Text
                    ELEMENTS
DE MATHEMATIQUE
PREMIERE PARTIE
LIVRE III
TOPOLOGIE GENERALE
CHAPITRE 1
STRUCTURES TOPOLOGIQUES
CHAPITRE 2
STRUCTURES UNIFORMES
EDITION ENTIEREMENT REFONDUE
HERMANN
«5, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS VI


ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ Н. БУРБАКИ ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО С. Н. К Р А Ч К О В С К О Г О ПОД РЕДАКЦИЕЙ Д. А. РАЙКОВА ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1968
517.6 Б 91 513.83 Я. Вурбаки Общая топология. Основные структуры М., 1968 г., 272 стр. с илл. Редактор С. А. Широкова Техн. редактор К. Ф. Брувно Корректор М. Ф. Алексеева Сдано в набор 25/IX 1967 г. Подписано к печати 20/VI 1968 г. Бумага бОХЭО'Аи Физ. печ. л. 17+2 вкл. Условн. печ. л. 17,25. Уч.-изд. л. 16,42. Тираж 30 000 ЭК8( Цена книги 1 р. 43 к. Заказ Ml 2034. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров ССОР Москва, Ж-54, Валовая, 28. Отпечатано с матриц во 2-ой типографии Издательства «Наука» Москва, Г-99, Шубинский пер., ip 8-2-3
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию 9 Введение И Глава I. Топологические структуры 17 § 1. Открытые множества; окрестности; замкнутые множества ... 17 1. Открытые множества 17 2. Окрестности 19 3. Фундаментальные системы окрестностей; базисы топологии 21 4. Замкнутые множества 23 5. Локально конечные семейства 23 6. Внутренность, замыкание, граница множества; всюду плотные множества 24 Упражнения 27 § 2. Непрерывные функции 30 1. Непрерывные функции 30 2. Сравнение топологий 33 3. Инициальные топологии 35 4. Финальные топологии 38 5. Склеивание топологических простравств 40 Упражнения 42 § 3. Подпространства; факторпространства 45 1. Подпространства топологического пространства 45 2. Непрерывность относительно подпространства 48 3. Локально замкнутые подпространства 49 4. Факторпространства ■ 50 5. Каноническое разложение непрерывного отображения ... 52 6. Факторпространство подпространства 54 Упражнения 55 § 4. Произведение топологических пространств 58 1. Произведение пространств 58 2. Срез открытого множества; срез замкнутого множества; про- проекция открытого множества. Частичная непрерывность . . 61 3. Замыкание в произведении , . 62 4. Проективные пределы топологических пространств 63 Упражнения ,,...,, f f , f ,,.. г ,,,,,,,,, 66
О ♦ ОГЛАВЛЕНИЕ § 5. Открытые и замкнутые отображении 68 1. Открытые и замкнутые отображения 68 2. Открытые и замкнутые отношения эквивалентности .... 70 3. Специальные свойства открытых отображений 73 4. Специальные свойства замкнутых отображений 75 Упражнения 76 § 6. Фильтры 78 1. Определение фильтра 78 2. Сраввение фильтров 79 3. Базисы фильтра 81 4. Ультрафильтры 82 5. Индуцированный фильтр 84 6. Образ и прообраз базиса фильтра 85 7. Произведение фильтров 87 8. Элементарные фильтры . 88 9. Ростки относительно фильтра 89 10. Ростки в точке 92 Упражнения 93 § 7. Пределы 97 1. Предел фильтра 97 2. Точка прикосновения базиса фильтра 98 3. Предел и предельная точка функции 99 4. Пределы и непрерывность 102 5. Пределы относительно подпространства 103 6. Пределы в произведениях пространств и факторпростран- ствах 104 Упражнения 105 § 8. Отделимые и регулярные пространства . 106 1. Отделимые пространства 106 2. Подпространства и произведения отделимых пространств . . 109 3. Отделимость факторпространства 111 4. Регулярные пространства 112 5. Продолжение по непрерывности. Двойной предел 114 6. Отношения эквивалентности в регулярном пространстве . . 115 Упражнения 116 § 9. Компактные и локально компактные пространства 124 1. Квазикомпактные и компактные пространства 124 2. Регулярность компактного пространства 127 3. Квазикомпактпыо, компактные и относителг.по компактные множества 128 4. Образ компактного пространства при непрорывном отобра- отображении 130 5. Произведение компактных пространств 131 6. Проективные пределы компактных пространств 132 7. Локально компактные пространства . 133
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 8 Погружение локально компактного пространства в компактное пространство 136 9. Локально компактные пространства, счетные в бесконечное)и 138 10. Паракомпактные пространства 139 Упражнения 143 § 10. Совершенные отображения 152 1. Совершенные отображения 152 2. Характери;)ация совершенных отображений свойствами ком- компактности 156 3 Совершенные отображения в локально компактные простран- пространства 100 4. Факторпространства компактных и локально компактных пространств 161 Упражнения 164 §11. Связность 1119 1. Связные пространства и множества W.) 2. Образ связного множества при непрорывном отображении . . 171 3. Факторпространстиа связного пространства 17'' 4. Произведение связных пространств 173 5. Связные компоненты 173 6. Локально связные пространства 175 7. Применение: теорема Пуанкаре — Вольтерра 177 Упражнения 181 Приложение. Дополнения о проективных пределах множеств .... 189 1. Проективные системы подмножеств 189 2. Критерий нопустоты проективного предела 190 Исторический очерк к главе I 194 Библиография 199 Глава II. Ранномерные структуры 201 § 1. Равномерные пространства 201 1. Определенно равномерной структуры 201 2. Топология равномерного пространства 204 Упражнения 208 § 2. Равномерно непрерывные функции 209 1. Равномерно непрерывные функции 209 2. Сравнение равномерных структур 210 3. Инициальные равномерные структуры 211 4. Прообраз равномерной структуры. Равномерные подпро- подпространства 213 5. Верхняя грань множества равномерных структур 215 6. Произведение равномерных пространств 215 7. Проективные пределы равномерных пространств 217 Упражнения « 218
8 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Полные пространства 220 1. Фильтры Коши 220 2. Минимальные фильтры Коши 222 3. Полные пространства 223 4. Подпространства полных пространств 226 5. Произведения и проективные пределы полных пространств . 226 6. Продолжение равномерно непрерывных функций 230 7. Пополнение равномерного пространства 232 8. Отделимое равномерное пространство, ассоциированное с равномерным пространством 237 9. Пополнение подпространств и произведений пространств . . . 239 Упражнения 241 § 4. Связи между равномерными и компактными пространствами . . . 242 1. Равномерность компактных пространств 242 2. Компактность равномерных пространств 246 3. Компактные множества в равномерном пространстве .... 249 4. Связные множества в компактном пространстве 249 Упражнения 252 Исторический очерк к главе II 259 Библиография 261 Указатель обозначений 262 Указатель терминов 263 Таблица соответствия второго и третьего изданий 269 Определения и аксиомы главы I Вклейка 1 Определения и аксиомы главы II Вклейка 2
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В этом новом издании*) сделано довольно боль- большое число изменений в деталях; кроме того, пере- переделан весь план гл. I и II с целью расположить материал в лучшем соответствии с общими пред- представлениями о морфизмах структур и универсальных отображениях (Теория множеств, гл. IV, §§ 2 и 3). Среди наиболее значительных добавлений отметим введение квазикомпактных пространств и проектив- проективных пределов, приложения которых к коммутативной алгебре и алгебраической геометрии становятся все более и более важными, а также большее развитие по- понятий открытого, замкнутого и совершенного отобра- отображений, которым посвящены два параграфа гл. I. *) Перевод выполнен с третьего издания с учетом измене- изменений, внесенных в четвертое.
ВВЕДЕНИЕ Наряду с алгебраическими структурами (группами, кольцами, телами и т. д.), которые составляли предмет второй книги этого сочинения, во всех разделах анализа встречаются структуры другого рода: структуры, в которых придается математический смысл интуитивным понятиям предела, непрерывности и окрест- окрестности. Изучение этих структур и будет предметом настоящей книги. Исторически понятия предела и непрерывности появились в математике весьма рано, а именно в геометрии, и с развитием анализа и его приложений к опытным наукам их роль неуклонно возрастала. И действительно, эти понятия тесно связаны с поня- понятиями опытного определения и приближения величин. Но так как в большинстве случаев опытное определение величин сводится к измерениям, т. е. к нахождению одного или нескольких чисел, ю вполне естественно, что в математике понятия предела и не- непрерывности появляются прежде всего в теории вещественных чисел с ее ответвлениями и различными областями применения (комплексные числа, вещественные или комплексные функции вещественных или комплексных переменных, евклидова геометрия и производные от нее геометрии). В наше время стало ясно, что значение понятий, о которых идет речь, выходит далеко за пределы области вещественны* и комплексных чисел классического анализа (см. Исторический очерк к гл. I). Путем углубленного исследования и разложения этих понятий удалось извлечь их суть и выковать орудие, дейст- действенность которого проявилась в многочисленных отраслях мате- математики. Уяснение того, в чем именно заключается главное содержание понятий предела, непрерывности и окрестности, мы начнем
12 ВВЕДЕНИЕ « с анализа понятия окрестности, хотя исторически оно более позд- позднего происхождения, чем оба остальные. Если исходить из физи- физического понимания приближения, то естественно сказать, что часть А множества Е является окрестностью свое/о элемента а, если при замене последнего его «приближением» этот новый элемент также будет принадлежать А всякий раз, когда допущенная «ошибка» достаточно мала; другими словами, если каждый эле- элемент из Е, «достаточно близкий» к элементу а, принадлежит А. Это определение получает точный смысл, как только вложен точный смысл в понятие достаточно малой ошибки или элемента, достаточно близкого к данному. Для достижения этого самым естественным будет предположить, что «отклонение» одного эле- элемента от другого можно измерить вещественным (положительным) числом. Всякий раз, когда для любой пары элементов некоторого множества определено их «отклонение» или «расстояние», оказы- оказывается возможным определить «окрестности» элемента а этого множества; а именно, окрестностью элемента а будет любое под- подмножество, содержащее все элементы, расстояние которых от а меньше надлежащего положительного числа. Понятно, что для того чтобы, исходя из этого определения, можно было развить содержательную теорию, следует предположить, что «расстояние» удовлетворяет некоторым условиям или аксиомам (например, что и для нашего обобщенного расстояния должны выполняться неравенства, которые в евклидовой геометрии имеют место для расстояний между вершинами треугольника). Так получается широкое обобщение евклидовой геометрии; при этом удобно пользоваться геометрическим языком и называть элементы мно- множества, в котором определено «расстояние», точками, а само мно- множество — пространством. Такого рода пространства изучаются в гл. IX. В этой концепции еще не устранены вещественные числа. Однако так определенные пространства обладают большим числом свойств, которые можно сформулировать независимо от лежащего в их основе понятия расстояния. Например, каждое подмножество, содержащее окрестность точки а, также есть окрестность точки а; пересечение двух окрестностей точки а является окрестностью точки а. Эти и некоторые другие свойства влекут массу следствий, которые выводятся из них совершенно независимо от понятия
ВВЕДЕНИЕ 13 «расстояния», первоначально легшего в основу определения окрестностей. Так получаются предложения, в которых совсем нет речи о величине, расстоянии и т. п. Это приводит в итоге к общей концепции топологического пространства, концепции, не зависящей от какой бы то ни было предваряющей ее теории вещественных чисел. Мы говорим, что множество Е наделено топологической структурой, каждый раз, когда каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из Е, называемых окрестностями этого элемента, если только, конечно, эти окрестности удовлетворяют некоторым условиям (аксиомам топологических структур). Выбор налагаемых на окрестности аксиом, очевидно, до некоторой сте- степени произволен, и исторически он был предметом продолжитель- продолжительных поисков (см. Исторический очерк к гл. I). Система аксиом, на которой, в конце концов, остановились, вполне отвечает по- потребностям современного анализа, не впадая при этом в чрезмер- чрезмерную и беспредметную общность. Множество, наделенное топологической структурой, называют топологическим пространством, а элементы этого множества — точками. Ветвь математики, изучающая топологические струк- структуры, носит название топологии (этимологически — «наука о положении», название само по себе мало выразительное), которое в наши дни предпочитается названию Analysis Situs, являюще- являющемуся его синонимом. Следует отметить, что для того, чтобы прийти к понятию ок- окрестности, мы исходили из расплывчатого понятия элемента, «достаточно близкого» к другому. Теперь, наоборот, понятие то- топологической структуры позволяет придать выражению «такое-то свойство имеет место для всех точек, достаточно близких к а» точный смысл; это означает по определению, что множество точек, обладающих этим свойством, является окрестностью гочки а в данной топологической структуре. Из понятия окрестности проистекав! ряд других понятий, изу- изучение которых составляет содержайие топологии: внутренность множества, замыкание множества, граница множества, открытое множество, замкнутое множество и т. д. (см. гл. I, § 1). Например, А является открытым множеством, если всякий раз, когда точка а принадлежит А, все точки, достаточно близкие к а, также при-
14 ВВЕДЕНИЕ подлежат А; иначе говоря, если А является окрестностью любой своей точки. Аксиомы окрестностей позволяют установить раз- различные свойства исех этих понятий: например, пересечение двух открытых множеств является открытым множеством (потому что предположено, что пересечение двух окрестностей точки а также является ее окрестностью). Обратно, примем за отправной пункт вместо понятия окрестности одно из этих производных понятий, например, предположим известными открытые множества и воз- возведем в аксиомы свойства семейства открытых множеств (одно из которых только что было упомянуто в качестве примера). Легко установить, что тогда от открытых множеств можно заново прийти к окрестностям, причем выполнение аксиом окрестностей будет являться следствием новых аксиом, взятых в качестве отправной точки. Таким образом, мы видим, что топологическая структура может быть определена многими, однако, по существу, равносиль- равносильными способами. В этой книге мы исходим из понятия открытого множества по соображениям удобства, поскольку соответствующие аксиомы носят наиболее простой характер. Как только топологические структуры определены, понятию непрерывности легко уже придать точный смысл. Интуитивно функция непрерывна в некоторой точке, если ее значение сколь угодно мало изменяется, покуда аргумент остается достаточно близким к рассматриваемой точке. Мы видим, что понятие непре- непрерывности будет иметь точный смысл каждый раз, когда про- пространство аргументов и пространство значений функции будут топологическими пространствами. Напрашивающееся тогда точ- точное определение будет дано в § 2 гл. I. Как и в понятии непрерывности, в понятии предела участвуют два множества, наделенных соответствующей структурой, и ото- отображение одного из этих множеств в другое. Например, когда речь идет о пределе последовательности ап вещественных чисел, то здесь, с одной стороны, участвуют множество N натуральных чисел, с другой,— множество R вещественных чисел и, наконец, отображение первого множества во второе. При этом говорят, что вещественное число а является пределом последовательности ап, если, какова бы ни была окрестность V точки а, эта окрестность содержит числа ап для всех значений п, за исключением конечного числа; другими словами, если множество тех п, для которых ап
ВВЕДЕНИЕ 15 принадлежит F, составляет подмножество множества N, имеющее конечное дополнение. Ясно, что, поскольку речь идет об окрест- окрестностях, R предполагаете^ наделенным топологической структурой; что касается множества N\ro в нем играет особую роль некоторое семейство подмножеств, а Ыенно гех, которые имеют конечное дополнение. Это — общий факт. Каждый раз, когда говорят о пределе, речь идет о некотором отображении / какого-то множе- множества Е в какое-то топологической пространство F; при этом го- говорят, что / имеет пределом точку а пространства F, если, какова бы ни была окрестность V точки а, множество тех элементов х из Е, образ которых содержится п V (т. о. полный «прообраз» f~l(V)), принадлежит некоторому наперед заданному семейству $ подмножеств множества Е. Чтобы понятие продела обладало существенными свойствами, которые ему обычно присущи, от семейства $ требуется выполнение некоторых аксиом, которые сформулированы в § 6 гл. I. Такое семейство % подмножеств мно- множества Е называется фильтром в Е. Впрочем, понятие фильтра, которое, таким образом, неотделимо от понятия предела, встре- встречается в топологии повсюду: например, окрестности точни в топологическом пространстве образуют фильтр. Общее изучение всех приведенных понятий составляет основной предмет гл. I. В ней изучаются также некоторые частные классы топологических пространств: пространства, удовлетворяющие ак- аксиомам более жестким, чем общие, и пространства, получаемые путем применения особых процессов из уже заданных пространств. Как уже сказано, топологическая структура в множестве дает возможность придать точный смысл выражению: «как только точка х достаточно близка к а, а; обладает свойством Р{х\». Но, за исключением того случая, когда определено «расстояние», не видно, какой смысл следует придать выражению: «любая пара достаточно близких точек х, у обладает свойством Р{х, у)». Это происходит оттого, что мы не имеем априори никаких средств сравнивать между собой окрестности двух различных точек. Между тем понятие пары близких точек часто встречается в клас- классическом анализе (в частности, в предложениях, где речь идет о равномерной непрерывности). Поэтому важно придать атому выражению точный смысл во всей, общности; это приводит к
16 ВВЕДЕНИЕ оиределению структур, более богатых, чем топологические, а именно равномерных структур. Они изучаются в гл. II. Остальные главы этой книги III посвящены вопросам, где одновременно с топологическими структурами или равномерными структурами участвуют еще другие структуры. Например, группа, в которой определена надлежащаяДт. е. в известном смысле согла- согласующаяся со структурой группы^ топология, носит название топо- топологической группы. Топологические группы изучаются в гл. III, где, в частности, показывается, каким образом любую топологичес- топологическую группу можно наделить некоторой равномерной структурой. В гл. IV предшествующие теории применяются к телу рацио- рациональных чисел (определенному чисто алгебраическим путем в гл. I книги II), что позволяет определить тело вещественных чисел; вви- ввиду его важной роли оно тут же подвергается детальному изучению. Отправляясь от вещественных чисел, в следующих главах определяются некоторые топологические пространства, особенно интересные с точки зрения приложений топологии к классической геометрии: векторные пространства конечной размерности, сферы, проективные пространства и т. д. Изучаются также некоторые топологические группы, тесно связанные с аддитивной группой вещественных чисел и характеризующие ее аксиоматически; это приводят к определению и элементарным свойствам наиболее важных в классическом анализе функций: показательной, лога- логарифма и тригонометрических функций. В гл. IX мы снова возвращаемся к общим топологическим про- пространствам, вооруженные новым инструментом, а именно вещест- вещественным числом; в частности, изучаются пространства, топология которых определяется посредством «расстояния»; они обладают некоторыми свойствами, заведомо не имеющими места для более общих пространств. В гл. X изучаются множества отображений топологического пространства в равномерное пространство (называемые функцио- функциональными пространствами); эти множества, наделенные в свою очередь надлежащей топологической структурой, обладают инте- интересными свойствами, играющими важную роль даже в классиче- классическом аналиве. Наконец, последняя глава посвящена изучению ронятий накрывающего и односвязного пространств,
Г Л А В А\1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ § 1. Открытые множества; окрестности; замкнутые множества 1. Открытые множества Определение 1. Топологической структурой (или, короче, топологией) в множестве X называют структуру, образованную заданием множества JD подмножеств множества X, обладающего следующими свойствами (называемыми аксиомами топологических структур): (О,) Всякое объединение множеств из JD есть множество ив О. (О„) Пересечение всякого конечного семейства множеств из D есть множество us JD. Множества из JD называются открытыми множествами monch логической структуры, определяемой посредством JD в X. Определение 2. Топологическим пространством называют множество, наделенное топологической структурой. Элементы топологического пространства часто называются точками. Множество X, в котором определена топология, называ- называется носителем топологического пространства X. Аксиома (О,) влечет, в частности, что объединение пустого множества множеств из £), т. е. пустое множество (Теор. множ., Сводка результ., § 4, формула C3)), принадлежит £>. Аксиома @„) влечет, что пересечение пустого множества множеств из О, т. в. множество X (Теор. множ., Сводка результ., § 4, формула D0)), принадлежит £>,
18 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § 1 Для доказательства того, что множество О подмножеств из X удовлетворяет аксиоме (Оц), часто удобда^ установить, что оно удов- удовлетворяет каждой из следующих двух/£ксиом, объединение которых равносильно (Оц): / (Оца) Пересечение любых двух/множеств из £} принадлежит £>. (Оцо) X принадлежит £\ / Примеры тополо гк й. Множество подмножеств какого- либо множества X, состоящее из X и 0, удовлетворяет аксиомам @[) и (Оц) и определяет, /аким образом, топологию в X. То же справедливо для множества ЩХ) всех подмножеств множества X; топологию, которую оно определяет, называют дискретной топологией в X, а множество X, наделенное этой топологией,— дискретным про- пространством. Покрытие (UXei подмножества А топологического простран- пространства X (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 4) называют откры- открытым, если все 17,— oiкрытые множества в X. Определение 3. Гомеоморфизмом топологического простран- пространства X на топологическое пространство X' называют изоморфизм топологической структуры пространства X на топологическую структуру пространства X', т. е., в соответствии с общими опре- определениями (Теор. множ.. Сводка результ., § 8, п° 5),^- биещию X на X', преобразующую множество всех открытых множеств из X в множество всех открытых множеств из X'. Говорят, что X и X' гомеоморфны, если существует гомеомор- гомеоморфизм X на X'. Пример. Если X и X'— дискретные пространства, то всякая биекция X на X' является гомеоморфизмом. Определение гомеоморфизма непосредственно сводится к сле- следующему критерию: для того чтобы биекция f топологического пространства X на топологическое пространство X' была гомео- гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ при отобра- отображении f всякого открытого множества из X был открытым множе- множеством в X', а прообраз относительно f всякого открытого множе- множества из X'— открытым множеством в X,
2 ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА; ОКРЕСТНОСТИ; ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 19 2. Окрестности Определение 4. Окрестностью множества А в топологическом пространстве X называют всякое множество, которое содержит какое-либо открытое множество, содержащее А. Окрестности одноточечного множества {х\ называют также окрестностями точки х. Ясно, что всякая окрестность множества А в X является также окрестностью каждого множества ВсА и, в частности, каждой точки из А. Обратно, пусть А — окрестность каждой точки мно- множества В и U — объединение всех открытых множеств, содер- содержащихся в А; тогда UcA, и так как каждая точка из В принад- принадлежит некоторому открытому множеству, содержащемуся в А, то Bcf7; но [/ открыто в силу (О,); следовательно, А — окрест- окрестность множества В. В частности: Предложение 1. Для того чтобы множество было окрестно- окрестностью каждой своей точки, необходимо и достаточно, чтобы оно было открытым. Слово «окрестность» имеет в обыденной речи такой смысл, что многие свойства, в которых участвует названное нами тем же именем математическое понятие, выступают как математическое выражение интуитивно ясных свойств; тем самым выбор этого термина имеет то преимущество, что делает речь более образной. Для той же цели можно пспользовать в некоторых утверждениях также выражение «достаточно близкий» и «сколь угодно близкий». Например, предложение 1 можно выразить в следующей форме: для того чтобы множество А было от- открытым, fico6xoaiimo it достаточно, чтобы для любого х£А все точки, достаточно близкие к х, принадлежали А. И вообще, если некоторое свойство имеет место для всех точек некоторой окрестности точки х, то говорят, что им обладают все точки, достаточно близкие к х. Обозначим через &> (х) множество всех окрестностей точки х. Множества из % (х) обладают следующими свойствами: (V,) Всякое подмножество множества X, содержащее какое- нибудь множество ии 5ii (x), принадлежит i< (x). (VM) Пересечение конечного числа множеств из )И (х) принад- принадлежит %$ (х).
20 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУР^ ГЛ. I. § (Vni) Элемент х принадлежит каждрМу множеству из 93(х). Действительно, эти три свойства являются непосредственными следствиями определения 4 и аксиомы (О„). (VIV) Для каждого V, принадлежащего 93(а:), существует W, принадлежащее 93(я), такое, 4moV принадлежит 93(у) для любого Действительно, на основании предложения 1 достаточно взять за W любое открытое множество, содержащее х и содержащееся в V. Последнее свойство можно еще выразить, сказав, что окрестность точки х есть вместе с тем окрестность всех точек, достаточно близ- близких к х. Эти четыре свойства множества 93(х) являются характери- характеристическими. А именно: Предложение 2. Если каждому элементу х множества X поставлено в соответствие множество 93(х) подмножеств из X так, что при этом имеют место свойства (V,), (Vn), (Vm) и (VlV), то в X существует, и притом единственная, топологическая структура, для которой 93 (ж) слу- служит множеством всех окрест- окрестностей х при любом х£Х. Если требуемая топологичес- топологическая структура существует, то по предложению 1 множеством всех открытых множеств этой топо- топологии необходимо служит мно- множество О всех таких множеств А из X, что Л £93(а:) для любого х £ А; отсюда единственность этой топологии, если последняя су- Рис. 1. ществует. Но множество О очевидно удовлетворяет аксиомам (О,) и @ц); для (О,) это вытекает непосредственно из (V,), а для (О,,)— из (V,,). Остается убедиться в том, что для топологии, опреде- определяемой множеством £>, 93(а;) является множеством всех окрест- окрестностей точки х для каждого х£Х. Из (Vj) вытекает, что всякая
8 ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА; ОКРЕСТНОСТИ; ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 21 окрестность точки х принадлежит Ъ(х). Обратно, пусть V£ 93 (х) и U — множество тех точък у, для которых V£33(i/); покажем, что x£U, UcV и U £D, чем доказательство и будет завершено. Но x£U, ибо V£Э3(х); UcV, ибо всякая точка у £ U принадлежит V в силу (V,,,) и предположения, что V £ 83(i/)- Значит, остается показать, что £/££), т. е. что U £Ъ(у) для всех у £ U; но (рис. 1) еслиу £ С/, то согласно (VIV) существует такое множество W^^iy), что V ^ s^8(z) при любом z£W. Так как F £ &(z) означает, что 2 £ [/, то Wet/, откуда в силу (V,) U£Щу), что и требовалось доказать. Предложение 2 показывает, что топологию в X можно опре- определить заданием множеств 3i(x) окрестностей точек из X, под- подчиненных лишь аксиомам (V,), (V^), (Vm) и (Vlv). Пример. Определим топологию в множестве Q всех рациональ- рациональных чисел, приняв за открытые множества всевозможные объединения ограниченных открытых интервалов; аксиома (О]) выполняется при этом очевидным образом, а для проверки выполнения аксиомы (Ои) достаточно заметить, что если пересечение двух открытых интервалов ]о, Ь\ и ]с, d[ ие пусто, то оно является открытым интервалом ,а, (JJ, где a=sup(o, с), fJ=infF, d). Та же топология получится, если для каждого х£ Q определить множество SB (x) всех окрестностей этой точки как множество всех подмножеств в Q, содержащих каждое некоторый открытый интервал, которому принадлежит х. Топологическое про- пространство, получаемое путем наделения Q описанной топологией, называется рациональной прямой (см. гл. IV, § 1, п° 2). Заметим, что в этом пространстве всякий открытый интервал есть открытое множе- множество. "Таким же образом определяется топология в множестве R всех вещественных чисел; R, наделенное этой топологией, называют чис- числовой прямой (см. § 2, упражнение 5 и гл. IV, § 1, п° 3).о 3. Фундаментальные системы окрестностей; базисы топологии ■. Определение 5. Фундаментальной системой окрестностей точки х (соотв. множества А) в топологическом пространстве X называют всякое множество 2> окрестностей х (соотв. А), обла- обладающее тем свойством, что для любой окрестности V точки х (соотв. множества А) существует окрестность W£& такая, что WcV.
22 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 1 Таким образом, если S — фундаментальная система окрест- окрестностей множества А в X, то всякое пересечение конечного числа множеств из © содержит некоторое множество из @. Примеры. 1) В дискретном пространстве (п° 1) множество {ж} само образует фундаментальную систему окрестностей точки х. 2) На рациональной прямой Q (п° 2) множество всех открытых интервалов, содержащих точку х, является фундаментальной системой окрестностей этой точки. То же можно сказать о множество открытых интервалов 1а; , х-\—I, как и о множестве замкнутых интервалов II 11 х , х-\—I, где п принимает псе целые значения >0 или только п п J какую-нибудь строго возрастающую бесконечную последовательность целых значений >0. "Аналогичные утверждения справедливы для числовой прямой.. Определение 6. Базисом топологии топологического про- пространства X называют всякое множество 33 открытых множеств из X, такое, что любое открытое множество в X является объе- объединением множеств, принадлежащих 33. Предложение 3. Для того чтобы множество 93 открытых множеств топологического пространства X было базисом его топологии, необходимо и достаточно, чтобы для любого х£Х мно- множество ecexV£23 таких, что x£V, было фундаментальной систе- системой окрестностей х. Необходимость условия очевидна. Обратно, если условие вы- выполнено, то для любого открытого множества U и любого x£U существует такое открытое множество Vх £ 33, что x£Vxc U. Объе- Объединение всех Vx(x£U) совпадает, таким образом, с U, что и за- завершает доказательство. П р н м в р ы. 1) Множество всех одноточечных множеств является базисом дискретной топологии. 2) Множество всех ограниченных открытых интервалов по опре- определению является базисом топологии рациональной прямой (п° 2). "Множество всех ограниченных открытых интервалов является также базисом топологии числовой прямо».о
б ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА; ОКРЕСТНОСТИ; ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 23 4. Замкнутые множества Определение 7. Замкнутыми множествами в топологическом пространстве X называют дополнения открытых множеств. Путем перехода к дополнениям аксиомы (О,) и @„) преобра- преобразуются соответственно следующим образом: (Oi) Всякое пересечение замкнутых множеств есть замкнутое множество. @ц) Объединение всякого конечного семейства замкнутых мно- множеств есть замкнутое множество. Пустое множество и псе пространство X замкнуты (и, значит, открыто-замкнуты; см. § 11). На рациональной прямой всякий интервал вида [а, -*[ является замкнутым множеством, потому что его дополнение ]*-, а] открыто; так же убеждаемся в том, что и всякий интервал вида |<-, а\ есть замкнутое множество; значит, и всякий замкнутый ограниченный интервал [о, 6], как пересечение интервалов [о, ->[ и ]*-, Ь\, есть замкнутое множество. Множество Z всех рациональных целых чисел замкнуто на рацио- рациональной прямой, потому что его дополнение М \п,п + 1[ открыто. Покрытие (F^ti множества А н топологическом пространство X называется замкнутым, если все FK замкнуты в X. Гомеоморфизм f топологического пространства X на тополо- топологическое пространство X' (п° 1) может быть еще охарактеризован как биекция X на X', при которой образ всякого замкнутого мно- множества из X есть замкнутое множество в X', а прообраз всякого замкнутого множества из X' есть замкнутое множество в X. 5. Локально конечные семейства Определение 8. Семейство (АкI€/ подмножеств топологи- топологического пространства X нашвают локально конечным, если для лю- любой точки х £ X существует такая ее окрестность V', что V П <4, -•• 0 для всех, кроме конечного числа, индексов i£/. Множество 2 под- подмножеств и,1 X называют локально конечным, если локально ко- конечно семейство множеств, определяемое тождественным отобра- отображением ф на себя.
24 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, 8 1 Ясно, что если (А^щ — локально конечное семейство множеств и BicAl для любого i £/, то и семейство Et)l6/ локально конечно. Очевидно, всякое конечное семейство подмножеств топологиче- топологического пространства X локально конечно, но обратное неверно. "Например, в R открытое покрытие, образованное интервалом ]*-, 1[ и интервалами ]п, -*{ с любыми целыми га^О, локально конечно; однако, каждый интервал \п, -*[ пересекает бесконечное число мно- множеств указанного покрытия.о Предложение 4. Объединение локально конечного семейства замкнутых множеств топологического пространства X замкнуто в X. В самом деле, пусть (F^ei — локально конечное семейство замкнутых множеств в X и пусть точка г^Х не принадлежит F=\J FK; существует окрестность V точки х, имеющая непустое 16/ пересечение только с множествами Fo индексы которых образуют в / конечное подмножество /. С другой стороны, для любого i € J множество Ul=CFi открыто и содержите; отсюда заключаем, что CF содержит окрестность VП ||С/, точки х. В силу предло- жения 1 CF открыто и, следовательно, F замкнуто. Отметим, что объединение произвольного семейства замкнутых множеств в X не обязательно замкнуто; например, на рациональной прямой Q множество |0, 1[, являясь объединением замкнутых мно- множеств I—, 1 1 (и>0), не замкнуто. I п пм 6. Внутренность, замыкание, граница множества', всюду плотные множества Определение 9. Точку х топологического пространства X называют внутренней точкой множества А, если А есть окрест- окрестность х. Множество всех внутренних точек множества А назы~ о вается его внутренностью и обозначается А. По определениям 9и4, i есть внутренняя точка множества А, если существует открытое множество, содержащееся н А и солер~ о ж; отсюда следует, что А есть объединение всех открьпщ
в ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА; ОКРЕСТНОСТИ; ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 25 множеств, содержащиеся в А, т. е. наибольшее открытое множе- множество, содержащееся в А; другими словами, если В — открытое множество, содержащееся в А, то ВсА. Следовательно, если А о о и В — такие множества в X, что ВсА, то Вс А; для того чтобы А о было окрестностью В, необходимо и достаточно, чтобы ВсА. Замечание. Внутренность непустого множества может быть пустой; так обстоит дело для одноточечного множества, если только оно не является открытым, например для одноточечного множества на рациональной прямой "(или на числовой прямой)^. Предложение 1 может быть высказано еще следующим образом: Для того чтобы множество было открытым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своей внутренностью. Из свойства (V(I) (n° 2) вытекает, что всякая точка, внутренняя одновременно для двух множеств А и В, будет внутренней и для А П В; отсюда А~пЪ = А()В. A) Всякая внутренняя точка дополнения множества А называетея внешней к Л, а множество таких точек — внешностью А в X; таким образом, точка х£Х, внешняя к А, характеризуется тем, что она имеет окрестность, не пересекающуюся с А. Определение 10. Говорят, что х есть точка прикосновения множества А в топологическом пространстве X, если всякая ее окрестность пересекает А. Множество всех точек прикосновения множества А называют его замыканием и обозначают А. Это определение можно выразить еще, сказав, что х есть точка прикосновения множества А, если в А имеются точки, сколь угодно близкие к х. Всякая точка, не являющаяся точкой прикосновения множе- множества А, будет внешней к А, и обратно; таким образом, справедливы (двойственные друг другу) формулы: СЛ=СЛ, СД=СХ - B)
26 ТОПОЛОГИЧКСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I. 5 1 Поэтому всякому предложению о внутренности множества соот- соответствует двойственное (Теор. множ., Сводка резулы., § 1, мг 15 и § 4, п° 7) предложение о замыкании, и обратно. В частности, замыкание множества А есть наименьшее замкнутое множество, содержащее А; другими словами, если В — замкнутое множество, содержащее А, то Ас В. Если А и В — два множества из X такие, что АсВ, то АсВ. Для замкнутости множества необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием. Формуле A) соответствует двойственная формула TUB = Ти В. C) Предложение 5. Если А — открытое множество в Х,то для лю- любого Вс:X справедлива формула А П В с А П В. D) Действительно, если х£А есть точка прикосновения множе- множества В, то для любой окрестности V этой точки множество V П Л. тоже будет окрестностью х, ибо А открыто; значит, Vf)A (\B не пусто, и потому х есть точка прикосновения для A f) В. Если х — точка прикосновения множества А, не принадле- принадлежащая А, то всякая окрестность этой точки содержит точку из А, отличную от х; если жех£Л, то может случиться, что будет су- существовать окрестность точки х, не содержащая ни одной точки из А, отличной от х; в этом случае говорят, что х есть изолирован- изолированная точка множества А; в частности, х — изолированная точка всего пространства X тогда и только тогда, когда {х} — открытое множество. Замкнутое множество, в котором нет изолированных точек, называют совершенным. Определение 11. Точку х топологического пространства X называют граничной точкой множества А, если она является точкой прикосновения одновременно для А и для СА; множество
УПРАЖНЕНИЯ 27 всех граничных точек множества А называют границей этого множества. ш Таким образом, границей множества А служит замкнутое множество Af)CA. Граничная точка х множества А характери- характеризуется тем, что любая ее окрестность содержит по крайней мере одну точку из Л и по крайней мере одну точку из.СД; сама точка х может как принадлежать, так и не принадлежать А. Граница А совпадает с границей СА; если взять внутренность А, внешность А и границу А, то те из этих трех множеств, которые не пусты, образуют разбиение пространства X. Определение 12. Говорят, что подмножество А топологи- топологического пространства X плотно в X (или также всюду плотно, когда не может возникнуть неясность относительно X), если А = Х, т. е. если для любого непустого открытого множества U из X пересечение U (\А не пусто. П р и м е р ы. °В гл. IV, § 1 мы увидим, что множество всех рацио- рациональных чисел и его дополнение всюду плотны в числовой прямой.0 В дискретном пространстве X не существует всюду плотных множеств, отличных от X. Напротив, если единственными открытыми множествами для топологии в X являются 0 и X, то всякое непустое множество всюду плотно. Предложение 6. Если 58 — базис топологии топологического пространства X, то в X существует такие всюду плотное мно- множество D, что Card (D)^Card B3). Действительно, можно ограничиться тем случаем, когда мно- множества из 23 не пусты (уже непустые множества из 23 образуют базис топологии в X); пусть тогда xv— точка из U для любого U £33; из предложения 3 вытекает, что множество D точек xv плотно в X; и при этом Card(D) ^ Card B3) (Теор. множ., гл. III, § 3, предложение 3). Упражнения 1) Найти все топологии в множестве из двух или трех элементов. 2) а) Пусть X — упорядоченное множество. Показать, что множе- множество интервалов \х, -*[ (соотв. ]*-, x\) есть базис некоторой топологии В X; будем называть ее правой (соотв. левой) топологией. Для право*
28 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, J 1 топологии всякое пересечение открытых множеств есть открытое мно- множество; замыканием множества {х} служит интервал ]*-, х\. б) Топологическое пространство X называется колмогоровским пространством, если оно удовлетворяет следующему условию: для любых двух различных точек х, х из X существует окрестность одной из них, не содержащая другую. Показать, что упорядоченное множе- множество, наделенное правой топологией, есть колмогоровское простран- пространство. в) Пусть X — колмогоровское пространство, в котором всякое пересечение открытых'множеств есть открытое множество. Показать, что х£ {ж'} есть отношение порядка между х и х' в X и что если запи- записывать его в виде х<,х', то заданная топология в X будет совпадать с правой топологией, определенной этим отношением. г) Вывести из в), что если X — колмогоровское пространство, то всякое непустое конечное множество в X имеет по крайней мере одну изолированную точку. Если X не имеет изолированных точек, то вся- всякое непустое открытое множество в X бесконечно. 3) Для каждого множества А в тоцологическом пространстве X положим <х(А)—А, $(А)=А. Из АсВ следует a(A)cza(,B) a а) Показать, что если А открыто, то Аса(А), а если А замкнуто, то Р(А)сА. б) Вывести из а), что а(а(А))=а(А) и E@D ))=Р(Л) для любого АсХ. в) Привести пример множества А с(на числовой прямой)о, для которого семь множеств А, А, А, <х{А), $(А), РD), <х(А) попарно раз- различны и не удовлетворяют никаким отношениям включения, кроме следующих: AcAdA, Aaa(A)c:$(A)c:A, Acza(A)<=V(A)c:A, a(A)ca(A), Р(Л)сРA). г) Показать, что если U и V — открытые множества и Uf\V=0, то также <x(U)fta{V)=0 (использовать б)). 4) а) Привести пример открытых множеств А и В °на число- числовой прямой,,, для которых AftB, B(]A~, Af)B и ^П^" попарно раз- различны. б) "Привести пример двух интервалов А, В на числовой прямой, для которых ЛП# не содержится в Af]B.o 5) Будем обозначать через Fr(A) границу множества А в тополо- топологическом пространстве X. а) Показать, что Ft(A)C1Ft(A), Fr(i)cFrD), и привести "на числовой прямой рример, когда эти три множества различны,
УПРАЖНЕНИЯ 29 б) Пусть Л,В—два множества в X;показать,что Fr(A \JB)cFr(A)\J U Fr(fi), и привести °на числовой прямой,, пример, когда эти множества различны. Показать, что если А[\В=0, то Ft(A(JB)=FtIA)[JFt(B). в) Показать, что если А и В — открытые множества в X, то привести °на числовой прямой,, пример, когда эти три множества различны. 6) Для того чтобы множество А в топологическом пространстве X имело непустое пересечение с любым всюду плотным в X множеством, необходимо и достаточно, чтобы внутренность А была непустой. 7) Пусть X — топологическое пространство. Рассмотрим следую- следующие четыре свойства: (D[) Топология пространства X обладает счетным базисом. В X существует счетное всюду плотное множество. Всякое множество в X, все точки которого — изолирован- изолированные, счетно. (Div) Всякое множество непустых попарно не пересекающихся открытых множеств в X счетно. Показать, что свойство (Di) влечет (Dn) и (Dm) и что каждое из свойств (Du) и (Dni) влечет (DIV) *). 8) Если подмножество А топологического пространства X ив имеет изолированных точек, то то же справедливо и для его замыкания X в X. 9) Пусть X — множество, М-+М — такое отображение 5р(Х) в себя, что: Iе ~0=0\ 2° Мсг.М для любого МсХ; 3е 1Н = М дл» любого МсХ; 4° M~\jN=M~()W р,ля любых МсХ, NcX. Показать, что в X существует, и- притом единственная, топология, в которой М является замыканием М для любого МсХ. [Определить замкнутые множества в этой топологии.] *) Пример пространства, в котором выполнено (DIV), но не имеют места ни (Dn), ни (Dm), см. в упражнении 66 § 8. Пример пространства, в котором выполнены (D)]) и (Dlu), но не имеет места (D[), см. в упражнении 16 § 5 гл. IX B-е изд.). Примеры пространств, в которых выполнено только одно из условий (Du), (Dm), см. в упражнении 24 § 9. °В метр азуемом пространстве свойства (D|) и (D1V) равносильны: предложение 12 § 2 главы IX B-е изд.) показывает, что (D]) и (Du) равно- равносильны; с другой сторопы, если (D[v) выполнено, то для любого п существует максимальное счетное множество s^n==(^nm)m^n попарно не пересекающихся шаров радиуса — п объели пение всех этих шаров всюду плотно; счетно^ множестэо центров шаров Ват будет тогда всюду плотным,.
30 ТФПОЛОГИЧЕСКИВ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § 2 § 2. Непрерывные функции 1. Непрерывные функции Определение 1. Отображение f топологического простран- пространства X в топологическое пространство X' называют непрерывным в точке х0, если для любой окрестности V точки f(x0) в X' суще- существует окрестность V точки х0 в X такая, что x£V влечет Этому определению можно придать следующую, более наглядпую форму: утверждение, дто / непрерывна в точке хй, означает, что /(ж) сколь угодно близко к f{x0)' коль скоро х достаточно близко к х0. Отношение «f(x)£V для всех x£V» равносильно отношению —i f(V)cV или также Vcf(V); принимая во внимание аксиому окрестностей (V,), заключаем, что определение 1 равносильно следующему: говорят, что отображение /: X—*-Х' непрерывно в —1 точке х0, если прообраз f(V') всякой окрестности V в X' точки f(x0) является окрестностью точки х0 в X. Впрочем, достаточно, —1 чтобы f{V) было окрестностью х0 для любой окрестности V, принадлежащей некоторой фундаментальной системе окрестностей точки f{x0) в X' (§ 1, п° 3). Предложение 1. Пусть f — отображение топологического про- пространства X в топологическое пространство X'. Если f непре- непрерывно в точке х, а х — точка прикосновения множества А в X, то f(x) — точка прикосновения множества f(A) в X'. В самом деле, пусть V— окрестность точки f(x) в X'; поскольку —1 —1 / (V) есть окрестность точки х ъ X, существует точка у £А f\f (V), откуда f(y)£f(A)nV; этим доказано, что f(x) — точка прикос- прикосновения множества f(A). Предложение 2. Пусть X, X', X" — топологические простран- пространства, f — отображение X в X', непрерывное в точке х£Х, g — отображение X' в X", непрерывное в точке f(x). Тогда составное отображение h—g ° f пространства X в X" непрерывно в точке х,-
1 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 31 В самом деле, пусть V"— окрестность точки h(x)~g(f(x)) в —1 1 X"; в силу непрерывности g в точке f(x), g(V") есть окрестность —1 —1 точки f(x) в X'; поскольку / непрерывно в точке х, f (g{V")) = —i —h (V") есть окрестность х в X, чем предложение доказано. Определение 2. Отображение топологического пространства X в топологическое пространство X' называют непрерывным на X (или просто непрерывным), если оно непрерывно в каждой точке из X. Примеры. 1) Тождественное отображение топологического пространства X на себя непрерывно. 2) Постоянное отображение топологического пространства в топологическое пространство непрерывно. 3) Всякое отображение дискретного пространства в топологи- топологическое пространство непрерывно. Теорема 1. Пусть f — отображение типологического про- пространства X в топологическое пространство X'; следующие свой- свойства равносильны: а) / непрерывно на X; б) f(A)czf(A) для любого АсХ; в) прообраз всякого замкнутого множества ш X' есть замкну- замкнутое множество в X; г) прообраз всякого открытого множества из X' есть открытое множество в X. Мы уже видели, что а) влечет б) (предложение 1). Покажем, —1 что б) влечет в): пусть F'— замкнутое множество в X' и F=f (/""); по предположению имеем f(F)czf(F)czF'=F', откуда Fcf {F')=* ^FcF, т. е. F—F и F замкнуто, в) влечет г) в силу того, что —1—1 С/ (A')—f (CA') для любого A'czX'. Пусть, наконец, выпол- выполнено г); для любого х $Х и любой окрестности V точки f(x) n X'1 существует открытое множество А' в X' такое, что f(x)£A'
32 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I. I 1 —I —1 —t —1 тогда x£f(A')<z.f (V) и, поскольку / (А1) открыто, / (V) является окрестностью точки х в X, чем доказано, что г) влечет а). Замечания. 1) Пусть 58 — базис (§ 1, п* 3) топологии в Х'\ для того чтобы /: Х-*-Х' было непрерывно, необходимо —1 и достаточно, чтобы / (W) был открытым в X для любого U' £58. Примеры. Пусть а — какое-либо рациональное числа; ото- отображение х н-> а+х рациональвой прямой Q иа себя непрерывно на Q, ибо прообраэ открытого интервала ]Ь, е\ относительно этого отобра- отображения есть открытый интервал ]6—а, с—а\. Отображение xt—>ax тоже непрерывно на Q: это очевидно, если а=0, ибо тогда ог=0 при любом х; если же в/0, то прообразом открытого интервала ]Ь, с[ служит 6 о открытый интервал с концами — и —. в а 2) При непрерывном отображении X в X' образ открытого (соотв. замкнутого) множества из X может не быть открытым (соотв. замкнутым) множеством в X' (см. § 5). Пример. "Отображение /: х н-* ттг~» числовой прямой R в себя непрерывно, но / (R) есть полуоткрытый интервал {0,1], а он ни открыт и ни замкнут в R., Теорема 2. Г Пусть /: Х-+Х' и g: X'-+X"— непрерывные отображения, тогда g ° f: X-*-X" непрерывно. 2° Для того чтобы биекция f топологического пространства X на топологическое пространство X' была гомеоморфизмом, необ- необходимо и достаточно, чтобы и f и обратная к f биекция g были непрерывны (или, как еще говорят, чтобы / было взаимно непре- непрерывно). ■■ Первое утверждение есть непосредственное следствие предло- предложения 2; второе вытекает из теоремы 1г и определения гомеомор- гомеоморфизма (§ 1, п° 1). Замечания. 3) Может существовать непрерывная бивнция топологического пространства X на топологическое пространство X', н« являющаяся взаимно нвпр$рывнойх пример получим, веяв
£ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 33 за X' рациональную прямую Q, а за X — множество Q, наделен- наделенное дискретной топологией; тождественное отображение Х->-Х' будет непрерывно, но не будет гомеоморфизмом. 4) Чтобы убедиться в том, что непрерывная биекция /: Х-+Х' есть гомеоморфизм, достаточно доказать, что f(V) есть окрестность точки f(x) в X' для любой точки х£Х и любой ее окрестности V. 5) Пусть X — топологическое пространство и 2? (х) для каждого х£Х — множество всех окрестностей х. Пусть х0—точка из X; опре- определим для каждого х£ X множество 330(ж) подмножеств из X слодующим образом: 3<о(Л;о)==^(;со). а если *#*о> то 35о(ж) ~ множество всех подмножеств из X, содержащих х. Непосредственно провернется (§ 1, предложение 2), что ЗИ0(ж) — множества окрестностей точек х из X для некоторой топологии в X; обозначим через Хо полученное так топологическое пространство, а через / — тождественное отображение Х0->Х, непрерывное, но вообще не взаимно непрерывное. Для того ятобы отображение / пространства X в топологическое пространство X' было непрерывно в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы со- составное отображение Х0->Х->Х' было непрерывно на Хо, что непо- непосредственно вытекает из определений. 2. Сравнение топологий Теорема 2 показывает, что в качестве морфизмов топологиче- топологических структур можно взять непрерывные отображения (Теор. множ., гл. IV, § 2, п°1); мы будем всегда предполагать в дальней- дальнейшем, что сделан именно этот выбор морфизмов. В соответствии с общими определениями (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 2) это позво- позволяет определить отношение порядка в множестве всех топологий в одном и том же множестве X: Определение 3. Пусть даны топологии ^~и <^Га в одном и том же множестве X; говорят, что <JTj мажорирует <^Г2 (и что <^Г2 мажорируется oTi), если тождественное отображение Х^^-уХ^ еде Х(— множество X, наделенное топологией S~t (£ = 1, 2), непре- непрерывно. Если, кроме того, S'y^^'iy то говорят, что S~i сильнее £Г% {а <# слабее <#\). Две топология, одна из которых мажорирует другую, называют сравнимыми. 2 Н. ВурСаки
34 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2 Критерии непрерывности отображения (определение 1 и тео- теорема 1) сразу дают следующее предложение: Предложение 3. Пусть ST^, £Гг— топологии в множестве X. Следующие предложения равносильны: а) oTj мажорирует $~^. б) Каково бы ни было х£Х, всякая окрестность х в топологии <£Г2 есть окрестность х в топологии $~±. в) Для любого А с X иамыкание А в топологии <£Гг содержит замыкание А в топологии S~\. г) Всякое множество из X, замкнутое в аГа, замкнуто в аГу. д) Всякое множество из X, открытое в £Гг, открыто в <$~i. Пример. °В гильбертовом пространстве Н всех последователь- постей х=(а:„) вещественных чисел, для которых ||х||г=2 ^п*^"^00' п=о окрестностями точки х0 в сильной топологии являются всевозможные множества, содержащие каждое какой-нибудь шар |]х—хо|)<а с цент- центром в х0; окрестностями х0 в слабой топологии являются множества, содержащие подмножество, определяемое условием вида sup |(x—хо|а/)|<1 v> (где а/—точки из Н, а (х|у)=2 хпуп для х=(ж„) и у=(уп)) (Топ. п = о вект. простр., гл. V). Пусть р= sup ||а,||; тогда ||х—xo|l<-sr влечет l^i^n Р |(х—хо|а,)К||х—хо||-||а;||<1 A<г<ге), чем доказано, что сильней топология мажорирует слабую. С другой стороны, в Н для всякого конечного семейства точек (af)i<gisrn существуют такие точки х, что (х—хо|а()=0 (l<i<re), а |)х—хо|| сколь угодно велико; это показывает, что сильная топология сильнее слабой.,, Замечания. 1) В упорядоченном множестве топологий в множестве X дискретная топология самая сильная, а топология, единственными открытыми множествами которой являются 0 и X, самая слабая. 2) Говоря образней: чем топология сильнее, тем больше открытых множеств, замкнутых, множеств, окрестностей; замыкание (соотв. внутренность) множества тем меньше (соотв. больше), чем топо-
S НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 35 логия сильнее; чем топология сильнее, тем меньше всюду плотных множеств. 3) Непрерывное отображение /: Х-*-Х' останется непрерывным при замене топологии в X мажорирующей топологией, а топологии в X'— мажорируемой (теорема 2). Иначе говоря, непрерывных отображений X а X' тем больше, чем топология в X сильнее, а топология в X' слабее. 3. Инициальные топологии Предложение 4. Пусть X — множество, (У,)^! — семейство топологических пространств, /, для любого i £ / — отображение X в У,. Пусть @ — множество всех подмножеств из X вида /ДЕ/,) (i £/, Ul— открытое множество в У,) и 23— множество пересечений всевозможных конечных семейств множеств из ©. Тогда 23 есть базис топологии /вХ, являющейся инициальной топологической струк- структурой в X относительно семейства (/t) (Teop. множ., гл. IV, § 2, п° 3) и, в частности, слабейшей из тех топологий в X, при которых все ft непрерывны. Говоря точнее, для того чтобы отображение g топологического пространства Z в X (наделенное топологией $~) было непрерывно в точке z£Z, необходимо и достаточно, чтобы каждая из функций f^g была непрерывна в точке z. Пусть D — множество всевозможных объединений множеств из 23; ясно, что £) удовлетворяет аксиоме (О,) в силу ассоциатив- ассоциативности объединения и аксиоме (Ои) в силу определения 23 и ди- дистрибутивности пересечения конечных семейств относительно произвольных объединений (Теор. множ., Сводка результ., § 4, формула C7)). Таким образом, £) есть совокупность всех открытых множеств некоторой топологии $~ в X, а 23 — базис этой тополо- топологии. Докажем последнее утверждение предложения, что повлечет остальные на основании общих свойств инициальных структур (Теор. множ., глава IV, § 2, п° 3, критерий CST 9). Прежде всего, определение © показывает, что Д непрерывны на X (теорема 1); поэтому, если g непрерывно в точке г, то то же верно и для fpg (предложение 2). Обратно, предположим, что все fog непрерывны в точке г, и пусть V — окрестность #(г) в X; по определению руществуют конечное подмножество / множеств / ц для каждого V
36 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § * —1 i £ / открытое множество Ul в Yl такие, что V содержит ft /, (U), —1 a g(z) принадлежит этому последнему множеству. Но g {V)z> П—i —i g (/,(£/,)), аиз предположения вытекает, что каждое из множеств —1 —1 —1 8 (A (Ut)) есть окрестность г в Z; следовательно, также g (V) — окрестность z в Z, что и завершает доказательство. Пусть 23, — базис топологии в У, (i £ /); обозначим через ©' —1 множество всевозможных подмножеств из X вида /t(C/t), где £/,£ 33, для любого i £ /. Непосредственно ясно, что множество 33' пересе- пересечений всевозможных конечных семейств множеств из ©' также является базисом топологии <&~. Общие свойства инициальных структур (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 3, критерий CST 10) влекут, в частности, следующее свойство транзитивности (впрочем, и непосредственно оче- очевидное): Предложение 5. Пусть X —множество, (ЗДе/ —семейство топологических пространств, (/х)хех — разбиение I и (Ух)хеь — семейство множеств, имеющее L своим множеством индексов. Пусть, наконец, h-y для каждого k£L — отображение X в Yx, a glX для любых k£Lui£ Jx—отображение Yx в Z-, положим тогда fK=giXo h^. Наделим каждое Yx слабейшей из топологий, при которых все gA (i £ J\) непрерывны; тогда слабейшая из топологий в X, при которых непрерывны все /tf совпадает со слабейшей из топологий, при кото- которых непрерывны все h^. Примеры. I. Прообраз топологии. Пусть X — множество, Y— топологическое пространство, / — отображение X в У; слабейшая топология £Г в X, сохраняющая непрерывность /, называется прообразом относительно / топологии пространства У. Из пред- предложения 4 и формул, выражающих прообразы объединения и пере- пересечения (Теор. множ., Сводка результ., § 4, формулы C4) и D6)), вытекает, что открытые (соотв. замкнутые) множества для <£Г — ЭТО прообразы относительно / открытых (соотв. замкнутых) мнд»
8 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 37 жеств из У; следовательно, для каждого х£Х множества f(W), где W пробегает фундаментальную систему окрестностей f(x) в Y, образуют фундаментальную систему окрестностей х в «JT. В § 3 под наименованием индуцированной топологии будет изучен гот частный случай, когда XczY, а / — каноническая инъекция X-*-Y; X, наделенное этой топологией, называется тогда подпространст- подпространством пространства Y (см. § 3, п° 1). Для того чтобы отображение / топологического пространства X в топологическое пространство X' было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы топология X мажорировала прообраз тополо- топологии X' относительно /. II. Верхняя грань множества топологий. Всякое семейство (<^",)i«' топологий в множестве X обладает верхней гранью <&~ в упорядоченном множестве всех топологий в X, т. е. среди топо- топологий в X, мажорирующих все <JTlt существует слабейшая. В самом деле, достаточно применить предложение 4, обозначая через У множество X, наделенное топологией «JT,, и через /(— тождест- тождественное отображение X-*Yt; тогда <JT будет слабейшей из топо- топологий, для которых непрерывны все /,. Пусть теперь © — проиявольное множество подмножеств мно- множества X; среди всех топологий <JT в X, для которых каждое множество из © открыто, существует слабейшая <^Г0, называемая топологией, порождаемой множеством ©; в самом деле, достаточно рассмотреть в X для каждого множества U £ © топологию $~а, открытыми множествами которой являются 0, U и X (такое множество подмножеств очевидно удовлетворяет аксиомам (О,) и (О,,)); топология <^Г0 есть не что иное, как верхняя грань топологий <§~и. По предложению 4, множество 33 пересечений всевозможных конечных семейств множеств из © образует базис топологии <^Г0. © называют системой образующих топологии <&~0. ITI. Произведение топологий. Пусть (Х(I6/ — семейство топо- топологических пространств; слабейшую из топологий в произведении X" П X,, при которых непрерывны все проекции pr,: X-*Xt, называют произведением топологий пространств X; мы изучив ее подробнее в § 4.
38 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I § 2 4. Финальные топологии Предложение 6. Пусть X —множество, (Y^ei — семейство топологических пространств, Д для каждого i £ / — отображение У, в X. Пусть D — множество всех подмножеств U в X таких, —1 что Д(Г/) открыто в Yx для любого i£/; D есть множество всех открытых множеств для топологии $~ в X, являющейся финальной структурой в X относительно семейства (Д) (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 5) и, в частности, сильнейшей из тех топологий в X, при которых все Д непрерывны. Другими словами, для того чтобы отображение g множества X, наделенного топологией $~, в топо- топологическое пространство Z было непрерывно, необходимо и доста- достаточно, чтобы каждое из отображений g ° Д было непрерывно. Непосредственно проверяется, что £) удовлетворяет аксиомам (О,) и (О,,) (Теор. множ., Сводка результ., § 4, формулы C4) и D6)); докажем последнее утверждение предложения, что повле- повлечет остальные в силу общих свойств финальных структур (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 5, критерий CST 18). Из определения £) явствует, что при наделении X топологией $~ все Д непрерывны (теорема 1); поэтому, если g непрерывно, то непрерывны и g о Д (теорема 2). Обратно, предположим, что все g ° Д непрерывны, и пусть V — открытое множество в Z; по предположению мно- —1 —1 жество Д ( g (V)) открыто в У, при любом i £ /; следовательно, —] g {V) £ £>, что и завершает доказательство. Следствие. При условиях предложения 6, для того чтобы множество F в X было замкнуто в топологии $~, необходимо и —1 достаточно, чтобы Д (F) было замкнуто в У, при любом i £ /. Это получается из определения открытых множеств топологии <JT переходом к дополнениям. Общие свойства финальных структур (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 5, критерий CST 19) влекут следующее свойство транзи- транзитивности (и непосредственно очевидное): Предложение 7. Пусть X —множество, (Zt)iei —семейства фонологических пространств, (Д)хб^ — разбиение I и
4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 39 семейство множеств, имеющее L своим множеством индексов. Пусть, наконец, 1\ для каждого k£L — отображение Y^ в X, a g^ для любых X^L и i£A~ отображение Z, в Y^; положим тогда fi=l\ ° gxt- Наделим каждое Yx сильнейшей из топологий, при которых непрерывны все gXt (i £ /х). Тогда сильнейшая из топологий в X, при которых непрерывны все /,, совпадает с сильнейшей из топологий, при которых непрерывны все hx. Примеры. I. Фактортопология. Пусть X — топологиче- топологическое пространство, R—отношение эквивалентности в X, Y — X/R— фактормножество X по R и ф: X-*Y — каноническев отображение. Сильнейшая из топологий в У, при которых ф HiupipuBHo, назы- называется фактортопологией топологии пространства X по отно- отношению R; мы изучим ее подробнее в § 3. И. Нижняя грань множества топологий. Всякое семейстпо (<^r,)i6i топологий в множестве X обладает нижней гранью $~ в множестве всех топологий в X; другими словами, $~ есть силь- сильнейшая из топологий, мажорируемых всеми <£Tt. В самом доле, достаточно применить предложение 6, взяв за У( множество X, наделенное топологией З"^ а за /,— тождественное отображение Yt-*-X. Если £), — множество всех открытых множеств в X, наделенном топологией «^ то [] Д есть мыожадтво всех от- крытых множеств в X, наделенном топологией «JT. £Г называют также пересечением топологий £ГХ. III. Сумма топологических пространств. Пусть семейство топологических пространств, X — сумма множеств X, (Теор. множ., гл. II, § 4, определение 8), /, для каждого i £ / — каноническое (инъективное) отображение Хк в X. Сильнейшая топология <JT в X, оставляющая непрерывными все /t, называется суммой топологий пространств Xit a X, наделенное этой тополо- топологией,— суммой топологических пространств X,. Отождествим каждое Хк с его образом в X относительно /,; для того чтобы мно- множество АсХ было открытым (соотв. замкнутым) в топологии ST, необходимо и достаточно, чтобы каждое из множеств А П X, было открытым (соотв. замкнутым) в Xt. В частности, каждое иа Xt открыто-замкнуто.
40 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § * IV. Следующее предложение обобщает ситуацию примера III: Предложение 8. Пусть X —множество, (Xx)\sl— семейство ег» подмножеств и каждое Хх наделен» топологией ciF\ так, что ёля любой пары индексов (k, \i): 1* Х^пХр открыто (соотв. замкнута) в каждой из топологий 2° <£ГХ и <£Г^ индуцируют в ХХ[\Х^ совпадающие топологии. Пусть £Г — сильнейшая из топологий в X, при которых все инъекции Д: Хх-*-Х непрерывны. Тогда при любом k£L множество Хх открыто (соотв. замкнуто) в X, наделенном топологией $~, и топология, которую <f индуцирует в Хх, совпадает с <JF\. В силу предложения 6 и его следствия все сводится к доказа- доказательству равносильности для любого к и любого множества АхсХх следующих предложений: (I) Ах открыто (соотв. замкнуто) в типологии $~х; (II) АХ{\Х^ открыто (соотв. замкиут*) в т*п*лвгии 3"^ при яюбом ц gL. Но ясно, что (II) влечет (I), если положить ц=Х. Обратно, если (I) выполнено, то ЛХП Х^ открыто (соотв. замкнуто) в Хх П Х^, жаделенном топологией З"^ индуцируемой $~х; но $~^ является также топологией, индуцируемой «JT^ в Хх(~\ Х^, и потому Ах(~\ Х^ будет также пересечением ХХ(]Х^ с некоторым открытым (соотв. замкнутым) в топологии <£Г^ множеством В^ из Х^\ а поскольку ХхГ\Хр открыто (соотв. замкнуто) в топологии «JT^, то же верно для А-^ОХр, что и завершает доказательство. Отметим, что если объединение множеств Хх отлично от X, то топология, которую £Г индуцирует в С(МХх), дискретна. В самом К € L деле, если х£Х ие принадлежит ни одному из Х^, то ^х^(]Х^=0 открыто в ^\ при любом к и, следовательно, {х} открыто в $~. &. Склеивание топологических пространств Пусть {Xx\eL— семейство множеств и X — его сумма (Теор. множ., гл. II, § 4, определение 8); отождествим каждое Хх с его образом в X относительно канонической инъекции /\: Хх-*-Х. Рассмотрим отношение эквивалентности R в X, обладающее тем свойством, что каждый класс эквивалентности по R имеет в
S НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 41 каждом Хх не более одного элемента; пусть ЛХ|4 для каждой пары индексов (X, ц.) означает подмножество в Хх, образованное теми элементами х, для которых существует элемент у£.Х^, принадле- принадлежащий одному классу эквивалентности с х. Ясно, что каждой точке x£AXv. соответствует, и притом единственная, точка у^А^, конгруэнтная я mod R. Определяемые так отображения^: Ах^~*-А^ удовлетворяют тогда следующим условиям: (I) h^ для каждого X £ L есть тождественное отображение мно- множества ДХХ=ХХ на себя; (II) для каждой тройки индексов (X, ц., v) из L и каждого х £ ЛХA П ^xv Обратно, пусть для каждой пары индексов (X, ц) заданы мно- множество ЛхцСХх и отображение h^: А^-^-А^, удовлетворяющие условиям (I) и (II). Из условия (II), примененного к тройкам (X, ц., X) и (ц, X, ц.), вытекает прежде всего, что hXv, о h^ (соотв. \\ ° К?) есть сужение hn (соотв. h^) на ЛХ|Л (соотв. А^), откуда в силу (I) следует, что /^ц и ^цх— взаимно обратные биекции. Пусть тогда R \ х, \у\ означает отношение «существуют X, ц такие, чт# х £ ЛХ|,, у 6 Аух и У\\{х)ь- Из предыдущего и (I) вытекает, что R ре- рефлексивно и симметрично;^ другой стороны, если х £ 4Х|Л, У=\х(х) £ € \х П А^ и z=h^(y),тог«/1хДу),откуда, согласно(И),а: 6 ЛХA П ^Xv; тем самым соотношение A) доказывает, что R транзитивно, и, таким образом, R есть отношение эквивалентности в X. Вместе с тем из (I) и определения R вытекает, что каждый класс экви- эквивалентности по R имеет не более одного элемента в каждом Хх и что Ах„ есть множество тех х £ Хх, для которых существует у £ Х^, конгруэнтное я mod R. Говорят, что фактормножество X/R получе- получено склеиванием множеств Хх по множествам AXtl посредством биек- ций hyx- Сужение канонического отображения q>; X-+X/R на каж- каждое Хх есть биекция Хх на ср(Хх). Предположим теперь, что каждое Хх есть топологическое пространство, и пусть <^ГХ — его топология. Наделим множестве X/R сильнейшей топологией <£Г, оставляющей непрерывными все отображения ф • Д: Xy-*-X/R, или, что равносильно этому,
42 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2 наделим X суммой топологий <^ГХ, a X/R — ее фактортопологией по отношению R. Говорят, что топологическое пространство X/R получается склеиванием топологических пространств Хх по мно- множествам 4X|i посредством биекций 7^х. Таким образом, открытые (соотв. замкнутые) множества в X/R — это канонические образы множеств ВсХ, насыщенных по R и таких, что ВпХ^ открыто (соотв. замкнуто) в Хх для каждого X£L. Поскольку сужение ф на каждое Хх есть биекция на множество Хх = ф(Хх)сХ/Д, топология <^ГХ посредством этой биекций пере- переносится в Х\, так что Хх наделяется некоторой топологией $~\, а топология <£Г в X/R оказывается сильнейшей из оставляющих непрерывными все канонические инъекции Xx-+X/R. Вообще говоря, топология, которую $~ индуцирует в Х%, мажорируется топологией $~%, но не совпадает с этой последней, даже когда все h^x— гомеоморфизмы (§ 3, упражнение 15). Однако из предло- предложения 8 вытекает, в предыдущих обозначениях: Предложение 9. Пусть все h^— гомеоморфизмы, а каждое ЛХ|А открыто (соотв. замкнуто) в Хх; тогда каждое ф(Хх) открыто (соотв. замкнуто) в X/R и сужение ф на Хх есть гомеоморфизм Хх на подпространство ф(Хх) пространства X/R. Упражнения 1) Пусть / — отображение топологического пространства Л' в топологическое пространство X'; следующие свойства равносильны: а) / непрерывно; б) /V')C(/V'))° Для каждого А'сХ'; "—г —1— в) f(A') с f(A') для каждого А'сХ'. Показать на примере, что для непрерывного / множества / {А') л / (А1) могут быть различны. 2) Пусть X и X'— упорядоченные множества, наделенные каждоо своей правой топологией (§ 1, упражнение 2); для того чтобы отобра- отображение /: Х->Х' было непрерывво, необходимо и достаточно, чтобы оно было возрастающим. 3) Пусть X и X'— топологические пространства и / — биекция X на Х'\ для того чтобы / было гомеоморфизмом X на X', необходимо ц
УПРАЖНЕНИЯ 43 достаточно, чтобы топология в X' была сильнейшей из всех топологий в X', При которых / непрерывно. 4) В упорядоченном множестве X верхней гранью правой и левой топологий (§ 1, упражнение 2) служит дискретная топология; если X — фильтрующееся (вправо или влево), то нижняя грань этих двух топологий есть слабейшая топология в X. 5) Обозначим через ^(Х) (соотв. $~+(Х), $~-(Х)) топологию, по- порождаемую в упорядоченном множестве X множеством всех открытых (соотв. полуоткрытых справа, полуоткрытых слева) интервалов, ограниченных или нет. а) Показать, что если X совершенно упорядочение, то открытые (соотв. полуоткрытые справа, полуоткрытые слева) интервалы образуют базис топологии <&~0(Х) (соотв. $~+(Х), <^Г_(Х)); замкнутые интервалы являются замкнутыми множествами в каждой из этих трех топологий. 6) В совершенно упорядоченном множестве X топология $~±(Х) мажорирует правую топологию (§ 1, упражнение 2); топология <&~-(Х) мажорирует левую топологию; пересечением £Г+(Х) и <^Г_(Х) служит в) Пусть X — совершенно упорядоченное множество. Для того чтобы топология <^Г0(Х) обладала счетным базисом, необходимо и до- достаточно существование такого счетного множества DdX, чтобы для каждого i£Xh каждого интервала Jo, b[, содержащего х, существовали a£D, fi££> такие,что о<а <ж<Р<Ь. [Ср. гл. IV, 3-е изд., § 2, упражне- упражнение 11в.) г) Если X — вполне упорядоченпое множество (Теор. множ., гл. III, § 2), то топология <^Г+ (X) — дискретная, а топологии $~0(Х) и <^"_ (X) совпадают. *6) Топология в множестве X называется квааимаксималъной, если она максимальна в множестве всех топологий, при которых X не имеет изолированных точек. а) Показать равносильность следующих свойств топологии <$~ в X: а) ^"квазимаксимальна; Р) X, наделенное топологией <^Г, не имеет изолированных точек и всякое множество в X, не имеющее изолиро- изолированных точек, открыто. б) Пусть X — колмогоровское пространство (§ 1, упражнение 2), в котором всякое непустое открытое множество бесконечно. Пока- Показать, что в X существует квазимаксимальная топология, мажори- мажорирующая данную. [Показать, что множество топологий в X, при кото- которых все непустые открытые множества бесконечны, индуктивно, и воспользоваться упражнением 2г § 1.] *7) Для любого множества X обозначим через §Р0(-Ю множество всех ого непустых подмножеств. а) Пусть X — непустое топологическое пространство. Обозначим .через jTq (соотв. jf^,) слабейшую из топологий в $Р0(Х), обладающих тем свойством, что ^0(Л) открыто (соотв. замкнуто) в ^0(Х) для лю- любого непустого открытого (соотв. замкнутого) множества А иг X.
44 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2 Показать, что вообще эти две топологии несравнимы и ято отображение XI—> {я} есть гомеоморфизм пространства X на подпространство про- пространства ^о(х). наделенного любой из топологий <£Га, $~ф. б) Пусть D — плотное множество в X; показать, что множество ©(£>) всех непустых конечных подмножеств из D плотно в §|?0(Х) для каждой из топологий <$~н, <^"ф. в) Топология $~а мажорируется левой топологией в Ц?оОТ. упо- упорядоченном отношением включения (§ 1, упражнение 2). Для того чтобы 4£§|>0(Х) было изолированной точкой в топологии ,$"а, необ- необходимо н достаточно, чтобы А — {х}, где х — изолированная точка в X; для того чтобы A £tyo(X) было изолированной точкой в топологии ^"ф, необходимо и достаточно, чтобы X было дискретным конечным про- пространством и А—Х. г) Показать, что если ?Р0(Х) наделено топологией <£ГП (соотв. <^ГФ), а $ро(Х)Х§Ро(х) —произведением ^Гй (соотв. ^Гф) на себя, то ото- отображение (М, N)y->MUN пространства фо(Х)X%0(Х) в Щ0(Х) не- непрерывно. д) Показать, что если Ц?0(Х) наделено топологией ^Гф, то отобра- отображение М ь-> М непрерывно. е) Пусть X и Y — топологические пространства, а /: X-+Y — непрерывное отображение. Показать, что если §ро(Х) и Щ0(У) наде- наделены оба топологией <^"п или оба топологией ,^ф, то отображение М I—> f(M) пространства tyo(X) в §P0(F) непрерывно. ж) Пусть X и Z — топологические пространства; для того чтобы отображение /: Z-+tya(X) было непрерывно, когда Щ0(Х) наделено топологией <&~Q (соотв. ,^"ф), необходимой достаточно, ятобы для каж- каждого замкнутого (соотв. открытого) множества А из X множество тех z£Z, для которых f(z)[)A^0, было замкнуто (соотв. открыто) в Z. *8) Пусть X — множество, с — кардинальное яисло, либо беско- бесконечное, либо равное 1. Множество яастей X, составленное из X и тех МсХ, для которых Card(M)<c, есть множество всех замкнутых множеств в X, наделенном некоторой топологией ^*с; $\— слабейшая топология, а если c>Card(X), то <$~с — дискретная топология. Всякая перестановка множества X есть автоморфизм топологического про- пространства, получаемого наделением X топологией ,^"с. Показать, что и, обратно, всякая топология <^Г в X, при которой все перестановки множества X непрерывны, есть необходимо одна из топологий $~с. [Пусть с — наименьшее кардинальное число, такое, что Card (F)<( для всех замкнутых в ^"множеств F, отличных от X; заметить, что если X бесконечно и c>Card(X), то <£Г — необходимо дискретная топология.] 9) а) Показать при условиях предложения 4, что слабейшая из топологий в X, при которых непрерывны все /,, есть также силъ" нейшая из топологий $~ в X, обладающих следующим свойством:
ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 45 всякое отображение g топологического пространства Z в X (наделенное топологией $~), такое, что все /, ° g непрерывны, непрерывно. б) Показать при условиях предложения 6, что сильнейшая из топологий в X, при которых непрерывны все /,, есть также слабейшая из топологий <^" в X, обладающих следующим свойством: всякое ото- отображение g пространства X (наделенного топологией £Г) в топологи- топологическое пространство Z, такое, что все g о /, непрерывны, непрерывно. 10) Пусть Щ) — некоторое фильтрующееся по возрастанию мно- множество топологий без изолированных точек в множестве X. Показать, что и верхняя грань множества ОЛ в множестве всех топологий в X есть топология без изолированных точек. *11) Топологическое пространство X называется разрешимым, если в нем существуют два взаимно дополнительных множества, каж- каждое из которых всюду плотно. а) Разрешимое топологическое пространство X не имеет изолиро- изолированных точек и всякое его открытое подпространство разрешимо. Обратно, если 33 — множество непустых открытых множеств из X такое, что всякое открытое подпространство U£s£ разрешимо и всякое непустое открытое множество в X содержит некоторое множество из S8, то X разрешимо. [Рассмотреть максимальное семейство попарно не пересекающихся открытых множеств из 33.] б) Если колмогоровское пространство X разрешимо, то всякое непустое открытое множество в X бесконечно. [Использовать упраж- упражнение 2г § 1.] в) Пусть X — такое топологическое пространство, что: 1° наи- наименьшая мощность b непустых открытых множеств в X бесконечна; 2° существует базис iP топологии в X, для которого Card(SP)<b. Показать, что X разрешимо. [Используя метод, примененный в уп- упражнении 24а § 6 гл. III Теории множеств, построить с помощью трансфинитной индукции два всюду плотных в X множества без общих точек.] В частности, рациональная прямая разрешима. г) Топологическое пространство X без изолированных точек на- называется иаодинным, если Card(i/) = Card(X) для каждого непустого открытого множества U в X. В пространстве X без изолированных точек всякое непустое открытое множество содержит непустое изодин- ное открытое подпространство. Вывести отсюда, что если всякое изо- динное открытое подпространство в X разрешимо, то X разрешимо. § 3. Подпространства; факторпространства t. Подпространства топологического пространства Пусть А — множество в топологическом пространстве X. Мы шределили топологию, индуцируемую в А топологией простран- ;тва X, как прообраз последней относительно канонической
46 ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 3 инъекции А-уХ (§ 2, п° 3, пример I); это же выражается также следующим определением: Определение 1. Пусть А — множество в топологическом пространстве X. Топологией, индуцируемой в А топологией про- пространства X, называется топология, открытыми множествами которой служат следы на А открытых множеств из X. Множество А, наделенное этой топологией, называется подпространством пространства X. Пример. Топология рациональной прямой индуцирует в мно- множестве Z всех рациональных целых чисел дискретную топологию, ибо следом открытого интервала Ire ^, п-\---Л на Z является мно- множество {ге}. Из предложения 5 § 2 (или прямо из определения 1) следует, что если ВсАсХ, то подпространство В пространства X сов- совпадает с подпространством В подпространства А пространства X (транзитивность индуцированных топологий). Если 2> — си- система образующих (соотв. базис) топологии пространства X (§ 2, п° 3, пример II), то ее след &А на А есть система образующих (соотв. базис) индуцированной топологии в А. Во всех вопросах, где фигурируют точки или подмножества из А, надо тщательно различать их свойства как точек (соотв. под- подмножеств) пространства X от их свойств как точек (соотв. под- подмножеств) подпространства А. Это различение достигается исполь- использованием выражений «в А», «по отношению к Л» или «относитель- «относительно А» для указания свойств второй категории (иногда в противовес выражениям «в X», «по отношению к X», «относительно X»). • Множество, открытое в подпространстве А, не является непременно открытым в Х\ для того чтобы любое открытое множество в А было открытым в X, необходимо и достаточно, чтобы А было открытым в X. В самом деле, условие необходимо, ибо А открыто по отношению к А; оно достаточно в силу (О,,) и определения 1. Замкнутые множества в А — это следы на А замкнутых мно- множеств из X (§2, п° 3, пример I); как и выше, убеждаемся, что для того, чтобы любое замкнутое множество в А было замкнутым в X, необходимо и достаточно, чтобы А было замкнутым в X.
1 ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 47 Окрестности точки х £ А относительно А — это следы на А окрестностей х относительно X; для того чтобы всякая окрест- окрестность точки х относительно А была окрестностью точки х отно- относительно X, необходимо и достаточно, чтобы А было окрестностью точки х в X. Предложение 1. Если А и В — подмножества топологиче- топологического пространства X, причем ВсА, то замыкание множества В в подпространстве А есть след на А замыкания В множества В в X. В самом деле, всякая окрестность точки х£А в А имеет вид V П А, где7 — окрестность точки х вХ. Так как V |~| B=(V П А) П В, то для того чтобы х было точкой прикосновения множества В в А, необходимо и достаточно, чтобы х было точкой прикосновения множества В в X. Следствие. Для того чтобы подмножество В множества А было плотно относительно А, необходимо и достаточно, чтобы В=А в X (или, что сводится к тому же, чтобы АсВ). Отсюда заключаем, что если А, В, С — множества в X такие, что AzdBzdC и В плотно относительно А, а С плотно относительно В, то С плотно относительно А (транзитивность плотности). В самом деле, тогда А — В = С в X. Предложение 2. Пусть А — всюду плотное подпространство топологического пространства X; тогда для любой точки х £ А и любой ее окрестности V в А замыкание V последней в X есть окрестность точки х в X. В самом деле, V содержит след U [\А открытого множества U из X, содержащего х\ следовательно, V содержит U[)A — U (§ 1, предложение 5). Предложение 3. Пусть (Л()с € j — семейство подмножеств то- топологического пространства X, обладающее одним из следующих свойств: а) внутренности множеств As образуют покрытие простран- пространства X;
48 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. X, § 3 б) (AXej есть локально конечное замкнутое покрытие (§ 1, п° 5) пространства X. При этих условиях для того, чтобы множество ВсХ было открытым (соотв. замкнутым) в X, необходимо и достаточно, чтобы каждое из множеств В Л At было открытым (соотв. замкну' тым) в At. Необходимость условий очевидна. Для доказательства доста- достаточности предположим сначала, что выполнено условие а). По- Поскольку (CB)(]Al=Al—(В RAJ, можно, по двойственности, ограничиться рассмотрением того случая, когда каждое Br\At открыто относительно At; тогда В["| А\ открыто в At для любого i£/ и, следовательно, открыто в X. Так как по предположению B=\J(B П^), то В открыто в X. i Предположим теперь, что выполнено условие б). По двойствен- двойственности можно снова ограничиться рассмотрением случая, когда каждое из В П At замкнуто относительно At; тогда В П At замкнуто в X. А поскольку семейство (BoAJ локально конечно и #= = \\(ВГ\А), то В замкнуто в X в силу предложения 4 § 1. Замечание. Пусть (C7,)tej — открытое покрытие топо- топологического пространства X и 331 для любого i £ / — базис топо- топологии подпространства Ul пространства X. Ясно, что 58= М 58, is/ есть базис топологии пространства X. 2. Непрерывность относительно подпространства Пусть X, У — топологические пространства, / — отображение X в У, В — множество в У, содержащее /(X). Определение инду- индуцированной топологии как инициальной топологии (§ 2, предло- предложение 4) показывает, что для непрерывности / в точке х £ X необ- необходимо и достаточно, чтобы отображение пространства X в под- подпространство В пространства У, имеющее тот же график, что и /, было непрерывно в точке х. Пусть теперь А — множество в X; если / непрерывно в точке х £ А (соот в. непрерывно в X), то его сужение f\A по предложению 2
8 ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 49 § 2 есть отображение подпространства А в У, непрерывное в точке х (соотв. непрерывное в А). Иногда говорят, что отображение /: X-+Y непрерывно относительно А в точке х$А (соотв. непрерывно относительно А), если его сужение f\A непрерывно в точке х (соотв. непрерывно в А). Заметим, что f\A может быть непрерывно, хотя бы / не было не- непрерывным ни в одной точке из X; пример этому доставляет характе- характеристическая функция фд множества А, всюду плотного в X вместе со своим дополнением (§ 2, упражнение 11): рассматриваемая как ото- отображение X в дискретное пространство {0, 1}, фд не непрерывна ни в одной точке из X, но. сужение фд на А есть постоянная, и, следова- следовательно, оно непрерывно^ Если А — окрестность точки х £ А в X и /: Х->У таково, что f\A непрерывно в точке х, то и / непрерывно в точке х, ибо всякая окрестность точки х относительно А будет окрестностью х относительно X (локальный характер непрерывности). Предложение 4. Пусть (At\ei — семейство подмножеств то- топологического пространства X, внутренности которых образуют открытое покрытие последнего, или которое является локально конечным замкнутым покрытием пространства X. Пусть / — отоб- отображение X в топологическое пространство X'. Если сужение f на каждое ив подпространств Л, непрерывно, то f непрерывно. В самом деле, пусть F'— замкнутое множество в X' и F—j (F1). Тогда FC\At замкнуто в Л( для каждого i£/ (§ 2, теорема 1); следовательно, по предложению 3, F замкнуто в X и справедли- справедливость утверждения следует из теоремы 1 § 2. 3. Локально замкнутые подпространства Определение 2. Подмножество L топологического пространства X называется локально замкнутым в точке x$L, если существует такая окрестность V точки х в X, что L[)V замкнуто относи- относительно подпространства V. L называется локально замкнутым в X, если оно локально замкнуто в каждой своей точке. Замечание. Пусть F — такое множество в X, что любая точка х из X обладает окрестностью V в X, для которой Vf]F замкнуто относительно подпространства V; из предложения 3 вытекает тогда,
50 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 3 что F замкнуто в X. Напротив, из нижеследующего предложения 5 тотчас следует, что, вообще говоря, существуют множества, локально замкнутые, но не замкнутые в X. Предложение 5. Для подмножества L топологического про- пространства X следующие условия равносильны: а) L локально замкнуто; б) L есть открытое подмножество своего замыкания L в X; в) L есть пересечение открытого и замкнутого подмножеств пространства X. Очевидно, б) влечет в), поскольку L есть тогда пересечение L с открытым подмножеством пространства X; в) влечет а) в силу определения 2. Наконец, а) влечет б);в самом деле, тогда каждая точка х £ L обладает открытой окрестностью U, для которой U Л L замкнуто в U; поэтому Uf\L=UГ\Ь, а это показывает, что точка х — внутренняя к L в подпространстве L, так что L открыто в L. Следствие. Пусть f: X-+X'— непрерывное отображение; тогда —1 прообраз f (L') любого локально замкнутого множества L' из X' локально замкнут в X. Это непосредственно следует из предыдущего предложения 5 и теоремы 1 § 2. 4. Факторпространства Определение 3. Пусть R — отношение эквивалентности в топологическом пространстве X. Факторпространством X по В. называют фактормножество X/R, наделенное фактортополо- гией пространства X по отношению R (§ 2, п° 4, пример I). В дальнейшем при рассмотрении X/R как топологического пространства всюду, где не оговорено противное, будет подразу- подразумеваться, что речь идет о факторпространстве X по R. Часто говорят, что это топологическое пространство получено путем отождествления тех точек пространства X, которые принадлежат одному и тому же классу эквивалентности по R. Пусть ф — каноническое отображение X-+X/R. По опреде- определению (§ 2, предложение 6 и его следствие) открытые (соотв.
* ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 51 замкнутые) множества в X/R — это множества А, для которых —1 Ц>{А) открыто (соотв. замкнуто) в X; иначе говоря, открытые (соотв. замкнутые) множества в X/R находятся во взаимно одно- однозначном соответствии с открытыми (соотв. замкнутыми) множест- множествами в X, насыщенными по R, и являются каноническими образами этих множеств. Предложение 6. Пусть R — отношение эквивалентности в топологическом пространстве X и ср — каноническое отображение X на X/R; для того чтобы отображение f пространства X/R в топологическое пространство У было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы /шр была непрерывно на X. Это не что иное, как частный случай предложения б § 2, выра- выражающий, что фактортопология есть финальная топология отно- относительно отображения ср. Предложение 6 показывает, что существует каноническое вза- взаимно однозначное соответствие между непрерывными отображе- отображениями X/R в У и непрерывными отображениями X в У, постоян- постоянными на каждом классе эквивалентности по R. Пример. "Рассмотрим на числовой прямой R отношение экви- эквивалентности х^у (mod 1); факторпространство R по этому отношению называется одномерным тором и обозначается Т. Класс эквивалент- эквивалентности точки ж£ R состоит из всевозможных точек х-\-п, где п пробегает множество Z рациональных целых чисел. По предложению 6 существует взаимно однозначное соответстиие между непрерывными функциями на Т и периодическими функциями с периодом 1 на R. В § 1 гл. V мы вернемся к этому важному примеру.о Следствие. Пусть X, У — топологические пространства, R (соотв. S) — отношение эквивалентности в X (соотв. У), /: X-*Y— непрерывное отображение, согласующееся с отношениями эквива- эквивалентности R и S (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 8); тог- тогда отображение g: X/R^*Y/S, полученное из f факторизацией (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 8), непрерывно. Это — частный случай общего свойства факторструктур (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 6, критерий CST 20). Предложение 7 (транзитивность факторпространств). Пусть R и S — отношения эквивалентности в топологическим простран-
52 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ, I. § 3 стве X, причем R влечет S, и SIR — факторотношение эквива- эквивалентности в факторпространстве X/R (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 9). Тогда биективное каноническое отображение (X/R)/{S/R)-±-X/S есть гомеоморфизм. Это — частный случай транзитивности финальных топологий (§ 2, предложение 7; ср. Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 6, критерий CST 21). б. Еаноничеекое разложение непрерывного отображения Пусть X, Y — топологические пространства, /: X->Y — не- непрерывное отображение, /? — отношение эквивалентности /(ж) = =f{y) в X. Рассмотрим каноническое разложение где ф — (сгоръективное) каноническое отображение пространства X на факторпространство X/R, г|) — каноническая инъекция подпространства f(X) в У и g — биекция, ассоциированная с / (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 3). Очевидно, g непрерывно (по предложению 6), что, впрочем, является частным случаем общего результата о факторструктурах (ср. Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 6). Но биекция g не обязательно гомеоморфизм. Предложение 8. Пусть /=г|) о g о ф — каноническое разложение непрерывного отображения /: X-+Y, R — отношение эквивалент- эквивалентности f{x)=f{y). Следующие три условия равносильны: а) g есть гомеоморфизм X/R на f(X). б) Образ при отображении f всякого насыщенного по R откры- открытого множества есть открытое множество в подпространстве f(X). в) Образ при отображении / всякого насыщенного по R замкну- замкнутого множества есть замкнутое множество в подпространстве f(X). В самом деле, условие б) (соотв. в)) выражает, что образ при отображении g всякого открытого (соотв. замкнутого) множества из X/R есть открытое (соотв. замкнутое) множество в f(X). Пример. Пусть X — топологическое пространство, (X,)i€/ — покрытие X, Y — сумма подпространств X, пространства X, так что
6 ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА 53 существуют разбиение (YJis/ пространстиа У на открыто-замкнутые подпространства и для каждого i£/ — гомеоморфизм /,: У,-»Х,. Пусть /: У->Х — непрерыиное отображение, совпадающее с /, на У, для любого i£/, и R — отношение эквивалентности /(ж)=/(у); таким образом, факторпространство У/Л получается «склеиванием» прост- пространств У, (§ 2, п° 5). Рассмотрим биекцию g: Y/R-+X, ассоциированную с /; вообще говоря, g не есть гомеоморфизм, как показывает пример, где все X, одноточечны, а X не дискретно. Однако если инутренности множеств Л^ образуют покрытие X, или (X,) — локально конечное замкнутое покрытие X, то g — гомеоморфизм; действительно, для любого открытого множества U нз У, насыщенного по R, и любого i£/ пересечение /(£0n^i=/i (^fl^i) открыто в Х„ так что справед- справедливость утверждения вытекает из предложения 3. Следующее предложение дает простое достаточное условие для того, чтобы g было гомеоморфизмом: Предложение 9. Пусть /: Х->-У — непрерывное сюръективное отображение, R — отношение эквивалентности f(x)=f(y). Если существует непрерывное сечение s: У->-Х, ассоциированное с f (Теор. множ., гл. II, § 3, определение 11), то отображение g: X/R^*-Y, ассоциированное с /, есть гомеоморфизм, as — гомео- гомеоморфизм Y на подпространство s(Y) пространства X. В самом деле, если ср: X^*-X/R — каноническое отображение, то g и ф о s биективны, непрерывны и взаимно обратны; точно так же s и сужение / на s(Y) непрерывны, биективны и взаимно обратны. Если R — отношение эквивалентности в топологическом про- пространстве Хиф: X^-X/R — каноническое отображение, то всякое ассоциированное с ф непрерывное сечение s: X/R-+X называется также непрерывным сечением пространства X по R (ср. Теор. множ., глава II, § 6, п° 2); тогда подпространство s(X/R) пространства X гомеоморфно X/R. Отметим, что задание s(X/R) полностью опре- определяет s; допуская вольность, часто говорят еще для краткости, что s(X/R) есть (непрерывное) сечение пространства X по R. Отметим, что непрерывное сечение топологического пространства по отношению эквивалентности не обизательно существует (упраж- (упражнение 12).
54 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1, § 3 6. Фапторпространство подпространства Пусть X — топологическое пространство, А — его подпро- подпространство, R — отношение эквивалентности в X, f — канониче- каноническое отображение X-+X/R и g — его сужение на А. Отношение эквивалентности g(x) —g(y) в А есть не что иное, как отношение RA, индуцированное отношением R в А (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 5). Пусть g—ty oho ф—каноническое разложение g, так что, обозначая через ) каноническую инъекцию А в X, имеем коммутативную диаграмму *) A) Предложение 10. Каноническая биекция h: A/RA-+f(A) не- непрерывна. При этом следующие три свойства равносильны: а) h — гомеоморфизм; б) всякое открытое множество в А, насыщенное по RA, есть след на А открытого множества из X, насыщенного по R; в) всякое замкнутое множество в А, насыщенное по RA, есть след на А замкнутого множества из X, насыщенного по R. Первая часть предложения очевидна (п° 5). Вторая следует из предложения 8: если В — открытое (соотв. замкнутое) мно- множество в А, насыщенное по RA, и g(B)=f(B) есть след на f(A) открытого (соотв. замкнутого) множества С из X/R, то В есть —1 след на А открытого (соотв. замкнутого) множества / (С), насы- насыщенного по /?; и обратно, если В есть след на А открытого (сооти. замкнутого) множества D, насыщенного по R, то f(B) есть след на f(A) множества f(D), которое открыто (соотв. замкнуто) в X/R. Следствие 1. Если А — открытое (соотв. замкнутое) множество в X, насыщенное по R, то каноническое отображение h: A/R^-^-j(A) есть гомеоморфизм. *) Это выражение означает, что / ° /=if ° h ° <р.
УПРАЖНЕНИЯ 55 В самом деле, если А открыто (соотв. замкнуто) и насыщено по /?, a BczA открыто (соотв. замкнуто) в А и насыщено по RA, то В открыто (соотв. замкнуто) в X и насыщено по R. Следствие 2. Если существует такое непрерывное отобра- отображение и: Х-*-А, что и(х) конгруэнтно х mod jF? для любого х£Х, то f(A)=X/R и каноническое отображение h: A/RA-+X/R есть гомеоморфизм. В самом деле, так как всякий класс эквивалентности по R имеет непустое пересечение с А, то канонический образ A/RA в X/R совпадает с X/R; с другой стороны, если U открыто в А и насыщено по RA, to и (U) совпадает, в силу предположения, с множеством, получаемым насыщением U по R; поскольку и не- —i прерывно, и (U) открыто в X (§ 2, теорема 1), чем в силу пред- предложения 10 следствие доказано. Пример. "Обозначим через R отношепие эквивалентности х^у (mod 1) на числовой прямой R (п° 4, пример) и через А — замк- замкнутый интервал [0, 1]; А содержит по крайней мере одну точку из всякого класса эквивалентности по R. Каноническое отображение A/RA на тор Т есть гомеоморфизм; в самом доле, пусть F — замкнутое множество в А (и тем самым в R); чтобы насытить F по отношению /?, нужно взять объединение замкнутых множеств F+ п (по всем rc£Z), очевидно, образующих локально конечное семейство; их объединение, таким образом, замкнуто (§ 1, предложение 4), откуда и вытекает наше утверждение. Заметим, что А/Яд получается отождествлением в А точек 0 и 1.0 Упражнения 1) Пусть А, В — подмножества топологического пространства X, причем Az^B. Показать, что: а) Внутренность В относительно X содержится во внутренности В относительно подпространства А пространства X; дать пример, когда эти два множества различны. б) Граница В относительно А содержится в следе на А границы В относительно X; дать пример, когда эти два множества различны. 2) Пусть А, В — произвольные подмножества топологического пространства X. а) Показать, что след на А внутренности В относительно X со- содержится во внутренности В(]А относительно А; дать пример, когда »ти два множества различны.
56 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, S 3 б) Показать, что след на А замыкания В в X содержит замыкание В{\А относительно А; дать пример, когда эти два множества различны. 3) Для того чтобы подпространство А топологического простран- пространства X было дискретным, необходимо и достаточно, чтобы всякая точка из А была изолированной. 4) Пусть У и Z — подпространства топологического пространства X, причем X = Y[]Z. Положим A=Yf]CZ, B=Z[)CY и будем пред- предполагать, что А[)В =В{\А —в; если Y a Z оба открыты или оба замк- замкнуты, это условие выполняется. а) Показать, что для любого множества МсХ замыкание М в X есть объединение замыкания M[)Y относительно Y и замыкания M[\Z относительно Z. Вывести отсюда, что если M[\Y замкнуто (соотв. открыто) в Y и M[)Z замкнуто (соотв. открыто) в Z, то М замкнуто (соотв. открыто) в X. б) Пусть / — отображение пространства X в топологическое пространство X'; показать, что если f\Y и f\Z непрерывны, то и / непрерывно. 5) Пусть У и Z — подпространства топологического пространства X и X = Y\]Z. Показать, что множество McY[\Z, открытое (со- (соотв. замкнутое) одновременно относительно Y и Z, открыто (соотв. зам- замкнуто) в X. 6) Пусть А — локально замкнутое подпространство топологиче- топологического пространства X. Показать, что множество открытых подмно- подмножеств U из X таких, что A cz U и А замкнуто в U, обладает наибольшим элементом, совпадающим с дополнением в X границы А относительно А. 7) Показать на примерах, что в топологическом пространстве объединение двух локально замкнутых множеств и дополнение к локально замкнутому множеству не обязательно локально замкнуты. 8) Пусть А — подмножество упорядоченного множества "X; то- топология, индуцируемая в А праиой (соотв. левой) топологией из X (§ 1, упражнение 2), есть правая (соотв. левая) топология в множестве А наделенном отношением порядка, индуцированным из X. 9) Пусть А — подмножество совершенно упорядоченного множе- . ства X. а) Топология, индуцируемая в А топологией £Г-(Х) (соотв. ^Г+(Х), <&~о(Х)) (§ 2, упражнение 5), мажорирует топологию <&~-(А) (соотв. «JT+^b «JToW) в множестве А, наделенном индуцированным отношени- отношением порядка. Если А — интервал в X, то ^Г_ {А) (соотв. ^"+ (А), <&~0{А)) индуцируется в А топологией <^Г_(Х) (соотв. ^Г+(Х), <£Г0№)- б) Возьмем в качестве X лексикографическое произведение QXZ (Теор. множ.,гл. III, §2, п°6), а в качестве А его подмножество QX {0}. Показать, что топология £Г-(А) (соотв. $~+(А), $~0(А))ъА слабее топологии, индуцируемой топологией $~-{Х) (соотв. <$Г+(Х), <JToW). 10) Пусть А — непустое подпространство непустого топологиче- топологического пространства X. Показать, что топология, индуцируемая в
упражнения 57 tyo(A) топологией <JTQ (соотв. ^Гф),заданнойв§K0(Х)(§2, упражнение 7), совпадает с топологией <^ГЙ (соотв. $~ф) в 5ро(-^)- *11) Пусть X — топологинеское пространство, $~— его тополо- топология, А — всюду плотное подпространство в X. Показать, что множе- множество тех топологий в X, мажорирующих ^Г, при которых А всюду плотно и которые индуцируют в А ту же топологию, что и <§Г, обладает по крайней море одним максимальным элементом; он называется А-максималъной топологией. Для того чтобы топология <§~0 в X была А -максимальной, необходимо и достаточно, чтобы ее открытыми мно- множествами были множества МсХ, для которых А[)М плотно в М (в топологии ^р*0) и открыто в А. Тогда подпространство СА дискретно в топологии, индуцируемой топологией JTO, и замкнуто в X. Показать, что если топология ^Го Л-максимальна, а топология, индуцируемая ею в А, квазимаксимальна (§ 2, упражнение 6), то^Р"о квазимаксимальна. °12) Пусть X — подпространство [0, 1] числовой прямой R и S — отношение эквивалентности в X, классами которого служат {О, 1} и множества {х} @<ж<1). Показать, что не существует непре- непрерывных сечений X по S.o 13) Пусть X — топологическое пространство, R и S — отношения экиивалентности в X, причем R влечет S. Показать.что если существуют непрерывное сечение X по R и непрерывное сечение X/R no S/R, то существует непрерывное сечение X по S. 14) Пусть X — пространство, являющееся суммой двух сиоих подпространств Хи Ха, и X/R — пространство, получаемое склеива- склеиванием Хх и Х2 по подпространствам At из Х1 и А2 из X, посредством гомеоморфизма h пространства А1 на Аг. Показать, что кановиче ские образы пространств Х1 и Ха в Х/Я гомеоморфны соответствен- соответственно Xj и Х2. °15) Рассмотрим в R подпространства Хг=]—1, 1[, Ха=]—2, —1[ и X3=]l, 2j; пусть X — их объединение, являющееся также суммой этих трех пространств. Пусть А2 (соотв. А3) — множество всех ирра- иррациональных чисел, содержащихся в Ха (соотв. Х3); Вх (соотв. В2) — множество всех рациональных чисел, содержащихся в ]—1, 0[ (соотв. в Х2); С1 (соотв. С3) — множество всех рациональных чисел, содер- содержащихся в |0, 1[ (соотв. в Х3). Пусть X/R — пространство, получаемое склеиванием пространств X,-: 1°по.Ла и А3 посредством гомеоморфизма xt—>-ж+3; 2° по fi[ и fi2 посредством гомеоморфизма xi—*- а:—1; 3° по С[ и С3 посредством гомеоморфизма xi—^-x+i. Показать, что кано- канонический образ Х: в X/R не гомеоморфен Х^ Факторпространство У/Ду, где У=Х1иДгиС3— насыщение Xt no R, не гомеоморфно ка- каноническому образу У в X/R.o 16) Пусть X — непустое топологическое пространство и Я — от- отношение эквивалентности в X. Показать, что если рассматривать X/R как подмножество в 5KО(Х), то фактортопология в X/R мажорируетсч топологиями, которые индуцируют в X/R топологии <£Га и ^"ф, задан- заданные в фд(Х) (§ 2, упражнение 7).
58 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4 § 4. Произведение топологических пространств 1. Произведение пространств Определение 1. Пусть дано семейство (X,),, € / топологиче- топологических пространствах произведением называют множество X=Ц А", is/ ' наделенное произведением топологий пространств Xt (§ 2, п° 3, пример III). X, (i£/) называют пространствами-сомножите- пространствами-сомножителями произведения X. В силу предложения 4 § 2 топология пространства X имеет базисом множество 33 пересечений всевозможных конечных се- —1 мейств множеств вида рг( (£/,), где /7,— открытые множества из Хк; эти пересечения являются не чем иным, как произведениями Ц А , где Л, открыты в Х1 для всех i £/ и Ai—Xl для всех кроме is/ конечного числа индексов ц мы будем называть эти произведения элементарными множествами. Пусть 23, для каждого i £ / — базис топологии пространства Х,\ ясно, что элементарные множества ЦЛ,, в которых Л, £93, is/ для всех i таких, что A=£Xt, снова образуют базис топологии произведения. Те из этих множеств, которые содержат точку х £ X, образуют, таким образом, фундаментальную систему окрестностей х (§ 1, предложение 3). Когда / — конечное множество, построение топологии произ- произведения по топологиям сомножителей Хк упрощается: элементар- элементарными множествами являются просто произведения JJ Л,, где IS/ Л,— произвольное открытое множество из Х{ для каждого i£/ (см. упражнение 9). Примеры. 'Произведение R" п экземпляров числовой прямой R называется п-мерным числовым пространством; Ra называется также числовой плоскостью (см. гл. VI, § 1). Так же, отправляясь от рацио- рациональной прямой Q, определяют п-мерное рациональное пространство Q" (рациональную плоскость для га=2). Топология пространства R" имеет своим базисом множество все- всевозможных произведений п открытых интервалов из R — произве- произведений, называемых открытыми п-мерными кирпичами. Открытые
1 ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 59 кирпичи, содержащие точку х£ R", образуют фундаментальную си- систему ее окрестностей. Точно так же замкнутыми п-мерными кирпи- кирпичами называются произведения п замкнутых интервалов из R. Замкну- Замкнутые кирпичи, имеющие х своей инутренней точкой, тоже образуют фундаментальную систему ее окрестностей. Аналогичные результаты имеют место для га-мерного рационального пространства.0 Предложение 1. Пусть /=(/,) — отображение топологиче- топологического пространства Y в пространство Х = ЦХ',. Для того чтобы is/ / было непрерывно в точке a£Y, необходимо и достаточно, чтобы все Д были непрерывны в точке а. Поскольку /,=рг( о /, это не что иное, как частный случай предложения 4 § 2. Следствие 1. Пусть (ХIе!, (У,I6/ — семейства топологи- топологических пространств с одним и тем же множеством индексов и /, для каждого i£/ есть отображение Xt в Yt. Для того чтобы отображение /: (ж,) ■—*• (/,(#,)) пространства П^вДУ, (про- изведение отображений /,) было непрерывно в точке а=(а), необ- необходимо и достаточно, чтобы /, было непрерывно в точке at для каждого i £ /. В самом деле, / записывается в виде xt—^if^v^x)), так что ус- условие достаточно по предложению 1. Обратно, пусть gx для каж- каждого х £ / означает такое отображение Хх в Д Х„ что pr,(gx(a;)I)) = is/ =хж и рг1(^х(жх)) = о1 для \.фк; g% непрерывно в точке а„ в силу предложения 1; а так как /„ = ргх ° / ° g%, то заключаем, что если / непрерывно в точке а, то /х непрерывно в точке а%. Следствие 2. Пусть X и Y — топологические пространства. Для того чтобы отображение /: X-+Y было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы отображение g: x\—*(x, f(x)) было гомеомор- гомеоморфизмом пространства X на график G отображения f (рассматрива- (рассматриваемый как подпространство произведения XxY). Поскольку /=рга о g, условие достаточно. Оно необходимо, ибо если / непрерывно, то g биективно и непрерывно (предложение 1), а его обращение является сужением на G проекции ргх, которая непрерывна (см. Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 4, критерий CST 17),
60 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I. § 4 Предложение 2 (ассоциативность топологического произве- произведения). Пусть {X)lui — семейство топологических пространств, (•Ле)хб* — разбиение множества I и Хк — Д X, для каждого к£К — произведение пространств Xt с индексами i £J%. Канони- Каноническое отображение (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 11) пространства JJ X, на пространство Ц Хч есть гомеоморфизм. 16/ хбК Это — частный случай транзитивности инициальных топологий (§ 2, предложение 5; см. Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 4, критерий CST 13). Пространства Ц X, и Ц Хч чаще всего отождествляются 16/ Х6К посредством канонического отображения. Следствие. Пусть о — перестановка множества I. Отобра- Отображение (х) и-> (хм) есть гомеоморфизм Ц Xt на ЦХA). is/ 16/ Достаточно в предложении 2 взять К=1 и /,= {o(i)} для каждого i £ /. Предложение 3. Пусть X —множество, {Yt)iei—семейство топологических пространств и /, для каждого i £ / — отображение X в У,. Пусть, далее, f — отображение x>—>(f^x)) множества X в У= Ц У, и ciT — слабейшая из топологий в X, при которых 16/ непрерывны все /,. Тогда <&~ есть прообраз относительно f топо- топологии, индуцируемой в f (X) топологией произведения У. . Это — другой частный случай транзитивности инициальных топологий (§ 2, предложение 5; см. Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 4, критерий CST 15). Следствие. Пусть А, для каждого i£/ — подпространство пространства У,. Топология, индуцируемая в А = Ц А: mono- is г логией пространства Ц У1( есть произведение топологий 41 Пространств Д(,
2 ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 61 Достаточно применить предложение 3 к функциям /,=/, ° рг,, где ;,— канонические инъекции А,->У, (см. Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 4, критерий CST 14). 2. Срез открытого множества; срез замкнутого множества; проекция открытого множества. Частичная непрерывность Предложение 4. Пусть Х^ и Х2— топологические простран- пространства; для каждого аг £ Хг отображение х2>—*(а1, х2) есть гомеомор- гомеоморфизм пространства Х2 на подпространство {аг} X Х2 пространства XxXXa. Это — частный случай следствия 2 предложения 1, применен- примененного к постоянной функции x2k~>ax. Отображение x2i—*(al, лг2) есть непрерывное сечение (§ 3, п° 5) по отношению эквивалентности pr2z=pr2z' в ХХХХ2; таким образом, факторпространство пространства XiXX2 по этому отношению экви- эквивалентности гомеоморфво Х8. Следствие. Срез А(хх) открытого (соотв. замкнутого) под- подмножества А пространства Хх X Х2 по любой точке xt £ Хх есть открытое (соотв. замкнутое) множество в Х2. Предложение 5. Проекция открытого множества U из Xt X Х2 на любое из пространств-сомножителей есть открытое множество. В самом деле, например ргаС/= М и{х^), так что справедли- вость утверждения вытекает из следствия предложения 4 и ак- аксиомы (О,). Замечание 1. Проекции замкнутого множества из Х1ХХ2 на пространства-сомножители вполне могут не быть замкнутыми, множествами. Например, на рациональной плоскости Q8 гипербола, определяемая уравнением xxx2=i, есть замкнутое множество, но обе ее проекции совпадают с дополнением к точке 0 в Q, а это множество не замкнуто. Предложение 6. Пусть Хх, Х2, Y — топологические простран- пространства и f — отображение пространства ХххХ2 в Y. Если f непре- непрерывно в точке (аг, а2), то частичное отображение х%*-*f(a^ хЛ пространства Х.% в Y непрерывно $ точке Oj.
62 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I, § 4 В самом деле, это отображение является композицией / и отображения хг\—>(аи х2), так что справедливость утверждения следует из предложения 4. Предложение 6 часто выражают иначе, говоря, что непрерыв- непрерывная функция двух аргументов непрерывна по каждому аргументу в отдельности. Замечание 2. Может случиться, что все частичные отобра- отображения, определяемые отображением /: Х1ХХ2-»У, непрерывны, a f не непрерывно на ХгХХ2 (см. гл. IX, 2-е изд., § 5, упражнение 23 и Топ. вект. простр.,гл. III, § 4, упражнение4). "Например, у отобра- отображения / числовой плоскости R2 в R, определенного условиями / {х, у) = = 2_jl i для (Ж| tf)/@' 0) н/@, 0) = 0, все частичные отображения не- прерывны, однако / не непрерывно в точке @, 0), поскольку f(x, x)—-x при хф0.о Если g — отображение пространства Хг в У, непрерывное в точке аи то отображение (хъ x2)\-^g(x1) пространства ХххХ2ъУ непрерывно в любой точке (а1( х2), как композиция g и проекции на Xv Результаты этого п° непосредственно распространяются на любое произведение JJ X, топологических пространств, если 16/ заметить, что последнее гохмеоморфно произведению 0Ц X,) X х (ТТ X) для каждого разбиения (/, К) множества / (предло- женио 2). 3. Замыкание в произведении Предложение 7. В произведении Д X топологических про- прока странств X замыкание произведения Ц.4, множеств ^ совпа- 16/ дает с произведением Ц А, их замыканий. 16/ В самом деле, пусть а=(а) — точка прикосновения для Д А%; в силу непрерывности проекции рг„, ах = ргха при любом х£/ есть точка прикоснрвения для Л, (§2, теорема 1), следорательно,
4 ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 63 а£ ГГ^1- Обратно, пусть b=(bj€ IIА и ЦУ,—какое-либо элементарное множество, содержащее Ъ; тогда для любого i £ / множество У, содержит некоторую точку я.^А, и, значит, ЦУ, содержит точку (я,) £ II -4,. чем доказано, что Ъ есть точка при- прикосновения для Д At. Следствие. Для того чтобы произведение Ц А, непустых множеств было замкнуто в пространстве Ц X,, необходимо и достаточно, чтобы Ак было замкнуто в Хк при любом t. Напомним, что если / конечно, то произведение AJ.4, открыто, когда А, открыто в X, при любом i; однако это не так, если / бес- бесконечно. Предложение 8. Пусть а=(а1) — точка пространства Х = = Ц X,; множество D тех точек х£Х, у которых рг1х=а1 для всех, кроме конечного числа, индексов t, всюду плотно в X. В самом деле, для каждой точки х б X и каждого элементарного множества У= Ц Uo содержащего х, имеем Ut=Xit за исклю- исключением индексов I, принадлежащих некоторому конечному под- подмножеству / множества /; положим y^=xt для t£/ и yt=at для 1(£/; очевидно, y={y)£D и y£V, чем предложение доказано. 4. Проективные пределы топологических пространств Пусть / — предупорядоченное множество (не обязательно фильтрующееся) с отношением предпорядка, обозначаемым а^ср. Пусть Ха для каждого а£1 — топологическое пространство и /„^ при <xsg;p — отображение Хр в Х„. Будем говорить, что (Xa, /ap) есть проективная система топологических пространств, если: 1° (Xa, /a?) — проективная система множеств (Приложение к гл. I, п° 1); 2° все /вР непрерывны. Пусть X — множество lim X,
64 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4 и /„ для каждого сс£/ — каноническое отображение Х-*-Хя; назо- назовем слабейшую из топологий в X, при которых непрерывны все /„, проективным пределом (относительно отображений /„») топологий пространств Х„, а множество X, наделенное этой топологией, проективным пределом проективной системы топологических про- пространств (Ха, /о,р)- Говоря далее о limXa как о топологическом пространстве, мы всюду, где не оговорено противное, будем под- подразумевать, что топологией этого пространства служит проектив- проективный предел топологий пространств Х„. Как известно, множество X есть подмножество произведения Ц Х„, образованное теми точками х, у которых l A) для любых а, Р таких, что а<ф. Из предложения 3 вытекает, что проективный предел топологий пространств X, совпадает с то- топологией в X, индуцируемой топологией пространства Ц Ха. Если Уа для каждого ее £ / — подпространство пространства Х„, причем У„ образуют проективную систему подмножеств множеств Ха (Приложение к гл. I, п° 1), то, очевидно, топологическое про- пространство lim У, является подпространством пространства limXa. Пусть (Ха, f^) — вторая проективная система топологических пространств с тем же множеством индексов /, и иЛ: Ха-+Ха, для всех а£/,— непрерывные отображения, образующие проективную систему отображений (и,); тогда u=lim и, есть непрерывное ото- отображение пространства Х=НтХя в X'=limXa. В самом деле, обозначая через fa каноническое отображение Х'-*Ха, имеем fa ° и=иа ° /„; следовательно, /а ° и непрерывно для каждого а б/, и наше утверждение вытекает из предложения 4 § 2. Предположим, наконец, что / фильтруется вправо, ъ пусть 'J — кофинальная часть /; пусть, далее, Z — проективный предел проективной системы топологических пространств (Хя, /„р),,^ ре}. Тогда каноническая биекция g: X-*-Z (Теор. множ., гл. III, § 1, п° 12) есть гомеоморфизм. В самом деле, для каждого А,£/ имеем j>Tx(g(x))=j>T\X, следовательно, g непрерывно (предложение 1); обратно, пусть h — биекция, обратная к g; для каждого а£/
* ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ • 65 существует такое А,£/, что сс^А,, так что pra(/i(z))—/аХ(ргхг); это в силу предположения относительно отображений /,р доказывает непрерывность h (предложение 1). Предложение 9. Пусть I — предупорядоченное множество, фильтрующееся вправо, (Х„, /„р) — проективная система тополо- топологических пространств с множеством индексов I, X=limXa и J — —1 кофинальная часть I. Семейство множеств fa(Ua),zde а пробегает J, /„— каноническое отображение Х-»-Ха, a Ua для каждого а £ / пробегает базис 58„ топологии пространства Х„, является ба- базисом топологии пространства X. Как мы знаем (§ 2, п° 3), пересечения всевозможных конечных —1 семейств множеств вида fa(Ua) (a£l, С/, открыто в Xj образуют базис топологии пространства X. Если (а/)к/<г„ — конечное се- семейство индексов из /, то существует такое у б /, чтоа^у A^С£^л); П—1 —1 . . /а,у(^а(), будем иметь/V(FV) = = M/ai(^a,); но Vy открыто, а потому является объединением множеств из 33V; этим предложение доказано. Следствие. Предположим I фильтрующимся. Пусть А — подмножество из X=limXa и Att=flx(A) для каждого ос£/. Тогда: (I) Аа (соотв. AJ образуют проективную систему подмно- подмножеств пространств Ха и А = \\ fa{Aa)=limAa. а «— (II) Если А замкнуто в X, то A=limAlx=\imAtt. Первое утверждение пункта (I) вытекает из соотношений /а=/«р°/р Для а^Р и непрерывности отображений /„р (§2, тео- теорема 1). Положим 4' = П fJAa); очевидно, А' замкнуто и со- a держит А, откуда Ас А'. Обратно, пусть лг£ А'; покажем, что х — точка прикосновения для А. В силу предложения 9 достаточно —1 доказать, что всякая окрестность точки х, имеющая вид fa(Ua), где a £1 и £/„ открыто в Ха, пересекается с А. Но, по предположе- 3 Н. Бурбаки
66 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4 нию, fa{x) £ Ua, и, поскольку fa(x) € Аа, имеем £/„ П Ааф0, а это —1 означает, что A n fa(Ua) не пусто. Для установления справедливости пункта (II) достаточно за- заметить, что без всяких предположений относительно А имеем AdimAac:limAa; если же А замкнуто, то из (I) следует, что A=\imAa, и (II) доказано. Пример. Пусть (Х„)ае/— фильтрующееся (по з) семейство подмножеств множества Ув^", для каждого а£1 — топология в Ха, причем если а<:|3, то топология <§^ мажорирует топологию, индуци- индуцируемую в Хр топологией ^~л. Тогда, если принять за /ар при а<:|3 каноническую инъекцию Хр—>Ха, то IiraXa отождествится канони- канонически с пересечением X пространств X,, наделенным топологией, являющейся верхней гранью (§ 2, и0 3, пример II) топологий, индуци- индуцируемых в X топологиями <$<"„. Упражнения 1) Пусть X и Y — топологические пространства, AczX, BcY. Показать, что ¥г(А XB) = (Fr(A)XB)[)(Ax Fr(fl)). 2) Пусть X и Y — топологические пространства, А — замкнутое множество в ХХУ п 33 {х) — множество всех окрестностей точки я£Х. Показать, что |) A(V)=A(x). Дать пример такого открытого V 6 »!(ж) подмножества В пространства XxY, что (| B(V) отлично от В (х). Уещ) 3) Пусть (XJi g / — бесконечное семейство топологических про- пространств, причем каждое X, содержит (по крайней мере) две различные точки в,, 6, такие, что существует окрестность 6,, не содержащая в,. а) Пусть с% для каждого индекса к£1 — точка пространства X=1J X , для которой рг с =Ь и ргс =а при i#x. Показать, 16/ что в множестве С всех таких точек с„ пространства X все точки изоли- изолированные. б) Вывести из а), что для того, чтобы топология пространства X обладала счетным базисом, необходимо и достаточно, чтобы / было счетно и топология каждого X, обладала счетным базисом. [Исполь- [Использовать упражнение 7 § 1.] в) Показать, что если / несчетно, то у точки 6= F,) пространства X нет счетной фундаментальной системы окрестностей. *4) Пусть К — дискретное пространство, образованное числами О и 1, Л — бесконечное множество, X — пространство КА. Пусть, далее, V= Ц Fa— элементарное миожество в X; положим ае А
УПРАЖНЕНИЯ 6Т если V пусто, и р,(У)=2—л, если V не пусто и ft — число тех индексов а, для которых УлфК. в) Показать, что если Ult ..., Un— попарно не пересекающиеся п элементарные множества, то ^\i(U^)<i. [Представить каждое t/j А=г в виде WkxKB, где В не зависит от А: и является дополнением конеч- конечного подмножества из Л, a Wk— конечное множество, число точек которого следует оценить.] б) Вывести пз а), что X удовлетворяет условию (DjV) упражнения 7 § 1. [Заметить, что если бы существовало несчетное семейство попарно не пересекающихся элементарных множеств, то существовало бы целое число р> О такое, что|1(£^) Эг— для бесконечного множества индексов X.] в) Показать, что если А несчетно, то X не удовлетворяет условию (Dm) упражнения 7 § 1. [См. упражнение 3.] *5) Пусть К — дискретное пространство, образованное числами О и 1, А — бесконечное множество, X — пространство К^А\ а) Пусть / — конечное подмножество множества А, состоящее из р элементов. Для каждого его подмножества Я обозначим через 9Ля множество таких подмножеств L множества А, для которых L[\J=H; множества Wh образуют разбиение й>у множества $Р (А) на V частей. Пусть Fj—множество в X, образованное элементами (яд)^сд, в которых xl=xm, когда L и М принадлежат одному и тому же множеству разбиения 5/, Fj есть конечное множество, состоящее из 22'' элементов. Объединение F множеств FJt где / пробегает все конечные подмноже- подмножества множества А, равномощно А . б) Показать, что F всюду плотно в X. Вывести отсюда, что если yl = N, то X удовлетворяет условию (Эц) упражнения 7 § 1, но не удов- удовлетворяет условию (Dm). [Упражнение 4.] 6) Пусть X, Y, Z — топологические пространства, А — открытое множество в ХХУ, В — открытое множество в YXZ. Показать, что множество В°А открыто в XXZ. 7) Пусть X — сумма семейства (Хк) топологических пространств, У — сумма семейства (Y^) топологических пространств. Показать, что пространство ХХУ является суммой семейства пространств Х^хУп. 8) Пусть (G,)l6J — семейство графиков отношений эквивалент- эквивалентности (Теор. множ., гл. 11, § 6, п° 1) в топологическом пространстве X и fl,- отношение эквивалентности (х, y)£Gt; тогда G= f*| G, есть is/ график некоторого отношения эквивалентности В в X. Показать, что существует каноническое инъективное непрерывное отображение факторпространства Х/Л в произведение J.J[ (X//?,) факторпространств Х/В,.
68 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1. § 5 9) Пусть (Xt)u 6 j — бесконечное семейство топологических про- пространств. Изучить в произведении Х = Ц X, множеств Х^ топологию, порождаемую всевозможными множествами вида XI U,, где U.— is/ открытое множество в X, и множество тех i£/, для которых 17,#Х,, имеет мощность <с, где с — заданное кардинальное число. Исследо- Исследовать, какой вид принимают в этой топологии предложения, доказанные в § 4. 10) а) Пусть (Хя, /яр) — проективная система топологических пространств, X — ее проективный предел, /„ — каноническое ото- отображение Х->Х„, а У „для каждого» — подпространство пространства Х„, содержащее /,(Х), причем (У„) — проективная система под- подпространств пространств Х„. Показать, что Ига Уа канонически отож- отождествим с X. б) Пусть (Х^, 4р) — вторая проективнаи система топологических пространств с тем же множеством индексов, которое предполагается фильтрующимся, и иа: Х„-»Ха для всех а — непрерывные отображе- отображения, образующие проективную систему. Тогда ил(Хл) образуют про- проективную систему подпространств пространств Ха; показать, что если u= lira и„ и /„ сюръективны, то и{Х) плотно в пространстве lim и„ (Х„). Остается ли еще это предложение в силе, если отображения /я не предполагать сюръективными [см. Теор. множ., гл. III, § 1, упраж- упражнение 321? § 5. Открытые и замкнутые отображения 1. Открытые и замкнутые отображения Определение 1. Пусть X и X'— топологические пространства. Говорят, что отображение /: Х-*-Х' открыто (соотв. замкнуто), если образ при отображении f всякого открытого (соотв. замкну- замкнутого) множества из X открыт (соотв. замкнут) в X'. В частности, / (X) является тогда открытым (соотв. замкнутым) множеством в X'. П р и м е р ы. 1) Пусть А — подпространство топологического пространства X; для того чтобы каноническая инъекция /: Л->-Х была открытой (соотв. замкнутой), необходимо и достаточно, чтобы А было открыто (соотв. замкнуто) в X (§ 3, п° 1),
/ ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 69 2) Для того чтобы биекция / топологического пространства X на топологическое пространство X' была гомеоморфизмом, не- необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной и открытой или непрерывной и замкнутой. 3) Пусть / — сюръекция множества X на топологическое про- пространство X'; если наделить X топологией, являющейся прообразом топологии пространства X' относительно / (§ 2, п°3, пример I), то/ будет непрерывным отображением X в X', одновременно открытым и замкнутым. 4) В произведении Х = Ц X, топологических пространств X, 16/ всякая проекция pr,: X-*-Xi есть непрерывное, открытое, но не обязательно замкнутое отображение (§ 4, предложение 5). °5) Голоморфная функция / на открытом множестве АсС есть открытое отображение А в С.о 6) Пусть X п X'— топологические пространства, / — непрерыв- непрерывная, но не взаимно непрерывная биекция X на X'; тогда обратная би- биекция g: Х'-*Х есть открытое и замкнутое отображение X' на X, не являющееся непрерывным. Предложение 1. Пусть X, X' и X"— топологические про- пространства, /: Х-»-Х' и g; X'->-X"— отображения. Тогда: а) Если jug открыты (соотв. замкнуты), то g « / открыто (соотв. замкнуто). б) Если g о / открыто (соотв. замкнуто), a f сюръективно и непрерывно, то g открыто (соотв. замкнуто). в) Если g ° f открыто (соотв. замкнуто), a g инъективно и не' прерывно, то / открыто (соотв. замкнуто). Утверждение а) непосредственно следует из определения 1. Для доказательства б) достаточно заметить, что всякое открытое (соотв. замкнутое) множество А' вХ' записывается в виде .4'=/(Л), —1 где А=/ (А') открыто (соотв. замкнуто) в X (§ 2, теорема 1); таким образом, g(A')=g(f(A)) открыто (соотв. замкнуто) в X". Наконец, чтобы доказать в), заметим, что для любого множества АсХ —1 имеем f(A)-=g(g(f(A))); по предположению, если А открыто (соотв. замкнуто) в X, то g(f(A)) открыто (соотв. замкнуто) в X", и, следовательно, в силу теоремы J § 2, f(A) открыто (соотв. замк- замкнуто) в X',
70 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § * Предложение 2. Пусть X и Y — топологические простран- пространства, / — отображение X в Y. Для любого множества TcY обо' —1 —1 значим через fT отображение f (T) в Т, совпадающее с f на f(T). а) Если f открыто (соотв. замкнуто), то fT открыто (соотв. замкнуто). б) Пусть (T(v))iej — семейство подмножеств пространства У, внутренности которых образуют покрытие Y, или которое яв- является локально конечным замкнутым покрытием У; если все /П[) открыты (соотв. замкнуты), то f открыто (соотв. замкнуто). —1 а) Если А — открытое (соотв. замкнутое) множество в / (Т), то существует такое открытое (соотв. замкнутое) множество В в X, что A=Bf) f(T); тогда fT(A)=f(B)(] T; но, по предположению, f(B) открыто (соотв. замкнуто) в У, следовательно, fT(A) открыто (соотв. замкнуто) в Т. б) Пусть В — открытое (соотв. замкнутое) множество в X и B=Bn~f(T(i)); имеем f(B)nT(i)=fTU)(BJ; так как, по пред- предположению, /я,)(#,) открыто (соотв. замкнуто) n T(i), то /(В) открыто (соотв. замкнуто) в У в силу предложения 3 § 3. Следствие. Пусть (T(v))iei — семейство подмножеств простран- пространства У, внутренности которых образуют покрытие У, или кото- которое является локально конечным замкнутым покрытием У. Если —1 /: Х->-У непрерывно, а каждое fTU) есть гомеоморфизм f(T(v)) на T(i), то f — гомеоморфизм XnaY. В самом деле, ясно, что / биективно, а в силу предложения 2 оно открыто. 2. Открытые и замкнутые отношения эквивалентности Определение 2. Отношение эквивалентности R в топологи- топологическом пространстве X называют открытым (соотв. замкнутым), если каноническое отображение X на X/R открыто (соотв. замк- замкнуто). Это означает, другими словами, что насыщение по R всякого открытого (соотв. замкнутого) множества из X есть открытое (соотв. замкнутое) множество в X (§ 3, п° 4).
Я ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 71 Примеры. 1) Пусть X — топологическое пространство, Г — группа гомеоморфизмов X на себя, R — отношение экви- эквивалентности между х и у: «существует о £ Г такое, что у=а(х)» (иначе говоря, отношение эквивалентности, классами которого служат орбиты группы Г в X; см. Алгебра, гл. I, § 7, п° 5). По- Покажем, что отношение R открыто; в самом деле, насыщение мно- множества AczX no R есть объединение образов о (Л), где о пробегает Г; но если А открыто, то открыто каждое а(А), а значит, и их объединение. "Нечисловой прямой R отношение эквивалентности х=у (mod 1) открыто, ибо оно определено описанаым только что способом с помо- помощью группы переносов х>—*х+п (n£Z) (см. гл. III, 3-е изд., §2, п°4).о 2) Пусть пространство X есть сумма семейства (Х() своих под- подпространств и X/R — пространство, получаемое склеиванием про- пространств X, по открытым множествам Ап посредством биекций h%l (§ 2, п° 5); будем предполагать, что ЛХ1 для любой пары индексов i, x есть гомеоморфизм Аа на Аш. При этих условиях отношение R от- открыто. В самом деле, если U — открытое множество в X, то насыще- насыщением U является объединение множеств hM(U(\Aa); поскольку U(]AM открыто в Аа, множество h^{U(]Alx) открыто в А^, а зна- яит, также в X, откуда и следует наше утверждение. 3) В обозначениях примера 2 предположим теперь, что все Аа аамкнуты, а все hM— гомеоморфизмы; кроме того, предположим, что для каждого индекса i существует только конечное число индексов х таких, что Аа ф 0 (говоря образно, каждое Xt «склеивается» только с конечным числом Хх). При этих условиях отношение R замкнуто. В самом деле, для каждого замкнутого множества F в X насыщением F является объединение множеств h^(F[\Al%)cAxi\ но из сделанных предположений вытекает, что это семейство локально конечно, а с другой стороны, hM(F[)Aa) замкнуто в А%1 и, значит, также в X. Справедливость нашего утверждения вытекает теперь из предло- предложения 4 § 1. Предложение 3. Пусть X и Y — топологические простран- пространства, fi X~*Y — непрерывное отображение, R — отношение эквивалентности f(x)=f(y) вХ и X^-X/R-*f(X)-*Y — каноническое разложение /. Следующие три свойства равносильны: а) / — открытое отображение. б) Отображения р, h и i открыты.
72 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § i в) Отношение эквивалентности R открыто, h — гомеоморфизм и f(X) — открытое множество в Y. Кроме того, все предшествующее остается в силе, если всюду заменить «открытое» на «замкнутое». Поскольку инъекция i непрерывна, из предложения 1в сле- следует, что если / открыто, то открыто и h о p-t поскольку р сюръек- тивно и непрерывно, предложение 16 показывает тогда, что h открыто и, значит, будучи непрерывной биекцией, есть гомео- гомеоморфизм; отсюда заключаем (предложение 1а), что p=h ° (h* р) открыто. С другой стороны (предложение 16), i о h открыто, а —1 потому (предложение 1а) также i=(i ° h) ° h открыто. Этим дока- доказано, что а) влечет б). Обратно, б) влечет а) в силу предложения 1а. Наконец, равносильность б) и в) непосредственно следует из определений. Доказательство почти слово в слово такое же и в случае замк- замкнутых отображений. Предложение 4. Пусть R — открытое (соотв. замкнутое) отношение эквивалентности в топологическом пространстве X, f — каноническое отображение X-*-X/R, А — множество в X. Предположим, что выполнено одно из следующие двух условий: а) А открыто (соотв. замкнуто) в X. б) А насыщено по R. Тогда отношениеRA, индуцируемое отношением ReA, открыто (еоотв. замкнуто) и каноническое отображение пространства A/RA на f(A) есть гомеоморфизм. Рассмотрим коммутативную диаграмму A) п° 6 § 3, дающую каноническое разложение отображения / ° /. При условии а) / открыто (соотв. замкнуто), а по предположению то же справед- справедливо и для /; следовательно, / ° / открыто (соотв. замкнуто) (пред- (предложение 1а) и справедливость утверждения следует из пр.едло- —1 женияЗ. При условии б) имеем A=f (f(A))i&h ° срестьотображение А в f{A), совпадающее с / на А; в силу предложения 2а отобра- отображение h о ф открыто (соотф. замкнуто) и справедливость утверж- утверждения снова следует из предложения 3, если применить его к ft о <р.
3 ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 73 3. Специальные свойства открытых отображений Предложение 5. Пусть X и Y — топологические простран- пространства, / — отображение X в У и 33 — базис топологии простраН' ства X. Следующие свойства равносильных а) / — открытое отображение. б) f(U) открыто в Y для каждого U £33. в) f(V) есть окрестность точки f(x) в Y для любой точки х£Х и любой ее окрестности V в X. Равносильность а) и б) сразу следует из определений и (О,); равносильность а) и в) вытекает из предложения 1 § 1. Предложение 6. Пусть R — отношение эквивалентности в топологическом пространстве X. Следующие три условия равно- равносильны: а) Отношение R открыто. б) Внутренность всякого множества, насыщенного по В, на- насыщена по R. в) Замыкание всякого множества, насыщенного по R, насыщено по R. В равносильности б) и в) убеждаемся переходом к дополнениям (§ 1, п° 6, формулы B)). Покажем, что б) влечет а); предположим, что б) выполнено, и пусть U — открытое множество в X, а V — его насыщение по R; имеем Fz) U, и так как по предположению F насыщено, то V=V, т. е. насыщение множества U открыто. По- Покажем, что, обратно, а) влечет б); предположим, что а) выполнено, и пусть А — множество, насыщенное по Л; если В — насыщение множества А, то А с: В с: А, и так как В по предположению открыто, то В=А. Предложение 7. Пусть R — открытое отношение эквива- эквивалентности в топологическом пространстве X и ф — каноническое отображение X-+X/R. (I) Для любого множества АсХ, насыщенного по R, замыканием (соотв. внутренностью) множества у(А) в X/R служит ц>{А) (соотв. ф(Л)). (II) Для каждого множества С из X/R имеем
74 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, I * —1 (II) вытекает из (I), ибо множество А=ц>(С) насыщено по /?; значит, также А насыщено по R (предложение 6) и ф(Л) = С, —1 _ откуда Л=ф (С). Переходя к доказательству двух утверждений, содержащихся в (I), заметим, что они получаются друг из друга переходом к дополнениям, если воспользоваться формулами B) п° 6 § 1 и тем, что для насыщенного множества ВсХ справедливо равенство ф(С5)=Сф(В). В силу предложения 6, множество А насыщено, значит, <((А) замкнуто в X/R, а так как АсА, то ф(Л)сф(Л), откуда ф(Л)Сф(Л); но, поскольку ф непрерывно, имеем ф(Л)сф(Л) (§ 2, теорема 1); следовательно, ф(Л) = и предложение доказано. Предложение 8. Пусть (Xt)t е / и (Yt\ е / — семейства топо- топологических пространств с одним и тем же множеством индексов, Д для каждого i £ / — открытое отображение X, в У,, причем Д сюръективно для всех кроме конечного числа индексов i. Тогда отображение /: (я,) н-> (/^ж,)) пространства Ц X, в Ц У, от- крыто. В самом деле, достаточно (предложение 5) доказать, что образ при / всякого элементарного множества JJ Л( из JJ Xt открыт в Ц У,. Но зтим образом служит П/.ОА,), а из наших предпо- ie J lei ложений вытекает, что /,(^4,) открыто в У, для каждого i £ /, причем /,(/41)=У1 для всех кроме конечного числа индексов i. Тем самым предложение доказано. Следствие. Пусть (Xt)iej — семейство топологических про- пространств, Rt для каждого i £ / — отношение эквивалентности в Хг, a ft — каноническое отображение Х^Х//?,. Пусть, далее, R — отношение эквивалентности между х и у в X=JJ_Xl: IE/ «рг^^рг,!/ (mod Rt) для каждого i£/» и f — отображение (x)>—*(ft(x)) пространства X в JJ (Х/Л,). и/
4 ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 75 Если каждое из отношений Rt открыто, то R открыто и биекция, ассоциированная с /, является гомеоморфизмом X/R на JJ (Х/Д,). В самом деле, R есть отношение j(x) — f{y), а так как / непре- непрерывно и открыто в силу доказанного только что предложения 8 и следствия 1 предложения 1 § 4, то справедливость утверждения следует из предложения 3. В частности, если R (соотв. S) — открытое отношение экви- эквивалентности п топологическом пространстве X (соотв. У), то ка- каноническая биекция {XxY)/(RxS) на (X/R)X(Y/S) (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 10) есть гомеоморфизм; если же не пред- предполагать R и S открытыми, то эта биекция, оставаясь непрерыв- непрерывной, уже не обязательно будет гомеоморфизмом, даже когда одно из отношений R, S есть отношение равенства (упраж- (упражнение 6). 4. Специальные свойства аамкпутых ото бражений Предложение 9. Пусть X и X'— топологические простран- пространства. Для того чтобы отображение /: Х->Х' было непрерывным и замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы f(A)=f(A) для любого множества АсХ. Условие достаточно, ибо замкнутость / оно влечет очевидным образом, а непрерывность / влечет в силу теоремы 1 § 2. Обратно, если / непрерывно и замкнуто, то f(A)с f(A)с: f(A) в силу теоремы 1 § 2; а так как, кроме того, f(A) замкнуто в X' по предположению, то, следовательно, f(A)—f(A). Предложение 10. Пусть R — отношение эквивалентности в топологическом пространстве X. Для того чтобы R было замкну- ■ тым, необходимо и достаточно, чтобы всякий класс эквивалент- эквивалентности М по R обладал фундаментальной системой окрестностей, насыщенных по Я. В самом деле, предположим, что R замкнуто, и пусть U — произвольная открытая окрестность класса М; поскольку F=CU вамкнуто в X, насыщение S множества F по R замкнуто в X.
76 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § * Так как при этом М насыщено по R, то M(]S=0, и, следова- следовательно, V=CS есть открытая окрестность М, насыщенная по R и содержащаяся в U. Обратно, предположим, что R удовлетворяет условию пред- предложения, и пусть F — произвольное замкнутое множество в X. Пусть Т — насыщение F по R, х — точка из СГ и М — ее класс эквивалентности; имеем М(]Т=0 и, тем более, M[]F=0, т. е. £/=CF — окрестность М. Следовательно, существует ок- окрестность Vc U класса М, насыщенная по R, и гак как V О F=0, имеем также V(]T=0; отсюда вытекает, что С71 есть окрест- окрестность класса М, а тем самым и точки х; этим доказано (§ 1, пред- предложение 1), что QT открыто, т. е. Т эамкнуто. Замечание. Предложение 10 влечет следующее свойство: если R замкнуто, то для любой точки х£Х и любой окрестности U ее класса эквивалентности в X множество <f(U), где ф — каноническое отображение X-t-X/B, есть окрестность точки ф(г) в X/R. Следует заметить, что это ни в какой мере не означает, что фG) является ок- окрестностью точки ф(г) в XIR для любой окрестности V точки х в X; другими словами (предложение 5), замкнутое отношение эквивалент- эквивалентности не обязательно открыто (упражнение 2). Обратно, открытое отношение эквивалентности может не быть замкнутым (п° 1, пример 4); в самом деле, если U — окрестность класса эквивалентности М в X, то для любой точки х £ М и любой ее окрестности Vc U насыщение V хотя и является окрестностью М в X, но эта окрестность не обязательно содержится в U. Отметим, наконец, что существуют одновременно открытые и замк- замкнутые отношения эквивалентности, отличные от равенства (упражне- (упражнение 3), равно как и отношения эквивалентности, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми (§ 8, упражнение 10). Упражнении 1) а) Для того чтобы отношение эквивалентности R в топологиче- топологическом пространстве X было открытым, необходимо и достаточно, чтобы насыщение внутренности каждого множества АсХ содержалось во внутренности насыщения А; дать пример, когда R открыто и эти два множества могут быть различны. б) Для того чтобы отношение эквивалентности R в топологиче- топологическом пространстве X было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы насыщение замыкания каждого множества АсХ содержало замыкание насыщения А; дать цример, когда R замкнуто и эти два множества могут быть различны.
УПРАЖНЕНИЯ 77 °2) Показать, что в R отношение эквивалентности S: xsay (mod 1) не замкнуто. Индуцированное в А = [0, 1) отношение 5^ замкнуто, но не открыто.,, 3) Пусть Г — конечная группа гомеоморфизмов топологическо- топологического пространства X и R — отношение эквивалентности: «существует такое асГ, что у=а{х)». Покавать, ято R одновременно открыто и аамкнуто. °4) Рассмотрим в факторпространстве Т пространства R по отно- отношению эквивалентности х = у (mod 1) группу гомеоморфизмов Г, состоящую из тождественного отображения и гомеоморфизма, получен- полученного из гомеоморфизма ху-*-^ +а: пространства R на себя фактори- факторизацией. Пусть S — отношение эквивалентности в Т: «существует такое а£Г, что у=а(х)», которое одновременно открыто и замкнуто (упраж- (упражнение 3). Показать, что не существует непрерывных сечений Т но S, хотя Т и Т/5 компактны, связны и локально связны. Пусть А — ка- канонический образ в Т интервала 10, у[из R; цокааать, что А локально аамкнуто в Т, но факторпространство А/Бд не гомеоморфно канони- каноническому образу А в Т/5.о 5) Пусть X — топологическое пространство, R и S — отношения эквивалентности в X, причем R влечет S. а) Показать, что если S открыто (соотв. замкнуто), то S/R открыто (соотв. замкнуто) в X/R, но что обратное не обязательно верно. По- Показать, что S может быть открытым (соотв. замкнутым) и без того, .чтобы также R было таковым. 6) Предположим, что Л? открыто (соотв. замкнуто). Показать, что для того, чтобы S/R было открытым (соотв, замкнутым), необходимо и достаточно, чтобы S было открытым (соотв. замкнутым). 6) Рассмотрим на рациональной прямой Q отношение эквивалент- эквивалентности S, получаемое отождествлением между собой всех точек из Z. Показать, что отношение S замкнуто; каноническая биекция простран- пространства (QXQ)/(t/X5) на Qx(Q/5), где U означает отношение равенства в Q, не является гомеоморфизмом. 7) Пусть X и V — непустые топологические пространства, /: X-+Y—сюръективное отображение. Для того чтобы / было аамкну- тым (соотв. открытым), необходимо и достаточно, чтобы отображение У >—> / (у) пространства Y в 5Ц(,(Х) было непрерывным при наделении 5Р„(Х) топологией £~а (соотв. ^"ф) (§ 2, упражнение 7). Вывести отсюда, что для того чтобы топология, индуцируе- индуцируемая в фактормножестве X/R непустого топологического простран- пространства X топологией ^Га (соотв. JF^>), совпадала с фактортопологией топологии пространства X по /?, необходимо и достаточно, чтобы отношение R было аамкнутым (соотв. открытым) (см. § 3, упраж- упражнение 16).
78 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § * § 6. Фильтры 7. Определение фильтра Определение 1. Фильтром в множестве X называют множе' ство i$ его подмножеств, обладающее следующими свойствами: (F,) Всякое подмножество множества X, содержащее множество из $, принадлежит $. (F,,) Всякое пересечение конечного семейства множеств из $ принадлежит ^. (FMI) Пустое подмножество множества X не принадлежит ■$. Из последних двух свойств вытекает, что пересечение любого конечного семейства множеств из $ не пусто. Фильтр % в X определяет в X структуру, имеющую (F,), (Fu) и (FMI) своими аксиомами; эта структура называется струк- структурой фильтрующегося множества, а множество X, наделенное этой структурой,— множеством, фильтрующимся по фильтру $. Аксиома (Гц) равносильна соединению следующих двух аксиом: (F|la) Пересечение любых двух множеств из Ъ принадлежит 8. (Кцб) X принадлежит S. Аксиомы (Fug) и (F|[]) показывают, .что в пустом множестве нет фильтров. Для того ятобы множество подмножеств, удовлетворяющее ак- аксиоме (Fi), удовлетворяло также аксиоме (Fug), необходимо и доста- достаточно, ятобы оно было не пусто. Для того чтобы множество подмножеств, удовлетворяющее аксиоме (F^, удовлетворяло также аксиоме (Fm), необходимо и достаточно, чтобы оно было отлично от §Р (X). Примеры фильтров. 1) Если ХФ0, то множество подмножеств, сводящееся к одному элементу X, является фильт- фильтром в X. И вообще, множество всех подмножеств множества X, содержащих непустое множество АсХ, есть фильтр в X. 2) Множество всех окрестностей непустого множества (в част- частности, точки) в топологическом пространстве X есть фильтр. 3) Если X — бесконечное множество, то дополнения ко всевоз- всевозможным его конечным подмножествам образуют фильтр. Фильтр дополнений к конечным подмножествам множества N целых чисел называется фильтром Фреше.
фильтры 70 2\ Сравнение фильтров Определение 2. Пусть даны фильтры % и %' в одном и том он)е множестве X. Мы говорим, что $' мажорирует $ или что $ Минорирует $', если $с$'. Если, кроме того, $ф%', то мы говорим, что ^' сильнее % или что $ слабее %'. Два фильтра, один из которых мажорирует другой, называ- называются сравнимыми. Множество всех фильтров в X упорядочено отношением «фильтр $ мажорируется фильтром ££'», которое является не чем иным, как отношением, индуцированным отно- отношением включения из ^3(^3(Х)). Пусть ffiXei — произвольное непустое семейство фильтров в множестве X (необходимо непустом); множество %*= f\ $, удовлетворяет аксиомам (F,), (F,,) и (F,M) и есть, таким образом, фильтр; этот фильтр, называемый пересечением семейства фильтров @Лел есть> очевидно, нижняя грань множества фильтров $, в упорядоченном множестве всех фильтров в X. Фильтр, образованный единственным множеством X, есть наи- наименьший элемент упорядоченного множества всех фильтров в X', если X состоит более чем из одного элемента, то, как мы увидим в п° 4, в упорядочением множестве всех фильтров в X нет наибольшего элемента. Пусть дано некоторое множество © подмножеств множества X; исследуем, существуют ли в X фильтры, содержащие @. Если такой фильтр существует, то, согласно (FM), он содержит также множество ©' пересечений всевозможных конечных семейств мно- множеств из © (и в том числе X как пересечение пустого множества множеств из ©); поэтому для того, чтобы поставленная задача имела положительное решение, необходимо, чтобы пустое под- подмножество множества X не принадлежало ©'. Покажем, что это условие и достаточно; в самом деле, всякий фильтр, содержащий ©', содержит также, согласно (F,), множество ©" всех подмно- подмножеств множества X, содержащих каждое какое-либо множество из ©'. Но ©", очевидно, удовлетворяет аксиоме (F,); оно удов- удовлетворяет и аксиоме (FM) в силу определения множества ©'; наконец, оно удовлетворяет также аксиоме (F11(), ибо пусто*
80 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ 1. § • подмножество множества X не принадлежит ©'. Следовательно, ©" есть слабейший из фильтров, содержащих ©. Таким образом, мы доказали Предложение 1. Для того чтобы в X существовал фильтр, содержащий множество © подмножеств множества X, необходимо и достаточно, чтобы никакое пересечение конечного семейства множеств из © не было пусто. Мы будем говорить, что определенный выше фильтр ©" порожден множеством ©, а © есть система образующих фильт- фильтра ©". Пример. Пусть © — какое-либо множество подмножеств мно- множества X; рассмотрим топологию /вХ, порожденную множеством © (§ 2, п° 3, пример II). Так как множество пересечений всевозможных конечных семейств множеств из © служит базисом топологии $~, то из проведенного выше доказательства предложения 1 и предложения 3 § 1 вытекает, что фильтр окрестностей любой точки х£Х в топологии $~ порождается множеством <g(x) всех множеств из @, содержащих х. Следствие 1. Пусть % — фильтр в множестве X и ЛсХ. Для того чтобы существовал фильтр $', мажорирующий $ и содержащий А, необходимо и достаточно, чтобы А имело непустое пересечение с каждым множеством из $. Следствие 2. Для того чтобы множество Ф фильтров в непу- непустом множестве X обладало верхней гранью в множестве всех фильтров в X, необходимо и достаточно, чтобы для любой ко- конечной последовательности (Зч)к{г£П элементов из Ф и любых ■^/€3v A^=00 пересечение AtO ...f]An было непусто. В самом деле, этим выражается то, что объединение © вс&х фильтров $£Ф удовлетворяет условию предложения 1. Следствие 3. Упорядоченное множество всех фильтров в не- непустом множестве X индуктивно. В самом деле, всякое совершенно упорядоченное множество Ф фильтров в X удовлетворяет условию следствия 2 предложения 1, ибо в силу предположения множества А,- принадлежат все неко- некоторому ^у, так что остается применить аксиому (F1().
8 фильтры 81 3. Базисы фильтра Пусть ® — система образующих фильтра $ в X (п° 2). Вообще говоря, $ не является множеством всех подмножеств множества X, содержащих каждое какое-либо множество из ©: для того чтобы система ® обладала этим свойством, необходимо и доста- достаточно, чтобы пересечение любого конечного семейства множеств из @ содержало некоторое множество иа <§). Таким образом, имеем следующее предложение: Предложение 2. Пусть 23 — некоторое множество подмно- подмножеств множества X; для того чтобы множество всех подмножеств множества X, содержащих каждое какое-либо множество из 23, было фильтром, необходимо и достаточно, чтобы 33 обладало следующими двумя свойствами: (В,) Пересечение любых двух множеств из 33 содержит некоторое множество иа 23. (В,,) 23 непусто и пустое подмножество множества X не принадлежит 33. Определение 3. Множество 33 подмножеств множества X, удовлетворяющее аксиомам (В,) и (В,,), называется базисом порож- порождаемого им фильтра. Два таких базиса называются эквивалент- эквивалентными, если они порождают один и тот же фильтр. Если ® — система образующих фильтра ^, то множество ©' пересечений всевозможных конечных семейств множеств из ® есть базис фильтра $ (п° 2). Предложение 3. Для того чтобы подмножество 93 фильтра i| в X было бааисом этого фильтра, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из $ содержало некоторое множество из S3. Условие, очевидно, необходимо; оно и достаточно, ибо если оно выполнено, то множество всех подмножеств множества X, содержащих каждое какое-либо множество из 33, совдадает с $ в силу (F,). Предложение 4. Для того чтобы фильтр %' в X с базисом 23' мажорировал фильтр Щ с базисом 23, необходимо и доста- достаточно, чтобы всякое множество из 23 содержало множество из 23'»
/ 82 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § б/1 Это непосредственно вытекает из определений 2 и 3. Следствие. Для того чтобы базисы фильтра 93 и 93' в мно^ жестве X были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из 23 содержало некоторое множество из 93' и всякое множество из 93' содержало некоторое множество из 23. Примеры базисов фильтра. 1) Пусть X — топо- топологическое пространство; базисы фильтра окрестностей точки х £ X — не что иное, по предложению 3, как фундаментальные системы окрестностей этой точки (§ 1, определение 5). 2) Пусть X — непустое множество, предупорядоченное и фильтрующееся по отношению (а) (Теор. множ., гл. III, § 1, п° 10); сечением множества X относительно его элемента о называется множество S(a) тех х £ X, для которых а(а)х. Множество © сечений множества X есть базис фильтра: в самом деле, очевидно, оно удовлетворяет условию (Вп); с другой стороны, каковы бы ни были элементы о и Ь из X, в силу предположения существует такой элемент с£Х, что а(о)с vib(a)c, откуда S(c)cS(a)()S(b), чем дока- доказано (В,). Фильтр, порождаемый базисом©, называется фильтром сечений фильтрующегося множества X. Например, фильтр Фреше (п° 1) есть фильтр сечений в упорядо- упорядоченном множестве N, рассматриваемом как множество, фильтрую- фильтрующееся по отношению <;. Пусть теперь % — фильтр в некотором мпожестве Z; так как (в силу аксиомы (Fn)) % есть множество, фильтрующееся по отношению ID, то в % можно определить фильтр сечений, понимая здесь под се- яением относительно А£% множество S(A) всех М£Ъ, содержащихся в А. Этот фильтр называется фильтром сечений фильтра %. 4. Ультрафильтры Определение 4. Ультрафильтром в множестве X называют всякий фильтр в X, не мажорируемый никаким отличным от него фильтром в X (другими словами, максимальный элемент упорядо- упорядоченного множества всех фильтров в X). Поскольку упорядоченное множество всех фильтров в X ин- индуктивно (следствие 3 предложения 1), из теоремы Цорна (Теор.
4 фильтры 83 множ., Сводка результ., § 6, п° 10) вытекает следующая тео- р&ма: '•■ Теорема 1. Каждый фильтр ft в множестве X мажорируется некоторым ультрафильтром. Предложение 5. Пусть ft — ультрафильтр в множестве X. Если А и В — такие подмножества множества X, что то А £$ или 2? £ ft. Рассуждая от противного, предположим, что Л(£$, A U В £ ft. Пусть ® — множество всех МсХ таких, что A U М £ ft. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что ® — фильтр в X. При этом © сильнее $, ибо fig®- Но это противоречит тому, что $ — ультрафильтр. Следствие. Если объединение конечной последовательности (■^i)i<!<n подмножеств множества X принадлежит ультрафильтру %, то по крайней мере одно из А( принадлежит ft. Достаточно применить индукцию по п. В частности, если (^/)i^,-^n есть покрытие множества X, то по крайней мере одно А{ принадлежит ^. Предложение 5 характеризует ультрафильтры; более общим образом: Предложение 6. Пусть @ — система образующих некоторого фильтра в множестве X; если для любого УсХ имеем У б® или СУ б®, то © — ультрафильтр в X. В самом деле, фильтр $, содержащий ® (существующий по предположению), должен совпадать с ©, ибо если У^, то и, значит, СУ^©, откуда У £ ®. Пример ультрафильтра. Множество всех подмножеств непустого множества X, содержащих элемент а£.Х,есть ультрафильтр; в самом деле, это — фильтр, и, каково бы ни было YczX, имеем a£Y или а£СУ. Такие ультрафильтры будут называться тривиальными. Читатель сможет заметить, что, за исключением этого примера, мы никогда аи доказываем существование ультрафильтра (даже в
84 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § * счетно-бесконечном множестве) иначе как с помощью теоремы 1 (и., значит, используя аксиому выбора). / Замечание. Если множество X содержит по крайней ме|>ё два элемента, то в X имеется по крайней мере два различных ультра- ультрафильтра и, значит, упорядоченное множество всех фильтров в X не имеет наибольшего элемента. Предложение 7. Всякий фильтр $ в множестве X является nef есечением всех мажорирующих его ультрафильтров. Ясно, что это пересечение содержит g. С другой стороны, пусть А — множество, не принадлежащее $, и А'=СА; так как А не содержит ни одного множества из ^, то М(]А'Ф0 для каждого Mg^; следовательно (следствие 1 предложения 1), существует фильтр %', мажорирующий $ и содержащий А'. Пусть U — ультрафильтр, мажорирующий $' (теорема 1); тогда Л<£11, что и завершает доказательство. 5. Индуцированный фильтр Предложение 8. Пусть $ — фильтр в множестве X и А с X. Для того чтобы след $А фильтра $ на А был фильтром в А, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из $ пересе- пересекалось с А. В самом деле, соотношение показывает, что $А удовлетворяет аксиоме (Fj,). Точно так же, если МпАсРсА, то Р=(М(]Р)Г\А и, следовательно, %А удовлетворяет аксиоме (F,). Для того чтобы $А удовлетворяло аксиоме (F,,,), необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из $ имело непустое пересечение с Л, и предложение доказано. В частности, если А£$, то $А есть фильтр в Л в силу (F,,) Определение 5. Пусть А — подмножество множества X. Если след на А фильтра % в X есть фильтр в А, то мы говорим, что этот фильтр индуцирован в А фильтром $.
^6 фильтры 85 Если фильтр % в X индуцирует фильтр в Л, то след на А каждого базиса фильтра ^ в силу предложения 3 есть базис фильтра $А. Пример. Пусть X — топологическое пространство, АсХ и х£Х; для того чтобы след на А фильтра окрестностей 8 точки х был фильтром в А, необходимо и достаточно, чтобы всякая окрест- окрестность х пересекала А, т. е. (§ 1, определение 10) чтобы х была точкой прикосновения для А. Этот пример индуцированного фильтра интересен, с одной сто- стороны, тем, что он играет важную роль в теории пределов (§ 7, п° 5), а с другой,— тем, что всякий фильтр может быть определен таким способом. В самом деле, пусть % — фильтр в множестве X и X' — множество, полученное присоединением к X одного нового элемента ш, так что X отождествляется с дополнением к {<в} в X' (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 5). Обозначим через %' фильтр в X', образо- образованный множествами Af(j{w}, где М пробегает %, и пусть 95 (х) для каждой точки хфи> из X' есть множество всех подмножеств мно- множества X', содержащих х, а 25(<в)=Й'. Множества 9?(я), где х пробегает X', очевидно, удовлетворяют аксиомам (V|), (Уц), (Ущ) и (Viv) и определяют, следовательно, в X' топологию, для которой они служат фильтрами окрестностей; наконец, ш есть точка прикос- прикосновения множества X в этой топологии, а $ — фильтр, индуцируемый фильтром Й'=8В(ш) в X. Определенная так топология в X' (соотв. множество X', наделенное этой топологией) называется топологией, ассоциированной с % (соотв. топологическим пространством, ассоции- ассоциированным с 8). Предложение 9. Для того чтобы ультрафильтр U в множе- множестве X индуцировал фильтр в множестве АсХ, необходимо и достаточно, чтобы А£\Х; если это условие выполнено, то ЦА есть ультрафильтр в А. Это — непосредственное следствие предложений 5 и 6. 6. Образ и прообраз базиса фильтра Пусть 93 — базис фильтра в множестве X и / — отображение X v множество X'. Тогда /B3) — базис фильтра в X', ибо Мф0 влечет ]{М)Ф0, a f{M f) N)cf(M) П f(N). Если 23,— базис фильт- фильтра, мажорирующего фильтр с базисом 23, то /C3Х) есть базис фильт- фильтра, мажорирующего фильтр с базисом /B3) (предложение 4).
86 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, 5 • Предложение 10. Если 33 — базис ультрафильтра в мно- множестве X uf — отобралсение X вХ',то /C3) — базис ультрафиль- ультрафильтра в X'. —1 В самом деле, пусть М'сХ'; если f{M') содержит некоторое —1 множество М из 33, то М' содержит /(М); если же нет, то С/ (М') = —1 =/ (СМ') содержит некоторое множество N из 33 (предложе- (предложение 5), так что СМ' содержит f(N). Таким образом, требуемое сле- следует из предложения 6. Рассмотрим, в частности, тот случай, когда / ость канониче- каноническая инъекция Л->-Х подмножества А множества X. Если 33 — базис фильтра в Л, то /C3) — базис фильтра в X. Мы будем го- говорить, что фильтр $ в X, порожденный базисом /C3), есть фильтр, порождаемый 33, рассматриваемым как базис фильтра в X. Если 33 — базис ультрафильтра в А, то, в силу предложе- предложения 10, 33 будет также базисом ультрафильтра в X. Выясним теперь, является ли прообраз базиса фильтра базисом фильтра. Пусть 33'— базис фильтра в X' и / — отображение X —1 —1 —1 в X'. Из соотношения f(M' r\N') = f(M')f~\f(N') и определения 3 —1 непосредственно следует, что для того, чтобы /C3') было базисом —I фильтра в X, необходимо и достаточно, чтобы f(M')^0 для каждого М' £33'. Это условие можно также выразить, сказав, что всякое множество из 33' пересекается с f{X) (или еще, что след 33' на f(X) есть базис фильтра). Отметим, что если оно выполнено, то /( /C3')) есть базис фильтра, мажорирую- мажорирующего фильтр с базисом 33'. Ясно, что если 33 — базис фильтра в X, то указанное выше —1 ' условие выполняется для 33'=/C3); /(/C3)) есть тогда базис фильтра, мажорируемого фильтром с базисом 33. Пусть А — подмножество множества X и <р — каноническая инъ- инъекция А-*Х. Если 58 — базис фильтра в X, то <рEР) есть не что иное, как iP^; выразив с помощью предыдущего условия, что это — базив фильтра в А, мы вновь получим часть предложения 8.
7 фильтры 87 7. Произведение фильтров Пусть (X()t6/ — семейство множеств, 33, для каждого t.g/ — бааис фильтра в X, и 23 — множество подмножеств произведения Х*=11Х„ имеющих вид JJ Мо где М,=Х, для всех кроме ко- 16/ 1ST печного числа индексов и М^ЗЗ, для тех I, при которых М1ФХ1. 8 силу формулы ( П м) П ( П #,)=П iMi П ^,) непосред- isl t e I ieJ ственно ясно, что ЭЗ — базис фильтра в X. Отметим, что фильтр —1 с базисом 33 порождается также множествами рг,(Мх), где М% £ 23Х» а х пробегает /, ибо ргх(Мх)=М, ХЦ X,. \.ФУ. Определение 6. Пусть в каждом из множеств X, семейства (Х,I€/ дан фильтр %^. Мы называем произведением фильтров ^( и обозначаем через JJ $ (если это не может повлечь путаницы) l€l фильтр в Х = ЦХ, имеющий своим базисом множество всех подмножеств X вида Ц Мо где М1 б ^, для каждого i g / м М,=Х, всея кроме конечного числа индексов i. Читатель легко проверит, что произведение фильтров 5, можно также определить как слабейший иа фильтров © в X, для которых pr(Fi)=!(S'( при любом i£/. Предыдущие замечания показывают, что если 33, для каждого i £ / — базис фильтра $,, то 33 есть базис фильтра-произве- фильтра-произведения Ц$, (предложение 3). и/ В произведении Х= ПХ, топологических пространств фильт- t6/ ром окрестностей произвольной точки х=(х) является произве- произведение фильтров окрестностей точек xt (§ 4, п° 1). Конструкция произведения фильтров $= JJ ^, упроща- 16/ ется, когда множество индексов / конечно: тогда всевозможные произведения Ц Mt, где М,^, для любого ig/, образуют is/ базис фильтра g. Если /={1, 2, ..., «}, то вместо Ц$, пишут
88 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § б 8. Элементарные фильтры Определейие 7. Пусть (zJneN — бесконечная последователь- последовательность элементов множества X; элементарным фильтром, ассо- ассоциированным с последовательностью (хп), называется фильтр, порожденный образом фильтра Фреше (п° 1) при отображении п>-*хп множества N в X. Другими словами, элементарный фильтр, ассоциированный с последовательностью (хп),— это множество всех таких Jl/cX, что хп£М для всех кроме конечного числа значений п. Множества Sn тех хр, для которых р^п, образуют базис элементарного фильтра, ассоциированного с последовательностью (хп). Элементарный фильтр, ассоциированный с бесконечной под- подпоследовательностью последовательности (#„), мажорирует эле- элементарный фильтр, ассоциированный с (хп) (см. упражнение 15). По самому определению, всякий элементарный фильтр облада- обладает счетным базисом. Обратно: Предложение 11. Если фильтр $ обладает счетным базисом, то он является пересечением всех мажорирующих его элементарных фильтров. В самом деле, расположим счетный базис фильтра $ в после- п довательность (An)niNi множества Вп=\\ Ар тоже образуют базис фильтра ^ (предложение 3), причем Вп+1сВп для каждого п. Пусть ап—произвольный элемент из Вп; ясно, что % мажорируется фильт- фильтром, ассоциированным с (оп). Таким образом, пересечение 3 всех элементарных фильтров, мажорирующих $, существует и, очевидно, мажорирует $. Если бы оно было сильнее Щ, то существовало бы множество М £ 3 такое, что Вп П СМф 0 при любом п; взяв по элементу Ьп из каждого Вп Л СМ, мы получили бы, что фильтр, нссоциированный с последовательностью (Ьп), мажорирует ^ и не содержит множества М, в противоречие с определением 3. Замечание. Фильтр, мажорируемый фильтром со счетным базисом, вполне может не иметь счетного базиса. Например, если X — несчетное бесконечное множество, то фильтр дополнений к ко- конечным иодмыожествам множества Л не имеет счетного базиса
9 фильтры 89 множество всех конечных подмножеств множества X было бы счетным, что противоречит предположению); однако этот фильтр мажорируется всякий элементарным фильтром в X, ассоциированным с бесконечной последовательностью попарно различных элементов. 9. Ростки относительно фильтра Пусть ft — фильтр в множестве X. В множестве $(Х) все- всевозможных подмножеств множества X отношение R между М и N: «существует такое F£ft, что Мf)V=N()V» есть отношение эквивалентности; в самом деле, очевидно, оно реф- рефлексивно и симметрично, а если М, N, Р — такие подмножества множества X, что М ()V=N f)V и N f)W=Pr\W для некоторых множеств V, W из ft, то М П (F П W)=N f] (V Г) W)=P Г) (V f) W), чем транзитивность R и доказана, поскольку V f)W £ ?V• Класс modi? множества МсХ называется ростком этого множества относи- относительно фильтра ft, а фактормножество ф(Х)/Л — множеством ростков подмножеств множества X (относительно фильтра ft). Отображения (М, iV)b»Mf|iV и (М, N)i-+Ml}N произведе- произведения $($(Х)Х?Р(Х) в $Р(Х) согласуются с отношениями эквивалент- эквивалентности RXR и R (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 8). В самом деле, если М==М' (mod R) и N^N' (mod R), то в ft существуют такие V и W, что М Г) V=M' П V и N П W=--N' П W, откуда (М П #) П U (Л" П (Ffl Щ)НМ' П (Fn ИО) U (Л" П (Fn W))=(M' иЛ")П (Ffl WO- Отображения (ф(Х)/Л)Х(ф(Х)/Я) в ф(Х)/Я, получаемые фак- факторизацией из указанных двух отображений, будем (допуская вольность) обозначать (£, т^) i—*■ | Л Л и (I, r])i—*■ |U Л- Непосредст- Непосредственно проверяется, что относительно этих (всюду определенных) законов композиции каждый элемент идемпотентен и что они коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны друг относительно друга. Кроме того, отношения |=|ПЛ и ti = £|Jti эквивалентны; будем (допуская вольность) пользоваться для них записью |cti; легко видеть, что это есть отношение порядка в ty(X)/R, отно- относительно которого $(?(Х)/Я является решеткой, имеющей наи- наименьшим элементом росток 0 и наибольшим элементом росток X; отметим, кроме того, что отношение £cti означает, что <?уще- ©твуют М £ £, N ^ т] и V £ ft, для которых М П VcN П V.
90 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6 Пусть теперь X'— второе множество и Ф — множество всех отображений в X' подмножеств множества X, принадлежащих %. Отношение S. между / и g: «существует такое F££y, что / и g определены и совпадают на F» есть отношение эквивалентности в Ф; в самом деле, очевидно, оно рефлексивно и симметрично; кроме того, оно транзитивно, ибо если / и g определены и совпадают на V £ $, a g и h определены и совпадают на W £ $, то / и h определены и совпадают на V Г) W £ ??• Класс mod S отображения / множества Fg^ в X' называется ростком отображения f (относительно $), а фактормножество Ф=Ф/5Г — множеством ростков (относительно $) отображений X в X'. Замечания. 1) Всякое отображение / части М £W множества X в X' эквивалентно mod S некоторому отображению Д всего X в X' (что оправдывает предыдущую терминологию); в самом деле, достаточно продолжить / на X, придав ему, например, постоянное значение на Х—М. 2) Для того чтобы характеристические функции ц>м и фдг подмно- подмножеств М и N множества X имели один и тот же росток относительно 0, необходимо и достаточно, .чтобы М w N имели один и тот же росток относительно 8. Пусть X"— третье множество, ср — отображение X' в X" и Ф' — множество всех отображений в X" подмножеств множе- множества X, принадлежащих %. Для любого отображения /£Ф ком- композиция ф о /принадлежитФ'; при этом ясно, что если #£Ф имеет тот же росток относительно %, что и/, тоф°/иф°£ имеют один и тот же росток относительно %; этот росток зависит, следова- следовательно, только от ростка / отображения / относительно % и будет обозначаться ф(/). Тем самым определено отображение (допуская вольность, мы обозначаем его ф) множества <Ь всех ростков ото- отображений X в X' в множество Ф' всех ростков отображений X в X". п Пусть теперь Х'; A<а<1п) — множества, Y= JJ X',— их про- изведение; обозначим через Ф,- (соотв. Ф) множество всех отобра-
В фильтры 91 жений в Х'( (соотв. в У) подмножеств множества X, принадлежа- принадлежащих $. Если Д £Ф, (l^i^ra), а М,- £ $ — область определения Д, п то отображение ih-s> (Д(*),...,/„(<)) определено на [\ М( и, следо- вательно, принадлежит Ф; мы будем обозначать его (допуская вольность) через (Д,..., /„). При этом, если Д и g{ принадлежат Ф{ и имеют один и тот же росток относительно % (для l^i^ra), то ясно, что (Д,..., /„) и (gu ..., gn) имеют один и тот же росток относительно %; этот росток вависит, следовательно, только от ростков Д отображений Д. Если обозначить его через Г (Д ,..., /п), то, очевидно, Г будет биекцией произведения Цф,' на г = 1 множество Ф, где через Ф/ (соотв. Ф) обозначено множество всех ростков относительно $ отображений X в Х\ (соотв. в У); допу- допуская вольность, мы будем обычно там, где зто не может повлечь путаницы, вместо Г (Д, ..., fn) писать (Д, ...,/„). Таким образом, согласно предыдущему, всякое отображение i|> произведения У в множество X" определяет отображение п (Д,..., /„)>—»-г|)(Д, ..., /„) произведения ЦФ/ в множествоФ' всех ростков отображений X в X". В частности, если /={1, 2}, a Xi, X'a и X" равны все одному и тому же множеству X' (так что \|) — всюду определенный закон композиции на X'), то г|з порождает всюду определенный закон композиции на множестве Ф всех ростков отображений X в X'. Легко видеть, что если закон г|з, заданный на X', ассоциативен (соотв. коммутативен), то то же справедливо и для соответствую- соответствующего закона в Ф; если закон г|з на X' обладает нейтральным эле- элементом е', то росток относительно ^ постоянного отображения х\—>е' есть нейтральный элемент для соответствующего закона на Ф. Наконец, если X' обладает нейтральным элементом е', то для того, чтобы росток / элемента /£Ф был обратим вФ, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое F£$, содержащееся в области определения /, что f(t) обратимо в X' для каждого t£V; если обозначить обращение f(t) для каждого t£V через #(£)>• то росток g отображения g будет тогда обращением / в Ф.-
92 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § # В частности, если X' есть группа относительно закона г|}, то иФ будет группой относительно соответствующего закона; так же доказы- доказывается, что если X'— кольцо (соотв. алгебра над кольцом А), то Ф — кольцо (соотв. алгебра над А) относительно соответствую- соответствующих законов композиции. 10. Ростки в точке Один из особенно часто встречающихся случаев, когда приме- применяются определения и результаты п° 9, зто тот, где ^ есть фильтр окрестностей некоторой точки а топологического пространства X; вместо «ростки относительно ^» тогда говорят «ростки в точке а». Отметим, что в этом случае существует только один росток окрест- окрестностей точки а, а именно, всего пространства X. Ростки замкнутых множеств совпадают с ростками множеств, локально замкнутых в точке а, ибо если L локально замкнуто в точке а, то ростки мно- множеств L и L в точке а совпадают (§ 3, предложение 1). Отсюда следует, что если |, ц — ростки множеств, локально замкнутых в точке а, то|ит)и£Пт) тоже являются такими ростками. Так как а принадлежит всякому множеству V £§, то /(а) опре- определено для любого /, область определения которого принадле- принадлежит %; при этом, если / и g имеют один и тот же росток в точке а, to необходимо f(a)—g(a), так что /(а) зависит только от ростка / отображения / в точке а; оно называется значением / в точке а и обозначается ]{а). Отметим, что вообще отношение f(a)=g(a) ни в коей мере не влечет f=g. Пусть X' и X"— топологические пространства, Ь — точка из X', gKg' — отображения X' 9 X", имеющие один и тот же росток в точке Ъ. Если / и /'— отображения X в X', непрерывные в точке а, обладающие одним и тем же ростком в этой точке и такие, что ](а) = Ъ, то g ° / и g' * /' имеют один и тот же росток в точке а; в самом деле, пусть V— такая окрестность точки Ь, что g{x')=g'(x') для всех х' £ V; тогда существует окрестность V точки а такая, что f(V)cV, f'(V)cV и f(x)=f(x) для всех x£V, откуда и выте- вытекает наше утверждение. Росток отображения g ° / в точке а назы- называется композицией ростков g и / отображений g и / и обозна- обозначается g о /,
УПРАЖНЕНИЯ 93 Упражнения 1) Найти все фильтры в конечном множестве. 2) Показать, что если пересечение всех множеств фильтра 8, заданного в множестве X, пусто, то % мажорирует фильтр дополнений конечных подмножеств множества X. 3) Пересечение фильтров % и @, заданных в одном и том же множестве X, есть множество всех его подмножеств вида M[)N, где М пробегает $, а N пробегаег ®. 4) Показать, что фильтр дополнений конечных подмножеств бес- бесконечного множества X является пересечением элементарных фильт- фильтров, ассоциированных со всевозможными бесконечными последователь- последовательностями попарно различных элементов из X. 5) Показать, что если фильтры $ и ©, заданные в множестве X, обладают верхней гранью в множестве всех фильтров в X, то эта верхняя грань есть множество всех подмножеств вида M[\N, где М пробегает %, а N пробегает ©. 6) Пусть каждому фильтру в множестве X сопоставлена ассоции- ассоциированная с ним топология (п° 5) в одном и том же множестве Х' = = XU{<a}. Справедливы следующие предложения: а) Если некоторая топология в X' мажорирует топологию, ас- ассоциированную с фильтром %, то эта топология либо дис- дискретная, либо ассоциирована с фильтром, мажорирующим 8. И обратно. б) Нижняя грань топологий, ассоциированных с фильтрами из некоторого множества Ф фильтров в X, есть топология, ассоцииро- ассоциированная с пересечением всех фильтров из Ф. в) Пусть (S — некоторое множество подмножеств из' X, №'— множество всех подмножеств из X' вида M\J {со}, где М пробегает (S), и 6=©'U$(X). Если © порождает фильтр Ъ, то Jp порождает в X' топологию, ассоциированную с %. Какую топологию порождает ф, если (V) не является системой образующих никакого фильтра? г) Для того чтобы ft было ультрафильтром в X, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированная с ним топология в X' была Х-максимальной (§ 3, упражнение 11). 7) В топологическом пространстве X пересечение фильтров ок- окрестностей всех точек непустого множества АсХ есть фильтр окрест- окрестностей этого множества в X. 8) а) Пусть Ф — некоторое множество топологий в множестве X. Показать, что фильтр окрестностей точки х£Х в пересечении всех топологий из Ф мажорируется пересечением фильтров окрестно- окрестностей точки х в топологиях из Ф. б) Рассмотрим в множестве Qa лексикографический порядок (Теор. множ., гл. III, § 2, п° 6) и топологию (^*i = (^*o(QJ)' соответствующую этой структуре совершенно упорядоченного множества 0§ 2, упраж- упражнение 7); пусть $~г— топология в QJ, получаема^ ucjeHocoM ;fTj
94 ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § • посредством симметрии (|, tj) i—»■ (г), §), и а^"— пересечение топологий £Tt и ,^Гг. Показать, что фильтр окрестностей точки в топологии ^"слабее пересечения фильтров ее окрестностей в топологиях $\ и <&~г. *9) а) Показать, что нсякий ультрафильтр, мажорирующий пере- пересечение конечного числа фильтров, мажорирует по крайней мере один из них. [Использовать предложение 5.] б) Дать пример ультрафильтра, мажорирующего пересечение бес- бесконечного семейства ультрафильтров, но не совпадающего ни с одним из ультрафильтров этого семейства. [Рассмотреть в бесконечном мно- множестве X семейство всех ультрафильтров, имеющих своим базисом одноточечное множество.] 10) Показать, что пересечение множеств, образующих ультра- ультрафильтр, содержит не более одной точки и что если оно состоит из одной точки, то ультрафильтр образован всеми множестнами, содержащими эту точку. [Использовать предложение 5.] 11) Показать, что если подмножество А множества X не принад- принадлежит ультрафильтру Ui заданному в X, то следом И на Л служит ЩА). 12) Показать, что в бесконечном множестве элементарный фильтр, ассоциированный с последовательностью, члены которой попарно различны, не является ультрафильтром. 13) Пусть / — отображение множества X в множество X'. Для —1 того чтобы для любого базиса фильтра 33 в X множество /(/C3)) было базисом фильтра, эквивалентным 93, необходимо и достаточпо, чтобы / было инъективпо. 14) Показать, что если отображение /: Х-*Х' сюръективно, то образ /E) всякого фильтра % из X есть фильтр в X'. *15) Пусть п\—> f(n) — сюръективное отображение N в N такое, ято f(m) конечно для любого т£ N. Возьмем произвольную последова- последовательность (х„) элементов какого-либо множества X и положим !/„=£/(„). Показать, что элементарные фильтры, ассоциированные с последова- последовательностями (х„) и (у„), совпадают. Вывести отсюда, что если (an)j& (&„) — такие последовательности элементов из X, что фильтр, ассоциированный с (Ь„), мажорирует фильтр, ассоциированный с (а„), то фильтр, ассоциированный с F„), совпадает с фильтром, ассоциированным с некоторой подпоследова- подпоследовательностью последовательности (а„). *16) Пусть Ф — счетное совершенно упорядоченное множество элементарных фильтров в множестве X. Показать, что сущест- существует элементарный фильтр, мажорирующий все фильтры из Ф. [По- [Показать, что объединение всех фильтров из Ф обладает счетным базисом.] 17) Пусть X — решетка (Теор. множ., гл. III, § 1, п* 13). Непу- Непустое подмножество F множества X навивается предфильтром.
УПРАЖНЕНИЯ 95 если оно удовлетворяет следующим условиям: 1° каково бы ни было x£F, отношение у^х влечет y£F; 2° если x£F иy£F,TO ini(x, y)£F\ Таким образом, в множестве всех подмножеств множества Y, упо- упорядоченном повключенито,предфильтры—это фильтры в У. Предфильтр f называется простым, если отношениеsup(;r, y)£F влечет x£F или y£F. Предфильтр относительно противоположного порядка называется копредфилътром в X. а) Множество всех мажорант множества AczX, не сводящегося к наименьшему элементу из X, есть предфильтр. Дать примеры пред- фильтров, которые не были бы множествами мажорант. б) Показать, что если F — простой предфильтр, то CF — простой копредфнльтр. ' в) Показать, что если X обладает наименьшим элементом 0, то всякий предфильтр содержится в некотором максимальном предфильт- ре. [Использовать теорему Цорна, учтя, что 0 не принадлежит ни одному предфильтру.] г) Найти все предфильтры в совершенно упорядоченном множе- множестве X и показать, что все они простые. Получить отсюда примеры не- немаксимальных простых предфильтров. д) Пусть X — упорядоченное множество, состоящее из пяти эле- элементов 0, 1, а, 6, с, связанных отношениями порядка 0<я<1, 0<6<1, 0<с<1. Показать, что X — решетка и что предфильтры, отличные от {1}, являются максимальными, но не простыми. е) Пусть X — решетка, обладающая наименьшим элементом 0. Показать, что если FczX — предфильтр и а — элемент из X, не принадлежащий F, то для того, чтобы существовал предфильтр, со- содержащий F и а, необходимо и достаточно, чтобы inf(a, я)#0 для всех x£F; наименьшим предфильтром, содержащим F и а, явля- является тогда множество тех у£Х, для которых j/^inf(а, х) хотя бы при одном x£F. *18) Пусть X — дистрибутивная решетка (Теор. множ., глава III, § 1, упражнение 16), обладающая наименьшим элементом 0. а) Показать, что если а — неприводимый элемент из X (Теор. множ., гл. III, § 4, упражнение 7), то множество его мажорант есть простой предфильтр. Дать пример простого предфильтра, не являю- являющегося множеством мажорант неприводимого элемента. [См. упраж- упражнение 17г.] б) Показать, что всякий максимальный предфильтр в X — прос- простой. [Использовать упражнение 17е.] Дать примеры немаксимальных простых предфильтров в дистрибутивной решетке. [Упражне- [Упражнение 17г.] в) Показать, что всякий предфильтр F есть пересечение всех со- держащтгх его простых предфильтров. [Используя упражнение 17е, показать, что если а <£ F, то максимальный элемент U u множестве всех
96 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I, § * предфильтров, содержащих F и не содержащих а, есть простой пред- предфильтр.} г) Пусть й — множество всех иростых предфильтров в X. Сопо- Сопоставим каждому элементу х£Х подмножество Ах множества Q, со- состоящее из всех простых предфильтров F, содержащих х. Показать, что XI—>АХ есть инъективное возрастающее отображение X в Щп) и что Л1п, w_у)=АхГ\Ау и Astlv{x y)=Ax[jAy. 19) Пусть X — решетка, обладающая наименьшим элементом; показать, что если всякий предфильтр в X есть пересечение содержа- содержащих его простых предфильтров, то X дистрибутивна. [Заметить, что отображение х\—>АХ, определенное как в упражнении 18г, обладает всеми перечисленными там свойствами.} *20) Решетку X называют булевой алгеброй, если она дист- дистрибутивна, обладает наименьшим элементом 0 и наибольшим эле- элементом 1, и для любого х£Х существует такой элемент х'£Х, что inf(x, x')=0, a sup(x, x') = l; элемент х' называется дополнением к х в X. а) Пусть х\—*Ах— инъективное отображение булевой алгебры X в множество всех подмножеств множества Q всех иростых предфильтров в X, определенное в упражнении 18г; показать, что если х'— допол- дополнение к х в X, то Ах' —САХ в й; вывести отсюда, что всякий элемент х имеет только одно дополнение х , что дополнением к х служит х, а дополнением к Ш(х, у) является sup(a;, у); дать прямые доказатель- доказательства этих свойств. Показать, что элемент d(x, !/) = inf(j/, x') обладаег всеми свойствами, перечисленными в упражнении 18ж § 8 гл. I Алгеб- Алгебры; отличные от А идеалы булева кольца А, отвечающего X, суть копредфильтры в X. б) Покавать, что в булевой алгебре X всякий простой предфнльтр максимален. [Заметить, что, каково бы ни было х£Х, простой пред- предфильтр всегда содержит х или его дополнение.] в) Обратно, пусть X — дистрибутивная решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1, такая, что всякий простой предфильтр в X максимален; показать, что тогда X есть булева алгебра. [Взяв х£Х, рассмотреть копредфильтр С (упражнение 17), образован- образованный теми у£Х, для которых inf(x, y)=0; если х не имеет дополнения, то существует максимальный копредфильтр М, содержащий х и С; учесть, что дополнение U к М в X есть простой предфильтр (упраж- (упражнения 176 и 186), и использовать упражнение 17е.] г) Показать, что множество 33 всех открыто-замкнутых подмно- подмножеств топологического пространства X, упорядоченное по включению, является булевой алгеброй. Показать, что если за X взято топо- топологическое пространство, ассоциированное с фильтром Фреше (п° 5), то соответствующая булева алгебра 33 счетно бесконечна и потому не может быть изоморфной упорядоченному множеству Щ (А) всех подмножеств какого-либо множества А.
ПРЕДЕЛЫ 97 § 7. Пределы 1. Предел фильтра Определение 1. Пусть X — топологическое пространство, $ — фильтр в X. Точку х£Х называют пределом фильтра %, если Jy мажорирует фильтр Ш(х) окрестностей этой точки; тогда говорят также, что $ сходится к х. Точку х называют пределом базиса фильтра. 33 в X (и говорят, что 33 сходится к х), если фильтр с базисом 33 сходится к х. Это определение и предложение 4 § 6 приводят к следующему критерию: Предложение 1. Для того чтобы базис фильтра 33 в топо- топологическом пространстве X сходился к точке х£Х, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из фундаментальной системы окрестностей точки х содержало множество из 33. В согласии с терминологией, введенной в п° 2 § 1, предложению 1 можно придать следующую форму: для того чтобы базис фильтра 53 сходился к х, необходимо и достаточно, чтобы в *8 имелись множества, сколь угодно близкие к х. Если фильтр g сходится к х, то в силу определения 1 всякий фильтр, мажорирующий $, тоже сходится к х. Точно так же, если заменить топологию в X более слабой топологией, то фильтр окрестностей точки х заменится мажорируемым им фильтром (§ 2, предложение 3) и, следовательно, фильтр % будет сходиться к х и в этой новой топологии. Выражаясь образно, можно, таким образом, сказать, что чем сильнее топология, тем меньше фильтров, сходящихся в етой тополо- топологии. 13 частности, для дискретной топологии сходящимися фильтрами являются только фильтры окрестностей, ибо последние суть тривиаль- тривиальные ультрафильтры в X (§ 6. п° 4). Пусть Ф — некоторое множество фильтров в X, сходящихся к одной и той же точке х. Так как фильтр окрестностей Ъ{х) мажорируется каждым фильтром из Ф, то 33(х) мажорируется и их пересечением 3; иначе говоря, 3 тоже сходится к х. 4 Н. БурОака
98 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7 Предложение 2. Для того чтобы фильтр $ в топологическом пространстве X сходился к точке х, необходимо и достаточно, чтобы всякий ультрафильтр, мажорирующий $, сходился к х. Это сразу следует из предыдущего и предложения 7 § 6. Отметим, что вообще фильтр может обладать несколькими раз- различными пределами; мы вернемся к этому вопросу в п° 1 § 8. 2. Точка прикосновения базиса фильтра Определение 2. Говорят, что х есть точка прикосновения базиса фильтра 23 в топологическом пространстве X, если х является точкой прикосновения для каждого множества из Ш. Если х есть точка прикосновения базиса фильтра 23, то в силу следствия предложения 4 § 6 она будет также точкой прикоснове- прикосновения всякого эквивалентного ему базиса фильтра и, в частности, фильтра с базисом 33. Предложение 3. Для того чтобы точка х была точкой при- прикосновения базиса фильтра 83, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из фундаментальной системы окрестностей точки х пересекалось с любым множеством из 23» Вытекает непосредственно из определений. Это предложение и следствие 2 предложения 1 § 6 показывают, что свойство «я есть точка прикосновения фильтра $» равно- равносильно свойству «существует фильтр, мажорирующий одновре- одновременно фильтр гу и фильтр окрестностей точки х». Иначе говоря, Предложение 4. Для того чтобы точка х была точкой прикос- прикосновения фильтра $, необходимо и достаточно, чтобы существовал фильтр, мажорирующий $ и сходящийся к х. В частности, всякий предел фильтра ^ есть его точка прикос- прикосновения. Следствие. Для того чтобы ультрафильтр U сходился к точке х, необходимо и достаточно, чтобы х была его точкой при- прикосновения.
8 ПРЕДЕЛЫ 99 Если х есть точка прикосновения фильтра $, то она является также точкой прикосновения всякого мажорируемого им фильтра. Точно так же, если заменить топологию в X более слабой, то х останется точкой прикосновения для §ив этой новой топологии. Множество всех точек прикосновения базиса фильтра S3 в X есть по определению множество \\ М; отсюда Предложение 5. Множество всех точек прикосновения базиса фильтра в топологическом пространстве X замкнуто в X. Предложение 6. Пусть 33 — базис фильтра в подмножестве А топологического пространства X. Каждая точка прикосновения этого базиса S3 в X принадлежит А. Обратно, каждая точка из А есть предел в X некоторого фильтра, заданного в А. Первое утверждение очевидно. С другой стороны, если х£А~, то след на А фильтра окрестностей точки х ъ X есть фильтр в А, очевидно, сходящийся к х. Замечание. Фильтр в топологическом пространстве не всегда имеет точку прикосновения (и тем более предел); так, например, в бесконечном дискретном пространстве фильтр до- дополнений конечных множеств не имеет ни одной точки прикосно- прикосновения. Пространства, в которых всякий фильтр имеет точку прикосновения, играют очень важную роль в математике; мы будем изучать их в § 9. 3. Предел и предельная точка функции Определение 3. Пусть f — отображение множества X в топологическое пространство Y и $ — фильтр в X. Точка y£Y называется пределом функции / по фильтру $, если базис фильтра сходится к у, и предельной точкой функции / по фильтру если у есть точка прикосновения базиса фильтра Отношение «у есть предел функции / по фильтру $■» записы- зтся так: limg/=i/, или limf(x)=y, ил х, е это не может повести к недоразумению. вается так: limsf=y, или limf(x)=y, или даже limf(x)=y, если х, 5 х
100 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7 Из определения 3 и предложений 1 и 3 вытекают следующие критерии: Предложение 7. Для того чтобы y£Y было пределом функции f no фильтру $, необходимо и достаточно, чтобы для любой ок- окрестности V точки у в Y существовало такое множество М £ {у, что f(M)czV (т. е. чтобы /(F) £ $ ^ля любой окрестности V точки у). Для того чтобы у было предельной точкой функции / по фильтру £у> необходимо и достаточно, чтобы для любой окрест- окрестности V точки у и любого множества М £ % существовала такая точка х £ М, что f{x) £ V. Примеры. 1) Последовательность точек (xn)n6N топологи- топологического пространства X есть отображение пн->хп множества N в X. В анализе часто рассматривают понятия предела или пре- предельной точки такого отображения по фильтру Фреше (§ 6, п° 1) в N; если у есть предел отображения т—>хп по фильтру Фреше, то говорят, что у есть предел последовательности (хп) при неогра- неограниченном возрастании п (или что хп стремится к у при неограни- неограниченном возрастании п), и пишут limxn=y. Точно так же предель- п-*оо ной точкой последовательности (хп) называют всякую предельную точку отображения т—*хп по фильтру Фреше. Можно еще сказать, что точка у £ X есть предел (соотв. предель- предельная точка) последовательности (хп) точек из X, если у является пределом (соотв. точкой прикосновения) элементарного фильтра, ассоциированного с {хп) (§ 6, п° 8). Для того чтобы у было пределом последовательности (хп) в X, необходимо и достаточно, чтобы для всякой окрестности V точки у в X все члены последовательности (хп), за исключением конечного их числа, принадлежали V, т. е. чтобы существовало такое целое число п0, что хп £ V для всех п^п0. Точно так же, для того чтобы у было предельной точкой последовательности (хп), необходимо и достаточно, чтобы для всякой окрестности V точки у и всякого целого числа п0 существовало такое целое число п^п0, что xn£V. Важно тщательно отличать понятие предельной точки последова- последовательности от понятия точки прикосновения множества точек последо- последовательности; всякая предельная точка есть вместе с тем точка прикос- прикосновения множества точек последовательности, но обратное неверно.
8 ПРЕДЕЛЫ 101 2) Более общим образом, пусть / — отображение фильтрую- фильтрующегося множества А в топологическое пространство X. Если х£Х есть предел (соотв. предельная точка) отображения / по фильтру сечений множества А (§ 6, п° 3), то х называют пределом (соотв. предельной точкой) функции f no фильтрующемуся множеству А и пишут x—lim. f(z). Если у есть предел (соотв. предельная точка) отображения /: X-*Y по фильтру $ в X, то у остается пределом (соотв. предель- предельной точкой) отображения / по фильтру ^ и при замене топологии в У более слабой. Точно так же, если у есть предел (соотв. предельная точка) отображения / по фильтру $, то у будет пределом (соотв. предель- предельной точкой) отображения / и по любому более сильному (соотв. более слабому) фильтру. Предложение 8. Пусть / — отображение множества X в топологическое пространство У; для того чтобы y£Y было предель- предельной точкой отображения f no фильтру %, необходимо и доста- достаточно, чтобы у было пределом отображения / no некоторому фильт- фильтру © в X, мажорирующему $. В самом деле, пусть у — предельная точка отображения / по —1 £5? и 33 — фильтр ее окрестностей; тогда /E3) есть базис фильтра —1 в X, ибо каждое множество из /C3) пересекается с каждым мно- множеством из $ (§ 6, п° 6). Это замечание показывает, кроме того, что в X существует фильтр ©, мажорирующий фильтр $ и фильтр —1 с базисом /C3) (§ 6, следствие 2 предложения 1), так что у есть предел отображения / по фильтру ®. Отметим, наконец, что если / — отображение множества X в топологическое пространство У, то (возможно, пустое) множе- множество всех предельных точек отображения / по фильтру $ в X замкнуто в У (предложение 5). Замечание. Если у £ У есть предел (соотв. предельная точка) отображения /: X-*Y по фильтру $ в X, то у является
102 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § У также пределом (соотв. предельной точкой) всякой функции g: Х-»-У, обладающей тем же ростком относительно $ (§ 6, п° 9); у называется также пределом (соотв. предельной точкой) ростка f функции / относительно ££. 4. Пределы и непрерывность Пусть X и У — топологические пространства, / — отобра- отображение X в У, 33 — фильтр окрестностей в X точки а£Х. Для выражения тото, что y£Y есть предел функции / по фильтру 23, вместо записи y=\im%f пользуются специальным обозначением y=limf(x) х~*а и говорят, что у есть предел функции / в точке а или что f(x) стре- стремится к у, когда х стремится к а. Точно так же, вместо того чтобы называть у предельной точкой функции / по фильтру 33, говорят, что у есть предельная точка функции f в а. Из предложения 7 на основании определения непрерывности (§ 2, определение 1) получаем: Предложение 9. Для того чтобы отображение f топологиче- топологического пространства X в топологическое пространство У было не- непрерывно вточке а £ X, необходимо и достаточно,чтобыИт}(х)=f (а). х-*а Следствие 1. Пусть X uY — топологические пространства и f — отображение X в Y. Если f непрерывно в точке а$Х, то для каждого базиса фильтра 33 в X, сходящегося к а, базис фильтра /(93) сходится к f(a). Обратно, если для каждого ультрафильтра И ё X, сходящегося к а, базис ультрафильтра /(Ц) сходится к f(a), то f непрерывно в точке а. Первое утверждение есть непосредственное следствие пред- предложения 9. Для доказательства второго предположим, что / не непрерывно в точке а; тогда существует такая окрестность W точки f(a) в У, что f{W) не принадлежит фильтру Ъ окрестностей точки а в X. Следовательно (предложение 7 § 6), существует ульт- : : -1 рафильтр U, мажорирующий 33 и не содержащий j{W), а значит,
Л ПРЕДЕЛЫ 103 — 1 содержащий его дополнение А=Х—j{W) (предложение 5 § 6); так как j{A)[\ W—0, то /(Ц) не сходится к f(a). Следствие 2. Пусть отображение g множества Z в тополо- топологическое пространство X обладает пределом а по фильтру $ в Z; если отображение f: X—*Y непрерывно в точке а, то составное отображение fog обладает пределом f(a) no фильтру $. 5. Пределы относительно подпространства Пусть X и У — топологические пространства, АсХ и а — точка прикосновения множества А в X (не обязательно принадле- принадлежащая А). Пусть $ — след на А фильтра окрестностей точки а в X. Если / есть отображение множества А в Y, то вместо записи 2/=Hms;/, означающей, что у£Y есть предел / по фильтру $, мы пишем у= lim f{x) А и говорим, что у есть предел функции f в точке а относительно подпространства А или что f(x) стремится к у, когда х стремится к а, оставаясь в А. Отметим, что при этом y£f(A). Если А—С{а}х где а — неизолированная точка из X, то вместо г/= lim f(x) пишут также у= lim f(x). х-*а,хеА х-*а, хФа Аналогичные определения имеют место и для предельных точек. Если / есть сужение на А отображения g: X-*Y, то говорят, что g имеет предел (соотв. предельную точку) у относительно А в точке а £ А, если у есть предел (соотв. предельная точка) функции / в а относительно А. Пусть В с: А и а£Х — точка прикосновения множества В, Если у есть предел отображения /: A—*Y в а относительно А, то у есть также предел отображения / в а относительно В. Обратное неверно; но если V— окрестность в X точки а £ А и / имеет предел у в а относительно V П А, то у есть также предел / в а относитель- относительно А. Пусть а — неизолированная точка пространства X и, следо- следовательно, точка прикосновения множества С {а}. Для того чтобы
104 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1, § 7 отображение /: X-*Y было непрерывно в точке а, необходимо и достаточно, как это непосредственно следует из определений, чтобы f(a)= lim f(x). х-*а, хфа в. Пределы в прогшведениях пространств и факторпространствах Предложение 10. Пусть X — множество, (YXei — семей- семейство топологических пространств, /, для каждого i £ / — отобра- отображение X в Yr Наделим X слабейшей топологией <£Г, при которой все Д непрерывны. Для того чтобы фильтр % в X сходился к точке а£Х, необходимо и достаточно, чтобы для каждого i£/ базис фильтра Д(^) сходился к Д(а) в У,. Условие необходимо, поскольку все /, непрерывны (следствие 1 предложения 9). Обратно, предположим, что оно выполнено, и пусть V — открытая окрестность точки а в X. По определению топологии <£Г (предложение 4 § 2) существуют конечное /с/ и для каждого i € J такое открытое множество Ul в Yt, что /Да) € Ut для всех i € J и || fXUJcV. Но из условия вытекает, что Д (£/,) € ^ (предложение 7), а так как / конечно, то M=f^ /(£/) принад- лежит $, что завершает доказательство, поскольку MaV. Следствие 1. Для того чтобы фильтр ^ в пространстве X — ЦХС сходился к точке х, необходимо и достаточно, чтобы базис фильтра рг( (^) сходился к тргкх для каждого i g /. Следствие 2. Пусть /=(Д) — отображение множества X в пространство Y— ЦУ,- Для того чтобы / имело предел y=(yt) по фильтру ^ в X, необходимо и достаточно, чтобы у, было пре- пределом Д по $ для каждого i g /. Предложение 11. Пусть R — открытое отношение эквива- эквивалентности в топологическом пространстве X и ср — каноническое отображение X-+X/R. Для каждой точки х£Х и каждого базиса
УПРАЖНЕНИЯ 105 фильтра 93' в X/R, сходящегося к у(х), существует базис фильтра 35 в X, сходящийся к х и такой, что ф(ЭЗ) эквивалентно 33'. В самом деле, образ ф(£/) каждой окрестности U точки х в X является окрестностью точки у(х) в X/R (предложение 5 § 5); поэтому ф(£/) содержит некоторое множество М'^ЭЗ'; положив —1 M = U Пф (ЛГ), будем иметь М'=ф(М). Это показывает, что множества U [\ ф(М'), где М' пробегает 33', a U — фильтр окрест- окрестностей точки х, образуют базис фильтра 33 в X, который, оче- очевидно, сходится к х и обладает тем свойством, что фC3) эквива- эквивалентно 33'. Упражнения 1) Пусть <$*, и ,0~г— топологии в одном и том же множестве X; для того чтобы Jfi мажорировала $~2, необходимо и достаточно, чтобы всякий фильтр в X, сходящийся в топологии ^"^ сходился к той же точке и в топологии $\. 2) Пусть U — ультрафильтр в N, мажорирующий фильтр Фреше, и X = N(j{fi>} пространство, ассоциированное с U (§6, п° 5). Пока- Показать, что в X последовательность (х„) с бесконечным числом различных яленов никогда не сходится. И) Пусть X и X'— топологические пространства и /: Х-уХ'— отображение, непрерывное в точке хо^Х. Показать, что если х0 есть точка прикосновения базиса фильтра 53 в X, то f(xa) будет точкой прикосновения, базиса фильтра /C3) в X'. 4) а) Пусть X и У — топологические пространства, Ъ — фильтр в X. имеющий точку прикосновения а, и 6Л — фильтр в У, имеющий точку прикосновения 6. Показать, что (а, Ь) есть точка прикосновения фильтра ИХ©. б) Указать в пространстве Q2 пример последовательности (хп, у„), не имеющей предельных точек, в то время как каждая из последова- последовательностей (хп), (уп) имеет предельную точку в Q. 5) Пусть X и У — топологические пространства и G — график в ХХУ отображения /: Х->У. Показать, что для каждого х£Х множе- множество всех предельных точек отображения / в х есть срез G(x), где G — замыкание G в пространстве ХХУ. 6) Пусть (Х,)^,— несчетное семейство дискретных пространств) имеющих каждое по меньшей мере две точки. Рассмотрим в произве- произведении X—\[Xt топологию, порождаемую произведениями JJiW,, 16/ ч1 где MlcXi для каждого ig/и М^—Х^ для всех i, кроме не более чем счетного их семейства (см. § 4, упражнение 9). Показать, .что в X
106 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8 пересечение всякого счетного семейства открытых множеств открыто; вдвести отсюда, что ни одна точка из X не обладает счетной фун- фундаментальной системой окрестностей. 7) Назовем примитивным множеством в топологическом про- пространстве X всякое множество АсХ, являющееся множеством всех пределов какого-либо ультрафильтра в X. Обозначим тогда через Т'д множество всех ультрафильтров, имеющих А множеством всех своих пределов. а) Показать, что если А — примитивное множество в X, то всякое пересекающееся с А открытое множество принадлежит всем ультра- ультрафильтрам и£Гд. б) Пусть А и В — два различных примитивных множества в X, Показать, что существуют такие ультрафильтр Ц£Гд, ультрафильтр ЭЗ£ГВ и множество МсХ, что М£Ц, a CM^W. в) Пусть /: Х->У — непрерывное отображение. Показать, что образ при / всякого примитивного множества пространства X содер- содержится в некотором примитивном множестве пространства Y. г) Если точка х£Х такова, что [х] замкнуто в X, то множество {z} примитивно в X. § 8. Отделимые и регулярные пространства 1. Отделимые пространства Предложение 1. Пусть X — топологическое пространство. Следующие утверждения равносильны: (Н) Каковы бы ни были различные точки х и у в X, существуют окрестность точки х и окрестность точки у, не имеющие общих точек. (Н1) Пересечение всех замкнутых окрестностей произвольной точки из X есть множество, сводящееся к одной этой точке. (Н11) Диагональ Д пространства ХхХ есть замкнутое мно- множество. (Н111) Для любого множества I диагональ Д пространства Y=X' замкнута в Y. (HIV) Ни один фильтр в X не может иметь более одного предела. (Hv) Если фильтр $ в X имеет предел х, то х — его единствен- единственная точка прикосновения. Докажем импликации ^H и Н=ФНШ=ФН11=»Н.
1 ОТДЕЛИМЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 107 (Н)=>A1'): В самом деле, если хфу, то существуют открытая окрестность U точки х и открытая окрестность V точки у такие, что Ur\V=0; следовательно, y^U. (H')=>(HV): Пусть уфх; имеется замкнутая окрестность V точки х такая, что y(fcV, и по предположению существует такое М € ??> что McV; отсюда следует, что М Л CF= 0, а так как CF — окрестность точки у, то у не является точкой прикосновения для $. (Hv)=>(Hlv): Это очевидно, поскольку всякий предел фильтра является точкой прикосновения этого фильтра. (HIV)^>(H): Если всякая окрестность V точки х пересекается со всякой окрестностью W точки у, то множества V П W образуют базис фильтра, имеющий своим пределом в X как х, так и у. Отсюда и вытекает утверждаемая импликация. (Н)=£(НШ): Пусть х=(х) — точка из X1, не принадлежащая Д, так что имеются по крайней мере два индекса К, ц, для которых ххфх^. Пусть Vx и V^ — окрестности точек хх и х^ в X такие, что Vx[)Vl, = 0; тогда множество W=VxXV.X Ц X, (где X =Х для у.ф'к, \и) есть окрестность точки х в X1 (§ 4, п° 1), не пересекаю- пересекающаяся с Д, что и доказывает замкнутость Д в X1. (Н'^гХН11): Очевидно. (Н")=>(Н): Если х=£у, то точка (х, у)£ХхХ не принадлежит диагонали Д, так что (§ 4, п° 1) существуют окрестность V точки х и окрестность W точки у такие, что (FX W) П Д = 0, а это означает^ что V П W= 0. Определение 1. Топологическое пространство X, удовлетворяю' щее условиям предложения 1, называется отделимым (или хаусдор- фовым) пространством; его топология называется отделимой (или хаусдорфовой). Аксиома (Н) называется аксиомой Хаусдорфа. Примеры. Всякое дискретное пространство отделимо. Рацио- Рациональная прямая Q отделима, ибо если х и у — рациональные числа такие, что х<у, то для всякого рационального числа z, удовлетворяю- удовлетворяющего условиям x<z<y, окрестности |«-, z\ и ]z, -»[ точек х и у не пересекаются. Пространство, имеющее не меньше двух точек и наделенное сла- слабейшей топологией (§ 2, п° 2), неотделимо.
108 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8 Пусть /: X-*Y — отображение множества X в отделимое пространство У. Из предложения 1 сразу следует, что / может иметь только один предел по фильтру $ в X и что если / имеет пре- предел у по $, то у есть единственная предельная точка f по %. Предложение 2. Пусть fug — непрерывные отображения топологического пространства X в отделимое пространство Y; тогда множество тех х£Х, для которых f(x)=g(x), замкнуто в X. В самом деле, это множество есть прообраз диагонали произ- произведения YxY относительно непрерывного (по предложению 1 §4) отображения zi—*■(/(#), g(x)) пространства X в YxY; следователь- следовательно, справедливость предложения следует из (Нм) и, теоремы 1 § 2. Следствие 1 (Принцип продолжения тождеств). Пусть jug — непрерывные отображения топологического пространства X в отде- отделимое пространство Y. Если f(x)=g(x) во всех точках некоторого всюду плотного в X множества, то f=g. Другими словами, непрерывное отображение пространства X в (отделимое) пространство Y полностью определяется своими значениями в точках какого-либо всюду плотного в X множества. Следствие 2. График непрерывного отображения f топологи- топологического пространства X в отделимое пространство Y замкнут в XXY. В самом деле, этот график есть множество тех точек (х, у) £ £XxY,y которых f(x)=y, а отображения (х,у)*-+у и (x,y)y-+f(x) пространства XXY в Y непрерывны. Предложение 3. Пусть (^)i<igrn — конечное семейство попарно различных точек отделимого пространства X; тогда для каждого индекса i существует такая окрестность 7,- точки х{ в X, что множества У,- (l^i^n) попарно не пересекаются. Проведем доказательство индукцией по п. При п=2 утверж- утверждаемое предложение есть не что иное, как аксиома (Н). Пусть теперь Wt — попарно не пересекающиеся окрестности точек х( (i^.i^.n—1). Для каждого iA<i^n—1) существуют окрест- окрестность Tf точки xi и окрестность С/(- точки хп, имеющие пустое пере-
ОТДЕЛИМЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 109 п— 1 сечение. Положив тогда V) = W\ Г) Т( для 1<! i ^.п—1 и Vn= Г\ Uiy получим нужные окрестности. Следствие. Всякое отделимое конечное пространство дискретно. Предложение 4. В отделимом пространстве всякое конечное множество замкнуто. Для доказательства достаточно заметить, что всякое одноточеч- одноточечное множество замкнуто в силу аксиомы (Н1). Предложение 5. Если для любой пары различных точек х, у топологического пространства X существует такое его непрерывное отображение f в отделимое пространство X', что f(x)=^=f(y), то X отделимо. В самом деле, пусть V и W — непересекающиеся окрестности —1 —1 точек f(x) и f(y) в X'; тогда / (V) и f(W) будут непересекающи- непересекающимися окрестностями точек х и у, чем предложение и доказано. Следствие. Всякая топология, мажорирующая отделимую топологию, отделима. 2, Подпространства и произведения отделимых пространств Всякое подпространство А отделимого пространства X от- отделимо: в самом деле, достаточно применить предложение 5 к канонической инъекции А-+Х. Обратно: Предложение 6. Если всякая точка топологического простран- пространства X имеет замкнутую окрестность, являющуюся отделимым подпространством пространства X, то X отделимо. В самом деле, пусть х — точка изХи7 — ее замкнутая окрест- окрестность в X, являющаяся отделимым подпространством. По пред- предположению (аксиома (Н1)), пересечением всевозможных замкну- замкнутых окрестностей точки х относительно V является множестве
110 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8 1х\; так как они являются также замкнутыми окрестностями точки х в X (§ 3, п° 1), то пересечение всех замкнутых окрестно- окрестностей х в X тем более сводится к х\ следовательно, X удовлетворяет аксиоме (Н1). Можно привести примеры неотделимых пространств, в которых каждая точка обладает отделимой окрестностью (упражнение 7). Предложенио 7. Произведение любого семейства отделимых пространств отделимо. Обратно, если произведение семейства непустых пространств отделимо, то каждое пространство-сомно- пространство-сомножитель отделимо. В самом деле, пусть X—Ц X, — произведение топологических пространств; если хну — две различные точки из X, то суще- существует такое I, что трг^хфтргу, и предложение 5 показывает, что отделимость всех Х^ влечет отделимость X. Обратно, если X отде- отделимо, а X, не пусты, то каждое X, гомеоморфно подпространству пространства X (предложение 4 § 4) и, следовательно, отделимо. Следствие 1. Пусть X — множество, (Y)ieI — семейство отде- отделимых топологических пространств и Д для каждого i £ / — ото- отображение X в У1# Наделим X слабейшей топологией оГ, при которой все /t непрерывны. Для того чтобы X было отделимым, не- необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары различных точек х, у из X существовало такое i£/, что /Дя^/Дг/). В силу предложения 5 условие достаточно. Обратно, для до- доказательства необходимости можно в силу доказанного только что предложения 7 и предложения 3 § 4 ограничиться случаем, когда / сводится к одному элементу, другими словами, случаем, когда £Г есть прообраз относительно /: X-*Y некоторой отделимой топологии. Но если f(x)=f(y) для двух различных точек х, у из X, то ясно, что всякое открытое множество (в топологии <£Г), со- содержащее х, содержит также у, откуда и следует наше утверждение. Следствие 2. Пусть (Ха, /аР) — проективная система то- топологических пространств. Если все Ха отделимы, то Х= lim ХЛ отделимо и является замкнутым подпространством пространст- ва ЦХ-
S ОТДЕЛИМЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 111 Первое утверждение сразу следует из того, что X есть подпро- подпространство отделимого (по предложению 7) пространства ЦХ,,. а С другой стороны, пусть t\$ приа^Р означает подмножество произ- произведения ЦХа, состоящее из тех х, для которых рг.а^/цр (ргр;г); а все Fa- замкнуты в ЦХа (предложение 2), значит, и их пересе- а чение X замкнуто. Непосредственно ясно, что всякая сумма отделимых пространств (§2, и0 4, пример III) отделима. 3. Отделимость факторпространетва Исследуем, при каких условиях факторпространство X/R отделимо (в этом случае и отношение эквивалентности R называ- называется отделимым). Прежде всего, если X/R отделимо, то одноточеч- одноточечные множества в X/R замкнуты (предложение 4) и, следовательно, всякий класс эквивалентности по R замкнут в X. Это необходимое условие еще не достаточно; определение открытых множеств в X/R доставляет следующее необходимое и достаточное условие: для того чтобы X/R было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы любые два различных класса эквивалентности в X содержа- содержались в двух непересекающихся насыщенных открытых множествах. Установим теперь другие, более удобные условия. Предложение 8. Для того чтобы факторпространство X/R было отделимым, необходимо, чтобы график С отношения R был замк- замкнут в ХхХ. Если отношение R открыто, то это условие также достаточно. Пусть ср: X-*-X/R — каноническое отображение; С есть про- прообраз диагонали Д произведения (X/R) X (X/R) относительно отоб- отображения срХср: XxX->(X/jR)X(X/jR); следовательно, первое ут- утверждение вытекает из непрерывности срХф, аксиомы (Н") и теоремы 1 § 2. Если R открыто, то (X/R) x (X/R) отождествимо с фанторпространством (XxX)/(RxR) (§ 5, следствие предло- предложения 8) и, значит, Д отождествимо с каноническим образом в (XxX)/(RxR) множества С, насыщенного по RxR, откуда сле- следует второе утверждение.
112 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ Т. § 8 При R не открытом можно привести примеры, где С замкнуто, a R не отделимо (упражнения 10 и 28). Для доказательства отделимости X/R можно также использо- использовать предложение 5. А именно, взяв два различных класса экви- эквивалентности М и JV по Л, достаточно найти такое непрерывное отображение / открытого насыщенного по R множества AczX, содержащего М я N, в отделимое пространство X', что: 1° / по- постоянно на каждом классе эквивалентности по R, содержащемся в А; 2° значения / на М и N различны. Так как A/RA можно отож- отождествить с некоторым открытым множеством в X/R (§ 3, следствие 1 предложения 10), то предложение 5 применимо к отображению g: A/RA-*-X', получаемому факторизацией /, поскольку это отобра- отображение непрерывно (§ 3, предложение 6). В частности! Предложение 9. Если f — непрерывное отображение топологи- топологического пространства X в отделимое пространство X' и R — отно- отношение эквивалентности f(x)=f(y), то факторпространство X/R отделимо. Предложение 10. Если X — отделимое пространство, облада- обладающее непрерывным сечением s no отношению R, то X/R отделимо и s (X/R) замкнуто в X. В самом деле (§ 3, п° 5), X/R гомеоморфно подпространству s (X/R) отделимого пространства X и, значит, отделимо. При атом s (X/R) есть множество тех х£Х, для которых s (y(x))=x, где ф: X->X/R — каноническое отображение; так что второе утверж- утверждение вытекает из предложения 2. 4. Регулярные пространства Предложение 11. В топологическом пространстве X следую- следующие свойства равносильны: (О|П) Множество всех замкнутых окрестностей любой точки в X есть фундаментальная система окрестностей этой точки. (О'ш) Для каждого замкнутого множества F в X и каждой точки x^F существуют окрестность точки х и окрестность мно- множества F, не имеющие общих точек.
4 ОТДЕЛИМЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 113 @ш)=>@ш): В самом деле, из (Ош) следует, что если F замк- замкнуто и x^F, то существует замкнутая окрестность V точки х, содержащаяся в окрестности CF точки х; тогда V и CF будут окрестностями соответственно точки х и множества F, не имею- имеющими общих точек. (Ош)=>(О1М): В самом деле, пусть W — открытая окрестность точки х£Х; из (Ощ) следует, что существуют окрестность U точки х и окрестность V множества CW, не имеющие общих точек, а тогда UczW. Определение 2. Отделимое топологическое пространство, удо- удовлетворяющее аксиоме @ц,), называют регулярным; тогда и его топология называется регулярной. Дискретное пространство регулярно. "Как мы увидим в § 9, вся- всякое локально компактное пространство (в частности, числовая прямая R) есть регулярное пространство^ Предложение 12. Всякое подпространство регулярного про- пространства регулярно. В самом деле, пусть А — подпространство регулярного про- пространства X. Поскольку X отделимо, А тоже отделимо (п° 2); с другой стороны, всякая окрестность точки х£А относительно А имеет вид Vf)A, где V — окрестность точки х в X. Так как X регулярно, то в нем существует окрестность W точки х, замкнутая в X и содержащаяся в V; тогда W |~| А есть окрестность точки х в А, замкнутая в Л и такая, что W(\Ac:V С\А, чем предложение доказано. Обратно! Предложение 13. Если всякая точка топологического простран- пространства X обладает замкнутой окрестностью, являющейся регуляр- регулярным подпространством пространства X, то X регулярно В самом деле, X отделимо (предложение 6). С другой стороны, пусть х — произвольная точка из X и V — ее замкнутая окрест- окрестность, являющаяся регулярным подпространством пространства X. Любая окрестность U точки i вХ, содержащаяся в V, бупнт окрестностью точки х в V; значит, в силу предположения сущест-
114 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1, § 8 вует окрестность W точки х в V, замкнутая в V и содержащаяся в U. Но W есть также окрестность точки х в X, ибо V — окрестность х в X, и при этом W замкнута в X, ибо V замкнута в X. Замечания. 1) Существуют примеры неотделимых прост- пространств, каждая точка которых обладает регулярной окрестностью (упражнение 7). 2) Существуют примеры нерегулярных отделимых пространств (упражнение 20). 3) Топология, мажорирующая регулярную топологию, не обяза- обязательно регулярна (упражнение 20). 5. Продолжение по непрерывности. Двойной предел Теорема 1. Пусть X — топологическое пространство, А — всюду плотное множество в X и /: А—>У — отображение множе- множества А в регулярное пространство У. Для того чтобы существовала непрерывное отображение /: X-*Y, продолжающее /, необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было х£Х, f(y) стремилось к некоторому пределу в У, когда у стремится к х, оставаясь в А. Непрерывное продолжение f отображения f наХ тогда единственно. Единственность / вытекает из принципа продолжения тож- тождеств (следствие 1 предложения 2). Необходимость условия оче- очевидна, ибо если / непрерывно на X, то для любого х£Х имеем Т(х)= lim /({/)= lim f(y) (§ 7, n° 5). Обратно, если условие тео- А А _ ремы выполнено, то для любого х£Х положим f(x) равным lim f(y) — вполне определенному элементу пространства У, у-+х, 1/6 Л поскольку У отделимо. Остается доказать непрерывность f в каж- каждой точке х£Х. Пусть V — замкнутая окрестность точки f(x) в У; по предположению, существует такая открытая окрестность V точки а; в X, что f(V n A)<zV; так как V есть окрестность каждой своей точки, то для любого z£V имеем /(z)= lim f(y), _ ■ V-+z, VA _ откуда f(z)£f(V[\A)c:V', поскольку V замкнуто. Справедливость утверждения вытекает, таким образом, из того, что замкнутые окрестности точки j(x) образуют фундаментальную систему ее окрестностей в У.
6 ОТДЕЛИМЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 115 Говорят, что отображение / получено продолжением f на X по непрерывности. В теореме 1 регулярность Y нельзя заменить менее ограничитель- ограничительным условием без дополнительных предположений относительно X, А или / (упражнение 19). Следствие. Пусть $iX$2 — фильтр в множестве Х=Х1ХХ2, являющийся произведением (§ 6, п° 7) фильтра Зч, заданного в множестве Xlt и фильтра %2, заданного в множестве Х2. Пусть, далее, f — отображение множества X в регулярное пространство Y. Предположим, что: а) lim^lX^2/ существует; б) lim f(x1, x2)=g(x1) существует при любом я^Х^ Тогда lim g(X]) существует и равен lim^x^ /• Пусть Х[ = Хги {^i} (соотв. Х'2=Х2 и {со2}) — топологиче- топологическое пространство, ассоциированное с фильтром ^j (соотв. $2) (§ 6, п° 5, пример), и X" — объединение подпространств Х^Х'а и {((Oj, со2)} пространства Х' = Х[ХХ'2; очевидно, X — всюду плотное подпространство в X", и сделанные предположения озна- означают, что f(yu у.2) стремится к некоторому пределу, когда (уъ у2) стремится к какой-либо точке (ar1? ж2) из X", оставаясь в X. Поэтому существование продолжения функции / по непрерывности на X" вытекает из теоремы 1. Так как при этом (ы1, о»2) есть точка при- прикосновения множества Xj X {о»2} в X", то справедливость утвер- утверждения сразу следует отсюда (§ 7, п° 5). 6. Отношения эквивалентности в регулярном пространстве Предложение 14. Пусть R — замкнутое отношение эквива- эквивалентности в регулярном пространстве X; тогда график С отно- отношения R замкнут в ХхХ. Пусть (а, Ь) — точка прикосновения множества С в ХхХ и V (соотв. W) — замкнутая окрестность точки а (соотв. окрест- окрестность точки Ъ) в X; по предположению существует (х, у)£С() f\(VXW). Поскольку x£V, точка у принадлежит насыщению S окрестности V цо И; значит, Wf\S^0 для любой окрестности
116 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1, § 8 W точки Ь, и так как S в силу предположения замкнуто, то b £ S. Пусть В — насыщение множества {&} по R; тогда V П Вф0 для любой замкнутой окрестности V точки а; так как по предположе- предположению В замкнуто, а X регулярно, то а^й и, значит, (а, Ь)£С, что и завершает доказательство. Следствие. В регулярном пространстве всякое одновременно открытое и замкнутое отношение эквивалентности отделимо. Это следует из предложений 14 и 8. Предложение 15. Пусть X — регулярное пространство, F — непустое замкнутое множество в X и R — отношение эквивалент- эквивалентности, получаемое отождествлением друг с другом всех точек из F (иными словами, отношение эквивалентности, классами кото- которого служат F и множества {х} для всех x£CF). Тогда фактор- пространство X/R отделимо. В самом деле, пусть М и N — два различных класса эквива- эквивалентности в X. Если каждый из них сводится к одной точке из CF, то в отделимом пространстве CF существуют непересекаю- непересекающиеся открытые окрестности множеств М и N, и они являются насыщенными по R непересекающимися окрестностями множеств MhJVbX. Если M=F, a N— {Ь}, где b (£ F, то по предположению существуют открытая окрестность точки b и не пересекающаяся с ней открытая окрестность множества F, причем эти окрестности насыщены по R, что и завершает доказательство. Отметим, что факторпространство X/R не обязательно регулярно (гл. IX, 2-е изд., § 4, упражнение 14). Упражнения 1) а) Пусть X — топологическое пространство; доказать равно- равносильность следующих свойств: (Q) Каковы бы ни были две различные точки х и у из X, суще- существует окрестность точки х, не содержащая у. (()') Всякое одноточечное множество в X замкнуто. (Q") Пересечение всех окрестностен любви течки х £ X сввдится к х. Пространство X, обладающее этими свойствами, называется достижимым.
УПРАЖНЕНИЯ 117 б) Для того чтобы упорядоченное множество X, наделенное правой топологией (в которой X есть колмогоровское пространство (§ 1, упражноние 2)), было достижимым, необходимо и достаточно, чтобы никакие два различных элемента из X не были сравнимыми, и тогда правая топология в X дискретна. 2) а) Если тополегия в множестве X порождена конечным множе- множествам его надмножеств и X в этой топологии достижимо, то X конечно и рассматриваемая топология дискретна. б) Если в достижимом пространстве X всякое пересечение открытых множеств открыто, то X дискретно [см. § 7, упражнение 6]. 3) а) Пусть х — точка прикосновения множества А в достижимом пространстве X, но принадлежащая А; показать, что всякая окрест- окрестность точки х содержит бесконечное множество точек из А. б) Пусть X — достижимое пространство и AczX. Показать, что множество точек х£А таких, что любая окрестность х содержит отлич- отличную от х точку из А, замкнуто в X. в) Показать, что в достижимом пространстве X пересечение всех окрестностей любого множества АаХ совпадает с А. 4) Всякое подпространство колмогоровского (соотв. достижимого) пространства есть колмогоровское (соотв. достижимое) пространство. Топология, мажорирующая топологию колмогоровского (соотв. до- достижимого) пространства, есть топология колмогоровского (соотв. достижимого) пространства. *5) а) Пусть X — бесконечное множество. Показать, что все топологии $~с в X (§ 2, упражнение 8) такие, что l<c<Card (X), суть топологии достижимого, но неотделимого пространства. б) Показать, что пересечение всех отделимых топологий в X есть неотделимая топология ч»ГСаг|1 (N)> являющаяся также слабейшей дости- достижимой топологией в X. [Использовать упражнение 8 § 2 и заметить, что в X имеются отделимые топологии, у которых существуют незамк- незамкнутые счетно-бесконечные множества.] 6) а) Пусть X — отделимое пространство и D — всюду плотное множество в X. Показать, что Card (X)<2aCard(D\ [Заметить, что вся- всякая точка из X есть предел некоторого базиса фильтра из D.] Пока- Показать, что эта оценка для Card(X) не может быть улучшена [§ 4, упраж- упражноние 56], и вывести отсюда, что в бесконечном множестве А множество всех ультрафильтров и множество всех фильтров равномощны с Щ%ЧА)). б) Пусть К — дискретное пространство, образованное числами О а I, и А — бесконечное множество. Вывести из а), что если Card(^)^ 5»2aCard (N), то пространство К.А удовлетворяет условию (D|V), но ни условию (D||), ни условию (Dm), упражнения 7 § 1 [§ 4, упраж- упражнение 4]. С7) Пусть X — интервал [—1, 1] в R. Рассмотрим в X следующее отношение эквивалентности 5: класс эквивалентности каждой точки
118 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8 хф ± 1 состоит из точек х та —х; классы эквивалентности каждой из точек 1 и —1 сводятся к одной этой точке. Показать, что отношение S открыто и факторпространство X/S достижимо, но неотделимо. Кроме того, каждая точка из X/S обладает окрестностью в X/S, являющейся регулярным подпространством.0 8) Пусть X — топологическое пространство и Л — замкнутое отношение эквивалентности в X, все классы эквивалентности по кото- которому конечны. Показать, что если X отделимо (соотв. регулярно), то то же верно и для X/R. Это применимо, в частности, к следующим двум случаям: 1° X/R есть факторпространство, полученное склеиванием семей- семейства пространств (Х() по замкнутым множествам Аа (§ 3, п° 4), удов- удовлетворяющим тому условию, что для каждого индекса i существует лишь конечное множество индексов и, для которых Ааф0. 2° R есть отношение эквивалентности «существует <т£Г такое, что у=а(х)», где Г — конечная группа гомеоморфизмов пространства X. °9) Показать, что пространство X/S упражнения 7 можно опре- определить как полученное склеиванием двух регулярных пространств по паре открытых множеств.,, °10) Рассмотрим в R подпространство X, дополнительное к мно- множеству точек вида —, где га пробегает все целые рациональные числа, отличные от 0 и ±1. Пусть S — отношение эквивалентности в X, классы которого суть: 1° множество, образованное точкой 0; 2° мно- множество всех целых чисел #0; 3° все множества вида < х, — \, где х£Х, хфО и |х|<1. а) Показать, что отношение S в X ни открыто, ни замкнуто. б) Показать, что график отношения S замкнут в XXX, но фак- факторпространство X/S неотделимо.,, *°11) Пусть X — топологическое пространство. Рассмотрим про- пространство Z=RX и обозначим для каждого ж£Х через Zx множество в Z, состоящее из тех и £ R'v, у которых и(з)£()и и(у) (j;Q для всех у £Х, отличных от х. Пусть Y — подпространство произведения XXZ, являющееся объединением множеств {x}X.Zx, где х пробегает X. Показать, что пространство Y отделимо, а X гомеоморфно некоторому его факторпространству.о 12) Пусть X — топологическое пространство, имеющее по крайней мере две различные точки. а) Показать, что топологии $~а и $~ф в §Р0ОТ (§ 2, упражнение 7) не являются топологиями достижимого пространства. б) Пусть £Гв — верхняя грань топологий <0~Q и jf^,. Показать, что множество всех непустых конечных подмножеств из X плотно в ^п(Х) в топологии oFy. Показать, что множество 8 (X) всех непустых замкну-
УПРАЖНЕНИЯ 119 тых подмножеств из X является колмогоровским пространством в топологии, индуцированной топологией JTe; при этом если X достижи- достижимо, то и \*(Х) достижимо. в) Предполагая X достижимым, показать, что для отделимости пространства $(Х) в топологии, индуцированной топологией £Гв} необходимо и достаточно, чтобы X было регулярно. *13) Пусть X — мпожество, Г — некоторая группа его переста- перестановок. а) Пусть % — некоторое множество подмножеств множества X. Показать, что среди всевозможных топологий в X, при которых все множества из % замкнуты, а все отображения и£ Г — гомеоморфизмы пространства X на себя, существует слабейшая топология оГ"(Г, Л). При этом если X бесконечно, то существуют такие множества % под- подмножеств из X, что топология с^"(Г, %) не дискретна и достижима. [§ 2, упражнение 8.] б) Пусть /(Г) — множество тех АаХ, которые обладают следую- следующим свойством: для каждого ж(£ А существует отображение /£ Г, тож- тождественное на А и такое, что {(х)фх. Показать, что всякая отделимая топология в X, для которой любое отображение и£ Г является гомео- гомеоморфизмом X на себя, мажорирует топологию $~ЛГ)—$~(Г, /(Г)). Для того чтобы топология <&~j(T) была отделимой, пеобходимо и достаточно, чтобы группа Г удовлетворяла следующему условию: для любых двух различных точек х и у из X существует конечное число элементов uk£Y таких, что множества F(uk) элементов из X, инвариантных относительно uk, образуют покрытие пространства X и ни одно из них не содержит одновременно х и у. в) Обозначим через ^Го топологию рациональной прямой Q ("соотв. числовой-прямой Ro) и через Г — группу всех гомеоморфизмов этой прямой Q (°соотв. RJ на себя. Показать, что топология ,0"j(T) совпадает с $~а. г) Пусть X — подпространство рациональной прямой, образован- образованное точками 0 и — (где п — целое :& 1), и Г — группа всех гомеомор- гомеоморфизмов пространства X. Показать, что топология £Tj (Г) неотделима и что группа гомеоморфизмов X, наделенного этой топологией, совпа- совпадает с Г. д) Пусть X — такое топологическое пространство, что для любой пары его различных точек х, у существует гомеоморфизм и простран- пространства X на себя такой, что и(х)—х, и(у)фу ("например, числовое про- пространство R"o). Пусть G — группа всех гомеоморфизмов пространства X на себя и Sx для каждого х£Х — ее подгруппа, оставляющая х неизменным. Показать, что Sx совпадает со своим нормализатором в О и что пересечение всех Sx сводится к одному нейтральному элементу; в частности, центр группы G сводится к одному нейтральному элементу.
120 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, $ 8 14) Показать, что аксивма (Шщ) равносильна каждой из следую- следующих аксивм: (Ojjj) Пересечение всех замкнутых окрестностей произвольного замкнутого множества F в X совпадает с F. (Ош) Для любого фильтра 8 в X, сходящегося к точке а, фильтр i в X, имеющий в качестве базиса замыкание всех множеств из 8, также сходится к о. 15) а) Показать, что всякое колмогоровское пространство, удов- удовлетворяющее аксиоме (Ощ), отделимо (и, следовательно, регулярно). б) Образовать в множестве из трех элементов неотделимую топо- топологию, удовлетворяющую аксиоме (Ош). 16) Пусть (X) — бесконечное семейство топологических про- пространств; наделим множество Х= JJXt какой-либо из топологий, i определенных в упражнении 9 § 4. Показать, что если все Х{— кол- могоровские (соотв. достижимые, отделимые, регулярные) простран- пространства, то то же верно и для X. 17) Показать, что топологии £Гй(Х), <&~+(Х) и £Г-(Х) (§ 2, упраж- упражнение 5) в совершенно упорядоченном множестве X регулярны. 18) Пусть Xj и Ха— множества, 3;— фильтр в X,- (i — i, 2) а / — такое отображение произведения Х = Х!ХХг в регулярное про- пространство У, что для любого х, £Xj существует lim f(xu x2) = g(x1). х„ В, Для того чтобы a£Y было точкой прикосновения функции g по фильтру 8i, необходимо и достаточно, чтобы для любой окрестности V точки а в Y и любого множества i41gSi существовали x^^At и Л2^Йг такие, что H^XAJczV. *19) Пусть X — нерегулярное отделимое пространство (см. упраж- упражнение 20) и а — точка из X, обладающая окрестностью U, не содер- содержащей ни одной замкнутой окрестности этой точки. Пусть 8 — фильтр окрестностей точки а и У=5и {со} — топологическое пространство, ассоциированное (§ 6, п° 5) с его фильтром сечений. Рассмотрим про- произведение Z=YXX, наделенное следующей топологией: для (у, х)Ф Ф(ч>, а) окрестности точки (у, х) те же, что и в произведении тополо- топологий, а окрестности точки (со, а) суть множества, содержащие каждое какое-нибудь множество вида ({co}XV)UEXX), где V — окрестность точки а в X, a S — сечение (§ В, п° 3) фильтра %. Пусть А — под- подмножество множества Z, являющееся объединением множеств {V}XV, где V пробегает 8, и / — отображение (V, х)\—*х множества А в X. Показать, что во всякой точке И8 А отображение / имеет предел отно- относительно А, но не существует непрерывного отображения множества А в X, продолжающего /. *20) а) Открытое множество U топологического пространства X называется регулярным, если V=a(V) (§ 1, упражнение 3), иначе говоря, если U есть внутренность некоторого замкнутого множества.
УПРАЖНЕНИЯ 121 Пространство X называется полурегулярным (а его топология <&~ полу регулярной), если регулярные открытые множества в нем образуют базис топологии $~. Показать, что если $" удовлетворяет аксиоме (°ш). то $~ полурегулярна. б) Пересечение двух регулярных открытых множеств есть регу- регулярное открытое множество. Вывести отсюда, что регулярные откры- открытые множества топологии ^"образуют базис пекоторой полурегулярной топологии £Г* в X, мажорируемой топологией £Г [использовать уп- упражнение Зг § 1]; $~* называется полурегулярной топологией, ассо- ассоциированной с $~. Каково бы ни было открытое в ^"множество UczX, его замыкание в $~* совпадает с замыканием в $~\ если X достижимо в $~ (упражнение 1), то его изолированные точки в топологии £Г* будут те же, что и в топологии £Г. Для того чтобы топология <§Г* была отделимой, необходимо и достаточно, чтобы £Г была отделимой. Если У — регулярное пространство, то непрерывные отображения X в Y одни и те же для топологии $~п топологии £Г*. в) Пусть X — полурегулярное пространство и $~9— его тополо- топология. Для того чтобы топология /в Л обладала тем свойством, что (£Г*»=^Г,,, необходимо и достаточно, чтобы в X существовало множество Ш плотных в <JP0 множеств, пересечение всякого конечного семейства которых также принадлежало бы ffll, и топология $~ порождалась объединением множества 2Л и множества всех открытых в $~t мно- множеств. [Для доказательства необходимости условия рассмотреть все открытые и всюду плотные в $~ множества, обратив внимание на то, ято всякое открытое в <$" множество есть пересечение некоторого открытого всюду плотного в $~ множества н множества, открытого в $~й.\ Получить отсюда примеры нерегулярных отделимых топологий, мажорирующих регулярную топологию °(и даже мажорирующих топологию метризуемого компактного пространства^. 21) Пусть X — отделимое пространство без изолированных точек и £Га— его топология. Обозначим через 5Ш множество дополнений ко всем не более чем счетным множествам А в X, таким, что А имеет лишь конечное яисло изолированных точек. Показать, что если ^"—то- ^"—топология в X, порождаемая объединением множества 2Л и множества всех открытых в $~а множеств, то с^Г*=<^Го (упражнение 20) и всякая сходящаяся в $~ последовательность содержит лишь конечное число различных членов (откуда следует, что ни одна точка не обладает в $~ счетной фундаментальной системой окрестностей, хотя само X может быть счетно и каждая его точка является тогда пересечением не- некоторого счетного семейства своих окрестностей). *22) а) В обозначениях упражнения 20в показать, что множество £(аГо) всех топологий ,^", для которых (^"*=^"о> индуктивно по отно- отношению «$~ минорирует £Г'». Для всякой полурегулнрной топологии $~и в X назовем максимальные элементы множества £(о!Го) субмак- симильпыми топологиями, а А, наделенное такой топологией,-^
122 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. Г, § 8 субмаксимальным пространством. Всякая топология из Е(^"о) мажори- мажорируется, таким образом, субмаксимальной топологией. б) Для того чтобы топология $~ в X была субмаксимальной, не- необходимо и достаточно, чтобы всякое плотное в X в топологии $~ множеотво было открытым в ^".Таким образом, непустое субмаксималь- субмаксимальное пространство не является разрешимым (§ 2, упражнение 11). в) Показать, что всякое подпространство субмаксимального про- пространства локально замкнуто и субмаксимально. [Рассмотреть спачала открытые подпространства и замкнутые подпространства.] г) Показать субмаксималыюсть пространства, ассоциированного с фильтром, мажорирующим фильтр дополнений конечных подмножеств бесконечного множества. д) Показать, что для всякого множества М в субмакспмальном пространство X подпространство М — М=*¥т(М) пространства X дискретно. е) Обратно, пусть X — топологическое пространство, в котором имеется всюду плотное открытое подпространство U такое, что U субмаксимально и топология в X {/-максимальна (§ 3, упражнение 11); тогда X субмаксимально. 23) Пусть X — топологическое пространство, А — всюду плотнее множество в X такое, что топология пространства X А -максимальна (§ 3, упражнение 11), и / — такое непрерывное отображение подпро- подпространства А в топологическое пространство У, что для всякой точки из X — А множество предельных точек функции / относительно А не пусто "(что имеет место, например, в случае, когда X не пусто, а У квазикомпактноH. Показать, что / может быть продолжено по непре- непрерывности на все X. 24) Пусть в интервале ]0, 1[ рациональной прямой А означает множество всех рациональных чисел вида к/2п, а В — множество всех рациональных чисел вида к/3" (где к — целое). Пусть X — простран- пространство, получаемое наделением J0, 1[ топологией, порождаемой откры- открытыми интервалами \а, f5[, содержащимися в X, и множествами А и В. Показать, что X есть полурегулярное (упражнение 20), но не регу- регулярное, отделимое пространство. ♦25) а) Множества всех регулярных топологий в множестве X и всех регулярных топологий без изолированных точек индуктивны по отношению «J7* минорируот £Г'ъ. б) Топология $~ в множестве X называется ультрарегулярной, если она максимальна в множестве всех регулярных топологий в X без изолированных точек; таким образом, для всякой регулярной топологии в X без изолированных точек существует мажорирующая ее ультра регулярна я топология. Пространство, топология которого ультра регулярна, называется ультрарегулярным. Для того чтобы регулярная топология без изолированных точек была ультра регуляр- регулярной, необходимо н достаточно, чтобы любые два взаимно дополни-
УПРАЖНЕНИЯ 123 тельных в X множества А а В без изолированных точек были откры- открытыми в $~. В частности, ультрарегулярное пространство не разрешимо (§ 2, упражнение 11). [Для доказательства достаточности условия за- заметить, что если $"—регулярная топология без изолированных точек, мажорирующая £Г, U — непустое открытое в $" множество и V — его замыкание в «^Г'.то U ш X — U не имеют изолированных точек в $~.] в) В ультра регулярном пространстве замыкание всякого множества без изолированных точек есть открытое множество, а внутренность всюду плотного множества всюду плотна; таким образом, пересечение двух всюду плотных множеств всюду плотно. Вывести отсюда, что еслп <£Г0— ультрарегулярная топология, то среди всех топологий $", для которых jr*=oT0 (упражнение 20), имеется мажорирующая все остальные (и необходимо субмаксимальная). °26) Пусть (9„) — всюду плотная последовательность иррацио- иррациональных чисел в интервале /=[0, 1] числовой прямой R, 1п— фактор- пространство пространства /, получаемое отождествлением друг с другом точек 0, ви ..., 9„, и <р„— каноническое отображение /-»/„. Пусть, далее, X — множество всех рациональных чисел, содержащихся в /; сужение ф„ на X является биекцией X на ф„ (X); пусть $~п— про- прообраз относительно этой биекции топологии, индуцированной в <рп(Х) топологией пространства /„. Показать, что нижняя грань убывающей последовательности ($~п) отделимых топологий в X есть неотделимая топология. о *27) Пусть X — топологическое пространство. Показать, что существуют колмогоровское (соотв. достижимое, отделимое, регуляр- регулярное) пространство У и непрерывное отображение (р: X-*Y, обладающие следующим универсальным свойством: для любого непрерывного ото- отображения /: X-*Z пространства X в произвольное колмогоровское (соотв. достижимое, отделимое, регулярное) пространство Z сущест- существует, и притом единственное, непрерывное отображение g: Y-*Z такое, что f=g° <р (Теор. множ., гл. IV, § 3, п° 1). Проверить последо- последовательно, что: а) Для колмогоровских пространств можно принять за Y фак- торпространство пространства X по отношению эквивалентности б) Для достижимых пространств можно принять за Y факторпро-. странство пространства X по следующему отношению эквивалентности И: график отношения R есть пересечение графиков Gтаких эквивалент- ностей в X, что G(x) замкнуто в X для каждого х£Х; G содержит тогда график отношения {х}(]{у}^0 между х и у. в) Показать, используя особенно упражнение 6а, что для отде- отделимых пространств и регулярных пространств выполнены условия (СиО — (CU|,i) из п° 2 § 3 гл. IV Теории множеств. Привести при- примеры, когда X не регулярно, а отображение <р: X-*Y в соответствующее
124 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, 5 • универсальное регулярное пространство биективно. [См. упражне- упражнение 296.] г) Показать, что если пространство X удовлетворяет аксиоме (®ш), то соответствующее ему универсальное колмогоровское пространство канонически гомеоморфно универсальному регулярному пространству, соответствующему X. 28) Пусть X — нерегулярное отделимое пространство, F — замк- замкнутое множество в X п a(tF — точка из X, обладающая тем свойством, что любая ее окрестность пересекается со всякой окрестностью множе- множества F. Пусть Я — отношение эквивалентности, полученное отождеств- отождествлением друг с другом всех точек из F. Показать, что Я замкнуто и его график замкнут в XXX, но Х/Я неотделимо. *29) а) Пусть R — отделимое отношение эквивалентности в топо- топологическом пространстве X, $ (X) — пространство всевозможных непустых замкнутых множеств в X, наделенное топологией, индуциро- индуцированной топологией $~& (упражнение 12). Показать, что всякое А £%(Х), являющееся точкой прикосновения для X/R, содержится в некотором классе эквивалентности по R. [Рассуждать от противного.] б) Предположим, кроме того, что X регулярно и отношение R открыто. Показать, что тогда Х/Я замкнуто в O(Х), наделенном топо- топологией ,£Гв . [Использовать предложение И § 7.] § 9. Компактные и локально компактные пространства 1. Евааикомпактные и компактные пространства Определение 1. Топологическое пространство X называется квазикомпактным, если оно удовлетворяет следующей аксиоме: (С) Всякий фильтр в X имеет по крайней мере одну точку прикосновения. Топологическое пространство называется компактным, если оно квазикомпактно и отделимо. Из этой аксиомы непосредственно вытекает, что если / есть ото- отображение множества Z в квазикомпактное пространство X и 8' — произвольный фильтр в Z, то / имеет по крайней мере одну предельную точку по iv. В частности, всякая последовательность точек компакт- компактного пространства имеет по крайней мере одну предельную точку; но это условие не равносильно (С) (упражнение 12). Мы сформулируем три аксиомы, равносильные аксиоме (С): (С) Всякий ультрафильтр в X сходится.
1 КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 125 (С) влечет (С), ибо если ^—фильтр в X, то существует мажо- мажорирующий его ультрафильтр (§ 6, теорема 1), и так как этот ультра- ультрафильтр сходится к некоторой точке х, то х есть точка прикоснове- прикосновения для %. (С) влечет (С), ибо если ультрафильтр имеет точку прикоснове- прикосновения, то он сходится к этой точке (§7, следствие предложения 4). Таким образом, если / — отображение множества Z в квазиком- квазикомпактное пространство X и Ц — ультрафильтр в Z, то / имеет по крайней мере один предел по Ц (§ 6, предложение 10). (С") Всякое семейство замкнутых множеств в X, пересечение которого пусто, содержит конечное подсемейство с пустым пересь- чением. (С) влечет (С"); в самом деле, пусть © — семейство замкнутых множеств в X, пересечение которого пусто; если бы пересечение каждого конечного подсемейства из © было не пусто, то © по- порождало бы фильтр (§ 6, предложение 1), который согласно (С) имел бы точку прикосновения; но эта точка принадлежала бы всем множествам из © в силу их замкнутости, а это противоречит пред- предположению. Обратно, отрицание (С) влечет отрицание (С"), ибо если $ — фильтр, не имеющий точек прикосновения, то замыкания мно- множеств из $ образукп семейство замкнутых множеств, для которого не выполняется (С"). (С") (аксиома Бореля — Лебега). Всякое открытое покрытие пространства X содержит конечное открытое покрытие этого пространства. (С") получается из (С") переходом к дополнениям, так что эти аксиомы эквивалентны. Если X квазикомпактно, то всякое локально конечное покрытие 5R пространства X конечно, ибо тогда в силу (С") существует покрытие пространства X, состоящее из конечного числа открытых множеств, каждое из которых пересекается лишь с конечным чис- числом множеств из Ш. П р и м е р ы. 1) Всякое конечное пространство квазикомпактно, и вообще всякое пространство, в котором имеется только конечное
126 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9 число открытых множеств, квазикомпактно; для того чтобы конеч- конечное пространство было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было дискретно, поскольку отделимое конечное про- пространство дискретно (§ 8, следствие предложения 3). Обратно, всякое дискретное компактное пространство конечно, ибо в таком пространстве всякое одноточечное множество открыто, так что пространство конечно в силу (С"). 2) Наделим множество X топологией, в которой замкнутыми множествами являются только X и его конечные подмножества (это множество подмножеств множества X очевидным образом удовлетворяет аксиомам (Ох) и (Оп) § 1). Так определенное топологическое про- пространство X квазикомпактно. В самом деле, покажем, что оно удов- удовлетворяет аксиоме (С"). Если (Ft)iei — семейство замкнутых мно- множеств в X, имеющее пустое пересечение, то fa для некоторого ag/ конечно; пусть ak A</с<я) — его элементы; в силу предположения для каждого индекса к существует такой индекс ik £ /, чющ (t Flk; тогда пересечение всех Flk A</с<я) и Fa будет пусто. Если X бесконечно, то оно неотделимо. Замечание. Неотделимые квазикомпактные пространства особенно полезны в приложениях топологии к алгебраической гео- геометрии, но совсем не встречаются в других математических теориях, где, напротив, компактные пространства играют решающую роль. Теорема 1. Пусть А — множество всех точек прикосновения фильтра $ в квазикомпактном пространстве X. Тогда каждая окрестность множества А принадлежит ^. В самом деле, пусть V — окрестность множества А; рассуждая от- противного, предположим, что всякое множество из ^ пере- пересекается с CV. Следы на CV множеств из $ образуют тогда базис фильтра © в X, и так как X квазикомпактно, тоE5 имеет по край- крайней мере одну точку прикосновения у; эта точка не принадлежит А, ибо окрестность V множества А имеет с некоторыми множествами из W пустое пересечение. Но так как @ мажорирует £у, то у есть точка прикосновения и для Jy> что противоречит предположению. Следствие. Для того чтобы фильтр в компактном простран- пространстве был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы он имел единственную точку прикосновения. Условие необходимо в силу предложения 1 § 8; оно достаточ- но в силу теоремы 1.
2 КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 127 2. Регулярность компактного пространства Предложение 1. Пусть X — компактное пространство и х — точка из X. Для того чтобы базис фильтра 33, образованный замкнутыми окрестностями точки х, был фундаментальной си- системой окрестностей этой точки, необходимо и достаточно, чтобы пересечение множеств из 33 состояло из одной точки х. Условие необходимо, поскольку X отделимо (§ 8, предложе- предложение 1). Оно достаточно, ибо означает, что х есть единственная точка прикосновения для 33, откуда по следствию теоремы 1 вытекает, что 33 сходится к х. Следствие. Всякое компактное пространство регулярно. В самом деле, из аксиомы (Н1) следует (§ 8, предложение 1), что базис фильтра, образованный всеми замкнутыми окрестно- окрестностями какой-либо точки, удовлетворяет условию предложения 1. Следствие предложения 1 уточняется следующим образом: Предложение 2. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества в компактном пространстве X; тогда существуют непересекающиеся открытые множества U uV такие, что AcU и BczV. Предположим противное, т. е. что любая окрестность U мно- множества А и любая окрестность V множества В пересекаются. Тогда множества U(]V образуют базис фильтра 33 в X, который будет иметь точку прикосновения х£Х. Последняя должна принад- принадлежать А, ибо в силу регулярности X у любой точки у^А суще- существует окрестность, не пересекающаяся с некоторой окрестностью множества А, и, следовательно, у не может быть точкой прикоснове- прикосновения для 33. Таким же образом устанавливается, что х£В. Полу- Полученное противоречие доказывает предложение. Это предложение имеет важные следствия, которые будут рас- рассмотрены в § 4 гл. IX. Отметим, что для неотделимого квазикомпактного пространства X примера 2 п° 1 не выполняется аксиома (Om), ни тем более свойство, сформулированное в предложении 2, ибо пересечение никаких двух непустых открытых множеств в этом пространстве не пусто.
128 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9 3. Нвазипомпактные, компактные и относительно компактные множества Определение 2. Подмножество А топологического пространства X называется квазикомпактным (соотв. компактным), если под' пространство А квазикомпактно (соотв. компактно). Как следует из аксиомы (С"), для того чтобы подмножество А топологического пространства X было квазикомпактным, необ- необходимо и достаточно, чтобы всякое его покрытие множествами, открытыми в X, содержало конечное покрытие. В отделимом пространстве понятия квазикомпактного и компактного множеств совпадают, поскольку всякое его подпространство отделимо. Примеры. 1) Всякое конечное множество в топологическом пространстве X квазикомпактно; пустое множество и всякое одното- одноточечное множество компактны. 2) Пусть (хп)п е N — бесконечная последовательность точек тополо- топологического пространства X, сходящаяся к некоторой точке а. Множе- Множество А, образованное точками хп (rc£N) и а, квазикомпактно. В самом деле, если (UJ — покрытие множества А открытыми множествами из X, то существует индекс х такой,что а£ Ux; так как{7Хесть окрестность точки а, то существует только конечное число индексов nk таких, что хп.(£{7х;для каждого ft обозначим через ik индекс, для которогохП)(£ i7 ; тогда U% и все Vik образуют конечное открытое покрытие множества А. Предложение 3. В квазикомпактном (соотв. компактном) пространстве всякое замкнутое множество квазикомпактно (соотв. компактно). Достаточно применить аксиому (С"), заметив, что если А замк- замкнуто в пространстве X, то всякое замкнутое множество в А зам- замкнуто в X. Предложение 4. В отделимом пространстве всякое компактное множество замкнуто. Пусть А — компактное множество в отделимом пространстве X и х — произвольная точка из А; покажем, что х£ А. По предпо- предположению след на А всякой окрестности точки х не пусг, и потому фильтр Щ> окрестностей этой точки' в X индуцирует в А фильтр ЪА\ гак как А компактно, то ША имеет точку прикосновения у € А. Но фильтр si> мажорируется фильтром в X, порожденным 33И (рас-
3 КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 129 сматриваемым как базис фильтра в X); поэтому у является также точкой прикосновения для 93. А тогда у = х, ибо Ш имеет х своим пределом в X, а X отлелимо (§ 8, предложение 1). Следствие. Для того чтобы подмножество А компактного пространства X было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто в X. Предложение 5. Объединение конечного семейства квазиком- ' пактных подмножеств топологического пространства есть квази- квазикомпактное множество. Достаточно доказать квазикомпактность объединения двух квазикомпактных множествЛ и В в топологическом пространствеX. Пусть N — открытое покрытие объединения A (J В; оно является покрытием и множества А , и множества В и, следовательно, содер- содержит конечное покрытие Ш^ множества А и конечное покрытие 9t2 множества В; объединение 9{х U 9i'.2 будет тогда конечным по- покрытием множества A (J В, содержащимся в Ш, и предложение доказано. Определение 3. Множество А в топологическом пространстве X называется относительно квазикомпактным (соотв. относитель- относительно компактным) в X, если А содержится в некотором квазиком- квазикомпактном "(соотв. компактном) множестве из X. Коротко говорят также, что А есть «относительно квазиком- квазикомпактное» (соотв. «относительно компактное») множество, когда не может быть неясности насчет X. В отделимом пространстве понятия относительно квазикомпактного и относительно компакт- компактного множеств совпадают. Предложение 0. Для того чтобы множество А в отделимом пространстве X было относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы А было компактным. Достаточность очевидна, а необходимость вытекает из пред- предложения 4 и его следствия 1. Предложение 7. Если А — относительно квазикомпактное множество в топологическом пространстве X, то всякий базис 5 II. БурОаки
130 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § ' фильтра в А обладает по крайней мере одной точкой прикоснове- прикосновения в X. В самом деле, если А а К, где К — квазикомпактное множество в X, то всякий базис фильтра в А имеет точку прикосновения в К. Обращение этого предложения справедливо только при дополни- дополнительных предположениях относительно X (упражнение 23). Замечание. В неотделимом пространстве компактное множе- множество не обязательно замкнуто, а его замыкание не обязательно квази- компактно (упражнение 5); пересечение двух компактных множеств не обязательно квазикомпактно (упражнение 5) и объединение двух компактных множеств не обязательно компактно (упражнение 5). 4. Образ компактного пространства при непрерывном ото бражении Теорема 2. Если f — непрерывное отображение квазикомпакт- квазикомпактного пространства X в топологическое пространство X', то множество f(X) квазикомпактно. В самом деле, путь Ш — покрытие множества /(X) открытыми —1 множествами из X'; тогда /(jft) есть открытое покрытие прост- пространства X (§ 2, теорема 1) и, следовательно, существует конечное —1 подмножество <В множества Ш такое, что и / (<В) есть покрытие X; но тогда <5 будет покрытием множества /(X), и теорема доказана. Следствие 1. Пусть f — непрерывное отображение тополо- топологического пространства X в отделимое пространство X'; тогда образ любого квазикомпактного (соотв. относительно квааиком- пактного) множества из X есть компактное (соотв. относительно компактное) множество в X'. Следствие 2. Всякое непрерывное отображение f квазикомпакт- квазикомпактного пространства X в отделимое пространство X' замкнуто; если, кроме того, f биективно, то f есть гомеоморфизм. Это непосредственно вытекает из следствия 1 и предложения 4. В частности: Следствие 3. Отделимая топология, мажорируемая тополо- топологией нвазикомпактниго пространства, совпаОиет с ней.
б КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 131 Следствие 4. Пусть X — топологическое пространство и R — отделимое отношение эквивалентности в X. а) Если в X существует квазикомпактное множество К, пересе- пересекающееся со всяким классом эквивалентности по R, то X/R ком- компактно и каноническое отображение факторпространства K/RK на X/R есть гомеоморфизм. б) Если, кроме того, всякий класс по R имеет с К только одну общую точку, то К есть непрерывное сечение по отношению R (§ 3, п° 5). В самом деле, пусть / — сужение на К канонического отобра- отображения X-+X/R; так как X/R отделимо, то оно компактно (след- (следствие 1), а / — замкнутое отображение (следствие 2), и, следова- следовательно, ассоциированная с / биекция K/R^X/R является гомео- гомеоморфизмом (§ 5, предложение 3). Этим утверждение а) доказано; утверждение б) непосредственно следует из него, поскольку тогда K/RK=K. 5. Произведение компактных пространств Теорема 3 (Тихонов). Всякое произведение квазикомпактных (соотв. компактных) пространств квазикомпактно (соотв. ком- компактно). Обратно, если произведение непустых топологических пространств квазикомпактно (соотв. компактно), то каждое из пространств-сомножителей квазикомпактно (соотв. компактно). Ввиду характеризации отделимых произведений (§ 8, цред- ложение 7) все сводится к доказательству утверждений о квази- квазикомпактных пространствах. Если Х= JJ Хк квазикомпактно и но 16/ пусто, то Xt для любого i квазикомпактно в силу теоремы 2, по- поскольку Х^—рг{(Х). Обратно, предположим, что все Хх квазиком- пактны и U — ультрафильтр в X; тогда ргДЦ) при любом i g / есть базис ультрафильтра в Xt (§ 6, предложение 10), сходящегося в силу аксиомы (С); следовательно, И сходится (§ 7, следствие 1 предложения 10), что и завершает доказательство. Следствие. Для того чтобы множество в произведении топо- топологических пространств было относительно квазикомпактно, необходимо и достаточно, чтобы каждая его проекция была 5*
132 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9 относительно квашкомпактна в соответствующем пространстве- сомножителе. Условие необходимо по теореме 2. Оно достаточно, ибо если А — множество в ЦХ,, обладающее тем свойством, что рг,(Л) i для каждого i содержится в квазикомпактном подмножестве Kt пространства Х„ то А содержится в квазикомпактном под- подмножестве ЦЯ( пространств ЦХ,. в. Проективные пределы компактных пространств Предложение 8. Пусть (Ха, f^) — проективная система компактных пространств относительно фильтрующегося множе- множества индексов I такая, что /„„ для каждого <х£/ есть тождествен- тождественное отображение, X=limXa — ее проективный предел и /„— ка- каноническое отображение X—»-Ха (§ 4, п° 4). Тогда: 1° X компактно и для каждого а имеем Пр(Хр). A) 2° Если все Х„ не пусты, то X не пусто. В самом деле, X есть замкнутое подпространство пространства (§ 8, следствие 2 предложения 7) и, значит, компактно в силу теоремы 3 и предложения 3. Остальные утверждения вытекают чз теоремы 1 Дополнения, в которой в качестве Sa взято множе- множество всех замкнутых множеств пространства Х„; действительно, условия (I) и (II) — не что иное, как аксиомы (От) и (С); свойство (Ш) вытекает иа замкнутости {ха} и непрерывности /ор (§ 2, тео- теорема 1); наконец, свойство (IV) вытекает из следствия 2 теоремы 2. Следствие 1. Пусть (Ха, /ар) — проективная система тополо- топологических пространств относительно фильтрующегося множества индексов, причем для любой пары индексов а, Р таких, что а=^р\ —1 и любого ха £ Хо множество f^(xa) компактно. Тогда выполняется соотношение A) и /„ (х„) компактно для любого хв£ Хв.
КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 133 В самом деле, для любого ха£ (| /ар(Хв) и любого Э3 по- ложим Lp=/ep(a;e). Если as^p^y, то /Pv(Lv)cLp и множество всех Р^а кофинально множеству /. Ясно, что всевозможные Ь$ (Р^а) образуют проективную систему топологических пространств (относительно сужений отображений /pv), проективный предел L —1 которой гомеоморфен /„(#„). Так как по предположению все L$ компактны и не пусты, то утверждения следствия вытекают из предложения 8. Следствие 2. Пусть (Ха, /оР) и (Ха, /ар) — проективные системы топологических пространств относительно одного и того же фильтрующегося множества 1 и (uj — проективная система отображений иа: ХЛ-+Ха- Положим, Х = ИтХа, X'=limXa и м=Ипша. —1 . а) Если иа(ха) для некоторого х' = (ха)^Х' компактно и не —1 пусто при любом а$1, то и {х') компактно и не пусто. б) Если все ХЛ компактны, все Ха отделимы, а все иЛ сюръек- тивны и непрерывны, то и сюръективно. —1 Положим ЬЛ=иЛ (ха); ясно, что ЬЛ образуют проективную систему топологических пространств (относительно сужений отоб- —1 ражений /ар) и что и (x')=L — их проективный предел; поэтому утверждение а) вытекает из предложения 8. Утверждение б) не- непосредственно следует из него в силу предложения 3. 7. Локально компактные пространства Определение 4. Топологическое пространство X называется локально компактным, если оно отделимо и всякая его точка имеет компактную окрестность. Очевидно, всякое компактное пространство локально компакт- компактно; но обратное неверно; например, всякое дискретное простран- пространство локально компактно, но в случае, если оно бесконечно, не компактно.
134 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § * "Как мы увидим в § 2 гл. IV, числовая прямая R есть локально компактное, но не компактное пространство.,, Предложение 9. Всякое локально компактное пространство регулярно. В самом деле, всякая точка х локально компактного простран- пространства X имеет компактную окрестность V; так как X отделимо, то V замкнута (предложение 4); с другой стороны, V — регулярное подпространство (следствие предложения 1) и, значит, X регу- регулярно (§ 8, предложение 13). Следствие. В локально компактном пространстве всякая точ- точка обладает фундаментальной системой компактных окрестно- окрестностей. В самом деле, пересечение любой замкнутой окрестности точки х с компактной окрестностью этой точки является компактной ок- окрестностью точки х (предложение 3). Отметим, что существуют неотделимые топологические простран- пространства, в которых всякая точна имеет фундаментальную систему ком- компактных окрестностей (упражнение 5). Следствие предложения 9 обобщается следующим образом: Предложение 10. В локально компактном пространстве X всякое компактное множество К обладает фундаментальной сис- системой компактных окрестностей. В самом деле, пусть U — произвольная окрестность множества К; для любого х£К существует компактная окрестность W{x) точки х, содержащаяся в U. Когда х пробегает множество К, внут- внутренности множеств W(x) образуют его открытое покрытие, следо- следовательно, существует конечное число точек х: £ К (l^i^w) таких, что внутренности множеств W(x;) образуют покрытие множества К; объединение V множеств W{xt) и будет тогда компактной окре- окрестностью множества К, содержащейся в U (предложение 5). Предложение 11. Пусть F — множество в локально компактном пространстве X такое, что его пересечение F f)K с любым компакт- компактным множеством К из X компактно; тогда F замкнуто в X. В силу предложения 4 это вытекает из предложения За § 3.
7 КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 135 Предложение 12. В отделимом пространстве X всякое ло- локально компактное подпространство А локально замкнуто. В самом деле, каждая точка х£А обладает по предположению окрестностью У в X такой, чтоУП А компактно и, следовательно, замкнуто в V (предложение 4). Предложение 13. В локально компактном пространстве X всякое локально замкнутое подпространство локально компактно. В самом деле, пусть А локально замкнуто и X; каждое х£А обладает такой окрестностью U в X, что U П А замкнуто в U. Пусть VczU — компактная окрестность точки х в X; тогда Vf\A = = (U П А) П V замкнуто в V и, значит, компактно (предложение 3); и так как это — окрестность точки х в А, го предложение доказано (поскольку А очевидным образом отделимо). Теорема 1 и следствие 2 теоремы 2 не распространяются на локально компактные, но не компактные пространства. Например, в бесконечном дискретном пространстве фильтр всех множеств, содержащих точку х и обладающих конечным дополнением, имеет единственную точку прикосновения х и, однако, не сходится к х. Далее, любое отображение бесконечного дискретного пространства X в отделимое пространство X' непрерывно, однако при таком отобра- отображении образ произвольного (а, значит, и замкнутого) множества из X не будет, вообще говоря, замкнутым в X'. Теореме 3 соответствует следующее предложение: Предложение 14. а) Пусть (XJl€/ — семейство локально компактных пространств, которые для всех кроме конечного числа индексов компактны. Тогда Х= Jj X( локально компактно. 41 б) Обратно, если произведение семейства (X^si непустых топологических пространств локально компактно, то все Х„ за исключением конечного их числа, компактны, некомпактные же сомножители локально компактны. а) Пусть х=(х) — точка из X; для каждого i такого, что X, локально компактно, но не компактно, пусть F, — компактная окрестность точки xt в Xj для остальных индексов i положим V^X,; тогда Ц Vt будет компактной окрестностью точки х и X
136 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § ' (теорема 3). Так как, к тому же, X отделимо (§ 8, предложение 7), то заключаем, что X локально компактно. б) Пусть Х = ЦХ1 локально компактной все X, не пусты. Каж- 16/ дое X, гомеоморфно замкнутому подпространству пространства X (§ 4, предложение 4 и следствие предложения 7). С другой стороны, пусть а=(а) — точка из X и V—ее компактная окрестность; так как ргсУ=Х( для всех кроме конечного числа индексов i (§ 4, п° 1), то из следствия 1 теоремы 2 вытекает, что Xt для всех кроме конечного числа индексов i компактно. 8. Погружение локально компактного пространства, в компактное пространство Теорема 4 (Александров). Для каждого локально компактного пространства X существуют компактное пространство X' и гомеоморфизм f пространства X на дополнение к некоторой точке в X'. При этом, если Х[ — второе компактное пространство, для которого существует гомеоморфизм Д пространства X на дополне- дополнение к некоторой точке в Х[, то существует, и притом единствен- единственный, гомеоморфизм g пространства X' на Х\ такой, что /i=g°/. Докажем сначала второе утверждение. Пусть f(X) = X'—{со} и fl(X) — X[—{шх}; если гомеоморфизм g существует, то его един- единственность очевидна, ибо согласно определению для всех х'фт должно выполняться равенство g(a;') = /1(/~1(a;')) и, следовательно, g(co)=co1. Остается показать, что биекция#: Х'->-Х[, определяемая этими формулами, взаимно непрерывна; а поскольку X' и Х[ играют одинаковую роль, достаточно показать, что образ при g любой окрестности точки х'$Х' есть окрестность точки g(z') в Xj. Но если х'Ф<х>, это очевидно из определения; если же V — открытая окрестность точки со в X', то X'—V = К замкнуто в X', тем самым компактно (предложение 3) и содержится в /(X), а следовательно, g(^)=/i(/~1(^)) компактно (следствие 1 теоремы 2). Отсюда вытекает, что g{V') = X't—g(K) есть открытая окрестность точки сох (предложение 4), что и завершает доказательство того, что g — гомеоморфизм. Докажем теперь первое утверждение теоремы. Пусть X' — сумма множества X и множества, состоящего из одного элемента ю,
* КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 137 причем X отождествлено с дополнением к {со} в X'. Определим в X' топологию, приняв за множестве £) открытых иодмнежестн в X' множество, образованное всеми открытыми множествами из X и всевозможными множествами вида (X—К) (J {со }, где К — ком- компактные множества из X. Так как всякое пересечение компактных множеств в X компактно (предложения 3 и 4) и всякое замкнутое подмножество компактного множества компактно (предложение 3), то £1 удовлетворяет аксиоме (О,). Так как объединение всякого конечного семейства компактных множеств в X компактно (пред- (предложение 5), то О удовлетворяет также аксиоме (О,,). Поскольку всякое компактное множество в X замкнуто в X (предложение 4), топология, индуцируемая в X из X', совпадает с исходной топо- топологией в X. Для доказательства первого утверждения теоремы остается показать, что X' компактно. Прежде всего, X отделимо: в самом деле, любые две различные точки х и у пространства X обладают в X непересекающимися открытыми окрестностями V и W, а они открыты также в X'; с другой стороны, любая точка х£ X обладает компактной окрестностью А* в X, являющейся также окрестностью точки х в X', а тогда U = (X—К) U {со} будет окрест- окрестностью точки со в X' такой, что U f] К—0. Наконец, X' квазиком- пактно: в самом деле, пусть (Ux)\sl — открытое покрытие прост- пространства X'; по крайней мере для одного индекса ц.^Ь имеем U^ = = (Х—/£ц) U {">}, где К^ — компактное множество в X; следова- следовательно, существует такое конечное множество HcL, что множества Ux с \£Н образуют покрытие множества К^; тогда (Ux)\sj, где J—H[} {ц.}, является покрытием пространства X', чем и завер- завершается доказательство его компактности. Заметим, что если X само компактно, то со будет изолирован- изолированной точкой компактного пространства X' и, следовательно, X' — суммой (§ 2, п° 4, пример III) пространств X и {со}. Рассматривая компактное пространство X', полученное описанным образом из локально компактного пространства X путем присоединения элемента со, часто называют (о «бескопечно удаленной точкой» про- пространства X' и говорят, что X' получается из X присоединением бес- бесконечно удаленной точки; X' наливают также компактификацией Алек- Александрова локально компактного пространства X. °П р и м е р. Применив теорему Александрова к числовой пло- плоскости R*, мы иолучим компактное пространство, которое можно
138 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1, § ' следующим образом гомеоморфно отобразить на сферу S2, заданную в пространстве R8 уравнением г*+г*+а^ = 1: точке <о, присоединяемой к Ra (бесконечно удаленной точке) ставим в соответствие точку @, 0, 1) сферы Sa, каждой же точке (xlt х2) из R2 относим точку, в которой прямая, соединяющая точки @, 0, 1) и (ж1( хг, 0), пересекает S2. Этот гомеоморфизм известен под названием стереографической проекции (см. Алгебра, гл. IX, § 10, упражнение 14 и Общая топология, гл. VI, § 2, п° 4).о 9. Локально компактные пространства, счетные в бесконечности Определение 5. Говорят, что локально компактное простран- пространство X счетно в бесконечности, если оно является счетным объеди- объединением компактных множеств. Примеры. 1) Для того чтобы дискретное пространство было счетно в бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы оно было счетно. °2) Числовая прямая R есть локально компактное пространство, счетное в бесконечности, ибо она является объединением компактных интервалов [—п, +п], где п пробегает N.o Замечание. Отделимое топологическое пространство может быть объединением счетного семейства компактных подпространств, не будучи при этом локально компактным. "Как будет доказано впо- впоследствии, примером такого пространства может служить гильбертово пространство, наделенное слабой топологией (Топ. вект. простр., гл. V, § 1, теорема 4).о ■ Предложение 15. В локально компактном пространстве X, счетном в бесконечности, существует последовательность ([/„) относительно компактных открытых множеств, образующих покрытие X и таких, что UncUn+1 для каждого п. В самом деле, X есть объединение последовательности (Кп) компактных множеств. Пусть Ux — относительно компактная открытая окрестность множества Кг (предложение 10); определим по индукции Un для ге>1 как относительно компактную открытую окрестность множества Un_x\]Kn (предложения 5 и 10); ясно, что Un образуют требуемую последовательность.
10 КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 139 Следствие 1. В обозначениях предложения 15 для каждого ком- компактного множества К в X существует целое п такое, что KcUn. Ё самом деле, существует конечное число множеств Uk, покры- покрывающее К (аксиома Бореля — Лебега). Следствие 2. Пусть X — локально компактное пространство и X' — компактное пространство, получаемое присоединением к X бесконечно удаленной точки со (п° 8). Для того чтобы X было счетно в бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы точка и обладала в X' счетной фундаментальной системой окрестностей. Условие достаточно, ибо дополнения открытых окрестностей точки'се компактны в X. Оно необходимо, ибо если UncX суть множества, обладающие свойствами, указанными в предложении 15, то окрестности X'—Un точки со в X' в силу следствия 1 образуют фундаментальную систему окрестностей этой точки. Очевидно, всякое замкнутое подпространство локально ком- компактного пространства, счетного в бесконечности, есть локально компактное пространство, счетное в бесконечности. Точно так же и произведение любого конечного семейства счетных в бесконеч- бесконечности локально компактных пространств счетно в бесконечности. Отметим, что, напротив, открытое подпространство компактного пространства не обязательно счетно в бесконечности, как это показы- показывает теорема Александрова (теорема 4). 10. Наракомпактные пространства Определение 6. Топологическое пространство X называют паракомпактным, если оно отделимо и удовлетворяет следующей аксиоме: (PC) Для любого открытого покрытия 9ft пространства X существует локально конечное открытое покрытие Ш' простран- пространства X, мажорирующее 9i (Teop. множ., гл. II, § 4, определение 5). Очевидно, всякое компактное пространство паракомпактно. Всякое дискретное пространство X паракомпактно, ибо открытое покрытие, образованное всеми одноточечными множествами, ло-г кально конечно и мажорирует любое открытое покрытие про- пространства X.
140 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § * Предложение 16. Всякое замкнутое подпространство F пара- компактного пространства X паракомпактно. В самом деле, F отделимо. С другой стороны, пусть (V) — от- открытое покрытие в подпространстве F. Каждое F, имеет вид У,= — UKf]F, где UK — открытое множество в X. Рассмотрим открытое покрытие ffi пространства X, состоящее из CF и всех С/,; суще- существует локально конечное открытое покрытие 9^' пространства X, мажорирующее Ш, и следы на F множеств из 9ft' образуют локально конечное открытое покрытие пространства F, мажори- мажорирующее данное покрытие (FJ. Напротив, открытое подпространство комиактного пространства не обязательно паракомпактно (упражнение 12). Предложение 17. Произведение паракомпактного и компакт- компактного пространств паракомпактно. Пусть X — паракомпактное пространство, У — компактное пространство и di — открытое покрытие пространства XxY. Для каждой точки (х, у) £ X ХУ существуют открытая окрестность V(z, у) точки х в X и открытая окрестность W (х, у) точки у в У такие, что V (х, у) X W (я, у) содержится в некотором множестве из Ы. Для каждого х £ X множество всех W (х, у), где у пробегает У, образует открытое покрытие пространства У, а потому в У существует конечное число точек (/,• (l^i^n(x)) таких, что уже множества W (х, у,) образуют открытое покрытие пространства Y. Положим U(x)= \\ V(x, у;); каждое из открытых множеств г = 1 U(x) X W (х, у;) содержится в некотором множестве из !){. Пусть тогда (TJcg/ — локально конечное открытое покрытие простран- стна X, мажорирующее покрытие, образованное всеми U(x) (х £ X). Пусть, далее, х1 для каждого i ^ / — точка из X, для кото- которой T^cU(x), и 5i)fc — множества W (x{, yk), соответствующие этой точке (l^.k^.n(x)). Очевидно, множества TlxSi)k (i£/, l^&^rc^J для каждого i£/) образуют открытое покрытие про- пространства ХхУ, мажорирующее ffi; покажем, что это покрытие локально конечно. Действительно, для каждой пары (х, y)£XxY существует окрестность Q точки х, пересекающаяся лишь с конеч- конечным числом множеств Г,; тогда окрестность QxY точки (х, у)
\1О КОМПАКТНЫЕ ff ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 141 ем более пересекается лишь с конечным числом множеств вида Напротив, произведение двух паракомпактных пространств не обя- Хзательно паракомпактно (см. главу IX, 2-е изд., § 5, упражнение 16). Предложение 18. Сумма X семейства паракомпактных про- пространств (ХI62 (§ 2, п° 4, пример III) паракомпактна. В самцом деле, пусть {Vx)xsl — открытое покрытие простран- пространства X; покрытие, образованное открытыми множествами X^f\Vx, мажорирует (Vx). Пусть (£/ а)ц6л/, для каждого ig/ — локально конечное открытое покрытие пространства Х„ мажорирующее (Vx{\X)ieL; тогда открытое покрытие пространства X, образован- образованное множествами UliV- (i £/, ^ ^ Ml для каждого i g /), локально конечно и мажорирует (Fx). Теорема 5. Для того чтобы локально компактное пространство X было паракомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было суммой семейства локально компактных пространств, счет- счетных в бесконечности. Докажем сначала необходимость условия. Пусть X параком- паракомпактно и V х для каждого х £ X—относительно компактная открытая окрестность точки х в X. По предположению существует локально конечное открытое покрытие (U(a))aeA пространства X, мажориру- мажорирующее покрытие, образованное множествами Vx (x£ X); поэтому все U(a) относительно компактны. Всякое компактное множество К в X пересекается лишь с конечным числом множеств U(а): дей- действительно, непустые множества U(a) f) К образуют локально конечное открытое покрытие компактного пространства К и, значит, это покрытие необходимо конечно (п° 1). Рассмотрим теперь следующее отношение R между двумя точками х и у из X: «суще- «существует конечная последовательность индексов (a,), -^igcn из А такая, что х£ U(ax), г/£ U(an) и[/(а,)пЩа,Ч1)#0, если 1<г< ^п—1». Непосредственно ясно, что R есть отношение эквивалент- эквивалентности; кроме того, всякий класс эквивалентности по R есть открытое множество в X, как это сразу вытекает из определения R и того, что все U(a) открыты. Таким образом, пространство X есть сумма локально компактных подпространств (предложение 13), образованных классами эквивалентности по R; все сводится теперь
142 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § у к тому, чтобы доказать, что каждое из этих подпространств ес/ь объединение некоторого счетного подсемейства семейства (U(d))- Итак, пусть х — произвольная точка из X, а (Сп) — последо- последовательность относительно компактных открытых множестве X, индуктивно определяемых следующим образом: Сг есть объедине- объединение всех множеств U(a), содержащих х, а Сп при п>1 есть/объеди- есть/объединение всех множеств U{a), пересекающих Сп_х. Индукцией по п непосредственно убеждаемся в том, что каждое из Сп относительно компактно и является объединением конечного числа множеств U(a). Покажем, что класс точки х по R есть объеди- нение всех С„; действительно, если (a,-)! ^i^n—последовательность индексов такая, что x£U{aLx) и С/(а,)П и(а!+1)Ф0,/когда <!п—1, то индукцией но i получаем, что С/(а,)сС,-, когда Этим и завершается доказательство первой части теоремы. Докажем теперь достаточность условия теоремы. В силу пред- предложения 18 можно ограничиться тем случаем, когда X счетно в бесконечности. Пусть 9i = (Gx)X6I— произвольное открытое по- покрытие пространства X и пусть, с другой стороны, (Un)—последо- (Un)—последовательность относительно компактных открытых множеств в X, обладающая свойствами, указанными в предложении 15; обозна- обозначим через К„ компактное множество Un—Un_1 (условившись счи- считать Un=0 при п<10). Открытое множество Un+1—Un_2 есть по построению окрестность множества Кп; таким образом, каждая точка х£Кп обладает окрестностью W^, содержащейся в некотором множестве Gx, а также в Un+1— Un_2. Так как Кп компактно, то существует конечное число множеств вида Wx, образующих его покрытие; пусть Hni (i^i^pn) — эти множества. Очевидно, семей- семейство 9t' множеств Нп1 (и^1, 1<1£<1рп для каждого п) есть откры- открытое покрытие пространства X, мажорирующее 5R; покажем, что 9t' локально конечно. Пусть г — произвольная точка из X и п — наименьшее целое число, для которого z g Un; поскольку z(fcUn_v существует окрестность Т точки г, содержащаяся в Un и не пере- пересекающаяся с С/п_2; следовательно, Т может пересекаться только с теми множествами Hmi, для которых п—2^т^га+1, а таких имеется только конечное число. Тем самым теорема полностью доказана. В процессе доказательства мы установили, кроме того, такое
УПРАЖНЕНИЯ 143 Следствие. Если X — паракомпактное локально компактное пространство, то для любого открытого покрытия Ш простран- пространствах существует мажорирующее его локально конечное открытое покрытие 5R', состоящее из. относительно компактных множеств. Если X счетно в бесконечности, то можно, кроме того, считать 9Г счепщым. Упражнения 1)\Пусть X — топологическое пространство и <£ — система обра- образующие его топологии (§ 2, п° 3). Показать, что если всякое открытое покрытие пространства X, образованное множествами из <S, содержит его конечное покрытие, то X квазикомпактно. [Заметить, что если бы некоторый ультрафильтр U в X не был сходящимся, то всякая точка х£ X содержалась бы в некотором множестве из <&, не принадлежащем U, и испольвовать следствие предложения 5 § 6.] 2) Показать, что вполне упорядоченное множество X, наделенное топологией <$Г_(Х) (§ 2, упражнение 5), локально компактно; для того чтобы оно было компактным, необходимо и достаточно, чтобы в нем имелся наибольший элемент. Вывести отсюда, что во всяком множестве существует топология компактного пространства. 3) а) Пусть X — отделимое пространство, А и В — его непере- непересекающиеся компактные подмножества. Показать, что существуют окрестность множества А и окрестность множества В, не имеющие общих точек. б) Пусть X — регулярное пространство, А — компактное множе- множество в X и В — замкнутое множество в X, ие пересекающееся с А. Показать, что существуют окрестность множества А и окрестность множества В, не имеющие общих точек. 4) Показать, что в определенном в упражнении 6 § 7 пространстве X, которое регулярно (§ 8, упражнение 16), всякое компактное мно- множество конечно. 5) °а) В неотделимом достижимом пространстве Y=X/S, опреде- определенном в упражнении 7 § 8, всякая точка обладает компактной окрест- окрестностью; образы а и В в Y точек 1 и —1 обладают незамкнутыми ком- компактными окрестностями; Ьересечение некоторой компактной окрест- окрестности точки а с некоторой компактной окрестностью точки 6 не квази- квазикомпактно, а их объединение не компактно.,, 6) Пусть X — сумма множества N и бесконечного множества А; определим для каждого х£Х базис фильтра ©(ж) следующим образом: если x£N, то (с{х) состоит из одного элемента {ж}; если х£А и Sxn означает множество, состоящее из х и всех целых чисел э^п, то <2> (х) есть множество всех Sxn, где п пробегает Л. Показать, что в X имеет- имеется топология, для которой <£(х) есть фундаментальная система
144 топологические структуры гл. I, § окрестностей точки х для любого х£Х; пространство X, наделенн этой топологией, достижимо, но неотделимо; оно не квазикомпакт но в нем существуют всюду плотные компактные множества. в) Показать, что две топологии достижимого квазикомпа/тного пространства в одном и том же множестве X могут быть сравнимы и различны. [См. § 8, упражнения 7 и 56.] 6) Пусть X п У — топологические пространства и А (со/^тв. В) — квазикомпактное множество в X (соотв. У). Показать, что для любой окрестности U множества АХ В в ХХУ существуют ок/естпости V множества А в X и W множества В в У такие, что FX W(p U. 7) Дать пример проективной системы (Х„, /яЧ) квазлкомпактных пространств, проективный предел которой пуст. [Заметить, что в пространстве примера 2 п° 1 всякое подпространство квйзикомпактно.] 8) Пусть р — простое число. Обозначим через Ъп множество Z всех целых рациональных чисел, наделенное топологией, являющейся прообразом дискретной топологии относительно канонического ото- отображения Z на Z/p"Z, и через fmn для т<га — тождественное отобра- отображение Zn-*Zm, которое будет непрерывным. Поковать, что все Zn — квазикомпактные пространства, но проективный предел проективной системы B„, fmn) не является квазикомпактньця пространством *). 9) Пусть X — топологическое пространство/ (G,), g^— некоторое семейство графиков эквивалентностей в X с фильтрующимся по воз- возрастанию предупорядоченным множеством индексов, Ra— отношение (х, y)€.G^ и ф„— каноническое отображение Х->Х/Д„. Предположим, что при а^р отношение До влечет Ля, и обозначим через ф^ канони- каноническое отображение XlR^X/R^; (Х/Дя, ф,^) — проективная система топологических пространств; пусть У=Нт(Х/Ла). а) Пусть g: X—*Y— непрерывное отображение lim ф,,. Показать, —1 что g(X) всюду плотно в У и что g(g(x)) для каждого х£Х есть класс точки х по отношепию эквивалентности, графиком которого служит пересечение всех £я. б) Предположим, что все отношения эквивалентности Л, замкнуты и что для любой точки х£ X и любой ее окрестности Ксуществует индекс а такой, что класс точки х по Ля содержится в V. Показать, что при этих условиях g есть открытое отображение пространства X на g(X). в) Если предположить, что классы по отношениям Rx— замкпутыо квазикомпактпые множества, то g сюръектиено. 10) Пусть X — достижимое пространство и ,flj — некоторое мно- множество его замкнутых квазикомпактных подмножеств, содержащее все конечные подмножества и обладающее тем свойством, что объе- объединение любых двух множеств из Я принадлежит $.' Пусть X' — сумма множества X и одноточечного множества {со}. Показать, что в X' *) Этот (неопубликованный) прнмор сообщен нам Д. Зелинским.
УПРАЖНЕНИЯ 145 существует достижимая квазикомпактпая топология, индуцирующая в X заданную топологию и такая, что дополнения в X' множеств из И образуют фундаментальную систему открытых окрестностей точки со. . примеры различных топологий в X', соответствующих различным яожествам $. 11) Пусть X — паракомпактное пространство. Показать, что если всякое его открытое подпространство паракомпактно, то то же спра- иво и для любого подпространства. Вывести отсюда, что всякое подпространство локально компактного пространства, топология которого обладает счетным базисом, паракомпактно. [См. гл. IX, 2-е изд., §у, упражнение 20а.] Пусть Хо— несчетное вполне упорядоченное множество, обладающее наибольшим элементом, а — его наименьший элемент и 6 — наименьший из тех элементов х£Х0, для которых интервал [а, х[ несчетен. Обозначим через X интервал [а, 6[, наделенный топологией EГ t Y\ \ а) Пространство X локально компактно, но не компактно [упраж- [упражнение 2], и всякая последовательность в X имеет предельную точку. [Заметить, чтр всякое счетное множество в X ограниченно.] б) Пусть у — такое отображение пространства X в себя, что /(х)<х дли всез^достаточно больших х; показать, что существует с£Х такое, что для любогох^Х имеется у^х, для которого /(у)<с. [Рас- [Рассуждая от противного, образовать такую последовательность (zn) точек из X, чтобы zn + 1 было наименьшим из элементов z'£X, для которых /(x)S=z,, при всех x:s=z'.] в) Вывести из б), что X не паракомпактно. 13) Пусть X — топологическое пространство, 5(Х) — множество всех его непустых замкнутых подмножеств и Ж(Х) — множество всех непустых квазикомпактных множеств в X; наделим эти множества топологией, индуцируемой топологией $~а пространства $0(Х) (§ 2, упражнение 7). а) Показать, что если 33 сг Я(Х) квазикомпактно в топологии ^*п и X регулярно, то объединение всех множеств М£33 замкнуто в X. б) Показать, что если ЧдаЯ (X) квазикомпактно в топологии $~а то объединение всех множеств М£53 квазикомпактно в X. *\А) В обозначениях упражнения 13 пусть Л' (X) и jl (X) наделены топологией, индуцируемой топологией $~в пространства $0(Х) (§ 8, упражнение 12). а) Показать, что если X квазикомпактно, то и $ (X) кваэиком- пактно. [Для каждого открытого множества U из X пусть c(U) (соотв. m{U)) — множество всех замкнутых множеств М в X, содержащихся в U (соотв. пересекающихся с U). Показать, что множества c(U) и m(U) составляют снстему образующих топологии пространства 8(Х); использовать затем упражнение 1.] б) Предположим, что X достижимо; пусть X' его образ при ото- отображении XI—*{х] пространства X в 6(Х).Пусть ,^ —подпространство
146 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. 5 / пространства % (X), содержащее X'; показать, что если ф квазик/м- пактно, то X квазикомпактно. [Заметить, что если (Ux) — открытое покрытие пространствах, то C5,), где 33, — множество всех M£f(X), для которых М(] U,t&0, будет открытым покрытием пространства 8 (X).] в) Если X локально компактно, то Я(Х) открыто в 5/Х). [Ис- [Использовать предложение 10.) г) Пусть X достижимо. Показать, что для того чтобы/ft (Х) было отделимым (соотв. регулярным, компактным, локально компактным), необходимо и достаточно, чтобы тем же свойством облагало X. [Для первых двух утверждений использовать упражнение НУ § 8 и упраж- упражнение 3 § 9; для остальных двух использовать а), б) и упражнение 13.1 *15) Топологическое пространство X называется пространством Линделефа, если всякое его открытое покрытие содержит счетное по- покрытие. Всякое пространство, обладающее счетами базисом, есть пространство Линделефа; всякое квазикомпактное/пространство есть пространство Линделефа. а) Всякое замкнутое подпространство пространства Линделефа есть пространство Линделефа. Для того чтобы л^бое подпространство пространства Линделефа было пространством Линделефа, достаточно, чтобы всякое открытое подпространство было пространством Линделе- Линделефа [см. упражнение 16]. > б) Для всякого непрерывного отображения / пространства Лин- Линделефа X в топологическое пространство X' подпространство f(X) пространства X' есть пространство Линделефа. в) Всякое пространство, являющееся объединением счетного се- семейства подпространств Линделефа, есть пространство Линделефа. В частности, всякое счетное пространство есть пространство Линделефа. г) Для того чтобы пространство Линделефа X было квазикомпакт- квазикомпактным, достаточно, чтобы всякая последовательность его точек обладала предельной точкой. [Показать, что тогда выполняется аксиома (С'").] *16) а) Пусть X — пространство, всякое открытое подпростран- подпространство которого есть пространство Линделефа. Показать, что X удов- удовлетворяет условию (Dm) упражнения 7 § 1; если X регулярно, то всякое замкнутое множество в X является пересечением счетного семейства открытых множеств. [См. упражнение 24в.] б) Пусть X — пространство, всякое открытое подпространство которого паракомпактно. Для того чтобы всякое открытое подпро- подпространство пространства X было пространством Линделефа, необхо- необходимо и достаточно, чтобы X удовлетворяло условию (Dm) упражнения 7 § 1. в) Для того чтобы всякое открытое подпространство компактного пространства X было пространством Линделефа, необходимо и доста- достаточно, чтобы X удовлетворяло условию (Dm) упражнения 7 § 1 и всякое замкнутое множество в X было пересечением счетного семейства открытых множеств. [Использовать б) и теорему 5.]
УПРАЖНЕНИЯ . 147 *17) Пусть X — топологическое пространство и АаХ. Точку называют точкой конденсации множества А, если всякая ее ок- окрестность содержит несчетное множество точек из А. V а) Множество всех точек конденсации множества АсХ замкнуто. Да\ь пример, когда X имеет только одну точку конденсации. [См. теорему 4.] б\ Пусть X — достижимое пространство, всякое открытое под- подпространство которого есть пространство Линделефа (упражнение 16). Показать, что для любого множества AczX множество В всех его точек конденсации совершенно, а множество Af]CB не более чем счетно. *18)\Гочку а топологического пространства X называют точкой полного Ацкопления множества АаХ, если CaxA(A)=CaiA(A f| U) для всякой окрестности.U точки а. Показать, что для квазикомпакт- квазикомпактности X необходимо и достаточно, чтобы любое бесконечное множество АаХ обладало точкой полного накопления. [Показать, что если X не квазикомпактно, то существуют начальное ординальное число (о„ (Теор. мпож., гл. III, § 6, упражнение 10) и такое открытое покрытие (U() пространства X, где £ пробегает множество всех ординальных чисел < соя, что для каждого индекса £<«„ дополнение А ■ в X к объ- объединению всех U1t с индексами т]<£ имеет мощность, равную Na; вывести отсюда, что можно с помощью трансфинитной индукции опре- определить такое семейство (х=) (£<»„) точек в X, что х-^А-^ для каждого \ II Х:фхц ПрП Х\<\.\ *19) Отделимое пространство X называют абсолютно замкнутым, если оно обладает следующим свойством: при любом гомеоморфизме / пространства X на подпространство произвольного отделимого про- пространства X' множество f(X) замкнуто в X'. Всякое компактное пространство абсолютно замкнуто. а) Показать равносильность следующих условий: (AF) Пространство X абсолютно замкнуто. (AF') Всякий базис фильтра в X, состоящий из открытых мно- множеств, имеет по крайней мере одну точку прикосновения. (AF") Всякое семейство замкнутых множеств в X, пересечение которого пусто, содержит конечное подсемейство, пересечение внутрен- внутренностей множеств которого пусто. (AF'") Всякое открытое покрытие пространства X содержит конечное подсемейство, замыкания множеств которого образуют по- покрытие пространства X. б) Пусть X — отделимое пространство и U — всюду плотное открытое множество в X. Предположим, что всякий базис фильтра в U, состоящий из открытых множеств, имеет по крайней мере одну точку прикосновения в X. Показать, что X тогда абсолютно замкнуто. В частности, если А — открытое множество в абсолютно замкнутом пространстве X, то подпространство А пространства X абсолютно замкнуто.
148 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I..4 • в) Пусть Л — абсолютно замкнутое пространство и / — его не- непрерывное отображение в отделимое пространство X'. Показать, чю /(X) — абсолютно замкнутое подпространство пространстваIX'. г) Показать, что произведение двух абсолютно замкнутых про- пространств абсолютно замкнуто. [Рассуждать, как при доказательстве предложения 17] *20) Отделимое пространство X называется минимальным, если его топология £Г обладает тем свойством, что всякая мажорируемая ею отделимая топология в X необходимо совпадает с $А тогда jT не- необходимо полурегулярна (§ 8, упражнение 20). Показать, что для ми- минимальности отделимого пространства X необходимо^ п достаточно, чтобы всякий базис фильтра в X, состоящий из открытых множеств и имеющий по крайней мере одну точку прикосновения Убыл сходящимся, или, что то же, чтобы X было абсолютно замкнутым (упражнение 19) и всякий базис фильтра в X, состоящий из открытых множеств и имею- имеющий единственную точку прикосновения, сходился к этой точке. *21) Топологическое пространство X называется вполне отделимым (а его топология — вполне отделимой), если любые две различные точки х и у в X обладают непересекающимися замкнутыми окрестно- окрестностями. а) Всякое регулярное пространство вполне отделимо. Всякое под- подпространство вполне отделимого пространства вполне отделимо. Вся- Всякое произведение вполне отделимых пространств вполне отделимо. Всякая топология, мажорирующая вполне отделимую топологию, вполне отделима. G) Всякое минимальное вполне отделимое пространство X (упраж- (упражнение 20) компактно. [Рассуждать от противного, рассматривая ультра- ультрафильтр U в X и базис фильтра, образованный открытыми множе- множествами, принадлежащими Ц.] °в) Пусть 6—иррациональное число >0. Для каждой точки (х, у)£ 6QXQ + и каждого а>0 обозначим через В„(х, у) множество, состоящее из(х,^)итех (z, 0)£Q2, для которых |z—(х+ 6^) |«х или \z—(x—Qy)\<a. Пусть V(x, у) — множество всех В*(х, у), где а пробегает все веществен- вещественные числа >0. Показать, что в Q2 существует отделимая топология $~, в которой F(x, у) для всякой точки (х, !/)£Q2 есть фундаментальная система окрестностей этой точки. Показать, что, каковы бы ни были точки а и 6 из Q3, всякая замкнутая окрестность точки а в топологии $~ пересекается со всякой замкнутой окрестностью точки Ь.о *22) а) Пусть X — отделимое пространство и ,£Г— его топология. Показать, что для того, чтобы X было абсолютно замкнутым (упраж- (упражнение 19), необходимо и достаточно, чтобы полурегулярная топология $"*, ассоциированная с $~ (§ 8, упражнение 20), была топологией минимального пространства (упражнение 20). б) Если jJTвполне отделима (упражнение 21), то это верно и для tf*. [Использовать упражнение 20 § 8.] Вывести отсюда, что абсо- абсолютно замкнутое регулярное пространство компактно.
УПРАЖНЕНИЯ 149 *23) а) Пусть X — отделимое пространство и А — всюду плотное множество в X. Предположим, что всякий фильтр в А имеет по крайней мере одну точку прикосновения в X. Показать, что тогда X абсолютно замкнуто. [Проверить аксиому (AF') упражнения 19.] б) Пусть Хо— компактное пространство с топологией <$~а, в ко- котором существует всюду плотное не открытое множество А; $~ — то- топология в Хо, порождаемая всеми множествами, открытыми в $~0, и миожеством А, так что с$~* = $~0 (§ 8, упражнение 20); наконец, X — некомпактное абсолютно замкнутое пространство, получающееся при наделении Хо топдлогией <£Г (упражнение 22). Показать, что всякий фильтр в А имеет точку прикосновения в X. *24) а) Показать, что в Учетном абсолютно замкнутом пространстве X множество изолированных точек всюду плотно. [Рассуждать от противного, располагая точки пространства X в последовательность и образуя по индукции счетное открытое покрытие (£/„) пространства X так, чтобы объединение никакого конечного семейства множеств Un не покрывало X.] °б) Дать пример вполне отделимого абсолютно замкнутого про- пространства, не являющегося пространством Линделефа. [Рассмотреть в произведении [0, 1] X [0, 1| дополнения к множествам А X {0}, где А пробегает все подмножества отрезка [0, 1|, и применить общий метод упражнения 20в § 8.] Это пространство обладает свойством фц) упражнения 7 § 1, но не свойством (Dlu). в) Пусть Хо— компактное пространство без изолированных точек и Ш — множество дополнений ко всевозможным счетным множе- множествам в Хо, так что все множества из ЗЛ всюду плотны (см. а)). Пусть ST — топология, порождаемая всеми открытыми подмножествами пространства Хо и множествами из 5Ш. Показать, что пространство X, получающееся при наделении Хо топологией jJT, абсолютно замкнуто, вполне отделимо и является пространством Липделефа, которое не удовлетворяет условию (Эц) упражнения 7 § 1, не имеет ни одной точки, обладающей счетной фундаментальной системой окрестностей, и в котором никакая бесконечная последовательность попарно различных точек не имеет точки прикосновения. Если в Хо всякое открытое подпространство есть пространство Линделефа (см. упражнение 16в), то и всякое открытое подпространство в X есть пространство Линде- Линделефа и, в частности, X удовлетворяет условию (Dm) (упражнение 16а). В частности, это имеет место, когда Х0=[0, 1J; показать, однако, что в этом случае в X имеются замкнутые счетные множества, не являю- являющиеся пересечением счетного семейства открытых множеств (см. гл. IX, § 5, п° 3).о *25) а) Пусть X — отделимое пространство и Г — множество все* фильтров в X, обладающих базисом из открытых множеств и не имеющих ни одной точки прикосновения в X. Показать, что множество Г, если оно не пусто (иначе говоря, если X не абсолютно замкнуто), индуктивно.
150 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ 1, § 9 б) Пусть Q — множество всех максимальных фильтров в Г и X'— сумма множеств X и ft. Для каждого х£Х обозначим через Ъ (х) мно- множество всех окрестностей точки х в X; для каждого co£Q обозначим через 93((о) совокупность всех множеств вида {со} (J М, где М пробегает фильтр со. В X' имеется топология, 'В которой Щх') есть фундамен- фундаментальная система окрестностей точки х' для каждого х'£Х'. В этой то- топологии X' есть абсолютно, замкнутое пространство, обладающее следующим универсальным свойством: для каждого открытого непре- непрерывного отображения /: X-*Y в абсолютно замкнутое пространство У существует, и притом единственное, непрерывное отображение g: X'-*Y, продолжающее /. [Рассмотреть образы при / фильтров, при- принадлежащих Q; заметить, что в абсолютно замкнутом пространстве максимальный фильтр в множестве всех фильтров, имеющих базис из открытых множеств, обязательно сходится.] В частности, топология пространства X' X-максимальная (§ 3, упражнение 11). Вывести от- отсюда существование абсолютно замкнутых пространств с квазимак- квазимаксимальной топологией (§ 2, упражнение 6). *26) а) Пусть X — достижимое пространство и Ф — множество всех фильтров в X, обладающих базисом из замкнутых множеств. Показать, что множество Ф индуктивно. Пусть X"— множество всех максимальных фильтров в Ф. б) Для каждого открытого множества U из X обозначим через U* множество всех фильтров 8£Х", для которых U^V. Для любых двух открытых множеств U и V из X имеем (U(\V)*= U*f]V* и (U(]V)* = «= U*(JV*. [Учесть, что если ft£X" и U<£$, то X—£/£г.] Показать, что множества!/* образуют базис топологии в X", при которойХ" ква- зикомпактно [проверить аксиому (С"), воспользовавшись предыдущим замечанием] и достижимо [показать, что если 8 и © — два различных элемента из X", то в X существуют такие непересекающиеся замкнутые множества А и В, что А £8, В£®]. в) Для каждого х£Х обозначим через <р(х) ультрафильтр в X, имеющий базис, состоящий из одного множества {х}. Показать, что ф есть гомеоморфизм пространства X на всюду плотное множество в X". Если X квааикомпактно (и достижимо), то <р(Х)=Х". г) Показать, что для каждого непрерывного отображения / про- пространства X в компактное пространство Y существует, и притом един- единственное, непрерывное отображение g: X"-*Y такое, что f=g°(f. д) Пусть X — универсальное отделимое пространство, ассоции- ассоциированное с X" (§ 8, упражнение 27); показать, что каноническое ото- отображение if: X"-»X сюръективно и X компактно. Таким образом, всякое непрерывное отображение / пространства X в компактное про- пространство Y однозначно представило в виде /=Ао\|) о <р, где A: X-*Y ' непрерывно. 27) Показать, что если X — дискретное пространство, то про- пространства X" и X, определенные в упражнении 26, совпадают, и что
УПРАЖНЕНИЯ 151 если $~~ топология пространства X', определенная в упражнении 25, то пространство X" отождествимо с пространством X', наделенным полурегулярной топологией ^"*, ассоциированной с ,#* (§ 8, упраж- упражнение 20). При этом множество X" канонически отождествляется с множеством всех ультрафильтров в X, и компактное пространство К" называется пространством ультрафильтров множества X. *28) Показать, что в компактном пространстве X всякое изодинное бесконечное открытое подпространство U (§ 2, упражнение Иг) раз- разрешимо. [Используя предложение 1, показать, что существует базис 58 топологии пространства t/, для которого CardC3)=Card(£/); затем воспользоваться упражнением Ив § 2.] Вывести отсюда, что всякое локально компактное пространство без изолированных точек разрешимо [воспользоваться упражнением Иг § 2]; следовательно, такое пространство не субмаксимально. 29) а) Пусть К — дискретное пространство {0, 1}. Для каждого компактного пространства X обозначим через 'б(Х) множество всех его замкнутых подмножеств и через F множество всех отображений /: К-*с:(Х), для которых X=/(O)U/A)- Рассмотрим компактное про- пространство У =KF; показать,что для каждого у={у/)/йр£У пересечение замкнутых подмножеств /(j//) пространства X пусто или сводится к одной точке. Множество Z тех j/€^"> для которых это пересечение не пусто, замкнуто в У; обозначая для каждого y£Z через <р(у) единствен- единственную точку, общую всем /(j//). показать, что <р — сюръективное непре- непрерывное отображение Z в X. б) Дать пример компактного пространства X, для которого не существует сюръективного непрерывного отображения компактного пространства вида КА на X. [Использовать упражнение 46 § 4 и уп- упражнение 27 § 9.] *30) Топологическое пространство X называется локально квази- квазикомпактным, если всякая его точка обладает фундаментальной систе- системой квазикомпактных окрестностей. а) Показать, что в локально квазикомпактном пространстве вся- всякое квазикомпактное множество обладает фундаментальной системой квазикомпактных окрестностей. б) Показать, что всякое локально замкнутое подпростран- подпространство локально квазикомпактного пространства локально квазиком- пактно. °в) Рассмотрим в замкнутом евклидовом круге В: ||х||<1 пло- плоскости R2 топологию <#*, мажорирующую топологию ,$*(,, индуциру- индуцируемую топологией пространства Ra, и определяемую следующим обиа- зом: фильтр окрестностей любой точки хф A, 0) из В совпадает с фильт- фильтром окрестностей этой точки в топологии $~д, точка же A, 0) обладает фундаментальной системой окрестностей, состоящей из объединений множества {A, 0)} со следами на открытом круге Во: ||х||<1 открытых кругов с центром A, 0). Пусть У — множество В, наделенное топо- топологией <#*; рассмотрим в У отношение эквивалентности Я, классами
152 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I, § Ю которого пилпются множество S тех хф(\, 0), для которых ||z||=l, и одноточечные множества из У, не содержащиеся в S. Показать, что факторп ространство X=Y/R квазикомпактно, но не локально квази- компактпо.. § 10. Совершенные отображения В этом параграфе ix будет обозначать тождественное отобра- отображение множества X на себя. J. Совершенные отображения Если /: Х->У и /': X' -*У— замкнутые непрерывные отобра- отображения, произведение fxf: XxX'-*YxY' не обязательно есть замкнутое отображение, даже если / имеет вид %х. Пример. Всякое постоянное отображение отделимого простран- пространства замкнуто. Однако если /—постоянное отображение Q-*{0}, то произведение /Xtg есть отображение (х, у)-* @, у) плоскости Q2 в себя, совпадающее со второй проекцией и потому не замкнутое (§ 4, п° 2, замечание 1). Определение 1. Пусть f — отображение топологического пространства X в топологическое пространство Y. f называется совершенным отображением, если оно непрерывно и для любого топологического пространства Z отображение fXiz: XxZ-+YxZ замкнуто. В п°п° 2 и 3 будут даны другие характеризации совершенных отображений. Беря в определении 1 в качестве Z одноточечное пространство, получаем: Предложение 1. Всякое совершенное отображение замкнуто. Предложение 2. Пусть f: X-^Y — инъективное непрерывное отображение. Тогда следующие три условия равносильных а) / совершенно. б) / замкнуто.
1 СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 153 в) / есть гомеоморфизм пространства X на замкнутое мно- множество в У. Мы уже видели, что а) влечет б). Так как отношение эквивалент- эквивалентности f(x)=f(x') есть здесь отношение равенства, то факторпро- странство пространства X по этому отношению отождествимо с X, и, значит, б) влечет в) в силу предложения 3 § 5. Наконец, если в) выполнено, то /Xi2 есть гомеоморфизм пространства XxZ на некоторое замкнутое подпространство пространства YxZ и, зна- значит, замкнутое отображение, так что в) влечет а). Предложение 3. Пусть f: Х->У — непрерывное отображение; для каждого TcY обозначим через fT отображение множества f (T) в Т, совпадающее с f на f(T). а) Если f совершенно, то и fT'совершенно. б) ifyctrib (T(i))iei — семейство множеств в Y, внутренности которых образуют покрытие пространства У или которые обра- образуют локально конечное замкнутое покрытие этого пространства; если все /ш совершенные, то и / совершенное. Пусть Z — топологическое пространство. Для каждого TcY имеем fTXiz = (fXiz)TXZ; если / совершенно, то fxiz замкнуто, а значит, и (fXiz)TXZ замкнуто (§ 5, предложение 2а), чем а) и доказано. Если теперь (T(i))l6j обладает одним из свойств, сфор- сформулированных в б), то покрытие G'(i)xZ)l6i пространства YxZ обладает тем же свойством; если все /ГA, совершенны, то все (/Xi2)r(:)xz замкнуты и, значит,. fXiz замкнуто (§ 5, предложение 26), что и завершает доказательство. Предложение 4. Пусть I — конечное множество и /,-: X,- -*-Y, — непрерывное отображение для каждого i £ /. Положим X ---- =IJX/, У— IJ У;, и пусть f: Х->У есть произведение (x,)i—*(/;(a;,)) отображений /,-. Тогда: а) Если каждое из отображений /,- совершенное, то и f совер- совершенное. f>) Если f совершенное и все X, не пусты, то каждое /,- совер- совершенное. (Мы увидим в п° 2, следствие 3 теоремы 1, что это предложение распространяется и на бесконечные произведения.)
154 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ Т. § 10 Применение индукции показывает, что достаточно рассмотреть случай, когда /={1, 2}. а) Предположим, что /i и /2 — совершенные отображения, и пусть Z — топологическое пространство; отображение /х X /, х iz является композицией отображений ir,x/2Xi2 и fiXix,Xiz, кото- которые в силу предположения замкнуты; следовательно, Л х /2 х iz замкнуто (§ 5, предложение 1а) и f—fiXf2 совершенно. б) Предположим теперь, что /совершенно; пусть/1 — замкнутое множество в Хг х Z и G — его образ в У'2 X Z при отображении /, X iz; образ множества X,xF в У,хУ2х2 при отображении /iX/2xi2 совпадает с f^XJxG. В силу предположения, /1(X1)xG замкнуто в y\xY2xZ; если Ххф0, то /i(X,) не пусто, а это влечет замк- замкнутость G в Y2xZ (§ 4, следствие предложения 7); следовательно, отображение /2 совершенно. Так же доказывается, что Д совер- совершенно, если Предложение 5. Пусть /: Х->Х' ы g: X'->X* — непрерывные отображения. Тогда: а) £сл« / « g совершенны, то go) совершенно. б) £Ъш go/ совершенно и / сюръективно, то g совершенно. в) £сли go/ совершенно и g инъективно, то / совершенно. г) £сл« go/ совершенно и X' отделимо, то / совершенно. Пусть Z — топологическое пространство. Имеем (go/)Xi2= = (gxiz) о (/xi2); если / и g совершенны, то / Xiz и g xiz замкну- замкнуты и, следовательно (§ 5, предложение la), (go/)Xi2 замкнуто, чем а) и доказано. Так же доказываем б) (соотв. в)), применяя пункт б) (соотв. в)) предложения 1 § 5 и замечая, что если / сюръек- сюръективно (соотв. g инъективно), то /xtz сюръективно (соотв. gxiz инъективно). Предположим теперь, что выполнены предположения пункта г). Рассмотрим коммутативную диаграмму /I I (go/) XIX' A) Х'-+Х"хХ' где у(х) — (х, f(x)) и ^(x')=(g(x'), x'). Отображение ф (соотв. г|>) есть гомеоморфизм пространства X (соотв. X') на график отобра- отображения / (соотв. на пространство, симметричное графику отобра- отображения g) (§4, следствие 2 предложения 1); при этом, поскольку
1 СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 155 X' отделимо, график ф(Х) отображения / замкнут вХхХ' (§8, следствие 2 предложения 2). Следовательно (предложение 2), ф совершенно; с другой стороны, предложение 4 показывает, что (g°f)Xix- совершенно. В силу а) и коммутативности диаграммы A), гр о / совершенно, и так как г|з инъективно, то из в) вытекает, что / совершенно. Замечание. Если X' неотделимо, то go} может оказаться совершенным и без того, чтобы / было совершенным; для этого доста- достаточно принять за X и X" (соотв. X') множества, состоящие из одного (соотв. двух) элемента, и наделить X' слабейшей топологией. Следствие 1. Сужение совершенного отображения /: X-*Y на всякое замкнутое множество F в X есть совершенное отображение пространства F в У. В самом деле, это сужение есть композиция /о/, гдеj: F->X — каноническая инъекция, которая совершенна (предложение 2). Следствие 2. Пусть /: X-+Y — совершенное отображение. Если X отделимо, то подпространство f(X) пространства У отделимо. В силу предложения 5в, можно ограничиться тем случаем, когда f(X)=Y. Тогда диагональ в УхУ есть образ при отображе- отображении /х/ диагонали из ХхХ, которая замкнута (§ 8, предложение 1); поскольку fxf совершенно (предложение 4), диагональ в УхУ замкнута (предложение 1), а следовательно, У отделимо (§ 8, пред- предложение 1). Следствие 3. Пусть I — конечное множество и /,-: Х->У,- для каждого i £ / — совершенное отображение. Если X отделимо, то отображение s>-*(fi{x)) пространства Х«ЦУ, совершенно. г В самом деле, это отображение есть композиция отображения (я,>—>{fi(X;)) пространства X1 в ЦУ; и диагонального отображения i пространства X в X1; так как это последнее совершенно (пред- (предложение 1 § 8 и предложение 2), то справедливость утверждения следует из предложений 4 и 5а. Следствие 4. Пусть X и У — топологические пространства, /: X-+Y — непрерывное отображение, R — отношение эквивалент-
156 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § Ю ности f(x)=J(y) в X и X£-X/R-+f(X)-^-Y — каноническое разло- разложение бтОбрйжёния f. Для того чтобы f било совершенным, необ- необходимо и достаточно, чтобы р было совершенным, h — гомеомор- гомеоморфизмом и f(X) — замкнутым в Y. Условия достаточны в силу предложений 5а и 2. Обратно, если / совершенно, то оно замкнуто, чем уже установлено, что f(X) замкнуто в У, a h — гомеоморфизм (§ 5, предложение 3); кроме -1 того, hop совершенно по предложению 5в и значит p=h° (h° р) совершенно по предложению 5а. 2. Хараптеривация совершенных отображений свойствами компактности В этом п° мы будем обозначать через Р пространство, состоящее из одной точки и наделенное своей единственной топологией. Лемма 1. Топологическое пространство X, для которого отоб- отображение Х-+Р совершенно, квазикомпактно. (Несколько позже мы увидим (следствие 1 теоремы 1), что эго свойство характеризует квазикомпактные пространства.) Можно ограничиться случаем, когда X не пусто. Пусть $— фильтр в X, X'=X[j {ю} — топологическое пространство, ассо- ассоциированное с $ (§ 6, п° 5, пример). Пусть, далее, Д — множество вХхХ', образованное парами (х, х), где х пробегает X, и F=A— его замыкание в ХхХ'. Вследствие сделанного относительно X предположения образ множества V при проекции X ХХ'-+Х' замкнут в X'; поскольку этот образ содержит X, он необходимо содержит со, являющееся точкой прикосновения для X; иначе говоря, существует такое х£Х, что (х, <u)£F. По определению топологии произведения X у X' это означает, что для каждой окрестности V точки х в X и каждого множества М £ % мы имеем (F х М) Л А=^0, т. е. \?Г\Мф0; другими словами, х есть точка прикосновения фильтра %, что и требовалось доказать. Теорема 1. Пусть f: X-+Y — непрерывное отображение. Следующие четыре свойства равносильны! а) / совершенно. 4 б) / замкнуто и fly) для каждого y£Y квапикомпактно .
* СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 157 в) Если ^ — фильтр в X и у £ У — точка прикосновения базиса фильтра /(ft-), то существует точка прикосновения х филШсра $ в X такая, что f(x)=y. г) Если U — ультрафильтре X uy^Y—предел базиса ультра- ультрафильтра /A1), то существует предел х ультрафильтра 11 та- такой, что f(x)=y. а) влечет б): действительно, если / совершенно, то / замкнуто —1 (предложение 1) и отображение f^y. f(y)-*-{y) для каждого y£Y совершенно (предложение За). По лемме 1 это влечет квазиком- —1 пактность f(y). б) влечет в): предположим, что % ну удовлетворяют предполо- предположениям пункта в), и пусть S3 — базис фильтра в X, образованный замыканиями всех множеств из ft-. Так как / замкнуто, то f(M)~ = /(М) для всех М£ ft« (§ 5, предложение 9). Это показывает, что множ ества М П Ну) для всех М g $ не пусты и потому образуют —1 —1 базис фильтра в /(г/), состоящий из замкнутых множеств в /(г/). —1 —1 Поскольку f(y) квазикомпактно, существует x£f(y), принадле- принадлежащее всем М (М£$); тогда f{x) = y hi- точка прикосновения ДЛЯ $. в) влечет г) тривиальным образом. г) влечет замкнутость f. В самом дел&> пусть А — непустое замкнутое множество в X и ft- — фильтр нсех подмножеств из X, содержащих А; тогда А будет множеством всех точек прикоснове- Е1ия фильтра £у. Пусть В — множество всех точек прикосновения фильтра с базисом /(££) в Y; В замкнуто и, очевидно, содержит /(.4); мы покажем, что B=f(A), чем и будет доказано наше утверж- утверждение. Пусть у£В и 33— фильтр окрестностей точки у в У; по предположению всякое множество из 2В=/B3) пересекается со всяким множеством из ^; поэтому 2В есть базис фильтра в X и в X существует ультрафильтр 11, мажорирующий и фильтр с базисом Ш, и фильтр ft- (§ 6, следствие 2 предложения 1 и теоре- теорема 1). Ультрафильтр с базисом /A1) мажорирует 33 и, следователь- следовательно, сходится к у. В силу г) существует такое х£Х< что f(x) = y и U сходится к х, так как U мажорируе! ft-, то х есть точка
158 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § ♦<• прикосновения фильтра $, а значит, х£А, чем и доказано, что г) влечет а): в самом деле, требуется доказать, что если / удов- удовлетворяет условию г), то отображение /Xiz замкнуто для каждого топологического пространства Z. Согласно предыдущему доста- достаточно доказать, что /xiz также удовлетворяет условию г). А это вытекает из следующей общей леммы: Лемма 2. Если (/,I6/ — семейство непрерывных отображений /,: X.-vY,, каждое из которых удовлетворяет условию г), то и их произведение /: (х)\—>(/,(£,)) удовлетворяет условию г). В самом деле, пусть U — ультрафильтр в Х=ЦХ, и у={у) — точка вУ=ЦУ,, к которой сходится /(II). Это означает, что каждый i из базисов ультрафильтров pr1(/(ll)) = /,(pr,(U)) сходится к yt (§ 7, следствие 1 предложения 10). В силу условия г) для каждого i С / существует такое x^Xt, что jl{x)=ylvi prt(U) сходится к xt; но тогда Ц сходится к x—(xt) (§7, следствие 1 предложения 10) и f(x)=y, что доказывает лемму и завершает доказательство теоремы 1. Следствие 1. Для того чтобы топологическое пространство X было квазикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы отобра- отображение Х-+Р было совершенно. Вытекает из равносильности а) и б) в применении к отображению Х-+Р. Следствие 2. Всякое непрерывное отображение f квазикомпакт- квазикомпактного пространства X в отделимое пространство Y совершенно. Композиция Х-*-У->Р совершенна (следствие 1), а значит, / совершенно в силу предложения 5г. Можно также применить критерий б) теоремы 1, используя следствие 2 теоремы 2 § 9. Следствие 3. Произведение (xt)t—>(/,(^,)) семейства совершенных отображений (/,) есть совершенное отображение. Вследствие теоремы 1 это не что иное, как доказанная выше лемма 2. Если применить это следствие к семейству отображений Xt—*P, то, принимая во внимание следствие 1, мы вновь получим теорему Тихонова (§ 9, теорема 3).
2 СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 159 Следствие 4. Пусть X — отделимое пространство. Для каж- каждого семейства совершенных отображений /,: X-*Yl отображение (а;)) пространства X вД^, совершенно. Доказательство такое же, как и в случае конечного семейства (следствие 3 предложения 5), с использованием предыдущего следствия 3 и замкнутости диагонали произведения X1 (§ 8, пред- предложение 1). Следствие 5. Для каждого квазикомпактного пространства X и каждого топологического пространства У проекция ргг: XXY-+Y совершенна. В самом деле, У можно отождествить с PxY, отождествляя ргг с проиаведением совершенных отображений Х-+Р (следствие 1) и iy, откуда и вытекает требуемое (следствие 3). Пример. Пусть X — множество и /: Х-*Х'— его сюръективное отображение в топологическое пространство Х'\ наделим X прообра- прообразом топологии пространства X' относительно /. Тогда / совершенно, ибо оно замкнуто (§ 5, п° 1, пример 3), и прообраз любой точки из X' есть подпространство в X, имеющее слабейшую топологию и тем самым квазикомпактное. Замечание. Если У отделимо, то условие г) теоремы 1 равносильно следующему: г') Если U — такой ультрафильтр в X, что /(Ц) есть базис сходящегося фильтра, то И сходится. В самом деле, если U сходится к х, а /(Ц)— к у, то из единствен- единственности предела в У и непрерывности / следует, что тогда необходимо y=f(x). Точно так же условие в) теоремы 1 равносильно тогда следующему: в') Если $ — такой фильтр в X, что /(^) имеет точку прикос- прикосновения, то и % имеет точку прикосновения. В самом деле, в)=>в')=>г')=>г)=>в). Напротив, если Y неотделимо, то г') уже не влечет г), как пока- показывает пример, где X сводится к одной точке, a Y состоит из двух элементов и наделено слабейшей топологией. Предложение 6. Если /: X-*Y — совершенное отображение и К — кваяикпмпактное множество в У, то множество f(K) кваш- компактни.
160 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § Ю — 1 По предложению 3 отображение fK: f(K)-*-K совершенно; поскольку К-*-Р — совершенное отображение (следствие 1 тео- -1 уд- ремы 1), из предложения 5а вытекает, что композиция f (К)-» —'К-+Р совершенна и, значит, f(K) квазикомпактно (следствие 1 теоремы 1). 3. Совершенные отображения в локально компактные пространства Предложение 7. Пусть f — непрерывное отображение отде- отделимого пространства X в локально компактное пространство Y. Для того чтобы f было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз f(K) любого компактного множества KcY был компактен. При этом если f совершенно, то X локально компактно. —1 Если / совершенно, то / (К) компактно для любого компактного KcY в силу предложения 6. Обратно, предположим, что это ус- условие выполнено, и пусть (£/„) — покрытие пространства Y, обра- образованное относительно компактными открытыми множествами. —1 Из предположения следует, что все /(/7J компактны и их внут- внутренности образуют покрытие пространства X; поскольку X отдели- отделимо, это доказывает, прежде всего, его локальную компактность. —1 Кроме того, каждое отображение fua: /(Z7a)->Z7a совершенно (следствие 2 теоремы 1) и, следовательно, / совершенно (предло- (предложение 36). Следствие. Пусть X и X' — локально компактные простран- пространства, а Y и У — компактные пространства, получаемые путем присоединения к X и X' соответственно бесконечно удаленных точек со м со' (§ 9, п° 8). Для того чтобы непрерывное отображение /: X—*-Х' было совершенно, необходимо и достаточно, чтобы его продолжение /: Y-+Y' такое, что /(со) = со', было непрерывно. В самом деле, в силу предложения 7, сказать, что / совершенно, все равно, что сказать, что для любого компактного множества
4 СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 161 —1 —1 К' из X' множество f(X'—К')=Х—f(K') есть дополнение компакт- компактного множества в X; а по определению окрестностей точек со и со' в У и У (§ 9, теорема 4) это равносильно непрерывности Jb точке со, чем утверждение следствия и доказано. 4. Факторпространства компактных и локально компактных пространств Предложение 8. Пусть X — компактное пространство, R — отношение эквивалентности в X, С — его график в X X X и f — каноническое отображение Х-уХ/R. Следующие условия рав- равносильны: а) С замкнут в X X X. б) R замкнуто. в) / совершенно. г) X/R отделимо. Кроме того, если эти условия выполнены, то X/R ком- пактно. Сказать, что R замкнуто, все равно, что сказать, что / замкну- замкнуто, так что б) влечет в) в силу теоремы 16. То, что в) влечет г), есть частный случай следствия 2 предложения 5. Как мы уже зна- знаем, г) влечет а) без каких бы то ни было предположений относи- относительно X (§ 8, предложение 8). Докажем теперь, что а) влечет б). Но если F — замкнутое множество в X, то его насыщением служит ргг (Cfl {FxX)), и так как в силу предположения С П (F X X) есть замкнутое множество в компактном простран- пространстве ХхХ и, значит, компактно (§ 9, предложение 3), то наше утверждение вытекает из непрерывности рг4 (§ 9, следствие 2 теоремы 2). Наконец, ясно, что если X/R отделимо, то в силу теоремы 2 § 9 оно компактно. Предложение 9. Пусть X — локально компактное простран- пространство, R — отношение эквивалентности в X, С — его график в ХхХ и f — каноническое отображение X~*-X/R; пусть, далее, X' — компактное пространство, получаемое путем присоеди- присоединения к X бесконечно удаленной точки со, и R' — отношение 6 Н. Бурбаки
162 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1, § эквивалентности в X с графиком С'^Си {(«, w)}. Следующие условия равносильны: . а) / совершенно. б) Насыщение по R всякого компактного множества е X есть компактное множество. в) /?' замкнуто. г) Сужение на С проекции рга совершенно. д) R замкнуто и все классы по R компактны. Кроме того, если эти условия выполнены, то X/R локально компактно. а)=>б): в самом деле, так как Х/Д=/(Х), то X/R отделимо (след- (следствие 2 предложения 5); следовательно, образ при / всякого ком- компактного множества К из X компактен (§ 9, следствие 1 теоремы 2); —1 а так как насыщением множества К но R служит f(J(K)), то оно компактно в силу предложения 6. б)^>в): если F' — замкнутое множество в X', не содержащее со, то F' компактно в X, так что его насыщение по Л', совпадающее с насыщением по R, компактно и тем более замкнуто в X'. Если же co£F', то насыщение множества F' по R' есть объединение множества {со} и насыщения Н множества F=F' П Х=/"— {со} по R, так что достаточно доказать, что Я замкнуто в X (т. е. что R есть замкнутое отношение). Для этого достаточно показать, что Н П К компактно при любом компактном множестве К из X (§ 9, предложение 11). Но насыщение L множества К по R компактно по предположению, след же множества Я на L есть насыщение множества Ff)L, т. е. тоже компактен; тем более будет ком- компактно НПК=(НПЦГ\К. в) =>r)i в самом деле, так как X' регулярно (§ 9, следствие пред- предложения 1), то С замкнуто в Х'хХ' (§ 8, предложение 14) и, вначит, компактно. Отсюда заключаем, что С есть компактифика- ция Александрова пространства С (§ 9, теорема 4); поскольку суже- сужение проекции рг2: X'хХ'-*-Х' на С непрерывно в точке со, спра- справедливость утверждения вытекает из следствия предложения 7. г)^>д): для каждого замкнутого множества F из X пересечение С (] (FxX) замкнуто в С, и потому насыщение множества F по /?, совпадающее с рг2 (С(] (FxX)), замкнуто в X (предложение 1).. Кроме того, класс точки х£Х по R гомеоморфен прообразу
4, СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 163 жества {х} относительно сужения проекции рг2 на С и, значит, компактен (теорема 16). д)^>а): в самом деле, если R замкнуто, то/ замкнуто по опреде- —1 лению, a f(z) для каждого z £ X/R есть класс по R и, значит, ком- компактно; наше утверждение вытекает тогда из теоремы 16. Покажем, наконец, что X/R локально компактно. В самом деле, X'/R' компактно в силу в) и предложения 8; отношение R индуци- индуцируется в X отношением R', а X открыто в X' и насыщено по R'; следовательно, X/R гомеоморфно образу f'(X) пространства X при каноническом отображении /': X'-*-X'/R' (§ 3, следствие 1 предложения 10). Но f'(X) открыто в X'/R' и потому является его локально компактным подпространством. Тем самым предло- предложение доказано. Следствие. Пусть X — отделимое пространство, У — топо- топологическое пространство, /: X-+Y — совершенное отображение. Для того чтобы X было компактно (соотв. локально компактно), необходимо и достаточно, чтобы f(X) было компактно (соотв. ло- локально компактно), и достаточно, чтобы У было компактно (соотв. локально компактно). В самом деле, если X компактно (соотв. локально компактно), то компактность (соотв. локальная компактность) f(X) вытекает из следствия 4 предложения 5 и предложений 8 и 9 (в случае, когда X компактно, это вытекает, впрочем, также из следствия 2 предложения 5 и теоремы 2 § 9). Обратно, если Z—f(X) компактно (соотв. локально компактно), то, поскольку fz: X-*-f(X) совершенно (предложение За), X компактно (соотв. локально компактно) в силу предложений 6 и 7. Наконец, если У компактно (соотв. ло- локально компактно), то то же верно и для f(X), которое замкнуто в У (предложение 1 и § 9, предложение 13). Замечание. Если X локально компактно, но не компактно, то замкнутое отношение эквивалентности R в X может быть неотде- неотделимым (гл. IX, 2-е изд., § 4, упражнение 14); и даже когда оно отде- отделимо, X/R не обязательно локально компактно (упражнение 17). Однако справедлив следующий критерий: Предложение 10 Пусть X — локально компактное простран- пространство, R — отделимое и рткрытое ощнщение эквивалттцосщц $
164 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I, § W X и f — каноническое отображение X-+X/R. Тогда X/R локально компактно и для любого компактного множества К' из X/R суще- существует такое компактное множество К в X, что f(K)=K'. Первое утверждение вытекает из того, что всякая точка х £ X имеет компактную окрестность V и f(V) есть компактная окрест- окрестность точки f(z) (§ 5, предложение 5 и § 9, следствие 1 теоремы 2). Пусть V(y) для каждого у£К' — компактная окрестность какой- либо точки из f(y) в X, так что f(V(y)) — компактная окрестность точки у. Существует конечное число точек у; £ К' таких, что f(V(j/j)) покрывают К'. Обозначим через Кг компактное множество U в X; тогда К'сf(Kj), следовательно,K—Kiftf (К') ком- пактно (ибо оно замкнуто в Kt) и f(K)=K'. Упражнения 1) а) Дать пример непрерывных отображений /: X-+Y и g: Y-+Z таких, что go f совершенно, а / не сюръективно и g не совершенно. б) Дать пример двух совершенных отображений /: Х-»У и g: X~*Z, где X, Y, Z — квазикомпактные пространства, таких, что- чтобы як—*(/(ж), g(x)) не было совершенным отображением пространства X bYXZ. 2) Пусть /: X-*Y — совершенное отображение п А — подпро- —1 _ странство пространства X. Показать, что если А — f(f(A))ПЛ , то су- сужение }\А есть совершенное отображение пространства А в f(A). Является ли это условие необходимым? *3) Пусть (Х^, /,з) — проективная система квазикомпактных колмогоровских пространств таких, что все /„<) совершенны. Показать, что если ни одно Ха не пусто, то lim X, не пуст. [Показать, ято в ква- викомпактном колмогоровском пространстве всякое непустое замкну- замкнутое множество содержит замкнутое одноточечное множество.) 4) Дать пример непрерывного отображения /: X-+Y, где X и У отделимы, которое не было бы совершенным, но для которого прообраз —1 / (К) всякого компактного множества К был бы компактен. [См. § 9, упражнение 4.] *-г>) Пусть /: Х-+У — совершенное отображение. а) Показать, что если X регулярно, то /(X) есть регулярное под- подпространство пространства Y. б) Показать, что если подпространство f(X) пространства Y есть пространство Линделефа (§ 9, упражнение 15), то и X есть пространство Линделефа. {Использовать предложение 10 § 5.]
УПРАЖНЕНИЯ 165 *6) Пусть X — сумма своих подпространств Xl (i£/), / — непре- непрерывное отображение пространства X в топологическое пространство У и Д: Xt-*Y для каждого i£7 —сужение / на X,. Показать, что для того чтобы / было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы каж- каждое /, было совершенным, а семейство множеств /(Х() — локально конечным. [Использовать теорему 1г.) *7) Пусть /: Х-*Х'— совершенное отображение, а Л и R' — отно- отношения эквивалентности в X и X', с которыми / согласуется. Пусть, далее, /: Х/Л-»Х'/Л'— отображение, полученное из / путем фактори» вации. Предположим, что: 1° образ при / всякого множества, насыщен- насыщенного по R, насыщен по R'; 2° Л' открыто. Показать, ято при этих условиях / совершенно. [Использовать теорему 1в.] 8) Показать, что при условиях примера 3 п° 2 § 5 каноническое отображение Х-»Х/Л совершенно. •9) а) Пусть X и У — топологические пространства, а /: Х-+У —• сюръективное замкнутое отображение (не обязательно непрерывное). —1 —1 Показать, ято если f(y) квазикомпактно для всякого у£У, то f(K) квазикомпактно для любого квазикомпактного множества К из У. [Рассуждать непосредственно или использовать упражнение 7 § 5 и упражнение 13 § 9.] б) Предположим, кроме того, что X регулярно. Показать, что —х —1 если / (у) замкнуто в X для любого у £ У, то / (К) замкнуто в X для любого квазикомпактного множества К из У. [Те же методы.] Если, к тому же, У локально компактно, то / непрерывно. 10) Пусть X п У — топологические пространства. Соответствие (G, X, У) между X и У (Теор. множ., гл. II, § 3, п° 1) называется со- совершенным, если сужение проекции рг2 на график G есть совершенное отображение G-*Y. а) Пусть / — отображение X в У; показать, что для непрерывности — 1 / необходимо и достаточно, чтобы соответствие / между У и X было совершенным. Для того чтобы / было совершенным, необходимо и —1 достаточно, ятобы соответствия / (между У и X) и / (между X и У) были совершенными. Получить отсюда пример не непрерывного ото- отображения /, для которого бы соответствие / было совершенным. б) Показать, что еслп (G, X, У) — совершенное соответствие, wo G(A) есть замкнутое множество в У для любого замкнутого множе- множества А из X. •11) Пусть (G, X, Y) — совершенное соответствие (упражнейие 10). а) Показать, что если 58 — базис фильтра в X, образованный шалкнутыми множествами, то [| G(M)—G I ||Л/J. ЫйЪ \АГ€8 /
166 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, 5 Ю - б) Показать,что для любого y£Y и любой окрестности V множества —1 —1 G(y) н X существует такая окрестность W точки у в У, что G(W)cV («непрерывная зависимость корней от параметров»), [Использовать упражнение 6 § 9.) •12) а) Для того чтобы соответствие (G, X, У) было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы для любого топологического про- пространства Z и любого соответствия (Е, Z, X) с замкнутым графиком Е в ZXX график Go В был замкнут в ZXY. [Чтобы убедиться в необхо- необходимости условия, заметить, лто GoE есть образ (EXY)O(ZXG) при отображении izXpr2 : ZXG-*ZXY. Чтобы убедиться в достаточности, покавать, что для любого Fc(ZXY)XX прообраз G°F относительно отвбраження izXby: ZXY-*ZXYКY, где Ьу— диагональное отобра- —1 женив Y-+YXY, есть образ множества prM {F (](GXZ)) при отрбраже- нии (у, z) у—> (z,y), где F означает образ F при отображении (г,у,х) н~> t-*(x, у, z).] б) Вывести из а), что композиция двух совершенных соответствий есть совершенное соответствие. в) Пусть (G, X, Y) — совершенное соответствие. Показать, что если X отделимо, то G замкнуто в XXY. •13) Пусть X — локально компактное пространство и У — топо- топологическое пространство. а) Доказать равносильность следующих условий: a) (G, X, Y) есть совершенное соответствие между X и У. Р) Для любого отделимого пространства X', содержащего X как подпространство, G замкнуто в X'XY. у) G замкнуто в X XY и для любого у £У существуют окрестность V точки у в Y и компактное множество К в X такие, что (X—K)XV не пересекается с G. . в) Существует такое компактное пространство X', содержащее X как подпространство, что G замкнуто в X'XY, [Для доказательства того, что а) влечет E), использовать упраж- упражнения 12а и в. Для доказательства того, что б) влечет а), использовать предложение 2 и следствие 5 теоремы 1.) ' б) Показать, что если (G, X, Y) совершенно, то выполняется следующее условие: —1 С) G(L) компактно для любого компактного множества L из У. Доказать, кроме того, что если У локально компактно, a G замкнуто в XXY и удовлетворяет условию £), то (G, X, Y) совершенно. [Исполь- [Использовать равносильпость а) и у).] Это последнее утверждение теряет силу, если У отделимо, но уже не предполагается локально компактным [упражнение 4]. 14) Пусть У — локально компактное пространство и X — тополо- ршческое пространство. Дд# непрерывности отображения f: X-*Y
УПРАЖНЕНИЯ 167 необходимо и достаточно, ятобы для любого компактного пространства У, содержащего Y как подпространство, график / был замкнут в XXY'. [Использовать упражнения 13 и 10а.] 15) Пусть X — отделимое пространство, А — замкнутое множе- ство в X, / — совершенное отображение пространства X — А в ло- локально компактное пространство Y, Y'— компактификация Алек- Александрова пространства Y иш — ее бесконечно удаленная точка. Пусть, далее, g — отображение X в У, равное / на X — А и равное at на А. Доказать, что g непрерывно. ♦16) Пусть X — локально компактное пространство, R — отно- отношение эквивалентности в X и С — его график в XXX. Показать, что для замкнутости С в XXX необходимо и достаточно, чтобы насыщение по R любого компактного множества К в X было замкнуто в X. [Для доказательства необходимости использовать следствие 5 теоремы 1.] °17) Пусть S — отношение эквивалентности в локально компакт- компактном пространстве R, получаемое отождествлением между собой всех точек из Z. Показать, это S замкнуто, a R/S отделимо, но не локально компактно.о °18) Пусть X — локально компактное подпространство @, +uoj пространства R и S — отношение эквивалентности в X, имеющее своими классами множества < х, —> @<ж<1) и {0}. Показать, что S открыто, имеет замкнутый график в XXX и X/S компактно, но S не замкнуто.о •19) Пусть X — локально компактное пространство, счетное в бесконечности, и R — отношение эквивалентности в X с замкнутым графиком в XXX. Показать, это XlR отделимо. [Пусть (£/„) — по- покрытие пространства X, состоящее из относительно компактных от- открытых множеств, для которых Unc:Un+1. Пусть, далее, А и В —■ непересекающиеся замкнутые множества, насыщенные по R. Опреде- Определить по индукции две возрастающие последовательности (Vn) и (Wn) насыщенных по R замкнутых множеств, таких, что Vnf) Wn=0, a VnП Un (соотв. Wnfl Un) — окрестность множества Af]Wn (соотв. Bf) Un) в компактном подпространстве Un. Использовать предложение 8 и упражнение 16, а также предложение 2 § 9.) •) •20) Пусть X — непустое компактное пространство и Л — отде- отделимое отношение эквивалентности в X. Для того чтобы XJR было замкнутым в пространстве Spo(X), наделенном топологией ^Гв. (& 8, упражнение 12), необходимо и достаточно, чтобы отношение R было открытым. [Использовать упражнение 14 § 9 и упражнение 16 § 3 ♦) Если локально компактное пространство X не счетно в бесконечно- бесконечности, то может случиться, что отношение эквивалентности R в X замкнуто (и тем более имеет замкнутый график (§ 8, предложение 14)), но X/R неотде- неотделимо (см. гл. IX, 2-е изд., § 4, упражнения 96 и 14).
168 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § Ю для доказательства того, что если X/R замкнуто в ?j?0(A"), наделенном топологией <^Ге, то фактортопология в X/R совпадает с топологией, которую индуцирует <{Гв, и применить упражнение 7 § 5. Обратно, если R открыто, использовать упражнение 29 § 8 для доказательства замкнутости X/R в топологии <{Ге.] •21) *) а) Пусть X — достижимое локально квазикомпактное про- пространство (§ 9, упражнение 30), Х„— дискретное пространство, имею- имеющее носителем то же множество, что и X, и Хо— (компактное) про- пространство всех ультрафильтров в Хо (где дискретное пространство Хо отождествлено с открытым подпространством пространства Хо) (§ 9, упражнение 27). Пусть, далее, R (или Д(Х)) — отношение эквива- эквивалентности в Хо между ультрафильтрами Ц и S3: «Ц и S3 имеют в X одно и то же множество пределов». Показать, что отношение R отделимо [использовать описание топологии пространства Хо, данное в упраж- упражнении 266 § 9, упражнение 76 § 7 и аксиому (С)); компактное про- пространство Xc=XjR находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех примитивных множеств из X (§ 7, упражнение 7). Если X отделимо (и, следовательно, локально компактно), то Xе отождествимо с X, если X компактно, и с его компактификацией Алек- Александрова, если оно не компактно. б) Пусть Y — замкнутое подпространство пространства X. Про- Пространство ?о всех ультрафильтров в Yo отождествимо с замыканием Yo в Хо, а пространство Yc— с каноническим образом Yo в Xе. в) Показать, что сужение на Хо канонического отображения ХО-*ХС есть биекция Хо на некоторое подпространство Х£ пространства Xе, нто каноническое отображение /: XJ-+X есть непрерывная биекция и ято образ при этом отображении всякого компактного множества из Xе, есть замкнутое компактное множество в X» [Чтобы убедиться в непрерывности /, использовать б); заметить, с другой стороны, что прообраз в Хо точки из Xе, состоит из ультрафильтров в X, имеющих каждый единственный предел, и что если Ц — ультрафильтр в X, то предел Ц, рассматриваемого как базис ультрафильтра в Хо, есть Ц, рассматриваемое как точка в Хо.| °г) Пусть Z — множество-сумма не более чем счетного семейства пространств У„, совпадающих с пространством Y, определенным в упражнении 7 § 8, и одноточечного множества {<в}. Определим в Z топологию, приняв за фундаментальную систему окрестностей точки «£У„ фильтр ее окрестностей в пространстве Yn, а за фундаментальную систему окрестностей точки со множество всех Vn, где V'„ есть объеди- •) Результаты (неопубликованные) этого упражнения и упражнения 7 7 сообщил нам J. Fell.
1 связность 169 нение {со} и всех Ym с тй=п. Так определенное пространство Z до- достижимо, квазнкомпактно и локально квазикомпактно; но подпро- подпространство Zc, пространства Ъс не локально компактно.о д) Пусть Y — еще одно достижимое локально квазикомпактное про- пространство ий- такое непрерывное отображение пространства X в У, что прообраз относительно и всякого квазикомпактного множества из Y квазикомпактен. Показать, что и, рассматриваемое как отображение пространства Х'„ в Yc,, непрерывно и продолжается (единственным образом) до непрерывного отображения XC~*YC. [Продолжить сначала и до непрерывного отображении Хо в Уо и показать, что оно согласу- согласуется с отношениями эквивалентности R(X) и R(Y).] °е) Пусть X — достижимое квазикомпактное, но не локально квазикомпактное пространство, определенное в упражнении ЗОв § 9. Показать, что в соответствующем пространстве Хи отношение эквива- эквивалентности В(Х) неотделимо.„ § 11. Связность 1. Связные пространства и множества, Определение 1. Топологическое пространство X называют связным, если оно не является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств. Равносильное определение получим, заменив слово «открытых» на «замкнутых»; то же самое можно выразить, сказав, что кроме всего X и пустого множества в X нет открыто-замкнутых множеств. Если X связно, А и В — непустые открытые (или замкнутые) множества такие, что А[}В = Х, то А Примеры. °1) В гл. [V, § 2, п° 5 мы увидим, что числовая прямая связна, а рациональная прямая не связна.0 2) Дискретное пространство, содержащее более одной точки, не связно. Заметим, что если (Ut)iel — разбиение топологического про- пространства X, образованное открытыми множествами (которые необходимо не пусты в силу определения разбиения (Теор. множ., Сводка результ., §4, п° 4), то каждое С/, открыто-замкнуто, ибо его дополнение открыто, будучи объединением всех [/„, у которых
170 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 11 у.ф\,. Открытыми множествами в X будут тогда те и только те мно- множества А, для которых Af\Ul открыто в С/, при всех i £/; поэтому пространство X отождествимо с суммой пространств Ut (§ 2, п° 4, пример III) и, если / содержит по крайней мере два элемента, не связно. Определение 2. Подмножество А топологического пространства X называют связным, если оно есть связное подпространство про- пространства X. Для того чтобы множество АсХ было связным, необходимо и достаточно, чтобы для любого его покрытия, состоящего из двух открытых (или двух замкнутых) множеств В и С таких, что Аг\ВлА(]Съе пусты, множество А (] В П С было не пусто. Примеры. В любом топологическом пространстве пустое мно- множество и одноточечные множества связны; в отделимом пространство всякое конечное множество, содержащее более одной точки, и вообще всякое неодноточечное множество, обладающее по крайней мере одной изолированной точкой, не связно. Если всюду плотное множество А связно, то и все простран- пространство X связно: в противном случае существовали бы непересекаю- непересекающиеся непустые открытые множества М л N такие, что X=M()N; тогда М П А и N П А были бы непересекающимися непустыми от- открытыми множествами в А, имеющими А своим объединением, в противоречие с предположением. Итак, имеем: Предложение 1. Если А — связное множество, то связно и всякое множество В такое, что А с: В с: А. , Предложение 2. Объединение семейства связных множеств, имеющего непустое пересечение, есть связное множество. Пусть (At\6j — семейство связных множеств в X, имеющих общую точку х; покажем, что А= ^J Ак связно. Действительно, lei в противном случав в X существуют открытые множества В и С такие, что Вп^иСП^не пусты, АсВ ()С и А Г) В () СФ0. Точка X принадлежит одному из множеств В, С, пусть, например, х£В;
\9 связность 171 с другой стороны, существует такой индекс х, что С[)АхФ0; но тогда Ax<zB\jC, АхГ\ВГ\С=0, причем В(]Ах и С[\А% не пусты, в противоречие с предположением, что все А1 связны. Следствие. Пусть (Ап)п ^ 0 — бесконечная последовательность связных множеств таких, что Ап+1(]Аа=^ 0 при любом п^О; тогда объединение [J Ап связно. rt=o В самом деле, индукцией по п сразу убеждаемся на основании п предложения 2, что множество #n = ^J At связно при любом и; i-0 поскольку же множества Вп имеют непустое пересечение, их объ- единение, равное \У Ап, связно по предложению 2. п=о Предложение 3. Пусть А — произвольное множество в топо- топологическом пространстве X. Если В — связное множество в X, пересекающееся и с А и с СА, то В пересекается также с границей множества А. В самом деле, в противном случае пересечения В с внутрен- внутренностью и внешностью множества А были бы двумя открытыми мно- множествами в В, образующими его разбиение, в противоречие с пред- предположением. Следствие. В связном пространстве X всякое непустое отличное от X множество имеет по крайней мере одну граничную точку. 2. Образ связного множества при непрерывном отображении Предложение 4. Пусть А — святое множество в топологи- топологическом пространстве X и f — непрерывное отображение прост- пространства X в топологическое пространство Х'\ тогда f(A) свято. В самом деле, если бы в /(^4) существовали открытые (относи- (относительно f{A)) множества М' и N', образующие его разбиение, то
172 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 11 ! —1 —1 I множества A f)f(M') и А Г) f(N') были бы открыты относительно А и образовывали его разбиение, в противоречие с предположением.! Прообраз связного мпожества относительно непрерывного ото- отображения не обязательно связен, как показывает пример отображе- отображения неодноточечного дискретного пространства в одноточечное про- пространство. Предложение 4 позволяет по-новому охарактеризовать не- несвязные пространства. Предложение 5. Для того чтобы топологическое пространство X было несвязным, необходимо и достаточно, чтобы существовало непрерывное сюръективное отображение его в дискретное прост- пространство, содержащее более одной точки. Условие, очевидно, достаточно (предложение 4). Оно необхо- необходимо, ибо если А и В — открытые множества, образующие раз- разбиение пространства X, то мы получим непрерывное отображение / этого пространства на дискретное пространство {а, Ь}, состоящее из двух элементов, положив f(A)—{a} и f(B)={b}. 3. Фамторпространства сеянного пространства Предложение 6. Всякое факторпространство связного про- пространства связно. Это — непосредственное следствие предложения 4. Предложение 7. Пусть X — топологическое пространство и R — отношение эквивалентности в X. Если факторпростран- факторпространство X/R связно и все классы эквивалентности по R связны, то X связно. Рассуждая от противного, предположим, что существует раз- разбиение пространства X на два открытых множества А и В. Эти множества насыщены по R, ибо если х£ А, то класс М точки х по R не может пересекаться с В, поскольку тогда множества А Г) М и В Г) М образовывали бы разбиение М на два открытых относитель- относительно М множества, что противоречит предположению. Канонические образы множеств Л и В будут тогда открытыми подмножествами факторпространства X/R, образующими его разбиение, что невоз- невозможно.
О связность 173 4. Произведение связных пространств Предложение 8. Всякое произведение связных пространств связно. Обратно, если произведение непустых пространств связно, то каждое из пространств-сомножителей связно. Пусть Х= Ц X,— произведение топологических пространств. Если X, не пусты, то Х,=ргД для каждого i£/, так что если X связно, то и каждое Х( связно (предложение 4). Обратно, пред- предположим, что все Xt связны, но X не связно. В силу предложения 5, тогда существует сюръективное непрерывное отображение /: Х->Х', где X' — дискретное пространство, содержащее более одной точки. Пусть a^iaj — какая-либо точка из X и х — произ- произвольный индекс; частичное отображение fx: ХХ->Х', определен- определенное равенством /,(#)=/(B/,)). гДе У*=х и J/, = a, для 1ф х, непре- непрерывно на Х„ и так как X, связно, то /х постоянно на Хх. Отсюда по индукции сразу следует, что f(x)—f(a) для любой точки ж=(ж1) такой, что х=а^ при всех i, кроме конечного их числа. Но такие точки образуют всюду плотное множество в X (§ 4, пред- предложение 8); а так как / непрерывно на X и постоянно на всюду плотном множестве в X, то / будет постоянным на всем X (§ 8, следствие 1 предложения 2), в противоречие с предположением. 5. Связные компоненты Пусть х — точка топологического пространства X; объедине- объединение всех связных множеств из X, содержащих х, есть связное множество (предложение 2); таким образом, это — наибольшее связное множество в X, содержащее х. Определение 3. Связной компонентой точки пространства X называют наибольшее связное множество в X, содержащее эту точку. Связными компонентами множества А с: X называют связные компоненты его точек относительно подпространства А прост- пространства X. Если пространство связно, то оно совпадав! со связной компо- компонентой каждой своей точки. Если для любой пары точек (х, у) топологического пространства X существуег связное множество, содержащее х и у, то X связно.
174 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 11 Пространство X называют вполне несвязным, если связная компонента каждой его точки состоит из одной этой точки. Мно- Множество АсХ называют вполне несвязным, если вполне несвязно подпространство А пространства X. Дискретное пространство вполне несвязно, но следует остере- остерегаться смешивать эти два понятия: так, например, мы увидим в гл. IV (§ 2, п° 5), что рациональная прямая, которая не является дискретным пространством, вполне несвязна. Заметим еще, что открыто-замкнутое множество содержит связную компоненту каждой своей точки; другими словами, связ- связная компонента точки содержится в пересечении открыто-замк- открыто-замкнутых множеств, содержащих эту точку. Но она не совпадает, вообще говоря, с этим пересечением (см. упражнение 9 и главу II, § 4, предложение 6). Предложение 9. В топологическом пространстве X связная компонента любой точки есть замкнутое множество. Отношение «у принадлежит связной компоненте точки х» есть отношение эквивалентности R [ х, у } вХ, классами эквивалентности которого служат всевозможные связные компоненты в X; факторпростран- ство X/R вполне несвязно. Первая часть предложения вытекает непосредственно из опре- определения 3 и того, что замыкание связного множества связно (пред- (предложение 1). Так как объединение связных множеств, имеющих общую точку, связно (предложение 2), то отношение R транаи- тивно и потому является отношением эквивалентности (поскольку оно" очевидным образом рефлексивно и симметрично); классом эквивалентности точки х по R будет связная компонента этой точки. Остается убедиться в том, что X/R вполне несвязно. Пусть / — каноническое отображение Х-уХ/R и F — замкнутое мно- множество в X/R, содержащее по крайней мере две различные точки; —1 его прообраз f(F) замкнут в X, насыщен по R и содержит по край- крайней мере две различные связные компоненты из X, а значит, не связен. Следовательно, в X существуют два непустых замкнутых ' —1 множества В а С таких, что Bf]C=0 a B[}C=f(F). Так как
в связность 175 связная компонента в f (F) какой-либо точки этого множества сов- совпадает со связной компонентой этой точки в X (по определению R), —1 to В и С, которые открыто-замкнуты в f(F), насыщены по R; таким образом, f(B) и /(С) замкнуты в X/Rи f(B) U f(C)=F, f(B) (] f(C)-0; а этим доказано, что F несвязно в, следовательно, X/R вполне несвязно. Предложение 10. В произведении Х=ДХ, связная компонента i точки £=(#,) есть произведение связных компонент точек хк в пространствах-сомножителях X,. В самом деле, произведение этих множеств связно (предложе- (предложение 8). С другой стороны, если связное множество А из X содержит х, то рг, (А) есть связное множество (предложение 4), содержащее х', так как /4сДрг,(Л), то А содержится в произведении связных i компонент точек xt. в. Локально связные пространства Определение 4. Топологическое пространство X называют локально связным, если всякая его точка обладает фундаментальной системой связных окрестностей. °В гл. IV (§ 2, п" 5) мы увидим, что числовая прямая есть локально связное пространство.о Существование у каждой точки х£Х хотя бы одной связной окрест- окрестности ни в коей мере не влечет локальной связности X. В частности, X может быть связным, но не локально связным (упражнения 2 и 13). Обратно, пространство может быть локально связным, но не связным: примером является дискретное пространство, имеющее более одной точки. Предложение И. Для того чтобы пространство X было ло- локально связным, необходимо и достаточно, чтобы всякая связная компонента открытого множества в X была открытым множе- множеством в X. Условие, очевидно, достаточно, ибо связная компонента точки х относительно ее открытой окрестности в -X будет тогда окрест- окрестностью ТОЧКИ X В X,
176 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. Г, § 11 Условие необходимо; в самом деле, пусть А — открытое мно- множество в локально связном пространстве X, В — связная компо- компонента множества А и х — точка из В. Пусть V — связная окрест- окрестность точки х, содержащаяся в А; по определению связных ком- компонент (определение 3), V содержится в В, чем и доказано, что В открыто в X (§1, предложение 1). Связные компоненты локально связного пространства X об- образуют, таким образом, разбиение X, состоящее иэ открытых множеств; поэтому X есть сумма (§ 2, п° 4, пример III) своих связ- связных компонент (п° 1). Следствие. Пусть U — открытое множество в локально связ- связном пространстве X; граница (относительно X) всякой свягной компоненты V множества U содержится в границе множества U. В самом деле, в силу предыдущего замечания множество V открыто-замкнуто в U; следовательно, его граничная (относи- (относительно X) точка не может принадлежать U. Предложение 12. Всякое факторпространство локально связ- связного пространства локально связно. Пусть X — локально связное пространство, R — отношение эквивалентности в X, ф — каноническое отображение X~*-X/R, А — открытое множество в X/R и С — связная комнонента мно- —1 жества А; покажем, что ф (С) есть объединение некоторых связных —1 —1 компонент множества <р(А). В самом деле, если ж£ф(С) и К — —1 связная компонента точки х относительно фD), то ф(^) связно (предложение 4), содержится в А и содержит ff(x); таким образом, —1 по определению ф(/ПсС и> следовательно, Ксу(С). Так как X —1 —1 локально связно, а ф(Л) открыто в X, то.ф(С) открыто в X (пред- (предложение 11) и, значит, С открыто в Х/Л, чем, в силу предложения 11, доказательство и завершается. Предложение 13. а) Пусть (Х,)^/ — семейство локально связ- связных пространств, в котором X, связно для всех кроме конечного числа индексов I. Тогда пространство X—■JJXl локально связно, JJ и;
\7 связность 177 1 б) Обратно, если произведение семейства (XJ непустых тополо- топологических пространств локально связно, то X, для всех индексов .локально связны и для всех кроме конечного числа индексов связны. ; а) Пусть / — конечное множество тех индексов иа /, для кото- которых Xt не связно. Пусть, далее, U=J\Ul — элементарное множе- i ство, содержащее точку х=(х) из X, и К — конечное множество тех индексов из /, для которых и=фХс Положим V^ — X^ для i(£/(J К и примем за Vl связную окрестность точки хо содержащуюся в Ut, для i£J[)K- В силу предложения 8, ^=XI ^ будет содер- i жащейся в U связной окрестностью точки х, чем утверждение а) доказано. б) Пусть а—(а) — точка из X и V — ее связная окрестность в X; так как для всех i, за исключением конечного числа, pr^F^X, (§ 4, п° 1), то И8 предложения 4 следует, что X, для всех, кроме конечного числа, индексов связны. С другой стороны, для каждого и (£/, каждой точки ах£Хх и любой ее окрестности F, в Х% существует такая точка х£Х, что рг„а;=ах и V=V%X X JJ X, есть ее окрестность; следовательно, V содержит связную окрестность W точки х, а проекция этой окрестности рг, W есть связная окрестность точки ах, содержащаяся в V% (предложение 4 и § 4, предложение 5), чем и показано, что Х„ локально связно. 7. Применение: теорема Пуанкаре—Вольт ерра Теорема 1. Пусть X — топологическое пространство, удовле- удовлетворяющее аксиоме (Ош) (но не обязательно отделимое), связное и локально связное. Пусть Y — топологическое пространство, топо- топология которого обладает счетным базисом, и р: X-+Y— непрерыв- —1 ное отображение, для которого р(у) при любом у £ У есть дискрет- дискретное подпространство пространства X. Пусть, наконец, ^— мно- множество подмножеств пространства X, внутренности которых образуют покрытие X, причем выполнены еще следующие условия: 1° Сужение р на любое F£$B есть замкнутое отображение V в Y. 2° Всякое множество V б %$ содержит счетное всюду плотное в V подмножество,
178 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § If Тогда пространство X является объединением счетного семей* ства открытых множеств, каждое ив которых содержится в нв" котором множестве из 33. Пусть S3 — счетный базис топологии пространства У. Будем называть пару (W, U) выделенной, если: 1° U £33 и 2° W есть связ- —1 ная компонента множества p(U), содержащаяся в некотором мно- множестве из 33. Лемма 1. Для любой точки х$Х существует такая выделенная пара (W, U), что x^W. —1 В самом деле, поскольку прообраз р(р(х)) дискретен, в X суще- существует окрестность точки х, у всех точек х'фх которой образ р(х') Ф р(х); так как X удовлетворяет аксиоме (О,,,), то существует замкнутая окрестность V точки х с тем же свойством, и, очевидно, можно предположить, кроме того, что V содержится в некотором множестве из 23. Пусть F — граница множества V в X; в силу условия Iе теоремы, ее образ p(F) замкнут в У, и так как p(F) не содержит р{г), то существует множество С/€33, содержащее р(х) и не пересекающееся с p(F). Пусть тогда W означает связную —1 компоненту множества p(U), содержащую х. Достаточно доказать, что WaV; но в противном случае W пересекалось бы с F (пред- (предложение 3), а следовательно, p(F) пересекалось бы с С/, что проти- противоречит определению U. Лемма 2. Пусть дана выделенная пара (W, U); множество тех выделенных пар (W, U'), для которых Wf\W'=/= 0, счетно. В самом деле, поскольку 33 счетно, достаточно доказать, что для данного Е/'$33 множество всех выделенных пар (W, U'), в которых W пересекается с W, счетно. Но эти множества W открыты, поскольку X локально связно (предложение 11), и по- попарно не пересекаются, по определению связных компонент мно- множества р (С/'); то же верно и для множеств W Г) V7. Но так как W содержит счетное подмножество, плотное в W, то множество тех W, для которых W П W не пусто, необходимо счетно. После этих лемм рассмотрим в X следующее отношение Д между точками $ и х';
<П связность 179 «существует конечная последовательность выделенных пар (Wo U,) A<»<п) такая, что x^Wl,x'^Wn и W,r\Wul^0, когда 1 <!*<: ге—1». В силу леммы 1 отношение R рефлексивно; непосредственно проверяется, что оно симметрично и транзитивно; кроме того, ив определения R и открытости всех Wt вытекает, что всякий класс эквивалентности по R есть открытое множество; так как X связ- связно, то заключаем, что любые две точки из X эквивалентны mod R (п° 1). Выведем отсюда, что X есть объединение счетного семейства первых элементов выделенных пар, чем доказательство теоремы 1 и будет завершено. Итак, пусть х — точка из X; определим индук- индукцией по п последовательность (Сп) открытых множеств из X следу- следующим образом: в силу леммы 1 существует такая выделенная пара (Wi, UJ, что х£ Wx\ положим Ci=Wx; затем для и>1 обозначим через Сп объединение всех первых элементов W тех выделенных пар (W, U), для которых W пересекается с Cn-i- Индукцией по п и применением леммы 2 сразу убеждаемся, чтоС„ есть объединение счетного множества первых элементов выделенных пар. Покажем, наконец, что всякая точка х' £ X принадлежит какому-либо из Сп\ действительно, существует такая конечная последовательность {W't, C/))i^i<m выделенных пар, что х € W't, х' £ W'mи W\ П W'l+i=£ 0, когда 1 ^ t ^ т — 1; индукцией по i убеждаемся, что W't cCi+1 для каждого i, и, следовательно, х' £ Ст+1, что и требовалось доказать. Следствие 1. Пусть Y — регулярное пространство, топология которого обладает счетным базисом*). Пусть, далее, X— связное локально связное пространство и р: X-*Y — непрерывное отобра- отображение, обладающее следующим свойством: у каждой точки х£Х существует такая замкнутая окрестность V в X, что сужение р на V есть гомеоморфизм V на замкнутое подпространство прост- пространства Y. Тогда X— регулярное пространство, топология кото- которого обладает счетным базисом. Прежде всего иэ предположений вытекает, что X регулярно (§ 8, предложение 13). Покажем, что предположения теоремы 1 будут выполнены, если взять за 2? множество тех замкнутых •) "Можно доказать, что эти условия влекут метризуемость топологии пространства У (гл. IX, 2-е изд., § 4, упражнение 22).„
180 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § <1 подмножеств V пространства X, для которых сужение р на V является гомеоморфизмом V на замкнутое подпространство пространства У. По условию внутренности множеств из 33 покрывают X, и в силу предположения относительно У всякое F£23 обладает счетным базисом и, значит, содержит всюду плотное счетное множество (§ 1, предложение 6). Остается убедиться, что для любого у £У —1 подпространство р(у) пространства X дискретно; но, по предполо- —1 жению, для каждого х£р(у) существует окрестность F£2? точки —1 ж в X, не содержащая ни одной точки из р(у), отличной от х, откуда и следует наше утверждение. Теорема 1 показывает теперь, что X есть объединение счетного семейства (Тп)п>0 открытых множеств, где каждое из подпространств Тп имеет счетный базис (Umn)m>0. Но тогда множества Umn (m^O, re^O) образуют базис топологии пространства X (§ 3, п° 1, замечание). Следствие 2. Пусть X — локально компактное, связное и локально связное пространство, каждая точка которого имеет окрестность, обладающую счетным базисом. Пусть, далее, У— от- отделимое пространство, топология которого обладает счетным бази- —1 сом, и р: Х-уУ — непрерывное отображение, для которого р(у) есть дискретное подпространство в X при любом у £ Y. Тогда топология пространства X обладает счетным базисом. Пусть Vx для каждого х£Х — компактная окрестность точки х в X, обладающая счетным базисом; из следствия 2 теоремы 2 § 9 вытекает, что множество 5> всех Vx удовлетворяет условиям теоремы 1; далее рассуждаем, как в заключительной части дока- доказательства следствия 1. Заметим, что в этом втором следствии сужение отображения р на произвольно малую окрестность V точки из X может и не быть гомео- гомеоморфизмом V на p(V). Следствие 3 (теорема Пуанкаре — Вольтерра). Пусть Y — локально компактное, локально связное пространство, топология которого обладает счетным базисом, X — связное отделимое про- пространство и р: Х-уУ — непрерывное отображение, обладающее следующим свойством: каждая точка х£Х имеет такую открытую
УПРАЖНЕНИЯ 181 окрестность U, что сужение pnaU есть гомеоморфизм U на откры- открытое подпространство пространства Y. Тогда X локально компакт- компактно, локально связно и его топология обладает счетным базисом. Очевидно, X локально связно; с другой стороны, всякая точка х$Х обладает такой открытой окрестностью U в X, что сужение р на U есть гомеоморфизм U на открытое подпространство p(U) пространства У. Так как p(U) — локально компактное подпро- подпространство в У (§ 9, предложение 13), то существует компактная окрестность W точки р(х), содержащаяся в p(U), и, значит, —1 U П p{W) будет компактной окрестностью точки х, содержащейся в U. Поэтому X, будучи отделимым, локально компактно; кроме —1 того, U(]p(W), будучи компактным, замкнуто в X (§ 9, предло- предложение 4), и тем самым все предположения следствия 1 удовлет- удовлетворены; следовательно, топология пространства X обладает счет- счетным базисом. Упражнения 1) Показать, что счетное отделимое пространство, определенное в упражнении 21в § 9, связно. 2) а) Пусть X — топологическое пространство и $"— его тополо- топология. Показать, что если X, наделенное полурегуляриой топологией <£Г*, ассоциированной с JT(§ 8, упражнение 20), связно, то X связно в топологии <£Г. Вывести отсюда существование субмаксимальных связ- связных пространств (§ 8, упражнение 22). сб) Определить, в частности, в R топологию, мажорирующую обычную топологию и такую, чтобы 1{~было в ней связно, но ни одна его точка не обладала фундаментальной системой связных окрестностей [см. гл. IV, 3-е изд., § 2, упражнение 14в].о 3) Пусть А и В — подмножества топологического пространства X. а) Показать, что если А и В замкнуты в X, &A-\JB и Af]B связны, то А и В связны. Показать на примере, что это утверждение может быть уже неверным, когда одно из множеств А, В не замкнуто. б) Пусть А и В связны и А |~|В # 0; покааать, что А [)В связно. *4) Пусть X — связное пространство, имеющее по крайней мере две точки. а) Пусть А — связное множество в X и В — множество в СА, открыто-замкнутое относительно СА; показать, что A\JB связно. [Применить упражнение 5 § 3 к Y=A \JB и Z—ZA.] б) Пусть А — связвое множество в X и В — связная компонента множества С А; показать, что СВ связно. [Использовать а).]
182 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1,8 1* в) Вывести из б), это в X существуют связные множества М, N, отличные от X, для которых М\JN=X, MQN =■= 0. '5) а) Дать пример убывающей последовательности (Ап) связных множеств в R2, пересечение которых не связно (см. гл. II, § 4, упраж- упражнение 14). б) Пусть X— множество в R2, получаемое объединением открытых полуплоскостей у> О, у < 0 и точек (п, 0) (п — целое Ss 1); оно связно в топологии <£Г0, индуцируемой из R2. Определить в X последователь- последовательность топологий (,fn) так, чтобы <£Гп + 1 мажорировало $~п и X было связно в каждой топологии £Гп, но не было связно для их верхней грани. [Переходить от <£ГП к $~п+\ , вводя новые окрестности для точки (п+1, 0).]. 6) Пусть X и У — связные пространства и А (соотв. В) — множе- множество в X (соотв. У), отличное от X (соотв. У). Показать, что в про- пространстве XXY дополнение к А ХВ есть свяаное множество. 7) Пусть X и Y — связные пространства и / — такое отображение их произведения XXY в топологическое пространство Z, что каждое из частичных отображений /( , у): X-+Z и f(x, ): Y-+Z (х£Х, y£Y) непрерывно. Показать, что f(XXY) связно. *8) Предположим, что в примере топологии в произведении X=JJ Xt, данном в упражнении 9§ 4, множество / бесконечно и кардинальное число с несчетно. Показать, что если все Xt связны, регулярны и имеют каждое по крайней мере две различные точки, то связная компонента точки a=(ai) в X есть множество тех х=(х1), у которых xl=al для всех кроме конечного числа индексов i£/. [Сво- [Сводится к случаю, когда /=N; рассмотреть такие две точки Ь=(Ьп), с=(сп) в X, для которых Ьпфсп при любом п. Пусть (Упя)т>,0 для каждого п — последовательность открытых окрестностей точек Ьп в Хп, не содержащих с„ и таких, iioVntm + lcVnm, a Z — множество всех точек (хП) из X, обладающих следующим свойством: существует целое А;>0 такое, что xn£Va „_j для всех п&хк; показать, ято Z открыто-вамкну- то в X.] °9) Показать, что в локально компактном пространстве X, опре- определенном в упражнении 20 § 10, имеются точки х, связная компонента которых в X отлична от пересечения всех содержащих х открыто- замкнутых в X множеств.,, 10) Показать, что совершенно упорядоченное множество X, наде- наделенное топологией <&~+(Х) или <£Г_ (X) (§ 2, упражнение 5), вполне несвязно. 11) Пусть X—топологическое пространство и R — отношение эквивалентности в X, каждый класс которого содержится в некоторой связной компоненте пространства X.Показать, что связные компоненты факторпространства X/R являются каноническими образами связных компонент из X (см. гл. III, 3-е изд., § 2, упражнение 17).
УПРАЖНЕНИЯ 183 12) Пусть X — топологическое пространство. Показать равносиль- равносильность следующих трех условий: а) все связные компоненты простран- пространства X открыты; Р) всякая точка х £ X обладает окрестностью, содер- содержащейся в каждом открыто-замкнутом множестве, содержащем х; у) для любого х £ X пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих х, есть открытое множество. °13) Пусть 6 — иррациональное число. Рассмотрим отображение / яисловой прямой R в тор Т2, сопоставляющее каждой точке <£R ка- канонический образ в Т2 точки (t, 6t)£R2; / инъективно и непрерывно. Показать, что в топологии $~, являющейся прообразом относительно / топологии тора Т2, R связно, но ни одна его точка не обладает фунда- фундаментальной системой связных окрестностей., *14) а) Пусть X — локально связное локально компактное про- пространство, А — замкнутое множество в X, А* — объединение мно- множества А и всех относительно компактных связных компонент мно- множества СА. Будем называть А цельным, если А*=А. Показать, что А* замк- замкнуто и цельно. б) Пусть X, кроме того, связно. Показать, что если А — компакт- компактное множество в X, то А* компактно. [Рассмотреть компактную ок- окрестность V множества А и связные компоненты его дополнения С А, пересекающиеся с границей множества V.] в) Пусть X, кроме того, связно и счетно в бесконечности. Пока- Показать, что существует возрастающая последовательность (Кп)п->0 ком- компактных, связных и цельных множеств, объединение которых совпадает с X, таких, что Kn<z.kn+l для каждого п. °г) Показать, что утверждение пункта б) теряет силу, если пред- предполагать, что X только связно и локально компактно или только отде- отделимо, связно и локально связно. [Рассмотреть в R2 подпространство, образованное теми (х, у), у которых </ = 0и0<1<1 или х — — (п— целое ё: 1) и у>0.]о *15) Пусть X — связное локально связное пространство. а) Пусть М и N — непустые замкнутые множества в X без общих точек. Показать, что существует связная компонента множества С {M[)N), имеющая точки прикосновения в М и в N. [Заметить, что связная компонента С множества C(M[JN), не имеющая точек при- прикосновения в М, открыто-замкнута относительно CN.] б) Вывести из а), что если А — замкнутое множество в X, отличное от X, то всякая его связная компонента пересекается с замыканием множества СА. °16) Пусть X — подпространство пространства R2, получаемое объединением прямой у = 0, замкнутых отрезков с концами @, 1) и и полупрямых z«S п., у = ——: . Показать, что пространство К (-40 п-И"
184 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § И связно, но в нем имеется связная компонента дополнения точки @, 1), для которой эта точка не является точкой прикосновения. (Сронить с упражнениями 4а и 15а.]0 °17) Пусть /0— интервал [—1,1] в R, Ро—его факторпространство, получаемое отождествлением в /0 точек -т- и 1, а Во— факторпростран- 1 ство, получаемое отождествлением в /0, с одной стороны, точек -^- и 1, Li а с другой,—точек — у и —1. Пусть, далее, / — интервал ]—1, 1 [ в R, Р — его канонический образ в Ро, В — канонический образ в Во. а) Показать, что никакие два из пространств /, Р, В не гомео- морфны. [Чтобы убедиться в том, что / и Р не гомеоморфны, заметить, что в Р существуют точки со связным дополнением; аналогично для двух других пар пространств.] б) Пусть X — сумма счетио-бесконечиого семейства пространств, гомеоморфных /, и счетно-бесконечного семейства пространств, гомеоморфных В, а У — сумма пространств X и Р. Показать, что X и У не гомеоморфны, но: 1° существуют непрерывная биекция X на У и непрерывная биекция У на X; 2° X гомеоморфно открытому подпро- подпространству пространства У, а У гомеоморфно открытому подпространству пространства Х.а °18) Пусть X — плоскость R2, R — отношение эквивалентности в X, классами которого служат прямые у = |5 для всех E > 0 и полупрямые х = а, у < 0 для всех а £ R. Показать, что в Х/Л, рассматриваемом как подмножество в §Р0№) топология, которую индуцирует JTQ (§ 2, упражнение 7), дискретна, а топология, которую индуцирует <£ГФ, не дискретна, но X/R в этой топологии не связно; наконец, Х/Н, наделенное фактортопологией, связно.„ °*19) Пусть X — локально компактное пространство; тогда можно показать, что X отождествимо со всюду плотным открытым подпро- подпространством универсального компактного пространства %, построен- построенного в упражнении 26 § 9 (см. гл. IX, 2-е изд., § 1, упражнение 8). Предположим, кроме того, что X связно и локально связно. . а) Показать, что для любого компактного множества К в X мно- множество тех связных компонент множества X — К, которые не явля- являются относительно компактными, конечно [см. упражнение 146]. Вывести отсюда, что точка из X — X может быть точкой прикосновения только одной связной компоненты множества X — К. [Пусть А/ . A<<<га) — некомпактные связные компоненты множества X — К и С,-— компактное множество всех точек из X — X, служащих точ- точками прикосновения для А,-; построить компактное пространство, имеющее своим носителем сумму X и всех С/, и такое, чтобы X отож- отождествлялось с его всюду плотным открытым подпространством.]
УПРАЖНЕНИЯ 185 б) Пусть R' \ х, у \ — следующее отношение эквивалентности в X — X: «для любого компактного множества К в X точки х и у служат точками прикосновения одной и той же некомпактной связной компо- компоненты множества X — К». Пусть R — отношение эквивалентности в X, классами которого являются классы по R' и все одноточечные множества нз X. Показать, что R отделимо, что X отождествимо со всюду плотным открытым подпространством компактного пространства Х*=Х/Л и что в компактном пространстве Хь— X всякая точка есть пересечение своих открыто-замкнутых окрестностей. Точки из Xй— X называются концами пространства X. в) Пусть У — такое компактное пространство, что X отождествимо с его всюду плотным открытым подпространством н каждая точка компактного пространства У — X есть пересечение своих открыто- замкиутых окрестностей *). Показать, что существует непрерывное отображение пространства X* в У, тождественное на X. [Показать, что если У — X есть объединение двух непересекающихся непустых замкнутых множеств А и В, то в У существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что AcU, BczV и У— {U[)V) компактно.] г) Показать, что если X счетно в бесконечности, то пространство Хь— X обладает счетным базисом. д) Число концов числовой прямой равно двум, а пространства R" (п Э: 2) — единице. Дать пример локально компактного связного и локально связного подпространства в R2, множество концов которого имело бы мощность континуума .„ 20) Пусть X — отделимое пространство, каждая точка которого обладает фундаментальной оистемой открыто-замкпутых окрестностей, У — подпространство пространства X и А — компактное множество в У, открыто-замкнутое относительно У. Показать, что в X существует множество В, открыто-замкнутое относительно X и такое, что В П Y=A. *21) а) Для топологического пространства X следующие условия равносильны: 1° замыкание U каждого открытого множества U в X открыто; 2° внутренность fi каждого замкнутого множества F в X замкнута; 3° если открытые множества U и V из X не пересекаются, то и их замыкания U и V не пересекаются. Отделимое пространство, удовлетворяющее этим условиям, называют экстремально несвязным; оно тогда вполне несвязно. "Рациональная прямая есть вполне несвяз- несвязное пространство, не являющееся экстремально несвязным.0 б) Для того чтобы отделимое пространство было экстремально несвязным, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированное полуре- полурегулярное пространство (§ 8, упражнение 20) обладало тем же свой- свойством. *) Это условие равносильно тому, что У — X вполне несвязно (гл. II, 4, предложение 6).
186 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, 5 11 в) Пусть X — отделимое топологическое пространство и А — его всюду плотное подпространство. Покааать, что если А экстремально несвязно и топология пространства X Л-максимальна (§ 3, упраж- упражнение 11), то X экстремально несвязно. г) Вывести из б) и в), ято для всякого бесконечного множества X (компактное) пространство всех ультрафильтров в X экстремально несвязно (см. § 9, упражнения 27 и 25) *). д) Пусть X — отделимое топологическое пространство без изоли- изолированных точек. Для того чтобы его топология была квазимаксимальной (§ 2, упражнение 6), необходимо и достаточно, чтобы X было субмак- субмаксимально (§ 8, упражнение 22) и экстремально несвязно. [Для дока- вательства достаточности использовать упражнение 22д § 8 и доказать, ято в X всякое замкнутое множество бее изолированных точек от- открыто.] е) Показать, что всякое ультрарегулярное пространство (§ 8, упражнение 25) экстремально несвязно, но экстремально несвязное компактное пространство без изолированных точек не ультрарегу- дярно (см. § 9, упражнение 28). ж) Показать, что экстремально несвязное полурегулярное (§ 8, упражнение 20) пространство регулярно [см. главу II, § 4, упраж- упражнение 12]. з) Показать, ято в экстремально несвязном пространстве не суще- существует сходящихся последовательностей с бесконечным числом попарно различных членов. [Рассуждая от противного, образовать по индукции такие две последовательности (Un) и (У„) попарно не пересекающихся открытых множеств, о объединениями U= M Un и У= М Vn, что и) Показать, что в экстремально несвязном пространстве X не- неизолированная точка а не может иметь вполне упорядоченную (по от- отношению z>) фундаментальную систему открыто-замкнутых окрест- окрестностей. [Рассуждать от противного, как в з).] *22) а) В экстремально несвязном пространстве (упражнение 21) все открытые подпространства и все всюду плотные подпространства экстремально несвязны. б) Пусть X — отделимое пространство, всякая точка которого имеет окрестность, являющуюся экстремально несвязным подпростран- подпространством. Показать, что тогда X экстремально несвязно. в) Дать пример отделимого не экстремально несвязного простран- пространства X, в котором существует экстремально несвязное всюду плотное открытое подпространство. [Склеить два экстремально несвязных пространства.] *) По поводу примеров экстремально несвязных компактных пространств без изолированных точек см. гл. II, § 4, упражнение 126. .
УПРАЖНЕНИЯ 187 г) Пусть X — счетное дискретное пространство, X — (компактное) пространство всех ультрафильтров в X (§ 9,упражнение 27) и (Л„)пеК— счетно-бесконечное разбиение пространства X на бесконечные множе- множества; в замкнутом подпространстве Y=X — X пространства X мно- множества Bn=Anf]Y открыто-замкнуты и попарно не пересекаются. Пусть fi» IJ вп\ показать, что замыкание В множества Я в У не является 71 открытым в У и, следовательно, У не экстремально несвязно *). [Рас- [Рассуждать от противного: согласно упражнению 20, существует открыто- вамкнутое множестве С в X такое, что Cf]Y=B; взяв в каждом мно- множестве С(]Ап по точке ха, рассмотреть образованное ими множество / и его замыкание / и ноказать, что J(]B = 0.) 23) Дать пример биективного отображения / отделимого простран- пространства X в отделимое пространство У, при котором образ всякого ком- компактного множества из X бил бы компактным множеством в У и образ всякого связного множества и§ X был бы связным множеством в У, но которое не являлось бы непрерывным. [См. § 9, упражнение 4.} 24) Пусть X — топологическое пространство. а) Наделим множество %}0(Х) одной ив топологий <$*п, <$Гф (§ 2, упражнение 7) или jTe (§ 8, упражнение 12). Показать, что если мно- множество 58 в Щ0(Х) связно и каждое множество М£35 связно, то объе- объединение М М связно. Мб® б) Пусть £> — множество в Ч$0(Х), содержащее множество всех непустых конечных подмножеств из X. Показать, что если X связно, то и © связно. [Рассмотреть отображения (xv ..., х„)у—♦ {xv ..., *„}, использовав упражнение 76 § 2 и предложение 8.] *25) Пусть X и У — топологические пространства. Отображение /: X—*Y называют локальным гомеоморфизмом, еслн любая точка х£Х обладает такой окрестностью U, что f(U) есть окрестность точки /(я) в У и отображение U-*f(U), совпадающее с / на U, есть гомеоморфизм. Всякий локальный гомеоморфизм есть открытое непрерывное ото* бражение. а) Пусть X отделимо, У локально связно и /: Х->У — локальный —I гомеоморфизм, для которого существует такое целое л>0, что f(y) состоит точно из п точек при любом y£Y. Показать, что любая точка —1 у £ У обладает такой открытой окрестностью V, что f(V) имеет п связ- связных компонент Uj (l<i<n) и отображения Ui-*V, совпадающие с / яа Ui, являются гомеоморфизмами; / является тогда совершенный отображением. *) Упражнения 21з и 22г сообщил вам Д. ШсаЬагга,
188 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § И б) Пусть X отделимо, У связно и локально связно И /: X-*Y — совершенный локальный гомеоморфизм; показать, что / удовлетворяет условиям, указанным в а). [Пусть Yn для каждого целого л>0 —• —1 множество тех у £ Y, для которых f(y) имеет по крайней мере п точек; показать, что Yn открыто-замкнуто в У.] °в) Дать пример не совершенного сюръективного локального го- гомеоморфизма /: X-*Y, где У компактно, связно и локально связно, X —I локально компактно, связно и локально связно, a f(y) для каждого содержит не более двух точек [см. § 5, упражнение 4J.,
ПРИЛОЖЕНИЕ ДОПОЛНЕНИЯ О ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ МНОЖЕСТВ 1. Проективные системы подмножеств Определения проективной системы множеств (Ха, /а?) отно- относительно предупорядоченного множества индексов /, проективного предела X—НтХя такой системы и канонического отображения /„ множества X в каждое из Ха (Теор. множ., гл. III, § 1, п° 12) не опираются на предположение, что множество / — фильтрующееся; поэтому они распространяются на произвольное предупорядоченнов множество I. То же относится и к определению проективной системы отображений иа: Ха-+Ха, где (Ха, /ар) и (Хв, /ор) — проективные системы множеств относительно /, и к ее проективному пределу u=lim ua (там же). При этом все результаты, доказанные в п° 12 § 1 гл. III Теории множеств, остаются в силе и без предпо- предположения о фильтруемости /, кроме результата, относящегося к канонической биекции lim Xa на проективный предел подсемейства семейства (Ха), соответствующего кофинальной части множества /. Пусть Ма для каждого а £ I — подмножество множества Ха. Если а^Р влечет f^(M^)c:Ma, то говорят, что Ма образуют про- проективную систему подмножеств множеств Ха. Пусть ga^ — сужение /аа на Мр дляа<$; его можно рассматривать как отображение Л/р в Ма: при этом ясно, что (Ма, ga$) — проективная система мпожесмв и ПтЛ/а = ХП(Ц ^«)- ^ частности, ясно, что множества Ма~}Л(Х) образуют проективную систему подмножеств Х„ в
190 ПРИЛОЖЕНИЕ lim Xa=Hm Ma; отметим, что для любогоа£/ будем иметь «=/а(Х)с f\ /ар(Хр) и все g^ (а <Р) сюуьективны. Предложение 1. Пусть (Ха, /ар) и (Ха, /ар) — проективные системы множеств относительно I ииа для каждого а £ /— отобра- отображение Ха в Ха, причем Ua образуют проективную систему отобра- отображений. Пусть u=lim Иа- Тогдадля каждогох''«(жа) £НтХамноже- —1 cmea u« (xa) образуют проективную систему подмножеств мно- множеств Ха и u{x')=lim Uaixa). Предложение очевидным образом следует иэ определений. 2. Критерий непустоты проективного предела Пусть (Ха, /ар) — проективная система множеств относительно предупорядоченного множества /, причем /aa для каждого a £ / есть тождественное отображение Ха на себя. Предположим, что для каждого a £ / задано множество ©а подмножеств множества Ха, причем выполнены следующие аксиомы: (I) Всякое пересечение множеств из S>a принадлежит ©а- В частности (рассматривая пересечение пустого семейства), получаем, что Xa6©a- (II) Если множество подмножеств ^с@а обладает тем свойст- свойством, что пересечение любого конечного числа принадлежащих ему множеств не пусто, то {] М не пусто. Принимая во внимание (I), аксиома (TI) равносильна следую- следующей аксиоме: (ТГ) Если ®<z<2a есть множество, фильтрующееся по убыванию, все элементы которого не пусты, то С\ М не пусто. Мб* Теорема 1. Пусть I — фильтрующееся множество, для всех ©а выполнены аксиомы (I) u (II) и, кроме того, проективная система (Ха, /ар) удовлетворяет следующим условиям: —1 (III) /ар(Ха) 6 ©р длялюбой пары индексова,р таких, что а ^ р, и X
ДОПОЛНЕНИЯ О ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ МНОЖЕСТВ 191 (IV) /ар(Мр) G ©а для любой пары индексов а, р таких, что а м любого Мрё©р- Пусть X—limXa; тогда: а) Для любого a g / имеем A) где /а — каноническое отображение Х-»-Ха. б) £с/ш Ха «е пусто для каждого а £ I, то X не пусто. Пусть 2 — множество всех семейств 51=(Аа)аб;, удовлетворяю- удовлетворяющих условиям: и Аа€<®а для каждого а £1; B) /ар(-4 р) с Аа для всех а, р таких, что а<р. C) Пусть отношение SI ^ SI' для элементов ЭД=Dа) и 9Г = (Ла) из S означает, чтоЛас4а при любом а; ясно, что 2 упорядочено этим отношением. 1° Докажем сперва, что 2 индуктивно. Пусть L — совершенно упорядоченное множество и Я >—>2Г = (Ла)ае7 — его строго воз- возрастающее отображение в 2. Для каждого ос£/ положим #«=« ■= О Ла; очевидно, семейство 83=(Ва) удовлетворяет условию C); в силу (I) и (II) оно удовлетворяет также условию B), так что 93 £2, и ясно, что S3 мажорирует множество всех 5Л\ 2° Пусть Щ=(Лв) означает максимальный элемент из 2; пока- покажем, что тогда Аа =/аэ(Лр ) для всех пар а, Р таких, чтоаг^р. Дейст- Действительно, положим Аа = О /ар(^4р) для каждого а С / и покажем, что 91' = (А'а) принадлежит 2. Заметим сначала, что если а то в силу C) /а? (А,) =/ар (/?7 (А,)) с fa»(A9); кроме того, при аг^р имеем /ар (-dp) € ®а в силу (IV) и /ар (А9) Ф 0 'в силу B); условия (I) и (II) показывают тогда, что Ъ.' удовлетворяет ус- условию B). Наконец, 8Г удовлетворяет также условию C): в са- самом деле, если а < р, то /ар (Лр) cf| /ар (/Pv (Лт)) = f\ fay(AJ; о другой стороны, для любого б^а существует такое \£1, что
192 ПРИЛОЖЕНИЕ Y ^ б и у ^ Р>' значит, /ау(Лт) с: /ов (Ле) и. следовательно, Q /aV(^T) = ft /аб(^г) = Л'а, чем заворшено установление того, что 31' € 2. Поскольку А'асАл для каждого а, из предположен- предположенной максимальности Ш. следует, что Ш' = 21, и наше утверждение доказано. 3° Покажем теперь, что если ЭД = (Л„) — максимальный эле- элемент из 2, то каждое Аа состоит из одного элемента. Пусть —1 жа€ Ла. Для каждого Р^а положим В? — А^[\ /а?(ха), а для ос- остальных р положим В^ — Afi покажем, что тогда 33 = (Вр) при- принадлежит 2. Если неверно, что р^а, то P^y влечет /р Eт)с с/?т(Лт) с ^j = Sp; если, напротив, a^(J^Y> T°i поскольку i иметь /h (/-г (*«)) с/«? (*«)» и так как /Рт (^4Т) с Л?, то снова f^(B^) cz В„; таким образом, семой- ство S3 удовлетворяет условию C). Так как, согласно 2°, а^р влечет АЛ — }^(А^, то ясно, что В^ф 0 для каждого Р^/; на- наконец, в силу (I) и (III), Бр £ ©э для каждого Р С Л завершается доказательство того, что 23^2. Поскольку В^^ для каждого р ^ /, из предположенной максимальности §( сле- следует, что В^ — А§ для каждого Р и, в частности, Ал=* {ха\. 4е Теперь можно перейти к доказательству теоремы 1. До- Докажем сначала а). Мы уже знаем, что fa(X) сП /„р(-Хр). Обратно, -1 Р^а пусть *«€П/«(>(*р)- Положим B9 — f^(x,), если Р>а, и£р = Хр в противном случае; по определению ха, множества В^ не пус- пусты, и в силу (III) и (I) #p g @р для каждого р 6 ^; кроме того, очевидно P^Y влечет f^(B^)cB^. Таким образом, 33=E?)gS. Пусть 9(= (Лр) — максимальный элемент из 2 такой, что $1^33; существование его вытокает (в силу 1°) из теоремы Цорна; так как (по 3°) Л? для каждого pg/ имеет вид {у?\, то у — (у9) при- принадлежит X, и /„ (у) = ул = а:а по определению. Покажем, наконец, что а) влечет б). Действительно, / можно предполагать непустым (иначе нечего было бы доказывать); из предположенной непустоты всех Хл следует, что /а? (Хг?) Ф 0 при а ^ Р; так как fa^(X0 при фиксированном а и P^a обра- образуют фильтрующееся по убыванию множество подмножеств мно- множества Ха, принадлежащих <2Ц, то условие (IV) показывает,
ДОПОЛНЕНИЯ О ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ МНОЖЕСТВ 193 что Q /а3 (Jp) Ф 0. Таким образом, в силу а), (л{Х)ф0 и тем более Хф0, что и требовалось доказать. Замечание. Предположим, что в формулировке теоремы 1 условие (III) заменено следующим более слабым условием: (ИГ) Для каждого a g / и каждого непустого множества Ма С ©„ —1 существует такое ха£Ма, что fa$(xj g 2>? для всех р ^а. Тогда утверждение б) теоремы 1 еще сохраняет силу. В самом доле, доказательства пунктов 1° и 2° при этом не изменятся. Дока- Доказательство пункта 3° останется в силе, если брать хЛ g Aa так, чтобы fa$(xj принадлежало©р для каждого Р ^а. Наконец, рассуждение пункта 4° показывает, что если Г\ 1Л${Х$)Ф0 и в этом множестве ха взято так, что /вр(а;а) G @р для каждого Р ^а, то существует такое у£Х, что /«(j/)=a;., чем наше утверждение и доказано. Примеры. I) Пусть все ХЛ— компактные пространства, а все /«р— непрерывные отображения; тогда можно применить теоре- теорему 1, взяв в качестве ©а множество всех замкнутых множеств из Ха. О подробностях этого применения см. § 9, п° 6. II) ПустьЛ—кольцос единицей и Та для каждого a £l— apmu- новский левый Л-модуль (Алгебра, гл. VIII, § 2, п° 1); пусть ХЛ — однородное пространство надУ^, в котором Тл действует точно (так что можно сказать, что Ха есть аффинное пространство, ассоци- ассоциированное сГ, (Алгебра, гл. II, ПриложениеII, п°1). Предположим, что для каждой пары а, Р, в которой а^р, /в»: Х$-+Хл есть аффинное отображение (Алгебра, гл. II, Приложение II, п°4). Возьмем в качестве ©„ множество, состоящее из пустого под- подмножества и всех аффинных линейных многообразий пространства Ха (Алгебра, гл. II, Приложение II, п° 3). Тогда условие (I) вы- выполняется тривиальным образом, а условие (II) вытекает из того, что Та — артиновский: в самом деле, это влечет существование ми- минимального элемента среди пересечений конечных наборов мно- множеств М £% и этот элемент необходимо равен С\ М. Наконец, ао- скольку Д» аффинно, условия (III) и (IV) тривиально выполнены. 7 н Бурбакя
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ I (Римские цифры относятся к библиографии, помещенной в конце настоящего очерка.) Понятия продела и непрерывности восходят к древности; история их развития не была бы полной без систематического изучения с этой точки зре- зрения не только математиков, но и философов Греции, в частности Аристотеля, как и без рассмотрения эволюции этих идей в математике Возрождения и в период возникновения дифференциального и интегрального исчислений. Однако такое исследование, предпринять которое было бы, конечно, инте- интересно, вышло бы далеко за рамки этого очерка. Основателем топологии, как и многих других ветвей современной мате- математики, следует считать Римапа; действительно, именно он первым пытался выделить понятие топологического пространства, выдвинул идею самостоя- самостоятельной теории этих пространств, определил инварианты («числа Бетти»), сыгравшие чрезвычайно важную роль в дальнейшем развитии топологии, и дал им первые применения в анализе (периоды абелевых интегралов). Но путь Риману во многих отношениях подготовило развитие математической мысли первой половины XIX века. В самом деле, стремление подвести под мате- математику надежное основание, вызвавшее столько важных исследований на протяжении всего XIX века и вплоть до наших дней, привело к корректному определению понятий сходящегося ряда и числовой последовательности, стремящейся к пределу (Коши, Абель), а также понятия непрерывной функции (Больцано, Коши). С другой стороны, данное Гауссом и Арганом геометри- .ческое представление (точками плоскости) комплексных или «мнимых», как говорят еще до сих пор, чисел (называвшихся в XVIII веке иногда также «невозможными» числами) сделалось привычным для большинства матема- математиков; оно означало прогресс того же порядка, как для наших дней усвоение геометрического языка при изучении гильбертова пространства, и содержало в зародыше возможность геометрического представления всякого объекта, способного к непрерывному изменению; Гаусс, который, впрочем, был естест- естественно приведен к подобным представлениям своими исследованиями по осио-
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ I 195 ваниям геометрии, неевклидовой геометрии и теории поверхностей, по-ви- по-видимому, уже имел в виду такую возможность, ибо, определяя (независимо от Аргана и французских математиков) геометрическое представление мнимых чисел, воспользовался выражением «двукратно протяженная величина» ((I), стр. 101—103 и 175—178). Исследования по алгебраическим функциям и их интегралам, с одной стороны, и (навеянные в значительной меро изучением трудов Гаусса) раз- размышления об основаниях геометрии, с другой,— привели Римана к форму- формулированию программы исследований, являющейся программой и современ- современной топологии, и побудили его положить начало реализации этой программы. Вот, например, что пишет Риман в своей «Теории абелевых функций» ((II), стр. 91): «При изучении функций, возникающих при интегрировании полных диф- дифференциалов, почти невозможно обойтись бея некоторых предложений, отно- относящихся к Analysis situs. Под этим наименованием, употреблявшимся, хотя, быть может, и не совсем в том же смысле, Лейбницем, следует понимать ту часть учения о непрерывных величинах, которая рассматривает эти величина не как существующие независимо от их положения и измеряемые одна другою, но, отвлекаясь от всего, связанного с измерением, подвергает изучению лишь отношения их взаимного расположения и включения. Оставляя на будущее рассмотрение этих вопросов, полностью освобожденное от всего, связанного с измерением...». И в его знаменитой вступительной лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» ((II), стр. 272): «... общее понятие многократно протяженных величин *), охватывающее, в частности, пространственные величины, оставалось совершенно неразрабо- неразработанным...» (стр. 272). «...Понятие величины возможно лишь в том случае, когда имеется нечто общее, допускающее различные состояния. В зависимости от того, существует или нет непрерывный переход от одного состояния к другому, эти состояния образуют непрерывное или дискретное многообразие; отдельные состояния называются в первом случае точками, во втором — элементами многообразия» (стр. 273). «...Измерение состоит в наложении одной из сравниваемых величии на другую; поэтому для измерения требуется, чтобы имелся способ перенесения одной величины, как масштаба, по другой. Если такой способ отсутствует, то сравнивать две величины можно лишь в том случае, когда одна из них составляет часть другой... Исследования, которые можно в этом случае про- проводить, образуют общую, независимую от мероопределений, часть учения о величинах, в которой величины мыслятся не как существующие независимо от их расположения и не как выражаемые через некоторую единицу измерения, но как части некоторого многообразия. Такого рода исследования стали *) Риман понимает под этим, как видно из дальнейшего, часть тополо- топологического пространства любого числа измерений.
196 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВК Т необходимыми для многих отраслей математики, особенно при изучении многозначных аналитических функций...» (стр. 274). «...Определение положения на данном многообразии, когда такое опреде- определение возможно, приводится к определению конечного количества числовых вначений. Впрочем, существуют также многообразия, для которых опреде- определение положения требует не конечного количества, а бесконечного ряда или непрерывного множества числовых значений. Такого рода многообразия обра- вуют, например, возможные задания функции в данной области, возможные формы пространственной фигуры и т. п.ь (стр. 270). В этой последней фразе впервые намечена идея изучения функциональ- функциональных пространств; впрочем, та же идея нашла выражение уже в диссертации Римана: «Совокупность отих функций,— говорит он в связи с проблемой минимума, известной под пазванием принципа Дирихле,— образует замкну- замкнутую в себе связную область» ((II), стр. 30), что, хотя и в несовершенной форме, является зародышем доказательства, данного впоследствии принципу Ди- Дирихле Гильбертом, и даже большинства приложений функциональных про- пространств к вариационному исчислению. Как уже было сказано, Риман положил начало выполнению этой гран- грандиозной программы, определив «числа Бетти» сперва для поверхности ((II), стр. 92—93), а затем ((II), стр. 479—482; см. также (III)) для многообразия любого числа измерений и применив это определение к теории интегралов; по этому поводу, а также по поводу значительного развития, которое полу- получила эта теория после Римана, мы отсылаем читателя к историческим очер- очеркам, которые будут в настоящем трактате сопровождать главы, посвященные алгебраической топологии. Что касается общей теории топологических пространств, какой ее в общих чертах представлял себе Риман, то для ее развития было необходимо предварительное, более систематическое, чем во времена Римана, изучение теории вещественных чисел, числовых множеств и точечных множеств на прямой, плоскости и в пространстве; это изучение было связано в свою очередь с (полуфилософским у Больцапо и чисто математическим у Дедекинда) исследованием природы иррационального числа, а также с прогрессом теории функций вещественной переменной (в которую сам Риман внес существенный вклад своим определением интеграла и своей теорией тригонометрических рядов и которой посвятили свои работы, среди прочих математиков, Дюбуа- Реймон, Дини, Вейерштрасс). Она явилась делом второй половины XIX века, и прежде всего Кантора, который первый определил (сперва на прямой, а затем в n-мерном евклидовом пространстве) понятия точки сгущения, замк- замкнутого, открытого и совершенного множеств и получил существенные ре- результаты, относящиеся к структуре этих множеств на прямой (см. Истори- Исторический очерк к гл. IV); по этому поводу можно обратиться не. только к сочи- сочинению Кантора (IV), но и к его весьма интересной переписке с Дедекиндом (V), где содержится также отчетливо выраженная идея числа измерений как топологического инварианта. Дальнейшее развитие этой теории изложено, например, в полуисторической, полусистематической форме в книге Шен<§-
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ I 197 лпса (VI); пожалуй, наиболее важное значение имела теорема Бореля — Лебега, что всякое ограниченное замкнутое множество в n-мерном евклидовом пространстве R" (см. гл. VI, § 1) удовлетворяет аксиоме (С") § 9 (вначале доказанная Ворелем для замкнутого отрезка на прямой и покрывающего его счетного семейства открытых интервалов). Идеи Кантора встретили вначале довольно энергичную оппозицию (см. Исторический очерк к гл. I — IV книги I). Но во всяком случае его теория точечных множеств на прямой и плоскости вскоре стала применяться и широко распространяться французской и немецкой школами теории функций (Жор- дан, Пуанкаре, Клейн, Миттаг-Леффлер, затем Адамар, Ворель, Бэр, Лебег и др.); в частности, каждый из первых томов коллекции Бореля содержал элементарное изложение этой теории (см., например, (VII)). По мере распро- распространения этих идей у многих стала возникать мысль о возможном их при- применении к множествам уже не точек а кривых или функций. Эта мысль про- проявилась, например, в названии «О предельных кривых многообразия кривых» мемуара Асколи 1883 г. (VIII) и была высказана в сообщении Адамара на математическом конгрессе в Цюрихе в 1896 г. (IX); она тесно связана также с введением Вольтерра в 1887 г. «функций линии» и созданием «функциональ- «функционального исчисления», т. е. теории функций, аргументом, которых является функ- функция (отсылаем по этому поводу к монографии Вольтерра, посвященной функциональному анализу (X)). С другой стороны, в знаменитом мемуаре (XI), где Гильберт, вновь обратившись к идее Римана, доказал существование минимума в принципе Дирихле и положил начало «прямым методам» вариационного исчисления, отчетливо выявился интерес, который представляет рассмотрение множеств функций, где применим принцип Больцано — Вейерштрасса, т. е. где всякая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность; к то- тому же такие множества начали играть важную роль не только в вариацион- вариационном исчислении, но и в теории функций вещественной переменной (Асколи, Арчела), а несколько позже — в теории функций комплексной переменной (Витали, Каратеодори, Монтель). Наконец, изучение функциональных уравнений и, особенно, решение Фредгольмом класса уравнений, получивших его имя, сделали привычным рассмотрение функции как аргумента, а множества функций — как множе- множества точек, говоря о котором так же естественно пользоваться геометри- геометрическим языком, как и говоря о точках n-мерного евклидова пространства (которое и само ускользает от «интуиции» и по этой причине долгое время оставалось предметом недоверия многих математиков). В частности, извест- известные работы Гильберта по интегральным уравнениям (XII) завершились опре- определением и геометрическим изучением гильбертова пространства Э. Шмидтом (X IV) в полной аналогии с евклидовой геометрией. Тем временем понятие аксиоматической теории приобретало все возра- возрастающее значение главным образом благодаря многочисленным работам по основаниям геометрии, среди которых решающее влияние оказали исследо- исследования Гильберта (X III); как раз в ходе самих этих исследований Гильберт
198 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ I предложил в 1902 г. ((XIII), стр. 180 *)) первое аксиоматическое определение «двукратно протяженного многообразия» в смысле Римана, которое должно было бы служить, по ого словам, «основой для строгого аксиоматического построения анализа положения», и уже использовал окрестности (в смысле, суженном требованиями проблемы, которой ограничился тогда Гильберт). Первые попытки выделить то общее, что имеется в свойствах множеств точек и множеств функций, были сделаны Фреше (XV) и Ф. Риссом (XVI); однако первый, отправляясь от понятия счетного предела, не смог построить удобную и плодотворную систему аксиом; тем не менее он подметил родство между принципом Вольцано — Вейерштрасса (который есть не что иное, как аксиома (С) § 9, ограничивающаяся счетными последовательностями) и теоремой Бореля — Лебега (т. е. аксиомой (С") § 9); именно в связи с этим он и ввел слово «компактность», правда, в несколько ином смысле, чем тот, который придается этому слову в настоящем сочинении. Что касается Ф. Рис- са, который отправлялся от понятия точки сгущения (или, скорее,— что сводится к тому же — «производного» множества), то его теория была еще неполной, да, впрочем, и осталась лишь в виде чернового наброска. Общей топологии, как ее понимают сейчас, положил начало Хаусдорф ((XVII), гл. 7—9). Вновь обратившись к понятию окрестности (но понимая под этим то, что в терминах настоящей книги следовало бы называть «открытой окрестностью»), Хаусдорф отобрал из аксиом Гильберта, относящихся к окрестностям на плоскости, те, которые смогли обеспечить его теории одно- одновременно всю требуемую точность и общность. Аксиомами, принятыми им при этом за отправной пункт, были в основных чертах (с точностью до различий, обусловленных его понятием окрестности) аксиомы (V)), (VM), (Vm), (ViV) § i ir (H) § 8, а глава, в которой он развертывает их следствия, остается образ- образцом аксиоматической теории, абстрактной, но заранее приспособленной к приложениям. Вполне естественно, что она послужила отправным пунктом для последующих исследований по общей топологии, и особенно для работ московской школы, группировавшихся большей частью вокруг проблемы метризации (см. Исторический очерк к гл. IX); здесь следует прежде всего отметить данное Александровым и Урысоном определение компактных про- пространств (под наименованием «бикомпактных пространств») и затем доказа- доказательство Тихоновым (XIX) компактности произведения компактных про- •странств. Наконец, введение А. Картаном (XX) фильтров, давшее чрезвы- чрезвычайно ценный инструмент для самых разнообразных приложений (где оно с успехом заменяет понятие «сходимости по Муру — Смиту» (XVIII)), по- позволило благодаря теореме об ультрафильтрах (теорема 1 § 6) завершить прояснение и упрощение всей теории. *) Стр. 250 второго русского издания.
БИБЛИОГРАФИЯ (I) С. F. G a u s s, Werke, t. II, Gottingen, 1863. (II) B. R i e m a n n, Gesammelte mathematische Werke, 2-е изд., Leipzig (Teubner), 1892. [Б. Р и м а н, Сочинения, Гостехиздат, 1948.] (III) В. R i e m a n п, in Lettere di E. Betti a P. Tardy, Rend. Accad. Lincei (V), t. XXIV1 A915), стр. 517—519. (IV) G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (Springer), 1932. (V) G. Cantor, R. D e d e к i n d, Briefwechsel, Actual. Scient. et Ind., n° 518, Paris (Hermann), 1937. (VI) A. Schoenflies, Entwickelung dor Mengenlehre und ihrer An- wendungen, 1 часть, 2-е изд., Leipzig — Berlin (Teubner), 1913. (VII) E. В о r e 1, Lemons sur la theorie des fonctions, 2-е изд., Paris (Gau- thier — Villars), 1914. (VIII) G. A s с о 1 i, Le curve limiti di una varieta data di curve, Mem. Accad. Lincei (III), t. XVIII A883), стр. 521—586. (IX) J. Hadamard, Sur certaines applications possibles de la theorie des ensembles, Verhandl. Intern. Math.-Kongress, Zurich, 1898, стр. 201—202. (X) V. Volterra, Theory of Functionals, London — Glasgow (Blackie & Son), 1930. (XI) D. H i 1 b e r t, Gesammelte Abhandlungen, t. Ill, Berlin (Sprin- (Springer), 1935, стр. 10—37 (=Jahresber. der D.M.V., t. VIII A900). стр. 184, и Math. Ann., t. LIX A904), стр. 161). (XII) D. H i 1 b e r t, Grundziige einer allgemeinen Theorie der Integral- gleichungen, 2-е изд., Leipzig — Berlin (Teubner), 1924. (XIII) D. H i 1 b e r t, Grundlagen der Geometrie, 7-е изд., Leipzig —< Berlin (Teubner), 1930. [D. Гильберт, Основания геометрии, Перевод с 7-го изд., Гостехиздат, 1948.] (XIV) Е. Schmidt, Ueber die Auflosung linearer Gleichuugen mit unen- dlich vielen Unbekannteu, Rend. Palermo, t. XXV A908), стр. 53—77. (XV) M. F г ё с h e t, Sur quelques points du calcul fonctiounel, Rend. Palermo, t. XXII A906), стр. 1-74.
200 БИБЛИОГРАФИЯ (XVI) F. R i e s z, Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengeulehre, Atti del IV Congresso Intern, dei Matem., Bologna, 1908, t. II, стр. 18—24. (XVII) F. Hausdorff, Grundziige der Meugenlehre, 1-е изд., Leipzig (Veit), 1914. (XVIII) E. H. Moore and H. L. Smith, A general theory of limits, Amer. Journ. of Math., t. XLIV A922), стр. 102—121. (XIX) A. Tychonoff, Ueber die topologische Erweiterung von Raumen, Math. Ann., t. CII A930), стр. 544—561. (XX) H. С а г t a n, Theorie des filtres; Filtres et ultrafiltres, C. R. Acad. Sc. Paris, t. GCV A937), стр. 595—598 и 777—779.
ГЛАВА II РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ § 1. Равномерные пространства 1. Определение равномерной структуры Определение 1. Равномерной структурой в множестве X называют структуру, определяемую заданием некоторого мно- множества U подмножеств произведения ХхХ, удовлетворяющего ак- аксиомам (Fi) и (Fn) (гл. I, § 6, п° 1), а также следующим аксиомам: (U,) Всякое множество из IX содер- жит диагональ Д (рис. 2). (U,,) Отношение V gU влечет А V £ U. (U,,,) Каково бы, ни было У £11, существует W $U такое, что WoWczV. Множества из U называются ок- ружениями равномерной структуры, определяемой в X этим U. Равномерным пространством называется множество, наделен- наделенное равномерной структурой. Если V — окружение некоторой равномерной структуры в X, то отношение (х, x')£V выражают словами «х и х близки поряд- порядка V». Замечания. 1) Чтобы придать речи большую наглядность, можно н некоторых случаях употреблять выражении «х и у достаточно близки» и «х и у сколь угодно близки». Например, плюрят, .что отио-
202 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 1 шение R \ х, у \ выполняется для всех достаточно близких х и {/.если существует такое окружение V, что отношение (х, y)£Vвлечет R \ х,у \ . ?,) Соединение аксиом A1ц) и (Um) (с учетом остальных аксиом равномерных структур) равносильно следующей аксиоме: (Ua) Для любого V £ И существует W£\\ такое, что Wo WCZ V*). В самом деле, ясно, что (Uu) и (Um) влекут (Ua). Обратно, если -1-1 -г (Ua) выполнено, то W—AoWcVb силу (U[); следовательно, WcV, -1 чем доказано (принимая во внимание (F[)), что V £ U; с другой сто- -1 роны, если положить W =W [) W, то согласно предыдущему и на основании (Fu) будем иметь W £ U и, значит, W ° W' С W ° W с V. г Всюду далее в этой главе мы вместо V° V будем писать Vvi вообще п. п-\ п-1 положим V—VoV=VaV для каждого целого п>1 и каждого VCZXXX. 3) Если X не пусто, то из аксиомы (U[) вытекает, что никакое множество из U не пусто, так что \\ есть фильтр в XXX. В пустом множестве имеется только одна равномерная структура, с множеством окружений U={0}. Определение 2. Фундаментальной системой окружений рав- равномерной структуры называется всякое множество В окружений, обладающее тем свойством, что любое окружение содержит неко- некоторое множество, принадлежащее $5. Аксиома (U,,,) показывает, что если п — какое-либо целое п число > 0, то множества V, где V пробегает фундаментальную систему окружений, также образуют фундаментальную систему окружений. Назовем симметричными такие окружения V равномерной -1 структуры, для которых V=V; для каждого окружения V мно- -1 -1 жества V П V и V (J V являются симметричными окружениями; аксиомы (F,,) и (U,,) показывают, что симметричные окружения образуют фундаментальную систему окружений. *) Напомним (Теор. множ., Сводка результ., § 3, п°п° 4 и 10), что если V и W — подмножества из XXX, тоГой' или VW означает множество тех пар (х, i/)^XXX, для которых существует z£X такое, что (х, г) £ W и (z,y)£V, -1 а V есть множество тех пар (х, у) £ XXX, для которых (у, х) £ V.
1 РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 203 Для того чтобы множество Ъ подмножеств произведения X х X было фундаментальной системой окружений некоторой рав- равномерной структуры в X, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло аксиоме (В,) (гл. I, § 6, п° 3) и следующим ак- аксиомам: (Ui) Всякое множество из Ъ содержит диагональ Д. -1 (Un) Для любого V £23 существует V £23 такое, что V с V. , г (Uin) Для любого F£23 существует W £23 такое, что We: V. Если X не пусто, фундаментальная система окружений равно- равномерной структуры в X есть базис фильтра окружений этой струк- структуры (гл. I, § 6, предложение 3). Примеры равномерных структур. °1) Определим в множестве R всех вещественных чисел равномерную структуру, называемую аддитивной равномерной структурой, следующим обра- образом: для каждого а> 0 рассмотрим в RXR множество Vx тех пар (х, у) вещественных чисел, для которых | х — у | < а; когда а пробе- пробегает множество всех вещественных чисел > 0, множества Vx образуют фундаментальную систему окружений аддитивной равномерной струк- структуры в R. Таким же образом определяется равномерная структура (также называемая аддитивной структурой) в множестве Q всех рациональных чисел; эти структуры, а также равномерные струк- структуры, которые можно определить аналогичным образом в группах, изучаются в гл. III и IV.O 2) Пусть X — множество, Я — отношение эквивалентности в X и С — его график в XXX. Как известно (Теор. множ., Сводка а -1 результ., § 5, п° 1), Д с С и С=С=С; следовательно, множество подмножеств произведения XXX, состоящее из единственного мно- множества С, является фундаментальной системой окружений некоторой равномерной структуры в X. В частности, если принять за R отно- отношение равенства, то С=А, и окружениями соответствующей равно- равномерной структуры служат тогда все множества из XXX, содержащие Д; эту равномерную структуру называют дискретной равномерной струк- структурой в X, а множество X, наделенное ею,— дискретным равномерным пространством. 3) В множестве Z всех целых рациональных чисел следующим образом определяется равномерная структура, важная в теории чисел: пусть р — заданное простое число; обозначим через Wn, для каждого целого п > 0, множество тех пар (х, y)£ZXl, в которых х^у (mod pn); непосредственно проверяется, ято эти множества образуют
204 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 1 фундаментальную систему окружений равномерной структуры в Z; эту структуру называют р-адической (см. гл. III, 3-е изд., § 6, упраж- упражнения 23 и след., а также гл. IX, 2-е изд., § 3, п° 2). В соответствии с общими определениями (Теор. множ., Сводка результ., § 8, п° 5), если X и X'— множества, наделенные равномер- равномерными структурами, с множествами окружений U и U', то биекция / множества X на X' будет изоморфизмом равномерной структуры в X на равномерную структуру в X', если g(l\)=W, где g—/х/. Например, если X и X'— равномощные множества, то всякая биекция ХнаХ' есть изоморфизм дискретной равномерной структуры в X на дискретную равномерную структуру в X'. 2. Топология равномерного пространства Предложение 1. Пусть X—множество, наделенное равномер- равномерной структурой 41. Для каждого х£Х обозначим через Ж (х) множество подмножеств V (х) множества X, где V пробегает все окружения равномерной структуры 41; в X существует, и притом единственная, топология, для которой 23 {х) является фильтром окрестностей точки х при любом я £ X. Требуется доказать, что множества 83 (я) удовлетворяют усло- условиям (V[), (V,,), (V,,,) и (Viv) гл. I, § 1, п° 2. Для первых трех ус- условий это сразу следует из того, что множество окружений равно- равномерной структуры 41 удовлетворяет условиям (F,), (F,,) и (U,). С другой стороны, если V — какое-либо окружение из 41, a W — 2 такое окружение из -И, что WcV, то V(x) принадлежит 23 (у) для каждого у £ W (х): действительно, если (х, y)£W и (у, z)£W, 2 то (х, z)£Wc:V и, значит, W(y)c:V(x) для каждого y£W(x). Тем самым предложение полностью доказано. Определение 3. Топология, определенная в предложении 1, будет называться топологией, порождаемой равномерной структу- структурой 11. П р и м е р ы. °1) Топология, порождаемая аддитивной равномер- равномерной структурой в множестве всех вещественных чисел, есть топология .числовой прямой (гл. I, § 1, п° 2); точно так же топология, порождав-
\ РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 205 мая аддитивной структурой в множестве всех рациональных чисел, есть топология рациональной прямой.с 2) Топология, порождаемая в произвольном множестве X дискрет- дискретной равномерной структурой (п° 1, пример 2), дискретна. Говоря в дальнейшем о топологии равномерного пространства X, мы всегда будем иметь в виду, если не оговорено противное, топологию, порождаемую равномерной структурой этого прост- пространства; топологическое пространство, получающееся при наделе- наделении множества X этой топологией, будет иногда называться носителем рассматриваемого равномерного пространства. Напри- Например, когда мы будем говорить, что равномерное пространство отде- отделимо, или компактно, или локально компактно и т. д., то это будет означать, что этим свойством обладает топологическое пространст- пространство-носитель этого равномерного пространства. Пусть X и X'— равномерные пространства; всякий изоморфизм / равномерной структуры пространства X на равномерную струк- структуру пространства X' является также гомеоморфизмом X на X'; /называется изоморфизмом равномерного пространства X на равно- равномерное пространство X'. Отметим, что гомеоморфизм X на X' не обязательно есть изоморфизм равномерной структуры пространст- пространства X на равномерную структуру пространства X'. Другими- словами, топологии, порождаемые двумя различными равномерными структурами в одном и том же множестве X, могут совпадать. "Например, на \0, +оо[ одна и та же топология порожда- порождается и аддитивной равномерной структурой, и мультипликативной равномерной структурой, которые различны (гл. III, 3-е изд., § 6, упражнение 17). о Другой пример см. в § 2, п° 2, замечание 1. Предложение 2. Пусть X — равномерное пространство. Для каждого симметричного окружения V его равномерной структуры и каждого множества М с X X X множество VMV есть окрест- окрестность М в топологическом произведении ХхХ: шмыкание мно- множества М в этом пространстве шдается формулой М= П VMV, A) v е <s
206 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ / ГЛ. ТТ, § 1 где © означает множество всех симметричных/ окружений для X. В самом деле, если V — симметричное окружение для X, то отношение (х, y)£VMV означает существование такого (р, q)£M, что (х, р) g V и (q, у) £ V, иначе говоря (поскольку f симметрично), что х£V (р) и y£V{q) или, что то же, (х, у) dV (p) XV (</). По- Поскольку V(p)xV(q) есть окрестность ючки (p,/q) в ХхХ, этим доказано наше первое утверждение. Кроме того, отношения (х, p)£V, (у, q)£V записываются также в виде p£.V(x), q£V(y) или, что то же, (р, q)£V (x)xV (у). Но когда V пробегает 3, мно- множества V {x)xV (у) образуют фундаментальную систему окрест- окрестностей точки (х, у) в ХхХ: действительно, для любых двух окру- окружений U, U' всегда имеется симметричное окружение V с U flU', откуда V(x)xV (у) с U (х) X U' {у). Таким образом, утверждение, что V (x)xV (у) пересекается с М для каждого FgS, равносильно утверждению, что (х, у)£М, откуда и следует формула A). Следствие 1. Пусть А —любое множество иа X и V — любое симметричное окружение для X; тогда V (А) есть окрестность множества А в X и ~A=C\V(A)=r\V(A) B) V 6 <S V 6 11 (tde П — множество всех окружений для X). В самом деле, положив М=А ХА, будем иметь VMV—V (А)х XV (А) для всех F£©, ибо отношение «существует такое р £А, что (х, p)£V» по определению равносильно отношению x£V(A). Последнее утверждение следствия 1 вытекает отсюда в силу пред- предложений 5 и 7 § 4 главы I. V(A) называется окрестностью порядкаУ множества А. Если окружение V для X открыто в XXX, то V(х) открыто в X для каждого х £ X (гл. I, § 4, следствие предложения 4) и, значит, V(A), как объединение всех V(x) (x £ А), открыто в X. Напротив, если окружение V замкнуто в XXX, то V (А) не ибязательно замкнуто в X для каждого множества А из X (упражнение 3). С другой стороны, следует отметить, что множества V(А), где V пробегает все окружения для X, не обязательно образуют фундамен- фундаментальную систему окрестностей множества А в X (упражнение 2),
РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 207 Следствие 2. Внутренности (соотв. аамыкания) в ХхХ окру- окружений для % образуют фундаментальную систему окружений для X. В самом дйле, если V — произвольное окружение для X, то 3 существует такое симметричное окружение W, что W с V; посколь- ку W — окрестность множества W (предложение 2), внутренность множества V в X Х\Х содержит W и служит, таким образом, окру- окружением для X. С другой стороны (предложение 2) имеем WdWc я \ с We: V, так что V содержит замыкание окружения для X. Следствие 3. Всякое равномерное пространство удовлетворяет аксиоме (О,,,). В самом деле, пусть V пробегает множество всех замкнутых в ХхХ окружений для X; в силу следствия 2, тогда множества V (х) для каждого х£Х образуют фундаментальную систему окрестностей х в X, а все V (х) замкнуты в X (гл. I, § 4, след- следствие предложения 4). Предложение 3. Для того чтобы равномерное пространство X было отделимо, необходимо и достаточно, чтобы пересечение всех окружений его равномерной структуры совпадало с диагональю Л произведения ХхХ. Всякое отделимое равномерное пространство регулярно. Последнее утверждение непосредственно вытекает из следствия 3 предложения 2. Как мы видели, замкнутые окружения образуют фундаментальную систему окружений для X (следствие 2 предло- предложения 2); следовательно, если их пересечение совпадает с А, то А замкнуто в ХхХ, т. е. X отделимо (гл. I, ■§ 8, предложение 1). Обратно, если X отделимо, то для каждой точки (х, у), не принад- принадлежащей Л, существует такое окружение V, что у (£F (.г), т. е. (х, у) ^ V; тем самым Д есть пересечение окружений для X. Если равномерное пространство X отделимо, то его равномер- равномерную структуру называют отделимой. Пусть 23 — фундаменталь- фундаментальная система окружений этой структуры; для отделимости X необ- необходимо и достаточно, чтобы пересечение всех множеств из ИЗ совпа- совпадало с Д.
208 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ / ГЛ. IT, § 1 Упражнения 1) Пусть X — бесконечное множество и $? — ультрафильтр в X, пересечение всех множеств которого пусто. Обозначим через Рд для каждого А£% множество А[)(АХА) из Ххк. Показать, что множества Уд, где А пробегает $, образуют фундаментальную си- систему окружений некоторой равномерной структуры 41 (??) в X и что топология, порождаемая этой равномерной структурой, дискретна. / °2) Показать, что на числовой прямой R, Наделенной аддитивной равномерной структурой, окрестности V (Z) иЛюжества Z всех целых рациональных чисел не образуют фундаментальной системы его окрест- окрестностей, когда V пробегает фильтр окружений для R.o [См. § 4, след- следствие предложения 4.] °3) Пусть V — окружение аддитивной равномерной структуры в R, образованное теми парами (х, у), в которых | х — у | < 1 или ху ^ 1. Показать, что V замкнуто в RXR, но V (А), где А — (замкнутое в R) множество всех целых п ^ 2, не замкнуто в R.o 4) Показать, что если равномерное пространство — колмогоров- скоо (гл. I, § 1, упражнение 2), то оно отделимо. *5) а) Пусть X — равномерное пространство и 11 — его равно- равномерная структура; для любого ее окружения V обоапачим через V подмножество произведения §Р(Х)Х§Р(Х), образованное теми парами (М, ./V) множеств из X, для которых одновременно М C.V (N) и NcV(M). Показать, что множества V образуют фун- фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры 4t в $ (X). б) Показать, что в множестве 5р0 (X) всех непустых множеств из X топология, индуцируемая топологией &CU), которую порождает %, мажорирует топологию JT,,, (гл. I, § 2, упражнение 7). в) Показать, что если X содержит хотя бы две различные точки п Ш отделима, то топология, индуцируемая в фв (X) топологией $~(Щ, не может мажорироваться топологией <»Гд. Для того чтобы топология, которую индуцирует <&~CU) в множестве Щ (X) всех непустых замк- замкнутых множеств из X, мажорировала топологию, которую индуцирует с^"п, необходимо и достаточно, чтобы для любого замкнутого множества А из X множества V(А), где V пробегает все окружения из %, образо вывали фундаментальную систему окрестностей для А. °г) Показать, что в фактормножестве XIR, определенном в упраж- упражнении 18 § 11 гл. I, топология $~еп) совпадаете ^Гф (н, значпт, от- лпчна от JTU и фактортопологпн). Показал, что и \пюжостве всех прямых в R2, ирихидящпх чирез 0, <£ГСГО сп.и.иии, чем ^и.о
РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 209 §> 2. Равномерно непрерывные функции 1. Равномерно непрерывные функции \ Определение^. Говорят, что отображение f равномерного пространства X в равномерное пространство X' равномерно непре- непрерывно, если для любого окружения V равномерной структуры пространства X' существует окружение V равномерной структуры пространства X такое, что {х, y)£V влечет (f(x), f(y))£V'. Нагляднее это можно выразить, сказав, что функция / равномерно непрерывна, если ее значения в двух точках сколь угодно близки, как только эти точки достаточно близки. Положим g=fxf\ определение 1 означает тогда, что прообраз -1 g (V) любого окружения V для пространства X' есть окруже- окружение для X. Примеры. 1) Тождественное отображение равномерного пространства на себя равномерно непрерывно. 2) Постоянное отображение равномерного пространства в рав- равномерное пространство равномерно непрерывно. 3) Всякое отображение дискретного равномерного простран- пространства в равномерное пространство равномерно непрерывно. Предложение 1. Всякое равномерно непрерывное отображение непрерывно. Это — непосредственное следствие определений Напротив, непрерывное отображение равномерного пространства X в равномерное пространство X' не обязательно равномерно непре- непрерывно, °как это показывает пример xi—>z3 гомеоморфизма простран- пространства R на себя, не являющегося равномерно непрерывным при наде- наделении R аддитивной равномерной структурой.,, (См. § 4, теорема 2.) Предложение 2. Г Если f: X-* X' и g: X' -*■ X" — равно- равномерно непрерывные отображения, то gof: X-»-X" равномерно непрерывно. 2° Для тлрп чтобы бигкцня f равномерного пространства X на равномерное пространство X' были изоморфизмам, необходимо и
210 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 2 достаточно, чтобы f и обратная ей биекция g бъиф, равномерно непрерывны. i Это непосредственно следует из интерпретации определений 1 в терминах произведения отображений /х/. 2. Сравнение равномерных структур Предложение 2 показывает, что за морфилмы равномерных структур можно принять равномерно непрерывные отображения (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 1); в дальнейшем будет всегда предпо- предполагаться, что сделан этот выбор морфизмов. В соответствии с общими определениями (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 2), это позволяет определить отношение порядка в множестве всех равно- равномерных структур в одном и том же множестве X: Определение 2. Пусть 41\ и Ч1г — равномерные структуры в одном и том же множестве X; мы будем говорить, что 41\ мажо- мажорирует 412 {или что Ч1г минорирует 11^), если тождественное отображение Х1->Х2, где Х{ означает множество X, наделен- наделенное равномерной структурой 11[(i — l, 2), равномерно не- непрерывно. Если Ч1Л мажорирует Ч12 и отлично от 1l2, то будем говорить, что 411 сильнее, чем Ч1г (или что -?/2 слабее, чем Я!х). Две равномерные структуры, из которых одна мажорирует другую, называются сравнимыми. Пример. В упорядоченном множестве всех равномерных ■структур в множестве X дискретная равномерная структу- структура — сильнейшая, а равномерная структура, множество окруже- окружений которой состоит из единственного элемента ХхХ, — сла- слабейшая. Из определения 1 непосредственно следует: Предложение 3. Пусть 41^ и Ч1г — равномерные структуры в множестве X; для того чтобы п1х мажорировала Ч12, необхо- необходимо и достаточно, чтобы всякое окружение uj CU2 было окруже- окружением в 41^.
3 РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 211 Следствий, Пусть Ч)х—равномерная структура в множестве X, мажорирующая равномерную структуру *7/2; тогда и топология, которую порождает 4llt мажорирует топологию, которую по- порождает Я>2- Это сразу следует из сравнения топологий с помощью окрестно- окрестностей (гл. I, § 2, предложение 3). Замечания. 1) Может случиться, что равномерная структура 1/, сильнее равномерной структуры Ч(г, но порождаемые ими топо- топологии совпадают. Это показывает следующий пример. Пусть X— непустое множество; для каждого его конечного разбие- разбиения и> = (А/I ^ i ^ п положим Уш — ^J (Л ,ХЛ,); множества Уш обра- зуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры 'KbXib самом деле, для любого конечного разбиения <о -1 имеем 4cFe и Va о Va = Va = Va (§ 1, n° 1, пример 2); с другой стороны, если <n'=(Bj) и со"=(СА) — конечные разбиения множества X, то те из пересечений В; (] С/,, которые не пусты, образуют раз- разбиение (о множества X, п Vffl с Va, (] Рщ». 41 называется равномер- равномерной структурой конечных разбиений в X. Топология, порождаемая этой равномерной структурой, дискретна, ибо {х} и С {х} для каждого х£Х образуют конечное разбиение множества X. Однако ясно, что если X бесконечно, то % слабее, чем дискретная равномер- равномерная структура. 2) Равномерно непрерывное отображение р.Х-^-Х' остается равномерно непрерывным, если равномерную структуру в X заменить мажорирующей ее равномерной структурой, а равномер- равномерную структуру в X'—минорирующей (предложение 2). Иначе го- говоря, чем сильнее равномерная структура в X и чем слабее равно- равномерная структура в X', тем больше равномерно непрерывных отоб- отображений X в X'. 3. Инициальные равномерные структуугы Предложение 4. Пусть X — множество, (Yt)t6/ — семейство равномерных пространств и /, для каждого i£/ — отображение X в У,; положим g, = /, х ft. Обозначим через ® множество всех подмножеств произведения ХхХ, имеющих вид g,(Vj (i€A
212 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 2 V,— окружение для У,), и пусть 23—множество пересечений U (V, , 7J = 7ч (VJ П • • • П ~ё\п (VJ A) всевозможных конечных наборов множеств из <3. Тогда 33 есть даменталъная система окружений равномерной структуры 11 в X, являющейся инициальной равномерной структурой в X относи- относительно семейства (Д) (Теор. множ., гл. IV, § 2, п°3) и, в частности, слабейшей из равномерных структур в X, при которых все Д рав- равномерно непрерывны. Другими словами, для того чтобы отображе- отображение h какого-либо равномерного пространства Z в X было равно- равномерно непрерывно (когда X наделено равномерной структурой 41), необходимо и достаточно, чтобы каждая из функций f^h была равномерно непрерывна. Ясно, что S3 удовлетворяет аксиомам (Вг) и (Uj); если W,= -1 -1 -1 /-i\ а -1 / а \ = £,(V,), то W, = g, \VJ и W,c #, \VJ, так что 33 удовлетворяет также аксиомам (Un) и (Uiu) и, следовательно, является фунда- фундаментальной системой окружений некоторой равномерной струк- структуры 41, в X. При этом из определения этой структуры.^ и опреде- определения 1 сразу вытекает равномерная непрерывность /, для каждого i £/; следовательно (предложение 2), равномерная не- непрерывность h: Z-+ X влечет равномерную непрерывность ft<>h для всех i£ /. Обратно, пусть ftoh равномерно непрерывно для каждого i £/; рассмотрим множество U (Vl(, . . ., Vln); по предположению при каждом k (I ^Lk^Lri) существует окружение Wk для Z такое, что (г, z')£Wk влечет (Дк (h (г)), fik(h(z')))£Vk; если z и z' близки порядка W, где H'^HWj, то п последних отношений выпол- k няготся одновременно, и тогда (h(z), h (z')) ^ U (Vtl, ..., Vln), чем доказательство и завершается. Следствие. Топология в X, порождаемая слабейшей из равно- равномерных структур, при которых равномерно непрерывны все Д, есть слабейшая из топологий, при которых непрерывны все Д.
4: РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 213 Это непосредственно вытекает из определения окрестностей точки в этой последней топологии (гл. I, § 2, предложение 4). Общие свойства инициальных структур (Теор. множ., гл. IV, § 2, п° 3, критерий CST 10) влекут, в частности, следующее свойство транзитивности: Предложение 5. Пусть X—множество, (Zt)ie/ — семейство равномерных пространств, (Jx)hl — разбиение множества I, (Y\)\zl— семейство множеств, имеющее L своим множеством ин- индексов. Пусть, далее, 1\для каждого X£L — отображение X в Ух, glX для каждого k£L и каждого i ^ J"x — отображение Ух в Z, и ft = g^ о h-^. Наделим каждое из У\ слабейшей из равномерных структур, при которых равномерно непрерывны все g^ (i £ /х); тогда слабейшая из равномерных структур в X, при которых равномерно непрерывны все /„ совпадает со слабейшей из равномер- равномерных структур, при которых равномерно непрерывны все 1\. 4. Прообраз равномерной структуры. Равномерные подпространства Пусть X — множество, У—равномерное пространство и / — отображение X в У; слабейшая равномерная структура 1.1 в X, при которой / равномерно непрерывно, называется прообразом относительно / равномерной структуры пространства У. Из пред- предложения 4 и формул, дающих прообраз пересечения, вытекает, что прообразы относительно g=fxf окружений для У уже сами образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры It. Топология, которую порождает 41, является тогда прообразом относительно / топологии пространства У (следствие предложения 4). Замечание. Если /:X —► У сюръективно, то окружения про- пространства У являются тогда образами при g окружений цространства X. Для того чтобы отображение / равномерного пространства X в рапномерное пространство X' было равномерно непрерывно, не- необходимо и достаточно, чтобы прообраз относительно / равномер- равномерной структуры пространства X' мажорировался равномерной структурой пространства X.
214 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. И, § 2 Пусть А — множество в равномерном пространстве X; равно- равномерной структурой, индуцируемой в А равномерной структурой пространства X, называется прообраз этой последней относитель- относительно канонической инъекции А-+Х; то же самое (см. предложение 4) можно выразить следующим определением: Определение 3. Пусть А — подмножество равномерного про- пространства X. Равномерной структурой, индуцируемой в А равно- равномерной структуры пространства X, называется равномерная структура, множеством окружений которой служит след на А ХА множества окружений для X. Топология, порождаемая в А индуцированной равномерной структурой, совпадает с топологией, индуцируемой в А из X; Л, наделенное индуцированными из X равномерной структурой и топологией, называется равномерным подпространством простран- пространства X. Если А—множество в равномерном пространстве X и /: Х-+Х' — равномерно непрерывное отображение, то сужение f\A есть равномерно непрерывное отображение пространства Л в X'. Если А'сХ' таково, что / (Х)сА', то отображение простран- пространствах в равномерное подпространство Л'пространствах',имеющее тот же график, что и /, также будет равномерно непрерывным (предложение 4). Если ВсАсХ, то равномерное подпространство В пространст- пространства X совпадает с равномерным подпространством В равномерного подпространства А пространства X (транзитивность индуциро- индуцированных равномерных структур; предложение 5). Предложение 6. Пусть А — всюду плотное множество в рав- равномерном пространстве X; замыкания в ХхХ окружений равно- равномерного подпространства А образуют фундаментальную систему окружений пространства X. В самом деле, А ХА плотно в ХхХ (гл. I, § 4, предложение 7). Пусть V — открытое окружение для А, след на АхА открытого окружения U для X; тогда UcV (гл. I, § 1, предложение 5), что, в соединении с VcU, доказывает справедливость предложения, если принять во внимание следствие 2 предложения 2 § 1.
в РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 215 5. Верхняя грань множества равномерных структур Всякое семейство (ЭД,)ц/ равномерных структур в множестве X обладает верхней гранью 11 в упорядоченном множестве всех равно- равномерных структур в X: действительно, достаточно применить пред- предложение 4, обозначив через У, множество X, наделенное равно- равномерной структурой 11„ и через /,— тождественное отображение Х-»-У,; топология, которую порождает 1.1, есть тогда не что иное, как верхняя грань топологий, которые порождают *?/,. Кроме того, из предложения 4 вытекает, что если X Ф 0, то фильтр окружений равномерной структуры % является верхней гранью фильтров окру- окружений И, равномерных структур 1/, (гл. I, § 6, п° 2). Пример. Для каждого конечного разбиения ш= непустого множества X уже одно множество Va = ^J (Л,ХЛ,) образует г фундаментальную систему окружений некоторой равномерной струк- структуры %№ в X (§ 1, п° 1, пример 2); равномерная структура конечных разбиений в X (п° 2, замечание 1) есть верхняя грань равномерных структур 41^. Замечалие. Всякое семейство D1) равномерных структур в X имеет также нижнюю грань в множестве всех равномерных структур в X, а именно, верхнюю грань равномерных структур, мажорируемых всеми 111 (существующих, поскольку множество всех равномерных структур в X обладает наименьшим элементом). Однако (предполагая X ф й) фильтр окружений этой равномерной структуры не обязательно является пересечением фильтров окружений равномерных структур 1Lt, ибо это пересечение может не удовлетворять аксиоме (Um) (упражнение 4). 6. Произведение равномерных пространств Определение 4. Произведением семейства (Xt)ie/ равномерных пространств называют множество X = XI Xlt наделенное слабейшей из равномерных структур, при которых все проекции pry. X->-X, равномерно непрерывны. Эта равномерная структура называется
216 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 2 произведением равномерных структур пространств X,, а равномер- равномерные пространства X,— пространствами-сомножителями. Топология в X, порождаемая произведением равномерных структур пространств Х„ совпадает с произведением топологий пространств X, (следствие предложения 4). Предложение 7. Пусть /=(/,) — отображение равномерного пространства У в произведение X = JJ X, равномерных прост- 16/ ранете Xt. Для того чтобы f было равномерно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы f, было равномерно непрерывно для каждого i £ /. Поскольку /,= рг,о/, это — частный случай предложения 4. Следствие. Пусть (X\si и (У,Хе/ — семейства равномерных пространств с одним и тем же множеством индексов I и ft для каждого i £ / — отображение X, в У,. Если каждое /, равномерно непрерывно, то и их произведение /: (xt) >—* (/, (xt)) равномерно не- непрерывно. Обратно, если X, не пусты и f равномерно непрерывно, то и каждое из /, равномерно непрерывно. В самом деле, / представимо в виде х н-> (/Лрг.я)). так что первое утверждение вытекает из предложения 7. Для доказательства вто- второго рассматриваем точку а = (at) из Ц X, и повторяем рассуж- дения, проведенные при доказательстве следствия 1 предложения 1 § 4 гл. I, с заменой слов «непрерывно в точке а (соотв. а,)» словами «равномерно непрерывно». Общий критерий транзитивности инициальных равномерных структур (предложение 5) показывает, что, как и произведение топологических пространств (гл. 1, § 4, п° 1), произведение ранномерных пространств ассоциативно и обладает следующим свойством: Предложение 8. Пусть X — множество, (Y)ie, — семейство рав- равномерных пространств и Д для каждого i £ / — отображение X в У,.
7 РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 217 Пусть, далее, /—отображение х н-> (/, (х)) множествах в Y = \\Yt is/ и II — слабейшая из равномерных структур в X, при которых равномерно непрерывны все /,. Тогда 11 есть прообраз относительно f равномерной структуры, индуцируемой в f(X) равномерной структурой произведения Y. Следствие. Пусть А, для каждого i£/ — подпространство пространства У,. Равномерная структура, индуцируемая в А ~ — П ^, равномерной структурой произведения Ц У„ есть произ- i€/ is/ ведение равномерных структур подпространств А%. Кроме того, сразу видно, что если Хх и Х2 — равномерные пространства и а1 — произвольная точка из Xlt то отображение х2>—*(а1,х2) есть изоморфизм пространства Х2 на подпростран- подпространство {а1}хХг произведения ХхХХ^- Отсюда: Предложение 9. Пусть f—равномерно непрерывное отображение произведения равномерных пространств ХххХ2 в равномерное пространство У; тогда всякое частичное отображение хг н-*■ f (xx, хг) пространства Хг в У равномерно непрерывно. Это предложение можно выразить еще, сказав, что равномерно непрерывная функция двух аргументов равномерно непрерывна по каждому из них. 0 Пример, приведенный в гл. I, § 4, п° 2, замечание 2, показывает, что обратное предложение неверно. о 7. Проективные пределы равномерных пространств Пусть / — предупорядоченное множество с отношением пред- порядка а^Р- Пусть, далее, Х„ для каждогоа£/ — равномерное пространство и /а? для каждой парна, {J такой, чтоа^Р, — ото- отображение Хр в Х„. Будем называть (Хл, /ар) проективной систе- системой равномерных пространств, если: 1°(Ха, /а?) есть проективная
218 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 2 система множеств (см. п° 1 Приложения к гл. I); 2° все fa^ равно- равномерно непрерывны. Слабейшая из равномерных структур в Х*= = lira Ха, при которых равномерно непрерывны все канонические ото- отображения /„: Х—>ХЛ, называется проективным пределом (относи- (относительно отображений /а?) равномерных структур пространств Ха, а множество X, наделенное этой равномерной структурой, — проек- проективным пределом проективной системы равномерных пространств (Ха, /0?). Все свойства проективных пределов топологических про- пространств, установленные в п° 4 § 4 гл. I (за исключением пред- предложения 9), остаются в силе, если «топологию» заменить «равно- «равномерной структурой», а «непрерывное отображение» — «равномерно непрерывным отображением»; кроме того, справедливо Предложение 10. Пусть I — фильтрующееся предупорядочен- ное множество, (Х„, /ар) — проективная система равномерных про- пространств, имеющая I своим множеством индексов, и J — кофиналь- кофинальная часть I. Пусть, далее, /„ для каждого а £ / — каноническое ото- отображение пространства X = lim Х„ в X, и ga — faX/«■ Семейство — 1 множеств ga(VJ, где а пробегает J, a Va при каждом a£J про- пробегает фундаментальную систему окружений для Ха, есть фунда- фундаментальная система окружений для X. Мы предоставляем читателю доказательство, являющееся оче- очевидной перефразировкой доказательства предложения 9 § 4 гл. I. Отметим, наконец, что топология в X = lim Xa, порожденная равномерной структурой, являющейся проективным пределом равномерных структур пространств Х„, совпадает с проективным пределом топологий этих пространств. Упражнения °1) На числовой прямой R (наделенной аддитивной равномерной структурой) функция \х\ равномерно непрерывна; функция 1/х равно- равномерно непрерывна на всяком интервале [а, +оо|, где а > 0; она непре- непрерывна, но не равномерно непрерывна на интервале ]0, +оо[.0 2) Показать, что топологии в Z, порождаемые р-адическими структурами, соответствующими двум различным простым .числам, несравнимы.
УПРАЖНЕНИЯ 219 3) Ilycib Si и 52 — два различных нетривиальных ультрафильтра в бесконечном множестве X; показать, что равномерные структуры % (ivj) и <И C"г) (§ 1, упражнение 1) несравнимы и что их верхней гранью служит дискретная равномерная структура; какова их ниж- нижняя грань? Вывести отсюда, что множество всех отделимых равно- равномерных структур в X равномощно с S[5 (ty {X)). [См. гл. I, § 8, упраж- упражнение 6а.] 4) а) Пусть Ц и Ц' — фильтры окружений двух равномерных структур в одном и том же непустом множестве X; для того чтобы пересечение фильтров U и U' было фильтром окружений некоторой равномерной структуры в X, необходимо и достаточно, чтобы для любых FgU и V'gU' существовали W£\\ и W £U' такие, что WW'c CV U V. б) Дать пример двух фильтров окружений \\а и Цш,, определен- определенных каждый посредством некоторого конечного разбиения множества X (п° 5, пример), которые не удовлетворяли бы условию а). 5) Пусть (X,)t е1 — семейство равномерных пространств и с — бесконечное кардинальное число. Сопоставим каждому семейству (У\йИ, где Card (Я) < с и У, при любом 1£Я есть окружение для X,, множество U((V)) тех пар (х, у) точек из X = JJXt, для которых is/ (prt х, pr,j/)£F, при каждом 1£Я. Показать, что множества U ((F,)) образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномер- равномерной структуры в X; топология, порождаемая этой равномерной струк- структурой, совпадает с топологией, определенной в упражнении 9 § 4 гл. I. 6) Пусть X — равномерное пространство, 11 — его равномерная структура и % — соответствующая равномерная структура в S[50 (X) (§ 1, упражнение 5). а) Показать, что отображение я1—>{я} есть изоморфизм равпо- мерного пространства X на некоторое подпространство равномерного пространства $0 (X). б) Показать, что равномерная структура, которую 41 индуцирует в множестве $ (X) всех непустых замкнутых множеств из X, отделима и что Ч есть прообраз относительно отображения М \—> М струк- структуры, которую *U индуцирует в S'(X). в) Показать, что отображение {М, N) н-> М {] N произведения §р0 (Х)Х$Р„ (X) в 5J?0 (X) равномерно непрерывно. г) Пусть Y — еще одно равномерное пространство. Показать, что если /: X -► У — равномерно непрерывное отображение, то отображение М и-> / (М) пространства S[50 (X) в ф 0{Y) равномерно непрерывно. д) Пусть 33 — компактное подмножество множества 8 (X) всех пепустых замкнутых множеств из X, наделенное топологией, индуци- индуцированной топологией <^ГСЙ), которую 11 порождаете Ъ (X). Показать, что множество 11 М замкнуто n .Y.
220 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 3 § 3. Полные пространства 1. Фильтры Кота В множестве X, наделенном равномерной структурой, можно определить то, что понимают под «малым» (относительно данной структуры) подмножеством: это — такое множество, все точки которого «очень близки» друг к другу. Точнее это означает следующее: Определение 1. Пусть X — равномерное пространство и V— некоторое окружение его равномерной структуры; если любые две точки из АсХ близки порядка V (или, что равносильно этому, AxAcV), то говорят, что множество А мало порядка V. Предложение 1. Если в равномерном пространстве X множе- множества А и В малы порядка V и пересекаются, то их объединение А\]В г мало порядка V. В самом деле, пусть х и у — любые две точки из A U В и z — точка из А П В; так как, по предположению, (х, z) £ V и (г, у) £ V, 2 то (х, у) € V. Определение 2. Фильтр $ в равномерном пространстве X на- называется фильтром Коши, если для любого окружения V равномер- равномерной структуры пространства X существует множество, малое по- порядка V и принадлежащее $. И здесь можно придать речи большую наглядность, используя выражения «достаточно малое множество» и «сколь угодно малое множество»; например, определение 2 можно также выразить, сказав, что фильтр Коши — это фильтр, содержащий сколь угодно малые мно- множества. Бесконечная последовательность (ип) точек равномерного про- пространства X называется последовательностью Коши, если ассоции- ассоциированный с ней элементарный фильтр есть фильтр Коши. Другими словами, для любого окружения V пространства X существует такое п0, .что (ит, un)£V, каковы бы ни были т^п0 и
1 ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 221 Предложение 2. В равномерном пространстве X всякий схо- сходящийся фильтр есть фильтр Коши. В самом деле, для каждой точки х £ X и каждого симметричного окружения V равномерной структуры пространства X окрестность 2 V (х) точки х мала порядка V; если g—фильтр, сходящийся к х, то в нем существует множество, содержащееся в V (х) и, значит, 2 малое порядка V. Ясно, что всякий фильтр, мажорирующий фильтр Коши, также есть фильтр Коти. Предложение 3. Пусть /: Х-+Х' — равномерно непрерывное отображение. Образ при f базиса фильтра Коши из X есть базис фильтра Коши в X'. В самом деле, пусть g—fxf; если V — окружение для X', то —1 g (V) — окружение для X, и образ при / множества, малого поряд- -1 ка g(V), есть множество, малое порядка V, чем предложение и доказано. В частности, отсюда следует, что если заменить равномерную структуру равномерного пространства X мажорируемой ею равно- равномерной структурой, то всякий фильтр, являвшийся фильтром Ко- Коти при исходной равномерной структуре, останется фильтром Ко- Коши и при новой равномерной структуре. Этот факт удобно запомнить в следующей форме: чем равномерная структура сильнее, тем меньше фильтров Коши. Предложение 4. Пусть X—множество, (YXei — семейство равномерных пространств и /, для каждого i £ / — отображение X в У,. Наделим X слабейшей равномерной структурой 41, при кото- которой все /, равномерно непрерывны. Для того чтобы базис фильтра 33 в X был базисом фильтра Коши, необходимо и достаточно, чтобы /, B3) было базисом фильтра Коши в У, для каждого i £ /. Условие необходимо в силу предложения 3. Обратно, предполо- предположим, что оно выполнено, и пусть U{V4, . .., V^J — окружение
222 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. П, § 3 равномерной структуры 41 (§ 2, п° 3, формула A)). По предположе- предположению, для каждого индекса к A ^ к ^ п) существует множество Mk £ S3 такое, что Дк (Мк) мало порядка У^; пусть М — множество из 93, содержащееся во всех Мк A ^ к ^ п); тогда для любой пары точек х, х' из М будем иметь (flk (x), f4c (х')) £ Уц A ^ /с ^ ге) и, следова- следовательно, (х, х')£ U (Уч, ... ,Vin), чем предложение доказано. Следствие 1. .Если фильтр Коши в равномерном пространстве X индуцирует фильтр в множестве АсХ, то этот последний есть фильтр Коши в равномерном подпространстве А. Следствие 2. Для того чтобы базис фильтра 93 в произведении равномерных пространств JJ X, был базисом фильтра Коши, не- обходимо и достаточно, чтобы рг, (93) было базисом фильтра Коши в Xt для каждого i£I. 2. Минимальные фильтры Еоши Минимальные (по включению) элементы множества всех фильт- фильтров Кощи в равномерном пространстве X называются минималь- минимальными фильтрами Коши в X. Предложение 5. Пусть X — равномерное пространство. Для каждого фильтра Коши $ в X существует, и притом единствен- единственный, минимальный фильтр Коши £у0, мажорируемый фильтром gf; пусть 23 — базис фильтра ^ и © — фундаментальная система ок- окружений для X; тогда множестваУ (М) (М£23, V£3) образуют базис фильтра £у0. Пусть М vi M'— любые множества из 93, а У и У— из S; тогда в 93 (соотв. в©) существуетМ" (соотв. V") такое, что M"cMf| M' (соотв. V'cVftV), откуда У" (M")cF (М) ПУ' (М'); таким обра- образом, множества У (М) (М 6 93, У 6 ©) действительно образуют базис некоторого фильтра $0 в X. При этом, если Ммало порядка У, то 3 У (М) мало порядка У, так что £у0 есть фильтр Коши в X, очевидно, мажорируемый фильтром ^. Для завершения доказательства достаточно установить, что всякий фильтр Коши ®, мажорируе- мажорируемый фильтром $, мажорирует $0. Но действительно, пусть
* ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 223 aFfe; существует множество N £C, которое мало порядка V; так как N £$, то N пересекается с М; следовательно, N с V (М) и, значит, V Следствие 1. Фильтр 93 {х) окрестностей любой точки х£Х есть минимальный фильтр Коши. Достаточно в качестве £у в предложении 5 взять фильтр всех множеств из X, содержащих а:, а в качестве 93 — множество, со- состоящее из одного элемента {х}. Следствие 2. Всякая точка прикосновения фильтра Коши $ является его пределом. В самом деле, существует фильтр &, мажорирующий £у и 93 (я) (гл. I, § 7, предложение 4); поскольку $ —фильтр Коши, & — также фильтр Коши. Пусть ^0 — единственный минимальный фильтр Коши, мажорируемый фильтром $; тогда £у0 и 93 {х) оба — минимальные фильтры Коши, мажорируемые фильтром®, так что £уо = Я> (х), чем и доказана сходимость $ к х. Следствие 3. Всякий фильтр Коши, мажорируемый фильтром, сходящимся к точке х, также сходится к х. Вытекает из следствия 2. Следствие 4. Если ^ — минимальный фильтр Коши, то всякое множество из $ имеет непустую внутренность, и она принадле- принадлежит $ (другими словами, существует базис фильтра £у, состоящий из открытых множеств). В самом деле, для каждого окружения V равномерной структу- структуры пространства X существует открытое окружение UcV (§ 1, следствие 2 предложения 2), а тогда V (М)для каждого М с X от- открыто и содержится в V{М), и остается применить предложение 5. 3. Полные пространства Фильтр Коши в равномерном пространстве X не обязательно имеет предел. Примеры. 1) Рассмотрим на рациональной прямой Q иоследо- вательаость (ип), где »п= 2 2" р-о
224 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. П, ?3 если т > п, то \ит—ц„|<2 , A) так что (ип) есть последовательность Коши. Однако эта последователь- последовательность не имеет предела в Q: действительно, если бы рациональное число у было ее пределом, то в силу A) при любом п мы имели бы \а/1, ^ /2" t™+l)/21 ^ 1/2"'" + 3)/а т. е. где й„ — целое число (зависящее от п); но так как левая часть этого неравенства есть целое число ири любом п, то она равнялась бы нулю при всех целых п, превышающих целое п0, для которого Ь<2"о, и мы имели бы тогда а/Ь=ип для всех п>п0, что абсурдно. 2) Пусть X — бесконечное множество; рассмотрим в X равномер- равномерную структуру конечных разбиений (§ 2, п° 2, замечание 1); всякий ультрафильтр % в X есть фильтр Коши для этой равномерной струк- структуры. В самом деле, пусть (Л,) —конечное разбиение множества X и V = \\(А,-ХА/)—соответствующее окружение; тогда одно из мно- жеств Л,- принадлежит % (гл. I, § 6, следствие предложения 5), а оно мало порядка V. Но, с другой стороны, X — бесконечное дискретное пространство и, значит, не компактно; следовательно, в X существуют несходящиеся ультрафильтры. Определение 3. Полным пространством называют равномерное пространство, в котором всякий фильтр Коши сходится. Таким образом, в полном пространстве всякая последовательность Коши (п° 1) сходится. Пример. В дискретном равномерном пространстве X всякий фильтр Коши, будучи тривиальным ультрафильтром (гл. I, § 6, п° 4), сходится и, следовательно, X полно. Из определений 2 и 3 и предложения 2 сразу вытекает следую- следующее предложение, известное под названием критерия Коши: Предложение 6. Пусть $—фильтр в множестве X и f — отображение X в полное равномерное пространство Х'\ для того чтобы / имело предел по $, необходимо и достаточно, чтобы образ фильтра $ при f был базисом фильтра Коши.
ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 225 Отсюда понятен интерес, который представляют полные про- пространства во всех вопросах, в которых участвует понятие предела: если функция принимает значения в полном пространстве, то можно доказать существование предела, не зная заранее значения этого пре- предела, что было бы невозможно, если бы в качестве критерия сходи- сходимости в нашем распоряжении имелось только определение предела. Равномерная структура, мажорирующая равномерную струк- структуру полного пространства, не обязательно является равномерной структурой полного пространства (упражнение 2); однако спра- справедливо следующее предложение: Предложение 7. Пусть IIх и Ч1г—равномерные структуры в множестве X, а£Г-^ и <&~2 — порождаемые ими топологии. Предпо- Предположим, что "Vj мажорирует Ч'2 и что, кроме того, существует фундаментальная система окружений для 11 г, замкнутых в X XX, .наделенном произведением топологии $"% на себя. Тогда для того чтобы фильтр % в X сходился в топологии $~и необходимо и доста- достаточно, чтобы он бил фильтром Коши относительно 41\, сходя- сходящимся в топологии об- обусловил, очевидно, необходимы, поскольку $'1 мажорирует <^"г; докажем их достаточность. Пусть х—предел фильтра $ в топо- топологии оГ2> покажем, что х есть предел £у в топологии аГу. Дейст- Действительно, пусть V—симметричное окружение из 11 и замкнутое в произведении £Гг на себя. По предположению $ содержит мно- множество М, малое порядка V, так что М с V(x') для каждого х' £ М. Но V(x') замкнуто в топологии <&~2 и, значит, х, будучи точкой прикосновения к М в этой топологии, принадлежит V{x'). Следова- 2 тельно, McV(x), и предложение доказано. Следствие. Пусть выполнены условия предложения 7. Если при этом 'Уг — равномерная структура полного пространства, то это верно и для 41 v В самом деле, всякий фильтр Коши относительно 41^ будет тогда фильтром Коши относительно Я1г и, значит, по предположению, будет сходиться в топологии $"%. Отметим, что условия предложения 7 выполняются, когда оГ, = оГ.2 (§ 1, следствие 2 предложения 2). в Н.
226 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 3 4. Подпространства полных пространств Предложение 8. Всякое замкнутое подпространство полного пространства полно; всякое полное подпространство отделимого равномерного пространства (полного или нет) замкнуто. В самом деле, пусть X— полное пространство и А — его зам- замкнутое подпространство. Всякий фильтр Коши $ в А является базисом фильтра Коши в X (предложение 3) и, значит, сходится к некоторой точке х £ X; но так как А замкнуто, то х £ А, чем и до- доказана сходимость J B подпространстве А. Пусть теперь А—незамкнутое множество в отделимом равно- равномерном пространстве X и b£A —А; след 33Д на А фильтра 33 ок- окрестностей точки b в X есть фильтр Коши в А; но он не может схо- сходиться к точке с £ А, ибо тогда и 93 сходился бы к с (следствие 3 предложения 5), что невозможно, поскольку Ьфс, & X отделимо. Предложение 9. Пусть X — равномерное пространство и А —всюду плотное множество в X такое, что всякий базис фильтра Коши в А сходится в X; тогда X полно. Достаточно доказать, что всякий минимальный фильтр Коши ^ в X сходится. Так как А всюду плотно и всякое множество из g? имеет непустую внутренность (следствие 4 предложения 5), то след $А фильтра ^ на А есть фильтр Коши в Л и, значит, сходится к некоторой точке х0 £ X; а так как $ мажорируется фильтром в X, порождаемым базисом фильтра $А, то заключаем, что и $ сходится к х0 (следствие 3 предложения 5). 5. Произведения и проективные пределы полных пространств Предложение 10. Всякое произведение полных равномерных пространств полно. Обратно, если произведение непустых равно- равномерных пространств полно, то и все пространства-сомножители полны. Первое утверждение вытекает из характеризаций фильтров Коши и сходящихся фильтров в произведении пространств (след-
В ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 227 ствие 2 предложения 4 и гл. I, § 7, следствие 1 предложения 10). Обратно, предположим, что X = HXt (где все Xt не пусты) полно, и пусть $„ — фильтр Коши в Х%; для каждого уфу. возьмем какой-нибудь фильтр Коши ^, в X, и рассмотрим фильтр % = Ц $, в X (гл. I, § 6, п° 7); ^ есть фильтр Коши (следствие 2 предложе- предложения 4) и, значит, сходится; следовательно, то же верно и для Рг*$ —Зч (гл- 1> § 7, следствие 1 предложения 10). Следствие. Пусть (Хл, /а?)—проективная система равномерных пространств. Если все ХЛ отделимы и полны, то это верно и для В самом деле, как мы знаем, X отделимо и отождествимо с замкнутым подпространством произведения JJ ХЛ (гл. I, § 8, а следствие 2 предложения 7); поэтому следствие вытекает из пред^ ложений 10 и 8. Проективный предел полных отделимых равномерных про- пространств Ха может быть пустым, даже когда все Ха не пусты и f^ сюръективны; это верно уже в случае дискретных пространств (Теор. множ., гл. III, § 1, упражнение 32). Однако справедлива следующая теорема: Теорема 1 (Миттаг-Леффлер). Пусть (Х„, /,?) — проективная система полных отделимых равномерных пространств с фильтрую- фильтрующимся предупорядоченным множеством индексов I, содержащим счетное кофинальное подмножество; предположим, кроме того, что ХЛ обладает при любом а £ / счетной фундаментальной системой окружений*). Наконец, предположим, что для каждого а £ I сущест- существует р^а, удовлетворяющее следующему условию: (МЬа?) Множество /n (XJ плотно в /а? (Хр) для всякого Ys^P- Если тогда X = lim ХЛ и /а—каноническое отображение X—*Ха, то для каждого а£/ и каждого Р^а, удовлетворяющего условию *) °Это условие означает, что отделимое равномерное пространство метризуемо; см. гл. IX, 2-е изд., § 2, теорема 1..
228 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 3 (MLa?), /„ (X) плотно в fa?(X?) (и, следовательно, X не пусто, если все Х„ не пусты). Пусть (кп) — последовательность индексов, кофинальная /. Начав с какого-либо а0 6/, определим по индукции возрастающую последовательность (<х„) так, чтобы ап ^ Кп и были выполнены усло- условия (MLanCtH+1); очевидно, последовательность (а„) кофинальна /. Будем вместо famfXn, где нг<гс, писать fmn и положим /„, я+1 (Хап+1)= =У„. Тогда fmn (У„) плотно в Yт для любых т ^ ге: действительно, по определению, /e,e+1(X«ll+1) плотно в /я,,я,+1(Хам+1) = Уи, й остается заметить, что /., „+1 (Хап+1) = fmn (/„, „+1 (Х«|1+1)) = fmn (У„). Индукцией по п и к можно определить для каждого п такую фундаментальную систему (Vknhen замкнутых симметричных окружений пространства Ха„, что B) C) Действительно, пусть (Ukn)ken — фундаментальная система ок- окружений для Хап. Предполагая, что Vkn определены для заданного п и всех /f£N, можно в силу равномерной непрерывности /л,л+1 определить индукцией по к окружение Vkt n+1 так, чтобы выполня- 2 • лось C) и чтобы, кроме того, Vk+lt n+1<=Vkt П+1П t/ft+llB+1, чем наше утверждение и доказано. Пусть теперь xo£Yo. Докажем, что для каждого целого /с>0 существует такое z£X, что (х0, fau(z))^k-i,o> чш теорема будет доказана. Поскольку /„, п+1 (Уп+1) плотно в Ул, можно по индукции определить последовательность точек хп£У„ так, чтобы в силу C) отсюда будет следовать, что для всех (fmn(xn)' 1т, n + 1 (xn + v) € V к+п> т. E) Это показывает, что при фиксированном т последовательность (fmn (хп))п > т есть последовательность Коши в Х^ и тем самым сходится к некоторой точке ъю\ действительно, из E) по индукции
& ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . 229 вытекает, что (fmp(xp)f fm,p+q \xp + q)) €^*+р + ?--1. m°^k+p + q-2, m°---°"*+p, m (") для любой пары целых чисел р^т, д>0, а из B) ясно, что правая часть соотношения F) содержится в Vk+p_lt m; беря здесь, в частно- частности, т = р = 0 и устремляя q к бесконечности, получаем, что (х0, z0) £ 7ft_b 0, ибо Vk_lt 0 замкнуто. С другой стороны, из соотно- соотношений zm = lim fmn (хп) и непрерывности /m, m+1 вытекает, что /m, m + 1 Bm + l) = Zm ДЛЯ ВСЯКОГО Ш ^ 0. Но ДЛЯ КажДОГО V € ^ ИМввТСЯ по крайней мере одно целое п такое, что а„ ^ у; положим zv = = /у, а„ B„); легко видеть, что z7 не зависит от значения п, при которомan 2>v> и чт0 так определенное семейство z = (za)aeI есть точка из X = lim Xa; этим доказательство завершается, поскольку /а. B) = 20. Следствие 1. Пусть (Xa,fa?) — проективная система множеств с фильтрующимся множеством индексов I, обладающим счетным ко- кофинальным подмножеством, и пусть все /„, сюръективны; тогда каноническое отображение /а: Х—*-Ха, где X = lim ХЛ, сюръективно для каждого а £ /. В самом деле, достаточно наделить каждое Ха дискретной рав- равномерной структурой. Следствие 2. Пусть I — фильтрующееся предупорядоченное множество, обладающее счетным кофинальным подмножеством, (Х*< /«?) и (^<х. /ар) — проективные системы множеств относи- относительно I и для каждого а£/ задано отображение wa: ХЛ-^>-Ха , причем иЛ образуют проективную систему отображений; положим и = ИтиЛ . Пусть х'=(ха)—элемент из X' = limXa, удовлетво- удовлетворяющий следующему условию: для каждого а £ / существует такое -I -1 Р^а, что fay (Uy ( x )) = /ар (up ( x')) для всех V ^ Р; тогда сущест- существует х£Х = limXa, для которого и(х)=х . Достаточно применить теорему 1 к проективной системе мно- -I , жеств Ца.(х'а), .наделенных дискретной равномерной структурой (см.гл. I, Приложение, предложение 1).
230 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 3 "Пример. Пусть в С даны: 1° последовательность (а„) попарно различных точек, модули |я„| которых образуют возрастающую по- последовательность, стремящуюся к + оо; 2° для каждого п рациональная функция z \—*Rn (z), определенная на С—{а„} и имеющая полюс в точке а„; 3° возрастающая последовательность (Вп) открытых шаров с центром в точке 0, объединение которых есть С, а границы не содер- содержат ни одной из точек а^. Обозначим через Вп для каждого п пересе- пересечение Вп с дополнением в С множества всех а/,; пусть Х„ — множество отображений z н-э- S (z) = Р (z) + 2 -Я» (z) множества #п в С, где i3—сужения на Вп всевозможных функций, непрерывных на Вп и голо- голоморфных в Вп. Определим в Х„ расстояние формулой dn (Slt 52) = «= sup \S1 (z) — 52 (z) |. Легко видеть, что при этом расстоянии Хп полно. в' Обозначим, наконец, для каждого п < т через }пт отображение Хт в Хп, относящее отображению S£Xm ого сужение на Вп; очевидно, все fnm равномерно непрерывны и (Хп, fnm) есть проективная система равномерных пространств. Ясно, что тогда всякий элемент проектив- проективного предела X = limXn канонически отождествим с мероморфной функцией F на С, для которой единственными полюсами служат точки а„, а разность F(z)—Rn(z) для каждого п голоморфна в точке ап. Классическая теорема Миттаг-Леффлера утверждает, что X не пусто; для ее доказательства достаточно, в силу теоремы 1, проверить усло- условие (MLnn + 1) для всех я+1. Пусть Sn+1 = Pn + 1+ V Rk — элемент пространства Хп+1, так что функция Рп + 1 непрерывна на В„+1 и голо- голоморфна в Вп+1; .пусть Qmn для каждого m > га —сужение на В„ суммы 2 R/i< эта последняя голоморфна в некоторой окрестности аиеВт-вп+1 шара Вп и, значит (благодаря ее разложимости п ряд Тэйлора), для каж- каждого е > 0 существует полином Ртп такой, что | /\1+1 (z) — Qmn (z) — — Ртп (г)|<е для всех z£Bn; обозначая через Sm сужение функции Ртп+ 2 Rh на в'т, HMeeM5mgXm и|5т(г)-5в+1(г)|<едлявсвх акТЪт z£Bn, что и завершает доказательство.о в. Продолжение равномерно непрерывных функций Теорему о продолжении по непрерывности (гл. I, § 8, теорема 1) можно существенно дополнить, когда речь идет о функциях, при- принимающих значения из полного отделимого равномерного прост- пространства. Предложении 11. Пусть А — всюду плотное множество в то- топологическом пространстве X и f—его отображение в полное
в ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 231 отделимое равномерное пространство X'. Для того чтобы f могло быть продолжено по непрерывности на X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого х£Х образ при f следа на А фильтра окрест,' ностей точки х в X был базисом фильтра Коши в X'. Это вытекает из упомянутой выше теоремы о продолжении по непрерывности, поскольку X' регулярно (§ 1, предложение 3), а сходящиеся фильтры в X' совпадают с фильтрами Коши. Если X само — равномерное пространство, то справедлива еще следующая теорема: Теорема 2. Пусть f — функция, определенная на всюду плот- плотном подпространстве А равномерного пространства X, принимаю- принимающая значения в полном отделимом равномерном пространстве X' и равномерно непрерывная на А. Тогда f может быть продолжена по непрерывности на все X, причем продолженная функция / равно- равномерно непрерывна. Существование / есть непосредственное следствие предложений 3 и И. Покажем, что / равномерно непрерывна. Пусть V— замк- замкнутое симметричное окружение для X' и V — такое окружение для X, что для любых точек х и у из А, близких порядка V, f(x) и f(y) близки порядка V. Можно считать, что V есть замыкание в XXX некоторого окружения W для А (§ 2, предложение 6). Имеем (f(x), f(y))£V Для всех (я. y)£W, а так как /X/ непрерывно на X XX (гл.1, § 4, предложение 1), то, в силу замкнутости V, (f{x), f(y)) £ V также для всех (х, у) £V=W (гл. I, § 2, теорема 1), и теорема до- доказана. Следствие. Пусть XL и Х2— полные отделимые равномерные пространства, a Yt и Y2— их всюду плотные подпространства. Тогда всякий изоморфизм f пространства Yt на У2 продолжается до изоморфизма Хх на Х.г. В самом деле, /равномернонепрерывно на Уг и, следовательно (теорема 2), продолжается до равномерно непрерывного отображе- отображения f\ Х1-^-Х2; точно так же обратное к / отображение g продолжа- продолжается до равномерно непрерывного отображения g: Xl-J>-X2. Тогда go f ость непрерывное отображение Xt в себя, совпадающее на Yx с тождественным отображением; следовательно, в силу принципа
232 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. П. § 3 продолжения тождеств (гл. I, § 8, следствие 1 предложения 2) go f есть тождественное отображение Xt на себя; таким же образом fog есть тождественное отображение Х2 на себя. Следовательно (Теор. множ., Сводка результ., § 2, п° 12), / и g—взаимно обратные би- екции; а тогда, будучи равномерно непрерывными, они — изо- изоморфизмы (§ 2, предложение 2). Заметим, что продолжение по непрерывности / биективного рав- равномерно непрерывного отображения / подпространства Yt на Y% не обязательно инъективно или сюръективно (упражнение 3). 7. Пополнение равномерного пространства Теорема 3. Пусть X — равномерное пространство. Сущест- Существуют полное отделимое равномерное пространство X и равномерно непрерывное отображение i: Х->Х, обладающие следующим свой- свойством: (Р) Для любого равномерно непрерывного отображения f про- пространства X в полное отделимое равномерное пространство Y существует, и притом единственное, равномерно непрерывное ото- •бражение g: X->Y такое, что f=g°i. Если (ij, Xx) — вторая пара, состоящая из полного отделимого равномерного пространства Xt и равномерно непрерывного отобра- отображения £х: Х->Х,, обладающая свойством (Р), то существует, и при- притом единственный, изоморфизм (р: Х-^Х^ такой, что ix = <$oi. Первое утверждение теоремы означает еще, что пара (£, X) есть решение проблемы универсального отображения (Теор. множ., гл. IV, § 3, п° 1), в которой за Е-множества приняты все полные отделимые равномерные пространства, за о-морфизмы — все рав- равномерно непрерывные отображения и за а-отображения — все равномерно непрерывные отображения пространства X в полные отделимые равномерные пространства. Единственность, с точно- точностью до изоморфизма, пары (i, X) вытекает поэтому из общих свойств решений проблем универсального отображения (там же). Остается доказать существование пары (£, X). 1) Определение пространства X. Пусть X—множество всех 'минимальных фильтров Коши (п° 2) в X. Наделим X равномерной структурой. С этой целью для каждого симметричного окружения
? ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 233 V равномерной структуры пространства X обозначим через V множество всех пар C6, §}) минимальных фильтров Коши, имею- имеющих общее множество, малое порядка V. Покажем, что множества V образуют фундаментальную систему окружений некоторой равно- равномерной структуры в X. Действительно: . 1° Так как всякое X. £ X есть фильтр Коши, то согласно опреде- определению C6, £)£V для каждого симметричного окружения V равно- равномерной структуры пространства X, так что (Uj) выполнено. 2° Если V и V — симметричные окружения равномерной струк- структуры пространства X, то также W=V flV — симметричное окружение, и всякое множество, малое порядка W, мало также порядка V и порядка V; следовательно, WcVfir, чем дока- доказано (В,). 3° Множества V симметричны по определению и, значит, (Un) выполнено. 4° Пусть V — произвольное симметричное окружение равно- равномерной структуры пространства X и W—симметричное окруже- 2 ние, для которого WcV. Рассмотрим три минимальных фильтра Коши 36, Щ и 3 таких, что (Ж, §}) £ W и ф, Q) £ W; тогда сущест- существуют множества М, N, малые порядка W и такие, что .М^ЗСпЦК ■^€?)ПЗ- Так как М и N принадлежат §), то M{\N не пусто, и потому (предложение 1) M\]N мало порядка WczV; а так как М U N принадлежит Ж и В, то WcV. Таким образом, выполнено и (U'm). Покажем, далее, что равномерное пространство X отделимо.' Действительно, пусть Л* и Щ — минимальные фильтры Коши в X такие, что C6, Щ) £ V для каждого симметричного окружения V равномерной структуры пространства X. Очевидно, множества М U ^, где М б 36 и N £ Щ, образуют базис фильтра 3. мажорируе- мажорируемого фильтрами 36 и j}J. Но 3 есть фильтр Коши, ибо по предпо- предположению для любого симметричного окружения V равномерной структуры пространства X имеется множество Р, малое порядка V, принадлежащее одновременно 36 и §}, откуда /*€■$■' По опреде- определению минимальных фильтров Коши, тогда £ = 3 — ty, чем отде- отделимость X доказана.
234 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 3 2) Определение £; равномерная структура пространства X есть прообраз относительно i равномерной структуры простран- пространства X. Как мы знаем, фильтр окрестностей 93 (х) каждой точки х в X есть минимальный фильтр Коши (следствие 1 предложения 5); Y1 -1 _ -1 3 положим i (х) = S3 (х). Пусть j = ixi; покажем, что / (V)czVc:j ((V)) для любого симметричного окружения V равномерной структуры пространства X, чем наше утверждение и будет доказано (§ 2, п° 4). Но если (£ (x), i (у)) £^, то имеется множество М, малое по- порядка V, являющееся окрестностью и точки х, и точки у, так что (х, y)GV. Обратно, если (х, y)£V, то, очевидно, множество V(x)\J 3 U V(y) мало порядка V и является окрестностью и х, и у. 3) X полно и i(X) плотно в X. Найдем след на i(X) окрестно- окрестности V C6) точки 26 £Х; это—множество тех £ (X), для которых C6, £ (x)) £ V. Последнее означает, что существует малая порядка V окрестность точки ibX, принадлежащая 36, или еще что х содер- содержится внутри некоторого малого порядка V множества из X.. Пусть MczX есть объединение внутренностей всех малых порядка V множеств из 36; М принадлежит Ж (следствие 4 предложения 5), и из предыдущего следует, что V C6) П i (X) = i(M); отсюда заклю- заключаем, что: 1° FC6) П ЦХ) не пусто и, значит, £(Х) плотно в X; 2° след на i(X) множества V(£) принадлежит базису фильтра fC6) в X и, следовательно, этот базис фильтра сходится в X к точке 36. Пусть теперь $ — фильтр Коши в £(Х); по пункту 2) и предло- -1 жению 4, £(££) есть базис некоторого фильтра Коши © в X; пусть 36 — минимальный фильтр Коши, мажорируемый фильтром @ (предложение 5); тогда £C6) есть базис фильтра Коши в £(Х) (пред- -1 ложение 3) и ^ = £ (£ (££)) мажорирует фильтр с базисом £C6). Так как последний сходится в X, то то же верно для ££, и предложение9 показывает тогда, что X полно. 4) Проверка свойства (Р). Пусть /—равЕюмерно непрерывное отображение пространства X в полное отделимое равномерное про-
7 ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 235 странство У. Докажем сначала существование и единственность равномерно непрерывного отображения g0: i(X)-*-Y, для которого f—ga°i- Действительно, поскольку / непрерывно, необходимо f(x)=lim f(%(x)), так что, положив g0 (i(x))=lim /(S3 (х)), будем иметь f=go°i; все сводится к установлению равномерной непре- непрерывности g0 на i(X). Пусть U — окружение для У и V—такое сим- симметричное окружение для X, что (х, х') £V влечет {f(x), /(#'))€ U; в пункте 2) мы видели, что (i(x), i(x')) £ V влечет (х, х') £ V, а значит, также (go(i(x)), go(i(x'))) € U, чем наше утверждение доказано. Пусть теперь g—продолжение g0 по непрерывности на X (тео- (теорема 2); тогда можно также написать / = go£, причем ясно, что g—единственное непрерывное отображение X в У, удовлетворя- удовлетворяющее последнему соотношению, ибо i(X) плотно в X (гл. I, § 8, следствие 1 предложения 2). Теорема полностью доказана. Определение 4. Полное отделимое равномерное пространство X, определенное при доказательстве теоремы 3, называется отде- отделимым пополнением пространства X, а отображение i: X->X — каноническим отображением пространства X в его отделимое по- пополнение. Отметим еще следующие свойства: Предложение 12. 1° Подпространство i(X) плотно в X. 2° График отношения эквивалентности i(x) = i(x') есть пересе- пересечение всех окружений равномерной структуры пространства X. 3° Равномерная структура пространства X есть прообраз от- относительно i равномерной структуры пространства X (или равно- равномерной структуры его подпространства i(X)). 4° Окружения для i(X) суть образы при ixi окружений для X; вамыкания в ХхХ окружений для i(X) образуют фундаменталь- фундаментальную систему окружений для X. Действительно, пункты 1° и 3° были доказаны при доказатель- доказательстве теоремы 3; 4° является следствием 1° и 3° в силу установленных ранее общих свойств (§ 2, п° 4, замечание и предложение 6). На- Наконец, соотношение i{x) — i(x') означает, по определению, что
236 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ' ГЛ. II, § 3 ■фильтры окрестностей точек х и х' совпадают. Но это влечет, по 'определении*, что (х, х')£V, каково бы ни было окружение V для X, а обратное очевидно. Следствие. Если X— отделимое равномерное пространство, то каноническое отображение i: Х->Х есть изоморфизм X на всюду плотное подпространство пространства X. В случае, когда X отделимо, X называют пополнением про- пространства X; при этом X обыкновенно отождествляют посредством i со всюду плотным подпространством в X. Замечание. Как видно из доказательства теоремы 3, мини- минимальные фильтры Коши в X будут при таком отождествлении просто следами на X фильтров окрестностей точек из X. Следствие предложения 12 характеризует пополнение отдели- отделимого равномерного пространства. Предложение 13. Если Y — полное отделимое пространство и X — всюду плотное его подпространство, то каноническая инъекция Х->У продолжается до изоморфизма X на У. В самом деле, в силу теоремы 2 всякое равномерно непрерывное отображение пространства X в полное отделимое равномерное пространство Z продолжается единственным образом до равномерно непрерывного отображения У в Z. Предложение 14. Пусть X — полное отделимое равномерное пространство, 41— его равномерная структура и Z— всюду плот- плотное подпространство. Если равномерная структура 41' в X, ма- мажорируемая равномерной структурой 41, индуцирует в Z ту же равномерную структуру, что и 41, то 41'= 41. Обозначим через X' множество X, наделенное равномерной структурой 41'; композицию канонического отображения Х'->-Х' и тождественного отображения Х-»-Х', которое равномерно не- непрерывно, можно рассматривать как равномерно непрерывное отоб- отображение ср: Х-+Х'. Так как Z отделимо в равномерной структуре,
* ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 237 которую индуцирует 41.', то сужение ф на Z является в силу пред- предположения изоморфизмом Z на всюду плотное подпространство ф(Я) пространства X; отсюда вытекает (следствие теоремы 2), что ф само — изоморфизм X на X'; следовательно, Х'=Х' и 41'= 11. Предложение 15. Пусть X и X'— равномерные пространст- пространства; для каждого равномерно непрерывного отображения f: Х-»-Х' существует, и притом единственное, равномерно непрерывное ото- отображение /: Х-»-Х' такое, что диаграмма Ч где i: Х->Х и i': Х'-»-^'— канонические отображения, коммута- коммутативна *). Для доказательства достаточно применить теорему 3 к функции V of: Х-к£'. Следствие. Пусть /: Х->Х' и g: X'-*~X"—равномерно непре- непрерывные отображения; если fe = ge/, то h — gof. Это сразу следует из свойства единственности в предложении 15. 8. Отделимое равномерное пространство, ассоциированное с равномерным пространством Предложение 16. Пусть X — равномерное пространства и i — каноническое отображение X в его отделимое пополнение X . Для каждого равномерно непрерывного отображения f пространст- пространства X в отделимое равномерное пространство Y существует, и при- притом единственное, равномерно непрерывное отображение hi i(X)->Y такое, что f=zh»i. В самом деле (следствие предложения 12), У отождествимо с подпространством его пополнения У, и / можно тогда рассматри- рассматривать как равномерно непрерывное отображение X в У. Следова- Следовательно, в силу теоремы 3 его можно записать в виде /=£0 i, где g— ♦) Иными словами, i'of=foi.
238 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 3 равномерно непрерывное отображение X в У; обозначая через h сужение g на г(Х), имеем, очевидно, /=/юг, и h отображает i (X) в У; единственность h тривиальна.. Таким образом, пара (i, i (X)) служит решением проблемы уни- универсального отображения (Теор. множ., гл. IV, § 3, п° 1), где на этот раз за 2-множества принимаются отделимые равномерные про- пространства, а за о-морфизмы (соотв. а-отображения) — равномер- равномерно непрерывные отображения (соотв. равномерно непрерывные отображения пространства X в отделимое равномерное прост- пространство). Определение 5. Отделимое равномерное пространство i (X), определенное при доказательстве теоремы 3, называется отделимым равномерным пространством, ассоциированным с X. Таким образом, отделимое пополнение пространства X есть не что иное, как пополнение отделимого пространства, ассоциирован- ассоциированного с X. Гхли X полно, то из определения X вытекает (теорема 3), что отображение i: X->X стръективно, и, значит, отделимое про- пространство, ассоциированное с X, совпадаете отделимым пополне- пополнением пространства X. Следствие. Пусть X и Y — равномерные пространства, а X' и Y' — ассоциированные отделимые пространства; для каждого равномерно непрерывного отображения /: Х->У существует, и притом единственное, равномерно непрерывное отображение /': X'-*Y' такое, что диаграмма x-Ly Л !*' где i и V — канонические отображения, коммутативна. Применяем предложение 16 к £'»/; Х->У. Отделимое пространство, ассоциированное с равномерным про- пространством, характеризуется еще следующим свойством:
9 ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 239 Предложение 17. Пусть X — равномерное пространство, i (X)— ассоциированное с ним отделимое пространство и f—такое отображение пространства X на отделимое равномерное про- пространство X', что равномерная структура пространства X яв- является прообразом относительно f равномерной структуры про- пространства X'. Тогда отображение g: i (Х)->Х\ для которого f = g°i, есть изоморфизм. Как мы знаем, g равномерно непрерывно (предложение 16); очевидно, оно сюръективно, и оно также инъективно, поскольку соотношение / {x)=f (у) влечет по определению, что (ж, у) принадле- принадлежит любому окружению для X и, значит, i (х) = i (у) (предложе- (предложение 12). Наконец, все окружения для X' суть образы при fxf окружений для X (§ 2, п° 4, замечание), а значит, также образы при gхg окружений для г (X) (предложение 12), и предложение доказано. Замечание. Пусть Л—отношение эквивалентности I (х) = = i (x1) в X; как мы видели (предложение 12), его график С есть пере- пересечение всех окружений для X. Ясно, что всякое открытое множество (а следовательно, и всякое замкнутое множество) в X насыщено по R; принимая во внимание определение прообраза топологии, заключаем, что порождаемая отображением i каноническая биекция топологиче- топологического факторпространства X/R на i (X) есть гомеоморфизм; таким образом, отделимое пространство, ассоциированное с X, отождествимо, как топологическое пространство, с XIп. Каноническое отображение 1: X-+i (X) открыто и замкнуто и даже совершенно (гл. I, § 10, п°2, пример). Пусть X'—второе равномерное пространство, С — пересечение окружений его равномерной структуры и R'—отношение эквивалент- эквивалентности с графиком С. Пусть /: Х-*Х' — непрерывное отображение; так как прообраз относительно / всякой окрестности точки / (х) есть окрестность точки х, то прообраз относительно / множества С" (/ (х)) содержит С (х); следовательно, / согласуется с R и R' и дает при факто- факторизации непрерывное отображение X/R-+ X'lR' (гл. I, § 3, следствие предложения 6); это обобщает следствие предложения. 16. 9. Пополнение подпространств и произведений пространств Предложение 18. Пусть X—множество, (Yxkez.—семейство равномерных пространств и /х для каждого \£L — отображение X в Ух; наделим X слабейшей равномерной структурой CU, при
240 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. 1.', § 3 которой все /х равномерно непрерывны. Тогда равномерная структу- структура отделимого пополнения X пространства X является слабейшей f при которой равномерно непрерывны все отображения Д: X-*-Yx (k£L) (предложение 15). При этом X отождествимо с за- замыканием в Ц Yx образа пространства X при отображении х\—> (gx (x)), edegx = д °/х, ад — каноническое отображение Y^eY^. Пусть X' (соотв. У>) — отделимое равномерное пространство, ассоциированное с X (соотв. с Ух), и f\\ X' -*■ Yx — равномерно непрерывное отображение, для которого коммутативна диаграмма У, где i — каноническое отображение. Транзитивность инициальных равномерных структур (§ 2, пред- предложение 5) показывает, с одной стороны, что 41 есть слабейшая равномерная структура, при которой равномерно непрерывны все отображения /Х°А: ^-^^ь а с ДРУгой,— что 41 является также прообразом относительно i слабейшей равномерной струк- структуры 41' в множестве X', при которой равномерно непрерывны все Д. Но 41' отделима, ибо если хх, х2—такие точки из X, что h(f\(xi)) = h(fx(x2)) Для каждого k£L, то (хи хг) принадлежит всем окружениям равномерной структуры 41, и, следовательно, i(xl) = i(xt). Предложение 17 показывает, таким образом, что 41' есть равномерная структура отделимого пространства X', ассоци- ассоциированного с X. Далее, X' отождествимо посредством биекции х' *—> (Д (х')) с равномерным подпространством равномерного пространства XI Y% (§ 2, предложение 8). Поскольку все Yx отделимы, каждое Y х отождествимо со всюду плотным подпространством его по- пополнения Yx, и, значит, JJ Yx — со всюду плотным подпростран- подпространством произведения Ц}\ (гл. I, § 4, предложение 7). Но ДУу А, отделимо и полно (предложение 10); поэтому замыкание X' под-
УПРАЖНЕНИЯ 241 пространства X' в Д^х есть полное отделимое подпространство (предложение 8), отождествимее тем самым с отделимым пвнелне- нием X пространства X; отображения Д отождествляются при этом с проекциями на Yx, и предложение доказано. Следствие 1. Пусть X — равномерное пространство, a i — каноническое отображение X в его отделимое пополнение X. Если А—подпространство пространства X и j: А-+Х —кано- —каноническая инъекция, то j: A-+X есть изоморфизм А на замыкание i (А) в X. Следствие 2. Пусть (Yx)\«=l — семейство равномерных про- пространств. Отделимое пополнение пространства Ц Ух канонически kt изоморфно произведению Ц У\ . Упражнения °1) Обозначим через И аддитивную равномерную структуру в числовой прямой R tr через 11'— ее прообраз относительно отобра- отображения х i—> х3 прямой R на себя. Показать, что 11' сильнее *K,-ho что фильтры Кошн для этих двух равномерных структур одни и те же.о 2) а) Пусть X — бесконечное множество и % — нетривиальный ультрафильтр в X. Показать, что в пополнении X, наделенного равно- равномерной структурой 11 E) (§ 1, упражнение 1), дополнение к X состоит из одной точки и что топологическое пространство X отождествимо с пространством, ассоциированным с ультрафильтром % (гл. I, § 6, п° 5, пример). сб) Получить из а) пример равномерной структуры в R, которая мажорировала бы аддитивную равномерную структуру и в которой R не было бы полно.„ °3) а) Пусть 1Z —аддитивная равномерная структура в числовой прямой R, 111 — равномерная структура, индуцируемая в'R равно- равномерной структурой расширенной прямой R, и Иг— равномерная структура, индуцируемая^в R равномерной структурой ее компакти- фикации Александрова R = Pj(R). И сильнее 111у *И, сильнее Иг, но топологии, порождаемые этими тремя равномерными структурами, совпадают; пополнениями прямой R по этим трем равномерным струк- структурам служат соответственно R, R и R. Тождественное отображение R на себя продолжается по непрерывности до ннъектнпвого, по не сюръ- ективного отображения R->R н до сюръективного, но не инъентивного отображения R -♦ R. . .
242 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ П. § 4 б) Получить из а) пример отделимых равномерных пространств X, К и равномерно непрерывного биективного отображения и: X -* У, продолжение которого по непрерывности п: X -+ У ни инъектнвпо, ни сюръективно.0 *4) Пусть в обозначениях упражнении 5 § 2 все равномерные пространства X, полны. Показать, что в равномерной структуре, определенной в указанном упражнении, пространство X полно. [Рас- [Рассуждая от противного, использовать следствие 2 предложении 5.] 5) Пусть X — отделимое равномерное пространство, являющееся пересечением счетного семейства открытых подмножеств своего по- пополнении X. Показать, что для всякого отделимого равномерного пространства У, имеющего X своим равномерным подпространством, X будет пересечением некоторого замкнутого множества из У со счет- счетным семейством открытых множеств. 6) Пусть X — равномерное пространство, i: X-+ X — каноническое отображение X в его отделимое пополнение, Х„— сумма множеств X и X— i (X) и /: Х0->Х— отображение, совпадающее с I на X и с тождественным отображением на X —i(X). Показать, что Хо, наде- наделенное прообразом относительно / равномерной структуры простран- пространства X, полно. При этом для всикого полного равномерного простран- пространства У, имеющего X своим равномерным подпространством, тождест- тождественное отображение X -* X продолжается единственным образом до непрерывного отображения Хо -* Y. *7) Пусть X —отделимое равномерное пространство, 41 — его равномерней структура, Ч10— равномерная структура, индуцируемая в % (X) равномерной структурой % (§ 2, упражнение 66), и 1lw— равномерная структура, индуцируемая в % E (X)) равномерной струк- структурой Ч10. Показать, что каноническое отображениехн-> {{х}} про- пространства X в % E (X)) продолжается до изоморфизма пространства X на некоторое замкнутое равномерное подпространство пространства % (Й (X)) (наделенного равномерной структурой <И00). [Использовать предложение 9.J § 4. Связи между равномерными и компактными пространствами 1. Равномерность компактных пространств Определение 1. Будем говорить, что равномерная структура в топологическом пространстве X согласуется с его топологией, если последняя совпадает с топологией, порождаемой рассматривае- рассматриваемой равномерной структурой.
7 СВЯЗИ МЕЖДУ РАВНОМЕРНЫМИ И КОМПАКТНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ 243 Будем говорить, что топологическое пространство равномери- зуемо и что его топология равномеризуема, если существует равно- равномерная структура, согласующаяся с его топологией. Существуют неравномеризуемые топологические пространства, как, например (в силу следствия 3 предложения 2 § 1), простран- пространства, не удовлетворяющие аксиоме (Ош); таким образом, возни- возникает задача нахождения условий, при которых топологическое пространство X равномеризуемо. Полный ответ на этот вопрос будет дан лишь в § 1 главы IX. 8 настоящем жо параграфе будет изучен только тот важный част- частный случай, когда X компактно. Справедлива следующая теорема: Теоремэ 1. В компактном пространстве X существует, и притом единственная, равномерная структура, согласующаяся с его топологией; множество всех окружений атой равномерной структуры совпадает с множеством всех окрестностей диагонали А в ХхХ; кроме того, X, наделенное этой равномерной структу- структурой, есть полное равномерное пространство. Последняя часть теоремы очевидна: действительно, всякий фильтр Коши в X имеет точку прикосновения (аксиома (С)) и, значит, сходится (§ 3, следствие 2 предложения 5). Покажем, во-вторых, что если существует равномерная струк- структура, согласующаяся с топологией в X, то множество U всех окру- окружений этой равномерной структуры совпадает с множеством всех окрестностей диагонали Л. Мы уже знаем, что всякое окружение есть окрестность диагонали Л (§ 1, предложение 2); достаточно установить, что, обратно, всякая окрестность диагонали Д принад- принадлежит U. Но если бы существовала окрестность U диагонали Л, не принадлежащая U, то множества VftCU, где V пробегает Ц, образовывали бы базис некоторого фильтра © в компактном про- пространстве ХхХ; следовательно, © имел бы точку прикосновения (а, Ь), не принадлежащую А, и так как 1Д мажорировалось бы тогда фильтром ®, то (а, Ь) была бы точкой прикосновения и для Ц. Но равномерная структура, которую определяет Ц, по предполо- предположению отделима, так что пересечение замыканий множеств из Ц есть А (§ 1, следствие 2 предложения 2 и предложение 3); тем самым мы пришли к противоречию.
244 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. И, § 4 Остается показать, что множество 33 всех окрестностей диаго- диагонали Л в X х X действительно есть множество всех окружений равномерной структуры, согласующейся с топологией п X. Для этого достаточно убедиться в том, что 33 есть множество всех окру- окружений некоторой отделимой равномерной структуры в X, ибо тогда топология, порождаемая этой структурой, будет отделимой топо- топологией, мажорируемой топологией пространства X (гл. I, § 2, предложение 3) и, следовательно, необходимо совпадающей с этой последней (гл. I, § 9, следствие 3 теоремы 2). Ясно, что 23 удовлетворяет аксиомам (F,) и (F,,); покажем, что аксиомы (Un) и (U,,,) тоже выполнены и что Д есть пересечение всех множеств из 33. Последнее очевидно, ибо всякое множество в ХхХ, состоящее из одной точки (х, у), замкнуто в силу отдели- отделимости X, так что если хфу,ю дополнение точки (х, у) ъХхХ есть окрестность диагонали Д. Так как симметрия (х, у)>—>(у, х) есть гомеоморфизм ХхХ на себя, то для каждого F£33 имеем также -1 F£33, чем доказано (U,,). Предположим, наконец, что 33 не удов- 2 яетворяет аксиоме (иж); тогда существует такое V £ 33, что WП CF при любом W£33 не пусто; таким образом, множества W [) CV (где W пробегает 23) образуют базис фильтра вХхХ и, следовательно, этот последний имеет точку прикосновения (х, у), не принадле- принадлежащую Д. Но, поскольку X регулярно (гл. I, § 9, следствие пред- предложения 1), существуют открытая окрестность U1 точки х и откры- открытая окрестность С/2 точки у, не имеющие общих точек, и затем замк- замкнутые окрестности этих точек FlcC/1 и F2c[/2. Положим U8= —С (Fx U F2) и рассмотрим в X X X окрестность W— U (С/,- х С/,) 1=1, 2, 3 диагонали Д. Из этих определений непосредственно следует, что если (и, у)£ W и и£УЛ (соотв. ц£ U^, то необходимо v^Ux (соотв. i>€^iU C/8 = CF2); следовательно, окрестность V^XV^ точки (х, у) 2 в ХхХ не пересекается с И7, и мы пришли к противоречию. Замечание 1. Для всякого конечного открытого покрытия Ж = (и,I^/^п пространства X множество Fgt = U (UjXU,) есть окрестность диагонали Д в ХхХ; эти множества образуют фунда-
1 СВЯЗИ МЕЖДУ РАВНОМЕРНЫМИ И КОМПАКТНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ 245 ментальную систему окрестностей диагонали Д (и тем самым фундаментальную систему окружений единственной равномерной структуры в X); действительно, пусть W — произвольная окрест- окрестность диагонали А в X х X; каждая точка х £ X обладает открытой окрестностью U х в X такой, что U х х U х с W. Так как Ux (х £ X) образуют открытое покрытие пространства X, то существует ко- конечное число точек xt (I <! i <! п) такое, что UXl (I <! i =£S n) обра- образуют покрытие^ пространства X; тогда V® с W, и утверждение доказано. На этом основании часто говорят, что единственная равномер- равномерная структура в X есть равномерная структура конечных откры- открытых покрытий (см. гл. IX, 2-е изд., § 4, упражнение 17). Следствие 1. Всякое подпространство компактного простран- пространства равномеризуемо. Следствие 2. Всякое локально компактное пространство рав- равномеризуемо. Достаточно заметить, что в силу теоремы Александрова (гл. I, § 9, теорема 4) локально компактное пространство гомеоморфно подпространству компактного пространства. Замечание 2. Отметим, что может существовать много различных равномерных структур, согласующихся с топологией локально компактного пространства. Например, мы видели, что в бесконечном дискретном пространстве имеется несколько различных равномерных структур, согласующихся с дискретной топологией (§ 2, п° 2, замечание). Однако не следует думать, что единственность равномерной структуры, согласующейся с топологией равномеризуемого прост- пространства, есть характеристическое свойство компактных пространств; имеются локально компактные, но не компактные, пространства, также обладающие этим свойством (упражнение 4). Теорема 2. Всякое непрерывное отображение f компактного пространства X в равномерное пространство X' равномерно не- непрерывно. В самом деле, отображение g=/X/ непрерывно на ХхХ (гл. I, -1 § 4, следствие 1 предложения 1) и потому прообраз g (V) всякого открытого окружения V для X' (очевидно, содержащий диагональ)
246 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. является открытым множеством в ХхХ; тем самым теорема 2 вытекает из теоремы 1, поскольку открытые окружения равномер- равномерной структуры пространства X' образуют фундаментальную сис- систему ее окружений (§1, следствие 2 предложения 2). При условиях теоремы 2, сужение / на любое подпространство А пространства X равномерно непрерывно; отсюда (§ 3, теорема 2): Следствие. Пусть А — всюду плотное подпространство ком- компактного пространства X uf — отображение А в полное отделимое равномерное пространство Х'\ для того чтобы f продолжалось по непрерывности на всё X, необходимо и достаточно, чтобы f было равномерно непрерывно. 2, Компактность равномерных пространств Определение 2. Равномерное пространство X называется предкомпактным, если его отделимое пополнение X компактно. Множество А в равномерном пространстве X называется пред- предкомпактным, если равномерное подпространство А пространства X предкомпактно. Таким образом, чтобы множество А в равномерном простран- пространстве X было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы за- замыкание в X множества i (A)t где i: X-+X — каноническое отоб- отображение, было компактным (§ 3, следствие 1 предложения 18). Пример. Во всяком равномерном пространстве X множест- множество всех точек какой-либо последовательности Коши (хп) предком- предкомпактно. Действительно, так как образы точек хпъ X образуют сно- снова последовательность Коши, то можно ограничиться случаем, когда X отделимо. Замыкание в X множества точек хп состоит тогда из всех хп и Итл?л и, значит, компактно (гл. I, §9, п° 3, пример 2). п -*■ со Теорема 3. Для того чтобы равномерное пространство X было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы для вся- всякого окружения V равномерной структуры пространства X суще- существовало конечное покрытие этого пространства множествами, ма- малыми порядка V.
Я СВЯЗИ МЕЖДУ РАВНОМЕРН ЫМИ И КОМПАКТНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ 247 Нагляднее это условие можно выразить, сказав, что существуют конечные покрытия пространства X сколь угодно малыми множествами. Пусть i — каноническое отображение X в X; окружения для X суть прообразы относительно ixi окружений для X (§ 3, предложение 12). Чтобы доказать необходимость условия теоремы, рассмотрим произвольное окружение U для X и такое симметрич- симметричное окружение U' для X, что U' с U; поскольку X компактно, существует такое конечное число точек Xj£X, что множества U'{xj) (малые порядка U) образуют покрытие пространствах; -1 тогда множества i (U1 (д?,)) образуют покрытие пространствах мно- множествами, малыми порядка V, где V — прообраз U относительно ixi. Достаточность условия теоремы будет установлена, если мы покажем, что оно влечет сходимость каждого ультрафильтра ^ вХ; в силу полноты X достаточно проверить, что$ есть фильтр Коши или, иначе, что для каждого замкнутого окружения U равномерной структуры пространства X в ^ существует множе- множество, малое порядка U (§ 1, следствие 2 предложения 2). Пусть V — прообраз U относительно i X i и (Bj) — конечное покрытие пространства X множествами, малыми порядка V; множества Cj = I (Bj) образуют покрытие пространства i (X) множествами, малыми порядка U, и, следовательно, X = Uc^; с другой сторо- стороны, так как CfxCjCz С/, а С/ замкнуто в ХхХ, то CjXCjC U, т. е. все Cj тоже малы порядка U. А так как ^ — ультрафильтр, то одно из ^принадлежит ^ (гл. I, §6, следствие предложения 5). Следствие. Для того чтобы равномерное пространство X было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было от- отделимо, полно и для любого окружения V его равномерной структу- структуры существовало конечное покрытие этого пространства множест- множествами, малыми порядка V. Это вытекает из теорем 3 и 1. Замечание1. Неотделимое квазикомпактное пространство не всегда равномеризуемо, ибо не всегда удовлетворяет аксиоме (Ощ) (см. гл. I, § 9, п° 2); например, большинство неотделимых квазиком- квазикомпактных пространств, встречающихся в алгебраической геометрии, не удовлетворяет (Ощ) (см. упражнение 2).
248 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, §4 Предложение 1. В равномерном пространстве всякое подмно жествв предкомпактного множества, всякое конечное объединение предкомпактных множеств и замыкание всякого предкомпактного множества есть предкомпактное множество. ' Первые два утверждения сразу следуют из теоремы 3. С другой Стороны, пусть X — равномерное пространство, А — предкомпакт- предкомпактное множество ъ X, i — каноническое отображение X в его отде^ лимое пополнение X; тогда i{A) содержится в замыкании множе-; ства i (А) в X (гл. I, § 2, теорема 1); значит, в силу предположе- предположения замыкание множества i (А)в X содержится в компактном мно- множестве, а следовательно, компактно. Замечание 2. В равномерном пространстве X относительно- компактное множество А предкомпактно, ибо содержится в компакт- компактном множестве. Напротив, даже если X отделимо, предкомпактное множество не обязательно относительно компактно 'в X, как это' показывает случай, когда само X предкомпактно, но не компактно. Предложение 2. Пусть /: X-+Y — равномерно непрерывное отображение. Образ f(A) всякого предкомпактного множества А из. X есть предкомпактное множество в У. В самом деле, пусть I: X-+X и /:У->У — канонические отобра- отображения; тогда ]'(f.(A)) — f (i (A)) (§ 3, предложение 15) и, зна- значит, /(/(Л)) относительно компактно в У (гл. I, § 9, следствие 1 теоремы 2). Предложение 3. Пусть X —множество, (Yx)xeL — семейство равномерных пространств и /х для каждого К £ L — отображение X в Ух; наделим X слабейшей из равномерных структур, при которых все /х равномерно непрерывны. Для того чтобы множество' А в X было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы fi(A) было предкомпактным множеством в Ук для каждого X^L. В силу предложения 2 условие необходимо; а принимая во внимание характеризацию отделимого пополнения пространства X, данную в предложении 18 § 3, условие достаточно на основании теоремы Тихонова (гл. I, § 9, следствие теоремы 3).
4 СВЯЗИ МЕЖДУ РАВНОМЕРНЫМИ И КОМПАКТН ЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ 249 3. Компактные множества в равномерном пространстве Следующее предложение уточняет, в любом равномерном прост- пространстве, предложение 2 § 9 гл. I о компактных пространствах. Предложение 4. Пусть в равномерном пространстве X даны, компактное множество А и замкнутое множество В такие, что А{\В — 0. Тогда существует окружение V для X такое, что V(A)(\V(B) = 0. 2 В самом деле, в противном случае ни одно из множеств А Л У (В), где V пробегает все симметричные окружения для X, не было бы пусто; эти множества образовывали бы тогда базис фильтра в А, обладающий точкой прикосновения хо£А. Таким образом, для •любого симметричного окружения V равномерной структуры про- пространства X множество V(x0) пересекалось бы с В, откуда, в силу замкнутости В, следовало бы, что хо£В, в противоречие с предпо- предположением. Следствие. Пусть А — компактное мнджество в равномер- равномерном пространстве X; множества V(A), где V пробегает множество всех окружений для X, образуют фундаментальную систему ок- окрестностей множества А. В самом деле, пусть U — произвольная открытая окрестность множества А; тогда B=CU замкнуто и не пересекается с А; по предложению 4 существует такое окружение V, что V(A) л V(B) — 0; .тогда, тем более, V(A)czU, и утверждение следствия доказано. 4. Связные множества в компактном пространстве Определение 3. Пусть V — симметричное окружение для равно- равномерного пространствах; конечная последовательность (х(H^1<£П точек из X называется V-цепью, если точки х( и xi+l близки порядка V для любого i @ ^ I ^ п); точки х0 и хп называются концами V-цепи, причем говорят, что они соединены этой V-цепью.
250 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 4 Пусть дано произвольное симметричное окружение V; как лег- легко проверить, отношение «существует F-цепь, соединяющая х и у» есть отношение эквивалентности между х и у в X; пусть АХ: v — класс эквивалентности точки х по этому отношению, т. е. множест- множество всех точек у£ X, которые могут быть соединены с х посредством F-цепи. Ясно, что если у £АХ- у, то V(y)czAXi v, так что множество АХ: v открыто; но его дополнение, являясь объединением классов эквивалентности, тоже открыто. Таким образом, имеем: Предложение 5. В равномерном пространстве X множество AXi v тех точек, которые могут быть соединены с данной точкой х посредством V-цепи, открыто-замкнуто. Обозначим через Ах для каждого х£Х пересечение множеств Ах, v, где V пробегает множество всех симметричных окружений равномерной структуры пространства X; это — класс эквивалент- эквивалентности точки х по отношению эквивалентности «для любого симмет- симметричного окружения V существует F-цепь, соединяющая х и г/». Предложение 6. В компактном пространстве X связная ком- компонента точки х, множество Ах и пересечение всех открыто-замк- открыто-замкнутых окрестностей точки х совпадают. Достаточно показать, что Ах связно; в самом деле, в любом рав- равномерном пространстве X связная компонента точки х содержится в пересечении всех открыто-замкнутых окрестностей этой точки, а последнее в сьою очередь содержится в^в силу предложения 5. Предположим, что Ах не связно; поскольку Ах замкнуто, су- существуют непустые замкнутые множества В и С без общих точек такие, что В\]С=АХ. По предложению 4 тогда существует такое окружение U для X, что С/(В) Г) U(C) = 0; пусть W — открытие 2 окружение, для которого W с U, и Я — замкнутое множество, до- дополнительное к W{B) U W(C) в X. Предположим, например, что х £ В, и рассмотрим точку у £ С; как легко убедиться индукцией по i, для любого симметричного окружения F с W всякая F-цепь (^lOiXisrn. соединяющая хну ъХ, будет, по выбору W, необходимо содержать по крайней мере одну точку из //. Но по предположению точки хну могут быть соединены F-цопью, каково бы ни было сим- симметричное окружение V. Следовательно, для V <z.W множество Н П Ах. v не пусто. С другой стороны, если V с V, то, очевидно,
4 СВЯЗИ МЕЖДУ РАВНОМЕРНЫМИ И КОМПАКТНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ 251 AXi у с AXt v> значит, множества Н |"| AXi v, где V пробегает все сим- симметричные окружения для X, образуют в компактном пространстве Н базис фильтра, составленный из замкнутых множеств. Следова- Следовательно, существует точка, принадлежащая всем этим множествам, иными словами, общая точка множеств Н и Ах; так как это противо- противоречит определению множества Я, предложение доказано. Следствие. Пусть X — локально компактное пространство и К — его компактная связная компонента. Тогда открыто-замкну- открыто-замкнутые окрестности множества К образуют фундаментальную систе- систему его окрестностей. В самом деле, пусть V — относительно компактная открытая окрестность множества К в X (гл. I, § 9, предложение 10) и F — ее граница. Пусть U cF — множество, открыто-замкнутое относи- относительно V; тогда U замкнуто вХ, и если, кроме того, U не пересе- пересекается с F, то U открыто вХ, ибо тогда U с V и U открыто отно- относительно V. Таким образом, все сводится к доказательству того, что в V существует множество, открыто-замкнутое относительно V , содержащее К и не пересекающееся с F. Предположим против- противное; тогда пересечения с F множеств, открыто-замкнутых относи- относительно V и содержащих К, образуют в F базис фильтра, состоя- состоящий из замкнутых множеств; поскольку F компактно, эти мно- множества должны иметь общую точку y£F; но это невозможно, ибо V — компактное пространство, К — его связная компонента, и в силу предложения 6 пересечение всех открыто-замкнутых в V мно- множеств, содержащих К, совпадает с К. Тем самым следствие до- доказано. Предложение 7. Пусть X — компактное пространство и R — отношение эквивалентности в X, классами которого служат связные компоненты пространства X. Тогда факторпространство X/R компактно и вполне несвязно. Мы уже знаем (гл. I, § 11, предложение 9), что X/R вполне не- несвязно; все сводится к доказательству отделимости X/R (гл. I, § 10, предложение 8). Пусть А и В — две различные связные ком- компоненты пространства X; в силу предложения 6 существует такое окружение U для X, что пи одна точка ив А не может быть соеди-
252 РАВНОМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. II, § 4 нена U-цтъю ни с одной точкой из В. Но множество V (соотв. W) всех точек из X, соединимых [/-цепью с точкой х £ А (соотв. у£В), открыто-замкнуто в X (предложение 5) и содержит А (соотв. В)\ таким образом, зти множества являются непересекающимися от- открытыми окрестностями соответственно множеств А и В, насыщен- насыщенными по Л, и предложение доказано. Упражнения ♦1) Пусть 8ft — открытое покрытие компактного пространства X; показать, что существует такое окружение V для X, что V(x) при любом х£Х содержится в некотором множестве, принадлежащем 9t. [Заме- [Заметить, что при любом х£Х существует окружение Wx для X, такое,' 2 .что Wx(x) содержится в некотором множестве из 9t, и покрыть X конечным числом множеств Wx(x).] 2) Для того чтобы квазикомпактное пространство X было равно- мернзуемым, необходимо и достаточно, чтобы его топология была прообразом топологии компактного пространства Y относительно сюръективного отображения /: X-+Y. 3) Пусть / — непрерывное отображение компактного пространства X в компактное пространство Y и V — такое открытое окружение для X, что /(г) = /((/) влечет (г, y)£V. Показать, что существует окружение W для Y такое, что уже (/(г), f(y)) £ W влечет (*, y)£V. 4) Пусть X — локально компактное пространство, определенное в упражнении 12 § 9 гл. I. Показать, что всякая окрестность диагонали Д в XXX содержит множество вида [х, Ь[Х[х, Ь[. Вывести отсюда, что в X имеется только одна равномерная структура, согласующаяся с его топологией, и что пополнение X по этой равномерной