Регулярная и хаотическая динамика. Том 13. Симплектическая геометрия. - Арнольд В.И., Гивенталь А.Б.

Author: Арнольд В.И. Гивенталь А.Б.

Tags: геометрия топология математика

ISBN: 5-7029-0331-5

Year: 2000

Similar

Регулярная и стохастическая динамика

Избранное-60

Симплектическая геометрия

Математические методы классической механики

Text

■листа >
РЕГУЛЯРНАЯ И
ХЛОПНБСКДЯ
ДИНАМИК*
13

РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
REGULAR к CHAOTIC DYNAMICS
том 13
Редакционный совет:
главный редактор: В. В. Козлов
ответственный редактор: А. В. Борисов
редактор-консультант: Ю. А. Данилов
Editorial Board:
Editor-in-Chief: V. V. Kozlov
Managing Editor: A. V. Borisov
Advisory Editor: Y. A. Danilov

СЕРИЯ
РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
ВЫШЛИ В СВЕТ:
1. Э. Картан. Интегральные инварианты (с добавлением В.В.Козлова).
2. А. В. Б олеинов, А.Т.Фоменко. Геометрия и топология интегрируе-
интегрируемых геодезических потоков на поверхностях.
3. А. Д. Морозов, Т. Н. Драгунов и др. Инвариантные множества дина-
динамических систем в WINDOWS.
4. В. В. Козлов. Общая теория вихрей.
5. М. Оден. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем.
6. В. В. Голубев. Талант без почвы.
7. А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли
в гамильтоновой механике.
8. Дж. Биркгоф. Динамические системы.
9. Э. Уиттекер. Аналитическая динамика.
10. В. М. Алексеев. Лекции по небесной механике.
11. В. И. Арнольд, А.Авец. Эргодические проблемы классической меха-
механики.
12. П.Р.Халмош. Лекции по эргодической теории.
13. В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь. Симплектическая геометрия.
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
Дж. Гукенхеймер, П. Холмс. Нелинейные колебания, динамические
системы и бифуркации векторных полей.
Г. Зейферт, В. Трельфалль. Вариационное исчисление в целом.
В. В. Козлов. Методы качественного анализа в динамике твердого
тела.
Дж. МарсдвНу Т. Ратью. Введение в механику и симметрию.
А. М. Переломов. Интегрируемые системы классической механики и
алгебры Ли.
E-mail: borisov@uni.udm.ru
http://www.rcd.com.ru

В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Издание второе
Научно-издательский центр
«Регулярная и хаотическая динамика»
2000

УДК 514+515.16
Библиотека «RScC Dynamics»
Том 13
Арнольд В. И., Гивенталь А. Б.
Симплектическая геометрия. — Ижевск: Издательский дом
«Удмуртский университет», 2000, 168 стр.
Симплектическая геометрия — это математический аппарат
таких областей физики, как классическая механика, геометри-
геометрическая оптика и термодинамика. В этой небольшой книге изло-
изложены основные понятия симплектическои геометрии. По сравне-
сравнению с первым изданием 1985 г., вышедшем в ВИНИТИ, в книге
исправлены неточности и устранены замеченные опечатки.
Для студентов и аспирантов, математиков, физиков, науч-
научных работников.
ISBN 5-7029-0331-5
© НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», 2000

Содержание
Предисловие 6
Глава 1. Линейная симплектическая геометрия 7
§ 1. Симплектическое пространство 7
§ 2. Линейные гамильтоновы системы 10
§ 3. Семейства квадратичных гамильтонианов 16
§4. Симплектическая группа 22
Глава 2. Симплектические многообразия 29
§ 1. Локальная симплектическая геометрия 29
§2. Примеры симплектических многообразии 34
§ 3. Скобка Пуассона 39
§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения 45
Глава 3. Симплектическая геометрия и механика 54
§ 1. Вариационные принципы 54
§ 2. Вполне интегрируемые системы 64
§ 3. Гамильтоновы системы с симметриями 76
Глава 4. Контактная геометрия 89
§ 1. Контактные многообразия 89
§ 2. Симплектизация и контактные гамильтонианы 97
§ 3. Метод характеристик 103
Глава 5. Лагранжевы и лежандровы особенности 109
§ 1. Лагранжевы и лежандровы отображения 109
§2. Классификация критических точек функций 117
§ 3. Особенности волновых фронтов и каустик 123
Глава 6. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы 140
§ 1. Индекс Маслова 140
§ 2. Кобордизмы 149
§ 3. Характеристические числа 154
Литература 162

Предисловие
Симплектическая геометрия — это математический аппарат таких
областей физики, как классическая механика, геометрическая оптика
и термодинамика. Всякий раз, когда уравнения теории могут быть по-
получены из вариационного принципа, симплектическая геометрия про-
проясняет и приводит в систему соотношения между входящими в теорию
величинами. Симплектическая геометрия упрощает и делает обозри-
обозримым устрашающий формальный аппарат гамильтоновой динамики и
вариационного исчисления таким же образом, как обычная геометрия
линейных пространств сводит громоздкие координатные вычисления
к небольшому числу простых основных принципов.

Глава 1
Линейная симплектическая геометрия
§ 1. Симплектическое пространство
1.1. Кососкалярное произведение. Симплектической струк-
структурой или кососкалярным произведением в линейном пространстве
называется невырожденная кососимметрическая билинейная форма.
Невырожденность кососимметрической формы влечет четномерность
пространства.
Симплектическая структура на плоскости — это форма площади.
Прямая сумма п симплектических плоскостей имеет симплектическую
структуру: кососкалярное произведение векторов равно сумме площа-
площадей проекций натянутого на них ориентированного параллелограмма на
п координатных плоскостей.
Линейная «теорема Дарбу» (G.Darboux). Симплектические
пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны, то
есть существует сохраняющий кососкалярные произведения изомор-
изоморфизм между этими пространствами.
Следствие. Симплектическая структура в 2п-мерном линейном
пространстве в подходящих координатах (pi, ... , pn, </i, ... , qn) име-
имеет вид pi Л q\ + ... + рп Л qn.
Такие координаты называются координатами Дарбу, а простран-
пространство R2n с таким кососкалярным произведением — стандартным сим-
плектическим пространством.
Пример 1. Мнимая часть эрмитовой формы задает симплектичес-
симплектическую структуру. В координатах Zk = Pk + V~~TGfc в ^п мнимая часть
эрмитовой формы ^2 Zkz'k имеет вид — ^ри Л </&.
Пример 2. Прямая сумма линейного пространства со своим сопря-
сопряженным V = Х*фХ снабжается канонической симплектической струк-
структурой о;(£ф#, г](Ву) = £(у)—г)(х). Если (</i, ... , qn) — координаты в X,
a (pi, ... , рп) — двойственные координаты в X*, то и = ^Рк Л </&.

8 Глава 1
Стандартная симплектическая структура в координатном про-
странстве Ж2п выражается через матрицу п = ( п 1, где Еп —
единичная п х n-матрица: lj(v, w) = (Пг?, w;). Здесь (г?, w) =
евклидово скалярное произведение в Е2п. Умножение на п задает комп-
комплексную структуру в Е2п, так как п2 = -E2n-
1.2. Подпространства. Векторы г?, w £ V, для которых lj(v, w)= О,
называются косоортогоналъными. Для любого подпространства сим-
симплектического пространства определено его косоортогоналъное допол-
нение7 которое, в силу невырожденности кососкалярного произведения,
действительно имеет дополнительную размерность, но, в отличие от
евклидова случая, может пересекаться с исходным подпространством.
Так, кососкалярный квадрат любого вектора равен нулю, поэтому косо-
ортогональное дополнение прямой — гиперплоскость, содержащая эту
прямую. Обратно, косоортогональное дополнение к гиперплоскости —
прямая, совпадающая с ядром ограничения симплектической структу-
структуры на эту гиперплоскость.
Если у подпространства евклидова пространства есть лишь один
инвариант — размерность, то в симплектической геометрии, кроме
размерности, существенен ранг ограничения симплектической струк-
структуры на подпространство. Этот инвариант тривиален только в случаях
прямой и гиперплоскости. Общую ситуацию описывает.
Линейная «относительная теорема Дарбу». Подпространство
ранга 2г и размерности 2r + k симплектического пространства в под-
подходящих координатах Дарбу задается уравнениями
qr+k+i = • • • = Qn = 0, рг+1 = ... = рп = 0.
Косоортогоналъное дополнение такого подпространства задается
уравнениями q\ — ... = qr = 0, р\ = ... , pr+k = 0 и пересекается с ним
по к-мерному ядру ограничения симплектической формы.
Подпространства, лежащие в своем косоортогональном дополнении
(т.е. имеющие ранг 0), называются изотропными. Подпространст-
Подпространства, содержащие свое косоортогональное дополнение, называются ко-
изотропными. Подпространства, изотропные и коизотропные одновре-
одновременно, называются лагранжевыми. Размерность лагранжевых подпро-
подпространств равна половине размерности симплектического пространства.

§ 1. Симплектическое пространство 9
Лагранжевы подпространства — максимальные изотропные и мини-
минимальные коизотропные. Лагранжевы подпространства играют особую
роль в симплектической геометрии.
Примеры лагранжевых пространств.
1)В1*Ш1 подпространства О Ф X и X* ф 0 лагранжевы.
2) Линейный оператор X —> X* самосопряжен тогда и только тог-
тогда, когда его график в X* фХ лагранжев. Самосопряженному операто-
оператору А соответствует квадратичная форма (Лж, х)/2 на X. Она называ-
называется производящей функцией этого лагранжева подпространства.
3) Линейное преобразование пространства V тогда и только тог-
тогда сохраняет симплектическую форму о;, когда его график в про-
пространстве УФУ лагранжев относительно симплектической структуры
W = TTi * и) — 7Г2 * о;, где TTi, 7Г2 — проекции на первое и второе сла-
слагаемое (площадь ТУ (ж, у) параллелограмма равна разности площадей
проекций).
1.3. Лагранжев грассманиан. Множество всех лагранжевых
подпространств симплектического пространства размерности 2тг явля-
является гладким многообразием и называется лагранжевым грассманиа-
ном Ап.
Теорема. Лп диффеоморфно многообразию смежных классов груп-
группы Un унитарных п х п-матриц по подгруппе Оп ортогональных мат-
матриц {унитарный репер в Сп порождает лагранжево подпространство
в овеществлении Сп).
Следствие. dimAn = ^
О топологии Лп см. гл. 6.
Пример. Линейный комплекс прямых. Комплексом прямых назы-
называется 3-мерное семейство прямых в 3-мерном проективном простран-
пространстве. Ниже мы приводим конструкцию, связывающую так называе-
называемые линейные комплексы прямых с простейшими понятиями симплек-
симплектической геометрии. Эта связь дала имя симплектической геометрии:
в 1946 году Герман Вейль (Н. Weyl) [74] предложил вместо вносившего
терминологическую путаницу прилагательного «com-plex» (оно состо-
состоит из латинских корней, имеющих значение «сплетенные вместе») упо-
употреблять прилагательное «com-plectic», образованное от эквивалентных
греческих корней.

10 Глава 1
Следующая далее конструкция показывает, что лагранжев грассма-
ниан Л2 диффеоморфен неособой квадрике (сигнатуры (+ Н—V — — ))
в 4-мерном проективном пространстве.
Точки проективного пространства Р3 = P(V) — это одномер-
одномерные подпространства в 4-мерном векторном пространстве V'. Прямые
в Р3 — это 2-мерные подпространства в V. Каждое такое подпро-
подпространство однозначно с точностью до множителя определяет внешнюю
2-форму (р ранга 2, ядро которой совпадает с этим подпространством.
Формы ранга 2 образуют в 6-мерном пространстве A2V всех внешних
2-форм квадратичный конус с уравнением (р А (р = 0. Таким образом,
многообразие всех прямых в Р3 — это квадрика Q в Р5 = P{/\2V).
Линейный комплекс прямых задается пересечением квадрики Q с ги-
гиперплоскостью Н в Р5. Гиперплоскость в P(A2V) задается с помощью
внешней 2-формы со на V: Н = Р{{<р Е A2V со А (р = 0}). Невырож-
Невырожденность формы со эквивалентна тому, что линейный комплекс пря-
прямых Н П Q неособ. Уравнение со А (р = 0 для формы (р ранга 2 означает,
что ее ядро лагранжево относительно симплектической структуры со.
Поэтому неособый линейный комплекс прямых представляет собой ла-
лагранжев грассманиан Л2.
§ 2. Линейные гамильтоновы системы
Здесь обсуждается жорданова нормальная форма инфинитезималь-
ных симплектических преобразований.
2.1. Симплектическая группа и ее алгебра Ли (S.Lie). Ли-
Линейное преобразование G симплектического пространства (У, со) назы-
называется симплектическим преобразованием, если оно сохраняет кососка-
лярное произведение: co(Gx, Gy) = со(х, у) для всех ж, у Е V. Симплек-
тические преобразования образуют группу Ли, обозначаемую Sp(V)
(SpBn, Ж) или SpBn, С) для стандартного вещественного или комп-
комплексного 2п-мерного симплектического пространства).
Рассмотрим однопараметрическое семейство симплектических пре-
преобразований; пусть нулевому значению параметра отвечает тождест-
тождественное преобразование. Производная преобразования семейства по па-
параметру (в нуле) называется гамилътоновым оператором. Дифферен-
Дифференцированием условия симплектичности преобразования находим усло-
условие гамильтоновости оператора Н: со(Нх, у) + со(х, Ну) = 0 для

§2. Линейные гамильтоновы системы 11
всех ж, у Е V. Коммутатор гамильтоновых операторов снова гамиль-
тонов оператор: гамильтоновы операторы образуют алгебру Ли sp(V)
группы Ли Sp(V).
Квадратичная форма h(x) = и)(х, Нх)/2 называется гамильтониа-
гамильтонианом оператора Н. Гамильтонов оператор восстанавливается по своему
гамильтониану из уравнения h(x + у) — h(x) — h(y) = ш(у, Нх) для
всех ж, у. Мы получаем изоморфизм пространства гамильтоновых опе-
операторов и пространства квадратичных форм в симплектическом про-
пространстве V.
Следствие. dimSp(V) = nBn + 1), где 2п = dimV.
Коммутатор гамильтоновых операторов определяет структуру ал-
алгебры Ли в пространстве квадратичных гамильтонианов: {/ii, h2}(x) =
ш(х, (H2Hi - Н1Н2)х) . и \
— g = ^(Пхх, п2х).
Операция {-, •} называется скобкой Пуассона (S. D.Poisson). В коор-
координатах Дарбу скобка Пуассона имеет вид
dhi dh<i dh<i dh\\
dpk dqk dpk dqkJ
Матрица гамильтонова оператора в координатах Дарбу
Н = ( „ )
удовлетворяет соотношениям1 В* = В, С* = С, D* = —А. Соответ-
Соответствующий гамильтониан h — квадратичная форма, матрица которой
Линейная гамильтонова система дифференциальных уравнений
х — Их в координатах Дарбу записывается так: р — — Ц-, а = %—.
oq op
В частности, гамильтониан является первым интегралом своей гамиль-
тоновой системы: к = -^г'й+-^г'Р- Таким образом, мы выразили в тер-
oq op
минах пространства квадратичных гамильтонианов структуру алгебры
Ли симплектической группы и ее действие в пространстве V.
Пример 1. Гамильтониану h = —-— отвечает система урав-
уравнений q = иор, р = —uoq гармонического осциллятора.
транспонирование.

12 Глава 1
Пример 2. Группа симплектических преобразований плоскости R2
совпадает с группой SLB, Ж) 2 х 2-матриц с определителем 1. Ее алгеб-
2 2
ра Ли slB, Ж) имеет три образующих X = %-, Y = — ^-, Н = pq
с коммутаторами [X, Y] = Я, [Я, X] = 2Х, [Я, Y] = -2Y.
2.2. Комплексная классификация гамильтонианов. Два га-
мильтоновых оператора в симплектическом пространстве V будем счи-
считать эквивалентными, если они переводятся друг в друга симплек-
тическим преобразованием. Соответствующая задача классификации
вполне аналогична задаче о жордановой нормальной форме линейного
оператора. На более ученом языке речь идет о классификации орбит
присоединенного действия симплектической группы в ее алгебре Ли.
В комплексном случае ответ дает следующая
Теорема Вильямсона (J.Williamson) [77]). Гамильтоновы
операторы в комплексном симплектическом пространстве эквивалент-
эквивалентны тогда и только тогда, когда они подобны (т. е. имеют одинаковую
жорданову структуру).
Симплектическая форма позволяет следующим образом отождест-
отождествить пространство V с сопряженным пространством V*: х —> lj(x, •).
При таком отождествлении оператор Я*: F* —> V*, сопряженный га-
мильтонову оператору Я: V —> V, превращается в —Я. Поэтому жорда-
нова структура гамильтонова оператора удовлетворяет ограничениям
1) если а — собственное число, то —а — тоже собственное число;
2) жордановы клетки, отвечающие собственным числам а и —а,
имеют одинаковую структуру;
3) жордановых клеток нечетного размера с собственным чис-
числом а = 0 — четное количество.
В остальном жордановы структуры гамильтоновых операторов
произвольны.
Следствие. Пусть Я: V —> V — гамильтонов оператор. Тогда V
распадается в прямую косоортогональную сумму симплектических под-
подпространств, на каждом из которых оператор Я имеет либо две жор-
жордановы клетки одинакового размера с противоположными собственны-
собственными числами, либо одну жорданову клетку четного порядка с нулевым
собственным числом.
2.3. Линейные вариационные задачи. В качестве нормаль-
нормальных форм линейных гамильтоновых систем можно взять уравнения

§2. Линейные гамильтоновы системы 13
экстремален специальных вариационных задач. Мы предполагаем, что
читатель знаком с простейшими понятиями вариационного исчисления,
и будем пользоваться формулами из п. 1.4 главы 3, где описан гамиль-
тонов формализм вариационных задач со старшими производными.
Пусть х = x(t) — функция переменной £, х^ = ^-£. Рассмот-
dtk
рим задачу оптимизации функционала / L(xq, ... , хп) dt с лагранжиа-
лагранжианом L = {х2п + ап-1х2п_1 + ... + ао^о)/2. Уравнение экстремалей такого
функционала
Х2п ~ an-ix2n-2 + • •. + (-1)паохо = О
является линейные однородным уравнением с постоянными коэффи-
коэффициентами, в которое входят производные искомой функции х только
четного порядка.
С другой стороны, уравнение экстремалей эквивалентно гамильто-
новой системе (см. п. 1.4, гл. 3) с квадратичным гамильтонианом
, ,/ , (Pn-i -On-i^-i -...-ao?o)\
h = ±\Poqi + - - • + pn-2qn-i н 2 Г'
где qk = хк, Pn-i = Хп, Ph-i = анхн ~ ~^f координаты Дарбу
в 2п-мерном фазовом пространстве уравнения экстремалей.
Заметим, что этой конструкцией не получается гамильтонова сис-
система с парой жордановых клеток нечетного порядка п с собственным
числом 0. Такой системе отвечает гамильтониан =Ь(ро#1+ • • • +Pn-2#n-i)-
Гамильтонова жорданова клетка порядка 2п с собственным числом 0
х2
получается при L = -^. Экстремали в этом случае — решения уравне-
ния 2^ = 0, т.е. многочлены x(t) степени < 2п. Вообще, лагранжи-
лагранжиану L с характеристическим многочленом £n + an_i^n-1 + ... + а0 =
= £Шо(£ + 6.)Ш1 • • • (£ + £,к)тк отвечает гамильтонов оператор с одной
жордановой клеткой размера 2то и собственным числом 0 и к парами
жордановых клеток размеров rrij с собственными числами =Ьд/^\
2.4. Нормальные формы вещественных квадратичных га-
гамильтонианов. Очевидное отличие вещественного случая от комп-
комплексного состоит в том, что жордановы клетки гамильтонова оператора

14 Глава 1
разбиваются на четверки клеток одинакового размера с собственными
числами ±а ± Ь\/—Т> если только а/Оиб/0. Более существенное от-
отличие заключается в следующем. Две вещественные матрицы вещест-
вещественно подобны, если они подобны как комплексные матрицы. Для квад-
квадратичных гамильтонианов это не всегда так. Например, гамильтонианы
±(р2+#2) гармонического осциллятора имеют одинаковые собственные
числа ±2\/—1, т.е. эквивалентны над С, но не эквивалентны над R:
на ориентированной кососкалярным произведением фазовой плоскости
этим гамильтонианам отвечают вращения в разные стороны. В частнос-
частности, теорема Вильямсона п. 2.2 в том виде, как она там сформулирована,
не переносится на вещественный случай.
Мы приводим список элементарных нормальных форм квадратич-
квадратичных гамильтонианов в координатах Дарбу р0? ••• ? Pn-ъ #о? ••• ? Qn-i
стандартного симплектического пространства R2n.
1) Паре жордановых клеток (нечетного) порядка п с собственным
числом нуль отвечает гамильтониан
п-2
h0 = ^РкЧк+i {ho = 0 при п = 1).
к=0
2) Жордановой клетке четного порядка 2п с собственным числом
нуль отвечает гамильтониан ровно одного из двух видов
H 2~)•
3) Паре жордановых клеток порядка п с ненулевыми собственными
числами ±z отвечает гамильтониан одного из двух видов
±1Л« + -2--2. 2 )
к=0
(при вещественном z эти два гамильтониана эквивалентны между со-
собой, при чисто мнимом z — не эквивалентны).
4) Четверке жордановых клеток порядка га = Ц с собственными
числами ±а ± Ьл/^1 отвечает гамильтониан
к=0

§2. Линейные гамильтоновы системы 15
где
Y, Ык = [е + 2(а2 - 62)С + (а2 + &2JР.
Теорема [77]. Вещественное симплектическое пространство, на
котором задан квадратичный гамильтониан h, распадается в пря-
прямую ко со ортогональную сумму вещественных симплектических подпро-
подпространств так, что форма h представляется в виде суммы элементар-
элементарных форм в подходящих координатах Дарбу на этих подпространствах.
2.5. Знакоопределенные гамильтонианы и принцип ми-
нимакса1. Положительно определенный квадратичный гамильтониан
в подходящих координатах Дарбу имеет вид h = ^——^ —, где
wn ^ wn-\ ^ ... ^ loi > 0. Для «частот» u)k имеется следующий прин-
принцип минимакса.
Кососимметрическая билинейная форма О в подходящих декарто-
декартовых координатах евклидова пространства VN имеет вид Aipi Л q\-\-... +
+\пРп Л qn, 2n ^ TV, Ai > Л2 > ... > Лп > 0. Ориентирован-
Ориентированной плоскости L С VN сопоставим площадь S(L) единичного кру-
круга D(L) = {х е Ц(х, х) ^ 1} относительно формы п.
Теорема.
min max S(L) = 7гЛд;, к = 1, ... , п.
yN + lk(~yN jf-yN + 1k /
Следствие. Инварианты Хк ограничения формы п на подпро-
подпространство WN~M С VN удовлетворяют неравенствам А& ^ \'к ^ \к+м
(мы полагаем Хт = 0 при т > п).
Например,
-к\\ = max S(L) < max^fL) = 7rAi
lcw Lev
и
vrAi = max S(L) > min max S(L) =
LCWNM yN-M (~yN ^(^у^М V '
1 Результаты этого пункта получены В.И.Арнольдом в 1977 году, в связи с гипо-
гипотезой о полунепрерывности спектра особенности.

16 Глава 1
Замечание 1. Принцип минимакса Куранта (R. Courant) для пары
эрмитовых форм вСп:[/= £я*г*, Uf = Y^^kZuzu, Ai ^ ... ^ An,
утверждает, что
(TJt \ (Т1'\
— I = max min I —- I.
~ ^^ ^^^ U / Cn+1~fcCCn CCC"+1~fc \ U /
(
~ ^^ ^^^ U / Cn+1~fcCCn
Отсюда легко вывести нашу теорему.
Замечание 2. Принимая симплектическую структуру в R2n за О,
а положительно определенный гамильтониан h за евклидову структу-
структуру, получаем принцип минимакса и аналогичные следствия для час-
тот и)и = -г—. В частности, при увеличении гамильтониана частоты
растут: ы'к^шк.
§ 3. Семейства квадратичных гамильтонианов
Жорданова нормальная форма оператора, непрерывно зависящего
от параметра, является, вообще говоря, разрывной функцией парамет-
параметра. Вводимые ниже миниверсальные деформации — это нормальные
формы семейств операторов, избавленные от указанного недостатка.
3.1. Понятие миниверсальной деформации. Оно относится
к следующей абстрактной ситуации. Пусть на гладком многообразии М
действует группа Ли G. Точки на М считаются эквивалентными, если
они лежат в одной орбите, т.е. переходят друг в друга под действием
этой группы. Семейством с пространством параметров (базой) V на-
называется гладкое отображение V —> М. Деформацией элемента х Е М
называется росток семейства (У, о) —> (М, х) (о — начало координат
в V ~ Шп. Говорят, что деформация (р: (У, о) -» (М, х) индуцирова-
индуцирована из деформации ф: (W, о) —> (М, х) при гладком отображении баз
v\ (У, 6) -Л (W, о), если (р = ф о у. Деформации (р, ф: (У, о) -» (М, х)
называются эквивалентными, если существует такая деформация еди-
единицы g: (Vj о) -» (G, id), что (p(v) = g{v)ij){v).
Определение. Деформация ip: (У, о) -> (М, х) называется вер-
версальной, если любая деформация элемента х эквивалентна деформации,
индуцированной из (р. Версальная деформация с наименьшей возмож-
возможной для версальной деформации размерностью базы называется мини-
миниверсальной.

§3. Семейства квадратичных гамильтонианов
17
X
Рис. 1. Трансверсальность
Росток многообразия М в точке ж, очевидно, является версальной
деформацией для ж, но, вообще говоря, не миниверсальной.
Пример. Пусть М — пространство квадратичных гамильтонианов
в стандартном симплектическом пространстве R2n, G = SpBn, R) —
группа симплектических линейных преобразований в R2n. Следующая
деформация (Л — параметры).
k=l
A)
k = 2s + l
k=r+l
является миниверсальной деформацией гамильтониана i?o? если его
спектр {=Ьа& ± л/^lbk, =Ьс^, =Ьд/^Т^} некратный.
Пусть X С М — подмногообразие. Говорят, что деформация
(р: (У, о) —> (М, ж) точки ж Е X трансверсальна к X, если (p*(To~V) +
+ТХХ = ТХМ (рис. 1).
Теорема версальности. Деформация точки х Е М нереальна
тогда и только тогда, когда она трансверсальна орбите Gx точки х
вМ.
Следствие. Число параметров миниверсальной деформации равно
коразмерности орбиты.
Набросок доказательства теоремы (см. рис. 2). Выберем трансвер-
саль L в единице группы G к стационарной подгруппе Stx = {g \ gx = х}

18
Глава 1
G
id
T
M
Li
^
..
L-x
——^
—■—_,
■
X
-
g-r
id-T
Рис. 2
точки x £ M и трансверсаль Т в точке х к ее орбите в М. Действие
элементами из L на точки из Т задает диффеоморфизм окрестности
точки х в М прямому произведению L х Т. Теперь каждая деформа-
деформация с^: (У, о) —> (М, ж) автоматически принимает вид <^(г>) = g(v)t(v),
где g: (У, о) -> (G, id), t: (У, о) -> (Г, ж).
3.2. Миниверсальные деформации квадратичных гамиль-
гамильтонианов. Пусть снова М — пространство квадратичных гамильто-
гамильтонианов в R2n, G = SpBn, Ж). Мы будем отождествлять М с простран-
пространством гамильтоновых матриц размера 2n x 2п. Введем в пространстве
таких матриц поэлементное скалярное произведение (-,-). Оно может
быть представлено в виде (i?, F) = tr{HF*), где * означает транспо-
транспонирование. Заметим, что матрица, транспонированная к гамильтоно-
вой — снова гамильтонова. Из свойств следа получаем: ([X, У], Z)-\-
+ <Г, [X*, Z]) = 0, где [X, Y] = XY - YX — коммутатор.
Лемма. Ортогональное дополнение в М к касательному про-
пространству в точке Н орбиты гамильтониана Н совпадает с центра-
централизатором Zh* = {X G М | [X, Н*] = 0} гамильтониана Н* в алгебре
Ли квадратичных гамильтонианов.
Доказательство.
Если ([Я, F],X) = 0 для всех F <Е М, то (F, [Я*, X]) = 0,
т.е. [Я*, X] = 0, и обратно. ■

§3. Семейства квадратичных гамильтонианов 19
Следствие. Деформация (ZH, 0) -> (М, Я):1ьуЯ + Г — лш-
ниверсалъная деформация квадратичного гамильтониана Н.
Для гамильтониана i? обозначим через rii(z) ^ ri2{z) ^ ... ^ ns(z)
размеры жордановых клеток с собственным числом z ф 0, а через
nil ^ • • • ^ тпи и fhi ^ • • • ^ Л« размеры его жордановых клеток с соб-
собственным числом нуль, причем nij четны, a fhj нечетны (из каждой
пары клеток нечетного размера учитывается одна).
Теорема [9]. Размерность d базы миниверсальной деформации га-
гамильтониана Н равна
3=1
U
- l)fhj + 1] + Y
В работе [9] приведен явный вид миниверсальных деформаций для
всех нормальных форм квадратичных гамильтонианов.
3.3. Семейства общего положения. Разобьем пространство
квадратичных гамильтонианов на классы в соответствии с наличием
собственных чисел разных типов (но не числовых значений) и с раз-
размерами жордановых клеток. Такая классификация, в отличие от клас-
классификации по ^-орбитам, дискретна (даже конечна). Говорят, что га-
гамильтонианы данного класса не встречаются в /-параметрических се-
семействах общего положения, если их можно устранить сколь угодно
малым возмущением семейства. Например, гамильтониан общего поло-
положения не имеет кратных собственных чисел; он также не имеет наперед
заданного спектра собственных чисел, но все же имеет какой-то другой
спектр.
Важность изучения явлений общего положения объясняется тем,
что в приложениях исследуемый объект часто известен лишь прибли-
приближенно или подвержен возмущениям, из-за которых исключительные
явления непосредственно не наблюдаются.
Коразмерностью с данного класса называется наименьшее число
параметров семейств, в которых гамильтонианы этого класса встреча-
встречаются неустранимо.

20
Глава 1
Обозначим через v половину числа различных ненулевых собствен-
собственных значений гамильтонианов из данного класса.
Теорема, с = d — v (так что формула
для с получается из формулы для d предыдущей
теоремы уменьшением каждого слагаемого ви-
вида J^Bj — l)rij(z) на единицу).
Доказательство этой теоремы основано на
том интуитивно очевидном факте, что семейст-
семейства общего положения трансверсальны каждому
классу (рис. 3) (подробнее об этом см. [2], [6]),
и на том, что число параметров, нумерую-
нумерующих G-орбиты данного класса, равно и.
Следствие 1. В одно- и двухпараметри-
ческих семействах квадратичных гамильтони-
гамильтонианов встречаются как неустранимые только
Рис. 3
жордановы клетки следующих двенадцати типов
с = 1:(±аJ, (±шJ, О2
(здесь жордановы клетки обозначаются их определителями, напри-
например^ (±аJ означает пару жордановых клеток порядка 2 с собственными
числами а и —а соответственно);
с = 2:(±аK, (±шK, (±a±ibJ, О4, (±аJ(±ЬJ,
(±iaJ(±ibJ, (±аJ(±йJ, (±аJ02, (±шJ02
(остальные собственные числа простые).
Следствие 2. Пусть Ft — гладко зависящее от одного параметра
семейство общего положения квадратичных гамильтонианов. В окрест-
окрестности любого значения t = to существует гладко зависящая от t сис-
система линейных координат Дарбу, в которой а) для почти всех to, Ft
имеет вид Н\ (см. формулу A)), 6) для изолированных значений £0, Ft
имеет одну из следующих форм
Pi
(a*+Hi)Ql

§3. Семейства квадратичных гамильтонианов 21
(±ia) : ± [^1Ц/2 Н—^ ^ h (а + ^2)Ч2\ + -"л(Р? ^)?
О2: ±IV-
2 2
-i
(здесь (P, Q, p, g) — координаты Дарбу в R2m? (Л, /i) — гладкие функ-
функции параметра t, (А(£о), м(*о)) = (О? О)).
Доказательство.
Приведенные формулы являются миниверсальными деформация-
деформациями представителей классов коразмерности 1. ■
3.4. Бифуркационные диаграммы.Бифуркационной диаграм-
диаграммой деформации гамильтониана называется росток разбиения про-
пространства параметров на прообразы классов. Бифуркационные диа-
диаграммы семейств общего положения отражают (ввиду условия транс-
трансверсальности классам, см. рис. 3) структуру разбиения на классы
в самом пространстве квадратичных гамильтонианов.
На рис. 4 и 5 приведены бифуркационные диаграммы деформа-
деформаций общего положения для классов коразмерности 1 и первых четырех
классов коразмерности 2 по порядку их перечисления в формулировке
следствия 1.
Л=0 Л=0 Л=0
Рис. 4
Замечание. Не следует думать, что бифуркационная диаграм-
диаграмма вещественного квадратичного гамильтониана зависит только от
жордановой структуры. Рассмотрим следующий важный пример. Га-
мильтоновы операторы с некратным чисто мнимым спектром обра-
образуют открытое множество в пространстве гамильтоновых операто-
операторов. Гамильтоновы операторы с кратным чисто мнимым спектром, но
без жордановых клеток, образуют множество коразмерности 3 в про-
пространстве гамильтоновых операторов. Если такой оператор Н име-
имеет спектр {±\/—Т^А:}? то соответствующий гамильтониан в подходя-
подходящих координатах Дарбу имеет вид h = г ——-^ ^^ —.

22
Глава 1
Рис. 6
Рис. 5
Пусть, скажем, uj\ = uj\ ф 0. Если ин-
инварианты ел и ljj2 гамильтониана h од-
одного знака, то бифуркационная диаграм-
диаграмма представляет собой точку (класс К)
в пространстве Е3 — все близкие к h
гамильтонианы имеют чисто мнимый
спектр и не имеют жордановых клеток.
Если инварианты cji и uj2 разных знаков, то бифуркационная диаграм-
диаграмма представляет собой квадратичный конус (рис. 6), точкам которого
отвечают операторы с жордановыми клетками размера 2.
§ 4. Симплектическая группа
Приводимые ниже сведения о вещественных симплектических
группах применяются в конце раздела к теории линейных гамильто-
новых систем дифференциальных уравнений с периодическими коэф-
коэффициентами.

§ 4. Симплектическая группа 23
4.1. Спектр симплектического преобразования. Симплек-
Симплектическая группа SpBrz, Е) состоит из линейных преобразований про-
пространства Е2п, сохраняющих стандартную симплектическую структу-
структуру (j = ^pkAqk- Матрица G симплектического преобразования в базисе
Дарбу удовлетворяет поэтому определяющему соотношению G*QG = £1.
Теорема. Спектр вещественного симплектического преобразова-
преобразования симметричен относительно единичной окружности и веществен-
вещественной оси. Корневые подпространства, соответствующие симметричным
собственным числам, имеют одинаковую жорданову структуру.
Действительно, определяющее соотношение показывает, что мат-
матрицы G и С подобны над С. Это приводит к инвариантности жор-
дановой структуры симплектического преобразования и его спектра
относительно симметрии Л ь-»- Л. Вещественность дает вторую сим-
симметрию Л ь-»- Л.
4.2. Экспоненциальное отображение и параметризация Кэ-
ли (A. Cayley). Экспонента оператора задает экспоненциальное ото-
отображение Я ь-»- ехр(Я) = Y^Hk/kl пространства гамильтоновых опера-
операторов в симплектическую группу. Симплектическая группа дейсвует
сопряжениями на себе и на своей алгебре Ли. Экспоненциальное ото-
отображение инвариантно относительно этого действия: exp(G~1HG) =
= G'1 exp(H)G.
Отображение ехр является диффеомрфизмом окрестности нуля
в алгебре Ли на окрестность единицы в группе. Обратное отображение
задается рядом In С = — ^2(Е — G)k/к. Отображение ехр: spBrz, E) —>
—>• SpBrz, E) не является ни вложением, ни отображением «на». Поэтому
для изучения симплектической группы бывает полезнее параметриза-
параметризация Кэли: G = {Е + Н)(Е - Я), Я = (G - E){G + Е)-1. Эти формулы
задают диффеоморфизм са множества гамильтоновых операторов Я,
все собственные числа которых отличны от =Ы, 0, на множество сим-
плектических преобразований G, все собственные числа которых от-
отличны от =Ы.
Используя отображения са, ехр, - ехр и результаты § 2, можно по-
получить следующий результат.
Теорема. Симплектическое пространство, на котором задано
симплектическое преобразование G, распадается в прямую косоор-
тогональную сумму симплектических подпространств, на каждом из

24 Глава 1
которых преобразование G в подходящих координатах Дарбу имеет
вид ±ехр(Я)? где Н — элементарный гамильтонов оператор из п. 2.4.
Замечание. Отображение Кэли не инвариантно относительно со-
сопряжений, но операторы Н и G = са(Я) имеют общий жорданов базис.
4.3. Подгруппы симплектической группы. Симплектичес-
кие преобразования ±Е перестановочны со всеми элементами груп-
группы Sp(V2n) и образуют ее центр.
Каждая компактная подгруппа в Sp(F2n) лежит в пересече-
пересечении Sp(V2n) с ортогональной группой O(V2n) преобразований, со-
сохраняющих некоторый положительно определенный квадратичный га-
гамильтониан h = ^2 —^ —• Если все иои различны, пересечение
Sp(y2n) П O(F2n, h) является гг-мерным тором Тп и порождается пре-
преобразованиями ехр(АЯ&), гдеЯ& имеет гамильтониан ^-Цг——. Каждая
компактная коммутативная подгруппа в Sp(V2n) лежит в некотором
торе Тп описанного выше вида. Все такие торы сопряжены в симплек-
симплектической группе.
Рассмотрим нормализатор 7V(Tn) = {g G Sp(V2n) \gTng~1 = Tn}
тора Tn в симплектической группе. Фактор-группа W = 7V(Tn)/Tn
называется группой Вейля. Она конечна, изоморфна группе перестано-
перестановок п символов и действует на торе перестановками однопараметричес-
ких подгрупп ехр(АЯ&). Элементы тора сопряжены в симплектической
группе тогда и только тогда, когда они лежат в одной орбите этого
действия.
Если все (Jk равны между собой, гамильтониан h вместе с сим-
симплектической формой наделяют V2n структурой гг-мерного комплекс-
комплексного эрмитова пространства. Пересечение Sp(V2n) П O(F2n, h) совпа-
совпадает с унитарной группой Un этого пространства. Все подгруппы Un
сопряжены. Каждая компактная подгруппа в Sp(F2n) лежит в неко-
некоторой унитарной подгруппе такого вида. В частности, тор Тп и его
нормализатор 7V(Tn) лежат в (единственной) подгруппе Un.
Замечание 1. В комплексной симплектической группе SpB™, С)
максимальная компактная подгруппа изоморфна компактной симплек-
симплектической группе Spn преобразований гг-мерного пространства над те-
телом кватернионов.

§ 4. Симплектическая группа 25
Замечание 2. Тор Тп является максимальным тором и в комп-
комплексной симплектической группе: Тп С SpBrz, Е) С SpBrz, С), но его
нормализатор 7Vc(Tn) в SpBrz, С) отличается от нормализатора 7V(Tn)
в SpBn, Е). Группа Вейля Wc = 7Vc(Tn)/Tn действует на Тп ком-
композициями перестановок подгрупп exp(XHk) и отражений ехр(А77&) ь-»-
Пример. Группа Spi С SpB, С) единичных кватернионов совпа-
совпадает с группой SUB). В качестве максимального тора в SpB, С) мож-
можно взять группу SOB) поворотов плоскости. В данном случае мак-
максимальный тор совпадает с максимальной компактной подгруппой Ui
в SpB, Е). Группа Вейля W тривиальна. Комплексная группа Вейля We
изоморфна Z/2Z. Ее действие на SOB) задается сопряжением с помо-
помощью матрицы diag(\/-T, — \/—Г)-
4.4. Топология симплектической группы. Теорема. Мно-
Многообразие SpBrz, E) диффеоморфно декартову произведению унитарной
группы Un на векторное пространство размерности п(п + 1).
Ключ к доказательству дает полярное разложение: обратимый опе-
оператор А в евклидовом пространстве однозначно представляется в виде
произведения S*U обратимого симметрического положительного опера-
оператора S = (ЛЛ*I/2 и ортогонального оператора U = S~1A. Для симплек-
тических операторов Л, действующих в овеществлении Е2п эрмитова
пространства Сп, операторы U оказываются унитарными, а логариф-
логарифмы In 5 операторов S заполняют п(п + 1)-мерное пространство симмет-
симметрических гамильтоновых операторов.
Следствие. 1) Симплектическая группа SpB™, E) стягивается
на унитарную подгруппу Un.
2) Симплектическая группа SpBrz, E) связна. Фундаментальная
группа 7Ti(SpBrz, E)) изоморфна Ъ.
Последнее вытекает из свойств многообразия Un: Un ~ SUn x S1
(функция detc: Un -» {z G С | \z\ = 1} задает проекцию на второй
сомножитель); группа SUn, связна и односвязна (это следует из точных
чтт
гомотопических последовательностей расслоений SUn ^—-> S2n~1).
Пример. Группа SpB, E) диффеоморфна произведению открытого
круга на окружность.

26 Глава 1
4.5. Линейные гамильтоновы системы с периодическими
коэффициентами [12]. Пусть h — квадратичный гамильтониан, ко-
коэффициенты которого непрерывно зависят от времени t и периодичны
по t с общим периодом. Гамильтониану h отвечает линейная гамильто-
нова система с периодическими коэффициентами
a-dh fi-_d]± m
q~ dp' P~ dq B)
Такие системы встречаются при исследовании устойчивости пери-
периодических решений нелинейных гамильтоновых систем, в теории авто-
автоматического регулирования и вопросах параметрического резонанса.
Назовем систему B) устойчивой, если все ее решения ограничены
при t -> ос, и сильно устойчивой, если все близкие линейные гамиль-
гамильтоновы системы с периодическими коэффициентами тоже устойчивы
(близость понимается в смысле нормы max ||/i(f)||).
Две сильно устойчивые гамильтоновы системы будем называть го-
гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать друг в дру-
друга, оставаясь в классе сильно устойчивых систем вида B).
Отношение гомотопии разбивает все сильно устойчивые систе-
системы B) порядка 2п на классы. Оказывается, классы гомотопии естес-
естественно нумеруются 2п наборами из п знаков «=Ь» и еще одним цело-
целочисленным параметром. При этом число 2п появляется как отношение
порядков групп Вейля We и W, а в качестве целочисленного параметра
выступает элемент фундаментальной группы 7Ti(SpBrz, Ж)).
Рассмотрим отображение Gt • Е2п —> М2п, сопоставляющее началь-
начальному условию х@) значение решения x(t) уравнения B) с этим началь-
начальным условием в момент времени t. Мы получаем непрерывно диффе-
дифференцируемую кривую Gt в симплектической группе SpBrz, E), которая
однозначно определяет исходную систему уравнений. Кривая Gt начи-
начинается в единице группы: Gq = Е, и если to — период гамильтониана /i,
то Gt+tQ = GtGt0- Преобразование G = Gt0 называется оператором мо-
монодромии системы B). Устойчивость и сильная устойчивость систе-
системы B) — это свойства ее оператора монодромии.
Теорема А. Система B) устойчива тогда и только тогда, ког-
когда ее оператор монодромии диагонализуем и все его собственные числа
лежат на единичной окружности.
Действительно, устойчивость системы B) равносильна ограничен-
ограниченности циклической группы {Gm} оператора монодромии. Последнее

§4. Симплектическая группа 27
означает, что замыкание этой группы в SpBrz, Е) компактно, т.е. опе-
оператор монодромии лежит в некотором торе Тп С SpBrz, Е).
Мы можем считать Тп диагональной подгруппой группы уни-
унитарных преобразований пространства Сп. Тогда оператор монодромии
устойчивой системы примет вид G = diag(Ai, ... , Лп), |А&| = 1.
Теорема Б. Система B) сильно устойчива, если и только если
между числами А& нет соотношений вида А&А; = 1.
Замечание. Если оператор монодромии устойчивой системы име-
имеет некратный спектр, то система сильно устойчива. Кратность спектра
означает, что Хк — А;, либо XkXi = 1. Эти уравнения выделяют непо-
неподвижные точки преобразований из группы Вейля We на торе Тп. Не-
Неподвижные точки преобразований из группы Вейля W задаются урав-
уравнениями А& = А;. Используя параметризацию Кэли, можно проверить,
что разбиение на классы сопряженных элементов в окрестности опера-
оператора монодромии G Е Тп устроено так же, как и разбиение на клас-
классы эквивалентности квадратичных гамильтонианов в окрестности га-
гамильтониана h = — ^ —. При этом соотношениям А/, = А; ф ±1
отвечают кратные инварианты одного знака: иок = щ ф 0, а соотноше-
соотношениям А/,А; = 1 — инварианты разных знаков: ujk + uji = 0. Замечание
в п. 3.4 объясняет, почему сильная устойчивость нарушается лишь во
втором случае.
Среди собственных чисел А^1 оператора монодромии сильно устой-
устойчивой системы выберем те, которые лежат на верхней полуокружнос-
полуокружности Im A > 0. Мы получаем корректно определенную последовательность
из п показателей =Ы. При деформациях системы B) в классе сильно
устойчивых систем эта последовательность не меняется: из-за соотно-
соотношений А/, А; ф 1 собственные числа не могут ни сойти с полуокружнос-
полуокружности, ни поменяться местами, если они имеют показатели разного знака.
Теорема В. Операторы монодромии сильно устойчивых сис-
систем B) образуют открытое множество Stn в симплектической груп-
группе SpBrz, Ж), состоящее из 2п связных компонент, соответствую-
соответствующих 2п различным последовательностям показателей.
На рис. 7 изображено множество Sti в группе SpB, E). В общем
случае почти вся граница множества Stn состоит из неустойчивых
операторов. Устойчивые, но не сильно устойчивые операторы монодро-
монодромии также лежат на границе и образуют множество коразмерности 3

28
Глава 1
Рис. 7
Рис. 8
в симплектической группе. В таких точках граница имеет особенность
(в простейшем случае, как у квадратичного конуса в R3, рис. 6). Осо-
Особенности границы множества сильной устойчивости вдоль стратов ко-
коразмерности 2 можно увидеть на рис. 5 б, г.
Теорема Г. Каждая компонента множества Stn односвязна.
При гомотопии системы B) кривая Gt, t £ [0, to], с началом в еди-
единице и концом в точке, отвечающей оператору монодромии, непрерывно
деформируется в симплектической группе. Обратно, гомотопным кри-
кривым Gt соответствуют гомотопные системы B).
Теорема Д. Классы гомотопии систем B), операторы моно-
монодромии которых лежат в той же компоненте множества Stn? что
и оператор монодромии G данной системы, находятся во взаимно
однозначном соответствии с элементами фундаментальной группы
7Ti(SpBrz, Е)) = Ъ (системе B) с тем же оператором монодромии G
отвечает в фундаментальной группе класс образовавшейся замкнутой
кривой в SpBrz, Е), рис. 8).
Замечание. По-существу, мы описали относительную гомотопи-
гомотопическую «группу» тг = 7Ti(SpBrz, Е), Stn) в терминах точной гомотопи-
гомотопической последовательности
7Ti(Stn)
Z, Е)) -> 7Г -> 7T0(Stn)
где 7To(SpBrz, Е)) = 0 (симплектическая группа связна), 7Ti(Stn) = О
(теорема Г), 7n(SpB™, Е)) = Z, #7ro(Stn) = 2п (теорема В).

Глава 2
Симплектические многообразия
§ 1. Локальная симплектическая геометрия
1.1. Теорема Дарбу. Симплектической структурой на глад-
гладком четномерном многообразии называется замкнутая невырожден-
невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Многообразие, снабженное сим-
симплектической структурой, называется симплектическим многообра-
многообразием. Диффеоморфизм симплектических многообразий, переводящий
симплектическую структуру одного в симплектическую структуру
другого, называется симплектическим преобразованием или симплек-
томорфизмом1.
Касательное пространство в каждой точке симплектического мно-
многообразия является симплектическим векторным пространством. Усло-
Условие замкнутости в определении симплектической структуры связывает
кососкалярные произведения в касательных пространствах к соседним
точкам таким образом, что локальная геометрия симплектических мно-
многообразии оказывается универсальной.
Теорема Дарбу. Симплектические многообразия одинаковой раз-
размерности локально симплектоморфны.
Следствие. Симплектическая структура на гладком многообра-
многообразии в окрестности любой точки имеет вид dpi A dqi + ... + dpn A dqn
при подходящем выборе локальных координат pi, ... , pn, #i, ... , qn.
Условие невырожденности заслуживает особого обсуждения. Его
отсутствие в определении Симплектической структуры сделало бы ло-
локальную классификацию таких структур необозримой. Все же в случае
вырождений постоянного ранга ответ прост: замкнутая дифференци-
дифференциальная 2-форма постоянного коранга к в подходящих локальных коор-
координатах ри ... , рто, qu ... , qm, Ж1, ... , хк имеет вид dpx A dqx + ... +
-\-dpm A dqm.
1В литературе используется также традиционное название: «каноническое пре-
преобразование».

30 Глава 2
1.2. Пример: вырождения замкнутых 2-форм в Е4. Пусть
и — замкнутая дифференциальная 2-форма общего положения на 4-мер-
4-мерном многообразии.
а) В общей точке многообразия форма и) невырождена и в ее
окрестности при подходящем выборе координат приводится к виду
Дарбу dpi Л dqi + dp2 Л dq2.
б) В точках гладкого трехмерного подмногообразия форма и имеет
ранг 2. В общей точке этого подмногообразия двумерное ядро формы и
трансверсально ему. В окрестности такой точки и приводится к ви-
виду pi dpi Л dqi + dp2 Л dq2.
в) Следующее вырождение общей формы и происходит в точках
гладкой кривой на нашем трехмерном подмногообразии. В общей точке
кривой двумерное ядро формы uj касается трехмерного многообразия,
но трансверсально этой кривой. В окрестности такой точки форма и)
приводится к одному из двух видов
d(x - y) л аУ + d(xz ± ty ~ \) Л dt-
(x
Поле ядер формы и высекает поле направлений на трехмерном много-
многообразии. Линии поля, отвечающие знаку + в нормальной форме, изоб-
изображены на рис. 9. При знаке — вращение спирали заменяется гипербо-
гиперболическим поворотом (см. [58], [68], [3]).
г) Гиперболические и эллипти-
ческие участки нашей кривой разде-
лены параболическими точками, в ко-
торых двумерное ядро формы и каса-
касается и трехмерного подмногообразия,
и самой кривой. Здесь известно толь-
рис g ко, что имеется по меньшей мере один
модуль — непрерывный числовой па-
параметр, различающий неэквивалентные вырождения формы в окрест-
окрестности параболической точки [46].
д) Все более глубокие вырождения формы ш (например, обращение
ее в нуль в изолированных точках) устранимы малым возмущением
в классе замкнутых 2-форм.
1.3. Ростки подмногообразий симплектического простран-
пространства. Здесь мы обсудим вопрос, при каких условиях два ростка глад-

§1. Локальная симплектическая геометрия 31
ких подмногообразий симплектического пространства можно перевес-
перевести друг в друга локальным диффеоморфизмом объемлющего простран-
пространства, сохраняющим симплектическую структуру. Ростки подмногооб-
подмногообразий, для которых это возможно, мы будем называть эквивалентными.
Ограничение симплектической структуры объемлющего пространства
на подмногообразие определяет на нем замкнутую 2-форму, возможно,
вырожденную. У эквивалентных ростков эти вырождения одинаковы,
другими словами — совпадают их внутренние геометрии. Если это тре-
требование выполнено, то существует локальный диффеоморфизм объем-
объемлющего пространства, переводящий друг в друга два ростка подмного-
подмногообразий вместе с ограничениями на них симплектической структуры
из объемлющего пространства, но не обязательно сохраняющий саму
эту структуру. Таким образом, мы можем считать, что имеются один
росток подмногообразия и две симплектические структуры в окрест-
окрестности подмногообразия, совпадающие при ограничении на него. Два
ростка подмногообразий евклидова пространства с одинаковой внут-
внутренней геометрией могут иметь разную внешнюю геометрию. В сим-
плектическом пространстве это не так.
Относительная теорема Дарбу I. Пусть задан росток гладко-
гладкого подмногообразия в начале координат пространства Е2п и два рост-
ростка симплектических структур о;0 и o;i в окрестности начала коорди-
координат, ограничения которых на это подмногообразие совпадают. Тогда
существует росток диффеоморфизма пространства Е2п? тождествен-
тождественный на подмногообразии и переводящий ujq в uj\.
Если подмногообразие — точка, мы получаем теорему Дарбу
из п. 1.1.
Доказательство.
Мы применяем гомотопический метод. Можно считать, что под-
подмногообразие — это линейное подпространство X и что дифференци-
дифференциальные формы ujq и uj\ совпадают в начале координат (второе следу-
следует из линейной «относительной теоремы Дарбу», п. 1.2, гл. 1). Тогда
u)t = A — t)ujQ + twi — симплектические структуры в окрестности на-
начала координат при всех t E [0, 1]. Будем искать семейство диффеомор-
диффеоморфизмов, переводящих ujt в uj§ и тождественных на X, или, что эквива-
эквивалентно, семейство Vt векторных полей, равных нулю на X и удовлетво-
удовлетворяющих гомологическому уравнению LVtcjt + {(^i — &о) = 0 (здесь Ly —
производная Ли). Так как формы ujt замкнуты, мы можем перейти

32 Глава 2
к уравнению iVtu)t + & = 0, где ivu; — внутреннее произведение поля
и формы, a a — 1-форма, определенная условием da = и)\ — ujq однознач-
однозначно с точностью до прибавления дифференциала функции. Ввиду невы-
невырожденности симплектических структур u)t, это уравнение однозначно
разрешимо при любой 1-форме а. Поэтому нам осталось показать, что
форму а можно взять равной нулю в точках подпространства X. Пусть
x-l = ... = хк = 0 — уравнения X, г/ь ... , уъп-ь, — остальные коорди-
координаты в Е2п. Так как форма и)\ - и;0 равна нулю на X, то
где а{ — 1-формы, /^, / — функции, причем / зависит только от у.
Следовательно, мы можем заменить а на форму
лг{аг i
равную нулю в точках X.
1.4. Классификация ростков подмногообразий. Относитель-
Относительная теорема Дарбу позволяет перерабатывать информацию о вырож-
вырождениях замкнутых 2-форм в результаты по классификации ростков
подмногообразий симплектического пространства. Так, перечисленные
в п. 1.2 вырождения замкнутых 2-форм в Е4 реализуются ограниче-
ограничением стандартной симплектической структуры в Е6 на ростки в нуле
следующих 4-мерных подмногообразий (pl5 p2? Рз? <7ъ <72? </з — коорди-
координаты Дарбу в Е6):
а') Рз = 2з = 0; 2
б') <7з = 0, pi = у; з
Теорема. Росток гладкого 4-мерного подмногообразия общего по-
положения в п-мерном симплектическом пространстве локальной сим-
симплектической заменой переменных приводится к виду
а') — в общей точке,
б1) — в точках гладкого 3-мерного подмногообразия;
в') — в точках на гладкой кривой, и неустойчив в изолированных
(параболических) точках.
Здесь мы столкнулись с вопросом о реализации: какова наимень-
наименьшая размерность симплектического пространства, в котором заданное

§ 1. Локальная симплектическая геометрия 33
вырождение замкнутой 2-формы реализуется ограничением симплек-
симплектической структуры на подмногообразие? Ответ дает
Теорема о продолжении. Замкнутую 2-форму на подмногообра-
подмногообразии четномерного многообразия тогда и только тогда можно продол-
продолжить до симплектической структуры в окрестности некоторой точ-
точки, когда коранг формы в этой точке не превосходит коразмерности
подмногообразия. Операцию продолжения можно сделать непрерывной
в С°°-топологии (т.е. близким формам можно сопоставить близкие
продолжения).
1.5. Внешняя геометрия подмногообразий. Мы приводим
глобальные аналоги предыдущих теорем.
Относительная теорема Дарбу II. Пусть М — четномерное
многообразие, N — подмногообразие, lj0, uji — две симплектические
структуры на М7 ограничения которых на N совпадают. Предполо-
Предположим, что ljq и uji непрерывно деформируются друг в друга в классе
симплектических структур на М, совпадающих с ними на N. Тогда
существуют окрестности Uq и U\ подмногообразия N в М и диффео-
диффеоморфизм g: Uq -> U\, тождественный на N, который переводит uji\u
gwq\Uq: g*ui = Не-
Неотличительная трудность глобального случая состоит в том, чтобы
выяснить, гомотопны ли в указанном выше смысле структуры шои^:
линейная комбинация tuj\ + (I — £)^о может по дороге вырождаться. Су-
Существуют примеры, показывающие, что это условие нельзя отбросить,
даже если не требовать тождественности диффеоморфизма g на N. Го-
мотопия существует, если симплектические структуры ujq и ьо\ совпа-
совпадают не только на векторах, касательных к JV, т. е. на 7W, а на всех
векторах, касательных к М и приложенных в точках JV, т. е. на Т^М.
В этом случае линейная комбинация tu\ + A — t)coo при всех t E [0, 1]
будет невырожденной в точках N и, следовательно, в некоторой окрест-
окрестности N в М.
Доказательство глобальной теоремы совершенно аналогично приве-
приведенному выше для ее локального варианта. Нужно лишь вместо «интег-
«интегрирования по частям» — координатного рассуждения в заключительной
части доказательства — использовать следующую лемму:
Относительная лемма Пуанкаре (Н. Poincare). Замкнутая
дифференциальная k-форма на М, равная нулю на TN, в трубчатой

34 Глава 2
окрестности N в М представляется как дифференциал (к - 1)-формы,
равной нулю на TjyM.
Основа доказательства этой леммы — коническое стягивание нор-
нормального расслоения на нулевое сечение (см. [74]).
Теорема о продолжении II. Пусть N — подмногообразие в М,
и на слоях расслоения Т^М -Л М задано гладкое поле внешних невырож-
невырожденных 2-форм, ограничение которых на подрасслоение TN определяет
на N замкнутую 2-форму. Тогда это поле форм можно продолжить до
симплектической структуры на окрестности подмногообразия N в М.
Остается открытым вопрос о размерности симплектического мно-
многообразия М, в котором заданное вместе с замкнутой 2-формой много-
многообразие N реализуется как подмногообразие. В этом направлении при-
приведем следующий результат.
Теорема о продолжении III. Любое многообразие N вместе с за-
замкнутой дифференциальной 2-формой ш реализуется как подмногообра-
подмногообразие в симплектическом многообразии М размерности 2dimiV.
В качестве многообразия М достаточно взять кокасательное рас-
расслоение T*N. Проекция тг: T*N —> N определяет замкнутую 2-фор-
му тг*о; на T*N, но заведомо вырожденную. Оказывается, на кокаса-
тельном расслоении существует каноническая симплектическая струк-
структура, равная нулю на нулевом сечении и в сумме с тг*о; снова невырож-
невырожденная. С описания канонической структуры мы начнем следующий
параграф.
1.6. Комплексный случай. Определение симплектической
структуры и теорема Дарбу дословно переносятся на случай комплекс-
комплексно-аналитических многообразий. То же самое относится к содержанию
п. 1.3 и теореме о продолжении III. Справедливы ли остальные
результаты § 1 в комплексно-аналитической категории, неизвестно.
§ 2. Примеры симплектических многообразии
В этом разделе мы обсуждаем три источника примеров симплекти-
симплектических многообразий — кокасательные расслоения, комплексные про-
проективные многообразия и орбиты коприсоединенного действия групп
Ли1.
1Другие конструкции, приводящие к симплектическим многообразиям (напри-
(например, многообразиям геодезических), см. в пп. 1.5 и 3.2 главы 3.

§2. Примеры симплектических многообразии 35
2.1. Кокасательные расслоения. Определим каноническую сим-
плектическую структуру на пространстве Т*М кокасательного рас-
расслоения произвольного (вещественного или комплексного) многообра-
многообразия М. Сначала введем на Т*М дифференциальную 1-форму дейст-
действия а. Точка многообразия Т*М определяется заданием линейного
функционала р Е Т£М на касательном
пространстве ТаМ к М в некоторой точ-
точке х £ М. Пусть £ — касательный вектор
к Т*М, приложенный в точке р (рис. 10).
Проекция тг: Т*М —> М определяет ка-
касательный вектор тг*£ к М, приложенный
в точке х. Положим теперь ар(^) = р(тг*£).
В локальных координатах (д, р) на Т*М, где
Pi, ••• , Рп — координаты на Г^М, двойст-
венные к координатам dqi, ... , dqn на Г^М,
1-форма а имеет вид а = ^р^ dqk- Поэтому рис ^q
дифференциальная 2-форма со = da задает
симплектическую структуру на Г*М. Это и есть наша каноническая
структура.
Кокасательные расслоения постоянно эксплуатируются классичес-
классической механикой в качестве фазовых пространств гамильтоновых систем.
Базовое многообразие М называется конфигурационным пространст-
пространством, а функционал р — обобщенным импульсом механической системы,
имеющей «конфигурацию» х = тт(р). Пример: Конфигурации закреплен-
закрепленного в точке твердого тела образуют многообразие SOC). Обобщенный
импульс — трехмерный вектор момента импульса тела относительно
точки закрепления.
2.2. Комплексные проективные многообразия.Точки комп-
комплексного проективного пространства СРП — одномерные подпростран-
подпространства в Cn+1. Комплексным проективным многообразием называется
неособое подмногообразие в СРП общих нулей системы однородных
полиномиальных уравнений от координат (zq, ... , zn) в Cn+1. Оказы-
Оказывается, на любом ^-мерном комплексном проективном многообразии,
рассматриваемом как 2&-мерное вещественное многообразие, сущест-
существует симплектическая структура. Она строится так. Сначала вводится
симплектическая структура на СРП, являющаяся мнимой частью эр-
эрмитовой метрики на СРП (ср. п. 1.1, гл. 1). Ограничение этой симплек-

36 Глава 2
тической структуры на проективное многообразие М С СРП задает
замкнутую 2-форму на М. Она является мнимой частью ограничения
на М исходной эрмитовой метрики на СРП, откуда следует ее невы-
невырожденность. Поэтому остается лишь предъявить обещанную эрмитову
метрику на СРП.
Для этого рассмотрим эрмитову форму (, ) в пространстве Cn+1.
Касательное пространство в точке многообразия СРП отождествляет-
отождествляется с эрмитовым ортогональным дополнением соответствующей прямой
в Cn+1 однозначно с точностью до умножения на ег(р. Поэтому огра-
ограничение формы (, ) на это ортогональное дополнение однозначно опре-
определяет эрмитову форму на касательном пространстве к СРП. Постро-
Построенная таким образом эрмитова метрика на СРП инвариантна относи-
относительно унитарной группы Un+i пространства Cn+1. Поэтому мнимая
часть и) нашей эрмитовой метрики и ее дифференциал duj ип+1-инва-
риантны. В частности, форма duj инвариантна относительно стабили-
стабилизатора Un произвольной точки в СРП, действующего на касательном
пространстве к этой точке. Поскольку группа Un содержит умножение
на -1, любая Un — инвариантная внешняя 3-форма в овеществлении
пространства Сп равна нулю, откуда следует, что дифференциальная
2-форма со замкнута.
В явном виде, пусть (z, z) = ^ZkZki wk = y~ — аффинная карта
на СРП. Тогда форма lo пропорциональна
где 9, д — дифференциалы по голоморфным и антиголоморфным ко-
координатам соответственно. Множитель выбран таким образом, чтобы
интеграл по проективной прямой СР1 С СРП был равен 1.
2.3. Кэлеровы и симплектические многообразия. Комп-
Комплексные проективные многообразия представляют собой подкласс клас-
класса кэлеровых многообразий. Кэлеровой структурой на комплексном
многообразии называется эрмитова метрика на нем, мнимая часть
которой замкнута, т.е. является симплектической структурой. Как
и в предыдущем пункте, комплексное подмногообразие кэлерова мно-
многообразия само кэлерово. Кэлеровы многообразия обладают специфи-

§2. Примеры симплектических многообразии
37
ческими геометрическими свойствами. В частности, имеет место раз-
разложение Ходжа (W.Hodge) в когомологиях компактного кэлерова мно-
многообразия М:
нк(м, с) = е Hpq, н™ = Hpq,
p+q=k
где Hpq состоит из классов, представимых комплекснозначными замк-
замкнутыми дифференциальными ^-формами на М типа (р, q). Последнее
означает, что в базисе dz\, ... , dzn, dz\, ... , dzn комплексифицирован-
ного кокасательного пространства форма является линейной комбина-
комбинацией внешних произведений р штук dz{ и q штук dzj.
С другой стороны, симплектическую структуру на многообразии
всегда можно усилить до квазикэлеровой структуры, т. е. комплексной
структуры на касательном расслоении и эрмитовой метрики, мнимая
часть которой замкнута. Это вытекает из стягиваемости структурной
группы SpBn, Ш) касательного расслоения симплектического многооб-
многообразия на унитарную группу Un.
Пример [74]. Существуют компактные симплектические многооб-
многообразия, не обладающие кэлеровой структурой. Рассмотрим в стандарт-
стандартном симплектическом пространстве Е4 с координатами pi, gi,P2, Q2 дей-
действие группы, порожденной следующими симплектоморфизмами:
a: q2 И-
d: (pi, q
+
Ь: р2 И- р2 + 1,
*-> (Pi +1, ЯъР
+ 1,
По-другому это действие можно описать, как левые сдвиги в группе G
матриц вида A) элементами дискретной подгруппы Gz целочисленных
матриц.
A)
Поэтому фактор-пространство М = G/Gz является гладким симплек-
тическим многообразием. Функции gi, p2 (mod Щ задают отображе-
отображение М —> Т2, являющееся расслоением над тором Т2 со слоем Т2, поэ-
поэтому М компактно.
1—1
0
0
Pi
1
0
о
Q2
Р2
1
1
0
0
41
1

38 Глава 2
Фундаментальная группа tti(M) изоморфна С%, а группа
Н1(М, Z) = Gz/[Gz? Gz] — коммутант [Gz, Gj\ порождается элемен-
элементом bdb~1d~1 = а, поэтому dime Нг(М, С) = 3 — размерность про-
пространства одномерных когомологий М нечетна! Но из разложения Ход-
Ходжа следует, что у кэлерова многообразия пространства нечетномерных
когомологий четномерны.
2.4. Орбиты коприсоединенного действия групп Ли. Пусть
G — связная группа Ли, д = TeG — ее алгебра Ли. Действие груп-
группы на себя сопряжениями имеет неподвижную точку е G G — едини-
единицу группы. Дифференциал этого действия определяет присоединенное
представление Ad: G -^ GL(TeG) группы в ее алгебре Ли. Сопряжен-
Сопряженное представление Ad* : G —> GL(Te*C) в двойственном пространстве
алгебры Ли называется коприсоединенным представлением группы. Со-
Соответствующее присоединенное ad: g —> Eng(g) и коприсоединенное
ad*: g —> Eng(g*) представления алгебры Ли в явном виде задаются
формулами
s,dxy = [ж, у], x,yeg, (ad*C) | у = £([у, ж]), ж, у Е д, С € 9%
где [ , ] — коммутатор в алгебре Ли д.
Теорема. Каждая орбита коприсоединенного действия группы Ли
обладает симплектической структурой.
Она строится следующим образом. Отображение х \-^ ad*£
отождествляет касательное пространство к орбите коприсоединен-
коприсоединенного представления в точке £ Е Q* с пространством q/q^, где
Q^ = {ж Е Q | ad*£ = 0} — аннулятор функционала £. На пространст-
пространстве q/q^ корректно определено невырожденное кососкалярное произве-
произведение £([ж, у]). Замкнутость получающейся таким образом симплекти-
симплектической формы на орбите следует из тождества Якоби в алгебре Ли.
Следствие. Орбиты коприсоединенного действия четномерны.
Пример. Пусть G = Un+i. Присоединенное представление в этом
случае изоморфно коприсоединенному, поэтому орбиты присоединен-
присоединенного действия имеют симплектическую структуру. Алгебра Ли уни-
унитарной группы состоит из косоэрмитовых операторов в Cn+1. Орбита
косоэрмитова оператора ранга 1 изоморфна СРП, и мы получаем новое
определение введенной в п. 2.2 симплектической структуры на комп-
комплексном проективном пространстве.

§3. Скобка Пуассона 39
Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного дей-
действия играет важную роль в теории групп Ли и их представлений
(см. [15], [53]).
§ 3. Скобка Пуассона
Симплектическая структура на многообразии позволяет ввести
в пространстве гладких функций на этом многообразии структуру ал-
алгебры Ли — скобку Пуассона. В п. 3.1 изложена эта конструкция и
сформулированы на языке скобки Пуассона свойства «законов сохра-
сохранения» классической механики. Остальная часть параграфа посвящена
важному обобщению понятия симплектической структуры, за основу
которого взяты свойства скобки Пуассона.
3.1. Алгебра Ли функций Гамильтона (W.R.Hamilton).
Пусть М — симплектическое многообразие. Кососкалярное произве-
произведение и задает изоморфизм 7": Т*М —> ТМ кокасательного и касатель-
касательного расслоений, т.е. соответствие между дифференциальными 1-фор-
мами и векторными полями на М, по правилу с<;(-, /£) = £(•).
Пусть Н — гладкая функция на М. Векторное поле I dH назы-
называется гамильтоновым полем с функцией Гамильтона (или гамильто-
гамильтонианом) Н. Эта терминология оправдывается тем, что в координатах
Дарбу поле I dH имеет вид системы уравнений Гамильтона:
dq'
Теорема А. Фазовый поток гладкого векторного поля на М тогда
и только тогда сохраняет симплектическую структуру, когда вектор-
векторное поле локально гамилътоново.
Следствие. {Теорема Лиувилля (J.Liouville)). Гамильтоновый по-
поток сохраняет фазовый объем из Л ... Л ш.
Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли относи-
относительно операции коммутирования. Теорема А означает, что подалгеб-
подалгебра Ли векторных полей, потоки которых сохраняют симплектическую
структуру, при изоморфизме 1~г переходит в пространство замкнутых
1-форм.

40 Глава 2
Теорема Б. Коммутатор в алгебре Ли замкнутых 1-форм на М
имеет вид [а, /3] = du){Ia, 1C).
Следствие 1.Коммутатор локально гамильтоновых полей v\,V2 —
гамильтоново поле с гамильтонианом t<;(?;i, г^).
Определим скобку Пуассона { , } в пространстве гладких функций
на М формулой {Н, F} = co(I dH, I dF). В координатах Дарбу
Следствие 2. Функции Гамильтона образуют алгебру Ли относи-
относительно скобки Пуассона, т. е. имеют место билинейность, антиком-
антикоммутативность {Н, F} = —{F, Н} и тождество Якоби (С. G. Jacobi)
{F, {G, Я}} + {G, {H, F}} + {Н, {F, G}} = 0.
Имеет место формула Лейбница (G. W. Leibniz)
{Н, F^} = {H, Fi}F2 + Fi{H, F2}.
Применение этих формул к гамильтоновой механике основано на
следующем очевидном факте.
Теорема В. Производная функции F вдоль векторного поля с га-
гамильтонианом Н равна скобке Пуассона {Н, F}.
Следствие, а) Закон сохранения энергии: функция Гамильтона яв-
является первым интегралом своего гамилътонова потока.
б) Теорема Э. Нётер (Е. Noether): гамильтониан F? поток ко-
которого сохраняет гамильтониан Н', является первым интегралом по-
потока с гамильтонианом Н.
в) Теорема Пуассона: скобка Пуассона первых интегралов га-
гамилътонова потока — снова первый интеграл.
Пример. Если в механической системе сохраняются две компо-
компоненты Mi, M.2 вектора момента импульса, то сохраняется и третья
М3 = {Mi, M2}.

§ 3. Скобка Пуассона 41
3.2. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на
многообразии называется билинейная операция { , } в пространстве
гладких функций на нем, удовлетворяющая требованию антикоммута-
антикоммутативности, тождеству Якоби и правилу Лейбница (см. следствие 2 пре-
предыдущего пункта). Эту операцию мы будем также называть скобкой
Пуассона. Первые два свойства скобки Пуассона означают, что она за-
задает в пространстве гладких функций на многообразии структуру ал-
алгебры Ли. Из правила Лейбница следует, что скобка Пуассона любой
функции с функцией, имеющей второй порядок нуля в данной точ-
точке, обращается в этой точке в нуль, поэтому пуассонова структура
определяет внешнюю 2-форму на каждом кокасательном пространст-
пространстве к многообразию, гладко зависящую от точки приложения. Обратно,
значение такой 2-формы на паре d/, dg дифференциалов функций опре-
определяет кососимметрическое бидифференцирование (/, g) —> (W(f, g))
функций, то есть билинейную кососимметрическую операцию, удовле-
удовлетворяющую тождеству Лейбница по каждому аргументу.
Пусть на многообразии заданы два гладких поля V и W внешних
2-форм в кокасательном расслоении. Их скобкой Схоутена (J.A.Schouten)
[У, W] называется гладкое поле 3-линейных форм на кокасательном рас-
расслоении, определенное следующей формулой
[V, W]((f, g, h) = V(f, W(g, h)) + W(f, V(g, h)) + ...,
где многоточием обозначены члены с циклически переставленными /, g
и h.
Лемма. Гладкое поле W внешних 2-форм на кокасательных про-
пространствах к многообразию тогда и только тогда задает на нем пуас-
сонову структуру, когда [W, W] = 0.
В координатах пуассонова структура задается тензором
где Wij — гладкие функции, удовлетворяющие условиям: при всех i, j, k
= —Wji И
9wik dwkj dwj

42 Глава 2
Пуассонова структура, как и симплектическая, определяет гомо-
гомоморфизм алгебры Ли гладких функций в алгебру Ли векторных полей
на многообразии: производная функции g вдоль поля функции / рав-
равна {/, g}. Такие поля называются гамильтоновыми, их потоки сохраня-
сохраняют пуассонову структуру. Гамильтонианы, которым отвечают нулевые
поля, называются функциями Казимира (Н. Casimir) и образуют центр
алгебры Ли функций. В отличие от невырожденного симплектическо-
го случая, центр может состоять не только из локально постоянных
функций.
Следующая теорема помогает понять устройство пуассоновых мно-
многообразий и их связь с симплектическими. Назовем две точки пуас-
пуассонова многообразия эквивалентными, если существует соединяющая
их кусочно-гладкая кривая, каждый сегмент которой есть траектория
гамильтонова векторного поля. Векторы гамильтоновых полей порож-
порождают касательное подпространство в каждой точке пуассонова много-
многообразия. Его размерность называется рангом пуассоновой структуры
в данной точке и равна рангу кососимметрической 2-формы, опреде-
определенной на кокасательном пространстве.
Теорема о слоении ([16], [75]). Класс эквивалентности любой
точки пуассонова многообразия — симплектическое подмногообразие
размерности, равной рангу пуассоновой структуры в этой точке.
Таким образом, пуассоново многообразие разбивается на симплек-
тические слои, которые в совокупности определяют пуассонову струк-
структуру: скобку Пуассона функции можно вычислять по их ограничени-
ограничениям на симплектические слои. Трансверсаль к симплектическому слою
в любой точке пересекает соседние симплектические слои трансвер-
сально по симплектическим многообразиям и в окрестности исходной
точки наследует пуассонову структуру.
Теорема о расщеплении [75]. Росток пуассонова многообразия
в любой точке изоморфен {как пуассоново многообразие) произведению
ростка симплектического слоя на росток трансверсалъного пуассонова
многообразия этой точки. Последний определен однозначно с точнос-
точностью до изоморфизма ростков пуассоновых многообразий.
Эта теорема сводит изучение пуассоновых многообразий в окрест-
окрестности точки к случаю точки нулевого ранга.
3.3. Линейные пуассоновы структуры. Пуассонова структу-
структура в векторном пространстве называется линейной, если скобка Пуассо-

§3. Скобка Пуассона 43
на линейных функций снова линейна. Линейная пуассонова структура
в векторном пространстве — это в точности структура алгебры Ли
в сопряженном пространстве; симплектические слои линейной струк-
структуры — орбиты коприсоединенного действия этой алгебры Ли, функции
Казимира — инварианты этого действия.
В точке х нулевого ранга на пуассоновом многообразии кор-
корректно определена линейная аппроксимация пуассоновой структуры —
линейная пуассонова структура на касательном пространстве этой
точки (или структура алгебры Ли на кокасательном пространст-
пространстве): [dxf, dxg] = dx(f, g}.
Теорема об аннуляторе. Пусть д — алгебра Ли £ £ д*,
gtg^ = {ж Е д | ad*£ = 0} — аннулятор £ в д. Линейная аппроксима-
аппроксимация трансверсалъной пуассоновой структуры к орбите коприсоединен-
коприсоединенного действия в точке £ канонически изоморфна линейной пуассоновой
структуре в сопряженном пространстве аннулятора д^.
Изоморфизм задается отображением 0*/adg*£ —> Q% пространств
определения рассматриваемых линейных пуассоновых структур, двой-
двойственным к вложению д^ ^ д.
Следствие 1. Каждый элемент полупростой алгебры Ли ранга г
содержится в г-мерной коммутативной подалгебре.
Доказательство.
1°. Одно из возможных определений полупростой алгебры Ли со-
состоит в невырожденности ее формы Киллинга (W. Killing) (ж, у) =
= tr(ada. • ady). Эта форма инвариантна относительно присоединенного
действия, поэтому присоединенное представление полупростой алгебры
Ли изоморфно коприсоединенному.
2°. Рангом алгебры Ли называется коразмерность общей орбиты
коприсоединенного действия (т. е. коранг ее пуассоновой структуры
в общей точке). Из теоремы об аннуляторе следует, что ранг анну-
аннулятора 0£ любого £ Е Q* не меньше ранга д. Действительно, при лине-
линеаризации коразмерность общего симплектического слоя может только
увеличиться!
3°. Теорема Дюфло (M.Duflo). Аннулятор общего элемента
£ Е 9* коммутативен. Действительно, симплектические слои транс-
трансверсалъной пуассоновой структуры в общей точке £ нульмерны, и те-
теорема следует из 2°. Заметим, что размерность такого аннулятора
равна рангу алгебры Ли д.

44 Глава 2
4°. Следствие 1 получается применением 3° к аннулятору qx их
элемента х Е Q относительно присоединенного действия, ввиду того,
что х лежит в центре алгебры $ж.
Следствие 2. Линейная гамилътонова система в Е2п имеет п ли-
линейно независимых квадратичных первых интегралов.
Действительно, spBn, Ш) — простая алгебра Ли ранга п.
3.4. Проблема линеаризации. Применительно к пуассоновым
структурам эта проблема звучит так: изоморфна ли пуассонова струк-
структура в окрестности точки нулевого ранга своей линейной аппроксима-
аппроксимации в этой точке? Все предшествовавшие результаты параграфа были
одинаково справедливы как в гладком, так и в голоморфном случае,
ответ же на этот вопрос может зависеть от категории, в которой вы-
выполняется линеаризация.
Назовем алгебру Ли $ (аналитически, С°°) достаточной, если лю-
любая пуассонова структура, линейная аппроксимация которой в точке
нулевого ранга изоморфна д*, сама в окрестности этой точки (анали-
(аналитически, С°°) изоморфна д*.
Это определение соответствует общему подходу к проблемам лине-
линеаризации в анализе: линеаризуемость трактуется как свойство линей-
линейной аппроксимации.
Описание достаточных алгебр Ли — открытая проблема. Легко убе-
убедиться, что коммутативные алгебры Ли не являются достаточными ни
в каком из двух указанных смыслов. Разрешимая двумерная алгебра
Ли группы аффинных преобразований прямой достаточна в каждом из
них. Полупростая алгебра Ли sb(M) группы симплектоморфизмов плос-
плоскости аналитически достаточна, но не является С°°-достаточной.
Теорема [39]. Полупростая (вещественная или комплексная) ал-
алгебра Ли аналитически достаточна. Полупростая алгебра Ли компакт-
компактной группы С°° -достаточна.
Заметим, что линеаризация ростка пуассоновой структуры с полу-
полупростой линейной аппроксимацией равносильна выделению в алгебре
Ли функций Гамильтона полупростого дополнения к ее радикалу —
нильпотентному идеалу, состоящему из функций со вторым порядком
нуля в начале координат. Поэтому линеаризуемость по модулю чле-
членов достаточно высокого порядка вытекает из теоремы Леви Мальцева
(Е. Levi), утверждающей существование такого дополнения в случае ко-
конечномерных алгебр Ли.

§4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения 45
§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения
Подмногообразие симплектического многообразия (M2n, lj) назы-
называется лагранжевым, если оно имеет размерность п и ограничение
на него симплектической формы ш равно нулю. Используя термино-
терминологию § 1 главы 1, можно сказать, что лагранжевость подмногообра-
подмногообразия — это лагранжевость его касательных пространств. Более общим
образом, подмногообразие симплектического многообразия называется
(ко) изотропным1, если таковы его касательные пространства.
4.1. Примеры лагранжевых многообразий.
1) Гладкая кривая на симплектической поверхности — лагранжева.
Гладкая кривая на симплектическом многообразии изотропна, а гипер-
гиперповерхность — коизотропна.
2) Пусть М = Т*Х, а — 1-форма действия на М, ш = da — кано-
каноническая симплектическая структура. 1-форма на многообразии сопо-
сопоставляет точке многообразия ковектор в этой точке. Назовем графиком
1-формы совокупность этих ковекторов. График замкнутой 1-формы
на X — лагранжево подмногообразие в М. Действительно, ограниче-
ограничение симплектической формы uj = d(p dq) на график 1-формы £: q \-t p(q)
равно d(p(q) dq) = d£ = 0, если £ — замкнута. Обратно, лагранже-
лагранжево подмногообразие в М, однозначно проектирующееся на базу, яв-
является графиком замкнутой 1-формы на X. Если эта 1-форма точ-
точна, £ = dip, ее потенциал (р называется производящей функцией лагран-
лагранжева подмногообразия. Этот пример подсказывает определение обоб-
обобщенной функции на X как произвольного лагранжева подмногообразия
в Т*Х. Слой кокасательного расслоения тоже лагранжев и соответству-
соответствует «дельта-функции» точки приложения. Более общим образом, ковек-
торы, приложенные в точках подмногообразия Y С X и обращающиеся
в нуль на касательных к Y векторах, образуют лагранжево подмного-
подмногообразие в Т*Х — «дельта-функцию» подмногообразия Y.
3) Локально гамильтоново векторное поле на симплектическом
многообразии М является лагранжевым подмногообразием в касатель-
касательном расслоении ТМ, симплектическая структура которого задается его
отождествлением /: Т*М -л ТМ с кокасательным расслоением. Про-
Производящая функция такого лагранжева многообразия — гамильтониан
поля.
1Коизотропные подмногообразия называют еще инволютивными.

46 Глава 2
4) Пусть задан симплектоморфизм j: (Mi, u{) -> (М2, и;2)- Обозна-
Обозначая через 7Г1 и тг2 проекции прямого произведения М\ х М2 на первый
и второй сомножители, определим на нем симплектическую структу-
структуру тг{ш1 — -к1иJ- Тогда график Г С М1 х М2 симплектоморфизма 7 —
лагранжево подмногообразие.
Эти примеры иллюстрируют общий принцип: объекты симплекти-
ческой геометрии изображаются лагранжевыми многообразиями.
Из относительной теоремы Дарбу II (п. 1.5.) получаем
Следствие. Достаточно малая окрестность лагранжева подмно-
подмногообразия симплектоморфна окрестности нулевого сечения в его кока-
сателъном расслоении.
Коранг ограничения симплектической формы на (ко)изотропное
подмногообразие равен его (ко)размерности и потому постоянен. Сле-
Следовательно (см. п. 1.1, гл. 2), росток (ко)изотропного подмногообразия
в подходящих координатах Дарбу приводится к линейной нормальной
форме п. 1.2, гл. 1.
Симплектический тип изотропного подмногообразия Nk С М2п
в своей трубчатой окрестности взаимно однозначно определяется клас-
классом эквивалентности следующего 2(п — &)-мерного симплектического
векторного расслоения с базой Nk: слоем этого расслоения в точке х
является факторпространство косоортогонального дополнения к каса-
касательному пространству TXN по самому пространству TXN. Это выте-
вытекает из результатов п. 1.5.
Если функция Гамильтона постоянна на изотропном подмного-
подмногообразии, то его сдвиги потоком этой функции заметают изотропное
подмногообразие. Коизотропное подмногообразие на поверхности уров-
уровня функции Гамильтона инвариантно относительно ее потока. Эти
утверждения вытекают из того, что одномерное ядро ограничения сим-
симплектической формы на гиперповерхность уровня функции Гамильтона
совпадает с направлением вектора гамильтонова поля. Свойства такого
рода будут часто использоваться в дальнейшем без специальных огово-
оговорок.
4.2. Лагранжевы расслоения. Лагранжевым расслоением на-
называется гладкое локально тривиальное расслоение симплектического
многообразия, все слои которого лагранжевы.
Пример. Кокасательное расслоение лагранжево.

§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения 47
Напомним, что аффинная структура на многообразии задается ат-
атласом, у которого функции перехода от одной карты к другой являют-
являются аффинными преобразованиями координатного пространства (парал-
(параллельными переносами, линейными преобразованиями или их компози-
композициями).
Теорема об аффинной структуре. Слои лагранжева расслоения
имеют каноническую аффинную структуру.
Доказательство.
Пусть тг: М —> X — лагранжево расслоение. Тогда функции на X,
рассматриваемые как гамильтонианы на М, задают там коммутирую-
коммутирующие гамильтоновы потоки. Функция с нулевым дифференциалом в точ-
точке х е X определяет поток, неподвижный на слое тг~1(х). Таким обра-
образом, окрестность любой точки слоя является локальной орбитой дейст-
действия без неподвижных точек аддитивной группы пространства Т^Х.
Теорема Дарбу для расслоений. Лагранжево расслоение в под-
подходящих локальных координатах Дарбу (р, q) задается проекцией
на q-пространство вдоль р-пространства.
Доказательство.
Выбор лагранжева сечения лагранжева расслоения отождествляет
его (конструкцией из доказательства предыдущей теоремы) с кокаса-
тельным расслоением базы. Нетрудно проверить, что это отождествле-
отождествление — симплектоморфизм. ■
Задание в лагранжевом расслоении структуры кокасательного
расслоения называется поляризацией. Лагранжево расслоение вместе
с поляризацией однозначно определяется своей 1-формой действия а
в окрестности точки, где а обращается в нуль: симплектическая струк-
структура — это da, нулевое сечение состоит из точек, где а обращается
в нуль, а эйлерово поле однородных растяжений в слоях кокасательно-
кокасательного расслоения есть -1а.
Мы видели, что лагранжево расслоение в окрестности точки про-
пространства расслоения устроено стандартным образом — как кокаса-
тельное расслоение в окрестности точки нулевого сечения. Глобально
картина совсем иная. Во-первых, слои лагранжева расслоения не обя-
обязаны быть изоморфными как многообразия с аффинной структурой,
во-вторых, расслоения с одинаковыми слоями могут иметь различную
глобальную структуру, наконец, изоморфные аффинные расслоения не

48 Глава 2
обязательно изоморфны как лагранжевы расслоения (т. е. с сохранением
симплектической структуры).
Назовем лагранжево расслоение полным, если его слои полны как
аффинные многообразия1. В частности, лагранжево расслоение с ком-
компактным слоем полно.
Классификация лагранжевы х ел о е в. Связная компо-
компонента слоя полного лагранжева расслоения аффинно изоморфна произ-
произведению аффинного пространства на тор.
Действительно, полнота расслоения означает, что каждая ком-
компонента слоя является фактор-пространством группы сдвигов Шп по
дискретной подгруппе. Такие подгруппы исчерпываются решетка-
решетками Ък Cln,fc/ n.
Следствие. Связный компактный слой лагранжева расслоения —
тор.
Опишем теперь полные лагранжевы расслоения с аффинным сло-
слоем. Скрученным кокасательным расслоением называется кокасательное
расслоение тг: Т*Х ч!с симплектической структурой в Т*Х, равной
сумме канонической симплектической формы и формы тг*^, где ср —
замкнутая 2-форма на базе X. Мы ужа встречались с этой конструк-
конструкцией в конце § 1.
Теорема.Скрученное кокасательное расслоение определяется клас-
классом когомологий формы (р в Н2(Х, Ш) однозначно с точностью до изо-
изоморфизма лагранжевых расслоений (тождественного по базе). Любое
полное лагранжево расслоение со связным односвязным слоем изоморфно
скрученному кокасательному расслоению.
Доказательство.
Пусть тг: (М, ио) —> X — лагранжево расслоение, слои которо-
которого — аффинные пространства. Сечение s: X <-> М определяет замк-
замкнутую форму ср = s*u>, причем и — п*(р — симплектическая структу-
структура на М, в которой s(X) — лагранжево. Принимая s за нулевое сече-
сечение, конструкцией теоремы об аффинной структуре отождествляем М
с Т*Х. Замена нулевого сечения на sf изменяет (р на dsf, поэтому класс
[ф\ Е Н2(Х, Ш) — единственный инвариант окрученного кокасательно-
го расслоения. ■
хТо есть аффинные прямые, определенные локально, неограниченно продолжа-
продолжаются.

§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения 49
Пример топологически нетривиального лагранжева расслоения
с компактным слоем нам уже встречался в п. 2.3 о кэлеровых струк-
структурах: мы предъявили симплектическое многообразие М4, лагранжево
расслоенное над тором Г2 со слоем Г2, не гомеоморфное Г2 хГ2. Оказы-
Оказывается, компактность слоя лагранжева расслоения накладывает очень
жесткие условия на его базу.
Теорема. База лагранжева расслоения со связным компактным
слоем имеет каноническую целочисленную аффинную структуру (други-
(другими словами, в некотором атласе на базе функции перехода суть ком-
композиции сдвигов и целочисленных линейных преобразований в Шп).
Доказательство.
Отождествление слоя Тп над точкой х базы X с орбитой груп-
группы Т*Х задает в Т*Х решетку максимального ранга. Непрерывный
базис такой решетки — это набор 1-форм а\ь ... , ап на X. Симплек-
тичность сдвигов на векторы решетки в Т*Х означает, что эти формы
замкнуты. Локальный потенциал (y?l5 ... , (рп): X —> Шп этого бази-
базиса, d(fi = oti, определяет карту искомого атласа. ■
4.3. Пересечения лагранжевых многообразии и неподвиж-
неподвижные точки симплектоморфизмов. Проблема существования пери-
периодических движений динамических систем привела Пуанкаре к следу-
следующей теореме.
Геометрическая теорема Пуанкаре. Гомеоморфизм плоского
кругового кольца на себя, сохраняющий площади и сдвигающий гранич-
граничные окружности в разные стороны, имеет не менее двух неподвижных
точек.
Граничное условие в теореме означает, что отображение имеет вид
X = ж + /(ж, ?/), Y = y+g(x, ?/), где X, ж — радиальные, F, у — угловые
координаты в кольце, а функции /, g непрерывны и 2тг-периодичны
по 2/, причем g имеет на разных границах кольца разные знаки.
Доказательство этой теорем принадлежит Дж. Д. Биркгофу
(G.D.Birkhoff). А.Пуанкаре удалось доказать ее лишь при некото-
некоторых ограничениях, но его метод менее специален, чем доказательст-
доказательство Биркгофа, и поддается обобщению. Рассуждение Пуанкаре осно-
основано на том, что неподвижные точки симплектоморфизма кольца —
это в точности критические точки функции F(u, v) = J(f dv — gdu),

50 Глава 2
(X + х) (Y + y)
где и — -—-—-, v = -—-—-, правда в предположении, что якоби-
д(щ v)
ан — отличен от нуля. Это условие выполнено автоматически, если
д{х, у)
симплектоморфизм не слишком далек от тождественного.
Перенесение рассуждения Пуанкаре в общую симплектическую си-
ситуацию приводит к следующим понятиям и результатам.
Пусть М — симплектическое многообразие. Симплектоморфизм
7: М —> М задается лагранжевым графиком Г С М х М. Неподвиж-
Неподвижные точки 7 — это точки пересечения Г с графиком А тождественного
симплектоморфизма. Трубчатая окрестность АвМхМ имеет струк-
структуру лагранжева расслоения Т* А. Если симплектоморфизм j достаточ-
достаточно близок к тождественному, то он задается производящей функцией
(вообще говоря, многозначной) лагранжева сечения Г С Т*А. Ее кри-
критические точки и неподвижные точки 7 совпадают.
Будем говорить, что симплектоморфизм 7 гомологичен тождест-
тождественному, если он соединяется с тождественным семейством симплек-
томорфизмов, поле скоростей которого при каждом значении парамет-
параметра семейства глобально гамильтоново. Гомологичные тождественному
симплектоморфизмы образуют коммутант группы симплектоморфиз-
мов многообразия М (см. [1]).
Лемма. Гомологичный и близкий {вместе с первыми производны-
производными) к тождественному симплектоморфизм имеет однозначную произ-
производящую функцию.
Теорема А. Гомологичный и близкий к тождественному симплек-
симплектоморфизм компактного симплектического многообразия имеет непо-
неподвижные точки. Их число не меньше числа критических точек, кото-
которое, самое меньшее, может иметь гладкая функция на этом многооб-
многообразии.
Гипотеза А. Предыдущая теорема верна без условия близости
симплектоморфизма к тождественному.
Гипотеза доказана в двумерном случае: гомологичный тождест-
тождественному симплектоморфизм компактной римановой поверхности имеет
для сферы не менее 2, а в случае сферы с ручками — не менее 3 непо-
неподвижных точек. Доказательства этих теорем1 носят существенно дву-
1Первая принадлежит А. И. Шпирсльману и Н.А.Никитину, вторая —
Я. М. Элнашбергу.

§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения 51
мерный характер. Так, в случае сферы доказательство основано на том,
что индекс изолированной особой точки гамильтонова векторного поля
на плоскости равен единице минус половина числа компонент, на ко-
которые линия критического уровня гамильтониана делит окрестность
особой точки, и, тем самым, не превосходит единицы.
Заметим, что теорема Пуанкаре о симплектоморфизме кольца вы-
вытекает из (доказанной) гипотезы А для двумерного тора. Из двух экзем-
экземпляров кольца можно склеить тор. Гомологичные тождественному сим-
плектоморфизмы тора Е2 /I? — это в точности такие, которые остав-
оставляют на месте центр тяжести единичного квадрата в Е2 [1]. Последнего
нетрудно добиться, добавляя между склеиваемыми кольцами соедини-
соединительные полоски и продолжая симплектоморфизм так, чтобы он не имел
неподвижных точек на этих полосках (при этом придется использовать
вращение границ кольца в разные стороны).
Будем называть два лагранжевых подмногообразия симплектичес-
кого многообразия N (лагранжево) изотопными, если одно переходит
в другое под действием симплектоморфизма, гомологичного тождест-
тождественному. В частности, изотопные лагранжевы подмногообразия диф-
феоморфны.
Теорема Б. Компактное лагранжево подмногообразие, изотопное
и близкое к данному, имеет с ним столько точек пересечения, сколько
имеет критических точек некоторая гладкая функция на этом много-
многообразии.
Гипотеза Б. Теорема Б верна без предположения близости изо-
изотопных лагранжевых подмногообразий.
Из гипотезы (теоремы) Б следует гипотеза (теорема) А: гра-
график Г С М х М гомологичного тождественному симплектоморфизма
7: М —> М является лагранжевым подмногообразием, изотопным диа-
диагонали А.
Без предположения изотопии точки пересечения компактного ла-
гранжева подмногообразия со своим лагранжевым возмущением (о ко-
которых идет речь в теореме Б) могут отсутствовать. Все же точки пе-
пересечения обязательно есть, если эйлерова характеристика лагранжева
многообразия отлична от нуля либо если каждая замкнутая 1-форма на
этом многообразии-дифференциал функции. Оказывается, отсутствие
точек пересечения компактного лагранжева подмногообразия со своим
лагранжевым возмущением означает, что это многообразие расслаива-
расслаивается над окружностью.

52 Глава 2
Недавно новым методом было достигнуто продвижение в дока-
доказательстве гипотез А и Б в многомерном случае. А именно, гипоте-
гипотеза А доказана для симплектоморфизмов тора T2n = E2n/Z2n со стан-
стандартной симплектической структурой, равно как гипотеза Б доказана
для лагранжева тора Тп, вложенного в стандартный симплектический
тор Т2п в качестве подгруппы, и произвольной лагранжевой изотопии
тора Тп [69]. Заметим, что гладкая функция на n-мерном торе имеет не
менее п+1 критической точки и не менее 2П, считая с кратностями [24].
Желая продемонстрировать суть метода, мы приведем набросок
доказательства следующего утверждения.
Теорема. Пусть на стандартном симплектическом 2п-мерном
торе задан периодически зависящий от времени гамильтониан. Тогда
симплектическое преобразование тора за период потоком этого гамиль-
гамильтониана имеет хотя бы одну неподвижную точку.
1°. Представляя Т2п как фактор-пространство E2n/Z2n стандарт-
стандартного симплектического пространства Е2п, рассмотрим векторное про-
пространство Г2 петель — гладких отображений E/Z -^ Е2п с линейной
структурой поточечного сложения и умножения на скаляры и евклидо-
евклидовой структурой
На пространстве U введем функционал действия
F=
где Я(р, qy t) — заданный периодический гамильтониан с периодом 1.
Различным критическим точкам функционала F: £1 —у Е отвечают раз-
различные периодические траектории с периодом 1 потока гамильтониа-
гамильтониана Ну т. е. различные неподвижные точки интересующего нас симплек-
томорфизма.
2°. Градиент VF: п -у ft имеет вид VF = -Jd/dt - V#,
где J: Е2п -у Е2п — оператор «умножения на л/^Т», J(p, q) = (-#, р).
Мы рассматриваем отображение VF как возмущение линейного опе-
оператора А = — J-7-. Спектр оператора А есть 2?rZ, а собственное про-
dt

§4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения
53
странство с собственным числом Л есть 2п-мерное пространство ре-
решений с периодом 1 линейной гамильтоновой системы с гамильтони-
v тпJп
-. Разложение петли
по собственным функ-
аном ——-
циям оператора А есть просто ее разложение в ряд Фурье (J.Fourier).
Возмущение В = VH имеет ограниченный образ (||Л(и;)|| < С) и огра-
ограниченную НОрМу: ||,В(С(;1) — £?(^2)|| ^ i^||^l — Сь72 11-
3°. Представим пространство О в виде прямой суммы конечно-
конечномерного пространства V, натянутого на «низкие гармоники» с часто-
частотой |А| < 2Z), и бесконечномерного пространства W «высоких гармо-
гармоник». Уравнение VF = 0 разбивается на два:
= 0 и
dF
= 0.
dv " " " aw
Второе имеет вид Aw + PB(v + w) = 0, где Р — проектор О на W. Так
как оператор w \-> —A~1PB(v + w) сжимающий, второе уравнение при
каждом v имеет единственное решение w = w(v). Поэтому поиск эк-
экстремумов функционала F сводится к отысканию критических точек
функции f(v) = F(v, w(v)) на конечномерном пространстве.
4°. Постоянным петлям, образующим
ядро оператора Л, отвечает нулевое реше-
?)F
ние уравнения -^—— = 0, поэтому функ-
oW
ция / периодична на подпространстве та-
таких петель. Таким образом, функция /,
по-существу, определена на многообра-
многообразии Т2п х Ш^>0 х Ш^<0. Ее поведение на
бесконечности определяется невозмущен-
невозмущенным функционалом и имеет гиперболи-
гиперболический характер (рис. 11), из чего следует
наличие критических точек (например,
множество точек, где значение функции
меньше данного, претерпевает топологическую перестройку).
Замечание. Дальнейший анализ этой конечномерной ситуации
средствами, разработанными в теории Морса (M.Morse) [60], приво-
приводит к точной оценке числа неподвижных точек (^ 2п + 1). Основное
отличие приведенного рассуждения от стандартного формализма гло-
глобального вариационного исчисления состоит в том, что невозмущен-
невозмущенный квадратичный функционал на пространстве петель не эллиптичен,
а гиперболичен.
рис

Глава 3
Симплектическая геометрия и механика
Здесь рассмотрена связь симплектической геометрии с вариацион-
вариационным исчислением, в частности — с механикой Лагранжа (J.L.Lagrange),
дано геометрическое введение в теорию вполне интегрируемых систем
и описана процедура понижения порядка гамильтоновых систем, обла-
обладающих непрерывной группой симметрии. Систематическое изложение
вопросов классической механики см. в томе 3, теории интегрируемых
систем — в статье Б.А.Дубровина, И. М. Кричевера и С.П.Новикова.
§ 1. Вариационные принципы
Движения механической системы суть экстремали подходящего
вариационного принципа. С другой стороны, любая задача вариационно-
вариационного исчисления может быть сформулирована на языке симплектической
геометрии.
1.1. Лагранжева механика. Натуральная механическая систе-
система задается кинетической и потенциальной энергией. Потенциальная
энергия — это гладкая функция на многообразии конфигураций (положе-
(положений) системы, кинетическая энергия — это риманова метрика на кон-
конфигурационном многообразии, т.е. положительно определенная квад-
квадратичная форма на каждом касательном пространстве к многообразию
конфигураций, гладко зависящая от точки приложения.
Пример. Система материальных точек в евклидовом пространст-
rrikrt
ве имеет кинетическую энергию Т = }_^ —тт^ и потенциальную энер-
энергию U = ^Vki{rk — п)? где ги — радиус вектор к-й точки, Уы — по-
потенциал попарного взаимодействия материальных точек, скажем, нью-
ньютонов гравитационный потенциал Vj~i{г) = —^murnil\r\.
Из кинетической и потенциальной энергий составляется лагран-
лагранжиан или функция Лагранжа L = Т — U на пространстве касательного

§ 1. Вариационные принципы 55
расслоения конфигурационного многообразия. Движение 11-> q(t) нату-
натуральной системы в пространстве конфигураций является экстремалью
функционала
/
L(q(t),q(t))dt. A)
to
Более общо, рассматривая произвольную функцию Лагранжа L:
ТМ —> Е на касательном расслоении конфигурационного многообра-
многообразия и называя движением экстремали функционала A), получаем опре-
определение лагранжевой механической системы. Можно допустить также
явную зависимость лагранжиана от времени. Экстремали функцио-
функционала A) локально описываются системой дифференциальных уравне-
уравнений Эйлера - Лагранжа (L.Euler) (d/dt)dL/dq = dL/dq. Для системы
материальных точек в евклидовом пространстве уравнения Эйле-
Эйлера Лагранжа принимают вид системы уравнений Ньютона га&г& =
= —j^~- Таким образом, механика Лагранжа обобщает механику Нью-
Ньютона, допуская к рассмотрению, например, системы материальных
точек, стесненных голономными (жесткими) связями — конфигура-
конфигурационные многообразия таких систем уже не являются областями ко-
координатных пространств. В то же время лагранжев подход к механике
позволяет считать ее частным случаем вариационного исчисления. На-
Например, задача о «свободном» движении натуральной системы (U = 0)
равносильна описанию геодезического потока на конфигурационном
многообразии с римановой метрикой Т (см. п. 1.3).
Пример. Рассмотрим абсолютно твердое тело, одна из точек ко-
которого закреплена в начале координат пространства Е3. Конфигураци-
Конфигурационным многообразием такой системы является группа вращений SO3.
Касательное пространство к конфигурационному многообразию в каж-
каждой точке отождествляется с пространством Е3: направление векто-
вектора lo Е Е3 указывает ось и направление инфинитезимального вращения
тела, а длина вектора — угловую скорость вращения. Кинетическая
энергия вращения — Т = Щ-, где / — момент инерции тела отно-
относительно оси вращения, т. е. кинетическая энергия задается во внут-
внутренних координатах тела квадратичной формой инерции. Таким обра-
образом, свободное вращение твердого тела, закрепленного в точке, опи-
описывается геодезическим потоком на группе SO3 римановой метрики,
(лево)инвариантной относительно сдвигов на группе.

56 Глава 3
1.2. Гамильтонова механика. Гамилътонова механическая сис-
система задается гладкой функцией — гамильтонианом — на симплек-
тическом многообразии {фазовом пространстве). Движение в гамиль-
тоновой системе описывается фазовым потоком соответствующего га-
гамильтонова векторного поля (см. п. 3.1, гл. 2). Гамильтониан Н, явным
образом зависящий от времени, задает неавтономную гамильтонову
систему. В координатах Дарбу система уравнений Гамильтона имеет
вид р = -Яд, q = Нр.
Механика Гамильтона обобщает механику Лагранжа.
Пример 1. Система уравнений Эйлера-Лагранжа натуральной
системы с конфигурационным многообразием М, кинетической энер-
энергией Т и потенциальной U при изоморфизме касательного и кокаса-
тельного расслоений многообразия М, определяемом римановой мет-
метрикой 2Х, превращается в систему уравнений Гамильтона с гамильто-
гамильтонианом Т + Н относительно канонической симплектической структуры
на пространстве кокасательного расслоения.
В общем случае определим гамильтониан Н: Т*М -л Ш как по-
послойное преобразование Лежандра лагранжиана L: ТМ -л Ш. Преоб-
Преобразование Лежандра (A. M.Legendre) выпуклой функции / векторного
аргумента v определяется как функция /* двойственного аргумента р
формулой /*(р) = max[(p, v) — f(v)] (рис. 12, ср. п. 1.1, гл. 5). Например,
тт « ^ (Avi V) (Pi А~гр)
преобразование Лежандра евклидовой формы -—-—- есть -.
Мы будем предполагать, что отображение TqM —> Т*М такое, что
q }-$> р = Lq — диффеоморфизм для каждого q E М. Тогда гамильто-
гамильтониан Н — гладкая функция на пространстве кокасательного расслое-
расслоения, Н(р, q) = pq—L(q, q), где q определяется из уравнения р = Lq(q, q).
Теорема. При указанном отождествлении пространств каса-
касательного и кокасательного расслоений механическая система с функ-
функцией Лагранжа L переходит в гамильтонову систему с гамильтониа-
гамильтонианом Н.
Пример 2. Натуральная система в магнитном поле. Пусть лагран-
лагранжиан есть сумма лагранжиана натуральной системы и дифференциаль-
дифференциальной 1-формы А на конфигурационном многообразии М, рассматривае-
рассматриваемой как функция на ТМ, линейная по скоростям: L = Т — U + А. Соот-
Соответствующая система уравнений Эйлера Лагранжа на ТМ гамильто-
гамильтонова с функцией Гамильтона Н = T + U относительно симплектической

§1. Вариационные принципы
57
Рис. 12
Яо В
Рис. 13
структуры 0 + cL4, где О — симплектическая структура примера 1. Ес-
Если 1-форма А — многозначный «вектор-потенциал магнитного поля» cL4,
определенного однозначно на М, то фазовое пространство оказывается
скрученным кокасательным расслоением (п. 4.2, гл. 2).
1.3. Принцип наименьшего действия. Тот факт, что задачи
вариационного исчисления имеют гамильтонову природу, объясняется
присутствием вариационного принципа в самом гамильтоновом фор-
формализме. В основе этого принципа лежит следующее замечание: поле
направлений гамильтонова векторного поля на неособой гиперповерх-
гиперповерхности уровня его гамильтониана совпадает с полем характеристичес-
характеристических направлений этой гиперповерхности — полем косоортогональных
дополнений ее касательных гиперплоскостей.
Пусть симплектическое многообразие М поляризовано: М = X*i?,
а = ^2pk dqk — 1-форма действия на М.
Теорема (принцип наименьшего действия). Интегральные
кривые поля характеристических направлений неособой гиперповерх-
гиперповерхности Г С X*i?? трансверсальной слоям кокасательного расслое-
расслоения Т*В —у В, являются экстремалями интеграла действия J а в клас-
классе кривых, лежащих на Г и соединяющих слои T*QB и Т*±В точек q0 и q\
базы В.
Доказательство.
Приращение интеграла действия j a — j а (рис. 13) равно симплек-
тической площади пленки, соединяющей кривые j и 7'? и? в случае,

58 Глава 3
если 7 — интегральная кривая, является бесконечно малым более вы-
высокого порядка, чем отличие кривых j и jf. ■
Замечание. Интегральные кривые неавтономной системы урав-
уравнений с функцией Гамильтона Н(р, #, t) в расширенном фазовом про-
пространстве En* xlnxl являются экстремалями интеграла действия
*i
[(pdq-Hdt)
to
в классе кривых t i-> (p(£), #(£), t) с граничными условиями q(to) = #о,
q(ti) = qi-
Следствие. Материальная точка, вынужденная оставаться на
гладком римановом многообразии, движется по геодезической линии
(т.е. по экстремали длины J ds).
Действительно, в случае свободного движения с кинетической
энергией Т = (ds/diJ/2 параметр t обеспечивающий фиксированное
значение энергии Н = Т = /i, должен быть пропорционален дли-
длине dt = ds/\/2h, а интеграл действия принимает вид
pdq= pqdt= / 2Тdt = V2h / ds.
В случае, когда потенциальная энергия отлична от нуля, траек-
траектории натуральной системы также являются геодезическими неко-
некоторой римановой метрики: в области конфигурационного простран-
пространства, где U(q) < /i, траектории системы с кинетической энергией
Т = (ds/dtJ/2, потенциальной U(q) и полной энергией h будут геоде-
геодезическими линиями метрики (h — U(q)) ds2.
В качестве применения рассмотрим вращение твердого тела вокруг
неподвижной точки в потенциальном поле. При достаточно больших h
риманова метрика (h — U)ds2 определена на всем компактном конфи-
конфигурационном пространстве SO3. Пространство SO3 не односвязно (оно
диффеоморфно ЕР3 и имеет двулистное односвязное накрытие S3).
Выберем в классе всех нестягиваемых замкнутых кривых в SO3
кривую минимальной длины (это возможно [60]) относительно введен-
введенной римановой метрики. Мы получаем

§ 1. Вариационные принципы 59
Следствие. Твердое тело в любом потенциальном поле имеет по
меньшей мере по одному периодическому движению при каждом доста-
достаточно большом значении полной энергии.
Можно показать [60], что на компактном римановом многообразии
каждый элемент фундаментальной группы представляется замкнутой
геодезической. Отсюда получается аналог предыдущего следствия для
любой натуральной системы с компактным неодносвязным конфигу-
конфигурационным пространством.
1.4. Вариационные задачи со старшими производными.
Опишем гамильтонов формализм задачи минимизации функционала
B)
в классе гладких кривых х: Е —> Ж1 с заданным на концах отрезка [а, Ь]
разложением Тейлора до порядка п включительно, где лагранжиан L
зависит от производных х^ = dkx/dtk кривой x(t) до порядка п + 1.
Экстремали функционала B) удовлетворяют системе уравнений Эйле-
Эйлера-Пуассона
Lx(o) - ^Ac(D + ~172LxB) - • • • + (-l)n+1 1La.(»+i) = 0, C)
выражающей обращение в нуль первой вариации функционала B).
Рассмотрим теперь лагранжиан L(x, у, ... , г, w) как функцию точки
кривой (ж, 2/, ... , ^, w): Е —У Е^п+2^, удовлетворяющей ограничени-
ограничениям dx = у dt, ... , dz = w dt, и составим форму действия по правилу
множителей Лагранжа:
ol = Px(dx — у dt) + ... + pz(dz — w dt) + L dt =
z ~w) +L(x, y, ... , z, w)]dt.
Экстремали функционала J а удовлетворяют системе уравнений
Эйлера Лагранжа в ЕBп+3)/:
, z =

60 Глава 3
Эта система эквивалентна системе уравнений Эйлера-Пуассона C).
Введем симплектическую форму из = dpx Л dx 4- ... + dpz Adz и опреде-
определим с помощью преобразования Лежандра по переменным w функцию
Гамильтона
Н(х, у, ... , Z,pz, ... ,Ру,Рх) =
= РхУ + . • • + PzW - L(x, у, ... , z,W)
(W(x, у, ... , z,pz) определяется из уравнения pz = ~к—)- Система
уравнений Гамильтона с гамильтонианом Н и симплектической струк-
структурой uj в Е^2п+2^ вместе с уравнением pz = -^— совпадает с D). Таким
образом, при условии выпуклости лагранжиана L(x^°\ ... , ж^п+1^) по
переменным х^п+1\ система уравнений Эйлера-Пуассона C) эквива-
эквивалентна гамильтоновой системе (Н, cj).
Выписав, таким образом, координатные формулы, мы теперь при-
придадим инвариантный смысл как самой вариационной задаче B), так и
ее гамильтоновой версии.
При замене пространства Ж1 на произвольное /-мерное многооб-
многообразие М функционал типа B) естественно задавать функцией Ла-
гранжа L: Jn+1 ч М на многообразии (п + 1)-струй в нуле кривых
х: Ж -Л М. Многообразие Jn+1 определяется по индукции вместе с про-
проекцией Jn+1 —> Jn (рис. 14) как аффинное подрасслоение в касательном
расслоении TJn, состоящее из тех касательных векторов £ Е TjnJn^
которые при дифференциале тг*: TjnJn -> T^jnyJ71'1 проекции тг:
jn _^ jn-i переходят в свою точку приложения: тг*(^) = Jn G TJ™'1.
При этом J0 = М, J1 = ТМ.
J — J -^ J — — -+J — j=m
Рис. 14
Фазовым пространством гамильтоновой системы, отвечающей ла-
лагранжиану L: Jn+1 -» Е, является пространство T*Jn кокасательного
расслоения с канонической симплектической структурой. Пусть функ-

§1. Вариационные принципы 61
ция L выпукла на каждом аффинном слое расслоения Jn+1 —> Jn. По-
Построим функцию Н: T*Jn —> Ж следующим образом. Ковектор р, при-
приложенный в точке j £ Jn, определяет линейную неоднородную функ-
функцию на слое W С TjJn расслоения Jn+1 -» Jn. Положим Н(р) =
Теорема Остроградского. Система уравнений Эйлера-Пуассона,
которой удовлетворяют экстремали лагранжиана L: Jn+1 —> Ж,
где L — гладкая функция, строго выпуклая1 на каждом слое расслое-
расслоения Jn+1 —> Jn, эквивалентна гамилътоновой системе с фазовым про-
пространством T*Jn и функцией Гамильтона Н.
Замечание. В случае явной зависимости лагранжиана функцио-
функционала B) от времени система уравнений Эйлера Пуассона эквивалент-
эквивалентна неавтономной гамильтоновой системе на расширенном фазовом про-
пространстве Ж х T*Jn.
1.5. Многообразие характеристик. Предположим, что интег-
интегральные кривые поля характеристических направлений на гладкой ги-
гиперповерхности в симплектическом многообразии образуют гладкое
многообразие (локально это всегда так). Мы будем называть его мно-
многообразием характеристик.
Теорема. Многообразие характеристик имеет симплектическую
структуру (она корректно определена условием: кососкалярное произве-
произведение векторов, касательных к гиперповерхности, равно кососкалярно-
му произведению их проекций вдоль характеристик).
Пусть гамильтонова система с гамильтонианом Н имеет первый
интеграл F, и М — многообразие характеристик гиперповерхнос-
гиперповерхности F = const. Функция Н постоянна на характеристиках этой гиперпо-
гиперповерхности и определяет гладкую функцию Н на М. Поле гамильтони-
гамильтониана Н на гиперповерхности F = const при проекции на^М определяет
гамильтоново векторное поле на М с гамильтонианом Н.
Следствие 1. Первый интеграл гамильтоновой системы позволя-
позволяет понизить ее порядок на две единицы.
Параметризованные экстремали вариационной задачи (возможно,
неавтономной) образуют симплектическое многообразие, а именно, фа-
1гГо есть d2(L\w) > 0.

62
Глава 3
зовое пространство соответствующей гамильтоновой системы (напри-
(например, Т* Jn для задачи B)). Из теоремы получаем
Следствие 2. Если ориентированные геодезические (непараметри-
зованные) риманова многообразия образуют гладкое многообразие, то
оно является симплектическим.
Пример. Лучи (т. е. ориентированные прямые) в евклидовом про-
пространстве Шп образуют симплектическое многообразие — многообра-
многообразие характеристик гиперповерхности (р, р) = 1 в Т*ЕП. С точностью до
знака симплектической структуры оно симплектоморфно кокасатель-
ному расслоению единичной сферы в Шп. На рис. 15 показано, как со-
сопоставить лучу (ко)касательный вектор к сфере.
Рис. 15
Рис. 16
1.6. Кратчайший обход препятствия. Рассмотрим гладкую
поверхность в пространстве как границу препятствия. Кратчайший
путь между точками б/о? Qi B обход препятствия (рис. 16) состоит из
отрезков прямых и отрезка геодезической на его поверхности. Длина
экстремалей — многозначная функция точки qi с особенностями вдоль
лучей, срывающихся с поверхности препятствия в асимптотическом
направлении. Лучи, по которым выходящие из источника экстремали
срываются с поверхности препятствия, образуют лагранжево много-
многообразие с особенностями в симплектическом многообразии всех лучей
пространства (ср. п. 1.5).
Симплектический анализ задачи об обходе препятствия приводит
к понятию триады в симплектическом пространстве. Триада (L, /, Н)

§1. Вариационные принципы
63
Рис. 17
состоит из гладкого лагранжева многообразия L, гладкой гиперповерх-
гиперповерхности I в L (I — изотропное многообразие) и гладкой гиперповерх-
гиперповерхности Н в объемлющем симплектическом пространстве, касающейся
лагранжева многообразия в точках изотропного. Проекция изотропно-
изотропного многообразия вдоль характеристик гиперповерхности является ла-
гранжевым подмногообразием в многообразии характеристик и имеет
особенности в тех местах, где характеристики касаются /.
Возвращаясь к задаче об обхо-
обходе препятствия в евклидовом (более
общо — римановом) пространстве,
свяжем с пучком геодезических на
границе препятствия триаду в сим-
симплектическом пространстве ТЖп =
= Т*ЕП. Движение по прямым в Жп
задается гамильтонианом h = (р, р);
пусть Я = fc^) С TRn — гипер-
гиперповерхность его единичного уровня.
Экстремали, выходящие из источни-
источника, на гиперповерхности F — грани-
границе препятствия — образуют пучок геодезических. Многообразие А С Н
касательных к геодезическим пучка единичных векторов лагранжево
в TF = T*F (длина экстремали — его производящая функция). Пусть L
состоит из всевозможных продолжений ковекторов £ Е А на F до ко-
векторов ц на Еп, приложенных в той же точке. Пусть / = Н П L.
Нетрудно проверить (рис. 17), что Н строго квадратично касается L
вдоль /, т.е. (L, /, Н) — триада.
Обозначим через тП;Ш росток в нуле следующей триады в симплек-
симплектическом пространстве Е2п с координатами Дарбу
(PU ••> Ртп, Яи • • • •> Qm, Pi, • • • , Pn-mi 5l> ■ • • •> Qn-m) : L = {P = P = °b
' = L П {qm = 0}, H = {q2m/2 + pmqm-i + - • • + P2qi + Pi = 0}.
Полезно сравнить уравнение гиперповерхности Н с квадратичным га-
гамильтонианом функционала /(dmx/dtmJdt (пп. 2.3, 2.4, гл. 1 или
п. 1.4, гл. 3). Экстремали функционала — многочлены x(t). Поэтому
в пространстве многочленов возникает естественная симплектическая
структура. Лагранжево многообразие с особенностями триады rm,m
диффеоморфно раскрытому ласточкину хвосту Ет — многообразию

64 Глава 3
многочленов степени 2т — 1с фиксированным старшим коэффициен-
коэффициентом и нулевой суммой корней, имеющих корень кратности ^ т. Мно-
Многообразие Sm лагранжево в естественной симплектической структуре
на пространстве многочленов.
Теорема [4]. Росток триады общего положения в точке квадра-
квадратичного касания гиперповерхности с лагранжевым многообразием сим-
плектоморфен одному из ростков тп,т, т ^ п.
Следствие. Росток лагранжева многообразия лучей, срывающихся
с пучка геодезических общего положения на границе препятствия обще-
общего положения, симплектоморфен декартову произведению гладкого мно-
многообразия на раскрытый ласточкин хвост.
Пример. Касательная в точке простого перегиба кривой, ограни-
ограничивающей препятствие на плоскости, является точкой возврата лагран-
жевой кривой, образованной касательными к границе препятствия. Та-
Такую же особенность имеет кривая £2 на плоскости параметров семей-
семейства кубических многочленов tz + qt + р, образованная многочленами
с кратным корнем.
Пример триад показывает, что симплектическая версия вариацион-
вариационных задач может быть нетривиальной. Подробнее о задаче кратчайшего
обхода препятствия см. п. 3.5, гл. 5, а также [3], [4], [29], [32], [59].
§ 2. Вполне интегрируемые системы
Интегрируемость гамильтоновой динамической системы обеспе-
обеспечивается достаточным запасом первых интегралов. Мы обсуждаем
геометрические следствия и причины интегрируемости. Исследование
фактически проинтегрированных систем см. в статье Б.А.Дубровина,
И. М. Кричевера, С.П.Новикова.
2.1. Интегрируемость по Лиувиллю. Функция F на симплек-
тическом многообразии является первым интегралом гамильтоновой
системы с гамильтонианом Н, если и только если скобка Пуассона Н
с F равна нулю (см. п. 3.1, гл. 2). Про первые интегралы, скобка Пу-
Пуассона которых между собой равна нулю, говорят, что они находятся
в инволюции.
Определение. Гамильтонова система на симплектическом много-
многообразии М2п называется вполне интегрируемой, если она имеет п пер-

§2. Вполне интегрируемые системы 65
вых интегралов в инволюции, функционально независимых почти всю-
всюду на М2п.
Пример 1. Гамильтонова система с одной степенью свободы (п = 1)
вполне интегрируема.
Пример 2. Линейная Гамильтонова система вполне интегрируема.
В п. 3.3 гл. 2 мы показали, что каждый квадратичный гамильтони-
гамильтониан в Е2п входит в гг-мерную коммутативную подалгебру алгебры Ли
квадратичных гамильтонианов. В действительности подалгебра может
быть выбрана так, чтобы ее образующие были функционально незави-
независимы почти всюду в Е2п.
Теорема Лиувилля. Пусть на 2п-мерном симплектическом мно-
многообразии М заданы п гладких функций в инволюции
Fi, ... , Fn; {Fi9 Fj} = 0, z, j = 1, ... , гг.
Рассмотрим множество уровня функций F{
Mf = {х Е М \ Fi(x) =/{, i = l, ...,n}.
Предположим, что на Mf п функций F{ независимы (т.е. dF\ Л ...Л
l\dFn ф 0 в каждой точке Mf). Тогда:
1) Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно фазо-
фазового потока гамильтониана Н = H(Fi, ... , Fn) (скажем, Н = Fi).
2) Mf имеет каноническую аффинную структуру, в которой фа-
фазовый поток выпрямляется, т. е. в аффинных координатах (р =
= (<^i, ... , (рп) на Mf (p = const.
Доказательство.
В предположениях теоремы Лиувилля отображение
F=(FU ... ,Fn): М ^Шп
в окрестности многообразия Mf является лагранжевым расслоени-
расслоением. По теореме об аффинной структуре (п. 4.2, гл. 2) Mf локаль-
локально отождествляется с областью в кокасательном пространстве ба-
базы Шп в точке /, причем поле на Mf, определяемое гамильтонианом
F*H, Н = H(fi, ... , fn) переходит при этом отождествлении в ковек-
тор dfH, т.е. постоянно. ■

66
Глава 3
Замечание 1. Первые интегралы Fi, ... , Fn независимы на Mf
для почти всех / Е Шп (не исключено, что Mf при этом пусто). Это
следует из теоремы Сарда (A.Sard) (см. [6]).
Замечание 2. Пусть Mf — компактно. Тогда (в предположениях
теоремы Лиувилля) каждая связная компонента Mf — гг-мерный тор
(см. п. 4.2, гл. 2). Поток гамильтониана Н на таком торе либо пери-
периодический, либо условно-периодический. В последнем случае фазовые
кривые — параллельные прямолинейные обмотки тора (рис. 18). Инва-
Инвариантные торы часто встречаются в механических интегрируемых сис-
системах, поскольку для компактности Mf достаточно, чтобы были ком-
компактными многообразия уровня энергии Н = const. Это так, например,
для натуральных систем с компактным конфигурационным простран-
пространством.
/
_/_
/
/
Рис. 18
Рис. 19
2.2. Переменные «действие-угол». Пусть М = Ш2п — стан-
стандартное симплектическое пространство, слой Mf при / = 0 компактен
и удовлетворяет условиям теоремы Лиувилля. Тогда в окрестности Mq
слои Mf — гг-мерные лагранжевы торы. Выберем базис G1, ... , 7™)
одномерных циклов на торе Mf, непрерывно зависящий от / (рис. 19).
Положим
п.
Функции Ik = Ik(F(p, q)) называются переменными действия.
Теорема. В окрестности тора Mq можно ввести структуру
прямого произведения (En/2?rZn) x Шп с координатами, действия

§2. Вполне интегрируемые системы 67
(Д, ... , 1п) на сомножителе Еп и угловыми координатами (<^i, ... , tpn)
на торе En/2?rZn? в которых симплектическая структура ^dpk Adqk
в Е2п имеет вид ^2 dlk A dtpk-
Доказательство.
В п. 4.2, гл. 2 мы построили целочисленную аффинную структуру
в базе лагранжева расслоения со слоем тор: отождествление касатель-
касательных пространств к аффинному тору Mf с кокасательным пространст-
пространством базы Т^Шп вводит там целочисленную решетку Ъп С Т^ЕП, а ба-
базисные циклы 7i? ••• ? In задают п дифференциальных 1-форм в Еп
дифференциалов аффинных координат на базе. ■
В действительности, с точностью до множителя 2тг и прибавления
констант, переменные действия и являются этими аффинными коор-
координатами. Само лагранжево расслоение выбором лагранжева сечения
локально отождествляется с (En)*/B?rZ)n х Еп -> Еп (группа Ъп дей-
действует на Т*ЕП сдвигами в каждом кокасательном пространстве). Ко-
Координаты Дарбу на Т*ЕП после факторизации превращаются в пере-
переменные действие-угол.
Пример 1. В случае одной степени свободы действие равно поде-
поделенной на 2тг площади области, ограниченной замкнутой компонентой
линии уровня гамильтониана.
Пример 2. Для линейного осциллятора Н = Х)(Р? +UJkQk)/2 пере-
переменные действия имеют вид 1к = Y^{p\ +a;fe^ffe)/(^fe) (отношение энер-
энергии собственного колебания к его частоте), а угловые координаты —
фазы собственных составляющих колебания.
В переменных действие-угол система уравнений Гамильтона с га-
гамильтонианом Я(Д, ... , 1п) принимает вид 1к = 0, (рк = wr~ и немед-
немедленно интегрируется:
*и -t.
1@)
При построении переменных действие-угол, помимо дифференциаль-
дифференциальных и алгебраических операций над функциями, применялось только
обращение диффеоморфизмов и интегрирование известных функций —
«квадратуры». В таком случае говорят, что исходную систему уравне-
уравнений удалось проинтегрировать в квадратурах.

68 Глава 3
Следствие. Вполне интегрируемая система интегрируется
в квадратурах.
Теорема Лиувилля охватывает практически все проинтегрирован-
проинтегрированные на сегодняшний день задачи гамильтоновой механики. Но она ни-
ничего не говорит о том, как найти полный набор первых интегралов в ин-
инволюции. До недавнего времени, по существу, единственным глубоким
средством интегрирования был метод Гамильтона Якоби (см. п. 4.4,
гл. 4). После открытия бесконечномерных интегрируемых гамильтоно-
вых систем (начиная с уравнения Кортевега де Фриза) было обнаруже-
обнаружено много новых механизмов интегрирования. Все они связаны с допол-
дополнительными алгебро-геометрическими свойствами фактически проин-
проинтегрированных систем, никак не отраженными в теореме Лиувилля.
Мы приведем ниже ряд иллюстрирующих примеров.
2.3. Эллиптические координаты и геодезические на эллип-
эллипсоиде. Пусть Е: V —> У* — линейный оператор, задающий евкли-
евклидову структуру в пространстве У, А: V —> У* — другой симмет-
симметрический оператор, А* = А. Евклидовым пучком квадрик называет-
называется однопараметрическое семейство гиперповерхностей второй степе-
степени (А\х, х) = 2, где А\ = А — ХЕ. Конфокальным семейством квадрик
в евклидовом пространстве называется семейство квадрик, двойствен-
двойственных квадрикам одного евклидова пучка, т.е. семейство (А^1^ £) = 2,
£Е У*.
Пример. Плоские кривые, конфокальные фиксированному эллип-
эллипсу, это все эллипсы и гиперболы с теми же фокусами (рис. 20).
Эллиптическими координатами точки называются значения; пара-
параметра Л, при которых квадрики фиксированного конфокального семей-
семейства проходят через эту точку.
Зафиксируем в евклидовом пространстве эллипсоид, все оси кото-
которого имеют неравные длины.
Теорема Якоби. Через каждую точку п-мерного евклидова про-
пространства проходят п квадрик, конфокальных выбранному эллипсоиду.
Гладкие конфокальные квадрики пересекаются под прямыми углами.
Доказательство.
В терминах двойственного пространства теорема означает, что ги-
гиперплоскость {/, х) = 1 касается ровно п квадрик евклидова пучка,

§2. Вполне интегрируемые системы
69
причем радиус-векторы точек касания попарно ортогональны. Указан-
Указанное свойство вытекает из того, что эти векторы определяют главные
оси квадрики (Ах, х) = 2{/, хJ. Ш
Теорема Шаля (М. Chasles). Об-
Общая прямая в п-мерном евклидовом про-
пространстве касается (п — 1)-й различной
квадрики семейства конфокальных квад-
квадрик, причем плоскости, касающиеся каж-
каждая своей квадрики в точке ее касания
с прямой, попарно ортогональны.
Доказательство.
Видимые контуры квадрик конфо-
конфокального семейства при проектировании Рис. 20
вдоль прямой образуют семейство квадрик, двойственное семейству
квадрик в проходящей через нуль гиперплоскости двойственного про-
пространства. Последнее семейство есть просто сечение гиперплоскостью
исходного евклидова пучка и потому образует евклидов пучок в гипер-
гиперплоскости. Таким образом, видимые контуры образуют конфокальное
семейство квадрик в (п — 1)-мерном пространстве прямых, параллель-
параллельных данной. Теорема Шаля вытекает теперь из теоремы Якоби, при-
примененной к этому семейству. ■
Теорема Якоби —Шаля. Касательные прямые к геодезической
линии квадрики в п-мерном пространстве, проведенные во всех точках
геодезической, касаются, кроме этой квадрики, еще (п — 2)-х конфо-
конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической.
Доказательство.
Многообразие ориентированных прямых в евклидовом пространст-
пространстве V имеет естественную симплектическую структуру и, с точностью
до знака этой структуры, симплектоморфно кокасательному расслое-
расслоению единичной сферы S (см. п. 1.5). Пусть F — гладкая гиперповерх-
гиперповерхность в У. ■
Лемма А. Отображение р, сопоставляющее точке геодезической
линии на F ее касательную прямую в этой точке, переводит геодези-
геодезические F в характеристики гиперповерхности Р С Т*£ касательных
к F прямых в пространстве всех прямых.

70
Глава 3
T*F
T*S
рис. 21
Действительно, геодезические на F —
это характеристики на гиперповерхнос-
гиперповерхности G С T*F всех единичных (ко)векторов
на F. Отождествляя У с У* при помощи ев-
евклидовой структуры, рассмотрим G как под-
подмногообразие G коразмерности 3 в Т*У всех
единичных векторов в У, касающихся F. На
коммутативной диаграмме рис. 21 7Г2 есть
проекция вдоль характеристик гиперповерх-
гиперповерх(р, р) = 1} всех единич-
единичния G
ности {(р, q)
ных векторов в У, a tti — вдоль характеристик гиперповерхности
g E F} всех векторов, приложенных в точках F. Отображе-
— G —^ Р переводят характеристики в характеристики, так
как характеристики на G, G и Р определяются только симплектичес-
кими структурами объемлющих пространств. Поэтому отображение р
переводит геодезические на F в характеристики Р.
Пусть теперь в евклидовом пространстве У задана гладкая функ-
функция и пусть некоторая прямая квадратично касается поверхности уров-
уровня в некоторой своей точке. Тогда близкие прямые касаются близких
поверхностей уровня функции. Определим индуцированную функцию
в пространстве прямых, равную значению функции в точке касания
прямой с ее поверхностью уровня.
Лемма Б. Если две функции в евклидовом пространстве таковы,
что касательные плоскости к их поверхностям уровня в точках каса-
касания с некоторой фиксированной прямой ортогональны, то скобка Пу-
Пуассона индуцированных функций равна нулю в точке, являющейся рас-
рассматриваемой прямой (рис. 22).
Действительно, при движении по
касательной к нашей прямой геоде-
геодезической первой поверхности уровня,
касательная прямая поворачивается
в направлении нормали к этой поверх-
поверхности и, тем самым, с точностью до
малых второго порядка, продолжает
- 22
касаться той же поверхности уровня второй функции. Поэтому про-
производная второй индуцированной функции вдоль гамильтонова потока
первой равна нулю в рассматриваемой точке.

§2. Вполне интегрируемые системы 71
Рассмотрим теперь прямую общего положения в У. По теореме Ша-
Шаля она касается (п — 1)-й квадрики конфокального семейства. Построим
в окрестности точек касания п — 1 функцию, поверхности уровня кото-
которых — квадрики нашего семейства. По лемме Б индуцированные функ-
функции на пространстве прямых находятся в инволюции. Характеристика
на поверхности уровня одной из индуцированных функций состоит (по
лемме А) из касательных прямых к одной геодезической соответству-
соответствующей квадрики. Поскольку все индуцированные функции на этой ха-
характеристике постоянны, то теорема доказана.
Следствие. Геодезический поток на квадрике в евклидовом про-
пространстве — вполне интегрируемая гамильтонова система.
Замечание 1. Строго говоря, мы доказали теорему Якоби-Шаля
для квадрик и прямых общего положения, но по непрерывности резуль-
результат легко распространяется на вырожденные случаи.
Замечание 2. Бескоординатность приведенных рассуждений поз-
позволяет распространить их на бесконечномерную ситуацию. Мы полу-
получаем большой запас вполне интегрируемых систем — геодезических
потоков на бесконечномерных эллипсоидах, определяемых самосопря-
самосопряженными операторами в гильбертовых пространствах. Было бы инте-
интересно выяснить, что представляют собой эти системы для конкретных
самосопряженных операторов, встречающихся в математической физи-
физике.
2.4. Пуассоновы пары. Пусть на многообразии М заданы две
пуассоновы структуры У и W (см. п. 3.2, гл. 2). Говорят, что они обра-
образуют пуассонову пару, если все их линейные комбинации XV + \xW —
также пуассоновы структуры. Используя скобку Схоутена [,] (п. 3.2,
гл. 2), находим, что кососимметрические бивекторные поля У, W
на М образуют пуассонову пару тогда и только тогда, когда [У, У] =
= [ТУ, W] = [У, W] = 0. В следующей теореме мы, простоты ради, пред-
предполагаем, что М односвязно и пуассоновы структуры V и W всю-
всюду невырождены. Тем самым, на односвязном многообразии М опре-
определены две симплектические структуры У, ТУ, скобки Пуассона
У(/, g) и W(f\ g) которых согласованы тождеством V(W(f\ g), h)-\-
-\-W(V(f\ g), h) + (цикл) = 0 для любых гладких функций /, g, h на М.
Теорема [1]. Пусть на многообразии М задано векторное поле v,
поток которого сохраняет обе пуассоновы структуры пуассоновой па-

72 Глава 3
ры V, W. Тогда существует такая последовательность гладких функ-
функций {fk} на М7 что
а) /° — гамильтониан поля v относительно V;
б) поле V-гамильтониана Д совпадает с полем W-гамильтониа-
W-гамильтониана /fe+i;
в) функции {fk} находятся в инволюции относительно обеих скобок
Пуассона.
Доказательство.
Поле v по условию гамильтоново для обеих симплектических
структур. Пусть /о, /i — его гамильтонианы относительно V и W соот-
соответственно. Формальная выкладка на применение тождества [У, W] = О
показывает, что поток F-гамильтонова поля с гамильтонианом /i сохра-
сохраняет скобку Пуассона W. Пусть /2 — его VT-гамильтониан. Продолжая
по индукции, получаем последовательность функций {/&}, удовлетво-
удовлетворяющую а) и б). Пусть г > s. Тогда
V(fr, /.) = W(fr, fe+l) = И/г-1, fe+l)
и т.д. В конце получим либо V(ft, /*), либо W(ft, /*), что доказыва-
доказывает в). ■
Пример. Цепочка Тоды (М. Toda). Рассмотрим натуральную сис-
систему в RN с гамильтонианом Н = J^pl/2 + J^eQk~qk+17 qN+1 = qi-
Она описывает динамику TV одинаковых материальных точек с одной
степенью свободы каждая, соединенных по кругу, наподобие молекулы
бензола, упругими связями с потенциалом еи — и, где и = qk — qk-\-i —
разность координат связанных соседей. Переходя в систему перемен-
переменных Uk = qk — Я/г+ъ имеем следующие уравнения эволюции цепочки То-
Тоды: йк =Рк~Рк+иРк = еик~1-еиК Обозначая дк = д/дик, Vk = д/дрк,
положим W = X)(dfc Л дк+1 +Рк^к Л {дк - dk-i) + eUkVk+i Л V*). Непо-
Непосредственно проверяется, что W — пуассонова структура в Е2ЛГ. Поло-
Положим V = ^2 Vk Л {дк — dk-i)- W, V — пуассонова пара. Действительно,
W + XV получается из W сдвигом рк ^ Рк + А. В качестве потока,
сохраняющего обе структуры пуассоновой пары, рассмотрим поток по-
поля v = 0. Полный импульс /о = J^Pk — функция Казимира для У,
поэтому /о — У-гамильтониан поля v. Функция /0, рассматриваемая
как И^-гамильтониан, порождает систему уравнений цепочки Тоды.
В соответствии с теоремой эта система F-гамильтонова с гамильтони-

§2. Вполне интегрируемые системы 73
аном /i = J^{pl/2-\-eUk)- Система с VT-гамильтонианом /i У-гамильто-
нова с гамильтонианом /2 = J^\pl/^+Pk{eUk~1 +eUk)] и т.д. Возникаю-
Возникающая серия /о, /ь /г, ... первых интегралов в инволюции обеспечивает
полную интегрируемость цепочки Тоды (см. статью Б.А.Дубровина,
И. М. Кричевера, С.П.Новикова).
Другой способ построения функций в инволюции по пуассоновой
паре состоит в следующем. Пусть /у, gw — функции Казимира пу-
ассоновых структур V, W соответственно (здесь предполагается, что
пуассоновы структуры У, W7 образующие пуассонову пару, вырожде-
вырождены — в противном случае fv и gw необходимо константы).
Лемма. Функции fv и gw находятся в инволюции относительно
пуассоновой структуры XV +
Мы применим эту лемму в следующем пункте.
2.5. Функции в инволюции на орбитах коалгебр Ли. Пусть
g — алгебра Ли. На сопряженном пространстве д* имеется линейная пу-
ассонова структура (см. п. 3.3, гл. 2): скобка Пуассона линейных функ-
функций ж, у на д* равна их коммутатору [ж, у] в д. Симплектические слои
этой пуассоновой структуры — орбиты коприсоединенного действия
алгебры Ли g в д*, функции Казимира — инварианты коприсоединен-
коприсоединенного действия. Следующий способ построения функций в инволюции
на орбитах называется методом сдвига аргумента.
Теорема. Пусть /, g: g* —> Ш — инварианты коприсоединенного
действия алгебры Ли д, £о £ В*- Тогда функции /(£ + А£о); g(£ + /л£о)
точки £ G £* находятся в инволюции при любых А, ц Е Ж на каждой
орбите коприсоединенного действия.
Доказательство основано на следующей лемме.
Лемма. Пусть и) — внешняя 2-форма на д. Определяемая фор-
формой ш постоянная пуассонова структура на д* образует с линейной
пуассоновой структурой на д* пуассонову пару тогда и только тогда,
когда uj — 2-коцикл на д? т. е. Уж, у, z E £
ш([х, у], z) + w([y, z], x) + u;([z, ж], у) = 0.
Если 2-коцикл cj является кограницей, т.е. ьо{х,у) = £о([#? 2/])?
где £0 ^ В* — линейная функция на д, то пуассонова структура
{ ? }л = [, ] + Acj( , ) получается из линейной пуассоновой структуры [, ]

74
Глава 3
сдвигом в д на Л^о- Функции /(£ + А£о)т g{£ + /л£о) являются в этом слу-
случае функциями Казимира для пуассоновых структур { , }д, { , }д соот-
соответственно. Применяя лемму предыдущего пункта, получим утверж-
утверждение теоремы при Л ф \i и по непрерывности — для любых Л, \i Gt.
2.6. Представление Лакса (P. Lax). Говорят, что задано пред-
представление Лакса системы дифференциальных уравнений х — v(x) на
многообразии М (v — векторное поле на М), если
1) заданы два отображения L, А: М -> g многообразия М в алгебру
Ли g (например, в алгебру матриц), причем L — вложение;
2) имеет место уравнение Лакса L = [L, Л], где L — производная L
вдоль векторного поля v, [,] — коммутатор в алгебре Ли д.
Уравнение Лакса L = [L, А] означает, что L, изменяясь во времени,
остается в той же орбите присоединенного действия алгебры Ли д. Поэ-
Поэтому инварианты орбиты (например, коэффициенты характеристичес-
характеристического многочлена или собственные числа L если д — алгебра матриц) —
первые интегралы системы х = v(x).
Пример 1. Пусть Н(р, q) — полиномиальный гамильтониан в стан-
стандартном симплектическом пространстве R2n с особой точкой 0. Раз-
Разложим Н в сумму ^2 Ни однородных слагаемых степени к (к ф 1)
Нк
и положим G =
Рассмотрим следующие матрицы разме-
(к-1У
pa Bn + 1) х Bn + 1) (E — единичная матрица размера п):
Л =
0
-Е
Е
0
0
0
1
L =
0
р
я
oj
Л =
A = A
d'2G
0
0
0
G
qp
-G
pp
G
qq
о
о
-qp
Тогда L = [L, A] — представление Лакса для системы уравнений
Гамильтона с гамильтонианом Н (мы используем формулы Эйлера
~\-
= Я
р,
~\-
pq р qp qq q
В этом примере L3 = 0, и никаких первых интегралов не возникает.
Обычно интегрируемые системы связаны с нетривиальными однопара-
метрическими семействами представлений Лакса.

§2. Вполне интегрируемые системы 75
Пример 2. Пусть в примере 1 Я — квадратичный гамильтониан.
Тогда А — постоянная матрица. Мы можем положить L\ = L + АЛ,
где А — параметр, и получим представление Лакса L\ = [L\, А] линей-
линейной гамильтоновой системы. Пусть теперь S — матрица квадратичного
гамильтониана (Sz, z) /2 в координатах Дарбу z = (p, #),
I — матрица симплектической формы.
\Е °/
Тогда характеристический многочлен матрицы Ь\ имеет вид:
= det(AS - 11Щ11 + ((AS - ^
Коэффициенты этого многочлена при /i2fe, к = 0, ... , п — 1 — квадра-
квадратичные по z первые интегралы нашей линейной гамильтоновой сис-
системы. Они находятся в инволюции. Действительно, полагая w^ =
= 12*(AS — fiQ)~1Q и используя тождество wa — wp = (а — f3)
для квадратичных форм Ia = (waz, z) и Ip = (wpz, z) получим
W-p)z) =
= (a- ^^([(wa - w-a) - (wp - w-p)]z, z) +
+ {a + /Jl^flK - w-a) + {wp - w-p)]z, z) = 0,
так как w^ — W-^ — кососимметрические матрицы.
Практически все известные на сегодняшний день вполне интегри-
интегрируемые системы могут быть проинтегрированы с помощью подходяще-
подходящего представления Лакса, в котором L и А — матрицы с полиномиаль-
полиномиальными по параметру А коэффициентами.
Пример 3. Свободное вращение многомерного твердого тела. Рас-
Рассматриваемая система эквивалентна геодезическому потоку специаль-
специальной левоинвариантной римановой метрики на группе SOn. Метрика
задается квадратичной формой инерции «во внутренних координатах
тела» (см. п. 1.1), т. е. на алгебре Ли son. Как мы увидим в § 3, исследо-
исследование такой системы сводится к изучению гамильтоновых потоков на
орбитах коприсоединенного действия в soj^ с квадратичной функцией
Гамильтона. Квадратичная форма инерции на алгебре son кососиммет-
рических п х n-матриц имеет вид —tv(ujDuj)^ где ш Е son,
D = diag(db ... , dn), dk = ± / p(x)x2k dx,

76 Глава 3
р(х) — плотность тела в точке х = (#i, ... , хп). Обозначая через М
оператор формы инерции, М: son —> soj^, получаем для момента им-
импульса M(uj) уравнение Эйлера М = ad^M. В матричном виде
M(uj) = Duj + ujD,
и уравнение Эйлера имеет форму Лакса М = [М, uj]. Полагая
Мх = М + XD2, и;х=и + XD,
получаем представление Лакса с параметром для уравнения Эйле-
Эйлера: М\ = [Мд, ы\]. Это представление обеспечивает полную интегри-
интегрируемость свободного вращения n-мерного твердого тела вокруг непо-
неподвижной точки. Инволютивность первых интегралов
#л,д = det(M + XD2 + 11Е)
можно доказать, опираясь на теорему о сдвиге аргумента из предыду-
предыдущего пункта (см. [24]).
§ 3. Гамильтоновы системы с симметриями
Описанная в п. 1.5 процедура понижения порядка гамильтоновой
системы, инвариантной относительно гамильтонова потока, обобщается
ниже на случай произвольной группы Ли симметрии.
3.1. Пуассоновские действия и отображения моментов.
Пусть группа Ли G действует на связном симплектическом многообра-
многообразии (М, и)) симплектоморфизмами. Тогда каждому элементу алгебры
Ли д группы G отвечает локально гамильтоново векторное поле на М.
Будем предполагать в дальнейшем, что все эти векторные поля имеют
однозначные гамильтонианы. Выбирая такие гамильтонианы для бази-
базиса в д, получим линейное отображение д —> С°°(М), сопоставляющее
элементу а £ g его гамильтониан На. Скобка Пуассона {На, Нь} может
отличаться от Ща,ь] на константу: {На, Щ} = Ща,ь] + C(tt? b).
Определение. Действие связной группы Ли G симплектоморфиз-
симплектоморфизмами на связном симплектическом многообразии называется пуассо-
новским, если базисные гамильтонианы выбраны так, что С(а, Ь) = О
для всех а, Ъ £ д.

§3. Гамильтоновы системы с симметриями 77
Замечание. В общем случае функция С(а, Ь) билинейна, кососим-
метрична и удовлетворяет тождеству
С([а, Ь], с) + С{[Ь, с], а) + С([с, а], Ь) = О,
то есть является 2-коциклом алгебры Ли д. Другой выбор констант в га-
гамильтонианах На приводит к замене коцикла С на когомологичный
где р — линейная функция на д. Таким образом, симплектическое дей-
действие определяет класс когомологий в #2(д, Е) и является пуассонов-
ским, если и только если этот класс нулевой. В последнем случае базис
гамильтонианов, для которого С(а7 Ь) = 0, определен однозначно с точ-
точностью до прибавления 1-коциклар: q/[q, q] —> Ш и задает гомоморфизм
алгебры Ли д в алгебру Ли функций Гамильтона на М.
Пуассоновское действие определяет отображение моментов Р:
М —> д*, компоненты которого — базисные гамильтонианы: точке х Е М
отвечает функционал P{x)\a<z$ = На{х).
Пуассоновское действие группы g на М при отображении моментов
переходит в коприсоединенное действие группы g: P(gx) = Ad^P(x). На
этом соображении основана классификация однородных симплектичес-
ких многообразии.
Пусть связная группа Ли G действует на связном многообразии У,
М = T*V — его кокасательное расслоение.
Теорема. Естественное действие группы G на М — пуассонов-
пуассоновское {при указанном ниже выборе гамильтонианов).
Действительно, пусть va — векторное поле на М однопараметри-
ческой подгруппы элемента а Е G. Форма действия а на М G-инва-
риантна, поэтому LVaa = diVaa + iVa da = 0. Это равенство означает,
что На = iVaa — гамильтониан поля va. Так как функции На линейны
по импульсам, то {На, Щ} и Ща,ъ] — тоже линейны и, следовательно,
равны.
Следствие. Значение гамильтониана На на ковекторе р Е T*V
равно значению ковектора р на векторе скорости однопараметрической
подгруппы элемента а Е g в точке х.

78 Глава 3
Отображение моментов в этом случае может быть описано следу-
следующим образом. Рассмотрим отображение G —> М, определенное дей-
действием на фиксированную точку х £ М. Прообраз 1-формы а на М
при этом отображении — 1-форма на G. Ее значение в единице группы
и есть момент Р(х) точки х.
Пример 1. Группа SO3 вращений евклидова пространства R3
порождена однопараметрическими подгруппами вращений с единич-
единичной скоростью вокруг координатных осей #i, #2, Яз- Соответствую-
Соответствующие гамильтонианы — компоненты вектора момента импульса: Mi =
= Q2P3 ~ ЯзР2 и т. д.
Пример 2. Действие группы левыми сдвигами в своем кокасатель-
ном расслоении — пуассоновское. Соответствующее отображение мо-
моментов Р: T*G —> g* совпадает с правым сдвигом ковекторов в единицу
группы.
3.2. Приведенное фазовое пространство и приведенные га-
гамильтонианы. Предположим, что гамильтониан Н на симплектичес-
ком многообразии М инвариантен относительно пуассоновского дей-
действия группы G на М. Компоненты отображения моментов являются
первыми интегралами такой гамильтоновой системы.
Обозначим через Мр слой над точкой р £ д* отображения момен-
моментов Р: М —> д*. Пусть Gp — стабилизатор точки р в коприсоединен-
ном представлении группы G. Группа Gp действует на Мр. Фактор-
пространство Fp = Mp/Gp называется приведенным фазовым простран-
пространством.
Для того, чтобы Fp было гладким многообразием, нужны некото-
некоторые предположения. Например, достаточно предположить, что
а) Р — регулярное значение отображения моментов, так что Мр
гладкое многообразие;
б) Gp — компактная группа Ли;
в) элементы группы Gp действуют на Мр без неподвижных точек.
Условие б) можно ослабить: достаточно предположить, что дейст-
действие Gp на Mv собственное, т. е. при отображении
GpX Мр^ МрХ Мр\ (g, x) \-+ {gx, x)
прообразы компактов компактны. Например, действие группы на себе
сдвигами всегда собственное.
Предположим, что сформулированные условия выполнены.

§3. Гамилътоновы системы с симметриями 79
Теорема [1]. Приведенное фазовое пространство имеет естест-
естественную симплектическую структуру,
Кососкалярное произведение векторов на Fp определяется, как ко-
соскалярное произведение их прообразов при проекции Мр —у Fp, при-
приложенных в одной точке слоя проекции. Можно доказать, что касатель-
касательное пространство ТХМР к слою отображения моментов и касательное
пространство Tx(Gx) к орбите группы G являются косоортогональны-
ми дополнениями друг друга в касательном пространстве ТХМ и пере-
пересекаются по изотропному касательному пространству Tx(Gpx) к орбите
стабилизатора Gp. Отсюда следует корректность определения кососка-
лярного произведения и его невырожденность.
Инвариантный гамильтониан Н определяет приведенную функцию
Гамильтона Нр на Мр. Соответствующее функции Н гамильтоново
векторное поле на М касается слоя Мр отображения моментов и ин-
инвариантно относительно действия группы Gp на Мр. Поэтому оно опре-
определяет приведенное векторное поле Хр на Fp.
Теорема [1]. Приведенное поле на приведенном фазовом простран-
пространстве гамильтоново с приведенной функцией Гамильтона.
Пример. В случае действия группы Ли левыми сдвигами на своем
кокасательном расслоении слой Мр отображения моментов — право-
инвариантное сечение кокасательного расслоения, равное р в едини-
единице группы. Стационарная подгруппа Gp совпадает со стабилизатором
точки р в коприсоединенном представлении. Приведенное фазовое про-
пространство Fp симплектоморфно орбите точки р.
3.3. Скрытые симметрии. О скрытых симметриях говорят,
когда гамильтонова система обладает нетривиальной алгеброй Ли пер-
первых интегралов, не связанной априори с каким-либо действием конечно-
конечномерной группы симметрии. Обобщением отображения моментов в такой
ситуации является понятие реализации пуассоновой структуры [75] —
такой субмерсии М —> N симплектического многообразия на пуассо-
ново, при которой скобка Пуассона функций на 7V переходит в скобку
Пуассона их прообразов на М. Очевидна следующая
Лемма. Субмерсия М —> N тогда и только тогда является реа-
лизацией, когда прообразы симплектических слоев коизотропны.
Пусть гамильтониан Н: М —> Ж коммутирует с алгеброй Ли si
функций, поднятых с 7V при реализации. Все такие гамильтонианы об-

80 Глава 3
разуют алгебру Ли si', связанную с реализацией М —> N' другой пуас-
соновой структуры. Эта реализация называется дуальной к исходной и
строится следующим образом. Рассмотрим распределение на М косоор-
тогональных дополнений к слоям субмерсии М —^ N. Оно порождается
полями гамильтонианов из алгебры Ли si. Поэтому это распределение
интегрируемо и касается коизотропных прообразов симплектических
слоев. Проекция М —» N' вдоль его интегральных многообразии (опре-
(определенная по меньшей мере локально) является (по лемме) реализаци-
реализацией возникающей на N' пуассоновой структуры. Симплектические слои
последней — приведенные фазовые пространства, на которых гамиль-
гамильтониан Н £ si1, рассматриваемый как функция на TV', определяет при-
приведенное движение.
Важный пример дуальных реализации доставляют отображения
моментов действий группы Ли левыми и правыми сдвигами на своем
кокасательном расслоении.
В общем случае имеется тесная связь между пуассоновыми много-
многообразиями N и N' дуальных реализации. Например, них общие функ-
функции Казимира — рассматриваемые как функции на М, они образуют
подалгебру si П sir. Имеется соответствие между симплектическими
слоями в 7V и 7V', взаимно однозначное, если прообразы этих слоев в М
связаны: соответствуют друг другу слои с пересекающимися прообра-
прообразами.
Теорема [75]. Ростки трансверсальных пуассоновых структур
к соответствующим симплектическим слоям дуальных реализации ан-
тиизоморфны (т. е. изоморфны с точностью до знака скобки Пуассона).
Определим эквивалентность реализации Mi —> TV, М2 —> N как
коммутирующий с ними симплектоморфизм Mi —» М2 и стабилизацию
реализации М —> N как ее композицию с проекцией на сомножитель
М х Ж2к —> М произведения симплектических многообразий.
Теорема [75]. Росток (Rn, 0) пуассоновой структуры в точке ко-
ранга г обладает реализацией Р: (Rn+r, 0) —> (IRn, 0). Любая его реали-
реализация эквивалентна стабилизации Р,
Приведенная в [75] конструкция реализации Р является нелиней-
нелинейным обобщением отображения моментов T*G —» g группы Ли G.
3.4. Пуассоновы группы. Скобка Пуассона двух функций на
симплектическом многообразии, инвариантных при симплектическом
действии группы Ли — снова инвариантная функция. Обращение этого

§3. Гамилътоновы системы с симметриями 81
утверждения неверно: из замкнутости алгебры инвариантов относи-
относительно скобки Пуассона не вытекает симплектичность действия. Это
обстоятельство привело В. Г. Дринфельда к обобщению процедуры ре-
редукции гамильтоновых систем на более широкий класс действий.
Рассмотрим категорию, объекты которой — пуассоновы многооб-
многообразия, а морфизмы — пуассоновы отображения, то есть гладкие ото-
отображения, переводящие скобку Пуассона функций в скобку Пуассона их
прообразов. Произведение MxN пуассоновых многообразии наделяется
пуассоновой структурой, для которой проекции на сомножители — пу-
пуассоновы отображения, а прообразы функций с разных сомножителей
находятся в инволюции. Пуассоновой группой называется пуассоново
многообразие, наделенное структурой группы Ли, для которой умно-
умножение G х G -> G — пуассоново отображение, а обращение G -> G —
антиавтоморфизм (меняет знак скобки Пуассона). Пример — аддитив-
аддитивная группа коалгебры Ли.
В алгебре Ли g пуассоновой группы G определена линейная пуас-
сонова структура — линеаризация пуассоновой структуры на G в еди-
единице. Поэтому в д* определена структура алгебры Ли (возникающая
здесь двойная структура — это структура биалгебры Ли в смысле [13]).
В приведенном выше примере она совпадает с исходной структурой ал-
алгебры Ли.
Действие пуассоновой группы G на пуассоновом многообразии М
называется пуассоновым, если G х М —^ М — пуассоново отображение.
В случае действия группы G с тривиальной пуассоновой структурой на
симплектическом многообразии М это условие равносильно симплек-
тичности действия (но не его пуассоновости в старом смысле!)
Нетрудно проверить, что инварианты пуассонового действия пуас-
пуассоновой группы на пуассоновом многообразии образуют подалгебру Ли
в алгебре Ли функций на нем. То же самое справедливо для инвариан-
инвариантов связной подгруппы Н С G, если ортогональное дополнение II- С д*
ее алгебры Ли f) С g — подалгебра Ли в д*.
Для такой подгруппы на многообразии М/Н (если оно существу-
существует) имеется единственная пуассонова структура, при которой проек-
проекция М —> М/Н — пуассоново отображение. На симплектических слоях
в М/Н Я-инвариантный гамильтониан определяет приведенное движе-
движение. Отметим, что в описанной конструкции условие, наложенное на Н,
не означает, что Н — пуассонова подгруппа — последнее справедливо,
если II- — идеал в д*.

82 Глава 3
В качестве примера рассмотрим действие связной подгруппы Н
аддитивной группы коалгебры Ли G сдвигами на G. Если Н1- С G* —
подалгебра Ли, то линейная пуассонова структура в ее сопряженном
пространстве и есть искомая пуассонова структура в пространстве ор-
орбит G/H = (Я-1)*.
Пуассоновы группы заняли важное место в теории вполне интег-
интегрируемых систем. Так, разобранный выше пример тесно связан с ме-
методом сдвига аргумента (п. 2.5). Это направление быстро развивается.
Подробности можно найти в работах М. А. Семенова-Тян-Шанского,
например, в [23].
3.5. Геодезические левоинвариантных метрик и уравне-
уравнение Эйлера. Пусть на связной группе Ли G задана левоинвариант-
ная риманова метрика. Она определяется своим значением в едини-
единице группы, т.е. положительно определенной квадратичной формой Q
на пространстве д*. Левоинвариантный геодезический поток на группе
определяет приведенный гамильтонов поток на каждой орбите коприсо-
единенного представления — приведенном фазовом пространстве. При-
Приведенный гамильтониан этого потока совпадает с ограничением на ор-
орбиту квадратичной формы Q. Пусть п: з* —> Я — оператор квадратич-
квадратичной формы Q. Тогда приведенное движение точки Р Е д* описывается
уравнением Эйлера Р = ad^/рчР.
В частном случае G = SO3 получаем классическое уравнение Эй-
Эйлера, описывающее свободное вращение твердого тела во внутренних
координатах тела. В векторных обозначениях оно имеет вид Р = FxO,
где п — вектор угловой скорости, Р — вектор момента импульса,
связанный с вектором п линейным преобразованием — оператором
инерции тела. Вид уравнения Эйлера имеют уравнения гидродинами-
гидродинамики идеальной жидкости [1] и система уравнений Максвелла-Власова
(J.C.Maxwell, [75]), описывающая динамику плазмы. В этих случаях
группа G бесконечномерна.
Рассмотрим подробнее течение идеальной (т.е. однородной, несжи-
несжимаемой, невязкой) жидкости в области D С I3. Пусть G — группа
сохраняющих объемы диффеоморфизмов области D. Алгебра Ли д со-
состоит из гладких бездивергентных векторных полей в D, касающихся
границы области D. Кинетическая энергия Г Цг- dx потока с полем ско-
ростей v — правоинвариантная риманова метрика на группе G. Течение
идеальной жидкости — геодезическая этой метрики. Уравнение Эйлера

§3. Гамилътоновы системы с симметриями 83
может быть записано в виде drotv/dt = [v, rot г;], где [,] — коммутатор
векторных полей. Заметим, что «оператор инерции» v \-> rot г» взаимно
однозначно отображает пространство g на пространство гладких безди-
бездивергентных полей в D при некоторых ограничениях на область D (до-
(достаточно, чтобы D была стягиваемой ограниченной областью с гладкой
границей).
3.6. Относительные равновесия. Фазовые кривые системы
с G-инвариантной функцией Гамильтона, проектирующиеся в положе-
положения равновесия приведенной функции Гамильтона на приведенном фа-
фазовом пространстве, называются относительными равновесиями.
Относительными равновесиями являются, например, стационар-
стационарные вращения твердого тела, закрепленного в центре инерции, а также
вращения тяжелого твердого тела с постоянной скоростью вокруг вер-
вертикальной оси.
Теорема [1]. Фазовая кривая системы с G-инвариантной функци-
функцией Гамильтона является относительным равновесием тогда и толь-
только тогда, когда она является орбитой однопараметрической подгруппы
группы G в исходном фазовом пространстве. (Напомним, что действие
группы Gp на Мр предполагается свободным.)
Пусть теперь G = E/Z — окружность. Предположим, что груп-
группа G действует на конфигурационном многообразии V без неподвиж-
неподвижных точек. Приведенное фазовое пространство Fp пуассоновского дей-
действия G на T*V симплектоморфно скрученному кокасательному рас-
расслоению профакторизованного конфигурационного многообразия V/G.
Редукция натуральной гамильтоновой системы на Т*У с G-инвариант-
G-инвариантной потенциальной и кинетической энергией приводит к натуральной
системе в магнитном поле (см. п. 1.2), равном нулю лишь при р = 0.
Пусть асимметричное твердое тело, закрепленное в точке, находит-
находится под действием силы тяжести или иной потенциальной силы, симмет-
симметричной относительно вертикальной оси. Приведенное конфигурацион-
конфигурационное пространство в этом случае — двумерная сфера S2 = SO3/S1.
Следствие 1. Асимметричное твердое тело в осесимметричном
потенциальном поле, закрепленное в точке на оси поля, имеет не менее
двух стационарных вращений (при каждом значении момента импульса
относительно оси симметрии).

84 Глава 3
Следствие 2. Осесимметричное твердое тело, закрепленное в точ-
точке на оси симметрии, имеет не менее двух стационарных вращений
{при каждом значении момента импульса относительно оси симмет-
симметрии) в любом потенциальном силовом поле.
Оба следствия основаны на том, что функция на сфере— потенциал
приведенного движения — имеет не менее двух критических точек.
3.7. Некоммутативная интегрируемость гамильтоновых
систем. Предположим, что гамильтониан Н системы инвариантен от-
относительно пуассоновского действия группы Ли G на фазовом мно-
многообразии М, и р Е 0* — регулярное значение отображения момен-
моментов Р: М -> Q*.
Теорема. Если размерность фазового многообразия равна сумме
размерности алгебры g и ее ранга, то множество Мр регулярного уровня
общего положения отображения моментов не особо и имеет каноничес-
каноническую аффинную структуру. В этой аффинной структуре фазовый поток
инвариантного гамильтониана Н выпрямляется. Каждая компактная
компонента связности множества Мр является тором, на котором
фазовый поток условно периодичен.
Замечание 1. Напомним, что рангом алгебры Ли называется ко-
коразмерность орбит общего положения в коприсоединенном представле-
представлении.
Замечание 2. Сформулированная теорема обобщает теорему Ли-
увилля о полной интегрируемости: в том случае группа G была ком-
коммутативной группой (Шп) ранга гг, действовавшей на симплектическом
многообразии размерности 2п = dimG 4- rkG.
Доказательство.
Предположение dimM = dimG + ikG вместе с регулярностью об-
общего значения р отображения моментов влечет, что dimМр = ikG =
= dimGp, т.е. каждая связная компонента К уровня Мр является фак-
фактор-пространством (связной компоненты) группы Gp по дискретной
подгруппе. По теореме Дюфло (п. 3.3, гл. 2) алгебра qp (для общего р Е д)
коммутативна, т.е. К = Шп/Z и в компактном случае является тором.
Выпрямление потока легко выводится из инвариантности гамильтони-
гамильтониана Н. Ш

§3. Гамильтоновы системы с симметриями 85
Пример. Рассмотрим кеплерову задачу о движении материальной
точки в ньютоновском гравитационном потенциале неподвижного цент-
Р2 1
ра: Н = — -, г — расстояние до центра, р — импульс. Гамильто-
Гамильтониан Н инвариантен относительно группы вращений SO3 и его по-
поток вместе с действием группы SO3, образует пуассоновское действие
четырехмерной группы G = Е х SO3 ранга 2 в пространстве Т*Е3
размерности 6 = 4+2. Поэтому кеплерова задача интегрируема в не-
некоммутативном смысле. То же самое относится к любой натуральной
системе в евклидовом пространстве Е3 со сферически симметричным
потенциалом: фазовый поток такой системы выпрямляется на двумер-
двумерных совместных уровнях вектора момента импульса и энергии.
Как видно из формулировки теоремы (и из примера), движение
в системе, интегрируемой в некоммутативном смысле, происходит по
торам размерности меньшей половины размерности фазового простран-
пространства, то есть такие системы вырождены по сравнению с общими вполне
интегрируемыми системами.
Теорема [21]. Если гамилътонова система на компактном сим-
плектическом многообразии М2п обладает алгеброй Ли g почти всюду
независимых первых интегралов, причем dimg+rkg = 2n7 то существу-
существует другой набор из п почти всюду независимых интегралов в инволюции.
Геометрически это означает, что инвариантные торы маленькой
размерности rkg объединяются в торы половинной размерности.
Для алгебры Ли g первых интегралов на произвольном симплекти-
ческом многообразии утверждение теоремы вытекает из предложения:
на пространстве д* существует d = (dimg — rkg)/2 гладких функций
в инволюции, независимых почти всюду на орбитах общего положения
в д* (их размерность равна 2d).
Это предложение доказано (на основе метода сдвига аргумента,
п. 2.5) для широкого класса алгебр Ли, включая полупростые (см. [22]);
его справедливость для всех алгебр Ли позволила бы доказать анало-
аналогичную теорему для произвольных, а не только компактных фазовых
многообразий.
3.8. Пуассоновские действия торов. Набор к функций в ин-
инволюции на симплектическом многообразии задает пуассоновское дей-
действие коммутативной группы Шк. Компактные орбиты этого действия
неизбежно являются торами.

86
Глава 3
Здесь мы рассмотрим случай пуассоновского действия тора
Тк = Шк/Ък на компактном симплектическом многообразии М2п.
При к = п геометрию такого действия можно рассматривать как гео-
геометрию вполне интегрируемых систем, впрочем, довольно специально-
специального класса.
ПРИМЕР. Гамильтониан Н: М —> Е на компактной симплекти-
ческой поверхности задает пуассоновское действие аддитивной груп-
группы Е. Если это действие в действительности является действием груп-
группы Т1 = E/Z, то функция Н необходимо имеет своими критическими
точками только невырожденные максимум и минимум, в частности,
М2 — сфера (рис. 23). Если это свойство функции Н выполнено, то ее
произведение с подходящей не обращающейся в нуль функцией являет-
является гамильтонианом пуассоновского действия группы Т1 на сфере.
Рис. 23
Теорема [33]. Пусть задано пуассоновское действие тора Тк =
= Шк /Ък на компактном связном симплектическом многообразии М2п.
Тогда образ отображения моментов Р: М2п —> (Жк)* является выпук-
выпуклым многогранником. Более того, образ множества неподвижных то-
точек действия группы Тк на М2п состоит из конечного числа точек
в (Шку (называемых вершинами), и образ всего многообразия совпадает
с выпуклой оболочкой множества вершин. Замыкание каждой связной
компоненты объединения орбит размерности г ^ к является симплек-
тическим подмногообразием в М2п коразмерности ^ 2(к — г), на кото-
котором пуассоновским образом действует фактор-группа Tr = TA;/TA;~r
тора Тк по стационарной подгруппе Тк~г. Образ этого подмногообра-
подмногообразия в (Жк)* при отображении моментов (грань многогранника) явля-
является выпуклой оболочкой образа своих неподвижных точек, имеет раз-

§3. Гамильтоновы системы с симметриями
87
мерность г и лежит в подпространстве размерности г, параллельном
(целочисленному) подпространству ковекторов в (Ш.к)*, аннулирующих
касательные векторы к стабилизатору Tk~r в алгебре Ли Шк тора Тк.
Замечание. В условиях теоремы слои отображения моментов
связны. Выпуклость образа выводится отсюда индукцией по размер-
размерности тора.
ПРИМЕР. Классическим источником этой теоремы являются не-
неравенства Шура (I. Shur) для эрмитовых матриц: вектор диагональ-
диагональных элементов эрмитовой матрицы лежит в выпуклой оболочке век-
векторов, полученных перестановками из набора ее собственных чисел
(см. рис. 24).
(ЯД,//)
Рис. 24
Действительно, рассмотрим коприсоединенное действие группы
SUn+i специальных унитарных матриц. Оно изоморфно присоединен-
присоединенному действию в алгебре Ли косоэрмитовых матриц со следом нуль.
Пространство таких матриц умножением на \/~~Т отождествляется
с пространством эрмитовых (п + 1) х (п 4- 1)-матриц со следом нуль,
и мы можем считать, что в последнем пространстве задано действие
группы SUn+i, орбиты которого — компактные симплектические мно-
многообразия. Максимальный тор Тп = {diag(e*v?0, ... , ег(рп) \ ^(fk = 0}
группы SUn_|_i действует пуассоновским образом на каждой такой ор-
орбите. Отображение моментов сопоставляет эрмитовой матрице (ujui)
вектор ее диагональных элементов (с^оо, • • • , шпп) в пространстве Шп =
= {(жо, ... , хп) | Еж& =0}. Неподвижными точками действия тора на
орбите являются диагональные матрицы diag(Ao, ... , Ап) этой орбиты.
Другим специфическим свойством пуассоновских действий торов
является формула интегрирования [41]. В простейшем случае пуассо-
новского действия окружности Т1 на симплектическом многообра-

88 Глава 3
зии (М2п, и) она имеет следующий вид. Пусть Н: М2п -> Е* — га-
гамильтониан действия. С каждым его критическим значением р £ Е*
свяжем целое число Е(р), равное произведению ненулевых собственных
чисел, деленных на 2тг, квадратичной части гамильтониана Н в крити-
критической точке т £ Н~1(р). Тогда
^tH^n _ п\ v^ e~ltp
(it)n ^ E(p)'
м р
где сумма берется по всем критическим значениям. Преобразованием
Фурье отсюда получается, что функция
«»»= / ш
H=h
(объем слоя над h £ Е*) — полином степени ^ п — 1 на каждом интер-
интервале множества регулярных значений гамильтониана Н.
В качестве другого следствия формулы интегрирования находим
выражение объема многообразия М через характеристики множества
неподвижных точек действия:
м р
и ряд соотношений на критические значения функции
"=£
Е(р)
= 0 при 0 ^ к < п.
Аналогичные результаты справедливы и для действий торов боль-
большей размерности. Предмет этого пункта оказался связанным с теори-
теорией вычетов, методом стационарной фазы, характеристическими класса-
классами, эквивариантными когомологиями, многогранниками Ньютона, то-
рическими многообразиями, вычислением характеров неприводимых
представлений групп Ли (см. [34], [49]).

Глава 4
Контактная геометрия
Контактная геометрия — нечетномерный двойник симплектичес-
кой. Связь между ними подобна соотношению проективной и аффинной
геометрий.
§ 1. Контактные многообразия
1.1. Контактная структура. Говорят, что на гладком многооб-
многообразии задано поле гиперплоскостей, если в касательном пространстве
к каждой точке задана гиперплоскость, гладко зависящая от точки при-
приложения. Поле гиперплоскостей локально определяется дифференциаль-
дифференциальной 1-формой а, не обращающейся в нуль: а\х = О — уравнение гипер-
гиперплоскости поля в точке х. Поле гиперплоскостей на Bгг+1)-мерном мно-
многообразии называется контактной структурой, если форма a A (da)n
невырождена. Независимость этого требования от выбора определяю-
определяющей 1-формы а мгновенно проверяется. Смысл определения контактной
структуры становится более ясным, если рассмотреть вопрос о сущест-
существовании интегральных многообразий поля гиперплоскостей, т.е. таких
подмногообразий, которые в каждой своей точке касаются гиперплос-
гиперплоскости поля. Если через точку х проходит интегральная гиперповерх-
гиперповерхность, то a/\da\x = 0. Поэтому контактную структуру можно назвать
«максимально неинтегрируемым» полем гиперплоскостей. В действи-
действительности размерность интегральных многообразий контактной струк-
структуры на Bп + 1)-мерном многообразии не превосходит п. Для доказа-
доказательства заметим, что форма dxa задает на гиперплоскости поля в точ-
точке х симплектическую структуру, в которой касательное пространст-
пространство к интегральному подмногообразию, проходящему через ж, является
изотропным.
Интегральные подмногообразия размерности п в Bп + 1)-мерном
контактном многообразии называются лежандровыми. Гладкое рассло-
расслоение контактного многообразия, все слои которого лежандровы, назы-
называется лежандровым расслоением.

90 Глава 4
Диффеоморфизмы контактных многообразий, сохраняющие кон-
контактную структуру, мы будем называть контактоморфизмами.
Теорема Дарбу для контактных многообразий. Контактные
многообразия одинаковой размерности локально контактоморфны.
Следствие. В окрестности каждой точки контактного
Bп + \)-мерного многообразия существуют координаты (z, б/i, ... , qni
Pi, ... , рп), в которых контактная структура имеет вид
dz = ^2pkdqk.
Действительно, dz = ^Ри dqu — контактная структура в E2n+1.
Мы будем называть эту структуру стандартной, а координаты
(z, p, q) — контактными координатами Дарбу,
Теорема Дарбу для лежандровых расслоений. Лежандро-
вы расслоения контактных многообразии одинаковой размерности ло-
локально изоморфны, т, е, существует локальный контактоморфизм про-
пространств расслоений, переводящий слои в слои.
Следствие. В окрестности каждой точки пространства лежанд-
рова расслоения существуют контактные координаты Дарбу (z, р, qO
в которых расслоение задается проекцией (z, p, q) \-> (z, q).
Действительно, слои (я, q) = const — лежандровы подпространства
стандартного контактного пространства.
1.2. Примеры. А. Проективное пространство. Пусть V —
Bп + 2)-мерное симплектическое линейное пространство, Р(Т^) — его
проективизация. Р(Т^) следующим образом наделяется контактной
структурой: гиперплоскость контактной структуры в точке / £ Р(^)
задается гиперплоскостью Р(#) С P(V), проходящей через /, где Н —
косоортогональное дополнение к прямой I С V. В координатах Дарбу
(до, ••• ? <7п? Ро? ••• чРп) на У и аффинной карте q0 = 1 на Р(У) эта
структура имеет вид dp0 = J2Pkdqk - qkdpk, k ^ 1, откуда следу-
следует ее максимальная неинтегрируемость. Лежандровы подпространства
в ~P(V) — это проективизации лагранжевых подпространств в V.
Введенная в P(V) контактная структура задает изоморфизм меж-
между ~P(V) и двойственным проективным пространством Р(У*) гипер-
гиперплоскостей в P(V), при котором каждая точка лежит в соответствую-
соответствующей ей гиперплоскости. Обратно, каждый изоморфизм p2n+1 и p*2n+1

§1. Контактные многообразия
91
с таким свойством инцидентности задается симплектическои структу-
структурой в подлежащем векторном пространстве и, следовательно, определя-
определяет контактную структуру в p2n+1. Действительно, изоморфизм Р(Т^)
и Р(У*) поднимается до изоморфизма V и V*, т.е. невырожденной би-
билинейной формы на У\ сформулированное условие инцидентности рав-
равносильно кососимметричности этой формы.
Б. Многообразие контактных элементов. Контактным элементом
на многообразии М, приложенным в данной точке, называется ги-
гиперплоскость в касательном пространстве в этой точке. Все контакт-
контактные элементы на М образуют пространство РТ*М проективизован-
ного кокасательного расслоения. Следующее правило определяет кон-
контактную структуру на РТ*М: вектор скорости движения контактного
элемента принадлежит гиперплоскости контактного поля, если век-
вектор скорости точки приложения контактного элемента принадле-
принадлежит самому контактному элементу (рис. 25). В координатах Дарбу
(до, • • • •> Чп-> Ро, • • • •> Рп) на Т*М и аффинной карте р0 = 1 на РТ*М
эта структура задается обращением в нуль формы действия:
dq0 + pi dq1 + ... + рп dqn = 0.
РТМ
Пусть X — гладкое подмногообразие
в М. Рассмотрим множество L(X) кон-
контактных элементов на М, приложенных
в точках X и касающихся X. L(X) —
лежандрово подмногообразие в РТ*М.
В частном случае, когда X — точка,
L(X) — проективное пространство всех
контактных элементов на М, приложен-
приложенных в этой точке. Таким образом, рассло-
расслоение РТ*М —)► М — лежандрово.
В. Пространство 1-струй функций.
1-струя гладкой функции / в точке х (обо-
(обозначение jlf) — это (ж, /(ж), dxf). Про-
Пространство JXM — Е х Г*М 1-струй функ-
функций на многообразии М имеет контактную структуру du = а, где и —
координата на оси Е значений функций, а = ^2pk dqu — 1-форма дейст-
действия на Т*М. 1-график функции / (обозначение j1/) состоит из 1-струй
функции во всех точках, j1/ — лежандрово подмногообразие в JXM.
Рис. 25

92 Глава 4
Проекция JXM —> Ж х М вдоль слоев кокасательного расслоения мно-
многообразия М — лежандрово расслоение.
Аналогично определяются контактная структура и лежандрово
расслоение пространства 1-струй сечений одномерного векторного рас-
расслоения над М (не обязательно тривиального) над пространством этого
расслоения.
Г. Фазовое пространство термодинамики. Процитируем начало ста-
статьи Гиббса (J.W. Gibbs) «Графические методы в термодинамике жид-
жидкостей» [43]: «Мы рассмотрим следующие величины: v — объем, р —
давление, t — температура (абсолютная), е — энергия, г] — энтропия
данного тела в некотором состоянии, а также W — работа, совершае-
совершаемая телом при переходе из одного состояния в другое, и Н — тепло,
получаемое телом при этом переходе. Эти величины подчиняются со-
соотношениям, выражаемым следующими дифференциальными уравне-
уравнениями: ... de = dH — dW, dW = pdv, dH = tdrj. Исключая dW и dH,
получим
de = tdr) — pdv. A)
Величины v, p, t, s и г) определены, если задано состоянием тела,
и поэтому их можно назвать функциями состояния тела. Состояние те-
тела в том смысле, в котором этот термин применяется в термодинамике
жидкостей, допускает существование двух независимых вариаций, так
что между пятью величинами г>, р, £, е и ц существуют соотношения,
выражаемые тремя конечными уравнениями, которые для разных ве-
веществ, вообще говоря, различны, но никогда не противоречат диффе-
дифференциальному уравнению A)».
В нашей терминологии состояния тела образуют лежандрову по-
поверхность в пятимерном фазовом пространстве термодинамики, снаб-
снабженном контактной структурой A).
1.3. Геометрия подмногообразий контактного пространст-
пространства. Подмногообразие контактного многообразия несет индуцирован-
индуцированную структуру. Локально эта структура задается ограничением опре-
определяющей 1-формы на его касательное расслоение. Формы, получаемые
друг из друга умножением на необращающуюся в нуль функцию, за-
задают одну и ту же индуцированную структуру. Так определенная ин-
индуцированная структура тоньше, чем просто поле касательных подпро-
подпространств, высекаемое на подмногообразии гиперплоскостями контакт-
контактной структуры. Например, контактная структура du = pdq индуцирует

§1. Контактные многообразия 93
на кривых u = p-q = 0nu = p-q2 = 0Ke диффеоморфные структуры
в окрестности точки 0.
Пример 1. В окрестности общей точки четномерного подмногооб-
подмногообразия общего положения в контактном пространстве существует систе-
система координат #1, ... , Xkj 2/i, • • • , t/fe? в которой индуцированная струк-
структура имеет вид dy\ + х2 dy2 + • • • + %k dyu = 0- Необщие точки образуют
множество коразмерности больше или равной 2.
Пример 2. В окрестности общей точки нечетномерного подмно-
подмногообразия в контактном пространстве индуцированная структура кон-
контактная, а в окрестности точек некоторой гладкой гиперповерхности —
приводится к одной из двух (не эквивалентных) нормальных форм
±du2 + A + хг) dyx + х2 dy2 + ... + xkdyk = 0 [58].
Индуцированная структура определяет «внешнюю» геометрию под-
подмногообразия, по меньшей мере локально:
А. Относительная теорема Дарбу для контактных струк-
структур. Пусть N — гладкое подмногообразие многообразия М, 7о? 7i —
две контактные структуры, совпадающие на TN. Тогда для любой точ-
точки х в N существует диффеоморфизм Щ —^ U\ в окрестностей точки х
в М, который тождествен на N DUq и переводит 7о|с/о в 7ilc/i*
В частном случае N = {точка} получаем теорему Дарбу для кон-
контактных многообразий п. 1.1.
Дифференциальную 1-форму на многообразии, задающую на нем
контактную структуру, будем называть контактной формой. Контакт-
Контактная форма а определяет поле направлений — поле ядер 2-формы da.
Так, форме du — ^pu dqu отвечает поле направлений ^—. Назовем кон-
контактную форму а трансверсальной к подмногообразию, если поле ядер
формы da нигде его не касается.
Б. Относительная теорема Дарбу для контактных форм.
Пусть ао и а.\ — две контактные формы на многообразии М, транс-
версальные к подмногообразию N, совпадающие на TN и лежащие в од-
одной связной компоненте множества контактных форм с этими свой-
свойствами. Тогда существует диффеоморфизм окрестностей подмногооб-
подмногообразия N в М, тождественный на N и переводящий а\ в ао.
Следствие. Контактная форма локально приводится к виду
du~Y,Pk dqh.

94 Глава 4
Переходим к доказательству теорем А и Б.
Лемма. Теорема А следует из теоремы Б.
Доказательство.
Можно считать, что М = E2n+1, х = О, N — линейное подпро-
подпространство в М, 7о и 7i задаются контактными формами а0 и ai соот-
соответственно. Умножением а± на обратимую функцию добьемся совпа-
совпадения с*о и а\ на TN и умножением форм а0 и а\ на одну и ту же
обратимую функцию сделаем их трансверсальными по отношению к N
в нуле.
Существует тождественное на N линейное преобразование про-
пространства М, переводящее а$\х в оц\х и dxao в dxa\. Действительно,
линейным преобразованием А: М —> М переведем ао|ж в аЛх и ^егж ^ао
в кегж doi\ причем так, чтобы ttA\n = tt\Nj где тг: М -> кегж «i — про-
проекция вдоль кегжб£а1. Формы б?жа0 и б?жа1 задают на кегж «i две сим-
плектические структуры, совпадающие на тг(ЛГ). Их можно отождест-
отождествить линейным преобразованием, тождественным на кегж dai и на tt(N)
(ср. § 1, гл. 1). Поскольку N С кегж <io;i ф ir(N) есть график функ-
функции ailjy, то результирующее преобразование обладает требуемыми
свойствами.
Теперь £ао + A — t)ai, t G [0, 1] — семейство контактных форм,
совпадающих на TN и трансверсальных по отношению к N в точке ж,
а следовательно, и в некоторой ее окрестности. Лемма доказана. ■
Доказательство теоремы Б. Следуя гомотопическому методу
(см. п. 1.3, гл. 2), мы приходим к уравнению
где at — гладкое семейство трансверсальных к N контактных форм,
совпадающих на TN. Это уравнение мы хотим разрешить относитель-
относительно семейства векторных полей Vtj равных нулю на N. Предоставим
читателю следить за гладкостью дальнейших конструкций по t.
Контактная форма а задает тривиализацию расслоения kerda. Ес-
Если а трансверсальна к iV, мы можем считать, что окрестность много-
многообразия N в М есть тривиальное расслоение Е х Р —> Р: (t/, х) \-> х
на интегральные кривые поля направлений kerda, где координата и
в слоях выбрана так, чтобы %д/диа = 1ДС {0} х Р.

§ 1. Контактные многообразия 95
Мы хотим представить 1-форму da/dt, равную нулю на TN, в виде
суммы /З + d/, где /3 не зависит от du, /3|г м = 0 и /|jy = 0. После этого
можно будет положить V = W - (/ + iva)d/du, где поле W не зависит
от д/ди и определяется из уравнения iw da + /3 = 0.
Положим
Тогда &\N =0и |р =p'+d&, где/?'независитотА*и/?'|г м = 0.
Используя относительную лемму Пуанкаре из п. 1.5 гл. 2, мы можем
представить /3' в виде /3' = /3 + dy?, где C и / = ^ + (р удовлетворяют
выдвинутым требованиям. Теорема Б доказана. ■
1.4. Вырождения дифференциальных 1-форм в Еп. Диффе-
Дифференциальная 1-форма общего положения в окрестности точки общего
положения приводится диффеоморфизмом к нормальной форме Дарбу
du + xi dyi + ... + xm dym (n = 2m + 1)
или
A + x1)dy1 + x2 dy2 + ... + xm dym (n = 2m),
а в окрестности точки на некоторой гладкой гиперповерхности — к нор-
нормальной форме Мартине
±du2 + A + x1)dy1 + x2 dy2 + ... + xm dym (n = 2m + 1)
или
A ± x^dyx + x2 dy2 + ... + xm dym (n = 2m)
([58], ср. п. 1.3).
Теорема [14]. Дифференциальная 1-форма в окрестности точки,
где она не обращается в нуль, либо эквивалентна одной из нормальных
форм Дарбу и Мартине (J. Martinet) либо ее класс эквивалентности не
определяется никакой струей конечного порядка (т. е. конечным отрез-
отрезком ряда Тейлора в рассматриваемой точке).
Замечание. Класс эквивалентности формы Дарбу определяется
1-струей, а формы Мартине — 2-струей.

96
Глава 4
Рис. 26
Пример. Дифференциальная 1-фор-
ма общего положения на плоскости
в окрестности точки, где она не обраща-
обращается в нуль, приводится к виду F(x, y)dy
и задает поле направлений dy = 0. На ин-
интегральных кривых у = const этого поля
рассмотрим семейство функций F(-, у).
Если в рассматриваемой точке сливают-
сливаются две критические точки функций се-
семейства (рис. 26), мы можем выбрать
параметр у так, чтобы сумма критичес-
критических значений функций F(-, у) была рав-
равна 1. Тогда разность критических значе-
значений, рассматриваемая как функция параметра, будет функциональным
инвариантом класса эквивалентности нашей 1-формы. В частности, ко-
конечное число коэффициентов ряда Тейлора не определяет класс эквива-
эквивалентности.
Исследование 1-форм в окрестности особых точек см. в [18]. Оно
приводит к следующей задаче. Пусть v — такое векторное поле в сим-
плектическом пространстве со структурой и>, что Lvu) = u>. Сущест-
Существует ли симплектоморфизм окрестности особой точки поля, переводя-
переводящий v в его линейную часть в этой точке? Связь этой задачи с ис-
исходной такова. Дифференциал 1-формы а общего положения в четно-
мерном пространстве в окрестности особой точки задает симплекти-
ческую структуру и). Для поля г>, определенного условием ivto = a,
получаем Lvlo = divto = da = to.
Теорема [18]. Для того чтобы любое векторное поле v в сим-
плектическом пространстве (Е2п, и)) с заданной линейной частью V
в особой точке, обладающее свойством Lvu) = и), было симплектически
эквивалентно V, необходимо и достаточно, чтобы между собственны-
собственными числами Ai, ... , \2П поля V не было соотношений вида
mk\k = 1, 0 ^ mk E Z,
тк ^ 3.
Заметим, что как векторное поле г?, так и его линейная часть яв-
являются суммой эйлерова поля

§2. Симплектизация и контактные гамильтонианы 97
и гамильтонова поля с особой точкой в начале координат. Поэтому
спектр поля V симметричен относительно А = -. 1-форма гЕи) в ко-
ординатах Дарбу имеет вид Y, (Pk dqk - qk dpk)/2.
Следствие. Гиперповерхность общего положения в контактном
пространстве в окрестности точки касания с гиперплоскостью кон-
контактного поля подходящим выбором координат, в которых контактная
структура имеет вид dt = XXp& dqu — qu ф&)? приводится к нормальной
форме t = Q(p, q), где Q — невырожденный квадратичный гамильто-
гамильтониан.
§ 2. Симплектизация и контактные гамильтонианы
Симплектизация сопоставляет контактному многообразию сим-
плектическое многообразие на единицу большей размерности. Мы при-
приводим описание алгебры Ли инфинитезимальных контактоморфизмов,
основанное на свойствах этой операции. Обсуждается двойственная
к ней операция контактизации.
2.1. Симплектизация. Пусть М — контактное многообразие.
Рассмотрим пространство L одномерного расслоения L —> М, слой ко-
которого над точкой х Е М образован всеми ненулевыми линейными
функциями на касательном пространстве ТХМ, обращающимися в нуль
на гиперплоскости контактного поля в точке ж. Такие функции мы бу-
будем называть контактными функционалами. Задание L как подрассло-
ения в кокасательном расслоении Т*М эквивалентно введению кон-
контактной структуры на М. На многообразии L канонически определена
дифференциальная 1-форма а: значение а на касательном векторе г?,
приложенном в точке £ £ L, равно значению контактного функциона-
функционала £ на образе вектора v при проекции L —^ М (рис. 27).
Пример. Пусть М = РТ*В — проективизованное кокасатель-
ное расслоение с канонической контактной структурой. Тогда L =
_ ji*fi ^ £ — кокасательное расслоение с выколотым нулевым сече-
сечением, а — 1-форма действия на Т*Б.
В общем случае 1-форма а на многообразии L определяет симплек-
тическую структуру da. Ее невырожденность вытекает из приведенно-
приведенного примера, ввиду локальной единственности контактной структуры.

98
Глава
Определение. Симплектическое
многообразие (Z, da) называется сим-
плектизацией контактного многооб-
многообразия М.
Мультипликативная группа Ех
ненулевых скаляров действует на L
умножением контактных функциона-
/ / лов на константы. Это действие пре-
вращает L —> М в главное расслоение.
Симплектическая структура da одно-
однородна степени 1 относительно этого
a-
two
действия. Обратно, главное Ех-рас-
Ех-расслоение N —^ М симплектического
Рис. 27 многообразия с однородной степени 1
симплектической структурой задает контактную структуру на М, для
которой N является симплектизацией.
Свойства симплектизаци и.
A. Вложение L <-» Т*М и проекция L -> М устанавливают вза-
взаимно однозначное соответствие между контактоморфизмами многооб-
многообразия М и симплектоморфизмами многообразия L, коммутирующими
с действием группы Ех.
Б. Проекция симплектизации L —^ М задает взаимно однозначное
соответствие между Ех-инвариантными («коническими») лагранжевы-
ми подмногообразиями в L и лежандровыми подмногообразиями в М.
B. Композиция проекции L -> М и лежандрова расслоения М -> В
определяет Ех-инвариантное лагранжево расслоение L —^ Б, и обрат-
обратно. Используя Ех-инвариантную версию теоремы Дарбу для лагранже-
вых расслоений, отсюда легко вывести теорему Дарбу для лежандровых
расслоений.
Г. Слои лагранжева расслоения несут каноническую аффинную
структуру (см. п. 4.2, гл. 2). Вместе с Ех-действием на пространст-
пространстве симплектизации это позволяет ввести в слоях лежандрова расслое-
расслоения каноническую проективную структуру. Явным образом эта проек-
проективная структура описывается так. Гиперплоскость контактного поля
в точке х Е М содержит касательное пространство к слою расслое-
расслоения тг: М —> Б, проходящему через х и, следовательно, проектируется
в контактный элемент на Б, приложенный в точке тг(ж). Мы получаем

§2. Симплектизация и контактные гамильтонианы 99
локальный контактоморфизм М —> РТ*В, отображающий лежандровы
слои в слои.
Следствие. Лежандроео расслоение с компактным слоем канони-
канонически контактоморфно проективизованному кокасательному расслое-
расслоению базы либо его послойному накрытию, т. е. сферизованному кокаса-
кокасательному расслоению, если размерность слоя больше единицы (в случае
одномерного слоя различных накрытий — счетное число).
2.2. Алгебра Ли инфинитезимальных контактоморфиз-
мов. Векторные поля на контактном многообразии, локальные потоки
которых сохраняют контактную структуру, называются контактны-
контактными векторными полями. Такие поля, очевидно, образуют подалгебру Ли
алгебры Ли всех векторных полей на контактном многообразии.
Следующим образом определим симплектизацию контактного век-
векторного поля: это векторное поле на симплектизации контактного мно-
многообразия, поток которого есть симплектизация потока исходного кон-
контактного поля.
Теорема. Симплектизация контактных векторных полей задает
изоморфизм алгебры Ли таких полей и алгебры Ли локально гамильтоно-
вых Ж* -инвариантных векторных полей на симплектизации контакт-
контактного многообразия. Гамильтониан такого поля прибавлением констан-
константы можно сделать однородным степени 1.
Предположим теперь, что контактная структура на многообразии
задается глобально определенной дифференциальной 1-формой а. Кон-
Контактная форма о определяет сечение расслоения L —^ М контактных
функционалов. Таким образом, существование формы а равносильно
тривиальности этого расслоения. Коль скоро сечение выбрано, оно за-
задает взаимно однозначное соответствие между однородными степени 1
гамильтонианами из L и функциями на М.
Определение. Контактным гамильтонианом контактного век-
векторного поля на М называется функция на М, равная в точке х зна-
значению однородного гамильтониана симплектизации этого векторного
поля на контактном функционале а|ж, рассматриваемом как точка слоя
над х в расслоении L -» М.
Приведем координатные формулы для контактного поля Vu функ-
функции К. Пусть а = du — pdq (мы опускаем знак суммы). Тогда (в обо-

100 Глава
значениях dK = Kudu + Kp dp + Kq dq)
vK = (k-pkp)£ + {Kfpfq
Следствие 1. Контактный гамильтониан К контактного поля V
равен значению формы а на этом поле: К = iva.
Следствие 2. Соответствие V \-> iva взаимно однозначно ото-
отображает пространство контактных полей на пространство гладких
функций. В частности, тривиальность расслоения L —> М влечет гло-
глобальную гамилътоновостъ всех Ех -инвариантных локально гамилъто-
новых полей на L.
Введенная таким образом структура алгебры Ли в пространстве
гладких функций на М называется скобкой Лагранжа. Явное описание
этой операции выглядит так. Контактный диффеоморфизм, сохраняя
контактную структуру, умножает форму а на обратимую функцию.
Поэтому мы можем контактному гамильтониану К сопоставить новую
функцию (рк по правилу Ly а — (рк(У- Тогда скобка Лагранжа [F, G]
к
двух функций примет вид [F, G] = (Ly G — Ly F + F(pG — G(pF)/2.
F G
В прежних координатных обозначениях
[F, G] = FGU - FUG - p{FpGu - FUGP) - FpGq + FqG
p,
откуда, конечно, следует приведенная инвариантная формула для скоб-
скобки Лагранжа. Из определения скобки Лагранжа вытекает неочевидное
само по себе утверждение, что стоящее в правой части выражение удов-
удовлетворяет тождеству Якоби.
Скобка Лагранжа не задает пуассоновой структуры (§3, гл. 2),
поскольку не удовлетворяет правилу Лейбница. Назовем структурой
Ли на многообразии билинейную операцию [,] в пространстве гладких
функций, которая задает в этом пространстве структуру алгебры Ли и
обладает свойством локальности, т.е. [/, g]\x зависит лишь от значений
функций /, g и их частных производных любого порядка в точке х.
Можно показать [16], что многообразие Ли канонически разбивается
на гладкие симплектические и контактные многообразия. Этот резуль-
результат — обобщение теоремы о симплектических слоях для пуассоновых

§2. Симплектизация и контактные гамильтонианы 101
многообразий. Аналоги других свойств пуассоновых структур (транс-
версальные структуры, линеаризация и т. п.) для структур Ли не из-
изучены.
2.3. Контактизация. Она определяется в том случае, если сим-
симплектическая структура на многообразии N задана как дифференциал
1-формы а. По определению, контактизация многообразия (iV, a) —
это многообразие Е х N с контактной структурой du = а, где и —
координата на Е.
Пример. Пусть N — симплектизация контактного многообразия.
Так как симплектическая структура на N задается как дифференциал
канонической 1-формы а, то контактизация N определена. В частном
случае N = Т*В контактизацией многообразия N является простран-
пространство 1-струй функций на В.
Для данного симплектического многообразия (iV, и) с точной сим-
плектической структурой различный выбор потенциала a (da = си)
приводит к различным контактным структурам в Ж х N. Все же ес-
если разность двух потенциалов al5 а^ точна (а\ — ol^ = d(p), то со-
соответствующие структуры эквивалентны в следующем смысле: сдвиг
(t/, х) \-> (и-\-(р(х), х) является контактоморфизмом (Ж х iV, du — a±)
на (Ж х iV, du — «2)- Если замкнутая форма а\ — а.^ не является пол-
полным дифференциалом, то эти контактные многообразия могут быть не
контактоморфны.
Описанная ситуация типична. Симплектизация контактных объ-
объектов существует всегда и приводит к топологически тривиальному
симплектическому объекту. Контактизация существует лишь при не-
некоторых условиях топологической тривиальности и может давать не-
неоднозначный результат. Вот еще один пример такого сорта. Пусть за-
задана контактизация Ж х N —> N. Контактизацией лагранжева много-
многообразия А С N называется лежандрово подмногообразие L С Е х iV,
диффеоморфно проектирующееся на Л. Нетрудно убедиться, что кон-
контактизация лагранжева многообразия существует в том и только том
случае, если замкнутая 1-форма а|Л на Л точна. Если а|Л = dip, то мож-
можно положить L = {(у>(Л), Л) G Е х N | Л Е Л}. Функция (р определена
однозначно с точностью до прибавления локально постоянной функции
на Л, и мы видим, что контактизация неединственна. Допускающие
контактизацию лагранжевы вложения будем называть точными.

102 Глава 4
2.4. Лагранжевы вложения в Е2п. Окружность на симплекти-
ческой плоскости не обладает контактизацией: интеграл fpdq равен
площади области, ограниченной этой окружностью, и отличен от нуля.
Другими словами, проекция лежандровой окружности в R3 на симплек-
тическую плоскость имеет точки самопересечения. Вопрос о существо-
существовании точных лагранжевых вложении нетривиален уже для двумерного
тора.
Теорема [3]. Ориентируемое компактное лагранжеео подмного-
подмногообразие в симплектическом пространстве Е2п имеет нулевую эйлерову
характеристику.
Доказательство.
Индекс самопересечения ориентируемого подмногообразия в его
трубчатой окрестности такой же, как в объемлющем пространстве.
Индекс самопересечения в евклидовом пространстве — нулевой. Ин-
Индекс самопересечения в трубчатой окрестности равен эйлеровой харак-
характеристике нормального расслоения. Для лагранжева подмногообразия
нормальное расслоение изоморфно касательному.
В частности, сфера не вкладывается лагранжево в Е4. Тор допуска-
допускает лагранжевы вложения в Е4. Существуют точные лагранжевы вложе-
вложения тора в пространство Е4 с нестандартной симплектической струк-
структурой. Точных лагранжевых вложений тора в стандартное симплекти-
ческое пространство нет. ■
Теорема (Громов (М. Gromov), 1984 г.). Замкнутое п-мерное
многообразие не имеет точных лагранжевых вложений в стандартное
2п-мерное симплектическое пространство.
Из этой теоремы, примененной к двумерному тору, следует су-
существование симплектического многообразия, диффеоморфного Е4, но
не симплектоморфного никакой области в стандартном симплектичес-
симплектическом пространстве Е4.
Теорему можно переформулировать так (см. [3]): компактная ги-
гиперповерхность фронта1 в J°En со всюду невертикальным касатель-
касательным пространством имеет вертикальную хорду с параллельными каса-
касательными пространствами на концах (рис. 28).
Определение фронта см. в п. 1.1 гл. 5.

j3. Метод характеристик
103
Доказательство этого утверждения мож-
можно получить, используя обобщения геометри-
геометрической теоремы Пуанкаре, обсуждавшимися в
п. 4.3 гл. 2. Однако аргументы Громова отличны
от описанных там вариационных методов и ос-
основаны на изучении квазикэлеровых структур
на симплектическом многообразии. Возможнос-
Возможности развитых им методов выходят далеко за рам-
рамки сформулированной теоремы.
Рис. 28
§ 3. Метод характеристик
Уравнение в частных производных
выражает тот факт, что искомая функция и постоянна на фазовых кри-
вых векторного поля 2а*ъ—• Оказывается, произвольное уравнение
i / fb \
в частных производных первого порядка F\u* ^, х) = 0 допускает
V ах /
сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на
гиперповерхности F(u, р, х) = 0 в контактном пространстве 1-струй
функций от х.
3.1. Характеристики на гиперповерхности в контактном
пространстве. Пусть Г С M2n+1 — гиперповерхность в контактном
многообразии. Характеристическим направлением 1{х) в точке х Е Г
называется ядро ограничения дифференциала dxa контактной 1-фор-
мы а на (вообще говоря, Bп — 1)-мерное) пересечение П(х)Г\ТхТ гипер-
гиперплоскости контактного поля П с касательным пространством к гиперпо-
гиперповерхности. Эквивалентное определение: на прообразе гиперповерхнос-
гиперповерхности Г при симплектизации £2п+2 —у M2n+1 определено Ех-инвариант-
Ех-инвариантное поле направлений — косоортогональных дополнений к касательным
гиперплоскостям. Проекция этого поля в M2n+1 определяет поле харак-
характеристических направлений на Г. Оно имеет особые точки там, где Г
касается гиперплоскостей контактного поля П. Интегральные кривые
поля характеристических направлений называются характеристиками
гиперповерхности Г.

104 Глава 4
Предложение. Пусть N С Г — интегральное подмногообразие
контактной структуры, не касающееся характеристики гиперповерх-
гиперповерхности Г? проходящей через точку х £ N. Тогда объединение характе-
характеристик Г? проходящих через N в окрестности точки х, — снова ин-
интегральное подмногообразие.
Следствие 3. Если N — лежандрово, то характеристики, прохо-
проходящие через 7V? лежат в N.
Это свойство характеристик можно также взять в качестве их
определения.
Следствие 4. Если N имеет размерность п — 1? то лежандрово
подмногообразие в Г? содержащее окрестность точки х в 7V? существу-
существует и локально единственно.
3.2. Уравнение с частными производными первого поряд-
порядка. Такое уравнение на n-мерном многообразии В задается гиперпо-
гиперповерхностью Г в пространстве JXB 1-струй функций на В. Решени-
Решением уравнения Г называется гладкая функция на Б, 1-график которой
(см. п. 1.2) лежит на Г. Согласно следствию 1 предыдущего пункта,
1-график решения состоит из характеристик гиперповерхности Г.
Пусть D — гиперповерхность в5, ^ — гладкая функция на D.
Решением задачи Коши (A. Cauchy) для уравнения Г с начальным усло-
условием (D, (р) называется решение уравнения Г, совпадающее с <р на D.
Заметим, что начальное условие определяет (п — 1)-мерное подмного-
подмногообразие Ф = {((p(x)i х) | х Е D} в пространстве J°B = Е х В. Это
подмногообразие, как и любое подмногообразие базы лежандрова рас-
расслоения, определяет лежандрово подмногообразие Ф С JX-B, состоящее
из всевозможных продолжений 1-струй функции </? на D до 1-струй
функций на В: Ф = {(и, р, х) \ х Е D, и = <р(х), ... , p\TxD = dx<p}.
Пересечение TV = Ф П Г называется начальным многообразием задачи
Коши. Точка начального многообразия называется нехарактеристичес-
нехарактеристической, если в этой точке пересечение Ф с Г трансверсально (см. рис. 29).
Заметим, что точки касания характеристик с начальным многообрази-
многообразием не удовлетворяют этому требованию.
Теорема. Решение задачи Коши в окрестности нехарактеристи-
нехарактеристической точки начального многообразия существует и локально единст-
единственно.

§3. Метод характеристик
105
1-график решения состоит из ха-
характеристик, пересекающих началь-
начальное многообразие в окрестности этой
точки.
Координатные формулы. Пусть
Г С J1(En) задается уравнением
F(u, р, х) = 0. Тогда уравнение ха-
характеристик имеет вид
х =
p= -Fq-pFu, u =
Рис. 29
Нехарактеристичность точки (и, р, х)
начального многообразия эквивалентна тому, что вектор Fp(u, p, х) не
касается D в точке ж. Другими словами, нехарактеристичность позво-
позволяет найти из уравнения производную искомой функции в точках D
по нормали к D после того, как производные по касательным направ-
направлениям и значение функции определены начальным условием (р.
3.3. Геометрическая оптика. Прототипом метода характерис-
характеристик служила известная в геометрической оптике эквивалентность опи-
описаний распространения света в терминах лучей и фронтов. Движение
«световых корпускул» по прямым в Еп описывается гамильтониа-
гамильтонианом Н(р, q) = р2. Уравнение эйконала (du/dqJ = 1 описывает рас-
распространение коротких световых волн: его решение, равное нулю на
гиперповерхности D в Ш71 — это оптическая длина кратчайшего пути
от источника света D до точки q. Проекция в Еп характеристик, со-
составляющих 1-график функции ад, — это нормальные прямые (лучи)
к поверхностям уровня функции и (фронтам).
Решения уравнения эйконала могут быть многозначны, а фрон-
фронты — иметь особенности. Например, при распространении света внутрь
эллиптического источника на плоскости фронт приобретает полукуби-
полукубические точки возврата (рис. 30а). При движении фронта его особеннос-
особенности скользят по каустике (рис. 306). Каустика может быть определена
как множество центров кривизны источника или как огибающая семей-
семейства лучей. В окрестности каустики свет концентрируется. Особеннос-
Особенности волновых фронтов и каустик будут изучены в гл. 5.
3.4. Уравнение Гамильтона-Якоби. Уравнением Гамильто-
Гамильтона Якоби называется уравнение вида Н\-^, х) = 0. Оно отличается
\ох /

106
Глава
Рис. 30
Рис. 31
от общего уравнения первого порядка тем, что не содержит явно иско-
искомой функции и. Интегрирование уравнений характеристик сводится,
по-существу, к интегрированию гамильтоновой системы с гамильто-
гамильтонианом Н(р, q). Уравнение эйконала — частный случай уравнения Га-
Гамильтона-Якоби.
В механике очень эффективным оказался обратный методу харак-
характеристик путь интегрирования гамильтоновых систем со сведением
к решению уравнения Гамильтона-Якоби.
Теорема Якоби. Пусть u(Q, q) —решение уравнения Гамильто-
—-, qj =h, зависящее от п параметров Q=(h, Ai, ... , An_i)
п , du(Q,q)
и п переменных q. Предположим, что уравнение — = р раз-
разрешимо относительно Q, в частности, detf '^^п) Ф§- Тогда функ-
функции Q(p, q) являются п инволютивными первыми интегралами гамиль-
гамильтониана Н.
Действительно, лагранжевы многообразия Aq с производящей
функцией w(Q, •), Aq = {(р, q) \p = du(Q, q)/dq}, суть слои лагран-
жева расслоения над пространством параметров Q. Уравнение Гамиль-

§3. Метод характеристик 107
тона-Якоби означает, что ограничение Н на Лд равно fr, т.е. что га-
гамильтониан системы — функция от Q.
Успех в применении теоремы Якоби всегда связан с удачным выбо-
выбором системы координат, в которой происходит разделение переменных
в уравнении Гамильтона-Якоби. Именно таким способом Якоби про-
проинтегрировал уравнение геодезических на трехосном эллипсоиде. Гово-
Говорят, что в уравнении Н[ -^. q) = h переменная gi отделяется, если ~^-
и gi входят в Н лишь в виде комбинации (р[ ——, gi . Тогда, пытаясь
\с% /
найти решение в виде и = Ui(qi) 4- Щ#2? ••• 5 qn), придем к системе
= h'Если во вто"
ром уравнении переменные снова разделяются и т.д., то в конце мы
придем к решению исходного уравнения вида
М<7ъ Ai) + ^2(д2, Аь А2) + ... + ^n(gn? Аь ... , Ап_ь К)
и сможем применить теорему Якоби.
Проиллюстрируем этот подход на примере задачи Эйлера о при-
притяжении точки на плоскости двумя неподвижными центрами. Пусть
ri, Г2 — расстояние от движущейся точки до центров Qi, Q2 (рис. 31).
Гамильтониан задачи имеет вид
,/1 . 1\
\ri + г2)'
Перейдем к эллиптическим координатам (£, г}) на плоскости: £ = ri + Г2?
г] = ri — Г2- Линии уровней функции £, /^ — ортогональные друг другу
семейства кривых — эллипсов и гипербол с фокусами Oi, O2. В кано-
канонических координатах (р^, р^, ^, /^) на Т*Ш2 гамильтониан (после неко-
некоторых вычислений) примет вид:
\
В уравнении Гамильтона Якоби
V - 4с2) + (gj) Dс2 - г?) = це - г?)+

108 Глава 4
мы можем разделить переменные, полагая
—А.
Отсюда находим двупараметрическое семейство решений уравнения
Гамильтона-Якоби в виде
Стремление извлечь из подобного рода формул явные выражения для
траекторий гамильтоновых систем привело Якоби к проблеме обра-
обращения гиперэллиптических интегралов, успешное решение которой со-
составляет сегодня одно из лучших достижений алгебраической геомет-
геометрии.

Глава 5
Лагранжевы и лежандровы особенности
В этом разделе изложены основы математической теории каустик
и волновых фронтов. Классификация их особенностей связана с класси-
классификацией правильных многогранников. В доказательства вносят вклад
теория критических точек функций, группы, порожденные отражения-
отражениями, группы и алгебры Ли. Возможно, это объясняет, почему элементар-
элементарные по форме конечные результаты не были получены еще в прошлом
веке.
§ 1. Лагранжевы и лежандровы отображения
Так называются конструкции, формализующие на языке симплек-
тической геометрии понятия каустики и волнового фронта геометри-
геометрической оптики.
1.1. Фронты и лежандровы отображения. Лежандровым ото-
отображением называется диаграмма, состоящая из вложения гладкого
многообразия в пространство лежандрова расслоения в качестве ле-
жандрова подмногообразия и проектирования пространства лежандро-
лежандрова расслоения на базу. Допуская вольность речи, мы будем называть
лежандровым отображением композицию этих отображений. Образ ле-
лежандрова отображения называется его фронтом.
ПРИМЕР 1. Нормальным отображением называется отображение,
сопоставляющее каждой точке ориентированной гиперповерхности
в евклидовом пространстве конец единичного вектора нормали в этой
точке. Образ нормального отображения называется эквидистантой
(ср. п. 3.3, гл. 4). Более общо, пусть В — риманово многообразие,
X С В — гладкое подмногообразие. Поток контактного гамильтони-
гамильтониана Н = \\p\\ в контактном пространстве ST*B трансверсально ориен-
ориентированных контактных элементов переводит (за время i) лежандрово
подмногообразие Ло таких элементов, касательных к X в лежандрово

110 Глава 5
подмногообразие At. Проекция Л* на базу В есть эквидистанта подмно-
подмногообразия X — множество концов отрезков геодезических (экстрема-
(экстремалей лагранжиана \\p\\) длины £, выпущенных из X по нормали. Таким
образом, нормальное отображение — лежандрово, эквидистанта явля-
является его фронтом.
Пример 2. Проективная двойственность. Тангенциальным отобра-
отображением называется отображение, сопоставляющее каждой точке гипер-
гиперповерхности в проективном пространстве гиперплоскость, касатель-
касательную в этой точке. Рассмотрим в произведении Р х Р* проективного
пространства и двойственного к нему подмногообразие F пар (р, р*),
удовлетворяющих условию инцидентности: точка р £ Р лежит в ги-
гиперплоскости р* С Р, а также подмногообразие F*, выделяемое двой-
двойственным условием: точка р* Е Р* лежит в гиперплоскости рСР*.
1° Два условия инцидентности совпадают: F* = F.
Проекция F —> Р {F* —> Р*) является лежандровым расслоением
многообразия контактных элементов F = РТ*Р (F* = РТ*Р* соот-
соответственно).
2° Две контактные структуры в F = F* совпадают.
Это следует из 1° и определения контактной структуры в РТ*В.
Тангенциальное отображение — это
проекция лежандрова подмногообразия Л
в РТ*Р, образованного контактными эле-
элементами подмногообразия X в Р, на базу
второго лежандрова расслоения рт*Р*-»Р*.
Поэтому тангенциальное отображение глад-
гладкой гиперповерхности лежандрово. Его
фронт X* в Р* называется двойственной ги-
Рис. 32 перповерхностъю.
3° Лежандровы подмногообразия Л и Л* совпадают (рис. 32).
Действительно, лежандрово многообразие определяется своей про-
проекцией на базу лежандрова расслоения.
Следствие. (X*)* = X.
Пример 3. Преобразование Лежандра. Рассмотрим два лежандро-
вых расслоения стандартного контактного пространства E2n+1 1-струй
функций в Жп: (щ р, q) \-+ (и, q) и (щ р, q) \-+ (pq - щ р).
Проекция 1-графика функции и = S(q) на базу второго расслое-
расслоения задает лежандрово отображение (ia, q) \-> (pq — S(q), dS/dq). В слу-
/
t
F =
PT*
1
1
~>x
/
P = PT
и
л=л*
*p*
\
\
\

§1. Лагранжевы и лежандровы отображения 111
чае, когда функция S выпукла, его фронт снова является графиком вы-
выпуклой функции v = S*(p) — преобразованием Лежандра функции S
(ср. п. 1.2, гл. 3).
Фронты лежандровых отображений, вообще говоря, не являют-
являются гладкими. Задача классификации особенностей фронтов сводится
к изучению лежандровых особенностей (т.е. особенностей лежандро-
лежандровых отображений). Лежандровы особенности общего положения отли-
отличаются от особенностей общих отображений n-мерных многообразий
в (п + 1)-мерные. Так, проекция общей пространственной кривой на
плоскость имеет своими особенностями лишь точки самопересечения,
в то время как проекция общей лежандровой кривой в лежандровом
расслоении имеет еще точки возврата.
Лежандровой эквивалентностью двух лежандровых отображений
называется контактоморфизм соответствующих лежандровых расслое-
расслоений, переводящий лежандрово многообразие первого лежандрова ото-
отображения в лежандрово многообразие второго.
Замечание 1. Контактоморфизм лежандровых расслоений одно-
однозначно определяется диффеоморфизмом баз. Гладкий фронт лежанд-
лежандрова отображения однозначно определяет исходное лежандрово под-
подмногообразие. В этом смысле действие лежандровой эквивалентности
сводится к действию диффеоморфизма базы на фронт. Это замечание
применимо и к тем особым фронтам, у которых множество точек ре-
регулярности плотно в исходном лежандровом многообразии. Последнее
условие нарушается лишь для ростков лежандровых отображений, обра-
образующих множество коразмерности бесконечность в пространстве всех
ростков.
Замечание 2. Можно показать, что все (с точностью до эквива-
эквивалентности) лежандровы особенности реализуются уже в случае экви-
дистант гиперповерхностей в евклидовом пространстве. В этом смыс-
смысле исследование лежандровых особенностей совпадает с исследованием
эквидистант (можно показать, что близким лежандровым особеннос-
особенностям соответствуют эквидистанты близких гиперповерхностей и об-
обратно, так что особенности общего положения для фронтов лежандро-
лежандровых отображений — те же, что для эквидистант). То же самое можно
утверждать об особенностях гиперповерхностей, проективно двойст-
двойственных гладким, или об особенностях преобразований Лежандра гра-
графиков гладких функций.

112
Глава 5
1.2. Производящие семейства гиперповерхностей. Неосо-
Неособое лежандрово отображение определяется своим фронтом — произ-
производящей гиперповерхностью лежандрова многообразия. Произвольное
лежандрово отображение можно задавать производящим семейством
гиперповерхностей. Рассмотрим вспомогательное тривиальное рассло-
расслоение Rfe+/ -» Ж1 «большого пространства» Шк+1 над базой Ж1. Контактные
элементы в Rfe+/, касательные к слоям расслоения, образуют смешан-
смешанное подмногообразие Р С РТ*
ък+1
коразмерности к. Смешанное много-
многообразие расслаивается над многообразием контактных элементов базы
(рис. 33). Лежандрово подмногообразие в РТ*Шк~*~* называется правиль-
правильным, если оно трансверсально смешанному пространству Р.
Лемма 1. Образ проекции пересече-
пересечения правильного лежандрова многообразия
со смешанным пространством Р в про-
пространство контактных элементов базы
является иммерсированным лежандровым
подмногообразием.
Лемма 2. Всякий росток лежандрова
подмногообразия в РТ*Ж1 получается этой
конструкцией из некоторого порожденного
производящей гиперповерхностью правиль-
правильного лежандрова подмногообразия подходя-
подходящего вспомогательного расслоения.
Рис. 33
Приведем доказательство второго утверждения леммы. Введем
в расслоении РТ*Ж1 -л Ж1 такие контактные координаты Дарбу
(Щ Р, Ч) = {щ Pi, Pj, Яц Qj), I U J = {1, ... , / - 1}, / П J ф 0, что-
чтобы исследуемый росток лежандрова подмногообразия однозначно про-
проектировался на пространство координат (pj, qT) вдоль (w, p7, 6/j)-npo-
странства. Тогда из соотношения du = pdq = d(pjqj) — q3 dpj + pj dqj
получим: существует такой росток гладкой функции S(pJy д7), что на-
наше лежандрово подмногообразие задается уравнениями
Pi =
г\ с*
£) С
Рассмотрим теперь гиперповерхность и = F(x, q) в «большом» про-
про+ где k = |J|, a F(x, q) = xq3 + S(x, д7), как произ-
произстранстве
+
водящую гиперповерхность лежандрова многообразия и = F', у =

§1. Лагранжевы и лежандровы отображения 113
р = Fq. Применение конструкции первой части леммы приводит к ис-
исходному лежандрову ростку в РТ*Ж.1. Условие правильности имеет
вид det(Fxqj) ф 0 и выполнено.
Гиперповерхность большого пространства, через которую росток
лежандрова отображения задается описанной в лемме конструкци-
конструкцией, называется производящим семейством гиперповерхностей этого ле-
лежандрова отображения (элементы семейства, вообще говоря, — особые
пересечения гиперповерхности со слоями расслоения Efe+/ —> Ж1).
Замечание. «Физический смысл» производящего семейства состо-
состоит в следующем. Рассмотрим распространение света в Е от источни-
источника X С Ж1 размерности к. Согласно принципу Гюйгенса (C.Huygens),
каждая точка х источника излучает сферическую волну. Обозначим
через F(x, q) время распространения этой волны до точки q простран-
пространства Ш . Тогда условие, что наименьшее время движения света от ис-
источника X до точки q равно и, дает уравнения
^ = 0. A)
Это и есть уравнение фронта для проекции в Ш пересечения лежанд-
лежандрова многообразия {и = F, у = Fx, p = Fq} со смешанным пространст-
пространством {у = 0}.
Расслоенной эквивалентностью производящих семейств гиперпо-
гиперповерхностей Fi и Г2 в пространстве расслоения Ш + —> Ш называется
расслоенный диффеоморфизм (ж, q) И- (/г(ж, #), <^(#))? переводящий Ti
в Г2. Пусть Г С М — гладкая гиперповерхность с простым уравнени-
уравнением /= 0. Удвоением М с ветвлением вдоль Г называется гиперповерх-
гиперповерхность в прямом произведении Ш х М с уравнением и2 = /(v), и Е Ш.
В комплексном случае удвоение — разветвленное вдоль Г двулистное
накрытие М. Вещественный тип удвоения зависит от выбора сторо-
стороны Г. Два семейства гиперповерхностей во вспомогательных расслое-
расслоениях с общей базой называются стабильно расслоенно эквивалентными,
если из них послойными удвоениями получаются расслоенно эквива-
эквивалентные семейства.
Теорема [6]. Два ростка производящих семейств гиперповерхнос-
гиперповерхностей задают эквивалентные ростки лежандровых отображений, если и
только если эти семейства гиперповерхностей расслоенно стабильно
эквивалентны.

114
Глава 5
Причина появления здесь стабильной эквивалентности станет ясна
в §2.
1.3. Каустики и лагранжевы отображения. Лагранжевым
отображением называется диаграмма, состоящая из вложения гладкого
многообразия в качестве лагранжева подмногообразия в пространство
лагранжева расслоения и проекции на базу этого расслоения.
BS
Пример 1. Градиентное отображение q \-ь- -^г— лагранжево.
Oq
Пример 2. Гауссово отображение трансверсально ориентирован-
ориентированной гиперповерхности в евклидовом пространстве Шп в единичную
сферу лагранжево. Действительно, оно является композицией двух ото-
отображений. Первое сопоставляет точке гиперповерхности ориентирован-
ориентированную нормаль к гиперповерхности в этой точке; его образ — лагран-
лагранжево подмногообразие в пространстве всех прямых в Еп, изоморфном
(ко)касательному расслоению сферы (рис. 34). Второе — это лагранже-
лагранжево проектирование Т*^ -» S™.
Рис. 34
Рис. 35
Пример 3. Нормальное отображение, сопоставляющее вектору uv
нормали к подмногообразию в евклидовом пространстве, приложенно-
приложенному в точке ад, точку v самого пространства, лагранжево.
Множество критических значений лагранжева отображения назы-
называется каустикой (рис. 35).
Пример 4. Каустика нормального отображения подмногообразия
в евклидовом пространстве есть множество его центров кривизны: что-
чтобы построить каустику, нужно вдоль каждой нормали отложить соот-
соответствующие радиусы главных кривизн.

§ 1. Лагранжевы и лежандровы отображения 115
Лагранжевой эквивалентностью лагранжевых отображений назы-
называется симплектоморфизм лагранжевых расслоений, переводящий ла-
лагранжево многообразие первого отображения в лагранжево многообра-
многообразие второго.
Замечание 1. Автоморфизм лагранжева расслоения Т*М —> М
разлагается в произведение автоморфизма, индуцированного диффео-
диффеоморфизмом базы, и автоморфизма сдвига (р, q) И- {p-\-(p{q), #), где (р —
замкнутая 1-форма на М.
Замечание 2. Каустики эквивалентных лагранжевых отображе-
отображений диффеоморфны. Обратное, вообще говоря, не верно.
Замечание 3. Каждый росток лагранжева отображения эквива-
эквивалентен ростку градиентного (гауссова, нормального) отображения. Все
ростки лагранжевых отображений, близкие к данному градиентному
(гауссову, нормальному), сами являются градиентными (гауссовыми,
нормальными). Поэтому локальные явления общего положения в этих
классах лагранжевых отображений те же, что и в классе всех лагран-
лагранжевых отображений.
1.4. Производящие семейства функций. Лагранжево сечение
кокасательного расслоения, т.е. замкнутая 1-форма на базе, задается
своей производящей функцией — потенциалом этой 1-формы. Рассмот-
Рассмотрим вспомогательное расслоение Е + —> R1. Ковекторы из Т*Е +/, об-
обращающиеся в нуль на касательном пространстве к слою в точке своего
проложения, образуют смешанное подмногообразие Q С T*Efe+/. Сме-
Смешанное многообразие расслаивается над Т*Ш1 с ^-мерными изотропны-
изотропными слоями. Лагранжево подмногообразие в T*Efe+/, трансверсальное Q,
называется правильным. Проекция в Т*Ег пересечения Л П Q правиль-
правильного лагранжева многообразия является иммерсированным лагранже-
вым подмногообразием в Т*Мг. Обратно, любой росток лагранжева под-
подмногообразия в Т*Ж1 может быть получен проекцией пересечения со
смешанным подмногообразием Q правильного лагранжева подмногооб-
подмногообразия Л, являющегося сечением кокасательного расслоения «большого»
пространства, при подходящем выборе вспомогательного расслоения.
Производящим семейством функций ростка лагранжева отображе-
отображения называется росток функции на «большом» пространстве, который
производит правильное лагранжево сечение кокасательного расслоения
«большого» пространства и посредством описанной выше конструкции

116 Глава 5
определяет данное лагранжево отображение. (Функция на Е рассмат-
рассматривается здесь как семейство функций на слоях проекции Efe+ —> Ж ,
зависящих от точки базы как от параметра.)
В координатах Дарбу (р7, р3, g7, qj) для лагранжева расслоения
Т*Е; -» Ж1 таких, что лагранжево подмногообразие в Г*Е; не особо
проектируется вдоль (р7, (/^-пространства, зададим это подмногообра-
подмногообразие уравнениями рт = dS/dqj, q3 — —dS/dpj, где 5(pj9 qT) некоторая
гладкая функция. Тогда семейство функций F(x, q) = xq3 4- S(pj, qT)
можно взять в качестве производящего семейства лагранжева отобра-
отображения нашего лагранжева подмногообразия в Т*Ж1 на базу Ж1.
В общем случае семейство функций F(x, q) является произво-
производящим для некоторого лагранжева отображения, если и только если
rk(Fxx, Fxq) = к, В этом случае оно определяет
а) правильное лагранжево подмногообразие Л в Т*Жк^1:
Л = {(у, р, х, q)\y = Fx, p = FJ;
б) пересечение Л со смешанным пространством Q = {у = 0}:
ADQ = {{р, х, q)\Fx = 0, р = Fq};
в) лагранжево многообразие L С Т*Ж1 — проекцию Л П Q:
L = {(p, q) \3x: Fx(x, q) = 0, р = Fq(x, q)};
г) каустику К в Ж1:
К = {q\3x: Fx{x, q) =0, &&\Fxx(x, q)\ =0}. B)
Назовем два семейства функций F\(x, g), ^г(ж, q) расслоенно
^-(--эквивалентными, если существует такой расслоенный диффео-
диффеоморфизм (ж, q) \-> (h(x, #), <p(q)) и такая гладкая функция Ф(д)
на базе, что ^(ж, q) = F\{h{x, g), <^(#)) + Ф(^). Два семейства функ-
функций Fi(x\, g), ^2(^2, #) от различного, вообще говоря, числа перемен-
переменных назовем стабильно расслоенно ^-(--эквивалентными, если они ста-
становятся расслоенно ^-(--эквивалентными после прибавления к ним не-
невырожденных квадратичных форм Qi(^i), E2(^2) от новых переменных
i, q) + Qi(zi) -+ F2(x2, q)

§2. Классификация критических точек функций 117
Пример. Семейство х3 4- yz 4- qx (q — параметр) стабильно рассло-
енно й+-эквивалентно семейству х3 4- qx.
Теорема [6]. Два ростка лагранжевых отображений лагранжево
эквивалентны, если и только если ростки их производящих семейств
стабильно расслоенно R+-эквивалентны.
1.5. Резюме. Исследование особенностей каустик и волновых
фронтов свелось к изучению производящих семейств функций и гипер-
гиперповерхностей. Формулы A) и B) означают, что фронт производящего
семейства гиперповерхностей состоит из тех точек пространства па-
параметров, для которых гиперповерхность семейства особа, а каустика
производящего семейства функций состоит из тех точек пространст-
пространства параметров, для которых функция семейства имеет вырожденные
критические точки, т.е. такие точки, в которых дифференциал функ-
функции обращается нуль, а квадратичная форма второго дифференциала
вырождена.
Все определения и результаты этого параграфа дословно перено-
переносятся на голоморфный или вещественно-аналитический случай.
§ 2. Классификация критических точек функций
Рассматриваемая ниже теория деформаций ростков функций и ги-
гиперповерхностей в принципе аналогична конечномерной теории дефор-
деформаций, развитой в § 3 главы 1 для квадратичных гамильтонианов.
2.1. Версальные деформации: неформальное описание. Про-
Производящее семейство гиперповерхностей лежандрова отображения яв-
является семейством нулевых уровней некоторого семейства гладких
функций. Семейство функций мы рассматриваем как отображение (ко-
(конечномерной) базы семейства в бесконечномерное пространство глад-
гладких функций. Функции с особым нулевым уровнем образуют множест-
множество коразмерности один в этом пространстве. Фронт лежандрова отобра-
отображения — это прообраз множества таких функций в базе производящего
семейства (рис. 36). Производящее семейство функций лагранжева ото-
отображения вычитанием семейства констант (это й+-эквивалентность!)
превращается в семейство функций, равных нулю в начале координат.
Поэтому лагранжево отображение можно задавать отображением базы
в пространство таких функций. Функции с вырожденными критичес-

118
Глава 5
Рис. 36
кими точками образуют множество коразмерности один в этом про-
пространстве. Прообраз этого множества в базе — каустика производимого
семейством лагранжева отображения.
Наша дальнейшая программа такова. Мы
будем называть росток лагранжева (лежандро-
(лежандрова) отображения устойчивым, если все близкие
ростки лагранжевых (лежандровых) отображе-
отображений ему эквивалентны. На языке производящих
семейств это означает, что ростки, близкие
к данному производящему семейству, рассло-
енно эквивалентны ему. Расслоенная эквива-
эквивалентность — это эквивалентность семейств то-
точек функционального пространства относитель-
относительно действия в нем подходящей (псевдо)группы
(см. п. 3.1, гл. 1). Мы получаем следующий ре-
результат: росток в точке лагранжева (лежандро-
(лежандрова) отображения устойчив тогда и только тог-
тогда, когда росток его производящего семейства
в этой точке версален относительно эквивалентности в соответству-
соответствующем функциональном пространстве1.
Далее мы приведем результаты по классификации ростков функ-
функций и увидим, что начальная часть этой классификации дискретна.
Это означает, что почти все пространство функций заполнено конеч-
конечным числом орбит (рис. 37), а непрерывные семейства орбит образу-
образуют в пространстве функций множество положительной коразмернос-
коразмерности /. Поскольку семейства функции общего положения, рассматривае-
рассматриваемые как отображения базы а функциональное пространство, трансвер-
сальны этому множеству и каждой орбите из конечного списка, мы
получим для лагранжевых и лежандровых отображений такие следст-
следствия: росток лагранжева (лежандрова) отображения общего положения
с базой размерности меньше / = б (соответственно 7) устойчив и экви-
эквивалентен одному из ростков конечного списка.
Наконец, изучив миниверсальные деформации представителей ко-
конечного числа орбит, мы получим явное с точностью до диффеомор-
диффеоморфизма описание особенностей каустик (волновых фронтов) в простран-
пространствах менее / = б (соответственно 7) измерений.
Определение (мини)версальной деформации см. в п. 3.1 главы 1.

j2. Классификация критических точек функций
119
1=2
Рис. 37
2.2. Критические точки функ-
функций. Нам понадобятся следующие отно-
отношения эквивалентности в пространстве
ростков в нуле голоморфных (гладких)
функции в Сп (соответственно в Еп).
^-эквивалентные ростки переводятся
друг в друга ростком в нуле диффеомор-
диффеоморфизма, пространства — прообраза;
R+ -эквивалентные ростки становятся
^-эквивалентными после сложения одного
из них с подходящей константой;
У-эквивалентные ростки становятся ^-эквивалентными после ум-
умножения одного из них на росток не обращающейся в нуль функции
(У-эквивалентность ростков функций — это эквивалентность ростков
гиперповерхностей их нулевых уровней).
В критической (или особой) точке функции ее дифференциал обра-
обращается в нуль. Критическая точка невырождена, если такова квадра-
квадратичная форма второго дифференциала функции в этой точке. По лемме
Морса [6] функция в окрестности невырожденной критической точки
^-эквивалентна функции ±х\ ± ... =b x\ + const. Корангом критичес-
критической точки называется коранг второго дифференциала функции в этой
точке.
Лемма Морса с параметрами [6]. Росток функции в критичес-
критической точке коранга г R-эквивалентен ростку в нуле функции вида
const
, ... , xr) ± ж^+i =Ь . •. =Ь
Эта лемма объясняет появление понятия стабильной эквивалент-
эквивалентности в теоремах о производящих семействах: в действительности рос-
росток в точке лагранжева (лежандрова) отображения можно задавать
ростком производящего семейства с нулевым вторым дифференциа-
дифференциалом функции в этой точке. Расслоенная эквивалентность минимальных
в этом смысле производящих семейств равносильна эквивалентности
исходных отображений. Для построения минимальных производящих
семейств нужно лишь в конструкциях пп. 1.2, 1.4 выбрать минималь-
минимальным число «патологических» переменных ps.

120 Глава 5
Ростки функций (возможно, разного числа переменных) называ-
называются стабильно R(R+, ^-эквивалентными, если они R(R+, У)-экви-
валентны суммам одного и того же ростка ранга нуль с невырожден-
невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных
переменных.
з Вырожденная критическая точ-
и=х — ах
ка распадается на невырожденные
при деформации (рис. 38). Если
количество последних конечно при
любой малой деформации, то кри-
критическая точка называется конечно
кратной. Росток функции в конеч-
гИС. оо
но кратной критической точке it-эк-
it-эквивалентен своему полиному Тейлора достаточно высокого порядка.
В голоморфном случае конечнократность равносильна изолированнос-
изолированности критической точки. Число невырожденных, на которые такая точка
распадается при деформации, не зависит от деформации и называет-
называется кратностью или числом Милнора (J. Milnor) /i критической точки.
Бесконечнократные ростки образуют в пространстве ростков функций
множество бесконечной коразмерности.
2.3. Простые особенности. Росток функции в критической
точке называется простым, если его окрестность в пространстве рост-
ростков функции в этой точке покрывается конечным числом классов эк-
эквивалентности. Понятие простоты, вообще говоря, зависит от отноше-
отношения эквивалентности и применимо к любому действию группы Ли на
многообразии. Число параметров (модулей), необходимых для парамет-
параметризации орбит в окрестности данной точки многообразия, называется
модальностью точки. Примеры: модальность любого квадратичного га-
гамильтониана в Ш2п относительно действия симплектической группы
равна п; критическое значение является модулем относительно R-эк-
вивалентности в пространстве ростков функций в данной точке, но не
является модулем для Д+-эквивалентности в этом пространстве.
Теорема [6]. Росток функции в критической точке, простой
в пространстве ростков гладких функций (с нулевым значением в этой
точке), стабильно R+ (соответственно R, V)-эквивалентен одному из
следующих ростков в нуле
A±,fi>l: f(x) = ±x»+1 D±, ft > 4: f(x, у) = x2y ± у";

§2. Классификация критических точек функций 121
Ef : f{x, у)=х*± у4; Ef : f(x, у) = х3 + ху3;
E±:f(x,y)=x3+y5.
Непростые ростки образуют множество коразмерности 6 в этих
пространствах.
Замечание 1. Индекс jj, равен кратности критической точки.
Замечание 2. Перечисленные ростки попарно стабильно неэк-
неэквивалентны, кроме следующих случаев: А^А^., A^Y A~, D^Yd~,
E+JEq, А^А^ (стабильно).
Замечание 3. В голоморфном случае ростки, различающиеся
лишь знаком =Ь, эквивалентны между собой. На рис. 39 изображены
примыкания простых классов и окаймляющих их унимодальных клас-
классов в пространстве функций.
/ix -*- Si2 -«- ^3-*-/l4 Л5 ^6 ^7 ^8
\ \ \N W
6 7 8
I t t
^8 ^-9 0
Рис. 39
2.4. Платоновы тела. Список особенностей Ам, DM, E^ в ином
контексте был известен еще в прошлом веке. Рассмотрим конечные
подгруппы в группе SU2. Их можно описать как бинарные подгруппы
правильных многоугольников, диэдров (правильных многоугольников
в пространстве), тетраэдра, куба к икосаэдра. Определение бинарной
группы состоит в следующем. Группа SU2 эпиморфно отображается
на группу вращении SO3 с ядром {±1}. Группа вращении правильного
многогранника в пространстве — конечная подгруппа в SO3. Прообраз
этой группы в SU2 и есть бинарная группа многогранника. Правильно-
Правильному n-угольнику по определению соответствует циклическая подгруппа
порядка п в SU2-

122 Глава 5
Конечная подгруппа Г С SU2 действует (вместе с SU2) на плос-
плоскости С2. Фактор-пространство С2/Г — алгебраическая поверхность
с одной особой точкой. Алгебра Г-инвариантных полиномов на С2 име-
имеет три образующих ж, у, z. Они зависимы. Соотношение /(ж, у, z) = О
между ними — это уравнение поверхности С2/Г в С3. Например, в слу-
случае циклической подгруппы Г порядка п, порожденной унитарным пре-
преобразованием плоскости (и, v) \-> (е2пг/пи, e~2nt/nv), алгебра инвари-
инвариантов порождена мономами х = uv, у = ип', z = vn с соотношени-
соотношением хп = yz.
Теорема [52]. Все поверхности С2/Г для конечных подгрупп
Г С SU2 имеют особенности типов А^ (для многоугольников), D^ (для
диэдров)у Е6, E>j, Е8 (для тетраэдра, куба и икосаэдра соответствен-
соответственно).
2.5. Миниверсальные деформации. В теории деформаций
ростков функций удается доказать теорему версальности [6]: конеч-
нократные ростки имеют версальные деформации (с конечным числом
параметров).
^-миниверсальная деформация конечнократного ростка (относи-
(относительно псевдогруппы локальных замен независимых переменных) мо-
может быть построена следующим образом. Рассмотрим росток функ-
функции / в критической точке 0 кратности /i. Пусть /@) = 0.
1) Касательное пространство к орбите ростка / — это его градиент-
градиентный идеал ( тр ), состоящий из всех ростков функций вида ^2 hi(x) тр-
\Ох/ ОХ{
(h— росток в нуле векторного поля, не обязательно равного нулю
ох
в начале координат). ^,
2) Фактор-алгебра Q = Щх}/(-^-) алгебры всех ростков функций
в нуле по градиентному идеалу имеет размерность /i (и называется
локальной алгеброй ростка /; ее можно представлять себе, как алгебру
функций на множестве {х \ ^— = 0} из /i критических точек функции /,
слившихся в точке 0).
3) Пусть ео(х) = 1, ei(x), ... , eM_i(#) — функции (например —
мономы), представляющие базис пространства Q. Тогда деформация
F(x, q) = f(x) + gM_ieM_i(#) + ... + qie^x) + q0

§3. Особенности волновых фронтов и каустик 123
^-миниверсальна для ростка f (F — трансверсаль к касательному
пространству орбиты ростка /).
4) Отбрасывание свободного члена q0 дает #+-миниверсальную де-
деформацию ростка /.
5) Аналогичная конструкция для локальной алгебры Q =
= Е{ж}/(/, fx) дает У-миниверсальную деформацию ростка /
(hfx + <pf — общий вид касательного вектора к классу уравнений диф-
феоморфных гиперповерхностей).
Простые ростки Л^, D^, E^ лежат в своем градиентном идеа-
ле: / £ (fx)- Действительно, нормальные формы теоремы п. 2.3 ква-
зиоднородны (т. е. однородны степени 1 после выбора положитель-
положительных дробных степеней ai, ... , ап для переменных #i, ... , хп\ пример:
функция х2у + уЙ~г квазиоднородна с весами ах = (// — 2)/B/i — 2),
0^ = 1/(^ — 1)). Поэтому / = ^2 щх{д//дх{. Отсюда вытекает, что
Я-миниверсальные деформации простых ростков функций У-минивер-
сальны.
Пример. F(x, q) = x^+1 + q^l-1x^~1 + ... + q1x — Я+-минивер-
сальная деформация ростка А^ а F(x, q) + qo — его F-миниверсаль-
ная деформация: действительно {1, ж, ... , х^~1} — базис пространст-
пространства Ш{х}/(хЙ). Для нормальных форм п. 2.3 простых особенностей функ-
функций мономиальный базис алгебры Q приведен в таблице 1.
Лд 1
Dn 1,
Г} -|
(~1 1
, Ж, ... ,
2/, ••• 9
ж, ... , .
3/> ••• > 2
Таблица
^6
^8
1,
1,
1,
1,
1
У,
У,
У,
У,
ж,
ж,
ж,
ж,
у2, х
У1S Ж
ж?/
9 9
2/, ?/3, ху2, ху3
§ 3. Особенности волновых фронтов и каустик
Приведены классификационные результаты для особенностей вол-
волновых фронтов, каустик и их перестроек во времени. Обсуждаются
обобщения теории производящих семейств для фронтов и каустик, воз-
возникающих от источника с краем и в задаче об обходе препятствия
(ср. гл. 3, п. 1.6).

124
Глава 5
3.1. Классификация особенностей волновых фронтов и ка-
каустик в малых размерностях. Фронтом типа А^ D^ или Е^ назы-
называется росток гиперповерхности в /i-мерном пространстве базы У-ми-
ниверсальной деформации соответствующего простого ростка функ-
функции, точкам которой отвечают функции с особым нулевым уровнем.
Пример. Фронт типа А^ — это множество многочленов от одной
переменной с кратными корнями в пространстве многочленов степе-
степени /i + 1 с фиксированным старшим коэффициентом и нулевой суммой
корней. На рис. 40 изображены фронты А^ и Л3.
Ласточкин^
хвост
Рис. 40
Рис. 41
Теорема. Волновой фронт общего положения в пространстве I ^ 6
измерений устойчив и в окрестности любой своей точки диффеоморфен
декартову произведению фронта типа А^, D^, E^ с /i ^ / на неособое
многообразие размерности I — /i либо объединению таких трансверсаль-
ных фронтов (рис. 41).
Каустикой типа А^, D^y E^ называется росток гиперповерхности
в (// — 1)-мерном пространстве базы Я+-миниверсальной деформации
соответствующего простого ростка функции, точкам которой отвеча-
отвечают функции с вырожденными критическими точками (т.е. проекция
ребра возврата A<i фронта того же имени на базу #+-миниверсальной
деформации).
Пример. Каустика типа А^ диффеоморфна фронту типа A^-i: точ-
точке этой каустики отвечает многочлен степени // + 1, производная кото-
которого (то есть многочлен степени //) имеет кратный корень.
Теорема. Каустика общего положения в пространстве I ^ 5 из-
измерений устойчива и в окрестности любой своей точки диффеоморфна

§3. Особенности волновых фронтов и каустик
125
декартову произведению каустики типа А^ Z)^, Е^ с // —1 ^ I на неосо-
неособое многообразие размерности I — /i + 1 либо объединению таких транс-
версальных каустик. В частности, каустика общего положения в про-
пространстве локально диффеоморфна одной из поверхностей рис. 41, 42.
Ласточкин хвост
Кошелек
Рис. 42
Фронты и каустики типа А^ D^ E^ устойчивы во всех размернос-
размерностях. Фронты (каустики) общего положения в пространствах размернос-
размерности / ^ 7 (/ ^ 6) могут быть неустойчивы1. Это связано с наличием не-
непростых особенностей функций, первая из которых — Р§ (см. рис. 39).
Имеющаяся классификация унимодальных бимодальных критических
точек функций [6] несет значительную информацию об особенностях
фронтов (каустик) общего положения в пространствах / ^ 11 (/ ^ 10)
измерений. Тем не менее классификация особенностей каустик общего
положения в М6 хотя бы с точностью до гомеомор-
гомеоморфизмов пока отсутствует.
3.2. Краевые особенности. Предположим,
что источник излучения — многообразие с краем
(например, солнечный диск). В такой ситуации вол-
волновой фронт имеет две компоненты — фронт излу-
излучения края и фронт от самого источника (рис. 43).
Каустика в этом случае имеет, вообще говоря, три
компоненты — границы света и тени, тени и полу-
полутени, полутени и света.
Соответствующая теория лагранжевых и ле-
жандровых отображений и их производящих се- с*
мейств приводит к теории особенностей функции на многообразии
с краем. Под краем следует понимать неособую гиперповерхность на
1и при / ^ 10 (/ ^ 6) могут иметь функциональные модули.

126 Глава 5
многообразии без края. Точка считается особой для функции на много-
многообразии с краем, если она критическая либо для самой функции, либо
для ее ограничения на край. От диффеоморфизмов, входящих в опре-
определение эквивалентности, требуется чтобы они сохраняли край, (в ве-
вещественном случае — каждое полупространство дополнения края). Тео-
Теория краевых особенностей функций включает в себя обычную, посколь-
поскольку функции могут иметь особенности и вне края.
Теорема. Простые ростки функций на многообразии с краем ста-
стабильно эквивалентны росткам в нуле (край х = 0) либо Ар \ Dp \
Ер : ± х + /(?/, z), где f(y, z) — росток А^, D^, Е^ из п. 2.3 на
краю; либо В±, /i ^ 2: ± х»; С±, рь ^ 2: ху ± у»; F± : ± х2 + у3.
Замечание _1. Перечисленные ростки попарно неэквивалентны,
кроме случаев: A^jfL, A~k, C^Bf (стабильно), а также ростки, раз-
различающиеся знаками ±, эквивалентны в голоморфной и У-классифика-
ции, кроме случая Сгл+ь в котором гиперповерхности С^+1 вещест-
вещественно неэквивалентны.
Замечание 2. Роль невырожденных особенностей в краевой тео-
теории играют ростки А^\ ±х±у\ ±.. .±^, Аг: ±(х-х0J ±у\ + .. .±у^
так что особенности А^ D^ E^ можно считать стабилизацией особен-
особенностей Ар, Dp, Ер на краю.
Замечание 3. Простые особенности вне края — А^, D^, E^.
Замечание 4. Теория краевых особенностей функций эквивалент-
эквивалентна теории критических точек четных по переменной и функций на дву-
двулистном накрытии х = и2 у ветвящемся вдоль края х = 0.
Построение миниверсальных деформаций конечнократных крае-
краевых особенностей аналогично описанному в п. 2.6 и сводится к нахож-
нахождению мономиального базиса локальной алгебры
Для ростков Вру Ср, F^ такой базис указан в таблице 1. Фронты мини-
миниверсальных семейств Вр и Ср диффеоморфны между собой и состоят
из двух неприводимых гиперповерхностей в пространстве многочленов

§3. Особенности волновых фронтов и каустик 127
степени // с фиксированным старшим коэффициентом множества мно-
многочленов с нулевым корнем и множества многочленов с кратным кор-
корнем. В случае В^ первая компонента имеет смысл фронта излучения
от края источника (Ai), вторая — фронта от самого источника (^4i),
а в случае С^ все наоборот. Каустики В^ и С^ диффеоморфны фрон-
фронтам В^+1 и С^+1. Фронты и каустики ростков А^ В^ Е^ — такие
же, как у А^ В^ Е^. На рис. 44 изображены каустики Б^, С^, F4
в пространстве и на плоскости.
Теорема. Росток волнового фронта {каустики) общего положе-
положения от «источника с краем» в пространстве I ^ 4 {I ^ 3) измерений
устойчив и диффеоморфен декартову произведению фронта {каустики)
миниверсалъного семейства одного из ростков А^, В^, С^, В^, Е^,
F^ с {I ^ / {{I — 1 ^ /) на росток неособого многообразия размернос-
размерности I — fi (/ — // + 1) либо объединению таких трансверсальных фронтов
[каустик). Неустойчивые фронты {каустики) общего положения встре-
встречаются в пространствах размерности I ^ 5 (/ ^ 4).
Пример [27]. Пусть в евклидовом пространстве R3 задана поверх-
поверхность общего положения с краем. Там, где край касается линии кри-
кривизны поверхности, тройка — фокальные точки поверхности (Лг), фо-
фокальные точки края (Лг), нормали к поверхности в точках края {В2) —
образует в центре кривизны поверхности каустику F±.
Симплектическая версия теории каустик от источника с краем
приводит к следующему объекту: в пространстве лагранжева расслое-
расслоения два некасающихся лагранжевых многообразия, пересекающихся по
гиперповерхности в каждом из них. Каустика такого объекта состоит
из трех частей: каустик обоих лагранжевых многообразий и проекций
их пересечения на базу лагранжева расслоения.
Теория производящих семейств таких объектов сводится к теории
особенностей функций на многообразии с краем [63]. Перестановке двух
лагранжевых многообразий отвечает перестановка классов стабильной
эквивалентности самой функции и ее ограничения на край [28]. Эта
двойственность обобщает двойственность серий В и С простых крае-
краевых особенностей и проясняет классификацию унимодальных и бимо-
бимодальных критических точек функций на многообразии с краем [20].
3.3. Группы Вейля и простые фронты. Классификация прос-
простых ростков функций на многообразии с краем параллельна многим

128
Глава 5
Рис. 44
другим классификациям «простых» объектов. Одной из них является
классификация групп симметрии правильных целочисленных много-
многогранников в многомерных пространствах.

§3. Особенности волновых фронтов и каустик
129
Группой Вейля называется конечная группа ортогональных преоб-
преобразований евклидова пространства F, которая порождена отражения-
отражениями в гиперплоскостях и сохраняет некоторую полномерную целочис-
целочисленную решетку в V. Неприводимые пары (группа Вейля, решетка)
классифицируются по диаграммам Дынкина [36]; см. рис. 45.
С„
д,
G2o|eo
Рис. 45
Вершины диаграммы Дынкина соответствуют базисным векторам
решетки Z**, ребра по определенным правилам задают скалярное про-
произведение базисных векторов (отсутствие ребра означает их ортого-
ортогональность). Соответствующая диаграмме группа Вейля порождается
отражениями в гиперплоскостях, ортогональных базисным векторам
решетки. Произвольная группа Вейля изоморфна прямому произведе-
произведению неприводимых.
оф=о
G2
Рис. 46
Примеры. Группа Вейля А\ — это группа Z2, действующая отра-
отражением на прямой. Группы Вейля на плоскости — это (помимо А\

130 Глава 5
группы симметрии правильного треугольника, квадрата и шестиуголь-
шестиугольника (рис. 46). Диаграмме С^ отвечает группа симметрии /i-мерного
куба, а Вц — двойственного ему /i-мерного «октаэдра», так что соот-
соответствующие группы Вейля совпадают, но связанные с ними решетки
различны.
Рассмотрим действие группы Вейля W в комплексифицированном
/i-мерном пространстве Vе. Оказывается, фактор-многообразие Vе/W
неособо и диффеоморфно С*.
Пример. Для группы А^ перестановок корней многочлена степе-
степени /i + 1 (с нулевой суммой) это основная теорема о симметрических
многочленах: всякий симметрический многочлен однозначно представ-
представляется в виде многочлена от элементарных симметрических функций.
Рассмотрим все отражения в гиперплоскостях (зеркалах), лежащие
в группе Вейля W. Образ зеркал при проекции Vе —У Vе/W (отображе-
(отображении Виета (F. Viete)) является особой гиперповерхностью и называется
дискриминантом группы Вейля.
Пример. Дискриминант группы Вейля А^ — многообразие мно-
многочленов с кратными корнями в /i-мерном пространстве многочленов
степени /i + 1 от одной переменной с фиксированным старшим коэффи-
коэффициентом и нулевой суммой корней.
Теорема. Комплексный фронт простого ростка диффеоморфен
дискриминанту одноименной неприводимой группы Вейля.
Следствие. Страты комплексного фронта простого краевого рост-
ростка находятся во взаимно однозначном соответствии с поддиаграммами
соответствующей диаграммы Дынкина {поддиаграмма получается вы-
выкидыванием некоторого числа вершин диаграммы вместе с примыкаю-
примыкающими к ним ребрами^ рис. 47).
Замечание 1. Особенность с фронтом G2 можно получить, как
простую особенность в теории функции на плоскости, инвариантных
относительно группы симметрии правильного треугольника.
Замечание 2. Помимо групп Вейля, платановых тел, фронтов и
каустик по диаграммам Дынкина классифицируются и другие объек-
объекты, например, комплексные простые группы Ли [24]. Мы уже указы-
указывали на эту связь в гл. 1, п. 4.3 на примере симплектической груп-
группы SpB/i, С) — ей отвечает диаграмма С^. Прямые соответствия меж-

§3. Особенности волновых фронтов и каустик 131
ду различными такими классификациями до конца не установлены,
хотя многие из них известны. Так, по простои комплексной алгебре
Ли можно построить простую особенность поверхностей в С3 вместе с
ее миниверсальной деформацией [37]. Общая причина универсальности
Л, В, С, D, Е, F, G-классификации совершенно не ясна.
3.4. Перестройки волновых фронтов и
каустик. Распространяющийся волновой фронт
не во все моменты времени будет фронтом обще-
общего положения: в отдельные моменты времени он
перестраивается. Исследование таких перестроек
приводит к задаче об особенностях общего поло-
положения в семействе лежандровых отображений.
Рассмотрим семейство лежандровых отобра-
отображений, зависящих от одного параметра t — вре-
времени. Объединение фронтов, соответствующих
различным значениям £, в пространстве-времени
(произведении базы на ось времени) мы будем
называть большим фронтом.
Лемма. Росток большого фронта в каждой Рис. 47
точке является ростком фронта лежандрова отображения в простран-
пространство-время.
Действительно, он задается производящим семейством Ft(x, q) = 0
гиперповерхностей в ж-пространстве с (д, ^-пространством-временем
в качестве базы.
Эквивалентность перестроек фронтов — это диффеоморфизм про-
пространства-времени, переводящий большие фронты друг в друга и со-
сохраняющий функцию времени на этом пространстве с точностью до
аддитивной константы: t н-> t + const.
Пример. Специальные перестройки. Рассмотрим большой фронт S
в пространстве Шт xf, являющийся произведением Шт на фронт прос-
простого ростка кратности /i. Выберем в качестве миниверсальной дефор-
деформации простого ростка / мономиальную деформацию вида
f(x) +qoef_l-1(x) + ... + ^_2ei(x) + <^_ь
где e^-i(x) представляет класс наивысшей квазиоднородной степени
в локальной алгебре ростка (например, для А^ :

132 Глава 5
Обозначим через (ri, ... , тт) координаты в Шт и зададим специальную
перестройку функцией времени в Жт х Мм вида
либо t — г\.
Теорема. Перестройки в однопараметрических семействах обще-
общего положения фронтов в пространствах размерности I < б локально эк-
эквивалентны росткам специальных перестроек в нуле, причем /л -\- т =
= 1 + 1 (рис. 48).
Идея доказательства. Рассмотрим накрытие (разветвленное)
пространства многочленов вида x^+1 + q^x11'1 + ... + Яц-i {q G CM)
пространством их комплексных корней {(жо, ... , х^) \^Х{ = 0}. Ко-
Коэффициенты qk оказываются тогда элементарными симметрическими
ik+i-
dt
полиномами корней: q^ = ( — l)k ^ж*о • • -xik+i- Функция времени t(q)
общего положения удовлетворяет требованию с =
dq
о
0. Это озна-
чает, что как функция на пространстве корней, функция времени имеет
невырожденный квадратичный дифференциал с- ^dxidxj, ^dxj = 0.
Теперь в случае перестройки голоморфного фронта типа А^ доказатель-
доказательство теоремы завершает
Эквивариантная лемма Морса [31]. Голоморфная функция
в Ск, инвариантная относительно линейного представления компакт-
компактной (например, конечной) группы G в Cfe? с невырожденной критической
точкой в нуле приводится к своей квадратичной части локальным диф-
диффеоморфизмом, коммутирующим с действием G.
Можно показать, что такой диффеоморфизм опускается до диффео-
диффеоморфизма пространства многочленов.
Общий случай получается аналогично с использованием отображе-
отображений Виета Vе -> Vе/W других групп Вейля (и при т > 0 — леммы
Морса с параметрами из п. 2.2).
Перестройки каустик в однопараметрических семействах общего
положения, подобно перестройкам фронтов, описываются разбиениями
большой каустики — объединения мгновенных каустик в пространст-
пространстве-времени — поверхностями уровня функции времени. Однако, в от-
отсутствие аналога отображения Виета для каустик, эти перестройки да-
даже для простых больших каустик не имеют такой универсальной нор-
нормальной формы, как перестройки фронтов.

§3. Особенности волновых фронтов и каустик
АЛЛ
л2 л2 л3
0
i i
I I
133
I i
I i
Рис. 48
Список нормальных форм функции времени вычислен в случаях
и £)д [6]. Большая каустика задается производящим семейством
F =
в случае А^ и
F = х\х2 ± ж^

134
Глава 5
Н+)
Рис. 49
1-1
в случае D^. Здесь пространство-время есть Жт хЕ'* ±, q £
т G Мш. Эквивалентностью перестроек росток функции времени об-
общего положения можно привести в случае А^ к виду t = т\ либо
t = ±#о =Ь Ti d= ... d= т^, а в случае £>^, если допускать также диф-
диффеоморфизмы оси значений функции времени, — к виду t = т\ либо
t = ±qo — q^-i + aqi ± т\ =Ь ... ± т^. Если в случае D^ при m = 0, приво-
приводя функцию времени к нормальной форме, допускать диффеоморфиз-
диффеоморфизмы проколотой окрестности начала координат в пространстве-времени,

§3. Особенности волновых фронтов и каустик
d-a d; d; d; a
135
Рис. 50
непрерывно продолжающиеся в эту точку, то получающаяся топологи-
топологическая классификация перестроек общего положения оказывается ко-
конечной (В.И.Бахтин): для D~[ t = qo + #ъ Для ^t t = Qo =Ь Qi либо
* = Qo + <?з, Для D2k при к ^ 3 t = q0 ± q, Для D2k+i t = ±q0.
В общих однопараметрических семействах каустик в пространст-
пространствах размерности / ^ 3 встречаются лишь перестройки, эквивалент-
эквивалентные перечисленным перестройкам типов А^ и D^ с /i - 2 + т = I. На
рис. 49, 50 изображены эти перестройки при / = 3.
Не все перестройки каустик реализуются в геометрической опти-
оптике. Так, каустика пучка прямолинейных лучей от гладкого источника
на плоскости не имеет точек перегиба (это станет ясно в п. 3.5). «Летаю-
«Летающая тарелка» перестройки Лз(+, +) также не может быть реализована
как каустика пучка геодезических римановой метрики на трехмерном
многообразии.
3.5. Фронты в задаче об обходе препятствия. В задаче о ско-
скорейшем обходе препятствия, ограниченного гладкой поверхностью в ев-

136
Глава 5
клидовом пространстве, экстремали суть лучи, срывающиеся по каса-
касательным направлениям к пучку геодезических на поверхности препят-
препятствия. В п. 1.6 гл. 3 были изучены особенности системы лучей, ка-
касательных к пучку геодезических на поверхности общего положения.
Здесь мы опишем, следуя О. П. Щербаку, особенности функции времени
и ее уровней — фронтов, в предположении об однозначности функции
времени на поверхности препятствия. Среди нормальных форм в этой
задаче появляется дискриминант группы симметрии икосаэдра.
Применительно к нашей задаче принцип Гюйгенса состоит в том,
что каждая точка х поверхности препятствия излучает в пространст-
пространство вдоль всех лучей, близких к направлению геодезической пучка на
поверхности в точке х. Оптическая длина пути, состоящего из отрезка
геодезической пучка от источника до точки х и отрезка луча из точ-
точки ж в точку q пространства (рис. 51), есть F(x, q) = (р(х) + С(ж, д),
где (р(х) — функция времени на поверхности, С(ж, q) — расстояние
между х и q в пространстве. Экстремали задачи об обходе препят-
препятствия, проходящие через точку #, срываются с поверхности препят-
препятствия в критических точках функции F(-, q). Решающее для дальней-
дальнейшего наблюдение состоит в том, что все критические точки производя-
производящего семейства F четнократны. Доказательство изображено на рис. 52:
экстремали общего положения отвечает критическая точка типа Лг,
кратность более сложной критической точки равна удвоенному числу
точек типа Л2, на которые она распадается при возмущении парамет-
параметра q.
Рис. 51
Рис. 52
Приведение к нормальной форме производящих семейств F(x, q)
в случае общего положения сводится к перечислению таких максималь-
максимальных подсемейств (с неособой базой) в ^-миниверсальных семействах
четнократных ростков функций, в которых все функции имеют только

§3. Особенности волновых фронтов и каустик 137
четнократные критические точки. Ниже перечислены такие деформа-
деформации простых ростков
X
D2k
У
[(«* + Qi^'1 + • •. + Qk-2U2 + qk-iJ - ql-^u'2 du ±
y4 + qxy2 + q2y
: ж3
2/
{u2
Фронт семейства состоит из точек в пространстве параметров, ко-
которым отвечают функции с критической точкой на нулевом уровне.
Теорема. Функции производящего семейства в задаче об обходе
препятствия общего положения в пространстве в случае пучка геоде-
геодезических общего положения на поверхности препятствия имеют лишь
простые критические точки. График функции времени в ^-мерном про-
пространстве времени (большой фронт по терминологии п. 3.4) в окрест-
окрестности любой точки диффеоморфен декартову произведению фронта од-
одного из семейств Af2, Af4, Л^, Df4, D§, D%, E%, Eg на неособое многооб-
многообразие.
Пример 1. Семейству А2 отвечают неособые точки фронта.
Пример 2. Линии самопересечения ласточкина хвоста — каустики
7?+-версальной деформации ростка А± — отвечают функции с двумя
критическими точками типа А^. Так получается семейство А'4 преды-
предыдущего списка. Его фронт q2 ~ ±q\ диффеоморфен дискриминанту
группы В.2 симметрии правильного 5-угольника.
Пример 3. На рис. 53а показана перестройка фронта в окрестнос-
окрестности точки перегиба препятствия на плоскости. График функции времени

138 Глава 5
Рис. 53
(рис. 536) диффеоморфен дискриминанту группы Н% симметрии икоса-
икосаэдра1. Дискриминант Н% есть фронт семейства DfQ. Он диффеоморфен
также фронту в окрестности таких точек на поверхности препятствия
в пространстве, в которых геодезическая пучка имеет асимптотичес-
асимптотическое направление.
Пример 4. После срыва с поверхности препятствия в неасимптоти-
неасимптотическом направлении лучи могут фокусироваться вдали от него, образуя
каустику. Перестройки фронта в окрестности неособой точки, точки на
ребре возврата или вершины ласточкина хвоста такой каустики опи-
описываются семействами D'4(x3 —у3 + q±y + #2)? Е'6 и Е'8. Эти семейства
получаются из ^-версальных семейств ростков Лг, Лз, А± добавлением
куба новой переменной. Такая операция превращает все критические
точки функций исходного семейства в четнократные, но не меняет его
фронт.
Пример 5. В классификации правильных многогранников (см. [36])
следом за пятиугольником и икосаэдром стоит 120-вершинник в че-
четырехмерном пространстве. Его можно описать так. Группа Ли SU2
кватернионов единичной длины содержит бинарную группу икосаэдра
(см. п. 2.4). Ее 120 элементов и есть вершины нашего многогранни-
многогранника в пространстве кватернионов. Дискриминант группы Я4 симметрии
этого многогранника диффеоморфен фронту семейства Щ. В задаче об
обходе препятствия этот фронт встречается как график функции време-
времени в окрестности точки пересечения асимптотического луча с ребром
возврата каустики вдали от поверхности препятствия2.
1 Другое описание: объединение касательных к кривой (£, £3, t5) в ]
2Такой луч срывается с препятствия в параболической точке.

§3. Особенности волновых фронтов и каустик 139
Если мы обратимся теперь к классификации неприводимых групп
Кокстера (Н. S. M. Coxeter) — конечных групп, порожденных отражени-
отражениями, но не обязательно сохраняющих целочисленную решетку (см. [36]),
то обнаружим, что среди волновых фронтов в различных задачах
геометрической оптики нам встретились дискриминанты всех таких
групп, за исключением групп симметрии правильных гг-угольников
с п > 6.

Глава 6
Лагранжевы и лежандровы кобордизмы
Рис 54
Теория кобордизмов изучает свойства глад-
гладкого многообразия, не меняющиеся при его заме-
замене на другое многообразие той же размерности,
которое вместе с первым образует край многооб-
многообразия на единицу большей размерности (рис. 54).
В этой главе многообразия и ограничиваемые
ими пленки будут лагранжевыми или лежандро-
выми подмногообразиями. Соответствующие те-
теории кобордизмов отражают, например, глобаль-
глобальные свойства волновых фронтов, сохраняющиеся при перестройках1.
§ 1. Индекс Маслова
Лагранжево подмногообразие фазового пространства описывает
фазу коротковолнового колебания. Индекс Маслова сопоставляет кри-
кривым на лагранжевом подмногообразии целые числа. Эти числа входят
в асимптотические выражения для решений волновых уравнений в ко-
коротковолновом пределе. В следующих параграфах индекс Маслова по-
появится в роли простейшего характеристического класса теории лежанд-
ровых и лагранжевых кобордизмов.
1.1. Квазиклассическая асимптотика решений уравнения
Шредингера. Рассмотрим уравнение Шредингера (Е. Schrodinger)
A)
1 Начиная с § 2, мы вынуждены оставить всякую заботу о неискушенном читате-
читателе. В порядке компенсации в § 1 включено совсем элементарное изложение теории
кобордизмов волновых фронтов на плоскости.

> 1. Индекс Маслова
141
(h — постоянная Планка (M.Planck), A — оператор Лапласа (P.S.Laplace)
в Мп), которому удовлетворяет амплитуда вероятности Ф(#, t) кванто-
вомеханической частицы, движущейся в потенциале U.
Уравнению A) отвечает классичес-
классическая механическая система с гамиль-
гамильтонианом Н = р2/2 + U(q) в стан-
стандартном симплектическом пространст-
пространстве М2п. Начальному условию вида
, 0) =
Qkq)
Рис 55
((р — финитная функция) отвечает
функция (р на лагранжевом многообразии L в Ш2п с производящей функ-
функцией /: L = {(р, q) Е Ж2п \р = fq}. Поток gl гамильтониана Н опреде-
определяет семейство лагранжевых многообразий Lt = g*Ly которые при боль-
больших t могут, в отличие от Lq, неоднозначно проектироваться в конфи-
конфигурационное пространство Ш™ (рис. 55). Возникает семейство лагран-
лагранжевых отображений (см. п. 1.2, гл. 5) конфигурационного пространства
в себя Qt: Жп —> Жп. Имеет место следующая асимптотическая форму-
формула для решения уравнения A) с заданным начальным условием [19].
Пусть qj — такие точки в Мп, что Qt(Qj) = Q, Xj = (pj, qj) — соответ-
ствующие точки Lo. Предположим, что якобианы —— отличны
от нуля. Тогда при h —> О
q=q3
dQt
-1/2
exp
0"пг- - Ir)
где 5j(Q, t) — действие вдоль траектории
t
gTXj : Sj(Q, t) = f(qj) + J{pdq -Hdr),
a jij — индекс Морса траектории grx^ т.е. число критических точек
лагранжевых проекций LT -$> Шп на этой траектории при 0 < т < t.

142
Глава 6
1.2. Индекс Морса и индекс Маслова. Индекс Морса являет-
является частным случаем индекса Маслова. Пусть в пространстве кокаса-
тельного расслоения Т*Х конфигурационного многообразия X задано
лагранжево подмногообразие L общего положения. Индексом Маслова
ориентированной кривой на L называется ее индекс пересечения с цик-
циклом особых точек лагранжевои проекции L —> X. Это определение нуж-
нуждается в уточнении.
Лемма.Множество Г особых точек лагранжевои проекции L—»Х —
гиперповерхность в L, гладкая вне множества коразмерности 3 в L. Ги-
Гиперповерхность Г обладает канонической ко ориентацией, т. е. в каж-
каждой ее точке (вне множества коразмерности 3) можно указать, какая
сторона Г «положительная», какая — «отрицательная».
Индекс Маслова ориентированной кривой общего положения на L
определяется теперь, как число ее переходов с «положительной» сторо-
стороны Г на «отрицательную» минус число обратных переходов. Для про-
произвольной кривой, концы которой не лежат на Г, ее индекс Маслова
принимается равным индексу Маслова ее возмущения и, по лемме, не
зависит от этого возмущения.
Доказательство.
В соответствии с классификацией
лагранжевых особенностей (гл. 5), рос-
росток лагранжева отображения L —> X
в общей точке имеет тип Ai, в точках
некоторой гиперповерхности — тип А2
(общие точки Г), в точках многообра-
многообразия коразмерности 2 — тип Аз- Изуче-
Изучение нормальной формы ростка Аз по-
показывает, что в точках типа Аз гипер-
гиперповерхность Г неособа (рис. 56). Осо-
Особенности Г начинаются со страта £L
и образуют множество коразмерности
больше либо равной 3. Для коориента-
ции гиперповерхности Г рассмотрим интеграл действия / pdq. Локаль-
Локально на многообразии L он определяет однозначно с точностью до по-
постоянного слагаемого гладкую функцию S — производящую функцию
для L. В особой точке типа А2 ядро дифференциала лагранжевои про-
проекции L —> X одномерно и является трансверсальной к Г касательной
Рис. 56

§ 1. Индекс Маслова 143
прямой. На этой прямой первый и второй дифференциал функции S
обращаются в нуль, поэтому корректно определен третий дифференци-
дифференциал. Он отличен от нуля. Мы принимаем за «положительную» ту сторо-
сторону гиперповерхности Г, в направлении которой третий дифференциал
функции S растет. Непосредственная проверка (рис. 56) показывает,
что такая коориентация корректно продолжается в точки типа А3. ■
Индекс Морса можно интерпретировать как индекс Маслова. Рас-
Рассмотрим фазовое пространство Е2п+2 с координатами (ро? Р? #0? #)?
где (р, q) Е Е2п. Если положить qo = т5 Ро = —H(Pi о)> а точку (р, q)
заставить пробегать лагранжево многообразие LT в R2n, то при из-
изменении т от 0 до t получим (п 4- 1)-мерное лагранжево многообра-
многообразие L в Е2п+2. Фазовые кривые потока гамильтониана 77, начинаю-
начинающиеся на Lo, можно рассматривать как кривые на L. Индекс Масло-
Маслова такой кривой на L совпадает с индексом Морса исходной фазовой
кривой в Е2п. Действительно, вклад критической точки типа А2 ла-
гранжевой проекции LT —> Еп в индекс Маслова проходящей через
В3 Я
эту точку фазовой кривой определяется знаком производной , где
dv dt
S = J(pdq — H dr) — производящая функция для L, v — вектор из
ядра дифференциала проекции L ^ E2n+2 -> En+1 рассматриваемой
в критической точке. Эта производная всегда отрицательна ввиду вы-
2
пуклости функции Н = Цг- + U(q) по импульсам. Поэтому каждая кри-
тическая точка, лежащая на фазовой кривой, дает вклад +1 как в ее
индекс Маслова, так и в индекс Морса.
1.3. Индекс Маслова замкнутых кривых. Индекс пересече-
пересечения замкнутой кривой на лагранжевом многообразии L С Т*Х с неори-
неориентированной гиперповерхностью Г особых точек проекции L —> X не
меняется при замене кривой на гомологичную. Поэтому Г определяет
класс Маслова в группе когомологий Нг(Ь^ Z).
Индексы Маслова замкнутых кривых входят в асимптотичес-
асимптотические формулы для решений стационарных задач (собственных колеба-
колебаний) [19]. Предположим, что на многообразии уровня Н = Е гамиль-
2
тониана Н = ^- + U(q) лежит лагранжево подмногообразие L. Если
последовательность чисел fiN —> ос удовлетворяет условиям
N A pdq = ind 7 (mod 4)

144 Глава 6
для всех замкнутых контуров j на L (для существования последова-
последовательности fiN достаточно существования хотя бы одного такого чис-
числа /i ф 0), то уравнение АФ/2 = X2(U(q) — E)^ имеет серию собствен-
собственных чисел XN с асимптотикой \N = fiN -\- О(ц]^).
В одномерном случае лагранжево многообразие — окружность, ее
индекс равен двум, и предыдущая формула превращается в так назы-
называемое «условие квантования» (см. статью Д.А.Кириллова)
H=E
Например, в случае Я = р2/2-\-q2/2 при заданной постоянной План-
Планка h = l//i получаем точные значения для собственных уровней энер-
энергии EN = h(N + 1/2), TV = 0, 1, ..., квантового гармонического осцил-
осциллятора.
Класс Маслова лагранжевых подмногообразий стандартного сим-
симплектического пространства Ш2п является прообразом универсаль-
универсального класса лагранжева грассманиана Лп при отображении Гаусса
(G.F.Gauss). Отображение Гаусса G: L —> Ап сопоставляет точ-
точке лагранжева подмногообразия касательное лагранжево пространство
в этой точке. Группа когомологий Я1(ЛП, Z) изоморфна Z.
Теорема. Образующая группы Я1(ЛП, Z) при гомоморфизме
G* . rrl / А ч?\ i rrl ( т ч?\
: II y-li-ni £i) —т ±1 yL/y lL)
переходит в класс Маслова.
Следствие. Класс Маслова лагранжева подмногообразия в Ш2п не
зависит от лагранжевой проекции R2n -> Rn.
Ниже приведены два описания образующей в группе Я1(Х, Z).
1.4. Лагранжев грассманиан и универсальный класс Ма-
Маслова. Лагранжевым грассманианом Ап называется многообразие всех
лагранжевых линейных подпространств 2гг-мерного симплектического
пространства. Многообразие всех ориентированных лагранжевых под-
подпространств в Е2п называется ориентированным лагранжевым грассма-
грассманианом и обозначается Л+. Очевидно, Л+ является двулистным накры-
накрытием Л„.

§1. Индекс Маслова 145
Пример 1. Аг = ЕР1 ^ А+ = S1.
Пример 2. Многообразие Л2 изоморфно квадрике х2 4- у2 4- z2 =
=и2 + v2 в ЕР4 как проективное алгебраическое многообразие (см.п. 1.3,
гл. 1). Многообразие Л^~ диффеоморфно S2 x S1. Накрытие А^ —> Л2 яв-
является факторизацией S2 x S1 по антимодальной инволюции (ж, у) ь-»-
\-л (—ж, —у) (в [48] Л2 найдено неверно).
тт от* тг(тг + 1)
Пример 3. dimAn = —-: лагранжево подпространство обще-
общего положения в Е2п задается производящей квадратичной формой от
п переменных.
Теорема. Грассмановы многообразия лагранжевых подпространств
в Сп являются однородными пространствами: Ап = Un/On? А+ =
= Un/SOn? где Un, On, SOn — унитарная, ортогональная и специ-
специальная ортогональная группы соответственно.
Действительно, ортонормированный базис лагранжева подпро-
подпространства в Сп является унитарным базисом в Сп и обратно, вещест-
вещественная линейная оболочка унитарного репера в Сп является лагран-
жевым подпространством. Унитарные базисы, порождающие одно и то
же лагранжево подпространство, получаются друг из друга ортогональ-
ортогональным преобразованием этого подпространства.
Следствие. 7Ti(An) = ЯХ(ЛП, Z) ^ ЯХ(ЛП, Z) ^ Z.
Рассмотрим отображение det2 : Un —> Сх, сопоставляющее уни-
унитарной матрице квадрат ее определителя. Отображение det2 коррект-
корректно определяет расслоение лагранжева грассманиана Лп над окружнос-
окружностью S1 = {ег<р} комплексных чисел с модулем 1. Слои SUn/SOn
этого расслоения односвязен, поэтому дифференциальная 1-форма
а = (l/27r)(det2)* d(p на Лп представляет образующую группы одномер-
одномерных когомологий ЯХ(ЛП, Z). Эту образующую мы будем называть уни-
универсальным классом Маслова.
Пример, det2: Ai —> S1 — диффеоморфизм, а = dO/ir, где в —
угловая координата прямой I E Ai на плоскости Е2.
Определим вложение j: An_i <—> Ап следующим образом. Пусть
Н — гиперплоскость в Е2п. Проекция Н -> Н/Н1^ в Bп - 2)-мерное
симплектическое пространство характеристик гиперплоскости Н уста-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между (п — 1)-мерными

146 Глава 6
лагранжевыми подпространствами в Н/Н1^ и гг-мерными лагранжевы-
ми подпространствами, лежащими в Н.
Лемма. Вложение j индуцирует изоморфизм фундаментальных
групп.
Действительно, последовательность вложений Ai0-)^0-»... ^-Ап
отображает окружность Ai в окружность 5, по которой интеграл 1-фор-
мы а на Ап равен единице, т.е. вложение Ai °->- Ап индуцирует изомор-
изоморфизм 7Ti(Ai) —> 7Ti(An).
Предъявим теперь цикл, двойственный образующей группы
Д(АП, Ъ) = Z. Фиксируем лагранжево подпространство L С Е2п и обо-
обозначим через S гиперповерхность в Ап, образованную лагранжевыми
подпространствами в Е2п, не трансверсальными L. Лагранжевы про-
пространства в Е2п, пересекающиеся с L по подпространствам размернос-
размерности 2 и более, образуют множество £' коразмерности 3 в Ап (и 2 в £).
В точках Л Е S \ £' гиперповерхность S гладкая. Коориентируем £,
выбирая в качестве вектора положительной нормали в точке Л вектор
скорости кривой еъв\ (он трансверсален к Е).
Теорема. Индекс пересечения 1-цикла в Ап с коориентированным
циклом S равен значению универсального класса Маслова на этом 1-цик-
ле.
Действительно, индекс пересечения образующей S группы
.Hi(An,Z) с циклом S равен 1.
Цикл Г особенностей проекции лагранжева подмногообразия в Е2п
вдоль лагранжева подпространства L — прообраз цикла S при гауссо-
гауссовом отображении. Отсюда следует теорема п. 1.3.
Замечание. Индекс Маслова нашел применение в теории пред-
представлений [57]. В этом контексте используется серия индексов Масло-
Маслова — симплектических инвариантов цепочек к лагранжевых подпро-
подпространств в Е2п. Простейший из них тройной индекс r(Ai, A2, А3) равен
сигнатуре квадратичной формы
Цжъ х2) + w{x2, хз) + ^(ж3, х\)
на прямой сумме лагранжевых подпространств Ai ф А2 Ф Аз, где ио —
симплектическая форма в Е2п. Он обладает свойством коцикла:
r(Ai, А2, А3) - t(Ai, А2, А4) + r(Ai, А3, А4) - т(А2, А3, А4) = 0.

> 1. Индекс Маслова
147
С помощью индекса Маслова четверки подпространств r(Ai, A2, Аз) +
+r(Ai, A3, А4) можно на лагранжевом подмногообразии в пространст-
пространстве кокасательного расслоения любого многообразия определить коцикл
Чеха, отвечающий классу Маслова из п. 1.3 (см. [48]).
1.5. Кобордизмы волновых фронтов на плоскости. Прос-
Простейший пример лежандрова кобордизма — соотношение между сле-
следами распространяющегося в трехмерной среде волнового фронта на
ее границе в разные моменты времени. Эти следы не обязательно го-
меоморфны, но их кобордантность накладывает ограничения на типы
особенностей (см. следствие 1 ниже).
Два компактных волновых фронта
Fq, F\ на плоскости называются кобор-
дантными, если в прямом произведении
плоскости на отрезок 0 ^ t ^ 1 сущест-
существует трансверсальный плоскостям t = О
и t = 1 компактный фронт К, пересече-
пересечение которого с первой из них есть Fq, а со
второй — Fi (рис. 57). Фронт К называет-
называется кобордизмом. Мы различаем случаи ори-
ориентированных и неориентированных, во-
вооруженных (коориентированных) или нево-
невооруженных фронтов и кобордизмов. Вооружение кобордизма К инду-
индуцирует вооружение края дК = F0UFi, которое должно совпадать с соб-
собственным вооружением фронтов Fq, Fi (т.е. совпадающие, но распро-
распространяющиеся в разные стороны фронты считаются разными и могут
быть не кобордантными). То же самое относится и к ориентации. Сло-
Сложение фронтов определяется как их несвязное объединение. Эта опе-
операция наделяет множество классов кобордантных фронтов структурой
коммутативной полугруппы. В рассматриваемых случаях она оказыва-
оказывается группой. Нулем служит класс пустого фронта.
Теорема [5]. Группа классов кобордизма вооруженных ориентиро-
ориентированных фронтов на плоскости — свободная циклическая (образующая —
класс «бантика», рис. 58 а), вооруженных неориентированных — триви-
тривиальна, невооруженных — конечна: ^2©^2 для ориентированных и!л2 —
для неориентированных фронтов (образующими можно взять классы
«капель», рис. 58 б, различающихся ориентацией в ориентируемом слу-
случае).
Рис. 57

148
Глава 6
Единственным инвариантом класса ко-
бордизма вооруженного ориентированного
фронта на плоскости служит его индекс —
число точек возврата (или число точек пере-
перегиба) с учетом знаков, рис. 58 в. Индекс ком-
компактного фронта в Е2 четен.
Следствие 1. Алгебраическое число то-
точек возврата {перегиба) компактного сле-
следа на плоскости от распространяющегося
в пространстве ориентированного волнового
фронта четно и не меняется со временем.
Индекс фронта следующим образом свя-
связан с индексом Маслова. Вооруженный фронт
в Е2 определяет коническую лагранжеву по-
поверхность L в Т*Е2 ковекторов, равных ну-
нулю на касающемся фронта контактном эле-
элементе и положительных на вооружающей
Рис. 58 нормали. Для фронта общего положения L
гладко иммерсирована в Т*Е2. Скалярное
произведение в Е2 определяет иммерсию фронта в L (точке фронта от-
отвечает ковектор, равный 1 на орте вооружающей нормали). Индекс ори-
ориентированного фронта в Е2 равен индексу Маслова построенной кривой
на L.
Ф
Рис. 59
Вычисление описанных в теореме групп кобордизмов основано на
информации о перестройках волновых фронтов из п. 3.1 гл. 5. Так, не-
неориентированная кобордантность нулю вооруженного бантика вытека-
вытекает из серии перестроек рис. 59, использующей локальные перестрой-
перестройки А2 и А3 рис. 48.
Кобордизм К фронтов определяет иммерсированное лежандрово
многообразие своих контактных элементов в многообразии всех кон-
контактных элементов произведения плоскости на отрезок.

§2. Кобордизмы 149
Следствие 2. Бутылка Клейна {F.Klein) допускает лежандрову
иммерсию в Е5.
Эта иммерсия индуцируется перестройкой рис. 59 вместе с обрат-
обратной серией: перестраивающиеся фронты на этом рисунке всюду имеют
невертикальную касательную и их объединение заклеивает «бантик»
листом Мебиуса (A.F. Mobius).
Теорема ([5], ср. п. 2.4, гл. 4). Компактные связные двумерные
многообразия с четной эйлеровой характеристикой допускают лежанд-
лежандрову иммерсию в контактное пространство I5, а с нечетной — не
допускают даже лагранжевой иммерсии в Е .
§ 2. Кобордизмы
В [5] определены около двух десятков различных теорий лагранже-
вых и лежандровых кобордизмов и вычислены соответствующие груп-
группы классов кобордантных кривых. Здесь мы рассмотрим в основном
кобордизмы точных лагранжевых иммерсий — теорию, в которой по-
получены наиболее законченные результаты.
2.1. Лагранжев и лежандров край. Пусть в пространстве
кокасательного расслоения многообразия с краем задано иммерси-
рованное лагранжево подмногообразие L °->- Т*М, трансверсальное
краю д(Т*М). При отображении д(Т*М) —> Т*(дМ) (ковектору в точке
края сопоставляется его ограничение на край) пересечение ЬГ)д(Т*М)
проектируется в иммерсированное лагранжево подмногообразие dL
пространства кокасательного расслоения края. dL называется лагран-
жевым краем многообразия L.
Лежандров край dL иммерсированного в пространство 1-струй
функций на многообразии с краем лежандрова многообразия L <—> JXM,
трансверсального краю d(JxM), определяется аналогично с помощью
проекции d{JxM) —> Jxd{M) A-струе функции в точке края сопостав-
сопоставляется 1-струя ограничения функции на край). Подобным образом мож-
можно определить край лежандрова подмногообразия в пространстве (ко-
ориентированных) контактных элементов на многообразии с краем.
Лагранжевым кобордизмом компактных лагранжевых иммерсиро-
ванных подмногообразий Lo, L1 °^ T*M называется иммерсированное
лагранжево подмногообразие пространства Т*(М х [0, 1]) — кокаса-
кокасательного расслоения цилиндра над М, лагранжев край которого есть

150 Глава 6
разность L\ x 1 и Lq x 0 (для ориентированных кобордизмов изменение
ориентации многообразия меняет его знак). Многообразия LqLi назы-
называются лагранжево (ориентированно) кобордантными, если существует
лагранжев ориентированный кобордизм между ними.
Аналогично определяются лежандровы кобордизмы. В этом случае
вместо кобордизма лежандровых многообразий можно говорить пря-
прямо о кобордизме фронтов. Теория кобордизмов лежандровых иммер-
иммерсий в пространстве 1-струй функций эквивалентна теории кобордизмов
точных лагранжевых иммерсий: при проекции JXT -^ Т*М лежандро-
лежандровы иммерсированные подмногообразия переходят в такие лагранжевы
иммерсированные многообразия, на которых 1-форма действия точна,
и обратно (см. п. 2.3, гл. 4).
2.2. Кольцо классов кобордизма. Лагранжевы (лежандровы)
иммерсии многообразий Li, L<i одинаковой размерности в симплек-
тическое (контактное) многообразие задают иммерсию их несвязного
объединения в это многообразие, называемую суммой исходных им-
иммерсий.
Лемма [5]. Классы лагранжево (лежандрово) кобордантных им-
иммерсий в Т*М {ЗгМ^ РТ*М или ST*M) образуют абелеву группу от-
относительно операции сложения.
В самом простом и важном случае М = Жп определим произве-
произведение (точных) лагранжевых иммерсий L\ <—ь T*En, L2 <—> T*Em
как (точную) лагранжеву иммерсию прямого произведения L\ x Х2
в T*Mn+m = Т*ЕП х Т*Жт. Соответствующие классы кобордизмов об-
образуют относительно введенных операций косокоммутативное градуи-
градуированное кольцо.
Теорема ([3], [35], [69]).
1) Градуированное кольцо 1HL* = ®9ЯЬ& классов неориентирован-
неориентированно лежандрова кобордизма в пространствах 1-струй функций в Шк изо-
изоморфно градуированному кольцу Z2[a?5, Ж9? %и •••] полиномов с коэффи-
коэффициентами в Ъч от образующих xj, нечетных степеней к ф 2Г — 1.
2) Градуированное кольцо L* = фЬд, классов ориентированного ле-
k
жандрова кобордизма в пространствах 1-струй функций в Жк изоморф-
изоморфно по модулю кручения внешней алгебре над Ъ с образующими степе-
степеней 1, 5, 9, ... , 4гг + 1, ...

§2. Кобордизмы 151
Мы далеки от того, чтобы доказывать эту теорему, но приведем
основные результаты на пути к ее доказательству.
2.3. Векторные расслоения с тривиальной комплексифика-
цией. Каждое ^-мерное векторное расслоение с конечной клеточной ба-
базой X может быть индуцировано из универсального классифицирующе-
классифицирующего расслоения £&. В качестве последнего можно взять тавтологическое
расслоение над грассмановым многообразием Goo,к всех fc-мерных под-
подпространств в пространстве RN растущей размерности N (слоем тав-
тавтологического расслоения над точкой служит отвечающее ей fc-мерное
подпространство). Индуцирование расслоения над X при непрерывном
отображении X —> Goo,к устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между классами эквивалентных fc-мерных векторных расслоений
с базой X и классами гомотопных отображений X в классифицирующее
пространство Goo,/г- В категории ориентированных векторных расслое-
расслоений роль классифицирующих пространств играют грассманианы G^ k
ориентированных fc-мерных подпространств.
Пусть комплексификация вещественного fc-мерного векторного
расслоения над X тривиальна и тривиализация фиксирована.
Пример. Комплексификация касательного пространства L к ла-
гранжеву многообразию, иммерсированному в овеществление Ж2к эр-
эрмитова пространства Ск канонически изоморфна Ск = L ф iL.
Сопоставляя точке из X подпространство в Cfe, с которым слой
над ней отождествляется при тривиализации, получаем отображение X
в грассманово многообразие fc-мерных вещественных подпространств L
в СА, для которых L П iL = 0. Этот грассманиан гомотопически экви-
эквивалентен лагранжеву грассманиану Л&.
Теорема [25]. Тавтологическое расслоение Л^(А^) над (ориенти-
(ориентированным) лагранжевым грассманианом Л&(Л^) является классифици-
классифицирующим в категории k-мерных (ориентированных) векторных расслое-
расслоений с тривиализованной комплексификацией.
2.4. Кобордизмы гладких многообразий. В этой классичес-
классической теории два замкнутых многообразия (никуда не иммерсирован-
ных) называются кобордантными, если их разность является краем
какого-нибудь компактного многообразия с краем. При вычислении со-
соответствующих групп кобордизмов ключевую роль играет следующая

152
Глава 6
X <
<гп>
>
* 60
конструкция. Пространством То-
Тома (R. Thorn) T£ векторного рас-
расслоения £ с компактной базой
называется одноточечная компак-
тификация пространства этого
расслоения (рис. 60). Индуцирова-
Индуцированию расслоения £ из расслоения rj
при отображении баз X —> Y от-
отвечает отображение Т£ —> Trj про-
пространств Тома, переводящее от-
отмеченную точку (оо) в отмечен-
отмеченную. Пусть компактное гг-мерное
многообразие М вложено в сферу большой размерности п + &. Стяги-
Стягивание в точку дополнения к трубчатой окрестности М в Sn+A; задает
отображение Sn+fe —> Tv сферы в пространство Тома нормального рас-
расслоения многообразия М. Индуцирование нормального расслоения из
классифицирующего расслоения ^ доставляет отображение Tv —> Т&
пространств Тома, которое в композиции с первым определяет отобра-
отображение Sn+k —> Т£к- Аналогичная конструкция, примененная к вложен-
вложенному в Sn+fe х [0, 1] кобордизму многообразии, показывает, что клас-
классу кобордизма отвечает класс гомотопных отображений Sn~^k —> Т&,
т.е. элемент гомотопической группы тгп+^(Г^, оо). Обратно, прооб-
прообраз нулевого сечения Goc,k ^ T£k при трансверсальном к нему ото-
отображении сферы Sn+fe —> Tf;^ есть гладкое гг-мерное подмногообразие
в Sn+fe, а прообраз нулевого сечения при трансверсальной ему гомото-
пии Sn+A; х [0, 1] —> Т^и есть кобордизм таких многообразий.
Теорема [72]. Группа 91П(ПП) классов {ориентированного) кобор-
кобордизма замкнутых п-мерных многообразий изоморфна стабильной гомо-
гомотопической группе Km тгп+^(Т^) пространств Тома классифицирую-
щих (ориентированных) векторных расслоений.
Здесь знак Km означает следующее. Отображение
надстраивается до отображения Sn+fe+1 —> Т(^ ф 1) сферы в простран-
пространство Тома суммы расслоения ^ и одномерного тривиального рассло-
расслоения. Эта сумма может быть индуцирована из &+1, что дает отобра-
отображение Sn+A;+:L -» T(£k)> По возникающей последовательности, гомомор-
гомоморфизмов тгп+л(Т^) -> 7rn+A+i(T^+i) и берется предел.

§2. Кобордизмы 153
Эта теорема сводит вычисление групп кобордизмов к чисто гомо-
гомотопической задаче, которую в значительной степени удается решить.
Теорема [72].
1) Кольцо 91* = Ф91П изоморфно кольцу Ъ2[у'2, 2/4? 2/5? •••] полиномов
над Ъ2 от образующих уп степеней п ф 2Г - 1.
2) Кольцо 1}* = ф!}п изоморфно по модулю кручения кольцу полино-
полиномов над Z с образующими степеней 4fe, A? = 1, 2, ...
2.5. Группы лежандровых кобордизмов как гомотопичес-
гомотопические группы. Сопоставим лежандровой иммерсии многообразия L
в ^Жп тривиализацию комплексифицированного касательного рассло-
расслоения ТСХ, как объяснено в примере п. 2.3.
Теорема ([47], [54]). Это отображение является взаимно одно-
однозначным соответствием между множеством классов гомотопных ле-
лежандровых иммерсий L <—^ ^Жп и множеством классов гомотопных
тривиализаций расслоения ТСЬ.
Отсюда, как и в теории кобордизмов гладких многообразий, выво-
выводится
Теорема (Я. М. Элиашберг, см. [69]). Группы классов лежанд-
рова кобордизма изоморфны стабильным гомотопическим группам про-
пространств Тома тавтологических расслоений над лагранжевыми грас-
сманианами:
п = lim тгп+к(Т\к), Ln = lim
k—юс к—юс
Предельный переход соответствует последовательности вложений ла-
гранжевых грассманианов, описанной в п. 1.4.
Аналогичное выражение групп кобордизмов через гомотопические
группы (правда, более громоздких пространств) имеется и для других
теорий лагранжевых и лежандровых кобордизмов1, но эти гомотопи-
гомотопические группы пока не вычислены.
Вычисление стабильных гомотопических групп пространств ТА&
приводит к следующему уточнению теоремы п. 2.2.
Теорема [35]. Отображение в: 91L* —> 91*? сопоставляющее клас-
классу кобордизма иммерсированного лежандрова многообразия класс неори-
неориентированного кобордизма этого многообразия, является вложением
градуированных колец и 91* = (91L*) ®Z2[|/2, ... , 3/2*5 • • •]•
хСм. статью Я. М. Элвашберга в [69].

154 Глава 6
Следствие. Класс неориентированного лежандрова кобордизма ле-
жандровой иммерсии L <—^ JxMn зависит только от многообразия L.
2.6. Группы лагранжевых кобордизмов. Эти группы, как
правило, трудно обозримы. Вычислены лишь группы лагранжева кобор-
кобордизма кривых на поверхностях [5]. Дело в том, что интеграл действия по
замкнутой кривой на лагранжевом многообразии-кобордизме зависит
лишь от гомологического класса кривой на нем. Если интегралы дей-
действия по базису 1-циклов на лагранжево иммерсированном замкнутом
многообразии L рационально независимы, то пространство Н\{Ь, Q)
вместе с определяемой классом когомологий формы действия линейной
вещественнозначной функцией на нем является инвариантом класса ла-
лагранжева кобордизма многообразия L.
Лагранжева иммерсия L <—> Т*МП наряду с отображением Гаусса
L -» ЛП5 задает отображение L -» if (М, 1) в пространство Эйленбер-
га-Маклейна (S. Eilenberg-S. MacLane) аддитивной группы веществен-
вещественных чисел (tti(K(R, 1)) = М, тг*.A*Г(М, 1)) = 0 при к ф 1), определяе-
определяемое гомоморфизмом фундаментальных групп tti(L) -» Ях(Х, Q) -» R.
Пусть Тп — пространство Тома расслоения над К (Ж, 1) х Л+, индуци-
индуцированного из тавтологического проекцией на второй сомножитель.
Теорема.1 Группа классов ориентированного лагранжева кобордиз-
кобордизма еГГ есть Km тгп+Л(ТЛ).
к—>-оо
При п = 1 эта группа есть 1®Z — единственными (и независи-
независимыми) инвариантами класса лагранжева кобордизма замкнутой кривой
на симплектической плоскости являются ее индекс Маслова и площадь
области, ограниченной кривой [5].
§ 3. Характеристические числа
Здесь описаны дискретные инварианты класса лагранжева (ле-
(лежандрова) кобордизма. Они возникают из когомологических классов
лагранжевых грассманианов, но получают геометрическую интерпре-
интерпретацию при исчислении лагранжевых и лежандровых особенностей. Это
обстоятельство проливает свет на алгебраическую природу классифи-
классификации критических точек функций.
3.1. Характеристические классы векторных расслоений.
При индуцировании векторного расслоения отображением базы в клас-
хСм. статью Я. М. Элиашберга в [69].

§3. Характеристические числа 155
сифицирующее пространство класс когомологий классифицирующего
пространства определяет класс когомологий базы, называемый харак-
характеристическим классом расслоения. Исходный класс когомологий клас-
классифицирующего пространства называется универсальным характерис-
характеристическим классом. Если двум расслоениям одинаковой размерности
с общей базой отвечают различные характеристические классы, полу-
полученные из одного универсального, то эти расслоения неэквивалентны.
Отвечающие последовательностям вложений
последовательности гомоморфизмов групп когомологий определяют
стабильные группы когомологий соответствующих грассманианов.
Теорема ([61], [25]). Градуированные кольца стабильных когомо-
когомологий грассманианов следующие:
1) Я*(G+, Q) = Q[pi, ... ,р^, ...] — кольцо полиномов с рацио-
рациональными коэффициентами от целочисленных классов Понтрягина рк
степени 4&;
2) Я*(G, Z2) = Z2[u>i, ... , Wk, ...] — кольцо полиномов над по-
полем Ъ2 от классов Штифеля- Уитни {E.Stiefel-H. Whitney) wu сте-
степени k;
3) Д"*(Л+, Q) — внешняя алгебра над Q с целочисленными образу-
образующими степеней 4& + 1, к = 0, 1, 2, ... ;
4) Д"*(Л, Z2) — внешняя алгебра над Z2 от классов Штифе-
Штифеля-Уитни.
Замечание 1. Ядро эпиморфизма Я*(С, Z2) -^ Я*(Л, Z2) опреде-
определяемого вложениями Лп <—^ C2n,n ^^ Goc,n^ есть идеал, порожденный
квадратами [26]. Отметим, что размерность пространства Я/г(Л, Z2)
над полем Z2 равна числу разбиений к в сумму различных натураль-
натуральных слагаемых.
Замечание 2. Каждый ненулевой элемент перечисленных в тео-
теореме колец когомологий определяет нетривиальный универсальный ха-
характеристический класс, различающий классы стабильной эквивалент-
эквивалентности (ориентированных) векторных расслоений и (ориентированных)
векторных расслоений с тривиализованной комплексификацией соот-
соответственно.

156 Глава 6
3.2. Характеристические числа классов кобордизма.
Лемма. Значение п-мерного стабильного характеристического
класса касательного расслоения п-мерного замкнутого многообразия на
его фундаментальном цикле зависит лишь от класса кобордизма этого
многообразия.
Действительно, ограничение касательного расслоения многообра-
многообразия на его край изоморфно сумме одномерного тривиального расслоения
и касательного расслоения края, т.е. стабильно эквивалентно послед-
последнему. Значение стабильного характеристического класса касательного
расслоения многообразия на фундаментальном цикле края равно нулю,
так как этот цикл гомологичен нулю.
Таким образом, каждый стабильный универсальный n-мерный ха-
характеристический класс определяет характеристическое число замк-
замкнутого п-мерного многообразия — инвариант класса кобордизма это-
этого многообразия. Аналогично, характеристические числа лагранжевой
(лежандровой) иммерсии в T*Rn(J1Rn) определяются n-мерными ха-
характеристическими классами тривиализации комплексифицированно-
го касательного расслоения иммерсируемого многообразия и являются
инвариантами класса лагранжева (лежандрова) кобордизма. Очевидно,
характеристическое число суммы классов кобордизма равно сумме ха-
характеристических чисел слагаемых.
Теорема [35].
1) Задаваемый характеристическими числами Штифеля - Уитни
гомоморфизм групп 91Ln —> Нп(А, Ъ<ь) является вложением.
2) Аналогичный гомоморфизм Ln —> 77n(A+, Z) является изомор-
изоморфизмом по модулю кручения.
Следствие. Класс неориентированного лежандрова кобордизма ле-
лежандровой иммерсии в JxRn определяется числами Штифеля - Уитни
иммерсируемого многообразия.
Замечание 1. Аналогичная теорема справедлива для теории ко-
бордизмов замкнутых многообразий.
Замечание 2. Число разбиений натурального к в сумму нечетных
слагаемых — размерность подпространства Н^ градуированного коль-
кольца Ф-Н& полиномов над Z2 от образующих нечетной степени — равна
числу разбиений к на различные слагаемые (разобьем каждое четное
слагаемое в сумму 2Г одинаковых нечетных ... ).

§3. Характеристические числа 157
Замечание 3. Между числами Штифеля-Уитни лежандровых им-
иммерсий имеются соотношения. Например, индекс Маслова замкну-
замкнутой лежандровой кривой в JXM четен, т.е. характеристическое чис-
число Wi = 0. Наоборот, класс ориентированного лежандрова кобордизма
такой кривой определяется классом Маслова — удвоенной образующей
группы Я1(Л+, Z), так что Li -» #i(A+, Z) — изоморфизм.
Замечание 4. Умножение характеристических классов вместе
с умножением двойственных к ним объектов — классов кобордизма —
задают в L* &Q структуру алгебры Хопфа: коумножение L* —у L* &L*
(по модулю кручения) является гомоморфизм алгебр.
Замечание 5. Следствие не имеет аналога в ориентированном слу-
случае: классы Понтрягина касательного расслоения многообразия, допус-
допускающего лагранжеву иммерсию в Х*МП, нулевые.
3.3. Комплексы особенностей. Разобьем пространство рост-
ростков гладких функций одной переменной в критической точке 0 с ну-
нулевым критическим значением (точнее — пространство струй таких
функций достаточно высокого порядка) на неособые страты — классы
^-эквивалентности (см. §2, гл. 5) А^, А2, А^, А4, ... и класс, содер-
содержащий нулевую функцию. Назовем страт конечной коразмерности ко-
ориентируемым, если его нормальное расслоение обладает ориентацией,
инвариантной относительно действия группы ростков диффеоморфиз-
диффеоморфизмов в пространстве ростков функций. Некоориентируемыми оказыва-
оказываются страты Л^к_1 и только они. Например, трансверсаль к страту А^
в точке х4 можно взять в виде х4 + Х\х3 + А2Ж2; замена х \-> —х ме-
меняет ориентацию трансверсали. Определим комплекс cj, группа &-цепей
которого состоит из формальных целочисленных линейных комбинаций
коориентированных стратов коразмерности к. Смена коориентации ме-
меняет знак страта. Кограничный оператор S определяется примыкания-
примыканиями стратов как обычный оператор взятия границы цепей. Заметим, что
некоориентируемый страт входит в границу коориентируемого с нуле-
нулевым коэффициентом, поэтому оператор S корректно определен и S2 = 0.
Комплекс v, не учитывающий коориентацию стратов, состоит из фор-
формальных сумм с коэффициентами в поле Z2 всех стратов и снабжается
оператором взятия границ страта по модулю 2.
Мы использовали классификацию критических точек функций на
прямой только как иллюстрацию. В действительности нам нужны уни-
универсальные комплексы ш и ^, определяемые аналогично по дискретной

158 Глава 6
стратификации пространств ростков функций произвольного числа пе-
переменных на неособые страты, инвариантные относительно стабильной
^-эквивалентности ростков.
Пусть задана лагранжева иммерсия L ^-> Т*Мп общего положения.
Лагранжева проекция в Мп определяет стратификацию многообразия L
по типам особенностей лагранжева отображения L —> Мп в соответ-
соответствии со стратификацией пространства ростков функций.
Теорема [8]. Каждому (коориентированному) циклу универсаль-
универсального комплекса v((jj) отвечает (коориентированный) цикл замкнутого
(ориентированного) многообразия L с коэффициентами в Z2(Z). Класс
гомологии комплекса v(co) определяет класс когомологий многообразия L
с коэффициентами в 1*2 (Щ — индекс пересечения циклов на L с соот-
соответствующим (коориентированным) циклом особенностей.
Определяемые классами гомологии универсальных комплексов ш
и v классы когомологий на L называются характеристическими клас-
классами лагранжевой иммерсии. Эта конструкция обобщает конструкцию
класса Маслова п. 1.3. Значение характеристического класса старшей
размерности на фундаментальном цикле многообразия L определяет
характеристическое число — инвариант класса лагранжева кобордиз-
ма. Соответствующий цикл особенностей — это просто набор точек со
знаками, определяемыми совпадением или несовпадением коориента-
ции точки с ориентацией многообразия, а характеристическое число —
количество таких точек, в ориентированном случае — с учетом этих
знаков, а в неориентированном — по модулю 2.
Имеются подобные конструкции [8] характеристических классов и
чисел в теории лежандровых кобордизмов. Соответствующие универ-
универсальные комплексы ш и v коориентированных и некоориентированных
особенностей лежандровых отображений определяются по неособой
стратификации пространств ростков (коориентированных) гиперпо-
гиперповерхностей в особой точке, инвариантной относительно группы ростков
диффеоморфизмов объемлющего пространства, для теории лежандро-
лежандровых кобордизмов в РТ*Мп (ST*Mn или JxMn соответственно).
Характеристические классы лагранжевых иммерсий в Т*МП или
лежандровых иммерсий в J1]^™, определяемые классами когомологий
универсальных комплексов, могут быть индуцированы из подходящих
классов когомологий лагранжевых грассманианов при отображении Га-
Гаусса.

§3. Характеристические числа 159
Теорема [69]. Существуют естественные гомоморфизмы
Н*(ш) -> Я*(А+, Z), Я*(г/) -> Я*(A, Z2).
Действительно, рассмотрим пространство струй J^ высокого по-
порядка N ростков в нуле (ориентированных) лагранжевых подмногооб-
подмногообразий в Т*МП. Пространство J1 есть лагранжев грассманиан ЛП(Л+).
Расслоение JN —> J1 имеет стягиваемый слой, т.е. JN гомотопически
эквивалентно J1. Лагранжева проекция Т*МП —> Жп позволяет стра-
стратифицировать пространство JN по типам особенностей ростков ла-
лагранжевых отображений. Подобно тому, как класс Маслова лагранже-
вой иммерсии общего положения L ^ Т*МП определяется прообразом
цикла S С J1 (см. п. 1.4) при отображении Гаусса, каждый цикл осо-
особенностей на L является прообразом соответствующего цикла в про-
пространстве JN при отображении, сопоставляющем точке на L TV-струю
лагранжевой иммерсии в этой точке.
3.4. Сосуществование особенностей. Группы когомологий уни-
универсальных комплексов v и и вычислены для стратов коразмерности
меньше либо равной б. Соответствующие классы стабильной й-экви-
валентности ростков функций следующие: Afkl, A2k (k = 1, 2, 3),
D^ (k = 4, 5, 6, 7), EG, £7, E8, где классы A^D^E — простые
(см. п. 2.3, гл. 5), a Pg — унимодальный класс ростков х3 + ax2z±
±xz2 + y2z (a — модуль, а2 ф 4 в случае знака +, см. [9]). Некоориен-
тируемыми оказываются страты А4к_г и Dk . Результаты вычисления
групп когомологий приведены в таблице 2.
Таблица 2
теория
Т*М,
JXM
или
ЗТ*М
РТ*М
к
образующая
нули
образующие
нкН
образующие
Hk{v)
образующие
1
Z
А2
Z2
А2
0
z2
А2
2
0
z2
A3
0
z2
As
3
0
z2
А4 ИЛИ I>4
0
z|
4
Z2
Л5
2Л5
z2
z2
zi
5
z
Ле или ^б
Л6-Е6
z2
Лб или I>6
Z
zi
6
z
Ps
£;7 + зр8
z|
Л7, £?7 ИЛИ Ps
z2
z|

A2
A3
A,
= o,
= A4
A2
= L
— Д
— A6 = 3P8?
>4? A2 ^ A6 =
5 и остальные
160 Глава 6
Когомологическое произведение ^ характеристических классов —
тоже характеристический класс. Оказывается, на этом пути не возни-
возникает новых характеристических классов.
Теорема. На любом замкнутом лагранжево иммерсированном
многообразии верны следующие мультипликативные соотношения меж-
между характеристическими классами:
для коориентированных классов А2
Р8 ^ Р8 = 0 по модулю кручения;
для некоориентированных классов А
= £7 — Р8? А2 ^ A>j — Е$ = D$ = А8? А3
произведения размерности ^ 6 образующих из таблицы 2 нулевые.
Соотношения между циклами особенностей в когомологиях уни-
универсальных комплексов накладывают ограничения на сосуществование
особенностей. Так, на любом замкнутом ориентированном лагранже-
вом многообразии подходящей размерности, приведенном в общее по-
положение по отношению к лагранжевой проекции, равно нулю число взя-
взятых с учетом знаков точке А5, а также числа А$ — Е$ и Е? + 3Ps? а на
неориентированном четны числа А4 + £>4? £>5? £>6? Aq + Eq, D?, E? + Р§?
А8 +£>8 и А8 +Е8.
Не все классы когомологий универсальных комплексов порождают
нетривиальные характеристические числа лагранжевых или лежандро-
вых иммерсий. Например, число точек Аз на общей замкнутой лежанд-
ровой поверхности в JXM2 всегда четно, поскольку точки Аз замк-
замкнутого волнового фронта общего положения попарно соединяются вы-
выходящими из них линиями типа (AiAi) самопересечений волнового
фронта. Рассмотрение точек пересечений различных стратов волновых
фронтов приводит к новым характеристическим числам. Например, ле-
жандровыми характеристическими числами оказываются четности ко-
количеств точек (Аь А2), (Аь А4), (А2, А4), (Аь А6), (Аь А2, А4) на
общих фронтах подходящей размерности. Перечисленные классы явля-
являются коциклами определенного в [9] универсального комплекса муль-
тиособенностей. Из вычислений в этом комплексе получается много
следствий о сосуществовании мультиособенностей. Например, на за-
замкнутом фронте общего положения в J°M2 четно число (Аь А2) то-
точек протыкания фронта своим ребром возврата. Оказывается, произ-
произведение когомологических классов объемлющего фронт пространства,
двойственных фронту и замыканию его ребра возврата, двойственно

§3. Характеристические числа 161
замыканию страта (Ai, А2). Отсюда вытекает сделанное утверждение,
поскольку для открытого трехмерного многообразия J°M2 это произ-
произведение нулевое. Многомерные обобщения этого результата см. в [3].
Как уже отмечалось в § 1, класс Маслова А2 лагранжевой иммерсии
в Т*МП индуцируется при отображении Гаусса из образующей груп-
группы Я1 (Л+).
Теорема. На ориентированном компактном лагранжевом подмно-
подмногообразии в T*Rn характеристические классы А$ и Р§ совпадают по
модулю кручения с классами, индуцируемыми из утроенной образующей
группы Я5(Л+) и произведения класса Маслова на эту образующую со-
соответственно, а на неориентированном — характеристические клас-
классы А2, А3, А4, А5, А6, Е? совпадают с классами Штифеля Уитни w\,
W2, W1W2, W1W3, W2W3, W1W2W3 соответственно.
Следствие. Взятое с учетом знаков число особенностей А6 на
лагранжевом ориентированном многообразии общего положения в Х*М5
кратно трем.
В заключение отметим почти полный параллелизм начал иерархий
вырожденных критических точек функций и «допустимых последова-
последовательностей» Стинрода (N. Steenrod) [73] {х\ ^ 2, ж2 ^ 4, жз ^ • • • )•
А2, А3, А4, А5, А6, А7, А8... 12 3 4 5 6 7...
D4, 2M, 2N, Dr,D8... 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 ...
Еб9Е7,Е8... ? 4, 2 5, 2...
Р8... 4,2,1 ...
(число членов последовательности равно корангу особенности, сумма —
коразмерности орбиты; нехватка Е6 объясняется, быть может, соотно-
соотношением А6 ~ Е6 в комплексе cj).

Литература
Помимо цитированной литературы в список включены классичес-
классические труды и учебники по динамике [17], [38], [42], [43], [50], [56], [65],
[66], [78], несколько современных монографий [30], [44], [48], [55], [71],
[74], а также работы, относящиеся к совсем или почти не затронутым
в обзоре, но связанным с его предметом вопросам — [7], [40], [53], [59],
[64], [70], [73]. Сборники [67], [69] дают хорошее представление о на-
направлениях нынешних исследований. Подробные изложения основ сим-
плектической геометрии — с различных точек зрения — можно найти
в [1], [48], а отдельных ее разделов в [2], [6], [24]. Из библиографических
источников по нашей теме отметим [30].
[1] В.И.Арнольд. Математические методы классической механики.
М.: Наука, 1974, 431 с.
[2] В.И.Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Ижевск, 2000, 400 с.
[3] В.И.Арнольд. Особенности систем лучей. Успехи мат. наук, 1983,
36, № 2, 77 147.
[4] В.И.Арнольд. Особенности в вариационном исчислении. В сб. «Со-
«Современные пробл. математики (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН
СССР)». М., 1983, 22, 3-55.
[5] В.И.Арнольд. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы. Функц. ана-
анализ и его прил., 1980, 14, №3, 1-13; №4, 8-17.
[6] В.И.Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде. Особенности диф-
дифференцируемых отображений. Т. 1. М.: Наука, 1982, 304 с.
[7] А. Н. Варченко, А. Б. Гивенталь. Отображение периодов и форма пе-
пересечений. Функц. анализ и его прил., 1982, 16, №2, 7-20.
[8] В.А.Васильев. Характеристические классы лагранжевых и ле-
жандровых иммерсий, дуальные к особенностям каустик и волно-
волновых фронтов. Функц. анализ и его прил., 1981, 15, №3, 10-22

Литература 163
[9] В. А. Васильев. Самопересечения волновых фронтов и лежандровы
(лагранжевы) характеристические числа. Функц. анализ и его
прил., 1982, 16, №2, 68-69.
[10] Д.М.Галин. Версальные деформации линейных гамильтоновых сис-
систем. Тр. семинара им. И.Г.Петровского, 1975, 1, 63-74.
[11] И. М. Гельфанд, И. Я. Дорфман. Гамильтоновы операторы и класси-
классические уравнения Янга Бакстера. Функц. анализ и его прил., 1982,
16, №4, 1-9.
[12] И. М. Гельфанд, В.Б.Лидский. О структуре областей устойчивос-
устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений.
Успехи мат. наук, 1955, 10, №1, 3-40.
[13] В. Г. Дринфельд. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгеб-
ры Ли и геометрический смысл уравнений Янга Бакстера. Докл.
АН СССР, 1983, 268, №2, 285-287.
[14] М. Я. Житомирский. Конечно определенные ростки 1-форм ш,
clj|o 7^0 исчерпываются моделями Дарбу и Мартине. Функц. анализ
и его прил., 1985. 19, №1, 71 73.
[15] А.А.Кириллов. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972,
336 с.
[16] А.А.Кириллов. Локальные алгебры Ли. Успехи мат. наук. 1976, 31,
№4, 57-76.
[17] Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. М.: Наука, 1973, 208 с.
[18] В.В.Лычагин. Локальная классификация нелинейных уравнений
с частными производными первого порядка. Успехи мат. наук, 1975,
30, №1, 101-171.
[19] В. П. Маслов. Теория возмущений и асимптотические методы. М.:
МГУ, 1965, 412 с.
[20] В. И. Матов. Унимодальные и бимодальные ростки функций на мно-
многообразии с краем. Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1981, 7, 174-
189.
[21] А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Интегрирование гамильтоновых сис-
систем с некоммутативными симметриями. Тр. семинара по вектор-
векторному и тензорному анализу, 1980, 20, 5-54.
[22] А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. Уравнения Эйлера на конечномерных
группах Ли. Изв. АН СССР, 1978, 42, № 2, 396 415.

164 Литература
[23] М. А. Семенов-Тян-Шанский. Что такое классическая г-матрица.
Функц. анализ и его прил., 1983, 17, №4, 17 33.
[24] А.Т.Фоменко. Дифференциальная геометрия и топология. Допол-
Дополнительные главы. Ижевск, 1999, 252 с.
[25] Д. Б. Фукс. О характеристических классах Маслова-Арнольда.
Докл. АН СССР, 1968, 178, №2, 303-306.
[26] Д. Б. Фукс. Когомологии по модулю 2 группы кос. Функц. анализ и
его прил., 1970, 4, №2, 62-73.
[27] И. Г. Щербак. Фокальное множество поверхности с краем и каус-
каустики групп, порожденных отражениями I?&, С^, F±. Функц. анализ
и его прил., 1984, 18, №1, 90-91.
[28] И. Г. Щербак. Двойственность краевых особенностей. Успехи мат.
наук, 1984, 39, №2, 207 208.
[29] О. П. Щербак. Особенности семейства эвольвент в окрестности
точки перегиба кривой и группа Н3, порожденная отражениями.
Функц. анализ, и его прмл., 1983, 17, №4, 70 72.
[30] R.Abraham, J.Marsden. Foundations of mechanics. N.-Y.,
Benjamin-Cummings, 1978, 641 p.
[31] V. I. Arnold. Wave fronts evolution and equivariant Morse lemma.
Cornmun. Pure and Appl. Math., 1976, 29, №6, 557-582.
[32] V. I. Arnold. Singularities of Legendre varieties, of evolvents and of
fronts at an obstacle. Ergodic theory and Dynamical Systems, 1982,
2, №3, 301-309.
[33] M. Atiyah. Convexity and commuting Hamiltonians. Bull. London
Math. Soc, 1982, 14, №l? 1-15.
[34] M. Atiyah, R. Bott. The moment map and equivariant cohomology.
Topology, 1984, 23, №1, 1-23.
[35] M. Audin. Quelques calculs en cobordisme lagrangien. Prepublication.
Paris, Universile de Paris — Sud, 1984, 37 p.
[36] N. Bourbaki. Groupes et algebres de Lie, ch. 4-6. Paris, Hermann. 1968,
288 pp. (Пер. на рус. яз.: Н.Бурбаки. Группы и алгебры Лщ гл. 4-6.
М.: Мир, 1978, 331 с.)
[37] Е. Brieskorn. Singular elements of semisimple algebraic groups. Actes
Congr. Intern. Math. Nice, 1970, 2, Paris, 1971, 279-284.

Литература 165
[38] Е. Cartan. Lecons sur les invariants integraux. Paris, Hermann, 1922,
210 p. (Пер. на рус. яз.: Э. Картан. Интегральные инварианты. М.-
Л.: ГИТТЛ, 1940, 216 с.)
[39] J.F. Conn. Linearization of analytic Poisson structures. Ann. Math.,
1984, 119, 577-601.
[40] C. Croke, A. Weinstein. Closed curves on convex hypersurfaces and
periods of nonlinear oscillations. Invent. Math. 1981, 64, №2, 199
202.
[41] J. J. Duistermaat, G. J.Heckman. On the variation in the cohomology
of the symplectic form of the reduced phase space. Invent. Math., 1982,
69, №3, 269-268.
[42] L.Euler. Du mouvement de rotation des corps solides autour d'un axe
variable. Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Berlin, 1758-
1785, 14, 154 193.
[43] J.W. Gibbs. Graphical methods in the thermodinamics of fluids.
Transactions of Connecticut Academy, 1973, 2, 309-342. (Пер. на
рус. яз.: Дж. В.Гиббс. Термодинамика. Статистическая механи-
механика. М.: Наука, 1982, 584 с.)
[44] С. Godbillon. Geometric differentielle et mecanique analytique. Paris,
Hermann, 1974, 180 p. (Пер. на рус. яз.: К. Годбийон. Дифферен-
Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1978,
188 с.)
[45] М. Golubitsky, D.Tischler. On the local stability of differential forms.
Trans. Amer. Math. Soc, 1976, 223, №2, 205-21.
[46] M. Golubitsky, D.Tischler. An example of moduli for singular
eympletic forms. Invent, math. 1977, 38, №3, 219-225.
[47] M. Gromov. A topological technique for the construction of solutions
of differential equations. Actes Congres Intern. Math. Nice, 1970, 2,
Paris, 1971, 221-225.
[48] V. Guillemin, S. Sternberg. Geometric asymptotics. Providence, Rhode
Island, 1977, 474 p. (Пер. на рус. яз.: В. Гийемин, С. Стернберг. Гео-
Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981, 500 с.)
[49] V. Guillemin, S. Sternberg. Geometric quantisation and multiplicities
of group representational. Invent, math., 1982, 67, №2, 515-538.
[50] W. R. Hamilton. Mathematical papers. Cambridge Univ. Press, 1940,
656 p.

166 Литература
[51] C.G.Jacobi. Vorlesungen uber Dynamik. Berlin, G. Reimer, 1884,
578 s. (Пер. на рус. яз.: К. Г. Якоби. Лекции по динамике. М.: ОНТИ,
1936, 271 с.)
[52] F.Klein. Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im
19 Jahrhundert. Berlin, 1926, 401 p. (Пер. на рус. яз.: Ф.Клейн. Лек-
Лекции о развитии математики в XIX столетии. Л.: ОНТИ, 1937,
432 с.)
[53] B.Kostant. Quantisation and unitary representations. Springer,
Berlin, Lect. Notes Math., 1970, 170, 87-208.
[54] J. A. Lees. On the classification of Lagrange immersions. Duke Math.
J, 1976, 43, №2, 217 224.
[55] J. Leray. Analyse lagrangienne et mecanique quantique. Strasbourg,
1978, 298 p. (Пер. на рус. яз.: Ж. Лере. Лагранжев анализ и кванто-
квантовая механика. М.: Мир, 1981, 262 с.)
[56] S. Lie. Theorie des Transformationsgruppen. Leipzig, Zweiter Absch-
nitt. B.G.Teubner, 1890, 554 S.
[57] G.Lion, M.Vergne. The Well representation, Maslov index and theta
series. Boston, Birkhauser, 1980, 337 p. (Пер. на рус. яз.: Ж.Лион,
М.Вернь. Представление Вейля, индекс Маслова и тэта-ряды. М.:
Мир, 1983, 216 с.)
[58] I. Martinet. Sur les singularities des formes differentielles. Ann. Inst.
Fourier. 1970, 20, №1, 95-178.
[59] R. Melrose. Equivalence of glancing hyper surf aces. Invent. Math., 1976,
37, №3, 165-192.
[60] J. Milnor. Morse theory. Princeton Univ. Press, 1963, 184 p. (Пер. на
рус. яз.: Дж. Милнор. Теория Морса. М.: Мир, 1965, 184 с.)
[61] J. Milnor, J. Stasheff. Characterisitic classes. Princeton Univ. Press,
1974, 270 p. (Пер. на рус. яз.: Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характе-
Характеристические классы. М.: Мир, 1979, 372 с.)
[62] J.Moser.Orc the volume elements on manifolds. Trans. Amer. Math.
Soc, 1966, 120, №2, 280-296.
[63] Nguyen huu Due, Nguyen tien Dai. Stabilite de Vinteraction
geometrique entre deux composantes. C. r. Acad. sci. Paris, 1980, 291,
113-116.

Литература 167
[64] S. Pnevmaticos. Structures hamilitoniennes en presence de contraintes.
C. r. Acad. sci. Paris, 1979, 289, 799-802.
[65] H. Poincare. Les methodes nouvelles de la Mecanique celeste, t. 1-3,
Paris, Gauthier-Villars, 1882, 1883, 1899, 800 p. (Пер. на рус. яз.:
А.Пуанкаре. Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971, 771 с.)
[66] S. D. Poisson. Traite de mecanique. Paris, 1833, 497 p.
[67] Proceedings of the UVTAM-ISIMM Symposium on modern
developments in analytical mechanics. Torino, 1982, v. 1,2. Torino,
1983, 858 p.
[68] R. Roussarie. Modules locaux de champs et de formes. Asterisque, 1975,
30, 99 p.
[69] Seminaire Sud-Rodanien de geometric. T. 1-4, Paris, Hermann, 1964,
490 p.
[70] S.Smale. Topology and Mechanics. Invent. Math., 1970, 10, №4, 306-
311, 11, № 1, 45-64 (Пер. на рус. яз.: С. Смей л. Топология и меха-
механика. Успехи мат. наук, 1972, 27, №2, 77 133.)
[71] J.M.Souriau. Structure des systemes dynamiques. Paris, 1970, 414 p.
[72] R. Thorn. Quelques proprietes des varietee differentiables. Comment,
math, helv., 1954, 28, 18-86 (Пер. на рус. яз.: Р.Том. Некоторые
свойства в целом дифференцируемых многообразии. В кн.: Рассло-
Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1968, 291-348.)
[73] D.Tischler. Closed 2-forms and an embedding theorem for symplectic
manifolds. J. Different. Geom., 1977. 12, №1, 229-235.
[74] A. Weinstein. Lectures on symplectic manifolds. Providence, Rhode
Island, 1977, 48 p.
[75] A. Weinstein. The local structure of Poisson manifolds. J. Different.
Geom., 1983, 18, №2, 523 557.
[76] H. Weyl. The classical groups. Princeton Univ. Press. 1946, 410 p.
(Пер. на рус. яз.: Г. Вейль. Классические группы. Их инварианты
и представления. М.: ИЛ, 1947, 408 с.)
[77] J.Williamson. On an algebraic problem, concerning the normal forms
of linear dinamical systems. Amer. J. Math., 1936, 58, №1, 141-163.
[78] E. T. Wit taker. A treatise on the analytical dynamicis of particles rigid
bodies. Cambridge Univ. Press. 1959, 456 p.

Владимир Игоревич Арнольд
Александр Борисович Гивенталь
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Дизайнер М. В. Ботя
Компьютерная подготовка: С. В. Высоцкий
И. В. Рылова
Компьютерная графика В. С. Княжий
Корректор М. А. Ложкина
Лицензия ЛР №020411 от 16.02.97. Подписано к печати 21.03.00.
Формат 60 х 84У16. Усл.печ.л. 9,77. Уч. изд. л. 10,23.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1.
Заказ №475. Тираж 1000 экз.
Издательский дом «Удмуртский университет»,
426011, г. Ижевск, ул. Майская, 23.
Типография Удмуртского госуниверситета,
426034, ул. Университетская, 1, корп. 4.