/
Author: Смальян Р.
Tags: алгебра математика математическая логика точные науки теория формальных систем
Year: 1981
Text
Оглавление
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
МОСКВА «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ТЕОРИЯ
ФОРМАЛЬНЫХ
СИСТЕМ
Р. СМАЛЬЯН
Перевод с английского
Н. К. КОСОВСКОГО
Под редакцией
Н. А. ШАНИНА
МОСКВА «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981
22.12
С 50
УДК 512
THEORY OF
FORMAL SYSTEMS
BY
Raymond M. Smullyan
REVISED EDITION
PRINCETON, NEW JERSEY
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
1962
20203—102
053@2)-81
64-81 1702020000
Перевод на русский язык
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода .... 9
Введение ^
Глава I
Формальные математические системы 15
Раздел # А. Элементарные формальные системы . 16
§ 0. Мотивировка 16
§ 1. Определение элементарной формальной системы 18
§ 2. Альтернативное определение элементарных
формальных систем 21
§ 3. Представимость 22
§ 4. Математические системы 25
Раздел ф Б. Рекурсивная перечислимость .... 27
§ 5. Рекурсивно перечислимые отношения в
множестве чисел 27
§ 6. Гёделева нумерация 28
§ 7. Универсальная система U 31
§ 8. Рекурсивная неразрешимость системы U . 33
Добавление. Формальная представимость Т и Т0 35
Глава II
Формальная представимость и рекурсивная
перечислимость 39
§ 0. Некоторые предварительные принципы . 39
Раздел # А. Свойства замкнутости 41
§ 1. Замкнутость относительно экзистенциальной
определимости . ... 41
Приложения 45
§ 2. Разрешимость над К 48
Раздел ф Б. Рекурсивная перечислимость .... 50
§ 3. Рекурсивная перечислимость некоторых
основных арифметических отношений 50
§ 4. Рекурсивные и частичные рекурсивные функции 51
§ 5. Ограниченная квантификация; конструктивная
определимость 52
Раздел # В. Преобразования алфавитов. Гёделева
нумерация 55
§ 6. Расширения алфавитов 55
§ 7. Диадическая гёделева нумерация .... 56
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Разрешимость 58
§ 9. Лексикографическое упорядочение; и-адическое
представление чисел 59
§ 10. Допустимые гёделевы соответствия ... 63
§ 11. Дополнительные результаты о допустимости . 64
Раздел # Г. Краткое резюме 65
Глава III
Неполнота и неразрешимость 66
Раздел # А. Неполнота 69
§ 1. Представляющие системы 69
§ 2. Первая диагонализационная лемма. Теорема Тар-
ского 71
§ 3. Непротиворечивость и полнота. Теорема Гёделя 74
§ 4. Вполне представимость и определимость в Z . 75
§ 5. Отделимость в Z. Теоремы Россера .... 77
§ 6. Симметричные системы 80
§ 7. Расширения 82
Раздел # Б. Неразрешимость 83
§ 8. Системы с эффективной представляющей
функцией 84
§ 9. Неразрешимость 86
§ 10. Нормальность 88
§ 11. Дополнительные теоремы 88
§ 12. Универсальные системы 90
§ 13. Неразрешимость и неполнота .... 91
Раздел # В. Неразрешимость и рекурсивная
неотделимость 92
§ 14. Определимость в формальных системах ... 92
§ 15. Расширения 93
§ 16. Рекурсивная неотделимость 93
§ 17. Отделение РН множеств в системах ... 95
§ 18. Системы Россера 96
§ 19. Рекурсивная неотделимость диагональных
множеств Т*, R* 97
Глава IV
Теория рекурсивных функций 102
Раздел # А. Эффективные операции и теоремы о
неподвижной точке 102
§ 1. Теорема о перечислимости 103
§ 2. Индексация 105
§ 3. Итерационные теоремы для РП отношений . . 105
§ 4. Эффективные операции 109
§ 5. Теоремы о неподвижной точке 111
§ 6. Теоремы о сдвоенной рекурсии 115
Раздел # Б. Конструктивно арифметические и
рудиментарные отношения 117
§ 7. Некоторые предварительные замечания . . . 118
§ 8. Диадическая конкатенация 119
§ 9. Рудиментарные отношения 121
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 10. Строгие элементарные формальные системы . 126
§ 11. Арифметизация элементарной диадической
арифметики 127
Раздел # В. Перечислимость и теоремы о нормальной
форме 133
§ 12. Теорема Клини о перечислимости .... 133
§ 13. Отделимость разностей РП множеств . . . 133
§ 14. Частичные рекурсивные функции .... 134
§ 15. Индексация функций 135
Глава V
Креативность и эффективная неотделимость .... 138
Раздел # А. Креативность и эффективная
неотделимость 138
§ 1. Продуктивные и креативные множества;
рекурсивная и эффективная неотделимость 138
§ 2. Много-односводимость и одно-односводимость . 141
§ 3. Креативные системы ' 143
§ 4. Эффективная неотделимость 144
§ 5. Эффективно россеровские системы .... 146
Раздел # Б. Дальнейшее построение теории
продуктивных множеств 147
§ 6. Слабо продуктивные функции 147
§ 7. Равномерная сводимость 149
§ 8. Универсальные множества 152
§ 9. О равномерной сводимости 153
§ 10. Равномерная представимость 155
§11. Биравномерность 155
Раздел ф В. Эффективная неотделимость и сдвоенная
продуктивность 157
§ 12. Сдвоенно продуктивные пары 157
§ 13. Сводимость пар к парам 161
Раздел =Ц= Г- Сдвоенная универсальность . . . 163
§ 14. Сдвоенно универсальные и вполне сдвоенно
универсальные пары 163
§ 15. Равномерная сводимость 163
§ 16. Слабо сдвоенно продуктивные пары . 165
§ 17. О сдвоенно продуктивных парах .... 166
§ 18. Применение к системам Россера .... 170
§ 19. Равномерная сводимость , 170
§ 20. Обобщение эффективной неотделимости . . . 173
Раздел # Д. Сдвоенный изоморфизм 175
§ 21. Сдвоенный изоморфизм 175
§ 22. Эквивалентность и сдвоенный изоморфизм . . 178
§ 23. Сдвоенный изоморфизм систем Россера . . 180
Дополнение
Приложения к математической логике 181
§ 1. Теории 181
§ 2. Определимость функций; нормальность теории 186
§ 3. ю-непротиворечивость. Перечислимость в (Г).
Теорема Гёделя 187
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Конструкция Россера 189
§ 5. Теории Гёделя и теории Россера .... 191
§ 6. Теории, в которых определимы сложение и
умножение 194
§ 7. Некоторые специальные теории 195
§ 8. Существенная неразрешимость 196
§ 9. Существенная креативность . .... 197
§ 10. Точные теории Россера 199
Библиография 202
Указатель определений 205
Указатель обозначений 207
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
РУССКОГО ПЕРЕВОДА
В этой книге в систематической форме и,
фактически, начиная с «азов», излагается обширный комплекс
математических результатов, касающихся ряда
фундаментальных понятий, предназначенных для точного
описания и исследования формально-дедуктивного
метода в математике и тесно связанного с этим методом
понятия алгорифма.
Фундаментальным теоретическим обобщением
выработанных в процессе развития математической логики
методов точного определения основных
логико-математических языков и методов формально-дедуктивного
(аксиоматического) построения математических теорий
явилось введенное Э. Постом понятие канонического
нечисления в данном алфавите. Им же было указано,
что в рамках теории канонических исчислений
можно определить понятие алгорифма, эквивалентное
понятию машины А. Тьюринга. Порождающие системы,
называемые в настоящее время порождающими
грамматиками, по существу представляют собой
канонические исчисления частных типов (при этом, некоторые
типы порождающих грамматик имеют такой же
«объем», как понятие канонического исчисления).
Понятие канонического исчисления сравнимо по «уровню
фундаментальности» с понятием машины
Тьюринга.
В этой книге в основу изложения положена
предложенная Р. М. Смальяном модификация понятия
канонического исчисления Поста — понятие элементарной
формальной системы. Эта модификация имеет
определенные методические достоинства (однако по
некоторым методическим «параметрам» она уступает
понятию канонической системы). В главах III и V сущест-
10 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
венную роль играет также понятие представляющей
системы и его особенно важный частный случай —
понятие формальной представляющей системы. Краткий
обзор содержания книги по главам дается во введении
к книге.
Понятие элементарной формальной системы и
вводимые на его основе понятия перечислимого
множества, рекурсивной функции и формальной
представляющей системы являются (при «аккуратных»
формулировках определений) понятиями конструктивной
математики. Однако этого нельзя сказать об общем
понятии представляющей системы. Поэтому важно иметь в
виду, что главы I, II и IV не зависят от общего
понятия представляющей системы и составляют
конструктивное по существу (но, к сожалению, не всегда
конструктивное по оформлению) изложение обширного
и весьма содержательного комплекса сведений о
формальных системах, перечислимых и разрешимых
множествах, рекурсивных функциях и эффективных
операциях над перечислимыми множествами и
рекурсивными функциями. Автор не придерживается такого
изложения, которое характерно для конструктивного
направления в математике. Поэтому отдельные детали и
фрагменты, конструктивные по существу (или
становящиеся такими при «аккуратных» формулировках),
излагаются в книге в стиле теоретико-множественной
математики. Однако редактору перевода пришлось
отказаться от возникшего вначале намерения
комментировать такие места текста, как потому, что таких мест
сравнительно много, так и потому, что в комментариях
пришлось бы охватить обширный круг сведений о
конструктивном направлении в математике, в
частности, о логических аппаратах этого направления.
Последнее в рамках настоящего издания неуместно.
Лишь в некоторых местах переводчиком сделаны
отдельные замечания. Что касается тех фрагментов
книги, в которых используется общее понятие
представляющей системы, то можно констатировать, что автор
продемонстрировал плодотворность этого понятия в
рамках теоретико-множественной математики — с
помощью этого понятия он, в частности, методически
объединил теоремы Гёделя и Россера о неполноте
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА 11
формализации арифметики и теорему Тарского о
невозможности арифметизировать понятие истинного
арифметического суждения. Конструктивизация
упомянутых фрагментов книги нуждается в специальном
рассмотрении.
Несмотря на то, что значительная часть материала
этой книги в той или иной форме и в различных
сочетаниях рассматривается и в других монографиях и
статьях, эта книга сразу обратила на себя внимание
специалистов по математической логике рядом
привлекательных особенностей. Дело в том, что автор
предложил ряд весьма интересных теоретических и
методических новшеств (таких, например, как понятие
рудиментарного предиката, весьма удачные специальные
способы кодирования слов), которые, с одной стороны,
положили начало новому направлению исследований
(теории рудиментарных предикатов), а с другой
стороны, позволили объединить в единое целое многие
вопросы, ранее излагавшиеся громоздко и не очень
«прозрачно», и «обнажить их сущность». Несмотря на
то, что эта книга вышла из печати уже давно (первое
издание — в 1961 г.), она, во всяком случае, является
ценным учебным пособием по математической логике
со своим собственным «почерком».
Чтение книги может затруднить манера
изложения автора. Используется много синонимов
(например, в одном и том же смысле используются
термины «слово», «строка», «выражение»), автор
совершенно не заботится о единообразии символики
(например» функция иногда обозначается одним
функциональным знаком, иногда к этому знаку приписываются
переменные, при записи суперпозиции функций иногда
пишутся скобки, а иногда опускаются и т. п.). При
переводе пришлось отказаться от первоначального
намерения как-то унифицировать символику и
терминологию — это увело бы слишком далеко от подлинника.
Лишь логическая символика приближена к
употребительной в русской математической литературе.
Без указаний устранены замеченные опечатки и явные
погрешности. Вовникли трудности при переводе
некоторых терминов. В частности, возник вопрос: не
следует ли сократить многие весьма громоздкие термины
12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
автора, особенно из главы V (например, термин «сдвоея-
но универсальная пара множеств» и т. п.)? При
переводе сокращения таких терминов не производились.
Несмотря на отмеченные особенности, эта книга
безусловно будет полезна как студентам, изучающим
математическую логику, так и математикам различных
специальностей, стремящимся кратким и обозримым
путем познакомиться с наиболее принципиальными
результатами математической логики.
Н. А. Шанин
ПАМЯТИ МОЕГО ОТЦА
ВВЕДЕНИЕ
Эта книга сочетает введение в теорию рекурсивных
функций (и ее приложения в метаматематике) с
представлением новых результатов в этой области. Автор
имел в виду, в частности, потребности в общем-то
зрелого математика, не обладающего подготовкой по
математической логике. На наше изложение (особенно
в главах I и II) повлияли главным образом элегантные
методы Поста.
Глава I начинается с новой характеризации
формальных математических систем и рекурсивно
перечислимых множеств и предикатов. Мы вводим понятие
элементарной формальной системы, которое в книге
используется в качестве основного формального
аппарата. Дается очень короткое и простое доказательство
теоремы Чёрча о том, что для некоторых
математических систем не существует алгорифма для выяснения,
какие предложения системы являются выводимыми.
Доказательство проводится в духе Поста, но теорема
о нормальной форме для канонических систем
устранена. Изучение элементарных формальных систем
продолжается в главе II, которая состоит в основном из
результатов вспомогательного для остальных глав
характера.
В главе III мы приближаемся к теоремам Гёделя
и Россера о неполноте и к связанным с ними
результатам о неразрешимости с весьма абстрактной точки
зрения. Обычные средства математической логики,
(пропозициональное исчисление и исчисление предикатов
первого порядка) не используются. Приложения
собственно к математической логике излагаются отдельно
в дополнении. Результаты о неразрешимости всецело
выводятся из крошечного фрагмента теории
рекурсивных функций, изложенного в разделе ф А главы II.
14
ВВЕДЕНИЕ
Глава III также обобщает несколько хорошо известных
метаматематических результатов, которые далее
обобщаются в главе V.
Глава IV содержит связное представление теории
рекурсивных функций с точки зрения, которая
сочетает теорию элементарных формальных систем с
расширением предложенной Куайном техники теории
конкатенации. (Читатель, интересующийся в основном
рекурсивными функциями, может читать эту главу
непосредственно после главы II.) Гёделева программа
арифметизации синтаксиса выполнена новым способом;
не привлекались ни теория примитивно рекурсивных
функций, ни разложение чисел на простые
сомножители, ни теория сравнений, ни китайская теорема об
остатках. Побочным продуктом этого подхода (который
был предпринят первоначально без учета элегантности)
является получение улучшенных теорем о нормальных
формах.
Заключительная глава содержит результаты
исследований автора по теории универсальных множеств и
сдвоенно универсальных пар. Особенно интересное
приложение, выполненное автором совместно с
Хилари Патнемом, дается в заключительном разделе
дополнения.
Настоящее исследование является просмотренным и
исправленным изданием докторской диссертации автора
(Смальян [8]). Автор хочет выразить свою
благодарность Алонзо Черчу, Джону Майхиллу и Хилари
Патнему за их любезное ободрение и помощь. За
помощь в чтении корректур автор обязан Маршалу
Фреймеру, Роберту Ричи, Алану Триттеру, Роберту
Уиндору и особенно Джеймсу Гарду. За указание
опечаток и ошибок в первом издании автор обязан
Роберту Коуэйу, Джону Грейвсу, Р. Н. Херстейну, Джоэлу
Питу, Джерри Зигелю, профессору В. Штегмюллеру и
студенту профессора Фитча. Особенную благодарность
автор приносит Томасу Г. Маклафлину за его
критические замечания относительно первоначальной версии
главы V,
Раймонд М. Смальян
Нью-Йорк,
ноябрь 1962
ГЛАВА I
ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В этой главе мы заинтересованы прежде всего
в том, чтобы дать точное определение формальной или
финитарной математической системы, а в
дальнейшем — в доказательстве важной теоремы, основанной
на работах Чёрча и Поста, относительно интересных
ограничений наших возможных знаний о таких
системах. Эта теорема, которую пока на этой стадии мы
можем сформулировать лишь совсем грубо, является
существенной для результата о том, что не
существует разрешающей процедуры для формализованной
математики. Иначе говоря, не существует
«механического» метода, который будет решать, какие
предложения в каких математических системах доказуемы.
Впоследствии мы используем эту теорему, чтобы
доказать и обобщить некоторые из знаменитых теорем
Гёделя о неполноте.
Понятия «формальный» в применении к
математическим системам и «механический» в применении к
операциям (процедурам) нуждаются в определении;
это будет сделано в настоящей главе. Интуитивно мы
думаем о механической операции как о такой, которую
способна выполнить «вычислительная машина», но
в таком случае мы должны определить, что
представляет собой вычислительная машина. Понятия
формальной системы и механической операции тесно связаны:
каждое может быть определено в терминах другого.
Если бы мы сперва определили механическую
операцию непосредственно (например, в терминах машин
Тьюринга), то мы определили бы формальную систему
как такую, у которой множество теорем может быть
порождено такой машиной (машина выдает все
теоремы одну за другой и никогда не выдает что-либо иное).
С другой стороны (следуя подходу Поста), мы можем
сперва прямо определить формальную систему и
определить операцию как «механическую» или «рекурсив-
16 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
ную», если она вычислима в некоторой формальной
системе. Это — подход, который мы примем. Наш план
заключается в том, чтобы ввести сначала
определенный тип систем, называемых элементарными
формальными системами, которые послужат основой для
нашего исследования математики (теории математических
систем). Общее понятие формальной системы будет
потом определяться в терминах этих элементарных
формальных систем1).
# А. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 0. Мотивировка
Целью введения элементарных формальных систем
является объяснение понятия «определимость по
рекурсии». Мы ссылаемся на следующий тип
определения,, который встречается в математической литературе.
Вместо непосредственного определения какого-либо
множества (отношения) W его иногда определяют
посредством предъявления сначала множества аксиом,
непосредственно говорящих о принадлежности к W, затем
некоторых аксиом вида: «если такие-то объекты
находятся в W, то такая-то их комбинация также
находится в W». Затем идет итоговая аксиома: в W нет
ничего, кроме того, принадлежность чего к W следует из
предыдущих аксиом. Теперь это последнее
предложение нужно сделать точным. Можно было бы спросить:
') Элементарные формальные системы могут
рассматриваться как варианты канонических языков Поста [1].
Преимущество работы в системах, подобных постовским, заключается
в том, что на их основе мы можем развивать значительные
части теории формальных выражений прямым образом, а не
посредством гёделевой нумерации. Причиной нашего выбора
элементарных формальных систем вместо постовских
канонических систем является то, что их структура описывается более
просто и их техника применяется легче. Общее понятие
продукции, использованное в постовских системах, заменяется
более простыми логическими правилами подстановки и отделения
(модус поненс), которые легче формализуются. Представляет
интерес то, что эти два правила, так хорошо знакомые в
математической логике, в действительности образуют базис для
построения всех формальных систем (в той форме, в какой они
будут определены).
§0]
МОТИВИРОВКА
17
«Следует в какой логике?». Элементарные формальные
системы обеспечивают один такой тип логики.
Мы рассмотрим простой пример. Пусть К —
алфавит, состоящий из двух знаков а и Ъ: Предположим,
что мы хотим определить множество S всех строк1),
составленных из двух чередующихся знаков а и Ь, т. е.
строк, которые не содержат двух последовательных
вхождений а или Ъ. Мы можем явно определить это
множество S посредством формулировки следующих
аксиом в качестве условия принадлежности к S:
Аксиома 1. а является элементом S.
Аксиома 2. Ъ является элементом S.
Аксиома 3. аЪ является элементом S.
Аксиома 4. Ъа является элементом S.
Аксиома 5. Если ха является элементом S (где
х — любая строка), то хаЬ является элементом S.
Аксиома 6. Если хЪ является элементом S, то
xba является элементом S.
Аксиома 7. Никакой элемент не находится в S,
если это не следует из аксиом 1 — 6.
Сейчас мы превратим предыдущую неформальную
систему аксиом в точную формальную систему. Сперва
мы для фразы вида «х является элементом S»
воспользуемся сокращением «ж ^ S» или даже лучше
Sx (последнее следует читать как «5 содержит ж»).
Мы также сократим всякую фразу вида: «если
( )> то ( )», используя обычное
символическое сокращение «( ) -* ( )». Теперь
перепишем наши аксиомы в символической форме
таким образом:
1) Sa
2) Sb
3) Sab
4) Sba
5) Sxa—>■ Sxab
6) Sxb—^Sxba.
Сейчас вместо аксиомы 7 мы дадим следующее
точное определение для «выводима из». Говорят, что
строка X выводима из аксиом 1) — 6), если X может быть
) Автор использует термины «строка», «выражение», «сло-
» как синонимы (см. § 1).— Прим. перев.
18 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
получена из этих шести аксиом посредством конечного
числа применений следующих двух правил:
Ri. Подстановка любой строки, состоящей из
символов а и Ъ, вместо переменной х.
R2. Переход от двух строк Zt и Xt —*■ Х2 к строке Х2.
Теперь мы можем определить желаемое множество
S как множество всех строк X (из знаков а и Ъ) таких,
что выражение SX может быть получено из 1) —6)
посредством использования Rt и R2. Мы говорим,, что
символ S представляет в этой системе множество всех
строк с чередованием букв.
Выше изложен простой пример элементарной
формальной теории. Символы а и 6 называются
начальными знаками, х называется переменной (вместо которой
мы подставляем строки из начальных знаков).
Символ —>■ называется знаком импликации, и, наконец,
буква S является примером предиката (предикаты
используются для представления множеств и
отношений).
Имея в виду этот пример, мы теперь дадим точное
определение Элементарной формальной системы.
§ 1. Определение элементарной
формальной системы
Предварительные понятия. Под алфавитом К мы
понимаем упорядоченное конечное множество
элементов, называемых символами, знаками или буквами
алфавита К. Любая конечная линейная
последовательность (упорядоченная и-ка1)) символов из К
называется словом, или выражением, или строкой в К. Мы
обозначим посредством К_ множество всех слов в К. Для
любых п символов Xi, x2, ..., хп из К мы обозначаем
посредством х^хг...хп такое слово X в К, у которого
г-й символ есть Х{ (£ «5 п). Назовем п длиной этого
слова. Если Y — слово угУг... ут в К, то мы определяем
XY как слово
XiX% . . . Xny{yz • ■ • Ут,
т. е. как слово длины п + т, у которого г-й символ
') и-ка — это сокращенное название последовательности,
состоящей из п членов.— Прим. перев.
§1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
19
есть Xi для г^пиу которого /-й символ есть ys-n для
/ > и. Мы называем XY произведением или
конкатенацией X ж У. Операция конкатенации, очевидно,
ассоциативна, но не коммутативна (если К содержит
более одного символа). Если К и L — алфавиты и каждый
символ из К является также символом из L, то мы
называем К подалфавитом L (и записываем K^L),
a L называем расширением К.
Определение элементарной формальной системы.
Элементарной формальной системой (Е) над алфавитом
К мы называем совокупность следующих объектов:
A) алфавит К;
B) алфавит символов, называемых переменными;
C) алфавит символов, называемых предикатами,
каждому из которых приписано единственное
положительное число, называемое числом его аргументов;
D) два символа, называемые знаком импликации
и знаком пунктуации;
E) конечная последовательность Аи ..., Аг строк,
которые являются правильно построенными формулами
(в соответствии с данным ниже определением); эти
строки называются аксиомами системы (£).
Алфавиты A) — D) попарно не пересекаются.
Элементы К будут обычно обозначаться посредством а
или Ъ с индексами или без них. Переменные будут
обозначаться посредством х, у, z, w, v с индексами
или без них. Предикаты будут обычно обозначаться
посредством Р с индексами или без них. Знак
импликации (называемый также «стрелка») будет
обозначаться о'бычно посредством —*■. Знак пунктуации
(называемый также «запятая») будет обозначаться обычно
посредством запятой.
Пусть аи а2, ..., ап — символы алфавита К. Термом
системы (Е) мы называем любую строку, составляемую
из а, и переменных; например, а&уа^уа^ есть терм.
Атомарной (правильно достроенной) формулой системы
(£<) мы называем выражение вида Ptu ..., tm, где Р —
w-местный предикат -и tu ..., tm — термы. Правильно
построенной формулой (иногда будем писать ППФ или
просто «формула») системы (Е) мы называем как
атомарную (правильно построенную) формулу, так и
выражение вида F, — Ft —... -* Fn, где каждая Ft -
20 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ I
атомарная формула. Атомарные формулы F4, F2, ..., F„
называются атомарными частями составной формулы
Fi—>-F2—>-...—*-Fn. Каждая атомарная формула
называется также атомарной частью самой себя. В
составной формуле Ft —»- F2 —>-... —у F„ стрелка должна
интерпретироваться как импликация с группировкой
вправо; например, F,—>-F2—>-F3 нужно читать «'Ft
влечет, что F2 влечет F3» или «F4 влечет (F2 влечет
F3)». Заметим, что это можно также читать: «если Fi
и Fi истинны, то F3 истинно». В более общем случае
Fj —»- F2 —»■... —»■ Fn можно читать «Fn следует из
конъюнкции посылок Fi, F2, ..., F„-£». Мы в
действительности ссылаемся на Flt ..., Fn-i как на посылки и
на F„ как на заключение. Заметим мимоходом, что
для произвольных правильно построенных формул Xi
и Х2 ошибочно чтение XL—*Хг как «Xt влечет Х2».
Такое чтение возможно только при условии, что Xt —
атомарная формула.
Под частным случаем ППФ X подразумевается
любая строка, получаемая из X подстановкой строк в К
вместо всех переменных. ППФ без переменных
называется предложением.
Теоремой или выводимой строкой системы (Е)
называется любая строка, которая является аксиомой
системы (Е) или выводима из аксиом этой системы
посредством конечного числа применений следующих
двух правил, называемых правилами вывода.
Правило I. Подстановка слов в алфавите К
вместо переменных.
Правило II (правило отделения или модус по-
ненс1)). Выведение формулы Х2 из формул Xt и
Xt —>- Х2 при условии, что Xi — атомарная формула.
Причина для оговорки в правиле II (говорящей,
что Xi — атомарная формула) состоит в том, что без
оговорки это правило не будет верным при
принимаемой интерпретации знака импликации (мы напоминаем,
что мы можем интерпретировать «Х,—*-Х2» как «X
влечет Х2» только в случае, когда Xt — атомарная
формула).
1) Русская транскрипция латинского термина modus po-
nens.— Прим. пер ев.
2]
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
21
Замечание. Пусть (Е) — ЭФС (элементарная
формальная система) над алфавитом К. Пусть К' —
алфавит, состоящий из символов алфавита К,
переменных, предикатов, знака импликации и знака
пунктуации системы (Е). Может случиться, что мы захотим
рассматривать одновременно и ЭФС {Е)' над
алфавитом К'; в этом случае переменные системы {Е) не
являются переменными системы (£)', но
рассматриваются как некоторые начальные символы системы (Е)'
(и мы должны тогда быть осторожны: употреблять
различные имена для двух классов переменных — см.
добавление к этой главе). Подобные замечания
относятся и к предикатам, знаку импликации и знаку
пунктуации. Таким образом, эти грамматические
категории относятся только к данной ЭФС.
§ 2. Альтернативное определение элементарных
формальных систем
Любое предложение, выводимое из А^ ..., Аг
посредством подстановки и правила модус поненс, может
быть также выведено из частных случаев аксиом
Аи ..., Az посредством одного правила модус поненс.
Действительно, в любом выводе, включающем в себя
оба правила — подстановку и отделение, мы можем
сперва сделать все необходимые подстановки в А{ и
затем выполнить отделения (этот факт может быть строго
установлен методом математической индукции). Таким
образом, альтернативный способ рассмотрения
элементарных формальных систем (использующий прием фон
Неймана) состоит в следующем. Мы опять
рассматриваем последовательность ППФ Аи ..., Аг, тао сейчас
каждую At называем схемой аксиом (вместо того,
чтобы называть аксиомой системы). Аксиомы теперь
определяются как частные случаи схем аксиом. Таким
образом, элементарная формальная система
(рассматриваемая во втором смысле) имеет бесконечное число
аксиом, но конечное число схем аксиом. Теорема в этом
случае должна быть определена как любое
предложение, выводимое из аксиом (т. е. частных случаев
схем аксиом) посредством последовательного
применения правила модус поненс. Как замечено ранее, пред-
22 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Г
ложения, выводимые в некоторой ЭФС, одни и те же
независимо от того, какой из двух смыслов ЭФС мы
имеем в виду.
§ 3. Представимость
Пусть Р — одноместный предикат элементарной
формальной системы (Е) над К, и пусть W —
некоторое множество слов в К. Мы скажем, что Р
представляет W в (Е), если для каждого слова X в К
выполняется следующее условие1):
X<sW<=>PX выводимо в (Е).
Аналогично, если Р есть и-местный предикат системы
(Е), то мы будем говорить, что Р представляет
множество всех п-ок (Хи ..., Хп) таких, что РХи .,., Хп
выводимо в (Е).
Термин «отношение»2) будет использоваться
следующим образом. Каково бы ни было множество S,
отношением в S мы будем называть всякое
подмножество множества S и всякое множество n-ок (гг>2),
составленных из элементов множества S.
Отношение W в множестве слов К называется
формально представимым над К, если W представимо
в некоторой элементарной формальной системе над К.
W называется разрешимым над К, если W и его
дополнение W формально представимы над К (для и-мест-
ного отношения W под W понимается дополнение W
до множества всех п-ок слов в К).
Возникает следующий интересный вопрос.
Предположим, что W является отношением в К, L —
расширение алфавита К и W представимо в некоторой ЭФС
над L. Обязательно ли W представимо в некоторой
ЭФС над К? Впоследствии мы ответим на этот вопрос
утвердительно. (Если К содержит по крайней мере два
символа, решение совсем простое. Если К содержит
только один символ, решение более сложное.)
Примеры, а) Пусть К — алфавит, состоящий из
единственного знака «1». Строку из «1» длины п мы
') Знак -*=*- (и знак -«-*) используется в качестве
сокращения для слов «тогда и только тогда, когда».— Прим. перев.
2) В оригинале attribute.— Прим. перев.
§ 3]
ПРЕДСТАВИМОСТЬ
23
отождествляем с положительным целым числом п.
Предположим, что мы хотим построить ЭФС над «1»,
в которой представимо множество четных чисел *).
Предикат для представления этого множества обозначим
посредством Е и воспользуемся переменной х. Возьмем
следующие аксиомы:
#11
Ex—*-Exii.
В этой системе мы можем вывести строку ЕХ (X —
строка из «1»), если и только если X — четное число.
Следовательно, Е представляет множество четных
чисел.
Замечание. Чтобы доказать для этой системы,
что буква Е действительно представляет множество
четных чисел, мы должны доказать следующее: (I)
каково бы ни было четное число X, ЕХ выводимо в этой
системе; (II) если ЕХ выводимо в этой системе, то X
является четным числом.
Мы можем доказать (I) методом математической
индукции. Пусть еи е2, ..., е„, ...—
последовательность всех четных чисел. Для п = 1 слово Eet (т. е.
Ell) выводимо в этой системе. Для i-то четного числа
е{ предположим, что Ее{ выводимо в этой системе.
Формула Eei—*-Ее{11 также выводима (это частный
случай второй аксиомы, полученный с помощью
подстановки). Следовательно, так как Ее{ и Eet—*~Eetll
выводимы, то Ее{11 выводимо. Это завершает
индукцию.
По-видимому, доказать (II) легче всего, дав
интерпретацию этой системы. Атомарное выражение вида
ЕХ (где X — строка из «1») считаем (по определению)
истинным, если X — четное число. Любое выражение
вида EXi—>-EX2 считается (по определению)
истинным, если истинность EXi влечет2) истинность ЕХ2.
Тривиально проверяется, что обе аксиомы этой системы
истинны (для всех чисел х) и что правило отделения
) Слово «число» в этом изложении всегда означает
положительное целое число, если не указано противоположное.
) Здесь фактически знак -*- интерпретируется как булева
Функция «если..., то...».— Прим. ред.
24 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
сохраняет истинность. Таким образом, все теоремы
системы истинны. Следовательно, какова бы ни была
строка X (из «1»), если ЕХ выводимо, то ЕХ истинно,
т. е. X —четное число. Это доказывает (III).
Мы включили приведенный выше длинный текст,
чтобы выговорить все математические рассуждения,
участвующие в этом доказательстве для очень простой
элементарной формальной системы. Мы сделали это,
чтобы снабдить читателя моделью того, как такие
доказательства могут быть доведены до конца для всех
элементарных формальных систем, которые будут
построены в этой и следующих главах. Впредь мы
будем иметь дело только с элементарными
формальными системами и будем точно указывать, какие
предикаты представляют те или иные отношения.
Доказательство того, что эти предикаты в самом деле
представляют указываемые отношения, будет всегда
оставляться читателю (они тривиальны и во всех случаях
получаются непосредственно).
б) Пусть К — трехбуквенный алфавит {а, Ъ, с}.
Пусть W — множество всех строк в К, состоящих
только из двух знаков «»», «6». Мы хотим показать, что
W формально представимо над К. Возьмем следующую
элементарную формальную систему {Е):
Wa
Wb
Wx —- Wy —»- Wxy.
Тогда предикат «W» представляет множество W в {Е).
Замечание. В последнем примере мы
использовали для предиката, представляющего W, сам символ
«W». Нет причин не допускать, чтобы
металингвистическое имя множества (или отношения) было таким
же, как буква, используемая для представления его
в элементарной формальной системе. Мы будем часто
поступать подобным образом.
в) В более общем случае пусть К — алфавит
(ai, ..., ат, ..., я») и / —подалфавит {аи ,.., ат). Мы
') Автор не указывает, какое определение четных чисел он
принимает в качестве исходного. Поэтому приведенные выше
рассуждения редактору пепонятны.— Прим. ред.
§ i)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
25
хотим показать, что множество / всех слов в /
формально представимо над К. В самом деле, это
множество представимо посредством Р в элементарной
формальной системе:
РОпп
Рх—+Ру-^- Рху.
г) Предположим, мы хотим показать, что указанное
выше множество / разрешимо над К. Остается
показать, что К \ J формально представимо над К.
Действительно, К\1 состоит из всех слов в К, в которые
входит по крайней мере один символ из K\J. Таким
образом, K\J представимо посредством Р в такой ЭФС
над К, аксиомами которой являются
P&m+i
РОп
Рх —*■ Рху
Рх —*- Рух.
Функции. Функция f(xu ..., хп) из множества гс-ок
слов в К в множество слов в К называется формально
представимой над К, если отношение f(xu ..., хп) — у
формально представимо над К, и называется
разрешимой над К, если это отношение разрешимо над К.
§ 4. Математические системы
Под математической системой Ш) обычно
понимается совокупность, включающая по меньшей мере
следующие объекты:
Ш алфавит К;
B) множество А слов в К, называемых аксиомами;
C) конечное множество RXt ..., Rm отношений в К,
называемых правилами вывода.
Под выводом в Ш) понимается любая
последовательность (X,, J2) .. м Хп) слов в К такая, что при
26 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
каждом i ^ те или Х{ является аксиомой, или
существуют числа U, ..., ir, меньшие i и такие, что Х^, ..., Х{г,
Х{ находятся в одном из отношений Rt, •.., Rn-
Вывод (Хи ..., Хп) называется также выводом
последнего члена Хп. Слово X называется выводимым в Ш)
или теоремой Ш), если существует его вывод в (ЛЯ.
Множество всех теорем Ш) будет обозначаться
посредством Т.
Мы назовем (М) формальной математической
системой, если множество Т теорем Ш) формально пред-
ставимо над К1). Если Т разрешимо над К, то Ш)
называется разрешимой или допускающей
разрешающую процедуру. Важная теорема Чёрча (к которой мы
стремимся) состоит в том, что существуют
формальные системы, для которых нет разрешающей
процедуры.
Неформальное обсуждение. Полное знание
элементарных формальных систем могло бы означать полное
знание всех формальных систем, ибо если (М) —
формальная система, которая представима
посредством Р в некоторой элементарной формальной системе
(Е) (т. е. представимо множество всех теорем системы
(ДО), то вепрос о том, является ли строка X теоремой
системы Ш) или нет, эквивалентен вопросу о том,
является ли РХ теоремой системы (Е) или нет. Ответы
должны быть одинаковыми по определению
представимости. Таким образом, любой вопрос о выводимости
в формальных системах сводится к вопросу о
выводимости в элементарных формальных системах.
Мы можем теперь думать о «вычислительной
машине» как о машине, которая порождает некоторое
J) Это определение в действительности охватывает все
математические системы, до сих пор построенные в литературе
и названные на интуитивных основаниях «формальными» или
«финитными». Такие системы, как «Principia Mathematica» [Из
книги Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда с таким названием.— Прим.
перев.], теория множеств Цермело, исчисление предикатов
первого порядка, формализованная теория чисел,
комбинаторная логика и др., представимы в элементарных формальных
системах. Пост определяет формальную систему как такую, у
которой множество теорем представимо в канонической системе.
Ввиду того, что последнее эквивалентно представимости в ЭФС,
наше определение формальной системы эквивалентно
определению Поста.
§ 5] РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ ОТНОШЕНИЯ 27
формально представимое множество. Если W является
разрешимым множеством, то мы можем построить две
вычислительные машины М и М', которые
соответственно порождают W и W (W —дополнение W).
Чтобы определить по данной строке X, имеется она в W
или нет, мы запускаем обе машины одновременно и
просто ждем, чтобы увидеть, какая машина выдаст X.
Раньше или позже одна из них сделает это. Если,
с другой стороны, W формально представимо, но не
разрешимо, то лучшее, что может быть сделано,— это
построение машины М, которая порождает W. Если
X находится в W, то раньше или позже мы узнаем
это, так как М выдаст ее. Если X не находится в W,
то мы можем ждать неограниченно долго и ни в какой
момент не можем быть уверены, что X не появится
в будущем.
# Б. РЕКУРСИВНАЯ ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ
§ 5. Рекурсивно перечислимые отношения
в множестве чисел
Рассмотрим двубуквенный алфавит, символами
которого являются «1» и «2»; назовем этот алфавит D.
Любая элементарная система над D будет называться
элементарной диадической арифметикой. Строка
dndn-l...dld0, где каждый знак d, есть или «1», или
«2», называется диадическим числительным и
представляет число d0 + 2dt + Adz + ... + 2nd„. Это представление
чисел, которое мы называем диадическим, единственно
(подобно обычному двоичному представлению,
использующему «О» и «1»). Более того, оно имеет для наших
целей определенные технические преимущества. В этой
главе мы будем отождествлять диадические
числительные с числами, которые они представляют. Заметим,
что если мы упорядочим диадические числительные
лексикографически (т. е. в соответствии с длиной и по
алфавиту в пределах каждой группы с одной и той же
длиной слов), то номер места, которое любое
числительное имеет в этой последовательности, является тем
же самым, что и число, которое оно определяет.
Определим теперь рекурсивно перечислимое
отношение в множестве положительных целых чисел как
28 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. I
такое, которое представило в некоторой элементарной
диадической арифметике. Рекурсивно перечислимое
(РП) отношение, дополнение которого также
рекурсивно перечислимо, называется рекурсивным.
Замечания. В нашем определении рекурсивной
перечислимости выбор знака 2 как основания был,
конечно, произвольным, но будет видно, что с
технической точки зрения это является исключительно
удобным. В следующей главе мы покажем, что, какое бы
основание п мы ни выбрали, определение
«рекурсивной перечислимости» будет эквивалентным
первоначальному определению.
Мы определили рекурсивно перечислимые
отношения в множестве положительных целых чисел. Но это
может быть легко расширено до определения РП
отношений в множестве неотрицательных целых чисел
следующим образом. Для любого отношения W{xh ...
..., хп) в множестве неотрицательных целых чисел
определяем W+ посредством условия: W+{xt ..., #„)-*=*-
<=*~W(xi + 1, ..., #„+1). Мы можем ввести
определение: W является рекурсивно перечислимым
отношением в множестве неотрицательных целых чисел, если
W+ является рекурсивно перечислимым отношением
в множестве положительных целых чисел. Однако мы
будем интересоваться только рекурсивно
перечислимыми отношениями в множестве положительных целых
чисел.
§ 6. Гёделева нумерация
Для неформального пояснения использования гёде-
левой нумерации предположим, что мы имеем теорию,
которая говорит о числах, и мы заинтересованы в том,
чтобы говорить о предложениях этой теории в
пределах самой теории. Это не может быть сделано прямо,
так как теория говорит о числах, а не о предложениях.
Мы можем, однако, достигнуть того же результата
окольно посредством приписывания числа каждому
предложению (так называемого «гёделева номера»
этого предложения) и последующего перевода любого
утверждения о предложениях в соответствующее
утверждение об их гёделевых номерах.
§ 6]
ГЙДЕЛЕВА НУМЕРАЦИЯ
29
Рассмотрим алфавит К, Гёделевой нумерацией
множества слов К мы будем называть любую взаимно
однозначную функцию g из К в (не обязательно на)
множество N всех чисел. Таким образом, g является
взаимно однозначным отображением, которое
приписывает каждому слову X в К единственное положительное
число g(X). Мы будем часто писать Х0 вместо g(X),
и для любого отношения W в К выражение W0 будет
обозначать соответствующее отношение гёделевых
номеров, т. е. W„ = g(W) =*множеству n-ок (giXi), ...
..., g(Xj) таких, что (Xt, ..., Хп) е W.
Мы будем часто применять в этом изложении два
типа гёделевых соответствий. (Еще один тип будет
использоваться в главе IV.) Пусть К — упорядоченный
алфавит {at, ..., а„). Мы хотим приписать гёделевы
номера всем строкам в К. Гёделева нумерация первого
типа, которую мы будем называть лексикографической
гёделевой нумерацией, состоит просто в упорядочении
всех строк в К в лексикографическом порядке и
приписывании каждой строке номера ее места в этой
последовательности. Заметим, что все положительные
целые числа употребляются в этом соответствии (т. е.
g есть отображение на Ю.
Гёделево соответствие второго типа, которое мы
будем часто называть диадическим гёделевьш
соответствием, каждой строке X ставит в соответствие (диади-
ческое) числительное, которое получается из X заменой
каждого вхождения at на 12, az на 122, ..., ап на
122... 2 (знак 2 повторяется п раз); например,
диадическим гёделевьш номером строки a3a4aifl2 является
12221222212122. Чтобы упростить наше обозначение,
впредь будем сокращать числительные 12, 122, 1222,...
соответственно посредством gu gz, git ... Таким
образом, диадическим гёделевым номером строки a3asai«2
является g3gigig2.
Заметим, что диадическое гёделево соответствие
имеет приятное техническое преимущество, поскольку
является изоморфизмом по отношению к конкатенации,
т- е. если х является диадическим гёделевым номером
строки X и у является таким же номером строки Y,
то ху (т. е. строка, в которой за х следует у) является
30 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
гёделевым номером строки XY. Иначе говоря, (ХУH =
= X.Bi 0.
Будем называть гёделеву нумерацию допустимой,
если она удовлетворяет следующему условию: каким
бы ни было отношение W в К, W является формально
представимым над К, если и только если W0
рекурсивно перечислимо, и W разрешимо над К, если и только
если Wo рекурсивно. В главе II мы покажем, что
лексикографическая и диадическая гёделевы нумерации
являются допустимыми.
В этой главе мы будем использовать только диади-
ческое соответствие. Пусть g — функция, которая
каждой строке X ставит в соответствие ее диадический
гёделев номер Х0. Если символы «1» и «2» сами
находятся в К, то каждое числительное п само имеет
гёделев номер п0. Пусть g0 — функция, ставящая в
соответствие каждому п номер п0. Будет удобно упорядочить
К так, чтобы 1 и 2 являлись соответственно первым и
вторым символами. Тогда g0(l) = 12, gaB) = 122 и,
каковы бы ни были числа х и у, строка gAxy) является
конкатенацией gu(x) и ga(y) (здесь ху означает х, за
которым следует у, а не результат умножения х на у).
Заметим, что отношение g(x)=*y формально предста-
вимо над К, так как оно представимо посредством
предиката Р в ЭФС со следующими аксиомами:
Pi, 12
Р2, 122
Ра3, 1222
Ра„, 122... 2 B повторяется п раз)
Рх, y—t-Pz, w—>Pxz, yw.
Отношение go(x) = у также рекурсивно перечислимо
(формально представимо над D), так как оно
представимо посредством Р в такой рекурсивной диадической
арифметике (ЭФС над D), аксиомами которой являются:
Р1, 12
Р2, 122
Р х, у —*• Pz, w —*• Pxz, yw.
§ 7]
УНИВЕРСАЛЬНАЯ СИСТЕМА U
31
§ 7. Универсальная система U
Сейчас мы хотим построить так называемую
«универсальную систему», в которой мы можем, так
сказать, выразить все утверждения о том, что такое-то
число находится в таком-то рекурсивно перечислимом
множестве.
Для построения U мы нуждаемся в способе
«транскрибирования» всех элементарных диадических
арифметик в единственный конечный алфавит. Определим
транскрибированную элементарную диадическую
арифметику (сокращенно ТА) как систему такую же, как
элементарная диадическая арифметика, за
исключением того, что вместо использования индивидуальных
символов для наших переменных и предикатов мы
берем три знака у, ', р и определяем переменную как
любое из слов г/, у", г/", ..., а предикат как строку из
одной или нескольких букв р, за последней из которых
следует строка из штрихов. Количество букв р
используется для указания числа аргументов предиката.
Таким образом, имеем единственный конечный алфавит
К,, имеющий семь символов {1, 2, v, ', р, ', —*■), из
которых строятся все ТА. Совершенно тривиально, что
представимость в произвольной элементарной диадиче-
ской арифметике эквивалентна представимости в
соответствующей транскрибированной арифметике. Таким
образом, отношение рекурсивно перечислимо, если и
только если оно представимо в некоторой ТА. Мы
используем термины «ТА-переменная», «ТА-терм», «ТА-
предикат», «атомарная ТА-формула» и «ТА-формула»
соответственно как сокращения для терминов
«переменная некоторой ТА», «терм некоторой ТА», ...,
«формула некоторой ТА».
Теперь мы построим нашу систему V следующим
образом. Расширим К-, до алфавита Ка посредством
добавления одного нового символа *. ТА с аксиомами
^i, ..., Ак мы хотим поставить в соответствие
единственную строку алфавита К». Этой строкой будет
* At *■ Аг * ... * Ак *. Следуя Посту, такую строку
назовем базой. Под предложением системы U будем
понимать строку вида ВХ, где В — база и X —
ТА-формула. Иначе говоря, предложение есть выражение вида
32 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
* Ai * Az * ... * Ah * X, где Аи ..., Ah, X являются ТА-
формулами. Строки А 1, ..., Ak называются
компонентами базы В. Мы называем предложение приведенного
вида истинным в U, если X выводимо в ТА, аксиомами
которой являются Аи А2, . .., Ah.
Замечание. Мы представили U в виде
семантической системы, а не в виде синтаксической системы,
в том смысле, что понятие истинного предложения
определялось без ссылки на выводимость в какой-нибудь
аксиоматической системе. Можно было бы представить
U как аксиоматическую систему следующим образом.
Аксиомы. Все выражения вида ВХ, где В
является базой, а X является компонентой базы В.
Правила вывода. 1) Если Xt—частный
случай X, то BXi непосредственно выводимо из ВХ.
2) ВХ непосредственно выводимо из двух
предложений BFt и BFi —*■ X цри условии, что Ft является
атомарной формулой.
Выводимые предложения этой аксиоматической
системы в точности те же, что и истинные предложения
системы U, в том смысле, как мы определили их выше.
Эта аксиоматическая система хотя и не является
элементарной формальной системой, тем не менее
является формальной системой в том смысле, что множество
ее выводимых предложений представимо в
элементарной формальной системе. Мы вскоре докажем это.
Представимость в U. Под предикатом Я системы U
(не нужно смешивать с ТА-предикатом) мы понимаем
любое выражение вида ВР, где В является базой
* Ai * А2 * ... * Ah* и Р является ТА-предикатом. Мы
скажем, что предикат Н указанного вида представляет
(в U) множество всех n-ок (it, ..., in) (диадических
числительных) таких, что HU, ..., in выводимо в U, т. е.
таких, что Pii, ..., in выводимо в ТА, аксиомами
которой являются Ан .,., Aft. Таким образом, Н
представляет то же отношение в U, какое Р представляет в ТА,
ассоциированной с В. Итак, ясно, что отношение
представимо в U, если и только если оно рекурсивно
перечислимо. Именно в этом смысле U называется
универсальной системой для всех РП отношений.
Ниэде S обозначает множество всех предложений
системы U и Т — множество всех истинных предложений
§ 8] РЕКУРСИВНАЯ НЕРАЗРЕШИМОСТЬ СИСТЕМЫ V 33
системы U. Для каждого множества W слов в К8 под W
мы понимаем дополнение W до множества всех слов
в Кг. В § 8 мы используем диадическую гёделеву
нумерацию, описанную в § 6. Таким образом, Х0
обозначает гёделев номер X, и, каково бы ни было множество
W выражений в Ка, W0 обозначает множество
соответствующих геделевых номеров; в частности, Т0 является
множеством геделевых номеров истинных предложений
системы U.
§ 8. Рекурсивная неразрешимость системы U
Теперь мы переходим к центральному вопросу
этой главы- Множество Т истинных предложений
системы U формально представимо над Кг, и
соответствующее множество Т0 геделевых номеров является
рекурсивно перечислимым — мы докажем это в
добавлении к этой главе. Сейчас мы хотим доказать вариант
теоремы Чёрча в постовской форме, а именно, что
множество Т0 не является рекурсивным. Чтобы доказать,
что То не является рекурсивно перечислимым, мы
используем вариант известного диагонализационного
рассуждения Гёделя. Пусть X — предложение из U и А ~
любое множество чисел. Мы скажем, что X является
гёделевым предложением для А, если выполняется
следующее условие: X истинно, если и только если его
гёделев номер находится в А. Формулируя иначе:
Х^Т^Хо^А.
Сразу заметим, что не существует гёделева
предложения для множества Т0 (т. е. для множества тех
чисел, которые не принадлежат Г0), так как такое
предложение было бы истинным, если и только если оно
было бы ложным. Следовательно, чтобы доказать, что
То не является рекурсивно перечислимым, достаточно
показать, что, каково бы ни было РП множество А,
существует гёделево предложение для А.
Для любой строки X в К& определяем ее норму или
диагонализацию как строку ХХ0, т. е. строку, в кото-
Рой за X следует ее гёделев номер (записанный в диа-
Дическом обозначении). Заметим, что если X является
одноместным предикатом системы U, то норма ХХ0
34 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
этого предиката является предложением системы V
(это предложение интуитивно выражает следующее: гё-
делев номер X лежит в РП множестве, представленном
посредством X).
Если п является числительным, то п само имеет
гёделев номер п0 и, следовательно, имеет норму пп0.
Вследствие изоморфизма нашей гёделевой нумерации
относительно конкатенации можно сразу утверждать,
что если п является гёделевым номером X, то норма п
является гёделевым номером нормы X.
Для любого множества чисел А определяем А* как
множество всех чисел, норма которых находится в А.
Лемма. Если А рекурсивно перечислимо, то А*
рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Пусть (Е) — элементарная
диадическая арифметика, в которой А представлено
предикатом «Л». Чтобы представить отношение gaix) =
— у (см. § 6), возьмем новый предикат «<?» и добавим
аксиомы из § 6, а именно:
G1, 12
G2, 122
Gx, у —*■ Gz, w —*■ Gxz, yw.
Затем возьмем новый предикат «2?» и добавим одну
аксиому
Gx, у —>■ Аху —*■ Вх.
Тогда «Д» представляет множество А*.
Теперь мы можем доказать следующее:
Теорема. Для каждого РП множества А
существует гёделево предложение.
Доказательство. Пусть А рекурсивно
перечислимо. Тогда таким же является А* (по последней
лемме). Поэтому А* представляется в U некоторым
предикатом Н. Тогда для каждого числа п
Нп истинно -«=»- nei*^ nn0<^A.
Полагая n = h, где h является гёделевым номером Я,
имеем:
Hh истинно -*=*- hh0 <= A.
Однако hh,, является гёделевым номером
предложения Hh. Следовательно, Hh истинно, если и только ее-
ДОБАВЛЕНИЕ
35
ли его собственный гёделев номер принадлежит А, т. е.
Hh является гёделевым предложением для А, что и
требовалось доказать.
Как мы уже отмечали, не существует гёделева
предложения для TQ. Следовательно, установлена
Теорема. (Постовская форма теоремы Чёрча.)
Множество Та не является рекурсивным.
Обсуждение. Это наше доказательство содержит
знаменитую диагонализационную аргументацию Гёделя,
доведенную до обнажения' ее сущности. Достижение
этого с использованием минимума формализованных
механизмов было нашей явно выраженной целью. Весь
использованный арифметический аппарат выявлен в
упомянутой выше лемме.
Наше доказательство рекурсивной неразрешимости
системы U в большой степени основывалось на
специфическом формализме U и на использованной
специфической гёделевой нумерации. В главе III мы в
значительной степени уйдем от этого, т. е. мы дадим очень
общее определение универсальной системы и покажем,
что в действительности все универсальные системы
неразрешимы.
Добавление. Формальная представимость Т и Т0
В этом добавлении мы докажем, что множество Т
истинных предложений системы U формально предста-
вимо над К8 и что Т0 рекурсивно перечислимо. Мы
представим Т в конкретной элементарной формальной
системе °U над КЙ. На протяжении этого
доказательства будет представлено несколько других отношений
в Ks. Некоторые из них нам понадобятся для
представления 7\ другие — для последующего использования.
Ради наглядности мы предлагаем более длинный
список аксиом, чем это необходимо.
Сперва заметим, что знак импликации системы °U
должен быть отличным от знака импликации систем
ТА (транскрибированных элементарных диадических
арифметик). Мы могли бы продолжать использовать
«—»-» в качестве обозначения знака импликации
системы U, но предпочитаем использовать «—*-i> в качестве
обозначения знака импликации системы Щ (так как он
36 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
будет часто встречаться) и обозначать знак
импликации систем ТА посредством «imp». Подобным образом
мы будем теперь использовать обычную запятую в
качестве знака пунктуации системы °U и «com» в
качестве знака пунктуации систем ТА. Переменные системы
41 (не нужно смешивать их с ТА-переменными) будут
обозначаться посредством х, у, z, w с индексами или
без них. Предикаты системы <Ы (не нужно смешивать
их с предикатами системы U или предикатами систем
ТА) будут вводиться по мере необходимости.
Мы сейчас введем аксиомы системы Щ группами,
объясняя предварительно, что должен представлять
каждый вновь вводимый предикат системы <2/.
N представляет множество чисел (диадических
числительных):
ЛГ1
N2
Nx—*-Ny—+Nxy.
А представляет множество строк, составленных из
штрихов:
А'
Ах—>- Ах''.
V представляет множество ТА-переменных:
At —*■ Vvx.
Р представляет множество ТА-предикатов:
Ах—*-Ррх
Рх —*■ Ррх.
t представляет множество ТА-термов:
Nx—>-tx
Vx —*-tx
tx —► ty —*■ txy.
Fo представляет множество атомарных ТА-формул:
Ах —»-1 у —*- F0pxy
F0x —»- ty —► F0px com y.
ДОБАВЛЕНИЕ
37
F представляет множество ТА-формул:
F0x —>Fx
F0x —»- Fy —*■ Fx imp y.
D представляет отношение «ж и у — различные ТА-
переменные»:
Vx —» А у —»- Dx, xy
Dx, у —*- Dy, х.
S представляет отношение «х является строкой
(правильно построенной или нет), которая составлена
из числительных, переменных, предикатов, com, imp;
у — переменная, z — числительное и w — результат
подстановки z вместо всех вхождений у в ж (имеются
в виду те вхождения, за которыми не следует ни один
штрих)»:
Nx —>- Vy —»- Nz —*• Sx, y, z, x
Vx —»- Nz —*■ Sx, x, z, z
Dx, у —*~ Nz —*~ Sx, y, z, x
Px —*■ Vy —*■ Nz —*■ Sx, y, z, x
Vy —>- Nz —»- S com, y, z, com
Vy —*■ Nz —*■ S imp, y, z, imp
Sx, y, z, w —*■ Sxu y, z, u?i —»- Sxxu y, z, wwu
В представляет множество баз системы U:
Fx —»- В * х *
^ж —*• By —*~ В * ху.
Н представляет множество предикатов системы U:
Вх —»- Ру —»- Нху.
Pt представляет отношение «строка ж является
частью строки г/»:
Pt х, х
Pt x, yx
Pt x, xy
Pt x, yxz.
38 ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
С представляет отношение «ж является компонентой
базы у»:
Fx —>- By —* Pt* х*, у —>- Сх, у.
Т представляет множество истинных предложений
системы U:
Сх, у—*Тух
Тух—+ Fx—>-Sx, yu z, w—*Tyw
Тху —*■ Тху imp z —*-Fy imp z —»- F0y —»- Txz.
Это завершает конструкцию системы Щ, в которой
представимо Т. Чтобы представить Т0 над A, 2),
возьмем все выписанные аксиомы и заменим каждый
символ из Кя на его диадический гёделев номер.
ГЛАВА II
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
И РЕКУРСИВНАЯ ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ
В этой главе мы заложим фундамент для остальной
части этой книги.. Результаты раздела # А нужны для
главы III. Раздел # Б нужен для главы IV. Результаты
раздела # В хотя фактически не нужны для нашего
дальнейшего изложения теории рекурсивных функций,
представляют некоторый самостоятельный интерес и
полезны в некоторых метаматематических
применениях.
§ 0. Некоторые предварительные принципы
(а) Общая представимость. Пусть (EJ и (Ег) —
две элементарные формальные системы над общим
алфавитом К. Будем называть их независимыми, если
они не содержат общих предикатов. Под (£,) U (Е2)
понимаем ЭФС над К, аксиомами которой являются
аксиомы системы (EJ вместе с аксиомами системы (Ег),
Ясно, что каждая теорема системы (Ed (i = 1, 2)
является теоремой системы (Ei) U (Ег). Легко проверить,
что если (Ел) и (Е2) независимы, то каждая теорема
системы (Ei) U (Ег) выводима или в (EJ, или в (Е3).
Следовательно, если (Е%) и (Е2) независимы, то
отношение, представимое в системе (Е{) U (Ег), является
таким же или для (Et), или для (Ег). Подобным
образом, если (EJ, (Ez), ..., (Еп) попарно независимы, то
отношение, представимое в системе (Et) U (Ег) U ...
... U (Еп), представимо в одной и только одной из
систем (Ei), (Ег), ..., (Еп).
Утверждение 1. Если Wu W2, ..., Wn
—отношения в К, формально представимые над К, то все
они могут быть представлены в общей ЭФС над К.
Доказательство. Пусть Wu ..., Wn
представлены в соответствующих системах (Et), ..., (Еп) над К.
Так как мы предполагаем, что в нашем распоряжении
40 ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ [ГЛ. II
неограниченный запас символов, которые можно
использовать как предикаты, то мы можем построить
B?i), ..., (En) так, чтобы они не содержали общих
предикатов (т. е. чтобы они были попарно независимы).
Тогда Wu ..., Wn представимы в (Е%) U ... U (Еп).
(б) Несобственные переменные. (Для использования
в # В.) Следующий прием будет иногда уменьшать
число аксиом, необходимых для формального
представления отношений. В добавление к переменным хи ...
..., хп (которые мы могли бы назвать собственными
переменными) возьмем конечное число знаков а, ^, f{,
cti, a2 и т. д., которые мы называем несобственными
переменными. Их допустимые значения — все строки
в К, включая пустую строку, Правило подстановки
теперь позволяет вместо несобственной переменной ос
подставлять любую строку в К, в частности пустую
строку (т. е. стирать все вхождения а). Конечно,
вместо собственных переменных могут быть подставлены
только собственные (т. е. непустые) строки.
Например, предположим, что мы хотим представить
отношение «строка X является частью строки F». Это
отношение представлено посредством Р в следующей
системе (переменные которой все собственные):
Рх, х
Рх, ху
Рх, ух
Рх, zxy.
Однако система может быть укорочена посредством
использования несобственных переменных аир,
собственной переменной х и одной аксиомы: Рх, ах^1).
Утверждение 2. Всякое отношение, которое
представило в системе (Et) над К, использующей
несобственные переменные (возможно, также и
собственные), представимо в системе 1Е2) над К, которая
использует исключительно собственные переменные.
') Переменные, используемые в продукциях Поста, все
несобственные. В элементарных формальных системах мы могли
бы использовать исключительно несобственные переменные, но
такие системы могли бы, вообще говоря, потребовать больше
аксиом, чем при совместном использовании собственных и
несобственных переменных.
§ 1]
ЗАМКНУТОСТЬ
41
Доказательство. Построим (Е2) следующим
образом. Заменяем каждую аксиому А системы 1Е|),
содержащую г несобственных переменных, на 2Г аксиом,
полученных посредством замен всевозможных наборов
несобственных переменных на собственные переменные
и вычеркивания остальных несобственных переменных.
Выводимые предложения системы (Ez) — в точности
те же, что и в системе (Ei). Следовательно, отношения,
представимые в системе (Ег), те же, что и в
системе {Ei).
# А. СВОЙСТВА ЗАМКНУТОСТИ
В главе III наши результаты о неразрешимости
будут выведены из нескольких простых свойств
замкнутости совокупности всех рекурсивно перечислимых
отношений. Эти свойства замкнутости будут
установлены в этом разделе. Здесь же мы покажем, что эти
свойства замкнутости имеют место для совокупности
всех отношений в К, формально представимых над К,
где К — любой фиксированный алфавит. (Последнее
найдет дополнительные применения в разделе # В.)
§ 1. Замкнутость относительно экзистенциальной
определимости
Мы хотим определить, что означает для отношения
W быть экзистенциально определимым из отношений
Wu ..., Wn. Предварительно говоря, это означает, что
W может быть получено из Wu ..., Wn посредством
конечного числа операций объединения, пересечения,
экзистенциальной квантификации и явных
преобразований (к последним причисляются: перестановка и
отождествление переменных, подстановка констант
вместо переменных, добавление новых переменных).
Сделаем теперь это определение точным,
воспользовавшись следующими предварительными определениями.
(а) Объединение и пересечение. Пусть Wu W2 —
«-местные отношения, заданные на множестве S. Под
Wt U W2 понимаем отношение W^Xi, ..., х„) V
V W2(xu ..., хп), т. е. множество всех п-ок (хи ..., хп),
которые находятся в Wt или в W2 (или в обоих мно-
42 ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ [ГЛ. II
жествах). Под Wi П Wz понимаем отношение Wi(xi} ...
..., хп) Д Wa(xu ..., ж„), т. е. множество вбех п-ок,
которые находятся в обоих множествах Wt и Wz. .
Мы называем Wt U Wz объединением Wi и W2 и
Wi П Wz пересечением Wt и W2 (точно так же, как это
обычно делается для множеств). Мы должны еще
добавить, что мы (неформально) используем символы
«V» и « Д *» которые соответственно означают «или»
и «и».
(б) Экзистенциальная квантификация. Если R
является (л+ 1)-местным {п > 0) отношением R(xu ...
..., хп, у), то под E(R) понимаем отношение 3 yRix?,...
..., хп, у), т. е. множество всех w-ок (аг15 .,., хп) таких,
что существует элемент у, при котором (ж,, ..., хп, у) е
<s R. ЕШ) называется экзистенциальной квангифика-
цией R.
(в) Явные преобразования. Пусть хи .. .,хп
являются переменными для элементов S. Пусть каждое из
gi, ..., 5л является или одной из переменных жи ..., ж„,
или элементом S. Пусть W является fc-местным
отношением в 5. Под отношением Kxi, ... хп W(£i, ..., £j
будем понимать множество всех таких ге-ок (а4, ..., ап)
элементов множества S, что (Ьм ..., bh) s W, где
каждое b{ определяется следующим образом:
A) если g< является переменной zh то 6< = а,-;
B) если £( является элементом S, то bt = £<.
Например, пусть S — множество чисел. Тогда
отношение Xxlxix3W(x2t 5» х3, ж3, 7) является множеством
всех таких троек (а,, а2, а3), что пятерка (а2, 5, а3, а3, 7)
является элементом W.
Мы скажем, что отношение Xxi ... xnW(£i, ..., Ы
явно определимо из W. Определим Ф(ж1, ..., хп; £i, • • •
..., |k) как такую операцию, которая ставит в
соответствие каждому Л*-местному отношению W отношение
Xxt ... xaWC£,u ..., £ь); такую операцию мы называем
явным преобразованием.
Заметим, что число аргументов отношения, которое
явно определимо из W, может быть больше числа
аргументов отношения W. Например, пусть W является
множеством A-местным отношением). Мы можем
рассмотреть все упорядоченные пары ( ж, у) такие, что
х е W\ это множество является 2-местным отношением
§ 1]
ЗАМКНУТОСТЬ
43
XxiXiWixi), которое явно определимо из W (оно также
является декартовым произведением W X S).
Пусть теперь 2 является совокупностью отношений
в5с различным числом аргументов. Мы говорим, что
2 замкнута относительно экзистенциальной
определимости, если S замкнута относительно операций
объединения, пересечения, экзистенциальной квантификации
и всех явных преобразований. Для любых отношений
W,, ..., Wn в S мы можем говорить о наименьшей
совокупности So, которая содержит Wu ..., Wn и
которая замкнута относительно экзистенциальной
определимости. S0 — просто пересечение всех совокупностей
if, которые содержат Wu . ..,' Wn и которые замкнуты
относительно экзистенциальной определимости. Мы
скажем, что любой элемент совокупности 2,
экзистенциально определим из Wu .. ., Wn. Иначе говоря, W
является экзистенциально определимым из Wif ..., Wn,
если существует конечная последовательность {Vt, ...
..., Vh) такая, что W — Vh и каждое отношение из этой
последовательности или является одним из Wit или
получается из более ранних членов
последовательности посредством одной из операций объединения,
пересечения, экзистенциальной квантификации, некоторого
явного преобразования *).
Заметим, что любое условие, которое может быть
записано посредством использования только имен
Wu ..., W„, имен элементов S, переменных с
допустимыми значениями из 5, логических связок «Л » и «V»
(которые заменяют соответственно «и» и «или») и
символа «Э» (обозначающего квантор существования),
определяет отношение, которое экзистенциально
определимо из Wu ..., W». Например, пусть W состоит из
множества всех троек (аг, у, z), для которых выполняется
') Мы используем термин «экзистенциально определимый»
в более широком смысле, чем Джулия Робинсон {1]. Она
называет отношение чисел «экзистенциально определимым»,
если оно экзистенциально определимо (в нашем смысле) из двух
отношений: х + у = г, х X у = z. [M а т и я с е в и ч [1], [2]
доказал, что совокупность всех экзистенциально определимых
отношений в смысле Дж. Робинсон совпадает с совокупностью
всех РП отношений (см. также Косовский [2],
Виноградов и Косовский [1], где затрагиваются вопросы,
связанные с конструкциями этого доказательства).— Прим. перев.]
44
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ [ГЛ. II
условие
[Wiix, 13, х) VWt(z)l /\3vWsix, v).
Чтобы доказать, что W экзистенциально
определимо из Wi, W2, Ws, мы выписываем последовательность
W,
w2
Wt = teyzWAx, 13, х)
W5 = XxyzW^z)
we - w4 и ws
W7 = Kx^vWi(.x, v)
Ws = keyzW^x)
W = W9 = We П W8.
Впредь, когда мы будем утверждать, что некоторое
отношение W экзистенциально определимо из
отношений Wi, ..., W„, будем удовлетворяться выписыванием
условия принадлежности к W вместо явного указания
схемы, как это сделано выше.
Теорема 1. Совокупность 2 всех отношений в К,
которые формально представимы над К, замкнута
относительно экзистенциальной определимости.
Доказательство. Нужно доказать, что 2
замкнута относительно объединения, пересечения,
экзистенциальной квантификации и явных
преобразований.
(I) Объединение. Пусть W = Wt U W2, где Wi и
W2 — га-местные отношения, которые формально
представимы над if. По § 0 мы можем получить ЭФС (Е)
над К, в которой Wt и Wa представлены, скажем,
предикатами Pi и Рг. Возьмем новый предикат Р п
добавим к системе (Е) аксиомы
* l^l, • • •, Хп -"—^ * *^1, • » ч Хц)
"?.Xi, • • ., Хп *" "Х\, , . ., Хп.
В этой расширенной системе предикат Р представляет
Wt V W,.
ПРИЛОЖЕНИЯ
45
(II) Пересечение. Вместо выписанных двух аксиом
добавим единственную аксиому
Теперь предикат Р представляет Wt Л W2.
(III) Экзистенциальная квантификация. Пусть Р
представляет отношение R(xi, ..., хп, у) в B?).
Возьмем новый «-местный предикат Q и добавим аксиому
"Xiy . . ., Xni I/ *" \{Xi, , . ., Жп-
Тогда предикат Q представляет отношение 3 yR(xu ...
• • ч •£«» У'-
(IV) Явные преобразования. Пусть V = %Xi...
... ж„ W(gi, ..., |J. Пусть предикат Р представляет
И7 в системе B?). Возьмем новый предикат Q и
добавим аксиому
* 61» • • •» Ъ* *"QXU ' • •» #п-
Тогда предикат () представляет F.
Это завершает наше доказательство теоремы 1.
Отметим, что для К, являющегося алфавитом {1,2),
теорема 1 говорит, что совокупность всех рекурсивно
перечислимых отношений замкнута относительно
экзистенциальной определимости.
Приложения
(а) Образы и прообразы отношении при
функциональных соответствиях. Пусть W — re-местное
отношение в S, и пусть / — функция, отображающая из S
в S. Под }(W) будем понимать множество всех ге-ок
(/(ж4), ..., f(xn)) таких, что (xi, ..., хп) <s W. Под
f~l(W) будем понимать множество всехп-ок (xlt...,хп)
таких, что (f(xi), ..., /(#„)) ^ И7. В случае, когда W —
множество, мы называем /(W) и /~ЧЙО соответствен-
-но /-образом и /-прообразом W.
Оба отношения fiW) и /-1(W) экзистенциально
определимы из W и / (т. е. из W и отношения fix) = у).
Действительно, пусть Vu V2 — два этих отношения
(соответственно). Тогда
A) FtUi, ..., хп) определено условием
эУ1...3у11[/A/1)=ж1Л .../\f(yJ=xn/\W(yu ..., у»)];
46 ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ [ГЛ II
B) V2(xi, ..., хп) определено условием
Эг/1...Эг/п[/(а:1)==г/1Л .-./\№п)=уп /\Ш(уи ..., уп)].
(б) Диагонализация, подстановка, композиция. Для
всякой функции fix, у) определим функцию / одного
-> -*
аргумента условием: fix) = fix, x). Очевидно, что /
явно определима из /, следовательно, разумеется,
экзистенциально определима из /.
Для любого отношения Rizi, ..., zn, Xi, ..., хт) под
Rilt ••-,{„ мы понимаем множество всех т-ок (xt, ...
..., хт) таких, что Riiu ..., гв, хи ..., хт).' Таким
образом, Д{х in (жь ..., хт) -«=*-itoi, ..., in, Xi,...,xm).
Мы говорим, что i?ix- in получается из R
посредством подстановки. Опять очевидно, что R^ in явно
определимо из R, следовательно, экзистенциально
определимо из R.
Для любой функции fizi, ..., 2„, хи ..., хт) под
/ij,...,i„ понимаем функциютаргументов,
определяемую условием: fit in ixu ..., zm)=/UlT ..., i„, xit ...
..., xm). Очевидно, что /^ ... % явно определима из /
(т. е. отношение f%u_,_in ix%, ..., хт) = у явно
определимо из отношения fizu ..., zn, xu ..., хт) = у).
Особенно важное применение этого будет в случае
т = п = 1. Тогда /Дж) = fii, x).
Пусть gu ..., gm~ re-местные функции. Определим
функцию / о igu ..., gm) как функцию h,
удовлетворяющую условию: hixi, ..., x„)=figiixu ..., хп), ...
..., gmixu ..., хп)). Мы говорим, что h получается из
/» £i> • • ч gm посредством композиции. Хотя h не
является явно определимой из /, gi, ..., gm, она тем не
менее является экзистенциально определимой из /,
8и • •«, gm, так как отношение hixu ..., хп) = у
определяется условием
3&i • -. yJ-giixu . •., хп) = г/i Л • • •
... Л gmixU • • ., Хп) = Ут Л /(#1, • • м Ут) = у).
(в) Декартовы произведения, композиция
отношений, инверсия. Для любых множеств 5t, ..., 5„
декартово произведение St X ... X Sn (т. е. множество всех
ПРИЛОЖЕНИЯ
47
таких и-ок (xi, .,..,хп), что Xi^St и...и xn^Sn)
экзистенциально, определимо из Su ..., Sn; фактически
оно определимо из Sif ..., Sn посредством явных
преобразований и пересечения. Действительно, если мы
положим Wi = Xxt ...хп(х{^S{), то SiX ...Sn =■=
= Wi П ... П Wn. Композиция Ri\R2 двух двуместных
отношений i?i и R2 (т. е. множество всех таких
упорядоченных пар (ж, у), что для некоторого z имеют
место xRiZ и zR%y), несомненно, экзистенциально
определима из Ri, R2. Наконец, инверсия (или обращение)
R отношения Rix, у) (т. е. множество всех
упорядоченных пар (х, у) таких, что Riy, x)) явно
определима из R, следовательно, экзистенциально
определима из R. Из (а), (б), (в) непосредственно получается
следующее следствие теоремы 1.
Следствие 1. (а) Если W и f формально пред-
ставимы над К, то такими же являются f(W) и f~l(W).
(б) Если fix, у) формально представима над К, то
такой же является ее диагональ /. Если R(Zi, ..., z„,
хи ..., xm) формально представимо над К, то для
любых элементов U, ..., in отношение R^ %п (хи..., х„)
(как отношение между хи ..., хт) формально
представимо над К. Если fizu ..., zn, xu ..., xm)
формально представимо над К, то такой же является функция
fix in. Совокупность всех функций, которые
формально представимы над К, замкнута относительно
композиции.
(в) Декартово произведение St X .«. X Sn
формально представимых над К множеств также формально
представимо над К. Совокупность всех двуместных
отношений, формально представимых над К, замкнута
относительно инверсии и композиции отношений.
Нам также понадобится
Следствие 2. Пусть f — взаимно однозначная
функция из К в К, формально представимая над К.
Пусть W — некоторое отношение в К. Тогда
W формально представимо Над К -**- f{W)
формально представимо над К.
Доказательство. Если W формально
представимо над К, то таким же является. /(W) по
вышеупомянутому следствию. Предположим, что f{W) фор-
48
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
[ГЛ. II
мально представимо над К. Тогда таким же является
f^fiW)*) — по следствию 1. Но так как /
предполагается взаимно однозначной из К^ в К, то f~lf{W) = W.
Итак, W формально представимо над К.
§ 2. Разрешимость над К
Теорема 2. Совокупность всех отношений,
разрешимых над К, замкнута относительно дополнения,
объединения, пересечения и всех явных
преобразований.
Доказательство. Докажем более общее
утверждение: если совокупность Е отношений в
множестве S замкнута относительно экзистенциальной
определимости, то совокупность 2х всех отношений W
таких, что W и его дополнение W находятся в 2,
замкнута относительно дополнения, объединения,
пересечения и всех явных преобразований. Тогда теорема 2
непосредственно получится из теоремы 1.
Для дополнения доказательство тривиально. Что
касается объединения, то пусть W, V — re-местные
отношения из 2* и М = W U V. Ясно, что М ^ 2. Кроме
того, М = W Л V, и так как W и V находятся в 2 (по
предположению), то там же находится их пересечение
М. Таким образом, М^Ъ и М^Ъ, т. е. Же=2х. Это
доказывает замкнутость 2х относительно объединения.
Доказательство для пересечения, очевидно,
двойственно (или очевидно из свойств объединения и
дополнения). Что касается явных преобразований, то пусть
М = ах, ... xnW%u ..., % J. Тогда М = XXi... xnW{%u ...
..., IJ. Таким образом, если М явно определимо из Wr
то М явно определимо из W. Если теперь W <= 2х, то W
и W находятся в 2, следовательно, М и М находятся
в 2, т. е. М е 2х. Это заканчивает доказательство.
Следствие. Инверсия любого отношения,
разрешимого над К, также разрешима над К. Для
любого отношения Rizi, ..., zn, хи ..., xm); разрешимого
над К, и для любых элементов iu ..., in из Я
отношение R{i,...,in разрешимо над К. Аналогично с функ-
!) Автор иногда при записи композиции функций опускает
скобки.— Прим. перев.
§2]
РАЗРЕШИМОСТЬ НАД К
49
циями. Декартово произведение множеств,
разрешимых над К, также разрешимо над К. (Мы
напоминаем, что 5j X ... X Sn экзистенциально определимо из
Su ..., Sn при использовании лишь пересечения и
явных преобразований.)
Теорема 2.1. Пусть f — функция, формально
представимая над К. Тогда f-прообраз любого
отношения, разрешимого над К, разрешим над К.
Доказательство. Предположим, что W разре^
шимо над К и / формально представима над К. Тогда
W и W формально представимы над К. По теореме 1
f~l(W) и f~x{W) формально представимы над К. Но
легко проверить, что /"ЧИП является дополнением
множества f~KW). Итак, множество f~KW) и его
дополнение формально представимы над К,
следовательно, j~KW) разрешимо над К.
Следующая теорема по своему характеру более
похожа на лемму; она будет иметь приложения в
разделе #В и в главе III.
Теорема 2.2. Пусть W^WU где Wu W2 —
отношения в К. Пусть Wz разрешимо над К. Тогда Wt
разрешимо над К, если и только если Wi и W2\Wt
формально представимы над К.
Доказательство, (а) Предположим, что Wl и
wSw* формально представимы над К. По
предположению W2 также формально представимо над К.
Следовательно, объединение (W2\Wt) U W2 формально
представимо над К. Но это объединение есть W, (так
как W± s Шг). Итак, Wt (так же, как и WJ формально
представимо над К, т. е. Wt разрешимо над К.
(б) С другой стороны, предположим, что Wt
разрешимо над К. Поэтому Wt и Wt формально
представимы над К. По предположению Wz также
формально представимо над Я. Следовательно, VP2\Wj (т.е.
пересечение Wz Л WJ формально представимо над К.
Итак, Wt и Wz\Wt формально представимы над К.
Обсуждение. Рассмотрим теперь все результаты
раздела #А для случая, когда К является алфавитом
A, 2} диадических числительных. Теорема 1 в этом
случае говорит, что совокупность всех РП (рекурсивно
50 ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ [ГЛ. II
перечислимых) отношений замкнута относительно
экзистенциальной определимости, т. е. замкнута
относительно объединения, пересечения, экзистенциальной
квантификации и всех явных преобразований.
Теорема 2 говорит, что совокупность всех рекурсивных
отношений замкнута относительно булевых операций
(дополнения, объединения и пересечения) и также
относительно всех явных преобразований. Теорема 2.1
говорит, что если / — рекурсивно перечислимая
функция, то /-прообраз рекурсивного отношения
рекурсивен. Теорема 2.2 говорит, что если isB и В
рекурсивно, то А является рекурсивным, если и только если
А и В\А — рекурсивно перечислимые отношения.
В следующем разделе мы рассматриваем
дополнительные свойства замкнутости совокупности всех РП
отношений. Эти свойства (в отличие от рассмотренных
в этом разделе) будут затрагивать арифметическое
значение диадических числительных.
# Б. РЕКУРСИВНАЯ ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ
§ 3. Рекурсивная перечислимость некоторых
основных арифметических отношений
Теорема 3. Отношения ах непосредственно
следует за у» (т. е. x = y + i), лг<у, х^у, х>у, х>у,
х = у, х¥=у, x + y — zy xXy = z рекурсивно пере-
числимы.
Доказательство, (а) Отношение «х
непосредственно следует за у» представляется посредством 5
в элементарной диадическои арифметике, аксиомами
которой являются
52, 1
511,2
5ж2, xl
Sy, x—^Syl, x2.
(б) Добавим к этим аксиомам
Sxy y-+Ly, x
Lx, y—+Ly,z —^Lx, z.
§ 4]. РЕКУРСИВНЫЕ И ЧАСТИЧНЫЕ РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 51
Тогда L представляет отношение х<у.
(в) Добавим к аксиомам из (а) и (б) аксиомы
Lx, y—+L'x, у
L'x, x.
Тогда L' представляет отношение х^у. Так как
отношения х < у и х ^ у рекурсивно перечислимы, то
такими же являются их обращения х > у и х^у.
(г) Добавим к аксиомам из (а), (б), (в) аксиомы
Lx, у —+ Dx, у,
Ly, x—+Dx, у.
Тогда D представляет отношение хФу.
(д) Отношение х = у представляется посредством /
в системе
1х, х.
(е) Добавим к аксиомам из (а) аксиомы
Sy, х—+Ах, 1, у
Sy, w—*-Ах, w, v—*■ Sz, v—*■ Ах, у, z.
Тогда А представляет отношение х + у — z.
(ж) Добавим к аксиомам из (а) и (е) аксиомы
Мх, 1, х
Mxf w, v—*-Av, x, z—*-Sy, w—+Mx, y, z.
Тогда М представляет отношение х X у = z.
§ 4. Рекурсивные и частичные рекурсивные
функции
Tje о р е м а 4. Если отношение f{xu ..., х„) = у
рекурсивно , перечислимо, то f является рекурсивной
функцией (т. е. отношение f(xit ..., хп) = у
рекурсивно), г
Доказательство. Пусть Л(аг4, ..., хп,. у) —
отношение /(#», ..., хп) = у. Нам дано, что R — РП
отношение. Мы должны показать, что R является РП
отношением.
Пусть (,Е) — элементарная формальная система над
{1, 2), в которой «i?» представляет if и в которой
52
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
[ГЛ. II
«D» представляет отношение хФу (это отношение
рекурсивно перечислимо по теореме 3). Возьмем новый
предикат Р и добавим аксиому
tiXi, • • ч #Bj Z *" LfZ, у *" "Xi, . . ., Хп, у.
Тогда Р представляет Л.
Мы видим, например, что согласно теоремам 3 и 4
функции х + у и хХ.у являются рекурсивными.
Частичные рекурсивные функции. Пусть fixu ...
..., хп) — функция, определенная на некоторых (но не
обязательно на всех) га-ках чисел. Пусть б/ —
множество гс-ок, на которых / определена. Мы называем /
частичной рекурсивной функцией, если отношение
f(xu ..., ж„) — у является рекурсивно перечислимым.
Теорема 4, очевидно, является лишь специальным
случаем следующей теоремы.
Теорема 4.1. Если f — частичная рекурсивная
функция и если область определения б/ функции f
рекурсивна, то отношение f(xu ..., хп) = у является
рекурсивным.
Доказательство. Пусть опять R(xt,..., хп, у) —
отношение /(ж,, ..., хп) = у. Пусть (Е) — ЭФС над
{1, 2}, в которой «Д» представляет R, «D»
представляет отношение хФу и «(?» представляет дополнение
множества б/. Возьмем новый предикат Р и добавим
аксиомы
Rxu ..., ж„, y-^-Dz, у—*Рхи ..., хп, %
i^X{, • •., Хп *Xij • ■., Xnj У*
Тогда Р представляет отношение R.
§ 5. Ограниченная квантификация;
конструктивная') определимость
Для любого отношения n\Xi, ..., хПу у)
посредством EF(R) мы обозначаем множество всех (гс-М)-ок
(.Xi, ..., хп, z) таких, что существует число у,
меньшее, чем z, и такое, что R(xu ..., хп, у). Отношение
■) Слово «конструктивный» в этой книге автор, как
правило, использует в более узком значении, чем это принято в
конструктивной математике.— Прим. перев.
§5]
ОГРАНИЧЕННАЯ КВАНТИФИКАЦИЯ
53
EF(R) будет также записываться следующим образом:
kx^..xnz3y<zR(xi, ..., хп, у);
более кратко: 3i/<z R(xu ..., х„, у). Посредством AAR)
мы обозначаем множество всех (гс+1)-ок (xlt ..., xn,z)
таких, что для каждого у, меньшего, чем z, R(xu ...
• • •, хп, у). Отношение AF{R) будем также записывать
следующим образом: kxt...xnzVy<z Rixi, „.., хп, у)',
более кратко: Vi/<z R(xt, ..., хп, у). Мы говорим, что
EAR) получается из R посредством ограниченной
экзистенциальной квантификации и что AF(R)
получается из R посредством ограниченной универсальной
квантификации.
Теорема 5. (а) Если R является РП
отношением, то такими же являются EF(R) и AF(R).
(б) Если R является рекурсивным отношением, то
такими же являются EF(R) и AAR).
Доказательство. Пусть Ri и R2 —
соответственно отношения EF{R) и AF{R).
(а) Отношение Ri экзистенциально определимо из
отношения R и отношения х<у, ибо Ri(xu ...
..*, хп, у) ■*-*3z[z<y Л R(xt, ..., хп, z)]. Так как по
условию теоремы R рекурсивно перечислимо и
отношение х<у рекурсивно перечислимо, то Rt
рекурсивно перечислимо.
Что касается R2, то пусть СЕ) — ЭФС над {1, 2),
в которой «R» представляет R и «S» представляет
отношение «ж непосредственно следует за у» (мы уже
знаем, что это отношение рекурсивно перечислимо).
Добавим аксиомы
Rz(xu ..., хп, 1)')
Rz(xu ..., хп, z) —>- Sw, z —*■ R(xi, ..., xn, z) —*■
—*■ Rzixi, ..., xn, w).
Тогда «i?2» представляет R2, т. е. AF{R).
(б) Очевидно, что (б) следует из (а), так как
AF{R) является дополнением EF(R) и EF(R) является
дополнением AF{R).
') Это условие выполняется автоматически, поскольку не
существует положительного целого числа, меньшего, чем 1.
54
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
[ГЛ. II
Конструктивная определимость. Мы скажем, что
отношение А в множестве положительных целых чисел
является конструктивно определимым из отношений
А\, ..., А„, если А получается из них посредством
конечного числа применений следующих операций:
A) объединение,
B) пересечение,
C) явные преобразования,
D) ограниченная квантификация
(экзистенциальная и универсальная),
E) дополнение.
Заметим, что если бы мы исходили из отношений
Ai, ..., Ап и их дополнений Аи ..., Ап, то мы не
нуждались бы в операции (£). (Это может быть
подтверждено рассуждением, похожим на приведение к
предваренной (пренексной) нормальной форме1).)
Если вместо D) мы разрешим неограниченные
кванторы, то так полученные отношения могут быть
названы «определимыми в языке первого порядка из
At, ..., Ап». Отношение А называется (следуя Гёде-
лю) арифметическим, если оно определимо в языке
первого порядка из отношений x + y = z и хХу = z.
Если А конструктивно определимо из сложения и
умножения, то мы будем называть его конструктивно
арифметическим. Из теорем 2 и 5 немедленно следует,
что все конструктивно арифметические отношения
являются рекурсивными.
Совокупность 2 РП отношений называется базисом
(для РП отношений), если каждое РП отношение
получается экзистенциальной квантификацией
некоторого элемента 2. Совокупность 20 РП отношений будем
называть подбазисом (для РП отношений), если
совокупность 2 всех отношений, которые конструктивно
определимы из 20, образует базис для РП отношений.
Из результатов Гёделя легко следует, что
конструктивно арифметические отношения образуют базис для
РП отношений (в другой формулировке: отношения
') Речь идет о доказательстве возможности эквивалентного
преобразования любой формулы языка первого порядка в
предваренную (пренексную) нормальную форму. Такое
доказательство излагается во многих учебниках математической логики.—
Прим. перев.
§ 6]
РАСШИРЕНИЯ АЛФАВИТОВ
55
x + y—z, xXy = z образуют подбазис); мы докажем
это в главе IV. Этот результат особенно важен при
доказательстве теоремы Гёделя о неполноте (и
близких к ней результатов о неразрешимости) для
математических систем, в которых определимы сложение
и умножение (см. дополнение).
# В. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛФАВИТОВ. ГЁДЕЛЕВА
НУМЕРАЦИЯ
В этом разделе мы покажем:
(I) Если К является подалфавитом L, то
отношение W в К формально представимо над L, если и
только если оно формально представимо над К.
(II) Допустимы (в смысле § 6 главы 1) и
лексикографическая, и диадическая гёделевы нумерации.
(III) Наше определение рекурсивной
перечислимости (при котором в качестве основания выбирается
число 2) в действительности не зависит от выбранного
основания.
§ 6. Расширения алфавитов
Для любой ЭФС (Е) над К и для любого
расширения L алфавита К определяем (Е)ь как такую ЭФС
над L, аксиомы которой те же, что и у СЕ) (в
частности; (Е)К=(Е)). Предикат Р системы (Е) не
обязательно представляет в СЮь то же отношение, какое
он представляет в {Е)к. Однако по любой ЭФС СЕ)
над К с предикатами Р1? ..., Рт всегда можно
построить такую ЭФС (Е) над К, что при любом
расширении L алфавита К каждый Pi представляет^ в (Е)х, и
(Е) одно и то же отношение. Мы строим (Е)
следующим образом.
Пусть аи ..., ап — символы алфавита К; пусть
Хи ..., Хг — аксиомы системы B?). Возьмем новый
предикат Q (который должен представлять множество
К) и для каждой аксиомы X системы {Е) обозначим
посредством X строку Qx^. —»-... —*■ Qx, —>- X, где
хи ..., х, — все переменные, входящие в X. Мы теперь
56
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
[ГЛ. II
определим Ш) как систему, аксиомами которой
являются
Qan
Qx—^Qy^Qxy
Xi
Пусть L — расширение _алфавита К. Легко видеть;
что Q представляет К в (E)L и что каждый предикат
Pi системы (Е) представляет в Ш)ь то же самое
отношение Wt, какое он представляет в {Е). Таким
образом, мы имеем
Утверждение 3. Пусть К — подалфавит L,
и пусть W — отношение в множестве К, формально
представимое над К. Тогда W формально представимо
и над L.
§ 7. Диадическая гёделева нумерация
Предположим, что К является алфавитом {аи ...
..., ап}, содержащим по крайней мере два символа.
Можно предположить без какой-либо существенной
потери общности, что этими символами являются «1»
и «2». Обозначим посредством D алфавит A, 2} диа-
дических числительных (считаем, что он является под-
алфавитом К) и рассмотрим диадическую гёделеву
нумерацию g совокупности К (определение см. в § 6
главы 1). Пусть G — это множество giK), т. е.
множество всех чисел, которые являются гёделевыми
номерами выражений из К. Заметим, что G представляет
собой множество всех чисел, которые могут быть
выражены как конкатенация чисел 12, 122, ..., 122... 2
B повторяется п раз). Очевидно, что множество G
рекурсивно перечислимо (формально представимо над
D); оно представляется посредством Q в ЭФС над D,
§ 7]
ДИАДИЧЕСКАЯ ГЁДЕЛЕВА НУМЕРАЦИЯ
57
аксиомами которой являются
<?12
(Н22
Q122... 2 B повторяется п раз)
Qx—+ Qy —+ Qxy.
Для каждой ЭФС (Е) над К мы определяем (£)„
как такую ЭФС над D, аксиомы которой получаются
из аксиом системы (Е) заменой каждого символа
алфавита К его диадическим гёделевым номером. Пусть
Р представляет W в (Е). Из этого не всегда следует,
что Р представляет W0 в СЕH. Однако, если сперва
мы рассмотрим систему (.Е), определенную в § 6,
и затем возьмем систему (ЕУ0, то легко увидеть, что
Q будет представлять множество G в (Е)9 и что Р
будет представлять We. Следовательно, если W
формально представимо над К, то W0 является РП
отношением. Обратно, предположим, что W0 является РП
отношением. Так как W„ формально представимо над
D, то Wa формально представимо над К (по
утверждению 3). Так как W = g~yiWo) и так как функция g
формально представима над К (как показано в
главе I), то в силу утверждения (а) следствия 1
теоремы 1 W формально представимо над К. Таким
образом, имеет место
Теорема 6. При диадической гёделевой
нумерации g множества К отношение W в К формально
представимо над К, если и только если W0 является
РП отношением.
Теперь мы можем доказать следующее
утверждение.
Теорема 7. Пусть К содержит по крайней мере
два символа; пусть K^L, и пусть W — отношение
в К. Тогда имеем: W формально представимо над
К -*=*- W формально представимо над L.
Доказательство. Без какой-либо потери
общности можно предположить, что D является подалфа-
витом К. Упорядочим L таким образом, чтобы
символы алфавита К находились в начале; пусть gi — диа-
58
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
[ГЛ. II
дическая гёделева нумерация К, и пусть g2 — диади-
ческая гёделева нумерация L. Тогда g% является
продолжением функции gty т. е., какова бы ни была
строка X в К, gt(X) =gz(X).
Пусть W — отношение в К. Мы имеем:
A) W формально представимо над К -*=*- gi(W)
рекурсивно перечислимо (по теореме 6).
B) W формально представимо над L -«=*■ giiW)
рекурсивно перечислимо (опять по теореме 6).
Но gi(W)=g2(W) (так как W является
отношением в К).
Следовательно, по A) и B) имеем: W формально
представимо над К ■**■ W формально представимо
над L.
Следствие. Всякое отношение А в множестве
положительных целых чисел (в диадическом
обозначении), формально представимое над некоторым
расширением алфавита D, рекурсивно перечислимо (г. е.
формально представимо над {1, 2}).
§ 8. Разрешимость
Под К(п) мы понимаем и-кратное декартово
произведение XX...XX {К повторяется п раз). Для
любого расширения L алфавита К множество К разрешимо
над L (см. пример г) из § 3 главы I), следовательно,
К{п) разрешимо над L в силу третьего утверждения
следствия из теоремы 2.
Теорема 8. Пусть K^L и W — п-местное
отношение в К.
(а) Если W разрешимо над К, то W разрешимо
над L.
(б) Если W разрешимо над L, то W разрешимо
над К при условии, что К содержит по крайней мере
два символа.
Доказательство. Мы только что видели, что
Юп) разрешимо над L. Следовательно (по теореме 2.2),
W разрешимо над L, если и только если W и №n)\W
формально представимы над L.
§ 9] ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 59
(а) Предположим, что W разрешимо над К. Тогда
W и №n>\W формально представимы над К.
Следовательно, W и K{n)\W формально представимы над L
(по утверждению 3). Следовательно, по теореме 2.2
W разрешимо над L.
(б) Предположим, что отношения W и Kin)\W
формально представимы над L и К содержит по
крайней мере два символа. Тогда W и №n)\W формально
представимы над К (по теореме 7). Следовательно, W
разрешимо над К (опять по теореме 2.2).
§ 9. Лексикографическое упорядочение;
n-адическое представление чисел
Пусть К — алфавит из п символов at, a2t ..., ап
(«5=2), и пусть Хи Xz, ..., Х{, ...—
последовательность всех строк в К, упорядоченных
лексикографически, т. е. упорядоченных по длине и в алфавитном
порядке в пределах каждой группы одинаковой длины.
Мы определяем функцию S из К_в К_ посредством
условия S(Xi) = Xi+i. Таким образом, S(Xt) является
строкой, непосредственно следующей за Xt в
лексикографической последовательности.
Мы обозначаем посредством Kt множество всех
слов в алфавите из одного символа at. Для всякого
положительного числа i обозначаем посредством i_
строку длины i, состоящую из символов at,
Определяем функцию h посредством условия h(Xi) =_^
Заметим, что h является функцией из К на Kt. Сейчас
мы хотим^ доказать: W формально представимо над
К <=*■ h(W) формально представимо над К.
Лемма, (а) Функция S формально представимо
над К.
(б) Функция h формально представила над К.
Доказательство, (а) Отношение S(x)=y
представимо посредством Р в такой ЭФС над К,
аксиомами которой являются
Saau ao2
5аог, сея*
60
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
[ГЛ. II
5сш„_1, аап
San, a^i
Sx, x —>■ Sxan, x'au
(Здесь а — несобственная переменная; см. § 0.)
(б) Добавим к только что выписанным следующие
аксиомы:
Hat, a{
Их, у—^ Sx, х'—*■ Их'', уаи
Тогда Я представляет отношение k(x) = у.
Утверждение 4. W формально представимо
над K-**-h(W) формально представимо над К.
Доказательство. Так как h является взаимно
однозначным отображением {на множество своих
значений) и формально представимо над К, то
достаточно применить следствие 2 теоремы 1.
n-адическое представление положительных целых
чисел. Под ?г-адическим представлением положительных
целых чисел мы понимаем следующее. Берем п символов
Аи Д2, ..., An (называемых п-адическими цифрами)
в качестве имен соответствующих положительных
целых чисел 1, 2, ..., п. Далее берем любую строку
Air^v^! • • • Аг0 в качестве имени числа г0 " nh + n*h +
+... + nriT. (Это было сделано в главе I для
специального случая п — 2.) Каждая строка А из знаков Ai,...
..., А„ называется п-адичеспим числительным. (При
п = 1 будем называть ее унарным числительным, а не
унадическим числительным.) Заметим, что если мы
упорядочим ?г-адические числительные
лексикографически, то номер позиции, занимаемой числительным
А, является числом, обозначаемы^ посредством А
в n-адическом обозначении. Иначе говоря, если мы
рассматриваем лексикографическую гёделеву
нумерацию всех слов в ?г-буквенном алфавите К (см. § 6
главы I), то лексикографический гёделев номер любой
строки X представляет собой и-адическое
числительное, получаемое подстановкой в нее А4 вместо аи ...
..., А„ вместо ап.
§ 9] ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 61
Для каждого h обозначим посредством Dn алфавит
n-адических цифр. Будет удобно выбрать все символы
Aj так, что Dn^Dn+l для любого п. (Мы могли бы
начать со счетной бесконечной последовательности
символов: Ai, Д2, ..., А*, ... и определить D„ как
алфавит из первых п символов последовательности.)
Для п «S 9 мы можем взять в качестве At, A2, ...
..., А9 обычные цифры «1», «2», ..., «9». Для м>9
читатель может изобрести свою собственную
символику.
Для любого числового отношения А (т. е.
отношения в множестве положительных целых чисел)
обозначим посредством А(п) соответствующее отношение
/г-адических числительных.
Теорема 9. Для п, т5* 2:
(а) А(п) формально представимо над Dn -«=*- Aim)
формально представимо над Dm.
(б) Aw разрешимо над 2?„-*=^Л(т) разрешимо'
над Dm.
Доказательство, (а) Пусть алфавитом К в
утверждении 4 будет алфавит Dn. Заметим, что А^ =
= h(Aln)). Следовательно (по утверждению 4), А1п)
формально представимо над D„, если и только если
Ji(i> формально представимо над Dn. Подобным
образом Л(т) формально представимо над Dm, если и
только если Л{1) формально представимо над Dm. Но так
как каждый из алфавитов Dn и Dm содержит по
крайней мере два символа и один из них является
расширением другого, то из теоремы 7 непосредственно
следует, что A(i) формально представимо над Dn,, если
и только если Aw формально представимо над Dm.
Следовательно, А(п) формально представимо над Dn,
если и только если Л(т) формально представимо
над Dm.
(б) Утверждение (б) является тривиальным
следствием (а).
Следствие, При любом п^2 имеем: Ain)
формально представимо над Dn, если и только если А
рекурсивно перечислимо (и АСП) разрешимо над Dn, если
и только если А рекурсивно).
Доказательство. Применяем теорему 9 при
то = 2.
62
ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ
[ГЛ. II
Отношение А в множестве положительных целых
чисел мы могли бы назвать «рекурсивно
перечислимым в /г-адической записи», если Ain) формально пред-
ставимо над Dn. Теорема 9 говорит, что при п, т>2
А рекурсивно перечислимо в n-адической записи, если
и только если А рекурсивно перечислимо в т-адиче-
ской записи. Таким образом, как было сказано в
главе I, наше определение рекурсивной перечислимости
не зависит от выбранного основания п при условии,
что /г>1. Рассмотрим теперь случай /г = 1. Скажем,
что А рекурсивно пере числимо в унарной записи, если
Л(Ц формально представимо над Z)t (число i,
представленное в унарной записи, является просто строкой
единиц длины г). Предположим теперь, что А рекурсивно
перечислимо в унарной записи. Тогда A(i), конечно,
формально представимо над D„ (для любого п),
следовательно, Ат формально представимо над Dn (по
утверждению 4, так как A(i) =M-4(n))), т. е. А
рекурсивно перечислимо в n-адической записи. Итак, если
А рекурсивно перечислимо в унарной записи, то оно
рекурсивно перечислимо в /г-адической записи.
Обратное утверждение, однако, мы еще не установили. Все,
что мы можем сказать (опять применяя утверждение
4),— это то, что если А рекурсивно перечислимо в п-
адической записи, то Ащ формально представимо над
некоторым расширением Dt; это не означает, что Аа)
формально представимо над Dt. Однако последнее
следует из одного результата главы IV, состоящего в том,
что каждое рекурсивно перечислимое отношение
является результатом экзистенциальной квантификации
некоторого конструктивно арифметического отношения и
что каждое РП отношение является на самом деле РП
отношением в унарной записи. Предполагая известным
этот результат из главы IV, рассуждаем следующим
образом.
Пусть Ei — совокупность всех отношений, которые
рекурсивно перечислимы в унарной записи. Мы знаем
(по теореме 1), что Si замкнута относительно
объединения, пересечения, экзистенциальной квантификации
и всех явных преобразований. Следовательно, остается
только показать, что 2t содержит отношения
сложения и умножения и что 24 замкнута относительно ог-
§10] ДОПУСТИМЫЕ ГЁДЕЛЕВЫ СООТВЕТСТВИЯ 63
раниченной квантификации. Отношение «х
непосредственно следует за у», очевидно, рекурсивно
перечислимо в унарной записи. (Оно задается даже более
простым образом, чем в диадической записи.) Это
отношение представляется посредством S в такой ЭФС
над {1}, единственной аксиомой которой является
Sxi, х. Поэтому все отношения в множестве
положительных целых чисел из теоремы 3 (в первую очередь
те, которые соответствуют операциям. + и X)
формально представимы над.!*! (остающиеся аксиомы в
доказательстве теоремы 3 могут быть переписаны без
изменения, хотя в действительности в унарной записи
они могут быть упрощены). Подобным образом
доказательство утверждения (а) теоремы 5 также
разбирается шаг за шагом в унарной записи. Это завершает
рассуждение.
§ 10. Допустимые гёделевы соответствия
В главе I мы ввели определение: гёделева
нумерация g элементов К называется допустимой, если для
всякого отношения W в К выполняются следующие
условия:
(I) W формально представимо над K*=*-Wu
рекурсивно перечислимо;
(II) W разрешимо над K~**-Wa рекурсивно.
Пусть теперь g — лексикографическая гёделева
нумерация элементов К ж W — отношение в К; пусть
А = Wb. Ясно, что если мы заменим символы с4,..., с„
посредством соответствующих n-адических цифр «1»,
«2», и т. д., то W превратится в -4{п), следовательно
(тривиально), W формально представимо над К, если
и только если А{п) формально представимо над Dn,
и W разрешимо над К, если и только если Л(п)
разрешимо над !>„. Так как А = We, то из следствия
теоремы 9 вытекает, что W формально представимо над
К, если и только если Wc рекурсивно перечислимо,
и W разрешимо над К, если и только если Wo
рекурсивно. Итак, лексикографическая гёделева нумерация
элементов К является допустимой. Таким образом,
имеет место
64 ФОРМАЛЬНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ [ГЛ. II
Теорема 10. Существует допустимая еёделева
нумерация, отображающая К на Ы тем более «в»)
множество N положительных целых чисел.
Лексикографическая гёделева нумерация является таким
соответствием,
§ 11. Дополнительные результаты о допустимости1)
Теорема 11. Необходимым и достаточным
условием допустимости нумерации g является выполнение
условия (I) из § 10, сформулированного для g, и ре-
курсивность G.
Напомним, что G обозначает множество g(K)
(см. | 7).
Доказательство, (а) Предположим, что g
допустима. Конечно, К разрешимо над К. Следовательно,
по условию (II) G рекурсивно.
(б) Предположим, что g обладает свойством (I) и
что G рекурсивно. Пусть п — число аргументов
отношения W. Так как G рекурсивно, то Gw должно быть
рекурсивным (по четвертому утверждению следствия
из теоремы 2, в котором в качестве К берется D).
Следовательно, мы имеем:
W разрешимо над К
-<* f и Kln)\W формально представимы над К
-**• W0 и {Kin)\WH рекурсивно перечислимы
■«=*• W0 и (ZnH\We рекурсивно перечислимы
■<=> W0 и G{n)\W0 рекурсивно перечислимы
(так как (£*), = <?<">)
■**■ W0 рекурсивно (по теореме 2.2, положив К = Dz).
Итак, g обладает свойством (II).
Следствие 1. Если g является отображением
на N, то достаточным условием допустимости g
является выполнение условия (I), сформулированного для g.
Следствие 2. Диадическая гёделева нумерация
является допустимой.
Доказательство. Пусть g — диадическая
гёделева нумерация. Мы по-прежнему отождествляем
) Этот параграф может быть опущен.
КРАТКОЕ РЕЗЮМЕ
65
числа с соответствующими им диадическими
числительными.
Нам известно, что g обладает свойством (I)
(теорема 6). Остается показать, что G рекурсивно. Нам
известно, что G рекурсивно перечислимо (см. § 7). Итак,
мы должны показать, что G рекурсивно перечислимо.
Пусть п — число символов в К. Тогда G состоит
из всех тех чисел (диадических числительных), которые
или начинаются с 2, или кончаются 1, или содержат
более одного последовательного появления «1», или
более чем п последовательных вхождений «2». Таким
обд>азом, & представимо (в диадической записи)
посредством Р в следующей ЭФС над Oj (а и Р
являются несобственными переменными; см. § 0):
Р2а
Pal
РаЩ
Ра22... 2^.
В последней строке цифра «2» повторяется п + 4 раз.
# Г. КРАТКОЕ РЕЗЮМЕ
Отметим те факты этой главы, которые будут в
дальнейшем использоваться наиболее часто.
Теорема I. Совокупность всех РП отношений
замкнута относительно экзистенциальной
определимости и ограниченной квантификации.
Теорема П. Совокупность всех рекурсивных
отношений замкнута относительно объединения,
пересечения, дополнения, всех явных преобразований,
ограниченной квантификации и содержит отношения
x + y = z и xXy = z.
Теорема III. Для всякого алфавита К
существует допустимая гёделева нумерация g: X—*-Х0
(Х<^К), отображающая К на множество
положительных целых чисел, т. е. такая нумерация, что, каково
бы ни было отношение W в К, W формально
представимо над К, если и только если WB рекурсивно
перечислимо, и W разрешимо над К, если и только если
W0 рекурсивно. Лексикографическая гёделвва
нумерация является таким соответствием.
ГЛАВА III
НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Эта глава посвящена перестройке, обобщению и
распространению рассуждений, используемых в
теоремах Гёделя и Россера о неполноте, в результатах Тар-
ского, касающихся определения множества истинных
утверждений системы внутри самой системы, и в
результатах Чёрча, Россера и Клини, касающихся
неразрешимости. Как отмечалось в предисловии, результаты
этой главы представлены в совершенно абстрактной
форме, которая не использует аппарат математической
логики; более конкретные применения изложены
в дополнении.
Центральным понятием этой главы является
понятие представляющей системы, которое позволяет нам
изучать представимость в системах с различными
синтаксическими структурами. Все системы, которыми
мы будем интересоваться, обладают по крайней мере
следующими чертами. Прежде всего, имеется
множество Е так называемых «выражений» системы. В
применении к логистическим системам множество Е будет
состоять из формальных выражений (гс-ок элементов,
называемых «символами»). Но с точки зрения целей
этой главы Е может быть совершенно произвольным
счетным множеством1). Затем имеется подмножество
S так называемых «предложений», а последнее имеет
подмножество Т так называемых «верных (valid)
предложений». В приложении к семантическим системам
множество Т будет множеством истинных
предложений, а в синтаксических системах множество Т будет
множеством теорем. Затем имеется важное понятие
') Вводя в рассмотрение произвольные счетные множества,
автор, вообще говоря, покидает рамки конструктивного
направления в математике. Однако многие определения и теоремы
этой главы допускают конструктивное переизложение, которое
предполагает, в частности, рассмотрение лишь конструктивно
определенных объектов.— Прим. перев.
ГЛ. III] НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
67
представления множества чисел в системе. То, как это
делается, изменяется вместе с формальными
особенностями системы, но. все способы представления имеют
много общего между собой.
Выбираются некоторые выражения (элементы
множества Е), называемые предикатными формулами или
предикатами1), затем каждому предикату Н и
каждому числу п посредством некоторого отображения Ф
ставится в соответствие предложение, которое мы
будем обозначать посредством Н(п). Рассмотрим
совокупность всех таких п, что НЫ) еГ, и скажем, что это
множество является множеством, представимым
посредством И.
Функция Ф значительно меняется от системы к
системе, и наша цель заключается в уходе от всех
запутанностей, связанных с формальными
особенностями конкретных систем, и в изучении
представимости относительно произвольной функции Ф. На этом
пути мы докажем сходные факты относительно
различных систем одним разом, устраняя таким образом
повторения подобных (в основном) рассуждений.
Рассмотрим несколько примеров. Понятие
представления множеств положительных целых чисел
средствами элементарной диадической арифметики
рассматривалось в главе I. Здесь подходящей представляющей
функцией Ф, очевидно, является такая функция,
которая каждому предикату X и каждому числу п
приписывает выражение Хп, т. е. строку, в которой за X
непосредственно следует (диадическое числительное,
обозначающее число) п. Эта представляющая функция
Ф является синтаксически совсем простой,
включающей только операцию конкатенации. Менее простая
ситуация возникает с арифметическими системами,
рассматриваемыми в языке исчисления предикатов
первого порядка2). Здесь в качестве предикатов могут
')В математической логике принято различать предикаты и
предикатные формулы (последние могут считаться заданиями
предикатов). Однако автор игнорирует различия между ними.
Отметим также, что здесь автор использует термин «предикат»
вместо термина «одноместный предикат».— Прим. перев.
2) Этот и следующий примеры предполагают элементарное
знакомство с математической логикой. Более подробное
обсуждение дается в дополнении.
68 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
быть взяты такие правильно построенные формулы,
которые содержат в точности одну свободную
переменную, и представляющая функция Ф приписывает
каждому предикату Fix) и каждому числу п предложение
Fin), которое получается из Fix) посредством
подстановки числительного п вместо всех свободных
вхождений переменной х (этот способ представления
применим только к языкам арифметики, в которых для
каждого числа п существует числительное п,
обозначающее п). Эта представляющая функция Ф
привлекает более сложную операцию подстановки
(числительных вместо предметных переменных). Более
простая представляющая функция Ф, достигающая той
же цели, обсуждалась в книге Тарского, Мостов-
ского и Робинсона [1]. Эта функция
приписывает каждому предикату Fix) и каждому числу п
предложение V# [х = п => Fix)] (вместо которого могло
бы быть использовано предложение Эх1х — п Д Fix)]).
Еще более простая представляющая система
(достигающая той же цели, что и арифметика первого
порядка) была предложена в статье Смальяна [1].
Там мы взяли в качестве исходной операции
«абстрагирование класса» вместо квантификации и в качестве
предикатов — выражения вида KxFix) (читается:
«множество таких х, что Fix)»). Затем мы определили
множество, представимое посредством предиката Я,
как множество всех таких чисел п, что Нп (т. е.
строка: Н со следующим за ним числительным п)
находится в Т. Для такой системы мы могли бы
определить Ф(#, п) как строку: Я со следующим за ним
числительным п. Эта функция Ф опять привлекает
только конкатенацию, но не подстановку.
Последние три примера относятся к системам,
которые содержат числительные, обозначающие числа.
Примером, в котором это не так, является система А*,
рассмотренная Чёрчем [1]. Эта система —
формализация арифметики в исчислении предикатов первого
порядка. Однако здесь нет предметных констант для
обозначения натуральных чисел, но есть некоторые
правильно построенные формулы Z0ix), Ziix), Zzix),...,
которые интуитивно выражают соответственно
свойства х = 0, ж = 1, х = 2, ... Возьмем в качестве наших
§ i]
ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
69
предикатов правильно построенные формулы с одной
свободной переменной (скажем, х) и определим
ФСР(ж), п) как предложение Vx[Zn{x) =>F(x)].
Предыдущая совокупность примеров лризвана
иллюстрировать некоторые приложения теории
представляющих систем, которую мы собираемся развивать.
Мы опять подчеркиваем, что это общее изложение
позволяет трактовать математически важные аспекты
неполноты и неразрешимости, не попадая в ловушки
формальных особенностей каждого отдельного типа
представляющих систем.
# А. НЕПОЛНОТА
§ 1. Представляющие системы
Под представляющей системой Z будем понимать
совокупность, элементами которой являются
следующие объекты:
A) Счетное множество Е элементов, называемых
выражениями, вместе с взаимно однозначной гёделе-
вой нумерацией g, отображающей множество Е на N.
(Не требуется никакого предположения об
эффективности ') g, пока мы не дойдем до раздела #Б.)
B) Подмножество S множества Е, элементы
которого называются предложениями Z.
C) Выделенное подмножество Т множества S, чьи
элементы называются (в конкретных представляющих
системах) истинными или выводимыми
предложениями, или теоремами Z.
D) Другое выделенное подмножество R
множества 5, элементы которого называются (в конкретных
представляющих системах) ложными или
опровержимыми предложениями Z. (В применении к системам
в математической логике, содержащим отрицание, R
будет множеством всех предложений, отрицание
которых принадлежит Т.)
E) Множество £Р элементов Е, называемых
(унарными) предикатами.
') При этом стремлении к общности теряется
конструктивность проводимых рассмотрений.— Прим. перев.
70
НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
[ГЛ. III
F) Отображение Ф из ЕХМ в Е, т. е. функция,
которая ставит в соответствие каждому выражению X
и каждому положительному целому числу п
единственное выражение Ф(Х, п), которое мы сокращаем
посредством Х{п) или даже Хп. От этой функции,
которую мы называем представляющей функцией
системы Z, требуется, чтобы она обладала следующим
свойством: Нп (т. е. Ф(#, п)) является предложением
(элементом S) для всякого предиката Н и всякого числа п.
Мы будем подразумевать под Z упорядоченную
шестерку (Е, S, T, R, &>, Ф). (Порядок следования
Т и R важен; в § 7 мы еще рассмотрим
представляющую систему, полученную посредством перемены
ролей Т и R.) В некоторых контекстах мы будем
использовать букву Q вместо Z для обозначения
представляющей системы: в нескольких наших определениях
и теоремах множество R не играет роли, и именно
в этих контекстах Q будет использоваться вместо Z,
чтобы подчеркнуть этот факт. Если в этих случаях
под Q понимать обозначение более простой структуры
{Е, S, Т, {?, Ф), то все результаты остаются
справедливыми.
Представимость. Предположим, что Н является
предикатом представляющей системы Q (с множеством
R или без него) и W является множеством
выражений системы Q. Мы определим Hw как множество
всех таких чисел п, что Н{п) <s W. В частности, Нт
является множеством всех таких чисел п, что Нп
принадлежит Т. Мы говорим, что Н представляет
множество Нт в Q. О множестве положительных целых
чисел А мы говорим, что Я представляет А в Q, если
для всякого числа п
П&А++ Нп&Т (т. е. Л=»#г).
Представляющие системы для отношений. В
дополнении нам потребуется понятие представимого
отношения, так же как и представимого множества. Под
представляющей системой Z (для отношений) будем
понимать такую же систему, как представляющая
система, определенная выше, со следующей
модификацией. Множество SP — это множество выражений,
называемых предикатами, вместе с функцией, приписы-
§ 2] ПЕРВАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИОННАЯ ЛЕММА 74
вающей каждому предикату целое положительное
число, называемое числом его аргументов. Функция Ф
будет отображением, которое каждому выражению X
и каждой ?г-ке (at, ..., а„) чисел ставит в соответствие
выражение X(ah ..., ап). Если X является ге-местным
предикатом, то требуется, чтобы Х(а4, ..., с„) было
предложением. Для всякого га-местного предиката Р и
для всякого множества выражений W множество всех
тех П-.ОК (oj, ..., а„), для которых P(«i, ..., ап) е W,
обозначается посредством "w- Мы говорим, что Р
представляет отношение Рт в представляющей
система Z для отношений.
§ 2. Первая диагонализационная лемма.
Теорема Тарского
Для всякого выражения X посредством Х0
обозначаем его гёделев номер (относительно g). Для всякого
множества W выражений из Q полагаем (как в
главе I) W0=*g(W). Для всякого положительного целого
числа Ь посредством Ei (или Xt) обозначаем
выражение, гёделев номер которого равен i. Выражение ХМ)
(т. е. Ф(Хг, i)) будет называться нормой или диагона-
лизацией Х^). Если X,- является (унарным)
предикатом, то его диагонализация является, конечно,
предложением. Ниже буква Я будет обозначать какой-либо
(унарный) предикат и А. — его гёделев номер. Мы
имеем: Hh является диагонализацией Я и Hh. является
предложением. Такие предложения называем
диагональными предложениями. (На эвристическом уровне
подразумевается, что Hh выражает утверждение:
гёделев номер Я лежит в множестве, представимом
посредством Я.)
Для всякого множества выражений W мы
определяем множество чисел W* посредством условия
i e W* -<=*- Xiii) e W. Таким образом, W* является
множеством гёделевых номеров всех таких
выражений, диагонализация которых находится в W.
Дополнение. Для всякого множества выражений W
посредством W обозначаем дополнение W до Е. Для
')_Это терминология Шепердсона [1]. (Специальный
случай ее был использован в главе I.)
72
НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
всякого множества положительных целых чисел А по-
бредством Ж обозначаем дополнение А до АЛ
Следующие факты тривиальны:
(а) Й = Ш„
(б) [W*)=*(W)*,
(в) Hw = Bw.
(а) непосредственно следует из того, что g
взаимно однозначно отображает Е на все N. Переходя
к (б), возьмем некоторое число п. Тогда
п е W* ***- п Ф W*
^Хп(п)Ф\¥
-*> ХпЫ) е W
Таким образом, »е(И7*)^ве(|^)* и, так как п
произвольно, имеем (W*) =(,W)*.
Замечание. Наше предположение, что g
отображает на N, а не на собственное подмножество А/,
сделано для удобства; все наши результаты будут
справедливы (некоторые с тривиальной модификацией) без
этого ограничения. Если бы g отображала в N, а пе
на N, и G— g-образ множества Е (т.е. G = g(E)),
то (а) и (б), записанные выше, приобрели бы вид:
(a)' tW\ = G\We,
(б)' (W)*^G\W*.
Гёделевы предложения. J3 этой главе W —
произвольное множество элементов из Е.
Как в главе I, будем говорить, что X есть гёделево
предложение для множества чисел А, если X — такое
предложение, что 1еГ-**-Х0еЛ. Мы будем называть
X гёделевым предложением для множества
выражений W, если X обладает свойством
XeT^X&W.
Таким образом, X является гёделевым предложением
для множества выражений W, если и только если X
является гёделевым предложением для множества
чисел W0.
Следующая лемма является в значительной
степени абстрактной реконструкцией и обобщением раз-
§ 2] ПЕРВАЯ ДИАГОНАЛЙЗАЦИОННАЯ ЛЕММА 73
личных «диагонализационных» рассуждений,
использованных Гёделем, Чёрчем, Тарским и другими для
установления результатов о неполноте,
неразрешимости и невозможности представления некоторых
множеств внутри некоторых систем. Эта лемма,
специальный случай которой был использован в главе I, будет
основной для BGero нашего изложения. Мы будем
называть ее «первой диагонализационной леммой».
Лемма I (первая диагоналйзационная лемма).
Достаточным условием существования геделева
предложения для W является представимость W* в Q.
Более определенно, если Н — предикат,
представляющий W* в Q, то его диагонализация Hh является
примером такого предложения.
Доказательство. Предположим, что Н
представляет W* в Q. Тогда, каково бы ни было число га,
ЯиеГ-^пеР (по определению представимости).
Полагая n — h, где h является гёделевым номером Н,
имеем
Hh^T^h^W*^Hh^W.
Следовательно, Hh является гёделевым
предложением для W,
Так как для множества Т не может существовать
геделева предложения, то диагоналйзационная лемма
сразу дает следующее утверждение.
Теорема 1. Множество Т* (и равное ему
множество (Т*)) непредставимо в Q,
Замечание. Диагоналйзационная лемма
доказуема аналогичным образом при более слабом
предположении, что g отображает Е в N. Если g является
отображением на собственное подмножество G множества
N, то теорема 1 должна быть изменена так: «Ни одно
пз множеств G\T*, N\T* непредставимо в (?».
Нормальность. Будем называть Q нормальной
системой, если она обладает следующим свойством: для
всякого множества W, если W0 представимо в Q, то
в ней же, представимо W*. Класс нормальных систем
в действительности включает стандартные системы,
исследованные Тарским и Гёделем. (Интуитивно
нормальность системы означает, что гёделевы диагонали-
зационные рассуждения могут быть формализованы
внутри системы.)
74 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. Ш
(Отметим, что можно определить подобным образом
нормальность для случая, когда g является
отображением в N, а не на N. В этом случае система U из
главы I нормальна по лемме из главы I. Эта лемма
утверждает, что если А рекурсивно перечислимо, то
таким же является и А* (см. § 8 главы I). Но для А
вида W0 множество А*' просто является множеством
W*.)
Как немедленное следствие теоремы 1 и
определения нормальности, получаем, что в нормальной
системе Q множество Т0 непредставимо (так как в противном
случае if) о, а вследствие нормальности и Т* было бы
представимо, что противоречит теореме 1).
Будем называть Q системой с дополнениями, если
дополнение каждого множества, представимого в Q,
опять представимо в Q. По предыдущему абзацу и
определению системы с дополнениями сразу цолучаем
следующее утверждение.
Теорема 1.1 (элементарная форма теоремы Тар-
ского). В нормальной системе Q с дополнениями
множество То гёделевых номеров предложений из Т не
может быть представлено в Q.
(Для семантических систем заключение предыдущей
теоремы иногда перефразируют так: истинность в
системе непредставиМа в ней.)
Замечание. При получении заключения теоремы
1.1 для конкретных систем большая часть работы
обычно состоит в установлении нормальности системы.
§ 3. Непротиворечивость и полнота.
Теорема Гёделя
Представляющую систему Z мы называем (просто)
непротиворечивой, если Т П R пусто. Мы называем Z
(просто) полной, если TUR = S. Система, являющаяся
одновременно непротиворечивой и полной, называется
насыщенной; в противном случае — ненасыщенной.
Очевидно, что для любого предиката Н из Z
выполняются следующие условия:
A) Если Z непротиворечива, то множество HT(\HR
пусто.
B) Если Z полна, то Ят U HR = N.
§ 4] ВПОЛНЕ ПРЕДСТАВИМОСТЬ И ОПРЕДЕЛИМОСТЬ В Z 75
C) Если Z насыщена, то Нт является
дополнением Ял.
Предложение X называется разрешимым в Z, если
X ^Т либо 1еЛ; в противном случае X называется
неразрешимым. Таким образом, Т U R является классом
разрешимых предложений и утверждение, что Z
является полной, эквивалентно утверждению, что каждое
предложение разрешимо в Z. (Читатель
предостерегается от смешивания значения слова «разрешимо» в
применении к конкретному предложению системы с
разрешимостью системы в том смысле, что Т является
разрешимым множеством выражений.)
Заметим, что в случае непротиворечивой системы Z
предложение, неразрешимое в Z, играет ту же роль,
что и гёделево предложение для множества R.
Действительно, эквивалентны следующие два утверждения:
«Z является ненасыщенной системой» и «существует
гёделево предложение для i?».
Теорема Гёделя о неполноте в миниатюре.
Теорема 2. Если R* представило в Z, то система
Z противоречива или неполна. Более конструктивно,
если Z непротиворечива и Н — предикат, который
представляет R* в Z, то его диагонализация Hh является
примером неразрешимого предложения в Z.
(Элементарная форма теоремы Гёделя о неполноте.)
Доказательство. Теорема непосредственно
следует из первой диагонализационной. леммы при
подстановке R вместо W и Z вместо Q.
Замечание. Предыдущее доказательство
содержит одну из двух существенных идей, содержащихся
в первоначальных рассуждениях Гёделя о неполноте.
Все усложнения, встречающиеся в обосновании того, что
R* представимо в рассматриваемой конкретной
системе Z, здесь сняты. Вторая существенная идея включает
понятие «(о-непротиворечивость»; она обсуждается
в § 3 дополнения.
§ 4. Вполне представимость и определимость bZ
Согласно нашему определению «Я представляет А
в Z» означает, что, каково бы ни было число в, ве
е^-«-НпеТ (т. е. А = Нт). Нам нужны следующие
понятия вполне представимости и определимости.
76 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
Мы говорим, что Я вполне (или сильно)
представляет А в Z, если для каждого числа п
A) п^А^Нп^Т,т.е.А=Нт;
B) пФА^Нп^Я, т. е. А^НВ.
Эти условия, конечно, влекут:
A)' п^А^Нп^Т, т. е. А^НТ;
B)' пФА^Нп^Я, т. е.А^Нп.
Если выполняются более слабые условия A)' и B)', то
говорят, что Я определяет А в Z.
Мы называем предикат Я численно разрешимым
в Z, если, каково бы ни было число п, Нп разрешимо
в Z. Ясно, что если Я — предикат, который определяет
некоторое множество в Z, то Я численно разрешим
в Z.
Ясно, что если А вполне представимо в, Z, то А
является одновременно представимым и определимым
в Z. Мы часто будем пользоваться следующим
утверждением.
Утверждение 1. (а) Если система Z
непротиворечива, то каждое множество, определимое в Z,
вполне представимо в Z и тем более представимо в Z.
(б) Если Z насыщена, то каждое множество, пред-
ставимое e-Z, вполне представимо в Z.
(в) Следовательно, для насыщенной системы Z
представимость, вполне представимость и определимость
эквивалентны друг другу.
Доказательство, (а) Предположим, что
предикат Я таков, что для всякого п
A)' п^А^Нп^Т,
B)' пФА^Нп^П.
Теперь Мы должны установить обратные
импликации. Предположим, что Нп <= Т. Тогда Нп Ф R (по
непротиворечивости). Поэтому утверждение пФА ложно
(по B)'). Следовательно, п<= А. Таким образом, Нп^
еГ^пеЛ. По аналогичным соображениям Нп ^ R =>-
=*- пФА.
(б) Пусть А = НТ. Тогда А = Йт. Если Z является
насыщенной системой, то Йт = Яв. Таким образом,
А=НТ, A = HR. Итак, Я вполне представляет А.
§ 5] ОТДЕЛИМОСТЬ В Z. ТЕОРЕМЫ РОССЕРА 77
На основании утверждения (в) заметим, что
достаточным условием ненасыщенности системы Z является
существование множества, которое представимо в Z,
но не определимо в Z.
Замечание. Если- Z — представляющая система
для отношений, то понятия вполне представимости и
определимости отношений аналогичны
соответствующим понятиям для множеств. О предикате Р и
отношении М с тем же числом аргументов говорят, что Р
вполне представляет М, если М = РТ и Ж = Ря;
говорят, что Р определяет М, если М^РТ и М^РЯ, Ясно,
что утверждение 1 имеет место и для отношений (так
же, как для множеств).
Теорема 3. Если Z непротиворечива, то R*
неопределимо в Z.
Доказательство. Лемма I утверждает, что,
каков бы ни был предикат Н, Нт ¥= Т*. В
действительности (по аналогичным соображениям) верно более общее
утверждение. Каково бы ни было множество W, Hw Ф
¥=W*. В частности, НВФЙ*. Следовательно, Я не
может вполне представлять R*. Итак, если система Z
непротиворечива, то Н не может определять R* (по
утверждению 1 (а)).
§ 5. Отделимость в Z. Теоремы Россера
Теорема Гёделя о неполноте (в абстрактной форме —
в виде теоремы 2) основана на первой диагонализаци-
онной лемме. Рассмотрим теперь более мощную лемму,
которая позволит доказать более сильные теоремы о
неполноте (и, следовательно, теоремы о
неразрешимости), принадлежащие Россеру.
Предположим, что W — множество выражении из
Q, не пересекающееся с Т. По первой диагонализаци-
онной лемме мы знаем, что условием, достаточным для
существования предложения, которое находится вне
обоих множеств W и Т, является представимость W*
в Q. Теперь докажем более сильный результат.
Лемма II (вторая диагонализационная лемма).
Если Н представляет некоторое надмножество А
множества W*, не пересекающееся с Т*, то его диагонали-
зация Eh находится вне обоих множеств W и Т.
78
НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
[ГЛ. Ш
Доказательство. Пусть Я представляет А,
W*^A, А ОТ* пусто.
А'НТ
0
Рис. 1.
Так как Я представляет А, то для всякого числа п
neio Нп^Т.
Полагая n — h, мы имеем
h e A ■**- Hh e T
■^h^T*.
Итак, feei-w-йеГ*. Но 4 не пересекается с Т*,
следовательно, hФА ж!ъ<£Т*. Так как кФАк W* si,
то h е И7*. Таким образом, й ^ VF* и h<£T*, т. е.
#й Ф\¥ w Hh Ф Т. Следовательно, Hh находится вне
обоих множеств W и Т.
Слабая отделимость в Z. Пусть А и В —
непересекающиеся множества чисел. Мы скажем, что А слабо
отделимо от В в системе Q, если существует предикат
Н, представляющий некоторое надмножество
множества А, не пересекающееся с В; будем говорить, что
такой предикат Н слабо отделяет А от В в системе Q.
Лемма II утверждает, что если Н слабо отделяет W*
от Т* в Q, то Hh находится вне обоих множеств W и
Т. Взяв В. в качестве W, мы немедленно получаем
следующее утверждение.
Теорема 4 (элементарная форма теоремы Россе-
ра). Достаточным условием неполноты системы
является слабая отделимость R* от Т* в Z. Если Н
осуществляет это отделение, то Hh является предложением,
неразрешимым в Z.
§ 5] ОТДЕЛИМОСТЬ В Z. ТЕОРЕМЫ РОССЕРА 79
Замечание. Если А — множество, не
пересекающееся с В, и если А представимо в Q, то А, очевидно,
слабо отделимо от В в Q (так как А является
надмножеством самого себя). Следовательно, теорема 4
действительно является усилением теоремы 2.
Сильная отделимость. Пусть А ж В — опять
непересекающиеся множества чисел. Говорим, что Я сильно
отделяет А от В в Z, если для всякого числа п
п^А=*- Нп&Т,
nezB=> Hn^R,
т. е. если 4еЯги5£ Яв.
Говорим, что А сильно отделимо от В в Z, если
найдется такой предикат Н, который сильно отделяет
Л от Я в Z.
нт н^
Рис. 2.
Заметим, что утверждение «А определимо в Z»
эквивалентно утверждению «А сильно отделимо от А
в Z». Действительно, Я определяет А в Z, если и
только если Н сильно отделяет А от А в Z.
Утверждение 2. (а) Если система Z непроти
воречива и Я сильно отделяет А от В, то Н слабо
отделяет А от В.
(б) Пусть Ai^A и Bi^B. Тогда, если А слабо
{сильно) отделимо от В в Z, то А^ слабо (соответствен-
по сильно) отделимо от Вк в Z.
Доказательство очевидно.
По теореме 4 и утверждению 2 (а) немедленно
получаем следующее утверждение.
80 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
Теорема 5. Пусть Н сильно отделяет R* от Т*
в Z, где Z — непротиворечивая система. Тогда
предложение Hh неразрешимо в Z.
Дальнейшее применение леммы II. Используя
вторую диагонализационную лемму вместо первой, мы
получаем следующее расширение теоремы 3 (это
расширение будет важным для нашего дальнейшего изучения
рекурсивной неотделимости — см. теорему 27).
Теорема 6. Если система Z непротиворечива, то
всякое надмножество множества R*, не пересекающееся
с Т*, не является определимым в Z.
Доказательство. Предположим, что
(I) Z непротиворечива, (II) Н определяет А в Z,
(III) R*^A, (IV) А не пересекается с Т*.
Выведем противоречие.
По (I) и (II) Н вполне представляет А в Z. Таким
образом, А — Нт ж А = Нв. Тогда по (III) R* £ Нт и по
(IV) T*£l, т. е. Т*^НЯ. Итак, Т*<=Ннж Д* = #т,
т. е. Н сильно отделяет R* от Т* в Z. Тогда по
теореме 5 предложение Hh неразрешимо в Z. Это означает,
что Hh Ф Т и Hh Ф R, а это в свою очередь означает,
что h^ Нт и h <£ Яд. Следовательно, ЯЕ не является
дополнением Нт. Но НТ = А, HR —А и А является
дополнением А. Получили противоречие.
§ 6. Симметричные системы
Пусть Z — представляющая система (Е, S, T, R, £Р,
Ф), и пусть Z — представляющая система (Е, S, R, Ту
&, Ф). Таким образом, система Z — такая же, как Z,
за исключением того, что Т и R переставлены местами.
\~>
Мы могли бы называть Z системой, двойственной к Z.
(Цель рассмотрения Z заключается в том, чтобы устра-
нить повторение некоторых рассуждений.) Так как Z
является представляющей системой, мы можем
говорить о представимости, вполне представимости,
определимости и отделимости (как слабой, так и сильной) в
Z, так же как и в Z. Таким образом, например, Н пред-
§ 6]
СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ
81
ставляет в Z множество Ян, Я определяет А в Z, если
и только если ЛеЯли Ж!£Ят, и т. д.
Системы, которые мы будем изучать в дополнении
(и которые возникают из таких теорий, логическое
основание которых включает исчисление предикатов
первого порядка), обладают тем свойством, что для
всякого предиката Я найдется другой предикат Н'
(а именно, отрицание предиката Я) такой, что Яг = НR
и Яд = Нт. (Это означает, что для всякого числа п
имеем: Я/геГ, если и только если Н'п
опровержимо в Z, и Нп опровержимо в Z, если и только
если Н'п выводимо в Z.) Системы, обладающие этим
свойством, будут называться симметричными.
Немедленно получаем, что если система Z симметрична, то
\j
представимость в Z эквивалентна представимости в Z;
то же верно и для вполне представимости.
Следовательно, если Z симметрична и непротиворечива, то
множество является определимым в Z, если и только если
оно определимо в Z. Кроме того, если Z симметрична,
то сильная отделимость в Z эквивалентна сильной от-
делимости в Z. (Мы должны еще заметить, что если Z
симметрична, то А сильно отделимо от В в Z, если и
\j
только если В сильно отделимо от А в Z.)
Рассмотрим теперь непротиворечивую симметричную
\j
систему Z. По теореме 1 (примененной к системе Z) R*
непредставимо в Z, тогда по симметрии (системы Z)
Л* непредставимо в Z. По теореме 2 (опять применен-
ной к Z), если Т* представимо в Z, то Z неполна (или,
что то же самое, Z неполна). Следовательно, по
симметрии Z, если Т* представимо в Z, то Z неполна.
Аналогично, применяя теоремы 3, 5 и 6 к Z и
используя симметрию и непротиворечивость Z, можем
утверждать:
(I) T* неопределимо в Z;
(II) если Т* сильно отделимо от R* в Z, ToZHemMHa;
82 НЕПОЛНОТА Ж НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
(III) всякое надмножество множества Т*, не
пересекающееся с R*, неопределимо в Z.
Таким образом, мы имеем следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть Z — любая непротиворечивая
симметричная система. Тогда:
(I) Множества Т* и R* непредставимы в Z.
(II) Множества Т* и R* неопределимы в Z, и
любое надмножеств'о одного из них, не пересекающееся
с другим, неопределимо в Z.
(III) Если Т* или R* представило в Z или если
одно из этих множеств сильно (или даже слабо)
отделимо от другого в Z, то Z неполна.
§ 7. Расширения
Мы опять подчеркиваем, что гёделев метод
доказательства неполноты сводится к установлению
представимости множества R* (или Т*, если система Z
симметрична). Метод Россера состоит в установлении
представимости некоторого надмножества множества R*,
не пересекающегося с Т*. Есть еще другой метод
(принадлежащий Тарскому), абстрактную форму которого
мы сейчас рассмотрим.
Пусть Z — представляющая система (Е, S, T, R, &*,
Ф). Пусть 5', Т', R' являются соответственно
надмножествами множеств S, T, R и подмножествами
множества Е. Пусть Z' — представляющая система (Е, S\ T',
R', 3>, Ф). Назовем Z' расширением1) Z, а также Z —
подсистемой Z'.
Теорема 8. (Следуя Тарскому.) Если R* пред-
ставимо в некотором непротиворечивом расширении Z'
системы Z, то Z является неполной системой.
Доказательство. Пусть Н представляет R* в
Z'. Тогда по лемме 1 (примеренной к Z') Яй.е=Д-*=>
-<=> Hh е Т', Так как R' не пересекается с Т' (по
непротиворечивости Z') и R^R', то R не пересекается с i .
Следовательно, Hh находится вне обоих множеств R и
Т'. Так как Т s Т', то Hh находится также вне мно-
') Мы вспользуем здесь термин «расширение» в смысле
Успенского [1], а не в (более узком) смысле Тарского,
Мостовского и Робинсона [1].
§ 75
РАСШИРЕНИЯ
85
жества Т. Следовательно, Hh находится вне обоих
множеств Т и R, т. е. Hh не разрешимо в Z.
Г п'
Рис.. 3.
Замечания. A) Таким же образом можно
доказать, что если множество Т* представимо в некотором
непротиворечивом расширении Z' системы Z, то Z
является неполной системой.
B) Теорема 2 может рассматриваться как частный
случай теоремы 8 при Z' = Z,
Временно заканчиваем наше обсуждение
неполноты. Отсюда читатель может перейти к §§ 1—4
дополнения для дальнейшего обсуждения теорем Гёделя и
Россера о неполноте и для уяснения роли, которую
играет о-непротиворечивость.
# Б. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Результаты раздела #А не используют никакого
аппарата теории рекурсивных функций. Теперь
исследуем представляющие системы с точки зрения их
неразрешимости. По-прежнему сохраним абстрактный
стиль изложения раздела #А. Результаты этого
раздела будут установлены с использованием только
крошечного фрагмента теории рекурсивных функций,
а именно свойства замкнутости совокупности 20 всех
РП (рекурсивно перечислимых) отношений
относительно экзистенциальной определимости (это было
установлено в главе II). Таким образом, если мы рассмотрим
произвольную совокупность 20, элементы которой мы
84 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. ИГ
назовем «рекурсивно перечислимыми», то все
результаты разделов # Б и # В останутся верными при
условии, что 20 имеет указанное выше свойство
замкнутости. Таким способом мы получим теоремы, которые
фактически являются более общими, чем их
буквальные формулировки1).
§ 8. Системы с эффективной
представляющей функцией
Пусть Ф — представляющая функция системы Q и
g — гёделева нумерация выражений этой системы (см.
§ 1). Рассмотрим сейчас числовую функцию q>(i, j),
определяемую посредством условия ф(г, ]) — к *-*
■+-*■ Ф(Еи /) =*Eh. Таким образом, ф(£, /) является гёде-
левым номером выражения Et(j). Потребуем, чтобы
Ф была так связана с g, чтобы функция ф была
рекурсивной2).
Как в главе II, <р; будет обозначать функцию одного
аргумента, определяемую посредством условия <р,(я) =
= ф(£, х). Так как совокупность 20 замкнута
относительно экзистенциальной определимости, то для
каждого числа i функция <р< является рекурсивной
функцией одного аргумента. Определяем также D{x) йак
диагональ ф функции ф, т. е. D(i) =фДг). Заметим, что
D(i) является рекурсивной функцией и что DU)
является гёделевым номером диагонализации Ei, т. е. D(i) =
Напомним (из главы II), что /-прообраз РП
множества для рекурсивной функции / является .РП
множеством и /-прообраз рекурсивного множества для
рекурсивной функции / является рекурсивным
множеством.
Следующие утверждения будут использоваться
много раз:
') При этом конструктивная истинность таких более общих
теорем нуждается в дополнительном обоснования.— Прим. пер ев
2) Для системы Z, представляющей отношения, будем
также требовать, чтобы для каждого п функция f{x, xit ..., хп) =
= g[Ex(xi, ..., х„)] была рекурсивной.
§ 8] ЭФФЕКТИВНАЯ ПРЕДСТАВЛЯЮЩАЯ ФУНКЦИЯ 85
Pi -(a) W*^D-i{W0),
(б) Hw = <phi{W0) (Hw —множество всех
таких п, что H(n)^W; h — гёделев
номер Я);
Р2 — (a) Wo рекурсивно перечислимо =*- W*
рекурсивно перечислимо,
(б) W0 рекурсивно =^W* рекурсивно;
Р3 — (a) W0 рекурсивно перечислимо =>HW
рекурсивно перечислимо,
(б) Wo рекурсивно =^HW рекурсивно.
Доказательство.
(Pi) — (а) Для всякого i
i g= W* -**- ЯДг) е W
^Z)(j)e=W0^i€=£>-4W0).
Таким образом, W* =Z?-1(W<)).
(б) Для всякого £
i<=Hw<^ Ф(#, j} е= W -«=► ф(Л, i) e W„
-<=> ф„(г) е= W0
«Ф i е= фл 1 (W0).
Таким образом, #w = щi (W0).
СР2) — (a) Wo рекурсивно перечислимо =*- D~4W,>)
рекурсивно перечислимо (так как
функция D рекурсивна)
=> W* рекурсивно перечислимо (так как
PF* = Z?-4W0)).
(б) W0 рекурсивно =*-D_1(W0) рекурсивно
(так как Z) рекурсивна)
=*- W* рекурсивно.
(Л) — (a) W„ рекурсивно перечислимо ^Фл^О^о)
рекурсивно леречислимо (так как фл
рекурсивна)
=*- Hw рекурсивно перечислимо (так как
Я^-ф-ЧЮ).
(б) W0 рекурсивно =Ф Фл" (W0) рекурсивно
=> Hw рекурсивно.
86 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
Будем называть множество W выражений из Q
(или из Z) рекурсивно перечислимым, если W0
является РП множеством чисел; так же поступаем и с
термином «рекурсивный». Заметим, что, когда Е —
множество всех слов в алфавите К и g — допустимая гёделева
нумерация, W рекурсивно перечислимо, если и только
если W формально представимо над К, и W
рекурсивно, если и только если W разрешимо над К. Мы
называем Z формальной представляющей системой, если
S рекурсивно, а Т и R рекурсивно перечислимы1).
Мы называем Z разрешимой системой, если множества
Т и R оба рекурсивны. Заметим опять, что в случае,
когда Ё — множество всех слов в алфавите К и g —
допустимая нумерация, предыдущие определения
формальной представимости и разрешимости согласуются
с определениями из главы I.
§ 9. Неразрешимость
Перед установлением наших следующих теорем
о неразрешимости заметим, что утверждение «Г не
является РП множеством» эквивалентно высказыванию:
для всякого РП подмножества W множества Т
найдется элемент вне W, но в Т — элемент, так сказать,
демонстрирующий, что W не совпадает с Т.
Высказывание «Т не является РП множеством» эквивалентно
высказыванию: для всякого РП множества W, не
пересекающегося с Г, найдется элемент вне обоих множеств
W и Т (элемент, демонстрирующий, что W не
совпадает с Т).
Теорема 9. Если всякое РП множество чисел
представимо в Q, то Т не является РП множеством.
Доказательство. Предположим, что Т
рекурсивно перечислимо. Тогда по утверждению Рг (из § 8)
Т* — тоже РП множество. Следовательно, Т* предста-
') Дальнейший текст дает основания предполагать, что
автор называет формальными системами и такие представляющие
системы, в которых множество S рекурсивно, множество Т
рекурсивно перечислимо, а множество R вообще не введено
(в этих случаях автор всегда обозначает систему буквой Q).
В частности, элементарные формальные системы можно
рассматривать как представляющие системы этого типа.—
Прим. ред.
§ 9J
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
87
вимо в Q (по предположению), что противоречит
теореме 1. Это завершает доказательство.
Замечание. Предыдущее доказательство не
является прямым. Более конструктивной (и более близкой
к подлинным рассуждениям Гёделя) версией является
следующее доказательство.
Условие теоремы влечет (по Рг), что, каково бы ни
было РП множество W, W* представимо в Q. Пусть
теперь W — произвольное РП множество, не
пересекающееся с Т, Тогда W* представимо в Q. Пусть И —
предикат, представляющий W*, и пусть h — его гёделев
номер. Тогда по первой диагонализационной лемме Hh
является примером предложения, которое находится
вне обои?: множеств W и Т (элементом,
демонстрирующим, что W не совпадает с Т).
Теорема 9'. Если дополнение каждого РП
множества представимо в Q, то Т не является РП
множеством.
Доказательство. Предположим, что Т
рекурсивно перечислимо. Тогда и Т* рекурсивно
перечислимо (опять по Рг). Следовательно, (Г*) представимо в Q
(по предположению), что противоречит теореме 1.
(Более конструктивная версия этого доказательства
проходит следующим образом. Пусть W является
произвольным РП подмножеством множества Т. Тогда W*
рекурсивно перечислимо, следовательно, (W*) предста-
15имо в Q. Итак W* представимо в Q (так как W* =
— (W*)). Пусть И представляет W*. Тогда по первой
диагонализационной лемме Hh является гёделевым
предложением для W. Таким образом, Hh eW<=>- Hh e
еГ. Но W «= Т, поэтому Hh Ф W, однако Hh е= Т.
Таким образом, Hh является предложением, которое
демонстрирует, что W не совпадает с Т.)
Замечание. Теорема 9, очевидно, справедлива
при более слабом предположении, что всякое РП
множество, не пересекающееся с Т*, представимо в Q, и
теорема 9' справедлива при более слабом
предположении, что дополнение каждого РП подмножества
множества Т* представимо в Q.
Заметим, что теорема 9 утверждает следующее: если
Q достаточно сильна для того, чтобы все РП множе-
88 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ 1ГЛ. III
ства были представимы в ней, то Q не может иметь
разрешающей процедуры (хотя, возможно, она
является формальной системой). С другой стороны, теорема
9' утверждает, что если дополнения всех РП множеств
представимы в Q, .то Q не может быть даже
формальной системой и тем более не может иметь
разрешающей процедуры.
Следующая теорема обеспечивает еще более слабое
условие неразрешимости системы.
Теорема 10. Если каждое рекурсивное множество
чисел представимо в системе Q, то Q неразрешима
{более определенно, Т не является рекурсивным
множеством).
Доказательство. Предположим, что Т
рекурсивно. Тогда Т тоже рекурсивно. Поэтому Т*
рекурсивно (по Р2). Следовательно, Т* представимо в Q (по
предположению), а это противоречит теореме 1.
§ 10. Нормальность
Согласно определению из раздела #А Q является
нормальной системой, если она обладает следующим
свойством: каково бы ни было множество W, если Ж»
представимо в Q, то в ней представимо и W*.
Теорема 11. Если в системе Q представимы все
РП множества и только они, то Q является нормальной
системой.
Доказательство. Предположим, что И^о
представимо в Q. Мы должны показать, что W*
представимо в Q. Так как W0 представимо в Q, то W0
рекурсивно перечислимо (по условию теоремы). Следовательно,
W рекурсивно перечислимо и W* рекурсивно
перечислимо (по Pi). Следовательно, опять по условию
теоремы, W* представимо в Q.
§ 11. Дополнительные теоремы
Теорема 12. Если Т рекурсивно перечислимо, то
всякое множество А; представимое в Q, рекурсивно
перечислимо.
Доказательство. Предположим, что А
представимо в Q посредством Я. Тогда А = Нт. Так как Тв
§ 11]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
89
по предположению рекурсивно перечислимо, то А
рекурсивно перечислимо (по Р3).
Теорема 13. Если Т рекурсивно перечислимо и
если каждое РП множество представимо в Q, то Q
является нормальной системой.
Доказательство. Из посылки этой теоремы и
из теоремы 12 следует, что представимые множества
системы Q являются в точности теми, которые
рекурсивно перечислимы. Следовательно, по теореме 11 Q
является нормальной системой.
Теорема 14. Если множество Т рекурсивно
перечислимо, то дополнение каждого множества, предста-
вимого в Q, рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Пусть А представимо
посредством Н в Q. Таким образом, А=Нт. Тогда А = Йт.
Легко проверить, что ■йг = Ят(так как g является
взаимно однозначным отображением, на N). Таким
образом, А = Н'т. Так как Т„ по предположению рекурсивно
перечислимо, то Hf рекурсивно перечислимо (по Р3).
Итак, А — РП множество.
Теорема 15. Если Q является разрешимой
системой, то каждое множество,. представимое в Q,
рекурсивно.
Доказательство. Предположим, что Q
разрешима. Тогда Т является рекурсивным множеством, т. е.
Т и Т оба рекурсивно перечислимы. Наша теорема
следует из теорем 12 и 14 (или иначе — из
утверждения Р3 (б)).
Теоремы 12, 14 и 15 могут быть
переформулированы следующим образом!
Теорема 16. (а) Если в Q представимо некоторое
множество, не являющееся рекурсивно перечислимым,
то Т не является РП множеством.
(б) Если дополнение некоторого множества, не
являющегося рекурсивно перечислимым, представимо в Q,
то Т не является РП множеством.
(в) Если некоторое нерекурсивное множество
представило в Q, то Q — неразрешимая система.
Обсуждение. При обычном значении термина
«рекурсивная перечислимость»1) утверждение (б) теоре-
') Об ином, обобщенном понимании этого термина автор
упоминает непосредственно перед § 8.— Прим. перев.
90 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ III
мы 16 вместе с результатом о существовании
рекурсивно перечислимого множества, которое не является
рекурсивным,- ведет к иному доказательству теоремы 9,
имеющему следующий вид.
Предположим, что каждое РП множество предста-
вимо в Q. Пусть А — РП множество, не являющееся
рекурсивным. Тогда дополнение А не является РП
множеством и А представимо в Q. Следовательно, по
утверждению (б) теоремы 16 Т не является РП
множеством.
Подобным образом теорема 9' может быть получена
как следствие утверждения (а) теоремы 16 (при
условии, что мы придаем термину «РП» его обычное
значение).
Конечно, ни одно из этих доказательств не остается
верным, если мы рассматриваем произвольную
совокупность So, которая замкнута относительно
экзистенциальной определимости (так как такая совокупность
не обязательно содержит элемент, дополнение которого
находится вне совокупности). С другой стороны, наши
первоначальные доказательства теорем 9 и 9' остаются
верными при этих более общих условиях.
§ 12. Универсальные системы
Будем говорить, что Q является универсальной
системой, если Q является формальной системой и всякое
РП множество представимо в Q. Система U из главы I
является универсальной в этом смысле (при обычном
значении термина «РП»). Мы доказали неразрешимость
U, обращая внимание на некоторые особенности
конструкции U, прежде всего — на особенности диадиче-
ской гёделевой нумерации. Следующая теорема
(переформулировка ранее доказанных результатов) является
более общей.
Теорема 17. Пусть Q — произвольная
универсальная система. Тогда
A) Q неразрешима;
B) Q нормальна;
C) для всякого РП множества выражений W
найдется гёделево предложение для W;
D) множество Те рекурсивно перечислимо, но не
рекурсивно.
is 13]
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ И НЕПОЛНОТА
91
§ 13. Неразрешимость и неполнота
Следующая хорошо известная теорема
устанавливает существенную связь между результатами Чёрча о
неразрешимости и результатами Гёделя о неполноте.
Теорема 18. Если Z — формальная неразрешимая
система, то Z либо противоречива, либо неполна.
Доказательство. Предположим, что Z —
формальная и насыщенная система. Покажем, что тогда Z
разрешима.
Е
Т R
Рис. 4
По Предположению S рекурсивно, Т и R рекурсивно
перечислимы, S = Ли Т и Rf\T — пустое множество.
Так как S рекурсивно, E\S рекурсивно перечислимо.
Поэтому R U (E\S) рекурсивно перечислимо. Но R U
U (E\S) = Т. Следовательно, Т (как и Т) рекурсивно
перечислимо. Итак, Т рекурсивно.
Замечание. Для непротиворечивой формальной
системы Z утверждение о том, что Т не рекурсивно,
эквивалентно утверждению; каково бы ни было РП
множество W, не пересекающееся с Т, найдется гёде-
лево предложение для W. С другой стороны, неполнота
такой системы означает просто, что найдется гёделево
предложение для конкретного РП множества R, Итак,
Неразрешимость формальной непротиворечивой
системы, конечно, сильнее, чем ее неполнота.
Йа теорем 10 и 18 непосредственно получаем
следующее утверждение.
92 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. Ш
Теорема 19. Если формальная система
достаточно сильна для того, чтобы каждое рекурсивное
множество было представило в ней, то она должна быть либо
противоречивой, либо неполной.
Замечание. Эта теорема расширяет хорошо
известную формулировку гёделевой теоремы:
«Формальная система, в которой представимо каждое РП
множество, либо противоречива, либо неполна». Этот
результат (хотя и более слабый, чем теорема 19) может быть
доказан следующим более конструктивным способом.
Предположим, что Z — формальная непротиворечивая
система и что всякое РП множество представимо в ней.
Так как Z — формальная система, то R* рекурсивно
перечислимо. Следовательно, R* представимо в Z.
Пусть Н представляет его. Тогда предложение Hh
неразрешимо в Z (по теореме 2). Мы должны еще
заметить, что это доказательство не использеут тот факт
(требовавшийся в теореме 19 для перехода от
неразрешимости к неполноте), что множество предложений S
рекурсивно.
Теорема 19 означает, что всякая непротиворечивая
формальная система должна быть несовершенной по
крайней мере в одном из двух отношений: либо она
неполна (а также и неразрешима), либо она
несовершенна в еще худшем смысле, а именно она настолько
слаба, что даже не все рекурсивные множества пред-
ставимы в ней. Такая система не была бы достаточна
даже для элементарной теории чисел. Установить,
в каком из двух смыслов конкретная система является
несовершенной,— это практическая задача,
затрагивающая технику, свойственную системе; рассмотрение
этого вопроса будет продолжено в дополнении.
# В. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ И РЕКУРСИВНАЯ
НЕОТДЕЛИМОСТЬ
§ 14. Определимость в формальных системах
Теорема 20. Каждое множество, определимое в
непротиворечивой формальной системе, рекурсивно.
Доказательство. Пусть А определимо
посредством Н в Z, где Z формальна и непротиворечива. Так
как Z непротиворечива, то Н вполне представляет А
§16
РЕКУРСИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ
93
в Z. Следовательно, А = Нт и А = HR. Так как Т и R
оба рекурсивно перечислимы (по предположению о
формальности системы), то Нт и HR рекурсивно
перечислимы (по. Ръ). Итак, А и Л оба рекурсивно
перечислимы, т. е. А рекурсивно.
§ 15. Расширения
Утверждение 3. Пусть Z' — расширение Z.
Тогда:
(а) если Н определяет А в Z, то Л определяет А
в Z';
(б) если Н сильно отделяет А от В в Z, то Н
сильно отделяет А от В в Z'.
Доказательство. Утверждение (а)—частный
случай утверждения (б) при В = Ж, поэтому
доказываем (б). По предположению ГеГ и R^R\
следовательно, очевидно, что Нт ^ В~т' и HR^HRr. По
предположению is Нт и 5е Hr. Следовательно, -А ^ НТ/
и В ^Нц/, т. е. Н сильно отделяет А от В в Z''.
Теорема 21. Если каждое рекурсивное
множество чисел определимо в Z, то всякое непротиворечивое
расширение*) системы Z неразрешимо.
Доказательство. Предположим, что каждое
рекурсивное множество определимо в Z. Пусть Z' —
любое непротиворечивое расширение Z. По
утверждению 3 каждое рекурсивное множество определимо в Z'.
Тогда каждое рекурсивное множество представимо в Z'
(так как Z' по предположению непротиворечива).
Следовательно, по теореме 10 Ъг неразрешима.
Следствие. Если каждое рекурсивное множество
определимо в Z, то каждое формальное
непротиворечивое расширение системы Z неполно.
Доказательство. См. теоремы 21 и 19.
§ 16. Рекурсивная неотделимость
Понятие рекурсивной неотделимости играет
фундаментальную роль в современных подходах к неполноте
и неразрешимости. Непересекающиеся множества
чисел Л и Л называются рекурсивно отделимыми, если
существует рекурсивное надмножество А' множества А,
1) Для «расширений первого порядка» (см. дополнение) эта
теорема была доказана Хилари Патнемом [1].
94 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
не пересекающееся с В. (Тогда существует и
рекурсивное надмножество множества В, а именно А', не
пересекающееся с А, поэтому условие симметрично.)
Множества А и В называются рекурсивно неотделимыми
(сокращенно РН), если они не являются рекурсивно
отделимыми. Эквивалентная формулировка: А и В
рекурсивно неотделимы, если и только если для всякой
непересекающейся') пары (А\ В') РП надмножеств
множеств А и В найдется число вне обоих множеств
А' и В'.
Заметим, что отдельное множество А рекурсивно,
если и только если пара {А, А) рекурсивно отделима
(так как единственно возможной непересекающейся
парой соответствующих надмножеств для А и А
является сама {А, А)). Кроме того, очевидно, что если А
рекурсивно отделимо от В, то это же самое имеет
место для любой непересекающейся нары подмножеств
(так как, конечно, любое рекурсивное отделение
большей пары является рекурсивным отделением меньшей
пары). Таким образом, если мы хотим доказать, что
пара {А, В) рекурсивно неотделима, то достаточно
показать, что некоторое собственное подмножество
множества А рекурсивно неотделимо от некоторого
собственного подмножества множества В,
Рассмотрим теперь представляющую систему Z.
Будем называть множества Т0, Л0 ядрами системы Z.
Будем иногда говорить о паре (.Т, Л) как о рекурсивно
отделимой или неотделимой, подразумевая, что пара
(Го, R0) соответственно рекурсивно отделима или
неотделима2). Очевидно, что (Tt R) является рекурсивно
отделимой парой, если и только если существует рекур-
') Автор называет пару множеств (А, В)
непересекающейся (рекурсивно отделимой, рекурсивно неотделимой), если
множества А и В не пересекаются (соответственно рекурсивно
отделимы, рекурсивно неотделимы). Аналогичным образом он
поступает в дальнейшем и с другими отношениями между
множествами.— Прим. перев,
2) Если Е — множество всех выражений в конечном
алфавите К и если g — допустимая гёделева нумерация
множества К, то из результатов раздела =£ В главы II немедленно
получаем, что (Г, R) рекурсивно отделима, если и только если
найдется надмножество Т' множества Т, не пересекающееся с
R и разрешимое над К.
§ 17] ОТДЕЛЕНИЕ РН МНОЖЕСТВ В СИСТЕМАХ 95
сивное надмножество Т' множества Т, которое не
пересекается с R; такое надмножество Т' предоставляет
повод для построения непротиворечивого разрешимого
расширения Z' системы Z, в котором, например, S' = Ег
R' — (S'\T'). Обратно, всякое непротиворечивое
разрешимое расширение Z' системы Z индуцирует
рекурсивное отделение (Г, R), так как тогда Т' — рекурсивное
надмножество множества Т, не пересекающееся с Л.
Поэтому утверждение о том, что всякое
непротиворечивое расширение системы Z неразрешимо, эквивалентно
утверждению о том, что (Г0, RB) рекурсивно
неотделимо. В результате мы можем переформулировать
теорему 21 следующим образом.
Теорема 22. Если всякое рекурсивное множество
определимо в Z, то рекурсивно неотделимы ядра Т0, R9
системы Z.
§ 17. Отделение РН множеств в системах
Теорема 23. Пусть (А, В) —пара РН множеств.
Тогда:
(а) если А слабо отделимо от В в Q, то Q
неразрешима;
(б) если А сильно отделимо от В в Z и Z
непротиворечива, то ее ядра Т0, R0 рекурсивно неотделимы.
Доказательство, (а) Пусть Я слабо отделяет
А от В в Q. Тогда А ^ Нт и Нт не пересекается с В.
Так как А, В рекурсивно неотделимы, то Нт не может
быть рекурсивным. Следовательно, Q не может быть
разрешимой системой (так как каждое представимое
в разрешимой системе множество по теореме 15
рекурсивно).
(б) Предположим, что А сильно отделимо от В в Z.
Тогда А сильно отделимо от В во всяком расширении
системы Z ((б) утверждения 3). Следовательно, А слабо
отделимо от В во всяком непротиворечивом
расширении системы Z (по (а) утверждения 2 из раздела #А).
Тогда по предыдущему утверждению (а) каждое
непротиворечивое расширение системы Z неразрешимо.
Следовательно, пара (Го, Ra) рекурсивно неотделима
'так как сама Z предполагается непротиворечивой).
96
НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
§ 18. Системы Россера
Используя вторую диагонализацнонную лемму
вместо первой, мы получаем следующие расширения
теорем 9 и 10.
Теорема 24. Если всякое РП множество, не
пересекающееся с Т*, слабо отделимо от Т* в Q, то Т не
является РП множеством.
Доказательство. Пусть W — любое РП
подмножество множества Т. Тогда W* рекурсивно
перечислимо. Кроме того, W* не пересекается с Т*, так
как W не пересекается с Т. Из условия доказываемой
теоремы следует, что W* слабо отделимо от Т* (в Q).
Пусть Н осуществляет это отделение. Тогда по второй
диагонализационной лемме Hh находится вне W и Т.
Таким образом, если W рекурсивно перечислимо и не
пересекается с Т, то W Ф Т, т. е. Т не является РП
множеством.
Следствие 1. Если, каковы бы ни были два
непересекающихся РП множества А и В, множество А
слабо отделимо от В в Q, то система Q неразрешима.
Доказательство. Достаточно рассмотреть
случай, когда Т рекурсивно перечислимо. Тогда Т*
рекурсивно перечислимо. Следовательно, всякое РП
множество А, не пересекающееся с Т*, слабо отделимо от Т*
в Q (это вытекает из условия доказываемого следствия
при В = Т*). По теореме 24 Т не является рекурсивно
перечислимым. Таким образом, дополнение множества
Т не является рекурсивно перечислимым, поэтому Т
не рекурсивно.
Теорема 25 (расширение теоремы 10). Если
всякое рекурсивное множество, не пересекающееся с Т*,
слабо отделимо от Т* в Q, то система Q неразрешима.
Доказательство (приведением к
противоречию). Предположим, что Т рекурсивно. Тогда Т и Т*
рекурсивны. Следовательно, по условию теоремы Т*
слабо отделимо от Т*. По второй диагонализационной
лемме найдется гёделево предложение для Т, что
невозможно.
Следствие. Если, каковы бы ни были два
непересекающихся рекурсивных множества А и В,
множество А слабо отделимо от В в Q, то Q неразрешима.
g 19] НЕОТДЕЛИМОСТЬ ДИАГОНАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 97
Системы Россера. Многие системы, встречающиеся
в литературе, обладают следующим важным свойством:
каковы бы ни были непересекающиеся РП множества
А и Б, множество А сильно отделимо от Б в системе.
Такие системы мы будем называть системами Россера:
Изучение системы Россера является одной из главных
целей этой работы.
Заметим, что в силу (б) утверждения 3 всякое
расширение системы Россера опять является системой
Россера.
Теорема 26. Каждая непротиворечивая система
Россера Z имеет рекурсивно неотделимые ядра Т0, Яа.
Доказательство 1. Каждое формальное
непротиворечивое расширение системы Россера Z удовлет-
лоряет условию теоремы 24, поэтому неразрешимо.
Следовательно, Z имеет РН ядра.
Доказательство 2. Напомним, что множество
А определимо в Z, если и только если пара (А, Ж)
сильно отделима в Z, следовательно, всякое
рекурсивное множество определимо в системе Россера. Поэтому
устанавливаемый результат следует из теоремы 22.
Замечание. Один из путей построения РН пары
РП множеств состоит в том, что мы берем ядра
произвольной формальной непротиворечивой системы
Россера. Другой метод, принадлежащий Клини, будет
рассмотрен в главе V. Заметим, что было бы возможно и
третье доказательство теоремы 26, если бы мы уже
ттмели в распоряжении рекурсивно неотделимую пару
РП множеств. Действительно, предположим, что всякая
непересекающаяся пара РП множеств сильно отделима
п2и что Z непротиворечива. Возьмем любую пару (а,
?>) непересекающихся РП множеств, которая
рекурсивно неотделима. Эта пара сильно отделима в Z. Тогда
G\], ВаУ рекурсивно неотделима в силу (б) теоремы 23.
§ 19 Рекурсивная неотделимость
диагональных множеств Т*, R*
В § 2 мы определили диагональное предложение
как такое, которое имеет вид Hh, где Я —предикат.
a h — его гёделев номер. Для любого множества W
определим W как множество всех диагональных
выражений Х,{1), находящихся в W. Рассмотрим множества
98 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. III
f и Ли соответствующие им множества гёделевых
номеров (Л0 и Ш\0. Ясно, что (Г)„ s= Г0 и (Во £=Я0.
Таким образом, если мы сможем доказать, что (Do, Ш)о
рекурсивно неотделимы, то отсюда будет следовать,
что Го и Яо рекурсивно неотделимы. (В общем случае
при At^A2 и Bt ^В2 рекурсивная неотделимость
меньшей пары (Аи В J влечет рекурсивную неотделимость
большей пары (А2, В2), но не наоборот.)
Мы вскоре увидим, что рекурсивная неотделимость
—» —>
(Г),, и (Л)о следует из рекурсивной неотделимости Т*
и R*. Поэтому сконцентрируем наше внимание на
последних множествах, которые мы называем
диагональными множествами системы Z. Мы теперь хотим
доказать, что если всякое рекурсивное множество
определимо в Z и Z непротиворечива, то не только
множества Та, Ra рекурсивно неотделимы, но и меньшие
множества Т0, RB рекурсивно неотделимы; в
действительности диагональные множества Т*, R* рекурсивно
неотделимы. С этой целью введем некоторые новые
понятия и установим некоторые утверждения, которые
будут иметь дальнейшие приложения в главе V.
Пусть (Аи Аг) и (Ви В2) — упорядоченные пары
числовых множеств; пусть fix) — функция.
Посредством (Аи А2) -v (Bif Вг) мы записываем утверждение
о том, что / отображает At в В{ и Аг в В2, т. е. что
f{Ai)^Bt и f(A2)^B2. В этом случае мы говорим, что
/ отображает упорядоченную пару (Аи Аг) в
упорядоченную пару (Ви В2). Если G4i? А2) -+■ (Ви В2) для
некоторой рекурсивной функции /, то говорим, что пара
{Аи Аг) может быть рекурсивно отображена в (Ви В2),
и пишем (Аи А2) ■—>• (Z?t, B2). Очевидно, что если DЬ
RO
Аг)-—*■ (Ви В2) и если Bi не пересекается с В2, то А1
не пересекается с Аг.
Утверждение 4. Пусть (Аи А2)—*■ (Bu B2) u
Re
множества Bi и В2 не пересекаются. Тогда, если
множества At и А2 рекурсивно неотделимы, то такими же
Являются Bi и Вг.
S 19 J НЕОТДЕЛИМОСТЬ ДИАГОНАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 99
Доказательство. Докажем эквивалентное
утверждение: если пара {Ви В2) рекурсивно отделима, то
такой же парой является и {Аи Аъ).
По предположению (А1} Аг) —*■ (Bt, В2) для некото-
рой рекурсивной функции /. Предположим теперь, что
(Ви Вг) — рекурсивно отделимая пара. Тогда найдется
рекурсивное надмножество S множества Bi, которое не
пересекается с В2, и /~Ч£) будет надмножеством
множества Ау, не пересекающимся с А2. Так как / и S
рекурсивны, то множество /_1(£) рекурсивно.
Следовательно, Ai рекурсивно отделимо от Аг.
Следствие. Пусть /— рекурсивная функция;
пусть А и В — непересекающиеся множества чисел.
Тогда, если 14, В) — рекурсивно отделимая пара, то
такова же пара [/~ЧЛ), /-1(.б)]. Иначе говоря, если
f-^A) рекурсивно неотделимо от }~\В), то А
рекурсивно неотделимо от В.
Доказательство. См. утверждение 4, имея в
виду, что (/"'(Л), f-\B)) -+ (А, В).
Утверждение 5. Для любых множеств W и V
выражений системы Q;
(а) (W*, V*)-^ (W0,~Va)-^ (Wa, Va),
Re Rc
(б) (Hw, By) —*• (Wa, Vq) (для любого предиката Я
Rc
системы Z).
Доказательство, (а) В силу (а) утверждения-
Pi из § 8 W* ==D~4W0), где D — диагональная
функция. Фактически W* представляет собой не
только прообраз Wa при отображении D, но даже прообраз
меньшего множества W0 при D. Итак, W* =Z?~1(VF0) и
F*=£>-4"f0). Поэтому {W*, V*)-+(W0, У0). Так как
D
b рекурсивна, то (W*, V*)—*-(W0j V0) и, конечно,
Rc
^о, V0)-+(W0, V0) (так как W0^W0 и ~VU^VU).
Re
(б) В § 8 мы отметили ((б) утверждения Pi), что
Uw = ф^1 (W0). Таким образом, (Hw, HV)—+(W0, VJ
11 Функция фл рекурсивна. Это доказывает Сб).
100 НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ [ГЛ. Ш
Утверждение 6. Пусть W и V —
непересекающиеся множества выражений системы Q. Тогда:
(а) Если пара (W*, V*) рекурсивно неотделима, то
—> —*■
такой же является и пара (Wu, Va), {Следовательно,
если пара (W*, V*) рекурсивно неотделима, то такова
же и пара LWa, V0).)
(б) Для любого предиката Н из Q
(.Hw, Ну) рекурсивно неотделима => (WQ, У J
рекурсивно неотделима.
Доказательство. См. утверждения 5 я 4.
Теорема 27. Пусть Z — непротиворечивая
система, в которой определимо всякое рекурсивное
множество. Тогда
A) (Г*, R*) рекурсивно неотделима,
B) (,Т0, R0) рекурсивно неотделима.
Доказательство. Предположим, что Т* и R*
рекурсивно отделимы. Тогда' нашлось бы рекурсивное
надмножество А множества R*, не пересекающееся с
Т*. По условию теоремы это рекурсивное множество А
было бы определимо в Z. Это противоречит теореме 6.
Утверждение A) доказано. Утверждение B) следует
из (а) утверждения 6.
Следствие 1. Если Z — непротиворечивая си-
—» —»
сгема Россера, то как пара (Т*, R*), так и пара (T0,R0)
рекурсивно неотделимы.
Конструктивное доказательство этого
следствия. В доказательстве следствия при помощи
теоремы 27 отсутствует некоторая «конструктивная»
особенность, которую можно реконструировать при более
сильном предположении о том, что Z —
непротиворечивая система Россера.
Предположим, что Z — непротиворечивая система
Россера. Пусть А и В — рекурсивно перечислимые
надмножества множеств R* и Т* соответственно. Мы хотим
указать число вне обоих множеств А и В. По
предположению найдется предикат Я, сильно отделяющий А
от В в Z; этот предикат, конечно, отделяет меньшую
пару {R*, Т*) в Z. Далее, по теореме 5 предложение
Hh неразрешимо в Z; это означает, что h находится
пне обоих множеств Нт и HR. Следовательно, h
находится вне меньших множеств А, В.
g 191 НЕОТДЕЛИМОСТЬ ДИАГОНАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ loi
До сих пор мы не были в состоянии получить о
ядрах непротиворечивой системы Россера какое-либо
заключение, более сильное, чем о ядрах непротиворечивой
системы, в которой определимы все рекурсивные
множества. В обоих случаях нам известно, что ядра
рекурсивно неотделимы. В главе V мы увидим, что в
непротиворечивой системе Россера ядра обладают более
сильным свойством, известным как эффективная
неотделимость.
Замечание для читателя. На этой стадии
дополнение может быть прочитано вплоть до конца § 5.
Читателю также было бы полезно рассмотреть §§ 6—8,
которые предполагают известным результат
(доказанный в главе IV) о том, что сложение и умножение
образуют подбазис для РП отношений. Фактически
результаты §§ 6—8 составляют большую часть
мотивировок этой теоремы.
ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
В этой главе излагается связное построение теории
рекурсивных функций с точки зрения элементарных
формальных систем. Разделы #А и #Б совершенно
независимы. Результаты раздела #А являются
основными для всей главы V. Читатель, желающий
поскорее увидеть приложения главы III к математической
логике (как они изложены в дополнении), имеет
возможность прочитать раздел #Б перед разделом #А.
# А. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ
И ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ
В главе II мы показали, что некоторые операции
(например, объединение, пересечение,
экзистенциальная квантификация, ограниченная квантификация,
явные преобразования) сохраняют рекурсивную
перечислимость. Одной из основных целей этого раздела
является определение того, что означает для операции (над
числовыми множествами или отношениями) быть
эффективной^, и демонстрация того, что все указанные
выше операции являются эффективными в этом
смысле. Говоря в данный момент неформально,
операция является эффективной, если для любой
элементарной формальной системы (ЭФС), в которой представи-
мы аргументы операции, не только существует ЭФС,
в которой представимо значение операции (это только
означает, что операция сохраняет рекурсивную
перечислимость), но и такая система может быть
эффективно найдена по данной системе. Это определение
сделано точным в терминах индексации всех РП
отношений (см. §§1, 2). (Грубо говоря, число называется
') Вместо термина «эффективная операция» часто
(особенно в конструктивной математике) используют термин
«конструктивная операция».— Прим. перев.
§ 1]
ТЕОРЕМА О ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ
103
индексом РП отношения Л, если оно является диади-
ческим гёделевым номером какого-либо предиката,
представляющего А в универсальной системе U
главы: I.) Перед изучением эффективных операций мы
нуждаемся в нумерационной теореме Поста — Клини
(§ 1) и в теоремах об итерации в том виде, как они
изложены в § 3.
§ i. Теорема о перечислимости
Мы возвращаемся к универсальной системе Ш)
главы I1). Пусть г|зп — множество всех (га+1)-ок (X,
хи ..., хп) таких, что X является (га-местным)
предикатом системы {U) и хи ..., х„ — такие числа (диади-
ческие числительные), что набор (хи ..., лг„)
удовлетворяет X, т. е. такие, что выражение Ххи ..., хп
выводимо в Ш) (иначе говоря, такие, что хи ..., хп
находятся в РП отношении, представимом в (U)
посредством X). Пусть Un — множество всех таких (я+1)-ок
(ж, хи ..., хп) чисел, что х является гёделевым номером
предиката X, который выполняется на (хи ..., хп).
Таким образом, если х не является гёделевым номером
«-местного предиката, то Un(x, хи ..., хп) ложно. Бели
х является гёделевым номером га-местного предиката
X, то U"(x, хи ..., хп) -*=*-ф"(Х, хи ..., хп). Мы иногда
пишем U(x, хи ..., хп) вместо Un(x, xu ..., хп), так как
очевидно, что верхним индексом должно быть п.
Очевидно, что отношение Un универсально в том
смысле, что для всякого рекурсивно перечислимого
отношения R(xir ..., хп) найдется число i, а именно, гё-
делев номер любого предиката системы (Z7),
представляющего R, такое, что R(Xi, ..., хп) ■**■ Un{i, xt,...,xn).
Мы хотим доказать, что для всякого га отношение U"
само- рекурсивно перечислимо (теорема Поста — Клини
о перечислимости, установленная Постом и Клини для
различных универсальных отношений).
Теорема 1 (Пост — Клини). Для всякого п
отношение Un рекурсивно перечислимо.
Доказательство, (а) Мы сначала покажем, что
Для всякого п отношение tyn(X, xu ..., хп) формально
') Мы здесь называем эту систему (U), а не U, потому,
V будет использоваться в другом смысле.
104 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ, IV
представимо над Кв. Мы рассмотрим ЭФС {41) над
К», построенную в добавлении к главе I. В этой
системе N представляет множество чисел (диадических
числительных), В — множество баз, А — множество строк
из штрихов и Г — множество выводимых предложений
системы Ш).
Для каждого п мы расширяем КЧ1) до системы
(<£/") над Кг следующим образом: возьмем новый
предикат Н и добавим аксиому
Вх —*• Ау —*- Нхрр ...ру,
где р повторяется п раз.
Тогда Н представляет множество ?г-местных
предикатов из Ш). Затем мы возьмем новый предикат L
и добавим аксиому
Нх —*- Nxt —*■... —*■ Nxn —*■
—*• Txxi com хг com... com xn —*- Lx, xu ..., xn.
Тогда L представляет tfin.
(б) Для читателя, знакомого с разделом #В главы
II, рекурсивная перечислимость Un по существу
непосредственно следует из формальной представимости i|>n
над Кй. Пусть g — диадическая гёделева нумерация Ks.
Тогда U* экзистенциально определимо из отношения
■ф" и отношения gix) = у, так как Un(x, хи ..., хп) ■*-»-
Xi, .. ,, Хп )]. Таким образом,
V* формально представимо над Ks, следовательно, по
теореме 7 главы II рекурсивно перечислимо.
Для читателя, не знакомого с разделом #В главы
II, мы получим рекурсивную перечислимость Un
следующим образом. Пусть С?/"),, —ЭФС над {1, 2>,
аксиомы которой получаются из аксиом системы D6")
(ем. (а)) заменой везде каждого символа из Кь на его
диадический геделев номер. В этой элементарной диа-
дической арифметике {ШпH предикат L представляет
множество всех (ге+1)-ок (х, glxj, ..., gixn)) таких,
что Un(x, ). Чтобы представить Un над {1, 2),
берем два новых предиката G и Р и добавляем к Ш"H
аксиомы
G1, 12
GZ, 122
§ 3] ИТЕРАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РП ОТНОШЕНИЙ 105
Gx, у —у Gz, w —у Gxz, yw
Lx, уи ..., уп —> Gxlf yt —»-... —•> Gxn, yn —»■
* jt л, 3?i, • • ., Xn,
В этой системе G представляет отношение gu(x) = у,
т. е. множество всех таких упорядоченных пар (х, у)
диадических числительных, что g(x) = у, и Р
представляет интересующее нас отношение Un.
§ 2. Индексация
Под Ri будем понимать множество всех ге-ок
(#i, ..., хп) таких, что U{i, хи ..., хп). Мы будем часто
опускать верхний индекс п, если это не будет
приводить к двусмысленности; например, будем писать
Ri(xu ..., х„) вместо R" (xi, ..., хп). Таким образом,
Ri{xu ..., хп) -*->- U(i, хи ..., хп). Мы называем i
индексом R{. Ясно, что если i является гёделевым
номером некоторого «-местного предиката Н системы U, то
-й™ является отношением, представимым в U
посредством Н. Если i не является таким гёделевым номером,
то Ri пусто.
Следуя традиционным обозначениям, при п = 1
пишем (й{ вместо R\. Таким образом, ©j является таким
РП множеством, индекс которого есть L Все РП
множества образуют последовательность ач, оJ, . •., <о«, . • -,
и теорема Поста о перечислимости (для п — \)
утверждает, что множество всех пар (г, /) таких, что / ^ ш,-,
является РП отношением.
§ 3. Итерационные теоремы для РП отношений1)
Для любого отношения JYL\Z\) . •., zn> х^^ . .., Хт* и
для любых чисел h, ..., in обозначим посредством
Miv...tin множество всех таких m-ок (xh ..., хт), что
имеет место M(iu ..., i„, хи • • ■, хт) (об этом уже шла
речь в главе II).
') Теоремы этого параграфа играют в теории РП
отношений роль, аналогичную 5™-теореме К л и н и [1] для
частичных рекурсивных функций. Можно получить итерационные
теоремы для отношений как следствия теоремы Клини для
функций, но мы считаем, что проще поступать иным образом (см,
Осуждение после теоремы 10),
10б ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
Теорема 2. Для любого рекурсивно перечислимо-
го отношения M(zi, ..., zn, хи ..., xm) найдется такая
рекурсивная функция q>U4, ..., znI), что для любых
чисел U, .,., in число ф(^, ..., in) является индексом
отношения Mix гПш
Доказательство. Пусть
(£)—транскрибированная элементарная диадическая арифметика, в
которой Р представляет М. Пусть Xit ..., Хп— аксиомы
\Е) и В — база * Xj * Хг * ... * Хк *. Пусть Q является
ТА-предикатом, не встречающимся в (£), и для любых
чисел h, ..., in пустьYij in_ строка
Пусть (£)ix in получается из (Е) добавлением
аксиомы Yix iji# Заметим, что Q представляет М\г _ \п
в i.E)ix ^ Заметим также, что .ВУ^,...^*
является базой, соответствующей (E)ix {„, и что строка
BYix in#Q является предикатом из U, который
представляет в {U) отношение М^ in.
Следовательно, гёделев номер этого предиката является индексом
Mix %п. Пусть cp(Ji, ..., ij — этот гёделев номер.
Остается показать, что <р — рекурсивная функция.
Пусть Ъ, р, q — соответственно гёделевы номера
предикатов В, Р, Q. Пусть s, с, а — соответственно
гёделевы номера символов *,•, —*-, и для любого числа
п пусть п — гёделев номер числительного п. Пусть
Vi, ..., vm — гёделевы номера переменных хи ..., хт.
Тогда <p(ii, .. .,Лп) = bpi^cis... cincv±c .. .cVmaqViC ...
... cvmsq. (Мы использовали приписывание для
обозначения конкатенации слов в алфавите {1, 2}.)
Примечание. Очевидно, что функция <pUi, ...
..., z„), построенная в этом доказательстве, обладает
следующим свойством: для всех h, ..., in значение
tpUi, ..., in) больше каждого из чисел Ь, ..., in. Мы
будем называть функцию, обладающую этим
свойством, функцией, превосходящей аргументы2).
Еще ближе к 5™-теореме Клини следующая
') Функция ф, которую мы строим, в действительности
является примитивно рекурсивной (как у Клини).
2) В оригинале «progressing function».— Прим. перев.
§ 3] ИТЕРАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РП ОТНОШЕНИИ Ю7
Теорема 2.1. Для всяких т, п найдется такая
рекурсивная функция (в действительности рекурсивная
функция, превосходящая аргументы) <p(z, zu ..., z„),
что, каковы бы ни были числа е, iu ..., in, если е —
индекс РП отношения М(гх, ..., z„, хи ..., xm), то
ф(е, ii, ..., £„) — индекс отношения М\х \п.
Доказательство получается применением теоремы
2 к универсальному отношению U{z, z,, ..., z„,
Теорема 2.2. Пусть последовательность ^"^"i •••
..., т$, ... представляет собой любое такое
перечисление всех п-местных РП отношений, что отношение
M{z, хи ..., хп), определяемое выражением ^£ (ж,, ...
..., хп), рекурсивно перечислимо. Тогда найдетсятакая
рекурсивная функция <р(х) (являющаяся при этом
функцией, превосходящей аргументы), что, каково бы
HU бЫЛО £, % = R(f(i)-
Доказательство. По теореме 2 найдется такая
(превосходящая аргументы) рекурсивная функция
ф(г), что, каково бы ни было i, ср(£) является индексом
Mi% Но М\ = г|>", поэтому q>(i) является индексом t|#,
т. е. Яф(г) = г|>".
Замечание. Теорема 2.2 означает, что наш
метод индексации всех РП отношений является таким,
что для любого другого перечисления,
удовлетворяющего условию теоремы 2.2, мы всегда, можем
эффективно перейти от индекса РП отношения в таком
перечислении к индексу того же самого отношения в
нашем перечислении.
Конечно, наша итерационная теорема была
установлена применительно к конкретной индексации.
Наше предыдущее замечание приводит к следующему
•'аключению: если индексация такова, что выполняется
итерационная теорема, то она автоматически обладает
Указанным свойством. Обратное проверяется еще
легче. Взяв ^1 = Щ , мы немедленно получаем
следующую теорему, принадлежащую Майхиллу и Деккеру.
Теорема 2.3. Задав любой индекс i РП
отношения, мы можем эффективно найти больший индекс того
же самого отношения. Иначе говоря, для каждого и
108 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
найдется рекурсивная функция ф(ж), превосходящая
аргументы и такая, что, каково бы ни было i, -R?=i^(i>.
Майхиллу и Деккеру принадлежит также
Теорема 2.4. Задав любой индекс г РП
отношения и любое число тп, мы можем эффективно найти
число h(i, m), которое одновременно превосходит m и
является индексом того же отношения.
Доказательство (неформальное). Мы
используем функцию ф(ж) из теоремы 2.3 и рассмотрим
последовательность i, <рШ, ффШ., ... Определим Ш, пъ)
как первый элемент этой последовательности, который
превосходит тп.
Наша следующая теорема обобщает до некоторой
степени теорему 15 из работы Майхилла Ш. В
главе V она будет иметь существенное применение.
При п = 1 теорема 2 говорит, что для всякого РП
отношения Miz, xu ..., х„) найдется рекурсивная
функция f,(z) такая, что, какова бы ни было i, t{i) является
индексом отношения МП, хи ..., х„), т. е. отношения
%Xi, ..., xnM(i, хи ..., хп). Наша следующая теорема
говорит, что это может быть сделано с помощью
взаимно однозначной1) функции t(z).
Теорема 2.5. Для любого РП отношения
Miz, хи ..., х„) имеется взаимно однозначная функция
t(z) (в действительности строго возрастающая) такая,
что, каково бы ни было i, t(i) является индексом
отношения M(i, Xi, ..., хп) (г. е., каковы бы ни были
Х\, . . ., Хп, Xl((i)l3?i( • • ., Хп) "*""*■ ItlfXXi, . . ., Хп)).
Доказательство (неформальное). По теореме
2 имеется такая рекурсивная функция ф(г), что,
каково бы ни было t, ф(£) является индексом М< (т. е.
отношения %хи ,.., хпМЦ, хи ..., хп)). Будем считать,
что kit, тп) является функцией из теоремы 2.4.
Определяем tin) посредством математической индукции
следующим образом:
*A) = фA>,
*(л + 1) = А(<р(п + 1), tin)).
1) Здесь и далее функция одной или нескольких
переменных называется взаимно однозначной, если она в разных
точках области своего определения принимает различные
значения.— Прим. перее.
§ 4]
ЭФФЕКТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ
109
Легко проверить, что t(x) рекурсивна. Ясно, что
t(n+ 1)>£(ге), поэтому t{x) строго возрастает;
следовательно, t{x) взаимно однозначна. По определению h
имеем R4n+i) — R<k*+i) ^ Mn+i и, конечно, имеем
/?((!, = /?Ф<п — Mil, xu ..., хп). Поэтому, каково бы ни
было п, Л<Сп) = Мп.
§ 4. Эффективные операции
Для любого числа d, мы обозначим посредством 2d
совокупность всех i-местных РП отношений.
Посредством 2а, X ... X 2* обозначим совокупность всех
п-ок (Ац ..., Ап), где Ai является ^-местным РП
отношением, ..., А„ является ^„-местным РП отношением.
Теперь зафиксируем числа du ..., dn, d и отображение
Ф множества 2rflx...x2dra (или. подмножества
множества 2dl х ... X 2,^) в 2Й. Мы будем
называть Ф операцией. О любой числовой функции ф(а;15 ...
..., Хп) будем говорить, что ф отражает операцию Ф,
если для всех таких iu ..., гп, что (Я*х, ...,Rin)
принадлежит области определения операции Ф,
ф(г'и ..., in) является индексом Ф (i?ix, ..., i?{n) •
( Rij — dj- местное РП отношение, индекс которого есть
ij.) Иначе говоря, ф отражает Ф, если и только если
всякий раз, когда iu ..., in являются_ соответственно
индексами отношений Аи ..., Ап и ФС4.1, ...; An)
определено, число ф(^, ..., 1п) является'индексом
отношения ФЫи, ..., Ап).
Будем говорить, что Ф является эффективной
операцией, если она может быть отражена рекурсивной
функцией1). Мы будем часто использовать фразу «по
любым индексам it, ..., in отношений Аи ..., Ап мы
можем эффективно найти индекс ф(^, ..., in)
отношения ФЫ.1, ..., Ап)», которая означает, что «Ф является
эффективной операцией, при этом ф является
рекурсивной функцией, которая отражает ее».
Теперь рассмотрим эффективный аналог теоремы 1
главы II.
') Это понятие эффективной операции принадлежит М а й-
хпллу и Шепердсону [1].
НО ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ IV
Теорема 3. Следующие операции являются
эффективными:
A) объединение,
B) пересечение,
C) все явные преобразования,
D) экзистенциальная квантификация,
E) ограниченная квантификация
{экзистенциальная и универсальная).
Сначала докажем следующее утверждение.
Лемма. Если M{zu ..., zn, xt, ..., xm)— такое РП
отношение, что для любых г4, ..., in, для которых
Ф (Riv ..., i?in) определено, Mh.. .jn= Ф (#ij,...,#*„)
(т. е. каковы бы ни были х^ ..., хт, М (г\, ..., in, хх,...
'■,Xm)€${xii • ■ .,хт)^ Ф(^*1' • • •» ^П)ХТ0 Ф является
эффективной операцией.
Доказательство. По теореме 2 существует
такая рекурсивная функция <p(zt, ..., zn), что <p(ft, ...
..., in)—индекс отношения М{ ...,$п< Следовательно,
если Ф (R{x, . ..,Д$П) определено, то это отношение
имеет индекс ф(£4, .,., i„). Следовательно, ф
отражает Ф.
Доказательство теоремы. A) Пусть Ф —
операция объединения: Ф {Щ, Щ) = Щ [} Щ. Пусть
M(zu z2, хи ..., хп) — РП отношение:
Ulzu Xi, ..., хп) V U(z2, xu ..., хп).
Тогда
M(iv гз, л?!, ...,#„) 44-г7(г\, хх, .. .,xn)\fU{i%,xx, ..., г„)
44 Л"г{хг, ..., xn)\JR\ (хх, ..., хп)
&{хг, ...,xn)<=R?t U Щ2
Таким образом, Af{1(i2 = Ф (Я^, Я?2).
Остается применить предшествующую лемму.
B) Доказательство проводится аналогично; в
качестве M(zi, z2, xu ..., хп) берется отношение
Vizu «1, ..., хп) Д U(zi, хи ..., хп).
§ 5] ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ Щ
C) Рассмотрим теперь явное преобразование
®(xi,...txn; Si.---,£ft)> T- е- операцию Ф, которая переводит
любое /с-местное РП отношение R в отношение
AXt . . . XnH\t,i, •' ч £ft/«
Определяем Miz, хи ..., хп) -**- Viz, |„ ..., |ft).
Тогда
МП, ) +* ии, %и ..., it) -**- R,(tu.. ., |»).
Итак, М< = Яж,. •. xjtii.lt, ..., %к) = Ф(Я<).
Опять применим предшествующую лемму.
D) Доказательство проводится аналогично, если в
качестве Miz, xit ..., хи) берется РП отношение
3yU(z, xu ..., хп, у),
E) Для случая ограниченного квантора
существования в качестве Miz, xu ..., хп, и>) берем
ly<v,Uiz, xu .,., хп, у).
Для случая ограниченного квантора всеобщности в
качестве Miz, xif ..., хп, w) берем
Vr/<„C/(z, xi, ..., хп, у).
Ввиду того, что композиция рекурсивных функций
рекурсивна, из теоремы 3 следует, что любая
операция, выразимая как конечная композиция операций
A) —E), эффективна. Например, для любой
рекурсивной функции fix), задав любой индекс i отношения А,
мы можем эффективно найти индекс ф(£) отношения
fiA) (так же, как индекс i|)(£) отношения j~4A)).
Имеется такая рекурсивная функция q>izt, z2), что если
h является индексом отношения fix) = у и h является
индексом РП отношения А, то cp(£j, i2) является
индексом fiA) (подобным же образом для f~liA)).
Аналогично, диагональ функции fix, у) может быть эффективно
найдена из fix, у), т. е., задав индекс i рекурсивной
функции fix, у), мы можем эффективно найти индекс
ф(г) функции /.
§ 5. Теоремы о неподвижной точке
В главе V наши результаты будут в большой
степени опираться на теоремы о неподвижной точке из
этого параграфа. Теорема о неподвижной точке Май-
хилла [1] может быть получена как следствие
теоремы К лини Ш о рекурсии и, наоборот, последняя
Ц2 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
может быть получена как следствие первой, хотя
доказательство в таком направлении сложнее. Мы сейчас
рассмотрим теорему о неподвижной точке, из которой
будут получены и теорема Майхилла, и теорема Клини.
Теорема 4. Для любого РП отношения M{z, хи...
■.., хп, у) найдется такая рекурсивная функция t{x),
что для всех чисел i, Xi, ..., xn
Rtl()(xu ..., xj -«-»- M(i, x^ ..., xn, iU)).
Доказательство. Применением итерационной
теоремы к РП отношению -ft»(xj, ..., xn, z) мы
получаем рекурсивную функцию d{z) такую, что для всех i,
Xi, • • >f ^n»
A) i?d<f>Ui, ..., xn) ■*-> Ri{xh ...,
Применением итерационной теоремы к РП
отношению M{z, Xi, ..., xn, diy)) мы получаем такую
рекурсивную функцию (pU), что для всех it хи ..., х„, у:
12) £,<<,Ui. •••. *»> у)~ MU, diy)).
Тогда по A), подставляя ф(г) вместо £, получаем
^*k<)Ui, ..., xj ■*-*■ Rni){xit ..., xn, ф(Ш
-t-> МЦ, xu ..., xn, ЛрШ)
(no B), подставляя фШ
вместо у).
Следовательно, /?<(<)(х1т ..., xn) ■<-»- M(i, xt, ...
..., xnt tW), где в качестве t(i) используется1) -dcp(i).
Замечание. При использовании теоремы 2.5
вместо теоремы 2 функции d и ф могут быть выбраны
строго возрастающими, в этом случае t строго
возрастающая. Следовательно, теорема 4 остается верной
при замене слова «рекурсивная» на слова «взаимно
однозначная рекурсивная». В доказательстве теоремы
Майхилла решающим пунктом является изоморфность
любых двух креативных множеств. Аналогичная
ситуация возникнет, когда мы перейдем к теореме 5.
Теорема 4.1. Для каждого п существует такая
рекурсивная функция t(z), что при всех i, хи ..., х„
Rtinixi, ..., хп) «-* Rtixi, ..., xn, t(i)).
') При записи композиции функций автор иногда опускает
скобки.— Прим. перев.
§ 8] ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ ИЗ
Доказательство. Достаточно в теореме 4 взять
в качестве M(zt хи ..., х„, у) РП отношение Rt(xit ...
.. -, Хп, у).
Замечание. При п = 1 теорема 4.1 читается так:
существует такая рекурсивная функция t(z), что для
всех i, х
яе со<{<} -*-*- R&X, tti)).
Это теорема Майхилла о неподвижной точке. Мы
позже покажем, что теорема 4.1 позволяет доказать
теорему Клини о рекурсии.
Теорема 4.2. Для любого РП отношения M{ztx,y)
имеется такая рекурсивная функция ti.z)t что щи
всех it х
же cot(<) «<->- MU, х, tti)).
Доказательство. Это частный случай теоремы
4 при п =■ 1.
Теорема 4.3. Для любого РП множества а и РП
отношения R(x, у) имеется такая рекурсивная функ~
ция t(.x), что при всех i и х
х е co«(J) -«-> i e а Д Д(х, t(i)).
Доказательство получается по теореме 4.2, если
возьмем РП отношение геаЛЖг, у) в качестве
МЫ, х, у).
Замечание. Заключение теоремы 4.3 означает,
что если jGcc, то tШ — индекс множества всех таких
х, что R(x, Ш)); если 1Фа, то £(£)—индекс пустого
множества.
Теорема 4.4. Для каждого РП множества а и
каждой рекурсивной функции g(x) имеется такая
рекурсивная функция t(x), что для всех i:
(I) I е а =*■ <D«(i> — одноэлементное множество {gt(i)},
(II) i & а =*■ (йцц — пустое множество 0.
Доказательство получается по теореме 4.3, если
взять РП отношение x = g(y) в качестве R(x, у).
Эта теорема является основой предложенного Май-
хиллом доказательства того, что всякое РП множество
сводимо к креативному (см. главу V). Мы хотим
установить (в главе V) несколько более сильные
результаты о равномерно креативной совокупности множеств и
Для этой цели нам потребуются некоторые дальнейшие
следствия теоремы 4.
Ш ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
В дальнейшем J(x, у), К(х), Ых) — рекурсивные
функции, обладающие свойствами KJ(x, у) = х,
LJix, у) — у. Функция / взаимно однозначна. Этими
функциями могут быть функции,
общеупотребительные для нумерации пар чисел; другие примеры будут
даны в разделе # Б этой главы.
Теорема 4.5. Для любого РП отношения
z2, х, у) имеется такая рекурсивная функция
t{x, у), что при всех i, /, х
х<=®ц{,з) ~*^ Mii, ), х, t(i, /)).
Доказательство. Пусть M'(z, x, у) обозначает
отношение M(Kz, Lz, x, у) (легко проверить, что она
рекурсивно перечислимо)'). По теореме 4.2 имеется
такая рекурсивная функция ф(ж), что при всех }', х
х ^ ©„(,-) -**- M'(i, х, <р(Ш.
Подставляя /(», /) вместо i, имеем
х^ ©,/(f,j) -<=*■ M'Uti, /), х, ф/(», /))
<*Mimi,j), LJ{i, /), х, q>/(i, /))
■**■ M(i, j, x, ф/(}, /)).
Поэтому рекурсивная функция Ш, у), равная
ф/(г, /), обладает желаемым свойством.
Теорема 4.6. Для каждого РП множества и
каждой рекурсивной функции g{x, у) имеется такая
рекурсивная функция t(x, у), что при всех i, у, x
выполняются следующие условия:
A) / ^ а =*■ tiij) есть индекс одноэлементного
множества {gitt(j)};
B) / 9= а =*■ £<(/) есть индекс множества 0, где по
определению
Uix) =Ш, ж), g,(fc) = #(г, ж).
Доказательство. Пусть M(zu z2, х, у) — РП
отношение:
г2 е а Д ж = g(z,, #).
В иной записи:
г2еа Д x = gZl(y).
') Иногда автор аргументы функции не заключает в
скобки.— Прим. перев.
§ 0]
ТЕОРЕМЫ О СДВОЕННОЙ РЕКУРСИИ
115
По теореме 4.5 имеется такая рекурсивная
функция t(x, у), что
х <= щл}) -*->- МП, j, х, Uj))
г
ч-*-/е=а д x = giU{j).
Таким образом,
w«t(/) = {ж: j^a/\x = gitiij)}.
Для /еа имеем {ж: /е а Д ж = ё«£{(/)} = {g<£i(/)J.
Для / ^ а имеем {ж: / е а /\х = gitiij)) = 0.
Именно теорема 4.6, а не теорема 4.5, будет иметь
прямые приложения в дальнейшем.
§ 6. Теоремы о сдвоенной рекурсии
Сдвоенный аналог теоремы 4. Для наших
исследований в главе V (об эффективной неотделимости)
будут существенны следующие «сдвоенные аналоги»
теоремы 4 (и некоторые их следствия).
Теорема 5. Для любых двух РП отношений
Mi(z, Xi, ..., хп, у) и M2(z, xu ..., хп, у) может быть
найдена такая взаимно однозначная рекурсивная
функция t{z), что для всех чисел i, хи ..., хп
одновременно выполняются следующие условия:
A) Вжщ> tW),
B) Rluh(xu ..., xn) **Mx(i, *@).
Доказательство. Мы проиллюстрируем
доказательство на примере п = 1. (Это единственный
случай, которьщ мы в действительности будем
использовать. Доказательство для произвольного п может быть
яолучено просто подстановкой хи ..., хп вместо х.)
Легко показать, что условия (отношения) R«zix, z)
и RLz(x, z) рекурсивно перечислимы. По теореме 2.5
имеются такие взаимно однозначные функции d^z),
d2(z), что для всех чисел i, x
х е codl<i> -«->- Rko) {x, i),
х & 0Jd2(i) -«->- Rm) (х, i).
Пусть d{z) =J(di(z), d2(z)). Тогда d(z) — такая
взаимно однозначная рекурсивная функция, что, какд-
116
ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
во бы ни было z, Kd(z) = diiz) и Ld(z) =* d2(z).
Следовательно,
х ^ в>ыц) +-*■ RLl()(.x, i).
Отношения Miiz, х, d{y)) ж M2(z, x, d(y)) также
рекурсивно перечислимы, поэтому имеются такие
взаимно однозначные рекурсивные функции ф4(х) и ф2(ж),
что при всех i, х, у
ЯфхС*) (х, у) ч->. Мх (i, х, d (у)),
i?,p2(i) (ж, у) ++ М2 (г, х, d (у)).
Пусть ф(г) =/(ф,(г), фг(г)). Тогда ф(г) является
взаимно однозначной рекурсивной функцией такой, что
каково бы ни было z, Ky(.z) = (?i(z) и Lyiz) = ф2Ы.
Далее, при всех i и х
B) Л««1)(а;, у) "-•■ MSXV х, d{y)),
Rt^iM, у) -«-*- M2{i, х, d{y)).
По B) имеем (подставляя фШ вместо у)
. . ЛкФA)(ж, фШ) +-* Д/Дг, ж, йф@),
Дг,<р{г)(ж, фШ) ■»-*■ Л/2(г, х, ЛрШ).
По A) имеем (подставляя ф(г) вместо г)
.,. же (йкй^, ■+-»- RKHi){x, фШ),
х е cOid^i, ■«-»- Д^^ж, ф(г)).
На правые части эквивалентностей D) являются
левыми частями эквивалентностей C). Следовательно,
же Wjrdq>(i) -*-»• M,(i, ж, cfcp(i)),
ж е Юьлко ■*-*■ Л^г(г, ж, d(p(i)).
Положив t(z) — dcpiz), получим
х е cox,/(i) -м- М2(г, ж, i(i)).
Кроме того, t взаимно однозначна, так как d и ф
взаимно однозначны. Это завершает доказательство'.
') Это доказательство, так же как и доказательство
теоремы 4, прибегает к итерационной теореме. Хилари Патнем
позже доказал (устное сообщение), что теорема 5 может быть
получена как прямое следствие теоремы 4.
§ 6] ТЕОРЕМЫ О СДВОЕННОЙ РЕКУРСИИ 117
Теорема 5.1. Пусть а, р — два РП множества;
пусть f{x), g(x) — две рекурсивные функции. Тогда
имеется такая взаимно однозначная рекурсивная
функция t(x), что для всякого числа i:
jea—+КШ) есть индекс одноэлементного
множества ift(i)},
i&a—*-КШ) есть индекс пустого множества,
I е р —v ЬШ) есть индекс множества {gt(i)i,
i&$ —*■ Ltd) есть индекс пустого множества.
Таким образом, если <х и $ не пересекаются, то
A) 1еа->{(йя((()) о)ы({)> = {{/*(*)}, 0},
B) I е р -*■ {<»„„„ <вь,(|)} = {0, igt(i)}},
C) i & а U р -+ {о)к((,-„ ©mi,} = {0, 0).
Доказательство. Возьмем в качестве M4(z,ж,у)
отношение z<= a/\ x = f{y), а в качестве М2(г, ж, у)
отношение z^p Д x = g(y). Затем применим теорему5.
Последняя теорема нам нужна будет фактически
только для специального случая: g(x) =/(ж).
# Б. КОНСТРУКТИВНО АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
И РУДИМЕНТАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
В этом разделе мы вводим подкласс конструктивно
арифметических отношений, которые называем
рудиментарными отношениями. Сначала покажем, что все
рудиментарные отношения конструктивно
арифметические, затем покажем, что рудиментарные отношения
образуют базу для РП отношений (и, следовательно,
что конструктивно арифметические отношения
образуют базу). Как отмечено во введении, наши
доказательства следуют новому направлению во всем, где
раньше прибегали к средствам традиционной теории
чисел. Избегаются такие средства, как разложение на
простые сомножители, сравнения и китайская теорема
об остатках. Таким образом, даже для теорий первого
порядка, включающих сложение и умножение в
качестве своих единственных простейших арифметических
функций, гёделева программа установления неполноты
может быть выполнена средствами этого раздела без
обращения к теории чисел,
118 теория рекурсивных функций ггл iv
§ 7. Некоторые предварительные замечания
Утверждение 1. (а) Для любого отношения
R{xu .. •, х„, у) конструктивно определимы из R
следующие отношения:
A) 3j/<r#(zlT ...,хп, у),
B) Vy<*R (#i, ...,хп,у).
(б) Для любого отношения R(xu ..., х„, х, у)
конструктивно определимы из R следующие отношения:
C)gy<*#(zi, ...,хп,х,у),
т. е.. Xxt ... xnxjy<xR (xt, ...
D) iy<xR (а?!, •.., Хп, х, у),
E) V*/<*#0*a, ...,Хп,х, у),
F) VJ/<x-R (хг, ...,хп,х, у).
Доказательство. Отношения, перечисленные в
A) — F), обозначим соответственно посредством
R, #в. Тогда:
A) /?! (*!, . . ., Хп, Z) -м- 3*/<z# («1, ...,Хп,у) V
V# (агц . ..,a;w,z).
Это доказывает A).
B) R2 (arlf ..., хп, z) -м- Vj/<2# (arlt ...,хп,у)/\
Л flfo, ...,ж„, z).
Это доказывает B).
C) Пусть S(xu .,.., хп, х, z) обозначает отношение
3y<zR (хг, .. ,,хп, х, у). S конструктивно определимо из
R. Кроме того, R3ixt, ..., хп, х) ■*->- S(xu ..., хп, х, х),
поэтому R3 явно определимо из S. Следовательно, Rt
конструктивно определимо из R. Это доказывает C).
D), E), F) доказываются аналогично.
Очевидно, что если А конструктивно определимо из
Аи ..., Ап и каждое А{ конструктивно определимо из
Ви ..., Вт, то А конструктивно определимо из Ви ...
..., Z?m. Таким образом, например, если R —
конструктивно арифметическое отношение, то каждое из отно-
§ 81 ДИАДИЧЕСКАЯ КОНКАТЕНАЦИЯ 119
шений Rt, ..., Re (из утверждения 1) является
конструктивно арифметическим.
Утверждение 2. (а) Отношения х = у, х<у,
х<у конструктивно арифметические.
б) Отношение ах делит у» (сокращенно a: div у)
конструктивно арифметическое.
Доказательство.
(а) ж = y++xxl = у,
ос < у ■+*- 3z<v [ж + z = у],
(б) я div у-^ (ж = 1) V %z<y{xxz = у).
Утверждение 3. £с/ш га — простое число, то
множество Q„ всех степеней числа п конструктивно
арифметическое1). В частности, Q2 — конструктивно
арифметическое множество.
Доказательство. Пусть п — простое число.
Тогда х является степенью числа п, если и только если
всякий делитель х делится на п. Следовательно (так
как п — простое число), имеем8)
ie9B« Vy<x [(у div х Д (К У)) -*■ п div у].
§ 8. Диадическая конкатенация
Для любого числа х полагаем: х — то диадическое
числительное, которое обозначает х (в диадическом
обозначении). Вплоть до иного указания мы будем
идентифицировать числа и соответствующие им диади-
ческие числительные. Для любых чисел ж, у под ху
или х * у будем понимать такое число г, что z=xy
(т. е. z есть х, за которым непосредственно следует у).
Например, 121 * 22 = 12122. Посредством С(х, у, z)
будем обозначать отношение xy = z. Мы хотим
доказать, что С — конструктивно арифметическое
отношение.
') За сообщение об этом результате, существенном в
дальнейших выводах, автор благодарен Джону Майхиллу.
2) Наше использование символа импликации соответствует
схеме конструктивной определимости, так как р -*- q
понимается как ~р V Я-
120 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
Заметим, что х * у ■= (хX 2'ш) + у, где Iky) — длина
числительного у. Очевидно, что нам нужна следующая
Лемма. Отношение у = 2Цх) конструктивно
арифметическое.
Доказательство. Сначала заметим следующие
соотношения. Для любого числа г наименьшим числом
длины г является
11... 1 — 2Г — 1,
где 1 повторяется г раз» Наибольшим числом длины г
является
22...2,
где 2 повторяется г раз.
Таким образом,
(*) число х имеет длину г, если и только если х
лежит между 2Г — 1 и 2 • BГ — 1), т. е.
l(x) = r^*Br— 1)<я<2.Bг— 1).
Отметим, что у=2'{х), если и только если
выполняются следующие два условия:
С4: Qi(y), т. е. у — степень числа 2;
Сг: у-1^х<2(у-1).
Действительно, предположим, что z/ = 2t(x). Пусть
r=-ZU). Тогда у = 2% следовательно, по С*) у —К
*^х^2(у — 1), т. е. выполняется Сг и, конечно,
выполняется Ci.
Обратно, предположим, что выполняются Gt и Сг.
Тогда по Ci для некоторого г имеем у = 2Г и по Сг
имеем 2г-Кя^2-Bг-1), поэтому по (*) г = 1(х).
Таким образом, у = 2"ж).
Остается только проверить, что условие С2
конструктивно арифметическое. (Условие CL является
таковым по утверждению 3.) Мы должны показать, что
каждое из условий у— 1 ^ж, ж < 2(z/ — 1)
конструктивно арифметическое.
(a) y — l^x++yt^.x + l
-*-*3z<sc(z/ = z + l).
Таким образом, первое условие конструктивно
арифметическое.
S 9]
РУДИМЕНТАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
121
(б) *<2(у-!)***<(?-1) +(if-1)
«-»■ Зу<рИ7<р [У + W = Ж].
Таким образом, второе условие конструктивно
арифметическое.
Теперь имеет место
Теорема. Отношение х * у = z конструктивно
арифметическое.
Доказательство.
х*у = z ■*-*- (хх2г(у)) + у = z
■<-v.3i;<2m><2 [у = 2Ift0 Д #Хг; = и? Д w + y = z].
Отношение v = 2!(t,) конструктивно арифметическое
по предшествующей лемме.
§ 9. Рудиментарные отношения
Теперь мы определим рудиментарное отношение
как такое, которое конструктивно определимо из диа-
дической конкатенации, т. е. из С(ж, у, z). Так как
С — конструктивно арифметическое отношение,
немедленно получаем следующее утверждение.
Теорема 6. Все рудиментарные отношения
конструктивно арифметические.
Мы не знаем, являются ли все конструктивно
арифметические отношения рудиментарными1). К у айн
[1] показал, что сложение и умножение определимы в
языке первого порядка из С.
Действительно, легко показать, что как сложение,
так и умножение представимы в форме Эг/Жя,, хг,
х3, у), где R — рудиментарное отношение, но вопрос о
том, являются ли сложение и умножение
рудиментарными отношениями, остается при этом без ответа2).
Во всяком случае, остаток раздела # Б будет
посвящен доказательству того, что различные ключевые
отношения теории рекурсивных функций являются ру-
') См. замечание в конце этой главы.— Прим. перев.
2) Для случая сложения Роберт Ричи дал недавно
положительный ответ (устное сообщение).
122 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
диментарными (и, следовательно, конструктивно
арифметическими) *).
Техника, которую мы теперь используем, является
конструктивным аналогом и расширением техники
Куайна [1]. Мы говорим, что х является частью у
(сокращенно хРу), если диадическое числительное х —
часть диадического числительного у. Аналогично
определим отношения «х начинает у» (сокращение хВу)
и «х кончает у» (сокращенно хЕу). Мы говорим, что
х является биркой (сокращенно а{х)), если х — строка
из 1. (Все эти термины взяты у Куайна [1].)
Утверждение 4. Следующие отношения
рудиментарны:
(а) х = у; (б) {для всякого п) Xi * ... * х„ = у;
(в) хВу, хЕу, хРу;
(г) Xi * ... * хпВу, Xi * ... * хпЕу, Xi * ... * х„Ру;
(д) ах; (е) х < у, х < у.
Доказательство2).
(а) х = у <-* 3ztz2<x [zt * z2 = х Д Н * Ч — У\ V
[х * 1 = и д у * 1 = И] V I* * 1 = 21 л г/ * 1 = 21].
(б) а-! * ... * хп = у+* Эу3 ... yR-i<ff [а?^ = у3 Д
^3^4 = ^4 Л • • • Л Уя-1Яп = У].
(в) жЯу-wж = у V 3zo (Ж2 = I/)»
ж£у -н- ж = у V 3z<y (г* = у),
хРу^хВу V *Яу V 3*i*b<„(*v«s - у).
(г) жх* ... *£п1?у-*->.3z<y[xt* ... *xn = z f\ zBy].
(Аналогично для Е и Р.)
(д) о\гч->.2Р:г.
(е) ar<y-M-3z<y(z = y),x<y^3z<j/(z = x).
') Все рудиментарные отношения, конечно, примитивно
рекурсивны, но не наоборот. Рига недавно показал (устное
сообщение), что рудиментарные отношения (даже
конструктивно арифметические отношения) образуют подкласс отношений,
задаваемых функциями класса &0 Гжегорчика [1].
2) Ниже формула вида 3z1<a ... Згь.<аА иногда
записывается так: 3»!... zh<aA.~ Прим, перев.
§9]
РУДИМЕНТАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
123
Конечные последовательности. Для любого числа я
о
полагаем л. = 2я2.
Рассмотрим произвольную конечную
последовательность (хи ..., ж»). Пусть (a;lf ..., хп)* — число
о о о о о
ял^яа^я... яжпя, где я — наименьшая из тех бирок,
которые больше каждой бирки, входящей как часть
хотя бы в одно из xt. Мы назовем (хи ..., хп)*
секвенциальным номером последовательности (хи ..., хп).
Очевидно, что, каково бы ни было s<w, (xu ..., #„)*>
> Хи Также очевидно, что если (хи ..., хп)* = (г/1? ...
..., Ут)*, то п = т и Xi = yu ..., хп = уп. Введем
следующие обозначения: Seq — множество всех
секвенциальных номеров; х е у — отношение «у —
секвенциальный номер некоторой последовательности, у
которой имеется член х»; xsFy — отношение «ж является
последним элементом (последовательности,
секвенциальным номером которой является) у»; х<ту—
отношение «Seq (w) и в последовательности,
секвенциальный номер которой есть w, x появляется раньше,
чем у».
Мы хотим показать, что все условия Seq (ж), х^у,
х^Ру, x<wy рудиментарны и что для каждого числа
п отношение (xh ..., х„)* = у рудиментарно. Прежде
всего сокращаем выражение ov Д vPy Д vlPy
посредством v It у (читается «у —самая длинная бирка в у»).
Затем мы введем в рассмотрение множество Seq! всех
о о о о
чисел вида vXiV... vxnv, где v— бирка, которая не
'является частью какого-либо из xt. (Такое число не
обязательно является секвенциальным номером; оно
является секвенциальным номером, только если либо
v = 1, либо v имеет вид г/1, где у — часть хотя бы
одного из хи) Множество Seqt рудиментарно, так как
Seqt(u>) -^-Bv^hltw Д vBw Д vEw /\v¥*iv /\vvPw Д
Д 2v2v2Pw]. Мы также обозначим посредством же^
о о
рудиментарное отношение 3v<u>{vltw Д vxvPw Д vPx).
Утверждение 5. Следующие отношения
рудиментарны:
(a) Seqw; (б) же ш;
(в) x^Fw; (г) х<юу;
(д) {для всякого п) отношение у — (xit ..,, xj*.
124 теория рекурсивных функций [fat iv
Доказательство.
(а) Seq w44Seqx(ш) Д [1 Itw V ^xy<w(ге^Д
f\yl%x t\2yl2Bw)\.
(б) гешО Seq шДгб,ю,
(в) ге#4Фже»Л 3y<tu[yIt w Д у.гу2?«;].
(г) аг<„,уффжею Д уеи?Л3"<к»[у11м,Л
\vxvyvPw V 3z<U)yj;yzi;i/yPM;)J.
(Д) У = («1, ■ • •, Хп)# 44 Seq у Д 3У<1, [у It г/ Д
О О OO-i
г/ = vXjV ... vxnv\.
Функция 6. Для любого числа х полагаем В(х) *= хп,
если х = (ж,, ..., ж„)*, и 6(ж) = 1 в противном случае.
Мы называем функцию f{xu ..., х„) рудиментарной,
если отношение }{хи ..., хп) — у рудиментарно.
Утверждение 6. Функция 0 рудиментарна.
Доказательство.
еЫ = г/ ++ iSeqxf\y<^Fx)Vi~Seqxf\ г/ = 1).
Замечание. Мы впоследствии будем использовать
функцию 8 для получения рудиментарного аналога
клиниевской функции Uix) (см. § 11).
Упорядоченные пары. Мы полагаем/(;£,#) = (ж, у)*.
Для любого числа z, представимого в виде Лх, у),
определяем Kiz) = x, Liz) = у; если z непредставимо
в указанном виде, то определяем K(z) = 1, Liz) = 1.
Утверждение 7. Функции К и L рудиментарны.
Доказательство. Отношение К(х) «= у
является дизъюнкцией следующих двух рудиментарных
условий:
A) Эххх2<х [J (хг, х2) = а; Д у = хх],
B) Va:^, [/ {xlt xt) ф х Д у = 1].
Доказательство для L аналогично.
Функции, превосходящие аргументы.
Утверждение 8. £сам /(дг„ ..., хт) —
рудиментарная функция, превосходящая аргументы (см. заме-
g 9] РУДИМЕНТАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 125
чание, следующее за теоремой 2), и если gu ..., gm —
рудиментарные функции, то /tgi(#i, ..., хп), ...
..., gmtei, ..., хп)] рудиментарна.
Доказательство.
flglixu . . ., Ж„), . . ., gmUi, . . ., Хп)\ = У ■*>
** 3Z1<V ' • * Z™<y 1^1 (*!' • • •» Жп) = «1 Л
•••Л £тCц .-.,ЖГ1) =Zm/\f(zlt ...,Zm) = y).
Будет удобно принять обозначения:
if -£2? #3f
»пЧ-^1) • • ч 2-п' — » Wi| »n—lV^zj Х&, • • •) Xnl).
Из утверждения 8, очевидно, следует, что каждая
из функций Js, Л, • • • рудиментарна (и, кроме того,
превосходит аргументы).
Рудиментарная ^-функция1). Гёдель [13
построил хорошо известную примитивно рекурсивную
функцию р(ж,_ у, z), обладающую тем свойством, что для
любой конечной последовательности (ж,, ..., хп) имеются
такие числа с, d, что, каково бы ни было i < п,
(Кс, d, i) = хи Мы теперь построим такую
рудиментарную функцию р(ж, z), что для любой конечной
последовательности (Xi, ..., хп) имеется такое число х, что,
каково бы ни было ъ < п, ${х, i) = xt.
Мы определяем ${xt i) как такое единственное
число /, для которого Hi, /) e х, если существует и
единственно такое число ;; в противном случае по
определению $(х, г) = 1.
Ясно, что р(ж, у) имеет желаемые свойства;
действительно, пусть (xh ..., хп) — любая конечная
последовательность и #=(/A, Xi), ..., Л», #„))*. Тогда
очевидно, что, каково бы ни было i < п, §(х, i) = хи
Утверждение 9. Функция ${х, у)
рудиментарна.
') Этот раздел можно опустить.
126 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
Доказательство. Пусть В{х, у,
z)—рудиментарное отношение:
/ (у, z) e х Д Vz<K [z' =£z->-J (у, z') ф х].
Тогда
Р(х, у) = z++B{x,y,z)\J [~\3w<xB(x, y,w) /\z = 1].
§ 10. Строгие элементарные формальные системы
Прежде чем приступить к основной задаче этого
раздела, а именно к арифметизации элементарных
формальных систем, мы рассмотрим элементарные
формальные системы частного вида, которые назовем
строгими системами. Эти системы достаточны для
представления всех формально представимых
отношений, и их арифметизации проще, чем арифметизация
произвольных ЭФС (см. § 11).
Пусть t — терм элементарной формальной системы
(Е) над К. Мы назовем t строгим термом, если t
является либо переменной, либо одним символом из К.
Формулу F назовем строгой, если все термы, которые
встречаются в ней, строгие. Назовем (Е) строгой
элементарной формальной системой, если имеется
трехместный предикат (обозначим его посредством С)
такой, что A) Сх, у, ху является аксиомой системы {Е)
(т. е. С представляет отношение конкатенации) и B)
все остальные аксиомы системы IE) строгие.
Теперь, задав произвольное отношение W,
формально представимое над К, можно построить такую
строгую ЭФС {ЕУ над К, в которой представимо W.
Общая процедура построения следующая. Пусть (Е) —
ЭФС над К, в которой Р представляет W. Мы сначала
берем новый трехместный предикат С и сразу
включаем формулу Сх, у, ху в число аксиом системы {ЕУ.
Теперь пусть А — любая аксиома системы (£). Если
А — строгая аксиома, мы берем ее в качестве аксиомы
системы (Е)'. В противном случае мы применяем
следующий прием преобразования аксиомы в строгую:
если каждое из выражений iti и яг является
переменной или символом из К и если jtirt2 встречается как
составная часть некоторого терма из Л, то мы берем
новую переменную (назовем ее у) и заменяем все
§ Ш АРИФМЕТИЗАЦИЯ ДИАДНЧЕСКОЙ АРИФМЕТИКИ 127
вхождения JtiJta в А на у, а затем добавляем
выражение Ски я2, У как дополнительную посылку. Если
результирующая формула Ai является строгой, мы берем
ее в качестве аксиомы СЮ'. В противном случав мы
повторяем этот прием до тех пор, пока наконец
исходная формула не сведется к строгой формуле А',
которую и берем в качестве аксиомы системы (Е)\ Мы
делаем это последовательно для каждой аксиомы
системы (Е).
Приведем пример. Пусть W — множество всех
таких слов в {а, Ь, с), что аЪ встречается в них как
составная часть. Оно представимо посредством Р в
следующей ЭФС (Е):
A) РаЪ.
B) РхаЬ
C) РаЪх
D) РхаЬу.
Но W также представимо посредством Р в
следующей строгой системе (ЕУ:
@) Сх, у, ху
A)' Са, Ь,х-+Рх
B)' Сх, а, у-^Су, Ь, z—+Pz
(ЗУ Са, Ъ, у-^Су, x,z—+Pz
D)' Сх, a, Xi—*-Схи Ъ, хг—*Сх2, у, z—*Pz.
Аксиомы A)', ..., D)' являются соответственно
результатами преобразований аксиом A), ..., D)
системы {Е) в строгие.
§ 11. Арифметизация элементарной
диадической арифметики
Пусть (Е) — строгая ЭФС над {1, 2}. Согласно § 10
все РП отношения представимы в таких системах. Мы
будем рассматривать (Е) как совокупность схем аксиом
(см. § 2 главы I). Под предложением будем понимать
(как в главе I) любую ППФ системы (Е), не
содержащую переменных.
Мы ставим в соответствие гёделевы номера всем
предложениям системы (Е) следующим способом.
Каждому из предикатов системы (Е) приписываем свой
номер, который мы называем номером предика-
г«; это может быть сделано любым таким способом,
128 теория рекурсивных функция [гл. IV
при котором никакой номер предиката непредставим
в виде J(x, у) (например, мы можем выбрать наши
номера предикатов среди чисел, в записи которых знак
2 не используется). Затем, каково бы ни было
атомарное предложение Р^, ..., ап, ставим ему в
соответствие в качестве гёделева номера число J(p, (аи ..., ап)*),
где р — номер предиката Р. Теперь, каковы бы ни
были атомарные предложения F,, ..., Fn с гёделевыми
номерами /ь ..., /п соответственно, число /„(/4, ..., fn)
ставим в соответствие в качестве гёделева номера
составному предложению Ft —*- F2 —*■... —*- Fn.
Заметим, что гёделев номер каждого предложения
единственным образом представим в виде Ая, Ъ), где
или о — номер предиката и & — секвенциальный номер,
или о — гёделев номер некоторого атомарного
предложения А и Ъ — гёделев номер некоторого предложения
В (и в этом случае /(а, Ъ) — гёделев номер
предложения А—*В). Заметим еще, что номер предиката не
может быть одновременно тёделевым номером
предложения (так как номер предложения имеет вид
J(x, у))—это было нашим доводом для выбора
номеров предикатов среди чисел, непредставимых в виде
J(x, у). Из этого следует, что если числа с и /(о, Ь) —
номера теорем (т. е. гёделевы номера выводимых
предложений), то & — номер теоремы (по правилу
отделения). Фактически множество Т0 номеров теорем — это
в точности наименьшее из тех множеств, которые
включают множество А0 гёдолевых номеров аксиом и
обладают этим свойством замкнутости.
Множество А0 рудиментарно. Действительно,
предположим, что мы берем любую строгую схему аксиом
F системы {Е), например, пусть F — PiX, 2—*-Рг1,у—*-
—*~ Р3х, у, 2. Пусть 1(F) — множество гёделевых
номеров всех частных случаев схемы аксиом F. Мы
утверждаем, что 1(F) — рудиментарное множество.
В только что рассмотренном примере число z
находится в 1(F), если и только если существуют числа ж, т/,
оба меньшие, чем z, такие, что z = J3U(pu (x, 2)*),
J(p2, A, у)*), Лрз, (х, у, 2)*)]. (Так как /Зи/ являются
рудиментарными функциями, превосходящими
аргументы, то это условие рудиментарно.) В общем случае,
пусть F —строгая формула Р\Ь\, ••■» bjj-»-...-»-
§11] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ДИАДИЧЕСКОЙ АРИФМЕТИКИ 129
-*■ Prb{, ..., brir, где каждый символ Ъ) — либо
переменная, либо один из символов 1, 2. Пусть
хи ..., х„ — переменные, которые встречаются среди
Ъ). Тогда условие х е 1(F) может быть записано в
рудиментарной форме:
3*i<* • • • *»<« Iх = Jr V (р» (bi, • •., tfx) *), • • •
...,/(рг,(«, ...,ьО*)Н-
Итак, какова бы ни была строгая схема аксиом F
системы (Е), 1(F) — рудиментарное множество. Для
единственной нестрогой схемы аксиом Сх, у, ху
системы (Е) множество S гёделевых номеров ее частных
случаев тоже рудиментарно, так как
ж<=£ <н- Зх1<хх%<хх3<х\ХхХ2 — Хз д х = j (с? (Zl> Жа> Жз)#)
(с — гёделев номер предиката С).
Так как в (Ё) имеется только конечное число схем
аксиом и, какова бы ни была такая схема F, 1(F)
рудиментарно, имеет место
Лемма. Множество А0 номеров аксиом системы
(Е) рудиментарно.
Номера выводов. Выводом в (Е) мы называем
конечную последовательность Хи ..., Хп предложений
системы (Е) такую, что каждое Xk либо является
аксиомой системы (Е), либо получается из некоторых
предыдущих членов Хи Х} по правилу отделения.
Если Хи .,., Хп имеют соответственно гёделевы
номера хи ..., хп и если последовательность Хи ..., Хп
является выводом, то число (xir ..., хп)* называется
номером вывода. Посредством Pf обозначим множество
всех номеров выводов и посредством yplx обозначим
отношение: у является номером некоторого вывода,
и последний член этого вывода имеет номер х (иначе
говоря, Pf (y)/\xery).
Заметим, что {xlf ..., х„)* является номером
вывода, если и только если при любом к < п число xh
является номером аксиомы или существуют более ранние
130 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
члены х{, Xj последовательности (xit ,.., хп) такие,
чтоl) Xj = Jixi, xk). Теперь легко доказывается
Утверждение 10. Следующие отношения
рудиментарны:
(а) Piw;
(б) ypix;
(в) (для каждого п) #pf Дж, {хи ..., хп)*).
Доказательство.
{a) Pf w 4=» Seq w Д Уж<ад |iGW4 [A0 (x) V
Эх1<юх2<№ [xt < wx Д ж2 < шж Д я2 = / («!, ж)]]].
(б) j/pfa:<H>Pf у f\x<=Fy.
(в) х pf / (я, (хх, ..., яп)*) 4Ф 3y1<(^><(f [(^, ..., хп)#
- Pi Л •*" (я. #i) = УъЛУ Pf .Уг]-
Рудиментарные отношения как базис для РП
отношений. Теперь возьмем любое отношение R(xu ...
..., хп), представимое в (Е); пусть Р представляет R,
и пусть р — гёделев номер Р. Тогда (хи ..., хп) е
^R^Pxu ..., xn^T^J{p, (xu ..., i„)+)ef,^
<=>3i/(i/pf/{/?, (x4, ..., «„)+)). Пусть MUt, ..., я„, у)—
отношение ypf/(/?, (xlt ..., x„)*). Это отношение
рудиментарно в силу (в) утверждения 10, а Л получается
экзистенциальной квантификацией отношения М.
Таким образом, R получается экзистенциальной
квантификацией некоторого рудиментарного отношения.
Отношение М обладает следующими свойствами:
(I) Для всех xi, ..., хп, у
М(хи ..., хп, у) =*- {у > xt Д • • • Л У> хп).
(II) Для всех хи ..., х„,у
М(хи ..., хп, у) =*- Щу) = хп,
где по определению V(y) = &LQ(y); см. § 12.
') Здесь используется то, что X} представляет собой
Xj -». Xk.— Прим. перев*
§11] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ДИАДИЧЕСКОЙ АРИФМЕТИКИ 131
Свойство (I) очевидно. Для обоснования (II)
предположим, что М(хи ..., хп, у). Тогда у pf /(/>, (хи ...
..., хп)*). Далее, ву = Лр, (ж,, ..., хп)*), LQy = (ж„ ...
..., жп)*. Следовательно, в£/9у = ж», т. е. G(у) = ж„.
Заметим также, что функция С/ рудиментарна, так
как, каково бы ни было ж, L{x) <, х и 8(ж) < ж,
следовательно,
U{x)~y<=> 3£1ж2<,ж[ж1 = 6(ж) Л Жз = Ь(ж1)Лу = 8^ж3)]-
Таким образом, доказана
Теорема 7. Всякое РП отношение R(xt, ..., х„)
представило в виде 3yM(xt, ..., я*, у), где М —
рудиментарное (и, следовательно, конструктивно
арифметическое) отношение. Более того, М может быть выбрано
таким, что
A) М{хи ..., ж„, у)=> iy>XiA '" ЛУ>®«\
B) Ж(ж1? ..., ж„,г/) =*■ U(y) = жя.
Обсуждение. Теперь очевидно, что отношение
рекурсивно перечислимо (в смысле настоящего
изложения), если и только если оно получается
экзистенциальной квантификацией конструктивно арифметического
отношения. Из работ Гёделя [1] или Девиса Ш
(при использовании таких средств теории чисел, как
китайская теорема об остатках) легко следует, что
отношение рекурсивно перечислимо в обычном смысле,
если и только если оно получается экзистенциальной
квантификацией конструктивно арифметического
отношения. Из этих двух фактов следует, что наше
определение РП отношения на самом деле эквивалентно
стандартному. В то же время мы могли бы доказать эту
эквивалентность посредством использования
канонических постовских систем.
Теперь видно, как теория рекурсивных функций
может быть сделана независимой от теории чисел. Мы
хотели бы заметить, что методы этого раздела никоим
образом не ограничиваются в их применениях тем, что
используется конкретная характеристика рекурсивной
перечислимости в терминах элементарных формальных
систем. Читателю, знакомому с другими
характеристиками рекурсивности, должно быть достаточно очевидно,
как наша техника может быть видоизменена, чтобы
получить прямое доказательство теоремы 7 для рекур-
132 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IV
сивной перечислимости, определенной любым из более
стандартных способов (например, в терминах
примитивно рекурсивных функций или систем рекурсивных
уравнений Гёделя — Эрбрана). Наша основная
работа была проделана, когда мы установили
утверждение 5.
Дальнейшее обсуждение. Все наши результаты
относительно рудиментарных отношений могут быть
усилены следующим образом. Мы напомним обозначение
zPy для отношения «z является частью у (в диади-
ческом обозначении)». Введем еще обозначение
VzpyRix^ ..., х„, z), имея в виду V zlzPy =*■ R(xu ..., х„,
z)], и аналогичное сокращение 3zpyR(.xt, ..., х„, z) для
BzlzPy Л Rixi, ..., хп, z)]. Эти квантификации
подобны ограниченным квантификациям (отношение «быть
частью» использовано вместо «меньше чем»)". Назовем
эти квантификации .S-квантификациями1) и определим
iS-рудиментарное отношение так же, как рудиментарное
отношение, за исключением того, что вместо обычных
ограниченных квантификации используются iS-кванти-
фикации. Мы будем говорить, что f(xi, ..., tin) является
функцией, включающей аргументы2), если значение
функции не только больше (или равно) своих
аргументов, но всегда содержит свои аргументы как части.
Легко проверяется, что все результаты утверждения 4
(исключая (е)) благодаря теореме 7 останутся
истинными, если мы заменим «рудиментарный» на «iS-рудимен-
тарный» и «превосходящая аргументы» на
«включающая аргументы»3). (Доказательства получаются
заменой везде символа < (или иногда ^) на Р.) Кроме
того, отношение М из теоремы 7 таково, что Mixi, ...
..., хп, у) влечет не только то, что каждое из хи ...
..,, хп меньше, чем у, но и что каждое из них
является частью у.
') Буква S используется, чтобы напоминать термин «син-
таксический»^ так как арифметическое значение диадических
числительных теперь полностью исключено; мы могли бы с
таким же успехом вместо 1 и 2 иметь дело с любыми двумя
ничего не означающими символами.
2) В оригинале S-progressing function,—Прим. перев.
3) Это замечание автора было независимо проверено
Робертом Ричи и автором.
§ 13] ОТДЕЛИМОСТЬ РАЗНОСТЕЙ РП МНОЖЕСТВ 133
# В. ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ И ТЕОРЕМЫ О НОРМАЛЬНОЙ
ФОРМЕ
§ 12. Теорема Клини о перечислимости
Применяя теорему 7 к универсальному отношению
Un(z, xt, ..., хп), мы получаем рудиментарное
отношение Mn{z, Xi, ..., хр, у), экзистенциальной
квалификацией которого является Un; при этом М„ имеет
дополнительные свойства A). и B) из теоремы 7. Таким
образом, имеет место
Теорема 8 (усиленная форма теоремы Клини о
перечислимости1)). Для всякого РП отношения R(xt,...
...; хп) может быть найдено число г, а именно индекс
отношения R, такое, что
Жж„ ..., xn)^3yMn(i, хи ..., Хп, у).
Иначе говоря,
Ri(xu ..., хп) -^lyMnii, xi, ..., хп, у).
Более того, Мп обладает свойствами:
A) М y)^'У^>i/\У'>^^I\•••f\У >жп»
B) M„(i, хи ..., хп, у) =*■ U(у) = Лп.
§ 13. Отделимость разностей РП множеств
Следующий хорошо известный принцип
(принадлежащий Россеру и Клини) имеет важные приложения к
рекурсивной неотделимости (см. главу V).
О двух РП множествах tos, <о3- и числе х будем
говорить, чтох е coi прежде, чем х е mh если 3i/ \MX (i, x, у) Д
A^y'<v[M1(j, x, J/')]]- Пусть Щ,з~-множество всех таких
ж, что х е в), прежде, чем х щ со3-. Очевидно, что
С0'..Ь Wj.i рекурсивно перечислимы и не пересекаются
и что они являются соответственно надмножествами
множеств (соД(о,), (<оД«>*). Таким образом, для любых
Двух РП множеств <о*, ш,- существуют
непересекающиеся РП надмножества множеств (соДсо,), (соДсо;).
') Эта теорема была доказана Клини [1] для примитив-
й0 Рекурсивного отношения Т„, а не для рудиментарного от-
а°Щення Мп.
134 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. IV
§ 14. Частичные рекурсивные функция1)
Для двух частичных функций qi(xu ..., хп) и
q%{xu ..., Хп) мы пишем (следуя Клини) q^xu ..., хп)~
— Цг(хи ..., хп), имея в виду, что если определена одна
из частей этого условного равенства, то определена и
другая и они имеют одно и то же значение.
Для любого отношения R(xu ..., хп, у) посредством
цу R(xu ..., хп, у) будем обозначать наименьшее у, для
которого R(xu ..., хп, у), если такое имеется; в
противном случае выражение не определено. Какова бы ни
была всюду определенная функция /, f{\xy R(xu ...
..., хп, у)) —частичная функция, которая имеет
значения только на таких га-ках (xi, ..., хп), для которых
3yR(xu ..., хп, у).
Для любого РП отношения R^Xi, ..., хп, х) первым
х, для которого Rt(xu ..., ж„, х),— его будем обозначать
посредством qt(xu ..., хп) — мы называем не
наименьшее х, для которого Rtixi, ..., хп,х), а такое х (если
оно имеется), что существует у, удовлетворяющее
следующим условиям: во-первых, Mn+iU, xt, ..., хп, х, у}
и, во-вторых, каково бы ни было у' < у, нет такого х',
что Мп+,(г, хи ..., х„, х'', у'). Так как Mn+i{i, хи ...
..., хп, х, у)—*x = U(y), то очевидно, что qAxi, ...
..., хп) =x<^x = U(\iy Mn+i{i, xu ...,xn, U{y),y)).
Иначе говоря, д4(ж1,...,xj ca и(цуМп+№,хи^..,хп,Щу)уу)).
Напомним, что мы отождествляем частичную
функцию у(хи ..., хп) с отношением, состоящим из
множества всех (п+1)-ок (xit ..., хп, х) таких, что q>(xi, ...
..., хп) = х. Таким образом, если РП отношение
Ri(xu ..., хп, х) однозначно в том смысле, что для всех
хи ..., хп имеется не более одного такого х, для
которого Ri(xt, ..., хп, х), то R{ может рассматриваться как
частичная рекурсивная функция. Если Rt является
частичной рекурсивной функцией, то R{ совпадает с д«;
иначе говоря, если Rt — однозначное отношение, то
Ri(xu ..., хп, х) -«-»- qAxi, ..., хп) = х. Если R{ не
является однозначным отношением, то qi^Rt, т. е.
множество всех таких (xt, ..., хп, х), что qS.xu ..., хп) = х
') В оригинале partial recursive functions (в литературе на
русском языке часто используется термин «частично
рекурсивные функции»).— Прим. перев.
§ 15] ИНДЕКСАЦИЯ ФУНКЦИЙ 135
является подотношением отношения Rt. Тогда можно
указать такое /, что д{ — RjM Rf^ R{. Заметим, что (как
мы вскоре увидим) / может быть эффективно
найдено по i.
Мы используем сокращение Sn(z, ж(, .,., хп, у) для
Mn+l(z, хи ..., Хп, U(y), у) и определим (как у Клини)
Tniz, хи ..., хп, у) -**■
■**■ 5n(z, xu ..., хп, y)/\lVy<y~~}S„(z, хи ..., хп, у').
Ясно, что отношение Тп рудиментарно, и ясно, что
3ySn(z, xu ..., хп, у) o-3yTr\z, x{, ..., хп, у) и что
U(\iy Tn(z, у)) м и(цу Sn(z, у)).
Таким образом, д{(хи ..., хп) ^ U(\iy Tn{i, у)).
Как отмечено Клини, преимущество использования Тп
вместо Sn состоит в том, что всегда Тп{1, xt,..., Хп, у) =*■
=>- дДж,, ..., хп) = U{y), в то время как для R,-, не
являющегося однозначным отношением, не всегда верно,
что Sn(i, хи ..., хп, у) => qAxu ..., #„) == U(y) (хотя,
конечно, верно, что Sn(i, Xi, ..., хп, у) =*- Rt{xu ...
..., хп, U(y))),
Мы сейчас доказали следующее утверждение.
Теорема 9 (усиление теоремы Клини о
нормальной форме *)). Рудиментарное отношение Тп и
рудиментарная функция U обладают свойствами:
A) каждая частичная рекурсивная функция
q{xu ..., х,щ) представима в виде qAxit ..., х„), т. е. в
виде JJ{)xy T„(i, хи ..., хп, у)); •
B) Tn{i, хи ..., хп, у) =*■ U(y) — qi(xt, ..., хп).
§ 15. Индексация функций
То, что мы раньше называли индексом рекурсивно
перечислимого отношения Rt, будем теперь (для
большей выразительности) называть РП индексом. Таким
образом, i — РП индекс отношения Rt. Мы будем
называть i функциональным индексом частичной
рекурсивной функции qt(xi, ..., хп)' Если Д- однозначно, то i
является как РП индексом, так и функциональным
') Эта теорема была доказана Клини для примитивно
рекурсивных U и Тп, а не для рудиментарных U и Тп.
136 ТЕОРИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. IV
индексом Rt (т. е. функции qt). Поэтому переход от РП
индекса i РП отношения q(xu ..., хп) = х к
функциональному индексу функции q тривиален (так как q =
= qt). Теперь рассмотрим вопрос: как эффективно
получить РП индекс ф@ отношения qAxu ..., хъ)=х!
Пусть L(z, хи ..., хп, х) — РП отношение qz(xu ..., хп) =
= х (это отношение рекурсивно перечислимо, так как
оно может быть представлено в форме 3y[Tn(~z, xu ...
• ■ ч хп, у) /\ х = U(y)]). Тогда по итерационной теореме
имеется такая рекурсивная функция <p(z), что, каково
бы ни было i, <р(г) является индексом отношения Lu
т. е. отношения дЛхи ..., хп)=х. Это доказывает
следующее утверждение.
Теорема 10. Существует такая рекурсивная
функция <p(z), что, каково бы ни было i, qt = Rni)} т. е. для
qi\Xi, . . ., xn) = x ~*-*~ л<р(^)\Xi, .. ., xn, x).
Обсуждение. Мы уже отмечали, что S™-теорема
Клини может рассматриваться как частный случай
итерационной теоремы (теоремы 2) и что вторая теорема
Клини о рекурсии может быть получена из теоремы 4.1
(теоремы о неподвижной точке). Установим теперь это
явным образом.
A) Рассмотрим РП отношение qz(zu ..., z„, xu ...
..., xm) = x (как отношение с переменными z, zu ...
..., zn, x,, .,., xm, x). По итерационной теореме имеется
такая (примитивно) рекурсивная функцияSn (z,zt, ...
...,zn), что, каковы бы ни были числа е, iu ..., in,
число S™ (е, it, ..., in) является РП индексом
отношения qeiii, ..., in, xu ..., xm) = x. Но такой индекс
является также функциональным индексом частичной
рекурсивной функции qeiii, . ■., in, xt, • ■ ■, xm) (как
функции с аргументами хи ..., хт). Это и есть в
точности S™- теорема Клини.
B) Рассмотрим РП отношение qz(y, xu ..., а\1)==ж.
По теореме 4.1 имеется такая рекурсивная функция
t(z), что, каково бы ни было i, t(i) является РП
индексом отношения qtitd), xt, ..., хп) = х. Но тогда Ш) ~
также функциональный индекс частичной рекурсивной
функции qi(t(i), ху, ..., хп) (как функции с аргумента-
§ 15]
ИНДЕКСАЦИЯ ФУНКЦИЙ
137
ми хи ..., Щи). Это и есть вторая теорема Клини о
рекурсии.
Заметим, что с помощью теоремы 5 (вместо
теоремы 4.1) мы можем таким же образом доказать
«сдвоенный аналог» теоремы Клини о рекурсии, а именно:
для любых двух частичных рекурсивных функций
gi(z, хи ..., хп), gz(z, xu ..., хп) может быть найдено
такое число е, что К(е) является индексом функции
giie, хи ..., хпУ и L(e) — индексом g%(e, xu ..., хп).
Замечание к главе IV (добавление во втором
издании). Доктор Ричард Беннет доказал, что класс
конструктивно арифметических отношений совпадает с
классом рудиментарных отношений. Еще более
примечательно, что он доказал рудиментарность отношения
xv = z. Он также показал, что 5-рудиментарные
отношения образуют строго меньший класс, чем класс
рудиментарных отношений. Точнее, отношение х + у — z,
несмотря на рудиментарность, не является 5-рудимен-
тарным. Эти результаты1) содержатся в докторской
диссертации Беннета «О спектрах», Принстон, май
1962.
') Близкие по своей тематике результаты, касающиеся
«простых» подклассов класса примитивно рекурсивных функций
и отношений, получены также Бельтюковым [1],
Косовским [3], [4], Непомнящим [1], [2], Пахомовым [1],
Проскуриным [1]. Изложение теории алгорифмов и
перечислимых множеств, основанное, так же как в этой книге, на
рассмотрении РП отношений с операциями над ними, но в
то же время существенно отличающееся от изложения в этой
главе, имеется у Цейтина [1].— Прим. перев.
ГЛАВА V
КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ
НЕОТДЕЛИМОСТЬ1)
# А. КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ
НЕОТДЕЛИМОСТЬ
§ 1. Продуктивные и креативные множества;
рекурсивная н эффективная неотделимость
Мы рассматриваем последовательность ьь, (ог, ...
..., со;, ..., всех РП множеств, упорядоченных в
соответствии с постовским перечислением (см. раздел #А
главы IV). Множество чисел а называется
продуктивным, если имеется такая рекурсивная функция ф(ж),
что, каково бы ни было РП подмножество Mi
множества a, <p(i) e а\о)<; такая функция ф(ж) называется
продуктивной функцией для «с. Пост называет множество
а креативным, если а рекурсивно перечислимо и а
продуктивно. Таким образом, а креативно, если и только
если а рекурсивно перечислимо и существует такая
рекурсивная функция ф(ж), что для каждого числа i,
для которого о)< не пересекается с а, ф(г) находится как
вне а, так и вне со,.
Множество С всех таких ж, что х е ©,, является
простым примером креативного множества (пример
Поста). Пусть ф(ж) — тождественная функция (которая,
конечно, рекурсивна). Тогда (по определению С) ie
eC+*jeo)j для любого числа t. Следовательно, ф(£) е
еС++ ц>Ш е (Ни Если шу не пересекается с С, то ф(/) Ф
^(CUa)i). Следовательно, ф(ж) является продуктивной
функцией для С.
') С момента выхода в свет этой книги (в 1962 г.) ряд
аспектов темы, которой посвящена глава V, получил
значительное развитие. Со многими новыми результатами можно
познакомиться (в систематическом изложении) по книге: Е р-
шов Ю. Л. Теория нумераций.—М.: Наука, 1977. Там же
имеется обстоятельная библиография.— Прим. ред.
§ i] ПРОДУКТИВНЫЕ И КРЕАТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА 139
Мы заметим, что € обладает более сильным
свойством, чем креативность: существует рекурсивная
функция q>(x) (а именно, тождественная функция) такая,
что для любого РП множества «^ (пересекающегося с
С или нет) <рШ находится или в обоих множествах С
и о>,-, или вне обоих множеств С и он. Такое
множество называется по Дж. Деккеру вполне креативным1).
Из результата Майхилла, утверждающего, что любые
два креативные множества изоморфны, следует, что
всякое креативное множество вполне креативно.
(Мы доказываем результат Майхилла в разделе # Б.)
Рекурсивная неотделимость. Мы отмечали в главе
III, что один из путей получения РН (рекурсивно
неотделимой) пары РП множеств состоит в том, что
берутся ядра Тй, До формальной системы Россера (или даже
формальной системы, в которой определимы все
рекурсивные множества; см. раздел # В главы III). Такой
путь следует назвать «метаматематическим» подходом.
Мы теперь рассмотрим более прямой метод,
принадлежащий Клини. Этот метод предлагает интересную
основу (чисто теоретико-множественную цо своей
природе), которую мы сначала изучим в полной общности.
Пусть Аи Аг, ..., Аи ...— счетная
последовательность множеств чисел, 2 — совокупность всех множеств,
являющихся членами этой последовательности, и 2* —
совокупность всех тех множеств Ai7 дополнение которых
также находится в 2. О, двух непересекающихся
множествах А и В будем говорить, что А отделимо от В в
совокупности 2*, если имеется надмножество А'
множества А, которое не пересекается с В и находится в
2*. Это, очевидно, эквивалентно тому, что некоторое
надмножество В' множества В, не пересекающееся с
А, находится в 2*. Таким образом, А отделимо от В в
2*, если и только если В отделимо от А в 2*. Мы
говорим, что пара (А, В) неотделима в 2*, если неверно,
что А отделимо от В в 2*.
Мы обозначаем посредством Дх, у) взаимно
однозначную функцию, отображающую множество всех
упорядоченных пар чисел в множество чисел (на этой
стадии / не обязана быть рекурсивной). Для любого
числа х, представимого в виде J(xit xs), введем обозна-
') Он называет его дополнение вполне продуктивным.
140 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
чения: (a:)t = ar1 и (xJ = xz; для х, непредставимого в
указанном виде, значения (жL и (хJ могут быть
произвольными. Теперь мы определяем множества х4 и х2
следующими условиями:
х е иг -<=>- х s А*)!, ж ^ и2 ^=>-а: ^ Л(хJ.
Следующая лемма лежит в основе клиниевского
построения РН множеств.
Лемма (симметричная лемма). Множества (x4\xa)
и (н^Ку) неотделимы в совокупности 2*. Детальнее:
если А{, Aj — элементы 2, являющиеся соответственно
надмножествами множеств (хЛх2) и (x2\xi), и если к==
= /(/, £), то кеА{ -*=*- k^Aj, и, следовательно, если Аь
и А) не пересекаются, то Aj не является дополнением
Аг {так как в этом случае k&Atu кФА}).
Доказательство.
A) k^Xi ■**■ к €е Aj (по определению xj.
B) к е Кг ■**■ А; е Л,- (по определению х2).
Следовательно,
C) fte (ЛДЛ,) ^/ёе (xt\x2) (по A) и B))
=>keAt (так как (xi/x2) S/4{).
D) кеиМ^-^к^Ы»^) (по A) и B))
=>k^Aj (так как (x2/xi)s^j).
По C) k&{Aj\Ai); по D) Лс£(ЛЛ-^). Следовательно,
Теперь мы применим симметричную лемму к
последовательности ©1, со2, ..., С0{, ... всех РП множеств,
упорядоченных в соответствии с постовским
перечислением (см. § 2 главы IV). В этом случае 2* является
множеством всех рекурсивных множеств. Пусть Да:, у)
— взаимно однозначная функция (в этот момент не
обязательно рекурсивная); мы определим множества х4
и Кг в соответствии с этими данными, и симметричная
лемма будет утверждать, что множества (х4/х2), (x2/xi)
рекурсивно неотделимы (неотделимы в 2*).
Возьмем теперь в качестве /(ж, у) рекурсивную
функцию, скажем, функцию Дж, у), определенную в
главе IV, в качестве (хI— функцию К(х), в качестве
(х)г — функцию L{x). Очевидно, что х4 и х2— РП
множества. (Действительно, х е xt -«=*- х е о)кж ■<=*- *7(ж,
Kx) <*-Ъу[у = Кх/\U(x, у)]; подобным же образом
хе= и2 -*=*-Э г/[г/ = La; Л *7(ж, J/)J.)
§ 2] МНОГО-ОДНОСВОДИМОСТЬ И ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬ 141
Из сказанного следует (см. § 13 главы IV), что
существуют такие непересекающиеся РП множества кх
и и2, что (хх \ х2) S "лх и (х2 \ •к1)^'и2. Так как
меньшая пара ((xi\x2), (x2\xi)) рекурсивно неотделима, то
большая пара (хх, х2) также рекурсивно неотделима.
Таким образом, мы имеем пару (х^ х2) РН множеств,
каждое из которых рекурсивно перечислимо. Мы будем
называть эти множества клиниевскими множествами.
Эффективная неотделимость. Пара 04, В)
непересекающихся числовых множеств называется эффективно
неотделимой (сокращенно ЭН), если имеется такая
рекурсивная функция б (ж, у), что для всяких
непересекающихся РП множеств (Oi и щ, являющихся
надмножествами множеств А и В (соответственно), 6(£, /)
является элементом, лежащим как вне со,, так и вне ю3.
Такую функцию 8(х, у) мы будем называть ЭН
функцией для пары С4, В). Полагаем 8'(х, у) = б(у, ж).
Очевидно, что б' рекурсивна, если и только если б
рекурсивна, и что б является ЭН функцией для (А, В),
если и только если б' является ЭН функцией для (.В, А).
Следовательно, условие «Ы, В) является ЭН парой
множеств» симметрично относительно А к В.
Рассмотрим теперь мнощества Xi и х2, определенные
выше. Множества (хЛкг) и (к2\к±) не только рекурсивно
неотделимы, но и эффективно неотделимы, потому, что
если (Hi и со,- — непересекающиеся надмножества
множеств (х1\х2) и (хДхц) соответственно, то J(j, i)
находится вне множеств а>* и а>,- (по симметричной лемме).
Таким образом, Лх, у) является ЭН функцией для,
((x2\xi), (хДх2)). Так как меньшие множества (хДх2),
(x2\xi) эффективно неотделимы, то таковы же и
большие множества хх и ха, упомянутые выше. Таким
образом, клиниевские множества являются эффективно
неотделимыми РП множествами.
§ 2. Много-односводимость и одно-односводимость
Рекурсивная функция fix) называется (много-одно)
сведением множества а к множеству fi, если a=/_1(f}),
т- е. если и только если / отображает а в E и а в р
или, иначе говоря, если и только если, каково бы ни
142 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
было число х, жеа-<=*-/Ыер. Если, кроме того, /
является взаимно однозначной функцией, то /
называется одно-односведением а к В. Множество а
называется (много-одно)сводимым к В, еели существует
функция /, которая является (много-одно)сведением а к В;
подобным образом определяется одно-односводимость
множеств. Мы пишем ai?m8 вместо «а (много-одно)
сводимо к Р» и аЛ,В вместо «а одно-односводимо к В».
Очевидно, что если /(ж) является сведением а к В, то
/(ж) — сведение а к В. Если каждое из множеств а и В
одно-односводимо к другому, то будем говорить, что они
одно-одноэквивалентны, и писать a = В. Если сущест-
1
вует рекурсивная перестановка чисел <р(ж) (т. е.
взаимно однозначная функция, отображающая N на АО,
которая является одно-односведением а к В, то будем
говорить, что а и В изоморфны, и писать а ^ В. Ясно,
что если <р(ж) — такая перестановка, то ф(#)
отображает а на В (и а на В). Также очевидно, что отношение
a ss В является отношением эквивалентности. Наконец,
очевидно, что если a = В, то a =» в (а также, что В = а).
1 1
Сначала рассмотрим следующее предварительное
утверждение.
Утверждение 1. Пусть ойтВ. Тогда:
(а) если В рекурсивно перечислимо, то таково же
и а;
(б) если В рекурсивно перечислимо, то таково же
и се;
(в) если В рекурсивно, то таково же и а.
Доказательство. Пусть j?(x) — (много-одно)-
сведение а к В. Тогда a = g-1(B)Ha = g-i(B). Теперь
результат получается из следствия 1 теоремы 1 главы II.
Майхилл и Деккер показали, что если «i?mB и a
является продуктивным (креативным) множеством, то
В продуктивно (соответственно креативно, при условии,
что В рекурсивно перечислимо). Нам понадобится более
сильное утверждение.
Утверждение 2. (а) Если f—сведение а к ^,
g — продуктивная функция для а и t — такая
рекурсивная функция, что для всякого Химеем ыц1) = /~Ч©{),
то fgt(x) является продуктивной функцией для В.
3]
КРЕАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
143
(б) Для всякого множества а, дополнение которого
продуктивно, и для всякой рекурсивной функции / может
быть найдена такая рекурсивная функция f, что,
каково бы ни было множество В, если f — сведение а к В,
то f является продуктивной функцией для В.
(в) Пусть аДтй. Если а продуктивно, то таким же
является В. Если а продуктивно, то таким же является
В, Если а креативно и В рекурсивно перечислимо, то В
креативно.
Доказательство, (а) Мы предполагаем:
A) g — продуктивная функция для а,
B) в>Нг) = /o)i) (для каждого г),
C) / — сведение а к В.
Пусть &i — любое РП множество, не
пересекающееся с В. Тогда /-1(oh) не пересекается с /_1(В).
Следовательно, G)((i) не пересекается с а (так как №<(,-, =/"Чо)«)
и а = /~ЧВ) по B) и C) соответственно). Тогда gtii) Ф
^aUco^i) (по A)). Следовательно, gtW&a и gt(i) Ф
^a)t(l). Так как / отображает а в A и ш<A) в со,-,
то fgtd) Ф В и fgt(i) Ф ш<, т. е. fgt(i) Ф В U со*. Таким
образом, мы доказали: если ш< не пересекается
с В, то fgt(i) Ф В U о,-. Но /#£(#) является
рекурсивной функцией (так как /, g и t являются такими
функциями). Поэтому fgt(x) — продуктивная функция
Для]*.
(б) немедленно следует из (а) и из того, что для
любой рекурсивной функции / имеется такая
рекурсивная функция t, что, каково бы ни было i, (dHi) =
= /-*(©,).
(в) немедленно следует из (б).
Следствие 1 (Майхилл, Деккер). Если каждое
РП множество сводимо к а,, то а продуктивно.
Доказательство получается из утверждения 2 (в) и
существования креативного множества.
§ 3. Креативные системы
Представляющая система Q будет называться
креативной, если Т0 — креативное множество, и продуктив-
ной, если Т0 — продуктивное множество.
Утверждение 3. Если множество А
представило в Q, то А сводимо к Та.
144 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Доказательство. Имеем *) Нт = ф^1 {Т0),
поэтому фл — сведение Ят к Т„. Если А представимо в Q,
то для некоторого предиката Н имеем А = Яг, поэтому
А сводимо к 7V
Из утверждений 2 и 3 непосредственно следует
Теорема 1. (а) (Майхилл). Если некоторое
креативное множество представимо в Q и Q — формальная
система, то Q является креативной системой.
(б) Если некоторое продуктивное множество
представимо в Q,to Q — продуктивная система.
Из этого в свою очередь следует
Теорема 2. (а) (Майхилл). Если все РП
множества представимы в Q и Q — формальная система, то
Q является креативной системой.
(б) Если дополнение каждого РП множества
представимо в Q, то Q является продуктивной системой.
Доказательство получается из теоремы 1, поскольку
существует креативное множество.
§ 4. Эффективная неотделимость
Нам теперь требуется «эффективный» аналог
утверждений 4 и 6 главы III.
Утверждение 4. Пусть2) {АиА2)—+ {.ВиВ2) при
рекурсивной функции f; пусть Bi и Вг не
пересекаются. Тогда, если пара (Аи А2) эффективно неотделима,
то такой же является и пара (Ви Вг).
Доказательство. Мы показали в § 4 главы IV,
что для любого числа i можно эффективно найти
индекс ф(г) множества /"Чсо»), т. е. имеется такая
рекурсивная функция ф(ж), что для всякого i имеет место
равенство ©,(<) = /*Чо)Л.
Пусть Ь(х, у) является ЭН функцией для (Аи Аг)
и 6'(х, у) обозначает /б[ф(ж), ф(г/I. Утверждается, что
б' является ЭН функцией для (Ви Вг).
Предположим, что 54 ^ш, Вг s uK и что <о,- и (о} не
пересекаются. Тогда ^ s/-'(со,), Лг^/'Чо^) и
множества /~1(ft)i), /_1(ft)j) не пересекаются. Таким образом,
Ai^ 00,D), 42^соФA) и множества о)Ф(^, Щщ не пересе-
>) См. §§ 1, 2 главы III, §§ 3, 4 главы IV.— Прим. перев.
2) См. § 19 главы III.—Ярил*, перев.
§ 4]
ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ
145
каются. Далее, 6[ф(г'),ф(/)] Ф (eo^,-, U a>4i)) (так как б
является ЭН функцией для (Air А2)). Таким образом,
6[ф(£), ф(/)] ^/_1(с0{) и б[ф(}), ф(/)] ^/~Чю,). Поэтому
/6[фШ, ф(/'I, т. е. б'(г, ;'), находится вне каждого из
множеств a)i и а^, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Если /— рекурсивная функция,
множества А и В не пересекаются и пара (/~ЧЛ),
/_1СВ)) эффективно неотделима, то такой же является
и пара (А, В).
Утверждение 5. Каковы бы ни были
непересекающиеся множества W и V выражений us Q:
(а) если пара {W*, V*) эффективно неотделима, то
такой же является пара ((И00, (VH), тем более такой
же является пара (Wa, V0)',
(б) каков бы ни был предикат Н системы Q, если
{Hw, Hv) эффективно неотделима, то (W0, V0)
эффективно неотделима.
Доказательство. По утверждению 5 из § 19
главы III имеем: {W*, V*)-— (W0, ft) и (Hw, Hv)-+
f e
—*- (W0, V0) для рекурсивных функций / и g. Теперь
g
остается использовать предшествующее утверждение 4.
Утверждение 6. Если А сильно отделимо от В
в Z, то существует рекурсивная функция f такая, что
1
Доказательство. Пусть Н сильно отделяет А
от В в Z. Тогда A s Яг, BsНв. Кроме того, Нт =
= ФГ1<7,0),#л = фГ(#о), поэтому Ас=у?-(Тй),В<=
^ф/^о)- Следовательно, (A B)-^(T0,Ji0) и фЛ
рекурсивна.
Теорема 3 (расширение клиниевской
симметричной формы теоремы Гёделя). Если существует пара
(А, В), эффективно неотделимая, но сильно отделимая
<? непротиворечивой теории Z, то ядра Та, Ra системы
Z в свою очередь эффективно неотделимы.
Доказательство. Пусть пара {А, В)
эффективно неотделима и в то же время сильно отделима в Z.
Тогда по утверждению 6 (А, В)—*(Т0, R„) для
некоторой рекурсивной функции /. По предположению о
146 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
непротиворечивости Z множества Т9 и i?0 не
пересекаются. Поэтому пара (Та, Ra) эффективно неотделима
(по утверждению 4).
Теорема 4. Если Z — непротиворечивая система
Россера, то ее ядра Т0, Rq эффективно неотделимы.
Доказательство. Этот результат
непосредственно следует из теоремы 3 и существования
эффективно неотделимой пары РП множеств (А, В). Такая пара
должна быть сильно отделима в Z, так как Z является
системой Россера.
§ 5. Эффективно россеровские системы
Будем говорить, что Z является эффективно россе-
ровской системой, если имеется такая рекурсивная
функция г{х, у), что, каковы бы ни были два
непересекающихся РП множества ©j и а>;, число Hi, j) является
гёделевым номером некоторого предиката системы Z,
сильно отделяющего ©{ от (ty. Такую функцию г будем
называть функцией Россера для Z.
Мы уже знаем, что если Z — непротиворечивая
система Россера, то ее ядраУ0, i?0 эффективно неотделимы.
Можем ли мы получить какую-нибудь более сильную
теорему при дополнительном предположении, что Z
является эффективно россеровской системой? Наша
следующая теорема отвечает на этот вопрос.
Теорема 5. Если Z — непротиворечивая и,
эффективно россеровская система, то ее диагональные
множества Г*, R* (а следовательно, также и множества
(Г)о, Ш)а) эффективно неотделимы.
Доказательство. Пусть Нх, у) — функция
Россера для Z. Мы покажем (при предположении о
непротиворечивости Z), что Нх, у) является также и ЭН
функцией для CR*, T*).
Пусть сй{ и (И) — непересекающиеся РП
надмножества множеств R* и Т*; пусть h = r(i, /). По
предположению k — гёделев номер предиката И, сильно
отделяющего (£>{ от щ. Тогда Я сильно отделяет R* от Т*.
Далае, по теореме 5 главы III Hh неразрешимо в Z
(так как Z — непротиворечивая система). Это означает,
что Hh<£T и Hh&R, Следовательно, h&HT ъпФНн.
Далее, Нт и #д являются соответственно надмножест-
§6]
СЛАБО ПРОДУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
147
вами множеств % и coj (так как Н сильно отделяет <в(
от <flj в Z). Поэтому кфщ и кфщ, т. е. r(i, /) Ф
Ф (<й| U (flj). Поэтому г(ж, у) является ЭН функцией для
Ш*, Т*). Итак, пара Ш*, Т*) эффективно неотделима»
# Б. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
ПРОДУКТИВНЫХ МНОЖЕСТВ
В этом разделе мы устанавливаем некоторые более
глубокие результаты относительно продуктивных и
креативных множеств.
§ 6. Слабо продуктивные функции
Будем называть рекурсивную функцию g(x) слабо
продуктивной функцией для а, если для любого числа
i выполняются следующие условия:
A) если со, пусто, то g(i) e= а;
B) если ©< — одноэлементное множество,
содержащееся в а, то g(i) Ф <«{.
Очевидно, что если g{x) — продуктивная функция
для а, то она является слабо продуктивной функцией
для а.
Мы заметим, что g{z) является слабо продуктивной
функцией для а тогда и только тогда, когда для
каждого числа £:
A) если о* пусто, то g(i) Ф а;
() если о* — одноэлементное множество, не
пересекающееся с а, то g(i) Ф о){.
Мы вскоре покажем, что если а слабо продуктивно
(т. е. если а обладает слабо продуктивной функцией),
то <х продуктивно.
Майхилл [1] (теорема 10) доказал, что если а —
креативное множество, то всякое РП множество
сводимо к нему. Посредством небольшой модификации
рассуждений Майхилла мы получим более сильный
результат, который будет иметь несколько новых приложений.
Теорема 6 (следуя Майхиллу). Пусть А —
фиксированное РП множество; тогда:
(а) Для всякой рекурсивной функции g(x)
существует такая рекурсивная функция fix), что для любого
■множества ос- выполняется следующее условие: еслу-
148 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
gix) является продуктивной или даже слабо
продуктивной функцией для а, то fix) является сведением А к а.
(Иначе говоря, если g(x) — слабо продуктивная
функция для а, то fix) является сведением А к а.)
(б) Усилим утверждение (а). Пусть a, A, gix) и
tix) удовлетворяют следующим условиям:
(I) каково бы ни было i^A, tii) является индексом
множества igtii)}; каково бы ни было i<£Ar t(i)
является индексом пустого множества;
(Ц) tix) рекурсивна;
(III) gix) слабо продуктивна для а.
Тогда gt(x) является сведением А к а.
Доказательство. Мы сначала заметим, что (а)
является следствием (б), так как существование
рекурсивной функции tix), удовлетворяющей условиям (I) и
(II) из (б), гарантировано теоремой 4.4 главы IV.
Итак, мы доказываем (б). Предположим, что
выполняются условия (I), (II) и (III) из (б).
1. Пусть i^A. Тогда ©г^ = igtii)). Предположим,
что gtii) Фа. Тогда cof<i) не пересекается с а.
Поскольку gix) — слабо продуктивная функция для а, имеем
gtii) Ф'<йц^. Это означает, что gtii) Ф igtii)). Последнее
неверно. Следовательно, если i^A, то gtii) ^а.
2. Предположим, что гФА. Тогда cuf(j) пусто.
Поскольку функция gix) слабо продуктивна для а, имеем
gtii) Фа. Следовательно, если гФА, то gtii) Фа.
На основании A) и B) функция gtix) является
сведением Л к а.
Следствие 1. Если множество <х слабо
продуктивно, то каждое РП множество много-односводимо к
а. Тем более, если а продуктивно, то каждое РП
множество много-односводимо к а.
Следствие 2. Если а слабо продуктивно, то а
продуктивно.
Доказательство. Предположим, что а слабо
продуктивно. Тогда каждое РП множество сводимо к а
(по следствию 1). Следовательно, а продуктивно по
следствию 1 утверждения 2.
Следствие 3. Пусть 2 — непустая совокупность
множеств имеющих общую слабо продуктивную функ-
ю 8(х> (т. е. g(x) является слабо продуктивной
§7]
РАВНОМЕРНАЯ СВОДИМОСТЬ
149
функцией для а, каков бы ни был элемент а^2).
Тогда
(а) элементы совокупности 2 обладают общей про*
дуктивной функцией;
(б) пересечение всех элементов совокупности 2
продуктивно;
(в) объединение всех элементов совокупности 2
продуктивно.
Доказательство, (а) Пусть А — креативное
множество; построим fix) по множеству А и функции
gix), как в теореме 6. Построим fix) цо fix) и .4, как
в утверждении 2 (б). Докажем, что fix) является
продуктивной функцией для всех элементов 2.
Пусть ее — любой элемент совокупности 2. По
предположению gix) является слабо продуктивной
функцией для а. По теореме 6 fix) — сведение А к а. По
утверждению 2 fix) — продуктивная функция для а. Так
как а ~ любой элемент из 2, утверждение (а)
установлено.
(б), (в). Пусть S — пересечение (соответственно
объединение) всех элементов совокупности 2. Так как
функция fix) является сведением А к каждому
элементу совокупности 2, то она, очевидно, является
сведением А к S. Следовательно, А сводимо к S. Итак, S —
продуктивное множество в силу (в) утверждения 2.
Замечания. Из (б) следствия 3 немедленно
получается, что два непересекающихся множества не
могут обладать общей продуктивной (или даже слабо
продуктивной) функцией, так как пустое множество,
очевидно, не является продуктивным. Кроме того, из
(в) следствия 3 получается, что если 2 — совокупность
PTI множеств, дополнения которых имеют общую
продуктивную (или даже слабо продуктивную) функцию,
то пересечение S всех элементов совокупности 2
креативно.
§ 7. Равномерная сводимость
Пусть 2 — совокупность РП множеств, и пусть а —
фиксированное множество. Мы говорим, что все
элементы совокупности 2 равномерно сводимы к а или что
элементы совокупности 2 сводимы к а равномерным
150 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
образом, если имеется такая рекурсивная функция
fix, у), что для каждого г, для которого со{е=2, ft
является сведением ац к а, т. е. х е ю; -«=*■ /U, ж) е а для
любого числа ж. (Мы напоминаем обозначение:
fi(x) = f{i, ж).) Такую функцию будем называть
равномерным сведением совокупности 2 к а.
Кроме того, будем говорить, что множество а
равномерно сводимо ко всем элементам совокупности 2 или
что множество а сводимо ко всем элементам
совокупности 2 равномерным образом, если имеется такая
рекурсивная функция g(x, у), что для всякого числа i,
для которого on e= 2, функция gi является сведением
а к (Ои
Равномерная креативность. Пусть по-прежнему 2 —
совокупность РП множеств. Мы будем говорить, что
элементы совокупности 2 равномерно креативны
(равномерно слабо креативны) или что они креативны
(слабо креативны) равномерным образом, если имеется
такая рекурсивная функция g(x, у), что для каждого i,
для которого со* ^ 2, функция gi является продуктивной
(соответственно слабо продуктивной) функцией для (о*.
(Мы опять используем обозначение g<{y) вместо g(i, у).)
Это интуитивно означает, что имеется эффективный
процесс, при помощи которого, задав любое число i,
являющееся индексом некоторого элемента
совокупности 2, можно найти продуктивную функцию g{ для со,-.
Если gix, у) — рекурсивная функция, удовлетворяющая
указанным выше требованиям, то мы будем говорить,
что элементы совокупности 2 равномерно креативны
при помощи функции g{x, у).
Лемма. Для любой рекурсивной функции f(x, у)
существует такая рекурсивная функция tix, у), что для
всякой пары чисел i, /
Доказательство. Пусть M{zu z2, x) обозначает
отношение By[f(zu х) = у Д у^<ага3. Отношение
рекурсивно перечислимо. По итерационной теореме
существует такая рекурсивная функция t(x, у), что для
всех i, 7", х
ж е G>f<<> j> "^ MU, /, х).
§ 7]
РАВНОМЕРНАЯ СВОДИМОСТЬ
151
Следовательно, имеем
■<=*- МП, /, х)
-^Зг/[/(г, х) = у Л У ^ «Л
-*=>- 3У [/i (х) = У АУ^ ®j]
-^же/Г1 (o)j).
Следовательно, w*j(j) = /Г (<bj).
Теорема 7. JS'c./ju А продуктивно и если А
равномерно сводимо ко всем элементам совокупности 2,
то все элементы совокупности 2 равномерно
креативны.
Доказательство. Пусть fix, у) равномерно
сводит А ко всем элементам совокупности 2. Пусть
t(x, у) — такая же функция, как в предшествующей
лемме, g(x) — продуктивная функция для A, i — любое
такое число, что Wj e 2. Тогда
A) U сводит Лка(; _
B) g(x) — продуктивная функция для А;
C) для всякого числа / верно, что Щ{в) = /Г1 («j).
Далее, в силу (а) утверждения 2 (подставляя tt
вместо t, ) вместо i ж f{ вместо /) имеем: figtt{y)
—продуктивная функция для (д{. Теперь определяем h{x, у) =
= /[ж, gtix, у)\ и отмечаем, что Ъ*{у) — jigUiy). Ясно,
что Ы,х,' у) является рекурсивной функцией.
Следовательно, для всякого такого числа г, что (ot e 2, функция
ht{y) является продуктивной функцией для a»i.
Следовательно, все элементы совокупности 2 равномерно
креативны (при помощи Ых, у)).
Теорема 8. Если все элементы совокупности 2
равномерно слабо креативны, то они равномерно
креативны.
Доказательств о> Пусть g(x, у) — такая
функция, что, каково бы ни было со, е 2, g{ является слабо
пР°ДУКТивной функцией для к>{. Пусть А —
фиксированное РП множество. По теореме 4.6 главы IV
существует такая рекурсивная функция t(x, у), что, каковы
бы ни были i и /, если ] е А, то £,(/) является индек-
152 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
сом множества {giUij)}, и если ]Ф-А, то &(/) является
индексом 0.
Пусть теперь со* е 2. Тогда мы имеем:
(I) для всякого /, если jei, то uif) является
индексом {gitii]')}, а если ) Ф А, то £*(/) является индексом 0;
(II) £«(ж) слабо продуктивна для со(.
Далее, в силу (б) теоремы 6 giUix) является
сведением А к (Oj. Теперь мы определяем f{y, х) = g[y, £(?/, ж)]
и замечаем, что /4(ж) = gdiix). Поэтому для всякого
i такого, что «i^S, /, является сведением А к Oj.
Поэтому / — равномерное сведение А ко всем элементам
совокупности 2.
Мы сейчас доказали, что если совокупность 2
равномерно слабо креативна, то, каково бы ни было РП
множество А, А равномерно сводимо ко всем элементам
совокупности 2. Мы теперь берем в качестве А любое
креативное множество и применяем теорему 7.
§ 8. Универсальные множества
Множество y называется универсальным, если
каждое РП множество является одно-односводимым к нему,
и равномерно универсальным, если все РП множества
равномерно одно-односводимы к нему. Принадлежащий
Посту пример универсального РП множества ч, которое
фактически равномерно универсально, описывается
следующим образом: пусть Лх, у) — рекурсивная
спаривающая функция, ч — множество всех чисел, пред-
ставимых в виде Jix, у), где у е ых. Таким образом,
ye(Dj-^/(i, у) е у <=> /((у) е= 1, поэтому /,- является
одно-односведением <а{ к f.
Из существования равномерно универсального РП
множества непосредственно следует, что каждое
универсальное множество равномерно универсально.
Действительно, предположим, что а — универсальное
множество. Пусть р — такое РП множество и fix, у) —
такая функция, что [} равномерно универсально при
помощи fix, у). Поскольку fi — РП множество, то £ од-
но-односводимо к а; пусть gix) — одно-односведение [J
к ее. Тогда все РП множества равномерно
одно-односводимы к а при помощи функции gifix, у}).
S 9]
О РАВНОМЕРНОЙ СВОДИМОСТИ
153
§ 9. О равномерной сводимости
Наша следующая теорема довольно неожиданна
и имеет интересное применение к представляющим
системам.
Теорема 9. (а) Если все рекурсивные множества
равномерно сводимы к ^, то f продуктивно.
Следовательно, если все рекурсивные множества равномерно
сводимы к y и 1 — РП множество, то у креативно {и,
следовательно, универсально),
(б) Достаточным условием продуктивности у
является следующее условие: все конечные множества (или
даже все множества, содержащие не более одного
элемента) равномерно сводимы к f при помощи взаимно
однозначной функции fix, у) (т. е. такой функции, что,
каковы бы ни были х, х', у, у', если fix, у) = fix', у'),
то х — х'и у = у').
Перед доказательством теоремы 9 мы докажем
лемму, которая будет иметь также другие применения.
Пусть 2 — произвольная совокупность РП множеств
на — произвольное числовое множество. Будем
говорить, что а продуктивно относительно 2 при помощи
рекурсивной функции gix), «ели для всякого числа i,
для которого со* <= S и Wt не пересекается с а^ число
gii) находится вне обоих множеств а и со*, (а будет
называться продуктивным относительно 2, если такая
функция gix) существует.) Заметим, что если а
продуктивно относительно совокупности всех множеств, со-
держащих не более одного элемента, то а слабо
продуктивно. Следовательно (по следствию 2 теоремы 6),
если а продуктивно относительно совокупности всех
рекурсивных множеств (или даже относительно
совокупности всех множеств, содержащих не более одного
элемента), то а продуктивно (т. е. продуктивно
относительно совокупности всех РП множеств). Мы будем
говорить, что а вполне продуктивно относительно 2,,
если имеется такая рекурсивная функция gix), что для
всякого числа i, для которого со» е 2, выполняется
условие gii) ео(^ gii) e а.
КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
тт
(iW/Ma ^- Пусть выполняются следующие условия:
)п\ ' У) является равномерным сведением 2 к а;
аково бы ни было множество А, являющееся
лементом, совокупности 2, множество А* всех таких
ел, ля которых fix, я) е А, также является элемеп-
I ОМ 2и,
огоа д вполне продуктивно относительно 2.
докай^тельство# Множество ^4* является
прорабом божества А относительно диагональной
функции /. ^лед0вательн0( 0дерацИЯ ф(Д) = А* эффективна,
усть t\x) _ такая рекурсивная функция, чтоа>щ) — са*
для всякого t. Теперь определим gix) как fitix), tix)).
етиы ддя дальнейших ссылок, что построение g не
*^ит °т множества а, а зависит только от функции
' ы Утверждаем, что а вполне продуктивно относи-
^?° ^ *Цш помощи функции g(x).
* усхь (л,-е2. Тогда таким же множеством является
*' ' е" ^и*)« Следовательно, /itt) является сведением
* » f • е. для всякого х
*
,-, <=> 1 (х, Х) S «J.
Полагая 1в((й|Швм
т. е.
что и тр^бс
g(i) ea*»- g(i) e ш<,
j, ювалось доказать..
^°к^зательство теоремы 9. (а)
Предположим Чтл
' 1Q все рекурсивные множества равномерно
сводимы ц у при ПОМОщИ Дд.^ ^)_ для любого
рекурсивного мно^ества ^ множество А* рекурсивно. Таким
о разом, выполняются условия предыдущей леммы.
Д вахельн0) ^ продуктивно относительно
совокупности Рекурсивных МНожеств. Тогда ч продуктивно по
СЛе(б)В>2те°Ремы6-
„ Доказательство такое же, как для (а), со следу-
элемИ Мс,й.ификацией: если А содержит не более одного
прелп^1^* то таким же является множество А* (при
фун °"°зкении, что fix, у) — взаимпо однозначная
§ 11]
НЕРАВНОМЕРНОСТЬ
155
Мы отмечали в доказательстве леммы А, что
функция gix) не зависела от множества а — она зависела
только от функции /. Таким образом, мы можем
получить более сильную теорему.
Теорема 9'. Пусть Их) и fix, у) — рекурсивные
функции, которые связаны следующими условиями:
каково бы ни было число i, (£>ц{) = /-1(@{), т. е., каковы
бы ни были i и х, х<= (Oj(<) ■**■ fix, x) e ю4.
Тогда fitix), t(x)] обладает следующим свойством:
каково бы ни было множество ч, если fix, у)
равномерно сводит все рекурсивные множества к f или если
fix, у) является взаимно однозначной функцией и
равномерно сводит все множества, содержащие не более
одного элем'ента, к у, т0 fitix), tix)] является слабо
продуктивной функцией для if.
§ 10. Равномерная представимость
Мы говорим, что все элементы совокупности РП
множеств 2 равномерно представимы в системе Q, если
имеется такая рекурсивная функция tix), что для
всякого числа i, для которого &),<^2, tii) является гёделевым
номером некоторого предиката системы Q,
представляющего сан в Q.
Теперь теорема 9 получает следующее приложение.
Теорема 10. (а) Если все рекурсивные множества
равномерно представимы в Q и Q — формальная
система, то Q является креативной системой.
(б) Если все множества, содержащие не более
одного элемента, равномерно представимы в Q, Q —
формальная система и представляющая функция Ф
системы Q взаимно однозначна, то Q является креативной
системой.
Доказательство. Условия теоремы очевидным
образом влекут, что<р(#, у) является равномерным
сведением всех рекурсивных множеств к Та (так как если
Я представляет А в Q, то q>ft является сведением А к
Т0). Теперь остается применить теорему 9.
§ 11. Биравномерность
Пусть Si и 22 - две совокупности РП множеств. Мы
будем говорить, что все элементы совокупности it
биравномерно сводимы ко всем элементам совокупности
156 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ 1ГЛ V
22, если существует такая рекурсивная функция
fix, у, z), что для всех чисел i, j, для которых й),-^^
и cOi^Sz, функция fij является сведением со; к со,-. (Мы
напоминаем обозначения: ft,jix)—fii, h х), ftiy, z) =
= fit, у, z).) Такая функция fix, у, z) будет называться
биравномерпым сведением 24 к 2г.
Заметим, что следующие условия эквивалентны:
A) fix, у, z) является биравномерным сведением 24
к 22;
B) для каждого со,- ^ 22 функция /,- является
равномерным сведением 24 к со,.
Теорема II.1) Каждое из следующих условий
является достаточным условием равномерной
креативности всех элементов совокупности 2:
A) все рекурсивные множества биравномерно
сводимы ко всем элементам совокупности 2;
B) все множества, содержащие не более одного
элемента, биравномерно сводимы ко всем элементам 2 с
помощью такой функции fix, у, z), что, каково бы ни
было число ъ, fi является взаимно однозначной
функцией.
Доказательство. Пусть fix, у, z)
удовлетворяет либо A), либо B). Существует такая рекурсивная
функция tix, у), что, каковы бы ни были i и /, Щ{а) =
= (fij1 (tt>j) (это легко следует из § 4 главы IV).
Пусть теперь со,- — любой элемент совокупности 2.
Тогда выполняются следующие условия:
A) /,- является равномерным сведением всех
рекурсивных множеств к со,- или /,- является взаимно
однозначной функцией и равномерным сведением всех
множеств, содержащих не более одного элемента, it со;;
B) co(i(j) = (/f)_1(coj) для всякого L
По теореме 9' функция f^Uix), Uix)] слабо
продуктивна для со,-. На основании этого мы определяем gix, у) =
= fx[txiy), txiy)]. Каково бы ни было со*«=2, g< слабо
продуктивна для со*. Поэтому все элементы из 2
равномерно слабо креативны, следовательно, они по
теореме 8 равномерно креативны.
) Эта теорема может быть опущена.
§ 12]
СДВОБННО ПРОДУКТИВНЫЕ ПАРЫ
157
# В. ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ
И СДВОЕННАЯ ПРОДУКТИВНОСТЬ
§ 12. Сдвоенно продуктивные пары
Пусть аир- числовые множества. Мы будем
говорить, что пара (а, р) является сдвоенно продуктивной
при помощи рекурсивной функции Их, у), если для
любых двух непересекающихся • множеств Wj и о>3
таких, что (OiS'(aUp) и Wj^(pUa), имеем Щ, /) е
е (# Г1 p)\(a»j U со,). (Пара (а, р) называется сдвоенно
продуктивной, если такая функция к существует1).)
a js
W,
Рис. 5.
Заметим, что пара (а, р) сдвоенно продуктивна при
помощи к(х, у), если и только если для всяких двух
чисел i, j таких, что а>;, со^ не пересекаются друг с
другом и не пересекаются соответственно с а\р и р\а,
число k{i, j) находится вне каждого из четырех множеств
а, р, G>h a»j (см. рис. 6).
Очевидно, что при непересекающихся множествах a
и р пара (а, р) не может быть сдвоенно продуктивной
парой. Нас обычно будут интересовать такие пары
(а, р), что пара (а, р) является сдвоенно продуктивной.
') Это определение сдвоенной продуктивности отличается
от определения, данного в первом издании этой монографии,
хотя имеющееся там определение корректно для
непересекающихся пар. За замечание о том, что первоначальное
определение было неподходящим для пересекающихся пар, автор
обязан Т. Г. Маклафлину.
158 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Для непересекающейся пары (а, В) пара (а, В)
является сдвоенно продуктивной при помощи Их, у), если
и только если для всяких i и /, для которых а>< и coj
' Hi J)
Рис. 6.
не пересекаются друг с другом и не пересекаются
соответственно с а и с В, число k(i, j) находится вне
каждого из четырех множеств а, В, со(, <д,.
б®
Рис. 7.
Мы называем пару (а, В) сдвоенно креативной, если
множества а и В рекурсивно перечислимы и (а, В)
является сдвоенно продуктивной парой. Если пара (а, В)
является сдвоенно продуктивлой при помощи Их, у)
и если а и В рекурсивно перечислимы, то мы иногда
будем говорить, что пара (а, В) сдвоенно креативна при
помощи Их, у).
§ 12] СДВОЕННО ПРОДУКТИВНЫЕ ПАРЫ 159
Очевидно, что (а, В) является сдвоенно
продуктивной парой, если и только если (В, а) является такой
же парой.
Теорема 12. Пусть а и § не пересекаются. Тогда:
(а) если пара (а, В) сдвоенно продуктивна, то пара
(а, В) эффективно неотделима;
(б) если (а, В) эффективно неотделима и если а
ы В рекурсивно перечислимы, то пара (а, В) сдвоенно
продуктивна, т. е. пара (а, В) сдвоенно креативна.
Таким образом, для того чтобы непересекающаяся
пара (а, 3) PJ7 множеств была эффективно
неотделимой, необходимо и достаточно, чтобы она была
сдвоенно креативной.
Доказательство, (а) Эта часть тривиальна.
Предположим, что пара (а, В) сдвоенно продуктивна.
Тогда пара (В, а) сдвоенно продуктивна. Пусть она
является сдвоенно продуктивной при помощи Их, у).
Тогда Их, у) должна быть ЭН функцией для (а, В).
Действительно, предположим, что а ^ со*, В ^ toj и со<
не пересекается с со,-. Тогда ац не пересекается с В,
щ не пересекается с а, поэтому к (г, )) находится вне
каждого из четырех множеств а, В, со<, со,-. В частности,
Hi, j) находится вне со4 и щ. Следовательно, Их, у)
является ЭН функцией для (а, В).
(б) Предположим, что пара (а, §) эффективно
неотделима; пусть Ь(х, у) является ЭН функцией для (В, а).
Поскольку В рекурсивно перечислимо, операция Ф(сог) =
= со,- U 8 эффективна; кроме того, операция Ф'(со«) =
= co<Ua эффективна. Пусть ср^ж) и ср2Ы — такие
рекурсивные функции, что, каково бы ни было i, шФ1({) =
= ш4иа и С0ф2(г) = со4 U oi. Возьмем в качестве Их, у)
функцию 6[cpi(:c), ср2(ж)]. Очевидно, что к является
рекурсивной функцией, и мы покажем, что пара (а, В)
сдвоенно креативна при помощи Их, у).
Предположим, что ю< не пересекается с а и со/ не
пересекается с обоими множествами со£ и В. Тогда
©j U В не пересекается с toj U a, т. е. соф1 (*> не
пересекается с ач(<), и, конечно, Bsco,,^, и а^со^.о).
Следовательно, o4<pi(i),. <р*(У)) находится вне Юо.ю и co<p2(j).
т. е. Иг, /) находится вне каждого из множеств со<, р,
Wj, «i что и нужно было доказать.
160 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. Y
Следствие 1. Существует сдвоенно креативная
пара непересекающихся множеств.
Доказательство непосредственно получается из (б)
теоремы 12 и существования ЭН пары РП множеств.
Теорема 13. Пусть а и В рекурсивно перечислимы
и не пересекаются. Пусть 2а — совокупность всех РП
надмножеств множества а, не пересекающихся с В.
Тогда необходимым и достаточным условием
эффективной неотделимости парьъ (а, В) является равномерная
креативность всех элементов совокупности 2а.
Доказательство, (а) Предположим, что пара
(а, В) эффективно неотделима. Тогда и пара ()В, а)
эффективно неотделима, следовательно, по теореме 12
пара (В, а) сдвоенно креативна. Пусть к{х, у)
—рекурсивная функция, при помощи которой эта пара
креативна. Пусть а,- — любое РЛ надмножество множества
а, не пересекающееся с В; мы покажем, что kt{y)
является продуктивной функцией для а,-. Пусть а,- — любое
РП множество, не пересекающееся с а^. Тогда а{ и coj
не пересекаются, а,- не пересекается с В, а} не
пересекается с а. Имеем k{i, }) Ф (а U В U a,- U со,-).
Следовательно, k(i, /) *£■ со* U <вл т. е. к{ф Ф со* U со,-. Поэтому kt
является продуктивной функцией для со(. Это доказывает,
что все элементы совокупности 2» равномерно
креативны,
(б) Предположим, что все элементы совокупности
2Я равномерно креативны; пусть gix, у)
свидетельствует об этом. Тогда очевидно, что g(x, у) является
ЭН функцией для пары (а, $). Действительно,
предположим, что af и со,- — непересекающиеся надмножества
множеств а и В соответственно. Тогда а* е 2«, поэтому
gi(y) является продуктивной функцией для аь
Следовательно, gi(j) & со* 0 со/, т. е. g(i, j) Ф со,- U а/.
Следствие 1. Если все РП надмножества
множества а, не пересекающиеся с р, равномерно слабо
креативны и если а и В не пересекаются, то пара (а, В)
эффективно неотделима.
Доказательство. См. теорему 8 и теорему 13.
Следствие 2. Достаточным условием
эффективной неотделимости пары (а, В), состоящей из
непересекающихся множеств, является биравномерная своди-
§13]
СВОДИМОСТЬ ПАР К ПАРАМ
161
мостъ всех рекурсивных множеств ко всем РП
надмножествам множества а, не пересекающимся с {3.
Доказательство. См. теорему 11 и теорему 13.
Обсуждение. Из теоремы 13 сразу следует, что если
множества чи Чг рекурсивно перечислимы и эффективно
неотделимы, то каждое из них является креативным
(этот результат хорошо известен и может быть
установлен более прямым рассуждением). Однако может
оказаться, что "ft и ^2 — непересекающиеся креативные
множества, но в то же время они не являются
эффективно неотделимыми. Чтобы увидеть простой пример,
возьмем два бесконечных непересекающихся РП
множества а и р. По хорошо известной теореме Поста а
и {3 содержат бесконечные рекурсивные подмножества
а' и р' соответственно; эти подмножества в свою
очередь содержат креативные подмножества а" и р"
соответственно. Последние рекурсивно отделимы
множествами а' и р', поэтому они даже не являются
рекурсивно неотделимыми, не говоря уже об эффективной
неотделимости.
§ 13. Сводимость пар к парам
Для большей части остающихся результатов этой
главы мы должны обобщить применительно к нарам
множеств понятия много- и одно-односводимости
множеств к множествам.
Пусть каждая из пар {Аи Аг), {Ви Вд является
упорядоченной парой числовых множеств. Пусть fix) —
рекурсивная функция. Мы говорим, что / сводит пару
(Аи Аг) к паре (Ви В2) или что / является сведением
первой пары ко второй, если Ai = f~i{Bi)vLA2 = f~i{Bi),
Таким образом, / сводит (At, А&) к (Ви В2), если и
только если / одновременно сводит Ai к 2?i и А% к Вг.
Таким образом, сведение {Ai, Аъ) к (Blf B2) является
рекурсивной функцией, которая отображает Ai в Ви
А% в Вг и дополнение множества Ai U Аг в дополнение
множества Bi U Вг. Иначе говоря, / является сведением
C4i, Аг) к (.ВиВг), если и только если для всякого числа
х выполняются следующие условия:
A) хеЛ.^/ЫеВ,;
B) a;ei2^/WeB2,
162 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Мы говорим, что (Ai, А2) сводима к {Ви В2), если
существует рекурсивная функция /, которая сводит
{Аи А2) к U?i, Bz), Если существует взаимно
однозначная рекурсивная функция /, которая сводит {At, А2)к
{Ви В2), то мы говорим, что пара (Аи Аъ) одно-односво-
дима к E1( Bz) (такая функция fix) называется одно-
односведением С44, Аг) к (Ви В2)).
Если / является сведением {Аи А2) к (Ви Вг), то/,
очевидно, рекурсивно отображает (Аи Аг) в (Z?i, Вг);
обратное не обязательно верно.
Следующие утверждение и теорема будут иметь
применения в разделе # Г.
Утверждение 7. Если {Аи А2) сводимак (ВиВ2)
и если (Ai, А2) сдвоенно продуктивна, то {Ви В2)
сдвоенно продуктивна.
Доказательство. Пусть {&и А2) сдвоенно
продуктивна npff помощи klx, у); пусть / — сведение
(Ai, Аг) к (Ви В2). Пусть Их) ■— такая рекурсивная
функция, что для всякого числа i имеем ©j(f) = /-1(u)<).
Определяем k'(x, y)—f[k{t(x), t{y))]. Мы утверждаем,
что {Si, B2) сдвоенно продуктивна при помощи к .
Предположим, что (а{ и ш^ удовлетворяют условиям:
A) ю< и (Oj не пересекаются,
B) ия не пересекается с Bi\B2,
C) (Oj не пересекается с B2XBt.
Мы должны показать, что к'{г, /) находится вне
каждого из четырех множеств Ви В2, ш(, %. По A)
/~* ((«><) не пересекается с /"Чш^), т. е. ©tA) не
пересекается с tu((j). По B)/-1(u)i) не пересекается с/~4Bi\5ji),
т. е. @((f) не пересекается с At\A2. По C) /-1(u)j)
не пересекается с f~~l(B2\Bi), т. е. а>н1) не пересекается
с A2\At. Так как {Жи Жг) сдвоенно продуктивна при
помощи к, число k{t{i), tij)) находится вне каждого из
четырех множеств Аи А2, ©,(i), ю(У). Следовательно,
fkitii), tij)) находится вне каждого из четырех
множеств Ви Вг, cof, оа,, что и нужно было доказать.
Теорема 14. Если каждая пара
непересекающихся РП множеств много-односводима к (а, р), то пара
(а, £) сдвоенно продуктивна.
Доказательств о. По следствию 1 теоремы 12
существует такая пара (ft, Чг) непересекающихся РП
множеств, что (fi, iz) сдвоенно продуктивна. По пред-
§ 15]
РАВНОМЕРНАЯ СВОДИМОСТЬ
163
положению (ji. Та) сводима к (а, р). Тогда (^i, ^J
сводима^ к (а, р). Следовательно, по утверждению 7 пара
(а, р) сдвоенно продуктивна.
# Г. СДВОЕННАЯ УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ
§ 14. Сдвоенно универсальные
и вполне сдвоенно универсальные пары
Пара числовых множеств (у4, уг) называется
сдвоенно универсальной (сокращенно СУ), если всякая пара
непересекающихся РП множеств одно-односводима к
ней (см. § 13). Мы будем называть (fi, ft) вполне СУ
парой (сокращенно СУ+ парой), если каждая пара РП
множеств (пересекающихся или нет)
одно-односводима к (Yi, Y^-
Заметим, что пара непересекающихся множеств не
может быть вполне СУ парой. Действительно,
предположим, что (fi, ^2) является вполне СУ парой. Берем
любую пару (a, fi) РП множеств, имеющих непустое
пересечение. Тогда для некоторой рекурсивной
функции / имеем (а, р) ->- (fi, Yz)« Ясно, что / отображает
а П р в fi А Тг> поэтому *fi П ^2 не может быть пустым
множеством.
Мы также заметим, что если (fi, ^2) является СУ*
парой или СУ парой или если всякая пара
непересекающихся РП множеств много-односводима к (fi, Y2),
то ft и ^2 являются продуктивными множествами.
Действительно, мы можем взять некоторую пару (а, р)
непересекающихся креативных множеств (например, ЭН
пару); эта пара сводима к (у*, ъ\ следовательно, а
сводимо к Yi и р сводимо к ^2- Поэтому Yi и ^
должны быть продуктивными.
§ 15. Равномерная сводимость
Пусть S — совокупность упорядоченных пар РП
множеств; пусть f(x, у, z) — рекурсивная функция. Мы
говорим, что все элементы совокупности 2 равномерно
164 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ 1ГЛ. V
сводимы к (ifi, 'yJ при помощи /, если выполняется
следующее условие: для всякой пары чисел i, j, для
которой (о*, coj)eS, U сводит (со,, со,-) к (^, у2). Если
имеется такая рекурсивная функция /, то мы говорим,
что все элементы совокупности 2 равномерно сводимы к
(Til Та)- Если, кроме того, при любых i и j функция
/ij (z) взаимно однозначна, то мы говорим, что все
элементы совокупности 2 равномерно одно-односводимы
к (^i, Tf2)- Пара ('Yi, Та) называется равномерно сдвоенно
универсальной, если все непересекающиеся пары
(со4, a>j) равномерно одно-односводимы к (уь ^> и мы
называем (^i, Та) равномерно СУ+ парой, если все пары
РП множеств равномерно одно-односводимы к (у4, у2).
Приведем пример пары (Ui} U2) РП множеств,
которая является СУ+ парой (в действительности —
равномерно СУ+ парой). Пусть fix, у, z) — рекурсивная
взаимно однозначная функция. Обозначим посредством
Ui множество всех чисел, дредставимых в виде fix, y,z),
где z e ах. Обозначим посредством U2 множество всех
чисел, представимых в виде fix, у, z), где z e сон.
Ясно, что для любых РП множеств со* и coj имеем
fijiz) еG,**-гей! и /у(г) е^-^ге^. Таким
образом, ftj ЯВЛЯетСЯ ОДНО-ОДНОСВОДИМОСТЬЮ (и,, COj) К
Ши UX
Приведем еще пример пары \UU £/3)
непересекающихся РП множеств, которая является равномерно
сдвоенно универсальной парой. Возьмем fix, у, z) такую
же, как раньше. Пусть Ux — множество всех чисел
вида fix, y,z), гдегесок прежде, чем z е со^; пусть Uz —
множество всех чисел вида fix, у, z), где z^coj,
прежде, чем zsco* (см. § 13 главы IV). Легко проверить,
что для любых непересекающихся множеств со< и со^
функция ftj является одно-односведением (со,, со3) к
{Vi, U'2), и очевидно, что Ux и Uz рекурсивно пере*-
числимы и не пересекаются.
Очевидно, что если fix, у, z) — равномерное
сведение совокупности 2 к ("Ki, Та) и если & —сведение
Cfi, f2) к (а, р), то hfix, у, z) является равномерным
сведением совокупности 2 к (а, р). Кроме того, если
fix, у, £) — равномерное одно-односведение
совокупности 2 к ('Yi, Та) и если k ~ одно-односведение (ть Та)
§ 16] СЛАБО дДВОЕННО ПРОДУКТИВНЫЕ ПАРЫ 165
к (а, р), то hfix, у, z) является равномерным одно-
односведением совокупности 2 к (a, (J). Так как
существует равномерно СУ+ пара.РП множеств и существует
равномерно сдвоенно универсальная пара
непересекающихся РП множеств, можно утверждать:
A) Если все пары РП множеств сводимы к (а, C),
то всё такие пары равномерно сводимы к (а, $).
B) Если (а, £0 является СУ+ парой, то она является
равномерно СУ+ парой.
C) Если все пары непересекающихся РП множеств
сводимы к (ее, р), то все такие пары равномерно
сводимы» к (а, C).
D) Если пара (a, £i) является сдвоенно
универсальной, то она является равномерно сдвоенно
универсальной.
Мы впоследствии покажем, что если все пары
непересекающихся рекурсивных множеств равномерно
сводимы к (fi, ъ\ т0 последняя пара является сдвоенно
универсальной.
Пусть (oi, о2) — любая ЭН пара рекурсивно
перечислимых множеств. Тогда пара (оч, а2) сводима к
(ft, Чг), поэтому пара (fi, у2) эффективно неотделима
по следствию 1 утверждения 4. Таким образом, любая
сдвоенно универсальная пара непересекающихся
множеств эффективно неотделима. Теперь мы поставим
своей целью доказательство того, что всякая ЭН пара
РП множеств является сдвоенно универсальной. (Это
«сдвоенный» аналог теоремы Майхилла о том, что
всякое креативное множество является универсальным.)
§ 16. Слабо сдвоенно продуктивные пары
Теперь мы хотим пользоваться такими
рекурсивными спаривающими (т. е. нумерующими пары чисел)
функциями Лх, у), К(х), L(x), что J(x, у) является
функцией, отббражающей на N (последнее означает,
что всякое число z представимо в виде J(x, у)).
Поэтому функции из главы IV с теми же обозначениями
нас не будут больше удовлетворять. Однако мы
больше не нуждаемся в том, чтобы наши спаривающие
функции были рудиментарными; поэтому мы можем
взять в качестве 3{х, у) стандартную функцию
166 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Y {х + у — 1) {х 4- У ~ 2) + У- Тогда для всякого #
функции К{х) ж L(x) определены и J(K(x), L(x))=x.
Если пара (а, р) сдвоенно продуктивна при помощи
функции Их, у) от двух аргументов, то эта пара
сдвоенно продуктивна и при помощи некоторой функции
gix) (а именно, функции k[Kix), L(x)]) в том смысле,
что для всякого числа i такого, что а>#< и au не
пересекаются друг с другом и не пересекаются сответствен-
но с (а\р) и (р\а), число gii) находится вне каждого
из четырех множеств а, E, oojci, a>w- Наоборот, если
пара (а, р) сдвоенно продуктивна при помощи
некоторой функции gix) от одного аргумента, то она
сдвоенно продуктивна и при помощи некоторой функции
Маг, у) (а именно, функции gUix, у))).
Мы назовем пару (ос, [5) слабо сдвоенно
продуктивной при помощи рекурсивной функции gix), если для
любого числа i, для которого сох< и <оы являются
непересекающимися множествами с не более чем одним
элементом в них обоих (последнее означает, что они либо
оба пусты, либо одно из них пусто, а другое является
одноэлементным множеством), выполняются
следующие условия:
A) если со** — одноэлементное множество,
непересекающееся с а, то g(i) Ф (Okv
B) если ты — одноэлементное множество,
непересекающееся с [J, то gii) Ф сои;
C) если Ох* и сом оба пусты, то g(i) Ф a U (i.
Очевидно, что если пара (a, |J) сдвоенно
продуктивна, то она слабо сдвоенно продуктивна (при
помощи некоторой функции). Мы вскоре докажем обратное.
§ 17. О сдвоенно продуктивных парах
Майхи-лл [1] показал, что если а креативно, то
существует строго возрастающая продуктивная
функция для а. Нам теперь нужен «сдвоенный» аналог
этого факта.
Утверждение 8. Если пара (а, р) сдвоенно
продуктивна, то она сдвоенно продуктивна при помощи
некоторой строго возрастающей функции g*ix).
§ 17] О СДВОЕННО ПРОДУКТИВНЫХ ПАРАХ 167
Доказательство. Пусть пара (a, [J) сдвоенно
продуктивна при помощи g(x). Легко проверить, что
существует такая рекурсивная функция h^x), что для
всех х имеем ю л1(ЗС) = <aLx U igix)}. Пусть h(x) =
= J(K(x), At(<r)). Тогда Khx = Kx, Lhx = hi(x). Таким
обраЗОМ, {@КЛя, btJ = {(Икх, (CD^U ig(x)})}.
Мы обозначаем посредством а множество всех таких
чисел i, что <эк{ и (x>L( не пересекаются друг с другом
и не пересекаются соответственно с (cs\£J) и (jJ\cs).
Рассмотрим теперь последовательность gii), gMi),
ghh(i), ghhhii),... Из определения h(x) следует, что
если i^ а, то все члены указанной последовательности
различны и находятся вне каждого из четырех множеств
а, р, ь)к<) o)L(. Мы определяем функцию g*(n) по индук-
ции. Полагаем g*{l) = gil). Предположим, что для п
функция g* уже определена. Определим g*tn + i)
следующим образом. Вычисляем члены указанной
последовательности до тех пор„ пока либо появится повторение
(в этом случае (ге+1)^а), либо будет достигнуто
число т, которое превосходит g*{n).
В первом случае положим g*{n +1) = 1 +g*(n)
(тогда g*(n + l) >g*(n)). Во втором случае положим
g*{n+ 1) =т. Очевидно, что g*(x)'— строго зозрастаю-
щая (и, следовательно, взаимно однозначная) функция
и она является сдвоенно продуктивной функцией
для (а, E).
Следствие 1. Если пара (а, р) сдвоенно
продуктивна, то она слабо сдвоенно продуктивна при
помощи некоторой взаимно однозначной функции g(x).
Следующая теорема лежит в основе нескольких
наших основных результатов.
Теорема 15. A) Если пара ("(и f*) слабо
сдвоенно продуктивна, то всякая пара непересекающихся
РП множеств много-односводима к (fi, Tfa).
B) Если (fi, Чг) слабо сдвоенно продуктивна при
помощи взаимно однозначной функции g{x), Toi^^fz)
сдвоенно универсальна.
Доказательство. A) Пусть пара (ft, ^2)
слабо сдвоенно продуктивна при помощи g(x). Пусть
(а, р) — пара любых непересекающихся РП множеств.
По теореме 5.1 главы IV имеется такая взаимно одно-
168 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
значная рекурсивная функция t(x), что для всякого
числа i выполняются следующие условия:
i£Ba=> (йкщ) = igtii)},
iep=*-fi)i,/@ = {gf(i)},
Таким образом, имеем:
(а) £еа=^ (сита), (йьцц} = iigt(i)}, 0),
(б) 1ер=>{й)Я((A1 coLi(ii)} = {0, {g((i)}},
(в) i ф >(а U р) =*■ {(Dx*ii), <0ы((,} = {0, 0>.
Мы заметим, что в каждом из случаев (а), (б) и
(в) множества ©*<(<> и со^, являются
непересекающимися РП множествами с не более чем одпим элементом
в них обоих.
Мы теперь докажем, что gtix) является сведением
(а, р) к («ifi, Чл).
(а) Предположим, что г^а. Тогда (oKti = {giti)},
поэтому gtti) <= сох». Если бы сокн не пересекалось с
(кЛТа)» то gt(i) было бы вне а>ки (так как пара (fi, f2)
слабо сдвоенно продуктивна при помощи gix)).
Поэтому Оки пересекается с (^Дуг), т. е. igt(i)} пересекается
с (уЛ^з)', следовательно, #Ш) ^ (^Лт^- Таким образом,
мы показали: если £ ^ а, то gtti) & (fAfa)-
(б) По симметричным соображениям, если i ^ р, то
gi(i) е= (fAfi).
(в) Предположим, что г Ф a, U р. Тогда множества
«я*г и «г.» пусты, поэтому gtti) Ф Ifi U ifa-
Итак, по (а), (б) и (в) функция gtix) является
сведением (а, р) к ("Yi, Тг)- Это доказывает A).
B) Если g является взаимно однозначной
функцией, то такой же является и gtix) (так как t — взаимно
однозначная функция).
Теорема 16. Если пара (fi, Тг) сдвоенно
продуктивна, то пара (fi, 1B) является сдвоенно
универсальной.
Доказательство. Предположим, что пара
(fii \г) сдвоенно продуктивна. Тогда по следствию 1
§ 17] О СДВОЕННО ПРОДУКТИВНЫХ ПАРАХ 169
утверждения 8 пара tyi, Ч*' слабо сдвоенно
продуктивна при помощи взаимно однозначной функции g(x).
По теореме 15 (fi, Та) является СУ парой.
Теорема 17. Если всякая пара
непересекающихся РП множеств много-одкосводима к (fi, f%), то пара
if и Тг) сдвоенно универсальна.
Доказательство. Предположим, что всякая
пара непересекающихся РП множеств много-одно-
сводима к паре ("fi, Та)- Тогда по теореме 14 пара
("fi' Tz) сдвоенно продуктивна и по теореме 16 (^i, 42)
является СУ парой.
Из теоремы 17 мы теперь получаем следующее
усиление утверждения A) теоремы 15.
Теорема 18. Если пара (^ fa) слабо сдвоенно
продуктивна, го пара (fi, fz) сдвоенно универсальна.
Доказательство. Предположим, что пара
(Yi> Тз) слабо сдвоенно продуктивна. Тогда (в силу A)
теоремы 15) всякая пара непересекающихся РП
множеств много-односводима к (^i, Чг) и по теореме 17
пара (fi, fz) сдвоенно универсальна.
Резюме. Мы видим, что согласно теоремам 15—
18 и утверждению 8 все следующие условия
эквивалентны друг другу:
(I) Пара Ofi, f2) сдвоенно продуктивна.
(II) Пара (fi, Тг) сдвоенно продуктивна при помощи
взаимно однозначной функции.
(III) Пара (^ь fa) слабо сдвоенно продуктивна.
(IV) Пара (yi, Ya) слабо сдвоенно продуктивна при
помощи взаимно однозначной функции.
(V) Всякая пара непересекающихся РП множеств
много-односводима к (fi, Тз)-
(VI) Пара (fu ч2) сдвоенно универсальна.
Замечание. Если пара {^и у2) сдвоенно
продуктивна, то каждое из множеств fi и fz в отдельности
должно быть продуктивным. Действительно, если пара
(Ть Та) сдвоенно продуктивна, то (-fi, 'fa) является СУ
парой, поэтому каждое из множеств fi и fa
продуктивно (см. последний абзац § 14).
Теорема 19. Всякая ЭН пара РП множеств
сдвоенно универсальна. Следовательно, пара непересе-
170 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
кающихся РП множеств эффективно неотделима, если
и только если она является СУ парой1).
Доказательство. Предположим, что (ft, "f2)—
эффективно неотделимая пара РП множеств. Тогда
пара ("ii, 42) сдвоенно продуктивна по теореме 12.
Следовательно, (fi, Ч2) является СУ парой по теореме 16.
Теорема 20. Пусть (*(и "Ы — СУ пара
непересекающихся множеств. Тогда всякая пара
непересекающихся РП надмножеств множеств fi и ^
соответственно в свою очередь является СУ парой.
Доказательство. Предположим, что Yi и У г ~
непересекающиеся РП надмножества соответственно
множеств fi и Чг- Так как (flf у2) является СУ парой,'
то она эффективно неотделима. Следовательно, пара
(Vi» Va) эффективно неотделима и по теореме 19 она
является СУ парой.
§ 18. Применение к системам Россера
Теорема 21. Если Z — непротиворечивая
формальная система Россера, то пара (Г0, #о) сдвоенно
универсальна.
Доказательство. Пусть Z — непротиворечивая
система Россера. Тогда пара (Т0, i?0) эффективно
неотделима по теореме 4. Если, кроме того, Z — формальная
система, то Т0 и i?0 рекурсивно перечислимы. Значит,
пара (Го, R0) сдвоенно универсальна по теореме 19.
§ 19. Равномерная сводимость
Пусть 2 ~ совокупность упорядоченных пар РП
множеств; пусть (fi, "f2) — фиксированная пара РП
множеств. В § 15 мы определили, в каком случае
рекурсивная функция fix, у, z) называется равномерным
сведением совокупности 2 к (fi, "/г). Альтернативная
характеризация равномерной сводимости может быть
дана с использованием функции gix, у), зависящей
только от двух аргументов. Мы будем говорить, что функ-
') Это — «сдвоенный» аналог теоремы Майхилла о том,
что всякое креативное множество является универсальным.
Он впервые был доказан Мучником [2] и, независимо,
Смальяном [7].
§ 19]
РАВНОМЕРНАЯ СВОДИМОСТЬ
171
ция g(x, у) является равномерным сведением
совокупности 2 (или воех элементов совокупности 2) к (fi, 72).
если g(x, у) рекурсивна и для всякого числа i такого,
что (coki, (Dw)<=2, функция gi сводит (сои, <»ы) к (^Лг)-
Если fix, у, z) — равномерное сведение совокупности
2 к (fi, 72). то и функция gix, у), равная }{Кх, Lx, у),
является равномерным сведением 2 к (f4, 72). Если
gix, у) — функция, которая равномерно сводит
совокупность 2 к (ft, ifa), то и функция fix, у, z), равная
glHx, у), z\, является равномерным сведением 2 к
(ft, Тг).
Мы будем говорить, что пара (a, $) вполне сдвоенно
продуктивна относительно совокупности 2, если
имеется такая рекурсивная функция gix), что для всякого
числа i, для которого (со#,-, wJeH, выполняются
следующие для условия:'
A) g(i) ea^ g(i) s соя<, B) g(f) е= р ««=»- g(i) е= <вы.
Иначе говоря, пара (a, (J) вполне сдвоенно
продуктивна относительно совокупности 2, если и только если
существует такая рекурсивная функция Их, у), что для
любых чисел i, j, для которых (со<7 со,) е 2,
выполняются следующие условия:
A) kit, /)eaf- k(i, j) ^CDi,
B) kii, /)ep-t* Ш, J") e= <B,.
Следующая лемма является «сдвоенным» аналогом
леммы А. В этой лемме fix, у) будет обозначать
фиксированную рекурсивную функцию и для любого
числового множества А запись А* будет обозначать
множество всех таких чисел i, что ftii)^A (т. е. таких,
что /U, i)sM).
Лемма Б. £сди fix, у) — равномерное сведение
совокупности 2 к (fb 72) " есш для любой пары
(A, B)eS napa (Л*, 2?*) также принадлежит 2, го
пара (^1> Тг) вполне сдвоенно продуктивна относительно
совокупности 2.
Доказательство. Так же, как в
доказательстве леммы А, замечаем, что существует такая
рекурсивная функция tix), что co<(fi = ecu* для всякого числа i.
Пусть h(x) = JltK(x), tLix}]. Тогда функция Их)
рекурсивна и КИх) = tKix), Lhix) = tLix). Таким образом,
172 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Теперь мы определяем g{x) = f[h{x), h(x)].
Функция gix) рекурсивна, и мы покажем, что она
удовлетворяет условиям A) и B).
Предположим, что (шК1> Ыи) е 2. Тогда по условию
леммы (©кг, «jr,i) е 2, т. е. ((oXA{i), юЬЛA-)) «=2. Так
как / является равномерным сведением
совокупности 2 к ("f!, ч2), функция /ft(i) является сведением
(cuKft(i), (oih{<)) к (^i, "{г). Следовательно, для всякого
числа х имеем:
(а) 1h(i) (x) S Vi «=> X <= СОкЛ(г)
^ /х (ж) ^ coK(i);
(б) //ц {) («)e7j«-iG ющ^
-S=S- X <= ©Х(Ч)
■ф> /х (ж) е coL(i).
Подставляя Ш) вместо я, получаем:
(а) /ад (А @) s Ti ^- /л(г> (^ @)е «tfii), T-e-
£ (*) е ух ^ g (i) s ющц;
(б) /ад {h (г)) е Ya ^^ /ад (А (г)) е= <оад, т.е.
?(i)e?!^?(i) e o>L(i).
Теорема 22 («сдвоенный» аналог теоремж 9).
(а) Если все пары непересекающихся рекурсивных
множеств равномерно сводимы к (fi, "(г), то пара
(f I, ^2) сдвоенно универсальна.
(б) Если все пары непересекающихся множеств с не
более чем одним элементом в них обоих равномерно
сводимы к ("fi, "f2) при помощи взаимно однозначной
функции fix, у), то пара i^u "f2) опять сдвоенно
универсальна.
Доказательство, (а) Пусть 2— совокупность
всех пар непересекающихся рекурсивных множеств.
По условию все элементы совокупности 2 равномерно
сводимы к (^1, Y2) при помощи некоторой рекурсивной
функции. Если А —рекурсивное множество, то и А*
рекурсивно; если множества А и В не пересекаются, то
множества А* ж В* также не пересекаются. Следова-
§ 20] ОБОБЩЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ НЕОТДЕЛИМОСТИ 173
тельно, если (A, B)eS, то (А*, Б*)еБ. Таким
образом, условия леммы Б выполнены. Следовательно, пара
("fi, Ча) вполне продуктивна относительно совокупности
2. Конечно, пара (^i, 42) слабо сдвоенно продуктивна.
Следовательно, пара (^и "Ы сдвоенно универсальна по
теореме 16.
(б) Доказательство похоже на доказательство
утверждения (а), за исключением того, что теперь 2
обозначает совокупность всех пар непересекающихся множеств
с не более чем одним элементом в обоих членах пары.
Мы замечаем, что если (А, В) является такой парой,
то и (А*, В*) является такой же парой (при
дополнительном предположении о взаимной однозначности
функции fix, у}). ^ ^
Теорема 23. Если пара D1, ^2) сдвоенно
продуктивна, то пара ('Yi, 72) вполне сдвоенно продуктивна
(относительно совокупности всех пар
непересекающихся РП множеств).
Доказательство. Предположим, что пара
Wi, Та) сдвоенно продуктивна. Тогда пара (ft, Y2)
равномерно сдвоенно универсальна. Мы опять
применяем лемму Б, выбирая в качестве 2 совокупность
всех пар непересекающихся РП множеств и замечая,
что если (А, £)е2, то (А*, В*) eS.
§ 20. Обобщение эффективной неотделимости
Мучник [1] обобщает понятие рекурсивной
неотделимости на любые пары множеств, в том числе и
на пары пересекающихся множеств. Он называет пару
Оуи Чг) рекурсивно неотделимой, если не существует
таких РП- надмножеств со,- и оо^ множеств fi и Та
(соответственно), пересечение которых совпадает с
4i П ч2 и объединением которых является множество
всех чисел. Иначе говоря, пара (^i, Ч^ рекурсивно
неотделима, если и только если для всякой пары (оо4, со,)
надмножеств, пересечением которых является ^ П ^2,
имеется число вне о,- U %. Очевидно, что, когда Yi и
7г не пересекаются, это определение согласуется с
прежним определением РН множеств.
174 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Аналогичным образом мы обобщим понятие
эффективной неотделимости на пары множеств, которые не
обязательйо не пересекаются. Мы будем говорить, что
пара (fu f2) эффективно неотделима, если существует
такая рекурсивная функция б(ж, у) (называемая ЭН
функцией для этой пары), что для всякой пары
(cuf, (uj) надмножеств, пересечением которых является
"(i П ^2, число Ш, j) лежит вне со* U ©^
Доказательство утверждения 4 из § 4 легко
модифицируется так, что получается
Утверждение 4'. Пусть пара (А'и Аг) сводима
к (Z?i, Bz). Тогда, если (Аи Аг)—эффективно
неотделимая пара {быть может, пересекающихся) множеств,
то такой же является и пара Ш4, Вг).
Теперь докажем, что имеет место
Теорема 12'. Для любых двух множеств а и р
{быть может, пересекающихся):
(а) если пара (а, р) сдвоенно продуктивна, то пара
(а, р) эффективно неотделима;
(б) если пара (а, р) эффективно неотделима и оба
множества а и р рекурсивно перечислимы, то пара
(а, р) сдвоенно продуктивна.
Доказательство. Доказательство утверждения
(б) является простой модификацией доказательства
утверждения (б) теоремы 12. Доказательство
утверждения (а), однако, является более тонким и протекает
следующим образом.
Предположим, что пара (а, р) сдвоенно
продуктивна при помощи g(x, у). Мы хотим показать, что пара
(р, а) эффективно неотделима (что, конечно, влечет
эффективную неотделимость пары (а, р)). Пусть C0i
и (й) — такие РП надмножества множеств р и а
соответственно, пересечение которых совпадает с а П р.
Мы хотим эффективно найти число вне <о< U со;-. Мы не
можем (как в случае теоремы 12) просто применить
g(x, у) к ii, /), так как «< и щ пересекаются, если &
и р пересекаются. Но мы можем найти
непересекающиеся РП надмножества множеств (соЛсор, (соДф*)
(см. § 13 главы IV). Кроме того, легко видеть, что
процесс нахождения этих множеств эффективен, т. е.
существуют такие рекурсивные функции Uixi, x2) и
h(%u #2), что для всех t и / множества са^у) и
S 21]
СДВОЕННЫЙ ИЗОМОРФИЗМ
175
*°*at*.« не пересекаются и являются соответственно
надмножествами множеств (юДш^) и (юДю4). (Чтобы
увидеть это, просто применим итерационную теорему к РП
отношению lyWiixi, х, у) /\Уу'к* ~\Мг(х2, х, у')]жк
РП отношению Эу [М2 (х%, х, у) Д Vj/'<8,~]Мг (хг, х2, у')].
Множества <о<1(у) и C0B(<ij) не пересекаются
соответственно с (а\р) и (р\а), поэтому число giUd, j),
t2(i, j)] находится вне каждого -из четырех множеств
<Btl(u„ Wtyi,!), а, р. Следовательно, это число находится
вне о* и вне atj. Таким образом, glt^x, у), t2(x, у)]
является ЭН функцией для пары (р, а). Это завершает
доказательство.
Из утверждения 4' следует, что сдвоенно
универсальная пара ("fi, "f2) (быть может, пересекающихся)
множеств эффективно неотделима, так как мы можем
взять некоторую ЭН пару РП множеств и свести ее к
(fi, Ч*)- Из теоремы 12' и теоремы 16 следует
Теорема 19'. Всякая ЭН пара (быть может,
пересекающихся) РП множеств сдвоенно универсальна.
Следовательно, пара РП множеств эффективно
неотделима, если и только если она сдвоенно универсальна.
Очевидно, что если пара (а, р) эффективно
неотделима, то такой же является каждая пара
надмножеств, пересечение которых совпадает с а П р.
Следовательно, в силу теоремы 19' имеет место
Теорема 20'. Если пара (а, р) сдвоенно
универсальна, то такова же каждая пара РП надмножеств,
пересечение которых совпадает с а Л р.
# Д. СДВОЕННЫЙ ИЗОМОРФИЗМ
§ 21. Сдвоенный изоморфизм
Мы будем говорить, что пара (Аи Л2) одно-одноэк-
вивалентна (короче — эквивалентна) паре (Bi, Bz),
если каждая из них одно-односводима к другой, и мы
будем говорить, что пара (Аи Аг) (сдвоенно) изоморфна
паре (Вц В2), если имеется рекурсивная перестановка
f(x), которая одновременно отображает Л4 на Z?t И At
на Вг. Эти условия будем записывать соответственно так:
Ui, Az) ш (Ви Вг) И Wi, Аг) * (Ви Вг).
176 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Если С4Ь Аг) = (fit, 52), то, конечно, А = -б1 и
Л2 — 52. Обратное, однако, не обязательно верно. Чтобы
показать это, возьмем в качестве Ai и А2
непересекающиеся эффективно неотделимые креативные
множества; в качестве Z?t и 2?2 возьмем непересекающиеся
креативные множества, которые не являются ЭН
множествами (см. обсуждение в конце § 12). Тогда ясно,
что пара (Аи А2) не изоморфна (Ви Вг). Однако
Ai^Bi и 42 = 52 (по теореме Майхилла об изоморфно-
сти любых двух креативных множеств).
Майхилл [1] доказал, что если два множества
эквивалентны, то они изоморфны. Целью раздела # Д
является обобщение этого результата на упорядоченные
пары, т. е. доказательство того, что если (Аи Аг) =
>£з (Ви #2), то {Аи A2) = (Ви Вг). Из этого и из
теоремы 17 мы непосредственно получаем результат,
говорящий, что с точностью до сдвоенного изоморфизма
имеется только одна непересекающаяся ЭН пара РП
множеств.
Конечные соответствия. Пусть М — конечная
последовательность пар чисел {(xi, у,)}, взаимно
однозначная в том смысле, что ж,- = ж,- <=> yt = yt для всех i, j.
Майхилл [1] называет М конечным соответствием
между двумя множествами А и В, если для всякого
i имеем ж^Л -*=*- у<eВ. Майхилл затем доказывает
(теорема 17), что если А одно-односводимо к В, то
существует эффективный метод, при помощи которого,
задав любое конечное соответствие {(хи. у4),..., (xk, yk))
между А и В и любое число т, можно эффективно
найти такое число п, что ((хи у4),..., (xs, yh), (т, n))
также является конечным соответствием между А и В.
Если мы внимательно рассмотрим доказательство
Майхнлла, то заметим, что процесс нахождения
желаемого числа п не зависит от множеств А и В; точнее,
он зависит лишь от функции /, являющейся одно-одно-
сведением А к В (а также, конечно, от М и т). В
результате мы получаем следующее более
содержательное утверждение.
Утверждение 9. Пусть f — взаимно однозначная
рекурсивная функция. Тогда существует эффективный
метод, при помощи которого, задав любую конечную
взаимно однозначную последовательность М вида
§ 21]
СДВОЕННЫЙ ИЗОМОРФИЗМ
177
{(х±, yt), ..., {хъ,Ук>}илюбое число т, можно
эффективно найти число п такое, что выполняется следующее
условие: для любых двух множеств А и В таких, что
f является одно-односведением А к В и {(#,•, у,)}
является соответствием между А и В, последовательность
{(#ь уО, ..., (#ь, Ук), (щ п)) также является
соответствием между А и В.
Доказательство. Если найдется i < k такое,
что ш — Хц то возьмем п = у и Этот случай тривиален.
Предположим теперь, что m не встречается среди хи
Пусть t — количество различных чисел среди xt; тогда
среди Xi, ..., xh, тп имеется t+ 1 различных чиеел.
Кроме того, так как последовательность М взаимно
однозначна, имеется ровно t различных чисел среди yt.
Рассмотрим теперь множество f(m), f{x{), ..., f(xh).
В этом множестве имеется ровно t+ 1 различных чисел
(так как / взаимно однозначна). Следовательно, по
крайней мере одно иа них лежит вне множества {г/,}. Если
f(m) лежит вне этого множества, то возьмем n = f(m).
Этот случай опять тривиален. Если /(тга) лежит среди
yt, то имеется такая последовательность чисел £,, ц,...
...,ir B<г^Ю, что
/ (т) = yiu
/ (*ir) = п
(п находится вне (г/J).
Процесс нахождения п, очевидно, эффективен.
Пусть теперь А и В — любые такие множества, что
/ является сведением А к В и М является
соответствием между А и В. Пусть М' — последовательность
{{xi, г/4),..., (xk, у*), (ш, и)}. Ясно, что М' взаимно
однозначна. Мы должны показать, что М' также
является соответствием между А и В. С этой целью мы
должны показать, что mei <=> пеВ.
178 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Если т е {#,.} или f(m) Ф {уд, то рассуждения
тривиальны. В остающемся случае имеем:
mei^^eB^ (так как / является сведением А к В)
-«-я^е А {так как М является соответствием
между А и В).
<=>п^В,
что и требовалось доказать.
Мы определим я(/, М, т) как то число п, которое
получено из / и М в предыдущем доказательстве.
Кроме того, для любой конечной последовательности М
вида (Ui, 1/1),..., (х„, yJ) мы обозначим посредством М-1
последовательность {(у,, ж,),..., (i/n, хп)}. Ясно, что
если М — соответствие между А и В, то Л/-1 —
соответствие между В и А.
§ 22. Эквивалентность и сдвоенный изоморфизм
Май хил л [1] также показал (теорема 18), как,
задав любые два множества А и В и любые такие
рекурсивные функции / и g, что / является одно-одно-
сведением А к В и g является одно-односведением В
к А, можно построить рекурсивную перестановку h,
являющуюся изоморфизмом между А и В. Эта
конструкция Майхилла перестановки h не зависит от
множеств А и В, но зависит только от функций fug.
Таким образом, имеем
Утверждение 10. Пусть f u g — взаимно
однозначные рекурсивные функции. Тогда существует такая
рекурсивная перестановка h, что, каковы бы ни были
два множества А и В, для которых f является
сведением А к В и g является сведением В к А,
перестановка h является изоморфизмом между А и В.
§ 22] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И СДВОЕННЫЙ ИЗОМОРФИЗМ 179
Доказательство. Будем говорить, что
конечная взаимно однозначная последовательность пар
чисел М тесно связана с (/, g), если выполняется
следующее условие: для любых двух множеств А и В
таких, что / является сведением А к В и g является
сведением В к А, М является соответствием между
А и В.
Мы строим бесконечную последовательность
{A, уд,Тхи 1>, B, уг), 1хг, 2), ..., («, уп), (хп, и), ...}
следующим образом.
Полагаем гл = /A). Очевидно, что {A, ух)} тесно
связана с (/, g). Предположим, что построена
последовательность М вида 1A, j/t), (х1, 1), ..., (n, ^n)},
которая тесно связана с (/, g). Положим хп — nig, M~f, n).
Тогда очевидно (по утверждению 9), что соответствие
{A, yt), ..., (га, уп), (хп, п)) тесно связано с (/, g).
Предположим, что построена последовательность М
вида ((I, j/i), ..., ixn, h)), которая тесно связана с
(/, gO. Положим уп+1 = л(/, М, п+1). Тогда
соответствие {A, yj, ..., (х„, п), (п+ I, yn+i)} тесно
связано с (/, g).
Определим функцию h условием: h{x) — такое число
у, что пара (ж, у) встречается в указанной выше
последовательности. Легко проверяется, что h
рекурсивна и является перестановкой. Для любых двух
множеств А, В таких, что / является сведением А к В
и g является сведением В к A, h представляет собой
изоморфизм между А ж В.
Теорема 24. Если (Аи А2) = (Ви Bz), то {Аи Аг) =
as (Bu Вг).
Доказательство непосредственно получается с
помощью утверждения 10.
Теорема 25. С точностью до сдвоенного
изоморфизма имеется только одна сдвоенно универсальная
пара непересекающихся РП множеств. Другими
словами, если (fi, fa) "■ (Yi> 7а) — такие пары, то пара
(%и Чг> сдвоенно изоморфна паре \ylf ?2)-
Доказательство. Условие теоремы влечет, что
каждая из пар (Yi УгЬ W\, 7г) одно-односводима к
другой. Поэтому заключение теоремы следует из
теоремы 24.
180 КРЕАТИВНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ [ГЛ. V
Теорема 261), С точностью до сдвоенного
изоморфизма имеется только одна эффективно
неотделимая пара непересекающихся РП множеств.
Доказательство. См. теоремы 25 и 19.
§ 23. Сдвоенный изоморфизм систем Россера
Две системы Q и Q' будем называть изоморфными,
если Т0 изоморфно Т0. Будем говорить, что система Z
сдвоенно изоморфна системе Z', если пара (Т0, Rc)
изоморфна паре (Т0, R0). Мы будем называть Q гё-
делевой системой, если в ней представимо всякое РП
множество. Любая формальная гёделева система
креативна, следовательно, любые две такие системы
изоморфны — это результат Майхилла. Теперь мы
получим «сдвоенный» аналог этого результата. Им
является.
Теорема 27. Любые две непротиворечивые
формальные системы Россера сдвоенно изоморфны.
Доказательство. Если системы Z и Z'
являются непротиворечивыми формальными системами
Россера, то (Г0, #о) и (T0jRo) представляют собой ЭН
пары непересекающихся РП множеств (по теореме 4).
Заключение теоремы теперь следует иа теоремы 26.
') Эта теорема была впервые доказана Мучником [2] и,
независимо, автором настоящей книги (Смальян [7], [8]).
ДОПОЛНЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
В этом дополнении мы сначала даем очень
короткое вводное описание структуры тех систем (назовем
их, следуя терминологии Тарского, теориями),
логический базис которых включает по крайней мере
исчисление предикатов первого порядка. Затем мы
рассматриваем приложения глав III, IV, V к этим системам.
Некоторые из этих приложений хорошо известны,
другие являются новыми.
Мы расположили этот материал так, что различные
параграфы могут быть прочитаны непосредственно
после тех глав, знание которых предполагается. Мы
указываем перед параграфами, что именно
требуется знать для каждого из них. Читатель, знакомый с
определением понятия «теория», может пропустить
§ 1.
В §§ 1—4 предполагается знакомство с разделом
# А главы III.
§ 1. Теории
Под теорией (Т) будем понимать совокупность,
элементами которой являются следующие объекты
(удовлетворяющие условиям, сформулированным ниже при
описании объектов):
A) Конечный алфавит К вместе с допустимой')
гёделевой нумерацией gr отображающей множество К
на N.
') Допустимость g требуется, начиная с § 6; без этого
требования наши результаты о неразрешимости хотя и останутся
корректными, не будут более означать то, что они обычно
означают, т. е. термин «неразрешимость» будет иметь
нестандартное значение.
182 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
B) Рекурсивное') подмножество множества К,
элементы которого называются (правильно
построенными) формулами. Формулы будут обозначаться
посредством F и G с индексами или без них.
C) Взаимно однозначная функция ~] , которая
каждой формуле F ставит в соответствие формулу ~~\F,
называемую отрицанием формулы F. Множество всех
упорядоченных пар {F,~\F) должно быть рекурсивным.
D) Взаимно однозначная функция Л , которая
каждой упорядоченной паре формул (F, G) ставит в
соответствие формулу (F Д G), называемую конъюнкцией
формул F и G. Множество всех троек (F, G, (F Л G})
должно быть рекурсивным. Мы пишем (F V G) вместо
~\C]Fh~\G), (F=>G) вместо П(^Л~1G) и (F^G)
вместо i(F=>G) /\(G^F)).
E) Счетная последовательность (хи х2, ..., хи ...)
слов (в К), называемых (свободными предметными)
переменными. Никакая переменная не должна быть
формулой. Никакие две различные переменные,
которые появляются в одном и том же слове, не могут
налегать друг на друга. Функция }(п) ~ g(xn) и
множество всех переменных должны быть рекурсивными.
Для любой переменной х и любых формул F и G
должны выполняться следующие условия:
(I) х является частью ~]F, если и только если х
является частью F.
(II) ж является частью (F Л G), если и только если
х является частью F, или х является частью G.
(III) (~]F)$ = 1 (fy)- (Каковы бы ни были
слово X, переменная х и слово Y, запись Ху обозначает
здесь и ниже результат замены всех вхождений
переменной х в X на Y.)
(lV)(F/\G)Y={FYhGy).
') Так же, как в разделе # Б главы III, мы называем
отношение в множестве К_ рекурсивным, если отношение,
составленное из гёделевых номеров элементов рассматриваемого
отношения, рекурсивно. При предположении о допустимости g
термин «рекурсивный» в применении к отношениям в К может
иначе читаться: «разрешимый над К». Мы должны заметить,
что ни одно из требований рекурсивности, которые появляются
в нашем определении понятия «теория», не будут
использоваться прежде, чем мы подойдем к § 6.
§ 11
ТЕОРИИ
183
F) Взаимнооднозначная функция Э, которая
каждой формуле F и каждой переменной х ставит в
соответствие формулу 3»F, называемую экзистенциальной
квантификацией формулы F относительно х.
Множество всех троек (F, х, 3xF) должно быть
рекурсивным. Переменная х не является частью формулы
Эх/**1), поэтому2):
(I) CxF)$ = 3xF.
Какова бы ни была переменная уФх, у является
частью формулы 3xF, если и только если у является
частью формулы F, поэтому:
(II) Если уФх,то &xF)\ = Эж^.
Посредством VxF обозначаем ~] Эх~\ F. Формула
VxF называется универсальной квантификацией
формулы F относительно х. Под замкнутой формулой, или
предложением, будем понимать любую формулу
такую, что не существует (свободных) переменных,
являющихся частями этой формулы.
G) Взаимно однозначная функция, которая
каждому (положительному целому) числу п ставит в
соответствие слово п, называемое числительным,
ассоциированным с п. Функция /(и) = g(n) должна быть
рекурсивной. Никакое числительное не является
переменной или формулой. Если переменная х является
частью формулы F, то F- является формулой.
(8) Множество А предложений^ называемых
аксиомами теории (Т).
') Мы здесь имеем в виду такие формулировки логики
первого порядка, в которых связанные переменные отличаются от
свободных переменных.
2) Автор никак не конкретизирует структуру формул, в
частности не фиксирует правила порождения слов, называемых
этим термином (как это обычно делается при описании
конкретных логико-математических языков). Выражение э xF
рассматривается им только как обозначение того объекта (слова
в алфавите К), который поставлен в соответствие формуле F
и переменной х, а не как сам этот объект. В конкретных
теориях, о которых автор здесь упоминает, выражение 3 xF, где
F — формула я х — переменная, может обозначать, например,
слово вида Э aF£ , где а — некоторая связанная переменная.—
Прим. ред.
1 84 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Пусть W — любое множество предложений теории
(Т). Мы будем называть W совершенным множеством,
если оно обладает следующими тремя свойствами:
A) Каково бы ни было предложение X,
предложение ~| X принадлежит множеству W, если и только
если -Л, не принадлежит W (непротиворечивость и
полнота).
B) Предложение (X Д Y) принадлежит W, если и
только если X и У принадлежат W.
C) Предложение 3xF принадлежит W, если и
только если существует по крайней мере одно такое
число п, что F^ принадлежит W.
Предложение X называется логическим следствием
множества предложений W, если X принадлежит
всякому совершенному надмножеству множества W. Мы
говорим, что X является логически истинным
предложением *), если X — элемент всякого совершенного
множества (иначе говоря, если X — логическое
следствие пустого множества предложений). Мы определим
теперь множество Т доказуемых предложений или
теорем теории (Г) как множество всех предложений,
являющихся логическими следствиями множества
аксиом А.
Замечание. Определение логической
истинности, конечно, является неконструктивным из-за
нефинитной природы условия C) определения
совершенного множества. Тем не менее оказывается, что
множество L логически истинных предложений рекурсивно
перечислимо (по теореме Гёделя о полноте или по
теореме ЭрбранаJ). Много формальных
аксиоматических систем для множества L можно найти в
различных введениях в математическую логику (например,
Чёрч [Ш3). Мы не хотим здесь давать какое-нибудь
') Под термином «логически истинное предложение» мы
здесь понимаем предложение, логически истинное в счетной
области положительных целых чисел.
2) Ввиду неконструктивного характера используемого
автором понятия логически истинного предложения, разумеется,
невозможно конструктивное обоснование последнего
утверждения.— Прим. ред.
3) По-видимому, автор имеет в виду различные
аксиоматизации исчисления предикатов первой ступени.— Прим. перев.
§ 1]
ТЕОРИИ
185
подробное изложение. Наши рассуждения скорее
будут носить неформальный характер.
Представляющие системы, связанные с теориями.
Под X(YU ..., Yn) мы понимаем результат
одновременной подстановки Ft вместо хи ,,., Yn вместо хп в
X. Формула F теории G1) будет называться п-местным
предикатом, если (свободные) переменные хи ..., хп
входят в F (т. е. каждая из них является частью F)
и никакие другие переменные не входят в F. Если F —
«-местный предикат, то очевидно, что для любых чисел
аи .,., ап формула F{au . . ., а„) (которую мы также
будем записывать в виде F(au . .., а„)) должна быть
предложением.
С каждой теорией (Т) мы связываем теперь
очевидным способом представляющую систему Z(T) для
отношений, имеющую вид (Z?, S, T, R, £р, Ф), где
Ё = К, S — множество предложений теории (Г), Т —
множество теорем или доказуемых предложений
теории (Т), R — множество таких предложений,
отрицание которых является теоремой теорци (Т), 3* —
множество предикатов теории G1) вместе с функцией,
ставящей в соответствие каждому предикату число его
аргументов, и Ф — функция такая, что Ф(Х, аи ...
..., ап)=Х(аи ..-, ап). Под представимостью (вполне
представимостью, определимостью, отделимостью) в
(Т) и в представляющей системе 7ЛТ) будем понимать
одно и то же. Таким же образом поступаем с
понятиями полноты, непротиворечивости и нормальности.
Мы называем (Т) теорией Россера, если Z{T) является
системой Россера. Мы называем ядра Т0 и 7?0
представляющей системы Z{T) также ядрами теории (Т). Все
теоремы, которые мы доказали для представляющих
систем в общем виде, очевидно, выполняются для
частных представляющих систем, получаемых из теорий.
Заметим, что каждая теория (Т) симметрична в
смысле § 7 раздела # А, т. е. система Z(T) симметрична.
(Это происходит вследствие того, что, каково бы ни
было предложение X, оно и предложение-]~]Х
логически эквивалентны (т. е. каждое является логическим
следствием другого). Таким образом, 1еГ, если и
только если jZ^i? (и, конечно, X ^ R, если и только
если ~\Х^Т, согласно определению множеств Т и R).)
186 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
§ 2. Определимость функций; нормальность теории
Будем говорить, что функция fix) определима в
iT), если существует предикат Fix^ хъ) такой, что
выполняются следующие условия:
(I) предикат Fix\, хг) определяет в iT) отношение
/(z,) = хг;
(II) для любых таких чисел тп, п, что п = fim),
и для каждого унарного предиката Gixt) предложение
3x2[F(fn, Хг) Д Gix2)] => Gin) доказуемо в iT).
Такая формула Fixu x2) будет называться
определением, функции fix) в (ГI). Легко проверить, что для
функции /, определимой в (Г), представим в (Г)
/-прообраз любого множества, представимого в iT). Точнее,
если GiXi) представляет множество А в iT) и если
Fixu хг) определяет функцию fix) в iT), то множество
/~НЛ) представимо в iT) предикатом 3x2lFix„ х%) /\
Л Gixz)]- Из этого следует, что если диагональная
функция Dix) определима в iT), то теория iT) должна
быть нормальной (т, е. если W0 определимо в iT),
то в ней определимо и W*). Легко проверить, что если
Gixi) вполне представляет А ъ iT) ж если Fixu хг)
определяет fix) в iT), то формула 3x2[Fixu xj /\
Л Gixt)] вполне представляет множество f~4A).
Следовательно, если if) непротиворечива и / определима
в iT), то /-прообраз всякого представимого множества
в свою очередь определим в iT). В частности, если
диагональная функция Dix) определима в iT), то,
каково бы ни было множество выражений W, если W0
определимо в iT), то таким же является и W* (при
предположении о непротиворечивости iT)). Поэтому
из теоремы 3 главы Ш следует, что если Dix)
определима в iT), то Д0 неопределимо в (Г) (этот
результат принадлежит Тарскому). В действительности,
используя вторую часть утверждения (II) теоремы 7
главы III (которое было установлено с использованием
рассуждений, похожих на россеровские, включая вто-
') Понятие определимости функции вводится Т а р с к и м
[1], с. 45, для теорий, содержащих предикат равенства.
Приведенное определение, введенное Хилари Патнемом и автором,
обобщает это понятие и на теории, не содержащие равенства.
(Для теорий с равенством эти два определения эквивалентны.)
§ 3]
«-НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ
187
рую диагонализационную лемму), мы получаем более
сильный результат: если Dix) определима в (Т), то
всякое надмножество множества Те (или Я0), не
пересекающееся с Л0 (соответственно с Т0), неопределимо
в [Г).
§ 3. о-непротиворечивость. Перечислимость в (Г).
Теорема Гёделя
Если G1) содержит предикат F(zt) такой, что
предложение 3xtFixt) доказуемо, и, каково бы ни было
число то, предложение ~]F(m) доказуемо, то (Т)
называется ^-противоречивой. В противном случае (Т)
называется ^-непротиворечивой, ©-противоречивая теория
не обязательно (просто) противоречива (примеры
непротиворечивых теорий, которые являются со-противо-
речивыми, хорошо известны). Однако, если теория
(просто) противоречива, то, конечно, она
©-противоречива, так как в противоречивой теории каждое
предложение доказуемо.
Пусть Mix, у) — бинарное отношение и А —
числовое множество. Будем говорить, что М перечисляет
А, если А является экзистенциальной квантификацией
отношения М. Будем говорить, что А перечислимо в
теории (Т), если существует формула (предикат)
F{xu x2), которая определяет отношение Mix, у),
перечисляющее А. О такой формуле Fixu x2) будем
говорить, что она перечисляет А в (Г).
Лемма А. Если А перечислимо в {Т) и теория
(Т) (^-непротиворечива, то А представило в (Г).
Доказательство. Пусть Fixt, хг) определяет
отношение Mix, у), перечисляющее А. Пусть Hixi) —
формула 3xzFixu х2). Мы хотим показать, что если
теория (Т) ©-непротиворечива, то H(xt) представляет
А в (Я.
(а) Предположим, что (Т) (просто)
непротиворечива. Тогда Fixu хг) вполне представляет М{хг у).
Предположим, что веЛ. Тогда, для некоторого числа то
имеем Min, то), Следовательно, Fin, то) доказуемо в
(Г). Но формула #(п), т. е. ЪхгР{п,_хг), является
логическим следствием формулы Fin, то) и,
следовательно, доказуема. Таким образом, если (Т) (просто) не-
188 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
противоречива, то Н{х^ представляет некоторое
надмножество множества А,
(б) Предположим, что (Т) еще и
©-непротиворечива. Мы должны показать, что если доказуемо
предложение Н(п), то п действительно находится в А.
В самом деле, пусть доказуемо 3 x2F{n, x2). Тогда
вследствие «-непротиворечивости существует по
крайней мере одно такое число тп, что предложение ~\F{n,
in) не является доказуемым. Но так как Fin, m) —
разрешимое предложение, оно должно быть
доказуемым. Поэтому имеет место М(п, т) (так как F(xit ж2)
определяет М(хи хг)). Следовательно, п^А. Это
завершает доказательство.
Из утверждения (III) теоремы 7 (главы III) и
леммы А сразу получается теорема Гёделя о неполноте
в следующей форме.
Теорема А. Если либо R*, либо Т*
перечислимо в (Т) и если теория (Т) (^-непротиворечива, то
она неполна.
Предыдущая теорема, возможно, более знакома в
следующей форме. Предположим, что задана
некоторая совокупность Pf последовательностей предложений
теории (J1); каждая последовательность называется
доказательством своего последнего члена. Пусть Pf
такова, что предложение является теоремой теории (Г),
если и только если оно является последним членом
некоторого доказательства. Пусть, в дополнение к гё-
делевой нумерации выражений теории (Т), имеется
взаимно однозначное отображение, которое каждому
доказательству ставит в соответствие число,
называемое гёделевым номером доказательства. Пусть
А(х, у)—множество всех таких упорядоченных пар
(х, у), что у является гёделевым номером
доказательства предложения Ех(хI). Пусть В(х, у) — множество
всех таких упорядоченных пар (х, у), что у является
гёделевым номером отрицания предложения Ех(х).
Теорема А4. Если либо множество А(х, у), либо
множество В(х, у) определимо в (Т) и если теория
(Г) (^-непротиворечива, то она неполна.
Доказательство. Отношение А(х^ у)
перечисляет множество Т*. Отношение В(х, у) перечисляет
') См. § 8 главы III.— Прим?, перев.
§ 4]
КОНСТРУКЦИЯ POCCEPA
189
множество R*. Таким образом, утверждение о том, что
А(х, у) определимо в (Г), является лишь специальным
способом выражения того, что множество Т*
перечислимо в if). Подобным же образом, если В{х, у)
определимо в (Г), то R* перечислимо в (Г). Поэтому
заключение теоремы At следует из теоремы А.
Обсуждение. Теперь можно увидеть, где именно
со-вепротиворечивость входит в рассуждения Гёделя.
Для класса теорий, рассмотренных Гёделем,
перечислимость множеств Г* и Л* в теории была показана
без предположения относительно со-непротиворечивости
(так как ^определимость отношений А{х, у) и В(х, у)
была показана без этого предположения). Но
©-непротиворечивость была необходима для перехода от
перечислимости этих множеств в теории к
представимости в теории.
§ 4. Конструкция Росеера
Рассмотрим теперь теорию (Т), содержащую
бинарный предикат (записываемый ниже в виде «xi ^
^ х2») такой, что, каковы бы ни были формулы Fix),
Fi(x), Fiix) и число п, выполняются следующие
условия:
С).- Fil), F{2), ..., Fi.fi) все доказуемы, если и
только если выводима формула Vila < n=> Fix)\;
С2: если доказуемы предложения Vxlx < n =>Ft(x)]
и Уг[п<г=> Fzix)], то доказуемо и предложение
V*L№) V№)h
Замечание. Легко видеть, что для теории (Г),
содержащей предикат равенства ж4 = хг,
удовлетворяющий обычным аксиомам (следствием которых
является доказуемость всех предложений вида Fin) <=»-
-«=*■ Vxlx — n =>F{x)]), условия d и С2 выполняются,
если выполняются соответственно условия:
Сх: для всякого п доказуемо предложение
Vaj[aj=TVaj = 2"V...Vas = n) -«■*- ж<п];
С21 для всякого п доказуемо предложение
190 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Лемма Б (Россер). Пусть (Т) — теория,
удовлетворяющая условиям Gi и С2. Тогда, каковы бы ни
были перечислимые в (Т) множества А и В, множество
(А\В) сильно отделимо от множества (В\А) в теории
(Т). В частности, если А и В — непересекающиеся
множества, перечислимые в (Т), то пара (А, В) сильно
отделима в (Т).
Доказательство. Пусть F,(xt, хг) определяет
в теории (Т) отношение Riix, у), перечисляющее А,
а Рг(хи хг) определяет Bz(x, у), перечисляющее В.
Пусть G(xt)—предикат 3 хг[Р1(хи хг) Д V у[у^хг^>
Z3~]F2(xu у)]]. Покажем, что G(xx) сильно отделяет
<А\В) от (В\А) в (Т).
(а) Предположим, что пе (А\В). Поскольку п^А,
для некоторого m имеем Rt(n, m) и, следовательно,
доказуемо Ft(n, in). Поскольку пФ-В, имеем Д,(/г, i)
для всякого числа i, следовательно, доказуемо
~]F2(n, Т). Таким образом, все формулы~\F2(n, 1), ...
..., ~]F2(n, m) доказуемы, поэтому из условия Ci
следует, что доказуемо предложение V у [у ^тп =>
zn~\Fi.(n, у)]. Итак, оба предложения Ft(n, in) и
V у[у < m =3 F2(n, у)] доказуемы. Следовательно,
доказуемо предложение ЭжД/'Дй, хг) Д V yly ^ х2=>
ZD~^F2(n, у)]], т. е. доказуемо Gin).
(б) Предположим, что ве(Ш). Поскольку п^В,
для некоторого m доказуемо предложение Fz(n, fn).
Поэтому доказуемо следующее предложение:
(I)Vx2Lm ^ х2=>3 у[у ^ хг Д F2{n, у)]].
Поскольку п<£А, тем же способом, что и в
доказательстве части (а), получаем, что доказуемо
следующее предложение:
(II) Vx,U, «£ in =>~|F,(n, xt)].
На основании (I), (II) и свойства С2 доказуемо
предложение Ухг1~\Р{(п> хг) V Зу[у^хг Д F2(n, у)]].
Но последнее предложение логически эквивалентно
предложению-\G(n). Следовательно, ~~| Gin) доказуемо.
Из утверждения (III) теоремы 7 главы III и
леммы Б сразу получается теорема Россера о неполноте
в следующей форме.
Теорема Б. Если множества Т* и R* перечисли-
мы в теории {Т) и если (Т) удовлетворяет условиям Ct
и С2, то (Т) либо просто противоречива, либо неполна.
g з] ТЕОРИИ ГЕДЕЛЯ И ТЕОРИИ РОССЕРА 191
Мы опять можем обратиться к отношениям А(х, у)
и В(х, у) из теоремы Ai и сформулировать теорему Б
в более знакомом виде.
Теорема Б4. Если (Т) — (просто)
непротиворечивая теория, в которой определимы отношения А(х, у)
и В(х, у), и если (Т) удовлетворяет условиям Ct и С2,
то (Т) неполна.
Замечание. Так же, как «-непротиворечивость
дает нам возможность перейти от перечислимости
множества в данной теории к представимости множества
в этой же теории, условия Ct и С2, выполняющиеся
совместно, дают нам возможность перейти от
перечислимости в теории (Т) непересекающихся множеств
а и р к сильной отделимости пары (а, р) в теории (Т).
В § 5 предполагается знакомство с оставшейся
частью главы III.
§ 5. Теории Гёделя и теории Россера
Мы называем (Т) теорией Гёделя, если все РП
множества представимы в (Т). Мы знаем, что всякая
гёделева теория неразрешима и что всякая формальная
гёделева теория неполна.
Напоминаем, что любое отношение, определимое в
(Т), определимо и во всяком расширении теории (ТУ)
(для представимых отношений, в отличие от
определимых, это, вообще говоря, неверно). Поэтому всякое
перечислимое в теории (Т) множество перечислимо во
всяком расширении теории (Т). Следовательно, по
лемме А, если множество а перечислимо в (Т), то а пред-
ставимо во всяком «-непротиворечивом расширении
теории (Т). Таким образом, имеет место
Теорема В. Если все РП множества
перечислимы в теории (Т), то каждое ^-непротиворечивое
расширение этой теории является теорией Гёделя.
Теории Россера. По лемме Б сразу получается
!) Теория (Т') называется расширением теории (Т), если
предложения в (т) такие же, как в (Г), а множество теорем
теории (Г') включает множество теорем теории (Т).
(Множество опровержимых предложений теории (Тг) будет тогда
включать множество опровержимых предложений теории (Т).)
192 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Теорема Г. Каждая теория (Г), в которой
перечислимы все РП множества и которая удовлетворяет
условиям Ci и С2, является теорией Россера.
Замечание. Лемма Б в действительности
приводит к следующему (явно более сильному)
заключению. Если (Г) — любая теория, удовлетворяющая
посылкам теоремы Г, то (Г) обладает свойством: каковы
бы ни были два РП множества аир, пара ((а\{3),
(р\а)) сильно отделима в (Г). Однако каждая теория
Россера обладает этим свойством. Действительно,
предположим, что (Г) — теория Россера и что аир —
любые РП множества. Согласно § 13 главы IV
существуют непересекающиеся РП надмножества множеств
(<z\|J) и (|J\a). Эти надмножества могут быть сильно
отделены в теории Рассера (Т). Следовательно, и
меньшие множества (a\|J) и ([J\a) сильно отделимы в (Г).
5.1. Теории Россера для отношений. То, что мы до
сих пор называли теориями Россера, будем, начиная
с этого момента, называть теориями Россера для
множеств. Будем называть (Т) теорией Россера для п-ме-
стных отношений, если каждая непересекающаяся
пара (/?i, R2) и-местных РП отношений сильно отделима
в (Т) (в том смысле, что существует предикат')
F(xu ..., хп) системы (Т), доказуемый при всех и-ках,
удовлетворяющих Ru и опровержимый при всех га-ках,
удовлетворяющих Rz). Будем также говорить, что
отношение R(xu ..., хп) перечислимо в теории (Г), если
R представимо в виде ЭуБ(хи ..., ж„, у), где S —
отношение, определимое в (Т). Легко проверяется, что
леммы А и Б имеют место для отношений А и В
(с одним и тем же числом аргументов), а не только
для множеств. Следовательно, теорема Г может быть
сформулирована в более общем виде.
Теорема Г'. Всякая теория {Т), в которой
перечислимы все п-местные РП отношения и которая
удовлетворяет условиям Ci и С2, является теорией Россера
для п-местных отношений.
Заметим, что если (Г) — теория Россера для
«-местных отношений, то, конечно, в (Т) определимы все
') Здесь предикатом автор называет формулу теории (Т);
см. § 1 этого дополнения.— Прим. пере в.
§ 5] ТЕОРИИ ПЗДЕЛЯ И ТЕОРИИ РОССЕРА 193
п-местные рекурсивные отношения. Следовательно,
если (Г)—теория Россера для (ге-Ь 1)-местных
отношений, то в (Т) определимы все и-местные рекурсивные
функции1). Поэтому, если мы хотим показать, что все
рекурсивные функции определимы в заданной теории
(Г), мы получим даже более сильный результат, если
сможем показать, что, каково бы ни было п, (Т)
является теорией Россера для п-местных отношений.
Мы должны также заметить, что если (Т) — теория
Россера для re-местных отношений, то для любых двух
re-местных РП отношений R^. и R2 пара ((Ri\R2),
(i?2\i?i)) сильно отделима в (Т), так как можно
доказать (аналогично тому, как доказано в § 13 главы IV),
что существует такая непересекающаяся пара РП
отношений S^ S2, что (Ri\Rz) ^Si и (RzXRJ^Si.
5.2. Подбазис для РП отношений. Легко проверить,
что для любой непротиворечивой теории (Т)
совокупность всех определимых в (Т7) отношений замкнута
относительно операций объединения, пересечения,
дополнения и всех явных преобразований. Более того, если
(Т) удовлетворяет также условию d, то совокупность
определимых в (Г) отношений замкнута а
относительно ограниченной квантификации. Таким образом,
определимые отношения такой теории (Т) замкнуты
относительно конструктивной определимости. Это
означает, что если 9? — подбазис совокупности рекурсивно
перечислимых отношений и если (Т) —
непротиворечивая теория, удовлетворяющая условию Gt и такая,
что в ней определим всякий элемент подбазиса 9*, то
всякое РП отношение перечислимо в (Г). Таким
образом, имеет место
Теорема Д. Пусть (Т) — непротиворечивая
теория, в которой определимы все элементы некоторого
подбазиса 9'. Тогда:
(а) если (Т) удовлетворяет условию Си то всякое
^-непротиворечивое расширение теории (Г) является
теорией Гёделя (т. е. при любом п все п-местные РП
отношения представимы во всяком (^-непротиворечивом
расширении теории (Т));
') Определимы в том смысле, что отношение f(xu...,хп) =
= у определимо в (Г). Однако это не обязательно означает,
что f(xi, ..., хп) определима в (Т) в смысле § 2.
194 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
(б) если (Т) удовлетворяет условиям С» и С2, то
всякое (просто) непротиворечивое расширение теории
(Т) является теорией Россера (как для множеств, так
и для п-местных отношений).
В §§ 6—8 предполагается знакомство с разделом
41= Б главы IV.
§ 6. Теории, в которых определимы сложение
и умножение
В главе IV показано, что сложение и умножение
образуют подбазис для РП отношений. Таким образом,
имеет место
Теорема Д". Пусть (Т) — теория, в которой
определимы сложение и умножение. Тогда верны
заключения утверждений (а) и (б) теоремы Д.
Замечание. Для любой теории, в которой
определима конкатенация, также верны заключения
утверждений (а) и (б).
Утверждение «сложение и умножение образуют
подбазис для РП отношений», конечно, влечет более
слабое утверждение: «каждое РП отношение является
арифметическим». Последнее имеет следующее
интересное следствие.
Теорема Е. Пусть (Т) — насыщенная теория
такая, что представимые в ней отношения совпадают с
арифметическими отношениями. Тогда
(а) (Т) является нормальной теорией;
(б) множество То не является арифметическим
(теорема Тарского);
(в) (Т) не является формальной теорией;
(г) всякая формальная подтеория теории (Т)
содержит неразрешимое предложение').
Доказательство, (а) Легко проверить, что
если / — арифметическая функция, т. е. функция, для
которой отношение /(ж) = у арифметическое, то
/-прообраз любого арифметического множества является
арифметическим множеством. Диагональная функция
') Утверждение (г) остается верным и для некоторых вло-
жимых в (Г) систем, у которых множество формул
существенно «беднее», чем в (Г) (см., в частности, Косовский [1]).—
Прим. перев.
g 7] НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ 195
Dix) арифметическая, так как она рекурсивна.
Следовательно, если Wo — арифметическое множество, то
арифметическим является и множество W* (которое
равно D^iWo)), т. е. (У) является нормальной теорией.
(б) Поскольку по предположению (Т) —
насыщенная теория, (Г) является системой с дополнениями,
т. е. дополнение каждого множества (и каждого
отношения), представимого в (Т),тож>епредставимов (Г),
Далее, так как (Т) — нормальная система, Та
непредставимо в (Г), (по теореме 1.1 главы III). Это
означает, что Тй не является арифметическим множеством.
(в) Так как Та не является арифметическим
множеством, оно, конечно, не является РП множеством.
Итак, (Т) не является формальной теорией.
(г) Пусть G\) — формальная подтеория теории (Т).
Тогда множество 7\ рекурсивно пе^ечислимо. Но Т
не является РП множеством. Следовательно, Т\ s T,
но 7\ Ф Т. Поэтому существует предложение X е
е(Г\Т,). Ясно, что Х&Т^. Так как 1еГ, имеем
X<£R (из-за непротиворечивости теории (Т)),
следовательно, X&Ri (так как Rt^R). Итак, X<£Tt и
X&RU т. е. предложение X неразрешимо в теории (Т{).
Другое (более конструктивное) доказательство
проводится следующим образом. Пусть (Г,) — формальная
подтеория теории (Г). Тогда R\ является РП
множеством и вследствие этого представимо в (Т). Пусть
Н — представляющий его предикат. Тогда (по
теореме 8 главы III) предложение Hh неразрешимо в (У).
§ 7. Некоторые специальные теории
В книге Тарского, Мостовского и
Робинсона ИЗ рассмотрены четыре теории: R, Q, P, N,
каждая из которых является расширением
предыдущей '). Эти теории играют важную роль в дальнейшем
изложении. Теория N — такая насыщенная теория, что
') Перечисленные теории кратко можно охарактеризовать
следующим образом. Теория R задается пятью схемами аксиом:
1. К + L = М, где К, L и Д/"-— любые числительные, для
которых верно это равенство;
2. К • L ~М, где К, L и М — любые числительные, для
которых верно это равенство;
3. ~\(К —L), где К, L — любые числительные,
отличающиеся как слова;
196 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
представимые в ней отношения являются
арифметическими. Следовательно, все формальные подтеории
теории N неполны. Р — формальная подтеория теории N,
это — так называемая арифметика Пеано. Q —
формальная подтеория теории Р, содержащая только
конечное число аксиом, это — так называемая
арифметическая система Рафаэля Робинсона. Система R —
формальная подтеория теории Q, содержащая бесконечно
много аксиом, задаваемых пятью схемами аксиом.
Первые три схемы непосредственно обеспечивают
определимость сложения и умножения. Оставшиеся две
непосредственно обеспечивают выполнение условий Ct и
Са и, следовательно, выполнение условий Ct и С2.
Следовательно, R (так же, как и ее непротиворечивые
расширения Q и Р) является теорией Россера.
§ 8. Существенная неразрешимость
Тарский называет теорию (Т) существенно
неразрешимой, если неразрешимо всякое непротиворечивое
расширение теории (Г). Рассмотрим теперь
представляющую систему Z(T), связанную с теорией (Т).
Каждому непротиворечивому расширению G") теории (Т),
конечно, соответствует расширение Z{T') системы Z{T).
Однако не каждое непротиворечивое расширение
системы Z(T) имеет вид ZG"), где G") —теория. Теперь
мы знаем, что все непротиворечивые расширения
системы Z(T) неразрешимы, если и только если ядра Т0,
4. если х не превосходит М, то х = 0, или ..., или х = М,
где М — любое числительное;
5. х ^ М или М sg; х, где М — любое числительное.
Теория Q содержит семь аксиом, выражающих следующее:
1) взаимную однозначность функции, вычисляющей
непосредственно следующее натуральное число; 2) отсутствие у нуля
непосредственно предшествующего натурального числа; 3)
существование у натурального числа, отличного от нуля,
непосредственно ему предшествующего; 4), 5) обычные аксиомы для
рекурсивного вычисления суммы; 6), 7) обычные аксиомы для
рекурсивного вычисления произведения.
Теория Р, в отличие от теории Q, вместо третьей аксиомы
содержит обычную схему аксиом индукции.
Теория N содержит в качестве аксиом все «верные»
арифметические утверждения. Аппарат вывода во всех этих
теориях — исчисление предикатов первого порядка.— Прим. перев.
§9]
СУЩЕСТВЕННАЯ КРЕАТИВНОСТЬ
197
R0 теории (Г) рекурсивно неотделимы. Следовательно,
если пара (Г0, R0) рекурсивно неотделима, то (Г)
существенно неразрешима. Остается нерешенной задача:
верно ли обратное, т. е. обладает ли каждая
существенно неразрешимая теория рекурсивно неотделимыми
ядрами?
Тарский доказывает, что непротиворечивая теория,
в которой определимы все рекурсивные функции,
существенно неразрешима. Он также показывает, что
все рекурсивные функции определимы в системе R.
Из этого следует существенная неразрешимость R
(и, конечно, существенная неразрешимость Р и Q).
Для сравнения с этим отметим, что методами этой
книги устанавливается, что R — теория Россера и,
следовательно, ее ядра Г0, Ro рекурсивно неотделимы.
В §§ 9, 10 предполагается знакомство с главой V.
§ 9. Существенная креативность
Феферман [И называет теорию (Т)
существенно креативной^ если креативно всякое
непротиворечивое формальное расширение теории (Т). Заметим, что
если пара (Го, i?0) эффективно неотделима, то теория
(Г), конечно, существенно креативна. (Это —
непосредственное следствие утверждения: если пара (^i, 4z)
эффективно неотделима, то всякое РП надмножество
множества Yb He пересекающееся с ^г, креативно.
Последнее доказано в главе V.) Итак, всякая
непротиворечивая формальная теория Россера существенно
креативна.
Фактически, эффективная неотделимость ядер
формальной теории влечет более сильное утверждение,
чем существенная креативность. Пусть (Т) —
непротиворечивая формальная теория, 2 — совокупность всех
РП надмножеств множества Г„, не пересекающихся с
R0, 2i — совокупность всех множеств вида Т'0, где
(Г')—непротиворечивое формальное расширение
теории (Г). Ясно, что 24 является собственным
подмножеством совокупности 2. Рецензент работы Эренфойх-
та и Фефермана [1] предложил назвать теорию
(Г) эффективно существенно креативной, если все
элементы совокупности Si равномерно креативны (в смыс-
198 ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
ле § 7 главы V). Мы уже показали (в § 11 главы V),
что если пара (Г0, #о) эффективно неотделима, то все
элементы совокупности 2 равномерно креативны, тем
более все элементы меньшей совокупности St
равномерно креативны. Следовательно, эффективная
неотделимость G\„ R0) дает не только существенную
креативность теории (Т), но даже эффективную
существенную креативность в указанном выше смысле.
Феферман [1] показывает, что всякая
непротиворечивая формальная теория, в которой определимы
все рекурсивные функции и которая удовлетворяет ус-
ловиям Сх и С2, существенно креативна.
Определимость всех рекурсивных функций в теории (Г),
очевидно, влечет перечислимость в теории (Т) всех РП
множеств. Следовательно, в силу теоремы Г имеет
место более сильная теорема.
Теорема Ж. Всякая теория (Т),
удовлетворяющая условиям Фефермана, является теорией Россера
и, следовательно (если она непротиворечива), имеет
ЭН ядра.
Обсуждение. (Предназначено, для читателей,
знакомых с определением теории B1), интерпретируемой
или относительно интерпретируемой в теории G");
см. Тарский, Мостовский и Робинсон Ш.)
Предположим, что (Т) интерпретируема или относиг
тельно интерпретируема в теории {Т'). Тарский
показал, что если (Т) существенно нераарешима, то такова
же и (Т'). Феферман [1] впоследствии расширил
метод этого доказательства и установил, что если (Т)
существенно креативна, то такова же и (Г'). Автор
показал (Смальян [8J), что если (Т) имеет РН ядра,
то (Т') тоже имеет РН ядра и также дело обстоит
с ЭН ядрами1). Таким образом, метод Тарского для
получения новых существенно неразрешимых теорий
из имеющихся теорий и метод Фефермана для
получения новых существенно креативных теорий из
имеющихся теорий могут быть расширены для получения
из имеющихся теорий новых теорий с РН (или ЭН)
ядрами.
') Детали этого доказательства будут опубликованы
отдельно.
§ 10]
ТОЧНЫК ТЕОРИИ POCGEPA
199
§ 10. Тонные теории Роееера
В заключение мы рассмотрим результат
(принадлежащий совместно Хилари Патнему и автору), который
обобщает интересный совместный результат Эрен-
фойхта и Фефермана [1].
Будем говорить, что предикат Н точно отделяет А
от В в (Г), если выполнено следующее условие: Н
представляет А и отрицание Н' предиката Н
представляет В, т. е. А =НТ и В = Ял. (Ясно, что это условие
является усилением условия, определяющего сильную
отделимость.) Будем называть (Т) точной теорией
Россера, если всякая непересекающаяся пара РП
множеств точно отделима в (Г) *).
Мы хотим показать, что если (Т) — теория Россе-
ра, в которой определимы все одноместные
рекурсивные функции, и если (У) — формальное расширение
теории (Г), которое (просто) непротиворечиво (не
обязательно (о-непротиворечиво), то не только все РП
множества представимы в (Т') (что является
результатом Эренфойхта и Фефермана), но и эта теория G")
является точной теорией Россера.
Оставляется читателю проверка того, что если пара
(А, В) точно отделима в (Т) и если fix) — функция,
определимая в (Г), то пара (/~'(Л), f~l(B)) точно
отделима в (Г), а именно точно отделима формулой
^xz[Fixu хг) Л G(xz)l, где F(.xu х2) —любая формула,
определяющая функцию /(ж), и GGei) — любая
формула, которая точно отделяет (А, В) в (Г). Из этого
следует, что если все одноместные рекурсивные
функции определимы в (Т) и если хотя бы одна сдвоенно
универсальная пара множеств точно отделима в {Т),
то (Г) является точной теорией Россера.
Предположим теперь, что (Г) — формальная
непротиворечивая теория Россера (или даже формальная
непротиворечивая теория, в которой хотя бы одна ЭН
пара (fi, "Ы РП множеств сильно отделима), и
предположим, что в (Т) определима всякая одноместная
') Пару множеств (Л, В) автор называет точно отделимой
в (Т), если существует предикат Н, точно отделяющий А от В.
Прим. ред.
2UU ДОП. ПРИЛОЖЕНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
рекурсивная функция. Пусть Н — предикат, сильно
отделяющий Yi от ^г в (Т). Тогда множества Нт и HR
являются соответственно надмножествами множеств Yi
и ifz, рекурсивно перечислимы (так как (Г) —
формальная теория) и не пересекаются (так как (Т)
непротиворечива). Следовательно (по теореме 19 главы V),
пара Шт, Нв) сдвоенно универсальна и, конечно, Н
точно отделяет Нт от Ял в (Г). Согласно предыдущему
абзацу (Т) является точной теорией Россера.
Следовательно, всякая непротиворечивая теория Россера, в
которой определимы все одноместные рекурсивные
функции, является точной теорией Россера. Кроме того,
если (Г) — любая теория Россера, в которой
определимы все одноместные рекурсивные функции, то
всякое непротиворечивое расширение {Т') теории (Т)
тоже является теорией Россера, в которой определимы
все одноместные рекурсивные функции. Следовательно,
имеет место.
Теорема Ж' (Патнем и Смальян). Пусть (Г)—
теория Россера, в которой определимы все
одноместные рекурсивные функции. Тогда всякое
непротиворечивое формальное расширение теории (Т) является
точной теорией Россера.
Следствие 1. Пусть (Т) является теорией, в
которой определимы все одноместные рекурсивные
функции и которая удовлетворяет условиям Ci и С2. Тогда
всякое непротиворечивое формальное расширение
теории (Г)( является точной теорией Россера.
Следствие 2. Теории R, Р, Q (и все их (просто)
непротиворечивые расширения) являются точными
теориями Россера.
Шепердсон [1] получил иное, крайне
изобретательное доказательство следствия 2 (оно устраняет
обращение к сдвоенной универсальности ЭН пар РП
множеств). Из рассуждений. Шепердсона следует, что
если (Г) — формальная непротиворечивая теория
Россера для бинарных отношений, то (Т) является точной
теорией Россера для множеств. Приведем
рассуждения Шепе,рдсона в кратком изложении.
Упорядочим все бинарные предикаты теории (Т)
в некоторую эффективную последовательность Gu Gz,..,
..., Gnt ... Пусть аир— непересекающиеся множест-
§ 10]
ТОЧНЫЕ ТЕОРИИ РОССЕРА
201
ва чисел (в данный момент не обязательно рекурсивно
перечислимые). Пусть Rt — множество всех таких
упорядоченных пар {т, п), что либо и«=а, nn6o~~\Gn{m, n)
доказуемо. Пусть Rz — множество всех таких
упорядоченных пар (т, п), что либо те^ либо Gn(m, n)
доказуемо. Шепердсон показывает, что если (Ri\Rt)
сильно отделимо от (i?8\#i) в (Т) (здесь (Т)
предполагается непротиворечивой теорией), то множество а
точно отделимо от множества Р в (Т); говоря
подробнее, если Gp сильно отделяет (ЛЛД2) от ШЛЯ^) в (Г),
то пара (a, (J) точно отделима в (Т) посредством
формулы Gpiosi, р). Если (Т) — формальная теория и если
а и р — РП множества, то й, и i?a являются РП
отношениями. Поэтому, если (.Т) является, кроме того,
теорией Россера для бинарных отношений, то (R^RJ
сильно отделимо от (Л8\Л|) (см. § 5, последний абзац
раздела 5.1) и поэтому (а, р) точно отделима в (Т),
что и требовалось доказать.
БИБЛИОГРАФИЯ1)
Бельтюков А. П.
1*. Машинное описание и иерархия начальных классов
Гжегорчика.— Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. ма-
тем. ин-та АН СССР, 1979, 88, с. 30—46.
Б е р н а й с (Bernays P.)
1. Review of Myhill (Майхилл [1]).—J. Symbolic Logic,
1958, 22, p. 73—76.
Виноградов А. К., Косовский Н. К.
1*. Иерархия диофантовых представлений примитивно
рекурсивных предикатов.— В кн.: Вычислительная
техника и вопросы кибернетики вып. 12. Л.: Изд. ЛГУ,
1975, с. 99—107.
Гёдель (Godel К.).
1. t)ber formal unentscheidbare Satze der Principia Matema-
tica imd verwandter Systeme I.— Monatsh. Math. Phys.,
1931, 38, S. 173—198.
Гжегорчик (Grzegorczyk A.)
1. Некоторые классы рекурсивных функций.— В т.н.:
Проблемы математической логики. М.: Мир, 1970, с. 9—49.
Девис (Davis M.)
1. Computability and Unsolvability.— N. Y.: McGraw-Hill,
1958.
Кальмар (Kalmar L.)
1. Eine einfache Konstruktion unentscheidbarer Satze in for-
malen Systemen.— Methodos, 1950, 2, S. 220—226.
К л и н и (Kleene S. С.)
1. Введение в метаматематику.— М.: ИЛ, 1957.
2*. Математическая логика.—М.: Мир, 1973.
Косовский Н. К.
1*. Достаточные условия неполноты для формализации
частей арифметики.— Зап. научн. семинаров Ленингр.
отд. матем. ин-та АН СССР, 1967, 4, с. 44—57.
2*. О диофантовых представлениях последовательности
решений уравнения Пелля,— Зап. научн. семинаров
Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1971, 20, с. 49—59.
3*. Об алгордафмических последовательностях из
начального класса иерархии Гжегорчика.— Зап. научн.
семинаров Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1971, 20,
с. 60—66.
') Звездочкой отмечена литература, добавленная при
переводе. См. также обширную библиографию у К лини [2].—
Прим. перев.
БИБЛИОГРАФИЯ
203
4*. Некоторые свойства решений уравнений в свободной
полугруппе.— Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. ма-
тем. ин-та АН СССР, 1972, 32, с. 29-34.
Куайн (Quine W. V.)
1. Concatenation as a Basis for Arithmetic.— J. Symbolic
Logic, 1946, 11, p. 105—114.
2. Mathematical' Logic— Revised ed.— Harvard Univ. Press,
1951.
M а й x и л л (Myhill J.)
1. Creative sets.— Z. math. Logik Grundl. Math., 1955, 1,
p. 97—108.
Маихилл, Шепе:рдсон (Myhill J., Shepherdson J. C.)
1. Effective Operations on Partial Recursive Functions.—
Z. math. Logik Grundl. Math., 1955, 1, p. 310—317.
M а с л о в СЮ.
1*. Некоторые свойства аппарата канонических исчислений
Э. Л. Поста.— Тр. матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стек-
лова, 72. М.: Наука, 1964, с. 5—56.
Матиясевич Ю. В.
1*. Диофантовоеть перечислимых множеств — ДАН СССР,
1970 191 с. 279 282.
2*. Диофантовы множества.—УМН, 1972, 27, № 5, с. 185—
222.
Мучник А. А.
1. Об отделимости рекурсивно перечислимых множеств.—
ДАН СССР, 1956, 109, с. 29-32.
2. Изоморфизм систем: рекурсивно перечислимых множеств
с эффективными свойствами.— Тр. Московск. матем.
о-ва, 1958, 7, с. 407-412.
Непомнящий В. А.
1*. Рудиментарное моделирование недетерминированных
тьюринговых вычислений.— Кибернетика, 1973, № 2,
с. 23—29.
2*. Примеры предикатов, невыразимых 5-рудиментарными
формулами.— Кибернетика, 1978, № 2, с. 44—16.
П а т н е м (Putnam H.)
1. Decidability and Essential Undecidability.—J. Symbolic
Logic, 1958, 22, p. 39—54.
ПахомовС. В.
1*. Доказательство несовпадения классов простых
примитивно рекурсивных функций.— Зап. научн. семинаров
Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1977, 68, с. 115—
122.
Пост (Post E. L.)
1. Formal Reductions of the General Combinatorial Decision
Problem.— Amer. J. Math., 1943, 65, p. 197—215.
2. Recursively Enumerable Sets of Positive Integers and their
Decision Problems.—Bull. Amer. Math. Soc, 1944, 50,
p. 284-316.
Проскурин А. В.
1*. Позитивная рудиментарность графиков функций Ак-
кермана и Гжегорчика.—Зап. научн. семинаров
Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1979, 88, с. 186—191.
204
БИБЛИОГРАФИЯ
Робинсон (Robinson J.)
1. Existential Definability in Arithmetic— Trans. Amer. Math.
Soc, 1952, 72, p. 437—449.
Poccep (Rosser B.)
1. Extensions of some Theorems of Godel and Church.—
J. Symbolic Logic, 1936, 1, p. 87—91.
Смальян (Smullyan R. M.)
1. Languages in which self-reference is possible.— J. Symbolic
Logic, 1958, 22, p. 55—67.
2. Undecidability and Recursive Inseparability.— Z. math. Lo-
gik Grundl. Math., 1958, 4, p. 143—147.
3. Elementary Formal Systems (Abstract).— Bull. Amer. Math.
Soc, 1956, 62, p. 600.
4. Recursive Logics (Abstract).— J. Symbolic Logic, 1957, 21,
p. 221.
5. On Definability by Recursion (Abstract).— Bull. Amer.
Math. Soc, 1956, 62, p. 601.
6. Creativity and Effective Inseparability (Abstract).—J.
Symbolic Logic, 1959, 23, p. 458.
7. Double Isomorphism of Rosser Theories (Abstract).—
A. M. S. Notices, 38, p. 277.
8. Theory of Formal Systems: Doctoral dissertations.—
Princeton, May 1959. Also issued as Group Report 54-5,
M. I. T. Lincoln Laboratory, April 15, 1959.
Тарский, Мостовский, Робинсон (Tarski A., Mos-
towski A., Robinson R. M.)
1. Undecidable Theories.— Amsterdam: North-Holland
Publishing Company, 1953.
Успенский В. А.
1. Теорема Гёделя и теория алгоритмов.— ДАН СССР, 1953,
91, № 4, с. 737—740.
Феферман (Feferman S.)
1. Degrees of Unsolvability Associated with Classes of
Formalized Theories.— J. Symbolic Logic, 1958, 22, p. 161—175.
Ц е й т и н Г. С
1*. Один способ изложения теории алгорифмов и
перечислимых множеств.— Тр. матем. ин-та АН СССР им.
В. А. Стеклова, 72. М.: Наука, 1964, с. 69—98.
Ч ё р ч (Church A.)
1. Введение в математическую логику, т. I.— М.: ИЛ, 1960.
2. An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory.—
Amer. J. Math., 1936, 58, p. 345—363.
3. The Calculi of Lambda-conversion.— Princeton, New Jersey:
Princeton University Press, 1941.
Шепердсон (Shepherdson J.)
1. Representability of recursively enumerable sets in formal
theories.— Arch. math. Logik Grundlagenforsch., 1961, 5,
p. 119—127.
Эренфоихт, Феферман (Ehrenfeucht A., Feferman S.)
1. Representability of recursively enumerable sets in formal
theories.— Arch. math. Logik Grundlagenforsch., 1960, 5,
p. 37—41.
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Аксиома математической системы
25
— теории 183
База системы U 31
Баэис для рекурсивно
перечислимых отношений 54
Биравномерная сводимость
совокупности множеств 155
Биравномерное сведение 156
Вполне креативное множество 139
— представимое множество 76
— продуктивное множество 139
относительно 2 153
— сдвоенно продуктивная
относительно 2 пара множеств 171
универсальная пара
множеств 163
Вывод в математической системе
25
элементарной формальной
системе 129
Выгодимая строка элементарной
формальной системы 20
Гёделева нумерация 29
— система 180
Гёделево соответствие см.
Гёделева нумерация
Декартово произведение 46
Диагонализация выражения
представляющей системы 71
— строки системы V 33
Диагональное предложение 71
— множество й* 98
Т* 98
Диадическая гёделева нумерация
29
— конкатенация 119
Диадическое представление
положительных целых чисел 27
— числительное 27
Доказательство в теория 188
Доказуемое предложение теории
184
Допустимая гёделева нумерация
Изоморфизм представляющих
систем 180
Индекс РП множества 105
— функциональный 135
Квантификация отношения 42
— формулы теории 183
Клиниевские множества 141
Композиция отношений 47
— функций 46
Компонента базы 32
Конечное соответствие 176
Конкатенация строк 19
— диадическая 119
Конструктивно арифметические
отношения 54
— определимые отношения 54
Конъюнкция формул теории 182
Креативная представляющая
система 143
Креативное множество 138
Лексикографическая гёделева
нумерация 29
Лексикографическое
упорядочение 59
Логически истинное предложение
теории 184
Логическое следствие 184
Математическая система 25
Много-односвоцимость 142
Множество, определимое в
представляющей системе 76
— S-рудиментарное 132
Независимые элементарные
формальные системы 39
Ненасыщенная представляющая
система 74
Неразрешимое предложение
представляющей системы 75
Несобственная переменная 40
Образ отношения 45
Общая представимость 39
Ограниченная квантификация 53
Одно-односводимость 142
Определимая функция в теории
206
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Отношение 22
— S-рудиментарное 132
Отрицание формулы теории 182
Переменная теории 182
— элементарной формальной
системы 19
Перечислимое в теории
множество 187
отношение 192
Подбазис для рекурсивно
перечислимых отношений 54
Полная представляющая система
74
ППФ см. Правильно построенная
формула
Правильно построенная формула
19
Предикат представляющей
системы 69
— системы U 32
11 36
— теории 185
— элементарной формальной
системы 19
Представимость в
представляющей системе 70
системе V 32
теории 185
элементарной формальной
системе 22
Представление положительных
целых чисел п-адическое 60
Представляющая система 69
Прежде, чем 133
Продуктивная представляющая
система 143
— функция 138
Продуктивное множество 138
относительно совокупности
множеств 153
Прообраз отношения 45
Равномерная креативность
совокупности множеств 150
— представимость множеств в
системе Q 155
— сводимость совокупности
множеств к множеству 149
, паре множеств
163—164
Равномерно сдвоенно
универсальная пара 164
— универсальное множество 152
Равномерное сведение
совокупности множеств 149
Разрешимая математическая
система 26
— представляющая система 86
Разрешимое предложение
представляющей системы 75
— множество над К 22
Расширение алфавита 19
— представляющей системы 82
— теории 191
Рекурсивно неотделимая пара
множеств 94
— неотделимые множества 94
Рекурсивно отделимая пара
множеств 94
— отделимые множества 93
— перечислимое множество 27
Рекурсивный изоморфизм
множеств 142
РП множество см. Рекурсивно
перечислимое множество
Рудиментарная функция 124
Рудиментарное множество 121
— отношение 121
Сводимость см. Много -односво-
димость
— пар множеств к парам
множеств 162
Сдвоенно креативная пара
множеств 158
— продуктивная пара множеств
157
— универсальная пара множеств
163
Сдвоенный изоморфизм пар
множеств 175
представляющих систем 180
Сильная отделимость множества
в представляющей системе 79
Симметричная представляющая
система 81
Система Россера 97
Слабая отделимость множеств в
представляющей системе 78
Слабо продуктивная функция 147
— продуктивное множество 147
— сдвоенно продуктивная пара
множеств 166
Совершенное множество формул
теории 183
Строгая формула элементарной
формальной системы 126
— элементарная формальная
система 126
Строгий терм элементарной
формальной системы 126
Строка символов 18
СУ см. Сдвоенно универсальная
пара множеств
СУ см. Вполне сдвоенно
универсальная пара множеств
Существенно креативная теория
197
— неразрешимая теория 196
Схема аксиом элементарной
формальной системы 21
ТА см. Транскрибированная
элементарная диадическая
арифметика
Теорема математической системы
— представляющей системы 69
— теории 184
— элементарной формальной
системы 21
Теория 181
— Гёделя 191
— Россера 185
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
207
Теория Гёделя для множеств см.
теория Россера
n-местных отношений 192
— К 196
— Р 196
— С 196
— В 195
— ^-непротиворечивая 187
— ш-протнворечивая 187
Точная отделимость множеств в
теории 199
— теория Россера 199
Транскрибированная элементарная
диадическая арифметика 31
Унарное числительное 60
Универсальная квалификация
формулы 183
Универсальная представляющая
система 90
— система U см. Система V
Универсальное множество 152
Универсальное отношение 103
Формальная представляющая
система 86
Формально представимая
функция 25
Формула теории 182
— элементарной формальной
системы 19
Функция, включающая
аргументы 132
— Россера 146
— 0 125
Числительное я-адическое 60
Число 23
Экзистенциальная квактификация
отношения 42
формулы 183
— определимость 43
Элементарная диадическая
арифметика 27
— формальная система 19
ЭН пара множеств см.
Эффективно неотделимая пара
множеств
ЭН функция 141
ЭФС см. Элементарная
формальная система
Эффективная операция 109
Эффективно неотделимая пара
множеств 141
— россеровская система 146
Явно определимое отношение 42
Явные преобразования 42
Ядра представляющей системы 94
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А* 34
К 61
В (в выражении
В (отношение) 1!
Р (функция) 125
D 61
п
Е (в выражении
V23
Hh 71
Нй70
Нг 70
V
J (x, у) 124
К(х) 124
Ь(х) 124
Р (в выражении
вида
ге
хВу)
122
вида хЕу) 122
вида
хРу)
122
О
л 123
Pf 129
pf (в выражении вида xpty)
Q (представляющая -система)
Q (теория) 196
R, 142
R 142
тп.
Seg 123
Seq, 123
U 31
ЧС 35
Un (х,, . ., х ) 103
W„ 7t
W* 71
W 97
129
70
Раймонд М. Смальяп
ТЕОРИЯ ФОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ
(Серия: «Математическая логика
и основания математики»)
Редактор В. В. Допченко
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректор А. Л. Ипатова
ИБ № 11714
Сдано в набор 1212.80. Подписано к печати 07.08.81.
Формат 84х1087зг. Бумага тип. № 3. Обыкновенная
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 10,92. Уч.-изд.
л. 10,36 Тираж 9000 экз. Заказ N» 391. Цена 70 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77. Станиславского, 25.