Деление отрезка в данном отношении - Бескин Н.М.

Author: Бескин Н.М.

Tags: математика геометрия естественные науки серия популярные лекции по математике

Year: 1973

Similar

Высшая геометрия

От живописи к проективной геометрии

Высшая геометрия

Геометрия. Часть 2

Text

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 52
И. М. БЕСКИН
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА
В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973
513
Б 53
УДК 513.0
АННОТАЦИЯ
В этой брошюре полагаются разимо
теория, к которым приводит углублен-
ное изучение задачи о делении отрезка
в данном отношении. Разбирая эту эле-
ментарную задачу и смежные вопросы,
читатель совершит небольшое путешест-
вие по математике, соприкоснется с аф-
финной и проективной геометрией и тео-
рией групп, в большинстве случаев без
упоминаний этих названий.
Книга рассчитана па учащихся стар-
ших классов; положение в основных
частях доступно для школьников 7—8
классов.
Николай Михаила ич Бескин
Деление отрезка в данном отношении
(Серия «Популярные лекции по математике*?
М_, 1973 г., 64 стр. с илл.
Редактор Л. Ф. Лалко
Техн, редактор Е. Н. Земская Корректор Е. Я. Строева
Сдано в набор 22/IX 1972 г. Подписано к печати 12/1 1973 г. Бумага 81x108/32.
Физ. печ. л. 2. Условн. иеч. л. '3,36. уч.-изд. л. 3,08. Тираж 100 000 экз.
Т-007С9. Цена книги 9 кон. Заказ № 1202
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-н типография изд. «Паука». Москва, Шуиипский пер., 10
, 0222—1705
b 042(02)-73 83 73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................... 4
ВВЕДЕНИЕ
1. Ориентация прямой и отрезка.................... 5
2. Направленные отрезки.............................. 6
Глава I
ПРОСТОЕ ОТНОШЕНИЕ
8. Формулировка задачи .... ......................... 9
4. Решение задачи................................... 12
5. Механическое истолкование задачи................. 16
6. Инвариантность простого отношения относительно парал-
лельного проектирования............................. 16
7. Перестановка элементов в простом отношении....... 17
8. Групповое свойство простого отношения............ 20
9. Несобственные точки......................... . 25
10. Разделение точек на прямой...................... 29
11. Теорема Чевы................................... 33
12. Теорема Менелая................................ 40
Глава II
СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ
13.. Понятие о сложном отношении.................... 43
14. Инвариантность сложного отношения относительно цент-
рального проектирования............................. 45
15. Перестановка элементов в сложном отношении .... 47
16. Гармонические четверки.......................... 50
17. Построение четвертой точки по сложному отношению 53
18. Теорема о полном четырехвершиннике.............. 56
19. Групповое свойство слояшого отношения.......... 59
Задачи ........................................ . 60
Ответы и решения . . ............................. 62
1‘ 3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Некоторые школьники обладают хорошим математи-
ческим аппетитом. Их не удовлетворяют порции матема-
тики, отмеренные школьной программой. Где же искать
добавки?
Увеличить свои математические познания можно вширь
или вглубь. Вширь — это значит изучать новые разделы
математики. Вглубь — это значит более основательно рас-
сматривать вопросы, входящие в школьную программу.
Ни о каком разделе математики ни один человек не имеет
права сказать «я это полностью знаю». В самом элементар-
ном вопросе скрываются неожиданные связи с другими
вопросами, и этот процесс углубления не имеет конца.
Можно снова и спова возвращаться к знакомому разделу
и каждый раз (если хорошо подумать) узнавать что-ни-
будь повое.
Эта книжка поведет читателя вглубь. Разбирая весьма
элементарную задачу «разделить отрезок в данном отно-
шении», мы узнаем много нового.
К самой задаче мы приступим в главе I. Введение со-
держит технические сведения, которые необходимы для
разработки основной темы.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
1. Ориентация прямой и отрезка. На прямой суще-
ствуют два различных направления. Ориентиро-
вать прямую — значит выбрать на ней одно из этих
двух направлений. Прямая, на которой выбрано одно из
двух направлений, называется ориентированной
прямой или осью. В дальнейшем мы словом «пря-
мая» всегда будем называть неориентиро-
ванную прямую. На ней оба направления Прямая
равноправны. дсь
На чертеже выбранное направление ----—
обычно отмечается стрелочкой (рис. 1). Рис. 1.
Можно сказать, что ось это — пара, состоя-
щая из следующих двух элементов: 1) прямая, 2) одно
из двух возможных направлений на ней.
Отрезок есть часть прямой, ограниченная двумя точ-
ками. Эти точки — концы отрезка (они также при-
надлежат отрезку). Концы отрезка можно у п о р я д о-
ч и т ь, т. е. считать один первым, а другой вторым. Обыч-
но первый называется началом отрезка, а второй —
просто концом. Отрезок с упорядоченными концами
называется ориентированным отрезком. На чер-
теже, чтобы показать ориентированный отрезок, надо раз-
личить его концы, например обозначить их разными бук-
вами, поставить в одном из них стрелочку и т. д. Можно
сказать, что ориентированный отрезок это — пара, со-
стоящая из следующих двух элементов: 1) отрезок, 2) один
из двух его концов (считаемый первым или началом).
При обозначении отрезка двумя буквами в случае
неориентированного отрезка порядок этих букв безраз-
личен: АВ и ВА — один и тот же отрезок. В случае же
ориентированного отрезка принято на первом месте ста-
вить начало, а на втором — конец. Таким образом, АВ и
В А — разные отрезки (они различаются ориентацией).
2. Направленные отрезки. Направленным от-
резком называется ориентированный отрезок, распо-
ложенный на оси.
Отрезок АВ на рис. 2, а (считается, что А — начало,
В — конец) не есть направленный отрезок: хотя он и ори-
ентирован, но прямая, на которой он лежит, не ориенти-
рована. Отрезок на рис. 2,6 — тоже не направленный (оп
сам не ориентирован). Отрезок АВ на рис. 2, в — паправ-
лешлтй.
Выходит, что для задания направленного отрезка не-
обходимо назначить две ориентации: 1) па самом отрезке,
2) на прямой, на которой он лежит.
§Эти две ориентации назначаются не-
зависимо друг от друга, т. е. каж-
° '° > 6) дая любым из двух возможных спо-
S А . собов.
° ° ”’ °' Каждый отрезок имеет длину.
Рис. 2. Длина — неотрицательное число. Она
равна нулю лишь в том случае, когда
концы отрезка совпадают, т. е. отрезок вырождается в точ-
ку, для всякого же невырожденного отрезка длина строго
положительна. Длину отрезка АВ мы будем обозначать
символом АВ. При определении длины отрезка его ори-
ентация не играет роли.
Направленному отрезку, кроме длины, можно припи-
сать знак по следующему правилу: направленный отрезок
считается положительным (отрицательным), если его на-
правление ’) совпадает (не совпадает) с направлением ecu.
Если отрезок, хотя бы и ориентированный, лежит на
неориентированной прямой, то ему нельзя приписать знак.
Итак, направленные отрезки выражаются действитель-
ными числами, положительными и отрицательными. На-
пример, запись
АВ = -3
обозначает следующее: 1) длина отрезка АВ равна 3,
2) направление отрезка АВ противоположно (не совпадает)
направлению оси, на которой он лежит.
Теперь символ АВ одновременно обозначает геометри-
ческую фигуру (направленный отрезок) и соответствую-
щее ему число. Практика показывает, что это не приводит
’) Направление ориентированного отрезка считается от нача-
ла к концу.
6
к недоразумениям. Разрешается даже такая формули-
ровка: «направленный отрезок равен —3».
Если А, В, С — любые три точки, лежащие на оси, то
АВ + ВС = АС. (2.1)
Это равенство называется правилом цепи или
формулойШаля. Она имеет глубокий смысл, над
которым стоит задуматься. Если бы АВ, ВС и АС обозна-
чали длины отрезков, то формула (2.1) была бы справед-
лива лишь при условии, что точка В лежит между А и С.
Если же мы имеем дело с направленными отрезками, то
формула (2.1) справедлива при любом расположении то-
чек А, В, С. Поэтому ее можно применять вслепую, не
глядя на чертеж. Надо только запомнить расположение
букв в этой формуле.
Доказать формулу (2.1) легко, рассмотрев все возмож-
ные случаи расположения точки В относительно отрез-
ка АС.
Согласно формуле (2.1) любой отрезок PQ, лежащий
на оси, можно разбить любой точкой X, лежащей на той же
оси, так что
PQ = РХ + XQ.
Формулу (2.1) можно обобщить
АВ + ВС + CD +... + KL + LM = AM. (2.2)
Формула (2.2) называется обобщенным прави-
лом цепи. Ее легко Доказать последовательным сверты-
ванием: АВ + ВС заменяется на АС, затем АС + CD
заменяется на AD и т. д.
Ясно, что при перестановке букв в обозначении на-
правленного отрезка изменяется его ориентация, и поэтому
он меняет знак (сохраняя абсолютную величину):
ВА = - АВ. (2.3)
Формулу (2.3) можно получить и чисто формально,
заменив в формуле (2.1) букву С буквой А.
При помощи направленных отрезков можно ввести
координаты на оси. Для этого надовыбратьна оси нача-
ло координат О и единицу масштаба.
Если теперь А — точка на оси, то отношение направлен-
ного отрезка ОА к единице масштаба е есть координата
(или абсцисса) точки А
7
Подчеркнем два важных обстоятельства. Во-первых,
единице масштаба е не приписывается знак (т. е. мы
всегда считаем ее положительной). Значит, знак коорди-
наты х совпадает со знаком направленного отрезка О А .
Во-вторых, координата безразмерна, т. е. она — отвлечен-
ное число. На рис. 3 координата точки А равна 3 (со
знаком +).
Пусть две точки на оси заданы своими координатами:
A (Xj) и Б (ж2). Как выразится направленный отрезок АВ?
Решать этот вопрос, пользуясь
I ; е । । ф j э чертежом, нежелательно, пото-
му что придется рассматривать
Рис' много разных случаев (какая из
координат больше, какие у них
знаки, как расположено начало О относительно отрезка
А В). Следующая простая выкладка, пригодная для всех
случаев, дает ответ на поставленный вопрос:
АВ = АО + ОВ = — ОА + OB = х2 — J).
Итак, всегда
АВ = х2 — хг. (2.5)
Запомним: направленный отрезок равен координате конца
минус координата начала.
Наконец, отметим еще одно свойство направленных от-
резков. Если АВ = АС, то точка С совпадает с В. Симво-
лически
{АВ = АСу-> (С ~ В) (2.6)
(здесь => — знак следствия, а = — знак тождества).
’) Здесь и в дальнейшем мы считаем в единичным отрезком,
т. е. приписываем ему длину, равную единице.
Глава I
ПРОСТОЕ ОТНОШЕНИЕ
3. Формулировка задачи. Для успешного решения
какой-нибудь задачи прежде всего необходимо ее точно
сформулировать. Формулировка «разделить отрезок в дан-
ном отношении» содержит много неясностей. Какой отре-
зок — ориентированный или нет? Лежит ли он на оси или
на прямой? Что пони-
мать под отношением? д СВ
На все эти вопросы 0 о——о-------а)
будет дан ответ, а и о- _4________________В С *
к а рассмотрим направ- С А В
ленный отрезок АВ и на ----о о ---------о-------► S)
нем точку С (рис. 4, а).
Будем также предпола- Рис. 4.
гать (тоже п ока), что
все три точки А, В и С различны. Отношением, в кото-
ром точка С делит отрезок АВ, считается отношение --г> .
Обозначим его греческой буквой л:
= (3-П
В формуле (3.1) надо запомнить порядок букв, так как
все три точки играют разную роль, а именно:
А — начало отрезка,
В — конец отрезка,
С — делящая точка.
Отношение, в котором точка делит отрезок, составляется
так:
числитель — от начала к делящей точке,
знаменатель — от делящей точки к концу.
9
Например, на рис. 4, а точка С делит отрезок АВ в отно-
шении А = 2.
Теперь заметим, что данное определение вовсе не
требует, чтобы делящая точка лежала внутри отрезка.
На рис. 4,6 точка С лежит вне отрезка АВ со стороны кон-
ца. Ничто не мешает нам вычислить А по формуле (3.1).
На этом рисунке ЛС^>0, СВ О, А = —3. Правда,
непривычно говорить, что «точка С делит отрезок АВ в от-
ношении А — —3». Мы привыкли считать, что слова «точ-
ка делит отрезок» означают, что она его разбивает на две
Рис. 5.
Рис. 6.
части, а на рис. 4,5 делящая точка лежит вне отрезка. Од-
нако если читатель — будущий математик, то он не дол-
жен бояться подобных неудобств. В математике постоян-
но происходит обобщение понятий и теорем, а терминоло-
гия при этом сохраняется, так что старые термины и
формулировки понимаются в более широком смысле.
Принято говорить, что всякая точка, лежащая внутри
отрезка, делит его внутренним образом, а точка, лежащая
вне,— внешним образом. Отношение А во всех случаях оп-
ределяется по формуле (3.1). Например, па рис. 4,вточкаС
делит отрезок АВ внешним образом в отношении А = —.
Итак, мы полностью выяснили, что понимать под от-
ношением А для направленного отрезка. Теперь зададим
два вопроса:
1) Существенно ли, что отрезок ориентирован?
2) Существенно ли, что прямая, па которой лежит от-
резок, ориентирована?
На рис. 5,а изображен неориентированный отрезок.
В каком отношении его делит точка С? На этот вопрос
нельзя ответить. На рис. 5,6 и 5,в тот же отрезок ориенти-
рован по-разному. И что же? На рис. 5,6 точка С делит
отрезок АВ в отношении А = 2, а на рис. 5,в — в отно-
1 1
шении А = .
10
Значит, на первый вопрос надо ответить: да. Задача
о делении отрезка в данном отношении не имеет смысла
для неориентированного отрезка.
Чтобы ответить на второй вопрос, всмотримся в рис. 6,а
и 6,6. Они различаются только направлением оси. Ясно,
что если изменить направление оси, на которой лежат
точки А, В, С, то все направленные отрезки на этой
оси только сменят знак, а следовательно, отношение Л, не
изменится. Например,
на рис. 6,а АС = 3, СВ = —1, Л = —3;
на рис. 6,6 АС = —3, СВ = 1, Л = —3.
Итак, на второй вопрос отвечаем: нет. Для определе-
ния Л, ориентация прямой, на которой лежит отрезок, не
нужна. Рис. 7 отличается от рис. 6 только тем, что отрезок
АВ расположен на неориентирован-
ной прямой. Это не мешает нам ус- Д , б #
тановить, что Л = —3. ° ' 0 °
На неориентированной прямой Рис. 7.
нельзя приписать знак отрезкам,
но можно приписать знак отношению отрезков1),
Для определения знака отношения не требуется
знать знак каждого отдельного отрезка. Играет родь
лишь то, имеют ли эти отрезки одно и то же направление
или противоположные направления.
Задача о делении отрезка в данном отношении отно-
сится к ориентированным отрезкам, расположенным на
неориентированной прямой.
Однако если прямая не ориентирована, то как опре-
делить Л? Ведь формула (3.1) в этом случае не годится,
так как в этой формуле предполагается, что отрезки снаб-
жены знаком.
Если А, В, С — три точки на прямой, то отношением,
в котором точка С делит отрезок АВ, называется число
X, абсолютная величина которого равна отношению длин
отрезков АС и СВ,
и которое положительно {отрицательно) если точка С
лежит внутри {вне) отрезка АВ.
Это определение важно тем, что оно показывает воз-
можность определить Л на неориентированной прямой.
*) Напоминаем: отрезки ориентированы.
11
Однако при решении любых задач удобнее поступать
иначе: ориентировать прямую. Ведь мы знаем, что значе-
ние Л не зависит от того, как мы ее ориентируем. С другой
стороны, на ориентированной прямой X полностью (и по
абсолютной величине и по знаку) определяется формулой
(3.1). Удобство этого способа состоит в том, что можно
пользоваться свойствами направленных отрезков, которые
не зависят от частных особенностей чертежа.
Остается еще договориться о случаях, когда точка С
совпадает с А или с В. В первом случае в согласии с фор-
мулой (3.1) мы будем считать Л = 0. Во втором случае
формула (3.1) теряет смысл (знаменатель правой части
обращается в нуль). Принято считать 1 = оо, нона это
следует смотреть только как па стенографическую запись
следующего факта: «делящая точка совпадает с концом
отрезка». Символ оо нельзя рассматривать как число. Ему
(не везде в математике, а в данном вопросе) не приписы-
вается знака (не 4~оо и не —оо , а просто оо). Это согла-
шение имеет основания, которые будут несколько осве-
щены в гл. II.
т. е АС
Ввиду громоздкости обозначения для него принят
более простой символ (АВС)'.
к = (АВС), (3.2)
и более простое название: простое отношение
трех точек (на прямой). В символе простого отно-
шения всегда на первом месте ставится начало отрезка,
на втором — конец отрезка, на третьем— делящая точка.
Теперь мы полностью выяснили, что такое простое от-
ношение X. Осталось сформулировать задачу о делении
отрезка в данном отношении. Вот она:
Дан отрезок АВ и дано число к. Требуется найти точ-
ку С, делящую отрезок АВ в отношении к.
Примечание. Данный отрезок мы всегда будем
предполагать невырожденным, т. е. считать, что точки
А и В различны; к может иметь любое действительное
сначепие, т. е. —оо < к < оо.
4. Решение задачи. Из того, что мы сформулировали
некоторую задачу, вовсе не следует, что она имеет решение.
Если же имеет, то неизвестно, единственное ли.
Сначала покажем, что ни при каком к задача не может
иметь более одного решения. Допустим, что существуют
две точки С и С, делящие отрезок АВ в одинаковом
12
отношении
AC _ АС'
~св сТТ 1
или, разбивая отрезки в числителях точкой В,
АВ + ВС АВ + ВС
СВ ~ СВ ’
ИВ . АВ ,
СВ 1 СВ
АВ _ АВ_
СВ ~ СВ~ ’
ВС = ВС',
откуда на основании (2.6) точка С' совпадает с С. Значит,
если при данном Л задача имеет решение, то это решение
единственное.
Вопрос о том, всегда ли задача имеет решение, удобнее
всего выяснить в процессе поиска решения.
Проведем через точки А и В две параллельные прямые
(рис. 8). На первой прямой нанесем равномерную шкалу,
принимая точку А за начало. На второй прямой отложим
одну единицу масштаба (т. е. BE = АТ) в противополож-
ном направлении. Теперь все готово для решения задачи.
Найдем на числовой оси точку М, соответствующую дан-
ному значению X, и соединим ее с Е. Точка пересечения
ME с АВ и есть искомая точка С.
В самом деле, треугольники АМС и ВЕС подобны.
Следовательно,
~АС _ AM
СВ ~ BE '
13
Внимание: в этой пропорции участвуют длины отрезков,
так как в элементарной геометрии, в частности, в теории
подобия треугольников рассматриваются отрезки без
знака. Учитывая, что BE — 1, запишем эту пропорцию
так:-
~ = |А].
СВ 1 1
Это рассуждение относится ко всем трем вариантам рис. 8.
АС
Теперь остается убедиться, что знак и знак X совпа-
дают. Ясно, что, если А > 0, то точка С окажется внутри
отрезка, а если А < О, то вне. Следовательно,
АС .
СВ
Это построение пе приведет к получению точки С толь-
ко в том случае, если прямые ME и АВ окажутся па-
раллельными, а это произойдет при А = —1. Значит, при
А = —1 либо данное построение не позволяет найти ре-
шение, либо решения нет. Легко убедиться, что решения
нет. В самом деле, что значит разделить отрезок АВ в от-
ношении А = — 1? Это значит найти точку С, которая:
1) одинаково удалена от точки А и 5 (потому, что I А | = 1);
2) лежит вне отрезка АВ (потому что А < 0). Такой
точки не существует, потому что всякая точка, лежащая
вне отрезка, ближе к одному из его концов, чем к другому.
Заметим, что при А = 0 точка С совпадает с А, а при
А = оо — с В.
Задача о делении отрезка в данном отношении имеет
решение, и притом единственное, при всяком А, кроме
—1. При А = —1 решения не существует.
Каждому значению А (кроме А = — 1) соответствует
определенная точка на прямой АВ, и обратно, каждой
точке на прямой АВ соответствует определенное значе-
ние А. Интересно изучить зто соответствие, т. е. предста-
вить наглядно, как распределены на прямой АВ различ-
ные значения А. Это можно сделать геометрически и ана-
литически.
Геометрический способ основан на построении рис. 8.
Проведем через точку Е много прямых и перенесем вдоль
каждой прямой пометку с прямой А1 на прямую АВ
(рис. 9). Вне отрезка со стороны начала располагаются
отрицательные значения, по абсолютной величине мень-
14
шие единицы, а со стороны конца — отрицательные зна-
чения, по абсолютной величине бблыние единицы.
Покажем теперь аналитический способ. Введем на
прямой АВ координаты. Точку А примем за начало, а
направление оси для определенности возьмем от А к В
(хотя это не обязательно). Тогда точка В будет иметь
Рис. 9.
координату а (а >• 0), где а — длина отрезка АВ. Возь-
мем теперь на оси любую точку С(х). Тогда
лс .
или по формуле (2.5)
х — 0 ,
откуда х = -г- . Таким образом, имеем две формулы,
1 -J- /V
выражающие X через х и х через Z:
1 + Х •
Беря на оси разные точки, можно по первой формуле оп-
ределять X. Обратно, задавшись значением X, можно по
второй формуле найти х и нанести точку на чертеж. На-
правление оси не влияет на результат.
15
5. Механическое истолкование задачи. Поместим в точ-
ки J п В массы mL и т2 соответственно и найдем центр,
тяжести этих двух материальных точек. Он лежит на от-
I езке АВ п делит этот отрезок па части, обратно пропор-
циональные прилежащим массам, т. е.
АС _ т,
С В т 1
(буквой С обозначен искомый центр тяжести). Значит,
задача «разделить отрезок АВ в отношении X = у» может
быть истолкована так: в точку А поместить массу 2, а в
точку В массу 3, тогда центр тяжести и есть искомая
точка.
Это истолкование имеет следующий недостаток: оно
годится только для X Д> 0. Чтобы приспособить его к слу-
чаю X <; 0, пришлось бы ввести отрицательные массы.
6. Инвариантность простого отношения относительно
параллельного проектирования. Слово «инвариантность»
обозначает неизменность. Заголовок этого пункта выража-
ет следующее свойство:
Если три точки прямой параллельно спроектировать
на другую прямую, то их простое отношение не изме-
нится.
Что значит «параллельно спроектировать» — ясно из
рис. 10. Через точки А, В, С проводятся параллельные
Рис. 10.
прямые а, Ь, с. Их точки пересечения А', В', С с прямой,
на которую проектируем, называются параллельными про-
екциями точек А, В, С.
Доказательство. По известной теореме о
пропорциональности отрезков, высекаемых параллельны-
ми прямыми на сторонах угла имеем
~УС' _ АС_
счз' ~ св ’
16
или иначе
I А'С I I AC I
I СВ' | | СВ I ’
Остается показать, что простые отношения '~_.г и dk имеют
одинаковые знаки. Но это ясно: если точка С лежит меж-
ду А и В, то и точка С лежит между А' и В' (рис. 10,а),
и оба отношения положительны.
Если же точка С лежит вне отрезка
АВ, то и точка С лежит вне отрезка
А'В' (рис. 10,6 и 10,е), и оба от-
ношения отрицательны. Таким обра-
зом, доказано, что
А'С _ АС
~с& ~ ~св ’
или
(А'В'С) = (АВС). (6.1)
На это свойство можно взглянуть Рис. 11.
с ивой точки зрения:
Три параллельные прямые а, Ъ, с высекают на любой
прямой (не параллельной им) одно и тоже простое отно-
шение.
Так, па рис. 11
(A.BiCJ = (А2В,С2) = (А3ВЯС3) = ...
Поскольку простое отношение не зависит от секущей
прямой, оно принадлежит самой тройке прямых а, Ь, с.
Это позволяет сделать новый шаг. До сих пор мы знали
лишь простое отношение трех точек прямой, а теперь
мы введем понятие о простом отношении трех параллель-
ных прямых.
Простым отношением упорядоченной тройки парал-
лельных прямых называется простое отношение трех то-
чек, высекаемых этими прямыми на любой секущей прямой.
7. Перестановка элементов в простом отношении. На
рис. 12 изображены три точки на прямой. Чему равно их
„ простое отношение? На этот вопрос
нельзя ответить, потому что эти точ-
Рис- 12- ки не упорядочены. Их можно упо-
рядочить по-разному. Поэтому
данной неупорядоченной тройке точек соответствует
несколько разных значений К. Сколько?
2 Н. М. Бескин
17
Три точки можно упорядочить шестью способами:
{АВС), {ВАС), {АСВ), {CAB), {ВСА), {СВА). Ориентиру-
ем как-нибудь прямую, на которой расположены точки,
и обозначим простое отношение {АВС) через X:
Х={АВС) = -^-. (7.1)
В дальнейших выкладках используются свойства на-
правленных отрезков (2.1) и (2.3). Каждый раз, когда
встретится отрезок АВ или ВА, мы будем разбивать его
точкой С.
Вычислим остальные пять простых отношений:
(ПАС\ ВС СВ
{ВАС) СА _АС .
Запомним: если поменять ролями начало и конец отрез-
ка, то простое отношение заменится на обратное.
Далее
(ЛС5) = -вс- - --са - - - ~св - 1 - - (1 + в).
Следующее простое отношение {САВ) незачем вычис-
лять таким способом, а можно применить только что сфор-
мулированное правило о перестановке начала и конца
отрезка
Далее
АС
ВА ВС+СА _-СВ — АС —СВ _
(ЛСЛ) = АС *= АС — АС — Ас —
СВ
1 +А,
“ X •
Опять переставляя начало и конец,
<СВ4> = -ТТТ-
Составим сводку полученных результатов. В этой свод-
ке нежелательно связывать точки с определенными бук-
вами, потому что в разных случаях нам могут встретиться
другие буквенные обозначения. Важны лишь места, за-
нимаемые элементами (может быть, и не точками, а пря-
18
мыми) в простом отношении. Поэтому заменим буквы
А, В, С номерами 1, 2, 3.
(123) = Л, <2‘3)-= 4, (312) = - (231) = - 1 1 > (7.2)
1 % 1+ х X
(132) = —(1 4-Ь), (321) = - X
1-Н J
Итак, одна и та же неупорядоченная тройка в зависи-
мости от способа упорядочения порождает несколько про-
стых отношений. Например, тройке, изображенной на
рис. 12, соответствуют следующие простые отношения*
9 1 Q 1 3 2
2 ’ 3 ’ 2И 3 ’
Сколько Hie различных простых отношений соответ-
ствуют неупорядоченной тройке? Как видно из сводки
(7.2), вообще говоря, шесть. Почему в этой формулировке
сказано «вообще говоря»? Потому что значения, приведен-
ные в таблице (7.2), не всегда различны. При особых
расположениях точек некоторые из них могут совпадать.
Найдем эти случаи. Это очень интересная задача. Сначала
кажется, что таких троек очень много, по затем выясняет-
ся, что только одна.
Чтобы решить поставленный вопрос, надо брать лю-
бые пары значений из таблицы (7.2), приравнивать их и
находить X. Однако заметим, что мы обозначили буквой
X не какое-нибудь определенное, а любое из шести отно-
шений*. Поэтому достаточно приравнивать X остальным
выражениям. Тем самым число вариантов сводится к пяти.
Договоримся заранее предполагать, что все три точки
различны. Вырожденные тройки (с совпавшими элемен-
тами) не представляют интереса: ясно, что если две точки
совпадают, то их перестановка не изменяет простого от-
ношения. Тем самым мы должны считать непригодными
значения X = 0 и X = сю.
Теперь рассмотрим пять вариантов:
1)Х = уД2 = 1Д = ±1. Поскольку значение X = — 1
невозможно, оставляем только решение Xj = 1.
2) X = — (1 4- X), откуда Х2 = —
3) А. = — ТТТ । + А. + 1 =0. Мнимые корни.
2*
19
4)А =— 1 . То же самое.
Л
%
5) А = — . Отбрасывая непригодное решение А = О,
1 “г Л
оставляем А3 = — 2.
Мы получили три значения: Ах = 1, Аа = — , А3 = — 2.
Вспомним теперь, что мы ищем неупорядоченную трой-
ку, которой соответствует не одно, а шесть значений А.
Исходя из каждого найденного значения А, восстановим
Три строки этой таблицы совпадают (с точностью до по-
рядка). Следовательно, найденные три значения А следует
рассматривать как одно решение. Они соответствуют
тройке точек, одна из которых есть середина отрезка меж-
ду двумя другими.
Неупорядоченной невырожденной тройке вообще говоря
соответствует шесть различных значений простого отно-
шения. Единственным исключением служит тройка, у ко-
торой средняя точка есть середина отрезка между край-
ними. Такой тройке соответствуют только три раз-
личных значения простого отношения.
Ясно, что в такой тройке перестановка крайних точек
незаметна и не может изменить значения простого отно-
шения.
8. Групповое свойство простого отношения. Понятие
группы — одно из основных понятий математики. О нем
нельзя говорить вскользь или скороговоркой. Поэтому
мы расскажем о групповом свойстве простого отношения,
не связывая его с общим понятием группы. Пусть читатель
этой книжки пока воспримет содержание этого пункта
изолированно, как любопытное свойство простого отно-
20
шения. Впоследствии, ознакомившись с теорией групп *),
читатель узнает, что это свойство связано с глубокими
идеями. Вот еще один пример углубления!
Групповое свойство простого отношения заключается
в следующем.
Если в любое из шести выражений
1 '
о, X, ~ = (1 4*
вместо X подставить любое из них, то в результате полу-
чится опять одно из них.
Можно взглянуть на это и с такой точки зрения. Все
а,- суть функции от X:
- ft (М (г =1, 2, ..., 6).
Подставляя вместо аргумента одну из этих функций, мы
получим выражение такого типа:
Л !/; (X)] (i = 1, 2, ..., 6;/=1,2,... ,6) (а)
(случай i ----- / не исключается). Оказывается, что функция
(а) - ио новая, а одна из тех же шести:
Л 1Л = А- (М- (8.2)
Таким образом, рассматриваемая операция (подстановка
вместо аргумента X одной из функций/, (X)) не дает ничего
нового, т. ё. не выводит нас из исходной шестерки функций.
Как это доказать? Можно перепробовать все 36 ком-
бинаций букв i, j в формуле (8.2). Пусть, например, I = 3,
7 = 6. Это значит, что мы исходим из
а3 — — (1 + X)
Л X
и вместо Л подставляем аб =-. • . :
1 + л
— (1 + «в) = — (1 — тут) = — -рух = «и
Значит,
______ /3 (Л (MJ = h
х) Это знакомство можно начать с книг: 1) П.С. Алек-
сандров, Введение в теорию групп, изд. 2-е, М., 1951.
2) И. Гроссман и В. Магнус, Группы и их графы, М.,
1971.
21
Однако такой способ доказательства не удовлетворит пыт-
ливого читателя. Если 36 проверок подтвердят наше пред-
положение, то нельзя думать, что налицо 36 случайных
совпадений. Должно быть, какое-то простое основание
этого факта. Сейчас мы его укажем, и это будет гораздо
убедительнее.
Мы обозначили буквой А любое из шести отношений
(АВС), (ВАС), ... В таблице (7.2) находим, например,
(123) = А, (213) = |.
Если отвлечься от обозначений, то это значит: замене зна-
чения простого отношения обратной величиной соответ-
ствует перестановка двух первых элементов. Это примени-
мо к любому из шести отношений (потому что безразлично;
какую из трех точек обозначить цифрой 1 и т. д.). Следо-
1 + A ,
вательно, если выражение--------;— заменить обратным
А
1 , 1 + А
это значит в -г- вместо А подставить------5—
Л Л
то полу-
чится простое отношение с переставленными двумя пер-
выми элементами, которое, разумеется, входит в таблицу
(7.2), что и требовалось доказать.
Вернемся еще раз к формуле (8.2). Мы обнаружили,
что при i = 3, 7 = 6 получается к = 4. Решим эту за-
дачу исчерпывающим образом, т. е. найдем к для любых
пар i, j. Сначала вспомним, что понимают в арифметике и в
алгебре под словом действие1). Пусть дано какое-
нибудь множество М. Действием называется закон или
операция, который любой упорядоченной паре элементов
(а, Ь) множества М ставит в соответствие единственный
элемент того же 2) множества.
П р и м е р 1. Пусть М — множество натуральных чи-
сел 1, 2, 3, ... Действие сложения каждой паре чисел
ставит в соответствие третье число — их сумму. Знак
действия часто ставится между компонентами: 2 3 = 5.
Пример 2. На том же множестве рассмотрим дей-
ствие умножения. Это — другое действие. Той же паре
(2, 3) оно ставит в соответствие не 5, а 6: 2-3 = 6.
х) Точнее «бинарная операция», т. е. действие над двумя ком-
понентами. Действие может быть и с одной компонентой, например
извлечение квадратного корня.
2) Это не обязательно, но мы ограничимся этим случаем.
22
Оба эти действия обладают свойством коммута-
тивности (а 4-6 = 64- а, а-Ь ~ b-а), и поэтому
упорядоченность пары компонент (а, 6) несущественна.
Если же рассмотреть действие аъ — с, то в нем компоненты
неравноправны.
Рассмотрим теперь множество М, элементами которого
служат функции (8.1). На этом множестве определим не-
которое действие, которое будем называть «умножением»
и обозначать знаком 0 (кавычки и кружок, чтобы не сме-
шивать с настоящим умножением).
«Умножить» аг на Uj значит подставить в at вместо
А. выражение aj. Символически
at 0 а, = ft [/Д)] = а*. (8.3)
Выше было показано, что /3 [/в (А,)] = /4 (А). Теперь это
можно сформулировать так: а., «умножить» на ав, полу-
чится ai или а3 0 аа = ei-
Пусть читатель найдет все 36 «произведений» atQaj.
В следующей таблице приведены ответы.
1-й сомно- житель 2-й сомножитель
«1 Й2 «3 а4 а5 ац
ai Й2 аз а4 ац
а2 Яз а\ а. аз as а$
аз а5 ai а-2 «4
а^, as #2 «о а} аз
«5 «3 «8 ai $4 аз
O.Q &4 (Д а2 аз aj
Таблицу (8.4) можно назвать таблицей «умножения» *).
Рассмотрим ее внимательно и сделаем некоторые наблю-
дения.
х) В теории групп принято название «квадрат Кэли».
23
1. «Умножение» не коммутативно. Например, имеем
о2 Q ая = а4, а а3 Q а2~ а5. Поэтому, когда мы говорим
«умножить» на я(, то должны добавлять: «справа» пли
«слева». Например, а2 «умножить справа» па я3 значит:
а2 0 а3 — at, а а2 «умножить слева» на а3 значит: а3 Q а2 =
= «5-
2. Относительно «умножения» элемент аА играет ту же
роль, что число 1 относительно обыкновенного умноже-
ния. Умножение любого числа на единицу не изменяет
этого числа:
а 1 = а.
Из таблицы (8.4) видно, что «умножение» (и справа и сле-
ва) любого элемента па аг не изменяет этого элемента:
а, О ai == Я1 О а> = ai (i = 1,2,. . ., 6).
Поэтому элемент аг называют «единицей».
3. «Умножение» обладает свойством а с с о ц и-
а т и в н о с т и:
(«I © «О О ai< = © (а30 а*)- (8.5)
Если, например, сначала перемножить а2 Q а3, а потом
домножить (справа) полученный результат на а4, то по-
лучится
(«2 О «з) О «4 = «4 О = «б-
Если же сначала перемножать а3 Q а4, то выйдет так:
а2 О («з О «4) = «2 О а« = а5.
Результат — одип и тот же. Можно таким способом про-
верить все комбинации и убедиться в справедливости за-
кона (8.5).
Закон ассоциативности делает излишним употребление
скобок при записи произведения трех и более элементов.
Можно писать
а, О ai О «ю
подразумевая под этим любую из частей равенства (8.5).
Можно определить «деление». Но довольно! Надо
остановиться. Пусть читатель подумает над этим сам.
Множество элементов, на котором определено одно
действие, обладающее некоторыми свойствами, которых
24
мы здесь не перечисляем, называется группой.
Элементы (8.1) с действием, определенным формулой
(8.3), образуют группу.
Мы заглянули в теорию групп через щелочку. Желаем
каждому читателю этой книжки впоследствии войти в нее
через широко открытую дверь.
9. Несобственные точки. В этом пункте мы расширим
понятие о точке, без чего дальнейшее продвижение было
бы неудобным. Неудобства, на которые мы могли бы на-
толкнуться, будут пока-
заны в п. 10.
Условимся приписы-
вать параллельным пря-
мым общую точку, на-
зываемую несобст-
венной *). Итак, отны-
не мы будем говорить,
что две параллельные
прямые пересекаются
в несобственной точке.
У читателя возникает т. ,Q
Рис. 13.
желание рассмотреть
эту точку так же,
как и всякую другую. Где она? Однако это не такая же
точка, как другие, а несобственная. Рассмотреть ее нагляд-
но можно, но не так, как собственные точки. Сейчас
мы попытаемся преодолеть естественное сопротивление
организма на введение новых понятий, не укладываю-
щихся в привычную наглядность.
Несобственная точка есть то общее, что принадлежит
параллельным прямым. Две параллельные прямые имеют
общее направление. Значит, введение несобственных точек
не есть радикальный переворот, а только скромное пере-
именование: термин «направление прямой» отныне заме-
няется новым «несобственная точка».
На рис. 13, а изображено множество прямых, прохо-
дящих через общую точку. Это множество называется
центральным пучком, а общая точка — цен-
тром пучка. Ясно, что задание центра вполне
определяет пучок, и обратно. На рис. 13, б изобра-
жен параллельный пучок, т. е. множество
*) Иногда ее называют бесконечно удаленной.
Это название хуже, так как нам никогда не придется иметь дело
с расстоянием до нее.
25
параллельных прямых, принадлежащих одной плоскости.
Если вместо точек понимать пучки, то различие между
собственными и несобственными точками частично сти-
рается:
собственная точка — это центральный пучок;
несобственная точка — это параллельный пучок.
Предостерегаем читателя от вопроса, где находится
несобственная точка — справа или слева. Это была бы по-
пытка подходить к новым понятиям при помощи старой
интуиции. Чтобы научиться обращаться с несобственными
точками, надо выработать новую интуицию. На каждой
прямой существует единственная несобственная точка,
и к ней неприменимы понятия «справа», «слева», «сверху»,
«снизу» и т. д. На рис. 14 показана прямая а и централь-
ный пучок S. Установим соответствие между точками
прямой и прямыми пучка: прямой т соответствует точка
М и обратно (см. рисунок). Можно ли сказать, что это со-
ответствие взаимно однозначно, т. е. каждой точке пря-
мой а соответствует одна прямая пучка S, и обратно,
каждой прямой пучка S соответствует одна точка пря-
мой а? До введения несобственных точек вторая часть
этого утверждения была неверна: в пучке S имеется одна
лишняя прямая а', параллельная а. Ей не соответствует
никакая точка прямой а. Однако после введения несоб-
ственных точек данное положение стало правильным. Те-
перь и прямой а' соответствует одна точка прямой а, а
именно несобственная. Она ни справа, ни слева. Если пря-
мая т будет поворачиваться вокруг точки S против ча-
совой стрелки, то точка М будет двигаться по прямой а
вправо, а если т будет поворачиваться по часовой стрелке,
то точка М будет двигаться влево. И в том и в другом
26
случае наступит момент, когда прямая т совпадет с а'.
В этот момент точка М станет несобственной.
Ясно, что в плоскости существует бесконечное множе-
ство несобственных точек. Обозначим это множество бук-
вой и. Условимся считать его прямой (несобственной).
Это вполне естественно по следующим двум причинам.
Во-первых, каждая собственная прямая имеет одну
несобственную точку, т. е. имеет одну общую точку с мно-
жеством и. Поэтому естественно считать, что и — пря-
мая.
Во-вторых, возьмем две параллельные плоскости а и а'
(рис. 15). Каждому параллельному пучку в плоскости
соответствует параллельный пучок
того же направления в плоскости а'.
Другими словами, каждая несобст-
венная точка плоскости а принад-
лежит также плоскости а' и обрат-
но. Значит, множество несобствен-
ных точек у параллельных плоско-
стей общее. Это еще один довод за
то, чтобы называть упомянутое мно-
жество прямой.
Итак, на плоскости существует рис 15
единственная несобственная прямая.
Всякая собственная прямая имеет
единственную несобственную точку, а несобственная пря-
мая состоит только из несобственных точек.
Если на некоторой прямой будут обнаружены две не-
собственные точки, то это — несобственная прямая.
Множество всех несобственных точек пространства на-
зывается несобственной плоскостью. Нам
не придется иметь с ней дело, так как эта книжка посвя-
щена геометрии на плоскости.
Мы расширили множество точек плоскости, введя но-
вые точки. Можно ли считать, что эти новые точки вошли
как равноправные со старыми, т. е. что они ничем не от-
личаются от собственных? Нет, нельзя. Несобственные
точки только в некоторых отношениях равноправны с соб-
ственными. Укажем точно, в каких именно.
В позиционных вопросах, т. е. в вопросах, касающих-
ся взаимной принадлежности точек и прямых, между
собственными и несобственными точками нет никакой раз-
ницы. В самом деле, все позиционные свойства (на пло-
скости) вытекают из двух аксиом.
27
1. Две различные точки определяют единственную пря-
мую (подразумевается: проходящую через них).
2. Две различные прямые определяют единственную
точку (подразумевается: принадлежащую им).
Первая аксиома иллюстрируется рис. 16. Каждая точ-
ка задается пучком. Провести прямую через две точки —
значит найти общую прямую двух пучков. На рис. 16, а
Рис. 16.
обе точки собственные. Это — «старый» случай, хорошо
знакомый. Па рис. 16, б одна точка собственная, а дру-
гая несобственная. Ясно, что и в этом случае они опре-
деляют единственную прямую. Па рис. 16, в обе точки
несобственные. И в этом случае существует единственная
прямая, содержащая их: несобственная.
Для проверки второй аксиомы рассмотрим три случая:
1) Две прямые — собственные непараллельные. Они
пересекаются в собственной точке.
2) Две прямые — собственные параллельные. Они
имеют одну общую точку: несобственную.
3) Одна прямая собственная, другая несобственная. Их
(единственной) общей точкой служит несобственная точка
первой прямой.
В метрических вопросах, т. е. в вопросах, связанных
с измерением отрезков и углов, несобственные точки нс-
28
равноправны с собственными. Нельзя говорить о расстоя-
нии между двумя несобственными точками (но можно го-
ворить об угле!). Из собственной точки на собственную
прямую можно опустить единственный перпендикуляр,
а из несобственной — либо ни одного, либо бесконечное
множество и т. д. и т. д.
Аксиома о параллельных также не распространяется
на случай, когда прямая или точка вне ее несобственные.
Теперь вернемся к теме этой книжки. Если две точки
А и В — собственные, a U — несобственная точка пря-
мой А В, то чему равно простое отношение (АВ£7)? Ра-
зумеется, это дело договоренности, но надо договориться
наиболее естественным способом.
Если все три точки собственные, то
-I / л АС АВ ВС АВ .
K = {ABc)=-^=—±----------= св~Ь
если точка С будет стремиться к U (это значит: неограни-
ченно удаляться по прямой), то 0. Поэтому, если
С совпадает с U, естественно приписать X предельное зна-
чение:
X = (ABU) = -1.
До сих пор значение X = —1 считалось невозможным.
Теперь оно как раз пригодилось для несобственной точки.
Отныне можно разделить отрезок А В в любом отношении.
Рассмотрим еще случаи, когда начало или конец от-
резка — несобственная точка. Если А U, то в выра-
жении X = числитель бесконечно возрастает, а зна-
С 1>
менатель постоянен, если же В -+ U, то наоборот. По-
этому естественно считать
(П£С)=оо,
(A U С) = О,
(AAZ7) = - 1.
(9.1)
Не все свойства простого отношения, о которой гово-
рилось выше, справедливы и для несобственных эле-
ментов.
10. Разделение точек на прямой. Прямая содержит
бесконечное множество точек. Мы добавили к ним еще од-
ну — несобственную. Неужели это столь важно?
29
О, да! Добавление несобственной точки существенно
меняет свойства прямой. В частности, понятие «между»
после введения несобственной точки теряет смысл.
До сих пор мы считали, что из трех точек прямой всег-
да две крайние, а одна промежуточная, т. е.
лежащая между крайними. Говорят также, что одна точка
разделяет две дру-
гие. Если в точке А на-
ходится волк, а в точке
В — овца (рис. 17), то
можно обеспечить безопас-
ность овцы, поставив в
точке С непреодолимую
преграду (предполагается, что вол it может передвигаться
только по прямой). В данном случае преграда разделяет
волка и овцу). Эти свойства прямой не имеют места на
окружности. Из трех точек окружности нет определенной
промежуточной точки. Если требуется разделить
волка и овцу, то одной преграды недостаточно. Преграда
в точке С (рис. 18) не помешает волку достичь овцы, дви-
гаясь по часовой стрелке. Нужны две преграды — в точ-
ках С ий, и тогда овца может быть спокойной.
Итак, на окружности одна точка не может разделять
пару точек, а две — могут. И еще: четверка точек на ок-
ружности единственным образом распадается на две вза-
имно разделяющиеся пары.
После введения несобственной точки эта разница меж-
ду прямой и окружностью исчезает. Отныне прямая стала
замкнутой линией.
30
На рис. 19 показано соответствие между точками ок-
ружности и точками прямой, называемое стереогра-
фической проекцией. Прямая касается окруж-
ности а' в точке О. Диаметрально противоположная точ-
ка U' служит центром проекций. Каждой точке М пря-
мой соответствует точка М' окружности, и обратно —
точке М' соответствует точка М. До введения несоб-
ственной точки это отображение не было взаимно одно-
значным: на окружности есть лишняя точка U'. Теперь
же точке V соответствует несобственная
точка U прямой а.
В центральном пучке прямых тоже
одна прямая не может разделять пару
других. Пусть а и & — две прямые
пучка (рис. 20). Какова бы ни была
третья прямая с, всегда можно враще-
нием совместить а с b так, чтобы в про-
цессе вращения а не проходила поло-
жение с. Однако две прямые могут
разделить а и Ъ. И еще: четверка пря-
мых центрального пучка единственным рис. 20.
образом распадается на две взаимно
разделяющиеся пары.
Рассмотрим еще раз рис. 14. Легко убедиться в спра-
ведливости следующего положения.
Пусть четверка точек прямой проектируется из не-
которого центра четверкой прямых. Тогда разделяющиеся
пары точек проектируются разделяющимися парами
прямых.
Таким образом, взаимная разделенность двух пар то-
чек сохраняется при центральном проектировании. Это
верно и при проектировании с одной прямой на другую.
Свойство же тройки точек прямой распадаться на пару
крайних точек и одну промежуточную (только на прямой
без несобственной точки!) сохраняется лишь при парал-
лельном проектировании (см. рис. И), а при центральном
нет. На рис. 21 мы видим три точки А, В, С непрямой а,
причем точка С лежит между А и В. Эти точки из центра
S спроектированы на прямую а', при этом точка С не
лежит между А' и В'.
Пусть читатель задержит внимание на рис. 21
и задумается над вопросом: служит ли отрезок А'В'
проекцией отрезка АВУ Этот вопрос неясен — ведь на
прямой а существуют два отрезка АВ — внутренний и
81
внешний, т. е. содержащий несобственную точку. Из
рис. 21 ясно, что всякая внутренняя точка отрезка АВ
(например, С) проектируется во внешнюю точку отрезка А'В'.
Если же мы спроектируем несобственную точку U прямой
(проектирующая прямая параллельна а), то получим точ-
ку U' внутри отрезка А'В'. Значит, внутренний отрезок
А'В' есть проекция внеш-
него отрезка АВ.
\/ Эти абстрактные рас-
/Дд' суждения имеют практи-
ческое значение для вол-
------------ ка А (рис. 17). После вве-
X. \ * ’ дения несобственной точки
—т----- преграда С не помешает
Хч \ ему добраться до овцы в
х\й' точке В, только ему при-
Д\ дется двигаться через пе-
’, собственную точку. Вооб-
а разим, что все три точки
Рис. 21. проектируются из точки S
(рис. 22). Прямая а вра-
щается около точки S по часовой стрелке. Волк должен
бежать влево так, чтобы в каждый данный момент нахо-
диться в точке пересечения прямой а с т. Когда а станет
параллельна т, волк окажется в несобственной точке.
При дальнейшем вращении прямой а волк появится
справа п доберется до овцы.
Правда, волк должен быть отличным бегуном. Если
прямая а вращается вокруг 5 равномерно, то при прибли-
жении а к положению, параллельному т, скорость волка
должна бесконечно возрастать. Это не должно нас удив-
лять. Скорость — метрическое понятие, связанное с из-
мерением расстояний, а читатель был предупрежден, что
32
по отношению к несобственным точкам не следует ставить
метрических задач.
11. Теорема Чевы. Медианы треугольника проходят
через одну точку. Эта теорема необратима: из того, что
прямые AL, ВМ и CN проходят через одну точку (рис. 23),
не следует, что они медианы. Необратимость теоремы
означает, что в ее условии содержатся лишние требования*
чтобы сделать заключение, что прямые AL, ВМ и СУ
проходят через'одну точку, не обязательно требовать, что-
бы они были медианами (или высотами, или биссектрисами)
а можно ограничиться более слабым требованием. Интерес-
но найти минимальное ус-
ловие, т. е. такое, при не- V/
соблюдении которого пря- Вр
мые AL, ВМ и CN не мо- / \\
гут иметь общей точки. \\
Тогда теорема будет обра- \ \
тима. Это условие будет \ л
достаточно и необходимо. /
Это минимальное уело- /
вие нашел итальянский
математик Джованни Чева "\ \
(1648—1734). Прежде, чем Рис 23
его сформулировать, уточ-
ним некоторые термины.
Под «стороной треугольника» мы будем понимать не
отрезок, а всю бесконечную прямую. Пусть дан треуголь-
ник АВС. Возьмем на каждой стороне по одной точке
(не совпадающей ни с какой вершиной):
на стороне АВ возьмем точку N,
на стороне ВС возьмем точку L,
на стороне С А возьмем точку М.
Чтобы указать отношения, в которых эти точки делят
стороны треугольника, надо упорядочить его вершины.
Условимся обходить треугольник в любом из двух на-
правлений: либо АВС, либо АСВ. В первом случае пары
вершин будут упорядочены так:
А В, ВС, С А,
а во втором случае все наоборот:
В А, АС, СВ.
33
Выберем для определенности первую ориентацию и обоз-
начим
X = (ВСЕ),
Н = (САМ),
v = (ABN).
(11.1)
Теорема Чевы гласит:
Если прямые AL, ВМ и CN проходят через одну точку,
то Xjrv = 1.
Примечание. Точки А, В, С собственные,
a L, М, N и О любые.
Доказательство. Предположим сначала, что
все семь точек собственные. Точка О может лежать и
внутри треугольника и вне. Для наглядности даем два
чертежа рис. 24, а и б. Нижеследующее рассуждение от-
носится к любому из них.
Через С проводим прямую с' || АВ. Обозначим А' и
В’ точки пересечения соответственно AL и ВМ с с'. В даль-
нейшем мы пользуемся пропорциями, вытекающими из
подобия треугольников, и, следовательно, рассматриваем
все отрезки и их отношения как положительные.
Из подобия треугольников О А'С и О AN имеем
AN ON
СА7 ~~ ОС
Из подобия треугольников OB'С и OBN получаем
34
Приравниваем левые части:
AN _ NB
C/С ~'СВГ ’
или, переставляя члены пропорции,
~AN _ СА'
NB ~~ СВ" ‘
Из подобия треугольников ABL и A'CL имеем
Hl _ ~ав
"LC СА''
Из подобия треугольников АВМ и СВ'М получаем
СМ _ ТУС
МА ~ АВ’
Перемножая (а), (б) и (в), получим
an Hl cm .
__" • - _• -=^ = 1.
NB LC MA
Остается выяснить, что произойдет, если в левой ча-
сти (г) ввести отношения (11.1) со знаком. Если точка О
лежит внутри треугольника, как
на рис. 24, а, то каждая из точек
L,M и TV лежит между двумя вер-
шинами треугольника, и, следова-
тельно, все три отношения (11.1)
положительны. Значит, в этом
случае вместо (г) можно написать
AN BL CM
NB ' LC ' MA ~
Рис. 25.
1. (11.2)
Если точка О находится вне треугольника (но не па сто-
роне), то она лежит либо внутри угла треугольника (об-
ласти 1, 2, 3 на рис. 25), либо внутри вертикального угла
(области 4, 5, 6 на рис. 25). Пусть, например, точка О ле-
жит внутри угла А или вертикального ему угла. В таком
случае прямая АО пересечет сторону ВС в точке L, ле-
жащей между В и С, а прямые ВО и СО пересекут стороны
СА и АВ вне отрезков СА и АВ. Таким образом, если
35
точка О лежит вне треугольника АВС, то среди отноше-
ний (11.1) будет одно положительное и два отрицатель-
ных. Значит, произведение %p.v в любом случае положи-
тельно, и соотношение (11.2) доказано.
Пусть теперь одна из делящих точек, например L,—
несобственная, т. е. AL || ВС (рис. 26). Из подобия тре-
угольников AON и BCN следует
NB ~ ВС
Из подобия треугольников ОМА
и ВМС следует
МА _ ОА
СМ ~~ ВС ’
Приравниваем левые части:
AZV _ МА
NB ~ СМ
Поскольку точка О должна лежать на прямой AL, парал-
лельной ВС, она находится в области, заштрихованной
на рис. 27. Легко убедиться, что в таком случае либо точ-
ка N лежит между А и В, а точка М — вне отрезка АС,
. - AN МА
либо наоборот, т. е. отношения и имеют разные
знаки. Поэтому (д) можно перепи-
сать та, к:
AN МА
NB ~ СМ ’
иначе
AN 1
NB — CM *
МА
т.е.
Рис. 27.
Значит, p,v = —1. Точна L — несобственная, т. е. А = —1.
Таким образом,
Ap,v — 1.
Рассмотрим далее случай, когда две делящие точки,
например L и М, несобственные. Тогда фигура АСВО —
36
параллелограмм (рис. 28), и точка-есть середина сто-
роны АВ. В этом случае X == —1 р = —1, v = 1 и, сле-
довательно, /.pv = 1.
Все три точки L, М, N не могут быть несобственными
(если дано, что прямые AL, ВМ и CN имеют общую точку).
Возможен еще случай, когда точка О несобственная,
т. е. прямые AL, ВМ и CN параллельны (рис. 29). Легко
убедиться, что в этом случае одно отношение положительно,
а два отрицательны. На рис. 29 "к < 0, р -С 0, v 0.
Обозначим отрезки AN и NB соответственно а и [3. Тогда
AN а
V N1T = •
„ BL и + 3
Л = -^-=-----~,
, п см з
МА ~ ~ а + 3’
Перемножая, находим
Zpv — 1.
Теперь теорема Чевы доказана полностью.
Обратная теорема. Если на каждой стороне
треугольника взять одну точку (не совпадающую с верши-
ной) так, что произведение отношений, в которых эти
точки делят стороны, равно единице, то прямые, соеди-
няющие вершины треугольника с точками, взятыми на
противоположных сторонах, проходят через одну точку.
Короче: если Xpv = 1, то AL, ВМ и CN проходят
через одну точку.
37
Доказательство. Допустим, что прямые AL,
ВМ и CN не проходят через одну точку (рис. 30). Обоз-
начим буквой О точку пересечения AL и ВМ, проведем
прямую СО и обозначим через N' точку пересечения СО
с АВ. Обозначим простое
отношение (Л-ВЛ^через v'.
sXZZ Имеем:
ууК Zpv = 1 (по условию),
— 1 (по теореме Чевы).
/ \ Отсюда v = v'. Это проти-
J воречит предположению, что
in N\^x точки N и N' различны.
Теорема доказана.
Рис. 30. В дальнейшем мы будем
называть теоремой Чевы лю-
бую из этих двух теорем. Их можно объединить в следую-
щей формулировке.
Для того чтобы прямые AL, ВМ и CN проходили
через одну точку, необходимо и достаточно условие
Zpv = 1.
Если бы мы не ввели несобственных точек, то обе
теоремы не были бы столь простыми. Первую из них
пришлось бы формулировать так. Если прямые AL,
ВМ и CN проходят через одну точку, то возможны три
случая:
либо произведение трех отношений X, р, v равно еди-
нице,
либо одна прямая параллельна противоположной сто-
роне J), а две другие высекают на противоположных сто-
ронах отношения, произведение которых равно минус
единице,
либо две прямые параллельны противоположным сто-
ронам, а третья делит противоположную сторону (отре-
зок) пополам.
Случай, изображенный на рис. 29, невозможен, раз
дано, что прямые проходят через одну точку.
Вторая теорема формулировалась бы так. Если
Zp.v = 1, то прямые AL, ВМ и CN либо проходят через
*) Если AL\\BC, то AL есть обозначение прямой, а точки L
в этом случае не существует.
38
одну точку, либо параллельны. Случаи типа AL || ВС
исключаются, раз дано существование точек L, М, N.
Введение несобственных точек позволяет объединить
эти разнообразные (казалось бы!) случаи в единой форму-
лировке. Стремление к объединению случаев, единых
по форме (хотя и различных по содержанию) — харак-
терная черта математики. Математик должен уметь заме-
чать это единство.
Известные из школьного курса теоремы о пересечении
медиан, биссектрис и высот суть частные случаи второй
теоремы. Покажем это.
Если AL, ВМ и CN — медианы, то Л. — ц = v = 1.
Следовательно, Zp.v = 1.
Если AL, ВМ и CN—биссектрисы, то Л = р —
v =. Следовательно, лр-v = 1.
Если Л Л, ВМ и CN — высоты, то Л — , р = ,
’ tgB’ r tgC ’
v = . Следовательно, A.p,v=l. Эта теорема имеет один
особый случай: когда треугольник АВС прямоугольный.
В этом случае теорема Чевы неприменима, так как она
требует, чтобы точки L, М и N не совпадали с вершина-
ми. Разумеется, теорема о том, что высоты треугольника
проходят через одну точку, верна и в этом случае, но при
ссылке на теорему Чевы случай прямоугольного тре-
угольника должен быть рассмотрен отдельно.
Историческое замечание. Автор этой теоремы
Джованни Чева пришел к ней из механических соображе-
ний. Пусть в вершинах А, В, С помещены массы соответст-
венно т2, ms. Пусть L, M,N—соответственно центры
тяжести пар (m2, m8), (m3, mx), (тх, т2). Центр тяжести
двух материальных точек находится на отрезке между
этими точками и делит его в отношении, обратном отно-
шению масс, т. е.
Г _ ТУ /~1 л JJ J-i гТ1§
L делит отрезок ВС в отношении л = -г ,
я /г S~t А С Л/ Ш'Х
М делит отрезок С А в отношении ц = ,
лт л п AN m>
JN делит отрезок АВ в отношении v = в .
(И.З)
Ясно, что /»p.v = 1.
39
Из статики известно, что центр тяжести трех точек
Лежит на отрезке, соединяющем одну из этих точек с цен-
тром тяжести двух других1). Следовательно, центр тяже-
сти трех масс пг1, т2, ms принадлежит каждому из отрез-
ков AL, ВМ, CN, т. е. эти три отрезка имеют общую
точку.
Легко доказать, что если Хцу = 1, то можно подобрать
массы т1, т2, т3, удовлетворяющие условиям (11.3).
Используя понятие о центре тяжести, можно добыть
много интересного в геометрии2). Этот метод можно рас-
пространить и на отрицательные значения X, ц, v.
12. Теорема Менелая 3). При сохранении прежних
обозначений имеют место следующие две теоремы.
1. Если точки L, М и N лежат на одной прямой, то
Ziiv = —1.
2. Если Zp.v = —1, то точки L, М и N лежат на одной
прямой.
Напомним, что вершины треугольника АВС всегда
предполагаются собственными, а точки L, М и N — лю-
быми.
Прямая, пересекающая стороны треугольника, назы-
вается (по отношению к этому треугольнику) транс-
версалью. Трансверсаль, если она не проходит ни
через одну из вершин треугольника, либо пересекает две
*) Это относится к любому множеству материальных точек,
разбитому на два подмножества.
2) См. М. Б. Бал к, Геометрические приложения понятия
о центре тяжести, М., 1959. («Библиотека математического круж-
ка», вып. 9.)
3) Греческий геометр конца I века нашей эры.
40
стороны внутри, а одну вне (рис. 31, а), либо все три вне
(рис. 31, б). Точки пересечения трансверсали со сторонами
ВС, С А и АВ обозначены соответственно L, М и N..
Докажем первую теорему. Проведем через вершины
треугольника прямые, параллельные трансверсали (на
рис. 31 проведена лишь одна из них — ВМ'}. Если трансвер-
саль не параллельна ка-
кой-нибудь стороне тре-
угольника, то это — три
различные прямые. Будем
все интересующие нас от-
ношения заменять отно-
шениями отрезков па ка-
кой-нибудь одной стороне
треугольника, например
на С А. Обозначив через М'
точку пересечения парал-
лели, проходящей через В, со стороной С А, имеем (вни-
мание: все пропорции — с учетом знаков)
BL _ М'М
' L.C “ МС '
AN _ AM
NB ~ ММ' ’
Вычисляем произведение Xpv, используя
. _ , BL CM AN М'М-CM-AM М'М
AJAV — LC ' МА' NB ~ МС-МА-ММ' ~ ММ’’
(а)
(а)
CM AM
МС' МА~~
= (-1)-(-1).(-1)= -1.
Если трансверсаль параллельна одной из сторон
(рис. 32), то дело обстоит еще проще:
AN AM МА 1
NB “ МС ~~ СМ ~ СМ »
МА
I
т. е. v = — ,или pv = 1. Точка L в этом случае
р
несобственная, т. е. X = — 1. Следовательно, =—1.
Наконец, остается рассмотреть случай, когда транс-
версаль — несобственная прямая. В этом случае все
три точки L, М, N — несобственные, % = р = v = —1
и Xpv = —1. Первая теорема доказана полностью.
41
Докажем вторую теорему. Дано, что Xpv = —1. До-
пустим, что точки L, М и N не лежат на одной прямой.
Примем прямую LM за трансверсаль и обозначим через N'
точку пересечения LM с АВ и через v' простое отноше-
ние (ABN'). Имеем
Apv = —1 (по условию),
Zpv' = —1 (по предыдущей теореме).
Отсюда v = v'. Это противоречит предположению, что
точки N и N' различны. Теорема доказана.
Глава II
СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ
13. Понятие о сложном отношении. Возьмем на пря-
мой отрезок АВ и две делящие точки С и D (они должны
быть упорядочены: например, С считается первой, a D —
второй). Тогда возникает два простых отношения:
точка С делит отрезок АВ в отношении X = (АВС),
точка D делит отрезок АВ в отношении р. = (ABD).
Отношение зтих двух отношений называется сложным
отношением четырех точек и обозначается симво-
лом (ABCD):
w = = (13Л)
Расшифровывая смысл простого отношения, можно
получить непосредственное определение сложного отно-
шения:
/л)лп. AC AD АС-DB /ло
w - (ABCD) - - CBiAD, (13.2)
или, обозначая точки цифрами,
(1234) — 22-. ^2 3244 (13.3)
(разумеется, «13» обозначает направленный отрезок от
точки 1 до точки 3 при каком-нибудь выборе направления
на прямой).
Подчеркнем, что в символе (ABCD) каждая точка
играет особую роль:
А — начало отрезка,
В — конец отрезка,
С — первая делящая точка,
D — вторая делящая точка.
43
Их целесообразно объединять в нары, как показано фи-
гурными скобками. В п. 15 выяснится, что эти пары рав-
ноправны, т. е. можно считать С и В началом и концом
отрезка, а А и В — первой и второй делящими .точками.
/I С
б)
Рис.
Почти всегда мы будем предполагать, что все четыре
точки различны. Делящие точки могут быть расположены
относительно отрезка АВ четырьмя способами (рис. 33):
а) обе внутри,
б) обе вне,
в) первая внутри, вторая вне,
г) первая вне, вторая внутри.
Исследуем знак сложного отношения в этих случаях:
а) А ф> О, р. О 0; w ф> 0,
б) А 0, р <ф0; w )> 0,
в) А О 0, р. <( 0; w <ф 0,
г) А 0, р. О 0; w <ф 0.
Итак, сложное отношение положительно, если обе де-
лящие точки расположены «одинаково» относительно от-
резка, и отрицательно, если они расположены различно;
как было объяснено в п. 10, это можно сформулировать
так:
Если пары не разделяют одна другую, то сложное от-
ношение положительно, а если разделяют, то отрица-
тельно.
Интересно выяснить, чему равно сложное отношение,
если какие-нибудь две точки совпадают. Ограничимся слу-
чаями, когда четвертая точка совпадает с одной из трех
других. Заменяя в формуле (13.2) букву D поочередно
буквами А, В и С, найдем
(АВС А) = оо ,
(А ВС В) = 0,
(АВСС) = 1.
(13.4)
44
14. Инвариантность сложного отношения относитель-
но центрального проектирования. Центральное проекти-
рование отличается от параллельного (рис. 10 на стр. 16)
тем, что проектирующие прямые не параллельны, а про-
ходят через одну точку (собственную), называемую цен-
тром проекций. При па-
раллельном проектировании с
одной прямой на другую длины
отрезков изменяются, но их отно-
шение инвариантно. При цент-
ральном проектировании изменя-
ются не только длины, но и отно-
шения. Например, на рис. 34 точ-
ка С есть середина отрезка АВ,
а С — не середина отрезка А 'В'.
Может изменяться даже знак от-
ношения. Например {АВС) 0
(см. рис. 21), а при проектирова- Рис. 34.
нии из S на прямую а' получает-
ся {А'В'С) 0. Несмотря на это, отношение двух от-
Рис. 35.
ношений инвариантно.
Если четыре точки прямой спроектировать на другую
прямую, то их сложное отношение не изменится1).
Не подумайте, что
здесь опечатка: пропу-
щено слово «централь-
но». Эта теорема спра-
ведлива для любого
проектирования — и
центрального и парал-
лельного. Для парал-
лельного проектирова-
ния она тривиальна: раз
инвариантны отдель-
ные простые отношения,
то инвариантно и их
отношение.
') По-немецки werfen—бросать, der Wurf—бросок. Немец-
кий геометр К. Г. X. Штаудт (1798—1867) называл этим словом
сложное отношение на том основании, что оно не изменяется при
«перебрасывании» четверки точек с одной прямой на другую. По-
этому сложное отношение часто обозначают буквой w. Термин
«вурф» (вместо «сложное отношение») употребляется и в русском
языке в научной литературе по геометрии.
45
Доказательство. Через две соответственные
точки, например В и В', проведем прямые, параллельные
какой-нибудь проектирующей прямой, например SA,
и отметим точки пересечения этих прямых с двумя осталь-
ными проектирующими прямыми (рис. 35). Имеем;
AC = SA
св ~ сТв'
AD SA
РВ ~~ ThB ’
~АС , АР = АВ , .
СВ * DB СР ’ W
Аналогично получается
АС' . АР' _ D[B'
СР' ’ РР'
Правые части (а) и (б) равны между собой (в силу подо-
бия треугольников SBDr и SB’D^). Следовательно, рав-
ны и левые части
~АС . АР _ ~АС’ . АР’
СВ ‘ РВ ~ СР’ ' РР'
Учитывая, что оба сложных отношения имеют одина-
ковые знаки, можно написать
АС АР _ АС . АР'
СВ РВ~ СВ’ ' D’B' ’
или
{ABCD) = {A’B'C'D'), (14.1)
что и требовалось доказать.
На это свойство можно взглянуть с иной точки зрения:
Четыре прямые а, Ъ, с, d центрального пучка высекают
на любой прямой {не проходящей через центр пучка) одно
и то же сложное отношение.
Поскольку сложное отношение не зависит от секущей
прямой, оно принадлежит самой четверке прямых а, Ъ, с, d.
Это позволяет ввести понятие о сложном отношении четы-
рех прямых центрального пучка.
Сложным отношением упорядоченной четверки пря-
мых центрального пучка называется сложное отношение
46
четырех точек, высекаемых этими прямыми на любой
секущей прямой (разумеется, не проходящей через центр
пучка).
Сложное отношение четырех прямых обозначается
символом {abed).
Сложное отношение четырех прямых может быть вы-
ражено через углы, образованные этими прямыми, т. е.
без использования какой-нибудь секущей. Предлагаем
читателю доказать следующую формулу:
(abed} - sin <а’ с) • sin <а’ d> (14 2)
(аосй) sin(c, &) ’ sin(d, 6) '
В этой книжке она не будет использоваться.
15. Перестановка элементов в сложном отношении.
Изучая в п. 7 перестановки элементов простого отно-
шения, мы непосредственно нашли значения простого от-
ношения для всех шести способов, которыми можно упо-
рядочить три элемента. Для четырех элементов таких
способов существует 24, и находить для каждого значение
сложного отношения было бы утомительно. Поэтому мы
докажем четыре общих правила. Напомним, что четверка
точек ABCD состоит их двух пар: АВ и СВ.
Пр а в и л о 1. Сложное отношение не изменяется при
перестановке пар между собой-
В самом деле, по формуле (13.3)
CA-BD
AD-CB
По формуле (13.2) видно, что это совпадает с {ABCD):
{CD АВ) = [ABCD).
Правило 2. Сложное отношение не изменяется при
одновременной перестановке элементов в каждой паре.
По формуле (13.3)
(BADC) = ^£^{ABCD).
Ясно, что сложное отношение не изменится, если про-
извести последовательно обе перестановки. Порядок,
в котором они производятся, оказывается, безразличен:
и в том и в другом случае мы, отправляясь от {ABCD),
придем к {DCBA) (элементы записаны в обратном по-
рядке) ;
{DCBA) = {ABCD).
47
Итак
w = (ABCD) = (CD АВ) = (BADC) = (DCBA). (15.1)
Правила 1 и 2 вынуждают нас изменить названия ролей
элементов, введенные в и. 12. Нельзя различать «начало
и конец отрезка» и «делящие точки», поскольку эти пары
равноправны. Отныне мы будем говорить, что сложное
отношение (ABCD) образовано двумя парами АВ и CD,
не приписывая им различных названий. Эти пары, со-
гласно правилу 2, следует считать неупорядоченными.
Порядок элементов в каждой паре безразличен, но сущ хтву-
ет соответствие между элементами этих пар: в слож-
ном отношении (А В CD) элементу А первой пары соответ-
ствует элемент С второй пары, а элементу В соответствует
элемент D. Это значит, что если первая пара берется в по-
рядке АВ, то вторая должна быть CD, а если первая В А,
то вторая DC.
Правило 3. При перестановке элементов только
в одной паре
обратное.
В самом
значение сложного отношения заменяется на
деле:
/плгчх. ВС-РА ______ 1
(В A CD) - CA_BD - w
Используя формулы (15.1), можно записать
А = (BACD) = (CDBA) = (ABDC) = (DC АВ).
Правило 4. При перестановке несоответственных
элементов из разных пар значение сложного отношения
заменяется его дополнение^ до единицы.
В сложном отношении (ABCD) переставим элементы
В и С;

При сравнении этого выражения с (13.2) мы обнару-
живаем в числителе отрезки, которых в (13.2) нет. Для
преодоления этого затруднения разобьем отрезок АВ точ-
кой С, а отрезок DC — точкой В:
— (АС А-С В) (РВА-ВС) _
(ACPU) СВ-АР
_ АС-РВ + АС-ВС + СВ-РВ 4- СВ-ВС
СВ-АР
48
Во втором члене числителя переставим буквы в обоз-
начениях обоих отрезков, поел е чего вынесем за скобку
СВ из последних трех членов:
AC-DB + CB(DB + BC + CA)
\ACL>U) СВ-AD ~~
AC-DB + CB-DA AC-DB , . .
— СВ-AD ' ' ~ У W'
Из четырех элементов можно образовать 24 переста-
новки. Наши четыре правила позволяют без дальнейших
выкладок определить значения соответствующих слож-
ных отношений:
1 - w = (ACBD) = (BDAC) = (CADB) = (DBCA).
Применим правило 3:
= (С ABD) = (BDCA) = (ACDB) = (DBAC).
Применим правило 4 к —:
= (BCAD) = (ADBC) = (CBDA) = (DACB).
К последним сложным отношениям • применим пра-
вило 3:
= (CBAD) = (ADCB) = (BCDA) = (DABC).
Мы исчерпали все 24 перестановки из четырех элемен-
тов. Дадим сводку полученных результатов, заменяя бук-
венные обозначения элементов цифровыми:
w = (1234) = (3412) = (2143) = (4321), '
Л. = (2134) = (3421) = (1243) = (4312),
1 - w = (1324) = (2413) = (3142) = (4231),
= (3124) = (2431) = (1342) = (4213), (15.2)
“Lzl. = (2314) = (1423) = (3241) = (4132),
г = (3214) = (1432) == (2341) = (4123).
49
Обратим внимание на одно существенное отличие этого
результата от результата и. 7 см. таблицу (7.2). Из трех
точек прямой можно образовать шесть перестановок, и
всем им, вообще говоря, соответствуют различные простые
отношения. Из четырех точек прямой можно образовать
24 перестановки, но им, вообще говоря, соответствует
только шесть различных сложных отношений 1). Множе-
ство перестановок распадается на шесть четверок с рав-
ными сложными отношениями.
16. Гармонические четверки. Существуют ли особые
расположения четырех точек на прямой, которым соот-
ветствует меньше шести значений сложного отношения?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти значения w,
при которых некоторые левые части формул (15.2) сов-
падают.
Замечание 1. Достаточно приравнивать одну из
левых частей, например и>, всем остальным. Причина
этого — та же, что и в п. 7.
Замечание 2. Мы ищем четверку точек, не фик-
сируя их ролей (т. е. все точки равноправны и могут быть
не обозначены ни буквами, ни цифрами и никаким дру-
гим способом). Такая четверка характеризуется не одним
значением сложного отношения, а шестеркой значений.
Замечание 3. Мы предполагаем, что все четыре
точки различны, т. е. мы ищем настоящую четверку,
а не тройку. При совпадении двух точек задача триви-
альна, так как заранее ясно, что перестановка совпав-
ших точек ничего не меняет.
Приступим к выполнению намеченного плана.
1) w = —, w2 = 1, w = -4- 1.
Значение ш — 1 отбрасываем, потому что оно соответ-
ствует вырожденной четверке (см. формулы (13.4)), Удер-
живаем значение wr = —1.
2) w = 1 — w, w2 = .
3) w = , w2 — w + 1 = 0. Мнимые корни.
4) w = -—- , w2 — w -4- 1 = 0. То же самое.
!) А при некотором особом расположении точек — еще мень-
ше (см. п. 16).
50
5) w — • Значение w — 0 соответствует вырожден-
ной четверке. Удерживаем значение ws — 2.
Для каждого из найденных значений w составляем
шестерку соответствующих значений:
6У 1 6У 1 — W 1 1 —- 6У 1 6У —• 1
-1 -1 2 1 2 2 2 2
сс! Нь 2 1 2 2 —1 -1
2 1 2 —1 —1 1 2 2
Все строки содержат одни и те же числа. Значит, най-
денные три значения w следует рассматривать как одно
решение: они соответствуют одной и той же четверке то-
чек, по-разному упорядоченной. Такая четверка назы-
вается гармонической (ниже мы сформулируем
определение гармонической четверки более непосред-
ственно).
Как выглядит гармоническая четверка? Любую чет-
верку точек ABCD на прямой можно разбить на две пары
тремя способами: 1) АВ и CD, 2) АС и BD, 3) AD и ВС.
При любом расположении точек один из способов дает
разделенные пары, а два других — неразделенные х).
Разобьем гармоническую четверку на две разделенные
пары. Такому разбиению соответствует значение w — —1.
Вспомним, что w = Значит, % = —ц. Теперь ясно, как
Г
изобразить гармоническую четверку. Возьмем какой-
нибудь отрезок АВ и внутри него точку С, делящую его
в каком-нибудь отношении л, а вне его — точку D, деля-
щую его В ТАКОМ ЖЕ (по абсолютной величине) отно-
шении.
Пример. На рис. 36 (для удобства показан масштаб)
точка С делит отрезок АВ в отношении Z = 3, а точка
*) Вот алгебраический эквивалент этого утверждения: из
1 1 и> — 1 w
шести чисел w, , 1 — w, ।, ——— , —- четыре по-
ложительных и два отрицательных.
51
D делит тот же отрезок в отношении р, = —3. Четверка
ABCD на рис. 36 гармоническая.
Укажем несколько свойств гармонических четверок.
Обоснование этих свойств предоставляем читателю.
1. В гармонической чет-
j ! \ z z ? верке, как и во всякой дру-
гой, пары равноправны. Это
Рис’ 36, значит, что можно принять
за концы отрезка С и О, тогда
точки А и В делят его внутренним и внешним образом в
одном и том же (по абсолютной величине) отношении.
Например, на рис. 36:
точка А делит отрезок CD в отношении 7.г =---
точка В делит отрезок CD в отношении .
Однако гармоническая четверка отличается от всякой
другой тем, что в ней нет соответствия между точками
одной и другой пары, т. е. нельзя считать, что точке А
соответствует С. В самом деле, при перестановке элемен-
тов в одной паре сложное отношение w = — 1 заменится
обратным, т. е. не изменится. Например, на рис. 36;
точка С делит отрезок В А в отношении 7.3 = 5- ,
О
л
точка D делит отрезок В А в отношении р3 = — -5-.
О
Гармоническая четверка состоит их двух разделенных
пар. Каждая пара неупорядоченная. Пары равноправны.
Точки одной пары называются
гармонически сопряженными “ П А С В
относительно другой пары. —°— -о—° ---
2. Для наглядности: если Рис- 37.
С — внутри отрезка, очень
близко к Л, той — вне, тоже очень близко к А. Если С
движется направо, то D сначала движется налево
(рис. 37). Когда С окажется в середине, то D — несоб-
ственная (7. = 1, р = —1). К этому стоит отнестись осо-
бенно внимательно:
Середине отрезка гармонически сопряжена несобствен-
ная точка.
Когда С окажется правее середины, то D появится
с правой стороны и будет двигаться навстречу С. Точки
С и D будут с разных сторон подходить к точке В.
52
Покажем еще, как выглядят гармонические четверки
прямых. Чтобы получить гармоническую четверку пря-
мых, надо спроектировать из какой-нибудь точки S гар-
моническую четверку точек. Возьмем любой треугольник
ABS (рис. 38) и на его основании АВ отметим гармони-
ческую четверку: 1) вер-
шины А и В, 2) середи-
ну стороны С и несоб-
ственную точку/). Про-
ектируя эту четверку из
вершины S, мы придем
к следующему заклю-
чению.
В каждой вершине
треугольника имеется
следующая гармониче-
ская четверка'. 1) две
стороны треугольника, 2) медиана и прямая, параллель-
ная основанию.
Это положение позволяет легко начертить гармони-
ческую четверку прямых. Пересекая ее различными пря-
мыми, можно получить разнообразные гармонические
четверки точек: см., напри-
j мер, четверку А'В'CD' на
I рис. 38.
•----------------------- Можно указать еще один
I простой способ получения
I гармонических четверок пря-
мых:
Рис. 39. Две пересекающиеся пря-
мые и две их биссектрисы об-
разуют гармоническую четверку (рис. 39).
17. Построение четвертой точки по сложному отноше-
нию. В п. 4 решалась задача: даны две точки А, В ти дано
простое отношение X = (АВС), найти третью точку С.
Естественно поставить аналогичную задачу для сложного
отношения: имея три точки из четверки ABCD на прямой
и зная сложное отношение w = (ABCD), найти недостаю-
щую четвертую точку.
Сначала решим вспомогательную задачу.
Даны три прямых центрального пучка а, Ъ, с и даны
три точки прямой Ао, Во, Со (рис. 40). Провести пря-
мую, на которой прямые а, Ь, с высекают тройку точек
А, В, С, конгруэнтную Ао, Во, Со.
53
Удобнее начинать построение с точек Ао, Во, Со и при-
страивать к ним углы между прямыми а, Ь, с. Точка So
должна лежать на дуге A0S0B0, вмещающей угол
(а, Ь) (рис. 41). Такие дуги — две, для определенности
возьмем одну из них. Одновременно точка So должна
лежать на дуге B0S0C0, вмещающей угол (Ь, с) (возьмем
эту дугу по ту же сторону от прямой А0В0, что и дугу
Ао^оВо). Точка 6’0 определится как вторая (кроме Во)
точка пересечения двух окружностей. Случай касания
двух окружностей не может иметь места, потому что ус-
ловие касания (а, Ь) + (Ъ, с) = 180°. Теперь следует вер-
нуться к рис. 40 и отложить на прямых а, Ь, с от точки
S отрезки SA — S0A0, SB = S0B0, SC = S0C0, распо-
ложенные так же, как на рис. 41. Прямая АВС — исксй
мая. Решений — два, вторая прямая симметрична АВС
относительно точки S.
Если одна из точек, например С, несобственная, то
задача решается еще проще: следует пересечь тройку
а, Ь, с любой прямой, парал-»
А в с р лельной с, и затем подобно
0—0 0 изменить чертеж.
। Переходим к основной за-
Bj____со_______Ор fl даче. На прямой р даны три
точки А, В, С (рис. 42), на
Рис. 42. прямой q — четыре точки А 0,
Вй, Со, Do. Задание этой чет-
верки и есть графическое задание сложного отношения
w — (A0B0C0D0). Требуется найти точку D, образующую
с тройкой АВС такое же сложное отношение.
Решение. Из произвольной точки S проектируем
данные точки А, В, С. Полученную тройку прямых а =
= SA, Ъ — SB, с = SC пересечем прямой так, чтобы на
54
ней получилась тройка точек Л050С0(рис. 43), конгруэнтная
А0В^С0. Строим точку 7ЭС (четверка AOBOCOD'O конгру-
энтна AgB0C0D0). Соединяем D0' с S. Точка пересечения
D0Scp — искомая. Единственность решения несомненна.
Рассмотрим теперь частный и притом наиболее инте-
ресный случай, когда четверка — гармоническая. Дана
тройка точек на прямой, и требуется дополнить ее до гар-
монической четверки. Упорядочивать данную тройку
незачем, а нужно только указать, какие две составляют
пару. Пусть даны три точки АВС, причем известно, что,
например, А и В составляют пару, а С — одна точка
из другой пары. Требуется найти точку D из условия
(ABCD) = — 1. Эту задачу короче можно сформулировать
так:
Найти точку D, гармонически сопряженную с С от-
носительно А и В.
Эту задачу можно решить изложенным выше способом,
а также многими более простыми. Вот два из них, осно-
ванные на свойствах гармонических пучков (рис.38 и 39).
1. Проектируем из произвольной точки S'данные три
точки АВС (рис. 44). Теперь надо провести через точку
С прямую, отрезок которой внутри угла ASB делился
бы в точке С пополам. Для этого откладываем СС, =
=SC и проводим СгАг || BS и С1В11| AS. Фигура SA^C-J^
— параллелограмм. Его диагонали в точке пересече-
ния делятся пополам. Значит, SC — медиана треуголь-
55
ника Л1515. Остается провести через S прямую, парал-
лельную А1В1. Она высечет на АВ искомую точку D.
2. Проведем через точки А и В какую-нибудь окруж-
ность (рис. 45). Найдем середину Сг дуги АВ (все равно
какой). Проведем прямую СгС, и найдем точку S ее пере-
сечения с окружностью.
Теперь прямая с ~ SC—
биссектриса угла (а, Ь).
Остается провести биссек-
трису d другого (смежно-
го) угла, и она высечет на
А В искомую точку D.
Эти способы кустарны
и требуют кропотливого
исследования возможных
частных случаев. Не будем
заниматься этим, а пока-
жем гораздо лучший способ. Он не зависит от расположе-
ния элементов и от наличия среди данных точек несоб-
ственной. Кроме того, он осуществляется только при
помощи линейки.
18. Теорема о полном четырехвершиннике. Полным
четырехвершинником называется плоская фигура, обра-
зованная следующими элементами: 1) четыре точки об-
щего положения (это значит: никакие три из них не лежат
на одной прямой), 2) шесть прямых, соединяющих эти
точки попарно 1). Четыре точки называются верши-
н а м и четырехвершинника, а шесть прямых — сторо-
нами.
Название «четырехвершинник» введено, чтобы не ис-
пользовать слова «четырехугольник», которое может вы-
зывать привычные ассоциации. Четырехвершинник —не
часть плоскости, у него нет внутренности.
Полный четырехвершинник изображен на рис. 46.
Его вершины отмечены кружочками и обозначены буквами
А, В, С, D, но это не значит, что они упорядочены.
Вершины полного четырехвершинника равноправны, у
него нет «соседних» или «противоположных» вершин.
Стороны полного четырехвершипника, кроме вершин,
пересекаются еще в трех точках. Эти точки называются
Простым четырехвершинником называется упорядоченная
четверка точек и четыре прямые, соединяющие их в последователь-
ном порядке, т. е. 1 с 2, 2 с 3, 3 с 4 и 4 с 1.
56
диагональными точками. На рис. 46 они
отмечены квадратиками и обозначены Р, Q, R.
Рассмотрим прямую, соединяющую две диагональные
точки, например PQ. В этих точках пересекаются по две
стороны четырехвершинника. У четырехвершинника
остаются еще две стороны. Они пересекают прямую PQ
(или QR или RP) в двух точках. Все такие точки обозна-
чены на рис. 46 треугольничками. Оказывается, что два
«квадратика» и два «треугольничка» образуют гармони-
ческую четверку.
Теорема о полном четырехвершин-
нике. Пара диагональных точек') полного четырех-
вершинника гармонически делится точками пересечения
своей прямой с двумя оставшимися сторонами четырех-
вершинника.
Доказательство. Спроектируем четверку
PQXY из точки Л на прямую BD. При этом точки Р, Q, X,
Y перейдут соответственно в В, D, X, R. Сложное отно-
шение при центральном проектировании не изменяется
w = (PQXY) = (BDXR). (а)
Спроектируем четверку (BDXR) из точки С обратно на
прямую PQ. Она перейдет в четверку QPXY:
(BDXR) = (QPXY). (б)
Из (а) и (б) следует
w = (PQXY) = (QPXY). (18.1)
') Любая.
57
Если (PQXY) = w, то (QPXY) — -1 (см. (15.2)). Значит,
I
w = —, откуда w = + 1. Ho w не может равняться
единице, потому что все точки P,Q, X, Y различны. По-
этому w = (PQXY) = — 1, т. е. PQXY — гармоническая
четверка, что и требовалось доказать.
Это рассуждение применимо и к аналогичным четвер-
кам QRZU и RPVW. Кроме того, в процессе рассуждения
было обнаружено, что четверка BDRX гармоническая.
Это относится и к аналогичным четверкам ABPZ, ACRY,
ADQY, BCQWth CDPU.
В доказательстве ничто не изменится, если некоторые
точки окажутся несобственными.
Доказанная теорема позволяет находить четвер-
тую гармоническую, «пристраивая» к данной тройке пол-
ный четырехвершиппик. Этапы построения показаны на
рис. 47:
1) Через один «квадратик» проводятся две прямые.
2) Проводится прямая через «треугольничек». В пересе-
чении с первыми двумя она определяет две вершины че-
тырехвершинника («кружочки»), 3) «Кружочки» соеди-
няются со вторым «квадратиком», после чего определяются
еще два «кружочка». 4) Проводится последняя сторона
(соединяются последние два «кружочка»), которая высе-
кает на данной прямой второй «треугольничек».
Упражнение. Используя теорему о полном че-
тырехвершиннике, докажите, что прямая, соединяющая
точку пересечения боковых сторон трапеции и точку пере-
сечения диагоналей, делит параллельные стороны трапе-
ции пополам. Сравните с элементарным доказательством.
58
19. Групповое свойство сложного отношения. По тем
же причинам, что и в п. 8, выражения, стоящие в левых
частях формул (15.2), обладают групповым свойством:
при подстановке в любое из них вместо w любого другого
получится одно из них.
Обозначим
1 л
а\ ~ w, а2 = —, a3 — l — w,
. W < (19.1)
1 w — 1 _ w ' '
Ui — T++ ’ a& ~ ’ a<i ~ • •
Определим «умножение», как в п. 8: «умножить» на
aj — значит подставить в вместо w Uj. Например,
„ л 1 IV
я» Q а» — 1 — -----=------т = «я-
d 1 — IV IV — 1 °
Проделывая эти выкладки для всевозможных пар, полу-
чим таблицу «умножения» («квадрат Кэли»). Пусть чи-
татель составит ее самостоятельно. Вероятно, он будет
удивлен, обнаружив, что эта таблица совпадает с табли-
цей (8.4).
Группы (8.1) и (19.1) с геометрической точки зрения —
различные. Одна составлена из простых отношений, а дру-
гая из сложных. Если же отвлечься от конкретного смыс-
ла элементов, а рассматривать только их взаимоотноше-
ния при «умножении», то разницы нет. Это напоминает,
что с точки зрения абстрактной арифметики нет разницы
между равенствами «2 яблока + 3 яблока — 5 яблок»
и «2 карандаша + 3 карандаша = 5 карандашей», хотя
яблоко и карандаш не одно и то же. Арифметика учит,
что 2 + 3 = 5, отвлекаясь от конкретной природы скла-
дываемых предметов. Точно так же специалист по теории
групп считает, что группа простых отношений и группа
сложных отношений это — одна и та же группа. Эта груп-
па имеет еще много других конкретных воплощений (на-
пример, группа подстановок из трех элементов — см.
упоминавшиеся на стр. 21 книги П. С. Александрова и
И. Гроссмана и В. Магнуса).
ЗАДАЧИ
Итак, книжка окончена. Если читатель заинтересовался темой,
пусть решит задачи. Некоторые из них значительно труднее, чем
материал, изложенный в книжке.
1. Дан отрезок АВ. На прямой АВ найти пару точек CD,
— 3___ ___
гармонически делящую АВ, причем a) CD =—^АВ, б) CD —
= к- АВ (к > 0) (АВ — длина отрезка АВ).
Задачи на «деление». Что значит «разделить Ь на
а»? Это значит решить уравнение ах = Ь. Поскольку в группе (8.4)
«умножение» некоммутативно, естественно определить два разных
«деления», а именно: «разделить слева» Ъ па а — значит решить
уравнение а® х = Ь, «разделить справа» b на а — значит решить урав-
нение у®а = b (здесь а, 6 и z и у обозначают элементы группы,
а и b— данные, х и у— неизвестные).
2. «Разделить слева» а5 на а3.
3. «Разделить справа» а5 на а3.
4. Доказать, что «деление» (левое или правое) ау на а, всегда
(т. е. при любых элементах ау и aj) возможно и однозначно.
Элемент группы а; называется циклическим, если суще’
Ствует натуральное число т такое, что а!” =а1 (степень определяет-
ся как «произведение» т сомножителей яу®», 0 . . .®я;, % — еди-
ничный элемент). Если при этом я” =/= аг при п = 1,2, . . ., т— 1
(т. е. т есть наименьший показатель, при котором а™ — at), то т
называется порядком циклического элемента яу.
5. Доказать, что все элементы группы (8.4) циклические и
найти их порядки.
6. Найти а) я® ® а* ® as, б) я®5 ® я®. 7
7. Связь меж д у теоремами Чевы и Ме-
нелая. На каждой стороне треугольника АВС (сторона— бес-
конечная прямая) взяты две точки, гармонически разделяющие
вершины треугольника: па стороне ВС— точки L и L’, па СА —
М и М’, па АВ— N и N'. Доказать: а) Если прямые AL, ВМ и
CN проходят через одну точку U, то точки L', М’ и N' лежат на од-
ной прямой и (прямая и называется гармонической поля-
рой точки U относительно треугольника АВС), б) Обратно: если
60
точки L', М' и N’ лежат на одной прямой и, то прямые AL, ВМ и
CN проходят через одну точку U (точка U называется гармони-
ческим полюсом прямой и относительно треугольника АВС).
В задачах № 8—10 рассматривается треугольник АВС с точ-
ками £, М и N на его сторонах, причем прямые A L, ВМ и CN могут
пе проходить через одну
точку. Тогда они обра-
зуют треугольник А'В'С
(рис. 48). Вершины тре-
угольника А 'В'С' проек-
тируются на противопо-
ложные стороны парами
точек LL', ММ' и NN'.
Простые отношения, в
которых точки L, М и N
делят стороны треуголь-
ника АВС, по-прежнему
обозначаются через X, р
и v, а аналогичные отно-
шения для точек L', М'
и N'—через К', р' и у'.
8. Доказать (теорема Н. А. Извольского, 1929 г.) (BCLL') =
= (САММ') = (ABNN') = Xpv. Вывести отсюда теорему Чевы.
9. Доказать (теорема Рауза, 1896 г.), что отношение площадей
треугольников А'В'С' и АВС выражается так:
S' ______________(Xpv — 1)а__________
~S~ = (1 + X + Хр) (1 + р + pv) (1 + v + vX) ‘
Вывести отсюда теорему Чевы.
10. Доказать, что отношение площадей треугольников
и АВС выражается так:
So Xpv -|- 1
у = “1 + X) (1 + Р) (1 + V)
Вывести отсюда теорему Менелая.
11. Доказать следующую теорему, которую можно назвать
теоремой Чевы в трехмерном пространстве.
Дай произвольный тетраэдр AqAiAiAs. На каждом ребре AjAj
(ребро — бесконечная прямая) взята дополнительная
точка А ц, пе совпадающая ни с одной из точек Aj и Aj. Если
в треугольнике AiAjAk прямые AjAjk, AjAjk и АкАц проходят
через одну точку, то говорят, что в этом треугольнике имеет место
явление Чевы, а эту точку называют точкой Чевы
и обозначают ylijK.
Теорема. Если в трех гранях тетраэдра Л0Л1Л2Л3 имеет
место явление Чевы, то: 1) оно имеет место и в четвертой грани,
2) семь прямых ЛоЛ^з, Л^озз, ЛгЛ013, Л3Л012, Лс1Л2з, Л02Л13
и Л03Л12 проходят через одну точку (эту точку естественно обозна-
чить Ло12з и назвать точкой Чевы тетраэдра).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. Воспользоваться второй формулой (4.1) (стр. 15). Задача
1
имеет два решения, а) = 3 или = — ).D =
mi- 7 /ГТ^ + 1 , _ . /Г+^-1
о) 1 — ic ИЛИ Л.£-----Лд ---
2. а3. 3. ае. i. Возможность «деления слева» вытекает из того, что
в каяадой строке таблицы (8.4) встречаются все элементы группы,
а однозначность — из того, что каждый элемент встречается только
один раз. Возможность и однозначность «деления справа» вытекают
из аналогичных свойств столбцов. 5. Элемент ау — первого поряд-
ка, да, аз и ас — второго, а4 и — третьего. 6. Решая эту задачу,
надо использовать результат предыдущей. Например, зная, что
аз— циклический элемент второго порядка, можно в выраже-
нии а^° отбросить двойки в показателе: а|а = а* = а3. а) аз; б) а4.
7. Если AL, ВМ и CN проходят через одну точку, то Xuv = 1.
Но %' = — X, ц' = — ц, v' = — v. Если Xpv = 1, то X'p'v' =
= — 1 и, следовательно, точки L', М' и N’ лежат па одной прямой.
Аналогично доказывается и обратная теорема. 8. Четверку то-
чек BCLL' проектируем из А па прямую CN, а затем полученную
четверку из В на С А. Эти четверки имеют равные сложные отно-
шения (BCLL’) = (NCB'A') — (АСМ'М). В последнем сложном
отношении переставим элементы в каждой паре (правило второе
п. 15):
(BCLL’) = (САММ').
Аналогично доказывается, что третье сложное отношение равно
каждому из первых двух:
(BCLL') = (САММ') = (ABNN').
Теперь заметим, что прямые AL', ВМ и CN проходят через
точку А'. Значит по теореме Чевы
BL' CM AN
L'C ‘ МА ' NB “ 1
или
х> = 1, .
62
Вычислим сложное отношение (BCI.L"}
BL BL’ ., , 1
(BOLL’} = Lc : ис — — X : [гу — ?.,uv ,
Если прямые AL, ВМ и CN проходят через одну точку, то
точка. L' совпадает с £ и, следовательно, Xpv = (BCLL’) =
= (BCLL) = 1 (формулы (13.4)). 9. Эта теорема легко доказывается
аналитически. Читателю, который еще не начал изучать аналити-
ческую геометрию, лучше отложить ее доказательство. Примем
лучи АВ и АС за оси координат (косоугольной системы/), а отрез-
ки А В и АС — за единицы масштаба (неравные!!). Интересующие
нас точки будут иметь следующие координаты: А (0, 0), В (1, 0),
С (0,1), ’ ГТ*) ’ М. (°’ГТй) ’ N (пт -°) • Уравнение
AL : Lx— у — 0, уравнение ВМ'. х -р (1 р) у = 1, уравнение
CN : (1 + v) х -|- vy = v. Решая эти уравнения попарно, найдем
\ 1 + Р + pv ’ I + И + pv / ’ В \ 1 + v + v* ’ 1 -|- v + vX
с,(_______1_______________Ъ_____
\ 1 + X + Хр ’ 1 + X + Хр
Отношение площадей треугольников выражается при помощи
определителей третьего порядка
ХА У А * 1 *
хв У в
хс Ус
pv
1 + Р + pv
_ v
1 + v + vX
1
1 + X + Хр
1
(1 + X + Хр) (1 + Р
1 + р + pv
______V-h_____ !
1 + v + vX
_______*______ i
1 -f- X + Хр
+ pv) (1 + v + vX)
0 0 1
10 1 =
0 1 1
pv 1 1 -f- р pv
v vX 1 + v -|- vX
1 XI -p X -( Xp
Из третьего столбца определителя вычитаем сумму первых двух
__ __________________1__________________
(1 + X + Хр) (1 + р + pv) (1 + V + vX)
_________________(Хру — I)2_____________
(1 -j- X + Xp) (1 + P + pv) (1 -f- v -ф- vX)
pv 1 p
v vX 1
1 X Xp
Если прямые AL, ВМ и CN проходят через одну точку, то S' = 0
и, следовательно, Xpv = 1.
63
Если читатель знаком только с декартовой системой координат
(прямоугольной с равными масштабами по осям), то ои может при-
писать исходным точкам координаты А (0, 0), В (а, 0), С (Ъ, с)
и проделать тс же рассуждения, которые здесь изложены. Выклад-
ки будут более громоздкими, по окончательный результат — тот
же. Вот как важно при решении каждой задачи выбирать подхо-
дящий аппарат. 10. После решения предыдущей задачи осталось
сделать совсем немного. Координаты точек L, М и N уже найдены,
отношение площадей вычисляется так же, как в предыдущей за-
даче. Если точки L, М и N лежат па одной прямой, то So = 0 и,
следовательно, ?vpv = —1. 11. Вместо обозначений X,p,v введем
AfAfj
‘Kij = —д- . Ясно, что = 1 (а). Положим, что явление
Чевы имеет^место в гранях, проходящих через вершину Л 0. В таком
случае XoiA.12^20 = 1, ^са^зкзп == 1, ХсзХзАю = 1. Перемножая эти
равенства и учитывая (а), получим Х12А23Х31 = 1, т. е. явление
Чевы имеет место и в грани А^цАз.
Для доказательства второй части теоремы построим две тройки
плоскостей
а® = А „4 tA за, ]
а® Е= А „42А is, > (б)
а® = А 0А3412, J
ctj = А 1Л0Л2з,
«2 ^41-4 гЛ оз,
cXg еЕ А]АзАоз*
(в)
Все плоскости (б) содержат точку А пз, а плоскости (в) — точ-
ку Л023. Значит, плоскости (б) проходят через прямую Л0Л1гз,
а плоскости (в)— через прямую 4,4о23- а® и aj— одна и та же
плоскость. Итак, прямые Л „Лиз и A,Atas лежат в одной плоско-
сти, и, следовательно, пересекаются (может быть, в несобственной
точке). Аналогично доказывается пересечение любых двух прямых,
соединяющих вершины тетраэдра с точками Чевы противополож-
ных граней. Таким образом, прямые Л0Л1зз, Л^озз, Л2Л013 и
ЛзЛ012 попарно пересекаются. Это может быть лишь в двух случаях:
1) все четыре прямые имеют общую точку, 2) все четыре прямые
лежат в одной плоскости. Второй случай исключается, так как
на этих прямых лежат все вершины тетраэдра, т. е. второй случай
означал бы, что все вершины тетраэдра лежат в одной плоскости.
Остается первый случай, ч. т. д. Точку пересечения четырех пря-
мых обозначим Лм>з.
Остается доказать, что прямые, соединяющие дополнительные
точки противоположных ребер, тоже проходят через точку Лоыз-
Эти три прямые принадлежат плоскостям (б) и, следовательно,
пересекают прямую Л0Л1аз. Они также принадлежат плоско-
стям (в) и, следовательно, пересекают прямую ЛхЛозз. Последние
прямые имеют лишь одну общую точку. Значит, прямые Л01Лаз,
Л02Л13 и Лоз/112 либо проходят через эту точку, либо лежат в пло-
скости прямых Л0Л12з и 414с23. Вторая возможность отвергается,
потому что точки йгз, 413 и 412 лежат в грани АгА2Аз, а точки Ао1,
4о2 и 40з не могут лежать в этой грани. Значит, прямые А0142з,
4о2Л1з и 4оз4 12 проходят через точку 40i23, ч. т. д.