Г.В.Викторов

Г.В.Викторов

ГИДРО-
ДИНАМИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
РЕШЕТОК

Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов,
обучающихся по специальности
«Гидравлические машины
и средства автоматики»

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва —1969
6П2.3

В.43

УДК 621.22

Викторов Г. В.

В.43 Гидродинамическая теория решеток. Учеб, пособие для вузов по спе-
циальности «Гидравлические машины и средства автоматики». М„ «Высш,
школа», 1969.

368 с. с илл.

В книге приведено математическое решение ряда основных задач обтека-
ния идеальной жидкостью лопастных систем гидромашин. Для произвольной
двухмерной решетки рассматриваются прямая и обратная задачи. Кроме
классических задач, даны новые решения некоторых актуальных задач теории
решеток, показаны пути численного решения их при помощи ЭЦВМ.

Данная книга является учебным пособием для студентов высших техни-
ческих учебных заведений, обучающихся по специальности «Гидравлические
машины и средства автоматики». Ею могут пользоваться научные работники,
аспиранты и инженеры, работающие в области исследования и расчета
ных систем гидромашин, а также в других областях машиностроения,
рых применяются лопастные машины.

3-3—6

83—69

лопаст-
в кото-

6П2.3

Рецензенты:

Кафедра гидромашиностроения ЛПИ им. М. И. Калинина
Кандидат технических наук Л. Г. Подвидз

Викторов Герман Владимирович
Гидродинамическая теория решеток
Редактор В. А. Титова
Ху дож. редактор Н. К. Гуторов
Технический редактор Н. Н. Баранова
Корректор Г. И. Кострикова

Т-00654

Формат 6ОХ9О'/и

Изд. № СТД-49

Сдано в набор 28/Х-68 г.	Подп. к печати 17/11—69 г.

Объем 23 печ. л<	Уч.-изд. л. 15,55

Тираж 5000 зкз.	Цена 73 коп.

Тематический план изд-ва «Высшая школа»

(вузы и техникумы) на 1969 г. Позиция № 83

Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»

Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7. Зак. 2484
Предисловие

Перед гидромашиностроителями стоят важные задачи по
созданию современных эффективных гидротурбин, насосов и гид-
ротрансформаторов. В настоящее время достигнут высокий уро-
вень энергетических и кавитационных качеств гидромашин. Даль-
нейшее совершенствование существующих машин и разработка
новых должны производиться на базе широких теоретических и
экспериментальных исследований.

Теоретическая подготовка является важным звеном в успеш-
ной подготовке высококвалифицированных инженеров-конструк-
торов и инженеров-исследователей.

Цель учебного пособия — ознакомление с основными метода-
ми и выводами теории решеток, которые нашли и могут найти
применение в гидромашиностроении.

В основе учебного пособия лежат лекции, читаемые автором
с 1954 г. .студентам Московского ордена Ленина энергетического
института. Однако это не конспект лекций: некоторйе разделы
даны в более полном изложении; дополнительно рассмотрен ряд
вопросов, которые необходимы для самостоятельной проработки
при выполнении учебно-исследовательских работ.

Излагаемый материал предусматривает знание основ гидро-
механики и теории функций комплексного переменного.
Эта работа является первой попыткой создания учебного по-
собия по гидродинамической теории решеток для студентов-гид-
ромашиностроителей. Автор будет благодарен за полезные заме-
чания и учтет их в последующей работе.
Часть I. ОБЩИЕ

ЗАКОНОМЕРНОСТИ

ГЛАВА I

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

§ 1.1. Виды решеток

В гидравлических машинах основным рабочим органом яв-
ляется рабочее колесо. Именно в рабочем колесе в результате
взаимодействия жидкости с лопастями происходит изменение
энергии потока. В гидротурбине жидкость отдает часть распола-
гаемой энергии лопастям вращающегося рабочего колеса. В ко-
лесе насоса, наоборот, запас энергии жидкости увеличивается.
При определенных условиях колесо гидротурбины может рабо-
тать в насосном режиме, т. е. отдавать энергию потоку жидкости,
а насосное колесо — в турбинном режиме.

В обратимых гидравлических машинах одно рабочее колесо
выполняет функции и турбинного, и насосного.колеса: при одном
направлении течения оно работает как турбинное, при другом —
как насосное.

Обычно рабочее колесо имеет ряд «равномерно расположенных
по окружности одинаковых по форме лопастей, ограниченных
двумя концентрическими поверхностями вращения. В общем
случае лопасти имеют .сложную пространственную форму. Такая
лопастная система в гидромеханике называется гидродинамиче-
ской решеткой, или решеткой.

Все остальные рабочие органы гидромашин являются вспо-
могательными. Они непосредственно не участвуют в преобразо-
вании энергии потока в механическую работу (или наоборот).
Однако роль их велика в обеспечении наилучших возможных
условий для работы колеса и повышения эффективности машины
в целом.

К лопаточным вспомогательным рабочим органам относятся
неподвижные направляющие аппараты гидротурбин, гидротранс-
форматоров и насосов. В гидротрансформаторах направляющий
аппарат при определенных условиях может вращаться, не участ-
вуя в изменении энергии потока, или, блокируясь с колесом, ра-
ботать вместе с ним как единое целое. Направляющие аппараты
гидромашин устанавливаются для изменения направления пото-
ка. В отдельных случаях они служат также и для изменения рас-
хода жидкости (регулируемые аппараты).

Направляющий аппарат — это неподвижная решетка, имею-
щая ряд одинаковых по форме лопаток *, равномерно располо-
женных по окружности, ограниченных концентрическими поверх-
ностями вращения или плоскостями.

Задачей гидродинамической теории решеток является опреде-
ление течения в решетке произвольной формы: вращающейся
или неподвижной. При решении задачи в общем виде для решет-
ки произвольной формы встречаются большие трудности, поэто-
му стремятся представить течение в схематизированном и не-
сколько упрощенном виде (решение основной задачи при этом
будет приближенным). В инженерных расчетах при решении
различных задач требуется и разная точность, поэтому одно и то
же течение схематично может быть представлено по-разному.

Рассмотрим схемы гидравлических машин, имеющих однотип-
ные решетки.

На рис. 1.1 даны схемы проточной части тихоходной гидро-
турбины (а), насосного колеса малой быстроходности (б) и мно-
гоступенчатого гидротрансформатора (в). Для этих гидромашин
в первом приближении можно принять, что в области рабочего
колеса и направляющего аппарата поверхности тока представ-
ляют собой плоскости, перпендикулярные оси вращения, а тече-
ние на разных поверхностях одинаковое. Отклонения видны
вблизи выхода из рабочего колеса гидротурбины (а) и на входе
в насосное колесо (б). В связи с этим лопатки направляющего
аппарата и лопасти рабочих колес в таких гидромашинах имеют
цилиндрическую форму с некоторыми отклонениями на выходе
в рабочем колесе турбины (а) и на входе в насосное колесо (б).

На различных плоских поверхностях тока происходит обтека-
ние одинаковых по форме решеток. Так, сложное пространствен-
ное течение приближенно приводится к плоскому течению. Для
решения задачи обтекания такого вида пространственных реше-
ток следует найти решение плоской задачи.

Сечение решетки плоскостью, перпендикулярной оси машины,
дает плоскую решетку, которая называется круговой. На рис. 1.1
в сечении по АБ получены круговые решетки для изображенных
типов гидромашин.

* В гидромашиностроении приняты следующие понятия: для направляю-
щих аппаратов — «лопатка направляющего аппарата», для рабочих колес —
«лопасть рабочего колеса» (лопатка — элемент направляющего аппарата, а ло-
пасть — элемент рабочего колеса).
К плоским круговым решеткам можно лривести также прост-
ранственные решетки гидромашин, изображенные на рис. 1.2.
Здесь показана проточная часть диагональной гидротурбины с
диагональным рабочим колесом и коническим направляющим

Рис. 1.1

аппаратом, где линии тока лежат на поверхностях, близких к ко-
нусам. Если приближенно принять, что течение происходит по
коническим поверхностям тока, то сложный поток в пространст-
венной решетке можно разложить на ряд независимых течений
на конусах. В каждом бесконечно тонком слое происходит обте-

Рис. 1.2
кание конической решетки, получающейся от сечения конусом
решетки рабочего колеса или направляющего аппарата. Разверт-
ка конической решетки на плоскость дает круговую решетку.

К коническим и плоским круговым решеткам можно привести
в первом приближении решетки рабочих колес диагональных на-
сосов с поворотными лопастями, рабочие колеса и направляющие
аппараты диагональных обратимых гидромашин.

На рис. 1.3 показана схема проточной части осевой гидротур-
бины. Течение в области рабочего колеса происходит по поверх-

Рис. 1.3

ностям тока, близким к цилиндрическим. В сечении лопастей
рабочего колеса цилиндром радиуса /? получим цилиндрическую
решетку. Развернув цилиндрическую поверхность тока вместе с

цилиндрической решеткой на плоскость бесконечное число раз,
получим плоскую бесконечную прямую решетку (рис. 1.3).

Таким образом, лопасти рабочего колеса осевой гидротурби-
ны, осевого направляющего аппарата, осевого насоса можно
представить как совокупность цилиндрических или плоских пря-
8
мых бесконечных решеток. Естественно, что при замене сложной
пространственной решетки рядом .плоских решеток возможно
лишь приближенное решение задачи обтекания. При этом не учи-
тывается взаимное .расположение профилей в различных се-
чениях.

Наиболее сложным видом пространственных решеток явля-
ются решетки, которые невозможно представить как совокуп-
ность плоских решеток. На рис. 1.4 изображены схемы рабочих
колес гидротурбины (а), насоса (б) и гидротрансформатора (в).
Здесь приближенно принимают, что линии тока лежат на сильно
искривленных поверхностях вращения. Расчет таких решеток
проводится более сложными методами, которые .сводят решение
к плоской задаче.

§ 1.2.	Задачи теории решеток

Первая задача состоит в определении энергетического взаимо-
действия решетки рабочего колеса с потоком жидкости. Момент
на рабочем колесе равен изменению момента количества движе-
ния протекающей жидкости, что во многом определяется изме-
нением направления потока, или, иначе, отклоняющей способ-
ностью решетки. Чтобы найти момент и мощность на валу рабо-
чего колеса, необходимо определить кинематические параметры
потока, обтекающего .решетку колеса.

Одна из функций направляющего аппарата — изменение на-
правления потока.

Итак, первая задача теории решеток состоит в определении
кинематических параметров потока за решеткой .при заданных
условиях перед решеткой. Если эта задача решается для решетки
с заданной геометрией, то ее называют прямой задачей теории
решеток. Если задача состоит в определении геометрических раз-
меров решетки, которая обеспечивает заданные параметры по-
тока перед и за решеткой, то такую задачу называют обратной
задачей теории решеток.

Прямая и обратная задачи теории решеток находят примене-
ние в гидромашиностроении. При расчете новых лопастных си-
стем больше используется обратная задача. Решение обратной
задачи не является единственным, т. е. для заданных параметров
потока возможно множество решений. Поэтому накладываются
еще дополнительные ограничивающие условия.

Прямая задача теории решеток чаще решается в исследова-
тельской практике, когда необходимо установить влияние геомет-
рических параметров, формы профиля, направления натекающего
потока и др. Прямая задача имеет единственное решение.

Вторая задача теории решеток связана с необходимостью
получения лопастных систем, устойчивых в кавитационном отно-
шении. Для этого необходимо, чтобы на поверхности лопасти от-
сутствовали зоны, в которых давление опускается ниже предель-
но допустимого значения по условиям кавитации. Отсюда
задача — определить распределение давления на поверхности
лопасти.

Здесь также возможны прямая и обратная задачи. Прямая
задача состоит в определении распределения давления (скоро-
сти) в решетке с заданной геометрической формой профиля, а
обратная — в определении формы профиля по заданному закону
распределения скорости (давления) на контуре профиля.

Третья задача теории решеток заключается в определении
силового взаимодействия потока и профиля решетки. Для проч-
ностных расчетов гидромашин необходимо знать гидродинамиче-
ские силы, действующие на лопасти рабочих колес и лопатки на-
правляющих аппаратов. Кроме того, направляющие аппараты и
рабочие .колеса часто имеют поворотные лопасти. При расчете
механизма поворота требуется знать гидравлический момент
относительно оси лопасти.

При решении задачи по определению силового .взаимодейст-
вия решетки и потока можно использовать некоторые упрощения
ввиду того, что здесь допустима меньшая точность.

Четвертая задача теории решеток заключается в вычислении
гидравлических потерь в решетках. Следует отметить, что до
последнего времени в гидромашиностроении не производили тео-
ретических подсчетов потерь в решетках при инженерных расче-
тах, поэтому данная задача здесь не рассматривается.

Основоположниками теоретических исследований, связанных
с обтеканием тел жидкостью, являются Н. Е. Жуковский и
С. А. Чаплыгин. Ими разработаны основы теории одиночного
крыла, крыла конечного размаха, а также заложены основные
положения гидродинамической теории решеток.

В работах советских ученых Н. Е. Кочина и Л. И. Седова,
Л. А. Симонова и А. Ф. Лесохина, П. А. Вальтера и С. С. Рудне-
ва, Г. Ю. Степанова и Г. С. Самойловича, М. И. Жуковского и
С. В. Валландера и других гидродинамическая теория решеток
нашла дальнейшее развитие.

В последние годы проводится большая работа по применению
вычислительных машин для расчета решеток. Использование
электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ) позво-
ляет перейти к решению таких задач, которые при ручном счете
невозможно выполнить ввиду большой трудоемкости.

§ 1.3.	Физические основы теории

Решение поставленных задач в общем виде для вязкой жид-
кости следует искать из уравнения Навье — Стокса движения
вязкой несжимаемой жидкости

—- gradp-]-vv4	(1.1)
где--------полное ускорение частицы жидкости;

dt

У7 —ускорение от массовых сил;

— — gradp — ускорение от сил давления;

р «-*

— ускорение от сил вязкости.

Для плоской задачи в проекциях по осям координат (1.1) за-
пишется в виде

Известно, что уравнение Эйлера движения идеальной несжи-
маемой жидкости

—=F—- grad р	(1.3)

dt	о

отличается от уравнения Навье — Стокса отсутствием третьего
члена в правой части, обусловленного наличием вязкости. Оче-
видно, приближенная замена уравнения (1.1) более простым
(1.3) возможна только в тех случаях, когда член, включающий
ускорение от сил вязкости, мал по сравнению с другими членами
уравнения. Для этого необходимо, чтобы: 1) жидкость была ма-
ловязкой, имеющей небольшой коэффициент кинематической
вязкости; 2) величины	и т. д. в (1.2) были незна-

oxt dyt

чительными [10].

В гидромашиностроении в основном применяют маловязкие
жидкости (вода, минеральные масла, воздух при испытаниях мо-
делей и др.), для которых v имеет небольшое значение. Второе
условие выполняется только там, где скорость о при изменении
d-vr d%v ,
координаты меняется незначительно, а поэтому ——, ——
dxt dtp
и т. д. невелики.

Как показывают опыты, при обтекании тела жидкостью на
поверхности касательная скорость равна нулю, т. е. жидкость
прилипает к поверхности. При удалении от тела скорость весьма
быстро увеличивается в пределах тонкого слоя, называемого по-
граничным слоем. За пределами пограничного слоя изменение
скорости от точки к точке незначительное. Поэтому, не делая
большой ошибки, за пределами пограничного слоя можно пре-
небречь влиянием вязкости и считать, что движение жидкости
подчиняется уравнению (1.3), полученному для идеальной жид-
кости.

Течение .несжимаемой вязкой жидкости в пределах погранич-
ного слоя подчиняется более общему уравнению (1.1).

Таким образом, решение задачи обтекания решетки вязкой
несжимаемой жидкостью проводят двумя этапами:

1)	определяют обтекание профилей решетки потоком идеаль-
ной жидкости;

2)	находят течение в пограничном слое.

Предположим далее, что течение .вязкой несжимаемой жид-
кости потенциальное, т. е. существует потенциал .скорости <р.
Тогда

д$	d<f

•vr=—— ,	= —— .

дх у ду

В этом случае члены (1.2), зависящие от вязкости,

будут равны нулю, так как потенциал скорости удовлетворяет
уравнению Лапласа

Э2<р . ^2?

dxi ~г ду2

Тогда уравнение (1.1) тождественно уравнению Эйлера (1.3).
Решением (1.3) для потенциального течения является интеграл
Лагранжа

/> + Р~-Н*+Р-^-=С(0-	(1.4)

Но так как на поверхности неподвижного профиля нормальная
и касательная слагающие скорости равны нулю (vn = 0, v- =0),
то единственным решением уравнения (1.4) будет

о=const.

Это значит, что вязкая несжимаемая жидкость не может дви-
гаться с потенциалом скорости во всей области течения, так как
при этом не выполняется граничное условие на поверхности про-
филя и отсутствует влияние вязкости, что противоречит физиче-
скому смыслу*. Однако если рассматривать течение за предела-

* Фабрикант Н. Я. Аэродинамика, ч. 1. Гостехиздат, 1949.
ми пограничного слоя, то здесь потенциальное течение вязкой
жидкости возможно, так как при этом на границе области тече-
ния (граница пограничного слоя) vx =#=0, <p#=const. При этом все
закономерности потенциального течения вязкой жидкости вне
пограничного слоя совпадают с соответствующими закономерно-
стями потенциального течения идеальной жидкости. В пределах
пограничного слоя течение не может быть потенциальным и всег-
да является вихревым.

Итак, гидродинамическая теория решеток основывается на
потенциальном течении идеальной жидкости в ядре потока за
пределами пограничного слоя. Толщина пограничного слоя вдоль
профиля неизвестна. Ввиду незначительности толщиной слоя
пренебрегают и приближенно считают течение потенциальным
везде вне профилей решетки с конечной скоростью на контурах.

Как показывают опытные данные, такая схематизация реаль-
ного течения является приемлемой при решении задач, связан-
ных с кинематикой потоков. Распределения скоростей и давлений
на профиле, по опытным и теоретическим данным, весьма близ-
ки. Приемлемая точность получается также при определении
силы и момента, действующих на профиль. Однако при опреде-
лении сопротивления движению профиля или потерь в решетках
теория идеальной жидкости .совершенно неприемлема, так как
при этом получается, что сопротивление движению и потери в ре-
шетке равны нулю. В действительности на поверхности профиля,
кроме сил нормального давления, действуют еще касательные
силы, вызванные трением жидкости, Чтобы получить ответ на
этот вопрос, следует изучить течение в пограничном слое.

§ 1.4. Циркуляция скорости вокруг
профиля. Постулат Чаплыгина-
Жуковского

При обтекании решеток обычно возникает циркуляция ско-
рости Г вокруг профиля. Рассмотрим физическую картину обте-
кания профиля и механизм возникновения циркуляции скорости.

Из теоремы Томпсона следует, что при потенциальном тече-
нии идеальной жидкости циркуляция скорости по любому замк-
нутому контуру во все время движения жидкости остается посто-
янной. Поэтому если в начальный момент времени циркуляция
отсутствовала, то она будет равна нулю и после. Картина такого
течения изображена на рис. 1.5, а. В точках В и А скорость рав-
на нулю, так как в них происходит разделение потока (В) и сход
потока (Л).

Пусть профиль имеет одну острую угловую кромку. Как по-
казывают теоретические исследования [10, 24], при обтекании
острого выходящего угла скорость в угловой точке равна беско-
нечно большой величине. В то же время ясно, что такой скорости
не .может быть в реальной жидкости. Н. Е. Жуковский, который
первым пытался определить' теоретическим путем величину цир-
куляции вокруг профиля, лришел к выводу, что это невозможно
без учета реальности жидкости.

В гидравлических машинах обычно .приходится иметь дело с
маловязкими жидкостями, у которых вязкость проявляется лишь
в пределах пограничного слоя, где частицы жидкости затормажи-

ваются у контура про-
филя.

Пограничный слой
на профиле представ-
ляет собой сильно за-
вихренную область те-
чения, где вихри пере-
мещаются вдоль конту-
ра (рис. 1.5, б). Интен-
сивность завихрения у,
очевидно, зависит от
скорости жидкости на
границе пограничного
слоя. Пограничный
слой с нижней части
контура огибает острую
кромку и попадает в
область повышающего
давления, но не дости-
гает критической точки
схода потока А и отры-
вается от поверхности.
Распад пограничного
слоя можно объяснить

Рис- I-5	действием силы Жуков-

ского на вихри [10].
Действительно, вихрь вблизи острия имеет большую интенсив-
ность и обтекается потоком, имеющим высокое значение скоро-
сти v. На этот вихрь действует сравнительно большая сила Р
(см. рис. 1.5, б), вырывающая его из пределов пограничного
слоя. Вихрь уносится жидкостью, изменяя при этом условия об-
текания профиля так, что точка А перемещается ближе к выход-
ной кромке. Новый вихрь, сорвавшийся после первого, перемес-
тит точку схода потока еще ближе к острию. Так продолжается
до тех пор, пока точка схода потока А не совпадет с острой вы-
ходной кромкой. При этом скорость в точке А будет иметь ко-

нечную величину и условия, приводящие к распаду пограничного
слоя, будут отсутствовать, т. е. наступит установившееся те-
чение.
Если взять контур С, охватывающий профиль и все сорвав-
шиеся вихри, то циркуляция по этому контуру равна нулю. Раз-
делив далее контур С на С, и Сг, получим, что циркуляция по
контуру С2 равна сумме интенсивностей всех сорвавшихся вих-
рей Г (рис. 1.5, в), а циркуляция по контуру Сь охватывающему
профиль, равна —Г.

Изложенные соображения об образовании циркуляции вокруг
профиля не имеют строго теоретического обоснования, однако
они подтверждаются многочисленными наблюдениями. Если ско-
рость потока маловязкой жидкости невелика, то некоторое время
наблюдается картина течения, изображенная на рис. 1.5, а. При
этом, вероятно, силы, действующие на вихри пограничного слоя,

малы и не могут привести к распаду пограничного слоя и выходу
вихрей. При увеличен-

ной скорости наблюда-
ется срыв вихрей с ост-
рой кромки до тех пор,
пока точка схода пото-
ка не совпадет с вы-

6)

ходной острой кромкой.

С. А. Чаплыгин вы-	рис i.e

двинул в 1909 г. в дис-
куссии по докладу Н. Е.
Жуковского постулат, получивший название постулата Чаплыги-
на—Жуковского. Согласно постулату скорость на острой выход-
ной кромке профиля должна быть обязательно конечной вели-
чины. На основе этого постулата теоретическим путем однозначно
определяется циркуляция вокруг профиля.

Все приведенные рассуждения справедливы как для одиноч-
ного профиля, так и для профиля в решетке.

В реальных условиях в гидромашинах выходная кромка ло-
пасти практически никогда не выполняется в виде острия. Обыч-
но кромка либо затуплена (рис. 1,6, а), либо закруглена
(рис. 1.6, б).

Из изложенного следует, что тупая выходная кромка, имею-
щая две угловые точки, не может обтекаться безотрывно, да и
закругленная кромка также обтекается с отрывом потока. Таким
образом, в реальных решетках обтекание выходной кромки про-
исходит со срывом струй.

Определить точки срыва струй с округлой выходной кромки
теоретически не представляется возможным. Рекомендуется [12,
35] точки, в которых происходит резкое изменение кривизны,
принимать за точки схода потока (точки А' и А" на рис. 1.6, б).
Скорость в этих точках в условиях установившегося обтекания
должна быть одинакова по модулю и противоположна по знаку.
Практическое использование этого положения изложено в § 8.2.
§ 1.5. Дифференциальные уравнения
течения

Неподвижная плоская решетка

В данном пособии рассматривается обтекание решеток потен-
циальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Поэтому
здесь применимы дифференциальные уравнения, полученные для
общего случая течения. Не приводя выводов, подробно изложен-
ных в курсах гидромеханики [18], напомним, что уравнение нераз-
рывности плоского течения в декартовой системе координат

а в цилиндрической системе координат (7?, е)

2_(^)+_^=0.	(1.6)

Уравнение Лапласа для функции потенциала скорости ф

«i-+^L=0	(1.7)

dx^ dy?	'	'

и для функции тока ф

2i.+ »L=o	(1.8)

0*2 1 ду^	'

где

v =-^L _	•

х дх ду ’

V	. дф

у ду дх

В цилиндрических координатах оператор Лапласа для ф име-
ет вид

—	+	=0;	(1,10)

R dR 1 dR) 1 /?2 de2	4	'

(1-9)

аналогичный вид имеет и уравнение для ф, где

А. = _Й_ ;	]

R dR Rds

г, =_^L=____*L •

8 Rds	dR ’ J

(1.11)

vR, vt —радиальная и окружная слагающие скорости.

Уравнение Лапласа имеет единственное решение, если зада-
ны условия течения на границах области и циркуляция.
Равномерно движущаяся решетка

Относительное течение в равномерно движущейся прямой ре-
шетке является потенциальным. Для <р и ф относительного пото-
ка справедливы уравнения (1.7), (1.8) и (1.9), но вместо скорости
v надо подставлять относительную скорость w.

При обтекании потенциальным потоком равномерно вращаю-
щейся круговой решетки относительное течение является вихре-
вым; при этом

чш — чз — щ

2 = rot w = — rot (w X А) = — 2(о,

где Q—вектор вихря относительной скорости;

со — угловая скорость вращения решетки;

и — вращательная, или переносная, скорость.

В этом случае

(1.12)

Для функции тока Чг относительного течения справедливо

Подставляя значения wx и wy из (1.13) в (1.12), найдем

<W . <W
dx'i ' dt/2

(1.14)

Итак, функция тока 4f относительного течения в круговой ре-
шетке, вращающейся с угловой скоростью и, подчиняется урав-
нению Пуассона с постоянной правой частью.

В цилиндрических координатах ротор относительной скорости

д (Rwe)	dwR

RdR	Rde

Если учесть (1.11) и (1.12), то получим уравнение

(1-15)

для функции тока относительного течения в цилиндрических ко-
ординатах.
Решение уравнения Пуассона (1.14) можно свести к решению
уравнения Лапласа. Для этого в (1.14) сделаем подстановку

Т=Ф + у “(х!+Л+С.	(1.16)

Дифференцируя (1.16) и подставляя в (1.14), имеем

(W 0215-	. <Э2ф

•--------— 2(0=—— 4---— =0,

дх2 1 ду2	дх2 1 ду2

т. е. функция

ф=Ч7-2_„(л?+/) + С	(1.17)

является гармонической функцией, удовлетворяющей уравнению
Лапласа (1.8). Для решения этого уравнения надо иметь значе-
ния функции ф на границах, которые определяются из (1.17).

Естественно, что функция потенциала скорости ф абсолютно-
го течения удовлетворяет уравнению Лапласа.

Решетка на осесимметричной
поверхности тока в слое переменной
толщины

Рассчитать течение жидкости в пространственной решетке в
настоящее время практически невозможно. Поэтому приближен-

более точном решении

но сложное трехмерное
течение представляют в
виде суммы двух двух-
мерных течений.

Во-первых, прибли-
женно принимают, что по-
верхности тока являются
осесимметричными по-
верхностями Fi (рис. 1.7).
При определении формы
осесимметричных поверх-
ностей тока часто счита-
ют приближенно, что ре-
шетка имеет бесконечное
число тонких профилей.

Методика такого прак-
тического расчета приве-
дена в работе [17]. При
учитывается конечное число профилей ре-

шетки введением равномерно распределенных по окружности
массовых сил [35, 38]. Строго говоря, в решетках с конечным чис-
лом лопастей поверхности тока неосесимметричны. Однако как
велико отклонение истинных поверхностей тока от осредняющих
осесимметричных поверхностей пока неясно, так как этот воп-
рос еще недостаточно исследован.

Во-вторых, решается двухмерная задача обтекания решетки
на осесимметричной поверхности тока. В общем случае расстоя-
ние между двумя близкими поверхностями тока F\ и F/ (см.
рис. 1.7) непостоянно. При этом имеет место обтекание решетки
на осесимметричной поверхности тока в слое .переменной тол-
щины [1].

Рассмотрим уравнения движения жидкости в осесимметрич-
ном слое переменной толщины. Введем криволинейную ортого-
нальную систему координат, образованную пересечением: а) по-
верхностей тока Fx, б) поверхностей вращения F3, ортогональ-
ных к поверхностям тока, в) полуплоскостей F3, проходящих
через ось решетки. Следы поверхностей F\ и F3 на полуплоско-
сти образуют ортогональную сетку. Принимаем правую систе-
му координат qi, q2, qa с началом в произвольной точке О (см.
рис. 1.7). При этом координаты точки А

У\ — ОВ, Q2=R3>, q3~OC,

где v — угол между плоскостью Е3, в которой находится точка
А, и плоскостью начала координат.

Следуя принятым на рис. 1.7 обозначениям, напишем

= И,,
dQi	dq2	dq3

где величины Нь Н2, Н3 называются коэффициентами Ламэ.

Если рассматривать течение на поверхности тока F\, след ко-
торой совпадает с координатной осью <?i, то, очевидно, dl\=dqi
и Нх = \.

Коэффициент Н3 есть отношение элементарной толщины слоя
б(<71) в рассматриваемой точке к толщине слоя 6(0) на оси ко-
ординат q3. Эту безразмерную величину в дальнейшем будем
обозначать через

(1.18)

8 (0)	13	4	'

и называть толщиной слоя. Очевидно, h является функцией q\ =

Коэффициент

зависит только от радиуса R при фиксированном начале коорди-
нат. Следовательно, коэффициенты Н2 и Н3 зависят от qx. Таков
физический смысл коэффициентов Ламэ в данной задаче.
В принятой криволинейной системе координат уравнение не-
разрывности имеет следующий вид [18]:

(сгН3Н,)+ -^-(с3«,«2)=0,	(1.20)

dqi	dq2	dq3

где ci, с2, с3 — слагающие абсолютной скорости с по осям qi,
q2, qs-

Для течения на осесимметричной поверхности тока в слое
переменной толщины

-^(^//2//3) + -Л_(с//8)=0,	(1.21)

aq2

так как 7Л = 1 и отсутствует слагающая скорости по <7з(сз=<0)-
Проекция вектора вихря скорости на ось q3 равна [18]

При безвихревом движении должно выполняться условие
^_(сЛ)_^_=0.	(1.22)

oq2

Исследование обтекания решетки на осесимметричной поверх-
ности тока можно заменить исследованием обтекания некоторой
плоской решетки.

Проведем замену переменных:

x=q2,

где х и у — оси координат в некоторой вспомогательной плоско-
сти, соответствующие осям q2 и q\.

Из (1.23) получим

dx=dq2,

(1.23)

dy  H->dqi   dl]
dx H2dq2 dl2

Из (1.24) видно, что на поверхности F\ и вспомогательной
плоскости z(x, у) в соответствующих точках отношение малых
ортогональных отрезков постоянно. Следовательно, отображение
поверхности Fi на плоскость (х, у), осуществляемое выражением
20
(1.23), является конформным и обеспечивает взаимно однознач-
ное соответствие точек. Сохраним толщину слоя h в .соответст-
вующих точках поверхности F\ и плоскости z(x, у). Очевидно,
что h=f(y).

Найдем связь между скоростями. Из условия равенства рас-
ходов через соответствующие площади получим

t/Q = cxdl2dl2=c-idlzH2dq2—vydl3dx.

Сокращая на dx и dZ3, найдем

Ву=//Л=-£.С1.	(1.25)

Аналогично из условия равенства циркуляций на соответст-
вующих отрезках получим

dr=c2dl2—c2H2dq2=vxdx\

vx=H2c2=-^~ c2.	(1.26)

В (1.25) и (1.26) vx и vy — проекции скорости v на оси коор-
дината плоскости z. Из (1.25) и (1.26) очевидно, что и

т)=Н2с.

Подставив (1.24), (1.25), (1.26) в уравнение неразрывности
(1.21), получим

— — (ъхНЛ + — — (и Лз) = О,
Н2 дх К х ^ H2 ду ' У 3'

так как

и Н2 от х не зависит.

Итак, получаем уравнение неразрывности для плоского те-
чения

о-27)

или

так как

^3=А=/(У)-
После преобразования (1.22) найдем

откуда

(1.29)

— условие потенциального течения в плоскости.
Для потенциального течения

Эч>	df	)

vr=—- , Vv= —[

дх	y ду	J

(1.30)

где ф — потенциал скорости.
Подставив (1.30) в (1.28), получим

д2<р , 1
дх2 “Г" ду2 + ~h'

dh
ду

*L=0

(1.31)

— уравнение для функции потенциала скорости ф плоского те-
чения.

Выведем далее дифференциальное уравнение для функции
тока. Известно [18], что уравнение линии тока

dx___ dy

vx Vy ’

или

-rvydx-\-vxdy = Q.	(1.32)

Перепишем уравнение неразрывности (1.27) следующим об-
разом:

дх	ду 1

Отсюда следует, что левая часть уравнения (1.32) является пол-
ным дифференциалом функции ф, причем

Тогда на линии тока ф—const, йф=О и выполняется уравнение
неразрывности (1.27).

Подставим выражения (1.33) в уравнение (1.29). Так как
dvy	_	1	д2ф дух	_ 1	д2ф____1_ dh

дх h	дх2	’ ду h	ду2	h2 ду	ду

ТО

д2Ф	I д2^___\	dh	di/	(Г.34)

dx2 dy2	h	ду	ду
Уравнение (1.34) справедливо для функции тока плоского
потенциального течения.

Если течение вихревое, то

______________(1.35)
дх2 1 ду2 h ду ду

Сопоставляя формулы (1.30) и (1.33), получим

•и =-^- ==—.-^4- •

х дх h ду ’

v =^- = — 1 .
у ду h дх

Так как

<?<р	д<?	ду	ду

дх	ду	ду	дх

то на основании (1.36)

1	ду	<М> . 1	ду	tty

h	дх	дх	h	ду	ду

(1.36)

что является условием ортогональности .кривых семейства ф =
= const и семейства i|>=const.

Итак, плоское течение описывается системой эллиптических
дифференциальных уравнений
dvx	диу	1 dh

дх	ду	h ду

dvy dvx Q
дх ду
или
ду________________________1	дф	_д.

дх	h	ду	’

д?	1	_д

ду	h	дх

(1-37)

(1.38)

Система (1.38) равноценна любому из уравнений (1.31),
(1.34). Решив одну из систем (1.37) или (1.38) и использовав
подстановку (1.23), можно найти течение на'исходной осесиммет-
ричной поверхности.

При некоторых условиях целесообразно отобразить решетку
с осесимметричной поверхности на плоскую круговую решетку
[4]. В плоскости z введем криволинейную ортогональную систему
координат (qj, q2 ) с началом в точке О (рис. 1.8) и установим
следующие связи:

Дифференцируя, найдем
dq^dq'1 =

dli  dr   dq\   dli

dl2	rde	Rd-<	dl2

Рис. 1.8

этим показано, что стороны бес-
конечно малых ячеек на Л и в
плоскости z подобны и в соответ-
ствующих точках сохраняются уг-
лы. Следовательно, выражение
(1.39) обеспечивает конформное
преобразование.

Если решетка на поверхности
Fi имеет т профилей, то число
профилей круговой решетки в
плоскости z

т’ =т-^~ , (т'—т при г0=/?0).
Ro

При конформном отображении толщина слоя h в соответст-
вующих точках сохраняется. В плоскости z толщина слоя h яв-
ляется функцией г; h=f(r).

Установим связь между скоростями. Так как расход и цирку-
ляция на соответствующих участках при отображении сохра-
няются, то

1”1=-^-7-|с| = ^(г)|с|-	(1ло)

Используем формулы (1.39) и (1.40) для получения уравнения
неразрывности в плоскости z. Не приводя преобразований, они
аналогичны (1.27),напишем результат

— (Лги,) -I—— (hrv.)=0,	(1.41)

dr	rde

откуда

-♦ vr	dvr dv,	1	dh

div v —---------------=----------v 	(1-42)

r	' dr	1 rde	h	dr	T	v '
Для потенциальных течений из (1.22) найдем

1	d(rvs)	1 диг	Q

г дг	г	де.

(1-43)

§ 1.6.	Уравнения для энергии
и момента

Рассмотрим .произвольную решетку (рис. 1.9), вращающуюся
с постоянной угловой скоростью со. При протекании жидкости
через решетку происходит изменение энергии потока: в насосной

Рис. 1.9

решетке запас энергии жидкости увеличивается, в турбинной —
уменьшается.

Определим изменение энергии потока. Возьмем на достаточ-
ном удалении перед и за решеткой два сечения, в которых тече-
ние является установившимся. Это значит, что в любой точке
сечения скорость не зависит от положения вращающейся решет-
ки, а поток в этих .сечениях осесимметричен.

Изменение энергии, отнесенной к единице объема жидкости,
между сечениями 1 и 2 произвольной поверхности тока F\ назо-
вем полным давлением

+	+	(1.44)

где dE— изменение энергии жидкости;

dV—объем жидкости;

z— высотная координата точки;

р—давление;

и— скорость;

у —удельная сила тяжести жидкости;

р—плотность жидкости.

Здесь и в дальнейшем индекс «1» применяется для парамет-
ров, характеризующих поток перед решеткой, а индекс «2» — за
решеткой.
Распространено также выражение для изменения энергии,
отнесенной к единице веса жидкости, называемое полным на-

Рассмотрим относительное течение через решетку. На основа-
нии уравнения Бернулли для относительного течения получим

+ />, + р W' 2	= yz,+рг+р	2	+ ДР„,	(1.45)

где w — относительная скорость;

и — окружная скорость;

ДР*--изменение полного давления за счет гидравлических
потерь на участке 1—2.

Из (1.45) найдем

и, подставив далее в (1.44), получим

Р=-^-('ц|+«2 —О’!)—^-('014-Mi —та?)—ДР„-

Это уравнение позволяет определить изменение удельной
энергии Р потока на произвольной поверхности тока по скоро-
стям потока в сечениях 1 и 2. Из треугольника скоростей
(рис. 1.9)

да2 = г>2-|-«2 — 2k-ucos а,
поэтому

Р-|- AP„ = p(M2272COSa2 — Ill'll cos aj.

Обозначив

‘VU = V COS а
и заменив

u = ioR,
найдем

/3+4Р=Р»№®1« —(1-46)

Для принятых обозначений циркуляция скорости перед ре-
шеткой

и за решеткой

Г2=2тсР2т/2и.
Отсюда изменение удельной энергии потока

Р+А₽«=Р17(Г’_Г1)	п-47)

пропорционально плотности жидкости, угловой скорости враще-
ния решетки и разности циркуляций. Если Г2>Гь то правая
часть положительна, что говорит об увеличении энергии жидко-
сти (насос). Если Гг<Гь то жидкость теряет свою энергию, от-
давая ее лопастям решетки (турбина).

В идеальном случае при отсутствии потерь в решетке теоре-
тическое полное давление

(Г^Г,).

(1-48)

С другой стороны, Рт — механическая удельная энергия, затра-
чиваемая в насосной или получаемая в турбинной решетках для
реального течения.

Учитывая, что потеря ДРП всегда положительна, получим
коэффициент полезного действия для турбинной решетки, распо-
ложенной на рассматриваемой поверхности тока,

(1.49)

и коэффициент полезного действия для насосной решетки

(1.50)

Изменение энергии всего потока между сечениями 1 и 2

Е = ^dE = Р dV=р	(Г, - Г,) dV - &pndV,

откуда удельная (отнесенная к единице объема жидкости) энер-
гия для всего потока

где

p=v=!>ir(r2_ri)_4p''	(1-51)

f_JlW	.

К	Q

„	(1-52)

- f bPndV I M>ndQ

&Рп=------------•

п V	Q
Из (1.51) .следует, что удельная механическая энергия на ва-
лу рабочего колеса

А=р-^-(Г,-Г,),	(1-53)

а коэффициенты полезного действия для насосной и турбинной
решеток соответственно

В практике гидромашиностроения распространено понятие
удельной энергии, отнесенной к единице веса жидкости, назы-
ваемой напором Н. Напор характеризует изменение энергии в
метрах столба жидкости и равен

7 Рё
тогда

//Т=-^(Г2-Г,).	(1.54)

Выражение (1.54) более привычно, однако менее удобно, чем
(1.53), так как Нт зависит еще от величины g, которая может
изменяться в широком диапазоне вплоть до нуля (условия неве-
сомости) .

Формула (1.53) является предпочтительной, поскольку в нее
входят кинематические параметры потока и плотность, завися-
щая лишь от физических свойств жидкости.

Мощность, полученная потоком от решетки (насос) или от-
данная потоком при обтекании решетки (турбина),

N=PQ,

где Р — среднее полное давление;

Q — расход жидкости через решетку, откуда гидравлическая
мощность на валу насосного рабочего колеса

(155)

т]	2л

а на валу турбинного колеса

= fO"(1) - г4. .	(| ,56)

Из формул (1.55) и (1.56) легко получить момент на валу
насосного колеса

Л1=-£- (f,-f,)	(1.57)
и на валу турбинного колеса

^“^-(Г.-Г,).	(1.58)

Из результатов проведенных выводов видно, что при задан-
ных величинах р, со, Q мощность и момент на валу рабочего ко-
леса зависят от изменения циркуляции скорости при обтекании
решетки рабочего колеса.

Для неподвижной решетки N=0, а момент относительно оси
определяется формулами (1.57), (1.58).

Отсюда ясна первая задача теории решеток, состоящая в
установлении связи между циркуляциями до и после решетки
при заданных расходе через решетку и угловой скорости враще-
ния. Эта задача решена проф. С. С. Рудневым, идеи и разработ-
ки которого лежат в основе материала следующей главы.

ГЛАВА н

СВЯЗЬ ЦИРКУЛЯЦИЙ В РЕШЕТКАХ

§ 2.1. Цилиндрическая (прямая)
неподвижная решетка

Рассмотрим течение жидкости через решетку, заключенную
между двумя цилиндрическими поверхностями тока (рис. 2.1, а)

радиусов и R0+dR. Ввиду того что течение происходит в слое
постоянной толщины dR, из условия неразрывности потока осе-
вые слагающие скорости до и после решетки одинаковы и равны

где dQ — расход. Обозначим	dQ  =		— ,  т 2nRodR  q=-^-	(2.1)  dR	v '

и назовем эту величину удельным расходом. Тогда

2л/?0

(2.2)

Если циркуляция перед решеткой равна Гь а за решеткой Г2,
то окружные слагающие скорости перед и за решеткой соответ-

ственно равны

Г1	г2

V1u =----!=-------------— •

1И 2л/?0	2“	2л/?0

(2.3)

Формулы (2.2) и (2.3) показывают, что поток, являющийся
осесимметричным в бесконечном удалении от решетки, пол-
ностью определяется перед решеткой через viu, vm или Гь q и за
решеткой u2u, vm или Г2, q.

Если развернуть цилиндрическую решетку на плоскость, то
получим прямую решетку (рис. 2.1,6), шаг которой

t=^^=\R0,	(2.4)

, 2л
где л=-----угловой шаг цилиндрической решетки;

т—число лопастей цилиндрической решетки.

Тогда слагающие скоростей для прямой решетки равны

<7	11	Го 1	р-,

}	(2-5>

где q, Г], Г2 — удельный расход и циркуляции для одного пери-
ода решетки.

Перейдем к выводу уравнения связи для циркуляций в пря-
мой решетке, сделанному С. С. Рудневым.

Пусть для заданной решетки известны два потока, не подоб-
ные кинематически, обтекающие безотрывно решетку. Это зна-
чит, что известны скорости v/, v2', v/', v2" (рис. 2.2). Требуется
для произвольного течения найти скорость v2, если задана ско-
рость О].
30
На рис. 2.2 приведены необходимые графические построения,
показывающие, что решение получается однозначным. В основу
решения положено правило сложения потенциальных потоков, из
которого следует, что сумма двух потоков, обтекающих решетку,
дает поток, обтекающий решетку с соблюдением всех условий
обтекания.

Из рис. 2.2 видно, что

!,=?+6!:;)	(ад

Представим эти век- v
торные уравнения в про- u
екциях по осям коорди-
нат:

Vm = aVn-\-b'Om', |
®i„=a^u + ^iu;	1 (2.7)

Из первых двух урав-
нений можно найти аиЬ
и подставить их значения
в третье уравнение. Результат
виде определителя

К

vlu

v2u
Коэффициенты k и с уравнения (2.9) являются безразмерны-
ми. Для определения k и с необходимо, чтобы

|°” ’"1^0

I fie flu I

ИЛИ

v'm , vm
v'lu vlu ’

что является условием отсутствия кинематического подобия за-
данных двух потоков.

Покажем далее, что коэффициенты k и с являются постоян-
ными величинами для данной решетки и не зависят от парамет-
ров двух заданных потоков. Доказывая от противного, предпо-
ложим, что k и с для двух других потоков и111, vIV имеют иные
значения. Тогда для заданных vm и vlu получим другую величину
v2u. Это противоречит однозначности обтекания решетки, когда
при определенных условиях на входе в решетку условия на вы-
ходе получаются вполне определенными.

Выясним физический смысл полученных коэффициентов. Рас-
смотрим такое обтекание решетки, когда циркуляции перед и за
решеткой равны. Это значит

Г1 = Г2 = Го=.

Такое обтекание решетки называют бесциркуляционным, так
как циркуляция вокруг профиля решетки равна нулю. Приме-
ним к бесциркуляционному обтеканию уравнение (2.9)

откуда

Ч.'?» = ^;=у •	<2'10>

где ₽о — угол между направлением бесциркуляционного обтека-
ния и осью решетки.

Подставив значение с в (2.9), получим уравнение

®2.=*®i.+ (l-*)tg₽o®.,	(2П)

из которого можно определить окружную слагающую скорости
за решеткой, если известны параметры решетки k, р0 и скорость
потока перед решеткой.
Если умножить обе части уравнения на t, то связь между
циркуляциями до и после решетки (для одного периода решет-
ки) выразится уравнением

r2=Ar1H-(l-A)tg^.	(2.12)

Разделив обе части (2.11) на vm, получим формулу

tgp2=Atg₽1+(l-^)tg?0,	(2.13)

связывающую углы ₽i и р2 потока до и после решетки (см.
рис. 2.1,6);

tg?(1)=3!!4=i.	(2.14)

Итак, полученные уравнения (2.11), (2.12), (2.13) определя-
ют связь между потоком перед решеткой и за ней.

Выясним физический смысл коэффициента k. Из (2.13)

= tg Р2 — tg go.	(215)

tg Pl - tg Ро

В числителе (2.15) стоит величина, характеризующая изме-
нение направления потока за решеткой, в знаменателе, соответ-
ственно, — величина, характеризующая изменение направления
потока перед решеткой.

Из (2.15) видно, что & = 0, если

?,=%.

т. е. при любом направлении потока перед решеткой поток за
решеткой имеет одинаковое направление. Так может получиться
в решетке с бесконечно большим числом тонких лопастей, когда
т—»оо, /—>0. Решетка, для которой й=0, называется абсолютно
густой, или непрозрачной, решеткой.

Другой крайний случай можно^представить, когда t—»оо, что
соответствует обтеканию одиночного профиля; при этом А=1,
так как одиночное крыло не может, отклонить поток. Поток на
достаточном удалении перед крылом й за ним сохраняет свое
направление, т. ei ₽i = p2-

Итак, коэффициент k, называемый коэффициентом прозрач-
ности, для прямой решетки изменяется от 0 до 1 (O^&^l).

Рассмотрим еще один частный случай течения, когда ц1и=0.
Тогда

а(Л)-

c=tg₽J",=-^-=(l-A)tgR);	(2.16)

2—2484

33
коэффициент с определяется углом потока на выходе из решетки
при условии нормального входа.

Из изложенного следует, что параметры k, ,р0 зависят только
от геометрических параметров решетки.

Анализируя формулу (2.13), можно убедиться, что решетка
стремится отклонить поток, приближая его направление к бес-
циркуляционному. Действительно, при k=0 р2=₽о и при k=\
p2=₽i. Это значит, что при 0<&<1 значение р2 находится в
промежутке между 01 и р0 (см. рис. 2.1, б).

§ 2.2. Круговая неподвижная
решетка

Рассмотрим течение через неподвижную круговую решетку
из т профилей (рис. 2.3). Выделим слой постоянной толщины

а)

Рис. 2.3

db, образованный двумя параллельными плоскостями (поверх-
ностями тока), перпендикулярными оси решетки.

Если расход в слое dQ, то радиальная слагающая скорости

т 2nRdb 2nR

где R—радиус точки, в которой определяется скорость;

q=^-—удельный расход (расход через единицу толщины ре-

шетки).
На достаточном удалении от решетки, где поток осесиммет-
ричен, окружные слагающие скорости перед и за решеткой соот-
ветственно равны

KiR ’

2л/?

Получено, что радиальная и окружная слагающие скорости за-
висят от координаты точки, а это усложняет исследование. Рас-
смотрим векторное поле 2л№, в котором слагающими в радиаль-
ном и окружном направлениях являются q и Г. Это удобно, так
как q не изменяет своей величины при протекании жидкости че-
рез решетку. Циркуляции Г] и Г2 постоянны для всех сечений
соответственно перед и за решеткой. К этому векторному полю
применимо правило сложения векторов скоростей потенциаль-
ных течений. Действительно, если в какой-то точке скорости двух
потоков равны v', v", то суммарный поток имеет скорость

v=v' 4-т"

или в проекциях по осям

т	2л/?	1	2л/?	2л/?

Г'	.	Г"	Г

-п„ =------------------;

“	2л/?	1	2л/?	2л/?

где

q=<i'+q\ г=г'+г".

Итак, течение на достаточном удалении перед и за решеткой
полностью определяется величинами q, Гь Г2.

Определим связь между циркуляциями Г1 и Га, для чего
воспользуемся той же методикой, что и для прямой решетки.
Только вместо проекций скоростей подставим q или Г и проведем
аналогичные преобразования. В результате в соответствии с
(2.8) найдем

где q', Г/, Г2' и q", Г/', Г2"— параметры двух известных потоков.

Проведя необходимые преобразования, получим уравнение
связи для циркуляций в неподвижной круговой решетке

rs—Wj + G-WP»?,	(2.17)
где

Го=Г! = Гг при бесциркуляционном обтекании. Физический
смысл параметров k и 0о тот же, что и в прямой решетке. Следу-
ет только отметить, что, если число профилей т — 1, коэффициент
k^= 1. Это.значит, что при циркуляционном обтекании одиночного
профиля от вихреисточника q, Г1 циркуляция за профилем
Г2=#ГЬ т. е. даже один профиль может отклонить поток.

Связь между углами (рис. 2.3,6), определяющими направле-
ние потока, устанавливается уравнением

tgfe=Mg₽, + (l-Wfc	(2.18)

§ 2.3. Неподвижная решетка
на осесимметричной поверхности

Найдем связь для циркуляций в произвольной решетке, за-
ключенной между двумя поверхностями тока — концентричными

Рдс. 2.4

поверхностями вращения, следы которых на меридианной пло-
скости обозначим Fi и F/ (рис. 2.4, а). Расстояние db между
поверхностями переменно и мало настолько, что в первом
приближении принимаем скорости постоянными по толщине
сдоя, .Как и в § 1.5, безразмерная толщина. слоя h= 

Граничные сечения / и 2 приняты на достаточном удалении от
рещетки, где поток осесимметричен..
Из условия неразрывности течения расход
dQ=2‘KR1‘Vlndbi=2тс/?2^2т^82

и

?=~r- = 2’'^i«ta*i=2^2®!„*2,	(2.19)

do (0)

где q — удельный расход,

откуда
v = q
т 2n.Rn

Следовательно, меридианная слагающая скорости vm зависит
от радиуса R и толщины слоя h в рассматриваемой точке.

Окружные слагающие скорости определяют из условия

При сложении двух скоростей в произвольной точке (7?, h)
следует сложить их окружные и меридианные слагающие, т. е.

? ;

2nRn	2л Rh

Направление потока определится углом р (рис. 2.4, б):

tg|3=-!2L=—.	(2.20)

Vm q

Итак, суммируя два течения в какой-либо точке, допустимо
суммировать вместо векторов и7, v" пропорциональные им век-
торы, имеющие слагающие q', q" и hr', hr".

Аналогично тому, как сделано для прямой решетки, по из-
вестным двум потокам, обтекающим решетку в слое переменной
толщины, найдем любой третий поток, обтекающий данную ре-
шетку. Графическое решение можно иллюстрировать рис. 2.2,
где по горизонтальной оси следует отложить q, а по вертикаль-
ной hr. Результат графических построений выражается, согласно
(2.7), уравнениями

?=«?'+6g", I

I	(2.21)

=«Й2Г2 6Л2Г2; J
Исключение а и Ь приводит к определителю		
	Я Я' Я"	
	hj\	hxv\	= 0,	(2.22)
	А2Г2 А2Г2 А2Гг	

раскрывая который, найдем

А2Г2=Л*й1Г1 + с^,	(2.23)

где k* и с — безразмерные величины, зависящие только от гео-
метрических параметров решетки и толщины слоя.
Разделив обе части (2.23) на q, установим связь между на-
правлениями потока до и после решетки:

tg₽,=r tg^+c.

Назовем нулевым такое обтекание решетки, при котором по-
ток не изменяет своего направления, т. е.

tg?i=tg?2=teS:

тогда	c=(l-F)tgS	(2.24)
	tg₽2=*,tg?i+(i-4,)tgp;.	(2.25)
Из (2.25) находим		
	,, tg?2— tg Эо R =	 .  ‘g Pi — tg 3o	(2.26)

В числителе (2.26) стоит величина, характеризующая изме-
нение направления потока за решеткой, а в знаменателе, соот-
ветственно, — величина, характеризующая изменение направле-
ния потока перед решеткой. Следовательно, k* отражает способ-
ность решетки отклонять поток: очевидно, k* зависит от геомет-
рических параметров решетки и от изменения толщины слоя.

Рассмотрим частный случай бесциркуляционного обтекания
решетки, когда

Г1=Г2=Г0;

тогда из (2.23)

(2.27)

<1 ч
где

tgp0!=^,
Ч	Ч tg Р02 Л2
р01 — угол, определяющий направление потока перед решеткой
при бесциркуляционном обтекании, а ₽02 — аналогичный угол за
решеткой; очевидно, эти углы разные, что объясняется измене-
нием толщины слоя.

Связь углов определяется соотношением

Г«. = М» = Jgfe = tg = const
Ч h'.	^2

Подставив (2.27) и (2.28) в (2.23), получим

Й2 \ Й2 /

Обозначив

будем иметь

r2=^r1+(l-A)tg₽0<7.

(2.28)

(2.29)

Уравнение (2.29) устанавливает связь для циркуляций в слое
с переменной толщиной. Это уравнение можно также получить
непосредственно из (2.22), если вынести из определителя h\ и h2.

Как и ранее, будем называть k коэффициентом прозрачности
решетки. Из (2.28) и (2.29) следует, что

Л = .Г2~Г°

Г,-Го

характеризует способность решетки изменять циркуляцию ско-
рости при протекании жидкости через решетку.

Если, как и в плоской круговой решетке,

0< Л<1,

то

Л]

может быть больше единицы при — >1.

Разберем подробнее связь между углами потока до и после
решетки. Исходя из физических представлений можно предполо-
жить, что параметры k и 0о зависят только от геометрии решетки
и от характера изменения толщины слоя h в пределах решетки
(между сечениями 1 и 2 на рис. 2.4,а). Изменение толщины
слоя вне решетки оказывает влияние лишь на угол потока р, так
как q и Г остаются неизменными. Следовательно, увеличение h
при прочих равных условиях должно приводить к увеличению
угла р.
На рис. 2.5, а показаны векторы t>i и v2 для прямой решетки
в слое переменной толщины, когда h2>h\ и

Из рис. 2.5 видно, что при h2>hi решетка «перекручивает»,
отклоняет поток больше, чем при h = const. Противоположный
результат получается при h2<hx (рис. 2.5,6), где решетка «не-
докручивает» поток.

Рис. 2.5

Эти же выводы можно получить из формул, если в (2.25) под-
ставить (2.27). Тогда

tg ₽,= k‘ tg р, +(1 -k’ i) tg 3№
tgP!=-^4tgp,+(l-A)tgpIB;

tg₽2=t4HgPi + (i-.4tg₽M].

й]

(2.30)

§ 2.4. Пространственная
неподвижная решетка

Рассмотрим течение через неподвижную пространственную
решетку, заключенную между концентричными поверхностями
вращения L и N (см. рис. 2.4,а). Для каждого элементарного
слоя справедливо уравнение

Г2=Щ+(1-^)Г0,	(2.31)

так как из (2.28)

r0=tgft?.

После преобразования (2.31) получим

Г2-Г0=Л(Г1-Г0).
Умножая обе части уравнения на расход dQ в элементарном
слое и интегрируя, найдем

f (Г,-Г0)Л2= J
R'	R'

(2.32)

здесь допустимо интегрирование по любому сечению перед или
за решеткой.

Если k и (Г1 — Го) непрерывны на участке интегрирования и
(Г1 — Го) не меняет знака, то, используя теорему о среднем,

£ (Fj — Го) dQ=Acp f (ri-r0)dQ,
/?'

где А-ср — некоторое среднее значение на участке между R' и R"-,
тогда

J (^2 — го) dQ

----------- •	(2.33)

J (Гг —Го) dQ

Величина kcp постоянна для данной пространственной решет-
ки и не зависит от режима обтекания, если при изменении цир-
куляции Г1 перед решеткой распределение расхода между эле-
ментарными слоями остается неизменным. Так как (Гг — Го) из-
меняется пропорционально (Г1—Го), то интегралы в числителе
и знаменателе пропорциональны.

Обозначив теперь осредненную циркуляцию через

найдем

или

Очевидно, что

f Т«?
Т=-^-----

f <IQ
R'

TdQ
~Q~

Г2-Г0 = ^ср(Г1-Г0)
=£СрГ1 ~Ь (1 — £Cp) г0.

(2.34)

R’

есть величина постоянная для данной решетки при фиксирован-
ном расходе Q.
На основании (2.28) и теоремы о среднем

J r0</Q=J tgp0?(/Q=tg'p„ J qdQ,

где Po — осредненная для всей решетки величина угла 0О-
Обозначив

1 l4dQ

В Q2

получим

ro=tgPo?=-^-Q=j„Q.	(2.35)

Величины

J tg₽o? dQ
-------- и

J qdQ

R'
постоянны для данной решетки, если распределение расхода ме-
жду слоями сохраняется при изменении режима. Поэтому пара-
метр

зависит только от геометрических параметров решетки.

Итак, получено уравнение связи для циркуляций в неподвиж-
ной произвольной пространственной решетке

Г2=Щ + (1-Л)/0<?,	(2.37)

где k — коэффициент прозрачности решетки (индекс для про-
стоты опущен);

i0 — параметр, характеризующий бесциркуляционное обтека-
ние решетки.

Введем понятие осредненного угла потока перед и за ре-
шеткой

tgR=^-,	,

где Вь В2—ширина канала в меридианной проекции соответст-
венно перед и за решеткой;

Рь Р2 — соответствующие осредненные углы.
Обозначим

; __ tg Ро _ tg PoJ _ tg Po2
°- В ~ Bl ~ B2 •

После умножения на уравнения (2.37); получим

ИЛИ

tgfe=^*tg₽1+(l-«)tgpM,	(2.38)

где угол Р02 — осредненный угол потока за решеткой при бес-
циркуляционном обтекании.

Уравнение (2.38) устанавливает связь между осредненными
углами потока перед и за решеткой; оно аналогично уравнениям
(2.30).

§ 2.5. Цилиндрическая (прямая)
вращающаяся решетка

Если цилиндрическую решетку, вращающуюся с постоянной
угловой скоростью со, развернуть на плоскость, то на плоскости
получим прямую решетку, равномерно двигающуюся со скоро-
стью «=7?о(д (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Очевидно, что в произвольной фиксированной точке А, нахо-
дящейся вблизи решетки, скорость потока v зависит от относи-
тельного положения решетки. Скорость изменяется периодиче-
ски, причем период равен времени перемещения решетки на один
шаг. Следовательно, течение через двигающуюся решетку в не-,
подвижной системе координат является неустановившимся. Чем
больше удалять точку А от решетки, тем меньше изменяется ско-
рость по величине и направлению. Теоретически установившееся
течение имеет место на бесконечном удалении от решетки. Прак-
тически неравномерность отсутствует уже на сравнительно близ-
ком расстоянии. Это значит, что на достаточном удалении от
решетки течение однозначно определяется расходом q и цирку-
ляцией Г] или Гг-

Установим связь между циркуляциями для движущейся ре-
шетки. Рассмотрим относительное течение. Для этого наложим
равномерное движение со скоростью (—«) на поток и решетку.
При этом решетка в принятой системе координат неподвижна,
а скорость определяется из соотношения

®=^+( —и).	(2.39)

Связь между окружными составляющими скорости установ-
лена уравнением (2.11)

(2.40)

На основании векторного уравнения (2.39)

w2u='uQu-u-

Подставляя эти значения в (2.40), найдем

^« = ^le+(l-^)tg₽0'Ow+(l-^)«-	(2-41)

Уравнение (2.41) позволит определить окружную слагающую
скорости за решеткой, движущейся со скоростью «, если извест-
ны поток перед решеткой и параметры решетки k и ₽о-

Следует обратить внимание на угол ₽0. Для случая, показан-
ного на рис. 2.6, а, угол ₽о<О. Действительно, из (2.40)

a wOu<0, так как wOu направлено в сторону, противоположную
и. В большинстве гидравлических машин лопасти рабочих колес
имеют выходной участок, направленный в сторону, противопо-
ложную окружной скорости («загнуты назад»), как показано на
рис. 2.6, а. Поэтому обычно ро<О.

На рис. 2.6, б показан вариант, когда ₽0>0. Окружные слага-
ющие скорости Uiu и V2u считаются положительными, если их
направление совпадает с и.
Связь между циркуляциями в прямой движущейся решетке
получим из (2.41), умножив обе части уравнения на t,

r2=Ari + (l-^)tg₽07+(l-^)^.	(2-42)

где q, Гь Гг — соответственно удельный расход и циркуляции
перед и за решеткой в одном периоде.

Связь между циркуляциями во вращающейся цилиндриче-
ской решетке найдем из (2.41), умножив обе части уравнения на
2л/?о.

Г,= *Г,+(1 - k) tg М+(1 - *) 2-к/Й»,	(2.43)

где q— удельный расход через всю решетку, Г] и Гг циркуляции
перед и за решеткой:

T'2 = '2-Rau2u.

Если циркуляция переносной скорости в прямой решетке

Г„=«/,
в цилиндрической решетке

Гя = 2т:/?о<и = 2л/?0«,
то получим общее уравнение для прямой и цилиндрической ре-
шеток

Г2=Щ+(1 - k) tg ft,?+(1 - k) Г„.	(2.44)

Связь между углами ai и аг (см. рис. 2.6, а) получим из
(2.44), разделив его на q,

tga2 = Atga14-(l-A)tg₽0+(l-^)tg8,	(2.45)

где

tg8=Jk .
q

Рассмотрим характерные режимы обтекания решетки, следуя
С. С. Рудневу:

а)	при бесциркуляционном обтекании решетки Г1 = Г2=Го
или vlu = v2u = vou- Из (2.41) получим уравнение прямой

^0«=«+tg

являющейся годографом скоростей бесциркуляционного обтека-
ния (линия о — о, рис. 2.7). Если конец вектора V\ находится на
линии о — о, то вектор выходной скорости v2=t,i;
б)	в лопастных насосах обычно циркуляция перед рабочим
колесом Г1=0, т. е. имеет место нормальный вход в колесо.
В этом случае годографом входных скоростей будет ось v,n. Из
уравнения (2.41) при Wiu = 0 и от = ц1(п) получим

®1Р=(1 — k) (tg 30i>„, + а).

Это есть уравнение годографа выходных скоростей при нормаль-
ном входе в решетку (линия п— п на рис. 2.7);

в)	направляющий аппарат гидротурбины, установленный пе-
ред рабочим колесом, дает годограф скоростей в виде прямой,
проходящей через начало координат, т. е.

Viu=avm,

где величина а постоянна для данного открытия направляюще-
го аппарата.

Подставив значение viu в (2.41), получим уравнение годо-
графа выходных скоростей

®2« = (1 - *)«+ [to + (1 -*) tg Ы vm.

Из этого уравнения следует, что годограф v2 есть прямая линия,
проходящая через точки В и А (см. рис. 2.7).

Если перед решеткой скорость и/, то за решеткой v2 (см.
рис. 2.7). Так как v'lu>v2u , то поток отдает энергию при проте-
кании через решетку. Это значит, что решетка работает в тур-
бинном режиме.

Если вектор входной скорости окончится в точке В, то
ulu = v2u- Это соответствует так называемому разгонному режи-
му работы гидротурбины, когда гидравлический момент на валу
равен нулю.

Если скорость на входе о/', то на выходе v2". Ввиду того что
v2u">V\u', режим работы решетки насосный, а запас энергии
жидкости увеличивается.

Итак, одна и та же решетка может работать как в турбин-
ном, так и в насосном режимах. При эксплуатации гидротурбин
бывали случаи, когда рабочее колесо работало в насосном ре-
жиме. Обычно это связано с ненормальными, аварийными усло-
виями работы.

§ 2.6. Круговая вращающаяся
решетка

Рассмотрим обтекание потенциальным потоком вращающей-
ся круговой решетки. Поток на некотором удалении перед и за
решеткой является практически установившимся и определяется
полностью параметрами q, Гь Гг- При выводе уравнения связи
движущейся прямой решетки рассматривалось обтекание решет-
ки в относительном потоке. В прямой решетке как абсолютный,
так и относительный потоки потенциальны.

В круговой вращающейся решетке относительный поток яв-
ляется вихревым (см. § 1.5). Если на поток и решетку наложить
вихревое движение, в каждой точке которого скорость —и=
=—(<оХ/?), то получим обтекание неподвижной решетки отно-
сительным потоком

w = v — (ш

Для двух потоков, обтекающих решетку, вращающуюся с уг-
ловой скоростью со, справедливо

т>"=и>"-}-(шХЯ).

Вычитая из первого уравнения второе, получим

△-у = ц' — v"=^чиз=(чо' — ио").

Поток Ли является потенциальным, так как получен в резуль-
тате вычитания потенциальных потоков. На контуре профиля
поток Ли имеет скорость, направленную по касательной
(рис. 2.8). Значит, Ло представляет собой поток, обтекающий
неподвижную круговую решетку. Итак,

г»'=г»"-|-Д'О,	(2.46)

т. е. любой поток через вращающуюся круговую решетку может
быть получен как сумма одного потока через вращающуюся с
той же угловой скоростью решетку и одного потока через непо-
движную решетку.

Предположим, что известны параметры решетки k, р0, пара-
метры потоков, обтекающих вращающуюся решетку (q', Г/, ГУ,
<в) и неподвижную решетку (q", Г/', ГУ'). Найдем, чему равна-
циркуляция на выходе Гг, если известны для произвольного по-
тока q, Гр

На основе уравнения (2.46) получим

q" = q-q'\

Г1'=Г, —Г1;

г;=г2~г2

(2.47)

и, используя уравнение связи для неподвижной решетки, на-
пишем

Г2 - V>=k (Г, - ri) (1 - k) tg ₽0 (q - q'\

После преобразования

Г2=ЛГ, + (1 - k) tg ₽0<7 -J- [ri - HS - (1 - *) tg Po^'l •

Величина, стоящая в квадратных скобках, постоянна и не за-
висит от параметров известного потока q', Г/, Гг7. В ином слу-
чае при определенных величинах q, Г1 значение Гг не было бы
однозначным. Следовательно,

Г2=ЛГ1 + (1 _^)tg₽07 + s«>,	(2-48)

где s — постоянная величина, зависящая только от геометриче-
ских параметров решетки.

Для решетки из бесконечно тонких профилей при т—>оо
k=0 и

•	Зв-г«„	(2.49)

что следует из треугольника скоростей (см. рис. 2.8), построен-
ного для выходной кромки профиля. Надо учесть, что угол р2 =
= ₽о<О.

Умножив обе части равенства (2.49) на 2л/?2, получим

r2=?tg%+2^«>.	(2.50)

Сопоставив с уравнением (2.48), найдем

s=2r.Rl

при k = 0. В связи с этим и по аналогии с (2.43), полученным для
цилиндрической решетки, С. С. Руднев ввел следующую запись
уравнения связи для циркуляций:

Г,=Л Г,+(1 - k) tg 50? + (1 - к)	(2.51)

где величина Ra называется активным радиусом решетки и зави-
сит только от геометрических параметров решетки.

Уравнение (2.51) показывает, что течение через вращающую-
ся круговую решетку однозначно определяется гидромеханиче-
скими параметрами решетки k, р0, R&, зная которые, можно найти
циркуляцию на выходе из решетки при заданном потоке на
входе.

§ 2.7. Вращающаяся решетка
на осесимметричной поверхности

Уравнение связи для вращающейся решетки в слое перемен-
ной толщины можно вывести, используя метод, примененный для
вращающейся круговой решетки (см. § 2.6).

В результате на основании (2.29) получим

r2=sr1 + (l-*)tg₽rf + (l(2.52)

где Ra — активный радиус решетки;

₽о — угол, характеризующий бесциркуляционное обтекание
неподвижной решетки.
Найдем связь между углами потока. Обозначим для враща-
ющейся решетки

Умножив обе части (2.52) на —, получим

Ч

jA_=4i2aL+(i_4)A2lg?o+(i_4)2^^.

Ч	q	q

ИЛИ

tg «2^-^tgaj-Hl — £) tg ₽02-h (1 — ^)tgo,	(2.53)

где

2я/?*2<о
tg§ =--— h2=----2-;

ч	4

rf=h2/$.

Сохранив структуру формулы (2.52), уравнение связи для
циркуляций в пространственной вращающейся решетке записы-
вают в виде

Г2=Й\+(1 -£)/0Q + (l -Л)2к/?Х	(2.54)

С. С. Руднев впервые предположил, а затем эксперименталь-
но подтвердил, что зависимость (2.54) справедлива для рабочих
колес гидромашин.

ГЛАВА III

СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОТОКА

НА ПРОФИЛЬ РЕШЕТКИ

Одной из задач теории решеток является определение силы
и момента, действующих на профиль решетки в различных ре-
жимах обтекания. Результаты решения этой задачи необходимы
для расчетов на прочность лопастей рабочих колес и направля-
ющих аппаратов, а также механизмов поворота лопастей рабо-
чих колес и направляющих аппаратов.

§ 3.1.	Первое уравнение Чаплыгина

Рассмотрим обтекание плоской решетки установившимся по-
током и определим, чему равна подъемная сила, действующая
на один из профилей. Так как профиль обтекается безотрывно,
50
то контур' его является линией тока, для которой справедливо
уравнение Бернулли

Р+₽^=с.

устанавливающее связь между скоростью и давлением.

Элементарная сила, действующая на элемент ds профиля L
(рис. 3.1) в произвольной точке Л,

dP=pds,

а проекции ее на оси координат

dPx=dP cos	— dPsin у;

dPy=dP cosy,

где у — угол между касательной к профилю в точке А и осью х.

Рис. 3.1

Принято, что при положительном направлении обхода про-
филь остается слева.

Слагающие полной силы Р на оси равны:

J	J ds

dx ,

P----- ds,

ds

так как

dx	. du

cosy=-----, siny=—L—

ds	ds
Для определения подъемной силы и линии действия ее со-
ставим комплексное выражение

Py-\-iPx==^p(dx — idy)— р dz.	(3.1)

Из уравнения Бернулли

Р=с-е1^

поэтому

Ру + 1РХ=С \dz -	I -и I2 dz.

Так как первый интеграл по замкнутому контуру L равен ну-
лю, то

Py + iPx=-±-\\v\*dz.

Замечая, что

dz=dx 4- i dy = e‘i ds

dz=e~li ds=e~l2f dz,

получим

Py-\-iPx=—^\(\v\e-t‘ydz.

При безотрывном обтекании профиля направление скорости
на контуре либо совпадает с направлением касательной т, либо
противоположно, поэтому

откуда

P^iPx=-±. ^tfdz,
L

где v — сопряженная скорость течения.

(3.2)
Если течение потенциальное, то, обозначив комплексный по-
тенциал течения Ф(г), получим

-	</Ф

v==----

dz

<3-3’

L.C

Уравнение (3.3) есть первое уравнение Чаплыгина, из кото-
рого можно получить величину и направление силы, действую-
щей на профиль, если известна комплексная скорость течения
v(z). Отметим, что интегрирование в этой формуле можно вести
по любому контуру С, охватывающему профиль L, если внутри
этого контура функция аналитична. Это следует из интегральной
теоремы Коши [21].

При выводе уравнения не накладывалось ограничения на ко-
личество профилей в плоскости z. Следовательно, первое урав-
нение Чаплыгина применимо для определения силы, действую-
щей на профиль произвольной неподвижной решетки. При инте-
грировании допустимо брать любой контур С, охватывающий
лишь один профиль, так, чтобы внутри контура не было особых
точек (источники, вихри и др.).

Формулу для подъемной силы можно получить из (3.3):

(^dz.	(3.4)

§ 3.2.	Второе уравнение Чаплыгина

Для определения линии действия подъемной силы необходи-
мо найти момент силы относительно какой-либо точки, напри-
мер относительно начала координат.

Момент элементарной силы, приложенной в точке А (см.
рис. 3.1),

dM = х dPy — у dPx.

Приведя это выражение к комплексной форме, получим
dM = R е (х iy) (dPy -ф i dPx).

Момент всех сил получим интегрированием по контуру про-
филя L

М = С dM=Re С (х+iy) (dPy+i dPx).
Из ранее полученных соотношений имеем

М = Re (х-H?) (с — р ^Y~'\(dx — idy')= —у Re | v\2zdz,
L	L

где

ReC J(x-f-iy)(rfx — idy)=O, v2dz=[v\2dz

на контуре L, поэтому

M=—Re §v2zdz.	(3.5)

L

При потенциальном течении v=-^—, откуда

Л1=—i-Re	zdz.	(3.6)

Уравнение (3.6) есть второе уравнение Чаплыгина. Для опре-
деления момента сил, действующих на профиль относительно
начала координат, необходимо знать комплексную скорость те-
чения. Как и в уравнении (3.3), интегрирование можно прово-
дить по любому контуру С, охватывающему один профиль L,
если внутри С нет особых точек.

Таким образом, второе уравнение Чаплыгина справедливо как
для одиночного профиля, так и для решеток.

§ 3.3.	Граничные условия на контуре
круговой вращающейся решетки

Для определения подъемной силы, действующей на профиль
круговой решетки, равномерно вращающейся с угловой ско-
ростью со, первое уравнение Чаплыгина непригодно. Оно полу-
чено для потенциального течения, при котором контур профиля
есть линия тока. В круговой вращающейся решетке контур про-
филя не является линией тока, т. е. на контуре i|>=#const.

Полагаем, что абсолютное течение через решетку является
потенциальным. Относительное течение при этом вихревое. Рас-
смотрим граничные условия на контуре профиля. При безот-
рывном обтекании нормальная слагающая ип переносной скоро-
сти профиля равна нормальной слагающей vn абсолютной ско-
рости жидкости в той же точке. Считая скорости vn и ип
положительными, если они совпадают с внешней нормалью, по-
лучим (рис. 3.2) [18]

®я=vx sin у — v cos у=ип,

где у — угол между касательной т к профилю и осью х.

Рис. 3.2

Используя (1.9), найдем

dy dx ЙФ dy  дФ dx dty

V„~'Vr—-----!------------—H---;-----=---

x d s y d s dy d s dx d s	d s

ИЛИ

дш	.	au , ил

—— =U=Ur$iny — uvcosy = ux—-—и--- .

ds n x	y	x ds y ds

(3.8)

Течение жидкости, рассматриваемое в подвижной системе ко-
ординат (х, у), вращающейся с постоянной угловой скоростью
со, является установившимся.

Как видно из рис. 3.2,

Ur= —«)/?— =—ши, UV = 4>R—=шх.
х	R	у R

Подставив эту величину в	(3.8), получим

di>	du	dx

—X. = — шу —-------шх  .

ds	ds	ds

После интегрирования найдем значение функции тока ф на
контуре профиля

ф=_2_(Х2 + у2)ш + С=—I-^ + C,	(3.9)

где С — постоянная величина.
Замечая, что

получим в комплексной форме выражение для ф на контуре
профиля

1	“	! П

— zzv-\-C.

(3.10)

§ 3.4. Формула Грина

Прежде чем перейти к обобщенным уравнениям Чаплыгина,
приведем вывод некоторых формул для интегрирования по замк-
нутому контуру в комплексной области (эти выводы обычно не
входят в программу курса математики).

Пусть f(z, г) является непрерывной и дифференцируемой
функцией в замкнутой области, ограниченной контуром L. Опре-
делим, чему равен интеграл

Так как dz=dx-\-idy, то

J f dz= J f dx-\-if dy.

Воспользуемся далее формулой Грина [36]

z.	а

где G — область, ограниченная контуром L;
тогда

L	О

Если z=x-}-iy и z=x— iy,

то

df	df	dz	.	df	dz	df ।	df .

dx	dz	dx	fz	dx	.	dz 1	dz ’

r	a/	dz = i(_df______df	\

dy	dz	dy	dz	dy	\ dz	dz	J

(З.И)

(3.12)
Подставляя данные из (3.12) в формулу (3.11), получим

J f dz=21	^dxdy.

(3.13)

Аналогично можно вывести, что

^fd^-Zl^^-dxdy.

(3.14)

Формулы (3.13), (3.14) являются формулами Грина, записан-

ными в комплексной форме. При использовании этих формул
необходимо помнить,

что. за положительное
направление обхода об-
ласти, ограниченной L,
принято такое направ-
ление, когда область

остается слева (рис.	Рис 33

3.3). При изменении
направления обхода

знак интеграла следует изменить на обратный. Если )(х, у) —
аналитическая функция, то ~=0 и интеграл в (3.13) равен
dz

нулю.

§ 3.5. Подъемная сила в круговой
вращающейся решетке

Перейдем к определению подъемной силы, действующей на
профиль вращающейся круговой решетки; массовые силы не
учитываются.

На основании (3.1)

Py-\-iPx= J pdz= fре ^‘dz.

(3.15)

Давление в произвольной точке профиля связано со .скоростью
уравнением Бернулли для плоского относительного установив-
шегося течения

(3.16)

где |w|—модуль относительной скорости частицы жидкости;
| и |—модуль переносной скорости;

р0— постоянная величина.
(3.18)

Запишем скорости, входящие в (3.16), в комплексной форме:
и=гшг, v=w -\-iwz,	(3.17)

где v — скорость абсолютного течения.

Из (3.17)

v = но — iu>z
и

чу = v _|~ iwz.

При безотрывном обтекании направление w либо совпадает
с т, либо противоположно. Поэтому можно написать

w = |w|e-Z7, \w\=we‘\
Следовательно,

| w |2=w2e2y! = (-и -f-	;

| ll\2 = UU = to2ZZ.

Из (3.16) определим р и подставим его значение под знак
интеграла в (3.15), используя формулы (3.18),

Py-\-iPx=^podz—(vйог)2 dz—|- §u>2zz dz. (3.19)

Очевидно, первый интеграл равен нулю; тогда

—2* J 7,2 ^z~ ХРШ v zdz-\- ш2 z2 dz-\-
L	L	L

+ -t- «)2 zz dz.	(3.20)

Л

Из (3.13) следует, что

z2dz—2i J J 2zdxdy=4iza,x J J dxdy=Mz^F, (3.21)

где F — площадь области G (рис. 3.3), ограниченной кон-
туром профиля L;

гц.т — координата центра тяжести профиля.

На основании формулы (3.14)

J zzdz= — 2i J J zdxdy=—2iZu,.TF. (3.22)
Преобразуем второй интеграл уравнения (3.20). Так как

6?Ф	-

----=v
dz

dQ — d®-\-i dty = dQ-\-’2idty,

vzdz—^ z dQ	z dQ -}-2i. \ z dty.

Из (3.10) следует, что на контуре L

dty= —w(zdz-\-zdz),

(3.23)

поэтому

vzdz=- \ z dQ — iw

Qz2dz-j-^ zzdz)=j z dQ-^‘2(ozu,TF. (3.24)

Подставим теперь (3.21), (3.22), (3.24) в формулу (3.20):

Ру4-iPx= —^-^tfdz— zpo> zz/Ф — zpi»2z^F. (3.25)

В результате подъемная сила

Р= — — i’2 dz — ро> J z dQ — p4>2za.xF.

Контур интегрирования L можно заменить любым другим
контуром С, охватывающим один профиль, если между С и L
нет особых точек.

Итак, получено первое уравнение Чаплыгина, обобщенное
для вращающейся круговой решетки *,

Р= —-у (^~)2~J ~а~ z^z~^z4.t^•	(3.26)

При со = О (3.26) превращается в первое уравнение Чаплыги-
на для неподвижной решетки (3.4).

* Аналогичный вывод приведен в книге Л. М. Милн-Томсона «Тео-
ретическая гидродинамика». «Мир», 1964.
Исследуем второй член уравнения (3.26). Очевидно,

Р2= —Рш	zdz= —p(u zd§) = —р<1Д zdcp— /ро) zdty. (3.27)

J dz	j	J	J

L	L	L	L

Известно, что

d^=v-.ds=dV	(3.28)

есть циркуляция скорости на участке профиля ds, поэтому

— рш [ z do=pz J (zojz) dr=zp J и dr,	(3.29)

т. e. если представить, что в точке s находится вихрь интенсив-
ностью dT, то на него будет действовать элементарная радиаль-
ная сила, равная произведению р, переносной скорости в этой
точке и интенсивности вихря dr. Для определения направления
следует вектор и повернуть на 90° в направлении циркуляции
dr. Если (о и dr одного знака, то эта сила направлена к центру
решетки, если разного знака, то от центра.

Используя (3.23), получим

— zpo) zd<|>=-^^ Н zzdz-\- z2dz\ = pw2 za,TF.

Итак,

Р2 —	«dr-J-po)2^^/7;

первый член формулы (3.26)

Р.= —A f ®d®=
2 .1

X i — id',)

Подставляя (3.30) и (3.31) в (3.26), получим

Р=-/Р \

(3.30)

(3.31)

(3.32)

Уравнение (3.32) представляет собой обобщенное уравнение
Чаплыгина (3.26), записанное в другой форме..

Уравнение (3.26) для вычисления подъемной силы получено
для равномерно вращающейся круговой решетки. При неравно-
мерном вращении решетки, когда =/= 0, уравнение более
dt

сложное. Решение этой задачи приведено в работе [33].
ГЛАВА IV

ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ДЛЯ СКОРОСТИ,
ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ И МОМЕНТА

В § 3.1, 3.2, 3.5 получены общие выражения для определения
подъемной силы и момента на профиле решетки. Чтобы восполь-
зоваться уравнениями Чаплыгина, необходимо определить функ-
</Ф „

пию комплексной скорости . Знание распределения скорости
и давления на лопастях рабочего колеса необходимо для выявле-
ния возможности возникновения профильной кавитации. Кави-
тация может развиваться в местах появления внутри жидкости
разряжения. Если кавитационные зоны появляются на поверхно-
сти лопасти, то нарушаются условия гладкого обтекания и сни-
жается гидродинамическое качество лопасти, что ведет к умень-
шению коэффициента полезного действия машины. Чтобы каче-
ство решетки не ухудшалось, на поверхности профиля должны
отсутствовать зоны, в которых давление меньше, чем давление
парообразования при данных температурных условиях. Следова-
тельно, для теоретического суждения о кавитационном качестве
решетки следует изучить распределение скоростей и давлений на
контуре профиля. Теоретическое определение профильных потерь
связано с расчетом пограничного слоя, для чего требуется рас-
пределение скоростей потенциального течения на профилях ре-
шетки.

Итак, получим в общем виде функцию v= .
dz

§ 4.1. Прямая решетка

Так как в потоке вне профилей решетки нет особых точек, то
функция и во всей плоскости течения является аналитической,
ограниченной и однозначной. По формуле Коши {21], значение
однозначной аналитической функции всюду внутри области мо-
жет быть определено по значениям этой функции на границе L*
(рис. 4.1, а):

где _ £ — текущая координата контура £*;

о (€) — значение функции на контуре L*.

Интегрирование по контуру L* можно заменить интегрировани-
ем по любому охватывающему контуру, внутри которого нет
особенностей, поэтому

1 Г v(C)dC _ у 1	С

2ni J С —г ^4 2ni J С — z ’
л=-оо L

(4.2)

где Loo — любой контур с границами, уходящими в бесконеч-
ность. По условию, v (z) ограничена в бесконечности,
следовательно, первый интеграл формулы (4.2), по
теореме Лиувилля [21], равен постоянной величине

v	= const.

Рис. 4.1

Исследуемая прямая решетка
имеет равномерный шаг t (см.
рис. 4.1, а). Течение в такой ре-
шетке периодичное, т. е. значе-
ния скоростей в соответствующих
точках профилей равны

•o(Q=‘o(C ± inf)',
поэтому из (4.2)

L„ п=—°°

х ° « + "»>« =й.+
z — С + nit

-I- — ( -Ц (С) dr. V --------------------

2ш J	v ^4 z — С + nit

Lo	n=—°°

(4-3)

Известно [31] разложение ко-
тангенса на простые дроби:

ctgz=V + 2(7^r +

+ т^г)-	<4'4’
откуда

Учитывая,что
ctg2=zcthfe,	(4.6)

получим
и тогда

ч(г)=»-+-^- $ n(C)cth у (z-C)<.	(4.7)

В (4.7) при положительном обходе контура профиля L об-
ласть течения остается справа; индекс при L для упрощения
опущен.

__ Установим физический смысл Voo. Если в (4.7) х—* — со, то
и( —оо) равна значению .сопряженной скорости перед решет-
кой Vf.

4=4.—Йг1'г’^й’	(4-8)

так как

с th ( — со) — — 1.

Аналогично при x->+°° 'п(+оо)=и2;

й2 = й_ + уу	(4.9)

Из (4.8) и (4.9) получим



(4-10)
т. е. Voo есть средняя векторная величина скоростей на бесконеч-
ности перед и за решеткой.

Известно [18], что

где Г — циркуляция скорости вокруг профиля, поэтому

(4.11)

Связь скоростей vlt v2, vx наглядно представлена на рис. 4.1, б.

Итак, .получена формула Н. Е. Кочина (4.7), позволяющая
определить значение скорости в любой точке потока по ее зна-
чениям на профиле решетки.

Выражение (4.7) получено для случая, когда линия решетки
параллельна оси у. Если линия решетки параллельна оси х,
то, учитывая (4.6), найдем

й(г)=1>. +-^- ^5(Qctg-y(z-Q«.	(4.12)

L

Так как

v d{=d® =	ds+i — ds = v-ds-\-ivnds,

ds ds	"	.

то, обозначив

v.ds=dr=-^~ ds=yds, v ds — dQ=-^~ ds— q ds
ds	ds

(s — криволинейная координата точки профиля), получим для
решетки, расположенной вдоль оси х,

v(z)=v.+ [V(«) + <?(«)] ctg-y (z —Qds. (4.13)
L

Итак, поток в прямой решетке можно получить в результате
сложения плоскопараллельного потока и потоков от вихреи
и источи и ков-стоков, распределенных на контурах профилей ре-
шетки с плотностью, соответственно равной y(s) и q(s).
Получить скорость при обтекании одиночного профиля мож-
но из (4.12) и (4.13) при/—оо:

(4.14)

или

k ’	2л/ J z —С

(4.15)

откуда видно, что при z—+оо и г——оо скорости равны.
Найдем общее представление для скорости в виде рядов.
Очевидно,

z — С + int z + int

-----= — ----У--------—Г. (416)
z + int (г + int)k

—Г-7	*=о

если J — < 1.

Подставив (4.16)

в (4.7), получим



— 5

2л/ J '

При определенном течении величина интеграла является по-
стоянной величиной, не зависимой от координаты z. Обозначим

(4Л7)

Видно, что

2л/

(4.18)

где Г — циркуляция по контуру профиля;

тогда

(4Л9)

Л = —~ * = 1

Скорость течения в произврльной точке z получается в ре-
зультате сложения невозмущенного плоскопараллельного пото-
ка vx, потоков от вихрей интенсивностью Г и мультиполей всех
порядков, расположенных по оси у с шагом t.

3-2484	„
Кроме представления (4.19), можно записать общее выраже-
ние для скорости в виде ряда Лорана. Для этого следует пред-
ставить cth ~ (z—%) рядом (например, в окрестности начала

координат) по степеням £ и почленно проинтегрировать:



(4.20)

Главная часть ряда Лорана (4.20) соответствует возмущаю-
щему действию основного профиля, охватывающего начало ко-
ординат.

Правильная часть ряда определяет течение от равномерного
потока и отражает влияние остальных профилей решетки. Под-
робно этот вопрос рассмотрен в {32, 35]. Отметим, следуя [21],
что

_!_г «улл
J с»+1 '

(4.21)

§ 4.2. Круговая решетка

Рассмотрим обтекание круговой вращающейся решетки по-
тенциальным потоком, имеющим в начале координат вихреи'с-
точник (q, Г1). Решетка состоит из т равномерно расположен-
ных по окружности одинаковых профилей (рис. 4.2, а).

Предварительно решим задачу обтекания одиночного профи-
ля от вихреисточника j в плоскости Zi (рис. 4.2, б). По
формуле Коши,

2л; £ Ci —

_ 1 Г V(C,) rfC,___1 Г	_ 1 Г ЁС;) а:,

2nl } Ci — zi 2ni J Ci —2л/ J Ci —г.

Первый интеграл определяет значение скорости t»(zi) по
значениям скорости на расширяющемся в бесконечность конту-
ре Loo. Скорость на Loo, а следовательно, и первый интеграл рав-
ны нулю.

При вычислении второго интеграла следует обратить внима-
ние на то, что внутри контура Li находится вихреисточник, по-
этому функция v имеет полюс первого порядка в начале коорди-
нат. Следовательно, в окрестности начала координат o(Ci)
можно представить рядом

?(C1)=^+a0+a1Ci+...;

ч

где

Рис. 4.2

Функция
поэтому

------ в начале координат особенности не имеет,

7-!—(«о--—
Ч — zl	\	zl)

1 С V Cl) rfCj = 9-fri . 2_

2яг J Ci — z, 2лот Zj

В результате получим общее выражение для скорости при
обтекании одиночного .профиля от .вихреисточника

<4-22>

т 1л 2\ Ini J Zj — Ч

Отобразим при помощи функции

Z!=:z«	(4.23)

3*

67
круговую решетку из т профилей плоскости z на плоскость zb
где получим один профиль. Действительно, при z = Reis и z1 =
=Rxe‘"

R^R”1, ei=me,

т. e. один угловой период решетки отображается на всю плос-
кость Zi. Связь между скоростями при конформном отобра-
жении

й(г)=о(г1)^- .

В нашем случае из (4.23)

поэтому

?(z)=	. _L+Г ,	(4.24)

v ’ 2л z '	2л/ J zm —

L

где L — контур любого профиля решетки,

Z — текущая координата контура профиля.

Итак, выражение (4.24), полученное для скорости в интег-
ральной форме в круговой решетке, является обобщением фор-
мулы Кочина (4.7).

Для вращающейся решетки, как и для прямой решетки, пред-
ставим

v (Q у (s') ds + iq (s') ds;

тогда

(2)=C i (*).+ “> ds, (4.25)
2л z 1	2л/ J zm — V"	v

L

Следовательно, поток во вращающейся круговой решетке
можно получить как результат сложения невозмущенного потока
от вихреисточника в центре решетки, потока от вихрей y(s) и
источников (стоков) q(s), непрерывно распределенных на конту-
рах профилей.

Найдем далее общее выражение для скорости в виде ряда.
Представим интеграл формулы (4.24) в виде ряда в окрестности
точки Ь, лежащей внутри контура профиля L (см. рис. 4.2, а).
При этом

2-------------!----=—— у	(4.2б)

zm___(П1 гт_____гт_______________________I zm_________1 "•	'

1 ~ zm — b"‘	П=°
I С"' - b'" I 1

I гт _ bm I

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно, поэтому

mzm~x Г р(С) rfC = 1 mzm~x С ~ /г) V ( ^m~bm V дТ -
2л/	J гга —С"1	2л/” zm — bm .1 2j\zm — bm)

L	L п=0

=— У тгт~1	v (С) (Ст - ьт)л~1 ас.

2л/ (zm - bm)n J V	'

л=1	L

Обозначим



(4.27)

Очевидно, эта величина постоянна при определенном течении,

поэтому

v(z)= _lrz£i_. -L + у

4 ' 2л z ‘ XJ (zm — bm)n

(4.28)

есть ' представление скорости в виде ряда по степеням
„Г'~^ в окРестности точки z=b. Второй член (4.28) опре-
деляет скорость течения от круговой решетки из т вихрей и
мультиполей всех порядков. Действительно,

а_,=—— \ v(Z)dZ —,

1	2л/ J 1 7	2л/ ’

L

где Г — циркуляция вокруг профиля.

Следовательно, скорость в области круговой решетки можно
представить как сумму скоростей от вихреисточника в центре
решетки, от решетки вихрей интенсивностью Г и от решетки
мультиполей всех порядков. Наиболее существенное влияние на
течение в области круговой решетки оказывает вихреисточник в
начале координат и решетка из т вихрей интенсивностью Г.
Влияние решетки мультиполей на течение ослабевает с увеличе-
нием порядка мультиполя, что следует из сходимости ряда
(4.26), поэтому в некоторых приближенных исследованиях мож-
но ограничиться лишь несколькими первыми членами ряда
(4.28).
§ 4.3.	Поток вытеснения

В § 2.6 отмечено, что течение через вращающуюся решетку
может быть получено в результате сложения двух потоков: об-
текающего неподвижную решетку и обтекающего вращающуюся
решетку.

Рассмотрим частный случай обтекания круговой решетки,
равномерно вращающейся в покоящейся на бесконечности
жидкости. Ясно, что возмущающие действия решетки на оси вра-
щения и в бесконечности равны нулю. Циркуляция вокруг про-
филя также равна нулю. Назовем лоток, образующийся при этом
вокруг рещетки, потоком вытеснения. Очевидно, в неподвижной
системе координат течение является неустановившимся. В систе-
ме координат, вращающейся вместе с решеткой, течение устано-
вившееся.

Комплексный потенциал Фв абсолютного потока в данном
случае является однозначной аналитической функцией, для ко-
торой справедлива интегральная формула Коши. Для одиночно-
го профиля (см. рис. 4.2, б)

1	С ФвК1)^1 __ 1 Г Фв (Cl) rfCi

2л/ .) Ci — zi 2л/ J — Ci

(4.29)

Если d^i=dSie1^ и P2i=^B(Qielf', to

Ф (z,)=.-----Г

2« J z,-c,

(4.30)

т. e. получен комплексный потенциал течения от слоя диполей
с плотностью моментов рц, непрерывно распределенных по кон-
туру профиля.

В плоскости z круговой решетки из tn профилей после кон-
формного отображения (4.23) получим

1 Г p?ds

2л J zm — Cm ’

*>(г) =

где

Р1—--- = Psi1 mC”-11.

Величина момента диполя изменяется ввиду наличия линейного
растяжения. Ось диполя сохраняет направление.

Комплексная скорость потока вытеснения

p^ds
(zm _

(4-31)
равна комплексной скорости течения от слоя диполей, распреде-
ленного на контурах .профилей решетки, с плотностью р2-

§ 4.4.	Скорость на контуре профиля

На основании интегральной формулы Коши (см. § 4.1 и 4.2)
получены общие выражения для .скорости течения в прямой и
круговой решетках. Интегральные формулы (4.7), (4.24) спра-
ведливы для вычисления скоростей в любой точке плоскости,
кроме контура профиля.

Покажем, как можно определить скорость на контуре профи-
ля решетки, что представляет наибольший ин-
терес.

Предварительно ознакомимся с некоторы-
ми выводами исследования интеграла типа
Коши, что обычно не входит в курс математи-
ки. Подробно с этими вопросами можно по-
знакомиться в [21].

1.	Если С — произвольная, без угловых то-
чек, нё обязательно замкнутая кривая, а
/(£)—заданная на ней произвольная функ-
ция, непрерывная всюду, кроме конечного чис-
ла точек, то интеграл

F (*)=-!-(
'	2я/ J (-г

называемый интегралом типа Коши, представляет собой анали-
тическую функцию в любой точке z, не лежащей на С.

2.	Пусть функция /(£) в некоторой точке z0 на контуре С
удовлетворяет условию Гельдера

'ХУ’ < м’0 < I* <1	(4.33)

для всех точек £ линии С, близких к Zq. Это значит, что прира-
щение функции является малой .порядка не ниже ц относительно
приращения аргумента.

3.	Если в точке zo, являющейся правильной точкой некоторо-
го замкнутого контура С, функция /(£) удовлетворяет условию
Гельдера (4.33), то интеграл типа Коши существует в этой точке
как особый и его главное значение выражается через обычный
интеграл



2я/

7K)rfC
С —«о



(штрих над интегралом означает главное значение интеграла).
Если точка 2o является угловой точкой замкнутого контура С
с углом между касательными, равным а (рис. 4.3), то

^о)=

^С/М2>л+^/(2о).

хГП J С — Zq	2Л

(4.35)

4.	Интеграл типа Коши обладает предельными значениями
F+(zo) и F~(z0), к которым он стремится при z—*z0 слева и. со-
ответственно справа от С. Эти значения для правильных точек С
следующие:

F+(z0)=F(Zo) + ^-/(z„);

(4.36)

где F(zq) —главное значение интеграла (4.34).
Для угловой ТОЧКИ Zq

F~ Ы=г Ы —/(*«)

(4.37)

Очевидно, при переходе через линию интегрирования в точке
z0 интеграл типа Коши испытывает скачок, равный

^+W-F-(z„)=/W.

Если контур С замкнут, а при подходе к контуру снаружи
(справа) во всех точках F^(z0) =0, то предельное значение F(z)
изнутри (слева)

^+W=/(Zo).

Тогда из (4.36)

или

/(z0)=2F(z0),	(4.38)

где F(z0) —главное значение интеграла, определяемое по
(4.34).

Определим теперь скорость на контуре .профиля в прямой
решетке. На основании (4.38) значение скорости на контуре L*
(см. рис. 4.1, а)
5(zj) = — о (z0)H---— (	,

l 07	2	'	1 2ni J t-г.

где zo — координата контура интегрирования, а интеграл берет-
ся в смысле главного значения.

Из (4.1) и (4.7) следует, что

I г у (О rfC
2W Д С —

=®“ + 'аГ ) ®(С) cttl -Т- (г° ~ Q

и тогда

+	j•o(C)cth^-(z0-C)«. (4.39)

ИЛИ

®(z0)=2i>.+ -1-	(4.40)

(интегрирование ведется по всему контуру профиля L с «выко-
лотой» точкой Zo) .

Аналогично получим скорость на контуре профиля в круго-
вой решетке, используя (4.24) и (4.38),

®(*о) =

<? — Д']
2л

mz<S 1

2ni

С

/ л-g*-С®



или

+	(4.42)

л г0 ni J Z™ — Cm

§ 4.5.	Подъемная сила в прямой
решетке

Воспользуемся первым уравнением Чаплыгина для определе-
ния подъемной силы, действующей на профиль в прямой решет-
ке. Уравнение (4.7) в общем виде можно записать так:

'o(z)=,o„-j-‘Dz,	(4.43)
где

®/W=	5 ®G)cth -у-(г-С)Л

есть .скорость возмущения от профилей решетки.
По первому уравнению Чаплыгина,

dz — ।

2

(4.44)

где С — произвольный контур интегрирования, охватывающий
один из профилей решетки.

Первый интеграл по замкнутому контуру равен нулю. Вычис-

Рис. 4.4

лим второй интеграл. Очевидно,

J2= \ vidz= J vdz = V,

где Г — циркуляция скорости во-
круг одного из профилей
решетки.

Третий интеграл

J3=--J v]dz=Q,

так как сила на произвольный контур С от потока о, равна нулю.

Действительно, рассматривая контур С (рис. 4.4), видим, что
скорости на границе АА' и ВВ', а также на удаленных от ре-
шетки границах АВ и А'В' одинаковы по модулю. Поэтому силы,
действующие на АВ и А'В' и на АА' и ВВ', взаимно уравновеши-
ваются. Следовательно, из (4.44)

Ру+1РХ= — Р^- J -o(z)rfz= — ртиГ

или

Р=-/р®00Г.

(4.45)

Это значит, что подъемная сила, действующая на профиль
прямой решетки, может быть определена по формуле (4.45), ко-
торая впервые была .получена И. Е. Жуковским для одиночного
профиля. Из (4.45) следует, что подъемная .сила пропорциональ-
на плотности р, средней векторной скорости о», циркуляции Г
74
и направлена перпендикулярно вектору Do,. Чтобы получить
вектор силы Р, следует вектор повернуть на 90° против на-
правления циркуляции Г.

§ 4.6.	Момент в прямой решетке

Уравнение, из которого определяется момент, можно записать
в следующем виде:

М iN= —v2z dz,	(4.46)

где М — момент подъемной силы относительно начала коор-
динат.

Подставим в (4.46) значение и из (4.43):

M-^iN = —\>zdz—?v^ ^vtzdz-------------(4.47)

c	c	c

Первый интеграл в (4.47) равен нулю. Второй интеграл

J-i=\ vtzdz= (я«-J-®/)zdz = vzdz = v (С)СdZ=2rda^2,

С	С	С	L

где as — коэффициент ряда Лорана, определяемый по формуле
(4.21).

Итак, из второго члена (4.47)

— vt{z)zdz= — pv„,2itia_2	(4.48)

можно определить момент от воздействия невозмущенного пото-
ка на профиль решетки, величина которого зависит от скорости
Осо и момента диполя р2-

Из третьего члена (4.47) найдем момент, получаемый в ре-
зультате влияния остальных профилей решетки. Этот член мень-
ше второго (4.48), так как воздействие профилей, расположенных
с разных сторон от рассматриваемого, частично взаимно ком-
пенсируется.

Обозначив

М*= — Re ifizdz,

получим

М= — р Re Doo J vzdz-YM*.	(4.49)

В приближенных расчетах величиной М* можно пренебречь.
§ 4.7.	Приближенное выражение
для силы в круговой решетке

Выше, в § 4.2, получено уравнение (4.24), из которого следует
гГ(г) = v„ (z) + 7>i (z),
где

(4.50)

есть скорость невозмущенного потока от вихреисточника в центре решетки

mzm-i f у (С) dC
2л/ J zm — t.m
L

есть скорость возмущения от профилей решетки.

Определим подъемную силу, действующую на профиль неподвижной ре-
шетки, из первого уравнения Чаплыгина (3.3)

Ру + 1РХ = — vfaz — р v~yt dz — -у J v2tdz. (4.51)

Первый интеграл равен нулю. Интеграл второго члена

так как известно [28], что интеграл вида

1 Г , ч /'<*) „

равен разности между суммой значений, принимаемых функцией <p(z) в 4-точ-
ках функции f(z), лежащих внутри С, и суммой значений, принимаемых
той же функцией <p(z) в полюсах функции /(г), лежащих внутри С.

В нашем интеграле <p(z) = —, функция f(z)=zm и имеет простую

Д-точку при z=£.

Функция f (г) внутри С полюсов не имеет, поэтому

1 г nizm~'	1

2л/ \z(zm — Ц"‘) dZ

(4-52)

Тогда получим, что второй член уравнения (4.51), равный

2л

v(C)dC

(4.53)

определяет подъемную силу, действующую на профиль решетки от невозму-
щенного потока.
Третий член уравнения (4.51) дает подъемную силу на профиле, полу-
чающуюся в результате влияния других профилей решетки. На основа-
нии (4.28)

— . . V'

(4.54)

(4.55)

Определим интеграл

V? (z) dz,

взяв несколько первых членов ряда (4.55). Вычислим по частям интеграл

г / mzm~l \2	mzm~' I , rm(ffi—l)zm-2

J*~ J \zm — bm ) dZ~ ~ z"‘ — bm I + J zm — bm
C	C C

Первый член в (4.56) равен нулю, а второй

Г т (т— 1) zm~2	Г	пггт—1	„ т — 1	,,

\ ----ж--------dz = {т — \) I ,	--— dz = 2ш------------ (4.57)

J z"‘ — bm	J [z (z"‘ — bm)	b

с	С

на основании (4.52). Тогда можно записать

Перейдем далее к вычислению по частям интеграла

к'г J (zm — bm)k+1 dZ’
с

Обозначив

тгт~^	т ч

dw =	---ТТТьТ— • и — тгт~*

(Zm — 1)1'^ + 1

и определив

w = —-----------,	, du = m(tn — \)zm~2,

k (zm — bm)k

получим выражение

mz"1^ I m— 1 Г 7nzm—

ft+1 =— k(.zm — bm)k J+ k J z (zm — bm)k ’

в котором первое слагаемое равно нулю для замкнутого контура С.
Если обозначить

1

Вычислим теперь интеграл Jp по частям, для чего, приняв

найдем

1 С mz'n-'dz
m(k—Y)}zm^ (zm — Ьт)л~>

m(k—\) Jp

Далее операцию интегрирования по частям последовательно повторим,
понижая степень (zra—bm) в знаменателе до единицы. На основании пра-
вила, использованного нами ранее при вычислении интеграла (4.52),

mzm~'dz

[2Ч(гт — Ьт)

2л/

ЬЧ ‘

Результат вычислений следующий:

m(k — 2)
2от + 1
m(k—3)

3/л + 1

т (k — 4) р 4'

r	(k— 2) т + 1

^-(р-2) -

Тогда

(т-1) П (Л-2)т + 1

/и*-1Л!6(й~1)от+1

2л/, (Л = 2, 3,
или в частных случаях:

С (/пгт~»)2	_ _	1

k~ ’ 3— J (гт — Ьт)* dZ ~ 2mbm

г {	т+1

’	4 2 (zm_bmy4 3rnbm

Г (тгт-')-	2т + 1

k = 4,	Б=^ (Zm_bmy, dz=~ ^mbm

___	_ r (/n^'"-i)2	_ 3m+ 1

j (zm — bm)° dZ 5rnbm

На основании проведенных вычислений напишем приближенное выраже-
ние для определения подъемной силы





+	H-S8)

Второй член в (4.58) есть результат силового взаимодействия решетки
вихрей. Очевидно, эта сила направлена всегда радиально от центра решетки.
Сила, определяемая третьим членом формулы, получается в результате взаи-
модействия решетки вихрей Г с решеткой диполей. Величины последующих
членов (4.58) уменьшаются ввиду малого влияния решетки мультиполей более
высокого порядка.
Часть II. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА

ТЕОРИИ РЕШЕТОК

Раздел I.

ПРЯМАЯ РЕШЕТКА

Как было отмечено, прямая задача теории решеток состоит
в исследовании обтекания решеток из заданных произвольных
профилей. При решении задачи следует установить зависимости
распределения скорости и давления на профиле, подъемной си-
лы и момента от параметров потока и геометрических парамет-
ров решетки. В гл. III и IV получены общие формулы для опре-
деления скорости, подъемной силы и момента. Однако ввиду
сложности решить задачу в общем виде практически невоз-
можно.

Рассмотрим сначала обтекание одиночного профиля. Здесь
исследование можно провести достаточно глубоко, установив
общие зависимости для подъемной силы и момента от формы
•профиля и определив распределения скорости и давления.

Выводы, полученные для одиночного профиля, качественно
справедливы и для решетки. Количественные выводы о подъем-
ной силе и моменте на одиночном профиле с соответствующими
поправками на решетку можно использовать в приближенных
расчетах. Естественно, что там, где требуется иметь более точные
данные о силе и моменте, необходимо руководствоваться
результатами расчетов, полученными непосредственно для ре-
шеток.

Для определения кавитационных характеристик решеток на-
до иметь распределение давления на профиле, полученное с вы-
сокой точностью. Распределение скорости, а следовательно, и
давления на одиночном профиле существенно отличается от рас-
пределения скорости и давления в решетке с профилями той же
формы, поэтому определение скорости и давления на одиночном
профиле приведено ниже лишь из методических сообра-
жений.

Итак, переходим к исследованию обтекания одиночного про-,
филя, которое является частным случаем обтекания решетки с
/ — со.

ГЛАВА V

ТЕОРИЯ ОДИНОЧНОГО КРЫЛА

§ 5.1. Общее выражение
для скорости

В § 4.1 получено общее выражение для скорости потока в
прямой решетке в виде ряда Лорана (4.20). Для одиночного про-
филя ряд не будет содержать членов с положительными степе-
нями z.

Для профиля произвольной формы, обтекаемого плоскопа-
раллельным потоком,

®(z) = 01,+ ^l-+-b± + ...	(5.1)

есть представление скорости в виде ряда Лорана в окрестности
бесконечности, являющейся устранимой особой точкой [21].

В (5.1)

где о», — модуль скорости плоскопараллельного потока на бес-
конечности;

а — угол между направлением скорости на бесконечности
И ОСЬЮ X.

Ясно, что

v (z) dz=-^— .
2л1 .'	2ni

С

Остальные члены уравнения (5.1) определяют течение от
мультиполей всех порядков. Например, известно [18], что ком-
плексный потенциал течения от диполя с моментом р2

п комплексная скорость
За положительное направление оси диполя принято направ-
ление от стока к источнику. Из (5.1) следует

а_2=-^—=—— \vzdz.	(5.2)

2 2л 2л/ )	4

с

Итак,

(5.3)

§ 5.2. Формула Жуковского.
Подъемная сила и момент

Определим подъемную силу из первого уравнения Чаплыги-
на (3.3). Предварительно из (5.3) найдем

* (2) =	. л	_SL)-±- + ..„

тогда

+	---7г v2dz=-------—	—2л/= — pv^re~la

2 J	2 nl

или

P=Px + iPy=pvair (— iela).

(5.4)

Это есть формула Жуковского для одиночного профиля, об-
текаемого плоскопараллельным потоком. Она получается как
частный случай из общей формулы (4.45).

Подъемная сила, действующая на одиночный профиль при
обтекании его плоскопараллельным потоком, по абсолютной ве-
личине равна произведению плотности жидкости р, скорости
потока Vo в бесконечности и циркуляции скорости вокруг про-
филя Г. Для получения вектора силы надо повернуть вектор ско-
рости на 90° против направления циркуляции Г.

Момент относительно начала координат

М = —i-Re $	- J- Re 2м	—-Д),

ИЛИ

М = — 2лр-Ооо Re (a_2/e~z“).

(5.5)

Из (5.4) и (5.5) видно, что для определения подъемной силы
и момента, действующих на профиль, необходимо знать только
82
первые три коэффициента а0, а_ь а_2 разложения в ряд функ-
ции v (г).

Для выяснения физического смысла уравнения (5.5) запи-
шем

М = — р^оо Re (р^е~1а),	(5.6)

т. е. на профиль действует момент, определяемый моментом
диполя р2. Если направление оси диполя совпадает с направле-
нием скорости плоскопараллельного течения, то момент будет
равен нулю, так как при

Л=I Pl I	Re (р,«-')=о.

Таким образом, при обтекании плоскопараллельным потоком
вихря возникает подъемная сила, а при обтекании диполя — па-
ра сил. На мультиполи высших порядков ни силы, ни моменты
при этом не действуют.

Если циркуляция Г равна нулю, то подъемная сила также
равна нулю, а момент в общем случае нулю не равен.

§ 5.3. Обтекание круга

Для определения скорости потока, подъемной силы и момента
надо иметь величину комплексной скорости потока. Однако в
общем виде для произвольного течения ее определить довольно
трудно.

Известно [18], что комплексную скорость в плоскости z мож-
но получить, если даны комплексная скорость на какой-то вспо-
могательной плоскости течения £ и функция z=f(£), отображаю-
щая вспомогательную плоскость £ на плоскость z.

Тогда

5(z)=«R)

где--------производная отображающей функции.

dz

Сравнительно просто можно найти о(£) для обтекания неко-
торых простейших тел, например кругового цилиндра. Зная об-
текание кругового цилиндра в плоскости £ и решив задачу кон-
формного отображения z=f(£), определим скорость в плос-
кости z.

Циркуляционное обтекание круга радиуса R (рис. 5.1) полу-
чается как результат сложения плоскопараллельного течения
с потоками от вихря Г и диполя в центре круга, поэтом^

,	г	w'е,|Х/?2

ф (9=^4+in —
или

v ’	\ V 1 . Ъа г.

где р, — угол между скоростью vj и действительной осью.
Приведя последнее уравнение к общему знаменателю, найдем

и(С)= 1,“е “ fa-----с - /УекЛ = !!>-№ « - Wt - Ы ,

С! \ ) t!

где gi, ^2 — критические точки, лежащие на окружности, ско-
рость потока в которых равна нулю.

Рис. 5.1

Так как на окружности £=J?e'e, то критические точки опре-
делим из условия

R?em-------™— е'№+»> _

2л v'x

или

еЦ0-р.) _ g-l(O-n) =

2nRv'x

Чтобы критические точки находились на окружности, должно
выполняться неравенство

bin (9 —р.)=---— < 1.

4лА*-о^

Учитывая, что

sin (62 — р) = sin (9j —• р,)=sin [тс — (62 — {*)],
получим

Не нарушая общности решения, зафиксируем точку схода по-
тока, приняв £2=1/? или 02=0; тогда

Г = — 4rc/faL sin р.	(5.7)

При

62=О 0j=гс -|- 2р..

Отсюда окончательное выражение для комплексной скорости

или

v	[ 1 +	.	(5.8)

Подчеркиваем, что формула (5.8) справедлива для течения,
когда точка схода потока находится на действительной оси.

§ 5.4.	Общее выражение
для подъемной силы

Найдем общий вид функции z=f(£), дающей конформное
отображение внешности окружности С плоскости £ на внешность
профиля L плоскости z (рис. 5.2). Отображающая функция
должна удовлетворять следующим условиям:

Рис. 5.2

1)	при £=оо 2 = оо;

2)	острая выходная кромка профиля при отображении пере-
ходит в точку окружности £=./?, чего можно добиться поворотом
осей в плоскости

Если профиль имеет в точке А угловую кромку, то конформ-
ность отображения в ней не соблюдается.
По условию, функция z=f(£) имеет в бесконечно удаленной
точке полюс, причем полюс первого порядка, так как производ-
ная /'(£) отображающей функции ввиду конформности конечна
и отлична от нуля.

Из теории аналитических функций [21] следует, что функция
z=f(g) может быть в общем виде представлена рядом Лорана
при /?<£<оо

г=ЛЧ=<чС+с0+^-+-^ +....	(5.9)

Для определения подъемной силы воспользуемся формулой
Жуковского. При обтекании одиночного профиля плоскопарал-
лельным потоком подъемная сила определяется по форму-
ле (5.4)

|Р|=р®теГ,

где

Г= [ v(z)dz.

'L

Произведя замену переменных, найдем

г=Г?(!;)л	(5.Ю)

Подставив выражение ц(£) из (5.8) в (5.10), после интегри-
рования получим

Г = 2к/-у1е-^/?(^'-1).

Так как

gi2p. — 1 —2г sin

то

Г= — sin р.,

что совпадает с полученной формулой (5.7).

Установим связь между граничными условиями на бесконеч-
ности в плоскостях z и

=5(г)1 ш.

По условию,

z»(2)| = vxe~la, и(С)|	=ъ'хе-‘ч.
Из формулы (5.9)

...	(5.11)

rfC 1 С2 С3

тогда

(5.12)

Представив комплексное число Ci в доказательной форме
Су—ге1"",
получим

и e~lv~ = w „ е~1 <®—“»>

или

т^=ц«г, |л=а — а0.	(5.13)

Следовательно, подъемная сила

| Р |=4к$Р'о\г sin (а — а0).

Из этой формулы видно, что подъемная сила пропорциональ-
на плотности жидкости р, квадрату скорости гл» и зависит от
направления натекающего потока, определяемого углом а. На
величину подъемной силы влияет также первый член Ci разло-
жения в ряд отображающей функции, зависящий от формы
профиля.

Если направление потока определяется углом а=ао, то подъ-
емная сила равна нулю. Направление потока, при котором
подъемная сила равна нулю, называется нулевым, или бесцир-
куляционным. Циркуляция при этом также равна нулю.

Угол между направлением потока и направлением бесцирку-
ляционного обтекания называется гидродинамическим углом
атаки. При наших обозначениях этот угол равен ц=а—ао.

Для сравнения подъемных сил разных по форме профилей
удобно ввести безразмерный коэффициент подъемной силы Су,
не зависящий от плотности, скорости потока v«> и длины про-
филя I,

где b — ширина профиля, обычно принимаемая равной единице.
Для одиночного профиля, обтекаемого плоскопараллельным

ПОТОКОМ,	С^=8кг -у- sin р,
или,обозначив	Ay=8irr—,	(5.15)

получим коэффициент подъемной силы
Cy=Aysln |i.

(5.16)

Коэффициент kv

Рис. 5.3

зависит только от относительных размеров
профиля. Для геометрически подобных
профилей ky — постоянная величина.

На рис. 5.3 представлена функция
Су(ц). Для небольших углов атаки, при
которых имеет место безотрывное обте-
кание профиля, можно принять sinp«p.
В этом диапазоне зависимость С„ от ц —
прямая линия. Тангенс угла наклона пря-
мой к оси ц равен ky.

§ 5.5. Общее выражение
для момента

Для определения зависимости момента от параметров потока
и формы профиля воспользуемся формулой (5.5)

М— — Re (а_2ге_/а),
где из (5.2)

л_0=—— vzdz.

2ni J

L

Заменив переменные, получим

Взять полученный интеграл можно при помощи вычетов. Для
этого умножим уравнение (5.8) на ряд (5.9) и найдем коэффи-
циент при £_|. В результате

a_2=v'xe-‘v- [(?_, -{- CqR (е12* — 1) — cxR2e,2v-] =

=	+ R -& - № 1.

L	ci	ci J
Подставив значение а_2 в (5.5) и заменив

= сг—ге1аа,
получим

М — — 2кр-ите Re (i^-/s'o«r2e'’»ei|X) X

L С1	Cl J

или

м = - 2ч>®1г! te I /?—;(c:- ад -5— i, (s. 17)
L cj	ci J

так как

H = a — а0, Re(17?2)=0.

Исследуем полученное общее выражение для момента. Из
уравнения (5.17) видно, что на величину момента влияют только
три первых коэффициента сь Со, с_] ряда Лорана. Выражение,
стоящее в квадратных скобках, равно сумме двух величин, из
которых первая зависит только от формы и положения профиля,
а вторая — еще и от угла атаки.

Из (5.9) видно, что с0 определяется положением профиля в
плоскости z и от формы профиля не зависит, так как изменение
величины с0 приведет только к параллельному перемещению
профиля L в плоскости z. Возможно такое положение профиля
в плоскости z, когда

с"=^;

тогда момент относительно начала координат

Л10=-2яр®!вг=Ке(|-^1-)	(5.18)

не зависит от угла атаки ц. Из этого следует, что в общем случае
на плоскости существует точка, момент относительно которой не
зависит от угла атаки ц. Эту точку называют фокусом профиля.

В общем виде координата фокуса профиля определяется по
формуле

=	(5-19)

Таким образом, момент подъемной силы, действующей на
профиль, относительно фокуса профиля при всех углах атаки
остается величиной постоянной, численно равной паре сил Af0
при бесциркуляционном обтекании.
Отсюда следует вывод, сделанный С. А. Чаплыгиным: дейст-
вие сил давления на крыло в условиях плоскопараллельного те-
чения сводится к силе Жуковского Р = риооГ, приложенной в
фокусе профиля, и постоянной паре сил, момент которой равен
Мо [см. (5.18)].

Как и для подъемной .силы, введем (Понятие коэффициента
момента для сравнения разных профилей по моменту

ст=-------V------	(5.20)

Рис. 5.4

Однако из предыдущего ясно, что момент относительно нача-
ла координат при прочих равных условиях будет зависеть от по-
ложения профиля на пло-
скости. Далее выберем
точку, связанную с про-
филем, и относительно
нее определим момент и
коэффициент момента.
Удобно в качестве такой
фиксированной точки при-
нять входную кромку про-
филя, являющуюся точ-
кой пересечения контура
профиля с хордой.

Момент относительно входной кромки (рис. 5.4)

Мь=Мй-\-Ра.

Если хорда профиля совпадает с осью х, то
Ра = (xf—х^ Р cos а -[- yfP sin а

и коэффициент момента относительно входной кромки
ст=-----------т2-----'---------((я, - х„) cos а + У) sin а].

Приняв

= -4*(-t-)!Re(i-bl-),	(5.21)
получим

/ X. — Xb	у,

Ст = Сто + Су J--------cos а 4- — sin а

(5.22)

Для практических расчетов применяется приближенная фор-
мула

Cm=Cm0 + kmCy,	(5.23)

где

km

(5.24)

зависит только от формы профиля.

Вычисления по формуле (5.23) дают малую погрешность при
небольших углах атаки а, с которыми обычно приходится встре-
чаться на практике. Здесь учтено также, что для обычно приме-
няемых слабо изогнутых .профилей величина — значительно

меньше, чем Xf х-, что будет показано при исследовании об-

текания частных видов профилей.

Таким образом, в первом приближе-
нии имеем линейную зависимость Ст от
Су (рис. 5.5), где km — тангенс угла на-
клона прямой к оси Су.

В гидравлических машинах лопасти
рабочих колес и направляющих аппара-
тов часто делают поворотными. Обычно
ось поворота лопасти находится на неко-
тором расстоянии от входной кромки.
Отсюда возникает практическая задача

Рис. 5.5

по определению момента относительно
произвольной точки, лежащей на хорде профиля (если ось пово-
рота близко расположена к хорде).

Если обозначить через Zo расстояние до точки О от входной

кромки (рис. 5.6) и k0= то коэффициент момента относи-

тельно точки О

Ст — Ст0 4- (km £0) Су

(5.25)

На рис. 5.6 дана зависимость Ст от Су .при различных зна-
чениях ko. Из (5.25) следует, что при k0=‘km момент не зависит
ст угла атаки и от Су, при k0<km с ростом угла атаки растет и
коэффициент момента, а при k0>km увеличение Су приводит к
снижению С*т.
Определив подъемную силу Р и момент М, действующие на
профиль, можно найти линию действия подъемной силы. Оче-
видно, что линия действия подъемной силы будет изменяться
с изменением угла атаки ц. С. А. Чаплыгиным доказано, что
огибающей линией действия подъемных сил является парабола

Рис. 5.6

(рис. 5.7), которую в теории крыла называют параболой мета-
центров, или параболой устойчивости. Фокус F этой параболы
совпадает с фокусом профиля, координата которого определяет-
ся формулой (5.19). Директриса параболы параллельна направ-
лению бесциркуляционного обтекания.

Чтобы найти линию действия подъемной силы, необходимо
провести прямую, касательную к параболе и перпендикулярную
к вектору скорости на бесконечности.

Для наглядного представления о положении линии действия
подъемной силы удобно координировать точку пересечения этой
линии с хордой профиля (точка Д на рис. 5.7).

Плечо подъемной силы относительно входной кромки

Л=— =-£™- /.

Р Су
Если расстояние точки Д от входной кромки /д, то

1.=—•
cos а

При небольших углах атаки можно приближенно принять
cos а = 1, тогда

Z. = -^-Z.
Су

Точку Д условно называют «центром давления», а величину
с« = -~-=~5-	(5-26)

— коэффициентом центра давления.

Таким образом, коэффициент центра давления Сд показывает
относительное положение точки пересечения линии действия
подъемной силы с хордой профиля.

Заменив Ст значением из (5.23), получим

С«=А„+-^.	(5.27)

Зависимость (5.27) изображена на рис. 5.8. При Су = 0 Сд =
= оо, т. е. на профиль действует пара сил, а при увеличении Су
коэффициент Сд асимптотически приближается к значению km.

§ 5.6. Распределение скорости
и давления на профиле

Давление и скорость на профиле однозначно связаны уравне-
нием Бернулли.

Используя метод конформных отображений, можно опреде-
лить скорость на профиле, если известна функция z=/(g), отоб-
ражающая внешность профиля на внешность круга плоскости
При этом

Предварительно найдем-распределение скорости на круговом
цилиндре из (5.8). Так как на цилиндре

С=
то
— г / pity-________________1	\

i + ^r2--=

х [1 — е12^-^ 4- е1^-^ (е1» -	=

= v^e-^e1^9^ [2Z sin р — 2Z sin (у. — 6)],
или

о (0) = 2v'„ [sin |л sin (0 — |л)] ie~ie.

Следовательно, абсолютная величина скорости на цилиндре
| T>(0)] = 2-uM[sinp.-|-sin(0 —р.)]	(5.28)

в общем случае циркуляционного обтекания цилиндра, если точ-
ка схода потока t,2=R-

При бесциркуляционном обтекании ц = 0 и

uo(0) = 2d^ sin 0.

(5.28')

В (5,28') и далее знак модуля скорости v (0) опущен.

Приведем уравнение (5.28) к другому виду. После тригоно-
метрических преобразований

v(6)—2v'oq [sin0cosp.-|-(l — cos 0)sin [j.],

или

v (0) = 2v'^ sin 0 |^cos H-+tg sin j*

(5.29)

Представим скорость о'» как сумму двух составляющих:
вдоль направления бесциркуляционного обтекания (бесциркуля-
ционная составляющая) vkq и перпендикулярно ему (циркуля-
ционная составляющая) t>Lr (рис. 5.9, а). Тогда скорость на
контуре круга

v (0) = 2sin 0-и^о '-2(1 —cos 0)"О^Г,

так как

<o==<cos^ <r = <sinli-

Первое слагаемое определяет скорость при бесциркуляцион-
ном обтекании. Второе слагаемое пропорционально циркуляции,
так как из (5.7)

Г=-4«Л^

поэтому

или

®(е)“®о(9)+®г(8).

^(.4)=^ (e)-(l-cosS)—.

(5.30)

Формула (5.30) наглядно показывает, что скорость о(0) за-
висит линейно от бесциркуляционной слагающей скорости t'Lo
и от циркуляции Г.
При небольших углах атаки

гф)~2< sin в (1 H-jitg -L

(5.31)

откуда видно, что в данной точке скорость изменяется по линей-
ному закону от |л. На верхней части круга скорость увеличивает-
ся при росте ц, а на нижней почти везде уменьшается.

и к n	v (0)

На рис. 5.9, а дана величина —для круга при двух зна-
чениях угла атаки *.

Абсолютную величину скорости на контуре профиля можно
определить по формуле

(5'32)

* На рис. 5.9----при ц=0;----------при ц=10° для верхней части

круга;------— при р.= 10° для нижней части круга.
В точке схода потока при вычислении по (5.32) полу-
fl	л.

чается неопределенность вида _ , если выходная кромка профи-
ля является угловой. При нарушении конформности отображе-
ния в этой точке f' (02) = 0, поэтому

I а2ф I

-	.	(5.33)

V 1-.R I d2Z I

I rfC2 |

Рассмотрим, как изменяется скорость на контуре профиля
при изменении режима обтекания.

Формула (5.32) справедлива при любом угле атаки. Отноше-
ние скорости o(s) при произвольном угле атаки ц к скорости
vo(s) при бесциркуляционном обтекании

v(s) _ v(0) _ vo (°) т (е) _ । । °г (°)

М«)	vo(0) tio(0)	1 vo(0) ’

откуда

®(«)—®«W(l+tgy tg|i)—»0(») ^1—(1—cosO) ?	(5 34)

Давление на профиле можно определить из уравнения Бер-
нулли

। V2	,

р+р —=р« + р—-

где роо — давление в бесконечно удаленной точке,
откуда

Р=Р«+р-у

Для удобства сравнения разных профилей вводят безразмер-
ный коэффициент давления, на величину которого не влияют
граничные условия в бесконечности,

(5.35)

При кинематическом подобии, т. е. при постоянном угле ата-
ки ц, коэффициент давления х является постоянной величиной в
каждой точке профиля, что следует из формулы

ечтят- (5зб>
Модуль производной отображающей функции --- зави-

сит от формы профиля.

Таким образом, зная распределение скорости на профиле,
можно определить и коэффициент давления х из (5.35) и, откла-
дывая эту величину по нормали к профилю, построить эпюру
распределения х по профилю.

Однако такое представление эпюры х неудобно для построе-

ния, поэтому практически строятся условные эпюры, в которых х

откладывается от хор-
ды профиля. Напри-
мер, коэффициент дав-
ления в точке а выра-
жается отрезком а'а",
а в точке b — отрезком
Ъ'Ь" (рис. 5.10) *.

Так, для любого
профиля можно пост-
роить эпюру распреде-
ления коэффициента
давления х. На рис.
5.9, б дано х для круга.

Как видно из типо-
вой эпюры (см. рис.
5.10), подъемная сила
на профиле возникает

Рис. 5.10

в основном за счет раз-
режения на выпуклой стороне профиля. На вогнутой стороне про-
филя имеет место избыточное давление.

Кавитация на профиле, очевидно, может появиться в зоне с
минимальным коэффициентом давления. Для улучшения кавита-
ционных качеств профилей необходимо стремиться к увеличению
zmin и к более равномерной эпюре давлений на выпуклой сторо-
не профиля.

§ 5.7. Частные виды профилей

Ранее получены общие формулы, которые позволяют опреде-
лить подъемную силу, момент и распределение давлений для
одиночного профиля, если известна функция z=f(£), отобра-
жающая внешность профиля L плоскости z на внешность круга
радиуса /? в плоскости £.

Перейдем к исследованию обтекания частных видов профи-
лей. При этом возможны два направления исследования.

* На рис. 5.10 —• — •— для выпуклой стороны профиля,----для

вогнутой стороны профиля.

4-2484	97
Первое направление связано с изучением обтекания так на-
зываемых теоретических профилей. К теоретическим относятся
профили, которые имеют простую форму, представляющую неко-
торый практический интерес, и легко определимую отображаю-
щую функцию z=$(£). Такие профили сравнительно просто под-
даются теоретическому исследованию.

Второе направление связано с изучением профилей, приме-
няемых на практике и имеющих сложную форму, полученную
опытным путем. В этом случае теоретическое исследование
встречает трудности, связанные с нахождением отображающей
функции. В настоящее время существуют хорошо разработанные
способы нахождения отображающей функции в виде ряда для
профилей произвольной формы; правда, все они связаны с гро-
моздкими вычислениями [29].

Для выявления интересующих нас закономерностей, свя-
занных с формой профиля, необходимо провести . большое
количество трудоемких расчетов, что можно сделать лишь с
применением электронных цифровых вычислительных машин
(ЭЦВМ).

Исследование теоретических профилей при относительной
простоте позволяет сделать некоторые обобщающие выводы о
влиянии осйовных .параметров, определяющих форму профиля,
на гидродинамические характеристики крыла.

Перейдем к исследованию ряда теоретических профилей.
В первую очередь рассмотрим бесконечно тонкие профили.

Прямая пластина

Рассмотрим обтекание бесконечно тонкого профиля в виде
отрезка прямой длиной I (рис. 5.11). Несмотря на большую раз-

ницу в форме между реальными телесными профилями и бес-

Рис. 5.11

рис. 5.11) осуществляется функцией

конечно тонким профи-
лем прямой пластины,
выводы, которые полу-
чены по пластине, сыг-
рали определенную по-
ложительную роль в
теории крыла и теории
решеток, о чем будет
сказано далее.

Отображение пла-
стины плоскости z на

круг плоскости £ (см.
Жуковского

-тНт)-

(5.37)
В этом можно убедиться, приняв
С=е/в,
после чего

x=^-(e« + e-1')=ycose, у=0.	(5.38)

Следовательно, верхняя часть окружности при О^в^л
отображается на верхнюю .сторону пластины, а нижняя — на
нижнюю.

Общий вид отображающей функции, представленной в виде
ряда, определяется формулой (5.9). Сопоставив ее с (5.37), по-
лучим для пластины

откуда

т. е. бесциркуляционное направление совпадает с пластиной, а
ц=а.

Коэффициент, определяемый по формуле (5.15),

А5=8ет-— =2ч,

а коэффициент подъемной силы

Су=2тс81па.

Коэффициент момента при бесциркуляционном обтекании
(5.211

С.о=О.

Координата фокуса профиля (5.19)

это значит, что подъемная сила при обтекании прямой пластины
проходит всегда через точку, удаленную от входной кромки на
расстояние — .

• 4

Коэффициент km определяется по формуле (5.24) и равен
0,25.

Таким образом, коэффициент момента

C.=kJ!r
Скорость на пластине определяется из общих уравнений
(5.29) и (5.36):

v=2‘Vlx,r sin 9 (cos р 4- tg — sin pj I I .

Из (5.37)



£2-1

£2

| = — sin 9,
I 2

поэтому

v—2v„ sin 9^cosp.-|-tg -y- sin p)

2

I sin 0

После преобразования, так как р,=а, найдем

(cosa-]-sinatg-y-

(5.39)

При О<0<л получается распределение скоростей на верхней
стороне пластины, а при л<0<2л— на нижней. В точке 2 схода
потока, соответствующей 02=0, скорость

zj2 = 'Uo. cos a.

Точка разделения потока определится из соотношения

cosa-|-sinatg-^- =0

или

Тогда

tg-^- = -ctga=tg(y + «}

91 = т:-1-2а

и координата точки разделения потока на пластине

хх=cos (it -j- 2a) = —c°s 2a.

Учитывая, что

1 —cos 0

1 + cos 0
получим

V = V<

(5.41)

В формуле (5.41) знак плюс берется для верхней стороны
профиля, знак .минус — для нижней.

Как и следовало ожидать, при х= — у-скорость равна бес-
конечности. На рис. 5.12 показан характер изменения скоро-
сти V.

Рассмотрим элементарный участок пластины длиной dx и
охватывающий контур abed (см. рис. 5.11). Ввиду того что ско-
рости сверху ов и снизу vB раз-

ные, циркуляция по контуру
edba

4/Г=(г»н-т)в) dx,

откуда величина средней цир-
куляции для элемента dx

-y-==VW =®„—о,, (5.42)
dx

которую далее будем называть

погонной циркуляцией.

Таким образом, обтекание
бесконечно тонкой пластины

Рис. 5.12

можно отождествить с обтеканием вихревого слоя, в каждой точ-
ке которого находится вихрь интенсивностью у(х) (рис. 5.13).
Для пластины, как следует из (5.41),

(5.43)

Итак, получено, что суммарное течение от плоскопараллель-
ного потока со скоростью о.» и углом а с осью х и от вихревого
слоя у(х), распределенного по закону (5.43), равноценно обте-
канию бесконечно тонкой прямой пластины.

Обозначив

До= — 2®м sin а,
получим закон распределения вихрей для пластины (рис. 5.14)

(5.44)

Очевидно, что сумма всех вихрей в вихревом слое должна
быть равна циркуляции вокруг профиля:

Г= y(x)dx—-^~ Ао= —K-oUsioa. (5.45)

Анализируя полученные результаты, обратим внимание на
следующий парадокс. Как следует из теоремы Жуковского,
подъемная сила, действующая на пластину, направлена перпен-

дикулярно скорости и» (рис. 5.15). Разложив силу Р по осям,
получим слагающие Ру, перпендикулярную пластине, и Рх, дей-
ствующую вдоль пластины. Очевидно, что давление в любой
точке пластины направлено по оси у. Откуда же появляется
сила Рх, если отсутствуют силы трения?
Ранее получено, что на входной кромке возникает бесконеч-
но большая скорость, которая должна привести к бесконечно
большому разрежению в этой точке. В данном случае произве-
дение бесконечно большого разрежения на бесконечно малую
толщину пластины дает конечную величину силы, направленную
вдоль оси,

Рх— — Psina.

В действительном потоке реальной жидкости безотрывное
обтекание входной кромки невозможно. Н. Е. Жуковский пред-
положил, что вблизи входной кромки образуется вихрь, поэтому
скорость становится конечной, а поток обтекает пластину сов-
местно с образовавшимся вихрем. При обтекании этого вихря со
скоростью v возникает сила Рх, которую называют подсасываю-
щей силой (см. рис. 5.15).

Дуга окружности

Рассмотрим обтекание бесконечно тонкого профиля в виде
дуги окружности (рис. 5.16). Практически интересны для гидро-
машиностроения профили с небольшой относительной кривизной

Отображение внешней части круга плоскости & на внешность
бесконечно тонкого разреза плоскости z (см. рис. 5.16) осуще-
ствляется функцией [10]

г=г1+_2!_..	(5.47)

ч

Рис. 5.16

Это отображение осуществляется путем дробно-линейных
преобразований. Однако при отображении начало координат в
плоскости £i не совпадает с центром окружности. Поэтому пре-
образуем далее плоскость на £ при помощи функции
Тогда

а функция

(5.48)

(5.49)



дает конформное отображение внешности круга плоскости t, на
внешность профиля L плоскости z (см. рис. 5.16).

Разложим функцию (5.49) в ряд.

Так как

т?е1У' Г ।_______ niel>' . ,	> ___1_

С L С ‘ С2

при |С| >п,
то

z = e-^+ni+	+...»	(5.50)

откуда получаем

cl—relao—e~l>-, г=1, а0=— а;	1

c0=ni=isin л= — /sin а0;	(5.51)

<?_j—тРе0-=cos2 аое/х = cos2a0^-/a«. |

Угол бесциркуляционного обтекания определим из формулы
tg»0=—*8Х=-------------------^- = —2/.	<5'52)

При небольшой относительной кривизне приближенно
«„=-2/.	(5.53)

Направление бесциркуляционного обтекания можно полу-
чить, если соединить точку 2 схода потока с точкой максималь-
ного прогиба у=2п (см. рис. 5.16).

Из формулы (5.15)

а коэффициент подъемной силы

Cv=———sin (a — a0).	(5.55)

r COS a0
При малой кривизне профиля и небольших углах атаки

Су=2к(а4-2/).	(5.56)

Графически зависимость (5.56) представлена на рис. 5.17.
Видно, что увеличение кривизны f профиля приводит при прочих
равных условиях к увеличению коэффициента подъемной силы
и подъемной силы.

Коэффициент момента при бес-
циркуляционном обтекании опреде-
ляется по формуле (5.21)

Рис. 5.17

= _ARe(<e-'2") =

= —— sin 2я0.	(5.57)

4

Если принять
то

sin 2а0 » 2а0,

^ш0 =

(5.58)

Координату фокуса профиля найдем из (5.19)
zf—— cos3a0 — i sin3a0,
откуда

xf= — cos3 я,, = — zn3;

S/=-sin3a0=-ns.

Определяемый по формуле (5.24) коэффициент
, _____________________ 2 — COs2a0

или

£m^0,25,	(5.59)

так как значение cos2ao близко к единице при небольшой кри-
визне.

Приближенная формула для коэффициента момента

Си=к/+0,25Су.

(5.60)
Графически зависимость (5.60) выражается семейством па-
раллельных прямых (рис. 5.18).

Как следует из (5.55), подъемная сила, действующая на про-
филь в форме дуги окружности, зависит от угла атаки а и кри-
визны профиля f. Подъемная сила растет с увеличением геомет-
рического угла атаки а и кривизны профиля f.

Рис. 5.19

Рис. 5.18

Рассмотрим, при каких условиях профили в виде дуги окру-
жности и прямой пластины имеют одинаковые подъемные силы.
Подъемная сила для дуги окружности

t>2 о—

Л = Р "V-----------------sin (а, — а0) 1„

2 cos а0

а для прямой пластины

Р2=р —2-Z2 sin а,.

Очевидно, равенство подъемных сил обеспечено при условии

/1

cos я0

а2 = а1-«0-

Прямая пластина, имеющая подъемную силу, равную подъ-
емной силе другого профиля при любом направлении натекаю-
щего потока, называется эквивалентной пластиной, или гидро-
динамической хордой профиля. На рис. 5.19 показана эквива-
лентная пластина для дуги окружности.
Скорость можно определить по приведенной в § 5.6 методи-
ке. В общем случае на передней кромке — бесконечно большая
скорость. При а = 0 входная кромка будет точкой разделения
потока, и скорость на ней конечна; такое обтекание называют
«гладким».

Профили Жуковского

Плавное обтекание бесконечно тонких профилей невозможно
в общем случае, так как на передней кромке, не являющейся
точкой разделения потока, получается бесконечно большая ско-
рость.

Практический интерес к бесконечно тонким профилям огра-
ничен. Далее показано, что суммарные характеристики Су и Ст

Рис. 5.20

тонких профилей не отличаются существенно от характеристик
соответствующих телесных профилей. Однако распределение
скорости и давления на тонком и телесном профилях имеет су-
щественное различие.

В связи с этим представляет интерес исследование обтека-
ния какого-либо теоретического телесного профиля.

В качестве примера рассмотрим теоретические профили Жу-
ковского. Эти профили получаются следующим образом.

Функция (5.47) отображает внешность круга С\ (рис. 5.20)
плоскости на внешность тонкой дуги окружности При
этом конформность отображения не нарушается нигде вне
окружности. Если в плосткости Ci провести окружность С, каса-
тельную к окружности С] в точке 2, радиус которой несущест-
венно отличается от радиуса окружности Ci, то при конформ-
ном отображении (5.47) окружность С преобразуется в некото-
рый контур L плоскости z (см. рис. 5.20).

Профиль L, который получается в плоскости z при конформ-
ном отображении функцией (5.47) окружности С плоскости
называется профилем Жуковского. Очевидно, чем больше рас-
стояние в между центрами окружностей С и Сь тем больше
профиль L отличается от дуги и тем толще профиль Жуковско-
го. Таким образом, параметром е определяется толщина про-
филя Жуковского.

Далее следует найти функцию z=f(£), которая преобразует
профиль Жуковского плоскости z в окружность радиуса Й =
= 1+е с центром в начале координат и точкой схода потока на
действительной оси в плоскости £. При этом

С=(^ —w)ezx-j-e

или

Cj = (С — s) е~11 -\-ni=e~lK -|- til—ee-zx,	(5.61)

поэтому отображающая функция

z=e-»!:+;«-se->4--------.	(5.62)

e~'\ + ni — se“iX

Представив функцию (5.62) в виде ряда Лорана

z=e-nC+zn-«e-B+^|—(5.63)

получим

Cl=e~l\ г=1, а0=-Х;

с0= — [е cos «0 -J- Z (1 -ф- s) sin а0];

= cos2 aoe-Za».

Определим далее коэффициент подъемной силы Су. Из
(5.15)

где r= 1, R= 1 +е.

Длина профиля

Z=z2— z,,

где

। m2 о
гг=Ъ+ -—=2т;
^2

„ . т2	т~	4г2 + 4е 4- 2

z, =С 4----= — (1 4- 2е) т-------— =--------—-— т-,

1	(l+2e)m	1 +2е
тогда

/=4т

(1 + 8)2

1 + 2е

(5.64)

и

2л	1 +2е

COS а0	1 + 8

Если параметр е невелик, то



2л

COS яц

(1-Р-е2).

(5.65)

Направление бесциркуляционного обтекания, определяемое
углом ас, найдем из

tg«0=-2/,

где f — относительная кривизна «скелета» L\ профиля.

Таким образом,

С,= —------^1-sta («-»„)	(5.66)

* COS а0 1 + е

или при небольшой кривизне и толщине профиля

Су «2^(14-8-82) sin (а 4-2/).	(5.67)

Из (5.67) можно сделать вывод, что коэффициент подъем-
ной силы для профиля Жуковского больше, чем для тонкой ду-
ги окружности. При этом подъемная сила тем больше, чем
больше толщина профиля, определяемая параметром е.

Угол ао, определяющий нулевое направление, одинаков для
тонкой дуги окружности и профиля Жуковского с той же отно-
сительной кривизной «скелета».

Коэффициент момента при бесциркуляционном обтекании

(ity sin2[,°'	(568)

или

Ст0«тс/(1 — 2е2).	(5е9)

Из (5.69) видно, что толщина профиля, определяемая пара-
метром 8, слабо влияет на величину Ст0. Основным параметром,
определяющим Ст0, является относительная кривизна профиля.

Далее найдем из (5.24) коэффициент

_ xf-Xl
где

^-«-А(2 + 2^+...),

а из (5.19)

\ • I cos2 ’О6
scosoj + ifl + ujsinaj------------

Итак,

^=4-(ч-2>!)-	<б7°)

При получении приближенных выражений отбрасывались
члены, содержащие е3, е4,как малые по сравнению с едини-
цей. Таким образом, на величину коэффициента km толщина
профиля не оказывает существенного влияния.

Закон распределения скорости на профиле Жуковского мож-
но найти по методике, изложенной в § 5.6.

Из уравнений (5.28) и (5.36) скорость на профиле

Zj=2T/0Or[sinp.-|-sin(9 —р.)] |	| .

Далее на основании формул (5.47) и (5.61)

— / 1 т2 \с-п.

dt dti rfC	j

и

при

С1=рг/ш (см. рис. 5.20);
тогда скорость на профиле

_ ,2t>oo [sin [л + sin (6 —|л)]	(5.71)

/„m2	щ*

'~2-^Г“’2“+~

Предварительно необходимо установить соответствие между
точками профиля и точками окружности. Это можно сделать
аналитически по формуле (5.62) или графически, используя ме-

тодику, разработанную для графического построения профиля
Жуковского [10, 18]. Все построения очевидны из рис. 5.21.

Из (5.71) видно, что в точке схода потока получается не-
определенность, раскрыть которую можно по формуле (5.33).

Из (5.8)

„J
°° L с2 1 сз

и в точке схода потока £2=/?= 1 + е

«С2	1 + е	1 + е

Далее имеем

d^z __ tf2z 7 rfCi \2 I dz dKi

Л2 d$ \	+ dCi ‘ rfC2 •
Из (5.61) следует

а из (5.47)

| ^1_| = ] I
I rfC I ’I

rf2Z 2/n2

Так как для точки схода потока

1\ = т,

I rf2z I =_2_

| dC2 |C = C2	m ’

откуда, так как
-noo = -uooi

получим скорость в точке схода потока на профиле Жуковского

'V2 = 'VX cos i* ~~--.	(5.72)

Практические профили

Рассмотрим профили, которые нашли практическое приме-
нение в гидромашиностроении. Эта серия профилей получена
путем «одевания» дуги окружности симметричным профилем.
В основе данной серии профилей лежит симметричный профиль,
координаты которого приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

—— %	0	0,5	1.0	2,5	5,0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Утах Утах	0	15	24	40	54	71	90	98	100	88	75	59	40	20	0

Для получения несимметричного профиля следует взять дугу
окружности, имеющую необходимую относительную кривизну f,
и от этой дуги отложить вверх и вниз одинаковые отрезки
Ув=Ун- Относительная максимальная толщина профиля

?(%)= -^ai .
Таким образом, можно получить профиль с любой относи-
тельной кривизной f и толщиной с (%).

Для ряда профилей данной серии теоретическим и опытным
путем определены гидромеханические коэффициенты. Отобра-
жающая функция находилась в виде ряда Лорана по методике,
изложенной в работе [29]. Результаты расчетов приведены в
табл. 5.2.

Таблица 5.2

/	"с, %	«0	",	Ст0	
0,015	3,0	1°33'	6,43	0,0442	0,254
0,02	6,0	2°15'	6,61	0,0607	0,258
0,03	9,0	2°45'	6,75	0,074	0,262
0,04	12,0	3°20'	6,96	0,0895	0,266

Если сравнить полученные данные для реальных профилей
и профиля в виде дуги окружности, то можно заметить, что ве-
личины ct0, Ст0, km отличаются незначительно. Это значит, что
ао> Сто, km в основном зависят от относительной кривизны про-
филя а толщина с (%) сказывается слабо. Однако на величи-
ну kv толщина оказывает* существенное влияние. Аналогичные
выводы были получены для профилей Жуковского.

Итак, в ряде приближенных расчетов возможна замена телес-
ного профиля тонким профилем в виде дуги окружности с той
же относительной кривизной *.

ГЛАВА VI

ОДНОРЯДНАЯ РЕШЕТКА

Из схем, показанных на рис. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, видно, что боль-
шинство гидравлических машин имеет несколько лопастных си-
стем (решеток). Обычно это неподвижные направляющие аппа-
раты и вращающиеся рабочие колеса. В гидротрансформаторах,
например, последовательно по току жидкости устанавливают не-
сколько турбинных рабочих колес и несколько направляющих
аппаратов. Естественно, что решетки всех рабочих органов ока-
зывают взаимное влияние друг на друга. Далее будет показано,
что с увеличением расстояния между решетками взаимное влия-
ние их ослабевает и тогда в первом приближении можно иссле-
довать обтекание изолированной однорядной решетки.

* Г. В. Викторов. Моментные характеристики профилей. НДВШ —
«Энергетика». «Советская наука», 1959, № 1.
§ 6.1. Обобщение формулы
Жуковского для подъемной силы

В § 4.5 была получена обобщенная на прямую решетку фор-
мула Жуковского для подъемной силы. В данном параграфе из
чисто методических соображений дадим иной вывод этой фор-
мулы [19].

Определим подъемную силу, действующую на профиль не-
подвижной прямой решетки, обтекаемой идеальной жидкостью.
Пусть скорости перед решеткой vj и за решеткой v2 известны.

Рис. 6.1

Ввиду того что течение является периодическим, подъемные си-
лы на всех профилях решетки одинаковы.

Выделим объем жидкости при помощи двух линий тока АА'
и В В' (рис. 6.1), смещенных на шаг t решетки, и двух отрезков
АВ и А'В', параллельных линии решетки. Границы объема АВ
и А'В' выбраны на таком удалении от решетки, где поле скоро-
стей равномерно. Внутри выделенного объема находится один
профиль решетки.

Для определения подъемной силы воспользуемся формулой
механики

(61)

dt	4

где R — вектор всех действующих сил по границам объема;
d\mv)—изменение количества движения жидкости при
протекании через границы выделенного объема.
Границы АА' и ВВ' являются линиями тока и через них нет
перетекания жидкости. Количество движения жидкости, вытека-
ющей через границу А'В' за время dt,

mv2=^vmt dtv 2,

а втекающей через границу АВ

тох=^1 dtvv

(не следует путать здесь обозначения шага t и отрезка времени
dt).

Отсюда

(6-2)

Обозначим через Р вектор силы, действующей со стороны
жидкости на профиль. Тогда сила на границе выделенного
объема

где pi и Р2 — давления соответственно перед и за решеткой;

I — орт оси х.

Отсюда

A) ti—R

или в проекциях по осям координат

p^-pji-р, I	(63)

Из формулы (6.2) следует, что /?х=0, так как нет изменения
количества движения по оси х, а

Л, (fa,(6-4)

Выразим изменение давления (pi—Рг) через скорости. По
уравнению Бернулли

1	"1	_L

а+р — =а+р—.

или

Р1 - Р2—~^ (^2 — «1) = Y	- ^1«)	(6.5)
Подставив значения Ry и (pt—р2) из (6.4) и (6.5) в форму-
лы (6.3), получим

Очевидно, что

г=(®1«-“!«)<

есть циркуляция скорости вокруг профиля.

Воспользуемся понятием средней векторной скорости

’- = у(’| + Ч

введенным ранее (см. § 4.1). Скорость и» характеризует пло-
скопараллельное течение, не возмущенное решеткой. Из вектор-
ного уравнения следует, что

Подставим эти соотношения в (6.6):		
Отсюда	Р,= —рг>_„Г. j	(6.7)
где	| Р | = р-Ц=еГ,	(6.8)
Из (6.7) следует	О== = У/ +	•  PxrU'»m-\-Py'U«,u = Q,	(6.9)

что является условием перпендикулярности векторов Р и о».

Итак, получена обобщенная на прямую решетку формула
Жуковского (6.8).

Формула (6.8) справедлива и для равномерно двигающейся
решетки. В этом случае вместо скорости необходимо подста-
вить среднюю векторную относительную скорость

w» = у (w,-{-®2),

где W\ и w2 — относительные скорости потока перед и за ре-
шеткой.
Из приведенного вывода видно, что решетку профилей мож-
но заменить эквивалентной решеткой вихрей интенсивностью Г
с шагом t. При этом подъемные силы на профиль и вихрь будут
одинаковыми.

Подъемная сила в решетке при обтекании вязкой жидкостью
определена в работе [25].

§ 6.2.	Коэффициент подъемной силы

Как и для одиночного профиля, введем понятие коэффици-
ента подъемной силы профиля в решетке

С„=------.	(6.10)

где Voo — средняя векторная скорость;

I — длина профиля.

Посмотрим, как изменяется Сур в зависимости от парамет-
ров решетки и потока.

По формуле Жуковского

P=po_r=fwe(zi!„-®1B)Z.

Подставив это выражение в (6.10), получим

С -2 —(6.11)
I v«,

Из уравнения связи для циркуляций (2.11)

Так как (см. рис. 6.1)

z)ooU=ti00 sin = у (^1«+®2И); I

•0,,=^ cos|U	<6Л2)

T>]U=27U sinpM —T)2/1,	)

то, подставив (6.12) в (2.11), найдем

(14- k) v2u=2k'v<a sin р=о + (1 — k)tgpox>» cos po=,
или

^=®.cosp.(^4rtg₽-+47FlgPo)- (6'13)

Из формул (6.12) и (6.13)

г»1И='У~ cosp„ ( t  tgPoo-J-^-tgPo j. (6.14)
Вычитая из v2u величину viu, получим

COSP- !~* (tg^-teP-)^

1 + k

=й. 1-6 sm (ft,(6 il5;

1 + k	COS ft)

Отсюда

сч>=44—^7-—Vsln (&-₽"’	(6.16)

l 1 + k COS ft)

Назовем угол между направлением бесциркуляционного об-
текания и направлением средней векторной скорости (см. рис.
6.1) гидродинамическим углом атаки и обозначим его через ц.

Т огда

C,pn=AJpsinp.	(6.17)

fr=V--?o=Po-P-).

где

есть безразмерный коэффициент, зависящий только от геомет-
рических параметров решетки.

Формула (6.17) показывает, что коэффициент подъемной
силы Сур имеет такую же зависимость от угла атаки, что и для
одиночного профиля. Формула (6.16) удобна тем, что она дает
зависимость Сур от применявшихся ранее параметров решетки
k и Ро-

Итак, при определении связи для циркуляций и подъемной
силы в решетке необходимо знать гидродинамические парамет-
ры решетки k и р0. Разберем далее методику определения этих
параметров.

§ 6.3.	Метод конформных
отображений

Применяя метод конформных отображений для исследования
обтекания различных тел, находят конформное отображение
области течения на некоторую вспомогательную плоскость, где
течение можно легко определить. Чаще исследуемый профиль
стремятся отобразить на круговой цилиндр, обтекание которого
известно.

Течение в прямой решетке периодично. Поэтому достаточно
найти течение в одной горизонтальной полосе шириной t
(рис. 6.2). Отобразим полосу шириной t плоскости z на плос-
кость z\ (рис. 6.3). Сделаем это при помощи функции

zx — e * .	(6.18)

Действительно, обозначив z=x+iy и Z\=R\eu*, получим

При этом отображении линии х =
= const переходят в окружности
7?i=const, а линии у = const — в
лучи ej = const. При г/=0, ei = 0,
ПРИ y=t, 81 = 2л.

Отображение дает следующее
соответствие точек:

Течение в плоскости z происходит от вихреисточника (q,
Г]), расположенного в точке х=—оо, к вихревому стоку (—q,

Рис. 6.3

—Гг) в точке х=+оо. Здесь q=vmt, Г1=И1и^ —Г2=»2«^ Знак
минус при Гг объясняется тем, что при положительной величине
v2u циркуляция относительно точки х=+оо отрицательная.

Известно, что при конформном отображении интенсивность
источников и вихрей не меняет своей величины. Это значит, что
мы имеем на плоскости Zi обтекание одиночного профиля L\ от
вихреисточника (q, Г1), расположенного в начале координат, к
вихревому стоку (—9, —Г2) в бесконечно удаленной точке.

Отобразим промежуточную плоскость Z\ на плоскость £ так,
чтобы контур профиля перешел в окружность единичного ра-
диуса с центром в начале координат (см. рис. 6.3). Пусть функ-
ция

*1-/(0

переводит также точку Z]=0 в точку действительной оси
£=—а и /(оо) =оо.

Чтобы решить задачу до конца, необходимо определить те-
чение, которое имеет место при обтекании круга единичного ра-
диуса в плоскости £ от вихреисточника (<?, Г1), расположенного
в точке £==—а.

§ 6.4.	Обтекание круга
от вихреисточника

Комплексный потенциал
и комплексная скорость

Найдем комплексный потенциал и скорость при обтекании
единичного круга от вихреисточника q, Г] (рис. 6.4), располо-
женного в точке £=—а, к вихревому стоку в точке £=оо.

Предварительно покажем, что течение от двух источников
q, расположенных в точках £=— a, £=-----— и стока (—q) в

а

точке £=0 дает одну из линий тока в виде окружности единич-
ного радиуса (см. рис. 6.4). Комплексный потенциал такого те-
чения [19]

ФГО=<?+^=^-[1п(С+«) + 1п(с+4-)-1п:

Приняв для произвольной точки окружности (рис. 6.5)

С=е«, С + <г=Л!е'Ч

получим

?=-/- (ln/?,+lny?2-lnl)=-Z- In

Ф=^- (Ч+Л-е).

Из треугольника ОМК видно, что углы его равны л — 0, Хь
Х2, так как треугольники OML и ОМК подобны. Далее
(Тс_е) + Х1 + Х2=л

и

Это значит, что на окружности К=1 функция тока ф = 0
янна, т. е. эта окружность является линией тока.

Далее докажем, что те-
чение от вихрей Г1 различ-
ных знаков, расположен-
ных в симметричных отно-
сительно окружности точ-
ках t=— а и
имеет эту окружность ли-
нией тока. В этом случае
(см. рис. 6.4, 6.5)

имеем

посто-

,	Г	.	Т?2

Ф =-------------1П ------—.

Т	2л /?1

Из
ников
дует

подобия треуголь-
OML и ОМК. сле-

/?2

-г——а-

Итак, получили, что

Ф=const

и окружность |£| = 1 является линией тока. На основе приведен-
ных доказательств можно написать комплексный потенциал обте-
кания единичного круга от вихреисточника (см. рис. 6.4)

ф (с) = izJL. ln(C+o)+^±S_ta П

2л	2л \ а )

где

In с,
2л

(6.19)

Г2 —Г1=Г

есть циркуляция вокруг круга.
Скорость течения определяется из уравнения

Q —	1 I ? + 'П 1	? + /Г2 1

U 2л С + а ' 2л  с _1_ 2л ‘ С ‘

а

(6.20)

Бесциркуляционное обтекание

Определим критические точки на окружности |£| = 1 при бес-
циркуляционном обтекании, когда Г1 = Гг = Го, Г=0. При этом

g—Д?о	(С-Ср)(С — С2)

2л	/	1 \	’

С(С + а)(с+ -)

где координаты критических точек £0 и определяются из урав-
нения

С2+(1 + е~,2т«) — 4- eZ2To=0.

(6.22)

Заменим параметр а другим параметром v так, чтобы

cos То
cos V

(V

(6.23)

Тогда уравнение (6.22) будет иметь вид

С2 2'Cos ve-/X 4-	z2To=0,
и корни уравнения

Со,2= — cos ve~li« ± ]/ cos2'^-'2^—е_/2ь=
— е-*ь( —cosv + Zsin>)=e(,:_To±’')i,

При обтекании круга, изображенного на рис. 6.6, имеем

Cq=eis°=ег(®~то+'

Критические точки лежат
на хорде, параллельной на-

правлению невозмущенного
потока в центре круга.

Распределение скорости
на окружности при бесцирку-

ляционном обтекании нахо-
дим из формулы (6.21). Для
этого сделаем ряд преобра-
зований:

Рис. 6.6

— Со=е™ — е'е°=21 sin

П й 1 11 + 92

— Cjj=е!6 — е‘9г = 2i sin-^~е 2 »

(С-У(С-У= —4sin 8~1п sin ."-°8

(C+a)fc+-i-W2cose + a+—

Подставив значения этих выражений в формулу (6.21), най-
дем

д —

*о(6)=-

2 cos 0 + а +

геЧЗо-о). (6.25)

Другое выражение для скорости можно получить, если в фор-
муле (6.21) заменить
После тригонометрических преобразований имеем

2[sin(e-₽0)--^-]

vо(0)=	---t-----------*—=L fcW.-e).

' 2ла , 2cos0 1

1 + ~7- + —

Так как сопряженная скорость невозмущенного потока в
центре круга

sin 8П

sin(0 —р0) —--

^(e)=2^------------------Г” (/е-'в)-

1 + —Г“+ а>

(6.26)

Легко убедиться, что при а — оо формула (6.26) переходит
в формулу (5.28'), полученную для случая обтекания круга
плоскопараллельным потоком.

Обтекание с циркуляцией

При циркуляционном обтекании круга полагаем, что точка
схода потока £2 не изменяет своего положения при изменении
циркуляции, поэтому согласно уравнению (6.20) имеем

й(г )= ?-'Г1 . —1—_L 1 + if. .—1-----------i + п:, ,_!_=0.

' 2я t2 + а 2л	1 2л С2

(6.27)

Сгруппировав члены и приведя их к общему знаменателю, по-
лучим

1
г 2 _ 1	о------

Ч------1------—+'г1-------------2——-------->г2— =0,

+	+	«г + а)(с2+y) С!

или

Сг «—	’	.	(-2 _ I

г2=-------Г, +-1-------------------L------	(6.27')

(^2 + а) (^2 + ~J	(^2 + а) ^2 + ~j
При Г1 и q стоят коэффициенты, зависящие от о и от коор-
динаты точки схода потока g2. Иначе,

где

Г2=ЛГ1-|-^,

(6.28)

с=(1 — ^) tg ₽0=

Принимая £2 = е‘°’, найдем

k.

Д2_ 1

a? + 2а cos 62 + 1 ’

___ 2 (q cos 62 + 1)

а2 -(. 2а cos 62 + 1

»g₽o = '

(6.29)

Итак, получено уравнение связи для циркуляций при обте-
кании круга от вихреисточника. При этом параметры k и р0
выражаются через координату £2 точки схода потока и пара-
метр а. Уравнение (6.28) справедливо также и для решетки, у
которой при отображении

W0

выходная острая кромка перешла в точку g2, а точка г=—оо —
в £=— а.

Преобразуем уравнение (6.20) и определим распределение скорости на
круге. Приведем уравнение (6.20) к общему знаменателю:

Воспользовавшись формулой (6.27) и проведя преобразования в квад-
ратных скобках, получим

(? — гГ2) £2 ~	— *Г2) С2 — (q + /Г2) —-	I С — (q + zT2)

» К) =-------------------L------------------------------------------------

2л!; (С + а) к + -Ц
Если

Преобразуем числитель, приняв

С2 = е,в»,

С2 _	_ е И2₽.-в«)] с _ е^г = &_ i2 sin (02	_ gi2?, =

= (С-С1)(С-С2).

Здесь £i и & — корни уравнения:

£2 — 2z sin (02— р2) Л — е12?г = 0;

С1,2 '= ‘ sin (02— ₽2)ez$s ± V е‘'2?2 — sin2(02— р2) ^12₽2 = ± е1^1 е±1^2~^^;

_ g/Oi = _ eZ(Os-20s) — gi(n-02+2p2).	1

’	(6-30)

С2 = е^.	J

На рис. 6.7 показаны критические точки на окружности. Как видно из
рисунка, критические точки находятся на прямой, образующей угол рг с дей-
ствительной осью.
Таким образом,

(с—«'“> [е

2Я ’ ^+40 ’

(С —С1)(С —С2)

Ы~ 2л 	/	1	1 \ •

4 + T + » + v)

На контуре круга

£ = ?«,
ia

-(0)= 9-*г2 (eie-elt‘)(elt-el,l‘)

2П eZ2o(2cos0 + a +y)

После преобразований, аналогичных проведенным [ см. формулы
-s-6.25)], получим

О — 0j 0 — 0,

4 sin-------— sin ----—

Г(0) = -	•---------------------р-------

2 cos 0 + а + —

а

Если принять

(6.31)

(6.32)

(6.214-

Итак, модуль скорости на окружности при циркуляционном обтекании

(6.33)

Посмотрим, как изменяется скорость в произвольной точке окружности
при изменении величины циркуляции.

Из (6.28) следует, что при бесциркуляционном обтекании,
когда

Г1=Г2=Г0,

тогда

To=tg ₽0 q\

Г2 = £1?! + (1 — £) Го.

(6.34)
Циркуляция вокруг цилиндра

Г=Г2 —Гц
поэтому из (6.34)

Подставив значения Г1 и Гг из (6.35) в (6.20), получим
»(С)=МС) + МО.

(6.35)

(6.36)

где v0 (£) — сопряженная скорость при бесциркуляционном обтекании, опреде-
ляемая по формулам (6.25) и (6.26), а

есть изменение сопряженной скорости, пропорциональное циркуляции Г.

Если взять значение k из (6.28), подставить в (6.37) и привести к общему
знаменателю, то

- /н - tT k (С~-С2)(С-&

На окружности £=eZ0 , поэтому

или

Тг(») = Д—----------------.(.) Г. (6.39)

л 1 — я	1

2 cos 0 + а + —
а

§ 6.5. Решетка прямых пластин

Из изложенного в § 6.3 и 6.4 ясно, что для исследования
прямой решетки необходимо найти функцию z=f(£), которая
отображает внешность профиля L одного периода решетки на
внешность круга единичного радиуса. Получить эту функцию
для решетки произвольной формы можно довольно сложным
путем и лишь приближенно.

Решим сначала эту задачу для прямой решетки, которая име-
ет простейшую геометрическую форму. Рассмотрим решетку,
состоящую из бесконечно тонких прямых пластин (рис. 6.8, а).
Несмотря на существенное отличие от реальных решеток телес-
ных профилей, исследование решетки из прямых пластин
занимает важное место в теории решеток по следующим при-
чинам:

во-первых, благодаря простоте геометрической формы удает-
ся легко определить отображающую функцию и исследовать
гидродинамические характеристики решетки в функции геомет-

Рис. 6.8

рических параметров; выводы, которые будут получены, в пер-
вом приближении могут применяться и для телесных решеток;

во-вторых, при решении ряда задач теории решеток исполь-
зуются результаты, полученные для решетки пластин;

в-третьих, в некоторых случаях решетку телесных профилей
можно заменить эквивалентной решеткой пластин (такие при-
меры будут встречаться ниже).

Отображающая функция

Геометрия решетки определяется величинами I, t и у (см.
рис. 6.8, а). Решетки, которые имеют одинаковые величины —
и у, геометрически подобны. С гидродинамической точки зрения,
геометрия решетки пластин определяется всего двумя парамет-
рами: густотой решетки— и углом наклона пластины к линии
решетки у.

Функция Zi (6.18) отображает полосу шириной t на пло-
скость Z\.
Уравнение .профиля в плоскости z

или в комплексной форме

г=х+<4,=х(1 + -Л-).

Уравнение профиля в плоскости Z\ определится из выражения

z,=^ie<-=e' '
откуда

-^-х 2л 1

М =	е,=----х------.

t tg т

Исключив из этих двух уравнений -у х, получим уравнение
логарифмической спирали

/?i=es* tg т,

которая имеет постоянный угол с окружностью, равный в нашем
случае углу у (рис. 6.8, б).

Можно написать комплексный потенциал бесциркуляционно-
го обтекания отрезка логарифмической опирали в плоскости z\.
Известно, что течение от вихреисточника имеет линией тока ло-
гарифмическую спираль, поэтому при Г1 = Гг=Го

(6.40)

Из (6.19) получим комплексный потенциал бесциркуляцион-
ного обтекания круга в плоскости t,

1пЙ-Д)-4±^1п:. (6.41)

Приравнивая комплексные потенциалы (6.40) и (6.41), най-
дем отображающую функцию

q--±-
2л 1 2я

In(C+«)+^-!JLi 1П(с+— j-i+Jb inC.

2л]	\ a / 2л

После преобразования

1пг,=1п(С+а)+^±^1п( 1+-М

1 — zT0 \	/
Так как

tgv=—,
J-0

9 — /Го

1пз:1 = 1п(^-|-а) —4- a)-|-e_Z2Tlna.	(6.42)

После логарифмирования в формуле (6.18) получим

и тогда

-y-z=ln(C-|-a)-e-I2T 1п(^- +«) + <?-i2T Ina.	(6.43)

Последний член формулы (6.43) является постоянной вели-
чиной и характеризует положение решетки относительно начала
координат. Не нарушая общности решения, отбросим постоянную
в (6.43), что равноценно сдвигу решетки, и получим более про-
стую запись функции

-у- г=1п(С+<г)-г-'!Чп(^-+а)	(6.44)

которая дает конформное отображение внешности решетки пла-
стин плоскости z на внешность единичного круга плоскости £.

В формулу (6.44) входит параметр а, зависящий, очевидно,
от • геометрических параметров решетки. Найдем эту зави-
симость.

Точки 0 и 2 пластины и круга являются критическими точка-
ми при бесциркуляционном обтекании; конформное отображе-
ние (6.44) устанавливает соответствие между координатами этих
точек. Отсюда

z2 = In (С,-J- a) — е~‘^ In	а

(6.45)

—- z0 — In (Со а) — е-/2т In [—-—|- а

/	\ Ср /

или, вычитая из первого уравнения второе, получим

I

—; (г,-г0) = 2« — ie-'i= In	+ “ -е-Ъ In —.

t	t	Со +а	1
Приравняем действительные части этого уравнения:

2те -у- sin Y=In |	+ а | ~ cos $Y

Сг

1

Со

(6.46)

Координаты точек £о и определены формулами (6.24).

В рассматриваемом случае у0=у-

Не останавливаясь на преобразованиях, запишем результат:

Ь+*1=

I Со I	cos v

arg(C0+a) = arg(-l-+o )=—(||L

arg(C,+a)=arg(-i-4-a)=(y-^;»).

(6.47)

После подстановки (6.47) в (6.46) получим выражение

к —= sinvln ^"б' + ч) _1_(I_2,)COSY.	(6.48)

t	sin(v —•()

устанавливающее связь между геометрическими параметрами
решетки (~> Y) и параметром а отображающей функции (6.44).
При этом

a=_cosJL_	(6.49)

Коэффициент прозрачности
решетки

Для вычисления коэффициента прозрачности воспользуемся
формулой (6.28)

.	Д2 — 1

k= —•

(С2 + а) I —- — + а )

\ С2 /

На основании (6.47)


откуда

COS2 -( — COS2 \
sin2 (v + у)

После тригометрических преобразований

(6.50)

sin (v — у)
sin (v + y)

Для частного случая решетки, когда у= 90°, на основании
(6.48) и (6.50)



;ИЛИ

(6.51)
На рис. 6.9 дана номограмма для определения коэффициента
прозрачности k в зависимости от геометрических параметров
решетки пластин.

Коэффициент подъемной силы

Коэффициент подъемной силы можно определить по форму-
ле (6.17) для известных значений —, у.

В частном случае решетки, когда у=90°, получим на основа-
нии (6.51)



=4 ±- th

I 21

Сур=4у1Ь^-81п

Известно, что для одиночной пластины

Су=sin [л;
тогда

Это значит, что коэффициент подъемной силы для пластины
в решетке с у = 90° меньше, чем для одиночной пластины при
одинаковых гидродинамических углах атаки.

На рис. 6.10 дана номограмма для определения kyp решетки
пластин в зависимости от геометрических параметров решетки.

Распределение скорости
на пластине

Вследствие слишком большого отличия пластин от реально-
го профиля распределение скорости и давления на пластине в
решетке не представляет интереса и поэтому здесь не рассмат-
ривается. Отметим только, что распределение скорости вдоль
пластины в решетке, полученное в работе [19], является качест-
венно таким же, как и вдоль одиночной пластины (см. рис. 5.12).
Этот вывод использован далее при решении обратной задачи
теории решеток.

Момент. Фокус профиля

Для вычисления момента подъемной силы относительно начала координат
следует взять интеграл

J = \ v^z dz.

На основании (6.36) запишем v(z) как сумму

v(z') = v0(z) + 'vr(z).

Тогда

J= J Vq zdz + 2 С vovtzdz + [ ~v^,zdz.	(6.52)

_ Ясно, что при бесциркуляционном обтекании решетки пластин скорость
г>о=const для всех точек плоскости, поэтому первый интеграл в (6.52) равен
нулю.

Вычислим второй интеграл:

J2 = 2v0 J vrzdz = 2v0 f ur(C) z

Заметим, что

v0 = v0(—lel1).
Далее на основании (6.44) и (6.38) имеем
, t «Т _______________k Ге (Г-

/! = 2<’»йГ' 2л - 1—* I з ~

In (5 + a)dl—

K-W (C-Гг)

(6.53)

Здесь C — контур интегрирования, охватывающий единичный круг плос-
кости 5; точка 5= —а находится вне этого контура (см. рис. 6.8, в); подынте-
гральная функция первого интеграла имеет внутри контура С в точках 5=0,

5= —— полюсы первого порядка. Известно, что в этом случае интеграл равен
а

сумме вычетов подынтегральной функции в точках 5=0 и 5= ——. умножен-
а

ной на 2л».

Если функция F (5) имеет в точке 5=6 полюс первого порядка и она
определена как частное двух регулярных функций

F(C) = -^-,

' Ф (О

где ф(6)=0, ф' (Ь) =£0, <р (6) =5^=0, то вычет этой функции в точке 5=6 равен

Отсюда



так как

= 2лг

Ina —

In

'2ni L,
= - p In a — In

(6.54)

а следовательно,
Подынтегральная функция второго интеграла (6.53) имеет вне контура
интегрирования С в точке £=—а полюс первого порядка, а в точке £=оо—
нуль первого порядка. Известно, что сумма вычетов во всех особых точках
замкнутой плоскости £ равна нулю, поэтому

F2 (С) rfC + 2л/ res F2 (— а) + 2ni res F2 (oo) = 0,

или



(т + “)Л"

= — 2л/ [res F2 (— a) 4- res F2 (oo)].

Напомним [21], что в окрестности бесконечно удаленной точки, являю-
щейся нулем функции, разложение в ряд Лорана имеет вид

откуда

res F2(oo) — — c_i = — limCF2(C);
следовательно,

Суммируя результаты (6.54) и (6.55), найдем

-2|»0|Г-^ 	(6.56)

Перейдем к вычислению третьего интеграла (6.52):

»г (О -

Or(C)z(QdC.

(6.57)

Дифференцируя отображающую функцию (6.44), получим

dz
dl

2л

+ (1 + е-,г' )	+ е-п’

',;+4 + т)
В этом уравнении числитель обращается в нуль в точках £=£о и £=£2, где на-
рушается конформность отображения. Координаты точек to и £2 определены
формулами (6.24), поэтому

X In « + а) Л - е~

J <. — Qo

(С-С2) (С-С2)

с«+4+^)

К . (6.59)

Вычисление интеграла J3 проводим так ж:е, как и интеграла Л- Здесь
подынтегральная функция первого члена имеет внутри С полюсы первого по-
рядка в точках t=0, £=——: t=to, поэтому
а

° ° •**4* v)

+ (Со-С2)

1п (Со + а)

(Со-С2) (Со-С2)

<№ + «)(Со+-у

На основании (6.55)

(С-С2)(С-С2)
ск + 4+i)
Так как из (6.24)

ТО

= е12\
Со

Из соотношений (6.47) и (6.50)

ъ2+ а С2 С2 + д _ е,2т .

и , 1	"Со + а k

Со+ а

Т2 +д = 1

Со + a k '

Кроме того,

Cofa----

к (Со-С2)(Со-С2) _ 1 k_ Ч

Со (Со + «) (Со + -у)	(Со + а) (Со + у-)

Подставив полученные промежуточные результаты в (6.59), найдем

Л  т“г)’ [(с'!’ - в"'!,) 1п ° - i<е'” - е~1П 1)+

/	1 \	1 Г2 1 + k

+ (1 - el2f) (1 - — ) In (Co + «)] 2m‘ = — • -у—у X

X | etf sin 7 In (Co + «) — J^ln [a — — j — £21naj}.	(6.60)

Итак, момент относительно начала координат

М = хР,-уР,<-х'Ру1 -у'Рх. =--1-Ке(/2 + Л),	(6.61)

где Рх, и Ру, — проекции подъемной силы на оси координат х', у'
(см. рис.. 6.8, а)-.

Рх, =— IP | sin [л, Ру, = — | Р | cosja, (р-> 0).

Из рис. 6.1 следует, что
sinf~ Z	• X

00 = 0» —-----= ом (cos р. + ctg 7 smр.);
тогда

о	t sin7 Г, /	1 \ I

— -z-Re J2 = — pvj? — ' -Г,--ln(a— — —ftln a (cosp.+

2	л (1 — k) [ \ a/ J

+ ctg 7 sin ц) = — Г In a +	* — In (1 — — j I (sin fP , + cos 7 Px,). (6.62)

л L 1 —«	\	a1) J

Далее заметим, что на основании (6.8) и (6.10)

Г - у с^-‘ “ а • "77?

поэтому

Г 1 +* . о f
— • {_k sin 7 = 2 — 0^ sin I*.

Подставив это значение в (6.60), найдем

— -у Re J3 = — рп^Г р?е [ez* In (^ + а)] —

v)-4!,"“]}s'"p-

а, следуя (6.47),

Re In (i;0 + a)] = cos 7 In | Со + а I — sin 7 arg (Со + а) ==
, sin(v — 7)	( л	\ .

— cos 7 In-------+ Т--------'' sin 7;

cos v	\ 2	/

тогда

- j-	2[щд +-L- 1„(1 -4)1] X

2	Л ( COSV	|_	1—Й2 у й2/Л

t

X cos 7 Рх, + —
л



(6.63)
Итак, прлучили координаты (х', у') точки, через которую проходит линия
действия подъемной силы в решетке пластин. Как видно из (6.65), эти коор-
динаты определяются только геометрическими параметрами решетки и не за-
висят от параметров потока.

Для расчетов удобнее координировать эту точку, которая называется
фокусом профиля, по отношению к входной кромке пластины.

Из (6.45)

=	["«» +о)	+ =

t . г . , sin.fr —7)	(я \	1

= — ie 1 sin 7 In----------------- — — — v cos 7

л L	cos ч \ 2	/ J

получим координаты входной кромки

(6.66)

Отсюда безразмерные координаты фокуса профиля, отсчитываемые от
входной кромки, следующие:

По этим формулам на ЭЦВМ проведены расчеты, результаты которых
представлены на рис. 6.11, где уу отрицателен.
Зная координаты фокуса, можно вычислить момент подъемной силы от-
носительно любой интересующей нас точки, определив величину и направле-
ние подъемной силы из обобщенной формулы Жуковского (6.8).

Формулы (6.17) и (6.67) можно упростить для густых решеток, у которых
коэффициент прозрачности k близок к нулю. Если при этом принять k=0, то
из (6.50) и (6.49) найдем, что

м = 7, а=1;
тогда коэффициент

Ь = <Н-------—.	(6.68)

л I sin 7

sin(v—7) sin (v —7) sin fr + 7)
In-----------= In-------------------- —

cos 7	COS27

sin (v— 7)	, sin (v + 7)

i------------ = In-----------

cos 7	cos 7

Далее получим

и при '< = 7
Практически формулой (6.69) можно воспользоваться для определения
координат фокуса профиля для решеток, имеющих k <0,01.
ГЛАВА VII

ДВУХРЯДНАЯ РЕШЕТКА

В этой главе рассмотрим общие закономерности течения в
многорядных \решетках. Отмечалось, что в гидравлических ма-
шинах обычно имеется несколько лопастных рабочих органов,
которые, по-видимому, оказывают взаимное влияние друг на
друга. Опытным 1цутем доказано [16], что в поворотно-лопастных
гидротурбинах, где расстояние между направляющим аппара-
том и рабочим колесом относительно большое, решетка рабоче-
го колеса не влияет на поток, выходящий из направляющего
аппарата. В радиально-осевых гидротурбинах и гидротрансфор-
маторах расстояние между решетками сравнительно мало. Воз-
никает вопрос, насколько велико их взаимное влияние и в чем
оно сказывается. В исследовательской практике иногда перед
или за испытываемой решеткой устанавливают вспомогательные
решетки, изменяющие направление потока на входе или изме-
ряющие закрутку на выходе. Оказывают ли вспомогательные
решетки влияние на основную исследуемую решетку?

Рассмотрим течение через прямую двухрядную решетку.
Геометрические параметры решеток разные. Вначале для про-
стоты введем одно ограничение. Будем считать, что шаг первой и
второй решеток одинаковый. Из выводов будет ясно, что при
разном шаге решеток общие закономерности не изменятся.

§ 7.1.	Связь циркуляций

Неподвижные решетки

Рассмотрим течение через прямую двухрядную решетку, в ко-
торой линии обеих решеток параллельны, а шаг одинаков
(рис. 7.1, о).

В этой главе введем следующие обозначения:

1)	нумерация решеток дана в направлении течения;

2)	первый индекс означает номер решетки.

В общем случае, когда циркуляция вокруг профилей не рав-
на нулю,

Г11¥= Г12, Г21#=Г22.

Очевидно, что

Г12 = Г21 = j T)12ui/y= j" Т121йЙу, Г22 = -и22и/,
о	о

где -о11и, i>22b — слагающие скоростей, параллельные линии ре-
шетки в бесконечном удалении соответственно
перед и за двухрядной решеткой;

т»12а=т»21а —слагающая скорости в зоне между решетками.
Отобразим при помощи функции z=/2(£) область йд-ного пе-
риода течения в плоскости z на плоскость £ так, чтобы профиль
Ь2 перешел в окружность единичного радиуса с центром в нача-
ле координат (рис. 7.1, б), а профиль Ц первой/решетки — в
профиль Сь Вихреисточник q, Гц переходит в /точку £= — а2
плоскости £•	/

Итак, в плоскости С мы имеем обтекание/ профиля Ct и
окружности С2 от вихреисточника (q, Гц), расположенного в
точке £=—а2, к вихревому стоку (~q, —Г22) в бесконечности.

Рис. 7.1

Из § 5.1 известно, что возмущающее действие профиля на
поток равноценно воздействию от вихря и мультиполей всех по-
рядков, размещенных в некоторой внутренней точке профиля.

Приближенно заменим профиль Ci вихрем интенсивностью

•Л = Г12 — Гп,

расположенным в точке £=i6i. Так как воздействие мультиполей
значительно слабее, чем вихря, то их влиянием пренебрегаем.
Тогда комплексный потенциал течения в плоскости £ выразится
следующей зависимостью:

1п(с+а2)+±±^1п(1:+±}-Л±р. ы-

2Л	2Л \ U2 ]	2Л,

—^-1п(С-*,) + //1п(С-Й).	(7.1)

где 61* — координата точки, симметричной точке &i относитель-
но окружности С2.
При условии выполнения постулата Чаплыгина

д — г'Гц 1_________। д + /Гп .	1_____д + /Г22

2л ' С22 +- аг 2л r 1 2л
\	’22 + ~

Отсюда уравнение, определяющее связь между циркуля-
циями,

^22 ( а2~~)

Ги=----i—гп+

fe+аф^)

.1	^22— 1	Сз2<^1— М j

' т(си+«2>(^+^/~

или

Г22=&12Ги-|-(1 — ^12)tg₽o2^4"^22^1>	(7 ’2)

^22 (а2 — а \
где kir>=-----------------коэффициент прозрачности вто-

fe+o2>(fe+4;) ₽ой Решетки;

Р02 —угол между осью решетки и на-
правлением бесциркуляционного
обтекания для второй решетки;

.	С22(*1-^)	,,

k22 =-----------------коэффициент влияния первой

U22 — bi) G22 — *’) решетки на вторую.

Очевидно, что Ь\ и Ь\* зависят от геометрических параметров
первой решетки и от расстояния между решетками; координата
£22 зависит от геометрических параметров второй решетки. Сле-
довательно, коэффициент влияния k22 зависит от геометрических
параметров двухрядной решетки.

Заменив в (7.2) Гц = Г12—Л = Г21 —Л, получим связь цирку-
ляций для второй решетки

Г22 — ^12^21 +0 — ^12) tg (^22 — ^12) -^1-	(7.3)
Отсюда следует, что при увеличении расстояния между -ре-
шетками (если первую решетку удались в —оо) коэффициент
^22—-&12, так как Ь\—— а2 и Ь* —»—— ; уравнение (7.3) при

<*2	/

этом превращается в обычное уравнение связи для однорядной
решетки.	/

Итак, из (7.3) видно, что циркуляция за вто^й решеткой за-
висит от параметров потока на входе (<?, Г21), а/также от режима
обтекания первой решетки.

Аналогично можно определить влияние второй решетки на
первую. Отображающая функция z=^(t) преобразует профиль
Li в окружность С], а профиль L2— в профиль С2 (рис. 7.1, в).
При этом получим следующее уравнение связи:

1 22 = £цГп -|-(1 — Лп) tg PqjV ~Г ^21	(7.4)

где /2 = Г22—Г21 — циркуляция вокруг профиля второй решетки;
Ац— коэффициент прозрачности первой решетки;
&2i — коэффициент влияния на первую решетку
второй решетки;

₽oi—угол бесциркуляционного обтекания первой
решетки.

Таким образом, связь циркуляции в двухрядной решетке оп-
ределяется системой двух уравнений:

г22=ЛцГп-|- (1 —£п) tg р01</ -Н21Л; 1

Г22=&12ГЦ-ф(1 — £12)tg%2qk^Jх. J

Заменив в (7.5) /] = Г12—Гц, /2—Г22—Г21 и исключив
Г12=Г21, получим

Г22=АГП cq,	(7.6)

где

*1 1*22 ~ *21*22 + *12*21

*22 — *21*22 + *21

И

с *22 (1 — *11) tg ftpl 4- ^21 (1 — *12) tg Po2

*22 — *21*22 + *21

есть коэффициенты, постоянные для данной двухрядной решетки.

При бесциркуляционном обтекании двухрядной решетки

11ц==7’22=Г0,
поэтому

с=(1-А) tg?0,
где
После подстановки в (7.6) значения с получим

Г22=ЛГ11 + (1 -*)tg ₽0<7,	(7.7)

где k — коэффициент прозрачности двухрядной решетки;

Ро — угол бесциркуляционного обтекания двухрядной ре-
шетки.

Итак, вид уравнения связи для неподвижной двухрядной ре-
шетки и физический смысл
входящих в нег\ постоянных
коэффициентов тот же, что и
для однорядной решетки.

На рис. 7.2, а показано из-
менение коэффициента влияния
k22 в зависимости от густоты и
относительного расстояния
между решетками /о. Как вид-
но, для более густой решетки
влияние ощутимо при неболь-
шом расстоянии между решет-
ками. Чем меньше густота, тем
влияние ощущается при боль-
ших относительных расстояни-
ях То-

Ha рис. 7.2, б показано из-
менение коэффициента влияния
^2i; здесь влияние меньше для
густых решеток.

Рис. 7.2

Движущиеся решетки

Пусть в общем случае обе
решетки равномерно движутся
вдоль линии решетки: первая —
со скоростью «1, вторая — со скоростью и2. Если плоскость тече-
ния совместно с решетками перемещать со скоростью (—щ), то
первая решетка станет неподвижной, а вторая будет двигаться
со скоростью (и2 — «1)- При этом циркуляция перед первой ре-
шеткой равна (Гц—UiO, а за второй решеткой (Г22—WiO- Течение
через такую решетку будет периодическим и неустановившимся.
Очевидно, циркуляция вокруг профилей решеток зависит от вре-
мени и является периодической функцией. В силу теоремы Томп-
сона о постоянстве циркуляции скорости по любому замкнутому
контуру во все время движения с профилей решеток должны не-
прерывно срываться вихри, образующие в потоке вихревые слои.
С каждого профиля сходит вихревой слой, образующий линию
разрыва скорости.
Рассмотрим данную задачу в упрощенной ивазистационарной
постановке, считая в каждый момент времени течение установив-
шимся.

Для произвольного момента времени справедливы уравнения
(7.5), из которых следует

Гаг-м^=^11(Г’ц —|	7 g

Г22 —м2/=Л12(Гц—и2£)-{-(1— £12) tg ро2^	/

Решая уравнения (7.8) совместно, получим

Г22=^Г]1-|-с^ -\-d,

где k, с определяются формулой (7.6) для неподвижных ре-
шеток,

^220—&11)	+ &21 (1 —^12) ц2^

^22 — ^21*22 + ^21

Коэффициенты k, с, d зависят от относительного положения ре-
шеток. Следовательно, циркуляция за решеткой Г22 зависит от
относительного положения решеток.

Определим среднее значение Г22 при относительном переме-
щении решеток на один шагt. Осреднение по шагу равноценно
осреднению по времени при равномерном движении решеток. Не
нарушая общности, будем считать, что вторая решетка непод-
вижна, а первая движется. Тогда

и

Г22ср =~ Г22 dZ.

6
Так как

*=/2 (9, dz=f2(r')dt.,
то

S

где S — замкнутый контур интегрирования в плоскости £, яв-
ляющийся линией, по которой вихрь (точка bi) пере-
мещается вокруг точки £ = —а2.

Подынтегральное выражение имеет в точке £=—а2 полюс
первого порядка. Действительно, из условия построения отобра-
жающей функции 2=/г(С) следует, что эта функция имеет в
точке t= — а2 точку логарифмического разветвления, поэтому

Л «)=-£-НЧ-пЛ-л©.

где /о(£) в точке t,= —a2 особенности не имеет.
Тогда

r!2cp=-^-2®<resF(-a2),
где

7?(Q=r22/'(Q-

Известно, что вычет в полюсе первого порядка

res?’( —а2)= Иш (С 4-a2)/7(Q=—— 11m Г22,

С->—аг	-2л С-»—л«

следовательно,

Г22ср = с^в?22*

Подставив в это выражение значение Г22 из (7.8), получим

^22ср = *12-^11 ~|“(1 *12) tg ?02? + (1 — *12)	^22jp

Предел последнего члена этого выражения можно найти
исходя из того, что устремление t='b\ к точке — а2 равносильно
удалению первой решетки в — оо, поэтому

11 m ^22==*12*

С = &, -►-«г

Предел /1 определим из обычного уравнения связи для одно-
рядной решетки, так как влияние второй решетки отсутствует.
Тогда

У1=~(1 -MtAi-te м—М-

В результате найдем

Г,22ср = ^12Г21ср4_(1 — *12) tg ?(>2? + О *12) И2^ 1

(7.9)
г12сР=Мп+(1 - *и) tg М +- (1 - *11)	)

Из уравнений (7.9) следует, что связь между средними по
времени циркуляциями для подвижной двухрядной решетки
определяется теми же уравнениями, что и для подвижной одно-
рядной решетки. Таким образом, в подвижной двухрядной ре-
шетке отсутствует взаимное влияние решеток на величины сред-
них циркуляций.

На рис. 7.3, а показано изменение коэффициента влияния k2\
в зависимости от относительного сдвига решеток — (вдоль
линии решеток) и от расстояния /о между решетками. На
рис. 7.3, б приведены аналогичные данные для коэффициен-
та k22.
§ 7.2. Подъемная сила

Кроме определения взаимного влияния решеток на величины
циркуляций, рассмотрим также вопрос о взаимном влиянии ре-
шеток на подъемные силы, действующие в двухрядной решетке.

5)

Рис. 7.3

Неподвижные решетки

Найдем подъемную силу, дейст-
вующую на профиль второй решетки,
из первого уравнения Чаплыгина

P1,+IP1X= —•"‘dz.

С-10)

Для этого, как и ранее, в плоско-
сти £ (см. рис. 7.1, б) профиль пер-
вой решетки заменим вихрем интен-
сивностью /1, равной циркуляции во-
круг профиля Li, расположенным в
точке &ь

Заменим в (7.10) переменные;
тогда

(7.11)

S.

где S2 — любой контур, охватываю-
щий окружность в плоско-
сти £ (см. рис. 7.1, б) и не
содержащий ни внутри, ни
на границе дополнитель-
ных особых точек, .



Интеграл в (7.11) можно определить при помощи вычетов

J F (QdC= — 2к1 [res/7 (оо) + res Д ( —а2) + res F (^)],

поэтому

Р2у+iP-2X=[res F (оо) res F(— а2) -|- гes F (^j)]. (7.12)

Найдем значения вычетов. Из условия построения отобра-
жающей функции z=f2 следует, что при £=оо эта функция
имеет точку логарифмического разветвления. Это значит, что
. dz	dt

при £=оо —— имеет нуль, а —----полюс первого порядка;

поэтому в окрестности полюса первого порядка, расположенного
в бесконечно удаленной точке, функцию можно предста-
вить в виде

^-=miC+m0+^i + ...,	(7.13)

где

2л

т, = —.

1 t

Как следует из (7.1), функция имеет в точке £=оо
dt

нуль, поэтому в окрестности бесконечно удаленной точки

Принимая во внимание (7.13) и (7.14), получим

resf (оо)=-с1;т1=-^- (7~^>г ,	(7.15)

Аналогично определим вычет функции К(£) в точке ^= —а2.

В окрестности £= — а2

------------------------,
dz

^-=V^±-+*o+*,(C+aJ+—.
dt t + a2

где

П1=^, =
t	2л

Отсюда

res F (— g2)=kL\tix =	Гп>~ •	(7.16)

Остается определить вычет F(£) в точке £=&ь Функция z—
=/2(С) особенности в точке £=&i не имеет, поэтому в окрестно-
сти этой точки

^-=Zo+Z1(C-41)+/!(C-6J’+.--.
Кроме того,

rf® е_,	.	. ,г . , .

-jf-

поэтому

res F (6J = e\\li -ф 2е_хе010,
где

1	1	/	Z2^1)	„	Ui .

‘О—	,	> -1—	,	’	1— “Z >

/s(»i)	IM».)]2	2”

e = q - frH 1 I q + zrii .	1	_

0 2л ' b, + a2 ' 2л '	1

Oj H—

a2

Ц + /Г22	1 I Z,A 1

2л bx '2л bx — b\’

(7.17)

Величина e0 представляет собой сопряженную скорость в точ-
ке Ь\ от всех особенностей плоскости £, кроме вихря J\ в точке
Ьх. Иначе, е0 есть сопряженная скорость в точке Ь\ невозмущен-

ного потока: е0=т)61.

Итак,

res/2 (»,) = -------------------------Л(М/;

“ /2(»1)	41,2 (Л(‘1>)2

(7.18)

Подставив (7.15), (7.16), (7.18) в (7.12), получим

 л,+^=-^-[(?-д’11)2-(»-ад+рл v‘‘ -+

/2(^1)

+ ,р/.	/2(М.	.Л.,	(7.19)

|/2(*1)12 4я

откуда величина подъемной силы, действующей на профиль вто-
рой решетки,

P2~i(P2y +^2лг),
или

р2 = К? - *Гп)2- (^ - ад] +	(7.20)

где

/2(У	(7.21)

i4<»i)i2 4я
Первый член (7.20) равен подъемной силе Р, действующей на
профили первой и второй решеток, находящихся в одном перио-
де. Следовательно,

Р2=Р-РЪ

(7.22)

где Р= —/р(Г22 — Гп)vх — определяется по обобщенной для
решеток формуле Жуковского;

—И	-~сРеДняя векторная скорость;

Рх= —ipjv* — подъемная сила на профиле первой
решетки.

Если в (7.20) заменить Гп через Г21 — то

р2 = -/р(Г2!-гя)it.,-/рл(®я^-Лх) •

(7.23)

где



Из (7.23) видно, что подъемная сила на профиле второй ре-
шетки зависит от циркуляции Л вокруг профиля первой решетки
и от геометрических параметров решеток. Аналогично можно,
определить подъемную силу на профиле первой решетки.

Таким образом, при вычислении подъемной силы необходима
учитывать взаимное влияние решеток, которое зависит от рассто-
яния между решетками и их относительного сдвига.

Движущиеся решетки.

Пусть первая решетка равномерно движется со скоростью
U], а вторая — со скоростью и2. Если рассматривать течение от-
носительно второй решетки, то циркуляции перед и за двухряд-
ной решеткой будут соответственно равны (Гц—u2t) и (Г22—u2t).
Ясно, что силы в абсолютном и относительном потоках одина-
ковы.

Рассмотрев мгновенную картину течения, получим подъем-
ную силу на профиле второй решетки

Р2=— ip (Г22 — гп)w “ + ipJiWi,

где скорость можно вычислить по формуле (7.22), a Wi* — па
формуле (7.21), заменив в них Г22 и Гц соответственно на
(Г22 — и2^) И (Гц — U2f).
Очевидно, что сила Р2 зависит от относительного сдвига ре-
шеток. Определим среднее значение Р2 при относительном сме-
щении решеток на один период:

it
p^-^pjz.
о

Так как

dz=f2(t.)(K,
то

S

где S — замкнутый контур интегрирования вокруг точки.£=—а2,
по которому перемещается вихрь J\.

Подынтегральное выражение имеет в точке £=—а2 полюс
первого порядка, поэтому

Л1р=-у resF(-as),
где

/г(С)=Р2/2(С).

Так как в полюсе первого порядка

res/7( — л2)= lim (С-|-а2) F (С),

то

Рйр=-^ 11m (C+aJPj'iro-
t С->—аг

— Um (C+aJ/i(Q[(rs—Гп)®„—У,»?].

t	О—я.

Ранее получено, что

Jim Г2! = ГИРр, ^llm
следовательно,

lim да» = ®>eocp=— -f- i Г11 + Гг2с1> — iu2.

V*-at	i	2t

Определим далее lim w*. В общем случае в окрестности
точки С==. — а2

—Н%+а1 (£+а?) + • • •;

2л С + а2
/г (0= —	•	1 •• + «1 + 2а2 (С+а2)Н-,

2а ((, + а2у

поэтому

11m	Htn 4®-=-^..

Кроме того,

lim _^А_=А_/Ги-^ .

6*-~/2(61) f	f

Таким образом, средняя сила

Лор = “ »Р (Г22ер - гп) ш.ср + <p/ltp (-2- + < 41- -‘	

или

Лер = ~ip (Г22ср - Гц) W«ср+ip-/icpW«1 ср,
где

Ч 1 ; Г11 +Г12сР
®«1ср—   Н---------—------гй2-

Далее, заменив

Л1 = Л1ср Лер»
получим

/^2ср~ А°(Лгср Г21ср)‘и,~2ср>	(7-24)

где

Как следует из (7.24), осредненная по шагу сила, действую-
щая на профиль второй решетки при равномерном движении,
вычисляется по обобщенной для решеток формуле Жуковского.
Аналогичный вывод можно получить и для первой решетки.

Итак, при относительном движении решеток средние силы,
действующие на профили, можно вычислять по формуле Жуков-
ского, считая расстояние между решетками бесконечным.

Однако, как показывают расчеты [3], мгновенные силы на
профилях существенно отличаются от средних при небольшом
расстоянии между решетками. Это пульсирующее нагружение
профилей следует учитывать при прочностных расчетах.
ГЛАВА VIII

МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Описанный выше метод решения прямой задачи теории реше-
ток, основанный на конформном отображении решетки на вспо-
могательную каноническую область течения, сложен. Найти ана-
литически конформное отображение решетки произвольных про-
филей на вспомогательную область течения можно только
приближенно. Существующие методы расчета обтекания решеток
произвольных профилей, например [32], требуют большой затра-
ты времени при ручном счете. Для расчета по методу конформ-
ных отображений возможно использование электронных цифро-
вых вычислительных машин .(ЭЦВМ). Однако в этом случае в
памяти машины приходится держать большое количество
данных.

Для решения прямой задачи теории решеток все большее рас-
пространение получает метод интегральных уравнений, что стало
возможным в связи с использованием ЭЦВМ в гидродинамиче-
ских расчетах.

Метод интегральных уравнений основан на возможности пред-
ставления аналитической в некоторой области функции по зна-
чениям этой функции на границах. Ранее (см. § 4.1), например,
получено общее выражение для комплексной скорости в области
решетки, вычисляемое по значениям этой скорости на границах,
т. е. на контурах профилей решетки.

Рассмотрим некоторые интегральные уравнения для прямых
решеток, схему их решения, вычисления скорости на контуре про-
филя и гидродинамических параметров решетки.

§ 8.1. Интегральное уравнение
для комплексного потенциала

Выше (см. § 4.1) получено общее выражение для комплекс-
ной скорости в области прямой решетки

® И = я . + -Д- ( 1> (С) Ctg -у- (z -1) Л,

где линия решетки параллельна действительной оси плоскости z;
£—координата контура профиля;

L — контур профиля (за положительное направление обхода
принято такое, когда профиль остается слева).

Проинтегрировав это выражение, получим

Ф(г)=^	+	ц(С) dZ ctg -y-(z — tydz,
или

Ф(г)=»_г+^- ^©Insln у-(г-С) Д'+С,

L

так как

~ ctg “ (z — ^,)dz— ~-1п sin у-(г —С)4-С.

Опуская постоянную интегрирования, найдем

Ф (г) = vxz -]-	v (С) In sin -у- (z — Q eft,. (8.1)

L

Вычислим интеграл в (8.1) по частям. Так как

i/Ф = -и (Q dt,;

-^-pn sin—- (z-C)j = —i ctg-i(z-C),

TO

®(z)=5«z+±<» In slni(z-C)|+ -MefQctgf (г-С)Л.
2лг	t	I lit J	t

(8.2)

Начальную точку обхода контура L можно выбрать произ-
вольно. Пусть это будет точка £д. Тогда

Ф (С) . . л. ,	г J	Г . л ,	„ .

—— In sin — (z — С) =-----In sin — (z — Сд),

2ni	t 4 I 2ni t A>'

L

так как после обхода контура L функция In sin -у- (z — Сл) в
точке £д не изменит значения, а функция Ф(£) увеличится на
величину циркуляции Г. При этом суммарный расход через кон-
тур равен нулю.

Итак, получили уравнение для комплексного потенциала

e>(z)=5_z+^-ln sln-y-(z-Q-|—-J- («©ctg i(z-C)rfC.
Ml	t	lit J	t

(8.3)

Из уравнения (8.3) можно определить комплексный потенци-
ал течения в любой точке вне профилей решетки по известному
значению комплексного потенциала на границе профиля.
Если точка z=z0 лежит на контуре профиля, то подынтеграль-
ное выражение в (8.3) имеет бесконечный разрыв при £=Zo-
Определим значение

у=1|НФ(,:)с,в7*-с)‘я

(8.4)

для точек z0, лежащих на контуре профиля L. Очевидно, можно
написать, что

-h 5 Fr+i F(Ч [clg т (г» “ с> ~ т2—1л (8-5)
ZJtZ J С — Zq Zlt J	t	П	I

L	L [	C)J

Разрыв подынтегральной функции при £=z0 в (8.5) будет
только в первом интеграле; подынтегральное выражение во вто-
ром члене непрерывно везде на контуре.

Ранее (см. § 4.4) мы рассматривали вопрос о предельных
значениях интеграла типа Коши. Из формул (4.36) следует, что
при подходе к контуру справа (в данном случае из области те-
чения)

1	е	ф (С) dt,	1	Г	Ф«) dr:	_ _1_

2jw	J	С — г0	2лг	J	С— zQ 2

поэтому для точек, лежащих на контуре профиля,

7=ТФ(г»и1Ь F(C,ctgT <г»~с)

(8-5')

(8.6)

где штрих означает главное значение интеграла. При. этом ин-
тегрирование ведется по всему контуру L с «выколотой» точ-
кой z0.

Подставив значение / в (8.3), получим уравнение

Ф (z0) = 2п.„г0 + -i. In sin ~ - Q +

+-| J®(C)ctgi(%4)<fe,

(8.7)

которое является интегральным уравнением для комплексного
потенциала; оно справедливо для любой точки гладкого профиля.
Для профилей, имеющих угловую точку на выходной кромке,
на основании (4.37)

I г Ф (О d'Z _ 1 г Ф (С)  х_
2nZ J С — z0 2ni J С — «о	2л

L	L

где zo — угловая точка профиля;

х — угол (в радианах) между касательными к профилю в
точке Zq, измеряемый слева от контура.

Тогда в точке z0

®(z0)=n«z„+^-ln Sin у (2„-Сд)+-^ --5Ц^- +

L

ИЛИ

(z0)=2®«z0+^-ln sin Л Оо —Сл) +

+ -1-®G)ctg^Oo—0^-	(8-8)

Уравнение (8.8) позволяет определить комплексный потенци-
ал в угловой точке профиля.

Сравнивая (8.7) и (8.8), видим, что правые части в них оди-
наковы; при х=л (8.8) превращается в (8.7).

§ 8.2. Интегральное уравнение
для функции потенциала скорости

Вывод уравнения
Напомним, что

б/Ф = ® (С) dC =	+i d& = (х>-+гол) da,

где V- и vn — соответственно касательная и нормальная состав-
ляющие скорости к элементу do. При положитель-
ном направлении обхода область течения остается
справа; нормаль принята внешняя.

Здесь и далее будем обозначать через о(£, т|) текущую криво-
линейную координату профиля (do — элемент контура профиля).

Заменим в (8.3)

Ф = ?-РФ;	(8.9)
тогда из (8.4)

•/=-^-$ф(^7-Сг-1:)л=

= —f Wc‘s	?(QcteT<с~г>л <8-10>

Аналогично (8.5) и (8.6), для точки z0 контура профиля L
имеем

J ?(C)ctgy (г0-С)Д = -i-4>(z„) +

+^-^т(!:)с‘8-7(г»-!:)Л

(8.П)

Возьмем последний интеграл в (8.10) по частям. В резуль-
тате

_L f ф Ю ct8 *(С-г)<-=“ ф In sin А (С-z) | - J- X

X (°) In sin -у- (С — z) da,

(8.12)

так как dty = vnd<5.

Если суммарный расход через контур профиля равен нулю,
то первый член равен нулю. Тогда подставив (8.11) и (8.12) в
(8.3), найдем

®(zo)=B.Zo+—In sin y-(z„-Q+

+ у Ч (г„) - Т g) cig у (С - z„) Л+

+	®. W In sin X (С - z„) Л.

(8.13)

Выделим далее действительную часть в левой и правой частях
(8.13). При этом учтем, что

Т)оо Т-’оех--IDооу!

In ио = In | 'W | -|- i arg w;
sin y(x0—Q=sln y(Xj-E)cosy (y0-i)+

H-COS у (x0-E) sin y- (y„- lj).

Так как

cos у- (y0 - 7|)= ch ~ (y0 -1)

sln-y (Уо-1)=< shy (y0- ij),

TO

sta у (z„—C)=sln у (x„--)cl> у (у0-ч) +

cos y(x0-E) sh у (y„—71).

Отсюда

I sin у (г0 - Q I = J/^eh! у (Уо - 71) - cos’ у (х0 - Е),

ИЛИ

|81Пу(х0-С)|=^-2-jch-yOi-y0)-cos-y (Е-х0)]; (8.14)

л л	‘h— (т;— Уо)  argsin — (г0—Q=arctg			 .  ‘g у(5 —-*о)  Итак, обозначив	(8.15)
JV<2'“’ ^=“71п]/ т[сЬ"Т'(’|_^_СО8Т'(8—  Л th— (-q— у0)  Л4^0’	л arCtg	л	 ’  tgy (е-х0)  получим	(8.16)

— In sin -у-Сг,, —C)=.?V(jc0,y0, Е, Т|) + >Л7(ХО, у0, S, -,). (8.17)
Обозначив криволинейную координату точки z0 на профиле
через s(%o, уо) и используя полученные промежуточные резуль-
таты, найдем из (8.13)

t (s)=2(x0i>»x+yoi>.,) + rAf(s, 3Л)-^ ?(g) *М +

+ \®«(»)Ar(s, о) Л.

(8.18)

При этом учтено, что

-i-ctg-MC—г0)Л= — . Mtn sin-MC—zjlrf.
t t	Л aQ [ t	J

Insln-5-(C-z0)]<fc = -£-[Ar(s, o)+>M(s, »)]<*>.(8.19)

Из формул (8.16) видно, что функции M(s, о) и N ($, о) зави-
сят только от относительных координат. Для геометрически по-
добных решеток значения МиМ в соответствующих точках оди-

TZ	4,

наковы. Кроме того, функция ---- везде непрерывна на контуре,

da

поэтому первый интеграл в (8.18) существует как обычный.
Штрих над интегралом в дальнейшем будет опущен.

Итак, выведено интегральное уравнение (8.18) для функции
потенциала скорости <р, полученное в таком виде в работе [26].
Это есть линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода
с непрерывным ядром. Напомним, что в интегральном уравнении
2-го рода

<р (s) + j ? (а) К Cs> °)—b (s)	(8.20)

функция K(s, о) называется ядром интегрального уравнения.
Ядро интегрального уравнения (8.18)

Л((5, а) =	»>

(8.21)

и свободный член

»(s)=2(^rcp+A ?J + rM(s,	°)<*> (8-22)

есть известные функции, где

Гср = 1-(Г1+Г!).
Если учесть, что Г=Гг— Гь то получим

b (s) = 2(yoq + ^Г,) + [х0+М (s, а~А)] Г+1 \vn (a)N (s, а)da,
где х0=-у-, у0—-у-,	=	—безразмерные величины.

Используя правило сложения потенциальных потоков, реше-
ние уравнения (8.20) представим в следующем виде:

»=='fi?+T2ri+<ftir4-<pjt/ll<,	(8.23)

где фр (р= 1, 2, 3, 4) определяется из уравнения

(s) + J (°) К (S, >) * = bp (Si,
а

^1=2у0> 62=2л0;

bz=xQ-[-M(s, ал);

b4={ v"^ N (s, a)da (Z70—произвольная скорость).

4 и„

Здесь и в дальнейшем опустим черту над обозначением коорди-
наты. Считаем, что во все уравнения входят относительные ко-
ординаты s и о (отнесенные к шагу решетки t).

Смысл слагаемых, входящих в уравнение (8.23), следующий:

Ф1<7 — потенциал скорости при нормальном входе в решетку
(циркуляция перед решеткой отсутствует, циркуля-
ция вокруг профиля также равна нулю);

Ф2Г1 — потенциал скорости при бесциркуляционном обтека-
нии решетки для течения, параллельного линии решет-
ки на бесконечности;

ФзГ — потенциал скорости циркуляционного обтекания;

(p4Uot— потенциал скорости течения, вызванного движением
профилей.

Очевидно, что фь фг, фз, ф4 — величины, зависящие только от
относительных геометрических размеров решетки.

Заметим, что последний член в (8.23) будет отсутствовать,
если решетка неподвижна, так как при этом на контуре профиля
£>п = 0. Если ип=#0, то вычисление члена Ь4 будет связано с неко-
торыми трудностями, так как подынтегральное выражение имеет
логарифмическую особенность.
В связи с этим получим интегральное уравнение относительно
потенциальной функции ср в другом виде, более удобном для вы-
числений. Очевидно,

5 *(Q	^(Qctg^ (С-г0)Л +



Аналогично (8.5),

t J	t	Л J ъ ^0

L	L

+ 4-U(C)[ctg i(C-z0)—— --------]л.

'2 [ '

Второй интеграл в правой части этого уравнения существует
в обычном смысле, поэтому главное значение интеграла совпада-
ет со значением обычного интеграла. На основании (4.34) найдем
главное значение первого интеграла



при условии, что для функции ф(£) выполнено условие Гельдера.
Если учесть, что

то

ctg-i(C-z0)--—!---

-к-г»>

</С=0,

=7-
Интеграл, стоящий в правой части уравнения, является обыч-
ным интегралом. Действительно,

4- Um [ф©-ф(го)]с1е:-4(С-го)=-!- iimt<2kL£K>_.

‘ c->zo	Г	Я c-»z0 z0 — t

=— lim	=— f (s)(8.24)

Л о-s (S — a) (?' ' Л	4	'

где у — угол касательной с осью х.

Из изложенного следует, что

Re 4“	J TCte-f-G-*»)«+

L	L

+ Re -j- ^!Ф(9—Ж)] ctgy (C-ZO)<K+Rei4 (г0).

Так как из (8.19)

Re 4 Ctg 4 (С - z0) Л=Re -4- I -t In Sl" 4 (C - Z„)l de = de;
t t	da L Л	t	J	da

Im - ctg — (C - z„) dC = Im — Г— In sin — (C - z.)l de=^.(5’ de,
t t	da Ln t	J	da

TO

Re-i^*(9ctg-2.(C-2il)dC= ^(e)i^^) de+
L	L

+ [t (°) — Ф (s)l  “N^ d°-	(8.25)

Выделив в (8.7) действительную часть и подставив (8.25),
получим

Т (s) = 2(-V « + Уо® »у) + ГМ (S, ел) - Г <f (о) d" (s’ °> de -
J	da

-j№(°)-4WJ J'v2'°> d°'
или

<P (s)'+ J <P (°) dM^’ q) da=b (s),	(8.26)
где

*(S) = 2(V„+W>.,) + IW, »л)+ ([ф(«)-ф(а)]

J	da

L

Характерно, что подынтегральная функция везде непрерывна на
контуре L.

Очевидно, уравнение (8.26) проще для вычислений, чем
(8.20). Для неподвижной решетки на контуре профиля ф=const,
поэтому интеграл свободного члена уравнения (8.26) равен ну-
лю. В случае движущейся решетки ф(о) можно определить. На
основании выводов, аналогичных проделанным в § 3.3, получим
для общего случая движения профиля

4(а)=ЧИх-5и,-у«1(Р+’1’) + С,	(8.27)

где иу — слагающие скорости поступательного движения по
осям;

со — угловая скорость вращения профиля.

В другом виде

Ф = У da-\-C.	(8.28)

Схема решения интегрального
уравнения

Решение интегрального уравнения сводится к решению систе-
мы линейных алгебраических уравнений.

Контур профиля разбиваем на п интервалов Д$=До, причем
деление может быть неравномерным. Например, в области вход-
ной и выходной кромок, где ожидается значительное изменение
Ф от точки к точке, интервалы следует брать меньше. На практи-
ке применяют как равномерную, так и неравномерную разбивку.

Интегральное уравнение (8.26) для потенциальной функции
имеет ядро (8.21), которое позволяет сравнительно просто при-
вести уравнение (8.26) методом Боголюбова — Крылова [15] к
системе алгебраических уравнений. Дополнительно каждый уча-
сток разделим на две равные части (рис. 8.1). Обозначим точки
первоначального деления четными номерами (2, 4, 6, ...,2п),
а дополнительные точки деления — нечетными номерами (1, 3, 5,
.... 2п— 1).

Если приближенно принять, что на каждом участке / между
точками (/—1) и (/+1) функция ф постоянна и равна ф5-, то

2л-1

J Ср (а) Л” (s, а) da = J <р (а) dMa ($, а)~^	J+1—	=

2л—1

= 2
где через 4=1, 3, ...,2л—1 обозначен номер точки $, а через
AMj=Afj+i — Л43_1 — изменение функции М на участке /=1,3, ...

Тогда вместо интегрального уравнения (8.26) получим приб-
лиженно заменяющую его систему линейных алгебраических
уравнений

Рис, 8.1

, 2п

2п-1 1 6

2л—1

<р,+ 2	(4 = 1, 3, 5,..., 2л-1),	(8.29)

(у=1, 3, 5,...,2л— 1),

где неизвестной является величина <р, или, иначе,

(1 + Д М „) cpj ДЖ13<р3 -}- Д Ж15% Н---1- ДЖ 1 ,2Л-1<р2л_1 = Ьх;

+ (1 + Д^33) ?3 + Д^35?5 Н------Ь	~

ДЖ2П_1,1<?1-|_ ДЖ2Л—1,з®з+ • • • -|-(1 -рДЖгл—1,2л—1)?2л_1 = ^2л—1-

Свободный член вычислим следующим образом. Из (8.16)

dN	j sin-у-(5 —xo)cos7 + sh-y-(T] —^0)sinT

--(s> 0)=— • ----------------------------.
d<s 4 t	2л	2л r.

ch~T ~~cos~t~ ~X°^

df\

где •— — cosy, —i=smy.
ds	ds
Тогда

где

2л—1

$ [Ш)-Ф(«)1 dN<^	Аф,.,^) Дод

J	da	\ da Ji,j

△ф/,/=Ф/— Ф/;

Да; = а;+1 —а^_1ф

При j=i на основании (8.24)

4HwL4==^',''(s‘)'4’
где

Да.==а/+1 — аг_1.

Свободный член в точке i

2л—1

Ь,=2 (х,я„ + у fl.,)+Г7И,.л + у Аф,.Дод

Решая систему (8.29), найдем распределение <р по контуру
профиля. Ясно, что чем большее количество точек будет взято
при разбивке на профиле, тем точнее замена интеграла суммой
и тем точнее значения ср. Чтобы обеспечить высокую точность,
как показывает практика расчетов в МЭИ и других организаци-
ях {13], необходимо брать /г^60. Естественно, что решение такой
системы возможно только с применением ЭЦВМ. Современные
машины, например «Минск-2», имеют стандартную подпрограм-
му для решения системы из 60 линейных уравнений, что сущест-
венно упрощает составление программы.

Вычисление скорости на контуре
профиля

Известно, что касательная скорость на контуре профиля

ds

Вычислив в п точках значения ф, найдем далее производную,
используя методы приближенных вычислений.

Для ближайших друг к другу точек профиля, например для
пяти точек, зависимость ф(5) аппроксимируется интерполяцион-
ным многочленом. Известно, что для любой функции ф(я) можно
найти единственный многочлен n-й степени фп(сг), который при-
нимает в п заданных точках те же значения, что и <p(s). Здесь
интерполяционный многочлен найдем по формуле Лагранжа.
Например, для пяти точек интерполяционный многочлен

»<S|(s)=2?A(s).	(8-30)

р=0

где

tPp=?(sp);

L	(s —s0)-4s —Sp-OCs —$/,+!)••($ —S4)

(Sp So)-  -(Sp Sp—1) (Sp Sp4-1)- • -(Sp — S4)

Дифференцируя (8.30), найдем скорость

®>=t'(s)=24(s)'
p=0

Следует отметить, что формулу Лагранжа следует применять
для неравномерной разбивки профиля. Если разбивка профиля
на участки равномерная, то целесообразней применять формулы
Стриплинга или Бесселя.

r-r	df

При вычислении производной — возможны погрешности в
ds

местах резкого изменения функций ф. Аппроксимация функции
<р полиномом в этом случае может не дать необходимой точности
в производной.

Определение циркуляции
и гидродинамических параметров
решетки

В правую часть уравнения (8.20) входит величина циркуля-
ции Г вокруг профиля. Из постулата Чаплыгина — Жуковского
следует, что выходная угловая точка профиля является точкой
схода потока и скорость в ней равна нулю. Однако здесь рас-
сматриваются гладкие профили без угловых точек. Выходная
кромка такого профиля округлая (рис. 8.2), и положение точки
схода потока неопределенно.

В работе [12] рекомендовано в таких случаях циркуляцию во-
круг профиля находить из условия равенства относительных ско-
ростей в некоторых точках $1 и s2 (рис. 8.2, а). В этом случае
относительные скорости в точках S] и s2 должны быть равны по
модулю и противоположны по знаку. Тогда условие для опреде-
ления циркуляции
Из рис. 8.2, а ясно, что

f/T=f/cosY=f/— .

и подставив в (8.31), получим

<W'i1 +	4- ГТ ’, 4- Uot^ - Uл =

= ~ (??12 + Г1?22 + Г<Р32 + ^0^42 ~ ^2)'

Второй индекс при <р и U указывает на номер точки s. После
преобразований получим циркуляцию

r=r^r1^-4±¥?-4L±^r1+

Т31 + ?32	?31 + ^32

?31 + 'Рзг

Следовательно, для определения циркуляции Г необходимо
предварительно вычислить производные функций <рр в точках
и s2 схода потока. Функции срр получаем из четырех интеграль-
ных уравнений (8.23). Следует обратить внимание на точность
д<?р	тт

вычисления — в точках Si и s2. Дело в том, что выходная
ds

кромка гидромашинных профилей имеет небольшой угол, что
неизбежно приводит к большой кривизне при округлении выход-
ной кромки. Если в точках Si и S2 происходит резкое изменение
кривизны профиля, то резко изменяется и скорость (рис. 8.2, б).
Отсюда ясно, что точность вычисления производных вблизи вы-
ходной закругленной кромки может быть небольшой. Затем эти

большие по абсолютной величине
водные необходимо подставить в
ляции. Естественно, что при этом
циркуляции и гидродинамических

Из (8.33) следует, что

г

\	<Р31+?32/

и неточно вычисленные произ-
(8.33) для определения цирку-
возможна ошибка в значениях

параметров решетки.

?31 + ?32

(^1 ~^2)~(?41 + У42)^

Т31 + ?32

Из уравнения связи (2.42)

Г,=+ (1 - k) tg	+(1 - 4) U.t.

Сопоставив это уравнение с (8.34), найдем

,	,	421 + ?22

К = 1----------,

tg₽0=_^l±^.

Т21 + ?22

Так как окружная скорость эквивалентной прямой

где Ra — активный радиус решетки,
то

*а =

^1-^2

--------— («Р41 + ЧЧг)и»

“ (?21 + Т22)

(8.34)

(8.35)

решетки

(8.36)

Заметим, что условие (8.31) не является точным для общего
случая движения решетки.

Выше (ем. § 1.4) указано, что при обтекании округлых кромок
происходит срыв струй в точках, где начинается резкое восста-
новление давления. Причем установившееся течение возможно,
если на границе потенциальных струй скорость и давление по-
стоянны. Отсюда следует, что в точках Si и s2 (см. рис. 8.2, а)
величины давления и абсолютной скорости должны быть равны,
а составляющие скорости vz —иметь разные знаки. Из рис. 8.2, а
видно, что абсолютная скорость на профиле

где

Тогда

или

(8.37)

Правая часть (8.37) известна. Записав (8.32) для точек Si и
s2, а затем подставив в (8.37), получим квадратное уравнение от-
носительно Г.

Итак, условия (8.31) и (8.37) для определения циркуляции
связаны с вычислением производных в точках Si и s2, что, как
показано, может привести к ошибкам. Возможен другой подход
к определению циркуляции, который будет подробно рассмотрен
в§ 11.2.

§ 8.3. Интегральное уравнение
для скорости

Интегральное уравнение для комплексной скорости получено
в § 4.1:

B(z)=®.+-^-p(C)ctg i(z—С)Л

Если точка z лежит на контуре профиля L, то, используя
(4.36) и (4.39), найдем

v (z„) = й . +j v (0 ctg -i (г, - Q Ж,

ИЛИ

Jfe)=.2?i. + i-p(t;)ctg А(г0-С)Л.
Выделим действительную и мнимую части. При этом, не вда-
ваясь в подробные вычисления, напишем



sh — (у0 — у) + Z sin —-(х0 — £)

ch ~7~ cos ~7~ ~

----[4(s,	а)].

Для неподвижной решетки

Тогда проекции скорости на контуре профиля

(8.38)

Уравнения (8.38) есть линейные интегральные уравнения
Фредгольма 2-го рода. Ядра этих уравнений при s = o имеют бес-
конечный разрыв, что усложняет вычисления.

Оба уравнения (8.38), приведенные в [35], идентичны; каждое
из них можно использовать для вычисления скорости. В этих
уравнениях угол у, являющийся углом между касательной к про-
филю и осью х, известен при заданной форме профиля.
Раздел II

КРУГОВАЯ РЕШЕТКА

ГЛАВА IX

ОДИНОЧНЫЙ ПРОФИЛЬ
В ПОТОКЕ ОТ ВИХРЕИСТОЧНИКА

§ 9.1. Силовое воздействие

Два вихреисточника

Рассмотрим силовое взаимодействие двух вихреисточников.
Предположим, что в точке z=bx расположен вихреисточник qlt

Рис. 9.1

Г1 (рис.9.1),а в точке z=b2— вихреисточника Гг- Комплексный
потенциал течения

1п(г_ад
и комплексная скорость

</Ф __ 91 — ‘^1	1 I 92 — ^2	1

dz 2л z — Ьх 2л z — Ь2

Определим силу, действующую на вихреисточник, размещен-
ный в точке z=b2. Для этого представим сопряженную скорость
в виде ряда в окрестности точки z=b2

(z\ _ 92 — ^2	1 I 9i — *ri 1	_9i — »Г1 z — b2 _i ..

1 ’ 2л г — Ь2 2л ' Ь2 — Ьг 2л '(62 —61)2'

Получив далее

1 2 ?2-<Г2 . ?i-fri___I---—1-----1---- (9.П

1 2л 2я Ь2 — 6j г — Ь2
найдем из (3.3)

/->,+iP„~ ~ -Е-2«2 ~>Т1 • ?1~‘Т-------,

у х 2	2л	2л Ь2 — 61

или

Р,+<Р,= -Р<	^-гГ,).	(9.2)

•*	2Л \Ь2 — 6])

Отсюда сила, действующая на вихреисточник (q2, Га),
?1_+д1 (?г+я\).

2л (62 — 6j)

Обозначим

b2 — bi=Rea.

Тогда

Выделив действительную и мнимую части, найдем (см. рис. 9.1)

Р о = — р 91	+ р	Г1-— ;	1

* н 2л/?	2л/?	I

“ р 2лЛ	к	2пЯ	)

(9.3)

Анализ формул (9.3) показывает, что два вихреисточника,
взаимодействуя друг с другом, взаимно отталкиваются, если
вихри Г1 и Г2 одного знака, a qi и q2 разного знака.
Момент сил, действующих на вихреисточник (#2, Гг) относи-
тельно точки z=bi, определим из второго уравнения Чаплыгина

Заменив

М— —Re v2 (г) (z — Z^) dz.

г-*1=(*-Л)+(»2-Л)

и подставив ряд (9.1), получим

С ^(z)(z-6,)<fe=2«[(^г.у+2 *2~,Гг ?17гГ11 ’

J	|_\ zn J	/Я 2Я J

откуда

Af=-p.fob-_p ?ir.2_ _p-g£i-
г2л ! 2л ' 2л ’

ИЛИ

M=MO + PUR,	(9.4)

где

есть пара сил, действующая на вихреисточник («/г. Гг).

Итак, силовое воздействие вихреисточника (qi, Г1) на вихре-
источник (^г. Гг) приводится к силе Р, приложенной в точке
z=bt, и моменту М (см. рис. 9.1) или к силе Р, приложенной в
точке г=Ь2, и паре Мо.

Вихреисточник и мультиполь

Поместим в начале координат вихреисточник (q, ГО и в точ-
ке z=b— мультиполь. Тогда комплексная скорость

—, ,	q — /Г,	1 .	д_„

47 2л	z 1 (z — Ь)п

Запишем функцию — в виде ряда Тейлора в окрестности
точки z=b:

й=0

где

с"~ kl	SM-1 •
Из первого уравнения Чаплыгина найдем силу, действующую
на мультиполь,

Р’+;^=₽	(- «” -^7 2«'	(9'5)

Ясно, что момент силы, действующей на мультиполь, относи-
тельно начала координат равен нулю, так как при обтекании не
изменяется момент количества движения. Отсюда получаем, что
сила Р проходит через начало координат.

В частном случае, при обтекании диполя (п=2), размещен-
ного в точке b действительной оси, найдем



Ч + ^l „ а_2
р---------2тг---i .

г 2лЬ Ь

(9.6)

Если	и а_г=\а_,\е'', то

Р=|Р|

|₽|=2«р|®,| ^1.

Неподвижный профиль

Ранее получено общее выражение (4.22) для скорости потока
при обтекании одиночного профиля от вихреисточника ( — ,
т

) (см. рис. 4.2, б). Опуская индекс, запишем это уравнение
(при т= 1)

^(2)=_£zJ£i_ . J_ +_2_ Г .	(9.7)

V ’ 2л z ~ 2Л1 J г - с	' '

L

(X— текущая координата профиля). Принимая т=1 в (4.28),
получим представление скорости в виде ряда в окрестности точ-
ки Ъ

V (z)=	. —4—I- . —+ —-4---------1---1---Ьи----1- ....

' 2л г 1 2л< z — b 1 (г —О’	(г-6)»

(9.8)
где

а-л=="2я7\v(z)(z—by-idz («=1, 2,...).
Аналогично из (4.58) получим общее выражение для опреде-
ления подъемной силы



(9.9)

или,приняв

ру+^=-р-^-(	f®(z)

ш j	2ло j



где b — координата точки внутри профиля.
Так как циркуляция вокруг профиля

Г= j v(z) dz,

то, обозначив

получим

J = v (z) ——— dz,



7~/Г;

2л6

(9.10)

(9.П)

Очевидно, первый член в (9.11) определяет силу взаимодей-
ствия вихреисточника в начале координат и вихря Г в точке Ь, а
второй — вихреисточника и мультиполей всех порядков в точке
Ь. Действительно, при —-----I < 1



J=2ra'V(-l)“-5=v;

n=2

pv+‘^=-₽^rkr+p^-2“S(-1)"73-
(см. 9.5).
Считая Ь действительным числом, найдем

Р	g-r + pRef?~'T| /) ;

Рх=р-Ь- Г+ Pta ( ?~‘Г1 .И •

х 1 2пЬ 11	\ 2л» J

(9.12)

Момент сил, действующих на профиль, относительно вихре-
источника равен изменению момента количества движения жид-
кости

-₽«•£• <9-13>

Следовательно, силовое воздействие вихреисточника на оди-
ночный профиль сводится к силе Р (9.12), приложенной в начале
координат, и моменту (9.13) относительно начала координат.

Сила от вихреисточника, действующая на одиночный профиль,
складывается из подъемной силы, действующей на вихрь интен-
сивностью Г, расположенный в точке Ь, и некоторой радиальной
силы PR, линия действия которой проходит через начало коор-
динат:

где

При бесциркуляционном обтекании профиля P = PR. Обозна-
чив скорость невозмущенного потока от вихреисточника в точ-
ке b

Ч +

Vb ~ 2лЬ ’
получим

₽8=рЫ!с».

"	J о» г	'

(Сй — коэффициент радиальной силы).

Силу PR можно представить как силу взаимодействия вихре-
источника и некоторого эквивалентного диполя, расположенного
в точке Ь.
Из формул (9.6) и (9.11) следует

Р -yip =р.?~‘г’-2м-^-=р Ф~‘Г1 J,
’ г ' г 2л»	»	"	2л6

откуда для эквивалентного диполя

а-2=— (5(z)-^- dz=—.	(9.16)

2ni J v z	Чя1	v

L

Таким образом, при определении воздействия вихреисточни-
ка на одиночное неподвижное крыло последнее можно заменить
присоединенным вихрем и эквивалентным диполем.

Вращающийся профиль

Для профиля, вращающегося относительно вихреисточника в
начале координат, силу следует определять по обобщенной фор-
муле Чаплыгина (3.26)

Р = — -у- v2dz — рю VZ dz — рш2^ц.тД.

Первый член можно найти по (9.14). На основании (9.8)

—• рю dz dz= — рш	[(г — Ь) -|- 6] dz = — ри>6 v (г) dz —

с	с	с

— ры^ъ (z — Ь) dz=—рыЬГ — piu>b2r,-^dL .

Отсюда получим силу, действующую на профиль,
Р=-р(	----<«>»)«Г-рЫ2я^2-+Ря-рЛ1|.,Р. (9.17)

Так как переносная скорость в точке b
ub=iwb,
а относительная скорость
а + г’Г1 . ,

—iub = vb — ub,
то

Р= -pWbir — pub2r.-^--]-PR—pw2zn.7P.	(9.18)

Силы, определяемые тремя последними членами в (9.18), про-
ходят через начало координат.
180
§ 9.2.	Обтекание неподвижного
круга

Обтекание круга от вихреисточника рассмотрено в § 6.4 в свя-
зи с решением других задач. Комплексная скорость при обтека-
нии неподвижного круга (см. рис. 6.4)

^(C)=£z2£L._L_-|_£+«i..__L-------_£±£L.2_,

2л С + а Т 2л	£ 2л С

а
или

Выражение (9.19), справедливое при |С|> — , представля-
ет скорость как сумму скоростей от вихреисточника в точке
£,=—а, вихря Г и мультиполей всех порядков в точке £=0. Ха-
рактерно, что ось мультиполя либо совпадает с направлением
вектора скорости невозмущенного потока »ю, либо противополож-
на. Так как в данном примере вихреисточник q, Г1 находится в
точке £=—а, то, заменив z на (£+а) и (z—6) на £ в (9.10),
получим

j=f я	\ Г(?-/г.)—Е—|-

J ' t + a 2» J и « + о)!

+ (?+ff,)----Е---- _ (, + Ду -J-1Л (9.20)

Подынтегральное выражение в (9.20) имеет внутри С полюс
в точке £=----— , поэтому

а

1

Т— ? + /Г1 9—/ а — i ? + fri 2я

Если скорость невозмущенного потока в центре круга

_ д + /Г,

(9.21)
и, учитывая из (9.15),

Как видно из (9.22), коэффициент радиальной силы не зави-
сит от параметров потока.

Из (9.16 ) найдем для эквивалентного диполя

Представим сопряженную скорость vH(S) в виде ряда (9.19)
и определим по

(9-24)

Из (9.24) и (9.23) следует, что оси диполя а_2 и эквивалент-
ного диполя а_2 направлены противоположно вектору невозму-
щенного потока в центре круга. По абсолютной величине а_2 и
а-ч близки при а> 10.
Итак,

Р=-;р®10Г-р|®]0|2

2л

(9.25)

В результате получили, что подъемная сила равна силе Жу-
ковского

/>ж=-гр®иГ

и радиальной силе PR, всегда направленной к вихреисточнику
(рис. 9.2). При бесциркуляционном обтекании остается только
одна радиальная сила.

На рис. 9.2 показаны два варианта действия сил: а — суммар-
ная подъемная сила меньше силы Жуковского; б — суммарная
подъемная сила больше силы Жуковского.

§ 9.3.	Равномерно вращающийся
круг

Поток, вытеснения

В первую очередь рассмотрим течение, возбуждаемое кругом
при равномерном вращении относительно точки £=—а. Назовем

поток, получаемый при этом, потоком вытеснения. Для потока
вытеснения известна нормальная слагающая скорости vn, рав-
ная нормальной слагающей окружной скорости ип. Из рис. 9.3
видно, что на окружности единичного радиуса

или

(9.26)
Кроме того, на окружности

С=е«, dC=KdO, Д=-^-,	(9.27)

do

где d0 — элемент дуги окружности,

('vx4-ivn)d6=vdli	(9.28)

Из рис. 9.3 также следует, что

«„=«> |C4-a|sin (О —Х) =

= ш [ | С -}- а | cos К sin 0 — | -|- а | sin X cos 6] = со a sin 6,
так как

K-l-alsinX=sin0, ]

(9.29)
|C-}-a|cosX=a-|-cos0. j

Итак, на контуре окружности известен закон изменения

u„=«n=<oasinO.

Из (9.26) следует, что vn является действительной частью не-
которой функции комплексного переменного

®я(0)=Ке(Й)|с=е/9.

Аналогично [7], используя интеграл Шварца, записанный для
решения внешней краевой задачи,

найдем аналитическую при |С|>1 функцию /(g), действительная
часть которой на окружности принимает известные значения
"(0).

Для нашего случая циркуляция по контуру круга равна ну-
лю, поэтому

о ъ	о

(9.30)

Видно, что

2п

С -и„(0) 4/0 = 0,
так как этот интеграл равен суммарному расходу через окруж-
ность. Сокращая (9.30) на получим



(9.31)

Формула (9.31) позволяет определить скорость течения, ко-
торая имеет место от непрерывно распределенных по окружности
источников (стоков)

dQ = q dti = 2vn dO.

Итак, комплексная скорость потока вытеснения

- ...	1 г п /{А ао 1 с q (0) rf0

(9.32)

Из рис. 9.3 видно, что vn зависит от координаты точки окруж-
ности и от со, поэтому в общем виде можно записать

\ (С) = шаВ (Q=и0В (С),	(9.33)

где В(£) —безразмерная функция, зависящая только от £;

«о — окружная скорость центра круга.

Подставим выражение для vn в (9.32). Предварительно за-
метим, что

и из (9.27)

/С

Обозначив через £0 точку, не принадлежащую окружности, най-
дем

1

-57	2п J Со—t Т 2я J P(to—О’

где С — контур круга.

Если £о находится вне круга, то первый интеграл равен нулю.
Так как

ь-t =Т+4+'"’

то второй интеграл равен 2«w -i-.

Со
Следовательно,



(9.34)

— это есть комплексная скорость течения от диполя, располо-
женного в начале координат, с осью, направленной по оси у, и
моментом

р2=2к1и0.

Итак, поток вытеснения вне единичной окружности эквива-
лентен потоку от диполя. Комплексный потенциал

*.(«=—	(9.35)

io

Формула (9.34) для определения скорости потока вытеснения
справедлива для точек, не лежащих на окружности.

Определим скорость потока вытеснения на окружности. На
основании (4.34) интеграл типа Коши существует в точке кон-
тура £0 как особый

1 Г ЛСИС 1
2яг J С — Со 2ш’

i --- =0	2

(9.36)

если в точке £о контура С функция f(£) удовлетворяет условию
Гельдера

|/(Q—/(Q|<-M|C~	(0О<1> М — постоянная).

Формула (9.36) дает главное значение этого интеграла.

Преобразуем подынтегральное выражение в (9.31). Так как

и из (9.27) оЮ= ,
то

(С —С) rfC
С(С-Со) ’

где точка £о принадлежит окружности.
Обозначим

7(С)=('«0(1-^);
тогда

/К)-/(С0)
С-Со



Кроме того,

1 Г /(О-/(Со)

2л/ J С-Со ^cf'

тогда

-oB(0o)=/tz(o cos вое~1в°.

Из (9.26) следует

vT (60)=Re [zt^j (Cq)] = - a® cos 0О
^(eo)=Re(^(Co)]=O.

(9.37)

(9.38)

что, на первый взгляд, противоречит принятым граничным усло-
виям на окружности.

Из формул Сохоцкого (4.36) следует, что при подходе снару-
жи к окружности скорость

(9.39)

Со

или

vn (0)==a<o’sinO;

v7 (0) = — aw cos 0^

(9.40)

(индекс при 0 опущен).

При подходе изнутри к окружности

Vn (0)= — aw sin 0;

vt (0)== — aw cos0.

Это значит, что нормальная слагающая скорости имеет разрыв,
равный

q = 2аш sin 0,

а касательная слагающая разрыва не имеет.
Результат (9.38) говорит об отсутствии перетока через ок-
ружность. Примечательно, что на окружности модуль абсолют-
ной скорости потока вытеснения — постоянная величина

(9.41)

Касательную слагающую скорости на окружности можно оп-
ределить иначе:

2я

МУ=Ке[КЛ)] = Ке^ \2«„(в) —М.

П о	Со е

Так как

^=е‘\

и

2it

”T(’")=V$l’“(9>ctgAf1‘z9-	(9-42)

о

Циркуляция вокруг профиля

r=Jo,(%)de0=0,

так как

2г.

JctgAz±deo=O.	(9.43)

О

Вычислим интеграл (9.42). В рассматриваемом случае

г»я=аа>81п0.

Учитывая (9.43), получим

2я

B’(9«)=V ^(sta9-sine0)ctgArlde.

О

Внесение под интеграл sin0o не изменяет его величины. Далее,
2я

vx (%) в “	(cos 9о + cos 0)^0= — аш cos 0О.

о
Суммарное течение.

Связь циркуляций

Поток, обтекающий вращающий круг, представим как сумму
потока, обтекающего неподвижный круг (9.19), и потока вытес-
нения (9.34):

5(C)='5.(Q+®.	-777+

I ч +	1____д +	1__। iup	/д 44ч

' 2л ' (• + L 2л ' С "И С2 '	1 

Связь циркуляций найдем из условия, при котором в точке
окружности £2 касательная скорость равна нулю. Из (9.26)
имеем

-ut(C2)=Re[/C2u (Q]=0
или

Применяя обозначения (2.51), напишем

Г2=4- (1 - k) tg %q+(1 - k) 2к/?2ш,
откуда

(1 — k) 2л/?а°>=21гаи> cos 02
и

n2 a cos 02
7?а=Л^Г-

Найдем величину	(RB=a+1 — расстояние от оси

вращения до наиболее удаленной точки цилиндра). Учитывая
(6.29)

।______ 2(qcos62+l)

а2 + 2а cos 02 + 1 ’
получим

/ /?а \2_ 1 a cos 02 д2 4- 2а cos 02 + 1

\ /?„ /	2 a cos 02 + 1 а2 4- 2а 4- 1

В частном случае при 02=О

/ /?а \2_ 1 а_______

\ /?н /	2 ' а + 1

Так как Rs=a— 1,

то

Расстояние а может изменяться от 1 до оо, при этом ( ——
11 ""
находится соответственно в пределах-----;—- .

Сила

Для определения силы, действующей на вращающийся круг,
воспользуемся формулой (9.18).

Из (9.24) и (9.34) следует, что

Л-2 =

------— iun.
2ла '	0

(9.45)

Вычислим интеграл (9.10). Используя (9.20) и (9.34), полу-
чим

7= (г Ю—7— ‘K=\v„(С)	«+ f ®. (0-4-

J С + a J С 4- a J С 4- а

 q 4- iPj 2л п
= — I —--------— •-------------2 ло).

2ла	1

а — —
а

Отсюда сила

---pi-i^-2^.	(9.46)

1	2ла

a — —

а
Подставив (9.45) и (9.46) в (9.18), найдем

Р=- р® |0/Г + P«oru — р 11>1012 —-----рш»2,	(9.47)

а — —
а

где Ги = 2лсо — циркуляция переносной скорости по контуру
круга.

Формулу (9.47) можно представить в другом виде:

р = — /рВмГ — р I I2 —--------ри0 (Г - Г J - ряда2. (9.48)

а~ —

а

Первые два члена (9.48) дают подъемную силу, действующую
на неподвижный круг, обтекаемый потоком с циркуляцией Г.
В третьем члене Г—Ги=Гю есть циркуляция относительной ско-
рости по контуру круга. Действительно, на основании рис. 9.3 и
соотношений (9.29) имеем

«. = и) |£-|-а| cos (6 —Х)=ш(1-[-acos 0),	(9.49)

откуда

2я

Гв=|«т</0=2™.	(9.50)

Следовательно,

2-
г„=

где = —и. —относительная касательная скорость.

Итак, третий член (9.48) представляет собой силу, действу-
ющую на вихрь Г», расположенный в центре круга, который дви-
жется со скоростью н0. Если со>0 и rw>0, то сила направлена
к оси вращения, а если Гш<0, то наоборот, что соответствует
правилу Жуковского о подъемной силе. Последний член в (9.48)
равен центростремительной силе, действующей на жидкость, за-
полнившей круг.

Итак, окончательно

Р = — <Р®юг — Р I ию Is —----Р“ог» - Р«»2.	(9.51)

а— —
а

где

—

2ла

Гто=Г-2™.

Характерно, что три последние члена в (9.51) определяют си-
лы, проходящие через центр круга и точку £=— а.
§ 9.4. Общее выражение для силы,
действующей на неподвижный
профиль

Пусть профиль расположен в плоскости z так, что начало ко-
ординат находится внутри профиля (рис. 9.4), а вихреисточник
расположен в точке z=b. Для определения силы воспользуемся

(Рис. 9.4

формулой (9.9), которая для принятых условий запишется так:

(9-52)

Подынтегральная функция имеет в точке z=6 полюс второго
порядка, так как в точке z=b находится вихреисточник (и(6) =
= оо) и функция —-— обращается в бесконечность. Из рис.
9.4 видно, что

( g(z) —*,- = 0,

J	Z — О ,)	Z — О J	Z — О

а

(9.53)
Z,

по контуру L2 равен нулю, так как функции —-—
г — b

и v (г) в точке г=оо имеют нули.

Пусть нам известна функция z=f(t>), которая осуществляет
конформное отображение внешности единичного круга на внеш-
ность профиля L и при этом обеспечивает /(оо)=оо, b=f(—а).
Заменив переменные в (9.53), получим

У.= —Г ®(О—!—д,
0 J ' т - ь

так как

v (z) dz=v (С) dt,.

Из (6.20)

~ /к\ _ <7 —*ri 1	। У + /Г1	1____д + /Г2	1

U 2л £ + а ”Г 2л ’	+ 1 2л С

Внутри контура интегрирования Ci функция

F(C)=-u(Q------

' f(V-b

имеет полюс второго порядка в точке £=—а, тогда

Jo= — 2~z res F ( —а).	(9.54)

На основании (6.20)

Функция F,(£) имеет в точке ^=—а полюс второго порядка, а
F2(£) — полюс первого порядка.

В окрестности точки £=—а

+',о+”. (' + “)'+ • • • 	(955)
Очевидно, что для определения вычета функции 7?(^) в точке
£=—а необходимо знать только коэффициенты П-i и п0. Дейст-
вительно,

res Д1(-а)=-^—

res Д2(-а) = / ~ —

a

a— —

7 + /Г1

2л

IV

at

Подставив значения вычетов в (9.54), а
лучим

затем в (9.52), по-

— Л?,	. а- /Г,

-----!_ r/z_1 _ гр	----

2ла	2ла

a

или

, . (q — zr,)2

+ zp~ 2л "”0’

(9.56)

(<7 + 'Т1)2 -
n°-

Обозначим

тогда

n—l

q + <T,
2n6j

(9.57)



P= - ip® (»,.) Г - p | ® (*,) p 21,811	 + P®! (i.) 2m fi. (9.58)

a(a~ — I

В выражении (9.58) первое слагаемое силы определяется по
формуле Жуковского, где f(&i) —скорость невозмущенного по-
тока от вихреисточника в некоторой точке Ь\. Сила, определяе-
мая вторым членом формулы, проходит через точку & и не дает
момента относительно вихреисточника; величина этой силы за-
висит от формы профиля и скорости невозмущенного потока в
точке Ь\. Сила, определяемая третьим членом формулы, зависит
от формы профиля и скорости а (61); линия действия ее, завися-
щая от формы профиля и интенсивности вихреисточника, прохо-
дит через точку Ь.

Определим коэффициенты n_i и /г0- Функция z=f(£) регуляр-
на в точке £=—а, поэтому в окрестности этой точки

г=/(С)=Л0+А1(С+а)+Л2(1;+о)’ + ...,	(9.59)

где

k„=f(-aY-=b, k,=f'(-a),	—

Отсюда

-------)(:+«)+...

/(C) —о Л] Ч -i- a kj

Сопоставляя с рядом (9.55), найдем

тогда

b^af(-a),	п$=----(9.61)

и окончательно

Р= -фс(»,)Г-р ]&-(/>,) |—-р<ц2(*,) 2т.а'Чгг. (9.62)

Итак, сила зависит только от первых трех коэффициентов
(/г0, k\, k2) разложения отображающей функции в ряд Тейлора
в окрестности точки £=—а.

Момент сил относительно вихреисточника (q, Г1) равен изме-
нению момента количества движения:

Л«=-Р-£-(Г2-Г,)=-р^-Г.	(9.63)

Следовательно, результат воздействия вихреисточника на про-
извольный профиль сводится к силе Р, проходящей через точку
расположения вихреисточника и определяемой по (9.62), и мо-
менту относительно этой точки, определяемому по (9.63).
§ 9.5. Равномерно вращающийся
профиль произвольной формы

Обтекание вращающегося профиля произвольной формы
можно получить в результате сложения потока, обтекающего не-
подвижный профиль, с потоком вытеснения. Определим поток
вытеснения.

Поток вытеснения

Для потока вытеснения известна нормальная слагающая аб-
солютной скорости vBn на контуре профиля, равная при безот-
рывном течении нормальной слагающей переносной скорости.
Переносная скорость и = /со (г—b), где z=b— координата оси
вращения.

При заданной форме профиля всегда можно найти

Un=-vBn-

Выразим абсолютную скорость течения в произвольной точ-
ке профиля через нормальную vn и касательную vx составляю-
щие. За положительное направление касательной принято такое,
при обходе контура по которому профиль остается слева. Нор-
маль принята внешняя. Из (9.28) видно, что

vdz=(vx-j-iivn)\clz I.	(9.64)

Для определения интересующего нас течения воспользуемся
методом конформных отображений. Пусть функция z=f(t) ото-
бражает внешность круга плоскости £ на внешность профиля L
плоскости z. Тогда связь между скоростями определяется соот-
ношением

Для течения в плоскости L, на основании (9.28) справедливо
равенство

®(ОЛ=[®,(С)+«®„©]| <1;

тогда

[в,(z) +	(z) ] I dz I = (C)+iv„ (Q] | Л|,

ИЛИ

, 7 .	(9-65)

|. I
Формулами (9.65) устанавливается связь между нормальны-
ми и касательными скоростями в плоскостях z и £.

Используя (9.64), напишем для потока вытеснения

u,„| dz I = к„ I dz 1= - Re (iidz),
или

vBn (z) I dz I = — 0> Re l(z — b) dz].

Из (9.65) имеем

(’) df>= v,„ (г) | dz | = - » Re [(*-*) dz],
откуда поток вытеснения в плоскости £ на основании (9.31)

\ -Аг- <9-66)

В общем случае vBn является периодической и ограниченной
функцией с периодом 2 л, которую можно представить рядом
Фурье

Арсоар«+Врз1прЧ	(9.67)

или в комплексной форме

v^W^^c^+c^e-^,	(9.68)

где

ср+с-р=Ар, Цс„-с_р)=Вр

(Ар и ^ — коэффициенты Фурье).

Подставим ряд (9.68) в (9.66) и проинтегрируем. Так как

<?'/>« = !?, e-ipo=^-p ^=_^L

К
то

где точка со находится вне единичного круга.
Используя вычеты, найдем
тогда

»=1 со

Это значит, что в общем случае поток вытеснения вне круга
можно получить в результате суммирования потоков от мульти-
полей всех порядков, размещенных в центре круга. Этот вывод
непосредственно следует также из общей записи для скорости
(9.8).

Касательную скорость на контуре круга найдем из условия
vBZ =Re(t£vB) (индекс «О» опущен);

Apsinp6 — BpcospG.

(9.69)

Итак, в общем виде получен поток вытеснения в плоскости
£ по известной нормальной слагающей скорости потока на кон-
туре профиля.

Можно использовать другие граничные условия при опреде-
лении потока вытеснения.-В § 3.3 получено, что при вращении
профиля на контуре известна функция тока ф. Следовательно,
для потока вытеснения из (3.10)

K(*)=-y>»l*l!+c, («=!*!)

При известной отображающей функции z=f(£), преобразую-
щей контур профиля в окружность |£| = 1, можно найти распре-
деление функции тока фв(0) на окружности.

Если

Фв = ?в + %.

ТО

Фв=-Ке(гФв).

Воспользуемся интегралом Шварца, из которого следует

2те

2" J Со —е'8

(F — действительное число),
или

2я	10

ф.(«=	\	М+Е, (9.70)

2яг 0J	Со-е'9
что является комплексным потенциалом потока вытеснения при

После преобразовании

«>.(«=— \	+°.	(9-71)

J Со — С

так как

Фв (O)dQ= const, d'(,=iei6db.

Дифференцируя (9.71), найдем сопряженную скорость потока
вытеснения



$2«в)

О

ielodO

(Со-«/0)2

1	С	2фв(С) rfC

2л	J	(Со —С)2

|С| =1

Поток вытеснения получен как результат сложения течения
от диполей, распределенных на окружности |£| = 1 с плотностью
моментов

/(е-Ц-)
р2 (0) = — 2<bBie10=о»/?2 (9) е

(9.72)

Ось диполя совпадает по направлению с касательной т к окруж-
ности (см. рис. 9.3). Итак,

/?2 С) аг,

(9.73)

По формуле (9.73) можно определить скорость потока вытес-
нения при |£|>1.

Чему равна скорость на окружности |£| = 1? При £0=£
подынтегральное выражение имеет полюс второго порядка. Нор-
мальная слагающая скорости в точке £о=£ конечна, так как ди-
поль, расположенный в этой точке в направлении, перпендикуляр-
ном оси, дает скорость, равную нулю, а остальные диполи инду-
цируют в точке £о=£ конечную скорость. Для определения
касательной скорости на окружности воспользуемся формулой
(9.26). Касательная скорость не имеет разрыва на окружности
| £| = 1, поэтому

(ВД=Re («]	i?(l)«e

2л- J	(е1И°_е10)
Так как	е/е» е/0	1  4sin2——’  2
то	'Г''»--	(974)  сП \	и — Uo  0 sin2——

Выражение (9.74) можно получить также из (9.42), если про-
интегрировать по частям.

Представим функцию Т(е) = [	Г рядом Фурье

L ° (0г) 1

	7(9)=-^- -|-^2 apcos Pe + ^psin Pl)	(9.75)  />=i

или в комплексной форме

	Р=1
где	Np+N.p=a„, l(Np-N_p}=bp.

Тогда из (9.73) следует

- /г ч_ (0г). С Г Др I V //у ГР I N-p \1______________£L_

2л Д Д 2 '2-VV+ J] (?0-С)2

Так как при |£о|>|С|

	II jlM 8 Sr т
ТО	м



	. . ..... 		

®.,(’o)=Re(>^,)= -r“^(lP. '^p(apcospH„^bpsinpb0). (9.76)
Напомним, что в (9.76)

2к

а„=— \т (9) cos p^dfr,
nJ

о

2я

У Ст-(О) sin р»М.

о

Для упрощения дальнейших записей обозначим

d S р	cos рЬ + Ьр sin Р^’

(9.77)

(9.78)

d2=d(Q2), /?2=Я(02) —радиус выходной угловой кромки про-
филя; тогда

®вД02)=-<м/2Я2.	(9.79)

В общем виде для профиля произвольной формы не пред-
ставляется возможным определить коэффициенты Фурье (9.77).
Однако, зная отображающую функцию z=f (£) и используя при-
ближенные численные методы, можно вычислить столько коэф-
фициентов ряда, сколько потребуется для получения необходи-
мой точности.

Связь циркуляций

Связь циркуляций найдем из условия выполнения постулата
Чаплыгина. Скорость в точке схода потока должна быть конеч-
ной. Нормальная слагающая vn всегда конечна. Если выходная
кромка имеет угловую точку, то

Для выполнения постулата Чаплыгина необходимо, чтобы
(£2) =0. Это значит, что

или

+ -увДУ=0.	(9.80)
Проделав преобразования, как в § 9.3, получим

Г2=Щ + (1 - k) tg ₽0? - 2тс-ивт (02),	(9.81)

а после сопоставления с (2.51)

(\-k')2r.Rl«,=2T^d2Ri
и

Rl = ——Ri',

1 — k

Если течение направлено в сторону вихрестока (—q, + Г2) в
точке £=—а, то (9.80) приобретает следующий вид:

+ ‘Пвт(С2) = 0.

После преобразований найдем

где

тогда

Г2= Щ + (1 - A) tg %q -j- 2«toBT (У,





(1 — k) 2-/?aW = — 2кЛдГ2/?2®

У-г

kd2

(9.83)

Параметры уя (расходящийся поток) и у? (сходящийся по-
ток) введены в практику гидродинамических расчетов С. С. Руд-
невым.

§ 9.6. Прямая пластина

Отображающая функция

Ранее получена функция (5.37), которая осуществляет кон-
формное отображение пластины длиной I на внешность единич-
ного круга (рис. 9.5),

z=T'(c‘+-r)-	(9-84)
Предположим, что вихреисточник q, Г] находится в точке
Ь = —плоскости z. После конформного отображения (9.84)
в плоскости вихреисточник будет в точке £1 =—ae~iZ. В § 6.4
рассмотрено обтекание единичного круга от вихреисточника, раз-
мещенного в точке ?=—а действительной оси. Дополнительно
сделаем поворот плоскости £i на угол б. При этом

Подставляя

Рис. 9.5

в (9.84), получим

(9.85)

Функция (9.85) дает отображение внешности единичного кру-
га плоскости £ на внешность прямой пластины плоскости z (см.
рис. 9.5). Координаты вихреисточников в плоскостях z и £ имеют
следующую связь:

Определив аргумент и модуль правой части (9.86), получим

tg*=-----у—tgo;

1 +

(9.87)

^=-^-(a’+2cOs28+-^)-
Если принять, что в интересующих нас случаях — >4, то
можно с небольшой погрешностью считать

а=-^~ . х=8-	(9-88)

Связь циркуляций

Коэффициент прозрачности определим по (6.29). Так как ко-
ордината точки схода потока ^2=е’8, то

Л=--------(9.89)

Угол бесциркуляционного обтекания пластины определим из
(6.29):

2 sin 8

2 cos 8 + а + —

Из (9.89)

поэтому

tgfe-= ,lnS t 	(9.90)

cos 8 + —
a

Распределение скорости на профиле

Распределение скорости на профиле определим из соотношения

Г(г) ==?(?)-^-.
dz

Из (9.85) имеем

=	) = _L e-»(P-Z22)

dl 4 \ C2 /	4	C2

Скорость в плоскости £ определена в § 6.4. Из (6.31) следует, что в на-
шем случае

2л	/	1 \	’
тогда

Проведем некоторые преобразования.
Во-первых,

£ +	г +

Связь между координатами точек окружности и пластины получим из (9.85),
приняв £=е'9,

г=х— — cos(fl —В).	(9.94)
Затем на основании (9.94) найдем

Обозначая

= 020* l?t

(9.95)

и используя результаты преобразований (9.92), (9.93), (9.95), получим форму-
лу для определения скорости на пластине

^cos (32 — 8) ± sin (32 — о) tg

(9.96)

о(0) =

2	1

1 + — cos 0 +------

а	а?

Как видно из (9.96), скорость на входной кромке	J в общем

случае равна бесконечности, а на выходной кромке ^х =	— конечной

величине. Сравнивая с формулой (5.41), полученной для одиночной пластины,
обтекаемой плоскопараллельньш потоком, можно заметить, что выражения,
стоящие в скобках, одинаковы по структуре. Знаки плюс или минус следует
принимать при вычислении скоростей соответственно на верхней или нижней
сторонах пластины.

В частном случае при р2=б скорость

»* (0) =

_________I «20 I_______

2	а	1

1 + ---COS 0 + ------

а	а?

На рис. 9.6, а показана эпюра скоростей v*. Как видно, скорость v*
изменяется несущественно. Причем это изменение тем меньше, чем больше а.

v

На рис. 9.6, б показан характер изменения — для случая, когда точка раз-
деления потока находится на верхней стороне пластины.
Как и в § 5.7, найдем интенсивность вихревого слоя, заменяющего пла-
стину. В нашем примере

7 (х) =	= — 2о* (х) sin (Р2 — 6)

dx

7 (0) = — 2о*(0)sin(?2-8)tg  °2	.

Рис. 9.6

Очевидно, циркуляция вокруг профиля

+ J/2	8

Г =	7(X)dx= —-у 7 (0) sin (0 — В) rfO.

-1/2	я+8

Сила

Определим подъемную силу, действующую на пластину, если
вихреисточник расположен в точке z=—R (см. рис. 9.5); тогда

	*=/го=т(с+Я	.(9.98)
откуда	rn=' t2~'	(9.98')
		
и	7 w 2 £з	
Чтобы воспользоваться далее формулой (9.56), найдем из
(9.60)

1 I а!— 1

-2=1- = a(as- 1).

«0

Проделав в (9.56) необходимые преобразования с учетом
(9.99), получим

Р,+‘Р,= ~	Ъ Г-2Г,).	(9.100)

2л	\

Для нашего примера из (9.90) следует, что Ро = О, и из (9.89)

k=	.	(9.101)

Кроме того,

*2 D I \ а 4- 1
R+ 2

так как из (9.87)

«Н-НтН-

Таким образом,

Из уравнения связи для циркуляций
Г2=ЛГ.

или

Г=-(1-*)Г„

откуда

1—.
Используя (9.101), найдем

1-*=—

г,= — + г.
2

Подставив это значение Г1 в .(9.100), получим

Ру -YiPx=- р	а (а +1) п0Г.

(9.103)

(9.104)

Так как момент силы относительно вихреисточника

то очевидно, что плечо силы Ру относительно точки г=—R

М _ Z(a2—1)2

Ру 4а2 (а+1)

Из приведенной формулы видно, что независимо от условий
обтекания подъемная сила всегда проходит через одну и ту же
точку, называемую фокусом профиля и лежащую на действитель-
ной оси. Введем безразмерный коэффициент, характеризующий
положение фокуса профиля относительно входной кромки,

£ ___ Rll.l — Rj __ Рц.Д — /?1

л— I ~ Rt-Rx

Так как

(д~1)г ,

#и.д fl + 1

Rr	а

Из (9.102) найдем

/?2	।___ 4а

~Ri ~ (а-1)2 ’
При -> 1, что соответствует обтеканию пластины пло-
скопараллельным потоком, Сд—»— . При —О или /?2 —’О°
Сд —0.

Итак, для пластины, обтекаемой потоком вихреисточника,
фокус профиля расположен на расстоянии (0 4- 0,25) I от вход-
ной кромки. Зависимость координаты фокуса от размеров пла-
стины определяется формулой (9.105).

При обтекании пластины от вихреисточника, расположенного
в бесконечности, к вихревому стоку, находящемуся в точке
z=—R, коэффициент центра давления относительно входной
кромки

Ri

где

Отсюда видно, что при

коэффициент Сд соответственно равен



Радиальная слагающая силы из (9.104)

—!-!-----Г.

2л/?ц,д

Как видно из (9.103), Г1 и Г имеют разные знаки, поэтому
радиальная сила всегда направлена в сторону вихреисточника.

Вращающаяся пластина

Нормальная слагающая скорости потока вытеснения

на основании (9.65)
Из (9.98) и (9.98')

х=— cos О, I1 = — sin 9;

2 I rfC |	2

тогда

^Bn(6)="’-^-sin94-wy sin 20.

На основании (9.67)

1	2	8

и из формулы (9.69)

^bt==_U)(_^_cosO+4cos20\	(9.107)

\ 2 ° )

Гак как в данном примере 02=0, то из (9.107) найдем

О„(в2)=-ш-^-( 1 +	(9.108)

Если подставить (9.108) в (9.82), то можно найти активный
радиус RA.

§ 9.7. Профиль в виде отрезка
логарифмической спирали

Отображающая функция

Рассмотрим обтекание одиночного тонкого профиля в виде
отрезка логарифмической спирали от вихреисточника, размещен-
ного в начале координат (см. рис. 6.8,6). Ранее мы нашли ото-
бражающую функцию (6.42), которая преобразует внешность
единичного круга во внешность отрезка логарифмической спи-
рали,

lnz = ln(C-]-a) — e~-‘i In-\-a |

(здесь индекс при z и постоянный член опущены).
Обозначив

а=е~/2т,
получим другую запись для отображающей функции

*=/ст= 1с+\. 	р.109)

(т + “)

Сила

Предварительно определим коэффициенты k\ и k2 (9.59). Из
(9.109) получим

- 1

(а-т)

Обозначив

|^’±/Г1| = Д, q-J-iPj =1Ае~1\ q — iT\ = —iAe'!',

получим

p,+‘p,= -? lT1 (a—-Y[r+24sin(v1.-T)/e-'T].

\ a /

Из этого выражения видно, что при бесциркуляционном обтека-
нии, когда Yi = y и Г=0, сила равна нулю.
ГЛАВА X

МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 10.1.	Применение метода
конформных отображений
для круговой решетки

Течение через круговую решетку, как видно из схемы (см.
рис. 2.3,а), является периодичным. Если решетка имеет т про-
филей, то угловой период решетки ~  Следовательно, при
исследовании достаточно найти течение только в области одного
периода круговой решетки.

Отобразим круговую решетку из т профилей плоскости z на
плоскость Zi так, чтобы область одного периода решетки соот-
ветствовала всей плоскости Zi, а точка z=0 перешла в точку
zi = 0. Если в плоскости z в начале координат находится вихре-
источник интенсивностью (q, Г1), то в плоскости Z\ следует рас-
смотреть обтекание одиночного профиля от вихреисточника
I	—Y Указанное отображение осуществляется функцией

\ т т /

Z1=Zm.	(10.1

Обозначив z=J?e!',, zi=Rieit>, получим Ri=Rm, Е\ = те. Это
значит, что функция (10.1) переводит окружность и луч плоско-
сти z соответственно в окружность и луч плоскости Z\. При этом
2л

сектор с углом — плоскости г переходит на плоскость Z\ в сек-

тор с углом 2 л, т. е. во всю плоскость. Итак, функция (10.1) ото-
бражает плоскость круговой решетки на /n-листную поверхность.

Дальнейшее решение аналогично решению, рассмотренному
для прямой решетки (см. § 6.3).

При помощи функции

«,=/©

осуществим отображение на плоскость £, где известно обтекание
/ о г, \

одиночного круга от вихреисточника —, —• в точке £=—а.
\ т т /

Итак, если известна функция

*=[/(9Г,	(102)

отображающая область одного периода решетки на плоскость £,
то можно найти произвольное обтекание круговой решетки тем
же методом, как и в прямой решетке.
При фиксированной точке схода потока £2 гидродинамические
параметры неподвижной решетки можно определить по форму-
лам (6.29). Эти формулы, как видно из вывода в § 6.4, справед-
ливы для течения от центра решетки. При обратном течении, т. е.
к центру, следует применять для k следующую формулу:

+ 2д cos 02 + 1

Д2 — 1

(10.3)

Формула для tg ро сохраняется в том же виде.

Активный радиус решетки можно определить по методике,
описанной для одиночного вращающегося профиля (см. § 9.5).

При течении от центра решетки в отличие от (9.81) имеем

Г2=АГ, 4- (1 — k) tg р0<7 — 2-mva-. (02)

При течении к центру решетки

ит=I —Y =-----------(10.5)

\ Ла J mkd2	'

Напомним, что из (9.78)

^pl^cospSo + ^sinpO,), (10.6)
Р=1

где
2«	2-

а,= — ( T(6)cospM0-, h,=— ? Г(0)sinр0rf9 (10.7)
л J	Я J

о	о

есть коэффициенты Фурье функции Г(0) =------—

L #2

Вследствие того, что в общем виде не удается записать ото-
бражающую функцию и решить задачу, переходим к частному
виду круговой решетки, состоящей из отрезков логарифмических
спиралей. Как прямая решетка пластин, так и круговая решетка
из отрезков логарифмических спиралей играют важную роль в
теории решеток. Благодаря геометрической простоте решетки
удается проследить влияние отдельных геометрических парамет-
ров на гидродинамические параметры решетки.
§ 10.2.	Решетка из отрезков
логарифмических спиралей

Неподвижная решетка

Геометрическими параметрами решетки являются величины

RB — внутренний радиус решетки;

7?„—наружный радиус решетки;

tn — число профилей решетки;

у — угол между касательными к профилю и к окружности.
Очевидно, при постоянстве этих параметров имеем серию гео-
метрически подобных решеток с одинаковыми гидродинамически-
ми параметрами.

При отображении решетки функцией

гг = гт

на плоскости получается отрезок логарифмической спирали с
тем же углом у к окружности ввиду конформности отображения.
Ранее (см. § 6.5) найдена функция (6.42), которая позволяет
отобразить отрезок логарифмической спирали на единичный
круг

1пг1=1п(С+а) — е_/2т in(	(10.8)

Сопоставляя формулы (10.1) и (10.8), получим необходимую
нам отображающую функцию в виде

lnz'”=ln(C4-a) —(10.9)

Далее найдем параметр а, зависящий от геометрических па-
раметров решетки.

Сопоставляя формулы (10.9) и (6.44). видим, что правые ча-
сти их равны, поэтому можно написать

i_ лг 2л
In zKP — гпр,

где зПр — плоскость прямой решетки пластин;

zltp—плоскость круговой решетки логарифмических спира-
лей.

Применяя эту формулу для концевых точек профилей (О и 2)
и вычитая аналогично (6.45), получим

In

\ гкро /
Выделив здесь действительную часть, найдем, что

(10.10)

Выражение (10.10) определяет геометрические параметры
прямой решетки пластин и круговой решетки из логарифмиче-

0,95

ских спиралей, которые при отображении на плоскость £ имеют
одинаковый параметр а отображающей функции.

Подставив (10.10) в (6.48), получим

"’(Я	<П2Т. (10.11)

Естественно, что параметры а и v, как и в (6.49), связаны
условием

cos V
а коэффициент прозрачности

sin (у — 7)

sin (v+ 7)

(10.12)

После тригонометрических преобразований из (10.12) найдем



-rdrc,BY-

(10.13)

Из уравнения (10.11) определим связь между геометрически-
ми параметрами и коэффициентом прозрачности круговой ре-
шетки:

In 2 = sin2 у In # — arctg ( * ~ & ctg у) sin 2у.	(10.14)

Результаты расчета по формуле (10.14) представлены на но-
мограмме (рис. 10.1).

Из (10.14) видно, что коэффициент прозрачности круговой ре-
шетки из отрезков логарифмических спиралей фактически зави-
сит от двух геометрических параметров: угла спирали у и

Ясно, что направление бесциркуляционного обтекания решет-
ки определится углом

₽» = f~v-

Вращающаяся решетка

Определим активный радиус решетки. Предварительно найдем
функцию R2 (9). Из (10.9) имеем

m (In R -J- ге) ==• е~1^ |eMn (С-|- а) — e~lt In
Далее обозначим

Р(в)=|С + а]г=| -1—1-« |!=a2+2acos0 + l;

p(e)=arg(C+a)= -arg(’-i- + a'|=arctg s'nli
\ С / cos 0 + a

Выделив в (10.15) действительную часть, найдем

1п7?2= —sin2y 1пР(9)+ —sin2yp.(0);
m	m

— sin2 т -sin 2т |л(В)

/?2(9)=[P(9)P em .

(10.15)

(10.16)

(10.17)
Ясно, что для произвольной решетки определить в общем виде
коэффициенты Фурье функции (10.17) невозможно. Однако при
использовании для расчетов ЭЦВМ не представляет трудность
вычислить необходимое количество коэффициентов ар и Ьр, опи-
раясь на разработанные численные методы.

Решетка из двух радиальных
пластин

Эта решетка является частным случаем решетки логарифми-
ческих спиралей: здесь т=2, у=—. Из (10.16) и (10.17) видно,
что

R2 (0) = «2 _|_ 1 _{_ ^а cos 0.

При течении из центра 02=О, R2=R»=(a-\-1)2, k= а~ -,

а + 1

2а , а< а
(а + 1)2 ’	2 (а+1)2

Так как

^ = (<2-1)2,
ТО

k = -^-.
Rh

Из (10.4) имеем

2а	1 ( 1 । /?в \

,н (!-<•) (О+ 1)2 “ Т ( 1 +	)

если учесть, что

(10.18)

При течении к центру
«,=*. ^ = ^ = (0-1)2,
„ _ 2а	,	а

4Z,—	,	а>2—— — ------.

(а-1)2	(а- 1)2

Из (10.5)

2_^

(l fe)(fl2 —1) __ R„

2ka	RB

1 + ^Г

(10.19)
ГЛАВА XI

МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

§ 11.1. Интегральное уравнение
для комплексного потенциала

В § 4.2 получено общее выражение (4.24) для сопряженной
скорости потока, обтекающего круговую решетку (см. рис. 4.2, а),

®(г)=

д — ZT,	1	mzm~^ С

2ft	z	2л1 J

у (С) rfC

где t,— текущая координата контура профиля L;

z— любая точка в плоскости, не принадлежащая контуру L.

Умножим обе части уравнения на dz и проинтегрируем. В ре-
зультате

Ф (z) =  ’	In Z-+ -JL- ?(9 In (С" - Z”) Д С, (11.1)

так как

mzm~1dz

= — In (Cm —z"')4-C.

В (11.1) опустим, постоянную и вычислим интеграл по частям.
Так как

</Ф = v (Q Л, — In (!?' - zm) = —,

v 7 а; v	Ст — гт

®«(=-^=^-lnZ+-^-ln(C«-z'») I---1_Сф(ОХ
2Л	2Л1	I zJU .1



Принимаем, как и ранее (см. § 8.1), за начало обхода контура
произвольную точку тогда

ФК) In (С” -z”) I = — In (й - z"),
2л1	I 2лг

так как при обходе контура функция Ф(£) увеличивается на Г,
a ln(gAm — zm) не изменяет своего значения.
Итак,

Ф(z)Н—— ( Ф С)——--— бД =
' ' 1 2лг J ’ Cm_zm

L

2л

1пг + -£-1пД-г»).

(П-2)

Уравнение (11.2) справедливо для любой точки, не лежащей
на контуре профиля. В точке z=z0 (z0 — точка контура L) подын-
тегральная функция имеет бесконечный разрыв.

Для контура профиля L, аналогично (8.5), (8.5'), имеем

поэтому

»W=—— К Ф G)
т J

или

Л+

In +

?-<т,

(U-4)

В (11.4) интеграл берется в смысле главного значения. Это
интегральное уравнение для комплексного потенциала справед-
ливо для любой точки гладкого профиля.

Если профиль имеет угловую выходную кромку с углом %
между касательными, то аналогично (8.8) в этой точке справед-
ливо уравнение

2"Иао+^_1п(Сл_го) +

2л	л	л/

(11.5)
§ 11.2. Интегральное уравнение
для функции потенциала скорости

Вывод уравнения

Выделим в (11.4) действительную часть. Предварительно
найдем

-— U(Q—(11.6)

2л Г u Ст- г”1	'	’

L

Последний интеграл в (11.6) возьмем по частям:

= —In (?" — zm) I 4----------------— vn (0) 1п (Ст ~ 2"г) da,

так как dip = первый член здесь равен нулю.

Для точки z0, лежащей на контуре профиля, из (11.3) найдем

Следовательно, на основании (11.2) получим



+ ^71пй~г",+4Н $	(11-7)

Обозначим

C=pez®, z0=/?eZe;

тогда

(?' — z“=(pm cos ma — /?"' cos ms) 4-i (pm sin ma — R"1 sin m s),
или

| C" — z“ |=]/'»=” - cos и (а — «) + /?">;

arg (C™ - z0") = arctg	.

p"* COS/па — Rm cos trn
Обозначим

,	1	. o^sinzna — Rm sin те

M(s, a)=—arctg —-------------------;

л	pm cos ma — Rm cos тг

N (s, a) = — In ]/p2m — <2pmRm cos tn (a — e) 4- /?2m,

(11.8)

где s(R, e) —координата фиксированной, a o(p, a) — координата
текущей точки контура L.

Теперь выделим действительную часть в (П-7). В результате
найдем

; С /х dM (s, а) , q In R + еГ, „ .. .	. .

<P (s) + \ ? (°)  ——'	------------Г ™ (s, ад) ф-

+	(4.9)

I

так как

=—	[N(s, o) + iAI(s, >)]*>.	(11.10)

Интегральное уравнение (11.9) для функции потенциала ско-
рости во вращающейся круговой решетке, выведенное в работе
[27], является уравнением Фредгольма 2-го рода

® ($) 4~ J <Р (б) К (s, a) da = b ($),

(11.11)

где ядро

da

есть непрерывная функция всюду на контуре профиля и

«(»)=? '°У> +г,^- +ГЖ(5,	»)*•

Для неподвижной решетки fn = 0, и в выражении для b(s)
интеграл равен нулю.

При решении уравнения (11.11) встречается сложность в вы-
числении интеграла свободного члена, так как подынтегральная
функция при a=s имеет бесконечный разрыв.
Вернемся к формуле (11.6) и определим предельное значение

интеграла:

Л (z) =—— <1* (О —~
2V ’ 2л	— zm

L

при z—z0.

Из формул (4.34) и (4.36), дающих предельное значение ин-
теграла типа Коши, получим, что при приближении к профилю
справа (из области течения)



С /(0-/(го)^

J С — zQ

поэтому в нашем случае для точек контура профиля



т',т~ 'dt,

(11. 12)

— обычный интеграл. При Zo подынтегральная функция раз-
рыва не имеет.

Если теперь подставить (11.12) в (11.6), а затем в (11.2) и
найти действительную часть, то получим

+ TA((s, +	da. (11.13)

Подынтегральная функция в правой части (11.13) непрерыв-
на. Видно, что уравнения (8.26) и (11.13) аналогичные. Схема
решения такого интегрального уравнения дана в § 8.2.

Определение циркуляции
и гидродинамических параметров
решетки

Для определения циркуляции и гидродинамических парамет-
ров решетки можно использовать методику, описанную в § 8.2
применительно к прямой решетке. Однако там же сделано заме-
чание о возможной неточности вычисления производных в точках
$! и s2, что может привести к ошибкам в вычислении Г и парамет-
ров решетки.

Рассмотрим другую методику. Сначала считаем решетку не-
подвижной. Пусть выходная кромка профиля очерчена окруж-
ностью между точками Si и s2 (рис. 11.1) и скорости в этих точ-
ках равны. Если точка s0 делит дугу S]S2 пополам, то можно пред-
положить, что в этой точке скорость равна нулю по аналогии с
обтеканием круга. Тогда в двух точках, расположенных на ок-
ружности на одинаковом расстоянии от точки s0, должны быть
равны и потенциалы.

Итак, при определении циркуляции принимаем, что потенци-
алы в двух точках $i и Хц (см. рис. 11.1), равноудаленных от
точки s0, должны быть равны. В § 14.3 такой подход применен
при использовании аналоговых моделирующих устройств (напри-
мер, ЭГДА) для расчета решеток.

Рис. 11.1

Представим решение (11.13) для неподвижной
следующем виде:

? = ??1 + Г1'?2+Г<?3,
где срр (р= 1, 2, 3) определяется из уравнения
tp («) + W • da=bP (*)

L

Л	Л

решетки в

(П-14)

При равенстве потенциалов в двух выбранных точках имеем
?п9 + ?21Г1 + <Рз1Г=СР111^+'?2ПГ1+?311Г-

Так как

Г2 — Г^тГ,

то после преобразований получим

r2=H\-|-(l-£)tg^,
где

ь 1 т ?21 ~ Ъи .

к = 1 — т---------,

?31 — ?зп

tg₽O= -

Тп-Тш

(11.15)

?21	?2П
При вычислении разности <p3i — фзп следует иметь в виду, что
при полном обходе контура профиля потенциал <р3 увеличивается
на единицу. Когда за начало обхода взята точка s0 (см. рис.
11.1), то

Следовательно, если начало обхода находится внутри малого
участка контура SjSu, то при вычислении k необходимо пользо-
ваться формулой (11.16). В других случаях применима формула
(11.15).

Параметры решетки k и р0, подсчитанные по этой методике
на ЭЦВМ, достаточно близки к точным значениям.

Перейдем к вращающейся решетке. Известно (3.9), что на
контуре профиля ф(э) =—— <о/?2, поэтому

С г, , ч . , dN	,	1	л2 С	р2 (о) — R2 ($)	dN ($, а)	,

- j [ф W-<К»Л5	’к2---------“°-

L	L	”

Величина последнего интеграла в этой формуле постоянна
для геометрически подобных решеток. Обозначив

получим из (11.13)

?=?<fi+r.ft+rIf3+2cf4,	(11.17)

где

J	da

«4(S) = -LC

41	2 J	Л

Активный радиус решетки определим исходя из следующих
предположений. Пусть на участке профиля $1$ц (см. рис. 11.1)
циркуляция относительной скорости равна нулю. Если участок
достаточно мал, то можно считать, что относительная скорость
в середине (точка $0) равна нулю. Тогда циркуляция абсолют-
ной скорости на этом участке равна циркуляции переносной ско-
рости. Из (9.49) следует, что касательная слагающая переносной
скорости на закругленной выходной кромке

M- = <o(r-|-/?0cos 9),
а циркуляция переносной скорости

•ц

Г„== «TiZs=<Br2[(0i — 0ц)a (sin 01 — sin 0ц)],	(11.18)

«и

Введем безразмерную величину

(О, — 0Н) + a (sin О, — sin 0П)

-—	(1_;а);'-----—, w,=/?0+r). (ii.i9)

Так как циркуляция абсолютной скорости на участке профиля
равна (фх — <рц),
то

и на основании (11.17)

(Т1|-Т1п)?+(?11-!?111)г1+(Т>1-Тз11)г + (?41-?4п)а=‘;2- (И-20)

После преобразований, заменив предварительно



получим

^=№, + (1-Л)!»₽„? + (!-*)

откуда



С-(?41-?4Ц )
?21-~?2П

(11.21)

Параметры k и |30 следует определять по (11.15) и (11.16). Из
выводов ясно, что формулы (11.15), (11.16), (11.21) справедливы
для центробежных решеток, обтекаемых от центра.

В центростремительных решетках в начало координат следу-
ет поместить вихревой сток интенсивностью Гг). Уравнение
(11.20) преобразуется к виду

- (Т11 - ?ш) Ч + (?!1 - ?211) Г! + (т»1 - ?И1) Г + (?« - ?«1) 2 = А

В этом уравнении целесообразно принять Q = a>7?D2 (RB— внут-
ренний радиус решетки), а свободный член вычислять по фор-
муле

b = J_ С p2(a)-/?2(s) dN(s, а)

4	2 J R2b 'da

Так как RB = Ro— г, то

(0[ — 0П) + a (sin 0j — sin 0n)

С~	(а-1)2
После замены Г==—------?

т
метры решетки:

найдем гидродинамические пара-

?21~ ?2П

У31 — ТзП

tgPo=

Ун — Уш

*21“ *211

(11.22)

/ /?„ \2 = 2д(?21-?гп)
\. Ла / С —(У4[ —У4ц)

Итак, имеем возможность вычислить гидродинамические па-
раметры решетки по формулам (11.15), (11.16), (11.21) и (11.22),
зная величины потенциалов фь ф2, фз, ф4 в двух точках выходной
кромки, симметричных относительно точки схода потока. При
решении интегрального уравнения на ЭЦВМ потенциалы вычис-
ляются с высокой точностью на выходной кромке — особенно
при неравномерной разбивке профиля, когда входная и выход-
ная кромки делятся на более мелкие участки.
Раздел III

РЕШЕТКА

НА ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ

ПОВЕРХНОСТИ В СЛОЕ
ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

ГЛАВА XII

ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В § 1.5 получено, что исследование обтекания решетки на
осесимметричной поверхности тока, в общем случае в слое пере-
менной толщины, можно свести к исследованию течения на
вспомогательной плоскости з(х, у), на которую предварительно
конформно отображена решетка с осесимметричной поверх-
ности.

Решая прямую задачу теории решеток, предварительно по-
знакомимся с методикой конформного отображения решетки с
осесимметричной поверхности на плоскость.

§ 12.1. Конформное отображение
на прямую решетку

Рассмотрим решетку из т профилей, находящуюся на осе-
симметричной поверхности тока. Решетка вращается с угловой
скоростью со. Удельный расход через решетку q, циркуляция
перед решеткой Гь

Найдем конформное отображение осесимметричной поверхно-
сти тока на плоскость. На поверхности тока F (рис. 12.1, а)
нанесем ортогональную систему координат (<?i, q2). Оси коор-
динат q\ и <7г образованы пересечением поверхности тока F
соответственно радиальной плоскостью (меридиан) и плоскостью,
перпендикулярной оси (параллель), которые проходят через вы-
бранную за начало координат точку О. В криволинейной систе-
ме координат произвольная точка М имеет координаты q\M и
q2M. Из рис. 12.1 видно, что

qlM=OA=BM=i1M\

Рис. 12.1

Длина дуги АМ

12m=Ri=-^-

Принимаем, что при конформном отображении ось координат
7г переходит в действительную ось х плоскости г без искаже-
ний; тогда шаг решетки в плоскости

‘=^~R>	(12-1)

и

<*?,=-&• dl,-dx.	(12.2)

Связь между координатами qx и у установлена формулой
(1.23), откуда

dgl=dll = -~dy.	(12.3)

°0
Можно убедиться, что при этом условии достигается конформ-
ность отображения, т. е. при отображении сохраняются углы и
аналогично формуле (1.24)

dy _ dh
dx dl%

Функция R (7i) известна и может быть задана либо уравне-
нием, либо таблицей. Используя численные методы, определяют
интеграл

(12Л)

о

и устанавливают зависимость 7(71). Применение ЭЦВМ значи-
тельно облегчает расчет.

В практике гидромашиностроения конформное отображение
часто производят графически. В плоскости z имеется сетка с ша-
гом по осям координат Ах и А#. На поверхности F этой сетке
соответствует ортогональная сетка, в которой расстояние между
параллелями

Ьу,
' Л. У

а расстояние между меридианами на параллели радиуса R

Ч=^-Ьл-.

"О

Построенные сетки на поверхности F и плоскости z позволя-
ют перестроить любой профиль из плоскости на осесимметрич-
ную поверхность или наоборот.

Из формул (12.2) и (12.3) следует

dx __ dy __ Ro .

dl2 ~ dli ~ R ’

это значит, что в любой точке, лежащей на параллели радиуса
R, при конформном отображении имеет место линейное растя-
жение (сжатие). Коэффициент линейного растяжения

4=4'	<12-5’

ds Ro
где

ds=\dx-\-idy |.

Отсюда следует связь между скоростью потока на поверхно-
сти F и в плоскости z
где v — скорость потока в плоскости z;

с — скорость потока на поверхности F. к

Ввиду того что расход и циркуляция при конформном ото-
бражении не изменяют своей величины, можно определить гра-
ничные условия перед и за решеткой:

®ix=—> 'и2х= — > viy = —~, '°2v=“—	(12.6)

mt	mt y mthy y mtfy

При условии безотрывного обтекания решетки на поверхно-
сти F

e„=a„=«siny=u)/?siny,

где у — угол между касательной к профилю и касательной к
окружности в данной точке профиля.

Нормальная слагающая скорости на профиле в плоскости z

slnv=o>/?0slny[-^-f

Л0 Ко	\ «о )

или

i>„=l/slny;	j

I

Определим функцию тока на профиле в плоскости z. Так как

vn=sin у — vy cos у

и учитывая (1.33), получим

_L A. i_L _±L	_L	/19 R^

" h dy ds^ h dx ' ds h ' ds ’	1	’

откуда

^(s)=\vn(<3)h(p)d<3,	(12.9)

где о — текущая координата профиля.

Используя (12.7), найдем

.	Ф(У)=Уор(У)[-^-(у)]2<<У.	(12.10)

имея в виду, что sin у= —.
Итак, в плоскости z нам известны граничные условия тече-
ния на бесконечности перед и за решеткой (12.6), а также на
контуре профиля (12.7), (12.9).

В дальнейшем будем считать, что /г (г/) является гладкой
функцией, для которой /г'=/=оо и 11т/г' = 0.

§ 12.2. Обобщенные комплексная
скорость и комплексный потенциал

Известно, что решение уравнения Лапласа, описывающего
обтекание плоской решетки, можно найти, используя хорошо раз-
работанный аппарат аналитических функций комплексного пе-
ременного.

Если функция потенциала скорости ф удовлетворяет уравне-
нию Лапласа

л?=?,,+ту,=0;	(12.11)

__ д'у

~ дх^ ’

#2У \
’



то, обозначив для упрощения записи

ду

и — а = ——.
‘х дх

ду
ду

^ = ?y

(и и v — слагающие скорости соответственно по осям х и у),
получим вместо (12.11) однородную систему уравнений Коши —
Римана

ил-|--г>у=0, uy—vx=Q

Образовывая комплексную функцию

w (г) = и (х, у) — iv (х, у);

которая является сопряженной комплексной скоростью, видим,
что это аналитическая функция, так как и и v удовлетворяют
условиям Коши — Римана.

Сопряженная с ф фуйкция ф удовлетворяет условиям

<рх— фу = 0;

Ty+fc=0.

а комплексный потенциал

Ф(г) = 7(х, у) + 1ф(х, у)

является аналитической функцией.
Ясно, что

—, >	. ЙФ ...

IV (Z) = u — IV =---— ^x~Vl-‘x = v(x~ lfv

dz	у

Рассмотрим теперь систему уравнений с частными производ-
ными первого порядка, описывающую течение на плоскости в
слое переменной толщины. Перепишем уравнения (1.37) в новых
обозначениях:

где

(12.13)
h{y) dy dy

Следуя И. Н. Векуа [2], введем комплексную функцию
iv=u(x, y)—iv(x, у),	(12.14)

являющуюся функцией двух переменных гиг, так как

*= у (* + «), у =---^(г-z).

Напомним, что аналитическая функция комплексного перемен-
ного не зависит от г, и ее производная по г равна нулю.

Представим систему (12.12) в комплексном виде. При этом
учтем полученные ранее соотношения (3.12), откуда

dw —	1 I dw , . dw \

<1215>

Так как vx — uy=Q, то

Из (12.14)



(w—-w).

Подставив (12.16) и (12.17) в (12.15), найдем

dw —	i$(y)	.

—=-=-ау_=—-— (ад —да).

(12.16)

(12.17)

(12.18)

Таким образом, получена комплексная форма записи систе-
мы уравнений (12.12). Решение уравнения (12.18) определяет
решение системы (12.12).
Система дифференциальных уравнений более общего ви-
да [21]

их—v =au-\-bv, ]

(12.19)
йу-|- ъл=си-\-Лъ, J

называемая системой Карлемана, подробно исследована. Для
нее доказана теорема единственности решения. Эта система при-
водится к комплексному уравнению

dw л . п—

—— = A w	Bw.

dz

(12.19')

Непрерывное и дифференцируемое решение уравнения
(12.19') называют обобщенной аналитической функцией [2], или
псевдоаналитической функцией первого рода [20]. Для аналити-
ческой функции Wz=0-

Очевидно, уравнение (12.18) является частным случаем более
общего уравнения, когда А = —В.

Рассмотрим равноценную (12.12) систему уравнений (1.38)



(12.20)

Функция х=ф+гф, удовлетворяющая решению системы
(12.20), называется псевдоаналитической функцией второго рода
[20], или p-аналитической функцией [30].

Псевдоаналитические функции первого и второго рода мож-
но рассматривать как два представления одного и того же мате-
матического понятия. Здесь мы используем только псевдоанали-
тические функции первого рода, или, что то же самое, обобщен-
ные аналитические функции.

Следуя Л. Берсу [20], дадим общую запись для обобщенной
аналитической функции в виде

/7(г)=<Р(х, у) f„ (z) + ф (х, y)/t(z),

где fo(z) и fi(z) —частные решения уравнения (12.18), для ко-
торых выполнено условие

Im AW >о.

Проверка показывает, что /о=1 и fi= —-— удовлетворяют
Л GO

уравнению (12.18). Поэтому в общем виде обобщенная анали-
тическая функция, удовлетворяющая уравнению (12.18), имеет
следующий вид:

5(г)=^,й+<^-,	(12.21)

где ф и ф — вещественные функции.

Как показано в работе [20], производная обобщенной анали-
тической функции сама является обобщенной аналитической
функцией. Согласно [20]

(12.22)

dz	h (у)

Так как на основании (3.12)
ду	1 / ду . ду \ .

dz z 2 \ дх ду )

-*L—4 — 1 i dt 1
дг "	2 \ дх ‘ ду )’

а из (1.36)

и=— =— • — •
дх h ду '

дч>	1	дф

У =—- = —— .	- ,

ду	h	дх

ТО получим

=Чх + -г fc-=“ ~''°=” 
dz	h

(12.23)

(12.24)

(12.25)

Назовем функцию

обобщенным комплексным потенциалом, а функцию
w — и — iv

— обобщенной комплексной скоростью течения на плоскости в
слое переменной толщины. Видно, что, как и обычно, комплекс-
ная скорость определяется дифференцированием комплексного
потенциала.

Очевидно, что функция %=ф-Нф осуществляет отображение
плоскости z(x, у) на плоскость % с осями координат <р и ф. Из
соотношения (12.24) имеем (рис. 12.2)

,	< л , j dy 1 ds\

dy-w ds,, d'j = /rwds2, ---=—-------,

Y b T 2 dty h ds2
т. е. при отображении бесконечно малый квадрат dq> = dty пере-
ходит в бесконечно малый прямоугольник со сторонами ds^ и
ds2, а круг малого радиуса — в эллипс. Такое отображение на-
зывается квазиконформным.

Функции потенциала скорости и тока выражаются через ско-
рости следующим образом:

= и dx-\-v dy~^'ox dx — -^-tyxdy;
= ^Ли dy — /ivdx=§ tyxdx-}-fa?xdy.

(12.26)

Рис. 12.2

Для простейшего не-
возмущенного течения,
аналогичного обычному
плоскопараллельному те-
чению, имеем скорость
и = const, a v = v(y), по-
этому

J h(y)

Ф = — VqX и (у) dy,

где uG=vh из условия неразрывности течения.

Ясно, что обобщенная комплексная скорость

§ 12.3. Интегральное представление
обобщенной комплексной
скорости

В работе [2] рассматриваются обобщенные аналитические
функции, являющиеся решениями системы (12.19). Интересую-
щая нас система (12.12) является частным случаем системы
(12.19). Вначале получим интегральное представление для реше-
ний системы (12.12).

Если комплексная скорость w(z)=u—iv имеет в некоторой
области G непрерывную производную, то на основании формулы
Грина, записанной в комплексной форме (3.13), получим

w <К=2< J Лг. dld-q,	(12.27)

а

где £=£+й), а С — граница области G.
Выясним смысл выражения (12.27). Очевидно,

J тю dZ= J и	i § udr[ — vd'z = ^ dV-^-idQ. (12.28)

В (12.28) первый интеграл дает циркуляцию по контуру С.
Если в области G нет особенностей типа вихря, то он равен

нулю. Второй интеграл опреде-
ляет расход Q через контур С
(рис. 12.3), поэтому

zQ = ^w(C)



Так как из (12.17) w —w =
=2iv, то на основании (12.18)

Рис. 12.3

-^-=-----LW т))	(12.29)

и
,)йд.
а	о

Назвав функцию
~ /р \ d In h (-n)	,,	,

<7 ^, Tl)=----

dt\

плотностью распределения источников в области G, получим

<2==( J?(E, Tddldrt.	(12.30)

G

Из формулы Гаусса — Остроградского следует, что расход че-
рез контур С

Q = j J div;w d'i di\
a

или

*	n) = divw.
Из (12.12) видим, что

div iso = их -|- т>у = — р (у),,v.

Применим формулу Грина к функции

Пусть z — фиксированная точка области G. Исключим из об-
ласти G окрестность точки z— круг малого радиуса е (см.
рис. 12.3). Учитывая, что

df  	1	dw

dt	t — г	dt '

получим, по формуле Грина, для области (G — g), ограниченной
контуром С — с,

1 с w (t) dt____1_ г w (QrfC _ г с dw (tidr,

21 J t — z	21 J C — z ~ J J ' C — z

C	c	(G-g)

Так как

nmf ’ЮЛ

s-»0 J C — Z

TO [21]

(12.31)

V ’	2л/ J C-z л J J дГ t-z

C	G

Итак, получено интегральное представление для решений
системы (12.12). Первый интеграл



w (С) dt
t — z

есть интеграл типа Коши, определяющий аналитическую в обла-
сти G функцию аУо(-г) по граничным значениям обобщенной ана-
литической функции w(£) (обобщенной комплексной скорости).

Второй интеграл, равный

1 С Г dw	d^dt\ __ 1 С С ? (;, ц) dz d ^

л J J dt	^~г 2nJJ z — t

О	G

определяет скорость, индуцируемую в точке z распределенными
в области G источниками с плотностью ц).
Если учесть, что

у (s) = — w-ds, q\s) = — 4i)nds, w dt, = — [y (s) -|- iq (s)] ds

(w-. и wn — соответственно касательная и нормальная скорости
на контуре С), то

ds+ 2. J $	. (12.32)

Это значит, что скорость в области G можно получить в ре-
зультате сложения скоростей от вихрей у, источников (стоков)
q, распределенных на границе об-
ласти и источников (стоков) q,
заполняющих эту область.

§ 12.4. Общее выражение
для скорости в прямой решетке

Для определения скорости в
прямой решетке воспользуемся
формулой (12.31). Видно, что ско-
рость в точке z не зависит от то-
го, какой выбрать контур интегри-
рования Lo (рис. 12.4). Необходи-
мо только, чтобы внутри не было

профилей решетки. Деформируем контур Lo

контур

(£-с.-ZLп), как показано на рис. 12.4. Пусть — область,
ограниченная этим контуром; тогда

W (С) dt 1_ VI г W (С) rfg 1_ Г г dw	dtd-g

t — z 2nl J t — z	л J J dt	^~z

Так как функция w непрерывна на всей плоскости и ограни-
чена на расширяющемся в бесконечность контуре Lx, то, по
обобщенной теореме Лиувилля, такая функция постоянна [2], а
поэтому

1 f w(t)dt .

-— \ —const.
2nz J t — z

Для периодического течения

® (0=® (С + nt), 2s. «)=(с + nt).
ас ас
Аналогично (4.3) получим

у	у --------1----=

2л< J г —с 2ni J v/	г-C + n/

Л=—м£^	£	п = — оо

=	(12.33)

£ /

Разобъем область Gm на бесконечное число полос, парал-
лельных оси у, шириной t. Если обозначить через G область од-
ной полосы с исключенным профилем L, включающую в себя
начало координат (см. рис. 12.4), то

с _л_ . *i£i=_L t f v------------------!----=

л J J	z — с	я J J fl;	z — 'Q + nt



(12.33')

Итак,

(2)=^- J®(Qctg у(г-С)^ +

4-	— ctg y~(z— Q d4 dt\4- const.

Выясним смысл постоянной. При z—>—too получим сопря-
женную скорость перед решеткой

Wj = const4-	(С) dZ-\-

2t { 1 JOJ

так как ctg (—ioo).=t, а при z—ioo — сопряженную скорость за
решеткой

w2=const—

£	О

Следовательно,

const =—— = и/ м.	(12.34)
Как и ранее, назовем средней векторной скоростью, или
скоростью невозмущенного потока. Так как

l	а

то
—	— .Г + iQ )

-4-----— ; I

1	2t ’ I

Заметим, что при увеличении толщины слоя вдоль оси у рас-
ход Qi<0. Видно также, что

т»2 — i>i = — , Q = ('n2 — vi)	(12.36)

Напомним, что v — слагающая скорости вдоль оси у (о =
= - Imw).

Таким образом, найдено общее выражение для обобщенной
комплексной скорости о» (г) в прямой решетке

w(*)=-4y-^«(Qctg -у-(г-0Л+

L

+4-^_T_ctgT(2_i:,'zu'l+®-'	(12-37)

о

Аналогичное выражение иным путем получено в работе (*).
Для слоя постоянной толщины второй интеграл в (12.37) равен
нулю.

Интегрируя (12.37), получим комплексный потенциал

Ф (г)=ср-|-/ф=J w (г) dz=
или

<J>(z)=weoZ-\-—L_	(С) Insin — (z —	+

2л/ J	*

+ —И — |nsln 2L(z_C)dEtfn+C. (12.38)

Л J J dz 1

* Czibere T. Uber die Berechnung der Schaufelprofile von Stromungsma-
schinen mit halbaxialer Durchstromung, Acta Technica, Hyngary, 44, 1963.
Выделим в G такие области, где слагаюгцМя v скорости не
зависит от координаты х. Известно [35], что неравномерность по-
ля скоростей довольно быстро затухает перед и за решеткой. Для
решеток в слое постоянной толщины на расстоянии шага t перед
и за решеткой с достаточной степенью точности можно принять
v = const.

Считаем, что в области Gi (—перед решеткой и в
области G2	+оо) за решеткой (рис. 12.5) скорость и

Рис. 12.5

является функцией у и равна v(y) =

Л(|)

Тогда

<7 01) = - ₽ (П) v (П) = -	г»0.

(12.39)

Найдем скорость индуцируе-
мую'источниками д(т|) в произволь-
ной точке плоскости. Выделим ли-
нию т] = const и определим скорость
от источников q, имеющих на этой
линии постоянную плотность. Оче-
видно,



9-(у)

2 — 4

Так как

2-4	(Х-^ + (у~^ ’

J_+f -^-0^-----=Д_1п[(х_^ + (у_П)9] I =0;

_L+f	_

я Д(х-е)2 + (у-7;)2

-|-при у —

— при у — Л<0

то

dw~=du~-idv~= + -Lq(x\}dr\
dv~= ±	(12.40)

Это значит, что скорость, индуцируемая бесконечным прямоли-
нейным источником с постоянной плотностью, одинакова по мо-
дулю в любой точке плоскости. Вывод соответствует физическо-
му смыслу.

Из (12.39) и (12.40) получим суммарную скорость в точке z
области Go от источников области G2

Скорость от источников области G{



Суммарная скорость

^о,тг,;-о,=4-[(г111 + ^'!)	Q1 2iQ-  (12.41)

Таким образом, источники q областей G\ и G2 дают поступа-
тельный равномерный поток со скоростью, определяемой по
(12.41). Аналогично (12.35), комплексная скорость в сечениях
I и II равна:

—	— . Г + zQo —	— Г + iQo

-------------W,,=Wcc	—-— ,
1	1 2t 11-It

где Qo —расход источников области G0(y1<^y <Суи), и

WM=-y (Wj-f-Wj,).

Итак, вместо (12.37) напишем

w ®® ctg у (2-$	+

-{- — И ctg —(z— Qrfgflfn + Wcc
t J J	1

(12.42)
где Go — ограниченная область, заключенная в прямоугольнике
(%!<%<%!!, у!<у<уп), с исключенным профилем L.

Следовательно, течение в области решетки и распределение
скоростей на профилях не зависят от того, как изменяется тол-
щина слоя в областях Gi и G2. Можно принять, что толщина слоя
в области G] постоянна и равна Нъ а в G2 равна Лп (рис. 12.6).

Рис. 12.6

Проанализируем далее интеграл

у°=т 5 cts

в котором при 2—>•£ подынтегральная функция имеет разрыв.
В выражении

, _ 1 f С dw	d^dri .

°~ Я J j дГ z~^ +

Go

+ 7 5	7 (г-0- —----------"I <й(12.43)

первый интеграл определяет сопряженную скорость от источни-
ков <7, распределенных в основной области Go (основная об-
ласть— это область, включающая в себя начало координат).
Второй интеграл дает сопряженную скорость в точке z основной
области от источников q, заполняющих области Go всех периодов
решетки за исключением основного. Ясно, что подынтегральное
выражение во втором члене при z—*£ равно нулю, так как

I °	(12.44)
Из формулы Грина (12.27) следует, что

[cig-у-(z—С)------ld$cfT] =

« L '

=-^- \ StQrctg-^-Q--^--------1йС, (12.45)

и-l [	у<*-»1

где (Z/— L)—граница области Go (см. рис. 12.5).

Аналогично

получим

2_^(C)etgf(z-0^=^j’^-+

L	L

-f------w (’)

‘ 2it J 4 ’

L

----1---U.
Y-(z-t) J

Ctg-^(Z-C)-

(12.46)

После подстановки (12.43), (12.45), (12.46) в (12.42) найдем

4	G„

+	-----7~----]Л+».. (12.47)

В выражении (12.47) первый член определяет влияние основ-
ного профиля на величину w, второй член учитывает распреде-
ленные источники q в основной области О0, а третий — добавоч-
ную скорость от течения в других периодах решетки, определя-
емую контурным интегралом.

Интегрирование (12.47) по z дает комплексный потенциал

Ф(г)=«.г+-^— ( ®(С)1п(г-С)Л+-^- ? w (С)Х

2Л1 J	Ли J

L	£'

sin-у-(г —С)

Х1П-------L_----6K4-J-	ln(2-C)iZU7i + C. (12.48)
Далее найдем общее представление для скорости в виде ряда.
На основании (4.16)

1	.	1 ул

2	— с + nt Z + nt АшЛ (z + nt)k ’
й=0

(12.49)

Подставив (12.49) в (12.33) и (12.33'), а затем в (12.42),
получим

n=—~ S = 1	L L

+ ±.^^.C-'dZdrl

Величина, стоящая в квадратных скобках, не зависит от г,
поэтому, обозначив

L

+ —И	Spjc'-’dC, (12.50)

л J J	2лг J

имеем

Очевидно, ряды (4.19) и (12.51) идентичны. При k=i

а„,= Г + '<?|> .	(12.52)

Итак, скорость w в произвольной точке z получается в ре-
зультате сложения скоростей невозмущенного плоскопараллель-
ного потока, потоков от вихреисточников (Г, Qo) и мультиполей
всех порядков, расположенных на оси х с шагом t.

Используя обобщенные аналитические функции, можно иссле-
довать обтекание произвольной решетки относительным потоком
[5].
§ 12.5. Интегральное уравнение
для потенциала скорости

Вывод уравнения

Для решения задачи обтекания прямой решетки в слое пере-
менной толщины применим метод интегральных уравнений. Как
и в § 8.2, найдем интегральное уравнение для потенциала ско-
рости.

Интегрируя (12.42) по z, определим комплексный потенциал

Ф(г) = -у-у^ ^(Qlnsin-y-(z—Qd'C-f-WooZ-j-

L

+	In sln-^(z-C)<ZEd4.	(12.53)

Go

Постоянная интегрирования в (12.53) опущена. Возьмем пер-
вый интеграл по частям. Как в (8.1) и (8.2), получим

(С) In sin -5-(z-C)o'C=^-lnsln-5-(z-!;)| +
L	L

На основании (12.28)

Фг-Фл= f ш(С)Л= fdr + if/Q, (12.54)
т. е. разность комплексных потенциалов в двух точках контура
определяется циркуляцией и расходом на рассматриваемом уча-
стке контура. Тогда

^Lln sin A(z_g| = _L.ln Sin A(z-CJ,	(12.55)

где — начальная точка обхода контура L.

После подстановки (12.55) в (12.53) найдем

«\ ф ©ct« -С)	z +• Д-ln sin i(z- Сл) +

at j	t	2Л1	t

L

Jr r insta	(]2.56)

Л J J	t
Если точка z=z0 принадлежит контуру L, то аналогично
(8-7)

L

-!—Linsin —(г0-Сл) + — £ (-^ln sin — (z0-C)rfUTj. (12.57)

nt t	л J ЭС *

Go

В (12.57) выделим действительную часть. При этом учтем

Ф(г)=?(лс, у)4-/|(х, у), Ф(С)=<р($, т])4-/ф(5, ц);

d^=w(y)dZ=d'£-{-i -^-= (v-.-\-iv„)da,

а также результаты, приведенные в формулах (8.16), (8.17),
(8.19).

Тогда

Л ^(Octg-i(zo-O«=-^<PK)ctg-2. (г0-С)Л +
L	L

+ J-^(')ctg А(го-;)Л.	(12.58)

Из (8.19)

Re -М ? (Q ctg -у- (г,,—С) <К= — (?(’)	'i'-'’Л (12 59)

- it	t	j	da

L	L

и из (8.25)

Re-j- Jf(C)ctg i(z0-C)«= $ [ф(5)-ф(о)]	d,. (12.60)

L	L

Так как из (8.17)

-i- lnsin-y-(£ — z0)—-N(_s,	a),

то, подставив (12.58), (12.59), (12.60) в (12.57), найдем

<р(5)=2(х1)«. + уог.)+ГМ(з, ал)-\	+

J	da

+ 5 [?«-$(»)]	^dldr,.
Итак, получено интегральное уравнение для потенциала ско-
рости

? (S) + f f (»)	0) Л + Ц -4- (=) -^(«)W (s, о) Л dTi=* (s),

J	яо	J J л Or,

L	О„

(12.61)
где

Ь(з) =2(xau. + y„v.)+rA1(s, 5л)+ ( [ф (s)-4	(12.62)

Видно, что уравнение (12.61) во многом совпадает с ранее
полученным уравнением (8.26) для прямой решетки, обтекаемой
в слое постоянной толщины. Переменность слоя сказалась в по-
явлении дополнительного члена в левой части, и некоторое отли-
чие есть в свободном члене. Напомним, что

—‘— = V
да

? (°)=оР'«с|°'

Так как распределение vn на контуре известно, то путем ин-
тегрирования легко вычислить -ф (о).

Вывод интегрального уравнения при отображении на круго-
вую решетку приведен в [4, 5].

Схема решения уравнения

Естественно, что численное решение (12.61) возможно только
на ЭЦВМ. Предварительно рассмотрим интеграл

^didl>’ (12.63)

где o(g, т)) —текущая точка области Go;

Лф, o)=-A-ln|^ch-y-(4-y0)-cos-y*(E-^o)] 

Ясно, что при 5 = о(х0 = В; Уо=т\) подынтегральная функция
имеет бесконечный разрыв. Покажем, что интеграл (12.63) схо-
дится, т. е. функция cp~(s) ограничена в области Go. По условию,
в области Go функция h(y) изменяется плавно и h'(y)=/=oo. Оче-
видно, что v — ограничена в Go, если контур L гладкий,
di)
поэтому

l?(S, Т'|)|==|-^-'у|<кмакС|-
В окрестности точки s(x0, у о) выделим область g0, заклю-
ченную в окружности ее . Если радиус s мал, то

^^(a)7V(s, с) dl dt\ q ($) N (s, djrdbdr. (12.64)

So

So

В области go функция 7V(s, о) не изменяет знака. Заменим
двойной интеграл в (12.64) повторным:

В (12.65) учтено, что g — x0=rcos6 и т] — z/o = rsinO. Второй
интеграл в этой формуле равен нулю при в—>-0, так как

Первый интеграл в (12.65) также стремится к нулю при
8—*0. Действительно,

2в

— Um L

г2 In г —

В области Go — go интеграл (12.63) ограничен. Итак, функция
<p~(s) ограничена в области Go-

Как и в § 8.2, решение интегрального уравнения будем искать
в следующем виде:

ч=чл+%ri+тзг+</;

?,,(»)+WW*. >)*=»,Ю+ИМ’)^.	(12.66)

^1 —2Уо> ^2 = 2х0, />3=x0 + AJ(s, аЛ);
ь<=-ут- f W (s)-?(“)]-7^
Un J	d<s

L

W.	r,=Ult

(p=l, 2, 3, 4).

Здесь, как и в (8.26), координаты х0, уо, s, о отнесены к
шагу t.

ГЛАВА XIII

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 13.1. Постановка задачи

В гл. XII рассмотрено решение задачи обтекания плоской
решетки в слое переменной толщины с применением обобщен-
ных аналитических функций — ближайших аналогов аналитиче-
ских функций одного комплексного переменного.

Как показано выше, в некоторых случаях для решения удает-
ся применить хорошо разработанный аппарат аналитических
функций, что возможно только при определенном законе изме-
нения толщины слоя h(у).

Известно (например, [33]), что для потенциального устано-
вившегося движения газа при дозвуковых режимах уравнения
движения имеют следующий вид:

д2? । d-у 1	d<?

~d^~'~ds^ ~ ~2 ' ds

d In/( __q.
ds ’

(13.1)

rfln/C = 0

ds ’

д02 ' <Эз2 2 ' ds
где <? (0, $)—потенциал скорости;

ф (9, $)— функция тока;

К ($)— функция Чаплыгина.

Системы (13.1) и (1.31), (1.34) аналогичны.

Исследованию дозвуковых течений идеального газа посвяще-
но большое количество работ. Решения (13.1) даются в прибли-
женной постановке, когда специальное задание функции К($)
позволяет существенно упростить основные уравнения (13.1).
Видно, что функции у/ К (s) и h (у) аналогичны.

Найдем функции h. (г/), при которых решение уравнений
(1.31), (1.34) дается в виде аналитических функций.
Прямое представление

Здесь удобнее использовать функции

х=т+%

называемые Г. Н. Положим р-аналитическими [30], а Л. Берсом
[20] — псевдоаналитическими II рода. Функции ср(х, у) и ф(х, у)
являются решениями системы (1.38).

Рассмотрим представление p-аналитической функции в виде
линейной комбинации аналитической функции и ее производных.
Такое представление применено в работе [11] для решения задач
газовой динамики. В более общей математической постановке
дано решение в работе [30]. Применим эти представления к ре-
шению задачи течения в слое переменной толщины.

Решение системы (1.38) будем искать в следующем виде:



(13.2)

где klt k2,	—неизвестные функции от у,

Ф(х, у), Ф'(х, у)—действительная и мнимая части некоторой
аналитической функции;

Р (г) = Ф (х, у) -j- /ЧТ (х, у).

Можно представить, что P(z) является комплексным потен-
циалом некоторого фиктивного течения в плоскости решетки.
Естественно, что Ф и Т удовлетворяют условиям Коши — Римана

дФ	д'Г d'F  дФ

дх ду ’ дх	ду

Известно, что ср и ф связаны уравнениями

ду   1	сф

дх	h	ду ’

ду 	1	dip

ду	h	дх

(13.3)

(13.4)

2S2
Рассмотрим совместно системы (13.2) и (13.4). Дифференци-
руя (13.2) и подставляя в (13.4), найдем

ду ду	dtp ду ду

I дх Г 1 дхду)

. сЛЬ" .	, Л дФ . dk, (Т1 . .

2 дх 1 2 дхду	\ 1 ду 1 ду 1

1	ду* ду ду )

(13.5)

Дополнительно к (13.3) учтем, что

д2ф _	д*Ф _ 32ф

дхду ду* ’ дхду ду*

Для выполнения уравнений (13.5) необходимо, чтобы
dky __ Q dk2 _ Q
ду ’ ду

Следовательно, kx и k2— постоянные величины. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых частных производных в уравне-
ниях (13.5), получим

hti}=n2,

hk^k^
ду

hk- — k2 — h	.

ду

Исключив h, найдем

_^.=л,л -k{,
ду	П}

ду	п2

(13.6)

(13.7)

Далее решим систему (13.7) в трех вариантах:

1)	^=#0, £2#=0; 2) k2=0-, 3) ^=0.

В каждом случае получим разные функции h(у).
Рассмотрим представление аналитической функции в виде линейной ком-
бинации p-аналитической функции и ее производных. Если для р-аналитической
функции

X = ? (*• У) + 4 (*. У)

выполняются уравнения (13.4), а

Р (z) = Ф (х, у) + IW (х, у)

есть аналитическая функция, то найдем интересующее нас представление
в виде

т. , df
ду )

где pi, р2, pi, <?2 — произвольные функции от у.

Следуя (13.3) и (13.8), получим

ду ду т ду Y ' ду ду т л дуъ
д<?	<?2у

~рг дх + ?2^;

дФ д<? др2 ду2 д<р d2<f

ду ду ду ' ду ду 72 ду2

Р1 дх дхду '

Для выполнения равенств (13.9) необходимо, чтобы

М = 0, А1 = о,
ду	ду

откуда pi=const и р2=const.

Используя уравнения (13.4), найдем

<?2<р	д f d<f \	1 02ф

дхду дх \ ду J	h дх^

____<? /	\	дЪ?

дх ду дх \ ду J	дх2

и подставим в уравнения (13.9). В результате получим

, д2ф _/р2 _	Аф _Q

h ’ дх2 1 ду2 \ h Pl ду J ду

d2<f> д2<р /

^11^+92^г + ^2-/’1/г +

ду2 \ , д<?
ду ) ду
Для выполнения уравнений (1.31), (1.34) требуется, чтобы

hq\ = Чъ

Р2	ддг	__	Н_

h	P1	ду	h ’

.	,	дЯ2	п	К

p2-Pih	+	— ^q2—.

(13.10)

Необходимо решить систему (13.10), в которой h, qi, q2 — неизвестные
функции. Из первого уравнения системы (13.10) найдем

dq2 dh dqx

1	dh 1	dq2	1	dq\

Л	dy	~ q2	dy	qx	dy

и подставим во второе и третье уравнения. В результате получим

д?2

п „

= Р2 —Pl ~
q\

(>q\
ду

= Р1— Р2^--

(13.11)

Можно заметить, что система уравнений (13.11) совпадает с системой (13.7).
Решая систему (13.11), найдем qi(y), q2(y), h(y).

§ 13.2. Аппроксимация толщины
слоя функцией гиперболического
котангенса

Решим систему (13.7) при условии, что &1У=0 и k2=/=0. Умно-
жив первое уравнение на пх, второе — на п2 и сложив оба урав-
нения, получим

или



(13.12)

где Со2 — постоянная интегрирования.

Подставим теперь (13.12) в уравнение (13.7). Решая урав-
нение

^-=—(13.13)
найдем

или

A=^-cth!T/

Л1 V с;

(13.18)

Итак, мы получили функцию h(y~), для которой справедливы
уравнения (13.6). На рис. 13.1 сплошной линией показана зави-
симость

h. (у)=а2 cth2 b (у — с),

(13.19)
где

Очевидно, что

поэтому из (13.17)

т. е. условие (13.15) выполняется во всей конечной плоскости.
Из (13.17) и (13.12) имеем

«! =--tl2=—CqV~H,

Vh

а из (13.20)

kx = с“—, k2—coab.
а

Не уменьшая общности решения, можно принять с02=а2;
тогда

kt = b, k2—a2b

<р=ЬФ----— Ь® — th b (у — с) ;

У h	дУ	дУ

(13.21)

а?	а

с)— ,
ду	' ду

если

Л.(у)=а2 cth2/'(у —с).

Как видно, функция h(y) определяется тремя независимыми
параметрами а, Ь, с.

Если при практическом расчете задан в области решетки мо-
нотонно изменяющийся слой, то он может быть аппроксимиро-
ван с достаточной степенью точности функцией (13.19). На
рис. 13.1 штрих-пунктирной линией показан некоторый действи-
тельный слой. Естественно, что функция (13.19) не может аппро-
9-2484	257
ксимировать действительную толщину слоя во всей области те-
чения, но в этом и нет необходимости. В § 12.4 показано, что
характер изменения толщины слоя в областях —°о<У<Уъ
Уп<У<+°о не оказывает влияния на течение в области решет-
ки, поэтому достаточно удовлетворительно аппроксимировать
действительную толщину h в ограниченной области, границы
которой можно выбрать не далее (0,8-5- 1)/ от линии решетки
на входе и выходе.

Зная толщину слоя в области решетки в трех точках, можно
определить параметры а, Ь, с аппроксимирующего слоя.

Уравнения (13.21) устанавливают связь между течением в
плоскости z в слое переменной толщины и некоторым фиктивным
течением в той же плоскости в слое постоянной толщины. Комп-
лексный потенциал фиктивного течения

р=Ф-рЧГ.

Решим теперь систему (13.11) и определим обратное представление. Как
отмечалось, системы (13.11) и (13.7) идентичны. Аналогично (13.12), (13.13)
и (13.14), получим

4102= 4

Таким образом, найдена функция h(y), при которой справедлива подста-
новка (13.8). Обозначив

<й=й1 4= УаК.

Р1	Со
получим

ft (у) = л2 cth2 ь (.У — с) •

Очевидно, что в конечной плоскости

(13.25)

h>a2,

<7? Р'

это значит, что условие (13.23) выполняется.

Из (13.22) и (13.24) найдем
cpb	Cq

Р1=	1 Р2~сРа’>, Ч\~	--- 1

а	1/7

а 'приняв с0= —— ,

окончательно получим

Чч= *-о ~/^ й,

Ж> = b<f +	• — = b<e + cth b(y-c) ;

а ду	ду

a	dii	дф

aMW = bty +	~ = bty + th 6 (у — с) ——.

У h	дУ	ду

(13.26)

Итак, найдено прямое (13.21) и обратное (13.26) представления для слоя,
изменяющегося в функции квадрата гиперболического котангенса (13.19).

Определим граничные условия для фиктивного потока P(z).
Из (13.21) получим

ф = а21т

ЬР-1
a dz /

(13.27)

так как

dP____с>ч'~ _ j дФ

dz дх дх ду ду

Граничные условия на контуре профиля найдем из уравнения

аЧт	wl=t(s), (13.28>

L	adz }

где z0=x0+«/o— координата точки s на профиле. Функция ф(«>
предварительно определяется из (12.9).

Далее найдем граничные условия на бесконечности. Диффе-
ренцируя (13.21), получим

д<₽	, дФ ,, ,, х <)2Ф

и——- = Ь  -------thb(y-c) ;

дх дх	дхду

.	дФ	дЧГ ,	, .Lt/ \

hv—------х-= —а?Ь--------Га2 cth b(y — c)--.

дх	дх	дх ду
Так как поток в бесконечности выравнивается, то

_®i_|	=о, -Л-1	=о.

дхду lj>=±oo	дхду |у=±~

Дифференцируя (13.26), получим

-2*.|	=о, -^-1	=0,	(13.29)

дхду |у=±оо	дхду |у=±оо

т. е. фиктивный поток также выравнивается в бесконечности.
Обозначив

. ^=—I . I .

дх ly——сад	дх |у=4-оо	дх |у=± оо

найдем

К»=Т’	=	=	(13'30)

о	о ’	}	о о

Если р— угол между вектором скорости и осью у, то

т. е. направления действительного и фиктивного потоков в беско-
нечности совпадают.

§ 13.3. Гиперболическая
аппроксимация толщины слоя

В системе (13.7) принимаем Аа=О; тогда

дп2 ^2

П1 ’

откуда

«1= — (ay + b), п2 = —--—,

ay + b

(ау + й)2 ’

где a=k\, b — произвольные постоянные величины.

Итак, уравнения

1 дФ	дФ

<р = аФ —---- •---= аФ — (ау + Ь) —— ;

y~h дУ	' дУ

(13.31)
устанавливают связь между потенциальным течением в слое постоянной тол-
щины, определяемым комплексным потенциалом

р = ф +

течением в слое переменной толщины, изменяющейся по закону

(ау + 6)2 •

(13.32)

На рис. 13.2 представлен гиперболический закон изменения толщины слоя.

Видно, что А-»0 при t/= оо, Л->оо при	Аналогично (13.27),

ф = —	). (13.33)

Каковы граничные условия
течения в гиперболическом
слое? Если известна циркуля-
ция перед и за решеткой, то

Г, Г2

«1 =_у_. и2 = —~-

Видно, что в бесконечности
перед и за решеткой скорость
v___> — оо.

Используя представления
§ 12.4, найдем плотность рас-
пределенных источников в об-
ласти течения

Вдали от решетки v зависит только от у. Так как

7= — — v0 =	+ О,

(13.34)

т. е. там, где v=v(y), плотность источников q изменяется по линейному зако-
ну. При у —» — оо q —> — оо, а при у—* + °° q —* + °°.

Найдем граничные условия для определения фиктивного потока. Учтем,
что течение в области решетки как для реального, так и для фиктивного пото-
ков не зависит от изменения толщины слоя перед сечением 1 и за сечением II,
где поток выровненный.

Так как циркуляция перед решеткой известна, то

_ _£1_ I д? I

1 t дх 1у=—о»	дх |у=
Дифференцируя первое из уравнений (13.31), найдем

df
~дх

Так как

т о

<?2ф ।	_ д2Ф I

дхду |у=—оо дхду |у=у

<ЭФ I	«j

дх |у=у1 а

(13.35)

Из (13.31) получим

df	di>	d$	52Ф

v = ~~ = а'~Г ~а"~>-----------(ау + b) TV'

dy	dy	dy	dy2

Там, где поток выровнен и скорость v не зависит от х,
v0 = vh = const;

тогда

<?2Ф

•—— = — (ау + Ь) v0

и

=	у2 + v° + С .	(13.36)

При у------ОО Vjy~* — ОО.

В (13.36) получено, что фиктивный плоский поток имеет перед и за ре-
шеткой расходные слагающие скоростей, зависящие от координаты у. Прак-
тическое применение гиперболической аппроксимации не представляется целе-
сообразным.

§ 13.4. Параболическая
аппроксимация толщины слоя

Принимая в системе (13.7) &i = 0, получаем

dn2	dnj	nt

—	= — #2> “7	— &2	>

dy	dy	п2

откуда

п2~ — (ау + Ь), щ = —---------——, h= (ау + Ь)^,	(13.37)

ау + Ь

где a=k2, Ь — произвольные постоянные.
Таким образом, из (13.2) получим уравнения, устанавливающие связь
между действительным и фиктивным потоками,

1 дФ	1 дФ

? = ~ Уй °У~~ “У+‘ ' Оу'	(13.38)

, /— дФ’	дФ'

Ф = а№ — у h ——• = aW — (ay + b) ——.
оу	ду

Соотношения (13.38) справедливы для параболического слоя (рис. 13.3),
толщина которого изменяется по закону

h = (ay + byi.	(13.39)

При у — —— h = 0, а при у—» ± оо й-»оо. Для действительного тече-
ния в параболическом слое

Г, Г2	b

U\ =----, «2= ----> Vi = V2=0, V->x при !/->— -------- .

Плотность распределения источников при v——7—
h(y)

~ h'	2ау0

4 =	А2- v° = ~ (ау + й)з '

(см. рис. 13.3)

Найдем граничные условия для фиктивного потока. Из (13.38)
дФ	дФ'

“7— =	-----у h 	

ох	дх	дх ду

Если фиктивный поток вдали от решетки выравнивается, то

<W 1	_ W 1	_

дхду 1у=у дхду 1у=—~
Vy

д4
dx

. 2£_= £<l

dx a

= const,

(13.40)

так как

при v = v (у). Далее,

cty	d4	84	<W

« = —— = a —— — a —-----------(ay 4- b) ——-.

dy	dy	dy	dy*

Если «j = ----, то

&14 _	1 Г]

dy- ay b t

84 I	Г.	I

Уи = ——	= — —J- In (ay + Z>)	+ C.

dy |y=y.	ta	'y=y.

(13.41)

Аналогично,

V2x =

64 I

dy ly=yH

In (ay 4- b) I
ia	ly=;

(13.42)

Из (13.41) и (13.42) видно, что слагающие скорости вдоль линии решетки
для фиктивного потока зависят от координаты у.

§ 13.5. Вычисление скорости
на профиле

Определим скорость на профиле решетки, обтекаемой пото-
ком в слое, толщина которого изменяется в функции гиперболи-
ческого котангенса (13.19).

Сначала вычислим скорость фиктивного потока при заданных
граничных условиях (13.28), (13.30).

Функция

является комплексной скоростью фиктивного течения. Она одно-
значна, периодична и непрерывна в плоскости течения. Любое
потенциальное течение в области решетки можно получить пу-
тем суммирования невозмущенного плоскопараллельного потока
и потока от вихрей y(s), определенным образом распределенных
на контурах профилей, поэтому

К (z)=V.	? (Qctg -=-(«- Q Д	(13.43)

L

ИЛИ

P(Z)=7.Z+^-^(Qlnsln-y-(Z-0«+C. (13.44)

L

Уравнение (13.43) справедливо для определения V(г) в лю-
бой точке плоскости z, не принадлежащей контуру профиля.
Если точка z=z0 находится на контуре профиля, то аналогично
(4.39) -

+1^2- +(13.45)
L

а из (13.44)

P(Zo)=V.Zo+-i- vCTtasln-i^-C) Д+С. (13.46)

L

Формулой (13.28) заданы граничные условия на контуре про-
филя

<|>(s)=<J! 1тр>Р(г0) — icth£(y0 —с)^-(го)] •

где распределение ф($) известно. Подставив в это выражение
(13.45) и (13.46), получим

ф«=а» Im [ft [Г-г0+^;. \ V (QI" sin у (z0—С) Д+с]-
cth b (уа-с)	J- Y(Q ctg у(г0- С) д]}. (13.47)

Выделим в уравнении (13.47) мнимую часть. Учтем, что

\ di 1 di J
на основании (8.17)

—у-lnsin-y-(2!0—Q=Af (s, a) — IN (s, а)
и (8.19)

£ [W(S, ») + <M(s, »)]*>.

Тогда

4(S)=^(y„V„-xDl/.J-^- fv(«)pv(s, O)^--

-At(s, o)^]*}-a»cth»(Л-с)Г

откуда

Y(«) + J Y(a)AT(s, a)«Za=/(s),

где

f (s)=2b th b (y0 — с) (у01/о=л—XqV теу)—

- 21/.л- 2 -iHL th Ъ (Л - с).

Л2

(13.48)

(13.49)

• Итак, получено интегральное уравнение 2-го рода относитель-
но функции y(s) со слабой особенностью в ядре. В ядро этого
уравнения входят такие же функции, как и в интегральное урав-
нение для прямых решеток, поэтому при решении уравнения на
ЭЦВМ можно воспользоваться разработанными программами
для прямых решеток.

Решение уравнения (13.48) можно представить аналогично
(8.23) в следующем виде:

У—719ф+У2111ф4-УзГф-|-у4^фг1>	(13.50)

где <?ф, Г1ф, Гф, U$ — величины, характеризующие фиктивный
поток в плоскости z.

После определения плотности вихрей y(s) фиктивного потока
перейдем к вычислению скорости на профиле в решетке в слое
переменной толщины.

Слагающая абсолютной скорости на касательную к профилю

ds
Дифференцируя уравнение в (13.21), найдем

ds ds c№b(y— c) ds dy	ds \ dy /

Так как скорость фиктивного потока

z/Ф
ds

дФ dx  дФ dy
дх ds ду ds

ds y ds

TO

jS-=t,(^LVx+-^V,}-------b----J*IZv_thS(y-C)^i

ds \ ds ds y) ch2 b (y — c) ds y	ds

ИЛИ

o,=-^=»k ^.4-th2*(y-C)^^l-thZ>(y-c)^ .

ds L ds	y ds J	ds

(13.51)

Из (13.45) определим Vx и Vy, выделив действительную и
мнимую части,

VA^=V..+ ^-~\y^ “'Ц2°)	(13.52)

da.	(13.53)

Определив из интегрального уравнения (13.48) функцию у (з),
по формулам (13.30), (13.52) и (13.53) вычислим слагающие
скорости фиктивного потока Vx, Vy и по (13.51) —скорость дей-
ствительного потока V-.

Методика определения циркуляции и гидродинамических па-
раметров решетки такая же, как и во вращающейся круговой
решетке (см. § 11.2). Опять принимаем, что циркуляция абсо-
лютной скорости на участке профиля SjSn (см. рис. 11.1) равна

Т1-?п = г«.

где Ги — циркуляция переносной скорости.

Так как в пределах выходной кромки толщина слоя изменяет-
ся мало, то полагаем ее постоянной и равной h0=h(s0'). Тогда

т,-<Р11=*(Ф,-Ф,[)--М(-^-)-Мр) 1.

)/h0 L\ ду II \ ду /nJ
Из (13.44), (13.53)

Ф(5)=х01/.л + у0У_,+	o).A+.V(5, »)^-] Йо;

£

iz дФ , z 1 (* / \ dN(s, а) ,

IZ =—— у(а)--------------------!- da.

у ду у 2 J 4 da

Используя представление (8.23), получим

<?= <Р1? + ?2Г1 + ?зг +	(А

если учтем связь действительного и фиктивного потоков в пло-
скости z.

Для определения Л, 0о, Ra можно воспользоваться формулами
(11.15), (11.16), (11.21).
Раздел IV

ПРИМЕНЕНИЕ
МОДЕЛИРУЮЩИХ
УСТРОЙСТВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

Для изучения потенциального течения жидкости широкое
распространение получили устройства, основанные на аналогии
между течением жидкости и течением электрического тока. Далее
показано применение этих устройств для исследования решеток.

ГЛАВА XIV

МОДЕЛИ ИЗ СПЛОШНЫХ
ПРОВОДЯЩИХ СРЕД

§ 14.1. Теоретические основы
электрогидродинамической
аналогии (ЭГДА)

Рассмотрим течение электрического тока в сплошной плоской
электропроводящей среде. Пусть толщина h электропроводяще-
го слоя в общем случае переменна и невелика по сравнению с
размерами исследуемой области течения. Плотность электриче-
ского тока, равную количеству электричества, проходящего через
единицу площади поперечного сечения трубки тока в одну се-
кунду, обозначим через	где di — сила тока, df — эле-

df

мент площади.

Если внутри области С (рис. 14.1) нет источников тока, то
количество электричества, протекающее через С, должно быть
равно нулю, т. е.

J ifids=^ iyhdx—ixhdy = O.

Равенство этого криволинейного интеграла нулю на основании
формулы Грина будет обеспечено при

или

-£г(*У+-г(«Р=0-

дх	ду

(14.1)

Уравнение (14.1) представляет собой общее выражение зако-
на Кирхгофа для электрического то-

где U—потенциал электрического поля;

о — удельная электрическая проводимость, равная —
(р — удельное электрическое сопротивление).

Дифференцируя выражения (14.3) и подставляя в (14.1), по-
лучим

д /, ди\ , д (. dU\ п
--- Ла  -4   Ла   = 0.
дх \ дх ) ' ду \ ду )

Если o = const, а толщина электропроводящего слоя h=f(y),
то

dW . dW . 1_ dh dU
dx% dy^ h dy dy

(14.4)

Сравнивая (14.4) с уравнением (1.31) для потенциала скорости
жидкости в слое переменной толщины, можно убедиться в их
аналогичности.
Если толщина слоя ft = const, то (14.4) превращается в урав-
нение Лапласа

д2Ц , дЧ1 __0
dx-i ' ду*

Аналогичное уравнение для потенциала скорости жидкости име-
ет вид

d2? __Q
dx'i "Г ду*

Введем функцию электрического тока W(x, у)-, при этом

^=4; I

ду	)

(14.5)

Действительно, дифференцируя первое уравнение (14.5) по
у, а второе — по х и приравнивая правые части обоих уравнений,
убедимся в выполнении уравнения (14.1).

Следуя уравнениям (14.3) и (14.5), получим

1 dW	

h дх	ду ’

1 dW _ дЦ
h ду дх

(14.6)

Дифференцируя первое уравнение (14.6) по х, а второе — по у и
складывая их, найдем

д / 1	\ j д ( 1 .	"|_0

дх \ h	дх / ‘ ду \ h ду /

Здесь принято, что о=const.

Если вновь считать h=f(y), то

д2Ц7 __________1_ dh 2К=о	(147)

дх2 dyt h ду ду

Сравнивая (14.7) с уравнением (1.34) для функции тока течения
жидкости в слое переменной толщины, можно убедиться в их
аналогичности.

При толщине слоя h = const получим уравнение Лапласа для
функции электрического тока

дх2 ду*
аналогичное уравнению для функции тока течения жидкости в
слое постоянной толщины

। _^L=0

дх? “Г ф/2

Вначале рассмотрим течение жидкости в слое постоянной
толщины, подчиняющееся уравнению Лапласа. В этом случае ф

иг- const

Рис. 14.2

и ф являются гармоническими функциями, значения которых
внутри некоторой области течения могут быть получены по изве-
стным граничным условиям при решении задачи Дирихле — Ней-
мана, когда на одном участке границы задана величина ф, а на
д<о

другом —
дп

Рассмотрим область течения жидкости (рис. 14.2, а) и гео-
метрически подобную область течения электрического тока (рис.
14.2, б). Зададим условия на границах области для течения
жидкости и электрического тока (см. рис. 14.2, а, б). В этом слу-
чае решения уравнений Лапласа

дх% dyi ’ дх^ 1 dt/2
будут отличаться на постоянную величину

?(*, У)=Н^(*, У)4-С-	04.8)

Здесь Ц1—масштабный коэффициент, учитывающий размер-
ность. Линии равного потенциала скорости <р соответствуют ли-
ниям равного потенциала электрического поля U, а линии тока
жидкости ф соответствуют силовым линиям электрического то-
ка W.

Можно установить другую аналогию, когда линии равного
потенциала скорости гр соответствуют силовым линиям электри-
ческого тока W, а линии тока жидкости — линиям постоянного
электрического потенциала, т. е. использовать аналогию между
уравнениями

д2Ф t д2<ь = Q dW _q
дх2 ' ду2 ’ дх^ ду2

При этом граничные условия для электрического потенциала
должны быть аналогичны граничным условиям для функции то-
ка жидкости. На рис. 14.2, в показаны эти граничные условия.
В отличие от предыдущей аналогии, где исследуемый профиль
выполнен из диэлектрика, здесь профиль необходимо сделать из
проводника.

Первая аналогия, устанавливающая связь между линиями ср
и U, а также между ф и W, называется аналогией А. Вторая ана-
логия, в которой линии ф и ф соответствуют линиям W и U,
называется аналогией В. Следовательно, для течений жидкости,
подчиняющихся уравнению Лапласа, возможно установить две
электрогидродинамические аналогии.

Для течения жидкости в слое переменной толщины можно
установить аналогию А с течением электрического тока в среде
с изменяющейся толщиной, так как уравнение (1.31) ана-
логично уравнению (14.4) для J7, а (1.34)—уравнению (14.7)
для W. Очевидно, при одинаковых условиях на границах элек-
трическая модель должна быть геометрически подобна гидрав-
лической модели, включая толщину слоя h(y).

Аналогия В возможна в том случае, если толщина слоя элек-
трической модели А] (у) = —— . При этом
й(г/)

д2Ц . д2Ц____1_	dhj	dU __q.

дх^	ду>-	hi	ду	ду	’

(14-9)

d^W , d^W ,______1_	dhx	dW =	Q

дх2	dy2	hi	ду	ду	’
т. е. уравнение для W аналогично (1.31), а уравнение для U —
уравнению (1.34).

§ 14.2. Принципиальные схемы.

Методы измерений. Точность

Рассмотрим только основные вопросы, связанные с примене-
нием ЭГДА.

Электропроводящая среда

Для моделирования течений в постоянном слое применяют
электропроводящие пластины, бумагу и электролитические ван-
ны. Для обеспечения высокой точности применяемые электро-
проводящие среды должны быть однородными, а удельное сопро-
тивление на различных участках — одинаковым. Физические
свойства среды не должны изменяться со временем.

Наибольшее распространение из твердых электропроводящих
сред получила специальная бумага, в которую вводятся сажа и
электропроводящие материалы. Бумажная масса должна иметь
равномерную структуру, а лист бумаги — постоянную толщину.
Бумага имеет высокое удельное сопротивление, которое для раз-
личных сортов можно изменять в широких пределах. Примене-
ние бумаги имеет тот недостаток, что для каждого исследуемого
режима необходимо делать новую модель. Кроме того, ввиду име-
ющейся неоднородности и анизотропности удельного сопротив-
ления точность результатов сравнительно невелика. Достоинст-
вом применения бумаги является простота конструкции модели
и ее эксплуатации.

В электролитических ваннах проводящей средой является во-
да, содержащая растворенные соли. К электролиту предъявляет-
ся ряд специфических требований [37], которым удовлетворяет
водный раствор CuSO4 малых концентраций (0,001-4-0,01%).

Электрическая схема измерения
потенциала скорости

На рис. 14.3, а показана принципиальная схема установки
ЭГДА для измерения потенциала скорости. Если точки В и D
имеют одинаковый электрический потенциал, то стрелка гальва-
нометра будет стоять на нуле, а соотношение сопротивлений
(рис. 14.3,6)

Ri __

/?2	#4

Сопротивление R3 моста равно сопротивлению между точкой А
и иглой D модели. Соответственно /?4 есть сопротивление между
иглой D и точкой С. Если обозначить через UA, Uc и UD потен-
циалы поля в точках А, С, D, то

Ua-Ud __ Rx

UA-Uc R1 + R2

Ud-Uc Ъ

UA-UC R1 + R2 ’

Итак, зная сопротивления R\ и R2 при отсутствии тока в диа-
гонали моста, получим

где разность Uc — UA известна. Следуя формуле (14.8), полу-
чим величину потенциала скорости фо в соответствующей точке
области течения жидкости:

R\

Td’_ л, + я2



В точке сравнения А условно принято фд = 0.

Передвигая иглу D на электрической модели так, чтобы галь-
ванометр все время показывал нуль, можно найти линию равного
потенциала электрического поля и соответственно линию
Ф = const. Естественно, что положение иглы D точно фиксируется
координатником.

В качестве сопротивления в установках ЭГДА обычно приме-
няют реохорд (бумага) или магазин сопротивлений (электроли-
тическая ванна), которыми можно осуществить в широких пре-
делах изменения Ri и R2.
Если в дальнейшем потребуется определить распределение
скорости на контуре профиля, то, перемещая иглу D вдоль кон-
тура, найдем зависимость tp(s) и представим ее графически. Так
как скорость на контуре профиля

то, проведя графическое дифференцирование функции <р (s), най-
дем закон изменения скорости.

Определение скорости потока

Для определения скорости потока на установке ЭГДА приме-
няют зонд с двумя иглами. При наличии напряжения на шинах
(рис. 14.4, а) между иглами зонда будет отсутствовать ток лишь

а)	о)

Рис. 14.4

в том случае, если обе
иглы расположены
вдоль эквипотенциаль-
ной линии. Направле-
ние скорости при этом
перпендикулярно ли-
нии, соединяющей иг-
лы зонда.

Для определения
величины скорости ста-
вят двойную иглу вдоль
линий тока и измеряют

разность потенциалов

между иглами (рис. 14.4, б). Если игла подключена по схеме
мостика с выведением гальванометра на нуль, чтобы на основное

электрическое поле не накладывать дополнительное поле между
иглами, то

ДУ/ =-------—Д£/,

/?' + R"

где AJ7 — разность потенциалов на клеммах мостика;

ДД3 — разность потенциалов между иглами зонда.
Для потока жидкости в соответствующей точке

Так как

А1?= ^Ьг|11ЫЛ

„=.й.

ds
или

то

R' &U

Я==---------ц.--- .

/?' + R" • As

Естественно, что расстояние As между иглами известно.

Проведя аналогичные измерения в точке, достаточно удален-
ной от исследуемого профиля, где поток близок к невозмущен-
ному, получим скорость

откуда

v = -^~ V„.

При определении скорости на контуре профиля двойную иг-
лу следует ставить вдоль поверхности, так как контур профиля
является линией тока.

Погрешности ЭГДА

Прежде всего отметим, что точность электролитических мо-
делей значительно выше, чем моделей, работающих на твердых
проводящих средах, например на бумаге. Это объясняется суще-
ственной неоднородностью проводящих материалов. Так, при
неоднородной электропроводности бумаги порядка 10% дости-
жима точность в измеряемых величинах порядка 1 % [37]. При
определении производных d=— погрешность возрастает. Во

Де

время работы могут происходить местные изменения удельного
сопротивления из-за повреждения бумаги зондом при слишком
сильном прижиме. Поэтому модели С электропроводной бумагой
можно рекомендовать для решения задач, если не требуется вы-
сокая точность, а важна простота конструкции модели.

В электролитических моделях можно указать на следующие
основные источники погрешностей:

а)	неточность геометрии модели и показаний координатника,
фиксирующего измерительный зонд;

б)	отличие измеренного потенциала по магазину сопротивле-
ний от действительного значения ввиду емкостного падения на-
пряжения на границах шины и электролита (в работе [37] пред-
лагается способ учета этой погрешности);
в)	образование мениска на электродах и зонде;

г)	неоднородность электролита, которая устраняется тщатель-
ным перемешиванием перед началом испытаний и созданием
температурного равновесия во всей массе;

д)	искажение поля за счет введенного зонда, ничтожное при
относительно небольших размерах зонда.

При минимальном влиянии источников погрешностей на элек-
тролитических установках ЭГДА можно достигнуть точности до
0,1% (14]. Обычно точность установок находится в пределах 1%.

§ 14.3. Применение ЭГДА
для исследования прямых решеток

Очевидно, что непосредственно исследовать обтекание беско-
нечной прямой решетки на установке ЭГДА невозможно. Поэто-
му рассматривают обтекание конечного числа профилей, считая
влияние отброшенных профилей несущественным. Однако при
этом вносится систематическая погрешность в результаты иссле-
дований. Обычно рассматривают решетку, состоящую из пяти—
семи профилей, причем средний профиль находится в условиях,
близких к условиям обтекания бесконечной решетки.

Для исследования решеток целесообразней использовать ана-
логию А, так как при этом профили можно делать из диэлектри-
ка, например из парафина, что просто и дешево. Применение
аналогии В для решеток ведет к необходимости делать профили
из такого же металла, что и шины. В ином случае усилятся по-
бочные электрохимические явления, искажающие результаты из-
мерений. Кроме того, усложняются электрическая схема и обо-
рудование установки.

На установке ЭГДА с принципиальной схемой, приведенной
на рис. 14.3, можно моделировать лишь бесциркуляционное обте-
кание профилей. Моделирование циркуляционного обтекания
плоскопараллельным потоком, хотя и возможно, приводит к ус-
ложнению установки и существенным погрешностям. Такие схе-
мы для аналогии А приведены в работе [37]. Далее показано, что
достаточно исследовать бесциркуляционное обтекание решетки.
На основе полученных при этом данных можно найти обтекание
решетки с циркуляцией вокруг профиля, используя теоретиче-
ский метод, разработанный и внедренный в практику Л. А. Си-
моновым [34].

Бесциркуляционное обтекание

Участок решетки на листе из диэлектрика помещают в ванну
так, чтобы выходная заостренная кромка среднего профиля была
точкой схода потока (рис. 14.5, а). При этом вблизи выходной
кромки 2 (рис. 14.5, б) помещают зонд с двойной иглой, под-
ключенной по схеме рис. 14.4, а. Если гальванометр зонда пока-
зывает нуль, то это соответствует равенству нулю скорости жид-
кости на выходной кромке и выполнению постулата Чаплыги-
на — Жуковского.

Для уменьшения погрешности, связанной с ограниченностью
числа профилей в исследуемой решетке, можно подкорректиро-
вать границы ванны. Для этого необходимо придать границам
форму линии тока (пунктирные линии на рис. 14.5). После этого
положение решетки следует подкорректировать так, чтобы точ-
ка 2 была точкой схода потока.

Итак, найдено положение решетки, соответствующее бесцир-
куляционному обтеканию. Угол бесциркуляционного обтекания
ро равен углу между линией решетки и линией шины (см. рис.
14.5, а). Далее на среднем профиле определяют потенциал ско-
рости фо (s) и скорости v0 ($) по методике, изложенной в § 14.2;
одновременно фиксируют координаты точек измерения.

Эквивалентная решетка пластин

Под эквивалентной решеткой пластин будем понимать такую
решетку, которая имеет одинаковые значения угла бесциркуля-
ционного обтекания и коэффициента прозрачности, что и иссле-
дуемая решетка телесных профилей.

Ясно, что при бесциркуляционном обтекании решетки пла-
стин (см. рис. 6.8) разница комплексных потенциалов в точках
2 и 0 равна

Ф2-Ф0=<р2—%=г,0А

где ц0 — скорость потока.

Аналогично для точек 3 и О

?3-?o=,z’oZcosY,
поэтому

<Р2~ Уо _ I

Уз — Уо *COST

Предположим, что нам известно конформное отображение иссле-
дуемой решетки телесных профилей (см. рис. 14.5, а) на решетку
пластин. Тогда потенциалы скоростей при бесциркуляционном
обтекании в соответствующих точках обеих решеток должны быть
равны, а также и

/	Уг — Уо \ .. / У2~ Уо \

\	Уз — То /тел \ Уз — Уо /пл

Если на установке ЭГДА измерить потенциалы при бесциркуля-
ционном обтекании в точках 0, 2, 3 (0 и 3— точки разделения
потока), то можно вычислить густоту эквивалентной решетки
пластин по формуле

Ш =(-1=^2) COSVo.	(14.10)

\	t /экв \ Тз — То /тел

Угол установки пластины у равен углу бесциркуляционного об-
текания решетки телесных профилей у0=-^—₽о- Так как при
конформном отображении связь между циркуляциями сохраняет-
ся, то и коэффициент прозрачности k не изменяет своей вели-
чины.

Итак, зная для исследуемой решетки угол уо и потенциалы
Фо, фг, Фз, по формуле (14.10) найдем густоту эквивалентной
решетки пластин (— ] , а затем по номограмме рис. 6.9 —
\ t /экв

коэффициент прозрачности решетки. Для определения коэффи-
циента подъемной силы следует вычислить

где ----густота исследуемой решетки из телесных профилей.

Определение скорости
при циркуляционном обтекании

При конформном отображении известна связь между скоро-
стями

«н^в-S-,	(н.п)

dz

где v (z), v (£) — сопряженные скорости соответственно в пло-
скостях z и £.
Соотношение (14.11) справедливо и при бесциркуляционном об-
текании; тогда



(14.12)

Из (14.11) и (14.12) получим

у (г)	у С)

Уо (z)	v0 (С)

(14.13)

Это значит, что отношение скоростей при циркуляционном и бес-
циркуляционном течениях в соответствующих точках двух пло-
скостей z и постоянно.

Предположим, что нам известно отображение области иссле-
дуемой решетки на внешность круга, обтекаемого потоком вих-
реисточника в плоскости £. Найдем изменение скорости на окру-
жности при изменении циркуляции, используя полученные ранее
результаты. Из (6.36) имеем

®(0=®о(С)+®г(0

у (О = j । (О

Уо(С) Vo (С)

(14.14)

Из (6.39) и (6.25) на окружности

М’)=—
ла

2 cos О



V -- . V ------- V2

sin —-— sin —-—

2____________2

2 cos 0 t 1

а а2

Так как

Л	Л о •	0 -{- Оо • О - Оо

COS 60 —cos 0=2 sin ———sin---------- ,

2	2	2	’

то

о + о2

УГ(8) _ Г k sin 2

Уо(0) ~	' \-k 	0-Op

у-(-«-«);
Из (6.15)

4=- ®i«=21 1 tty •

sin (Sp —Q
cos ₽0

Так как скорость при бесциркуляционном обтекании

и, как видно из рис. 6.1,
f0c6s₽l!=f«cos (fc-ri,

то

0 + 02

сг(0)   2Л	2	sin [л

и0 (в)	1 + k . 0 —0о cos (р0 — р.)

(14.16)

Подставив (14.16) в (14.14) и (14.13), получим распределение
скорости на профиле в решетке при обтекании с углом атаки

sinp.

cos(p0 — р)

(14-17)

Цо($)-

Теперь установим соответствие между точками окружности в
плоскости t, и точками профиля исследуемой решетки. На кон-
туре профиля и на окружности при конформном отображении в
соответствующих точках равны потенциалы скорости <р. На про-
филе решетки измерены потенциалы скорости при бесциркуля-
ционном обтекании. Определим потенциалы скорости на окруж-
ности при бесциркуляционном обтекании. Из (6.41)

Ф0 (Q = <?O“l_^Po =

iv0 р'то in (С а) — е_/ь1п -I- а.

так как

q — zT0 — —
q4-ir0 = ie~liov0t.

При C=ez9

Фо(е)=?о(0)=	{^»[ln | e‘e~l~a 14-zarg (e16+«)] -

— e-zfo [ In | e~z0	a | 4~ zarg (e~z0 + a)]) 
Так как

| e/e-}-a|=|e~ze4-a|

и

arg;(e/04-a)= — arg(e~ze4-a),

то

То (0)= ~ "57 '®о Iйsln Тоln I е‘‘+“ I+2< COS у0 arg (еп -|- в)].

Далее получим

| е16 + а | = V a2-|-2tzcosj)4-l
и

arg (6?/e-i-a)=arctg——— ,
cos в + а

а затем

То = ~ [sin Yo *n а22а cos 0-]- 1 4- cos у0 arctg ——1. (14.18)
л L	cos 6 + а\

Значение а следует взять такое же, как и в эквивалентной ре-
шетке пластин.

После вычисления по (14.18) потенциалов скорости на окруж-
ности и сопоставления со значениями, измеренными на исследуе-
мом профиле, можно установить соответствие точек профиля и
окружности s(0) по равенству потенциалов. В заключение по
формуле (14.17) определим скорость на профиле решетки при
любом гидродинамическом угле атаки ц.

Итак, наметим следующую последовательность расчета, в ко-
тором все вычисления целесообразно проводить на ЭЦВМ:

1)	определение на ЭГДА угла бесциркуляционного обтека-
ния уо, равного углу у в эквивалентной решетке пластин;

2)	измерение потенциалов и скорости в фиксированных точ-
ках на профиле в решетке при бесциркуляционном обтекании.
При этом измеряются потенциалы в критических точках 0, 2, 3
(см. рис. 14.5). Данные, полученные в пп. 1 и 2, являются исход-
ными при последующих расчетах, для выполнения которых на
ЭЦВМ следует иметь программу;

3)	определение по значениям — и у при решении уравнения
(6.48) величины v, а затем по (6.50), (6.49), (6.24)—соответст-
венно k, а, 0о, 02;
4)	определение координаты 0 для точек окружности, соответ-
ствующих фиксированным точкам профиля решетки по (14.18);

в этом уравнении известны —, Л у0, а;

f°

5)	подсчет скорости на профиле решетки для любого задан-
ного гидродинамического угла атаки ц по (14.17).

Ясно, что все численные расчеты можно выполнить с высо-
кой точностью. Основным источником погрешностей являются
ошибки в измерениях потенциалов, разностей потенциалов и ко-
ординат точек профилей. Ошибки эти уменьшаются при увеличе-
нии размеров профилей. Однако, так как размеры ванны нельзя
увеличивать из-за габаритных ограничений, профили решетки
(см. рис. 14.5) сравнительно невелики. Это характерно также и
для ЭГДА, в которой используется электропроводящая бумага.

§ 14.4.	Установка ЭГДА
повышенной точности

Принципиальная схема

В § 1.1 рассмотрена схема получения прямой решетки. Пока-
зано (см. рис. 1.3), что прямая решетка получается при развер-
тывании цилиндрической решетки на плоскость бесконечное чис-
ло раз. Из формулы (2.4) следует, что шаг прямой решетки

г=2к .
т

Очевидно, на плоскости получаются совершенно одинаковые пря-
мые решетки при

— =const.
т

Здесь подразумевается, что геометрия профиля сохраняется.

Следовательно, чтобы получить прямую решетку с шагом t,
можно взять цилиндрическую решетку радиуса

в которой всего только один профиль (рис. 14.6, а).

Если цилиндр выполнить из электропроводящей бумаги, в ко-
торой вырезан один профиль, и обеспечить разность потенциалов
в сечениях 1 и 2, то получим электрическое поле, эквивалентное
полю бесциркуляционного обтекания решетки.

Разрежем теперь цилиндр вдоль образующей cd и развернем
на плоскость (рис. 14.6, б). Границы разреза c'd' и c"d" соеди-
ним дополнительными проводниками с очень малым сопротивле-
ни ем так, как это показано пунктирными линиями на рис. 14.6,6.

Этим достигается равенство потенциалов в соответствующих точ-
ках границ c'd' и c"d".

Очевидно, электрические поля на цилиндре (см. рис. 14.6, а)

и плоскости (см. рис. 14.6, б) достаточно близки друг к другу.

разница существует вбли-
зи границ c'd', с"d" и
ощущается на расстоянии
не больше чем шаг 6 под-
ключения проводников.

Заметим, что разрез cd
не обязательно выполнять
вдоль образующей. Его
можно сделать также сту-
пенчатым или криволи-
нейным.

Цилиндрическую ре-
шетку можно выполнить
из бумаги с двумя профи-
лями. Сложив бумажный
цилиндр вдоль диамет-
ральных образующих, по-
лучим два слоя шириной
i. В каждом слое — по од-
ному профилю. Естествен-
но, что между двух слоев
бумаги следует проложить
изоляционный материал.

Электролитическая ван-
на, выполненная по схеме
рис. 14,6,6, имеет по гра-
ницам с'd' и с" d" тонкие

Рис. 14.6

металлические пластины с
шагом б.

Итак, для исследования прямой решетки на ЭГДА достаточ-
но иметь ширину ванны или бумаги, равную шагу решетки. Срав-
нивая схемы рис. 14.5, а и рис. 14.6, 6, видим, что во второй схеме
размер профиля можно взять в пять — семь раз большим при
одинаковых габаритах установки. В связи с этим повышаются
точность изготовления профиля и точность измерений.

Бесциркуляционное обтекание.

Эквивалентная решетка пластин

На установке ЭГДА, выполненной по схеме рис. 14.6, б, опре-
деление потенциалов и скоростей производится так же, как опи-
сано в § 14.2. При измерениях следует точно установить положе-
ние критических точек А и В, точно определить потенциалы в этих
точках, а также в точке схода потока (точка 2).

Очевидно, что полученные по измерениям величины соответ-
ствуют бесциркуляционному обтеканию решетки потоком, имею-
щим только расходную составляющую скорости перед решеткой,
т. е. в этом случае 7=#0, Г1 = 0, Г=0.

Рассмотрим бесциркуляционное обтекание единичного круга
от источника q, находящегося в точке £=—а (рис. 14.6, в). Так
как при этом уо= , то из (14.18)

?0(в)=_«_ 1п(аг+2а cos 4J-1).	(14.19)

При 0 = 0	
при 0=л	>n(a—I)2,

а разность потенциалов
^ав= Тод ?05= ~~	г- >

л а — 1

откуда

л Д<₽. „

a = cth — •

2 q

(14.20)

Итак, по известной величине разности потенциалов в крити-
ческих точках можно по формуле (14.20) вычислить координату
точки, в которой расположен источник q.

Пусть разность потенциалов Дсрлв равна разности потенциа-
лов, полученной по измерениям на ЭГДА между точками А и В.
Тогда можно считать найденным отображение прямой решетки,
обтекаемой плоскопараллельным потоком со скоростью на беско-
нечности — , на круг, обтекаемый от размещенного в точке

1=—а источника q. Потенциалы в соответствующих точках
профиля и круга равны. На профиле эти потенциалы измерены.
Координаты соответствующих точек на круге можно определить,
решив уравнение (14.19) относительно 0.
При выполнении постулата Чаплыгина — Жуковского точка
2 профиля и соответствующая ей точка 2 окружности должны
быть точками схода потока. Из (6.24) следует, что

Vo+’=1'-e!-	(14.21)

Известно также, что

a=_cosS_.	(14.22)

cos *

Решив совместно уравнения (14.22) и (14.21), определим угол
уо бесциркуляционного обтекания круга и прямой решетки, а за-
тем по формуле (6.48)—густоту эквивалентной решетки пла-
стин. По номограмме (см. рис. 6.9) найдем k для исследуемой
прямой решетки.

Скорость при циркуляционном
обтекании

Вычисление скорости при циркуляционном обтекании также
не составляет большого труда.

Скорость на круге при обтекании от источника получим из
(14.19)

На профиле скорость o0(s) известна по измерениям. Тогда
величина

Pq(s) __ rfe
v0 (0) ds

может быть вычислена для любой точки окружности. И далее,

ds

гдео(0) определяется по (6.33).

§ 14.5.	Применение ЭГДА
для исследования круговых
решеток

В основу установки ЭГДА для исследования круговых реше-
ток положим тот же принцип, который использован в § 14.4 для
прямых решеток.

Ванну выполним из двух радиальных прямых и двух дуг
(рис. 14.7). К границам с'с" и d'd" подводится напряжение. По
границам c'd' и c"d" заделаны тонкие металлические пластины.
Пластины, расположенные на одном радиусе, соединены про-
водниками (пунктирные линии на рис. 14.7).

Методика определения параметров k, у0 и скорости на профи-
ле в неподвижной круговой решетке та же, что и для прямой
решетки (см. § 14.4).

Рассмотрим методику определения активного радиуса Ra и
скорости на профиле вращающейся решетки.

Для вращающейся круговой решетки распределение ф($) на
контуре профиля можно определить по (3.9):

♦ («)=—

Устанавливая предварительно с помощью ЭГДА соответствие
точек при конформном отображении профиля решетки на круг,,
найдем распределение функ-
—-------------0~0	ими тока на окружности

ф(0) И Я2(0).

Рис. 14.7

Для последующих расче-
тов используем методику,
приведенную в § 10.1. Опре-
делив коэффициенты Фурье
(10.7), найдем параметр dz
по (10.6), а затем ун или
Уу — по (10.4) или (10.5).

Касательная скорость

ив-(0) потока вытеснения

вычисляется по (9.76). Суммируя далее скорость потока вытес-
нения

7 Ч

г!вт («)=г»вх (0) —-

со скоростью в неподвижной решетке, найдем касательную ско-
рость на профиле вращающейся решетки.

Установка ЭГДА, принципиальная схема которой изложена в
§ 14.4 и 14.5, может использоваться также при исследовании ре-
шеток в слое переменной толщины.
Часть III. ОБРАТНАЯ ЗА-
ДАЧА ТЕОРИИ РЕШЕТОК

ГЛАВА XV

ОДИНОЧНОЕ КРЫЛО

В первую очередь познакомимся с методикой решения обрат-
ной задачи для одиночного крыла. Это сравнительно просто и
наглядно. Однако то, что здесь будет сказано, останется во мно-
гом справедливым и для решеток, где необходимо дополнительно
учитывать влияние остальных профилей решетки на обтекание
основного профиля.

§ 15.1. Метод распределенных
вихрей

При исследовании обтекания тонких слабо изогнутых профи-
лей произвольной формы применяют приближенный метод, назы-
ваемый методом распределенных вихрей. В § 5.7 показано, что
тонкий профиль в виде прямой пластины можно заменить вих-
ревым слоем с плотностью распределения вихрей

(15.1)

Плоскопараллельный поток и вихревой слой в сумме дают в
каждой точке пластины скорость, направленную по оси х.

Произвольный тонкий профиль можно заменить вихревым
слоем у(з) так, что суммарная скорость плоскопараллельного
потока и вихревого слоя у(з) во всех точках профиля будет на-
правлена по касательной (s — криволинейная координата точки
профиля).

При решении прямой задачи для профиля определенной фор-
мы требуется найти закон распределения вихрей у(5)-
При решении обратной задачи для заданного плоскопарал-
лельного потока и определенного закона распределения вихрей
y(s) находят форму профиля.

На основании (4.15) скорость суммарного течения в точке z0
можно определить по формуле



(15.2)

(z(x, у) —текущая точка).

Выделив действительную и мнимую части, получим слагающие

скорости по осям:

-------———--------у (s) ds;
(х0-х)2 + (у0 —уУ

------------------------у (s) ds.

(15.3)

Далее будем рассматривать только профили, имеющие не-
большую относительную кривизну.

Предположим, что хорда профиля совпадает с осью х. Запи-
сав в общем виде уравнение профиля

y=/W.

получим из условия безотрывности обтекания

VK COS а +

Здесь v^x, уту — проекции скорости, индуцируемой вихревым
слоем. Если профиль имеет небольшую кривизну, то скорость
v-fx мала и ее в расчетах принимают равной нулю. В связи с этим
профиль в первом приближении можно заменить прямолинейным
вихревым слоем, расположенным на оси х. Тогда приближенно

/' (х0) = tg а н-—— =tg «+  ------*----\ 7 W dX  (15.4)

cos а	zno^cosa J x0— x

Для решения обратной задачи необходимо знать закон рас-
пределения вихрей у(х), который в общем виде представляют
тригонометрическим рядом [9]

y(9)=^octg-^--|-^1sin94-/l2sin20-|-----{-Лл sin/гб-|- • • •, (15.5)
где До, At,...,An— постоянные коэффициенты для данного тече-
ния;

х= —— cos 0.

2

(15.6)

Из формул (15.5) и (15.7) видно, что на передней кромке при
х= —— интенсивность вихря равна бесконечности, а на вы-
ходной. кромке при х = у 0^=0. Это условие отвечает
постулату Чаплыгина о конечности скорости на острой выход-
ной кромке.

Далее можно заметить, что первый член (15.7) соответствует
распределению вихрей при обтекании прямой пластины с углом
атаки (см. § 5.7). Если в частном случае в (15.7) отсутствует
первый член, то у (—ЧТ0 Указывает на гладкое обте-
кание профиля, когда входная кромка является точкой разделе-
ния потока.

Циркуляция вокруг профиля равна сумме всех вихрей

Г= у (x)dx=-^ у (0) sin 0 4/0.
_____i_	о.

Подставив под знак интеграла общее выражение (15.5) для
У(О) и проведя почленное интегрирование суммы, получим

(15.8)

так как

j* ctg sin 04/0
о

= (1 COS 0) 4/0 = '
р	— при n=k

I sin я0 sin ^0^0=J 2 K	.	(15.9)

о	( О при n k J

Из (15.8) видно, что на величину циркуляции оказывают
влияние только первые два члена ряда (15.5), содержащие ко-
эффициенты Л0 и Л1; остальные члены ряда влияют только на
форму профиля.

Определим скорость у, индуцируемую вихревым слоем на
профиле,

_г_

1)	(х ) — 1 '	=_ rr С ? (0) sin 0 дГб ,

ТУ 0 2it J	х0 —- х	2л j cos 0 — cos 0О

_ г	о

2

При О = 0о подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв.
Подставив под интеграл ряд (15.5), получим

(0	„	\

* ctg—sin0	~	. .	\

лА—----------<*в+У, аА мм).(15.ю)

° J cos 0 — cos 0о	п J cos 0 — cos 0О	/

О	л=1 О	/

Так как

ctg -^-sin0=l-[-cosО	(15.11)

и

sinn0sin0= —[cos(zz-f-1)0 — cos (я—1)0],	(15.12)

то все интегралы формулы (15.10 ) будут иметь вид

г---cos H----м = к _sin^_ j,	(15.13)

J cos 0 — cos 0n	sin 0О

о

Вычисление несобственных интегралов такого вида изложено в
работе [10].

На основании (15.11), (15.12) и (15.10) имеем

0
" ctg — sin

\ ---------=к;

J cos 0 — cos 0О
rsin Л0 sin6	л r  / no

--------------t/6=-----------(sin (n — 1) On —

cos 0 — cos 0q 2sin0o' 1

— sin (/г 4-1) 0O] = — л cos n\

(15.14)

Проведя обратную замену переменных, получим

]л,-----}. (15.15)

Подставив (15.14) в (15.4) и опустив далее индекс при 0,
получим уравнение

f (x)=tga-(-——1	- (40—cos 6 —Z2cos 26— • • - j ,(15.16)

устанавливающее связь между формой профиля f(x) и распре-
делением вихрей.

Если умножить обе части уравнения (15.16) на dQ и проинте-
грировать от 0 до л, то

J	\	cos а /

о

или

Л0=2-ом

— sina-|-— /'(x) fZ0 | =	(-а-}-70), (15.17)

nJ	/

о	/

так как при малых a sina^a, cosa~l и
jcos*6d0=O (*=1.2...).
о

Для вычисления коэффициента Ап необходимо обе части
уравнения (15.16) умножить на cosn0 dQ и проинтегрировать от
0 до л. Учитывая, что

cos nfi cos £6d6=J 2

o’	( 0

при n=-k

при г =/= k

(15.18)
получим

Ап =----/'(x)cos«0rZ9 = — 4vxJn.	(15.19)

о

Таким образом, при решении прямой задачи, когда бывает
задана форма профиля, а следовательно, и f'(x), для определе-
ния коэффициентов Ао, Ль... функции распределения вихрей
служат формулы (15.17) и (15.19).

Подъемную силу на профиле можно определить по формуле
Жуковского

P=pvM( — lela) y(x)dx=pv„r( — iela).	(15.20)

Подставим в (15.20) значение Г; тогда

и коэффициент подъемной силы

с,=- 77(Л+-^-)=2=|»-(Л--А)]- (15-21)

Ввиду того, что Jo и /1 зависят только от формы профиля, оче-
видно

Л-Л=«о-	(15.22)

Здесъ, как и ранее, ао — угол, определяющий бесциркуляционное
направление, поэтому

С, = 2тг(а-я|)),
что приближенно получалось для профиля в виде дуги окруж-
ности.

Момент относительно начала координат определяется как
сумма моментов сил, действующих на вихри,

M=^xdPy= — pv^ cos a J y(x)xdx. (15.23)
~~2

Вычислим интеграл

xy(x)dx= — ~ ^octg-~ Лл81'пп0^ cos 9 sin 9 <79.
Решение приводится к интегралам вида (15.18), (15.19), по-
этому

$ vWxd*=-^-(x0+^-).

~ т

Момент относительно начала координат (при cosa«=l)

и относительно входной кромки профиля

Л=-ро,Р^-(л0+Л1—(15.24)

Коэффициент момента относительно входной кромки

С„ = -4-=--5^(Л1-Л1) + 4-С„	(15.25)

с.--(15.26)

Как видно из (15.19), Ji и /2 зависят только от формы про-
филя. Первый член в (15.26) определяет величину момента при
бесциркуляционном обтекании

Сто=-|(Л-Л)-	(15.27)

Из формул (15.21) и (15.26) следует, что для определения
подъемной силы и момента достаточно знать величину лишь пер-
вых трех коэффициентов Ло, Ль Л2 функции распределения
вихрей.

§ 15.2. Частные случаи профилей

Прямая пластина

Если задать закон распределения вихрей в виде первого чле-
на ряда (15.5), то

v(6)=Actg^-=
Ранее получено, что такое распределение вихрей имеет место
при обтекании прямой пластины	, где

A0=—2v^ sin а.

Тот же результат получается из (15.16) при

Нормальная слагающая скорости от вихревого слоя из
(15.15)



пТУ=-у- = — "Уоо sin а

и постоянна по Величине вдоль пластины.

Касательная скорость от вихревого слоя

±	sin а Ctg ,

(15.28)

где верхний знак соответствует нижней стороне. Плоскопарал-
лельный поток имеет касательную слагающую OooCosa. Тогда
суммарная скорость на нижней стороне

В точке Xi разделения потока скорость равна нулю, поэтому
ctg-^- = ctga, 0=2a

х,= ——cos 2a.

1	2

На нижней стороне пластины скорость возрастает от нуля в
точке Xi до —оо в точке х——~.

Для дальнейшего анализа необходимо знать величину скоро-
сти вне пластины. Не останавливаясь на выводе [18], напишем

o(z)=|d,
Укажем только, что эта формула может быть получена при ис-
пользовании конформного отображения пластины на круг. При
z = x найдем за пределами пластины

ил=,ик cos а;

(15.29)

Так как

fJ, = 'U==y + 'U7y,	= sina=------------------------------------------------------

то скорость от вихревого слоя

(15.30)

Можно убедиться, что такой же результат получится, если вос-
пользоваться формулой (15.3).

На рис. 15.1, а дана эпюра скоростей v^x) для случая, когда
Л0<0. На рис. 15.1, б показан характер изменения скоростей
^х(у), индуцируемых вихревым слоем, при х=—1— . Если
г/ = 0, то скорость

TI

При удалении от вихревого слоя индуцируемая скорость умень-
шается в пределе до нуля.

Коэффициент подъемной силы, определяемый формулой
(15.21),

Су = 2тса,

а коэффициент момента

Cm=0,25Cy,

так как J0=Jl=J2=Q.

Эти данные совпадают с полученными в § 5.7.
Параболическая дужка

Зададим распределение вихрей в виде второго члена ряда
(15.7)	_______

y(x)=AIj/ 1-^y=A1sin9, (15.31)

что соответствует"эллиптическому закону

Из (15.16) при а = 0

/-(*)= —cos 9=-А-х. (15.32)

После интегрирования

^+с-

Принимая у —О при х—±	, получим

(15'33’
Таким образом, при обтекании параболической дужки (15.33)
плоскопараллельным потоком, направленным вдоль хорды, рас-
пределение вихрей подчиняется эллиптическому закону (15.31).

Максимальная стрелка прогиба дужки

—

УШ“'~	8».

и относительная кривизна

Рис. 15.2

Нормальная скорость, индуцируемая вихревым слоем, соглас-
но (15.14), (15.15)

---La1CosO=A- х.	(15.34)

На рис. 15.2 показаны эпюры у(х),	(х) при

Скорость v-iy при х= —~ мала по сравнению с так как
в этой точке

dy = рту
dx

является небольшой величиной для слабо изогнутых профилей.
Для определения од и Ст0, используя (15.17), (15.19), найдем

О

J, = — /' (х) cos 6t/9 =-;

л J	4ом

о
J2— — ^/'(x)cos 26//9=0.

Таким образом, получим

«»=-Л=411-=-2/;

Г — п Я1

что совпадает с соответствующими величинами, найденными для
дужки окружности в § 5.7.

Из предыдущего следует, что распределение вихрей

у(х) = Л

получается на дужке при обтекании ее плоскопараллельным
потоком с некоторым геометрическим углом атаки а. Коэффи-
циент До зависит от угла атаки а, а коэффициент А, — от отно-
сительной кривизны профиля. При заданной величине цирку-
ляции



Г=-

изменяя соотношение между коэффициентами До и Дь можно
получить дужки разной кривизны, обтекаемые с различными
углами атаки.

S-образный профиль

Решим для примера задачу по определению формы профиля, имеющего
коэффициент момента при бесциркуляционном обтекании

Сто~ О*

Зададим уравнение профиля в виде степенной функции
y=f(x) = ах2 4- bx2 + сх + d.

(15.

Если, не нарушая общности задачи, принять, что г/=0 при X = ± —,
то из (15.35)

Р	12 I

— 4- Ь — 4- с —
8	4^2

/3	/2	I

— 4- Ь — — с —
8	4	2
откуда

(15.36)

По условию (15.27), при Сто =0

Л = J2-

Из (15.19)

Ji = J /' (х) COS 0 4/6

и

J2=— V' (x)cos20d0.
я J

о

Далее, из (15.35)

у' =f(x) — Зах2 + 2Ьх + с;

заменив переменную х, найдем

у' = —l2a cos2 0 — lb cos 0 + с.

Учитывая, что
-	-	л

^cos3 0rfO = O, cos2 0 dO = -у-, ^cosOrfO = 0,
оо	о

получим

___Ь1________Л]

2	<». '

Интеграл

(15.37)

так как

С	3	С	я

\ cos4 0 dO = —- я, \ cos2 0 sin20 йО = —,
j	8	J	8

о	о

sin2 0 cos OrfO = 0, cos 20 dO = 0.

о	о


Подставив теперь (15.36) и (15.38) в (15.35), получим уравнение искомого
профиля

И-а(х —	(15.39>

Как видно из уравнения (15.39), получен S-образный профиль, в котором
относительная кривизна зависит от выбора параметра а.

Направление бесциркуляционного обтекания определится углом

Так как

— а/2 + с,

то

““--ТГ0'2'

Аналогично можно исследовать обтекание тонкого профиля любой формы
и получить для него гидродинамические коэффициенты.

§ 15.3. Телесный профиль

Метод особенностей

Рассмотрим применение так называемого метода особенно’
стей для решения обратной задачи при обтекании телесного про-
филя произвольной формы. Для решеток этот метод разработан
А. Ф. Лесохиным [22].

Сущность метода особенностей заключается в следующем.
Вдоль некоторой линии, называемой скелетом, располагают вих-
ри y(s), источники и стоки q(s), которые в дальнейшем будем
называть особенностями. Суммарное течение от особенностей и
от заданного плоскопараллельного потока должно быть таким,
чтобы одна из линий тока была замкнутой и по форме соответ-
ствующей удобообтекаемому профилю. Эту замкнутую линию
тока и принимают за контур профиля.

Наличие на скелете вихревого слоя y(s) приводит к тому, что
в каждой точке скелета имеется разрыв в касательной скорости,
равный y(s).

Определим расход через прямоугольный контур, охватываю-
щий участок ds скелета. Если размеры прямоугольника беско-
неЧно малы, то расход через этот контур

dQ=q(s')ds=v^ds —v~ds

,v+ и	—нормальные составляющие скорости слева и справа

1 '	от скелета).

Отсюда получаем

q (s)

т. е. в каждой точке скелета при наличии слоя из источников-
стоков имеет место разрыв в нормальной составляющей скоро-
сти, равный интенсивности источника в данной точке. Если пе-
реток через скелет отсутствует, то

так как источник дает равномерный расход в обе стороны от ске-
лета. При этом



В том случае, когда нормальная слагающая скорости vn от
остальных особенностей и плоскопараллельного потока не рав-
на нулю, то имеет место переток через скелет с расходом

на участке ds;



Условия замыкаемости контура
профиля

Рассмотрим условия, при которых одна из линий тока сум-
марного течения будет замкнутой линией L, охватывающей ске-
лет профиля.

Необходимым условием является равенство нулю суммы всех
источников-стоков, размещенных на скелете профиля, т. е.

+ ~

J ?(s)ds=0.	(15.40)

“Т

Это станет очевидным, если вспомнить, что через линию тока
перетекания не может быть.
Однако одного этого недостаточно. Чтобы установить другие
необходимые и достаточные условия для замыкаемости профиля,
исследуем течение от плоскопараллельного потока и от особен-
ностей вблизи скелета профиля. Наибольший интерес представ-
ляет течение около входной кромки скелета.

При определении поля скоростей от особенностей для слабо
изогнутых профилей можно в первом приближении скелет при-
нять в виде прямолинейного отрезка, являющегося хордой ске-
лета.

Итак, найдем скорость от особенностей, распределенных на
прямолинейном скелете (—l—^.x	• Интенсивность вих«

рей на скелете в общем виде зададим тем же рядом, что и при
исследовании тонких профилей.

Из ряда (15.5) возьмем только первые два члена. Течение, ко-
торое получается от вихревого слоя с распределением вихрей,

рассмотрено ранее (см. § 15.2). На рис. 15.1, 15.2 показан харак-
тер изменения скоростей и вблизи входной кромки. Точка

Рис. 15.3

разделения потока не совпада-
ет с входной кромкой (рис.
15.3). При а>0 на вогнутой
стороне профиля от точки раз-
деления потока 1 до входной
кромки имеет место отрица-
тельная скорость vx. Эта ско-
рость возрастает от нуля в точ-
ке 1 до бесконечности на вход-
ной кромке скелета.

Определим на скелете ско-
рость, индуцируемую слоем ис-
точников-стоков. Предвари-

тельно зададимся законом рас-
пределения источников-стоков. В практике встречаются различ-
ные способы задания q(s). Большое распространение [8, 17] по-
лучила функция

q^B^B^B^^-B^.

(15.42)

Если скелет профиля имеет небольшую кривизну и мало отли-
чается от отрезка оси х(-—,	— 'j, то формула
J (1543)

zn , x0 — x

позволит определить слагающую скорости по оси х. Очевидно,
слагающая по оси у, являющаяся нормальной к скелету, равна
»„(Х0)=± у?(Х0).

Скорость Vqylxo) определяется только источником, расположен-
ным в данной точке х0. Другие источники-стоки не дают нормаль-
ной слагающей скорости в этой точке.

Подставим функцию (15.42) в формулу (15.43):
i

в, + в2х + в,хг + в1х>;ах (15 44)

— т

и проведем почленное интегрирование. Несобственный интеграл,
в котором подынтегральная функция при х=х0 имеет бесконеч-
ный разрыв, сходится на отрезке ( —

Используя данные табличных интегралов, получим

dx _	; I ,	2 '

—In —--

Xi dx


2



Далее, опуская индекс при текущей координате х, найдем
I

'»„=^-(В1 + В!х+53х’+Я4х3)1п-2------

-^[а=+^+«+^)^]- (15Л5>

Рис. 15.4

Часто на передней кромке скелета для придания необходи-
мого закругления входной кромке профиля дополнительно поме-
щают точечный источник Q0- Касательная скорость на скелете от
этого источника

(15.46)

Рассмотрим первый член (15.45). Обычно для придания про-
филю удобообтекаемой формы на участке от 0 до (0,34-0,4) I
от входной кромки располагают источники; на остальной части
скелета находятся стоки, поэтому q ( —у j > 0
и

lim q (лг) In -у-
T
Второй член формулы (15.45) имеет во всех точках скелета ко-
нечную величину. На рис. 15.4, б показан характер изменения
удх(у) и на рис. 15.4, a (у) при х= — ~ .

Найдем величину слагающей по оси х суммарной скорости v
при	х= —— . В общем случае на скелете профиля

Здесь плюс соответствует нижней части скелета, минус — верх-
ней. Найдем предел функции

при х-+—1— или 0—>0. Предел
о

„	2 In tg

lim -^-Ло ctg —— 1 +	•----— = оо,

Ы 2 °	2	л40 О

ctgT j

так как
е

,n tg Т	в

lim -------— — lim tg —=0.

е-»о 6	о-» о	2
На рис. 15.4, в показан характер изменения vx(y) при
х= ——• . Аналогичные эпюры даны на рис. 15.5, а, б, в, г для
случая, когда Ао = О.

На основе полученных данных на рис. 15.6 схематично изо-
бражено течение вблизи входной кромки. На рис. 15.6, а по-

й)

Рис. 15.5

казано такое течение, когда в функции распределения вихрей
отсутствует член, содержащий Ао, и на передней кромке нет
дополнительного точечного источника Qo. На рис. 15.6, б то же

Рис. 15.6

течение, но с точечным источником Qo на передней кромке ске-
лета. При этих условиях касательное продолжение скелета яв-
ляется линией тока и через него отсутствует переток.

Таким образом, при гладком обтекании профиля, когда гео-
метрический угол атаки а=0 и Ло = О, суммарный переток через
скелет должен быть равен нулю, т. е.

Это — второе условие, необходимое для замыкаемости одной из
линий тока. В частном случае можно принять на скелете ип=0.
Схема такого течения показана на рис. 15.7, а.

Рис. 15.7

На рис. 15.6, в показано течение у входной кромки при усло-
вии Ао#=О, Qo = O и на рис. 15.6, г — при условии ЛоУ=О, Qo^O.
При Ло=#О на входной кромке скелета имеют место бесконечно
большие касательная скорость и нормальная скорость (см.
рис. 15.4, в). Это приводит к тому, что через касательное продол-
жение скелета (пунктирная линия на рис. 15.6, в) имеет место
переток при а>0 снизу вверх. Из схемы видно, что жидкость,
вытекающая между точками М и N вниз от скелета, перетекает
затем вверх через касательное продолжение скелета. Поэтому,
если через скелет профиля отсутствует переток, то ни одна линия
тока не будет замкнутой * (рис. 15.7, б). Отсюда следует, что для
получения замкнутого профиля, при наличии перетока AQ на
касательном продолжении снизу вверх, необходимо обеспечить
обратный переток через скелет сверху вниз расхода AQ.

* Л. Б. Гинзбург обратил внимание на это положение в 1956 г. А. М. Гох-
ман сделал попытку учесть это в расчете. «Энергомашиностроение»,
1962, № 1.
Таким образом, при а>0 условия течения внутри профиля у
входной кромки скелета предопределяют необходимость перето-
ка жидкости через скелет с выпуклой части профиля на вогну-
тую (рис. 15.7, в). Расход перетекания



vn ds.

(15.47)

Следовательно, для выполнения второго условия замыкаемо-
сти линии тока при Ло=#О необходимо, чтобы суммарный расход
через скелет профиля и через его касательное продолжение вну-
три профиля равнялся нулю.

Для получения гладкого удобообтекаемого профиля следует
добиться, чтобы замкнутая линия тока нигде не пересекала ске-
лет профиля. Это условие выполняется, если на скелете отсутст-
вуют критические точки, т. е. скорость нигде не обращается в
нуль.

Итак, для получения замкнутого удобообтекаемого профиля
необходимо и достаточно обеспечить:

1)	равенство нулю суммы всех источников и стоков

+4

Qo+ J q(s)ds=0\	(15.48)

2

2)	равенство нулю суммарного расхода через скелет и его
продолжение внутри профиля или

+ 2	SN

•vnds=	ds—|-Q0,

~~2	~ 2~

что равноценно при соблюдении (15.48) условию

J vn ds=Q’,
SN

(15.49)

(15.50)

3)	чтобы нормальная vn и касательная vs составляющие ско-
рости нигде на скелете не обращались в нуль одновременно.
Определение скелета профиля

Скелет профиля можно определить из условия, что суммар-
ная скорость на скелете должна иметь нормальную слагающую,
равную скорости перетока,

— cousin P +	cos	(15.51)

где т)хХ, (рис. 15.8)—слагающие скорости плоскопарал-
лельного потока;

Р—угол наклона скелета к оси х;

©jn—нормальная слагающая скорости от
вихревого слоя.

Рис. 15.8

Уравнение (15.51) учитывает, что скорость от источников-сто-
ков направлена по касательной к скелету первого приближения.
Решая уравнение относительно sin (3, получим

•sM=	.	(15.52,

По формуле (15.52) можно определить угол наклона скелета.
Если относительная кривизна профиля невелика, то sin p~tg р.
Тогда из (15.51)

tgP =

dy

dx

(15.53)

Интегрированием (15.53) определяется уравнение скелета
профиля.

Определение контура профиля

Контур неподвижного профиля является линией тока, и через
него отсутствует переток.

Рассмотрим (см. рис. 15.8) криволинейный треугольник АВС,
образованный отрезком контура профиля ВС, отрезком скелета
АС и нормалью АВ. Из условия неразрывности течения суммар-
ный расход через контур АВС равен нулю. Поэтому из урав-
нения

8!	Т	Т

—j- ^<?(х) dx-\-^vndx—Q	(15.54)

о	х	х

можно определить координату контура профиля для выпук-
лой стороны профиля. Для вогнутой стороны профиля координа-
та дг определяется из уравнения

о	Т	Т

vsdn-\—-	q(x)dx — <\^rvndx — Qi. (15.55)

Необходимо учесть, что в (15.54) и (15.55) составляющая vn
положительна, если она совпадает по направлению с нор-
малью п.

Таким образом, для определения координат 61 и бг контура
профиля следует решить уравнения (15.54) и (15.55).

§ 15.4.	Методика расчета

Целью расчета является определение размеров профиля при
заданных:

а)	величине скорости и направлении невозмущенного пло-
скопараллельного потока;

б)	циркуляции Г по контуру профиля.

Ясно, что данная задача имеет множество решений. Чтобы
получить единственный ответ, требуется в процессе решения за-
дачи наложить ряд дополнительных ограничивающих условий.
Рассматривая последовательность расчета, введем необходимые
ограничения.

Интенсивность вихрей на скелете

В общем виде распределение вихрей может быть задано в ви-
де ряда (15.5). При этом циркуляция вокруг профиля

г-^.(л»+-5-аФ

При первоначальном расчете имеет смысл задаться только
двумя первыми членами ряда (15.5), так как только от них зави-
сит циркуляция. Остальные члены ряда оказывают влияние на
форму скелета и профиля, распределение скорости и давления
на профиле и не изменяют Г. Если в процессе расчета получена
неблагоприятная эпюра давлений, то перераспределением у(х)
ее можно изменить.

Ранее получено, что увеличение Ао приводит к росту угла
атаки, а увеличение Л] — к росту кривизны профиля. Обычно
задают отношение

где

—	циркуляция, создаваемая за счет первого члена у(х);

Г'=— Ах
4	1

—	циркуляция, создаваемая за счет второго члена у(х).
Тогда

Г=Г’ + Г'=(1 + ад^-Л0,	(15.56)

или

Л„=	2Г—.

Введение в расчет дополнительных членов ряда у(х) может
привести к неблагоприятной форме скелета. Например, в § 15.2
показано, что при

у'(0) = До ctg -у- -J- A sin 0 -J- А2 sin 20

и А=А получается профиль с переменной по знаку кривизной.

Разработана методика расчета [39], в которой интенсивность
вихрей задается функцией

Коэффициенты Ап могут выбираться из условия получения за-
данной эпюры скоростей на выпуклой стороне профиля.
Интенсивность источников-стоков
на скелете

В общем виде распределение источников-стоков зададим сте-
пенной функцией

^(х) = В1Ч-В2х4-В3л2+В4х3.	(15.57)

На входной кромке скелета х=—расположим источ-
ник Qo.

Найдем условия, из которых можно определить коэффициен-
ты В\, В2, В3, В4 и Qo- Видно, что от величины коэффициентов Вг-
и Qo зависят форма профиля, его толщина, характер изменения
толщины по длине, закругление на входной кромке, заострение
на выходной. Коэффициенты В{ и Qo следует выбрать так, чтобы
в результате расчета получить прочный удобообтекаемый про-
филь с соотношением размеров, характерным для профилей вы-
сокого качества. Кроме того, необходимо выполнить условия за-
мыкаемости профиля.

Составим пять уравнений для определения В, и Qo-

Суммарный расход от всех источников-стоков равен нулю, по-
этому

i

Qo+ J q(x)dx=0

~~2

ИЛИ

+ т

Qo-|- J (Bj -j- В2х-|~ В3х2-|- В4х3) dx = 0.

После интегрирования получим первое уравнение

Qo+ZB, + ^-B3=O.	(15.58)

Условия прочности и жесткости профиля диктуют его макси-
мальную толщину. Для тонких профилей толщина определяется
технологическими соображениями. Во время гидравлического
расчета должна быть задана максимальная толщина профиля
сшах-

Для определения толщины профиля следует воспользоваться
уравнениями (15.54), (15.55). Однако на первой стадии расчета
нет данных для точного интегрирования. Неизвестно, чему равна
314
скорость vs и как она изменяется вдоль нормали, поэтому только
на этой стадии расчета принимают vs=vix>. Тогда получим

®-8ш=—9(x)dx-\ vndx;

т т

—q(x)dx+^v„dx,

где хт — координата скелета, при которой профиль имеет мак-
симальную толщину;

olm, —координаты (с учетом знака) контура профиля соот-
ветственно с выпуклой и вогнутой сторон в месте мак-
симальной толщины.

Сложив оба уравнения, получим

®-Р1и-8м)=-5 4(x)dx

или

Сшах=-----\q(x)dx,	(15.59)

так как

£тах — °1т —$2/п-

Подставим в (15.59) функцию (15.57). После интегрирования
получим второе уравнение

(15-60>

Для вычислений необходимо знать хт. Эта величина назначается
в расчете на основе обобщения опыта по созданию профилей
высокого качества. Например, при создании профилей для осе-
вых гидравлических турбин было установлено [17], что оптималь-
ное расстояние от входной кромки до точки хт с максимальной
1	2

толщиной составляет ( —-ь—) длины профиля. В осевых насо-

сах применяют профили, у которых это расстояние равно
(0,40 4- 0,45) I.

Для получения третьего условия сложим уравнения (15.54) и
(15.55):

vsdn= — J q(x)dx.

(15.61)

Если vs не изменяет знак в пределах интегрирования, то, приме-
няя теорему о среднем, напишем

J M« = ^cp8=(^+®UCp)8.

(15.62)

где о—толщина профиля;

— проекция скорости плоскопараллельного потока на каса-
тельную к скелету;

т>иср—проекция на касательную средней скорости от всех осо-
бенностей, размещенных на скелете.

Подставляя (15.62) в (15.61) . получим

т

(o..+»i„p)S=-j

После дифференцирования найдем

При х=хт профиль имеет максимальную толщину, поэтому

«w=>w-^w,

если принять, что vxs вдоль скелета постоянна ввиду незначи-
тельности кривизны. Очевидно,

^licp — vlx ср — V4X ср 4” 'Uqx ср •

Так как отхср~0 и принимая vqxcp^vQX на скелете, полу-
чим

Ч М - 8 (хга) (хш)=0 (ст8х=8 (xj).	(15.63)
Дифференцируя (15.45), найдем-^-(xm).

Итак, (15.63) является третьим уравнением для определения
коэффициентов функции (15.57).

В ряде работ [22, 17] считают произведение

малым и пользуются приближенным уравнением

7 (хш')==^1'¥ ‘^2xm~\~^3x’’i~\~ ^4Хт — ^-	(15.64)

Таким образом, в передней части скелета до точки х=хт раз-
мещены источники, а в задней части после точки хт — стоки.

Четвертое уравнение найдем из следующих геометрических
соображений. Одной из геометрических характеристик профиля
является угол заострения 0 на выходной кромке (см. рис. 15.8),
равный углу между касательными к выпуклой и вогнутой сторо-
нам профиля. Величина угла 0 определяется из условий плавного
перехода от максимальной толщины к выходной кромке. Кроме
того, учитываются технологические условия. Малый угол 0 при-
водит к малой толщине на конце профиля и получению нетехно-
логично тонкой кромки. При большом угле 0 получается плохо
обтекаемая тупая кромка.

Приближенно оценить угол 0 можно из условия [8]

6 > 1,50',

где

tgO' = .	(15.65)

~2~Хт

Из формулы (15.54)

^-+8, £(«„ + «!,.,)== у ?«+»„(*)

Так как при х=— °i==0, то

— tg 0,=-

+ °1 J Ср
В предварительном приближенном расчете пренебрегаем вели-
чиной Oiscp и считаем tgOi «0i; тогда

(15.66)

и аналогично

(15.67)

Отсюда получаем четвертое уравнение для определения коэффи-
циентов Bi

0 = 9,4-02=-.

(15.68)

или

в=-4-^1+4-в2+4.в3+4^.	(«.бе-)

Из формул (15.66), (15.67), (15.68) можно получить соотно-
шения между углами 0], 02 и 0:

Приближенно полагаем

8lmax

Величину —следует оценить на основе опыта аналогичных
стах

расчетов.

Найдем последнее — пятое уравнение.
Выше сказано, что на передней кромке скелета размещают
точечный источник Qo, от интенсивности которого в основном за-
висит радиус закругления входной кромки. Радиус закругления
входной кромки принимают равным

M=|s-+4-|.

(15.69)

Предположим, что в функции у($) отсутствует первый член.
В этом случае течение в области входной кромки можно иллю-
стрировать рис. 15.6, б. Обычно считают {22, 17], что в формиро-
вании потока здесь основную роль играют источник Qo и плоско-
параллельный поток. Скорости, индуцируемые особенностями
у($) и q(s), не принимают во внимание при определении разме-
ров входной кромки. Из рис. 15.6, б ясно, что в точке s* разделе-
ния потока

----S5—-—=0,
2я(8'+т)

откуда

(15.70)

На основании (15.69) и (15.70)

Со=-|-ч>®-

(15.71)

Итак, задавая р из конструктивных соображений, из (15.71)
определим интенсивность точечного источника на входной кром-
ке скелета.

Таким образом, определены все условия, из которых находят
распределение интенсивностей источников-стоков на скелете. Ре-
шив совместно уравнения (15.58), (15.60), (15.63), (15.68'), мож-
но вычислить коэффициенты Вь В2, В3, В4. Однако следует учи-
тывать, что полученный в результате расчета профиль будет
иметь некоторые отличия по геометрическим параметрам от вве-
денного в расчет. Это происходит потому, что в формулы для
вычисления коэффициентов Bt входит скорость vm вместо vs,
которая на этой стадии расчета неизвестна. Обычно получаются
профили несколько меньшей (на 3-4-5%) толщины, чем задан-
ная. Поэтому в расчет следует вводить соответственно завышен-
ную толщину профиля.

В том случае, когда в функции y(s) (15.5) первый член не
равен нулю, величина Д/ определяется расходом перетекания
(15.47).
Расход перетекания

Приближенно принимаем MS*=MO (см. рис. 15.6, г); тогда
расход перетекания

Л<?= j v, dx.	(15.72)

Далее учитываем слагающую только от вихрей первого
члена ряда (15.5) и от невозмущенного потока. Так как слой
источников-стоков не дает слагающей скорости, перпендикуляр-
ной к продолжению скелета, то, используя (15.29), получим

dx=^-J, х„=-(2-+Д/).(15.73)

В интеграле (15.73) произведем замену переменныхсЬ z—--

тогда

о

= -y(a-}-sh а),

так как

dx= —— sh zdz,
2

при х= —1— chz=l, z=0 и cha = — ^-=1-^-2-у- .

Далее имеем

sha=Vch!a-l =	>+-7-

и

a=Arch(l+2-H-) = ln [1+2^ + у44Т+4(т)’]'
Итак,

Если учесть, что для практически применяемых профилей в
гидротурбинах и насосах — <0,02 н-0,03, то

Используя разложение в ряд для логарифма

|"4^-=2(/+т+т+-)’|'|<1’

получим

/=-2Zl/'-y.	(15.74)

Подставляя (15.74) в (15.73), найдем расход перетекания

Др=-А/|/’ -у.	(15.75)

На первой стадии расчета можно принять приближенно
AQ=-^- Qo ввиду невозможности вычисления интеграла в
(15.47). Тогда из (15.75)

А/ / Qo V

I	\ 2Л0/ ) ’

Однако при окончательном расчете необходимо определить ко-
ординату sN (см. рис. 15.6, г), вычислить уточненное значение
AQ и подставить в (15.75).

Координаты контура профиля

Форму скелета профиля следует определять по уравнению
(15.52) или (15.53). Для выбранного числа точек находят угол ₽
или tg ₽=_~ • Затем путем интегрирования можно найти
У=/(х), определив постоянную интегрирования из условия t/=0
при
Далее находим координаты профиля, используя формулы
(15.54), (15.55). Обозначая расход в сечении АВ (см. рис. 15.8)
через Qi, получим

8,	2~	Т

Qi (х)= dn=—q(x) dx— vndx. (15.76)
О	х	х

Определение di произведем методом последовательных прибли-
жений, для чего предположим, что в сечении АВ (см. рис. 15.8)
скорость o8(n) = psi = const и равна касательной составляющей
скорости на выпуклой стороне скелета.

Тогда

откуда получаем толщину профиля в первом приближении

»S1

(15.77)

Теперь, зная координату точки В, найдем скорость vs' в этой
точке и, предположив линейный закон изменения ps между А и
В, получим толщину второго приближения

Oil + o'j

(15.78)

Как показывают проведенные расчеты [17], 6/ отличается от
di не более чем на 14-2% толщины профиля. Поэтому в практи-
ческих расчетах при определении толщины профиля следует поль-
зоваться формулой (15.77) для 6ь а для 5г — формулой

«,=&-.	(15.79)

О«2

где vS2 — касательная составляющая скорости на вогнутой части
скелета;

O2‘W=



(15.80)

Таким образом, чтобы определить 61 и 62. необходимо пред-
варительно найти касательную составляющую скорости на ске-
лете, равную сумме скоростей плоскопараллельного потока v«> и
потока от особенностей, расположенных на изогнутом скелете
профиля.
Для слабо изогнутого профиля можно принять

При вычислении касательных составляющих скорости от осо-
бенностей считаем, что особенности распределены на прямоли-
нейном отрезке (хорде профиля). Поэтому, не делая заметных
погрешностей, вычислим

по формуле (15.45). Касательная составляющая скорости от вих-
рей

^5 = ^+^»

где итж= ±-^-y(x)—скорость от вихревого слоя (плюс для
выпуклой стороны) и



(15.81)

— дополнительная касательная составляющая скорости от вих-
рей, вызванная кривизной скелета. Здесь R — осредненный ради-
ус кривизны скелета.

Справедливость формулы (15.81) можно доказать для дужки
окружности радиуса R (рис. 15.9). Из рис. 15.9 следует

dv-,=— .	d'vlk=d,v-,sin<f, s — s0—2Rsinf,

2л s0 — s

поэтому
Итак, касательная составляющая скорости на скелете

=г’»-I-'Уо,. ± — у(х)----—

5	1 qx 2 r 4 ’	4л/?

(15.82)

Скорость на скелете, вычисленная по формуле (15.82), близка
по величине к скорости в соответствующей точке профиля. По-
этому определить касательные составляющие скорости на скелете
необходимо на более ранней стадии расчета, когда еще не пост-
роены скелет и контур профиля. По полученным данным в пер-
вом приближении можно судить о характере распределения ско-
ростей на контуре профиля и о его кавитационных качествах.
Если полученные результаты окажутся неудовлетворительными,
то следует более удачно задать функцию распределения вихрей.

Отметим, что пользоваться формулами (15.77) и (15.79) для
определения координат профиля можно везде, кроме зоны, близ-
кой к входной кромке. Вблизи входной кромки при переходе от
скелета к контуру профиля скорость vs существенно изменяет не
только величину, но иногда и знак. Поэтому приближенные фор-
мулы здесь применять нельзя, а следует пользоваться точными
формулами (15.76) и (15.80).

Скорость и давление на контуре
профиля

После построения профиля по точкам можно вычислить рас-
пределение скорости и давления на контуре профиля.

Скорость на профиле получается как сумма скоростей плоско-
параллельного потока и потока от особенностей, расположенных
на скелете профиля. На основании формул (15.2), (15.43) ско-
рость от вихрей в произвольной точке с координатой z0=Xo+^o

7 (s) ds

z^— z

от источников и стоков

При вычислении скоростей для слабо изогнутых профилей
принимаем приближенно, что особенности размещены на прямо-
324
линейном отрезке — хорде скелета. Тогда, если этот отрезок со-
впадает с осью х,

+ Т

+	(15.83)

' 2

+ т

„ =_L \ (*.-»)Ш) + МИ ,dx (15.84)
2я	(х<,-

Для заданного закона у (%) и <?(х) в формулах (15.83) и
(15.84) можно провести интегрирование и получить общие фор-
мулы для подсчета отдж и о79г/. Здесь эти формулы не приводятся.
Вывод их дан в работах [17, 39].

Таким образом, скорость v на профиле определяют по фор-
мулам:

т>=]/" Ox-f-'Oy;

ruy='v^-\-vw.

Коэффициент давления вычисляют по формуле

ГЛАВА XVI

ПРЯМАЯ РЕШЕТКА

При расчете новых лопастных систем гидравлических машин
наибольшее применение находят методы решения обратной за-
дачи теории решеток. Обычно бывают заданы граничные условия
течения перед и за решеткой и требуется определить размеры
решетки. Уже отмечалось, что решение такой задачи не является
единственным, т. е. можно найти множество решеток, обеспечи-
вающих заданные расчетные граничные условия. Чтобы задача
имела единственное решение, необходимо на основании сущест-
вующего опыта ввести ряд дополнительных ограничений, в част-
ности задать густоту решетки.
Если рассчитывается лопастная система гидротурбины или
насоса, для которых нет близких прототипов, то благодаря от-
сутствию объективных данных выбор граничных условий течения
и густоты решетки может быть сделан лишь ориентировочно.
Только последующие испытания позволят судить, насколько
удачно выбраны исходные данные расчета. Ясно, что на этой ста-
дии не следует применять сложные методы расчета решеток
телесных профилей, требующие большой затраты труда.

При отработке первых вариантов лопастных систем целесооб-
разно решетки телесных профилей заменить решетками беско-
нечно тонких профилей. На примере одиночного профиля (см.
§ 5.7) показано, что тонкий и телесный профили одинаковой отно-
сительной кривизны имеют близкие гидродинамические характе-
ристики. Полученную из расчета решетку тонких профилей далее
«одевают» телесным профилем с хорошими гидродинамическими
качествами.

По результатам испытаний лопастных систем судят о пра-
вильности выбора исходных данных расчета. Максимальный
к. п. д., положение оптимального режима на характеристике,
кавитационные качества, поле скоростей, полученные по резуль-
татам испытаний, позволят откорректировать задание для после-
дующих расчетов.

Только получив удовлетворительное соответствие исходных
данных расчета с результатами испытаний, целесообразно для
дальнейшей отработки лопастных систем, в особенности для
улучшения кавитационных качеств, переходить к расчету реше-
ток телесных профилей.

Таким образом, решение обратной задачи для решетки тон-
ких профилей представляет практический интерес. Кроме того,
эта задача является составной частью более общей задачи для
решетки телесных профилей.

В практику гидромашиностроения этот метод был внедрен
А. Ф. Лесохиным и Л. А. Симоновым [23].

§ 16.1. Решетка вихревых слоев

Аналогично тому, как сделано для тонкого одиночного крыла,
заменим тонкие профили в прямой бесконечной решетке вихре-
выми слоями (рис. 16.1) с определенным законом распределения
вихрей вдоль профиля. В результате сложения некоторого невоз-
мущенного плоскопараллельного потока wx и потока, индуциру-
емого всеми вихревыми слоями, скорость в каждой точке профиля
должна быть направлена по касательной при безотрывном обте-
кании.

Таким образом, первая задача состоит в определении ско-
рости, индуцируемой вихревыми слоями.
Расположим решетку вихревых слоев так, чтобы середина
одного профиля, который в дальнейшем будем называть основ-
ным, находилась в начале координат (см. рис. 16.1).

Выше (см. § 4.1) получено общее выражение для скорости в
прямой решетке (4.13), из которого следует, что комплексная
скорость от вихревых слоев в данном случае

®(го)=^7 \ V(s)ctgy(za-z)ds.

~ т

Рис. 16.1

Найдя действительную и мнимую части подынтегрального
выражения, получим общие формулы для определения слагаю-
щих скорости от решетки вихревых слоев:

Если (г/0—г/)-* сю, то vx=-^- и vy=0. При (у0—у)-+ — оо
vx =— и dv=0.
2/ у

В том случае, когда точка го=Хо+^о, в которой необходимо
определить скорость, лежит на основном профиле, подынтеграль-
ная функция имеет бесконечный разрыв. Действительно, при
г=г0 числитель имеет нуль первого порядка, а знаменатель —
второго. Ввиду того что закон распределения вихрей y(s) имеет
произвольный характер, вычислить интеграл в общем виде не
представляется возможным.

Ясно, что бесконечный разрыв подынтегральной функции
объясняется наличием вихрей на основном профиле. Представим
скорость v от всех вихревых слоев как сумму скоростей t»i от
вихрей основного профиля и у2 от вихрей всех других профилей:

+ '°2-

Методика определения скорости vt на основном профиле от вих-
рей этого профиля рассмотрена в § 15.1.

Таким образом,

-у2 =г> —г»],

или в проекциях по осям координат:

+ Т

-у- 5 a<so. s)v.(s)ds;

(16.2)

j i(s0, s)y(s)</s,

где функции а и & на основании (16.1) и (15.3) равны:

2л
sh—(Уо-У)

«(so. s)=y

2л	2л ,	2л

ch —- (у0 — у) — cos — (х0 — х)

(Хо — Х)2 + (у0 — 02
2л
sin—— (х0 — х)

6<s»'s)= ~i  „ а. « 2»;—'
ch----------------- Sy о — У) —.cos “ Jxo — х)

(16.3)

I Г ________Xq — JC_____

Т 2л	(х0 —х)2 + (#о—^)2
Величины а и b представляют собой проекции скорости в
точке zo=Xo+it/o от решетки (£=1) вихрей у=—1 (первый член
формул), из которой исключен вихрь основного профиля (второй

Рис. 16.2

=0,45

член формул), расположенный в точке (х, у). Как видно из фор-
мул (16.3), а и b являются безразмерными величинами, не зави-
сящими от абсолютных размеров решетки, поэтому а и b можно
заранее, вычислить [23]. Результаты вычислений представлены
на номограмме (рис. 16.2).
Для определения по этой номограмме значений а и b необ-
ходимо решетку вихрей, от которой находят скорость, располо-
жить на оси абсцисс так, чтобы шаг решетки и шаг t номограммы
были одинаковыми, а вихрь основного профиля находился в на-

чале координат (рис. 16.3). Далее
грамму по координатам интересуя
найти значения а и & по линиям а=

необходимо нанести на номо-
эщую нас точку M(z0 — z) и
 const и b = const, проходящим
через эту точку. Отметим,
что значения а и b в сим-
метричных относительно на-
чала координат точках пер-
вой и третьей четвертей
одинаковы по величине и
противоположны по знаку.

Для интегрирования в
формулах (16.2) следует
задаться законом изменения
интенсивности циркуляции
по длине профиля. Как и
для одиночного профиля
(15.7), принимают

+ A,2^-j/'l- (-у-)2+---	(16.4)

для насосной решетки, обтекаемой снизу вверх (рис. 16.4, б). Для
турбинной решетки (рис. 16.4, а), обтекаемой потоком сверху
вниз, функция у(з) имеет тот же вид, но в первом члене з необ-
ходимо Заменить на —з. Тогда

у(з) = Д0

2s





Далее подробно рассмотрено решение для турбинной ре-
шетки.
Заменим в формуле

— =Х, ds=—d\
I	2

и проведем преобразования в квадратных скобках:

^=-4? \ «л»

 2	L V 1 — Х2	У 1 — Х2

+А.а(1-И) +>.

V1 — Х2 J

(16.6)

Для вычисления интеграла (16.6) воспользуемся формулой
Д. А. Непомнящего

5 :^==“-T=n-[>67/(—l)+378/(--|-Ul35//—-LU

У1 _ Х2 12ъи L	\	•» /	\	3 /

+ 460/(0)-135/(-L)+378/ (|-)+167/(1)] .	(16.7)
Подынтегральные функции формул (16.6) и (16.7) аналогич-
ны. Таким образом, для вычисления интеграла (16.6) следует
вычислить значение подынтегральной функции в семи точках.
Проведя несложные вычисления, получим

^«=-^-т[126а(^ -т)-90“(* ~г)+

+460a(s„, 0)—180a(s01 -i-J + 630а (s0, Д-)+

+ 334a(»0,	-f)-120a(%,

+460a(s„, 0)- 120a k, -j-)+210a (4 v)l ” X
\ V /	\ О /J ZQDU

X^-[-280a(s„, -±-)+80a(s0, —L)-8Oa(so, -b)+ j

+280a(s0, 4-)]+" - '

(16.8)

Аналогичное выражение имеет место и для v2y> где вместо а
будут стоять соответствующие величины Ь.

Значения а и Ь, которые входят в формулы для v2x, опреде- 
ляются по номограмме (см. рис. 16.2). Например, чтобы найти!
значения а ($0, —и b ($0, —необходимо в начале ко-
ординат номограммы поместить точку $=—— основного npo- i
фйля и найти значения а и Ь в точке So-

Для получения для насосной решетки, обтекаемой снизу)
вверх (см. рис. 16.4, б), следует в формуле (16.8) s заменить на
—s. Тогда получим

B-w=-is-'7[12Sa(s“' т)-9°ф т)+

+460a(s0, 0)- 180a (s,,, —+ 630a (s0, —b)-f-

+ 334a(So, —L)]---------.	(16.9)
§ 16.2.	Методика расчета решетки
тонких профилей

Для решения обратной задачи теории решеток методом рас-
пределенных вихрей в начале расчета необходимо знать:

1)	величину и направление относительной скорости ал пото-
ка перед решеткой (или за решеткой су2);

2)	циркуляцию Г вокруг одного профиля решетки с учетом
знака (турбинная или насосная решетка);

3)	густоту решетки — .

Расчет проводится в следующей последовательности.

Определение невозмущенного
плоскопараллельного потока

Как было получено, решетка вихревых слоев с циркуляцией
Г одного слоя дает окружные слагающие скорости перед и за
решеткой, равные ± — . Поэтому, если в невозмущенный пло-
скопараллельный поток wM (см. рис. 16.4, а, б) внести решетку,
то поток перед и за решеткой отклонится. Скорости будут соот-
ветственно равны о>1 и w2. Из рис. 16.4, а видно, что

rwai=-^ (Wi4-®2)
или

(16.10)

Отсюда скорость невозмущенного потока

(16.11)

а направление этой скорости определяется из формулы

tgY~ = ——(16.12)

W«.X

Таким образом, суммарное течение плоскопараллельного по-
тока Woo и решетки вихревых слоев обеспечивает заданные гра-
ничные условия в бесконечности перед и за решеткой.

Распределение вихрей на профиле

Подробно этот вопрос рассмотрен в § 15.1 на примере оди-
ночного профиля. Полученные там формулы применимы и для
расчета решеток. Следует обратить внимание на то, что для
принятых условий на рис. 16.4 циркуляция для турбинной решет-
ки Г<0, а для насосной Г>0.

Физический смысл первого и второго членов формулы (15.7)
для y(s) сохраняется также и для решеток. Естественно, что
количественные соотношения будут другими.

Определение формы профиля

Форма профиля определяется методом последовательных
приближений.

А.	В качестве первого приближения принимают решетку пла-
стин густотой — и углом установки у. Найдем угол установки
пластины у.

Из формулы (6.17) следует, что

r=-i-wooZ^,psin(y — у,»).	(16.13)

Если в расчете выбраны коэффициенты Ао и Аь то прибли-
женно можно принять, что циркуляция, создаваемая за счет угла
атаки,

г"=" A=Y™-“vpsin(T-T.).	(16-14)

Для небольших углов атаки ц=у— у» sin ц~ц. Тогда

V=V.+-^-	(16.15)

Зависимость Лур=/(-у-, у^ представлена на рис. 6.10. Рас-
чет по формуле (16.15) проводят методом последовательных
приближений. Вначале задают величину у', по графику опреде-
ляют /гУр и по формуле (16.15) вычисляют у" второго прибли-
жения. Затем все последовательно повторяется до тех пор, пока
заданное и полученное значения у не будут одинаковыми.

Б. Вычисление скорости обычно производят в семи равномер-
но расположенных точках пластины (рис. 16.5).

Проекции скорости от вихрей основного профиля равны

ц1х= — 1)1Л51пу, z>ly = z>7„ cosy.

Для принятых на рис. 16.1 обозначений на основании форму-
лы (15.15) имеем

+ -у- 4 - [2 (-у-)2-1 ] А- •  •} (16-16)
для течения, соответствующего рис. 16.4. б, и



для течения, соответствующего рис. 16.4, а.

Проекции скорости от остальных вихревых слоев вычисляют
по формулам (16.8), (16.9).

Скорость от вихря, расположенного в расчетной точке, рав-
на ± —у($) и направлена по касательной к профилю в этой
точке.

В.	Угол наклона профиля у в каждой расчетной точке опре-
деляют из условия, заключающегося в том, что суммарная ско-
рость направлена по касательной к профилю, поэтому

или

1

«’осу + »1у + v2y ± — 7 (s) sin 7

tgy=------------------------------

«^х + fix + °2Х ±	1 (S) COS 7

tgv_._ w~y+fly + f2y _Vy .

«’сох + и1х + »2х	«’х

(16.17)

Г. Для построения профиля применяют следующий прием. Для
каждого участка профиля определяют средний угол наклона по
формулам

Yoi =	2	. Y12= 11 g 12 и т. д.

и строят ломаную линию (рис. 16.5, б), начиная, например, с точ-
ки 0. Затем вписывают плавную кривую, которую принимают за
профиль второго приближения.
Д. Для профиля второго приближения расчет следует повто-
рить в той же последовательности. В результате получают про-
филь в третьем приближении. Расчет повторяется до тех пор,
пока два последовательных приближения не совпадут в пределах
требуемой точности.

Практически для большинства решеток гидромашин, встреча-
ющихся в осевых гидротурбинах и насосах, второе и третье при-
ближения совпадают. Разница получается в пределах нескольких
минут в угле у. Поэтому для решеток, которые имеют слабо
изогнутые профили, достаточно ограничиться получением второ-
го приближения.

§ 16.3.	Решетка телесных профилей

Рассмотрим основные положения метода А. Ф. Лесохина [22,
17], разработанного для расчета прямых решеток телесных про-
филей.

В § 15.3 показано применение этого метода к одиночному те-
лесному профилю. Выводы, сделанные там, непосредственно при-
менимы и для решеток.

Сущность метода А. Ф. Лесохина (метод особенностей) за-
ключается в том, что решетка телесных профилей заменяется
эквивалентной решеткой вихревых слоев и слоев источников-сто-
ков. Затем рассматривается обтекание плоскопараллельным по-
током Wo, решетки особенностей. При этом вокруг каждого ске-
лета, на котором распределены особенности, образуется замкну-
тая линия тока. Определение этой линии и является главной
задачей расчета.

Весь расчет можно разбить на 3 основных этапа:

1)	определение формы скелета профиля;

2)	определение формы профиля;

3)'определение скорости и давления на контуре профиля.

Скелет профиля — это линия, на которой распределены осо-
бенности [вихри у($) и источники-стоки ?($)]. Как и для одиноч-
ного профиля (см. § 15.3), форма скелета профиля должна быть
такой, чтобы суммарный расход через скелет и его касательное
продолжение внутри профиля равнялись нулю.

Найдем скорость от особенностей. Из формулы (4.13) следу-
ет, что эта скорость

5 [V(s) + '?Wlctg-^(zo~z)^-	(16.18)

~ т
Выделив здесь действительную и мнимую части, найдем про-
екции скорости:

2t

2t

2л	2л

7 ($) sh —— (уо — у) — ^(s)sin-— (х0 — х)

, 2л ,	2я ,

ch ——(.уо — у) — cos—— (х0 — х)

ds-,

2л	, ч , 2л z

7 (s) sin — (х0 — х) + q (s) sh — (y0— y)
--------t----------------------------ds.

(16.19)

2л	2л

ch —— (.уо — у) — cos — (х0 — х)

Как и в § 16.1, представим скорость от особенностей в виде
суммы скоростей V\ от особенностей основного профиля и v2 от
всех остальных особенностей.

Слагающие скорости от особенностей основного профиля на
основании (15.83), (15.84) равны:

2

1 f — 7 СО (у« - У)+ Q (О (*о ~*) ds.
2л	(х0 —	+ (уо — уУ>-

(16.20)

_ 1 f l(s)(xo — x) + q(s)(yo — y) j

^~2л \	(хо-х)2+(,о-^	•

Тогда, используя (16.3), найдем скорость от всех остальных осо-
бенностей:

-у- 5 [“(л. s)v(s)+»(s«. «)?(«)]<*;

— 2~

+ 2"

®2,= - -у- J [*(«о. s)v(s) —“(«о. s)?(s)Ws-

(16.21)

Методика и соответствующие формулы для определения Оц
и V\y приведены в § 15.3.
Чтобы вычислить v2x и в дополнение к формулам (16.8),
(16.9) следует иметь развернутые выражения для определения
скорости от решетки слоев источников-стоков. Здесь не приво-
дятся эти формулы ввиду громоздкости их вывода. Укажем толь-
ко, что их можно найти в работе [17], если

^(s)=51 + 52s+53s2 4-54S3,

После вычисления составляющих скорости найдем скелет
профиля из уравнения

— (и>~х+v2x) sin у+(Wo=j- + г»2у) cos у v^n = vn. (16.23)

Это уравнение аналогично (15.51). В уравнение (16.23) дополни-
тельно входит скорость v2, учитывающая влияние остальных про-
филей решетки на обтекание основного профиля.

Координаты контура профиля можно определить по формулам
(15.54), (15.55). Только при вычислении касательной слагающей
скорости потока следует дополнительно найти касательную сла-
гающую скорости от особенностей всех остальных профилей ре-
шетки. Поэтому

z»5=w«sH-'y<7is+'°9T25—	± grY(s), (16.24)

где Vqls — касательная слагающая скорости от источников-сто-
ков основного профиля;

—касательная слагающая скорости от вихрей и источ-
ников-стоков всех профилей, кроме основного.

Распределение скорости и давления на контуре профиля про-
изводится по той же методике, что и для одиночного профиля.
Существуют вспомогательные номограммы [17, 38], которые об-
легчают работу при ручном счете.

Наличие программы для расчета решеток телесных профилей
на ЭЦВМ позволяет при проектировании новых рабочих органов
гидромашин производить массовые расчеты, изменяя задавае-
мые геометрические параметры решеток и профилей. Это дает
возможность использовать лучшие решетки для данных конкрет-
ных условий.

ГЛАВА XVII

КРУГОВАЯ РЕШЕТКА

Решение обратной задачи для круговой решетки принципи-
ально ничем не отличается от аналогичного решения для прямой
решетки. Также решетку можно заменить решеткой слоев осо-
бенностей, скорость от которой, следуя формуле (4.25),

[T(s)+<?(s)l —-----*.	(17.1)

2т j	— zm

Представим абсолютное потенциальное течение в области
круговой вращающейся решетки как сумму относительного по-
тока w и переносного потока и, т. е.

Очевидно, что для абсолютного течения выполняется уравнение
дЦ ।	_ Q

дуЪ

Как следует из (1.14), для функции тока W относительного
течения справедливо уравнение

-----,---=2(о.
дх^ 1 ду*

Для переносного движения

й=ш/?=—
dR

и

фпер=-у(о^+С.	(17.2)

Итак,

ф=Ф4-фпеР=Ф-у-шЯ2+С,	(17.3)

что совпадает е (1.17).
В § 3.3 получено, что на контуре вращающегося профиля
функция тока абсолютного течения

»/?+<?•

Тогда из (17.3) на профиле

Т=const.

Следовательно, решая обратную задачу для вращающейся
круговой решетки, получим контур профиля, являющийся лини-
ей тока в относительном вихревом течении, найдя разность функ-
ций тока потенциального абсолютного потока и вихревого пере-
носного движения жидкости.

Итак, вычитая из суммарной скорости невозмущенного потока
и скорости, индуцируемой всеми особенностями, переносную ско-
рость и, получим относительную скорость, направленную по ка-
сательной к профилю.

Для решения обратной задачи опять применим метод особен-
ностей, первоначально разработанный применительно к расчету
прямых решеток. Однако целесообразно предварительно отобра-
зить круговую решетку на прямую и использовать хорошо раз-
работанный математический аппарат решения обратной задачи
для прямой решетки *.

§ 17.1. Конформное отображение
на прямую решетку

Рассмотрим круговую решетку, состоящую из т тонких про-
филей, вращающуюся с угловой скоростью со и обтекаемую от
вихреисточника, расположенного в начале координат (рис.
17.1,а). Интенсивность источника равна q, а вихря Гь

Течение во вращающейся круговой решетке исследуют в аб-
солютном движении жидкости, которое является потенциальным.
Условием безотрывного обтекания профиля является

сп=ип,	(17.4)

где сп — проекция на нормаль абсолютной скорости;

ип — проекция на нормаль окружной скорости.

Отобразим круговую решетку плоскости zK на плоскость z
так, чтобы в плоскости z получить прямую решетку с линией

* Таким путем, используя метод особенностей, следовали Мелентьев П. В.,
при решении прямой задачи (Методика расчета лопастей гидротурбомашин,
изд. АН СССР, 1939), Гохман А. М. при решении обратной задачи (Расчет
круговой решетки профилей, вращающейся с постоянной угловой скоростью,
Гидромашиностроение, 1959, Бюллетень научно-технической информации
ВИГМ, № 2(8)) и другие авторы.
решетки, параллельной оси х (рис. 17.1,6). Отображение осуще-
ствляется функцией

^=Rae~^‘7,	(17.5)

где t — шаг прямой решетки в плоскости z;

Ro— радиус окружности плоскости zK, отображаемой на дей-
ствительную ось х.

Обозначив

получим связь между координатами плоскости z и zK:

R=Roe

(17.6)

, лл,
где Х=-------угловой шаг круговой решетки.

Известно, что связь между скоростями при конформном ото-
бражении следующая:

(17.7)

где vn —проекция на нормаль абсолютной скорости в плоско-
сти z прямой решетки;

а — скорость абсолютного течения;
| —j — модуль производной отображающей функции, опреде-
ляющий коэффициент линейного растяжения при кон-
формном отображении zK=f(z).

Дифференцируя функцию (17.5), получим

dz-fc _ 71 t	Xi г\ t >,

_=_-/гое	= --^

откуда

Приняв, что коэффициент линейного растяжения на оси х равен
единице, найдем

|^и=-И°=’-	<17-8>

откуда

<17-9>

Из условия (17.8) однозначно определяется шаг решетки в пло-
скости г:

t=lR0.	(17.10)

В итоге получаем функцию

zK=R„e~‘T-,	(17.11)

которая отображает круговую решетку на плоскость z так, что
окружность радиуса 7?о преобразуется в действительную ось без
линейного растяжения.

На основании (17.6) связь между координатами

R=Rae\ е=—i,	(17.12)

АО

а связь между модулями скоростей

М=НпГ .	(17.13)

Ко

Теперь получим условие безотрывного обтекания решетки в
плоскости z. Из (17.4) и рис. 17.1, а следует, что

cn = un = usm у = а> R sin у.
Тогда нормальная слагающая скорости на профиле в плоско-
сти z

I 1sin V	V •

| az |	«о	\ Ко J

Следуя (17.12) с учетом знака (см. рис. 17.1, б), получим

vn= — U sin у;

\ Ко J

(17.14)

Из (3.9) известно, что в области круговой решетки на кон-
туре профиля

<|»=—(17.15)

Так как при конформном отображении значения ф одинаковы в
соответствующих точках, то на контуре профиля прямой решетки

---(17.16)

Из формулы (17.16) видно, что функция тока ф на профиле пря-
мой решетки зависит от координаты у.

Итак, мы получили граничные условия (17.14), (17.16) на кон-
туре профиля плоскости z (U— положительно, если направлено
по оси х).

Ввиду того что расход и циркуляция по соответствующим кон-
турам не изменяются при конформном отображении, в плоско-
сти z имеем перед решеткой (с учетом знака)

Г1 =—V^mt, q=Vymt.

Очевидно, что все полученные формулы справедливы как для
телесного, так и для тонкого профилей.

Далее, для плоскости z решим обратную задачу, т. е. найдем
форму профиля прямой решетки при заданных условиях перед
решеткой (<у, ГО, циркуляции вокруг профиля Г и нормальной
слагающей скорости vn на профиле. Затем, используя формулы
(17.12), определим форму профиля круговой решетки.

Как видно, первая часть задачи в отношении прямой решетки
во многом совпадает с уже решенной задачей в гл. XVI. Отличие
состоит лишь в том, что здесь суммарная скорость течения не
направлена по касательной к профилю, а имеет определенную в
каждой точке нормальную слагающую vn.
В плоскости z рассмотрим вихревой поток, имеющий скорость,
направленную по оси х и равную U. Назовем условно этот поток
переносным *; тогда

ду
откуда

1	2 -

фгер=——o>Roe	4-const =—— w^2-|-const,

и функция тока относительного течения на контуре профиля пря-
мой решетки

W = ф — фпер = Const.

Решая обратную задачу в области прямой решетки, заменим
профили решетки слоями особенностей, Контур профиля решет-
ки определим из условия, заключающегося в том, что относи-
тельная скорость, равная сумме скоростей невозмущенного пото-
ка Vсо, потока от особенностей и переносной скорости с обратным
знаком (—И), направлена по касательной к профилю.

§ 17.2.	Методика расчета решетки
тонких профилей

В предыдущем параграфе показано, что обратная задача ре-
шается в области прямой решетки с заданными граничными ус-
ловиями на бесконечности и на контуре профиля решетки.

Методика расчета, связанного с определением формы профи-
ля прямой решетки, в основном совпадает с той методикой, кото-
рая описана в § 16.2. Здесь остановимся только на особенностях,
свойственных данному расчету.

В задании к расчету должны быть указаны:

1)	расход через решетку, циркуляция перед или за решеткой,
циркуляция вокруг профиля, угловая скорость вращения;

2)	число профилей т;

3)	радиусы Ri и (см. рис. 17.1, а) и их отношение.

Невозмущенный поток

При заданных циркуляциях и расходе получим слагающие
скорости абсолютного течения:

И,,=—Jx j-------Л-,	=----Su-, 7 =А = -«-.

mt 2л/?0	mt	2л Ro	y mt 2n/?0

* П. В. Мелентьев вводил аналогичный поток при решении прямой задачи
методом особенностей (Методика расчета лопастей гидротурбомашин, изд.
АН СССР, 1939). А. М. Гохман назвал этот поток фиктивным.
Отсюда средняя векторная скорость невозмущенного потока

v.=-i-(^+v2)

или

06,+^);

(17.17)

Профиль первого приближения

От выбора первого приближения профиля во многом зависит
быстрота получения решения при использовании метода после-
довательных приближений. Рассмотрим особенности выбора пер-
вого приближения при решении данной задачи.

Ранее получено уравнение связи для циркуляций в круговой
вращающейся решетке

Г!=«, +(1 - к) tg М +(1 -*)

где рок — угол бесциркуляционного обтекания в круговой ре-
шетке.

Разделим обе части уравнения на 2л7?о- В результате по-
лучим

^=^lx+(l-A)tg₽oK,+(l-A)t/a,	(17.18)

так как

ri — —V	_ у 

2л/?о	и’ 2л/?о	2х’

_?—=У

2xR0

2л/?*<о

2л/?0	°

(17.19)



tgp0K=-tgft)-

Уравнение (17.18) дает связь между окружными слагающими
скорости абсолютного потока для прямой решетки плоскости z,
движущейся равномерно вдоль линии решетки со скоростью U&
(17.19). При этом слагающие скорости фиктивного относитель-
ного потока до и после решетки равны:

™U=VU-IJ., w,=vy-
wu~vu-u„	I

^-Ж,ж+(1-*)1г?0Г,.

(17.20)
В этом фиктивном относительном течении нормальная слагаю-
щая скорости на профиле

W*n = — (U — Ua) sin у.

Из (17.19) видно, что

где 7?о — некоторый произвольный радиус круговой решетки;

Ra — активный радиус круговой решетки.

Зададим

(17.21)

Если принять обозначение точек такое, как на рис. 16.5, то из
(17.12)

-£S-=ln	-^=ln А-, -^=-^±Ж = _£1п-^2-=0, (17.22)

Ro Ro Ro Ro Ro 2Ro 2
t. e.

Уо=— Уб, Уз=0-

Это удобно из чисто геометрических соображений. Однако следу-
ет помнить, что конечный результат расчета не зависит от выбо-
ра Ro.

Естественно, что при расчете активный радиус 7?а неизвестен.
Поэтому его следует оценить по приближенным формулам или
по данным, которые имеются для круговой решетки из отрезков
логарифмических спиралей.

В качестве первого приближения принимаем решетку пластин,
сохранив методику определения ее параметров, приведенную в
§ 16.2. Здесь дополнительно требуется согласовать геометриче-
ские параметры прямой и круговой решеток.

Как видно из (10.10), связь геометрических параметров кру-
говой решетки и решетки пластин первого приближения следу-
ющая:

ln(^)2 =’tTslnv-	(17-23)

Имея значение уоо, приближенно зададим у, из (17.23) опреде-
лим— , а по формулам (16.14), (16.15) —значения Ло и у'. За-

тем по формуле (17.23) уточним величину —. Расчет проводим
вновь до тех пор, пока не будет выполнено условие (17.23).
Определение формы профиля

На профиле первого приближения намечаем семь точек (рис.
17.2). Вычисление скорости от вихревых слоев производим по
формулам, полученным в § 16.1 для прямой решетки.

В каждой расчетной точке угол наклона профиля к оси х оп-
ределим из условия равенства нулю нормальной слагающей от-
носительной скорости

- <У„Х 4- v,x—U) sin V+(I'., + я,,) cos v +=0.

Обозначая

'Wx=V^x-\-'vix — U\

(17.24)

получим

— HDX sin у -j- COS у-[-1)тл = 0.

(17.25)

Решая (17.25) относительно sin у, найдем

Далее строим профиль второго приближения. В расчете прямых
решеток следующих приближений не делают. Здесь могут потре-
боваться дополнительные приб-

лижения.

Как видно из рис. 17.2, зна-
чения скорости U в соответст-
вующих точках первого и вто-
рого приближений могут замет-
но отличаться (например, в точ-
ках 4 и 4'). Скорости от вихре-
вых слоев для первого и второ-
го приближений различаются
незначительно. Поэтому при

вычислении углов у профиля

третьего приближения следует	РиСф 17,2

в формулу (17.24) для wx под-

ставить уточненное значение U (например, для точки 4 вместо U4
значение С//). Далее строят профиль третьего приближения. Для
густых решеток с сильно искривленными профилями требуется
уточнение скорости и от вихревых слоев.
Полярные координаты 7? и е тонкого профиля круговой ре-
шетки определяют по формуле (17.12), а затем его «одевают»
каким-либо телесным профилем.

В заключение отметим, что методика расчета круговой вра-
щающейся решетки полностью применима для расчета кониче-
ской решетки, которая предварительно развертывается на плос-
кость. Если угол конуса равен 2 0 (см. рис. 1.2) и число профи-
лей составляет т, то угловой шаг круговой решетки

Х=— sin в,
т

а радиус в круговой решетке

R=—г—,

sin0

где г — соответствующий радиус конической решетки.

Угловая скорость круговой решетки

со ='(Окон sin 0,

а циркуляция и расход в одном угловом периоде сохраняются

§ 17.3. Решетка телесных профилей

Обратная задача для вращающейся круговой решетки телес-
ных профилей решается, как и в § 17.2, на вспомогательной пло-
скости z прямой решетки. Остановимся здесь только на особен-
ностях!, характерных для решетки телесных профилей.

В основе расчета прямой решетки на вспомогательной плоско-
сти 2 лежит метод Лесохина (см. § 16.3). На скелете профиля
распределяются особенности, течение от которых в сумме с не-
возмущенным относительным потоком имеет вокруг каждого
скелета замкнутую линию тока, принимаемую за твердую грани-
цу профиля.

Здесь под невозмущенным относительным потоком Wa пони-
мается поток, полученный как разность невозмущенного абсо-
лютного потока и ее и переносного потока U, т. е.

Wa=V„-U	(17.27)

или в проекциях по осям

-U; 1

w -v	(17-28>

W Ну— V “У"	)

Скорость от особенностей вычисляется по формулам (16.20),
(16.21).
Распределение вихрей целесообразно принять в виде первых
трех членов ряда (15.5):

у (0)=	ctg Y 4- A, sine4- Л,sin 20.	(17.29)

Закон изменения источников-стоков сохраним прежним
(15.57).

В первом приближении скелет профиля принимаем в виде
прямой пластины. Для определения угла установки этой

пластины используем методи-
ку, применяемую при опреде-
лении профиля первого при-
ближения в расчете круговой
решетки тонких профилей (см.
§ 17.2).

Вычислив составляющие
скоростей от невозмущенного
относительного потока и от
всех особенностей в семи рас-
четных точках скелета перво-
го приближения, определим
угол наклона у в этих точках
скелета профиля второго при-
ближения по формуле

Рис. 17.3

— (U7HX+v2x) sin у 4- (U7Hy 4- v2y) cos у -|- vin=w„.	(17.30)

В формуле (17.30), которая аналогична (16.23), wn— нормаль-
ная слагающая относительной скорости на скелете профиля.

Необходимые и достаточные условия для получения замкну-
того профиля сохраняются прежние: (15.48), (15.49), (15.50).
Только вместо vn необходимо писать wn.

Координаты профиля (рис. 17.3) найдем из уравнений (15.54),
(15.55), которые в данном случае имеют следующий вид:

о,	~

J wsdn-\- J Wnds=0-,	(17.31)

^wsdn — J wnds=Q.

(17.32)

Распределение вихрей целесообразно принять в виде первых
трех членов ряда (15.5). Относительные величины До, Л1 и Л2
выбираются на основе опыта аналогичных расчетов или путем
нескольких пробных расчетов. Задача состоит в том, чтобы соот-
ветствующим выбором коэффициентов Ло, Ль А2 обеспечить оп-
тимальный угол атаки на входе.

Закон изменения источников-стоков сохраним прежним
(15.57):

q (s) = Bi + B2s + B3s2 + B4s3.

На передней кромке скелета также разместим источник Qo-

В § 15.4 получены условия, из которых находят коэффициен-
ты Принципиально эти условия сохраняются и при решении
данной задачи. Однако запись их имеет определенные специфи-
ческие особенности.

Очевидно, первое условие (15.58) останется без каких-либо
изменений. Второе условие (15.60) касается обеспечения опреде-
ленной максимальной толщины профиля. Предположим, что тре-
буется получить профиль круговой решетки с заданной толщи-
ной, которая имеет место в фиксированной точке скелета. При
отображении круговой решетки на прямую решетку происходит
искажение линейных размеров. Переходя в (17.9) к конечным
разностям, найдем приближенно

8П=8К^,	(17.33)

где бп и бк— толщины профилей прямой и круговой решеток в
соответствующих точках.

На этой стадии расчета необходимо приближенно оценить за-
висимость бк(/?) исходя из опыта расчетов.

Используя (17.12), найдем бп(*/) и из условия

§п(ут)=о

(17.34)

координату ут скелета профиля прямой решетки, в которой будет
максимальная толщина. По формуле (17.33) можно найти мак-
симальную толщину профиля прямой решетки.

Итак, определена координата sm скелета профиля прямой
решетки, в которой профиль имеет максимальную толщину
бп max-

Из уравнений (17.31), (17.32) получим

^(U8im=-J wnds;

(17.35)

-^Hs(sm)32OT=J ^nds,
где IFns(sm)—касательная слагающая скорости относительного
невозмущенного потока в точке sm.

Отсюда

Т

Sm.x=8i8г„=--------1	\ q(s)ds

Was(sm) •>
sm
и аналогично (15.60)

Это есть второе уравнение для определения коэффициентов В,-.
Найдем интенсивность источника в точке sm. Сложим (17.31)
и (17.32). В результате применения теоремы о среднем получим

t

?(s)</s=®S4>8=(HZ„+^CI,)8,	(17.37)

где б — толщина профиля;

Was — проекция скорости относительного невозмущенного
потока на касательную к скелету;

*>scp — проекция на s средней скорости от всех особенно-
стей.

Дифференцируя (17.37), найдем

Так как — (sт)—0, то
ds

(17.38)

Из (17.27) следует, что

тогда
dWas	dUs

ds	ds ’

так как VTOS = const на профиле первого приближения. Очевидно,

US=U cos у,
где у —угол наклона профиля первого приближения.
. Используя (17.14), найдем

, w,	2тт- sin’f

^^(s)=»sln2v« «•	,	(17.39)

ds

так как

y=ssin у.

Далее напишем

^scp=^lscp“^^2scp-

Скорость U2scp на этой стадии расчета определить невозможно.

Поэтому, принимая приближенно, как и при выводе (15.64),

Oscp=ulscp=I,gs>
получим
rfVscp dVqS
ds ds

где vqs вычислим по формуле (15.45), заменив х на s.

Итак, в точке s=sm имеем

9(5„)-S(»J	Ы. (17.40)

что является третьим уравнением для определения В,.

Повторяя рассуждения, приведенные в § 15.4 при выводе фор-
мулы (15.68'), получим четвертое уравнение

в=------77r(fi'+fi2T+j9sT'+jS<'s’)- (17'41)

W”\T)

Ввиду конформности отображения угол 6 заострения профиля в
плоскостях z и zK одинаковый.

Определим теперь интенсивность Qo точечного источника,
расположенного в точке 5=—^--Считаем, как и в § 15.4, что
течение в области входной кромки в основном определяется
величиной источника Qo и относительным невозмущенным пото-
ком Тогда в точке разделения потока $*, если До=О,

WH—	-=0.

2«(s« + —)

Для упрощения принимаем

117,(s’)в 117. (“y);
тогда

(17.42)

Связь радиуса закругления входной кромки профиля и ин-
тенсивности источника Qo сохраним прежней (15.71):

^=т^«(-т).

(17.43)

Следует помнить, что радиусы закруглений входных кромок
профилей круговой (рк) и прямой (рп) решеток разные ввиду ли-
нейной деформации при конформном отображении. Их отноше-
ние равно

,	Ч-т)

-₽L = _\---.	(17.44)

Рп	#0

Итак, задавая из конструктивных соображений рк, по форму-
ле (17.44) определим рп, а затем из (17.43) — величину Qo. В том
случае, когда АоУ=О для определения Qo следует пользоваться
методикой, изложенной в § 15.4.

ГЛАВА XVIII

РЕШЕТКА

НА ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ

ПОВЕРХНОСТИ В СЛОЕ
ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

§ 18.1. Относительное течение

Обратную задачу для решетки, находящейся на осесиммет-
ричной поверхности в слое переменной толщины, будем решать
на вспомогательной плоскости 2, как и в гл. XII.

Известно (1.34), что функция тока абсолютного течения на
плоскости z, соответствующего течению на поверхности враще-
ния в слое переменной толщины, может быть получена из урав-
нения

дЦ .	____дф Q

<9x2	<9r/2 h ду

Граничные условия на контуре профиля определены формулой
(12.7).
В плоскости z рассмотрим вихревое движение, имеющее сла-
гающую скорости только по оси х и равную U. Условно, как и в
§ 17.1, назовем это движение переносным. Тогда на основании
(12.7)

й dy	\ Ro )

И

Ф,.Р=|Л(У)У(У)</У + С.	(18.2)

Найдем дифференциальное уравнение для функции тока отно-
сительного течения в плоскости г. Так как

то

Из (18.3) следует

ru~no-\-U,
vx=wx-\-U;
v =тю

Отсюда

dvy	dvx dwy dwx dU

dx	dy	dx	dy	dy

dw,,	dwx	dU

й(у)=----------—= — .

dx	dy	dy

Аналогично (1.33),

= _L № w =_________________

h dy ’ y h dx

где Ч*1 — функция тока относительного течения.
Подставляя далее (18.5) в (18.4), получим

---------------------— —/iQ
dx2 1 dy* h dy

(18.3)

(18.4)

(18.5)

(18.6)

Это есть дифференциальное уравнение для функции тока отно-
сительного течения. Ясно, что на контуре профиля должно быть

4f=const.

Решение уравнения (18.6) можно получить как сумму общего
решения соответствующего однородного уравнения (без правой
части) и одного частного решения неоднородного уравнения (с
правой частью).

Функция

1l',.„«=-jA(y)t/(y)dy+C	(18.7)
является частным решением уравнения (18.6), что проверяется
подстановкой.

Итак, если ф — функция тока потенциального абсолютного
течения, то

Т=ф — фпер,

так как фпер== ^Ечастн-

Сопоставляя (12.10) и (18.7), видим, что на контуре профиля

4r=const.

Следовательно, суммируя на контуре профиля вектор скоро-
сти абсолютного потока с вектором переносной скорости, взятой
с обратным знаком (—U), получим вектор относительной скоро-
сти, направленной по касательной к профилю.

§ 18.2. Решетка слоев особенностей

В § 12.4 получено общее выражение (12.37) для комплексной
скорости течения в плоскости г. Перепишем это выражение в
обозначениях, примененных при решении обратной задачи,

v(za)=V„—ivy=V. + -i- я (г) ctg у- (г0—z)dz+

L

_|_±ct -!^-ctg-^-(z0-z)<tedy.	(18.8)

г J J dz t

о

На основании (12.26)

v dz=vxdx -j- vy,dy -|- i (vxdy — vydx)=d<? -j—— dty =

ds+-.^ds=v,ds+w,fls. (18.9)

Если рассмотреть обтекание особенностей (вихрей, источни-
ков-стоков), распределенных вдоль скелетов L, то получим

о(г0)=К.+-^ J (v(s)+«?(s)I ctgу (гь—г)rfs-|-
L

(18.10)

О

где

Y(s)=i>7 — vf, q(s)=vi — Vn, q(x, y)=—А-г»у.
Итак, по формуле (18.10) можно определить комплексную
скорость в плоскости 2 при обтекании решетки слоев из вихрей
и источников-стоков. Скорость потока получается в результате
сложения скоростей плоскопараллельного течения Ует, течения
от решетки слоев вихрей y(s) и источников-стоков q(s), а также
от распределенных в области G источников-стоков q(x, у).

Представим двойной интеграл в (18.10) в другом виде, За-
менив

vy (X, у).-= 7>уср (у) + Афу (х, у),

(18.11)

JoyC*’ y)dx
где ^Уср = — ----------- —осредненная по шагу расход-

ная слагающая скорости;

Аг>у — величина отклонения расход-
ной слагающей скорости от
среднего значения.

Тогда

5^х’ У)с^-7'(го_2)с,-'<1ГУ=

G*

= ~ 55 Т	ctg Т (г° - z) dx dy ~

о

- 5 5 Т 4®У с‘8 7" -г) dx dy-
а

(18.12)

Обозначая



получим

G

=dr 5 ^^dy 5

dx

z0 — z

L	—oo	y0+e	J
Здесь учтено, что

при у0>у;

1 + / при уо<у.

Это следует из вывода формулы (12.40).

Обозначая
у»-* ~	V ~

Qi(yo)=ZIinJ J QiW—illm j ‘?o(y)rfy.

Q=t J qa(y)dy,
получим

4(y0)=-^-(Qi-Q2)-	(18.14)

Отсюда

Л(+“)—g-Q-	(18.15)

Следовательно, источники q0 индуцируют на бесконечности
перед и за решеткой, равные по величине и противоположные по
знаку скорости, что соответствует физическому смыслу.

Обозначая

А^(х, у)=—у)	(18.16)

и подставляя (18.13), (18.14), (18.16) в (18.12), найдем

^(2’o)=-7t(Qi-Q2)+v\ y)ctg-y-(z0-z)dxrfy.

2t	2t V	f	(18.17)

Определим интеграл /о(Уо) (18.13). Очевидно, осредненная
по шагу расходная проекция скорости yyCp складывается из ско-
рости поступательного невозмущенного потока

Ms)

(18.18)

и средней скорости vqycv от решетки распределенных источни-
ков q(s') в слое переменной толщины (^ср= Уну+УдУср)-

Вычислим первую составляющую интеграла /о(*/о)- Обозна-
чив

?o,W=-^(0)^-=iMO)f (i),
получим из (18.13)

/УнДО) |_2________Г 1	1	1|

2	1л(.<7о)	1й(+ оо)^Л(- оо)]/'

= -' [К,(Уо)-	= -/ [Ии,(Уо) — IZ_у]. (18.19)

Далее определим вторую составляющую интеграла /о(Уо),
представляющую дополнительную среднюю скорость, вызванную

Рис. 18.1

переменностью слоя, от решетки распределенных источников
q(s)-

Выделим область Do, ограниченную контуром АВВ'А'
(рис. 18.1). На основании уравнения неразрывности

div (hv) =0

и по теореме Гаусса,

Тогда

J J div (hv) dx dy= J hvnds = 0.
D„	АВВ'А'

1 с

ет.Р(Уо)=, \ A(s)<?(s)ds.
tn (Уо) J

При As 1

;,ycp(yo) = Y	^(s)ds.
Следовательно, вызванная переменностью слоя дополнитель-
ная средняя расходная составляющая скорости от решетки слоев
q(s) равна

f А (»)'?(«)*--7- \ 9(s)ds. (18.19')
‘"(//о) J	‘ j

~Т	—Т

После подстановки (18.19), (18.19') в (18.13) найдем

Л(Уо)=-Ч1/вУ(Уо)-^уЦ-^(Уо)-	(18.20)

Назовем невозмущенным поступательным течением такое те-
чение, сопряженная скорость которого равна

F.W=V,,-IVi,W (yM=V'.,=const). (18.21)

Тогда, подставляя (18.20) в (18.12), а затем в (18.10), получим

® W=i7. Ы +	J [v (S)+<? (s)l ctgу-(z0 - z) ds +

L

+^'(yo) + "H	y)ctgj-(z0—z)dxdy.	(18.22)

О

Рассмотрим далее последний член в формуле (18.22). Интен-
сивность источников Д<? пропорциональна скорости \vy, вызван-
ной неравномерностью расходной слагающей скорости вдоль ли-
нии решетки. Известно, что эта неравномерность быстро умень-
шается при удалении от решетки и на расстоянии (0,75 -j- 1,0) t
практически не ощущается. Поэтому при вычислении интеграла
можно интегрировать по области Go, как это делалось в § 12.4.

Естественно, что наибольшая неравномерность имеет место в
пределах решетки. На рис. 18.1 показан характер изменения
Auv(x) при у = const. Ясно, что эпюра Д^(х) повторяет график
Доу(х) в другом масштабе, если h'(y)<0. Следовательно, на ли-
нии у=const в пределах одного шага t вначале располагаются
источники Д<?(х), а затем стоки: сумма интенсивностей их при
этом равна нулю.

На кривой, где расположены особенности у($) и q(s), имеет-
ся разрыв скорости Дцу, равный y(s) siny+^(s) cosy.

Не вдаваясь в подробное исследование, отметим, что скорость
•о^, индуцируемая источниками-стоками \.q, мала по сравнению
с другими составляющими полной скорости v [6], поэтому в пер-
вом приближении последний член в (18.22) может быть опущен.
§ 18.3.	Методика расчета решетки
тонких профилей

Остановимся на особенностях расчета, характерных для ре-
шения обратной задачи в слое переменной толщины.

Исходные данные для расчета

Полагаем, что проточная часть рассчитываемого рабочего ор-
гана задана и произведена разбивка осесимметричного потока.
Это значит, что на меридианной проекции (см. рис. 1.7) нанесе-
ны следы поверхностей тока (например, поверхность F\ на
рис. 1.7) и построены изолинии постоянных меридианных скоро-
стей cm—const при заданном расчетном суммарном расходе.

На рассчитываемой поверхности тока выбираем начало ко-
ординат (точка О) и фиксируем радиус 7?0 (см. рис. 1.7). Затем
строим вспомогательные графики cm(qY), — (^J и

,R с»(«1)

(18.23)

Напомним, что при <71 = 0 й(0) = 1 и из (2.19)

RCnth—RoCm(Q).

Удельный расход в слое

q=2nR0cm(Q) = const.

(18.24)

По методике, описанной в § 12.1, производится конформное
отображение поверхности вращения на вспомогательную пло-
скость z(x, у). В результате отображения найдем зависимости
г/(<71), У	в области решетки и вблизи от нее, по край-

\ «о J
ней мере на расстоянии шага t.

Из (12.1) следует, что шаг решетки в плоскости z

2я/?0
т

где т — число лопастей.

Естественно, что, кроме расхода q, должны быть заданы цир-
куляции Г1, Гг, Г, угловая скорость вращения и ориентировоч-
ные габаритные размеры решетки R\ и Ri-
Невозмущенный поток,

Проекции скорости невозмущенного абсолютного потока на
основании (12.34) и (18.21) равны:

V„=lZ«=-j-(^+V'2,)=-^Y3-=const; 1
^,,-^«4_________я_ '	(,8'25)

Невозмущенный относительный поток определим из условия

w.=v.-u,

откуда

и7иу)=И„-1/=И„-«Л0 (-£-)’; |

v (0)	°	(18.26)

Определение формы профиля

В качестве первого приближения профиля принимаем прямую
пластину, наклоненную к оси х под углом у, методика определе-
ния которого аналогична методике, описанной в § 17.2. Далее в
семи точках профиля- первого приближения определим скорость
невозмущенного относительного потока по формулам (18.26) и
скорость от вихрей по формуле

о Ы = jj -V (s) ctg Л- (*о - z) ds.

L

При расчете решетки тонких профилей пренебрегаем допол-
нительной скоростью, которая индуцируется источниками Д<?(х,
у), ввиду ее незначительной величины. Скорость от вихревых сло-
ев вычисляется по формулам, полученным в § 16.1 для прямой
решетки.

Угол наклона профиля второго приближения найдем из
уравнения

—+'°!х) sln Т+cos у+=0.	(18.27)

Решение этого уравнения определено формулой (17.26), где

'®y=W'v+v21l.
Построив профиль второго приближения, уточним в расчет-
ных точках слагающие U7IIX и WBy скорости Wa и переносную
скорость U. Для слабо изогнутых профилей скорость, индуциру-
емую вихревыми слоями, для второго и третьего приближений
можно принять одинаковой.

§ 18.4.	Решетка телесных профилей

Рассмотрим условия, на основании которых можно найти фор-
мы скелета и контура профиля.

Если в общем случае скелет является линией, через которую
происходит перетекание по закону дап(з), то условие для опре-
деления формы скелета аналогично (17.30):

-	® а7,) sin v+1»'.,++

+ ®47,)cosv + ®,„=®«.	(18.28)

Здесь WHX, Wlly — слагающие скорости невозмущенного отно-
сительного потока, вычисляемые по форму-
лам (18.26);

-э2х> v2y— слагающие скорости от особенностей, раз-
мещенных на всех скелетах решетки, кроме
основного, вычисляемые по формулам
(16.21);

ид~х, — слагающие скорости ОдТ', индуцируемой
источниками Д</.

Найдем условия, из которых можно определить координаты
контура профиля.

Запишем формулу (12.26) для функции тока в обозначениях,
применяемых при решении обратной задачи в относительном
течении,

W = j hnoxdy —hisOydx -j-const =	const.

На контуре профиля, являющемся линией тока,

Т=const

и нормальная слагающая относительной скорости

wn = 0.

Очевидно, расход через контур должен быть равен нулю:

Jw„</s=0.	(18.29)

Рассмотрим необходимые и достаточные условия для полу-
чения замкнутой линии тока, охватывающей скелет профиля.
Во-первых, сумма всех источников и стоков, заключенных вну-
три контура, должна быть равна нулю:

+ Т

Qo+ f d(s)ds-\-^q(x, y)rfa=0
__L	(°)

2

ИЛИ

$°А( —\ h(s)q(s)ds=O, q= (w„—w„). (18.30)

Здесь Qo — точечный источник на входной кромке скелета;

q(s)—функция распределения источников-стоков на скеле-
те; о — область внутри контура: другие обозначения
см. на рис. 17.3.

Во-вторых, суммарный расход через скелет и его касатель-
ное продолжение внутри контура равен нулю, что равноценно
при соблюдении (18.30) условию

+ 2

J A(s)w« (s)ds—0,

(18.31)

аналогичному (15.50). Здесь предполагается, что точка разде-
ления потока находится слева от скелетной линии.

В-третьих, для получения положительного расхода между
скелетом и контуром профиля необходимо, чтобы на скелетной
линии не было критических точек.

Найдем теперь условия для определения координат контура
профиля. На основании уравнения неразрывности

>,	+ Т

^h-wsdn-\- J h.TH)nds=Q	(18.32)

и

О	+ Т

hni)sdn — С h'w~ds=0.	(18.33)

Решив уравнения (18.32), (18.33), можно получить координа-
ты 61 и 6г контура профиля. Определить коэффициенты В, функ-
ции q(s) можно по методике, изложенной в § 17.3.

Детальное изложение расчета решетки с выводом необходи-
мых формул выходит за рамки настоящего учебного пособия.
1.	Вальтер П. А. К расчету турбины, лопатки которой работают в
пространственном потоке. «Вестник инженеров», 1926, № 10.

2.	В е к у а И. Н. Обобщенные аналитические функции. Физматгиз, 1959.

3.	В и к т о р о в Г. В. Метод определения взаимного влияния рабочих
органов в гидромашинах. Изд. филиала ВИНИТИ, 1958, № Э-58-68/11 (Те-
ма 25. «Гидросиловые установки»),

4.	В и к т о р о в Г. В. Решение прямой задачи для решетки на осесим-
метричной поверхности в переменном слое. Труды ВНИИГидромаш, вып.
XXXVII 1968.

5.	Викторов Г. В. Решение прямой задачи теории решеток в отно-
сительном течении. Труды ВНИИГидромаш, вып. XXXVIII. 1968.

6.	Викторов Г. В., Моргунов Г. М. Решение обратной задачи
решеток профилей на осесимметричных поверхностях тока в переменном слое.
Изв. АН СССР «Механика жидкости и газа», 1968, № 4.

7.	Войташевский Д. А. Расчеты и исследования гидродинамических
решеток. Машгиз, 1953 (Труды ВИГМ, вып. XVI).

8.	Г и н з б у р г Б. Л., С т а р и ц к и й В. Г. Применение метода
А. Ф. Лесохина к расчету быстроходных осевых насосов с высокими кавита-
ционными свойствами. «Энергомашиностроение», М. — Л. Машгиз, 1953
(Труды ЛПИ, № 2).

9.	Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта. ГНТИ, 1931.

10.	Голубев В. В. Лекции по теории крыла. М. — Л. Гостехиздат, 1949.

И. Домбровский Г. А. Метод аппроксимации адиабаты в теории
плоских течений газа. «Наука», 1964.

12.	Жуковский М. И. Расчет обтекания решеток профилей турбо-
машин. М. — Л. Машгиз, 1960.

13.	Жуковский М. И. Аэродинамический расчет потока в осевых
турбомашинах. Л. «Машиностроение», 1967.

14.	К а р п л ю с У. Моделирующие устройства для решения задач теории
поля. ИЛ, 1962.

15.	К а н т о р о в и ч Л. В. и Крылов В. И. Приближенные методы
высшего анализа. Физматгиз, 1962.

16.	К в я т к о в с к и й В. С. Рабочий процесс осевой гидротурбины. Ч. 1.
Машгиз, 1951 (Труды ВИГМ, вып. XIV).

17.	К о л т о н А. Ю., Этинберг И. Э. Основы теории и гидродинами-
ческого расчета водяных турбин. Машгиз, 1958.

18.	Кочин Н. Е. [и др.]. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. Физмат-
гиз, 1963.

19.	Кочин Н. Е. Гидродинамическая теория решеток. М.—Л. Гостех-
издат, 1949.

20.	Курант Р. Уравнения с частными производными. «Мир», 1964.

21.	Л а в р е н т ь е в М. А., III а б а т Б. В. Методы теории функций комп-
лексного переменного. «Наука», 1965.
22.	Л е с о х и н А. Ф. Расчет лопастей рабочих колес осевых турбин (ре-
шетка профилей конечной толщины). «Энергомашиностроение» (техническая
гидромеханика). М.—Л. Машгиз, 1953 (Труды ЛПИ, № 5).

23.	Лесохин А. Ф., С им о но.в. Л. А.. Расчет колеса тапа Каплана по
выбранному распределению вихрей. Оборонгиз, 1939.

24.	Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. — Л. Гостех-
издат, 1957.

25.	Л о й ц я н с к и й Л. Г. Сопротивление решетки профилей, обтекаемой
вязкой несжимаемой жидкостью. ПММ. т. XI, вып. 4, 1947.

26.	Л у к а ш е в и ч В. П. К расчету произвольной плоской круговой ре-
шетки телесных профилей, вращающейся с постоянной угловой скоростью.
«Исследование гидромашин», 1964 (Труды ВИГМ, вып. XXXIV).

27.	Л у к а ш е в и ч В. П. Интегральные уравнения для расчета плоских
круговых вращающихся решеток, составленных из произвольных телесных
профилей. «Исследование гидромашин», 1965 (Труды ВИГМ, вып. XXXV).

28.	М а р к у ш е в и ч А. И. Краткий курс теории аналитических функций.
Физматгиз, 1961.

29.	Нужин С. Г. Построение потенциального потока несжимаемой жид-
кости около крыловых профилей произвольной формы. ПММ, т. XI, вып. 1,
1947.

30.	П о л о ж и й Г. Н. Обобщение теории аналитических функций комп-
лексного переменного (p-аналитические и р, «/-аналитические функции и неко-
торые их применения). Изд. Киевского университета, 1965.

31.	Рыжик И. М., Гр ад штейн И. С. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Гостехиздат, 1951.

32.	С а м о й л о в и ч Г. С. Расчет гидродинамических решеток. ПММ,
т. XIV, вып. 2, 1950.

33.	Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Гос-
техиздат, 1950.

34.	Симонов Л. А. Применение электрогидродинамической аналогии к
расчету гидротурбин. Научные записки Харьковского механико-машинострои-
тельного института. Т. VI, 1940.

35.	Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. Физмат-
гиз, 1962.

36.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. Физматгиз, 1961.

37.	С у н ц о в Н. Н. Методы аналогий в аэрогидродинамике. Физмат-
гиз, 1958.

38.	Этин б ер г И. Э. Теория и расчет проточной части поворотнолопа-
стных гидротурбин. М. — Л. «Машиностроение», 1965.

39.	Этинберг И. Э. [и др.]. Усовершенствованный метод проектирова-
ния гидротурбинных решеток с оптимальным распределением скоростей на
профиле. «Котлотурбиностроение», 1964 (сб. ЦКТИ, № 46).
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ...	. ....... . .......... 3

ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ

Глава I. Постановка задачи

§ 1.1.	Виды решеток..................... . .................. 5

§	1.2.	Задачи теории решеток ... ...........................................     9

§	1.3.	Физические основы теории...............................................Ю

§ 1.4.	Циркуляция скорости вокруг профиля. Постулат Чаплыгина —

Жуковского..............................................................  ]3

§	1.5.	Дифференциальные уравнения течения.....................................16

§	1.6.	Уравнения для энергии и момента........................................25

Глава II. Связь циркуляций в решетках

§	2.1.	Цилиндрическая (прямая) неподвижная решетка . .........................29

§	2.2.	Круговая неподвижная решетка..........................................  34

§	2.3.	Неподвижная решетка на осесимметричной поверхности .... 36

§	2.4.	Пространственная неподвижная решетка...................................40

§	2.5.	Цилиндрическая (прямая) вращающаяся решетка............................43

§	2.6.	Круговая вращающаяся решетка.......................................... 47

§	2.7.	Вращающаяся решетка на осесимметричной поверхности .... 49

Глава III. Силовое воздействие потока на профиль решетки

§	3.1.	Первое уравнение Чаплыгина............................................  50

§	3.2.	Второе уравнение Чаплыгина............................................ 53

§	3.3.	Граничные условия на контуре круговой вращающейся решетки 54

§	3.4.	Формула Грина . . ....................................................  56

§	3.5.	Подъемная сила в круговой вращающейся решетке..........................57

Глава IV. Общие выражения для скорости,
подъемной силы и момента

§ 4.1.	Прямая решетка . . ...................................61

§	4.2.	Круговая решетка.......................................  66

§	4.3.	Поток вытеснения.....................................     70

§	4.4.	Скорость на контуре профиля... 71

§	4.5.	Подъемная сила в прямой решетке . ... 73

§	4.6.	Момент в прямой решетке....75

§	4.7.	Приближенное выражение для	силы в круговой решетке .... 76

ЧАСТЬ II. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РЕШЕТОК

Раздел I. Прямая решетка

Глава V. Теория одиночного крыла

§	5.1.	Общее выражение для скорости...............................81

§	5.2.	Формула Жуковского. Подъемная	сила	и	момент.82

§	5.3.	Обтекание круга . . .............................. 83

§	5.4.	Общее выражение для подъемной	силы..........85

§	5.5.	Общее выражение для момента...............88

§	5.6.	Распределение скорости и давления на	профиле.......93

§	5.7.	Частные виды профилей..............97
Глава VI. Однорядная решетка

§ 6.1.	Обобщение формулы Жуковского для подъемной силы........

§ 6.2.	Коэффициент подъемной силы . . ... ..................	. .

§ 6.3.	Метод конформных отображений . . ..........	• •......

§ 6.4.	Обтекание круга от вихреисточника . . . ... . ....  	

§ 6.5	Решетка прямых пластин . . ... ... ....................

114

117

118

120

128

Глава VII. Двухрядная решетка

§ 7.1.	Связь циркуляций ... ................... .143

§ 7.2.	Подъемная сила.....................  150

Глава VIII. Метод интегральных уравнений

§ 8.1.	Интегральное уравнение для комплексного потенциала........156

§ 8.2.	Интегральное уравнение для функции потенциала скорости . . .159

§ 8.3.	Интегральное уравнение для скорости . . .... ... • . •. • • • 172

Раздел И. Круговая решетка

Глава IX. Одиночный профиль в потоке
от вихреисточника

§	9.1.	Силовое воздействие............................ . ................174

§	9.2.	Обтекание неподвижного круга . .	 ................. 181

§	9.3.	Равномерно вращающийся круг.....................183

§ 9.4.	Общее выражение для силы, действующей на неподвижный про-
филь ........................................................    192

§	9.5.	Равномерно вращающийся профиль	произвольной	формы	.	.	.	196

§	9.6.	Прямая пластина...-.	.	.	.	202

§	9.7.	Профиль в виде отрезка логарифмической	спирали.211

Глава X. Метод конформных отображений

§ 10.1.	Применение метода конформных отображений для круговой ре-
шетки ... ......................................................  213

§ 10.2.	Решетка из отрезков логарифмических спиралей.............215

Глава XI. Метод интегральных уравнений

§ 11.1.	Интегральное уравнение для комплексного потенциала.......219

§ 11.2.	Интегральное уравнение для функции потенциала скорости . . .221

Раздел III. Решетка на осесимметричной поверхности в слое
переменной толщины

Глава XII. Применение обобщенных
аналитических функций

§ 12.1.	Конформное отображение на прямую решетку.................228

§ 12.2.	Обобщенные комплексная скорость - и комплексный потенциал 232

§ 12.3.	Интегральное представление для обобщенной комплексной ско-
рости .......................................................... 236

§ 12.4.	Общее выражение для скорости в прямой решетке............239

§ 12.5.	Интегральное уравнение для потенциала скорости...........247
Глава XIII. Применение аналитических функций

§13.1.	Постановка задачи ... .................................  251

§ 13.2.	Аппроксимация толщины слоя функцией гиперболического ко-
тангенса ....................................................    .	255

§ 13.3.	Гиперболическая аппроксимация толщины слоя............... . . 260

§ 13.4.	Параболическая аппроксимация толщины слоя . ....... 262

§ 13.5.	Вычисление скорости на профиле . . .......................264

Раздел IV. Применение моделирующих устройств
для решения прямой задачи

Глава XIV. Модели из сплошных проводящих сред

§ 14.1.	Теоретические основы электрогидродинамической аналогии
(ЭГДА)......................................................    269

§ 14.2.	Принципиальные схемы. Методы измерений. Точность........274

§ 14.3.	Применение ЭГДА для исследования прямых решеток . . . . . 278

§ 14.4.	Установка ЭГДА повышенной точности......................284

§ 14.5.	Применение ЭГДА для исследования круговых решеток .... 287

ЧАСТЬ III. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РЕШЕТОК

Глава XV. Одиночное крыло

§ 15.1.	Метод распределенных вихрей.............................289

§ 15.2.	Частные случаи профилей.................................295

§ 15.3.	Телесный профиль . . ...................................302

§ 15.4.	Методика расчета .......................................312

Глава XVI. Прямая решетка

§ 16.1.	Решетка вихревых слоев.................................<326

§ 16.2.	Методика расчета решетки тонких профилей..............  333

§ 16.3.	Решетка телесных профилей...........................	. . 336

Глава XVII. Круговая решетка

§ 17.1.	Конформное отображение на прямую решетку................340

§ 17.2.	Методика расчета решетки тонких профилей................344

§ 17.3.	Решетка телесных профилей...............................348

Глава XVIII. Решетка на осесимметричной поверхности
в слое переменной толщины

§ 18.1.	Относительное течение . . ................................353

§ 18.2.	Решетка слоев особенностей..............................  355

§ 18.3.	Методика расчета решетки тонких профилей..................360

§ 18.4.	Решетка телесных профилей.................................362

Литература ................  	.................................364