Московская государственная консерватория имени П.И. Чайковского

A. M. S. BOETHII
INSTITUTIO MUSICA
quam edidit,
in Rossicam linguam transtulit, introductione commentarioque auxit Sergey Lebedev
Moscoviae MMXII

Московская государственная консерватория имени П.И. Чайковского Научно-исследовательский центр методологии исторического музыкознания
А. М. С. БОЭЦИИ
ОСНОВЫ МУЗЫКИ
Подготовка текста, перевод и комментарий С.Н. Лебедева
НАУЧНО-ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР «МОСКОВСКАЯ КОНСЕРВАТОРИЯ» МОСКВА 2012

УДК 781.8 ББК 85.313(3)
Б 868
Издано
при поддержке ВР
Книга печатается по решению Редакционно-издательского совета Московской государственной консерватории имени П.И.Чайковского
Б 868 А.М.С. Боэций. Основы музыки / Подготовка текста, перевод с латинского и комментарий С.Н. Лебедева. М.: Научно-издательский центр «Московская консерватория», 2012.— xl, 408 с., илл.
A.M.S. Boethii institutio musica quam edidit, in Rossicam linguam transtulit, introductione commentarioque auxit Sergey Lebedev. Moscoviae, 2012. — xl, 408 p., descr., piet., tab.
ISBN 978-5-89598-276-1
Трактат «Основы музыки» Боэция — один из самых известных когда-либо созданных трудов о музыке. Написанный на излете античности (начало VI века), этот текст оказал огромное влияние на европейскую музыкальную науку в диапазоне от Каролингов до начала Нового времени. Предлагаемая читателю академическая публикация включает новое издание латинского источника, опирающееся на древнейшие его списки, и новый русский перевод. Книга богато иллюстрирована, снабжена подробными комментариями к тексту и изображениям. Адресована профессиональным музыковедам, студентам музыкальных вузов и всем, кто интересуется старинной музыкой.
УДК 781.8 ББК 85.313(3)
ISBN 978-5-89598-276-1 © Московская государственная консерватория, 2012
© С.Н. Лебедев, 2012

Светлой памяти Юрия Николаевича Холопова

ПРЕДИСЛОВИЕ
Аниций Манлий Северин Боэций1 (ок. 480-524) вошел в историю европейской культуры прежде всего как автор книги «Утешение Философией»2. Созданное незадолго до кончины, это глубокое сочинение о судьбе и провидении, о смысле жизни и смерти притягивало многих средневековых писателей, поэтов и философов. Для ученых музыкантов на протяжении столетий такой же притягательной силой обладал, напротив, один из самых ранних трудов Боэция. Вдохновленный высоким уровнем греческой науки и образования, юный ученый задумал написать латинские учебники по всем предметам квадривия — курса из четырех дисциплин, предваряющих занятия собственно философией. Прежде чем государственные дела полностью захватили его3, Боэций успел закончить трактат о музыке, которому и посвящена эта книга.
При том что труд Боэция переведен на несколько языков, редакция оригинала не пересматривалась со второй половины XIX века. Графические иллюстрации (чертежи, таблицы, специальные знаки), которых у автора великое множество, пересматривались лишь частично. Новый русский перевод музыкального трактата Боэция, предлагаемый читателю, сделан по специально подготовленному латинскому тексту — на основе одиннадцати древнейших его списков. Понятно, что всякий перевод — это интерпретация. Настоящее издание, выполненное в виде синхронизированных латинского и русского
1 Древнее родовое имя Аниций (Anicius) он унаследовал по материнской линии, древнее родовое имя Манлий (Manlius) — по отцовской. Имя (прозвище?) Боэций (Boethius, латинизация греч. βοηθός — заступник, помощник), унаследованное также от отца, возможно, указывает на греческое происхождение отцовской семьи. Имя Северин (Severinus) Боэций, вероятно, получил при крещении. Имя Торкват (Torquatus), которое иногда встречается в научной и справочной литературе, неподлинное.
2 Таков традиционный русский перевод заголовка «Consolatio philosophiae». На Западе повсеместно принят перевод «Утешение Философии» (нем. «Trost der Philosophie», англ. «Consolation of Philosophy», итал. «La consolazione della filosofia» и т.д.).
3 Закончив обучение (предположительно в Александрии), около 500 г. Боэций вернулся в Рим, где занял пост сенатора. В 510 г. король остготов Теодорих, правивший тогда в Италии, назначил его консулом. Позже (в 522 г.) Боэций занял высшую государственную должность — первого королевского министра (magister officiorum).

viii Предисловие
текстов (так называемая билингва), позволяет легко проследить, как интерпретировано то или иное авторское слово или выражение, оценить метод и стиль перевода в целом.
Музыкальный учебник начала VI века совершенно не похож на привычные нам учебники элементарной теории музыки. Реалии Боэция чужды современному читателю. Если мы хотим воспринять его учение по возможности адекватно (а это значит — обязательно в историческом контексте), «простого перевода» недостаточно, необходимы разъяснения. Обширный комментарий в этой книге, учитывающий многовековую традицию толкования Боэция, составлен с максимальной подробностью.
Основному тексту предпослано небольшое Введение. Вначале охарактеризованы метод и жанр трактата, а также перечислены основные достижения Боэция в истории музыкальной науки. После обзора содержания (для удобства читателя — в том порядке, как учебные темы изложены в тексте) обсуждается идентификация источника (рукописи, датировка, заголовок), объясняются редакционные и научные принципы, которые легли в основу данного издания.
В Приложении I печатаются (впервые на русском языке) главы из более раннего по времени создания — арифметического — трактата Боэция, поскольку знание арифметики студентом, изучающим основы музыки, недвусмысленно предполагает сам автор. В Приложении II факсимильные иллюстрации, снабженные аннотациями, дадут читателю первоначальное представление о том, как выглядят старинные списки труда Боэция, и вообще о том, каким его воображали себе мастера средневековой миниатюры. Современные схемы-реконструкции в Приложении III призваны облегчить восприятие читателем непривычной терминологии Боэция в частности и его музыкально-теоретического учения в целом. Справочный аппарат (предметный и именной указатели), список цитированной литературы и детальное оглавление находятся в конце книги.

ВВЕДЕНИЕ
Апология компиляции
Историю науки в наши дни воспринимают, изучают и преподают как историю оригинальных научных концепций. Одного только слова «компиляция», кажется, теперь достаточно для негативной характеристики научной работы. Однако в оппозиции «подлинная наука — компиляция», в целом, конечно, справедливой, мне видится некоторая уязвимость, а именно, в ней нивелируется отличие корыстной и халтурной компиляции от компиляции бескорыстной и добросовестной. Объяснять, что такое корыстная компиляция, думаю, не нужно. Добросовестной компиляцией я называю работу по собиранию и истолкованию лучших чужих идей и открытий с бескорыстной целью их сохранения и популяризации среди современников и sub specie aeternitatis1 (например, в математике — дать упрощенные доказательства теорем, которые открыты и впервые доказаны другими).
Чем более проницателен и талантлив автор компиляции (если только позволено говорить о «таланте» компилятора), тем лучше он захватывает в свою работу ценные идеи, понятия, вплоть до исторических анекдотов и отдельных метких терминов. Отсюда первый парадокс компиляции: многие долго живущие сущности и предметы, которые консенсус интеллектуалов считает «всем известными» и «само собой разумеющимися», впервые регистрируются именно в компилятивных работах. Часто мы пользуемся готовым знанием, совершенно не задумываясь о том, кому мы этим знанием обязаны. Даже в солидных энциклопедических статьях мы обычно находим тривиальное изложение предмета, которое не сопровождается историческими экскурсами, либо такие экскурсы только спутывают, не давая ни глубины обзора, ни желаемой «документальной» точности. Когда же мы пытливо ищем ответ на вопрос «кто первый сказал» непосредственно в старинных источниках, первым «вдруг» оказывается проницательный компилятор.
Оригинальный автор — именно в силу своей оригинальности — как правило остается непонятым обществом, признание его самобытности приходит через поколения. Компилятор же, напротив, не стремится к оригинальности, не опрокидывает основы науки; его роль скромнее: низвести заемную гениальность до положения общепринятого знания. А если это добросовестный и проницательный компилятор, то он способен среди чужих достижений отобрать самые
1 	Лат. «с точки зрения вечности».

X
Введение
значительные, перевести их в формат дидактического пособия и, наконец, изложить на родном языке своей «среднестатистической» аудитории просто и ясно. Отсюда второй парадокс: хорошая компиляция лучше удерживается в бурной истории человечества, чем иное поражающее воображение оригинальное исследование.
В своих первых научных сочинениях, посвященных арифметике и музыке, Боэций не ставил перед собой задачу создать новаторское учение. Его задача совсем в ином: перед лицом страшной угрозы — разрушения великой цивилизации — сохранить лучшее из того, что написали античные философы, и ассимилировать их знания в латинской среде — для своих современников и потомков. Ни в его методе, ни в форме, ни в стиле в целом, ни в языке в частности не отмечается ревизионистских амбиций2; наоборот, амбиция молодого ученого в том, чтобы чужие мысли изложить доходчиво и точно, сопровождая их ради большей ясности собственными толкованиями. По всем этим параметрам «Музыка» Боэция вполне подходит под определение добросовестной компиляции, но еще вернее, пожалуй, ее можно охарактеризовать как дидактическую сумму, то есть, в нашем случае, систематическое упрощенное изложение различных греческих и римских источников и приведение их — в соответствии с дидактическим намерением — к образу общеупотребительной (тогда это означало «латинской») теории музыки.
Многочисленные комментаторы Боэция последних двух столетий внимательно исследовали его труды, пытаясь запротоколировать всё, что в них есть своеобразного, любопытного и странного. В этих комментариях нередко встретишь фразы вроде «автор приписывает это утверждение / рассуждение / доказательство авторитету N, но у N этого утверждения нет, либо оно до нас не дошло / означает совершенно иное»; такой-то термин или такое-то понятие Боэция «не отмечается ни в одном из доступных нам античных текстов» и т.п. Из подобной регистрации, конечно, еще не следует вывод об оригинальности автора, так что если читателю непременно требуется оригинальное учение, то в юношеских работах Боэция искать его явно не стоит. Но если современный читатель, воспитанный на шедеврах новоевропейской позитивистской науки, готов чуть пересмотреть свой привычный «модус обзора» и взглянуть на историю науки, так сказать, с высоты птичьего полета, тогда он согласится со мной, что sub
2 	Исследованию метода и стиля Боэция в первых его работах посвящена отдельная статья (ЛебедевМС). Здесь и далее цитируемые вторичные источники даны сокращенно. Ключ к сокращениям и полное библиографическое описание находятся в конце книги.

Апология компиляции
XI
specie aeternitatis вообще-то не так уж важно, у кого конкретно заимствовал Боэций то или иное рассуждение, тот или иной термин. Решающим обстоятельством остается то, что именно у Боэция данное рассуждение и данный термин является впервые на латинском языке — языке науки средневековой Европы, а в некоторых случаях — и впервые в истории. С этой точки зрения даже его начальные труды — благодатный материал для всевозможных теоретических наблюдений и научных обобщений.
В рамках замысла этой книги мне показалось важным не отягощать читателя заранее (до чтения источника) музыковедческими концепциями и пересказами чужих мнений, а предоставить ему шанс без предвзятости, самому поискать ответ на загадочный вопрос: почему культурная Европа на протяжении целого тысячелетия благоговела перед «последним знатоком» (eruditorum ultimus) греческой античности3, несмотря на очевидную компилятивность его трудов. Для начала предлагаю перечень «первых свидетельств» (первые свидетельства в латинской истории науки отмечены звездочкой), которые регистрируются в музыкальном и арифметическом трудах Боэция:
— троичное деление музыки на «мировую» (она же гармония сфер), «человеческую» (гармония в человеке) и «инструментальную» (музыкальная гармония, которая создается деятельностью человека) (I, 2)4;
— иерархически построенное учение о трех родах музыкальной деятельности; на вершине иерархии находится ученый музыкант (musicus) — философ пифагорейского толка, способный познать разумные (т. е. числовые) основания музыки (I, 34)5;
— учение о «двояких» видах консонанса (кварты, квинты и октавы), из которого выводится учение о ладах (IV, 14)6;
3 L. Valla. Dialect. I, prooem. 7. Вопреки расхожему мнению Лоренцо Валла никогда не называл Боэция «последним римлянином и первым схоластом»; первая половина крылатой фразы принадлежит английскому историку XVIII в. Э. Гиббону (GibbonH, 211). Вторую половину добавил немецкий теолог XX в. М. Грабман (GrabmannG, 148); об этом см. подробней в статье SynanB.
4 Ссылки на труды Боэция даны сокращенно. Одни только цифры указывают на «Основы музыки», например, II, 31.8 означает кн. И, гл. 31, абзац 8. Если слово или словосочетание проходит в трактате «Основы арифметики», тогда добавлено сокращение «Arithm.», например, Arithm. I, 1.10. Подробней система сокращений описана в разделе «Принципы издания« этого Введения.
5 Что подразумевали под «музыкантом» (musicus; греч. μουσικός) античные писатели и философы, и что этим важным словом охватывал Боэций, подробно рассматривается в отдельной статье (ЛебедевМММ).
6 Толкованию учения о ладах посвящена отдельная статья (ЛебедевЛТБ).

Xll
Введение
— полный расчет двухоктавного монохорда (Полной системы греков) во всех трех родах мелоса (IV, 5-13)7;
— свидетельства Никомаха из Герасы (из неназванного его труда о музыке, который до нас в оригинале не дошел, в т. ч. его теория консонансов, см. I, 31-32; II, 20)8;
— свидетельства Филолая из Кротона, в т. ч. термины «схизма» и «диасхизма» и определение этих микроинтервалов (III, 5; III, 8);
— Лакедемонский (Спартанский) декрет о Тимофее Милетском (I, 1.13-15)9;
— иерархия консонансов по Евбулиду и Гиппасу (II, 19);
— свидетельство о музыканте Альбине (I, 26);
— свидетельство о «Гармонике» Птолемея* (изложению и обсуждению ее первых глав посвящена вся Пятая книга «Музыки»)10;
— свидетельство о «Делении канона» Евклида* (перевод и комментарий; IV, 1-2);
— полная классификация родов (genera) числового неравенства*; имена этих родов закреплены в терминах: кратный (multiplex), сверхчастичный {superparticulare), сверхчастный {superpar tiens), кратно-сверхчастичный {multiplex superparticulare) и кратно-сверхчастный {multiplex superpartiens) (Arithm. I, 22; Mus. I, 4);
— классификация всех типов рациональных числовых отношений, пропорций и средних; закрепление за ними специфических терминов, в том числе (неологизм) proportionalitas* (Arithm. I, 23- 24; Arithm. II, 40 et passim; Mus. I, 4; II, 12-14);
— греческая система буквенной нотации* (по Алипию; IV, 3-4);
— термин «комма» и расчет коммы* (в позднейшей музыкальной науке получила название «пифагоровой»; II, 31);
Уже из этого перечня ясно, что у «Музыки» Боэция (в отличие от «Арифметики») было множество греческих и римских источников. Главные авторитеты Боэция (по хронологии) — Пифагор, Филолай, Архит, Платон, Цицерон, Никомах и Птолемей, а также не названные по имени Евклид и Алипий. В сумму знаний (sine qua non) раннего Боэция, несомненно, входил и Аристотель, несмотря на то, что пря¬
7 Подробно учение о монохорде Боэция изложено и истолковано в отдельной статье (ЛебедевМБ).
8 Рецепции Никомаха в музыкальном учении Боэция посвящена отдельная статья (ЛебедевНБ).
9 О нем известно из разных греческих и римских источников (в основном немузыкальных), но полный текст — только у Боэция. Перевод и подробное толкование Спартанского декрета даны в отдельной статье (ЛебедевСД).
10 Рецепция Птолемея у Боэция рассмотрена в отдельной статье (ЛебедевПБ).

Апология компиляции
xiii
мых ссылок на него почти нет. С большой вероятностью, Боэций знал комментарий Порфирия к «Гармонике» Птолемея и (не сохранившийся) трактат о музыке римского ученого Альбина. К этому списку важно добавить Аристоксена, которого Боэций считает не столько «опорным» авторитетом, сколько авторитетным оппонентом — с должным уважением к традиции он именует его словом musicus11. В своем отношении к ученой древности Боэций вообще неизменно почтителен и щепетилен. Он не прикрывает авторитетом худое, сомнительное или намеренно ложное собственное утверждение (как это делали многие компиляторы до и после Боэция, и делают вплоть до наших дней), а приводит авторитет в дидактических целях — для закрепления в отношении несобственной предъявляемой сущности (метода, максимы, теоремы, термина) статуса общепринятого знания. Даже если какие-то древние авторы с умыслом перетолковываются в нужном Боэцию ключе, то такое перетолкование происходит скромно, без демонстрации собственного эго12. При всем обилии явных и неявных авторитетов, если попытаться вписать его «Музыку» в глобальный исторический контекст, то этот труд следует отнести кпифагорейской традиции античной теории музыки.
План музыкального трактата Боэция не следует принятому в греческих учебниках гармоники семичастному порядку развертывания — о звуках, об интервалах, о родах, о звукорядах («системах»), о «тонах» (т. е. о ладах), о метаболах, о мелопее, — но представляет собой индивидуальную структуру. В этом плане только часть тем традиционна (звуки-интервалы-роды-системы-лады), другая же часть (метабола и мелопея) никак не представлена и, кроме того, добавлены тематические области, которые никогда не входили в стандартные учебники гармоники: историография музыки, монохорд и нотация.
Обзор содержания
Сочинение Боэция состоит из пяти никак не озаглавленных книг. Первая книга выполняет функцию введения в науку. Она толкует об этическом, социальном и космическом значении музыки и устанавливает в качестве главного применяемого в труде дискурса фило-
11 Mus. Ill, 1. В целом имя Аристоксена в «Музыке» Боэция упоминается двадцать девять раз (не считая семи его упоминаний в оглавлениях книг).
12 Даже такие высказывания, которые по нынешним меркам звучат как демонстрация собственного вклада, вроде «я называю» (лат. voco; см. И, 12; II, 31) или «я же утверждаю» (dico autem, см. И, 25), на поверку оказываются данью господствующему в квадривиальных работах Боэция риторико-дидактическому стилю.

XIV
Введение
софско-пифагорейский. Здесь же Боэций делает «первый обход» специальных музыкальных понятий и терминов. В Первой книге меньше всего арифметики — потому она легче всего читается. Вторая и Третья книги — элементарная теория музыки в ее пифагорейском понимании. Из-за обилия вычислений и формализованных логических построений эти книги читателю-музыканту будут особенно трудны. Четвертая книга посвящена монохорду — от изложения математических аксиом до детальнейшей в своей дидактике иллюстрации деления канона; здесь же автор конспективно излагает греческую нотацию, а также учит о видах консонансов и возникающих на их основе ладах. Теория ладов ввиду ее конспективного эллиптического изложения Боэцием представит главную «музыкально-логическую» сложность для читателя. Пятая книга (сохранилась частично) пересказывает начальные главы «Гармоники» Птолемея. При том что Боэций несомненно знал «Гармонику» уже к моменту написания «базовых» книг13, он не смог вписать ее в пифагорейский контекст учебника и потому решил дать учение Птолемея отдельно, по-видимому, как факультативное чтение для «продвинутых» студентов.
Первая книга. Первая глава (несоразмерно большая по сравнению с другими главами той же книги) выполняет функцию введения ко всему учебнику. Она содержит подборку мифов и поучительных анекдотов, призванных засвидетельствовать особое положение науки музыки в квадривии и особое значение искусства музыки в жизни каждого отдельного человека и общества в целом. Здесь же постулируется (впоследствии многократно акцентируемый) платоновско-пифагорейский дискурс научного метода. Вторая глава — специфически Боэциево троичное деление музыки на мировую, человеческую и инструментальную. Только глава 27 затрагивает мировую музыку (она же гармония сфер); человеческая музыка, несмотря на обещания Боэция, не рассматривается в «Основах музыки» вовсе, и весь учебник далее посвящен только проблемам инструментальной музыки (т. е. музыки в нашем понимании). В прочих главах Первой книги автор дает определения музыкальных (звук, интервал, консонанс и диссонанс, роды мелоса, определения конкретных интервалов, Полная система) и арифметических (роды неравенства, разновидности числовых отношений) терминов, которые детально разрабатываются в дальнейших книгах, причем теоретические главы Первой книги перемежаются историко-мифологическими экскурсами (открытие числовых оснований музыки Пифагором, рост объема звуковысотной
13 	На протяжении предыдущих четырех книг он упоминает Птолемея неоднократно (шесть раз), но не вдается в подробности.

Обзор содержания
XV
«материи» греческой музыки — от тетрахорда до двухоктавной Полной системы).
Ряд исключительно важных терминов — второе значение слова «музыка» (наука о мусических искусствах), гармония (как философская и эстетическая категория), гармоника (дисциплина, изучающая музыкальную гармонию), развертывающаяся в дискретных интервалах мелодия (modulatio),— активно применяемых в учебнике, к сожалению, не определяется. По-видимому, Боэций полагал их само собой разумеющимися и очевидными для своего читателя. Современному читателю, понятное дело, эти термины вовсе не очевидны. Другие важные музыкальные (подвижные и неподвижные звуки тетрахорда, виды консонанса, лад, специфические микроинтервалы) и арифметические (вся теория средних, пропорция и ее разновидности) термины вводятся позже, на стадии продвинутого знания. Завершается Первая книга (глава 34) знаменитым Боэциевым рассуждением о «музыканте» (musicus), то есть ученом, способном — в отличие от кифареда и поэта — непосредственно созерцать и исследовать разумные (читай пифагорейские) основания музыки.
Во Второй книге Боэций по большей части воспроизводит материал «Арифметики» Никомаха, принятые в учебнике элементарные математические основания музыки. После небольшого философского пролога (глава 1) автор классифицирует дисциплины квадривия в зависимости от того, каким видом числа (величины и множества, непрерывное и дискретное количества) каждая дисциплина квадривия занимается. Поскольку математическим выражением единого служит отношение равенства, из него с помощью особого алгоритма (в Средние века известного под латинским названием saltus Gerberti) и выводятся все другие рациональные отношения чисел, а также любое рациональное отношение может быть приведено к равенству (главы 7 и 15). Теории средних отводится центральная часть Второй книги (главы 12-17). После детального (местами избыточно детального) изложения элементарной математики Боэций ненадолго возвращается к музыкальным темам. В главах 18-20 он сравнивает различные пифагорейские теории, касающиеся иерархического положения консонансов — по Никомаху, Евбулиду и Гиппасу; эти сведения уникальны и не имеют исторических прототипов (в том числе и в сохранившихся трактатах Никомаха), а в главах 21-30 аргументирует числовые отношения консонансов, целого тона и неравных полутонов — лиммы и апотомы. В заключительной главе 31 впервые в латинской теории музыки Боэций вводит понятие коммы (позже получившей название «пифагоровой») и дает ее расчет.

XVI
Введение
Третья книга досконально рассматривает математику интервалов, обозначенных как «части консонансов» — целый тон, полутон и микроинтервалы, на основе установленных ранее «Никомаховых» математических определений и алгоритмов. Боэций без устали муссирует излюбленную тему пифагорейцев — неравенство полутонов, только теперь это делается в форме полемики с Аристоксеном (главы 1-4) и Архитом Тарентским (глава 11). В главах 5-8 является новый пифагорейский авторитет, Филолай (очередное свидетельство, которое не подкрепляется ни одним древним источником); именно по нему вычисляются микроинтервалы диесы, схизмы и диасхизмы, что позволяет отыскать столь желанную Боэцию «истинную половину тона». Следующие две главы описывают алгоритм получения обоих полутонов и коммы путем откладывания консонансов вверх и вниз. Таким образом обеспечивается практическое «доказательство» интервалов, которые до того обсуждались исключительно теоретически. В заключительных главах 12-16 микроинтервалы, полутоны и целый тон вычисляются по отношению к атому музыкального восприятия — комме, ведь «комма — это крайнее, что может воспринять слух».
Покончив, наконец, с элементарной теорией «музыкальных» чисел, в Четвертой книге Боэций обращается к рассмотрению более сложных проблем музыкальной теории. Всю эту книгу пронизывает учение омонохорде, которое построено логично и представлено в достаточной полноте: начав с общетеоретических положений (глава 2, представляющая собой первый в истории латинский перевод «Деления канона» Евклида), Боэций затем дает практический расчет монохорда во всех трех родах мелоса и в объеме Полной системы (также впервые в истории; главы 5-13), а завершает кратким наставлением «для ленивых» к быстрому извлечению на монохорде базовых консонансов (глава 18).
Под предлогом необходимости маркировать специальными знаками линейку монохорда внутрь вставлено (неполное) описание греческой нотации (главы 3-4), которое обнаруживает большое сходство с пособием по нотации (не названного по имени) Алипия. Главы 14-17 — смысловая и дидактическая кульминация всего трактата о музыке, теория лада. Боэций следует здесь логике античной гармоники. После дефиниции вида (species) консонанса (по Птолемею) он разворачивает теорию диатонических видов кварты, квинты и октавы, особенность которой — двойная их нумерация (по восхождению и по нисхождению). Затем — после знаменитого тезиса о том, что лады (modi) выводятся из видов октавного консонанса, — сразу предъявляет читателю проекцию структурно различных октавных звукорядов на

Обзор содержания
XVII
единую и незыблемую, но высотно смещаемую, интервальную структуру Полной системы. При этом каждый ладовый звукоряд получает свой уникальный этноним, в точном соответствии с (присвоенным ранее) номером вида октавы. Ввиду того что пошагово проекция не описана, понять механизм превращения «пронумерованных» видов в «живые» лады очень непросто, но возможно.
Пятая книга (в сохранившемся объеме глав) представляет собой беглый пересказ первых четырнадцати глав Первой книги «Гармоники» Птолемея. Как правило, для того или иного пассажа Боэция находится прототип в греческом оригинале, но временами мысль компилятора отвлекается от прототипа. Основное назначение этого конспекта очевидно: кратко дать основы Птолемеевой науки на родном латинском языке, адаптировать ее для пользования в Риме. Но очевидна и оборотная сторона такой краткости: в ряде случаев Боэций выпустил математическую и логическую аргументацию Птолемея (не будем забывать, что он пишет все-таки учебник), откровенно упростил оригинал. Пропуски могли быть сделаны Боэцием и по редакционным соображениям — для исключения точных повторов сказанного в предшествующих книгах. Только в редких случаях оригинальный текст расширен собственными толкованиями Боэция. В главах 1-3 приводится определение гармонии по Птолемею, которое (точно так же, как у Порфирия тремя веками раньше) выливается в определение гармоники как «силы» или «способности» человеческого восприятия. В главах 5-6 и 11-12 закреплена на латыни уникальная Птолемеева классификация звуков и интервалов. В главах 7-10 Боэций честно передает полемику Птолемея с пифагорейцами, в том числе и (противоречащее его собственному предыдущему изложению) признание греком октавы с квартой (ундецимы) консонансом. В заключительных главах (13-18) Боэций воспроизводит оригинальную полемику с Аристоксеном и Архитом, которые «неправильно» вычисляли интервалы внутри тетрахорда разных родов, после чего приступает к изложению собственно Птолеемева деления тетрахорда. На этом трактат «Основы музыки» обрывается. Несмотря на откровенную схематичность пересказа, на отдельные и весьма досадные неточности интерпретации (как, например, в определении гармонии и в определении вида консонанса, данном еще в Четвертой книге), не будем забывать, что именно Боэций передал Птолемееву гармонику в актив музыкальной науки на целое тысячелетие, сохранив тем самым драгоценную преемственность древней научной традиции. За это европейская цивилизация должна быть ему благодарна.

xviii
Введение
Обзор рукописей, изданий и переводов
Музыкальный трактат Боэция — наиболее часто копируемый14, глоссируемый и цитируемый текст в истории западноевропейской музыкальной науки, особенно в Средние века и (реже) в эпоху Возрождения, вплоть до XVII века15. Древнейшие, так называемые «контрольные», его рукописи относятся к IX веку16:
2
3
4
Краткое описание
1
F-B 507
—
В
Besançon, Bibliothèque municipale, 507, 2-я пол. IX в. Содержит только фрагмент (III, 1-8) трактата.
2
D-Mbs Clm 14523
i
I
München, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14523. Кодекс составлен во Фрейзинге между 854 и 875 гг. Полный текст «Музыки» за исключением спартанского декрета и схем греческой нотации из IV, 15-16.
3
F-Pn lat. 7181
P4
P
Paris, Bibliothèque nationale, lat. 7181. Составлена в Северной Франции, содержит большую подборку разных трактатов Боэция, в том числе «Арифметику». Глосс нет.
4
F-Pn lat. 7200
P2
M
Paris, Bibliothèque nationale, lat. 7200. Предположительно из Корби. В X веке находилась в библиотеке Флери (на Луаре). Содержит глоссы, также IX в.
5
F-Pn lat. 7201
P3
к
Paris, Bibliothèque nationale, lat. 7201, 1-я пол. IX в. Самая древняя рукопись «Музыки», составлена на Севере Франции, возможно, в Сент-Амане. Полный текст. Глосс нет.
6
F-Pn lat. 13020
T
Paris, Bibliothèque nationale, lat. 13020. Составлена в Корби; ее источником послужила рукопись R. Глосс нет. Графические схемы выполнены здесь с особым тщанием.
7
F-Pn lat. 13908
Q
Paris, Bibliothèque nationale, lat. 13908, сер. IX в. Место составления неизвестно. Содержит много глосс (также IX в.). Текст обрывается после IV, 11.
8
F-Pn lat. 13955
—
R
Paris, Bibliothèque nationale, lat. 13955. Составлена в Корби в 850-75 гг., является источником для S и Г.
9
F-Pn lat. 14080
—
S
Paris, Bibliothèque nationale, lat. 14080. Составлена в Корби; ее источником послужила рукопись R.
14 На сегодняшний день известно более 150 списков. Подробное описание рукописей «Музыки» Боэция см. в статье BowerHM (обновлённый список глоссированных находится в Gloss. IV, 1-60).
15 Наиболее значимые средневековые глоссы к «Музыке» Боэция собраны и опубликованы (в трех томах) М. Бернхардом и К. Бауэром под названием «Glossa maior in institutionem musicam Boethii» (Gloss.).
16 Во 2-м столбце названия рукописей сокращены в соответствии с нормами RISM, в 3-м даны аббревиатуры, которые использовал редактор «Музыки»

Обзор рукописей, изданий и переводов
XIX
2
3
4
Краткое описание
10
I-Rvat Reg. lat. 1638
V
Roma, Biblioteca Apostolica Vaticana, Reg. lat. 1638, 2-я пол. IX в. Глоссирована. Обнаруживает родство с Q, R, S, Т. Лист со Спартанским декретом вырван (найден в библиотеке Лейдена: NL-Lu Voss. Mise. 38).
11
F-O 293b
—
О
Orléans, Bibliothèque municipale 293, ok. 900 г. Глоссирована. Происходит из Флери.
Почти все эти рукописи «Музыки» Боэция происходят из (нынешней) Северной Франции. Центральным местом, где трактат начали переписывать и активно глоссировать, было Корби (Corbie) — бенедиктинское аббатство, основанное самое позднее в 661 году франкской королевой Батильдой. В Средние века аббатство Корби славилось уникальным скрипторием, в котором работали изумительные миниатюристы; там же впервые был широко внедрен готический минускул. Уникальная библиотека аббатства просуществовала тысячу лет и была уничтожена лишь французскими революционерами в конце XVIII века17.
Древнейшие рукописи «Музыки» отличаются удивительной стабильностью формальной структуры и собственно текста. Текстовые различия между ними за редкими исключениями незначительны и затрагивают лишь обычные случаи альтернативной орфографии18. В большей степени разнообразно графическое оформление; впрочем, это разнообразие затрагивает диаграммы как таковые и мало что добавляет к пониманию иллюстрируемого ими «ученого» смысла. Напрашивается простое объяснение такого положения дел: экспоненты
Г. Фридляйн в XIX в., в 4-м — альтернативные аббревиатуры, принятые в позднейших исследованиях Боэция. Датировки рукописей — по Бернхарду Бишофу (BischoffHK, 59; BischoffSBK, 69-70; см. также BernhardUF, 25).
17 Некоторые манускрипты, вышедшие из скриптория Корби, сохранились благодаря русскому библиофилу и дипломату П.П. Дубровскому, работавшему в годы Французской буржуазной революции в Париже. Дубровский искренне надеялся зародить в соотечественниках «благородное соревнование привозить из чужих краев, вместо богатых гардеробов, кружев, фарфоровых сервизов и прочего, разные предметы учености, обогащающие науки и художества» (цит. по: Голубева О. Д. Дубровский Петр Петрович // СРНБ 1, с. 204). В 1805 г. его коллекция стала основой Депо манускриптов (т. е. Отдела рукописей) Императорской публичной библиотеки Петербурга, где ныне и хранится.
18 К примеру, название ступени Полной системы «лихана» (от греч. Λιχανός) в рукописи Р передается как licanos, в I как lychanos, в М и О как lichanos, в К — и lychanos и lichanos. Только написание lichanos считается нормативным (потому и принято в настоящем издании).

XX
Введение
древнейшей традиции, возможно, опирались на один и тот же (не сохранившийся) прототип, который по счастливой случайности уцелел в Темные века и попал в руки трудолюбивых галльских монахов. Этим же обстоятельством, как мне кажется, объясняются стабильные описки в некоторых словах и словосочетаниях оригинала, неизменно переходящие из одной рукописи в другую19 — по-видимому, они существовали уже в гипотетическом прототипе, с которого и были изготовлены сохранившиеся списки. Микрофильмы и некоторые электронные копии всех контрольных манускриптов «Музыки» хранятся в архиве Музыкально-исторической комиссии Баварской академии наук. Кроме контрольных, мне удалось ознакомиться (в Баварской государственной библиотеке) также с важными позднейшими (XI в.) рукописями «Музыки» Clm 18478 и Clm 1848020.
Лучшим латинским изданием «Музыки» Боэция по праву считается издание Готфрида Фридляйна, который в 1867 году опубликовал ее (вместе с «Арифметикой») в солидном издательстве «Teubner»21. Из контрольных рукописей Фридляйн видел только одну (7); по поводу трех других (К, М, Р) его заочно консультировали коллеги. Остальные семь рукописей, которыми пользовался немецкий ученый, относятся к Х-ХИ векам22. В 1980-х годах американский музыковед Келвин Бауэр предпринял ревизию «Музыки» Боэция по рукописям, результатами которой он воспользовался в своей докторской диссертации; впрочем, нового издания оригинала американец по каким-то причинам делать не стал. Таким образом, получается, что современного латинского издания «Музыки» в мире не существует23.
19 Например, в III, 2.2 во всех контрольных рукописях вместо geometrica proportionalitate (в геометрической пропорции) стоит geometrica proportione (в геометрическом отношении); выражение «геометрическое отношение» не имеет смысла. Другой пример — пропуск отрицания поп в V, 16.4. Все контрольные рукописи передают «шесть различий смешанных родов» (differentiae permixtorum generum sex), хотя речь у Птолемея идет о различиях именно несмешанных (чистых) родов мелоса; пропущенное поп — явная описка.
20 В соответствии с палеографической традицией они обозначаются буквами (соответственно) М/с и М/. Фридляйн знал последнюю (обозначал ее буквой/).
21 FB. Не могу не отметить бамбергскую рукопись «Арифметики», которую знал уже Фридляйн,— она прекрасно иллюстрирована и, среди прочего, содержит забавные «портреты» Боэция и его приемного отца Симмаха (см. здесь Приложение II).
22 Пять мюнхенских, одна бамбергская и одна кембриджская.
23 Еще в 1981 году Г. Чадвик отмечал (ChadwickB, 259), что необходимость замены издания Фридляйна новым назрела, но за 30 прошедших с того времени лет была переиздана только «Арифметика»; нового издания «Музыки» так и не появилось.

Обзор рукописей, изданий и переводов
XXI
Первый полный перевод музыкального трактата Боэция (на немецкий язык) сделал еще в 1872 году Оскар Пауль (PaulB). Добросовестный и изрядно (хотя и неровно) откомментированный, он все еще пригоден для справки по тексту. Переводы и комментарии Пауля устарели ровно настолько, насколько устарело представление о «центроположности» мажорно-минорной тональности, типичное для немецкой музыкальной науки того времени. Более современного полного немецкого перевода «Музыки» нет24. В 1989 году был опубликован критически выверенный английский перевод К. Бауэра, с подробным комментарием. Этот перевод я считаю и по сей день лучшим переводом «Музыки» Боэция25. Год спустя Джованни Марци выполнил перевод трактата на итальянский язык, разбавив его скупыми комментариями (MarziB). Русский перевод, опубликованный Е.В. Герцманом в «бурные девяностые»26, чрезмерно буквален, с одной стороны, и неряшлив — с другой; в ряде случаев «натянутые» отношения переводчика с латынью слишком очевидны; в латинском оригинале, опубликованном наряду с переводом, есть существенные пропуски, и т.д.27 Важное для своего времени (когда не было вообще никакого полного
24 Отдельные главы (фрагменты I, 1; I, 2; I, 9; I, 34; III, 10; V, 2-3) есть в переводе А. Хайльман (HeilmannB).
25 BowerB. Книга 1989 года — исправленная и дополненная версия докторской диссертации Бауэра (BowerBPM). В подготовке книги большую редакционную помощь Бауэру оказал выдающийся американский музыковед Клод Палиска, сделав текст перевода стилистически более гладким и удобочитаемым. К сожалению, и этот перевод не свободен от ошибок, опечаток (особенно досадных в схемах и вычислениях) и даже пропусков. Во фрагментах «Музыка» Боэция переводилась на английский язык неоднократно. Пожалуй, наиболее распространен перевод первой (частично) и второй глав Первой книги, выполненный Оливером Странком в его антологии «Source readings in music history» (новую редакцию этого перевода, которую сделал Джон Маккиннон, см. в кн.: SRMH, 137-143).
26 Под названием «О музыкальном установлении» в книге автора «Музыкальная боэциана» (ГБ). В 2010 году эта книга (с косметическими изменениями первоначального текста и без иллюстраций, присутствовавших в первом издании) была перепечатана.
27 Например, Е.В. Герцман исключил четыре схемы монохорда (думаю, по причине сложности их верстки) из Четвертой книги «Музыки», при том что текст Боэция, толкующий как раз эти схемы, почему-то оставлен (см. ГБ, сс. 272, 274, 275 и 276). Странно, что и в недавнем переиздании этой книги (где латинский и русский тексты явно набирались заново) те же схемы монохорда вновь пропущены. Более подробно критику этого издания см. в моей статье (ЛебедевПН).

XXII
Введение
русского перевода28), ныне это издание, как принято говорить, имеет историческую ценность. В 2004 году вышел перевод «Музыки» Боэция и на французский язык (МеуегВ). Его автор Кристиан Мейер опирался преимущественно на английский перевод и комментарий Бауэра, и как раз в силу этого обстоятельства его перевод оказался мало полезным для настоящего издания.
«Арифметика» Боэция полностью переведена на английский и французский языки, причем английский перевод Майкла Мази (MasiB) содержит неточности в тексте и ошибки в схемах. Научный аппарат к этому тексту по-своему уникален: в нем толкуются и без того понятные сущности, а к трудным для понимания местам никаких толкований нет29. На немецкий язык переведены только две главы «Арифметики», первая и последняя. Этот качественный и хорошо обдуманный перевод, сделанный филологом Тильманом Кришером (KrischerB), выказывает, однако, его некомпетентность в специфически музыкальных вопросах (ориентироваться в них при переводе «Арифметики» совершенно необходимо!)30. Новый (2007) перевод первой главы Первой книги «Арифметики» выполнила Аня Хайльман; впрочем, свою довольно странную передачу музыкальных терминов она никак не комментирует, оставляя читателя в недоумении31. Лучший,
28 Фрагменты трактатов о музыке и арифметике Боэция в переводах выдающегося искусствоведа и филолога, «русского Леонардо» В.П. Зубова опубликовал В.П. Шестаков еще в 1966 году (см. МЭЗСВ).
29 Например, в Arithm. II, 1 Боэций явно цитирует некоего «авторитета» (на что указывает стандартная в таких цитатах фраза ut ait). Мази не дал себе труда идентифицировать прототип Боэция (а это Лукреций в пересказе Сервия Гонората), в результате у него вышел формальный и неточный английский перевод реферируемой Боэцием фразы (см. подробней мой перевод этой главы). Разгромную рецензию на интерпретацию Мази с позиции математика написал У. Кнорр (KnorrR).
30 Например, в Arithm. I, 1 фразу «illam [i.e. multitudinem ad aliquid — СЛ.] vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt» наперекор грамматике Кришер переводит: «jene [Vielheit — СЛ.] hingegen, die stets auf anderes bezogen ist, wird von den Musikern als Maß der Harmonien erkannt». Непонятно, откуда взялись «музыканты» (musici — это прилагательное для modulaminis), подлежащим здесь могут быть только temperamenta.
31 HeilmannB, 299-303. Например, словосочетание modulatio musica (I, 1.10) она буквально переводит как musikalische Maßhaftigkeit («музыкальная соразмерность»), без каких-либо комментариев (ib., 302). Так же буквально переводится и фраза quae diatessaron est modulatio — die Maßhaftigkeit, die eine Quarte ist («соразмерность, которая есть кварта»), в то время как несклоняемое существительное diatessaron здесь стоит в родительном падеже (modulatio diätes-

Обзор рукописей, изданий и переводов xxiii
французский, перевод (с обильным и весьма дельным комментарием) арифметического трактата Боэция осуществил в 1995 году Жан-Ив Гийомен (Guill.), сопроводив его отредактированным заново латинским оригиналом.
Проблема заглавия
Для озаглавливания арифметического трактата Фридляйн воспользовался автоссылкой Боэция: in libris, quos de arithmetica institutione conscripsimus (I, 4). Точно так же он поступил и с музыкальным трактатом, имея в виду автоссылки:
(1) id, quod institutione musicae adorsi sumus (III, 10);
(2) quod superest musicae institutioni regularis monochordi est facienda partitio (III, 16);
(3) ex secundo huius institutionis musicae libro et quarto petendum est (V, 7).
На основании этих автоссылок для целого, как мы видим, можно
дать либо краткие заголовки «Institutio arithmetica», «Institutio musica», либо длинные — соответственно, «Libri II de institutione arithmetica», «Libri V de institutione musica». Для своего издания Фридляйн предпочел вторые32.
Нельзя относиться к заголовкам древних книг, которые установил Фридляйн, как к заголовкам книг в позднейшем смысле, каковые мы, например, встречаем в инкунабулах и палеотипах эпохи Возрождения33, а особенно у греколюбивых немцев XVII века34. Заголовки Фрид-
saron = «модуляция кварты»), — речь идет попросту о том, какое числовое отношение соответствует мелодическому квартовому ходу.
32 FB, pp. IV-V. Некоторые ученые (русские и западные) копируют длинные заголовки Фридляйна с середины — остается «De institutione musica», «De institutione arithmetica». Выбрасывая «книги» (libri), они оставляют предлог «о» (de), который как раз и относится к (выброшенному) libri! Ссылаясь на фридляйновское заглавие, следует либо оставлять его во всей полноте («Пять книг наставлений в музыке», «Пять книг об основах музыки»), либо, если уж сокращать, то со смыслом («Основы музыки», «Наставление в музыке»).
33 Как, например, «Определитель музыкальных терминов» («Terminorum musicae diffinitorium») Иоанна Тинкториса (в инкунабуле Тревизо, 1497), «Додекахорд» Генриха Глареана (Базель, 1547), «Фронимо» Винченцо Галилея (Венеция, 1584) и т.п.
34 Как, например, «Музыкальная синтагма» («Syntagma musicum») Михаэля Преториуса (т. 1. Вольфенбюттель, 1614), «Музыкальные плеяды» («Pleiades musicae») Барифона (Хальберштадт, 1615), «Всеобщая музургия» («Musurgia universalis») Афанасия Кирхера (Рим, 1650), вплоть до «Подробного ходегуса [в переводе с греческого попросту „путеводителя" — СИ.] по музыкальной математике» («Musicae mathematicae Hodegus curiosus»; Франкфурт, 1686)

XXIV
Введение
ляйна (впрочем, как и в академических изданиях вообще любых древних трактатов) не уникальны, а весьма условны.
Рассмотрим для примера ситуацию с первым квадривиальным трактатом Боэция, единственным греческим прототипом для которого послужило «Введение в арифметику» (Αριθμητική εισαγωγή) Никомаха35. По ходу повествования можно найти автоссылку с таким же названием: пипс res admonet <.. .> arithmeticam introductionem commodissime terminare36. Но наряду с этим Боэций ссылается на свою работу и иначе, коротко, называя ее «арифметическими книгами», например, так: diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum37, или даже совсем просто — «Арифметикой»: Sed haec, qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intellegit38.
Аналогичная свобода, в какой-то мере даже безразличие к точному обозначению целого отмечается и во втором квадривиальном трактате. Боэций пишет: Nunc dicendum est, quae sit vis armonicae, de qua tractare instituentes quattuor inplevimus libros39. Таким образом, сам автор, уравняв «музыку» (т. е. теорию музыки) и «гармонику», дал повод средневековым переписчикам и комментаторам составлять эксплициты и инципиты книг (а также их оглавления) с учетом этой синонимии40.
В старинных документах и трактатах о музыке также не наблюдается единой традиции именования. Самые ранние упоминания приходятся на первую половину IX века: это Амаларий из Меца, цитирующий ок. 823 г. в своей знаменитой «Книге о богослужении» «книгу о музыке»41, и анонимный составитель книжного каталога из монастыря Райхенау (каталог датируется 835-842 гг.), который ссылается на текст Боэция как на «пять книг о музыке» («Libri quinque de
и «Музыкальной гармонологии» («Harmonologia musica»; Франкфурт, 1702) Андреаса Веркмейстера.
35 Это заглавие, разумеется, тоже неоригинально.
36 «Этим [учением о пропорциях] надлежит и завершить введение в арифметику» (Arithm. И, 40).
37 «Более подробное обсуждение этого метода соотнесенных вычислений содержится в арифметических книгах» (II, 7).
38 «Тот, кто тщательно изучил нашу „Арифметику", без труда понял данное [опровержение]» (III, 11).
39 «Сейчас следует сказать, какова сила гармоники; исследуя ее начала, мы [уже] написали четыре книги» (V, 2).
40 Например, эксплицит первой книги: «Explicit de musica id est armonica institutione liber primus»; эксплицит четвертой книги: «Explicit de musica id est armonica institutione liber quartus».
41 ...sicut Boetius in suo libro scribit quem de musica fecit (Liber officialis XI, 15-16).

Проблема заглавия
XXV
musica»). Автор учебника «Musica enchiriadis» (Хогер Верденский?) называет эту же работу «Теорией музыки»42. «Рукописью о музыке» и просто «музыкой» именует ее же Ремигий Осерский43. Именно последняя из упомянутых форм именования закрепилась в позднейших трудах музыкальных писателей, теологов, историков Средних веков и Возрождения, приобрела статус нормы. Приведу ряд примеров рукописной и раннепечатной традиции.
В XI в. о «музыке» Боэция пишут Верно из Райхенау44 и Вильгельм из Хиршау45. В XII в. — Иоанн Афлигемский46, Сигеберт из Жамблу47, Фрутольф из Михельсберга48. В XIII в. — Иероним Моравский49, Роберт Килвардби50, Винсент из Бове51. В XIV в. — Якоб Льежский52, Иоанн де Мурис53, Энгельберт из Адмонта54 (арифметический трактат он называет просто «Арифметикой»55), Псевдо-Тунстед56.
В XV в. — Просдочимо де Бельдомандис57, Франкино Гафури58, Уголино Орвиетский59. Большой знаток и почитатель Боэция Якоб Фабер (Жак Лефевр д'Этапль) в «Основах музыки» («Elementa musicalia») приводит «полные» названия квадривиальных трудов («Institutio arithmetica»; «Institutio musica») только в начале работы60, в даль¬
42 Prosequitur idipsum ex Ptolomei sententia praefatus doctor magnificus in quinto musicae rationis volumine.
43 Соответственно, «pagina de musica» и «in Boetii vero musica hic Dorius potest provideri».
44 Boetium in musica scimus tradidisse.
45 ...quae tam ex musica Boetii, quam ex probabilibus modernorum scriptis tibi cognita sunt.
46 nonne ego te Boetii musicam <...> legisse comperi.
47 Boetius <...> arithmeticam et musicam latinis scripserit.
48 De <...> proportionibus <..> in Musica Boetii satis elucubrata invenitur sententia.
49 ...ut dicit Boetius in prohemio super musicam.
50 ...sicut docet Boecius in principio musice.
51 Boetius in musica libro primo...
52 ...venerabilis Boethii Musica.
53 ...eleganter docuit Boetius in prologo suae Musicae.
54 Sonus secundum Boetium libro I. Musicae, capitulo 111...
55 ..quas Boetius in sua Arithmetica multum obscure et diffuse ponit.
56 Boycius enim, in sua musica, libro primo, capitulo ultimo, sic alloquitur dicens...
57 ...ut vult Boetius primo sue musice.
58 ...ut patet in Musica Boetii libro secundo.
59 Boetius autem in suae musicae proemio de excellentia musicae...
60 ...nulla superparticularis in duo equa dividi possit quam tertio institutionis musice capite undecimo videtur divus Severinus adducere <...> qui et simile in plerisque tum arithmetice tum musice institutionis locis fecisse comperitur.

XXVI
Введение
нейшем ссылается на них только кратко («Музыка», «Арифметика»)61. В XVI в. выдающиеся ученые Салинас62, Глареан63, Вичентино64, Царлино65 и подавляющее большинство других авторов величают музыкальный трактат Боэция просто «Музыкой».
В первом печатном собрании сочинений Боэция, изданном в Венеции в 1492 году, в оглавлении книги читаем всё то же, традиционное: «De Arithmetica ad patricium Simmachum libri duo <...>», «De Musica libri quinque». Такие же точно ссылки находим и внутри публикации. Начало арифметического TpaKTaTa:«Incipiunt duo libri de Arithmetica Anitii Manlii Severini Boetii viri clarissimi et illustrissimi ex consulis: ordinarii: patricii: ad patricium Simmachum» (fol. 155v). Начало музыкального трактата: «Boetii de Musica liber primus. Proemium. Musicam naturaliter» (fol. 174r)66.
Реже на музыкальный трактат Боэция ссылаются иначе. Хукбальд Сент-Аманский в конце IX в. и Регино Прюмский в X в. предпочитают «Наставления в гармонике» («Institutio harmonica»)67. Иоанн де Грокейо (2-я пол. XIII в.) полагал, что Боэций написал «Книгу о музыкальной гармонии»68. Тинкторис (XV в.) в «Книге о природе и свойстве тонов» тоже говорит о «Наставлениях в гармонике»69, в других же трудах называет этот трактат просто «Музыкой»70. Наконец, некоторые ученые (как анонимный автор «Alia musica» в IX в. или Маркетто
61 ...divus Severinus decimotertio capite quarti sue musices species diapente numerando eas quattuor faciat <...> Cuius error ex tertio musices divi Severini Boecii et ex hac et precedente facile convincitur. <...> Placuit tamen divo Severino quadragesimo octavo capite secundi sue arithmetices ad omnes consonantias musicas complectendas <...>
62 ...a Boetij, viri gravissimi, autoritate recesserimus <...> qui tam in Musica, quam in Arithmetica trium numerorum exempla proposuit.
63 ...ut Boethianam Musicem legere, relegere, ad devorare etiam voluerim.
64 Boetio nel cap. XII del 4 lib. della sua Musica...
65 che dice Boetio nel capitolo 29. del libro 2. della sua Musica...
66 Первое издание «Арифметики» (отдельно) случилось примерно в то же время, в Аугсбурге в 1488 году. Его заголовок — «Arithmetica Boetii». Среди ранних изданий «Арифметики» и «Музыки» в XVI в. примечательно базельское 1546 года, под редакцией знаменитого Глареана.
67 Соответственно, «Boetius in primo suae institutionis armonicae libro sufficienter edisserit» и «legat secundum Boetii librum de institutione harmonica».
68 Boetius, vir valens et nobilis, <...> ait enim in libro suo de harmonia musicali.
69 ...praetereundum est Boethium septem tonos in sua Institutione armonica posuisse.
70 Например, в «Книге об искусстве контрапункта»: ut ex Musica Boethii <...> accepi; Boethius in sua Musica manifestissime demonstrat.

Проблема заглавия
XXV11
Падуанский в XIV в.) ссылаются на Боэция слишком коротко, без каких-либо указаний на заголовки71.
Тысячелетняя традиция именования, глоссирования и научного обсуждения квадривиальных учебников Боэция дает мне полное право не придумывать сколько-нибудь специальное заглавие для них. Наоборот, называть первый просто «Арифметикой», а второй «Музыкой», как выясняется, дело обыденное и тривиальное. Не говоря уже о том, что такие короткие отсылки на заглавия, благодаря легкости русского склонения, гораздо удобней в обиходе, чем громоздкие предложные конструкции72.
Поскольку, с одной стороны, сам Боэций в нескольких автоссылках обозначает жанр своего трактата как «institutio», а с другой стороны, заголовки с легкой руки Фридляйна стали рутинными в энциклопедических статьях и работах современных медиевистов, историков математики и музыки, то, возможно, стоит несколько подробней рассмотреть само слово institutio. Это существительное образовано от глагола «instituo», а тот в свою очередь происходит от in + statuo. Одно из словарных значений institutio — «установление» (в устаревшем значении «завет, закон») здесь не годится, оно содержит религиозные коннотации73, которых в наших текстах нет. Как вариант «установления» рассматривалось слово «устав», если его понимать как синоним слов «устройство», «организация», «система». Однако ассоциативный ряд современного русского языка (воинский устав, устав общественной организации и т.п.), как мне показалось, помешает правильному восприятию нужного смысла.
Другой важный и весьма распространенный перевод institutio — «наставление». Так, известный трактат Квинтилиана «Institutiones oratoriae» (I в. н. э.) передают по-русски как «Наставления в ораторском искусстве», или «Риторические наставления»74. В таком же примерно
71 Так, например, делает Маркетто: Boetius ita dicit..., ...ut Boetius refert, teste Boetio..., boetii viri doctissimi studiosa lectio и т.п.
72 Cp. две русские фразы: «Наряду с Об установлении музыки Боэций написал также Об установлении арифметики» vs. «Наряду с Музыкой Боэций написал также Арифметику».
73 Например, «установления о вере и церковных обрядах» (Даль).
74 Так еще в старинной русской традиции, например: «Марка Фабия Квинтилиана двенадцать книг риторических наставлений. Санкт-Петербург, типография Императорской Российской Академии, 1834. Переведены с Латинского Императорской Российской Академии Членом Александром Никольским и оною Академиею изданы». Впрочем, в последнем издании БРЭ «Institutio oratoria» перевели как «Воспитание оратора» (БРЭ 13 [М., 2009], с. 495).

xxviii
Введение
смысле переводят и заголовок трактата младшего современника Боэция Кассиодора «Institutiones divinarum et saecularum litterarum» — «Руководство к изучению божественной и светской литературы». Таким образом, вполне возможно озаглавить квадривиальные труды Боэция соответственно «Наставления в арифметике» и «Наставления в музыке», или «Руководство по арифметике», «Руководство по музыке». Однако в (верном) переводе латинского слова institutio русским «наставление», как мне кажется, нет нужного в данном случае оттенка начинательности курса. К тому же, слово «наставление» немедленно наводит на мысль об инструктивном характере текста, в то время как предъявление и рассмотрение различных точек зрения и отдельные оценочные суждения наряду с инструктивными пассажами — всё это выводит музыкальный трактат Боэция за рамки «чистого» учебного жанра.
Эту важную черту «Музыки» Боэция, а именно соединение в одном тексте учебно-назидательного и научного стилей, мне хотелось удержать в переводе трактата в целом и заглавия в особенности. Поэтому, обдумав и взвесив варианты, я остановился (так же как и К. Бауэр75) на значении instituo как «закладывать основу», «устанавливать» что-либо76; вот почему institutiones я трактую как «начала», «элементы», «основы», т. е. как синоним instituta77. Данное значение institutio верно схватывает цель труда Боэция, как я ее себе представляю — рассказать читателю о базовых, основополагающих понятиях музыки как учебной «математической» дисциплины и одновременно как системы научного знания.
Слово institutio в смысле учебника по основам науки Боэций почти наверняка использовал по аналогии с учебниками римского права, которые традиционно носили заголовок «Institutiones» (в наши дни такие учебники принято именовать просто «институциями»)78. Самая известная компиляция такого рода, которая была закончена через десять лет после смерти Боэция, известна в истории как «инсти¬
75 Который передает Institutio musica по-английски как «Fundamentals of music» (BowerB).
76 В таких сочетаниях, как, например, возводить здание, организовывать военный отряд.
77 Латинское слово institutio (существительное в единственном числе) в таком смысле, понятное дело, надо передавать по-русски так же, как и institutiones (то же во множественном числе) — «основы».
78 «Новый словарь иностранных слов» (2008) определяет институции как «элементарные учебники римского права в Древнем Риме, систематически излагавшие основные начала юриспруденции» (НСИС, 318).

Проблема заглавия
XXIX
туции Юстиниана»79. Эта книга вовсе не «установление» в смысле официального императорского указа, конституции или иного свода законов и правил, а именно учебник по основам. В предисловии Юстиниан пишет: «после пятидесяти книг дигест, или пандектов, в которых было собрано всё о древнем праве <...> мы повелели разбить настоящие институции на четыре книги наподобие четырех первоэлементов всей правовой науки»80. Четыре тома институций, соответствующие четырем основным видам римского права81, по-видимому, символически связаны с четырьмя всем известными элементами мироздания. Институции Юстиниана в свою очередь основаны на институциях выдающегося юриста II в. Гая — этот классический учебник82, как и учебник (также носящий титул «Institutiones») другого знаменитого римского юриста Ульпиана (ок. 170-228), magister officiorum Боэций, вне всякого сомнения, отлично знал83. Традиция именовать учебник по основам той или иной дисциплины «институциями» просуществовала не меньше тысячи лет; в истории музыкальной науки можно вспомнить «Письмо об основах гармоники» («Epistola de harmonica institutione», ок. 900 г.) Регино Прюмского и знаменитые «Основы гармоники» («Le Istitutioni harmoniche», 1558) Джозеффо Царлино.
Проблема датировки
«Арифметика» и «Музыка» — первые сочинения Боэция. Об этом ясно свидетельствует (расположенное перед «Арифметикой») посвящение Симмаху «начатков труда» (laboris primitiae), «набросков нового сочинения» (rudimenta novi operis), которым Боэций открывает свою научную и писательскую карьеру.
Вопрос о том, когда именно были написаны квадривиальные учебники, биографами Боэция обычно решается «релятивистски», то есть их дата вычисляется по отношению к позднейшим философским трактатам и к некоторым (очень немногим) точным историческим
79 Часть огромного по объему юридического сборника «Corpus Iuris Civilis», работа над которым была закончена в 534 г. Русский перевод издан в серии «Памятники римского права» (ИЮ).
80 <...> post libros quinquaginta digestorum seu pandectarum, in quos omne ius antiquum collatum est <...>, in hos quattuor libros easdem institutiones partiri iussimus, ut sint totius legitimae scientiae prima elementa.
81 Публичное право (jus publicum) и три части частного права (civile, gentium, honorarium).
82 Русское издание: ГайИ.
83 Цитатами из институций Ульпиана (Top. Cic. 1071b) и Гая (ib., 1093a-b) Боэций украшает свой комментарий к «Топике» Цицерона.

XXX
Введение
фактам. Датировки для обоих, которые обычно дают справочники и исследования, колеблются в диапазоне между 500 и 510 гг. «Cambridge Companion to Boethius» (2009) дает 500-506 (CCB, 303). К. Мейер (2004) без каких-либо уточнений — «около 510» (MeyerB, 1), М. Бернхард в «Lexicon musicum Latinum» (2006) пишет более осторожно — «ante 510» (LmL 1, р. XCV). К. Бауэр в своем переводе «Музыки» и в энциклопедической статье «Boethius» (2001; NGD) вообще не дает никаких датировок для квадривиальных трактатов. В новейшей (2006) «Истории музыкальной теории» «Музыка» датирована (без аргументации) «около 500» (HarmonR, 395). Все эти датировки восходят еще к трудам немецких историков и филологов второй половины XIX — начала XX веков. Terminus post quem (500), увы, взят совершенно произвольно. Интересней с terminus ante quem.
В сборнике «Variae» Кассиодора, к счастью, сохранились письма Теодориха к Боэцию. В одном из них король обращается к Боэцию с просьбой найти в Риме для франкского короля достойного кифареда. Очевидно, что к моменту составления этого письма Боэций уже слыл состоявшимся знатоком музыки:
Поскольку король франков [Хлодвиг I], привлеченный славой нашего пира, умолял нас о кифареде, то мы пообещали ему исполнить его просьбу, исключительно на том основании, что мы знаем тебя как сведущего в музыкальной учености человека. Именно тебе — человеку, который смог овладеть столь трудной наукой, сподручно выбрать искусного [кифареда]. <...> Итак, поскольку мы закончили приятное отступление от темы (ведь всегда приятно поговорить о науке со сведущими людьми), пусть твоя мудрость выберет лучшего современного кифареда (о котором, как мы сказали выше, нас попросили); пусть он подобно Орфею станет укрощать благозвучием дикие сердца язычников. И насколько велики будут оказанные нам [твои] милости, настолько же и наши вернутся к тебе в виде равного воздаяния, — тем самым ты и повинуешься нашей власти, и совершишь то, что может тебя прославить84.
В другом письме Теодорих просит Боэция сконструировать водяные и солнечные часы (и те и другие обозначены в письме словом horologium) для бургундского короля Гундобада85 («то, что для нас дело обыденное, бургундцам покажется чудом»), за сына которого Сигиз-
84 Cassiodorus. Variae II, 40. Сборник Кассиодора (письмоводителя Теодориха во времена Боэция), охватывающий более 400 важнейших исторических документов, издавался многократно. Старое издание Т. Момзена (MommsenC) доступно в интернете и в виде текста и в виде факсимиле. Наиболее авторитетно новое издание в серии «Corpus Christianorum. Series latina» (FridhV).
85 В орфографии Кассиодора — Gundibadus.

Проблема датировки
XXXI
мунда он выдал свою дочь. В этом важном письме Боэцию ставится в заслугу не только владение музыкой, но и квадривием в целом, и, наконец, философией, которая, как известно,— конечная цель всяких научных занятий:
Благодаря великой образованности те искусства, которые невежды практикуют на латыни, ты смог испить из самого источника наук. Находясь вдали, ты вошел в афинские школы86, в хоровод гиматиев ты вплел тогу, чтобы теории греков обратить в римскую ученость. Ты усвоил глубину теоретической [философии] с ее частями, ты познал разумные основания [и] практической с ее отделами. Ты поведал римским сенаторам — потомкам Ромула — обо всем выдающемся, что сотворили для мира потомки Кекропа.
В твоих переводах музыкант Пифагор и астроном Птолемей читаются как италийцы, арифметик Никомах и геометр Евклид звучат как авзонийцы, теолог Платон и логик Аристотель спорят на языке квиритов, а механика Архимеда ты вернул сицилийцам уже как латинянина.
Все науки и искусства, которые красноречивая Греция обнародовала устами отдельных авторов, Рим принял от одного тебя и на языке отцов. Ты прославил их с таким блеском словесности и возвысил с таким красноречием, что они сами могли бы предпочесть твое творение, если бы знали и то и другое. В названное искусство [философии], изучив благородные науки, ты вошел через четверные двери матесиса <...>87
Оба письма принято датировать не позже весны 507 года, когда началась война франков с вестготами, в которой бургунды выступили на стороне франков, а Теодорих на стороне вестготов. Известно, что в 508 г. Теодорих открыто воевал против Гундобада88 — понятно, что ни о каких дружеских визитах и уж подавно о роскошных подарках вроде водяных часов речи быть не могло. Отсюда и берется 506 г. как terminus ante quem для квадривиальных трудов Боэция89. Упоминание «логика Аристотеля» тогда можно истолковать как ссылку на первый (краткий) комментарий Боэция к «Введению» Порфирия90.
86 Эту фразу со времен П. Курселя (CourselleL, 259) принято толковать как намек на то, что классическое образование Боэций получил «вдали» от Афин; вероятней всего, в Александрии (сводка данных в кн.: GruberK, 3).
87 Variae I, 45. Благородные, или свободные, науки в то время ограничивались четверным «математическим» циклом. Тривий вошел в число свободных наук окончательно только во времена Каролингского Ренессанса.
88 Эту дату предложил исследователь Кассиодора Г. Узенер еще в 1877 году (UsenerAH, 39).
89 BrandtE, 237 и 146. В датировке разбираемых писем Кассиодора он присоединяется к Узенеру.
90 Что делать с упоминанием в цитате Платона, не очень понятно. Возможно, имеется в виду дискуссия Аристотеля с Платоном (о комментариях Боэция на тексты Платона науке ничего неизвестно).

XXX11
Введение
С другой стороны, рассматриваемые письма Теодориха могли быть написаны уже после войны. Проблема в том, что дата ее окончания неизвестна. Момзен считал, что война окончилась в 510 году — отсюда его датировка (MommsenC, р. XXXII). В год своего консульства в 510 году Боэций писал комментарий к «Категориям» Аристотеля (эта дата установлена точно на основе автоссылки Боэция); окончил он свою работу, видимо, годом позже. Если принять дату Момзена, тогда под Aristoteles logicus Теодорих (= Кассиодор) в письме I, 45, возможно, имел в виду этот комментарий (а не Порфирия), a terminus ante quem отодвигается, соответственно, на 510 или 511 год. Письма II, 40 и II, 41 (последнее Теодорих направляет Хлодвигу с «приложением» к нему кифареда, найденного Боэцием) не могут быть датированы позже 511 года, в котором Хлодвиг скончался, а государство франков было поделено между четырьмя его наследниками.
Как мне представляется, между философскими трудами Боэция и его квадривиальными трактатами объективно существует разница в степени освоения античного наследия. В философских (логических) работах Боэция более ощутимо стремление к обобщению, налицо более мощный и унифицированный терминологический аппарат, да и отношение к оригиналу в них более деликатное и скрупулезное. Например, в I, 2 «Арифметики» Боэций при переводе Никомаха упускает из виду главную мысль в оригинале, где гармония описывается как порождающая природная сила; у Боэция же само ключевое слово «гармония» пропадает91. В V, 15 «Музыки», основанной на Птолемее, Боэций «недосмотрел» сущностное рассуждение Птолемея, а именно аргументацию сжатых (пикнонных) родов92. Такие «недосмотры» в позднейших комментариях на Порфирия и Аристотеля немыслимы. Ради точности в передаче греческого оригинала в комментарии к Порфирию Боэций даже жертвует риторическими красотами латинского стиля! Принимая всё это во внимание, полагаю, что наш автор стяжал себе славу знатока музыки и «математических» наук в целом гораздо раньше 510 (или 511) года — вероятного времени составления обсуждаемых писем Теодориха соседним королям.
Мало того, уверен, что и сами первые — квадривиальные — работы Боэция нельзя помечать одной и той же датой. Во-первых, в «Арифметике», хотя автор и декларирует вольное отношение к греческому оригиналу93, он тем не менее держится к нему очень
91 Подробней об этом см. в статье ЛебедевНБ.
92 Подробней см. ЛебедевПБ.
93 Имеются в виду, прежде всего, слова Боэция из посвящения Симмаху: «Сам же я не следую покорно замыслам другого [автора] и не связываю сам

Проблема датировки
xxxiii
близко. Исключения из этого правила (как глава II, 45 о социальноэтическом значении пропорций) очень редки94. В «Музыке» же дистанция между автором и его источниками явно больше. Сам корпус текстов, на которые опирается Боэций, в «Музыке» очевидно обширнее, чем в «Арифметике»: помимо греков Никомаха и Птолемея, это римляне Цицерон и Альбин, не названные по именам (но очевидные) Евклид и Алипий и другие авторы, идентифицировать которых не представляется возможным. Автор явно сопоставляет разные точки зрения. Например, описывая гармонию мира, Боэций дает ее сначала по Никомаху, а затем по Цицерону (опирающемуся, в свою очередь, на Платона), которого к тому же без каких-либо оговорок истолковывает по-своему95. Точно так же сопоставляются рассказы об этическом воздействии музыки (история о тавроменийском юноше) анонимного автора (Никомаха?) и Цицерона. Точка зрения на ундециму (октаву с квартой) Птолемея не раз противопоставляется точке зрения пифагорейцев, прежде чем этот интервал рассматривается специально в конце работы. Если «Арифметика» Боэция это, без сомнения, перевод одного источника, то «Музыка» — не перевод, а с у м м а всех известных Боэцию античных источников о музыке.
Второе, что, на мой взгляд, указывает на дистанцию между двумя первыми квадривиальными трактатами,— различная степень ассимиляции расхожих прилагательных, которыми обозначались числовые отношения96. Помимо чисто «математической» семантики, эти прилагательные у пифагорейцев (в т. ч. у Боэция) используются и как эрзац специальной музыкальной терминологии97. В «Арифметике» и в «Музыке» они присутствуют в двух формах — в архаической форме грецизмов и в форме латинских аналогов (переводов). Для статистики словоупотребления я выбрал три ходовых отношения, соответ-
себя строжайшим законом перевода, но, чуть свободней отклоняясь с чужого пути, ступаю не след в след» (Arithm. Praef.).
94 Подробней об этой интерполяции см. в статье ЛебедевПН.
95 Детально Боэциева концепция гармонии мира («мировой музыки») проанализирована в статье ЛебедевНБ.
96 В самом широком плане у раннего Боэция можно выделить четыре приема ассимиляции греческой специальной лексики: 1) транслитерация; 2) грецизм; 3) морфологическая передача; 4) латинские переводы разного вида: (а) кальки, (б) неологизмы и (в) собственно переводы (семантические аналоги). Все эти способы ассимиляции греческой терминологии рассмотрены (с многочисленными примерами) в отдельной статье (ЛебедевМС).
97 Например вместо «целого тона» (tonus) достаточно было сказать «сверхосмина» (sesquioctava; подразумевается sesquioctava proportio — сверхосминное отношение).

XXXIV
Введение
ствующие трем музыкальным интервалам: [numerus] epitritus / sesquitertius (это число соответствует кварте), numerus hemiolius / sesqualter98  99
(квинте) и epogdous / sesquioctavus (целому тону):
Арифметика
Музыка
epogdous
4
1 (И, 16)
sesquioctavus
0
64
epitritus
4
1 (1,10)
sesquitertius
65
101
hemiolius
3
0"
sesqualter
85
100
Из таблицы видно, что морфологические передачи (на основе транслитерации) epogdous, epitritus, hemiolius, которые еще встречаются в «Арифметике», почти полностью исчезают в «Музыке», уступая место коренным латинским прилагательным с приставкой sesqui-. На мой взгляд, это может означать только одно: ходовая терминология для отношений чисел, рабски скопированная у греков, в «Музыке» лучше ассимилирована, прочнее включена в родной (латинский) обиход.
В-третьих, стремление употреблять термины последовател ьно в «Музыке» более очевидно, чем в «Арифметике». Чтобы уверенно аргументировать эту тенденцию, необходимо взять какие-нибудь бесспорные термины, пусть это будут proportio (отношение, перевод греч. Λόγος) и proportionalitas (пропорция, перевод греч. αναλογία; напомню, что proportionalitas — неологизм). Намерение Боэция различать эти термины и в «Арифметике» (Arithm. II, 40) и в «Музыке» (Mus. II, 12) выражено недвусмысленно. При этом в «Арифметике» (на 209 вхождений) proportio иногда он употребляет вместо proportionalitas100, а изредка и наоборот — proportionalitas вместо proportio (Arithm. II, 45.1). В «Музыке» же (на 409 вхождений этих слов) автор называет словом proportio пропорцию только единожды (в III, 1).
Подобная неупорядоченность в целом объясняется неупорядоченностью самой латинской традиции арифметической терминологии, у истоков которой стояли вовсе не математики101. Стремление
98 Боэций пишет специфически именно sesqualter, в то время как в классический период (у Цицерона и Витрувия) это слово встречается только в форме sesquialter.
99 Этот термин встречается только в описании полуторной (гемиольной) хроматики Аристоксена, т. е. вне связи с терминологией числовых отношений.
100 См., например, II, 46.2; II, 47.4 (два случая); II, 54.4-6 (три случая).
101 Родоначальником ее, возможно, был Цицерон, который в своем комментарии к «Тимею» Платона (Cic. Tim. 13) писал: «Рискнем, поскольку мы вы¬

Проблема датировки
XXXV
к последовательному употреблению proportio и proportionalitas в «Музыке» можно рассматривать как свидетельство большей зрелости Боэция-ученого — большей по сравнению с «Арифметикой».
Таким образом, вследствие указанных причин, мне кажется очевидным, что между «Арифметикой» и «Музыкой» пролегает некоторый временной промежуток, возможно, несколько лет.
Принципы издания
Основная часть этой книги представляет собой билингву: латинский текст «Музыки» на четных полосах дан с параллельным русским переводом на нечетных. Несмотря на то что количество современных претензий к старому изданию Фридляйна невелико, механически воспроизводить в очередной раз его текст и графику мне показалось занятием бессмысленным, особенно с учетом нынешнего развития компьютерных технологий102.
В обновленное латинское издание «Музыки» я внес все необходимые исправления и конъектуры двоякого рода: (1) скорректированы типографские опечатки и описки Фридляйна, которые очевидны из сравнения его редакции с контрольными рукописями; (2) исправлены описки и пропуски, содержащиеся в контрольных рукописях. Полагаю, они наличествовали уже в (гипотетическом) тексте-протоварианте, который был растиражирован в IX веке; иначе трудно объяснить воспроизводимость ошибочных мест во всех контрольных рукописях. Некоторые «стабильные» пропуски подметил уже Фридляйн и внес соответствующие смысловые конъектуры в свое издание103.
Как показывают наблюдения, средневековые читатели «Музыки» в ряде случаев подметили «протовариантные» описки и пытались истолковать их в глоссах104. Современные же интерпретаторы Боэция
думываем это впервые, передать греческое αναλογία по-латыни как „сравнение" (comparatio) или „пропорция" (proportio)».
102 Читатель легко найдет текст издания Фридляйна в интернете, например, в международном проекте «Thesaurus Musicarum Latinarum», а также в книжных публикациях переводов «Музыки» Боэция на русский, итальянский и французский языки, где текст Фридляйна воспроизведен с протокольной точностью, со всеми его ошибками и опечатками.
103 Например, см. его конъектуры в 1,14.1; I, 21.2; IV, 11.7.
104 Как, например, первое atque, которое никак не вписывается в смысл фразы «гуthird modique <...> aequo modo mentem atque ipsa sunt afficiant atque conformant» (Mus. 1,1.9) средневековые глоссаторы предлагают понимать как sicut (Gloss. I, 39). Тогда смысл становится очевиден: мелодии и ритмы воздействуют на душу и налаживают ее в соответствии с тем, каковы они сами.

XXXVI
Введение
молча игнорируют испорченный текст и, невзирая на него, делают свой перевод «по смыслу», как если бы в оригинале стоял иной (правильный, осмысленный) текст. Разумеется, в случаях «протовариантных» описок всегда остается сомнение в допустимости конъектуры; не исключено, что в данном темном месте есть некий «потаенный смысл», который ускользнул от меня и от всех других многочисленных интерпретаторов, работавших над текстом до меня. Но если не внести второго рода конъектуру, тогда пытливый читатель все равно заметит, что перевод сделан не по оригиналу, а по какому-то воображаемому, но никак не отрефлектированному варианту текста. Поэтому (редкие) смысловые конъектуры я все-таки внес, оговорив их, как и всю прочую редакцию, в критическом аппарате на «латинских» четных полосах. Благодаря этому редакция Фридляйна (в том числе и протовариантное чтение) легко поддается восстановлению и при желании может быть переосмыслена. В ряде случаев аргументация редакционных изменений латинского текста дана более подробно в комментариях (на русском языке)105.
В «Музыке» цифра на левом поле четной полосы отсылает к изданию Фридляйна, с которым читатель может свериться, например, для того чтобы посмотреть его критический аппарат. Латинское издание глав из «Арифметики» в целом также следует Фридляйну, с учетом (очень немногих) обновлений, внесенных мной по изданию Ж.-И. Гийомена (а в ряде случаев содержит мои изменения и предложенного им чтения)106.
Отдельно должны быть упомянуты графические схемы и таблицы, которых в «Музыке» Боэция множество. Труженики средневековых скрипториев подходили к графике весьма своеобразно, по-видимому, вообще не вникая в существо копируемого текста. Порой весьма изящные и даже разноцветные оригинальные чертежи, как правило, плохо, а то и превратно иллюстрируют текст, к которому
Можно пофантазировать, что переписчик механически написал дважды atque, в то время как в первом случае у Боэция стояло utque, а во втором atque.
105 В декабре 2010 г. в стенах Баварской академии наук мировые знатоки Боэция К. Бауэр и М. Бернхард любезно согласились «пройти» со мной список спорных мест в нормативном издании Фридляйна. Результаты этого научного совещания нашли отражение в моей скромной латинской ревизии.
106 Изменения текста, внесенные мной (по Гийомену и собственные), оговорены в критическом аппарате непосредственно на «латинских» полосах этой книги. Что касается французского перевода, он достаточно полемичен, прежде всего, там, где Гийомен вынужден интерпретировать «музыкальные» места. Обсуждение таких мест читатель найдет в комментариях к русскому переводу «Арифметики», в Приложении I к этой книге.

Принципы издания
XXXV11
они прямо относятся. Зачастую пространство более узких интервалов (например, диесы) отображается таким же, как пространство более широких интервалов (например, целого тона); метки с разными цифрами на монохорде объединены по вертикали единой чертой (как если бы она указывала на о дно и то же число); интервалы, «отложенные» на линии, даже приблизительно не соответствуют прямо описываемому в тексте делению и т.п.107 В этом издании, с одной стороны, иллюстрации я стремился приблизить к рукописному виду (потому они весьма отличаются от того, как выглядят у Фридляйна); с другой стороны, я стремился лучше согласовать графику с пояснениями Боэция, сделать ее более наглядной и осмысленной. В связи со спецификой билингвы каждая схема в этой книге представлена в д)вух редакциях — латинской и русской. Наиболее громоздкий чертеж полного монохорда Боэция (IV, 11), не уместившийся в формат полосы набора, помещен на вкладках (см. в конце книги).
В рукописях «Музыки» текст глав, как правило, вообще не поделен на абзацы. Компактное форматирование, явно продиктованное соображениями экономии места, делает слежение за текстом неудобным, требует чрезвычайной концентрации внимания. Удерживать оригинальное «сплошное» течение текста в современном издании мне показалось нецелесообразным. Вот почему каждую главу музыкального трактата я разбил на смысловые абзацы, которые пронумеровал и в латинском оригинале и (в полном соответствии с оригиналом) в русском переводе. Аналогичная цифровая нумерация абзацев в «Арифметике» следует разбиению Ж.-И. Гийомена. Детализированное разбиение текста облегчает комментирование и цитирование отдельных мест — особенно в тех случаях, когда текст (как, например, первая глава Первой книги «Музыки») слишком протяженный. Ссылки на квадривиальные труды Боэция оформлены следующим образом: римская цифра указывает на номер книги, арабская после запятой — номер главы; если необходимо дальнейшее уточнение фрагмента, то после точки (без пробела) арабскими цифрами дан номер абзаца108.
В большинстве контрольных рукописей и в издании Фридляйна каждой из пяти книг «Музыки» предпосланы так называемые capitula — свод всех названий (дальнейших) глав. Поскольку эти заголовки полностью соответствуют тем, что даны в развернутом тексте, я исклю¬
107 Некоторое представление о том, как выглядят оригинальные чертежи и схемы, читатель может получить, рассмотрев Приложение II к этой книге.
108 Например, I, 1.12-13 (или Mus. I, 1.12-13) означает: «Основы музыки», кн. I, гл. 1, абзацы 12-13; Arithm 1,1.5 — «Основы арифметики», кн. I, гл. 1, абзац 5.

xxxviii
Введение
чил перечни из этого издания. Вместо capitula я составил современное оглавление «Музыки» Боэция (см. в конце этого издания), по которому читатель легко и быстро найдет нужный раздел. Исключение сделано лишь для перечня последней книги. Поскольку заключительная часть трактата утрачена, то, по крайней мере, capitula с русским переводом дадут хоть какое-то представление о полном плане Пятой книги Боэциева труда.
В обширных комментариях к русскому переводу я старался не пропускать темные места, без которых не обходится ни один старинный текст — даже такой ясный и дидактически выстроенный, как «Основы музыки». В них учтены разнообразнейшие толкования исследователей Боэция — источниковедов, лексикографов, филологов, философов, математиков, теоретиков музыки и пр. — на всем обозримом пространстве боэцианской «герменевтики» от IX до XXI веков. Часть комментариев — просто справки и параллельные места. Другие (источниковедческие и филологические, в т. ч. сравнения разных переводческих интерпретаций на разных языках) зачастую носят регистрационный характер. Рассчитанные на будущих исследователей текста, они, возможно, будут интересны не всем читателям, но ввиду огромной на сегодняшний день рецепции Боэциева текста и такие комментарии необходимы.
Наконец, есть и специализированные научные комментарии, которые репрезентируют мою точку зрения на Боэциеву музыкальную науку. Речь идет, например, о полисемантике, когда обычное словоупотребление автора неотделимо от музыкально-терминологического, особенно если точно установить значение слова или словосочетания не позволяет контекст. В такого рода комментариях ответственность особенно велика, и аргументация перевода одного конкретного места напрямую зависит от того, как переводчик интерпретирует Боэциеву науку в целом. Вполне отдавая себе отчет в этой ответственности, я стремился к тому, чтобы научные комментарии были по возможности непротиворечивыми и сохраняли некое единство подхода. Методологической основой в этом мне послужили музыкально-теоретические труды и взгляды Ю.Н. Холопова, автора универсальной концепции гармонии, которая охватывает не только классико-романтическую тональность, но и иные звуковысотные системы, в том числе античные. С этой точки зрения упомянутое единство научного подхода можно обобщить как воплощение, развитие, а кое-где и уточнение исторического метода Холопова — применительно к одному, и притом важнейшему в истории науки, артефакту.

Принципы издания
XXXIX
В Приложении I в виде билингвы даны некоторые главы из «Арифметики», без которой понять числовую пифагорейскую теорию «Музыки» невозможно. Русский перевод сопровождается отдельным научным комментарием. В Приложении II я поместил некоторые иллюстрации из средневековых рукописей — миниатюры (в том числе, с изображениями Боэция) и старинные схемы, дающие представление о том, как выглядят «оригиналы» Боэциевых чертежей и таблиц; для удобства читателя все старинные иллюстрации подробно аннотированы. В Приложении III помещены мои реконструкции: Полная система греков и Схема выведения ладов (ладовых звукорядов) из видов октавы, которые должны облегчить понимание трудных (изобилующих специальными терминами) разделов учения Боэция — монохорда и ладов. В конце книги расположены указатели: авторов (Index nominum), предметный (Index rerum) и сокращенно цитированной литературы (Index editionum). Предметный указатель содержит выборку важнейших терминов по обоим квадривиальным трактатам — «Арифметике» и «Музыке».
* * *
Появлению настоящей книги способствовали многие люди, полный список которых предъявить невозможно. На родине мне помогали, прежде всего, В.Г. Цыпин (Москва), который провел меня через лабиринты грамматики и синтаксиса древнегреческого языка, с готовностью рецензировал мои научные тексты, прочитал работу целиком и высказал ценные замечания, А.Ю. Зубов (Москва), долготерпению которого я обязан своим начальным пониманием истории математики вообще и арифметики Боэция в частности, и Н.А. Алмазова (Санкт-Петербург), любезно консультировавшая меня в переводе особенно замысловатых латинских текстов, главным образом, позднеантичного происхождения. В Мюнхене огромную помощь оказали: М. Бернхард, предоставивший доступ к микрофильмам и сканированным копиям контрольных рукописей Боэция, а также на протяжении многих лет разъяснявший тонкости средневековой латинской палеографии, Б. Шмид, мой верный друг и коллега, разыскивавший по моей просьбе труднодоступные научные статьи и книги (как старинные, так и современные), и К. Бауэр, который твердо отстаивал свой научный взгляд на наследие Боэция и не позволял мне останавливаться на достигнутом. Мой многолетний корреспондент Т. Матисен (Блумингтон, США) щедро делился своими глубочайшими знаниями документов древнегреческой музыки и музыкальной науки; дискуссии с ним позволили мне вписать мои русские представления

xl
Введение
о 	греческой античности в современный «англоязычный» контекст. Благодарю редакторов и моих дорогих учеников А.С. Лосеву и М.М. Иглицкого, которые самоотверженно вычитали верстку книги, официального рецензента Г.И. Лыжова (Москва), Н. Уокера (Лондон), любезно отредактировавшего текст английского резюме (Summary), П.Ю. Трубинова (Хельсинки), оказавшего содействие в разработке специальных шрифтовых символов. Благодарю Баварскую государственную библиотеку, Бамбергскую государственную библиотеку, библиотеку Кембриджского университета, муниципальную библиотеку Отёна и Музей кафедрального собора в Монце за сотрудничество и любезно предоставленные разрешения на публикацию редких иллюстраций из их фондов. Душевная, техническая и (не в последнюю очередь) материальная забота сына В.С. Лебедева поддерживала меня на протяжении долгих лет, в течение которых продолжалась работа. Всем упомянутым, а также не упомянутым здесь родным, друзьям и коллегам (в Московской государственной консерватории и в Большой российской энциклопедии), кто словом и делом приближал появление моей книги на свет,— низкий поклон и сердечная благодарность.
С.Н. Лебедев Москва-Поморие-Мюнхен-Москва

BOETHII
INSTITUTIO MUSICA
БОЭЦИЙ
ОСНОВЫ МУЗЫКИ

Incipit liber primus
178 Proemium. Musicam naturaliter nobis esse coniunctam et mores vel honestare vel evertere
I. 	(1) Omnium quidem perceptio sensuum ita sponte ac naturaliter
179 quibusdam viventibus adest, ut sine his animal non possit intellegi. Sed non aeque eorundem cognitio ac firma perceptio animi investigatione colligitur. Inlaboratum est enim quod sensum percipiendis sensibilibus rebus adhibemus; quae vero sit ipsorum sensuum, secundum quos agimus, natura, quae rerum sensibilium proprietas, id non obvium neque cuilibet explicabile esse potest, nisi quem conveniens investigatio veritatis contemplatione direxerit.
(2) Adest enim cunctis mortalibus visus, qui utrum venientibus ad visum figuris, an ad sensibilia radiis emissis efficiatur, inter doctos quidem dubitabile est, vulgum vero ipsa quoque dubitatio praeterit. Rursus cum quis triangulum respicit vel quadratum, facile id quod oculis intuetur agnoscit, sed quaenam quadrati vel trianguli sit natura, a mathematico necesse est petat.
(3) Idem quoque de ceteris sensibilibus dici potest, maximeque de arbitrio aurium, quarum vis ita sonos captat, ut non modo de his iudicium capiat differentiasque cognoscat, verum etiam delectetur saepius, si dulces coaptatique modi sint, angatur vero, si dissipati atque incohaerentes feriant sensum.
(4) Unde fit ut, cum sint quattuor matheseos disciplinae, ceterae quidem in investigatione veritatis laborent, musica vero non modo speculationi verum etiam moralitati coniuncta sit. Nihil est enim tam proprium humanitatis, quam remitti dulcibus modis, adstringi contrariis, idque non sese in singulis vel studiis vel aetatibus tenet, verum per cuncta diffunditur studia et infantes ac iuvenes nec non
180 etiam senes ita naturaliter affectu quodam spontaneo modis musicis adiunguntur, ut nulla omnino sit aetas, quae a cantilenae dulcis delectatione seiuncta sit.
(5) Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Platone dictum sit, mundi animam musica convenientia fuisse coniunctam. Cum enim eo, quod in nobis est iunctum convenienterque coaptatum, illud excipimus, quod in sonis apte convenienterque coniunctum est, eoque delectamur, nos quoque ipsos eadem similitudine compactos esse cognoscimus. Amica est enim similitudo, dissimilitudo odiosa atque contraria.  55 in sonis] in senis Fr.

Книга I
1. 	Введение. О том, что музыка нам естественно присуща, и о ее способности возвышать или портить нравы
(1) Восприятие всеми чувствами некоторым живым существам столь непосредственно и естественно присуще, что одушевленную тварь без чувств представить себе невозможно. Но познание и усвоение [сущности] самих чувств рациональному исследованию доступны не так же просто. Чувственно воспринимаемые объекты мы постигаем, не прилагая усилий. Какова же природа самих чувств, которыми мы руководствуемся в своих поступках, и каковы свойства чувственно воспринимаемых объектов,— вот что неочевидно и не всякому человеку может быть понятно, до тех пор пока надлежащее исследование не направит его к созерцанию истины1.
(2) К примеру, зрение, присущее всем смертным, совершается то ли благодаря самим попадающим в поле зрения образам, то ли посредством лучей, которые исходят [из глаз] к чувственно воспринимаемым объектам,— ученые сомневаются [в том, какая из этих гипотез верна]2, толпе же само сомнение неведомо. Любой человек, наблюдающий треугольник или квадрат, легко замечает то [различие между ними], что бросается в глаза, но в чем природа квадрата или треугольника — об этом ему придется спросить математика3.
(3) То же можно сказать и в отношении других чувственно воспринимаемых объектов, прежде всего, тех, о которых выносит суждение слух, способный улавливать звуки так, что не только судит о них и познаёт их различия, но и зачастую испытывает наслаждение, если мелодии4 приятны и ладно скроены, или стеснение, если они устроены плохо и своей неустроенностью возмущают чувства.
(4) Выходит, что из четырех математических дисциплин три стремятся исследовать истину; четвертая же, музыка, связана не только с умозрением, но и с нравственностью5. Ибо нет ничего более присущего человеческой натуре, чем расслабляться от приятных и воодушевляться от противоположных [по характеру] мелодий. И это [действие музыки] не зависит от определенного рода занятий или возраста, но распространяется на все занятия; дети, молодые люди и старики столь естественно, в некоем неосознанном порыве отдаются музыке6, что нет совсем ни одного возраста, который бы не испытывал удовольствия от приятной песни.
(5) Понятно теперь, что Платон не случайно говорил: мировая душа скреплена музыкальной гармонией7. Когда благодаря гармоничному согласию, существующему в нас, мы воспринимаем гармоничную согласованность [музыкального] звучания и наслаждаемся им, тогда мы осознаём, что и сами сложены в подобие [этой гармонии]. Ибо подобие человеческой натуре любезно, неподобие же противно и неприятно8.

4
Institutio musica
(6) Hinc etiam morum quoque maximae permutationes fiunt. Lascivus quippe animus vel ipse lascivioribus delectatur modis vel saepe eosdem audiens emollitur ac frangitur. Rursus asperior mens vel incitatioribus gaudet vel incitatioribus asperatur.
(7) Hinc est quod modi etiam musici gentium vocabulo designati sunt, ut lydius modus et phrygius. Quo enim quasi una quaeque gens gaudet, eodem modus ipse vocabulo nuncupatur. Gaudet vero gens modis morum similitudine; neque enim fieri potest, ut mollia duris, dura mollioribus adnectantur aut gaudeant, sed amorem delectationemque, ut dictum est, similitudo conciliat.
(8) Unde Plato etiam maxime cavendum existimat, ne de bene morata musica aliquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in re publica labem quam paulatim de pudenti ac modesta musica invertere. Statim enim idem quoque audientium animos pati paulatimque discedere nullumque honesti ac recti retinere vestigium, si vel per lasciviores modos inverecundum aliquid, vel per asperiores ferox atque immane mentibus illabatur.
181 (9) Nulla enim magis ad animum disciplinis via quam auribus
patet. Cum ergo per eas rythmi modique ad animum usque descenderint, dubitari non potest, quin aequo modo mentem utque ipsi sunt afficiant atque conforment. Id vero etiam intellegi in gentibus potest. Nam quae asperiores sunt, Getarum durioribus delectantur modis, quae vero mansuetae, mediocribus; quanquam id hoc tempore paene nullum est. Quod vero lascivum ac molle est genus humanum, id totum scenicis ac theatralibus modis tenetur.
(10) 	Fuif vero pudens ac modesta musica, dum simplicioribus organis ageretur. Ubi vero varie permixteque tractata est, amisit gravitatis atque virtutis modum et paene in turpitudinem prolapsa minimum antiquam speciem servat. Unde Plato praecipit minime oportere pueros ad omnes modos erudiri sed potius ad valentes ac simplices. Atque hic maxime retinendum est illud, quod si quomodo per parvissimas mutationes hinc aliquid permutaretur, recens quidem minime sentiri, post vero magnam facere differentiam et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam rei publicae Plato arbitratur musicam optime moratam pudenterque coniunctam, ita ut sit modesta ac simplex et mascula nec effeminata nec fera nec varia.  99 utque ipsi sunt] atque ipsa sunt Fr.

I, 1.6-10
Основы музыки
5
(6) По этой причине и случаются важнейшие преобразования нравов. Так, изнеженный дух наслаждается всё более нежной музыкой и от частого слушания ее сам размягчается и изнемогает. И наоборот, склонный к суровости ум либо радуется всё более возбужденной музыке, либо от всё большего возбуждения и становится суровым.
(7) Отсюда и музыкальные лады были поименованы от народов, например, лидийский или фригийский лад9. От того, что нравится данному народу, таким словом [музыкальный] лад и называется, ибо народу доставляет удовольствие та музыка, которая подобна его нраву. Невозможно представить себе, чтобы твердость сочеталась с мягкостью, а мягкость была угодной для твердости10, но именно подобие, как было сказано, вызывает чувства любви и удовольствия11.
(8) Вот почему Платон взывает к максимальной бдительности, с тем чтобы музыка неизменно оставалась благонравной. Нет хуже, говорит, нравственной пагубы в государстве, чем постепенное извращение целомудренной и умеренной музыки12. Дух слушателей тотчас же станет изнемогать и постепенно угаснет, так что не останется и следов чести и праведности, если от изнеженной музыки умами овладеют какие-нибудь непристойные мысли, а от суровой музыки придут мысли воинственные и ужасные.
(9) Для наставлений нет прямее пути к душе, чем посредством слуха. Поскольку ритмы и мелодии13 через слух проникают непосредственно в душу, то несомненно, что они14 воздействуют и на ум и обустраивают его в соответствии с тем, каковы они сами. Это как раз и наблюдается у [разных] народов: более дикие наслаждаются суровой музыкой гетов15, а более культурные — уравновешенной16. Впрочем, такое в наше время почти не встречается. Поскольку род людской [ныне] распущен и изнежен, весь он пленяется публичной и театральной музыкой17.
(10) Достойной и скромной музыка была до тех пор, пока ее производили более простыми средствами18. Когда же ей придали пестроту и сложность, она утратила серьезность и благородство и, скатившись почти до непристойности, [теперь] совершенно не похожа на свой старинный прообраз. Вот почему Платон предписывает не обучать юношей всем подряд ладам, а лучше сосредоточиться на жизненно важных19 и простых20. Также следует обязательно помнить, что если что-то [в музыкальном сочинении] претерпело мельчайшие изменения [в худшую сторону], то поначалу эти изменения будут неощутимы, но потом они становятся значительными и благодаря слуху проникают в самую душу. Оттого-то высоконравственную, благопристойную музыку Платон и считает предметом великой заботы государства, [которое обязано следить,] чтобы музыка была скромной, простой и мужественной, а не женственной, дикой и пестрой.

6
Institutio musica
(11) Quod Lacedaemonii maxima ope servavere, dum apud eos Thaletas Cretensis Gortynius magno pretio adcitus pueros disciplina musicae artis imbueret. Fuit enim id antiquis in more diuque
182 permansit.
(12) Quoniam vero eis Timotheus Milesius super eas, quas ante reppererat, unum addidit nervum ac multipliciorem musicam fecit, exigere de Laconica consultum de eo factum est, quod, quoniam insigne est Spartiatarum lingua, .C. litteram in .P. vertentium, ipsum de eo consultum isdem verbis Graecis apposui:
(13) ΕΠΕΙΔΗ ΤΙΜΟΘΕΟΡ О MIAHCIOP ΠΑΡΑΓΙΝΟΜΕΝΟΡ EN TAN AMETEPAN ΠΟΛΙΝ ΤΑΜ ΠΑΛΑΙΑΝ ΜΩΑΝ ATIMACAE, KAI TAN ΔΙΑΤΑΝ ΕΠΤΑ ΧΟΡΔΑΝ ΚΙΘΑΡΙΖΙΝ ΑΠΟΩΤΡΕΦΟΜΕΝΟΡ ΠΟΛΥΦΩΝΙΑΝ ΕΙΟΑΓΩΝ ΛΥΜΑΙΝΕΤΑΙ ТАР ΑΚΟΑΡ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΙΑ ТЕ ТАР ΠΟΛΥΧΟΡΔΙΑΡ ΚΑΙ ТАР ΚΕΝΟΤΑΤΟΡ ΤΩ ΜΕΛΕΟΡ ΑΓΕΝΝΗ ΚΑΙ ΠΟΙΚΙΛΑΝ ΑΝΤΙ ΑΠΛΟΑΡ ΚΑΙ ΤΕΤΑΓΜΕΝΑΡ ΑΜΦΙΕΝΝΥΤΑΙ ΤΑΝ ΜΩΑΝ ΕΠΙ ΧΡΩΜΑΤΟΡ CYNEICTAΜΕΝΟΡ ΤΑΝ ΤΩ ΜΕΛΕΟΡ AIACKEYAN ANTI ТАР ENARMONIO ПОТ TAN ΑΝΤΙΟΤΡΟΦΟΝ AMOIB AN
183 (14) ПАРАКЛН0Е1С ΔΕ ΚΑΙ EN TON ΑΓΩΝΑ TAP EAEYCINIAP ΔΑΜΑΤΡΟΡ ΑΠΡΕΠΗ AIECKEYACATO ΤΑΝ ΤΩ ΜΥΘΩ AIACKEYAN TAN TAP СЕМЕЛАР ΟΔΥΝΑΡ OYK ΕΝΔΙΚΑ ΤΩΡ ΝΕΩΡ ΔΙΔΑΟΚΗ ΔΕΔΟΧΘΑΙ
(15) 	ΦΑ ΠΕΡΙ ΤΟΥΤΟΙΝ ΤΩΡ BACIAEAP ΚΑΙ ΤΩΡ ΕΦΟΡΩΡ ΜΕΜΨΑΤΤΑΙ ΤΙΜΟΘΕΟΝ ΕΠΑΝΑΓΚΑΖΑΙ ΔΕ ΚΑΙ ΤΑΝ ΕΝΔΕΚΑ ΧΟΡΔΑΝ ΕΚΤΑΜΩΝ ТАР ΠΕΡΙΤΤΑΡ ΥΠΟΛΙΠΟΜΕΝΩΡ ТАР ΕΠΤΑ ΟΠΩΡ ЕКАСТОР ТО ТАР ΠΟΛΙΟΡ ΒΑΡΟΡ ΟΡΩΝ ΕΥΛΑΒΗΤΑΙ EN ΤΑΝ ŒAPTAN ΕΠΙΦΕΡΕΝ ΤΙ ΤΩΝ ΜΗ KALON ΕΟΝΤΩΝ ΜΗ ΠΟΤΕ ΤΑΡΑΡΡΕΤΑΙ КЛЕОР ΑΓΩΝΩΝ.
184 (16) Quod consultum id scilicet continet, idcirco Timotheo Milesio Spartiatas succensuisse, quod multiplicem musicam reddens puerorum animis, quos acceperat erudiendos, officeret et a virtutis modestia praepediret, et quod armoniam, quam modestam susceperat, in genus chromaticum, quod mollius est, invertisset. Tanta igitur apud eos fuit musicae diligentia, ut eam animos quoque obtinere arbitrarentur.
(17) 	Vulgatum quippe est, quam saepe iracundias cantilena represserit, quam multa vel in corporum vel in animorum affectionibus miranda perfecerit. Cui enim est illud ignotum, quod Pythago-
185 ras ebrium adulescentem Tauromenitanum sub phrygii modi sono incitatum spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui com-  14 1514 ΔΙΔΑΩΚΗ] ΔΙΔΑΚΚΗ Fr.
15 ΕΚΤΑΜΩΝ] ΕΚΤΑΜΩΝΤΑΡ Fr. 17 sub phrygii] subphrygii Fr.

I, 1.11-17
Основы музыки
7
(11) с наибольшим рвением этого придерживались лакедемоняне. [Сам] критянин Фалес из Гортина21, нанятый за большие деньги, обучал у них юношей музыкальному искусству. Это вообще было у древних [греков] обычаем22, который долго удерживался.
(12) Когда сверх тех [десяти струн кифары], что он придумал раньше, Тимофей Милетский23 добавил еще одну струну24 и [таким образом] сделал музыку более сложной25, был издан декрет с тем, чтобы изгнать его из Лаконии26. Привожу этот декрет греческими буквами, как он есть (сохраняя характерную для языка спартанцев замену «С» на «Р»)27:
(13) Поскольку Тимофей Милетский, прибыв в наш город, не почтил древнюю Музу и, отступив от игры на семиструнной кифаре и введя многозвучие, ПОРТИТ СЛУХ ЮНОШЕЙ МНОГОСТРУНИЕМ и новизной мелодии; [поскольку] он облачает Музу в неблагородное и пестрое [платье] вместо простого и стройного, обрабатывая мелодию в хроме вместо энармона путем антистрофической смены28;
(14) [ПОСКОЛЬКУ] БУДУЧИ ПРИГЛАШЕН НА СОСТЯЗАНИЕ, ПОСВЯЩЕННОЕ ЭЛЕВСИН-
ской Деметре и неподобающим образом обработав рассказ о муках Семелы, он прививает юношам ненадлежащий образ мыслей29,
(15) [постольку] в связи с этими [нарушениями] цари и эфоры вынесли порицание Тимофею: они указали, чтобы он, из одиннадцати струн обрезав особенные, ОСТАВИЛ [ТОЛЬКО] СЕМЬ, ЧТОБЫ КАЖДЫЙ, ВИДЯ СИЛУ ГОРОДА, ПООСТЕРЕГСЯ
бы вносить в Спарту что-либо недостаточно прекрасное [и] никогда бы не
ПЫТАЛСЯ ПОДРЫВАТЬ СЛАВУ СОСТЯЗАНИЙ30.
(16) Декрет гласит: спартанцы ставят в вину Тимофею Милетскому, что последний взял в обучение юношей и, внушая им сложную музыку, нанес им вред и сбил их с пути благородной сдержанности; и еще они винят его в том, что он усвоил сдержанную энармонику31 и извратил ее, переведя в более мягкий, хроматический род. Очевидно, что они32 относились к музыке с великим почтением, полагая, что она действительно властвует над душами.
* * *
(17) 	Общеизвестно, сколь часто музыка обуздывала ярость, сколь чудесные преображения тела и души совершались благодаря ей. Ну кто не знает историю о том, как Пифагор, прибегнув к спондеической мелодии33, утихомирил и привел в чувство пьяного молодого тавроменийца34, возбужденного

8
Institutio musica
potem? Nam cum scortum in rivalis domo esset clausum atque ille furens domum vellet amburere, cumque Pythagoras stellarum cursus, ut ei mos, nocturnus inspiceret, ubi intellexit, sono phrygii modi incitatum multis amicorum monitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum praecepit atque ita furentis animum adulescentis ad statum mentis pacatissimae temperavit.
(18) Quod scilicet Marcus Tullius commemorat in eo libro, quem de consiliis suis composuit, aliter quidem, sed hoc modo (sed ut aliqua similitudine adductus maximis minima conferam): ut cum vinolenti adulescentes tibiarum etiam cantu, ut fit, instincti mulieris pudicae fores frangerent, admonuisse tibicinam ut spondeum caneret Pythagoras dicitur. Quod cum illa fecisset, tarditate modorum et gravitate canentis illorum furentem petulantiam consedisse.
(19) Sed ut similia breviter exempla conquiram, Terpander atque Arion Methymneus Lesbios atque Iones gravissimis morbis cantus eripuere praesidio. Ismenias vero Thebanus Boeotiorum pluribus, quos ischiadici doloris tormenta vexabant, modis fertur cunctas abstersisse molestias. Sed et Empedocles, cum eius hospitem quidam gladio furibundus invaderet, quod eius ille patrem accusatione damnasset, inflexisse modum dicitur canendi itaque adulescentis iracundiam temperasse.
(20) In tantum vero priscae philosophiae studiis vis musicae artis innotuit, ut Pythagorici, cum diurnas in somno resolverent curas, quibusdam cantilenis uterentur, ut eis lenis et quietus sopor inreperet. Itaque experrecti aliis quibusdam modis stuporem somni confusionemque purgabant, id nimirum scientes quod tota nostrae animae corporisque compago musica coaptatione coniuncta sit. Nam ut sese corporis affectus habet, ita etiam pulsus cordis motibus incitantur, quod scilicet Democritus Hippocrati medico tradidisse fertur, cum eum quasi ut insanum cunctis Democriti civibus id opinantibus in custodia medendi causa viseret.
(21) Sed quorsum istaec? Quia non potest dubitari, quin nostrae animae et corporis status eisdem quodammodo proportionibus videatur esse compositus, quibus armonicas modulationes posterior disputatio coniungi copularique monstrabit. Inde est enim, quod infantes quoque cantilena dulcis oblectat, aliquid vero asperum atque inmite ab audiendi voluptate suspendit. Nimirum id etiam omnis aetas patitur omnisque sexus; quae licet suis actibus distributa sint, una tamen musicae delectatione coniuncta sunt.

I, 1.17-21
Основы музыки
9
звучанием фригийской мелодии?35 [Молодой человек] обнаружил свою подружку запертой в доме соперника и, разбушевавшись, хотел поджечь дом. А в это ночное время Пифагор по своему обыкновению наблюдал за ходом звезд. Он сообразил, что [юноша] возбужден звучанием фригийской мелодиии, и несмотря на многочисленные увещевания друзей, не желает отступиться от своего преступного замысла. Тогда Пифагор велел поменять мелодию [на спондеическую] и таким образом привел душу буяна в тишайшее состояние36.
(18) Именно об этом вспоминает Марк Туллий Цицерон в книге о своих [политических] замыслах37, впрочем, немного в других выражениях (ввиду того что эта история несколько похожа на мою, я приведу ее для сравнения в сжатом виде)38. «Когда опьяненные вином молодые люди, подогретые, как водится, и авлической музыкой39, стали ломиться в двери девицы40, то Пифагор, говорят, посоветовал авлетке сыграть мелодию на манер спондея. Как только она это сделала, медлительность [спондеических] стоп и низкое звучание [инструмента]41 умирили разбушевавшихся молодцов»42.
(19) Приведу вкратце еще примеры подобного рода. Терпандр и Арион Метимнейский43 пением излечивали лесбийцев и ионийцев от тяжелейших болезней44. А Исмений Фиванский, говорят, музыкой избавлял многих беотийцев, мучимых ишиасом, от всех страданий45. И еще рассказывают про Эмпедокла: когда к его гостю, потрясая мечом, ворвался некий разъяренный человек, с упреком, будто тот в чем-то [несправедливо] обвинил его отца, Эмпедокл поменял манеру пения и таким образом унял гнев молодого человека46.
(20) О том, какое значение имело музыкальное искусство в древних философских учениях, свидетельствует тот факт, что пифагорейцы, разгоняя повседневные заботы сном, пользовались определенными мелодиями, чтобы погрузиться в тихое и глубокое забытье. А пробудившись, они стряхивали сонливость и оцепенение с помощью другой музыки; разумеется, эти люди осознавали, что весь душевный и телесный организм скреплен узами музыкальной гармонии47. Ибо как состояние духа зависит от состояния тела, так и сердцебиение учащается при волнениях духа. Как полагают, именно на это обстоятельство указал Демокрит врачу Гиппократу, пришедшему лечить его, взятого под стражу, в момент, когда все сограждане мнили Демокрита сумасшедшим48.
(21) Но к чему это? А к тому, что несомненно наша душа и наше тело, кажется, сложены по тем же законам числовых отношений49, которыми, как покажет наше дальнейшее исследование, связываются и сочетаются слаженные мелодии50. Вот почему ласковая песня услаждает слух даже младенцев, а что-нибудь звучащее грубо и резко не доставляет наслаждения от прослушивания. Разумеется, сказанное относится ко всякому возрасту и всякому полу. Хотя своими поступками люди разных возрастов и полов отличаются друг от друга, но одно — удовольствие от музыки — связывает их.

10
Institutio musica
(22) 	Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur dolentes? Quod maxime muliebre est, ut cum cantico quodam dulcior fiat causa deflendi. Id vero etiam fuit antiquis in more, ut cantus tibiae luctibus praeiret. Testis est Papinius Statius hoc versu:
(23) 	Cornu grave mugit adunco
Tibia, cui teneros suetum producere manes.
(24) Et qui suaviter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non quod eum aliqua voluptate id quod canit afficiat, sed quod quandam insitam dulcedinem ex animo proferentes, quoquo modo proferant, delectantur.
(25) Nonne illud etiam manifestum est, in bellum pugnantium animos tubarum carmine accendi? Quod si verisimile est, ab animi pacato statu
187 	quemquam ad furorem atque iracundiam posse proferri, non est dubium quod conturbatae mentis iracundiam vel nimiam cupiditatem modestior modus possit adstringere.
(26) Quid? quod, cum aliquis cantilenam libentius auribus atque animo capit, ad illud etiam non sponte convertitur, ut motum quoque aliquem similem auditae cantilenae corpus effingat; et quod omnino aliquod melos auditum sibi memor animus ipse decerpat?
(27) Ut ex his omnibus perspicue nec dubitanter appareat, ita nobis musicam naturaliter esse coniunctam, ut ea ne si velimus quidem carere possimus. Quocirca intendenda vis mentis est, ut id, quod natura est insitum, scientia quoque possit conprehensum teneri. Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam quae sit horum proprietas investigaverint, sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali inter seconiunctae sint vocum proportione discatur.
Tres esse musicas; in quo de vi musicae
II. 	(1) Principio igitur de musica disserenti illud interim dicendum videtur, quot musicae genera ab eius studiosis conprehensa esse noverimus. Sunt autem tria. Et prima quidem mundana est, secunda vero humana, tertia, quae in quibusdam constituta est instrumentis, ut in cithara vel tibiis ceterisque, quae cantilenae famulantur.
(2) 	Et primum ea, quae est mundana, in his maxime perspicienda est, quae in ipso caelo vel compage elementorum vel temporum varietate visuntur. Qui enim fieri potest, ut tam velox caeli machina tacito silentique cursu moveatur? Etsi ad nostras aures sonus ille non pervenit, quod multis fieri de causis necesse est,

I, 1.22 - 2.2
Основы музыки
11
(22) 	Чего ради скорбящие (особенно женщины), обливаясь слезами, обращают свой плач в музыку? Неужто горькое переживание от какой-нибудь песни станет слаще? Ведь еще у древних был обычай, чтобы звуки авлоса предваряли плач51. Об этом свидетельствуют стихи Папиния Стация:
(23) 	...низко стенает криворогий авлос,
По обычаю провожающий бесплотные души умерших52.
(24) А кто не может петь хорошо, тот напевает что-нибудь для себя, не для того чтобы получить удовольствие от собственно напева, а потому что те, кто извлекает из души какую-то врожденную сладость (неважно, как они это делают), получают удовольствие [от самой этой сладости]53.
(25) И разве не очевидно во время битвы, что трубный клич54 воодушевляет воинов? И если правда, что [музыкой] можно привести дух от безмятежности к ярости и гневу, то и гнев смятенного ума или чрезмерную похоть несомненно способна обуздать музыка благопристойная.
(26) А как понять, что когда кто-нибудь слушает мелодию весьма охотно и с душой, его тело непроизвольно выполняет движение в подобие тому, что слух уловил в мелодии?55 И как это памятливая душа может из себя самой выбрать вообще любую прежде услышанную мелодию?56
(27) Из всего сказанного ясно и несомненно следует, что музыка нам естественно присуща — настолько, что мы не можем, даже если б и захотели, без нее обойтись. Вот отчего необходимо применить умственное усилие, чтобы то, что является [для души] врожденным от природы, закрепилось как факт научного познания. И как в случае со зрением ученым вовсе недостаточно разглядывать цвета и формы, но они должны исследовать их сущностные свойства, так и [со слухом — ] музыкантам недостаточно наслаждаться мелодиями, но также необходимо изучать числовые отношения высотно определенных звуков, которыми мелодии внутренне скреплены.
2. 	Существует три вида музыки. О значении слова «музыка»57
(1) Для начала исследователю музыки, пожалуй, следует сказать о том, сколько родов музыки, как нам известно, различают ученые58. Этих родов три. Музыка первого рода — мировая59, второго — человеческая, а третьего — та, что содержится во всяких [музыкальных] инструментах, будь то кифара, авлосы и другие инструменты, которые помогают пению.
(2) В первом роде заключена музыка, называемая мировой; она лучше всего заметна в явлениях, которые наблюдаются в самом небе, в сплоченности [четырех] стихий и в разнообразии времен года. Да и как возможно, чтобы столь быстрая махина неба подвигалась молчаливо и беззвучно? Хотя до нашего слуха этот звук и не доходит (что вследствие многих причин вызвано

12
Institutio musica
non poterit tamen motus tam velocissimus ita magnorum corpo-
188 rum nullos omnino sonos ciere, cum praesertim tanta sint stellarum cursus coaptatione coniuncti, ut nihil aeque compaginatum, nihil ita commissum possit intellegi. Namque alii excelsiores alii inferiores feruntur, atque ita omnes aequali incitatione volvuntur, ut per dispares inaequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac caelesti vertigine ratus ordo modulationis absistere.
(3) Iam vero quattuor elementorum diversitates contrariasque potentias nisi quaedam armonia coniungeret, qui fieri posset, ut in unum corpus ac machinam convenirent? Sed haec omnis diversitas ita et temporum varietatem parit et fructuum, ut tamen unum anni corpus efficiat. Unde si quid horum, quae tantam varietatem rebus ministrant, animo et cogitatione decerpas, cuncta pereant nec ut ita dicam quicquam consonum servent.
(4) Et sicut in gravibus chordis is vocis est modus, ut non ad taciturnitatem gravitas usque descendat, atque in acutis ille custoditur acuminis modus, ne nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, sed totum sibi sit consentaneum atque conveniens: ita etiam in mundi musica pervidemus nihil ita esse nimium posse, ut alterum propria nimietate dissolvat.
(5) Verum quicquid illud est, aut suos affert fructus aut aliis auxiliatur ut afferant. Nam quod constringit hiems, ver laxat, torret aestas, maturat autumnus, temporaque vicissim vel ipsa suos afferunt fructus vel aliis ut afferant subministrant; de quibus posterius studiosius disputandum est.
(6) Humanam vero musicam quisquis in sese ipsum descendit intellegit. Quid est enim quod illam incorpoream rationis vivacitatem corpori misceat, nisi quaedam coaptatio et veluti gravium leviumque vocum quasi unam consonantiam efficiens tempera-
189 tio? Quid est aliud quod ipsius inter se partes animae coniungat, quae, ut Aristoteli placet, ex rationabili inrationabilique coniuncta est? Quid vero, quod corporis elementa permiscet, aut partes sibimet rata coaptatione contineat? Sed de hac quoque posterius dicam.
(7) Tertia est musica, quae in quibusdam consistere dicitur instrumentis. Haec vero administratur aut intentione ut nervis, aut spiritu ut tibiis, vel his, quae ad aquam moventur, aut percussione quadam, ut in his, quae in concava quaedam aerea feriuntur, atque inde diversi efficiuntur soni. De hac igitur instrumentorum musica primo hoc opere disputandum videtur.

I, 2.2-7
Основы музыки
13
необходимостью), всё же не может столь стремительное движение столь великих тел не производить вообще никаких звуков60, ибо орбиты небесных тел так крепко связаны в своей слаженности, что ничего в равной степени сплоченного, ничего столь же цельного вообразить себе невозможно. Одни находятся выше, другие ниже, но все вращаются столь равномерно, что благодаря различию в неравных орбитах поддерживается их рациональный порядок. Вот почему рациональный порядок в музыке неотделим от этого небесного круговращения61.
(3) А также, если бы различия в четырех стихиях и их противоположные силы не объединяла некая гармония, как стало бы возможно, чтобы они сошлись в едином теле [мира] и в махине?62 Но именно таково это различие [по природе], что оно порождает перемену времен года и плодов и, тем не менее, придает году форму единого тела. Вот почему, если нечто одно из того, что служит такой перемене в вещах, ты мысленно захочешь изъять, перестанет существовать всё, и в нем не останется хоть чего-нибудь, так сказать, «созвучного».
(4) В низких струнах звук так ограничивается по высоте, чтобы низкое звучание не перешло в тишину, а в высоких соблюдается такой предел высоты, чтобы чрезмерно натянутые струны не разорвались от истонченности звука, но чтобы целое было непротиворечивым и согласованным. Подобно этому и в мировой музыке мы ясно видим, что не может быть ничего столь чрезмерного, что разрушило бы своей чрезмерностью другое.
(5) Поистине всё устроено так, что оно либо само приносит плоды, либо способствует другим, чтобы те их приносили. Ибо то, что сковано [холодом] зимой, оттаивает весной, согревается летом, зреет осенью,— и времена года по очереди либо сами приносят плоды, либо способствуют тому, чтобы другие их приносили (этот вопрос впоследствии надо рассмотреть более основательно63).
(6) Человеческую музыку постигает тот, кто погружается в самого себя64. Что же сочетает бестелесную живость разума с телом, если не своего рода гармония и [высотная] соразмерность, производящая как бы единый консонанс из низких и высоких звуков? И что еще [как не гармония] связывает между собой части души, которая, по Аристотелю, состоит из рациональной и иррациональной частей?65 И что [как не гармония] смешивает телесные стихии и обеспечивает слаженность частей тела друг с другом?66 Впрочем, я расскажу о человеческой музыке позже67.
(7) Музыкой третьего рода называется та, что содержится в музыкальных инструментах. Она управляется либо натяжением, как в струнных инструментах, либо дыханием, как в авлосах, либо движением воды68, либо неким сотрясением, как в инструментах из гнутой бронзы, в которые бьют69,— и вот, отсюда возникают различные звуки. Именно инструментальную музыку, кажется, следует рассмотреть в нашем труде в первую очередь70.

14
Institutio musica
(8) 	Sed proemii satis est. Nunc de ipsis musicae elementis est disserendum.
De vocibus ac de musicae elementis
III. 	(1) Consonantia, quae omnem musicae modulationem regit, praeter sonum fieri non potest, sonus vero praeter quendam pulsum percussionemque non redditur, pulsus vero atque percussio nullo modo esse potest, nisi praecesserit motus. Si enim cuncta sint inmobilia, non poterit alterum alteri concurrere, ut alterum inpellatur ab altero, sed cunctis stantibus motuque carentibus nullum fieri necesse est sonum. Idcirco definitur sonus percussio aeris indissoluta usque ad auditum.
(2) Motuum vero alii sunt velociores, alii tardiores, eorundemque motuum alii rariores sunt alii spissiores. Nam si quis in continuum motum respiciat, ibi aut velocitatem aut tarditatem necesse est conprehendat, sin vero quis moveat manum aut frequenti eam motu movebit aut raro.
(3) Et si tardus quidem fuerit ac rarior motus, graves necesse est sonos effici ipsa tarditate et raritate pellendi. Sin vero sint motus celeres ac spissi, acutos necesse est reddi sonos.
(4) Idcirco enim idem nervus, si intendatur amplius, acutum sonat, si remittatur, grave. Quando enim tensior est, velociorem pulsum reddit celeriusque revertitur et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui vero laxior est, solutos ac tardos pulsus effert rarosque ipsa inbecillitate feriendi, nec diutius tremit.
(5) Neque enim quotiens chorda pellitur, unus edi tantum putandus est sonus aut unam in his esse percussionem, sed totiens aer feritur, quotiens eum chorda tremebunda percusserit. Sed quoniam iunctae sunt velocitates sonorum, nulla intercapedo sentitur auribus et unus sonus sensum pellit vel gravis vel acutus, quamvis uterque ex pluribus constet gravis quidem ex tardioribus et rarioribus acutus vero ex celeribus ac spissis:
(6) velut si conum, quem turbinem vocant, quis diligenter extornet eique unam virgulam coloris rubri vel alterius ducat, et eum qua potest celeritate convertat, tunc totus conus rubro colore videtur infectus, non quo totus ita sit, sed quod partes puras rubrae virgae velocitas conprehendat et apparere non sinat. Sed de his posterius.

I, 2.8 -3.6
Основы музыки
15
(8) 	Для начала [о родах музыки] сказано достаточно. Теперь нужно рассмотреть вопрос об элементах музыки.
3. 	О звуковысотности и об элементах музыки
(1) Консонанс, который правит всей слаженностью музыки71, иначе как в звуке72 возникнуть не может. Звук же иначе как от некоего биения или сотрясения не возникает73. Биение же и сотрясение никоим образом не могут возникнуть, если этому не предшествовало движение. Если бы все вещи были неподвижными, одна вещь не смогла бы вступить в соприкосновение с другой, чтобы получить [от нее] побудительный толчок, и во всех покойных и лишенных движения вещах никоим образом не возник бы звук. Вот почему звук определяется как сотрясение воздуха, не рассеивающееся вплоть до органа слуха74.
(2) Из движений одни более быстрые, другие более медленные, одни движения возобновляются пореже, а другие почаще. Если еще вспомнить о том, что движение непрерывно, то надо различать [в этой непрерывности] быстрое и медленное движение, вроде того как человек машет рукой в учащенной манере или в замедленной.
(3) Если движения будут медленными и редкими, обязательно возникнут низкие звуки, вызванные указанной медлительностью и редкостью [движений]. Если же движения будут быстрыми и частыми, с необходимостью раздадутся и высокие звуки.
(4) Вот почему струна, если натянуть ее посильнее, звучит высоко, а если натяжение ослабить, то низко. Ибо когда струна натянута, она дрожит скорее и быстрее возвращается в исходное положение, и чаще и активней возбуждает воздух. Когда же она ослаблена, она толкает воздух плавно, медленно и редко, вяло возбуждая его, и долго не дрожит.
(5) Когда ударяют по струне, не следует думать, что она издает один-единственный звук, и не следует думать, что в упомянутых [движениях] присутствует только одно сотрясение [воздуха]75; в действительности воздух возбуждается столько раз, сколько раз его рассекает дрожащая струна. Но поскольку звуковые скорости сочетаются, на слух никакого перерыва [между звуками] не заметно, и чувствуется только один — низкий или высокий — звук, хотя он и складывается из многих; низкий — из более медленных и редких [ударов], высокий — из более быстрых и частых.
(6) Если конус, называемый волчком76, тщательно обточить и провести [по вертикали на его поверхности] полоску красного или любого другого цвета, а затем что есть силы его раскрутить, то весь конус покажется окрашенным в красный цвет, не потому что весь конус таков, а потому что скорость скрадывает его некрашеные участки в пользу красной полосы и не позволяет [глазу] их заметить. Но об этом позже77.

16
Institutio musica
(7) Igitur quoniam acutae voces spissioribus et velocioribus motibus incitantur, graves vero tardioribus ac raris, liquet additione quadam motuum ex gravitate acumen intendi, detractione vero motuum laxari ex acumine gravitatem. Ex pluribus enim motibus acumen quam gravitas constat.
(8) In quibus autem pluralitas differentiam facit, ea necesse est in quadam numerositate consistere. Omnis vero paucitas ad pluralitatem ita sese habet, ut numerus ad numerum comparatus. Eorum vero, quae secundum numerum conferuntur, partim sibi sunt aequalia partim inaequalia. Quocirca soni quoque partim sunt aequales,
191 partim vero sunt inaequalitate distantes. Sed in his vocibus, quae nulla inaequalitate discordant, nulla omnino consonantia est. Est enim consonantia dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia.
De speciebus inaequalitatis
IV. 	(1) Quae vero sunt inaequalia, quinque inter se modis inaequalitatis momenta custodiunt. Aut enim alterum ab altero multiplicitate transcenditur, aut singulis partibus aut pluribus aut multiplicitate et parte aut multiplicitate et partibus.
(2) Et primum quidem inaequalitatis genus multiplex appellatur. Est vero multiplex, ubi maior numerus minorem numerum habet in se totum vel bis vel ter vel quater ac deinceps, nihilque deest, nihil exuberat. Appellaturque vel duplum vel triplum vel quadruplum atque ad hunc ordinem in infinita progreditur.
(3) Secundum vero inaequalitatis genus est, quod appellatur superparticulare, id est cum maior numerus minorem numerum habet in se totum et unam eius aliquam partem eamque vel dimidiam, ut tres duorum, et vocatur sesqualtera proportio, vel tertiam, ut quattuor ad tres, et vocatur sesquitertia, atque ad hunc modum etiam posterioribus numeris pars aliqua a maioribus super minores numeros continetur.
(4) Tertium vero genus inaequalitatis est, quotiens maior numerus totum intra se minorem continet et eius aliquantas insuper partes. Et si duas quidem supra continet, vocabitur proportio superbipartiens, ut sunt quinque ad tres, sin vero tres super continet, vocabitur supertripartiens, ut sunt septem ad quattuor, et in ceteris quidem eadem esse similitudo potest.
(5) Quartum vero est inaequalitatis genus, quod ex multiplici et superpar-
192 ticulari coniungitur, cum scilicet maior numerus habet in se minorem numerum vel bis vel ter vel quotienslibet atque eius unam aliquam partem, et si eum bis habet et eius dimidiam partem, vocabitur duplex supersesqualter, ut sunt quinque ad duo; sin vero bis minor continebitur et eius

I, 3.7 - 4.5
Основы музыки
17
(7) Поскольку высокие звуки возбуждаются более частыми и скорыми движениями [струны], а низкие более медленными и редкими, очевидно, что с добавлением количества движений звук повышается, переходя от низкого к высокому, а с уменьшением количества движений он понижается, переходя от высокого к низкому. Таким образом, высокие звуки состоят из большего, чем низкие, множества движений.
(8) Разница между количествами движений состоит в величине [некоторого] множества, а множество с необходимостью исчисляется. Всякая малость относится к множеству так, как число, сравнимое с другим числом. Исчисляемые сравнимые количества отчасти равны друг другу, а отчасти неравны78. Поэтому звуки бывают равными [по высоте], а бывает так, что они отстоят друг от друга на величину неравенства. В тех звуках, которые не различаются по высоте, нет вообще никакого консонанса79. Ибо консонанс — это приведенное к единству согласие различных по высоте звуков.
4. 	О видах неравенства
(1) Неравные сущности80 охватываются пятью категориями, характеризующими виды неравенства. Одно превосходит другое либо в кратном отношении, либо отдельными частями, либо многими частями, либо в кратном отношении и одной частью, либо в кратном отношении и многими частями.
(2) Первый род неравенства называется кратным. Он случается тогда, когда большее число содержит в себе меньшее целиком дважды, трижды, четырежды и так далее; нет остатка и нет излишка. Он называется также двойным, тройным, четверным и так идет по порядку до бесконечности.
(3) Второй род неравенства называется сверхчастичным, то есть когда большее число содержит в себе меньшее целиком и еще некую одну его часть, как например, половину (в отношении числа 3 к 2, тогда говорят о полуторном отношении), треть (в отношении числа 4 к 3, тогда говорят о сверхтретном отношении) и так далее в последующих числах — некая [одна] часть меньшего числа содержится в большем числе.
(4) Третий род неравенства бывает тогда, когда большее число содержит в себе меньшее целиком и сверх того несколько его частей81. Если при этом большее число превышает меньшее на два, такое числовое отношение называется сверхдвухчастным (например, 5 к 3), если на три, называется сверхтрехчастным (например, 7 к 4), и так далее подобным образом.
(5) Четвертый род неравенства образуется из соединения кратного и сверхчастичного родов, когда большее число содержит в себе меньшее [целиком] дважды, трижды или сколь угодно раз и сверх того еще одну часть [меньшего] числа82. Если большее число содержит в себе меньшее дважды и еще его половину, такое отношение называется двойным полуторным83 (например, 5 к 2); если дважды и еще его треть, называется двойным сверхтретным

18
Institutio musica
tertia pars, vocabitur duplex supersesquitertius, ut sunt septem ad tres. Sin vero tertio continebitur et eius dimidia pars, vocabitur triplex supersesqualter, ut sunt septem ad duo, atque ad eundem modum in ceteris et multiplicitatis et superparticularitatis vocabula variantur.
(6) Quintum est genus inaequalitatis, quod appellatur multiplex superpartiens, quando maior numerus minorem numerum habet in se totum plus quam semel et eius plus quam unam aliquam partem. Et si bis maior numerus minorem numerum continebit, duasque eius insuper partes, vocabitur duplex superbipartiens, ut sunt tres ad octo, et rursus triplex superbipartiens, ut sunt tres et XI.
(7) Ac de his idcirco nunc strictim ac breviter explicamus, quoniam in libris, quos de arithmetica institutione conscripsimus, diligentius enodavimus.
Quae inaequalitatis species consonantiis deputentur
V. (1) Ex his igitur inaequalitatis generibus postrema duo, quoniam ex superioribus sunt mixta, relinquantur, de tribus vero prioribus speculatio facienda est. Obtinere igitur maiorem ad consonantias potestatem videtur multiplex, consequentem autem superparticularis. Superpartiens vero ab armoniae concinentia separatur, ut quibusdam praeter Ptolemaeum videtur.
Cur multiplicitas et superparticularitas consonantiis deputentur
VI. (1) Ea namque probantur coaptationi consentanea, quae sunt natura simplicia. Et quoniam gravitas et acumen in quantitate consistunt, ea maxime videbuntur servare naturam concinentiae, quae discretae proprietatem quantitatis poterunt custodire.
(2) Nam cum sit alia quidem discreta quantitas, alia vero continua, ea quae discreta est in minimo quidem finita est, sed in infinitum per maiora procedit. Namque in ea minima unitas eademque finita est, in infinitum vero modus pluralitatis augetur, ut numerus, qui, cum a finita incipiat unitate, crescendi non habet finem.
(3) Rursus quae est continua, tota quidem finita est, sed per infinita minuitur. Linea enim, quae continua est, in infinita semper partitione dividitur, cum sit eius summa vel pedalis vel quaecunque alia definita mensura. Quocirca numerus semper in infinita crescit, continua vero quantitas in infinita minuitur.

I, 4.5 - 6.3
Основы музыки
19
(например, 7 к 3). Если же большее число содержит в себе меньшее трижды и еще половину меньшего числа, такое отношение называется тройным полуторным (например, 7 к 2). Наподобие этого меняются названия [для отношений четвертого рода] и в других случаях [с учетом изменения] кратности и сверхчастности.
(6) Пятый род неравенства называется кратно-сверхчастным, когда большее число содержит в себе меньшее целиком больше одного раза и сверх того больше чем одну часть [меньшего] числа. Если большее число содержит в себе меньшее число дважды и сверх того еще две его части, такое отношение называется двойным сверхдвухчастным (например, отношение 8 к З)84, или соответственно тройным сверхдвухчастным (11 кЗ)85.
(7) Расскажем теперь о видах неравенства кратко и сжато, поскольку в наших книгах об основах арифметики мы их уже тщательно растолковали86.
5. О том, какие виды неравенства подходят для консонансов
(1) 	Из родов неравенства можно оставить без внимания последние два, так как они смешиваются из предшествующих родов; три первых рода, напротив, надо теоретически осмыслить. Наибольшее значение для консонансов имеет, кажется, кратный род, а за ним следует сверхчастичный род. Сверхчастный же несовместим со стройностью гармонии, как считают все [ученые], кроме Птолемея87.
6. Почему кратность и сверхчастичность подходят для консонансов
(1) Сущности, которые проще по природе, считаются более пригодными ко взаимному согласованию88. Поскольку низкие и высокие звуки представляют собой количества, те сущности, которые обладают свойством раздельного количества, лучше всего, как мы увидим, сберегают природу консонанса.
(2) Количество бывает двух видов — одно раздельное, другое слитное. Раздельное количество ограничено наименьшим числом, но посредством [добавления] больших уходит в бесконечность. В нем наименьшая единица самою собой и ограничивается89, до бесконечности же увеличивается только мера множества, и число, которое начинается с предельной единицы, не имеет предела возрастания.
(3) И напротив, слитное количество, будучи ограничено целым, уменьшается до бесконечности. Взять хотя бы линию, которая представляет собой слитное количество: она всегда до бесконечности делима на части, так как ее величина измеряется в футах90 (или какой-нибудь иной определенной мерой). Вот почему число всегда бесконечно возрастает, слитное же количество бесконечно уменьшается.

20
Institutio musica
(4) Multiplicitas igitur, quoniam finem crescendi non habet, numeri maxime servat naturam. Superparticularitas autem, quoniam in infinitum minorem minuit, proprietatem servat continuae quantitatis. Minuit autem minorem, cum semper eum continet et eius vel dimidiam partem vel tertiam vel quartam vel quintam. Nam semper pars a maiore numero denominata ipsa decrescit.
194 Nam cum tertia a tribus denominata sit, quarta vero a quattuor, cum quattuor tres superent, quarta potius quam tertia minutior invenitur.
(5) Superpartiens vero iam quodam modo a simplicitate discedit; duas enim vel tres vel quattuor habet insuper partes et a simplicitate discedens exuberat ad quandam partium pluralitatem.
(6) Rursus multiplicitas omnis in integritate se continet. Nam duplum bis habet totum minorem, triplum item tertio continet totum minorem atque ad eundem modum cetera. Superparticularitas vero nihil integrum servat, sed vel dimidio superat, vel tertia vel quarta vel quinta; sed tamen divisionem singulis ac simplicibus partibus operatur.
(7) Superpartiens autem inaequalitas nec servat integrum nec singulas adimit partes, atque idcirco secundum Pythagoricos minime musicis consonantiis adhibetur. Ptolemaeus tamen etiam hanc proportionem inter consonantias ponit, ut posterius ostendam.
Quae proportiones quibus consonantiis musicis aptentur
VII. (1) Illud tamen esse cognitum debet, quod omnes musicae consonantiae aut in duplici aut in triplici aut in quadrupla aut in sesqualtera aut in sesquitertia proportione consistant; et vocabitur quidem, quae in numeris sesquitertia, diatessaron in sonis, quae in numeris sesqualtera, diapente appellatur in vocibus, quae vero in proportionibus dupla est, diapason in consonantiis, tripla vero diapente ac diapason, quadrupla autem bis diapason. Et nunc quidem universaliter atque indiscrete dictum sit, posterius vero omnis ratio proportionum lucebit.
195 Quid sit sonus, quid intervallum, quid consonantia
VIII. (1) Sonus igitur est vocis casus emmeles, id est aptus melo, in unam intensionem. Sonum vero non generalem nunc volumus definire, sed eum, qui graece dicitur phthongos, dictus a similitudine loquendi, id est φθέγγεσθαι.
VII,1 omnes musicae consonantiae] omnis musicae consonantiae Fr.

I, 6.4 - 8.1
Основы музыки
21
(4) Поскольку кратность не имеет предела возрастания, она лучше всего соответствует природе числа. Поскольку сверхчастичность бесконечно уменьшается на [всё меньшую и] меньшую часть, она обладает свойством слитного количества. Она уменьшается на [всё меньшее и] меньшее количество, поскольку всегда содержит это меньшее количество [целиком] и еще его половину, либо третью часть, либо четвертую, либо пятую [и так далее до бесконечности]. Ибо всегда часть, которая обозначена через большее число, уменьшает само число. Треть получает название от числа три, четверть от числа четыре, и хотя число четыре превосходит число три, четверть оказывается меньше, чем треть91.
(5) Сверхчастный род [неравенства] известным образом уже удаляется от [природной] простоты; у него две, или три, или четыре лишних части и, удаляясь от простоты, он [всё больше] наполняется неким излишним количеством частей.
(6) Вдобавок всякая кратность целостна. Ибо двойное число включает в себя дважды целое меньшее, тройное — трижды целое меньшее и т.д. Сверхчастичность ни в коей мере не сохраняет целостности, и [всегда] есть излишек: половина, или треть, или четверть, или пятина,— но она все-таки проявляет себя в отделении одной простой части92.
(7) Сверхчастный же род неравенства не сохраняет целостности и не отнимает93 [от целого] одной части, и поэтому, согласно пифагорейцам, он вовсе не употребляется в музыкальных консонансах. Птолемей, однако, относит даже сверхчастное отношение к консонансам, как я покажу позже94.
7. О том, какие числовые отношения годятся для музыкальных консонансов
(1) 	Наконец, следует знать, что все музыкальные консонансы существуют в двойном, или в тройном, или в четверном, или в полуторном, или в сверхтретном отношении. Что в числах называется сверхтретным отношением, то в звуках называется квартой. Что в числах полуторное отношение, в звуках — квинта, а что в отношениях двойное, в консонансах — октава, тройное — квинта с октавой, четверное — двойная октава. Сейчас мы сказали о них в общем, не вдаваясь в детали; в дальнейшем станет ясна вся теория числовых отношений.
8. Что есть звук, что интервал, и что консонанс
(1) 	Звук — это «эммелическое», то есть пригодное для мелодии, попадание голоса на одну высоту95. Тем самым, заметим, мы даем не общее определение звука96, а того, который по-гречески называется φθόγγος, названного по сходству со словом «говорить» — φθέγγεσθαί97.

22
Institutio musica
(2) Intervallum vero est soni acuti gravisque distantia.
(3) Consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens. Dissonantia vero est duorum sonorum sibimet permixtorum ad aurem veniens aspera atque iniucunda percussio. Nam dum sibimet misceri nolunt et quodammodo integer uterque nititur pervenire, cumque alter alteri officit, ad sensum insuaviter uterque transmittitur.
Non omne iudicium dandum esse sensibus sed amplius rationi esse credendum; in quo de sensuum fallacia.
VIIII. (1) Sed de his ita proponimus, ut non omne iudicium sensibus demus, quamquam a sensu aurium huiusce artis sumatur omne principium. Nam si nullus esset auditus, nulla omnino disputatio de vocibus extitisset.
(2) Sed principium quodam modo et quasi admonitionis vicem tenet auditus, postrema vero perfectio agnitionisque vis in ratione consistit, quae certis regulis sese tenens nunquam ullo errore prolabitur.
(3) Nam quid diutius dicendum est de errore sensuum, quando nec omnibus eadem sentiendi vis nec eidem homini semper aequalis est? Frustra autem vario iudicio quisquam committet, quod veraciter affectet inquirere.
(4) Idcirco Pythagorici medio quodam feruntur itinere. Nam nec omne iudicium dedunt auribus et quaedam tamen ab eis non nisi auribus explorantur. Ipsas enim consonantias aure metiuntur, quibus vero inter se distantiis consonantiae differant, id iam non auribus, quarum sunt obtusa iudicia, sed regulis rationique permittunt, ut quasi oboediens quidam famulusque sit sensus, iudex vero atque imperans ratio.
(5) Nam licet omnium paene artium atque ipsius vitae momenta sensuum occasione producta sint, nullum tamen in his iudicium certum, nulla veri est conprehensio, si arbitrium rationis abscedat.
(6) Ipse enim sensus aeque maximis minimisque corrumpitur. Nam neque minima sentire propter ipsorum sensibilium parvitatem potest, et maioribus saepe confunditur, ut in vocibus, quas si minimae sint, difficilius captat auditus, si sint maximae, ipsius sonitus intentione surdescit.

I, 8.2 -9
Основы музыки
23
(2) Интервал же — расстояние между высоким и низким звуками.
(3) Консонанс — это слияние высокого и низкого звуков, которое приятно и единообразно достигает слуха. Наоборот, диссонанс — это долетающее до слуха грубое и неприятное столкновение двух перемешанных звуков. Ибо когда звуки не хотят сливаться, но каждый по отдельности стремится возобладать, когда один мешает другому, тогда каждый из двух [звуков интервала] ощущается как неприятный98.
9. 	О том, что не всякое суждение должно полагаться на ощущения, но лучше поверять суждение разумом; о том, как чувства обманываются
(1) Мы исходим из того, что не в любом суждении человек может полагаться на ощущения, хотя названное [музыкальное] искусство и начинается в любом случае со слухового ощущения99. Ибо если бы не было слуха, не существовало бы и никаких вообще исследований о звуках.
(2) Но слух выполняет функцию только начинательную и как бы «побудительную». Дальнейшее же совершенство и глубину познания обеспечивает разум, который, удерживая себя в рамках определенных правил, никогда не впадает в заблуждение.
(3) Да и что долго говорить о чувственном заблуждении, когда способность чувственного восприятия не одна и та же у всех людей, и даже один и тот же человек воспринимает вещи не всегда одинаково? Таким образом, всякому, кто подлинно жаждет изучить предмет, не стоит даром доверять изменчивым [чувственным] суждениям.
(4) Вот почему пифагорейцы пошли по некоему среднему пути. Они не доверяют слуховому суждению полностью, но кое-какие вещи все-таки исследуют только с помощью слуха. Консонансы как таковые они оценивают на слух, но суждение о расстоянии, на которое отстоят друг от друга звуки консонанса, они вверяют уже не слуху (с его расплывчатыми суждениями), а правилам и разуму. Чувство повинуется, словно слуга, судьей же и владыкой выступает разум.
(5) И хотя явления любого почти искусства и самой жизни воспринимаются непосредственно чувствами, всё же никакая их оценка не будет подлинной, никакое постижение — истинным, если разум не вынесет свой вердикт.
(6) К тому же слуховое чувство искажается из-за сверхвеликих и сверхмалых объектов чувственного восприятия. Чувство не может ощущать сверхмалые объекты вследствие их ничтожности и от более великих зачастую смущается. И со звуками дело обстоит так же: если они чересчур тихие, слух улавливает их с трудом; если же чересчур громкие, он глохнет от напряженности звучания.

24
Institutio musica
Quemadmodum Pythagoras proportiones consonantiarum investigaverit
X. 	(1) Haec igitur maxime causa fuit, cur relicto aurium iudicio Pythagoras ad regularum momenta migraverit, (2) qui nullis humanis auribus credens, quae partim natura, partim etiam extrinsecus accidentibus permutantur, partim ipsis variantur aetatibus,
(3) nullis etiam deditus instrumentis, penes quae saepe multa varietas atque inconstantia nasceretur, dum nunc quidem si nervos velis aspicere vel aer umidior pulsus obtunderet vel siccior excitaret vel magnitudo chordae graviorem redderet sonum vel acumen subtilior tenuaret vel alio quodam modo statum prioris constantiae permutaret, et cum idem esset in ceteris instrumentis,
(4) omnia haec inconsulta minimaeque aestimans fidei diuque aestuans inquirebat, quanam ratione firmiter et constanter consonantiarum momenta perdisceret.
(5) Cum interea divino quodam nutu praeteriens fabrorum officinas pulsos malleos exaudit ex diversis sonis unam quodam modo concinentiam personare. Ita igitur ad id, quod diu inquirebat, adtonitus accessit ad opus diuque considerans arbitratus est diversitatem sonorum ferientium vires efficere, atque ut id apertius conliqueret, mutare inter se malleos imperavit. Sed sonorum proprietas non in hominum lacertis haerebat, sed mutatos malleos comitabatur. Ubi id igitur animadvertit, malleorum pondus examinat, (6) et cum quinque essent forte mallei, dupli reperti sunt pondere, qui sibi secundum diapason consonantiam respondebant. Eundem etiam, qui duplus esset alio, sesquitertium alterius conprehendit, ad quem scilicet diatessaron sonabat. Ad alium vero quendam, qui eidem diapente consonantia iungebatur, eundem superioris duplum repperit esse sesqualterum. Duo vero hi, ad quos superior duplex sesquitertius et sesqualter esse probatus est, ad se invicem sesquioctavam proportionem perpensi sunt custodire. Quintus vero est reiectus, qui cunctis erat inconsonans.
(7) 	Cum igitur ante Pythagoram consonantiae musicae partim diapason partim diapente partim diatessaron, quae est consonantia minima, vocarentur, primus Pythagoras hoc modo repperit, qua proportione sibimet haec sonorum concordia iungeretur. Et ut sit

I, 10.1-7
Основы музыки
25
10. 	О том, как Пифагор исследовал числовые отношения консонансов100
(1) Причиной этого исследования стало скорее всего то, что Пифагор, оставив суждение слуха, перешел к обдумыванию правильных критериев [консонанса]101.
(2) Он больше не верил ни в какой человеческий слух, ибо тот, отчасти по своей природе, отчасти в силу внешних обстоятельств подвержен изменениям, отчасти же меняется с возрастом.
(3) Он не доверился и никаким [музыкальным] инструментам, которые часто порождают многоразличие и непостоянство. Возьмем струнные инструменты: то влажный воздух приглушает дрожание струн, то сухой их возбуждает, то большая струна издает звук ниже, [чем нужно], то тонкая струна завышает, или еще как-то по-другому [струнный инструмент] меняет свое прежнее состояние. То же происходит и с другими видами инструментов.
(4) Оставив всё это без внимания, ничего не принимая на веру и давно обуреваемый [исследовательским] жаром, он стал искать, каким образом, полагая разумные основания, прочно и твердо познать критерии консонансов.
(5) Как-то Пифагор, словно по промыслу божьему, проходя мимо кузнечных мастерских, заслышал удары молотков; последние, издавая различные [по высоте] звуки, некоторым образом сочетались в едином благозвучии. Пораженный, он подступился к тому, что так долго искал. Поразмышляв, Пифагор предположил, что [высотные] различия звуков вызваны силой ударявших. Чтобы прояснить это, он велел [кузнецам] поменяться молотками. Оказалось, что своеобразие звуков не связано с мышечной силой людей,— оно осталось прежним и после того как молотки поменяли местами. Заметив это, Пифагор стал исследовать вес молотков.
(6) Оказалось, что всего молотков пять. Среди них нашлись такие, которые по весу были в двукратном отношении: они перекликались, давая октавный консонанс102. Тот молоток, который находился в двойном отношении к первому, был [по весу] в сверхтретном отношении к следующему молотку, который звучал с ним в кварту. В отношении же того молотка, который сочетался с ним квинтовым консонансом, обнаружилось, что вышеупомянутый двойной находится с ним в полуторном отношении. А те два молотка, по отношению к которым вышеупомянутый двойной определился как сверхтретный [к одному] и полуторный [к другому], взвешенные, дали сверхосминное отношение. Пятый же молоток, который неблагозвучен по отношению к остальным103, был отвергнут.
(7) Хотя до Пифагора музыкальные консонансы уже были известны и назывались когда октава, когда квинта, когда кварта (это — наименьший консонанс104), именно Пифагор был первым, кто сыскал, каким числовым отноше-

26
Institutio musica
clarius quod dictum est, sint verbi gratia malleorum quattuor pondera, quae subter scriptis numeris contineantur: XII. VIIII. VIII. VI.
198 Hi igitur mallei, qui .XII. et .VI. ponderibus vergebant, diapason in duplo concinentiam personabant. Malleus vero .XII. ponderum ad malleum .VIIII. et malleus .VIII. ponderum ad malleum .VI. ponderum secundum epitritam proportionem diatessaron consonantia iungebatur. .VIIII. vero ponderum ad .VI. et .XII. ad .VIII. diapente consonantiam permiscebant. .VIIII. vero ad .VIII. in sesquioctava proportione resonabant tonum.
Quibus modis variae a pythagora proportiones consonantiarum perpensae sint
XL (1) Hinc igitur domum reversus varia examinatione examinatio perpendit, an in his proportionibus ratio symphoniarum tota consisteret. Nunc quidem aequa pondera nervis aptans eorumque consonantias aure diiudicans, nunc vero in longitudine calamorum duplicitatem medietatemque restituens ceterasque proportiones aptans integerrimam fidem diversa experientia capiebat. Saepe etiam pro mensurarum modo cyathos aequorum ponderum acetabulis inmittens; saepe ipsa quoque acetabula diversis formata ponderibus virga vel aerea ferreave percutiens nihil sese diversum invenisse laetatus est. Hinc etiam ductus longitudinem crassitudinemque chordarum ut examinaret adgressus est.
(2) 	Itaque invenit regulam, de qua posterius loquemur, quae ex re vocabulum sumpsit, non quod regula sit lignea, per quam magnitudines chordarum sonumque metimur, sed quod regula quaedam sit huiusmodi inspectio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio fallat indicio.
199 De divisione vocum earumque explanatione
XII. (1) Sed de his hactenus. Nunc vocum differentias colligamus. Omnis vox aut συνεχής est, quae continua, aut διαστηματική, quae dicitur cum intervallo suspensa.
(2) 	Et continua quidem est, qua loquentes vel prosam orationem legentes verba percurrimus. Festinat enim tunc vox non haerere in acutis et gravibus sonis, sed quam velocissime verba percurrere, expediendisque sensibus exprimendisque sermonibus continuae vocis impetus operatur.

I, 10.7 - 12.2
Основы музыки
27
нием скрепляется согласие звуков. Чтобы пояснить сказанное, возьмем для примера четыре веса молотков, которые можно записать следующими числами: 12:9:8:6. Так, молотки, которые весили 12 и 6 фунтов, в двойном отношении издавали благозвучие октавы. Молоток 12 фунтов с молотком 9 (как и молоток 8 фунтов с молотком 6) сочетались сверхтретным отношением105 консонанса кварты. Молоток 9 фунтов с молотком 6 (и молоток 12 с 8) сливались в консонансе квинты. Молотки же 9 и 8 в сверхосминном отношении издавали целый тон.
11. О том, какими способами Пифагор тщательно изучил разные отношения консонансов
(1) Вернувшись домой, он с помощью разных экспериментов стал тщательно изучать, действительно ли вся наука о консонансах106 заключается в этих числовых отношениях. Сначала он приладил гири соответствующего веса к струнам и оценивал на слух получавшиеся от них консонансы. Потом стал экспериментировать с длиной трубок, возвращаясь к двойному и половинному [размерам] и примеряя другие числовые отношения — так в ходе различных опытов он обретал полнейшую уверенность [в своей теории]. Используя киаф107 наподобие мензуры, он не раз наливал в чашки [жидкость] соответствующего веса, а затем, расставив те же чашки по весу, принимался ударять по ним то медным, то железным прутиком — и радовался, не обнаружив [в звуках] ничего нового. Воодушевленный, он тогда затеял опыты с длиной и толщиной струн108.
(2) Так Пифагор изобрел канон109 (подробней мы расскажем о нем позже110), название которого берется от его сущности — канон понимается здесь не как деревянная линейка, которой мы измеряем величину струн и размечаем звуки111, а некий канон в смысле [правила] рассмотрения столь прочного и твердого, чтоб ни один исследователь не мог быть введен в заблуждение недостоверным свидетельством112. Но довольно об этом.
12. Разновидности голоса и их объяснение113
(1) Рассмотрим теперь разновидности голоса. Всякий голос бывает либо συνεχής114, то есть слитный, либо διαστηματική115, то есть выдержанный в интервалах116.
(2) Слитный тот, который звучит, когда мы разговариваем, или когда бегло проговариваем слова, ведя прозаическую речь117. При этом голос стремится не задерживаться на высоких или низких звуках, а как можно быстрее проговорить слова — слитный голос занят выражением чувств и изложением смысла высказывания.

28
Institutio musica
(3) Λιαστή ματική autem est ea, quam canendo suspendimus, in qua non potius sermonibus sed modulis inservimus, estque vox ipsa tardior et per modulandas varietates quoddam faciens intervallum, non taciturnitatis sed suspensae ac tardae potius cantilenae.
(4) His, ut Albinus autumat, additur tertia differentia, quae medias voces possit includere, cum scilicet heroum poema legimus neque continuo cursu, ut prosam, neque suspenso segniorique modo vocis, ut canticum.
Quod infinitatem vocum humana natura finiverit
XIII. (1) Sed quae continua vox est et ea rursus, qua decurrimus cantilenam, naturaliter quidem infinitae sunt. Consideratione enim accepta nullus modus vel evolvendis sermonibus fit vel acuminibus adtollendis gravitatibusque laxandis, sed utrisque natura humana fecit proprium finem. Continuae enim voci terminum humanus spiritus facit, ultra quem nulla ratione valet excedere. Tantum enim unusquisque loquitur continue, quantum
200 	naturalis spiritus sinat. Rursus διαστηματι,κή voci natura hominum terminum facit, quae acutam eorum vocem gravemque determinat. Tantum enim unusquisque vel acumen valet extollere, vel deprimere gravitatem, quantum vocis eius naturalis patitur modus.
Quis modus sit audiendi
XIIII. (1) Nunc quis modus audiendi sit, disseramus. Tale enim quiddam fieri consuevit in vocibus, quale cum [in] paludibus vel quietis aquis iactum eminus mergitur saxum. Prius enim in parvissimum orbem undam colligit, deinde maioribus orbibus undarum globos spargit, atque eo usque dum defatigatus motus ab eliciendis fluctibus conquiescat. Semperque posterior et maior undula pulsu debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes undas possit offendere, statim motus ille revertitur et quasi ad centrum, unde profectus fuerat, eisdem undulis rotundatur.
(2) 	Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum et quodammodo rotundum fluctum aeris ciet, itaque diffunditur et omnium circum stantium simul ferit auditum. Atque illi est obscurior vox, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit.
XIV, 1 quale cum [in] paludibus] Praepositio 'in' inclusa uncis a Friedleinio, deest in antiquissimis mss.

I, 12.3 - 14
Основы музыки
29
(3) Голос διαστηματική — тот, который мы выдерживаем в пении и которым пользуемся не в обычной речи, а в напевах118. Голос этого вида более протяжный; ради ладного сочетания различных [по высоте] звуков он производит какой-либо интервал — не в смысле молчания, а в смысле [промежутка внутри] выдержанной и даже протяжной мелодии119.
(4) К этим двум, как полагает Альбин120, добавляется третья разновидность, которая может включать в себя некие средние виды голоса121. Она бывает, когда мы, например, читаем стихи о героях — не слитным потоком (как в прозе) и не в выдержанно-размеренной122 вокальной манере (как в песне).
13. О том, что беспредельности голосов человеческое естество положило предел
(1) 	Названные виды голоса — слитный и противоположный ему [интервальный], которым мы проходим123 мелодию, в сущности беспредельны. С этой точки зрения ни в текучей речи, ни в возвышении или понижении [голоса] никакой меры нет. Однако для обоих [видов голоса] человеческое естество установило свой предел. Предел слитного голоса устанавливает дыхание человека, превзойти которое никак невозможно. Любой человек говорит слитно до тех пор, пока не иссякнет естественное дыхание. А для «диастематичного» голоса человеческое естество устанавливает предел в том, что определяет высокий и низкий голос человека124. Любой человек способен подняться наверх или опуститься вниз лишь настолько, насколько позволяет объем его естественного голоса.
14. О том, как мы слышим
(1) Рассмотрим теперь вопрос о том, как мы слышим. Со звуками обычно происходит нечто подобное тому, что бывает, когда в пруд или в тиховодье издали падает камень. Вначале он поднимает волну ничтожной окружности, затем волны валом расходятся большими по размеру кругами, и так до тех пор, пока движение, ослабленное распространением волн, не утихнет. И последняя большая волна125 всегда разливается бессильно. Если что-то помешает набегающим волнам, движение тотчас обращается вспять и налаживается такими же круговыми волнами как бы к центру — туда, откуда исходил [первоначальный] импульс.
(2) Так же, когда сотрясенный воздух издает звук, он толкает другой, соседний [воздух] и вызывает как бы круговую волну воздуха; эта волна разливается и сразу достигает слуха всех, кто стоит рядом. Тот, кто стоит дальше, слышит звук более неясный, ибо волна, возникшая от воздушного толчка, приходит к нему обессиленной.

30
Institutio musica
De ordine theorematum, id est speculationum
XV. (1) His igitur ita propositis dicendum videtur, quot generibus omnis cantilena texatur, de quibus armonicae inventionis disciplina considerat. Sunt autem haec: diatonum, chroma, armonia. De quibus ita demum explicandum est, si prius de tetrachordis disseremus et quemadmodum auctus nervorum numerus, quo nunc pluralitatis est, usque pervenerit. Id autem fiet, si prius commemoremus, quibus proportionibus symphoniae musicae misceantur.
De consonantiis proportionum et tono et semitonio
XVI. (1) Diapason symphonia est quae fit in duplo, ut est hoc:
diapason
I
II
proportio dupla
(2) 	Diapente vero est quae constat his numeris:
diapente
II
III
proportio sesquialtera
(3) 	Diatessaron est quae in hac proportione consistit:
diatessaron
III
IIII
proportio sesquitertia
XVI In principio capituli omnia antiquissima mss. septem breves descriptiones intervallorum continent. Quae descriptiones a Friedleinio amissae pro parte essentiali tractatus Boethii a Calvino Bowero habentur. Quem sequens picturas et brevem textum retinui.

I, 15 - 16.3
Основы музыки
31
15. О порядке теорем, то есть теоретических рассуждений
(1) 	После того как изложены предпосылки [музыки], следует, пожалуй, сказать о количестве родов, в которых слагается любая мелодия. Роды, обретение которых рассматривает дисциплина гармоника126, таковы: диатон, хрома, гармония127. Объяснять их нужно только после того, как мы разберем тетрахорды и обсудим, как число струн выросло до того количества, которое мы имеем ныне128. Всё это будет показано, но прежде вспомним, какими числовыми отношениями связываются музыкальные консонансы.
16. О числовых отношениях консонансов, о тоне и полутоне
(1) 	Консонанс октавы возникает в двойном отношении, как здесь:
октава
1
2
двойное отношение
(2) 	Квинта состоит в следующих числах:
квинта
2
3
полуторное отношение
(3) 	Кварта получается из такого числового отношения:
кварта
3
4
сверхтретное отношение

32
Institutio musica
(4) 	Tonus vero sesquioctava proportione concluditur, sed in hoc nondum est consonantia:
tonus
VIII
VIIII
proportio sesquioctava
(5) 	Diapason vero et diapente tripla comparatione colligitur hoc modo:
diapason et diapente
diapason diapente
—
IIII
VI
II
sesquialtera tripla
(6) 	Bis diapason quadrupla collatione perficitur hoc modo:
proportio quadrupla

I, 16.4-6
Основы музыки
33
(4) 	Тон же заключен в сверхосминном отношении, но в нем, однако, нет консонанса:
тон
сверхосминное отношение
(5) 	Октава с квинтой связаны тройным отношением таким образом:
октава с квинтой

двойное полуторное
тройное отношение
(6) 	Двойная октава образуется четверным отношением таким образом:
четверное отношение
двойная октава

34
Institutio musica
(7) 	Diapente ac diatessaron unum perficiunt diapason hoc modo:
diapason
diapente diatessaron
<\
II
III
IIII
sesquialtera sesquitertia
dupla
(8) Nam si vox voce duplo sit acuta vel gravis, diapason consonantia fiet,
202 si vox voce sesqualtera proportione sit vel sesquitertia vel sesquioctava acutior graviorque, diapente vel diatessaron vel tonum consonantiam reddet;
(9) item si diapason ut duo et quattuor et diapente ut sex et quattuor coniungantur, triplam, quae est diapason et diapente, efficient symphoniam; quod si bis diapason fiant, ut .II. ad .IIII. et Jill, ad .VIII., quadrupla fiet consonantia, quae est bis diapason; quod si sesqualtera et sesquitertia, id est diapente et diatessaron, ut .IL ad .III. et .III. ad .IIII. coniungantur, dupla, diapason nimirum, nascitur concinentia. Quattuor enim ad ili. sesquitertiam obtinent proportionem, tres vero ad binarium sesqualtera conlatione iunguntur; et idem quaternarius ad binarium appositus dupla ei comparatione copulatur, sed sesquitertia diatessaron, sesqualtera proportio diapente consonantiam creat, dupla vero diapason efficit symphoniam. Diatessaron igitur ac diapente unam diapason concinentiam iungunt.
(10) Rursus tonus in aequa dividi non potest, cur autem, posterius liquebit; nunc hoc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa dividitur. Atque ut id facillime conprobetur, sit sesquioctava proportio .VIII. et .VIIII. Horum nullus naturaliter medius numerus incidet. Hos igitur binario multiplicemus, fiuntque bis VIII. XVI., bis VIIII. XVIII. Inter .XVI. autem ас .XVIII. unus numerus naturaliter intercidit, qui est scilicet .XVII. Qui disponantur in ordinem XVI. XVII. XVIII. Igitur .XVI. ас .XVIII. collati sesquioctavam retinent proportionem atque idcirco tonum. Sed hanc pro-
203 portionem .XVII. numerus medius non in aequalia partitur. Comparatus enim ad .XVI. habet in se totum .XVI. et eius sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si vero ad eum, id est ad .XVII., tertius .XVIII. numerus comparetur, habet eum totum et eius septimam decimam partem; non igitur isdem partibus et minorem superat et a maiore superatur. Et est minor pars septima decima, maior sexta decima.

I, 16.7-10
Основы музыки
35
(7) 	Кварта с квинтой образуют единую октаву таким образом:
октава
квинта
кварта
2
3
4
полуторное сверхтретное
двойное отношение
(8) Итак, если высокий или низкий звук находится в двойном отношении к другому звуку, возникает консонанс октавы. Если высокий или низкий звук находится в полуторном, сверхтретном или сверхосминном отношении к другому звуку, получатся [соответственно] консонансы квинты, кварты или целого тона129.
(9) Если соединить октаву (2 к 4) и квинту (6 к 4), они произведут тройной консонанс130. А если взять октаву дважды (2 к 4 и 4 к 8), получится четверной консонанс, то есть дважды-октава131. Если сложить полуторное и сверхтретное отношения (2 к 3 и 3 к 4), родится двойной консонанс, всё та же октава. Ведь числа 4 к 3 образуют сверхтретное отношение, а 3 к 2 связаны полуторным отношением, и число 4, приложенное к 2, сочетается с ним двойным отношением. Но сверхтретное отношение порождает кварту, а полуторное порождает квинту, двойное же отношение производит консонанс октавы. Так, кварта и квинта соединяются в октавном консонансе132.
(10) Далее. Тон не может делиться на равные части, а по какой причине — это станет ясно позже. Теперь же достаточно узнать, что никогда тон не делится на две равные половины. И чтобы это простейшим образом доказать, возьмем сверхосминное отношение 8:9. Между числами 8 и 9 естественно не выпадает никакого среднего числа. Но если мы умножим [8 и 9] на два, то получатся дважды восемь (16), и дважды девять (18). Между 16 и 18 естественно выпадет одно [среднее] число, а именно 17. Оно располагается в ряду чисел 16:17:18. При сравнении чисел 16 и 18 возникает сверхосминное отношение и, следовательно, целый тон. Но означенное отношение [9 к 8] число 17 делит не на равные части133. Если сравнить [17] с числом 16, то это отношение включает в себя целиком 16 и его шестнадцатую часть. Если же с числом 17 сравнить третье число 18, то это отношение включает в себя целиком 17 и его семнадцатую часть. Следовательно, в тех же частях оно не превосходит меньшее и не превосходится большим. И меньшая часть — шестнадцатая, а большая — семнадцатая.

36
Institutio musica
(11) 	Sed utraque semitonia nuncupantur, non quod omnino semitonia ex aequo sint media, sed quod semum dici solet, quod ad integritatem usque non pervenit. Sed inter haec unum maius semitonium nuncupatur, aliud minus.
In quibus primis numeris semitonium constet
XVII. (1) Quod vero sit integrum semitonium aut quibus primis numeris constet, nunc evidentius explicabo. Id enim, quod de divisione toni dictum est, non ad hoc pertinet, ut semitoniorum modos voluerimus ostendere, sed ad id potius, quod tonum in gemina aequa diceremus non posse disiungi.
(2) Diatessaron quae est consonantia vocum quidem est quattuor, intervallorum trium; constat autem ex duobus tonis et non integro semitonio. Sit enim subiecta descriptio:
CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVI.
(3) Si igitur .CXCII. numerus .CCLVI. comparetur, sesquitertia proportio fiet ac diatessaron concinentiam resonabit. Sed si .CCXVI. ad .CXCII. comparemus, sesquioctava proportio est. Est enim eorum differentia .XXIIII. quae est octava pars de centum .XC. duobus. Est igitur tonus. Rursus .CCXLIII. si .CCXVI. comparetur, erit altera sesquioctava proportio. Nam
204 	eorum differentia .XXVII. pars ducentorum .XVI. probatur octava. Restat comparatio ducentorum .LVI. ad .CCXLIII. quorum differentia est .XIII. qui octies facti medietatem ducentorum .XL. trium non videntur inplere. Non est igitur semitonium, sed minus a semitonio. Tunc enim integrum esse semitonium iure putaretur, si eorum differentia, quae est .XIII. facta octies medietatem ducentorum .XL. trium numerorum potuisset aequare; estque verum semitonium minus ducentorum quadraginta trium ad .CCLVI. comparatio.
Diatessaron a diapente tono distare
XVIII. (1) Rursus diapente consonantia vocum quidem est quinque, intervallorum quattuor, trium tonorum et minore semitonio. Ponatur enim idem numerus .CXCII. et eius sesqualter sumatur, qui ad eum diapente faciat consonantiam. Sit igitur numerus .CCLXXXVIII. Igitur horum et superius deprehensorum .CXCII. ponantur in medio numeri hi: CCXVI. CCXLIII. CCLVI. et sit hoc modo formata descriptio:
CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVI. CCLXXXVIII.

I, 16.11 - 18.1
Основы музыки
37
(11) 	Обе эти части называется полутонами — вовсе не потому, что полутоны являются равными половинами [тона], но словом semum [или semis] обычно называют то, что не достигает целостности. Из указанных полутонов один называется большим, а другой меньшим.
17. 	В каких первых числах состоит полутон134
(1) Каким бывает целочисленный полутон135, то есть в каких первых числах он выражается, разъясним теперь более подробно. Говоря о делении тона [выше], мы не стремились показать [конкретные] значения полутонов, а только то, что тон нельзя разъять на равные полутоны.
(2) Будучи консонансом, охватывающим четыре звука и три интервала, кварта состоит из двух целых тонов и одного неполного полутона136. Возьмем следующие числа:
192
216
243
256
(3) 	Если сравнить число 192 с числом 256, выйдет сверхтретное отношение, которое отзовется консонансом кварты. А если сравним 216 и 192, получится сверхосминное отношение. Разница между ними 24, то есть осмина от числа 192. Таков целый тон. Дальше, если сравнить 243 и 216, получится еще одно сверхосминное отношение. Ибо разница между ними 27, то есть выходит осмина от числа 256. Остается сравнить 256 и 243. Разница между ними 13; будучи умноженным на 8, это число, как видно, не достигает [ровно] половины числа 243137. Следовательно, [в отношении 256:243] получается не полутон, а интервал меньше [точного] полутона. Полным полутон назывался бы по праву, если бы число, которое получается от умножения на 8 числа 13 (разницы между 243 и 256), составило бы ровно половину от числа 243. В действительности 243 при сравнении с 256 показывает меньший полутон138.
18. 	Кварта от квинты отстоит на целый тон
(1) 	Дальше, консонанс квинты состоит из пяти звуков и четырех интервалов — трех тонов и меньшего полутона. Берется то же число 192 и вычисляется полуторное число, которое, отнесенное к первому, и дает квинтовый консонанс. Так получается число 288. Теперь между этим числом и вышеописанным 192 в середину кладутся числа 216, 243, 256. Образуется следующая схема:
192
216
243
256
288

38
Institutio musica
(2) In superiori igitur descriptione .CXCII. et .CCLVI. duos tonos et semitonium continere monstrati sunt. Restat igitur comparatio ducentorum quinquaginta .VL ad .CCLXXXVIII. quae est sesquioctava, id est tonus, eorumque differentia est .XXXII. quae est octava pars ducentorum quinquaginta atque sex. Itaque monstrata est diapente consonantia ex tribus tonis semitonioque consistere.
(3) Sed dudum diatessaron consonantia a centum .XC. duobus numeris usque ad .CCLVI. venerat. Nunc vero diapente ab eisdem .CXC. duobus numeris usque ad .CCLXXXVIII. distenditur. Superatur igitur diatessaron
205 consonantia a diapente ea proportione, quae inter .CCLVI. et .CCLXXXVIII. numeros continetur, ac est hic tonus. Diatessaron igitur symphonia a diapente tono transcenditur.
Diapason quinque tonis et duobus semitoniis iungi
XVIIIL (1) Diapason consonantia constat ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae tamen unum non inpleant tonum. Quoniam enim monstratum est, diapason ex diatessaron et diapente consistere, diatessaron vero probata est ex duobus tonis semitonioque constare, diapente ex tribus tonis ac semitonio, simul iuncta efficiunt quinque tonos. Sed quoniam duo illa semitonia non erant integrae medietates, eorum coniunctio ad plenum usque non pervenit, sed medietatem quidem superat, ab integritate relinquitur.
(2) Estque diapason secundum hanc rationem ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae sicut ad integrum tonum non aspirant, ita ultra integrum semitonium prodeunt. Sed quae horum ratio sit, vel quemadmodum ipsae consonantiae musicae repperiantur, postea liquidius explanabitur. Interea praesenti disputationi sub mediocri intellegentia credulitas adhibenda est; tunc vero firma omnis fides sumenda est, cum propria unum quodque demonstratione claruerit.
(3) His igitur ita dispositis paulisper de nervis citharae ac de eorum nominibus, quoque modo sint additae disseramus, quaeque eorum causa sit nominum. His enim primitus ad notitiam venientibus facile erit scientia quae sequuntur amplecti.
De additionibus chordarum earumque nominibus
206 XX. (1) Simplicem principio fuisse musicam Nicomachus refert adeo, ut quattuor nervis constaret, idque usque ad Orpheum duravit, ut primus quidem nervus et quartus diapason consonantiam resonarent, medii vero ad se invicem atque ad extremos diapente ac diatessaron, nihil vero in eis esset inconsonum, ad imitationem scilicet musicae mundanae, quae ex quattuor
XVIII, 2 ducentorum quinquaginta .VI. ad .CCLXXXVIII.] ducentorum ad .CCLXXXVIII. Fr.

I, 18.2 -20.1
Основы музыки
39
(2) Как показано на схеме выше, числа 192 и 256 содержат два тона и полутон. Оставшееся соотношение 256 и 288 сверхосминно, то есть это тон. Разность этих 256 и 288 = 32, то есть осмине от 256. Итак, доказано, что квинтовый консонанс состоит из трех тонов и полутона.
(3) Прежде говорилось, что квартовый консонанс возникает между числами 192 и 256, теперь между тем же числом 192 и [новым] 288 простирается квинта. Следовательно, квинта превосходит квартовый консонанс на величину отношения 256 к 288, то есть на число, в котором содержится целый тон. Итак, квинта больше квартового консонанса на целый тон.
19. Октава состоит из пяти тонов и двух полутонов
(1) Консонанс октавы состоит из пяти тонов и двух полутонов, которые, однако, в сумме не образуют целый тон139. Поскольку, как было показано, октава состоит из кварты и квинты, причем кварта (как было доказано) — из двух целых тонов и полутона, а квинта — из трех тонов и полутона, то взятые вместе [кварта и квинта] дают пять целых тонов [и два полутона]. Впрочем, поскольку два этих полутона140 не охватывают ровно половины [тона], то и составленный из них интервал не дотягивает до целого [тона] (хотя и превосходит его половину) и лишен целостности.
(2) С учетом этого соображения скажем, что октава состоит из пяти тонов и двух полутонов, которые как [в сумме] не дотягивают до целого тона, так и каждый в отдельности полутон не является точно половиной тона. По какой причине так происходит и где встречаются эти самые музыкальные консонансы141, будет объяснено позже142. Пока что (при посредственном знании предмета) эти научные рассуждения следует просто принять на веру. Нужно верить изо всех сил, пока каждый в отдельности тезис не будет разъяснен в соответствующем доказательстве.
(3) После того как установлены предпосылки, поговорим немного о струнах кифары — об их названиях, каким образом струны прибавлялись и какова причина их названий. При таком подходе к изучению [музыки] легче будет познать последующее.
20. О прибавлении струн и об их названиях143
(1) По свидетельству Никомаха144, вначале музыка была до того простой, что заключалась в четырех струнах145. Так продолжалось вплоть до Орфея, когда первая струна с четвертой стали звучать в консонансе октавы; средние же [струны] между собой и по отношению к крайним дали квинту и кварту146. Эти интервалы исключали всякое неблагозвучие — [так было сделано нарочно,] в подражание мировой музыке, которая состоит из четырех

40
Institutio musica
constat elementis. Cuius quadrichordi Mercurius dicitur inventor. Quintam vero chordam post Toroebus Atyis filius adiunxit, qui fuit Lydorum rex. Hyagnis vero Phryx sextum his apposuit nervum. Sed septimus nervus a Terpandro Lesbio adiunctus est secundum septem scilicet planetarum similitudinem.
(2) Inque his quae gravissima quidem erat, vocata est hypate quasi maior atque honorabilior, unde Iovem etiam hypaton vocant. Consulem quoque eodem nuncupant nomine propter excellentiam dignitatis. Eaque Saturno est adtributa propter tarditatem motus et gravitatem soni.
(3) Parhypate vero secunda quasi iuxta hypaten posita et collocata.
(4) Lichanos tertia idcirco, quoniam lichanos digitus dicitur, quem nos indicem vocamus. Graecus a lingendo lichanon appellat. Et quoniam in canendo ad eam chordam, quae erat tertia ab hypate index digitus, qui est lichanos, inveniebatur, idcirco ipsa quoque lichanos appellata est.
(5) Quarta dicitur mese, quoniam inter VII semper est media.
(6) Quinta est paramese, quasi iuxta mediam conlocata.
(7) Septima autem dicitur nete, quasi neate id est inferior, (8) inter quam neten et paramesen sexta quae est, vocatur paranete, quasi iuxta neten locata.
(9) 	Paramese vero, quoniam tertia est a nete, eodem quoque vocabulo trite nuncupatur, ut sit descriptio haec:
207
■4 hypate ◄ parhypate lichanos •4 mese
■4 paramese vel trite •4 paranete 4 nete
(10) 	His octavam Samius Lycaon adiunxit atque inter paramesen, quae etiam trite dicitur, et paraneten nervum medium coaptavit, ut ipse tertius esset a nete, et paramese quidem vocata est sola, quae post mediam collocabatur. Trites vero nomen perdidit postea quam inter eam atque paraneten tertius a nete locatus est nervus, qui digne trites nomen exciperet, ut sit octachordum secundum Lycaonis additionem hoc:
1 post Toroebus Atyis filius] post Coroebus Atyis filius Fr.

I, 20.1-10
Основы музыки
41
стихий147. Изобретателем «квадрихорда», или четырехструнника148, называют Меркурия. Пятую струну позже добавил Тореб, сын Атиса, бывший царем лидийцев149. Гиагн Фригиец добавил к этим [пяти] шестую струну150. А седьмую струну — в подобие семи планет — добавил лесбиец Терпандр151.
(2) Самая низкая из струн получила название гипаты, как самой большой и почетной. Вот и Юпитера тоже называют ύπατος152. И консула по его высокочтимости величают тем же именем153. Эту струну связывают и с Сатурном154 — из-за медленного движения и низкого звучания.
(3) Вторая струна — парипата — была установлена и размещена рядом с гипатой, [отсюда ее название]155.
(4) Лиханой названа третья струна, потому что по-гречески Λιχανός значит «палец», который у нас называется указательным. Греки выводят слово lichanos от lingendo, «облизывания»156. Поскольку, музицируя157, на третью от гипаты струну ставили указательный палец, то есть lichanos, то и саму струну стали называть лиханой.
(5) Четвертая струна называется месой, поскольку в семи струнах она всегда находится посредине158.
(6) Пятая — парамеса, то есть расположенная рядом с месой.
(7) Седьмая же называется нетой, от νεάτη, то есть «низшая»159.
(8) Между нетой и парамесой находится шестая струна, которая именуется паранетой, то есть расположенная рядом с нетой.
(9) Парамеса же, будучи третьей по счету от неты, также называется словом «трита»160, как на следующей схеме:
— 4 гипата
4 парипата
4 	лихана 4 меса
4 парамеса или трита — ■ 4 паранета
— ^ нета
(Ю) К этим струнам Ликаон Самосский посредине между парамесой (также названной тритой) и паранетой добавил еще одну, восьмую струну161 — так, чтобы она стала третьей по счету от неты, а та струна, которая располагается после срединной [то есть, месы], стала называться парамесой и только. Слово «трита» [по отношению к парамесе] пропало после того, как между ней и паранетой расположилась третья (по счету от неты) струна, которая справедливо получила имя триты. Таким образом, «октахорд» (восьмиструнник) после добавления [новой ступени] Ликаоном выглядел так162:

42
Institutio musica
— —<4 hypate
4 parhypate
■ 4 lichanos
4 mese 4 paramese 4 trite
4 paranete
— 4 nete
(11) In superioribus igitur duabus dispositionibus eptachordi et octachordi eptachordum quidem dicitur synemmenon, quod est coniunctum, octachordum vero diezeugmenon, quod est disiunctum. In eptachordo enim est unum tetrachordum: hypate, parhypate, lichanos, mese, aliud vero; mese paramese, paranete, nete, dum mesen nervum secundo numeramus. Atque ideo duo tetrachorda per mesen
208 coniunguntur.
(12) In octachordo vero quoniam octo sunt chordae superiores quattuor, idest hypate, parhypate, lichanos, mese unum tetrachordum explent. Ab hoc vero disiunctum atque integrum inchoat a paramese progrediturque per triten et paraneten et finitur ad neten. Et est disiunctio, quae vocatur diazeuxis, tonusque est distantia meses et parameses. Hic igitur mese tantum quidem nomen obtinuit. Non est media positione, quia in octachordo duae quidem semper mediae repperiuntur, sed una media non potest inveniri.
(13) Prophrastus autem Periotes ad graviorem partem unam addidit chordam, ut faceret totum enneachordum. Quae quoniam super hypaten est addita hyperhypate est nuncupata. Quae prius quidem, dum novem chordarum tantum esset cithara, hyperhypate vocabatur. Nunc autem lichanos hypaton dicitur aliis superadditis, in quo ordine atque instructione, quoniam ad indicem digitum venit, lichanos appellata est. Sed hoc posterius apparebit, nunc vero ordo sese enneachordi sic habet:
— 4 hyperhypate
4 hypate
4 parhypate
4 lichanos
4 mese
4 paramese ■■■ 4 trite
4 paranete
—  4 nete

I, 20.10-13
Основы музыки
43
— -4 гипата
4 парипата
4 лихана
4 меса
4 парамеса 4 трита 4 паранета
— 4 нета
(11) Итак, из вышеприведенных схем семиструнника и восьмиструнника семиструнник называют словом synemmenon, то есть «соединено», восьмиструнникже — словом diezeugmenon, то есть «разъединено»163. В семиструннике один тетрахорд складывается из гипаты, парипаты, лиханы и месы; другой — из месы, парамесы, паранеты и неты. Струну месу мы считаем дважды, вот почему два тетрахорда соединяются через месу164.
(12) В восьмиструннике четыре верхние струны, то есть гипата, парипата, лихана и меса, заполняют один тетрахорд. От него отдельно, представляя собой единое целое, существует [другой тетрахорд], который начинается от парамесы, следует через триту и паранету и заканчивается на нете. Это отделение по-гречески называется διάζευξις, а расстояние между месой и парамесой составляет целый тон165. При этом слово «меса» употребляется условно. Она находится не [ровно] посредине [системы], так как в восьмиструннике всегда присутствуют две средние ступени, а одной средней не существует.
(13) Профраст Пиерийский внизу [звукоряда] добавил еще одну струну и, таким образом, в целом сделал «эннеахорд», девятиструнник. Та, что была добавлена сверх гипаты, была названа гиперипатой166. Гиперипатой, впрочем, она называлась в прежние времена, когда кифара была девятиструнной.Теперь же, когда добавлены и другие струны, она называется лиханой низших. В этом [нынешнем] устройстве звукоряда она именуется лиханой, потому что приходится на указательный палец. Но это будет ясно позже, а сейчас покажем, как устроен звукоряд девятиструнника:
— 4 гиперипата
4 гипата
4 парипата
4 лихана
4 меса 4 парамеса
4 трита
■ 4 паранета
4
нета

44
Institutio musica
209 (14) Histiaeus vero Colophonius decimam in graviorem partem coap¬
tavit chordam, Timotheus vero Milesius undecimam, quae quoniam super hypaten atque parhypaten sunt additae, hypate quidem hypaton vocatae sunt quasi maximae magnarum aut gravissimae gravium aut excellentes excellentium. Sed vocata est prima inter .XI. hypate hypaton, secunda vero parhypate hypaton, quoniam iuxta hypaten hypaton collocata est. Tertia quae dudum in enneachordo hyperhypate vocabatur, lichanos hypaton est nuncupata. Quarta vero hypate antiquum tenuit nomen, quinta parhypate, sexta lichanos, antiquum scilicet habens vocabulum, septima mese, octava paramese, nona trite, decima paranete, undecima nete.
(15) 	Est igitur unum tetrachordum: hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate; aliud vero: hypate, parhypate, lichanos, mese. Et haec quidem coniuncta sunt. Tertium vero est: paramese, trite, paranete, nete. Sed quoniam inter superius tetrachordum, quod est hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate, et inter infimum, quod est paramese, trite, paranete, nete, fit positione medium tetrachordum, quod est hypate, parhypate, lichanos, mese, totum hoc medium tetrachordum meson vocatum est, quasi mediarum, vocaturque cum additamento hoc: hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. Quoniam vero inter hoc meson tetrachordum et inferius, quod est netarum, disiunctio est, meses scilicet et parameses, inferius omne tetrachordum disiunctarum id est diezeugmenon vocatum est cum additamento scilicet'hoc: paramese diezeugmenon, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon, ut sit descriptio hoc modo:
210
hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton hypate meson parhypate meson lichanos meson mese
paramese diezeugmenon trite diezeugmenon paranete diezeugmenon nete diezeugmenon

I, 20.14-15
Основы музыки
45
(14) Гистиэй Колофонский в нижней части [звукоряда] присоединил десятую струну167, а Тимофей Милетский одиннадцатую168, которые были добавлены сверх гипаты и парипаты; эти струны были названы [в тетрахорде] гипатами низших, то есть длиннейшими, или нижайшими, или наивысшими169. Точнее, первая из одиннадцати струн была названа гипатой низших, вторая — парипатой низших (поскольку расположена рядом с гипатой низших). Третья (которая прежде в девятиструннике называлась гипергипатой) получила имя лиханы низших. Четвертая струна сохранила свое старое имя гипата, пятая — парипата, шестая — лихана (тоже ее старое название), седьмая — меса, восьмая — парамеса, девятая — трита, десятая — паранета, одиннадцатая — нета.
(15) Первый тетрахорд составлен из гипаты низших, парипаты низших, лиханы низших и гипаты; второй — из гипаты, парипаты, лиханы и месы; это соединенные тетрахорды. Третий: парамеса, трита, паранета, нета. Поскольку [тетрахорд] из гипаты, парипаты, лиханы и месы занимает среднее положение между высшим (который из гипаты низших, парипаты низших, лиханы низших и гипаты) и низшим (который из парамесы, триты, паранеты и неты), весь этот средний [по положению] тетрахорд получил название тетрахорда средних, то есть из средних [по высоте струн]. И с этим [терминологическим] добавлением [ступени тетрахорда] называются так: гипата средних, парипата средних, лихана средних и меса. Поскольку между этим средним тетрахордом и подлежащим тетрахордом есть [целотоновое] отделение (а именно между месой и парамесой), весь подлежащий тетрахорд отделенных называется по-гречески διεζευγμένων. И с этим добавлением [ступени тетрахорда] называются так: парамеса отделенных170, трита отделенных, паранета отделенных, нета отделенных, как показано на следующей схеме:
А гипата низших А парипата низших А лихана низших
◄ гипата средних
◄ парипата средних А лихана средних
меса
парамеса отделенных
◄ трита отделенных паранета отделенных
А нета отделенных

46
Institutio musica
(16) Est igitur hic inter paramesen ac mesen disiunctio atque ideo diezeugmenon tetrachordum hoc vocatum est. Quod si paramese auferatur et sit mese, trite, paranete, nete, tunc coniuncta, id est synemmena erunt tria tetrachorda vocabiturque ultimum tetrachordum synemmenon hoc modo:
— ■ 4 hypate hypaton
■ 4 parhypate hypaton
4 lichanos hypaton
4 hypate meson
4 parhypate meson 4 lichanos meson 4 mese synemmenon 4 trite synemmenon  4 paranete synemmenon
— 4 nete synemmenon
(17) Sed quoniam in hac vel superiore endecachordi dispositione mese, quae propter mediam collocationem ita vocata est, nete proxima accedit et longe ab hypatis ultimis distat nec proprium retinet locum, aliud unum tetrachordum adiunctum est super neten diezeugmenon, quae quoniam supervadebant acumine netas superius collocatas, omne illud tetrachordum hyperboleon vocatum est hoc modo:
hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton hypate meson parhypate meson lichanos meson mese paramese
trite diezeugmenon paranete diezeugmenon nete diezeugmenon trite hyperboleon paranete hyperboleon nete hyperboleon

I, 20.16-17
Основы музыки
47
(16) Итак, здесь между месой и парамесой есть отделение, вот почему этот тетрахорд называется тетрахордом отделенных. Если изъять парамесу, то меса, трита, паранета и нета [образуют еще один тетрахорд], и три тетрахорда будут тогда соединены, то есть [по-гречески] συνημμένα, и крайний тетрахорд будет называться тетрахордом соединенных, вот так:
— 4 гипата низших
4 парипата низших
4 лихана низших
4 гипата средних
4 парипата средних
4 лихана средних
—  4 меса соединенных
4 трита соединенных
— -4 паранета соединенных
—  4 нета соединенных
(17) Но поскольку на этой схеме (или на вышеприведенной схеме одиннадцатиструнника) меса, которая названа так из-за своего срединного местоположения, находится слишком близко от неты и далеко от тетрахорда крайних низких звуков, и не занимает надлежащего [среднего] места, был добавлен еще один тетрахорд сверху от неты отделенных, [составленный из ступеней,] которые по высоте превосходят означенные неты [отделенных и соединенных]; весь этот тетрахорд называется тетрахордом высших и выглядит так:
— 4 гипата низших
4 парипата низших
4 лихана низших 4 гипата средних 4 парипата средних ”4 лихана средних
-4 меса
4 парамеса 4 трита отделенных -4 паранета отделенных -4 нета отделенных ■—4 трита высших 4 паранета высших
— 4 нета высших

48
Institutio musica
(18) 	Sed quoniam rursus mese non erat loco media sed magis hypatis accedebat, idcirco super hypatas hypaton addita est una chorda, quae dicitur proslambanomenos — ab aliquibus autem prosmelodos dicitur — tonum integrum distans ab ea, quae est hypate hypaton. Et ipsa quidem, id est proslambanomenos a mese octava est, resonans cum ea diapason symphoniam. Eademque ad lichanon hypaton resonat diatessaron, ad quartam scilicet; quae
222 lichanos hypaton ad mesen resonat diapente symphoniam, et est ab ea quinta. Rursus mese a paramese distat tonum, quae eadem mese ad neten diezeugmenon quintam facit diapente consonantiam. Quae nete diezeugmenon ad neten hyperboleon quartam facit diatessaron consonantiam. Et proslambanomenos ad neten hyperboleon reddit bis diapason consonantiam.
—» - -4 proslambanomenos vel prosmelodos
4 hypate hypaton
- 4 parhypate hypaton
4 lichanos hypaton 4 hypate meson 4 lichanos meson 4 parhypate meson 4 mese
4 paramese
4 trite diezeugmenon 4 paranete diezeugmenon 4 nete diezeugmenon 4 trite hyperboleon 4 paranete hyperboleon — 4 nete hyperboleon
De generibus cantilenae
XXI. 	(1) His igitur expeditis dicendum de generibus melorum. Sunt autem tria: diatonum, chroma, enarmonium. Et diatonum quidem aliquanto durius
223 et naturalius, chroma vero iam quasi ab illa naturali intentione discedens et in mollius decidens, enarmonium vero optime atque apte coniunctum.
(2) 	Cum sint igitur quinque tetrachorda: hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon, in his omnibus secundum diatonum cantilenae procedit vox per semitonium, tonum et tonum in uno tetrachordo, rursus in alio [per] semitonium, tonum ac tonum ac deinceps; ideoque vocatur diatonum, quasi quod per tonum ac per tonum progrediatur.
2 in alio [per] semitonium] Praepositio 'per' inclusa uncis a Priedleino, deest in antiquissimis mss.

I, 20.18 - 21.2
Основы музыки
49
(18) 	Далее, поскольку меса была не посредине, но находилась ближе к низшим, то сверх гипаты низших была добавлена еще одна струна, которая называется просламбаномен (другие называют ее «просмелод»)171, отстоящая на целый тон от гипаты низших. [Струна] просламбаномен — восьмая по счету от месы и звучит с ней в консонансе октавы. Она же — четвертая по счету от лиханы низших — звучит с ней в кварту. Сама лихана низших звучит с месой в консонансе квинты, отстоя от нее на пять [ступеней]. Далее, меса от парамесы отстоит на тон; та же меса, будучи пятой по счету от неты отделенных, дает с ней квинтовый консонанс. Нета отделенных с четвертой по счету нетой высших дает квартовый консонанс. И наконец, просламбаномен по отношению к нете высших издает консонанс двойной октавы:
—I ·· 4 просламбаномен или просмелод
4 гипата низших
■■ ■■ 4 парипата низших
4 лихана низших 4 гипата средних 4 парипата средних 4 лихана средних 4 меса
- - — 4 парамеса
4 трита отделенных 4 паранета отделенных 4 нета отделенных
■ 4 трита высших
4 паранета высших — 4 нета высших
21. 	О родах мелодии
(1) После рассмотрения [чисел консонансов и звукоряда] следует сказать о родах мелоса172. Этих родов три: диатон, хрома, энармон173. Диатон несколько жестче и естественней [других]; хрома же отступает от, так сказать, естественного растяжения174 и смягчается; звуки энармона пригнаны друг к другу наилучшим образом175.
(2) Всего существует пять тетрахордов: низших, средних, соединенных, отделенных, высших [звуков]; и во всех них мелодия диатонического рода проходит через полутон, тон и тон — сначала в одном тетрахорде, затем (опять через полутон, тон и тон) в другом, и так далее176. Потому этот род и называется «диатон», как нечто проходящее через тон и еще через тон177.

50
Institutio musica
(3) Chroma autem, quod dicitur color, quasi iam ab huiusmodi intentione prima mutatio, cantatur per semitonium, semitonium et tria semitonia. Tota enim diatessaron consonantia duorum tonorum est ac semitonii, sed non pleni. Tractum est autem hoc vocabulum, ut diceretur chroma, a superficiebus, quae cum permutantur, in alium transeunt colorem.
(4) Enarmonium vero quod est, magis coaptatum est, quod cantatur in omnibus tetrachordis per diesin et diesin et ditonum — diesis autem est semitonii dimidium; (5) ut sit trium generum descriptio per omnia tetrachorda discurrens hoc modo:
214 De ordine chordarum nominibusque in tribus generibus
XXII. 	(1) Nunc igitur ordo chordarum disponendus est omnium, quae per tria genera variantur vel in constanti ordine disponuntur.
(2) Prima est igitur proslambanomenos, quae eadem dicitur prosmelodos, secunda hypate hypaton, tertia parhypate hypaton. Quarta vero universaliter quidem lichanos appellatur, sed si in diatono genere aptetur, dicitur lichanos hypaton diatonos, si vero in chromate, dicitur diatonos chromatice vel lichanos hypaton chromatice, si autem in enarmonio, dicitur lichanos hypaton enarmonios vel diatonos hypaton enarmonios.
(3) Post hanc vocatur hypate meson, dehinc parhypate meson, atque hinc lichanos meson, simpliciter in diatono quidem genere diatonos meson, in chromate lichanos meson chromatice vel diatonos meson chromatice, in enarmonio diatonos meson enarmonios vel lichanos meson enarmonios.
(4) Has sequitur mese.
(5) Post hanc sunt duo tetrachorda partim synemmenon partim diezeugmenon. Et synemmenon est, quod post mesen ponitur, id est trite synemmenon; dehinc lichanos synemmenon, eadem in diatono diatonos synemmenon, in chromate vero vel diatonos synemmenon chromatice vel lichanos synemmenon chromatice, in enarmo-

I, 21.3 -22.5
Основы музыки
51
(3) «Хрома» же, что по-гречески значит «цвет», представляет собой как бы первое изменение упомянутого [естественного] растяжения; она поется через полутон, полутон и три полутона178 — ведь всякий консонанс кварты состоит из двух тонов и полутона (впрочем, не полного179). Названное слово хрома выводится из кожного покрова, который, изменяясь, становится другого цвета180.
(4) Энармон же, то есть «наиболее слаженный», называется так, потому что во всех тетрахордах поется через диесу (диеса — это половина полутона), диесу и дитон181. (5) Схема трех родов, показывающая разветвление по всем тетрахордам, такова:
диатонический род
хроматический род
энармонический род
л
и
а»
S
Q диеса 1
ДИТОН
22. 	О расположении струн и их именах в трех родах
(1) Теперь следует расположить все струны по порядку, выясняя, какие из них меняются по трем родам [мелоса], а какие располагаются в неизменном порядке182.
(2) Первая струна — просламбаномен (она же называемая словом «просмелод»), вторая — гипата низших, третья — парипата низших. Четвертая же в целом называется лиханой, но если она устраивается в диатоническом роде, то называется диатонической лиханой низших, а если в хроме, называется хромодиатонической лиханой или хроматической лиханой низших; если же в энармоне, называется энармонической лиханой низших, либо энармодиатонической лиханой низших183.
(3) После нее идет струна, которая называется гипатой средних, затем парипата средних, а затем лихана средних — в диатоническом роде просто диатоническая [лихана] средних, в хроме — хроматическая лихана средних либо хромодиатоническая [лихана] средних, в энармоне — энармодиатоническая [лихана] средних либо энармоническая лихана средних.
(4) За этими [лиханами] следует меса.
(5) После нее идут два тетрахорда — один соединенных, другой отделенных. Тетрахорд соединенных тот, что располагается после месы так: сначала идет трита соединенных, затем лихана соединенных. В диатоне она называется диатонической [лиханой] соединенных, в хроме — хромодиатонической [лиханой] соединенных или хроматической лиханой соединенных, в энармоне —

52
Institutio musica
nio vero vel diatonos synemmenon enarmonios vel lichanos synem215 menon enarmonios. Post has nete synemmenon.
(6) Si vero mese nervo non sit synemmenon tetrachordum adiunctum, sed sit diezeugmenon, est post mesen paramese; dehinc trite diezeugmenon, inde lichanos diezeugmenon, quae in diatono diatonos diezeugmenon, in chromate tum diatonos diezeugmenon chromatice tum lichanos diezeugmenon chromatice, in enarmonio vero tum diatonos diezeugmenon enarmonios, tum lichanos diezeugmenon enarmonios. Eadem vero dicitur et paranete cum additione vel diatoni vel chromatis vel enarmonii.
(7) Super has nete diezeugmenon, trite hyperboleon, et quae est paranete hyperboleon, eadem in diatono diatonos hyperboleon, in chromate vero chromatice hyperboleon, in enarmonio vero enarmonios hyperboleon. Harum ultima ea est, quae est nete hyperboleon.
(8) Et sit descriptio eiusmodi, ut trium generum contineat dispositionem. In quibus et similitudinem nominum et differentiam pernotabis; ut si nervi similes in omnibus cum eis, qui sunt dissimiles, colligantur, fiant simul omnes octo et viginti. Hoc autem monstrat subiecta descriptio.
Diatonici
Chromatici
Enarmonii
Proslambanomenos
Proslambanomenos
Proslambanomenos
Hypate hypaton
Hypate hypaton
Hypate hypaton
Parhypate hypaton
Parhypate hypaton
Parhypate hypaton
Lichanos hypaton diatonos
Lichanos hypaton chromatice
Lichanos hypaton enarmonios
Hypate meson
Hypate meson
Hypate meson
Parhypate meson
Parhypate meson
Parhypate meson
Lichanos meson diatonos
Lichanos meson chromatice
Lichanos meson enarmonios
Mese
Mese
Mese
Trite synemmenon
Trite synemmenon
Trite synemmenon
Paranete synemmenon diatonos
Paranete synemmenon chromatice
Paranete synemmenon enarmonios
Nete synemmenon
Nete synemmenon
Nete synemmenon
Paramese
Paramese
Paramese
Trite diezeugmenon
Trite diezeugmenon
Trite diezeugmenon
Paranete diezeugmenon diatonos
Paranete diezeugmenon chromatice
Paranete diezeugmenon enarmonios
Nete diezeugmenon
Nete diezeugmenon
Nete diezeugmenon
Trite hyperboleon
Trite hyperboleon
Trite hyperboleon
Paranete hyperboleon diatonos
Paranete hyperboleon chromatice
Paranete hyperboleon enarmonios
Nete hyperboleon
Nete hyperboleon
Nete hyperboleon

I, 22.5-8
Основы музыки
53
энармодиатонической [лиханой] средних или энармонической лиханой соединенных. За этими [лиханами] идет нета соединенных.
(6) Если же к струне месе присоединяется тетрахорд не соединенных, а отделенных, то после месы [через целый тон] идет парамеса; затем идет трита отделенных, а затем лихана отделенных; в диатоне она называется диатонической [лиханой] отделенных, в хроме — хромодиатонической [лиханой] отделенных или хроматической лиханой отделенной, в энармоне — энармодиатонической [лиханой] отделенных или энармонической лиханой. Та же [струна лихана] называется паранетой с добавлением указания на диатон, хрому или энармон.
(7) Над этими струнами находятся нета отделенных, трита высших и паранета высших, которая в диатоне называется диатонической [паранетой] высших, в хроме — хроматической [паранетой] высших, в энармоне — энармонической [паранетой] высших. Последняя струна называется нетой высших.
(8) Вот схема, показывающая расположение [струн] по трем родам. В струнах ты заметишь сходство и различие имен. Если сложить струны, одинаковые во всех трех родах, с теми, которые различаются, получится всего двадцать восемь. Это и показывает прилагаемая схема184:
Диатоника
Диатоническая лихана низших
Хроматика Просламбаномен Гипата низших Парипата низших Хроматическая лихана низших Гипата средних
Энармоника
Энармоническая лихана низших
Парипата средних
Диатоническая лихана средних
Хроматическая лихана средних
Энармоническая лихана средних
Меса
Трита соединенных
Диатоническая парапета
Хроматическая паранета
Энармоническая паранета
соединенных
соединенных
соединенных
Нета соединенных
Парамеса
Трита отделенных
Диатоническая паранета отделенных
Хроматическая паранета отделенных
Энармоническая паранета отделенных
Нета отделенных
Трита высших
Диатоническая паранета высших
Хроматическая паранета высших
Энармоническая паранета высших
Нета высших

54
Institutio musica
Quae sint inter voces in singulis generibus proportiones
XXIII. 	(1) Hoc igitur modo per singula tetrachorda in generum proprietates facta partitio est, ut omnia quidem diatonici generis quinque tetrachorda duobus tonis ac semitonio partiremur. Diciturque in hoc genere tonus incompositus idcirco, quoniam integer ponitur nec aliquod ei intervallum aliud iungitur, sed in singulis intervallis integri sunt toni.
(2) In chromate vero semitonio ac semitonio incompositoque triemitonio posita divisio est. Idcirco autem incompositum hoc triemitonium appellamus, quoniam in uno collocatum est intervallo. Potest enim appellari triemitonium in diatono genere semitonium ac tonus, sed non est incompositum; duobus enim id perficitur intervallis.
(3) Et in enarmonio genere idem est. Constat enim ex diesi et diesi et 227 ditono incomposito, quod scilicet propter eandem causam incompositum nuncupamus quoniam in uno conlocatum est intervallo.
Quid sit synaphe
XXIIII. (1) Sed in his ita dispositis constitutisque tetrachordis synaphe est, quam coniunctionem dicere Latina significatione possumus, quotiens duo tetrachorda unius medietas termini continuat atque coniungit, ut in hoc tetrachordo:
Hypate hypaton |
Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese
(2) 	Hic igitur est unum tetrachordum: hypate, parhypate, lichanos, hypate meson, aliud vero: hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. In utrisque igitur tetrachordis hypate meson adnumerata est, superiorisque tetrachordi ea est acutissima, posterioris vero gravissima, estque ista coniunctio una eademque chorda, ut hypate meson duo tetrachorda coniungens eadem hypaton ac meson tetrachorda in superiore descriptione iunxit. Est igitur synaphe, quae coniunctio dicitur, duorum tetrachordorum vox media, superioris quidem acutissima, posterioris vero gravissima.

I, 23-24
Основы музыки
55
23. Каковы звуковысотные отношения в отдельных родах [мелоса]
(1) Вот как происходит деление каждого из тетрахордов в соответствии с характерными свойствами родов. Все пять тетрахордов диатонического рода мы разделяем двумя тонами и полутоном. В этом роде тон называется несоставным, потому что он полагается в своей цельности, и никакой другой интервал к нему не присоединяется, но целые тоны представлены отдельными интервалами.
(2) В хроме же деление [тетрахорда] полагается через полутон, полутон и несоставной триполутон185. Этот триполутон мы называем несоставным, потому что он размещен в пределах единого интервала. Можно, правда, назвать триполутоном полутон с тоном в диатоническом роде, но такой триполутон не будет1 несоставным, потому что строится из двух интервалов.
(3) Так же и в энармоническом роде. [Тетрахорд его] состоит из диесы, диесы и несоставного дитона, который мы по той же причине именуем несоставным, так как он размещен в пределах единого интервала.
24. Что такое synaphe186
(1) В тетрахордах, расположенных и построенных таким способом, что середина соединяет и связывает два тетрахорда там, где [у них] одна и та же [по высоте] крайняя ступень187, возникает [то, что у греков называется] συναφή; на латынь можно перевести как «соединение», как, например, в следующих тетрахордах188:
Гипата низших Парипата низших Лихана низших Гипата средних Парипата средних Лихана средних Меса
(2) Здесь один тетрахорд — это гипата, парипата, лихана [низших и] гипата средних; другой — гипата средних, парипата средних, лихана средних, меса. Таким образом, гипата средних числится в каждом из двух тетрахордов: в тетрахорде предшествующих [низших] она — самая высокая, в тетрахорде последующих [средних] она же — самая низкая. Итак, соединение осуществляется посредством одной и той же струны. На вышеприведенной схеме гипата средних, соединяющая два тетрахорда, соединила тетрахорды низших и средних. Итак, synaphe, то есть «соединение»,— это срединная для двух [соседних] тетрахордов звукоступень, причем для предшествующего высшая, а для последующего низшая.

56
Institutio musica
218 Quid sit diazeuxis
XXV. (1) Diazeuxis vero appellatur, quae disiunctio dici potest, quotiens duo tetrachorda toni medietate separantur, ut in his duobus tetrachordis:
Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese !
Paramese
Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon j
(2) Duo igitur esse tetrachorda evidenter apparet, quandoquidem octo sunt chordae. Sed diazeuxis est, id est disiunctio, inter mesen ac paramesen, quae inter se pleno differunt tono.
(3) De quibus evidentius explicabitur, cum unumquodque studiosius explanandum posterior tractatus adsumpsèrit. Sed diligentius intuenti quinque, non amplius, tetrachorda repperiuntur: hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon.
Quibus nominibus nervos appellaverit Albinus
XXVI. (1) Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, ut hypatas principales vocaret, mesas medias, synemmenas coniunctas,
219 diezeugmenas disiunctas, hyperboleas excellentes. Sed nobis in alieno opere non erit inmorandum.
Qui nervi quibus sideribus comparentur
XXVII. (1) Illud tantum interim de superioribus tetrachordis addendum videtur, quod ab hypate meson usque ad neten quasi quoddam ordinis distinctionisque caelestis exemplar est. Namque hypate meson Saturno est adtributa, parhypate vero Ioviali circulo consimilis est. Lichanon meson Marti tradidere. Sol mesen obtinuit. Triten synemmenon Venus habet, paraneten synemmenon Mercurius regit. Nete autem lunaris circuli tenet exemplum.
(2) 	Sed Marcus Tullius contrarium ordinem facit. Nam in sexto libro de re publica sic ait: Et natura fert, ut extrema ex altera parte graviter, ex altera autem acute sonent. Quam ob causam summus ille caeli stellifer cursus, cuius conversio est concitatior, acuto et excitato movetur sono,

I, 25 - 27.2
Основы музыки
57
25. Что такое diazeuxis
(1) Когда два тетрахорда отделены друг от друга расположенным посредине [целым] тоном, возникает [греч.] διάζευξις, что [по-латыни] можно назвать «отделением»189, а именно в этих двух тетрахордах:
Гипата средних Парипата средних Лихана средних Меса Парамеса Трита отделенных Паранета отделенных Нета отделенных
(2) Очевидно, что здесь два тетрахорда, и при этом восемь ступеней. Diazeuxis, то есть «отделение», происходит между месой и парамесой, которые отстоят друг от друга на целый тон.
(3) Вопрос о тетрахордах будет развернут, когда в дальнейшем изложении каждый из них будет объяснен более детально190. Ну а пытливому взору открывается уже, что тетрахордов пять, и не больше: [тетрахорд] низших, средних, соединенных, отделенных и высших.
26. Какие названия струнам давал Альбин
(1) 	Альбин же имена струн перевел на латынь таким образом, что hypatae у него называются «главными», mesae «средними», synemmenae «соединенными», diezeugmenae «отделенными», hyperboleae «высшими»191. Но не будем задерживаться на чужом труде192.
27. С какими небесными телами сравниваются струны
(1) К сказанному выше о тетрахордах стоит, пожалуй, добавить, что звукоряд от гипаты средних до неты [соединенных] построен как бы по образцу небесной иерархии. Гипата средних привязана к Сатурну, парипата же уподоблена орбите Юпитера. Лихана средних вверена попечению Марса. Солнце владеет месой. Триту соединенных получает Венера, паранетой соединенных правит Меркурий. Нета же примеряется к орбите Луны193.
(2) А Марк Туллий [Цицерон] дает обратный звукоряд. В шестой книге «О государстве» он говорит следующее: «В природе так устроено, что [ее] пределы с одной стороны звучат низко, а с другой высоко. По этой причине высшая звездоносная небесная сфера, чье вращение живее [других сфер], движется, издавая [самый] высокий и сильный звук. Самый низкий и слабый

58
Institutio musica
gravissimo autem hic lunaris atque infimus. Nam terra nona inmobilis manens, una sede semper haeret. Hic igitur Tullius Terram quasi silentium ponit, scilicet inmobilem. Post hanc qui proximus a silentio est, dat Lunae gravissimum sonum, ut sit Luna proslambanomenos, Mercurius hypate hypaton. Venus parhypate hypaton, Sol lichanos hypaton, Mars hypate meson, Juppiter parhypate meson, Saturnus lichanos meson, Caelum ultimum mese.
(3) 	Quae vero sint harum inmobiles, quae vero in totum mobiles, quae autem inter inmobiles mobilesque consistant, cum de monochordi regularis divisione tractavero, erit locus aptior explicandi.
220 Quae sit natura consonantiarum
XXVIII. 	(1) Consonantiam vero licet aurium quoque sensus diiudicet, tamen ratio perpendit. Quotiens enim duo nervi uno graviore intenduntur simulque pulsi reddunt permixtum quodammodo et suavem sonum, duaeque voces in unum quasi coniunctae coalescunt; tunc fit ea, quae dicitur consonantia. Cum vero simul pulsis sibi quisque ire cupit nec permiscent ad aurem suavem atque unum ex duobus compositum sonum, tunc est, quae dicitur dissonantia.
Ubi consonantiae repperiantur
XXVIIII. (1) In his autem comparationibus gravitatis atque acuminis has consonantias necesse est inveniri, quae sibi commensuratae sunt, id est quae notam possunt communem habere mensuram, ut in multiplicibus duplum quod est illa pars metitur, quae inter duos est terminos differentia, ut inter duo et quattuor binarius utrosque metitur; inter duos atque sex, quae tripla est, binarius utrosque metitur; inter novem atque octo eadem unitas est, quae utrosque metiatur.
(2) Rursus in superparticularibus, si sesqualtera sit proportio, ut quattuor ad sex, binarius est, qui utrosque metiatur, quae scilicet utrorumque est differentia. Quod si sesquitertia sit proportio, ut si octo senario comparentur, idem binarius utrosque metitur.
(3) Id vero non evenit in ceteris generibus inaequalitatum, quae supra retulimus, ut in superpartiente. Nam si quinarium ad ternarium comparemus, binarius, qui eorum est differentia, neutrum metitur. Nam semel ternario comparatus minor est, duplicatus excedit.
221 Item bis quinario comparatus minor est, tertio vero supergreditur. Atque idcirco hoc primum inaequalitatis genus a consonantiae natura disiungitur.

I, 27.2 - 29.3
Основы музыки
59
звук, соответственно, у Луны. А девятая по счету Землй, оставаясь неподвижной, всегда пребывает в одном месте»194. Таким образом, Туллий, говоря о неподвижной Земле, как бы ставит предел тишины. После нее, как ближайший к тишине и самый низкий, он называет звук Луны. Луна — это как просламбаномен, Меркурий как гипата низших, Венера — парипата низших, Солнце — лихана низших, Марс — гипата средних, Юпитер — парипата средних, Сатурн — лихана средних, и высшее Небо — меса195.
(3) 	Какие из упомянутых струн неподвижны, какие полностью подвижны, а какие располагаются между неподвижными и подвижными — объяснять всё это более уместно там, где я буду излагать деление линейного монохорда196.
28. Какова природа консонансов
(1) 	Хотя слуховое ощущение и распознаёт консонанс как таковой, только разум веско судит о нем197. Если натянуть две струны, из которых одна ниже другой, и ударить по ним одновременно, они издают, так сказать, слитный и приятный звук. И при этом два [разновысотных] звука, сочетаясь, как бы сливаются воедино. Так возникает явление, которое называется консонансом. Если же при соударении [струн] каждая стремится быть сама по себе198, и они не сливаются в приятный для слуха, составленный из двух, единый звук, тогда возникает то, что называется диссонансом199.
29. При каких условиях возникают консонансы
(1) Путем сравнения низких и высоких звуков необходимо отыскивать такие созвучия, которые были бы соразмерны, то есть принадлежали известной, общей [для двух чисел] мере200; таково, например, в роде кратных чисел двойное отношение, когда в качестве меры выделяется та часть, которая является разностью между двумя членами201; например, оба числа 2 и 4 измерены двойкой; оба числа 2 и 6 — тройное отношение — также измерены двойкой; оба числа 9 и 8 измеряет только единица.
(2) В роде сверхчастичных чисел, если взять, к примеру, полуторное отношение 4 к 6, оба числа измеряет двойка (она же разность между ними). В сверхтретном отношении, например, при сравнении чисел 8 и 6, та же двойка измеряет оба числа.
(3) Этого не случается, однако, в других родах неравенства (о которых мы рассказали выше202), например, в сверхчастном роде. Ибо если мы сравним 5 и 3, двойка, будучи разностью этих двух чисел, не измеряет ни одно ни другое. Ибо 2 по сравнению с 3 меньше, а удвоенная двойка — больше 3. Также удвоенная [двойка] меньше 5, а утроенная — больше. Вот почему этот род неравенства — первый [по порядку] чуждый природе консонанса.

60
Institutio musica
(4) 	Amplius: quod in his, quae consonantias formant, multa similia sunt, in illis vero minime, id probatur hoc modo: Namque duplum nihil est aliud nisi bis simplum, triplum nihil aliud nisi tertio simplum, quadruplum vero idem est quod quarto simplum, sesqualterum bis medietas, sesquitertium ter pars tertia, quod haud facile in ceteris inaequalitatum generibus invenitur.
Quemadmodum Plato dicat fieri consonantiam
XXX. (1) Plato autem hoc modo fieri in aure consonantiam dicit. Necesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur cum gravem praecesserit, in aurem celer ingreditur, offensaque extrema eiusdem corporis parte quasi pulsus iterato motu revertitur. Sed iam segnior nec ita celeri ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum igitur iam gravior rediens nunc primum venienti gravi sono similis occurrit, miscetur ei unamque ut ait consonantiam miscet.
Quid contra Platonem Nicomachus sentiat
XXXI. (1) Sed id Nicomachus non arbitratur veraciter dictum neque enim similium esse consonantiam sed dissimilium potius in unam eandemque concordiam venientium. Gravem vero gravi si misceatur, nullam facere consonantiam, quoniam hanc canendi concor-
222 	diam similitudo non efficit, sed dissimilitudo, quae, cum distet in singulis vocibus copulatur in mixtis.
(2) 	Sed hinc potius Nicomachus fieri consonantiam putat: Non, inquit, unus tantum pulsus est, qui simplicem modum emittat vocis, sed semel percussus nervus saepius aerem pellens multas efficit voces. Sed quia haec velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo conprehendat, distantia non sentitur et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium sonorum commensurabiles sint percussionibus acutorum sonorum, ut in his proportionibus, quas supra retulimus, non est dubium, quin ipsa commensuratio sibimet misceatur unamque vocum efficiat consonantiam.
Quae consonantia quam merito praecedat
XXXII. (1) Sed inter omnes quas retulimus consonantias habendum iudicium est, ut in aure, ita quoque in ratione, quam earum meliorem oporteat arbitrari. Eodem namque modo auris afficitur

I, 29.4 - 32.1
Основы музыки
61
(4) 	Более того, в [членах отношений,] образующих консонансы, много подобного, а в других203 вовсе нет. Доказывается это так: двойное число есть не что иное как дважды взятое простое204, тройное — не что иное как трижды взятое простое, четверное — то же, что четырежды взятое простое, полуторное — [половина и] дважды половина, сверхтретное — [треть и] трижды треть205; такое [подобие членов] нелегко сыскать в других родах неравенства.
30. Каким образом согласно Платону возникает консонанс
(1) 	Возникновение консонанса в ушах Платон описывает следующим образом. С неизбежностью, говорит он, более быстрый звук является более высоким. Опережая низкий, он первым входит в ухо. Столкнувшись с краем его плоти, словно от удара, он двигается в противоположную сторону. Но теперь, не столь скорый, как при первотолчке, он замедляется, а потому становится и более низким. Как только этот уже понизившийся звук, столкнувшись с идущим навстречу изначально низким звуком, становится подобным ему, он сливается с ним и, как утверждает Платон, вызывает консонанс206.
31. Что думает [о том же] Никомах в противоположность Платону
(1) Но это высказывание [Платона] Никомах считает неверным207, и не из подобных [звуков] возникает консонанс, а скорее из различных, входящих в одно и то же благозвучие. В самом деле, если к низкому звуку примешивается низкий, не возникает никакого консонанса, потому что упомянутое благозвучие в музыке208 происходит не от подобия, а от различия, которое, обнаруживаясь в отдельных разновысотных звуках, объединяет их при смешении.
(2) По мысли Никомаха, консонанс возникает скорее так: не одно-единственное сотрясение [воздуха] выпускает одну порцию звука209, а однажды поколебленная струна, неоднократно сотрясающая воздух, производит много звуков. Поскольку скорость [повторения звуков] при колебании струны столь велика, что один звук словно перекрывает другой, перерыв [в звучании] не ощущается, и слуха достигает как бы один звук. Если же колебания низких звуков соразмерны колебаниям высоких звуков (то есть звуки состоят в числовых отношениях, о которых мы говорили выше), несомненно, что смешение обеспечивает соразмерность — она и производит единый консонанс [разновысотных] звуков.
32. Какой консонанс превосходит достоинством другие
(1) По отношению ко всем рассмотренным нами консонансам должно полагаться суждение — слуховое и рациональное, какой из них лучше какого.

62
Institutio musica
sonis vel oculus aspectu, quo animi iudicium numeris vel continua quantitate. Proposito enim numero vel linea nihil est facilius quam eius duplum oculo vel animo contueri.
(2) Item post dupli iudicium sequitur dimidii, post dimidii tripli, post tripli partis tertiae. Ideoque quoniam facilior est dupli descriptio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam, post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac diapason, quae triplum, ceteraque secundum eundem modum formamque diiudicat. Non vero eodem modo hoc Ptolomaeus, cuius omnem sententiam posterius explicabo.
Quo sint modo accipienda, quae dicta sunt
223 	XXXIII. (1) Omnia tamen quae dehinc diligentius expedienda sunt, summatim nunc ac breviter adtemptamus, ut interim in superficie quadam haec animum lectoris assuefaciant, qui ad interiorem scientiam posteriore tractatione descendet.
(2) Nunc vero quod erat Pythagoricis in more, ut, cum quid a magistro Pythagora diceretur, hinc nullus rationem petere audebat, sed eis erat ratio docentis auctoritas, idque fiebat, quamdiu discentis animus firmiore doctrina roboratus ipse earundem rerum rationem nullo etiam docente repperiret: (3) ita etiam nunc lectoris fidei quae proponimus commendamus, ut arbitretur diapason in dupla, diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, diapente ac diapason in triplici, bis diapason in quadrupla proportione consistere. Post vero et ratio diligentius explicabitur et quibus modis aurium quoque iudicio consonantiae musicae colligantur, ceteraque omnia, quae superius dicta sunt, amplior tractatus edisseret, ut tonum sesquioctavam facere proportionem eumque in duo aequa dividi non posse, sicut nullam eiusdem generis proportionem, id est superparticularis; diatessaron etiam consonantiam duobus tonis semitonioque consistere; semitonia vero esse duo, maius ac minus; diapente autem tribus tonis ac minore semitonio contineri; diapason autem quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis expleri, neque ad sex tonos ullo modo pervenire. Haec omnia posterius et numerorum ratione et aurium iudicio conprobabo. Atque haec hactenus.

I, 32.1 - 33
Основы музыки
63
Звуки оказывают воздействие на слух, а внешний вид [предмета] оказывает воздействие на зрение таким же образом, как на суждение ума воздействуют числа или непрерывное количество210. Когда [разуму] предстает число или [взору] линия, нет ничего легче, чем заметить глазом удвоенную линию или постигнуть умом удвоенное число.
(2) 	После суждения о двойном количестве следует суждение о половине, после половины — о тройном количестве, а после тройного — о третьей части. Поскольку легче всего описывается двойное отношение, Никомах полагает октаву наилучшим консонансом, затем квинту, которая занимает половину211, затем октаву с квинтой, которая занимает тройное число. Другие [интервалы] он расценивает в той же манере и форме. Птолемей же считает по-другому; весь ход его рассуждений я разъясню позже212.
33. 	Каким образом следует воспринимать сказанное213
(1) Всё, о чем дальше будет рассказано подробно, мы сейчас пытаемся изложить обобщенно и кратко, чтобы ум читателя пока что освоился как бы на поверхности предмета; в ходе дальнейшего исследования он будет погружаться в глубины науки.
(2) Именно так было заведено у пифагорейцев: для всего, что говорил Учитель Пифагор, никто не осмеливался требовать разумных оснований. Разумным основанием для них был авторитет наставника. Так продолжалось до тех пор, пока ум ученика, укрепленный надежным учением, не начинал сам, даже без помощи наставника, отыскивать разумные основания для тех же вещей.
(3) Так и мы теперь препоручаем наш предмет вере читателя: пусть думает, что октава пребывает в двойном, квинта в полуторном, кварта в сверхтретном, октава с квинтой в тройном, двойная октава в четверном отношении. Позже в подробностях будет развернута и теория [консонансов] и показано, какими путями музыкальные консонансы оцениваются на слух. И всё другое, о чем было сказано выше, будет изложено шире: что тон, пребывающий в сверхосминном отношении, нельзя поделить на две равные половины, как и любое другое отношение сверхчастичного рода; что консонанс кварты состоит из двух тонов и полутона; что полутонов два, большой и малый; что квинта состоит из трех тонов и малого полутона; что октава исчерпывается пятью тонами и двумя малыми полутонами, а до шести тонов никоим образом не дотягивает. Всё это я позже докажу и через теорию чисел214 и через суждение слуха, а пока что об этом достаточно.

64
Institutio musica
Quid sit musicus
XXXIIII. (1) Nunc illud est intuendum, quod omnis ars omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter habeat rationem quam
224 artificium, quod manu atque opere exercetur artificis. Multo enim est maius atque auctius scire, quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere, quod sciat; etenim artificium corporale quasi serviens famulatur, ratio vero quasi domina imperat. Et nisi manus secundum id, quod ratio sancit, efficiat, frustra sit.
(2) Quanto igitur praeclarior est scientia musicae in cognitione rationis quam in opere efficiendi atque actu! Tantum scilicet, quantum corpus mente superatur; quod scilicet rationis expers servitio degit. Illa vero imperat atque ad rectum deducit. Quod nisi eius pareatur imperio, expers opus rationis titubabit.
(3) Unde fit, ut speculatio rationis operandi actu non egeat, manuum vero opera nulla sint, nisi ratione ducantur.
(4) Iam vero quanta sit gloria meritumque rationis, hinc intellegi potest, quod ceteri ut ita dicam corporales artifices non ex disciplina sed ex ipsis potius instrumentis cepere vocabula. Nam citharoedus ex cithara, auloedus ex tibia, ceterique suorum instrumentorum vocabulis nuncupantur. Is vero est musicus, qui ratione perpensa canendi scientiam non servitio operis sed imperio speculationis adsumpsit. Quod scilicet in aedificiorum bellorumque opere videmus, in contraria scilicet nuncupatione vocabuli. Eorum namque nominibus vel aedificia inscribuntur vel ducuntur triumphi, quorum imperio ac ratione instituta sunt, non quorum opere servitioque perfecta.
(5) Tria igitur genera sunt, quae circa artem musicam versantur. Unum genus est, quod instrumentis agitur, aliud fingit carmina, tertium, quod instrumentorum opus carmenque diiudicat.
(6) Sed illud quidem, quod in instrumentis positum est ibique totam operam consumit, ut sunt citharoedi quique organo ceterisque mu-
225 sicae instrumentis artificium probant, a musicae scientiae intellectu seiuncti sunt, quoniam famulantur, ut dictum est: nec quicquam afferunt rationis, sed sunt totius speculationis expertes.
(7) Secundum vero musicam agentium genus poetarum est, quod non potius speculatione ac ratione, quam naturali quodam instinctu fertur ad carmen. Atque idcirco hoc quoque genus a musica segregandum est.

I, 34.1-7
Основы музыки
65
34. 	Кто такой музыкант215
(1) Здесь нужно иметь в виду то, что всякое искусство, а также всякая наука по природе своей более достойны уважения, чем ремесло, которое отправляется руками и трудом ремесленника. Ибо намного важней и почетней знать то, что некто делает, чем [самому] производить то, что этот «некто» знает. Ведь телесное ремесло216 только прислуживает словно рабыня, тогда как разум правит подобно повелителю. И если руки производят нечто такое, что не предписано разумом, то это «нечто» бесполезно217.
(2) Насколько же благородней наука музыки, занимающаяся познанием разумных оснований, чем производительный труд и [практическая] деятельность! Настолько же, насколько ум превосходит тело. Вот почему неразумный влачит свое существование в рабстве. Разум же повелевает и выводит на правильную дорогу. Вот почему неразумный труд, если только он не покоряется власти, потерпит неудачу.
(3) Отсюда следует, что созерцание разума не нуждается в производительной деятельности, а произведения рук человеческих суть ничто, если они не направляются разумом.
(4) Какова же слава или заслуга разума, может быть ясно уже из того, что представители других, так сказать, «телесных» ремесел берут свое название не от учения, а от инструментов218. Например, «кифаред» от кифары, «авлет» от авлоса219, и другие [профессии] получают названия от соответствующих инструментов. «Музыкантом» же именуется тот, кто приобрел знание о музыке веским суждением разума — не рабским трудом, но властью созерцания220. Это мы как раз и видим в строительном и военном деле, а именно в противоположном смысле слова. Ибо на постройках запечатлены имена тех, чьей властью они установлены, а подвиги носят имена тех, силой разума которых победы одержаны, а вовсе не тех, чьим трудом и рабским служением эти постройки возведены и эти войны совершены221.
(5) Итак, существуют три рода людей, связанных с искусством музыки. Первый род занят [музыкальными] инструментами222, второй сочиняет песни223, третий судит и об инструментах и о песнях.
(6) Тот род людей, который занимается инструментами, тратит на это весь свой труд, как, например, кифаред, или тот, кто демонстрирует свое ремесло на органе и на других музыкальных инструментах. Такие люди далеки от понимания музыкальной науки, поскольку, как было сказано, служат подобно рабам. Они не только совершенно неразумны, но и начисто лишены созерцательной способности.
(7) Вторым родом музыкальных деятелей является род поэтов, которых приводит к [сочинению] песни не созерцание и разум, а, скорее, некий естественный инстинкт. Вот почему и этот род должен быть отделен от [исследования] музыки.

66
Institutio musica
(8) 	Tertium est, quod iudicandi peritiam sumit, ut rythmos cantilenasque totumque carmen possit perpendere. Quod scilicet quoniam totum in ratione ac speculatione positum est, hoc proprie musicae deputabitur, isque est musicus, cui adest facultas secundum speculationem rationemve propositam ac musicae convenientem de modis ac rythmis deque generibus cantilenarum ac de permixtionibus ac de omnibus, de quibus posterius explicandum est, ac de poetarum carminibus iudicandi.
Explicit de musica id est armonica institutione liber primus.

I, 34.8
Основы музыки
67
(8) 	Третий род — тот, который обладает [достаточным] опытом суждения, чтобы мысленно взвешивать ритмы и мелодии [в отдельности] и песню в целом. Поскольку именно этот род целиком направлен к разуму и созерцанию, то именно он и является наиболее подходящим для [науки] музыки. И музыкант — тот, кто через созерцание и выдвижение относящихся к музыке доводов разума обнаруживает способность суждения о мелодиях и ритмах, и о родах мелоса, и о сочетаниях [звуков]224, и обо всем, о чем дальше [в нашей книге] будет рассказано225, и о песнях поэтов226.
Конец Первой книги об основах музыки, то есть гармоники.

Incipit liber secundus
227 Proemium
L (1) Superius volumen cuncta digessit, quae nunc diligentius demonstranda esse proposui. Itaque priusquam ad ea veniam, quae propriis rationibus perdocenda sunt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perveniat.
Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit
IL (1) Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse diceretur.
(2) 	Esse autem illa putabat, quae nec intentione crescerent, nec deminutione decrescerent nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas magnitudines qualitates habitudines ceteraque
228 quae per se speculata inmutabilia sunt, iuncta vero corporibus permutantur et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur.
De differentiis quantitatis et quae cui sit disciplinae deputata
III. 	(1) Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua vel discreta est. Sed quae continua est, magnitudo appellatur, quae discreta est, multitudo.
(2) Quorum haec est diversa et contraria paene proprietas. Multitudo enim a finita inchoans quantitate crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat; estque ad minimum terminata, interminabilis ad maius, eiusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque in infinita protenditur nec ullus numerus, quominus crescat, terminum facit.
(3) Sed magnitudo finitam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in infinita decrescit. Nam si sit pedalis linea vel cuiuslibet alterius modi, potest in duo aequa dividi, eiusque medietas in medietatem secari eiusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat.
(4) Ita magnitudo, quantum ad maiorem modum, terminata est, fit vero, cum decrescere coeperit, infinita. At contra numerus quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse, cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tamen quasi de rebus fini-

Книга II
1. Введение
(1) 	Первый том расставил всё по местам, а теперь я хотел бы рассмотреть весь материал более тщательно. Прежде чем перейти к тому, что нужно основательно преподать с помощью соответствующих доказательств, я напишу небольшое предисловие с тем, чтобы дух ученика лучше приготовился к восприятию того, что должно быть сказано [позднее].
2. Что Пифагор считал философией1
(1) Первым из всех нарек стремление к мудрости философией Пифагор. Именно ее он рассматривал как знание и науку о тех вещах, которые называются в собственном смысле и воистину сущими.
(2) Такими [истинно] сущими он полагал вещи, которые не возрастают от увеличения и не убывают от уменьшения, и остаются неизменными, что бы ни происходило. Это формы, величины, качества, отношения2 и прочие вещи, которые сами по себе неизменны; однако, будучи связанными с телами, они подвержены изменению; тогда они оказываются сродни переменчивой сущности во всем многообразии ее проявлений.
3. О различиях в количестве и какое к какой дисциплине относится
(1) Всякое количество, согласно Пифагору, бывает либо слитным, либо раздельным. Слитное [количество] называется величиной, а раздельное [количество называется] множеством.
(2) Различные и едва не противоположные их свойства таковы. Множество, которое берет начало в конечном количестве, возрастает до бесконечности, так что предел роста не наступает. Множество ограничивается наименьшим и безгранично в [наибольшем. Началом для него является единица, меньше которой ничего нет. Оно возрастает числом и простирается до бесконечности, и ни одно число, с которым оно возрастает, не устанавливает предел [множества].
(3) А величина, наоборот, измерена конечным количеством, но уменьшается до бесконечности. Если линию размером в римский фут (или [линию] любого другого размера) поделить поровну на два [отрезка], и от этой половины отрезать половину, и от той половины [отрезать] еще половину, то никакого предела деления по величине никогда не случится.
(4) Таким образом, величина по отношению к верхнему пределу ограничена, а когда начинает убывать, становится бесконечной. И наоборот, когда число [множества] в нижнем пределе конечно и начинает возрастать, оно становится бесконечным. Хотя величины и множества бесконечны, всё же фило-

70
Institutio musica
tis philosophia pertractat, inque rebus infinitis repperit aliquid terminatum, de quo iure posset acumen propriae speculationis adhibere.
(5) Namque magnitudinis alia sunt inmobilia, ut quadratum vel tri229 angulum vel circulus, alia vero mobilia, ut sphera mundi et quic-
quid in eo rata celeritate convertitur.
(6) Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel ceteri numeri, alia vero ad aliquid, ut duplum, triplum aliaque quae ex comparatione nascuntur.
(7) Sed inmobilis magnitudinis geometria speculationem tenet, mobilis vero scientiam astronomia persequitur, per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est, ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam.
De relativae quantitatis differentiis
НИ. (1) Ac de ea quidem quantitate discreta, quae per se est, in arithmeticis sufficienter diximus. Relatae vero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera sunt tria, unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertium superpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt aliae ex his duae, id est multiplex superparticularis et multiplex superpartiens.
(2) 	Horum igitur omnium talis est regula: Si unitatem cunctis in naturali numero volueris comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eundem triplus, quattuor quadruplus et in ceteris eodem modo, ut subiecta descriptio docet:
I
I
I
I
I
I
II
III
IIII
V
VI
VII
(3) 	Si vero superparticularem proportionem quaeras, naturalem sibi compara numerum detracta scilicet unitate, ut tres duobus — sesqualter est enim — quattuor tribus, qui sesquitertius est, quinarium quater230 nario, qui sesquiquartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subiecta descriptio:
sesqualtera
sesquiquarta
sesquisexta
II
III
IIII
V
VI
VII
sesquitertia
sesquiquinta

II, 3.5 - 4.3
Основы музыки
71
софия изучает их как конечные сущности, потому что в бесконечных сущностях она отыскивает нечто предельное,— то, на что она вправе обратить острие своего суждения3.
(5) Из величин одни неподвижны, как, например, квадрат, треугольник или круг, а другие подвижны, как, например, небесная сфера и всё, что в ней с надлежащей скоростью вращается.
(6) Из раздельных количеств одни существуют сами по себе, как [число] три, четыре и прочие числа, а другие по отношению к чему-либо, как, например, двойное, тройное и другие [отношения], которые рождаются в результате сопоставления.
(7) Неподвижные величины исследует геометрия. Знанием о подвижных [величинах] ведает астрономия. О раздельных количествах, которые существуют сами по себе, толкует арифметика. [Раздельные количества], которые относятся к чему-либо, как известно, познаёт музыка.
4. 	О различиях в относительном количестве
(1) О раздельном количестве, которое существует само по себе, мы достаточно рассказали в «Арифметике». Что же касается [раздельного] количества, которое существует по отношению к чему-либо, есть три простых его рода: один кратный, другой сверхчастичный, третий сверхчастный. Когда же кратный род смешивается со сверхчастичным или сверхчастным, возникают другие два, а именно кратно-сверхчастичный и кратно-сверхчастный.
(2) Для всех них действует такое правило: если сопоставляешь единицу с натуральным числом4, ты должен соблюдать надлежащий порядокумножения. Итак, два к одному — двойное [число], три к одному — тройное, четыре — четверное и так далее, как учит нижеследующая схема:
1
1
1
1
1
1
2
СО
4
5
6
7
(3) 	Если же тебе нужно сверхчастичное отношение, сопоставляй натуральное число с ним самим за вычетом единицы, как, например, [при сопоставлении чисел] 3 и 2 получается полуторное [число], 4 и 3 — сверхтретное, 5 и 4 — сверхчетвертное, и так далее, что показывает нижеследующая схема:
полуторное
сверхчетвертное
сверхшестинное
2
3
4
5
6
7
сверхтретное
сверхпятинное

72
Institutio musica
(4) 	Superpartientes autem tali modo repperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis; quod si duo, supertripartientem; quod si tres, superquadripartientem, idemque in ceteris:
Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est.
Cur multiplicitas ceteris antecellat
V. (1) Sed in his illud est considerandum, quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio in multiplicibus unitati, quae prima est comparatur, superparti cularis vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi, numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium et in ceteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro formatio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione, sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc quattuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius: multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens proportio a ternario initium capit. Sed de his hactenus.
(2) 	Nunc quaedam, quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tunc demum, quo spectare videantur, intellegemus, cum de uniuscuiusque rei demonstratione tractabimus.
Quid sint quadrati numeri, deque his speculatio
VI. (1) Quadratus numerus est, qui gemina demensione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, quater quattuor, quinquies .V., sexiens .VI., quorum est ista descriptio:

II, 4.4 - 6.1
Основы музыки
73
(4) 	Сверхчастичные [числа] найдешь так. Расположи ряд натуральных чисел, начиная от 3. Если одно [число в этом ряду] ты пропустишь, то, обрати внимание, получится сверхдвухчастное [число]. Если [пропустишь] два [натуральных числа], то сверхтрехчастное; если три, то сверхчетырехчастное и так далее:
сверхтрехчастное
3
4
5
6
7
8
9
сверхдвухчастное
сверхчетырехчастное
Соблюдая данный порядок, внимательный читатель увидит, [как производятся] отношения, составленные из кратного и сверхчастичного [родов] или из кратного и сверхчастного. Впрочем, обо всех них пространно сказано в «Арифметике»5.
5. Почему кратность превосходит другие [роды неравенства]
(1) В упомянутых отношениях следует осмыслить то обстоятельство, что кратный род неравенства, кажется, намного более значим, чем два остальных6. В кратных отношениях числа натурального ряда сопоставляются с единицой, которая является первой [в этом ряду]. Сверхчастичное же отношение получается от сопоставления не с единицой, а с теми числами, которые расположены после единицы, как, например, 3 к 2,4 к 3 и другие подобные. Образование же сверхчастных отношений происходит совсем иначе: сопоставляются не последовательные числа, а [числа] с пропусками, причем пропуски не всегда равные — то пропускается одно число, то два, то три, то четыре и так до бесконечности. Обобщаем: кратность начинается с единицы, сверхчастичность с двойки, сверхчастное отношение берет свое начало в тройке7. Но хватит пока об отношениях.
(2) Теперь же в качестве введения следует рассказать о том, что греки называют аксиомами. Как именно их применяют, мы лучше поймем, если покажем суть каждой на наглядных примерах.
6. Что такое квадратные числа и их обсуждение
(1) 	Квадратным называется число, которое образуется в двойном измерении через равные промежутки8, как, например, 2x2,3x3,4x4,5x5, 6x6. Схема этих чисел такова:

74
Institutio musica
II
III
IIII
V
VI
VII
VIII
VIIII
X
IIII
VIIII
XVI
XXV
XXXVI
XLVIIII
LXIIII
LXXXI
c
Superius igitur dispositus numerus naturalis est latus quadratorum inferius descriptorum. Continui enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subiecto ordine consequuntur, ut IIII. VIIII. XVI. et ceteri.
(2) Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore sustulero, quod relinquitur, tantum erit, quantum est, quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungitur. Ut si quattuor auferam novenario, .V. sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, coniunguntur.
(3) Item novenarium aufero de eo, qui sedecim numeris adscriptus est, septem sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque coniunctus est, qui praedictorum quadratorum latera sunt; idemque est in ceteris.
(4) Quod si non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit eius quod relinquitur medietas id, quod ex utriusque lateribus efficitur. Ut si quaternarium de sedecim quadrato auferam .XII. relinquuntur. Quorum .XII. medietas est is numerus, qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera duo et quattuor, quae senarium iuncta perficiunt. Atque in ceteris idem modus est.
(5) Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit eius quod relinquitur id, quod utrorumque latera coniungunt. Ut si quattuor de .XXV. auferam intermissis duobus quadratis, reliqui .XXI. sunt. Eorum vero latera sunt duo et quinque, qui efficiunt septem, qui sunt pars tertia numeri .XXI.
(6) Atque haec est regula, ut, si tres intermissi sint, pars quarta sit id, quod ex utrorumque lateribus efficitur, eius, quod subtracto minore a maiore relinquitur; sin quattuor transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam fit intermissio numerorum.
Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio
VII. 	(1) Est autem, quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis, ut in arithmetica dictum est, multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis superparticularibus superpartientes comparationes efficimus.

И, 6.1 - 7.1
Основы музыки
75
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Ряд натуральных чисел, расположенных вверху, есть [длины] сторон для квадратов, выписанных внизу9. Натуральный непрерывный ряд квадратов таков, как он показан на схеме, а именно 4, 9,16 и так далее.
(2) Если из большего квадрата, стоящего в непрерывным ряду, вычесть меньший квадрат, стоящий [по соседству] в непрерывным ряду, в остатке будет столько, сколько в сумме составляют [длины] сторон обоих этих квадратов. Так, если отнять 4 от 9, в остатке будет 5 — число, которое образуется из суммы 2 и 3, [длин] сторон обоих этих квадратов.
(3) Точно так же, если отнять 9 из 16, в остатке будет 7, а именно число, которое представляет собой сумму чисел 3 и 4, [длин] сторон вышеназванных квадратов. Так же и в других случаях.
(4) Если квадраты берутся не из непрерывного ряда, но в промежутке между ними находится одно число [взятое из непрерывного ряда квадратов], то число, которое представляет собой сумму обеих [длин] их сторон, будет половиной остатка [от вычитания меньшего квадрата из большего]. Так, если вычесть [квадратное число] 4 из квадратного числа 16, в остатке будет 12. Половиной от 12 будет число, которое соответствует [сумме длин] сторон обоих [квадратов]. В сумме обе стороны (2 и 4) дают 6. Такой же способ [вычисления] и в других случаях.
(5) Если же в промежутке между [сравниваемыми квадратами] находятся два числа [из непрерывного ряда], то число, которое представляет собой сумму обеих [длин] их сторон, будет третьей частью остатка [после вычитания меньшего квадрата из большего]. Так, если вычесть 4 из 25 (с пропуском двух квадратов [непрерывного ряда]), в остатке будет 21. [Длины] сторон этих квадратов 2 и 5 в сумме дают 7, то есть третью часть числа 21.
(6) И такое есть правило: когда в промежутке находятся три числа, то число, которое представляет собой сумму обеих [длин] их сторон, будет четвертой частью остатка после вычитания меньшего [квадрата] из большего. Если же в промежутке находятся четыре числа, то пятая часть [остатка], и так далее будут возникать части на единицу меньшие, чем количество пропущенных чисел [натурального ряда квадратов].
7. 	Всякое неравенство происходит от равенства и доказательство этого10
(1) Как единица есть начало множества и числа, так и равенство есть начало отношений. Как сказано в «Арифметике», мы производим кратные отношения из трех предпосылок11 — [начиная] от равенства12; обращением кратных мы порождаем сверхчастичные отношения; далее, обращением сверхчастичных создаем сверхчастные отношения13.

76
Institutio musica
(2) Ponantur enim tres unitates vel tres binarii vel tres ternarii vel quilibet aequi termini et sit primus primo aequus in sequenti scilicet 233 ordine constitutus, secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio. Ita enim numero progresso fit duplex, multiplicitatis prima proportio, ut descriptio monet:
I
I
I
I
II
IIII
(3) Nam unitas in secundo ordine constituta aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est primae unitati ac secundae unitati; item quaternarius aequus est unitati primae ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae, et est
I. 	II. IIII. dupla proportio.
(4) Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de tripla quadrupla; de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio.
(5) Rursus isdem tribus praeceptis superparticulares fient, ut uno probemus exemplo. Convertamus nunc et priorem maiorem numerum disponamus IIII. IL I. Ponatur igitur primus primo aequus, id est .IIII., secundus primo scilicet et secundo, id est .VI., tertius primo, duobus secundis et tertio, id est .VIIIL, quibus dispositis sesqualtera notatur esse proportio.
IIII
II
I
IIII
VI
VIIII
(6) Atque id si de triplis fiat, sesquitertia, si de quadruplis, sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte vocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur.
(7) Ex superparticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesqualtera comparatio VIIII. VI.
234 IIII. Ponatur igitur primus primo aequus, id est .VIIII., secundus primo ac secundo, id est .XV. tertius primo, duobus secundis et tertio, id est .XXV. Ac disponantur in ordinem hoc modo:
VIIII
VI
IIII
VIIII
XV
XXV
(8) 	Superbipartiens igitur ex conversis sesqualteris habitudo producta est. Quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit ceterisque similibus vocabulis adaequatis cunctas ex superparticularitate superpartientes species procreari mirabitur.

II, 7.2-8
Основы музыки
77
(2) Возьмем три единицы или три двойки или три тройки или любые другие равновеликие числа, и пусть первое [число] (разумеется, в нижнем ряду) будет равно первому [в верхнем ряду], второе — первому и второму, третье — первому, двум вторым и третьему. Так, с возрастанием числа выходит двойное отношение, первое кратное отношение, как показано на схеме:
1
1
1
1
2
4
(3) Единица во втором ряду равна первой единице, расположенной вверху, двойка равна первой единице и второй единице, четверка равна первой единице, удвоенной второй единице и [одной] третьей; получается 1:2:4, двойное отношение.
(4) Если сделать то же самое с этими [числами 1,2,4], возникнет тройное отношение, из тройного четверное, из четверного пятерное и так далее происходит порождение отношений14.
(5) Далее, также с помощью трех предпосылок возникают сверхчастичные отношения, что мы покажем на одном примере. [Возьмем три члена двойного отношения 1:2:4], обратим его и расположим первым наибольшее число так: 4:2:1. Теперь положим первое число равным первому (4), второе — первому и второму (6), третье — первому, удвоенному второму и третьему
(9); расположением этих чисел выражается полуторное отношение:
4
2
1
4
6
9
(6) А если то же сделать из тройного, возникнет сверхтретное отношение; если из четверного — сверхчетвертное, и [так далее] с подобными членами в обеих частях [вычисления] из кратности родится [сверхчастичная] пропорция15.
(7) Из обращенной сверхчастичности выводится сверхчастное отношение. Расположим в обращении полуторное отношение; [получится ряд] 9:6:4. Теперь положим первое число равным первому (9), второе — первому и второму (15), третье — первому, двум вторым и третьему (25); по порядку эти числа расположим так:
9
6
4
9
15
25
(8) 	Таким образом, сверхдвухчастные отношения произведены от обращенных полуторных. Если внимательный исследователь воспользуется этим методом [вычисления дальше], он произведет сверхтрехчастные отношения из сверхтретных, и, сравнивая другие подобные члены, он с удивлением обнаружит, что все сверхчастные виды отношений порождаются из сверхчастичности16.

78
Institutio musica
(9) Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita, ut ex multiplici procreati sunt, manentibus necesse est multiplices superparticulares creari.
(10) Ex manentibus vero superpartientibus ita, ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur.
(11) Ac de his quidem hactenus; diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum.
Regulae quotlibet continuas proportiones superparticulares inveniendi
VIII. 	(1) Saepe autem accidit, ut tres vel quattuor vel quotlibet aequas superparticularium proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia facientes error ullus difficultatis inpediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus.
(2) 	Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus tot superparticulares habitudines praecedit suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit, hoc modo ut duplex sesqualteras antecedat, triplex sesquitertias, 235 quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum terminorum subiecta descriptio.
I
II
IIII
VIII
XVI
III
VI
XII
XXIIII
VIIII
XVIII
XXXVI
XXVII
LIIII
LXXXI
In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ad se ternarium habet, qui possit facere sesqualteram proportionem. Ternarius vero non habet, qui ei possit esse sesqualter, quoniam medietate deficit.
(3) Rursus quaternarius secundus est duplex. Hic duos sesqualteros antecedit, senarium et novenarium, qui medietate caret; atque idcirco nullus ei in habitudine sesqualtera comparatur. Et in ceteris idem est.
(4) Tripli vero eodem modo sesquitertios creant. Sit enim similis in triplo descriptio:

II, 7.9 - 8.4
Основы музыки
79
(9) Из необращенных сверхчастичных (а именно тех, которые получились в результате [вычислений] с кратными отношениями) с неизбежностью возникают кратно-сверхчастичные отношения.
(10) Из сверхчастных отношений (которые получились в результате [вычислений] со сверхчастичными) возникнут соответственно кратно-сверхчастные отношения.
(11) Но достаточно о них. Более подробное обсуждение этого метода соотнесенных вычислений содержится в арифметических книгах17.
8. 	Правила отыскания любого количества непрерывных сверхчастичных отношений
(1) Часто случается, что исследователь музыки разыскивает три, четыре или сколько угодно одинаковых сверхчастичных отношений. Дабы не возникла какая-нибудь путаница от того, что такое разыскание делают как попало и по неведению, будем выводить любые одинаковые сверхчастичные отношения из кратности с помощью следующего правила.
(2) Любое кратное отношение, которое рассчитывается от единицы, столько раз предшествует сверхчастичным отношениям (а именно того же наименования [что и кратные, но] в другой части [термина]18), насколько само оно удалилось от единицы19. Таким образом [это правило можно наблюдать, когда] двойное число предшествует полуторным отношениям, тройное — сверхтретным, четверное — сверхчетвертным и так далее, в том же духе. Представим расположение членов двойного отношения в такой схеме:
1
2
4
8
16
3
6
12
24
9
18
36
27
54
81
На вышеприведенной схеме [в верхнем ряду] первое двойное кратное число
(2) соотносится [в следующем ряду] с тройкой — единственным числом, которое может произвести с ним полуторное отношение. Тройка же не может соотноситься с каким-либо полуторным числом, поскольку у нее нет половины20.
(3) Дальше следует четверка, второе двойное число. Оно предшествует двум полуторным числам, 6 и 9. У числа 9 нет половины, поэтому с ним никакое полуторное число не сопоставимо. В других [двойных числах] такая же закономерность.
(4) Тройные числа аналогично производят сверхтретные. Дадим схему для тройных отношений:

80
Institutio musica
I
III
VIIII
XXVII
LXXXI
IIII
XII
XXXVI
CVIII
XVI
XLVIII
CXLIIII
LXIIII
CXCII
CCLVI
In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur.
(5) Quod si quadruplum statueris, eodem modo sesquiquartos invenies, si quincuplum sesquiquintos ac deinceps. Singuli denominatione multiplices tot superparticulares praecedunt, quoto loco ipsi ab unitate discesserint.
(6) Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea, sicut in ceteris, lector diligens acumen mentis exerceat.
236
I
IIII
XVI
LXIIII
CCLVI
V
XX
LXXX
cccxx
XXV
c
cccc
LXXV
D
DCXXV
(7) Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut, quotienscunque quattuor vel .V. vel quotlibet sesqualteros vel sesquitertios vel sesquioctavos vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore labatur; utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui, quanti sunt propositi, tot praecedere et post se habere non possit, sed disponat potius multiplices videatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit;
(8) ut in superioribus descriptionibus si tres sesqualteros fortasse quaesierit, ut non a quaternario ingrediatur investigationem — hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit — sed ut ab octonario medietates temptet apponere. Hic enim, quoniam tertius est, tres, quas quaerit, sesqualteras proportiones efficiet. Et in ceteris eodem modo.

II, 8.4-8
Основы музыки
81
1
3
9
27
81
4
12
36
108
16
48
144
64
192
256
На вышеприведенной схеме мы видим порождение сверхтретных отношений — так, что первое тройное число, [тройка в первом ряду], предшествует одному сверхтретному, второе [9] двум, третье [27] трем; и всегда треть в последнем числе [ряда сверхчастичных отношений] заключается как бы естественным пределом21.
(5) Если установим таким же образом четверное [число], обнаружим сверхчетвертные [числа], если пятерное, то сверхпятинные, и так далее. Кратные числа одного типоназвания22 столько раз предшествуют сверхчастичным [отношениям], сколько раз они по своему местоположению удалились от единицы23.
(6) Приведем только одну схему — расположения четверного отношения, чтобы посредством ее, как и других [схем с кратными], внимательный читатель заострял свой ум:
1
4
16
64
256
5
20
80
320
25
100
400
125
500
625
(7) Это теоретическое правило, кажется, было задумано с таким умыслом, чтобы не впасть в ошибку, если нужно найти четыре, пять и сколько угодно полуторных, сверхтретных, сверхосминных или любых других [непрерывных сверхчастичных] отношений, и чтобы не подыскивать такого рода отношения для первого числа, перед которым и после которого (как сказано выше) данное количество [отношений] не может получиться. [По правилу], надо расположить кратные числа и выбрать то кратное число, которое удалено от единицы [именно] столько раз, сколько требуется найти сверхчастичных отношений24.
(8) На вышеприведенных схемах, если требуется найти три полуторных отношения25, не надо начинать поиск с четверки — ведь это число, будучи удвоенной двойкой, предшествует только двум [полуторным отношениям]. Третье [полуторное отношение] к этому числу подобрать нельзя. Лучше прибавлять половины к восьмерке — именно она, будучи утроенной [двойкой], и произведет три полуторных отношения, которые требуются. Таким же образом [правило работает] и в других случаях.

82
Institutio musica
(9) 	Est etiam alia augendi proportiones via hoc modo. Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus minimae proportiones. Disponatur enim numerus naturalis unitate mulctatus: II. III. ПИ. V. VI. VII. Minimae igitur proportiones sunt sesqualtera .III. ad .IL, sesquitertia .1111. ad .III., sesquiquarta .V. ad .1111., et deinceps in infinitum, et quaecunque se proportiones unitate praecesserint.
237 (10) Propositum igitur sit, duas sesqualteras proportiones continua com¬
paratione producere. Sumo radicem sesqualteram eamque dispono: .II. et .III. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt .1111. Item ternarius per binarium crescat; erunt .VI. Rursus ternarium in semet ipsum ducemus; fiunt .VIIII. Qui disponantur hoc modo:
II
III
IIII
VI
VIIII
Inveniemus igitur duas propositas sesqualteras proportiones .VI. ad .1111. et .VIIII. ad .VI.
(11) Sit nunc propositum tres invenire. Dispono eosdem numeros, quos supra in exquirendis duabus sesqualteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesqualteras proportiones. Multiplico binario quaternarium, fiunt .VIII., rursus senarium binario, fiunt .XII., rursus novenarium binario, fiunt .XVIII., rursus novenarium ternario, fiunt .XXVII. Disponantur igitur hoc modo:
II
III
IIII
VI
VIIII
VIII
XII
XVIII
1 XXVII
(12) 	Atque hic modus erit in ceteris. Ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices. Quodsi sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendas. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit.
De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur
238 VIIII. (1) Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri, secundum quos eos sua mensa est differentia.
(2) 	Sint enim numeri .L. [et] .LV. Hi igitur ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri .L. Hic igitur metietur quidem .L. numerum de-

II, 8.9 - 9.2
Основы музыки
83
(9) Есть также и другой метод наращивания [непрерывных] отношений, а именно таким образом. «Корнями»26 отношений называются отношения наименьших чисел в одном и том же [роде] сравнения. Расположим ряд натуральных чисел с шагом на единицу27: 2 3 4 5 6 7. Наименьшие отношения здесь: полуторное — 3:2, сверхтретное — 4:3, сверхчетвертное — 5:4 и так далее до бесконечности — любые отношения с предшествующей единицей.
(10) Скажем, требуется произвести два непрерывных полуторных отношения. Возьмем полуторный корень28 и расположим его так: 2 и 3. Теперь умножим 2 на 2, получится 4. Так же выходит и удвоенная тройка, то есть 6. Дальше умножим 3 на само себя, получится 9. Расположим эти числа таким образом:
2
3
4
6
9
Так мы обнаружим два искомых полуторных отношения 6:4 и 9:6.
(11) 	Теперь, скажем, надо найти три [полуторных отношения]. Расположим те же числа, которые выше мы давали при разыскании двух полуторных отношений, и возьмем те же полуторные отношения. Умножим 4 на 2, получится 8, дальше 6 на 2, получится 12, затем 9 на 2, получится 18, затем 9 на 3, получится 27. Расположим эти числа таким образом:
2
3
4
(
1 5
?
8
12
18
27
(12) 	Тот же способ [выведения непрерывных отношений] применяется и в других случаях. Скажем, если мы хотим продлить ряд сверхтретных отношений, кладем [в основу] сверхтретные корни 4 и 3, сопоставленные друг с другом, и умножаем их указанным способом. А если мы ищем [непрерывные] сверхчетвертные отношения, располагаем сверхчетвертные корни и таким же умножением получаем ряд сверхчетвертных отношений в любом количестве. Насколько для нас полезны приведенные соображения, покажет дальнейшее29.
9. 	Об отношении чисел, которые измеряются другими [числами]30
(1) Если разность двух [заданных] чисел измеряет собой целиком, то числа, измеренные их собственной разностью, находятся друг с другом в таком же отношении, в каком отношении будут числа, которыми собственная их разность [заданные] числа измерила.
(2) Пусть даны числа 50 и 55. Сравнение их друг с другом показывает сверхдесятинное отношение, а их разность равна 5; последнее — десятина числа 50. Следовательно, число 5 измеряет собой число 50 десять раз, а 55 — один-

84
Institutio musica
cies .LV. vero undecies. Secundum .X. igitur atque .XI. numeros .LV. et .L. propria differentia, id est quinarius permetietur, et sunt .XI. ad .X. sesquidecima comparatione compositi.
(3) In eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria differentia integre permensa est, in qua sunt hi, secundum quos eos propria differentia permensa est.
(4) Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum est differentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum pluralitas excedat idemque in utrisque sit excessus et sit deminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud, quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur.
(5) Sint enim numeri duo .LUI. et .LVIII. Hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur .LUI. numerum quinarius decies usque ad .L. relinquit vero ternarium. Rursus .LVIII. numerum metitur idem undecies usque ad .LV. atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt .L. et .LV, qui disponantur hoc modo:
LIII
LVIII
L
LV
In hoc igitur manifestum est, maioris esse proportionis inter se .L. et 239 .LV. quam .LIII. ad .LVIII. In minoribus enim numeris maior semper proportio repperitur; quod paulo posterius demonstrabimus.
(6) Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minore erunt proportione numeri superius mensi cum additione eius summae, qua utrosque metiens supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur.
(7) Sint enim numeri .XLVIII. et .LIII. Horum quinarius differentia est. Metiatur igitur .XLVIII. numerum quinarius decies, fiunt .L. Supervadit igitur .L. numerus .XLVIII. numerum binario. Idem .LIII. undecies metiatur, fiunt .LV. qui eisdem rursus duobus .LIII. numerum supervadit. Addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo:
XLVIII
LIII
L
LV
(8) 	Minore igitur sunt proportione .L. ad .LV. comparati cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens supervadit, quam .XLVIII. et .LIII. numeri, quos eadem quinarii differentia mensa est.

II, 9.2-8
Основы музыки
85
надцать раз. Соответственно, [заданные] числа 50 и 55 их собственная разность (то есть число 5) измерила числами 10 и 11; [значит], и 11 к 10 — сверхдесятинное отношение.
(3) Таким образом, [заданные] числа, которые их собственная разность целиком собой измерила, находятся в том же отношении, в каком и те [числа], которыми их собственная разность измерила собой эти [заданные] числа.
(4) Если [два] числа измеряются их собственной разностью31 таким образом, что, [во-первых], целое превышает одну и ту же числовую меру32, и [во-вторых], в обоих [соотносимых] числах [после измерения наблюдается] один и тот же излишек33, и [в-третьих,] разностная мера меньше, чем величина [исходных сравниваемых] чисел34, то отношение чисел (тех, что получаются после вычитания остатка от измерения) будет больше, чем было исходное [отношение] целых чисел, когда их измеряла их собственная разность35.
(5) Пусть даны два числа, 53 и 58. Пусть их измеряет собой число 5, которое является их собственной разностью. Тогда пятерка измерит число 53 десять раз (вплоть до 50) и в остатке будет 3. Дальше та же пятерка измерит число 58 одиннадцать раз (вплоть до 55) и опять в остатке будет 3. Если из обоих [заданных] чисел вычесть 3, получатся числа 50 и 55; [те и другие числа] можно расположить так:
53
58
50
55
Теперь очевидно, что отношение чисел 50 и 55 больше, чем [отношение] 53 и 58. Ибо большее отношение всегда возникает в меньших числах. Немного позже мы это докажем.
(6) Если же разностная мера превышает величину [исходных сравниваемых] чисел и одинаковое превышение наблюдается в каждом из двух [сравниваемых] чисел, то отношение исходных чисел (когда их измеряла их собственная разность) будет меньше того [отношения], что вышло от прибавления величины излишка в каждом из чисел [без остатка] измеряемой [производной пары]36.
(7) Пусть даны два числа, 48 и 53; их разность равна 5. Пусть пятерка измерит число 48 десять раз; выходит 50. Число 50, таким образом, превышает число 48 на 2. Та же пятерка пусть измерит число 53 одиннадцать раз; выходит 55 — число, которое опять же превышает 53 на 2. Добавим к обоим [сравниваемым числам] 2 и расположим их так:
48
53
50
55
(8) 	Итак, отношение чисел 50 и 55, соотнесенных друг с другом после прибавления к обоим [исходным числам] двойки (это величина, на которую разностная мера их превосходит), меньше, чем [отношение] чисел 48 и 53 (которые измерила всё та же полученная от их разности пятерка).

86
Institutio musica
(9) Maiores vero et minores proportiones hoc modo intelleguntur. Dimidia pars maior est quam tertia, tertia pars maior est quam quarta, quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit, ut sesqualtera proportio maior sit sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in ceteris. Hinc evenit, ut in numeris minoribus maior semper videatur proportio superparticularium numerorum.
(10) Quod apparet in numero naturali. Disponatur enim numerus naturalis I. II. III. НИ. V. Binarius igitur ad unitatem duplus est,
240 ternarius ad binarium sesqualter est, quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Maiores vero sunt numeri ternarius et quaternarius, minores ternarius et binarius et unitas. In maioribus igitur minor et in minoribus maior proportio continetur.
(11) Hinc apparet, quodsi aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum, quam postea quam eis pluralitas aequa sit addita.
Qui ex multiplicibus et superparticularibus multiplicatis fiant
X. (1) Illud etiam praemittendum videtur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam, quod ex illa multiplicatione nascetur, multiplex esse; quodsi id, quod ex tali multiplicatione procreatum sit, non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplicatum.
(2) 	Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit, neque superparticulare esse neque multiplex. Quod si id, quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex est neque superparticulare, tunc illud, quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis, non vero multiplicis.
Qui superparticulares quos multiplices efficiant
XI. (l)His illud addendum est, duos primos superparticulares pri-
241 mam efficere multiplicem proportionem. Ut si sesqualter et sesquitertius coniungantur, duplicem creant.
(2) Sint enim numeri II. III. IIII. Ternarius ad binarium sesqualter, .1111. ad .III. sesquitertius, .IIII. ad .II. duplus.
(3) Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri II. IIII. VI. Quattuor namque ad .II. duplex est, primus scilicet multiplex, sex ad .IIII.

И, 9.9 - 11.3
Основы музыки
87
(9) Большее и меньшее числовые отношения понимаются так: половина больше, чем треть; треть больше, чем четверть; четверть больше, чем пятина, и так далее в том же роде. Отсюда полуторное отношение больше, чем сверхтретное, а сверхтретное превосходит сверхчетвертное, и так дальше. И поэтому большее отношение сверхчастичных чисел всегда наблюдается в числах меньших.
(10) Это становится очевидным на примере ряда натуральных чисел. Пусть дан следующий ряд натуральных чисел: 12 3 45. Два к одному дают двойное число, три к двум полуторное, четыре к трем сверхтретное. Числа 3 и 4 [в указанных отношениях] больше; числа 3, 2, 1 меньше. Таким образом, в больших [натуральных числах] содержится меньшее отношение, а в меньших большее.
(11) Отсюда очевидно, что если к любым [двум] числам, состоящим друг с другом в [определенном] сверхчастичном отношении, добавить одно и то же целое число, то отношение чисел до прибавления одного и того же целого числа будет больше, чем [отношение чисел, которое получается] после добавления к ним одного и того же целого числа.
10. Какие [отношения] получаются от перемноженных кратных и сверхчастичных
(1) То, что будет изложено несколько позже, кажется, необходимо предварить [уже сейчас]37. Если кратный интервал умножить на 2, то отношение, которое получится от такого умножения, будет тоже кратным. А если продукт умножения [на 2] — некратное отношение, значит, и то отношение, которое умножалось на 2, не было кратным.
(2) Также если сверхчастичное отношение умножить на 2, то полученный результат будет ни кратным, ни сверхчастичным38. А если результат умножения [на 2] — не кратное отношение и не сверхчастичное, тогда то отношение, которое умножалось на 2, было сверхчастичного или другого рода, но только не кратного.
11. Какие сверхчастичные [отношения] производят какие кратные39
(1) К сказанному нужно добавить, что два первых сверхчастичных отношения производят первое кратное отношение: если соединить полуторное и сверхтретное отношения, они создадут двойное отношение.
(2) Пусть даны числа 2 3 4. Три к двум — это полуторное число, четыре к трем — сверхтретное, четыре к двум — двойное.
(3) Далее, если к первому кратному добавить первое сверхчастичное40, получится второе кратное число. Пусть даны числа 2 4 6. Четыре к двум — это двойное число, а именно первое кратное, шесть к четырем — полу-

88
Institutio musica
sesqualter est, qui est primus superparticularis, .VI. ad .II. triplus, qui secundus est multiplex.
(4) 	Quodsi triplum sesquitertio addas, quadruplus efficietur, si quadruplum sesquiquarto quincuplus, atque in hunc modum iunctis proportionibus multiplicium ac superparticularium in infinitum multiplices procreantur.
De arithmetica geometrica armonica medietate
XII. 	(1) Quoniam vero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum.
(2) Proportio enim est duorum terminorum ad se quaedam comparatio.
(3) Terminos autem voco numerorum summas.
(4) Proportionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimis constat. Cum enim primus ad secundum terminum eandem retinet proportionem, quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas, estque inter .III. terminos medius, qui secundus.
(5) Has igitur proportiones medii termini coniungentis trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii ad maximum, sed non aequa proportio, ut in his numeris I. II. III. Inter .1. quippe ас .II. et inter .II. ас .III. tantum unitas differentiam tenet; non est autem aequa proportio; .II. quippe ad .1. dupli sunt, .III. ad .II. sesqualter.
(6) Aut est aequa in utrisque proportio non vero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris I. II. IIII. Nam .II. ad .1. ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit.
(7) Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat, sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet maiorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris III. IIII. VI. Nam .VI. ad .III. duplus est, inter .VI. vero et .IIII. binarius interest, inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est. Ergo ut est maximus terminus ad minimum, ita maiorum differentia ad minorum differentiam terminorum.
(8) Vocatur igitur illa medietas, in qua aequae sunt differentiae, arithmetica, illa vero, in qua aequae proportiones, geometrica, illa autem, quam tertiam descripsimus, armonica. Quarum haec subiciamus exempla:
Geometrica
I
II
IIII
Arithmetica
I
II
III
Armonica
III
IIII
VI

II, 11.3 - 12.8
Основы музыки
89
торное, то есть первое сверхчастичное, шесть к двум — тройное, то есть второе кратное.
(4) 	Если к тройному добавить сверхтретное, возникнет четверное; если к четверному сверхчетвертное, пятерное. Подобным соединением кратных и сверхчастичных отношений [новые] кратные порождаются до бесконечности.
12. 	Об арифметическом, геометрическом и гармоническом средних
(1) Поскольку об отношениях (по части того, что надо было о них знать) мы сказали раньше, то теперь надо сказать о средних.
(2) Отношение — это некое сравнение двух членов между собой.
(3) Членами же я называю числовые величины41.
(4) Пропорция — это объединение равных отношений. Пропорция состоит минимум из трех членов42. Когда первый член относится ко второму так же, как второй к третьему, то это называется пропорцией. И средним членом из трех является второй43.
(5) Существует троякая классификация [пропорций] в зависимости от среднего члена, связывающего такого рода отношения44. Либо разности меньшего члена и среднего, а также среднего и высшего, равны, но отношение неравное, как, например, в числах 12 3. [Здесь] между 1 и 2 и между 2 и 3 разность составляет только единицу, но нет равенства отношений: [числа] 2 и 1 стоят в двойном [отношении], 3 и 2 в полуторном.
(6) Либо оба отношения [пропорции] одинаковы, но не равны разности, как, например, в числах 12 4. Ибо как 2 и 1, так и 4 и 2 стоят в двойном отношении. Но между четверкой и двойкой разность два, а между двойкой и единицой — единица.
(7) Есть и третий род среднего [— в пропорции], которая существует и не в одинаковых отношениях, и не в одинаковых разностях; а [устроена она] так: высший член так относится к низшему, как разность верхних членов относится к разности нижних членов, как, например, в следующих числах: 3 4 6. Шесть к трем — двойное число, разность между 6 и 4 двойка, а между 4 и 3 — единица. Но двойка, соотнесенная с единицой, опять дает двойное число. Получается, что каково отношение высшего члена к низшему, таково и отношение разности верхних членов к разности нижних.
(8) Среднее, в котором равны разности, называется арифметическим; среднее, в котором равны отношения, называется геометрическим, а то, которое мы описали третьим по порядку, называется гармоническим. Дадим их примеры:
Арифметическое
1
2
3
Геометрическое
1
2
4
Гармоническое
3
4
6

90
Institutio musica
(9) 	Non vero ignoramus esse alias quoque proportionum medietates, quas quidem in arithmeticis diximus. Sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupatur idcirco, quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes.
243 De continuis medietatibus et disiunctis
XIII. 	(1) Sed in his alia continua est proportionalitas alia disiuncta.
(2) Continua quidem ut superius disposuimus; unus enim idemque numerus medius nunc quidem maiori subponitur, nunc vero minori praeponitur.
(3) Quotiens vero duo sunt medii, tunc disiuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo: I. II. III. VI. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium; et vocatur haec disiuncta proportionalitas.
(4) Unde intellegi potest, continuam quidem proportionalitatem in tribus minimam terminis inveniri, disiunctam vero in quattuor. Potest autem in quattuor et in pluribus continua esse proportionalitas, si quidem hoc modo sit: I. II. ПИ. VIII. XVI. Sed hic non erunt duae proportiones, sed plures, semperque una minus, quam sunt termini constituti.
Cur ita appellatae sint digestae superius medietates
XIIII. (1) Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Armonica autem vocatur, quoniam est ita coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionum consideretur. Ac de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero, ut commemoremus tantum, ista percurrimus.
Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates
244 XV. (1) Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreentur dicendum est.
(2) Praedictum est enim, quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium.
(3) Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur. Positis enim tribus aequis terminis hi duo modi sunt, quibus haec pro-

II, 12.9 - 15.3
Основы музыки
91
(9) 	Небезызвестны нам и другие средние пропорциональные, о которых мы рассказали раньше в «Арифметике»45. Для настоящего обсуждения, однако, достаточно означенных трех. Из этих трех средних [пропорциональных] справедливо и совершенно верно употребление слова «пропорция» [только] в случае геометрической пропорции, потому что она целиком составлена из равных отношений. Тем не менее, будем называть и другие без разбора таким же словом «пропорция».
13. О непрерывных и разъединенных средних
(1) Пропорция бывает либо непрерывной, либо разъединенной46.
(2) Непрерывная — та, что мы обсуждали выше: одно и то же среднее число ставится и ниже большего числа, и выше меньшего.
(3) Когда же даны два средних, то такая пропорция называется разъединенной, как, например, в геометрической пропорции 1:2:3:6. Здесь, как 2 относится к 1, так 6 к 3; такая пропорция именуется разъединенной.
(4) Отсюда следует, что непрерывная пропорция обретается минимум в трех членах, а разъединенная — минимум в четырех. Непрерывная пропорция может быть выражена, конечно, в четырех и более членах, если, к примеру, она образуется так: 1:2:4:8:16. Но это будут уже не два отношения, а больше; отношений всегда на единицу меньше, чем членов, образующих пропорцию.
14. Почему вышеизложенные средние так называются
(1) 	Потому первое из них называется арифметическим, что разность между членами пропорции в числовом выражении одинакова. Второе называется геометрическим потому, что подобно качество отношения [членов пропорции]. Гармоническое же среднее получает свое название от того, что оно устроено таким образом, что равенство отношений наблюдается и в разностях, и в членах пропорции47. Впрочем, их мы подробно обсуждали в «Арифметике»48, а здесь приводим вкратце — только для напоминания.
15. Каким образом вышеназванные средние происходят от равенства
(1) А теперь следует кратко сказать, каким образом указанные пропорции производятся от равенства49.
(2) Прежде всего, скажем, что как в числе властвует единица, так в отношениях властвует равенство; и как единица есть основа числа, так и равенство — начало отношений.
(3) Арифметическое среднее рождается из равенства следующим образом. После того как даны три равных члена, эту [арифметическую] пропорцию

92
Institutio musica
portionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo secundo ac tertio. Quod hoc monstratur exemplo. Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus, id est unus, secundus primo ac secundo, id est .II., tertius primo secundo ac tertio, id est .III. eritque dispositio haec:
I
I
I
I
II
III
(4) 	Rursus sint .III. binarii in aequalitate constituti IL II. II. Ponatur primus primo aequus, id est .II., secundus primo et secundo, id est .1111., tertius primo secundo et tertio, id est .VI.; et erit dispositio haec:
II
II
II
II
IIII
VI
(5) 	Rursus idem de ternario:
III
III
III
III
VI
VIIII
(6) Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum intermittunt. Sin vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin vero ternarius, idem differentia est, inter numeros vero duo naturaliter constituti intermittuntur, ac deinceps ad
245 	hunc modum.
(7) Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituanturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo, duobus secundis et tertio. Ut si sint tres unitates. Sit primus primo ac secundo aequus, id est .II., secundus vero primo ac duobus secundis, id est .III., tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est .1111.
I
I
I
II
III
IIII
Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet. Inter binarium enim et unitatem atque inter ternarium ac binarium unitas interest. Nullus vero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter constitutus.

II, 15.3-7
Основы музыки
93
можно выводить двумя способами. [Первый способ такой.] Первый [производный член] делаем равным первому [исходному], второй [производный] — сумме первого и второго [исходных], третий — сумме первого, второго и третьего. Покажем на таком примере: даны три единицы; первый член делаем равным первому, то есть единице; второй — первому и второму, то есть двойке; третий — первому, второму и третьему, то есть тройке. Получается такая диспозиция [чисел]:
1
1
1
1
2
3
(4) 	Дальше, пусть даны три одинаковые двойки: 2 2 2. Первый [член] делаем равным первому, то есть 2, второй — сумме первого и второго, то есть 4, третий — сумме первого, второго и третьего, то есть 6. Получается такая диспозиция:
(5) 	Дальше то же самое делаем с тройкой:
(6) В этих [арифметических пропорциях] следует отметить, что если в качестве [меры] начального равенства была установлена единица, то единица будет и в разностях чисел; в промежутке между самими этими числами не находится ни одного числа. Если мера равенства — двойка, то разность составляет два, и всегда между членами находится одно промежуточное [натуральное] число. Если же тройка, то такая же и разность, а между числами [пропорции] находятся два промежуточных натуральных числа, и т.д.
(7) Есть и другой путь для выведения арифметической пропорции. Возьмем три равных члена; первый [производный] член делаем равным сумме первого и второго [исходных], второй [производный] — сумме первого и двух вторых [исходных], третий — сумме первого, двух вторых и третьего. Если даны три единицы, то первый член будет равен сумме первого и второго, то есть 2; второй же — сумме первого и двух вторых, то есть 3; третий — сумме первого, двух вторых и третьего, то есть 4:
1
1
1
2
3
4
Разность членов в полученной арифметической пропорции равна единице, ведь между двойкой и единицей и между тройкой и двойкой выпадает единица. Никакого натурального числа в промежутке между ними нет: после единицы сразу идет двойка, а после двойки — естественно тройка.

94
Institutio musica
(8) 	Idem rursus in binario fiat, sintque tres binarii et sit primus primo ac secundo aequus, id est quaternarius, secundus vero primo et duobus secundis, id est senarius, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est octonarius.
II
II
II
IIII
VI
VIII
Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter .1111. ас .VI. quinarius naturaliter, inter .VI. atque .VIII. septenarius collocatur.
(9) 	Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia uno minus semper numeris intermissis. Atque idem et in quaternario quinarioque perspicitur. Et quae nos propter brevitatem tacemus, isdem regulis ex semet ipso diligens lector inveniet.
246 (10) Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab
aequalitate possit ostendimus, quando, quemadmodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluat, monstrabamus. Nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est.
(11) Constitutis enim tribus aequis terminis ponatur primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis et tertio. Idemque fiat continue. Atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus perquam diligentissime in arithmeticis diximus. Quod si ad haec illis instructus lector accedet, nullo dubitationis errore turbabitur.
(12) Armonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, si quidem duplices curamus effingere tribus aequis terminis positis primus primo ac duobus secundis aequalis, secundus duobus primis et duobus secundis, tertius semel primo, bis secundo et ter tertio.
(13) Atque hoc modo sint unitates: I. I. I. Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternarius, secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est .1111., tertius vero primo, duobus secundis et tribus tertiis, id est .VI.
(14) Et si in binariis aequalitas constituatur vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subiectae descriptiones monent.
II
II
II
VI
VIII
XII
I
I
I
III
IIII
VI
III
III
III
VIIII
XII
XVIII

II, 15.8-14
Основы музыки
95
(8) 	То же дальше и в числе два. Пусть даны три двойки; первый член делаем равным сумме первого и второго, то есть 4, второй — первого и двух вторых, то есть 6, третий же — первого, двух вторых и третьего, то есть 8:
2
2
2
4
6
00
Здесь разность [членов] равна двойке, а в промежутке между ними выпадает одно натуральное число, ведь между числами 4 и 6 располагается натуральное число 5, а между 6 и 8 — число 7.
(9) Если начало равенства тройка, то разность [членов] составит 3, а [количество натуральных] чисел в промежутке всегда будет на единицу меньше. То же обнаруживается и в случае с четверкой и пятеркой. Каковы эти [пропорции], мы для краткости умолчим, и пусть внимательный читатель по тем же правилам найдет их сам.
(10) Мы показали [раньше], каким образом можно произвести от равенства и геометрическую пропорцию, когда демонстрировали, как любое неравенство вытекает из равенства50. А теперь кратко (чтоб не надоесть) надо это повторить.
(11) После того как даны три одинаковых члена, первое [производное] число сделаем равным первому [исходному], второе [производное] — сумме первого и второго [исходных], третье — сумме первого, двух вторых и третьего. В таком духе можно продолжать дальше. Так, и геометрическая пропорция берет свое начало в равенстве. Обо всех этих свойствах отношений мы чрезвычайно подробно рассказали в «Арифметике»51. Так что, если читатель ею вооружится, то не будет озабочен всякими сомнениями.
(12) Гармоническое среднее, о котором теперь нужно сказать немного пространнее, получается следующим способом. Если мы хотим произвести его для двойного отношения52, расположим три одинаковых члена так, что первый [производный член] будет равен первому и двум вторым [исходным], второй — двум первым и двум вторым, третий — опять же первому, двум вторым и трем третьим.
(13) Пусть даны [три] единицы: 111. Отсюда, первое [производное число], равное первому и двум вторым [исходным], дает 3; второе [производное], равное двум первым и двум вторым [исходным], дает 4; третье [производное], равное первому, двум вторым и трем третьим [исходным], дает 6.
(14) Если даны равные двойки или тройки, способ [выведения гармонического] среднего тот же, причем члены и разности [пропорции с основанием равенства 2] будут удвоенными [по отношению к пропорции с основанием равенства 1], как на приложенных схемах53:
2
2
2
6
8
12
3
3
3
9
12
18

96
Institutio musica
(15) 	Quodsi facienda est in extremitatibus tripla proportio tribus aequis terminis constitutis primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, 247 secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subiecta descriptio:
II
II
II
IIII
VI
XII
III
III
III
VI
VIIII
XVIII
I
I
I
II
III
VI
De armonica medietate et de ea uberior speculatio
XVI. 	(1) Sed ingressi armonicam disputationem, quae de ea diligentius dici possunt, tacite praetereunda esse non arbitror. Conlocetur igitur armonica proportionalitas inque ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differentiae disponantur.
differentiae
I
II
III
IIII
VI
termini
(2) Videsne igitur, ut .1111. ad .III. diatessaron consonantiam prodant; .VI. ad .1111. diapente concordent, .VI. vero ad .III. diapason misceant symphoniam ipsaeque earum differentiae rursus eandem statuant consonantiam? Binarius enim ad unitatem duplus est, in diapason consonantia constitutus.
(3) Quodsi se extremitates multiplicent itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim .VI. efficiunt .XVIII., quater .1111. fiunt .XVI. Sed .XVIII. numerus .XVI. minoris parte octava transcendit.
(4) Rursus minimus terminus, si se ipse multiplicet, efficiet .VIIII. Quod si maior terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet .XXXVI., qui sibimet comparati quadruplam, id est bis diapason concinentiam servant.
(5) Quod si haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis vel differen248 tiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus medio multiplicetur, fient igitur .XII. Item minimus terminus maximo multiplicetur, fient .XVIII. Medius vero terminus maximi numerositate augeatur, fient .XXIIII. Rursus minimus terminus se ipso concrescat, fient .VIIII.; eodemque modo medius, fient .XVI. Senarius vero, qui est maximus, si se ipse multiplicet, .XXXVI. reddet. Haec igitur in ordinem disponantur: XXXVI. XXIIII. XVIII. XVI. XII. VIIII.

И, 15.15 - 16.5
Основы музыки
97
(15) 	Если нужно найти [гармоническое среднее] для тройного отношения между крайними членами [пропорции], берем три равных члена, первый [производный] член делаем из суммы первого и второго [исходных], второй [производный] — из первого и двух вторых [исходных], а третий — из первого, двух вторых и трех третьих, как на прилагаемой схеме:
3
3
3
6
9
18
1
1
1
2
3
6
2
2
2
4
6
12
16. 	О гармоническом среднем (более полное его рассмотрение)
(1) Приступив к обсуждению гармонического среднего, я полагаю, мы не должны обойти молчанием и подробности о нем54. Представим же гармоническую пропорцию так, чтобы на схеме в верхнем ряду расположились разности членов [пропорции]:
разност
и
1
2
3
4
6
члены
(2) И вот, разве ты не видишь, что 4 к 3 издают консонанс кварты, 6 к 4 согласуются в квинту, а 6 к 3 слаженно звучат в октаву и, кроме того, их разности образуют тот же [октавный] консонанс? Ведь 2 к 1 — двойное число, которое соответствует консонансу октавы.
(3) Если перемножить крайние члены [пропорции], а также умножить само на себя среднее [число], то соотнесенные между собой числа будут заключать в себе отношение целого тона и гармонию55. Трижды шесть производят 18, четырежды четыре дают 16, а число 18 превосходит меньшее
(16) 	на осмину.
(4) Далее, наименьший член при умножении на самого себя даст 9. А если наибольший член умножить на самого себя, выйдет число 36. Если сопоставить эти числа, они будут заключать в себе четверное отношение, то есть благозвучие двойной октавы.
(5) Если мы рассмотрим гармоническую пропорцию внимательней, вся она предстанет перемножением разностей или членов друг с другом. Ведь если наименьший член умножить на средний, получится 12; если умножить тот же наименьший член на наибольший, выйдет 18; а если расширить средний член на величину наибольшего56, выйдет 24. Далее, если наименьший член умножить на самого себя, выйдет 9; так же и средний — выйдет 16. Число 6, наибольший член [пропорции], будучи умножено на само себя, даст 36. Расположим теперь эти числа по порядку: 36 24 18 16 12 9.

98
Institutio musica
(6) 	Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes .XXIIII. ad .XVIII. et .XII. ad .VIIII., diapente vero .XVIII. ad .XII. et .XXIIII. ad .XVI. et .XXXVI. ad .XXIIII., tripla autem, quae est diapason et diapente .XXXVI. ad .XII., quadrupla vero, quae est bis diapason .XXXVI. ad .VIIIL, epogdous vero, qui tonus est, .XVIII. ad .XVI. comparatione servatur.
Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates vicissim locentur
XVII. (1) Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc armonicam medietatem ponamus. De quibus in arithmeticis quoque diximus. Id tamen ipsum nunc etiam breviter explicemus.
(2) Si arithmetica medietas quaeritur, datorum terminorum videnda est differentia eaque dividenda ac minori termino adicienda. Sint enim .X. et .XL. altrinsecus termini constituti horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur. Differentiam prius utrorumque respicio, quae est .XXX. Hanc divido, fiunt .XV. Hanc minori termino, id est denario appono, fiunt .XXV. Si igitur hic inter .XL. ас .X. medius con-
249 locetur, fit arithmetica proportionalitas hoc modo: X. XXV. XL.
(3) Item inter eosdem terminos medietatem geometricam conlocemus. Extremos propria numerositate multiplico, ut .X. in .XL., fiunt .CCCC. Horum tetragonale latus adsumo, fiunt .XX. Vicies enim .XX. efficiunt .CCCC. Hos igitur .XX. medios inter .X. ac .XL. si conlocem, fit geometrica medietas subiecta descriptione formata: X. XX. XL.
(4) Si vero armonicam medietatem quaeramus, sibimet ipsis copulamus extremos, ut .X. et .XL.; fiunt .L. Eorum differentiam, quae est .XXX. in minorem terminum multiplicamus, scilicet in denarium, ut fiant decies .XXX. qui sunt .CCC. Hos secundum .L. partimur; fiunt .VI. Quos cum minori termino addiderimus, redduntur .XVI. Hunc igitur numerum si inter .X. ac .XL. medium conlocemus armonica proportionalitas expeditur: X. XVI. XL.
De consonantiarum merito vel modo secundum Nicomachum
XVIII. (1) Sed de his hactenus. Nunc illud videtur addendum, quemadmodum Pythagorici probent consonantias musicas in praedictis proportionibus inveniri. In qua re scilicet eis Ptolomaeus non videtur adsensus, de quo paulo posterius dicemus.
(2) 	Haec enim ponenda est maxime esse prima suavisque consonantia, cuius proprietatem sensus apertior conprehendit. Quale est enim unumquodque per semet ipsum, tale etiam deprehenditur sensu. Si igitur

II, 16.6 - 18.2
Основы музыки
99
(6) 	Здесь издают консонанс кварты числа 24 к 18 и 12 к 9, квинты — 18 к 12, 24 к 16, 36 к 24; тройное отношение (октава с квинтой) [содержится в числах] 36 к 12; четверное (двойная октава) [в числах] 36 к 9; сверхосминное же (целый тон) заключено в сопоставлении числа 18 с числом 16.
17. Каким образом вышеназванные средние, одно за другим, размещаются между двумя членами [отношения]
(1) Обычно задают два члена отношения, чтобы затем расположить между ними [по очереди] то арифметическое, то геометрическое, то гармоническое среднее. Хотя мы рассказали о них в «Арифметике»57, тем не менее, сейчас изложим еще раз это кратко.
(2) Если мы ищем арифметическое среднее, надо взять разность заданных членов отношения, поделить ее [на два] и [результат деления] добавить к меньшему члену. Пусть даны крайние члены отношения 10 и 40; следует найти их среднее в арифметической пропорции. Сначала вычислим их разность (30); делим ее [на 2], выйдет 15; прибавим полученное число к меньшему члену (10), выйдет 25. Если полученное среднее разместить между числами 40 и 10, выйдет арифметическая пропорция, следующим образом — 10:25:40.
(3) Теперь между членами того же отношения разместим геометрическое среднее. Умножим крайние члены на величину их собственного значения, то есть 10x40, выйдет 400. Из него извлечем сторону квадрата58; выйдет 20 (ибо 20x20 дает 400). Если полученное среднее число 20 мы разместим между 10 и 40, выйдет геометрическое среднее, как показано на нижеследующей схеме — 10:20:40.
(4) Если же мы ищем гармоническое среднее, то [сначала] складываем крайние члены 10 и 40, выходит 50. Их разность, то есть 30, умножаем на величину меньшего члена, а именно 10, то есть 10x30, выходит 300. Полученное число делим на 50; выходит 6. Если добавим 6 к меньшему члену, получится 16. Теперь, если полученное число мы разместим в середине между 10 и 40, обнаружится гармоническая пропорция — 10:16:40.
18. О достоинстве и размерах консонансов (по Никомаху)
(1) Но хватит о пропорциях. Теперь нужно, пожалуй, добавить, как пифагорейцы обосновывают то, что музыкальные консонансы находятся [только] в вышеназванных отношениях. В этом именно вопросе Птолемей, очевидно, с ними не согласен, о чем мы расскажем несколько позже59.
(2) Самым первым и наиболее приятным консонансом должен считаться тот, к восприятию которого [наше] чувство более всего расположено. Ведь какова всякая вещь сама по себе, так ее и улавливает чувство60. Следовательно, если

100
Institutio musica
cunctis notior est ea consonantia, quae in duplicitate consistit, non est dubium, primam esse omnium diapason consonantiam meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat.
(3) Reliquae vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem 250 tenent, quem dederint multiplicitatis augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta. Monstratum quippe est, quod multiplex inaequalitas superparticulares proportiones meriti antiquitate transcendat.
(4) Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quaternarium disponatur: I. IL III. IIII. Igitur uni binarius comparatus proportionem duplicem facit et reddit diapason consonantiam eam, quae est maxima et simplicitate notissima. Si vero unitati ternarius comparetur, diapason ac diapente concordiam personabit. Quaternarius vero unitati comparatus quadruplam tenet bis scilicet diapason efficiens symphoniam. Quod si ternarius binario comparetur, diapente, si vero quaternarius ternario, diatessaron concinentiam supplet. Isque est horum ordo cunctis ad se invicem comparatis. Namque comparatio restat. Si quaternarium binario comparemus, cadet in duplicem proportionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus.
(5) Itaque maxime distant soni in bis diapason, cum a se quadrupla intervalli demensione discedunt. Minimum vero inter se esse consonantes videntur soni, cum acutior graviorem tertia gravioris parte transcendit. Ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque intra partem tertiam coartari. Et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapente, quinta diatessaron.
De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi
XVIIII. (1) Sed Eubulides atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt. Aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis deminutione rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum praeter dimidium, nec triplum praeter tertiam partem. Quoniam 251 igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrariam divisionem sesqualteram, id est diapente, effici proportionem. Quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam. Sed rursus triplici partem tertiam contraria divisione partiri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem vero atque sesquitertium iunctos quadruplam comparationem proportionis efficere. Unde fit, ut ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una

II, 18.2 - 19.1
Основы музыки
101
лучше всех познаваем тот консонанс, который заключается в двойном числе, то несомненно, что консонанс октавы — первый из всех и заслуженно превосходит все остальные, ибо в постижении он предшествует им61.
(3) Остальные же консонансы согласно пифагорейцам с необходимостью упорядочены таким образом, что кратные отношения [в этом ряду] увеличиваются, а сверхчастичные уменьшаются62 (ведь было показано, что кратное неравенство превосходит старшинством своего значения сверхчастичные отношения)63.
(4) Итак, расположим натуральные числа от единицы до четверки [в следующем ряду]: 12 3 4. Число 2, соотнесенное с 1, производит двойное отношение и издает консонанс октавы, наибольший и лучше всех познаваемый [слухом] благодаря своей простоте. Если соотнести с 1 число 3, выйдет благозвучие октавы с квинтой. Соотнесение с 1 числа 4 даст консонанс двойной октавы. Если же соотнести числа 3 и 2, добавится благозвучие квинты, а если числа 4 и 3, то кварты. Таков их порядок, вытекающий из соотнесения всех их между собой. Осталось [рассмотреть последнее] сопоставление: если мы сопоставим 4 и 2, выйдет двойное отношение, [то же,] что было при сопоставлении 2 и 1.
(5) Итак, на максимальном расстоянии друг от друга находятся звуки в двойной октаве, потому что отстоят друг от друга на величину четверного интервала. На минимальном же расстоянии друг от друга, очевидно, консонируют звуки тогда, когда более высокий превосходит более низкий на его (более низкого) треть64. Отсюда выводится размер благозвучий — он не может быть шире четверного [числа] и уже одной трети.
(6) Таким образом, по Никомаху порядок консонансов таков: первый — октава, второй — октава с квинтой, третий — двойная октава, четвертый — квинта, пятый — кварта65.
19. 	Мнение Евбулида и Гиппаса о порядке консонансов66
(1) А Евбулид и Гиппас устанавливают другой порядок консонансов. Они говорят, что ряд возрастающих кратных величин закономерно соответствует ряду уменьшающихся сверхчастичных величин; двойного [отношения], дескать, не может быть без половины, а тройного без одной трети67. Раз есть двойное число, то из него, [говорят они,] возникает октавный консонанс, а раз есть половина, то из нее как бы «обратным делением»68 возникает полуторное отношение, то есть отношение квинты. Их, то есть октавы и квинты, сложением получается тройное число, содержащее оба этих консонанса. А дальше, после того как обратным делением из тройного извлекается треть, из нее, в свою очередь, возникает консонанс кварты. Соединяя тройное со сверхтретным, они получают отношение в четверном сопоставлении чисел69. Так, из сочетания октавы с квинтой (понимаемого как

102
Institutio musica
concinentia coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit.
(2) Secundum hos quoque hic ordo est: diapason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason.
Sententia Nicomachi, quae quibus consonantiis opponantur
XX. 	(1) Sed Nicomachus non eandem esse eis arbitratur contrariam positionem, sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat deminutionisque principium, ita etiam diapason symphoniam reliquarum esse principium, illas vero sibi in contraria divisione posse constitui. Id vero facilius erit cognitu, si prius pervideatur in numeris.
(2) 	Constituatur igitur unitas, duaeque ab ea partes fluant, una multiplicis alia divisionis, sitque haec formula:
I
252 	Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim unitatis duplus est; contraria vero eius pars eiusdem dimidium unitatis ostendit; tres triplus et contraria pars tertia; quattuor quadruplus parsque contraria quarta; atque ita crescendi et decrescendi in simplici est unitate principium.
(3) Idem igitur nunc ad consonantias convertamus. Erit igitur diapason quidem, quae dupla est, supremi loco principii, quae vero reliquae sunt, in contraria divisione hoc modo: sesqualter quidem triplo, sesquitertius vero quadruplo; quod tali argumentatione probabitur.
(4) Idem enim primus est sesqualter, qui primus triplus, scilicet principalis unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, si unitati, idem primus sesqualter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius eius differentiae, quam ad binarium facit, cuius naturaliter positus probatur esse sesqualter, triplus est. Cum igitur iure sesqualter triplici opponatur, diapente consonantia diapente ac diapason consonantiae rationabiliter putatur opponi.

И, 19.1 - 20.4
Основы музыки
103
один консонанс) и кварты выходит [еще] одно благозвучие, которое, будучи в четверном числе, получает наименование двойной октавы.
(2) 	Итак, согласно этим [исследователям], порядок [консонансов] таков: октава, квинта, октава с квинтой, кварта, двойная октава70.
20. 	Мнение Никомаха о том, какие консонансы каким противопоставляются71
(1) Никомах не придерживается такого же [как у Евбулида и Гиппаса] противоположения консонансов. По его мнению, как единица в арифметике есть начало увеличения и уменьшения [чисел], так и в [музыке] пусть октава будет началом других консонансов, которые устанавливаются методом обратного деления. Понять это легче, если начать с [противопоставления] чисел.
(2) Пусть [наверху] будет единица, и в обе стороны от нее расходятся ветви;
одна ветвь — в сторону умножения, другая — в сторону деления, по такой схеме: л
И в таком роде прогрессия [продолжится] до бесконечности. Двойка — это удвоенная единица; противоположная ей [двойке] часть показывает половину той же единицы. Тройка — утроенная, и противоположная ей [тройке] одна треть. Четверка — четверная, и противоположная ей [четверке] одна четверть. Таким образом, основание для [дальнейшего] увеличения и уменьшения [чисел] находится в простой единице.
(3) А теперь то же переведем в консонансы. Октава (она же двойное число) будет занимать место верховного основания, остальные же [числа и консонансы расположатся] обратным делением так: полуторное число [напротив] тройного, сверхтретное [напротив] четверного, что доказуемо следующими умозаключениями.
(4) Число [три] для первого полуторного числа — то же, что первое тройное число (то есть утроение базовой единицы). Ведь одна и та же тройка дает первое тройное число (в сравнении с единицой) и первое полуторное (в сравнении с двойкой). Далее, та же тройка — утроенная разность между ней самой и двойкой (с которой, как было доказано, в ряду натуральных чисел она дает полуторное число). Поскольку, следовательно, полуторное число справедливо противопоставляется тройному, консонанс квинты обоснованно противопоставляется консонансу октавы с квинтой.

104
Institutio musica
(5) Rursus quadruplus sesquitertii contrariam divisionem tenet. Nam qui est primus quadruplus idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus, si unitati, primus sesquitertius, si ternario comparetur. Rursus eius differentiae, quam inter se ac ternarium tenet, ipse fit quadruplus. Unde fit, ut sesquitertia proportio, quae est diatessaron, quadruplae proportioni, quae est bis diapason, in contrarium dividatur.
(6) Dupla vero quoniam nullam habet oppositam proportionem nec ullius ipsa sesqualtera est, aut exstat numerus, cui possit binarius, qui primus est duplus, superparticulari proportione coniungi, talem formam contrariae proportionis excedit.
253 (7) Atque idcirco secundum Nicomachum diapason consonantiarum
principium teneat hoc modo:
Sed quamvis ita sese habeat, inquit, melius tamen omnes multiplices proportiones consonantiarum praecedere, superparticularitates sequi, sicut paulo ante descripsimus.
(8) 	Cum igitur sit consonantia duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulatae vocis casus una intentione productus, sitque idem minima particula modulationis, (9) omnis vero sonus constet in pulsu, pulsus vero omnis ex motu sit cumque motuum alii sint aequales, alii vero inaequales, inaequalium vero alii sint multo inaequales, alii vero minus, alii vero mediocriter inaequales: ex aequalitate quidem nascitur sonorum aequalitas, ex inaequalitate vero ea, qua secundum mediocritatem distantiae inaequales sunt, manifestae primaeque ac simpliciores eveniunt proportiones, quae sunt scilicet multiplicis ac superparticularis, dupli, tripli, quadrupli, sesqualteri atque sesquitertii consonantiae.
(10) 	Ex his vero quae in reliquis proportionibus vel multimodis vel non ita claris vel longe omnino a se distantibus inaequalitates fiunt, dissonantiae existunt, nulla autem sonorum concordia procreatur.

II, 20.5-10
Основы музыки
105
(5) Далее, четверное число согласовано со сверхтретным обратным делением. Ибо каково первое четверное число, таково и первое сверхтретное, следующим образом. Четверка — такое же первое четверное число в сравнении с единицей, как и сверхтретное в сравнении с тройкой. Четверка по отношению к разности между ней и тройкой сама дает четверное число. Отсюда следует, что сверхтретное отношение, то есть кварта, делится в обратную сторону от четверного отношения, то есть двойной октавы.
(6) Двойное число, поскольку никакое отношение ему не противопоставляется, и поскольку само оно не является полуторным к какому-либо другому, и нет числа, к которому можно привязать двойку (первое двойное отношение) в сверхчастичном отношении, постольку оно выпадает из описываемой теории обратного отношения [консонансов].
(7) Итак, согласно Никомаху, октава образует основание для [всех других] консонансов следующим образом:
октава
И хотя [в целом] дело обстоит именно так [как на схеме], говорит он, лучшими все же являются все кратные отношения консонансов72, которые, как мы установили чуть раньше73, имеют преимущественное значение, а сверхчастичные отношения следуют [за ними].
(8) Итак, консонанс — это надлежащее слияние двух [разновысотных] звуков74, а звук — это попадание мелосоразмерного голоса на одну высоту, и он же — мельчайший отдел мелодии75.
(9) Всякий же звук — от сотрясения, а всякое сотрясение — от движения. Одни движения равные, а другие неравные; из неравных одни более, другие менее, а третьи умеренно неравные. Из равенства движений рождаются равные [по высоте] звуки, а из неравенства (такого, где степень различия неравных движений умеренная), возникают легко распознаваемые, первые и более простые числовые отношения — для консонансов, которые относятся к кратному и сверхчастичному родам, а именно двойные, тройные, четверные, полуторные и сверхтретные.
(10) Из тех [чисел], которые случаются в других отношениях, или и так и эдак76, или в не столь однозначных, или в родах неравенства, когда звуки находятся на очень большом расстоянии друг от друга, возникают диссонансы. Никакого согласия в звуках при этом не выходит77.

106
Institutio musica
Quid oporteat praemitti ut diapason in multiplici genere demonstretur
XXL (1) Hoc igitur ita distincto demonstrabitur diapason consonantia, quae cunctarum optima est, in multiplici inaequalitatis genere et in du-
254 plicitatis habitudine repperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum, quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci.
(2) Praecurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat.
(3) Ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem, quae est scilicet minor, id quod relinquitur minus est eius medietate, quae detracta est, proportionis.
(4) Ut in sesqualtera ac sesquitertia. Quoniam sesqualtera maior est, sesquitertiam de sesqualtera detrahamus; relinquitur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem, sed ea distantia minor est, quae in semitonio repperitur. Quodsi duplicata sesquioctava comparatio non est integra sesquitertia, simplex sesquioctava non est sesquitertiae proportionis plena medietas.
(5) Quodsi sesquiquartum sesquitertio auferas, id, quod relinquitur, medietatem sesquiquarti non efficit. Idemque in ceteris.
Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse
XXII. (1) Age nunc ad diapason consonantiam redeamus. Quod si ea non est in multiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinquitur diatessaron. Bis igitur diatessaron minus est uno diapente et ipsum diatessaron non inplet diapente consonantiae medietatem, quod est inpossibile. Monstrabitur enim bis diatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca ne diapason quidem in superparticulari inaequalitatis genere poni potest.
255 Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in superparticulari esse
XXIII. (1) Restat igitur, ut diapente ac diatessaron et tonum in superparticularitate ponenda esse monstremus. Nam etsi id in prima quoque probatione ea, qua diapason in superparticulari genere non esse ponendam monstravimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit, singillatim tamen de eo ac diligentius pertractemus.

И, 21 - 23.1
Основы музыки
107
21. Необходимые предварительные соображения для доказательства того, что октава существует в кратном роде [неравенства]
(1) Разобрав эту [классификацию консонансов], докажем теперь, что консонанс октавы, который лучше всех [других консонансов], возникает в кратном роде неравенства и в двойном числовом отношении. Для начала же следует доказать, что консонанс октавы возможен [только] в кратном роде.
(2) Предварительно следует вкратце затронуть одну [важную теорему], осознав которую читатель легче поймет [последующее] доказательство78.
(3) Если из любого сверхчастичного отношения вычесть непрерывное сверхчастичное, а именно меньшее, отношение, то остаток будет меньше половины уменьшаемого отношения79.
(4) Возьмем для примера полуторное и сверхтретное отношения. Поскольку полуторное отношение больше, вычтем из полуторного сверхтретное. В остатке получается сверхосминное отношение, удвоение которого не производит целого сверхтретного отношения, но [результат] меньше его на величину полутона80. А раз удвоенное сверхосминное отношение не является целым сверхтретным, то и само по себе сверхосминное отношение не является точной половиной сверхтретного отношения.
(5) Если вычесть из сверхтретного отношения сверхчетвертное, то остаток не будет половиной сверхчетвертного, и так далее.
22. Октава существует в кратном роде. Доказательство от противного
(1) 	Ну а теперь вернемся к консонансу октавы. Если он существует не в кратном роде неравенства, то он попадет в сверхчастичный род неравенства81. Предположим, что консонанс октавы — сверхчастичное отношение. Если вычесть из него [меньший] непрерывный консонанс, то есть квинту, в остатке будет кварта82. Тогда выходит, что удвоенная кварта меньше одной квинты, а кварта как таковая не составляет половины консонанса квинты, что невозможно. Ибо, как будет доказано, удвоенная кварта превосходит квинту на тон с полутоном83. Следовательно, октаву нельзя расположить в сверхчастичном роде неравенства.
23. Доказательство того, что квинта, кварта и тон существуют в сверхчастичном роде
(1) 	Осталось показать, что квинта, кварта и целый тон должны располагаться в сверхчастичном роде неравенства. Хотя эта проблема достаточно основательно была рассмотрена уже в первом доказательстве, когда мы показывали, что октава не должна располагаться в сверхчастичном роде, исследуем ее все же [еще раз] отдельно и более тщательно.

108
Institutio musica
(2) Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebitur conlocandas. Nam in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, superius ut arbitror explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici genere.
(3) Et quoniam diatessaron consonantia minor est, diapente maior, diatessaron duplici diapente vero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile enim est, ut est consonantia diatessaron consonantiae diapente continua, ita si diatessaron in duplici statuatur, diapente in continua duplicis poni, id est triplici.
(4) Tonus autem, quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, quae est minor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri. Restat igitur, ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni proportio. Nam si duplicem auferamus triplici, quod relinquitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex est, diapente vero triplum sublatoque diatessaron a diapente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesqualtera debeat proportione constitui.
(5) Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconve-
256 	niens. Diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest, ut diapente ac diatessaron in superparticulari inaequalitatis genere non conlocentur.
(6) Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor quam diatessaron, diatessaron vero minus est quam diapente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono, quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit.
(7) Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus triplum a quadruplo sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores, tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supplebunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent.

II, 23.2-7
Основы музыки
109
(2) Если кто-нибудь скажет, что эти отношения нельзя расположить в сверхчастичном [роде неравенства], он должен будет признать, что они размещаются в кратном роде. Почему они не могут быть расположены в сверхчастном и других — смешанных — [родах], я думаю, ясно из предыдущего объяснения. Таким образом, пусть они располагаются (раз уж на то пошло) в кратном роде.
(3) Поскольку кварта меньший консонанс, а квинта больший, пусть тогда кварта соответствует двойному отношению, а квинта тройному; ведь выглядит правдоподобно, когда консонанс кварты непрерывно следует за консонансом квинты, и если уж утверждается, что кварта пребывает в двойном отношении, то квинта должна располагаться в отношении, непрерывно следующем за двойным, то есть в тройном84.
(4) Тон же, поскольку в [упомянутых] музыкальных интервалах он размещается после кварты, должен быть расположен, разумеется, в меньшем, чем двойное, отношении85. Такого [отношения], однако, в кратном роде [неравенства] найти невозможно86. Остается предположить, что он выпадает в сверхчастичном соотношении. Отношением тона будет первое [сверхчастичное отношение], то есть полуторное, ибо если вычесть двойное из тройного, в остатке как раз и будет полуторное87. Итак, если кварта — двойное отношение, а квинта — тройное, и при вычитании кварты из квинты в остатке получается тон, то совершенно несомненно, что тон должен размещаться в полуторном отношении.
(5) Но два полуторных отношения [в сумме] превосходят двойное, о чем знает любой [читатель], обученный арифметике88. Следовательно, два тона превзойдут кварту неподобающим образом — ведь кварта превосходит два тона на интервал полутона. Следовательно, не может быть, чтобы квинта и кварта не размещались в сверхчастичном роде неравенства.
(6) А что если кто-то заявит, что тон находится в кратном роде [неравенства], и поскольку тон меньше кварты, а кварта меньше квинты, то квинта располагается в четверном, кварта в тройном, а тон в двойном отношении? Но квинта состоит из кварты и тона, и при такой аргументации получится, что четверное отношение состоит из [суммы] тройного и двойного отношений, чего не может быть.
(7) Далее, рассмотрим утверждение, что кварта находится в тройном и квинта в четверном отношении. Следовательно, если мы вычтем тройное из четверного, в остатке будет сверхтретное отношение [и] далее, если вычесть кварту из консонанса квинты, в остатке получится тон. При такой аргументации, следовательно, тон будет состоять в сверхтретном отношении. Но три сверхтретных числа меньше одного тройного и, значит, три тона никоим образом не заполнят одну кварту. Это утверждение в высшей степени ложно, ведь два тона и малый полутон заполняют консонанс кварты.

110
Institutio musica
(8) Ex his igitur demonstratur diatessaron consonantiam non esse multiplicem.
(9) Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo statuatur, quoniam est ei minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in multiplici minimo, id est in duplici, scilicet ut sit locus, quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est, quocirca nec diapente in maiore habitudine multiplicis quam est dupla, quae minima est, aptari potest. Sit igitur diapente in minima, scilicet dupla. Diatessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest — non est enim quicquam minus a duplici — sit igitur sesqualtera, tonus
257 	vero sesquitertia; in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesqualtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget.
(10) Ex his igitur approbatur, diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse. Quocirca in superparticulari inaequalitatis genere iure ponentur.
Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse
XXIIIL (1) Illud quoque addendum est necessario, quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularibus proportionibus collocantur. Sunt autem maximae sesqualtera et sesquitertia. Hoc vero approbatur hoc modo.
(2) 	Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentur, non est dubium, quin, sicut aliae quaelibet proportiones superparticulares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludent.
Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesqualtero sesquitertioque componitur, diapason vero ex diatessaron ac diapente copulatur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuamus, diapente et diatessaron in sesqualtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason iunctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint, sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares hanc nulla ratione coniungent.

И, 23.8 - 24
Основы музыки
111
(8) Итак, доказано, что консонанс кварты не состоит в кратном [роде неравенства].
(9) Более того, я утверждаю, что и консонанс квинты не может быть расположен в кратном роде. Будь квинта в нем, то, поскольку непосредственно примыкающий к ней [интервал] кварты меньше, квинта не разместилась бы в наименьшем кратном отношении, то есть двойном — ведь это было бы место, в котором устроился бы консонанс кварты. Но консонанс кварты не относится к кратному роду [неравенства], поэтому и квинта не может устроиться в большем, чем в двойном (наименьшем [кратном]) отношении. Значит, пусть квинта находится в наименьшем (двойном) отношении. Кварта же, которая меньше квинты, не может устроиться в кратном отношении — нет такого [кратного], которое было бы меньше двойного. Пусть она тогда будет в полуторном отношении, а тон в сверхтретном; ведь он [с квартой] разместится в непрерывной пропорции89. Но два сверхтретных [числа] шире одного полуторного; следовательно, два тона превзойдут консонанс кварты, чего никоим образом случиться не может.
(10) Таким образом, доказано, что квинта и кварта не могут разместиться в кратном роде [неравенства]. Вот почему они по праву располагаются в сверхчастичном роде неравенства.
24. 	Доказательство того, что квинта и кварта пребывают в наибольших сверхчастичных отношениях
(1) Необходимо еще добавить, что раз уж квинта и кварта содержат в себе сверхчастичные отношения, то они размещаются в наибольших сверхчастичных отношениях. Наибольшие [такие отношения] — полуторное и сверхтретное. Доказывается это так.
(2) Если бы консонансы квинты и кварты размещались в меньших отношениях, чем полуторное и сверхтретное, то несомненно (поскольку любые другие отношения, кроме полуторного и сверхтретного, при соединении не производят одного двойного) квинта и кварта, [соединившись], никоим образом не заключали бы в себе октаву.
(3) Поскольку, как было показано, октава состоит в двойном отношении, а двойное отношение складывается из полуторного и сверхтретного, октава же образуется из сочетания кварты и квинты, то несомненно, что (раз мы установили всю октаву в двойном отношении) квинта и кварта должны быть расположены [соответственно] в полуторном и сверхтретном отношениях. А иначе эти [консонансы], соединившись, не смогли бы произвести октаву (консонанс, состоящий в двойном отношении), если бы не находились в указанных двух отношениях, а именно полуторном и сверхтретном. Ведь другие сверхчастичные отношения никоим образом в двойное отношение объединиться не могут.

112
Institutio musica
258 Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia esse, tonum in sesquioctava
XXV. (1) Dico autem, quoniam proprie diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones, sesqualteram scilicet et sesquitertiam, sesqualtera maior est et sesquitertia minor, quoniamque in consonantiis diapente maior, diatessaron minor, apparet maiorem proportionem maiori, minorem vero minori esse consonantiae aptandum. Erit igitur diapente quidem in sesqualtera, diatessaron vero in proportione sesquitertia collocanda.
(2) 	Quod si diatessaron a diapente consonantia subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesqualterae minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit, ut tonus in sesquioctava debeat comparatione constitui.
Diapason ac diapente in tripla proportione esse, in quadrupla bis diapason
XXVI. (1) Sed quoniam demonstratum est, diapason quidem duplam, diapente vero sesqualteram, iunctas vero duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam illud apparet, diapente ac diapason in triplici proportione constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iungat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimus.
259 Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythagoricos consonantias
XXVII. (1) Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quasdam consonantias effecerunt. Nam diapente ac diatessaron iunctae diapason, ut dictum est, creant. Huic vero, id est diapason, rursus si diapente symphonia iungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet.
(2) 	Quid igitur, si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem vel superparticularitatis simplicitatem. Age enim, statuantur numeri, quibus id facilius approbemus.

II, 25 - 27.2
Основы музыки
113
25. Квинта состоит в полуторном отношении, кварта в сверхтретном, а тон в сверхосминном
(1) Я утверждаю, что квинта действительно состоит в полуторном, а кварта в сверхтретном отношении. Поскольку из двух отношений — полуторного и сверхтретного — полуторное больше, а сверхтретное меньше, и поскольку как консонанс квинта больше, а кварта меньше90, то очевидно, что отношение побольше должно соответствовать большему консонансу, а поменьше — меньшему. Поэтому [больший консонанс] квинты будет расположен в полуторном, а [меньший консонанс] кварты в сверхтретном отношении.
(2) Если мы вычтем квартовый консонанс из квинтового, останется интервал, который называется тоном. А если вычтем сверхтретное отношение из полуторного, в остатке будет сверхосминное отношение. Из этого следует, что тон должен быть в сверхосминном отношении.
26. Интервал октавы с квинтой состоит в тройном отношении, а двойной октавы — в четверном
(1) Как доказано, октава производит двойное отношение, квинта полуторное, а соединение двойного и полуторного — тройное. Из этого также становится ясно, что квинта с октавой находится в тройном отношении. А если мы соединим тройное отношение со сверхтретным отношением, то сделаем четверное отношение. Итак, если к консонансу октавы с квинтой прибавляется квартовый консонанс, выходит четверной высотный интервал91, который, как мы объясняли выше, [называется] двойной октавой.
27. Кварта с октавой согласно пифагорейцам — не консонанс92
(1) Внимательный читатель заметил, что одни консонансы, сложенные с другими, дают некоторые третьи консонансы. Как было сказано, соединение квинты и кварты дает октаву. Теперь, если с ней (то есть с октавой) соединяется консонанс квинты, возникает консонанс, название которого образуется из обоих слов, а именно октава с квинтой. Если к последней прибавляется кварта, получается двойная октава, которая находится в четверном отношении.
(2) И теперь, если мы соединим консонансы кварты и октавы, разве они не произведует консонанс? Согласно пифагорейцам, ни в коей мере. Раз [октава с квартой] попадает в род сверхчастного неравенства, то она не отвечает требованию порядка, присущего кратному роду, и простоты, свойственной для сверхчастичного рода. Но пора действовать: возьмем числа, с помощью которых мы это легко докажем.

114
Institutio musica
(3) Sit enim ternarius, cuius sit senarius duplus, scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet. Qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis, sed, ne sit multiplex, habet etiam eius aliquas partes neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimumque locavimus. Sint igitur termini hi III, VI. VIII.
(4) Illud quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim
260 diapason ac diapente sibimet iunctae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente consonantiam iungunt, si diapason consonantiae addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intellegi. Quod si ei adicio tonum, fiet diapason diatessaron et tonus, quod nihil distabit, utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem .III. et .VI., diatessaron .VI. et .VIII. tonus .VIII. et .VIIII. diapente .VI. et .VIIII. diapason ac diapente .III. ad .VIIII. Erit igitur sic tripla proportio: III. VI. VIII. VIIII.
(5) Sed quamquam de his multa Nicomachus, nos tamen, qua potuimus brevitate partim ea ipsa, quae Pythagorici affirmant, promentes, partim ex isdem quaedam consequentia argumentantes probavimus, si diatessaron consonantiae diapason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse. Quid vero de his sentiat Ptolomaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis considerandum est.
De semitonio, in quibus minimis numeris constet
XXVIII. 	(1) Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri toni, huiusque spatii, quod nunc quidem semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis vocabatur, hic modus est.
(2) Cum enim ex sesquitertia proportione, quae diatessaron est, duae sesquioctavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut dictum est, in sesquioctava proportione consistunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas ad-
261 hibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint,
4 quod si ei adicio tonum] quod si ei adicio tonumt Fr.
4 diatessaron enim et tonus] diatessaron enim e, tonus Fr.

II, 27.3 - 28.2
Основы музыки
115
(3) Пусть дано число 3, для которого 6 будет удвоением, то есть в отношении, соответствующем октаве. К этой [шестерке] в сверхтретном отношении (что есть, как мы сказали раньше, кварта) пристроим число 8. Итак, [8] к 6 дает отношение кварты. Число восемь, сопоставленное с числом три, содержит его дважды, но, не будучи кратным [тройке], содержит также несколько его частей, и эти части не простые93. Восьмерка превосходит шестерку на две единицы, две трети тройки, которую мы установили в качестве первого и наименьшего члена. Получаются такие члены: 3:6:8.
(4) Итак, [кварта с октавой] оказывается между двумя идущими подряд консонансами. Это и не чистое двойное отношение (которое издает консонанс октавы) и не тройное (которое производит консонанс октавы с квинтой). Если бы к кварте с октавой добавился тон, то она сразу бы произвела тройной вид отношения. Ведь октава в соединении с квинтой производит тройное отношение, а кварта с тоном — консонанс квинты. Если же к октавному консонансу добавляется кварта, получается неблагозвучие, поскольку между двойным и тройным отношениями немыслимо естественным образом никакое кратное отношение94. Но если мы присоединим к кварте с октавой [целый] тон, выйдет [ряд интервалов:] октава-кварта-тон, то есть не что иное, как октава с квинтой. Ведь кварта и тон дают квинту. [В числах это выглядит так:] октава 3:6, кварта 6:8, тон 8:9; отсюда тройное отношение раскладывается так: 3:6:8:9.
(5) Никомах об этом [рассуждает] много95; мы же постарались по возможности кратко, частично привлекая утверждения пифагорейцев и частично используя [свои] аргументы, вытекающие из этих [утверждений], доказать, что при добавлении кварты к консонансу октавы [новый] консонанс возникнуть не может. А что по этому поводу говорит Птолемей, я добавлю позже96. Но хватит об этом. Теперь надо рассмотреть полутоны.
28. 	В каких наименьших числах состоит полутон
(1) Очевидно, что полутоны названы так не потому, что они — истинные половины тонов, а потому, что они — не целые тоны. Интервал, который мы ныне называем словом полутон, у древних назывался лиммой или диесой97. Он получается так.
(2) Когда из сверхтретного отношения (кварты) вычитаются два сверхосминных отношения (два тона), остается интервал, называемый полутоном98. Отыщем описанные два тона в слитном расположении99. Как было сказано, они состоят в сверхосминном отношении, а два подряд сверхосминных отношения мы посчитать не можем, если не найдем множитель, от которого их можно произвести100. Возьмем простую единицу и ее же первую восьмикратную величину, то есть 8. Отсюда мы сможем извлечь первую сверх-

116
Institutio musica
repperiatur, sit unitas prima eiusque octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare. Sed quia duos quaerimus, fiant octies octo atque ex eo .LXIIII. explicentur. Erit igitur hic secundus octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere.
(3) Namque octo, quae est octava pars .LXIIII. unitatum, eisdem additi totam summam .LXXII. perficiunt. His vero si sua octava similiter apponatur, qui est novenarius, .LXXXI. reddunt. Eruntque duo hi toni continui principali dispositione conscripti: LXIIII. LXXII. LXXXI.
(4) Nunc igitur .LXIIII. unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam .LXIIII. probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit et omnes in eadem proportione durabunt, qua fuerunt, antequam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter .LXIIII., id est .CXCII. Horum tertia .LXIIII. eisdem addita .CCLVI. reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio, diatessaron consonantiam tenens.
(5) Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad .CXCII., duobus se numeris continentes, rato ordine collocemus. Fiant igitur ter .LXXII., id est .CCXVL; rursus ter .LXXXI., qui sunt .CCXLIII. Qui inter duos suprascriptos terminos collocentur hoc modo: CXCII. CCXVL CCXLIII. CCLVI. In hac igitur dispositione proportionum primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad tertium geminos continuant tonos. Constat igitur spatium, quod relinquitur, ex .CCXLIII. ad .CCLVI., in quibus minimis semitonii forma consistit.
Demonstrationes non esse .CCXLIII. ad .CCLVI. toni medietatem
XXVIIII. (1) Approbo igitur .CCXLIII. ad .CCLVI. distantiam non esse integram toni medii demensionem. Etenim ducentorum .XL. trium et ducentorum .LVI. differentia .XIII. tantum unitatibus continetur, quae .XIII. minus quidem quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies .XIII. ducas, efficies .CCXXXIIII., qui .CCXLIII. nullo modo aequabunt, si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari, quod posterius demonstrabitur.
(2) 	Nunc illud liquebit, talem semitonii distantiam sibimet geminatam unum toni spatium non posse conplere. Age enim, ut sese .CCLVI. ad .CCXLIII. habent, tales duas sibimet continuas proportiones secundum superius descriptam regulam disponamus. .CC. enim et .L. et .VI. in semet ipsos multiplicemus et sit maximus terminus LXV.DXXXVI. Item .CCXLIII. propria numerositate concrescant et sit minimus terminus LXÏÏÏÏ.XLVIIII. Rursus .CCLVI. ad .CCXLIII. multitudine concrescant.
1 quae .XIII. minus ] qui .XIII. minus Fr.

II, 28.2 - 29.2
Основы музыки
117
осмину. Но поскольку мы ищем две [сверхосмины], 8 надо умножить на 8 и получить 64, второе восьмикратное число, из которого мы [уже] можем вывести два сверхосминных отношения.
(3) Восьмерка, то есть осмина от 64, при добавлении к этому [числу] 64 дает в сумме 72. [Выходит отношение первого тона]. Если подобным образом к 72 добавить его осмину (число 9), выйдет 81. Два слитных тона в основной форме101 могут быть записаны так: 64:72:81.
(4) Теперь отыщем сверхтретное отношение от 64. Но поскольку, как выясняется, треть от 64 не существует, все упомянутые числа, будучи умножены на 3, тотчас же дадут треть; при этом в [новом] отношении сохранятся и все [другие отношения], которые были до умножения чисел на три. Итак, получается число 64x3=192; треть от него, добавленная к нему же [192+64], даст 256. Таково [256:192] будет сверхтретное отношение, содержащее квартовый консонанс.
(5) Теперь в нужном порядке102 расположим по отношению к 192 два сверхосминных отношения, содержащиеся [каждое] в двух числах. [Сначала] получается число 72x3=216, далее 81x3=243. Полученные [числа] расположим между двумя вышеуказанными [крайними] членами, таким образом: 192:216:243:256. В такой последовательности отношений первое число к последнему устанавливает консонанс кварты, а пара [отношений] — первое [число] ко второму и второе к третьему — заключает в себе тоны. Значит, оставшийся [от кварты] интервал заключен в [числах] 243:256 — наименьших, в которых образуется полутон.
29. 	Доказательство того, что отношение 243 к 256 не является половиной тона
(1) Я докажу, что отношение 243:256 не является точной величиной для половины тона. Поскольку разность чисел 243 и 256 составляет 13, эта величина 13 меньше 18-й части103 [нижнего члена в этом отношении], но больше, чем [его] 19-я часть. Если умножить 13 на 18, получим 234; это число не будет равно 243; а если умножить на [ту же величину 13 число] 19, [получим 247], которое превосходит [243]. Отсюда с необходимостью следует, что всякий полутон, хотя он и содержит целую половину тона104, располагается между 16-й и 17-й [его] частями, что будет доказано позже105.
(2) Теперь разъясним [и то], что такой интервал, будучи сдвоенным, не может заполнить пространство одного тона. Расположим два отношения 256:243 подряд согласно вышеописанному правилу106. Умножим число 256 на само само и получим наибольший член [отношения полутона] 65536. Произведение [от умножения] 243 на ту же величину [243] даст число для наименьшего члена, 59049. Теперь вычислим произведение 256

118
Institutio musica
Erit igitur numerus LXII.CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo:
LXV.DXXXVL
LXII.CCVIII.
LXIIII.XLVIIII.
(3) In eadem igitur sunt proportione .CCLVI. et .CCXLIII., in qua LXV.DXXXVL ad LXII.CCVIII. Et item LXÏLCCVIIL ad LXIIII.XLVIIII. Sed maximus eorum terminus, qui est LXV.DXXXVL, ad minimum, qui est LXIIII.XLVIIII, unum integrum non efficiet tonum. Quodsi primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium
263 proportioni, integri esse semitonii probaretur, duo dimidia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non videri. Quicquid enim cuiuscunque est dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cuius dicitur esse dimidium. Si vero illud inplere non possit, geminata particula minus est parte dimidia, si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia.
(4) Praeterea probabuntur autem LXV.DXXXVL non facere sesquioctavam proportionem, si LXIIII.XLVIIII. unitatibus comparentur, si octava pars LXIIII.XLVIIII. eisdem secundum eas, quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae computandam.
(5) Liquet igitur eam proportionem, quae in .CCLVI. et .CCXLIII. est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia.
De maiore parte toni, in quibus minimis numeris constet
XXX. (1) Reliqua igitur pars, quae maior est, apotome nuncupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut, quotiens aliquid secatur, ita ut non aequis partibus dividatur, quanto minor pars dimidio minor est, tanto maior pars eademque auctior dimidium vincat. Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tantum apotome toni integrum superat dimidium. Et quoniam docuimus
264 semitonium in .CCLVI. et .CCXLIII. principaliter stare, nunc ea, quae apotome dicitur, in quibus possit minimis constare numeris approbemus.
(2) 	Si igitur .CCXLIII. partem recipere octavam possent, cum ad eum sesquioctavus numerus compararetur, tunc .CCLVI. habitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri comparata apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octies fiant. Et ex .CCXLIII. quidem octies multiplicatis fit numerus
I.DCCCCXLIIII. Quibus si propria conferatur octava, qui sunt .CCXLIII.,

II, 29.2 - 30.2
Основы музыки
119
и 243; получается 62208. Среднее число, следовательно, разместится так:
65536
62208
59049
(3) Числа 256 и 243 находятся в том же отношении, что 65536 и 62208, а равно и 62208 и 59049. Но верхний член [отношения], число 65536, по отношению к нижнему, числу 59049, не дает целого тона. Если бы отношение первого числа ко второму, равное отношению второго числа к третьему, оказалось бы [отношением для] целого полутона, то две объединенные половины обязательно произвели бы тон. Теперь же, поскольку сверхосминное отношение в крайних членах не обнаруживается, явствует, что два этих интервала не составляют, как положено, половины тонов. Ведь если половину чего-либо удвоить, возникнет то [целое], для которого [такая часть] обозначается как «половина». Если, будучи удвоенной, [такая] частичка не может заполнить [целое], то она меньше половины; а если [результат] выходит за пределы [целого] и превосходит его, то она больше половины.
(4) Сверх того можно доказать, что при сопоставлении 65536 с 59049 сверхосминное отношение не образуется, если к числу 59049 добавить — в соответствии с правилами, изложенными в «Арифметике» — его осмину. Поскольку в целых числах она не существует107, мы предоставляем пытливым читателям самим вычислить эту осмину.
(5) Итак, ясно, что отношение чисел 256:243 не является ровно половиной тона. Соответственно тот [интервал], что именуется полутоном, на самом деле представляет собой часть, которая меньше половины тона.
30. 	В каких наименьших числах состоит большая часть тона
(1) Оставшаяся большая часть [тона] именуется греками словом άποτομή, а [по-латыни] мы можем назвать ее «остатком»108. По природе своей, когда нечто разрезается таким образом, что не получается деление на равные части, то меньшая часть оказывается меньше половины настолько же, насколько большая часть больше половины. Насколько, следовательно, малый полутон меньше ровно половины тона, настолько апотома превосходит ровно половину тона. И как мы вначале объяснили, что [малый] полутон находится в числах 256 и 243, так теперь покажем, какими наименьшими числами выражается так называемая апотома.
(2) Если бы число 243 можно было сложить с его осминой, чтобы [полученное таким образом] сверхосминное число можно было соотнести с 243, то отношение 256 с полученной [ранее] сверхосминой от меньшего числа [243] с неизбежностью показало бы апотому109. Но поскольку осмины, как теперь ясно, у 243 нет, умножим оба числа на 8. При умножении 243 на 8 получится число 1944. Если прибавить к нему осмину 243, получится 2187.

120
Institutio musica
fient II.CLXXXVII. Rursus .CCLVI. per octonarium crescant; fient igitur
II.XLVIII. Atque hic suprascriptorum terminorum in medio collocetur:
I.DCCCCXLIIIL
II.XLVIII.
II.CLXXXVII.
(3) Tertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem, secundus vero ad primum semitonii minoris, apotomes vero tertius ad secundum. Atque in eisdem primis apotomes videtur constare proportio, cum semitonii in .CCLVI. et .CCXLIII. minimis numeris spatium contineatur.
(4) Idcirco autem I.DCCCCXLIIIL et II.XLVIII. in eadem proportione sunt, qua .CCXLIII. ad .CCLVI., quoniam .CCLVI. et .CCXLIII. octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur in eadem erunt proportione, qua fuerint hi numeri, quos prior numerus multiplicavit.
Quibus proportionibus diapente ac diapason constent et quoniam diapason sex tonis non constet.
265 	XXXI. (1) Sed quoniam de diatessaron consonantia latius diximus, brevius et paene puris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus.
(2) Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri, quos superior descriptio conprehendit: CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVI. In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum et secundus ad tertium tonorum retinent proportiones, sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur .CCLVI. octava eisdem, quorum octava est, apponatur, fient .CCLXXXVIII. qui .CXCII. comparati sesqualterum spatium proportionis efficiunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet.
(3) Quodsi diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente vero trium tonorum ac semitonii minoris, iunctae vero diatessaron ac diapente unum diapason videntur efficere: erunt .V. toni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non videantur inplere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis, ut Aristoxenus arbitratur.
(4) Quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti. Sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sex octupli hoc modo:

II, 30.2 - 31.4
Основы музыки
121
Дальше, произведение [от умножения] 256 на 8 дает 2048. Поставим его в середину вышеописанных [крайних] членов:
1944
2048
2187
(3) Третий и первый члены содержат в себе отношение тона, второй и первый — малого полутона, третий и второй — апотомы. Очевидно, что в этих первых числах [2187:2048] и находится отношение апотомы, в то время как наименьшие числа, в которых заключен интервал [малого] полутона, — 256:243.
(4) А числа 1944:2048 находятся в том же отношении, что и 243:256, так как это [те же] 243 и 256, помноженные на восемь. Ибо если любые два числа умножить на одно [и то же] число, то числа, которые получаются в результате умножения, будут между собой в таком же отношении, что и исходные числа, с которыми оперировал множитель.
31. 	В каких отношениях состоят квинта и октава, и почему октава не состоит в шести тонах
(1) Поскольку о консонансе кварты мы сказали пространно, то теперь коротко и, так сказать, чистыми числами110 исследуем вопрос о консонансах октавы и квинты.
(2) Квинта состоит из трех тонов и полутона, то есть из кварты и тона. Расположим числа так, как выше было показано на схеме111:192:216:243:256. В этой диспозиции первый и второй члены, второй и третий члены содержат в себе отношения тонов, а третий и четвертый — отношение малого полутона, как было показано выше. Если теперь добавить к 256 его осмину, получится число 288, которое производит к 192 полуторный интервал. Отсюда три тона: первый [член] соотносится со вторым, второй с третьим, пятый с четвертым. Малый же полутон соответствует отношению третьего [члена] с четвертым.
(3) Если кварта получается из двух тонов и малого полутона, а квинта из трех тонов и малого полутона, то единая октава очевидно образуется из соединения кварты и квинты. При этом получаются пять тонов и два интервала малых полутонов, которые [в сумме] очевидно не заполняют [пространство] одного тона. Выходит, что консонанс октавы не состоит из шести тонов — в отличие от того, что полагает Аристоксен112.
(4) Это обстоятельство разъясняется с помощью чисел. Расположим шесть тонов по порядку [один за другим], а именно в виде ряда сверхосминных отношений. Шесть сверхосминных отношений получаются в результате шестикратного умножения на восемь. Шесть восьмикратных чисел113 располагаются таким образом:

122
Institutio musica
I
VIII
LXIIII
DXII
IIII.XCVI
XXXII.DCCLXVIII
CCLXII.CXLIIII
(5) Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava proportione constituti locentur hoc modo, dispositis primum octuplis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adiungantur. Sit autem descriptio talis:
octupli
sesquioctavae
partes octavae
CCLXII.CXLIIII
VVVTT V\7TTT
I VIII LXIIII DXII IIII.XCVI XXXII.DCCLXVIII
CCXCIIII.DCCCCXII
XXXII.DL.L.LX VIII
VVVX7T rvC/^/^T Л/ТТТТ
CCCXXXI.DCCLXXVI
XXXVI DCCCLXII1I XO.CCCCLXXII XLVÏ DCLVI LÏÏ CCCCLXXXVIII
T T 7TTTT "V/T T 7YTYT
CCCLXXIII.CCXLVIII
CCCCXVIIII.DCCCCIIII
CCCCLXXII.CCCXCII
DXXXI.CCCCXLI
LVIIII.XLVIIII
(6) Huius igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto vero octuplo sesquioctavae proportiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octavae sunt eorum numerorum partes quibus adiacent. Quae si eisdem, quibus adiacent, apponantur, posteriores numeros creant. Ut in primo qui est CCLXII.CXLIIII, huius octava XXXTÏ.DCCLXVIII. Hi sibimet si coniungantur, posteriorem efficiunt numerum, qui est CCXCIIII.DCCCCXII. Idemque in ceteris invenitur.
(7) Si igitur ultimus numerus, qui est DXXXI.CCCCXLI. duplus esset prioris numeri, qui est CCLXII.CXLIIII, recte diapason sex tonis, constare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero, qui est maximus ac supremus. Nam CCLXII.CXLIIII. numeri duplus est, qui ad eum scilicet diapason consonantiam tenet, DXXIIII.CCLXXXVIII. Hic igitur minor est eo numero, qui sextum retinet tonum, eo scilicet, qui est DXXXI.CCCCXLI.
267 	Minor est igitur diapason consonantia sex tonis.
(8) Atque id, quod sex toni diapason consonantiam supervadunt, voco comma, quod constat in minimis numeris DXXIIII.CCLXXXVIII. et DXXXI.CCCCXLI.
(9) Sed de his, quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne iudicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem fastidii vitator adstringam.
Explicit de musica id est armonica institutione liber secundus.

И, 31.4-9
Основы музыки
123
1
8
64
512
4096
32768
262144
(5) 	После того как ряд восьмикратных произведений установлен, разместим от последнего числа [262144] шесть тонов в сверхосминных отношениях так, чтобы осмины членов отношений были приписаны сбоку от самих этих членов. Получится такая схема114:
восьмикратные произведения
сверхосминные
отношения
осмины
1 8 64 512 4096 32768
262144
32768
36864
41472
46656
52488
59049
294912
331776
373248
419904
472392
531441
(6) Принцип построения этой схемы таков. Горизонтальный ряд, называемый «пограничным», содержит восьмикратные произведения. От шестого же восьмикратного числа выводятся сверхосминные отношения. Там, где мы написали слово «осмины», числа показывают осмины чисел, к которым прилегают. Когда эти осмины складываются с теми числами, к которым они прилегают, получаются дальнейшие числа. К примеру, для первого числа 262144 осмина составляет 32768. Если оно прибавляется к 262144, возникает дальнейшее число 294912, и так дальше.
(7) Следовательно, если последнее число 531441 будет удвоением первого, 262144, то справедливо [утверждение], что октава состоит из шести тонов. Однако, если мы отыщем двойное число от наименьшего, то есть первого, числа, оно будет меньше, чем число, которое наибольшее и высшее. Ибо удвоение числа 262144, в котором содержится консонанс октавы, дает 524288. А это число меньше того числа, которое содержится в шестом тоне, а именно числа 531441. Таким образом, консонанс октавы меньше шести тонов115.
(8) Величину, на которую шесть тонов превосходят октавный консонанс, я называю коммой; наименьшие числа для нее 524288 и 531441116.
(9) Я напишу в другом месте о том, что думает по поводу всего этого Аристоксен, который всецело полагался на суждение слуха. А сейчас, во избежание упреков [в многословии], закончу этот том117.
Конец второй книги об основах музыки, то есть гармоники.

Incipit liber tertius
268 Adversum Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dividi in aequa non posse atque ideo nec tonum
I. 	(1) Superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis ac semitonio, diapente vero ex tribus ac semitonio copulari, sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si singillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus, iudicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed, sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi integra medietate.
269 (2) Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut, quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportionalitate. Sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut armonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur, ne illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, quae tonus est, in dimidia posse discerni, quandoquidem sesquioctava omnis in superparticulari inaequalitatis genere consistit.
(3) Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit, quae interposito medio termino aequis proportionibus dividatur, non est dubium, quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri.
(4) Quodsi videtur auribus consonum aliquid canere, cum cuilibet voci duos tonos ac semitonium integrum distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur; sed quoniam sensus omnis, quae minima sunt, conprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur compositum coniunctumque, cum iam magnum esse coeperit, pervidetur.  22 geometrica proportionalitate] geometrica proportione Fr.

Книга III
1. 	Вопреки Аристоксену доказательство того, что сверхчастичное отношение не может быть поделено на [две] равные части, а потому и целый тон [не может быть поделен на две равные части]
(1) В предыдущем томе было доказано, что консонанс кварты составляется из двух тонов и полутона, а квинта — из трех тонов и полутона, но эти полутоны не могут достичь настоящей половины тона, если их взять по отдельности, и посему октава никоим образом не дотягивает до шести тонов. Но Аристоксен Музыкант, всецело доверившийся суждению слуха, не считает эти полутоны вслед за пифагорейцами размером меньше половины1, а поскольку они называются «полутонами», он считает, что они и есть половины тона. А раз так, следует о них рассказать чуть больше и снова доказать, что никакое сверхчастичное отношение не может быть поделено ровно пополам с помощью известного числа.
(2) Между двумя числами сверхчастичного отношения, будь то наименьшие целые числа, разность которых составляет единицу, либо последующие [числа натурального ряда], никакое среднее число нелья разместить таким образом, чтобы меньшее число так же относилось к среднему, как среднее относилось бы к большему, а именно как в геометрической пропорции2. Среднее [сверхчастичного отношения] может дать либо одинаковые разности чисел, то есть равенство по арифметическому среднему, либо среднее число, помещенное между теми же членами отношения, даст гармоническое среднее, либо какое-нибудь другое [среднее], о чем мы упоминали в «Арифметике»3. Но если это доказать, то нельзя будет утверждать, что сверхчастичное отношение (то есть целый тон) может быть разделено на половины, поскольку любая сверхосмина относится к сверхчастичному роду неравенства.
(3) Лучше всего доказать это через индукцию4. Ибо если по рассмотрении каждого в отдельности отношения (разумеется, сверхчастичного) не случится решительно ни одного, которое положением среднего члена делилось бы на два равных отношения, то несомненно, что сверхчастичное отношение [в целом] не может быть поделено поровну5.
(4) Хотя сочетание одного звука с другим не вполне определенным [по высоте] звуком6, отстоящим на два тона и целый полутон7, на слух кажется благозвучным, это не значит, что данное благозвучие существует по природе8. Поскольку всякий орган чувств не в состоянии воспринимать ничтожные малости, постольку разницу [в количестве интервала], выступающую сверх благозвучия, слуховое ощущение выделить не может. Но эту разницу можно будет обнаружить, если из-за одной и той же погрешности такая частица всё время будет нарастать. Ибо едва различимое ничтожное количество, будучи сложено и слито [с другими такими же ничтожными количествами], ясно осознаётся, потому что теперь становится большим.

126
Institutio musica
(5) A qua igitur proportione est ordiendum? An compendium dabimus quaestioni, si ab eo, de quo quaeritur, ordiamur? Id vero est, tonus in duo possit aequa partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse.
(6) Primi igitur tonum continentes numeri sunt .VIII. atque .VIIII. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non sit, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur .XVI. atque .XVIII. Inter hos vero naturalis numerus cadit, qui est .XVII. Igitur .XVIII. ad .XVI. tonus est, sed .XVIII. ad .XVII. comparatus, habet eum totum et eius septimam decimam partem. Septima decima vero pars minor est sexta decima naturaliter, maior est igitur proportio, quae sub .XVI. ас .XVII. numeris continetur, quam ea, quae sub .XVII. ас .XVIII. Qui disponantur hoc modo, et sit .XVI. A .XVII. C. XVIII. B.
(7) Medietas igitur integra toni inter .С. ac .B. nullo modo cadet. Minor est enim .CB. proportio .CA. proportione. Ad maiorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas D. Quoniam igitur .DB. quidem proportio, quod est dimidium toni, maior est .CB. proportione, quae est minor pars toni, .AC. autem proportio, quae est maior pars toni, .AD. proportione maior est, quod est dimidium toni, est autem .AC. proportio sesquisextadecima, .CB. autem sesquiseptimadecima: non est dubium, quin integra medietas inter sesquisextamdecimam ac sesquiseptimamdecimam cadat. Sed hoc integro numero nullo modo poterit inveniri.
supersesqui-
sextadecima supersesqui-  8(8) 	Quoniam vero ad .XVI. numerum .XVII. numerus comparatus supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si eiusdem .XVII. numeri sextamdecimam requiramus, erit unitas atque unitatis pars sexta-

Ill, 1.5-8
Основы музыки
127
(5) Но с какого отношения следует начать? И не сэкономим ли мы [время] в наших разысканиях, если начнем с вопроса, что же мы ищем? Вопрос заключается в том, может ли целый тон делиться на две равные части или нет. Следовательно, теперь нужно исследовать целый тон и доказать, что он не может делиться на две равные части. Если такое доказательство распространить на остальные сверхчастичные отношения, то так и будет доказано, что [любое] сверхчастичное отношение разделить поровну при помощи известного целого числа невозможно.
(6) Первые числа, содержащие целый тон, это 8 и 9. Но поскольку они настолько естественно следуют друг за другом, что среднего числа между ними нет, то умножим их на наименьшее [после единицы] число, а именно на два9. Получаются числа 16 и 18; между ними выпадает натуральное число 17. Итак, 16:18 — целый тон, но отношение 18:17 содержит 17 целиком и еще семнадцатую часть. Семнадцатая часть, впрочем, по природе меньше шестнадцатой, следовательно, отношение, которое заключается в числах 16:17, больше отношения 17:18. Расположим их так: 16 [пусть будет точкой] А, 17 [точкой] С, 18 [точкой] В.
(7) Итак, целая половина тона между С и В никоим образом не получается. Отношение С:В меньше отношения С:А. Таким образом, настоящая половина должна находиться в большей части. Пусть эта половина будет D. Поскольку отношение D:B (половина тона) больше отношения С:В (меньшей части тона) и отношение А:С (большая часть тона) больше отношения A:D (половины тона), а отношение А:С сверхшестнадцатинное, С:В же сверхсемнадцатинное, то несомненно, что настоящая половина [тона] выпадает между сверхшестнадцатинным и сверхсемнадцатинным отношениями. Однако найти эту половину с помощью целого числа никоим образом невозможно:
17:16
10.17
А
полутон полутон
тон
(8) 	Поскольку число 17 при сравнении с 16 дает сверхшестнадцатинное отношение, то если мы возьмем шестнадцатую часть от числа 17, будет единица и шестнадцатая часть единицы. Если мы сложим ее с числом 17, полу-

128
Institutio musica
decima. Hanc si eidem .XVII. numero coniungamus, fient .XVIII. et pars sextadecima. Si igitur .XVIII. et pars sextadecima .XVI. numero comparetur, recte toni mensuram videatur excedere, cum ad eum solus .XVIII. numerus sesquioctavam custodiat proportionem. Unde fit, ut, quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium. Quicquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur, quod transcendit. Quocirca supersesquisextadecima non erit toni dimidium.
(9) Ac per hoc nec ulla alia maior sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit maior.
(10) Sed quoniam sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus, an ea tonum bis multiplicata non inpleat. .XVII. igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus .XVIII. In eadem igitur proportione si ad .XVIII. numerum alium comparemus, erit .XVIIII. et septimadecima pars. Quod si ad .XVII. terminum in sesquioctava proportione positum numerum comparemus, fient .XVIIII. et pars octava.
272 Maior vero est pars octava parte septimadecima, maior igitur est proportio numerorum .XVII. ac .XVIIII. et octava quam ea, quae in .XVII. ac .XVIIII. et parte septimadecima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones. Duae igitur sesquiseptimae decimae unum tonum non videntur inplere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non inplent integrum, non tenent dimidium. Semper enim dimidium duplicatum ei, cuius est dimidium, coaequatur.
Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni dimidium non relinqui  II.II. 	(1) Iam vero si eos numeros disponamus, qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus, utrum ea proportio, quae post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur. Quod si ita repertum sit, illud quoque est conprobatum, diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius primus terminus .CXCIL; ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant .CCLVI. Sed ad primum terminum .CCXVI. faciunt tonum, ad .CCXVI. rursus .CCXLIII. toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex tota diatessaron proportione ea scilicet habitudo, quae in .CCXLIII. et .CCLVI. unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest, diatessaron ex duobus tonis semitonioque consistere.
(2) 	Quoniam igitur demonstratum est, toni dimidium inter sesquisex-
273 tamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est.

Ill, 1.8 - 2.2
Основы музыки
129
чится 18 и шестнадцатая часть. Если теперь 18¾ соотнести с числом 16, мера тона закономерно будет превышена, потому что только число 18 [без добавления частей] дает сверхосминное отношение при соотнесении с 16. Отсюда следует, что поскольку удвоенное сверхшестнадцатинное отношение выходит за пределы тона, [само] оно не будет составлять точно половину тона10. Ибо если некое количество при своем удвоении выходит за пределы некоего числа, то оно окажется и сверх половины того целого, за пределы которого выходит. Вот почему сверхшестнадцатинное отношение не будет половиной тона.
(9) По этой причине и всякое другое отношение, которое больше сверхшестнадцатинного отношения, не может быть половиной тона, поскольку уже сверхшестнадцатинное отношение больше точной половины тона.
(10) Поскольку непосредственно за сверхшестнадцатинным отношением следует сверхсемнадцатинное, посмотрим, не заполнит ли оно, будучи удвоенным, целый тон. Итак, сверхсемнадцатинной частью числа 17 является число 1811. Если теперь в том же [сверхсемнадцатинном] отношении к числу 18 мы произведем другое число12, будет 191  2¾. А если с числом 17 мы сопоставим число в сверхосминном отношении, выйдет 19 и восьмая часть. Но восьмая часть больше семнадцатой части; следовательно, отношение 17:19½ больше отношения 17:191¾ (в которой заключены два сверхсемнадцатинных отношения). Итак очевидно, что два отношения 18:17 не заполняют целый тон. Отношение 18:17 не составляет половины тона на следующем основании: если количество, будучи удвоенным, не заполняет целое, то оно и не составляет половины [этого целого]. Ибо половина от удвоенного числа всегда равна половине такого числа.
2. 	Половины тона не получается, если вычесть два целых тона из сверхтретного отношения
(1) Теперь если мы возьмем числа, которые остаются после вычитания двух тонов из сверхтретного отношения, мы можем рассмотреть вопрос, занимает ли отношение, которое остается после [вычитания] двух тонов, место ровно полутона. Если бы это было так, то было бы доказано, что и консонанс кварты состоит из двух тонов и ровно полутона. Первый член [отношения], как было сказано выше, 19213. В сверхтретном отношении к этому числу стоит [число] 256. 216, соотнесенное с нижним членом 192, дает тон, а 243 к 216 снова занимает место тона. Следовательно, остаток от квартового отношения составляет 243:256. Теперь, если доказать, что это и есть половина целого тона, то несомненно, что кварта состоит из двух тонов и [ровно] полутона.
(2) Поскольку, как показано выше, половина тона помещается между отношениями 17:16 и 18:17, к этому соотношению нужно привести и рассматриваемое отношение.

130
Institutio musica
(3) 	Ne enim longius progrediamur, sumo ex .CCXLIII. octavamdecimam partem. Ea fit .XIIIS. Hanc si eisdem apposuero, fiunt .CCLVIS. Apparet igitur minorem esse proportionem .CCLVI. ad .CCXLIII. sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus maior quidem est in sesquisextadecima, minor vero in sesquiseptimadecima proportione, sesquioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum vero .LVI. ad .CCXLIII. comparatio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesquioctavadecima: non est dubium, quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime deminutior sit.
Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare integro nec diapason tonis sex
III. 	(1) Quodsi, ut ait Aristoxenus diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonioque coniungitur, duae diatessaron consonantiae necessario .V. tonos efficient et diapente ac diatessaron iunctae, sicut unum diapason iungunt, ita sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat numerus .CCLXII.CXLIIII., ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus .DXXXI.CCCCXLL, quintum 274 vero retinebant tonum .CCCCLXXII. et .CCCXCIL, disponantur hoc modo:
(2) Nunc igitur de minoribus numeris, id est quinque tonis loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio, bis vero diatessaron quinque consisteret tonis, cum ex .CCLXII.CXLIIII. diatessaron intenderem cumque de .CCCCLXXII.CCCXCII. aliud diatessaron remitterem, idem inter utramque intentionem remissionemve numerus inveniretur. Id autem fit hoc modo.
(3) A numero, qui est .CCLXII.CXLIIII. diatessaron intendo, id est sesquitertium, qui fit in .CCCXLVIHI.DXXV55. Rursus de .CCCCLXXII.CCCXCII. numeris remitto sesquitertiam proportionem, quae fit in .CCCLIIII.CCXCIIII. Has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus .A. secundus vero .B. tertius .C. quartus .D.  II,II, 3 dimidius tonus maior quidem est in sesquisextadecima, minor vero in sesquiseptimadecima proportione] dimidius tonus minor quidem est sesquisextadecima, maior vero sesquiseptimadecima proportione Fr.

Ill, 2.3 - 3.3
Основы музыки
131
(3) 	Не вдаваясь в долгие рассуждения, возьмем восемнадцатую часть от 243, получится 13½14. Если добавить это число к 243, получится 256½. Очевидно, что отношение 256:243 меньше отношения 19:18. Если же больший полутон находится в отношении 17:16, а меньший в отношении 18:1715, то поскольку 19:18 даже меньше, чем 18:17, а отношение 256:243 (остаток после вычитания двух тонов из кварты) даже меньше, чем 19:18, то несомненно, что отношение двух этих чисел [256:243] значительно меньше, чем [ровно] полутон.
3. 	Вопреки Аристоксену доказательство того, что консонанс кварты не состоит из двух тонов и ровно полутона, и что октава не состоит из шести тонов
(1) 	Аристоксен говорит: раз квартовый консонанс складывается из двух тонов и полутона, то два консонанса кварты с неизбежностью производят 5 тонов, квинта в сочетании с квартой дают одну октаву, а также они равны непрерывному ряду из шести [целых] тонов16. Немного раньше17 мы расположили 6 тонов так, что наименьшему было придано число 262144; наибольшее число, соответствующее шестому тону, получилось 531441, а число, содержавшее в себе пятый тон,— 472392. Расположим их [схематично] так:  2 3(2) Поговорим теперь о числах поменьше, то есть о пяти тонах. Итак, если кварта состоит из двух тонов и полутона, а двойная кварта состоит из пяти тонов, то если я отложу одну кварту вверх от числа 262144, а от числа 472392 отложу другую кварту вниз, то и в восхождении и в нисхождении должно возникнуть одно и то же число18. Происходит это так.
(3) От числа 262144 откладываю вверх кварту, то есть сверхтретное отношение, получается 349525 Уз19. Теперь от числа 472392 откладываю сверхтретное отношение вниз, получается 354294. Эти отношения расположены [от наименьшего числа к наибольшему] таким образом, что первое число будет А, второе В, третье С, а четвертое D:

132
Institutio musica
Quoniam igitur .A. terminus ad .D. terminum .V. remotus est tonis, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac semitonio iungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque diatessaron inter .A. atque .B., aliud vero inter .C. 275 atque .D. positum est, .B. et .C. terminos non oportet esse diversos, sed unos atque eosdem, ut integre .V. toni ex duabus diatessaron consonantiis constare viderentur. Nunc vero, quoniam est differentia IIII.DCCLXVIIISS; arguitur diatessaron minime tonis duobus ac semitonio coniungi.
Diapason consonantiam a sex tonis commate excedi et qui sit minimus commatis numerus
IIII. (1) Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte, quae est SS, pars tertia si addatur plenam efficit unitatem — quae pars tertia eiusdem SS dimidium est — si totius differentiae dimidium eidem adiecero, quod est .II.CCCLXXXIIIIS5., fit omnis summa .VILCLIII, quae dudum commatis proportionem tenebat. Comma enim est, quo sex toni superant diapason consonantiam, quae in primis .VII.CLIII. unitatibus continetur.
(2) Ut igitur differentiae dimidium proprium adiecimus, ut in .VII.CLIII. excresceret, ita etiam cunctis A. B. C. D. terminis medietates proprias adiungamus et eadem erit in omnibus quae supra proportio. Fietque eadem inter .V. tonos ac bis diatessaron differentia, quae est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet .VII.CLIII. unitates, unde colligitur, .V. tonos bis diatessaron et .VI. tonos unum diapason tantum commate superare, quod in primis .VII.CLIII. unitatibus invenitur.
(3) Id autem patefaciet subiecta descriptio.

Ill, 3.3 - 4.3
Основы музыки
133
Поскольку член А от члена D удален на расстояние пяти тонов, и поскольку кварта складывается, как полагает Аристоксен, из двух тонов и полутона, и одна кварта положена между А и В, другая же между С и D, то члены В и С не должны быть разными [по значению], а должны быть одинаковыми, и тогда пять тонов должны были бы точно соответствовать двум квартам. На деле же — из-за разности 4768¾ — выясняется, что кварта никоим образом не складывается из двух тонов и [ровно] полутона.
4. 	О том, что шесть тонов превышают октавный консонанс на комму, и о том, каково наименьшее число коммы  1 2 3(1) Если мы хотим выразить эту разность [между В и С ] в целых числах, надо действовать так. Поскольку с прибавлением к двум третям одной трети получится полная единица, а половиной от двух третей тоже будет треть, то теперь, если ко всей разности [4768¾] прибавить ее половину, то есть 2384¾ в сумме получится число 7153, которое, как было недавно показано, заключает в себе отношение коммы20. Ибо комма — это величина, на которую шесть тонов превосходят октавный консонанс; в наименьшем целом числе она составляет 7153.
(2) Итак, подобно тому как мы добавляли к вышеупомянутой разности ее половину, чтобы произвести 7153, так же прибавим к каждому из членов А В С D их половины, и получится во всех этих числах то же отношение, что было раньше [то есть до умножения на полтора]. И будет между пятью тонами и удвоенной квартой та же разность, что и между шестью тонами и октавным консонансом, а именно 715321. Отсюда ясно, что и пять тонов превосходят удвоенную кварту, и шесть тонов — одну октаву как раз на комму, которая находится в наименьшем целом числе 7153.
(3) Прилагаемая схема поясняет это утверждение:

134
Institutio musica
quinque toni
bis diatessaron
CCLXII.CXLIIII
CCCXLVIIILDXXV SS
CCCLIIII.CCXCIIII
CCCCLXXII.CCCXCII
superiorum numerorum dimidia
CXXXI.LXXII CLXXIIII.DCCLXIISS
CLXXVII.CXLVII
CCXXXVI.CXCVI
priores numeri cum dimidiis suis
CCCXCIII.CCXVI
DXXIIII.CCLXXXVIII
DXXXI.CCCCXLI
DCCVIII.DLXXXVIII
differentia mediorum
VTLCLIII
sex toni
duplum
DXXXI.CCCCXLI
CCLXII.CXLIIII
DXXIIII.CCLXXXVIII
differentia extremorum
vn.CLIII
Quemadmodum Philolaus tonum dividat
V. 	(1) Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere temptavit, statuens scilicet primordium toni ab eo numero, qui primus cybum a primo inpari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit inpar, tres tertio atque id ter si duxeris .XXVII. necessario exsurgent, qui ad .XXIIII. numerum tono distat, eandem ternarii differentiam servans. Ternarius enim .XXIIII. summae octava pars est, quae eisdem addita primum a ternario 277 cybum .XX. ас .VII. reddit.
(2) Ex hoc igitur duas Philolaus efficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen vocat, reliquam, quae dimidio sit minor, eamque rursus diesin dicit, quam posteri semitonium minus appellavere; harum vero differentiam comma.
(3) Ac primum diesin in .XIII. unitatibus constare arbitratur eo, quod haec inter .CCLVI. et .CCXLIII. pervisa sit differentia, quodque idem numerus, id est .XIII. ex novenario, ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae inparis lineae, novenarius primi inparis quadrati. Ex his igitur causis cum .XIII. diesin ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam .XXVII. numeri partem, quae .XIIII. unitatibus continetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter .XIII. et .XIIII. unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam. Totum vero tonum in .XXVII. unitatibus locat eo, quod inter .CCXVI. ac .CCXLIII., qui inter se distant tono, .XXVII. sit differentia.  33 .inter CCXVI. ac .CCXLIII ] inter .CCXVI. ab .CCXLIII Fr.

Ill, 4.3 - 5
Основы музыки
135
пять тонов
двойная кварта
262144
349525½
354294
472392
половины вышеприведенных чисел
131072
1747622½
177147
236196
первые числа и их половины
393216
524288
531441
708588
разность средних членов
7153
шесть тонов
двойное отношение
531441
262144 ' 524288
разность крайних членов
7153
5. 	Каким образом делит тон Филолай22
(1) Пифагореец Филолай пытался поделить тон другим способом: он утверждал, что основанием тона является чрезвычайно почитаемое у пифагорейцев число23, которое производит первый куб от первого нечетного числа. Поскольку число 3 — первое нечетное число, то если умножить 3 на 3 и еще на 3, непременно получится 27. Это число отстоит на целый тон от 24 — числа, сохраняющего [с числом 27] ту же разность 3. Тройка — осмина от 24, а если прибавить ее к 24, то вернемся к первому кубу тройки, числу 27.
(2) Отсюда [из отношения 27:24] Филолай извлекает две части [целого тона]: одну больше половины [тона] — ее он называет апотомой, [и] оставшуюся часть меньше половины [тона] — ее он называет диесой; позднее ее стали называть малым полутоном24. Разность этих [частей тона он называет] коммой.
(3) Прежде всего он полагает, что диеса заключена в числе 13, потому что такова разность чисел 256 и 243, и потому что то же число 13 состоит из 9, 3 и 1, причем единица занимает место точки, тройка — первой нечетной линии25, а девятка — первого нечетного квадрата26. И на этом основании, поскольку диесу (называемую [иначе] полутоном) он полагает в числе 13, то остаток от числа 27, который заключается в числе 14, он устанавливает для апотомы. А так как разность 13 и 14 составляет единицу, то он считает, что комме должна соответствовать единица. Полностью же целый тон он размещает в числе 27, потому что между числами 216 и 243, которые отстоят друг от друга на целый тон27, разность составляет 27.

136
Institutio musica
Tonum ex duobus semitoniis et commate constare
VI. (1) Ex quibus facile apparet, tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate, nihil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum.
Demonstratio tonum duobus semitoniis commate distare
VII. (1) Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason .V. tonis
278 ac duobus minoribus semitoniis continetur, superantque .VI. toni diapason consonantiam uno commate, non est dubium, quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de sex vero tonis tonus. Atque hic tonus haec duo semitonia, quae relinquuntur, vincet commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commate, quod in .VII.CLIII. primis unitatibus invenitur aequari.
De minoribus semitonio intervallis
VIII. (1) Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus definitionibus includit. (2) Diesis, inquit, est spatium, quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. (3) Comma vero est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. (4) Schisma est dimidium commatis, (5) diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris.
(6) Ex quibus illud colligitur: quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividitur etiam in duo semitonia et comma; quo fit, ut dividatur in quattuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis.
(7) Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate coniunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diaschismata, dimidium vero commatis unum schisma. Recte igitur dictum est, integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma posse partiri, quo fit, ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate differre videatur. Apotome autem a mi-
279 nore semitonio duobus schismatibus differt; differt enim commate. Sed duo schismata unum perficiunt comma.

Ill, 6-8
Основы музыки
137
6. Тон состоит из двух полутонов и коммы
(1) 	Из сказанного явствует, что тон состоит из двух малых полутонов и коммы. Ибо если целый тон состоит из апотомы и [малого] полутона, а разностью между этим полутоном и апотомой является комма, то апотома — не что иное как малый полутон с коммой. Если же вычесть из тона два малых полутона, в остатке получается комма.
7. Доказательство того, что расстояние между тоном и двумя полутонами — комма
(1) То же самое доказывается так. Если октава заключена в пяти тонах и двух малых полутонах, а шесть тонов превосходят октавный консонанс на одну комму, то несомненно, что, если вычесть из октавы пять тонов, в остатке получатся два малых полутона, а если [вычесть пять тонов] из шести тонов, получится тон. Такой тон превзойдет эти два оставшихся полутона на комму. А если к тем же двум полутонам снова приложить комму, полученное будет равно тону. Итак, ясно, что один целый тон равен двум малым полутонам и комме, которая в наименьшем целом числе равна 7153.
8. Об интервалах меньше полутона
(1) Для этих и меньших, чем эти, интервалов Филолай дает такие определения: (2) «Диеса», говорит он,— это интервал, на который сверхтретное отношение превосходит два тона. (3) «Комма» — это интервал, на который сверхосминное отношение превосходит две диесы, то есть два малых полутона. (4) «Схизма» — это половина коммы. (5) «Диасхизма» — половина диесы, то есть малого полутона28.
(6) Из них получается вот что29: поскольку целый тон делится изначально на малый полутон и апотому, он делится также на два [малых] полутона и комму; отсюда следует, что он делится на четыре диасхизмы и комму. Точная половина тона, то есть [собственно] полутон, состоит из двух диасхизм (то есть одного малого полутона) и схизмы (то есть половины коммы)30.
(7) Поскольку целый тон составлен из двух малых полутонов и коммы, то чтобы разделить его точно [пополам], надо взять малый полутон и [сложить его] с половиной коммы. Но один малый полутон делится на две диасхизмы, половина же коммы — одна схизма. Вот почему справедливо сказано, что полутон может быть точно разделен на две диасхизмы и одну схизму. Отсюда следует, что разность между точным полутоном и малым полутоном рассматривается как одна схизма. Разность же между апотомой и малым полутоном — две схизмы, то есть комма (ведь две схизмы в сумме дают одну комму).

138
Institutio musica
De toni partibus per consonantias sumendis
VIIII. (1) Sed de his quidem hactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere nunc vero remittere. Id autem lineariter fiat, lineaeque, quas describimus, vocis accipiantur loco. Sed iam sese ratio ipsa demonstret.
(2) Sit propositum toni spatium per consonantiam sumere in acutum scilicet atque gravem.
(3) Sit sonus .B.; ab hoc intendo alium sonum, qui diapente spatio ab eo, quod est .B., distet ad eum, qui est .C. Ab hoc remitto diatessaron consonantiam ad id, quod est .D. et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit .DB. spatium tonus repertus est.
diapente
280
(4) 	Ad gravem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo, quod est .B., diatessaron intendo ad .F. et ab .F. diapente remitto ad .K. Erit igitur .KB. tonus. Animadvertet igitur diligens lector ad .DB. quidem ad acutam partem effectum tonum, ad .KB. autem ad gravem.
diatessaron
К
tonus
F
diapente
(5) Sit propositum minorem toni partem per consonantiam sumere in acutam partem atque gravem. Minor vero toni pars est spatium, quo duos tonos diatessaron consonantia transcendit.
(6) Sit enim sonus .A. Intendo ab .A. diatessaron ad .B. Rursus intendo a .B. diatessaron ad .C. Et ab .C. remitto diapente ad .D. Tonus est igitur .BD. Rursus a .D. intendo diatessaron ad .E. Remitto iterum ab .E. dia-

Ill, 9.1-6
Основы музыки
139
9. 	О том, как получить части тона через консонансы
(1) Но хватит пока о них31. Сейчас, пожалуй, следует сказать о том, каким образом посредством консонансов в музыке мы можем [получить] заданные интервалы с повышением или с понижением32. Сделаем это линейно (линии, которые мы чертим, принимаются вместо звуковысот). Но пусть уже метод говорит сам за себя.
(2) Положим, мы хотим посредством консонанса получить интервал тона, построенный вверх и вниз.
(3) Пусть дан звук В. От него отложим вверх другой звук, который от В отстоит на интервал квинты; это точка С. От нее отложим вниз консонанс кварты, это точка D. Поскольку разница между квинтой и квартой — тон, то в отрезке DB возникнет интервал тона:
квинта
(4) 	Вниз отмерим тон следующим образом. От [звука] В отложим вверх кварту к точке F, а от F отложим вниз квинту к точке К. Внимательный читатель заметит, что [в первом случае], в отрезке DB тон возник вверху, а [во втором случае], в отрезке КВ — внизу33:
кварта
К
тон
В
F
квинта
(5) Положим, мы хотим посредством консонанса получить меньшую часть тона, построенную вверх и вниз (меньшая часть тона — это интервал, на который кварта превосходит два тона).
(6) Пусть дан звук А. Отложим вверх от А кварту к точке В. Затем от В отложим вверх кварту к точке С. От С вниз отложим квинту к точке D. Итак, получается тон BD. Теперь от D отложим кварту вверх к точке Е. И снова от Е

140
Institutio musica
pente ad .F. Tonus est igitur .DF. Duo igitur sunt toni .BD. .DF. Et erat .BA. integrum diatessaron; erit igitur .FA. minor toni pars, quod semitonium nuncupatur.
diapente diapente
diatessaron diatessaron diatessaron
(7) 	Ad graviorem vero partem hoc modo. Sit sonus .A. Intendo duos tonos per consonantiam ad .G., diatessaron vero ab .G. remitto ad .K. Erit igitur .KA. minor semitonii pars, quod oportebat efficere.
(8) 	Si tribus tonis diatessaron auferamus, apotome fit reliqua. Sint enim tres toni .AB. .BC. .CD. Ab his auferatur .AE. diatessaron. Erit igitur .ЕС. semitonium minus, apotome igitur est .ED.
diatessaron
7 (descr.) diatonus] К, S, /; duotonus B, Q.

Ill, 9.6-8
Основы музыки
141
отложим вниз квинту к точке Е Итак, получается тон DR Получаются два тона: BD и DF. А отрезок ВА был задан как целостная кварта. Значит, в отрезке FA получится меньшая часть тона, называемая [малым] полутоном:
(7) 	Вниз же [малый полутон] получается так. Пусть дан звук А. Отложим вверх посредством консонанса34 два тона к точке G. От G вниз отложим кварту к точке К. Итак, в отрезке КА получится меньшая ,часть полутона, [то есть малый полутон], который и требовался:
(8) 	Если мы вычтем из трех тонов кварту, в остатке будет апотома. Пусть даны три тона AB, ВС и CD. Из них вычтем кварту АЕ. Итак, в отрезке ЕС получится малый полутон, а апотома, следовательно, возникнет в отрезке ED:
кварта

142
Institutio musica
(9) 	Hanc igitur apotomen, si sit commodum, sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum. Intendo tres tonos ab .A. eos, qui sunt .AB. et ab eo, quod est .B. ad .C. diatessaron consonantiam remitto et fit .CA. apotome reliqua.
diatessaron
(10) 	Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere, fit hoc modo: Sit sonus .A. Intendo semitonium minus, id quod est .AD., remitto ab .D. tonum eum, qui est .DE. Erit igitur .AE. ea, quam requirimus, apotome.
(11) 	Sit propositum ad acutam partem comma sumere. Sit sonus .A. Intendo apotomen .AB., remitto semitonium minus .BC. Et quoniam semitonium minus apotome minus es commate, comma erit .CA.
apotome
В
C
A
semitonium
comma

Ill, 9.9-11
Основы музыки
143
(9) 	Если угодно, мы получим ту же апотому [и другими способами, а именно] так. Вначале [построим ее] вверх. Отложим три тона от точки А вверх, получится отрезок AB; от точки В отложим вниз консонанс кварты. В остатке СА получится апотома:
кварта
(10) 	Если тот же интервал мы захотим построить вниз, это делается так. Пусть дан звук А. Построим вверх малый полутон AD и вниз от D [целый] тон DE. В отрезке АЕ получится апотома, которая нам и требовалась:
(11) 	Положим, мы хотим получить комму вверху. Пусть дан звук А. Отложим вверх апотому AB, [затем] отложим вниз малый полутон ВС. Поскольку малый полутон меньше апотомы на величину коммы, то СА и будет комма:
апотома

144
Institutio musica
283 (12) Rursus ad gravem partem hoc modo. Intendo ab .A. sono semito¬
nium minus, id quod est .AD., ab .D. vero remitto apotomen, id quod est .DE. Erit igitur comma .EA.
apotome
Regula semitonii sumendi
X. (1) Oportet vero has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas. Frustra enim haec ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissima.
(2) Ut vero id, quod institutione musicae adorsi sumus, non mox auribus, quod iam provectorum in musica est, sed ratione interim censeatur, unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo difficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem rato possit ordine repperiri.
(3) Sit diatessaron .AB. Oportet igitur circa .AB. consonantiam minus semitonium ad graviorem partem acutioremque deducere.
(4) Intendo igitur .BC. diatessaron. Remitto rursus diapente .CD. Erit igitur tonus .BD. Diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur, et .CB. spatium .DC. spatio .BD. spatio transcenditur.
(5) Rursus intendo diatessaron .DE., remitto autem diapente .EF. Tonus est igitur .DF. Sed et .BD. tonus erat. Semitonium igitur minus est .AF., quod subtractis duobus tonis .FD. .BD. ab .AB. diatessaron spatio relinquitur.
284 (6) Rursus remitto diatessaron .AG., intendo diapente .GFI. Erit igitur
.AFI. tonus. Sed erat .AF. semitonium, erit igitur .FFI. apotome.
(7) Rursus remitto diatessaron .FIK., intendo diapente .KL. Tonus igitur est .FIL. Erat autem tonus .HA., semitonium igitur minus est .LB. Sed erat tonus .DB., erit igitur .LD. apotome.
(8) Rursus intendo diatessaron .FM., semitonium igitur est .BM. Remitto diatessaron .LN., semitonium igitur est .NA.

Ill, 9.12 - 10.8
Основы музыки
145
(12) 	Внизу [комму мы получим] следующим образом. Отложим вверх от звука А малый полутон, то есть AD; от D вниз отложим апотому, то есть DE. Итак, получится комма ЕА:
апотома
10. 	Правило построения полутона
(1) Надо, однако, чтобы все эти консонансы были как следует прочувствованы и усвоены слухом. Расчеты и знание о них напрасны, если прежде они не были совершенно усвоены через опыт и упражнение.
(2) Чтобы те сущности, к которым мы приступили в изучении основ музыки, оценивались не сразу на слух (что свойственно для продвинутых в музыке), но определялись и расчетом, мы приведем пример нахождения несколько затруднительного, как считается, интервала, а именно малого полутона,— как его можно извлечь [откладывая консонансы] в надлежащем порядке в обе стороны, а именно вверх и вниз35.
(3) Пусть дана кварта AB. Требуется вокруг консонанса AB построить малый полутон вверху и внизу.
(4) Отложим вверх кварту ВС36. Затем отложим вниз квинту CD. Так получится тон BD. Ведь консонанс квинты превосходит консонанс кварты на тон, а интервал DC превосходит интервал СВ на величину интервала BD.
(5) Затем отложим вверх кварту DE, а вниз отложим квинту EF. Выходит тон DF. Но и BD был тон. Следовательно, AF — малый полутон, который остается после вычитания двух тонов FD и BD из кварты AB.
(6) Затем отложим вниз кварту AG, а вверх отложим квинту GH. Выходит тон АН. Но отрезок AF обозначал [малый] полутон, следовательно, FH — апотома.
(7) Затем отложим вниз кварту НК, а вверх отложим квинту KL. Выходит тон HL. Интервал НА был тон, следовательно LB — малый полутон. Но и DB был тон, следовательно, LD будет апотома.
(8) Затем отложим вверх кварту FM, получается полутон ВМ. Отложим вниз кварту LN и получается полутон NA.

146
Institutio musica
(9) Per consonantiam igitur sumpta sunt circa .AB. diatessaron duo semitonia, .BM. quidem ad acutum, .NA. vero ad gravem partem, totumque .MN. minus est quam diapente; constat enim ex .V. semitoniis et apotome geminata, ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus.
(10) Et quoniam duo semitonia unum tonum inplere nequeunt, sed relinquitur comma, totum .MN. spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate, quod facillime diligens lector intelleget.
(11) 	Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est 285 defugiendum et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere — est enim comma, quod ultimum conprehendere possit auditus — dicendumque est semitonium minus ac semitonium maius quantis singillatim commatibus constare videantur, ipse quoque tonus quantis rursus commatibus coniungatur. Ac primum hinc conveniens sumatur initium.
Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non posse, eiusque reprehensio
XL (1) Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est huiusmodi.
(2) 	Sit, inquit, superparticularis proportio .A.B., sumo in eadem proportione minimos C.DE. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione .C.DE. et sunt superparticulares, .DE. numerus .C. numerum parte una sua eiusque transcendit. Sit haec .D.

Ill, 10.9 - 11.2
Основы музыки
147
(9) Итак, через консонанс с обеих сторон кварты AB получены два [малых] полутона — вверху ВМ, внизу NA. А весь интервал MN меньше, чем квинта, ибо он состоит из пяти [малых] полутонов и удвоенной апотомы и, следовательно, из двух тонов и трех малых полутонов.
(10) Поскольку два [малых] полутона не могут заполнить один [целый] тон, но остается комма, то весь интервал MN меньше, чем интервал квинтового консонанса, на одну комму, которую внимательный читатель тут же заметит37.
(11) 	Но поскольку выше мы лишь немного рассказали о расчете коммы, обязательно следует показать, в каком [числовом] отношении эта комма выражается; ведь комма — это крайнее, что может воспринять слух. А также следует рассказать, из скольких комм, как представляется, состоит малый полутон и большой полутон (каждый в отдельности); а дальше [следует рассказать], сколькими коммами исчерпывается целый тон. Но сначала дадим надлежащее введение.
11. 	Доказательство Архита о том, что сверхчастичное отношение нельзя поделить поровну [на две части], и опровержение этого доказательства  1 2(1) Сверхчастичное отношение нельзя пропорционально рассечь на [две] равные части с помощью [какого-либо] среднего числа. Надежное доказательство этой теоремы будет дано позже38. Доказательство, которое дает Архит, слишком шатко. Оно таково.
(2) Пусть, говорит он, дано сверхчастичное отношение А:В; примем, что наименьшие числа этого отношения — C:DE39. Поскольку в отношении C:DE взяты наименьшие числа и это отношение сверхчастично, то число DE превосходит число С на одну его часть40. Пусть эта часть будет D.

148
Institutio musica
(3) 	Dico, quoniam .D. non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus .D. et pars est eius, qui est .DE. metitur .D. numerus .DE. numerum; quocirca et .E. numerum metietur, quo fit, ut .C. quoque metiatur. Utrumque igitur .C. et .DE. numeros metietur .D. numerus, quod est inpossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem. Unitas igitur est .D. Igitur .DE. numerus .C. numerum unitate transcendit.
286 (4) Quocirca nullus incidit medius numerus, qui eam proportionem
aequaliter scindat. Quo fit, ut nec inter eos, qui eandem his proportionem tenent, medius possit numerus collocari, qui eandem proportionem aequaliter scindat.
(5) Et secundum Archytae quidem rationem idcirco in superparticulari nullus medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate, quasi vero non etiam in multiplici proportione minimi eandem unitatis differentiam sortiantur, cum plures videamus esse multiplices praeter eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eandem proportionem possit aptari.
(6) Sed haec, qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intellegit. Addendum vero est, id ita evenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari proportione; non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur.
In qua numerorum proportione sit comma et quoniam in ea, quae maior sit quam .LXXV. ad .LXXIIII. minor quam .LXXIIII. ad .LXXIII
XII. (1) Primum igitur dico, quoniam hi numeri, qui comma continent, maiorem inter se retinent proportionem, quam .LXXV. ad .LXXIIII. mi287 norem quam .LXXIIII. ad .LXXIII. Id vero ita demonstrabitur.
(2) 	Ac primo quidem illud reminiscendum est, quod .VI. toni diapason commate transcendunt. Sit igitur .A. quidem .CCLXII.CXLIIII. .B. autem diapason ad eum continens consonantiam, in duplici scilicet constitutam, .DXXIIII.CCLXXXVIII. .C. vero sex tonis ab .A. numero discedat, et sit .DXXXI.CCCCXLL, quae omnia ex secundi voluminis tonorum
6 arithmeticos nostros] arithmeticos numeros Fr.

Ill, 11.3 - 12.2
Основы музыки
149
(3) Я утверждаю, что D не число, а единица. Ибо если D — число, и оно часть DE, то число D измеряет число DE41. Тогда число D измерит и число Е. Отсюда следует, что оно измерит и С. Следовательно, число D измерит оба числа — С и DE, что невозможно. Поскольку эти числа — наименьшие (в сравнении с какими-либо другим числами в том же отношении), и они же — первичные друг для друга42, то их разность равна только единице. Следовательно, D — единица. Поэтому число DE превосходит число С на единицу.
(4) Вот почему нет ни одного среднего числа, которое разделило бы указанное отношение поровну. Отсюда следует, что и между [большими] числами, которые состоят подобно этим [наименьшим] в таком же [сверхчастичном] отношении, не может быть среднего числа, которое такое же [сверхчастичное] отношение разделило бы поровну:
С
D
Е
(5) В соответствии с доказательством Архита, в сверхчастичном отношении не выпадает ни одного среднего члена, который бы делил [такое] отношение поровну, потому что наименьшие числа в указанном отношении отстоят друг от друга только на единицу,— как будто и в кратном отношении не встречаются наименьшие числа, разность которых — единица43; кроме того, существуют многие кратные отношения помимо тех, что выражаются в корневых числах44; между ними можно подобрать средний член, разделяющий такое [кратное] отношение поровну.
(6) Тот, кто тщательно изучил нашу «Арифметику», без труда понял данное [опровержение]. Итак, уточним: то, о чем говорит Архит, случается только в сверхчастичном отношении, а в общем и целом утверждать это нельзя45. А теперь перейдем к дальнейшему.
12. 	В каком числовом отношении состоит комма, которая больше, чем отношение 75:74, но меньше, чем 74:73  1 2(1) Во-первых, скажу, что числа в отношении коммы больше, чем 75:74, и меньше, чем 74:73. Доказывается это так.
(2) Для начала нужно вспомнить, что шесть тонов превосходят октаву на величину коммы. Итак, пусть [звуку] А соответствует число 262144, а звуку В, который соотносится с первым в октавный консонанс, а именно в двойном отношении, соответствует число 524288. Звук С пусть отстоит от А на шесть тонов, что соответствует числу 531441. (Всё это можно взять из второго тома

150
Institutio musica
dispositione sunt colligenda. Inter .B. igitur atque .C. commatis proportio continetur.
(3) Aufero igitur .B. numerum de numero .C., relinquitur .D. in .VII.CLIII. unitatibus collocatus, qui .D. numerus minor quidem est, quam ut sit septuagesima tertia pars .B. numeri, maior vero quam ut eiusdem septuagesima quarta sit. Nam si eundem .D. numerum, qui est .VII.CLIII. septuagies ter multiplicem, fit mihi .E. numerus in .DXXII.CLXVIIII. unitatibus constitutus; si eum septuagies quater multiplicem, fit .F. numerus .DXXVIIII.CCCXXII. quorum quidem .E., qui per .LXXIII. auctus est, minor est .B. numero, .F. autem, qui per .LXXIIIL, maior est .B. numero. Recte igitur dictum est, .D. eius, quod est .B. minorem quidem esse, quam septuagesimam tertiam partem, maiorem vero quam septuagesimam quartam.
(4) Quocirca et .C. numerus .B. numerum minore quidem parte eius, quod est .B. eundem .B. superat quam septuagesima tertia, maiore vero quam septuagesima quarta. Eius igitur, quod est .C., proportio ad id, quod est .B., maior quidem est quam .LXXV. ad .LXXIIII. minor vero
288 	quam .LXXIIII. ad .LXXIII. Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris, in posteriore vero eadem unitas septuagesima tertia:
CCLXII.CXLIIII DXXIIII.CCLXXXVIII DXXXI.CCCCXLI VÏÏ.CLIII DXXH.CLXVIIII DXXVIIII.CCCXXII
(5) 	Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod, si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos, qui post additionem fiunt, proportio continebitur, quam inter priores, qui ante additionem ullam quadam proportione distabant, ut sex et quattuor, si utrisque differentia sua, id est binarius, apponatur, (6) fient .VIII. et .VI., sed inter .VI. et .1111. sesqualtera, inter .VIII. et .VI. sesquitertia proportio continetur; minor vero est proportio sesquitertia sesqualtera proportione.
(7) 	Hoc igitur ita praedicto disponantur superiores numeri, qui proportionem commatis continebant, id est .DXXXI.CCCCXLI. et sit .A. Sit etiam .B. DXXIIII.CCLXXXVIII. Horum differentia sit .C. VII.CLIII. .C. igitur numerus maiorem numerum, qui est .A. septuagies quinquies metiatur. Si ergo .C. numerum septuagies quinquies multiplicem, fiet mihi .D. numerus, qui est .DXXXVI.CCCCLXXV. Igitur .D. numerus eum, qui est .A., numero eo, qui est .E., antecedit, id est .V.XXXIIII.

Ill, 12.2-7
Основы музыки
151
[нашей книги, где говорится] о диспозиции целых тонов). Итак, отношение коммы заключено между В и С.
(3) Вычтем В из С, и в остатке получится D, число 7153. Это число D меньше, чем Аз от числа В, но больше, чем его Ал часть. Ибо если умножить число D (7153), на 73, выйдет Е, число 522169, а если умножить его на 74, то выйдет F, число 529322. Из этих [двух чисел] число Е (полученное от умножения на 73) меньше числа В, а число F (полученное от умножения на 74) больше числа В. Отсюда справедливо утверждение, что число D меньше, чем Аз от В, но больше, чем Ал [от В].
(4) Отсюда число С превосходит число В меньше, чем на Аз часть числа В, и больше, чем на Ал его часть. Ведь отношение С:В больше, чем 75:74, но меньше, чем 74:73, ибо в первом [отношении] Ал часть дает меньшее число, а во втором [отношении] Аз часть дает большее число:
262144
524288 531441
7153 522169 529322
(5) То же можно доказать иначе, с учетом того, что утверждалось раньше46: если [каждое число] в отношении увеличить на одно и то же число, составляющее разность чисел [этого отношения], то новое отношение будет меньше того отношения, которое было до сложения.
(6) Е1апример, возьмем числа 6 и 4. Если прибавить к каждому из чисел их разность, то есть 2, то получатся числа 8 и 6. Fio между 6 и 4 — полуторное отношение, а между 8 и 6 — сверхтретное отношение, и сверхтретное отношение меньше полуторного отношения.
(7) Расположим теперь по этому методу вышеназванные числа, в которых содержится отношение коммы. Пусть А будет 531441, а В будет 524288. Разность этих чисел 7153 обозначим как С. Число С больше, чем Аъ часть от А. Ведь если число С мы умножим на 75, выйдет число D, то есть 536475. Следовательно, число D превосходит число А на величину числа Е, то есть на 5034.

152
Institutio musica
289 (8) Rursus .C numerus eum, qui est .B., metiatur septuagies quater, multiplice-
turque. Fiet igitur numerus .F. DXX VIIII.CCCXXII, qui .F. eo, qui est .B., maior est eodem .E. numero, qui est .V.XXXIIIL Ergo .D. numerus eum, qui est .A., transcendit .E. numero, .B. autem numerus ab eo, qui est .E, vincitur eodem .E. numero. Si igitur .E. numerum .A. numero apponamus, fiet .D., si vero .B. numero eundem .E. apponamus, fiet E. Sed .D. numerus septuagies quinquies auctus est, per .C. scilicet multiplicatum, E. autem septuagies quater multiplicato .C. crevit. Obtinent igitur inter se proportionem .D. atque E., quam habent .LXXV. ad .LXXnn. Sed .D. atque E. sunt .A. atque .B. uno eis addito .E. Maiorem igitur necesse est proportionem contineri inter .A. atque .B. quam inter .D. atque E. Namque .A. atque .B. numeris uno .E. addito effecti sunt .D. atque E. Minor igitur proportio est inter .D. atque E. quam inter .A. atque .B. Sed inter .D. atque E. eadem proportio est, quae inter .LXXV. et .LXXIIII. Inter .A. igitur atque .B. maior proportio est quam inter .LXXV. et .LXXIIII. At .A. atque .B. comma continent; maior igitur proportio est commatis quam .LXXV. ad .LXXIIII.
DXXXI.CCCCXLI DXXIIII.CCLXXXVIII VH.CLIII dxxxvi.cccclxxv vxxxiiii dxxviiii.cccxxii
B
c
D
E
F
290 (9) Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem maiorem esse
quam eam, quam .LXXV. continent ad .LXXIIII. comparati, nunc ostendendum est, quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes quam .LXXIIII. ad .LXXIII. comparati. Id vero monstrabitur hoc modo.
(10) Reminiscendum prius est, quid secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi, qui relinquuntur, maiorem obtinebunt proportionem his numeris, qui erant ante differentiae deminutionem.
(11) Sint enim .VIII. et .VI. Ab his propriam aufero differentiam, id est .II., fiunt .VI. et .1111. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesqualtera proportio continetur. Maior vero est sesqualtera proportio sesquitertia proportione.
(12) Sint igitur eidem .A. atque .B., qui sunt superius descripti, quorumque differentia .C. Multiplico differentiam .C. numeri septuagies quater, fit mihi numerus E. scilicet .DXXVIIII.CCCXXII., qui .A. numero comparatus vincitur numero .G., scilicet .II.CXVIIII.
(13) Rursus idem .C. multiplicetur septuagies ter; efficient numerum .K. id est .DXXII.CLXVIIIL, qui comparatus .B. numero vincitur eodem .G. eisdem .II.CXVIIII.

Ill, 12.8-13
Основы музыки
153
(8) 	Теперь сравним число С с числом В, умножив [число С] на 74. Выйдет число F, то есть 529322. Это число F больше числа В на величину числа Е, то есть на 5034. Следовательно, число D превосходит число А на величину числа Е, а число F превосходит число В на ту же величину числа Е. И соответственно, если мы прибавим Е к А, получится D, а если прибавим Е к В, то выйдет F. Но число D было получено умножением С на 75, a F вышло от умножения С на 74. Таким образом, D и F соответствуют отношению 75:74. Но [в то же время] D и F образованы прибавлением к А и В одной и той же величины Е. Таким образом, отношение А:В должно быть больше отношения D:F. Ведь D и F получились из чисел А и В путем добавления к ним одного и того же числа Е. Следовательно, D:F меньше отношения А:В. Но D:F — это как раз отношение 75:74. Следовательно, отношение А:В больше [отношения] 75:74. Но А:В — это комма. Таким образом, отношение коммы больше числа 75:74, [как здесь:]
531441 524288 7153 536475 5034 529322
В
с
D
Е
F
(9) Итак, мы показали, что отношение коммы больше отношения 75 к 74; теперь следут показать, каким образом числа интервала коммы составляют меньшее отношение, чем 74 к 73. Доказывается это так.
(10) Для начала нужно вспомнить то, о чем мы говорили во втором томе [нашего труда] о расчете разности [членов отношения]. Если каждое из чисел какого-либо отношения мы уменьшим [поровну] на величину разности этих чисел, то полученные числа образуют отношение больше того, что было до вычитания разности.
(11) Возьмем числа 8 и 6. Вычтем из [каждого из] этих чисел [их] разность, то есть 2. Выходят числа 6 и 4. Но в первых было сверхтретное, а во вторых получилось полуторное отношение; и полуторное отношение больше сверхтретного.
(12) Пусть даны А и В и их разность С [в тех числах], как сказано выше. Умножим число С на 74. Выходит число F, то есть 529322. Оно больше числа А на величину числа G, а именно на 2119.
(13) Теперь умножим то же число С на 73. Выйдет число К, то есть 522169, которое меньше числа В на величину того же G, то есть на 2119.

154
Institutio musica
(14) 	Sublato igitur .G. de numeris .A. atque .B. effecti sunt .R atque .K. Minorem igitur proportionem retinebunt .A. atque .B. quam R. atque .K. Sed R. atque .K. eam retinent proportionem, quam .LXXIIII. ad .LXXIIL His enim multiplicato .C. effecti sunt. (15) Minor est igitur proportio .A. atque .B. numerorum comma continentium, quam .LXXIIII. ad .LXXIII. Sed paulo 291 ante monstratum est, eandem commatis proportionem maiorem esse quam .LXXV. ad .LXXIIII.
(16) 	Monstrati sunt igitur numeri, qui comma continent, maiorem quidem inter se habere proportionem quam .LXXV. ad .LXXIIII., minorem vero quam .LXXIIII. ad .LXXIII., quod oportebat ostendere.
DXXXI.CCCCXLI DXXIIII.CCLXXXVIII VTI CLIU DXXVIIII.CCCXXII П CXVIIII ШХП.СЬХУИП
T
‘
в
c
F
K
G
Quod semitonium minus maius quidem sit quam .XX. ad .XVIIII. minus vero quam .XVIIIIS. ad .XVIIIS.
XIII. (1) Quod si ad semitonium minus talis speculatio convertatur, eius quoque proportionem facillime repperiemus, quae constat inter .CCLVL et .CCXLin. Sit igitur .CCLVI. A., .CCXLIII. B. Horum differentia .XIII. C. Dico, quoniam .A. ad .B. minorem retinet proportionem, quam .XVIIIIS. ad .XVIIIS.
(2) 	Metiatur enim .C. id, quod est .A., decies novies semis, id est multiplicetur C decies novies semis, fiunt .CCLIIIS., quod sit .D., qui scilicet comparatus ad .A. eodem .A. duobus semisque transcenditur; sitque haec differentia R. scilicet .IIS.
292 (3) Rursus eadem .C. differentia .B. numerum metiatur octies decies semis
id est multiplicetur octies decies semis, fient .CCXLS., quod sit R. Igitur .E. comparatus ad .B. eodem R. transcenditur, id est duobus semis.
(4) 	.D. igitur ab eo, quod est .A., et rursus .E. ab eo, quod est .B., eadem R. differentia sunt minores. Subtracto igitur R. ab eo, quod est .A. atque .B., facti sunt .D. atque .E.; maiorem igitur tenent proportionem inter se .D. atque .E. quam .A. atque .B. Sed .D. atque .E. eandem proportionem inter se retinent, quam .XVIIIIS. ad .XVIIIS. .A. igitur ad .B. minorem retinet proportionem quam .XVIIIIS. ad .XVIIIS. quod oportebat ostendere:
CCLVI CCXLIII XIII CCVIIIS CCXLS IIS
B
C
D
E
F
.

Ill, 12.14 - 13.4
Основы музыки
155
(14) 	Итак, вычитанием [одного и того же числа] G из чисел А и В произведены числа F и К. Следовательно, отношение А:В меньше, чем F:K. Но F:K находится в том же отношении, что и 74:73. Они [оба] и возникли от умножения на число С. (15) Следовательно, отношение коммы А:В меньше, чем отношение 74:73. А чуть раньше было доказано, что то же отношение коммы больше, чем 75:74.
(16) Итак, указанные числа, в которых содержится комма, образуют отношение в числе большем, чем 75:74, но меньшем, чем 74:73, что и требовалось доказать:
531441 524288 7153 529322 2119 522169
В
с
F
К
G
13. 	Малый полутон больше, чем 20:19, но меньше, чем 19^2:18½
(1) Если поразмыслить таким же образом о малом полутоне, мы легко найдем его отношение: оно обнаруживается в числах 256 и 243. Пусть 256 будет точка А, 243 — точка В, а их разность 13 обозначим как С. Я утверждаю, что отношение А:В меньше, чем 19 И :18½.
(2) Пусть число А будет измерено числом С 19½ раз; тогда при умножении С на 19½ получится 253½ пусть это будет точка D. Сравнение показывает, что величина А превосходит эту величину на 2 Vi47. Пусть эта разность между ними (а именно 2½) будет F.
(3) Теперь пусть той же разностью С 18½ раз будет измерено число В; тогда при умножении С на 18½ получится 240½ пусть это будет точка Е. Сравнение показывает, что величина В превосходит Е на ту же величину F, те же 2 Vi.
(4) Следовательно, D меньше А и Е меньше В на одну и ту же величину разности F. Иначе говоря, если вычесть величину F из В и [F из] А, получаются [соответственно] D и Е. Следовательно, отношение D:E больше, чем А:В. Но D и Е находятся всё в том же отношении 19½ 18½. Следовательно, отношение А:В меньше, чем 19½ 18½ что и требовалось доказать:
256 243 13 253 У2 240 У2 2 У2
В
С
D
Е
F

156
Institutio musica
(5) Videtur tamen eadem proportio .CCLVI. ad .CCXLIII. maior esse ab ea, quam continent .XX. et .XVIIII. Sint enim А. В. C. idem, qui superius descripti sunt. Metiatur igitur .C. differentia .A. terminum vicies, fient .CCLX., qui sint .D. Qui comparati ad id, quod est .A., eundem quaternario transcendunt. Hic sit .F.
(6) Rursus idem .C. metiatur .B. decies novies, fient .CCXLVII. Hic sit .E. Qui comparati ad .B. eodem .F. transcendunt.
(7) D. igitur numerus .A. numerum et .E. numerus numerum .B. eodem .F. transcendunt. Adiecto igitur .F. his, qui sunt .A. atque .B., facti sunt .D. atque .E. Maior igitur est proportio eorum, qui sunt .A. atque .B. quam eorum, qui sunt .D. atque .E. Sed .D. atque .E. vicies ac decies
293 	novies multiplicatus C numerus efficit. Maior igitur est proportio eorum, qui sunt .A. atque .B., qui scilicet semitonium continent, quam ea, quae est .XX. ad .XVIIII:
CCLVI CCXLIII XIII CCLX CCXLVII IIII
T
■ "T"
B
C
D
E
F
.
(8) 	Demonstratum igitur est semitonium minus maiorem quidem habere proportionem quam .XX. ad .XVIIII. minorem vero quam .XVIIIIS. ad .XVIIIS. Nunc idem minus semitonium commati comparemus, quod est ultimum auditui subiacens ultimaque proportio.
Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus minus vero quattuor
XIIII. (1) Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus maius quidem esse commatibus tribus, minus vero quattuor, quod hinc facillime possis agnoscere.
(2) Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason et eam, quae dicitur sex tonorum. Sit enim .A. CCLXII.CXLIIII. Intendantur igitur ad .B. quidem quinque toni continui et sit .B. CCCCLXXII.CCCXCIL; ad .C. autem diapason consonantia referatur, et sit .C. DXXIIII.CCLXXXVIII.; ad .D. autem sex toni intendantur, sitque .D. DXXXI.CCCCXLI. His ita positis et constitutis manifestum est inter .C. atque .D. comma constitui, eorumque differentiam esse VII.CLIII. Id autem sit .K.
(3) Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est .B., ad id, quod est .E., et sit .E. CCCLXXIII.CCXLVIII. Rursus ab eo, quod est .E., intendo diatessaron, quod est .F. CCCCXCVII.DCLXIIII. Quoniam igitur inter .E. atque .B. duo sunt toni, inter .E. atque .F. diatessaron, inter .B. igitur atque .F. minus semi-
294 	tonium repperitur. Sublatis enim de diatessaron consonantia duobus tonis

Ill, 13.5 - 14.3
Основы музыки
157
(5) Однако, то же самое отношение 256:243 очевидно больше, чем отношение 20:19. Пусть величины А, В, С будут теми же, что описаны выше. Пусть число А будет измерено числом С 20 раз; [при умножении С на 20] получится 260; пусть это будет точка D. Сравнение ее с А показывает, что она превосходит эту величину на 4. Пусть эта [разность 4 между ними] будет F.
(6) Теперь пусть той же разностью С 19 раз будет измерено число В; [при умножении С на 19] получится 247; пусть это будет точка Е. Сравнение [В и Е] показывает, что величина Е превосходит [В] на ту же величину F, [те же 4].
(7) Итак, число D превосходит число А и число Е превосходит число В на одну и ту же величину F. Иначе говоря, если прибавить величину F к А и [F прибавить к] В, получатся [соответственно] D и Е. Следовательно, отношение А:В больше, чем D:E. Но числа D и Е, числа 20 и 19 — это множители числа С. Следовательно, отношение содержащих полутон чисел А и В больше, чем 20:19, [как здесь:]
256 243 13 260 247 4
В
с
D
Е
F
(8) 	Итак, доказано, что [малый] полутон имеет отношение больше, чем 20:19, но меньше, чем 19 И : 18 И. А теперь тот же малый полутон мы сравним с коммой, крайним доступным слуху [интервалом] и наименьшим отношением.
14. 	Малый полутон больше, чем три коммы, но меньше, чем четыре [коммы]  1 2 3(1) Итак, мы намереваемся доказать, что малый полутон больше трех комм, но меньше четырех, в чем можно удостовериться очень легко, следующим образом.
(2) Расположим три числа так, чтобы в них заключались отношения [пяти тонов], октавы и того, что называется шеститоновым. Примем А равным 262144. При восхождении [от А] на пять тонов подряд примем В; это В=472392. Октавный консонанс пусть будет С; это С=524288. Наконец, при восхождении на шесть тонов [от А] примем D; это D=531441. После того как числа расположены и установлены так, ясно, что комма установлена между С и D, разность которых составляет 7153; пусть это будет К.
(3) Теперь спустимся вниз на два тона от В к Е; пусть Е=373148. Теперь от Е построим вверх кварту, получится F=497664. Поскольку между Е и В два тона, а между Е и F кварта, то между В и F, следовательно, возникнет малый полу-

158
Institutio musica
fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi .CCLVI. et .CCXLIII. Quos eosdem numeros, si millies nongenties quadragies quaterque multiplices, .B. atque .R numeros explicabis. Quos necesse est eandem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est I.DCCCCXLIIII. pariter multiplicati creverunt.
(4) Item ab eo, quod est R., intendo diatessaron, scilicet ad .G. et sit .G. DCLXIII.DLII. Rursus ab eodem .G. remitto ad .R duos tonos et sit .P. DXXIIII.CCLXXXVIII. Quod .P. necesse est ut eundem sonum quem .C. numerus exhibeat; ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est.
(5) Etenim ea, quae est .AC. diapason consonantia, quae constat V tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab .VI. tonis commate superatur. Ab eodem igitur .A. termino numerus .P .V. tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est .A., usque ad id, quod est .В., .V. nimirum colliguntur toni. Ab eo autem, quod est .B., usque ad id, quod est R., minus esse semitonium pernotatur. R. vero atque .P. idem rursus semitonium minus includunt. .A. igitur usque ad .P .V. tonos ac duo semitonia minora produxit. Iure igitur .P atque .C. eisdem numeris conscribuntur.
(6) Sed quoniam inter R. atque .C. semitonium minus est, videamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI.DCXXIIII. et sit hoc .M. Igitur .K. commatis differentia est, .M. autem semitonii minoris. Si igitur .K. numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXI.CCCCLVIIII. et sit hoc .L. Si vero quater
295 	eundem numerum .K. multiplicare volueris, fient XXVIII.DCXII. et sit hic .N. Igitur .M. maior quidem est ab .L., idem autem .M. minor est ab .N.
(7) Sed .N. quater aucto commate succrevit, .L. autem tertio, .M. vero semitonii minoris obtinet differentiam. Iure igitur dictum est, minus semitonium minus quidem esse, quam .1111. commata, maius vero quam tria.
5 constat V tonis] constat tonis Fr.

Ill, 14.3-7
Основы музыки
159
тон. При вычете из квартового консонанса двух тонов останется малый полутон, который, как мы говорили раньше, выражается в первых числах 256 и 243. Если умножить эти числа на 1944, то получатся числа В и F. Эти числа должны содержать вышеназванное отношение [256:243], ведь возникли они в результате умножения [каждого из чисел отношения 256:243] на одно и то же число 1944.
(4) От F построим вверх кварту к G; это G=663552. Теперь от того же G построим вниз два тона; получится 524288, точка Р. Эта [высота] Р должна издавать тот же звук, что определен числом С. Равенство [высот Р и С] доказывается нижеследующим рассуждением.
(5) Известно, что октавный консонанс АС, который состоит из пяти тонов и двух малых полутонов, меньше шести тонов на комму. От того же члена А и число Р отстоит на пять тонов и два полутона, таким образом. От точки А до точки В бесспорно пять тонов. От В до F наблюдается, как показано, малый полутон. F и Р опять же заключают в себе малый полутон. Следовательно, А и Р между собой произвели пять тонов и два малых полутона. Справедливо поэтому приписать Р и С одно и то же число:
(6) Но поскольку малый полутон есть [также] между F и С, то посмотрим, какова их разность, чтобы сравнить ее с коммой48. Эта разность равняется 26624, величине М. Итак, мы приняли, что К — разность коммы, а М — малого полутона. Теперь, если мы умножим число К на 3, получится число 21459; пусть это будет L. А если умножить то же число К на 4, получится 28612; пусть это будет N. Выходит, что М больше, чем L, но меньше, чем N.
(7) Но число N возникло в результате увеличения [числа] коммы в четыре раза, a L — в три раза; число М же получилось из разности малого полутона. Справедливо поэтому утверждать, что малый полутон меньше четырех комм, но больше трех49:

160
Institutio musica
VII.CLIII
'I
XXLCCCCLVIIII
‘I
XXVLDCXXIIII
M
XXVIII.DCXII
N
Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem quam quinque, tonum maiorem quam .VIII. minorem quam .VIIII.
XV. 	(1) Eadem hac ratione et semitonium maius, quod apotomen dici 296 supra retulimus, quot commatum sit, possumus invenire hoc modo.
(2) 	Sit .A. CCLXII.CXLIIIL, quinque vero ab eo distans tonis sit .B. CCCCLXXII.CCCXCIL, sex vero distans tonis ab eo, quod est .A., sit .D. scilicet .DXXXI.CCCCXLI. Inter .B. igitur atque .D. tonus est, .B. vero ab eo, quod est .C, distet semitonium minus et sit .C. CCCCXCVII.DCLXIIII. Relinquitur ergo inter .C. atque .D. apotome proportio. Nam cum sit tonus .BD., ex eo si auferas .BC. semitonium minus, .CD. relinquitur maius, quod apotomen esse supra retulimus.
CCLXII. CCCCLXXII. CCCCXCVII DXXXI.
CXLIIII CCCXCII .DCLXIIII CCCCXLI
(3) Inter .D. igitur atque .C. est differentia XXXIII.DCCLXXVII. Hic autem sit .E. Sed erat commatis differentia .VII.CLIII. Hic sit .F. Si igitur .R, id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi XXXV.DCCLXV. et sit hoc .G. Si vero idem R. quater multiplicem, fit .K. numerus, qui est XXVIII.DCXII. .G. igitur ab eo, quod est .E., maius est, .K. minus. Sed .G. quinquies auctum est comma, .K. vero quater. Est autem apotomes differentia .E. Iure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, maiorem vero quam quattuor.
XXVIII.DCXII XXXIII.DCCLXXVII XXXV.DCCLXV VII.CLIII
4 4 4 4
(4) Ex hoc igitur conprobatur tonum maiorem quidem esse, quam sunt .VHI. commata, minorem vero quam .VIIII. Nam si minus semitonium maius quidem est quam tria commata, minus vero quam .ПП., apotome autem maior quidem est quam .ПП. commata, minor vero quam .V, iunctum semitonium minus semitonio maiori, quod est apotome, erit omne maius quidem .VIII. commatibus, minus vero.'VEH. Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est .VIII. commatibus, minor vero .VIIII.

Ill, 14.7 - 15.4
Основы музыки
161
7153
'I
21459
L
26624
28612
NI
15. 	Апотома больше, чем четыре коммы, но меньше, чем пять [комм]; целый тон больше, чем восемь комм, но меньше, чем девять
(1) Рассуждая аналогично, мы можем исследовать, из скольких комм состоит и большой полутон, который выше мы назвали апотомой50.
(2) Пусть точка А будет в числе 262144, а на пять тонов от нее пусть отстоит В=472392; а на шесть тонов от А пусть отстоит D, а именно 531441. Итак, между В и D тон, а В от точки С, которой пусть соответствует число 497664, будет отстоять на малый полутон. Выходит, что между С и D отношение апотомы. Потому что если из тона BD вычесть малый полутон ВС, останется большой полутон CD, который выше мы назвали апотомой.
262144 472392 497664 531441
(3) 	Разность между D и С равна 33777, величине Е, а разность [чисел для] коммы составляет 7153, величину К Если теперь комму F мы умножим на 5, выйдет число 35765; пусть это будет G. Если ту же [комму] F умножить на 4, выйдет число К=28612. Таким образом, G больше, чем Е, а К меньше [Е]. Поэтому справедливо утверждать, что апотома меньше, чем пять комм, но больше, чем четыре [коммы].
28612 33777 35765
7153
К
Е
G
F
(4) 	Тем самым доказывается и то, что тон больше 8 комм, но меньше, чем 9 [комм]. Ибо если малый полутон больше, чем 3 коммы, но меньше, чем 4, а апотома больше, чем 4, но меньше, чем 5, то при сложении малого полутона с большим (апотомой) возникнет целое, которое больше восьми комм, но меньше девяти. Но апотома и малый полутон производят один [целый] тон. Следовательно, тон больше восьми комм, но меньше девяти.

162
Institutio musica
297 	Superius dictorum per numeros demonstratio
XVI. 	(1) Sed quamquam per hanc ratiocinationem demonstratum sit, quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quominus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur.
(2) 	Sit igitur .A. quidem CCLXII.CXLIIIL, .B. autem .V. ab eo distans tonis CCCCLXXII.CCCXCIL, .C vero diapason ad id, quod est .A., continens symphoniam scilicet in numeris DXXIIII.CCLXXXVIIL, .D. autem ab eo, quod est .A. .VI. totos differens tonos DXXXI.CCCCXLI. .D. igitur ab eo, quod est C, distat commate sexti toni ab diapason scilicet consonantia.
DXXXI
CCCCXLI
(3) Id autem sit .E. VII.CLIII. .D. autem ab eo, quod est .B. tono integerrimo distat, .VI. scilicet toni quinque tonis. Id autem sit .F. LVIIII.XLVIIII. Si igitur .E. novies auxero, fiet mihi .H. LXIIII.CCCLXXVII; sin vero octies, fient
298 LVII.CCXXIIII. Id sit .G. Sed .H. quidem .F. numero comparatus superat, .G. vero superatur, et est .F. toni differentia, .H. autem novies multiplicatum comma, .G. vero octies. Demonstratus igitur est tonus minor quidem .VIIII. esse commatibus, eisdem vero .VIII. commatibus maior.
VÏLCLIII LVn.CCXXini LVTIILXLVIIII LXÏÏÏÏ.CCCLXXVII
EI °I FI HI
(4) Ita his praemissis licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subiectos numeros tali ratione probabitur.
(5) Sit .A. numerus CCCCXCVII.DCLXIIII., ab eo vero minus semitonium distans sit .B. numerus, qui iam supra quoque descriptus est
( DXXIIII.CCLXXXVIII. Apotomen vero distet ab eo, quod est .A., is numerus, qui colligitur unitatibus DXXXI.CCCCXLI. Et sit hic .C. Quoniam igitur .AB. minus semitonium .AC. maius, differentia eius, quod est .B., ab eo, quod
299 est .C., perquirenda est. Ea est VII.CLIII. Id sit .D. Sed hic numerus dudum

Ill, 16.1-5
Основы музыки
163
16. 	Доказательство [всего] вышеизложенного с помощью чисел
(1) Хотя с помощью вышеприведенных расчетов показано, каким образом тон соотносится с коммами, мы должны, не расслабляясь подобно ленивцам, еще показать, как тон выдерживает это сопоставление с коммами и взятый сам по себе.
(2) Пусть дана точка А в числе 262144, а на пять тонов от нее пусть отстоит В=472392; и пусть С по отношению к А содержит октавный консонанс, заключенный в числе 524288. D, равное 531441, пусть отстоит от А на шесть целых тонов. Таким образом, D от С (то есть шесть тонов от октавного консонанса) отстоит на величину коммы.
531441
(3) 	Пусть это будет Е=7153. Точка D от В (то есть шесть тонов от пяти тонов) отстоит на величину самого что ни на есть подлинного тона. Пусть это будет величина F=59049. Если теперь мы умножим [комму] Е на девять, получим 64377, точку Н; а если на восемь, то выйдет 57224, точка G. Но Н по величине больше, чем F, a G меньше (F соответствует тону, Н — девятикратной комме, a G — восьмикратной). Следовательно, доказано, что тон меньше девяти комм, но больше восьми таких же комм.
7153 57224 59049 64377
G
F
H
J.
j.
(4) Хотя предварительно уже объяснялось, что большой полутон отстоит от малого полутона на комму, пусть это же будет доказано само по себе и с помощью заданных чисел, следующим способом.
(5) Пусть дано число А=497664 и отстоящее от него на малый полутон число В, которое выше уже было описано, то есть 524288. На апотому от А отстоит число 531441; пусть это будет С. Поскольку AB — малый полутон, а АС — большой, то надо отыскать разность В и С. Эта разность составляет 7153, число D. Но только что было показано, что это число

164
Institutio musica
comma monstrabat. Inter maius igitur semitonium ac minus comma differentiam facit:
CCCCXCVII. DXXIIII. DXXXI.
DCLXIIII CCLXXXVIII CCCCXLI Vlî.CLIII
(6) Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse maiorem. Sit .A. numerus CCCCLXXII.CCCXCII. ab hoc intendatur tonus DXXXI.CCCCXLI. et sit hoc .D. Ab eo vero, quod est .A., intendatur semitonium minus, quod est .B., ac sit .B. CCCCXCVII.DCLXIIII. Item ab eo, quod est .B. semitonium aliud intendatur minus, quod est .C, et sit .C. DXXIIII.CCLXXXVIII.
(7) Quoniam igitur .AD. tonus est, .AC. vero duo continet minora semitonia, videamus ecqua sit differentia inter .C. atque .D. numeros constituta. Est autem, .E. scilicet, unitatum VII.CLIU. Demonstratum est igitur, tonum duobus semitoniis minoribus commate esse maiorem:
CCCCLXXII. CCCCXCVII. DXXIIII. DXXXI.
CCCXCII DCLXIIII CCLXXXVIII CCCCXLI VII.CLIII
300 (8) Sed quoniam iam omnia, quae probanda promisimus propria ratione
monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni regularis monochordi est facienda partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterioris commentarii disputationem censuimus transferendam.
Explicit de musica id est armonica institutione liber tertius.

Ill, 16.5-8
Основы музыки
165
коммы. Следовательно, разность между большим полутоном и малым составляет комму:
497664 524288 531441 7153
(6) Теперь я собираюсь доказать, что тон больше двух малых полутонов всего лишь на комму. Пусть дано число А=472392, от которого вверх откладываем тон 531441, точку D. Теперь от А вверх откладываем малый полутон В, и это В=497664. Вверх от В снова откладываем малый полутон С, и это С=524288.
(7) Поскольку AD — тон, а АС заключает в себе два малых полутона, посмотрим, какова разность чисел С и D; а это, оказывается, число Е=7153. Таким образом, доказано, что тон больше двух малых полутонов на величину коммы:
472392 497664 524288 531441 7153
(8) 	Поскольку всё, что мы пообещали доказать, с помощью соответствующих расчетов явлено, то теперь в рамках предмета «Основы музыки» осталось лишь произвести деление линейного монохорда51. Поскольку эта тема требует развернутого изложения, мы решили перенести ее обсуждение в следующую книгу.
Конец третьей книги об основах музыки, то есть гармоники.

Incipit liber quartus
301 Vocum differentias in quantitate consistere
I. (1) Etsi omnia, quae demonstranda erant, superioris libri tractatione digessimus, non paenitet tamen rursus eadem breviter memoriae recolligenda praestare cum quadam diversitate tractatus, ut his rursus ad memoriam redeuntibus ad regulae divisionem quo tota tendit intentio, veniamus.
(2) Si foret rerum omnium quies, nullus auditum sonus feriret, id autem fieret, quoniam cessantibus motibus cunctis nullae inter se res pulsum cierent. Ut igitur sit vox, pulsu est opus. Sed ut sit pulsus, motus necesse est antecedat. Ut ergo sit vox, motum esse necesse est. Sed omnis motus habet in se tum velocitatem tum etiam tarditatem. Si igitur sit tardus inpellendo motus gravior redditur sonus. Nam ut tarditas proxima stationi est, ita gravitas contigua taciturnitati. Velox vero motus acutam voculam praestat. Praeterea quae gravis est, intentione crescit ad medium, quae vero acuta, remissione decrescit ad medium.
(3) Unde fit, ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus compositus esse videatur. Omnis autem partium coniunctio quadam proportione committitur. Sonorum igitur coniunctio proportionibus constituta est. Proportiones autem principaliter in numeris considerantur. Proportio vero simplex numerorum vel in multiplicibus vel in superparticularibus vel in superpartientibus invenitur.
302 Secundum multiplices vero proportiones vel superparticulares consonae vel dissonae voces exaudiuntur. Consonae quidem sunt, quae simul pulsae suavem permixtumque inter se coniungunt sonum. Dissonae vero, quae simul pulsae non reddunt suavem neque permixtum sonum.
(4) His igitur ita praedictis de proportionibus pauca dicamus. Diversae de intervallis speculationes
II. (1) Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione, intervallum multiplex erit. Sit multiplex intervallum .BC. et .B. multiplex eius, quod est .C. et fiat, ut est .C. ad .B., ita .B. ad .D. Quoniam igitur .B. multiplex est eius, quod est .C., metitur .C. terminus id, quod est .B., vel bis vel tertio vel deinceps. At est ut .C. ad .B. ita .B. ad .D. Metitur igitur .B. terminus id, quod est .D. Quocirca etiam .C. terminus id, quod  I,I, 2 nullae inter se res pulsum cierent] nullum inter se res pulsum cierent Fr.

Книга IV
1. Различия звуков по высоте заключаются в количестве1
(1) Хотя всё, что нужно было сказать [по этому вопросу], мы обстоятельно изложили в предыдущей книге, не помешает для освежения памяти то же самое вкратце изложить заново — в несколько ином виде, чтобы, еще раз припомнив [основы], перейти к делению канона2 — тому, на чем [в Четвертой книге] сосредоточены все наши усилия.
(2) Если бы все вещи пребывали в покое, ни один звук не доносился бы до слуха; так произошло бы, потому что при отсутствии всякого движения ни одна вещь не билась бы об другую. Итак, чтобы возник звук, нужно биение. Но чтобы возникло биение, раньше него необходимо движение. Следовательно, чтобы возник звук, необходимо движение. Но всякое движение полагается либо быстрым, либо медленным. Если от толчка рождается медленное движение, возникает низкий звук. Ибо подобно тому как медленное движение близко к неподвижности, так и низкая звучность граничит с тишиной. Быстрое же движение дает высокий звук3. Кроме того, низкий звук повышается до среднего путем напряжения, а высокий понижается до среднего путем ослабления4.
(3) Таким образом, получается, что всякий звук состоит как бы из неких частей. Всякое же соединение частей выражается неким отношением. Следовательно, и соединение звуков определяется отношениями. Отношения же рассматриваются, прежде всего, в числах. Простое числовое отношение обнаруживает себя в кратных, сверхчастичных или сверхчастных [родах числовых отношений]5.
(4) Под именами кратных и сверчастичных отношений подразумеваются [музыкальные интервалы] — консонансы и диссонансы6. К консонансам относятся те, в которых [разновысотные] тоны при соударении сочетаются в приятном и слитном звучании. К диссонансам относятся те, в которых тоны при соударении звучат неприятно и неслитно7.
(5) После этих предварительных соображений скажем немного о числовых отношениях.
2. Различные рассуждения об интервалах8
(1) 	[I.] Если кратный интервал удваивается, то интервал, который получается от такого умножения, будет кратным. Пусть дан кратный интервал ВС, и В — это умноженное С, и пусть отношение С к В такое же, как и отношение В к D. Итак, поскольку В — это умноженное С, то член С измеряет [число] В дважды, трижды или другое число раз. Но С к В относится так же, как В к D. Таким образом, член В служит мерой для D. Вот почему член С служит

168
Institutio musica
est .Dv et metitur .B.; multiplex est igitur .D. eius, quod est .C, et est .DC. intervallum effectum ex composito bis copulatoque sibimet et per binarium multiplicato .BC. intervallo.
(2) 	In numeris quoque idem probatur. Sit enim .B. ad .C. duplum, ut binarius ad unitatem et fiat, ut .C. ad .B. ita .B. ad .D. Erit igitur .D. quaternarius. Multiplex est autem .B. ad .C. id est binarius ad unitatem, multiplex igitur est .D. quaternarius ad .C. unitatem. Est enim quadruplus quaternarius unitatis et binario multiplicata medietas, quod est intervallum .BC.
IV II I
(3) Si intervallum binario multiplicatum multiplex effecerit intervallum, ipsum quoque multiplex erit Sit intervallum .BC. et fiat ut .C. ad .B. ita .B. ad .D. et .D. sit ad .C. multiplex. Dico, quia .B. eius quod est .C. multiplex est. Quoniam enim .D. eius quod est .C. multiplex est, metitur .C. id, quod est .D. Ostensum vero est, quoniam, si sint proportionaliter numeri et prior naturaliter fuerit ultimo comparatus, si primus ultimum fuerit mensus, metietur et medium. .C. igitur metietur id, quod est .B. Multiplex est igitur .B. eius, quod est .C.
(4) Id rursus ex numeris. Sit .C. unitas .D. vero ex duplicata proportione .BC. sit quaternarius et est multiplex eius, quod est .C. Est enim quadruplus. Quoniam igitur hic quadruplus ex duplicata .BC. proportione generatur, .BC. proportio dimidium eius erit. Igitur .BC. proportio dupla est. Sed duplum multiplex est. Erit igitur .BC. proportio multiplex.
IV II I
(5) 	Superparticularis intervalli medius numerus neque unus neque plures proportionaliter intervenient. Sit enim .BC. proportio superparticularis et in  1 * 31 Quocirca etiam .C. terminus id, quod est .D., et metitur .B.] Quocirca etiam .C. terminus id,
quod est .D., metietur Fr.
3 si primus ultimum fuerit mensus] si primum ultimus fuerit mensus Fr et antiquissima mss. Emendatio ad Graecum (ό δέ πρώτος τον έσχατον μετρή) et ad sensum.

IV, 2.1-5
Основы музыки
169
мерой для D, равно как и для В. Итак, D кратно С, и DC — интервал, производный от составного и удвоенного, или, [другими словами,] помноженного на два интервала.
(2) 	В числах то же самое доказывается так. Пусть В и С — двойное отношение 2:1, а С к В относится так же, как В к D. Отсюда выйдет D, четверное [число]. Отношение В к С, то есть 2:1, кратно; следовательно, и D к С — кратное отношение 4:1. Ибо четверное число — учетверенная единица и удвоенное среднее, то есть интервал ВС:
4 2 1
(3) [IL] Если удвоенный интервал производит кратный интервал, сам этот [удвоенный] интервал тоже будет кратным. Пусть дан интервал ВС; С к В относится как В к D, и D:C — кратное отношение. Я утверждаю, что и В:С — кратное отношение. Поскольку D:C — кратное отношение, то С служит мерой для D. Но уже известно9, что если [все] числа пропорциональны и первое в натуральном ряду сравнивается с последним, то раз последнее измеряется первым, им же измеряется и среднее10. Следовательно, С служит мерой и для В и, следовательно, В:С — кратное отношение.
(4) Теперь [то же докажем] числами. Пусть С — единица, a D — учетверенное число, полученное от удвоения отношения ВС, и оно кратно С. Итак, [DC] — четверное отношение. Поскольку это четверное отношение происходит от удвоения отношения ВС, то отношение ВС будет половинным [от DC]. Следовательно, ВС — двойное отношение. Но двойное отношение кратно, а значит, и отношение ВС будет кратным:
4 2 1
(5) 	[III.] У сверхчастичного интервала ни одно среднее число, ни больше [средних чисел] в пропорции не получатся. Пусть дано сверхчастичное отношение ВС, и в таком же отношении пусть даны в наименьших [натуральных числах]

170
Institutio musica
eadem proportione minimi sint .DF. et .G. Quoniam .DF. et .G. minimi sunt in eadem proportione, sunt eiusdem proportionis primi. Quocirca sola eos unitas metietur. Auferatur igitur .G. ab .DF. et relinquatur .D. Hic est igitur utrorumque mensura communis. Haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter .DF. atque .G. incidet numerus, qui sit ab .DF. quidem minor, maior vero ab .G. Sola enim interest unitas.
304 (6) Quanti vero in superparticularibus proportionibus proportionaliter
inter eiusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter ceteros eiusdem proportionis intercident. Sed nullus inter .FD. atque .G. minimos eiusdem proportionis intervenire potest; nullus igitur inter .B. atque .C. proportionaliter cadet.
(7) 	Et in numeris. Sit quaelibet superparticularis proportio, ut sesqualtera. Hi vero sint .X. et .XV. In eadem vero proportione minimi .II. et .III. Aufero de tribus binarium, fit reliqua unitas, eademque utrosque metitur. Nullus erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui sit binario maior, minor vero ternario. Alioquin unitas dividetur, quod est inconveniens. Quare ne inter .X. quidem atque .XV. quisquam invenietur numerus, qui talem ad .X. obtineat proportionem, qualem ad eum tenent .XV.  8 9(8) Si intervallum non multiplex binario multiplicetur, nec multiplex est, nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex .BC. et fiat, ut .C. ad .B. sic .B. ad .D. Dico, quoniam .D. eius, quod est .C. neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primum .D. eius, quod est .C. multiplex. Et quoniam cognitum est, si intervallum binario multiplicatum sit et multiplex intervallum creatum, id quod multiplicatum est bis in-
305 tervallum esse multiplex, erit igitur .BC. multiplex. Sed non est positum, non igitur erit .D. eius, quod est .C., multiplex. Nec vero superparticulare. Nam superparticularis proportionis medius proportionaliter terminus nullus intervenit. Inter .D. vero et .C. est proportionaliter terminus constitutus, id est .B. Nam ut est .C. ad .B. ita .B. ad .D. Inpossibile igitur erit, .D. eius quod est .C. vel multiplicem esse vel superparticularem, quod oportebat ostendere.
(9) Et in numeris. Sit non multiplex intervallum .VI. ad .1111. fiatque ut sunt .1111. ad .VI. ita .VI. ad alium quemlibet numerum. Hic erit igitur novenarius, qui quaternarii neque multiplex neque superparticularis est.

IV, 2.5-9
Основы музыки
171
DF и G. Поскольку DF и G — наименьшие [натуральные числа] в том же [сверхчастичном] отношении, они же — первые [члены] этого отношения. Мерой для них служит только единица. Если из DF вычесть G, останется D — общая мера для обоих [чисел отношения], а именно единица. Вот почему между DF и G не получится числа меньшего, чем DF, и большего, чем G, а есть только единица.
(6) В самом деле, сколько выпадет [средних] в пропорции между наименьшими членами сверхчастичного отношения, столько же их выпадет и между прочими членами такого же отношения11. Но между наименьшими [членами сверхчастичного отношения] DF:G не находится ни одного [среднего числа]; следовательно, и между В и С в пропорции не будет ни одного.
(7) А теперь в числах. Пусть дано какое-нибудь сверхчастичное отношение, скажем, полуторное; положим, 10:15. Наименьшие [члены] этого отношения — [числа] 2 и 3. Я вычитаю из трех два, остается единица, она же служит мерой для обоих членов. Итак, никакое [среднее] число между двойкой и тройкой не будет больше двойки и меньше тройки, если только не поделить единицу, что не годится. Поэтому и между 10 и 15 не найдется числа, которое составило бы к 10 такое же отношение, как к 15:
15
В
10
с
3
D
F
2
G
(8) [IV.] Если некратный интервал умножить на два, получится и не кратный, и не сверхчастичный интервал. Пусть дан некратный интервал ВС, а С:В относится как B:D. Я утверждаю, что D:C — не кратное и не сверхчастичное отношение. Для начала допустим, что D:C — кратное отношение. Поскольку известно, что если дан удвоенный интервал, и он кратный, то интервал, который умножался на 2, будет кратным, значит, ВС — кратный интервал. Но это противоречит условию, следовательно, D:C — не кратное отношение. Но [D:C] и не сверхчастичное отношение, ибо у сверхчастичного отношения не выпадает ни одного среднего пропорционального числа. Между D и С, однако, [среднее] пропорциональное число, а именно В, существует ([по условию] С относится к В, как В к D). Итак, невозможно отнести D:C ни к кратному, ни к сверхчастичному отношению, что и требовалось доказать.
(9) А теперь в числах. Пусть дан некратный интервал 6:4 и пусть, как 4 относится к 6, так и 6 относится к некоему числу. Таковым будет 9, число, которое по отношению к 4 не является ни кратным, ни сверхчастичным:

172
Institutio musica
306
VIIII VI IV
(10) 	Si intervallum binario multiplicetur atque id, quod ex ea multiplicatione creabitur, multiplex non sit, ipsum quoque non erit multiplex. Sit enim intervallum .BC. fiatque, ut .C. ad .B. ita .B. ad .D. et non sit .D. eius quod est .C. multiplex. Dico, quoniam nec .B. eius, quod est .C., erit multiplex. Si enim est, et .D. eius quod est .C. multiplex est. At non est. Non erit igitur .B. eius, quod est .C., multiplex.
(11) Duplex intervallum ex duobus maximis superparticularibus coniungitur; sesqualtero et sesquitertio. Sit enim .A. quidem eius, quod est .B., sesqualter, .B. vero eius, quod est .C., sesquitertius. Dico, quoniam .A. eius, quod est .C. duplex est. Quoniam igitur sesqualter est .A. eius, quod est .B., igitur .A. habet in se totum .B. eiusque dimidium. Duo igitur .A. aequi sunt tribus .B. Rursus quoniam .B. eius, quod est .C. sesquitertius est, .B. igitur habet .C. et eius tertiam partem. Tres igitur .B. aequi sunt ad quattuor .C. Tres autem .B. aequi erant duobus .A. Duo igitur .A. aequi sunt ad quattuor .C. Unus igitur .A. aequus est duobus .C. Duplex erit igitur .A. eius, quod est .C.
(12) Et in numeris. Sit enim sesqualter .VI. ad .IV., sesquitertius vero .1111. ad .IIT; ergo .VI. ad .III. duplices sunt.
VI IV III
10 descr. deest in Fr.
12 sesqualter .VI. ad .IV., sesquitertius vero .1111. ad .III.; ergo .VI. ad .III. duplices sunt] sesqualter .XII. ad .VIII. sesquitertius vero .VIII. ad .VI.; ergo .XII. ad .VI. duplices sunt Fr.
12 (descr.) VI IV III] XII VIII VI Fr.

IV, 2.9-12
Основы музыки
173
9
6
4
D
В
С
(10) 	[V.] Если данный интервал возник от удвоения, и произведение от такого умножения не является кратным, значит, и сам [исходный] интервал некратный. Пусть дан интервал ВС, а С:В относится как B:D, и пусть D не является кратным для С. Я утверждаю, что отношение ВС не будет кратным. Если бы это было так, то и отношение D:C было бы кратным. А это [по условию] не так. Следовательно, отношение В к С не является кратным:
(11) [VI.] Двойной интервал складывается из двух наибольших сверхчастичных — полуторного и сверхтретного. Пусть А:В — полуторное отношение, а В:С — сверхтретное. Я утверждаю, что А:С — двойное отношение. Поскольку А:В — полуторное отношение, то А содержит в себе В целиком и еще его половину. Отсюда два А равны трем В. Далее, поскольку В:С — сверхтретное отношение, то В содержит в себе С [целиком] и еще его третью часть. Отсюда три В равны четырем С. Но три В были равны двум А. Отсюда два А равны четырем С; соответственно, одно А равно двум С.
(12) А теперь в числах. Пусть дано полуторное отношение 6:4 и сверхтретное 4:3; следовательно, 6:3 — двойное отношение:
D
6
4
3
А

174
Institutio musica
(13) Ex duplici intervallo atque sesqualtero triplex nascitur intervallum. Sit enim .A. eius, quod est .B., duplex, .B. autem eius, quod est .C, sesqualter. Dico quoniam .A. eius, quod est .C. triplex est. Nam quoniam .A. eius, quod est .B., duplex est, .A. igitur aequus est duobus .B. Rursus quoniam .B. eius, quod est .C., sesqualter est, .B. igitur habet in se totum .C. et eius dimidiam partem. Duo igitur .B. aequi sunt tribus .C. Sed duo .B. aequi erant uni .A. Et unus igitur .A. aequus est tribus .C. Igitur .A. uno .C. triplex est.
(14) Et in numeris. Sit duplex quidem senarius ternario, sesqualter vero ternarius binario, senarius igitur triplex est binario.
VI III II
(15) Si sesqualtero intervallo sesquitertium demptum fuerit intervallum, erit 307 quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim .A. quidem eius quod est .B.,
sesqualter, at vero .C. eius, quod est .B., sesquitertius. Dico quoniam .A. eius, quod est .C., sesquioctavus est. Quoniam enim .A. eius, quod est .B., sesqualter est, .A. igitur habet in se .B. et eius dimidiam partem. Octo igitur .A. aequi sunt ad duodecim .B.
(16) Rursus quoniam .C. eius, quod est .B., sesquitertius est, .C. igitur habet in se .B. et tertiam eius partem. Novem igitur .C. aequi sunt ad duodecim .B. Duodecim autem .B. aequi erant ad octo .A. Et octo igitur .A. aequi sunt ad novem .C. Igitur .A. aequus est ei, quod est .C., et octavae eius parti. .A. igitur eius, quod est .C., sesquioctavus est.
(17) Et in numeris. Sesqualterum quidem intervallum sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesquioctava proportio est.
VIIII VIII VI
(18) 	Sex proportiones sesquioctavae maiores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidam numerus .A., huius autem sit sesquioctavus .B., huius

IV, 2.13-18
Основы музыки
175
(13) [VIL] Из двойного и полуторного интервалов получается тройной. Пусть дан двойной интервал А:В и полуторный интервал В:С. Я утверждаю, что А:С — тройной интервал. Поскольку А:В — двойной интервал, то А равно двум В. Далее, поскольку В:С — полуторный интервал, то В содержит в себе целиком С и еще его половину. Итак, два В равны трем С. Но два В были равны одному А; следовательно, одно А равно трем С. Следовательно, в одном А содержится трижды С.
(14) А теперь в числах. Пусть дано двойное отношение 6:3 и полуторное отношение 3:2. Отсюда 6:2 — тройное отношение:
6 3 2
(15) [VIII.] Если из полуторного интервала вычесть сверхтретный, в остатке будет сверхосминный интервал. Пусть дан полуторный интервал А:В, при этом С:В — сверхтретный [интервал]. Я утверждаю, что А:С — сверхосминный интервал. Поскольку А:В — полуторный интервал, то, следовательно, А содержит в себе В [целиком] и еще его половину. Следовательно, восемь А равны двенадцати В.
(16) Далее, поскольку С:В сверхтретный интервал, то С, следовательно, содержит в себе В [целиком] и еще его третью часть. Следовательно, девять С равны двенадцати В. Но двенадцать В были равны восьми А. Следовательно, восемь А равны девяти С. Итак, А равно С и еще его восьмой части [и таким образом] А:С — сверхосминный интервал.
(17) А теперь в числах. Пусть дан полуторный интервал 9:6 и сверхтретный 8:6; отсюда 9:8 — сверхосминное отношение:
9 8 6
(18) 	[IX.] Шесть сверхосминных отношений больше одного двойного интервала. Пусть дано число А, к которому В образует сверхосминное пропорцио-

176
Institutio musica
308
autem sequioctavus .C, huius autem sesquioctavus .D. et huius sesquioctavus .F. eiusque sesquioctavus .G. atque huius sesquioctavus .K. Id autem fiat secundum descriptum in arithmetica modum.
(19) 	Et sint numeri A. B. C. D. R G. K. Et sit .A. CCLXII.CXLIIIL, huius autem sesquioctavus, qui est .Bv CCXCIIII.DCCCCXIL, huius autem sesquioctavus, qui est .C., .CCCXXXI.DCCLXXVL, huius autem sesquioctavus, qui est .D., CCCLIIII.CCXLVIIL, huius autem sesquioctavus, qui est .R, .CCCCXVIIII.DCCCCIIIL, huius autem sesquioctavus, qui est .G., .CCCCLXXII.CCCXCIL, huius autem sesquioctavus, qui est .K., .DXXXÏ.CCCCXLI. Et sunt .DXXXI.CCCCXLL, quod est .K., plus quam duplices a ducentis LX duobus milibus .CXLIIII., quod est .A. Sex igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno duplici intervallo.
CCLXII.
CXLIIII
A
CCXCIIII.
DCCCCXII CCCXXXI _ DCCLXXVI
CCCLXXIII.
CCXLVIII CCCCXVIIII. T DCCCCIV
D
CCCCLXXII.
CCCXCII
F
DXXXI.
CCCCXLI
KI
Musicarum notarum per graecas ac latinas litteras nuncupatio
III. 	(D Restat nunc quoniam sumus nervum secundum praedictas consonantias per regulam divisuri, quoniamque necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibebit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut, cum divisam lineam isdem notulis signaverimus; (2) quod 309 unicuique nomen sit, facillime possit agnosci. Veteres enim musici propter conpendium scriptionis, ne integra semper nomina necesse esset apponere, excogitavere notulas quasdam, quibus nervorum vocabula notarentur, easque per genera modosque divisere, simul etiam hac brevitate captantes, ut, si quando melos aliquod musicus voluisset adscribere super versum rythmica metri compositione distentum, has sonorum notulas adscriberet, ita miro modo repperientes, ut non tantum carminum verba, quae litteris explicarentur, sed melos quoque ipsum, quod his notulis signaretur, in memoriam posteritatemque duraret.
(3) 	Sex ex his omnibus modis unum interim lydium eiusque notulas per tria genera disponamus, in reliquis modis idem facere in tempus aliud differentes. Sane si quando dispositionem notarum Graecarum litterarum nuncupatione descripsero, lector nulla novitate turbetur. Graecis enim litteris in quamlibet partem nunc inminutis, nunc etiam inflexis tota haec notarum descriptio constituta est. Nos vero cavemus aliquid ab antiquitatis auctoritate transvertere.

IV, 2.18 - 3.3
Основы музыки
177
нально, а к нему сверхосмина С, а к тому сверхосмина D, а к тому сверхосмина F, а к тому сверхосмина G, а к тому сверхосмина К12. Опишем [это вычисление] только арифметическим способом.
(19) 	Пусть даны числа А, В, С, D, F, G, К. Пусть А будет равно 262144, сверхосмина В к нему — 294912, сверхосмина С к нему — 331776, сверхосмина D к нему — 373248, сверхосмина F к нему — 419904, сверхосмина G к нему — 472392, сверхосмина К к нему — 531441. Это число [К] больше, чем удвоенное А, то есть [удвоенное] 262144. Следовательно, шесть сверхосминных отношений больше одного двойного интервала13:
262144
А
294912
в"
331776
с"
373248
d"
419904
f"
472392
G
531441
KI
3. 	Греческие и латинские названия музыкальных знаков14
(1) Поскольку мы намереваемся правильно поделить струну в соответствии с названными консонансами, и поскольку такое деление охватит все необходимые звуки по всем трем родам мелодии, остается приладить музыкальные знаки так, чтобы разметить теми же значками делимую нами линейку монохорда.
(2) Название каждой ноты можно усвоить очень легко. Дело в том, что древние для скорописи (чтобы всякий раз не выписывать имена [струн] целиком) придумали некие значки, которыми обозначались названия струн, и распределили их по родам и ладам15. Сокращая таким образом запись, они стремились еще и к тому, чтобы музыкант, если он захочет записать какую-нибудь мелодию, растянув ее над стихом (метрическим по своему ритмическому строению)16, мог бы записать ее как раз этими «звуковысотными» значками. Вот какой удивительный путь они нашли, чтобы не только слова песен, выраженные буквами, но даже и мелодия, обозначенная такими вот нотами, остались в памяти и сохранились на будущие времена17.
(3) Из всех ладов возьмем пока только один лидийский и распишем его ноты по трем родам18. В остальных ладах мы распишем их иначе, в другой раз19. И еще. Когда я начну описывать систему нотации, используя греческие буквы, пусть читателя не смущает их необычность. Дело в том, что вся эта нотная запись устроена с помощью греческих букв, которые отчасти ущербны, а отчасти изогнуты20. Мы, конечно, не осмелимся как-либо менять то, что установлено авторитетом древности21.

178
Institutio musica
(4) Erunt igitur priores ac superiores notulae dictionis, id est verborum, secundae vero atque inferiores percussionis.
(5) Proslambanomenos, qui adquisitus dici potest, zeta non integrum et tau iacens: ; (6) hypate hypaton, quae est principalis principalium,
gamma conversum et gamma rectum: p ; (7) parhypate hypaton, idest
subprincipalis principalium, beta non integrum et gamma supinum: ^ ;
310 (8) hypaton enarmonios, quae est principalium enarmonios, alpha
supinum et gamma conversum retro habens virgulam: (9) hypaton
chromatice, quae est principalium chromatica, alpha supinum habens lineam et gamma conversum duas habens lineas: (10) hypaton dia¬
tonos, quae est principalium extenta, phi graecum et digammon: ^ ;
(11) hypate meson, quae est principalis mediarum sigma et sigma: £;
(12) parhypate meson, quae est subprincipalis mediarum, rho et sigma supinum: ^ ; (13) meson enarmonios, quae est mediarum enarmonios,
pi graecum et sigma conversum: ^ ; (14) meson chromatice, quae est mediarum chromatica, pi graecum habens virgulam et sigma conversum per medium habens virgulam: ^ ; (15) meson diatonos, quae est
mediarum extenta, my graecum et pi graecum deductum: η ; (16) mese, quae est media, iota et lambda iacens: < ; (17) trite synemmenon, quae est tertia coniunctarum theta et lambda supinum: ® ; (18) synemmenon enarmonios, quae est coniunctarum enarmonios, eta graecum et lambda iacens conversum: > ; (19) synemmenon chromatice, quae est coniunctarum chromatica, eta graecum habens virgulam et lambda
|_T
311 jacens conversum per medium habens virgulam: (20) synemmenon
diatonos, quae est coniunctarum extenta, gamma et ny: ^ ; (21) nete  18 1918 lambda iacens conversum] lambda iacens conversum per medium habens virgulam Fr.
19 lambda iacens conversum per medium habens virgulam] lambda conversum habens virgulam Fr.

IV, 3.4-20
Основы музыки
179
(4) 	Итак, в дальнейшем [описании] первый, верхний ряд знаков предназначается для текста, то есть [распева] слов, а второй, нижний — для струпных инструментов22.
(5) Proslambanomenos, который можно перевести [на латынь] как добавленный23, йотируется в виде неполной дзеты и лежачей тау:
7
1-
(6) Hypate hypaton, [по-латыни] главная [струна тетрахорда] глав-
Ί
них — в виде развернутой гаммы и правильной гаммы:
Г
(7) Parhypate hypaton, т.е. лежащая под главной главных — неполная
R
бета и опрокинутая гамма:
L
(8) Hypaton enarmonios, т.е. энармоническая [лихана] главных24 —
V
опрокинутая альфа и развернутая гамма с черточкой сбоку:
>25
(9) Hypaton chromatice, т.е. хроматическая [лихана] главных26 — опро-
Y 27
кинутая альфа с черточкой и развернутая гамма с двумя черточками:
"^28
(10) Hypaton diatonos, т.е. напряженная [лихана] главных29 — грече-
Ф
ская фи и дигамма:
F
(11) Hypate meson, т.е. главная средних — [правильная] сигма и [такая
С
же] сигма:
С
(12) Parhypate meson, т.е. подглавная средних — [правильная] ро и
Р
опрокинутая сигма:
О
(13) Meson enarmonios, т.е. энармоническая [лихана] средних30 — гре¬
п
ческая пи и перевернутая сигма:
0
(14) Meson chromatice, т.е. хроматическая [лихана] средних31 — грече¬
П-32
ская пи с черточкой и перевернутая сигма с черточкой через середину:
э-
(15) Meson diatonos, т.е. напряженная [лихана] средних33 — греческая
м
мю и усеченная греческая пи:
Г"| 34
(16) Mese, т.е. средняя — [правильная] йота и лежачая лямбда:
1
<
(17) Trite synemmenon, т.е. третья соединенных — [правильная] тета
Θ
и опрокинутая лямбда:
V
(18) Synemmenon enarmonios, т.е. энармоническая [парапета] соединен¬
Н
ных35 — [правильная] греческая эта и лежачая развернутая лямбда:
>
(19) Synemmenon chromatice, т.е. хроматическая [парапета] соединен¬
И37
ных36 — греческая эта с черточкой и лежачая развернутая лямбда с черточкой через середину:
>.38
(20) Synemmenon diatonos, т.е. напряженная [парапета] соединен¬
Г
ных39 — [правильная] гамма и [правильная] ню:
N

180
Institutio musica
synemmenon, quae est ultima coniunctarum, omega quadratum supinum et zeta: ^ ; (22) paramesos, quae est submedia, zeta et pi grae-
cum iacens: ^ ; (23) trite diezeugmenon, quae est tertia divisarum, epsilon quadratum et pi graecum supinum: j] ; (24) diezeugmenon enarmonios, quae est divisarum enarmonios, delta et pi graecum iacens conversum: ^ ; (25) diezeugmenon chromatice, quae est divisarum chromatica, delta habens virgulam et pi graecum iacens conversum habens lineam angularem: (26) diezeugmenon diatonos, quae est di¬
visarum diatonos, omega quadratum supinum et zeta: ^ ; (27) nete
diezeugmenon, quae est ultima divisarum, phi iacens et ny inversum •0“
deductum: η ; (28) trite hyperboleon, quae est tertia excellentium у deorsum respiciens dextrum et semialpha sinistrum sursum respiciens: (29) hyperboleon enarmonios, quae est excellentium enarmonios, tau
supinum et semialpha dextrum supinum: ^ ; (30) hyperboleon chromatice, quae est excellentium chromatica, tau supinum habens lineam 312 et semialpha dextrum supinum habens retro lineam: ^ ; (31) hyperboleon diatonos, quae est excellentium extenta, my graecum habens
M'
acutam et pi deductum habens acutam: n' ; (32) nete hyperboleon iota habens acutam et lambda iacens habens acutam:
21, 26 omega quadratum supinum] ω quadratum supinum Fr. 23 epsilon quadratum] e quadratum Fr.

IV, 3.21-32
Основы музыки
181
(21) Nete synemmenon, т.е. последняя соединенных — перевернутая
и
квадратная омега и [правильная] дзета:
Z
(22) Paramesos, т.е. лежащая под средней — [правильная] дзета и гре-
Z
ческая лежачая пи:
с
(23) Trite diezeugmenon, т.е. третья отделенных40 — квадратная эп-
Е
силон и опрокинутая греческая пи:
U
(24) Diezeugmenon enarmonios, т.е. энармоническая [парапета] от-
Δ
деленных41 — [правильная] дельта и лежачая развернутая греческая пи:
:□
(25) Diezeugmenon chromatice, т.е. хроматическая [парапета] отде-
Δ_43
ленных42 — дельта с черточкой и лежачая развернутая греческая пи с диагональной черточкой:
3)44
(26) Diezeugmenon diatonos, т.е. диатоническая [парапета] отделен¬
и
ных — перевернутая квадратная омега и [правильная] дзета45:
Ζ
(27) Nete diezeugmenon, т.е. последняя отделенных — лежачая фи и
Θ-
обращенная усеченная ню:
ч
(28) Trite hyperboleon, т.е. третья высших — ипсилон с наклоном
-<
вправо, и полуальфа с наклоном вверх и влево:
^46
(29) Hyperboleon enarmonios, т.е. энармоническая [парапета] выс¬
1
ших47 — опрокинутая тау и опрокинутая полуальфа с наклоном вправо:
У
(30) Hyperboleon chromatice, т.е. хроматическая [парапета] выс¬
J-49
ших48 — опрокинутая тау с черточкой и опрокинутая полуальфа с наклоном вправо и черточкой:
^50
(31) Hyperboleon diatonos, т.е. напряженная [парапета] высших51 —
М'52
греческая мю с острым акцентом и усеченная пи с острым акцентом:
т
(32) Nete hyperboleon, [т.е. последняя высших] — йота с острым ак¬
1'
центом и лежачая лямбда с острым акцентом:
<

182
Institutio musica
IV. Musicarum notarum per voces convenientes dispositio in tribus generibus
313
7
h-
Ί
Г
R
_L_
V
2_
V 2_ ф
F_
C
_C
P
П
_0
r>
M
П
<
Θ
_V
H
>
H
г
N
U
z
E=
E
U
Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton
Lichanos hypaton enarmonios Lichanos hypaton chromatice Lichanos hypaton diatonos Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson enarmonios Lichanos meson chromatice Lichanos meson diatonos Mese
Trite synemmenon
Paranete synemmenon enarmonios
Paranete synemmenon chromatice
Paranete synemmenon diatonos
Nete synemmenon
Paramesos
Trite diezeugmenon

Основы музыки
183
IV, 4
Pros
Просламбаномен
Гипата низших
HH
Парипата низших
DpHH, CpHH, ЕрНН
Энармоническая лихана низших
ELH
Хроматическая лихана низших
CLH
DLH
иатоническая лихана низших
Гипата средних
НМ
Парипата средних
орнм, срнм, ярнм
Энармоническая лихана средних
Хроматическая лихана средних
ELM
DLM
иатоническая лихана средних
Меса
Трита соединенных
DTS, CTS, ETS
Энармоническая паранета соединенных
Хроматическая паранета соединенных
CpXS
DpNS
иатоническая паранета соединенных
Кета соединенных
NS
Парамеса
рМ
Трита отделенных
DTD, CTD, ETD
4. Расположение музыкальных знаков и соответствующих им высот
по трем родам":



184
Institutio musica
314
Δ
Δ.
31
1Г
_z_
Θ-
4
-<
4
1
±
у
M'
n_
r
<
Paranete diezeugmenon enarmonios Paranete diezeugmenon chromatice Paranete diezeugmenon diatonos Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon enarmonios Paranete hyperboleon chromatice Paranete hyperboleon diatonos Nete hyperboleon
Monochordi regularis partitio in genere diatonico
V. 	(1) Sed iam tempus est, ad regularis monochordi divisionem venire.
(2) De qua re illud est praedicendum, quod, sive in mensura nervi, sive in numeris atque eorum proportione statuatur describenda divisio, maius spatium chordae et maior numeri multitudo sonos graviores efficiet. At si fuerit nervi longitudo contractior et in numeris non multa pluralitas, acutiores voces edi necesse est. Atque ex hac comparatione, quantum unaquaeque fuerit vel longior vel plurium numerorum aliaque vel contractior vel paucioribus signata numeris, tanto vel gravior vel acutior invenitur.
(3) Nec lectorem res illa conturbet, quod intendentes saepe spatia proportionum numero maiore signavimus, remittentes vero minore, cum
315 intentio acumen faciat, remissio gravitatem. Illic enim proportionum tantum spatia signabamus, nihil de gravitatis aut acuminis proprietate laborantes, atque ideo et in acumen maioribus numeris intendimus et minoribus in gravitatem saepe remisimus. Hic vero ubi chordarum spatia sonosque metiemur, naturam rerum sequi necesse est, maiorique longitudini chordarum, ex qua gravitas existit, ampliores, minori vero, ex qua vocis acumen nascitur, dare breviores.

Основы музыки
185
gV, 4 — 5.3
5. Деление линейного монохорда в диатоническом роде
(1) Пора перейти к делению линейного монохорда.
(2) Следует предварительно сказать, что если названное деление происходит
путем разметки струны или устанавливается в числах и их отношениях, то
больший отрезок струны и большее число дают более низкие звуки. А если
струна укорачивается и число не слишком велико, то обязательно раздаются
более высокие звуки5'. Из этого сравнения следует: насколько одна струна
будет длиннее (или насколько числа будут велики), а другая струна будет
короче (или выражена меньшими числами), настолько [соответственно] ниже
или выше будет звук5'.
(3) И пусть читатель не смущается оттого, что с повышением звука
промежутки отношений мы часто выражали все большим числом, а с
понижением — все меньшим, поскольку натяжение повышает высоту звука,
а ослабление понижает его". Так мы выражали [числами] только
промежутки отношений, не заботясь о том, высокий звук или низкий; поэтому
часто с повышением звука мы все больше увеличивали числа, а с
понижением уменьшали. Теперь же, когда мы размечаем отрезки струн и звуки,
надо следовать природе вещей и длинные [струны] (которые дают низкое
звучание) обозначать большими числами, а короткие (которые порождают
высокое звучание) меньшими".



186
Institutio musica
(4) Sit chorda intensa .AB. Huic aequa sit regula, quae propositis partitionibus dividatur, ut ea regula chordae apposita eaedem divisiones in nervi longitudine signentur, quas antea signaveramus in regula. Nos vero nunc ita dividimus, quasi ipsam chordam et non regulam partiamur.
(5) Dividatur igitur .AB. in quattuor partes per tria puncta, quae sunt .C.D.E. Erit igitur tota quidem .AB. dupla ab his, quae sunt .DB. .AD., singillatim vero .AD. .DB. duplae sunt ab his, quae sunt .AC. .CD. .DE. .EB. Erit igitur .AB. quidem gravissima id est proslambanomenos, .DB. autem mese. Est enim dimidia totius et sicut .AB. ab ea, quae est .DB., dupla est spatio, ita .DB. ab ea, quae est .AB., dupla est acumine. Nam, ut superius dictum est, spatii et acuminis semper ordo conversus est. Nam tanto est chorda maior in acumine, quanto fuerit minor in spatio. Quocirca erit et .EB. nete hyperboleon, quoniam .EB. eius, quae est .DB., dimidia quidem est in quantitate, dupla vero est in acumine. Rursus quoniam eadem .EB. eius, quae est .AB., quarta pars est in spatio, quadrupla erit ab eadem in acumine.
(6) Erit igitur, ut dictum est, nete hyperboleon dupla in acumine ab ea, 316 quae est mese, mese autem dupla in acumine ab ea, quae est proslambanomenos. Nete vero hyperboleon quadrupla in acumine ab ea, quae est proslambanomenos. Consonabit igitur proslambanomenos ad mesen diapason, mese ad neten hyperboleon diapason, proslambanomenos ad neten hyperboleon bis diapason.
(7) Rursus quoniam aequae partes sunt .AC. .CD. .DE. .EB., est autem .AB. quattuor earundem partium, .CB. autem trium, .AB. igitur sesquitertia est ab ea, quae est .CB. Rursus quoniam trium est aequalium partium, .CB., sed .DB. duarum, erit igitur .CB. sesqualtera eius quae est .DB. Rursus quoniam .CB. est trium partium aequalium, qualis est una .EB., tripla igitur est .CB. ab ea, quae est .EB. Erit igitur .CB. lichanos hypaton diatonos consonabitque proslambanomenos quidem ad lichanon hypaton diatonon consonantiam diatessaron, eadem vero lichanos hypaton diatonos consonabit ad mesen consonantiam diapente, eademque lichanos diatonos consonabit ad neten hyperboleon diapason et diapente.
(8) Rursus si de tota .AB. nonam partem auferam eam, quae est .AF., erunt partes .VIII. .FB. Erit igitur .FB. hypate hypaton, ad quam sesquioctavam contineat proportionem .AB., id est proslambanomenos, in musica vero tonon:
A F C
bï—I-
i- Г F
D E
i l·
<'
i
<

IV, 5.4-8
Основы музыки
187
(4) Пусть [между двумя точками] натянута струна AB. Пусть канон, который мы будем делить на заданные участки, будет равен этой струне, так чтобы разделительные метки, которые мы прежде поставили на этом каноне (подложенном под струну), соответствовали меткам на струне. Будем делить так, как будто мы размечаем на участки непосредственно струну, а не канон.
(5) Итак, разделим AB на четыре [равные] части тремя точками, то есть точками С, D, Е. Соответственно вся [длина] AB будет в двойном отношении к DB и AD. AD и DB, каждая в отдельности, будет в двойном отношении к АС, CD, DE, ЕВ. Итак, AB будет самой нижней [струной], то есть просламбаноменом, DB же будет месой. Получается половина целого, и как AB по отношению к DB представляет собой двойной по величине отрезок, так и [звук] DB по отношению к AB в два раза выше него. Ибо, как сказано раньше, соотношение [величины] отрезка и высоты звука всегда обратное. Чем выше звук струны, тем меньше ее отрезок. Так, ЕВ будет нетой высших, поскольку ЕВ по отношению к DB — половина [его] количества, а по высоте в два раза выше [DB]. Далее, поскольку тот же отрезок ЕВ — четвертая часть от AB, по высоте он будет выше [AB] в четыре раза.
(6) Итак, как было сказано, нета высших в два раза выше месы, меса же в два раза выше просламбаномена. И нета высших в четыре раза выше, чем просламбаномен. Следовательно, от просламбаномена до месы будет консонанс октавы, от месы до неты высших — [консонанс] октавы, от просламбаномена до неты высших — [консонанс] двойной октавы.
(7) Далее. Раз АС, CD, DE и ЕВ равные части [струны], то отрезок AB состоит из четырех этих частей, а СВ из трех, так что AB находится в сверхтретном отношении к СВ. Поскольку СВ состоит из трех равных частей, a DB из двух, то СВ находится в полуторном отношении к DB. Поскольку СВ состоит из трех равных частей, одна из которых — это ЕВ, то СВ находится в тройном отношении к ЕВ. СВ будет диатонической лиханой низших, и просламбаномен образует к диатонической лихане низших консонанс кварты. Та же диатоническая лихана низших образует к месе консонанс квинты. Та же диатоническая лихана низших образует к нете высших консонанс октавы с квинтой.
(8) Далее. Если мы вычтем из целой [струны] AB девятую часть AF, то FB составит восемь частей. Таким образом, FB будет гипатой низших, по отношению к которой AB, то есть просламбаномен, образует сверхосминное отношение (а в музыке это — целый тон):
А
т
F
т
с
Т
D
т
Е
т
в
Т
1
н
1
г
1
F
1
<
1
<
1

188
Institutio musica
Superior descriptio inferiora signa quae continet eius sunt descriptionis, ubi chordis notulas apposuimus, quoniam earum nomina longum fuit adscribere.
317 (9) Item si .AB. tribus incisionibus partiamur, erit pars tertia .AG.; duae igitur eiusdem erunt .GB. Consonabit igitur .AB. proslambanomenos ad .GB., quae est hypate meson, diapente consonantiam in proportione sesqualtera constitutam, .CB. autem ad .GB. erit sesquioctava et continebit tonum, idque ordine cadit. Nam lichanos hypaton diatonos, id est .CB. ad eam, quae est hypate meson, id est .GB., continet tonum.
(10) Rursus .AB. quidem proslambanomenos ad .CB. lichanon hypaton diatonon habet consonantiam diatessaron, .AB. autem proslambanomenos ad .GB. hypaten meson habet consonantiam diapente. Item .CB. ad .DB., id est lichanos hypaton diatonos ad mesen, habet consonantiam diapente. .GB. autem ad .DB., id est hypate meson ad mesen, habet consonantiam diatessaron. Lichanos autem hypaton, id est .CB. ad hypaten meson comparata, id est .GB., distabit tono.
(11) Si autem eius, quae est .CB., quartam partem sumpsero, erit .CK. Igitur .CB. ad .KB. obtinebit sesquitertiam proportionem. .KB. autem ab ea, quae est .DB., sesquioctava proportione distabit. Erit igitur .KB. quidem diatonos meson et erit .CB. id est lichanos hypaton diatonos ad .KB. id est diatonon meson diatessaron continens consonantiam.
(12) Rursus si eius quae est .DB. nonam partem sumpsero, erit mihi .DL. Igitur .LB. erit paramese. Si autem eius, quae est .DB., quartam partem sumpsero, erit .DM. Igitur .MB. erit nete synemmenon. Si autem eius, quae est .DB., tertiam partem sumpsero, erit .DN. Igitur .NB. erit nete diezeugmenon. Si autem .KB. in duas partes aequas fuerit divisa, erit .KX. eritque .XB. paranete hyperboleon.
318 A F CG KDLMNXE В
н Г FC Π < Z с Ч П'<'
Monochordi netarum hyperboleon per tria genera partitio
VI. 	(1) Nunc igitur diatonici generis descriptio facta est in eo scilicet modo, qui est simplicior ac princeps, quem lydium nuncupamus. De quibus modis nunc disserendum non est.

IV, 5.8 - 6.1
Основы музыки
189
Данная схема содержит значки под линией — они описывают [точки], в которых мы назначили нотки [отдельным] струнам, поскольку [полностью] их имена подписывать было долго58.
(9) Дальше, если поделить AB на три [равных] отрезка, возникнет третья часть AG; две такие части составят GB. Просламбаномен AG образует к GB, занимающей место гипаты средних, консонанс квинты, установленный в полуторном отношении. Интервал СВ к GB, будучи в сверхосминном отношении, содержит [целый] тон. И это не случайно, ибо от диатонической лиханы низших СВ к гипате средних GB — [как раз целый] тон.
(10) Дальше, просламбаномен AB к диатонической лихане низших СВ образует консонанс кварты, а просламбаномен AB к гипате средних GB образует консонанс квинты. Также от СВ к DB, то есть от диатонической лиханы низших до месы, образуется консонанс квинты. А от GB до DB, то есть от гипаты средних до месы, образуется консонанс кварты. Лихана же низших СВ по отношению к гипате средних GB отстоит на тон.
(11) Если от СВ мы возьмем четвертую часть, получится [отрезок] СК. Следовательно, СВ к КВ будет находиться в сверхтретном отношении. КВ же от DB будет отстоять на расстоянии сверхосминного отношения. Таким образом, КВ будет соответствовать диатонической [лихане] средних, и диатоническая лихана низших СВ к диатонической [лихане] средних КВ образует консонанс кварты.
(12) Дальше, если от DB мы возьмем девятую часть, получится DL, a LB будет соответствовать парамесе. Если же возьмем от DB четвертую часть, выйдет DM, а МВ будет соответствовать нете соединенных. Если же возьмем от DB третью часть, выйдет DN, a NB будет соответствовать нете отделенных. А если [отрезок] КВ поделить на две равные части, выйдет КХ, а ХВ будет паранетой высших59:
A F С G KDLMNXE
В
Н- Г F С П < Z С Ч П'<'
<ЛАКУНА>60
6. 	Деление монохорда в тетрахорде высших по трем родам61
(1) 	Такова, значит, схема [деления монохорда] в диатоническом роде62, а именно сделанного в том ладу, который проще других и основной — его мы называем лидийским63. Каковы лады, обсуждать пока не будем64.

190
Institutio musica
(2) Ut vero per tria genera currat mixta descriptio et in omnibus propria numerorum pluralitas apponatur, ad conservandas scilicet proportiones vel tonorum atque dieseon, excogitatus est numerus, qui haec omnia possit explere, ut maximus quidem ad proslambanomenon describatur, qui sit .VIIII.CCXVL, minimus vero .II.CCCIIIL, reliquorum vero sonorum proportiones in horum medietate texentur.
(3) Sane ab inferiore procedimus omniumque nomina chordarum non solum nominibus, verum etiam appositis litteris demonstramus, sed ita, ut, quoniam trium generum est facienda partitio nervorumque modus litterarum numerum excedit, ubi defecerint litterae, easdem rursus geminamus hoc modo, ut, quando ad Z fuerit usque perventum, ita describimus reliquos nervos, bis A, id est .AA. et bis .B., id est .BB. et bis .C, id est .CC
(4) Sit igitur primus quidem numerus maximusque, qui proslambanomeni
319 obtineat locum, .VIIII.CCXVL sitque totius chordae modus ab eo, quod est
.A., usque ad id, quod est .LL. Hanc id est .A. proslambanomenon .VIIII.CCXVL divido dimidiam ad .O., ut sit tota .A. dupla ab ea, quae est .O. Item .O., sit dupla ab ea, quae est .LL. Erit igitur .A. quidem proslambanomenos, .O. autem mese, et .LL. nete hyperboleon. Habebit igitur .A. quidem .VIIII.CCXVL, .O. vero horum dimidium, id est .IIII.DCVIIL, ut mese ad proslambanomenon diapason consonantia conveniat, ea vero, quae est .LL., dimidium meses; ut sit proslambanomenos ab ea, quae est nete hyperboleon, quadrupla et bis diapason ad eam consonet symphoniam, sitque .LL. .II.CCCIIII:
proslambanomenos mese nete hyperboleon
A O LL
VÏTÏLCCXVI ÏÏÏI.DCVIII П.ССС1У
(5) Si igitur ex .II.CCCIIII. octavam abstulero partem, id est .CCLXXXVIII. eisdemque adiecero, fient mihi .II.DXCII. eritque .KK. .II.DXCIL, quae est paranete hyperboleon ad neten hyperboleon obtinens distantiam tonum.
320 	Rursus eius, quae est .KK. id est .II.DXCII. aufero octavam, quae est .CCCXXIIII. eamque eis, quorum est octava, subiungo eruntque .II.DCCCCXVI. fietque mihi .FF. trite hyperboleon diatonos in diatonico scilicet genere .II.DCCCCXVI., tonum quidem distans ab ea, quae est paranete hyperboleon diatonos, ditonum vero ab ea, quae est nete hyperboleon.
(6) Eadem vero .FF. erit in chromatico genere trite hyperboleon chromatica, in enarmonio vero paranete hyperboleon enarmonios, quod facilius agnoscetur cur eveniat, cum trium generum tria prima tetrachorda a nete hyperboleon inchoantia descripserimus.

IV, 6.2-6
Основы музыки
191
(2) А чтобы схема [монохорда] объединяла три рода и к любой [точке деления] прилагалась своя числовая величина, необходимая для фиксации [интервальных] отношений включая тоны и диесы65, было найдено такое число, которое в состоянии заключить в себе всё это. [Такое] наибольшее число 9216 припишем к просламбаномену, наименьшее же 2304 [к нете высших]; остальные звуковысотные отношения расположим между ними66.
(3) Будем продвигаться снизу [вверх] и обозначать все названия ступеней не только с помощью названий [струн], но и приложенных к этим названиям букв. Поскольку деление [монохорда] производится в трех родах и количество ступеней превосходит количество букв [латинского алфавита], то там, где не хватает букв, мы удваиваем их таким образом, что, когда дело доходит до Z, мы назначаем оставшимся ступеням двойное А (то есть АА), двойное В (ВВ), двойное С (СС) [и так далее]67.
(4) Итак, пусть первое и наибольшее число, которое занимает место просламбаномена, будет 9216, а вся струна пусть будет [в промежутке] от А до LL. Разделим просламбаномен 9216 пополам в точке О таким образом, чтобы вся [струна] А была в двойном отношении к О. Точка О пусть будет в двойном отношении к LL. Итак, получается, что А — просламбаномен, О — меса, и LL — нета высших. Точка А получит число 9216, О — половину от него, 4608, что соответствует октавному консонансу от месы до просламбаномена. Точка LL тогда составит половину [числа] месы. Поскольку просламбаномен находится от неты высших на расстоянии четверного отношения и согласуется с ней в консонансе двойной октавы, то LL будет [в числе] 2304:
просламбаномен меса нета высших
А О LL
9216 4608 2304
(5) Теперь, если от 2304 взять осмину 288 и прибавить ее к 2304, получится 2592; пусть это будет КК (2592) — паранета высших, которая находится от неты высших на расстоянии целого тона. Дальше, возьмем осмину КК (2592), то есть число 324, и прибавим его к тому числу, от которого оно составило осмину [то есть, к 2592]; будет 2916. Так мы получим FF (2916)— диатоническую триту высших, то есть [триту высших] в диатоническом роде; она находится на расстоянии целого тона от диатонической паранеты высших и на расстоянии дитона от неты высших.
(6) Та же [высота] FF будет в хроматическом роде хроматической тритой высших, а в энармоническом — энармонической паранетой высших. Отчего это происходит, станет яснее после того, как мы опишем три первых68 тетрахорда от неты высших во [всех] трех родах.

192
Institutio musica
(7) Quoniam vero si a sesquitertia proportione duas sesquioctavas abstulero, relinquetur mihi semitonium minus, sumo tertiam eius, quae est .LL., id est nete hyperboleon; sunt .DCCLXVIII. Hos eisdem adicio, fient mihi .III.LXXIL, quorum est .DD. nete diezeugmenon continens ad triten hyperboleon semitonium minus. Nam quoniam nete diezeugmenon ad neten hyperboleon diatessaron continet consonantiam, trite autem hyperboleon diatonos a nete hyperboleon ditonum distat relinquitur spatium, quod est inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon, semitonii minoris.
(8) Quoniam igitur tetrachordum hyperboleon diatonici generis explevimus, nunc chromatici et enarmonii tetrachorda supplenda sunt hoc modo.
(9) Quoniam enim paranete hyperboleon ad neten hyperboleon in diatonico quidem genere tono distat, in chromatico vero tribus semitoniis, in enarmonio vero duobus tonis, si distantiam paranetes hyperboleon et netes hyperboleon diatonici generis sumpserimus eiusque dimidium
321 paranete hyperboleon, quae est diatonici generis, apponamus, habebimus numerum tribus semitoniis ac hyperboleon nete distantem; et erit haec in chromatico genere paranete hyperboleon. Aufero igitur de .II.DXCIL, id est paranete hyperboleon diatonici generis, .II.CCCIIII., id est neten hyperboleon, relinquuntur mihi .CCLXXXVIII. Hos divido, erunt .CXLIIII. Eosdem .II.DXCII. adiungo, fient .II.DCCXXXVI. .HH. Haec erit paranete hyperboleon chromatica.
(10) Rursus quoniam trite hyperboleon vel diatonica vel chromatica duos tonos distat a nete hyperboleon et in enarmonio genere paranete hyperboleon duobus tonis distat ab ea, quae est nete hyperboleon, eadem erit in enarmonio genere paranete hyperboleon, quae est in diatonico vel chromatico trite hyperboleon .GG. litteris insignita. Sed quoniam trite hyperboleon diatonici generis et chromatici ad neten diezeugmenon minus semitonium servant, constat autem tetrachordum enarmonii generis ex duobus integris tonis et diesi ac diesi, quae sunt dimidia spatia semitonii minoris, distantiam eam, quae est inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enarmonion sumo. Sed quoniam nete diezeugmenon est .III.LXXII. paranete autem hyperboleon enarmonios .II.DCCCCXVI. horum distantia erit .CLVI. Horum sumo dimidiam partem, qui sunt .LXXVIII. Hos adicio
322 .II.DCCCCXVI., fient .ÏÏ.DCCCCXCIIII. Haec erit .ЕЕ. trite hyperboleon enarmonios.
(11) Descriptum est igitur secundum tria genera tetrachordum, quod est hyperboleon, cuius formam subter adiecimus:
10 .GG. litteris insignita] Deest in antiquissimis mss. et Fr.

IV, 6.7-11
Основы музыки
193
(7) Если от сверхтретного отношения мы отнимем два сверхосминных, у нас останется малый полутон; поэтому возьмем третью часть от LL (то есть от неты высших) и получим 768. Это число прибавим к тому же [2304], у нас получится 3072, число неты отделенных [в точке] DD, которая находится на расстоянии малого полутона к трите высших. Поскольку нета отделенных к нете высших находится в консонансе кварты, а диатоническая трита высших отстоит от неты высших на дитон, то интервал, который остается между нетой отделенных и тритой высших, — [это интервал] малого полутона.
(8) Поскольку мы изложили строение тетрахорда высших в диатоническом роде, теперь надо дополнить [это изложение делением] хроматического и энармонического тетрахордов.
(9) В диатоническом роде паранета высших отстоит от неты высших на целый тон, в хроматическом на три полутона, в энармоническом же на два тона. Если в диатоническом роде мы возьмем расстояние от паранеты высших до неты высших и прибавим половину его к паранете высших диатонического рода, то получим число, означающее расстояние трех полутонов от неты высших; это будет паранета высших в хроматическом роде. Итак, отнимем от 2592 (паранета высших диатонического рода) 2304 (нета высших); в остатке у нас получится 288. Делим это число [пополам], выходит 144. Прибавим это число к 2592 и выйдет 2736, точка НН; это — хроматическая паранета высших69.
(10) Далее, поскольку трита высших — будь то диатоническая или хроматическая — отстоит на два тона от неты высших, а в энармоническом роде паранета высших отстоит на два тона от неты высших, то [ступень], которая в энармоническом роде есть паранета высших, будет [по высоте] такой же, что в диатоническом или хроматическом роде трита высших. Энармоническая паранета высших обозначена [на монохорде] буквами GG70. Но поскольку трита высших диатонического и хроматического родов находится от неты отделенных на расстоянии малого полутона, а тетрахорд энармонического рода состоит из двух целых тонов, диесы и еще одной диесы (которые являются половинами малого полутона), мы принимаем это расстояние [величиной в 2 диесы, как расстояние] от неты отделенных до энармонической паранеты высших. Но поскольку нета отделенных — это 3072, а энармоническая паранета высших — 2916, то расстояние между ними будет 156. От этого числа берем половину, число 78, прибавляем его к 2916 и получается 2994, точка ЕЕ; это — энармоническая трита высших71.
(11) Итак, тетрахорд высших в трех родах описан. Прилагаем ниже его схему72:

194
Institutio musica
ND
DD
DTH
FF
DpNH KK
CTH HH τ
EE X[GG] c Z
Φ &
U
u
и
u
Q
II.DXCII
CpNH
τ τ τ
ILDCCXXXVI
τ τ
NH
Tl
diat.
chrom.
enarm.
δ
u
u
Ratio superius digestae descriptionis
VII. 	(1) Tria igitur tetrachorda tali nobis ratione descripta sunt.
(2) Tetrachordum enim omne diatessaron resonat consonantiam. Igitur nete hyperboleon et nete diezeugmenon in tribus generibus, id est vel in diatono vel in chromate vel in enarmonio, diatessaron continet symphoniam. Diatessaron autem consonantia constat duobus tonis et semitonio minore. Id hoc modo per tria genera in suprascriptis tetrachordis divisum est.
(3) In diatonico enim genere, quod est primum, paranete hyperboleon, id est .II.DXCII., ad neten hyperboleon, id est .II.CCCIIII. obtinet distantiam tonum, quod tali notula inscripsimus: τ. Rursus trite hyperboleon diatonici generis, quae est .II.DCCCCXVI. ad paraneten hyperboleon diatonici generis, quae est .II.DXCII., rursus obtinet differentiam tonum, quam simili notula insignivimus: τ. Nete autem diezeugmenon ad triten hyperboleon, id est .III.LXXII. ad .II.DCCCCXVI. semitonium refert, quod tali notula signavimus: t. Et est hoc totum spatium netes diezeugmenon et netes hyperboleon duorum tonorum ac semitonii.
(4) Sed idem duo toni ac semitonium in chromatico genere hac ratione divisi sunt. Secundum enim genus, quod est chromaticum, hoc modo descriptum est. Paranete enim chromatice hyperboleon, quae est .II.DCCXXXVL, ad neten hyperboleon, quae est .II.CCCIIII., comparata continet spatium paranetes hyperboleon diatonici generis ad neten hyperboleon, qui est unus tonus, id est duo semitonia, maius ac minus, et divisum rursus spatium paranetes hyperboleon diatonici et netes hyperboleon. Ita enim factum est,
descr.] hic et alibi signa intervallorum in descriptionibus monochordi edidi secundum antiquissima mss., non secundum Fr.; nomina vero chordarum (e.g. ND, DTH etc.), quae in mss. varie contrahuntur, in eisdem descriptionibus modernis abbreviationibus uno modo designavi.

IV, 6.11 - 7.4
Основы музыки
195
диатоника
хроматика
энармоника
7. 	Обоснование вышеприведенной схемы
(1) Итак, мы дали расчет трех тетрахордов [высших в трех родах].
(2) Любой тетрахорд, понятное дело, издает благозвучие кварты; а значит, и нета высших с нетой отделенных в трех родах (диатоническом, хроматическом и энармоническом) содержат в себе квартовый консонанс. Квартовый консонанс состоит из двух тонов и малого полутона. Этот консонанс в вышеозначенных тетрахордах по трем родам делится так.
(3) В диатоническом роде, то есть первом [по порядку], паранета высших 2592 от неты высших 2304 находится на расстоянии тона, которое мы пометили значком X. Далее, трита высших диатонического рода 2916 от паранеты высших диатонического рода опять отличается на тон; это отличие мы обозначили таким же значком т. Нета же отделенных с тритой высших, то есть 3072 с 2916, соотносится в полутон, который мы обозначили значком т. Весь интервал между нетой отделенных и нетой высших, таким образом, состоит из двух тонов и полутона.
(4) Те же два тона и полутон в хроматическом роде делятся следующим образом. Второй (хроматический) род описывается так. Хроматическая паранета высших 2736, соотнесенная с нетой высших 2304, заключает в себе [поначалу тот же] интервал, [что от] паранеты высших диатонического рода до неты высших; это тон, то есть два полутона — большой и малый. А дальше интервал между диатонической паранетой высших и нетой высших делится [на две части]. Это деление совершается не точно в половине

196
Institutio musica
qui est dimidius tonus, sed non integre, quia, ut supra uberrime monstratum est, non potest tonus in duo aequa partiri. Consignavimus igitur hoc spatium trium semitoniorum, id est toni ac semitonii hoc modo τ τ τ.
324 (5) Rursus paranete hyperboleon chromatica ad triten hyperboleon retinet partem toni, id est semitonium, quod reliquum fuit ex duobus tonis, qui continentur inter triten hyperboleon diatonicam et neten hyperboleon. Subtractis vero quattuor semitoniis, reliquum ex toto tetrachordo spatium semitonii est, quod continetur inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon.
(6) Constat igitur et hoc tetrachordum ex duobus tonis ac semitonio, divisum in uno quidem spatio tribus semitoniis, in duobus autem spatiis duobus semitoniis. Tria vero spatia nervis quattuor continentur.
(7) In enarmonio vero genere summa est id pernoscendi facilitas. Ab ea enim, quae est nete hyperboleon, id est .II.CCCIIII., paranete hypeboleon enarmonios, id est .II.DCCCCXVI. duos tonos integros distat, quos hoc modo notavimus: τ τ. Relinquitur igitur ex totius tetrachordi duobus tonis ac semitonio unum quidem semitonium, quod continetur inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enarmonion, quod scilicet divisimus in duas diesis, trite hyperboleon enarmonio media interiecta, spatiumque dieseos hoc modo signavimus ф.
(8) Ita igitur nobis hyperboleon tetrachordum descriptum est. Quo peracto ad diezeugmenon tetrachordum veniamus, nec inmorandum est isdem commemorationibus in ceteris, cum ab hac descriptione etiam in aliis sumi possit exemplum.
Monochordi netarum diezeugmenon per tria genera partitio
325 VIII. (1) Netes igitur diezeugmenon, quae est .III.LXXII., si dimidium sumam, erunt .I.DXXXVL, qui eisdem additi fiunt .IIII.DCVIIL, quae est mese, quam .O. littera designavimus.
(2) Quod si eiusdem netes diezeugmenon, id est .DD., scilicet .III.LXXII., auferam tertiam partem, erunt .T.XXIIIL, qui eisdem coniuncti facient .IIII.XCVL, quae vocabitur paramese, X littera subnotata.
(3) Nete igitur diezeugmenon, id est .III.LXXII. ad mesen id est .IIII.DCVUI., quoniam in sesqualtera comparatione consistit, diapente, consonabit symphoniam. Eadem vero nete diezeugmenon id est .III.LXXII. ad paramesen, id est .IIII.XCVL, quae ad eam in sesquitertia proportione composita est, diatessaron retinet consonantiam. (4) Si igitur ab ea, quae est nete diezeugmenon .III.LXXII. octavam auferam partem, id est .CCCLXXXIIII. eisque adiciam, fient .III.CCCCLVI. Eritque haec paranete diezeugmenon diatonos .CC. litteris pernotata, ad neten diezeugmenon obtinens tonum.
(5) 	Ab hac vero si octavam auferam partem, id est de .III.CCCCLVI. quae est .CCCCXXXII. eosque eidem adiungam, erunt .III.DCCCLXXXVIII.

IV, 7.4 - 8.5
Основы музыки
197
тона, ибо, как выше было пространно показано, тон не может быть поделен ровно на две части. Этот интервал из трех полутонов, то есть тона с полутоном, мы обозначили следующим образом: т т т 73.
(5) Далее. Хроматическая паранета высших по отношению к трите высших содержит часть тона, то есть полутон, который остается от двух тонов между диатонической тритой высших и нетой высших. А после вычета четырех полутонов из всего тетрахорда [то есть кварты] остается интервал полутона, который заключен между нетой отделенных и тритой высших.
(6) Получается, что и хроматический тетрахорд состоит из двух тонов и полутона, но поделен как один интервал величиной в три полутона и два [других] интервала, два полутона; при этом три интервала охватываются четырьмя ступенями [звукоряда].
(7) Понять [деление] того же тетрахорда в энармоническом роде проще простого. От неты высших 2304 энармоническая паранета высших 2916 находится на расстоянии двух целых тонов, которые мы обозначили как т т. Таким образом, от всего тетрахорда (который состоит из двух тонов с полутоном) остается один полутон, который заключается между нетой отделенных и энармонической паранетой высших. Его мы поделили на две диесы, поместив в середину энармоническую триту высших. Интервал диесы мы обозначили следующим образом: ξ>74.
(8) Итак, мы описали тетрахорд высших. Сделав это, перейдем к тетрахорду отделенных. Не будем углубляться в такие детали в отношении дальнейших [тетрахордов], поскольку настоящее описание может служить примером и в других случаях.
8. 	Деление монохорда в тетрахорде отделенных по трем родам
(1) Если возьмем половину от неты отделенных 3072, получится число 1536. При добавлении его к тому же 3072 получится 4608, число месы, которую мы обозначили буквой О.
(2) Если из той же неты отделенных DD, то есть 3072, возьмем треть, будет 1024. Сложение его с тем же 3072 даст 4096. Эта [ступень] называется парамесой и обозначается буквой X.
(3) Нета отделенных 3072, поскольку она находится в полуторном отношении к месе 4608, даст квинтовый консонанс. Та же нета отделенных 3072 по отношению к парамесе 4096, с которой она образует сверхтретное отношение, даст квартовый консонанс. (4) Если же от неты отделенных 3072 возьмем осмину, то есть 384, и прибавим ее к тому же [числу 3072], получится 3456. Это будет диатоническая паранета отделенных, обозначенная буквами СС — она образует к нете отделенных [целый] тон.
(5) 	Если мы от нее возьмем осмину, то есть от 3456 [возьмем] 432, и прибавим ее к тому же [3456], выйдет 3888. Это будет диатоническая трита отделенных,

198
Institutio musica
Eritque ea .Y. trite diezeugmenon diatonos. Sed quoniam nete diezeugmenon ad paramesen sesquitertiam obtinebat proportionem, trite autem diezeugmenon diatonos a nete diezeugmenon duos tonos abest, continebitur inter triten diezeugmenon et paramesen semitonium minus.
(6) Diatonicum igitur genus in hoc quoque tetrachordo ac pentachordo ita expletum est, ut tetrachordi quidem eius, quod est netes diezeugmenon ad
326 paramesen, diatessaron consonantia sit, pentachordi vero eius, quod est netes diezeugmenon ad mesen, diapente sit consonantia.
(7) Enarmonium vero atque chromaticum genus hac ratione texemus. Sumo distantiam netes et paranetes diezeugmenon diatoni, id est .III.LXXII. et .III.CCCCLVI., est eorum differentia .CCCLXXXIIII. Hanc divido; erunt .CXCII. Hanc si sumam et ei, quae est paranete diezeugmenon diatonos, adiungam, id est .III.CCCCLVI., fient .III.DCXLVIII. Haec erit paranete diezeugmenon chromatica .BB. geminatis litteris adnotata, distans a nete diezeugmenon tono et semitonio, id est tribus semitoniis, continens ad triten diezeugmenon dudum quidem diatonicam, nunc vero chromaticam, id est.III.DCCCLXXXVIII., semitonium reliquum ab eo tono, quod divisum est inter paraneten diatonon diezeugmenon et triten diatonon diezeugmenon.
(8) Et fit aliud reliquum ex tetrachordo semitonium inter triten diezeugmenon chromaticam et paramesen, quod scilicet ex diatessaron consonantia relinquitur ea, quae est inter neten diezeugmenon et paramesen subtractis duobus tonis, quos nete diezeugmenon et trite diezeugmenon chromatica continebant,
(9) Quae autem in diatonico genere trite diezeugmenon diatonica est, in chromatico autem trite diezeugmenon chromatica, ea in enarmonio genere paranete diezeugmenon enarmonios dicitur — integros enim duos tonos distat ab ea, quae est nete diezeugmenon — et notatur .AA. Et inter neten diezeugmenon et paraneten enarmonion diezeugmenon nulla interest chorda atque ideo paranetes vocabulo nuncupatur.
(10) Semitonium vero, quod est inter paraneten enarmonion diezeugmenon
327 et paramesen, id est inter .AA. et .X. hac ratione partimur, ut fiant duae diesis. Sumo differentiam paranetes enarmonii diezeugmenon et parameses, id est .m.DCCCLXXXVIII. et .ÏTÏÏ.XCVL Ea esHCCVIII. Hanc divido; fient .CHII. Hos appono .III.DCCCLXXXVIII., fient .III.DCCCCXCII. Ea erit trite diezeugmenon enarmonios .Z. littera pernotata.
(11) Huius igitur tetrachordi per tria genera descriptionem subter adieci superiusque dispositum hyperboleon tetrachordon adgregavi, uti esset utrorumque una descriptio et paulatim iuncta dispositionis totius forma consurgeret:

IV, 8.5-11
Основы музыки
199
точка Y. Поскольку нета отделенных к парамесе состоит в сверхтретном отношении, а диатоническая трита отделенных от неты отделенных отстоит на два тона, то между тритой отделенных и парамесой будет малый полутон.
(6) Тетрахорд и пентахорд в диатоническом роде доводятся до конца таким образом, что тетрахорд между нетой отделенных и парамесой дает квартовый консонанс, а пентахорд между нетой отделенных и месой — квинтовый консонанс.
(7) Энармонический, а также хроматический роды мы строим следующим образом. Берем в диатоне расстояние между нетой и паранетой отделенных, то есть 3072 и 3456; их разность 384 делим [пополам], получается 192. Теперь, если ее взять и прибавить к диатонической паранете отделенных 3456, получится 3648. Это — хроматическая паранета отделенных, обозначенная сдвоенными буквами ВВ. Она отстоит от неты отделенных на тон и полутон, то есть на три полутона. [Хроматическая паранета отделенных] содержит полутон к трите отделенных 3888 — ранее диатонической, теперь же хроматической [ступени]. Этот полутон получился как остаток от деления [на две части] тона между диатонической паранетой отделенных и диатонической тритой отделенных.
(8) Еще один полутон в остатке из тетрахорда [отделенных] возникает между хроматической тритой отделенных и парамесой. Он остается после вычитания из консонанса кварты между нетой отделенных и парамесой двух [целых] тонов, которые содержит [интервал между] нетой отделенных и хроматической тритой отделенных.
(9) Та [ступень], которая в диатоническом роде является диатонической тритой отделенных, а в хроматическом [роде] хроматической тритой отделенных, в энармоническом роде называется энармонической паранетой отделенных и находится на расстоянии двух целых тонов от неты отделенных; эта [ступень] обозначается [буквами] АА. Между нетой отделенных и энармонической паранетой отделенных не попадает никакой ступени, вот почему последняя и называется словом «паранета».
(10) Полутон же между энармонической паранетой отделенных и парамесой (то есть между АА и X) мы делим таким образом, чтобы получить две диесы. Берем разность между энармонической паранетой отделенных и парамесой (то есть между 3888 и 4096); получаем 208. Делим ее [пополам], выходит 104. Прибавляем 104 к 3888, выходит 3992; это — энармоническая трита отделенных, обозначенная буквой Z.
(11) Ниже я приложил схему деления тетрахорда [отделенных] по трем родам, к которой добавил и ранее описанный тетрахорд высших, чтобы на одной схеме были оба тетрахорда и чтобы понемногу вырисовывалась общая картина всего звукоряда.

200
Institutio musica. Descriptio ad IV, 8
diat. chrom. enarm.
О

Схема к IV, 8
Основы музыки
201
диатоника хроматика энармоника
X
к
£
а,
Q
X
н
Q
О
О
Q
О
н
Q
S
LL
τ
2592 2304
CpNH
τ τ τ
2736
°ы
ΕρΝΗ
кк
τ
2916
CTH rj- HH
LL
LL
-ы
-ы
о
ΕΤΗ о ·°·|
ЕЕ
Ф
29
DD
τ
3456 3072
CpND
τ τ τ
3648
°ы
°ы
EpND
О
О
00
00
00
со
CÛ
CÛ
О “Ы
>■
-ы
его < “°·5!
tv i On
N vO-00
0 X
τ
4608 4096
°ы

202
Institutio musica
Monochordi netarum synemmenon per tria genera partitio
VIIII. (1) Duo quidem tetrachorda, quae sibimet quidem coniuncta sunt, a mese vero disiuncta, trium generum superior descriptio quemadmodum locarentur ostendit.
(2) Nunc ad illud tetrachordum veniendum est, quod synemmenon vocatur, quod iunctum est ei, quae est mese.
(3) Quoniam enim inter neten diezeugmenon et mesen diapente consonantiam esse praediximus, est autem diapente consonantia trium tonorum ac semitonii, tres vero toni sunt in hoc pentachordo, quorum unus quidem netes diezeugmenon ad paraneten diezeugmenon diatonon, alter vero paranetes diezeugmenon diatoni ad triten diezeugmenon diatonon, tertius autem parameses ad mesen, reliquumque semitonium trites diezeugmenon diatoni ad paramesen, quoniamque netes diezeugmenon et parameses tetrachordum ab ea, quae est mese eo tono disiunctum est, quod est inter paramesen ac mesen.
328 (4) Si ex eo pentachordo, quod est a nete diezeugmenon ad mesen, unum abstulerimus tonum, eum scilicet, qui continetur inter neten diezeugmenon et paraneten diezeugmenon diatonon, poterimus aliud tetrachordon ad mesen iungere, ut fiat synemmenon, quod est coniunctum, hoc modo.
(5) 	Quoniam paranetes diezeugmenon diatoni, quae est .CC, numerus est .III.CCCCLVL, horum tertia eisdem addita faciet mesen. Hic ergo numerus in diezeugmenon tetrachordo .CC. litteris adnotatus tono distabat a nete diezeugmenon in genere diatonico et paranete diezeugmenon diatonos vocabatur. In synemmenon autem tetrachordo, id est coniunctarum, sit nete synemmenon in tribus generibus constituta, .V. littera pernotata (6) et ab ea octava pars auferatur, quae est .CCCCXXXII. eisque apponatur, fient .III.DCCCLXXXVIII., quae est paranete synemmenon diatonos, quae .T. littera insignitur. Huius pars sumatur octava, quae est .CCCCLXXXVI. Haec summa si eisdem, quorum octava est, adgregetur, fient .IIII.CCCLXXIIII., quae est trite synemmenon diatonos, id est .Q. Sed quoniam nete synemmenon ad mesen, id est .III.CCCCLVL ad .IIILDCVIII. sesquitertiam obtinet proportionem, quae est diatessaron, trite autem synemmenon ad neten synemmenon, id est .IIII.CCCLXXIIII. ad .III.CCCCLVL duorum tonorum obtinet proportionem, relinquitur trites synemmenon diatoni ad mesen proportio semitonii (7) et coniunctum est hoc tetrachordum cum
329 mese atque ideo synemmenon quasi continuum et coniunctum vocatur. Et diatonici quidem generis hoc modo est facta proportio.
(8) 	Chromatici vero talis divisio est. Sumo netes synemmenon et paranetes synemmenon diatoni, id est .III.CCCCLVL et .III.DCCCLXXXVIII. differentiam. Ea est .CCCCXXXII. Hanc divido, ut semitonium fiat; fiunt .CCXVI.
6 eisque apponatur] eisque adnotatur Fr.

IV, 9.1-8
Основы музыки
203
9. 	Деление монохорда в тетрахорде соединенных по трем родам
(1) Два [рассмотренных в предыдущих главах] тетрахорда, связанные между собой, отделены, однако, от месы75. Их расположение по трем родам показывает вышеприведенная схема.
(2) А теперь нужно перейти к тетрахорду, который называется тетрахордом соединенных, потому что он соединяется с месой.
(3) Как мы говорили раньше, между нетой отделенных и месой существует квинтовый консонанс, а квинтовый консонанс состоит из трех тонов и полутона. Три тона в упомянутом пентахорде расположены так: первый между нетой отделенных и диатонической паранетой отделенных, второй между диатонической паранетой отделенных и диатонической тритой отделенных, третий между парамесой и месой. Оставшийся полутон находится между диатонической тритой отделенных и парамесой. Тетрахорд, проходящий от неты отделенных до парамесы, отделен от месы тоном, лежащим между парамесой и месой.
(4) Если из этого пентахорда (того, что между нетой отделенных и месой) мы вычтем тон (а именно тот, что лежит между нетой отделенных и диатонической паранетой отделенных), то сможем соединить с месой другой тетрахорд, чтобы возникло synemmenon, то есть «соединение», [которое происходит] следующим образом.
(5) Поскольку число диатонической паранеты отделенных СС равно 3456, то при добавлении к нему его трети получится меса. Число, обозначенное в тетрахорде отделенных буквами СС, в диатоническом роде отстоит на тон от неты отделенных и называется диатонической паранетой отделенных. В тетрахорде же synemmenon, что значит «соединенных», пусть оно будет [числом] неты и обозначается буквой V. Установим нету соединенных в трех родах76.
(6) Вычислив от 3456 осмину 432 и прибавив ее к тому же [числу 3456], получим 3888, диатоническую паранету соединенных, обозначенную буквой Т. Теперь возьмем от нее осмину 486 и прибавим к [прежней] осмине [3888]; получится 4374, диатоническая трита соединенных, то есть Q. Поскольку нета отделенных по отношению к месе (3456 по отношению к 4608) находится в сверхтретном отношении (то есть [отношении] кварты), а трита соединенных к нете соединенных (4374 к 3456) находится в отношении двух тонов, то для диатонической триты соединенных и месы остается отношение полутона [4374 к 4608].
(7) И вот описанный тетрахорд соединился с месой — потому-то он и называется synemmenon, то есть как бы слитный, соединенный. Таким образом, расчет отношений диатонического рода [для тетрахорда соединенных] сделан77.
(8) Деление хроматического [тетрахорда] таково. Берем разность неты соединенных и диатонической паранеты соединенных (3456 и 3888), то есть 432. Делим ее [пополам], чтобы получился полутон; выходит 216. Прибавляем

204
Institutio musica
Hanc adicio ad .III.DCCCLXXXVIIL, ut tria semitonia fiant, erunt .IIII.CIIII., quae est paranete synemmenon chromatica, cui littera .S. superapposita est. Ab hac igitur, id est paranete synemmenon chromatica ad triten synemmenon prius quidem diatonicam nunc vero chromaticam semitonium est, a qua synemmenon chromatica usque ad mesen aliud semitonium repperitur.
(9) 	Sed quoniam a nete synemmenon usque ad triten synemmenon diatonon vel chromaticam duo toni sunt, quae est in diatonico vel chromatico generibus trite synemmemon diatonos vel chromatica, eadem in genere enarmonio paranete synemmenon enarmonios est, habens summam .IIII.CCCLXXIIII. et sit .R. A qua usque ad mesen semitonium est. Hoc partior in duas diesis hoc modo. Sumo differentiam paranetes synemmenon enarmonii et meses, id est .IIII.CCCLXXIIII. et .IIII.CVIII. Ea est .CCXXXIIII. Hanc divido, fient .CXVII. Hanc adicio paranete synemmenon enarmonio, id est .IIII.CCCLXXIIII., fient .IIII.CCCCXCL, quae .R littera pernotetur et sit ea trite synemmenon enarmonios. Eritque semitonium, quod continetur inter paraneten synemmenon enarmonion et mesen, id est inter .IIILCCCLXXIIII. et .IIII.DCVIIL, divisum per triten synemmenon enarmonion, eam scilicet, quae est .IIII.CCCCXCL 330 (10) Quocirca huius quoque tetrachordi expedita est ratio. Nunc autem
facienda est descriptio iuncta tamen cum ceteris, id est hyperboleon ac diezeugmenon, ut paulatim fiat dispositionis rata progressio.
Monochordi meson per tria genera partitio
X. (1) Ex his igitur, quae praedicta sunt, in ceteris non arbitror diutius esse laborandum; ad horum enim exemplar etiam reliqua tetrachorda meson atque hypaton texenda sunt.
(2) Ac primum quidem diatonici generis meson tetrachordon hoc ordine describemus. Meses enim, quae est .O. IIII.DCVIIL sumo tertiam partem, Ea est .I.DXXXVI. Hanc eidem copulo, fient .VI.CXLIIII. Ea sit .H. hypate meson, diatessaron ad mesen continens consonantiam. Haec duobus tonis ac semitonio ita dividitur.
(3) Sumo enim meses, id est .IIII.DCVIIL, octavam partem, quae est .DLXXVI. Hanc eidem iungo, fient .V.CLXXXIIII. Ea est lichanos meson diatonos, id est .M.
(4) Cuius iterum pars sumatur octava. Ea est .DCXLVIII. Hanc eisdem adiungo, fient .V.DCCCXXXII. Ea sit .1. parhypate meson diatonos, tonum obtinens ad lichanon meson diatonon, duobus autem tonis distans a mese. Relinquitur igitur semitonium inter hypaten meson diatonon et parhypaten meson diatonon constitutum, id est inter .VI.CXLIIII. et .V.DCCCXXXII.
(5) Idem vero tetrachordum meses atque hypates meson in chromatico genere tali ratione partimur. Sumo meses differentiam ad lichanon meson

IV, 9.8 - 10.5
Основы музыки
205
это число к 3888, чтобы получилось три полутона78, и выходит 4104; это хроматическая паранета соединенных, которой приписана буква S79. Между этой хроматической паранетой соединенных и тритой соединенных (прежде диатонической, а теперь хроматической) — полутон. Еще один полутон находится между хроматической тритой соединенных и месой.
(9) Поскольку от неты соединенных до диатонической (или хроматической) триты соединенных два тона, то та [ступень], которая в в диатоническом или хроматическом родах была диатонической или хроматической тритой соединенных, в энармоническом роде — энармоническая паранета соединенных R, числом 4374; от нее до месы полутон. Делим его на две диесы так: берем разность между энармонической паранетой соединенных и месой (4374 и 4608), 234, делим эту разность [пополам], получается 117. Добавляем 117 к энармонической паранете соединенных 4374, получаем 4491; это энармоническая трита соединенных, которая обозначается буквой Р. Таким образом, полутон, который содержится между энармонической паранетой соединенных и месой (то есть между 4374 и 4608), будет поделен энармонической тритой соединенных, а именно той, что заключена в числе 4491.
(10) Итак, обоснование тетрахорда [соединенных] изложено. Теперь надо дать схему, связанную с другими [вышеизложенными тетрахордами] высших и отделенных, с тем чтобы понемногу развертывалась надлежащая последовательность [ступеней] звукоряда; [см. ее на следующей странице].
10. 	Деление монохорда в тетрахорде средних по трем родам
(1) Имея в виду вышеизложенные [тетрахорды], я думаю, [нам] не стоит задерживаться на остальном. Именно по их образцу строятся оставшиеся тетрахорды средних и низших.
(2) Сначала опишем тетрахорд средних в диатоническом роде. От месы О, которая заключена в числе 4608, берем треть; это 1536. Прибавляем это число к месе, получается 6144. Пусть это будет точка Н, шпата средних, образующая к месе консонанс кварты. Он делится на два тона и полутон следующим образом.
(3) Берем от месы 4608 осмину 576, прибавляем ее к месе, получается 5184; это диатоническая лихана средних, обозначенная буквой М.
(4) От нее снова берется осмина 648; прибавляем ее к лихане и выходит 5832. Это — диатоническая парипата средних I, которая содержит тон к диатонической лихане средних, а от месы отстоит на два тона. Следовательно, между диатонической гипатой средних и диатонической парипатой средних (то есть между 6144 и 5832) остается полутон.
(5) Тот же тетрахорд от месы до шпаты средних в хроматическом роде мы делим так. Берем разность месы и диатонической лиханы средних (то есть 4608 и 5184), выходит 576. Делим эту разность пополам, получается 288.

206
Institutio musica. Descriptio ad IV, 9
diat. chrom. enarm.
О

диатоника
Схема к IV, 9
Основы музыки
207
диатоника хроматика энармоника
Я
Он
Q
сл
I
I
сл
Z
Он
Q
Н
Q
σ
“Ь* оо о
VO

сл
2:
и
со
-fcj
ομ
EpNS
-fcj
Q
Z
Он
Q
-fcj
-ь»
-fcj
-fcj
S 40
со
г0н I>N
U CN
-b»
“fcJ
-fcJ
Q
2:
&
-fcj
EpNH
O ^
ETH о ** 35
q ш vv ?! ы ш ^
EpND
ETD
N
WO cN 04
04
X> °°
O

208
Institutio musica
332 	diatonon, id est .IIII.DCVIII. ad .V.CLXXXIIII. Ea est .DLXXVI. Hanc dimidiam partior, fiunt .CCLXXXVIII. Eandem adicio numero maiori, id est .V.CLXXXIIII. fiunt .V.CCCCLXXII. quae sit .N. lichanos meson chromatice.
(6) Relinquuntur igitur duo semitonia, unum inter lichanon meson chromaticen et parhypaten meson chromaticen, id est inter .V.CCCCLXXII. et .V.DCCCXXXII. et aliud inter parhypaten meson chromaticen et hypaten meson, id est inter .V.DCCCXXXII. et .VT.CXLIIII.
(7) Enarmonium vero genus hoc modo dividimus. Quoniam ea, quae erat parhypate meson diatonos, vel ea, quae erat parhypate meson chromatice, duos tonos distabat a mese obtinens numerum .V.DCCCXXXII., ea in enarmonio genere erit lichanos meson enarmonios, .L. littera pernotata, duos nihilominus ad mesen obtinens tonos.
(8) Reliquum igitur semitonium, quod est inter lichanon meson enarmonion et hypaten meson, id est inter .V.DCCCXXXII. et .VI.CXLIIII., in duas diesis hoc modo dividimus. Aufero differentiam .V.DCCCXXXII. ad .VI.CXLIIII. ea est .CCCXII. Hanc dimidiam partior, fient .CLVI. Hoc ad .V.DCCCXXXII. iungo, fient. V.DCCCCLXXXVIII. Et haec sit .K. parhypate meson enarmonios. Duae vero sunt diesis inter lichanon meson enarmonion et parhypaten meson enarmonion, id est inter .V.DCCCXXXII. et .V.DCCCCLXXXVIII. et inter parhypaten meson enarmonion et hypaten meson, id est inter .V.DCCCCLXXXVIII. et .VI.CXLIIII.
332 (9) Divisum est igitur meson tetrachordum, quod ita in descriptione
ponatur, ut superius descriptis tetrachordis adgregetur [vide infra pag. 220].
Monochordi hypaton per tria genera partitio et totius dispositio descriptionis
XL (1) Nunc ergo hypaton tetrachordon per tria genera dividendum est. Sumo hypates meson, id est .VI.CXLIIII. dimidiam partem, quae fit .III.LXXII. Hanc eidem si adiecero, fient .VIIII.CCXVI., quae est proslambanomenos ad hypaten meson diapente consonantiam servans. Eiusdem autem hypates meson, id est .VI.CXLIIII., si auferam tertiam partem, quae est .II.XLVIII. eidemque adiecero, fient .VIII.CXCII. et haec est .B. hypate hypaton. Igitur hypates meson ad proslambanomenon diapente est consonantia, ad hypaten hypaton vero diatessaron.
(2) 	Ab hac igitur hypate meson, id est .VI.CXLIIII. pars auferatur octava, erit .DCCLXVIII. Hanc eisdem si quis adiungat, fient .VI.DCCCCXIL, quae est .E. lichanos hypaton diatonos ad hypaten meson toni obtinens proportionem. Rursus de .VI.DCCCCXIL pars auferatur octava. Ea est .DCCCLXIIII. Haec si eidem copuletur, fient .VII.DCCLXXVL, quae est .C. parhypate hypaton diatonos ad lichanon hypaton diatonon toni, ad hypaten meson duorum tonorum distantiam servans. Relinquitur igitur semitonium

IV, 10.5 - 11.2
Основы музыки
209
Прибавляем это число к большему, то есть к 5184; получается 5472; это N, хроматическая лихана средних.
(6) Остаются два полутона: один между хроматической лиханой средних и хроматической парипатой средних (то есть между 5472 и 5832), а другой между хроматической парипатой средних и гипатой средних (то есть между 5832 и 6144).
(7) Энармонический род [тетрахорда средних] делим следующим образом. Ранее найденная диатоническая парипата средних (или хроматическая парипата средних), которая отстоит на два тона от месы и заключена в числе 5832, в энармоническом роде будет энармонической лиханой средних. Обозначенная буквой L, она по-прежнему находится на расстоянии двух тонов от месы.
(8) Оставшийся полутон между энармонической лиханой средних и гипатой средних (то есть между 5832 и 6144) делим на две диесы так. Вычисляем разность 5832 и 6144, получается 312. Делим это число пополам, выходит 156. Это число прибавляем к 5832; выходит 5988; это К, энармоническая парипата средних. Таким образом получаются две диесы: одна — между энармонической лиханой средних и энармонической парипатой средних (то есть между 5832 и 5988), другая — между энармонической парипатой средних и гипатой средних (то есть между 5988 и 6144).
(9) Итак, тетрахорд средних поделен. На схеме мы расположили его таким образом, чтобы он примыкал к вышеописанным тетрахордам; [см. схему на следующей странице].
11. 	Деление монохорда в тетрахорде низших по трем родам и полная схема расположения [высот]  1 2(1) Теперь надо поделить тетрахорд низших. Берем от шпаты средних (6144) половину, получается 3072. Если к 6144 прибавить эту половину, получится число 9216, то есть просламбаномен, который находится в квинтовом консонансе к гипате средних. Если от той же шпаты средних (6144) возьмем третью часть (2048) и прибавим ее к гипате средних, получится число 8192; это В, шпата низших. Таким образом, от шпаты средних до просламбаномена — консонанс квинты, а от нее же до гипаты низших — [консонанс] кварты.
(2) Если от гипаты средних 6144 взять осмину 768 и прибавить к той же гипате, получится число 6912; оно даст Е, диатоническую лихану низших, которая к гипате средних образует отношение целого тона. Далее, возьмем осмину от 6912, число 864. Если сложить его с предыдущим, получится 7776; это С, диатоническая парипата низших, которая по отношению к гипате средних находится на расстоянии двух целых тонов. Таким образом, между диатонической парипатой низших и гипатой низших остается полу-

DpHM DLM M DTS DpNS
210
Institutio musica. Descriptio ad IV, 10
diat. chrom.
diat. chrom. enarm.
m.ccccLvi
-b»
-b*
-b*
CD Ö
2 U
ou e
и h
σ
CO
CD “b*
G
• nn.CCCLCCIIII
“b*
“b
V CLXXXIIII
°b
°b
δΓ-ig-
νζ> У
-b*
Q
2
Ou
Q
>-
s'fc
Ou
“b*
-b*
“b*
V.CCCCLXXII —
“b
CpHM ·
-b
-b
“b
I
I
H “b
“b
-b
“b
“b
Q
2
U
-II.CCCIV —I
°b
°b
-JEpNH — n.DCCCCXVI —
§ vO
- £TH — ÏÏ.DCCCC ХСИП
Ш *>
"£ΤΗ·^Π
ш ^
Ill LXXII -
°b
°b
CTD JEpND
-b
T- III DCCCLXXXVIII - /> _
HETD — III.DCCCCXCII ■
N
vÇ>
ΠΠ XCVI —
ΓΤΠ DCVIII
°b
°b
ELM ·
■ V.DCCCXXXII -
vÇ>
■ EpHM ■
vÇ>
X diat
chrom.
V.DCCCCLXXXVIII —
7I.CXLIIH ■

HM DpHM DLM M DTS DpNS
Схема к IV, 10
Основы музыки
211
диатоника хроматика энармоника
д
2
Ou
Q
I
I
LO
СО
-ь»
-Ь»
2
и
со
<Л“Ь>
G
“Ь*
°ь-*
СЬ-*
EpNS
ETS
О. 3
vÇ> ^
“b-*
“b4
I
I
X
G
-ь*
“b-*
-b»
Z “
Ou 40
U со
°b*
°b->
EpNH
O _
ETH CD ^ £
vÇ>
°b-*
cb>
EpND
ETD
3 *>■:
N
vÇ>
s
-bu
-bu
-μ
K
d
LO
5
ELM
ΕρΗΜ
°b->
°b*
νζ>
vÇ>
00
00
04
LO
X диатоника хроматика
энармоника

212
Institutio musica
333 inter parhypaten hypaton diatonon et hypaten hypaton, id est inter .VII.DCCLXXVI. et. VIII.CXCII. Et diatonici quidem generis hypaton tale tetrachordum est, (3) chromaticum vero tali ratione dividimus. Sumo enim differentiam hypates meson et eius, quae est lichanos hypaton diatonos, id est .VLCXLIIII. et .VI.DCCCCXII. Ea est .DCCLXVIII. Hanc dimidiam partior, ut duo efficiam semitonia, fient .CCCLXXXIIII. Hanc adicio .VI.DCCCCXII, ut tria semitonia fiant; erunt. VII.CCXCVI. Haec erit .F. lichanos hypaton chromatice ab ea, quae est hypate meson, tribus semitoniis distans. Relinquuntur ergo duo semitonia, unum quidem inter lichanon hypaton chromaticen et parhypaten hypaton chromaticen, id est inter .VII.CCXCVI. et .VII.DCCLXXVI., aliud vero inter parhypaten hypaton chromaticen et hypaten hypaton, id est inter .VII.DCCLXXVI. et /VÏÏÎ.CXCII.
(4) Restat enarmonium genus, cuius ad superius exemplar talis divisio est. Quoniam enim parhypate hypaton diatonos vel parhypate hypaton chromatice, quae .VII.DCCLXXVI. unitatibus insignita est, duobus tonis distat ab ea, quae est hypate meson, eadem erit in genere enarmonio lichanos hypaton enarmonios, quae ab hypate meson duobus integris differat tonis. [Haec erit .G. lichanos hypaton enarmonios].
(5) Restat igitur ex diatessaron consonantia semitonium, quod est inter lichanon hypaton enarmonion et hypaten hypaton, id est inter .VII.DCCLXXVI. et .VIII.CXCII. Hoc in duas diesis ita dividimus. Sumo differentiam eius, quae est lichanos hypaton enarmonios, et hypates hypaton, id est .VII.DCCLXXVI. et .VIII.CXCII. Ea est .CCCCXVI. Huius dimidiam sumo, sunt .CCVIII. Hanc adicio .VII.DCCLXXVI. fient, .VII.DCCCCLXXXIIII. quae sit .D. parhypate hypaton enarmonios. Sunt
334 igitur duae diesis, una quidem, quae est inter lichanon hypaton enarmonion et parhypaten hypaton enarmonion, id est inter .VII.DCCLXXVI. et .VII.DCCCCLXXXIIII., altera vero, quae est inter parhypaten hypaton enarmonion et hypaten hypaton, id est inter .VII.DCCCCLXXXIIII. et
vm.cxcii.
(6) Tonus vero ultimus inter proslambanomenon et hypaten hypaton, id est inter .VIÏÏÏ.CCXVL et .VIII.CXCII. continetur.
(7) Divisum est igitur hypaton tetrachordum secundum tria genera, diatonicum, chromaticum, enarmonion. Quod si superioribus tetrachordis hyperboleon, diezeugmenon, synemmenon, meson adiungatur, fit integra perfectaque descriptio divisi per omnia [tria genera] monochordi regularis [vide infra descriptionem interiectam].  4 54 Haec erit .G. lichanos hypaton enarmonios] Deest in Fr. et antiquissimis mss.
5 quae est inter lichanon hypaton enarmonion] quae inter lichanon hypaton enarmonion Fr. 7per omna [tria genera] monochordi] 'Tria genera' additum uncis a Friedleimo deest in mss. antiquissimis.

IV, 11.2-7
Основы музыки
213
полутон, который находится между 7776 и 8192. Таков тетрахорд низших в диатоническом роде.
(3) Хроматический тетрахорд делим следующим образом. Возьмем разность между гипатой средних и диатонической лиханой низших, то есть 6144 и 6912, она равна 768. Разделим ее пополам, чтобы вышло два полутона, получится число 384. Это число прибавим к 6912, чтобы вышло три полутона, получится 7296; это F, хроматическая лихана низших, которая от гипаты средних находится на расстоянии трех полутонов. Итак, остаются два полутона: один между хроматической лиханой низших и хроматической парипатой низших (то есть между 7296 и 7776), а другой между хроматической парипатой низших и гипатой низших (то есть между 7776 и 8192).
(4) Остается энармонический род, который по вышеприведенному образцу делим так. Поскольку диатоническая парипата низших (или хроматическая парипата низших), выражающаяся числом 7776, находится на расстоянии двух целых тонов от гипаты средних, она же в энармоническом роде будет [по высоте] соответствовать энармонической лихане низших, которая отстоит от гипаты средних на два целых тона; это G, энармоническая лихана низших80.
(5) За вычетом из квартового консонанса [дитона] остается полутон, который находится между энармонической лиханой низших и гипатой низших, то есть между 7776 и 8192. Поделим его на две диесы так. Возьмем разность между энармонической лиханой низших и гипатой низших (то есть между 7776 и 8192), она равна 416. Теперь возьмем половину этого числа, 208, и прибавим ее к 7776, выйдет 7984; это D, энармоническая парипата низших. Таким образом, получатся две диесы — одна между энармонической лиханой низших и энармонической парипатой низших (то есть между 7776 и 7984), другая между энармонической парипатой низших и гипатой низших (то есть между 7984 и 8192).
(6) Последний [в полной системе] целый тон заключен между просламбаноменом и гипатой низших в числах 9216 и 8192.
(7) Таким образом, тетрахорд низших поделен в трех родах — диатоническом, хроматическом и энармоническом. А если его прибавить к вышеописанным тетрахордам высших, отделенных, соединенных и средних, то получится полная и совершенная схема деления линейного монохорда по всем трем родам [см. схему на вкладке в конце книги].

214
Institutio musica
Ratio superius dispositae descriptionis
XII. (1) In superiore igitur forma obtinet quidem consonantiam diapason proslambanomenos ad mesen, mese vero ad neten hyperboleon, bis autem diapason proslambanomenos ad neten hyperboleon; diatessaron autem consonantiam servant hypate hypaton ad hypaten meson, hypate meson ad mesen, mese ad neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon, nete diezeugmenon ad neten hyperboleon, atque hoc ita, ut in his consonantiis integra tetrachorda numeremus. Atque ut clarius omnis in hac forma respiciatur ordo nervorum secundum tria genera, .V. tantum notantur esse tetrachorda: primum atque gravissimum hypaton, cuius est princeps hypate hypaton, ultima hypate meson, secundum vero
335 meson, cuius est princeps hypate meson, extrema vero mese, tertium synemmenon, cuius est princeps mese, finalis nete synemmenon, quartum diezeugmenon, cuius est prima paramesos, nete vero diezeugmenon extrema, quintum vero est hyperboleon, cuius est quidem princeps nete diezeugmenon, ad neten vero hyperboleon terminatur extremam.
De stantibus vocibus et mobilibus
XIII. (1) Harum vero omnium vocum partim sunt in totum inmobiles, partim in totum mobiles, partim vero nec in totum inmobiles nec in totum mobiles sonant.
(2) In totum inmobiles sunt proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramesos, nete diezeugmenon nete hyperboleon idcirco, quoniam in omnibus tribus generibus eaedem sunt, nec loca nec nomina permutantes sive pentachorda sive tetrachorda contineant: pentachorda quidem, ut proslambanomenos ad hypaten meson et mese ad neten diezeugmenon, tetrachorda vero, ut hypate hypaton ad hypaten meson et hypate meson ad mesen.
(3) Mobiles vero sunt, quae secundum singula genera permutantur hoc modo, ut paranete et lichanos diatonici et chromatici, trite et parhypate enarmonii. Alia est enim paranete hyperboleon diatonos, alia paranete hyperboleon chromatica, alia trite enarmonios. Diversae sunt etiam paranete diezeugmenon diatonos atque chromatica, nec est eadem quae in generibus ceteris trite diezeugmenon enarmonios. Neque eaedem sunt paranete synemmenon diatonos et chromatica et
336 trite synemmenon enarmonios his, quae sunt in reliquis generibus trite. Distant etiam lichanos meson diatonos et lichanos meson chromatice, et parhypate meson enarmonios nulli aliorum generum parhypate similis invenitur. Nec eosdem locos ac numeros servant lichanos hypaton diatonos et lichanos hypaton chromatice. Nam parhypate

IV, 12 - 13.3
Основы музыки
215
12. Обоснование вышеприведенной схемы
(1) 	На схеме выше октавный консонанс охватывают просламбаномен и меса, а также меса и нета высших; двойную октаву [охватывают] просламбаномен и нета высших. Квартовый консонанс удерживают гипата низших и гипата средних, шпата средних и меса, меса и нета соединенных, парамеса и нета отделенных, нета отделенных и нета высших, и таким образом, в этих консонансах мы исчисляем полные тетрахорды [системы]. Чтобы звукоряд в трех родах на этой схеме обозревался яснее, отметим [еще раз], что тетрахордов только пять: первый и самый низкий — тетрахорд низших, первая ступень которого шпата низших, а последняя шпата средних; второй — тетрахорд средних, первая ступень которого гипата средних, а последняя меса; третий — тетрахорд соединенных, первая ступень которого меса, а последняя нета соединенных; четвертый — тетрахорд отделенных, первая ступень которого парамеса, а последняя нета отделенных; пятый — тетрахорд высших, первая ступень которого нета отделенных; и заканчивается он на последней [ступени в системе], нете высших.
13. О постоянных и подвижных ступенях
(1) Среди всех ступеней одни вполне неподвижны, другие вполне подвижны, а третьи по звучанию не относятся ни к подвижным, ни к неподвижным81.
(2) Вполне неподвижны просламбаномен, гипата низших, гипата средних, меса, нета соединенных, парамеса, нета отделенных и нета высших, потому что они едины [по высоте] во всех трех родах и, не меняя ни высоты ни имени, охватывают пентахорды и тетрахорды82, например, пентахорды от просламбаномена до гипаты средних и от месы до неты отделенных, тетрахорды же от гипаты низших до гипаты средних и от гипаты средних до месы.
(3) Подвижные [ступени] — те, что меняются в зависимости от рода, как, например, паранета и лихана диатонического и хроматического родов, трита и парипата энармонического рода83. Одно звучание у диатонической паранеты высших, другое у хроматической паранеты высших, а третье у энармонической триты. Различны по высоте также диатоническая и хроматическая паранеты отделенных, и энармоническая трита отделенных [звучит] не так, как [трита] в других родах. И не одинаковы [по высоте] диатоническая и хроматическая паранеты соединенных, а также трита соединенных — по сравнению с теми же тритами в остальных родах. Различаются диатоническая лихана средних и хроматическая лихана средних, а энармоническая парипата средних не подобна ни одной из парипат в других родах. Не на одной и той же высоте находятся и не одним и тем же числом выражаются диатоническая лихана низших и хроматическая

216
Institutio musica
hypaton enarmonios aliorum generum parhypatis repperitur esse dissimilis.
(4) Non in totum vero inmobiles aut mobiles sunt, quae in duobus quidem generibus manent, id est chromatico et diatonico, sed in enarmonio permutantur. Id autem sic consideratur. Trite hyperboleon diatonos et trite hyperboleon chromatice eadem in superiore forma descripta est isdem numeris .II.DCCCCXVI. At vero cum enarmonium genus aspicimus, triten aliam repperimus, id est .II.DCCCCXCIIII. Quae igitur vox duobus fuit generibus communis, eadem in tertio permutata est.
(5) Idem est in diezeugmenon tetrachordo. Nam trite diezeugmenon diatonos et trite diezeugmenon chromatica eadem sunt sibique consentiunt, trite autem diezeugmenon enarmonios a superioribus distat.
(6) In synemmenis etiam idem est. Trite enim synemmenon diatonos et trite synemmenon chromatice eaedem sunt, sed trite synemmenon enarmonios est diversa.
(7) Item parhypate meson diatonos et parhypate meson chromatica eaedem notantur, sed in enarmonio genere, sicut superius trite, ita hic parhypatae iuxta hypatas meson quidem inveniuntur, vi autem ac soni acumine diversae sunt ceteris.
(8) Rursus parhypate hypaton diatonos et parhypate hypaton chromatica eadem est, sed non eadem est, cum in enarmonio genere quaeritur.
(9) Sed ut harum non plena mutabilitas clarius conliquescat, ad hy337 perboleon tetrachordon redeamus. In hoc igitur, quae in diatonico
atque chromatico genere trite hyperboleon est, eadem mutatur in enarmonio et fit paranete. Item quae trite diezeugmenon vel in diatonico vel chromatico genere vocabatur, paranete in enarmonio dicitur. Quae trite synemmenon in chromatico vel diatonico fuit, in enarmonio in paraneten transit. Quae vero parhypate meson in chromatico vel diatonico visebatur, eadem lichanos meson in enarmonio repperitur; quae autem parhypate hypaton vel in diatonico vel in chromatico dicebatur, lichanos hypaton in enarmonio nuncupatur.
(10) Sunt igitur inmobiles quidem proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramesos, nete diezeugmenon, nete hyperboleon; mobiles vero, quas lichanus vel paranetas vel diatonicas vel chromaticas vel enarmonius vocamus; non in totum mobiles aut inmobiles, quas parhypatas, trita in diatono vel chromate, lichanus autem vel paranetas in enarmonio genere dicimus.

IV, 13.3-10
Основы музыки
217
лихана низших. И энармоническая парипата низших оказывается непохожей на парипаты [низших] в других родах.
(4) Не вполне подвижны и [одновременно] не вполне неподвижны те ступени, которые одинаковы [по высоте] в двух родах, а именно в хроматическом и диатоническом, но меняют высоту в энармоническом. Следут понимать это так. Диатоническая трита высших и хроматическая трита высших на вышеприведенной схеме84 описывается одним и тем же числом 2916. Если же мы рассмотрим энармонический род, обнаружим другую триту, ту, что [описана числом] 2994. Таким образом, эта ступень оказалась общей для двух родов, и она же в третьем [роде] изменилась85.
(5) То же наблюдаем в тетрахорде отделенных. Диатоническая трита отделенных и хроматическая трита отделенных одни и те же [по высоте], и они совпадают; энармоническая же трита отделенных отстоит от двух вышеупомянутых.
(6) В тетрахорде соединенных то же самое: диатоническая трита соединенных и хроматическая трита соединенных одинаковы, но энармоническая трита соединенных отличается [от них по высоте].
(7) Также диатоническая парипата средних и хроматическая парипата средних обозначены одинаково, но в энармоническом роде (как было выше с тритой) близ гипаты средних обнаруживается еще парипата, которая по функции и высоте звука отличается от остальных [т.е. диатонической и хроматической] парипат86.
(8) Далее, диатоническая парипата низших и хроматическая парипата низших одинаковы, но та, что обнаруживается в энармоническом роде, не такая же [по высоте].
(9) Для того чтобы проблема неполной изменчивости ступеней стала более очевидной, вновь обратимся к тетрахорду высших. Трита высших — [одна и та же] в диатоническом и хроматическом родах — меняется в энармоническом роде, и [на ее место] становится паранета87. А та, что в диатоническом или хроматическом роде звалась тритой отделенных, в энармоническом роде называется паранетой. Трита соединенных в хроматическом и диатоническом родах переходит в энармоническом роде в паранету. Та, что была парипатой средних в хроматическом и диатоническом родах, в энармоническом оказывается лиханой средних. Та, что в диатоническом и хроматическом родах называлась парипатой низших, в энармоническом роде именуется лиханой низших.
(10) Итак, [вполне] неподвижны просламбаномен, гипата низших, гипата средних, меса, нета соединенных, парамеса, нета отделенных, нета высших. [Вполне] подвижны те, которые мы называем лиханами и паранетами — диатоническими, хроматическими или энармоническими. Не вполне подвижными или не вполне неподвижными мы называем диатонические и хроматические парипаты и триты, а также энармонические лиханы и паранеты.

218
Institutio musica
De consonantiarum speciebus
XIIII. (1) Nunc de speciebus primarum consonantiarum tractandum est. Primae autem consonantiae sunt diapason, diapente, diatessaron.
(2) Species autem est quaedam positio propriam habens formam secundum unumquodque genus in uniuscuiusque proportionis consonantiam facientis terminis constituta; ut in diatonico genere.
(3) Nam si diezeugmenon tetrachordum inter hyperboleon tetrachordum
338 mesenque ponamus, subtracto scilicet synemmenon tetrachordo, erunt .XV. nervi. At si ab his proslambanomenos detrahatur, erunt .XIIII. Hi ergo disponantur hoc modo. Sit .A. hypate hypaton .B. parhypate hypaton, .C. hypaton lichanos, .D. hypate meson, .E. parhypate meson, .F. lichanos meson, .G. mese., .H. paramese, .К. trite diezeugmenon, .L. paranete diezeugmenon, .M. nete diezeugmenon, .N. trite hyperboleon, .X. paranete hyperboleon, .O. nete hyperboleon.
(4) Ab hypate igitur ad paramesen diapason consonantia est, ad eadem vero paramese ad hypaten meson diapente, a mese vero ad hypaten meson diatessaron. Erit igitur diapason quidem octo chordarum, diatessaron vero quattuor, diapente autem quinque. Ac per hoc habebit diatessaron quidem species tres, diapente autem species quattuor, diapason vero species septem; semperque una minus species erit, quam fuerint voces.
(5) Ut enim a mese ceteras ordiamur, diatessaron consonantiae species sunt tres hoc modo. Una quidem species erit ab .G. ad .D., secunda vero ab .F. ad .C., tertia ab .E. ad .B. et huc usque diatessaron species progrediuntur idcirco, quia huc usque species binos continent nervos eiusdem diatessaron, ut .GD. quidem eos, qui sunt .E.D., et .FC. eos, qui sunt .E.D., et .EB., eos, qui sunt .E.D. Si vero his adiecero diatessaron .DA. diyersa erit ab ea, quae est .GD.; unum enim solum .GD. consonantiae nervum continebit, id est .D. solum. Excessit igitur .GD. consonantiam. Atque ideo diatessaron tres species habere perhibetur. Et in ceteris quidem consonantiis idem est.
339 (6) Diapente autem quattuor species erunt hoc modo. Una quidem ab eo, quod est .H., ad .D., alia vero ab eo, quod est .G., ad .C., alia ab eo, quod est .F., ad .B., alia autem ab eo, quod est .E., ad .A.
(7) 	Diapason vero consonantiae septem erunt species hoc modo. Prima ab eo, quod est .O., ad .G., secunda ab eo, quod est .X., ad .R, tertia ab eo, quod est .N., ad .E., quarta ab eo, quod est .M., ad .D., quinta ab eo, quod est .L., ad .C., sexta ab eo, quod est .K., ad .B., septima ab eo, quod est .H., ad .A.  3 * 53 Hinc alia quam Friedlein serie litterarum utimur quae in antiquioribus codicibus invenitur. Vide
infra notam Rossicam ad lib. IV cap. XIIII adiunctam.
5 GD. quidem eos, qui sunt .E.D., et .FC. eos, qui sunt .E.D., et .EB., eos, qui sunt .E.D.] GD. quidem eos, qui sunt .E.F., et .FC. eos, qui sunt .E.D., et .EB., eos, qui sunt .C.D. Fr.

IV, 14.1-7
Основы музыки
219
14. 	О видах консонансов
(1) Теперь надлежит рассказать о видах первых консонансов. Первыми консонансами являются октава, квинта и кварта.
(2) Вид — это некое положение с характерной для каждого рода формой, установленное в границах всякого отношения, производящего [данный] консонанс88.
(3) Вот, к примеру, [как обстоит дело] в диатоническом роде. Если мы положим тетрахорд отделенных между тетрахордом высших и месой, удалив, соответственно, тетрахорд соединенных, то получим 15 ступеней89. А если из них вычесть просламбаномен, останется 14 ступеней. Располагаются они следующим образом. Пусть А будет гипатой низших, В парипатой низших, С лиханой низших, D гипатой средних, Е парипатой средних, F лиханой средних, G месой, Н парамесой, К тритой отделенных, L паранетой отделенных, М нетой отделенных, N тритой высших, X паранетой высших, О нетой высших90.
(4) Итак, от гипаты [низших] до парамесы — октавный консонанс, от парамесы до гипаты средних — квинтовый, от месы до гипаты средних — квартовый. Таким образом, октава охватывает восемь ступеней, кварта — четыре, а квинта — пять. Отсюда у кварты три вида, у квинты четыре вида, а у октавы семь видов, то есть видов всегда будет на единицу меньше, чем [входящих в консонанс] высот91.
(5) Если мы начнем отсчитывать от месы другие [виды], то получим три вида квартового консонанса, следующим образом: первый вид будет от G до D, второй от F до С, третий от Е до Б92. Виды кварты простираются только до сих пор, потому что только до сих пор они включают в себя две ступени, входящие в одну и ту же кварту [GD]: вид GD включает в себя [ступени] Е и D, ЕС включает в себя Е и D, и ЕВ включает в себя Е и D93. Если же к этим трем я добавлю кварту DA, [этот вид] будет отличаться от кварты GD — он включает в себя одну только ступень консонанса GD, только D. Следовательно, [кварта DA] вышла за пределы [квартового] консонанса GD. Вот почему говорится, что у кварты [только] три вида94. То же [суждение] принимается в отношении [видов] и других консонансов.
(6) У квинты образуются четыре вида, следующим образом: первый вид от Н до D, второй от G до С, третий от F до Б, четвертый от Е до А95.
(7) У октавы образуются семь видов, следующим образом: первый от О до G, второй от X до F, третий от N до Е, четвертый от М до D, пятый от L до С, шестой от К до Б, седьмой от Н до А96.

220
Institutio musica
(8) 	Liquet igitur ex his, quae dicta sunt, diatessaron consonantiam semel tantum inmobilibus ac statutis vocibus contineri. Nam si ab hypate hypaton incipiam, erit .AD., id est ab hypate hypaton in meson hypaten, ea, quae est in hoc ordine prima. Nam ceterae non statutis vocibus terminantur, ut .BE. .CF. Nam et parhypate hypaton et parhypate meson et lichanos hypaton et lichanos meson mobiles esse monstratae sunt. Quod si rursus ab hypate meson diatessaron consonantiam inchoemus, erit species diatessaron statutis vocibus terminata .DG. ea, quae est prima, id est ab hypate meson in mesen, reliquae minime, ut .EH. et .FK. Nam parhypate meson et lichanos meson et trite diezeugmenon non probantur inmobiles. Rursus si eandem diatessaron paramese suscipiat ordiendam, erit quae statutis coerceatur sonis diatessaron species .HM., id est a paramese in neten diezeugmenon, quae est prima. Nam ceterae, quae sunt .KN. et .LX. mobilibus terminantur sonis. Nam trite diezeugmenon et paranete diezeugmenon et trite hyperboleon et paranete hyperboleon mobiles voces esse praediximus.
340 (9) Item diapente consonantia duas tantummodo species tenet, quae statutis vocibus includuntur. Ut si ab hypate meson ordiamur, una quidem est .DH. id est ab hypate meson in paramesen ea, quae est prima, altera vero .GM., id est a mese in neten diezeugmenon. Haec vero est quarta. Reliquae vero, id est .EK. .FL. minime statutis vocibus clausae sunt. Nam parhypate et lichane et trite et paranete instabiles approbantur. Similis autem ratio erit, si a nete diezeugmenon in graviorem partem, id est ad mesen consonantiae huius species considerentur. Eisdem enim inmobilibus vocibus, quae superius dictae sunt, continebuntur. Sive autem ab hypate meson seu a mese seu a paramese sive etiam a nete hyperboleon consonantias ad graviorem partem ducamus, duarum, quae statutis vocibus coerceantur, non poterit esse districtio.
(10) 	Diapason vero consonantiae, sive ab hypate hypaton in paramesen, sive a nete hyperboleon in mesen ordo sumatur, tres tantummodo species obtinebit, quae inmobilibus vocibus coerceantur. Nam ab hypate hypaton ordientibus una est .AH. ea, quae est prima, ab hypate hypaton in paramesen, altera .DM. ea, quae est quarta, ab hypate meson in neten diezeugmenon, dehinc .GO. (haec est septima) id est a mese in neten hyperboleon. Reliquarum vero specierum voces extimae nullo modo constitutae sunt. Nam parhypate et lichane et trite et paranete, ut supra quoque dictum est, non sunt inmobiles. Similiter autem et per easdem
341 voces, si ab hyperboleon nete ordiamur, specierum ordo contexitur. Quorum omnium intellegentiam subiecta descriptio faciet esse notiorem:  88 et trite hyperboleon et paranete hyperboleon mobiles voces esse praediximus] et trite hyperboleon mobiles voces esse praediximus Fr.

IV, 14.8-10
Основы музыки
221
(8) Из сказанного ясно, что консонанс кварты только в одном случае находится в пределах неподвижных и постоянных ступеней. Если мы начнем от гипаты низших, получим AD, первый по порядку [вид кварты], от гипаты низших до шпаты средних97. Другие же виды кварты, а именно BE и CF, не ограничиваются постоянными ступенями — ведь, как было показано, парипата низших и парипата средних, лихана низших и лихана средних относятся к подвижным ступеням. И опять, если мы начнем консонанс кварты от гипаты средних, возникнет вид кварты в пределах постоянных ступеней DG (первый вид), т.е. от гипаты средних до месы. Остальные же виды кварты — ЕН и FK — не ограничены [постоянными ступенями], ибо парипата средних, лихана средних и трита отделенных не относятся к неподвижным ступеням. Если начать всё ту же кварту [вверх] от парамесы, снова возникнет охваченный постоянными ступенями первый вид кварты НМ, между парамесой и нетой отделенных. Другие же [виды кварты] KN и LX ограничены подвижными ступенями, ибо, как мы сказали раньше, трита и паранета отделенных, трита и паранета высших — подвижные ступени.
(9) Также консонанс квинты содержит только два вида в пределах неподвижных ступеней. Если мы начнем от гипаты средних, один вид будет DH, то есть от гипаты средних до парамесы (это — первый вид квинты), а другой GM, то есть от месы до неты отделенных (это ее четвертый вид). Другие же виды, то есть ЕК и ЕЕ, не ограничены постоянными ступенями, ибо парипаты, лиханы, триты и паранеты относятся к непостоянным98. То же разумное основание сохранится, если откладывать консонансы этого вида от неты отделенных вниз, то есть до месы — они найдутся в пределах тех же неподвижных ступеней, о которых шла речь выше. Поведем ли мы консонансы [вверх] от гипаты средних или от месы, либо вниз от парамесы или от неты высших, больше двух [квинт] в пределах постоянных ступеней не выйдет.
(10) В октавных консонансах — будь то порядок от гипаты низших до парамесы или от неты высших до месы — только три вида охватываются неподвижными ступенями. В последовательности [восходящих] видов одна октава АН (т.е. первый вид октавы, от гипаты низших до парамесы), другая DM (т.е. четвертый вид октавы, от гипаты средних до неты отделенных), третья будет GO (т.е. седьмой вид октавы, от месы до неты высших)99. У остальных видов крайние звуки никоим образом не установлены [в пределах неподвижных ступеней], ибо парипаты, лиханы, триты и паранеты, как было сказано выше, не относятся к неподвижным ступеням. Подобным образом, если мы начнем [отсчет октав вниз] от неты высших, последовательность видов октавы сохранится в тех же ступенях100. Прилагаемая схема облегчит понимание всего этого101:

222
Institutio musica
AH
в
1 hypate hypaton
1 ПЯТ*Е\71ЛЯ1р
[mobilis]
[mobilis]
" I Wall iy petit. Ily UcUUll 1 lirbflnnc Ь\7пя1лт1
" 1 1 1 llLllailUo Ily L/dlUll - - - 1 Ь\7Пя1р ТПРСЛТ1
и
17
■ ■ 1·| Iiypctlt; IlLCbUXl
ПЯГп\/ПЯfp TYlPCrvn
[mobilis]
[mobilis]
c
p
petiily petit? lllCoUil
lirbatinc ΤΎΊРСПП
c
1 liUlCUiOd UlCoUil
^j rri6S0
H
к
L
1 p3.r3.m0s0
[mobilis]
[mobilis]
1 trit0 di0Z0ugm0non
. 1 <-» ·*««-»■*-» rtfr» î /vrr/м 1 /VtVl ЛМ
M
N
X
1 ucuaiicic uiciiCugiiiciιυίi
rt/afü rl 1P7P11 ΟΤΠpnПЛ
1 Ilt.lt. UltiitUtilllt.1 LUIl
[mobilis]
[mobilis]
1 trite hyperboleon
О —
- -| paranete hyperboleon
1 nete hyperboleon
De modorum exordiis, in quo dispositio notarum per singulos modos ac voces
XV. (1) Ex diapason igitur consonantiae speciebus existunt, qui appellantur modi, quos eosdem tropos vel tonos nominant. Sunt autem tropi constitutiones in totis vocum ordinibus vel gravitate vel acumine differentes. Constitutio vero est plenum veluti modulationis corpus ex consonantiarum coniunctione consistens quale est vel diapason vel diapason et diatessaron vel bis diapason.
342 (2) Est enim diapason constitutio a proslambanomeno in mesen ceteris quae
sunt mediae vocibus adnumeratis, vel a mese rursus in neten hyperboleon cum vocibus interiectis, vel ab hypate meson in neten diezeugmenon cum his, quas extremae voces medias claudunt. Synemmenon vero constitutio ea est, quae a proslambanomeno in neten synemmenon cum his, quae mediae interiectae sunt, constat. Bis diapason autem a proslambanomeno in neten hyperboleon cum his, quae in medio sunt interpositae, consideratur.
(3) Has igitur constitutiones si quis totas faciat acutiores, vel in gravius totas remittat secundum supradictas diapason consonantiae species, efficiet modos .VII., quorum nomina sunt haec: hypodorius, hypophrygius, hypolydius, dorius, phrygius, lydius, mixolydius.
(4) Horum vero sic ordo procedit. Sit in diatonico genere vocum ordo dispositus a proslambanomeno in neten hyperboleon atque hic sit hypodorius modus. Si quis igitur proslambanomenon in acumen intendat tono hypatenque hypaton eodem tono adtenuet ceterasque omnes tono faciat acutiores, acutior totus ordo proveniet, quam fuit priusquam toni susciperet intentionem. Erit igitur tota constitutio acutior effecta hypophrygius modus. Quod si in hypophrygio toni rursus intentionem voces acceperint, hypolydii modulatio nascetur. At si hypolydium quis semitonio intendat,
descr.] Quae uncis ad elucidandam rationem Boethii addita non inveniuntur in antiquissimis mss.

IV,14.10 - 15.4
Основы музыки
223
Ан
в
гипата низших
1 ГГЛЛТ*ГГЛТЛ TYTiTOTYTTirV
[подвижная]
[подвижная]
1 χχαρηχχα ι а плошла
D
с
■и и 1 /XVXAclrlCl пИОШИА
. . 1 ГТЖГГЛ'ГЛ ^УЧЛ Я Y YT>fV
xyxxxcixd срсдпУ1л
1 ΥΤηνΜΛΥΥΛ'Τ'Λ »YYY*V
[подвижная]
[подвижная]
Е,
■р
1 1 ΧΧαρνΧΧΧα X а сисДпИА
1 Я T/f Y О ΥΥ О РПО Л ШГ T/f V
Г
Г'
—/ХПАаПа СисДпИА
Ur
н
к
т
1 xiaUaMcLu
[подвижная]
[подвижная]
■ ι трита отдблбнных
_ттзпоиото ПТ ЛО ΛθυυΧ.ΤΥ
L
М
N
X
1 1 1 XXapaHt: 1 a U XДс/1сг1х1ЫА
1 нета отдблбнных
[подвижная]
[подвижная]
1 трита высших
рыртттму
О —
1 XlapaJritrXa JoblLLLLHA
1 нета высших
15. 	О происхождении ладов, а также о распределении нот по отдельным ладам и звукам
(1) Из видов октавного консонанса как раз и возникают так называемые лады, которые также именуют тропами или тонами102. А тропы — это системы103, все ступени которых различаются по высоте. Система — это как бы полный набор высот, пригодных для музыки104; система складывается из соединения консонансов в объеме октавы, ундецимы или двойной октавы.
(2) Октавная система простирается от просламбаномена до месы (с перечислением всех промежуточных звукоступеней), или от месы вплоть до неты высших (с промежуточными звукоступенями), или от гипаты средних до неты отделенных (считая все те звукоступени, которые заключают в себе граничные высоты)105. Малая система идет от просламбаномена до неты соединенных (с промежуточными звукоступенями)106. Двухоктавная система мыслится от просламбаномена до неты высших (со всеми звукоступенями, расположенными внутри)107.
(3) Если такие полные системы поднять повыше или опустить пониже в соответствии с вышеозначенными видами октавного консонанса, получатся семь ладов, имена которых таковы: гиподорийский, гипофригийский, гиполидийский, дорийский, фригийский, лидийский, миксолидийский.
(4) Порядок же их следования таков. Возьмем в диатоническом роде звукоряд от просламбаномена до неты высших — и пусть это будет гиподорийский лад. Если повысить просламбаномен на целый тон и гипату низших подтянуть вверх на тот же тон, и все другие ступени взять тоном выше, то весь звукоряд станет выше, чем до того, как было предпринято целотоновое повышение. В итоге вся эта повышенная система и будет гипофригийским ладом. Если в гипофригийском звуки повысятся снова на тон, возникнет мелодия гиполидийского лада108. А если повысить гиполидийский на полу-

224
Institutio musica
dorium faciet. Et in aliis quidem similis est in acumen intentionemque processus, (5) quorum non ut intellegentia solum ratio conprehendatur, verum oculis quoque forma possit agnosci, ab antiquis tradita musicis descriptio subponenda est. Sed quoniam per singulos modos a veteribus musicis unaquaequa vox diversis notulis insignita est, descriptio prius notularum videtur esse ponenda, ut his primum per se cognitis in modorum descriptione facilis possit esse dispectio:
hyper-
mixolydius
mixolydius sivé hyperdorius
lydius
phrygius
dorius
hypolydius
hypophrygius
hypodonus
c*>
V
7
И
9
3
-o
t'
Η
h-
Е
Я
н
ε
O-
Ф
ω
1
7
W
9
3
F
Г
г
h-
Е
ri
Η
ε
Y
Y
R
F
/N
V
nr\
b
LL
Λ
L
1
LJ
JC
id
ω
Π
T
Ф
ω
V
7
И
0
Я
F
t*
1 н
μ-
E
R
Μ
π
С
Ф
ω
1
7
π
О
С
F
Г
Г
μ*
E
Λ
о
Р
Y
Y
R
F
/N
к
О
LL
л
L
1
LU
Η
к
М
Π
т
Ф
ω
V
>
7
я
О
я
F
P
H
Γ
н
1
Μ
п
С
Φ
ω
N
>
<
Я
0
С
F
!*
В
Ζ
Θ
А
о
P
Y
Y
/
сс
V
к
О
LL
À
X
7к
г
Η
к
Μ
Π
T
4,
\
N
>
7
Π
0
Я
1
X
гг
Г
н
1
M
П
<N6
Z
N
>
<
Я
0
ΤΓ
Г
Z
1
1Л
о
c
Ф
ζ
N
С
<
Я
к
c
F
Λ
В
Е
θ
А
ζ
P
Y
/
и
V
к”
O
LL
1
X
гг
г
н
1
M
П
>>
ч.
z
N
>
<
Я
0
Μ*
1
е
гг
г
ζ
1
Π'
X
И
z
N
CI
<
Я
Λ'
О'
-<
л
В
E
Θ
A
'
К'
Ч
/
U
V
Η'
К'
1
*
гг
г
H
>'
7'
П'
V
z
N
>
Γ'
Н'
1 '
/V
1
e
гг
г
Ν'
>'
< '
П'
>>
и
z
N
proslambanomenos hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton
hypate meson parhypate meson
lichanos meson mese
trite synemmenon
paranete
synemmenon
nete synemmenon
paramese
trite
diezeugmenon
paranete
diezeugmenon
nete hyperboleon
trite hyperboleon
paranete
hyperboleon
nete hyperboleon

IV, 15.4-5
Основы музыки
225
тон, получится дорийский лад109. Дальнейшие [лады] сходным образом продвигаются вверх и повышаются110.
(5) 	Чтобы не только разумом охватить их смысл, но и наглядно представить себе внешний вид, следует привести схематическое описание — в том виде, как его передавали древние музыканты111. Но поскольку у старинных музыкантов каждая звукоступень в каждом отдельном ладу обозначалась [двумя] разными нотами, необходимо прежде дать схему нотных знаков — понимание их как таковых может облегчить понимание их значения на схеме ладов112:
проела мбаиомен гипата низших
парипата низших лихана низших типа i а средних парипата средних лихана средних меса
трита соединенных
парапета
соединенных
нета соединенных
парамеса
трита отделенных
паранета
отделенных
нета отделенных трита высших паранета высших нета высших
О )Чг,
s £ S .у а,’й
QJ м.
Р £
С ^
МИКСОЛИДИИский или ГИШ дорийский
лидийский
фригиискии
дорийский
1ИПО-
лидийский
£
ό h
П1П0-
дорийский
с*>
V
7
и
9
3
-O
А'
H
h-
E
R
H
ε
O·
ф
ω
T
7
w
9
3
F
A'
г
H
E
H
и
ε
Y
Y
R
F
/К
V
nr\
b
LL
*/
L
1
tu
JC
id
ω
Π
T
Ф
c*>
V
7
и
0
3
F
A'
H
h-
E
R
Μ
П
C
Ф
ω
1
7
π
0
C
F
A'
г
h*
E
Λ
O
P
Y
Y
R
F
/N
K
O
U-
*/
L
1
LU
Η
K
M
П
T
Ф
ω
V
>
7
T
0
T
F
A'
H
Γ
H
1
1Л
Π
C
Φ
ω
N
>
<
T
0
C
F
A'
В
Z
Θ
Λ
O
P
Y
Y
/
c=
V
и*
IC
O
U-
Λ
X
г
H
K
A\
Π
T
4,
\
N
>
7
T
0
T
i
X
TT
г
H
1
Π
X
Z
N
>
<
Π
0
IS
Г
Z
1
M
O
c
Φ
Z
N
ce
<
T
IC
c
F
Λ
B
E
Θ
Λ
Z
P
Y
У
/
U
V
и*
w:
O
LL
1
X
TT
г
h
1
ΙΛ
Π
У
V
Z
N
>
<
Π
0
AV
1
e
TT
г
Z
1
Π '
y
И
Z
N
ce
<
T
Λ'
0'
-<
A
B
E
Θ
Λ
l/'' '
K '
4
/
ü
V
h;
K'
AV
1
Ж
TT
г
h
>'
7‘
П '
У
V
Z
N
>
Г '
h;
1 '
AV
1
e
TT
г
N '
>'
< '
П '
>>
и
Z
N

226
Institutio musica
Descriptio continens modorum ordinem ac differentias
XVI. (1) Superior igitur descriptio chordarum nomina tenet adscripta, notulas vero iuxta positas et quae cuiuscunque sit modi sive lydii sive phrygii sive dorii, vocabulorum signat adiectio. Sed quoniam hos modos diximus in speciebus diapason consonantiae repperiri, age eosdem in diatonico tantum genere describamus, ut, qui eorum ordo sit, sub aspectum cadens intellegentiam non moretur [vide sequentem paginam].
Ratio superius dispositae modorum descriptionis
XVII. 	(1) Septem quidem esse praediximus modos, sed nihil videatur incongruum, quod octavus super adnexus est. Huius enim adiectionis rationem paulo posterius eloquemur. Nunc illud est con-
344 siderandum, quod hae paginulae, quas inter se rectus linearum ordo distinguit, aliae quidem habent notulas musicas, aliae vero minime veluti in eo modo, qui inscribitur hypermixolydius, prima quidem paginula .ω., tertia .Φ. litteris adnotatur, secunda notulis vacat. In hac igitur intercapedine notularum tonus interesse monstratur. Quod vero .Φ. tertiae atque .Y. quartae paginae notam non paginula dividit, sed versus recto ordine deductus, semitonium eas differre pronuntiat.
(2) Quod probatur hoc modo. Nam si .ω. proslambanomenos est, .Φ. hypate hypaton, .Y. parhypate hypaton, necesse est inter proslambanomenon, quod est .ω. et inter hypaten hypaton, quod est .Φ., toni esse distantiam, inter hypaten autem hypaton, quod est .Φ. et parhypaten hypaton, quod est .Y., semitonii differentiam contineri.
(3) Itaque hoc regulariter in cunctis est considerandum, ut, si vocum notulas integra pagina disgregaverit, toni inter eas sciamus esse distantiam, sin versus notulas ac non pagina distinguet, semitonii non ignoremus esse distantiam.
(4) His igitur ita praemissis si duo ordines in bis diapason consonantia constituti sibi invicem comparentur, ut, qui ordo sit gravior, possit agnosci, si proslambanomenos proslambanomeno fuerit gravior, vel quaelibet alia vox eiusdem loci voce gravior pernotetur, in eodem scilicet genere constituta, totum quoque necesse est ordinem esse graviorem.
(5) Tamen id melius sumetur a media, quae est mese. Duorum enim ordinum bis diapason consonantium, cuius mese fuerit gravior, eiusdem totus quoque ordo gravior erit. Nam ceterae singulae singulis comparatae, graviores nihilo minus inveniuntur. Itaque si media ab alia media
345 tono aut acutior videatur aut gravior, omnes quoque nervi si in eodem

IV, 16 - 17.5
Основы музыки
227
16. Схема, показывающая порядок ладов и их различия
(1) 	Итак, вышеприведенная схема показывает имена струн, а рядом с ними расположены ноты; какие ноты к какому ладу относятся (лидийскому, фригийскому, дорийскому [и т.д.]), показывают приписанные сбоку слова. Поскольку, как мы сказали, эти лады воплощаются в видах октавного консонанса113, опишем те же [лады]114, но только в диатоническом роде, чтобы бросающийся в глаза их порядок ум схватил бы немедленно115; [см. схему на следующей странице].
17. Обоснование вышеприведенной схемы ладов
(1) Раньше мы сказали, что ладов семь; однако нет ничего противоестественного в том, что сверху присоединяется восьмой лад. Смысл его присоединения мы разъясним немного позже. Сейчас же надо приметить, что одни ячейки, разделяемые вертикальными линиями, содержат музыкальные значки116, а другие нет; например, в ладу, подписанном как гипермиксолидийский, первая ячейка йотирована буквой ω, третья — буквой Ф, во второй ячейке буквы нет. С помощью такого пробела в нотации показан целый тон. То, что между третьей нотой Ф и четвертой Т нет пустой ячейки, а только вертикальная черта, означает, что различие между этими нотами величиной в полутон.
(2) Доказывается это так. Если ω — просламбаномен, Ф — гипата низших, а Т — парипата низших, то необходимо, чтобы между просламбаноменом (ω) и гипатой низших (Ф) был промежуток величиной в целый тон, а гипата низших (Ф) и парипата низших (Т) различались на полутон.
(3) То же справедливо [в отношении промежутков] между всеми [соседними] ступенями: Если их ноты отделены друг от друга пустой ячейкой, мы понимаем, что между ними интервал тон, а если ноты друг от друга отделяет черта (а не ячейка), то не преминем найти интервал полутон.
(4) Сравнивая с учетом этого два звукоряда, которые заключены в пределы двухоктавного консонанса, мы можем сделать вывод, что данный звукоряд ниже другого, если его прослабманомен ниже другого [сравниваемого с ним] просламбаномена. Если некая ступень по сравнению с [другой] ступенью того же значения йотируется ниже и при этом относится к тому же роду [мелоса], то с необходимостью следует, что и весь этот звукоряд ниже.
(5) Но лучше всего делать такие выводы, рассматривая центральную ступень [звукоряда], то есть месу. Из двух звукорядов в объеме двухоктавного консонанса тот звукоряд в целом будет ниже, чья меса ниже. Ибо [как было показано ранее] если сравнивать каждую ступень [одного звукоряда] с каждой ступенью другого по отдельности, одна оказывается ниже другой. Таким образом,

228
Institutio musica. Descriptio ad IV, 16
L- Z
x A
x Λ
~ V
< \
v; is.
СЛ “
.2 .3
к e*
3C ir
3C c-
j-t 73
T3 ^ .3
Ö vd
Он §0
^ b
H>4
H >ч
Y ^
-H >4
H >ч
Дч
гО
Он
гГ СЛ
Ф sr
Ф 2S*
R, .3
ên b
< >
*♦ /
Дн
о
73
о
U
Z
U
Z
Z
JL
Z
л
£ ы
Он
X
ea ^
<«-
со ^
co «s.
L. 2 z
L- Z
1 Z
tu x
l_ z
L- Z
L- Z
tu =3
L. Z
1_ z
N U
NI U
NI U
3= Λ
H
M
>
Ф >
x: A
CD >
x Λ
x А
ф >
x Л
- 2 Y
~ V
- V
~ V
V
< i
w: гч
< b
*<г N.
< i
< i
ί c-
X c-
ζ 2 Г
Х*г
Хс
1*1 *
Х<г
£c
X с-
O ^
O ^
О ^
с О
c O
Ω- 0
с О
с 2 о
Û* 0
с о
«x 0
СО
с ο
о о
0
N
0
о о
>- d
1— rr
>- d
Н ГГ
>- d
Н- ГГ
>- d
О U-
e lu
о и-
о и.
O’ 2 lx.
О IX
>-
>-
>-4
3 ^
3 ^
ce —1
3
3 ^
flC -J
3
ω
М
Г
СЛ
Г" t—
Г- L-
> T
U. н
> Т
IX -H
> т
'o
fl >
f4 1
Is* 1
Is 1
f4 1
.2 >
3 ‘Й гл
< 3
i >
а § .s .з
Он ·—< ^ 'T-J
/ UJ
/
> Ч
/ ω
/ UJ
я -
СЛ
Ο ω з
·| >: U
S 0=
É 33
sc πζ
Sæ fr
jC
о x
О X
Он
•о 3
m ω
ο ω
9 ό

Схема к IV, 16
Основы музыки
229
L— 2Б
зс Л
3= A
>2 >2
V
2 S « «
CJ U
< \
vC IS.
)S ’g >2
х с
X ir
X C-
os 6
* я *
ö ^
e в g S
НА
-H >4
H >s
Y V
h A.
H A
Лн S
î 8
Φ ar
φ =r
g >2
S 2
L. £
< V)
*>>
< ^
m y
O
Г* M
*P N
I3 N
£ ы
U ы
2
2
l-c
CÛ ^
A"
eo
aa -s.
L S Ζ
1 Z
L- Z
IU Z3
L- Z
L- Z
1— Z
ii-i =3
l_ Z
L- Z
im U
гм U
N U
н
>
3= 2 Λ
CD >
3Γ A
CD >
з= Λ
л A
CD >
ЗГ л
- 2 V
- V
- V
- V
V
< i
vc fs.
< b
vc
< i
< i
X с-
X r-
X 2 C-
X*r
Xtr
1*1 *
X*r
s: c-
О ^
O VC
O
с: О
с О
Q- 0
<= O
c: 2 о
0
c O
a- 0
с о
с O
o O
0 5 0
O O
Y
LL.
к гг
>- d
H- rr
>- d
h- ПГ
>- d
е ll
e LL
e и.
e ll
0 S 11
e il
>- ■*
> ^
>4
3
3 А
CC —J
3 *.
3 A
CC -J
3 A
3 5*.
>2
s
«
1 1—
1 L-
> т
LL H
> T
LL -H
> T
>2
S
a
f4 1
f4 1
N 1
f4 1
Q « ,2
>2
< 3
< 3
υ S s 2
g й g §
2 υ 0 и
/ tu
/
> 4
/ tu
/ tu
S ’g >2 «
CL· S 2 S 0> CL·
>2
Г5 ·*
2 S о 5 2 2 S ^ ^ «
E-. O q. U
s m
î 33
SC tu
a щ >s
1 g e
O 3=
O 31
2 i-< S CL· -fin
-JO 3
m ы
m со
9 ό

230
Institutio musica
genere sint, singuli singulis sibimet comparati tono acutiores aut graviores esse videbuntur.
(6) Quattuor autem mediis si prima ad quartam diatessaron distantiam servet, prima vero a secunda tono differat, secunda vero a tertia eodem differat tono, tertia ad quartam semitonii faciet differentiam hoc modo.
(7) Sint quattuor mediae .A.B.C.D. et .A. ei, quae est .D., comparata servet ad eam sesquitertiam proportionem, quae est diatessaron, item, .A. a .B. distet tono, .В. a .C. distet tono, relinquitur, ut .C. ad .D. semitonii distantiam servet.
(8) Et si quinque sint mediae, eodem modo. Si enim prima a quinta sesqualtera destiterit proportione, primaque a secunda, ac secunda a tertia tertiaque a quarta singulis destiterint tonis, quarta ad quintam semitonii faciet differentiam.
(9) Item quaecunque mediae aliorum modorum proslambanomenis accedunt, hae graviores modos operantur, quaecunque netis, illae acutiores efficiunt. Quoniam igitur in superiore pagina descriptis modis partem sinistram legentis primi proslambanomeni tenent, dextera vero legentis extremis clauditur netis, erit omnibus quidem acutior modus, qui inscribitur hypermixolydius, omnibus vero gravior is, qui hypodorius.
346 (10) Nos vero a gravissimo, id est hypodorio inchoantes ceteros quam
inter se habeant differentiam designabimus.
(11) Namque in hypodorio modo mese, quae est .ω., ab ea mese, quae est in modo hypophrygio, tono distat. Quod in hoc facile perspicietur, si quis ad mesen hypophrygii, quae est .Φ., eiusdem hypophrygii .ω. comparet, quae est hypodorii quidem mese, in hypophrygio autem lichanos meson. Nam .Φ. atque .ω. tono differunt, quod pagina interiecta demonstrat.
(12) Item mese hypolydii ab ea, quae est mese hypophrygii, toni differentiam facit. Namque .C. quae est mese hypolydii tono distat а .Φ., quae est in hypolydio quidem lichanos meson, in hypophrygio autem mese.
(13) Item mese hypolydii, quae est .C., ab ea, quae est mese dorii, semitonio distat. Quod hinc poterit agnosci, quoniam ordinem sursum prodeuntem eius meses, quae est hypolydii atque eum ordinem in sursum prodeuntem eius meses, quae est dorii, unus versiculus non pagina distinguit.
A B CD

IV, 17.5-13
Основы музыки
231
если одна центральная ступень выше или ниже другой на целый тон, то и все остальные ступени в одном и том же роде117, сравниваемые друг за другом, окажутся целым тоном выше или ниже.
(6) Если рассмотреть четыре центра [по порядку], расстояние между первым и четвертым равняется кварте, первый центр от второго отстоит на целый тон, второй от третьего отстоит на тон, расстояние же между третьим и четвертым — полутон.
(7) Или так: выразим четыре центра буквами А В С D. При сравнении А с D выявляется сверхтретное отношение, то есть кварта. Между А и В целый тон, между В и С целый тон; остается полутон, чтобы занять промежуток между
(8) А если дано пять центров, то так: если первый центр отстоит от пятого на полуторное отношение [квинты], а первый от второго, второй от третьего и третий от четвертого отстоят друг от друга на целый тон, то расстояние между четвертым и пятым — полутон.
(9) Те центральные ступени, которые расположены ближе к просламбаноменам прилежащих ладов, служат более низким ладам, а те, что расположены ближе к нетам,— более высоким118. Итак, поскольку на предыдущей странице с обозначениями ладов119 первые [ступени] — просламбаномены — занимают левую для читателя часть [схемы], а правая для читателя часть заканчивается высшими нетами120, то выше всех будет тот лад, который [правее всех других и] обозначен как гипермиксолидийский, а ниже всех — [самый левый], который гиподорийский.
(10) Начнем же с самого нижнего, то есть гиподорийского лада и охарактеризуем [высотные] различия между всеми другими [ладами].
(11) Итак, меса гиподорийского лада ω отстоит от месы гипофригийского лада на целый тон. Увидеть это легко, если сравнить месу гипофригийского Ф с ω, которая в гиподорийском обозначает месу, в гипофригийском же — лихану средних. Ведь между Фиш тоже целый тон, что ясно показывает [на схеме] вставная ячейка.
(12) Так же и меса гиполидийского отстоит от месы гипофригийского на целый тон. Ибо меса гиполидийского С отстоит на тон от знака Ф, который в гиполидийском обозначает лихану средних, а в гипофригийском месу.
(13) Та же меса гиполидийского С отстоит от месы дорийского [П] на полутон. Доказывается это так: вертикальный столбец, в котором находится меса гиполидийского, отделен [на схеме] от вертикального столбца, в котором находится меса дорийского, только одной черточкой, а не ячейкой121.
С и D:
А В CD

232
Institutio musica
(14) Quo fit ut mese hypodorii ab ea mese, quae est dorii, integra diatessaron consonantia distet. Idque probatur hoc modo. Nam quae est mese .ω. in hypodorio, eadem est .ω. in dorio hypate meson, ab ea, quae est mese in quovis modo vel genere diatessaron consonantia differens.
(15) Item mese dorii, quae est .Π., ab ea mese, quae est phrygii, id est .M., distat tono. Nam quae est mese in dorio .Π., eadem in phrygio lichanos meson.
(16) Rursus mese phrygii, quae est .M., ab ea mese, quae est lydii, id est .1., distat tono. Nam quae in phrygio est .M. mese, in lydio est lichanos meson.
(17) Rursus mese lydii modi, id est .1., ab ea mese, quae est mixolydii, 347 id est .H., semitonio distat. Etenim is ordo, qui rectus lydii continet
mesen, ei ordini, qui rectus mixolydii mesen habet, comparatus non paginula sed versu disiungitur.
(18) Ea quoque mese, quae est mixolydii, id est .H., ad eam mesen, quae est hypermixolydii, id est .Γ., toni differentiam facit idcirco, quoniam .H., quae in mixolydio mese est, eadem in hypermixolydio lichanos meson.
(19) Unde fit, ut mese dorii ab ea mese, quae est mixolydii, ditessaron consonantiam distet. Id probatur hoc modo. Nam mese, quae est dorii, id est .Π., eadem est mixolydii, id est .Π., hypate meson, quae ad cuiuslibet modi mesen diatessaron consonantiam servat.
(20) Item mese dorii, id est .Π., ad eam mesen, quae est hypermixolydii, quae est .Γ. diapente consonantiam servat. Ea enim mese, quae est dorii, id est .Π., in ordine hypermixolydii lichanos hypaton est. Lichanos autem hypaton ad mesen in diatonico genere, in quolibet modo si comparetur, diapente consonantiam distat.
(21) Cur autem octavus modus, qui est hypermixolydius adiectus sit, hinc patet. Sit bis diapason consonantia haec:
ABCDE FGH I KLMNOP
(22) 	Diapason igitur consonantiam servat .A. ad id, quod est .H. Octo enim vocibus continetur. Primam igitur diximus esse speciem diapason eam, quae est .AH., secundam vero .BI. tertiam .CK. quartam .DL. quin348 tam .EM. sextam .FN. septimam .GO. Relinquitur igitur extra .HR, quae ut totus ordo inpleretur, adiecta est. Atque hic est octavus modus, quem Ptolomaeus superadnexuit.

IV, 17.14-22
Основы музыки
233
(14) Таким образом, получается, что меса гиподорийского отстоит от месы дорийского на полноценный консонанс кварты122. А доказывается это так. Меса гиподорийского обозначается как ω. Тем же знаком ω в дорийском йотируется гипата средних. В любом ладу и любом роде гипата средних отстоит от месы на консонанс кварты.
(15) Так же меса дорийского П отстоит от месы фригийского М на целый тон, поскольку одним и тем же знаком П в дорийском обозначена меса, а во фригийском лихана средних123.
(16) Далее, меса фригийского М отстоит от месы лидийского I на целый тон, так как знаком М, которым во фригийском обозначена меса, в лидийском — обозначена лихана средних.
(17) Далее, меса лидийского лада I отстоит от месы миксолидийского Н на полутон. В самом деле, вертикальный столбец, в котором находится меса лидийского, отделен от вертикального столбца, в котором находится меса миксолидийского, чертой, а не ячейкой.
(18) Меса миксолидийского Н отличается [по высоте] от месы гипермиксолидийского Г на целый тон, поскольку Н в миксолидийском обозначает месу, а в гипермиксолидийском — лихану средних.
(19) Таким образом, получается, что меса дорийского отстоит от месы миксолидийского на консонанс кварты. Доказывается это так. Знак П, что в дорийском обозначает месу,— тот же самый [по высоте] П, что в миксолидийском обозначает гипату средних, образующую в любом из ладов квартовый консонанс к месе.
(20) Также меса дорийского П по отношению к месе гипермиксолидийского Г образует консонанс квинты. Ибо меса дорийского П в гипермиксолидийском звукоряде — лихана низших. Если же в диатоническом роде, в любом ладу, сравнить лихану низших с месой, первая будет отстоять от второй на консонанс квинты.
(21) Теперь ясно, зачем был добавлен восьмой, гипермиксолидийский лад. Изобразим двухоктавный консонанс так:
ABCDE FGH I KLMNOP
(22) 	Октавный консонанс образуется между А и Н. Он включает в себя восемь ступеней. Мы ведь сказали ранее, что первый вид октавы — это АН, второй ΒΙ, третий СК, четвертый DL, пятый ЕМ, шестой FN, седьмой GO124. Остается еще [вид октавы] HP, который добавляется, чтобы заполнить звукоряд целиком125. Вот откуда взялся восьмой лад, добавленный сверху Птолемеем126.

234
Institutio musica
Quemadmodum indubitanter musicae consonantiae aure diiudicari possint
XVIII. 	(1) Ut vero indubitanter consonantiarum ratio colligatur, tali brevissimo ac simplici effici poterit instrumento. Sit regula diligenter extensa .AD. Cui duo semispheria, quas magadas Graeci vocant, insuper apponantur ita, ut ab ea, quae est .E. curvatura, ad id quod est .B. deducta linea rectos circum se angulos efficiat. Item ab ea, quae est .F. curvatura, ad id quod est .C. punctum deducta linea rectos circum se angulos reddat. Sint vero hae aequaliter undique perpolitae et ad eosdem unus sint eisdem aliae aequales paratae. Super has intendatur nervus aequalis undique is, qui est .AEFD.
(2) Si igitur diatessaron consonantiam, qualis sit, repperire voluero, hoc modo faciam. Ab .E. puncto, quo nervus semispherium tangit, usque ad .F. punctum, quo rursus ab alia parte nervus semispherio iungitur, divido spatium, quod est .EF., partibus septem et ad partem quattuor septimarum appono punctum, quod est .K. Est igitur .EK. ad eam, quae est .KF. sesquitertia. Si igitur ad .K. aequum superioribus semispheriis apposuero, atque alterutra vicissim .EK. et .KF. plectro adhibito pellantur, diatessaron distantia consonabit, sin vero 349 simul utrasque percussero, diatessaron consonantiam nosco:
E K F
AB CD
(3) Quod si diapente efficere volumus, quinque partibus totam divido ac tres uni portioni, duas vero reliquae dabo atque ita posito semispherio secundum superius dictum modum consonantias dissonantiasque perpendo:
E K F
AB CD
(4) 	Item si diapason consonantiam temptare voluero, totam tribus partibus seco atque in unam duasque ditribuens easdem simul vel alterutram pulsans, quid consonet vel quid dissonet utraque, cognosco:
2, 3 Descriptiones desunt in Fr.

IV, 18.1-4
Основы музыки
235
18. 	Каким образом слух уверенно оценивает музыкальные консонансы127
(1) Чтобы устранить всякие сомнения в понимании консонансов, можно продемонстрировать их суть с помощью следующего кратчайшего и простого инструмента. Тщательно установим линейку между точками А и D. На эту плоскость сверху поставим два полушария (которые греки называют «магадами»128) таким образом, чтобы линия, которая идет от [верхней] точки Е до точки В, изгибалась под прямым углом. Так же линия, проведенная от [верхней] точки F до точки С, должна повторить прямой угол. Два этих полушария должны быть во всех отношениях одинаково отделаны, и другие такие же [полушария] должны быть приготовлены с той же целью. Сверху натянем на них во всех отношениях одинаковую струну129 AEFD.
(2) Если теперь мы захотим отыскать, скажем, кварту, то поступим так. От точки Е, в которой струна касается полушария, до точки F, где опять (своей другой частью) струна соединяется с полушарием, поделим пространство EF на семь частей и в четвертой части (из упомянутых семи) поставим точку К. Таким образом, отрезок ЕК к отрезку KF будет в сверхтретном отношении130. Если поставим точно такое же полушарие131, как [два] вышеупомянутых, в точке Кис помощью плектра возьмем поочередно один за другим отрезки ЕК и KF, благозвучным будет «расстояние» кварты; а если дернем оба отрезка одновременно, узнаем, каково «созвучие» кварты132:
Е К F
AB CD
(3) 	Чтобы продемонстрировать квинту, поделим всё расстояние [струны] на пять частей; три части будем считать одним отрезком, а два — другим. Теперь, поставив [третье] полушарие описанным выше способом, мы сможем исследовать созвучия и разнозвучия133:
Е К F
AB CD
(4) 	Если мы захотим испытать октавный консонанс, то поделим всё расстояние на три части, распределив их на одну и две. Будем щипать каждую часть по очереди или обе одновременно, таким образом постигая октаву то в разновременном, то в совместном звучании:

236
Institutio musica
EK F
AB CD
(5) 	Tripla vero, quae ex permixtis consonantiis nascitur, ita redditur, ut, si totam quattuor partium divisionibus partiamur, atque in tres et unam tota nervi prolixitas dividatur, itaque semispherium tribus appositum triplae proportionis dissonantiam et consonantiam reddat:
Explicit de musica id est armonica institutione liber quartus.
4 descr. deest in Fr.
5 descr. alia in Fr; vide infra nostram notam Rossicam quae rationem huius emendationis et superiorum descriptionum ad IV, 18 pertinentium uberius illustrat.

IV, 18.4-5
Основы музыки
237
EK F
AB CD
(5) 	Тройное отношение, которое происходит от смешения консонансов [октавы и квинты], показывается так. Разобьем всё расстояние на четыре части и всю длину струны поделим на отрезки в три и одну части. Теперь если приложить полушарие к трем частям, отрезок даст разнозвучие и созвучие тройного отношения134:
Е К F
AB CD
Конец Четвертой книги об основах музыки, то есть гармоники.

Incipit liber quintus
[CAPITULA]
350
351
I. Proemium.
IL De vi armonicae et quae sint eius instrumenta iudicii et quonam usque sensibus oporteat credi.
III. 	Quid sit armonica regula vel quam intentionem armonicae Pythagorei vel Aristoxenus vel Ptolomaeus esse dixerunt.
IIII. In quo Aristoxenus vel Pythagorici vel Ptolomaeus gravitatem atque acumen constare posuerint.
V. 	De sonorum differentiis Ptolomaei sententia.
VI. 	Quae voces armoniae sint aptae.
VII. 	Quem numerum proportionum Pythagorici statuant.
VIII. 	Quod reprehendat Ptolomaeus Pythagoricos in numero proportionum.
VIIII. Demonstratio secundum Ptolomaeum diapason et diatessaron consonatiam esse.
X. Quae sit proprietas diapason consonantiae.
XI. 	Quibus modis Ptolomaeus consonantias statuat.
XII. 	Quae sint aequisonae, quae consonae, quae emmelis.
XIII. 	Quemadmodum Aristoxenus intervalla consideret.
XIIII. Descriptio octachordi, qua ostenditur diapason minorem esse sex tonis.
XV. 	Diatessaron consonatiam tetrachordo contineri.
XVI. Quomodo Aristoxenus vel tonum dividat vel genera eiusque divisionis dispositio.
XVII. Quomodo Archytas tetrachorda dividat eorumque descriptio.
XVIII. 	Quemadmodum Ptolomaeus et Aristoxeni et Archytae tetrachordorum divisiones reprehendat.
XVIIII. Quemadmodum Ptolomaeus tetrachordorum divisionem fieri dicat oportere.
XX. Quemadmodum ex aequalitate fiat inaequalitas proportionum.
XXI. Quemadmodum Ptolomaeus dividat diatessaron in duas partes.
XXII. Quae sint genera spissa, quae minime, et his quomodo sint proportiones aptandae et enarmonii divisio Ptolomaei.
XXIII. 	Chromatis mollis divisio Ptolomaei.
XXIIII. Chromatis incitati divisio Ptolomaei.
XXV. 	Dispositio spissorum generum Ptolomaei cum numeris et proportionibus.
XXVI. Diatonici mollis divisio Ptolomaei.
XXVII. Diatonici incitati Ptolomaei divisio.
XXVIII. 	Diatonici toniaei Ptolomaei divisio.
XXVUn. Dispositio divisorum generum cum numeris et proportionibus.
XXX. Diatonici aequalis Ptolomaei divisio.

Книга V
[ОГЛАВЛЕНИЕ]
1. Введение.
2. О силе гармоники, каковы в ней инструменты суждения, и о том, до какой степени можно доверять чувствам.
3. Что такое гармонический канон, или что пифагорейцы, Аристоксен и Птолемей считали задачей гармоники.
4. Как Аристоксен, пифагорейцы и Птолемей определяли, в чем заключается высота звука.
5. Птолемеево мнение о видах звуков.
6. Какие звуки пригодны для гармоники.
7. Сколько числовых отношений установили пифагорейцы.
8. О том, что Птолемей порицает пифагорейцев за [установленное ими] число отношений.
9. Как Птолемей доказывает, что октава с квартой — консонанс.
10. Каково свойство октавного консонанса.
11. Какими способами Птолемей определяет консонансы.
12. Каковы равнозвучные, благозвучные, эммелические [интервалы].
13. Каким образом рассматривает интервалы Аристоксен.
14. Схема октахорда, показывающая, что октава меньше шести тонов.
15. О том, что квартовый консонанс содержится в тетрахорде.
16. Каким образом Аристоксен делит целый тон и подразделяет роды, и схема его деления.
17. Как делит тетрахорды Архит и схема этих тетрахордов.
18. Как Птолемей опровергает Аристоксеново и Архитово деление тетрахордов.
19. Каким должно быть деление тетрахордов согласно Птолемею.
20. Как из равенства возникает неравенство отношений.
21. Как Птолемей делит кварту на две части.
22. Какие роды сжатые, а какие нет, и как с ними связаны числовые отношения. Деление энармона по Птолемею.
23. Деление мягкой хромы по Птолемею.
24. Деление напряженной хромы по Птолемею.
25. Расположение сжатых родов Птолемея с числами и числовыми отношениями.
26. Деление мягкого диатона по Птолемею.
27. Деление напряженного диатона по Птолемею.
28. Деление тонового диатона по Птолемею.
29. Расположение поделенных [несжатых] родов Птолемея с числами и числовыми отношениями.
30. Деление ровного диатона по Птолемею.

240
Institutio musica
Proemium
I. (1) Post monochordi regularis divisionem adicienda esse arbitror ea, in quibus veteres musicae doctores sententiae diversitate discordant, habendumque de omnibus subtile iudicium. Atque id, quod proposito deest operi, mediocris doctrinae dispensatione supplendum est.
(2) 	Potest enim alia quoque esse divisio, in qua non unus tantummodo nervus adsumitur, qui positis proportionibus dividatur, verum octo, atque huiusmodi fiat cithara, ut in pluribus et quanti necessarii sint nervi tota proportionum ratio quasi oculis subiecta cernatur.
De vi armonicae et quae sint eius instrumenta iudicii et quonam usque sensibus oporteat credi
II. (1) Sed de his paulo post loquemur. Nunc dicendum est, quae sit vis armonicae, de qua tractare instituentes quattuor inplevimus libros. Naturam vero eius vimque exprimendam in huius quinti voluminis seriem distulimus.
(2) Armonica est facultas differentias acutorum et gravium sonorum sensu ac ratione perpendens. Sensus enim ac ratio quasi quaedam facultatis armonicae instrumenta sunt.
(3) Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale, quale est illud, quod sentit, advertit. Ratio vero diiudicat integritatem atque imas persequitur differentias. Itaque sensus invenit quidem confusa ac proxima veritati, accipit vero ratione integritatem. Ratio vero ipsa quidem invenit integritatem, accipit vero confusam ac proximam veri similitudinem. Namque sensus nihil concipit integritatis, sed usque ad proximum venit, ratio vero diiudicat.
(4) Velut si quis manu circulum scribat; fortasse eum vere circulum oculus esse arbitretur, ratio vero nullo modo esse id quod simulatur intellegit. Hoc vero idcirco est, quoniam sensus circa materiam vertitur, speciesque in ea conprehendit, quae ita sunt fluvidae atque inperfectae nec determinatae atque ad unguem expolitae, sicut est ipsa materia. Quare sensum quoque confusio sequitur, mentem vero atque rationem quoniam materia non moratur, species, quas pervidet, praeter subiecti communionem intuetur, atque ideo eam integritas comitatur ac veritas, potiusque, quod in sensu aut peccatur aut minus est, aut emendat aut conplet.
(5) Fortasse autem id, quod sensus non integre sed confuse atque a veritate minus quasi quidam incallidus aestimator agnoscit, in sin-

V, 1 - 2.5
Основы музыки
241
1. Введение
(1) После деления линейного монохорда, я полагаю, нужно сделать добавление о том, в чем мнения ученых музыкантов древности расходятся, и составить обо всем этом [собственное] тонкое суждение1. И то, о чем в настоящем труде [до сих пор] не было речи, нужно дать в виде дополнения, расположив его как обычный учебный материал.
(2) В самом деле, может существовать и другое деление, когда берется не одна только струна, которая делится положенными числовыми отношениями [интервалов], а восемь (как бывает на кифаре2), с тем чтобы на сколь угодно большом и необходимом количестве струн вся теория числовых отношений рассматривалась как бы [более] наглядно. Но о последнем мы расскажем чуть позже3.
2. О силе гармоники, каковы в ней инструменты суждения, и о том, до какой степени можно доверять чувствам
(1) Сейчас следует сказать, какова сила гармоники4. Исследуя ее основы, мы [уже] написали четыре книги. Обсуждение ее природы и силы мы отложили до этого, пятого тома.
(2) Гармоника — это способность тщательно взвешивать чувством и разумом различия высоких и низких звуков5. Чувство и разум — это как бы инструменты гармонической способности6.
(3) Дело в том, что чувство примечает некую вещь смутно и приблизительно по отношению к тому, какова она на самом деле. Разум же в своем суждении охватывает целое и прослеживает глубокие различия [в этой вещи]. Итак, чувство отыскивает нечто, смутно и приблизительно похожее на истину, а о целом получает представление благодаря разуму. Разум же сам по себе отыскивает целостность, а от чувства получает смутное и приблизительное подобие истины. Ибо чувство не воспринимает ни капли целостности, а только приближается к ней, разум же судит [о вещи в целом].
(4) Так бывает, если нарисовать круг от руки: на глаз круг покажется правильным. Разум же осознаёт: то, что кажется подобным, никоим образом таковым не является. А происходит это потому, что чувство кружит вокруг материи и схватывает в ней идеи7, которые столь же текучи, несовершенны, неопределенны и не отделаны до мелочей, сколь и сама материя. По этой именно причине чувство сопровождается смущением. Поскольку мысли и разуму материя не препятствует, разум исследует идеи, которые он ясно созерцает, непричастно к субъекту8. Вот почему ему сопутствует постижение целостности и истины. И то, что чувству предстает ошибочным либо недостаточным, разум исправляет и восполняет.
(5) И еще, пожалуй, вот что: чувство, словно бесхитростный ценитель, постигает вещи не в целом, а смутно и не совсем верно9. Взятые по отдельности,

242
Institutio musica
gulis minus habeat errati, collecta vero multiplicantur in summam
353 atque idcirco maximam faciunt differentiam.
(6) Nam si duas voculas tonum sensus distare arbitretur neque distent, rursusque ab una earum tonum distare putet tertiam, neque sit integra ac vera toni distantia, item tertiae quartaeque toni sensus differentiam putet, atque in eadem quoque erret, neque sit differentia toni, ab hac etiam quarta quintam distare semitonium putet, neque vere atque integre aestimet; in singulis fortasse minus videatur erratum, quod vero in primo tono sensus reliquit atque id, quod in secundo et tertio atque in quarto semitonio peccatum est, in unum congregatum atque collectum efficiet, ut prima vox ad quintam vocem diapente non contineat consonantiam, quod oportebat fieri, si tres tonos ac semitonium sensus integre iudicasset. Quod igitur in singulis tonis minus pervidebatur, id collectum in consonantia evidenter apparuit.
(7) Atque ut pervideatur, sensum quidem confusa colligere, nullo modo autem ad integritatem rationis ascendere, sic consideremus. Datae enim lineae maiorem minoremve aliam repperire, nihil est difficile sensui. Proposita vero mensura, ut tanto maiorem tantove minorem repperiat, id non faciet sensus prima conceptio, sed sollers rationis inventio.
(8) Vel si rursus datam lineam propositum sit vel duplicare vel dimidiam secare, id fortasse, licet paulo difficilius quam confuse maiorem minoremve repperire, poterit tamen sensus inventione constitui. Si vero imperetur, ut propositae lineae tripla ponatur vel ab ea pars tertia recidatur vel quadrupla constituatur vel pars quarta resecetur, nonne inpossibile sit sensui, nisi integritas rationis accedat? Hoc ideo, quia per processus quidem rationi locus adcrescit, deficit sensui.
354 (9) Si enim octavam partem propositae lineae auferre aliquis imperetur, vel eiusdem octuplam dare cogatur, totius quidem dimidiam sumere conpellitur dimidiaeque dimidietatem, ut sit quarta, quartaeque dimidium, ut sit octava; rursusque totius duplam duplaeque duplam, ut sit quadrupla, quadruplaeque duplam, ut sit octupla.
(10) 	Itaque in tanta rerum numerositate nihil efficit sensus, cuius omne iudicium subitum atque in superficie positum integritatem perfectionemque non explicat. Idcirco non est aurium sensui dandum omne iudicium, sed exhibenda est etiam ratio, quae errantem sensum regat ac temperet, qua labens sensus deficiensque veluti baculo innitatur.

V, 2.5-10
Основы музыки
243
ошибки чувственного восприятия не так велики, но, собранные вместе, они множатся и потому составляют огромную разницу [в сравнении с истиной].
(6) Предположим, чувство полагает, что два разновысотных звука отстоят друг от друга на целый тон — при том, что они не отстоят. Затем, от одного из этих звуков интервал к третьему оно посчитает тоном, хотя это не полноценное и не истинное расстояние тона. Так же разницу между третьим и четвертым звуками чувство посчитает тоном, и здесь ошибется, потому что и здесь не будет интервала тона. Расстояние от четвертого звука к пятому оно посчитает полутоном, и вновь оценит его неверно и не целиком. В каждом отдельном случае ошибка, пожалуй, кажется небольшой. Однако то, что чувство пропустило в первом тоне, во втором и третьем, а также погрешность в четвертом полутоне,— собранные и сведенные воедино эти ошибки приводят к тому, что между первым звуком и пятым не выходит консонанс квинты, который должен был возникнуть, если бы чувство оценило три тона и полутон целиком и полностью. Итак, те [погрешности], что в отдельных тонах были незаметны, стали очевидными, когда они накопились в консонансе [квинты]10.
(7) Чтобы удостовериться в том, что чувство судит как-то смутно и не поднимается до безупречности разума, приведем такое рассуждение. К данной линии отыскать другую, большую и меньшую, для чувства не составляет никакого труда. Но если задача состоит в том, чтобы измерить, насколько [данная линия] длиннее или короче, то на это первичное чувственное восприятие неспособно, а умелое изыскание разума способно.
(8) Или вот еще: если есть задача удвоить или разделить данную линию пополам (при том, что это немного трудней, чем абы как отличить большую линию от меньшей), всё же чувство, пожалуй, способно на такое изыскание. Если же требуется из данной линии сделать утроенную или отрезать третью часть, или построить учетверенную, или отрезать четвертую часть, разве возможно такое для [одного лишь] чувства, если не подоспеет безупречность разума? Так получается, потому что чем больше совершается действий, тем больше растет статус разума, а статус чувства понижается.
(9) Если, положим, потребуется отнять от данной линии одну осмину или произвести ее восьмикратно, нужно будет получить половину от целой линии и половину от половины, чтобы извлечь четвертину, а из четвертины половину, чтобы извлечь осмину. В другом случае [нужно будет] удвоить дважды целую линию, чтобы получилась четверная, и удвоить четверную, чтобы получилась восьмерная.
(10) При столь большом количестве действий чувство ничего не дает. Всякое его суждение, случайное и поверхностное, не обеспечивает цельности и совершенства. Вот почему не следует обо всем судить на слух, но нужно полагаться и на разум, который исправляет и сглаживает ошибки чувства. На него шаткое и неполноценное чувство опирается как на посох.

244
Institutio musica
(11) 	Nam ut singulae artes habent instrumenta quaedam, quibus partim confuse aliquid informent, ut acisculum, partim vero, quod est integrum, deprehendant, ut circinum, ita enim armonica vis habet duas iudicii partes, unam quidem huiusmodi, per quam sensu conprehendit sublectarum differentias vocum, aliam vero per quam ipsarum differentiarum integrum modum mensuramque considerat.
Quid sit armonica regula vel quam intentionem armonicae Pythagorei vel Aristoxenus vel Ptolomaeus esse dixerunt
III. 	(1) Huiusmodi igitur instrumentum, in quo rationis adhibito modo sonorum differentiae perquiruntur, vocatur armonica regula. In qua re multa doctorum sententiae discordia fuit. Quidam enim, qui Pythagoricis disciplinis maxime crediderunt, hanc intentionem armonicae esse 355 dicebant, ut cuncta rationi consentanea sequerentur. Sensum enim dare quaedam quodammodo semina cognitionis rationem vero perficere.
(2) Aristoxenus vero e contrario rationem quidem comitem ac secundariam esse dicebat, cuncta vero sensus iudicio terminari et ad eius modulationem consensumque esse tendendum.
(3) APtolomaeo autem alio quodam modo armonicae definitur intentio, ea scilicet, ut nihil auribus rationique possit esse contrarium. Id enim secundum Ptolomaeum armonicus videtur intendere, ut id, quod sensus iudicat, ratio quoque perpendat, et ita ratio proportiones inveniat, ut ne sensus reclamet, duorum horum concordia omnis armonici intentio misceatur.
(4) Atque in eo maxime Aristoxenum ac Pythagoricos reprehendit, quod Aristoxenus nihil rationi sed tantum sensibus credit, Pythagoricos autem, quia minimum sensibus, plurimum tamen proportionibus rationis invigilent.
In quo Aristoxenus vel Pythagorici vel Ptolomaeus gravitatem atque acumen constare posuerint
IIII. (1) Quoniam vero sonum esse omnes consentiunt aeris percussionem, gravitatis atque acuminis differentiam diversa ratione ponebant Aristoxenum secuti et Pythagorici. Aristoxenus quippe sonorum differentias secundum gravitatem atque acumen arbitrabatur in qualitate consistere. Pythagorici vero in quantitate ponebant. Ptolomaeus autem Pythagoricis propior videtur idcirco, quoniam ipse quoque gravitatem atque acumen non in qualitate putat sed in quantitate constitui; etenim
III, 3 quod sensus iudicat] quod sensus indicat Fr.
НИ, 1 Pythagoricis propior] Pythagoricis proprior Fr. Vide infra uberiorem notam Rossicam.

V, 2.11 - 4
Основы музыки
245
(11) 	И как отдельные ремёсла пользуются инструментами, одни из которых придают некой вещи приблизительную форму — таков, например, струг11, а другие [точно] измеряют целое, как, например, циркуль, так и гармоническая сила12 проявляется в двух родах суждения: суждение первого рода, действуя через чувство, постигает [высотные] различия данных звуков; суждение второго рода [посредством разума] исследует тип этих различий в целом и их величину13.
3. Что такое гармонический канон, или что пифагорейцы, Аристоксен и Птолемей считали задачей гармоники14
(1) Инструмент, с помощью которого, прилагая разумный подход, исследуют [высотные] различия звуков, называется гармоническим каноном. По вопросу [о том, в какой мере следует прибегать к доводам разума,] в высказываниях ученых существует много расхождений. Те, кто больше всего доверял пифагорейской науке, утверждали, что задача гармоники — согласовать всё с разумом. Они говорили, что чувство сеет некие семена познания, а разум доводит [познание вещей] до совершенства.
(2) Аристоксен же, наоборот, считал разум спутником, делом второстепенным, утверждая, что всё определяется суждением чувства и что нужно стремиться к соразмерности и согласованию с ним15.
(3) Птолемей же определяет задачу гармоники иначе, а именно — чтобы между слухом и разумом не было никакого противоречия. Согласно Птолемею, ученый-гармоник16 стремится как раз к тому, чтобы то, о чем судит чувство, разум мысленно взвешивал, притом находил бы числовые отношения [интервалов] таким образом, чтобы чувство не протестовало. Слить их оба в консонанс и есть задача любого гармоника17.
(4) Оттого, главным образом, и порицает Птолемей Аристоксена и пифагорейцев, что Аристоксен верит только чувствам и совсем не верит разуму, а пифагорейцы больше всего пекутся о «разумных» числовых отношениях и меньше всего — о чувствах18.
4. Как Аристоксен, пифагорейцы и Птолемей определяли, в чем заключается высота звука19
(1) 	Хотя все согласны в том, что звук — это сотрясение воздуха, разницу между низким и высоким звуками последователи Аристоксена и пифагорейцы обосновывают по-разному. Аристоксен думал, что различие между низким и высоким звуками заключается в качестве, пифагорейцы же полагали ее в количестве. Птолемей, кажется, ближе к пифагорейцам20, поскольку считает, что высота звука заключается не в качестве, а в количестве; более плотные и тонкие тела, как он считает, издают высокий звук, а более

246
Institutio musica
spissiora ac subtiliora corpora acumen, rariora et vastiora edere gravi-
356 tatem, ut nihil nunc de intentionis relaxationisque modo dicatur; quamquam etiam, cum relaxatur aliquid, quasi fit rarius atque crassius, cum vero intenditur, spissius redditur subtiliusque tenuatur.
De sonorum differentiis Ptolomaei sententia
V. (1) His ita igitur expeditis differentias sonorum Ptolomaeus dividit hoc modo. Vocum aliae sunt unisonae, aliae minime. Unisonae sunt, quarum sonus unus est vel in gravi vel in acuto; non unisonae vero, quando est alia gravior, alia acutior.
(2) Harum partim ita sunt, ut earum inter se differentia communi fine iungatur. Non enim discreta est, sed a gravi in acutum ita deducitur, ut continua videatur. Aliae vero sunt non unisonae, quarum differentia silentio interveniente distinguitur.
(3) Ut vero voces communi fine iungantur, fit hoc modo. Sicut enim cum in nubibus arcus aspicitur ita colores sibimet sunt proximi, ut non sit certus finis, cum alter ab altero disgregatur, sed ita verbi gratia a rubro discedit ad pallidum, ut per continuam mutationem in sequentem vertatur colorem nullo medio certoque interveniente, qui utrosque distinguat, ita etiam fieri solet in vocibus, ut si quis percutiat nervum eumque, dum percutit, torqueat, evenit ut in principio pulsus gravior sit, dum torquetur vero, vox illa tenuetur continuique fiant gravis vocis sonitus et acutae.
Quae voces armonicae sint aptae
VI. (1) Cum igitur non unisonarum vocum aliae sint continuae, aliae
357 disgregatae, continuae quidem tales sunt, ut inter se earum differentia communi fine iungatur, nec habeat locum designatum vox acuta gravisque, quem teneant. Discretae vero habent proprios locos veluti colores inpermixti, quorum differentia visitur suo quodam loco constituta.
(2) 	Continuae quidem non unisonae voces ab armonica facultate superantur. Sunt enim sibi ipsis dissimiles nec unum aliquid personantes. Discretae vero voces armonicae subiciuntur arti. Potest enim distantium sibique dissimilium vocum differentia deprehendi, in quibus, (3) qui iuncti efficere melos possunt, έμμελείς dicuntur, έκμελείς autem, quibus iunctis melos effici non potest.
VI, tit. voces armonicae] voces armoniae Fr et mss. Vide comm. Rossicum.
VI, 2 Continuae quidem non unisonae] Continuae quidem non aequisonae Fr. et mss.

V, 4-6
Основы музыки
247
рыхлые и массивные — низкий, хотя ничего прямо тут не говорится о том, какова мера натяжения и расслабления. Впрочем, и так ясно: когда какое-то тело расслабляется, оно становится как бы более рыхлым и толстым; когда же натягивается, оно уплотняется и истончается.
5. Птолемеево мнение о видах звуков21
(1) Выяснив этот вопрос, Птолемей выделяет виды звуков следующим образом. Из звуков одни «одновысотные», а другие нет. Одновысотные те, у которых один и тот же звук внизу или вверху22; «неодновысотные» возникают, когда один звук ниже, а другой выше.
(2) Часть неодновысотных такова, что их высотное различие скрадывает общность границы23. Она выражена не отчетливо, но тянется от низкого звука к высокому таким образом, что кажется сплошной24. В других же неодновысотных звуках различие по высоте подчеркнуто вторжением тишины25.
(3) Если звуковысотность скрадывается общностью границы, это происходит так. Когда в облаках видна радуга, то цвета ее между собой столь близки, что определенной границы, где один цвет отделялся бы [резко] от другого, нет; но, скажем, красный цвет переходит в следующий за ним розовый через постепенное изменение26. При этом никакого другого [цвета], который бы определенно вторгался между этими двумя, отделяя один от другого, нет27. Так же обычно бывает в звуках: если прижать струну и, прижав, оттянуть ее [в сторону], то вначале звук будет пониже, а в то время как струна изгибается, звук расплывается и возникают соседние низкий и высокий звуки28.
6. Какие звуки пригодны для гармоники29
(1) Итак, из неодновысотных звуков одни слитные, а другие — раздельные. Слитные те, у которых высотное различие скрадывает общность границы. Высокий и низкий звуки в таком случае не имеют выделенного места, которого бы они держались. Раздельные же звуки имеют свои места — подобно несмешанным краскам, различие в которых, установленное [для каждой краски] на своем месте, весьма очевидно.
(2) На слитные неодновысотные звуки30 гармоническая способность не распространяется, ибо эти звуки не похожи друг на друга и не предстают как единая звучность31. Раздельные же звуки подлежат рассмотрению в гармонике32, так как различие отстоящих друг от друга неодинаковых по высоте звуков постигаемо.
(3) Звуки, соединением которых можно произвести мелодию, называются «эммелическими» (έμμελείς). «Экмелическими» (έκμελείς), напротив, [называются звуки,] соединением которых произвести мелодию нельзя.

248
Institutio musica
Quem numerum proportionum Pythagorici statuant
VII. (1) Consonae autem vocantur, quae copulatae mixtos suavesque efficiunt sonos, dissonae vero, quae minime. Et hoc quidem est Ptolomaei de sonorum differentia iudicium.
(2) Nunc autem quid a ceteris in consonantiarum positione destiterit dicendum videtur. Pythagorici enim consonantias diapente ac diatessaron simplices arbitrantur atque ex his unam diapason consonantiam iungunt. Esse etiam diapente ac diapason et bis diapason, illam tripli, hanc quadrupli.
(3) Diapason vero ac diatessaron consonantiam esse non aestimant idcirco, quoniam non in superparticulari vel multiplici cadit comparatione, sed in multiplici superpartiente. Est enim haec proportio vocum ut octo ad tres. Si quis enim horum in medio quattuor ponat, efficiet terminos hos VIII. IIII. III. Quorum octo ad quattuor diapason efficiunt consonantiam, quattuor ad tres diatessaron. Octo vero ad tres in multiplici superpartiente constituitur. Quae autem sit multiplex superpartiens
358 	comparatio, ex arithmeticis libris cognoscendum est, et ex his, quae secundo huius institutionis libro digessimus. Pythagorici autem consonantias in multiplicibus ac superparticularibus ponunt, sicut eodem libro secundo quartoque praedictum est, a superpartientibus vero ac multiplicibus superpartientibus consonantias separant.
(4) Quibus autem modis diapason quidem duplici, diatessaron vero sesquitertio ac diapente sesqualtero coniungant Pythagorici, ex secundo huius institutionis musicae libro et quarto petendum est.
Quod reprehendat Ptolomaeus Pythagoricos in numero proportionum
VIII. (1) Reprehendit autem Pythagoricos Ptolomaeus totamque eam, quam praedictis libris exposuimus, demonstrationem pluribus modis, in quo totum illud etiam, quod diatessaron ac diapente sesqualtero et sesquitertio coniungunt, reliquis vero superparticularibus, cum eiusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias.
Demonstratio secundum Ptolomaeum diapason et diatessaron consonantiam esse
VIIII. (1) Probat autem ex diapason ac diatessaron quandam fieri symphoniam hoc modo, quoniam diapason consonantia talem vocis efficit coniunctionem, ut unus atque idem nervus esse videatur, idque Pythagorici quoque consentiunt. Quocirca si qua ei consonantia fuerit

V, 7 - 9.1
Основы музыки
249
7. Сколько числовых отношений установили пифагорейцы
(1) Благозвучными называются такие [интервалы], которые производят слитные и приятные звучности; неблагозвучными — те, в которых почти нет [слияния звуков]. Таково суждение Птолемея о разнице звуков [по высоте].
(2) Теперь, пожалуй, следует сказать, как обстоит дело с консонансами у других [ученых]. Пифагорейцы считают квинту и кварту простыми консонансами и из их соединения выводят единый консонанс октавы. [Консонансами, согласно пифагорейцам,] являются также октава с квинтой и двойная октава.
(3) Однако октаву с квартой они не считают консонансом, потому что она не подпадает ни под сверхчастичное, ни под кратное отношение чисел, а существует в кратно-сверхчастном числе. Именно таково отношение звуковысот 8:3. Если же положить в середину четверку, то члены отношения будут 8:4:3. Отношение 8:4 дает консонанс октавы, четыре к трем — кварты. Восемь же к трем — кратно-сверхчастное [число]. Что из себя представляет кратносверхчастное отношение, должно быть известно из книги об арифметике и из обстоятельного обсуждения [отношений и пропорций] во Второй книге моих «Основ»33. Пифагорейцы полагают консонансы [только] в кратных и сверхчастичных отношениях, как было сказано в той же Второй и Четвертой книгах. Существование консонансов в сверхчастных и кратно-сверхчастных отношениях они отвергают.
(4) Какими именно способами пифагорейцы связывают октаву с двойным отношением, кварту — со сверхтретным и квинту с полуторным, об этом можно прочитать во Второй и Четвертой книгах [этого труда] об основах музыки.
8. О том, что Птолемей порицает пифагорейцев за [установленное ими] число отношений
(1) 	Птолемей вслед за пифагорейцами дает полную демонстрацию [отношений] многими способами, которую и мы излагали в предыдущих книгах, и, в частности, показывает, что кварта и квинта связаны полуторным и сверхтретным отношениями чисел. Однако он порицает пифагорейцев за то, что те не считают консонансами остальные интервалы в сверхчастичных отношениях, хотя они того же рода, [что и кварта с квинтой].
9. Как Птолемей доказывает, что октава с квартой — консонанс
(1) Птолемей доказывает, что октава с квартой производят консонанс, следующим образом. Октавный консонанс обеспечивает такое слияние звуков, что кажется, будто звучит одна и та же струна (то же утверждают и пифагорейцы). Поэтому если к октаве добавить некий консонанс, он останется

250
Institutio musica
addita, integra inviolataque servatur. Ita enim diapason consonantiae
359 additur tamquam uni nervo.
(2) Sit igitur diapason consonantia, quae contineatur inter hypaten meson et neten diezeugmenon. Utraque haec ita sibi consentit atque coniungitur sono, ut una vox, quasi unius nervi non quasi duorum mixta pellat auditum. Quamcunque igitur huic diapason consonantiae consonantiam iunxerimus, servatur integra, quia ita iungitur, tamquam uni voculae ac nervo.
(3) Si igitur hypate meson et nete diezeugmenon duae in acutum diatessaron fuerint iunctae, sicut iungitur nete quidem diezeugmenon ea, quae est nete hyperboleon, hypate autem meson ea, quae est mese: utraque ad utramque consonabit et mese ad neten diezeugmenon et eadem mese ad hypaten meson, item nete hyperboleon ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson.
(4) Item si ad graviorem partem utriusque diatessaron consonantiae relaxentur, erit ad meson quidem hypaten diatessaron retinens consonantiam hypate hypaton, ad neten autem diezeugmenon paramese, consonabitque et hypate hypaton, ad hypaten meson et ad neten diezeugmenon et paramese ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson, sed eo modo, ut gravior quae est ad sibi quidem proximam diatessaron retineat consonantiam, ad ulteriorem vero diatessaron ac diapason, ut hypate hypaton ad hypaten meson
360 diatessaron, ad neten diezeugmenon diatessaron ac diapason. Item nete hyperboleon quae est acutior ad sibi proximam neten diezeugmenon diatessaron consonantiam, ad hypaten meson diatessaron ac diapason.
Quae sit proprietas diapason consonantiae
X. (1) Hoc vero idcirco evenire contendit, quoniam diapason paene una vocula est talisque consonantia est, ut unum quodammodo effingat sonum, et sicut denario numero qui fuerit additus intra eum positus integer inviolatusque servatur, cum in ceteris id ita minime eveniat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duo tribus adicias, quinque continuo reddis et numeri species inmutata est, si vero eosdem denario addas, duodecim feceris et binarius iunctus denario conservatus est. Item ternarius ceterique eodem modo.
(2) Ita igitur symphonia diapason quamcunque aliam susceperit, consonantiam servat nec inmutat nec ex consona dissonam reddit. Nam sicut diapente symphonia iuncta diapason consonantiae in tripla scilicet proportione diapason ac diapente consonantiam servat, ita etiam diatessaron cum sit consonantia iuncta cum diapason, aliam consonantiam reddit et fit secundum Ptolomaeum alterius consonantiae additio

V, 9.1 - 10.2
Основы музыки
251
в чистоте и неприкосновенности — он добавляется к октавному консонансу словно к одной [и той же] струне.
(2) Пусть дан октавный консонанс между гипатой средних и нетой отделенных. Каждый из двух звуков этой октавы настолько согласуется с другим звуком, что слуху кажется будто это не смешение двух струн, а одна. Теперь если к этому октавному консонансу мы присоединим любой консонанс, он сохранится в неприкосновенности, так как присоединится [к октаве] словно к одному звуку или к одной струне.
(3) Если от гипаты средних и неты отделенных построить вверх две кварты, а именно от неты отделенных до неты высших, а от гипаты средних до месы, каждая из них образует консонанс с другой: [консонанс получится] от месы до неты отделенных, от месы до гипаты средних, от неты высших до неты отделенных и [от неты высших] до гипаты средних.
(4) Также если построить вниз от нижнего звука каждой кварты консонансы, то от гипаты средних сохраняется квартовый консонанс до гипаты низших, а от неты отделенных — [кварта] до парамесы; и образуется консонанс от гипаты низших до гипаты средних и до неты отделенных, а от парамесы — до неты отделенных и до гипаты средних, но таким образом, что ближайшим внизу будет квартовый консонанс, вверху же — кварта с октавой. Например, между гипатой низших и гипатой средних — кварта, между [гипатой низших] и нетой отделенных — кварта с октавой. Также между нетой высших, лежащей вверху, ближайшим является квартовый консонанс до неты отделенных, [а от неты высших] до гипаты средних образуется кварта с октавой.
10. 	Каково свойство октавного консонанса
(1) Это происходит оттого, утверждает Птолемей, что октава представляет собой чуть ли не одну и ту же высоту, и это такой консонанс, что он как бы производит один и тот же звук. Подобно тому как добавленное к десятке [число] сохраняется в целости и неприкосновенности (в то время как с другими [числами] такое происходит крайне редко), так и с этим [октавным] консонансом34. Если сложить 2 и 3, то немедленно выйдет 5, и вид числа изменится. Если же добавить [2] к числу 10, получится 12, и двойка в соединении с десяткой сохранится. То же самое с тройкой [при добавлении ее к десятке] и другими [числами]35.
(2) Так и консонанс октавы: какой бы другой [консонанс] к нему ни присоединился, он сохраняет [этот] консонанс и не меняет его, и не производит из благозвучия неблагозвучие. И как с добавлением квинтового консонанса к октавному консонансу (а именно в тройном отношении) октава с квинтой продолжает оставаться консонансом, так и кварта, будучи консонансом, добавленным к октаве, производит другой [такой же] консонанс. Согласно

252
Institutio musica
eius, quae est diapason ac diatessaron in multiplici superpartiente constituta, estque ea proportio dupla superbipartiens ut octo ad tres. Habent enim ternarium octo bis duasque eius partes id est duas unitates.
Quibus modis Ptolomaeus consonantias statuat
361 XL (1) Et de Pythagoricorum quidem opinione Ptolomaeus ita diiudicat. Quibus vero modis ipse consonantiarum proportiones numerosque vestiget, hinc ordiendum est.
(2) Voces, inquit, inter se vel unisonae sunt vel non unisonae.
(3) Non unisonarum autem vocum aliae quidem sunt aequisonae, aliae consonae, aliae emmelis, aliae dissonae, aliae ekmelis.
(4) Et unisonae quidem sunt, quae unum atque eundem singillatim pulsae reddunt sonum, (5) aequisonae vero, quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason eaque duplicata, quae est bis diapason.
(6) Consonae autem sunt, quae compositum permixtumque, suavem tamen, efficiunt sonum, ut diapente ac diatessaron.
(7) Emmelis autem sunt, quaecunque consonae quidem non sunt, possunt aptari tamen recte ad melos, ut sunt hae, quae consonantias iungunt.
(8) Dissonae vero sunt, quae non permiscent sonos atque insuaviter feriunt sensum; (9) ekmelis vero, quae non recipiuntur in consonantiarum coniunctione, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum dicemus.
(10) Quoniam igitur univocis quidem comparationibus proximae sunt aequivocae, necesse est, ut aequis numeris ea numerorum inaequalitas adiungatur, quae est proxima aequis. Est autem iuxta aequalitatem numerorum ea, quae est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est et maior numerus, cum minorem supervenit, aequo eum ipsi minori transcentit, ut duo unum uno transgrediuntur, qui eidem unitati aequalis est. Iure igitur duplex proportio aequisonis aptatur, id est diapason, bis diapason vero bis duplici, id est quadruplo.
(11) Quae autem proportiones dividunt duplicem proportionem primae ac maximae his aptandae sunt consonantiis, quae dividunt dia-
362 pason aequisonantiam. Unde fit, ut diapente quidem sesqualterae, diatessaron vero sesquitertiae comparationi copulentur.

V, 10.2 - 11.11
Основы музыки
253
Птолемею, добавление еще одного консонанса, то есть октавы с квартой, происходит в кратном сверхчастном [числе]; этот [консонанс октавы с квартой] представляет собой двойное сверхдвухчастное отношение, а именно числа 8 к числу 3. Ибо в восьмерке содержится дважды число 3 и [сверх того] его две части, то есть две единицы.
11. 	Какими способами Птолемей определяет консонансы
(1) Таково суждение Птолемея о взглядах пифагорейцев [на интервалы]36. Собственное же исследование отношений и чисел консонансов он начинает так.
(2) Звуки, говорит он, могут быть одной высоты и разной высоты.
(3) Среди разновысотных различаются равнозвучные, благозвучные, эммелические, неблагозвучные и экмелические.
(4) Одновысотные — те, в которых взятые по отдельности звуки издают один и тот же [по высоте] звук. (5) Равнозвучные — те, в которых две [высоты], взятые одновременно, производят один как бы «простой» звук, как, например, в октаве и в ее же удвоении, то есть в двойной октаве.
(6) Благозвучные — те, что производят сложное и слитное, но при этом приятное звучание, как, например, квинта и кварта.
(7) Эммелические — те, которые хотя и не являются благозвучными, могут, однако, вполне пригодиться для мелодии, как, например, [звуки,] которыми соединяются консонансы37.
(8) Неблагозвучные — те, что не обеспечивают слияния звуков и неприятно воздействуют на [слуховое] ощущение.
(9) Экмелические — те, что неприемлемы для соединения консонансов; о них мы расскажем немного позже, [в разделе] о делении тетрахордов38.
(10) Поскольку равнозвучные наиболее близки одновысотным в отношении сравнения [звуков, составляющих интервал], отсюда с необходимостью вытекает, что вслед за равными числами должно идти такое отношение неравенства, которое является наиболее близким к равенству. Таковым отношением, лежащим рядом с числовым равенством, является двойное. Это и первый вид множества: [в нем] большее число, превосходящее меньшее, превышает его ровно на величину этого меньшего числа; число два превосходит число один на единицу, то есть на величину, равную самой единице. Следовательно, двойное отношение по праву пригодно для равнозвучия, то есть для октавы, а для двойной октавы пригодно дважды двойное, то есть четверное отношение.
(11) Отношения же, которые делят двойное отношение, — первые и наиболее пригодные для [выведения] тех консонансов, которые разделяют равнозвучную октаву. Отсюда следует, что квинта скреплена полуторным отношением, а кварта сверхтретным.

254
Institutio musica
(12) Iunctae vero consonae cum aequisonis alias efficiunt consonantias, ut diapente ac diapason in triplo diatessaron ac diapason in ea proportione, quae est octo ad tres.
(13) Emmelis autem sunt, quae diapente ac diatessaron dividunt, ut tonus ceteraeque proportiones, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum loquemur, simplices earum scilicet partes.
Quae sint aequisonae, quae consonae, quae emmelis
XII. (1) Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason, quoniam earum temperamento mixturaque unus ac simplex quodammodo efficitur sonus. Consonae autem sunt primae quidem in superparticularibus sesqualtera et sesquitertia, id est diapente ac diatessaron; et diapason ac diapente et diapason ac diatessaron. Hae sunt compositae atque coniunctae ex aequisonis et consonantibus.
(2) 	Emmelis autem sunt reliqui, qui inter has poni possunt, ut inter diatessaron ac diapente differentia tonus, (3) iungunturque quodammodo aequisonae quidem consonatibus, ut diapason ex diatessaron ac diapente, consonae autem ex his, qui emmelis soni vocantur, ut eadem diapente et diatessaron tonis ceterisque posterius dicendis proportionibus. Sed quonam modo quidem horum omnium proportio colligi possit, ex eo loco sumendum est, quem quarto volumine in fine descripsimus, ubi nervus super semispheria tendebatur. Ibi enim deprehenditur aequisonatio diapason ac bis diapason et consonantiae simplices diapente ac diatessaron et consonantiae compositae diapason ac diapente et diapason ac diatessaron et qui sunt emmelis soni, ut in toni differentia consistentes.
Quemadmodum Aristoxenus intervalla consideret
XIII. (1) Quid vero de his Aristoxenus sentiat, breviter aperiendum est. Ille enim quoniam minime tractatum rationi constituit, sed aurium iudicio permittit, idcirco voces ipsas nullis numeris notat, ut earum colligat proportiones, sed earum in medio differentiam sumit, ut speculationem non in ipsis vocibus, sed in eo, quod inter se differunt, collocet, (2) nimis inprovide, qui differentiam se scire arbitretur earum vocum, quarum nullam magnitudinem mensuramve constituat. Hic igitur et diatessaron consonantiam duorum tonorum ac semitonii esse proponit, et diapente trium tonorum ac semitonii et diapason sex tonorum, quod fieri non posse superioribus voluminibus demonstratum est.

V, 11.12 - 13
Основы музыки
255
(12) Благозвучные [интервалы], соединяясь с равнозвучными, производят дальнейшие консонансы, как, например, квинту с октавой (в тройном отношении) и кварту с октавой (в отношении 8:3).
(13) Эммелические — те, что делят квинту и кварту, как, например, целый тон и другие отношения, о которых мы поговорим чуть позже, в разделе о делении тетрахордов; именно эммелические интервалы — элементы консонансов [квинты и кварты]39.
12. Каковы равнозвучные, благозвучные и эммелические [интервалы]
(1) Итак, равнозвучны октава и двойная октава, поскольку звуки в них благодаря соразмерности и слитности издают единый, как бы «простой», звук. Благозвучны интервалы в первых сверхчастичных отношениях, полуторном и сверхтретном, то есть квинта и кварта, а также октава с квинтой и октава с квартой. Последние сложены, или составлены, из равнозвучных и благозвучных интервалов.
(2) Эммелическими являются остальные интервалы, которые могут быть расположены между упомянутыми [консонансами]; так, разность кварты и квинты — целый тон.
(3) Равнозвучные интервалы как бы складываются из благозвучных; например, октава — из кварты и квинты. Благозвучные складываются из так называемых «эммелических» звучностей; например, те же квинта и кварта — из тонов и других отношений, о которых речь пойдет позже. До каких пределов может зайти вычисление отношений всех этих [интервалов], можно увидеть в конце Четвертой книги, в том месте, где мы описывали, как струна натягивается на полусферы. Там рассматриваются равнозвучие октавы и двойной октавы, а также простые консонансы квинта и кварта, составные консонансы октава с квцнтой и октава с квартой и эммелические звучности, как, например, те, что составляют разностный интервал целого тона40.
13. Каким образом рассматривает интервалы Аристоксен41
(1) Следует вкратце рассказать, что об этом думает Аристоксен. Поскольку он не сообразуется с доводами разума, а доверяет суждению слуха, то по этой причине он не обозначает сами звуки [определенной высоты] никакими числами, с тем чтобы [затем] получить их отношения. Вместо этого он рассматривает усредненную разницу между звуками, чтобы исследовать не звуки как таковые, а то, чем они между собой различаются42. Он весьма опрометчиво считает, что [и так] знает разницу в звуках, для которых не устанавливает ни величины, ни размера. Соответственно, он представляет консонанс кварты состоящим из двух тонов и [ровно] полутона, квинты — из трех тонов и [ровно] полутона, а октавы — из шести тонов, чего, как показано в предыдущих книгах, не может быть43.

256
Institutio musica
Descriptio octachordi, qua ostenditur diapason minorem esse sex tonis
XIIIL (1) Docet autem Ptolomaeus per cuiusdam octachordi divisionem diapason intra sex tonos cadere hoc modo. Intendantur enim octo chordae, id est A. B. C. D. E. F. G. H., fiatque sesquioctava .AK. eius, quae est .BL., et .BL. eius, quae est .CM., et .CM. eius, quae est .DN., et .DN. 364 eius, quae est .EX., et .EX. eius, quae est .FO., et .FO. eius, quae est .GP. Erunt igitur sex toni.
(2) Rursus .H. dividatur nervus medius ad .R. Erit igitur .AK. dupla ab eo, quod est .HR. Pulsae igitur simul .AK. .HR. diapason aequisonantiam consonabunt. Si vero aliquis .GP. percutiat, semper erit paulo acutior, quam est .HR. ac per hoc transcendunt sex toni diapason consonantiam.
(3) Si enim .AK. et .GP. diapason pulsati resonarent, tonorum sex esset diapason consonantia. Si vero his non consonantibus .AK. et .HR. diapason consonarent, et .HR. acutior esset quam .GP., diapason consonantia sex tonos excederet.
(4) Nunc vero, quia consonantibus .AK. et .HR. eadem .HR. ab ea, quae est .GP., gravior invenitur, non potest, quin sex toni diapason consonantiam excedant. Atque ita sensu quoque potest colligi, diapason consonantiam intra sex tonos cadere. Sic igitur Aristoxeni error sine dubitatione convincitur:
ABCDEFGH
Diatessaron consonantiam tetrachordo contineri
XV. 	(1) Nunc de tetrachordum divisione dicendum.
365 (2) Etenim diatessaron consonantia quattuor efficitur nervis, idcirco
etiam diatessaron nuncupatur. Ut igitur duobus nervis, altrinsecus positis ac diatessaron symphoniam consonantibus fiat tetrachordon duos necesse est statui in medio nervos, qui ad se invicem atque ad extremos tres proportiones efficiant.

V, 14-15
Основы музыки
257
14. 	Схема октахорда, показывающая, что октава меньше шести тонов44
(1) Птолемей учит делению октахорда, при котором октава попадает внутрь шести целых тонов, следующим образом. Пусть будут натянуты восемь струн ABCDEFGH. И пусть [отрезок] АК будет в сверхосминном отношении к [отрезку] BL, a BL будет [сверхосминой] к СМ, а СМ — к DN, DN — к ЕХ, ЕХ — к FO, FO — к GP. Итак, получится шесть тонов.
(2) Теперь разделим еще одну струну [той же длины] Н в средней точке R. Таким образом, отрезок АК будет в двойном отношении к HR. Если одновременно дернуть АК и HR, они издадут благозвучие, [или] равнозвучие октавы. Если же ударить по [струне] GP, она всегда будет чуть выше, чем HR, — на эту [малость] шесть тонов превосходят октавный консонанс.
(3) Если бы при взятии АК и GP они бы [вместе] прозвучали в октаву, то октавный консонанс был бы равен шести тонам. А раз по сравнению с этими неблагозвучными [АК и GP] АК и HR издали октавный консонанс и [при этом] если бы [высота звука] HR была выше, чем GP, то октавный консонанс превзошел бы шесть тонов.
(4) В нашем же случае, поскольку при благозвучных АК и HR [струна] HR звучит ниже, чем GP, то почему бы не допустить, что [наоборот] шесть тонов превосходят октавный консонанс? Да и по ощущению [на слух] можно заключить, что октавный консонанс попадает внутрь шести тонов. Вот так бесспорно доказывается ошибка Аристоксена:
ABCDEFGH
15. 	О том, что квартовый консонанс содержится в тетрахорде
(1) Теперь следует сказать о делении тетрахордов [на части].
(2) Так как квартовый консонанс возникает в четырех струнах, поэтому он и называется квартой. Чтобы из двух струн, расположенных по краям и согласно звучащих в консонансе кварты, образовался тетрахорд, необходимы еще две струны в середине, которые между собой и по отношению к крайним [струнам] производят три числовых отношения45.

258
Institutio musica
Quomodo Aristoxenus vel tonum dividat vel genera eiusque divisionis dispositio
XVI. 	(1) Hoc igitur diatessaron Aristoxenus per genera tali ratione partitur.
(2) Dividit enim tonum in duas partes atque id semitonium vocat. Dividit in tres, cuius tertiam vocat diesin chromatis mollis. Dividit in quattuor, cuius quartam cum propria medietate, id est cum octava totius toni appellat diesin chromatis hemiolii.
(3) Cum igitur haec ita sint cumque generum divisio secundum eum sit duplex, unum quidem genus est mollius, aliud vero incitatius. Et mollius quidem est enarmonium, incitatius vero diatonicum. Inter haec vero consistit chromaticum incitatione mollitieque participans.
(4) Fiunt igitur secundum hunc ordinem differentiae [non] permixtorum generum sex, una quidem enarmonii, tres autem chromatici, id est chromatici mollis et chromatici hemiolii et chromatici toniaei, duae vero reliquae diatonici mollis atque incitati. Quorum omnium talis secundum Aristoxenum divisio est.
(5) Quoniam enim quarta pars toni diesis enarmonios nuncupari praedicta est, quoniamque Aristoxenus non voces ipsas inter se comparat, sed differentiam vocum intervallumque metitur, est secundum eum tonus .XII. unitatum. Huius igitur erit pars quarta diesis enarmonios .III.
366 (6) Quoniam vero ex duobus tonis ac semitonio diatessaron consonantia
iungitur, erit tota diatessaron ex bis .XII. ас .VI. unitatibus constituta.
(7) Sed quoniam saepe fit, ut, si usque ad octavas velimus deducere partes, non in integros numeros, sed in aliquas particulas incurramus, idcirco facienda quidem est tota diatessaron .LX. at vero .XXIIII. tonus, semitonium .XIL, pars quarta, quae diesis enarmonios dicitur, .VI., octava autem .III. Iuncta vero octava cum quarta, .VI. scilicet cum tribus, ut faciat diesin chromatis hemiolii, erunt .VIIII.
(8) His igitur ita constitutis tria genera, enarmonium, chromaticum, diatonicum, has Aristoxeno videntur habere proprietates, ut alia eorum dicantur spissa, alia minime.
(9) Spissa sunt, quorum duae graviores proportiones unam eam, quae ad acutum apposita est, magnitudine non vincunt; non spissa vero, quorum duae proportiones unam reliquam poterunt superare. Est autem enarmonium et chromaticum spissum, diatonicum vero non spissum.
(10) Itaque enarmonium secundum Aristoxenum dividitur sic VI. VI. XLVIIL, ut inter gravem nervum ac prope gravem sit quarta pars toni, quae dicitur diesis enarmonios, cum sit tonus .XXIIII. unitatibus constitutus. Item
4 non permixtorum generum] permixtorum generum Fr. et antiquissima mss. Emendatio ad Graecum: εξ ών [Le. partibus toni suprascriptis] ύφίσταται διαφοράς των αμιγών γενών εξ (Ptol. Harm. 1,12). Apud Ptolemaeum permixta genera sunt quae ex sex non permixtis formantur.

V, 16.1-10
Основы музыки
259
16. 	Каким образом Аристоксен делит целый тон и подразделяет роды, и схема его деления46
(1) Вот как Аристоксен делит кварту по родам.
(2) Он делит целый тон на две части и это называет полутоном. Делит [его же] на три, и такую третью часть [тона] называет диесой мягкой хромы47. Делит [его же] на четыре, и такую четвертую часть [называет энармонической диесой48, а ее] вместе с правильной половиной [этой четверти], то есть, вместе с осминой целого тона, он называет диесой полуторной хромы49.
(3) По Аристоксену, эти части таковы, и роды подразделяются надвое, а именно один род мягче, а другой — напряженней50. Тот, что мягче,— энармонический род, а тот, что напряженней, — диатонический. Между ними располагается хроматический [род], отчасти напряженный, а отчасти мягкий.
(4) Итак, шесть видовых различий несмешанных родов по порядку таковы51: одно — энармонического [рода], три — хроматического, а именно хроматического мягкого, хроматического полуторного и хроматического тонового52, два оставшихся — диатонического мягкого и [диатонического] напряженного. Деление всего этого согласно Аристоксену таково.
(5) Поскольку четверть тона, как было сказано ранее, называется энармонической диесой53 и поскольку Аристоксен не соотносит высоты как таковые между собой, а мерит разницу и расстояние между высотами54, то целый тон по его свидетельству состоит в 12 единицах55. Тогда четверть тона, [или] энармоническая диеса, будет равна 3.
(6) Но поскольку квартовый консонанс получается из сложения двух тонов и полутона, то целая кварта будет состоять из дважды по 12 и еще 656.
(7) Как это часто бывает, если мы хотим разложить [целый тон] до самых осмин, мы наталкиваемся не на целые числа, а на некие частички [целого числа]57. Поэтому необходимо представить кварту числом 60, а целый тон — числом 24, полутон — 12, четверть, называемую энармонической диесой, числом 6, а осмину — числом 3. При соединении осмины с четвертью, то есть 6+3, получится диеса полуторной хромы, то есть 9.
(8) Установленные таким образом три рода — энармонический, хроматический и диатонический — согласно Аристоксену имеют особые свойства: одни роды называются сжатыми, а другие нет58.
(9) Сжатые те, у которых два нижних интервальных отношения по [суммарной] величине не превосходят верхнее; несжатые же те, у которых два отношения [в сумме] могут превзойти оставшееся. Энармонический и хроматический [тетрахорды] — сжатые, диатонический же — несжатый.
(10) Таким образом, согласно Аристоксену энармонический [тетрахорд] делится так: 6+6+48, то есть между нижней струной и околонижней — четверть тона, называемая энармонической диесой (поскольку целый тон уста-

260
Institutio musica
secundum intervallum inter secundum a gravi nervo ad tertium sit eadem quarta pars toni .VI. Reliqui vero, qui restant ex .LX., qui totius proportionis sunt, inter tertium a gravi nervo atque acutissimum quartum ponuntur .XLVIII. Et duae proportiones ad gravem positae, id est .VI. et .VI., unam reliquam ad acutum locatam, id est .XLVIII. non vincunt.
(11) 	Chromatis vero mollis hanc facit divisionem VIII. VIII. XLIIII., ut .VIII. atque .VIII. sint tertiae partes tonorum. Est enim tonus, ut dictum est, .XXIIII. unitatum et dicitur toni pars tertia diesis chromatis mollis.
367 (12) Item chromatis hemiolii diatessaron ita partitur VIIII. VIIII. XLII. Et
enim diesis chromatis hemiolii pars octava toni cum quarta, id est ex XXIIII. VI. cum tribus.
(13) Item chromatis toniaei talis secundum Aristoxenum partitio est. XII. XII. XXXVI. scilicet ut in duobus intervallis singula semitonia constituat, et quod est reliquum in ultimo. Atque in his omnibus duae proportiones, quae graviori nervo sunt proximae, reliquam, quae ad acutum posita est, minime magnitudine superant. Sunt enim, ut dictum est, spissorum generum. Spissa quippe genera sunt enarmonium atque chromaticum.
(14) Diatonica vero divisio ipsa quoque est duplex. Et mollis quidem diatonici divisio est hoc modo XII. XVIII. XXX., ut XII. semitonium sit, .X. et .VIII. semitonium [.XII.] et quarta pars toni [.VL], .XXX. vero quod reliquum est. Quorum .X. et .VIII. atque .XII. efficiunt .XXX. nec superantur ab ea parte, quae reliqua est. Item diatonici incitati talis partitio est, ut semitonium ac duos habeat integros tonos, idest XII. XXIIII. XXIIII., ex quibus .XXIIII. et .XII., id est .XXXVI. non superantur a reliqua parte, quae ad acutum est, sed potius vincunt.
(16) Est igitur secundum Aristoxenum tetrachordorum praedicta partitio, quae subiecta descriptione monstrabitur:
368
XLVIII
VI
VI
1
XLIIII [
VIII ,
VIII
1
XLII .
VIIII
VIIII
XXXVI |
XII
1
XXX .
XVIII
1
XXIIII
ХХПП J
LX
LX
LX
</>
’о
о
ε
ε
rS
CG
£
•S2
0)
О
*55
7з
ε
о
н
сл
*43
CG
ε
•e
о
ä
•S
LX
LX
LX
‘S
сл
‘•С
CG
•ε
о
•4-»
О
ε
CG
•4-»
I
СЛ
и
•-Ö
CG
g
i
U
■ε
о
О
*03
■S
Ή

V, 16.10-16
Основы музыки
261
новлен в объеме 24 единиц). И второй интервал между струной околонижней и третьей — тоже четверть тона, [или] 6 единиц. Остаток же от 60, всего отношения [кварты], между третьей снизу струной и наивысшей четвертой равен 48 единицам. И два нижних отношения, то есть 6 и 6, [в сумме] не превосходят оставшееся сверху, то есть 48.
(11) Деление мягкой хромы он делает так: 8+8+44, при том что 8 и 8 — третьи части целого тона. Тон, как было сказано выше, состоит из 24 единиц, а треть целого тона называется диесой мягкой хромы.
(12) Кварта полуторной хромы делится так: 9+9+42. Диеса полуторной хромы — это осмина тона с четвертью: исходя из 24 единиц, это 6+3.
(13) Деление тоновой хромы согласно Аристоксену таково: 12+12+36, то есть в двух [нижних] интервалах он располагает полутоны, а остаток — в последнем [интервале]. Во всех этих [хроматических родах] два отношения, находящиеся рядом с нижней струной, [в сумме] не превосходят по своей величине оставшееся верхнее. Ибо они, как было сказано, относятся к сжатым родам. Итак, сжатые роды — энармонический и хроматический.
(14) Диатоническое же деление [тетрахорда] внутри себя двояко. Деление мягкого диатонического [тетрахорда] таково: 12+18+30, где 12 — полутон, 18 — полутон [12] плюс четверть тона [6] , а 30 — остаток [от кварты]. Из этих [интервалов] 18 и 12 дают 30, так что остаток это число не превосходит.
(15) Деление напряженного диатонического [тетрахорда] таково: полутон плюс два целых тона, то есть 12+24+24, из которых 24 + 12, то есть 36, каковое число остаток наверху не превосходит, а наоборот, [число 36] превосходит [этот остаток].
(16) Описанное выше деление тетрахордов по Аристоксену показано на нижеследующей схеме:

262
Institutio musica
Quomodo Archytas tetrachorda dividat eorumque descriptio
XVII. 	(1) Archytas vero cuncta ratione constituens non modo sensum aurium in primis consonantiis observare neglexit, verum etiam maxime in tetrachordorum divisione rationem secutus est, sed ita, ut neque eam, quam quaerebat, efficaciter expediret, neque sensui proposita ab eo ratio consentiret.
(2) Ille enim tria genera esse arbitratur, enarmonium, diatonicum, chromaticum, in quibus eosdem gravissimos statuit atque acutissimos sonos,
(3) in omnibus quidem generibus gravissimos sonos faciens .II.XVL, acutissimos vero .M.DXIL Inter hos in tribus generibus nervum gravissimo proximum collocat eum scilicet, qui sit .T.DCCCCXLIIII., ut ad eum .II.XVI. sesquivicesimam septimam obtineant proportionem.
(4) Post hunc vero infra acutum nervum, tertium vero a gravissimo, eum collocat in enarmonio genere, qui sit .Ï.DCCCXC, ad quem .T.DCCCCXLIIII. sesquitricesima quinta proportione iungantur. Idemque
369 .I.DCCCXC. ad acutissimum, id est .I.DXII. in sesquiquarta proportione sit
constitutus.
(5) Item in diatonico genere tertium quidem a gravissimo nervo, secundum vero ab acutissimo, eum ponit, qui sit .Ï.DCCI., ad quos .T.DCCCCXLIIII. sesquiseptima proportione coniuncti sint, ipsi autem .Ï.DCCI. ad acutissimum .T.DXII. sesquioctava.
(6) In chromatico vero genere tertium a gravissimo et secundum ab acutissimo eum ponit, qui ad .T.DCCL, qui est secundus in diatonico genere eam obtineat proportionem, quam obtinent .CCLVI. ad .CCXLIII. Hic autem est .T.DCCXCII. qui est secundus ab acutissimo appositus. Habetque proportionem secundus ab acutissimo in diatonico genere, id est .T.DCCI. ad secundum ab acutissimo in chromatico genere, id est .T.DCCXCII. eam, quam habent .CCXLIII. ad .CCLVI.
(7) Eorumque tetrachordorum secundum Archytae sententiam divisorum formam monstrat subiecta descriptio:
^ M.DXII ^ M.DCCCXC 1 M.DCCCCXLIIII ^ n.XLI
1 M.DXII ^ M.DCCI H M.DCCCCXLIIII
^ M.DXII ^ M.DCCXCII ^ M.DCCCCXLIIII
enarmonium
1 II.XLI
diatonicum
1 II.XLI
chromaticum

V, 17
Основы музыки
263
17. 	Как делит тетрахорды Архит и схема этих тетрахордов59
(1) Архит, построивший все [свое учение] на разумных основаниях, не только пренебрег слуховым ощущением при рассмотрении первичных консонансов, но даже чересчур последовал доводам разума в делении тетрахордов. Однако вышло так, что разумный метод, которого он искал, не получил успешного воплощения, и предложенная им теория [деления тетрахорда] не согласуется со [слуховым] ощущением.
(2) Он тоже полагает, что существуют три рода: энармонический, диатонический и хроматический, в которых он устанавливает [числа для] низших и высших звуков.
(3) Во всех родах для низших звуков у него дано число 2016, а для [всех] высших — число 1512. Между этими [крайними высотами] ближайшую к нижней струну в трех родах он полагает в числе 1944, которое с 2016 образует отношение 28:2760.
(4) После нее в энармоническом роде под самой высокой он полагает струну (она же — третья снизу) в числе 1890, которое связано с числом 1944 отношением 36:35. То же число 1890 к числу высшей струны, то есть к 1512, находится в сверхчетвертном отношении [5:4]61.
(5) В диатоническом роде он полагает третью снизу струну (она же — вторая сверху) в числе 1701, к которому число 1944 относится как 8:7; то же число 1701 к высшему 151262 находится в сверхосминном отношении [9:8]63.
(6) В хроматическом роде третью снизу струну (она же — вторая сверху) он полагает в числе 1792; соотнесенное со второй сверху струной диатонического рода, положенной в числе 1701, [число 1792] дает 256:24364. И [наоборот,] вторая сверху струна в диатоническом роде, то есть 1701, соотнесенная со второй сверху струной в хроматическом роде, то есть 1792, дает 243:25665.
(7) Нижеследующая схема показывает деление тетрахордов, как его представляет себе Архит:
1 1512 Н 1890 Н 1944 ^ 2016
^ 1512 ί 1701 U944 Н 2016
0512 ί 1792 ^ 1944 Н 2016
энармоническии диатонический
тетрахорд тетрахорд
хроматический
тетрахорд

264
Institutio musica
Quemadmodum Ptolomaeus et Aristoxeni et Archytae tetrachordorum divisionem reprehendat
XVIII. 	(1) Sed utrasque tetrachordorum divisiones Ptolomaeus ita reprehendit.
370 (2) Archytae quidem primo, quoniam secundus ab acutissimo nervus in chromatico genere, id est .Ï.DCCXCII. ita est collocatus, ut nec ad acutissimum .Ï.DXII. nec ad proximum graviori .1 .DCCCCXLIIII. ullam superparticularem efficiat proportionem, cum Archytas tantum superparticularibus comparationibus habuerit dignitatem, ut eas etiam in consonantiarum ratione susceperit.
(3) Dehinc, quod primam a gravissimo nervo proportionem in chromatico quidem maiorem sensus esse deprehendat, quam fecerit Archytas. Hic namque in chromatico genere .I.DCCCC.XLIIII. ad .I.XVI. distare fecit sesquivicesimam septimam proportionem, cum secundum consuetam chromatici generis modulationem sesquivicesima prima esse debuerit.
(4) Item enarmonii generis ea proportio, quam prima a gravissimo secundum Archytae retinet divisionem, talis est, ut longe minor esse debeat, quam in ceteris generibus invenitur. Hic autem aequam eam ceteris generibus statuit, dum primas a gravi proportiones in tribus generibus sesquivicesimas septimas ponit.
(5) Aristoxenum vero culpat, quoniam in chromate molli et chromate hemiolio tales posuerit primas secundasque a gravi nervo proportiones, quae a se minimo et quantum sensus non possit internoscere distarent. Est quippe proportio prima in chromatis mollis divisione secundum Aristoxenum .VIII., at in chromate hemiolio .VIIII. Sed .VIII. ad .VIIII. unitatis differentia distant. Est autem totus tonus .XXIIII. unitatibus secundum positionem, quorum unitas vicesima quarta est. Primae igitur a gravi inter se propor-
371 tiones chromatis mollis et chromatis hemiolii vicesima quarta parte toni distant, quod propter brevitatem differentiae nullo modo sentit auditus.
(6) Idem etiam Aristoxenum reprehendit, cur diatonici generis duas tantum fecerit divisiones, ut in mollem incitatumque divideret, cum possint aliae quoque diatonici generis species inveniri.
Quemadmodum Ptolomaeus tetrachordorum divisionem fieri dicat oportere
XVIIII. (1) Ptolomaeus enim tetrachorda diversa ratione partitur, (2) illud in principio statuens, ut inter duos altrinsecus sonos tales voculae aptentur, quae se superparticularibus proportionibus excedant, inaequalibus tamen, quoniam superparticularis proportio non potest in aequa dividi; (3) dehinc ut omnis comparatio, quae fit ad eum nervum, qui est gravissimus in tribus

V, 18 - 19.3
Основы музыки
265
18. Как Птолемей опровергает Аристоксеново и Архитово деление тетрахордов66
(1) Оба деления тетрахордов Птолемей опровергает так.
(2) Сначала он опровергает Архитово [деление], в котором вторая сверху струна в хроматическом роде (в числе 1792) размещена так, что ни к высшей (1512), ни к околонижней (1944) струне она не образует сверхчастичного отношения,— и это при том, что Архит придавал такое значение сверхчастичным отношениям, что использовал [именно] их для расчета консонансов67.
(3) Да и первая снизу струна в хроматическом [роде] по ощущению должна соответствовать большему отношению, чем та, которую вычислил Архит. Он же сделал так, что [эта струпа] в хроматическом роде находится на расстоянии 1944:2016, то есть в отношении 27:28, в то время как для хроматического рода обычным является мелодический ход на отношение 22:2168.
(4) И в энармоническом роде отношение для околонижней [струны] должно быть не таким, как у Архита, а намного меньшим, чем в других родах. Он же сделал его таким же, как в других родах, положив для околонижней [струны] во [всех] трех родах отношение 28:27.
(5) Аристоксена же Птолемей порицает за то, что тот в мягкой хроме и в полуторной хроме положил между первой и второй струнами снизу такие отношения, которые друг от друга отстоят на сверхмалый интервал — такой, что чувство не в состоянии его различить69. В самом деле, в мягкой хроме по Аристоксену первый интервал равен 8 единицам, а в полуторной хроме — девяти. Разница между числами 8 и 9 — единица, то есть 24-я часть целого тона, состоящего из 24 единиц. Итак, первые снизу отношения в мягкой хроме и в полуторной хроме друг от друга отстоят на Via тона, — разницу [в высоте], которую по причине ее небольшой величины слух никоим образом не может воспринять.
(6) Птолемей возражает Аристоксену и в том, что тот сделал только два деления [тетрахорда] в диатоническом роде, выделив мягкий и напряженный, в то время как в диатоническом роде можно отыскать и другие разновидности.
19. Каким должно быть деление тетрахордов согласно Птолемею70
(1) Птолемей делит тетрахорды, руководствуясь другими соображениями.
(2) Вначале он утверждает, что между двумя крайними звуками [кварты] нужно приладить звуки такой высоты, которые исчерпываются сверхчастичными отношениями71; при этом они неравны, поскольку сверхчастичное отношение [кварты] не может быть поделено на равные части.
(3) Далее, всякий интервал низшей [и соседней с ней] струны — [наи] меньший из трех [интервалов тетрахорда, т.е. он меньше] тех, что относятся

266
Institutio musica
minor sit ceteris, quae acutis vocibus coniunguntur. Sed in his ea, quae spissa nominamus, talia esse debent, ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportiones, quae relinquitur ad acutum. In non spissis vero ut in diatonicis generibus nusquam una <...>

V, 19.3
Основы музыки
267
к [более] высоким звукам72. Но в тех [родах], которые мы называем сжатыми, должно быть так, чтобы два отношения для самых низких [звуков] были меньше того отношения, что остается вверху. В несжатых же, как например, в диатонических, родах никак не может быть, чтобы одно [отношение было больше суммы двух других]73 <.. .>

КОММЕНТАРИЙ К «МУЗЫКЕ»
Книга I
1 Слово «некоторые» (во фразе quibusdam viventibus) средневековые комментаторы Боэция толкуют как необходимое в контексте уточнение, поскольку «есть живые существа, которые видят, но не слышат, а есть такие, которые слышат, но не видят, как, например, крот» (Gloss. I, 7; СОВ, 66).
По поводу различия живых существ (viventes) и животных (animalia) стоит напомнить, что в античные времена «живущими», т. е. наделенными душой, признавались и растения. Отличие живого существа вообще от животного Аристотель (в своем труде «О душе») определял так: «Как полагают, все растения наделены жизнью <...> [Кроме способности расти] у них никакой другой душевной способности нет. Таким образом, благодаря этому началу [природной силе — С. А.] жизнь присуща живым существам, но животное впервые появляется благодаря ощущению» (Arist. De anima 413a-b; перевод П.С. Попова). В труде «О чувственном восприятии»: «Живым существам (в той мере, насколько каждое из них живое) с необходимостью присущи чувства; тем самым мы и отличаем живое существо от неживого» (Arist. De sensu et sensibilibus 436b; здесь и далее, если не указано иное, перевод мой). Словом animal, производном от anima (душа), у Боэция обозначается всякая природная тварь, наделенная душой, а словом animus обозначен дух, или разумное начало, присущее только животному.
Тезис о принципиальном различии чувственного и рационального постижения мира, с которого начинается «Музыка» — общее место античной философии, потому определить непосредственный источник Боэция не представляется возможным. Это мог быть Аристотель или Платон, или кто-то из признанных римских авторитетов, например, Цицерон, комментируя «Топику» которого, Боэций (позже) писал: «Поскольку род человеческий живет чувствами, ему лучше всего понятно то, что доступно чувственному восприятияю. Разве неправда, что камень или человека любой представит себе легче, чем справедливость или наследие, или что-либо другое, постижимое не чувствами, а умом? Отсюда следует, что познанию более очевидны те предметы, которые доступны чувствам, а те, сущность которых схватывает разум, вовсе нет» (PL 64, 1092c-d).
2 Согласно материалистической концепции Эпикура (Diogen. Laert. Vitae philosoph. 10.49-50), мы видим только благодаря попаданию в глаза «оттисков» (τύποι.) окружающего мира. Платон описывал зрение как столкновение внешнего потока света с лучами, которые испускают сами глаза; «подобное устремляется к подобному, они сливаются, образуя единое и однородное тело в прямом направлении от глаз» и т.д. (Piat. Timaeus 45b; перевод С.С. Аверинцева). Концепция «зрительного истечения» удержалась до римских времен. Аттика, недовольного вновь установленными узкими окнами, Цицерон успокаивает: «...через широкие отверстия вид на сады не так прия¬

Книга I
Комментарий
269
тен. <...> Ибо если бы мы видели вследствие попадания образов в глаз, то образы сильно страдали бы в узких проемах. А теперь это истечение лучей происходит прекрасно» (Cic. Epist. ad Atticum II, 3; перевод B.O. Горенштейна). Наконец, стоики считали, что «зрение совершается оттого, что свет между зрителем и предметом напрягается в виде конуса (так пишут Хрисипп во II книге „Физики" и Аполлодор), причем направлен этот конус воздуха острием к глазу, а основанием к предмету — так предмет сообщается зрению напряженным воздухом, словно подгоняемый палкою» (Diogen. op. eit, 7.157 ss.; перевод М.Л. Гаспарова). С материалистической теорией эпикурейцев Боэций, возможно, был знаком по труду Лукреция Кара «О природе вещей» (Lucr. De nat. rerum, IV, 26 ss.), которого он цитирует в «Арифметике» (Arithm. II, 1). Согласно Лукрецию (op. eit, IV, 216-217), в переводе Ф.А. Петровского
... неизбежно признать вылетанье
телец (corpora), которые бьют по глазам, вызывая в них зренье.
3 Ср.: «Надо <...> не добиваться точности во всем одинаково, но в каждом случае сообразовываться с предметом, подлежащим [рассмотрению, и добиваться точности] в той мере, в какой это присуще данному способу исследования (μεθόδω). Действительно, по-разному занимаются прямым углом плотник и геометр, ибо первому [он нужен] с такой [точностью], какая полезна для дела, а второму [нужно знать] его суть или качества, ибо он созерцатель истины (θεατής τάληθοϋς)» (Arist. Ethica Nicom., 1098а; в квадратных скобках добавления переводчика — Н.В. Брагинской). Возможно, θεατής του αληθούς и есть точный лексический прототип для contemplator veritatis Боэция.
4 Первое появление слова modus, которое на протяжении трактата употребляется многократно, в нескольких различных смыслах, и общелексически, и как музыкальный термин. Выявленные значения слова modus в «Музыке» Боэция (перечислены в произвольном порядке): 1) мелодия, напев; 2) музыка, мелос (обобщенная совокупность мелодий); 3) лад (используется для характеристики ладового звукоряда, определяющей категории лада модального типа); 4) образ, вид; 5) мера, размер. Перевод многозначного слова modus здесь и далее определяется контекстом.
5 Четыре дисциплины квадривия: арифметика, геометрия, астрономия и музыка. О них подробнее см. (в Приложении I в этой книге) Послание к Сим маху и первую главу «Арифметики» Боэция. Ясно, что «музыка» понимается здесь двояко: с одной стороны, это — теоретическая дисциплина (наука), с другой, — сама музыкально-звуковая композиция, музыка в привычном нам смысле. Первая занята (как и арифметика, геометрия, астрономия) умозрительным исследованием истины, вторая влияет на людские нравы.
6 Некоторую трудность представляет перевод modi musici, в буквальном переводе выходит плеоназм «музыкальные напевы», или «музыкальные наигрыши». Так и переводит О. Пауль («Weisen der Musik»). К. Бауэр («musical modes») и К. Мейер («modes musicaux») в своих переводах буквально следуют латинскому оригиналу, используя многозначность слова «mode» в английском и французском языках. Толкования modi musici коллеги не дают.

270
Основы музыки
Книга I
7 То есть размерена числами «музыкальных» интервалов. Музыкально-математическое строение мировой души описано у Платона в «Тимее» (35Ь-36е). Демиург делит каждую октаву космического звукоряда при помощи гармонического и арифметического среднего (Боэций изложил эту процедуру в «Арифметике», Arithm. II, 54 — см. мой перевод), затем заполняет получившиеся тетрахорды двумя целыми тонами и малым полутоном (лиммой) 256:243, то есть фактически выполняет деление октавы в диатоническом роде мелоса. Звуки, которые демиург установил в том месте, где находятся средние, названы Платоном «скрепами» (δεσμοί). Словосочетание musica convenientia можно вполне понимать как очередной синоним (музыкальной) гармонии — в том смысле, что через восприятие музыкальной соразмерности душа человека оказывается причастной к мировой душе.
8 По правилу «подобное стремится к подобному», или «подобное радуется подобному». Уже Платон ссылается на этот природный принцип как на «древний» (Symp. 195 b). В своих трудах Боэций применяет его неоднократно (см., например, Consol. II, 6), впрочем, наряду и с прямо противоположным принципом «единения разного и согласия разногласного», то есть гармонии (ср. Arithm. II, 32).
9 Впервые вводятся этнонимы для краткой этической характеристики музыки. В греческой традиции знаменитое рассуждение об этосе 5 этнических «гармоний» (лидийской, миксолидийской, ионийской, дорийской и фригийской) находится в «Государстве» Платона (398е-399с). В латинской традиции этнонимы встречаются уже у Апулея (II в. н.э.) — в «Метаморфозах» и во «Флоридах», например: «Был знаменитый авлет Антигенид, искусный исполнитель всякой музыки, а также опытный сочинитель всякой мелодии, какой захочешь — незатейливой эолийской или изысканной ионийской, жалобной лидийской или культовой фригийской, или воинственной дорийской» (Tibicen quidam fuit Antigenidas, omnis voculae melleus modulator et idem omnimodis peritus modificator, seu tu velles, Aeolion simplex, sive Iastium varium, seu Lydium querulum, seu Phrygium religiosum, seu Dorium bellicosum.) Apul. Florida IV, 4.
10 Историю прилагательных mollis и durus в применении к музыке рассматривает К. Дальхауз (DahlhausT).
11 Соответствующую цитату из Платона см. в моем комментарии к Mus. I, 30.
12 О роли музыки в воспитании граждан Платон, в частности, пишет: είδος γαρ καινόν μουσικής μεταβάλλειν εύλαβητέον ώς εν όλω κινδυνεύοντα* ούδαμού γαρ κινούνται μουσικής τρόποι άνευ πολιτικών νόμων των μεγίστων (Resp. 424) («Следует остерегаться того, чтобы вводить новый вид (эйдос) музыки — здесь рискуют всем: ведь никак не может быть, чтобы музыкальный стиль (μουσικής τρόποι можно условно перевести и как «средства музыкальной выразительности» — С. А.) поменялся без изменений и в самых важных государственных законах».)
13 Традиционный русский перевод rythmi modique — «ритмы и лады»; так переводит Ю. Зубов в МЭЗСВ еще в 1966 году; так же Е.В. Герцман (ГБ, 300). Я думаю, что в этом пассаже Боэций употребляет modus не терминологически, что modi в начале этой мысли и в ее конце (scenicis ас theatralibus modis) — одни и те же modi, а именно всякие мелодии, напевы, обобщенно музыка. Большинство средневековых рукописей глос¬

Книга I
Комментарий
271
сирует modi как soni (8), лишь одна рукопись дает toni, и две дают tropi (Gloss. I, 39). Узко специальное понимание выражения scenicis ас theatralibus modis как «в сценических и театральных ладах» (так в переводе Зубова) кажется маловероятным — мысль (какой бы привлекательной она ни казалась), что в театрально-концертной музыке использовались некие особые лады, нигде у Боэция не развивается и не находит подтверждения в параллельных античных источниках. Getarum modi — очевидно, что это не какие-то «модальные структуры» гетов, а просто (суровая, воинственная) музыка, которая, видимо, была присуща этому варварскому племени.
14 Ipsa sunt — грамматическая форма ipsa (мн.ч. ср.р.) непонятна, ибо это местоимение, как кажется, согласовано с предыдущим rythmi modique (которые воздействуют на интеллект человека). В переводе я подразумеваю коррекцию оригинального текста (замену рукописного ipsa на более согласованное ipsi)f которую в критическом аппарате предлагал еще Фридляйн (FB, 181).
15 Фракийское племя на берегах Дуная, к югу от даков, послужило для Боэция образцом дикости, суровости. Среди гетов, между прочим, окончил свою жизнь великий Овидий. По мнению Исидора (Isidor. Etym., IX.2), от гетов происходят готы, которых он описывает как «племя сильное и могущественное, исполинского телосложения и ужасно воинственное».
16 Т.е. эмоционально сдержанными, спокойными.
17 Не нужно понимать это утверждение как нечто относящееся исключительно к эпохе Боэция. Разложение «идеальной» (простой и благородной) музыки античные моралисты традиционно связывали с подъемом театра и сольного исполнительства (имеются в виду публичные конкурсы музыкантов «на подиуме»). Первые жалобы на «падение нравов», подобные Боэциевьгм, относятся еще к V в. до н.э. Интересно, что средневековые комментаторы в один голос толкуют прилагательное scaenicus (буквально «сценический») как obscenus, impudens (бесстыдный, непристойный); так же («modes obscènes») переводит Мейер (МеуегВ, 25).
18 Слово organis в этом предложении обычно переводят как «инструментами» (так и BowerB, и ГБ). Мне кажется, фразу Боэция нужно понимать более обобщенно: «пока музыка совершалась (производилась, делалась) более простыми средствами».
В этой связи следует заметить, что «инструментальной» (musica Instrumentalis) Боэций называет всю без исключения музыкальную гармонию (звуковысотную структуру) как произведение рук человеческих, будь то вокальная или собственно инструментальная музыка. В этом смысле средневековая наука и называла человеческий голос «естественным инструментом», а изготовленные человеком «материальные» инструменты — «искусственными».
19 Точнее, «на наиболее значимых» (для духовного здоровья граждан).
20 Средневековые комментаторы Боэция считают, что речь идет скорее не о ладах, а о родах, то есть Платон призывал использовать в обучении только мелодии диатонического рода. Это толкование кажется вполне обоснованным.
21 Гортин, или Гортина — древний город в центре Крита. Фалес из Гортина — легендарный (не случайно упоминание о его большом гонораре) учитель музыки, пред¬

272
Основы музыки
Книга I
положительно VII в. до н.э. О его деятельности в Спарте рассказывает Псевдо-Плутарх (Plut. Mus. 1134b, 1146с).
22 Достойное музыкальное образование юношей, находящееся под контролем государства.
23 Тимофей Милетский (450-360 до н.э.) — лирический поэт и кифаред, пожалуй, наиболее колоритная фигура среди древнегреческих музыкантов. О его неоднозначных инновациях пишут Павсаний, Псевдо-Плутарх, Афиней и др. Стихи и музыка Тимофея отличались изобразительностью, даже натурализмом. Лакедемонский декрет (см. чуть дальше) порицает его за новаторство в сочинении «Роды Семелы».
24 Текст в том виде, как он дан Фридляйном (eis Timotheus Milesius super eas, quas ante reppererat, unum addidit nervum), нуждается в небольшом исправлении — eas quas на eos quos. Все известные мне переводчики Боэция подразумевают такую коррекцию, хотя и не оговаривают ее.
Это место коррелирует с Mus. 1,20, где Боэций, ссылаясь на Никомаха, приписывает Тимофею добавление к уже имевшимся десяти струнам одиннадцатой. В так называемах «фрагментах Никомаха» (JanNE, 274) читаем, что заслуга Тимофея — в добавлении одной только одиннадцатой струны. Тех же одиннадцати струн держится Павсаний в своем «Описании Эллады» (Paus. Graeciae descr. Ill,12), однако, он говорит, что Тимофей добавил четыре струны к (классической) семиструнной лире, а Ферекрат (во фрагменте комедии «Хирон», публикуемом у Псевдо-Плутарха) утверждает, что на авангардистской кифаре Тимофея было двенадцать струн.
25 Бауэр: «capricious» (капризная, изысканная), Мейер: «plus complexe» (усложненная), Пауль: «mannigfaltigere» (более разнообразная), Герцман: «сложная».
26 В действительности, в Лакедемонском декрете не идет речи об изгнании Тимофея. Несмотря на очевидную строгость декрета, цари и эфоры в сущности требуют от кифареда лишь обрезать «лишние» струны (ужасная кара!). В связи с утверждением Боэция об «изгнании» возникает сомнение, действительно ли наш автор как следует прочитал Лакедемонский декрет или просто добросовестно его переписал. Подробней интерпретацию декрета см. в моей статье (ЛебедевСД).
27 Глосса: ...иЫ alii С, illi Р, ut alii Timotheoc, illi Timotheop (Gloss. 1,53). Разумеется, дело не только в конечном ротацизме, но этот текст, написанный на дорийском диалекте греческого языка, обнаруживает и многие другие особенности, присущие дорийскому диалекту. Бауэр предполагает, что возможно именно по этой причине Боэций не перевел декрет (BowerB, 185), а весьма приблизительно пересказал его своими словами. В этом издании я даю греческий текст следуя редакции Фридляйна, с небольшими изменениями.
28 Самое трудное для толкования место. По-латыни, faciens conversionem mutuam — тоже непонятно, о чем речь. Мейер: «...usant du changement antistrophique» (MeyerB, 25). Так же и аббат Бёрджесс («using the antistrophic change», контекст см. в сноске 30). Можно только гадать, что сотворил в реальности Тимофей. Думаю, сначала мелодию-модель в строфе он исполнил, как этого требовала традиция, вэнармоническом роде, а затем — при повторе в антистрофе — исполнил ее же, новхрома-

Книга I
Комментарий
273
тике; эта «возмутительная» метабола по роду (о возможности которой предупреждал еще Аристоксен), кажется, чрезвычайно рассердила спартанских судей.
29 Сочинение «Роды Семелы», не дошедшее до нас, по-видимому, было легендарным. См. о нем, например, у Афинея в «Пире мудрецов» (Athenaues. Deipnosoph. 352а). Напомню миф (по Аполлодору): Влюбившись в Семелу (дочь Кадма и Гармонии), Зевс разделил с ней ложе и пообещал ей, что сделает всё, о чем только она его ни попросит. Семела же настаивала на том, чтобы ее любовник явился к ней в своем подлинном обличье. Тогда разгневанный Зевс прибыл в брачный чертог на колеснице с молниями и громами и метнул перун. Семела, от страха упав замертво, родила шестимесячное дитя, а Зевс извлек дитя из огня и зашил его в свое бедро. В положенное время Зевс родил Диониса, распустив швы на своем бедре.
30 Приведем здесь распространенный (местами совсем не точный) латинский глоссированный перевод декрета, который стандартно воспроизводился в средневековых рукописях «Музыки» Боэция между греческих строк оригинала: «Quoniam Timotheus Milesius veniens in nostram civitatem, antiquam Musam spernens, autem eam propter septem chordarum citharam subvertens, modulationem multisonantiam introducens demolivit auditus iuvenum per multas chordas, etenim novam modulationem genuit et variam pro simpla et ordinata. Circumvenit in chromaticum (genus) constituens quod est mollius divisionem pro enarmonio (genere), faciens conversionem mutuam. Vocatus autem et in agonem Eleusine Matris, turpitudinem devulgavit fabulosa dispersione, enim Semelae (Liberi mater fuit) partus non undecies [sic!], novos doctrina edocuit. De talibus reges et rhetores accusabant Timotheum: addidit autem et undecimam chordam, extendens enim superfluas relicta septem (chordarum cithara). Hoc ut singularis civis gravis videns, timuit in Spartam inducere aliquid inconvenientium ultimarum (extentarum), ne forte perturbaretur gloria certantium» (текст no Gloss. Ill, 382).
Бауэр не дает своего перевода Лакедемонского декрета, а перепечатывает следующий перевод аббата Т. Бёрджесса (1821): «Whereas Timotheus, the Milesian, coming to our city, dishonours the ancient music, and, rejecting the melody of the seven-stringed lyre, corrupts the ears of our youth by introducing a variety of tones; and by the multiplicity of the strings, and the novelty of the melody, renders the music effeminate and complex instead of simple and uniform; composing his melody in the chromatic instead of the enharmonic, using the antistrophic change: and whereas being invited to the musical contests at the festival of Eleusinian Ceres, he composed a poem unbecoming the occasion; for he described to our youth the pains of Semele at the birth of Bacchus not with due reverence and decorum: be it therefore resolved, that the Kings and Ephori shall censure Timothaeus for these things, and moreover shall oblige him to retrench the superflous number of his eleven strings, leaving seven, that all men, seeing the grave severity of our city, may be deterred from introducing into Sparta any thing immoral, or not conductive to the honour of virtue» (цит. no: BowerB, 188).
31 Словом harmonia Боэций называет здесь энармонический род, мелодию в котором Тимофей «извратил», переведя ее в хроматический род. См. текст непосредственно предшествующего Лакедемонского декрета. Это место не понял Д. Чемберлен в своей

274
Основы музыки
Книга I
статье о философии музыки Боэция (ChamberlainPh, 81, fn.9). Любопытно, что цель воспитания спартанских юношей — virtutis modestia — описывается словом того же корня, что и пригодная для спартанцев музыка — modesta harmonia.
32 Спартанцы и, видимо, в целом — древние греки.
33 Spondeo succinente. По Е.В. Герцману, Пифагор «подпевал спондей». Это вряд ли. Анекдот о Пифагоре и нетрезвом юноше был распространен в позднеантичной литературе. Например, его пересказывают (до Боэция) по-латыни Квинтилиан (Inst, orat. 1,10.32), а на греческом — Секст Эмпирик (Adversus mathem. VI, 8) и Ямвлих (De vita Pythagor. 25.112). Параллельные места приводит сам Герцман (ГБ, 438-39). Нигде в этих текстах Пифагор не «подпевает», но велит (советует, уговаривает) изменить музыку, обращаясь к музыканту.
34 Тавромений (Tauromenum, Tauromenium) — город на восточном побережье Сицилии, неподалеку от вулкана Этна. Ныне Таормина (Taormina).
35 Перевод основан на исправлении текста Фридляйна: вместо subphrygii modi sono incitatum следует читать sub phrygii modi sono incitatum. Исправление К. Бауэра (BowerB, 5, fn.20). Cp. PizzaniSt, 162-163 (где обосновывается противоположное мнение).
36 Смена ритма / темпа / регистра (а не лада) привела к смене характера музыки. «Фригийская» музыка была связана с быстрым темпом и ломаным ритмом; «спондеическая мелодия» (τό σπονδείον μέλος), наоборот, предполагала размеренный ритм (как и стихотворная стопа того же названия), медленный темп и низкий регистр (см. дальше пересказ того же анекдота Цицероном). Может быть, менялся и лад, но о смене ладе в данном случае не сказано ни слова. «Спондеическая» музыка изначально имела ритуальный характер и использовалась греками при жертвенных возлияниях (в греческой эпиграфике в изобилии находится слово σπονδαύλης, что, по-видимому, обозначает профессию авлета, работавшего на таких возлияниях). Оксфордский комментатор глоссирует: ...Pictagoras precepit mutari modum frigii fractis saltibus currentem in spondeum tractim sonantem,— qui eciam in metris quidem pes et tractim sonans, a quo quidem sonus, qui olim fundebatur circa sacrifancium aures, spondeus dicitur, unde et hii, qui tuba canebant in sacrificiis, spondiales nominabantur. (COB, 98).
37 Книга Цицерона «О замыслах» (или «О намерениях») не сохранилась. Написанная уже после изгнания, она была задумана им как апология собственной политики и содержала разоблачения антигосударственных поступков Цезаря и Красса. Кроме Боэция, историю о Пифагоре и тавроменийских буянах (явно по тому же тексту Цицерона) пересказывает Августин Блаженный, в своем трактате «Против Юлиана» (V в.).
38 Sed ut aliqua similitudine adductus maximis minima conferam. Перед этой фразой Фридляйн ставит кавычки, будто с нее начинается цитата из Цицерона, но в трактате Августина этой фразы нет (Цитата из Цицерона у Августина начинается словами «Quia cum vinolenti adolescentes...»). Симптоматично, что средневековый комментатор также трактует эту фразу как ремарку самого Боэция (СОВ, 98-100). Бауэр дает такой

Книга I
Комментарий
275
перевод: «Я бы сравнил нечто тривиальное с чем-то важным, поскольку меня привлекает сходство между ними» (BowerB, 6). Связь этой фразы с последующим изложением без контекста остается непонятной.
Выражение magnis (или maximis) minima conferre «судить о малом по большому», то есть сравнивать что-то важное и значительное с незначительным и ничтожным — латинская идиома; встречается у Цицерона и у средневековых авторов.
39 Tibiarum etiam cantu. По русской традиции принято передавать tibia как «флейта», a tibicina как «флейтистка» и т.п. Флейтовые инструменты у греков существовали наряду с авлосами, но именно авлосы с их тысячелетней историей обладали социальнофункциональной и этической спецификой, которую описывают многие греческие и латинские авторы. Tibiarum —множественное число, возможно, указывает на двойной авлос (с двумя трубками); вряд ли — на ансамбль музыкантов (из дальнейшего текста ясно, что музыкант был один).
40 Mulieris pudicae — собственно «девственницы». Средневековые комментаторы Боэция, однако, полагают, что это сказано Цицероном в ироническом тоне. Например, СОВ: ...mulieris pudice, id est impudice — loquitur enim hic yronice ponens pudice pro impudice, quia yronica est tropus ostendens id per contrarium, quod conatur, id est quod vult. Другой комментатор (Gloss. I, 61) глоссирует слово pudicae так: per contra, id est meretricis (проститутки). Таким образом, вполне возможен перевод этого места: «девицы легкого поведения».
41 Gravitas canentis Бауэр переводит как «seriousness of the performer». Мейер похоже: «la gravité de l'instrumentiste». В своем переводе я ориентируюсь на Августинову интерпретацию анекдота (выделения мои — СУ1.): «...in expositione Consiliorum suorum Tullius posuit: quia cum vinolenti adolescentes tibiarum etiam cantu, ut fit, instincti, mulieris pudicae fores frangerent; admonuisse tibicinam, ut spondeum caneret, Pythagoras dicitur: quod cum illa fecisset, tarditate modorum et gravitate cantus illorum furentem petulantiam resedisse» (Contra Iulianum libri sex V, 5.23).
42 Цицерон (в пересказе Боэция) употребляет глагол canere неоднократно (tibiarum cantus... ut spondeum caneret... gravitate canentis). Напрашивающийся перевод всем известного глагола («петь») — не единственно возможный. Глагол canere употреблялся также в значении «играть на музыкальном инструменте», например, у Апулея (Florida III): Primus Hyagnis in canendo manus discapedinavit, primus duas tibias uno spiritu animavit и т.д. Боэций употребляет canere (и производные от него canendo, canens, cantus etc.) в трактате неоднократно и в разных смыслах, среди которых «звучание», или вообще — «музыка». Из контекста данного анекдота не следует, что авлет бросил свой инструмент и стал петь, да еще басом (gravitas canentis можно буквально перевести как «низкий регистр поющего»; в переводе Герцмана [ГБ, 302]: «Их бешеная разнузданность успокоилась из-за медленности мелодий и низкого пения»). Мне кажется, дело обстояло так: по совету Пифагора авлетка заиграла на все том же авлосе медленную и протяжную мелодию в низком регистре. «Спондеическая» музыка была ритуально-функциональной. Судя по рассказу Цицерона-Августина-Боэция, именно так — т.е. адекватно ритуальной функции и восприняли ее молодые люди.

276
Основы музыки
Книга I
Дионисий Галикарнасский (I в. до н.э.) свидетельствует: «Когда я читаю речи Исократа, <...> я становлюсь благостно серьезным (σπουδαίος), и дух мой успокаивается, как у людей, внимающих спондеической авлеме [т.е. мелодии, исполняемой на авлосе во время ритуального возлияния — СИ.] или дорийской энармонической мелодии» (Dion. Hal. Dem. 22).
43 Метимна, город на острове Лесбос, родина поэта Ариона.
44 Этот анекдот о музыкальном врачевании Терпандра и Ариона (оба жили ок. 700- 650 до н.э.) больше нигде не встречается.
45 Ишиас — болезнь седалищного нерва. Возможно, Исмений (авлет, III в. до н.э.) разработал нечто вроде аэробики для ревматиков. Никакой другой источник не повторяет этой истории про Исмения.
46 Перевод Бауэра «altered the mode of music-making» можно понять в том смысле, что исполнитель сменил технику композиции. Мне кажется, речь идет всё о том же, что и в случае с Пифагором и тавроменийцем, т.е. о смене характера музыки, обусловленной, в свою очередь, сменой ее ритма / темпа / регистра / лада и т.д. Параллельные места к этому анекдоту, повествующему о музыкальной терапии Эмпедокла (греческого философа и врача V в. до н. э.), в античных источниках не обнаруживаются.
47 Ср. Quintilianus. Inst. orat. 9.4.12; Censorinus. De die natali 12.4.
48 Образ жизни Демокрита казался его землякам, жителям провинциальных Абдер, очень странным. Временами тот без видимой причины разражался смехом, настолько суетными казались ему людские дела на фоне великого мирового порядка (отсюда прозвище «смеющийся философ»). Абдериты сочли Демокрита умалишенным и пригласили для его освидетельствования знаменитого врача Гиппократа. Чтобы доказать, что дух его в полном порядке, Демокрит предложил Гиппократу измерить его пульс, после чего справедливость восторжествовала.
О музыкальной терапии в латинской традиции до Боэция сходным образом говорил еще Цензорин. Однако, у Цензорина другие герои — Асклепиад (II—I вв. до н.э.) и Герофил (IV—III вв. до н.э.): «Врач Асклепиад возмущенный болезнью рассудок безумных с помощью консонанса (per symphonian) часто возвращал к его естеству. Герофил же, профессор в этом искусстве [медицины], говорит, что сотрясения вен (т.е. пульс — СЛ.) совершаются в соответствии с музыкальными ритмами».
49 Впервые в «Музыке» Боэция проходит термин proportio (греч. Λόγος), который я последовательно передаю как (числовое) отношение. В таком же смысле иногда употребляются слова habitudo, comparatio, ratio. Отношению (proportio) Боэций ясно противопоставляет пропорцию (proportionalitas), отношение отношений. Подробней о терминах proportio и proportionalitas в квадривиальных трактатах Боэция см. Введение (раздел «Проблема датировки»).
50 Первое в «Музыке» вхождение modulatio, проблемного и мучительного для перевода термина античной и средневековой науки. Перевод harmonica modulatio у Бауэра — «sets of pitches suitable for melody» — представляется мне громоздким. Мотивирован (BowerB, 7, fn.31) он трактовкой modulatio как «application of ratios to pitch and time». Мейер дает здесь «modulations harmoniques», a Марци — «le modulazioni armoniche».

Книга I
Комментарий
277
Таким образом, французский и итальянский переводчики уклоняются от толкования непонятного слова modulatio (и дериватов). Прилагательное агтопка здесь надо понимать нетерминологически: «ладный», «слаженный», «гармоничный» (в эстетическом смысле). Очевидно, что перевод harmonica modulatio как «гармоническая модуляция» (подобно переводу О. Пауля в XIX веке; РаиШ, 6) невозможен, хотя бы во избежание ассоциаций с модуляцией в мажорно-минорной тональности.
51 Помимо (общеизвестного) функционирования авлоса в культе Диониса авлос использовался также и в погребальных ритуалах. Об этом, например, см. у Плутарха в «Застольных беседах» (Quest, conviv. Ill, 8.657; в слегка отредактированном мною переводе Я.М. Боровского): «...горестная песнь (θρηνωδία) и погребальное звучание авлоса (επικήδειος αύΛός) сперва погружают душу в скорбь и вызывают слезы, но постепенно это настроение смягчается и переходит в грустное сожаление».
52 В поэтическом переводе Ю.А. Шичалина (включая контекст Стация, который Боэций опустил):
Тут застонала дуда — знак тягостный горя, которой
Рогом кривым провожать бестелесные маны привычно
В скорбном фригийском ладу.
Папиний Стаций (ок. 40-96 н.э.) — придворный поэт императора Домициана, подражатель Вергилия. Боэций приводит фрагмент из его поэмы «Фиваида» (6.120-121) на сюжет похода Семерых против Фив. Хотя наиболее распространенным (и преобладающим в иконографии) авлосом был инструмент с резонатором в виде прямой трубки (чаще даже двух), источник цитаты Боэция (Стаций), очевидно, имеет в виду «криворогий» фригийский авлос, который назывался έΛυμος (в ДГРС — «элим»). Афиней в «Пире мудрецов» (Deipnosoph. IV.84) пишет, что у него был «звук очень низкий; поэтому к нему прикрепляют рог, как к трубе колокольчик». О «криворогой тибии» (adunco tibia cornu) свидетельствует Овидий (например, дважды в «Метаморфозах» — Met. Ill, 533 и IV, 391) и другие античные авторы.
53 Ср. у Овидия (Trist. IV, 1.5): cur cantet vinctus compede fossor indocili numero, cum grave mollit opus (рудокоп, закованный в кандалы, напевает грубый напев, чтобы облегчить себе тяжелую работу).
54 Tubarum carmen. Средневековая и ренессансная трактатистика, для которой семантическое значение слова carmen несколько сузилось, часто использовала выражения tubarum clangor (от Исидора Севильского) и tubae clangor (отМарциана Капеллы), в аналогичном контексте.
55 Телесные движения, производимые человеком непроизвольно во время слушания песни, сравниваются с «движениями» в самой песне (motus cantilenae), то есть с ее ритмикой и метрикой (вполне аналогично тому, как нынешний джазовый музыкант отбивает такт, ритмично качая пяткой).
56 Речь идет о том, что душа сама по себе, без какой-либо помощи извне способна припоминать любую, некогда слышанную музыку. Герцман неожиданно переводит прилагательное memor (+ асе.: aliquod auditum melos) как «заботливый»: «Почему заботливая душа сама выбирает себе какой-либо мелос?» (ГБ, 303).

278
Основы музыки
Книга I
57 Бауэр дает здесь: «concerning influence of music». Мейер: «du pouvoir de la musique». Мне кажется, о значении музыки (в т.ч. и о влиянии ее на нравы людей) речь шла в предыдущей главе (которая по функции — Пролог к целому трактату). В I, 2 речь идет не о «влиянии» и не о «силе» музыки, а о значении, о смысле самого слова «музыка».
58 Боэций скромно не приписывает данную классификацию музыки себе, но ссылается на авторитет неких «ученых», от которых он якобы ее узнал. В той же условнориторической манере он подавал родство видов пропорций и форм государственного устройства в «Арифметике» (Arithm. II, 45; см. там мой комментарий). Несмотря на экивоки в адрес неназванных древних музыкантов, я присоединяюсь к ученой традиции, считающей автором троичной классификации музыки не каких-то неведомых древних, а самого Боэция.
59 «Мировая» — в смысле всемирная, универсальная. Имеется в виду пифагорейская концепция гармонии мира (гармонии сфер), наиболее яркие свидетельства которой находятся в «Государстве» Платона (эсхатологический миф об Эре) и в «Государстве» Цицерона (имею в виду знаменитый Сон Сципиона). Термин musica mundana в том же смысле, в котором его употребляет Боэций, встречается в комментарии на «Сон Сципиона» Макробия (Somn. 11,4). См. также комментарии к I, 27 «Музыки».
60 О непременной связи звука и движения (в том числе, о зависимости высоты звука от скорости движения) Боэций пишет в «Музыке» в следующей главе (I, 3.1-4) и еще раз — в начале IV книги (IV, 1.2).
61 Ключевым в этом логическом построении Боэция является словосочетание ratus ordo — как раз это и объединяет неслышимый для человека космос и «обычную», слышимую музыку. Трудно переводимое слово ratus означает одновременно и «исчислимый» (подлежащий расчету) и «осмысленный» (положенный разумом). Толкуя ratus как синоним rationalis, я пытаюсь охватить сразу и «смысл» и «расчет» (для пифагорейца это одно и то же).
62 После этого предложения Бауэр предполагает лакуну в оригинале. В начале главы как будто заявлены гармония мира, гармония элементов (стихий) и гармония времен года. Но вместо развития идеи о гармонии элементов мысль перескакивает сразу на времена года. Латинские отголоски платонического «тела мира» (греч. то τού κόσμου σώμα, лат. corpus mundi, corpus mundanum) можно найти у многих авторов, от Цицерона (Timaeus 15.10) до Макробия (Somn. II, 3-4).
63 К рассмотрению этого «натурфилософского» вопроса Боэций не возвращается.
64 О человеческой музыке см. «Федон» (86), «Законы» (653Ь), «Государство» (442-443) Платона, «О музыке» Пс.-Плутарха (1140b), «Гармонику» Птолемея (III, 5-7). Ср. у Цицерона в «Тускуланских беседах»: «Музыкант и философ Аристоксен говорит, что [душа есть] некоторое напряжение самого тела, — подобное тому, что в пении и в игре на инструментах называется гармонией (ipsius corporis intentionem quandam, velut in cantu et fidibus quae αρμονία dicitur); природа и облик всего тела возбуждают различные движения [души], как музыка (cantus) приводит в движение звуки. Так говорит он, держась своего ремесла; но эта идея существовала уже много раньше, а высказана и разъяснена Платоном» (Tuscul. Disp. 1,19-20). Под «много раньше» Ци¬

Книга I
Комментарий
279
церон имеет в виду пифагорейцев с их концепцией универсальной гармонии, которая обнаруживает себя (в том числе и) в единении души и тела человека.
65 Из рассуждения Боэция можно заключить, что Аристотель утверждал, будто рациональная (рассудочная, обладающая суждением) и иррациональная (безрассудная, не обладающая суждением) части души связаны гармонией, но это не совсем так. Аристотель лишь констатирует такое разделение и далее говорит, что обсуждение вопроса о том, разграничены ли эти части души «подобно частям тела и всему, что имеет части», либо «по природе нераздельны», выходит за рамки его исследования («Никомахова этика» 1,13.1102а). Очевидно, что Боэций слегка «подтянул» мнение Аристотеля для подкрепления «общепифагорейского» тезиса: гармония повсюду, в человеке же она наблюдается не только между душой и телом (см. предыдущий комментарий), но и между различным частями самой души.
66 Видимо, имеются в виду humores — четыре «элементарные» жидкости человеческого тела (черная желчь, флегма, кровь и красная желчь), которые старинные мыслители часто сравнивали с четырьмя стихиями мироздания (например, в VIII в. у Иоанна Дамаскина в труде «Точное изложение православной веры»; принятое название популярного в Средние века латинского его перевода — «Expositio fidei»).
67 Больше к теме «человеческой музыки» Боэций, увы, не возвращается.
68 Как в гидравлосе (водяном органе).
69 Например, кимвалы и другие тарелки. Возможно также: инструменты из гнутой меди. Пауль: «eherne Gefässe», Бауэр: «concave brass», Марци: «concavità bronzea», Мейер: «cavité en bronze».
70 Боэций не уточняет, к какому роду музыки относится пение человека — надо полагать, что к третьему. В средневековых трактатах различаются понятия «естественный инструмент» (instrumentum naturale) и «искусственный инструмент» (instrumentum artificiale). Вторыми называются музыкальные инструменты в нашем смысле, первыми — язык, зубы, нёбо, дыхательное горло, т.е. аппарат формирования человеческого голоса (например, у анонимного автора XIII в., известного у медиевистов как Псевдо-Фома Аквинский).
71 Бауэр: «consonance, which governs all setting out of pitches» (консонанс, который охватывает всё распределение звуков по высоте?).
72 Боэций различает sonus и vox. И то и другое может быть переведено на русский язык как «звук». Различие между этими важными терминами можно описать примерно так. Sonus — (1) звук, понимаемый, так сказать, как физическое явление; sonus не обязательно высотно определен; (2) (всякое) звучание, «звучность». Vox — (1) высотно определенный звук (то, что по-английски — «pitch»), причем не обязательно произведенный человеческим голосом (также звук на музыкальном инструменте); (2) человеческий голос. Словом sonus Боэций скорее передает греч. ψόφος, словом vox (в первом значении) — греч. φθόγγος. Впрочем, он употребляет sonus и vox терминологически непоследовательно, не в пример строгой пифагорейской классификации звука у Адраста (HillerTh, 50) и у Птолемея (в пересказе Боэция — в Mus. V, 5-6). Другое (частное) определение sonus у Боэция см. в Mus. I, 8.

280
Основы музыки
Книга I
73 Постпозитивное -que здесь умышленно передано через «или».
74 Общее определение звука у Боэция — пожалуй, точный перевод из «Гармоники» Никомаха (Harm. 4): Καθόλου γάρ φαμεν ψόφον μέν είναι τιλήξίν άέρος αθρυπτον μέχρι ακοής (άθρυπτος буквально — нерушимый, непогибающий). Это расхожее у поздних греков определение звука-ψόφος восходит к Аристотелю («О душе» II, 8). Необходимое уточнение про неугасимость воздушной волны на пути до слуха у Аристотеля дано так: «Сам по себе воздух беззвучен, потому что он легко рассеивается. Но когда ему не дают рассеяться, само его движение дает звук» (Arist. De anima, 420а 7-9).
75 Не совсем понятно, к чему отнести in his. Прототипа у Никомаха и средневековых глосс к этому in his нет. Бауэр подставляет «in these numerous sounds». Поскольку речь только что шла о движениях, то скорее всего, имеются в виду именно движения струны (вибрация). Как мне представляется, мысль такова: не следует думать, что многочисленные движения струны находят свое выражение в одном-единственном сотрясении воздуха.
76 Turbo Бауэр переводит как «top» (кудель?), Мейер как «fuseau» (веретено), Марци как «trottola» (юла, волчок).
77 Концепцию единого звука, состоящего из множества отдельных звуков, не дифферренцируемых слухом, Боэций приписывает Никомаху (см. Mus. I, 31), хотя ни в одной из сохранившихся работ Никомаха этого нет. Порфирий в комментарии к «Гармонике» Птолемея (I, 3) развивает очень похожую теорию (вплоть до примера с вращающимся конусом), излагая ее по трактату «Введение в музыку» некоего Гераклида (автора I в. н.э.). Гераклид, ссылается на Ксенократа, а тот, в свою очередь, непосредственно на Пифагора. Очевидно, что существовала некая общепифагорейская теория возникновения звука, ко времени Гераклида и Никомаха ставшая общественным достоянием.
78 Об относительных количествах подробно см. Arithm. I, 21.
79 Унисон античная теория не считала консонансом.
80 Речь может идти не только о числах, но и о материальных вещах (например, см. дальше о весе молотков в знаменитой легенде об изобретении музыки Пифагором). Для лучшего понимания этой и дальнейших «технических» глав Боэция читателю стоит ознакомиться с предшествующим трудом Боэция — его «Арифметикой».
81 Этот род неравенства называется «сверхчастным» (superpartiens).
82 Этот род неравенства называется «кратно-сверхчастичным» (multiplex superparticulare).
83 В терминологии пропорций четвертого рода («кратно-сверхчастичного») я следую чтению Бауэра, который обоснованно мотивирует такое чтение (duplex sesquialter вместо duplex supersesquialter и т.д.) рукописной традицией и единством учения Боэция (см. Arithm. I, 29).
84 Большее число представляет собой удвоенное меньшее число и еще 2 части: (3 X 2 + 2) : 3.
85 Т.е. утроенное наименьшее + 2 части (3 х 3 + 2) : 3.
86 Arithm. I, 21-31.

Книга I
Комментарий
281
87 Подразумевается, конечно, признание Птолемеем кварты с октавой (ундецимы) консонансом, вопреки пифагорейцам, которые считали сверхчастные отношения непригодными для консонансов, по причине их удаленности от равенства. Птолемей прямо пишет: «Октава с квартой [сопоставляется] с отношением восемь к трем, складывающимся из двукратного и сверхтретного. И нас уже не будет смущать то, что это отношение — не сверхчастичное и не кратное, так как мы ничего такого и не предполагали» (Harm. I, 7). К сожалению, никакой теоретической рефлексии этого тезиса у Боэция нет. Четырежды (в I, 6; I, 32; II, 18; II, 27) он повторяет пифагорейский постулат о «немузыкальности» сверхчастных (и кратно-сверхчастных) отношений, а в Пятой книге (V, 9) просто приводит аргументацию консонанса ундецимы по Птолемею, без каких-либо комментариев.
Замечу также, что помимо Птолемея консонантной ундециму считал (позже) Гауденций, которого, очевидно, Боэций не читал. Гауденция знал ближайший соратник Боэция Кассиодор, который также назвал ундециму консонансом, впрочем, допустив в ее теоретическом описании элементарный просчет. Историю античных трактовок ундецимы детально разбирает Андре Барбера (см. BarberaCE, особенно рр. 207-208).
88 В ряде рукописей вместо coaptatione стоит comparatione. В таком случае перевод: ...лучше сравниваются друг с другом...
89 Боэциево слово unitas представляет собой перевод древнегреческого μονάς, не только единица, но и монада, простая сущность. Число в «Арифметике» Боэция описывается как «собрание единиц, или количественная груда (куча), рожденная из единиц». См. в Приложении I латинский текст и русский перевод Arithm. I, 3.
90 Римский фут = 29,57 см.
91 4/3 меньше, чем 3/2. Чем больше знаменатель сверхчастичного числа, тем меньше величина данного отношения.
92 ...divisionem singulis ас simplicibus partibus operatur, буквально — совершает деление одиночными и простыми частями.
93 В переводе у Бауэра «admits», будто бы это перевод оригинального admittit. Перевод Мейера следует оригиналу: «ne soustrait pas de parties singulières». Марци вообще не переводит обсуждаемый глагол.
94 См. Mus. V, 7.
95 Эта дефиниция звука, возможно, взята из Никомаха (Harm. 12), но уходит в глубь веков, к Аристоксену. Точно в таком виде, как у Боэция, ее воспроизводит, например, Порфирий (в комментарии к гл. 4 Первой кн. «Гармоники» Птолемея). Смысл дефиниции таков: музыкальный звук — не просто высотно определенный (в отличие, скажем, от волчьего воя или мычания коровы), но он еще вписан в мелос, «соразмерен» мелосу. Музыкальный звук — мельчайшая частица, элемент мелодии, понимаемой как (музыкально-)логическая и числовая структура (см. Mus. II, 20). Бауэр (BowerB, 16) дает здесь длинный и толковательный перевод: «Sound is a melodic instance of a pitch; it is melodic in that it functions within composition in a given tuning» («Звук — это мелодическое воплощение высоты; он мелодичен в том смысле, что

282
Основы музыки
Книга I
функционирует внутри композиции, в данном строе».). И комментирует свой перевод так: «Фраза „в данном строе" (in unam intensionem) обозначает музыкальный контекст мелодического звука; т.е. он должен быть определенной высоты и функции в рамках рода и системы» (там же). В этой трактовке смущает перевод латинского слова intensio английским «tuning»; это наталкивает читателя на мысль об акустическом строе, либо настройке музыкального инструмента, чего в этом общепринятом и давно разъясненном греческом определении, закрепленным Боэцием по-латыни, просто нет.
96 Общее определение звука (sonus) Боэция (по Никомаху) см. в Mus. I, 3.
97 Приводя эту этимологию, Боэций повторно обращает внимание читателя на специальную трактову термина «звук», понимаемого как элемент музыкальной речи. Глагол φθέγγεσθαι означает, впрочем, не только «говорить», а вообще «издавать (любой) звук», «звучать».
98 Определения интервала, консонанса и диссонанса в этой главе перекликаются с Никомаховыми (см. Harm. 12), хотя и не копируют их точно. Например, у Никомаха о диссонансе сказано так: διάφωνοι δε, όταν διεσχισμένη πως καί άσυγκρατος ή εξ άμφοτέρων φωνή ακούηται. (Диссонансы же — это когда от [соударения] обоих слышен как бы [один] расщепленный и неслитный звук). Мне представляется, что у Никомаха речь идет об одновременном взятии звуков, т.е. слух оценивает этос вертикального интервала.
99 Об этом уже шла речь во введении к «Музыке» (см. 1,1.1-3).
100 Впервые анекдот о Пифагоре и кузнечных молотках регистрируется у Никомаха. Он сохранился в его кратком руководстве по гармонике (Harm. 6). Оттуда, возможно, он был заимствован Адрастом, Цензорином, Ямвлихом (дословно), Гауденцием, Макробием, Фульгенцием, наконец, Боэцием.
Сличение греческого текста Никомаха и латинского текста Боэция показывает, что Боэций не пользовался текстом Никомаха напрямую (то есть история, рассказанная Боэцием, не перевод Никомаха). В греческом тексте, например, чрезвычайно подробно расписан домашний эксперимент Пифагора с натягиванием струн гирями, но ни слова не сказано о чашках, по которым Пифагор радостно ударял металлическим прутиком (а до этого — еще в кузнице — раздавал приказы работящим кузнецам; об этом Никомах тоже молчит). К тому же Никомах описывает четыре молота, а в истории Боэция их пять, и т.д. Источник (греческий или латинский), из которого Боэций почерпнул свой вариант анекдота о Пифагоре, точно неизвестен. Иллюстрацию к изобретению Пифагора см. в Приложении II.
101 Momenta regularum — трудное для перевода словосочетание, особенно с учетом того, что и дальше в этой главе неоднократно встречается слово momentum. В отсутствие греческого прототипа Бауэр предполагает, что momentum Боэция — это перевод (такого же многозначного) греческого слова ροπή.
102 Из текста Боэция непонятно, ведется ли счет молоткам по порядку от того, который издает самый верхний звук, к тому, который издает самый нижний звук, или на¬

Книга I
Комментарий
283
оборот. Боэций не употребляет ни разу слов «больше» (по весу) либо «меньше» (по весу). Поскольку самый тяжелый молоток должен по обыденной логике издавать самый низкий звук, будем считать, что автор описывает последовательность звуков снизу вверх, а весов (тяжестей) — от самого тяжелого молотка к самому легкому. Например, так: c-f-g-c' (и соответственно, 12:9:8:6).
103 Редчайший случай, когда вместо «диссонантный» Боэций использует слово inconsonans, которое я передаю здесь как «неблагозвучный».
104 Наименьший по объему, самый узкий.
105 Точнее, «эпитритное». Поскольку в трактате sesquitertia и epitrita используются как полные синонимы, нет смысла давать для них разный перевод.
106 Здесь впервые в трактате появляется грецизм symphonia (греч. συμφωνία). Поскольку в трактовке Боэция он аналогичен латинскому consonantia (особенно это заметно в «Арифметике»), я не буду вводить в свой перевод какие-либо «симфонии».
107 Большая ложка, или половник, которым греки разливали вино.
108 Пропорции, вычисленные Пифагором, применимы к длинам труб и к длинам струн, но, увы, не сработают, если струны натянуть гирями описанного веса — частота колебания струны пропорциональна не натяжению струны, а квадратному корню из этого натяжения. На ошибку первым указал Винченцо Галилей в своем труде «Discorso intorno all'opere di Messer Gioseffo Zarlino da Chioggia» (Firenze, 1589, p.104): для того чтобы 2 одинаковые по длине, толщине и качеству («d'ugual lunghezza, grossezza, е bontà») струны произвели определенный музыкальный интервал, массы привешиваемых к этим струнам грузов должны быть квадратами отношения, соответствующего этому интервалу, а вовсе не аналогами того же самого отношения; например, для отношения квинты 3:2 массы грузов должны соотноситься как 9 к 4, для кварты 4:3 — как 16 к 9 и т.д.
Птолемей, как и Никомах, знает историю о молотках и подвешивании грузов (хотя и не называет конкретно Пифагора первооткрывателем консонансов), но не фиксирует математическую ошибку. По его мнению, эксперимент со струнами, чашками, дисками и т.д. несостоятелен из-за принципиальной невозможности соблюсти одинаковость материала и формы сравниваемых звучащих тел: «Что же касается привешиваемых к струнам грузов, то, поскольку струны не бывают совершенно одинаковыми, <...> невозможно будет сопоставить отношения грузов с возникающими благодаря им звучаниями: более плотные и более тонкие струны при тех же самых натяжениях издают более высокий звук. <...> даже если предположить <...> равную длину струн, больший груз, из-за большего натяжения, будет увеличивать длину прикрепленной к нему струны и делать ее более тонкой, так что и из-за этого разница в звуках будет не совпадать с отношением грузов. То же относится к звукам, возникающим от удара — тем, что люди извлекают из разновесных сфер или дисков, а также из пустых и наполненных чаш, так как и в этих вещах очень трудно соблюсти одинаковость и в материалах, и формах» (Harm. I, 8; перевод В.Г. Цыпина). Интересно, что Боэций, который конспектировал «Гармонику» Птолемея, ничего об этом рассуждении не пишет.

284
Основы музыки
Книга I
Также справедливо замечено, что высота звука при ударе молота о наковальню не зависит от тяжести молота. Чтобы Пифагор услышал четыре разных звука, в действительности нужно было бы, чтобы в кузнице стояло четыре наковальни разного размера (при прочих равных условиях, как, например, плотность материала) и по каждой из четырех ударяли (эту аналогию легко себе представить, если вспомнить современные оркестровые колокола).
109 Боэций играет с многозначным словом regula (возможно, перевод греч. κανόνιον или γνώμων): 1) (деревянная) линейка; 2) правило (канон). Любопытно, что в тексте Никомаха (см. Harm. 6) в аналогичном контексте употребляется не канон, а «непогрешимый гномон» (греч. άνεξαπάτητος γνώμων).
110 Mus. IV, 5-12.
111 T.e. размечаем местоположение тех или иных звуков на плоскости монохорда.
112 Имеется в виду недостоверное свидетельство (dubium indicium, буквально — сомнительное доказательство) органов чувств.
113 Учение о видах движения человеческого голоса восходит к «Элементам гармоники» Аристоксена, которого Боэций здесь не упоминает. Непосредственным источником Боэция в этой главе, скорее всего, является Никомах (Harm. 2). Последний, рассматривая хрестоматийную теорию речевого и музыкального звука, тоже не упоминает Аристоксена и, более того, ошибочно приписывает эту дифференциацию пифагорейцам.
114 Греч, «непрерывный», «слитный», «сплошной».
115 Греч, «прерывистый», «дискретный», «интервальный».
116 Intervallo suspensus. Боэций почему-то переводит δι&στηματικός (т.е. членящийся на интервалы, с различимыми на слух интервалами, дискретный) как suspensus — по-латыни это и «парящий», и «колеблющийся», и «сдержанный». Еще один возможный (и напрашивающийся) вариант перевода — «размеренный интервалами».
117 Стихи читались нараспев, поэтому к ним «сплошной звук» неприменим. См. далее в этой главе третий вид голоса, выделенный философом Альбином.
118 Слово modulus (а не более привычное modus) используется здесь единственный раз в трактате. Бауэр описательно переводит его как «sequence of intervals forming a tune», выделяя один из (многочисленных) возможных переводов слова modus.
119 Промежуток (diastema) — не в смысле полной тишины, паузы.
120 Кроме этого места, есть еще одно упоминание Альбина в Mus. I, 26. В своих комментариях к книге Аристотеля «Об истолковании» Боэций ссылается на Альбина как на автора трудов о диалектике и геометрии (впрочем, он пишет, что не смог отыскать его трудов о диалектике, как ни пытался). Любопытно, что младший современник Боэция Кассиодор в своем кратком перечне выдающихся музыкальных писателей древности упоминает Альбина в одном ряду с Апулеем, Цензорином и Августином и... не упоминает Боэция: «...среди латинян же муж знаменитый Альбин написал краткую книгу о музыке. Я припоминаю, что брал ее в Римской библиотеке и внимательно читал» (Cass. Inst. V, 10). Возможно, это лицо идентично знаменитому платонику Альбину, жившему во II в. н.э. (его лекции в Смирне слушал в 149-157 гг.

Книга I
Комментарий
285
Гален), автору учебника платоновской философии (переведен на русский язык Ю.А. Шичалиным; опубликован в книге: Платон. Диалоги. М., 1986) и трактата «Введение к диалогам Платона».
121 Аристоксен выделял два вида голосового движения — слитное и интервальное (дискретное). Боэций со ссылкой на Альбина добавляет третий («средний»), который проявляет себя в чтении эпических стихов, как сказали бы сейчас, «чтение нараспев», или даже «мелодекламация». Деление голоса на три вида в латинской традиции встречается еще у Марциана Капеллы: Omnis vox in duo genera dividitur, continuum atque divisum. Continuum est velut iuge colloquium, divisum, quod in modulatione servamus; est et medium, quod in utroque permixtum ac neque alterius continuum modum servat nec alterius frequenti divisione praeciditur, quo pronuntiandi modo carmina cuncta recitantur. (De nupt. IX.937).
122 Соблазнительно перевести здесь segnior и (выше) tardior как «замедленный». Бауэр переводит segnior как «slower», Мейер как «plus nonchalant», Марци как «abbastanza lenta». Но в прототипах (у Аристоксена, Никомаха) тип музыкального (размеренного в интервалах) голоса никак не связывается с темпом! Да и странно было бы ограничить музыку медленным темпом (не говоря уже о том, что и речь может быть весьма замедленной).
123 Интересно, что здесь Боэций употребляет необычный (в сочетании с мелодией, пением) глагол decurrere — букв, сбегать (например, вниз с горки). Видимо, это необычное словоупотребление должно засвидетельствовать пошаговый, интервальный, «ступенчатый» характер мелодирования, в отличие от «текучей» речи. По отношению к речи в предыдущей главе Боэций употреблял percurrere (букв, «пробегать») — другой латинский глагол, но с тем же корнем.
124 Т.е. определяет, насколько высоко человеческий голос может подняться или насколько низко он может опуститься.
125 Парадоксальное словосочетание maior undula — букв, «бо́льшая маленькая волна».
126 Выражение disciplina armonicae inventionis, буквально — «учение об изобретении гармоники», представляет некоторую проблему для перевода. Пауль переводит буквально «Lehre von der harmonischen Erfindung», Марци (без каких-либо комментариев) интерпретирует как «disciplina che studia la composizione armonica» (дисциплина, которая изучает гармоническую композицию). Бауэр и вслед за ним Мейер дают концептуальный комментарий: «Боэций использует слово из лексикона риторики — inventio — чтобы описать систематическую музыкальную мысль (что это такое, мне решительно непонятно — СЛ.). В риторическом дискурсе inventio используется, чтобы определить тему и ход доказательств; поэтому я перевел armonicae inventionis disciplina как „discipline of music theory" [учение о гармонической теории]» (BowerB, 22).
127 В переводе терминов для родов мелоса я стараюсь следовать оригинальному тексту. Диатонический род Боэций обозначает либо полностью (genus diatonicum) либо кратко, в виде субстантивированной латинизации греческого прилагательного — diatonum. Традиция обозначать роды мелоса существительными сложилась в Риме

286
Основы музыки
Книга I
задолго до Боэция. Еще у Витрувия (De archit. V, 4) читаем: «Genera vero sunt modulationum tria: primum quod Graeci nominant harmoniam, secundum chroma, tertium diatonon» (Родов мелоса три: первый греки именуют гармонией, второй хромой, третий диатоном). «Гармония» в значении энармонического рода встречается в «Музыке» Боэция только единожды. В других местах книги повсюду — genus enarmonicum (энармонический род) или субстантив — enarmonium (энармон).
128 Боэций намечает логику рассмотрения (и генезис) звукоряда — от тетрахордов к Полной системе. Слово nervus, которое в моем переводе передано как «струна», можно понимать и шире — как ступень звукоряда, или «звукоступень».
129 ...vel diapente vel diatessaron vel tonum consonantiam reddit. Очевидно, неуклюжее или немного небрежно построенное выражение (следовало бы сказать, ...vel diapente vel diatessaron consonantiam, vel tonum reddit). Из нынешней конструкции неумолимо следует утверждение консонантности целого тона, которое вступает в противоречие с только что приведенной четкой дефиницией целого тона как не-консонанса. Бауэр (р.25) и Марци (р.305) никак не комментируют странную фразу о консонантности тона, а Мейер (р.57) и вовсе пропускает это место в своем переводе. Только Оксфордский аноним, прилежно толкующий Боэция, не пропускает этого места. Вот что он пишет: «О тоне как о консонансе можно сказать в том же смысле, в каком говорят о точке по отношению к количеству, поскольку она — начало количества; от точки начинается непрерывное количество и от целого тона — консонанс. Дело в том, что Боэций присоединяет тон к консонансам, как будто это консонанс, хотя он таковым не является» (СОВ, 226). Похоже, что это — единственно возможное объяснение, и оно хорошо коррелирует с «Арифметикой» (Arithm. II, 54), где Боэций называет целый тон «общей мерой всех музыкальных интервалов» (в оригинале «Арифметики» у Никомаха сверхосминное отношение определено как μέτρον κοινόν πάντων των έν μουσική Λόγων), и добавляет (от себя) фразу: «ведь этот интервал наименьший».
130 Т.е. консонанс, соответствующий тройному (3/1) отношению.
131 Т.е. консонанс, соответствующий четверному (4/1) отношению.
132 Средневековые комментаторы толкуют этот пассаж так, что интервалы могут быть расположены по степеням арифметической и музыкальной прогрессии. В арифметическом ряду они естественно располагаются как 1:2:3:4, в музыкальном же — в обратной последовательности (4:3:2:1), т.е. от меньшего совершенства (кварты) до максимального (октавы).
133 Число 17 — арифметическое среднее, но для равномерного деления тона необходимо равенство не разностей, а частностей. В этом именно смысле 17 не делит тон пополам (16:17 не равно 17:18).
134 «Первые числа» (primi numeri) — наименьшие целые числа несократимой дроби.
135 Я перевожу здесь «целочисленный», дабы отличить предмет этой главы от III, 8, где «точный полутон» (integrum semitonium) — попытка расчета «истинной половины тона», с использованием схизмы и диасхизмы.
136 Это место у Фридляйна кажется Бауэру неверным. Вместо «неполного» он, опираясь на чтение ранних манускриптов, предлагает читать «полного». При этом Бауэр

Книга I
Комментарий
287
обращает внимание на заявление Боэция в начале 1,17, где автор обещает показать, в каких числах выражается именно полный полутон. В катавасии с «полным» и «неполным» полутоном виноват сам Боэций, который понимает эти прилагательные то в эстетическом (достаточность полутона для построения кварты), то в математическом (точная половина целого тона 9/8) смысле. Оставляю в неприкосновенности чтение Фридляйна, так как и без этой поправки Бауэра совершенно ясно, что речь в 1,17 снова идет о невозможности разделить целый тон на два равных интервала (см., например, вывод в конце этой главы), и реально «звучащие» пифагорейские полутоны (лимма, апотома) никак не попадут посередине целотонового промежутка.
137 13x8 = 104; 243:2*121.
138 Словосочетение «меньший полутон» (или «малый полутон», semitonium minus) Боэций применяет здесь (и далее везде в трактате) к отношению лиммы, малого пифагорейского полутона. В конце предыдущей главы тем же термином (semitonium minus) был назван полутон 18/17. Из этого непоследовательного словоупотребления читатель может сделать ложное допущение, что Боэций приравнял 18/17 к 256/243. Только значительно позже (в III,13, где уточняется математическое значение малого полутона) становится очевидно, что малый полутон Боэций не считает равным 18/17.
139 В интервальной модели октавы оба полутона меньшие. Два таких полутона (две лиммы) в сумме меньше целого тона.
140 Один — в интервальной модели кварты, другой — в интервальной модели квинты.
141 Какие именно «музыкальные консонансы» (consonantiae musicae) имеет в виду Боэций, не совсем понятно. Из контекста можно заключить, что и тон и полутон — «музыкальные консонансы», что не соответствует его же собственному учению.
142 См. I, 33 и всю книгу III.
143 Цель нижеследующего обзора — вовсе не в исторической достоверности «изобретателей музыки», а в том, чтобы показать генезис Полного звукоряда греков.
144 Ни в одном из сохранившихся трудов Никомаха музыкальной историографии подобной той, что присутствует у Боэция, нет. В его краткой «Гармонике» (Harm. 5) подробно обсуждается лишь, как Пифагор к уже имевшимся семи добавил восьмую струну (см. ниже). Возможно, Никомах описывал историю обретения Полной системы в не дошедшем до нас тексте. Кое-что об этом можно найти в так называемых фрагментах Никомаха (10 небольших анонимных текстов, которые считаются обрывками его большой «Гармоники»). Первый фрагмент Никомаха таков:
«Говорят, что Гермес придумал сделать лиру из [панциря] черепахи и, снабдив ее семью струнами, передал науку [игры на лире] Орфею. А Орфей научил Тамирия (Фамира) и Лина. Лин [научил] Геракла, которым и был убит. Он также научил Амфиона Фиванского, который построил семивратные Фивы по образу семиструнной лиры. После того как фракийские женщины убили Орфея, его лира была брошена в море. Ее вынесло на берег возле лесбийского города Антиссы. Рыбаки нашли лиру и принесли ее Терпандру, который увез [ее] в Египет. Терпандр старательно изучил

288
Основы музыки
Книга I
[ее] и показал египетским жрецам, утверждая, что он ее первооткрыватель. Вот почему говорят, что Терпандр изобрел лиру, а ахейцы унаследовали [ее] от Кадма, [сына] Агенора. Такова молва» (JanNE, 266).
Ниже по тексту (там, где идет речь о Профрасте, Гистиэе и Тимофее) см. также мой перевод Четвертого фрагмента Никомаха.
145 Музыкально-звуковая система состояла из четырех ступеней, расположенных не на соседних ступенях звукоряда, а по звукам, определенным главными консонансами: октавой, квинтой и квартой. Nervus здесь и далее можно понимать и буквально (струна) и как муз.-теоретич. термин (ступень, звукоступень).
146 Например, D-G-a-d.
147 Четыре струны (ступени) «лиры Орфея» уподоблены четырем естественным стихиям, или «элементам» (огонь, земля, воздух и вода).
148 Этот Боэциев термин не встречается у других древних авторов. Из историографии Боэция трудно судить наверняка, что он имеет в виду под «квадрихордом»; думаю, что это — частичный перевод, или, так сказать, недопереведенное греческое слово τετράχορδον. Каким образом «лира Орфея» превратилась в поступенный звукоряд (гамму) из 4 звукоступеней (тетрахорд), этот решающий поворот в истории Боэций не описывает.
149 Легендарный Тореб был сыном Атиса (Атия), столь же легендарного царя лидийцев. Ксанф Сардский (автор истории царства, V в. до н.э.) в пересказе Дионисия Галикарнасского «говорит, что у Атиса были сыновья Лид и Тореб, и оба, поделив между собой отцовскую власть, остались в Азии. Каждому из народов, которыми они правили, они дали свои имена. От Лида, говорит он, произошли лидийцы, от Тореба — торебы» (Antiquitates Rom. 1,28.2). Плутарх (De mus. 1136c) упоминает Тореба наряду с великим Пиндаром как первооткрывателя «лидийской гармонии» (λύδιος αρμονία), т.е. лидийского вида октавы.
150 Мифологический музыкант из фригийского города Келены, отец сатира Марсия. По Афинею (Deipnosoph. 14.624b, со ссылкой на Аристоксена), Гиагн изобрел «фригийскую гармонию» (φρυγιστί αρμονία). Обычно же в заслугу Гиагну ставится то, что он научил греков игре на авлосе. Апулей во «Флоридах» (гл. III) считает Гиагна изобретателем многоголосия (!), или во всяком случае, техники игры на двойном авлосе: «Гиагн был первым, кто в ходе музицирования (in canendo) развел руки, первым, кто оживил два авлоса одним дыханием, первым, кто воспользовался отверстиями слева и справа (т.е. и левой и правой рукой — С.Л.), высоким звоном и низким гудением, [первым] замешал музыкальную гармонию (concentum musicum)».
151 Заслуга изобретения семиструнной лиры приписывается поэту и музыканту Терпандру (по преданию родился в Антиссе на Лесбосе) многими древнегреческими источниками. См. подробней BowerB, 31, fn. 104.
152 Этим эпитетом («высший», «верховный») именует Зевса уже Гомер.
153 Словом (эпитетом) ύπατος знаменитый историк (II в. до н.э.) Полибий (позже Плутарх, Дионисий Галикарнасский и др.) называл римских консулов. Этимологически латинское слово consul никак не связано с греческим ύπατος.

Книга I
Комментарий
289
154 По поводу ассоциации струн и небесных тел см. дальше, в I, 27.
155 Передаю это слово с греческого — παρυπάτη. Другая возможная передача этого слова, по латинскому слову parhypate — «паргипата». В средневековых текстах встречаются оба написания (parhypate и parypate).
156 Боэций хочет сказать, что греческое слово λι.χανός (букв, «облизываемый», [подразумевается] палец) происходит от глагола Λείχω (облизывать). Мейер в своем комментарии (МеуегВ, 63, fn. 49) иронизирует, полагая, что Боэций этимологически связывает греческое слово с неким латинским прототипом.
157 См. мое примечание 42 по поводу перевода глагола canere к 1,1 (история о Пифагоре в пересказе Цицерона). Бауэр: «when playing». Герцман: «Поскольку в музыке указательный палец («лиханос») обнаруживался на струне...» Мейер (неправильно): «en chantant».
158 По-греч. μέσος — находящийся в середине, средний, центральный.
159 Греч, νήτη (подразум, χορδή) — стяженная форма прилагательного (ж.р.) νεάτη. Греч, νέατος — крайний (последний); низший. «Низшая» эта струна в том смысле, что она наименьшая, самая короткая по длине (и соответственно, самая высокая по звучанию). По другому мнению, низшей она называется потому, что для кифареда она находится (позиционируется) ниже всех других струн.
160 Греч, τρίτος — третий.
161 Загадочный Ликаон Самосский в античной литературе нигде не встречается. В «Гармонике» Никомаха изобретателем восьмой струны звукоряда назван сам Пифагор, что несколько подрывает тезис о Никомахе как основном источнике для «Музыки» Боэция (на это обращает внимание А. Карпати; см. KarpatiTC, 14). Чтобы найти хоть какое-то оправдание этой очень странной отсылке, Бауэр (BowerB, 32-33) развивает идею, будто греческое слово Λυχάων — это то же, что этрусское lucumo («божественная сила» и оно же — «безумие»). В качестве «доказательства» Бауэр берет строку из письма Авсония к Теону {...anti су г aeve bibas Samii Lucumonis acumen — «а в Антикире ты упьешся остротой ума Лукумона Самосского»; в другой редакции, однако, так: anticipesque tuum Samii Lucumonis acumen — «а остротой ума ты превзойдешь Лукумона Самосского»); он полагает, что имя «Лукумон» в поздней античности было символическим культовым именем Пифагора. Любопытно, что в XVII в., в своих комментариях к Авсонию (Ausonii <...> opera <...> Jacobus Tollius recensuit <...> et notis <...> illustravit. Amsterdam, 1675, p. 584) Я. Толлиус сходным образом пишет: «...несомненно, Авсоний загадочно называет словом Лукумон какого-то великого мужа, сведущего в тайном учении».
162 Наиболее типичное число струн на кифаре (по иконографии) — семь. После добавления восьмой струны получилось два раъединенных тетрахорда, в диатонике: e-f-g-a I h-c'-d'-e'. Изобретение Пифагором объединения смежных тетрахордов через разделительный тон (греч. διάζευξις) позволило извлекать на кифаре все три совершенных консонанса, «самую совершенную гармонию». Также открытие Пифагора означало рождение «самой греческой», дорийской «гармонии» (т. е. дорийского вида октавы).

290
Основы музыки
Книга I
163 Другие общепринятые термины — слитное и раздельное сочетание тетрахордов.
164 Считаем дважды: 1) гипата-парипата-лихана-меса (ПТТ); 2) меса-парамесапаранета-нета (ПТТ). Речь о слитном соединении тетрахордов.
165 Способ соединения тетрахордов, при котором смежные звуки разделяются целым тоном, Ю.К. Арнольд (еще в 1880 году) именовал по-русски словом «диацевксис» (АрнольдТ, 15), а Ю.Н. Холопов — словом «дьядзевксида». Насколько мне известно, ни первый ни второй русифицированный термины в обиход нашей науки не вошли.
166 Профрасту приписывается заслуга в добавлении девятой струны также в так называемом Четвертом фрагменте Никомаха: «Все, кто добавлял струны к восьмиструнной лире, были движимы не математической логикой, но делали это для удовольствия своих слушателей. Так, Профраст Пиерийский добавил девятую струну, Гистиэй Колофонский десятую, а Тимофей Милетский одиннадцатую, и другие струны добавляли другие люди. Потом число струн было доведено до 18. Как видно, вследствие этого комический поэт Ферекрат вынес порицание невоздержанности в мелодии, в своей пьесе „Хирон"...» (JanNE, 274). Пиерия (и Олимп) были частью Фракии, а затем были завоеваны македонцами. Пиерия считается родиной Орфея и местом культа Муз (которых, как известно, тоже 9, по числу «изобретенных» Профрастом струн).
Редкий термин «гиперипата» (ύπερυπάτη, лат. hyperhypate) — синоним лиханы низших — до Боэция отмечается в двух греческих текстах: у Трасилла (ум. 36 н.э., в пересказе Теона Смирнского, см. HillerTh, 88-90) и у Аристида Квинтилиана (Mus. I, 6), оба раза вне всякой связи с генезисом Полной системы. У Трасилла гиперипата упоминается по ходу развертывания его алгоритма деления монохорда (одна из точек деления струны на 4 части), у Аристида она перечисляется среди прочих ступеней как обозначение класса различных по роду лихан.
167 Колофон — один из двенадцати крупнейших ионийских городов в Малой Азии. Кроме того, что сказано о Гистиэе в Четвертом фрагменте Никомаха (и повторено Боэцием), никаких других античных свидетельств об этой персоне нет.
168 По поводу Тимофея Милетского см. выше (I, 1.12-16) т.наз. «Лакедемонский декрет» и мои комментарии к нему.
169 «Длиннейшими» по размеру, «нижайшими» по звучанию, «наивысшими» по физическому расположению (выше всего к кифареду).
170 «Парамеса» с уточнением «отделенных» никогда не встречается в трактатах, и у Боэция встречается только единожды (только здесь) — видимо, в учебных целях, для того чтобы яснее показать структуру звукоряда.
171 Музыкальный термин «просмелод» (синоним просламбаномена) в античных текстах до Боэция найти не удается.
172 Боэций возвращается к обещанному в 1,15 подробному изложению родов мелоса. Материал этой главы в основном изложен по Никомаху (Harm. 12).
173 Т.е. диатонический, хроматический, энармонический. В 1,15 энармон был назван «гармонией». Здесь и далее используется субстантивированное прилагательное enarmonium или прилагательное: enarmonium (enarmonicum) [genus]. По законам ру¬

Книга I
Комментарий
291
сификации enarmonium лучше было бы передать как «энармоний», но, во избежание путаницы, я решил поддержать традицию, установленную Ю.Н. Холоповым в его курсе «Музыкально-теоретические системы» (см. МТС, с. 68-73).
174 Перевод naturalis intentio представляет трудность. Intentio, как мне кажется, ссылается на одно из двух значений греческого слова διάτονος — растянутый, распростёртый. (Второе значение связано с пониманием διά как предлога; отсюда известный «этимологический» перевод термина — «идущий по целым тонам»; см. ниже в этой главе). Диатонический тетрахорд «растянут» (intentus) наиболее естественно, ступени диатонического тетрахорда равномерно, размеренно заполняют квартовый остов. При обсуждении пандана «диатонический-хроматический» Боэций объявляет диатонический род «естественным» (природным), а хрома противопоставляется ему как род, который «отклоняется», отступает от естественности диатоники. В этой коррелятивности Боэций, как мне кажется, следует Никомаху (Harm. 12).
Аристоксен считал диатон наиболее древним родом, первым, на который «натолкнулась человеческая природа» — впрочем, он не рассматривал хрому как род, производный от диатона: πρώτον μέν ούν και πρεσβύτατον αυτών θετέον τό διάτονον, πρώτον γάρ αύτού ή τού άνθρώπου φύσις προστυγχάνει, δεύτερον δε τό χρωματικόν, τρίτον δε καί άνώτατον τό έναρμόνιον, τελευταίω γάρ αύτφ καί μόλις μετά πολλού πόνου συνεθίζεταίή αϊσθησις (Harm. 1,19). («Первым и древнейшим из них надо полагать диатонический [род]: с ним в первую очередь сталкивается человеческая природа. Второй — хроматический. Третий же и самый молодой [BarkerGMW, 139: «самый изысканный»] — энармонический: восприятие приноравливается к нему в последнюю очередь и с затратой немалых усилий»; ЦыпинА1, 29).
Интересно посмотреть, как западные переводчики справляются с проблемным местом. Бауэр осовременивает naturalis intentio, переводя это словосочетание как «natural intonation»; при этом он никак не комментирует, что он подразумевает под «естественной интонацией». В переводе О. Пауля — «natürliche Tonfolge» (естественная последовательность звуков). Буквальные переводы Мейера «tension naturelle» и Марци «naturale tensione» (естественное напряжение) при полном отсутствии комментариев остаются непонятными.
175 У Боэция pars pro toto, буквальный перевод: «энармон слажен наилучшим образом и как следует». Речь идет, видимо, о тех ступенях энармонического тетрахорда, которые отстоят друг от друга на мельчайший, доступный голосу интервал — так называемую «диесу» (см. дальше в этой главе).
176 Положение тесного интервала (например, полутона в диатоническом тетрахорде), то есть виды кварты, здесь не обсуждаются. Заметим также, что ступени в тетрахордах всех трех родов привычно для нас считаются снизу вверх (к примеру, в диатоническом — ПТТ), а не сверху вниз (ТТП), как это чаще принято у греков.
177 Вторая этимология «диатона» как рода мелодии с характерным движением по целым тонам (у Никомаха — προχωρεΐν διά τών τόνων).
178 Имеются в виду не три отдельных полутона, а «несоставной триполутон» (triemitonium incompositum — см. I, 23). Похожим описательным термином (tria hemitonia

292
Основы музыки
Книга I
incomposita) в латинской традиции пользуется Марциан Капелла. Этот термин (по-гречески άσύνθετον τριημιτόνιον) Боэций, видимо, заимствовал из «Гармоники» Никомаха (Harm. 12), а тот — у аристоксеников. Подчеркну, что Боэций не пользуется термином «полудитон» (semiditonus), которым средневековые ученые обозначали интервал, ныне известный как малая терция.
179 По поводу «целостности» полутона (т.е. о невозможности точной половины целого тона) см. 1,17 (там используется похожий термин — non integrum semitonium).
180 Бауэр переводит лат. superficies как «surface». Он (как и Мейер) полагает, что речь здесь идет об изменении цвета некой «поверхности», когда на нее по-разному падает свет. Мне кажется, речь не о какой-то абстрактной «поверхности, на которую падает свет», а о коже чувствительного, эмоционального человека: он бледнеет от страха, зеленеет от злости, краснеет от стыда и т.д., то есть его кожный покров меняет цвет, как диатон обретает цвет («хрому») с изменением интервальной структуры. Именно так трактует хроматический мелос Никомах: «...хрома лишь слегка меняется — всего-то на полутон по сравнению с диатоном; вот мы и говорим, что людей, легко подверженных перемене [чувств], отличает цвет (χρώμα)» (Harm. 12). Интересно, что три средневековые глоссы (Gloss. I, 290) прилагают к слову superficiebus прилагательное scenicis (и scenicis faciebus) — возможно, они имеют в виду театральные маски разного цвета, символизировавшие различные аффекты.
181 Coaptatio — один из рутинных латинских переводов греческого слова αρμονία. Как и в случае с диатоническим и хроматическим тетрахордами, Боэций находит объяснение структурной особенности энармона в этимологии этого слова (греч. έναρμόνιος — гармоничный, принадлежащий гармонии). Coaptatus можно буквально перевести как «пригнанный»: только в энармоническом роде мелоса используются наименьшие доступные голосу и слуху интервалы (диесы), потому они и пригнаны друг к другу лучше (т.е. теснее) всего. В отличие от Никомаха, Боэций здесь не рассматривает энармон как вторую (после хромы) «структурную мутацию» диатона.
182 То есть от рода к роду остаются неизменными.
183 Странная (и уникальная) терминология для перестраиваемой струны (по Холопову, «кинумена») лиханы — «хромодиатоническая» (как бы «хроматизированная диатоническая»), «энармодиатоническая» (т.е. энармонизированная диатоническая), возможно, указывает на то, что лиханы хроматического и энармонического родов Боэций трактует как производные от диатонической лиханы (ср. текст в I, 21 о родах мелоса). Греческих прототипов этих странных слов найти не удается.
184 Боэций считает имена струн, а не разновысотные ступени, при этом родовые разновидности парипат и трит называются одним именем. Если бы он считал высоты, получилось бы двадцать шесть разновысотных ступеней, которые извлекаются из восьми неизменных («гестот») и 10 изменяемых (кинуменов) струн. Именно столько высот (= чисел) показывает схема полного монохорда у самого Боэция (см. IV, 11; моя реконструкция находится на вкладке). На этой схеме хорошо видно, что

Книга I
Комментарий
293
диатоническая паранета соединенных совпадает в числе (а значит, и по высоте) с диатонической (и хроматической) тритой отделенных, а нета соединенных — с диатонической паранетой отделенных.
Таким образом, двадцать восемь получается счетом по именам лишь в том виде системы, как она описывается (те же 28 имен Боэций дает и в IV, 2-3). Бауэр полагает (BowerB, 43), что истоки этого странного счета — в желании привязаться к «совершенному» (?) числу пифагорейцев 28. «Гармоника» Никомаха насчитывает еще больше «струн» в Полной системе, а именно тридцать три (Harm. 12).
185 Опять же, речь идет о полуторатоне. Какие именно полутоны входят в состав этого «несоставного» интервала, Боэций не уточняет.
186 Ю.К. Арнольд (АрнольдТ, 17) и Ю.Н. Холопов, в попытке внедрить термины греческой гармоники в русскую науку, предлагали называть соединение тетрахордов словом «синафа». Как и «дьядзевксида», «синафа» в обиход нашей науки не вошла.
187 Крайняя нижняя ступень верхнего тетрахорда и крайняя верхняя ступень нижнего тетрахорда = середина их «объединенного» звукоряда. ...quotiens duo tetrachorda unius medietas termini continuat atque coniungit; в этой фразе слова medietas и terminus употребляются в обыденном (номинальном) смысле; Cp. II, 12, где они обозначают, соответственно, математические термины «среднее» и «член отношения».
188 у Фридляйна — «в таком тетрахорде» (in hoc tetrachordo; ед.ч.). Интересно, что на этой схеме самые низкие звуки нарисованы наверху, а самые высокие — внизу. Низкое и высокое в звуках от этого, впрочем, не меняется.
189 Альтернативный и вполне обоснованный перевод термина — «разъединение» (соответственно должны быть переименованы и все ступени в тетрахорде, носящем имя diezeugmenon). Я передаю здесь и далее «отделение» по традиции, установившейся в отечественной науке.
190 В IV, 6-11 Боэций занимается детальным расчетом монохорда по всем трем родам и во всем объеме звуковысотной системы.
191 «Родная» латинская терминология Полной системы Боэция (по Альбину) очень схожа с той, которую дает Марциан Капелла в Девятой книге «О бракосочетании Филологии и Меркурия» (IX.931).
Сабина Гребе (GrebeG) убедительно связывает возникновение этого знаменитого труда, посвященного семи свободным искусствам (наукам), с культурным расцветом вандальского королевства при Тразамунде (годы правления 496—523). Уже на одном этом основании, думаю, прямое влияние Марциана на раннего Боэция нужно исключить (впервые Марциан упоминается у мифографа Фульгенция, труд которого весьма неопределенно датируется VI веком). Скорее всего, у латинской терминологии Полной системы, которую передают Марциан и (в несколько ином виде) Боэций, просто общий источник — возможно, это загадочный Альбин или еще более древний римский текст. В полном объеме латинские термины для струн Полной системы Боэций приводит в IV, 3.
При том, что в арифметической терминологии (роды неравенства и виды числовых отношений) Боэций продвигает ассимилированные латинские термины (на¬

294
Основы музыки
Книга I
пример, не epogdoos, a sesquioctavus), в музыкальной терминологии, описывающей Полную систему, он остается в пределах транслитерированных грецизмов.
192 Кроме этого места, Альбин упоминается в трактате Боэция еще раз — в 1,12 (там же см. мой комментарий). Забавно, что на труде соотечественника Альбина Боэций «задерживаться» не желает, в то время как дискуссии с Птолемеем, Аристоксеном, Никомахом и другими греками посвящены многие страницы «Музыки».
193 Первая привязка струн (ступеней Полной системы) к небесным телам похожа на ту, которую дает в «Гармонике» Никомах (Harm. 3): самый удаленный от Земли Сатурн издает низший звук, а наиболее близкая к ней Луна — высший. Однако, в отличие от Никомаха, Венеру (Афродиту) Боэций отнес к трите соединенных, а Меркурий (Гермеса) — к паранете соединенных. Кроме того, в этом тексте нет специфического именно для Никомаха термина «гипермеса» (трактуемого как синоним лиханы средних), как нет и престранного Никомахова употребления «парамесы» в значении триты соединенных. Подробней о рецепции пифагорейской гармонии сфер у Боэция см. статью ЛебедевНБ.
194 Второй порядок расположения небесных светил Боэций дает по знаменитому «Сну Сципиона» (De rep. VI, 18) Цицерона. Музыкально-теоретическое содержание Сна Сципиона весьма темно и скудно. Описывая небесные тела в так называемом «халдейском» порядке (а именно Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн, Звездное небо), Цицерон определяет прямую зависимость высоты звука от расстояния небесного тела до Земли (ближайшее к Земле тело издает самый низкий звук, а наиболее удаленное — самый высокий), но не говорит конкретно, каким именно тонам какие именно тела соответствуют. Текст Боэция, дополняющий Цицерона, наоборот, совершенно конкретен: в нем появляется стройная 8-ступенная «гармония», заполняющая объем от просламбаномена до месы. Придав небесной гамме вид диатонического гиподорийского звукоряда, Боэций тем самым обеспечил связь «мировой музыки» с «музыкой инструментальной» (т.е. музыкой в нашем смысле слова). Неслучайно именно гиподорийский лад — самый низкий (базовый) в блоке описываемых Боэцием диатонических ладов. Подробно см. Mus. IV, 15.
195 В Сне Сципиона есть интересное утверждение о том, что две орбиты (сферы) имеют одну и ту же функцию (букв, «силу» или «значение»): eadem vis est duorum [sc. cursuum]. Я думаю, что Цицерон (а скорее даже — его сведущий греческий прототип) имеет в виду модальное тождество звуков (не уточняется каких), расположенных друг от друга в октаву. Таким образом, звучащих объектов гармонии сфер восемь, но только семь из них разнофункциональны (septem soni distincti intervallis), а два функционально тождественны. Макробий (Somn. И, 4) полагает, что речь идет об орбитах Меркурия и Венеры: «Движущихся небесных сфер восемь, но существует [только] семь звуков, которые создают гармонию, происходящую от вращения, потому что орбиты Меркурия и Венеры, на равном расстоянии сопровождающие Солнце, уступают ему дорогу как прислуга. И оттого некоторые исследователи астрономии (nonnulli astronomiae studentes) считают, что у них [Меркурия и Be-

Книга I
Комментарий
295
неры — C.Æ] одна и та же сила (vis). Вот почему Цицерон говорит, что те восемь сфер, в которых у двух — одна и та же сила, издают [только] семь звуков, отличающихся друг от друга интервально. И это число [семь] — узел чуть ли не всего сущего». Никаких конкретных имен «исследователей астрономии» Макробий, разумеется, не приводит. К сожалению, всю эту ценную «музыкально-космическую» дискуссию, имеющую прямое отношение к модальности древнегреческой музыки, Боэций в своей «мировой музыке» никак не отражает.
196 При переводе Боэцием словосочетания μονόχορδος κανών (однострунный канон) произошла любопытная перестановка: греческое прилагательное μονόχορδος стало существительным среднего рода (monochordum), а греческое существительное κανών — согласованным с ним прилагательным (regulare, от regula — «линейка», она же «правило», она же «канон»). Последствия этой перестановки оказались знаменательными для всей средневековой (отчасти и более поздней) теории музыки, в которой учение о монохорде (sic!) стало едва ли не обязательной частью. Делению линейного монохорда специально посвящены главы IV, 6-11.
197 Именно это решающее обстоятельство — не слух, но perpendens ratio — позже кладется в основу определения «музыканта» (musicus), см. I, 34.
198 Sibi quisque ire cupit букв. — каждая [струна] стремится идти своим путем.
199 Эта глава — первое и явное указание на то, что под «консонансом» Боэций понимает «вертикальный» интервал. В этом понимании Боэций, по-видимому, следует Никомаху, который пишет: «Звукоряд (σύστημα) — это сочетание двух и более интервалов (διαστημάτων). Впрочем, ни один звук среди интервалов [в звукоряде] не является консонантным со смежным, но он совершенно диссонантен [с ним]; среди звукорядов, однако, одни консонантны, другие диссонантны. Звукоряды консонантны, когда звуки, охватывающие [их], будучи различными по размеру, сливаются друг с другом, когда их ударяют одновременно (άμα κρουσθέντες) или когда они как-то иначе звучат вместе, до такой степени, что из них получается как бы однородный и один только звук. А диссонантны тогда, когда от [соударения] обоих слышится как бы расщепленный и неслитный звук» (Harm. 12).
200 Бауэр переводит communis mensura безоговорочно как «common denominator», т.е. общий знаменатель.
201 Здесь впервые terminus употребляется в терминологическом (математическом) смысле — член отношения. Определение слова terminus см. в II, 12.
202 См. I, 4.
203 В отношениях, например, сверхчастного рода.
204 Т.е. целое, одинарное.
205 ...sesqualterum [numerum] bis medietas, sesquitertium ter pars tertia букв. — полуторное число — дважды половина, сверхтретное — трижды треть. Я вынужден сделать конъектуру, иначе это объяснение Боэция бессмысленно (полноценное объяснение сверхчастичных отношений см. в I, 6). Это место, по-видимому, было испорчено уже в прототипе, который копировали контрольные рукописи Боэция; в глоссе IX в. комментатор пытается объяснить его так: «в меньшем члене полуторного отношения

296
Основы музыки
Книга I
не обнаруживается больше двух половин, и также в сверхтретном в меньшем члене не возникает больше трех третей» (Gloss. I, 332).
206 У Платона: <...> «звуки, которые в зависимости от своей быстроты или медленности представляются высокими или низкими, причем иногда они несозвучны между собой, ибо производимое ими в нас движение лишено подобия, иногда же, напротив, дают созвучие благодаря согласованности движения. Все дело в том, что, когда более медленные звуки настигают движения более быстрых, ранее дошедших до нашего слуха, те оказываются уже обессилевшими, а их движения - подобными движениям, которые вносят при своем запоздалом прибытии более медленные звуки; таким образом, последние не становятся причиной разлада, но вместо этого начало медленного и конец быстрого движения уподобляются друг другу, и так возникает единое состояние, в котором высокое и низкое звучания смешаны. При этом неразумные получают удовольствие, а разумные светлую радость от того, что и смертные движения через подражание причастны божественной гармонии» (Timaeus, 80a-b; перевод С.С. Аверинцева). Может быть, точнее будет следующий перевод последнего предложения: «[Консонансы] доставляют удовольствие неразумным, светлую радость разумным, которые [т.е. удовольствие и светлая радость] образуются в [душевных] движениях смертных (έν θνηταΐς γενομένην φοραΐς) благодаря подражанию божественной гармонии». Интересно, что этот фундаментальный вывод Платона (ради чего и затевалась предыдущая «технология» рождения консонанса в восприятии человека) Боэций не замечает и не цитирует, хотя заключение о пронизанности всего сущего излучением божественной гармонии замечательно, на мой взгляд, подошло бы к его всем известной классификации музыки трех родов — «мировой», «человеческой» и «инструментальной».
207 В сохранившихся трудах Никомаха этого возражения Платону (равно как и его собственной «теории» возникновения консонанса) нет.
208 Напрашивающийся перевод concordia canendi — «благозвучие в пении»; так, например, переводят и Мейер («dans le chant») и Марци («concordia del canto»). He думаю, что Боэций ограничивал музыкальную гармонию только «пением». Бауэр переводит здесь туманно: «concord of musical utterance».
209 Simplex modus vocis, по-видимому, слепок с неизвестного нам греческого оригинала Никомаха. Пауль и Марци (толковательно): «einfacher Ton»; «un unico suono»; Бауэр и Мейер (буквально): «simplex measure of sound»; «un son, aussi simple que soit sa mesure».
210 Т.е. сущности, обладающие слитным количеством, например, линия.
211 Это высказывание может вызвать недоумение читателя, которому уже известно, что квинта соответствует полуторному отношению, а вовсе не половинному. Чтобы понять, как Никомах связал квинту с «половиной», см. II, 20, где Боэций излагает своеобразную Никомахову теорию «консонантных пар».
212 См. V, 7-12.
213 В этой главе Боэций излагает основы своего дидактического метода: от принятия предмета на веру от учителя к самостоятельному постижению разумных оснований вещей.

Книга I
Комментарий
297
214 Т.е. с помощью арифметических доказательств.
215 Прототипа этой знаменитой (в последующие века) главы у предшественников Боэция не находится. Не получается передать musicus как «музыковед» из-за современной нагруженности этого слова, в которой нашло отражение разделение музыкальных профессий на теоретизирующих о музыке и практикующих музыку. Кроме того, нынешний музыковед не занимается арифметикой, почти ничего не знает о числах (при том, что квадривиальное понимание деятельности «музикуса» здесь имплицировано). И наконец, Боэциев «музыкант» занимается поэтикой — эта деятельность ныне приписана вовсе не музыковеду, а стиховеду-филологу.
Универсального «музикуса» Боэция Ю.Н. Холопов предлагал называть «музософом», по аналогии с «философом» (ФГБ, 57). Как мне представляется, слово «музософ» не станет привычным в обиходе русской музыкальной науки, поскольку для ассимиляции неологизма совершенно необходима не только его морфологическая приспособленность (с этим у «музософа» всё в порядке), но и благозвучность. Аргументы за и против различных переводов проблемного латинского существительного musicus и его греческого прототпа μουσικός подробно рассматриваются в статье ЛебедевМММ.
216 Т.е. «физический» навык — тот, который приобретается упражнением тела.
217 Похожие мысли Боэций намечает еще раньше, в Послании к Симмаху, которое предшествует «Арифметике» и всему циклу квадривиальных наук: «...при изготовлении мраморных статуй одно дело работа по вырубке глыбы, другое — мысленное представление должного образа, и [окончательный] блеск изящной отделки не предполагает руки того же самого мастера» (Arithm. Praef.). Оригинальный текст и комментарий см. здесь в Приложении I.
218 От инструментов соответствующих ремесел.
219 Интересно, что Боэций использует здесь адаптированное из греческого слово auloedus, а не «родное» слово tibicen (ср. 1,1.18, где используется слово tibicina — авлетка).
220 Scientia canendi буквально — «наука пения». Разумеется, Боэций не думает сводить деятельность ученого музыканта к постижению лишь вокальной музыки. Ср. употребление canere (и дериватов) в I, 1.17 (история о Пифагоре и подвыпившей молодежи), I, 20.4 (об истории термина лихана), I, 31.1 (полемика Никомаха с Платоном на предмет того, как «физически» рождается консонанс). О. Пауль (PaulB, 37) правильно понял словосочетание scientia canendi как «die Kenntniss des Musicirens» [sic]. Бауэр (BowerB, 51) вторит: «musician... is one who gained knowledge of making music by weighing...» Мейер (MeyerB, 93) уверен, что ученый музыкант озабочен лишь «science de chant».
221 Герцман: «...именами тех, чьим трудом и разумом они сооружены, подписываются здания и созданные ими триумфальные арки» (ГБ, 329). «Триумфальных арок» в оригинальном тексте Боэция нет.
222 Род профессионалов-инструменталистов: кифарист, авлет, органист и т.п. Сюда же, видимо, включаются и певчие, поскольку голос — тот же («естественный») инструмент.

298
Основы музыки
Книга II
223 Под «песней» (carmen) подразумеваются и стихи, и мелодия. «Сочинитель песен» (у греков «мелопоэт»; у Боэция просто «поэт») в античности и еще долго в средневековой Европе — стихотворец и музыкант в одном лице.
224 Об интервалах — консонансах и диссонансах.
225 Т.е. обо всех других теоретических категориях музыки, например, о звукоряде Полной системы, о делении монохорда, о ладах («тонах») и т.д.
226 Ученый музыкант должен иметь взвешенное (т.е. продуманное) разумное суждение и о музыке и о стихе, или, как бы сказал современный музыковед, о текстомузыкальной композиции (форме). Примечательно, что почти теми же словами (considerare — созерцать, мысленно рассматривать; perpendere — мысленно взвешивать) Боэций в конце своего труда (заключение V, 2 и вся V, 3) характеризует деятельность великого «гармоника» (harmonicus) Птолемея.
Книга II
1 Главы 2-17 Второй книги «Музыки» представляют собой пересказ материала «Арифметики» (далее, где возможно, я даю ссылки на параллельные места). Прототип их (определение философии как науки об умопостигаемом сущем «в собственном смысле слова», неизменность и бестелесность истинно сущих вещей, деление всех сущностей на слитные и раздельные и т.д.) читатель найдет в Приложении I к этой книге (перевод и комментарий).
2 Здесь впервые в «Музыке» habitudo используется в значении «отношение чисел» (перевод греч. σχέσις), как синоним proportio (Λόγος).
3 По представлениям античных философов, никакая наука не может заниматься бесконечными и неопределенными сущностями.
4 Под термином numerus naturalis здесь имеется в виду не столько одно натуральное число, сколько ряд натуральных чисел. В целом этот параграф толкует об образовании отношений кратного рода.
5 См. Arithm. I, 22.
6 Еще в «Арифметике» (и в последующих главах этой книги) Боэций ясно показывает, что кратные отношения — основа для выведения всех других родов числового неравенства (из них выводятся сверхчастичные, которые в свою очередь порождают сверхчастные). Преимущество кратного отношения (как станет ясно из данной главы) еще и в том, что только в нем меньший член отношения — единица («матерь» и основа всех чисел, но не число как таковое). Аналогичное употребление слов antiquitate (и antiquior) наблюдается далее (в Mus. II, 17), а раньше в том же смысле — в «Арифметике» (Arithm. I, 1.11) — там, где Боэций устанавливает превосходство (в значимости) музыки над «ходом небесных светил» (т. е. астрономией). У Е.В. Герцмана в переводе Mus. II, 5 бессмыслица: «...многократный ряд неравенства, очевидно, намного древнее, чем два других» (ГБ, 334).

Книга II
Комментарий
299
7 Первые отношения каждого из родов неравенства: первое кратное 2:1 («кратность начинается с единицы»), первое сверхчастичное 3:2 («сверхчастичность начинается с двойки»), первое сверхчастное 5:3 («сверхчастность берет свое начало в тройке»).
8 Это достаточно темное определение, видимо, представляет собой точный перевод греческой аксиомы. Понять его можно, прочитав соответствующую главу из «Арифметики» (И, 10): «Квадратное число тоже размещается в пространстве, но не в трех углах [треугольника], <...> а развертывается по четырем равномерным сторонам [квадрата]». Глосса XI в. (рукопись из Брюгге) толкует слова gemina demensione (в двойном измерении) так: «длина и ширина» (Gloss. И, 29).
9 Квадратного числа и квадрата как геометрической фигуры (см. «Арифметику»). По поводу длин сторон (квадрата): читателю, не привыкшему к пространственным числам, легче думать о корне квадратного числа (хотя слово latus, строго говоря, не может быть переведено как «корень»).
10 Эта глава фактически пересказывает то, что еще раньше Боэций изложил в «Арифметике» (I, 32 и II, 1). Ср., например: «...tota inaequalitatis substantia a principe sui generis aequalitate processerit» (FB, 77).
11 В «Арифметике» (I, 32) Боэций предлагает методику вычисления квадратов для первых чисел натурального ряда путем аксиоматической формулы а:(а+Ь):(а+2Ь+с), где а, Ь, с — числа из ряда предыдущего («предпосланного», т.е. прежде рассчитанного) трехчлена. Исходный, самый первый трехчлен состоит из одних только единиц (1:1:1). Именно из него выводится ряд квадратов для двойки (1:2:4). Предпосылкой дальнейшего вычисления по той же формуле становится уже трехчлен 1:2:4. Из этих «двоичных предпосылок» выводится квадрат тройки (1:3:9). Далее, для расчета квадрата четверки в качестве предпосылки берется ряд 1:3:9, и так далее могут быть выведены кратные отношения.
Боэций заимствовал этот материал из Никомаха, где он досконально описан (Nie. Arithm. I, 23). Теон Смирнский пишет, что любые отношения неравенства из отношения равенства выводил уже Эратосфен (III в. до н.э.), но поскольку доказательства Эратосфен опустил, Теон излагает их по Адрасту (II в. н.э.). Текст Теона см. в HillerTh, 107 SS. и подробный комментарий в OogeN, 225, fn.l.
Никомах предпосылает вычислениям мощное философское обоснование, отчасти в духе Платона, отчасти Аристотеля, которое я рассматриваю в комментарии к переводу соответствующей главы (I, 32) «Арифметики» (см. в Приложении I).
В Средние века эта волнующая арифметическая закономерность получила название «скачок Герберта» (saltus Gerberti, по имени Герберта Аврилакского, он же папа Сильвестр I). Любопытное объяснение «скачка» дает один из комментаторов «Антиклавдиана» Алана Лилльского: Герберт, который как раз комментировал «Арифметику» Боэция, безуспешно бился над этим местом. Тогда, увидев его муки, явился дьявол и услужливо предложил Герберту свое толкование. Будущий папа с негодованием отверг дьявольское толкование и в своей книге предпочел через это темное место Боэция «перескочить». В действительности,

300
Основы музыки
Книга II
как явствует из труда самого Герберта, ученый разобрался в этом месте, а «скачки Герберта» (слово saltus во множественном числе пишется так же, как и в единственном — saltus) надо понимать как изменения направления в исходном ряду чисел на противоположное: в одном случае (как в описанном примере) исходный ряд чисел берется восходящий, в другом (как, например, при выведении сверхчастичных пропорций из кратных, см. мои комментарии дальше) — нисходящий.
Подробности средневековой истории термина saltus Gerberti (впрочем, без математического обоснования самой этой закономерности) можно прочитать в статье Дж. Эванса (EvansSG). На русском языке алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства описан А.И. ГЦетниковым (ЩетниковА). В современной математике под названием дерева Калкина-Уилфа (Calkin-Wilf tree) известен более общий метод генераций. В целом он аналогичен описываемому Боэцием алгоритму.
12 Про основополагающее равенство (единиц) в «Арифметике» (I, 32) сказано: ut ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis obtinens vim[,] ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. См. мой перевод и комментарий в Приложении I.
13 Все другие виды отношений («сверхчастичные» и «сверхчастные», «кратно-сверхчастичные» и «кратно-сверхчастные») последовательно выводятся из прежде вычисленных, обращенных или прямых, числовых рядов, следующим образом (привожу метод по «Арифметике» Боэция; см. Arithm. I, 32):
a) из обращенных кратных выводятся сверхчастичные (напр., из 4:2:1 выводится 4:6:9; из 9:3:1 выводится 9:12:16 и т.д.);
b) из обращенных сверхчастичных выводятся сверхчастные (напр., из 9:6:4 выводится 9:15:25; из 16:12:9 выводится 16:28:49 и т.д.);
c) из (прямых) сверхчастичных выводятся кратно-сверхчастичные (напр., из 4:6:9 выводится 4:10:25).
d) из (прямых) сверхчастных выводятся кратно-сверхчастные (напр., из 9:15:25 выводится 9:24:64).
Для всех этих вычислений используется одна и та же формула (см. сноску выше). Ею как бы охватывается всё бытие числовых отношений. В обобщающей формулировке Боэция (Никомаха) данная последовательно выводимая цепь вычислений должна подтвердить глубокий философский тезис о том, что любое неравенство проистекает из равенства, которое трактуется пифагорейцами как числовой аналог изначального природного и божественного единства.
14 В действительности тройное отношение выводится из «предпосылки», т.е. из результатов вычисления квадратов двойки (см. комментарий выше), и так далее.
15 Боэций обращает внимание на терминологическое родство при генерации сверхчастичных отношений из кратных: из тройного возникает сверхтретное, из четверного сверхчетвертное и т.д. В этом предложении впервые появляется важный термин «пропорция» (proportionalitas), который дефинируется в этой же книге немного дальше (II, 12).

Книга II
Комментарий
301
16 Сверхтрехчастное из сверхтретного, сверхчетырехчастное из сверхчетвертного и т.д. Смысл инструкции: достаточно запомнить закон «репродукции терминов», чтобы знать, из какого сверхчастичного какое сверхчастное выводится.
17 Т.е. в предыдущем труде Боэция («Арифметике»).
18 Фразу suae scilicet in contrariam partem denominationis, не до конца ясную уже средневековым комментаторам Боэция (см. Gloss. II), можно понимать как довольно темное уточнение, каких именно сверхчастичных и каких именно кратных отношений касается правило: сверхчастичные, которые «в противоположной части» (sesqui-tertius, sesqui-quartus etc.) содержат то же порядковое числительное, что и сравнивамые с ними кратные отношения (соответственно tripla, quadrupla etc.).
19 Из числа 2 в первой степени выводится одно полуторное отношение, из 2 во второй степени выводятся два полуторных отношения и т.д. Саму операцию выведения сверхчастичных отношений из кратных см. в Mus. II, 7 и в Arithm. I, 32; II, 3.
20 Т.е. три нельзя поделить поровну на два.
21 Неделимым числом. Например, в данной схеме сверхтретных отношений 16 в третьей колонке не делится на 3, аналогично 64 не делится на 3 в четвертой колонке и т.д.
22 Т.е. отдельные экземпляры «двойного» (2, 4, 8, 16) класса отношений, «тройного» (3, 9, 27, 81) класса и др., попросту говоря, квадраты, кубы и т.д.
23 В зависимости от того, какова степень возведения исходного числа.
24 В этом длинном параграфе Боэций еще раз суммирует дидактический метод нахождения сверхчастичных отношений по кратным (см. на эту тему выше подробные комментарии).
25 Имеется в виду первая таблица (из трех) в II, 8 — та, что приведена для быстрого разыскания полуторных отношений.
26 Не путать с квадратным (и др.) корнем в современном понимании.
27 Слово mulctatus (multatus), которое использует Боэций, отсутствует в античных текстах. Очевидно, оно смущало уже средневековых комментаторов текста. Бернхард и Бауэр в «Глоссах» (Gloss. II, 67) дают 9 (девять!) зачастую противоположных толкований, цитируемых по разным спискам: truncatus / dampnatus / cumulatus / curtatus / decurtatus / diminutus / privatus / plexus / alienatus.
28 Полуторным корнем Боэций называет первые числа (собственно «корень») полуторного отношения. Здесь и далее я сохраняю оригинальные термины Боэция, хотя они не имеют отношения к современному понятию (квадратного, кубического и т.д.) корня.
29 Эти теоретические соображения получают дальнейшее развитие в II, 28; 29; 31.
30 Эта глава обнаруживает очевидные параллели с комментарием к учебнику арифметики» Никомаха, составленным в IV веке пифагорейцем Ямвлихом (JamblichNic).
31 Делитель для каждого из двух чисел вычисляется на основе разности этих чисел.

302
Основы музыки
Книга II
32 Каждое из двух чисел не делится (на одно и то же число) без остатка.
33 Остаток после целочисленного деления одинаков для каждого числа.
34 Термином «разностная мера» (mensura differentiae; несколько позже в этой главе также — permensio differentiae, а также differentia metiens) Боэций, по-видимому, называет число, которое делится («размеряется») делителем (иначе, «разностью» исходных сравниваемых чисел) без остатка. Если исходное число не делится без остатка на заданный делитель, то его «разностная мера» может быть больше или меньше его. Например, при делении числа 53 на 5 «разностными мерами» будут числа 50 (5 χ 10) и 55 (5x11): число 50 меньше, чем исходное число 53 (меньшая разностная мера), 55 больше, чем 53 (большая разностная мера).
35 Отношение двух (исходных) чисел, которые делятся на одно и то же число с равным остатком, меньше отношения двух (производных) чисел, которые получаются вычитанием из исходных чисел этого остатка.
36 Доказательство от противного. Отношение двух производных чисел, которые делятся на одно и то же число без остатка, больше отношения двух исходных чисел, если производные числа получаются прибавлением к исходным одинакового излишка.
37 См. Mus. IV, 2 (вторая теорема).
38 Например, % χ % = % получается сверхчастное отношение; % χ % = % результат «удвоения» (возведения в степень) остается кратным.
39 Материал этой главы перекликается со «Арифметикой» (Arithm. И, 3) Боэция и с «Арифметикой» Никомаха (II, 5).
40 Первое сверхчастичное = %, второе сверхчастичное = % и т.д.
41 Латинское слово terminus связано с античным представлением множества как скопления единиц — можно вообразить себе горсть одинаковых зернышек. Так вот, последнее зернышко из кучи и есть число-terminus. Учитывая контекст, в котором это слово употребляется в трактатах Боэция («член отношения», «член пропорции»), я решил передавать terminus как «член». Из «Арифметики» (I, 9) явствует, что слова summa и terminus Боэций употребляет в одном и том же смысле (idem enim terminos quod summas nomino), как число в аспекте его количества, величины.
42 Перевожу так же, как у Бауэра. В оригинале: in tribus terminis minimis, т.е. minimis однозначно согласовано с tribus terminis (если бы наречие, то было бы minime). Таким образом, буквальный перевод минимального условия существования пропорции: «Пропорция состоит из трёх наименьших пределов».
43 Во избежание дальнейшего недоумения читателя заметим, что слово «среднее» (medietas) понимается далее в двух смыслах: 1) строго терминологически, в смысле среднего члена пропорции (как здесь); 2) как синоним слова «пропорция» (например, см. Mus. II, 13). В греческой математике (прежде всего, у Никомаха, непосредственного источника «Арифметики» Боэция) словам proportionalitas и medietas (или medius terminus) соответствуют греческие αναλογία и μεσάτης. Замечу, что употребление слова αναλογία в греческой математике имело свою историю (OogeN, 264,

Книга II
Комментарий
303
fn. 2) и не было единообразным. Особенность Никомаха в том, что он употребляет его не только по отношению к геометрической пропорции, но по отношению ко всем трем главным видам пропорций. Для «отношения чисел» используется (чрезвычайно многозначное) слово Λόγος. Этимологическое родство греческих слов Λόγος и αναΛογία, к сожалению, теряется в большинстве европейских языков и, в том числе, в русском.
44 Изобретение и определение трех основных видов пропорций восходит, как предполагают историки математики, к древнейшим пифагорейцам и, прежде всего, к Архиту. См.: Б.Д. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В кн.: ВарденПН, 394^134, особенно сс. 414^116.
45 Arithm. II, 51-52, а также И, 41.
46 Слово «среднее» Боэций употребляет здесь как синоним слова «пропорция». См. мой комментарий к 11,12.
47 В определениях различий между тремя видами пропорции (и тремя видами средних) Боэций идет за Никомахом : «Гармоническое [среднее] названо именно так, потому что арифметическое [среднее] определялось количеством (ποσω) и показывало равенство в промежутках между членами; геометрическое лее [среднее определялось] качеством (ποιοτητι.), давая подобные по качеству отношения между членами; а она [т.е. гармоническая пропорция] по типу соотнесенного с чем-либо другим (κατά то προς ετερόν πως) предстает то в одном виде, то в другом, т.е. не только в членах и не только в разностях, но частично в членах и частично в разностях: как наибольший член относится к наименьшему, таковы и разности большего члена и ближайшего от большего, т.е. среднего, [с одной стороны] и наименьшего члена и среднего члена [с другой]; и наоборот» (Nie. Arithm. 11,25). Характерные для арифметической пропорции отношения количественны, средние между разными членами пропорции всегда выражены в «количествах» (числовых значениях разности), меняющихся в зависимости от данной величины члена. Характерные для геометрической пропорции отношения качественны, потому что независимо от величин, которыми выражены члены пропорции, отношения членов всегда одинаковы, «качество» отношения сохраняется. В гармонической пропорции, наконец, «гармонически» объединяются количественное свойство арифметической (равенство разностей) и качественное свойство геометрической (равенство частных) пропорций.
48 Пропорции и их средние обсуждаются в «Арифметике» (Arithm. II, 40-53). В главе 40, например, обсуждается количественное свойство арифметической и качественное свойство геометрической пропорций (см. перевод в Приложении I).
49 Напомним, что одно из значений термина «среднее» (medietas) синонимично слову «пропорция» (proportionalitas; см. мой комментарий к Mus. И, 12). Поэтому фразы «средние происходят от равенства» и «пропорции производятся от равенства» надо понимать как одно и то же утверждение.
50 Mus. И, 7.
51 Arithm. II, 44 рассказывает о свойствах геометрической пропорции.
52 Непрерывную гармоническую пропорцию для двойного отношения (2:1).

304
Основы музыки
Книга II
53 «Пределы» гармонической пропорции с основанием единицы 3 и 6, с основанием двойки — 6 и 12. Разность пределов пропорции с основанием единицы (6-3) = 3, с основанием двойки (12-6) = 6. В схеме гармонической пропорции у Бауэра (BowerB, 70) здесь ошибка: низший (первый) ее член обозначен цифрой 2 (должно быть 3).
54 В трактовке harmonica disputatio я присоединяюсь к мнению О. Пауля, который дает «Gespräch über die harmonische Mitte» (harmonica disputatio понята как эллипсис для disputatio de harmonica medietate); такой «терминологический» перевод естественно вписывается в контекст данных математических глав. Бауэр, Мейер и Марци полагают, что Боэций вдруг заговорил о гармонии в целом. Например, Бауэр: «Раз мы начали обсуждение гармонии, я не думаю, что надо обойти молчанием вещи, которые можно обсудить более тщательно». В таком же духе переводят и Мейер и Марци.
55 18 (3x6) / 16 (4x4). Думаю, Боэций (может быть, немного неуклюже) хочет сказать, что целый тон тоже существует в сверхчастичном, а значит и гармоничном («музыкальном») отношении; таким образом, слово concordia относится не к тону, а классу числового отношения. Бауэр «разбирается» с этим местом так: «Термин concordia Боэций использует как синоним consonantia. Очевидно, что тон — не консонанс, несмотря на словоупотребление » (BowerB, 71). Пауль и Марци поступают проще: они пропускают слово concordia при переводе, Мейер переводит по Бауэру, впрочем, оставляя это место без комментария.
56 Т.е. попросту говоря, перемножить средний и наибольший.
57 Изложение учения о средних см. в «Арифметике» Боэция (Arithm. И, 50).
58 Т.е. квадратный корень (лат. tetragonale latus).
59 См. Mus. V, 8-12.
60 Бауэр считает (BowerB, 73), что в этом пассаже оригинальное sensus следует понимать как «critical faculty», «способность критического суждения». Перевод «какова всякая вещь... чувство», как ему кажется, прямо противоречит пифагорейскому догмату о неспособности чувства правильно судить о вещах (см. у Боэция в I, 9). Оставляю sensus в его основном значении: чувство, ощущение, чувственное восприятие, ибо как раз о перцептивном свойстве человека, о непосредственности чувственного восприятия (консонанса октавы) и идет речь в контексте обсуждаемого утверждения Боэция.
61 Консонанс октавы — первый, потому что наиболее доступен чувственному познанию (слуху).
62 В натуральном ряду чисел с нарастанием значений кратные отношения увеличиваются (2:1, 3:1, 4:1 и т.д.; число 3 больше, чем 2; 4 больше, чем 3), а сверхчастичные отношения уменьшаются (3:2, 4:3, 5:4 и т.д.; число У меньше, чем %; число ¾ меньше, чем Уз).
63 Кратный род неравенства старше, значительней всех других родов неравенств, что было показано еще в «Арифметике» (I, 23; с примерами — в I, 26). См. также Mus. II, 5, где показано, что кратный род неравенства ближе всех других к единице; II, 7 и II, 11, где показано, как из кратных отношений возникают сверхчастичные.

Книга II
Комментарий
305
64 Самый низкий в иерархии и самый узкий по размеру консонанс — кварта, 4:3.
65 В сохранившихся трактатах Никомаха такого ряда консонансов нет.
66 Никаких данных о музыкальной деятельности пифагорейцев Евбулида и Гиппаса, кроме этой главы из «Музыки» Боэция, не сохранилось. Современнику Аристотеля Евбулиду приписываются софизмы о лжеце («Если человек говорит, что он лжец, лжет он или говорит правду?») и о пределах умозаключения («Со скольких зерен начинается куча?»). В сохранившихся трудах Никомаха этой главы нет. Русский ее перевод (по Боэцию) см. в ценной книге переводов А.В. Лебедева (ФРГФ, 154-55).
67 Любое отношение двух неравных целых чисел можно рассматривать с двух сторон: как отношение большего числа к меньшему и как отношение меньшего к большему. И тот и другой «углы зрения» для Гиппаса и Евбулида логически равнозначны, т.к. таким,образом рассматривается одно и то же числовое отношение. «Двойное отношение» (duplex proportio), или «двойное число» (duplex numerus), означает отношение большего числа к меньшему (числа 2 к числу 1). Но оно предполагает и отношение меньшего числа к большему (числа 1 к числу 2). Именно в этом смысле следует понимать фразу Боэция о том, что «двойное отношение не может случиться без половины». На языке элементарной арифметики описываемая операция называется перестановкой членов, но если мы хотим глубже и адекватней понять логику мышления древних, недостаточно говорить просто о «перестановке членов», но о специфически античном, двухстороннем способе рассмотрения числовых отношений.
68 Судя по тексту Боэция, в понятие «обратное деление» (вариант перевода: «деление от противного») Боэций вкладывает не только перестановку членов отношения (1:2 вместо 2:1), но и последующее произведение сверхчастичного отношения с тем же основанием (в моем примере 2, т.е. Υι-я часть — это та самая часть меньшего члена сверхчастичного отношения, на которую ее превосходит больший; итак, получаем 3:2). Поэтому я оставляю оригинальный термин Боэция «обратное деление» (Бауэр дает перевод «opposing division»). Современных (и предшествующих) Боэцию других латинских трактатов, где использовался бы термин contraria divisio в описанном смысле, мне обнаружить не удалось.
69 ...quadruplam comparationem proportionis, т.е. четверное число.
70 Расположение консонансов строго соответствует порядку отношений, вычисленных последовательным выведением по принципу «обратного деления».
71 Изложенная в этой главе теория консонанса Никомаха не обнаруживается ни в одном из его сохранившихся трудов. Cp. Mus. I, 31-32.
72 Лучшими консонансами являются те, что заключены в кратных отношениях.
73 См. Mus. 11,18.
74 Vox = голос, и vox = высотно определенный звук.
75 Очередное определение звука здесь (sonus [est] modulatae vocis casus una intentione productus) — вариант определения звука, которое находится в предыдущей книге (Mus. I, 8). Фридляйн в I, 8 дает intensione, а в II, 20 — intentione; в контрольных рукописях устойчивого различия написаний нет (встречается и так и эдак). Совершенно

306
Основы музыки
Книга II
очевидно, что в обеих книгах Боэция подразумевается одно и то же определение звука, потому вариантам орфографии вряд стоит придавать глубокий смысл. «Мелосоразмерный» — экспериментальный перевод причастия modulatus, для логического согласования с идущим следом существительным modulatio.
76 Т.е. из сочетания «консонантных» (кратных и сверхчастичных) отношений с отношениями других родов неравенства.
77 Cp. Mus. I, 3 и похожее логическое рассуждение в IV, 1 (по Евклиду).
78 Теорема о вычитании непрерывных сверхчастичных отношений не встречается в других античных источниках. Это отступление нужно Боэцию, чтобы применить теорему (в следующей главе) в доказательстве того, что октава не относится к сверхчастичному роду неравенства.
79 Речь идет о смежных сверхчастичных отношениях, образующих в ряду натуральных чисел непрерывную арифметическую пропорцию, например, 2:3:4, 3:4:5 и т.п.
80 Напомним, что «вычитание» музыкальных интервалов — это деление соответствующих этим интервалам числовых отношений, а «сложение» интервалов — их перемножение. «Полуторное минус сверхтретное», таким образом, это то же самое, что ЪА : Уз — вычисление, в результате которого получается сверхосминное отношение %. «Удвоение» последнего (% χ % = %) оказывается меньше сверхтретного отношения (Уз) на величину полутона (подразумевается, лиммы), то есть, Уз : % = 25%ю.
81 Поскольку консонансы должны соответствовать либо кратным, либо сверхчастичным отношениям.
82 См. теорему в II, 21.
83 Доказательства о том, что две кварты превосходят квинту на полтора тона, в трактатах Боэция нет.
84 «Непрерывная» последовательность октавы, квинты и кварты является следствием такой же «непрерывности» (последовательности) в ряду натуральных чисел, составляющих отношения этих консонансов: 1:2:3:4; за отношением 1:2 непрерывно следует отношение 2:3, за ним так же непрерывно следует 3:4.
85 Поскольку в этой главе рассматриваются только квинта, кварта и октава, они и мыслятся от большего к меньшему. Таким образом, в этой иерархии «величины» тон размещается после кварты (а дитон и полудитон просто не рассматриваются). Далее логика такая: поскольку тон меньше кварты, то и число тона должно быть меньше числа кварты.
86 Нет кратного отношения, меньшего чем 1:2.
87 Тон получается при вычитании кварты («двойного отношения» в данном допущении) из квинты («тройного отношения» в данном допущении).
88 В данном допущении: два полуторных отношения (% χ 2 = %) превзойдут двойное отношение (2А).
89 Целый тон в непрерывной пропорции 2:3:4.
90 Квинта более консонантна, чем кварта.
91 Интервал, соответствующий отношению 4:1.
92 Отсюда и далее в отношении интервала «октава с квартой» я буду употреблять как синоним (позднейшее, но более понятное читателю) слово «ундецима».

Книга II
Комментарий
307
93 То есть, отношение не относится к сверхчастичному роду (когда числитель дроби на единицу больше знаменателя; в этом и заключается «простота»).
94 В естественном, натуральном ряду чисел, 1:2:3.
95 В сохранившихся работах Никомаха о проблеме ундецимы не говорится ни слова.
96 См. книгу V.
97 Λείμμα (в передаче позднеантичных латинских авторов limma) всегда вычисляется как остаток после вычитания из кварты двух целых тонов. В отличие от лиммы для диесы (лат. diesis, греч. δίεσις, от διΐημι пропускать, отпускать) в древней науке не было раз и навсегда установленного значения. В данном контексте диеса — синоним малого (букв, «меньшего») пифагорейского полутона.
98 Λείμμα (от Λείπω оставлять) собственно и значит в переводе «остаток».
99 Т.е. следующие непосредственно один за другим.
100 Наименьшее общее кратное, из результата умножения на которое можно будет произвести нужные отношения.
101 Т.е. в первых (наименьших целых) числах.
102 В надлежащем порядке (rato ordine) — в порядке восхождения натуральных чисел.
103 Числа 243. В этом проблемном месте — qui XIII minus quidem quam minoris octavam decimam, Бауэр (BowerB, 83, fn.74) предлагает заменить qui на quae (подразумеваются unitates. Это исправление принимается.
104 Слово semitonium предполагает, что «содержит»; на самом деле, как доказывает Боэций, не содержит.
105 См. Mus. Ill, 1, а также III, 13.
106 См. Mus. И, 8.
107 Т.е. 59049 не делится на 8 без остатка.
108 В переводе с греческого буквально «обрезок», «обрубок».
109 Сложение 243 с его осминой (30¾) дает 273¾ верхний предел тона. Интервал «апотома», соответственно, может быть вычислен как разность 273¾ и 256.
110 Т.е. в наименьших целых числах.
111 См. И, 28.
112 В сохранившемся тексте Аристоксена прямо не утверждается, что шесть целых тонов в сумме равны одной октаве. Этот тезис выводится из утверждения Аристоксена о том, что кварта состоит из двух с половиной тонов, а квинта — на целый тон больше кварты, октава складывается из квинты и кварты (Harm. II, 57), следовательно, октава состоит из шести тонов.
113 Т.е. шесть произведений от последовательного умножения единицы на 8.
114 В столбце с заголовком «осмины» (5-значные числа) Боэций указывает разности между целыми тонами, представленными в предыдущем столбце (с 6-значными числами).
115 Это вычисление точно повторяет девятую теорему «Sectio canonis» Евклида, которую позже Боэций приводит еще раз (не называя имени Евклида; см. IV, 2).
116 Первое в трактате упоминание слова comma. Любопытно, что Боэций не говорит «Евклид называет», или «Никомах называет», не говорит о комме безлично, но ис¬

308
Основы музыки
Книга III
пользует глагол в 1-м л. ед.ч. voco — «я называю». Но скорее всего, это лишь дань риторико-дидактическому стилю, вообще характерному для языка юного Боэция. В риторике (например, в трактате «Оратор» Цицерона) коммой (κόμμα; лат. incisum) называется наименьший осмысленный отрезок речи, сравнимый с фразой (или ее звеном). Возможно, именно это «немузыкальное» значение коммы Боэций держит в уме, когда определяет ее дальше (см. III, 10) как наименьший доступный слуху интервал. Первое свидетельство музыкально-теоретического употребления термина «комма» находится в комментарии Прокла (V в.) на «Тимей» Платона (DiehIP, 184). Прокл дает число коммы 531441:524288, но не объясняет его как разность шести тонов и октавы (это число просто констатируется, со ссылкой на «древних»). Собственное вычисление Прокла иное: определяя комму как разность целого тона и двух лимм, он пытается выразить ее дробными числами, но в ходе вычисления совершает арифметическую ошибку. В западноевропейской науке комма 531441:524288 вплоть до эпохи барокко называлась «боэциевой» и лишь в Новое время получила название «пифагоровой».
117 	По поводу мнения Аристоксена см. III, 3 и V, 14. Любопытно использование слова vitator (от vitare — избегать чего-л., уклоняться и т.п.), которое в классической и позднеантичной литературе больше нигде не встречается.
Книга III
1 Contractiora dimidio буквально — более стянутыми к половине.
2 Исправляю proportio на proportionalitas в соответствии с терминологией самого Боэция (см. его декларацию различия понятий proportio и proportionalitas в Arithm. И, 40; ср. Mus. II, 12) и требованием очевидного здесь контекста. Бауэр (BowerB, 88) и Мейер (МеуегВ, 171) переводят proportio (бессмысленно) — соответственно «geometric ratio» и «rapport géométrique», Марци (MarziB, 359) — «proporzione geometrica».
Если в «Музыке» описанный случай «неправильного» употребления proportio единственный (при том, что в «Музыке» 388 вхождений этого слова), в «Арифметике» proportio вместо proportionalitas встречается несколько раз, например: Si vero fuerint cybi, duas tantum habebunt medietates, <...> secundum geometricam scilicet proportionem (II, 46.2). Здесь странность Боэциева перевода очевидна из сравнения с Никомахом: <...> δύο μόνοι. εύρίσκονται ανάλογον μέσοι, οροί κατά την γεωμετρικήν αναλογίαν (Nie. Arithm. И, 24.6). Гийомен по-французски корректно: «seulement deux moyens proportionnels <...> selon la proportion géométrique» (Guill., 154); в английском переводе Мази тоже «geometric proportion» (MasiB, 173). Аналогично Гийомен поступает в II, 47.4 и в И, 54.6, где рукописи передают arithmetica proportio, geometrica proportio, при том что контекст (как и оригинал Никомаха) прямо говорит о пропорции. Переводя proportio и proportionalitas в зависимости от контекста совершенно грамотно, Гийомен , тем не менее, оставляет в неприкосновенности латинский текст. Он считает названные неправильности особенностью стиля раннего Боэция, который в «Арифметике» употребляет термины proportio и proportionalitas непоследовательно (Guill., 216).

Книга III
Комментарий
309
3 Arithm. II, 56-57. Для того чтобы разделить сверхчастичное отношение чисел пополам, требуется именно геометрическое среднее. Арифметическое и гармоническое средние, который могут возникать в сверхчастичном отношении, недостаточны для суждения о разбиении (делении) сверхчастичного отношения на две равные части.
4 В данном случае «индукция» — доказательство закономерности через приведение конкретных примеров.
5 Речь идет о среднем геометрическом.
6 Перевод vocula представляет некоторое затруднение: кажется, что в отдельных случаях это слово приобретает терминологический смысл, означая неопределенный по высоте звук. Бауэр: «some vague pitch», Мейер (буквально): «un petit son», Марци и Пауль трактуют здесь vox и vocula как полные синонимы. В других случаях vocula говорится в общелексическом смысле— «неясный / невнятный звук», «звучок», также «призвук».
7 Semitonium integrum здесь — «теоретический» полутон, который составляет ровно половину целого тона.
8 Анонимный комментатор IX в. глоссирует данное место так: «Этот звук потому не создает благозвучия, что целого полутона по природе не существует, потому что тон не может делиться на две равные части» (Gloss. Ill, 12).
9 Два — наименьшее целое число, на которое можно умножить оба члена отношения, чтобы получить «новые» числа, кратные изначальным.
10 Два больших полутона 17:16 (289:256) шире, чем целый тон (288:256, или 9:8).
11 Отношение 18:17, малый полутон в рассматриваемом допущении.
12 Т.е. сложим подряд два малых полутона (18:17).
13 Mus. I, 22; II, 28. Здесь «первый» значит нижний (меньший) член отношения двух неравных целых чисел (число 192 — в отношении кварты 192:256).
14 Здесь и далее (III, 3, 4, 13) Боэций неожиданно переходит к вычислениям с дробными числами (в «Арифметике» Никомаха и в «Арифметике» Боэция ничего подобного нет). Для обозначения частей единицы применяются особые графемы: кроме знака S (semis, для как здесь) встречаются также знаки, внешне очень похожие на SS, соответствующие дробям % (SS, bes) и М ($6, triens). При том что в «официальной» пифагорейской математике деления единицы быть не могло, в римской торговле и в инженерном деле дроби употреблялись (например, в труде Фронтина «О римском акведуке», 93 г. н. э.). Обзор соответствующих римских источников можно найти в статье MaherF. В приложениях к этой статье даны ценная подборка аутентичных текстов и таблица графем для дробей (правда, всё это без учета Боэция). Библиографию по источникам средневековой теории дробей (так называемых «минуций», от minutiae — мелочи, пустяки) можно взять в Gloss. IV, 194, Fn. 10, а сводку глосс для символов дробей в рукописях «Музыки»,— в Gloss. Ill, 400^103.
15 В этом месте Фридляйн улучшает текст Боэция, опираясь на позднейшие (D-Mbs Clm 14480 и Clm 6361) его рукописи: «Quod si dimidius tonus minor quidem est sesquisextadecima, maior vero sesquiseptimadecima proportione». Бауэр показывает (BowerB, 91, fn. 91), что чтение по контрольным рукописям приемлемо и без изменения смысла целого. Его и оставляю.

310
Основы музыки
Книга III
16 Cf. Aristox. Harmonica 2, 56-57.
17 Cf. Mus. II, 31.
18 Результаты (выше описанной) операции вычитания и (выше описанной) операции сложения должны совпасть. Сложение и умножение чисел у пифагорейцев связывалось с изменением «величины» звука в сторону повышения (intentio букв. — напряжение, подразумевается, струны), вычитание и деление — с изменением в сторону уменьшения (remissio букв. — расслабление) этой величины.
19 262144 χ% = 349525 %.
20 См. выше, И, 31. «Число коммы» 7153 появляется в III, 4 впервые. В И, 31 оно еще не фигурирует, там лишь в виде аксиомы сказано, что шесть тонов превосходят октаву на (арифметически пока не определенную) комму.
21 Сам по себе вывод о равенстве интервалов на основе равенства разностей чисел, выражающих эти интервалы, некорректен. Например, для 20:10 (октава) и 90:80 (целый тон) эти разности одинаковы (10). Однако в рассуждении о комме обоснование Боэция, хотя и не полно, но корректно, т.к. обе разности (7153) оказываются на самом деле образованными между одной и той же парой чисел — 531441 и 524288. Прибавление «к каждому из членов А В С D их половины» соответствует умножению чисел на % т.е. «транспозиции» всех звуков на квинту вверх. При этом (неназванная в III, 3) комма между В и С окажется точно в той же высотной позиции, что и комма между шестью тонами и октавой (в III, 4).
22 Это и последующее (в III, 8) Боэциевы свидетельства Филолая современное антиковедение признало сомнительными, что, конечно, не отменяет их значимости. Причем свидетельство о Филолае в Mus. Ill, 8 вообще уникально — параллельных и более ранних источников для него нет. Возможно, основу изложения Боэция для обоих свидетельств (III, 5 и III, 8) составил не дошедший до нас некий очередной комментарий к «Тимею» Платона. Подробнейшую аргументацию pro et contra см. у К. Хафмена (HuffmanPh, 364-374).
23 Если взять «главные» геометрические последовательности со знаменателями 2 и 3, а именно 1,2,4,8 и 1,3,9,27 и объединить их, то получится ряд 1,2,3,4,8,9,27 — знаменитая «небесная гамма» из платоновского «Тимея». Число 27, стоящее в конце этого ряда, кроме того, что является 3 в 3-й степени, еще и сумма предыдущих чисел: 1+2+3+4+8+9 = 27. Возможно, эти числовые манипуляции имел в виду Боэций, говоря об особом почитании пифагорейцами числа 27 (благодарю за идею А.Ю. Зубова). О другом (но также «астрономическом») значении числа 27 пишет Авл Геллий (II в. н.э.): «Пифагор говорил, что куб числа 3 имеет силу лунного цикла, потому что луна обходит свою орбиту в течение 27 дней и [делает это] в тройном числе» (Noctes Atticae I, 20). Бауэр и другие переводчики Боэция никак не комментируют это место.
24 Называние малого пифагорейского полутона (лиммы) диесой специфично именно для Филолая, см. цитату из него в «Гармонике» Никомаха (Harm. 9); этот фрагмент, так называемый «6а», наука считает подлинно филолаевским.

Книга III
Комментарий
311
25 Первого нечетного «линейного» числа, т.е. числа 3. Для современного школьника привычно звучит «квадрат числа», «куб числа». Древние так же рутинно употребляли «линия числа», т.е. линейное число.
26 То есть квадрата первого нечетного числа, 3><3=9. Пример такого же способа выражения: II, 12 (numerorum summas вместо summa numerorum). Хафмен (HuffmanPh, 373- 374) сравнивает «нечетную» цепочку Боэция 1,3,9,27 со знаменитой цепочкой Аристотеля (или его возможного источника Спевсиппа), у которого единице соответствует точка, 2 линия, 3 плоскость, а 4 тело. Наверняка, эту «мистическую» последовательность знал и Боэций. В «Арифметике» он пишет: «...итак, единица имеет силу точки, <...> длина выражается в двойном числе» и т.д. (Boet. Arithm. И, 4).
27 243:216 (= 9:8) — пифагорейский целый тон.
^Термины «диасхизма» и «схизма», которые вводятся здесь со ссылкой на Филолая,— первые исторические свидетельства употребления этих слов в музыкально-теоретическом контексте (в сохранившихся греческих текстах такого словоупотребления нет). Современные значения терминов «схизма» (отношение между пифагоровой и синтонической коммами) и «диасхизма» (отношение синтонической коммы и схизмы) не соответствуют Боэциевым. В каких конкретно трактатах произошла подмена понятий, точно установить не удалось. Во всяком случае, Боэциево понимание диасхизмы еще удерживалось на всем протяжении Средних веков (у Регино Прюмского, Энгельберта из Адмонта, Иеронима Моравского, Якоба Льежского, Псевдо-Тунстеда, Иоанна Боэна и многих других) и Возрождения (Уголино Орвиетский, Тинкторис, Глареан, Салинас и др.). В XVHI в. Леонард Эйлер (Tentamen VII, 12) уже определяет диасхизму как разницу между диесой (которой он называет интервал 128:125, известный также как «малая диеса») и синтонической коммой.
29 Здесь, по-видимому, закончилась цитата и началась интерпретация Боэция — на основе определений, данных «пифагорейцем Филолаем».
30 Боэций использует уточняющее прилагательное integer (чистый, истинный, настоящий, целостный) — integrum dimidium toni, integrum semitonium.
31 О микроинтервалах (о которых шла речь в предыдущей главе).
32 Речь о рутинной практике пифагорейцев — выведении нисходящих и восходящих интервалов путем последовательного откладывания вверх и вниз главных консонансов (октавы, квинты и кварты).
33 Выражения Боэция «тон вверху» и «тон внизу» относятся скорее к порядку откладывания консонансов, чем к расположению тона внутри квинты по «реальной» высоте. В первом случае первый консонантный шаг (на квинту) делается вверх, второй (на кварту) вниз. Во втором случае, наоборот, первый шаг (на кварту) делается вверх, второй (на квинту) вниз. Результат в обоих случаях одинаков (например, c-d-g).
Чертежи, которые иллюстрируют способы получения тона (как и последующие демонстрации получения музыкальных интервалов в этой книге), к сожалению, недостаточно наглядны. Современный читатель ожидает, что более высокие звуки (представленные буквами) будут отображаться правей, а более низкие — левей. В контрольных рукописях, однако, этот принцип выдерживается непоследовательно:

312
Основы музыки
Книга III
шаг на интервал вниз, например, отображается движением пера то влево, то вправо по отношению к исходной высоте (букве), и наоборот. Позднейшие копиисты, как сообщает К. Бауэр (BowerB, 98, fn.19), более пристально следят за согласованием высоты и ее линейного отображения, последовательно располагая на чертеже высшие звуки справа, а низшие — слева.
34 Выражение «посредством консонанса» (per consonantiam) в данном контексте может вызвать у читателя подозрение в непоследовательности Боэция, ведь целый тон никоим образом не консонанс. На самом деле, перед нами — типичная для Боэция эллиптическая манера выражения. Полностью его надо понимать как «целые тоны, выведенные приложением методики откладывания консонансов вверх и вниз».
35 Методом откладывания консонансов вверх и вниз от «базовой» кварты.
36 Порядок восхождения букв в латинском алфавите (буквы I / J пропущены) в целом показывает порядок шагов в совершенных консонансах, то есть метод выведения с помощью таких шагов тонов и полутонов. Таким образом, последовательность избранных букв не случайна; она и указывает на практический метод:
Алфавитные буквы - «высоты» Боэция
(1) C-F-B-Es-As-Des (первый шаг вверх) ABCDEF
(2) C-g-D-a-E (первый шаг вниз) GHKL
(3) Des-Ges (вверх, чтобы показать недостающие полутоны) (F)M
(4) Е-Н (вниз, чтобы показать недостающие полутоны) (L)N
37 В условных высотах, интервал h-ges' (MN) меньше интервала квинты h-fis' (на схеме Боэция не показана) на комму ges'-fis'.
38 Доказательство 3 (из «Sectio canonis» Евклида) дано далее, см. IV, 2.
39 Некое сверхчастичное отношение А:В (например, 4:6) сведено к наименьшим, «первым», числам C:DE (например, 2:3).
40 То есть на одну часть числа С.
41 То есть число D будет кратно числу DE.
42 Несводимые к меньшим; имеются в виду «первые» числа натурального ряда.
43 Например, 2:1, «первые числа» для кратного отношения.
44 «Корни» — синоним «первых чисел» натурального ряда.
45 Смысл сделанного Боэцием «уточнения» Архита в том, что разность величиной в единицу случается не только в сверхчастичном отношении, но и в кратном, например, в отношении 2:1; таким образом, его утверждение не универсально. Обсуждение см. в издании «Sectio canonis», подготовленном А. Барбера (BarberaE).
46 Cp. Mus. И, 9, вторая аксиома.
47 У Бауэра в переводе здесь получается наоборот: «Let this be D, which compared with A, exceeds it by 2 И» (BowerB, 108).
48 Напомним, что ВС — не целый тон; поэтому этот интервал и распадается на два малых полутона BF и FC.
49 Боэций совершает здесь арифметическую ошибку. Она заключается в некорректном способе сравнения дробей: вместо мультипликативного автор использует аддитивный метод. Смысл ошибки можно проиллюстрировать на примере. Пусть А = 16,

Книга IV
Комментарий
313
В = 24, С = 27. ВС — целый тон (8:9), а AB — квинта (2:3). К — разность между С и В, равная 3, «число целого тона». Произведем теперь вычисления, следуя логике автора. Утроенная величина К превосходит разность В и А, равную 8. Следовательно, интервал AB меньше утроенного интервала ВС, то есть квинта меньше трех целых тонов, что́ неверно. Эту ошибку разбирает в своей статье А. Барбера (Barberai).
Любопытно, что конечный результат вычислений Боэция (в III, 14-16) соответствует «акустической» истине: малый полутон (лимма), в самом деле, больше, чем 3 коммы, но меньше, чем 4; апотома (которая обсуждается в следующей главе), в самом деле, больше 4 комм, но меньше 5; целый тон, наконец, и вправду больше 8 комм, но меньше 9.
50 См. Mus. И, 30.
51 В действительности, помимо деления однострунного канона (монохорда), занимающего бо́льшую часть Четвертой книги, Боэций затронет также ряд других тем: греческую нотацию, виды консонанса и, наконец, лады (тоны, тропы) — самую сложную тему античного учения о музыке.
Книга IV
1 Первая глава Четвертой книги представляет собой латинский пересказ вводной части (до теорем) «Sectio canonis» Евклида (Псевдо-Евклида).
2 Regula понимается здесь в значении измерительного инструмента (по-русски — правило или линейка), монохорда.
3 В описании зависимости высоты звука от характера движения Боэциевы прилагательные «медленный» и «быстрый» (tardus, velox) неточно передают оригинальные Евклидовы определения «плотный» и «разреженный» (πυκνός, αραιός).
4 Евклид связывает высоту звука не только с напряжением (например, струны или голоса), но и с количеством движения — эта связь в данном переводе Боэция потерялась. Кроме того, Боэций почему-то переводит δέον (необходимый, должный) как medius (средний, умеренный). В оригинале: «Более высокий звук ослабляют до нужного путем отнятия движения, более низкий напрягают до нужного путем прибавления движения».
5 Только данные три рода отношений называются «простыми» (и «первыми»). Кратно-сверхчастичный и кратно-сверхчастный роды неравенства (не вошедшие в данный перечень) составлены из простых. См. Arithm. I, 29.
6 Например, слово dupla (подразумевается proportio) — синоним октавы (diapason), слово sesquioctava — синоним целого тона (tonus), и т.д. Напомню, что термины числовых отношений выступают в пифагорейских трактатах о музыке как полноправные заместители (и синонимы) музыкальных интервалов.
Само по себе данное утверждение Боэция выглядит немного странно, ведь ровно то же можно сказать и в отношении сверхчастных (superpartientes) отношений, напри-

314
Основы музыки
Книга IV
мер, слова «двойное сверхдвухчастное» (duplex superbipartiens) [отношение] — синоним для «кварты с октавой» (см. Mus. I, 4) и т.п.
Этот неожиданный пассаж, возможно, представляет собой компромисс соответствующего места из «Sectio canonis». Грек говорит так: «В числах одни состоят в кратном отношении, другие в сверхчастичном (эпиморном), третьи в сверхчастном (эпимерном), так что и звуки между собой должны состоять в таких же отношениях. Но только кратные и сверхчастичные называются одним словом (έν ένί όνόματί)». Дело в том, что у Евклида термины для кратных и сверхчастичных отношений представляют собой единичные слова (έπόγδοος — сверхосминный, т.е. целый тон; διπλάσιος — двойной, т.е. октава, и т.п.); сверхчастные же отношения одним словом не обозначаются, но представляются описательно, например, «отношение 7 к 4». (Подробно трактовки этого места разбирает Эндрю Баркер (BarkerGMW, 192-193, fns. 6, 8).
Переводить Евклидов текст дословно Боэций не решился, потому что главный его математический авторитет Никомах не только кратные и сверхчастичные, но также и сверхчастные отношения успешно выражал одним словом (см. Nie. Arithm. I, 21). По Никомаху, термин έπιδίτρείΌς («сверхтрех-двухчастный») означает две части сверх трех, то есть отношение 5:3, έππιριτέταρτος («сверхчетырех-трехчастный») — три части сверх четырех, т. е. отношение 7:4, и т.д. Для Боэция одно слово superbipartiens (сверхдвухчастный) — синоним superbipartiens tertias (5:3); одно слово supertripartiens (сверхтрехчастный) — синоним sup er trip artiens quartas (7:4) и т.д. (Подробней о терминах сверхчастных отношений автор написал в Arithm. I, 28). Так Боэций, проигнорировав в своем переводе уточнение Евклида έν ένί ονόματα, попытался устранить противоречие между Никомаховой и Евклидовой терминологиями числовых отношений.
7 Simul pulsae ясно указывает на то, что под консонансами и диссонансами здесь подразумеваются вертикальные («гармонические») интервалы.
8 Далее Боэций переводит (впервые по-латыни) и немного толкует предложения 1-9 «Деления канона». Критический анализ греческих и латинских источников этого знаменитого пифагорейского текста дал А. Барбера (BarberaE). Ориентируясь на маргиналии в некоторых контрольных рукописях, Бауэр в своем переводе снабжает Евклидовы предложения порядковыми номерами (отсутствуют в издании Фридляйна). Для удобства сравнительного анализа греческого оригинала и разных переводов (в том числе русских) я сохраняю эти номера (в квадратных скобках).
9 Здесь автор «Деления канона» опирается на (им же?) ранее доказанное положение в «Началах» (Elem. VIII, 7).
10 В контрольных рукописях Боэция наоборот — «первое число измеряется последним и им же измеряется среднее». Очевидно, это один из случаев «стабильной описки» (вместо si primus ultimum, составитель рукописного прототипа дал si primum ultimus). Привожу латинский оригинал в соответствие с греческим текстом «Sectio canonis» (о δέ πρώτος τον έσχατον μετρή, καί τούς μεταξύ μετρήσει). Только у Герцмана и Бауэра первое и среднее числа непрерывной пропорции измеряются последним (т.е. перевод «в оригинал»), все остальные переводчики (Пауль, Мейер и Марци) дают правильно, по смыслу, как бы «не замечая» описки в латинском тексте.

Книга IV
Комментарий
315
11 Предложение Боэция в такой формулировке непонятно. В соответствующем месте «Деления канона» (в пересказе Порфирия) это обобщение касается не отношений сверхчастичного класса, а вообще любых отношений: «сколько пропорционально средних оказывается между наименьшими числами, столько же их окажется и между [большими], имеющими то же самое отношение». Ср. Начала VIII, 8.
12 Некоторые «порядковые» буквы латинского алфавита намеренно пропущены.
13 Удвоенное А = 524288, шесть целых тонов = 531441. Хотя термин «комма» у Евклида не звучит (у Боэция «комма» впервые — в Mus. И, 31), он фактически вычисляет ее.
14 Очевидно, что nota еще не стала музыкальным термином, не отделилась от номинального общелексического смысла (знак, значок). К тому же, кажется, что Боэций не различает nota и notula — под обеими подразумеваются знаки вообще и специальные.знаки музыкальной нотации. Далее я перевожу «нота» или «знак», ориентируясь только на контекст.
15 Здесь две важнейшие мысли: (а) знаки нотации — это символьные обозначения ступеней («струн») Полной системы; (б) нотация охватывает всё многообразие Полной системы, во всех его родовых и ладовых (ладозвукорядных) «инкарнациях».
16 ...adscribere... distentum. Трудная для перевода фраза, в которой путаются rhythmus (rythmica compositio), metrum и versus. Переводчики грамматически связывают versum и distentum: BowerB, 123: «...to write down some melody over a verse, set out in the rhythmic structure of some meter». MeyerB, 237: «...noter une mélodie au-dessus d'un vers scandé selon la structure rythmique du mètre». MarziB, 388: «<desideroso> di delineare una melodia sul verso disteso nella ritmica struttura dei metro». Загадкой остается, зачем Боэцию понадобилось дополнительное уточнение rythmica compositione metri. Возможно, речь идет о способе записи («ритмической композиции») строфы — не сплошной строкой (как проза), а «по метрам», т.е. именно так, как привычно для нас стихи записывают и поныне — каждый новый стих отдельной строкой (так, например, структурированы строфы в рукописях со знаменитыми гимнами Месомеда; см. DAGM, 92 ss.).
17 Контекст употребления слова musicus в IV, 3.2 расширяет определенный прежде (в I, 34) круг занятий «музыканта»; можно сказать, второй контекст даже противоречит первому. Ныне musicus описывается не только как философ-математик, но и как грамотный практик-профессионал, прилаживающий мелодию к поэтическому тексту и затем нотирующий целое. Подробней см. в статье ЛебедевМММ.
18 Для демонстрации греческой музыкальной нотации Боэций останавливается на звукоряде именно лидийского тона, как и Алипий (его учебник о нотации датируется очень неопределенно, между II и V вв. н.э.), который также начинает рассмотрение нотации с лидийского (у него — лидийского диатонического, у Боэция — по всем трем родам) тона. Вряд ли случайно, что Гауденций начинает таблицы музыкальной нотации (которые сохранились лишь частично) тоже с разновидностей лидийского тона (а именно с гиполидийского). Как считает Т. Матисен, преимущественный выбор группы лидийских тонов связан с тем, что именно в них нотационные

316
Основы музыки
Книга IV
графемы представлены в своей наиболее «естественной» (т. е. немодифицированной) форме (GaudEng, 82, fn. 39).
19 Далее, см. IV, 15.
20 Под «ущербными» (imminuti) Боэций имеет в виду «недописанные» буквы, то есть графемы, в которых недостает какого-то элемента (см., например, неполную дзету, которой обозначен просламбаномен); под «изогнутыми» (inflexi) — вертикальные и горизонтальные инверсии букв (см. начертание гаммы для гипаты низших, альфы для энармонической парипаты низших и др.). Можно только восхититься грамотностью подразумеваемого Боэцием читателя его «Основ», который, изучая музыку, способен «смутиться» от неправильного написания греческих букв! Причина, по которой грекам пришлось задействовать графические искажения букв, кажется, тривиальна: для описания всех ступеней Полной системы, взятых во всех родах, алфавита не хватает. Кроме того, одну и ту же высоту, но относящуюся к разным ладам («тонам»), греки могли йотировать разными графемами.
21 Эта фраза обычно цитируется как свидетельство «консервативности» Боэция, как доказательство почитания им «древних» (а это означает греческих) авторитетов. Ни в коей мере не отрицая глубочайшего уважения, которое Боэций проявляет к античной древности, замечу, что в контексте фраза эта сказана всего лишь в извинение перед читателем, недоумевающим от странных (искаженных) очертаний греческих «нот».
22 Под «знаками для текста» (notulae dictionis) подразумевается вокальная нотация, под notulae percussionis (percussio букв. — удар, сотрясение) инструментальная. Вероятный греческий прототип для percussio Боэция — греческое слсшо κροϋσις (или κρούσμα / κροϋμα), которое со времен Платона подразумевало игру на струнном (щипковом) инструменте, а в поздних греческих тестах (Аристид Квинтилиан, Гауденций, Алипий и др.) инструментальную музыку вообще. Латинская калька percussio в таком значении раньше Боэция не используется. Грецизм crusma встречается в латинских трактатах Псевдо-Цензорина «Epitoma disciplinarum» (около III в.: crusmata pulsus decori sine carmine vocantur) и у Марциана Капеллы (melos probare ас tonos et crusmata). Странно, что Боэций, включивший «инструментальную музыку» в свою общетеоретическую классификацию и свободно употребляющий родное слово Instrumentalis в других местах своего трактата (см., например, Mus. I, 2), здесь как бы «недоинтерпретировал» заимствованный термин.
Эта и нижеследующая (IV, 4) таблицы греческой нотации, к сожалению, охватывают не всю звукоступенную систему греков. В описаниях Боэция нет особых символов для пяти ступеней энармонического рода (графемы диатонических и хроматических парипат и трит, возможно, были идентичными, так как указывали на одну и ту же высоту): нет энармонических парипаты низших, парипаты средних, триты соединенных, триты отделенных и триты высших.
Применяемая Боэцием система греческой нотации очень похожа на те системы, которые изложены в учебниках Алипия и Гауденция, хотя и несколько отличается от них. В дальнейшем я показываю разночтения между Боэцием и Алипием в гра¬

Книга IV
Комментарий
317
фемах, используемых для нотации лидийского тона. Разночтения в графемах между этим изданием и изданием Фридляйна (FB) не показаны.
23 После долгого перерыва Боэций возвращается к «каталогизации» струн, связывая теперь их имена со знаками нотации. Интересно, что только в IV, 3 грецизмы последовательно даны с латинскими переводами греческих имен, которые почти дословно совпадают с соответствующими переводами Марциана (у Марциана παράμεση переведена как prope media, у Боэция как submedia). Подробней о Марциане, Боэции и их возможном источнике см. мой комментарий к I, 26.
Любопытно, что только здесь и еще один раз в сводной схеме в IV, 4 Боэций дает paramesos (так во всех контрольных рукописях). В остальных 60-ти случаях в «Музыке» название этой ступени дано в форме paramese. У греков (в «Гармонике» и Фрагментах Никомаха, у Аристида Квинтилиана, Алипия и др.) слово παράμεσος (подразумевается φθόγγος или χορδή) используется просто как синоним παράμεση. У Алипия, например, в совершенно идентичном контексте форма παράμεση проходит трижды, a παράμεσος — остальные 35 раз. «Странное исключение» Боэция свидетельствует, на мой взгляд, о прямом заимствовании слова из греческого источника, послужившего прототипом для теории нотации (скорее всего, из Алипия). Позднейшая средневековая музыкальная наука, не раз воспроизводившая терминологию Полной системы, приводит это слово только в форме paramese (ни одного вхождения paramesos не обнаруживается).
24 Имеется в виду энармоническая лихана низших. Здесь и в следующей главе для обозначения лихан и паранет используется специфическая терминология: название струны пропускается, остается лишь ее атрибут по роду («энармоническая», «диатоническая», «хроматическая», причем транслитерацией, а не переводом, с греческого — έναρμόνίος, χρωματική, διάτονος) и по тетрахорду («низших», «средних» и т.д.). Точно такая же «эллиптическая» терминология для тех же ступеней Полной системы применяется у Никомаха (вместо «энармоническая лихана низших» Никомах говорит «энармоническая низших», вместо «диатоническая паранета отделенных» просто «диатоническая отделенных» и т.д. (см. Nie. Harm. 12 и Nie. Excerptum 9). Можно предположить, что именно Никомах был источником терминов Боэция. Для диатонических лихан и паранет (но не для хроматических и энармонических) такое же сокращение применяется в учебнике Алипия. Полная (несокращенная) номенклатура для лихан и паранет приведена у Боэция в Mus. I, 22.
25 Алипий описывает графему энармонической лиханы низших (в инструментальной нотации) как инвертированную дигамму: Ь.
26 Хроматическая лихана в тетрахорде низших. В графике по изданию Фридляйна (FB) встречаются неточности. Здесь и далее я исправляю графемы, ориентируясь на издание К.Бауэра.
27 У Алипия эта ступень изображается так: Ύ.
28 У Алипия (инвертированная дигамма с черточкой): -t.
29 То есть перестраиваемая струна в тетрахорде низших (диатоническая лихана).
30 Энармоническая лихана в тетрахорде средних.

318
Основы музыки
Книга IV
31 Хроматическая лихана в тетрахорде средних.
32 Алипий располагает черточку по-другому: П.
33 Кинумена в тетрахорде средних (диатоническая лихана).
34 Даю графему, как в сводной таблице нотации в IV, 4 (по Бауэру и по Фридляйну). Та же графема, но в тексте IV, 3, у Бауэра дана с усечением правой ножки буквы пи (левая ножка выписана полностью), что соответствует Алипиевому написанию.
35 Энармоническая паранета в тетрахорде соединенных.
36 Хроматическая паранета в тетрахорде соединенных.
37 Алипий располагает черточку по-другому: Ή.
38 Алипий располагает черточку так: >.
39 Т.е. кинумена в тетрахорде соединенных (диатоническая паранета).
40 Буквальный перевод с греческого. О латинизмах в названиях струн см. выше.
41 Энармоническая паранета в тетрахорде отделенных.
42 Хроматическая паранета в тетрахорде отделенных.
43 Хроматическую паранету отделенных Алипий описывает как дельту с острым акцентом: К.
44 Начертание Алипия несколько отличается местоположением диагональной черты: 13ч
45 Это — единственное место в номенклатуре струн Полной системы, где греческий оригинал διάτονος (χορδή) оставлен в виде латинской транслитерации diatonos; в остальных терминах подвижных струн слово διάτονος переведено на латынь словом extenta (chorda), то есть «напряженная» (струна). У Марциана диатоническая разновидность подвижной струны последовательно названа именно словом extenta (De nupt. IX.931 et passim). Терминологическое исключение, наблюдаемое в отношении диатонической триты отделенных — либо недосмотр Боэция, либо тот самый редкий случай, когда ошибка вкралась в рукописный прототип «Музыки», в IX веке размноженный во всех контрольных рукописях (см. об этом подробней во Введении).
Поскольку диатоническая паранета отделенных высотно совпадает с нетой соединенных, обе ступени йотируются одинаково.
46 У Бауэра графемы, которыми йотируется трита высших, разные (опечатка?),— одна на BowerB, 125 и другая (ту, что я привожу) — в таблице на BowerB, 127.
47 Энармоническая паранета высших.
48 Хроматическая паранета высших.
49 Вариант Алипия (перевернутая тау с острым акцентом): Б.
50 У Алипия — ?ч (с острым акцентом).
51 Диатоническая паранета высших, кинумена в этом тетрахорде.
52 У Бауэра на разных страницах (126 и 127) используются разные графемы (возможно, по недосмотру). Боэциеву описанию соответствует только та, что приведена на с. 127. Ее и беру в свой перевод.
53 Сводная таблица вкратце повторяет то, что было подробно изложено в предыдущей главе. Знаки вокальной нотации выписаны в первом ряду, инструментальной — во втором (для большей наглядности они затенены серым цветом). Графемы

Книга IV
Комментарий
319
для некоторых энармонических и хроматических ступеней Полной системы отсутствуют (см. мое примечание к IV, 3).
В крайнем правом столбце я даю сокращенные обозначения ступеней Полной системы, образованные, главным образом, по начальным буквам латинских наименований этих ступеней. Эти же аббревиатуры я использую и в нижеследующих Боэциевых таблицах монохорда (IV, 6-11). Ключ к обозначениям: Р = просламбаномен, НН = гипата низших, рНН — парипата низших, в родовых разновидностях: DpHH = диатоническая парипата низших, СрНН = хроматическая парипата низших, ЕрНН = энармоническая парипата низших; LH = лихана низших (здесь и далее подвижные струны — с родовыми разновидностями), НМ = гипата средних, рНМ = парипата средних, М = меса, рМ = парамеса, TS = трита соединенных, pNS = паранета соединенных, NS = нета соединенных, TD = трита отделенных, pND = паранета отделенных, ND = нета отделенных, ТН = трита высших, pNH = паранета высших, NH = нета высших.
54 Очевидно, что vox и sonus употребляются здесь как синонимы (ср. Кн. V, где различие между vox и sonus проводится).
55 Подразумевается, что натяжение и материал сравниваемых струн идеально совпадают.
56Натяжение струны и повышение звука обозначается у Боэция одним и тем же глаголом (и производными от него) — intendere; соответственно ослабление струны и понижение одним и тем же глаголом — remittere. Подыскать единство обоих значений в каком-нибудь одном русском слове мне не удалось.
57 Бауэр видит (подробно не растолковывая) в рассуждении Боэция, связывающем понятия количества, длины и высоты звука, следы неоплатонизма: «This passage links Boethius's monochord division, indirectly at least, with the tradition of Plato's Timaeus as developed in the Neoplatonic schools» (BowerB, 128).
58 На этой и последующей схемах латинские буквы сверху линейки — «геометрические» точки деления, графемы внизу линейки — запись высот (ступеней Полной системы) в греческой инструментальной нотации (см. IV, 3-4).
59 Поскольку паранета высших ровно на октаву выше лиханы средних.
60 В тексте Боэция не хватает заключительной части, описывающей разметку на монохорде парипат и трит. Как считает Бауэр, этот текст отсутствовал уже в пресловутом «греческом источнике» Боэция. В качестве заполнения лакуны он предлагает собственную реконструкцию (BowerB, 130-131), которую я здесь опускаю.
61 Monochordum netarum hyperboleon букв. — «монохорд высших нет», т. е. деление той части канона, которой принадлежат неты высших (множественное число применяется формально — из-за того, что родов три). Такие же «эллиптические» заголовки в IV, 8 и IV, 9. Для удобства читателя перевожу по смыслу.
62 Это предложение и последующее относятся к схеме, заканчивающей предыдущую главу. Окончание пятой главы не сохранилось. На последней в сохранившемся тексте схеме полутонов нет.

320
Основы музыки
Книга IV
63 В распорядке ладов (см. далее, IV, 15) Боэций начинает от гиподорийского (как самого нижнего «тона»). Остается непонятным, чем именно лидийский лад (тон) «проще» и почему он «главнее» других.
64 О ладах (тонах, тропах) см. подробно дальше, в IV, 15-17.
65 В делении канона для каждого рода мелоса должна быть определена своя совокупность чисел, закрепляющая отношения основных строительных интервалов в звукоряде: тонов, (не упомянутых здесь Боэцием) полутонов и (упомянутых) диес.
66 Число 9216 для проеламбаномена и число 2304 для неты высших (а также 4608 для месы) отмечаются впервые в трактате о музыке (III, 2) Аристида Квинтилиана (Матисен датирует этот труд самое позднее IV в. н. э.). Эти пределы позволяют математически точно выразить все ступени диатонического двухоктавного звукоряда греков в виде целых чисел. Однако числа 9216 недостаточно, чтобы в целых числах математически точно определить также ступени энармонических и хроматических тетрахордов (о том, что делает в них Боэций, см. мои примечания дальше в этой главе). Аристид ограничивается только указанием «основных» чисел, детальных вычислений для всех ступеней Полной системы у него нет. Ее расчет для всех ступеней (включая тетрахорд соединенных) в трех родах впервые в истории регистрируется именно у Боэция.
При том, что десятки страниц трактата Боэция исписаны изложением простейших арифметических операций, вводимые здесь наименьшие «первые» числа никак не аргументируются. Между тем, расчет всего монохорда в целых числах — трудоемкая арифметическая задача. Имя математика, впервые решившего эту задачу, неизвестно.
67 Буквами алфавита Боэций снабжает абсолютно все ступени двухоктавного звукоряда Полной системы в диатоническом роде. В хроматическом роде буквы выделены только для высот, отличающихся по высоте от диатонических аналогов (например, хроматическая трита высших совпадает по высоте с диатонической тритой, собственная буква не выделена; хроматическая паранета высших не совпадает по высоте с диатонической, собственная буква выделена). В энармоническом роде буквы выделены под все кинумены, потому что, в отличие от хроматики, сходные названия «струн» (ступеней) не означают высотной аналогии с другими родами. Например, в тетрахорде высших энармоническая паранета совпадает по высоте не с хроматической (и диатонической) паранетой, а с хроматической (и диатонической) тритой.
Интересно, что в алфавитном ряду, который простирается от А до Z и от АА до LL (V и U, I и J, как это обычно у римлян, считаются одной и той же буквой), пропущено сдвоенное I (то есть II). Боэций никак не объясняет этот пропуск. Можно предположить, что II пропущено, для того чтобы на схеме тетрахорда высших (где по логике должно было находиться сдвоенное I) читатель не спутал этот высотный «маркер» с многими (римскими) числами, начинающимися с II; как назло, они располагаются как раз в этом тетрахорде.
Можно с натяжкой считать систему «геометрической» нотации Боэция исторически первой буквенной латинской нотацией, с той, однако, разницей, что последо¬

Книга IV
Комментарий
321
вательный ряд его букв не совпадает с последовательным возрастанием высот (как в привычной нам системе Псевдо-Одо и Гвидо Аретинского, где ряд А В С D и т.д. означает именно последовательное возрастание высоты звука).
68 Считая сверху системы.
69 Впервые на страницах трактата о музыке встала задача вычислить «триполутон» («полудитон» и «малая терция» в позднейшей терминологии). Боэций вычисляет его весьма своеобразно: он прибавляет к разности чисел, выражающих «расстояние» целого тона между нетой и диатонической паранетой высших (288), ее половину (144), а затем прибавляет полученное число к числу диатонической паранеты (144+2592). Число для хроматической паранеты высших готово (2736). В дальнейшем то же самое делается в отношении других хроматических тетрахордов Полной системы. Таким образом, «незаметно» пифагореец Боэций переходит от правильного «геометрического» вычисления интервалов к арифметическому. Если привести полуторатон в хроме Боэция (2736:2304) к «первым числам», получится необычное отношение 19:16. Соответственно, полутон от паранеты до триты получается равным 2916:2736 (или, в первых числах, 81:76), а полутон от триты высших до неты отделенных — 3072:2916 (768:729). Такие вычисления интервалов хроматического рода, кажется, уникальны. Во всяком случае, в трудах предшественников Боэция (ни греческих, ни латинских) найти их мне не удалось.
70 Этого предложения нет у Фридляйна, а также нет в контрольных рукописях (см. BowerB, 134, fn.56). В последовательном алфавитном ряду удвоенная G (GG) явно пропущена, на что обратили внимание составители позднейших списков Боэция, добавив ее в текст шестой главы и в схему тетрахорда высших. Вслед за Бауэром, который учитывает эту традицию, я восстанавливаю буквенный символ GG.
71 И вновь — теперь для вычисления диес энармонического тетрахорда — пифагореец Боэций использует деление отношения через арифметическое среднее. Лимму (256:243) тетрахорда высших он выражает числом 156 (= 3072-2994), затем попросту делит это число пополам и прибавляет полученную половину к диатонической паранете высших. Таким образом получается число энармонической триты высших: 2994. Отсюда и возникают две диесы 3072:2994 и 2994:2916, или в наименьших числах: 512:499 и 499:486. Другими словами, Боэций делит лимму на две диесы арифметическим средним (лимма = 256:243 = 512:486, а 499 — арифметическое среднее чисел 512 и 486). Примеров такого деления монохорда в греческих источниках мне не встречалось.
Получившиеся уникальные диесы все-таки не равны друг Другу, поскольку арифметическая средняя всегда делит интервал на неравные части, впрочем, в данном случае различие этих диес (около 1 цента) неуловимо для слуха.
72 На первой схеме монохорда и четырех последующих названия ступеней Полной системы даны в сокращении. Ключ к сокращениям ступеней см. в таблице в IV, 6. Интервалы обозначены также сокращенно: τ (греческая тау с надстрочным омикроном; целый тон), τ (тау с надстрочной йотой; полутон; Боэций не уточняет, какой именно, но, по-видимому, малый), ξ> (дельта с подписной

322
Основы музыки
Книга IV
йотой; диеса). Именно в такой форме графемы даны в большинстве контрольных рукописей. Знак Т (латинская Т с надстрочной s), который использовал для полутона Фридляйн, в указанных рукописях я не обнаружил. Генезис интервальных обозначений для тона (две первых буквы греческого слова τόνος) и диесы (две первых буквы δίεσις) очевиден. Смысл обозначения полутона τ, напротив, совершенно не ясен.
Ни в одной из контрольных рукописей нет буквы (GG) для энармонической паранеты высших (ΕρΝΗ). Поскольку высота энармонической паранеты совпадает с высотой диатонической (и хроматической) триты, то, возможно, это обстоятельство и сделало выделение под эту ступень особой буквы в энармонике ненужным. Аналогично, ни один из манускриптов IX в. не содержит буквенного символа для энармонической лиханы низших (ELH). Бауэр обозначает ее буквой G, следуя графике некоторых позднейших рукописей (BowerB, 144-145, fn. 63).
Любопытно, что в этой и последующих таблицах Боэций различает родовые варианты трит и паранет (обозначает их разными числами), в то время как в главах, посвященных нотации, он определял для всех трех одну и ту же графему (см. IV, 3-4).
73 То есть полуторатон (который мыслится сложенным из трех полутонов).
74 Напомню, что «диесой» Боэций называет микроинтервал энармонического рода (впервые в Mus. I, 21; затем в I, 23 и далее), она же (со ссылкой на Филолая в III, 8) названа «диасхизмой» (слово, которое по-гречески, между прочим, тоже начинается с дельты). Не следует путать энармоническую диесу в Боэциевом понимании (именно такая и помечена символом ф на обсуждаемой схеме) с диесой «древних», которые, по словам нашего же автора, называли этим словом малый (меньший) пифагорейский полутон (Mus. II, 28; III, 5; III, 8).
75 Целым тоном, который лежит между парамесой и месой.
76 То есть разделим тетрахорд соединенных (начинающийся с неты соединенных) в трех родах.
77 Не до конца, так как «число полутона» Боэций не привел. По его же методу этот (малый) полутон следовало вычислить как 4608-4374=234.
78 Необходимых для хроматического интервала между нетой и паранетой.
79 Поскольку автор арифметически разделил целый тон на две части, высота хроматической триты соединенных слегка не совпала с парамесой (4104 против 4096). Последняя была вычислена правильно, «пифагорейски», как 3072 + треть от этого числа. Такое небрежение проблемой полутона (которому до этого посвящены многие страницы трактата) несколько странно. Напрашивается простое объяснение: музыка в хроматическом роде (как, впрочем, и в энармоническом) во времена Боэция уже не звучала, а деление тетрахордов в хроматическом и энармоническом родах стало «абстрактным» учебным упражнением, данью традиции.
80 Последнего предложения нет в тексте оригинальных рукописей, но буква G, обозначающая энармоническую лиханунизших, присутствует в графике нескольких рукописей. Очевидно, что в последовательном алфавитном ряду высот (геоме¬

Книга IV
Комментарий
323
трических точек) буква G напрашивается. Поэтому я добавляю это предложение для единообразия описания монохорда, вслед за Бауэром (BowerB, 144-145).
81 Троякая классификация ступеней (струн) Полной системы идентична классификации в «Гармонике» Никомаха (Harm. 12). Обычно греки выделяют только два «типа мобильности»: постоянные (έστώτες) и подвижные (κινούμενοι) ступени. О ступенях третьего типа (которые могут быть названы одновременно и подвижными и постоянными) в греческих прототипах кроме Никомаха мне неизвестно. Ю.Н. Холопов предложил для греческих слов удобные русификации — соответственно, «гестоты» и «кинумены» (МТС, 71).
82 Т.е. находятся на границах тетрахордов и пентахордов в Полной системе.
83 Все лиханы и все паранеты — разные по высоте в каждом из трех родов мелоса. По классификации Боэция они подходят под разряд «вполне подвижных» (ср. также окончание этой главы).
84 Mus. IV, 11.
85 Ступени разных родов — диатонического и хроматического — могут оказаться одинаковыми по высоте, потому они могут считаться «неподвижными». Однако та же ступень в энармоническом роде того же тетрахорда — иная по высоте, потому она может называться «подвижной». Выходит, что такого типа ступень не может быть причислена ни к классу подвижных, ни к классу неподвижных ступеней тетрахорда.
86 Буквально «по силе», либо «по значению». Возможно, речь идет об «интервальном» значении ступени в заданном звукоряде (в данном случае Полной системы), так сказать, интервальной функции (таковые Ю.Н. Холопов рутинно называл «модальными») — в таком же смысле слово vis часто используется и в средневековой теории музыки, например, в знаменитых трактатах «Musica enchiriadis» и «Scolica enchiriadis» и других анонимных текстах «группы Enchiriadis» (все они IX — начала X вв.).
87 Трита понижается, занимает другую высоту, а на ее прежнем месте поется энармоническая паранета. В смысле таких замен надо понимать и дальнейшие повторяющиеся пассажи, описывающие метаморфозы других ступеней Полной системы.
88 «Вид» (греч. είδος, лат. species) — это уникальное расположение соседних (в звукоряде Полной системы) ступеней в границах между основанием и вершиной интервала; в античных гармониках, равно как и в позднейшей средневековой теории музыки, рассматривались только виды «первых» (т. е. главных) консонансов — кварты, квинты, октавы.
Источником дефиниции Боэция послужила дефиниция Птолемея, который определял вид консонанса так: «Вид есть то или иное положение характерного для каждого рода [первых консонансов] отношения в границах, свойственных [данному роду консонансов]» (Harm. II, 3; пер. В.Г. Цыпина). В противовес многовековой традиции интерпретации — в диапазоне от античного комментария, сохранившегося под именем Порфирия (DüringPK, 161.23-24), до конца XX в. (см., например, BarberaOS, 229-230), толкующих «род» (γένος ) как род мелоса (вид квинты вдиатоническом роде, вид квинты вхроматическом роде и т. д.) — Цыпин (ЦыпинПП) полагает,

324
Основы музыки
Книга IV
что «родом» Птолемей здесь называет старшую категорию того самого интервала, виды которого обсуждаются (род консонанса квинты vs. вид консонанса квинты). Боэций непосредственно вслед за определением вида пишет: «Вот, к примеру, [как обстоит дело] в диатоническом роде» (т. е. ограничивает дальнейшее рассмотрение видов консонансов диатоникой); отсюда ясно, что он (как и Порфирий) трактует «род» (genus) в смысле рода мелоса. Именно так и поняла Боэция позднейшая латинская наука. Например, Оксфордский комментатор (XV в.) замечает: «...Здесь он намеревается исследовать виды первых консонансов, <...> но ничего [не говорит] о видах консонансов в хроматическом роде или энармоническом» (СОВ, 286); так же в глоссе «Музыки» XII в. (Gloss. Ill, 268).
В классификации квинты и октавы у Птолемея ключевой параметр — положение «характерного отношения» (ίδιάζων Λόγος), то есть разделительного тона; кварты — два звука «ведущего отношения». В зависимости от этого и рассчитывается вид консонаса, и ведется нумерация видов (например, первый вид октавы тот, в котором разделительный тон вверху; второй — тот, у которого тон — второй сверху интервал и т.д.). У Боэция наряду с этим вводится еще один способ нумерации видов, вне всякой связи с Птолемеем (см. дальше в этой главе).
89 Буквально «15 струн». Как и в других местах трактата, nervus или chorda = ступень (звукоряда). Подобно Птолемею, Боэций (только в теории видов, а не повсюду, как это делает Птолемей) исключает из Полной системы тетрахорд соединенных.
90 Нотация ступеней системы по ранним рукописям трактата такова: ABCDEFGHKLMNXO (BowerB, 148, fn. 68). В редакции Фридляйна, опиравшегося здесь на позднейшую рукописную традицию, используется восходящий латинский алфавит: ABCDEFGHIKLMNO. Обозначение ступеней Полной системы (кроме просламбаномена) буквами латинского алфавита несомненно восходит к Птолемею, который в своем учении о видах (Harm. II, 3) использовал восходящий греческий алфавит: ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛΜΝΞΟ (характерно, что в буквенной последовательности Боэция, как и у Птолемея, пропущена буква I). У Птолемея альфой обозначена высшая звуковысотная «точка» (нета высших), а все последующие буквы реферируют нисходящий звукоряд. У Боэция, наоборот, латинской «А» обозначена низшая высота (гипата низших), а все последующие буквы указывают на восходящие ступени звукоряда.
91 Потому что диатонический вид = вид интервального заполнения кварты (и прочих консонансов) секундовыми интервалами, а секундовых шагов всегда на единицу меньше, чем ступеней, составляющих (широкий) интервал. Легко понять это по аналогии. Когда мы говорим «на расстоянии трех шагов», мы не считаем точку, от которой мы начинаем шагать, а считаем только сами шаги.
92 Виды кварты рассматриваются на примере тетрахорда средних, GFED (в привычной алфавитной нотации — a-g-f-e). Счет идет от верхних высот к нижним.
93 Смысл аргумента: ступени Е и D (отстоящие в диатонической системе друг от друга на полутон) — общие для трех разных видов кварты. Именно он послужил основанием для корректировки текста Бауэром, которой я здесь следую (см. BowerB, 149).

Книга IV
Комментарий
325
94 Диатонические виды кварты, первый метод Боэциева счисления (сверху вниз). Для удобства сравнения со вторым способом (см. далее) схему последования тонов и полутонов я даю в (условной) записи от нижнего звука к верхнему.
1) а-е (ПТТ);
2) g-d (ТПТ);
3) f-c (ТТП).
95 Диатонические виды квинты, первый метод счисления (сверху вниз); схему тонов и полутонов даю аналогично, снизу вверх:
1) h-e (ПТТТ);
2) a-d (ТПТТ);
3) g-c (ТТПТ);
4) f-H (ПТТП).
Очевиден дефект этой классификации: вместо квинты в четвертом «виде» незадачливо случился тритон. На эту ошибку Боэция обратил внимание еще в XI в. Герман Расслабленный (EllinwoodH, 54) и многие последующие ученые. Смысл «первого порядка» (primus ordo) в том, чтобы в конечном итоге показать выведение из видов октавного консонанса звукорядов ладов.
96 Диатонические виды октавы, первый метод счисления, в оригинале — сверху вниз; схему тонов и полутонов даю аналогично, снизу вверх. Полужирным начертанием выделен разделительный тон (между месой и парамесой):
1) а!-а
(ТПТТПТТ);
2)g‘-g
(ТТПТТПТ);
3) Ρ-ί
(ТТТПТТП);
4) ё-в
(ПТТТПТТ);
5) d]-d
(ТПТТТПТ);
6) с'-с
(ТТПТТТП);
7) h-H
(ПТТПТТТ).
Интересно, что в отличие от большинства греческих гармоник (например, Клеонида) Боэций не дает никаких этнонимов для видов октавы, как бы «резервируя» их для имен ладов (см. следующую главу в этой книге).
97Отсюда Боэций переходит ко второму методу счисления — снизу вверх, в соответствии с античной традицией. Результируют следующие виды кварты:
1) A-d (ТПТ);
2) Н-е (ПТТ);
3) c-f (ТТП).
98 Виды квинты (второй, традиционный, метод счисления):
1) e-h (ПТТТ); та же интервальная структура, что и при первом счислении.
2) f-c1 (ТТТП); иная.
3) g-d1 (ТТПТ); та же, что в первом счислении
4) а-е1 (ТПТТ); иная.
Тритона нет. Разделительный тон выделен полужирным начертанием.
99 Виды октавы, второй метод счисления (снизу вверх):

326
Основы музыки
Книга IV
1) H-h
(ПТТПТТТ).
2) с-с1
(ТТПТТТП);
3) d-d1
(ТПТТТПТ);
4) е-е1
(ПТТТПТТ);
5) f-f1
(ТТТПТТП);
6) g-g1
(ТТПТТПТ);
7) а-а1
(ТПТТПТТ).
В отличие от Клеонида и Птолемея, Боэций не присваивает видам октавы этнонимов («миксолидийский», «лидийский» и т.д.). Сами же интервальные структуры аналогичны Клеонидовым и Птолемеевым. Хроматические и энармонические виды консонансов не рассматриваются.
100 Нумерация изменится, но не изменятся модальные функции граничных ступеней, по которым Боэций классифицирует виды октавы.
101 Указания на «подвижные» ступени на схеме добавлены в рукопись трактата Боэция позднейшей рукой. Оставляю их здесь для большей наглядности. Ступени звукоряда, не содержащие уточнений, соответственно «неподвижные». Просламбаномен, не указанный на данной схеме, также объявлен (см. IV, 13) неподвижной ступенью.
102 Поскольку гестоты в звукоряде Полной системы невозможно перестроить (на то они и «неподвижные»), единственный путь произвести лады из различных видов октавы (именно этого и хочет Боэций, что ясно из первой же фразы этой главы) — это транспонировать всю систему. Очень важен глагол exist ere, который здесь использует Боэций («возникать», «происходить», но и «становиться», «делаться»): виды становятся ладами (тонами, тропами) путем перемещения всего звукоряда. Иными словами, чтобы теоретически аргументировать «выведение» ладов из видов, и была изобретена теория «смещений», которую мы наблюдаем у Боэция. Целостную реконструкцию ладовой теории Боэция изложить здесь не представляется возможным (подробно см. ЛебедевЛТБ). Схематически «ладовая матрица» Боэция показана в Приложении III.
103 Термин «система» (у Боэция constitutio) я использую здесь как термин древнегреческой гармоники, т. е. объем «музыкальных» звуков, обиходный (вокальный и инструментальный) звукоряд. Другой возможный перевод σύστημα (который предпочитал Ю.Н. Холопов) — «состав», восходящий к дореволюционной традиции переводов с греческого В.И. Петра (см. ПетрССЛ).
104 Полный объем музыкальных звуков, все звуки, которые необходимы для того чтобы «ладно» петь и играть, т. е. (в старинном значении) «модулировать».
105 Боэций хочет подчеркнуть ступенную природу диатонического звукоряда, в котором каждая ступень отстоит от последующей или предыдущей на тон или полутон — по-видимому, для того чтобы не путать систему с интервалом (интервал октавы предполагает промежуток между основанием и вершиной).
106 Система synemmenon, в объеме (в терминологии современной ЭТМ) ундецимы.
107 Большая двухоктавная система, условно А-а1.

Книга IV
Комментарий
327
108 Интересно наблюдать, как по-разному передают hypolydii modulatio переводчики. Бауэр (самый концептуальный): «collection of pitches for the Hypolydian mode» (BowerB, 154), у Мейера modulatio превратилась в «гармонию»: «l'harmonie de l'hypolydien» (MeyerB, 297). Похоже передает Е.В. Герцман, по переводу которого вообще можно подумать, что речь идет о тональной гармонии (например, у него есть «гармония гиполидийской тональности»; см. ГБ, 406). Меньше всех мучится Марци: «la modulazione dell'ipolidio» (MarziB, 412), т. е. переводит так же, как О. Пауль больше ста лет назад: «die Modulation des hypolydischen Modus» (PaulB, 140). Что значит «модуляция гиполидийского лада», этого Пауль не разъясняет.
109 Любопытно, что Боэций, который столько страниц предыдущих глав посвятил проблеме полутона, здесь как будто забывает о том, что целый тон не делится на равные части, и не уточняет, какой именно полутон (лимма или апотома) имеется в виду,при сдвиге. Только из дальнейшей схемы читателю становится очевидно, что расстояние между гиполидийским и дорийским ладами равно л и м м е.
110 Боэций здесь не приводит все интервалы сдвигов для всех перечисленных им ладов, а лишь первые четыре. Из последующей схемы (в IV, 16) в диатоническом роде очевидна следующая последовательность просламбаноменов: ТТПТТПТ (снизу вверх).
111 Буквенными знаками нотации вокальной и нотации инструментальной.
112 В изданиях текста Боэция для этой таблицы и (построенной на основе нее) следующей (в IV, 16) таблицы ладов нет единства в графемах, что объясняется крайней неупорядоченностью их передачи в рукописях. Чрезвычайно скудны и памятники античной музыки, на которых можно было бы «протестировать» нотные графемы Боэция. Таким образом, современный исследователь вынужден унифицировать нотационные таблицы, руководствусь, главным образом, палеографическими основаниями, на свой страх и риск. Еще в 1965 году Убальдо Пиццани (PizzaniSt, 134, η. 1) обещал опубликовать критическое издание этих таблиц с аппаратом рукописных разночтений, но его издание так и не увидело свет.
Даю таблицы Боэция в редакции К. Бауэра как самой современной и палеографически выверенной. Сводя рукописные разночтения, Бауэр ориентировался на принципы нотации Алипия, при этом сохраняя уникальные Боэциевы графемы (аргументацию его версии см. более подробно — BowerB, 194-195). Формально (!) графемы Боэция даже древнее Алипиевых, так как контрольные рукописи Боэция датированы IX веком, а самая старая рукопись Алипия XII веком (MathiesenAL, 594).
Некоторые факсимиле из рукописей «Музыки» Боэция даны на вкладках к этой книге. Пытливый читатель может воспользоваться ими для исследования греческой музыкальной нотации по Боэцию, которая остается нерешенной проблемой.
В отличие от IV, 3 и IV, 4, где дана нотация для лидийского тона во всех трех родах мелоса, графемы в таблицах к IV, 15 и IV, 16 даны только для диатоники.
113 ...in speciebus diapason consonantiae repperiri. Подробное объяснение проекции видов октавы на звукоряд (Полной системы) у Боэция отсутствует. Однако оно более или менее понятно. Если взять виды октавного консонанса, как они изложены Боэцием (первый способ счисления; см. IV, 14), и приложить к этнонимам тонов точно в том

328
Основы музыки
Книга IV
порядке, как они перечислены в IV, 15, то вырисовывается весьма стройная картина из семи неповторяющихся звукорядов:
исходный тип звукоряда («вид»)
в обозначениях ступеней Полной системы (см. схему в конце IV, 14)
этнонимы ладов (по IV, 15)
интервальная структура диатонических ладов (снизу вверх)
1-й вид октавы
от О до G
гиподорийский
тпттптт
2-й вид октавы
от X до F
гипофригийский
ттпттпт
3-й вид октавы
от N до Е
гиполидийский
тттпттп
4-й вид октавы
от М до D
дорийский
птттптт
5-й вид октавы
от L до С
фригийский
тптттпт
6-й вид октавы
от К до В
лидийский
ттптттп
7-й вид октавы
от Н до А
миксолидийский
пттпттт
Вот для чего понадобились сдвиги: только так можно извлечь разные ладовые звукоряды без нарушения незыблемых интервальных функций Полной системы (напомню, что такие функции Ю.Н. Холопов называет «модальными»).
114 В оригинале eosdem — это местоимение однозначно относится к modos (ладам), но никак не к species (видам).
115 Аргумент Боэция: изображение ладов с указанием всех подвижных ступеней во всех трех родах мелоса усложнило бы схему и затруднило непосредственное восприятие теории ладов в целом.
116 Т. е. ноты (точнее, знаки буквенной нотации греков).
117 Напомню, что Боэций сравнивает высотные позиции ступеней звукорядов только диатонического рода.
118 Еще раз, теперь через сравнение расстояний от месы до левого края соседних прилежащих ладов, т.е. до просламбаномена (и от месы до правого края соседних прилежащих ладов, т.е. до неты высших) обыгрывается отличие высоких позиций от низких.
119 См. схему ладов к IV, 16.
120 nete extrema = nete hyperboleon, нета высших.
121...[обозначающей целый тон]. С помощью уподобления нот (букв), как в первых двух высотных позициях, «доказать» полутоновый сдвиг системы здесь не удается, так как одни и те же высоты на схеме Боэция обозначаются разными буквами. Поэтому применяется другой способ «доказательства», ссылкой на визуальное свойство таблицы «древних».
122 	Своебразие имеющейся диспозиции гамм (тон-тон-полутон) Боэций никак не объясняет (на самом деле, она продиктована античной традицией). Если располагать звукоряды иначе, тогда не встанут на положенные места необходимые для теории виды октавы, из которых и возникают лады.

Книга IV
Комментарий
329
123 А между месой и лиханой средних (в диатонике), как известно, интервал целого тона.
124 Латинские буквы, данные в вышеприведенной схеме, и словесное описание видов октавы («мы ведь сказали ранее»), явно не коррелируют со схемой Полной системы, данной в IV, 14. Там для абстракции высот от гипаты низших до неты высших используется ряд из 14 букв: ABCDEFGHKLMNXO. Здесь для иллюстрации двухоктавного звукоряда (включая просламбаномен!) используется ряд из 15 букв ABCDEFGHIKLMNOP. На этой схеме в издании Бауэра (Fig. D.23, cf. BowerB, 159) ошибочно добавлена буква J, которой в контрольных рукописях нет.
Корреляцию латинских букв и ступеней звукоряда Боэций на этот раз не дает. Бауэр предполагает, что Л на схеме обозначает самый высокий тон, а Р — самый низкий. Таким образом, когда Боэций говорит «первый вид октавы АН», он говорит в терминах своего первого счета видов октавы (сверху вниз).
126Восьмой вид октавы не уникален по интервальному строению, в отличие от остальных семи. Его структура аналогична структуре первого вида октавы (это обстоятельство Боэций оставляет без внимания).
126 Боэций (или его греческий источник) напрасно приписывает это утверждение Птолемею; в его очень последовательной и стройной теории дубликаты интервальных структур — видов октавы и выводимых из них ладовых звукорядов — непредставимы (Harm. И, 10).
127 Эта глава очень похожа на I, 8 «Гармоники» Птолемея («Каким образом без всяких сомнений показать отношения консонансов на однострунном каноне»). Хотя у Птолемея не обсуждается аспект взятия консонанса («мелодические» и «гармонические» интервалы, иначе «горизонтальные» и «вертикальные») и, кроме того, Боэций не обсуждает важную проблему ундецимы (8:3; знаменитая точка расхождения Птолемея с пифагорейцами), всё же родство текстов Птолемея и Боэция несомненно.
usMagadas (асе. pi.; ед. ч. — magada). В «Гармонике» Птолемея порожек (неподвижная подставка по краям инструмента) обозначается словом μαγάς, а подвижная подставка — словом μαγάδιον.
129 Для чистоты акустического эксперимента плотность (толщина) струны должна быть одинаковой по всей длине струны. Проблему материала струны Птолемей специально обсуждает (в указанной I, 8 «Гармоники»).
130 4А + ЪА = 1 (вся струна), 4А : ЪА = 4:3 (интервальный коэффициент кварты).
131У Птолемея предусмотрена более тонкая и чуть более высокая подставка для точки X, а не «точно такое же полушарие».
132 	Суть эксперимента на монохорде: ущипнуть сначала один отрезок струны, потом другой и прослушать горизонтальный интервал (для этого здесь используется слово distantia, буквально «расстояние»). Затем ущипнуть оба отрезка сразу (неслучайно сказано, что инструмент «крошечный», на большом сделать это было бы сложнее) и прослушать вертикальный интервал (для этого используется слово «созвучие» — consonantia).

330
Основы музыки
Книга IV
133 В описании квинты, октавы и октавы с квинтой Боэций употребляет слова dissonantia и consonantia в их «этимологическом» смысле. Dissonantia (разнозвучие) говорится в смысле разновременности взятия звуков интервала, consonantia (созвучие) в смысле одновременности, синхронности звукоизвлечения. Такое странное словоупотребление можно объяснить только тем, что для регистрации взятия интервалов (этот аспект в описываемом эксперименте явно ключевой)в теории не существовало никаких специальных терминов.
134 Чертеж, который (один на всю главу) дает Бауэр (BowerB, 161), достоверно воспроизводит наиболее типичную графику контрольных рукописей (см. например, ms. ï, f. ΙΙΟν):
EK F
К сожалению, чертеж, в таком виде существовавший, возможно, уже в гипотетическом манускрипте-архетипе «Музыки» (см. идеи на этот счет во Введении), не отражает содержание главы — нет полушарий («магад»), а точка деления струны показана неопределенно или вовсе не показана.
В редакции Фридляйна (FB, 349) полушария показаны, но точка деления струны выглядит весьма странно:
Е К F
В самом деле, если установить среднее полушарие в точке К так, как показано на схеме Фридляйна, отрезки струны ЕК и KF издадут примерно один и тот же звук, а вовсе не один из четырех описанных автором консонансов. В данном издании (и переводе) я осмелился дать собственные схемы, точно иллюстрирующие инструктивный текст Боэция.
Книга V
1 	Этот пассаж знаменует собой важный методологический поворот в трактате. Дальше Боэций излагает предметы и сущности, которые выходят за рамки пифагорейской (нормативной для Боэция) музыкальной науки. По жанру Книга V — чрезвычайно сжатый конспект «Гармоники» Птолемея. Как правило, для той или иной мысли Боэция можно найти прототип в тексте Птолемея, но временами наш автор значительно отвлекается от оригинала. В комментариях я постараюсь фиксировать такого рода уклонения. Подробно и связно рецепция Птолемея у Боэция обсуждается в отдельной статье (ЛебедевПБ).

Книга V
Комментарий
331
2 По поводу восьмиструнной кифары см. I, 20.
3 Возможно, Боэций имеет в виду рассказ о восьмиструнном инструменте (октахорде); этот текст Боэция не сохранился.
4 Слово vis (сила) здесь — перевод греческого слова δύναμις (сила, власть; способность, возможность и др.), которое у Птолемея проходит уже в самой первой фразе «Гармоники», в следующей дефиниции: Αρμονική έστι δύναμις καταληπτική των έν τοίς ψόφοις περί τό οξύ καί τό βαρύ διαφορών (Harm. 1,1). В понимании этого текста, пережившего многовековую научную рецепцию, я присоединяюсь к трактовке В.Г. Цыпина: «Гармония — это сила, управляющая различиями звучаний по высоте» (ЦыпинПП; здесь и далее переводы из Птолемея и Порфирия даны по этой книге). Если принять, что речь в определении Птолемея идет не о гармонике (прикладной науке), ао гармонии (природной силе — примерно в том смысле, в котором ее трактует пифагорейско-платоновская философия), тогда стартовая дефиниция естественно согласуется со всем его дальнейшим исследованием (особенно см. Harm. Ill, 3).
В истории, однако, сложилась иная традиция толкования. Еще в III в. знаменитый неоплатоник Порфирий Тирский, комментируя дефиницию Птолемея, истолковал αρμονική не как прилагательное к δύναμις (т.е. αρμονική δύναμις), а как существительное ή αρμονική (подразумевается αρμονική τέχνη или αρμονική επιστήμη), то есть как гармонику; δύναμις соответственно стало определением её (гармоники) сущностного свойства; вышло, что <наука> гармоника — это способность <человека постигать звуковысотные различиях Эту странность Порфирий разъяснил (на мой взгляд, весьма туманно) так: «Способность надо понимать не столько в смысле возможности, которая как таковая несовершенна и еще не есть познание, хотя и необходима для него, сколько как „мочь", „быть в состоянии" действовать уже совершенно там, где надлежит. В таком смысле и знания мы называем способностями, и науки. Также и гармоническое познание можно было бы называть способностью».
В своем латинском конспекте Птолемея Боэций, как и Порфирий, понял αρμονική как объект (armo ni с а = гармоника), a δύναμις — как сущностное свойство этого объекта. Очевидно, и Боэцию определение Птолемея показалось странным. Чем иначе можно объяснить его систематическое колебание в переводе слова δύναμις: здесь (V, 1), например, он говорит о «силе» (vis) гармоники, а в определении (по Птолемею), которое следует непосредственно за этим (V, 2), то же слово передано как «способность» (facultas).
Бауэр, осознавая некоторую неудобоварим ость буквального перевода vis armonicae, переводит vis словом «function»: «function of harmonics as a discipline» (функционирование гармоники как научной дисциплины?), также «function of harmonies» (BowerB, 163 ss.). Так же (вслед за Бауэром) дает и Мейер: «fonction de la science harmonique» (MeyerB, 313). E.B. Герцман (ГБ, 413 ss.) переводит vis harmonicae как «значение гармоники»; в чем состоит это значение, без комментариев остается непонятным. Марци для vis предлагает «dinamica» («dinamica dell'armonica»; MarziB, 419); что подразумевается под «динамикой гармоники», и здесь без комментариев неясно. Вызывает симпатию перевод Пауля (PaulB, 148), который уви¬

332
Основы музыки
Книга V
дел здесь античную «силу гармонии» («Kraft der Harmonie»), хотя такой перевод, увы, не соответствует интерпретации Боэция.
5 Боэций модифицировал определение гармонии Птолемея, вставив в него ценностное уточнение: звуковысотные отношения, о которых толкует гармоника, оцениваются и чувством и разумом. Этого у Птолемея на уровне определения гармонии быть не могло: то, на что способна гармоника, не может быть атрибутом гармонии, надличной силы, которая существует независимо от того, как именно ее (чувством, разумом) воспринимает человек.
6 Instrumentum здесь — перевод Птолемеева слова κριτήριον. Соблазнительно дать порусски «критерий» (суждения), но невозможно из-за следующей далее (в этой же главе) обширной метафоры Боэция об инструментах ремесленника (при этом используется то же латинское слово — instrumentum).
7 По всей вероятности, species здесь — перевод греческого είδος (вид, филос. эйдос).
8 Т.е. независимо, беспристрастно.
9 Возможно, начитанный Боэций припомнил здесь «Парадоксы стоиков» Цицерона, где автор бичует хитроумных оценщиков имущества (callidi rerum aestimatores; Cic. Par. 6, 51), которые превыше добродетели ставят луга и земельные угодья.
10 Рассуждение о погрешностях чувственной оценки вообще и мысль о накоплении (суммировании) мелких погрешностей, приводящем, в конечном итоге, к серьезной ошибке, взяты у Птолемея (Harm. I, 1); конкретный пример таких погрешностей (в слышании квинты, сложенной из трех тонов и полутона) придумал Боэций.
11 Acisculus (уменьш. от ascia) — редкое еловое, которое встречается только у Боэция (греческого прототипа у Птолемея нет). Имеется в виду небольшой инструмент для грубой обработки дерева (струг) или камня (каменотесный молоток). Бауэр переводит его как «adze» (струг), Мейер как «marteu des tailleurs de pierre» (каменотесный молоток), Марци как «scalpello» (зубило, долото).
12 Словосочетание «гармоническая сила» звучит по-русски несколько двусмысленно. Соблазнительно понять его как силу гармонии (так же, как у Птолемея). Это понимание, хотя находится на поверхности восприятия, неверно, поскольку у «гармонии» не может быть никакого «суждения». Суждение — привилегия человека (гармоника, ученого, изучающего гармонию). Нам остается понять «гармоническую силу» (vis armonica) как «силу гармоники» (vis armonicae), точно так же, как и несколькими абзацами выше.
13 Разум способен, наблюдая те или иные частные высотные различия в звуках, сделать обобщение о том или ином типе интервала и определить (вычислить) величину этого интервала. Бауэр: [суждение разума] «considers the integral measure and quantity of these same differences» (так, mensura забавным образом переводится не как «measure», а как «quantity»). Мейер (лучше всех): «...permet d'étudier l'agencement global de ces différences et leurs dimensions» (...позволяет исследовать общее устройство и размеры этих различий). Марци прямо переводит differentiae vocum как «intervalli»: «...considera la perfetta misurazione degli intervalli stessi» (...рассматривает совершенное измерение тех же интервалов).

Книга V
Комментарий
333
14 Словом «канон» я перевожу латинское слово regula (вариант перевода — правило, с ударением на второй слог, мне кажется, способен породить путаницу из-за некоторой архаичности этого слова). Птолемей (Harm. I, 2) различает брусок (κανών) и разметочную линейку (κανόνιον). Боэций никак не передает этого тонкого различия. Кроме того, Птолемей пишет о «задаче» или, точнее, «намерении» гармоника, то есть ученого, который занимается гармонией. Боэций несколько неточно переводит Птолемеево πρόθεσις αρμονικού как intentio armoniсае, что нельзя перевести иначе как «задача гармоники» (получается, самой науки).
15 Для этого места современные переводчики дают совсем разные и порой необъяснимо свободные переводы. Пауль: «нужно соблюдать измерение и согласование того же самого [чувства?]», Бауэр: «чувство должно определять меру интервалов и консонанса», Мейер: «надлежит сосредоточиться на ритме и гармонии в этой [слуховой] оценке», Марци: «стремиться к гармоничному согласию». Непонятно, откуда взялись в переводах Бауэра и Мейера «ритм», «интервалы», «консонансы».
Я исхожу из понимания текста Аристоксена, который, хотя и пишет о первичности чувственного восприятия (τω δέ μουσικω σχεδόν έστιν αρχής έχουσα τάξιν ή τής αίσθήσεως ακρίβεια), но одновременно подчеркивает необходимость согласованного взаимодействия разума и чувства и в оценке «гармоничного» (τοιαύτην δ' έχούσης φύσιν τής μουσικής αναγκαΐον καί έν τοίς περί το ήρμοσμένον συνεθισθήναι τήν τε διάνοιαν καί τήν αίσθησίν καλώς κρίνειν τό τε μένον καί το κινούμενον), и в изучении мелоса: «Исследование [мелоса — С А.] возводится к двум началам: к слуху и разуму. Ибо слухом мы различаем интервальные величины, а разумом созерцаем их функции (τάς δυνάμεις)» (перевод В.Г. Цыпина). Все цитаты Аристоксена взяты из его «Элементов гармоники» (II, 33-34).
16 Боэций употребляет здесь harmonicus (вслед за Птолемеем) вместо собственного musicus, причем об ученом-«гармонике» он повторяет почти дословно то, что в Первой книге (ср. I, 34) говорил о «музыканте» (musicus).
17 «Музыкальной» метафоры (о слиянии чувства и разума в консонансе) у Птолемея нет.
18 Следует иметь в виду, что разум и число в латыни может быть передано одним словом — ratio; этой широтой семантики Боэций пользуется в своем противопоставлении Аристоксена и пифагорейцев.
19 Греческие и латинские авторы часто характеризуют высоту звука обобщенно, как «область высокого и область низкого», то есть некие (обобщенно) высотные регистры. Эта глава перекликается с II, 3 «Гармоники» Птолемея.
20 В издании Фридляйна и во всех ранних рукописях текста здесь стоит proprior, в то время как у Оксфордского комментатора (XV в.) propior (СОВ, 345-346). Из контекста однозначно следует, что мнение Птолемея Боэций вписывает в «пифагорейскую» ветку, что Птолемей ближе к пифагорейцам, нежели к последователям Аристоксена. Поэтому я допускаю здесь propior. Бауэр, хотя и не оговаривает чтение контрольных манускриптов, молча переводит это место на английский так, как если бы в оригинале стояло propior.

334
Основы музыки
Книга V
21 	В этой главе Боэций дает чрезвычайно краткий конспект главы I, 4 «Гармоники» Птолемея, содержащей классификацию звуков. В этой классификации всякие звучания (ψόφοι) изначально делятся на равновысотные (изотонные) и разновысотные (анизотонные); затем анизотонные делятся на слитные (непрерывные, континуальные) и раздельные (прерывистые, дискретные); раздельные анизотонные, т.е. звуки определенной высоты, называются по-гречески другим словом — φθόγγοι — и в свою очередь делятся на эммелические (пригодные для мелоса) и экмелические (непригодные для мелоса):
При переводе текста Птолемея на латынь Боэций испытал ту же трудность, которую испытывает и русский переводчик: невозможно передать различие между ψόφος (всякий звук, в том числе шум, грохот, треск, вой и т.п.) и φθόγγος (звук определенной высоты). (Эта трудность не так выражена в английском языке, где для φθόγγος переводчик использует «pitch»). Различие между ψόφος и φθόγγος, которое неукоснительно соблюдает Птолемей, увы, не выдерживается в пересказе Боэция: по тексту трактата sonus у него употребляется зачастую на равных правах с vox.
22 То есть один и тот же по высоте звук.
23 Фраза differentia communi fine jungatur, которая у Боэция проходит трижды совершенно идентично (V, 5 и V, 6), представляет трудность для перевода, и не только на русский язык. Бауэр первый раз переводит (BowerB, 166) так: «their difference is not defined by a point of distinction between them» (их различие не определяется точкой, разграничивающей их), а второй раз (ib., 167) иначе: «difference between them is joined by a continuous line» (различие между ними объединяется непрерывной линией). О. Пауль (PaulB, 152): «Differenz derselben unter einander durch ein gemeinschaftliches Ende verbunden wird» (их различие между собой связано общей границей).
Мне не удалось найти греческого прототипа для выражения communis finis в «Гармонике» Птолемея. Зато оно неоднократно встречается в комментарии Порфирия, а именно όρος κοινός. Это поразительное сходство наводит на мысль, что Боэций был все-таки знаком с Порфириевым текстом.
24 Птолемей здесь сравнивает такой вид перехода от звука к звуку с ревом быка (если речь идет о низком регистре) и воем волка (если о высоком), а также с цветами радуги (Боэциеву вариацию на эту тему см. чуть дальше).
( слитные (континуальные) ) f раздельные
( слитные

Книга V
Комментарий
335
25 Безмолвие (молчание, перерыв в звучании) надо понимать в смысле дискретности в последовании разновысотных звуков. Этой фразы у Птолемея нет.
26 ...a rubro discedit ad pallidum. Как известно, в нынешней шкале радуги за красным следует оранжевый, но по Боэцию за красным (ruber) сразу следует pallidus — букв, «бледный». Я думаю, pallidus надо понимать как «бледно-красный», т.е. розовый, цвет. Так же считает Дж.Марци, давая в своем переводе: «...dal rosso si passa al rosa» (MarziB, 423).
Бауэр (BowerB, 167) без оговорок переводит pallidus как желтый («it changes from red to yellow»), такой же перевод («du rouge au jaune») дает Мейер (MeyerB, 321). Однако, такого значения для pallidus нет ни в Оксфордском словаре латыни, ни в Латинско-русском словаре Дворецкого. Только в словаре Георгеса приводится одно из значений pallidus как «gelb, olivengrün» (желтый, оливково-зеленый). Георгес дает единственную ссылку — на Катулла (Catulli Carmina 81): hospes inaurata pallidior statua. У Катулла: «Чужак (из Писавры) [лицом] бледней, чем позолоченная статуя» (обыгрывается вид бледного лица смуглого южанина). Герцман (ГБ, 416) переводит здесь «бледно-зеленый». Если Боэций действительно хотел сказать «желтый» (как полагают Бауэр и Мейер), почему он не нашел более подходящего латинского прилагательного, ведь для различных оттенков желтого цвета латинских слов предостаточно.
Оксфордский комментатор Боэция (СОВ, 350) связывает цвет радуги с плотностью облака, в котором преломляется солнечный луч: «...B плотной части облака солнечные лучи, как в стекле, производят красный цвет, в более плотной — «восковой» (icerulium), то есть зеленый или голубой с добавлением черного, в плотнейшей части черный; в разреженной части облака они производят зеленый, в более разреженной ярко-желтый, в самой разреженной белый. Таким образом, в сторону большей плотности облака идет приближение к цветам, родственным черному, а в сторону большей разреженности облака идет приближение к цветам, родственным белому».
И наконец, в самом знаменитом тексте Боэция, «Утешении философией» (I, 5), слово pallidus употребляется в своем основном словарном значении — «бледный».
27 Здесь Птолемей ограничивается скупой фразой: «как это бывает с цветами радуги» (I, 4). Метафору Птолемея пространно комментирует Порфирий: «Действительно, как в радуге зеленоватый цвет, золотистый, красный до какого-то места остаются таковыми, но граница каждого из них неочевидна и слитна до неразличимости для восприятия, точно так же обстоит дело и со слитными анизотонными звучаниями». Боэций развивает ту же метафору Птолемея на свой лад, независимо от Порфирия.
28 Аналогично частотному вибрато, которым охотно пользуются современные рокгитаристы.
29 Т.е. какого вида звуки пригодны для исследования в науке гармонике. В латинском оригинале у Фридляйна и в контрольных рукописях IX в. здесь armoniae. В конце главы I, 4 «Гармоники» Птолемея, которая послужила прототипом для V, 6 Боэция, читается однозначно: αρμονικής ocAAotqlol/ οικείοι — «чуждые / пригодные для гар¬

336
Основы музыки
Книга V
моники». Я исправляю текст латинского заголовка для согласования с Птолемеем и текстом самого Боэция (в той же главе дальше читаем: armonicae subiuciuntur arti).
30 Бауэр предлагает читать здесь не поп aequisonae, а поп unisonae (BowerB, 167), что согласуется и с изложением самого Боэция (см. V, 11) и со смыслом греческого источника: по Птолемею предметом гармоники могут быть только раздельные анизотоны, а слитные анизотоны таким предметом быть не могут. Если следовать чтению Фридляйна, то получается, что из гармоники исключаются только «слитные негомофоны» (это бессмысленно). Я вынужден исправить латинский текст на поп unisonae, несмотря на то что контрольные рукописи согласно дают здесь поп aequisonae.
31 Слитные разновысотные звуки (вроде рева быка, см. выше) непригодны для научного исследования. Гармоника не способна выделить в них последовательность точных (музыкальных) высот, и потому подобными звуками наука не занимается.
32 Ars armonica (= αρμονική επιστήμη) = наука гармоника.
33 Arithm. I, 31 и Mus. II, 4.
34 До этого места Боэций почти точно переводит Harm. I, 6. Мысль о функциональном тождестве звуков октавы, высказываемая здесь Птолемеем, восходит к Аристоксену (Harm. 20.17-21). Жаль, что в своем переводе Боэций не заметил слова δύναμίς в специальном значении («функция»), которое здесь является ключевым (см. подробнее в статьях ЛебедевЛТБ и ЛебедевПБ).
35 Этого разъясняющего примера (2+3,2+10) нет в тексте «Гармоники» Птолемея, зато он есть точно в этом виде у комментатора Птолемея Порфирия, в т.ч. и выражение «вид числа изменится» (по отношению к числам меньше десятки). Можно рассматривать это как еще одно возможное свидетельство знания Боэцием комментария Порфирия к Птолемею.
36 Эта фраза относится к предыдущей главе.
37 Целый тон и полутон. См. окончание этой главы.
38 Это запланированное обсуждение экмелики не сохранилось.
39 Бауэр переводит «simple parts of tetrachords», несмотря на то, что в оригинале здесь earum (т.е. слово относится либо к consonantiae, либо к proportiones) (BowerB, 172).
40 Mus. IV, 18. На самом деле там рассматриваются только кварта, квинта, октава и дуодецима (октава с квинтой).
41 Источником этой главки Боэция вероятно послужили I, 9 и 1,10 «Гармоники», содержащие критику «линейно-арифметического» (аддитивного) описания интервалов у аристоксеников. У Аристоксена интервал (διάστημα) определяется как «некая разница (διαφορά) высот и место (τόπος), включающее в себя более высокие звуки, чем нижняя из ограничивающих интервал высот, и более низкие, чем верхняя [высотная граница]» (Harm. 1,15). Ср. у Птолемея: «Как соотносятся между собой два звука, создающие каждый раз тот или иной вид [интервала], они [т.е. аристоксеники — С А.] не говорят и не исследуют; вместо того, как если бы звуки были бестелесны, а то, что между ними, наоборот, телесно, они сопоставляют только расстояния у видов [интервалов], чтобы казалось, будто они что-то там делают с помощью числа и разума». Порфирий добавляет к этому месту: «Они вообще не говорят о числовом

Книга V
Комментарий
337
отношении звуков друг к другу, в отличие от Пифагора и Птолемея; они говорят, что интервал имеет пространственную (разрядка моя — C.Æ) природу, на манер интервалов между колоннами или поворотами на ристалище». К сожалению, интересная полемическая аргументация Птолемея полностью отсутствует в пересказе Боэция.
42 Это темное место разъясняется при чтении Птолемея, который критикует аристоксеников за «релятивизм» в теории интервалов: «Они не определяют каждый вид [интервала] сам по себе (если спросят, что такое тон, мы говорим, что это разница между двумя высотами, охватывающими сверхосминное отношение); у них же сразу дается отсылка на другое, еще не определенное понятие, как, например, когда они говорят, что тон — это разница между квартой и квинтой, хотя чувству, если оно желает выстроить (άρμόσασθαι) тон, не нужно прежде знать о кварте или о какихто других [интервалах] — оно в состоянии произвести всякий интервал (здесь διαφορά, букв, «разница») данного размера как таковой» (I, 9). У Аристоксена, в самом деле, нет определения целого тона как сверхосминного отношения. В первом определении (I, 21) тоном он называет «различие по величине [двух] первых консонирующих интервалов», во втором (II, 46) — «[величина], на которую квинта больше кварты».
43 См. Mus. II, 31 и III, 3.
44 Буквально «восьмиструнника». Имеется в виду восьмиструнный канон. Источник для этой главы — Harm. I, И, которую Боэций упрощает, опуская обсуждение Птолемеем зависимости высоты звучания от толщины и длины струны.
45 Текст V, 15 кажется странно элементарным (после того как излагались и гораздо более сложные материи); назначение его непонятно.
Эта странность разъясняется при консультации с параллельным местом из оригинала, первой частью 1,12. Критически рассмотрев представления предшественников о широких консонансах (квинта, октава, ундецима, дуодецима и двойная октава), Птолемей переходит к проблеме «первого консонанса», т.е. кварты, чтобы дальше проанализировать деления кварты (тетрахорда) у предшественников и дать свои собственные. Выполняя этот переход, Птолемей вводит две важные темы: во-первых, он говорит о том, что с изменением высоты переменных ступеней (кинуменов) этос рода меняется от большей «напряженности» к большей «мягкости» (он называет этот процесс «метаболой по роду») и, во-вторых, о глобальном признаке систематики родов — интервальном сжатии (пикноне) или его отсутствии. Напомню, что отношение двух верхних звуков тетрахорда в сжатых родах должно быть больше, чем два нижних интервала в сумме; в несжатых родах ни один интервал не может быть больше, чем два оставшихся. Всю эту интересную проблематику Боэций в V, 15 решил «дидактически» упростить и, не пытаясь воспроизвести Птолемееву логику, просто перескочил (в V, 16 и V, 17) к следующей теме — делениям тетрахордов у Аристоксена, а затем у Архита.
46 Источник для этой главы — Harm. 1,12 (и начало 1,13).
47 Диесу величиной в Уз тона Аристоксен иногда называет (для краткости) «хроматической» диесой, поскольку она характерна для оттенка хроматического рода.

338
Основы музыки
Книга V
48 У Птолемея в соответствующем пассаже о частях тона упоминается и четвертая часть тона — энармоническая диеса. Поскольку сам Боэций позже ссылается на энармоническую диесу, как ранее упомянутую, для большей цельности изложения мне пришлось сделать здесь необходимую конъектуру.
49 В полуторной («гемиольной») хроме диеса равна % целого тона.
50 Словом mollis Боэций передает птолемеево слово μαλακός, словом incitatus —σύντονος. В оригинальных прилагательных нет коннотаций, которые проявляются в переводе Боэция (incitatus — стремительный, возбужденный). В греческих текстах они всего лишь подразумевают степень напряжения (натяжения) струн в кинуменах соответствующих тетрахордов, что ясно и из контекста Птолемея, но неясно в латинском пересказе, так как Птолемеев пассаж о гестотах и кинуменах Боэций выпускает. Возможно, Боэций располагал неполным текстом Птолемея (без «мотивировки» этих прилагательных), оттого и его перевод σύντονος как incitatus оказался не вполне точным.
51 Как известно, у Аристоксена роды мелоса имеют оттенки (по Холопову, «хрои»). Птолемей, по которому Боэций идет здесь почти дословно, пишет не об оттенках родов, а о шести различиях несмешанных родов: «[Аристоксен] делит тон либо на две равные части, либо на три, либо на четыре, либо на восемь. <...> С помощью этих частей тона он устанавливает различия шести несмешанных родов (αμιγών γενών): одно для энармоники, три для хроматики — мягкой, полуторной, тоновой, и еще два для диатоники — мягкой и напряженной» (1,12). О смешении тетрахордов разных родов (одна разновидность структуры располагается выше разделительного тона, другая ниже него) Птолемей говорит специально в I, 16 и II, 15 «Гармоники». Боэциево изложение этих глав до нас не дошло.
Контрольные рукописи Боэция согласно передают в этом месте «смешанных» (permixtorum). Либо Боэций не понял Птолемея (во что мне трудно поверить, учитывая совершенно ясный и недвусмысленный контекст), либо описка вкралась уже в гипотетический архетип рукописи «Музыки» (подробней это предположение аргументируется во Введении, см.). Осмеливаюсь сделать конъектуру (поп permixtorum) в латинском оригинале.
52 Оригинальное слово τονίαίος — [цело]тоновый.
53 Упоминания об энармонической диесе у самого Боэция раньше не было (см. первый абзац данной главы).
54 У Птолемея эта мысль выражена однозначно: Ούτος <...> φαίνεται μηδέν τι τού Λόγου φροντίσας («он [Аристоксен — С. А.], кажется, нисколько не задумывался о числовом отношении»); снова критика аддитивного счисления интервалов.
55 Аристоксен (в сохранившихся фрагментах «Гармоники») не присваивает целому тону и его частям целочисленные значения. Птолемей, реконструируя «линейную» арифметику Аристоксена, соотносит тон с числом 24 (см. дальше в этой главе). Рассуждения о делении целого тона (первоначально) на 12 частей у него нет — либо Боэций придумал это сам, либо пользовался каким-то глоссированным текстом Птолемея.

Книга V
Комментарий
339
56 2x12+6=30 единиц.
57 Т.е. приходится сталкиваться с дробными числами.
58 Речь идет о различении родов тетрахорда по пикнону (или его отсутствию). Латинское слово spissus — калька греческого πυκνός (плотный, тесный, сжатый), поп spissus соответственно — άπυκνος.
59 Данная глава полностью основана на «Гармонике» Птолемея (1,13). Основательный анализ Архитова деления тетрахорда можно найти в книге: BarkerGMW, 46-52.
60 1944:2016=27:28. Нижний интервал в тетрахордах у Архита един для всех трех родов, он несколько меньше пифагорейского малого полутона (лиммы).
61 Энармонический тетрахорд Архита: 5:4 (дитон), 36:35 и 28:27.
62 Слово «высшему» здесь относится к звуку (1512 — число, которым обозначается самый высокий звук в тетрахордах).
63 В диатонике Архита целые тоны неравны (9:8, 8:7). В учении самого Боэция никаких других значений для целого тона, кроме 9:8, нет.
64 Вторую сверху ступень хроматического тетрахорда Архит рассчитал как целый тон 9:8 плюс лимма 256:243, в сумме образующие полудитон (повторюсь, что термина semiditonus у Боэция нет, он появился только в Средние века). Таким образом, хроматический тетрахорд Архита: 32:27 (полудитон), 243:224 (больший полутон), 28:27 (меньший полутон).
65 Тот факт, что ступень в диатоне описывается как референтная для хромы, по мнению Э. Баркера, свидетельствует о производное™ хромы от диатона в представлении Архита: «...it was not unusual to envisage chromatic as a colouring or modification of the diatonic» (BarkerGMW, 44). Ни у Птолемея, ни у Боэция (в данном пересказе Птолемея) никаких ссылок на «выводимость» хромы и энармона из диатона нет.
66 Глава представляет собой пересказ, главным образом, I, 14 «Гармоники» Птолемея.
67 В расчете тетрахордов — всех, кроме хромы — интервалы между соседними ступенями действительно соответствуют сверхчастичному роду отношений (см. схему выше). Наверное, это исключение Архита, противоречащее его же собственному принципу, и имел в виду Боэций, когда писал, что «разумный метод», который Архит искал, «не получил успешного воплощения».
68 Утверждения про «обычный мелодический ход», как и числового отношения 22:21 для этого хода, у Птолемея нет.
69 Очевидно, имеются в виду части тона 8:24 (= 1:3) и 9:24 (= 3:8), которые, по мысли Птолемея, неразличимы на слух.
70 В основе этой последней, сохранившейся во фрагментах главы лежит 1,15 «Гармоники» Птолемея.
71 По Птолемею, все интервалы внутри тетрахорда должны быть выражены в сверхчастичных отношениях.
72 Речь идет о тетрахорде, у которого наименьший интервал находится внизу.
73 Отношение двух нижних звуков тетрахорда должно быть, по мысли Птолемея, наименьшим; отношение двух верхних его звуков в сжатых (пикнонных) родах должно

340
Основы музыки
Книга V
быть больше, чем сумма двух нижних интервалов; в несжатых (апикнонных) родах ни один интервал не может быть больше, чем два оставшихся.
На этом текст «Музыки» Боэция обрывается.

Appendix I
Fragmenta Arithmeticae Rossice translate
Приложение I
Основы арифметики (фрагменты)

[Praefatio]
3 Domino suo patricio Symmacho Boethius.
(1) In dandis accipiendisque muneribus ita recte officia inter eos praecipue, qui sese magni faciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud, quod liberalius afferret, inventum, nec ab illo unquam, quod iucundius benevolentia complecteretur, acceptum. Haec ipse considerans attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius, cum habendi sitis incanduit, ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subiecit, sed ea, quae ex Graecarum opulentia litterarum in Romanae orationis thesaurum sumpta conveximus. Ita enim mei quoque operis mihi ratio constabit, si, quae ex sapientiae doctrinis elicui, sapientissimi iudicio comprobentur. Vides igitur, ut tam magni laboris effectus tuum tantum spectet examen, nec in aures prodire publicas, nisi doctae sententiae adstipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus, quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio; suis quippe instrumentis res rationis expenditur, cum iudicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo non eadem quae ceteris imminent
4 artibus munimenta constituo, neque enim fere ulla sic cunctis absoluta partibus nullius indiga suis tantum est scientia nixa praesidiis, ut non ceterarum quoque artium adiumenta desideret. Nam in effigiandis marmore statuis alius excidendae molis labor est, alia formandae imaginis ratio, nec eiusdem artificis manus politi operis nitor exspectat. At picturae manibus tabula commissa fabrorum: cerae rustica observatione decerptae, colorum fuci mercatorum sollertia perquisiti, lintea operosis elaborata textrinis multiplicem materiam praestant. Nonne idem quoque in bellorum visitur instrumentis? Hic spicula sagittis exacuit, illi validus thorax nigra gemit incude, ast alius crudi umbonis tegmina proprii laboris orbi infigenda mercatur. Tam multis artibus ars una perficitur. At nostri laboris absolutio longe ad faciliorem currit eventum. Tu enim solus manum supremo operi impones, in quo nihil de decernentium necesse est laborare consensu. Quamlibet enim hoc iudicium multis artibus probetur excultum, uno tamen cumulatur examine.
(2) Experiare igitur licet, quantum nobis in hoc studio longis tractus otiis labor adiecerit, an rerum subtilium fugas exercitatae mentis velocitas comprehendat, utrum ieiunae macies orationis ad ea,

[Предисловие]
Господину своему, патрицию Симмаху [пишет] Боэций1.
(1) Когда дарят или принимают дар, прежде всего и по праву ценится любезность тех людей, которые уважают друг друга, если выяснится, что один не нашел другого [дара], который он преподнес бы охотнее, а другой никогда не получал того, что с большим удовольствием было бы принято. Думая так и сам, я решил преподнести [тебе] не жалкую силу денег (для порока нет ничего более ценнее [их], когда [человек] охвачен жаждой обладания, а для добродетели нет ничего более ничтожного, поскольку дух-победитель попирает их), а ту силу, что мы черпаем из богатства греческих сочинений, собранного в сокровищницу римского красноречия. Итак, для меня мой труд оправдает себя тогда, когда то, что я извлек из мудрых наук, будет удостоверено мудрейшим суждением. Как видишь, результат столь большой работы ожидает лишь твоего одобрения — он не увидит свет, пока не будет подкреплен согласием ученого мнения. В этом нет ничего удивительного, ибо труд, который прослеживает научные открытия, опирается не, на авторское, а на постороннее суждение; плод разума оценивается как раз подобающими ему средствами, когда выносится на суд знатока. В этом небольшом приношении я устанавливаю не те же самые основания, на которые опираются другие искусства; нет, пожалуй, никакой другой науки [кроме арифметики], столь независимой от всех [остальных] частей2, не нуждающейся ни в чем, опирающейся только на свои средства, что она не ищет помощи в других искусствах3. Например, при изготовлении мраморных статуй одно дело работа по вырубке глыбы, другое — мысленное представление [должного] образа, и [окончательный] блеск изящной отделки не предполагает руки того же самого мастера4. Также и холст для картины поручается ремесленникам: воск находят селяне, пурпурные краски разыскиваются усердием купцов, льняное полотно изготавливается в деятельных ткацких мастерских — [всё это] и предоставляет [художнику] многосоставный материал. И разве не то же самое с орудиями войны? Один [ремесленник] острит наконечники для стрел, у другого крепкий панцирь звенит на черной наковальне, тогда как третий продает собственного изготовления грубый умбон5, который крепится к щиту. Так многими ремеслами совершается единое ремесло. Мою же работу закончить гораздо легче. Ведь ты один приложишь руку к завершению труда и не нужно будет заботиться о единодушии [прочих] судей. Хотя твое суждение взращено, конечно, многими искусствами, оно вершится одним-единственным одобрением.
(2) Итак, испытаем, достаточно ли рвения я вложил в эту работу, плод долгих ученых занятий, был ли скор и опытен мой ум настолько, чтобы схватить ускользающие тонкости материала, хватило ли ничтожной скудости моего

344
Institutio arithmetica
quae sunt caligantibus impedita sententiis expedienda sufficiat. Qua in re mihi alieni quoque iudicii lucra quaeruntur, cum tu utrarumque peritissimus litterarum possis Gratae orationis expertibus quantum de nobis iudicare audeant, sola tantum pronuntiatione praescribere.
(3) At non alterius obnoxius institutis artissima memet ipse translationis lege constringo, sed paululum liberius evagatus alieno itineri,
5 	non vestigiis, insisto. Nam et ea, quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata brevitate collegi et quae transcursa velocius angustiorem intellegentiae praestabant aditum mediocri adiectione reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur.
(4) Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius lector agnoscet. Cum igitur quattuor matheseos disciplinarum de arithmetica, quae est prima, perscriberem, tu tantum dignus eo munere videbare, eoque magis inerrato opus esse intellegebam. Nam etsi apud te facilis veniae locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta securitas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo, quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces, hiantia suppleas, errata reprehendas, commode dicta mira animi alacritate suscipias. Quae res impulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura restituent. Novi quippe, quanto studiosius nostra quam ceterorum bona diligamus. Recte ergo, quasi aureos Cereri culmos et maturos Baccho palmites, sic ad te novi operis rudimenta transmisi. Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus. Ita et laboris mei primitias doctissimo iudicio consecrabis et non maiore censebitur auctor merito quam probator.
7 Incipit liber primus
Proemium, in quo divisio mathematicae
1. (1) Inter omnes priscae auctoritatis viros, qui Pythagora duce puriore mentis ratione viguerunt, constare manifestum est, haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadruvio vestigatur, quod recte intuentis sollertiam non latebit. Est enim sapientia rerum, quae sunt
8 suique immutabilem substantiam sortiuntur, comprehensio veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt nec retractione minuuntur nec variationibus permutantur, sed in propria semper vi suae se naturae subsidiis nixa custodiunt.

Praef. 2-4; I, 1.1
Основы арифметики
345
языка для придания ясности туманным [греческим] изречениям. Потому и выгодно для меня постороннее суждение, что ты, опытнейший в обеих литературах, можешь людям, несведущим в эллинской речи, одним своим приговором предписать, в каких пределах они смеют судить обо мне!
(3) Сам же я не следую покорно замыслам другого [автора] и не связываю сам себя строжайшим законом перевода, но, чуть свободней отклоняясь с чужого пути, ступаю не след в след. То, что у Никомаха говорится о числах пространно, я изложил с умеренной краткостью, а то, что изложено бегло и доходит до сознания с трудом, я раскрыл с помощью собственных скромных добавлений таким образом, что иногда для очевидности пользовался и своими формулами и схемами.
(4) Рассудительный читатель легко оценит, каких трудов и бдений мне это стоило. Итак, когда я писал первую из четырех дисциплин матесиса — арифметику, казалось, что только ты достоин такого приношения6, и я понимал, что оно должно быть тем более свободно от ошибок. Хотя добиться твоего снисхождения легко, всё же временами, будучи подозрительно уверенным в себе, я опасался как раз этой снисходительности. Ведь, как я считал, всё, что бы ни предлагалось [твоей] высокочтимости, должно быть отделано умом, доведено до совершенства рвением, наконец, достойно столь значительных ученых занятий. Итак, я не сомневаюсь, что в своем благоволении ко мне излишества ты устранишь, пропуски восполнишь, ошибки опровергнешь, а дельное слово воспримешь с чудной живостью ума. Именно это и подвигнуло меня неспешно обдумывать замысел. Ведь то, что понравится [тебе], принесет безмерное наслаждение и мне (ибо понимаю, насколько ревностней мы любим свое добро, чем чужое). Воистину, как я приношу золотые колосья Церере и зрелые гроздья винограда Вакху, так тебе я приношу наброски нового сочинения. Воздай же отеческой милостью моему приношению — так ты ученейшим суждением освятишь начатки моего труда, и автор удостоится не большей почести, чем судья.
Книга I
1. 	Введение. О делении математики7
(1) 	Все древние авторитеты, которые вслед за Пифагором славились ясным мышлением8, очевидно согласны в том, что в философских предметах едва ли кто дойдет до пределов совершенства, если не станет исследовать подобных высот науки как бы на «четырехпутье», квадривии9, который не укроется от проницательного мастера. Философия же — это постижение истины в вещах сущих и обладающих неизменной субстанцией. Такими сущими мы называем вещи, которые не увеличиваются от растяжения, не уменьшаются от сужения и не подвержены изменению, но всегда сохраняются в силе, опираясь на собственную природу10.

346
Institutio arithmetica
(2) Haec autem sunt qualitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitates, aequalitates, habitudines, actus, dispositiones, loca, tempora et quicquid adunatum quodammodo corporibus invenitur, quae ipsa quidem natura incorporea sunt et immutabili substantiae ratione vigentia, participatione vero corporis permutantur et tactu variabilis rei in vertibilem inconstantiam transeunt. Haec igitur quoniam, ut dictum est, natura immutabilem substantiam vimque sortita sunt, vere proprieque esse dicuntur. Horum igitur, id est, quae sunt proprie quaeque suo nomine essentiae nominantur, scientiam sapientia profitetur.
(3) Essentiae autem geminae partes sunt, una continua et suis partibus iuncta nec ullis finibus distributa, ut est arbor, lapis et omnia mundi huius corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disiuncta a se et determinata partibus et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex, populus, chorus, acervus et quicquid, quorum partes propriis extremitatibus terminantur et ab alterius fine discretae sunt. His proprium nomen est multitudo.
(4) Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel tetragonus vel quilibet numerus, qui ut sit nullo indiget. Alia vero per se ipsa non constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesqualterum vel sesquitertium et quicquid tale est quod nisi relatum sit ad aliud ipsum esse non possit. Magnitudinis vero alia sunt manentia motuque carentia, alia vero quae mobili semper rotatione vertuntur nec ullis temporibus acquiescunt. Horum ergo illam multitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas, illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt, immobilis vero magnitudinis geometria notitiam pollicetur, mobilis vero scientiam astronomicae disciplinae peritia vindicat.
(5) Quibus quattuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est. Est enim sapientia earum rerum, quae vere sunt, cognitio et integra comprehensio. Quod haec qui spernit, id est has semitas sapientiae, ei denuntio non recte philosophandum, siquidem philosophia est amor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit.
(6) Illud quoque addendum arbitror, quod cuncta vis multitudinis ab uno progressa termino ad infinita progressionis augmenta concrescit. Magnitudo vero a finita inchoans quantitate modum in divisione non recipit; infinitissimas enim sui corporis suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infinitatem indeterminatamque potentiam philosophia sponte repudiat. Nihil enim, quod infinitum est, vel scientia potest colligi vel
4 peritia vindicat] peritia vendicat Fr.
5 non recte philosophandum] non recte esse philosophandum Fr.

I, 1.2-6
Основы арифметики
347
(2) Таковы качество [и] количество, форма, величина [и] малость11, равенство [и] отношение12, деятельность [и] распорядок, место [и] время, и вообще всё, что каким-то образом связано с телами; сами при этом будучи по природе бестелесными и существуя как неизменные субстанции, они претерпевают изменения при участии телесного и под влиянием изменчивости переходят в превратное непостоянство. Эти вещи, поскольку они, как было сказано, по природе своей обладают неизменной субстанцией и силой, называют сущими воистину и в собственном смысле. Знание о них, то есть о сущем в собственном смысле слова, и объявляет своим делом философия.
(3) Сущности же бывают двоякого рода. Первый, слитный, связан в своих [смежных] частях и не ограничен какими-либо пределами, как, например, дерево, камень и все тела этого мира, которые особенным образом называются «величинами». Другой [род] прерывается и состоит из частей; он есть как бы скопление вещей, собранных в одно место, как, например, толпа, народ, хор, куча и вообще все вещи, части которых определены в своих очертаниях и отграничены одна от другой. Особенное имя для них — «множество».
(4) Дальше, среди множеств одни существуют сами по себе, как, например, [число] три, четыре, квадратное и вообще любое число, которое не нуждается ни в чем. Другие же сами по себе не существуют, но относятся к чему-то другому, как [числовые отношения — ] двойное, половинное, полуторное, сверхтретное и вообще всё то, что, не соотнесенное с другим, само по себе существовать не может. Из величин одни незыблемы и неподвижны, другие же постоянно движутся и ни секунды не остаются в покое. Из этих [величин и множеств] то множество, которое существует само по себе, рассматривает арифметическая целостность13. Относительное [множество] постигается отношениями [между звуками в] мелодии14. Познание неподвижной величины сулит геометрия, а на знание о подвижной [величине] притязает осведомленность в астрономической науке.
(5) Если исследователь оставит без внимания эти четыре области [знания], он не сможет открыть истинное [в вещах], и вне этого метода рассмотрения истины никто не достигнет подлинной мудрости15. Ибо мудрость — это познание и полное понимание истинного бытия вещей. Того исследователя, кто пренебрегает данным [методом познания], т. е. этими стезями мудрости, я объявляю неподлинным философом, поскольку философия — это любовь к мудрости, которую — тем уже, что пренебрег этими [стезями], — он презрел.
(6) [К сказанному], я думаю, нужно добавить, что всякое значение множества возрастает, увеличиваясь от единицы как предела до бесконечности. Величина же, наоборот, начинаясь в конечном количестве, безмерно делится — части ее сущности совершенно бесконечны. Эту природную бесконечность и беспредельную потенцию философия осознанно отвергает. Ибо ни о чем бесконечном наука судить не может и ничто бесконечное непостижимо уму;

348
Institutio arithmetica
mente comprehendi, sed hinc sumpsit sibi ipsa ratio, in quibus possit indagatricem veritatis exercere sollertiam. Delegit enim de infinitae multitudinis pluralitate finitae terminum quantitatis et interminabilis magnitudinis sectione reiecta definita sibi ad cognitionem spatia depoposcit.
(7) Constat igitur, quisquis haec praetermiserit, omnem philosophiae perdidisse doctrinam. Hoc igitur illud quadruvium est, quo his viandum sit, quibus excellentior animus a nobiscum procreatis sensibus
10 ad intellegentiae certiora perducitur. Sunt enim quidam gradus certaeque progressionum dimensiones, quibus ascendi progredique possit, ut animi illum oculum, qui, ut ait Plato, multis oculis corporalibus salvari constituique sit dignior, quod eo solo lumine vestigari vel inspici veritas queat, hunc inquam oculum demersum orbatumque corporeis sensibus hae disciplinae rursus illuminent.
(8) Quae igitur ex hisce prima discenda est nisi ea, quae principium matrisque quodammodo ad ceteras obtinet portionem? Haec est autem arithmetica. Haec enim cunctis prior est, non modo quod hanc ille huius mundanae molis conditor deus primam suae habuit ratiocinationis exemplar et ad hanc cuncta constituit, quaecunque fabricante ratione per numeros adsignati ordinis invenere concordiam; sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod, quaecunque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur; quod si posteriora pereant, nihil de statu prioris substantiae permutatur, ut animal prius est homine. Nam si tollas animal, statim quoque hominis natura deleta sit; si hominem sustuleris, animal non peribit. Et e contrario ea semper posteriora sunt, quae secum aliud quodlibet inferunt, ea priora, quae cum dicta sunt, nihil secum de posterioribus trahunt, ut in eodem quoque homine. Nam si hominem dixeris, simul quoque animal nominabis, idem est enim homo, quod animal; si animal dixeris, non speciem simul hominis intulisti, non est enim idem animal, quod homo.
(9) Hoc idem in geometria vel arithmetica videtur incurrere. Si enim numeros tollas, unde triangulum vel quadratum vel quicquid in
11 geometria versatur, quae omnia numerorum denominativa sunt? At vero si quadratum triangulumque sustuleris omnisque geometria consumpta sit, tres et quattuor aliorumque numerorum vocabula non peribunt. Rursus cum aliquam geometricam formam dixero, est illi simul numerorum nomen implicitum; cum numeros dixero, nondum ullam formam geometricam nominavi.

I, 1.6-9
Основы арифметики
349
по этой причине разум избрал себе такой [предмет исследования], в котором он может проявить мастерство в разыскании истины. Из бесконечности множества он выбрал предел конечного количества, и, отвергнув беспредельное членение величины, он вытребовал себе для познания промежутки определенного размера.
(7) Итак, решено: любой, кто пренебрег вышесказанным, погубил всё философское учение. Вот почему квадривий — это путь, которым должны пройти те, чей возвышенный дух устремляется от чувств, данных нам при рождении, к более верным16 доводам рассудка. Есть как бы некие ступени, по которым можно восходить, и определенная мера продвижения вперед, чтобы тот «глаз души», о котором Платон говорит, что его нужно содержать в порядке и дорожить им более, чем множеством глаз «телесных», ибо только он способен отыскать и разглядеть истину, — так вот, чтобы этот глаз, увязший в телесных ощущениях и ослепший от них, через названные дисциплины [квадривия] вновь обрел зрение17.
(8) Итак, какую же из дисциплин нужно изучать первой, если не ту, что является началом и выполняет как бы роль матери по отношению к другим [дисциплинам]? Такова как раз арифметика. Она предшествует всем другим не только потому, что сам Бог, творец этого мироздания, взял ее первой за образец своего мыслеполагания и по ее [принципу] устроил всё, что через числа силой творящего Разума обрело гармонию в установленном [Им] порядке. Но и потому арифметика объявляется предшествующей, что, если устранить предшествующие18 по своей природе сущности, тотчас же устраняются и последующие. Если гибнут последующие, то ничего в статусе предыдущей субстанции не меняется. К примеру, животное предшествует человеку; ибо, если устранишь животное, сразу же исчезает природа человека; если же погубишь человека, животное не погибнет. И наоборот, те сущности являются последующими, которые привносят нечто иное, а предыдущие те, которые, как было сказано, ничего от последующих в себе не содержат. Возьмем того же человека. Если говоришь «человек», то тем самым называешь животное; ведь человек — тоже животное. Если говоришь «животное», не подразумеваешь тем самым человека как вид [животного], ведь животное не то же самое, что человек.
(9) То же самое, очевидно, происходит с геометрией и арифметикой. Если устранишь числа, то откуда взяться треугольнику, квадрату и всякому другому телу, какое бывает в геометрии — всему тому, что названо именем чисел? И в то же время, если устранишь квадрат и треугольник и [если] вся геометрия сойдет на нет, «три», «четыре» и другие слова, которыми обозначаются числа, не погибнут. И наоборот, когда я говорю о некой геометрической форме19, то для нее тотчас же подразумевается имя, связанное с числом; назвав число, я еще не назвал никакой геометрической формы.

350
Institutio arithmetica
(10) Musica vero quam prior sit numerorum vis, hinc maxime probari potest, quod non modo illa natura priora sunt, quae per se constant, quam illa, quae ad aliquid referuntur. Sed etiam ea ipsa musica modulatio numerorum nominibus adnotatur, et idem in hac evenire potest, quod in geometria praedictum est. Diatessaron enim et diapente et diapason ab antecedentis numeri nominibus nuncupantur. Ipsorum quoque sonorum adversus se proportio solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim sonus in diapason symphonia est, idem duplicis numeri proportione colligitur; quae diatessaron est modulatio, epitrita collatione componitur; quam diapente symphoniam vocant, hemiolia medietate coniungitur; qui in numeris epogdous est, idem tonus in musica, et ne singula persequi laborem, huius operis sequentia, quanto prior sit arithmetica sine ulla dubitatione monstrabit.
(11) Sphericam vero atque astronomiam tanto praecedit, quanto duae reliquae disciplinae hanc tertiam natura praecedunt. In astronomia enim circuli, sphera, centrum, parallelique circuli mediusque axis est, quae omnia geometricae disciplinae curae sunt. Quare est etiam ex hoc ostendere seniorem geometriae vim, quod omnis motus est post quietem et natura semper statio prior est, mobilium vero astronomia, immobilium geometria doctrina est; vel quod armonicis modulationibus motus ipse celebratur astrorum. Quare constat quoque musicae vim astrorum cursus antiquitate praecedere, quam superare natura arithmeticam dubium non est, cum prioribus, quam illa est, videatur antiquior. Proprie tamen ipsa numerorum natura omnis astrorum cursus omnisque astronomica ratio constituta est. Sic enim ortus occasusque colligimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus.
(12) Quare, quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est, hinc disputationis sumamus exordium.
De substantia numeri
IL (1) Omnia quaecumque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris exemplar. Hinc enim quattuor elementorum multitudo mutuata est, hinc temporum vices, hinc motus astrorum caelique conversio.
(2) 	Quae cum ita sint, cumque omnium status numerorum colligatione fungatur, eum quoque numerum necesse est in propria semper sese habentem aequaliter substantia permanere, eumque composi-

I, 1.10 - 2.2
Основы арифметики
351
(10) А то, что числа по значимости предшествуют музыке, лучше всего обосновывается не только тем, что вещи, которые существуют сами по себе, по природе предшествуют вещам, которые к чему-то относятся, но и тем, что сама мелодия20 обозначается именами чисел — в этом отношении в ней происходит то же, что и в описанной выше геометрии. Ведь и кварта, и квинта, и октава берут свои названия от чисел, которые им предшествуют. Да и отношение самих звуков друг к другу открывается не в чем ином, как в числах. Ведь тот самый звук, который [с данным] составляет консонанс октавы, исчисляется двойным отношением. Каков ход на кварту, это выводится из сверхтретного отношения21. Когда звучит консонанс квинты, он связан полуторным отношением22. Что в числах сверхосмина, то [целый] тон в музыке23. Но не будем вдаваться в детали — труд, что последует за этим, вне всякого сомнения покажет, насколько арифметика превосходит [музыку]24.
(11) Сферику и астрономию25 арифметика превосходит постольку, поскольку две оставшиеся дисциплины26 по природе превосходят эту третью27. Ибо в астрономии круги, сфера, центр, концентрические окружности и ось вращения, всё это — предмет геометрии. Еще и потому геометрия имеет [по отношению к астрономии] большую значимость, что всякое движение возникает после покоя, и по природе статика всегда идет впереди. Ведь наука о подвижных телах — астрономия, тогда как геометрия — о неподвижных28. А из того, что само движение небесных тел совершается с гармоничной соразмерностью29, ясно, что также и музыка старшинством превосходит движение небесных тел30. Нет сомнения, что арифметика по природе превосходит ее [астрономию], раз уж она старше даже тех наук [геометрии и музыки], которые идут впереди нее31. Само собой разумеется, что всякий ход звезд и всякий астрономический расчет естественно устанавливается через число. Именно так [через число] мы определяем восход и заход, следим за медленными и скорыми движениями блуждающих звезд, распознаём затмение и различные фазы Луны.
(12) После того как стало ясно превосходящее значение арифметики, положим начало нашему исследованию.
2. 	О сущности числа32
(1) Всё, что было сотворено в природе изначально, очевидно имеет числовое основание. Именно таков был прообраз в душе Творца33. Отсюда позаимствовано множество четырех первоэлементов, отсюда смена времен [года], отсюда движение светил и вращение неба34.
(2) Поскольку дело обстоит так и поскольку всё существует благодаря связи чисел, то необходимо, чтобы число всегда оставалось равным самому себе в собственной сущности и чтобы оно было составлено не из разных [других элементов] — в самом деле, что еще можно присоединить к сущности числа,

352
Institutio arithmetica
tum non ex diversis — quid enim numeri substantiam coniungeret, cum ipsius exemplum cuncta iunxisset? — sed ex se ipso videtur esse compositus.
(3) Porro autem nihil ex similibus componi videtur, nec ex his, quae nulla rationis proportione iunguntur et a se omni substantia naturaque discreta sunt. Constat ergo, quoniam coniunctus est numerus, neque ex similibus esse coniunctum neque ex his, quae ad se invicem nulla ratione pro-
23 portionis haerent. Erunt ergo, numeros prima quae iungant, ad substantiam quidem quae constent semperque permaneant. Neque enim ex non subsistentibus effici quicquam potest, et sunt ipsa dissimilia et potentia componendi.
(4) Haec autem sunt, quibus numerus constat: par atque impar, quae divina quadam potentia, cum disparia sint contrariaque, ex una tamen genitura profluunt, et in unam compositionem modulationemque iunguntur.
Definitio et divisio numeri et definitio paris et imparis
III. 	(1) Et primum quid sit numerus definiendum est. (2) Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Huius igitur prima divisio est in imparem atque parem. (3) Et par quidem est, qui potest in aequalia duo dividi, uno medio non intercedente, impar vero, quem nullus in aequalia dividit eo quod in medio praedictus unus intercedat. (4) Et haec quidem huiusmodi definitio vulgaris et nota est. <...>
45 De relata ad aliquid quantitate
XXL (1) Ad aliquid [relatae] vero quantitatis duplex est prima divisio. Omne enim aut aequale est aut inaequale, quicquid alterius comparatione metimur.
(2) 	Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est, neque maiore transgreditur, ut denarius denario vel ternarius ternario vel cubitum cubito vel pes pedi et his similia. (3) Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim potest dicere, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero huiusmodi. Omnis enim aequalitas unam servat in propria moderatione mensuram. (4) Illud etiam, quod quae ei quantitas comparatur, non alio vocabulo atque ipsa, cui comparatur, edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino, ita dicitur aequalis aequali.
XXI, 1 Verbum 'relatae' quod uncis inclusum addidit Fr.

I, 2.2-4, 3, 21.1-4
Основы арифметики
353
если его образ обнимает всё сущее — а составлено из себя самого, что очевидно.
(3) Далее, никакое сущее не составляется из одних и тех же элементов, а только из тех, что объединены рациональным отношением и отделены друг от друга в полном соответствии со своим существом и природой. Следовательно, раз число соединено, то ясно, что оно соединено не из подобных, и не из таких [различных элементов], в которых между собой отсутствует рациональное отношение. Следовательно, числа связывают первоначала, которые реально существуют и всегда неизменны. Ведь из ничего не может возникнуть нечто, существующие же первоначала неподобны друг другу и обладают силой к соединению.
(4) Начала же, из которых состоит число, это чет и нечет. Движимые некой божественной силой, они, будучи разными и противоположными, тем не менее вытекают из одного порождающего истока и сочетаются в одно слаженное целое35.
3. 	Определение числа, подразделение чисел и определение четного и нечетного36
(1) 	Во-первых, следует определить, что такое число. (2) Число — это собрание единиц, или скопление количества, рожденное из потока единиц37. Прежде всего, число подразделяется на нечетное и четное. (3) Четное то, что может быть поделено на два поровну, при этом единица в середине не выпадает; нечетное же то, что не делится поровну [надвое], потому что в середине выпадает вышеозначенная единица. (4) Таково общеупотребительное и известное определение числа. <...>
21. Об относительном количестве38
(1) Главное подразделение относительных количеств — на два [вида]. Ибо всё бывает равным или неравным; всякую вещь по отношению к другой мы измеряем сравнением.
(2) Равно то, что по сравнению с другим в итоге не меньше его и не превосходит как большее, как 10 к 10, 3 к 3, локоть к локтю39, фут к футу40 и т.п. (3) Этот вид относительного количества (равенство) естественным образом неделим41. Никто ведь не может утверждать, что вещь, обладающая свойством равенства, тут одного вида, а там другого. Всякое же равенство сохраняет единую [количественную] меру, будучи соразмерно самому себе42. (4) То, с чьим количеством сравнивают [другое количество], называется не каким-то иным словом, а тем же самым, с которым сравнивают. Например, как друг по отношению к другу [называется словом] друг, а сосед для соседа — сосед, так и равенство по отношению к равенству — равенство.

354
Institutio arithmetica
(5) 	Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale est in maius atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur. Namque maius minore maius est et minus maiore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequali-
46 tatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet vel docentis vel caedentis vel vapulantis vel quaecumque ad aliquid relata aliter denominatis contrariis comparantur. <...>
De multiplici eiusque speciebus earumque generationibus
XXIII. (1) Rursus multiplex est prima pars maioris inaequalitatis cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabitur. <...>
66 Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit
XXXII. (1) Restat autem nobis profundissimam quandam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat, quod bonitas definita et sub scientiam cadens animoque semper imitabilis et perceptibilis prima natura est et suae substantiae decore perpetua, infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii tamquam aliquo signo optimae figurae impressa componitur et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem quasi quidam rector animus pura intellegentia roboratus adstringit, et has quodammodo inaequalitatis formas temperata bonitate constituit. (2) Hoc autem erit perspicuum, si intellegamus, omnes inaequalitatis species ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis obtinens vim ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat.
(3) 	Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel ter bini vel ter terni vel ter quaterni vel quantos ultra libet ponere. Quod enim
67 in unis tribus terminis evenit, idem contingit in ceteris. (4) Ex his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nasci multiplices et in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eundem ordinem consequentes. (5) Rursus multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem sesqualteri, ex triplis sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti, et ceteri in hunc modum. (6) Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesqualtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquiter-

I, 21.5; I, 23; I, 32.1-6
Основы арифметики
355
(5) 	Неравное количество делится надвое. То, что неравно, рассекается на большее и меньшее, которые выражены в их противоположных названиях. Большее больше меньшего и меньшее меньше большего — оба обозначены не одним и тем же словом (как говорилось выше по отношению к равенству), а разными и различными [по смыслу] словами, такими как «ученик» и «учитель», «избивающий» и «избиваемый», и вообще всё, что, относясь к чемуто другому, обозначается иначе, противоположным словом. <...>
23. О кратном [количестве], его видах и об их выведении43
Кратное отношение — это первый класс большего неравенства44, оно старше всех других [классов] и предшествует им всем по природе, что будет показано несколько позже. <...>
32. 	Доказательство того, что всякое неравенство произошло от равенства45
(1) Нам остается изложить некое глубочайшее учение, которое служит величайшим основанием для всякой природной силы и целостности сущего. Плоды этого знания велики, если осознавать, что добро, определенное и познаваемое, всегда доступное для подражания и восприятия разумом, первично по природе и вечно в красоте своей сущности; между тем как зло в своем безобразии не определено и не основано ни на каких собственных принципах; но природа всегда, когда отклоняется от определенности доброначалия, словно бы неся на себе некую печать совершенного прообраза, выправляется и удерживает себя от этого ошибочного уклона. Ибо жаркую страсть и неумеренный порыв гнева, как возничий [управляющий лошадьми], умеряет крепкий в чистых помыслах разум, и эти, так сказать, формы неравенства он упорядочивает, выдерживая меру добра.
(2) Это станет ясно, если мы поймем, что все виды неравенства произросли от изначального равенства, что само равенство, как бы обладающее силой матери и корня, само порождает все виды неравенства и их распорядок.
(3) Пусть даны три равных члена — три единицы, или три двойки, или три тройки, или сколь угодно большие числа. Что происходит с первыми тремя единицами, то же случается и с [выведенными] последующими. (4) Из первых, согласно установленному нами правилу, сначала рождаются кратные, а в них прежде двойные, затем тройные, затем четверные и последующие в том же порядке. (5) Далее, если преобразовать кратные, из них получаются сверчастичные: из двойных полуторные, из тройных сверхтретные, из четверных сверхчетвертные, и дальнейшие в том же духе. (6) Из преобразованных сверхчастичных с необходимостью рождаются сверхчастные, так что из полуторного родится сверхдвухчастное, сверхтретное породит сверхтрех-

356
Institutio arithmetica
tius gignat, et ex sesquiquarto superquadripartiens procreetur. (7) Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus multiplices superparticulares oriuntur; rectis vero superpartientibus multiplices superpartientes efficiuntur.
(8) Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, secundis duobus et tertio.
(9) Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur, duplices erunt, de quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur et de his quadruplices atque in infinitum omnes formas numeri multiplicis explicabit. Iaceant igitur tres termini aequales: 111 <...>
Incipit liber secundus
77 Quemadmodum ad aequalitatem omnis inaequalitas reducatur
I. (1) Superioris libri disputatione digestum est, quemadmodum tota inaequalitatis substantia a principe sui generis aequalitate processerit. Sed quae rerum elementa sunt, ex hisdem principaliter omnia componuntur, et in eadem rursus resolutione facta solvuntur; ut, quoniam articularis vocis elementa sunt litterae, ab eis est syllabarum progressa coniunctio et in easdem rursus terminatur extremas; eandemque vim obtinet sonus in musicis. Iam vero mundum corpora quattuor non ignoramus efficere; namque ut ait Lucretius:
Ex imbri, terra atque anima gignuntur et igni.
Sed in haec rursus eius quattuor elementa fit postrema resolutio. Ita igitur, quoniam ex aequalitatis margine cunctas inaequalitatis species proficisci videmus, omnis a nobis inaequalitas ad aequalitatem velut ad quoddam elementum proprii generis resolvatur.
(2) 	Hoc autem trina rursus imperatione colligitur, eaque resolvendi ars 78 datis quibuslibet tribus terminis inaequalibus quidem sed proportionaler constitutis, id est ut eandem medius ad primum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus ad medium, in qualibet inaequalitatis ratione vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, vel in his, qui ex his procreantur multiplicibus superparticularibus, vel multiplicibus superpartientibus, eadem atque una ratione indubitata constabit. <...>
1.1 ut ait Lucretius] ut ait Fr.
1.1 postrema resolutio] postrema solutio Fr.

I, 32.6-9; II, 1-2
Основы арифметики
357
частное, а из сверхчетвертного выйдет сверхчетырехчастное. (7) А если расположить их в прямом порядке, без преобразования, исходные сверхчастичные дадут кратно-сверхчастичные; если же в прямом порядке [расположить] сверхчастные, возникнут кратно-сверхчастные.
(8) Три правильных действия таковы: сначала берем первое число без изменений, второе [получаем сложением] первого и второго, третье получаем из первого, удвоенного второго и третьего.
(9) Если сделать так с равными членами, получатся удвоенные числа; если сделать это с двойными, выйдут тройные, из последних четверные, и так до бесконечности [названный алгоритм] развернет все формы кратного числа. Пусть даны три равных члена: 111 <...>46.
Книга II
1. 	Каким образом всякое неравенство сводится к равенству1
(1) В предыдущей книге было тщательно рассмотрено, каким образом всей субстанции неравенства предшествует (ввиду своего первородства) равенство. А это те же элементы вещей, из которых вначале всё составляется, и в конце концов на эти же [элементы] созданное и распадается. Например, элементы членораздельной речи — это буквы, потому от них исходит связность слогов, и в конце концов теми же последними она исчерпывается2. Такое же значение в музыке имеет звук. Уж конечно мы знаем, что четыре тела творят мир3. Как пишет Лукреций:
Из влаги, земли, воздуха и огня рождается [всё]4.
К этим четырем элементам в конце концов всё и сводится. Так же, поскольку, как мы видим, все виды неравенства берут начало от равенства как предела, всякое неравенство приводится к равенству как некоему элементарному началу своего рода.
(2) Это получается приложением троичного правила5, и этот способ приведения любых трех неравных членов, установленных в виде пропорции (так чтобы средний член относился к первому так же, как крайний к среднему, в каком-либо отношении неравенства, например, в кратном, в сверхчастичном или в сверхчастном, или в тех, которые от них производны, то есть в кратном сверхчастичном или кратном сверхчастном), будет иметь силу для [любого] одного и того же и бесспорного числового отношения. <...>

358
Institutio arithmetica
125 Quod omnia ex eiusdem natura et alterius natura consistant idque in numeris primum videri
XXXII. (1) Omne autem, quicquid in propria natura substantiaque est immobile, terminatum definitumque est, quippe quod nulla variatione mutetur, nunquam esse desinat, nunquam possit esse quod non fuit. At haec unitas sola est et, quae unitate formantur, comprehensibilis et determinatae et eiusdem substantiae esse dicuntur. Ea vero sunt, vel quae ab aequalibus crescunt, ut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est impares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores, qui a finita substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substantiae nominantur.
(2) Constat ergo numerus omnis ex his, quae longe disiuncta sunt atque contraria, ex imparibus scilicet et paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis variatio, hic immobilis substantiae robur, illic mobilis permutatio; hic definita soliditas, illic infinita congeries multitudinis. Quae scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur et illius unitatis informatione atque regimento unum numeri corpus efficiunt.
(3) Non ergo inutiliter neque improvide, qui de hoc mundo deque hac
126 communi rerum natura ratiocinabantur, hanc primum totius mundi substantiae divisionem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo eiusdem naturae et alterius nominat, quicquid in mundo est, atque aliud in sua natura permanere putat individuum inconiunctumque et rerum omnium primum, alterum divisibile et numquam in proprii statu ordinis permanens. Philolaus vero: Necesse est, inquit, omnia quae sunt vel infinita esse vel finita, demonstrare scilicet volens, omnia, quaecunque sunt, ex his duobus consistere, aut ex finita scilicet esse aut ex infinita, ad numeri sine dubio similitudinem. Hic enim ex uno et duobus et impari atque pari coniungitur, quae manifesta sunt aequalitatis atque inaequalitatis, eiusdem atque alterius, definitae atque indefinitae esse substantiae.
(4) Quod videlicet non sine causa dictum est, omnia, quae ex contrariis consisterent, armonia quadam coniungi atque componi. Est enim armonia plurimorum adunatio et dissentientium consensio. <...>  44 dissentientium] dissidentium Fr.

II, 32
Основы арифметики
359
32. О том, что все сущности состоят из природы тождественного и из природы иного, и о том, что это прежде всего касается чисел6
(1) Итак всё, что в самой природе и в материи неподвижно,— конечно и определенно, ибо то, что не подвержено никакому изменению, никогда не перестанет быть, никогда не может не существовать. Только о единице и тех [сущностях], которые образуются с помощью единицы, говорят, что они постижимы и определенны и принадлежат одной и той же материи. Они таковы, что происходят либо от равных чисел, как квадраты, либо их образует сама единица, и это — нечетные. А двойка и все [числа], продленные в другой части, которые удалились от конечной материи, относятся к изменчивой и бесконечной материи.
(2) Следовательно, всякое число состоит из весьма разъединенных и даже противоположных [начал], а именно из нечета и чета. В первом случае постоянство, во втором — изменчивое непостоянство; в первом — сила неподвижной материи, во втором — подвижная переменчивость; в первом — прочность определенности, во втором — неопределенная беспорядочность множества. Противоположности, однако, смешиваются в единое целое, словно друзья или кровные родственники; по образу единицы и под ее началом они образуют единое тело числа.
(3) Следовательно, не зря и не случайно [учителя,] которые рассуждали об этом мире и общей природе вещей, положили именно такое разделение всемирной материи. И Платон в «Тимее», когда говорит обо всем сущем в мире как имеющем природу тождественного и [природу] иного, имеет в виду, что одно пребывает по своей природе неделимым, разъединенным и являющимся началом всех вещей; другое же делимо и никогда не пребывает в надлежащаем состоянии порядка7. Филолай же говорит так: «Необходимо, чтобы все сущности были либо бесконечными либо конечными»8. Он хочет показать, что всё сущее состоит из этих двух, а именно из бесконечных и из конечных [сущностей], без сомнения, наподобие числа. Ибо оно происходит из единицы и двойки, нечета и чета; всё, что осязаемо, происходит из равенства и неравенства, тождественной и иной, определенной и неопределенной материи.
(4) Не без причины, значит, говорят, что всё, что состоит из противоположностей, связано некой гармонией и сложено с ее помощью, ведь гармония — это единение многого и согласие разно гласного9. <...>

360
Institutio arithmetica
137 De proportionalitatibus
XL. (1) Et de his quidem sufficienter dictum est; nunc res admonet quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes vel ad astronomicas subtilitates vel ad geometricae considerationis vim vel etiam ad veterum lectionum intellegentiam prodesse possint, arithmeticam introductionem commodissime terminare.
(2) Est igitur proportionalitas duarum vel trium vel quotlibet proportionum adsumptio ad unum atque collectio. Ut etiam communiter definiamus: proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est inter numeros quantitas.
(3) Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo et quasi quodammodo continentia, quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex iunctis enim proportionibus proportionalitas fit.
(4) In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior; ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem. Sin vero quattuor contra duo compares, hic quoque dupla proportio est. Quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas et est proportionalitas unum ad duo et duo ad quattuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. (5) Fit etiam et in longioribus. Nam si quattuor illis octo velis adiungere et his .XVI. et his .XXXII. et deinceps duplos, qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportions nibus duplis. (6) Igitur quotiens unus atque idem terminus ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quattuor. Est enim aequalitas in his proportionibus et quemadmodum sunt .1111. ad .IL, sic sunt .II. ad unum, et rursus quemadmodum unus ad duo, sic duo ad quattuor. Et secundum quantitatem quoque numeri eodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quanto unus a duobus minor est, tanto binarius a ternario superatur.
(7) 	Sin vero alius ad unum refertur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disiunctam vocari, ut ad qualitatem quidem proportionis sunt: I. II. IIII. VIII. Sic enim sunt quemadmodum duo ad unum, sic octo ad quattuor, et conversim: quemadmodum unus ad duo, sic quattuor ad octo, et permutatim: quemadmodum quattuor ad unum, sic octo ad binarium. Secundum quantitatem vero numeri, ut sunt: I. IL III. IIII. Quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur, et quanto duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam: quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat, tanto binarium transgreditur quaternarius.

II, 40
Основы арифметики
361
40. 	О пропорциях10
(1) На эту тему сказано достаточно. Теперь, чтобы подобающим образом завершить введение в арифметику, пора рассмотреть отношения [и пропорции], которые могут быть полезны для теории музыки, для премудростей астрономии, для рассмотрения сущности геометрической науки и вообще для понимания древних текстов.
(2) Пропорция — это связывание или объединение двух, трех или четырех отношений. Общее определение таково: пропорция — это отношение двух или более отношений, пусть даже они заключены не в одинаковых количествах и разностях (разность — это количественная величина между числами).
(3) Отношение — это некая связь двух чисел между собой и как бы их гармоничное сочетание; то, что производится из нанизывания таких [чисел], пропорционально. Итак, из соединения отношений возникает пропорция.
(4) Самая короткая пропорция возникает в трехчленах (бывает и в большем количестве членов, но тогда она длиннее). К примеру, два члена 2 к 1 дают двойное отношение; если сравнить 4 и 2, выйдет тоже двойное отношение. Если же рассмотреть три члена как непрерывную последовательность чисел, из двух отношений возникнет пропорция: 1 к 2 и 2 к 4. Ведь пропорция, как было сказано, это объединение отношений, сведение [нескольких отношений] к одному.
(5) Пропорция бывает и длиннее. Если к вышеупомянутой четверке добавить 8, 16, 32 и дальнейшие удвоения, всё это будет двойная пропорция, составленная из двойных отношений.
(6) Поскольку один и тот же член сочетается с двумя окружающими его членами, из которых для одного он вождь, а для другого спутник, то такая пропорция называется непрерывной (как, например, 1:2:4). В таких пропорциях наблюдается равенство отношений (как 4 относится к 2, так и 2 к 1; и как 1 к 2, так и 2 к 4). В количественной [арифметической пропорции]11 — то же самое: насколько 3 превосходит 2, настолько 2 превосходит 1, и насколько 1 меньше 2, настолько же 2 меньше 3.
(7) Если же первый член относится ко второму, а третий к четвертому, такую связь [отношений] надо называть разъединенной. Для примера [пропорции] согласно качеству отношений возьмем 1 2 4 8. Здесь как 2 относится к 1, так и 8 к 4; и наоборот, как 1 к 2, так и 4 к 8; и еще, как 4 к 1, так и 8 к 2. Согласно числовому количеству возьмем пропорцию [12 3 4]. Насколько 1 меньше 2, настолько 3 меньше 4; и насколько 2 больше 1, настолько 4 больше 3. И наоборот: насколько 1 меньше 3, настолько 2 меньше 4, или иначе, насколько 3 больше 1, настолько 4 больше 2.

362
Institutio arithmetica
Quae apud antiquos proportionalitas fuerit; quas posteriores addiderint
139 XLL (1) Confessae quidem et apud antiquiores notae, quaeque ad Pythagorae vel Platonis vel Aristotelis scientiam pervenerunt, hae tres medietates sunt: arithmetica, geometrica, armonica. Post quas proportionum habitudines tres aliae sunt, quae sine nomine quidem feruntur, vocantur autem quarta, quinta, vel sexta, quae superius dictis oppositae sunt.
(2) At vero posteri propter denarii numeri perfectionem, quod erat Pythagorae complacitus, medietates alias quattuor addiderunt, ut in his proportionalitatibus denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque maioribus proportionibus, quos vocavimus duces, minores aptavimus alios terminos, quos comites diximus.
(3) Inde etiam in aristotelica atque Archytae prius decem praedicamentorum descriptione pythagoricum denarium manifestum est inveniri; quandoquidem et Plato, studiosissimus Pythagorae, secundum eandem disputationem dividit, et Archytas pythagoricus ante Aristotelem, licet quibusdam sit ambiguum, decem haec praedicamenta constituit. (4) Inde etiam decem membrorum particulae, inde alia permulta, quae omnia persequi non est necesse.
Quod primum de ea, quae vocatur arithmetica proportionalitas, dicendum sit
XLII. (1) Nunc vero de proportionalitatibus deque medietatibus dicendum est, et primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem neglecta proportionis parilitate constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur,
140 inque his speculanda est, in quibus a se ipsis termini differunt. Quid autem esset differentia terminorum superius definitum est. Hanc autem esse arithmeticam medietatem numerorum, ipsa ratio declaravit, quoniam eius proportio in numeri quantitate consistit.
(2) Quae igitur causa est, huiusmodi terminorum habitudinem, id est arithmeticam, cunctis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum, quod hanc nobis in principio ipsa numerorum natura et vis naturalis quantitatis opponit. Huiusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod in superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem et quod illata non has simul inferret, sublata
XLII, 1 ipsa ratio declaravit] ipsa ratio declarabit Fr.

И, 41 - 42.2
Основы арифметики
363
41. Какие были пропорции у древних [и] сколько их добавили потомки12
(1) Общепризнанны и известны еще старинным знатокам Пифагора, Платона и Аристотеля три следующих средних13: арифметическое, геометрическое и гармоническое. После этих пропорциональных отношений появились три других, которые приводятся без имен: они называются «четвертое», «пятое» или «шестое» и противопоставляются вышеназванным.
(2) Позднейшие писатели ради совершенства любимого Пифагором числа десять добавили еще четыре средних, чтобы в этих пропорциях проявила себя сущность десятичного количества. В соответствии с этим числом описываются и вышеприведенные пять [классов] отношений и сравнений. Пять больших отношений мы называем «вождями». Для меньших отношений мы приспособили другой термин — их мы назвали «спутниками»14.
(3) Потому и в описаниях десяти категорий у Аристотеля и еще раньше у Архита с очевидностью обнаруживается пифагорейская десятка. Потому и Платон, как ревностный знаток Пифагора, выделял [категории], руководствуясь тем же соображением, и пифагореец Архит еще до Аристотеля (хотя некоторые в этом сомневаются) установил десять категорий15. (4) Отсюда и десять [грамматических] членов и многие другие [воплощения десятки], в исследовании которых нет необходимости.
42. В первую очередь следует сказать об арифметической пропорции16
(1) Теперь следует сказать о пропорциях и о средних, и в первую очередь будем говорить о том среднем, которое, пренебрегая одинаковостью [геометрического] отношения, сохраняет количественное равенство в установленных членах. Это среднее пребывает (и должно рассматриваться) в тех количествах, которые выражены разностью членов (а что такое разность членов, определено выше). Такое среднее, как показало наше исследование, называется арифметическим, потому что суть данного типа отношения заключена в [одном и том же] числовом количестве17.
(2) По какой же причине это — арифметическое — отношение членов должно быть поставлено впереди всех других пропорций? Прежде всего, потому что его выставляет в начале — нам навстречу — сама природа чисел и природная сила количества. Ведь пропорции этого вида, которые проявляют себя в разностях членов (как я покажу немного позже), мы распознаём прежде всего в ряду натуральных чисел. Из нашего обсуждения в предыдущей книге [этого труда] стало ясно, что арифметика превосходит по своему значению геометрию и музыку, и что, присутствуя сама, она не привносит с собой упомянутые науки, а если ее изъять [из других наук], то это

364
Institutio arithmetica
vero perimeret. Quare ordine disputatio progredietur, si ab ea primo inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia, non in proportionis speculatione versatur. <...>
149 Quae medietates quibus rerum publicarum statibus comparentur
XLV. (1) Atque ideo arithmetica quidem rei publicae comparatur, quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus eius terminis maior proportio sit. Musicam vero medietatem optimatium dicunt esse rempublicam ideo, quod in maioribus terminis maior proportio invenitur. Geometrica medietas popularis quodammodo et exaequatae civitatis est. Namque vel in maioribus vel in minoribus aequali omnium proportionalitate componitur, et est inter omnes paritas quaedam medietatis aequum ius in proportionibus conservantis. <...>
169 De maxima et perfecta symphonia, quae tribus distenditur intervallis
LIIII. (1) Restat ergo de maxima perfectaque armonia disserere, quae tribus intervallis constituta magnam vim obtinet in musici modulaminis temperamentis et in speculatione naturalium quaestionum. Etenim perfectius huiusmodi medietate nihil poterit inveniri, quae tribus intervallis producta perfectissimi corporis naturam substantiamque sortita est. Hoc enim modo cybum quoque trina dimensione crassatum plenam armoniam esse demonstravimus.
(2) Haec autem huiusmodi invenietur, si duobus terminis constitutis, qui ipsi tribus creverint intervallis, longitudine, latitudine et profunditate, duo huiusmodi termini medii fuerint constituti et ipsi tribus intervallis notati, qui vel ab aequalibus per aequales aequaliter sint producti vel ab inaequa-
170 libus ad inaequalia inaequaliter, vel ab inaequalibus ad aequalia aequaliter, vel quolibet alio modo, atque ita, cum armonicam proportionem custodiant, alio tamen modo comparati faciant arithmeticam medietatem hisque geometrica medietas, quae inter utrasque versatur, deesse non possit.
(3) In quattuor enim terminis si fuerit quemadmodum primus ad tertium, sic secundus ad quartum, proportionum ratione scilicet custodita, geometrica medietas explicatur, et quod continetur sub extremitatibus, aequum erit ei, quod sub utraque medietate ad se invicem multiplicata conficitur.
XLV, 1 in maioribus terminis maior proportio invenitur] in maioribus terminis maior proportionalitas invenitur Fr, Guill.
LIV, 2 duo huiusmodi termini medii] duo huismodi termini medii Fr.

II, 42.2, 45.1, 54.1-3
Основы арифметики
365
погубит [их]18. Вот почему изложение пойдет в [правильном] порядке, если начать именно с того среднего, которое заключается в разности чисел, [хотя оно и] не [относится] к теории «отношения»19. <...>
45. Какие средние с какими видами государственного устройства сравниваются
(1) Арифметическое среднее сравнивают с государством, которым управляют немногие (т. е. с олигархией), поскольку в меньших членах арифметической пропорции заключено большее отношение. О музыкальном же среднем говорят как об аристократическом государстве, потому что в больших членах содержится большее отношение. Геометрическое среднее подобно как бы народному (т. е. демократическому) государству, где все равны, ибо оно образуется — будь то большие или меньшие члены — в равной пропорции для всех, и между всеми [членами] есть некое равенство середины, сохраняющей равноправие в отношениях20. <...>
54. О величайшем и совершенном консонансе, который располагается в трех интервалах21
(1) Осталось рассказать о величайшей и совершенной гармонии, которая, будучи установленной в трех измерениях (или интервалах)22, имеет большое значение для [постижения] отношений [между звуками в] мелодии и в науке о природе23. Невозможно найти ничего более совершенного, чем то среднее, которое, будучи производным от трех измерений (или интервалов), составляет природу и субстанцию самого совершенного тела. Ведь именно поэтому, как мы показали [ранее], куб, возникший в тройном измерении, являет собой полную гармонию24.
(2) Это среднее находится следующим образом: если установлены два [крайних] члена, производные от трех измерений — длины, ширины и объема,— то [между ними] могут быть установлены и два средних члена, которые также трехмерны25; они производны от равных [чисел], посредством равных и [промежутки между ними] равны, либо произведенные от неравных [чисел], приводящие к неравным и неравны [между собой], либо от неравных к равным через равные, или как-то иначе — и так, [некоторым образом соотнесенные, эти числа] дают гармоническое отношение; если соотнести их иначе, они дают арифметическое среднее; и геометрическое среднее, которое образуется между обоими [крайними членами], не может не возникнуть26.
(3) Если в четырех членах первый относится к третьему как второй к четвертому, то есть сохраняется пропорциональное отношение, то получается геометрическое среднее — и то [число], что содержится в крайних членах27, будет равно тому, что получается от перемножения двух средних.

366
Institutio arithmetica
(4) 	Rursus si maximus .1111. terminorum numerus ad eum, qui sibi propinquus erit, talem habeat differentiam, qualem idem ipse maximo propinquus ad parvissimum, huiusmodi proportionalitas in arithmetica consideratione proponitur, et extremorum coniunctio duplex erit propria medietate. (5) Si vero inter .1111. qui est tertius terminus aequa parte quarti quartum terminum superet et aequa primi a primo superetur, armonica huiusmodi proportionalitas medietasque perspicitur, et quod continetur sub extremorum aggregatione et multiplicatione medietatis duplex est eo, quod sub utraque extremitate conficitur.
(6) Sit autem quoddam huius dispositionis exemplar hoc modo: .VI. .VIII. .VIIII. .XII. Has igitur omnes solidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis ter, .XII. autem ex bis duo ter, horum autem medietates octonarius fit semel duo quater, novenarius vero semel tres ter. Omnes igitur termini cognati sibi et tribus intervallorum dimensionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas invenitur, si .XII. ad .VIII. vel .VIIII. ad .VI. comparemus. Utraque enim comparatio sesqualtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus, idem est ei, quod fit ex mediis. Nam quod fit ex duodecies sex, aequum est ei, quod fit ex octies .VIIII. Geometrica ergo proportionalitas est huiusmodi. Arithmetica autem est, si duodenarius ad novenarium et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est et iunctae extremitates medietate duplae sunt. Si enim iunxeris senarium et .XII., facies .XVIII., qui est novenario, medio termino, duplus. In his ergo geometricam arithmeticamque medietatem perspeximus.
(7) Hic quoque armonica medietas invenitur, si .XII. ad .VIII. et rursus .VIII. ad senarium comparemus. Qua enim parte senarii octonarius senarium superat, id est parte tertia, eadem duodenarii parte octonarius superatur. Quattuor enim, quibus octonarius a duodenario vincitur, duodenarii tertia pars est. Et si extremitates iungas, .VI. scilicet et .XII., easque per octonarium medium multiplices, .CXLIIII. sunt. Quod si se extremitates multiplicent, .VI. scilicet et .XII., facient .LXXIL, quo numero .CXLIIII. duplus est.
(8) Inveniemus hic quoque omnes musicas consonantias. Namque .VIII. ad .VI. et .VIIII. ad .XII. comparati sesquitertiam proportionem reddunt, et simul diatessaron consonantiam; .VI. vero ad .VIIII. vel .VIII. ad .XII. comparati reddunt proportionem sesqualteram, sed diapente efficiunt symphoniam; .XII. vero ad senarium considerati duplicem quidem proportionem, sed diapason symphoniam canunt; .VIII. vero et .VIIII. ipsi contra se medii
4 proportionalitas in arithmetica consideratione] proportio in arithmetica consideratione Fr, Guill.
5 armonica huiusmodi proportionalitas] armonica huiusmodi proportio Fr, Guill.
6 Geometrica ergo proportionalitas est huiusmodi] Geometrica ergo proportio est huiusmodi Fr, Guill.

И, 54.4-8
Основы арифметики
367
(4) 	Далее. Если наибольший из четырех членов по отношению к соседнему имеет такую же разность, какую тот же самый, соседний с наибольшим член, имеет к наименьшему, такая пропорция полагается арифметической, и сумма крайних членов будет в два раза больше среднего ее члена28. (5) Если же третий член из четырех превосходит четвертый член на ту же часть, на которую первый член превосходит этот третий член, то получаются гармоническая пропорция и гармоническое среднее29, а результат умножения суммы крайних членов на среднее — в два раза больше, чем произведение крайних членов30.
(6) Возьмем в качестве примера такое расположение:
6 	8 9 12
Несомненно, что все эти числа — пространственные количества31: шесть рождается от 1χ2χ3; 12=2x2x3; средние для них — восьмерка, которая возникает от умножения 1χ2χ4, а девятка — от 1χ3χ3. Итак, все члены [отношения] родственны друг другу и выражаются в трех измерениях. Если мы в них сравним 12 с 8 и 9 с 6, то обнаруживается геометрическая пропорция. Каждое из двух сравнений есть полуторное отношение, и [число], что содержится в крайних членах, — то же, что возникает из средних. Ибо то [число], которое получается [от умножения] 12 на 6, равно тому, которое возникает [от умножения] 8 на 9. Такова геометрическая пропорция. Арифметическая же наблюдается, если сравнить 12 с 9 и 9 с 6. В обоих сравнениях разница чисел составляет 3, и сумма крайних членов в два раза больше среднего. Если сложить 6 и 12, получится 18, число, которое в два раза больше среднего члена
(9). Итак, мы рассмотрели геометрическое и арифметическое средние.
(7) Гармоническое же среднее обнаруживается, если мы сравним 12 с 8 и 8 с 6 таким образом: восьмерка превосходит шестерку на такую же часть последней (а именно треть), на какую и 12 превосходит восьмерку. Ведь число 4, на которое 12 превосходит восьмерку, есть [тоже] треть от 12. Если сложить 6 и 12 и умножить их на среднее число 8, то будет 144; если же перемножить крайние члены 6 и 12, выйдет 72, по отношению к которому 144 является двойным.
(8) Итак, мы обнаруживаем здесь все музыкальные консонансы32. Ибо 8, соотнесенное с 6, и 9 с 12 дают сверхтретное отношение, и тем самым консонанс кварты; 6, соотнесенное с 9, или 8 с 12 дают полуторное отношение и производят консонанс квинты; если же исследовать 12 к 6, это — двойное отношение, а в звуках [эти числа] дают консонанс октавы; средние же [по отношению к 6 и 12] числа 8 и 9 между собой связаны сверхосминным отношением — общей мерой для всех музыкальных интервалов. В мелодии

368
Institutio arithmetica
172 considerati epogdoum iungunt, qui in musico modulamine tonus vocatur, quae omnium musicorum sonorum mensura communis est. Omnium enim est sonus iste parvissimus. Unde notum est, quod inter diatessaron et diapente consonantiarum tonus differentia est, sicut inter sesquitertiam et sesqualteram proportionem sola est epogdous differentia.
(9) 	Huius descriptionis subter exemplar adiecimus:
Geometrica
proportiones
Arithmetica
173
Armonica
Proportiones et consonantiae
diapente
diapente

II, 54.8-9
Основы арифметики
369
ему соответствует целый тон; ведь это наименьший интервал33. Отсюда ясно, что разницу между консонансами кварты и квинты составляет тон, подобно тому как разница между сверхтретным и полуторным отношениями — как раз сверхосминное отношение.
(9) 	К нашему описанию в качестве примера ниже прилагаем схему34:
Геометрическая пропорция
Гармоническая пропорция
Отношения и консонансы
части большего и меньшего членов
квинта
квинта

КОММЕНТАРИЙ К «АРИФМЕТИКЕ»
Предисловие
1 Квинт Аврелий Меммий Симмах (Symmachus; казнен в 526 г., консул в 485 г., глава сената и городской префект), происходивший из знатного рода,— один из образованнейших людей своего времени (прежде всего, яркий оратор и ученый, автор семитомной «Истории Рима»). После смерти отца Боэция принял ребенка в свою семью, позаботился о его классическом образовании, помогал ему в государственной карьере и научной работе, наконец, выдал за него свою дочь Рустициану. Свои первые труды благодарный воспитанник посвящает приемному отцу.
2 Под «частями» (partes) подразумеваются искусства (или науки), составляющие образовательный цикл семи свободных искусств (наук).
3 Арифметика — базовая наука (scientia), все другие науки (они же «искусства» = artes) квадривия будут опираться на нее.
4 Это место перекликается с Mus. I, 34 (знаменитое рассуждение Боэция об ученом музыканте). См. подробней ЛебедевМММ.
5 Металлический выступ в центре щита, служивший в рукопашном бою ударным оружием и одновременно защитой для кисти руки.
6 Данного труда об арифметике, посвященного Симмаху.
Книга I
7 Вольный (пропуски, с одной стороны, оригинальные вставки, с другой) пересказ первых шести глав Никомаховой «Арифметики». Эта вводная глава трактата чрезвычайно показательна для демонстрации метода Боэция.
8 ...puriore mentis ratione. Ср. Цицеронову лексику: <summum bonum> cumulatur ex integritate corporis et ex mentis ratione perfecta (выделение мое.— СЛ.) — высшее благо достигается через цельное единство тела (т.е. физического здоровья) и совершенного разума (Cic. De fin. V, 40).
9 Слово «квадривий» (причем в форме quadruvium) впервые в истории встречается именно здесь, в «Арифметике» Боэция, хотя само представление о важности четырех математических наук для постижения мира восходит к классической античности (например, обсуждается в «Государстве» Платона).
10 Первый и второй параграфы 1,1 — довольно точный пересказ 1,1 «Арифметики» Никомаха (этот же материал пересказывается в Mus. II, 2). Никомах различает бестелесные неизменные сущности — «сущее в собственном смысле слова» — и телесные и изменчивые акцидентальные «частности». Вторые воспринимаются непосредственно чувствами, первые постигаются только умом. Изучение умопостигаемых сущностей и есть основное занятие философии. Это разделение сущего, приписанное Пифагору, а в действительности представляющее собой синтез платонизма, аристотелизма и стоицизма, сделано Никомахом для того, чтобы в дальнейшем вывести

Книга I
Комментарий
371
отсюда разделение математических наук (аргументация этого разделения, разумеется, точно скопирована в квадривии Боэция). Подробней см.: АдоСИ, 71-78.
11 Эти слова — magnitudo и parvitas — можно перевести и как (арифметические) термины — величина и ничтожно малая величина («ничтожность»).
12 Перевод с классической латыни habitudo — внешность, но я перевожу «отношение», имея в виду контекст данного труда и тесно связанного с «Арифметикой» (позднейшего) трактата о музыке, где числовое равенство и числовое отношение — фундаментальные и неоднократно обсуждаемые сущности.
13 В этом витиеватом пассаже Боэций, по-видимому, использует риторический прием метонимии: вместо науки он называет ее свойство.
14 Имеется в виду интервал как строительный материал и «мера» мелодии (соразмерность мелодии = выстроенность ее в эммелических интервалах). Та же фразеология используется в II, 54 «Арифметики», образуя своеобразную арку: Restat ergo de maxima perfectaque armonia disserere, quae tribus intervallis constituta magnam vim obtinet in musici modulaminis temperamentis... Почти теми же словами у Кассиодора: «Консонанс — это соразмерное отношение низкого звука к высокому или высокого к низкому, создающее мелодию либо в голосе [человека], либо дыханием [в духовых инструментах], либо ударом [в струнных инструментах]» (Symphonia est temperamentum sonitus gravis ad acutum vel acuti ad gravem, modulamen efficiens sive in voce, sive inflatu, sive in percussione.) (Cass. Inst.).
15 Без знания четырех наук квадривия постижение философии («мудрости») невозможно.
16 Чем те выводы, которые исследователь может сделать на основе одних только чувств.
17 У Платона нет «глаза души» (ομμα τής ψυχής). Кажется, это красивое выражение принадлежит Никомаху (Arithm. I, 3), за которым Боэций идет здесь почти дословно: «Глаз души, погубленный и ослепленный другими [т.е. житейскими — С ЛL] занятиями, оживает и пробуждается только благодаря им [математическим наукам — С Л.], и лучше сохранить его, чем тысячу телесных глаз, ибо только он и созерцает истину всего». Ср. у Платона («Государство», 527d; пер. А.Н. Егунова): «...в науках [матесиса] очищается и вновь оживает некое орудие души (οργανόν τι ψυχής) каждого человека, которое другие занятия губят и делают слепым, а между тем сохранить его в целости более ценно, чем иметь тысячу глаз, — ведь только с его помощью можно узреть истину».
18 Трудность перевода этого логического рассуждения в том, что prior по-латыни означает и «предыдущий по времени» (более ранний), и одновременно «более значительный» (высший по значению). Другой возможный перевод пары prior / posterior в данном контексте: «первичный» / «вторичный». Аналогичная трудная ситуация (дальше по тексту в этой главе) и с прилагательным antiquior.
19 «Геометрическая форма» = геометрическая фигура.
20 В пассаже Никомаха (I, 5), по которому здесь точно идет Боэций, на месте musica modulatio стоит ai μουσικαί συμφωνίαι — «музыкальные благозвучия», то есть консо¬

372
Основы арифметики
Книга I
нансы. Боэций вне всякого сомнения мог передать по-латыни оригинал Никомаха, как symphoniae musicae или как consonantiae musicae. В том, что Боэций в совершенстве контролирует оригинальный греческий текст, можно убедиться, например, читая II, 48 «Арифметики». В этой главе, посвященной гармоническому среднему, Боэций пишет: Ipsarum quoque musicarum consonantiarum, quas symphonias nominant, proportiones in hac paene sola medietate frequenter invenies. В II, 49 прямо употребляется термин symphonia musica: Omnes autem in hac dispositione symphonias musicas invenimus (выделение мое — С.Л.). Многочисленны примеры такого рода и во втором специально музыкальном трактате Боэция. Вот почему мне кажется, что в обсуждаемом пассаже musica modulatio — не перевод, а сознательная замена частного понятия понятием общим. Musica modulatio можно, на мой взгляд, понимать как размеренное в интервалах развертывание музыки, в сущности, динамическое определение лада — не как звукорядной таблички (modus), а как процесса мелодического развертывания. Подробней обзор вхождений modulari и дериватов (modulatio, modulatus etc.) в квадривиальных трудах Боэция, а также аргументированную интерпретацию этого «куста» терминов см. в статье ЛебедевМС.
21 ...epitrita conlatione буквально — «эпитритным сравнением». В более поздней «Музыке» Боэция грецизмов для «интервальных» чисел больше нет, там сверхтретное отношение (для кварты) — как правило, sesquitertia (proportio). Epitrita proportio встречается в «Музыке» единственный раз, в 1,10.
22 ...hemiolia meditate буквально — «гемиольным средним». Под термином «среднее» у Боэция обычно подразумевается средний член непрерывной пропорции. Употребление термина «среднее» как синоним термина «отношение» — прямое наследие греческой науки, где эти термины часто взаимозаменяемы.
23 ...qui numeris epogdous est. Аналогично и число целого тона в «Музыке» последовательно (за единственным исключением в II, 17) обозначается не грецизмом epogdous, а латинским словом sesquioctava (proportio).
24 Очевидно, что Боэций имеет в виду свой второй квадривиальный труд, который специально посвящен проблемам музыкальной науки.
25 Сферика в одних случаях— часть астрономии, занимающаяся изучением подвижных тел, в других случаях — просто синоним астрономии.
26 Музыка и геометрия.
27 Астрономию.
28 Потому геометрия выше астрономии.
29 Мировая гармония, которую в следующем трактате («Музыке») Боэций называет «мировой музыкой» (musica mundana).
30 Наука музыка превосходит по своему значению науку астрономию.
31 Арифметика старше (значительней, весомей) не только астрономии, но и музыки, и геометрии. Последнее предложение приведенного фрагмента, содержащее рассуждение об иерархии квадривиальных наук, грамматически довольно темное, и к тому же греческого прототипа (в трактате Никомаха) для него нет (Quare constat quoque musicae vim... videatur antiquior).

Книга I
Комментарий
373
Немецкий перевод Кришера не убеждает: «Daher ist klar, daß auch die Kraft der Musik den Lauf der Sterne an Alter übertrifft, während die Arithmetik zweifellos der Musik von Natur vorangeht, da sie älter ist als anderes, als ihr (der Musik) vorangeht» (KrischerB, 213). Английский перевод (Мази) лучше: «From this it follows that the power of music logically precedes the courses of the stars; and there is no doubt that arithmetic precedes astronomy since it is prior to music, which comes before astronomy» (MasiB, 75). Французский перевод Гийомена — лучший из трех: «C'est pourquoi il est certain aussi que la science de la musique précède par son antériorité celle du cours des astres, qui est indiscutablement surpassée par nature par l'arithmétique, puisque celle-ci apparaît antérieure aux sciences qui ont la priorité sur l'astronomie» (Guill., 10).
32 Nie. Arithm. I, 6.
33 То есть числовой.
34 Весь видимый и исчислимый универсум (включая движение светил) — отблеск (отпечаток) божественного числа, которое невидимо существует только в разуме Творца.
35 Эта глава может служить хорошей иллюстрацией вольно-сокращенного переводческого метода, описанного автором во вступительном послании к Симмаху. Недостатком сокращения может стать (как здесь) и необоснованное упрощение. Во-первых, в переводе Боэция ушло онтологически важное различение божественного числа-прообраза и «когнитивного», познаваемого человеком, числа (επιστημονικός αριθμός). Во-вторых, как-то затерялась (или, быть может, недостаточно четко проведена) ключевая для пифагорейца мысль о всеобщей гармонии: чет и нечет как начала сущие, противоположные и соотносимые (сопоставимые), будучи частью гармоничного универсума (παν ήρμοσμένον), скреплены «таинственной и божественной» гармонией. И хотя смысл главы Никомаха в целом передан верно, нельзя не посетовать, что слова harmonia или harmonicus, которых читатель, знакомый с оригиналом Никомаха, вправе ожидать, в переводе Боэция не встречаются ни разу.
36 Nie. Arithm. I, 7.
37 У Никомаха три определения числа: (1) πλήθος ώρισμένον (ограниченное множество; это определение Боэций почему-то проигнорировал); (2) μονάδων σύστημα («сочетание единиц»; Боэций перевел как collectio unitatum); (3) ποσότητος χύμα έκ μονάδων συγκείμενον (буквально «поток количества, сложенный из единиц»; у Боэция в переводе не так красочно: quantitatis acervus ex unitatibus profusus). Первое определение в такой формулировке раньше Никомаха не встречается (комментатор Никомаха Ямвлих возводит его к Евдоксу). Второе (в точно такой же формулировке встречается также у Теона Смирнского; см. HillerTh, 18.3) и третье (не отмечается у авторов раньше Никомаха) определения — манифестация пифагорейского понимания числа как скопления (груды, кучи) единиц. Хрестоматийное пифагорейское определение Евклида (Начала VII, 2) гласит: άριθμός δε το έκ μονάδων συγκείμενον πλήθος, «число — это множество, сложенное (составленное, собранное) из единиц».
38 Nie. Arithm. 1,17.
39 Локоть — мера длины (44, 4 см).

374
Основы арифметики
Книга I
40 Римский фут = 29, 57 см.
41 Поскольку это отношение является «наивысшим», «самым изначальным» (σχέσις άρχικωτάτη у Никомаха).
42 Никомах: [равенство существует] «одним и тем же способом» (ένι τρόπω και τώ αύτώ), то есть одинаково.
43 Nie. Arithm. 1,18.
44 К классу большего неравенства принадлежат кратное, сверхчастичное и т.п. отношения, в которых большее число сравнивается с меньшим (2:1, 9:8...); классы меньшего неравенства — те, в которых меньшее число сравнивается с большим, напр., субкратное, субсверхчастичное (1:2, 8:9...).
45 Прообраз для этой главы: Nie. Arithm. I, 23. Текст Никомаха: «...Есть более изысканный и совершенно необходимый для всей науки о природе сущего метод, который предельно ясно и неоспоримо представляет нам то, что, в первую очередь, прекрасное, определенное и постижимое по природе предшествует тому, что неопределенно, непостижимо и безобразно; далее, частям и видам беспредельного и неопределенного оно придает форму и определяет их; через него они достигают надлежащей меры и упорядоченности. Подобно тому как от печатки или как от мерила всё, что попадает [под его влияние], становится ему подобным и одноименным, так же на разумном основании разумная часть души будет приводить в порядок неразумную ее часть; и страсть и вожделение, [как бы] входящие в два вида неравенства, будут организованы мыслительной способностью как неким равенством и тождеством. Из этого процесса „выравнивания" у нас непосредственно возникнут так называемые нравственные добродетели — сдержанность, мужество, спокойствие, самообладание, выносливость и т.п. Рассмотрим же, что представляет собой принцип, ведущий ко всем этим природным сущностям. Очевидно, что из равенства, одногоединственного и первейшего, как от некой матери и корня, рождаются все сложные виды неравенства и [все] видовые различия...»
46 Далее по тексту следует выведение неравных пропорций из равных, алгоритм, позднее известный как saltus Gerberti. К выведению видов неравенства из равенства Боэций возвращается позже в «Музыке» (см. Mus. II, 7 и подробный комментарий там).
Книга II
1 Nie. Arithm. II, 1.
2 «Связность слогов» (= членораздельная речь) в конечном итоге распадается на буквы.
3 Четыре стихии, четыре главных «элемента» мироздания.
4 Боэций, по-видимому, цитирует Лукреция по памяти, по тексту римского грамматика Сервия Гонората (IV в.), который в своем популярном комментарии на «Буколики» Вергилия писал: «...alii dicunt omnia ex igne procreari <...> alii ex quattuor elementis, ut Empedocles, secundum quem ait Lucretius „ex imbri, terra atque anima nascuntur et igni"». Сам Лукреций (De rerum natura, 1.712 ss.) действительно ссылается

Книга II
Комментарий
375
на Эмпедокла, но описывает четыре элемента мироздания не в той «формулировке», которой воспользовался Боэций:
Adde etiam <...>
et qui quattuor ex rebus posse omnia rentur ex igni terra atque anima procrescere et imbri.
Quorum Acragantinus cum primis Empedocles est <...>
Понятно, что цитаты из Сервия в «Арифметике» Никомаха (основном источнике для Боэция) нет и быть не могло. Блеск учености здесь — заслуга самого Боэция. Мази (MasiB, 122) не дал себе труда идентифицировать прототип Боэция, проигнорировал даже стандартную формулу «ut ait»; в результате у него вышел формальный и неточный английский перевод: «...as they say, material bodies are born from fire, air, earth and water».
5 Так Боэций (перевод Никомахова διά τριών προσταγμάτων) обозначает алгоритм преобразования пропорции любого рода неравенства в равенство. Ср. Arithm. I, 32.
6 Глава основана на II, 18 и II, 19 «Арифметики» Никомаха (который, в том числе, обсуждает высказывание из «Тимея» и цитирует Филолая).
7 Тимей, 35а.
8 Самый знаменитый, базовый философский тезис Филолая. Подробнейшее обсуждение см. в книге К. Хафмена (HuffmanPh, 93 ss.).
9 Буквально: «гармония — единение многих и сочувствие разночувствующих» (<armonia est plurimorum adunatio et dissentientium consensio).
Греческий прототип: «Гармония всегда рождается из противоположностей, ведь гармония — это единение многосмешанных [сущностей] и согласие разногласных» (букв, «единомыслие разномыслящих»; в оригинале: ...αρμονία δέ πάντως έξ εναντίων γίνεται* έστι γάρ άρμονία ποΛυμιγέων ένωσις καί δίχα φρονεόντων συμφρόνησις; Nie. Arithm. 11,19). Хронологически определение Никомаха — самое раннее из сохранившихся философских определений гармонии.
По общему мнению ученых, оно восходит к Филолаю, особенно к так называемому Фрагменту 6 (представляющему собой цитату из «Антологии» Стобея, македонского компилятора V в. н. э.): «Из сочинения Филолая о космосе... вещи подобные и единородные нисколько не нуждаются в гармонии, а неподобные, неединородные и не одного порядка необходимо должны быть сопряжены гармонией, с тем чтобы удерживаться вместе в космическом порядке». Перевод А.В. Лебедева (ФРГФ, 441-442). См. также ценный комментарий к анализируемому месту Никомаха у д'Ооге (OogeN, 260, fn.l) и обсуждение у Хафмена (HuffmanPh, 123 ss.).
Примечательно, что Теон Смирнский практически теми же словами, что Никомах определяет гармонию, определяет саму музыку: «...и пифагорейцы, которым часто следует Платон, называют музыку слаженностью противоположностей, единением многих [сущностей] и согласием разногласных» (букв, «единомыслием разномыслящих»; в оригинале: ...καί οι Πυθαγορικοί δέ, οις πολλαχή έπεται Πλάτων, την

376
Основы арифметики
Книга II
μουσικήν φασιν εναντίων συναρμογήν καί των πολλών ενωσιν καί των δίχα φρονούντων συμφρόνησιν) (HillerTh, 12.12).
10 Nie. Arithm. II, 21. Текст этой главы Боэция, содержащей важные определения отношения и пропорции, возобновляется (но не дублируется) в «Музыке» (II, 12).
11 Геометрическую пропорцию греки называли пропорцией «по качеству» (κατά ποιότητα; имеется в виду равенство отношений), арифметическую — «по количеству» (κατά ποσότητα; равенство разностей).
12 Nie. Arithm. II, 22 (частично).
13 Т.е. пропорции. Как обычно, Боэций называет пропорции средними и наоборот, следуя неупорядоченности греческого оригинала.
14 Имеются в виду 5 классов неравенства (кратное, сверхчастичное и т.д.) и 5 противоположных им (подробно рассматриваются в I, 22 «Арифметики» Боэция, здесь не переведена). О «вождях» и «спутниках» см. выше II, 40.
15 Десять категорий (предикатов) Аристотеля: сущность (субстанция), количество, качество, отношение, пространство (место), состояние (положение), обладание, действие и претерпевание. Суть упоминания Боэцием мистической десятки в том, чтобы лишний раз подчеркнуть «нумерологический» приоритет пифагорейцев (даже перед Аристотелем).
В контексте Никомахова обсуждения десятки говорится просто о «пифагорейцах». Боэций явно был знаком с небольшим текстом «О категориях, общим числом десять» (Περί τού καθόλου λόγου ήτοι των κατηγοριών), который неоплатоники (Ямвлих, позже Симпликий) считали принадлежащим Архиту Тарентскому, а современная наука трактует как анонимный перипатетический труд, написанный в I или II в. н. э. (о датировке см. Guill., 220). В аутентичности этих «Категорий», как видно, сам Боэций высказывает сомнение и повторяется в этом позже, в своем комментарии к «Категориям» Аристотеля (PL 64, col. 162а).
16 Arithm. II, 22 (частично).
17 Arithm. II, 40. Там же см. комментарий о пропорциях по качеству и по количеству.
18 В1,1 «Арифметики» Боэций разъяснил, что арифметика потому объявляется первой по старшинству, что, если устранить предшествующие по своей природе сущности, устраняются и последующие. И наоборот, если гибнут последующие, то ничто в статусе субстанции предыдущих не меняется.
19 Начать нужно с арифметической пропорции, хотя она оперирует разностями. Строго говоря только геометрическая пропорция является пропорцией, потому что только она оперирует «качественными» отношениями: «Геометрическое среднее — единственное, которое можно назвать пропорцией в собственном смысле, поскольку в нем одно и то же отношение между всеми членами» (cp. Nie. Arithm. II, 24).
20 В главе II, 45, прототипа которой в «Арифметике» Никомаха нет, Боэций уподобляет три вида средних трем видам государственного устройства, как они систематизированы в «Государстве» Платона.
Подобно тому как в меньших членах арифметической пропорции содержится число большее, чем в ее больших членах (например, в пропорции 2:4:6 «отношение

Книга II
Комментарий
377
меньших членов» 2/4 больше «отношения больших членов» 4/6), так и в олигархическом государстве немногие избранные, знатнейшие более значительны, чем рядовые члены общества (хотя последние и в большем количестве).
В музыкальной (гармонической) пропорции отношение в больших членах больше, а в меньших членах — меньше (например, в пропорции 3:4:6 отношение больших членов 4/6 больше отношения меньших членов 3/4); она — «математическое» воплощение социального неравенства, господства «лучших» (optimates, перевод греч. αριστοι).
Наконец, геометрическая пропорция — метафора демократического устройства государства (popularis civitas). Только в ней одной выдерживается равное отношение больших и меньших ее членов (например, для пропорции 2:4:8, отношение 2 к 4 равно отношению 4 к 8).
Уподобления всех пропорций формам государственного устройства нет ни в «Государстве» Платона, ни в «Государстве» Цицерона, на лексику которого (De rep., I, 42; I, 55 et passim) Боэций явно опирается (ср. УтченкоС). Единственный более ранний текст, в котором проводятся такие же параллели между типами пропорций и типами государственного устройства, находится в анонимном (без даты) трактате «О законе и справедливости», выдержки из которого под именем Архита опубликовал в своей «Антологии» Стобей: «Закон следует приспосабливать к стране и местности. Не может [вся] земля приносить одни и те же плоды, а душа человека иметь [везде] одни и те же добродетели. Отсюда по праву одни создают [у себя] аристократию, другие демократию, а третьи олигархию. Аристократия подобна противоположной [т.е. гармонической] пропорции: в больших членах эта пропорция содержит большие отношения, в меньших меньшие. Демократия подобна геометрической [пропорции]: в ней равные отношения больших и меньших величин [т.е. членов]. Олигархия и тирания подобны арифметической [пропорции], она обратна противоположной [пропорции]: в меньших [ее членах] большие отношения, а в больших меньшие. Каковы типы правления, таковы их отображения в государствах и семьях. Почести, наказания и должности распределяются либо поровну среди больших и меньших, либо неравным образом — в зависимости от заслуг, богатства и силы; где поровну — это демократия, где неравным образом — аристократия и олигархия» (Stob. Ant. 4, 1.137).
Является ли данный фрагмент Псевдо-Архита прототипом для II, 45 «Арифметики» Боэция, точно установить невозможно.
21 Nie. Arithm. II, 29.
22 Tribus intervallis constituta. У Никомаха: τριχή διαστατής.
23 Та же фразеология (musici modulaminis temperamenta) используется автором в самом начале «Арифметики» (Arithm. 1,1.4). В оригинале у Никомаха: «Наконец, я расскажу вкратце о самом совершенном и трехмерном и всеохватном среднем (μεσότητος), которое чрезвычайно полезно для всякого преуспеяния в музыке и в естествознании». В том месте, где Никомах просто пишет έν μουσική, у Боэция — in musici modulaminis temperamentis (вместо напрашивающегося in musica).

378
Основы арифметики
Книга II
24 См. Arithm. II, 49. Мотивация совершенства куба — у Никомаха (Arithm. II, 26.2). Между двумя кубами, представляющими целые числа, находятся два (геометрических) средних, которые тоже будут целыми числами. «Три интервала», таким образом, можно понимать еще и в смысле интервалов между первым кубом и первым средним, между первым и вторым средними, между вторым средним и вторым кубом.
25 «Трехмерным» числом является то, которое может быть представлено как произведение трех чисел — «длины, ширины и объема».
26 Вслед за Никомахом Боэций отмечает три возможных случая «разложения» трехмерного (пространственного) числа: когда все сомножители равны (т3, число такого вида Никомах называет «кубическим» или просто — «кубом»), либо два равны, а третье отлично от них — (m2n; у Никомаха такое число названо словами «балка» [δοκίς] и «кирпич» [πλίνθος]), либо все неравны (lmn; у Никомаха σκαληνός — «неравностороннее»).
27 Результат умножения крайних членов друг на друга.
28 В ряду «четырех членов» 6:8:9:12 «наибольший» = 12, «наименьший» = 6, «соседний с наибольшим» = 9. Таким образом, в данном пассаже рассматриваются только три члена из четырех, а именно 6:9:12. Эти три образуют арифметическую пропорцию, и, соответственно, Боэциевы слова «средний ее член» относятся к числу 9.
29 Из дальнейшего разъяснения в этой главе — на примере пропорции 6:8:9:12 — ясно, что в рассуждении о гармонической пропорции первым считается наибольшее число, а четвертым — наименьшее (порядок счета членов пропорции обратный тому, что был в пассаже об арифметической пропорции), т.е. в названном примере первым считается число 12, третьим число 8, а четвертым число 6. Особенность счета членов, так сказать, «в обе стороны» наблюдается и у греческого источника Боэция — Никомаха. Фразу о «равенстве частей» нужно понимать так, что 8 больше 6 на одну треть числа 6, и так же 8 меньше 12 на одну треть числа 12.
30 Например, в гармонической пропорции 3:4:6, (3+6)χ4 в два раза больше, чем 3*6.
31 У Никомаха — στερεοί τε καί τριχή διαστατοί (пространственные и трехмерные).
32 Symphonia (транслитерация греческого συμφωνία) и consonantia (родной латинский термин) в упомянутом фрагменте употребляются как синонимы. Поэтому в русском переводе даю и в первом, и во втором случае «консонанс».
33 Sonus здесь — (звучащий) музыкальный интервал. Идея: все остальные интервалы Moiyr измеряться в тонах, имеют тоновую величину. Modulamen musicum Гийомен (без комментариев) переводит как «harmonie musicale» (Guill., 177), а Мази и подавно — «musical modulation» (MasiB, 187). Речь идет, конечно, об интервальной структуре мелодии, а не о гармонии и не о модуляции.
34 Из заголовка последней из четырех схем (справа внизу) можно подумать, будто целый тон Боэций также относит к консонансам, что, конечно, не соответствует его учению. Гийомен (Guill., 178) практически повторяет иллюстрации Фридляйна (FB, 172-173) и не дает никаких комментариев. Как выглядят эти схемы в типичной средневековой рукописи «Арифметики», можно посмотреть в Приложении II.

Appendix II
Picturae et descriptiones antiquae relatae ad hanc editionem
Приложение II
Старинные иллюстрации

АННОТАЦИИ
Примечание. Для идентификации рукописных источников этой публикации применяются стандартные сокращения фондов мировых библиотек, принятые в RISM. Ссылки на трактаты Боэция также даны сокращенно. Одни только цифры (без заголовка) указывают на «Музыку»; например, III, 13.7 означает: Третья книга, глава 13, абзац 7. При ссылках на «Арифметику» добавлено сокращение «Arithm.».
1. Диптих из слоновой кости, хранится в кафедральном соборе г. Монцы (Италия), известен под названием «Поэт и муза». На левой створке — муза, играющая на 11-струнной (!) лире, на правой — высоколобый мужчина зрелого возраста, облаченный в накидку философа (гиматий). Философ держит свиток в руке, у ног его лежат еще один свиток и книга. Полное отсутствие атрибутов христианской символики, датировка изделия (VI в.), композиция целого (возможно, намекающая на «Утешение Философией») и реалистическая прорисовка лица с большой вероятностью позволяют утверждать, что это — (единственное прижизненное) изображение Боэция.
2. Источник: D-BAs, Msc. Class. 5, f. 2v. Одна из древнейших рукописей «Арифметики» Боэция. Составлена в Туре около 845 г. Боэций (справа) вручает приемному отцу и высокочтимому учителю Симмаху свой первый труд. Любопытно, что франкский миниатюрист представляет обоих римлян как облаченных в легкие доспехи мужчин ориентальной внешности.
3. Источник — тот же, что в илл. 2, f. 9v. На миниатюре в виде женщин восточной внешности изображены четыре «сестринские» науки квадривия (слева направо): Музыка, Арифметика, Геометрия и Астрономия (на миниатюре — Astrologia), каждая из них — с атрибутами соответствующей науки. У Музыки в руках некий трехструнный инструмент, у Арифметики — простейший счетный инструмент, отдаленно напоминающий абак. Перед Геометрией, которая держит указку для черчения, лежит доска с основными плоскими фигурами — кругом, квадратом и треугольником. Астрономия держит два факела — оранжевый, символизирующий день (того же цвета — солнце над ее головой), и голубой, символизирующий ночь (того же цвета — луна и звезды).
4. Источник: D-Mbs От 2599, f. 102v. Рукопись, происходящая из баварского монастыря Альдерсбах, составлена в конце XIII в. Рядом с Боэцием изображена Арифметика (в образе молодой женщины), с неустановленными измерительными инструментами в правой руке. На миниатюре стихи:
(слева вверху)
Invigila numeris sic aritmeter erisГ
1 	Зорко следи за числами и станешь арифметиком.

382
Приложение II
(на ленте Арифметики)
Per те cunctorum scitur virtus numerorum2.
5. Источник — тот же, что в илл. 4, f. 103г. Пифагор с Музыкой в образе женщины. Женщина держит в правой руке монохорд, а в левой — ленту. Пифагор одной рукой указывает ей на ухо, а другой — держит ленту. Таким образом, возможно, миниатюрист символизирует (многократно констатируемый в старинных трудах о музыке) союз расчета (ratio) и чувственного восприятия (sensus). На миниатюре стихи:
(надпись слева вверху)
Dat modulos scire / musica docta lire3.
(надпись на ленте)
Me duce disparium / scitur concordia vocum4.
6. Источник: Gb-Cu Ii.3.12, f. 61 v. Рукопись середины XII в. из Кентерберийского аббатства. На миниатюре изображены четыре выдающихся античных философа. В левом нижнем углу Платон:
Edocet ipsorum
Summus Plato phylosophorum,
Quomodo disparium paritas Sonat una sonorum5.
В правом нижнем углу Никомах: Obviat instanti ratione Nicomachus illi6. Символично, что Платон держит в руках большую книгу под названием «Musica», а (неоплатоник) Никомах — такую же книгу, но размером поменьше.
В левом верхнем углу Боэций, сидящий в кресле с собачьми головами и львиными лапами, и сосредоточенно изучающий монохорд:
Consul et eximiae servator philosophiae.
Ut videat vocum discrimina per monochordum,
Iudicat aure sonum, percurrens indice nervum7.
И наконец, в правом верхнем углу Пифагор, изображаемые действия которого призваны проиллюстрировать историю об изобретении им консонансов (см. 1,10-11); у ног исследователя лежит «диссонантный» молоток:
2 Благодаря мне познаётся достоинство всех чисел.
3 Ученая музыка [т.е. наука о музыке — С А.] дает познание интервалов на лире.
4 Мной ведомый познаешь согласие разногласных звуков [т.е. гармонию — СЛ].
5 Платон, высший из этих философов, поучает, как равенство неравного дает единое в звуках.
6 Ему в теории ревностно следует Никомах.
7 Консул и хранитель наилучшей философии, чтобы познать разновысотные звуки на монохорде, он [Боэций — С. А.] судит о звуке на слух, пробегая пальцем струну.

Старинные иллюстрации
383
Pythagoras physicus physicaeque latentis amicus Pondera discernit trutinans et dissona spernit,
Pulsans aera probat, quota quaeque proportio constat8.
7. Источник: D-Mbs Clm 18480, f. 197v. Рукопись XI в. из монастыря Тегернзее (Бавария). На иллюстрации (конец IV, 3; таблица в IV, 4; начало IV, 5) видны знаки греческой буквенной нотации, выделенные красным цветом.
8. Источник — тот же, что в илл. 7, f. 188г. Шесть примеров «интервальных» чертежей Боэция из III, 9.4-10. Типичность их в том, что различие интервальных промежутков почти или даже вовсе не визуализировано. Например, на схеме к III, 9.8 тон, малый полутон и апотома показаны как равные по величине интервалы; на схеме III, 9.9 «ширина» кварты та же, что и у апотомы, и т.д. Подобное формальное отображение интервальных величин на чертежах характерно для всех ранних рукописей «Музыки».
9. Источник: F-AUT S 46 (olim 40b), f. 37 (Южная Франция, XII в.). Чертежи, иллюстрирующие числовые отношения интервалов: таблица вверху (из шести столбцов) относится к III, 13.7, большой чертеж в центре — к III, 14.5. Текст ниже — начало III, 14. Характерно, что при внешней роскоши центрального рисунка (которой позавидует любой нынешний учебник элементарной теории музыки) сами интервалы показаны недостаточно наглядно: полутон обозначается дугой той же ширины, что и целый тон, дуги совершенно одинаковых по размеру полутонов на рисунке неодинаковы (одна больше другой) и т. д. Мелкий текст в блоках справа вверху и внизу — типичные глоссы, которыми испещрены десятки средневековых и ренессансных рукописей «Музыки».
10. Источник — тот же, что в илл. 7, f. 156v. Заключительные чертежи из «Арифметики» (Arithm. И, 54.9). Таблица слева вверху иллюстрирует геометрическую пропорцию, справа вверху — арифметическую, слева внизу — гармоническую. Заголовок иллюстрации (proportiones et consonantiae) справа внизу обещает демонстрацию числовых отношений в их корреляции с консонансами. Кроме октавы, квинты и кварты (консонансов) на схему попал и целый тон.
И. Источник — тот же, что в илл. 7, f. 205г. Чертеж из «Музыки» (IV, 11.7) представляет схему деления однострунного канона (монохорда) в объеме двух октав и во всех трех родах мелоса. Воспроизведен в уменьшении (оригинальный размер: 208 мм χ 180 мм). Буквенные обозначения ступеней (струн) монохорда очень сильно контрагированы (например, paran sin diat = paranete sinemmenon diatonice; trite syne chro = trite synemmenon chromatice и мн. др.). Некоторые числа скопированы с ошибками. Например, вместо IIIDCCCLXXXVIII для
8 	Пифагор, природовед и друг тайной природы, разбирает [молотки] по весу и неблагозвучные отвергает. Ударяя по медяшкам, проверяет, какому отношению какое соответствует.

384
Приложение II
DpNS на схеме указано число IIIDCCCCLXXVIII; число IIIIDCVIII месы (которое, разумеется, должно быть единым во всех родах мелоса всех тетрахордов) в хроматическом тетрахорде соединенных показано как VIIDCVIII; для СрНН вместо VÎÏDCCLXXVI приведено число VÏÏDCCLXXXVI и т.д. Эти ошибки показывают весьма типичную для средневековых рукописей картину, когда переписчик не столько вникал в существо (в нашем случае музыкальной) науки, сколько занимался рисованием — более или менее аккуратным.
Далее. Разница между тоном и полутоном не визуализирована, в то время как разница между полутоном и диесой показана ясно. Вертикальные черты, которые должны визуализировать деление (одинаковые числа в разных родах должны быть синхронизированы с помощью меток подобно тактовым чертам в партитуре, неодинаковые — нет), поставлены неточно. Например, метка диатонической паранеты соединенных (DpNS; 3888) поставлена левее метки хроматической паранеты того же тетрахорда (CpNS; 4104), а должно быть наоборот. Современную (мою) расшифровку схемы полного деления монохорда в трех родах см. на вкладках в конце этой книги.
12. Typus Arithmeticae («Образ Арифметики»). Гравюра из книги Грегора Райша «Философская жемчужина» (1503), по жанру — суммы о семи свободных искусствах (= «философских» науках). На титульном листе Четвертой книги, посвященной арифметике, изображено состязание двух великих ученых: Пифагор (справа) использует «старомодный» абак, Боэций же (слева) — перо и арабские цифры, в том числе ноль (он указывает на него пальцем). Судя по довольному лицу Боэция и досадливой мине Пифагора, чаша весов склоняется в пользу первого, о чем свидетельствует и Арифметика, благосклонно улыбающаяся Боэцию.

© Museo e Tesoro del Duomo di Monza. Printed by permission
Иллюстрация 1



Staatsbibliothek Bamberg. Msc. Class. 5, fol. 2v. Printed by permission
Иллюстрация 2

Staatsbibliothek Bamberg. Msc. Class. 5, fol. 9v. Printed by permission
Иллюстрация 3

Bayerische Staatsbibliothek, Ms. Clm 2599, fol. 102v. Printed by permission
Иллюстрация 4

Bayerische Staatsbibliothek, Ms. Clm 2599, fol. 103ã. Printed by permission
Иллюстрация 5

Ms. Ii,3.12, f. 61v. Reproduced by kind permission of the Syndics of Cambridge University Library
Иллюстрация 6

gayerische Staatsbibliothek, Ms. Clm I M80, f. 197ч. Printed by permission
Иллюстрация 7

III, 9.10
III, 9.7
III, 9.9
III, 9.8
III, 9.4
III, 9.6
Bayerische Staatsbibliothek, Ms. Clm 18480, f. 188ã. Printed by permission
Иллюстрация 8

Bibliotheque municipale сГАиШп, Ms. S 46 (olim 40Ь), fol. 37. Printed by permission
Иллюстрация 9

Bayerische Staatsbibliothek, Ms. C1rn 18480, 1о1. 156ч. Printed by permission
Иллюстрация 10

Bayerische Staatsbibliothek, Ms. Clrn 18480, fol. 205ã. Printed by permission
Иллюстрация 11

[Gregori Reisch] Margarita philosophica. [Friburgi, 1503]
Иллюстрация 12



Appendix III
Descriptiones modernae relatae ad hanc editionem
Приложение III
Современные схемы и реконструкции

Современные реконструкции
387
1. Полная система (σύστημα τέλειον) древних греков
Примечание. В скобках — принятые в этом издании сокращенные латинские названия струн (ступеней). Высотная локализация системы (меса = а) показана только в диатоническом роде и носит условный характер.
Нета высших (ΝΗ) νήτη ύπερβολαίων
Паранета высших (pNH) παρανήτη ύπερβολαίων
Трита высших (ΤΗ) τρίτη ύπερβολαίων
Нета отделенных (ND) νήτη διεζευγμένων
Паранета отделенных (pND) παρανήτη διεζευγμένων
Трита отделенных (TD) τρίτη διεζευγμένων
Парамеса (рМ) παραμέση
Разделение, или разъединение (διάζευξις)
Меса (М) μέση
Лихана средних (LM) λιχανός μέσων
Парипата средних (рНМ) παρυπάτη μέσων
Гипата средних (НМ) ύπατη μέσων
Лихана низших (LH) λιχανός ύπατων
Парипата низших (рНН) παρυπάτη ύπατων
Гипата низших (НН) ύπατη ύπατων
Просламбаномен (Pros) προσλαμβανόμενος
Нета соединенных (NS) νήτη συνημμένων
Паранета соединенных (pNS) παρανήτη συνημμένων
Трита соединенных (TS) τρίτη συνημμένων
Меса (Μ) μέση
Соединение, или слияние
(συναφή)

388
Приложение III
2. Виды октавы
Примечание. Буквой т показан разъединительный тон (diazeuxis) Полной системы. Латинскими прописными буквами (см. IV, 14; на моих схемах показаны только для нисходящих видов) Боэций ссылается на ступени Полной системы.
а) традиционные (по Клеониду, Птолемею и др.)
первый (или миксолидийский)
второй (или лидийский)
третий (или фригийский)
четвертый (или дорийский)
пятый (или гиполидийский)
шестой (или гипофригийский)
седьмой (или гиподорийский)
б) по Боэцию
Второй распорядок (восходящие)
Первый распорядок (нисходящие) т седьмой вид
HGFEDCBA
т шестой

Современные реконструкции
389
mixolydius lydius
phrygius dorius hypolydius hypophrygius hypodorius

Именной указатель
Index nominum
В именном указателе применяются сокращенные ссылки на квадривиальные трактаты Боэция. Одни только цифры (без заголовка) указывают на «Музыку», например, ссылка «Стаций (Papinius Statius) 1,1.22-23» значит, что Стаций упоминается в «Музыке», в кн. I, гл. 1, абзацах 22-23. Если имя проходит в «Арифметике», тогда в ссылку добавлено сокращение «Arithm.». Расширенную информацию о персонах, упоминаемых Боэцием, читатель может почерпнуть из моих комментариев к реферируемым здесь местам основного текста трактатов.
Альбин (Albinus) 1,12.4; I, 26 Арион Метимнейский (Arion Methymneus) 1,1.19 Аристоксен (Aristoxenus) II, 31.3; II, 31.9; III, 1.1, III, 3.1; III, 3.3; V, 3; V, 4; V, 13; V, 14.4; V, 16; V, 18 Аристотель (Aristoteles) 1,2.6;
II, 	41.1; Arithm. II, 52.1 Архит (Archytas) III, 11; V, 17; V, 18 Вакх (Bacchus) Arithm. Praef., 4 Гиагн Фригиец (Hyagnis Phryx)
I, 20.1
Гистиэй Колофонский (Histiaeus Colophonius) I, 20.14 Г и π п a c (Hippasus) II, 19 Гиппократ (Hippocrates) 1,1.20 Демокрит (Democritus) 1,1.20 Евбулид (Eubulides) II, 19 Немений Фиванский (Ismenias Thebanus) 1,1.19
Ликаон Самосский (Lycaon Samius) I, 20.10
Лукреций (Lucretius) Arithm. II, 1.1 Меркурий (Mercurius) I, 20.1 Ником ax (Nicomachus) Arithm. Praef., 3; I, 20.1; I, 31; I, 32.2;
II, 18.6; II, 20.1-7; II, 27.5 Орфей (Orpheus) I, 20.1 Пифагор (Pythagoras) Arithm.1,1.1;
1,1.17-18; 1,10; 1,11; 1,33.2; П. 2; П, 3.1
Пифагорейцы (Pythagorici)1,1.20;
I, 6.7; I, 9.4; I, 33.2; II, 18.1; II, 18.3;
II, 	27.2; 11,27.5; 111,1.1; 111,5.1; V, Cap.; V, 3-5; V, 7 et passim
Платон (Plato)Arithm.1,1.7;Arithm.
II, 	32.3; 1,1.5; 1,1.8; 1,1.10; I, 30 Профраст Пиерийский (Prophras-
tus Periotes) I, 20.13 П толемей (Ptolomaeus) 1,5; 1,6.7; 1,32.2; 11,18.1; 11,27.5; IV, 17.22; V, Cap.; V, 3; V, 4; V, 5.1; V, 7.1; V, 8; V, 9.1; V, 10; V, 11.1; V, 18; V, 19 Сим мах (Symmachus) Arithm. Praef.
Стаций (Papinius Statius) 1,1.22-23 Терпандр (Terpander) 1,1.19; I, 20.1 Тимофей Милетский (Timotheus Milesius) 1,1.12-16; I, 20.14 То p e 6 (Toroebus) I, 20.1 Фалес из Гортинии (Thaletas Gortynius) 1,1.11
Ф и л о л а й (Philolaus) Arithm. II, 32.3;
III, 5.1-2; III, 8.1
Церера (Ceres) Arithm. Praef., 4 Цицерон (Marcus Tullius Cicero) 1,1.18; I, 27.2
Эмпедокл (Empedocles) 1,1.19 Юпитер (Iuppiter) I, 20.2

Предметный указатель
Index rerum
В предметном указателе приняты сокращенные ссылки на квадривиальные трактаты Боэция. Одни только цифры (без заголовка) указывают на «Музыку», например, ссылка «comma (комма) II, 31.8» значит, что слово comma встречается в «Музыке», кн. И, гл. 31, абз. 8. Если слово или словосочетание проходит в «Арифметике», тогда добавлено сокращение «Arithm.», например: modulatio <...> Arithm. 1,1.10. В случае многократных вхождений все вхождения не указываются, а только первое и несколько последующих, таким образом: proportio (числовое отношение) 1,1.21; 1,1.27; 1,4.3 et passim. Сходные значения многозначных слов отделены запятой, разные значения отделены точкой с запятой.
aequisonatio (равнозвучие, полное модальное тождество интервалов) V, 12 apotome (апотома) II, 30; III, 5; III, 6;
III, 8 et passim
armonia (гармония как философская категория; гармония как музыкальная категория; то же, что энармон) Arithm. II, 32.4; Arithm. 11,54.1; 1,1.16; 1,2.3; 1,5; 1,15; V, Cap.
armonica (subst. гармоника) 1.15;
V, Cap.; V, 2; V, 3; V. 6 armonicus (adj. et subst. гармонический; гармоник, m .e. ученый, занимающийся гармоникой) Arithm. 1,1.11; Arithm. II, 54; 1,1.21; II, 12.8; II, 14; II, 15.12; II, 16; II, 17; III, 1.2; V, Cap.; V, 3; V, 6.2
auloedus (мужчина, музицирующий на авлосе, авлет) I, 34.4; ср. tibicina bis diapason (двойная октава) I, 7; 1,16.6;
I, 	16.9; 1,18.4; I, 20.18; I, 33.2; II, 16.4;
II, 16.6; II, 18.5; II, 19 et passim cantilena (мелодия, напев; музыка)
1,1.4; 1,1.17; 1,1.20-21; 1, 1.26-27; I, 2.1; 1,12.3; 1,13; 1,15; I, 21.2; I, 34.8;
IV, 3.1
cantus, canticum (мелодия, напев, песня, наигрыш; музыка) 1,1.18-19; 1,1.22; 1,12.4
carmen (песня; инструментальная мелодия, наигрыш; мелодико-стиховая композиция, текстомузыкальная форма) 1,1.25; 1,34.5-8; IV, 3.2
chorda (струна; ступень в звукоряде) I, 2.4; I, 3.5; 1,10.3; 1,11.1; I, 20; I, 22; I, 24; IV, 5; IV, 16 et passim
— hypate (гипата) I, 20 et passim
— hyperhypate (гиперипата, древнее на¬
звание лиханы низших) I, 20.13
— lichanos (лихана) I, 20 et passim
— mese (меса) I, 20 et passim
— nete (нета) I, 20 et passim
— paramese (парамеса) I, 20 et passim
— paranete (паранета) I, 20 et passim
— parhypate (парипата) I, 20 et passim
— proslambanomenos (просламбано-
мен) I, 20.18 et passim
— prosmelodos (просмелод, синоним
просламбаномена) 1,20.18; 1,22.2
— trite (трита) I, 20 et passim cithara, κίθαρα (кифара) I, l.lâ; I, 2.1;
I, 	19.3; I, 20.13; I, 34,4; V, 1.2 citharoedus (кифаред) I, 34.4; I, 34.6 comma (микроинтервал комма)
II, 31.8; III, 4; III, 5.2-3 et passim consonantia (консонанс, благозвучие)
I, 2.6; I, 3.1; I, 3.8; I, 5; I, 6.7, I, 8.3; IV, 14; IV, 18 et passim

392
Предметный указатель
constitutio (система, звукоряд) IV, 15 — tota (Полная система) IV, 15 diapason (октава) Arithm. 1,1.10; Arithm. 11,54.8; 1,7; 1,10.6; 1,16; 1,18.4; II, 19.2; ; II, 20; IV, 14 et passim diapente (квинта) 1,7; 1,10.6; 1,16; 1,18.4;
II, 19.2; II, 20; IV, 14 et passim diapente ас diapason, diapason ac diapente (квинта с октавой, октава с квинтой) I, 7; 1,18.4; II, 19.2; II, 20; V, 11.12 et passim
diaschisma (микроинтервал диасхизма)
III, 8
diatessaron (кварта) Arithm. 1,1.10; Aithm. II, 54.8; I, 7; 1,10.6-7; 1,16.3-9; 1,17; 1,18.4; II, 19.2; II, 20; IV, 14 et passim
diatessaron ac diapason, diapason ac diatessaron (кварта с октавой, октава с квартой; в позднейшей лексической традиции ундецима) И, 27; V, 9.4; V, 9; V, 10.2; V, 11; V, 12 diazeuxis (в Полной системе — отделение, или разъединение) I, 25 diesis (диеса, [1] микроинтервал в энармонике или [2] малый полутон в диатонике) I, 21.4; I, 23.3; II, 28.1;
III, 5.2-3; III, 8.2-3; IV, 6.10; IV, 7.7;
IV, 8.10; IV, 9.9; IV, 10.8; IV, 11.4-5;
V, 16
dissonantia (диссонанс; разнозвучие) I, 8.3; I, 28; II, 20.10; IV, 18 ditonus (пифагорейский дитон; в позднейшей лексической традиции — большая терция) 1,21.4; 1,23.3; IV, 6.5; IV, 6.7; = diatonus III, 4.7 doctor musicae (ученый музыкант, у стар, музикус) V, 1.1 enneachordum (эннеахорд, 9-ступенный звукоряд) I, 20.13-14 epitritus (лат. морфологическая передача греч. έπίτριτος сверхтретный),
кварта, выраженная через ее число Arithm. 1,1.10; Arithm. И, 48.2 epogdous (лат. морфологическая передача греч. έπόγδοος сверхосминный), целый тон, выраженный через его число Arithm. 1,1.10; Arithm. II, 54.8-9; II, 16.6
eptachordum (гептахорд, 7-ступенный звукоряд) I, 20.11 genus (род мелоса)
— chroma, chromaticum [genus] (subst.
хроматический род мелоса, хрома; adj. хроматический) 1,1.13; 1,1.15; 1,1.16; I, 21; I, 22; I, 23; IV, 3; IV, 4 et passim
— diatonicum, diatonum (subst. диато¬
нический род мелоса, диатон; adj. диатонический) 1,15; I, 21; I, 22; I, 23; IV, 3; IV, 5 et passim
— enarmonium, enarmonius (subst.
энармонический род мелоса, энармон; adj. энармонический) 1,1.13; I, 21; I, 22; I, 23; IV, 3; IV, 4 et passim
— non spissum (несжатый, m. e. без пик-
нона) V, 16
— spissum (сжатый, m. e. с пикноном)
V, 16
harmonia — см. armonia intervallum (музыкальный интервал)
I, 	8; 1,12; 1,17.2; 1,18.1; 1,23.1;
II, ЮЛ; 11,18.5; IV, 2; IV, 16.13 limma (лимма) II, 28.1
magada (порожек, неподвижная подставка, ограничивающая натянутую струну инструмента) TV, 18 mathematicus (математик) 1,1.2 mathesis (матесис, четыре математические науки) Arithm. Praef., 4; 1,1.4 medietas (среднее) Arithm II, 42; Arithm II, 45; Arithm II, 54; II, 12-15 et passim

Книга V
Index rerum
393
— arithmetica (арифметическое) II, 12
et passim
— armonica (гармоническое) II, 12; 11,16
et passim
— geometrica (геометрическое) И, 12 et
passim
melos (мелодия; обобщенно мелос) 1,1.26; I, 21,1; IV, 3.2; V, 6.3; V, 11.7 metrum (метр) IV, 3.1 modus (мелодия, напев; музыка, мелос; лад [категория гармонии]; образ, способ; мера, размер) 1,1.4; 1,1.7; 1,1.17; 1,1.25; 1,6.2; 1,14; IV, 3.3; IV, 15.1 et passim
— dorius (дорийский) IV, 15.3-4; IV, 16;
IV, 	17
— hypermixolydius (гипермиксоли¬
дийский) IV, 17
— hypodorius (гиподорийский) IV, 15;
IV, 	17
— hypophrygius (гипофригийский)
IV, 	15; IV, 17
— hypolydius (лидийский) IV, 15; IV, 17
— lydius (лидийский) I, 1.7; IV, 3.3;
IV, 	6.1; IV, 15; IV, 16; IV, 17
— mixolydius (миксолидийский) IV, 15;
IV, 	17
— phrygius (фригийский) 1,1.7; 1,1.17;
IV, 	15; IV, 16
modulamen (то же, что modulatio) Arithm. 1,1.4; Arithm. 11,54.1; Arithm. II, 54.8
modulatio (слаженность, соразмерность; ладная, слаженная мелодия; мелодический ход) Arithm. 1,1.10; Arithm. 1,1.11; 1,1.21; I, 2.2; II, 20.8; IV, 15.1; IV, 15.4; V, 3.2; V, 18.3 monochordum (однострунный канон, монохорд) I, 27.3; III, 16.8; IV, 5-11 musica (музыка в обоих значениях, как искусство и как наука) 1,1.4-5 et passim; I, 2; I, 3; I, 7; I, 20 et passim
— humana (человеческая) I, 2
— Instrumentalis (инструментальная)
1,2
— mundana (мировая) I, 2
musicus (ученый музыкант, у стар, музикус) I, 34; IV, 3.1; IV, 15.5 nota <musica>, notula <soni> {музыкальный знак, знак музыкальной нотации) IV, 3-4; IV, 17
octachordum (октахорд — [1] восьмиступенный звукоряд; [2] восьмиструнный канон) I, 20.10-12; V, 14
paramese (транслитерация греч. παράμεση; парамеса как струна-ступень) I, 20; I, 22; I, 25; IV, 5.12; IV, 8.2 et passim
paramesos (транслитерация греч. παράμεσος; парамеса как знак нотации) IV, 3.22; IV, 4
pentachordum (пентахорд, пятиступенный звукоряд) IV, 8.6; IV, 13.2 phthongos (транслитерация греч. φθόγγος — высотно определенный звук) I, 8.1
proportio (числовое отношение) Arithm. 1,1.10; Arithm II, 1.2 et passim; 1,1.21; 1,1.27; 1,4.3 et passim
— multiplex (кратное) Arithm. 1,23;
Arithm. I, 32; I, 4; I, 5; I, 6 et passim
— multiplex superparticularis (кратно-
сверхчастичное) Arithm. II, 1.2 et passim; I, 4.5 et passim
— multiplex superpartiens (кратно-
сверхчастное) Arithm. II, 1.2 et passim; I, 4.6 et passim
— superparticularis (сверхчастичное)
Arithm. I, 32.5; Arithm. II, 1.2; I, 4; I, 5; I, 6 et passim
— superpartiens (сверхчастное) Arithm.
I, 32.6-7; Arithm. II, 1.2; I, 4; I, 5; I, 6 et passim

394
Предметный указатель
proportionalitas (пропорция) Arithm И, 42; II, 7.6; II, 12.4; II, 13; II, 15 et passim
quadrichordum (квадрихорд, четырехступенный звукоряд) I, 20.1 quantitas (количество)
— continua (слитное) II, 3; ср. Arithm.
1,1.3
— discreta (раздельное) II, 3; ib. quadruvium (в позднейшей лексической
традиции quadrivium — квадривий) Arithm. 1,1
regula (установочно-измерительная линейка монохорда, устар. правило) I, 27.3; III, 16.8; IV, 5.1; IV, 18.1
rythmus, rythmicus (ритм, ритмический) 1,1.9; I, 34.8; IV, 3.1 schisma (микроинтервал схизма) III, 8 semitonium (полутон) 1,16.11; 1,17-19; I, 21; И, 28 et frequentissime
— maius (больший, или большой)
1,16.11; I, 33.2; II, 30 et passim; см. apotome
— minus (меньший, или малый)
I, 	16.11; 1,17.3; I, 33.2; И, 23.7 et passim; то же, что limma (см.)
— id est integrum dimidium toni (т. e. на¬
стоящая половина тона) III, 8 sonus (звук; звучание) 1,1.3; 1,1.17; V, 4 et passim; cp. vox
species (вид, подразумевается вид консонанса) IV, 14
symphonia (благозвучие; то же, что консонанс) Arithm. 1,1.10; Arithm.
II, 54.8; 1,11.1; 1,15; 1,16 et passim synaphe (транслитерация греч. συναφή
соединение, стык в Полной системе) I, 24
tetrachordum (тетрахорд, четырехступенный звукоряд) 1,15; I, 20.11 et passim
tibia (авлос, то же что тибия) 1,1.18;
1,1.22-23; I, 2.1; I, 2.7; I, 34 tibicina (женщина, музицирующая на авлосе, авлетка) 1,1.18; ср. auloedus tonus (целый тон) Arithm. 1,1.10; Arithm. II, 54.8 et passim; 1,10.7; 1,16; 1,17 et frequentissime tonus (лад, тон) IV, 15.1 et passim tropus (лад, троп) IV, 15.1 triemitonium incompositum (несоставной триполутон; в позднейшей лексической традиции — малая терция) I, 23.2; ср. IV, 6
vox (голос; звук определенной высоты; звукоступень) 1,3.8; 1,12; 1,13; 1,16.8; I, 24.2; I, 31.2, II, 20.8; II, 31.2;
IV, 13, IV, 15.1 et passim; ср. sonus
— συνεχής, continua (непрерывный,
слитный) 1,12; 1,13
— διαστηματική, discreta (интерваль¬
ный, прерывистый, раздельный) 1,12; 1,13
— aequisona (равнозвучный) V, 12
— consona (благозвучный) V, 12
— dissona (неблагозвучный) V, 12
— ekmeles (транслитерация греч.
έκμελής, экмелический) V, 11
— emmeles (транслитерация греч.
εμμελής, эммелический) I, 8; V, 11;
V, 12
— immobilis (неподвижная ступень, ге-
стота в тетрахорде) IV, 13
— mobilis (подвижная ступень, кину-
мена в тетрахорде) IV, 13
— non unisona (разновысотный, не¬
одновысотный) V, 12
— unisona (одновысотный) V, 12 πολυφωνία (многозвучие) 1,1.13 πολυχορδία (букв, многоструние, т .е.
многоступенностъ звукоряда) 1,1.13

Указатель цитированной литературы
Editiones vel opuscula quae supra breviter indicantur
Alypius. Isag. Bacchius. Isag. BarberaCE
BarberaE
Barberai
BarberaOS
BarkerGMW
BernhardUF
BischoffHK
BischoffSBK
BowerB
BowerHM
BrandtE
CCB
ChadwickB
ChamberlainPh
Alypi Isagoge, ed. C. Jan // MSG, pp. 357-406.
Bacchii Gerontis Isagoge, ed. C.Jan // MSG, pp. 283-316. Barbera A. The consonant eleventh and the expansion of the musical tetraktys // Journal of Music Theory 28 (1984), pp. 191-224.
Barbera A. The Euclidian division of the canon: Greek and Latin sources. New critical texts and translations <...> // Greek and Latin music theory. Vol.8. Lincoln, London, 1991.
Barbera A. Interpreting an arithmetical error in Boethius' De institutione musica (III, 4-16) //Académie internationale d'histoire des science, 106 (1986), pp. 26-41.
Barbera A. Octave species // Journal of Musicology 3 (1984), pp. 229-241.
Barker A. Greek musical writings: II. Harmonic and acoustic theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1989. Bernhard M. Überlieferung und Fortleben der antiken lateinischen Musiktheorie im Mittelalter // Geschichte der Musiktheorie. Bd. 3. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1990, SS. 7-35.
Bischoff B. Hadoard und die Klassikerhandschriften aus Corbie / Bischoff B. Mittelalterliche Studien. Bd. 1. Stuttgart: Hiersemann, 1966.
Bischoff B. Die südostdeutschen Schreibschulen und Bibliotheken in der Karolingerzeit. Teil 1: Die bayrischen Diözesen. Wiesbaden: O. Harrassowitz, 1960.
A.M.S. Boethius. Fundamentals of music. Translated, with introduction and notes by C.M. Bower. New Haven, London: Yale University Press, 1989.
Bower C.M. Boethius' De institutione musica. A handlist of manuscripts // Scriptorium, vol. 42 (1988), pp. 205-251.
Brandt S. Entstehungszeit und zeitliche Folge der Werke von Boethius // Philologus 62 (NS 16) (1903), SS. 141-154,234-275. The Cambridge companion to Boethius, ed. by J. Marenbon. Cambridge: Cambridge University Press, 2009.
Chadwick H. Boethius. The consolations of music, logic, theology and philosophy. Oxford: Clarendon Press, 1981. Chamberlain D.S. Philosophy of music in the Consolatio of Boethius // Speculum 45 (1970), pp. 80-97.

396
Цитированная литература
CicScripta
СОВ
CourcelleL
DAGM
DahlhausT
DiehlP
DüringPK
EllinwoodH
EvansSG FB, Fr.
FridhV
GaudEng
GibbonFI
Gloss.
GrabmannG
GrebeG
GruberK
M. Tulli Ciceronis scripta quae manserunt omnia. Partis IV vol. I, rec. C. F. W. Müller. Lipsiae: Teubner, 1890.
Commentum Oxoniense in musicam Boethii [saec.XV], hrsg. M. Hochadel // VMK 16. München, 2002.
Courcelle P. Les lettres grecques en occident de Macrobe à Cassiodore. Paris: E. de Boccard, 1943.
Documents of Ancient Greek Music. The extant melodies and fragments edited and transcribed with commentary by Egert Pöhlmann and Martin L. West. Oxford: Clarendon Press, 2001. Dahlhaus C. Die Termini Dur und Moll // Archiv für Musikwissenschaft 12 (1955), SS. 280-296.
Procli Diadochi in Platonis Timaeum commentaria, ed. Ernst Diehl. Vol. IL Lipsiae: Teubner, 1904.
Porphyrios Kommentar zur Harmonielehre des Ptolemaios, hrsg. V. Ingemar Düring. Göteborg: Elanders boktryckeri aktiebolag, 1932 (Göteborgs Högskolas Àrsskrift, XXXVIII). Musica Hermanni Contracti, ed. and trans. L. Ellinwood. [Rochester]: Eastman School of Music, University of Rochester, 1936.
Evans G. The saltus Gerberti: The problem of the leap // Janus 67 (1980), pp. 261-268.
Boetii de institutione musica libri quinque; Boetii de institutione arithmetica libri duo <...> edidit Godofredus Friedlein. Lipsiae: Teubner, 1867.
Cassiodorus. Variarum libri XII, ed. A.J. Fridh // Corpus Christianorum. Series latina, vol. 106. Turnhout: Brepols, 1973. Gaudentius. Harmonic introduction. Transi, with comments by T. Mathiesen // SRMH, pp. 66-85.
Gibbon E. The history of the decline and fall of the Roman Empire, ed. J.B. Bury. Vol. 4. London, 1909.
Glossa maior in institutionem musicam Boethii, edd. M. Bernhard et C.M. Bower. Vol. 1-4 // VMK 9-12. München: Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1993,1994,1996, 2011. Grabmann M. Die Geschichte der scholastischen Methode. Bd. 1. Freiburg i. Br.: Herdersche Verlagshandlung, 1909. Grebe S. Gedanken zur Datierung von De nuptiis Philologiae et Mercurii des Martianus Capella // Hermes, 128 (2000), SS. 353-368.
Gruber }. Kommentar zu Boethius De consolatione philosophiae. 2., erweiterte Auflage. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2006.

Index editionum
397
Guill.
HarmonR
HillerTh
HocheN
HuffmanPh
JamblichNic
JanG
JanN
JanNE
KarpatiTC
KnorrR
KrischerB
LmL
MaherF
MarziB
Boèce. Institution arithmétique. Texte établi et traduit par J.-Y. Guillaumin. Paris: Les Belles Lettres, 1995.
Harmon R. Die Rezeption griechischer Musiktheorie im römischen Reich: II. Boethius, Cassiodorus, Isidor von Sevilla // Geschichte der Musiktheorie. Bd. 2: Antike und Bysanz, hrsg. V. Th. Ertelt, H. von Loesch u. F. Zaminer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 2006, SS. 385-504.
Theonis Smyrnaei philosophi Platonici expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, <...> recensuit Eduardus Hiller. Lipsiae: Teubner, 1878.
Nicomachi Geraseni Pythagorei introductionis arithmeticae libri duo <...> recensuit Ricardus Hoche. Lipsiae: Teubner, 1866.
Huffman C.A. Philolaus of Croton: Pythagorean and presocratic. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber, edidit Hermenegildus Pistelli. Lipsiae: Teubner, 1894. Gaudenti Philosophi Harmonica introductio, ed. Carolus Jan // MSG, pp. 317-356.
Nicomachi Harmonicum enchiridion, ed. Carolus Jan // MSG, pp. 237-265.
Excerpta ex Nicomacho, ed. Carolus Jan // MSG, pp. 266- 282.
Kärpäti A. Translation or compilation? Contributions to the analysis of sources of Boethius' De institutione musica // Studia musicologica Academiae Scientiarum Hungaricae 29. Budapest, 1987, pp. 5-33.
Knorr W. Review of: Michael Masi. Boethian number theory: A translation of the De institutione arithmetica by Boethius // Speculum, Vol. 60, No. 4 (1985), pp. 946-948.
Boethius. De institutione arithmetica. Lib. I, cap. 1; Lib. II, cap. 54. Ins Deutsche übertragen v. Tilman Krischer // Geschichte der Musiktheorie. Bd. 3: Rezeption des antiken Fachs im Mittelalter, hrsg. v. F. Zaminer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1990, SS. 206-217.
Lexicon musicum Latinum medii aevi, hrsg. v. Michael Bernhard. München, 1995- (издание продолжается).
Maher D.W., Makowski J.F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions // Classical Philology 96 (2001), pp. 376-399. Marzi G. An.M.T. Severini Boethii de institutione musica. Roma: Istituto Italiano per la storia della musica, 1990.

398
Цитированная литература
MasiB
MathiesenAL
MeyerB
MommsenC
MSG
NGD
OogeN
PaulB
PizzaniSt
PL
RISM
SRMH
StruikCHM
SynanB
UsenerAH
VMK
АдоСИ
Boethius. Boethian number theory: A translation of De institutione arithmetica, transi, by Michael Masi. Amsterdam, New York: Rodopi, 1983.
Mathiesen T. Apollo's lyre. Greek music and music theory in antiquity and the Middle Ages. Lincoln, London: University of Nebraska Press, 1999.
Boèce. Traité de la musique. Introduction, traduction et notes par Christian Meyer. Turnhout: Brepols, 2004.
Cassiodori Senatoris Variae, edidit Theodorus Mommsen. Berlin: Weidmann, 1894.
Musici scriptores graeci: Aristoteles, Euclides, Nicomachus, Bacchius, Gaudentius, Alypius et melodiarum veterum quidquid exstat, ed. Carolus Jan. Lipsiae: Teubner, 1895.
The New Grove dictionary of music and musicians, ed. by S. Sadie. London, New York: Macmillan, 2001.
Nicomachus of Gerasa. Introduction to arithmetic. Translated by M.L. D'Ooge. Ann Arbor (Michigan), 1946.
Boethius. Fünf Bücher über die Musik. Aus der lateinischen in die deutsche Sprache übertragen <...> von O. Paul. Leipzig: Leuckart, 1872; Nachdruck Hildesheim: Georg Olms, 1985. Pizzani U. Studi suile fonti del De institutione musica di Boezio // Sacris Erudiri XVI (Brugge, 1965), pp. 5-164. Patrologiae cursus completus, series Latina. Ed. J.-P. Migne. Parisiis, 1844-1856.
Répertoire International des Sources Musicales («Международный каталог музыкальных источников»; серия библиографических и нотографических справочников)
Source readings in music history. Edited by O. Strunk. Revised edition, general ed. L. Treitler. New York: W.W. Norton and Company, 1998.
Struik D.J. A concise history of mathematics. 4th revised ed. Mineola (New York), 1987.
Synan E.A. Boethius, Valla, and Gibbon // Essays in Honor of Vernon J. Bourke: Saint Augustine and the tradition. Saint Louis, 1992, pp. 475-491 (The Modem Schoolman, 69).
Usener H. Anecdoton Holderi: Ein Beitrag zur Geschichte Roms in ostgothischer Zeit. Lipsiae: Teubner, 1877. Bayerische Akademie der Wissenschaften. Veröffentlichungen der musikhistorischen Kommission.
Ado И. Свободные искусства и философия в античной мысли. М.: ГЛК, 2002.

Index editionum
399
АрнольдТ
БРЭ
ВарденПН
ГайИ
ГБ
ДГРС
ИЮ
ЛебедевЛТБ
ЛебедевМММ
ЛебедевМБ
ЛебедевМС
ЛебедевНБ
ЛебедевПБ
ЛебедевПН
ЛебедевСД
Арнольд Ю.К. Теория древне-русского церковного и народного пения на основании автентических трактатов и акустического анализа. Вып. 1: Теория православного церковного пения вообще, по учению эллинских и византийских писателей. М., 1880.
Большая российская энциклопедия. М.: Большая российская энциклопедия, 2005- (издание продолжается). Варден Б.А. ван дер. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод <...> И.Н. Веселовского. М.: URSS, 2006 (репринт издания 1959 г.)
Гай. Институции. Пер. с латинского Ф. Дыдынского, под ред. В.А. Савельева и Л.Л. Кофанова. М: Юристъ, 1997. Герцман Е.В. Музыкальная боэциана. СПб.: Глаголъ, 1995; 2-е изд. СПб.: Невская нота, 2010 (ГБ2). Древнегреческо-русский словарь. Составил И.Х. Дворецкий. Под ред. С.И. Соболевского. М.: Государственное издательство иностранных и национальных словарей, 1958. Институции Юстиниана. Пер. Д. Расснера. М.: Зерцало, 1998 (Памятники римского права).
Лебедев С.Н. Ладовая теория Боэция. Опыт реконструкции // Старинная музыка, 2010, №№ 1-2, сс. 39-45.
Лебедев С.Н. MouoiKÔç-musicus-My3biKaHT. Очерк музыкальной терминологии Боэция // Научный вестник Московской консерватории, 2011, № 2, сс. 52-65.
Лебедев С.Н. Монохорд Боэция // Музыкальная академия, 2011, № 1, сс. 168-172.
Лебедев С.Н. О методе и стиле раннего Боэция (на материале «Музыки» и «Арифметики») // Научный вестник Московской консерватории, 2011, № 3, сс. 24-39.
Лебедев С.Н. Никомах и Боэций. К проблеме рецепции античной науки в квадривии Боэция // Старинная музыка, 2011, № 2, сс. 2-11.
Лебедев С.Н. Птолемей и Боэций. К проблеме рецепции античной науки в квадривии Боэция // Музыка и время, 2011, № 5, сс. 8-14.
Лебедев С.Н. Почему нужен новый перевод музыкального трактата Боэция // Старинная музыка, 2009, № 3, сс. 1-12. Лебедев С.Н. Спартанский декрет против Тимофея Милетского в музыкальном трактате Боэция // Музыковедение, 2010, № 9, сс. 18-21.

400
Цитированная литература
ЛРС
МТС
МЭЗСВ
НСИС
ПетрССЛ
СРНБ1
ФГБ
ФРГФ
ЦыпинА1
ЦыпинА2
ЦыпинПП
ЩетниковА
Дворецкий И.Х. Латинско-русский словарь. Изд. 3. М.: Русский язык, 1986.
Холопов Ю.Н., КириллинаЛ.В (и др.) Музыкально-теоретические системы <...>. М.: Композитор, 2006.
Музыкальная эстетика западноевропейского средневековья и Возрождения. Составление текстов и общая вступительная статья В.П. Шестакова. М.: Музыка, 1966. Захарченко Н.Е., Комарова Л.Н., Нечаева И.В. Новый словарь иностранных слов. Изд. 3-е, исправленное и дополненное. М.: Азбуковник, 2008.
Петр В. И. О составах, строях и ладах в древнегреческой музыке. Киев, 1901.
Сотрудники Российской национальной библиотеки — деятели науки и культуры: Биографический словарь / Ред. Л.А. Шилов, Ц.И. Грин, и др. T. 1: Императорская Публичная библиотека, 1795-1917. СПб.: Российская национальная библиотека, 1995.
Поспелова Р.А., Холопов Ю.Н. Философия гармонии Боэция // Гармония: проблемы науки и методики. Вып. 2. Ростов-на-Дону, 2005, сс. 38-66.
Фрагменты ранних греческих философов. Часть I: От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики. Издание подготовил А.В. Лебедев. М.: Наука, 1989 (Памятники философской мысли).
Аристоксен. Элементы гармоники. Перевод и комментарии В.Г. Цыпина. М.: Московская государственная консерватория, 1997.
Цыпин В.Г. Аристоксен. М.: Московская государственная консерватория, 1998.
Птолемей. Гармоника; Порфирий. Комментарий к «Гармонике» Птолемея. Издание подготовил В.Г. Цыпин. Москва: Московская гос. консерватория (в печати).
ГЦетников А.И. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и идеальные числа Платона // Математическое образование, 2007, № 3, сс. 56-67.

SUMMARY
Boethius' Fundamentals of Music (or simply Musica) is one of the most disseminated and authoritative texts in the history of Western thought on music. Its edition prepared by Gottfried Friedlein and published by Teubner in 1867 has never been revised since that time. The reason of it might be, first, the surprisingly stable Latin text (but not the Spartan decree in Greek, important interpolation in the treatise, manuscript representation of which is rather poor) transmitted as such already by the earliest 11 manuscripts from the 9th c. (so called 'control' manuscripts) and, second, the excellence of Friedlein's work. However, in the course of scholar studies of Musica sources, mostly due to efforts of Calvin Bower and Michael Bernhard, there appeared decent corrections to Friedlein's text which must be taken into account. The similar consideration especially concerns Boethius' graphics (diagrams, tables, notation symbols etc.) manuscript transmission of which is rather unstable — even in the earliest manuscripts of Musica graphical examples often look like 'blind' (unreflected by copyist) drawings and in rare case fulfill its primary task that is to elucidate complications of Boethius' mathematical concepts.
The Latin edition here incorporates all known up-to-date corrections to Boethius' Musica noticed by other scholars. These known corrections to the original I checked against control manuscripts, microfilms of which I had a happy chance to examine in the Musikhistorische Kommission of the Bavarian Academy of Sciences and in the Bavarian State Library (both in Munich). There is also very small amount of further changes to Boethius' text made as the result of my investigation1. Editorial conjectures have been reduced to absolute minimum. All textual changes to Friedlein's edition are minutely noted in the Apparatus criticus directly on edition pages and (only if the more extensive argumentation was necessary) in the Commentary. Approach to illustrations in this edition can be described as 'enhanced manuscript look'. It means that the editor though selected a pattern in a manuscript tradition, he tried to match graphics better to Boethius' immediate theoretical thesis — better than it is found in control manuscripts, more obvious and intelligent. This approach explains why graphics in this edition looks rather different from the Friedlein's.
1 The idea behind could give a case in III, 1 of Musica. Despite the fact that all control manuscripts give here 'in geometrica proportione', I change it to 'in geometrica proportionalitate', first, because Boethius himself clearly differentiates between terms 'proportio' and 'proportionalitas' (cf. II, 12) and, second, because 'geometric ratio' has no mathematical sense. The additional argument of this change is that this entry is the only wrong case of 'proportio' compared to other 388 correct usages of 'proportio' (and 20 of 'proportionalitas') found in Musica.

402
Summary
The first part of the book is Introduction which (1) registers first records of important terms and theoretical concepts found in Musica and Arithmetica (first registered Latin assimilations of Greek terms are marked with asterisks), (2) gives survey of structure and contents of the music treatise, (3) an overview of control manuscripts, editions and modern translations of Musica,, (4) contains discussion of 'correct' titles and (5) datings of both quadrivial treatises (which seem not to be same for Arithmetica and Musica), and finally (6) states editorial principles.
The main part of the book is a bilingual edition of Musica with Latin original on even pages and synchronized Russian translation on odd pages. Numbers to the left of Latin text are common references to Friedlein's edition. Critical comments to edition of the original are given (in Latin) directly as footnotes, commentaries (in Russian) related to Boethian text are located (due to technical reasons) separately as endnotes.
In the extensive Commentary I tried not to pass over a single original unclear Boethian point, an obscurity, which can be found in any early text, even in a such institutional and didactic one as Musica. There are taken into account the most different interpretations of scholars engaged in Boethian studies (paleographers, philologists, philosophers, mathematicians, musicologists etc.) on the whole observable space of Boethian 'hermeneutics' from 9th to 21th centuries. Part of commentaries is purely informative, others (especially related to sources and the state of the text) are referential in character. Finally there are scholar commentaries which represent my own interpretation of Boethius' theories. Inevitably they contain discussions of multivalent words and word combinations, when an ordinary unspecific word usage can be with great difficulty separated from terminus technicus, especially when a definitive context is very scarce or absent at all. It is clear that responsibility of a scholar in such cases is high, and argumentation of one exact locus obscurus immediately depends on how scholar interprets Boethian science in general. Being completely aware of such responsibility I attempted presenting to a reader a consistent interpretation based on one consistent scientific approach. This approach here is inherited from the works and views of my teacher Yury Kholopov, the author of universal theory of music harmony, which covers not only classical and romantic tonality but with the help of detailed and precise terminology allows to investigate other (historical and local) pitch systems, including those ones of Antiquity. From this point of view the mentioned consistency of approach in my scholar commentaries to Boethius' Musica can be summarized as incorporation, further development and even enhancement of general Kholopov's method applied to one but very important artifact of history of musical thought.
In the Appendix several chapters from Boethius' Arithmetica are given also in bilingual form (Latin text here follows the modern edition of Jean-Ives Guillaumin) without which the comprehension of Pythagorean theory in Musica seems

Summary
403
to be impossible. Numbers to the left of Latin text, however, refer to Friedlein's edition as a standard which is still persistent. The selection of Arithmetica sections to translate and comment have been partly dictated by cross-references to it in Musica made by Boethius himself.
At the end of the book common indices are located: Index nominum, Index rerum (comprising entries from both Arithmetica and Musica), Index editionum (only cited ones). Some facsimile illustrations and diagrams are given on inserts provided with editorial and interpretative comments.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие vii
Введение ix
Апология компиляции (ix). Обзор содержания (xiii). Обзор рукописей, изданий и переводов (xviii). Проблема заглавия (xxiii). Проблема датировки (xxix). Принципы издания (xxxv)
Основы музыки
Книга 1 2
1. Введение. О том, что музыка нам естественно присуща и о ее способности возвышать или портить нравы (3). 2. Существует три вида музыки. О значении слова «музыка» (11). 3. О звуковысотности и об элементах музыки (15). 4. О видах неравенства (17). 5. О том, какие виды неравенства подходят для консонансов (19). 6. Почему кратность и сверхчастичность подходят для консонансов (19). 7. О том, какие числовые отношения годятся для музыкальных консонансов (21). 8. Что есть звук, что интервал, и что консонанс (21). 9. О том, что не всякое суждение должно полагаться на ощущения, но лучше поверять суждение разумом; о том, как чувства обманываются (23).
10. О том, как Пифагор исследовал числовые отношения консонансов (25). 11.0 том, какими способами Пифагор тщательно изучил разные отношения консонансов (27).
12. Разновидности голоса и их объяснение (27). 13. О том, что беспредельности голосов человеческое естество положило предел (29). 14. О том, как мы слышим (29).
15. О порядке теорем, то есть теоретических рассуждений (31). 16. О числовых отношениях консонансов, о тоне и полутоне (31). 17. В каких первых числах состоит полутон (37). 18. Кварта от квинты отстоит на целый тон (37). 19. Октава состоит из пяти тонов и двух полутонов (39). 20.0 прибавлении струн и об их названиях (39). 21.0 родах мелодии (49). 22. О расположении струн и их именах в трех родах (51). 23. Каковы звуковысотные отношения в отдельных родах [мелоса] (55). 24. Что такое synaphe (55).
25. Что такое diazeuxis (57). 26. Какие названия струнам давал Альбин (57). 27. С какими небесными телами сравниваются струны (57). 28. Какова природа консонансов (59).
29. При каких условиях возникают консонансы (59). 30. Каким образом согласно Платону возникает консонанс (61). 31. Что́ думает [о том же] Никомах в противоположность Платону (61). 32. Какой консонанс превосходит достоинством другие (61).
33. Каким образом следует воспринимать сказанное (63). 34. Кто такой музыкант (65).
Книга II 68
1. Введение (69). 2. Что Пифагор считал философией (69). 3. О различиях в количестве и какое к какой дисциплине относится (69). 4. О различиях в относительном количестве (71). 5. Почему кратность превосходит другие [роды неравенства] (73). 6. Что такое квадратные числа и их обсуждение (73). 7. Всякое неравенство происходит от равенства и доказательство этого (75). 8. Правила отыскания любого количества непрерывных сверхчастичных отношений (79). 9. Об отношении чисел, которые измеряются другими [числами] (83). 10. Какие [отношения] получаются от перемноженных кратных и сверхчастичных (87). И. Какие сверхчастичные [отношения] производят какие кратные (87). 12. Об арифметическом, геометрическом и гармоническом средних (89). 13. О непрерывных и разъединенных средних (91). 14. Почему вышеизложенные средние так называются (91). 15. Каким образом вышеназванные средние происходят от равенства (91). 16. О гармоническом среднем (более полное его рассмотрение) (97). 17. Каким образом вышеназванные средние, одно за другим, размещаются между двумя членами [отношения] (99). 18. О достоинстве и размерах консонансов (по Никомаху) (99). 19. Мнение Евбулида и Гиппаса о порядке консо¬

405
нансов (101). 20. Мнение Никомаха о том, какие консонансы каким противопоставляются (103). 21. Необходимые предварительные соображения для доказательства того, что октава существует в кратном роде [неравенства] (107). 22. Октава существует в кратном роде. Доказательство от противного (107). 23. Доказательство того, что квинта, кварта и тон существуют в сверхчастичном роде (107). 24. Доказательство того, что квинта и кварта пребывают в наибольших сверхчастичных отношениях (111). 25. Квинта состоит в полуторном отношении, кварта в сверхтретном, а тон в сверхосминном (113). 26. Интервал октавы с квинтой состоит в тройном отношении, а двойной октавы — в четверном (ИЗ). 27. Кварта с октавой согласно пифагорейцам — не консонанс (ИЗ). 28. В каких наименьших числах состоит полутон (115). 29. Доказательство того, что отношение 243 к 256 не является половиной тона (117). 30. В каких наименьших числах состоит бо́льшая часть тона (119). 31. В каких отношениях состоят квинта и октава, и почему октава не состоит в шести тонах (121).
Книга III 124
1. Вопреки Аристоксену доказательство того, что сверхчастичное отношение не может быть поделено на [две] равные части, а потому и целый тон [не может быть поделен на две равные части] (125). 2. Половины тона не получается, если вычесть два целых тона из сверхтретного отношения (129). 3. Вопреки Аристоксену доказательство того, что консонанс кварты не состоит из двух тонов и ровно полутона, и что октава не состоит из шести тонов (131). 4. О том, что шесть тонов превышают октавный консонанс на комму, и о том, каково наименьшее число коммы (133). 5. Каким образом делит тон Филолай (135). 6. Тон состоит из двух полутонов и коммы (137). 7. Доказательство того, что расстояние между тоном и двумя полутонами — комма (137). 8. Об интервалах меньше полутона (137). 9. О том, как получить части тона через консонансы (139).
10. Правило построения полутона (145). 11. Доказательство Архита о том, что сверхчастичное отношение нельзя поделить поровну [на две части], и опровержение этого доказательства (147). 12. В каком числовом отношении состоит комма, которая больше, чем [отношение] 75:74, но меньше, чем 74:73 (149). 13. Малый полутон больше, чем 20:19, но меньше, чем 19 Уг: 18½ (155). 14. Малый полутон больше, чем три коммы, но меньше, чем четыре [коммы] (157). 15. Апотома больше, чем четыре коммы, но меньше, чем пять [комм]; целый тон больше, чем восемь комм, но меньше, чем девять (161). 16. Доказательство [всего] вышеизложенного с помощью чисел (163).
Книга IV 166
1. Различия звуков по высоте заключаются в количестве (167). 2. Различные рассуждения об интервалах (167). 3. Греческие и латинские названия музыкальных знаков (177). 4. Расположение музыкальных знаков и соответствующих им высот по трем родам (183). 5. Деление линейного монохорда в диатоническом роде (185). 6. Деление монохорда в тетрахорде высших по трем родам (189). 7. Обоснование вышеприведенной схемы (195). 8. Деление монохорда в тетрахорде отделенных по трем родам (197). 9. Деление монохорда в тетрахорде соединенных по трем родам (203). 10. Деление монохорда в тетрахорде средних по трем родам (205). И. Деление монохорда в тетрахорде низших по трем родам и полная схема расположения [высот] (209).
12. Обоснование вышеприведенной схемы (215). 13. О постоянных и подвижных ступенях (215). 14. О видах консонансов (219). 15. О происхождении ладов, а также о распределении нот по отдельным ладам и звукам (223). 16. Схема, показывающая порядок ладов и их различия (227). 17. Обоснование вышеприведенной схемы ладов (227). 18. Каким образом слух уверенно оценивает музыкальные консонансы (235).
Книга V 238
Оглавление (239). 1. Введение (241). 2. О силе гармоники, каковы в ней инструменты суждения, и о том, до какой степени можно доверять чувствам (241). 3. Что такое гар¬

406
монический канон, или что пифагорейцы, Аристоксен и Птолемей считали задачей гармоники (245). 4. Как Аристоксен, пифагорейцы и Птолемей определяли, в чем заключается высота звука (245). 5. Птолемеево мнение о видах звуков (247). 6. Какие звуки пригодны для гармоники (247). 7. Сколько числовых отношений установили пифагорейцы (249). 8.0 том, что Птолемей порицает пифагорейцев за [установленное ими] число отношений (249). 9. Как Птолемей доказывает, что октава с квартой — консонанс (249). 10. Каково свойство октавного консонанса (251). И. Какими способами Птолемей определяет консонансы (253). 12. Каковы равнозвучные, благозвучные, эммелические [интервалы] (255). 13. Каким образом рассматривает интервалы Аристоксен (255). 14. Схема октахорда, показывающая, что октава меньше шести тонов (257). 15. О том, что квартовый консонанс содержится в тетрахорде (257). 16. Каким образом Аристоксен делит целый тон и подразделяет роды, и схема его деления (259). 17. Как делит тетрахорды Архит и схема этих тетрахордов (263). 18. Как Птолемей опровергает Аристоксеново и Архитово деление тетрахордов (265). 19. Каким должно быть деление тетрахордов согласно Птолемею (265).
Комментарий к «Музыке»
Книга 1 268
Книга II 298
Книга III 308
Книга IV 313
Книга V 330
Приложение I. Основы арифметики (фрагменты) 341
[Предисловие] 342
Книга 1 344
1. Введение. О делении математики (345). 2. О сущности числа (351). 3. Определение числа, подразделение чисел и определение четного и нечетного (353). 21. Об относительном количестве (353). 23. О кратном [количестве], его видах и об их выведении (355). 32. Доказательство того, что всякое неравенство произошло от равенства (355).
Книга II 356
1. Каким образом всякое неравенство сводится к равенству (357). 32. О том, что все сущности состоят из природы тождественного и из природы иного, и о том, что это прежде всего касается чисел (359). 40. О пропорциях (361). 41. Какие были пропорции у древних [и] сколько их добавили потомки (363). 42. В первую очередь следует сказать об арифметической пропорции (363). 45. Какие средние с какими видами государственного устройства сравниваются (365). 54. О величайшем и совершенном кон¬
сонансе, который располагается в трех интервалах (365).
Комментарий к «Арифметике»
Предисловие 370
Книга 1 370
Книга II 374
Приложение II. Старинные иллюстрации 379
Аннотации 381
Приложение III. Современные схемы и реконструкции 385
Именной указатель 390
Предметный указатель 391
Указатель цитированной литературы 395
Summary 401

Научное издание
А.М.С. Боэций ОСНОВЫ МУЗЫКИ
Подготовка текста, перевод с латинского и комментарий С.Н. Лебедева
Редакторы А.С. Лосева, М.М. Иглицкий Оригинал-макет С.Н. Лебедева
Подписано в печать 02.04.2012. Бумага офсет № 1.
Формат 70x100 1/16. Усл.-печ. л. 36,12. Тираж 300 экз.
Научно-издательский центр «Московская консерватория» Московская государственная консерватория имени П. И. Чайковского 125009 Москва, ул. Б. Никитская, д. 13/6
ООО «Типография Момент» 141406 Химки, Библиотечная ул., 11

Integra perfectaque descriptio divisi per отша tria genera monochordi regularis (Mus. IV, 11)
NS
DpNS
М DTS
DLH
нн орнн
НМ DpНМ
Pros
DLM
Е
Н
О
А
Ш DCCCLXXXVIII
2
X
О
1&
7 7' 7'
I I I I.CIIII
ETS EpNS
P R
F СЕН
N CLM
М
X
О
X
X
О
B
О
l
U
Х
U
! U
IIII
CCCCXCI
7' 7' 7
7' 7' 7'
DpNH
ND DTH
NH
КК
00
FF
pM Y
l
Х
DpND
II.DXCII
BB CpND
CpNH
СТН
Нн
7' 7' 7'
7' 7 7'
I I DCCXXXVI
Ш DCXLVIII
2
1= 1=
X
О
1&
О
О
О
[0(
Х
О
U
&
2 X
X
о.
0 G
Х
О
О
О
О
Q
Б Б
X
о.
К
О
О О
О О
О О
Q Q
~& t;
X
О
О
О
О
1&
Q
0
U
О
ОСТЬ S CPNS
О
7 7
&
х
Х
О
о о
0 0 0
Х
х
!ЕЙ ~й
B
0 "Б
U
О
О
1=
X
Z
о.
ЕЕ [GG]
О
X
О О
О О
х О О
Q Q
х
[~ ~н



Полная и совершенная схема деления линейного монохорда по всем трем родам (Яив. IV, П)
Pros
НН DpНН
DLH
DpHM
И.М
М DTS
DpNS
NS