen 2
cos20
Te
sen —
2
(cos 0 + i sen 0)
Iwi(Z) = -
eos2 6. sen 6
20
sen
2q/o 0	0
cos O.^sen^ cosíj
20
sen -
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
Im(Z) = -2 cos20 .
e
cos 2
' e
sen—
Im(Z) = -2 cos26. cot
24.- Sea:
7 _ (1 + cosO+isenO)2
cosB + ¿sen 0
„	O • O	-7	(1+€ )
Pero:	cos 0 + i sen 0 = e => Z = ----gj-
e
A, 0 ¡e/2\2
„	|2cos—£ I
r,	, Í0 n 0	¡6/2	~	\	2 I
Pero:	1 + e = 2cos^.e => Z=-------------jg------
4 20
--------- = 4 eos y
e---z
Por la fórmula de degradación:
Z = 2 (1 + cos 0) = 2 + 2 cos 0
=>2 + 2cos0 = a -b cos 0 => a — 2/\b = -2
2a + b = 2
25.- Sea:	Z = 2 + -Js + i =>
„	n J3 Jt 1
Pero:	cos z = -’x-, sen = z =>
t> 2	2
Por la fórmula de Euler: Z = 2(1 + em/6)
7	1-
Z = 2 Ilb3 +2'
Z = 2(1 + cos + i. sen )
=> Z = (>/6 + ^)ei7t/12 =(VA + Jb ).cis0
Luego: A = 6,B = 2,0=^	/. A0 = A
612
26.- Como:
Z = cos 20 + i sen 20
Por la formula de Euler: Z = e12e =>
M =
1 .i. J2e A2
1 + e I 2O
1_£,í26 I +cot0
Pero sabemos:
eix + l
eix-l
1 JC
7 cot2
R21
700
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
- J^ACSO
PBDITOKEa
Luego:	M = - y . cot 0 j + cot20 => M =	. cot2© + cot20
Pero:	i2 = - 1	=> M = - cot2© + cot2© .-. M = 0
27.- Tenemos:
_ sen0+tcos0
~ sen0-ícos0
Multiplicando por "i" el numerador y denominador tenemos:
2
i cos0+«sen0
• —í2cos0—ísen0
Pero:
.2	-(eos O í sen 0)
1 ~	" cos0+isen0
Luego multiplicando por "-1" ambos miembros y usando la formula de Euler tenemos:
-Z =
-¡e
e___
eie
e-i2e
arg(-Z) = - 20
28.- Por co-razones trigonométricas:
sen 20 = cosí y - 20 |	=> cos 20 = sen! y - 20
Por la formula de Euler:	Z = e'W2~2e>
Luego:	Z + 1 = c*"'220»
Pero:	" = 1 = 2cosy . e™'2	=> Z + 1 = 2eos^ J - 0 j. ei(,l/4‘0)
Como:	0 < 0 < y => -y < - 0 < 0
=>	cos|£-0|>O	.-.	|Z+1| = 2 cosí % -0
4	4	4	I 4 I	11	14
29.- Tenemos:
Pero:
a+íb ¿7 , -
e = V3 + i... (*)
/5	-	-J3 - 1
V3 +I = 2^—+ l.-j
Tt -J3	Tt 1
cos 6 = 2	=* Sen 6 = 2
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
R21
=>	y¡3 + i = 2 í cos z + i  sen z I a eLn2 = 2
l °	6 I
Por la fórmula de Euler: J3 + i = 2 ein/6 = í’L1'2 . ei,l/6 = eLn2 + in/6... (**)
(•) = (”):	ea+ib = eLn2 + in/6 .	« = L«2
30.- Tenemos:
_ 1 + cos26 - ¿sen 26
~ l-(cos26-isen26)
_i20
Pero por la formula Euler: cos 26 - i sen 26 = e
Z =
l + eí2e
l-ei2e
_ (e i2B + l)
(ei2e-l)
(*)
Recordemos:
eix + l
rlx l
1 x
1 cot2
En (*): Z = - j . cot (~^F) = f • c°t 6 =>
Zí = cot 6
Pero: |Z| = |Zí |
Como: 6 e IIIC, cot 6 > 6
|Z| = |ZÍ| =cot6
31.- Tenemos:
Como:
íy2
W = e ...(*)
-y	10
Z = r. e
^2	2 i2(J
Z = r . e
ir2 pl2n
Reemplazando en (*): W = e
Pero:
e126 = cos 26 + í sen 26	=>
Pero:
í2 = -l
yy _ (cos2G + isen20)
< A t	ii2. cos20 + i^.r^.sen 20
W — e
W = í,-r2sen26 e¡r2 .cos26
Luego:
|W| = e-f2“n2B
32.-Tenemos:	W =	=>
Como:	Z = >/5 . e,e =>
-5 ¿20
Reemplazando en (*):	W = e ‘
Pero: e126 = cos 26 + i sen 26	=>
i2z2 -z2
W = e z =ez	...(*)
Z2 = 5ei2e
t * r	-5.cos20	-i. 5 sen 20
W = e . e
- - (1)
Pero:
1 1
6 = arc tan => tan ® = 2
R21
702
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
B^EDITOKES
Recordemos:	cos 26 =------ñ— =----f
1+tan 0	1+—
4
_5Í3\
Luego en (1): W = e *5' . e“,scn2°	|W|=e’3
33.- Tenemos:
Por la formula de Euler, en (1):
Z =
l + ícos^+Zsen^
\	2	2
l-(cos®-ísen^
j6
(e2 + l)
- ¡e
-(/ 2 -1)
..(1)
(2)
Pero:	¿e/2 + 1 = 2 cos £ . ? 6/4
4
eíe/2-l=2/sen(--) eie/4--2i sen(-) eie/4
O £
— c	i
En (2):	Z=------i—y = T cotj-e”'2 => ÍZ = (ct*®) f‘n
4
3tc gy q	3 ti	O tt	, 0
Como- — < 0 < 2ti => -ó < v < „	=> scot / > 0
2	o 4	4	4
|Z| = |¿Z| =cot$
34.- Tenemos:
Recordemos:
En(*):
Pero:
M = csc 6	0 G ( 0; n/2)
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
35.- Tenemos: Z =
sen 46-¿cos 46
sen46+ícos46
 o
Por el criterio de reducción al primer cuadrante:
sen 46 = cos (	- 26) a cos 36 = sen( y - 46)
c°s(^-4e)-¿.sen(^-4e)
Reemplazando en (*):	Z =------\;----------------c
cosí	4®)+ ,sení)
/(í'46)
Por la formula de Euler, tenemos:	Z =	—r~ = e',(’I‘80>
=> z = ei(8e-,l) => org(Z) = 86-7t
Pero: arg(Z) = y => 86-7t= J 6 = §
36.- En la expresión propuesta usamos la formula de Euler:
e-i(4a+P)	e¡(4a+P)
c-i2¿  + c¡2a = A. cos(Ba + P)
Usando teoría de Exponentes: e'1(2a+^+ e,(2a+^ = A. cos (B a +P)... (*)
Recordemos: eIX + e'x = 2 cos x
En (*): 2 cos (2a + P) = A. cos (B a + P)
=> A = 2aB = 2	A + B = 4
_	(l+e’28)4
37.-Sea:	Z = 5 - - -C)
Recordemos: e,x + 1 = 2cos . eix/2
p	7	(2cos6-<’ie)4	16-cos4O.r,4B	4„	„„	4„.
En (*):	Z =-------¡40--- =	¡46	=> Z = 16 cos O = 2(8 cos 6)
e	e
Z = 2(3 + 4 cos 26 + cos 46) => Z = 6 + 8 cos 26 + 2 cos 46
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
J^RACSO
Pbditobbi
Luego:	6 + 8 cos 20 + 2 cos 40 = A + B cos 20 + C . cos 40
=> A = 6, B - 8, C - 2	-> M =	M = 1
o	i_
38.- Tenemos:
Z =
l+¿2e+¿49+¿6e
¿2e + l
Factorizando el numerador:
Z =
i2B+ei4B+ei6B
í-12B + 1
Z =
(l + ei2B)(l + ei4B
(ei2B + l)
Simplificando nos queda:
Zi
= e
i40
Pero:
elx
+ 1=2 cos

Z = 2 cos 20. <’12e
Pero:
71
4
20 e
cos 26 > 0
| Z | = 2 cos 26
39.- Tenemos:
7	?(-3x) + l
Recordemos:
ix -i n x ix/2
e +1=2 cos 2  e
e - 1 = 2í.
sen
En(*):
2ésen(-3A).e,(“3x)
cos\ 2 r
- ésen(3*)
Pero:
sen 3x = 2 . sen
3jc
. cos ~2
e
i(3x/2)
:	- cos
+1 sen
eos
Z= —
-í.2sen|
Simplificar:
7	1^1 Í3jt1
Z = - 2 +i.-.cot(T)
Re(Z) = -|
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
R21
705
REGIONES SOMBREADAS
40	.- Sea:	Z = x + iy = re18
Como: Z. Z 1	=> (x + iy)(x -iy)<1
Por diferencia de cuadrados: x - i y <1
Pero:	i2 = - 1	=> x2 + y2 < 1 . . (*)
Como:	Z = re18	-> arg(Z) = 0
Pero: 0 < org(Z) < ~ => 0 < 0 < | ... (*’j
De (*) a (**) obtenemos:
De la figura: S = ~ (l)2	.'. S = ií2
41	.- Sea: Z = x + iy = |Z| eif> => |Z| = Jx2 + y2 ^arg(Z) = 6
Como: |Z|e[2;4] => 2< Jx2 + y2 <4 =>	22	+ y2 <42 ... (*)
Como: flrg(Z) = 0	=> flrg(Z3) = 30
Pero: flrgfZ3) e [0;	0 <30 <
Interceptando (*) a (**) obtenemos:
Por la formula del trapecio circular:
S = JCM2
RACSO
1D1TO1KI
R21
706
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
42	.- Sea: Z = x + iy = | Z| . r'B
Z = x-iy => | Z | = yjx2 + y2
Pero: 1<|Z| <2	-> l2^*2 + j/2<22 ... (*)
Como:	Z= |Z|.eie => Z3= |Z3|.ei3e
=> arg(Z?) = 30	=> 0<36<3n
->	o<e<7t... (**)
De (*) a (»»):
De la figura: S = | (22- l2) .-. S = w2
43	.- La ecuación de la circunferencia: (x + 2)2 + (i/2 ) = 22
En el plano complejo: | x + 2 + iy | < 2 , pero: z = x + iy
|z + 2|<2 a %<arg(Z)<^
R= |zeC/ |Z + 2| <2, %<arg(Z)<3^j
44	.- Sea:	Z = x + iy = rel0
Tenemos:	(Z + 1)( Z + 1) < 1 => (x + iy + l)(x - iy + 1) < 1
Por diferencia de cuadrados:	(x + l)2 - z2!/2 < 1
Pero:	i2 = -1	=> (x + 1 )2+ y2 < 1	...(*)
Como: Z = rf i0 => Z2 = rV20	=>	2? = írV20
Pero: i = cos 7^ + i sen 7^ = en/2	=>	iZ2 = 2.	e120
iZ2 = r2 ein/2+2S	=>	arg(iZ2) = ^	+ 26
Pero	2ít < flrgfiZ2) < 3tt => 2tt < ^ + 26 < 3tt
=>	— < 6 < —	... (**)
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
R21
707
o	7t	7T V	r-»	X-» z	71	•	71 *
Pero: sen — = cos = -77- Z = 8(cos ~ + 1 sen -r )
4	4	2	v 4	4 '
Usando la formula de Moivre: Z1/3 = 3/r - (cosí n^4 +	¿senf 71 +
I I 3 I 14
Si: k = 0: Vz = 2(cos— + i sen—)
De la figura: S =
S = 2’l/3 w2
46.- Tenemos: | Re(Z) | + | Im(Z) | < 1
Sea: Z = x + iy, donde: x = Re(Z), y = bn(Z)
Se presentan 4 casos: | x | + | y | <1
R21
708
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
IflDITOlll
i)x + y<l
iii) - x + y < 1
ii)x-y<l
iv)-x-y<l
De (i), (ii), (iii) y (iv):
Área = 4A =
= 2w2
4(1)(1)
2
47.-
Si: Zj = 2Z17:/3 => | Zí | = 2 a argfZJ = - n/3
Zj = 2?’t/6 => |Zj| = 4aflrgíZJ = n/6
Zj = 2e'T/2 => |Zj| = 1 aarg(Z¿ = n/2
Graficamos y usando los ángulos notables para determinar Zt, y ^3-
Usando el método de determinantes:
Luego:
S= |(2+2^-(-5))i/2
S= | (7 + 273)1?
*
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
R21
709
«CO2*
Límites y Derivadas
Trigonométricas
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
sen(2cos6)	ti	0
01.- Si: W = ---------, en el límite cuando evaluamos con 6 = ~, tendremos: ~
cosü	2	0
En este caso conviene transformar así:
2.sen(2cos6)
2cos6
Ahora hacemos el cambio de variable:
x = 2cos0
Además reconocemos que al evaluar:
0-> o x—>0
Luego tomamos el límite:
lím w =
2.sen(2cos6)	senx
2cosfi ~ ’ *->0 x
lím W = 2
sen(x + /¡)-senx
02.- Si: W =	'	'
h
senx—senx
Evaluamos el límite cuando h = 0: W =-------
0
~ => forma indeterminada
Transformando a producto la diferencia de senos, la expresión W se convierte en:
(h\
seri —
=> lím W-lím -------í—‘ .lím cosíx+^J => lím W = (1).cosx = cosx
/i->o	/i->o h ii->o \	2/ fr->o
2
R22
710
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JDiTOlll
03.-Si: W =
2	2
sen x-sen a
.2 „2
Evaluando en el límite cuando x = a: W =-5-5--- = — => forma indeterminada
a -a 0
En base a la identidad del arco compuesto y descomponiendo la diferencia de cuadra-
dos en el denominador, la expresión W se convierte en:
sen(x - a).sen(x - a)
(x + a)(x-a)
Es pertinente reconocer que cuando:
x-+ a o (x - a) —> 0
lím
x—*a
lím
sen(x+fl) sen(x-o)
x + a x-a
Aplicando límite para el producto de dos funciones, tendremos:
,,	>*7 i' rsen(r+fl)l	Fsen(x-fl)
hm W = hm -------------- . hm -------------
x—yfí x->a L x+a J x-o->0 L x—a
límW = sen(fl + fl)
lím W =
sen 2a
2a
w =
x3+l
04.- Si: VV =	~ 32?
sen(l-xj
(-1)3 + 1
Evaluando en el limite cuando x= -1: W =	. ,.2,
sen[l-(-l) ]
0
~ => forma indeterm.
Descomponiendo en el numerador la suma de cubos y en el denominador factorizando
el signo ( - ) para el argumento del seno, la expresión W se convierte en:
(x+l)(x2 - x + l)
~ -sen(x2-l)
Multiplicando numerador y denominador por: x - l
x2 -1	x—x2—l
sen(x2-l)‘ (x-l)
Es preciso reconocer que cuando: x -+ - l o x2 —> l o x2 - l —> 0
lím
x-»-i
VV= lím
x-^-l .
x-x2 -l
(x-l)
x2-l
sen(x2 -l)
Límites y Derivadas Trigonométricos
Aplicando límite para el producto de dos funciones:
lím W - hm
1—>-l	X—*—1
x-x2-!
lím ---------¿  -
2-i ,o |_sen(r -1)
(-l)-l-l
límW=	.(1)
-3
lím W =
05.- Sea:
... senvx +4-2
W=-------j---
3
lím W = ~
2
sen(2-2)
Evaluando en el límite cuando x = 0 tenemos: VV = ---
0
= ~ => forma ndeterm
Multiplicando el numerador y denominador por: Jx2 + 4 - 2, y luego por: Vx2 + 4 +2;
la expresión W se convierte en:
sen(Vx2 + 4-2) Jx2 + 4 -2 -Jx2 +4+2
(A2+4-2) r2 Jx2 + 4+2
sen(Vx2 +4-2)
(Vx2+4-2) J' >^/x2+4+2
sen(Vx2 +4-2)	1
(Vx2+4-2) J (Vx2+4+2)
-> W =
Cuando: x —> 0 o Jx2 +4 -2 —> 0 < > y —> 0
y
t >
sera/
lím W = lím -----------
x-»o y->o y ,
(Vx2+4+2)
lím W = (1)
x-»0
1
(2 + 2)
lím W = —
x—>0	4
c	... Vi + senx-Vi-senx
06.- Sea:	W =-------------------
1-1 o
En el limite cuando x = 0 tenemos: VV = —q- = —	=> forma indeterminada
Racionalizando el numerador, la expresión W se convierte en:
(1 + senx) - (1 - sen x)
x.| Vi + senx + Vi - senx ]
Problema de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
Wy IDlTOlll
(senx^	i
lím VV =2 lím ~~ . lím k , h ~
x-»o	x—»o \ x J x->o vl + senx+-Jl-senx
1
lím W = 2.(1) -
x—>0	2
07.- Sea:
1—sen—
VV =------2-
Tl-X
lím W=1
>->o
1	71
1SCno	0
En el límite cuando x = it, tenemos: W =-------------— = —
71 — 71	0
=> forma indeterminada
sen---1
Ordenando convenientemente tendremos: W =	2
x—Tt
Cuando:	x —> Tt o x - ti —> 0, y si hacemos: x - ti = y

=> x —>7i o y—> 0
Asimismo, si: y = x - ti => x = ti + y ... (2)
Reemplazando (2) en (1), tenemos:
W =
sew^+2^~1
y
y
Aplicando reducción al I cuadrante:
y
l-COSj —
12
lím W= lím ----------—
x-»n y-»0 y
1 lím 1-co{l
S; w=-2^—¡yT
(2 J
Aplicando la regla de H’ospithal:
/úmW=0
X-»1t
Límites y Derivadas Trigonométricos
R22
713
08.- Si:
sen(x-2)
W=^i"
sen(2-2)	0
En el límite cuando x - 2, tenemos: VV = Z3 ~	= T => forma indeterminada
Z —o	U
Descomponiendo en el denominador la diferencia de cubos, la expresión VV se convierte en:
sen(x-2)
(x-2)(x+2x + 4)
Luego de ordenar convenientemente evaluamos:
lím VV = lím
x—>2	x-»2
sen(x-2)
x-2
1
9
x + 2x+4
Debemos reconocer que cuando: x —>2 o x-2 —> 0
lím W = ’x%^0
x->2
sen(x-2)l	1
x-2 jj™ x2+2x + 4
1
=> hm W = (l). 22 + 2(2) + 4
lím VV = —
X .C 12
O9._ Sea:	w Jsen3x)(s^
(xx)2
0
En el límite cuando x = 0, tenemos: VV = ~	=> forma indeterminada
Factorizando en el denominador, la expresión VV se convierte en:
(sen3x)(sen5x) (sen3x)(sen5x)
W= [x(l-x2)]2	=	x2(l-x2)2
Multiplicando el numerador y denominador por : 15
sen3x sen5x 15
VV =----- -------. ----y,
3x 5x (1- x2)2
Luego de ordenar convenientemente evaluamos:
lím VV = lím
x—>0	x-»0
15
(1-x2)2
R22
714
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITO1B1
Debemos reconocer que cuando: x —> 0 o 3x —> 0 a 5x —> 0
lím
x—>0
VV = lím
3x—>0
sen3x
3x
. lím
5x—>0
sen5x
5x
15
S a-*2)2
lím W = (1). (1). —~
x—»o	(l)2
lím W = 15
x—*0
10.- Sea:
VV =
sen3x
5x22x
En el límite cuando x = 0, tenemos: VV = — => forma indeterminada.
En base a la identidad del arco triple y factorizando “x" en el denominador, la expresión
VV se convierte en:
VV =
(senx)(2cos2x +1)
x(5x-2)
lím VV = lím
x—»0
senx'i f2cos2x + l
x l'l 5x-2
Aplicando límite al producto de dos funciones, tendremos:
lím VV = lím
x—>0
x—>0
. lím
x—>0
í 2cos2x+lA
l 5*-2 J
lím W = (1).
x—>0
l0-2 J
11.- Sea: VV =
-sen3x
senx-sen2x
0
En el límite cuando x = 0; tenemos: VV = —
=> forma indeterminada.
En base a la identidad del arco doble y transformando a producto la diferencia de senos,
la expresión VV se convierte en:
3x	x
x —> 0 o — - > 0 a — -> 0
Debemos reconocer que cuando:
Límites y Derivadas Trigonométricas
itoHf).
3x •
=> lím VV = --------2t-v-
límsen\2/
x
2
lím VV = - 3
x->0
12.- Sea:
x-sen2x
x + sen3x
lím
x—>0
(1)0)
(1)
W = -
0
En el límite cuando x = 0, tenemos: VV = ~
=> forma indeterminada
Dividiendo el numerador y denominador entre x; la expresión VV se convierte en:
x-sen2x
x
w —------~—
x + sen3x
x
1 sen2x 2
VV =-----—
sen3x
+ 3x
Debemos reconocer que cuando: x —> 0 o 2x —> 0 a 3x —> 0
2 2(sen2x
lím VV =	
+3|seJ?3A
lím VV=
x—>0
1- lím
2x >0 \ 2x I
1 + lím 3.(ge¿p*^
3x—>0 \ 3X I
1-2(1)
S W“ 1 + 3(1)
13.-Sea: VV =
(6 + 4).sen(it6)
62-16
lím W
x-»o
8.sen(47t)	0
En el límite cuando 0 = 4 tenemos: VV = —77—~r~ = ~
16—16	0
=> forma indeterminada.
Descomponiendo la diferencia de cuadrados en el denominador, la expresión VV se
convierte en:
R22
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Sí RACSO
^BDITCMEB
(6 + 4).sen(7i6)
W= (e + 4).(6-4) (1)
Debemos reconocer que cuando:
Además hacemos: a - 6 - 4
6 = a + 4 ... (2)
sen[n(a + 4)]	sen(47i + 7ia)
Reemplazando (2) en (1), tenemos: W =--------- ------------
a
a
Pero por ángulos coterminales: sen(47t + na) = sen (na)
sen(7ia)
lím W = lím ------------
e-»4	a—»o a
lím W= lím
6—>4	7»-»0
sen(na)
Tía
. 71
lím VV = (1) . Ti = n
3sen(7tr)—sen(37tr)
14.- Si: W =------------------------
o
o
En el límite cuando x = 0 tenemos:
3(0)-0
w=-F-
forma indeterminada
lím W=
lfm 3sen(7tx)
- lím sert(37tr) =>
x—>0	X	x—>0
W=
sen(Ttx)
hm ———-3ti -
TUC
„ sen(3rcr) „
Zm —qLT—-dTt
x^O
(1). 371 -(1).3ti
lím \N=
x—>0
lím W = 0
x—>0
15.- Sea:
cos(mx)-cos(nx)
VV = -------2-------
1-1
. - - 0
En el límite cuando x = 0, tenemos: VV = —~ = ~ => forma ind terminada
En base a la identidad de transformación trigonométrica, la diferencia de cosenos la
pasamos a producto y la expresión W se convierte en:
Sea:
2se
w =----
=> lím W = -2. lím
x—>0	x—»o
sen
2
sen
2
4
y=(m-n).- a z = (m + n).~
Debemos reconocer que cuando:
(m - ri). -
(m + n).— ->0
Límites y Derivadas Trigonométricas
R22
717
1
lím VV = - — lím
x->o 2 y-»°
seny
y
senz
,(m-n).lím -----.(m + n)
1
=> lím VV = - — . 1. (m - n). 1. (m + n)
x—>0	2
lím W =
x—>0
2	2
n —tn
2
16.- Sea:
l-cos 3%
1 -cos4x
1-1
- -	0
En el límite cuando x = 0, tenemos. VV = ——~ = —	=> forma indeterminada.
En base a la identidad del arco doble (degradación) la expresión VV se convierte en:
VV =
9 ^2Í 3*
zsen —
J 2 ,
2sen (2x)
Debemos reconocer que cuando: x —> 0
3x
2
2f 3x'
sen —
VV = lím------2,3
x—»o sen (2x)
3x\2
sen^
Zím
x—»o sen2x
lím
x-»0
f,. 3XV2
Zimsen^r-
x—»o 2
lím sen 2x
x—»0
Q sen^.-
|. lím
2 3x .n
2 2X
2 sen2x
2x—>0 2x
Otro Método:
a cuando: x —> 0 o 3x —> 0 a 4x —> 0
lím
3x-»0 (3x)¿
l-cos4x
(4x)2
.16
—.9
2
—.16
2
9
lint W = —
x—>o	16
lím
4x-»0
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
2
17.- Sea: W = ----7=
1--Jcosx
0 0
En el límite cuando x = 0 tenemos: W - ——- = — => forma indeterminada
Multiplicando el numerador y denominador por: 1 + Jcosx , la expresión W se convier-
te en:
x2 (14-Jcosx) _ (1+Jcosx)
(1 --Jcosx) (1 + Jcosx)	1-cosx
x2
lím
x—>0
W = lím
x—>0
(14-Jcosx)
1—cosx
lím
x-»0
X^ofl + Vcosx)
lím 1 COSX
x->0	2
X
2.
1
2
lím W = 4
x-»0
18.- Sea: VV=
2-Jcosx-cosx
x2
En el límite cuando x = 0, tenemos W =
2-1-1
0
=> forma indeterminada
£
0
También VV se convierte en:
1-cosx	1-Jcosx
w= x2 + x2
Evaluando el límite se tiene:
lím
x-»0
,, 1-cosx	1-Jcosx
W = hm -----5— + hm -----5---
x—>0	X	x—>0	X
1 + -Jcosx
1 +-Jcosx
lím W = ^- + lím ^~c~sX. lím------2 - -
x—>0	2 x—>0 Xa x—»o 1 +-Jcosx
1 2 2
2 + 2 ’2
19.- Sea:
VV =
l+cos(7tr)
x2-2x + l
3
.'. lím VV = ~
X .o 4
En el limite cuando x = 1, tenemos:
14- cosit 0
W = q _	= ~ => forma indeterminada
Debemos reconocer que cuando: x —> 1 o x - 1 —> 0 o y = x- l —>0
limites y Derivadas Trigonométricas
R22
719
Sí:	y = x - 1 o x = y + 1
Reemplazando en la expresión original, se tendrá:
l+cos[7t(y + l)J
l+cos(7t+7ty)
VV = -------2------
y
l-cos(Tty)
y2
=> lím VV = lím 1 c„os(Jiy) -TI2
*->1	x—>0	Ti2.y2
Debemos reconocer que cuando: y —> 0 o ny —> 0
lím VV = ti2- lím
x->i	«y->o
1 —cos(7ty) 2 1
2	~	‘ O
(™/) 2
lím W =
20.- Sea:
En el límite cuando x = 1, tenemos:
VV =
71
eos— n
___2. =2
1-1	0
=> forma indeterminada
Multiplicando el numerador y denominador por: 1 + Jx, la expresión VV se convierte en:
Si ha emos el cambio de variable: y = 1 - x => x — 1-y	... (2)
Debemos reconocer que cuando: x> 1 o 1 - x -> 0 o y = 1 - x -> 0
(l + Jl-yXsenj^y^
Reemplazando (2) en (1) tendremos: VV =----------1¿
(l+>/l^y).sen(^y)	--- „
=$ lím W = lím	————-—-	=> lím	W = lím	(1+ Jl-y )-	lím —é-¿  T
y->°	y	x-u y->° v	y->° ZE	v 2
2‘*
7t
Debemos reconocer que cuando: y—>0	o ~ y —> 0
R22
720
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
^DITORBB
senfyy
=> lím W = 2 lím --------'----
X->1	|y_,0 2E V
2 *
n	n
2=2^ 2
hm W = ti
21.- Sea.	W =----------
1-cos6x
o
En el límite cuando x = 0, tenemos: W = -—-
0
= ~ => forma indeterminada
Transformamos la expresión de manera que:
1
W= —
36
- (I)
1 - cos6x
Si hacemos el siguiente cambio de variable:
V = 6x
(2)
Debemos reconocer que cuando:
0
6x
Reemplazando (2) en (1), tenemos:
y-»0
2
y
1
W= —
36 1-cosy
lím
22.- Sea:
2
1
W = lím ~
36	1 — COS V
1
lím W = —- lím
x—»o	36 y—»tí
2
y
1-cosv
1 1
/,m W = 36 T
x->0	•’Ó
2
1
lím W= ~
x—»o	18
18
7t-3x
W=---------
l-2cosx
Tt
En el límite cuando x = —, tenemos:
W =
71 .
1 -2cos—
3
71-
0
0
forma indeterminada
Ordenando convenientemente tendremos:
—(Tt—3x)
W= —'-------
2cosx-l
En base a la identidad del arco triple, la expresión W se convierte en*
(7t-3x)
W = -------r
cos3—
2
(7t-3x).cos—
W = ------t-----v-
(n 3x^
sen-------
12 2 1
cos—
2
Límites y Derivadas Trigonométricas
Si hacemos el siguiente cambio de variable:
Debemos reconocer que cuando:
n
n-3x
y=\
7t-3x
y-* o
lím \N = lím
2.sen
-eos—.(n-3x)
7t-3x
2
- - (2)
n
lím VV = -2 cos —. lím
Y—>5	r—
3
sei
7t-3x
2
y
V3
lím W =-2. —— . hm
2	y—>0 SenV
3
=> lím VV = -V3(l)
3
3
cosx-cos2x
23	.- Sea: VV = —-------
1-cosx
1-1
En el límite cuando x = 0, tenemos:
_ _	0
VV = ~~ = ~	=> forma indeterminada
En el numerador la diferencia de cosenos pasamos a producto y en el denominador por
la identidad del arco doble (degradación), la expresión VV se convierte en:
—2 sen
VV =------
3x
2sen*
Debemos reconocer que cuando: x —> 0
lím VV =
x->0
lím
x-»0
lím W =
senl
lím
^->0
a
3x 2
2_____
senh
lím____L
x n 3x
2
1
’2
2
lím W =
I(1)
lím VV = 3
x->0
R22
|722 | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WEDITOIBI
c	l-cos(l-cosx)
24	.- Sea: VV =------------
.4
. 11 0
En el limite cuando x = 0, tenemos: VV = —-— = — => forma indeterminada
Transformaremos la expresión multiplicando el numerador y denominador por: (1 - cos x)2
convirtiéndose en:
VV =
.2
1 — cos(l — cosx) (i- cosx):
(1-COSX)2
.4
Si hacemos el cambio de variable:
y = 1 - cos x
Reconocemos que cuando: x —> 0
0 a y —> 0
VV = lím
l-cos(l—cosx)
(1-cosx)2
1 - COSX 1
Z2
1 - cosy
=> lím VV = lím	,,2
x-»o y->o	y
lím
x2
1-cosxV
ji
lím 1 — cosx
x—>0	2
if
lím W = ~ .
x-íO ¿
f--
“ 2 ’ I 2
1
lím W = -
x-»0 o
0.sen0
25	.-Sea: VV = -----
l-cos 0
En el límite cuando 0 = 0, tenemos:
0
W= 1-1
0
— =» forma indeterminada
En base a la identidad del arco simple, la expresión VV se convierte en:
©.sen© 0
VV =-----2Z =------
sen 0 sen0
0
lím VV = lím --------
e->o o->o sen0
26.- Sea:
1 + senx
vv= -------
1 + cosx
3n
En el límite cuando evaluamos para x = —, tenemos:
1+sen—	l + (-l)	0
VV = -----2_ =	= — => forma indeterminada
1+cos3rt	’+l1!	0
Límites y Derivadas Trigonométricas
Multiplicando el numerador y denominador por: 1 - sen x y en base a la identidad del
arco simple y arco doble (degradación), la expresión W se convierte en:
w _ 1 + senx 1 -senx
=*	~ l + cos2x ' 1-senx
2
1—sen x
=> W = ------9----------
2 cos x.(l — senx)
cos1 2x
=> W = -------2----------
2 cos x.(l — senx)
1 1
=> lím W = lím ------------r => lím W =	-------—r
x_^ 2(1-senx)	2(l-sen^)
1-^COSX
27.- Sea: W =------------
x.senx
1-1	0 '
En el límite cuando x = 0, tenemos: W =	= ~	=>
1
lím W = -
,3n	4
forma indeterminada
Aplicando la identidad algebraica de la diferencia de cubos:
a3 - b3 = (a - b)(fl2 + ab + b2)	=>	1 - (^cosx)3 = (1 - ^cosx )(1 + í/cosx + -t/cosx 2)
1-cosx	i 1+cosx
La expresión W se convierte en: W =---------_	—.	. _	~-------
r	. 3/	- . 3/	2.	X-Senx 1 + rncY
1 + Veos* + Veos X	1-bCUbA
Asimismo al multiplicar y dividir por: 1 + cos X, W se convierte en:
2
sen x
W= ------3f---- 3/~~2~------------------
(1 + Vcosx + Veos x).xsenx.(l + cosx)
,, 1A,	,, senx	1
hm W - hm ----- . hm -- —.	--------
x-»0	x—>0 X x-M) (1 +^fcosx + Veos2 x)(l + cosx)
1
fimW = l. (1 + 1 + 1)(1 + 1)
1
lím W =
x-»o 6
28.- Sea:
1 - cos8x
sen8x
En el límite cuando x = 0 , tenemos:
0
0
=> forma indeterminada
En base a la identidad del arco doble (degradación) la expresión W se convierte en:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿Ííracso
'P*D1TOKBS
=> w =
2sen24x
2sen4x.cos4x
VV=
sen4x
cos4x
W= tan 4x
=> lím W = lím tan 4x
x>0 i-»O
lím W = O
x-»O
1 +senx-cosx
29.- Si: VV = -----------
1-senx-cosx
En el límite cuando x = 0, tenemos:
1+0-1
VV =------
1-0-1
o
“ => forma indeterminada
Transformaremos la expresión W ordenando y aplicando la identidad del arco doble:
senx +1-cosx
VV=-------------
-senx+1-cosx
2 sen cos +2 sen2
-2 sencos 7^ + 2sen2
2 sen y í cosij+sen
VV= -----
2sen^-
cos^ + sen
=> lím VV = lím
x-»0	x—»0
cos—+sen—
2	2
sen---cos—
2	2
lím VV=
x->0 o-l
lím W - - 1
sen2x
30.-Sea: VV=-----------~
cosx + cos 3x
71
En el límite cuando x = ~, tenemos: VV =
2	cos3- + cos-
2	2
senil
0
~ => forma indeterminada
En el numerador aplicamos la identidad del arco doble y en el denominador la suma de
cosenos la transformamos a producto. La expresión VV se convierte en:
2senxcosx
W=------------
2cos2xcosx
senx
W = ——
cos2x
31.- Sea:
lím VV = lím ----—
x_>* cos2x
71
sen—
lím VV=-----2-
,-5 COSTt
2
lím W= -1
*-»o
(1 -senx)3
(1 +cos2x)3
Límites y Derivadas Trigonométricas
sen|
Tt	0
En el límite cuando x = ~ tenemos: W = —-----------------5- = —
2	(1 + cosTt)-	0
forma indeterminada.
En base a la identidad del arco simple y el arco doble (degradación), la expresión W se
convierte en:
(1-senx)3
(1-senx)3
W = '-------—	--------------------
(2cos2x)3	8(1—senx)3(l + senx)3
=> lím W = lím
2
_ 8(1 +senx)3
2
lím W=
2
1
8(1+ 1)3
1
lím W = —
'	64
32.-Sea: W =
2
sen2x + 2sen x—2senx
2
cosx-cos X
0
En el límite cuando x = 0, tenemos: W = ~—~
0
“	=> forma indeterminada
En base a la identidad del arco doble la expresión W se convierte en:
W =
2
2senxcosx+2sen x-2senx
cosx(l - cosx)
w =
2senx(cosx + senx -1)
cos x(l-cosx)
w =
2.2sen—eos—(cosx + senx — 1)
cosx.2sen2 —
2
w =
—2 eos—(1 - cosx - senx)
cosx.sen—
2
W =
-2 eos—. 2sen2 —-2sen—eos—
2	2	2
2
w =
lím W =
cosx.sen—
2
4 cos—
2
cosx
sen---cos—
2	2
4cos—
lím - 4 .----—
x-»0 COSX
sen---cos—
2	2
4(1)
lím W = --t2 (0-1)
x—»0	4
lím W = 4
x-»0
x.sen(sen2x)
33.- Sea: W ~	~r
1 - cos(sen4x)
En el límite cuando x = 0, tenemos:
0	0
W = -—“ = — => forma indeterminada
4b RACSO
WBDITOIII
R22
7261 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
2
Multiplicando el numerador y denominador por: sen 4x y en base a la identidad del
arco doble y propiedades de límites trigonométricos, la expresión W se convierte en:
2 .
sen 4x
x.sen(sen2x)
=-------------- -------------
1 —cos(sen4x) sen4x.sen4x
sen2(4x)
W =-------1—-—
1 - cos(sen4x)
x.sen(sen2x) 4
2sen2xcos2x.sen4x ' 4
2
sen (4x) sen(sen2x) 4x 1
1 -cos(sen4x) ' sen2x ’ sen4x ' 8cos2x
Reconocemos que cuando:
2
sen 4x
4x
		sen(sen2x)
lím W = lím ~	~	~:. lím 	---------. lím ------- - lím  ----~
x-f0	sen4x—>0 l-COS(Sen4x) sen2x->0 Sen2x	4x—»0 Sen4x 4x-»0 8cos2x
sen(A + B).cos B—sen(A + Cl.cosC
34.- Sea: W =-------------------------------
sen(B-C)
En el límite cuando B = C tenemos:
sen(A + C). cosC - sen( A + C).cosC
sen(C-C)
0
~ => forma indeterminada
Entonces transformamos los productos a sumas en el numerador de la expresión:
2sen(A + B)cosB-2sen(A + C)cosC
2sen(B-C)
sen(A + 2B) + senA - [sen(A + 2C)+senA]
2sen(B-C)
sen(A + 2B) -sen(A + 2C)
W= 2sen(B-C)
Transformamos la diferencia a un producto:
-25en(B-C)co§(A + B + C)
—2Sen(B-C)
=> lím W= lím cos(A + B + C)
B—»C	B—»C
lím W = cos(A + 2C)
B >C
=* lím W = (2)(1)(1)
2
8
1
lím W = 7
i-»o 4
1
35.-Sea: W =
^3 -1/2+ cosx
2Z
sen 3x
En el límite cuando x = 0 tenemos: W =
3 ¿3 0
------= ~	> forma indeterminada
0	0
Límites y Derivadas Trigonométricas
R22
727
También VV se puede expresar como:
V3 - V2 + COSX J3 + V2 +cosx
VV =-----5~---’ “7=—/
sen 3x V3+v2 + cosx
...	1-cosx	1
y» —	2	-	_
Debemos reconocer que cuando: x -> 0 o
r w r í1 1-cosX 1 í 3x \2
to w=i„„	-fe)
IA7 1	>' 1-cosx	1	f lím 3x Y
hm W = - hm -----2— Ittn ' m ,	.	 3x^07—57
x—»o	y x—»o	x	x—>0 v3 + -J2 + cosx	V senjx j
1 1	1	¿3
lím VV = — — _ cr . 1	lím VV = ——
x >C 9 2 2V3	, ,0	108
36.- Sea:
senx—cosx
VV = —-------
1-tanx
Tt
En el límite cuando x = ~, tenemos: VV -
4
Tt	Tt
sen--cos—	n
4	4 = £
. . Tt	0
1 - tan—
4
=> forma indeterminada
Expresamos VV en términos de senos y cosenos:
senx-cosx	cosx.(senx-cosx)	(cosx—senx)
VV =----------- =----------------- => VV = - cos x---------------- = - cos x
1 senx	cosx—senx	cosx—senx
cosx
=> lím VV = lím (- cos x) = - cos T	lím VV = ------
X^J	4	x->f	2
4	4	4
tanx—senx
37.- Sea: VV =------3-----
En el límite cuando x = 0, tenemos:
tan(0)-sen(0)	0
VV = ------------- = — =» forma indeterminada.
Expresamos VV en términos de seno y coseno, luego agrupamos convenientemente para
aplicar las propiedades de límites trigonométricos:
senx
---—-senx
w= -cosy..------
senx(l-cosx)
COSX.X3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
"jí RACSO
V^BDITOSOS
=> lím W = lím
x—>0	x—»0
senx 1-cosx 1
X ’ r2  COSX
IA7— i' Senx n 1~COSX ,,	1
llfTl »— llfTl - llfTl o *
x—>0	x—>0	%	x—»(J	x	x—»0 COSX
r n
=> lím W = (l) y (1)
.n	l x. I
lím VV =
jr—>0	2
38.- Sea:
2
l-cos X
tan2x
En el límite cuando x = 0, tenemos:
1-1	0
W = o = — => forma indeterminada.
W =
Aplicando la identidad algebraica de la diferencia de cubos, y expresando en términos
de senos y cosenos, W se convierte en.
(1 - cosx).(l + cosx+eos2 x). eos2 x	_P-—<0sxJ7(l + cosx + eos2 x). eos2 x
=> W =-----------------ñ--------------=> w =----------;----------------------
sen x	41—cúsxXl + cosx)
lím VV =
x->0
lím
x—»0
(1 - cosx+cos x)(cos x)
(1+cosx)
lím W =
x—»0
(1 + 1 + 1)(1)2
(1 + 1)
3
lím W = -
x-»0	2
39.- Sea:
En el límite cuando x = 0, tenemos:
=> forma indeterminada
También W se puede expresar como:
Es necesario reconocer que: x —> 0 o
Tt
2
2
Límites y Derivadas Trigonométricas
40.- Sea: W = sec x - tan x
71	71	71
Cuando x = se tiene: W = sec ~ - tan —
=> forma indeterminada
Pasando a senos y cosenos, multiplicamos y dividimos por 1 + sen x, la expresión W se
convierte en:
W =
1-senx 1 + senx
cosx ' 1+senx
2
COS X
W =--------------
cosx(l+senx)
=> lint W =
cosx
lint ~
r ,n 1+senx
2
71
eos—
lint W =---2—
1 +sen—
2
0
lint W = ——
2
2
2
lím W= 0
2
41-Sea: W = *-2tanx
l+cos4x
71
En el límite cuando hacemos x = — tenemos:
4
2 71 „	71
sec--2tan—
w=—----------*
1 + COS7I
¿(2) -2 Q
l+(-l) " 0
forma indeterminada
Transformamos la expresión en base a la identidad del arco simple y del arco doble
(degradación), convirtiéndose en:
1 + tan2x-2tanx
l + cos4x
w= (tanx-1)2
l + cos4x
Expresando en términos de senos y cosenos tendremos:
x2
senx j
cosx I
W =
l+cos4x
(senx-cosx)2
cos2x.(l + cos4x)
•y
(cosx-senx)
W =-----2------T---
cos x.2cos 2x
•y
(cosx-senx)
W=------ó-----------------------2
2cos x.(Cosx -senx) (cosx + senx)
lint W = lint ,	,
2 cos x.(senx + cosx)
lint W =
n J'-t
1
i2r	t2
1.1
2 V2_
4
1
4
R22
730 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
42.- Sea:
3sen2x
x.tan4x
lím
lím VV = —
2
En el límite cuando x = 0, tenemos:
W = — => forma indeterminada
3sen2x
Tambiéff’W se puede expresar como: W = x.tan4x
/
I serve 1
3 l x )
=> W = —. tan4x
4x
Reconocemos que cuando: x —> 0 <=> 4x —> 0
Í-.2
senx ]
x )	3 (1)
lim w = ~ tan4x => límW= ~ m
x-»0	*	4x->0— - x-»o *
4x
3
/mW = -
x->®	4
tan(l + cosx)
43	.- Sea: VV =	77 x 7
cos(tanx) —1
En el límite cuando evaluamos en x = n, tenemos:
tan(l + cos7i) o 0
W =	___7 = ~~ = ~ => forma indeterminada
cos(tanTi) —1 i — i o
o
Multiplicando el numerador y denominador por 1 + cos x y tan x:
tan(l + cosx) (1 + cosx) tan2 x
W ~ " i - cos(tanx)' (1 + cosx) ’ tan2 x
Agrupando en convenientemente para luego aplicar las identidades trigonométricas y
las propiedades de límites trigonométricos, la expresión W se convierte en:
tan(l + cosx) tan2x	(1 + cosx). eos2 x
(1 + cosx) ’ l-cos(tanx) ' (1+cosxXl-cosx)
Si hacemos el siguiente cambio de variable: y = 1 + cos x a z = tan x
Reconocemos que cuando: x no 1 + eos x —> 0 o y —> 0
Asimismo cuando:
X—>710
tan x —> O o z —> O
Límites y Derivadas Trigonométricas
R22
731
tany	z „ cos x
hm W = - hm ------. hm ------ . hm -------
X-Wt y-*0 y z->0 l-cosz x~vn 1-COSX
2
=> lím VV = - (1) (2). • COS 71
1—COS7I
-2.(—l)2
lím VV = -:—
x-tn	1—(—1)
lím W = -1
X—Hl
tanx+tan2x
44	.- Sea: VV =------—
cosx + cos2x
n
En el límite cuando x = ~, tenemos:
VV =
2ti t 2ti
tan— + tan—
3	3
71	71
cos—+ cos—
3	3
3+V3
1 1
--1--
2 2
= ~ => forma indeterminada
En base a la identidad del arco compuesto y de transformación trigonométrica a produc-
to, la expresión VV se convierte en:
sen(2x + x)
_ cos 2x. cosx
“ 3x x
2 cos—.eos—
2	2
sen3x
VV =---------------=-----
3x	x
2cos2x.cosx.cos—.eos—
2	2
Y empleando la identidad del arco triple tenemos:
„ 3x 3x
2sen—. cos—
=> W-------------------------
** ~	3x x
2cos2x.cosx.cos—.eos—
2	2
3x
sen—
=> lím W = lím 2
x-»— x-t— 3x
3	3 cos—.cosx.cos2x
lím VV =
71
sen—
2
71	71	271
cos—.eos—.eos—
6	3	3
lím VV =
,71
3
1
J3 1 1
2 ’2‘ 2
8-^3
^3
2
„	. , (tanx + cotx-cscx)
45	.- Sea: VV = *------------—
secx-1
Reconocemos que en el límite, cuando x = O, se tiene: tan x = 0; sec x = 1
cosx-1	1-1	O
Y: cot x - csc x =----=	~ = — => se presenta la forma indeterminada
senx	0	0	r
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITO1BI
En base a la identidad del arco triple, la expresión se transforma en:
2
(secx cscx - cscx)
W = -----------------
secx-1
csc2 x.(secx -
W =
2
=> W = csc x . (sec x - 1)
1
2
sen x
1 -cosx
cosx
W =
(1 - cosx)______
(1 - cos x)(l + cosx).cosx
=> W »« (l + cosx).cosx - (1 + 1)(1)
1
lím W = -
x—»o	2
tan(«x)
46.-Si. VV-
0
En el límite cuando x — 0, tenemos: VV = ~	=> forma indeterminada
Transformamos la expresión en términos de seno y coseno:
sen(flx)
sen(cx)	1	—
w —---------------- ---------------- —s w =____________—_______
cos(flx).sec(flx) ’ (l-cos(ox)+x)	l-cos(cx) x
ox ax
Reconocemos que cuando: x —> 0 o (ax) 0
Luego aplicando las propiedades de límites tenemos:
1
1
lím VV =
x—>0
lím sen(flx)
ax—>0
ax
lím 1 COs(flX) Km %
ax—>0	„	+x-»0
lím VV =
x->0
lím VV = a
x-tO
ax
ax
x.tanx.secx
47.-Sea: VV = n+x2)sec3x-l
En el límite cuando x = 0 tenemos:
0
VV = — => forma indeterminada
Transformamos VV en términos de seno y coseno:
senx 1
yy _ cosx cosx
3	1
cos x
x.senx.cosx
2	3
1+X -COS X
1
1
a
Límites y Derivadas Trigonométricas
R22
733
48.- Sea:
1A, _ x senxcosx
VV -	3.2
1-cos x+x
x senx. cosx
2
W = ------------ -------2----2
(l-cosx)(l + cosx+cos x)+x
lint í-^^Icosx
_______x-»(A x /________
lím(—^P^líl + cosx+cos2 x)+2
x—>0\ X2 /
lint W =
x-*0
lím W =
x—>0
2
lím W = —
x—>o	5
W = ----------
2arccosx-n
2
En el hmite cuando x = 0, tenemos:
0 0	_ 0
2nrccos(0)-7i	0
12
=> forma indeterminada.
En base a las propiedades de las funciones trigonométricas inversas y propiedades de
los límites de las funciones mencionadas, la expresión W se convierte en:
W =
______x______
2^-are senx] -n
W= ----------
— Zarcsenx
1 x	1
lím W = lím	-	—	.------- =-—(1)
x-w x-»o	2	aresenx	2
lint W = -
x-»0
2
2
49.- Sea:
2 tanx-are senx
senx
En el límite cuando x = 0, tenemos:
0
w=-^
forma indeterminada
También VV se puede expresar así: W =
2 tanx
senx
/ircsenx
senx
2serpr
W=<C^X
^Senx
are senx
x
senx
x
W =
	aresenx'	lím aresenx
=> lím W = lím	2 secx				=> lím W = 2 . lím secx				
x-»0	x—>0	senx	x->o	x-»o	lim senx
	l x J	x—>0 x
734
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
R22
’jí - ACSO
WlDITOlEI
lím W = 2 -
x—»0
1
1
lím VV =1
x-*0
50.- Sea:
W = (1 - x).
Al evaluar para x - 1, tenemos: W = 0. ["] > forma indeterminada.
Pero W también se puede expresar como;
W = (1 - x). ctg
71 7tX
~2~~2
71
tan -(1-x)
tt r tt zx x
— tan— (1-x)
2	[2
W =
71
Haciendo: y = — (1 - x)
Reconocemos que cuando:
71
o ~ (1 - x) —> 0 o y -» 0
x —> 1
1
=> /ímW= —
x-»i 2E
2
lím
x-»l
fd-x)
tanfel-x)
2
lím W = —
x—>1	71
y 2
lím tan ii = — • (1)
y->o tany ti
2
lím W = ~
X>1	Tt
DERIVADA DEFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
51.- Tenemos: y = sen (3X2 + 2x + 1)
=>	~~ = cos (3X2 + 2x + 1). — (3X2 + 2x + 1)
dx	ax
= («os (3x2 +	+ 1)). (6x + 2)
ax
71
52.- Tenemos: y = sen (e - sen x) + cos
,	d /	xrX
— = cos (e - sen x). — (e - sen x) + — (cos^ I
dx	dx	dx \	9/
«y x r d v d
— = cos(e - sen x). —(e )-----(senx)
ux	I dx dx
+ 0
Límites y Derivadas Trigonométricas
•	dy —— = cos(ex - sen x). (c* - cos x) dx
53.- Tenemos:	y = 3 sen4(sen x + 5) + 1 dy	d	A	d — = 3 . — (sen (sen x + 5)) + — (1) dx	dx	"dx dy	3	¿ ~ =3.4 sen (sen x + 5) . cos (sen x + 5) — (sen x + 5) + 0 dy	3 *T— = 12 sen (sen x + 5) . cos (sen x + 5) (cos x) dx
54.- Tenemos:	y = sen(sen (sen x)) = cos (sen (sen x)) — (sen (sen x)) dy	dy - cos (sen (sen x)) . cos (sen x) ~ (sen x) dy — = cos(sen (sen x» . cos (sen x) . cos x dx
55.- Tenemos:	y = sen2(3x + 1) - 3 dy	d ,	x d ¿ = 2sen (3x +1). — (sen (3x + 1))	(3) dy	d — =2 sen (3x + 1). cos(3x + 1). — (3x + 1) - 0 dy — = 2sen(3x+l). cos(3x+l) .3
Por arco doble:	dy	dy -jr = 3 sen 2(3x + 1)	.-.	— = 3 sen (6x + 2) dx	dx
56.- Tenemos:	y = cos(^ + sen2xj- - =-sen ^ + sen2xk ~ í^ + sen2x)	í?,] dx	\4	/ dx \4	I dx { o I
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITOKEI
dy ln 2 \ d(n\ d 2 x
y = -sen l-^+semxl. — — +—(sen x)
dx \4	/ dx\ 4 I dx
-O
= -sen^+sen2xj. [ü + 2senx-~(senx)
— = -sení— + sen2x| . (senx . cos)
dx \4	/	'---“---'
=  sení^+sen2r) . sen 2x
dx \4 I
57.- Tenemos: y = 4 cos3(2x + 5) - 7
dy	_	d	d
— =4.3 cos2(2x + 5) . (cos(2x + 5) - — (7)
dy j	d
-^=12 cos2(2x+5) . (- sen (2x+5)). — (2x + 5) - 0
dy	2
= (12 cos2(2x + 5)). (- sen (2x + 5)). 2
dy	2	,
-/ = - 24 cos2(2x + 5). sen (2x + 5)
dx
58.- Sea: y = tan(sen x) + 1
dy ,	d	d
— = sec (sen x). — (sen x) + — (0)
dx	dx	dx
uy 2
, = sec (sen x). cos x
dx
59.- Tenemos: y = tan (ln (x2)) + csc2^^j
dy q n d n d o n
— = sec2(Zn(x2)). — (ln (x2)) + ~ (csc2 —)
dx ''"dx	dx 10
dy j 2 i d o
¿=sec2(Mx2)).^.-(x2) + 0
= sec2 (ln (x2)). ^2 . 2x
— .sec2(/n O»2))
dx x
Límites y Derivadas Trigonométricas
R22
737
dy d	y	d
60.- Aplicando: — = 3~ (tan (x + sen x)) - — (1)
dy 2 2	d 2
— = 3 sec (x + sen x). — (x + sen x)
dy	n 2
“7“ = (3 sec x(x + sen x))(2x + cos x)
dx
61	.- Tenemos: y = (3x4 - 7). cot (x2 + 1) - 5
Usando la derivada de un producto tendremos:
= (cot (x2 + D) - ¿ (3/ - 7) + (3x4 - 7). •£ (cot (x2 + 1)) - ¿ (5)
= (cot(x2 + 1)). (12x3) + (3x4 - 7). (csc2(X2 + 1)). £	+ 1) - 0
= (cotíx2 + 1)). (12x3) + (3x4 - 7). (- cscV + 1)). (2x)
Ordenando:
= IZx3. cotíx2 +1) - 2x (3x4 - 7). csc2 (x2 + 1)
dx
71
62	.- Tenemos: y = sec(2x + tan x) - ~
dy	d	d	f’i'l
=>	~T	= sec(2x + tan x). tan	(2x + tan x).	— (2x + tan x)	-	—	"Z
dx	'	dx	dx	V 8)
=>	= sec(2x + tan x). tan (2x + tan x). (j^(2x)+^(tanx)j - 0
dy	2
, = sec(2x+tan x). tan(2x+tan x). (2 + sec x)
dx
63	.- Tenemos: y = csc (sen x - x2) + 1
dy d	2 d
=» di = di («císenx-x2»^. ^(!)
¿iy	2	2	2
=> — = - csc(sen x - x ). cot(sen x - x ). — (sen x - x ) + 0
R22
7381 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
dtJ	2	2
— = -csc(sen x- x ). cot(sen x - x ). ( cos x - 2x)
ax
64	.- Tenemos que: f(x) = a cos x + b
/ ttA	í rtA	1
Pero:	/I 3 I = 2 a cos I — I = ~
r. d	d
Ahora:	/(x) = — (a cos x) +	(b)
3	n	1
Per°:	= 2 * Sen 6	= 2
Reemplazando (2) en (1):
= > a. j + b = 2...(l)
=> f = a sen x
J (X>
=> a=-3...(2)
(1 I
-31 2 I +b = 2
7
b‘2
ab = -
21
2
2
65.- Tenemos:/(x) = sen x - —, x G { 0; 7t)
Derivando respecto a "x" e igualando a cero:
d	1 d
f’M = 2senx. ^(senx)-- —(x) = 0
1
=>	2 sen x. cos x - — = 0
1
Pero:	2 sen x . cos x = sen 2x => sen 2x = ~
71	5n
2x = — r\ 2x = —
6	6
{n _5ti1
12'12 J
Limites y Derivadas Trigonométricas
R22
739
DERIVADA DE F. T. INVERSA
66.- Tenemos:
n
--------arcsenx
y= 21 >
n
Pero: ~ - arc sen x = arc cos x => u =
2	3
arccosx
Usando la derivada de un cociente:
j	Jlx2 .—(are cosx) - (arc cosx).—Vi—x2
ay__________dx________________dx
dx ~	(Vl-x2)2
-l-(flrccosxU i1 . -(^)
dy =Wl-x2
dx	1-x2
Simplificando:
+ x-«rccosx
(1
67.- Tenemos:
„ x (1
y = arc sen (ín x) + arc sen I —
=>	= 7~	~ (Znx)+y- íflrcsen(l))
d* Jl-(lnxf dx dx \ \2IJ
dy =	1	1+0 ¿y =	1
dx ^-(Inxf ' x +	• dx
68.- Tenemos: y — cos (arc sen Jx ) - 1
dy	f- d	r~ d
=> ~ = - sen (arc sen Jx). — (arc sen Jx ) - — (1)
dx	'dx	'dx
RACSO
^p.n.TOB..
R22
7401 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
— = - sen (are sen -Jx ).-¡=-^-(-Jx)-O
dx	l-(VJt) dx
dy	_	1	1 d
— = - sen (arc sen -Jx ).-----. o r~ . — (x)
dx '	' 1-x 2-Jx dx '
Evaluando y usando propiedades de funciones trigonométricas inversas:
p/ 1	1 -
dx	1-x 2xx
dy -1
dx 1-x
69.- Tenemos:	y = arccos ( v 1 - x2 ) + ~
dy -1	d i-------- d fn'l
=* dx	l-fJl-x2)2 dx^ 1 X )+ dx [sj
dy	-1	-1 d 2
dx ~ l-(Vl-x2)	2Ó-x2 ' dx (1'X) + °
dx ¿ \Jl-x2	dx x.yll-x2
arc tan (3)
d
)- — (are tan 3)
dx
70.- Tenemos: y = arc cos Jx -
dy d
=> — = — (are cos -Jx '
dx dx
dy = -1	1
dx Jl-x 2jx
dy =
dx ljx-x2
71.- Tenemos: y = arc cos (ex) + arc cos Vi—f2x
dy -1 d x	-1	d i-----57
Límites y Derivadas Trigonométricas
R22
741
I
dy -1 X ,	1 d
dx ~ Jl-e2x e + 71-(1-e2x) ' 2Ó-e2x ' dx^~e >
dy ~e*	-1	\ 7v -ex	i \Y
~d* = Jl-e2x +\fXJl-e2x '} = +XJl-e2* (^
dy = ~eK + gx	.	= Q
dx Vl-e2x + Vl c2x	"	dx
72.- Tenemos: y = 2aresen3x + are sec j
=>	_ _É_ ^2arcsen3x) + — íflrcsec(^))
dx dxK ’ dx \ \5ll
Sea: K = 2arcsen3x => ln u = ln (2arcsen3x) = (are sen 3x) ln 2
Derivando ambos miembros respecto a "x"
1 du	-1	du	, u
— . — = ln 2. ।	= => — =ln2. ¡
U dx	Vl-(3*)2	dx VI-9x2
H	(ln2)2arcse”3x
Pero: U = 2arcsen3x =>	— (2^sen3x) =	--- (w)
dx	V1-9X2
dy (/M2).2arcsen3x
Reemplazando (**) en (*):	y
73	.- Tenemos: y = arc tan(2x - 5) - arc csc (4)
dy d	d
=> — = ~ (arc tan (2x - 5)) - — (arc csc 4)
dxdx	dx
dy	1	d	dy	1
dx l+(2r —5)z dxK ’	dx	4x2-20x + 26
Simplificando:
¿y _	1
dx 2x2-10x+13
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Mracso
^DITOK»
74	.- Tenemos: y = arc tan ( V 4x2 — 1 )
dy =	1
dx l+(V4x2-!)2
.^-(^4x2-l)
dx
dy _	1	1
dx l+(4x2-1) ' 2y¡4x2-l
d 2
-(4?-i)
dy _	1
d*	x.iMx2 — 1
75.- Tenemos:
y = arc tan (3 sen x) - cos ~
. dy 1 d „ d { n\
=> — =-------------. — (3senx)- — Icos^l
dx l+(3senx)2 dx	dx \	7 /
dy 1	dy 3cosx
— =----------5— . 3 cos x - 0	.'.	-7- = -— ----5—
dx l + 9sen x	dx l + 9sen¿x
76	.- Tenemos: y = - tan	- arccosx j + tan —
Por propiedad de funciones trigonométricas inversas:
3n
y = - tan (arc sen x) + tan ~
dy j	d	d /	o_\
=> — - - sec (arc sen x). — (arc sen x) + — I tan^ I
dx	dx	dx \	5 I
2	*
— = - sec (arc sen x). .	+ 0
dx
Por identidad trigonométrica:
dy _	-1	1
dx	eos2 (arcsenx) ' Ji-x?
dy =	-1	1
dx	1-sen2 (arcsenx)
dy -1
dx (l-x2).Vl-x2
Límites y Derivadas Trigonométricas
77	.- Tenemos: y = arc cot (\2x2 — 1 ) - —
O
- --------------------
dx l+(V2x2-!)2 dx	dx '
dy =	-1	1
dx X+(2x2	’ 27x2-1
dy -i 1 v
dx =s2^2 '^Ix2-!
d 2
,-(2x2-1)-0
dy 1
dx x.^2x2—1
78	.- Tenemos: f(x) = x . arc sen x
Derivando/(x) respecto a “x" usando la derivada de un producto obtenemos:
d	d x
> /'(X) = x • (arc sen *> + <flrc sen x> ~dx
+ (arc sen x). 1
DERIVACIÓN IMPLICITA
79	.- Procedemos a derivar la expresión dada, y obtenemos:
d	d d	dy
— (seny)+ — (y) - — (l) = 0 , —: derivada implícita
dy dy
(cos y) ~ + — - 0 = 0
3 dx dx
dy	dy
Factorizando ~:	(1 + cos y). ~ = 0
dx	'	3 dx
Como: y * (2k + l)n, k e Z => 1 + cos y * 0
dy
dx
= 0
R22
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
JDITOtlI
J	d
80	.- Derivando implícitamente tenemos: 2 sen y . — (sen y) - 2x = 0
2 sen y. cos y . (y') - 2x = 0	, y': derivada implícita
Recordando que: 2 sen y . cos y = sen 2y
2x
y ~ sen2y
81	.- Tenemos: y . sen x - x cos y + 1 = 0
Derivando implícitamente y usando la derivada de un producto, tendremos:
dy d	d	d d
=> (senx). — + y. — (senx)-x. — (cosy)- (cosy). ~ (x) + ^(l) = 0
dy	dy
(senx). — + y. cosx-x(-sen y). — - (cos y) . (1) + 0 = 0
dy
Factorizando:	— (sen x + x sen y)+ y cos x - cos y — 0
Despejando tenemos:
dy cosy-y osx
dx ~ senx + xseny
82	.- Derivando implícitamente:
d	dy d
=* V' (scrlx) * (senx). — + — (cosy) = 0
dy	dy
y. cosx + (senx). — +(-seny). — =0
Factorizando:
dy
— .(sen x - sen y) + y. cos x = 0
Despejando tenemos:
dy _ -yxosx
dx ~ senx-seny
83	.- Tenemos: y = cos (xy) + y2
Derivando implícitamente y usando la derivada de un producto:
dy	d	dy
— = - sen (xy). ~ (xy) + 2y. ~
dx K dxv s dx
Límites y Derivadas Trigonométricas
dy	dy	d	dy
— = - sen (xy). (x .	—	+ y .	—	(x))	+ 2y.	—
dx	dx	3	dx 3	dx
dy	dy	dy
— = - x. sen (xy). ~ - y- sen (xy) + 2y. —
dx	3 dx 3	' 3 3 dx
dy
Factorizando ~:
dx
—. (1 + x sen (xy) - 2y) = - y sen (xy)
Despejando:
dy ~yjsen(xy)
~dx = l + xsen(xy)-2y
d 2 d	dy
84.- Derivando implícitamente: — (cos (x )) - — (sen y) + — = 0
, d	7	dy	dy
- sen (x2) - 3- (x2) - (cos y). — + ~ = 0
dx	dx	dx
>	ty dy
- sen (x ). (2x) - (cosy). ~	= 0
2	dy
Efectuando y factorizando:	- 2x. sen (x ) + (1 - cos y) ~ =0
Despejando:
dy 2x-sen(x2)
dx ~ 1+cosy
85.- Derivando implícitamente:
d	d	d
-(tan(x + y))+-(cosy)-^(l) = 0
2 d	dy
sec (x+y). —(x + y)-(seny). — -0 = 0
2
sec (x + y)
. dy] dy
' + di -(seny)-o
2	2 dy	dy
sec (x +y) + sec (x + y). — - (seny). — = 0
Factorizando:
22	dy
sec (x + y) + [sec (x + y) - sen y]. — = 0
RACSO
P BOITO**!
746
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Despejando:
dy	eos2 (x + y)
dx ~ eos2(x+y)-seny
86.- Derivando implícitamente:
d	d 7 d
=» -(sec(x + y))--(y)+-(l) = 0
d	dy
sec (x + y) . tan (x + y) . —(x + y)-2y. — =0
sec(x + y). tan(x + y) . 1 + ^| -2y.
dy
~ =o
dx
dy
Factorizando:	(sec (x + y). tan (x + y) + 2y) — = - sec (x + y) . tan (x + y)
dy	-sec(x + y).tan(x+y)
dx ' sec(x + y).tan(x+y)-2y
87.- Derivando implícitamente:
d	d ,
(tan xy) - — (y3) = 0
9	d	i dy
sec (xy) - — (xy) - 3y2. — = 0
2	dy	j dy
sec (xy).(x. — + y)-3y2. — =0
? dy 2	2 dy
X. sec (xy). — +y . sec (xy) -3/. — = 0
Factorizando:
(x. sec2 (xy) - 3y2).	+ y . sec2(xy) = 0
Despejando:
dy -yse<?(xy)
dx xse^(xy)-3y2
88.- Derivando implícitamente:
d	d	-1	1 dy
— (arc cos x) - — ( Jy ) = 0 =>	. —
dx ' dx ' Jl-X2 2v dx
Despejando obtenemos:
dy -2y
Límites y Derivadas Trigonométricos
89	.- Derivando implícitamente:
d	d	d	— 1	dy
dx'	dx	dx	Jl~y2	dx
dy	i—2
Despejando obtenemos:	= - y 1 - y
90	.- Derivando implícitamente:
d	d	-1 d d
- (arc sen (xy)) + - (yx) = 0 =*	.-(xy)+- ^ = 0
Factorizando:
*0
d
d
dx^X) = 0
REGLA DEL’HOSPITAL
x — sen(nx)
91	.- Sea: W =-----
x + sen(nx)
0
Al evaluar para x = 0, tenemos: lím W = — => forma indeterminada
r	x—»o	0
Por lo tanto el límite se determinará aplicando la regla de ¿'Hospital, que consiste en
derivar el numerador y denominador hasta levantar la indeterminación, es decir, hasta
que al evaluar en el límite la expresión posea una valor determinado. Veamos:
d
La primera derivada del numerador: — (x - sen (nx)) = 1 - n . cos (nx)
La primera derivada del denominador: — (x + sen (nx)) = 1 + n . cos (nx)
Evaluando el límite:
lím W = lím
x-»0	x->0
1—Jtcos(nx)
1 + Jtcos(nx)
1 -ncos(0)
i^b W = 1 + ncos(O)
lím W =
x->0
1-Jt
1 + Jt
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
fjA RACSO
UioiroiEt
Tt	O
92.- Al evaluar para 6 = —, resulta — forma indeterminada aplicamos ¿'Hospital.
lím
o 71
2
sen(2cos6)
2 cos 6
d[sen(2cos0)]
flzSsO]
dx
=> lím
sen(2cos6)
2 cos 6
cos(2cos0).f^2sert0T~"
lím
, TT
2
sen(2cos0)
2cos0
cos ^2cos^j
lím
sen(2cos0)
2cos0
93.- Sea: W =
5x2 -2x
sen3x
2
Al evaluar para x = 0, tenemos:
lím^ VV = — => forma indeterminada entonces aplicamos ¿'Hospital
La primera derivada del numerador:
La primera derivada del denominador:
d 2
— (5x2 - 2x) = lOx - 2
— (sen 3x) = 3 . cos 3x
El límite será:
lím VV = lím
x-»0	x-»0
10x-2 _	—2
3cos3x 3cos(0)
lím VV = -
x—>0
2
3
1—senx-cosx
94.- Sea: W = ------------
1 +senx-cosx
Al evaluar para x = 0, resulta: ~
; forma indeterminada entonces aplicamos ¿'Hospital.
lím VV = lím
x-»0	x->0
—(1 - senx - cosx)
dx
—(1 + senx-cosx)
dx
lím VV = lím
x—tO	x—>0
- cos x +senx
cosx + senx
-1
1
lím VV = - 1
x-»0
sen(l-x2)
95.- Sea: VV =--3----
x+1
Límites y Derivadas Trigonométricos
Al evaluar para x = - 1, tenemos:
sen(O) 0
VV = —= q" * forma indeterminada entonces aplicamos las reglas de L Hospital.
Determinamos la primera derivada del numerador:
d	7	7
~¡¿ (sen (1 - x)) = cos(l - x ). [2x]
La primera derivada del denominador:
y-(? + 1) = 3x2
dx
El límite será:
lím VV =
x-»0
9
—2*.cos(l—* )
3*2
—2cos(l -x2)	-2cos(0)
ZíJfí	9	- Q/ \
r->-l	3*	3(-1)
lím W =
x—>0
96.- Sea: W =
3x-2sen4x
6x—7sen5x
2
3
0
Al evaluar para x = 0 , resulta — forma indeterminada entonces aplicamos L' Hospital
lím VV = lím
x—>0	x->0
—(3x - 2sen4x)
dx
—(fix - 7sen5x)
dx
taz  t' 3-8cos4x
hm W = hm -----—----—
x—>0	j
x—»o 6-35cos5x
lím VV =
x—>0
3-8
6-35
lím VV = —
x—>o	29
62-16
97.- Sea: VI = ~—77----7^7
(6+4).sen(ii6)
Al evaluar para 6 = 4 tenemos:
VV = — ; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
d 2
La primera derivada del numerador: — (6 - 16) = 26
La primera derivada del denominador (para un producto).
d	r 1	d
— [(6 + 4) . sen (716)] = ^(6+4)J . sen (716) + (6 + 4). — sen (7t6)
R22
750
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-^4 RACSO
— [(6 + 4) sen (tiO)] = sen(7t0) + (6 + 4) ti cos (tiO)
e->4	o->4 sen(7ie) + 7i(e+4).cos(7te)	sen4n + 8n.cos4n	8n
lím VV = —
e->4
x2
1-^2
98.- Sea: W =---
senx
0
Al evaluar para x = n, resulta ~ forma indeterminada entonces aplicamos ¿/Hospital
lím W = lím
x—>n
—í-¡
dx TI2
d~ ,
—(senx)
dx
lím VV =
—^-.2x
7t
cosx
lím W = —%--------
X-Mt	COS 71
lím W=-^-
X—>7t	— 1
lím = —
x—m	Jl
senx-sen2x
99.- Sea: W =-----------
sen3x
Al evaluar para x = 0, tenemos:
0
VV = — => forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
d
La primera derivada del numerador: —
(sen x - sen 2x) = cos x - 2 cos 2x
La primera derivada del denominador:
d
— (sen 3x) = 3 cos 3x
El límite dará:
cosx-2cos2x
lím W = lím -----------
x-»o	x->o 3cos3x
1-2
lím
x->0
3
1
3
.2
100.- Sea: W =
senl
+ 4-2)
Límites y Derivadas Trigonométricos
Al evaluar para x = O, tenemos:
o o
sen(2-2) ~ o
; forma indeterminada entonces aplicamos las reglas de ¿'Hospital.
Hallemos la primera derivada del numerador:
d 2
-j- (xz) = 2x
dx'
La primera derivada del denominador: — [sen (v * + 4 -2)] =-»	- . 2r
dx	2Vxt4
[sen ( Vx2 +4 -2)] =
dx
x.cos(Vx +4 -2)
Vx2+4
101.- Sea: W =
El límite será: lím W = lím
x-»0	x-»0
> lím W = lím
x-»0	x->0
2x
lím VV = 4
x-»O
Vi + senx-Vi-senx
x
Al evaluar para x = 0 tenemos:
1-1
0
= 2. lím
x->0
Vx2+4
cos(Vx2 + 4 — 2)
2
lím W = 2.---------
x—»o	cos(U)
; forma indeterminada entonces aplicamos las reglas de ¿'Hospital.
Determinamos la primera derivada del numerador.
d ,________ ,________ cosx -cosx
~ (Vi + senx - Vi-senx) = - c---= - - g----=
dx	2vl + senx 2vl— senx
La primera derivada del denominador:
d
-T- (X) = 1
dx V
El límite será: lím \N = lím
x->0	x—>0
COSX
2
1 । 1
Vi + senx Vi-senx
W =
W =
o
o
RACSO
Pbditobbb
752
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
lím W =
x—»0
- -1
1 + 1J
lím VV = 1
x—>0
102.- Sea: W =
n-3x
1 -2cosx
Tt	0
Al evaluar para x = —, resulta ~; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
d , „ ,
—(n-3x)
dx________
lím W = lím d ... „	.
r_>’E	— (1-2 cosx)
3	3 dx
lím W = lím
-3
- 2.(-senx)
lím W =
3
-3
„ Tt
2sen—
3
lím W =
-3
lím VV= - ^3
y —
103.- Sea;
2
o
Al evaluar para x = 1, resulta —; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
lím W = lím
x->0	x-»0
lím W =¡ n
x—>0
„	1-cos8x
104.- Sea: W = sengx
,	0
Al evaluar para x = 0, resulta ~ ; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
lím W = lím
x—>0	x-»0
—(l-cos8x)
dx
—(sen8x)
dx
lím W= lím
x-»0	x—>0
8sen8x 8(0)
cos8x ~ 1
lím VV = 0
x »0
Límites y Derivadas Trigonométricos
X
105.- Sea: W =
TLtan^J
Al evaluar para x = 0, resulta^; forma indeterminada entonces aplicamos L Hospital.
2
lím VV =—7
x-X) 71
106.- Sea: W =
1 - tanx
senx-cosx
7t	0
Al evaluar para x = — ,resulta — forma indeterminada entonces aplicamos L' Hospital.
-7-(1 —tanx)
/¿Y
lím W= lím -------------
—(senx-cosx)
dx
lím W =
-sec2x
lím -----------
cosx + senx
4
2 71
-sec —
4
cos—+ sen—
4	4
lím W =
-2
lím W= - 72
Tf
107.- Sea: W =
cos2x + cosx
tan2x+ tanx
Al evaluar para x - 0, resulta — forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
lím W = lím
v v—	-r_
3
d .	.
—(cos2x + cosx)
dx
—(tan2x + tanx)
dx
—2sen2x—senx
lím W = lím ~	277	277
r n	rn 2.sec 2x + sec 2x
~*3	3
R22
lím W =
3
„	271	71
—2sen-----sen—
________3	3
„	2„7t	71
2sec 2—+ sec—
3	3
l 2 2
12
7541 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
^DltOKBS
tan(a*)
108.- Sea: W = [i+x_cos(flx)][sec(flx)]
—J3
lím Vf =—~—
r .n 8
3
Al evaluar para x = 0, resulta ~ forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
lím W = lím
x—>0	x-»0
d , , „
—(tan(o*))
dx
—[1 + x - cos(flx)][sec(flx)]
dx
lím Vi = lím
x-»0	x—>0
_________________________fl.sec2(«*))________________________
(1 +flíen(a*))(sec(«*))+[l + *—cos(fl*)].fl.sec(«*).tan(«*)
lím W =---------------
x—>0	(l + 0)(l) + 0
lím W = a
x-»0
109.- Sea:
arcsen5x
atetan*
Al evaluar para x = 0, resulta
— forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
lím W = lím
x—>0	x->0
—(orcsen5*)
dx
—(ore tan*)
dx
lím VV = lím
x—>0	x->0
 1	.5
Jl-(5x)2
1
lím W= 5
»->o
110.- Sea:
2 tan*—ore sen*
W =---------------
sen*
1 + *2
Al evaluar para * = 0, resulta
0
0
forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
lím VI = lím
x—>0	x—>0
—(2 tan*—aresenx)
dx
-
2sec *—
1
d ,
—(sen*)
dx
lím W = lím
x—>0	x—»0
cos*
lím VV =
x—>0
2-1
1
lím VV = 1
x-»0
Límites y Derivadas Trigonométricas
R22
755
111.- Sea:
Tt—2arccosx
W =-------------
Al evaluar para x = O, resulta ~ forma indeterminada entonces aplicamos ¿'Hospital
lím W = lím
x-»0	x->0
—(ti - 2arccosx)
dx
d . X
dx
lím W = lím
x-»0	x-»0
112.- Sea:
7	7
sen x-sen(r)
W=-------j
lím VV = 2
x-v»
Al evaluar para x = 0, resulta — => forma indeterminada entonces aplicamos ¿'Hospital:
—[sen2x - sen(x2)]
lím W = lím —--------j-----------
x-»0	x->0	a (y2)
dx
lím W = lím
x->0	x-»0
2senx.cosx —2x.cos(x2) 0
2x	~ 0
Como el resultado es indeterminado, aplicamos ¿'Hospital por segunda vez:
y-[2senx.cosx - 2x.cos(x2)]
> lím W = lím
„	2cos2x-2[cos(x2)2x2sen(x2)]
= hm ----------------------------
dx
2-2
> lím W =------
x->0	2
lím VV— 0
„	... 1--Jcosx
113.- Sea: W = ----5---
0
Al resolver para x = 0, resulta — => forma indeterminada entonces aplicamos ¿'Hospital:
lím W = lím
x-»0	x->0
——(1 —i/cosx)
dx
y-(x2)
= lím
x—»0
1
—i - (~senx)
2-vcosx	senx u
---------------= hm -—.	~
2x	x-»o 4xVcosx 0
0
2
Como el resultado es indeterminado, aplicamos ¿'Hospital por segunda vez:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
3» RACSO
lím W = lím
x-»0	x—>0
d
—(1-senx)
dx_________
4.—(x.Vcosx)
dx
lím Ví = lím
x-»0	x->0
COSX
4 Vcosx----.X .i
2 V cosx
lím W=
A—>0
2cosx.%/cosx 2
lím "7777------------7 = 77
x—»o 4(2 cosx+ xsenx) 8
lím VV =
x-»0
2
4
r2 — 2x +1
114- Sea: W=1T^(4
o
Al evaluar para x = 1, resulta ~; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital:
-^-(x2—2x + l)
=> lím W = lím ------------------
x->1 —(1 + cos(tix))
2x-2	0
=> lím W = lím ----------;—7 = ~
x-»o x-»i -7t.sen(7tx)	0
Como el resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
-^(2x-2)
lím W = lím	,ax----------
X—>0	X->1 « r	z
—l~-7Lsen(7tx)]
dx
2
lím W = lím -------5---------
x—>0	x-»l -7t -COS(TTX)
2
lím VV= 73"
2
lím W = —5-----------
x—>0	—71 .COSTt
115.- Sea: W =
cos(wx) - cos(nx)
Al evaluar para x = 0, resulta
0
0
forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
lím W = lím
x-»0	x—>0
—(cos(mx)- cos(nx)]
dx
~(*2)
dx
lím VI = lím
x-H) x->0
-msen(mx) + nsen(nx) 0
2x	=0
Como e] resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
=$lím W =lím
x-X) x-M)
—[-msen(mx) - nsen(nx)]
dx
t-(2x)
dx
2	2
„	,, -m cos(mx)+n .sen(nx)
hm W = hm ------------------------
x->0	x->0	2
Límites y Derivadas Trigonométricos
1*3757
lím W =
x—>0
116.- Sea:
W =
l-cos4x
1 -cos3*
Al evaluar para x = 0, resulta — => forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
—(1 - cos4x)
lím W = lím -----------
x^O x-,0 A(i_cos3x)
dx
lím W = lím
x-»0 x^O
4sen4x
3sen3*
0
0
Como el resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
lím W = lím
x->0	x->0
—(4sen4x)
dx
—(3sen3*)
dx
lím W = lím
x->0	x-»0
lóeos4*
9cos3*
16
Zím = “
x-»o 9
117.- Sea: W =
2
_____COS*-eos X____
7
sen2*+2sen *-2sen*
Al evaluar para x = 0, resulta ~ => forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
(cos*-cos *)	-senx+2cos*.senx 0
> lím W = lím ~j----------,--------= lím ~	~	.	z = ~
-o ^(sen2x+2senx-2senx) »-»o 2cos2x + 4senxcosx-2cos*	0
Como el resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
-cos x+2[-senx.senx + cosxcosx]
x”xo -4sen2x + 4[cos*.cos*-senr.senx]
-1 + 2[1]
2
4
S>w = ni]
lím W =
x->0
118.- Sea:
-J3 - V2 + cos*
sen 3*
0
Al evaluar para x = 0, resulta ~ forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
R22
758
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
pBOITOKBg
lím W — lím
x->0	x-»0
—(i/3 --J2 + cosx)
dx__________
—(sen* 23x)
dx
(-senx)
2^2 +cosx
hm W = hm —-------„	---——
x—»o	x—»o (2sen3x)(3cos3x)
lím W = lím
x—>0	x-»0
______senx_______ o
6sen6x.-j2 + cosx - 0
Como el resultado es indeterminado, aplicamos ¿'Hospital por segunda vez:
lím W = lím
x—>0	x-»0
cosx
6.cos6x.V2 + cosx + senóx.
(-senx)
2^2 +cosx
1
^oW = 36j3
lím W= —
x-íO 108
6
x.sen(sen2x)
$ea: W= 1—cos(sen4x)
0
Al evaluar para x = 0, resulta —; forma indeterminada entonces aplicamos ¿'Hospital.
lím W lím
x—>0 x-»0
—(x sen(sen2x))
dx
—(1 -cos(sen4x))
dx
lím W = lím
x-»0	x->0
sen(sen2x)+x.cos(sen2x).2cos2x
+ sen(sen4x).4cos4x
0
lím W = —
x—»o	0
=> forma indeterminada
Como el resultado es indeterminado, aplicamos ¿'Hospital por segunda vez:
cos(sen 2x) + 2 cos 2x + 2¡cos 2x. cos(sen 2x) + x{-2 sen 2x. cos(sen 2x) - 2 cos 2x.sen(sen 2x)}
4[cos(sen 4x).4cos4x. cos4x - sen(sen 4x). 4sen 4x]
2 + 2(1]	4
lím W =	= —
x-»o 41*1	16
lím VV= ~
x-»o 4
120 - Sea: W =
1-^cosx
x.senx
Límites y Derivadas Trigonométricos
0
Al evaluar para x = 0, resulta — => forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital:
—(1-^cosx)	-—(cosx) 2/3.(-senx)
=> lím W=lím ^3--------------= lím —3------------------
x-»o x->o _(x.senx) x->0 (l)senx +x.cosx
dx
Como el resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
C5/3.(senx)(senx) + (cosx)_2/3.(cosx)
cosx + cos(senx) - xsenx
=> lím W = lím
x->0	x->0
-i[+|(cosx)
=> lím W =
2
3.
2
1
lím VV = ~
x-»0 O
0
= ~ => indeterminada
.	3
1-COS x
121.- Sea: W =------2—
tan x
0
Al evaluar para x = 0, resulta — forma indeterminada entonces aplicamos L Hospital
d ..	3 .
dx' COS *	(-3cos2 xX-senx) 0
=> lím VV = lím —j------------ => lím VV = lím  ---------- 2 x = ñ
x-»o x->o a (tan2x)	Jr^iü x->0 (2tanx)(sec x) 0
dx
Como el resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
2
3[2cosx(senx).(senx) + cos x.cosx]
=> lím W = lím ——5--------2---------~---------------
x->o x-*o 2[sec x.sec x+tanx.2secx.secx.tanx
3[0 + l]
=> lím = or 1 j. ni
z-»o 41 + OJ
122.- Sea: W = -&&&•
x.tan4x
3
lún = 1
x-tO 2
0
Al evaluar para x = 0, resulta ~ => forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
—(3sen2x)
=> lím W = lím ----------
x-»0	x-»0 _±(xtan4x)
dx
6.senx.cosx
lím W = lím ~ ~	~ TT~
x-to x-»o tan4x + x.4sec 4x
R22
76Q | Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
3sen2x
lím VV = lím ~	~ TT~
x-»o x—»o tan4x + 4x.sec 4x
O
lím VV = —
x-»o O
Como el resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
________________3.(2cos2x)________________ 3(2)
4.se<?4x+4{sec?4x+x.2sec4x.sec4x.tan4x.4] - 4 + 4(1)
6
lím VV = ~
x—>0	o
3
lím = T
x->o 4
123.- Sea: VV =
2
sec x-2tanx
l + cos4x
Al evaluar para x = 0, resulta — forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
d 2
—(sec x—2tanx)	2	2 ,
, , ,	„ dx	2[2secx.secx.tanx.(tanx-l)+sec x.sec x]
lim VV = hm---j-------------=---------------—--------------------- =
x-xj	—(l+cos4x)	-16.cos4x
dx

8
lím W = —
n 16
4
1
lím VV = -
2
4
tan(l + cosx)
^2^‘" $ea; ~ cos(tanx)-!
Al evaluar para x = n , resulta
por primera vez:
0
— forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital
2
sec (1 + cosx).(-senx)	0
lím VV = lím r	2 „ = 77
x-wt x-wt [-sen(tanx)].sec x	0
=> lím VV = lím
—(tan(l+cosx))
dx
—(cos(tanx)-1)
dx
Como el resultado es indeterminado, aplicamos L'Hospital por segunda vez:
lím W = lím
X—X—»7t
-2sec(l + cosx).sec(l + cosx). tan(l + cosx).sen2 x + sec2 (1 + cosx).cosx
cos(tan x).sec2 x.sec 2x + sen(tan x).2 secx. secx. tan x
-1
lím VV = —
x—KI	1
lím VV = -1
x-»n
Límites y Derivadas Trigonométricos
(x-x3)2
125. Sea. W- ^sen3x^sen5xj
Al evaluar para x = O, tenemos:
las reglas de L'Hospital
0
o
; forma indeterminada entonces aplicamos
W =
Hallemos la primera derivada del numerador
£ (x - x3)2 = 2(x - x3). (1 - 3x2)
La primera derivada del denominador (para un producto).
[(sen 3x). (sen 5x)] = |j^(sen3x)]. sen 5x + sen 3x
[¿(sen5x)]
= 3 cos 3x . sen 5x + sen 3x . 5 cos x
2(x-x)(1-3x)	0
El límite será: lím VV = lím -------EZTE----Z--EZ = 77
x-»o x->o 3cos3x.sen5x + 5senx.cos5x 0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada, aplicamos por 2da vez L' Hospital.
Derivamos el numerador (para un producto).
¿ 2(x - x3) (1 - 3x2) = 2(x- x3)](l - 3x2) + (x + x3).^(1 - 3x2)]
= (1 - 3x2). (1 - 3x2) +(x - x3)(- 6x) = 2(1 - 3x2)2 - 12x(x - x3)
Derivamos el denominador (para un producto):
d
— [3 cos 3x - sen 5x + 5 sen 3x . cos 3x1
dx
= 3;(cos3x) j sen 5x + 3cos 3x. (sen 5x) +5	eos 5x + 5 sen 3x. — (cos 5x)
= - 9 sen 3x . sen 5x + 15 cos 3x . cos 5x + 15 cos 3x cos 5x - 25 sen 3x sen 5x
= 30 cos 3x . cos 5x - 3 sen 3x sen 5x
El límite será:
r r 2(l-3x2)2-12x.(x-x3)	2(1)2
hm W =hm —----------------——----------— = onz-ixz-ix
x->o x-»o 30cos3x.cos5x-34sen3xsen5x ^0(l)(l)
1
lím VV = ~
x->o 15
ARACSO
Deditokii
R22
762
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
126.- Sea- W =
7
2cosx-2 + x
3x4
O
Al evaluar para x = O, resulta ~; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
lím W = lím
x->0	x—>0
d	„	2\
—(2 cosx -2 + x)
dx_______________
y-(3x4)
dx
lím W = lím
x—>0	x—>0
-2senx + 2x
12X3
0
0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada, aplicamos por 2da vez L' Hospital.
—2cosx + 2	0
=> lím W = lím 2	= 77
x-»o x-»o 36x	0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada, aplicamos por 3ra vez L' Hospital
2senx	2 senx 1	1
lím VV = lím —— => lím W = — . lím -------------- = — (1)	lím - ~
x-»o x-»o 72x x-»o 72 x—»o x 36	x-»o 36
127.- Sea: W = X tan*
x-senx
0
Al evaluar para x = 0, resulta “; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
lím W = lím
x-fO x-»0
—(x-tanx)
dx_______
d ,
—(x—senx)
dx
1 — sec2 x 0
=> lím W = lím-----------= 77
x—>0	X—>0 1 —COSX 0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada , aplicamos por 2da vez L' Hospital.
lím W = lím
x—>0	x->ü
—(l-sec2x)
dx
—(1-cosx)
dx
lím W = lím
x—>0	x—>0
-2secx-secx. tanx 0
+ senx	0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada , aplicamos por 3ra vez L' Hospital
„ w , dx^ 2sec2*-tanx) -2[2secx.secx.tanx.tanx + sec2x.sec2x]
lím W =hm ——t--------------= hm — ---------------------------------¿
x^o A(sem) —o	cosx
dx
Límites y Derivadas Trigonométricos
-2[2sec2x.tan2x+sec4x]	—2[0 + l]
=> hm W = hm --------------------------- =---------
x—>0	x->o	cosx	1
lím W = - 2 ’
x-»0
128.- Sea: W =
tan x-senx
0
Al evaluar para x = 0, resulta —; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
—(tanx-senx)
dx
lím W = lím
x-fO x->0
d . 3.
>
dx
sec2 x-cosx
=> hm W = lím ---------5-----
x-xO x-»0 3x
0
0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada , aplicamos por 2da vez L' Hospital.
2secx.secx. tanx + secx
lím W = lím -------------------------
x-»0	x-»0	OX
,	_ , , 2sec2x.tanx + secx 0
=> hm W= hm -----------------------= 77
x-»o	x—»o	6x	U
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada , aplicamos por 3ra vez L' Hospital.
,	,	2[2secx.secx.tanx.tanx + sec2x.sec2x]	,,	2[0+l]+l
=> hm W = hm ------------------------------------------ hm W =--------------------
x—>0	x—>0	X	x-»o	O
1
lím =
x-»0
1—cos( 1-cosx)
129	.- Sea: W =-----4-------
0
Al evaluar para x = 0, resulta —; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
lím W = lím
X^O x-»0
—[1 -cos(l - cosx)]
dx
^-(x4)
dx
sen(l -cosx)(senx)
=> lím W = lím ----------------------
x-»o x-»o	4x
0
0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada, aplicamos por 2da vez L' Hospital.
lím W = lím
x—>0	x-»0
—[sen(l - cosx)(senx)]
dx
7“(4x3)
dx
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
’at racso
U JDITOB.BA
=> lím VV - lím cos(l ~ cosx)[+senx](+senx)+ sen(l - cosx),[cosx] _ £
x-»o x-»o	12x2	O
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada , aplicamos por 2da vez L' Hospital.
,	, ,	, +sen2x.cos(l - cosx)+ cosx.sen(l-cosx) 0
lim VV = hm --------------------2----------------= 77
x-»0	x-»0	12x	0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada , aplicamos por 3ra vez L' Hospital.
+2senxcosx.cos(l - cosx) + sen 2x.{-sen(l - cosx)[senx]} + (-senx).sen(l - cosx) +
l¡m cosx.cos(l-cosx)[senx]
x->o	24%
Aplicando la identidad del arco doble y reduciendo términos, tenemos:
+sen2x.cos(l -cosx)+sen3x.sen(l - cosx)-senx.sen(l -cosx) + -isen2x.cos(l - cosx)
lím --------------------------------------------------------------------------------
x-»o	24x
^sen2x.cos(l - cosx) + sen3 x.sen(l - cosx) - senx.sen(l -cosx)
lím -í----------------------------------------------------------
x-»o	24x
0
0
Por que aparece nuevamente la forma indeterminada , aplicamos por 4ta vez L' Hospital.
3 cos 2x. cos( 1 - cos x) 1 sen 2x. sen( 1 - cos x).[sen x] + 3 sen2 x. eos x. sen( 1 - cos x) + sen3 x.
cos(l - cosx)[senx] - cosx.sen(l - cosx) - sen x.cos(l - cosx)[sen x]
•	24
lím VV = lím
x-»0	x-»0
3cos2x
24
1
lím VV = -
x-»o 8
130	.- Sea: VV = (1 + cos Tt)(l + cot Tt)
Al evaluar para x = Tt, resulta:
=> lím VV= [1 + (-1)1(1 + °°) = 0.00
x-»0
=> es una forma indeterminada
0	00
Nota: Para poder aplicar L'Hospital nos debe quedar una expresión de “ ó —
Nuestra estartegia consistirá en transformar la expresión dada en otra sobre la cual se
pueda aplicar L'Hospital, para ello recurrimos a las identidades trigonométricas.
Límites y Derivadas Trigonométricos
lím W = lím (1 + cos x).
X->0	X—>71
. COSX
1+-----
senx
lím W = Hm
X-^0	X—>71
(1 + cosx)(senx + cosx)
senx
0
Al evaluar para x = 7t, resulta —; forma indeterminada sobre la que sí podemos aplicar
L'Hospital.
lím W = lím
X->0	X—>71
—-(1 + cosx)(senx + cosx)
dx____________________
d /
—(senx)
dx
lím W = lím
X—>0	X—>71
(-senx)(senx + cosx) + (1 + cosx)(cosx - senx)
cosx
0
-1
lím VV - 0
x—m
131	.- Sea W =
2x 3x
e —e
sen2x-sen3x
0
Al evaluar para x = 0, resulta —; forma indeterminada entonces aplicamos L'Hospital.
lím W = lím
x->0	x->0
rf . 2x 3xx
—(e -e )
dx 
—(sen2x—sen3x)
dx
lím W = lím
x->0	x->0
2.e2x-3.e3x	_ 2-3
2cos2x-3cos3x 2-3
lím VV = 1
x->0
132- Sea W = 1- V1+ ^
Al evaluar para x = 0, resulta
L'Hospital.
0
0 '
forma indeterminada entonces aplicamos
R22
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
XjlRACSO
lím W = lím
x—>0	x-»0
lím W = lím
x-»0	x—>0
d ,
—(tanx)
dx_________
—(1 -Vi + tanx)
dx
sec2x
2
sec x
2-J1 + tanx
lím W = lím -2. Vi + tanx
x-»0	x-»0
lím W = -2
i »o
Tt
133.- Sea W = cot 2x . cot( - x)
Al evaluar para x = 0, resulta °°. 0, forma indeterminada. Como hicimos en el ejercicio
0 oo
anterior debemos modificar la expresión para que al evaluar resulte — o — y recién
podamos aplicar L'Hospital.
lím W = lím
x—>0	x->0
tanx 0
tan2x 0
De acuerdo con este resultado, podemos aplicar L'Hospital:
lím W = lím
lím W = lím
x-»0	x-»0
d ,
—(tanx)
ax
—(tan2x)
dx
2
sec x
2. sec2 2x
1
x->0	2
134.- Sea W = (1 + cos x) 3sec x
Al evaluar para x = —, resulta 1“, forma indeterminada. Lo que corresponde hacer es
transformar la expresión dada en base a las siguientes reglas exponenciales:
x = ln(b)x A (b)x = elnfcl = exinb
Límites y Derivadas Trigonométricas
H(3secx)./n(l+cosx)
lím W = lint (1 + cos x)3secx = ¿/“z	(1)
J 1	.	o 1/1	.	3/n(l + cosx) o
Evaluamso el limite del exponente: hm 3secx./n(l + cosx) = hm -------------- = ~
-	„ .n cosx 0
2	2
Es una forma indeterminada que se puede levantar con L'Hospital
j	„ -senx
, [3Zm(1 +cosx)]	3 -------
ax1	,,	1 + cosx
hm -----□---------= hm ------------
J—(COSXl	x-x? ~sen*
ax	2
1
2
Al reemplazar (2) en (1), tenemos que el límite es:
= 31ím -------- = 3... (2)
„ ,7t 1 + cosx
2 .
lím W = e3
135.- Sea W = (1 + tan2x) c°‘2x
Al evaluar para x = 0, resulta 1“, forma indeterminada. Luego procediendo como se hizo
en el ejercicio anterior tendremos:
lím W = lím (1 + tan2x) c°‘2x =
x->()	x->0
/«(l+3tan2x)	0
Evaluamos el límite del exponente: lím -----,---- = —
x-»0 tan x 0
Es una forma indeterminada que se puede levantar con L'Hospital
^-[/»(1 + 3 tan2 x)]	, J 2 -6 tan* “sec2 x
lím ----------------- = lím ^tan2x----------------
x-xo f [tan2x/ x-><’ 2tanx.Sec x
n-v1
-j^[ÍH(l + 3tan2x)]	3
;------ = lím ; '	2 = 3 ... (2)
^[tan2xj x-w l + 3tan x
Al reemplazar (2) en (1), tenemos que el límite es: lím W = e3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WpBDITCBEa
APLICACIONES DE LA DERIVADA
136.- Tenemos:	= sen2x - x - 1, x G ^0;^
Nuestra estrategia consistirá en evaluar la función a partir del criterio de la Ira y 2da
derivada. Los ubicara en un máximo o mínimo y la segunda identificará al máximo.
Derivando respecto a "x" e igualando a cero:
d J3 d	¿3
f'M = 2 sen x. — (sen x)---— (x) - 0	=>	2 sen x. cos x -- - 0
' M	dx'	2 dx	2
V3	xt	Tt	/ ~\
Por la identidad del ángulo doble: sen2x = —-	> 2x= ~ x= — g (0;—)
2	3	6	\ 4/
Derivando por 2da vez:	= 2 cos 2x > 0, V x g ^0;^
Tt
Por el criterio de la segunda derivada, concluimos que. fes mínimo en x = —
137	.- Nuestra estrategia consistirá en aplicar la ecuación de la recta tangente, así:
Como: y = sen x + 2 a (%(,; y0) = (0; 2)	=> f\x)~ cosx => /'(0) = cos 0 = 1
Luego la ecuación de la recta tangente será:
y-2 = l(x-0)	y=x + 2
138	.- Empleado la misma estrategia del problema anterior, tendremos:
Tt	1
y =fW = tan x - - => /'(x) = 1 + x2
=> /'(1)=2 A	= (!; °)
Luego como en el problema anterior, la ecuación de la recta tangente será:
1
y-y0=f^-(*-*o) =>	y-o=-(x-i)
1	1
v	=	„	x-	„
•’	2	2
139	.- Para resolver este problema debemos recordar que la ecuación de la recta normal a
una curva en el punto (Xq; y0) está dada por:
1
y-j/o= 7— (*-x0) - (*)
-HxJ
Tenemos: y =	= 2 sen x - 3 a (Xq; y0) = (0; -3)
Límites y Derivadas Trigonométricas
/'(1) = 2cosx =>	í'(0) = 2
Luego por (*) la ecuación de la recta tangente será:
y-(~3) = ~ y (*-0) y = -~x-3
140	.- Procediendo como en el problema anterior, tendremos:
71
y = arc tan (* +	(xo' Vo) = (°; °)
(x) (x + l)2 + l	(0)~ 2
Luego como en el problema anterior la ecuación de la recta normal será:
1	1
y-yo=-~7,— (*-•*<))	=» y-o = -Y (X-O)	y = -2x
' (X|>)	—
141	.- Nuestra estrategia consistirá en construir una expresión del área del sector circu-
lar en función del radio. A partir de ello aplicaremos el criterio de la Ira derivada.
Veamos:
Por dato se sabe que:
perímetro = 8
=> 2R + 6R = 8
8-2R
e= —...(i)
Además se sabe que:
OR2
S= —-..(2)
( 8-2R
Reemplazando (1) en (2): S = I 2
Derivando respecto a R: S' =4 - 2R
Igualando a cero:	4 - 2R = 0
dy
142	.- Dato:	-37 = 9
dt
dy
Nos piden : — cuando x = 6
dt
En el triángulo rectángulo se cumple:
y2 = (30 + x)2 - 182
R22
770
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOKIt
Derivando implícitamente respecto a "i":
dy	dx
2y. — = 2(30 + x). — , cuando:
J dt	di
x = 6
r-	dx
Reemplazando los datos: 18 v3 . (9) = (30 + 6) ~
dx	,
dt ~ 2 m S
143	.- Sea S el área de la región rectangular:
Por dato: S = 4 000 m2
b
a
S
a
ab = 4 000
4000
-d)
Donde "L"es la longitud del material de la cerca:
L = 2a + b... (2)
8000
Reemplazando (1) en (2): L = —~—
L = (8 000)b 1 + b
Derivando respecto a "b" e igualando
a cero:
dL	,
= - 8 000 b2 + 1
db
8000
b2
b2 = 8 000	=> b = 40 J5
+ 1 = 0
Reemplazando en (1):
n- 4000
40^5
a = 20 V5
144	.- Sea x la distancia del observador a la estatua, nos piden “x" para que 0 sea máxi-
ma. Del diagrama elaborado se puede apreciar que
6
tan(a + 0)= —
tana+tanO 6
1-tan a. tan 6	x
(1)
Asimismo se verifica que:
2
tan a = —
(2)
2
— + tanO
Reemplazando (2) en (1):
2
1---.tanO
6
Límites y Derivadas Trigonométricas
J+1771
4x
Despejando tan 6: t an 6 = ^2 +
6 = arc tan
4x A
x2+12 J
Esta relación expresa al ángulo 6 que buscamos en función de x. Luego derivando res-
pecto a “x" e gualando a cero tendremos:
(x2 + 12).(4x)-4x(x2 +12)
d6 _________(x2+ 12)2________
dx~	(x2 +12)2 + 16x2
(x2+12)2
de 4(x2 + 12)-4x(2x) _
dx= (x2+12)2+16x2 =0
x2 + 12 = 2x2
=> X - ± 2J3 , pero: x > 0
0 es máxima si: x — 2j3 u

772 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
^RACSO
^DlTOkKS
PROBl€MflS D€ TRIGONOMETRÍA
V COMO RESOLVERLOS
Sistemas de J_
Medida Angular ~
11	I	I I i
MR /
ÁNGULOTRIGONOMÉTRICO
A)X-e+p B)o-x-p Q-e-x-p
01.- Del gráfico mostrado, indicar la veracidad
o falsedad de las siguientes proposiciones:
I.	a y P son ángulos negativos
D)X + 6 + P	E)6-X+P
04.- De la figura calcular: M = ^20x+12y
II.	a + P es igual al ángulo de una vuelta
III.	P es mayor que a
IV.	0 es negativo
A)FFW
B)FFFV
QFVFV
D)VFVF
E)WW
02.- De la figura calcular el valor de x.
A)P-6-a
B)P+6 + a
C)P+6-a
D)6-a-P
E)0 + a-P
03.- Determinar: M = 3y - 2x - 270“ en función
de: 6, X y P, a partir de la figura adjunta.
A) 9
B)10
C)ll
D)12
E)13
05.-En el siguiente gráfico: OM es bisectriz
del Z AOB; ON es bisectriz del Z COD. Ade-
40x
más: 6y - 10.r= 150; calcular: P= -------
CONVERSIONES
A) 71	B)72	C)73	D)74 E)75
07.- El valor de la siguiente expresión es:
11 rad + 33 rad +55 rad + ... +121 rad
E~ 3°+ 9°+ 15°+ ... + 33°
A) 200	B)205 C)210 D)215 E)220
PP1
774
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 D1TOK1S
08.- Sabiendo que (3x - y)° equivale a (x + 2y)E,
calcular:	_
A) 1/4	B)7/4	C)l/7	D)4/7 E)7
09.-Si: 7i/32raJ<>jc°y'z"<> AEBmCs,
i >	y+z-x
calcular:	M= ——~
A+B + C
A) 1	B)2	C)3 D) 1/2	E)l/3
10	.- Si: M = dab‘c", además a, by c están en
progresión aritmética y c" en el sistema radial
es 7t/10 rad, i? en el sistema centesimal es 60g,
calcular «M».
A) 18° 23'28" B) 18° 28'38" C) 18° 33'48"
D) 18° 36'54" E) 18° 38'58"
11	.-Si se cumple:
calcular <<x»
(x+3)’
5*
(4x-18)°Y
15* I
A) 40	B)41	C)42	D)43	E)45
12	.- Se tiene un sistema de medida angular
«P», un grado «P» (1P), equivale a 1/480 del
ángulo de una vuelta. ¿A cuántos grados beta
equivale 44/21 rad?. Considere: 71 = 22/7
A) 150? B) 160? C) 170? D)180P E)190P
13	.- Calcular el menor número entero en gra-
dos centesimales que tiene el ángulo 6 si:
6 = 1^2™ + 3E4ra + 5E6m +...
A)2916 B)3216 C)491E D)522e E)582e
14.- De la figura, calcular:
A) 1/100
B)2/100
C) 3/100
D) 4/100
E)177O
15	.- De la igualdad = y', calcular el valor
de: 2
y J '
A) 59 B) 1/2 C) 59/29 D)l/29 E) 59/58
16	.- Sabiendo que: 94,46 o PE RU VI ,
ii	,^ÍP + R + V\
calcular el valor de: 171 ——r;—r |
\ E+ U + I /
A) 15 B) 17/15 Q17 D)16 E) 14/17
17	.- Si se cumple que:
calcular el valor de:
z-y + x
F= 2x + 2y
A) 0,1 B)0,2 C)0,25 D)O,35 E)0,45
18	.-Si un ángulo se expresa como (xx)° y(xx + l)g,
calcular (rx) en el sistema radial.
A) 40 rad ^5 rad W rad
D) y rad E) rad
19.-Reducir: M=—--------—--------—
^rad
4
A) 1	B)2 C) 1/8 D) 1/2 E)l/32
2ti
20.- La suma de dos ángulos es y rad, el
mayor excede al menor en 36°. Calcular el su-
plemento del mayor en radianes.
., 71 rad n. 71	,	13 71 rad
A)_M“	B’Ü™' «^¡Ó-
Sistemas de Medida Angular
PP1
775
MEDIDAS ANGULARES RELACIONADAS
21.- Reducir:
27iS + 3tiC-40R	/2C + S .
E=-------------+ A'CZS~35 ;
92/?
si se sabe que S, C y R son los números con-
vencionales para un mismo ángulo.
26.- Si S y C son los números de grados
sexagesimales y centesimales para un mismo
ángulo, calcular la medida de dicho ángulo en
el sistema radial, si:
A)7t/1620	B)ti/810	C)7t/324
A) 12 B) 14	C)16	D)18 E)23
D) 71/162	E)rJ81
22.-Calcular:
IC + 5S C + S , /c + 2S t ¡C + 6S
] C-S VC-S+V c-s V C-S
27.- Determinar la medida del ángulo en gra-
dos sexagesimales, si se verifica:
S + C _ 2R+7I
C-S - 2R-7I ’
Siendo S y C los números de grados sexa-
gesimales y centesimales de un mismo ángulo.
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)2-/Í5
23.- Calcular la medida de un ángulo en el sis-
tema radial, si se cumple que:
7tC-197 R
7IS-52R
Donde S, C y R son los números de grados
sexagesimales centesimales y radianes de di-
cho ángulo.
A)7t/7 B)2k/7 C)tc/15 D)2k/15 E)rJ5
siendo S, C y R las conocidas
A) 100°	B) 120°	C) 10°
D)( 1/100)°	E)(5/9)°
28.- Siendo S, C y R lo convencional para un
ángulo trigonométrico y que cumple:
= 95;(C + S)*0
?S+C+R\(C
io 2o 7i r
173(C+S)
.2
24	.- Calcular la medida de un ángulo en el sis-
tema internacional si se cumple:
718 \3 72O\3 7 7t V _ 1
\S/ + \ cj + \1ür) " 9
siendo S, C y R lo convencional
A) 37t/10 rad	B)37i/20rad C) 771/15 rad
D) 7t/5 rad	E) 37t/5 rad
25	.- Calcular la medida de un ángulo en el sis-
tema radial sabiendo que:
S + C+R/7t=9,4248
A)tT/123
D)tT/129
B)7í7125
E)7f/131
C) 717127
calcule el número de radianes de dicho ángulo
A) 71 rad	B) 71 radJYTS	C) (7t/2) rad
D)(37i/2)raJ E) (71/190) rad
29	.- Siendo S, C y R los números convencio-
nales para un mismo ángulo tal que verifica:
3S-2C+~~ =1410
calcule la medida de dicho ángulo en el siste-
ma centesimal.
A) 2000®	B)200^	C) 1008
D)4008	EJIOOO8
30	.- Sea dos ángulo a y P, si:
Sa + Cp=95 y Ca - Sp = 5, calcule: Sa
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
UlDITOBIl
donde Sa medida sexagesimal del ángulo a.
A)50 B)30	C)45	D)40	E)55
31	.- Calcular, en radianes, la medida del mayor
de dos ángulos si la suma de la cuarta parte
del número de grados sexagesimales de uno
de ellos y los tres quintos del número de gra-
dos centesimales de otro ángulo es 70. Se sabe
también que estos son suplementarios.
A) 7t/6 B)57t/6 C) 271/3 D)4ti/3 E)3ti/2
32	.- La suma del número de minutos
sexagesimales y centesimales de un mismo
ángulo en 6160. Calcular el número de radianes
del ángulo.
A)7t/4 B)7t/5 C)7t/6 D)27t/3	E)7t/8
33	.- Dado un ángulo tal que el número de gra-
dos sexagesimal y centesimal de un mismo án-
gulo difieren en 5, calcula el complemento de
dicho ángulo en radianes.
A) 7t/2 ra d	B) 71 ra d	C) 7t/4 rad
D) ti/3 ra d E) 7t/6 rad
34	.- Un ángulo es tal que el número de grados
que representa su suma en los sistemas
sexagesimal y centesimal es igual a 29 más su
número en grados sexagesimales, dividido en-
tre Z Calcular dicho ángulo en el sistema radial.
A) Tirad B)7t/5 rad C)7t/10rad
D) 71/20 ra d	E) 371/10 rad
35	.- El triple del número de grados sexagesi-
males menos el doble del número de grados
centesimales del mismo ángulo es 70. Calcular
la medida de dicho ángulo.
A)7t/4rad	6)20®	C)75°
D) ti/2 rad	E)7°
36	.- Determinar las medidas sexagesimales de
dos ángulos, si la diferencia de sus medidas
centesimales es 100 y la suma de sus medidas
radiales es 371.
A) 315°; 200° B) 115°; 225° C) 100°; 200°
D) 315°; 225° E) 300°; 135°
37	.-Si:
x... número de segundos sexagesimales de un
ángulo.
y... número de minutos centesimales del mis-
mo ángulo;
x+162y
calcular: N = x_162y
A)-2/3	B)-4/3 C)-3/5 D)-7/3 E)-3Z2
ÁNGULOS EN FIGURASGEOMÉTRICAS
38	.- Del gráfico adjunto, calcular la diferencia
del ángulo mayor y el menor en grados
centesimales.
A) 200®
B)144E
C)54e
D) 100®
EJ150®
39	.- Del gráfico mostrado, calcular la medida
del menor ángulo.
A) 14°
B)24°
Q 32°
D)26°
E)28°
40	.- En el siguiente gráfico, si: m Z A, es igual
a la m Z C, calcula «P».
A) 10
B)9
Q9/10
D) 1/10
E)3/10
Sistemas de Medida Angular
PP1
LONGITUD DE ARCO
I
Longitud de Arco
CAI». 2
01.- En la figura AOB y CBO son sectores cir-
culares con centro en «O» y «B» respectiva-
mente. Calcular L^ILt.
A) 4/7
B)7/4
C)3/7
D)7/3
E)5/7
02.- Se tiene un sector circular de ángulo cen-
tral «6» y radio «R». Si la medida del ángulo
central se reduce a la cuarta parte del anterior,
¿en cuánto se debe aumentar el radio para que
la nueva longitud de arco no varíe?
A)R B)2R C)3R D)R/2	E)3R/2
03.- Calcular «6» (en radianes), si en la figura:
Lj = 4n ; L3 = 8n. O es centro.
A) 2ít rad	B) 2 rad C) 7t/4 rad
ü)rJ5rad	E)rd 12 rad
04.- Los sectores circulares mostrados tienen
sus perímetros en progresión aritmética. Cal-
cular «6» en términos de q, r2 y r3. O es el
centro de los sectores circulares.
05.- Calcular el perímetro de la región
sombreada, sí: R = 3, r— 1. Además: A, B, C y
D son puntos de tangencia.
A)2^/5
B)4,/3	+3
1971 JT
C) , + V3 +6
o
71	r~
D) j + 9 + 3V2
E)45/3	+9
06.- De la figura, se tiene el cuadrante AOB,
siendo O, A y B centros de los arcos AB,
OQ y OP respectivamente; AO = OB = 6 ni.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
^PBDIYOIEI
Calcular el perímetro de la región sombreada.
A)7Wl
B)2twi
C)37tw
D)47im
E)5twi
07.- Del gráfico adjunto calcular el valor de 6
en el sistema sexagesimal en función de l2 y r.
A)(ll+l2)/r
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
08.- Se desea calcular el ángulo central de un
sector circular, sabiendo que su longitud de
arco es a su radio como 3n es a 7.
*\ 71 j	,	4ti ,
A)	y rad B) y rad C) y rad
D) y rad E) -y rad
2
09.- Si en la figura: r - 8/71, calcular el área de
la región sombreada.
A)1
B)2
C)4
D)8
E)10
10.- De la figura calcular «6», si se sabe que
las regiones S. y S2 tienen igual área, además
AO = OB = BC.
A)2ti/3
B)	5 ti/6
C) 37t/4
D) 1171/12
E)7ti/8
D
AOB C
11.- Del gráfico mostrado, calcular el área de la
región sombreada, siendo «O» centro. Ade-
más: AD = FD = EC = BC.
A) 7 u
B)8m2
C)9m2
D)10m2
E)11m2
12	.- El área de un sector circular cuyo ángulo
central mide 72° es de 4571 cm . Se sabe que si
duplicamos el radio de dicho sector y dismi-
nuimos a rad a su ángulo central, el área del
nuevo sector disminuirá en un tercio. ¿Cuál es
el valor de a?
A)7t/4	B)7t/3 C)tV6 D)tt/5 E)2ti/5
13	.- En la figura, se sabe oue el área de la
región sombreada es 12/n u. Calcular el área
del sector circular COD, siendo O el centro de
los sectores circulares AOB y COD.
A) 1 m2	B)l,5u2	C)0,25m2
D)O,5m2	E)2m2
Longitud de Arco
14	.- Determine el área de la región sombreada
si las áreas de los sectores circulares POM y
NOQ son iguales. Además: r — 1.
A)	7t/20
B)	7*721
C)	ti/22
D)	ti/23
E)7i/24
15.- De la figura adjunta, si: r = 2, calcular el
área de la región sombreada.
17.- Calcular el área de la región sombreada, si
BO’C es un sector circular de radio 2R
A)R2(73 +71/6)
B)R2(73 -ti/6)
C)R2(73 -tt/2)
D)R2(73 +7t/2)
E)R2(73 +7t)
18.- En la figura «O» es el centro de los sectores
circulares AOB y DOE. Si «S» y «2S» son las
áreas de las regiones sombreadas, calcule x/y.
A)(2ti- 71)
B) (271-273)
C) (271-3^/3)
D) (271-473)
E) (2tt-5 73)
19.- De la figura, si A y C son centros. Calcu-
lar el perímetro de la región sombreada.
A) 12/7	B) 13/2	C) 1/12
D)5ti+2	E)5tt-2
A)7t(T3 +1) + ó73
B)tt(73 + 2) + 6(73 -1)
¿RACSO
Ubditokii
PP2
780
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
C)n(-j3 +2) + (-j3+l)
DJtiÍa/í + 6) + -j3
E)(a/3 + 1) + tt(	+3
20.- En la figura se verifica que: — =
A)1
B)2
C)4
D)16
E)8
S
5
Calcular el valor de «/».
A) 1,5
B)6,5
C)3,5
D)4,5
E)2,5
21.- Calcular el perímetro de la región
sombreada, si A, B y C son centros.
A) (1+71/3)
B)	2(1+71/6)
C)	4(1 +71/4)
D)	4(1 +71/6)
E) 2(1+71/3)
22	.- Del gráfico calcular S-^Sl. si O A = 3 OC.
A)1
B)3
C)6
D)7
E)8
23	.- En el gráfico se cumple que 2OA = AB,
____________	S,
siendo OC bisectriz. Calcular .
24	.- Determine el área de la región sombreada
si las áreas de los sectores circulares POM y
NOQ son iguales. Además: r = 1.
25	.- Del gráfico adjunto: S, y S-, representan
áreas donde S2 = 2Sp Si ademas 0 es un án-
gulo expresado en radianes, calcular el valor
de: 6 + sen 6 cos 6.
A) 7i/4
B)7t/6
C)7i/8
D) 7t/12
E)7t/3
26	.- En la figura , O es centro de los arcos
AB, CD y EF; siendo M y B puntos medios
de los segmentos OE y OD respectivamen-
te. Si OA = l y el área de la región sombreada
2S
equivale a S, calcular: k — yyyy.
Longitud de Arco
PP2
781
29.- En la figura mostrada la rueda de radio
igual a «r», recorre desde la posición A has-
ta la posición B, sin resbalar, dando así 3 vuel-
tas. Calcule el radio de la rueda, si además se
sabe que: l = 1971 tn ; R = 8 tn.
A)2m
A) 20 B)21	C)22 D) 18	E)12
27.- Del gráfico mostrado, calcular el períme-
tro de la región sombreada, si MN es perpen-
dicular a OP. Además O y O1 son centros.
1 Itt i—	tt j—
A) -^+2^3 -2	D)j-2V3+2
B)^y-2-73+2	E)^ +2-73-2
1171 r-
C) + 2V3 + 2
28.- Determine el número de vueltas que da el
disco de radio (2 -j2 - 2), cuando rueda desde
«A» hasta «B» sobre las superficies circula-
res fijas de radios iguales a 2.
Superficies fijas
A) V2/2	B)3-72/2	C)5-72/4
D) -Jí	E)2^2
B)3m
C)4wí
D)5m
E)6m
30	.- Cuando el eje AA’ gira un ángulo de 270°
en el sentido dado, en el cono de revolución se
genera un área «S». Calcular el valor de «S».
A) Jim2	B) 71/2 m2
D)2n/n2	E)7i/4m2
C) 71/3 tn2
31	.- En el sistema mostrado. Calcular la longi-
tud descrita por el punto «P», si el engranaje
de radio igual a 6 tn, gira un ángulo de 60°.
32	.- En el engranaje mostrado la polea de ra-
dio 2 gira 120°, ¿qué ángulo girará la polea de
radio 4?
^ARaCSO
VpiDlTOBBB
PP2
782
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A) ti/6 rad
B) 71/3 rad
C)7t/8 rad
D) 7t/4 rad
E)7t/10rad
33	.- Si el número de vueltas que gira la rueda
de radio «/?» es numéricamente igual a 7L, cal-
cular «R» sabiendo que su centro recorre una
distancia igual a «44L». Asumir: it=lUl.
34	.- En el sistema mostrado, si hacemos girar
la polea de radio 14, los bloques X e Y suben h
y H respectivamente. Evaluar: «h/H»
A) 147/16	B) 141/8	C) 113/2
D)17/8	E)7/6
35	.- Dos engranajes A y B tienen radios r y R
(R > r). Cuando «A» recorre el perímetro de
«B» ha barrido 900°, ¿qué ángulo barrerá B
para recorrer el perímetro de A?. Ambos en-
granajes están en contacto.
A) 600° B)372° C)144° D)360° E)288°
36	.- Calcular el número de vueltas que da una
rueda que se mueve recorriendo todo el perí-
metro de otra de radio doble de la anterior.
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
37	.- En la figura, se tiene una rueda de radio r,
inicia su movimiento en el punto M y luego de
caer rueda por la superficie cilindrica de radio
«a», llegando al punto N y en la forma que se
muestra en la figura. Si la rueda en este trayec-
to ha dado dos vueltas, calcular ría. MN: diá-
metro.
A) 4 B) 1/4 C) 1/2	D)2	E)1
38	.- Los radios mayor y menor de la rueda de
un avión son entre si como 3 es a 1. Calcular el
número de vueltas que da la rueda menor cuan-
do la rueda mayor barre un ángulo de 1 840 Tt
radianes.
A) 3680	B)2760	C)1840
D)1380	E)4600
39	.- Un tronco de cono gira 180° sobre un pla-
no horizontal de forma que su eje barre un
ángulo a rad. Si los radios de sus bases son r
y R(r< R), con generatriz «g», calcular el valor
de: M =	.
R-r
A)7t/2 B)7t C)27t D) 371/2 E)1
Longitud de Arco
PP2
783
rs	* .	. I
Razones Trigonométricas
de Ángulos Agudos
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
01.- En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°).
cular DG al lado AB (D en sAB). Si sen A = 2/3,
calcular BD/AB.
A) 2/3	B)4/9 C)8/27 D)3/8 E)9/15
A)1	B)2 C) 1/2	D)0 E) 1/3
02.- En un triángulo rectángulo (C=90°) se cumple:
sen A.tan B - sec B.tan A = -2.
Calcular: T = 2 tan B.csc A - 3.
A)-5	B) 1	C)l/2	D)-2	E)-3
03.- En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°),
se cumple:
(csc A - tan C)cot A/2 = cot(0 - 8o)
siendo: 6 es ángulo agudo, calcular
E= -Jsen2 6 —cos(6+ 21°)
A) 2/5	B)3/5 C)4/5 D) 1 E) 1/2
04.- En un triángulo rectángulo (B = 90°) se
cumple: cot C sen A = 3, calcular:
M= -Vcsc2 C -3 sec A
A)0	B)^2	C)1 D) ^4	E)2
05.- En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°)
se cumple:
(sec B - cot A)(l + sec A) 2
senB-cos A	3
Calcular: H = sec B - sen A
A) 1/2	B)3/4 C)l/3	D)2/3 E)3/5
06.- En un triángulo isósceles ABC (AB = BC),
desde el baricentro «G» se traza la perpendi-
07.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en
A, reducir la expresión:
«2secB-¿>2cscC	«tanB -¿> cot C
~ «cscC-£>secB	tanB
A) a B) b C) 2a D) 2b E) a/b
08.- Si la hipotenusa de un triángulo rectán-
gulo mide 51 m y la tangente de uno de los
ángulos agudos del triángulo es 8/15, calcular
(en /n) el perímetro del triángulo.
A) 80 B)90 C)100	D)110	E)120
09.- Del gráfico mostrado calcular «cot 0», si:
AB = BCaBM = MC
A) 1,5
B) 1,75
C)2,25
D)2,4
E)2,75
10.- Si: AD = m y BD = w, calcular «tan 0»
clRACSO
Woitoiii
PP3
784
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A)
m — n
m + n
B)
m + n
m — n
C)
m — n
m + n
15.- Del gráfico mostrado AC = 2CD; CD = BC,
calcular cot p.
D)
'm + n
m - n
E)
m — n
mn
11.- Sobre la hipotenusa AB de un triángulo
ABC se construye un triángulo equilátero
ABD, siendo m Z CDB = 0. Además se sabe
que: m Z CAB = 30°; calcular: tan*" 0.
A)0,08 B)0,12 C)0,16 D)0,18 E)0,24
A) 1+ 73
B)2+ Jí
C)3+ 73
D)4+ Jí
E)5+ 73
12.- Si ABCD es un rectángulo; BE = EF, cal-
cular: cot(a + 0)
A) 3/4
B)4/3
C)3/5
D)5/3
E)1
17.- Del gráfico, calcule tan 0.
13.- Si: tan a + tan p + tan A + tan 0 = 20,
calcular: tan A - tan a
A)1
B) 1/2
C)l/3
D)3
E)2
A) 25/21
B) 125/121
C)123/121
D) 103/93
E) 100/93
R.T RECÍPROCAS
18.- Siendo x ángulo agudo se cumple que:
14.- De la figura M es un punto medio ade-
más: 2 AC = 5 ED,calcular: secx.
sen (x + 2 Io) tanfx + 22°) = cos (69° - x)
Calcular: cot
íx + 7°\
\ 2 )
A) 7ÍTT/5
B) 7102/3
C) 7104/5
D) 7106/9
E) 7112/9
A)2+ 73
D)4+ 73
B)2- Jí
E)5+73
C)l - 73
19.- Si se cumple que:
cos x csc y + cot 26° 30’ = cot 18o 30’
siendo «x» e «y» agudos, calcular el valor de:
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
PP3 ,
785
f x+ v 1 i *+ y |
W = sen I —2^" |cos I 3 |tan •* tan J
A) Vó/4	B) -J3/4	C) ^2/4
D) a/6/2	E) V2/2
20.- Siendo «x» , «y» , «z» ángulos agudos
que cumplen:
sen 2a.csc (a + y) = 1
tan 2x.tan z = 1
C)TT

-»P9
E) n
25.- Si:	sen(20° + v) sec (30° + y) = 1
tan(30° + x) tan (40° - y) = 1
Además «x» e «y» son agudos, calcular;
E — 4 sen x .eos (50° + y)
Calcular: M =
3cos(x + 20°)
sen(70°—y)
+ 2tan(y+z)tanx
A)2	B)3	C)5	D)6	E)7
21.- Siendo ct, 0 y 0 ángulos agudos:
tan (30° + 0) csc(ct+ 18°) = sec (0+ 27°)
y además: a + 0=45°. calcular sen(0 + 22°)
ax	nx 24 n 3 rxx 4 r;x VÍO
A)-r B) 25 C) 5 D) 5 E)-¡0~
22.- Calculan
E = cot l°.cot 2°.cot 3o... cot 88°.cot 89°
A)0	B)l/2	C)1	D)a/3	E)-l/2
23.- Si: x, y, z son ángulos relacionados así:
sen(x + y) - cos (85° - y - z) = 0
tan 2x. tan 3z = 1
Calcular: M = tan (2x +11°)- tan (x + 2o)
A) 8/5 B)7/12 C)6/ll D)5/9 E) 1/2
24.- Siendo x un ángulo agudo, se cumple que:
sen
-CSC
= 1
A)2 B) 1 C) 5/2 D) 1/2 E)V3
26.- Si a y 0 son ángulos complementarios
tales que:
X--J3	„ V6+V5
csc a = —¡=-j= ; sec 0 =----
V6-V5	x + V3
Calcular:
A) 5/4	Cf-Jl D)25/7 E) 2 ^3/3
27.- Siendo a y 0 ángulos agudos tales que:
cos (a+30).csc(2a+30) = 1
Calcular:
2 cos(2ct + 40) + sen(ct + 20)
sec(ct + 20+15°)
A)^ B)3-j2 C)^ D)1 E)^
28.- Si: a, 0,6 son ángulos agudos, tales que:
«+0 + 0 = 90°
sen(ct + 0) + tan(0 + ct)—cos 0
tañé	=3
Calcular: M = sen 6 + csc4 (0/2 + 30°)
A) 5/2 B) 17/2 C)9/2 D)21/2 E) 13/2
29.- En la figura calcular tan 0.
calcular cot x.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
 JDITOIII
A) 1/2
B)2/3
C)3/4
D)4/5
E) 1/4
30.- Calcular tan a, si CD = 3 AB
A) 1/3
B)2/3
C)3/4
D) 1/2
E)2
A) Jó B)7ó/2 C)7ó/3 D)72/2 E)7z
35.-Simplificar:
a2 -¿/eos 50°+ n¿>(sen40°-l)
a2 + b2 sen 40°+ «¿(eos 50°+1)
A)	B) — y- C) "
a + ab	a—b	a + b
_ a + b
D)----- E) ab -1
a— b	'
31.- En un triángulo rectángulo ABC (recto en
C), se cumple que: 8ab - c . Según esto deter-
minar tan (B - A)
36.- Del gráfico, calcular: M = cot a - 2 cot 0
37.- Del gráfico calcular Vtan x
A) 2-^2 B)4 C) VÍ5/4D) 715 E)
32.- Siendo x,y, z ángulos agudos que cumplen:
sen 40° = cos x ; tan 70° = cot y ;
sec 10° = csc z
Calcular el valor de:
E= 72sen(x+ y + z) + 6sen(x—y)
A) 1	B)0	C)2
D)3
E) 41
A)	sen 7t/3
B)	sen 7t/6
C)	sen 7t/4
D)	sen 7i/8
E)	sen 7t/12
33.- Calcular x , si es agudo, de la siguiente
igualdad:
sen (a + sen x)csc(x + cos 7t/12) = 1
A) 7t/12	B) 571/12 O ti/6 D)7i/3 EJti/9
34.- Siendo y agudo, tal que:
tan (60° - x) = cot (x + 30°) tan (y + 20°)
sen(x + y + 50° ) cos(20°+y)
cos(y-x-10°)
38.- De la figura, calcular tan 0
A) 71
B)72+2
C)72- i
D) 72 +1
E) 71 -2
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
PP3
01.- En la figura mostrada: BD = AD, AC = b
y BC = a. Calcular cot 0.
04.- En la figura ABCD es un trapecio rectán-
gulo. Asimismo BM = MC y AD = 2BC; calcu-
lar tan a.
A)	1/2
B)	1/3
C)l/4
D) 1/5
E)l/6
D)2«h	E)-^
02.- En la figura: PB = AQ=L. Se pide expresar
PQ en función de «L», si además se sabe que
ABCD es un cuadrado.
05.- En un triángulo rectángulo, la hipotenusa
mide L y un ángulo agudo mide «0». Calcular la
longitud de la bisectriz relativa a la hipotenusa.
A)15173
B)7L/3
C)5L/2
D)3L
E)L73
LsenB
1 + tanB
B)
Q
03.- Del gráfico, calcular T =
sena. senB
senP
L-Jl sen 6
l+tan0
¿V2cot0
1 + cotB
¿V2cos0
l + tan0
¿V2 tanO
1+ tan0
06.- De la figura BC = 2 y E es punto medio de
BD . Calcular AD en función de x, y, z.
A) 3
B)l/3
C)2
D) 1/2
E)1
RACSO
MeDITOIII
PP4
788
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A) sen z(cot x + cot y)
B) sen z(cot x - cot y)
C) sen z(cot y - cot x)
D) sen z(tan y - tan x)
E) sen z(tan x - tan y)
10.- En la figura se tiene el cuadrante AOB en
donde M y C son puntos de tangencia. Se
pide determinar el valor de: E = tan 0-1.
07.- En la figura AC = 7, BC = 5 y BM = x.
Calcular: H = x2 + cot20.
A)	J2
B)	^3
C)2^2
D) V2/2
E) ^3/2
A) 10
B)9
C)5
D)3
E)7
11.- En el gráfico mostrado, se sabe que FD=DC;
08.- En la figura, las regiones triangulares
ABP, PBQ y QBR son equivalentes. Si sen
a = 1/6, calcule PQ en función de «h».
calcular tan 0.
A)	3/17
B)	17/3
C)	17/6
D)6/17
E)11/17
A)/¡/2
B)2A
C)3/i
D)4h
E)A/3
09.- En la figura mostrada M es punto medio
de AB y ABCD es un cuadrado. Si además se
sabe que ABC es un cuadrante, calcular cot 0.
12.- Si CE = a y ET — b, calcular k, si:
A)1
B)2
C)3
D)l/2
E)l/3
13.- En el gráfico mostrado se sabe que: AB =CD.
Calcular el valor de: tan 0 + tan <J>.
A) 3
B)3/2
C) 1/2
D)1
E)2
Resolución de Triángulos Rectángulos
14.- En la figura, CM es mediana. Calcular k,
Si:
A) 1/3
B)1
C)l/4
D)2
E)l/2
A)	1/2
B)	^3
C)1
D) VÍ/3
E)7/24
15.- En el gráfico mostrado ABCD es un rec-
tángulo. Además se sabe que: CE = 2ED = 2.
Calcular AG en términos de 0.
18.- Interiormente a un triángulo rectángulo
ABC (B = 90°), se traza otro triángulo rectán-
gulo AMD (M = 90°), donde M está en BC y
D en AC. Si además se sabe que: AD = 3DC y
m Z MAD = mZ DMC = a; calcular:
2
A COS OC
A=-----x—
cos 2a
A) 2/3	B)l/2	C)4/3 D) 1/3 E)2
19.- A partir de la figura mostrada calcular:
A = tan 0 cos a + sen a
ABCD es un cuadrado, ADC es un sector cir-
cular y T es un punto de tangencia.
A) 2 sen 0 tan 0
D) 4 csc 0 sec 0
B) 2 sen 0 cos 0
E) sen 0 cos 0
C) 3 sen 0 cos 0
16.- Calcular* en función de n y 0 siendo BE=x;
CD - n y m Z B AC = 0. Además se sabe que
AD es bisectriz.
A)0
B)1
C)^
D)-j3
E)2
20.- En el gráfico se sabe que: CD = DO. Se
pide calcular el valor de:
2
E = cot a-2cosa
A) n sen 0 B) n cos 0 C) n tan 0
D) n sen 0 cos 0	E) n sec 0
17.- En la figura T es punto de tangencia. Se
pide determinar el valor de tan 0.
A) 1/2
B)1
C)2
D)l/3
E)3
RACSO
Pbditobbb
PP4
790
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A) 1/2 B) 1/3	C)1 D) 1/4 E) 1/5
21	.- En la figura mostrada se verifica que:
tan 6 + tan 0 = 5/3
Calcular: E = 3 tan 0+1
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
22	.- Se tiene un trapecio cuyos lados no para-
lelos forman con la base ángulos 0 y 20. Cal-
cular la longitud del lado no paralelo que for-
ma al menor ángulo, sabiendo que el otro lado
no paralelo mide tn.
A) 2m sen 0 B) 2m cos 0 C) m tan 0
D) tn sec 0 E) m (sen 0 + cos 0)
23	.- En la figura mostrada MNPQ es un cua-
drado, determine el valor de: E - tan 0 - cot <¡>.
Además se sabe que O y B son centros de dos
arcos de circunferencia del mismo radio.
A)1
B)2/3
C)l/3
D)-2
E)-l
24	.- En un triángulo acutángulo ABC, calcular la
altura relativa al lado AC si el área de la región
2
triangular es de 56 tn . Además se verifica que:
cot A + cotC =7
A)4m B)3/n C)2m D)6m E)8/n
25	.- En el interior de un triángulo rectángulo
ABC (recto en B), se ubica un punto M tal que
las áreas de las regiones ABM y AMC son
iguales. Si además: tn Z B AM = m¿ BCA=0;
calcular:
F = cos 2O.csc 0
26	.- En la figura mostrada, se pide calcular la
longitud de AB en términos de a y /?, si ade-
más se sabe que CD es diámetro.
C) V2R Vi-eos2a
27	.- Del gráfico, expresar DE en términos de 0
ym.
A)	tn sen 0	D) m cot 0
B)	tn cos 0	E) m sen 0 cos 0
C)	tn tan 0
28.- A partir de la figura mostrada, se pide
calcular: tan 0.
A) 1,5
B) V2
C) J3
D)2
Resolución de Triángulos Rectángulos
29  Siendo ABCD un cuadrado, calcular «a»
para que se verifique la relación:
A)sen y
B)cosy
C)tany
D)coty
E)sen ycos y
30.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa
mide «/i» y uno de sus ángulos agudos «<J»>.
Se ubica en su interior un rectángulo cuyos
lados adyacentes se superponen sobre los
catetos del triángulo. Calcular el área de la re-
gión rectangular, si la diagonal del rectángulo
es perpendicular a la hipotenusa del triángulo.
A)/i sen<J>cos<l> D)/i (sen<J> + cos<¡>)
B)/i2 sen2 <¡> eos2 <¡>	E)/i2(sen2<J>+cos2<¡>)
C) A2 sen3 <]> eos3
31.- Dos polígonos regulares de «m» y «n»
lados tienen perímetros iguales. Calcular la re-
lación de sus áreas.
m 7t 7t	tn 7t 7t
A)—tan—cot— D)—sen—csc —
n	m	n	n	m	n
_.	n	7t	ti	n	7t	71
B) — sen— esc— E) — cos — sec —
m	m	n	m	m	n
„	m	n	7t
C)	— sec—eos —
n	tn	n
32.- A partir del cubo mostrado, calcular:
M = sen 6 sec a sec 0
A)1
B) ^2
C) V?
0)2^2
E)j5
33	.- En un triángulo ABC, la bisectriz interior
CD (D en AB), verifica que:
J______1_	1
CD - AC + BC
Calcular la medida del ángulo C. Sugerencia,
utilizar: sen 2a = 2 sen a cos a.
A) 30°	B)45°	C)60° D)9(F E)12(r
34	.- En un triángulo rectángulo ABC, recto
en «C», se toma un punto P de AC , del cual
se traza PQ perpendicular a AB (Qen AB).
Si el área de la región cuadrangular BCPQ es
ocho veces el área de la región triangular AQP,
calcular AP, si además se sabe que: AB = 24.
A) 6	B)7 Q8 D)9	E)10
35	.- A partir del gráfico adjunto, calcular:
PP4
792
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
vp BDITCKia
36	.- Del gráfico adjunto, calcular «AE» en tér-
minos de «a» y «6», siendo ABCD un cua-
drado de lado igual a la unidad.
E) (I +tanot)tanO+ 1
2
37	.- Del gráfico, el equivalente de 4S tan x en
términos de «m» es:
A) -J3 tn'
B)m2
C)^m2/2
D)m2/2
E)2rn2
A)(^+l)//	D) 2(^-1)//
B)2(^ + l)//	E) (2^/3+1)7/
-1)7/
39.- En la figura mostrada, calcular «cos 0», si
BM es mediana y además se sab^que el área
de la región triangular ABC es lu.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
38.- De la figura mostrada, calcular la altura
del faro en términos de «H», siendo «M» pun-
to medio de aquel.
Resolución de Triángulos Rectángulos
PP4
793
ÁNGULOS VERTICALES
01.- Desde el pie de un muro de 4 m de altura el
ángulo de elevación de la parte superior de un
edifico es de 53°. Si desde la parte superior del
muro el ángulo de elevación del punto anterior
es P, calcular (en m) la altura del edificio. Con-
sidere: tan P= 1,2.
A) 30	B)38	C)42	D)40	E)20
02.- Desde un punto sobre el suelo se ve lo
alto de una casa con un ángulo de elevación
0. Si nos acercamos una distancia igual al tri-
ple de su altura, el ángulo de elevación de la
parte alta de la casa es el complemento de 0.
Entonces el valor de: cot 0 - tan 0 será:
A) 1 m B) 2m C) 3 m D) 4 m E) 5 tn
03.- Un turista contempla un monumento so-
bre un pedestal con un ángulo de observa-
ción de 8°. Si la parte más alta del pedestal lo
observa con un ángulo de elevación de 45°,
determinar la altura del monumento, si se sabe
que la altura del pedestal es de 18 m.
A)lm B)8/n C)2m D)3/n E)6m
04.- Una persona sube por una loma inclinada
un ángulo de 30° respecto de la horizontal.
Desde el pie de la loma observa la parte supe-
rior de una antena, ubicada en la cima, con un
ángulo de elevación de 45°. Luego de subir
tn hacia la antena, el nuevo ángulo de
elevación es de 60°. Calcular (en tn) la altura de
la antena.
A)2	B)4	C)5	D)1	E)7
--j-1--r	--1
Situaciones Contextualizadas
7, ! K ' 1_L MP. 5
05.- Una piedra se encuentra a una distancia
de 9 m de un edificio de 4 pisos. Desde la parte
superior e inferior del segundo piso, se obser-
va dicha piedra con ángulos de depresión P y
0 respectivamente. Asimismo, un observador
ubicado en la azotea localiza a la piedra con un
ángulo de depresión «a»; calcular (en m) la
altura del edificio, si se verifica que:
cotot+cotP + cotO =21/4
A) 11 ni B) 12/n C) 13m D)14m E)15m
06.- Un avión desciende rectilíneamente, con
una inclinación de 53° respecto de la horizon-
tal. El piloto obse va delante de él la pista de
aterrizaje bajo un ángulo de 23°. Si en ese ins-
tante el avión está a 1000 m de altura, calcular
la longitud de la pista.
A) 880 ni	B)980»n	C)750ni
D) 650 tn	E) 800„i
07.- El asta de una bandera está colocada al
borde de un precipicio de 40 m de altura que
se encuentra a la orilla de un río de 30 m de
ancho. Una persona al lado opuesto del río
observa el asta bajo un ángulo de 8°30’. Con-
siderando: tan 61° 30’ = 1,8; la longitud del
asta será:
A) 41 ni B) 14m C) lOni D)7m E)15m
08.- Desde dos aviones que vuelan a la misma
altura, con la misma velocidad y separados
una distancia determinada, se puede observar
un punto «P» en el suelo, con ángulos de de-
presión «0» y «a» (0 > a) respectivamente.
Cuando el avión que estuvo más lejos de «P»,
PP5
794
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOlll
se ubica en la misma vertical de aquel, desde
«P» se observa al otro avión con un ángulo
de elevación «<¡»>. Calcular:
M = tan <¡) (cot ct - cot 6)
A) 2/3 B)l/2	C)1	D)5/2	E)3/5
09.- Un basquetbolista observa la copa de un
árbol con un ángulo de elevación de 37°. Si el
deportista dista 8 m del árbol, calcular el valor
del ángulo de observación del árbol sabiendo
que su estatura es la cuarta parte de la del
árbol.
A) 42° B)48° C)51° D)58° E)64“
10	.- Las caras de la pirámide de Kefren en el
valle del Nilo, están inclinadas aproximada-
mente 53° con la horizontal. A una distancia
de 84 m directamente a partir de la base, el
ángulo de elevación a la cúspide de la pirámi-
de es de 37°. ¿Cuánto vale (en ni) la extensión
de la cara, desde la base hasta el vértice de la
pirámide?
A) 140 B)150	C)160	D)170 E)180
11	.- Desde la base de una colina inclinada un
ángulo «a» respecto a la horizontal, una per-
sona observa la parte superior de una torre de
altura «/i» con ángulo de elevación «2a». ¿Qué
distancia debe ascender la persona sobre la
colina para que el nuevo ángulo de elevación
sea «3a»?
A) h sena B) 0,5/icos a C)2/itana
D) 2/¡ cot a	E) 0,5 h csc a
12	.- La elevación angular de una torre CD
desde un lugar A al sur de ella es 30° y desde
un lugar B hacia el oeste, la elevación es 18°.
Si AB = a, se pide calcular la altura de la torre.
13.- Desde la base de un faro parten 3 perso-
nas A, B y C siguiendo las direcciones sur,
oeste y el tercero siempre equidistando de los
otros dos pero alineado con ellos. Si en un
instante dado A y B observan al faro con án-
gulos 0 y <¡) respectivamente, ¿cuál es la
cotangente del ángulo de elevación con el que
observa «C» al faro?
A) i-7cot26+cot2<¡>
B)	-^--Jcot2 0—cot2 <}>
C)	-Jcot20 + cot2<j>
D)	i-^cot20 + cot2<¡)
O
E) -Jcot20-cot2<j>
14.- Un asta de bandera se levanta en el cen-
tro de un terreno que tiene forma de paralelo-
gramo y que es vista con ángulos de eleva-
ción «a» y «0» desde dos de sus vértices con-
secutivos. Calcular la relación entre las diago-
nales del paralelogramo.
tana
tan0
B)
csc a
CSC0
seca
sec0
D)
cosa
COS0
... sena
E)I^0
15.- La elevación angular de una torre desde
un lugar «A» al sur de ella es 30° y desde un
lugar «B» hacia el oeste de «A» la elevación
es 18°. Si AB = 40 -^2-j5 + 2 in, calcular (en tri)
la altura de la torre.
(J5-1)
Considerar: sen 18°=---¿---
™ a-^3+2-j5 g, a-j3 + -j5
2	2
A) 20	B)40	C)60	D)80 E)10
16.- Un caminante observa un mástil con un
ángulo de elevación a. Cuando la distancia
que los separa se ha reducido a la tercera par-
te, el ángulo de elevación se ha duplicado.
¿Cuánto mide a?
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
A) 60°	B)3(T C)45° D)37°	E)53°
17	.- Desde un punto situado a 50 m del pie de
un edificio se observa con un ángulo de 9o el
asta de una bandera ubicada en la parte supe-
rior de aquel. Asimismo, la parte inferior del
asta se observa con un ángulo de elevación
de 36°. Calcular (en m) la longitud del asta (con-
siderar cot 54° = 0,72).
A) 18	B)15 C)13 D)14 E)12
18	.- Una persona colocada en la misma hori-
zontal del pie de una torre, observa la parte
superior de ésta con un ángulo de elevación
de 37°. ¿Cuántos metros debe caminar hacia la
torre para estar a 180 m de ella y divisar su
cúspide con un ángulo de elevación igual al
complemento del anterior?
A) 120	B)140 C)160	D)180 E)200
19	.- Desde lo alto de un edificio se observa un
automóvil con un ángulo de depresión de 37°.
Si dicho automóvil se desplaza rectilíneamente
con una rapidez constante acercándose 28 m
al edificio es observado, desde la azotea, con
un ángulo de depresión de 53°. Si de esta po-
sición tarda en llegar al edificio 6 s, calcular
(en m/s) la rapidez del automóvil.
A)8	B)12	C)3	D)4	E)6
20	.- Desde la parte superior de un acantilado
se divisa un barco en el mar, con un ángulo de
depresión «a». Un aeroplano que viaja hori-
zontalmente al mismo nivel del acantilado, ob-
serva al barco y a la base de aquel con ángu-
los de depresión «20» y «0» respectivamente
(20 < 90°). Calcular: sen 20 cot a.
A) 1	B)2	C)l/2	D)3	E)3/2
21	.- Desde un punto al sur de un árbol se
observa la parte superior del mismo con un
ángulo de elevación «a» encontrándose di-
cho punto a una distancia «a» respecto de la
base. Si desde la parte superior se observa,
con un ángulo de depresión «0», otro punto
ubicado al norte del árbol, ¿a qué distancia se
encuentra dicho punto de la base?
A) tan a tan 0 B) cot a cot 0 C) tan a cot 0
D) cot a tan 0 E) tan a sen 0
22.- Desde lo alto de un acantilado se obser-
va, en dirección sur, una boya con un ángulo
de depresión de 45° y en dirección este un
bote con un ángulo de depresión de 30°. Si la
distancia que separa a la boya y al bote es de
80 m, calcular la altura del acantilado.
A) 20 m B) 24 m C) 30 m D) 40 m E) 48 m
23.- Un poste se encuentra equidistante de
otros dos iguales pero de menor altura. Un ob-
servador, que ubicado en la misma línea y a un
extremo de los tres, visualiza con ángulos de
elevación a, 0, 0 respectivamente (0< a < 0)
sus extremos superiores. Calcular la altura del
poste mayor si los más pequeños miden h.
A.) h/2 (cot a + cot 0)tan 0
B)	h (cot a + cot 0)tan 0
C)	h/2 (cot a - cot 0)tan 0
D)	h/2 (cot 0 + cot 0)cot a
E)	h/2 (cot a - cot 0)cot 0
24	.- Un avión y un barco viajan en la misma
dirección. En la primera observación efectua-
da desde el barco se ubica al avión adelante y
con un ángulo de elevación de 53°, marcando
dicho punto con una boya. En la segunda ob-
servación lo visualizan con un ángulo de ele-
vación de 37°. Si la velocidad del avión es 4,5
veces que la del barco, calcular la cotangente
del ángulo de depresión con la cual se ve a la
boya desde la segunda posición del avión.
A) 1	B)2	C)3	D)2,5 E)L5
ÁNGULOS HORIZONTALES
25	.- A las 2 de la tarde, desde un barco se
observa hacia el norte dos faros alineados.
Luego de navegar hacia el NE, a las 4 de la
tarde se observa a los faros en las direcciones
OaS y NctO. Nuevamente a las 10 pm desde el
barco se observa a los faros en las direccio-
nes: O0S y N0O. Si la distancia entre los faros
PP5
796
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
4^ RACSO
PBDITOKKB
es de 20 km y el barco navega a v locidad cons-
tante, calcular el valor de la rapidez (en km/h)
C) 17


26	.- Un barco se desplaza 40 km siguiendo la
dirección S60°O con respecto a un puerto.
Luego se desplaza 20 km según el rumbo
N60°O. Calcular (en km) la distancia del puer-
to a su posición final.
A) 20-7?	B)10-73	C) 10-7?
D)15-7?	E)25-7?
27	.- Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda en las siguientes proposiciones:
I. N 4 NE es la notación de 11°15’ al norte
4
del nor-este.
II E15°N es la notación de 15° al norte del este.
m Si el rumbo de «A» respecto de «B» es
N37°E, entonces el rumbo de «B» respec-
to de «A» es S37°O.
IV Si la posición de «P» respecto de «Q» es
NE“ S, entonces la posición de «Q» res-
pecto de «P» es SO ± S .
A)FFVF	B)VFVF	C)WFF
D)VFFF	E)FVW
28	.- En un instante determinado el vector po-
sición de una araña es (3; 4; 40), desde donde
observa tres moscas, en el suelo exactamente
en los puntos (0; 0; 0), (3; 0; 0) y (0; 4; 0), bajo
ángulos de depresión a, 0,0 respectivamente.
Calcular: M = tan a + tan 0 + tan 0
A)84/5 B)73/3 C)94/3 D)91/3 E)88/3
29	.- Un niño se encuentra entre dos árboles,
observando un ave en cada copa de los árbo-
les. Si el ángulo que forman las visuales es
135°, determinar la distancia en metros entre
las aves, si además se sabe que el niño se
encuentra, de éstas, a una distancia de 7-72 y
17 metros respectivamente.
A) 25 B)24 C)24-72 D) 25-72 E) 24-73
30	.- Desde un punto exterior a la luna, se la
observa con un ángulo «20». Encontrar la
menor distancia a la que se encuentra dicho
punto de la superficie lunar, si el radio de la
luna es igual a «r».
A)rsec6	B)r(secO-i-l) C)r(csc0-l)
D) r tan 0	E) 2r cot 20
31	.- Dos móviles parten de un punto, el prime-
ro con dirección N0E y el segundo con rumbo
S20E. Cuando el primero recorre 4 km. el se-
gundo recorre 4,2 km. Si la distancia que los
separa es de 5,8 km, calcular tan 0.
A) 1	B)l/2 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/5
32	.- Una persona parte de una ciudad A y lle-
ga a una ciudad B describiendo una
semicircunferencia de longitud «/». Si la ciu-
dad B se ubica en la dirección E0N respecto
de la ciudad A, calcular la menor distancia de
la persona a la ciudad A, cuando ésta parte
rectilíneamente de B hacia el Sur.
A) Un sen 0 B) U2n sen 0 C) 2//n cos 0
D) U2n cos 0 E) Un cos 0
33	.- Un bote navega rectilíneamente hacia el
este a 2-717 millas/h. A las 13:15 horas ob-
serva la cúspide de un acantilado en el rumbo
NE-^ E con un ángulo de elevación de 30°. A
las 13:45 horas observa otra vez la misma cús-
pide que ahora se visualiza en el rumbo NO N
y con un ángulo de elevación de 60°. Calcular
(en m) la altura del acantilado.
A)^ B)5	C)3 D)3-73 E)
Razones Trigonométricas en Situaciones Contextualizadas
PP5
797
R.T. DE UN ÁNGULO ENP. NORMAL
Razones Trigonométricas de Angulos
en el Plano Cartesiano
SITUACIONES GRÁFICAS
Ol.-Si:O<0<a<27t
y además: sen 6 + sec a = 0
„ , -	a 0	2(a+6)
Calcular: M = csc ~7 + cot 77 - cos--—-
o 2	9
A) 1	B)5/2	C)2 D) 1/2	E)3/2
3ti
02.- Si: -y < x < 27t, hallar "tan x" sabiendo
que: M = (3 cotx + 2 tan x)/2
toma su máximo valor.
A)-V3	B)-V3/2	C)-¿6/2
D)-V3/4	E)-Vó/4
03.- Siendo 6 un arco positivo (0 < 0 < 27t),
donde se cumple:
Vexsec20 + -¿versa-1 < -¿2 sen - sen 7;
4	2
Ct
Calcular: k = tan O.exsec y
A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
04.- Si:	Veos2 6 + cos 6 = 0
y:	¿4-tanO + Vtan0-4 = tan a + 2
7
Siendo: a G IIC; determinar: E = (sen 0 cos a)
A) 8/5	B) 16/85	C) 19/15
D) 19/85	E) 17/19
05.- A partir de la figura, determinar el área de
la región triangular AOB, si el punto medio del
segmento PQ es el baricentro del triángulo
AOB.
A)	3/4
B)	1/2
Q2/3
D)l/4
E)9/2
06.- En el siguiente gráfico, evaluar "tan a"
a-1
B) —
a
C)
a— b
D) —
a
a-2
O'(-2;7)
07.- Sea a un ángulo positivo menor que una
vuelta cuyo lado final no cae en el IC , y otro
ángulo: 0 G (-180°; 0), con el cual se verifica que:
1 + V-cos20 = tan a
Calcular:
. , tana + sen0
M= -----------
¿2 sena
A)0	B)1	C)2	D)3
E)4
PP6
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
¿tRACSO
W1DITO11I
08.- A partir de la figura mostrada, calcular:
E = tan a + cot a, si se sabe que "G" es el
baricentro del triángulo ABC.
A) -61/30
B)-67/30
C)- 71/30
D)-73/30
E) -74/30
D)21
12.- Del gráfico, determinar: N = 4 cot 0+3
A)0
09.- Del gráfico mostrado, calcular el valor de:
cot 20; si se sabe que: PO = 41
B)-l
A)-4/5
B)4/5
C)3/5
D)-3/5
E)3/4
C)-2
D)-3
E)-4
10.- En el gráfico mostrado, "O" es el centro
de la semicircunferencia. Si BC = 0.2AC, eva-
luar la expresión:
A) 26
13.- Del gráfico siguiente. Determine el valor
de: cot 20 - cot <J>.
A)^
D)^
14.- En la figura: AB = 4BC. Se pide encontrar:
P = 16 tan 0+13 cot 0
donde "G” es el baricentro de la región trian-
gular sombreada.
A) 27
11.- En la figura mostrada las coordenadas del
punto "R” son (6 43 ;8). Determinar la distan-
cia del baricentro de la región "MON” al pun-
to "R".
B)28
C)29
D)30
E)32
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
PROBLEMAS CONDICIONALES
[7t sen 6 ; n csc 6] y [0; 7t].
15.- Se tiene un ángulo 6 en posición canóni-
ca que verifica las siguientes condiciones:
A)[pfl	C*!?’71)
i)	|cos 6| = -cos 6
ii)	|tan6| = tan6
iii)	|sen 6| =
Evaluar: M= 45 csc 6 + 9 cos 6

D)
71 271\
5’ 3 /
19.- Siendo "a" y "6” ángulos agudos tal que:
|3 + sen cc| -12 - cos6| — P;
calcular el valor entero de "P".
A)-11 B)-10 C) -9	D)-8 E) -6
A)-l B)0	C)1	D)2	E)3
16.- Sabiendo que: tan 0 = - — ; calcular el va-
lor de "sec 6 - csc 6”, verificándose además
20.- Del gráfico mostrado, calcular el mínimo
valor de E, si:
cot 6. sen 6 < - |^sen6¡
.. -5VÍ3	-5JÍ3
A)	“13~ B) 6
E)-13-/7
C)-13 V5
17.- Determinar la ecuación de la circunferencia
que tiene como diámetro la porción de la recta:
L:2t-3y + 12 = 0
comprendida en el segundo cuadrante por los
ejes coordenados y la tangente del ángulo en
posición normal cuyo lado final pasa por el
centro de la circunferencia.
A) (jc + 3)2 + (y - 2)2 = 13; -2/3
B)	(x+ 3)2 + (y + 2)2= 13; 3/2
C)(x+3)2+(y-2)2= JÍ3 ;-2/3
D)(x-3)2 + (y-2)2 = 13;-3/2
E)(x-3)2 + (y-2)2= VÍ3;-1
18.-Si: |sen6-^| = |
donde 6 es un ángulo
agudo, determinar la intersección entre los in-
tervalos:
„ Area del AABC
E = 7--T“¡—;MQ = 2MN
Area del □ MNPQ
Sugerencia: 2 sen 6 cos 6 = sen 26
21.- La abscisa, ordenada y radio vector de un
punto P que pertenece al lado final de un án-
gulo "a" en posición normal están en progre-
sión aritmética, en el mismo orden.
Calcular: csc a - cot ct.
A) 1/2 • B) 1/3	C)1	D)2	E)3/2
22.- Si se cumple: sen x cos 26 = 1; siendo "x"
y ''6'' ángulos no negativos y menores que una
vuelta, determinar el mayor valor de "x + 6".
A) 7t rad B) — rad
D) 2tt rad	E) 3ti reíd
C)^rad
PP6
800
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
23.- Dado: |sec a + cos a| = 2,9
donde: "a" pertenece al tercer cuadrante, de-
terminar el valor de:
E = sen a. tan a
A) -2 B)-2,l	C)-2,4 D)-2,5 E)-2,7
SIGNOS DE LAS R.T.
24.- Si: se verifica: < a <-^ , 0 < B ;
2	4	4
evaluar el signo de:
sen(ct + 0)sen a
cos(30+a)sec3y
r / vitan(^+2P)
secl2a+0 + ^j
cos(3a+0)sec^ + a)
sen a. tan 20
esc3^c(f+a)
A)	(-);(-); (-)	D) (+);(+); (+)
B)	(+);(-); (+) E) (-);(-); (+)
C)	(-);(+);(+)
25.- Sabiendo que "a" es la medida de un án-
gulo trigonométrico, tal que su valor está com-
prendido entre 210° y 300°; determinar el sig-
no de las siguientes expresiones:
I. tan —. csc a
II. cot(ct - 30°). sen &
IH. tan(ct+60°). |sen ct|
A)+, + ,+ B) + , + ,-
D)-,-,+ E) + ,-,+
C) + ,-,-
26.- Si "6" e IIIC, determinar el signo de:
P = cos(sen 6).tan(sen 6)
A)(+) B)(-) C)(±) D)(+)ó(-) E)Nulo
27.- Se sabe que: "a" y "6" son ángulos en
posición normal, positivos, menores de una
vuelta y ubicados en diferentes cuadrantes,
tal que: a < 6. Si además:
i) |tan ct| =-tan a
ii) cos 6 > 0.
Indicar el signo de: P =----------
csc^
2
A)(+)	B)()	C)(+)ó(-)
D) (+) y (-)	E) nulo
28.- Siendo: tan a + sen a < 0
tan 6. csc a < 0
Identificar el cuadrante de "6" sabiendo que
"6" y "a" pertenecen al mismo.
A)ic	B)nc	c)inc
D)IVC	1) IIC y IIIC
R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES
_ _	sen2jr+sen4x-sen6x
29.- Dado: f(x) =---------------------
J cos2x+cos4x+tanx-4sec4x
calcular: "/(7t/4) "
A) 1	B)l/2 C)-l D)-l/2	E)2
30	.- Calcular:
3sen90°- 2cosl80°+ sen270°
4cos360°- 5cosl80°- 2sen90°
A) 1/7	B)l/2	C)4/7 D)3 E)-l
31	.- Calcular:
sen n + sec 0 - cot 270° - sec n
csc90° - cos n+tan 18 0o - cos k/2
Razones Trigonométricas de Ángulos en el Plano Cartesiano
A) 1 B)-l C)2	D)-2	E)3
32	.- Si la suma de a, 0 y 6 está comprendida
entre 2760° y 3180°, siendo a y 6 suplementa-
rios, calcular "0" si se sabe que es un ángulo
cuadrantal que toma su mayor valor.
A) 2 070°	B)2670°	C)3240°
A)-74/35
B)-15/24
Q-7/24
D)-21/10
E) 21/10
D)2970°
E)3060°
38.- En el gráfico: tan a= 0,75; calcular tan 0.
33	.- Reducir la siguiente expresión:
cos(4A: -1)^| +[tan(2A:+l)ít]4'1 + |sen(4t:+1)^
[secít]" +[cscy] -[senyj
donde: neZ
A)l+(-l)“	B)(-l)’n C)1 D)0 E)-l
34	.- Si :fíx)=sen 3x- cos 2n es una expresión nula;
calcular la suma de valores que toma "cosa" sien-
do "x" un arco positivo y menor que una vuelta.
A) 1 B)-l C) 1/2	D)0	E)j3/2
ÁNGULOS COTERMINALES
35	.- Sabiendo que: "a" y "0" son suplementa-
rios y coterminales, calcular el valor de:
M = cot a - cos 6
A)0 B) 1	C)2	D)3	E)4
36	.- Determinar dos ángulos coterminales sa-
biendo que el mayor es a la suma de ambos
como 13 es a 17 y que la suma de estos es
mayor que 2 300° pero mayor que 1900°.
A)365°yl725°	B)819°yl021°
C) 460° y 1570°	D) 455° y 595°
E)480°y 1560°
37	.- De la figura mostrada, evaluar: tan 6 - cot 6,
sabiendo que: cot 0 = 1,4.0
A)	-3/4
B)	-4/3
C) -7/12
D) -12/7
E) -14/13
39	.- La suma de las medidas de dos ángulos
coterminales es 240° y la medida del ángulo
mayor está comprendida entre 470° y 500°,
calcular:
sena
N=^0+tan(a-0>
siendo "a" y "0" las medidas del ángulo ma-
yor y menor respectivamente.
»-	-J3	3	4
A)0	B)-V3	C)-Y	P)-|	E)-|
40	.- Se sabe que: "a” es coterminal con: "-2a" y
”0" es coterminal con ,,-30,,. Si además a y 0 son
coterminales; calcular "a+ 0", siendo "a" y "0"
positivos, diferentes y los menores posibles.
A) 1080° B) 1 140° C) 820°
D)835°	E)840°
41	.- Sean "a” y ”0" dos ángulos trigonomé-
tricos que se encuentran en la relación de 5 a 2
respectivamente. Si además se sabe que: "2a"
y "0" son coterminales, determinar "a + 0"
siendo "0" el mayor ángulo negativo posible.
A)-24CT
D)-315°
B)-90“
E) -270°
C)-135°
VÍRACSO
^«TOWi
PP6
802
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA SENO
(Rozones Trigonom ^tricas de Números Reales)
01.- ¿Qué valores puede tomar "x" para que
i « x-2	x+1
se cumpla: sen 0 = —— + —,
siendo: 6 un arco del tercer cuadrante?
A) (-2V3 -l;2>/3 -1)
B) (-2^31)^(1; 2^3 )
C) (-2>^;-l;-3)'-’(l;2V3-l)
02.- Ordenar en forma creciente: sen 4, sen 5,
señó, sen(-l).
A)	sen 5; sen(-1); sen 4; sen 6
B)	sen(-l); sen 5; sen 4; sen 6
C)-sen 5; sen 4; sen(-l); sen 6
D) sen(-1); sen 4; sen 5; sen 6
E) sen 4; sen(-l); sen 5; sen 6
03.- Hallar el conjunto de valores que toma la
expresión:
sen2x + |senx|
E = i i r
sen x-|sen x|
A)(-oo;-i]	B)(-<=o;-l)	C)(-°°;0)
D) (-oo; 0] E) (-«>; 1)
D) (-2a^;2a^)
E)<-3; 1>
O5.-Si:xie y 0e
determinar el intervalo de: P = 2 sen 0 - y
sabiendo que: sen X] = y .
A> (M] B> [t;t)	C> (? ; J7J]
06.- Hallar la extensión de "a" que cumple con:
-77 <a<n< partir de 1 < 2sena+l < >/3 +1
2	2	2
[27t.57tl	rix/27t.57tl „ /íT. 57t\
T’Tj	B)\3’óJ C)\3'~6/
r2n.57i\	_/2n.57r\
D) LT’T/ E) \T'-ó)
04.-SÍ: %
o 3
determinar el intervalo de: M = 4 sen x - 1
71
07.-Si: — < 3a <7t, calcular la variación de:
P= Jl-sen2(273sena)
Circunferencia Trigonométrica
PP7
A) (cos 3 ; 0)
C) (cos 3 ; cos )
B) [0; cosí)
D) (-eos ; cos3)
E)[0;-cos3>
LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COSENO
/ 7t 1171 II
08.- Si 0 c (—; —r~ \ determinar el intervalo de:
\ j o J
A)[-2;V3]
C)[0;V3)
M = 2cos6 + 1
B)(-l;>/3]
D)[l;^3 + 2]
12.- En la C.T. mostrada, calcular la ordenada
de "P".	j
A) 3 cos 0/( 1 + 2 sen 0)
B) 3 cos 0/(1 - 2 sen 6)
C) 3 sen 0/(1-2 cos 6)
D) 3 sen 0/(2 cos 0-1)
E) 3sen© (2cos© - 1)
P
13.- Determinar los valores de "m" que hacen
posible la siguiente igualdad:
2	2
eos 0 + 2/ncosO + m = 1
E)[- 1;a/3 +1]
09.- Si: x e —, evaluar el intervalo de:
L 3 6/
/(x) = 2cos|2a¡
A)(-l;0>
C)
B) [-1 ;2]
1
2
10.- Hallar AT en términos de ”6".
A)(-l; l)	B)[-l;l>	C)(-2;2>
D)[-2;2]	E)[-2;2>
p
14.- Si: 0 e IVC,P> 0y cos 0 =-; enton-
J x-n
ces podemos afirmar que:
A)x>P-n B)x<P-n C)x>p + n
D)x + 2m>p E)x-2n<p
15.- De las siguientes proposiciones:
I. |cosx|<l
II. -1 < sen9x < 1
O. “7 — sen6x + cos6x < 1
4
son correctas:
A)I	B)lyll	C)m
D) I y III E) Todas son correctas
J&) = 2 A
eos* x-4cosx+5
,Vxe
16.- Hallar la variación de cos (0 - x ]), sabien-
do que: x1 < 0 < x2 y (x2 - X]) e	•
D) |
1
A) (cos(x2-Xj); 1)
C)(cos(x2-X]); 1]
E) (cos(x2 - X,); 0)
B) [cos(x2-Xj); 1)
D) [cos(x2-X]); 1]
PP7
804
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ARACSO
UN. TRIG.: TAN-COT- SEC - CSC
17.- Si se cumple que: sec x. csc y = 1
2	>	_
tan x + cot~y = 0
y además: x e (3; 5) a y e (4; 6); obtener el
valor de: 3x-2y.
A)0 B)ti C)¿ D)y E)2n
18.- Si se verifica que: sen 0 > sen ct, además:
o, 0 e \—’ anal|zar e> valor de ver-
dad de las siguientes proposiciones:
I.	cos a > - |cos P|
II.	-|tan a| < - |tan 0|
III.	tan(a+	> cos(P+
A)VFF	B)FFV	QVFV
D)WF	E)VW
calcular la extensión de “ -Jl tan a + cot P"
A)(-V3;3)	B)(-3;3>	C)(-3;3]
D)[-V3;3]	E)[0;3]
20.- Del gráfico mostrado, calcular la suma de
coordenadas del punto "P".
A) (2; 3)
21.- Determinar los límites de "a” entre los
cuales se cumple que:
sec cotana (0<a<27t)
C) (2	D)(2;7I)°(^;27r)
\ ¿ 1	\ ¿	•
22.- Sabiendo que: 0 e (-1; 1), identificar la
proposición correcta:
A)sen0>O B)tan0>O C)cos6<0
D)cot6<0 E)sec6>0
23.- Del gráfico, evaluar el área de la región
sombreada si MN // AB
A)	sen6 - cos6
B)	sen26 - cos20
C)	cos20 - sen20
0, eos2 0-sen2 0
'	2
E) sen20 - tan20
24.- De la figura, hallar la ordenada de "P"
A)-1/6
B)-l/5
C)-l/7
D)-^7 n
E)->/5/5
25.- Si: 1 + exsec
«Axe (-71/6;ti/6)
hallar la extensión de "n"
B)(l;2>
C)(-2;2>
D)(-l;2>	E)(0;3>
Circunferencia Trigonométrica
PP7
805
26.-Si:
seca - sen6 =1 y Se R a ae <-7t/2; 7t/2)
determinar el intervalo de "a".
determinar la extensión: de "seca"
A)
\ 3	3
_ /-2j3 2-J3\
^3’3/
E)[°.^
B)
-2j3 2V3
3 ’ 3
D)[J3,2]
28.- Determinar la extensión de "B" en la si-
guiente igualdad: (B G IIIC).
2 sen2 A = tan B + 1 - V2 ; (K G Z)
A)	Z^ + Kt^-^ + KtA
\ o	o	/
B)	p^ + 2Kn;^ + 2K7tl
Lo	o	J
D) ~+KtA
E)^2K7t;^ + 2K^
29.- Decir cuál es verdadero (V) o falso (F):
I. El máximo valor de secx es-1; y <x<^
IX	> K	371
II. senx+cosx> 0, para todo: - — <x< -r~
IH. 1 tan jX-, es negativo si:	< x < ~
l+tan2x	4	4
A)WF B)VFV C)FFF
D)VW E)FW
3j[
30.- Ordenar en forma decreciente; tan -7-;
4
5ti „ .	.
tan —; tan 2; tan 4.
.,	.	_	571 .	371
A)	tan 4 ; tan 2 ; tan -y ; tan —
Syr	371
B)	tan 4 ; tan -z- ; tan 2 ; tan -7-
’	3	4
Q. 3tt _	57t
tan 4 ; tan -7- ; tan 2 ; tan —
4	3
„ 3tt 5tt
D)	tan 4 ; tan 2 ; tan . ; tan —
4	3
. 3tt	5tt	_
E)	tan 4 ; tan . ; tan -z- ; tan 2
’	4	3
31	.- Si: ti/2 < x2 < X] < ti; analizar la verdad o
falsedad de las siguientes proposiciones.
I. sen X] < sen x2
II. cos(-X[) > cos(-x2)
IH. tan x1 < tan x2 •
IV cot(-x1)<cot(-x2)
A)WFV	B)VFVF	QVWF
D)VFFV	E)VFFF
32.- Identifica la proposición correcta.
A)ae	—>cosae [0; 1]
B)ae	->cotae <-<=°;0]
C)ae (7t; 2tt) —> sen a g [-l;0>
D)ae (—\—>tanae <l;0]
\4 3/
E)ae (‘2^’°) —>cosae [-1:0)
ARACSO
P*DITDBBB
PP7
806
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
ÁREASENLAC.T.
33.- Calcular el área de la región sombreada:
A)<O;1>
B)<O;1]
C)[0; 1]
D)<0;2>
E)[0;2>
34.- Calcular el área de la región sombreada en
términos de "a", siendo: OP = PB'.
37.- Si; 0 e	; nj, del gráfico hallar la varia-
ción del área de la región sombreada.
.. -sena
' 2cosa+l
-senacosa
B)
2
q 2 eos2 a
2sena+l
D)
-sen acosa
2sena+l
E)
l-2cos asena
sena
35.- Del gráfico mostrado, calcular el área de
la región sombreada.
l-sen0
2 + cos6
B)
-tan 6
1 + COS0
p. -sen0
9 2+cos0
tan^ +sen0
D)---~ñ------
1 COS0
p, COS0
9 sen0-l
36.- Evaluar la variación del área de la región
sombreada.
39.- Del gráfico, calcular el área de la región
sombreada.
Circunferencia Trigonométrica
DEMOSTRACIONES
01.- Demostrar las siguientes identidades:
a)	sen x. cot x — cos x
b)	cos x. csc x .tan x = 1
c)	senz. cosx. tanx = sen2x
d)	cos x. tan x = sen x
02.- Demostrar las siguientes identidades:
2
a)	(1 -cosx)(1 + cosx) = sen x
2
b)	(1-senx) (1 + senx) = cos x
c)	(1-cos2x). csc2x= 1
d)	(l-cos x)sec x = tan x
03.- Demostrar las siguientes identidades:
a)	sen x + cot x. cos x = csc x
2
b)	l-2sen x = 2cos“x-l
c)	sen4 x - eos4 x = sen2 x - eos2 x
..	2	2	2	2
d)	cot x - cos x = cot x cos x
04.- Demostrar las siguientes identidades:
.4	- 2	4	2
a)	sen x+cos x = cos x + sen x
b)	sen x (csc x - sen x) = eos2 x
c)	sec x - tan x. sen x = cos x
, 2	2	2	2
d)	tan x - sen x = tan x. sen x
SIMPLIFICACIONES
05.- Reducir:
1 1	secx(l+senx)
	
secx— tanx csc x - cot x	senx
A)sen x	B)cos x	C)tanx
D)secx	E)cscx	
06.-Simplificar:	
4	4	6	6
sen x + cos x	sen x+cos x	
IV — f—	- t—	
V2-2senxcosx V3	-3sen xcosx
A)	D)^ O	o	73
B)	e)	+ 2-J1 6
Ql/6	
07.-Reducir:	
(I + tan 0 + sec 0 )(1 + cot 6 + csc 0)
(l + tan0 + cotO + secO + csc0)
A) 1/2 B) 1	C)2	D)4 E)8
08.- Simplificar:
„ 2sen3ct—3senct+csca
F=------3---------------
2cos a—3cosa+seca
A) tan a B)-cot a C)-tan a
D) tan a E) cot a
RACSO
IDITOlll
PP2
808
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PROBLEMIZACIÓN CONDICIONAL
09.-Si:
sec x csc11 x + sec11 x csc x = sec11 x csc11 x;
calcular el valor de «n» para que la igualdad
sea una identidad.
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
10.- Calcular a, b y c para que la siguiente
expresión sea una identidad:
4 sen x + 3 cos x + 5 sec x + 7 tan-* =
= a sen2* + b tan2* + c
A)a = b = c = 2
B)a = b = c=l
D)« = 1; fe = 2; c = 4
E)« = 1 ;fe = 12;c=4
C)a = 1 ;fe = 12;c = 8
11.- Calcular:
P = csc(x) + cot (*), si: sec (*) + tan (*) = n
A) ^4
n-1
C)
n-1
2 ,
n +1
B)^
n — 1
n + 2
5
D)
E)^£2
n-1
12.- Calcular el valor de «P» para que la si-
guiente igualdad sea una identidad:
•>7	2'*
(sec~*-2) -(csc *-2)“ =
p
= (tan * + cot *). (tan * - cot *)
A)1	B)2	C)3	D)4	E)5
13.- Calcular «A» en términos de 6, si:
A( 1 + tan 6)
A) -2 sec 6
D) 3 sec 0
sec6 —1
sec6 + tan6
B) 2 sec 6
E) 4sec 6
secO + 1
sec6-tan6
C) -3 sec 0
14.- Sabiendo que fe < a, ¿entre qué valores
debe variar «c» para que se cumpla la igual-
dad: (fe<o)
2	2
a cot * + fe = c csc *
A)(fe;a> B)R-{a}	C)(fe;+o°>
D)R-(fe;«) E)(-oo;fe>
15	.- ¿Cuál es el máximo valor que puede to-
man
N = (1 - c) (fe - c) en la siguiente igualdad:
2	7
sen * + 8 sen * cos v + fe eos- * = c
A) 13	B)14	Q15 D) 16	E)17
sen*-l	1 . 2—sen*
16	.-Si: ------+ -r- > -=-----
senr—2	2 3-sen*
para qué valores de v esta desigualdad se trans-
forma en igualdad, (k e. Z)
A)(2fe+l)n/2	B)(4fe+l)n/2	C)krc
D)7i(2fe+1)	E)(4fe-l)7t/2
17	.- Si: cot" 6 = 3 sen u, donde: a e	.
calcular la extensión de:
/(6) =	1 -2^3 |cos6|
A)[-2;l]	B)(-2;l>	C)(-2;2]
D)(-2;2>	E)[-3;2>
18	.-Si: k sen 6 +	cos 6=1,	calcular «E» en
términos de «fe», si:
E = [(1 - fe2) tan 6 + (1 + fe2) sen 61'/2
A)2Vfe	B)3Vfe	C)4jfe
D)5-Jfe	E)6jfe
19	.- Si: fe sen 6 + cos 6=1 .donde: 6 e ^6;	,
calcular:
E = [(1 - fe2) cos 6 sec‘6 + (1 + fe') sen 6]1,2
A)fe-2 B)fe + 2 C)fe-1 D)fe+1 E)fe2
Identidades trigonométricas
PP2
809
20.- Sabiendo que:
A) 1
B)2
03
D)4	E)5
sec x - cos x = Ja ; csc x - sen x = Jb
calcular: M = Ja cos x + Jb sen x
A) 1	B)2 Q3 D)4	E)5
sen O(sen O + cos O -1)
*' secO + tanO(cosO-l)-l
es equivalente a : a sen O + b cos O + c,
calcular:/? + b + c
A)1	B)2	03	D)4	E)5
22.- Si tan x = 1 - sen x, calcular: sen x cos x
A)	+ 1	B) J2 -1	O
Jí Ji
D)	-1	E)	+ 1
23.- Sabiendo que: a sec x + b cos x = b,
calcular: M = 1 + cos x - eos2 x
* \ a *4" b	\ i	a "4" b
A) —B) a - b O 2
D)^p E)2fl-¿
24	.- Si sec x = 1 - sen x,
3
calcular: M= *
1 + sen x
A)1	B)2	Q3	D)4	E)5
3	*7
25	.- Sabiendo que: tan x + tan*x + tan x = k
3 Q
calcular:	m = Acot x - cot*x - cot x
A)-2	B)2 OI * D)-l E)0
26.- Si: -Jsena-1 = tan20 + cos20
calcular: M = sen2 0 + sec2 O + eos2 a
27	.- Si aumenta en 3 la secante de un ángulo
se obtiene la tangente de su suplemento au-
mentado en 5. ¿Cuánto vale la cosecante de
dicho ángulo?
A) 13/5	B)5/3	0-5/3
D)-13/5	E)-5/4
i—	7
28	.-Si: V2 +senx+sen x- 1=0
calcular: N = cos3 4x + cos2x + J1 senx
A) 1 B)V2 Q2 D)2V2	E)4
29	.- Si: tan a + cot a = 4; calcular:
3	3	71
N = tan a - cot a; siendo: O < a < -r
4
A)-15-/3	B)-30V3	C)-25V3
D)-24V3	E)-12-/3
3
30	.- Si: sen"x+ senx - % ~ O
2	3	2
calcular: D = cos x - tan x
4
A) 1/4	B)0	03	D)2	E)-5/4
31	.- Si: cos O - cot 0=1
calcular: M = cos 0 + tan O
A)J2	B)-1+J2	C)2J2
D)2+V2	E)-J2
32	.- Calcular: tanx + tan"O; si:
.	sec20.sen2x—cos2x
tan O =---:----------------
1—sen xcosx
A) I B)0	0-1	D)2	E)-2
33.-Siendo: P =
l+2sec20tan20—tan4O
l+2csc2 6cot2 O—cot4 0
y además: sec4O - p = A + B tan20
Problemasde Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
BDITOtlI
calcular: A + B
A)1	B)2	C)3	D)4	E)-2
M-Si:xe^-.2/.y
Icos3 x(l+cosx)— sen3 x(l+senx)
V	cosx—senx
= a + b sen x + c cos x
39.-Si:
sen46+cos46
sen60+cos60 m
2	2
evaluar: E = sec 0. csc 0
2-3m	2-3in
A) — B) -----------
1+m	1-m
D) 1 + m E) 1 - m
ELIMINACIÓN DE ARCOS
C)2-3ni
calcular:---r—
a+b+c
A) 1/6 B)3/4	Q5/4 D)7/4 E)9/4
35.- Si: a sen6x + b cos4x + a cos6x + b sen4x
es independiente de "x", hallar cos 6, si:
cot 6 =
4b2—2a2
Jo	jo
A) B) O ±fí

•J2
16
36.-Si: 3
4
<x<7t y A =
sec2x+csc2x-4
l-4sen2xcos2x
A
determinar el valor de:-------
cscxsecx
A)-l B)1	Q-2	D)2	E)3
37.- Si: tan a=---¿
9-1
evaluar: E = sen2a + p sen a cos a + q cos2a
A) \!q	B)2/q C)q D)2q E)-q
38.- Si secx. csc x = 2-J2 ; calcular:
,,8	8
V = sen x + cos x
A) 17/32	B) 32/17	C) 15/71
D) 23/17	E) 71/32
40.- Si:tanO + (p + l)cotO=p.(I)
(sec20+csc20)
(l-cot0)2 =q..............(II)
al eliminar ”0” se obtiene:
A)p2-9 = 0	B)p-<? = 0	C)p + g2=l
D)2p2-9 = 0	E)p+q=2
41.- Si: csc 0 vers 0 = m ,
sec 0 . cov 0 = n
identificar,/, cuál de las siguientes es una ex-
presión independiente de 0?
A) m + n = 1 + mn	B)m-n=i- mn
7	9
C) m + n = 1 - mn	D) ni - n~ = 1
r-.	2	2	,
E) m +n =1
42.- En base a las siguientes igualdades, se
pide determinar ¿cuál de las siguientes corres-
ponde a una expresión obtenida de estas e
independiente de "a y 0":
2	2
sec 0 - sec a = p
cos'O + cos a — n
sen20 - sen2a = m
A) 16 m = (n2 - m2)p2 B) 16mn = p\m' - n2)2
C) 4 mn = p2(m - n)	D) 4mn = p'{m' - mn')
E) 4 mnp = m2 - n2
Identidades trigonométricas
PP8
811
SENO, COSENO DE ARCOS COMPUESTOS
5V3
01.- Si: tan a = 4-J3 y tan b = -pp, siendo a y
b ángulos agudos, calcular:
P — sen(« + b) cos(« + b)
B)-l/2	Q--J3/4
D) V3/3	E)-V2/4
02.- Si: J3 sen 0 = 2 sen(0 + A) - cos 0
cos 0 = 2 cos(0 + B) + V3 sen 0; A, B e IC
Calcular: sen(B - A)
A)-l/2	B)l/2	C)1 D)-l E)0
03.- Si: x-y = ^
f senx+cosy+cscy
Hallar: M = -----------r.-----eos y
I versx—cov v+ tanx—cot y l J
A) 1/2	B)1 C)-l D)2/3	E)-l/2
04.- Dada la expresión:
(3 + sen 84°)sen ^-2o) + cos 6o = 1
Hallar:
l+tan23°
^cscO-tan®
A) 2 tan 20	B) 1 - cos 20 C) 1 + cos 20
D) -2 tan 20	E) 2 sen 20
05.- Si: 9 sen 0-40 cos 0 = 41,
Evaluar:	cos(0-127°)	
.. 156	158	161
A) 205	B>205	C) 205
163	r-x 164	
D> 205	E) 205	
A
06.- Calcular aproximadamente:
A = cosí 11°	B = tan2°	
231 A)-W	m 233 B)’ 25	C)- — ' 25
D)-^1 > 25	243 E>-^¡	
07.- Sabiendo que M e R . Además:
senl45°cos65+senl75°cos85
M > cos700sen400+senl700cos800
Hallar el mínimo valor entero que toma "M".
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
08.- Calcular aproximadamente el valor de la
siguiente expresión:
sen2°tan3°+cos5°csc87°T0™
L cos2°cot4<>-cos60csc4<> J
A) 101 A) B) 102 C) 103 D) 104 E) 105
09.- Si a + P + 0 = 37t; además
sec2 0- tana.tanP.sec2 0
-----------------------> A
sena.secp.sec0
si RACSO
PIDITOKEB
PP9
812
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Hallar el mayor valor entero que toma "A".
A)-3	B)-2 C)-l D)0 E) 1
10.-Si:M =
) - cos(x+y)
sen x
A) 2	B)-2	C)3 D)-l E)1
15.-Si: tana+tanP = «............(1)
y; cot a + cot P = fe.......(2)
Reducir:
2/
además: cos y = ; y e ^0;
Hallar: N= 5^3 M
A) 5	B)10	C)15	D)25	E)30
11.- Si: sen 77° + sen 7° = n
Hallar en función de n.
P = cos 24° + cos 46° + cos 50° - cos 60°
A) y B) | C) y D) y E) y
TAN, COT DE ARCOS COMPUESTOS
12.- Si: Vl+sen26 = -y- 6 g IC
Hallar:c°t2^y) - 1
2	1
A) y B)2	C)1 D)y E)0
2	2
13	.- Si: cos x tan(y + z) = sen x cot(y - z).
Hallar: tan z
A)	tan(y - x) tan(y + x)
B)	cot(y - x) cot(y + z)
C)	tan(y+x) cot(y - x)
D)	cot(y + x) tanfy - x)
E)	tan(y - x) cot(y - x)
14	.-Reducir:
tany^tan-^+ tan-^ + tan^
p _____1 o_1 o_____lo____1 o
(2+V3)tan^
2	2
M = b(tan a + tan P) - afe(tan a + tan P) + 2a
A)2a B)fe C)0 D)-l E)-2
16	.- Si: tan a + tan P=tan(a + P)- tan a tan P
y tan a - tan P = tan(a - P) 4y tan a tan P
Calcular: P = tan 2a - tan 2P
A) 1	B)| Q-y D) g E)-|
17	.- Si: sen(a + 3P) sen(a + P) = tan2(a+ 2P)
sen2Pcsc2(a+2P)
Hallar: E= “Í+’sec(a+2P) +«ec(«+2P)
A)-l B)1	C)2	D)3	E)4
IDENTIDADES ESPECIALES
18	.- Si se cumple: 3-2 sen x = J5 cos x
además: x 6 (0;—)  Calcular: L = csc x - sen x
A) 2/5 B)3/4	C)3/5 D) 1/6	E)5/6
19	.- Si: /(x) = sen x + 4 cos x.
Hallar la variación de/(x), si además: x G ^0;^
A)(1;V7)	B)[2;4]	C)[3;5]
D)(l;Vñ] E)[2;5]
20	.- Si: sen a + sen 6 = a a cos a + cos 6 = fe
Hallar: tan(a + 0)
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
PP9
813

B)
a2+b2
a2-b2
_ lab
C)7^
25.-Siendo: («*«-«**
\cosx cotx,
2	2
= cot a - cot b
a+b
b) b2-a2
21	.- En un triángulo ABC, reducir:
K=(cot A+cot B) (cot A + cot C) (cot B + cot c)
A)	sen A sen B sen C
B)	cos A cos B cos C
C)	tan A tan B tan C
D)	cot A cot B cot C
E)	csc A csc B csc C
22	.- Sabiendo que:
7t<P<27t ;	<0<7t ; a-0 = n
Además: tan 6 + tan 0 = tan a + tan <J>
Hallar: M = cos(a + P)-cos(0 + <|>).
A)0 B) 1 C)-l D)2	E)l/2
23	.- Calcular el valor de ”6" si 0 e [270°; 360°]
para que la expresión:
E = Vó (sen 6 - cos 6) - 3 cos 45°(sen 6 + cos 6)
tome su mínimo valor.
A) 280°	B)240°	C)300°
D)320°	E)345°
24	.- Hallar la extensión de:
2
E = tan 4x - tan 8x + tan 4x tan 8x
faz ít\
s,xG\4’2/
A) <0; 1)	B)[0;l]	C) [0; 1)
D)<1;2>	E)R-{0}
Hallar: sen x
B) tan b cot a
D) tan a cot b
A) tan a tan b
C) tan a + tan b
E) tan a - tan b
26.- Dado: seca cosfy + 6) = 1 + tan y tan 0
sec0 cosCy - 0) = 1 - tan y tan 0
Halar: cos (y+ 0)
2cosPJcosa
Jcosa+^cosP
2sencc-JsenP
Vsena+^/senP
2cosa.Jcosp
Vcosa+^cosP
2sen0jsena
Jsena+^senp
Ideosa. cos0
Jcosa+^cosP
SITUACIONES GRÁFICAS
27.- De la figura que se muestra se tiene que:
tan a = «; tan 0 = b, luego tan x vale:
a\ b a	a + b	a-b
D) H E)
' a-b	a+b
28	.- Del gráfico mostrado, hallar: tan a cot P
RACSO
BD1TOKCS
PP9
814
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
14/9
B)14/11
C)17/9
D) 17/11
E) 19/11
29	.- Determina cot a en la siguiente figura, si
BD=lyBC = 6.
a)3¿	B)^	qU£
D)l^	E)Jig
30	.- Si: ABCD es un cuadrado. Hallar el máxi-
mo valor de tan 6.
A) V3/3
B) V3
C)1
D)3/4
E)4/3
31	.- De la figura hallar el equivalente de:
tanP+ tanO
P = tanP-tanB en términcs de "*"
A) 2 cos 2x
•J
D) 4sen“jr
B)
2
secx
4
csc2x
2
J3
E) - esc 2x
IDENT.TRIG. DESUMA DE3 ARCOS
32	.- Sabiendo que:
a sen x + b sen y + c sen z = 0
a cos x + b cos y + c cos z = 0
Hallar:	M = sen(x - z) csc(y - z)
A) afb B) tía C) -alb D) -tía E) ale
,, tan<z-cot<z-2cot2¿>
33	.- Reducir: P -	+tan¿,)(cotfl+cot¿)
A) tan(¿? + b) B) -cot(« + b) C) cot(« + b)
D) -tan(« + b) E) -cot(« - b)
34	.-Si:
2 tan x + tan 2x + tan 3a tan x(tan 2x + tan 4r)
senA(x +v)
+ tan 4y es idéntico a: “sBvcosBy
Hallar: A + B
A)8ó0	B)±8	C)8	D)0 E) 4
35	.- Sabiendo que: tan 0p tan 0-> y tan 03 son
las raíces de la ecuación:
ax~ + bx~ + cx+d=0
Calcular: P = tan(6, + 6, + 03)
A) — B)	C)^^
a-c	a-c	a+c
™ db	a+b+c+d
ac	abed
Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos
PP9
815
CASOS DE REDUCCIÓN
01.- Simplifica:
T= tan(7t+x)cos ^3^+xj tan(270°+x) csc(360°-x)
A) -sen x B) sen x C) -tan x
D) tan x	E) 1
02.-Simplificar:
N=cot	+x j sec(2ít- x) tan ~ 2 j cos(4it +x)
A)-2 B)-l C)0	D)1	E)2
03.- Reduzca;
cot(360°-x)-tan(450°—x)
P= tan(270°—x)—cot(L 80°—x)
A)-2 B)-l C)0 D) 1	E)2
04.-Calcular Wsi 0=
sen(l 80°+0)cos(0-90o)tan(1260<>+0)
W " cos(270°—0)sen(54Oo+O)tan(45O°+O)
A)-4j3 B)-4 Q-3-J3 D)3 E)-l
05.- Si: tana= V2 ; calcular:
sen(-a)cot(270°+a)sec(l 80°+a)
M= cos(360o-a)tan(a-270<,)csc(a-180°)
A)1	B)3 Q4 D)-3	E)-4
06.- Reducir:
J=tan 181°+tan 183°+tan 185°+... +tan 357°
+ tan 359° + tan 361°
A) 1 B) tan Io C)-tan Io D) -l E)0
07.- Si x+y = 4ít, calcule:
K = tan(x +10°) + sen(y + 40°) + tan(y - 10°) +
sen(x - 40°)
A)0 B) 1	C)2 D)-l E)-2
08.- Calcular:
A = 2 sen 330° + 4 cos 120° - csc 1050°
A)-5	B)-4	C)-3	D)-2 E)-l
09.- Hallar el valor de:
_ l(lt\ 3pít\	3Í47t\ 3Í6ít\
E=cos lyl + cos lyl + cos ryj+cos lyj
A) 1	B)2	C)4	D)-3	E)0
10.- Simplificar:
(x->')2secl620“+(x+v)2senl890p-Zvycosl260p
---——-----------— -----------—--------------
(x+^secSKT+íx2+y¿ )cos900°+3xycscl350f>
A)-2	B)-3	C)-4	D)-5	E)-6
11.-Si a + b = 2ít, calcular:
R = tan a + sen a + tan b + sen b
A) 0	B) 2 tan a C) -2 sen a
D) 2 sen a E) -2 tan a
12.-Si:
tan 36 Io tan 363°.... (10 términos) = K
Calcular en términos de K.
N = cot2 181°cot2cot2°cot2 183°...cot2 190°
A ACSO
Weditciei
PP10
816
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A)K2 B)¿- C)2K2	E)^
í\.	Z.XX.	xx
13.- Simplificar:
cos(6+ 20°)sen(a+P)ctg(2a+20+30)
N4 = ---------------------—---------
sen(70°—0)sen0tan(342O°—0)
si: ct+ 0 + 0= 180°
A) 1	B)-l	C)sen20
7	7
D) -eos 0	E) -cor©
14.- Hallar "a" si se cumple
Jse^a+^)cos(a-l 947^)]	^cos<330’t+x)+sen(x_2Z92)
(Ke Z)
A)Kn	B)Kn/2	C)(2K+1)^
D)Kít/4	E)(4K+l)-j
15.-Reducir:
Sen( 2 ~1) cqs(1998ti+2) tan(nsec60°+3)
K-cos(67t-l)+ Een^> 3ti) +cot(ítver60°+3)
A)tanl B)tan2 C)-cot3 D) 1 E)-l
18	.- Calcular el valor numérico de la siguiente
expresión:
cos^tani^+cot^i^
E=_______2_____3______6
sec-y^ - tan í ^^lsen2
6	\ 3 /	4
A) 1	B)2	Q7/3	D)3/7	E)2/5
19	.-Reducir:
sen-^+sen^pp-cos^é^
11	11	i • f •
TJtan-^cos^
A) 1	B)2	C)3 D)-l E)-2
20	.-Reducir:
2 tan (y+©jsen - ©jsec^+©j
cos(7ti+ 0)csc(57t-0)ctg(l 7ti+0)
A)-2	B)2 Q1 D)-l E)0
21	.- Indicar verdadero (V) o falso (F), las si-
guientes proposiciones (n G Z).
I.	sen(n7t + 0) = (- l)n sen 0
EL tan(nrt - 0) = -tan 0
ni. sec(n7t-0) = (-l)n+1sec0
sen(148ít+0)cos(Í^-0)cosÍ0+^i^)
16.-Si:-----------2--------í---------U
tan2 (19^j+sen1997t
= Ksen3(2B0)
Es una identidad, hallar: "K + B”.
A) 1/4 B)±l/6 C) 1/6 D)-l/6 E)±l/4
17.- Reducir la siguiente expresión:
tan(y- x-7t)tan( z- y+7t)tan(x- z+ 2ti)
tan(x-z+ti)- tan(x-_v+ti)-cot(z - y + — j
A) 1 B)-l C)2	D)-2 E) 3
A)WV B)FFF QVFV
D)WF E)FW
22.- Si: cot 0 =-r¿- a 0 G
15	\ 2 j
Calcular: E= ¿
2(sen|cot|
A)V2 B)
D)-V2
C)-l
Reducción al Primer Cuadrante
PP10
817
CASOS PARTICULARES DE REDUCCIÓN
23.- Si: sec(a- P) = sen810°
„ cos[(csc300)Aít+a]
cos[(csc2 315°)k ít+0]
A) sen 180° B) sen 270° Q sen 450°
D) sen 0° E) sen 190°
24.-Si: a 6 UC
Simplificar:
í |sen(900'>-a)|+|csc(270°-a)| A
P = cosa^|senq2600+a)+|cos(6300+a)| J
A) cos a B) -csc a	C) sen a
D) -cos a E) csc a
25.- Si a es complementario y coterminal con x
e y respectivamente Calcular el mayor y el
menor valor de:
E =
2sena+(-l)psen x
senasenp(a-y+(2n+l)^
; n e Z
A)3;l B)3;0 C)3;-l D)3;-3 E)0;-l
26.- Calcular:
M= £sení^p+2A:ít+a)
k=l '4	'
A) 1	B)0 Q-l D)-2 E) *£
27	.- Si A y B son complementarios, simplificar:
3sen(2A+3B)tan(4A+3B)
p = ----------------------
tan(2 A+ 3B)cos(3 A+ 2B)
A)-2 B)-l Q2 D)-3	E)3
28	.- Reducir:
6
E= £(-l)n
n=l
A)2 B) 1 Q0 D) 1	E)-2
29	.- Si 0 6 IIC, hallar el signo y la expresión
simplificada de:
csc(7ít-0)tan(o-i^j.sec(O-72ít)
cot(0-19ít)sec2^y^-oj.cosn
A) + ; tan 0	B) - ; tan 0	C) + ; cos 0
D) - ; cos 0	E) + ; cot 0
sen(l 38o+0)tan(298o-0)
30-' S1: 2sen(42o-0)cot(0-28o) = sena
Además "a" pertenece al segundo cuadrante.
Calcular el valor de: E = tana + seca
J3	r-
A) -	B)-V3	C)-3
... 2^3	„ V3
D)_r	E)v
31.- Calcular:
sen^sen^sen^ 2cos~
E=________4___5____7_+______3
sen^sen^sen” cos^
A) 1	B)l/2 Q2 D)3	E)3/2
32.- Reducir:
2tan(4A:+l)ít+3cot(4A -l)y
S=------------------------—
3sen^+2cosAít
O
Si: (ke Z)
A)2 B) 1	C)0 D)-l E)2
21ít
33.- Si: x - y=, calcular el valor de:
E = csc(tanx) - csc(cot(-y))
A) tanx	B) 2csc(tany)	C) 2csc(cotx)
D)cot(-y)	E)0
PP10
818
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-a RACSO
P*DITO*BI
SITUACIONES GRÁFICAS
38.- Del gráfico siguiente, calcular:
35.- Del gráfico, calcular "tanO" si PQ = QO y
mZ. CBQ = wiZAOQ. Además O': centro de la
semicircunferencia.
A) V2
B)-l
C) V3
D)2
E) 4$
L = 8 tan 0 - 21 cot 0
39.- Dada la figura, hallar: tan
36.- Del gráfico mostrado hallar: cota + tana

B)
C) —
7 b
D)^
ab
A)-3
B)3
«I
D) 3
E)2
40.- Del gráfico, hallar M = tan a + cot a.
F. a2+b2
37.- Del gráfico que se muestra el triángu-
lo ABO es isósceles. (BO = AO = 8) y la
altura relativa a un lado igual es 6. Calcu-
lar: M = cota-cotp.
A) 13/6
B) 17/6
C) 19/6
D)23/6
E)35/6
Reducción al Primer Cuadrante
PROBLEMAS CONDICIONALES
RELACIONESFUNDAMENTALES
. 	sen2acosa
01.-om1Fl.Ged1. E- (1+cos2a)(i+Cosa)
A) tana	B)tany	C)cota
D)coty	E)1
02.- Determina el máximo valor de:
07.- Si tanO = |; 0 e ^7t;^
Calcular: E = 125 cos (24) sen^®
A) 36x5	B) 36 VÍ0	C) 12-^0
D)20VÍ0	E)40V3
l-cos2x_____
2+-j2(l+cos2x)
A) 2	B)1 C) 1/2 D) 1/3	E)0
03.- Si: tan2x = 2tan2 y + 1
2
calcule: E = cos 2x + sen y
A)0	B)1 C)-l D)l/2	E)-l/2
04.-Si:
secO
2
cscO , ,
—.calcular:
3csc20+2sec20
sec20.csc20
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
2
05.- Si se cumple: tan x + tanx = cos 2x
Calcular: sen 2x - cos 2x - tan3x
A) 1	B)2	C)3	D)-2	E)0
08.- Si: tan -10°) = 2; calcular el valor de:
E = tan(25° + 0) + tan(0 - 65°) ;
90<0<180°
a x 48 .j. 48	50	. 50 y—* _
A) y B) y C) y D) y E)7
09.- Si: 2sena = senP + cosp, calcular:
^_cos2(45°+P)
cos2a
A) 1/2 B) 1/3	C)1	D)2 E) 1/4
10.-Si0e UC, tal que:
cos4(—+Ateos4
\4 /	\4 /
-------=------------= sen 6
3-cos4x
06.- Reducir: N =
sen(a-P)
A) sen(a+P) B) cos(a - P) C) cos(a + P)
D) tanfa + P)	E) sen(a - P)
1-^sen2 2a—sen2 P-cos4 a
Hallar:	sen 20
A) 1/4	B)^
VÜ5	1-x V13
D> ‘ 8	E)' 4
RACSO
• DITOBll
PP11
820
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
11.- Si se verifica que:
cos6-sen6 + l-cos46
cos6+sen6 sen 46 —
Hallar cos 40
A) 1/2	B)-l/2 C)1	D)-l/5 E) 1/3
2	3
12	.- Si: senx + sen 2x + sen x es equivalente
x. ascnx+bsencx-dcos4x+d
Calcular: a + b + c + d
A)2	B)3	C)4	D)5	E)6
13	.-Reducir:
A = (3 - 4 sen20)(4 cos20 - 3) - 2 cos 40
A)1	B)2	C)3	D)4	E)5
14	.-Si: tan 2x cot x+tan4xcot2x = a
tan 2x tan x + tan 4x tan 2x = b
calcular una relación independiente de x entre
ay b.
A)a = b	B)a-h=l	C)n-h=4
D)a2 = h2-1	E)a + h=l
15	.- Si la expresión:
(tan 2x + tan 8x)(csc 8x - cot 8x)
es equivalente a: sec ax + sec bx + c,
además: b<a <0. Calcular: a + b + c.
A)-16	B)-15 Q-14 D)-13	E)-12
16	.-Si: sen4x + cos4x - tn	¡	\
xe (77.it)
6	6	\2 /
sen x+ cos x = n
17.-Si:
cov(nx)
sen4	eos4 (^)
— a; calcular:
sen(nx)
l+cos(nx)
A)l/«	B) l-«	C)^ ' 1+n
D>¿	2(1^ 1-a	
18.-Si:tanx =	1 Isen2xcos2x 1-1 lsen2x	. calcular:
2cos2x-l l+tan2x		
A,	11	dx 2	„ £	n. 10	1
A)	y	B)~5	O-jo	D) [i	^)"9
19.- Reducir la expresión.
r- senxcos3 x-cosxsen3 x
sec4x
A) sen 4x B) J sen 4x C) 4 sen 8x
4	o
D) sen 8x E) .eos 8x
20	.- Si se verifica:
cos30 t sen30 _ £
csc30 sec30 ” 4
Hallar el valor de "cos 80".
A) 1/7 B)3/4	C)l/9 D)8/9 E)7/9
21	.-Si:
Calcular sen2x en términos de m y n.
A)-2^y^	B)-2.	l2+m-n 1 2	COs6(^+B) +cos6(^—®) = m + n sen(p6)
C)-2^^^	D)-3.	l2+m-n 1 2	considerando: p > 0, entonces el valor de: m + n+p.
E)-5
D)5 E) 6
A) 2	B)3	C)4
3-m-n
3
identidades Trigonométricas del Arco Doble
PP11
821
f	4 tan x “i-1	. r xx
22	.- Si:	:-----= tan (x + <p)
4 - tan x
Calcular: tan 2<¡>, (<¡>: agudo)
A) 8/15	B)4/15	C) 15/16
D)4/7	E) 1/2
23	.- Si se verifica: tn csc x = n csc y
. ,	,	371
Ademas: x - y =	-
Expresar: E = csc(2x + 2y) + cot(2x + 2y)
en términos de "tn" y "n".
nzn	tnn	2tnn
A) 2 2 tn n	B) m+n	tn-n
2tnn	_ 1 1	
D) i 2 tn -n	E) 2+ 2 tn n	
VARIACIÓN DE EXPRESIONES
24	.- Calcular el máximo valor de:
3	3
cos a. sen a - sen a. cos a
A) 3/4 B)2/5	C)l/3 D) 1/4	E)l/2
25	.- Calcular el máximo valor de la siguiente
expresión:
E = sen3x+ cos2x+ 2senx(l - cos2x)
A) 17/8	B) 17/2	C) 17/4
D)15/8	E)15/2
26	.- Hallar la suma de los valores máximos y
mínimos de la siguiente expresión:
E = M eos2 j + N cos x. M, N son constan-
tes reales.
A) N B)M C) N/2 D) M/2 E) 0
IDENTIDAD!^ AUXILIARES
sec2 6(csc40+cot46)
27	.-Simplificar: W=------------------
A) csc 20 B) sen 20 C) tan 20
D)cot 20 E)sec 20
28	.- Reducir:
R = 3 tan220 tan 60 + 3 tan 20 - tan320
para0=
A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
29	.- Reducir:
E =	sen6x+sen3x cos2^	9x .csc~2
A)cos	l	J 3x B) sen	C)tan^
D)sec^y	rx	x E)CSC	
30.- Reducir la expresión:
E= (cscrx-tan^|-2sen2y)cos2^|
1	2	1	2	2
A) 2 eos ct B) 2 sen a C)cos a
D) sen a E) sen y
31.- Calcular "tan 2x" de modo que:
2	2
sen x - sen x cos x - 2 cos x = - 0,5
A)-l B)-2	C)-3	D)-4	E)-5
4	4
sen r+cov x
32.-La expresión:-----7----?— se puede ex-
sen +cos x
presar de la forma (a + i>cos4x)/ (tn - ncos4x) y
RACSO
BDITOBB1
PP11
822
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
se cumple que: sec <¡) = J—+^ - ¿Qué valor
V m+n
/Q'TT \
tiene <¡>), si <¡)G
 x 771 n\ 1	571 yx\ 161T 17tt
A) V B) O -f D) ~9“ K) 9
__	„	, ,	, „ sec2z-sec2y
33	.- Hallar el valor de: E=-=--
secz»v-sec2x
si se verifica:
sen(y + z) ,csc(»v + x) = sen(w - a) . csc(z - y)
cos(w + x).sen(z - y) - cos(z + y).sec(w - a)
A)-l B)1 Qcero D)2	E)-2
34	.- Sabiendo que:
tan x tan 2x + tan 2x tan 3x = n
obtener "tan 3x cot x".
A) ^+3	B)n+3 C)4n +12
D)2n + 8	E) ~ +3
35	.- Siendo "x" e "y" ángulo agudos, tal que:
2[tanx - tan(x - y)] = sec x. sec y
Calcular: sen(x+y)
A)|	B)1	C)^	D)^ E)j
36	.- Hallar la suma de los "n" primeros térmi-
nos de la sene:
S = tan 0 + 2 tan 26 + 4 tan 46 + 8 tan 86 + ...
A) cot 6 - 2nlcot 2nI 6
B)tan6-2ncot2n0
C)cot6-2ncotn6
D) cot 0 + 2" 1cot2D0
E)cot6 + 2Dcotn6
37	.- Reducir la siguiente expresión:
_ 3csc36°-2cot36°
L, _ ---1---------
5tanl8°+cotl8°
A) 1	B)-2 Ql/2 D)-l/2	E)2
SITUACIONES GRÁFICAS
38	.- La parte alta de una estatua es vista des-
de un punto en tierra con una ángula de eleva-
ción a. Cuando el observador se ubica en el
punto medio de la línea que une el pie de la
estatua con el primer punto de observación
esta vez es (90° - 2a) el ángulo de elevación
del mismo punto de vista de la estatua. Calcu-
lar "cot a".
A)V2 B)y Q-J3 D)J4 E)J5
39	.- En la figura mostrada, calcular la varia-
AB
ción de sabiendo que AD = DC y 0 < 6 <
3(T.
A)(0; 1>
D) (0,^)
C) )
B) (°^
E) (O; Jí)
Identidades Trigonométricas del Arco Doble
PP11
823
REIACTONES FUNDAMENTALES
i 6 i
01.-¿Cuántos valores admitecosl — I?; a partir
A) 2 sen —
2
B)2cos — C) -2 sen
N> I
Q
de: 5 sen 0 = sen y
D)-2cos —
2
E) tan -
A) 1	B)1	C)3
D)4
E)5
05.- Hallar el valor de cos 247° 30’.
119
___	371
02.- Si: cos 20 = -	; Tt < 0 < —, calcule el
valor de k, siendo:
2
2
k - 7 sen
0
2
-4 cos
o
2
2
03.- Reducir:
sen jc + cosjc—1
R=-----.
vjl—sen x
A) 2 sen —
2
D) - 2 cos —
2
04.- Reducir:
W = Vl+senx
Vxe
D)V11 E)V13
—<J2 + V2
2
06.-Si :0< x <7t/2,además:
; re
7171
4’2d
2
Obtener: sec —
2
B) 2 cos —
C) -2sen -
A) 1/2 B) 1/4
E) tan -
41
- tan —
2
Ql/6 D)l/8 E) 1
07.- Sabiendo que: 3n/2 < 0 < 271
Hallar :K=
+cosjr +
i 1	_ e	e
—+—cosO + sen — + cos —
2 2	4	4
1 1
— + —
2 2
11
—+—cosO -
2 2
PP12
824
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
11.- Reducir:
A) sen— B)sen— C)2sen —
4	2-4
e
D) 2 sen — E) sen 6
08,-Si: 180°<6< 270°ycos26 = 16/25,
calcular:
csc
+ sec
e
—+ 71
2
tan x sec 2x—csc 2x+cot 2x
R. —
tan 2a— tan x
A) 2 sen2x B)2 senx C) 2cos2x
2
D) tan x E) tan x sen x
FÓRMULAS RACIONALIZADAS
12.-SixG (0;7t/4),reducir:

B)-
3
7
°2
18
D)-y
4JÍ0
E)
3
R =
a
09.- Si: cos x -- —-
b+c
b
A) 2^2	B)-2/2 Q1
; cos y =---
a+c
D)3	E)2
, entonces:
13.- Determina el intervalo de «E», si:
, 2
tan
COS Z = ----
a + b
es igual a:
A) (o + b + c )- 1
x	2X
E = cosx cot — -2 cosx cos — .cotx
2	2
A) [-1; 1/2]	B)[-l/2;0]	C)(-I/2;l>
D)(0;l> E) [-1/2; 1/2]-{0}
B) a + b + c
14.- Calcule el máximo valor de:
C) (2a + b + c)(a + b + c) -1
D) (a + 2b- c)(a + b + c) - 1
E = sen
E)1
10.-Si:7t<e<37i/2 y cos26= 16/25
cot--tan—
2	2
cot —+ tan—
l 2	2)
+ cos (cos x)
e
~	6
Calcular: csc — +sec I —+ 7t
2	2
2
A) y¡2
B)1
02J2
E) 1/2

B)-
3
7
C)I
18
D)?
4J10
E>—
15.- Calcular el máximo valor de:
E = cot<¡>-cot<]>/2 ; <¡)G(0;7t)
A)-l B)-2	C)-3	D)-4	E)-5
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
PP12
825
2 x	2 y
16.- Si: (1 - a)tan - = (1 + «)tan ;
2
calcule: N = (l + acosx)(l -acosy) + a
A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
17.- Reducir:
Vi + sen40° + Vi-sen40°
K“ Vl + cos50° -Vi—cos50°
A) tan 10° B) tan 20°	C) cot 10°
D) cot 120°	E)1
18.-Si: sec a = cot p cot 0,
calcular el máximo valor de:
E = cos (p + 0) sec (p - 0)
/n 3n
si además a G
\2 4
A)V2+2 B)3+2V2	C)2+ 4Í
D)2+2-^2 E)3 + V2
2	2	(71
19.- Si:/(0) = csc 0 + csc 20 evaluar:/I
2
22	.- Si : (1 + n cos Ct)(l - n cos P) = l- n ;
Determinar A en:
A)-l B)1	C)2	D)-2 E)0
23	.- Reducir:
E = 3 cot 0 - csc 20-5 cot 20
A) tan 0 B) 2 tan 0 C) 3 tan 0
D) cot 0 E) 2 cot 0
24	.- Si se cumple que:
1	- a cos x	l+o
1-a	~ 1-ocosy
2	x 2 y
Obtener: tan — .tan —
2	2
A) 3a B) 1 + a C) 1 - a
A)2	B)3	C)4	D)5	E)7
20	.- Calcular el valor de:
2 1971	2 2071	2 2271
E = sec sec sec ——
A) 160 B)62	C)64 D)65	E)68
C-	.2 >	,2 Z
21	.- Si: cot — = cot — cot —
2	2	2
Reducir la siguiente expresión:
cos y + cosz—cosx
F=------------------
cos x.cos y.cos z
A)-l B)1 C)cero D)2 E)-2
( a + 6^
25	.- Un valor de tanl Icos a para que
6	3 a
tan — sea tan — es:
2	2
A) 2	B)13	C)0,5
D)0,3	E) 0,2
PROBLEMAS CONDICIONALES
26.- Obtener “ sen 40” en términos de “u” si
se cumple:
2
csc 40 = 1 + n cos 0 + cos20-cot0 + cot40
ARACSO
wpt DiroiBi
PP12
8261 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
4 A) — n	2 b>t	n2 +2n	
		O —	4
4 D) 2 n + 2w	4 E) 9 n — 2		
27.-Si:			
0	«	2 6	cote	1
cos 6 cot —	- 2 cos 6 cos ~		— —
2	2		4
Hallar el valor de: E = 2 sen 26- 1
A)-l B)1	C)2 D)cero E)-2
28.-SÍ se verifica:
1-secysecz
seca- sec(Jt+z)_sec(Jt_.y) •
/ 3tt)
ademásx, y a z pertenece al intervalo (n’
Hallar “cotí T I” en términos de “z” e “y”.
y	z A) - cot — tan — 2	2	„ y z B)tan— tan — 2	2
C) tan y tan z	D) - tan y tan z
30.- Siendo: csc x - cot x = 3
f 45° x A
Calcular: tan —--- , indica un valor.
12	4 1
41	<—
A)41 -2 B) -—	C)V2 -1
4
D)V5+2	E)^
31	.-En la ecuación:
Gsenjr + ¿>cosjr = c ; tan a/2
admite un solo valor:
(a + b)2 —c2
Hallar: 2----------
ab
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
32	.- Si: a; <¡) y 6 son ángulos, que cumplen:
2	2	2
eos a-cos 6 = cos <¡), además:
4x~l	y[x	-Jx + 1
senct=-------;senó=------;sen6 =-------
2	2	2
.. y
li) - tan — tan z
29.-Si: sena =	sen p+sen 6 1+sen Psen 6
	(n	fu
Hallar: E = cot —+— cot —+—	
	^4 2)	^4 2)
en términos de “(	a”:
(n ct'l	
A)'CO\4 + 2j	B)cot -+— (4 2J
fn a''	1	(n a)
	D)tan — + —
l4 2)	1	l4 2 J
(n a")	
E)±cot|j+-J	
Calcular: tan — +2 tan — + 3 tan —
2	2	2
A) 42	B)2V2	C)3j2
D) V3	E)2-j3
Íx + a]	íx—a A jb
—-— tan —— =tan —
2 I I 2 I 2
COSA
entonces------ es igual a:
cosa
A) cos b B) sen b C) sen a
D) cos 2b E) cos a
Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
PP12
827
34.- Si: x + y = z;
Hallar E en función de z:
2	2	2	2
E = 1 - sen x - cos y + 2 sen x cos y +
2 sen x sen y cos x cos y
2	9	2
A)cos z B)tanz C)sec z
7	2
D) cot z E) sen z
2
35.-Siaestalque7i/2<a<7tysen a= 16/25;
hallare! valor de:
I--	7 x
P = 7v 65 + 130 sen —
A) 61 B)62	C)63	D)64 E)65
39	.- De la figura. Hallar sen a, sabiendo que
los segmentos AD y CD están en la relación
de2a5.
(sen 2a)(sen ot/2)
48	24	24 f-
A) 125 B) 125 C) 25
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
48 í*
E»-ISV5
40	.- En gráfico, el AABC es isósceles. Si la
longitud de AD es tn y la longitud BD es h,
calcular tan a.
36	.- En un triángulo rectángulo ABC, donde C
A
es el ángulo recto, calcular: sen	en función
de los lados del triángulo
A)
B)
C)
37	.- Calcular: "A' y "B" en la siguiente identidad:
A cot 20 = cot 0 + B tan 0
D)
2/¡
tn2-h2
2mh
E) 2 i2
ni —h
A) 2 y 1
B)-2 y 1 C) 2 y -1
41.- Del gráfico hallar: tan2 0/2 cot ct.
16 R
D)----V5
’ 125
D) -2 y -1 E) 2 y -2
SITUACIONES GRÁFICAS
38.- Dado un triángulo rectángulo ABC recto
en “B”, se ubican dos puntos “M” y “N” en
los catetos; “M” es punto medio de AB, tal
que MA = MB = CN - 2 y tn Z_ BAC = 37° y tn
Z NMC = x, calcular:
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
RELACIONES FUNDAMENTALES
01.- Si: tan a = 1/3, calcular:
3 tan 3a — tana
F=--------------
3tana-tan3a
A)-10	B)-9	C)+4 D)-8 C)-2
	r 271	1
02.- Si: cos		a =	—, calcular cos 3a
	k 3 J	3
23	23	J3
A) 27	b)-27	C)v
J3	1	
D)v		
03.- ¿A qué equivale: tan x (2 cos x + cos 3x)?
A)sen 4x B) sen 2x C) sen 5x
D) sen x E) sen 3x
04.- Calcular tan 3a, sabiendo que:
tan(o + 15°) =-^-
A)9/13	B)3/10	C)7/9
D)5/2	E)l/6
05.- Hallar n para que la siguiente expresión
sea una identidad:
cos 3x.tan x + 2 sen x = sen(n - l)x
A) 7	B)2	C)1	D)4	E)5
06.- Reducir:
3	3
V = sen (60° + a) sec a + sen (60 - «Isec a
3j2	1>[3	„ 5^7
A)^-	B)—	O —
D)^	E)íf
07.- Hallar n para que la siguiente expresión
sea una identidad:
sen 3x cot x-2 cos x = cos nx
A) 3	B)5	C)8	D)7	E)4
08.- Simplificar:
cos3x—cos3x
sen3x + sen3x
A) tan 3x/2 B) tan x	C) tan x/5
D) tan x/2 E) tan x /4
71
09.- Si: a+p = ~ calcular el mínimo valor de:
6
3	3
E = sen a cos p + cos a sen p
A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/16
RELACIONES AUXILIARES
10.- ¿A qué se es igual?
8cot3a
y cot(a + 60°)+cot(a-60°)
A) 3 - cofa B) 4 - cofa	C) 3 - cot2a
D) 7 - cot a E) 2 - cot a
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
PP13
829
11.- Simplificar:
cos 36sen6 + sen 26
l + 2cos26
A) 2/4 sen 36 B) 5/6 sen 56 C) 8/7 sen 46
D) 3/4 sen 46	E) 1/2 sen 26
12.- Calcular: V =
4 sec 18°
tan 72° +cot 72°
18.- Si: sen2A = 1/2 (cos 6A - cos 4 A),
calcular:	E = sen A + sen 3A
A) 1	B)6 Q3 D)7	E)5
19.- Hallar (A+ B), en la expresión identidad:
2	2
sen 3x(3 sen 3x - sen 9x) + sen 6x = A sen Bx
A)5	B)8	Q-3	D)4	E)7
A) V2 +1
B) V2 -1
C) yJ5 -1
20.- Simplificar:
D) <7 +3
E)V6 -5
13.- Calcular:
eos310°+Visen310°
cosí 6o + Visen 10°
A) 2/3	B)5/3	C)6/7	D)8/3	E)3/4
14.- Sabiendo: sen (45° - a)=1/3,
calcular:	sen (45°+3a)
A) 20/25	B) 15/10	C) 23/27
D) 13/11	E)9/8
15.- Calcular:	2cos320°+2cos340°
	cos 20° +cos 40°
A) 4/6 B)2/5	Q7/2 D)3/2 E)6/5
4sen 2 3ó — sen 2 6ó 16.-Simplificar: R—	
A) sen420	B)sen43<¡)	C)sen34<i)
D)sen40	E)sen470
17.- Sabiendo que:	
sen36 sen 36 + cos36 cos 36 =1/27,	
determinar: cos 66	
A) 23/24	B)-23/24	C) 25/17
D)-25/17	E)-23/27
1 1
y—------------~--------------
tan 3a+tan a cot 3a+cot a
A) cot 2a	B) cot 7a	C) cot 5a
D) cot 4a	E) cot 3a
21.- Si: sen a - cos a - 1 = 6.
Hallar: cos (3a -135°)
Si: (a-45°)e IC
A)-VÍ/2	B)-VÍ/2	C)VÍ/3
D)-VÍ/4	E)Vó/4
22.- Si: sen a + sen P = 3(cos P - cos a),
hallar:	P = cos 3a + cos 3P
A)1	B)4 Q3 D)0	E)5
23.- Calcular:
E = sen320° + sen3140° + sen 3280°
3VÍ 3VÍ 3
B)-—	C)-7
3	1
D)‘i	E*'i
24.- Calcular el valor de:
4 eos3 24° + 6sen212° — 3
--------------------
4cos3 8° + 6sen2 4o - 3
RACSO
 DITOtBI
PP13
830
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
Si: cos 48° = n
A) 2a	B)2a + 1	C)2a-1
D) 1 - 2a	E) 2 - a
PROBLEMAS CONDICIONALES
25.-Si:tanl x---=2, calcular:
l * 3J
sen3xcot x - 2 cos x
2senx+cos 3x tan x
A) 11/2 B)10/3	Q9/8 D)7/2 E)8/ll
2
26.- Calcular “tan 0” si se cumple:
3	/—
eos 0 + cos 0 = V 2 cos a
sen 0 + sen 0 = V 2 sen a
B)	cos 3x cos 3y cos 3z
C)	sen 3x cos 3y cos3z
D)	cos 3x sen 3y sen 3z
E)	tan 3x tan 3y tan 3z
30.- Si se verifica que: sen 30 cos 20 = sen 0,
hallar el valor de la expresión:
E = sen 50 - sen 0
A)-l B) 1 C) 2	D)-2 E)cero
31.-Simplificar:
í 2lt A	f 471
I ~+ct I +cscl -^- + a
A) 2 csc 2a B) csc 3a C) 3 csc 3a
D)4csc2a E)5csca
A)0,5 B)0,4 C)Oa D)0,3 E)O,1
27.- Si: sen 60 = tan2© cot2(30° - 0)tan(24O° - 0)
Calcular «tan 30» si se sabe que es diferente a
cero
A)1	B)2 Q3 D)2/3 E)3Z2
28.- Si se verifica:
32,-Si: cos2a=x... (1)
cos3a = y... (2)
Eliminara:
A) 3y2 = 3x3-4x+2	B)2y2=4x3-3x+ 1
C)4y2 = 2x3-3x+3	D)5y2 = 6x3-2x + 5
E)7y2=4x3-2x + 4
V sen30sen30 + cos3 0cos30 = —
Además 0 e IIC, calcular “6 cos 0”
A)--Jó B)-2Vó C)-l
D)-2	E)-3-Jó
29.- Cumpliendo que: x + y+ z = n
factorizar:
3	3	3
sen3xcos (y-z)+sen3ycos (z- vj+sen3zcos (x- y)
A) sen 3x sen 3y sen 3c
3 r~
33.- Resolver: x - 3x + V 3 =0, luego, una de
las soluciones es:
A)	-2 sen 10°
B)	-2 sen 40°
C)	-2 sen 40°
D)-2 sen 50°
E) -2 sen 80°
34.- Eli minar “0” de:
x cos 20 + y cos 0 = 2(x - y) cos"0
y sen 30 - x sen 0 = 2(x - y) sen‘0
Identidades Trigonométricas del Arco Triple
PP13
831
A) 3(x2+y2) = lOxy
C)x2 + y2 = 4xy
•>	9
E)3(x"+yj=4xy
B)3(x2-y2) = 10 xy
D)x2-y2 = 4xy
39.- Hallar el equivalente de “zn” en la siguien-
te identidad:
35.- Evaluar: f
71
15
si:
/(x) = (cos x - sen x)(2 sen 2x + 1) -
(cos x -¡ sen x)(2 sen 2x - 1)
5-1
45-1
B>—
C)^
45 + 1
D) —
E) 45 + 1
sen5a 2
36.-Si:------=x +x-1, hallar el equivalen-
sena
te de : 3x - x
A)2 cos 3a
B) - 2 cos 3a	C) 2 cos 6a
D)- 2 cos 6a
E) 2 cos 12 a
cot 30	sen60
37.-Si:----— - a, el equivalente de-— ,es:
cot 0	sen20
2(1 +a2)
A) □
(!-«)“
2(1+a2)
(l + «)
2(1—a )
C)-------F
(l-«)2
X sen — 2		X + 2cosjcsen—	a 2
	9x cos	 4	3x	2 —cos—cos3x 4
1	3x	1 3x	1 3x
A)I	sec — 4	B) j esc — C)—sec —
1	3x	3x
D)7	CSC — 4	E)sec — 4
SITUACIONES GRÁFICAS
40.- De la figura mostrada, obtener el valor de “x”.
A) 13°
B)23°
C)27°
D)30°
E) 37°
41.- En la figura, si AE = EC = a y 1 IC = b, el
valor de BC en términos de a y b es:
A>^
5 + 1
4a
D)------7
(!-«)“
4a
(l + «)2
38.- Simplificar la expresión:
sen3x „
-------2cosx
tanx________
cos3x „
-------1- 2senx
cotx
A) tanx	B)tan2x	C)tan3x
D)cot2v	E)cot3x
A) ^h2 B) 3/^ C) 3/^1
D)	E) 3/^2
42.- Hallar "x".
A)	10°
B)	15°
C)	20°
D)	25°
E) 30°
ÍJéRACSO
W^BDITOK»
PP13
832
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
insfóHr
DifeU

TRANSFORMACIONES A PRODUCTO
01.-Simplificar:
senO+ senÁ0 + sen(2£-1)0
COS 0 + COS A0 + cos(2fc —1)0
A) tan A0 B) tan 0 C) cot kG
D) cot 0 E) 1
02.- Transformar a producto:
E = sen 24° + sen 16° - sen 8o
A)	4 cos 4°sen 8°.cos 12°
B)	4 sen 4°.sen 8°.sen 12o
C)	4 cos 4°.cos 8°.sen 12°
D)	4 sen 4°.cos 8°.sen 12°
E)	4 cos 4°.cos 8°.cos 12°
03.- Transformar a producto:
E = cos 2x + cos"a + 2 cos 2a - sen 3a
3	3	3
A) 4 sen"3x sen 2a	D) 8 sen"3A sen "2a
2	a	2	3
B) 8 cos 4a cos "2a E) 4 cos 4a cos"a
C) 4 cos22a cos 2a
04.- Si: a = 5o, hallar:
sen2« + sen3« + sen4o
E=---------------------
cos 2a + coi 3a + cos 4«
A)2+VI B)2-V2	C)2+V2
D)l+j3 E)2- 4?>
05.- Simplificar la expresión:
cos 4 a + cos 8a + 2 - 4sen "a
E =	------------------
seriv + sen3A + sen5A + sen?A
A)	cos"3a . csc 4a . sec a
B)	sen"3A. cos 4a . sec 2a
C)	sen 2a . csc 3a
D)	csc 3a . sec 2x. cos 2a
E)	sen 3a . csc 2x
06.- Reducir a monomio:
sen2«	sen4fi	sen4fi
sen3«	sen3«	sen5«
A)	sen 6a. csc 5a	D) tan a . cot 5a
B)	sen 3a . cos 4ri	E) cot a . tan 5a
C)	sen 2a. csc 3a
07.-Simplificar:
1 + cos a + cos 2a + cos 3a
E=----------------5-----
l + cosa-2sen a
A) csc a B)seca	C)tana
D)	2 cos a E) 2 sen a
08.- Si: A + B = ti/4, hallar el valor de:
A) y/3 + 1
D) V2 -1
sen A + senB
cos A + cos B
B) 42 +1
E)2- 43
C)V3-1
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
PP14
833
09.- Transformar a producto:
S = exsec x - vers x
A) 2sen2.l — I secx
2
D) 4 eos4!
2
.senx
B) 4 sen4
x
2
. sec x
2 I JC
E) 2 cos x. eos —
2
sen 2A + sen 2B + sen 2C=4 cos A.cos B.sen C
A)	Obtusángulo	D) Isósceles
B)	Rectángulo	E) Equilátero
C)	Acutángulo
14.- Factorizar:
y = sen a + sen 3a + sen 4«
C) 2 eos"
x
2
. cscx
a	3a
A)	4 cos —. csc — sen 2a
2	2
10.- Calcular:
sen3 70° + sen350° + sen3 20° + eos310o
y=
cos 40° +sen 80°

a	a
B)	2 sen —. sec —. tan a
2	2
a	a
C)	4 cos a . sec — . csc —
2	2
a	a	a
D)	2 tan — . sec — . csc —
2	2	2
a	3a
E)	2 cos — . csc— . sen 2a
2	2
ll.-Si:xG
Tt Tt
18’18
hallar la extensión de:
15.- Calcular:
E = sen410° + sen450° + sen470°
senx(cos2x + cos 4x + cos 6x)
A=--------------------------
cos4x
A)<0;l>	B)<-1;1>	C)<0;l>
/ 1 1\ / 1 1
D)\ 2’2/	E)\ 2’2
A) 9/8	B)9/4 C) 1/8 D)ll/8 E) 1
16.- Calcular: A + B + C
4^71	4^71
sen —i- x + sen-------x
l6	J l6
Acos 4x + B cos 2x + C
12.- De qué naturaleza es el triángulo ABC si
se cumple:
2	2	1
sen A + sen B + sen"C = 2
A)	Isósceles	D) Obtusángulo
B)	Equilátero	E) Acutángulo
C)	Rectángulo
13.- De qué naturaleza es el triángulo ABC, en
el que se cumple:
A)2	B)4 C) 1/8	D)8	E)10
17.- Si: sec x + sec y = a ... (l)
tan x + tan y = b ... (2)
a - i a (*-*) <A + F)
¿A que es igual: A = cos —~. csc —-—
A)a2¿2 B)ab C)al? D)a/b E)b/a
-4 RACSO
^tSDITOBEB
PP14
834
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
PROBLEMAS CONDICIONALES
A) 15° B)36°
C)45ü D)53*
E)75‘
18.- Sabiendo: a + y + z = 366°
Simplificar:
23.- Factorizar;
3A
a	y	z
cos—eos—cos—
2	2	2
A
E = sen - + senA + sen-+ sen 2A + sen
2	2
5A
2
L =
1 + cos a + cos y + cos z
3A	A
A) sen --- . sen A . csc —
’	2	4
x . y z ,
COS-Feos—+ COS-1
2'2	2
A y	Z
sen—sen —sen —
4	4	4
A) 17/4	B)3/4 C)5/3	D)5/4 E)9/4
19.- Calcular “a” a partir de la siguiente igua-
lando sabiendo que: A + B + C = 186°
5A
B) sen —
4
3A	A
. sen — . csc —
2	4
3A
C) tan----
2
5A
. tan---. csc A
4
3A	A
D) eos . cos A . sec —
A(sen A + senB + senC)
senAsenBsenC
ABC
cos—cos—cos—
2	2	2
7A 5A 3A
E) sen--. sen----. csc--
’	4	2	4
24.- Calcular el máximo valor de:
sen2 A + sen2B + sen2C
E = sen (50° + a) - sen (10° - a)
A) 1/8 B) 1/16 C) 1/4	D)16 E) 4
20.- De qué naturaleza es el A ABC si se cumple:
A) 1/2
B) 1 C)V3 D)V5 E)2
cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 - 0
25.-Si:
A) Obtusángulo
D) Equilátero
¿Cuál es el valor de _v que verifica la igualdad?
B) Acutángulo
E) Isósceles
ABC
sen A + senB-sen C= a sen —.sen —. eos —
2	2	2
C) Rectángulo
21.- Simplificar:
A) 1	B)2 C) 3
D)4	E)5
a sen.v — 2/xsen3A + a sen5 a
V----------------------------
a cos r — 2A cos 3a + o cos 5 a
26.- Transformar a producto:
E - sen A’ + sen y + sen z
A) tan a
B) tan 2a
C) tan 3a
A.) 4 cos(a + v).cos (y + z). cos(a + z)
D) tan4v
E) tan 5a
B) 4 sen(A + y).s en (y + z). sen (a + z)
22.- De la siguiente identidad:
C) 4 eos
. cos
2sen 60 sen 6 = sen 96 + sen 36,
2
. cos
2
la medida de 6, es:
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
PP14
835
27.- Calcular:
E = cos"6° + cosZ42° + cos_66° + cos278°
A) 7/2	B)7/4 C)7/8	D)7/16 E)9/4
28,-Si: senx + seny = a ... (1)
cos a + cos y = b ... (2)
¿A qué es igual sen (a + y)?
cosx	cos(x+y) cos(x+2y) cos(x+3y)
a b	c	d
A)	c(« + d) = b(b + c)
B)	c(a + c) = b(b + d)
C)	b(a + d) = c(b + c)
D)	c(a -d~) = b(b - c)
E)	c(a -c) — b(b - d)
271	47t	871
32.- Calcular: E = sen ~ + sen ~ + sen —
7	7	7
A)
a2—b2
a2+b2
2flfc
B)-T-7T
a —b
C)
2ab
a2+b2
D)
ab
a2—b2
ab
E) 2 (2
a +b
33.- Calcular “n” si:
12 cos x + cos l Ix = n cos 0. cos <J>
A) 10 B) 11	C)12 D) 13 E) 14
29.- Calcular el menor entero par que adopta
“Á” en la igualdad:
71	471 Ó7T	71
sen(A - l)y = cos~y. tan — + 2 seny
A)2	B)4	C)6	D)8	E)10
30.- Calcular una relación entre x, y z indepen-
diente de “0”
sen6	sen30	sen56
x y	z
A)	x(c - x) = y(y + x)	D)y(z-x) =z(y-x)
B)	a(z + x) = y(y + x) E) y(x + y) = z(z + x)
C)x(z + x)=y(y-x)
31	.- Calcular una relación entera a, b, c y d
independiente de x e y:
34.- Simplificar:
cos5x + 3cos3x+4cosx
sen5x - 3sen3x + 4senx
A) - cot3x B) tan3r C) - tan3x
D)	cot3x E) 1
EXPRESIONES EQUIVALENTES
35	.- Calcular el valor de:
senl090° + sen790° + sen460°
K 2cos5°cos35°cos50°
A)-l B)-2 C) 1/4	D)05	E)2
36	.- ¿En qué tipo de triángulo ABC, se cumple?
senB + senC
sen A =----“-----~
cos B + cosC
A so
B^bditobes
püL 8361
Problemas de Trigonometría y cómo resolverían
A) Equilátero B) Isósceles C Rectángulo
D) Obtusángulo	E) Acutángulo
37	.- Si: sen(y + z + x); sen(x + z - y); sen (x+
y - z) forman en ese orden una progresión arit-
mética, ¿a qué es igual tan y?
A)tanx+tanz B)tanx-tanz
C) 1/2 (tanx + tan z)	D) 1/2( tanx + tan z)
E)	l/2(tanx-tanz)
38.- De la siguiente relación:
C)	4/h sen x sen 3x sen 5x
D)	4m cos x cos 2x sen 4x
E)	4m cosx cos 3x cos 5x
cos(x - y)	cos(x + y)	sen2y
a	b	c
¡ A qué es igual cosx ?	
sen y	
a-b	a+b	a + c
A)	B)	C) c	c	b
a—c	b+c	
D) —-	E)	 b	a	
41.- En la figura, calcule sec x.
(cot 2x+cot x) (sen 3x+sen x)
A) 72	6)2-72 C)73 D)2 E)7ó/2
42.- De la figura, encontrar la medida de 6.-
SITUACIONES GRÁFICAS
39.- Si: AB = DC, calcular
E = tan 6 - 2 cos 46 + tan 36
A)-2
B)-I
C)6
D)1
E)2
40.- En la figura, calcula el equivalente en for-
ma de producto de la siguiente expresión:
A — AE + BE + CE + DE
A) 10°
B)36°
C)60°
D)50°
E)35°
43.- De la figura determina el valor de "P"
A) 4/n sen x sen 2x sen 4x
A) 30°	B)45°	C)53° D)«F E)75°
B) 4m sen x sen 2x sen 3x
Transformaciones de Sumas o Diferencias a Productos
PP14
837
05.- Transformar a producto:
APLICACIONES DIRECTAS
01.- Transformar a producto
E = sen 5.r sen 4a + sen 4x sen 3x- sen 2x sen x
A)	2 sen 5x cos 3x sen x
B)	2 cos 5x sen 3x cos x
C)	2 sen 5x sen 3x cos x
D)	2 cos 5x cos 3x sen x
E)	2 cos 5x cos 3x cos x
02.- Expresar en forma de sumas o diferencias:
E = 4 sen x sen 2x sen 3x
A)	sen 2x + sen 4x - sen 6x
B)	cos 2x + cos 4x - cos 6x
C)	sec 2x + sec 4x - sec 6x
D)tan4x
E) sec 6x
03.- Calcular:
9	?
E — sen 36° - sen 36° cos 6o + eos 6o
3	13	13
A)- B) — O- D)- E)~
04.- Reducir:
E= ll cos óx.cos 3x+sen5xsen4x + cos x
A) 2sen x B) y[2 sen x C) 2 cos x
D) V2 cos x	E) cos x
271
E = 2 sen — + tan “¡tj-
7t
11
71	271	571	
A) 8 sen — .	sen —.	sen —	
7 11	11	11	
71	271	571	
B) 6 sen —.	sen —.	sen —	
7 11	11	11	
71	2ti	571	
C) 4 sen —.	sen —.	sen —	
7 11	11	11	
71	2 71	571	
D) 2 sen —.	sen u .	sen —	
1	71	2 71	571	
E) — sen —	. sen —	. sen —	
7 4	11	11	11	
	2 71	571	871	
06.- Reducir:	CSC 		+ CSC	 - CSC —	
	11	11	11	
4ti	271	471	271
A) 2 cos —.	.CSC u	B) 2 sen —. sec	11
471	271	471	271
C) 2 sen —.	CSC —	D)4cos — .csc	11
471	271		
E)4sen —	+ sec —		
11	11		
07.- Expresar como diferencia de senos:
P = 4sencc sen —+ a
4
. sen
PP15
838
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DITOBRB
A) sen 3a - sen 2a	B) sen 4a - sen 2a
C) sen 5a - sen 3a	D) sen 3a - sen a
E) sen 4a - sen a
08.- Reducir la expresión:
senx sen3x
v= —— - ——
sen2.x sen4x
A) sen x. csc 4x	B) cos x. sec 4.x
C) -sen x. csc 4.x D) - cos x. sec 4x
E) sen 2x csc 4x
09.- Transformar a producto:
4 sen 2x. cos 4x. cos 6x - 2 sen x. cos 3x
A)	2 cos 2x cos 15x cos 5x
B)	2 sen 2x sen 15x csc 5x
C)	cos 2x cos 15.x cos 5x
D)	sen 2x sen 15x csc 5x
E)	cos 2x cos 15x csc 5x
PROBLEMAS CONDICIONALES
11.- Si: k—(cos 3x sen 2x - cos 4.x sen x) sec 2x,
calcular la extensión de “k"
A)<-1;1)	B)<0’;l>	C)[0;l>
D)[-i;i>-{-72/2}
E)[-l; li-
li.- Calcular la medida del ángulo “x”. Si:
x e ( 0o, 90°). Además se cumple:
4cos40°
3 cos 20° +
2 cos 80° (cos 10° +V3 j
= tanx
A)30° B)40° Q45°	D)50°	E)20“
13.- Calcular el máximo de:
E = sen (x + 20°).sen (x + 80°)
1	2	3	4	1
a)7	B)I	C)7 D)? E)’4
14.- Si: tan a. tan ( a + b ) = k, ¿a qué es igual?
E = cos (2a + b) sec b
10.-Si:xe
77171
30’4
mo y mínimo valor de:
, calcular la suma del máxi-
i—k	1 + *	k-1
A) 1-F*		C)7+T
k + 1		
	E)Jl	
M = 2 cos22x cos x - cos x - 0,5 cos 3x
15	.- Transformar al producto:
E = sen 18°.csc 12° + cos 36°.sec 6o
A) 4 sen 36° - cos 12°	B) 4 cos 36°-sen 12°
C) 4 cos 18° - sen 6o	D) 2 sen 36o- cos 12°
E) 2 cos 36° - sen 12°
16	.- Si: sen x + sen y = sen x.sen y
Calcular:
U-y)
E = cos—~—- sen
2
(*+>’)
2
A) 1/2 B)-l/2 C)±l D)±l/4 E)±l/2
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
PP15
839
17	.- En un triángulo ABC se cumple que:
A
2 sen B sen C = sen A. cot —
2
¿Qué tipo de triángulo es?
A) Rectángulo	B) Isósceles
C) Equilátero	D) Escaleno
E) No se puede afirmar nada
18	.- ¿A qué es igual?
E=	cot 20°-4 cos 20°
A) V3 B) sen 20° C) cot 20°
D) cos 20°	E)1
19	.-Calcular el máximo valor de:
2ti	ti
E = sen(x + — ).cos(x + ~)
Cuando: 0<x<ti
3+V2
D> 2
V3+2
*>—
C)
^3 + 2
2


20	.- Si: tan(n + b) = 3 tan a
sen2(fl + b) + sen2a
Calcular: E=-------------—---------
sen2í>
2	2	2
22	.- Si: sen x + sen y + sen z = 1
x+y+z=0
Calcular: cos x. cos y . cos z
A) 3/2	B)2/3 C)1Z2 D)2 E)1
2
tanx 1 + cos x
23	.-Si:---=--------
tany	1 + sen x
Calcular: sen (3x + y), csc (x - y)
A) 1	B)3	C)5	D)7	E)8
24	.- ¿A qué es igual? “0”
cot 0 = — sec 80° - 2 sen 70°
2
A) 15° B)30°	C)45° D)54° E)60°
25	.- Simplifican sec46° - sec 14° + sec 74°
A)sec42° B) 3sec42°	C)-3sec42
D) 3 sec 14° E) - 3 sec 14°
26	.-Si: V3 cos 17°-cos 13° = wi
¿A qué es igual?
E= V3 cosl7°- sen 17°
A)/n B)2/n C)mf2 D)m/4	~E)y[3m
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
sen3 3x - sen4x.sen2x
21.- Si: ---5-----------------= k
eos 4x + sen5x.sen3x
Calcular: cos 2x
1-k2		2
A) , 1 + Á:2	B) 1 + *	Q 1 + k2
D)2Á:V1-Á:2	E)k	
5n . 4ti
tan----4sen—
27--Simplificar:	“
tan — + 4sen—
11 11
A)V11 B)^y- C)1 D)^y- E) 2
28.- Si: 1 - cosx; 1 - cosy; 1 - cos z
Están en progresión armónica
PP15
840
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITO1I1
Calcular: E=
2sen xsen z
senx+senz ”sen^
A)0	B)1Z2	C)1	D)2 E) 4
29.-Si:
A)V3 B)V2 C)2	D)-2	E)1
2n 4n 6ti
35.-Calcular: E= sec — + sec— + sec~y
A)-l B)-2 C)-l D)2	E)-4
cos Ix sec x = Acos 6x + B cos4x+Ccos2x +D
36.-Calcular:
Calcular: A + B + C + D
A) 1	B)2 Q3 D)4	E)5
7x	3x	9x	5x
30.-SÍ: cos—. cos — = cos — .cos —,
2	2	2	2
hallar: E = tan 6x. sen x
A)-l B)1 C)0 D) 1/2 E) -1/2
VALORNUMÉRICO
31.-Calcular:
í. 271 'I	í.	471^1	6ti^
I 1—cos		1 1—cos		1-cos—
l 1 )	l 1)'	l 7 J
7	7	7	7	7
a>7	b>- q- d>- e>-
37.- ¿A qué es igual?
cos 12°. cos 60“. sec 72° - cos 24°
r- ti 2n 3n n 2n
L= V7 cot ycot~cot —- sec y sec —
3n
sec —
A)-7 B)7
Q 1/7	D)-l/7	E)9
32.-Calcular:
2n 4n 6n
E = tan — + tan — - tan —
14
14
14
A)-l
D)-V5
B) -V2
C)
3
33.- ¿A qué es igual “0”?
tan0 =
l + 4cos20°
A)cos12°	B) cos 60“	C) cos 36°
D)cos 48°	E) cos 24°	
38.-Calcular:	7t tan—. tan 14	3ti	5ti — . tan — 14	14
V7 A,’V	B’v	O- 41
D) y[7	E) -2y[7	
39.-Calcular:	5 371	5 571	5 ti sen — + sen — - sen ~	
V7	3j7 B) 16	5^7 C) 16
D)^ 7 16	J7 E’v	
A) 10°	B)20“ C)80“	D)70° E)30°
2 71
2 71	2 27t o 371
40.- Calcular: E = csc y + csc ~y + csc~—
7
34.-Calcular:
tan 5o+cot 5o - 8cos20°
4
A)4	B)8	Q12	D)16 E)20
Transformaciones de Producto a Sumas o Diferencias
PP15
841
01.- La suma de los senos de 5 ángulos en
progresión aritmética es cero. Calcular la ra-
zón de la progresión, sabiendo que es positi-
vo y menor de 90°.
A)72°	B)75° 060° D)45° E) 30°
02.- Calcular el valor de:
E = (cos 10° + cos 20° + cos 30° +...
sen5°
+ cos 240°)-----
cos55°
V3 V3 r- i-
A)-y-	C) <3 D)-V3 E) 1/2
03.-Calcular:
71	71	71
R=sen—~ + sen	+sen “+... +sen 7i
loU	>u	oU
A)tan¿5	71 B) ,an Isó	71 C)tan 360
71	71	
D)cot — jou	E)OTisó	
04.- Evaluar la siguiente expresión:
71	271	471
E = tan — + tan ~ + tan—
A) V7 B) V2 C) V3
D)V5 E)-V7
05.- Calcular el valor de S, si:
7t 2ti 3ti 4ti
S = cosy+cos— + cos~ +cos~ +
5ti 671
COS— +cos~
06. En ontrar el valor que le corresponde a S
en la siguiente expresión trigonométrica:
2 71	2 271	2 371
S = cos ~ + cos ~ + COS —
7	7	7
A) 1/4 B) 1/2 Q 3/4	D)5/4	E)1
07.- Calcular:
Tt 3n 5ti 7ti 97t
S=COS — +COS — +COS — +COS — + COS —
A)-1/2 B)1 C)1Z2 D)-3Z2	E)3/2
08.- Evaluar:
7	7	7
S = cos~ 10° + cos220° + cos j0°+ - - -
+ cos2170°
A) 7	B)8	C)6	D)9	E)17
09.- Hallar el equivalente de:
S = senx+sen3x+sen5x+ ... + senl5x
2	o
A) sen 8x. csc x	B) sen~8x sec x
C) cos28x . sec x	D) cos 8x csc x
E) cos 8x. csc2 x
10	.- Si la expresión:
es idéntica a: A + B csc 1°; se pide calcular:
V = 2A-4B
A)46 B)44	C)42	D)40 E) 80
PP16
842
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
IDITO1II
11	.- Calcular el valor de la suma de la serie:
ti	3ti	5ti
E = cos + cos —— + cos 	+
2n +1 2n +1 2n +1
f 2n-l'|
.. .+ COS I „	, 71
^2n + l j
A)n B)2n C)2n + 1	D)-l/2 E) 1/2
12	.-Calcular:
271	471	671
E = cos  ----- + cos  --7 + eos  ---7 +
2n + l	2n + l	2n + l
2n7i
... + cos~--7
2n + l
A)n B)2n C)2n+1 D)-l/2 E) 1/2
13	.- Evaluar P en la siguiente expresión:
•7 7t 2 2rt 3ti 2 4tt
P=sen“ — +sen ~ + cos“— +cos ~
A) 1/4 B)2/4 Q3/4	D)5/4	E)9/4
14.-Calcular:
2ti 4ti 4ti 6ti
R = COS~COS~ +COS“COS~ +
2ti	671
eos— eos—
7	7
A)-l/2	B)l/2 Ql/4 D)-l/4 E) 1/8
15	.- Al reducir la siguiente expresión, se obtiene:
7	7	7
R = sen“(x - 120°) + sen x + sen2 (x + 120°)
A) 1/2	B)1 C) 3/2	D)3/4	E)5/4
2 71	2 27t	2 3rt
16	.- Calcular: R = tan ~ + tan — + tan —
7	7	7
A) 7	B)9 C)ll D)17 E)21
17.- Se pide evaluar P, si se sabe que:
A) 19/16 B)17/8 C)13/4 D) 1/8 E)l/16
18.- Sabiendo que: 10 6 = Tt, y además:
7	7	7	7
sen~0 + sen“20 + sen 30 + .. sen“90 +
+ sen“110 = A+ Bcos(C0) ;
calcular: A + B + C
A) 5	B)3	C)6	D)7	E)8
19.-Determinar:
K . 2n+l 2L 2n+l 271 2n+l 371
M = COS ~ + COS — +COS — +- - -
6ter minos
Sabiendo que: n e Z
A)0	B)3	C)6	D)7	E)8
20.- Hallar los valores de “a", para los cuales
existan soluciones de la ecuación:
2	21	71 ]	'>(	Tt 1
sen x + sen x + — + sen x + — =a
l	6J l	3J
r~	1	5
A) 0<n< V2	D) — <n<—
1	1	1
B)0<n<-	E)-<n<-
4	4	2
C)0<n<^
21	.- Calcular la suma de los n primeros térmi-
nos de la serie:
1x1	x	1	x
S = — tan — + — tan “T + tan v + -
2	2	2“	22	23	23
1 x	1 x
A) cot— - cotx B) — cot— +cotx
1 X	1 X
C) — tan— -tanx D) — tan— + tanx
2n 2	2	2
1	1 x
E)	- cotx
Sucesionesy Series Trigonométricas
PP16
843
22	.- Calcular:
2ti 4n 6ti	20ti
S=cos—+2cos—+3cos — +...+10 cos -yj-
A)0	B)45 C)11Z2	D)-11Z2 E)-9/2
23	.- Calcular la suma de los “n" primeros tér-
minos de la serie:
S = sen I.sec3 + sen3. sec9 + sen9. sec27+...
A) 1/2 (cot 1 - cot 3n) B) 1/2 (cot 3n- cot 1)
C) 1/2 (tan 1 - tan 3n)	D) 1/2 (tan 3”- tan 1)
E) 1/2 (tan 3n'1 - tan 1)
24	.- Determinar la suma de los “n” primeros
términos de la serie:
S = sec2.tan 1 + sec
A) tan 2n - tan 1
C) cot 2n - cot 1
E) cot 1 -cot2n+1
25,-Si se sabe que:
tan2x tan22x
tanx tan2x
¿a qué es igual:
^_tan2x tan22x
cotx cot2x
A) m - 2n	B) m
D)m-2n	E) 2¡
4. tan2 + sec 8. tan4 +...
B) tan2n+1 - tan 1
D) cot 1 - cot 2n
tan23x
'	5 +
tan 2 x
tan2”x
 • -+---^“7“ = m ;
tan2 *x
tan23x tan2nx
cot22x cot 2 *x
r2n C)2n-m
i-m
26.- Calcular la suma de la serie de 10 térmi-
71
nos, cuando x = —,
44
S = sen x sen3x + sen3x sen 5x + sen5xsen7x+..
71	71	71
A) 10 sen —	B)	20 sen —	C) 10 sen—
2	22	11	2	11
71	71
D) 20 sen— E)5cos—
22	2	22
2	2	2	2
27	.- Si: cot 1 + cot 2 + cot 3+...+ cot n = m
¿a qué es igual:
cotí	cot 2	cot 3	cotn
S =	~ + T +	~ + . . . +	?
tan 2	tan4	taño	tan2n
A)l/2(m-n) B)l/2(nz + n) C) 1/2(2 m-rí)
D)l/2(2n-nz) E) l/2(rwí-l)
28	.- Simplificar la expresión:
senx + sen3x + sen5x + ... + sen(2n —l)x
cos x+cos 3x+cos 5x+... + cos(2n - l)x
A) tan (nx) B) cot (nx) C) 1
D) tan x E) n tan (nx)
29	.- Calcular la suma:
S = eos21°+ cos22° + cos23° +..+ cos290°
A)0 B)45	C)90	D)90,5	E)44,5
30	.- Evaluar la suma para n = 12
ti	2ti	3ti	(n-l)7t
S = sen — + sen—+sen — +...+sen-----
n	n	n	ti
A)-j6+V2+2 + V3 B)Vó +42-2- 4?>
C) 4^ -42+2- 4Í D)Vó-V2-2-V3
E) 46 -42-2+ 41
PRODUCTORIAS
31	.- La expresión:
cos 20° cos 40° cos 80° cos 160° cos 320° sen 10°
es equivalente a:
^iRACSO
A^SDITOaiBfl
PP16
844
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A) 1/2 B)l/4 C)-l/8 D)l/16 E)-l/64
32.-Calcular:
ti 2ti 3ti 4ti 12ti
P=tan—.un — .tan — tan—...un—
36.- Si: (2n + 1) x=ti, calcular:
P = sen x. sen22x. sen33x... sen2n2nx
A)
(2n + l)Zp+l
2n(2n+l)
.2n+I
2n(2n+l)
A) 1	B)2
C)3 D) V5 E)5
33.-Calcular:
71	271 3ti
M = sen y sen~ sen —
(2n + l)n
2n(n+l)
D) -S-:-------
'	2n<n+,>
Q
n
V7	V7	V7	V7
A)— B)— C)— D) — E) 1
8	4	6	7
E) O
37.-Calcular:
34.-Calcular:
P = tan x tan 2x tan 3x tan 4x... tan 16x
E= sen Io. sen 2o. sen 3o... sen 88°.
sen 89°. sen 80°
sabiendo que:
271
sen 32x = sen x, para: 0 < x <
V33 r— V33
A) ~ B)-V33	Q--^—
33	' 33
A)0 B) 1 Q-y5o
90	V89	1
D) „89 E) 90
38.- Calcular el producto de los “n” primeros
factores:
7	7	“7
P = (1 - tan 1)(1 - tan 2)(1 - tan~4)...
D) V31 E) V 33
35.- Calcular el producto de los n primeros
números factores:
2ntanl
A) tan 2”
2ntan2n 2ntanl
P=(2cos — - l)(2cos — -l)(2cos~ -1)...
2	4	8
2”
D)-----
tanl
2»+!
E)^í
2 cos— + 1
2
) 2cos2xnx +1
2cos2nx+l
B)----------
2 eos—+1
2
39.- Calcular el producto de los “n” primeros
factores:
P = cos x. cos 2x. cos 4x. cos 8x. ..
2 cos x + 1
O-----x
2 cos— + 1
2n
2cos---+ 1
2”
D) ---- ----
2cosx+l
sen2n x
2nsenx
sen2n+l x
B) 2n+1senx
sen4“x
Q —-----
4 senx
2 cosx—1
E)-----~
2 eos—-1
2”
2n
D)-----
sen2 x
sen2
2n-,senx
Sucesiones y Series Trigonométricas

DOMINIO DE LAS F.T.
Jversx—covx , si x G [0; 2n]
01.- Determine el dominio de la función/defí-
nida por:
I ex—secx 11 ex—secx+21
fix^= |secx+l|
I	71
A)R-^xór=(2p + l)7f Ux=(2m+ l)p,pe Z;
me Z
a \ - r ti - 5ti i n\ ¡tí . 5ti i
A)xg 2’~F	B)xg y»-y-
Qxe |p~yj	D)xg [4.-47J
i tt . 5tc i
E)xe Ls’tJ
03.- Determine el dominio de la función/defí-
nida por:
B)R-lx/x=(2p+ 1)-^ Ux=(2m+ l)p,pG Z;
Z
QR-<x/x=(2p + l)y Ux=(2m+ l)p,pG Z;
m 6 Z
II	71
D)R--jx/x=(2p+ l)y Ujr=(2m+ l)p,pe Z;
tnG Z
I	71
E)R-jjcóic=(2/>+1)^ \ux=(2m+l)p,pG Z;
mG Z •
02.- Encontrar el dominio de la función/defí-
nida por:
71
A) R- -j xJx = (2k + 1) -j vj x—2 ntit, kG ZjnG Z
{TT.
x/x=(2k+ x=2nm,kG'^,mG'Z r
{TE	. II
x/x=(2L+1) —VJx=2nm, Á:GZ,mGZ »
{TE	II
x/x=(2A+ l)y G)x=2rmt, kGZ^nGZ r
{TE	II
x!x= (2k+ 1) y ux= 2 mn, kG Z,mGZ r
04.- Si el rango de la función:
F(x) = csc^2x—es (-2; - -J2 ) U ( -J2 ; 2)
determinar el dominio en el recorrido:
41*RACSO
 iDITDHI
PP17
846
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
7ti\ /7ti 5ti
— )	;—
4 /	\ 6 4
07.- Dada la función definida por:
fix)- Vi - tanx + 71+tanx,
/ 71
hallar eldominiodelafunciónsixE
D, / 3n 517i\ /3ti 1971
\ 4	4 /	\ 4 24
/ 1 Iti 5n\ /3ti 19ti\
\ 24 12/ \ 4 24 /
D)
B)
7171
4*4
Q
71 71
3*2
71 71
4’4
E)
71 71
/ 17ti 1 Iti\	/ 5tt 31ti\
D) (-----;----) U (—;-----)
\ 12	8/	\ 4	4 /
E)
5ti
4
2971 \ /25ti 13ti\
24 / \ 24 12 /
05.- Sea la función “ff" definida por la siguien-
te regla de correspondencia:
sen2x + cos—
fix) =---------—; (n e Z), hallar el domi-
x
cos—
n
niode/
„ ti	rm
A)R-(2n+l)- B)R C)R-—
2	2
D) R - (2n + 1)ti	E) R- 2«n
06.- Hallar el dominio de la función definida
por:
08.- Para que valores dex, la función/defini-
I tanx+cotx—4	71
da por: f(x) = J-----------, 0 < x < —,
V tanx+cotx	2
tiene valores reales?
/_ ti\ / ti 5ti\ / ti\ /ti ti\
A) \ ’2/ \12’12/ B) \ ’2/ \6’4/
C)/o;-\	D)/o;-V/—
\ 4/	\ 2/ \12 4
E) /o;-\ -	\
\ 2/ \4 12/
RANGO DE LAS F.T.
09.- Determine el rango de la función/defini-
da por:
fix) = 2sen(7i. tan x), si x e
377t 537t~
180’180;
f(x) -----------
cotx—tanx
;(nE Z)
A)í-V2;>^]
B)[-V5; V8]
C)[-V7; 74]
D)[-V3; 72]
. „	_	71	«71
A)R-,m	B)R-(2n+l)- C)R- —
tm	ti
D)R-—	E)R-(4«+l)y
E) [ -79; V3]
10.- Encontrar el rango de la función/definida
por:
fix) =
senx.cotx+cosx
cotx
1
Funciones Trigonométricas
PP14
847
A)(-2;0>o(0;2> B)<-2;7>o<0;7)
C)(-5;0>u(0;5> D)(-4;0>u(0;0>
E)(-l;O>u(O; 1>
11	.- Delimitar el rango de la función f definida
por:
/x) = 2sec2^j +2,sixe IC
A) (2; 3)	B)(9;4>	C)(5;6)
D)(7:7>	E)(4;6>
12	.- Determine el rango de la función f defini-
da por:
/¡jc) = sec‘x + 6|secjc|+ 11
A)[14; + oo> B)[18; + o°> C)[16; + «>>
D) [9; + E) [5; + »)
13	.- Evaluar el rango de la función/definida
por;
_	2
fix) — x . secx.sucG
n n
1’7

A)[o;^
D) 0;^
E) 0,2?-
14	.- Encontrar el rango de la función /definida
por:
fix) =1 + 2 csc
A)[3;5>	B)[3;2>	C)[4;2>
D)[7;9)	E)[4;5>
15	.- Sea/una función definida por:
fix) = sec x + csc x,
determine el rango de la función:
A)[6;oo)	B)[5;oo)	C)[4;~>
D)[3;oo>	E)[2;o°>
^6.- Determine el rango de la función/defini-
da por:
f(x) = Jsec2x+csc2x
A) [6; +“)	B) [4; +<»)	C) [2; +°°)
D)[3;+°o>	E)[7;+°°)
17.- Delimitar el rango de la función /definida
por:
o	7
fix) — csc~x + 2 sec"x
A) [5 v/2 + 3; + °°)	B)[2>/5 + 3;+oo>
C)[7^ + 3; + oo)	D)[3v/2 + 3; + <*>)
E) [2-J2 + 3; + »)
18	.- Encontrar el rango de la función /definida
por:
|sec.v|-l
fix)='-----—
J * tan-x
A) <0; l/3> B) (0; l/2> C) (0; l/5>
D)(0;l/4>	E)(0;l/6>
19	.- Sea/una función definida por:
/x) = sec~v + 4 tan x,
evaluar el rango de la función.
A)[-3;+oo)	B)[-7;+°o>	C)[-2;+°°>
D)[-5;+°°)	E)[-9;+oo)
20	.- Hallar el dominio y rango de:
F(x) = (cos 3x + sen 3x tan x)tan 2x; k 6 Z
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
•iiRACSO
Pbditdbbb
A) D/: R-{2*+l)^ o(2*+1)|
23.- Hallar el rango de la función:
H/: R-{-2; V2 }
flx) = sen
4	2
1 X 4-COS X
-5n
6
—2n
3
B) Df. R-(2*+l)^
4
Rf: R-<-2;2)-{-V2 , Jz |
13 13
A)\4’16
B) 4
3 15
16
-3 1
C) 4’2,
„	71
Q D/:R-{2*+l|-
Pf: R-{2}
{71	7t
(2*4-1)- 0(2* + 1)-
K/: R-{-2;	, y[z ,2}
{71 I
(2*4-1- 1
4 J
Rf: R-{-2;2-/7}
D)
2.22*
4’16
3
E)
4
7
8
24.-Si:/(x) =
cosx
---------y su rango pertene-
cosx+senx
3-1.1
2
intervalo de: (O; 2n).
ce a
A)
n n
4’Í
calcular su dominio en el
5n 4n
T’T
B)
nn
4’3
21.- Hallar los puntos de discontinuidad de:
cos(tanx+cotx)
F(x) =----;*g Z
I I x ] 1
sen sen neos—
2 II
E)
n	n
A)(2*+l)y B)(2* + l) —
n
Q*-
*n	n
D) — E) (2*4-1)—
2	4
22.- Dada la función:
F(x) = sen x 4- cos 3x; x g
n 3n
2’~2*
hallar la suma de valores de “x” para el cual la
función es nula.
3n
A)4
5n	5n	5n
B) — Q4n D) —- E) —
Z	4	o
5n 4n
T’T
n n
6’3
D)
n n
5¡’Í
5n 4n
T’T
5n 4n
~9~’~
25.- Hallar el dominio y rango de la siguiente
función:
2 cot-
fix)---------— , (hg Z)
cscx-cotx
. mt
A) nn; R B) nn; R	C) — , Rq
«7t	mt .
D)y;R E)~R+
26.- El dominio y rango de la función:
fa) =
eos2 X
tanx
sen2x
cotx
, (* G Z) ; son:
Funciones Trigonométricas
PP14
849
A)	D/R-Atc	B) D/:R- —
	R^R-{0}	R/=R
O	kn D/R- —	D) D/= R - kn
	R/=R-{0}	Rf=R
3)	kn D/=R- —	R/=R
27.- Hallar dominio y rango de /para:
senx	tan x+cotx
fí,x) =	, conÁ:e Z
n 7 1-cosx secx
kit
A) R-jbr B) R- — Q R-2fcrc
kTt	71
D) R- —	E)R-(2£+l)-
29.- El rango de la función definida por:
f(x) = (sec x - cos x)(csc x - sen x) es:
A)
B)
O
D)
7t_7t
4’4
D/=
D/ =
tan2x
,si: /(x) =--~
J ’ tan4x
7t_7t
7’4
7t 7t
4’4
/ 71 71
D/=\_T;T
J \ 4 4
R/=
D/=
A)[-l;l]-{0}	B)(-l;l> C)
2’2
-{0}n
n n
8’8
71 71
7’7
R/= (0; + o°;
R/= <o»; 0>
D) ——
2 2
{0} E) -1;1
cosxJ —1
30.- Hallar el rango de/(x) =--5----
eos x—1
1
r —-
’2
-{0}
A)<-1;1>	B)(0;l>	C)
E)
\2 / L2 J
VALORESMÁXIMOSYMÍNIMOSDELASET.
ti n
4’4
7t 7t
8’8
31.- Calcule el valor mínimo de la función /
definida por:
„ .	4	4
j(x) = sec x+ csc x
A) 8	B)7	C)6	D)5	E)4
R/=
2
32.- Si el máximo valor de la expresión:
/ 71 7t\	71 71
E> \ 4’4/ ’	8*8
R/ = <—1>-{0}
28.-El Df n R/ para:
1	7	2	,
M=2sena+ ~ sen 2P+ ~ cos /B,es“P”y
el mínimo valor de la expresión:
N = (2sec0+ l)(2sec0- l),es“Q”;
calcule: W= ^Q + 4P
RACSO
DITOKBB
PP17
850
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A)s/19
D)#H
B)s/15
E)-s/17
C)>/13
12	4	1	71
/(jc)=Jcos x-cos x-~ es(2n+l) — ,G Z
33.- Determine el mínimo valor de la expresión:
7777
W=6csc o+5sec"<¡>+4cot 6 + 3tan 6 - 2cosP+scna
si todos los arcos son diferentes.
II. El valor mínimo que toma la función
fi r) = 2cos ~ x + 3 sen x , donde:
A)6	B)7	C)8	D)9	E)10
34.- Hallar los valores de x para el cual la fun-
ción g alcanza su máximo valor:
2 x
#(x) = 2 sen x - cos x + 2 sen — -1; k g Z
arc sen — < x < — es 3
l4J 2
III. El periodo de/pe) = sec( Tt sec x) mas el
periodo de g(x) = csc4x es 2ti
A) WF B)FFV OVFV
D)FVF E)VW
A)(2*+l)^	B)(2*+1)J C)(8Á + 3)|
D)A^ E) (8A + 3)^
PERÍODO DE F.T.
35.- Sean:/(x) = sen43x, g(x) = cos3Zx y h(x) =
J[x) - g(x) cuyos períodos son: T,. T2 y T3 res-
pectivamente. Calcular ^3T,T2T3.
71	71	371
A)- B)y C)7t D) — E)2tt
36.- Determinar el período de:
M(x) = cos(tan x - cot x) + 2
N(x) = cosftan 3x) + cos (cot 3x) + 1, respecti-
38.- Al graficar las funciones/(x) = |4 sen x|,
g (x) = sec x, calcular la suma de todas las
abscisas de los puntos donde:/(x) = ,§(x) - Tt <
X<7t.
A)4n	B)cero
D)20n	E)32it
Q87t
39.- Analizar la verdad (V) o falsedad (F), res-
pecto a la función:
fix) = 2 cos(sen x - cos x)
I. Dominio: [2 cos V 2 ; 2]
n. Rango: R
ni. Máximo valor: 2
IV Período: Tt
vamente. 7t	Tt	Tt	Tt	.71
A)7t; -	B)?	’6	C)4	
Tt Tt D) 2'3	Tt E)I	. 71 ’12		
A)FFW	B)VWV QWFF
D)VFW	E)FFVF
40.- De la función definida por:
/(x) = sen
37.- Indicar verdadero (V) o falso (F) en 
I. El dominio máximo de la función
Hallar su amplitud y período respectivamente:
Funciones Trigonométricas
PP14
851
5ti	5ti
A) 2 sen— ;ti	B) 2 sen — ; 2ti
5ti	7ti
C)2sen~ ;ti 10	D)2sen— ;2n lo
5ti	
E) 2 sen — ; 2ti lo	
41.- Hallar la regla de correspondencia de la
siguiente sinusoide:
A)y = 4sení 2x+— [-2
I 3 I
A)y = 4cos	9jc ti A T 6)	+ 2
B) y = 4 cos	(	_ Tt'	|+2
	~4 ( 9x 71	
C)y = 4cos	l5 5J (9x 71?	+ 2
D)y = 4cos	15 'Qr ti 'l	1 + 2
E)y = 4cos	1 1	+ 2
B) v = 4sen í 2jc + — [+2
3 I
C)y = 4sen
71
i
+ 2
D)y = 4 sen í 2jc + y j+ 2
E)y = 4sen | 3x + — | + 2
l 3 J
42.- Hallar la regla de correspondencia de la
siguiente cosinusoide;
44.- Para la función: F(jc) =-~----5—,
cos 2jr—cos x
hallar el rango y el período de F(jr)
A) R/:<-3; 11 - {0} B) R/:R-{0;-3}
T = 7t	T=7t
** RACSO
JP  DITORSI
PP17
852
Problema de Trigonometría y cómo resolverlos
Q
Rf.R-
T=7t
D)
T=7t
E) R/R-[-l;3) T=7t
47.- Graficar la función definida por:
GRÁFICAS DE LAS F.T.
45.- Siendo: F(x) = sen 2x + 2 sfl cosí — — x
^4
Obtener la gráfica de: -JF(jc) + 1
cos jrlog, (senx)
H«=-------7 \
covl x---1-1
2
46.- Graficar la siguiente función:
48.- Graficar la función definida por la siguien-
te regla de correspondencia:
Funciones Trigonométricas
PP14
853
51.- Graficar la función:
3 2
49.- Si el área de la región sombreada es — p ,
hallar la ordenada del punto “P”.
A)-1/3
B)-l/2
C)-l/4
D)-l/7
52.- Esbozar la gráfica de: P(jc) = x - cos jr
50.- Graficar la función definida por:
cosxcos2x
fíx)=------------
cos3jc + cosjc
PP17
854
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
MISCELÁNEA
53.- Si la función/está definida por:
fix) = cosí xh— I senx-sen x--cosx
l 6 J ( 6 J
¿para qué los valores deje del intervalo [0; 7i] la
función es negativa?.
/ti 3ti\	/ti 5ti\	/ti 2ti\
A)\4’T/ B)\4’T/ C)\6’3/
/n 5n\	/ti 7ti\
D) \6’ 6 / E) \3* 8 /
54.- Hallar los puntos donde la función H (x)
no está definida:
cot x +senx
H (x)  ----------:—¡-------- ; n G Z
cot x( senx — cos x )
nn	7t
A) —	B)nn	C)(2n+1)-
«71
D) —	E)2/m
4
55.- ¿Cuántas de las siguientes funciones son
pares?
I. fix) = tanx sec |x|
56.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes funcio-
nes trigonométricas son inyectivas?.
I.
fix) =
sen3x
;xG
senx
EL g(x) = cot2x(l+sec2x)+tanx;xG
jX X 2
ID. /i(x) = sen — sen — + cos x; xg (ti; 2ti}
A) Sólo I	B) Sólo I y II	C) Sólo II
D)SóloIyni E)i,nyin
57.- Calcular el área de la región encerrada
por las gráficas de las funciones:
cosx + sen2x
f(x) = ~	~	~ ; g (x) = 1 a h (x) - -1
l + senx-cos2x
para x G (0; 2 7t)
71 7	7	371 n
A) -u2	B)nu2
7	57t 7
D)2tiu	E) — u
EL
2
/(x) = sen(x )cos
ID- /(x) = |sec x| csc 3x
IV fix) — csc í — I + |x|
I ti J
V. fix)=X CSC 9
A) 3	B)5	C)4	D)1	E)2
Funciones Trigonométricas
PP14
855
DOMINIO DE LAS F.T. INVERSAS
01.- ¿Cuáles de las siguientes funciones tri-
gonométricas son inyectivas?
I. F(jc) = 2 sen 4jc; jc G
/ti 3ti
\8’~8~
árceos
6
—arc sen—
3
Calcular su dominio
fa) =
— — 2
3
1	4	4	/n,2n
II. G(jc)= — {eos jr-sen jc};jre
4jc 4jc
IILH(jr) = csc— + cot~;xG ( 4’4
A) IaII B) Sólol C)IlAm
a,H;í]101
/ 1 Vz\
B)\“ I;V/
D) Sólo IB E) IaHI
02.- Si se verifica que:
I tt	/---z-------
A(jr) = J —-arcsenx + yjn-¿arccosx
calcular su dominio, para: jc G
2’4/
A)	( 0;—
\ 4,
B)
C)
RANGO DE LAS F. T. INVERSAS
04.- Sea la función:
P>v4
/ 1 1
e)
03.- Dada la función:
2 arc cosx---
ta---------4
----arc sen jc
4
hallar el rango de dicha función:
PP18
856
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
DIYOB.BS
A)l=?
B) -kj
Q
-li—
5
A)
T-'
B)
-3 r
2 ’2
O y-1
D) -1;2

D)
-3 ¿
4 ’2
05.- Determinar el rango de la función:
DOMINIO Y RANGO DE LAS F.T. INVERSAS
1
08.- Hallar el dominio y rango de la función:
fíx)=------------------—-----
| arc tan x | —21 ore cot jr |
1	I
flx) = — ere sen
A)
¿.2
71 ’ 37t
1
D)------,
71 2ti
3
2x —1
3
71
i
B)
1--A
71 ’ 471
E)
_1 ,__3_
71 ’ 2ti
A) Df = [-!;!]
771
Rf= -ti;—
12
Q
\ 71 2ti
06.-Dado:
F(jc) = arc cos (sen6 + cosSc)
su rango está dado por:
B)D/= -|;2
C)D/= -1;1
3
D)Df= -!;-
© Df=[-1;2]
-7ti -ti
Rj<=[ 12 ’17.
-3ti -ti
4 ’ 4
Rf=
R/- 3 ’ 12

12 12
A) (fyarccos—
\	3
„ 1	1 ,
B)	— creeos—;1
2	4
09.- A partir de la siguiente función:
C) |0;-
4
D) 0; arc eos—
4
g(x) = 2 arc cos I sen — ,
I 2 J
hallar el período y rango respectivamente:
E) creeos—;!
3
A)T=^,[-7t;7t]
B)T = ti, [-2; 2]
07.- Sea la función:
71
aresenx----
fix) —-----------,
J ’	71
creeos jc + —
4
C)T = 2ti, [0;2ti]
E) T=47t,(0; 271]
PROPIEDADES DE LAS F.T. INVERSAS
D)T = 471,[0;2ti]
10.- Calcular el valor de:
hallar el rango de dicha función:
Funciones Trigonométricas Inversas
PP18
857
14.- Calcular el valor de:
árceos
arc tan
A) 1 B)-l/4	Q-l/2 D) 1/2 E) 1/4
«cesen I — Torceos
11.- Reducir:
orcsen(sen5) — orccos(cos6)
K=--------------------------------
«rccos(cos 3) — arc tanftan 4) +1
Tomar; 71=22/7
A)2/7 B)7/2 05/3 D)ti+1 E)-l/2
12.- De las siguientes proposiciones:
I. Si: «rc cos x = fc => - 1 <x< 1
O. Si: Q = arc cos (sen 2x + cos 2x) => x
puede tomar cualquier valor para que exista Q.
71
III Si: a = arc sen(sen 6) => cos 0 = — v 0 =
37t
— existe a, son correctas:
2
A)FVF	B) FFV	QVFV
D)FFV	E)FFF
13.-Calcular:
A) 5/2	B)7/8 C)8/9 D)3/4	E)l/2
15	.- Evaluar la expresión:
F = arc sen(cos 2) + arc cos (sen 3)
A) 1	B)25	03	D)7t-5 E)5-ti
16	.- Calcular el valor de:
r— ( ti 1	12	A
A= v 13 eos-------creeos—
l4 2	13	J
A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
17	.- Determinar la verdad ó falsedad de las
siguientes proposiciones:
I.	arc sen x = arc cos	1 —x2 ; V x e [. 1; 1]
II.	cos(arc senx) = -Jl-x2 ; VxG [.1; 1]
/j_	2
III.	tan(arccosx)=----—; VxG [.1; 1]- [OJ
x
A)WV B)FFF QFW D)FFV E)FVF
2 arc cot (2 + V3 )
18.- Simplificar:
A)71/2 B)2 Q-ti/6 D)-2 E)0
0 = arc tan —----
[x2-!,
para todo x e [O; 1)
A)	2 arc tan x
C) ti - 2 arc tanx
E)7t/2 -arc tanx
+ arc cos --
IxM
B)	- 2 arc tanx
D) 7t-4«rctanx
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
UPSDITOKIB
19.-Calcular:
E = cos
árceos----
3
A)
20.- Calcular: 0= árceos
A)n/6 B)7t/3 C)2n¿3	D)5n/6 E)n/4
23.- Graficar: F(jr) = | csc (are csc a2)- 3)|
SITUACIONES GRÁFICAS
21.- Del gráfico, calcular las coordenadas de "P":
24.- Hallar la regla de correspondencia de la
D)
A)
r	A.B.C
gráfica mostrada, e indicar el valor de: ———
/3 n
2~*6
22.-Graficar:
A) 2
B)l/27t
C)-l/7T
D)4
E) 1/2
Funciones Trigonométricas Inversas
25.- Hallar la regla de correspondencia de la
(71
A)y = 3 arc sen I l + y
(*+Q n
B)y = 2arcsenl	I + —
( 2x-Q n
C)y=3arcsenl I + —
( 2x + l^ n
D) y = 3 arc sen I _	+ —
í X + 1 I "
E) y = 3 arc sen	c + —
j ) 4
26.-Graficar:
coscare cos x) + sen(arcsenx)
M =---------------j; x < 1
tan(arc cot(x - x“ ))
y
A)7i/4	B) 571/12	C) 771/12
D)7i/6	E) 71/12
28.- Hallar los valores de “x” e “y”; que satis-
facen la igualdad:
2 are senx = 7t csc y (ríe Z)
A)x =±1	y = (2m	71
B)x=l	y=(2rn	71
C)x=-1	y=(2rn	71
D)x=±l	y = «7t	
E)x=±l	y=(2rn	-1)71
29.- Resolver:
(arc tan x)(arc cos 2x)- (arc cot x)(arc sen
7I2
2x) = 71 arc cos 2x - —
4
30.- Resolver:
1
C)±I
MISCELÁNEA
27.- Calcular:
y dar como respuesta la suma de soluciones.
0 = 2 arc tan (V3+2V2)+
A)4	B)3	C)5	D)2	E)6
arccsc(-	)3arccot- (V7-4V3)
31.- Resolver:
2 arc tan(cos x) = are tan (2 csc x)
^ÍKACsO
P*DITOKBJ
PP18
860
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
A)7i/3	B)7t/6	C)7i/4
D)57i/12	E)7i/12
32.- Dado:
F(x) = arc cos (sen6 + cos6x)
su rango está dado por:
A) (O;«rccos—
B)
—árceos—;1
2	4
Q 0;—
4
D) 0; «re eos—
4
36.-Resolver:
/—	n
arc cos x V 3 + arc cos = —
J3
A) 1/3 B) 1/2 Q -y- D)-y- E)±l/2
37.- Resolver la ecuación:
2x	x 71
árceos ~ - árceos ~ = y
A)-1/2	B)-3/2	Q-2/3 D)3/4	E)1
38.- Resolver para «x» en:
E) creeos—;1
3
x	n
«retan — -arccot(x + 2) = —
33.- Resolver:
arc sen x - arc sen(x - 1) = arc cos x
y dar como respuesta la suma de soluciones
A) 1/3	B)0 C) 1/2 D) 1	E)5/8
34.- Calcular “x” de:
2Í	zf 3xA
cos «resen — =0,5+sen árceos—
l 4J l 4 J
A)2/3	B)±V3/3	C)-4/9
D)+l	E)±4/3
2	2
35.-Calcular: tan 0 + cot 0,si:
arc sec (cot 0) -arc csc (4 tan 0) = tan kn.- keZ,
dar como respuesta un valor:
A) V2 B) V3 C)2
D)2/V3 E)4
39.- Determinar el valor de «x» que satisface a
la ecuación:
2 cos(2 arc sen x) =
e indicar la suma de los valores absolutos de
las soluciones:
34-15^3
4
B)4 + 2-j2 C)l±3-j3
E)6-2>/3
Funciones Trigonométricas Inversas
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
01.- Determinar la suma de soluciones de:
2senx+cscx=3,en:O<x<7i
A) 71/6 B) 7i C)37t/2 D) 571/6 E)2n
02.- Indicar el número de soluciones positi-
vas menores de 1 vuelta en:
sen2x+senx = cos(2n+l)y VneZ
A)1 B) 2	C)3	D)4	E)5
03.- Identificar una solución de:
2
2tan x- secx= 1
2	n	7i
A) ore eos —	B) —	C)t
3	4	3
1
D)2n	E) arc cos —
04.- Al resolver la ecuación trigonométrica:
sen 7x sen 5x = cos 3x cos x,
dar como respuesta la menor solución positiva:
n	7i	n	2ti	n
A) ~	B)	-	C) -	D)	—	E) —
o	4	o	o	lo
05.- Sea la ecuación:
2f n A
cos2x-2sen------x =0,
l4 ')
indicar el número de soluciones comprendi-
das en;0<x<7i
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
cosx senx
06.-Resolver:------ + ——~- =O;(á:g Z)
cos2x sen2x
n	nk	7i
A)2áti± ~	B) —	C)nk± ~
n	tú.,
D)tU± -	E) —'
6	4
07.- Al resolver:
tan cos x^ - cot(7t sen x) = 0; se obtiene:
A)	arc cos +kn
2
y/5
B)	2 árceos—+ 2An
y¡5
C)	arc cos----+ 2x71
3
y/5
D)	arc cos —— + (2k + l)n
E)	2¿tt - arc cos
08.- Resolver:
n n .
cos x- sen x=l ;
en el intervalo —
ro entero natural.
n 3tt\
2'~2/
siendo: n un núme-
^LRACSO
W^IDITOKBa
PP19
862
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
n	71	71	71
A)0; — ;ti B)--;0;7i	C)--;0;-;7t
71
D) -;n
E) O;ti
09.- Para qué valores de “a" la ecuación:
(sen jc + cos jc) sen 2x = a (sen3x + cos3a)
tiene soluciones entre: 7t/2 y n.
ti 3ti	ti 5ti	ti 4n
A)0;-;y	B)0;-;y C)0;-;y
n Zn	4ti 5n
D’0;rT E)0:t;t
14. Resolver la ecuación:
3 sen 2 a = tan v - sen 4a ; (k G Z)
B) (~T:0)
2 1\
C)|_ 3 3/
kn
A)V
kn
n
C)(2^+l)-
kn
D)T
kn
E)t
15.- Calcular la suma de soluciones de la ecuación:
10.- Determinar el número de soluciones de la
ecuación:
sen x + sen 3a = cos x + cos 3x
Vl + sen2x - -Jz. cos 3a = 0,
en. 0<a<2ti
comprendidas entre (ti; 2ti).
117t	7n	9n	5n	11ti
A)— B)— C)— D)— E) —
2	2	2	2	o
A) 2	B)3 C) 4	D)5 E) 6
11.- Encontrar las soluciones de:
3	3	3
sen jc + cos x = — sen 2a +1
2
comprendidas en el intervalo
como respuesta la suma.
5ti\
—7t;— ) y dar
2 /
16.- Resolver:		
4 sen 3a sen	r = sen 4a csc 2a	; (k G Z)
kn n A)T^	kn n	kn n C) T ± i
k n D)t	kn E)t	
A) — B)ti C)27t D) —	E)37t
12.- Hallar la suma de soluciones de:
5
sen 2x + cos 2a = — en: x G ( 0o; 360°)
A) 180° B)540° Q750° D)450° E)720°
13.- Resolver la ecuación trigonométrica:
x
sen — + cos a = 1
17.- Determinar la suma de soluciones positi-
vas y menores de 2ti, de la ecuación:
sen 2a - sen x - 1 + cos 2 a - cos a
	3ti	571	7n
A)	T		C)T
	9ti	1171	
D)	T	E)v	
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
SISTEMAS DEECUACIONES
X = Á7I + 7t/2
Q
18.- Encontrar el número de soluciones com-
prendidas en el intervalo <-7t;7i) de la ecuación:
y=kn-n!2
,	271
x = kn + y
sen2xcos3x 1
------------ = — secx
sen4x—sen2x 4
D)
, 2n
y = A7t-T
A) 6	B)5	C)4
D)3
E)2
E)
X=Á'7t+7t/4
19.- Resolver el sistema de ecuaciones:
y = kn-nlA
1 - tan x
--------= tan v
21.- Siendo: x, y los menores valores positi-
vos que verifican el sistema:
n
6
5ti kn	n	kn
	’ V
571	71	kn ' ~2
571	71 C)x=-+ín;	-	+ kn
71	571 0),= - + ^;	-	kn ’ ~2~
71	5ti	kn
E)x=—-Air; y=~^	+ T
20.- Hallar las soluciones que satisfacen el
siguiente sistema de ecuaciones:
tanx = 3 tany
senx cosy = sen^cos(x- y)
sen3 x = y sen y
eos3 x =—cosy
2
Í3 y
----2x
2
A)V5-3 B) - -22^3-

t- v2—2
D)l-V2	E)-^—
22.- Si: x, y, z son ángulos positivos que perte-
necen al intervalo [0; ti/2], evaluar: (x + y + z),
si además:
V2	y/2
sen x sen y =— ;senysenz=----
4	2
1
sen x sen z = —
siendo:x + y*kn,keZ
..	.	271
A) x = kn+ —
v=kn-n]Q>
A)7t/12
D) 1171/12
B)5tt/2 C) 771/12
E) 1371/12
23.- Resolver el sistema:
B) x=A-7t+7t/3
i n
y = kn- j
*+y=?;•?<*
7 2 2
tanx—tany =0,
71
2
PP19
864
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
dar como respuesta: x- y
A)0 B)7t	C) 37t/4	D)7t/2	E)3tt/2
INECUACIONES
24.- Resolver el sistema:
\	/ 271 571
—;n)	B)(—;~
4 /	\ 3 6 ,
¡7n 3>n\	/117l \
D) \	(-;7t)
\12 4/ \12	¡
/5n
C) (—;7t
\ O 1
E)
371 571
4 ’ 6
*+y=-y
cos 2x + cos2y = 0
27.- Resolver:
•Jsenx + V cosx > 0; k G Z
Donde: «G Z
nn 7ti ti nn
A)*=t+t;,=h-t
nn n n nn
B,x=T+3	3 ’T
nn 7n n nn
C)X= 2 + 12 ’J=12 ’ T
7n n
D)jt = 2/m+ — ;v= —-2nn
4	12
nn n n ¡tn
E)x=T+ 3;V=3’T
25.- Hallar los valores de “x” comprendidos
en ( 0; n) para que:
F(jc) = sen 3jc - sen 2x + sen x,
tome solo valores positivos:
kn	n
A)—<x<2kn B)2nk<x<2kn+ —
kn	n
C) — <x<2kn D)kn<x<(2k+ 1) —
kn
~6~
28.- Resolver la inecuación:
sen
n
3
ln I7n
para:xG (
9

7t_47t
2’T
_ 2n . '
E) —;2ti
3	¡
/ 7t\ /n \
7
D)
7t\ n 2n
> 6/ \4 3
29.- Resolver:
sen3x-V3
cos2x + 3cosx + 2
E)
' 2ti\ ¡2n 4ti
o;—)vj(—;—
i 3/^\3 3
sí:xg (0;n)
26.- Resolver:
2 sen 4x < 3 tan 2x,
A)
271 471
T’T
B)
n 2n
2’T
para “x” en el recorrido de:
'ti \
—;7t)
>2 /
/ 4ti
D) (
E)
271 471
3 ’ 3
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
PP19
865
30.- Resolver la inecuación:
1	2	4
— - 8cos x + 8 cos x < 0
2
A) (----;arctan —
\ 2	3,
para: x G
/ 71 571
A)\3’3
0;—
2
/ 71 5ti
C) \12’T_
71 571
E) [12’12.
31.- Resolver:
B) 0;—
12,
D) 0:—
’	12
5ti tt
12’12
71 . 71
4’2
B) (----;orctan—)(—;7t-orctan —
\ 12	3/ \2	3,
/ Tt	1 \
C) l—-,arctan—)
\2	3/
/ti 5ti\ Í3ti1
} \2’~6/~ 1 4 J
E) (---;ti—arctan—)
\ 2	3/
33.- Resolver las siguientes desigualdades:
sen 4x > 4 senx sen 2x sen 3x; k G Z,
71
2 arc tan (x - 2) < —
4
dar como respuesta un intervalo solución:
A) (— o°; 1-
2]
B)(-o°;
2 -1]
.. /, 5ti , 7n
A.) lkit +— ;kn +—
\	4	4 ,
C)<-~,
D)<O°; 1]
E)<-~;1>
B) (2kit;2kit + -
\	4,
34.- Resolver:
1
1
arc cos — < árceos (sen x) < Tt - árceos ~,
/	Tt
C) (kn,kn+~
\	4,
para:xG
/	371, Tt
D) < kn + — ;k7t+ —
\	8	2,
A) (0,arc sen—
\	3
1 ’
Ti—arcsen —;ti
3 ,
/,	5ti , 17ti
E) < kn +—;k7t+---
\	3	6 ,
/ „ 71
B) \ ; 2
32.- Resolver:
5 + 2 cos 2x < 3|2 senx -11;
3ti
—;ti
4	,
para:xG
Tt
—;ti
, 2 .
*	1
D) ¿zresen —; 7t—¿z resen —
3	3
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
’ÍIRACSO
Pbditokbb
E) arasen
2V2
---;Tt—aresen	
3--3
A)
¿ _r
2’4
B)
£
2' 5
5
C) (0;-
\ 3
35.- Resolver la inecuación:
senx> 1- cos2x.
D)
1
2’ 5
5
para:O<x<Tt
/ Tt
A)(0; 7
3tt
—;tt
, 4
D)
Tt
6
5rt
T
B>(»¿
C> °*6
5tt
—;tt
6 ,
5tt
----’.Tt
6
2n
E)
Tt
3’ 3
36.- Si: x e (0; Tt), resolver la inecuación:
tan x < sen 2x
A) ¿O;—
\ 6 ,
B) (O;—
\ 3 ,
C) (»,-
\ 6
D) 0; —
3
37.- Resolver:
Tt
E) (0;--)u(-;Tt
\ 4/ \2 ,
4
tan~x-(V3 + l)tanx +
considere: 0 < x < Tt
A)
Tt
3
Tt
2
B)
Tt 2tt
i’T
C) (0;-
\ 3
D)
Tt
4*3
Tt
E)
Tt Tt
4’2
38.- Resolver: arc sen 2x < arc cos x
1
E)
39.- Resolver: V 0 e ( 0; Tt) la inecuación:
1
1 < 3 - — sec “6 < 2
2
A)
B)
C)
D)
E)
Tt Tt
4’3
Tt Tt
4
3
2tt 3tt
T’T
2tt 3tt
3 ’ 4
Tt
4
3ti
4
5tt
—;?t
, 6	,
40.- Resolver:
—	í Tt 1
2 sen 4x cos 2x - eos----------2x < 0
l 4 I
A) (0 ; Tt/16) U [n/8 ; 5Tt/16]
B) <0; Tt/8) cj < rt/4: it/3)
C) (0, tt/12) (n/6; ti/4)
D) (0; n/12) U <Tt/4; Tt/3)
E) <Tt/8; 5Tt/16) O <Tt/6; n/4)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
PP19
867
LEY DESENOS
01.- Si AM es la mediana relativa al lado BC de
un triángulo ABC y m Z ABC = 30°, m Z ACB
= 15°, calcular m Z MAC.
A) 15° B)20° C)30° D)45° E)60°
02.- En un A ABC, de lados a, b, c y circunradio
(R); la expresión equivalente de:
C
W = 4 eos—.eos
2
A-B
2
es:
fl2+í>2
A)--------- B) (o + Í>)-R Q
03.- En la figura mostrada, rnZBAD = 3a,
rnZDBC-rnZDCB = 2a, AD-BC, calcule:
W = (cot 3a + cot 4a).sec 2a.sen 4a
A) 1/2
B)1
C)	42
D)	4$
E)	2
04.- En un AABC de lados a, b, y c, m Z A =
ti	2ti	4ti
—, m Z B — , m Z C = ~~.
7	7	7
Determine el equivalente de: W = b l + c'1
A) - B) — C) D) - E) —
a 2a b+c a b-c
05- En un AABC, de lados a.byc simplificar
irnos B + c.cosC - a
la expresión W = —:--~ —
psenB-c.senC
( B—
A) 2 tan(B - C)	B) -2 tan I —-— I
f B—C^ _ íB+C'l
C)-tan ------ D)cot ------------
l 2 J l 2 J
(B-C'Á
E)-cot ------
l 2 J
06.- En un triángulo ABC de lados a, b y c ;
eos2 A eos2 B eos2 C
------+---------+-------= H, calcular:
abe
_________________R _______________
cos A.cot A + cos B.cot B + cos C.cot C ’
circunradio
A) — B) — C)— D)-— E) —
H 2H H H H
07.- Si en un triángulo ABC de lados a, b y c;
b(b + c) - 9 y mZN = 2/mZB. Calculara.
A)9	B)4	C)3	D)5 E) 1
08.- Las medidas de los lados de un triángulo
ABC están en progresión aritmética, calcular
H = sen C - 2 sen B + sen A, siendo a > b > c.
A)0	B)l/2	C)4	D)1 E) 2
RACSO
D1TO11I
PP20
868
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
09.- En el A ABC mostrado en la figura:
A) 30"
B)50"
C)20"
D) 10"
E) 40"
AD = BC, hallar mZ[l.
10.- En un AABC de lados a, b,yc.a sen(A +
B) = fe.sen (A + C), simplifique:
a. cosB-fe. cosC
W=-------------------
fe.senC — fl-senB
A) tan(B + C)	B) cot(B + C) C) tan(B - C)
11	.- En un AABC de lados a, b y c; BM es
mediana (M en AC) si mZB AC = 2,«ZBCA y
mZAMB - 45". Hallar mZACB.
A) 5° B) 10" C) 15" D) 25"	E)35"
12	.- En un triángulo ABC de lados a, b y c
circunradio R se cumple que:
cosB
fe.cosC+c.cosB a.cosC + c.cosA
cosA
a.cosB + fe.cos A
cosC
= 2R
Hallar: tan A tan B tan C + tan A +tan B + tan C
A) 1	B)2	C)3	D)4	E)5
LEY DE COSENOS
13	.- En un A ABC de lados a, bye, si —
2rnZ.C, cos C = 3/4, c = 4, con (b > c), hallar la
medida de lado a.
A) 1	B)2	C)4	D)6	E)8
14	.- En un triángulo ABC de lados a, b y c si
mZB = 4znZA, entonces cos A + cos 3A es:
A) - B) — C) — D) — E) —
a 2a 3a 4a 5a
LEYDEPROYECCIONES
15	. En un AABC de lados a,b,cy circunradio
R; al simplificar:
(a+c) cos B+(a+b) cos C+(b+c) cos A
H =	“	“	+ 1
2R(senA+senB+senC)
se obtiene:
A)2	B)1 Q-l D)-2 E)-3
16	.- En un A ABC, de lados a, b ye:
2 C 3b 2 a
a. cos — - — =c.sen — -c
2	2	2
2b
calcule:---
a + c
A) 1	B)2	C)3 D) 4	E)5
17	.- En un A ABC de lados a, b y c:
7	7	7	7	7
24S = a(l> + c) cos A+ fe(«" + c") cos B + c(a
+ b) cos C
S —> área de la región triangular ABC.
Determine la medida del circunradio del AABC
A)6	B)3	C)2 D) 1	E)4
18	.- En un AABC de lados a, b y c, de
semiperímctro p, reducir:
2 A	2 B ,	2 C
bc.cos — + ac.cos — + «fe. cos —
2	2	2
xv------------------------------—
P2
A) 1/p B)p2 C)p D) 1	E)2
ÁREA DEUNA REGIÓNTRIANGULAR
19.- En un triángulo ABC, de lados a, b, c, se
cumple: a + b+ c = 9, abe = 24, S es el área de
la región triangular ABC, halle en términos de
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
PP20
869
S, la expresión equivalente de:
ABC
W = COS — .COS — -COS —
2	2	2
7S	5S	3S	3S	S
A) 77	B) —	C)	—	D)	—	E) -
lü	lü	lü	o	o
20	.- En un A ABC de lados a, b, y c, donde «S»
área de la región triangular ABC.
2(b2—a2)
la expresión: E =--------— , es igual a:
cot A—cot B
A)S B)2S C)3S D)4S E)5S
21	.- En un AABC de lados a, b y c; reducir:
A	B
W = c + p. tan —. tan —,
2	2
siendo p el semiperímetro de dicho triángulo.
A)p-fc B)p C) c + a D) p/2 E)2p
22	.- En un triángulo ABC de lados a, b y c; se
verifica la siguiente relación:
4R2sen3B + 8S cos B =16 sen B,
calcule la longitud de la mediana (en u) relati-
va al lado b, (R: circunradio), S: área de la re-
gión triangular ABC.
A)2	B)5	C)4	D)6 E) 8
23	.- El área de la región triangular ABC es S, el
lado BC tiene como longitud a y los ángulos
MNB y CNP tienen la misma medida. Siendo
M, N y P los puntos medios de los lados del
triángulo ABC: (N en BC y P en AC). Halle la
tangejite del ángulo ABC en términos de a y S
(en rZ)
4S 4S 4S 4S S
A) 2 B) 2 C) 2 D) o	E) 2
a la 5a 5a a
24	.- Al simplificar la expresión siguiente don-
de S es el valor del área de la región triangular
ABC.
b2 —c2 senB.senC
E=--------.-----------, se obtiene:
2	sen(B—C)
A)5S B)4S C)3S D)2S E)S
25	.- En un triángulo ABC de ladosa,byc si:
r —> inradio
• R —> circunradio
p —> semiperimetro > hallar: E = abe
A)2prR	B)2p/rR	C)prR
D)4prR	E)4p/rR
26.- En un triángulo ABC, de lados a,b,cy
semiperímetro p se cumple:
AS = {p-b)(p-c)+p{p-a) ,
S: área AABC. Hallar la medida del ángulo A:
A) 45°	B)60° C)30° D) 75°	E)15°
27	.- En un triángulo ABC de lados a, b, c y
área S la expresión:
„ r? A B C
E = 2 J abepsen—sen — sen y , es igual a:
A)S B)2S C)3S D)4S E) 5S
28	.- En un triángulo ABC de lados a,by c, m¿
A = 30°, S =	, (/nZB) > (»nZC) y S es el
4
área de la región triangular ABC. Halle »iZB.
A) 30° B)60° C)120° D) 150° E) 160°
LÍNEAS NOTABLES
29	.- En un AABC de lados a, b, c circunradio
R^, /n^A =45°. La expresión E = fc‘cos*B +
c cos“C, es igual a:
A)R2 B)2R2	C)3R2	D)4R2 E)5R2
30	.- En la figura mostrada, halle la medida del
ángulo a si EC = 2AB
PP20
870
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
RACSO
WlDITDlII
A) 11°15’
B)22°30’
C) 33°3O’
D)25°30’
E)22°20’
31.- La longitud de los lados de un triángulo
ABC son BC = a = 8 tn, AC = b = 8 tn y AB = c
= 13 m. Halle la longitud (en m) de la bisectriz
interior relativa al lado b.
A)2ó/2Í
35.- En un cuadrilátero circunscriptible ABCD,
AB = a, BC = b, CD = d y AD — d, además el
ángulo que forman las diagonales mide 150°,
determine el área de la región cuadrangular
ABCD.
A) ac B) bd C) ac + bd
(ac + db\	„.(ac + bd
—2—/	E)\-----4
36.- En un cuadrilátero circunscriptible ABCD,
AB = a, BC = c, CD = dy AD = d, se cumple: a
ad
-c = b-d. determine: M -
be
A) tany B)2tany C)tan"y
D)coty E)cot"y
32.- En un AABC, la bisectriz exterior relativa
al lado b mide 576 m. Calcule la medida de la
bisectriz interior relativa al mismo lado (en ni),
además se tiene mZC - mZA. = 32°
37.- En un cuadrilátero inscriptible ABCD,
AB = a, BC = b, CD = c. Si: a - c — b - d.
A) 187	B)144	C)198
D) 188	E) 168
33.- En un A ABC de lados a.byc donde ha
es la altura relativa al lado A, si a = /i„, enton-
ces:
sen(B + C)
E senBsenC ’eS’
A) 2	B)3/2	C)1 D) 1/2	E)l/4
CUADRILÁTEROS
34.- Se tiene un cuadrilátero circunscriptible
ABCD de lados AB — a, BC = ¿, CD = J y AD
= d, se cumple:
>(C
cof —
I 2
determine: M —-----/—
be
A) ad B) -Mf C)y^
7 (bc)~	be
a<!	(be)2
™*(bc? E) ad
38.- En un cuadrilátero inscriptible ABCD,
AB = a, BC - b, CD = c, AD = d, se cumple:
a - c = b + d, además: 4sen A + 3 cos A = 5,
íbe
A e (0; 71/2), determine: M= J—~
A) 0,5	B)1	C)4	D)0,25	E)2
B ÍB+D| D
seny . senl —— I = seny, determine “
ab" si el área de la región cuadrangular es 5
2
cm .
A) 10 B)5	015	D)2,5	E)20
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
FORMA POLAR
01.- Luego de expresar en su forma trigono-
métrica, indique el argumento del siguiente nú-
mero complejo.
tan" 0	i	7t
------- +---ñ-----Z ;0<6< —
l + tan-0 taae + cote	2
04.- Siendo “k" un número par, reducir las si-
guiente expresión:
I	7t	27t ]
cos + ÍCOS—
l	10	5 J
kn
A) (-1) 2 2sen —
3n	n 'Y
sen---isen—
5	10J
k-2
kn
D) (-1) 2 2/cos —
A) 6
Tt
D)-+e
Tt
B)6- -
E) 7t -0
7t
c)--e
-ir.	líTL
B)(-l)2k2isen —
k-2
kn
C) (-1) 2 2isen —
k-2
¡íTL
E) (-1) 2 2cos—
02.- Dado: Z = (1 - sen 6 + i cos 6)4; hallar la
variación de “6” de tal manera que el argu-
mento principal de Z este comprendida en el
intervalo [0; 2n).
05.- Utilizando propiedades y definiciones de
números complejos, determine tan 4x como
una función racional de tan a.
A)6e
C) Ge
Tt Tt
2'2
B)6e
Tt _ Tt
2’2
Tt _ Tt
2’2
E) Ge [-Tt;Tt]
D)6e
Tt _ Tt
2’2
03.- Indique un equivalente de la siguiente ex-
presión:
( cota+íY1 f cota-i
M= ------- + -------
^cota-i I l cota+i
A) sen 2a B) cos 2a C) 2 sen 2a
4 tanx — 4tan3x
16tan2x + tan4x
tanx—tan3 r
l-6tan2x + tan4x
4tanx + 4tan3 x
1—6tan2 x + tan4 x
4tan3 x—4tanx
1—6tan2x + tan4x
2tanx-2tan3 x
l-6tan2 x + tan4 x
D) 3 sen 2na E) 2 cos 2«a
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
-Sa RACSO
WlDITOkll
06.-Halle la paite imaginaria del número complejo:	i + senx + i cos x
	10.- El complejo. W = .	; Vx
l + cos3x + isenx W= , 1 + cosx+isenx	i + senx—icosx 16 e R, se puede expresar de la forma: re , en- tonces el valor de: r - tan 6 es	
A) sen 2x - cos 2x	B) sen 2x - cos x	A) senx	B)cscx	C)cosx/2
C) cos2x-cosx+1 D) senx- sen 2x	D)secx/2	E)6
E) sen2x - senx	11.- Sea el complejo z/z = re,n/36 obtener el
571 O7.-Si:z = cis6- — <6<-27t,	valor de: , - \2 . .	2,	.1 z- z 1 M-sec (nrgz)+ 1 z + - 1
l-(z)2 calcule: .	2 1 + z	A)0 B)-l	C)1 D)i	E)-i 12.- Calcular el valor de: sen (iLni)
A) tan 6	B) - tan 6 C) cot 6	A)l/e B)-l/e C) 1/rt D)-l/n E)-l
D) - cot 6	E) - tan(6/2) 08.- Utilizando complejos degradar: cos5G.	13.- Representar el número complejo: Z = sen 2a - i cos 2a, en la forma exponencial.
5	5	1 A) ~ cos 6 -7~ cos 36 + — cos 56 8	16	16	A)-ci(2a-n)	B)ei(2a+7t) cj^ ¡(20+45)
5	5	1 B) ~ cos G + 77 cos 36+7“ cos 56 8	16	16	D)el 2'	E)e'2	' 14.- Siendo z un número complejo, calcular:
5	1	5 C) ~ cos 6+77 cos 36-77 cos 56 8	16	16	cos 2z, sabiendo que: cos z = 2 A)4	B)5	C)6	D)7	8
5	5	1 D) ~ cos 6+77 cos 36 + 77 cos 56 0	lo	lo	Tt	Tt 15.-Si:Z = cos— +isen ,W= 1 + iZ, hallar 4	4 el argumento principal de W°.
5	5	1 E) -7 cos G-77cos3G + 77 cos5G 8	16	16	Tt	Tt	Tt	Tt	Tt A) 7 B)37 C)97 D)ll— E)137
FORMA EXPONENCIAL	
09.- Resolver:	16.- Sabiendo que V n e N se cumple:
í	e' Ln(l + cosG + -isenG) = 1+Ln| 2cos— l	2, A) 2 B)i C)1 D)2í E)-i	x~,1+l - i=(x-l)7l [(x - xk)(x - xk )], donde: k=l . 2kn 1	 xk= e 2,1+1 y xk : conjugada de xk ¿qué suce- de cuando x toma el valor de 1?
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos	873
í kn \ V2n + 1
k=o l2n + lj	2
( kn ] V2n + 1
k=i l2n + lj	2
n ( kn } V2n + 1
c)isenl.^J=^_
n f 2kn 'j -j2n + \
k=i t2n + 1J	2
( 2kn -J2n + 1
E) 71 sen   7 = z—
k=i V2n + 1J 2
17.- Expresar el numero complejo:
18.- Encontrar las raíces cuadradas de: -8í - 15,
indicar uno de ellos.
A)4í-l;l-4i	B)3i-l;l-3t
C)2í-2;2-2i	D)5i-l;l-4í
E)4i-2;2-4i
19.- Hallar el módulo del número complejo
(1 +i)i,kc Z.
71 „	71	,71
--+ 2kn	2kn+—	kn—
A) e 4 B) e 4 C) e 4
2kn+—	+2krt
D) e 2 E) e 2
20	.- Dado el número complejo:
indicar el gráfico que mejor representa al nú-
mero: W = Ze' con0<tx< — ; J>0.
' 'o
21	.- Al simplificar:
(1+i tana)11 (1-i tana)”	-2nai ,	rji . e	
A) 2i sen(2na)	B) 2 tan(na)	C)-2í
D) tan(na)	E)0	
22	.-Calcular: cot —
l 21 J
i-	r
A)-l B)-V3 C)1 D)— E)V3
23	.- Calcular la parte maginaria del complejo
cosix+isenix
“z”, si: z=-------------
2i
A)e B)-e C)l/2e D)-l/2e E)2e
24	.- Resolver: sec(ix) + i csc (ir) = 4 ícsc(2ix)
A)-Ln2B)Lw4 C)Ln(-2) D)2Ln2 E) Ln2
Z = Je” , 0<e< - ;
4
^Mracso
wy iDiTcm
PP21
874
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
cot6 + í
25	.- Dado el número complejo z = ~ ,
1-icote
halle Re(z6)
A) cos 1206 B) sen 126 C) cot 66
D) tan 66 E)-1
26	.- Dado el número complejo: z = x + iy, deter-
minar el área de la región:
R= (ze C/|z|< 1 Almz<cos(Rez)}
A)ti/8 B)7t/5 C)ti/3 D)7t/2 E)n
27	.- Simplificar la expresión:
l-Ze-^+e-**
K =-------------r +2
(cos6-ísen6)
A) 2 cos26	B)cos 26	C) -2 cos 26
D) - cos26	E) sen 26	
a+bi 28.-Si:	— a-bi valor de tan a.	=eia; a, b, a e R, determine el	
ab	2ab	
A) 2 » 2 a +b	B) 2 .2 a + b	2 A2 a —b
2ab	2 í2 a —b	
2	» 2 a — b	E) 2ab	
29	.- Hallar la parte ral de: z =
A)
C)
E)
3x cos— 	2_ cosx	cos2x	B)	3x cos— 	2_ cosx
3x sen— 	2_ senx	X .eos— 2	D)	sen3x senx
3x cos— 	2_ cosx	X sen— 2		
eos —
2
eos—
2
30	.-Determine la parte real del complejo:
1+icoteY2 n
1-icoteJ ,s*®_ 15
A) 4$ +1	B) 7? - 1 C) 42 +1
D) 41 - 1	E) 41 + 2
?3G-1
31	.- Para la siguiente expresión W =	—-
se pide hallar Re(W)
A)-l/2	B)-1/4	C) 1
D) 1/4	E) 1/2
32	.- Hallar el complejo equivalente a:
A) i tan 6 B) 2/ cot 6 C) i cot 6
D) rsenfi E) i cos 6
REGIONES SOMBREADAS
33	.- La región sombreada:
i3x
e
7^
Se puede expresar como:
71	2ti
A)	l<|z|<2 a — argz<
Tt	2rt
B)	1 < | z | < 2 a y < arg z < "y
Tt	271
C)	1<|z|<2a — < argz< —
Estudio de la Trigonometría con Números Complejos
PP21
875
71	2ti
D)	1 <|z|<2a — <argz< —
2tc
E)1<|c|<2a< argz< —
34	.- Siendo Zk un número complejo de la forma:
Zk = cos(AG) + i cos 2(á:6).
Hallar la región correspondiente para Z,, de
modo tal que |Z( | < 1.
35	.- Hallar el conjunto de los números com-
plejos que describen la región mostrada, sa-
biendo además que el área de dicha región
sombreada (S) es óTtp
A) S = |z G C/2 < |z| <4 a 3— < arg z < 7t
B)S= |zG C/2<|z|<4a3— <argz<n
Ín
ze C/4<|z|<8 a3- <argz<n
171
zg C/4<|z <8a3— <argz<n>
4
IJS= |zg C/2<|z|<8a3— <íirgz<7t|
36	.- Calcular el área de la región sombreada por:
í	. , 3rt 1
R = |Zg C7Inl(Z)<sen[Re(Z)] a|Z|< — |
9 , •,	9 •, 3	9 2 ,
A) 77tX B)~7tp
4	4	8
9 3 3	9 , ,
D)-?fp3	E)—	tQT
o	lo
37. ¿Cuál de las gráficas corresponde al si-
guiente conjunto de números complejos:
R={Ze C/l^+Re^^OvlZl^ l;Re(Z)<0)
38.- Sea la región R definida por:
R={z=reiee c/arg(z3)e |7t/4,57t/4] y 0<R1<r<R2}
halle el área de la región R.
A)(7tf6)(R22-R12)	B)(ti/4)(2R22-Ri2)
Q(71/3XR22-Ri2)	D)(2t73)(R22-R|2)
E)(7tf7)(R22+RI2)
RACSO
Pbditokb*
PP21
876
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
; i i i i i 1 ।  । i  i ।
Limites y Derivadas:
zTrigohpmétiJcos
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
01.- Determinar el valor de la siguiente expresión:
A)-12 B)-6 C)-18 D)24V3	E)-24
06.- Cuando “x” se aproxima a cero, la expresión:
cosx
3n
;cuandoxse aproxima a: —
cos7x-cos5x
------2-----; es igual a.
sen—reos—
2
2
A)-l B)-l/2	C)-12	D)-6	E)-18
A)-V
B)—y2
C)~V
07.- El siguiente límite:
lim
x—»y
cos2x-cos2y

D)-2-j2
E)V2
02.- Calcular: A) -sen P	í cosot-cosB'l		senP
	lim 	 <x-»P B) senf	a-P ? C)-2	
D) 2 sen P	E) cos P 03.-Evaluar: lim tan2x.cot x + — n	1	4 1 *-»- k	k	)) 4 A) 1/4 B) 1/3 C) 1/5 D) 1/2 E) 4			
04.-Determinar: lim 71 X »— 3 A) 1 B) y[3 C)-yl		r l-2cos senl x — 3	D)2	X 3 1 J E)-l
es equivalente a:
A) -2 sen 2y B) -3 sen Iy	C) -sen 2y
D) -2 sen y E) -sen y
08.- Dada la siguiente expresión, calcular:
2x—
----—2 + lim (crcsen3x cosx
x-»—	x——	x~>0 senx 1-x
14	14
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
09.- Determinar (a + P), si :
a= lim
n
05.- Encontrar:
cosx A R-iüp sen3x.sen5x
x_n x+0 (x-x3)2
< 2j
A) 16 B)15	C)14
D)13	E)0
Límites y Derivadas Trigonométricos
PP22
10.- Calcular:
DERIVADAS
lim
x—>2
tan (2nx)+cos (0, 5tix) + tan (0, 37tx)
x~ + 4x-12
71
A)li
3?t	5?t 7ti 9tí
B) —	C) —	D) — E) —
' 12	7 12	’ 12	7 12
cosx
11.- Si:/(x) = —~, ¿cuál de las alternativas
es correcta?
A)	lim fíx) = 1
x—>0
B)	lim /(x) = +<=o
x->0
C)	lim fix) = +<=o
x—>0“
D) lim y(x) = +°o
x—>0
E) lim fix) = I
71
X—»—
S7
15.- Si :/(x) = senx, hallar/ (x), (57 ésima
derivada)
A) senx	B)cosx	C)-senx
D)	- cos x	E) 0
2
16.- Dada la función:/(x) = arc cos (x ) ; cal-
cular : /'(O)
A)0 B) 1 C)-l D)0.5	5)0,5
17. Si: /(x) - "I tan3x - tanx + x.
Calcula:/'(x)
2	3
A) tanx B) tan x C) tan x
D) tan4x E) 2tan*x
12.- Determinar el verdadero valor de ‘M” cuan-
í 271^1
do “O” se aproxima a I I, si:
18.- Calcular el valor de:
Tt
16
sabiendo
que:/(x) =
sen2x
tanx
z,	27t) 2sen 6	 l 3	-sen	3 )
Ivl —	z tan	0 7t 2 3	
A) V2 + V2 B) V2-V2 C)--J2 + V2
A)-2 B) cero C)2	D)1 E)-1
13.- ¿A qué valor se aproxima “M”, cuando
**x” se aproxima a cero, si:
19.- Calcular la derivada enésima de: y = cos3x
3
A)i
31
I ->	1m I	I
eos 3x+— +cos
I	2	I
H7t
2
vl + xsenx-cosx
M=-----------------?
> x
sen“ —
2
A)4	B)2	C)1 D)-l E)-3
14.- Calcular el valor de “E” cuando “x” se
aproxima a cero.
2—-Jcosx -cosx
3
B)I
3’
I -> nn 1	I
sen 3x + —- +sen
2 I	I
H7t
T
3 -in-i í •> «ni í nn
± 3 sen 3x + — +sen x + —
4 l 2 J I 2
3. 3n 'cosí 3x + —| + cosí x+ —
2 L l 2 I I 2
A) 3/2 B) 1/2 C) 1/4	D)3/4 E)2/3
3 _n_¡ í _ nn ] f nn
_ 3 eos 3x+— +cos x + —
4 L	l	2 J	I	2
RACSO
 DITOKBI
PP22
878
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
REGLA DEL’HOSPITAL
A)0	B)1	C)2	D)3	E)4
20.- Calculan
lim
n
x—>—
2
sen(senx + cos x -1)
sen(cos x)
A)-l B) 1	C)2 D) 1/2	E)-2
21.- Calcular el valor de:
lim	sen3x + cos—cot-----— sen —
2 A 4 4)	2
senx—1
A)-6 B)-9	C)-l/9	D)-8 E)-l/6
22.- Calcular el valor de:
APLICACIONES DE LA DBRI1 'ADA
27.- ¿Para cuáles de los siguientes intervalos
la función/» es decreciente, si:
sen2r
/x) = senr+—— ?
ln \	/ 5tt _ \	/ 71
A)^-^y b)\T'27 c)\»
/tc 5ti\ ln 5n\
D)\3’T/ E)\4’T/
28.- Calcular el máximo valor que toma la función:
lim
x—>0
senx—x cosx
x(l-cosx)
y = 2 cos — + 3 cos ~
A) 1	B)5	C)4	D)2	E)3
A) 2/3
3
B)3/2
C) 1/3 D) 1/2
E)4/
23.- Evaluar:
nrcsen((/i + l)x)
3x
29.- Al graficar la función: y = 2 sen 2x + sen 4x;
¿para cuál de los siguientes valores de “x” la
función toma su máximo valor?
A) ti/3 B)7tc/6 C) 4ti/3 D)11ti/6 E) tt/6
A) —
n
b)3
1
C)3
1
D,I
4
E)i
30.- Determine sobre la curva: y = arc tan x, un
ín o 711
puntoqueesté más próximo al punto B;2 + —
24.- Calcular:
e2x — 1
arcsen3x
A) 1/4 B) 1/5 C) 2/5 D) 1/3 E) 2/3
7C
*6
7
25.- Calcular el siguiente límite:
lim
x—>0
xsenx
1—cosx
31.- Las diagonales de un cuadrilátero son:
A)1	B)2	C)3	D)4
E)5
26.- Evaluar:
lim
71
2
2sen(cos x) + sen(2cos x)
cosx
71
4
los cuales forman el ángulo (tc - a). Calcular el
valor de mínimo de dicha región cuadrangular.
2 sen
y cos a - sen a,
V6
A)v
V6
B)---
18
C)
n/6
7
Límites y Derivadas Trigonométricos
PP22
879
2^3
D)~?~
3^2
H 9
intervalo
;0
3
se caracteriza por ser:
32.- Calcular el máximo valor de la función (x)
definida por la regla de correspondencia:
7
fix) = sen"x sen 2x

B)^V3

A)	No creciente
B)	No decreciente
C)	Cóncavo hacia arriba
D) Cóncavo hacia abajo
D)v
3
E) 16
E) Estrictamente decreciente
33.- Hallar el ángulo, bajo el cual se cortan las
curvas dadas por:/(x) = sen x, g(x) = cos x,
xe [O;2tt]
A) - arc tan( V2 + 2)
37.- Un estudiante quiere conseguir la tabla
(AB) más corta posible a fin de llegar al edifi-
cio tal como se muestra en la figura (la tabla
está apoyada en un muro de altura lí). Calcular
la longitud de dicha tabla.
B) - arc tan(2-Jl )
C) - arc tan(3 -Jz )
A)	[h2 + d2)y2
B)	(/i3 + r/3)1/3
ch/^W-V2
D) (/i3/2 + d372)273
E) (A273 + d273)172
34.- Encontrar el mínimo valor de la función:
fix) = arc tan
1-x
1+x
; xe IP;1]
38.- Un ingeniero diseña un estanque cuyo
corte de sección tiene la forma mostrada en
la figura, donde: AB = BC — CD = L. ¿Qué
valor le debe asignar a “0" para que en el
estanque se pueda depositar el mayor volu-
men posible de agua?
A)-ti/4 B) -7t/2 O-ti/8
D) O	E) 71/4
35.- Dos móviles parten simultáneamente des-
de un mismo punto y en direcciones opues-
tas, sobre una pista circular de radio 140 m
con rapidez constante de 3ti m/s y 4n m!s ¿Con
qué rapidez se están alejando el uno del otro
al cabo de 10 5 de haber partido?
A) 37°
B)45°
C)53°
D)60“
E)75°
39.- Los lados de un triángulo son:
(sen 0 + cos 0)
y
. Sn-Jz
A) —-—hi/v	B)37tniA O47twi/$
2 eos
los cuales forman el ángulo “0”. Calcular el
mínimo valor de dicha región triangular.
D)—-—in/s E) 5n>n/s
36.- La función:/(x) = cos x -1/2 cos. 2x en el
V6
A)v
V3 V6
B)1Í C)IT
PP22
880
V3 V6
D)---- E)-------
Problemas de Trigonometría y cónfb resolverldfi
-j» RACSO
CLAVES DE RESPUESTAS
CAPÍTULO 1: SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR
01.- C 02.- C	03.- A	04.- B	05.- B	06.- B	07- C	08- C	09- B	10- D	11- C	12- B	13- E	14- C	15- C
16- D 17- C	18- B	19- B	20- D	21- D	22- D	23- D	24- A	25- C	26- A	27- A	28- C	29- A	30- C
31- C 32- B	33- C	34- C	35- D	36- D	37- E	38- D	39- E	40- C
CAPÍTULO 2: LONGITUD DE ARCO
01-A 02-C	03-B	04-C	05-C	06-C	07-D	08-B	09-C	10-C	11-C	12-B	13-D	14-A	15-B
16-B 17-B	18-E	19-B	20-E	21-A	22-E	23-E	24-C	25-E	26-B	27-A	28-C	29-C	30-B
31-C 32-B	33-D	34-A	35-C	36-C	37-B	38-B	39-B
CAPÍTULO 3: RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
01- A 02- D	03- B	04- C	05- B	06- C	07- D	08- E	09- C	10- C	11- B	12- A	13- E	14- D	15- D
16-E 17-E	18-A	19-A	20-C	21-C	22-C	23-B	24-D	25-B	26-B	27-C	28-C	29-B	30-A
31-D 32-C	33-B	34-D	35-C	36-B	37-A	38-D
CAPÍTULO 4: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
01- A 02- C	03- B	04- D	05- B	06- C	07- A	08- B	09- B	10- A	11- D	12- B	13- D	14-	B	15- C
16- B 17- B	18- C	19- B	20- C	21- E	22- B	23- E	24- A	25- C	26- D	27- C	28- B	29- C	30- C
31- A 32- D	33- C	34- C	35- C	36- D	37- C	38- B	39- C
CAPITULO 5: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN SITUACIONES CONTEXTUALIZADAS
01-D 02-C 03-E 04-B 05-B 06-B 07-B 08-C 09-C 10-E 11-E 12-C 13-A 14-A 15-B
16- B 17- D 18- B 19- E 20- A 21- C 22- D 23- A 24- E 25- B 26- A 27- E 28- C 29- A 30- C
31-C 32-C 33-C
CAPÍTULO 6: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN EL PLANO CARTESIANO
01-B 02-C	03-A	04-B	05-E	06-E	07-A	08-A	09-B	10-A	11-B	12-C	13-C	14-E	15-C
16-A 17-A	18-B	19-D	20-A	21-A	22-E	23-B	24-A	25-B	26-B	27-B	28-B	29-B	30-C
31-A 32-D	33-B	34-D	35-A	36-A	37-E	38-D	39-B	40-A	41-D
CAPÍTULO 7: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA (RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES)
01-C 02-A	03-E	04-C	05-C	06-D	07-D	08-E	09-B	10-A	II-C	12-D	13-D	14-C	15-E
16- D 17- A	18- D	19- A	20- C	21- E	22- E	23- D	24- C	25- B	26- C	27- E	28- A	29- B	30- E
31- E 32- C	33- A	34- D	35- C	36- A	37- A	38- D	39- E
CAPITULO 8: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
05-E 06-A	07-C	08-B	09-C	10-C	II-A	12-C	13-A	14-A	15-A	16-A	17-A	18-A	19-D
20-A 21-C	22-B	23-A	24-A	25-C	26-B	27-C	28-D	29-B	30-D	31-A	32-C	33-C	34-A
35-B 36-A	37-C	38-A	39-B	40-A	41-C	42-B
CAPÍTULO 9: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS
01-C 02-B	03-E	04-B	05-A	06-A	07-B	08-C	09-B	10-D	11-A	12-C	13-A	14-E	15-C
16- B 17- B	18- E	19- D	20- E	21- E	22- A	23- E	24- E	25- D	26- E	27- C	28- A	29- A	30- E
31- A 32- D	33- B	34- A	35- A
CAPÍTULO 10: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
01- E 02- D	03- B	04- D	05- E	06- B	07- A	08- E	09- E	10- E	II- D	12- B	13- E	14- B	15- E
16- B 17- A	18- D	19- B	20- B	21- D	22- A	23- C	24- B	25- D	26- B	27- D	28- C	29- B	30- B
31-D 32-C 33-E 34-A 35-A 36-E 37-C 38-B 39-A 40-A
CAPITULO 11: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO DOBLE
01-B 02- A	03-A	04-C	05-E	06-A	07-C	08-B	09-C	10-D	11-B	12-D	13-A	14-C	15-C
16- A 17- B	18- D	19- C	20- E	21- D	22- A	23- D	24- D	25- A	26- B	27- A	28- B	29- D	30- A
31-C 32-C	33-B	34-B	35-B	36-C	37-A	38-C	39-B
CAPÍTULO 12: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD
01.-E	02.-E	03.-A	04.-D	05.-B	06.-A	07.-C	08.-E	09.-E	10.-E	11.-A	12.-E	13.-E	14.-A	15.-A
16.-B	17.-B	18-B	19-C	20-C	21-B	22-A	23-B	24-D	25-C	26-E	27-D	28-A	29-E	30-D
31- B	32- B	33- A	34- E	35- E	36- B	37- C	38- E	39- B	40- E	41- A
CAPÍTULO 13: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO TRIPLE
01- B	02- B	03- E	04- A	05- D	06- D	07- A	08- B	09- D	10- A	11- E	12- C	13- E	14- C	15- D
16-B	17-E	18-B	19-E	20-D	21-A	22-D	23-B	24-C	25-A	26-A	27-A	28-B	29-A	30-E
31- C	32- B	33-	E	34- A	35- D	36- D	37- D	38- E	39- B	40- D	41- A	42- E
CAPÍTULO 14: TRANSFORMACIONES DE SUMAS O DIFERENCIAS A PRODUCTOS
01-A	02-A	03-C	04-A	05-A	06-A	07-D	08-D	09-B	10-A	II-D	12-C	13-B	14-A	15-A
16-C	17-D	18-D	19-B	20-C	21-C	22 - B	23-B	24-C	25-D	26-D	27-B	28-C	29-B	30-C
31-B	32-C	33-E	34-A	35-E	36-C	37-D	38-B	39-E	40-D	41-C	42-C	43-E
CAPÍTULO 15: TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A SUMAS O DIFERENCIAS
01- C 02- A	03- A	04- D	05- A	06- A	07- D	08- C	09- D	10- A	11- E	12-	D	13- C	14- A	15- A
16-C 17-B	18-E	19-E	20-B	21-C	22-C	23-D	24-C	25-C	26-B	27-E	28-A	29-D	30-C
31- A 32- E	33- D	34- E	35- E	36- D	37- D	38- B	39- B	40- B
CAPÍTULO 16: SUCESIONES Y SERIES TRIGONOMÉTRICAS
01-A 02-B	03-D	04-E	05-B	06-D	07-C	08-B	09-A	10-A	II-E	12-D	13-E	14-A	15-C
16-E 17-A	18-D	19-A	20-D	21-A	22-D	23-D	24-A	25-D	26-E	27-A	28-A	29-E	30-A
31-E 32-E	33-A	34-E	35-D	36-A	37-C	38-A	39-A
CAPÍTULO 17: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
01-A 02-D	03-B	04-E	05-D	06-D	07-D	08-A	09-D	10-A	11-E	12-B	13-D	14-A	15-C
16-C 17-E	18-B	19-A	20-D	21-D	22-C	23-D	24-A	25-B	26-B	27-C	28-B	29-D	30-A
31-A 32-B	33.-C	34-E	35-C	36-B	37-C	38-B	39-A	40-E	41-C	42-C	43-C	44 A
45-A 46-B	47-A	48-A	49-B	50-C	51-A	52-D	53-A	54-D	55-E	56-D	57-D
CAPÍTULO 18: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
01- C 02- C	03- C	04- E	05- A	06- D	07- C	08- E	09- D	10- B	11- E	12-	D	13- D	14- B	15- A
16-C 17-C	18-D	19-D	20-C	21-B	22-D	23-C	24-C	25-A	26-A	27-E	28-A	29-B	30-D
31-C 32-D	33-C	34-D	35-D	36-E	37-B	38-B	39-C
CAPITULO 19: ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
01-C 02-C	03-A	04-E	05-C	06-B	07-B	08-B	09-E	10-B	II-D	12-D	13-B	14-D	15-A
16-C 17-C	18-C	19-A	20-A	21-D	22-D	23-B	24-D	25-C	26-D	27-B	28-A	29-E	30-E
31- D 32- B	33- C	34- A	35- B	36- E	37- D	38- D	39- B	40- A
CAPÍTULO 20: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBI ICUÁNGULOS
01- C 02- C	03- E	04- D	05- C	06- B	07- C	08- A	09- C	10- E	11- C	12-	B	13- D	14- B	15- A
16-A 17-C	18-D	19-C	20-D	21-B	22-A	23-A	24-E	25-D	26-C	27-B	28-C	29-A	30-B
31- D 32- E	33- C	34- B	35- E	36- C	37- B	38- E
CAPÍTULO 21: ESTUDIO DE LA TRIGONOMETRÍA CON NÚMEROS COMPLEJOS
01-C 02-B	03-E	04-B	05-A	06-A	07-B	08-D	09-D	10-B	11-C	12-E	13-D	14-D	15-A
16-B 17-D	18-A	19-A	20-D	21-E	22-C	23-D	24-E	25-E	26-E	27-D	28-D	29-B	30-B
31- E 32- A	33- C	34- A	35-	D	36- C	37- E	38- A	38- E	39- C
CAPÍTULO 22: LÍMITES Y DERIVADAS TRIGONOMÉTRICOS
01-B 02-A	03-D	04-B	05.	E	06-C	07-A	08-E	09-C	10-C	11-D	12-B	13-A	14-D	15-B
16-A 17-D	18-D	19-E	20-B	21-B	22-A	23-A	24-E	25-B	26-E	27-D	28-B	29-E	30-E
31- B 32- A	33- B	34- D	35-	D	36- A	37- C	38- D	39- C
BIBLIOGRAFÍA
01.- Trigonometría
James Gehrmann y Thomas Lester
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02.- Análisis Matemático
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03.- Funciones Numéricas
Edgar de Alencar Filho
Luraria Novel S.A. 1985
04.- Análisis Matemático
Segunda Edición
T.M. Aposto!
Editorial Reverté S.A. - 1993
05.- Trigonometría Contemporánea
H. E. Taylor T.L. Wade
Editorial Limusa- 1976
06.- Trigonometría Plana
heineman. Richard E.
Libros Me Graw - Hill de México - 1973
07.- Trigonometría Moderna TOMO I
C.W. Lucas y R.T. James
Editorial Hispano - Americana - 1973
08.- Trigonometría con Aplicaciones
Patrick J. Boyle
Editorial Mexicana - 1983
09.- The Circular Fuctions
Clayton W. Sodge.
Prentice - Hall, Inc - 1996
10.- Plañe and Advanced Trigonometry
E. W. Hobson.
DIRECCIONES WEB
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... Calculo de las razones trigonométricas
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... Resolución de triángulos
8)	descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Triangulos/ - 86k-
Resolución de Triángulos Rectángulos.
9)	usuarios.lycos.es/arquillos/tema01 BC.htm - 25k
- Relación entre las razones trigonométricas de án-
gulos de diferente cuadrante...
10)	www.ucm.es/info/Geofis/practicas/
trigonometria.htm - 24k -
Circunferencia Trigonométrica
11)	usuarios.lycos.es/calculo2 lZid352.htm - 32k -...
Funciones Trigonométricas de los números reales...
12)	www.cnice.mecd.es/Descartes/ach_CNST_ 1 /
Razpnes_trigonomctricas_operaciones_identidades/
identid.htm - 8k - Identidades trigonométricas
13)	usuarios.lycos.es/calculo21/id355.htm - 14k -
Números complejos. Ecuaciones trigonométricas.
Misceláneas
14)	www.sectormatematica.cl/proyectos/
reduccion.htm - 18k -
Reducción de las Funciones Trigonométricas. Al
Primer Cuadrante.
15)	usuanos.lycos.es/arquillos/lema02BC.htm - 18k
Transformaciones de sumas y diferencias en pro-
ductos.
16)	www.monografias.com/trabajosl 1/traaprox/
traaprox.shtml - 64k -
Series trigonométricas
17)	mal .eii.us.es/miembros/rogodi/calculo/
lema2_04-05.pdf - ... Sucesiones de funciones.
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