УМСКУЛ


— Данир на связи (канал)


Данир Баев


онлайн-школа

подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

преподаватель по математике

ОГЭ в онлайн-школе Умскул

— Математика ОГЭ УМСКУЛ

— vk.cc/cd62SE (группа)


Формулы по геометрии на ОГЭ

Для чего этот документ:

— Распечатай, используй при решении задач в школе и дома. Сэкономишь

время: не надо каждый раз искать формулу

— Не нужно учить формулы, формулы будут сами по себе запоминаться при решении.

Не переживай, если некоторые формулы тебе непонятны. Тебе просто нужно пройти эти темы и всё
станет понятно. Я это знаю, потому что так и происходит с нашими учениками на курсе каждый год.

А значит, и у тебя получится!) Успеха ️

1

Накрест лежащие углы равны.
a

с

b

2

Соответственные углы равны.
a

с

b

3

По двум сторонам
и углу между
ними.
2 По стороне и двум
прилежащим к ней
углам.
По трём сторонам.
∙

a

-

с

b

N

A

Сумма углов многоугольников
Сумма углов треугольника = 1800.

B

1

AB
2

2

MN =

3

S ABC = 4S MCN

Прямоугольный треугольник

Теорема о катете, лежащем против 300
Катет, лежащий напротив угла 300,
Сумма углов четырёхугольника = 3600.
равен половине гипотенузы.
Сумма углов пятиугольника = 5400.
Сумма углов шестиугольника = 7200.

а

2а
300

c

за

у
ен

от
п
ги
катет

A

b

BC

sin (A) = cos (B) =
AB

отрезок, соединяющий середины
двух сторон треугольника.
1 MN || AB
C

M

B

Синус, косинус, тангенс,
котангенс

Средняя линия треугольника

Сумма односторонних углов равна
1800.

a2 + b 2 = с 2
a = c•sin A

b = c•cos A

a = b•tg A

1

3

Теорема Пифагора
катет

Признаки равенства
треугольников

Признаки параллельности
прямых

cos (A)

tg (A)

= sin (B) = AC

AB

A

a
C

B

C

= ctg (B) = BC

AC

ctg (A)

= tg (B) = AC

BC

β

Чтобы

α

найти sin или cos, или tg, или ctg
угла α нужно найти соответствующую
функцию для смежного угла (β).
sin (α) = sin (β)

cos (α) = - cos (β)

tg (α) = -- tg (β)

ctg (α) = -- ctg (β)

Тригонометрические
тождества

1

sin2(A) + cos2(A) = 1

 tg2(A) + 1 =

cos2(A)
1

1 + ctg2(A) =
 sin2(A)
tg(A) ∙ ctg(A) = 1


Площадь треугольника
b
C

c

ha

a
r = 2 ∙ S ABC

a+b+c
SABC = P2 r


A
Формула Герона
S = p(p - a)(p - b)(p - c)

O
r
c

1

B
c

Свойства медианы

1 Медиана, проведённая
С
из прямого угла равна
половине гипотенузы
CM = AM = MB
А
В
M
2
С
В1
А AO
 = BO
 = CO
 = 2

А

С1

1

OA1 OB1 OC 1 1

В

a
B

c

Радиус вписанной в
прямоугольный треугольник
окружности:
c

3

r = a + 2b - c


Равносторонний треугольник

a
где p = a + b2 + c
 — полупериметр
abc

a
b
S
=
R
4R
c

O

A

a
 = b
 = c
 = 2•R
sin(A) sin(B) sin(C)
C
R – радиус
b
a
описанной
окружности
c
A
B

C

одинаковые площади.
B
AD = DC
S ABD = S DBC
h
C
A
D

a

b

а2 = b2 + c2 - 2bс ∙ cos(A)

b2 = a2 + c2 - 2ac ∙ cos(B)

c2 = a2 + b2 - 2ab ∙ cos(C)
 b

3 Медиана делит треугольник на две

S = ha2∙ a
 = hb2∙ b
 = hc2∙ c

S = 1
 ab ∙ sin(С)
2
C
b

Теорема синусов

Теорема косинусов

2

3

4
5

Все углы по 600.
h a = l a = ma = a 3

ha
h - высота
 2
a
l - медиана

m - биссектриса
Радиус вписанной
окружности: a 3

r
r=
6
a
Радиус описанной окружности:
R = a33

R
Площадь:
a
S = a2 3


4

B

r b

a

Признаки подобия
B1

C

A
1

A1

C1

2

3

Отношение площадей:

Прямоугольный треугольник Свойства высот треугольника

B
1

c

h b

ca

cb
h

a
a
h = ab

h = ca ∙ cb
c
2 Радиус описанной
окружности:
R
c

R= 2
R R
c - гипотенуза

b

1 В остроугольном
треугольнике две его
высоты отсекают от
него подобные
треугольники:

A

B

2

C

H1

A

HC

O

HA

C

Высота, проведённая к
гипотенузе образует

три подобных
треугольника

Свойства биссектрис
треугольника

B

1

A

Ромб

AB
 = BC
 или CK
 = BC

AK CK
AK AB

d

биссектрис
треугольника
является центром
вписанной
окружности.

b

O
c

Серединный перпендикуляр
Серединный перпендикуляр к отрезку
- прямая, проходящая через середину
отрезка перпендикулярно к нему.

R
R

Квадрат

a
a

a

d

2

Середины сторон произвольного
четырёхугольника являются вершинами
параллелограмма Вариньона.

N || BD || LM

L || AC || NM
P = AC + BD
S = S 2
D
K
K

S = ab
a

b

Параллелограмм
B

a

C

h

H
D
S D = AB ∙ AD ∙ sin(A)
S D = ah
A

K

В параллелограмме сумма углов,
прилежащих к любой стороне, равна
1
.
A B=1
C
=1
B
C=1
A=1

800

800


+ D 800

D+
800

d
c

a

+

a c=b

+d

Вписанный четырёхугольник

β

α + β = 1800

α

γ

α=β=γ=δ=900

2

γ

2

2

γ

α
α=β

α

β

α

γ = β - α
 = π - α

γ=

α

2

Метрические соотношения в
окружности
a

A

b

d

ab = c
A

C
B

d

AB = AC
A

C

β

β

α
γ = β - α


γ = β - α


γ

β

γ
γ = α + β


β

α

c

d
α

α + β = 1800

2

b

Трапеция

S = a 2+ b
 ∙ h

c

Описанный четырёхугольник

ABC
ABC

p - полупериметр

α

α β

Площадь вписанного
четырёхугольника

S = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d)

β

γ

δ

γ

α=β=γ

α=β=γ

γ

ABC

b

b

β
α
1

β
α

β
α
β = α
2

Параллелограмм Вариньона

Прямоугольник

h

α
d

1 2

2

a

Свойства углов

Площадь четырёхугольника

S = 21
 d d sin(α)

l

800

S = 2ar

r

R
α

1

S = a2 ∙ sin(α)

a

1

S = a2

2

S = ah

R

Центр описанной окружности - точка
пересечения серединных
перпендикуляров.

a

1

2

α

a

Длина окружности:

с = 2πR

Площадь круга:

S = πR2

Площадь кругового сектора:
R2
 α
S = 36π00
π
Длина дуги:
 l = R
 α

S = d 2∙ d


h

2 Точка пересечения

+
+

d

C

K

800

1

Окружность

B

D
D

2

∙ D

AB = AC A

B

E

∙

C

D ∙ AE

AB AC = A